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author: www-data <www-data@mail.pglaf.org> 2026-02-03 09:23:31 -0800
committer: www-data <www-data@mail.pglaf.org> 2026-02-03 09:23:31 -0800
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+    <title>
+      Über die spezielle und die allgemeine Relativitätstheorie | Project Gutenberg
+    </title>
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+    </style>
+</head>
+<body>
+<div style='text-align:center'>*** START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK 77850 ***</div>
+
+<div class="transnote mbot3">
+
+<p class="s3 center"><b>Anmerkungen zur Transkription</b></p>
+
+<p class="p0">Der vorliegende Text wurde anhand der Buchausgabe von
+1917 so weit wie möglich originalgetreu wiedergegeben. Offensichtliche
+Druckfehler wurden stillschweigend korrigiert.</p>
+
+<p class="p0 hidehtml">Abhängig von der im jeweiligen Lesegerät installierten
+Schriftart können die im Original <em class="gesperrt">gesperrt</em>
+gedruckten Passagen gesperrt, in serifenloser Schrift, oder aber sowohl
+serifenlos als auch gesperrt erscheinen.</p>
+
+</div>
+
+<div class="eng">
+
+<h1>
+Über die spezielle und die allgemeine Relativitätstheorie
+</h1>
+
+<p class="s3 center"><b>(Gemeinverständlich)</b></p>
+
+<p class="s4 center mtop2">Von</p>
+
+<p class="s2 center">A. EINSTEIN</p>
+
+<hr class="r10">
+
+<p class="center">Mit 3 Figuren</p>
+
+<figure class="figcenter illowe6" id="signet">
+  <img class="w100 padtop5 mbot3" src="images/signet.jpg" alt="Signet der Sammlung Vieweg">
+</figure>
+
+<p class="center mtop2"><em class="gesperrt">Braunschweig</em></p>
+
+<p class="center"><em class="gesperrt">Druck und Verlag von Friedr. Vieweg &amp; Sohn</em></p>
+
+<p class="s4 center"><em class="gesperrt">1917</em></p>
+
+<div class="chapter">
+
+<p class="s5 center padtop5"><span class="bdt">&#8195;&#8195;Herausgeber dieses Heftes ist&#8195;&#8195;</span><br>
+<span class="bdb">Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. <em class="gesperrt">Karl Scheel</em></span></p>
+
+
+
+<p class="s5 center padtop5"><em class="gesperrt">Alle Rechte vorbehalten</em></p>
+
+</div>
+
+<p><span class="pagenum" id="Page_iii">[S. iii]</span></p>
+
+</div>
+
+<div class="chapter">
+  <h2 class="nobreak" id="Vorwort">
+    Vorwort.
+  </h2>
+</div>
+
+<p>Das vorliegende Büchlein soll solchen eine möglichst exakte Einsicht
+in die Relativitätstheorie vermitteln, die sich vom allgemein
+wissenschaftlichen, philosophischen Standpunkt für die Theorie
+interessieren, ohne den mathematischen Apparat&#x2060;<a id="FNanchor_1_1" href="#Footnote_1_1" class="fnanchor">[1]</a> der theoretischen
+Physik zu beherrschen. Die Lektüre setzt etwa Maturitätsbildung und —
+trotz der Kürze des Büchleins — ziemlich viel Geduld und Willenskraft
+beim Leser voraus. Der Verfasser hat sich die größte Mühe gegeben,
+die Hauptgedanken möglichst deutlich und einfach vorzubringen, im
+ganzen in solcher Reihenfolge und in solchem Zusammenhange, wie sie
+tatsächlich entstanden sind. Im Interesse der Deutlichkeit erschien
+es mir unvermeidlich, mich oft zu wiederholen, ohne auf die Eleganz
+der Darstellung die geringste Rücksicht zu nehmen; ich hielt mich
+gewissenhaft<span class="pagenum" id="Page_iv">[S. iv]</span> an die Vorschrift des genialen Theoretikers <em class="gesperrt">L.
+Boltzmann</em>, man solle die Eleganz Sache der Schneider und Schuster
+sein lassen. Schwierigkeiten, die in der Sache begründet liegen,
+glaube ich dem Leser nicht vorenthalten zu haben. Dagegen habe ich
+die empirischen physikalischen Unterlagen der Theorie absichtlich
+stiefmütterlich behandelt, damit es dem der Physik ferner stehenden
+Leser nicht ergehe wie dem Wanderer, der vor lauter Bäumen keinen Wald
+sieht. Möge das Büchlein manchem einige frohe Stunden der Anregung
+bringen!</p>
+
+<p class="mtop1">Dezember 1916.</p>
+
+<p class="mtop1 right mright2"><em class="gesperrt">A. Einstein.</em></p>
+
+
+<div class="footnotes">
+
+<div class="footnote"><p><a id="Footnote_1_1" href="#FNanchor_1_1" class="label">[1]</a> Die mathematischen Grundlagen der speziellen
+Relativitätstheorie findet man in den bei B. G. Teubner in
+der Monographiensammlung „Fortschritte der mathematischen
+Wissenschaften“ unter dem Titel „Das Relativitätsprinzip“ erschienenen
+Originalabhandlungen von <em class="gesperrt">H. A. Lorentz</em>, <em class="gesperrt">A. Einstein</em>,
+<em class="gesperrt">H. Minkowski</em>, sowie in <em class="gesperrt">M. Laue</em>s ausführlichem Buche „Das
+Relativitätsprinzip“ (Verlag von Friedr. Vieweg &amp; Sohn, Braunschweig).
+Die allgemeine Relativitätstheorie nebst den zugehörigen mathematischen
+Hilfsmitteln der Invariantentheorie ist in der Broschüre des
+Verfassers, „Die Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie“ (Joh.
+Ambr. Barth, 1916) behandelt; diese Broschüre setzt einige Vertrautheit
+mit der speziellen Relativitätstheorie voraus.</p>
+
+</div>
+
+</div>
+
+<div class="chapter">
+
+<p><span class="pagenum" id="Page_1">[S. 1]</span></p>
+
+  <h2 class="nobreak" id="Erster_Teil">
+    <span class="s6">Erster Teil.</span>
+    <br>
+    Über die spezielle Relativitätstheorie.
+  </h2>
+</div>
+
+<h3 id="Physikalischer_Inhalt_geometrischer_Saetze">§ 1. Physikalischer Inhalt
+geometrischer Sätze.</h3>
+
+<p>Gewiß hast auch du, lieber Leser, als Knabe oder Mädchen mit dem
+stolzen Gebäude der Geometrie Euklids Bekanntschaft gemacht und
+erinnerst dich vielleicht mit mehr Achtung als Liebe an den stolzen
+Bau, auf dessen hohen Treppen du von gewissenhaften Fachlehrern in
+ungezählten Stunden umhergejagt wurdest. Gewiß würdest du kraft dieser
+deiner Vergangenheit jeden mit Verachtung strafen, der auch nur das
+abgelegenste Sätzchen dieser Wissenschaft für unwahr erklärte. Aber
+dies Gefühl stolzer Sicherheit verließe dich vielleicht sogleich, wenn
+dich einer fragte: „Was meinst du denn mit der Behauptung, daß diese
+Sätze wahr seien?“ Bei dieser Frage wollen wir ein wenig verweilen.</p>
+
+<p>Die Geometrie geht aus von gewissen Grundbegriffen, wie Ebene, Punkt,
+Gerade, mit denen wir mehr oder minder deutliche Vorstellungen zu
+verbinden imstande sind, und von gewissen einfachen Sätzen (Axiomen),
+die wir auf Grund jener Vorstellungen als „wahr“ hinzunehmen geneigt
+sind. Alle übrigen Sätze werden dann auf Grund einer logischen Methode,
+deren Berechtigung wir uns anzuerkennen genötigt fühlen, auf jene
+Axiome zurückgeführt, d.&#8239;h. bewiesen. Ein Satz ist dann richtig bzw.
+„wahr“, wenn er in der anerkannten Weise aus den Axiomen hergeleitet
+ist. Die Frage nach der „Wahrheit“ der einzelnen geometrischen Sätze
+führt also <span class="pagenum" id="Page_2">[S. 2]</span>zurück auf die Frage nach der „Wahrheit“ der Axiome.
+Längst aber ist es bekannt, daß die letztere Frage nicht nur durch die
+Methoden der Geometrie nicht beantwortbar, sondern überhaupt an sich
+ohne Sinn ist. Man kann nicht fragen, ob es wahr sei, daß durch zwei
+Punkte nur <em class="gesperrt">eine</em> Gerade hindurchgeht. Man kann nur sagen, daß die
+Euklidische Geometrie von Gebilden handelt, die sie „Gerade“ nennt, und
+denen sie die Eigenschaft beilegt, durch zwei ihrer Punkte eindeutig
+bestimmt zu sein. Der Begriff „wahr“ paßt nicht auf die Aussagen der
+reinen Geometrie, weil wir mit dem Worte „wahr“ in letzter Linie stets
+die Übereinstimmung mit einem „realen“ Gegenstande zu bezeichnen
+pflegen; die Geometrie aber befaßt sich nicht mit der Beziehung ihrer
+Begriffe zu den Gegenständen der Erfahrung, sondern nur mit dem
+logischen Zusammenhang dieser Begriffe untereinander.</p>
+
+<p>Daß wir uns trotzdem dazu hingezogen fühlen, die Sätze der Geometrie
+als „wahr“ zu bezeichnen, erklärt sich leicht. Den geometrischen
+Begriffen entsprechen mehr oder weniger exakt Gegenstände in der
+Natur, welch letztere ohne Zweifel die alleinige Ursache für die
+Entstehung jener Begriffe sind. Mag die Geometrie, um ihrem Gebäude
+die größtmögliche logische Geschlossenheit zu geben, hiervon Abstand
+nehmen; die Gewohnheit, beispielsweise in einer Strecke zwei markierte
+Stellen auf <em class="gesperrt">einem</em> praktisch starren Körper zu sehen, steckt
+tief in unseren Denkgewohnheiten. Wir sind ferner gewohnt, drei Orte
+als auf einer Geraden befindlich anzunehmen, wenn wir ihre scheinbaren
+Sehorte durch passende Wahl des Beobachtungsortes bei einäugigem Sehen
+zusammenfallen lassen können.</p>
+
+<p>Wenn wir nun, der Denkgewohnheit folgend, den Sätzen der Euklidischen
+Geometrie den einzigen Satz zufügen, daß zwei Punkten eines praktisch
+starren Körpers stets die nämliche Entfernung (Strecke) entspreche, was
+für Lagenänderungen wir auch mit dem Körper vornehmen mögen, so werden
+aus den Sätzen der euklidischen Geometrie Sätze über die mögliche
+relative Lagerung praktisch starrer <span class="pagenum" id="Page_3">[S. 3]</span>Körper&#x2060;<a id="FNanchor_2_2" href="#Footnote_2_2" class="fnanchor">[2]</a>. Die so ergänzte
+Geometrie ist dann als ein Zweig der Physik zu behandeln. Jetzt kann
+mit Recht nach der „Wahrheit“ so interpretierter geometrischer Sätze
+gefragt werden, denn es kann gefragt werden, ob jene Sätze zutreffen
+für diejenigen realen Dinge, welche wir den geometrischen Begriffen
+zugeordnet haben. Etwas ungenau können wir also sagen, daß wir unter
+der „Wahrheit“ eines geometrischen Satzes in diesem Sinne sein
+Zutreffen bei einer Konstruktion mit Zirkel und Lineal verstehen.</p>
+
+<p>Die Überzeugung von der „Wahrheit“ der geometrischen Sätze in diesem
+Sinne beruht natürlich ausschließlich auf ziemlich unvollkommenen
+Erfahrungen. Wir werden jene Wahrheit der geometrischen Sätze zunächst
+voraussetzen, um dann im letzten Teile unserer Betrachtungen (bei der
+allgemeinen Relativitätstheorie) zu sehen, daß und inwiefern jene
+Wahrheit ihre Grenzen hat.</p>
+
+<div class="section">
+
+<h3 id="Das_Koordinatensystem">
+  § 2. Das Koordinatensystem.
+</h3>
+
+</div>
+
+<p>Auf Grund der angedeuteten physikalischen Interpretation des Abstandes
+sind wir auch in der Lage, den Abstand zweier Punkte eines starren
+Körpers auf Grund von Messungen festzusetzen. Dazu brauchen wir eine
+ein- für allemal zu benutzende Strecke (Stäbchen <i>S</i>), welche
+als Einheitsmaßstab verwendet wird. Sind nun <i>A</i> und <i>B</i>
+zwei Punkte eines starren Körpers, so ist deren Verbindungsgerade
+konstruierbar nach den Gesetzen der Geometrie; hierauf kann man auf
+dieser Verbindungsgeraden die Strecke <i>S</i> von <i>A</i> aus so oft
+abtragen, bis man nach <i>B</i> gelangt. Die Zahl der Wiederholungen
+des Abtragens ist die Maßzahl der Strecke <i class="bt">AB</i>. Hierauf beruht
+alles Messen von Längen&#x2060;<a id="FNanchor_3_3" href="#Footnote_3_3" class="fnanchor">[3]</a>.</p>
+
+<p><span class="pagenum" id="Page_4">[S. 4]</span></p>
+
+<p>Jede räumliche Beschreibung des Ortes eines Ereignisses oder
+Gegenstandes beruht darauf, daß man den Punkt eines starren Körpers
+(Bezugskörpers) angibt, mit dem jenes Ereignis koinzidiert. Dies gilt
+nicht nur für die wissenschaftliche Beschreibung, sondern auch für
+das tägliche Leben. Analysiere ich die Ortsangabe „in Berlin, auf dem
+Potsdamer Platz“, so bedeutet sie folgendes. Die Erdoberfläche ist
+der starre Körper, auf den sich die Ortsangabe bezieht; auf ihm ist
+„Potsdamerplatz in Berlin“ ein markierter, mit Namen versehener Punkt,
+mit dem das Ereignis räumlich koinzidiert&#x2060;<a id="FNanchor_4_4" href="#Footnote_4_4" class="fnanchor">[4]</a>.</p>
+
+<p>Diese primitive Art der Ortsangabe kennt nur Orte an der Oberfläche
+starrer Körper und ist an das Vorhandensein unterscheidbarer Punkte
+dieser Oberfläche gebunden. Sehen wir zu, wie sich der menschliche
+Geist von diesen beiden Beschränkungen befreit, ohne daß das Wesen
+der Ortsangabe eine Änderung erfährt! Schwebt beispielsweise über
+dem Potsdamer Platz eine Wolke, so kann der Ort dieser, bezogen auf
+die Erdoberfläche, dadurch festgelegt werden, daß man auf dem Platze
+senkrecht eine Stange errichtet, die bis zur Wolke hinaufreicht. Die
+mit dem Einheitsmaßstab gemessene Länge der Stange in Verbindung
+mit der Angabe des Ortes des Fußpunktes der Stange ist dann eine
+vollständige Ortsangabe. An diesem Beispiele sehen wir, auf welchem
+Wege eine Verfeinerung des Ortsbegriffes vor sich gegangen ist.</p>
+
+<blockquote>
+<p>a) Man setzt den starren Körper, auf den sich die Ortsangabe bezieht,
+in solcher Weise fort, daß der zu lokalisierende Gegenstand von dem
+vervollständigten starren Körper erreicht wird.</p>
+
+<p>b) Man benutzt zur Charakterisierung des Ortes die <em class="gesperrt">Zahl</em> statt
+benannter Merkpunkte (hier die mit dem Maßstab gemessene Länge der
+Stange).</p>
+
+<p><span class="pagenum" id="Page_5">[S. 5]</span></p>
+
+<p>c) Man spricht von der Höhe der Wolke auch dann, wenn eine
+Stange, welche die Wolke erreicht, gar nicht errichtet ist. In
+unserem Falle ermittelt man aus optischen Aufnahmen der Wolke von
+verschiedenen Stellen des Bodens aus unter Berücksichtigung der
+Ausbreitungseigenschaften des Lichtes, wie lang die Stange gemacht
+werden müßte, um die Wolke zu erreichen.</p>
+</blockquote>
+
+<p>Aus dieser Überlegung sieht man, daß es für die Beschreibung von
+Orten vorteilhaft sein wird, wenn es gelingt, sich durch Verwendung
+von Meßzahlen von der Existenz mit Namen versehener Merkpunkte auf
+dem starren Körper, auf den sich die Ortsangabe bezieht, unabhängig
+zu machen. Dies erreicht die messende Physik durch Anwendung des
+Kartesischen Koordinatensystems.</p>
+
+<p>Dieses besteht in drei zueinander senkrechten, zu einem starren Körper
+verbundenen starren, ebenen Wänden. Der Ort irgendeines Geschehnisses
+in bezug auf das Koordinatensystem wird (im wesentlichen) beschrieben
+durch die Angabe der Länge der drei Lote oder Koordinaten (<i>x</i>,
+<i>y</i>, <i>z</i>), welche von dem Geschehnis aus auf jene drei
+ebenen Wände gefällt werden können. Die Längen dieser drei Lote sind
+durch eine Folge von Manipulationen mit starren Stäben ermittelbar,
+welche Manipulationen durch die Gesetze und Methoden der Euklidischen
+Geometrie vorgeschrieben werden.</p>
+
+<p>Bei den Anwendungen sind jene das Koordinatensystem bildenden starren
+Wände meist nicht realisiert; auch werden die Koordinaten nicht
+wirklich durch Konstruktionen mit starren Stäben, sondern indirekt
+ermittelt. Der physikalische Sinn der Ortsangaben muß jedoch stets den
+vorstehenden Eröterungen gemäß gesucht werden, wenn die Ergebnisse der
+Physik und Astronomie nicht ins Unklare zerfließen sollen&#x2060;<a id="FNanchor_5_5" href="#Footnote_5_5" class="fnanchor">[5]</a>.</p>
+
+<p>Es ergibt sich also folgendes: Jede räumliche Beschreibung von
+Geschehnissen bedient sich eines starren Körpers, auf <span class="pagenum" id="Page_6">[S. 6]</span>den die
+Geschehnisse räumlich zu beziehen sind. Jene Beziehung setzt voraus,
+daß für „Strecken“ die Gesetze der Euklidischen Geometrie gelten, wobei
+die „Strecke“ physikalisch repräsentiert wird durch zwei Marken auf
+einem starren Körper.</p>
+
+<div class="section">
+
+<h3 id="Raum_und_Zeit_in_der_klassischen_Mechanik">
+  § 3. Raum und Zeit in der klassischen Mechanik.
+</h3>
+
+</div>
+
+<p>Wenn ich ohne schwere Bedenken und eingehende Erläuterungen die Aufgabe
+der Mechanik so formuliere: „Die Mechanik hat zu beschreiben, wie die
+Körper mit der Zeit ihren Ort im Raume ändern“, so nehme ich einige
+Todsünden gegen den heiligen Geist der Klarheit auf mein Gewissen;
+diese Sünden sollen zunächst aufgedeckt werden.</p>
+
+<p>Es ist unklar, was hier unter „Ort“ und „Raum“ zu verstehen ist. Ich
+stehe am Fenster eines gleichförmig fahrenden Eisenbahnwagens und lasse
+einen Stein auf den Bahndamm fallen, ohne ihm einen Schwung zu geben.
+Dann sehe ich (abgesehen vom Einfluß des Luftwiderstandes) den Stein
+geradlinig herabfallen. Ein Fußgänger, der die Übeltat vom Fußwege
+aus mit ansieht, bemerkt, daß der Stein in einem Parabelbogen zur
+Erde herabfällt. Ich frage nun: Liegen die „Orte“, welche der Stein
+durchläuft, „in Wirklichkeit“ auf einer Geraden oder auf einer Parabel?
+Was bedeutet hier ferner Bewegung „im Raume“? Die Antwort ist nach
+den Überlegungen des § 2 selbstverständlich. Zunächst lassen wir das
+dunkle Wort „Raum“, unter dem wir uns bei ehrlichem Geständnis nicht
+das geringste denken können, ganz beiseite; wir setzen statt dessen
+„Bewegung in bezug auf einen praktisch starren Bezugskörper.“ Die
+Orte in bezug auf den Bezugskörper (Bahnwagen <em class="gesperrt">oder</em> Erdboden)
+sind im vorigen Paragraphen bereits ausführlich definiert worden.
+Indem wir statt „Bezugskörper“ den für die mathematische Beschreibung
+nützlichen Begriff „Koordinatensystem“ einführen, können wir sagen:
+Der Stein beschreibt in bezug auf ein mit dem Wagen starr verbundenes
+Koordinatensystem eine Gerade, in bezug auf ein mit dem Erdboden
+starr verbundenes Koordinatensystem eine Parabel. Man sieht an diesem
+Beispiel deutlich, <span class="pagenum" id="Page_7">[S. 7]</span>daß es eine Bahnkurve an sich nicht gibt, sondern
+nur eine Bahnkurve in bezug auf einen bestimmten Bezugskörper.</p>
+
+<p>Eine <em class="gesperrt">vollständige</em> Beschreibung der Bewegung kommt aber erst
+dadurch zustande, daß man angibt, wie der Körper seinen Ort <em class="gesperrt">mit
+der Zeit</em> ändert; d.&#8239;h. es muß für jeden Punkt der Bahnkurve
+angegeben werden, zu welcher Zeit der Körper sich dort befindet. Diese
+Angaben müssen durch eine solche Definition der Zeit vervollständigt
+werden, daß diese Zeitwerte kraft jener Definition als prinzipiell
+beobachtbare Größen (Resultate von Messungen) angesehen werden können.
+Dieser Forderung entsprechen wir — auf dem Boden der klassischen
+Mechanik stehend — für unser Beispiel in folgender Weise. Wir
+denken uns zwei genau gleich beschaffene Uhren; die eine hat der
+Mann am Eisenbahnwagenfenster, die andere der Mann auf dem Fußwege
+in der Hand. Jeder der beiden stellt fest, an welcher Stelle des
+betreffenden Bezugskörpers der Stein sich gerade befindet, wenn die
+Uhr tickt, die er in der Hand hat. Dabei verzichten wir auf ein
+Eingehen auf die Ungenauigkeit, welche durch die Endlichkeit der
+Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtes hereinkommt. Hiervon und von
+einer zweiten hier obwaltenden Schwierigkeit wird später ausführlich
+die Rede sein.</p>
+
+<div class="section">
+
+<h3 id="_4_Das_Galileische_Koordinatensystem">
+  § 4. Das Galileische Koordinatensystem.
+</h3>
+
+</div>
+
+<p>Bekanntlich lautet das unter dem Namen Trägheitsgesetz bekannte
+Grundgesetz der <em class="gesperrt">Galilei</em>-<em class="gesperrt">Newton</em>schen Mechanik: Ein
+von anderen Körpern hinreichend entfernter Körper verharrt im
+Zustande der Ruhe oder der gleichförmig-geradlinigen Bewegung.
+Dieser Satz sagt nicht nur etwas aus über die Bewegung der Körper,
+sondern auch über die in der Mechanik zulässigen Bezugskörper
+oder Koordinatensysteme, welche bei der mechanischen Beschreibung
+verwendet werden dürfen. Körper, auf welche der Trägheitssatz
+sicherlich mit großer Annäherung Anwendung finden kann, sind die
+sichtbaren Fixsterne. Benutzen wir nun ein Koordinatensystem,
+welches mit der Erde starr verbunden ist, so beschreibt relativ zu
+ihm jeder Fixstern im Laufe eines (astronomischen) Tages <span class="pagenum" id="Page_8">[S. 8]</span>einen
+Kreis von ungeheurem Radius, im Widerspruch mit dem Wortlaut des
+Trägheitsgesetzes. Hält man also an diesem Gesetze fest, so darf
+man die Bewegungen nur auf Koordinatensysteme beziehen, relativ
+zu welchen die Fixsterne keine Kreisbewegungen ausführen. Ein
+Koordinatensystem, dessen Bewegungszustand ein solcher ist, daß relativ
+zu ihm das Trägheitsgesetz gilt, nennen wir ein „<em class="gesperrt">Galilei</em>sches
+Koordinatensystem.“ Nur für ein <em class="gesperrt">Galilei</em>sches Koordinatensystem
+beanspruchen die Gesetze der <em class="gesperrt">Galilei</em>-<em class="gesperrt">Newton</em>schen Mechanik
+Gültigkeit.</p>
+
+<div class="section">
+
+<h3 id="Das_Relativitatsprinzip_im_engeren_Sinne">
+  § 5. Das Relativitätsprinzip (im engeren Sinne).
+</h3>
+
+</div>
+
+<p>Wir gehen wieder, um möglichste Anschaulichkeit zu erzielen, von
+dem Beispiel des gleichmäßig fahrenden Eisenbahnwagens aus. Seine
+Bewegung nennen wir eine gleichförmige Translation („gleichförmig“,
+weil von konstanter Geschwindigkeit und Richtung, „Translation“,
+weil der Wagen relativ zum Fahrdamm zwar seinen Ort ändert, aber
+hierbei keine Drehungen ausführt). Es fliege ein Rabe geradlinig und
+gleichförmig — vom Bahndamm aus beurteilt — durch die Luft. Dann ist
+— vom fahrenden Wagen aus beurteilt — die Bewegung des Raben zwar
+eine Bewegung von anderer Geschwindigkeit und anderer Richtung; aber
+sie ist ebenfalls geradlinig und gleichförmig. Abstrakt ausgedrückt:
+Bewegt sich eine Masse <i>m</i> geradlinig und gleichförmig in
+bezug auf ein Koordinatensystem <i>K</i>, so bewegt sie sich auch
+geradlinig und gleichförmig in bezug auf ein zweites Koordinatensystem
+<i>K′</i>, falls letzteres in bezug auf <i>K</i> eine gleichförmige
+Translationsbewegung ausführt. Hieraus folgt mit Rücksicht auf die
+Darlegung des vorigen Paragraphen:</p>
+
+<p>Ist <i>K</i> ein <em class="gesperrt">Galilei</em>sches Koordinatensystem, so ist auch
+jedes andere Koordinatensystem <i>K′</i> ein <em class="gesperrt">Galilei</em>sches,
+wenn <i>K′</i> gegenüber <i>K</i> im Zustande gleichförmiger
+Translationsbewegung ist. In bezug auf <i>K′</i> gelten die Gesetze
+der <em class="gesperrt">Galilei</em>-<em class="gesperrt">Newton</em>schen Mechanik ebenso wie in bezug auf
+<i>K</i>.</p>
+
+<p>Wir gehen in der Verallgemeinerung noch einen Schritt weiter, indem
+wir den Satz aussprechen: Ist <i>K′</i> ein in bezug <span class="pagenum" id="Page_9">[S. 9]</span>auf <i>K</i>
+gleichförmig und drehungsfrei bewegtes Koordinatensystem, so verläuft
+das Naturgeschehen in bezug auf <i>K′</i> nach genau denselben
+allgemeinen Gesetzen wie in bezug auf <i>K</i>. Diese Aussage nennen
+wir „Relativitätsprinzip“ (im engeren Sinne).</p>
+
+<p>Solange man überzeugt war, daß sich alles Naturgeschehen mit Hilfe
+der klassischen Mechanik darstellen lasse, konnte man an der
+Gültigkeit dieses Relativitätsprinzips nicht zweifeln. Mit der
+neueren Entwickelung der Elektrodynamik und Optik aber ward es immer
+mehr offenkundig, daß die klassische Mechanik als Grundlage für alle
+physikalische Naturbeschreibung nicht zureichend sei. Damit wurde auch
+die Frage nach der Gültigkeit des Relativitätsprinzips zu einer wohl
+diskutierbaren, und es erschien nicht ausgeschlossen, daß die Antwort
+auf diese Frage verneinend sein könnte.</p>
+
+<p>Immerhin gibt es zwei allgemeine Tatsachen, die von vornherein sehr
+für die Gültigkeit des Relativitätsprinzips sprechen. Wenn nämlich
+die klassische Mechanik auch nicht eine genügend breite Basis für die
+theoretische Darstellung <em class="gesperrt">aller</em> physikalischen Erscheinungen
+liefert, so muß ihr doch ein sehr bedeutender Wahrheitsgehalt zukommen;
+denn sie liefert mit bewunderungswürdiger Schärfe die tatsächlichen
+Bewegungen der Himmelskörper. Es muß daher auch das Relativitätsprinzip
+auf dem Gebiete <em class="gesperrt">der Mechanik</em> jedenfalls mit großer Genauigkeit
+gelten. Daß aber ein Prinzip von so großer Allgemeinheit, welches
+auf einem Erscheinungsgebiete mit solcher Exaktheit gilt, einem
+anderen Erscheinungsgebiete gegenüber versage, ist a priori wenig
+wahrscheinlich.</p>
+
+<p>Das zweite Argument, auf welches wir später noch zurückkommen
+werden, ist folgendes. Wenn das Relativitätsprinzip (im engeren
+Sinne) nicht gilt, so werden die relativ zueinander gleichförmig
+bewegten <em class="gesperrt">Galilei</em>schen Koordinatensysteme <i>K</i>, <i>K′</i>,
+<i>K″</i> usw. nicht <em class="gesperrt">gleichwertig</em> sein für die Beschreibung
+des Naturgeschehens. Dann wäre es kaum anders denkbar, als daß die
+Naturgesetze besonders einfach und natürlich sich nur dann formulieren
+ließen, wenn unter allen <em class="gesperrt">Galilei</em>schen Koordinatensystemen
+<em class="gesperrt">eines</em> (<i>K<sub>0</sub></i>) von bestimmtem Bewegungszustande <span class="pagenum" id="Page_10">[S. 10]</span>als
+Bezugskörper gewählt würde. Dieses würden wir dann mit Recht (wegen
+seiner Vorzüge für die Naturbeschreibung) als das „absolut ruhende“
+bezeichnen, die übrigen <em class="gesperrt">Galilei</em>schen Systeme <i>K</i> aber als
+„bewegt“. Wäre z.&#8239;B. unser Bahndamm das System <i>K<sub>0</sub></i>, so wäre
+unser Eisenbahnwagen ein System <i>K</i>, in bezug auf welches weniger
+einfache Gesetze gelten würden als in bezug auf <i>K<sub>0</sub></i>. Diese
+geringere Einfachheit würde darauf zurückzuführen sein, daß der Wagen
+<i>K</i> gegen <i>K<sub>0</sub></i> (d.&#8239;h. „wirklich“) bewegt sei. In diesen in
+bezug auf <i>K</i> formulierten allgemeinen Naturgesetzen müßten Größe
+und Richtung der Fahrgeschwindigkeit des Wagens eine Rolle spielen. Es
+wäre z.&#8239;B. zu erwarten, daß der Ton einer Orgelpfeife ein anderer wäre,
+wenn diese mit ihrer Achse parallel zur Fahrrichtung gestellt wird,
+als wenn sie mit ihrer Achse senkrecht zu dieser Richtung gestellt
+wird. Nun ist aber unsere Erde wegen ihrer Bahnbewegung um die Sonne
+einem mit etwa 20 km Geschwindigkeit fahrenden Wagen vergleichbar.
+Es wäre daher im Falle der Ungültigkeit des Relativitätsprinzips
+zu erwarten, daß die momentane Bewegungsrichtung der Erde in die
+Naturgesetze eingehe, daß also die physikalischen Systeme in ihrem
+Verhalten von der räumlichen Orientierung gegen die Erde abhängen
+sollten. Denn wegen der im Laufe des Jahres stattfindenden Änderung
+der Richtung der Geschwindigkeit der Umlaufbewegung der Erde kann
+diese nicht das ganze Jahr hindurch relativ zu dem hypothetischen
+System <i>K<sub>0</sub></i> in Ruhe sein. Bei aller Sorgfalt hat man aber eine
+derartige Anisotropie des irdischen physikalischen Raumes, d.&#8239;h. eine
+physikalische Ungleichwertigkeit der verschiedenen Richtungen, niemals
+beobachten können. Dies ist ein schwer wiegendes Argument zugunsten des
+Relativitätsprinzips.</p>
+
+<div class="section">
+
+<h3 id="Das_Additionstheorem_der_Geschwindigkeiten_gemaess_der_klassischen_Mechanik">§ 6.
+Das Additionstheorem der Geschwindigkeiten gemäß der klassischen Mechanik.</h3>
+
+</div>
+
+<p>Der schon oft betrachtete Eisenbahnwagen fahre mit der konstanten
+Geschwindigkeit <i>v</i> auf dem Geleise. Im Eisenbahnwagen
+durchschreite ein Mann den Wagen in dessen <span class="pagenum" id="Page_11">[S. 11]</span>Längsrichtung, und zwar in
+Richtung der Fahrt mit der Geschwindigkeit <i>w</i>. Wie rasch bzw. mit
+welcher Geschwindigkeit <i>W</i> kommt der Mann relativ zum Bahndamm
+während des Gehens vorwärts? Die einzig mögliche Antwort scheint aus
+folgender Überlegung zu entspringen:</p>
+
+<p>Würde der Mann eine Sekunde lang still stehen, so käme er relativ zum
+Bahndamm um eine der Fahrgeschwindigkeit des Wagens gleiche Strecke
+<i>v</i> vorwärts. In Wirklichkeit durchmißt er aber außerdem relativ
+zum Wagen, also auch relativ zum Bahndamm in dieser Sekunde durch sein
+Gehen die Strecke <i>w</i>, welche der Geschwindigkeit seines Ganges
+gleich ist. Er legt also in der betrachteten Sekunde relativ zum
+Bahndamm im ganzen die Strecke</p>
+
+<div class="s5 center mtop1 mbot1"><i>W</i> = <i>v</i> + <i>w</i></div>
+
+<p class="p0">zurück. Später werden wir sehen, daß diese Überlegung, welche das
+Additionstheorem der Geschwindigkeiten gemäß der klassischen Mechanik
+ausdrückt, nicht aufrecht erhalten werden kann, daß also das soeben
+hingeschriebene Gesetz in Wahrheit nicht zutrifft. Einstweilen aber
+werden wir auf dessen Richtigkeit bauen.</p>
+
+<div class="section">
+
+<h3 id="Die_scheinbare_Unvereinbarkeit_des_Ausbreitungsgesetzes_des_Lichtes">§ 7. Die
+scheinbare Unvereinbarkeit des Ausbreitungsgesetzes des Lichtes mit dem
+Relativitätsprinzip.</h3>
+
+</div>
+
+<p>Es gibt kaum ein einfacheres Gesetz in der Physik als dasjenige, gemäß
+welchem sich das Licht im leeren Raume fortpflanzt. Jedes Schulkind
+weiß oder glaubt zu wissen, daß diese Fortpflanzung geradlinig mit
+einer Geschwindigkeit <i>c</i> = 300000 km/Sek. geschieht. Wir wissen
+jedenfalls mit großer Exaktheit, daß diese Geschwindigkeit für alle
+Farben dieselbe ist; denn wäre dies nicht der Fall, so würde bei
+der Bedeckung eines Fixsternes durch seinen dunklen Begleiter das
+Emissionsminimum für die verschiedenen Farben nicht gleichzeitig
+beobachtet werden. Durch eine ähnliche, an die Beobachtungen der
+Doppelsterne sich knüpfende Überlegung konnte der holländische Astronom
+<em class="gesperrt">De Sitter</em> auch zeigen, daß die <span class="pagenum" id="Page_12">[S. 12]</span>Fort&#173;pflanzungs&#173;ge&#173;schwin&#173;digkeit
+des Lichtes von der Bewegungsgeschwindigkeit des das Licht
+emittierenden Körpers nicht abhängen kann. Die Annahme, daß diese
+Fortpflanzungsgeschwindigkeit von der Richtung „im Raume“ abhänge, ist
+an sich unwahrscheinlich.</p>
+
+<p>Kurz, nehmen wir einmal an, das einfache Gesetz von der konstanten
+Lichtgeschwindigkeit <i>c</i> (im Vakuum) werde von dem Schulkinde
+mit Recht geglaubt! Wer möchte denken, daß dieses simple Gesetz
+den gewissenhaft überlegenden Physiker in die größten gedanklichen
+Schwierigkeiten gestürzt hat? Diese Schwierigkeiten ergeben sich wie
+folgt.</p>
+
+<p>Natürlich müssen wir den Vorgang der Lichtausbreitung wie jeden
+anderen auf einen starren Bezugskörper (Koordinatensystem) beziehen.
+Als solchen wählen wir wieder unseren Bahndamm. Die Luft über
+demselben wollen wir uns weggepumpt denken. Längs des Bahndammes
+werde ein Lichtstrahl gesandt, dessen Scheitel sich nach dem
+vorigen mit der Geschwindigkeit <i>c</i> relativ zum Bahndamme
+fortpflanzt. Auf dem Geleise fahre wieder unser Eisenbahnwagen mit
+der Geschwindigkeit <i>v</i>, und zwar in derselben Richtung, in der
+sich der Lichtstrahl fortpflanzt, aber natürlich viel langsamer.
+Wir fragen nach der Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtstrahles
+relativ zum Wagen. Es ist leicht ersichtlich, daß hier die Betrachtung
+des vorigen Paragraphen Anwendung finden kann; denn der relativ zum
+Eisenbahnwagen laufende Mann spielt die Rolle des Lichtstrahles.
+Statt dessen Geschwindigkeit <i>W</i> gegen den Bahndamm tritt hier
+die Lichtgeschwindigkeit gegen diesen; <i>w</i> ist die gesuchte
+Geschwindigkeit des Lichtes gegen den Wagen, für welche also gilt:</p>
+
+<div class="s5 center mtop1 mbot1"><i>w</i> = <i>c</i> − <i>v</i>.</div>
+
+<p>Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtstrahles relativ zum Wagen
+ergibt sich also als kleiner als <i>c</i>.</p>
+
+<p>Dies Ergebnis verstößt aber gegen das im § 5 dargelegte
+Relativitätsprinzip. Das Gesetz der Lichtausbreitung im Vakuum müßte
+nämlich nach dem Relativitätsprinzip wie jedes andere allgemeine
+Naturgesetz für den Eisenbahnwagen <span class="pagenum" id="Page_13">[S. 13]</span>als Bezugskörper gleich lauten
+wie für das Geleise als Bezugskörper. Das erscheint aber nach unserer
+Betrachtung unmöglich. Wenn sich jeder Lichtstrahl in bezug auf den
+Damm mit der Geschwindigkeit <i>c</i> fortpflanzt, so scheint eben
+deshalb das Lichtausbreitungsgesetz in bezug auf den Wagen ein anderes
+sein zu müssen — im Widerspruch mit dem Relativitätsprinzip.</p>
+
+<p>Im Hinblick auf dies Dilemma erscheint es unerläßlich, entweder das
+Relativitätsprinzip oder das einfache Gesetz der Fortpflanzung des
+Lichtes im Vakuum aufzugeben. Gewiß wird der Leser, der den bisherigen
+Ausführungen aufmerksam gefolgt ist, erwarten, daß das Prinzip der
+Relativität, das sich durch seine Natürlichkeit und Einfachheit
+dem Geiste als fast unabweislich empfiehlt, aufrecht zu erhalten
+sei, daß aber das Gesetz der Lichtausbreitung im Vakuum durch ein
+komplizierteres, mit dem Relativitätsprinzip vereinbares Gesetz zu
+ersetzen sei. Die Entwickelung der theoretischen Physik zeigte aber,
+daß dieser Weg nicht gangbar ist. Die bahnbrechenden theoretischen
+Forschungen von <em class="gesperrt">H. A. Lorentz</em> über die elektrodynamischen
+und optischen Vorgänge in bewegten Körpern zeigten nämlich, daß die
+Erfahrungen in diesen Gebieten mit zwingender Notwendigkeit zu einer
+Theorie der elektromagnetischen Vorgänge führen, welche das Gesetz
+der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum zur unabweisbaren
+Konsequenz hat. Deshalb waren die führenden Theoretiker eher geneigt,
+das Relativitätsprinzip fallen zu lassen, trotzdem sich keine einzige
+Erfahrungstatsache auffinden ließ, welche diesem Prinzip widersprochen
+hätte.</p>
+
+<p>Hier setzte die Relativitätstheorie ein. Durch eine Analyse der
+physikalischen Begriffe von Zeit und Raum zeigte sich, <em class="gesperrt">daß in
+Wahrheit eine Un&#173;vereinbar&#173;keit des Rela&#173;tivitäts&#173;prin&#173;zips mit dem
+Aus&#173;breitungs&#173;gesetz des Lichtes gar nicht vorhanden sei</em>, daß man
+vielmehr durch systematisches Festhalten an diesen beiden Gesetzen zu
+einer logisch einwandfreien Theorie gelange. Diese Theorie, welche wir
+zum Unterschiede von ihrer später zu besprechenden Erweiterung als
+„spezielle Relativitätstheorie“ bezeichnen, soll im folgenden in ihren
+Grundgedanken dargestellt werden.</p>
+
+<div class="section">
+
+<p><span class="pagenum" id="Page_14">[S. 14]</span></p>
+
+<h3 id="Uber_den_Zeitbegriff_in_der_Physik">
+  § 8. Über den Zeitbegriff in der Physik.
+</h3>
+
+</div>
+
+<p>An zwei weit voneinander entfernten Stellen <i>A</i> und <i>B</i>
+unseres Bahndammes hat der Blitz ins Geleise eingeschlagen. Ich füge
+die Behauptung hinzu, diese beiden Schläge seien <em class="gesperrt">gleichzeitig</em>
+erfolgt. Wenn ich dich nun frage, lieber Leser, ob diese Aussage einen
+Sinn habe, so wirst du mir mit einem überzeugten „Ja“ antworten. Wenn
+ich aber jetzt in dich dringe mit der Bitte, mir den Sinn der Aussage
+genauer zu erklären, merkst du nach einiger Überlegung, daß die Antwort
+auf diese Frage nicht so einfach ist, wie es auf den ersten Blick
+scheint.</p>
+
+<p>Nach einiger Zeit wird dir vielleicht folgende Antwort in den Sinn
+kommen: „Die Bedeutung der Aussage ist an und für sich klar und bedarf
+keiner weiteren Erläuterung; einiges Nachdenken müßte ich allerdings
+aufwenden, wenn ich den Auftrag erhielte, durch Beobachtungen zu
+ermitteln, ob im konkreten Falle die beiden Ereignisse gleichzeitig
+stattfanden oder nicht.“ Mit dieser Antwort kann ich mich aber aus
+folgendem Grunde nicht zufrieden geben. Gesetzt, ein geschickter
+Meteorologe hätte durch scharfsinnige Überlegungen herausgefunden, daß
+es an den Orten <i>A</i> und <i>B</i> immer gleichzeitig einschlagen
+müsse, dann entsteht die Aufgabe, nachzuprüfen, ob dieses theoretische
+Resultat der Wirklichkeit entspricht oder nicht. Analog ist es bei
+allen physikalischen Aussagen, bei denen der Begriff „gleichzeitig“
+eine Rolle spielt. Der Begriff existiert für den Physiker erst dann,
+wenn die Möglichkeit gegeben ist, im konkreten Falle herauszufinden,
+ob der Begriff zutrifft oder nicht. Es bedarf also einer solchen
+Definition der Gleichzeitigkeit, daß diese Definition die Methode an
+die Hand gibt, nach welcher im vorliegenden Falle aus Experimenten
+entschieden werden kann, ob beide Blitzschläge gleichzeitig erfolgt
+sind oder nicht. Solange diese Forderung nicht erfüllt ist, gebe ich
+mich als Physiker (allerdings auch als Nichtphysiker!) einer Täuschung
+hin, wenn ich glaube, mit der Aussage der Gleichzeitigkeit einen <span class="pagenum" id="Page_15">[S. 15]</span>Sinn
+verbinden zu können. (Bevor du mir dies mit Überzeugung zugegeben hast,
+lieber Leser, lies nicht weiter.)</p>
+
+<p>Nach einiger Zeit des Nachdenkens machst du nun folgenden Vorschlag
+für das Konstatieren der Gleichzeitigkeit. Die Verbindungsstrecke
+<i>AB</i> werde dem Geleise nach ausgemessen und in die Mitte <i>M</i>
+der Strecke ein Beobachter gestellt, der mit einer Einrichtung versehen
+ist (etwa zwei um 90° gegeneinander geneigte Spiegel), die ihm eine
+gleichzeitige optische Fixierung beider Orte <i>A</i> und <i>B</i>
+erlaubt. Nimmt dieser die beiden Blitzschläge gleichzeitig wahr, so
+sind sie gleichzeitig.</p>
+
+<p>Ich bin mit diesem Vorschlag sehr zufrieden und halte die Sache dennoch
+nicht für ganz geklärt, weil ich mich zu folgendem Einwand gedrängt
+fühle: „Deine Definition wäre unbedingt richtig, wenn ich schon wüßte,
+daß das Licht, welches dem Beobachter in <i>M</i> die Wahrnehmung der
+Blitzschläge vermittelt, sich mit der gleichen Geschwindigkeit auf der
+Strecke <i>A</i>&#173;⟶&#173;<i>M</i> wie auf der Strecke <i>B</i>&#173;⟶&#173;<i>M</i>
+fortpflanze. Eine Prüfung dieser Voraussetzung wäre aber nur dann
+möglich, wenn man über die Mittel der Zeitmessung bereits verfügte. Man
+scheint sich also hier in einem logischen Zirkel zu bewegen.“</p>
+
+<p>Nach einiger weiterer Überlegung wirfst du mir aber mit Recht einen
+etwas verächtlichen Blick zu und erklärst mir: „Ich halte meine
+Definition von vorhin trotzdem aufrecht, da sie in Wahrheit gar nichts
+über das Licht voraussetzt. An die Definition der Gleichzeitigkeit ist
+nur die <em class="gesperrt">eine</em> Forderung zu stellen, daß sie in jedem realen Falle
+eine empirische Entscheidung an die Hand gibt über das Zutreffen oder
+Nichtzutreffen des zu definierenden Begriffs. Daß meine Definition dies
+leistet, ist unbestreitbar. Daß das Licht zum Durchlaufen des Weges
+<i>A</i>&#173;⟶&#173;<i>M</i> und zum Durchlaufen der Strecke <i>B</i>&#173;⟶&#173;<i>M</i>
+dieselbe Zeit brauche, ist in Wahrheit keine <em class="gesperrt">Voraussetzung oder
+Hypothese</em> über die physikalische Natur des Lichtes, sondern eine
+<em class="gesperrt">Festsetzung</em>, die ich nach freiem Ermessen treffen kann, um zu
+einer Definition der Gleichzeitigkeit zu gelangen.“</p>
+
+<p><span class="pagenum" id="Page_16">[S. 16]</span></p>
+
+<p>Es ist klar, daß diese Definition benutzt werden kann, um der
+Aussage der Gleichzeitigkeit nicht nur <em class="gesperrt">zweier</em> Ereignisse,
+sondern beliebig vieler Ereignisse einen exakten Sinn zu geben,
+wie die Ereignisorte relativ zum Bezugskörper (hier dem Bahndamm)
+gelagert sein mögen&#x2060;<a id="FNanchor_6_6" href="#Footnote_6_6" class="fnanchor">[6]</a>. Damit gelangt man auch zu einer Definition
+der „Zeit“ in der Physik. Man denke sich nämlich in den Punkten
+<i>A</i>, <i>B</i>, <i>C</i> des Geleises (Koordinatensystems) Uhren
+von gleicher Beschaffenheit aufgestellt und derart gerichtet, daß
+deren Zeigerstellungen gleichzeitig (im obigen Sinne) dieselben sind.
+Dann versteht man unter der „Zeit“ eines Ereignisses die Zeitangabe
+(Zeigerstellung) derjenigen dieser Uhren, welche dem Ereignis
+(räumlich) unmittelbar benachbart ist. Auf diese Weise wird jedem
+Ereignis ein Zeitwert zugeordnet, der sich prinzipiell beobachten läßt.</p>
+
+<p>Diese Festsetzung enthält noch eine physikalische Hypothese, an
+deren Zutreffen man ohne empirische Gründe kaum zweifeln wird. Es
+ist nämlich angenommen, daß alle diese Uhren „gleich rasch“ gehen,
+wenn sie von gleicher Beschaffenheit sind. Exakt formuliert: Wenn
+zwei an verschiedenen Stellen des Bezugskörpers ruhend angeordnete
+Uhren so eingestellt werden, daß <em class="gesperrt">eine</em> Zeigerstellung der einen
+mit <em class="gesperrt">derselben</em> Zeigerstellung der anderen <em class="gesperrt">gleichzeitig</em>
+(im obigen Sinne) ist, so sind gleiche Zeigerstellungen überhaupt
+gleichzeitig (im Sinne obiger Definition).</p>
+
+<div class="section">
+
+<h3 id="Die_Relativitat_der_Gleichzeitigkeit">
+  §9. Die Relativität der Gleichzeitigkeit.
+</h3>
+
+</div>
+
+<p>Bisher haben wir alle Betrachtungen auf einen bestimmten Bezugskörper
+bezogen, den wir als „Bahndamm“ bezeichnet <span class="pagenum" id="Page_17">[S. 17]</span>haben. Es fahre nun auf
+dem Geleise ein sehr langer Zug mit der konstanten Geschwindigkeit
+<i>v</i> in der in Fig. 1 angegebenen Richtung. Menschen, die in diesem
+Zuge fahren, werden mit Vorteil den Zug als starren Bezugskörper
+(Koordinatensystem) verwenden; sie beziehen alle Ereignisse auf den
+Zug. Jedes Ereignis, welches längs des Geleises stattfindet, findet
+dann auch an einem bestimmten Punkte des Zuges statt. Auch die
+Definition der Gleichzeitigkeit läßt sich in bezug auf den Zug in genau
+derselben Weise geben, wie in bezug auf den Bahndamm. Es entsteht aber
+nun naturgemäß folgende Frage:</p>
+
+<p>Sind zwei Ereignisse (z.&#8239;B. die beiden Blitzschläge <i>A</i> und
+<i>B</i>), welche <em class="gesperrt">in bezug auf den Bahndamm</em> gleichzeitig sind,
+auch <em class="gesperrt">in bezug auf den Zug</em> gleichzeitig? Wir werden sogleich
+zeigen, daß die Antwort verneinend lauten muß.</p>
+
+<figure class="figcenter illowe45" id="fig1">
+  <figcaption class="caption">
+      Fig. 1.
+  </figcaption>
+  <img class="w100" src="images/fig1.jpg" alt="">
+</figure>
+
+<p>Wenn wir sagen, daß die Blitzschläge <i>A</i> und <i>B</i> in
+bezug auf den Bahndamm gleichzeitig sind, so bedeutet dies: die
+von den Blitzorten <i>A</i> und <i>B</i> ausgehenden Lichtstrahlen
+begegnen sich in dem Mittelpunkte <i>M</i> der Fahrdammstrecke
+<i>A</i>–<i>B</i>. Den Ereignissen <i>A</i> und <i>B</i> entsprechen
+aber auch Stellen <i>A</i> und <i>B</i> auf dem Zuge. Es sei <i>M′</i>
+der Mittelpunkt der Strecke <i>A</i>–<i>B</i> des fahrenden Zuges.
+Dieser Punkt <i>M′</i> fällt zwar im Augenblick der Blitzschläge&#x2060;<a id="FNanchor_7_7" href="#Footnote_7_7" class="fnanchor">[7]</a> mit
+dem Punkte <i>M</i> zusammen, bewegt sich aber in der Zeichnung mit der
+Geschwindigkeit <i>v</i> des Zuges nach rechts. Würde ein bei <i>M′</i>
+im Zuge sitzender Beobachter diese Geschwindigkeit nicht besitzen,
+so würde er dauernd in <i>M</i> bleiben, und es würden ihn dann die
+von den Blitzschlägen <i>A</i> und <i>B</i> ausgehenden Lichtstrahlen
+gleichzeitig erreichen, d.&#8239;h., diese beiden Strahlen würden sich
+gerade bei ihm begegnen. In Wahrheit aber eilt er <span class="pagenum" id="Page_18">[S. 18]</span>(vom Bahndamm aus
+beurteilt) dem von <i>B</i> herkommenden Lichtstrahl entgegen, während
+er dem von <i>A</i> herkommenden Lichtstrahl vorauseilt. Der Beobachter
+wird also den von <i>B</i> ausgehenden Lichtstrahl früher sehen, als
+den von <i>A</i> ausgehenden. Die Beobachter, welche den Eisenbahnzug
+als Bezugskörper benutzen, müssen also zu dem Ergebnis kommen, der
+Blitzschlag <i>B</i> habe früher stattgefunden als der Blitzschlag
+<i>A</i>. Wir kommen also zu dem wichtigen Ergebnis:</p>
+
+<p>Ereignisse, welche in bezug auf den Bahndamm gleichzeitig sind, sind
+in bezug auf den Zug nicht gleichzeitig und umgekehrt (Relativität der
+Gleichzeitigkeit). Jeder Bezugskörper (Koordinatensystem) hat seine
+besondere Zeit; eine Zeitangabe hat nur dann einen Sinn, wenn der
+Bezugskörper angegeben ist, auf den sich die Zeitangabe bezieht.</p>
+
+<p>Die Physik hat nun vor der Relativitätstheorie stets stillschweigend
+angenommen, daß die Bedeutung der Zeitangaben eine absolute, d.&#8239;h.
+vom Bewegungszustande des Bezugskörpers unabhängige, sei. Daß diese
+Annahme aber mit der nächstliegenden Definition der Gleichzeitigkeit
+unvereinbar ist, haben wir soeben gesehen; läßt man sie fallen,
+so verschwindet der in § 7 entwickelte Konflikt des Gesetzes der
+Vakuum-Lichtausbreitung mit dem Relativitätsprinzip.</p>
+
+<p>Zu jenem Konflikt führt nämlich die Überlegung des § 6, die nun nicht
+mehr aufrecht zu erhalten ist. Wir schlossen dort, daß der Mann
+im Wagen, der relativ zu diesem die Strecke <i>w</i> <em class="gesperrt">in einer
+Sekunde</em> durchläuft, diese Strecke auch relativ zum Bahndamm
+<em class="gesperrt">in einer Sekunde</em> durchläuft. Da nun aber die Zeit, welche ein
+bestimmter Vorgang mit Bezug auf den Wagen braucht, nach den soeben
+angestellten Überlegungen nicht gleich gesetzt werden darf der vom
+Bahndamm als Bezugskörper aus beurteilten Dauer desselben Vorganges, so
+kann nicht behauptet werden, daß der Mann durch sein Gehen relativ zum
+Geleise die Strecke <i>w</i> in einer Zeit zurücklegt, welche — vom
+Bahndamm aus beurteilt — gleich einer Sekunde ist.</p>
+
+<p>Die Überlegung des § 6 ruht übrigens noch auf einer zweiten
+Voraussetzung, die im Lichte einer strengen Überlegung <span class="pagenum" id="Page_19">[S. 19]</span>als willkürlich
+erscheint, wenn sie auch vor der Aufstellung der Relativitätstheorie
+stets (stillschweigend) gemacht wurde.</p>
+
+<div class="section">
+
+<h3 id="Uber_die_Relativitat_des_Begriffes_der_raumlichen_Entfernung">
+  § 10. Über die Relativität des Begriffes der räumlichen Entfernung.
+</h3>
+
+</div>
+
+<p>Wir betrachten zwei bestimmte Stellen des mit der Geschwindigkeit
+<i>v</i> längs des Bahndammes dahinfahrenden Zuges&#x2060;<a id="FNanchor_8_8" href="#Footnote_8_8" class="fnanchor">[8]</a> und fragen
+nach deren Entfernung. Wir wissen bereits, daß man zur Messung einer
+Entfernung eines Bezugskörpers bedarf, mit Bezug auf welchen die
+Entfernung ausgemessen wird. Am einfachsten ist es, den Zug selbst als
+Bezugskörper (Koordinatensystem) zu verwenden. Ein im Zuge fahrender
+Beobachter mißt den Abstand, indem er in gerader Linie seinen Maßstab
+etwa längs der Wagenböden so oft aufträgt, bis er von dem einen
+markierten Punkte zum anderen gelangt. Die Zahl, welche angibt, wie oft
+der Stab angelegt werden muß, ist dann die gesuchte Entfernung.</p>
+
+<p>Anders ist es, wenn die Entfernung vom Geleise aus beurteilt werden
+soll. Da bietet sich folgende Methode. Nennt man <i>A′</i> und
+<i>B′</i> die beiden Punkte des Zuges, um deren Entfernung es sich
+handelt, so sind diese beiden Punkte mit der Geschwindigkeit <i>v</i>
+längs des Bahndammes bewegt. Wir fragen nun zuerst nach den Punkten
+<i>A</i> bzw. <i>B</i> des Bahndammes, bei welchen die beiden Punkte
+<i>A′</i> und <i>B′</i> zu einer bestimmten Zeit <i>t</i> — vom
+Bahndamm aus beurteilt — gerade vorbeilaufen. Diese Punkte <i>A</i>
+und <i>B</i> des Bahndammes sind vermöge der in § 8 gegebenen
+Zeitdefinition ermittelbar. Hierauf wird der Abstand dieser Punkte
+<i>A</i> und <i>B</i> durch wiederholtes Abtragen des Meterstabes längs
+des Bahndammes gemessen.</p>
+
+<p>Es ist a priori durchaus nicht ausgemacht, daß diese letztere Messung
+dasselbe Ergebnis zeitigen müsse wie die erstere. Vom Bahndamm aus
+gemessen kann also die Länge des Zuges eine andere sein als vom Zuge
+selbst aus gemessen. Dieser Umstand ergibt einen zweiten gegen die
+scheinbar so <span class="pagenum" id="Page_20">[S. 20]</span>einleuchtende Betrachtung des § 6 zu erhebenden Einwand.
+Legt nämlich der Mann im Wagen in einer Zeiteinheit — <em class="gesperrt">vom Zuge aus
+gemessen</em> — die Strecke <i>w</i> zurück, so braucht diese Strecke
+— <em class="gesperrt">vom Bahndamm aus gemessen</em> — nicht auch gleich <i>w</i> zu
+sein.</p>
+
+<div class="section">
+
+<h3 id="Die_Lorentz-Transformation">
+  § 11. Die Lorentz-Transformation.
+</h3>
+
+</div>
+
+<p>Die Überlegungen der letzten drei Paragraphen zeigen uns, daß die
+scheinbare Unvereinbarkeit des Ausbreitungsgesetzes des Lichtes mit dem
+Relativitätsprinzip in § 7 durch eine Betrachtung abgeleitet worden
+ist, welche der klassischen Mechanik zwei durch nichts gerechtfertigte
+Hypothesen entlehnte; diese Hypothesen lauten:</p>
+
+<blockquote>
+<p>1. Der Zeitabstand zwischen zwei Ereignissen ist vom
+Bewegungszustande des Bezugskörpers unabhängig.</p>
+
+<p>2. Der räumliche Abstand zwischen zwei Punkten eines starren Körpers
+ist vom Bewegungszustande des Bezugskörpers unabhängig.</p>
+</blockquote>
+
+<p>Läßt man nun diese Hypothesen fallen, so verschwindet das Dilemma des §
+7, weil das in § 6 abgeleitete Additionstheorem der Geschwindigkeiten
+ungültig wird. Es taucht vor uns die Möglichkeit auf, daß das Gesetz
+der Lichtausbreitung im Vakuum mit dem Relativitätsprinzip vereinbar
+sein könnte. Wir kommen zu der Frage: Wie ist die Überlegung des §
+6 zu modifizieren, um den scheinbaren Widerspruch zwischen diesen
+beiden fundamentalen Ergebnissen der Erfahrung zu beseitigen? Diese
+Frage führt auf eine allgemeine. In der Überlegung des § 6 kommen Orte
+und Zeiten in bezug auf den Zug und in bezug auf den Bahndamm vor.
+Wie findet man Ort und Zeit eines Ereignisses in bezug auf den Zug,
+wenn Ort und Zeit des Ereignisses in bezug auf den Bahndamm bekannt
+sind? Gibt es eine solche denkbare Antwort auf diese Frage, daß das
+Gesetz der Lichtausbreitung im Vakuum dem Relativitätsprinzip nicht
+widerspricht? Anders ausgedrückt: Ist eine Relation zwischen Ort und
+Zeit der einzelnen Ereignisse in bezug auf beide Bezugskörper denkbar,
+derart, daß jeder Lichtstrahl relativ zum Bahndamm <em class="gesperrt">und</em> <span class="pagenum" id="Page_21">[S. 21]</span>relativ
+zum Zug die Ausbreitungsgeschwindigkeit <i>c</i> besitzt? Diese
+Frage führt zu einer bejahenden, ganz bestimmten Antwort, zu einem
+ganz bestimmten Verwandlungsgesetz für die Raum-Zeit-Größen eines
+Ereignisses beim Übergang von einem Bezugskörper zu einem anderen.</p>
+
+<p>Bevor wir hierauf eingehen, sei folgende Zwischenüberlegung
+eingeschaltet. Wir haben bis jetzt stets nur Ereignisse betrachtet, die
+sich längs des Bahndammes abspielten, der mathematisch die Funktion
+einer geraden Linie zu übernehmen hatte. Man kann sich aber in der
+in § 2 angegebenen Weise diesen Bezugskörper seitlich und nach oben
+durch ein Stabgerüst derart fortgesetzt denken, daß ein irgendwo
+stattfindendes Ereignis relativ zu diesem Stabgerüst lokalisiert
+werden kann. Analog kann man sich den mit der Geschwindigkeit
+<i>v</i> fahrenden Zug durch den ganzen Raum fortgesetzt denken,
+so daß jedes noch so ferne Ereignis auch in bezug auf das zweite
+Gerüst lokalisiert werden könnte. Davon, daß diese Gerüste einander
+in Wahrheit wegen der Undurchdringlichkeit der festen Körper immer
+wieder zerstören müßten, können wir absehen, ohne in prinzipielle
+Fehler zu geraten. In jedem solchen Gerüst denken wir uns drei
+aufeinander senkrechte Wände ausgezeichnet und als „Koordinatenebenen“
+bezeichnet („Koordinatensystem“). Dem Bahndamm entspricht dann ein
+Koordinatensystem <i>K</i>, dem Zug ein Koordinatensystem <i>K′</i>.
+Ein irgendwo stattfindendes Ereignis wird bezüglich <i>K</i> räumlich
+fixiert durch die drei Lote <i>x</i>, <i>y</i>, <i>z</i> auf die
+Koordinatenebenen und zeitlich fixiert durch einen Zeitwert <i>t</i>.
+<em class="gesperrt">Dasselbe Ereignis</em> wird bezüglich <i>K′</i> raum-zeitlich
+fixiert durch entsprechende Werte <i>x′</i>, <i>y′</i>, <i>z′</i>,
+<i>t′</i>, welche mit <i>x</i>, <i>y</i>, <i>z</i>, <i>t</i> natürlich
+nicht übereinstimmen. Wie diese Größen als Ergebnisse physikalischer
+Messungen aufzufassen sind, wurde früher ausführlich dargelegt.</p>
+
+<figure class="figcenter illowe28" id="fig2">
+  <figcaption class="caption">
+      Fig. 2.
+  </figcaption>
+  <img class="w100" src="images/fig2.jpg" alt="">
+</figure>
+
+<p>Unser Problem lautet in exakter Formulierung offenbar folgendermaßen.
+Wie groß sind die Werte <i>x′</i>, <i>y′</i>, <i>z′</i>, <i>t′</i>
+eines Ereignisses in bezug auf <i>K′</i>, wenn die Größen <i>x</i>,
+<i>y</i>, <i>z</i>, <i>t</i> desselben Ereignisses in bezug auf
+<i>K</i> gegeben sind? Die Beziehungen müssen so gewählt werden, daß
+dem Gesetz der Vakuumfortpflanzung <span class="pagenum" id="Page_22">[S. 22]</span>des Lichtes für einen und denselben
+Lichtstrahl (und zwar für jeden) in bezug auf <i>K</i> <em class="gesperrt">und</em>
+<i>K′</i> Genüge geleistet wird. Dies Problem wird für die in der
+Zeichnung (Fig. 2) angegebene relative räumliche Orientierung der
+Koordinatensysteme gelöst durch die Gleichungen:</p>
+
+<div class="s5 center mtop1 mbot1"><span class="val_90"><i>x′</i> =</span>
+<span class="hfrac"><span class="numerator"><i>x</i> − <i>v&#8239;t</i></span>
+<span class="denominator padtop0_1"><span class="s1b val_50">√</span><span class="val_100 padtop0_2 btt"><span class="vam ">1 −</span>
+<span class="hfrac val-80"><span class="numerator"><i class="val_ep2">v<sup>2</sup></i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span></span></span></span></div>
+
+<div class="s5 center mtop1 mbot1"><i>y′</i> = <i>y</i></div>
+
+<div class="s5 center mtop1 mbot1"><i>z′</i> = <i>z</i></div>
+
+<div class="s5 center mtop1 mbot1"><span class="val_60"><i>t′</i> =</span>
+<span class="hfrac"><span class="numerator"><i>t</i> − <span class="hfrac"><span class="numerator"><i>v</i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span> <i>x</i></span>
+<span class="denominator padtop0_1"><span class="s1b val_50">√</span><span class="val_100 padtop0_2 btt"><span class="vam ">1 −</span>
+<span class="hfrac val-80"><span class="numerator"><i class="val_ep2">v<sup>2</sup></i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span></span></span></span></div>
+
+<p class="p0">welches Gleichungssystem mit dem Namen „Lorentz-Transformation“
+bezeichnet wird.</p>
+
+<p>Würden wir aber an Stelle des Lichtausbreitungsgesetzes die
+stillschweigenden Voraussetzungen der alten Mechanik von dem absoluten
+Charakter der Zeiten und Längen zugrunde gelegt haben, so würden wir
+statt dieser Transformationsgleichungen zu den Gleichungen</p>
+
+<div class="s5 center mtop1 mbot1"><i>x′</i> = <i>x</i> - <i>v&#8239;t</i></div>
+
+<div class="s5 center mtop1 mbot1"><i>y′</i> = <i>y</i></div>
+
+<div class="s5 center mtop1 mbot1"><i>z′</i> = <i>z</i></div>
+
+<div class="s5 center mtop1 mbot1"><i>t′</i> = <i>t</i></div>
+
+<p><span class="pagenum" id="Page_23">[S. 23]</span></p>
+
+<p>gelangt sein, welches System man oft als „Galilei-Transformation“
+bezeichnet. Die Galilei-Transformation geht aus der
+Lorentz-Transformation dadurch hervor, daß man in letzterer die
+Lichtgeschwindigkeit <i>c</i> gleich einem unendlich großen Werte setzt.</p>
+
+<p>Daß gemäß der Lorentz-Transformation das Gesetz der Lichtausbreitung im
+Vakuum sowohl für den Bezugskörper <i>K</i> wie für den Bezugskörper
+<i>K′</i> erfüllt sein kann, sieht man bequem an folgendem Beispiel. Es
+werde ein Lichtsignal längs der positiven <i>x</i>-Achse gesandt, und
+es pflanze sich die Lichterregung gemäß der Gleichung</p>
+
+<div class="s5 center mtop1 mbot1"><i>x</i> = <i>c&#8239;t</i>,</div>
+
+<p class="p0">also mit der Geschwindigkeit <i>c</i> fort. Gemäß den Gleichungen
+der Lorentz-Transformation bedingt diese einfache Beziehung zwischen
+<i>x</i> und <i>t</i> eine Beziehung zwischen <i>x′</i> und
+<i>t′</i>. In der Tat liefert die erste und vierte Gleichung der
+Lorentz-Transformation, wenn man in dieselben für <i>x</i> den Wert
+<i>ct</i> einsetzt:</p>
+
+<div class="s5 center mtop1 mbot1"><span class="val_100"><i>x′</i> =</span>
+<span class="hfrac"><span class="numerator">(<i>c</i> − <i>v</i>) <i>t</i></span>
+<span class="denominator padtop0_1"><span class="s1b val_50">√</span><span class="val_100 padtop0_2 btt"><span class="vam ">1 −</span>
+<span class="hfrac val-80"><span class="numerator"><i class="val_ep2">v<sup>2</sup></i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span></span></span></span></div>
+
+<div class="s5 center mtop1 mbot1"><span class="val_55"><i>t′</i> =</span>
+<span class="hfrac"><span class="numerator"><span class="s1 val-10">(</span>1 − <span class="hfrac"><span class="numerator"><i>v</i></span><span class="denominator"><i>c</i></span></span>&#8239;<span class="s1a val-10">)</span> <i>t</i></span>
+<span class="denominator padtop0_1"><span class="s1b val_50">√</span><span class="val_100 padtop0_2 btt"><span class="vam ">1 −</span>
+<span class="hfrac val-80"><span class="numerator"><i class="val_ep2">v<sup>2</sup></i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span></span></span></span></div>
+
+<p class="p0">aus welchen dann durch Division unmittelbar</p>
+
+<div class="s5 center mtop1 mbot1"><i>x′</i> = <i>c&#8239;t′</i></div>
+
+<p class="p0">folgt. Nach dieser Gleichung erfolgt die Lichterregung, wenn sie
+auf das System <i>K′</i> bezogen wird. Es zeigt sich also, daß die
+Ausbreitungsgeschwindigkeit auch relativ zum Bezugskörper <i>K′</i>
+gleich <i>c</i> ist. Analog ist es mit Lichtstrahlen, die sich in
+beliebiger anderer Richtung fortpflanzen. Dies ist natürlich nicht zu
+verwundern, denn die Gleichungen der Lorentz-Transformation sind ja
+nach diesem Gesichtspunkte abgeleitet.</p>
+
+<div class="section">
+
+<p><span class="pagenum" id="Page_24">[S. 24]</span></p>
+
+<h3 id="Das_Verhalten_bewegter_Stabe_und_Uhren">
+  § 12. Das Verhalten bewegter Stäbe und Uhren.
+</h3>
+
+</div>
+
+<p>Ich lege einen Meterstab in die <i>x′</i>-Achse von <i>K′</i> derart,
+daß sein Anfang in den Punkt <i>x′</i> = 0, sein Ende in den Punkt
+<i>x′</i> = 1 fällt. Welches ist die Länge des Meterstabes relativ zum
+System <i>K</i>? Um das zu erfahren, brauchen wir nur zu fragen, wo
+Stabanfang und Stabende relativ zu <i>K</i> liegen zu einer bestimmten
+Zeit <i>t</i> des Systems <i>K</i>. Man findet für diese beiden Punkte
+aus der ersten Gleichung der Lorentz-Transformation:</p>
+
+<div class="s5 center mtop1 mbot1"><i>x</i><sub>(Stabanfang)</sub> = 0 ·
+<span class="val-10"><span class="s1b val-10 nowrap">√</span><span class="val_70 padtop0_2 btt"><span class="val-10 ">1&#8239;−</span>&#8239;<span class="hfrac"><span class="numerator"><i>v<sup>2</sup></i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span></span></span></div>
+
+<div class="s5 center mtop1 mbot1"><i>x</i><sub>(Stabende)</sub> = 1 ·
+<span class="val-10"><span class="s1b val-10">√</span><span class="val_70 padtop0_2 btt"><span class="val-10 ">1&#8239;−</span>&#8239;<span class="hfrac"><span class="numerator"><i>v<sup>2</sup></i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span></span></span></div>
+
+<p class="p0">welche beiden Punkte den Abstand <span class="val-10 nowrap"><span class="s1b val-10">√</span><span class="val_70 padtop0_2 btt"><span class="val-10 ">1 −</span>
+<span class="hfrac"><span class="numerator"><i>v<sup>2</sup></i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span></span></span> haben. Relativ zu
+<i>K</i> ist aber der Meterstab mit der Geschwindigkeit <i>v</i>
+bewegt. Es folgt also, daß die Länge eines mit der Geschwindigkeit
+<i>v</i> in seiner Längsrichtung bewegten starren Meterstabes
+<span class="val-10 nowrap"><span class="s1b val-10">√</span><span class="val_70 padtop0_2 btt"><span class="val-10 ">1&#8239;−</span>&#8239;<span class="hfrac"><span class="numerator"><i>v<sup>2</sup></i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span></span></span> Meter beträgt. Der bewegte starre Stab ist also
+kürzer als derselbe Stab, wenn er im Zustande der Ruhe ist, und zwar
+um so kürzer, je rascher er bewegt ist. Für die Geschwindigkeit
+<i>v</i> = <i>c</i> wäre <span class="val-10 nowrap"><span class="s1b val-10">√</span><span class="val_70 padtop0_2 btt"><span class="val-10 ">1 −</span>
+<span class="hfrac"><span class="numerator"><i>v<sup>2</sup></i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span></span></span> = 0, für noch größere
+Geschwindigkeiten wird die Wurzel imaginär. Wir schließen daraus, daß
+in der Relativitätstheorie die Geschwindigkeit <i>c</i> die Rolle
+einer Grenzgeschwindigkeit spielt, die durch keinen wirklichen Körper
+erreicht oder gar überschritten werden könnte.</p>
+
+<p>Diese Rolle der Geschwindigkeit <i>c</i> als einer Grenzgeschwindigkeit
+folgt übrigens bereits aus den Gleichungen der Lorentz-Transformation
+selbst. Denn diese werden sinnlos, wenn <i>v</i> größer als <i>c</i>
+gewählt wird.</p>
+
+<p>Hätten wir umgekehrt einen Meterstab betrachtet, der in der
+<i>x</i>-Achse relativ zu <i>K</i> ruht, so hätten wir gefunden, daß
+<span class="pagenum" id="Page_25">[S. 25]</span>er, von <i>K′</i> aus beurteilt, die Länge
+<span class="val-10 nowrap"><span class="s1b val-10">√</span><span class="val_70 padtop0_2 btt"><span class="val-10 ">1 −</span>
+<span class="hfrac"><span class="numerator"><i>v<sup>2</sup></i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span></span></span> hat;
+dies liegt ganz im Sinne des Relativitätsprinzips, welches unseren
+Betrachtungen zugrunde gelegt ist.</p>
+
+<p>Daß wir aus den Transformationsgleichungen etwas über das physikalische
+Verhalten von Maßstäben und Uhren erfahren müssen, liegt a priori
+auf der Hand. Denn die Größen <i>x</i>, <i>y</i>, <i>z</i>, <i>t</i>
+sind ja nichts anderes als mit Maßstäben und Uhren zu gewinnende
+Meßresultate. Hätten wir die Galilei-Transformation zugrunde gelegt, so
+hätten wir eine Stabverkürzung infolge der Bewegung nicht erhalten.</p>
+
+<p>Wir betrachten nun eine Sekundenuhr, die dauernd im Anfangspunkte
+(<i>x′</i> = 0) von <i>K′</i> ruht. <i>t′</i> = 0 und <i>t′</i> =
+1 seien zwei aufeinander folgende Schläge dieser Uhr. Für diese
+beiden Schläge ergeben die erste und vierte der Gleichungen der
+Lorentz-Transformation:</p>
+
+<div class="s5 center mtop1 mbot1"><i>t</i> = 0</div>
+
+<p class="p0">und</p>
+
+<div class="s5 center mtop1 mbot1"><span class="val_90"><i>t</i> =</span>
+<span class="hfrac"><span class="numerator">1</span>
+<span class="denominator padtop0_1"><span class="s1b val_50">√</span><span class="val_100 padtop0_2 btt"><span class="vam ">1 −</span>
+<span class="hfrac val-80"><span class="numerator"><i class="val_ep2">v<sup>2</sup></i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span></span></span></span></div>
+
+<p>Von <i>K</i> aus beurteilt ist die Uhr mit der Geschwindigkeit <i>v</i>
+bewegt; von diesem Bezugskörper aus beurteilt vergeht zwischen
+zweien ihrer Schläge nicht eine Sekunde, sondern <span class="val-40"><span class="hfrac"><span class="numerator">1</span>
+<span class="denominator padtop0_1"><span class="s1b val_60">√</span><span class="val_100 padtop0_3 btt"><span class="vam">1 −</span>
+<span class="hfrac"><span class="nowrap"><span class="numerator"><i>v<sup>2</sup></i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span></span></span></span></span></span>
+Sekunden, also eine etwas größere Zeit. Die Uhr geht infolge
+ihrer Bewegung langsamer als im Zustande der Ruhe. Auch hier
+spielt die Geschwindigkeit <i>c</i> die Rolle einer unerreichbaren
+Grenzgeschwindigkeit.</p>
+
+<div class="section">
+
+<h3 id="Additionstheorem_der_Geschwindigkeiten">§ 13. Additionstheorem der Geschwindigkeiten
+<em class="gesperrt">Fizeau</em>scher Versuch.</h3>
+
+</div>
+
+<p>Da wir Uhren und Maßstäbe in praxi nur mit Geschwindigkeiten bewegen
+können, die klein sind gegen die Lichtgeschwindigkeit <i>c</i>, so
+werden die Ergebnisse des vorigen <span class="pagenum" id="Page_26">[S. 26]</span>Paragraphen kaum direkt mit der
+Wirklichkeit verglichen werden können. Da dieselben andererseits dem
+Leser recht sonderbar vorkommen werden, so will ich nun aus der Theorie
+eine andere Konsequenz ziehen, die aus dem bisher Dargelegten leicht
+abzuleiten ist, und die durch das Experiment glänzend bestätigt wird.</p>
+
+<p>In § 6 haben wir das Additionstheorem für gleich gerichtete
+Geschwindigkeiten abgeleitet, so, wie es sich aus den Hypothesen
+der klassischen Mechanik ergibt. Dasselbe läßt sich auch leicht
+aus der Galilei-Transformation (§ 11) folgern. Statt des gehenden
+Mannes im Wagen führen wir einen Punkt ein, der sich relativ zum
+Koordinatensystem <i>K′</i> nach der Gleichung</p>
+
+<div class="s5 center mtop1 mbot1"><i>x′</i> = <i>w&#8239;t′</i></div>
+
+<p class="p0">bewegt. Aus der ersten und vierten Gleichung der Galilei-Transformation
+kann man <i>x′</i> und <i>t′</i> durch <i>x</i> und <i>t</i> ausdrücken
+und erhält so:</p>
+
+<div class="s5 center mtop1 mbot1"><i>x</i> = (<i>v</i> + <i>w</i>)&#8239;<i>t</i>.</div>
+
+<p>Diese Gleichung drückt nichts anderes aus als das Bewegungsgesetz
+des Punktes gegenüber dem System <i>K</i> (des Mannes gegenüber dem
+Bahndamm), welche Geschwindigkeit wir mit <i>W</i> bezeichnen, so daß
+man, wie in § 6, erhält:</p>
+
+<div class="s5 center mtop1 mbot1" id="Gleichung_A"><i>W</i>= <i>v</i> + <i>w</i>
+<span class="fright">(A)</span></div>
+
+<p>Wir können aber diese Betrachtung ebenso gut unter Zugrundelegung der
+Relativitätstheorie durchführen. Man hat dann in der Gleichung</p>
+
+<div class="s5 center mtop1 mbot1"><i>x′</i> = <i>w&#8239;t′</i></div>
+
+<p class="p0"><i>x′</i> und <i>t′</i> durch <i>x</i> und <i>t</i> auszudrücken
+unter Verwendung der ersten und vierten Gleichung der
+<em class="gesperrt">Lorentz-Transformation</em>. Man erhält dann statt der Gleichung (A)
+die Gleichung:</p>
+
+<div class="s5 center mtop1 mbot1" id="Gleichung_B"><span class="val_75"><i>W</i> =</span>
+<span class="hfrac"><span class="numerator"><i>v</i> + <i>w</i></span><span class="denominator">1 +
+<span class="hfrac"><span class="numerator"><i>v&#8239;w</i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span></span></span>&#8239;<span class="val_80">,</span>
+<span class="fright">(B)</span></div>
+
+<p><span class="pagenum" id="Page_27">[S. 27]</span></p>
+
+<p class="p0">welche dem Additionstheorem gleichgerichteter Geschwindigkeiten nach
+der Relativitätstheorie entspricht. Die Frage ist nun, welches von
+diesen beiden Theoremen der Erfahrung gegenüber standhält. Hierüber
+belehrt uns ein höchst wichtiges Experiment, welches der geniale
+Physiker <em class="gesperrt">Fizeau</em> vor mehr als einem halben Jahrhundert ausführte,
+und das seitdem von einigen der besten Experimentalphysiker wiederholt
+wurde, so daß das Resultat unbezweifelbar ist. Das Experiment behandelt
+folgende Frage. In einer ruhenden Flüssigkeit pflanze sich das Licht
+mit einer bestimmten Geschwindigkeit <i>w</i> fort. Wie rasch pflanzt
+es sich in der Röhre <i>R</i> der Figur</p>
+
+<figure class="figcenter illowe28" id="fig2a">
+  <img class="w100" src="images/fig2a.jpg" alt="Fortpflanzung des Lichts in einer Röhre">
+</figure>
+
+<p class="p0">in der Pfeilrichtung fort, wenn diese von der vorhin genannten
+Flüssigkeit mit der Geschwindigkeit <i>v</i> durchströmt ist?</p>
+
+<p>Wir werden im Sinne des Relativitätsprinzips jedenfalls vorauszusetzen
+haben, daß <em class="gesperrt">relativ zur Flüssigkeit</em> die Lichtausbreitung immer
+mit derselben Geschwindigkeit <i>w</i> erfolgt, mag die Flüssigkeit
+relativ zu anderen Körpern bewegt sein oder nicht. Es ist also
+die Geschwindigkeit des Lichtes relativ zur Flüssigkeit und die
+Geschwindigkeit der letzteren relativ zur Röhre bekannt, gesucht die
+Geschwindigkeit des Lichtes relativ zur Röhre.</p>
+
+<p>Es ist klar, daß hier wieder die Aufgabe des § 6 vorliegt. Die Röhre
+spielt die Rolle des Bahndammes bzw. des Koordinatensystems <i>K</i>,
+die Flüssigkeit die Rolle des Wagens bzw. des Koordinatensystems
+<i>K′</i>, das Licht endlich die Rolle des im Wagen laufenden Mannes
+bzw. des bewegten Punktes in diesem Paragraphen. Bezeichnet man also
+mit <i>W</i> die Geschwindigkeit des Lichtes relativ zur Röhre, so
+ist diese durch die Gleichung (A) bzw. (B) gegeben, je nachdem die
+Galilei-Transformation oder die Lorentz-Transformation der Wirklichkeit
+entspricht.</p>
+
+<p><span class="pagenum" id="Page_28">[S. 28]</span></p>
+
+<p>Das Experiment&#x2060;<a id="FNanchor_9_9" href="#Footnote_9_9" class="fnanchor">[9]</a> entscheidet für die aus der Relativitätstheorie
+abgeleitete Gleichung (B), und zwar sehr exakt. Der Einfluß der
+Strömungsgeschwindigkeit <i>v</i> auf die Lichtfortpflanzung wird nach
+den letzten, ausgleichenden Messungen von <em class="gesperrt">Zeemann</em> durch die
+Formel (B) genauer als auf 1 Proz. genau dargestellt.</p>
+
+<p>Es ist nun allerdings hervorzuheben, daß eine Theorie dieses
+Phänomens lange vor der Aufstellung der Relativitätstheorie auf rein
+elektrodynamischem Wege unter Benutzung bestimmter Hypothesen über
+die elektromagnetische Struktur der Materie von <em class="gesperrt">H. A. Lorentz</em>
+gegeben worden ist. Dieser Umstand vermindert aber die Beweiskraft des
+Versuches als experimentum crucis zugunsten der Relativitätstheorie
+keineswegs. Denn die <em class="gesperrt">Maxwell-Lorentz</em>sche Elektrodynamik, auf
+welcher die ursprüngliche Theorie beruhte, steht in keinerlei Gegensatz
+zur Relativitätstheorie. Letztere ist vielmehr aus der Elektrodynamik
+herausgewachsen als verblüffend einfache Zusammenfassung und
+Verallgemeinerung der früher voneinander unabhängigen Hypothesen, auf
+welchen die Elektrodynamik aufgebaut war.</p>
+
+<div class="section">
+
+<h3 id="Der_heuristische_Wert_der_Relativitatstheorie">
+  § 14. Der heuristische Wert der Relativitätstheorie.
+</h3>
+
+</div>
+
+<p>Der bisher dargelegte Gedankengang läßt sich wie folgt kurz
+zusammenfassen. Die Erfahrung hat zu der Überzeugung geführt, daß
+einerseits das Relativitätsprinzip (im engeren Sinne) gelte und daß
+andererseits die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes im Vakuum
+gleich einer Konstanten <i>c</i> zu setzen sei. Durch Vereinigung
+dieser beiden Postulate ergab sich das Transformationsgesetz für die
+rechtwinkeligen Koordinaten <span class="pagenum" id="Page_29">[S. 29]</span><i>x</i>, <i>y</i>, <i>z</i> und die Zeit
+<i>t</i> der Ereignisse, welche das Naturgeschehen zusammensetzen, und
+zwar ergab sich nicht die Galilei-Transformation, sondern (abweichend
+von der klassischen Mechanik) die Lorentz-Transformation.</p>
+
+<p>In diesem Gedankengange spielte das Ausbreitungsgesetz des Lichtes
+eine wichtige Rolle, dessen Annahme sich aus unserem tatsächlichen
+Wissen rechtfertigt. Wir können aber, nachdem wir einmal im Besitz
+der Lorentz-Transformation sind, diese mit dem Relativitätsprinzip
+vereinigen und die Theorie in die Aussage zusammenfassen:</p>
+
+<p>Jedes allgemeine Naturgesetz muß so beschaffen sein, daß es in ein
+Gesetz von genau gleicher Fassung übergeht, wenn man statt der
+Raum-Zeit-Variabeln <i>x</i>, <i>y</i>, <i>z</i>, <i>t</i> des
+ursprünglichen Koordinatensystems <i>K</i> neue Raum-Zeit-Variable
+<i>x′</i>, <i>y′</i>, <i>z′</i>, <i>t′</i> eines Koordinatensystems
+<i>K′</i> einführt, wobei der mathematische Zusammenhang zwischen den
+gestrichenen und ungestrichenen Größen durch die Lorentz-Transformation
+gegeben ist. Kurz formuliert: Die allgemeinen Naturgesetze sind
+kovariant bezüglich Lorentz-Transformationen.</p>
+
+<p>Es ist dies eine bestimmte mathematische Bedingung, welche die
+Relativitätstheorie einem Naturgesetze vorschreibt; dadurch wird
+sie zu einem wertvollen heuristischen Hilfsmittel beim Aufsuchen
+der allgemeinen Naturgesetze. Würde ein allgemeines Naturgesetz
+aufgefunden, welches jener Bedingung nicht entspricht, so wäre
+mindestens eine der beiden Grundvoraussetzungen der Theorie widerlegt.
+Sehen wir nun zu, was letztere an allgemeinen Ergebnissen bisher
+gezeitigt hat.</p>
+
+<div class="section">
+
+<h3 id="Allgemeine_Ergebnisse_der_Theorie">
+  § 15. Allgemeine Ergebnisse der Theorie.
+</h3>
+
+</div>
+
+<p>Aus den bisherigen Darlegungen ist ersichtlich, daß die (spezielle)
+Relativitätstheorie aus der Elektrodynamik und Optik herausgewachsen
+ist. Auf diesen Gebieten hat sie an den Aussagen der Theorie nicht
+viel geändert, aber sie hat das theoretische Gebäude, d.&#8239;h. die
+Ableitung der Gesetze bedeutend vereinfacht und — was noch ungleich
+wichtiger ist — die Zahl der voneinander unabhängigen Hypothesen,
+<span class="pagenum" id="Page_30">[S. 30]</span>auf welchen die Theorie beruht, erheblich vermindert. Sie hat
+der <em class="gesperrt">Maxwell-Lorentz</em>schen Theorie einen solchen Grad von
+Evidenz verliehen, daß diese auch dann bei den Physikern allgemein
+durchgedrungen wäre, wenn das Experiment weniger überzeugend zu ihren
+Gunsten gesprochen hätte.</p>
+
+<p>Die klassische Mechanik bedurfte erst einer Modifikation, um mit der
+Forderung der speziellen Relativitätstheorie in Einklang zu kommen.
+Diese Modifikation betrifft jedoch im wesentlichen nur die Gesetze
+für rasche Bewegungen, bei welchen die Geschwindigkeiten <i>v</i> der
+Materie gegenüber der Lichtgeschwindigkeit nicht gar zu klein sind.
+So rasche Bewegungen zeigt uns die Erfahrung nur an Elektronen und
+Ionen; bei anderen Bewegungen sind die Abweichungen von den Gesetzen
+der klassischen Mechanik zu gering, um sich praktisch bemerkbar zu
+machen. Von der Bewegung der Gestirne wird erst bei der allgemeinen
+Relativitätstheorie zu sprechen sein. Nach der Relativitätstheorie wird
+die kinetische Energie eines materiellen Punktes von der Masse <i>m</i>
+nicht mehr durch den bekannten Ausdruck</p>
+
+<div class="center"><span class="hfrac"><span class="numerator"><i>m</i>&#8239;<i>v</i><sup>2</sup></span><span class="denominator">2</span></span></div>
+
+<p class="p0">gegeben, sondern durch den Ausdruck:</p>
+
+<div class="center"><span class="hfrac"><span class="numerator"><i>m</i>&#8239;<i>c</i><sup>2</sup></span>
+<span class="denominator padtop0_1"><span class="s1b val_50">√</span><span class="val_100 padtop0_2 btt"><span class="vam ">1 −</span>
+<span class="hfrac val-80"><span class="numerator"><i class="val_ep2">v<sup>2</sup></i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span></span></span></span></div>
+
+<p class="p0">Dieser Ausdruck wird unendlich, wenn sich die Geschwindigkeit
+<i>v</i> der Lichtgeschwindigkeit <i>c</i> nähert. Es muß also die
+Geschwindigkeit stets kleiner als <i>c</i> bleiben, wie große Energien
+man auch auf die Beschleunigung verwenden mag. Entwickelt man den
+Ausdruck für die kinetische Theorie in eine Reihe, so erhält man:</p>
+
+<div class="center">m&#160;<i>c</i><sup>2</sup>&#160;+&#160;<i>m</i>&#8239;<span class="hfrac"><span class="numerator">
+<i>v</i><sup>2</sup></span><span class="denominator padtop0_1">2</span></span>&#160;+&#160;<span class="hfrac"><span class="numerator">
+3</span><span class="denominator padtop0_1">8</span></span>&#8239;<span class="hfrac"><span class="numerator">
+<i>v</i><sup>4</sup>&#8239;</span><span class="denominator padtop0_1"><i>c</i><sup>2</sup></span></span>&#160;+&#160;…</div>
+
+<p>Das dritte dieser Glieder ist gegenüber dem zweiten, in der klassischen
+Mechanik allein berücksichtigten, stets klein, wenn <span class="hfrac"><span class="numerator">
+<i>v</i><sup>2</sup></span><span class="denominator padtop0_1"><i>c</i><sup>2</sup></span></span><span class="pagenum" id="Page_31">[S. 31]</span> klein
+gegen 1 ist. Das erste Glied <i>mc</i><sup>2</sup> enthält die Geschwindigkeit
+nicht, kommt also nicht in Betracht, wenn es sich nur um die Frage
+handelt, wie die Energie eines Massenpunktes von der Geschwindigkeit
+abhängt. Über seine prinzipielle Bedeutung wird nachher gesprochen
+werden.</p>
+
+<p>Das wichtigste Ergebnis allgemeiner Art, zu dem die spezielle
+Relativitätstheorie geführt hat, betrifft den Begriff der Masse. Die
+vorrelativistische Physik kennt zwei Erhaltungssätze von grundlegender
+Bedeutung, nämlich den Satz von der Erhaltung der Energie und den Satz
+von der Erhaltung der Masse; diese beiden Fundamentalsätze erscheinen
+als ganz unabhängig voneinander. Durch die Relativitätstheorie
+werden sie zu einem Satze verschmolzen. Wie dies kam, und wie diese
+Verschmelzung aufzufassen ist, soll nun kurz dargelegt werden.</p>
+
+<p>Das Relativitätsprinzip fordert, daß der Satz von der Erhaltung der
+Energie nicht nur bezüglich eines Koordinatensystems <i>K</i> gelte,
+sondern bezüglich eines jeden Koordinatensystems <i>K′</i>, das relativ
+zu <i>K</i> sich in gleichförmiger Translationsbewegung befindet
+(kurz gesagt, bezüglich jedes „Galileischen“ Koordinatensystems).
+Für den Übergang zwischen zwei solchen Systemen ist im Gegensatz zur
+klassischen Mechanik die Lorentz-Transformation maßgebend.</p>
+
+<p>Aus diesen Prämissen in Verbindung mit den Grundgleichungen
+der <em class="gesperrt">Maxwell</em>schen Elektrodynamik kann man mit zwingender
+Notwendigkeit durch verhältnismäßig einfache Betrachtungen folgenden
+Schluß ziehen: Ein mit der Geschwindigkeit <i>v</i> fliegender Körper,
+der in Form von Strahlung die Energie <i>E<sub>0</sub></i> aufnimmt&#x2060;<a id="FNanchor_10_10" href="#Footnote_10_10" class="fnanchor">[10]</a>, ohne
+hierbei seine Geschwindigkeit zu ändern, erfährt dabei eine Zunahme
+seiner Energie um den Betrag:</p>
+
+<div class="center"><span class="hfrac"><span class="numerator"><i>E</i><sub>0</sub></span>
+<span class="denominator padtop0_1"><span class="s1b val_50">√</span><span class="val_100 padtop0_2 btt"><span class="vam ">1 −</span>
+<span class="hfrac val-80"><span class="numerator"><i class="val_ep2">v<sup>2</sup></i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span></span></span></span></div>
+
+<p><span class="pagenum" id="Page_32">[S. 32]</span></p>
+
+<p>Die gesuchte Energie des Körpers ist also dann mit Rücksicht auf den
+vorher angegebenen Ausdruck für die kinetische Energie gegeben durch:</p>
+
+<div class="s5 center mtop1 mbot1">
+<span class="hfrac"><span class="numerator"><span class="s1a val-10">(</span>m + <span class="hfrac"><span class="numerator"><i>E</i><sub>0</sub></span><span class="denominator"><i>c</i><sup>2</sup></span></span>&#8239;<span class="s1a val-10">)</span> <i>c</i><sup>2</sup></span>
+<span class="denominator padtop0_1"><span class="s1b val_50">√</span><span class="val_100 padtop0_2 btt"><span class="vam ">1 −</span>
+<span class="hfrac val-80"><span class="numerator"><i class="val_ep2">v<sup>2</sup></i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span></span></span></span></div>
+
+<p>Der Körper hat also dann dieselbe Energie wie ein mit der
+Geschwindigkeit <i>v</i> bewegter Körper von der Masse m&#160;+&#160;<span class="hfrac"><span class="numerator"><i>E</i><sub>0</sub></span><span class="denominator"><i>c</i><sup>2</sup></span></span>. Man kann also sagen: Nimmt ein Körper die Energie
+<i>E<sub>0</sub></i> auf, so wächst seine träge Masse um <span class="hfrac"><span class="numerator"><i>E</i><sub>0</sub></span><span class="denominator"><i>c</i><sup>2</sup></span></span>;
+die träge Masse eines Körpers ist keine Konstante, sondern nach
+Maßgabe seiner Energieänderung veränderlich. Die träge Masse eines
+Körpersystems kann geradezu als Maß für seine Energie angesehen werden.
+Der Satz von der Erhaltung der Masse eines Systems fällt mit dem Satze
+von der Erhaltung der Energie zusammen und gilt nur insoweit, als das
+System keine Energie aufnimmt und abgibt. Schreibt man den Ausdruck für
+eine kinetische Energie in der Form</p>
+
+<div class="s5 center mtop1 mbot1">
+<span class="hfrac"><span class="numerator">m&#8239;<i>c</i><sup>2</sup>&#160;+<i>E</i><sub>0</sub></span>
+<span class="denominator padtop0_1"><span class="s1b val_50">√</span><span class="val_100 padtop0_2 btt"><span class="vam ">1 −</span>
+<span class="hfrac val-80"><span class="numerator"><i class="val_ep2">v<sup>2</sup></i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span></span></span></span></div>
+
+<p class="p0">so sieht man, daß die Form <i>mc</i><sup>2</sup>, die uns schon vorhin auffiel,
+nichts anderes ist als die Energie, welche der Körper schon besaß&#x2060;<a id="FNanchor_11_11" href="#Footnote_11_11" class="fnanchor">[11]</a>,
+bevor er die Energie <i>E<sub>0</sub></i> aufgenommen hatte.</p>
+
+<p>Der direkte Vergleich dieses Satzes mit der Erfahrung scheitert
+vorläufig daran, daß die Energieänderungen <i>E<sub>0</sub></i>, welche
+wir einem System erteilen können, nicht groß genug sind, um sich
+als Änderung der trägen Masse des Systems bemerkbar zu machen.
+<span class="hfrac"><span class="numerator"><i>E</i><sub>0</sub></span><span class="denominator"><i>c</i><sup>2</sup></span></span> ist zu klein im Vergleich zu der Masse <i>m</i>, die
+vor der Energieänderung vorhanden war. Auf <span class="pagenum" id="Page_33">[S. 33]</span>diesem Umstande beruht es,
+daß ein Satz von der Erhaltung der Masse von selbständiger Geltung mit
+Erfolg aufgestellt werden konnte.</p>
+
+<p>Noch eine letzte Bemerkung prinzipieller Natur. Der Erfolg der
+<em class="gesperrt">Faraday-Maxwell</em>schen Deutung der elektromagnetischen Fernwirkung
+durch intermediäre Vorgänge mit endlicher Ausbreitungsgeschwindigkeit
+brachte es mit sich, daß bei den Physikern sich die Überzeugung
+Bahn brach, daß es unvermittelte, momentane Fernwirkungen vom Typus
+des <em class="gesperrt">Newton</em>schen Gravitationsgesetzes nicht gebe. Nach der
+Relativitätstheorie tritt an die Stelle der Momentanwirkung in die
+Ferne bzw. der Fernwirkung mit unendlicher Ausbreitungsgeschwindigkeit
+stets die Fernwirkung mit Lichtgeschwindigkeit. Es hängt dies zusammen
+mit der prinzipiellen Rolle, welche die Geschwindigkeit <i>c</i> in
+dieser Theorie spielt. Im zweiten Teile wird sich zeigen, in welcher
+Weise dies Ergebnis in der allgemeinen Relativitätstheorie modifiziert
+wird.</p>
+
+<div class="section">
+
+<h3 id="Spezielle_Relativitatstheorie_und_Erfahrung">
+  § 16. Spezielle Relativitätstheorie und Erfahrung.
+</h3>
+
+</div>
+
+<p>Die Beantwortung der Frage, inwieweit die spezielle Relativitätstheorie
+durch die Erfahrung gestützt wird, ist nicht einfach zu beantworten
+aus einem Grunde, der schon bei Gelegenheit des Fundamentalversuches
+von <em class="gesperrt">Fizeau</em> erwähnt ist. Die spezielle Relativitätstheorie ist
+aus der <em class="gesperrt">Maxwell-Lorentz</em>schen Theorie der elektromagnetischen
+Erscheinungen auskristallisiert. Somit stützen alle Erfahrungstatsachen
+die Relativitätstheorie, welche jene elektromagnetische Theorie
+stützen. Ich erwähne hier als besonders wichtig, daß die
+Relativitätstheorie in überaus einfacher Weise in Übereinstimmung
+mit der Erfahrung die Einflüsse abzuleiten gestattet, welche das
+von den Fixsternen zu uns gesandte Licht durch die Relativbewegung
+der Erde gegen jene Fixsterne erfährt. Es ist dies die jährliche
+Wanderung des scheinbaren Ortes der Fixsterne infolge der Erdbewegung
+um die Sonne (Aberration) und der Einfluß der Radialkomponente
+der Relativbewegungen der Fixsterne gegen die Erde auf die Farbe
+des zu uns gelangenden <span class="pagenum" id="Page_34">[S. 34]</span>Lichtes; der letztere Einfluß äußert sich
+in einer kleinen Verschiebung der Spektrallinien des von einem
+Fixstern zu uns gelangenden Lichtes gegenüber der spektralen Lage der
+gleichen, mit einer irdischen Lichtquelle erzeugten Spektrallinie
+(<em class="gesperrt">Doppler</em>sches Prinzip). Die experimentellen Argumente zugunsten
+der <em class="gesperrt">Maxwell-Lorentz</em>schen Theorie, welche alle zugleich
+Argumente zugunsten der Relativitätstheorie sind, sind zu zahlreich,
+um hier dargelegt zu werden. Sie engen tatsächlich die theoretischen
+Möglichkeiten derart ein, daß sich keine andere Theorie als die
+<em class="gesperrt">Maxwell-Lorentz</em>sche der Erfahrung gegenüber hat behaupten können.</p>
+
+<p>Zwei Klassen von bisher ermittelten experimentellen Tatsachen aber
+gibt es, welche die <em class="gesperrt">Maxwell-Lorentz</em>sche Theorie nur durch
+Hinzuziehung einer Hilfshypothese darstellen kann, die an sich — d.&#8239;h.
+ohne Benutzung der Relativitätstheorie — befremdlich erscheint.</p>
+
+<p>Es ist bekannt, daß die Kathodenstrahlen und die von radioaktiven
+Substanzen ausgesandten sogenannten β-Strahlen aus negativ elektrischen
+Körperchen (Elektronen) von sehr geringer Trägheit und großer
+Geschwindigkeit bestehen. Dadurch, daß man die Ablenkung dieser
+Strahlungen unter dem Einfluß elektrischer und magnetischer Felder
+untersucht, kann man das Bewegungsgesetz dieser Körperchen sehr genau
+studieren.</p>
+
+<p>Bei der theoretischen Behandlung dieser Elektronen hat man mit der
+Schwierigkeit zu kämpfen, daß die Elektrodynamik allein von ihrer
+Natur keine Rechenschaft zu geben vermag. Denn da elektrische
+Massen eines Vorzeichens sich abstoßen, müßten die das Elektron
+konstituierenden negativen elektrischen Massen unter dem Einfluß
+ihrer Wechselwirkung auseinander getrieben werden, wenn nicht noch
+Kräfte anderer Art zwischen ihnen wirksam wären, deren Natur uns
+bisher dunkel ist. Nimmt man nun an, daß die relativen Abstände der
+das Elektron konstituierenden elektrischen Massen bei den Bewegungen
+des Elektrons ungeändert bleiben (starre Verbindung im Sinne der
+klassischen Mechanik), so gelangt man zu einem Bewegungsgesetz des
+Elektrons, welches mit <span class="pagenum" id="Page_35">[S. 35]</span>der Erfahrung nicht übereinstimmt. <em class="gesperrt">H. A.
+Lorentz</em> hat als Erster, geführt durch rein formale Gesichtspunkte,
+die Hypothese eingeführt, daß der Körper des Elektrons durch
+die Bewegung eine Kontraktion in der Bewegungsrichtung erfahre,
+proportional dem Ausdruck <span class="val-10 nowrap"><span class="s1b val-10">√</span><span class="val_70 padtop0_2 btt"><span class="val-10 ">1 −</span>
+<span class="hfrac"><span class="numerator"><i>v<sup>2</sup></i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span></span></span>. Diese Hypothese, welche
+sich elektrodynamisch durch nichts rechtfertigen läßt, liefert dann
+dasjenige Bewegungsgesetz, welches die Erfahrung mit großer Präzision
+in den letzten Jahren bestätigt hat.</p>
+
+<p>Die Relativitätstheorie liefert dasselbe Bewegungsgesetz, ohne daß
+sie irgendeiner speziellen Hypothese über den Bau und das Verhalten
+des Elektrons bedürfte. Analog liegen die Dinge, wie wir in § 13
+gesehen haben, bei dem Versuch von <em class="gesperrt">Fizeau</em>, dessen Ergebnis
+die Relativitätstheorie lieferte, ohne daß Hypothesen über die
+physikalische Natur der Flüssigkeit gemacht werden mußten.</p>
+
+<p>Die zweite Klasse von Tatsachen, auf die hier hingewiesen ist, bezieht
+sich auf die Frage, ob bei Versuchen auf der Erde deren Bewegung im
+Weltenraume sich bemerkbar mache. Es wurde schon in § 5 bemerkt, daß
+alle derartigen Bemühungen ein negatives Resultat lieferten. Vor der
+Aufstellung der Relativitätstheorie hatte es die Wissenschaft schwer,
+sich mit diesem negativen Befunde auseinanderzusetzen; die Sachlage war
+nämlich folgende. Die überkommenen Vorurteile über Zeit und Raum ließen
+keinen Zweifel darüber aufkommen, daß die Galilei-Transformation für
+den Übergang von einem Bezugskörper zu einem anderen maßgebend sei.
+Angenommen nun, die <em class="gesperrt">Maxwell-Lorentz</em>schen Gleichungen gelten für
+einen Bezugskörper <i>K</i>, so findet man, daß sie nicht gelten für
+einen relativ zu <i>K</i> gleichförmig bewegten Bezugskörper <i>K′</i>,
+wenn man annimmt, daß zwischen den Koordinaten von <i>K</i> und
+<i>K′</i> die Beziehungen der Galilei-Transformation bestehen. Dadurch
+scheint es, daß von allen Galileischen Koordinatensystemen eines
+(<i>K</i>) von bestimmtem Bewegungszustande physikalisch ausgezeichnet
+sei. Physikalisch interpretierte man dies Ergebnis dahin, daß man
+<i>K</i> als relativ zu einem hypothetischen Lichtäther ruhend ansah.
+Dagegen sollten alle gegen <i>K</i> <span class="pagenum" id="Page_36">[S. 36]</span>bewegten Koordinatensysteme
+<i>K′</i> gegen den Äther bewegt sein. Dieser Bewegung von <i>K′</i>
+gegen den Äther („Ätherwind“ relativ zu <i>K′</i>) schrieb man die
+komplizierteren Gesetze zu, welche relativ zu <i>K′</i> gelten sollten.
+Auch relativ zur Erde mußte folgerichtig ein solcher Ätherwind
+angenommen werden, und das Bestreben der Physiker war lange darauf
+gerichtet, diesen nachzuweisen.</p>
+
+<p>Hierfür hatte <em class="gesperrt">Michelson</em> einen Weg gefunden, der nicht
+fehlschlagen zu können schien. Man denke sich an einem starren Körper
+zwei Spiegel angeordnet, welche einander die reflektierende Seite
+zukehren. Ein Lichtstrahl braucht eine ganz bestimmte Zeit <i>T</i>,
+um von einem Spiegel zum anderen und wieder zurück zu gelangen, falls
+dies ganze System gegen den Lichtäther ruht. Man findet für diesen
+Vorgang aber eine etwas andere Zeit <i>T′</i>, wenn der Körper nebst
+Spiegeln relativ zum Äther bewegt ist. Ja noch mehr! Die Rechnung
+ergibt, daß diese Zeit <i>T′</i> bei gegebener Geschwindigkeit <i>v</i>
+gegen den Äther eine andere sei, wenn der Körper senkrecht zu den
+Spiegelebenen bewegt ist, als wenn er parallel zu den Spiegelebenen
+bewegt ist. So winzig die so berechnete Differenz zwischen diesen
+beiden Zeitdauern auch sich ergab, <em class="gesperrt">Michelson</em> und <em class="gesperrt">Morley</em>
+führten ein Interferenzexperiment aus, bei welchem die Differenz
+deutlich hätte in Erscheinung treten müssen. Das Experiment fiel aber
+negativ aus, zur großen Verlegenheit der Physiker. <em class="gesperrt">Lorentz</em> und
+<em class="gesperrt">FitzGerald</em> zogen die Theorie aus dieser Verlegenheit, indem sie
+annahmen, daß die Bewegung des Körpers gegen den Äther eine Kontraktion
+in der Bewegungsrichtung bewirke, welche das Verschwinden der
+genannten Zeitdifferenz gerade bewirken sollte. Ein Vergleich mit den
+Darlegungen des § 12 zeigt, daß dieser Ausweg auch vom Standpunkt der
+Relativitätstheorie der richtige war. Die Auffassung der Sachlage ist
+aber nach der Relativitätstheorie eine unvergleichlich befriedigendere.
+Nach ihr gibt es kein bevorzugtes Koordinatensystem, welches zur
+Einführung der Ätheridee Anlaß gibt, mithin auch keinen Ätherwind und
+kein Experiment, um einen solchen in Evidenz zu setzen. Die Kontraktion
+bewegter Körper folgt hier ohne besondere <span class="pagenum" id="Page_37">[S. 37]</span>Hypothesen aus den beiden
+Grundprinzipien der Theorie; und zwar ergibt sich als maßgebend für
+diese Kontraktion nicht die Bewegung an sich, welcher wir keinen Sinn
+beizulegen vermögen, sondern die Bewegung gegen den jeweilen gewählten
+Bezugskörper. So ist also für ein mit der Erde bewegtes Bezugssystem
+der Spiegelkörper von <em class="gesperrt">Michelson</em> und <em class="gesperrt">Morley</em> nicht
+verkürzt, wohl aber für ein relativ zur Sonne ruhendes Bezugssystem.</p>
+
+<div class="section">
+
+<h3 id="Minkowskis_vierdimensionaler_Raum">
+  § 17. <em class="gesperrt">Minkowski</em>s vierdimensionaler Raum.
+</h3>
+
+</div>
+
+<p>Ein mystischer Schauer ergreift den Nichtmathematiker, wenn er von
+„vierdimensional“ hört, ein Gefühl, das dem vom Theatergespenst
+erzeugten nicht unähnlich ist. Und doch ist keine Aussage banaler als
+die, daß unsere gewohnte Welt ein vierdimensionales zeiträumliches
+Kontinuum ist.</p>
+
+<p>Der <em class="gesperrt">Raum</em> ist ein dreidimensionales Kontinuum. Dies will sagen,
+daß es möglich ist, die Lage eines (ruhenden) Punktes durch drei Zahlen
+(Koordinaten), <i>x</i>, <i>y</i>, <i>z</i>, zu beschreiben, und daß es
+zu jedem Punkte beliebig „benachbarte“ Punkte gibt, deren Lage durch
+solche Koordinatenwerte (Koordinaten) <i>x<sub>1</sub></i>, <i>y<sub>1</sub></i>,
+<i>z<sub>1</sub></i> beschrieben werden kann, die den Koordinaten <i>x</i>,
+<i>y</i>, <i>z</i> des erstgenannten beliebig nahe kommen. Wegen der
+letzteren Eigenschaft sprechen wir von „Kontinuum“, wegen der Dreizahl
+der Koordinaten von „dreidimensional“.</p>
+
+<p>Analog ist die Welt des physikalischen Geschehens, von <em class="gesperrt">Minkowski</em>
+kurz „Welt“ genannt, natürlich vierdimensional in zeiträumlichem
+Sinne. Denn sie setzt sich aus Einzelereignissen zusammen, deren
+jedes durch vier Zahlen, nämlich drei räumliche Koordinaten <i>x</i>,
+<i>y</i>, <i>z</i> und eine zeitliche Koordinate, den Zeitwert
+<i>t</i> beschrieben ist. Die „Welt“ ist in diesem Sinne auch ein
+Kontinuum; denn es gibt zu jedem Ereignis beliebig „benachbarte“
+(realisierte oder doch denkbare) Ereignisse, deren Koordinaten
+<i>x<sub>1</sub></i>, <i>y<sub>1</sub></i>, <i>z<sub>1</sub></i>, <i>t<sub>1</sub></i> sich von
+denen des ursprünglich betrachteten Ereignisses <i>x</i>, <i>y</i>,
+<i>z</i>, <i>t</i> beliebig wenig unterscheiden. Daß wir nicht daran
+gewöhnt sind, die Welt in diesem Sinne als vierdimensionales Kontinuum
+aufzufassen, <span class="pagenum" id="Page_38">[S. 38]</span>liegt darin, daß die Zeit in der vorrelativistischen
+Physik gegenüber den räumlichen Koordinaten eine verschiedene, mehr
+selbständige Rolle spielt. Darum haben wir uns daran gewöhnt, die
+Zeit als ein selbständiges Kontinuum zu behandeln. In der Tat ist die
+Zeit gemäß der klassischen Physik absolut, d.&#8239;h. von der Lage und dem
+<em class="gesperrt">Bewegungszustande</em> des Bezugssystems unabhängig. Dies kommt in
+der letzten Gleichung der Galilei-Transformation (<i>t′ = t</i>) zum
+Ausdruck.</p>
+
+<p>Durch die Relativitätstheorie ist die vierdimensionale
+Betrachtungsweise der „Welt“ geboten, da ja gemäß dieser Theorie die
+Zeit ihrer Selbständigkeit beraubt wird, wie die vierte der Gleichungen
+der Lorentz-Transformation</p>
+
+<div class="s5 center mtop1 mbot1"><span class="val_60"><i>t′</i> =</span>
+<span class="hfrac"><span class="numerator">t − <span class="hfrac"><span class="numerator"><i>v</i></span><span class="denominator"><i>c</i><sup>2</sup></span></span>&#8239;<i>x</i></span>
+<span class="denominator padtop0_1"><span class="s1b val_50">√</span><span class="val_100 padtop0_2 btt"><span class="vam ">1 −</span>
+<span class="hfrac val-80"><span class="numerator"><i class="val_ep2">v<sup>2</sup></i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span></span></span></span></div>
+
+<p class="p0">lehrt. Denn nach dieser Gleichung verschwindet die Zeitdifferenz
+<i>Δt′</i> zweier Ereignisse in bezug auf <i>K′</i> auch dann im
+allgemeinen nicht, wenn die Zeitdifferenz <i>Δt</i> derselben in bezug
+auf <i>K</i> verschwindet. Rein räumliche Distanz zweier Ereignisse
+in bezug auf <i>K</i> hat zeitliche Distanz derselben in bezug auf
+<i>K′</i> zur Folge. Auch hierin liegt nicht <em class="gesperrt">Minkowski</em>s für
+die formale Entwicklung der Relativitätstheorie wichtige Entdeckung.
+Diese liegt vielmehr in der Erkenntnis, daß das vierdimensionale
+zeiträumliche Kontinuum der Relativitätstheorie in seinen maßgebenden
+formalen Eigenschaften die weitgehendste Verwandtschaft zeigt zu dem
+dreidimensionalen Kontinuum des Euklidischen geometrischen Raumes. Um
+diese Verwandtschaft ganz hervortreten zu lassen, muß man allerdings
+statt der üblichen Zeitkoordinate <i>t</i> die ihr proportionale
+imaginäre Größe √<span class="bt">−1&#8239;</span><i>c&#8239;t</i> einführen. Dann aber nehmen die
+den Forderungen der (speziellen) Relativitätstheorie genügenden
+Naturgesetze mathematische Formen an, in denen die Zeitkoordinate genau
+dieselbe Rolle spielt wie die drei räumlichen Koordinaten. Diese vier
+Koordinaten entsprechen formal genau den drei räumlichen Koordinaten
+der Euklidischen Geometrie. <span class="pagenum" id="Page_39">[S. 39]</span>Es muß auch dem Nichtmathematiker
+einleuchten, daß durch diese rein formale Erkenntnis die Theorie
+außerordentlich an Übersichtlichkeit gewinnen mußte.</p>
+
+<p>Diese dürftigen Andeutungen geben dem Leser nur eine vage Idee von
+dem wichtigen Gedanken <em class="gesperrt">Minkowski</em>s, ohne den die im folgenden
+in ihren Grundgedanken entwickelte allgemeine Relativitätstheorie
+vielleicht in den Windeln stecken geblieben wäre. Da aber ein exakteres
+Erfassen dieses für den mathematisch nichtgeübten Leser zweifellos
+schwer zugänglichen Gegenstandes für das Verständnis der Grundgedanken
+weder der speziellen noch der allgemeinen Relativitätstheorie nötig
+ist, so will ich denselben hier verlassen, um erst in den letzten
+Darlegungen dieses Büchleins wieder darauf zurückzukommen.</p>
+
+<div class="footnotes">
+
+<div class="footnote"><p><a id="Footnote_2_2" href="#FNanchor_2_2" class="label">[2]</a> Damit ist auch der geraden Linie ein Naturobjekt
+zugeordnet. Drei Punkte eines starren Körpers <i>A</i>, <i>B</i>,
+<i>C</i> liegen dann in einer Geraden, wenn bei gegebenen Punkten
+<i>A</i> und <i>C</i> der Punkt <i>B</i> so gewählt ist, daß die Summe
+der Entfernungen <i class="bt">AB</i> und <i class="bt">BC</i> möglichst gering wird.
+Diese lückenhafte Andeutung mag in diesem Zusammenhange genügen.</p></div>
+
+<div class="footnote"><p><a id="Footnote_3_3" href="#FNanchor_3_3" class="label">[3]</a> Dabei ist allerdings angenommen, daß die Messung aufgehe,
+d.&#8239;h. eine ganze Zahl ergebe. Von dieser Schwierigkeit befreit man
+sich durch die Anwendung geteilter Maßstäbe, deren Einführung keine
+prinzipiell neue Methode verlangt.</p></div>
+
+<div class="footnote"><p><a id="Footnote_4_4" href="#FNanchor_4_4" class="label">[4]</a> Eine weitere Untersuchung darüber, was hier „räumliche
+Koinzidenz“ bedeutet, ist hier nicht nötig; denn dieser Begriff ist
+insofern klar, als im einzelnen realen Falle Meinungsverschiedenheiten
+darüber, ob er zutreffe oder nicht, kaum auftreten dürften.</p></div>
+
+<div class="footnote"><p><a id="Footnote_5_5" href="#FNanchor_5_5" class="label">[5]</a> Erst durch die im zweiten Teil des Büchleins behandelte
+allgemeine Relativitätstheorie wird eine Verfeinerung und Änderung
+dieser Auffassungen nötig.</p></div>
+
+<div class="footnote"><p><a id="Footnote_6_6" href="#FNanchor_6_6" class="label">[6]</a> Wir nehmen ferner an, daß, wenn drei Ereignisse <i>A</i>,
+<i>B</i>, <i>C</i> derartig an verschiedenen Orten stattfinden, daß,
+wenn <i>A</i> gleichzeitig mit <i>B</i> und <i>B</i> gleichzeitig mit
+<i>C</i> ist (gleichzeitig im Sinne obiger Definition), das Kriterium
+der Gleichzeitigkeit auch für das Ereignispaar <span class="nowrap"><i>A</i>–<i>C</i></span>
+erfüllt sei. Diese Annahme ist eine physikalische Hypothese über
+das Ausbreitungsgesetz des Lichtes; sie muß unbedingt erfüllt sein,
+wenn es möglich sein soll, an dem Gesetz von der Konstanz der
+Vakuum-Lichtgeschwindigkeit festzuhalten.</p></div>
+
+<div class="footnote"><p><a id="Footnote_7_7" href="#FNanchor_7_7" class="label">[7]</a> Vom Fahrdamm aus beurteilt!</p></div>
+
+<div class="footnote"><p><a id="Footnote_8_8" href="#FNanchor_8_8" class="label">[8]</a> Etwa die Mitte des 1. und 100. Wagens.</p></div>
+
+<div class="footnote"><p><a id="Footnote_9_9" href="#FNanchor_9_9" class="label">[9]</a> <em class="gesperrt">Fizeau</em> fand<i>
+W</i> = <i>w</i> + <i>v</i> <span class="s1a val-10">(</span>1 − <span class="hfrac"><span class="numerator">1</span><span class="denominator"><i>n<sup>2</sup></i></span></span><span class="s1a val-10">)</span>,
+wobei <i>n</i> = <span class="hfrac"><span class="numerator"><i>c</i></span><span class="denominator"><i>w</i></span></span> der
+Brechungsexponent der Flüssigkeit ist. Andererseits kann für (B) wegen
+der Kleinheit von <span class="hfrac"><span class="numerator"><i>v&#8239;w</i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span> gegenüber 1 zunächst
+<i>W</i> = (<i>w</i> + <i>v</i>) <span class="s1a val-10">(</span>1 − <span class="hfrac"><span class="numerator"><i>v&#8239;w</i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span><span class="s1a val-10">)</span>,
+oder mit der gleichen Näherung <i>W</i> = <i>w</i> + <i>v</i> <span class="s1a val-10">(</span>1 − <span class="hfrac"><span class="numerator">1</span><span class="denominator"><i>n<sup>2</sup></i></span></span><span class="s1a val-10">)</span> gesetzt werden, was mit
+<em class="gesperrt">Fizeau</em>s Resultat übereinstimmt.</p></div>
+
+<div class="footnote"><p><a id="Footnote_10_10" href="#FNanchor_10_10" class="label">[10]</a> <i>E<sub>0</sub></i> ist die aufgenommene Energie, von einem mit
+dem Körper bewegten Koordinatensystem aus beurteilt.</p></div>
+
+<div class="footnote"><p><a id="Footnote_11_11" href="#FNanchor_11_11" class="label">[11]</a> Von einem mitbewegten Koordinatensystem aus beurteilt.</p></div>
+</div>
+
+<div class="chapter">
+
+<p><span class="pagenum" id="Page_40">[S. 40]</span></p>
+
+  <h2 class="nobreak" id="Zweiter_Teil">
+    <span class="s6">Zweiter Teil.</span>
+    <br>
+    Über die allgemeine Relativitätstheorie.
+  </h2>
+</div>
+
+<h3 id="Spezielles_und_allgemeines_Relativitaetsprinzip">§ 18. Spezielles und
+allgemeines Relativitätsprinzip.</h3>
+
+<p>Die Grundthese, um welche sich alle bisherigen Ausführungen drehten,
+war das <em class="gesperrt">spezielle</em> Relativitätsprinzip, d.&#8239;h. das Prinzip von
+der physikalischen Relativität aller <em class="gesperrt">gleichförmigen</em> Bewegung.
+Analysieren wir noch einmal genau seinen Inhalt!</p>
+
+<p>Daß jegliche Bewegung ihrem Begriff nach nur als <em class="gesperrt">relative</em>
+Bewegung gedacht werden muß, war zu allen Zeiten einleuchtend. Bei
+unserem viel benutzten Beispiel vom Bahndamm und vom Eisenbahnwagen
+kann z.&#8239;B. die Tatsache der hier stattfindenden Bewegung mit gleichem
+Rechte in den beiden Formen ausgesprochen werden:</p>
+
+<p class="p0 mleft1_5">a) Der Wagen bewegt sich relativ zum Bahndamm,<br>
+b) Der Bahndamm bewegt sich relativ zum Wagen.</p>
+
+<p>Im Falle a) dient bei dieser Aussage der Bahndamm, im Falle b) der
+Wagen als Bezugskörper. Bei der bloßen Feststellung bzw. Beschreibung
+der Bewegung ist es prinzipiell gleichgültig, auf was für einen
+Bezugskörper man die Bewegung bezieht. Dies ist, wie gesagt,
+selbstverständlich und darf nicht mit der viel weitergehenden Aussage
+verwechselt werden, welche wir „Relativitätsprinzip“ genannt und
+unseren Untersuchungen zugrunde gelegt haben.</p>
+
+<p>Das von uns benutzte Prinzip behauptet nicht nur, daß man für
+die Beschreibung jeglichen Geschehens ebensowohl <span class="pagenum" id="Page_41">[S. 41]</span>den Wagen wie
+den Bahndamm als Bezugskörper wählen könne (denn auch dies ist
+selbstverständlich). Unser Prinzip behauptet vielmehr: Formuliert man
+die allgemeinen Naturgesetze, wie sie sich aus der Erfahrung ergeben,
+indem man sich</p>
+
+<p class="p0 mleft1_5">a) des Bahndammes als Bezugskörpers bedient,<br>
+b) des Wagens als Bezugskörpers bedient,</p>
+
+<p>so lauten diese allgemeinen Naturgesetze (z.&#8239;B. die Gesetze der
+Mechanik oder das Gesetz der Lichtausbreitung im Vakuum) genau
+gleich in beiden Fällen. Man kann das auch so ausdrücken: Für die
+<em class="gesperrt">physikalische</em> Beschreibung der Naturvorgänge ist keiner der
+Bezugskörper <i>K</i>, <i>K′</i> vor dem anderen ausgezeichnet. Diese
+letztere Aussage muß nicht a priori notwendig zutreffen wie die
+erstere; sie ist nicht in den Begriffen „Bewegung“ und „Bezugskörper“
+enthalten und aus ihnen ableitbar, sondern über ihre Richtigkeit oder
+Unrichtigkeit kann nur die <em class="gesperrt">Erfahrung</em> entscheiden.</p>
+
+<p>Wir haben nun aber bisher keineswegs die Gleichwertigkeit aller
+Bezugskörper <i>K</i> mit Bezug auf die Formulierung der Naturgesetze
+behauptet. Unser Weg war vielmehr folgender. Wir gingen zunächst
+von der Annahme aus, daß es einen Bezugskörper <i>K</i> von solchem
+Bewegungszustande gebe, daß relativ zu ihm der <em class="gesperrt">Galilei</em>sche
+Grundsatz gilt: Ein sich selbst überlassener, von allen übrigen
+hinlänglich entfernter Massenpunkt bewegt sich gleichförmig und
+geradlinig. Auf <i>K</i> (<em class="gesperrt">Galilei</em>scher Bezugskörper) bezogen
+sollten die Naturgesetze möglichst einfache sein. Außer <i>K</i>
+sollten aber alle diejenigen Bezugskörper <i>K′</i> in diesem Sinne
+bevorzugt und mit <i>K</i> für die Formulierung der Naturgesetze genau
+gleichwertig sein, welche relativ zu <i>K</i> eine <em class="gesperrt">geradlinig
+gleichförmige, rotationsfreie Bewegung</em> ausführen; alle diese
+Bezugskörper werden als <em class="gesperrt">Galilei</em>sche Bezugskörper angesehen. Nur
+für diese Bezugskörper wurde die Gültigkeit des Relativitätsprinzips
+angenommen, für andere (anders bewegte) nicht. In diesem Sinne
+sprechen wir vom <em class="gesperrt">speziellen</em> Relativitätsprinzip bzw. spezieller
+Relativitätstheorie.</p>
+
+<p><span class="pagenum" id="Page_42">[S. 42]</span></p>
+
+<p>Im Gegensatz hierzu wollen wir unter „allgemeinem Relativitätsprinzip“
+die Behauptung verstehen: Alle Bezugskörper <i>K</i>, <i>K′</i>
+usw. sind für die Naturbeschreibung (Formulierung der allgemeinen
+Naturgesetze) gleichwertig, welches auch deren Bewegungszustand sein
+mag. Es sei aber gleich bemerkt, daß diese Formulierung später durch
+eine abstraktere ersetzt werden muß aus Gründen, die erst später zutage
+treten werden.</p>
+
+<p>Nachdem sich die Einführung des speziellen Relativitätsprinzips bewährt
+hat, muß es jedem nach Verallgemeinerung strebenden Geiste verlockend
+erscheinen, den Schritt zum allgemeinen Relativitätsprinzip zu wagen.
+Aber eine einfache, scheinbar ganz zuverlässige Betrachtung läßt einen
+solchen Versuch zunächst aussichtslos erscheinen. Der Leser denke sich
+in den schon so oft betrachteten, gleichförmig fahrenden Eisenbahnwagen
+versetzt. Solange der Wagen gleichförmig fährt, ist für den Insassen
+nichts vom Fahren des Wagens zu merken. Daher kommt es auch, daß der
+Insasse den Tatbestand ohne inneres Widerstreben dahin deuten kann, daß
+der Wagen ruhe, der Bahndamm aber bewegt sei. Diese Interpretation ist
+übrigens nach dem speziellen Relativitätsprinzip auch physikalisch ganz
+berechtigt.</p>
+
+<p>Wird nun aber die Bewegung des Wagens etwa dadurch in eine
+ungleichförmige verwandelt, daß der Wagen kräftig gebremst wird, so
+erhält der Insasse einen entsprechend kräftigen Ruck nach vorne. Die
+beschleunigte Bewegung des Wagens äußert sich in dem mechanischen
+Verhalten der Körper relativ zu ihm; das mechanische Verhalten ist ein
+anderes als im vorhin betrachteten Falle, und es erscheint deshalb
+ausgeschlossen zu sein, daß relativ zum ungleichförmig bewegten Wagen
+die gleichen mechanischen Gesetze gelten, wie relativ zum ruhenden
+bzw. gleichförmig bewegten Wagen. Jedenfalls ist klar, daß relativ zum
+ungleichförmig bewegten Wagen der <em class="gesperrt">Galilei</em>sche Grundsatz nicht
+gilt. Wir fühlen uns daher zunächst genötigt, entgegen dem allgemeinen
+Relativitätsprinzip der ungleichförmigen Bewegung eine Art absolute
+physikalische Realität zuzusprechen. Im folgenden werden wir aber bald
+sehen, daß dieser Schluß nicht stichhaltig ist.</p>
+
+<div class="section">
+
+<p><span class="pagenum" id="Page_43">[S. 43]</span></p>
+
+<h3 id="Das_Gravitationsfeld_19">
+  § 19. Das Gravitationsfeld.
+</h3>
+
+</div>
+
+<p>Auf die Frage: „Warum fällt ein Stein, den wir emporheben und darauf
+loslassen, zur Erde?“ antwortet man gewöhnlich: „Weil er von der Erde
+angezogen wird.“ Die moderne Physik formuliert die Antwort etwas anders
+aus folgendem Grunde. Durch genaueres Studium der elektromagnetischen
+Erscheinungen ist man zu der Auffassung gekommen, daß es eine
+unvermittelte Wirkung in die Ferne nicht gebe. Zieht z.&#8239;B. ein Magnet
+ein Stück Eisen an, so darf man sich nicht mit der Auffassung zufrieden
+geben, daß der Magnet durch den leeren Zwischenraum hindurch auf das
+Eisen direkt einwirke, sondern man stellt sich nach <em class="gesperrt">Faraday</em> vor,
+daß der Magnet in dem ihn umgebenden Raume etwas physikalisch Reales
+stets hervorrufe, was man als „magnetisches Feld“ bezeichnet. Dies
+magnetische Feld wirkt seinerseits wieder auf das Eisenstück ein, so
+daß es sich zum Magneten zu bewegen strebt. Die Berechtigung dieses an
+sich willkürlichen Zwischenbegriffes wollen wir hier nicht erörtern.
+Es sei nur bemerkt, daß man mit seiner Hilfe die elektromagnetischen
+Erscheinungen, insbesondere die Ausbreitung der elektromagnetischen
+Wellen, viel befriedigender theoretisch darstellen kann als ohne
+denselben. Analog faßt man auch die Wirkungen der Gravitation auf.</p>
+
+<p>Die Einwirkung der Erde auf den Stein kommt indirekt zustande. Die
+Erde erzeugt in ihrer Umgebung ein Gravitationsfeld. Dieses wirkt auf
+den Stein und veranlaßt seine Fallbewegung. Die Stärke der Einwirkung
+auf einen Körper nimmt erfahrungsgemäß ab, wenn man sich mehr und
+mehr von der Erde entfernt, nach einem ganz bestimmten Gesetze.
+Dies heißt in unserer Auffassungsweise: Das Gesetz, welches die
+räumlichen Eigenschaften des Gravitationsfeldes beherrscht, muß ein
+ganz bestimmtes sein, um die Abnahme der Gravitationswirkung mit der
+Entfernung vom wirksamen Körper richtig darzustellen. Man stellt sich
+etwa vor, der Körper erzeuge direkt das Feld in seiner unmittelbaren
+Nähe; Stärke und Richtung des Feldes in größerer Entfernung sind
+dann <span class="pagenum" id="Page_44">[S. 44]</span>hieraus durch das Gesetz bestimmt, welches die räumlichen
+Eigenschaften der Gravitationsfelder selbst beherrscht.</p>
+
+<p>Das Gravitationsfeld weist im Gegensatz zum elektrischen und
+magnetischen Felde eine höchst merkwürdige Eigenschaft auf, welche
+für das Folgende von fundamentaler Bedeutung ist. Körper, die
+sich unter ausschließlicher Wirkung des Schwerefeldes bewegen,
+erfahren eine Beschleunigung, <em class="gesperrt">welche weder vom Material noch vom
+physikalischen Zustande des Körpers im geringsten abhängt</em>. Ein
+Stück Blei und ein Stück Holz fallen beispielsweise im Schwerefelde (im
+luftleeren Raume) genau gleich, wenn man sie ohne bzw. mit gleicher
+Anfangsgeschwindigkeit fallen läßt. Man kann dies äußerst genau gültige
+Gesetz auch noch anders formulieren auf Grund folgender Erwägung.</p>
+
+<p>Nach <em class="gesperrt">Newton</em>s Bewegungsgesetz ist</p>
+
+<p class="center">(Kraft)&#8194;=&#8194;(träge Masse)&#8194;<b>.</b>&#8194;(Beschleunigung),</p>
+
+<p class="p0">wobei die „träge Masse“ eine charakteristische Konstante des
+beschleunigten Körpers ist. Ist nun die beschleunigende Kraft die
+Schwere, so ist andererseits</p>
+
+<p class="center">(Kraft)&#8194;=&#8194;(schwere Masse)&#8194;<b>.</b>&#8194;(Intensität&#160;des&#160;Schwerefeldes),</p>
+
+<p class="p0">wobei die „schwere Masse“ ebenfalls eine für den Körper
+charakteristische Konstante ist. Aus beiden Relationen folgt:</p>
+
+<p class="center">(Beschleunigung)&#8194;=&#8194;<span class="hfrac"><span class="numerator">(schwere Masse)</span><span class="denominator">(träge Masse)</span></span>&#8194;<b>.</b>&#8194;(Intensität des
+Schwerefeldes)</p>
+
+<p>Soll nun, wie die Erfahrung ergibt, bei gegebenem Schwerefelde die
+Beschleunigung unabhängig von der Natur und dem Zustande des Körpers
+stets dieselbe sein, so muß das Verhältnis der schweren zur trägen
+Masse ebenfalls für alle Körper gleich sein. Man kann also dies
+Verhältnis bei passender Wahl der Einheiten zu 1 machen; dann gilt der
+Satz: Die <em class="gesperrt">schwere</em> und die <em class="gesperrt">träge</em> Masse eines Körpers sind
+einander gleich.</p>
+
+<p>Die bisherige Mechanik hat diesen wichtigen Satz zwar
+<em class="gesperrt">registriert</em>, aber nicht <em class="gesperrt">interpretiert</em>. Eine befriedigende
+<span class="pagenum" id="Page_45">[S. 45]</span>Interpretation kann nur so zustande kommen, daß man einsieht:
+<em class="gesperrt">Dieselbe</em> Qualität des Körpers äußert sich je nach Umständen als
+„Trägheit“ oder als „Schwere“. Inwiefern dies tatsächlich der Fall
+ist, und wie diese Frage mit dem allgemeinen Relativitätspostulat
+zusammenhängt, wird im nächsten Paragraphen dargelegt werden.</p>
+
+<div class="section">
+
+<h3 id="Die_Gleichheit_der_traegen_und_schweren_Masse_20">
+  § 20. Die Gleichheit der trägen und schweren Masse als Argument für das
+  allgemeine Relativitätspostulat.
+</h3>
+
+</div>
+
+<p>Wir denken uns ein geräumiges Stück leeren Weltraumes, so weit weg von
+Sternen und erheblichen Massen, daß wir mit erheblicher Genauigkeit
+den Fall vor uns haben, der im <em class="gesperrt">Galilei</em>schen Grundgesetz
+vorgesehen ist. Es ist dann möglich, für diesen Teil Welt einen
+<em class="gesperrt">Galilei</em>schen Bezugskörper zu wählen, relativ zu dem ruhende
+Punkte ruhend bleiben, bewegte dauernd in geradlinig gleichförmiger
+Bewegung verharren. Als Bezugskörper denken wir uns einen geräumigen
+Kasten von der Gestalt eines Zimmers; darin befinde sich ein mit
+Apparaten ausgestatteter Beobachter. Für diesen gibt es natürlich keine
+Schwere. Er muß sich mit Schnüren am Boden befestigen, wenn er nicht
+beim leisesten Stoß gegen den Boden langsam gegen die Decke des Zimmers
+entschweben will.</p>
+
+<p>In der Mitte der Kastendecke sei außen ein Haken mit Seil befestigt und
+an diesem fange nun ein Wesen von uns gleichgültiger Art mit konstanter
+Kraft zu ziehen an. Dann beginnt der Kasten samt dem Beobachter in
+gleichförmig beschleunigtem Fluge nach „oben“ zu fliegen. Seine
+Geschwindigkeit wird im Laufe der Zeit ins Phantastische zunehmen —
+falls wir all dies beurteilen von einem anderen Bezugskörper aus, an
+dem nicht mit einem Stricke gezogen wird.</p>
+
+<p>Wie beurteilt aber der Mann im Kasten den Vorgang? Die Beschleunigung
+des Kastens wird vom Boden desselben durch Gegendruck auf ihn
+übertragen. Er muß also diesen Druck mittels seiner Beine aufnehmen,
+wenn er nicht seiner ganzen Länge nach den Boden berühren will. Er
+steht dann <span class="pagenum" id="Page_46">[S. 46]</span>im Kasten genau wie einer in einem Zimmer eines Hauses
+auf unserer Erde steht. Läßt er einen Körper los, den er vorher in
+der Hand hatte, so wird auf diesen die Beschleunigung des Kastens
+nicht mehr übertragen; der Körper wird sich daher in beschleunigter
+Relativbewegung dem Boden des Kastens nähern. Der Beobachter wird
+sich ferner überzeugen, <em class="gesperrt">daß die Beschleunigung des Körpers gegen
+den Boden immer gleich groß ist, mit was für einem Körper er auch den
+Versuch ausführen mag</em>.</p>
+
+<p>Der Mann im Kasten wird also, gestützt auf seine Kenntnisse vom
+Schwerefelde, wie wir sie im letzten Paragraphen besprochen, zu
+dem Ergebnis kommen, daß er samt dem Kasten sich in einem zeitlich
+konstanten Schwerefelde befinde. Er wird allerdings einen Augenblick
+verwundert sein darüber, daß der Kasten in diesem Schwerefelde nicht
+falle. Da entdeckt er aber den Haken in der Mitte der Decke und das an
+demselben befestigte gespannte Seil, und er kommt folgerichtig zu dem
+Ergebnis, daß der Kasten in dem Schwerefelde ruhend aufgehängt sei.</p>
+
+<p>Dürfen wir über den Mann lächeln und sagen, er befinde sich mit
+seiner Auffassung im Irrtum? Ich glaube, wir dürfen das nicht,
+wenn wir konsequent bleiben wollen, sondern wir müssen zugeben,
+daß seine Auffassungsweise weder gegen die Vernunft noch gegen die
+bekannten mechanischen Gesetze verstößt. Wir können den Kasten, wenn
+er auch gegen den zuerst betrachteten „<em class="gesperrt">Galilei</em>schen Raum“
+beschleunigt ist, dennoch als ruhend ansehen. Wir haben also guten
+Grund, das Relativitätsprinzip auszudehnen auf relativ zueinander
+beschleunigte Bezugskörper und haben so ein kräftiges Argument für ein
+verallgemeinertes Relativitätspostulat gewonnen.</p>
+
+<p>Man beachte wohl, daß die Möglichkeit dieser Auffassungsweise auf der
+fundamentalen Eigenschaft des Schwerefeldes beruht, allen Körpern
+dieselbe Beschleunigung zu erteilen, oder, was dasselbe bedeutet, auf
+dem Satz von der Gleichheit der trägen und schweren Masse. Würde dies
+Naturgesetz nicht bestehen, so würde der Mann im beschleunigten Kasten
+das Verhalten der Körper seiner Umgebung nicht durch die <span class="pagenum" id="Page_47">[S. 47]</span>Voraussetzung
+eines Gravitationsfeldes deuten können, und er wäre auf Grund keiner
+Erfahrung berechtigt, seinen Bezugskörper als einen „ruhenden“
+vorauszusetzen.</p>
+
+<p>Der Mann im Kasten befestige an der Innenseite der Kastendecke ein
+Seil und an dessen freiem Ende einen Körper. Durch diesen wird bewirkt
+werden, daß das Seil in gespanntem Zustande „vertikal“ herabhängt. Wir
+fragen nach der Ursache der Spannung des Seiles. Der Mann im Kasten
+wird sagen: „Der aufgehängte Körper erfährt in dem Schwerefelde eine
+Kraft nach unten, welcher durch die Seilspannung das Gleichgewicht
+gehalten wird; maßgebend für die Größe der Seilspannung ist die
+<em class="gesperrt">schwere Masse</em> des aufgehängten Körpers.“ Andererseits wird aber
+ein Beurteiler, der frei im Raume schwebt, den Zustand so beurteilen:
+„Das Seil ist gezwungen, die beschleunigte Bewegung des Kastens
+mitzumachen und überträgt diese auf den daran befestigten Körper. Die
+Seilspannung ist so groß, daß sie die Beschleunigung des letzteren
+gerade zu bewirken vermag. Maßgebend für die Größe der Spannung im
+Seile ist die <em class="gesperrt">träge Masse</em> des Körpers.“ Wir sehen aus diesem
+Beispiele, daß unsere Erweiterung des Relativitätsprinzips den Satz
+von der Gleichheit der trägen und schweren Masse als <em class="gesperrt">notwendig</em>
+erscheinen läßt. Damit ist eine physikalische Interpretation dieses
+Satzes gewonnen.</p>
+
+<p>Aus der Betrachtung des beschleunigten Kastens sieht man, daß eine
+allgemeine Relativitätstheorie wichtige Ergebnisse über die Gesetze der
+Gravitation liefern muß. Tatsächlich hat die konsequente Verfolgung
+des allgemeinen Relativitätsgedankens die Gesetze geliefert, denen das
+Gravitationsfeld genügt. Ich muß jedoch schon hier den Leser vor einem
+Mißverständnis warnen, das durch diese Überlegungen nahegelegt wird.
+Für den Mann im Kasten existiert ein Gravitationsfeld, trotzdem für das
+zuerst gewählte Koordinatensystem ein solches nicht vorhanden war. Man
+könnte nun leicht meinen, daß die Existenz eines Gravitationsfeldes
+stets eine nur <em class="gesperrt">scheinbare</em> sei. Man könnte denken, daß, was auch
+immer für ein Gravitationsfeld vorhanden sein mag, <span class="pagenum" id="Page_48">[S. 48]</span>man immer einen
+anderen Bezugskörper so wählen könne, daß in bezug auf ihn <em class="gesperrt">kein</em>
+Gravitationsfeld existiert. Dies trifft aber keineswegs für alle
+Gravitationsfelder zu, sondern nur für solche von ganz speziellem Bau.
+So ist es beispielsweise unmöglich, einen Bezugskörper so zu wählen,
+daß von ihm aus beurteilt das Gravitationsfeld der Erde (in seiner
+ganzen Ausdehnung) verschwindet.</p>
+
+<p>Wir bemerken jetzt, warum das gegen das allgemeine Relativitätsprinzip
+am Ende des § 18 vorgebrachte Argument nicht beweisend ist. Es ist wohl
+richtig, daß der im gebremsten Eisenbahnwagen befindliche Beobachter
+infolge der Bremsung einen Ruck nach vorn empfindet und daß er daran
+die Ungleichförmigkeit (Beschleunigung) des Wagens merkt. Aber niemand
+zwingt ihn, den Ruck auf eine „wirkliche“ Beschleunigung des Wagens
+zurückzuführen. Er kann sein Erlebnis auch so interpretieren: „Mein
+Bezugskörper (der Wagen) bleibt dauernd in Ruhe. Es herrscht aber
+(während der Bremsungsperiode) in bezug auf denselben ein nach vorn
+gerichtetes, zeitlich veränderliches Schwerefeld. Unter dem Einfluß des
+letzteren bewegt sich der Bahndamm samt der Erde ungleichförmig derart,
+daß dessen ursprüngliche, nach rückwärts gerichtete Geschwindigkeit
+immer mehr abnimmt.“</p>
+
+<div class="section">
+
+<h3 id="Grundlagen_der_klassischen_Mechanik_und_der_speziellen_Relativitaetstheorie_unbefriedigend_21">
+  § 21. Inwiefern sind die Grundlagen der klassischen Mechanik und der
+  speziellen Relativitätstheorie unbefriedigend?
+</h3>
+
+</div>
+
+<p>Wie schon mehrfach erwähnt, geht die klassische Mechanik von dem
+Satze aus: Von anderen materiellen Punkten hinreichend entfernte
+materielle Punkte bewegen sich geradlinig gleichförmig oder verharren
+im Ruhezustande. Wir haben auch mehrfach hervorgehoben, daß das
+Grundgesetz nur gültig sein kann für Bezugskörper <i>K</i> von gewissen
+ausgezeichneten Bewegungszuständen, welche relativ zueinander sich
+in gleichförmiger Translationsbewegung befinden. Relativ zu anderen
+Bezugskörpern <i>K</i> gilt der Satz nicht. Sowohl in der klassischen
+Mechanik wie in der speziellen Relativitätstheorie unterscheidet
+man demgemäß zwischen Bezugskörpern <i>K</i>, <span class="pagenum" id="Page_49">[S. 49]</span>relativ zu denen die
+Naturgesetze gültig sind, und zwischen Bezugskörpern <i>K</i>, relativ
+zu welchen die Naturgesetze nicht gelten.</p>
+
+<p>Mit dieser Sachlage kann sich aber kein konsequent denkender
+Mensch zufrieden geben. Er fragt: „Wie ist es möglich, daß gewisse
+Bezugskörper (bzw. deren Bewegungszustände) vor anderen Bezugskörpern
+(bzw. deren Bewegungszuständen) ausgezeichnet sind? <em class="gesperrt">Welches ist der
+Grund für diese Bevorzugung?</em>“ Um deutlich zu zeigen, was ich mit
+dieser Frage meine, will ich mich eines Vergleichs bedienen.</p>
+
+<p>Ich stehe vor einem Gasherde. Auf demselben stehen nebeneinander
+zwei Kochtöpfe, die einander zum Verwechseln ähnlich sind. Beide
+sind zur Hälfte mit Wasser gefüllt. Ich nehme wahr, daß aus dem
+einen unaufhörlich Dampf entweicht, aus dem anderen nicht. Hierüber
+wundere ich mich, auch wenn mir ein Gasherd und ein Kochtopf noch nie
+zu Gesicht gekommen ist. Nehme ich nun unter dem ersteren Kochtopfe
+ein bläulich leuchtendes Etwas wahr, unter dem letzteren nicht,
+so schwindet meine Verwunderung auch dann, wenn ich noch nie eine
+Gasflamme wahrgenommen habe. Denn ich kann nur sagen, daß dieses
+bläuliche Etwas das Entweichen des Dampfes verursachen wird, oder
+wenigstens <em class="gesperrt">möglicherweise</em> verursacht. Nehme ich aber bei
+keinem Topfe das bläuliche Etwas wahr, und sehe ich, daß der eine
+unaufhörlich dampft, der andere nicht, so bin ich so lange verwundert
+und unbefriedigt, bis ich irgendeinen Umstand wahrgenommen habe, den
+ich für das verschiedene Verhalten beider Töpfe verantwortlich machen
+kann.</p>
+
+<p>Analog suche ich in der klassischen Mechanik (bzw. in der speziellen
+Relativitätstheorie) vergeblich nach einem realen Etwas, auf das ich
+das verschiedene Verhalten der Körper gegenüber den Bezugssystemen
+<i>K</i> und <i>K′</i> zurückführen könnte&#x2060;<a id="FNanchor_12_12" href="#Footnote_12_12" class="fnanchor">[12]</a>. Diesen Mangel fühlte
+schon <em class="gesperrt">Newton</em> und suchte ihn vergeblich <span class="pagenum" id="Page_50">[S. 50]</span>zu entkräften. Am
+klarsten hat ihn aber E. <em class="gesperrt">Mach</em> erkannt und seinetwegen gefordert,
+daß die Mechanik auf eine neue Grundlage gestellt werden müsse.
+Dieser Einwand läßt sich nur durch eine Physik vermeiden, welche dem
+allgemeinen Relativitätsprinzip entspricht. Denn die Gleichungen
+einer solchen Theorie gelten für jeden Bezugskörper, in was für einem
+Bewegungszustande derselbe auch sein mag.</p>
+
+<div class="section">
+
+<h3 id="Einige_Schluesse_aus_dem_allgemeinen_Relativitaetsprinzip_22">
+  §22. Einige Schlüsse aus dem allgemeinen Relativitätsprinzip.
+</h3>
+
+</div>
+
+<p>Die Betrachtungen des § 20 zeigen, daß das allgemeine
+Relativitätsprinzip uns in den Stand setzt, auf rein theoretischem
+Wege Eigenschaften des Gravitationsfeldes abzuleiten. Es sei nämlich
+der raum-zeitliche Verlauf irgendeines Naturvorganges bekannt,
+so wie er sich im <em class="gesperrt">Galilei</em>schen Gebiete relativ zu einem
+<em class="gesperrt">Galilei</em>schen Bezugskörper <i>K</i> abspielt. Dann kann man durch
+rein theoretische Operationen, d.&#8239;h. durch bloße Rechnung, finden,
+wie sich dieser bekannte Naturvorgang von einem relativ zu <i>K</i>
+beschleunigten Bezugskörper <i>K′</i> aus ausnimmt. Da aber relativ zu
+diesem neuen Bezugskörper <i>K′</i> ein Gravitationsfeld existiert,
+so erfährt man bei der Betrachtung, wie das Gravitationsfeld den
+studierten Vorgang beeinflußt.</p>
+
+<p>So erfahren wir beispielsweise, daß ein Körper, der gegenüber <i>K</i>
+eine geradlinig gleichförmige Bewegung ausführt (entsprechend dem
+<em class="gesperrt">Galilei</em>schen Satze), gegenüber dem beschleunigten Bezugskörper
+<i>K′</i> (Kasten) eine beschleunigte, im allgemeinen krummlinige
+Bewegung ausführt. Diese Beschleunigung bzw. Krümmung entspricht dem
+Einfluß des relativ zu <i>K′</i> herrschenden Gravitationsfeldes auf
+den bewegten Körper. Daß das Gravitationsfeld in dieser Weise die
+Bewegung der Körper beeinflußt, ist bekannt, so daß die Überlegung
+nichts prinzipiell Neues liefert.</p>
+
+<p>Ein neues Ergebnis von fundamentaler Wichtigkeit erhält man aber, wenn
+man die entsprechende Überlegung für einen Lichtstrahl durchführt.
+Gegenüber dem <em class="gesperrt">Galilei</em>schen Bezugskörper <i>K</i> pflanzt sich
+dieser in gerader Linie mit der Geschwindigkeit <span class="pagenum" id="Page_51">[S. 51]</span><i>c</i> fort. In
+bezug auf den beschleunigten Kasten (Bezugskörper <i>K′</i>) ist,
+wie leicht abzuleiten ist, die Bahn desselben Lichtstrahles keine
+Gerade mehr. Hieraus ist zu schließen, <em class="gesperrt">daß sich Lichtstrahlen in
+Gravitationsfeldern im allgemeinen krummlinig fortpflanzen</em>. Dies
+Ergebnis ist in zweifacher Hinsicht von großer Wichtigkeit.</p>
+
+<p>Erstens nämlich kann dasselbe mit der Wirklichkeit verglichen werden.
+Wenn eine eingehende Überlegung auch ergibt, daß die Krümmung der
+Lichtstrahlen, welche die allgemeine Relativitätstheorie liefert, für
+die uns in der Erfahrung zur Verfügung stehenden Gravitationsfelder nur
+äußerst gering ist, so soll sie für Lichtstrahlen, die in der Nähe der
+Sonne vorbeigehen, doch 1,7 Bogensekunden betragen. Dies müßte sich
+dadurch äußern, daß die in der Nähe der Sonne erscheinenden Fixsterne,
+welche bei totalen Sonnenfinsternissen der Beobachtung zugänglich
+sind, um diesen Betrag von der Sonne weggerückt erscheinen müssen
+gegenüber der Lage, die sie für uns am Himmel annehmen, wenn die Sonne
+an einer anderen Stelle am Himmel steht. Die Prüfung des Zutreffens
+oder Nichtzutreffens dieser Konsequenz ist eine Aufgabe von höchster
+Wichtigkeit, deren baldige Lösung wir von den Astronomen erhoffen
+dürfen.</p>
+
+<p>Zweitens aber zeigt diese Konsequenz, daß nach der allgemeinen
+Relativitätstheorie das schon oft erwähnte Gesetz von der Konstanz der
+Vakuumlichtgeschwindigkeit, das eine der beiden grundlegenden Annahmen
+der speziellen Relativitätstheorie bildet, keine unbegrenzte Gültigkeit
+beanspruchen kann. Eine Krümmung der Lichtstrahlen kann nämlich nur
+dann eintreten, wenn die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes mit
+dem Orte variiert. Man könnte nun denken, daß durch diese Konsequenz
+die spezielle Relativitätstheorie, und mit ihr die Relativitätstheorie
+überhaupt, zu Fall gebracht würde. Dies trifft aber in Wahrheit nicht
+zu. Es läßt sich nur schließen, daß die spezielle Relativitätstheorie
+kein unbegrenztes Gültigkeitsgebiet beanspruchen kann; ihre Ergebnisse
+gelten nur insoweit, als man von den Einflüssen der Gravitationsfelder
+auf die Erscheinungen (z.&#8239;B. des Lichtes) absehen kann.</p>
+
+<p><span class="pagenum" id="Page_52">[S. 52]</span></p>
+
+<p>Da die Gegner der Relativitätstheorie öfters behauptet haben,
+die spezielle Relativitätstheorie werde durch die allgemeine
+Relativitätstheorie über den Haufen geworfen, will ich den wirklichen
+Sachverhalt durch einen Vergleich deutlicher machen. Vor der
+Aufstellung der Elektrodynamik wurden die Gesetze der Elektrostatik
+für die Gesetze der Elektrizität schlechthin angesehen. Heute wissen
+wir, daß die Elektrostatik die elektrischen Felder nur in dem nie
+streng realisierten Falle richtig liefern kann, daß die elektrischen
+Massen relativ zueinander und zum Koordinatensystem exakt ruhen.
+Ist deshalb die Elektrostatik durch <em class="gesperrt">Maxwell</em>s Feldgleichungen
+der Elektrodynamik über den Haufen geworfen worden? Keineswegs! Die
+Elektrostatik ist als Grenzfall in der Elektrodynamik enthalten; die
+Gesetze der letzteren führen direkt auf die ersteren in dem Falle,
+daß die Felder zeitlich unveränderlich sind. Es ist das schönste Los
+einer physikalischen Theorie, wenn sie selbst zur Aufstellung einer
+umfassenden Theorie den Weg weist, in welcher sie als Grenzfall
+weiterlebt.</p>
+
+<p>Bei dem eben behandelten Beispiel der Lichtausbreitung haben wir
+gesehen, daß das allgemeine Relativitätsprinzip uns in den Stand
+setzt, den Einfluß des Gravitationsfeldes auf den Ablauf von Vorgängen
+auf theoretischem Wege abzuleiten, deren Gesetze für den Fall des
+Fehlens eines Gravitationsfeldes bereits bekannt sind. Die reizvollste
+Aufgabe, zu deren Lösung das allgemeine Relativitätsprinzip den
+Schlüssel liefert, betrifft aber die Ermittelung der Gesetze, denen das
+Gravitationsfeld selbst genügt. Der Sachverhalt ist hier folgender.</p>
+
+<p>Wir kennen raum-zeitliche Gebiete, die sich bei passender Wahl des
+Bezugskörpers (annähernd) „galileisch“ verhalten, d.&#8239;h. Gebiete, in
+denen Gravitationsfelder fehlen. Beziehen wir nun ein solches Gebiet
+auf einen beliebig bewegten Bezugskörper <i>K′</i>, so ist in bezug auf
+<i>K′</i> ein zeitlich und räumlich veränderliches Gravitationsfeld
+vorhanden&#x2060;<a id="FNanchor_13_13" href="#Footnote_13_13" class="fnanchor">[13]</a>. Die Beschaffenheit des letzteren hängt natürlich davon
+ab, wie wir die Bewegung von <i>K′</i> wählen. Das allgemeine Gesetz
+des Gravitationsfeldes <span class="pagenum" id="Page_53">[S. 53]</span>muß nach der allgemeinen Relativitätstheorie
+für alle so erhältlichen Gravitationsfelder erfüllt sein. Wenn nun
+auch keineswegs alle Gravitationsfelder auf diese Weise erzeugt werden
+können, so schöpft man doch Hoffnung, aus diesen Gravitationsfeldern
+spezieller Art das allgemeine Gesetz der Gravitation ableiten zu
+können. Diese Hoffnung ist aufs schönste in Erfüllung gegangen!
+Aber vom klaren Sehen dieses Zieles bis zum tatsächlichen Erreichen
+desselben bedurfte es noch der Überwindung einer ernstlichen
+Schwierigkeit, die ich dem Leser nicht vorenthalten darf, da sie tief
+im Wesen der Sache liegt. Es bedarf einer abermaligen Vertiefung der
+Begriffe von dem raum-zeitlichen Kontinuum.</p>
+
+<div class="section">
+
+<h3 id="Verhalten_von_Uhren_und_Massstaeben_auf_einem_rotierenden_Bezugskoerper_23">
+  § 23. Verhalten von Uhren und Maßstäben auf einem rotierenden
+  Bezugskörper.
+</h3>
+
+</div>
+
+<p>Ich habe bis jetzt absichtlich nicht gesprochen über die physikalische
+Interpretation von räumlichen und zeitlichen Angaben in dem Falle
+der allgemeinen Relativitätstheorie. Dadurch habe ich mich einer
+gewissen Unsauberkeit schuldig gemacht, von der wir aus der speziellen
+Relativitätstheorie wissen, daß sie keineswegs unwichtig und
+verzeihlich ist. Nun ist es hohe Zeit, daß wir diese Lücke ausfüllen;
+ich bemerke aber im voraus, daß diese Angelegenheit an die Geduld und
+das Abstraktionsvermögen des Lesers keine geringen Anforderungen stellt.</p>
+
+<p>Wir gehen wieder von oft herangezogenen, ganz speziellen Fällen aus.
+Es liege ein raum-zeitliches Gebiet vor, in welchem relativ zu einem
+Bezugskörper <i>K</i> von passend gewähltem Bewegungszustande kein
+Gravitationsfeld existiere; in bezug auf das ins Auge gefaßte Gebiet
+ist dann <i>K</i> ein <em class="gesperrt">Galilei</em>scher Bezugskörper, und es gelten
+relativ zu <i>K</i> die Ergebnisse der speziellen Relativitätstheorie.
+Dasselbe Gebiet denken wir uns auf einen zweiten Bezugskörper <i>K′</i>
+bezogen, welcher relativ zu <i>K</i> gleichförmig rotiert. Um die
+Vorstellung zu fixieren, denken wir uns <i>K′</i> in Gestalt einer
+ebenen Kreisscheibe, welche um ihren Mittelpunkt in ihrer Ebene
+gleichmäßig rotiere. <span class="pagenum" id="Page_54">[S. 54]</span>Ein exzentrisch auf der Kreisscheibe <i>K′</i>
+sitzender Beobachter empfindet eine Kraft, die in radialer Richtung
+nach außen wirkt, und welche von einem relativ zum ursprünglichen
+Bezugskörper <i>K</i> ruhenden Beobachter als Trägheitswirkung
+(Zentrifugalkraft) gedeutet wird. Der auf der Scheibe sitzende
+Beobachter möge jedoch seine Scheibe als „ruhenden“ Bezugskörper
+auffassen; dazu ist er auf Grund des allgemeinen Relativitätsprinzips
+berechtigt. Die auf ihn und überhaupt auf relativ zur Scheibe ruhende
+Körper wirkende Kraft faßt er als Wirkung eines Gravitationsfeldes
+auf. Allerdings ist die räumliche Verteilung dieses Schwerefeldes eine
+solche, wie sie nach <em class="gesperrt">Newton</em>s Theorie der Gravitation nicht
+möglich wäre&#x2060;<a id="FNanchor_14_14" href="#Footnote_14_14" class="fnanchor">[14]</a>. Aber da der Beobachter an die allgemeine Relativität
+glaubt, stört ihn dies nicht; er hofft mit Recht, daß ein allgemeines
+Gravitationsgesetz sich aufstellen lasse, welches nicht nur die
+Bewegung der Gestirne, sondern auch das von ihm wahrgenommene Kraftfeld
+richtig erklärt.</p>
+
+<p>Dieser Beobachter experimentiert auf seiner Kreisscheibe mit Uhren
+und Maßstäben, in der Absicht, auf Grund seiner Beobachtungen exakte
+Definitionen für die Bedeutung zeitlicher und räumlicher Angaben in
+bezug auf die Kreisscheibe <i>K′</i> zu erhalten. Was wird er dabei für
+Erfahrungen machen?</p>
+
+<p>Der Beobachter stelle zunächst von zwei gleich beschaffenen Uhren die
+eine in dem Mittelpunkte der Kreisscheibe, die andere an der Peripherie
+derselben auf, so daß sie relativ zur Kreisscheibe ruhen. Wir fragen
+uns zunächst, ob diese beiden Uhren gleich schnell gehen vom Standpunkt
+des nicht rotierenden <em class="gesperrt">Galilei</em>schen Bezugskörpers <i>K</i>. Von
+diesem aus beurteilt, hat die Uhr im Mittelpunkt keine Geschwindigkeit,
+während die Uhr an der Peripherie infolge der Rotation relativ zu
+<i>K</i> in Bewegung ist. Nach einem Ergebnis des § 12 geht deshalb die
+letztere Uhr von <i>K</i> aus beurteilt dauernd langsamer als die Uhr
+in der Mitte der Kreisscheibe. Dasselbe müßte offenbar auch der Mann
+auf der Kreisscheibe <span class="pagenum" id="Page_55">[S. 55]</span>konstatieren, den wir uns etwa als in der Mitte
+der Kreisscheibe neben der dortigen Uhr sitzend vorstellen wollen. Auf
+unserer Kreisscheibe und allgemeiner in jedem Gravitationsfelde wird
+also eine Uhr rascher oder langsamer laufen, je nach der Stelle, in
+welcher die Uhr (ruhend) angeordnet ist. Eine vernünftige Definition
+der Zeit mit Hilfe von relativ zum Bezugskörper ruhend angeordneten
+Uhren ist also nicht möglich. Eine ähnliche Schwierigkeit zeigt sich,
+wenn man versucht, unsere frühere Definition der Gleichzeitigkeit hier
+anzuwenden, worauf ich nicht weiter eingehen will.</p>
+
+<p>Aber auch die Definition der räumlichen Koordinaten macht hier zunächst
+unüberwindliche Schwierigkeiten. Legt nämlich der Beobachter seinen
+Einheitsmaßstab (ein relativ zum Scheibenradius kleines Stäbchen) an
+der Scheibenperipherie tangential zu dieser an, so ist derselbe, vom
+<em class="gesperrt">Galilei</em>schen System aus beurteilt, kürzer als 1, weil bewegte
+Körper nach § 12 in Richtung der Bewegung eine Verkürzung erfahren.
+Legt er dagegen seinen Maßstab in die Richtung des Scheibenradius, so
+erfährt er, von <i>K</i> aus beurteilt, keine Verkürzung. Mißt der
+Beobachter also zuerst den Scheibenumfang, dann den Scheibendurchmesser
+mit seinem Maßstab und dividiert er hierauf diese beiden Meßergebnisse,
+so findet er als Quotienten nicht die bekannte Zahl π = 3,14...,
+sondern eine größere Zahl, während sich auf einer relativ zu <i>K</i>
+ruhenden Scheibe bei dieser Operation natürlich exakt π ergeben
+müßte. Damit ist bereits bewiesen, daß die Sätze der Euklidischen
+Geometrie auf der rotierenden Scheibe und damit überhaupt in einem
+Gravitationsfelde nicht genau gelten können, wenigstens wenn man dem
+Stäbchen überall und in jeder Orientierung die Länge 1 zuschreibt.
+Auch der Begriff der geraden Linie verliert damit seine Bedeutung. Wir
+sind deshalb nicht in der Lage, relativ zur Scheibe die Koordinaten
+<i>x</i>, <i>y</i>, <i>z</i> nach der in der speziellen Relativität
+benutzten Methode exakt zu definieren. Solange jedoch Koordinaten und
+Zeiten der Ereignisse nicht definiert sind, haben auch Naturgesetze, in
+welchen diese vorkommen, keine exakte Bedeutung.</p>
+
+<p><span class="pagenum" id="Page_56">[S. 56]</span></p>
+
+<p>Damit scheinen alle Überlegungen, welche wir bisher über allgemeine
+Relativität angestellt haben, in Frage gestellt zu sein. In der Tat
+bedarf es eines subtilen Umweges, um das Postulat der allgemeinen
+Relativität exakt anzuwenden. Auf diesen wird der Leser durch die
+folgenden Betrachtungen vorbereitet werden.</p>
+
+<div class="section">
+
+<h3 id="Euklidisches_und_Nicht-Euklidisches_Kontinuum_24">
+  § 24. Euklidisches und Nicht-Euklidisches Kontinuum.
+</h3>
+
+</div>
+
+<p>Die Oberfläche eines Marmortisches liegt vor mir. Ich kann von
+irgendeinem Punkte derselben aus zu irgendeinem anderen gelangen,
+indem ich eine (große) Anzahl von Malen immer zu einem „benachbarten“
+Punkte übergehe, oder — anders gesagt — indem ich von Punkt zu Punkt
+gehe, ohne „Sprünge“ zu machen. Was hier unter „benachbart“ und unter
+„Sprüngen“ zu verstehen ist, empfindet der Leser gewiß mit genügender
+Schärfe (wenn er nicht gar zu anspruchsvoll ist). Dies drücken wir aus,
+indem wir sagen, die Oberfläche sei ein Kontinuum.</p>
+
+<p>Wir denken uns nun eine große Zahl gegen die Abmessungen der
+Tischplatte kleiner Stäbchen hergestellt, die alle gleich lang seien.
+Darunter ist verstanden, daß die Enden je zweier davon zur Deckung
+gebracht werden können. Wir legen nun vier dieser Stäbchen auf der
+Tischplatte so aufeinander, daß ihre Enden ein Viereck bilden,
+dessen Diagonalen gleich lang seien (Quadrat). Zur Erzielung der
+Diagonalengleichheit bedienen wir uns eines Probierstäbchens. An dies
+Quadrat legen wir gleiche Quadrate an, welche mit ihm ein Stäbchen
+gemein haben, an diese letzteren Quadrate ebenfalls usw. Schließlich
+ist die ganze Tischplatte mit Quadraten belegt, derart, daß jede
+Quadratseite zu zwei Quadraten und jede Quadratecke zu vier Quadraten
+gehört.</p>
+
+<p>Daß man dies Geschäft ausführen kann, ohne in die größten
+Schwierigkeiten zu geraten, ist ein wahres Wunder! Man braucht nur
+an folgendes zu denken. Stoßen an einer Ecke bereits drei Quadrate
+zusammen, so sind auch von dem vierten bereits zwei Seiten gelegt. Wie
+die beiden anderen <span class="pagenum" id="Page_57">[S. 57]</span>Seiten desselben gelegt werden müssen, ist dadurch
+schon vollkommen bestimmt. Jetzt kann ich das Viereck aber nicht mehr
+zurechtrücken, damit seine Diagonalen gleich werden. Sind sie es von
+selbst schon, so ist dies eine besondere Gunst der Tischplatte und der
+Stäbchen, über die ich mich nur dankbar wundern kann! Analoger Wunder
+müssen wir viele erleben, wenn die Konstruktion gelingen soll.</p>
+
+<p>Ist wirklich alles glatt vonstatten gegangen, so sage ich, daß die
+Punkte der Tischplatte ein Euklidisches Kontinuum mit Bezug auf das
+benutzte Stäbchen als Strecke bilden. Hebe ich eine Quadratecke als
+„Anfangspunkt“ hervor, so kann ich jede andere Quadratecke mit Bezug
+auf den Anfangspunkt durch zwei Zahlen charakterisieren. Ich brauche
+nur anzugeben, wie viele Stäbchen ich nach „rechts“ und wie viele
+darauf nach „oben“ ich vom Anfangspunkte zurücklegen muß, um zu der ins
+Auge gefaßten Quadratecke zu gelangen. Diese zwei Zahlen sind dann die
+„Kartesischen Koordinaten“ der letzteren mit Bezug auf das durch die
+gelegten Stäbchen bestimmte „Kartesische Koordinatensystem“.</p>
+
+<p>Daß es auch Fälle geben muß, in denen das Experiment mißlingt, erkennen
+wir an folgender Modifikation des Gedankenexperiments. Die Stäbchen
+sollen sich nach Maßgabe der Temperatur „ausdehnen“. Die Tischplatte
+werde in der Mitte erwärmt, am Rande aber nicht, wobei zwei unserer
+Stäbchen immer noch an jeder Stelle des Tisches zur Deckung gebracht
+werden können. Aber unsere Quadratkonstruktion muß dabei notwendig
+in Unordnung kommen, weil sich die Stäbchen der inneren Partie der
+Tischplatte ausdehnen, die der äußeren Partie aber nicht.</p>
+
+<p>Mit Bezug auf unsere Stäbchen — als Einheitsstrecken definiert — ist
+die Tischplatte nun kein Euklidisches Kontinuum mehr, und wir sind
+auch nicht mehr in der Lage, unmittelbar mit ihrer Hilfe Kartesische
+Koordinaten zu definieren, da die obige Konstruktion sich nicht mehr
+durchführen läßt. Da es aber andere Dinge gibt, welche durch die
+Temperatur des Tisches nicht in analoger Weise wie die Stäbchen (oder
+überhaupt nicht) beeinflußt werden, gelingt es, in einer <span class="pagenum" id="Page_58">[S. 58]</span>natürlichen
+Weise die Auffassung aufrecht zu erhalten, daß die Tischplatte ein
+„Euklidisches Kontinuum“ sei; es gelingt in befriedigender Weise
+durch eine subtilere Festsetzung über das Messen bzw. Vergleichen von
+Strecken.</p>
+
+<p>Würden aber Stäbchen jeder Art, d.&#8239;h. jeden Materials, sich in
+<em class="gesperrt">gleicher</em> Weise temperaturempfindlich verhalten auf der
+verschieden temperierten Tischplatte, und hätten wir kein anderes
+Mittel, die Wirkung der Temperatur wahrzunehmen, als das geometrische
+Verhalten der Stäbchen bei Experimenten analog dem oben beschriebenen,
+so könnte es wohl zweckmäßig sein, zwei Punkten des Tisches die
+Entfernung 1 zuzuschreiben, wenn sich die Enden eines unserer Stäbchen
+mit ihnen zur Deckung bringen lassen; denn wie sollte man ohne die
+krasseste Willkür die Strecke anders definieren? Dann aber muß die
+Kartesische Koordinatenmethode verlassen und durch eine andere
+ersetzt werden, welche die Gültigkeit der Euklidischen Geometrie für
+starre Körper nicht voraussetzt&#x2060;<a id="FNanchor_15_15" href="#Footnote_15_15" class="fnanchor">[15]</a>. Der Leser bemerkt, daß die hier
+geschilderte Situation derjenigen entspricht, welche das allgemeine
+Relativitätspostulat mit sich gebracht hat (§ 23).</p>
+
+<div class="section">
+
+<p><span class="pagenum" id="Page_59">[S. 59]</span></p>
+
+<h3 id="Gausssche_Koordinaten_25">
+  § 25. Gaußsche Koordinaten.
+</h3>
+
+</div>
+
+<figure class="figcenter illowe26" id="fig3">
+  <figcaption>
+      Fig. 3.
+  </figcaption>
+  <img class="w100" src="images/fig3.jpg" alt="">
+</figure>
+
+<p>Diese analytisch-geometrische Behandlungsweise läßt sich nach
+<em class="gesperrt">Gauß</em> folgendermaßen erzielen. Man denke sich auf die Tischplatte
+ein System von beliebigen Kurven (vgl. Fig. 3) aufgezeichnet, die
+wir als <i>u</i>-Kurven bezeichnen und die wir je mit einer Zahl
+bezeichnen. In der Zeichnung sind die Kurven <i>u</i>&#8239;=&#8239;1,
+<i>u</i>&#8239;=&#8239;2 und <i>u</i>&#8239;=&#8239;3 gezeichnet. Zwischen den Kurven
+<i>u</i>&#8239;=&#8239;1 und <i>u</i>&#8239;=&#8239;2 sind aber noch unendlich viele eingezeichnet zu denken,
+welche allen reellen Zahlen entsprechen, die zwischen 1 und 2 liegen.
+Es liegt dann ein System von <i>u</i>-Kurven vor, welche unendlich
+dicht die ganze Tischplatte überdecken. Keine <i>u</i>-Kurve soll
+eine andere schneiden, sondern durch jeden Punkt der Tischplatte eine
+und nur eine Kurve hindurchgehen. Zu jedem Punkte der Oberfläche der
+Tischplatte gehört dann ein ganz bestimmter <i>u</i>-Wert. Ebenso
+sei auf die Fläche ein System von <i>v</i> Kurven gezeichnet, die
+denselben Bedingungen genügen, in entsprechender Weise mit Zahlen
+versehen sind, aber ebenfalls beliebig gestaltet sein können. Es
+gehört dann zu jedem Punkte der Tischplatte ein <i>u</i>-Wert und ein
+<i>v</i>-Wert, welche beiden Zahlen wir die Koordinaten der Tischplatte
+nennen (<em class="gesperrt">Gauß</em>sche Koordinaten). Der Punkt <i>P</i> der Figur hat
+beispielsweise die <em class="gesperrt">Gauß</em>schen Koordinaten
+<i>u</i>&#8239;=&#8239;3; <i>v</i>&#8239;=&#8239;1. Zwei benachbarten Punkten <i>P</i> und <i>P′</i> auf der Fläche
+entsprechen dann die Koordinaten</p>
+
+<p class="center"><span class="mright4_1"><i>P</i>&#8194;:&#8239;u; <i>v</i></span><br>
+<i>P′</i>&#8239;:&#8239;<i>u</i> +&#8239;<i>du</i>, <i>v</i>&#8239;+&#8239;<i>dv</i>,
+</p>
+
+<p>wobei <i>du</i> und <i>dv</i> sehr kleine Zahlen bedeuten. Der mit
+einem Stäbchen gemessene Abstand von <i>P</i> und <i>P′</i> sei die
+ebenfalls sehr kleine Zahl <i>ds</i>. Dann ist nach <em class="gesperrt">Gauß</em>:</p>
+
+<p class="center"><i>ds</i>² = <i>g<sub>11</sub> du²</i> +
+<i>2&#8239;g<sub>12</sub> du dv</i> + <i>g<sub>22</sub> dv²</i>,</p>
+
+<p><span class="pagenum" id="Page_60">[S. 60]</span></p>
+
+<p class="p0">wobei <i>g</i><sub>11</sub>, <i>g</i><sub>12</sub>, <i>g</i><sub>22</sub> Größen sind, die in
+ganz bestimmter Weise von <i>u</i> und <i>v</i> abhängen. Die Größen
+<i>g</i><sub>11</sub>, <i>g</i><sub>12</sub> und <i>g</i><sub>22</sub> bestimmen das Verhalten
+der Stäbchen relativ zu den <i>u</i>-Kurven und <i>v</i>-Kurven,
+also auch relativ zur Oberfläche des Tisches. In dem Falle, daß die
+Punkte der betrachteten Oberfläche in bezug auf die Meßstäbchen ein
+Euklidisches Kontinuum bilden, aber auch nur dann, ist es möglich, die
+<i>u</i>-Kurven und <i>v</i>-Kurven so zu zeichnen und mit Zahlen zu
+versehen, daß einfach</p>
+
+<p class="center"><i>ds²</i>&#8239;=&#8239;<i>du²</i>&#8239;+&#8239;<i>dv²</i></p>
+
+<p class="p0">wird. Dann sind die <i>u</i>-Kurven und <i>v</i>-Kurven gerade Linien
+im Sinne der Euklidischen Geometrie, welche aufeinander senkrecht
+stehen. Dann sind die <em class="gesperrt">Gauß</em>schen Koordinaten einfach Kartesische.
+Man sieht, daß die <em class="gesperrt">Gauß</em>schen Koordinaten weiter nichts sind als
+eine Zuordnung je zweier Zahlen zu den Punkten der betrachteten Fläche,
+derart, daß räumlich benachbarten Punkten sehr wenig verschiedene
+Zahlenwerte zugeordnet sind.</p>
+
+<p>Diese Betrachtungen gelten zunächst für ein Kontinuum von zwei
+Dimensionen. Aber die <em class="gesperrt">Gauß</em>sche Methode läßt sich auch auf
+ein Kontinuum von drei, vier oder mehr Dimensionen anwenden. Liegt
+z.&#8239;B. ein Kontinuum von vier Dimensionen vor, so ergibt sich folgende
+Darstellung. Jedem Punkte des Kontinuums werden willkürlich vier Zahlen
+<i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, <i>x</i><sub>3</sub>, <i>x</i><sub>4</sub> zugeordnet,
+welche „Koordinaten“ genannt werden. Benachbarten Punkten entsprechen
+benachbarte Koordinatenwerte. Ist nun benachbarten Punkten <i>P</i>
+und <i>P′</i> ein durch Messungen ermittelbarer, physikalisch
+wohldefinierter Abstand <i>ds</i> zugeordnet, so gilt eine Formel:</p>
+
+<p class="center"><i>ds²</i> = <i>g<sub>11</sub> dx<sub>1</sub>²</i> +
+<i>2&#8239;g<sub>12</sub> dx<sub>1</sub> dx<sub>2</sub></i> ··· +
+<i>g<sub>44</sub> dx<sub>4</sub>²</i> ,</p>
+
+<p class="p0">wobei die Größen g<sub>11</sub> usw. Werte haben, die mit dem Orte im Kontinuum
+variieren. Nur in dem Falle, daß das Kontinuum ein Euklidisches ist,
+ist es möglich, die Koordinaten <i>x<sub>1</sub></i>···<i>x<sub>4</sub></i> den Punkten
+des Kontinuums so zuzuordnen, daß einfach</p>
+
+<p class="center"><i>ds²</i> = <i>dx<sub>1</sub>²</i> + <i>dx<sub>2</sub>²</i> +
+<i>dx<sub>3</sub>²</i> + <i>dx<sub>4</sub>²</i></p>
+
+<p class="p0">wird. Dann gelten in dem vierdimensionalen Kontinuum Beziehungen,
+welche den in unseren dreidimensionalen Messungen geltenden analog sind.</p>
+
+<p><span class="pagenum" id="Page_61">[S. 61]</span></p>
+
+<p>Die angegebene <em class="gesperrt">Gauß</em>sche Darstellung für <i>ds²</i> ist übrigens
+nicht immer möglich, sondern nur dann, wenn genügend kleine Gebiete
+des betrachteten Kontinuums sich als Euklidische Kontinua ansehen
+lassen. Dies trifft z.&#8239;B. offenbar zu in dem Falle der Tischplatte
+und örtlich veränderlicher Temperatur. Denn für einen kleinen Teil
+der Platte ist die Temperatur praktisch konstant, das geometrische
+Verhalten der Stäbchen also <em class="gesperrt">beinahe</em> ein solches, wie es gemäß
+den Regeln der Euklidischen Geometrie sein soll. Die Unstimmigkeiten
+der Quadratkonstruktion des vorigen Paragraphen treten somit erst
+deutlich zutage, wenn die Konstruktion des vorigen Paragraphen über
+einen beträchtlichen Teil der Tischplatte ausgedehnt wird.</p>
+
+<p>Zusammenfassend können wir also sagen: <em class="gesperrt">Gauß</em> hat eine Methode
+zur mathematischen Behandlung beliebiger Kontinua erfunden, in denen
+Maßbeziehungen („Abstand“ benachbarter Punkte) definiert sind.
+Jedem Punkte des Kontinuums werden so viel Zahlen (<em class="gesperrt">Gauß</em>sche
+Koordinaten) zugeordnet, als das Kontinuum Dimensionen hat. Die
+Zuordnung erfolgt so, daß die Eindeutigkeit der Zuordnung gewahrt
+wird, und daß benachbarten Punkten unendlich wenig verschiedene Zahlen
+(<em class="gesperrt">Gauß</em>sche Koordinaten) zugeordnet werden. Das <em class="gesperrt">Gauß</em>sche
+Koordinatensystem ist eine logische Verallgemeinerung des Kartesischen
+Koordinatensystems. Es ist auch auf Nicht-Euklidische Kontinua
+anwendbar, allerdings nur dann, wenn kleine Teile des betrachteten
+Kontinuums mit Bezug auf das definierte Maß („Abstand“) sich mit desto
+größerer Annäherung Euklidisch verhalten, je kleiner der ins Auge
+gefaßte Teil des Kontinuums ist.</p>
+
+<div class="section">
+
+<h3 id="Das_raum_zeitliche_Kontinuum_der_speziellen_Relativitaetstheorie_26">
+  § 26. Das raum-zeitliche Kontinuum der speziellen Relativitätstheorie
+  als Euklidisches Kontinuum.
+</h3>
+
+</div>
+
+<p>Wir sind nun in der Lage, den in § 17 nur lose angedeuteten Gedanken
+<em class="gesperrt">Minkowski</em>s etwas genauer zu formulieren. Gemäß der speziellen
+Relativitätstheorie sind für die Beschreibung des raum-zeitlichen,
+vierdimensionalen Kontinuums gewisse Koordinatensysteme bevorzugt,
+die wir „<em class="gesperrt">Galilei</em>sche <span class="pagenum" id="Page_62">[S. 62]</span>Koordinatensysteme“ genannt haben. Für
+sie sind die vier Koordinaten <i>x</i>, <i>y</i>, <i>z</i>, <i>t</i>,
+welche ein Ereignis oder — anders ausgedrückt — einen Punkt des
+vierdimensionalen Kontinuums bestimmen, in einfacher Weise physikalisch
+definiert, wie im ersten Teile dieses Büchleins ausführlich dargelegt
+ist. Für den Übergang von einem <em class="gesperrt">Galilei</em>schen System zu
+einem anderen, relativ zum ersten gleichförmig bewegten gelten die
+Gleichungen der Lorentz-Transformation, welche die Basis für die
+Ableitung der Konsequenzen der speziellen Relativitätstheorie bilden
+und ihrerseits weiter nichts sind als der Ausdruck der universellen
+Gültigkeit des Lichtausbreitungsgesetzes für alle <em class="gesperrt">Galilei</em>schen
+Bezugssysteme.</p>
+
+<p><em class="gesperrt">Minkowski</em> fand, daß die Lorentz-Transformationen folgenden
+einfachen Bedingungen genügen. Es seien zwei benachbarte Ereignisse
+betrachtet, deren gegenseitige Lage im vierdimensionalen Kontinuum
+durch die räumlichen Koordinatendifferenzen <i>dx</i>, <i>dy</i>,
+<i>dz</i> und die zeitliche Differenz <i>dt</i> bezüglich eines
+<em class="gesperrt">Galilei</em>schen Bezugskörpers <i>K</i> gegeben seien. Bezüglich
+eines zweiten <em class="gesperrt">Galilei</em>schen Systems seien die analogen
+Differenzen für diese beiden Ereignisse <i>dx′</i>, <i>dy′</i>,
+<i>dz′</i>, <i>dt′</i>. Dann gilt zwischen ihnen stets die Bedingung:</p>
+
+<p class="center"><i>d&#8239;x</i><sup>2</sup> + <i>d&#8239;y</i><sup>2</sup> +
+<i>d&#8239;z</i><sup>2</sup> − <i>c</i><sup>2</sup>&#8239;<i>d&#8239;t</i><sup>2</sup>
+= <i>d&#8239;x′</i><sup>2</sup> + <i>d&#8239;y′</i><sup>2</sup>
++ <i>d&#8239;z′</i><sup>2</sup> − <i>c</i><sup>2</sup>&#8239;<i>d&#8239;t′</i><sup>2</sup>&#8239;.</p>
+
+<p>Diese Bedingung hat die Gültigkeit der Lorentz-Transformation zur
+Konsequenz. Wir können das so aussprechen: Die zu zwei benachbarten
+Punkten des vierdimensionalen raum-zeitlichen Kontinuums gehörige Größe</p>
+
+<p class="center"><i>d&#8239;s</i><sup>2</sup> = <i>d&#8239;x</i><sup>2</sup>
++ <i>d&#8239;y</i><sup>2</sup> + <i>d&#8239;z</i><sup>2</sup> −
+<i>c</i><sup>2</sup>&#8239;<i>d&#8239;t</i><sup>2</sup>
+</p>
+
+<p class="p0">hat für alle bevorzugten (<em class="gesperrt">Galilei</em>schen) Bezugskörper denselben
+Wert. Ersetzt man <i>x</i>, <i>y</i>, <i>z</i>, √<span class="bt">−1&#8239;</span><i>&#8239;c&#8239;t</i>
+durch <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, <i>x</i><sub>3</sub>, <i>x</i><sub>4</sub>, so erhält
+man auch das Resultat, daß</p>
+
+<p class="center"><i>d&#8239;s</i><sup>2</sup> = <i>d&#8239;x</i><sub>1</sub><sup>2</sup>
++ <i>d&#8239;x</i><sub>2</sub><sup>2</sup> + <i>dx&#8239;</i><sub>3</sub><sup>2</sup> +
+<i>d&#8239;x</i><sub>4</sub><sup>2</sup></p>
+
+<p class="p0">von der Wahl des Bezugskörpers unabhängig ist. Die Größe <i>ds</i>
+nennen wir den „Abstand“ der beiden Ereignisse oder vierdimensionalen
+Punkte.</p>
+
+<p><span class="pagenum" id="Page_63">[S. 63]</span></p>
+
+<p>Wählt man also die imaginäre Variable √<span class="bt">−1&#8239;</span><i>&#8239;c&#8239;t</i> statt des
+reellen <i>t</i> als Zeitvariable, so kann man das raum-zeitliche
+Kontinuum gemäß der speziellen Relativitätstheorie als ein
+„Euklidisches“ vierdimensionales Kontinuum auffassen, wie aus den
+Darlegungen des letzten Paragraphen hervorgeht.</p>
+
+<div class="section">
+
+<h3 id="Das_raum_zeitliche_Kontinuum_der_allgemeinen_Relativitaetstheorie_27">
+  § 27. Das raum-zeitliche Kontinuum der allgemeinen Relativitätstheorie
+  ist kein Euklidisches Kontinuum.
+</h3>
+
+</div>
+
+<p>Im ersten Teil dieses Schriftchens haben wir uns raum-zeitlicher
+Koordinaten bedienen können, welche eine einfache, direkte
+physikalische Interpretation zuließen und welche sich nach §
+26 als vierdimensionale Kartesische Koordinaten deuten lassen.
+Dies war möglich auf Grund des Gesetzes von der Konstanz der
+Lichtgeschwindigkeit, an welchem aber nach § 21 die allgemeine
+Relativitätstheorie nicht festhalten kann; wir kamen vielmehr zu
+dem Ergebnis, daß gemäß letzterer Theorie die Lichtgeschwindigkeit
+stets von den Koordinaten abhängen muß, falls ein Gravitationsfeld
+vorhanden ist. Wir fanden ferner in § 23 an einem speziellen Beispiel,
+daß das Vorhandensein eines Gravitationsfeldes jene Definition der
+Koordinaten und der Zeit unmöglich macht, welche bei der speziellen
+Relativitätstheorie zum Ziele geführt hat.</p>
+
+<p>Mit Rücksicht auf diese Überlegungsergebnisse kommen wir zu der
+Überzeugung, daß gemäß dem allgemeinen Relativitätsprinzip das
+raum-zeitliche Kontinuum nicht als ein Euklidisches aufgefaßt werden
+kann, sondern daß hier der allgemeine Fall vorliegt, welchen wir für
+das zweidimensionale Kontinuum der Tischplatte von örtlich variabler
+Temperatur kennen gelernt haben. Wie es dort unmöglich war, aus
+gleichen Stäbchen ein Kartesisches Koordinatensystem zu konstruieren,
+so ist es hier unmöglich, aus starren Körpern und Uhren ein System
+(Bezugskörper) aufzubauen, derart, daß relativ zueinander fest
+angeordnete Maßstäbe und Uhren direkt Ort und Zeit anzeigen. Dies ist
+das Wesen der Schwierigkeit, die uns in § 23 entgegentrat.</p>
+
+<p>Die Darlegungen des § 25 und § 26 zeigen aber den Weg, auf dem diese
+Schwierigkeit zu überwinden ist. Wir beziehen <span class="pagenum" id="Page_64">[S. 64]</span>das vierdimensionale
+raum-zeitliche Kontinuum in willkürlicher Weise auf <em class="gesperrt">Gauß</em>sche
+Koordinaten. Jedem Punkte des Kontinuums (Ereignis) ordnen wir
+vier Zahlen <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, <i>x</i><sub>3</sub>, <i>x</i><sub>4</sub>
+(Koordinaten) zu, die gar keine unmittelbare physikalische Bedeutung
+besitzen, sondern nur dazu dienen, die Punkte des Kontinuums in
+bestimmter, aber willkürlicher Weise zu numerieren. Solche Koordinaten
+legen wir der Beschreibung der physikalischen Vorgänge zugrunde.
+Bei dieser Zuordnung ist zwischen „räumlicher“ und „zeitlicher“
+Ausdehnung nicht unterschieden, so daß man nicht mehr die Koordinaten
+<i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, <i>x</i><sub>3</sub> als „räumliche“, die
+Koordinaten <i>x</i><sub>4</sub> als „zeitliche“ unterscheiden kann.</p>
+
+<p>Der Leser könnte denken, daß eine derartige Beschreibung der Welt
+gänzlich unzulänglich wäre. Was bedeutet es, wenn ich einem Ereignis
+die bestimmten Koordinaten <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, <i>x</i><sub>3</sub>,
+<i>x</i><sub>4</sub> zuschreibe, wenn diese Koordinaten selbst nichts
+bedeuten? Bei genauerer Überlegung zeigt sich jedoch, daß diese Sorge
+nicht begründet ist. Betrachten wir z.&#8239;B. einen beliebig bewegten
+materiellen Punkt! Hätte derselbe nur eine momentane Existenz ohne
+Dauer, so wäre er raum-zeitlich beschrieben durch ein einziges
+Wertsystem <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, <i>x</i><sub>3</sub>, <i>x</i><sub>4</sub>.
+Seine bleibende Existenz ist also durch eine unendlich große Zahl
+von solchen Wertsystemen charakterisiert, deren Koordinatenwerte
+sich stetig aneinanderreihen; dem Massenpunkte entspricht also eine
+(eindimensionale) Linie im vierdimensionalen Kontinuum. Vielen bewegten
+Punkten entsprechen ebensowohl derartige Linien in unserem Kontinuum.
+Die einzigen diese Punkte betreffenden Aussagen, welche physikalische
+Realität beanspruchen können, sind in Wahrheit die Aussagen über
+Begegnungen dieser Punkte. Eine solche Begegnung äußert sich in
+unserer mathematischen Darstellung darin, daß die beiden Linien,
+welche die betreffenden Punktbewegungen darstellen, ein gewisses
+System <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, <i>x</i><sub>3</sub>, <i>x</i><sub>4</sub> von
+Koordinatenwerten gemeinsam haben. Daß solche Begegnungen in Wahrheit
+die einzigen tatsächlichen Konstatierungen zeit-räumlichen Charakters
+sind, die wir in physikalischen Aussagen antreffen, wird der Leser nach
+eingehender Überlegung ohne Zweifel zugeben.</p>
+
+<p><span class="pagenum" id="Page_65">[S. 65]</span></p>
+
+<p>Wenn wir früher die Bewegung eines materiellen Punktes relativ zu
+einem Bezugskörper beschrieben, gaben wir nichts weiter an, als die
+Begegnungen dieses Punktes mit bestimmten Punkten des Bezugskörpers.
+Auch die zugehörigen Zeitangaben lassen sich auflösen in die
+Konstatierung von Begegnungen des Körpers mit Uhren, in Verbindung mit
+Konstatierung der Begegnung von Uhrzeigern mit bestimmten Punkten von
+Zifferblättern. Nicht anders ist es mit den räumlichen Messungen durch
+Maßstäbe, wie einiges Nachdenken zeigt.</p>
+
+<p>Allgemein gilt: „Jede physikalische Beschreibung löst sich auf in eine
+Zahl von Aussagen, deren jede sich auf die raum-zeitliche Koinzidenz
+zweier Ereignisse A und B bezieht. Jede solche Aussage drückt sich
+in <em class="gesperrt">Gauß</em>schen Koordinaten durch die Übereinstimmung der vier
+Koordinaten <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, <i>x</i><sub>3</sub>, <i>x</i><sub>4</sub>
+aus.“ Die Beschreibung des zeit-räumlichen Kontinuums durch
+<em class="gesperrt">Gauß</em>sche Koordinaten ersetzt also tatsächlich die Beschreibung
+mit Hilfe eines Bezugskörpers vollständig, ohne an den Mängeln der
+letzteren Beschreibungsmethode zu kranken; sie ist nicht an den
+Euklidischen Charakter des darzustellenden Kontinuums gebunden.</p>
+
+<div class="section">
+
+<h3 id="Exakte_Formulierung_des_allgemeinen_Relativitatsprinzips_28">
+  § 28. Exakte Formulierung des allgemeinen Relativitätsprinzips.
+</h3>
+
+</div>
+
+<p>Nun sind wir in der Lage, die in § 18 gegebene vorläufige Formulierung
+des allgemeinen Relativitätsprinzips durch eine exakte zu ersetzen.
+Die damalige Fassung, „Alle Bezugskörper <i>K</i>, <i>K′</i> usw.
+sind für die Naturbeschreibung (Formulierung der allgemeinen
+Naturgesetze) gleichwertig, welches auch deren Bewegungszustand sein
+mag“, läßt sich nicht aufrecht erhalten, weil die Benutzung von
+starren Bezugskörpern bei der raum-zeitlichen Beschreibung im Sinne
+der bei der speziellen Relativitätstheorie befolgten Methode im
+allgemeinen nicht möglich ist. An die Stelle des Bezugskörpers hat
+das <em class="gesperrt">Gauß</em>sche Koordinatensystem zu treten. Dem Grundgedanken
+des allgemeinen Relativitätsprinzips entspricht die Aussage: „<em class="gesperrt">Alle
+Gaußschen Koordinatensysteme sind für die <span class="pagenum" id="Page_66">[S. 66]</span>Formulierung der allgemeinen
+Naturgesetze prinzipiell gleichwertig.</em>“</p>
+
+<p>Man kann dies allgemeine Relativitätsprinzip auch noch in einer anderen
+Form aussprechen, die dasselbe noch deutlicher als die naturgemäße
+Erweiterung des speziellen Relativitätsprinzips erkennen läßt. Nach der
+speziellen Relativitätstheorie gehen die die allgemeinen Naturgesetze
+ausdrückenden Gleichungen in Gleichungen derselben Form über, wenn man
+statt der Raum-Zeit-Variabeln <i>x</i>, <i>y</i>, <i>z</i>, <i>t</i>
+eines (<em class="gesperrt">Galilei</em>schen) Bezugskörpers <i>K</i> unter Benutzung der
+Lorentz-Transformation die Raum-Zeit-Variabeln <i>x′</i>, <i>y′</i>,
+<i>z′</i>, <i>t′</i> eines neuen Bezugskörpers <i>K′</i> einführt. Nach
+der allgemeinen Relativitätstheorie dagegen müssen die Gleichungen
+bei Anwendung <em class="gesperrt">beliebiger Substitutionen</em> der <em class="gesperrt">Gauß</em>schen
+Variabeln <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, <i>x</i><sub>3</sub>, <i>x</i><sub>4</sub>
+in Gleichungen derselben Form übergehen; denn jede Transformation
+(nicht nur die Lorentz-Transformation) entspricht dem Übergang eines
+<em class="gesperrt">Gauß</em>schen Koordinatensystems in ein anderes.</p>
+
+<p>Will man auf die gewohnte dreidimensionale Anschauung nicht
+verzichten, so kann man die Entwicklung, welche wir den Grundgedanken
+der allgemeinen Relativitätstheorie durchmachen sehen, wie folgt
+charakterisieren: Die spezielle Relativitätstheorie bezieht sich
+auf <em class="gesperrt">Galilei</em>sche Gebiete, d.&#8239;h. auf solche, in welchen kein
+Gravitationsfeld existiert. Als Bezugskörper dient dabei ein
+<em class="gesperrt">Galilei</em>scher Bezugskörper, d.&#8239;h. ein starrer Körper von so
+gewähltem Bewegungszustande, daß relativ zu ihm der <em class="gesperrt">Galilei</em>sche
+Satz von der gleichförmig-geradlinigen Bewegung „isolierter“
+materieller Punkte gilt.</p>
+
+<p>Gewisse Überlegungen legen es nahe, dieselben <em class="gesperrt">Galilei</em>schen
+Gebiete auch auf Nicht-<em class="gesperrt">Galilei</em>sche Bezugskörper zu beziehen.
+Relativ zu diesen ist dann ein Gravitationsfeld von spezieller Art
+vorhanden (§ 20 und § 23).</p>
+
+<p>Starre Körper mit Euklidischen Eigenschaften gibt es aber in
+Gravitationsfeldern nicht; die Fiktion des starren Bezugskörpers
+versagt daher in der allgemeinen Relativitätstheorie. Auch wird der
+Gang der Uhren von Gravitationsfeldern beeinflußt, derart, daß eine
+physikalische Zeitdefinition direkt mit <span class="pagenum" id="Page_67">[S. 67]</span>Hilfe von Uhren durchaus nicht
+jenen Grad der Evidenz hat wie in der speziellen Relativitätstheorie.</p>
+
+<p>Man benutzt daher nichtstarre Bezugskörper, welche nicht nur als
+Ganzes beliebig bewegt sind, sondern auch während ihrer Bewegung
+beliebige Gestaltsänderungen erleiden. Zur Definition der Zeit dienen
+Uhren von beliebigem, noch so unregelmäßigem Ganggesetz, welche man
+sich je an einem Punkte des nichtstarren Bezugskörpers befestigt
+zu denken hat, und welche nur die eine Bedingung erfüllen, daß die
+gleichzeitig wahrnehmbaren Angaben örtlich benachbarter Uhren unendlich
+wenig voneinander abweichen. Dieser nichtstarre Bezugskörper, den
+man nicht mit Unrecht als „Bezugsmolluske“ bezeichnen könnte, ist
+im wesentlichen gleichwertig mit einem beliebigen <em class="gesperrt">Gauß</em>schen
+vierdimensionalen Koordinatensystem. Was der „Molluske“ gegenüber dem
+<em class="gesperrt">Gauß</em>schen Koordinatensystem eine gewisse Anschaulichkeit gibt,
+ist die (eigentlich unberechtigte) formale Wahrung der Sonderexistenz
+der räumlichen Koordinaten gegenüber der Zeitkoordinate. Jeder Punkt
+der Molluske wird als Raumpunkt behandelt, jeder relativ zu ihm
+ruhende materielle Punkt schlechthin als ruhend, solange die Molluske
+als Bezugskörper behandelt wird. Das allgemeine Relativitätsprinzip
+fordert, daß alle diese Mollusken mit gleichem Rechte und gleichem
+Erfolge bei der Formulierung der allgemeinen Naturgesetze als
+Bezugskörper verwendet werden können; die Gesetze sollen von der
+Molluskenwahl gänzlich unabhängig sein.</p>
+
+<p>In der weitgehenden Beschränkung, welche hierdurch den Naturgesetzen
+auferlegt wird, liegt die Spürkraft, die dem allgemeinen
+Relativitätsprinzip innewohnt.</p>
+
+<div class="section">
+
+<h3 id="Die_Loesung_des_Graviationsproblems_aufgrund_des_allgemeinen_Relativitatsprinzips_29">
+  § 29. Die Lösung des Gravitationsproblems auf Grund des allgemeinen
+  Relativitätsprinzips.
+</h3>
+
+</div>
+
+<p>Ist der Leser allen bisherigen Überlegungen gefolgt, so bereitet
+ihm das Verstehen der zur Lösung des Gravitationsproblems führenden
+Methoden keine Schwierigkeiten mehr.</p>
+
+<p>Wir gehen aus von der Betrachtung eines <em class="gesperrt">Galilei</em>schen Gebietes,
+d.&#8239;h. eines solchen, in welchem relativ zum <em class="gesperrt">Galilei</em>schen
+<span class="pagenum" id="Page_68">[S. 68]</span>Bezugskörper <i>K</i> kein Gravitationsfeld existiert. Das Verhalten
+von Maßstäben und Uhren in bezug auf <i>K</i> ist aus der speziellen
+Relativitätstheorie bekannt, ebenso das Verhalten von „isolierten“
+Massepunkten; letztere bewegen sich geradlinig und gleichförmig.</p>
+
+<p>Nun beziehen wir dies Gebiet auf ein beliebiges <em class="gesperrt">Gauß</em>sches
+Koordinatensystem bzw. auf eine „Molluske“ als Bezugskörper <i>K′</i>.
+In bezug auf <i>K′</i> besteht dann ein Gravitationsfeld <i>G</i>
+(besonderer Art). Durch bloße Umrechnung erfährt man dann das Verhalten
+von Maßstäben und Uhren sowie von frei beweglichen materiellen Punkten
+in bezug auf <i>K′</i>. Dies Verhalten interpretiert man als das
+Verhalten von Maßstäben, Uhren, materiellen Punkten unter der Wirkung
+des Gravitationsfeldes <i>G</i>. Man führt hierauf die Hypothese ein,
+daß die Einwirkung des Gravitationsfeldes auf Maßstäbe, Uhren und frei
+bewegliche, materielle Punkte auch dann nach denselben Gesetzen vor
+sich gehe, wenn sich das herrschende Gravitationsfeld <em class="gesperrt">nicht</em>
+durch bloße Koordinatentransformation aus dem <em class="gesperrt">Galilei</em>schen
+Spezialfall ableiten läßt.</p>
+
+<p>Hierauf untersucht man das raum-zeitliche Verhalten des aus dem
+<em class="gesperrt">Galilei</em>schen Spezialfall durch bloße Transformation der
+Koordinaten abgeleiteten Gravitationsfeldes <i>G</i> und formuliert
+dies Verhalten durch ein Gesetz, das immer gültig ist, wie auch der zur
+Beschreibung benutzte Bezugskörper (Molluske) gewählt werden mag.</p>
+
+<p>Dies Gesetz ist noch nicht das <em class="gesperrt">allgemeine</em> Gesetz des
+Gravitationsfeldes, da das studierte Gravitationsfeld <i>G</i> von
+spezieller Art ist. Zur Auffindung des allgemeinen Feldgesetzes der
+Gravitation bedarf es noch einer Verallgemeinerung des so gewonnenen
+Gesetzes, welche jedoch ohne Willkür aufgefunden werden kann, unter
+Berücksichtigung der folgenden Forderungen:</p>
+
+<div class="csstab">
+  <div class="cssrow">
+    <div class="csscell">a)&#8194;</div>
+    <div class="csscell">Die gesuchte Verallgemeinerung muß ebenfalls dem
+    allgemeinen Relativitätspostulat genügen.</div>
+  </div>
+  <div class="cssrow">
+    <div class="csscell">b)&#8194;</div>
+    <div class="csscell">Ist Materie in dem betrachteten Gebiete vorhanden, so
+    ist für deren felderregende Wirkung allein deren träge Masse, also gemäß
+    § 15 allein deren Energie maßgebend.</div>
+  </div>
+  <div class="cssrow">
+    <div class="csscell"><span class="pagenum" id="Page_69">[S. 69]</span>
+     c)&#8194;</div>
+    <div class="csscell">Gravitationsfeld und Materie zusammen müssen dem
+    Gesetz von der Erhaltung der Energie (und des Impulses) genügen.</div>
+  </div>
+</div>
+
+<p>Endlich erlaubt uns das allgemeine Relativitätsprinzip, den Einfluß
+des Gravitationsfeldes auf den Ablauf aller derjenigen Vorgänge zu
+ermitteln, die für den Fall des Fehlens eines Gravitationsfeldes
+nach bekannten Gesetzen ablaufen, d.&#8239;h. in den Rahmen der speziellen
+Relativitätstheorie bereits eingefügt sind. Man verfährt dabei im
+Prinzip nach der Methode, die vorhin für Maßstäbe, Uhren und frei
+bewegliche Massenpunkte auseinandergesetzt worden ist.</p>
+
+<p>Die so aus dem allgemeinen Relativitätspostulat abgeleitete
+Gravitationstheorie zeichnet sich nicht nur durch ihre Schönheit aus,
+sie beseitigt nicht nur den in § 21 beleuchteten Mangel, welcher
+der klassischen Mechanik anhaftet, sie interpretiert nicht nur das
+Erfahrungsgesetz von der Gleichheit der trägen und schweren Masse,
+sondern sie hat auch schon ein Beobachtungsergebnis der Astronomie
+erklärt, dem gegenüber die klassische Mechanik versagt.</p>
+
+<p>Spezialisiert man sie nämlich auf den Fall, daß die Gravitationsfelder
+als schwach anzusehen sind, und daß alle Massen sich mit
+Geschwindigkeiten gegen das Koordinatensystem bewegen, welche gegen
+die Lichtgeschwindigkeit klein sind, so erhält man zunächst die
+<em class="gesperrt">Newton</em>sche Theorie als erste Näherung; letztere ergibt sich
+also hier ohne besondere Annahme, während <em class="gesperrt">Newton</em> die dem
+Quadrat der Distanz aufeinander wirkender Massenpunkte indirekt
+proportionale Anziehungskraft als Hypothese einführen mußte. Vergrößert
+man die Genauigkeit der Rechnung, so treten Abweichungen von der
+<em class="gesperrt">Newton</em>schen Theorie auf, die sich allerdings wegen ihrer
+Kleinheit fast alle noch der Beobachtung entziehen müssen.</p>
+
+<p>Eine dieser Abweichungen müssen wir hier speziell ins Auge fassen.
+Nach der <em class="gesperrt">Newton</em>schen Theorie bewegt sich ein Planet um die
+Sonne in einer Ellipse, welche gegenüber den Fixsternen ihre Lage
+ewig beibehalten würde, wenn von der Einwirkung der anderen Planeten
+auf den betrachteten Planeten und von der Eigenbewegung der Fixsterne
+abgesehen <span class="pagenum" id="Page_70">[S. 70]</span>werden könnte. Korrigiert man daher die beobachtete
+Bewegung der Planeten auf diese beiden Einflüsse, so soll als Bahn
+des Planeten eine gegen die Fixsterne feste Ellipse resultieren, wenn
+<em class="gesperrt">Newton</em>s Theorie genau richtig ist. Bei allen Planeten, bis auf
+den der Sonne nächsten Planeten Merkur, hat sich diese mit eminenter
+Genauigkeit prüfbare Konsequenz mit der Genauigkeit bestätigt, welche
+die heute erreichbare Beobachtungsschärfe zu erzielen gestattet.
+Vom Planeten Merkur aber wissen wir seit <em class="gesperrt">Leverrier</em>, daß die
+Ellipse seiner im obigen Sinne korrigierten Bahn gegenüber den
+Fixsternen nicht feststeht, sondern, wenn auch ungeheuer langsam,
+in der Ebene der Bahn im Sinne der Umlaufbewegung rotiert. Für
+diese Rotationsbewegung der Bahnellipse ergab sich ein Betrag von
+43 Bogen-Sekunden pro Jahrhundert, welcher Betrag bis auf wenige
+Bogen-Sekunden sichergestellt ist. Die Erklärung dieser Erscheinung
+nach der klassischen Mechanik gelingt nur unter Zugrundelegung
+von ausschließlich ihrethalben ersonnenen, wenig wahrscheinlichen
+Hypothesen.</p>
+
+<p>Nach der allgemeinen Relativitätstheorie ergibt sich, daß jede
+Planetenellipse um die Sonne in der oben angegebenen Weise notwendig
+rotieren muß, daß diese Rotation bei allen Planeten außer Merkur
+zu klein ist, um bei der heute erzielbaren Beobachtungsgenauigkeit
+festgestellt zu werden, daß sie aber bei Merkur 43 Bogen-Sekunden pro
+Jahrhundert betragen muß, genau wie es die Beobachtung verlangt.</p>
+
+<p>Außerdem haben aus der Theorie bisher nur zwei Konsequenzen gezogen
+werden können, die sich nicht wegen ihrer Kleinheit der Beobachtung
+entziehen müssen, nämlich die Krümmung der Lichtstrahlen durch das
+Gravitationsfeld der Sonne und eine Spektralverschiebung des von
+großen Sternen zu uns gesandten Lichtes gegenüber dem auf der Erde
+in entsprechender Weise (d.&#8239;h. durch dieselbe Molekülart) erzeugten
+Lichte. Ich zweifle nicht daran, daß auch diese Konsequenzen der
+Theorie ihre Bestätigung finden werden.</p>
+
+<div class="footnotes">
+
+<div class="footnote"><p><a id="Footnote_12_12" href="#FNanchor_12_12" class="label">[12]</a> Der Einwand ist besonders dann von Gewicht, wenn der
+Bewegungszustand des Bezugskörpers ein solcher ist, daß er zu seiner
+Aufrechterhaltung keiner äußeren Einwirkung bedarf, z.&#8239;B. in dem Falle,
+daß der Bezugskörper gleichmäßig rotiert.</p></div>
+
+<div class="footnote"><p><a id="Footnote_13_13" href="#FNanchor_13_13" class="label">[13]</a> Dies folgt durch Verallgemeinerung der Betrachtung des §
+20.</p></div>
+
+<div class="footnote"><p><a id="Footnote_14_14" href="#FNanchor_14_14" class="label">[14]</a> Das Feld verschwindet im Mittelpunkt der Scheibe und
+nimmt proportional dem Abstand von diesem nach außen hin zu.</p></div>
+
+<div class="footnote"><p><a id="Footnote_15_15" href="#FNanchor_15_15" class="label">[15]</a> Unser Problem ist den Mathematikern in folgender Form
+entgegengetreten. Ist im Euklidischen, dreidimensionalen Meßraume eine
+Fläche, z.&#8239;B. ein Ellipsoid, gegeben, so gibt es auf dieser Fläche eine
+zweidimensionale Geometrie, ebensogut wie in der Ebene. <em class="gesperrt">Gauß</em> hat
+sich das Problem gestellt, diese zweidimensionale Geometrie prinzipiell
+zu behandeln, ohne zu benutzen, daß die Fläche einem Euklidischen
+Kontinuum von drei Dimensionen angehört. Denkt man sich <em class="gesperrt">in der
+Fläche</em> mit starren Stäbchen Konstruktionen ausgeführt (ähnlich wie
+vorhin auf der Tischplatte), so gelten für diese andere Gesetze als
+gemäß der Euklidischen Geometrie der Ebene. Die Fläche ist in bezug
+auf die Stäbchen kein Euklidisches Kontinuum, und es lassen sich <em class="gesperrt">in
+der Fläche</em> keine Kartesischen Koordinaten definieren. <em class="gesperrt">Gauß</em>
+zeigte, nach welchen Prinzipien man die geometrischen Verhältnisse
+in der Fläche behandeln kann, und wies damit den Weg zu der
+<em class="gesperrt">Riemann</em>schen Behandlung mehr-dimensionaler, Nicht-Euklidischer
+Kontinua. So kam es, daß die Mathematiker die formalen Probleme bereits
+seit langem gelöst haben, zu denen das allgemeine Relativitätspostulat
+führt.</p></div>
+</div>
+
+<div style='text-align:center'>*** END OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK 77850 ***</div>
+</body>
+</html>
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