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diff --git a/.gitattributes b/.gitattributes new file mode 100644 index 0000000..6833f05 --- /dev/null +++ b/.gitattributes @@ -0,0 +1,3 @@ +* text=auto +*.txt text +*.md text diff --git a/77850-0.txt b/77850-0.txt new file mode 100644 index 0000000..c38dcd5 --- /dev/null +++ b/77850-0.txt @@ -0,0 +1,2557 @@ +*** START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK 77850 *** + + #################################################################### + + Anmerkungen zur Transkription + + Der vorliegende Text wurde anhand der Buchausgabe von 1917 so weit + wie möglich originalgetreu wiedergegeben. Offensichtliche Druckfehler + wurden stillschweigend korrigiert. + + Ausdrücke als Indizes sind von geschweiften Klammern umgeben, denen + ein Unterstrich vorangeht, z.B. x_{(Stabanfang)}. + + Besondere Schriftvarianten werden im vorliegenden Text mit Hilfe der + folgenden Symbole gekennzeichnet: + + kursiv: _Unterstriche_ + gesperrt: +Pluszeichen+ + + #################################################################### + + + + + Über die spezielle und die allgemeine Relativitätstheorie + + (Gemeinverständlich) + + Von + + A. EINSTEIN + + Mit 3 Figuren + + [Illustration] + + +Braunschweig+ + + +Druck und Verlag von Friedr. Vieweg & Sohn+ + + +1917+ + + + + + Herausgeber dieses Heftes ist + Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. +Karl Scheel+ + + + +Alle Rechte vorbehalten+ + + + + +Vorwort. + + +Das vorliegende Büchlein soll solchen eine möglichst exakte Einsicht +in die Relativitätstheorie vermitteln, die sich vom allgemein +wissenschaftlichen, philosophischen Standpunkt für die Theorie +interessieren, ohne den mathematischen Apparat[1] der theoretischen +Physik zu beherrschen. Die Lektüre setzt etwa Maturitätsbildung und — +trotz der Kürze des Büchleins — ziemlich viel Geduld und Willenskraft +beim Leser voraus. Der Verfasser hat sich die größte Mühe gegeben, +die Hauptgedanken möglichst deutlich und einfach vorzubringen, im +ganzen in solcher Reihenfolge und in solchem Zusammenhange, wie sie +tatsächlich entstanden sind. Im Interesse der Deutlichkeit erschien +es mir unvermeidlich, mich oft zu wiederholen, ohne auf die Eleganz +der Darstellung die geringste Rücksicht zu nehmen; ich hielt mich +gewissenhaft an die Vorschrift des genialen Theoretikers +L. +Boltzmann+, man solle die Eleganz Sache der Schneider und Schuster sein +lassen. Schwierigkeiten, die in der Sache begründet liegen, glaube ich +dem Leser nicht vorenthalten zu haben. Dagegen habe ich die empirischen +physikalischen Unterlagen der Theorie absichtlich stiefmütterlich +behandelt, damit es dem der Physik ferner stehenden Leser nicht ergehe +wie dem Wanderer, der vor lauter Bäumen keinen Wald sieht. Möge das +Büchlein manchem einige frohe Stunden der Anregung bringen! + +Dezember 1916. + + +A. Einstein.+ + + + [1] Die mathematischen Grundlagen der speziellen Relativitätstheorie + findet man in den bei B. G. Teubner in der Monographiensammlung + „Fortschritte der mathematischen Wissenschaften“ unter dem Titel + „Das Relativitätsprinzip“ erschienenen Originalabhandlungen von + +H. A. Lorentz+, +A. Einstein+, +H. Minkowski+, sowie in +M. + Laue+s ausführlichem Buche „Das Relativitätsprinzip“ (Verlag + von Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig). Die allgemeine + Relativitätstheorie nebst den zugehörigen mathematischen + Hilfsmitteln der Invariantentheorie ist in der Broschüre des + Verfassers, „Die Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie“ + (Joh. Ambr. Barth, 1916) behandelt; diese Broschüre setzt einige + Vertrautheit mit der speziellen Relativitätstheorie voraus. + + + + +Erster Teil. + +Über die spezielle Relativitätstheorie. + + +§ 1. Physikalischer Inhalt geometrischer Sätze. + +Gewiß hast auch du, lieber Leser, als Knabe oder Mädchen mit dem +stolzen Gebäude der Geometrie Euklids Bekanntschaft gemacht und +erinnerst dich vielleicht mit mehr Achtung als Liebe an den stolzen +Bau, auf dessen hohen Treppen du von gewissenhaften Fachlehrern in +ungezählten Stunden umhergejagt wurdest. Gewiß würdest du kraft dieser +deiner Vergangenheit jeden mit Verachtung strafen, der auch nur das +abgelegenste Sätzchen dieser Wissenschaft für unwahr erklärte. Aber +dies Gefühl stolzer Sicherheit verließe dich vielleicht sogleich, wenn +dich einer fragte: „Was meinst du denn mit der Behauptung, daß diese +Sätze wahr seien?“ Bei dieser Frage wollen wir ein wenig verweilen. + +Die Geometrie geht aus von gewissen Grundbegriffen, wie Ebene, Punkt, +Gerade, mit denen wir mehr oder minder deutliche Vorstellungen zu +verbinden imstande sind, und von gewissen einfachen Sätzen (Axiomen), +die wir auf Grund jener Vorstellungen als „wahr“ hinzunehmen geneigt +sind. Alle übrigen Sätze werden dann auf Grund einer logischen Methode, +deren Berechtigung wir uns anzuerkennen genötigt fühlen, auf jene +Axiome zurückgeführt, d. h. bewiesen. Ein Satz ist dann richtig bzw. +„wahr“, wenn er in der anerkannten Weise aus den Axiomen hergeleitet +ist. Die Frage nach der „Wahrheit“ der einzelnen geometrischen Sätze +führt also zurück auf die Frage nach der „Wahrheit“ der Axiome. +Längst aber ist es bekannt, daß die letztere Frage nicht nur durch die +Methoden der Geometrie nicht beantwortbar, sondern überhaupt an sich +ohne Sinn ist. Man kann nicht fragen, ob es wahr sei, daß durch zwei +Punkte nur +eine+ Gerade hindurchgeht. Man kann nur sagen, daß die +Euklidische Geometrie von Gebilden handelt, die sie „Gerade“ nennt, und +denen sie die Eigenschaft beilegt, durch zwei ihrer Punkte eindeutig +bestimmt zu sein. Der Begriff „wahr“ paßt nicht auf die Aussagen der +reinen Geometrie, weil wir mit dem Worte „wahr“ in letzter Linie stets +die Übereinstimmung mit einem „realen“ Gegenstande zu bezeichnen +pflegen; die Geometrie aber befaßt sich nicht mit der Beziehung ihrer +Begriffe zu den Gegenständen der Erfahrung, sondern nur mit dem +logischen Zusammenhang dieser Begriffe untereinander. + +Daß wir uns trotzdem dazu hingezogen fühlen, die Sätze der Geometrie +als „wahr“ zu bezeichnen, erklärt sich leicht. Den geometrischen +Begriffen entsprechen mehr oder weniger exakt Gegenstände in der +Natur, welch letztere ohne Zweifel die alleinige Ursache für die +Entstehung jener Begriffe sind. Mag die Geometrie, um ihrem Gebäude +die größtmögliche logische Geschlossenheit zu geben, hiervon Abstand +nehmen; die Gewohnheit, beispielsweise in einer Strecke zwei markierte +Stellen auf +einem+ praktisch starren Körper zu sehen, steckt tief +in unseren Denkgewohnheiten. Wir sind ferner gewohnt, drei Orte als +auf einer Geraden befindlich anzunehmen, wenn wir ihre scheinbaren +Sehorte durch passende Wahl des Beobachtungsortes bei einäugigem Sehen +zusammenfallen lassen können. + +Wenn wir nun, der Denkgewohnheit folgend, den Sätzen der Euklidischen +Geometrie den einzigen Satz zufügen, daß zwei Punkten eines praktisch +starren Körpers stets die nämliche Entfernung (Strecke) entspreche, was +für Lagenänderungen wir auch mit dem Körper vornehmen mögen, so werden +aus den Sätzen der euklidischen Geometrie Sätze über die mögliche +relative Lagerung praktisch starrer Körper[2]. Die so ergänzte +Geometrie ist dann als ein Zweig der Physik zu behandeln. Jetzt kann +mit Recht nach der „Wahrheit“ so interpretierter geometrischer Sätze +gefragt werden, denn es kann gefragt werden, ob jene Sätze zutreffen +für diejenigen realen Dinge, welche wir den geometrischen Begriffen +zugeordnet haben. Etwas ungenau können wir also sagen, daß wir unter +der „Wahrheit“ eines geometrischen Satzes in diesem Sinne sein +Zutreffen bei einer Konstruktion mit Zirkel und Lineal verstehen. + +Die Überzeugung von der „Wahrheit“ der geometrischen Sätze in diesem +Sinne beruht natürlich ausschließlich auf ziemlich unvollkommenen +Erfahrungen. Wir werden jene Wahrheit der geometrischen Sätze zunächst +voraussetzen, um dann im letzten Teile unserer Betrachtungen (bei der +allgemeinen Relativitätstheorie) zu sehen, daß und inwiefern jene +Wahrheit ihre Grenzen hat. + + +§ 2. Das Koordinatensystem. + +Auf Grund der angedeuteten physikalischen Interpretation des Abstandes +sind wir auch in der Lage, den Abstand zweier Punkte eines starren +Körpers auf Grund von Messungen festzusetzen. Dazu brauchen wir eine +ein- für allemal zu benutzende Strecke (Stäbchen _S_), welche als +Einheitsmaßstab verwendet wird. Sind nun _A_ und _B_ zwei Punkte eines +starren Körpers, so ist deren Verbindungsgerade konstruierbar nach den +Gesetzen der Geometrie; hierauf kann man auf dieser Verbindungsgeraden +die Strecke _S_ von _A_ aus so oft abtragen, bis man nach _B_ gelangt. +Die Zahl der Wiederholungen des Abtragens ist die Maßzahl der Strecke +_A͞B_. Hierauf beruht alles Messen von Längen[3]. + +Jede räumliche Beschreibung des Ortes eines Ereignisses oder +Gegenstandes beruht darauf, daß man den Punkt eines starren Körpers +(Bezugskörpers) angibt, mit dem jenes Ereignis koinzidiert. Dies gilt +nicht nur für die wissenschaftliche Beschreibung, sondern auch für +das tägliche Leben. Analysiere ich die Ortsangabe „in Berlin, auf dem +Potsdamer Platz“, so bedeutet sie folgendes. Die Erdoberfläche ist +der starre Körper, auf den sich die Ortsangabe bezieht; auf ihm ist +„Potsdamerplatz in Berlin“ ein markierter, mit Namen versehener Punkt, +mit dem das Ereignis räumlich koinzidiert[4]. + +Diese primitive Art der Ortsangabe kennt nur Orte an der Oberfläche +starrer Körper und ist an das Vorhandensein unterscheidbarer Punkte +dieser Oberfläche gebunden. Sehen wir zu, wie sich der menschliche +Geist von diesen beiden Beschränkungen befreit, ohne daß das Wesen +der Ortsangabe eine Änderung erfährt! Schwebt beispielsweise über +dem Potsdamer Platz eine Wolke, so kann der Ort dieser, bezogen auf +die Erdoberfläche, dadurch festgelegt werden, daß man auf dem Platze +senkrecht eine Stange errichtet, die bis zur Wolke hinaufreicht. Die +mit dem Einheitsmaßstab gemessene Länge der Stange in Verbindung +mit der Angabe des Ortes des Fußpunktes der Stange ist dann eine +vollständige Ortsangabe. An diesem Beispiele sehen wir, auf welchem +Wege eine Verfeinerung des Ortsbegriffes vor sich gegangen ist. + + a) Man setzt den starren Körper, auf den sich die Ortsangabe bezieht, + in solcher Weise fort, daß der zu lokalisierende Gegenstand von dem + vervollständigten starren Körper erreicht wird. + + b) Man benutzt zur Charakterisierung des Ortes die +Zahl+ statt + benannter Merkpunkte (hier die mit dem Maßstab gemessene Länge der + Stange). + + c) Man spricht von der Höhe der Wolke auch dann, wenn eine + Stange, welche die Wolke erreicht, gar nicht errichtet ist. In + unserem Falle ermittelt man aus optischen Aufnahmen der Wolke von + verschiedenen Stellen des Bodens aus unter Berücksichtigung der + Ausbreitungseigenschaften des Lichtes, wie lang die Stange gemacht + werden müßte, um die Wolke zu erreichen. + +Aus dieser Überlegung sieht man, daß es für die Beschreibung von +Orten vorteilhaft sein wird, wenn es gelingt, sich durch Verwendung +von Meßzahlen von der Existenz mit Namen versehener Merkpunkte auf +dem starren Körper, auf den sich die Ortsangabe bezieht, unabhängig +zu machen. Dies erreicht die messende Physik durch Anwendung des +Kartesischen Koordinatensystems. + +Dieses besteht in drei zueinander senkrechten, zu einem starren Körper +verbundenen starren, ebenen Wänden. Der Ort irgendeines Geschehnisses +in bezug auf das Koordinatensystem wird (im wesentlichen) beschrieben +durch die Angabe der Länge der drei Lote oder Koordinaten (_x_, _y_, +_z_), welche von dem Geschehnis aus auf jene drei ebenen Wände gefällt +werden können. Die Längen dieser drei Lote sind durch eine Folge von +Manipulationen mit starren Stäben ermittelbar, welche Manipulationen +durch die Gesetze und Methoden der Euklidischen Geometrie +vorgeschrieben werden. + +Bei den Anwendungen sind jene das Koordinatensystem bildenden starren +Wände meist nicht realisiert; auch werden die Koordinaten nicht +wirklich durch Konstruktionen mit starren Stäben, sondern indirekt +ermittelt. Der physikalische Sinn der Ortsangaben muß jedoch stets den +vorstehenden Eröterungen gemäß gesucht werden, wenn die Ergebnisse der +Physik und Astronomie nicht ins Unklare zerfließen sollen[5]. + +Es ergibt sich also folgendes: Jede räumliche Beschreibung von +Geschehnissen bedient sich eines starren Körpers, auf den die +Geschehnisse räumlich zu beziehen sind. Jene Beziehung setzt voraus, +daß für „Strecken“ die Gesetze der Euklidischen Geometrie gelten, wobei +die „Strecke“ physikalisch repräsentiert wird durch zwei Marken auf +einem starren Körper. + + +§ 3. Raum und Zeit in der klassischen Mechanik. + +Wenn ich ohne schwere Bedenken und eingehende Erläuterungen die Aufgabe +der Mechanik so formuliere: „Die Mechanik hat zu beschreiben, wie die +Körper mit der Zeit ihren Ort im Raume ändern“, so nehme ich einige +Todsünden gegen den heiligen Geist der Klarheit auf mein Gewissen; +diese Sünden sollen zunächst aufgedeckt werden. + +Es ist unklar, was hier unter „Ort“ und „Raum“ zu verstehen ist. Ich +stehe am Fenster eines gleichförmig fahrenden Eisenbahnwagens und +lasse einen Stein auf den Bahndamm fallen, ohne ihm einen Schwung zu +geben. Dann sehe ich (abgesehen vom Einfluß des Luftwiderstandes) +den Stein geradlinig herabfallen. Ein Fußgänger, der die Übeltat vom +Fußwege aus mit ansieht, bemerkt, daß der Stein in einem Parabelbogen +zur Erde herabfällt. Ich frage nun: Liegen die „Orte“, welche der +Stein durchläuft, „in Wirklichkeit“ auf einer Geraden oder auf einer +Parabel? Was bedeutet hier ferner Bewegung „im Raume“? Die Antwort ist +nach den Überlegungen des § 2 selbstverständlich. Zunächst lassen wir +das dunkle Wort „Raum“, unter dem wir uns bei ehrlichem Geständnis +nicht das geringste denken können, ganz beiseite; wir setzen statt +dessen „Bewegung in bezug auf einen praktisch starren Bezugskörper.“ +Die Orte in bezug auf den Bezugskörper (Bahnwagen +oder+ Erdboden) +sind im vorigen Paragraphen bereits ausführlich definiert worden. +Indem wir statt „Bezugskörper“ den für die mathematische Beschreibung +nützlichen Begriff „Koordinatensystem“ einführen, können wir sagen: +Der Stein beschreibt in bezug auf ein mit dem Wagen starr verbundenes +Koordinatensystem eine Gerade, in bezug auf ein mit dem Erdboden +starr verbundenes Koordinatensystem eine Parabel. Man sieht an diesem +Beispiel deutlich, daß es eine Bahnkurve an sich nicht gibt, sondern +nur eine Bahnkurve in bezug auf einen bestimmten Bezugskörper. + +Eine +vollständige+ Beschreibung der Bewegung kommt aber erst dadurch +zustande, daß man angibt, wie der Körper seinen Ort +mit der Zeit+ +ändert; d. h. es muß für jeden Punkt der Bahnkurve angegeben werden, +zu welcher Zeit der Körper sich dort befindet. Diese Angaben müssen +durch eine solche Definition der Zeit vervollständigt werden, daß diese +Zeitwerte kraft jener Definition als prinzipiell beobachtbare Größen +(Resultate von Messungen) angesehen werden können. Dieser Forderung +entsprechen wir — auf dem Boden der klassischen Mechanik stehend — für +unser Beispiel in folgender Weise. Wir denken uns zwei genau gleich +beschaffene Uhren; die eine hat der Mann am Eisenbahnwagenfenster, die +andere der Mann auf dem Fußwege in der Hand. Jeder der beiden stellt +fest, an welcher Stelle des betreffenden Bezugskörpers der Stein sich +gerade befindet, wenn die Uhr tickt, die er in der Hand hat. Dabei +verzichten wir auf ein Eingehen auf die Ungenauigkeit, welche durch die +Endlichkeit der Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtes hereinkommt. +Hiervon und von einer zweiten hier obwaltenden Schwierigkeit wird +später ausführlich die Rede sein. + + +§ 4. Das Galileische Koordinatensystem. + +Bekanntlich lautet das unter dem Namen Trägheitsgesetz bekannte +Grundgesetz der +Galilei+-+Newton+schen Mechanik: Ein von anderen +Körpern hinreichend entfernter Körper verharrt im Zustande der +Ruhe oder der gleichförmig-geradlinigen Bewegung. Dieser Satz +sagt nicht nur etwas aus über die Bewegung der Körper, sondern +auch über die in der Mechanik zulässigen Bezugskörper oder +Koordinatensysteme, welche bei der mechanischen Beschreibung +verwendet werden dürfen. Körper, auf welche der Trägheitssatz +sicherlich mit großer Annäherung Anwendung finden kann, sind die +sichtbaren Fixsterne. Benutzen wir nun ein Koordinatensystem, +welches mit der Erde starr verbunden ist, so beschreibt relativ zu +ihm jeder Fixstern im Laufe eines (astronomischen) Tages einen +Kreis von ungeheurem Radius, im Widerspruch mit dem Wortlaut des +Trägheitsgesetzes. Hält man also an diesem Gesetze fest, so darf +man die Bewegungen nur auf Koordinatensysteme beziehen, relativ +zu welchen die Fixsterne keine Kreisbewegungen ausführen. Ein +Koordinatensystem, dessen Bewegungszustand ein solcher ist, daß relativ +zu ihm das Trägheitsgesetz gilt, nennen wir ein „+Galilei+sches +Koordinatensystem.“ Nur für ein +Galilei+sches Koordinatensystem +beanspruchen die Gesetze der +Galilei+-+Newton+schen Mechanik +Gültigkeit. + + +§ 5. Das Relativitätsprinzip (im engeren Sinne). + +Wir gehen wieder, um möglichste Anschaulichkeit zu erzielen, von +dem Beispiel des gleichmäßig fahrenden Eisenbahnwagens aus. Seine +Bewegung nennen wir eine gleichförmige Translation („gleichförmig“, +weil von konstanter Geschwindigkeit und Richtung, „Translation“, +weil der Wagen relativ zum Fahrdamm zwar seinen Ort ändert, aber +hierbei keine Drehungen ausführt). Es fliege ein Rabe geradlinig und +gleichförmig — vom Bahndamm aus beurteilt — durch die Luft. Dann ist +— vom fahrenden Wagen aus beurteilt — die Bewegung des Raben zwar +eine Bewegung von anderer Geschwindigkeit und anderer Richtung; aber +sie ist ebenfalls geradlinig und gleichförmig. Abstrakt ausgedrückt: +Bewegt sich eine Masse _m_ geradlinig und gleichförmig in bezug auf +ein Koordinatensystem _K_, so bewegt sie sich auch geradlinig und +gleichförmig in bezug auf ein zweites Koordinatensystem _K′_, falls +letzteres in bezug auf _K_ eine gleichförmige Translationsbewegung +ausführt. Hieraus folgt mit Rücksicht auf die Darlegung des vorigen +Paragraphen: + +Ist _K_ ein +Galilei+sches Koordinatensystem, so ist auch jedes andere +Koordinatensystem _K′_ ein +Galilei+sches, wenn _K′_ gegenüber _K_ im +Zustande gleichförmiger Translationsbewegung ist. In bezug auf _K′_ +gelten die Gesetze der +Galilei+-+Newton+schen Mechanik ebenso wie in +bezug auf _K_. + +Wir gehen in der Verallgemeinerung noch einen Schritt weiter, indem wir +den Satz aussprechen: Ist _K′_ ein in bezug auf _K_ gleichförmig und +drehungsfrei bewegtes Koordinatensystem, so verläuft das Naturgeschehen +in bezug auf _K′_ nach genau denselben allgemeinen Gesetzen wie in +bezug auf _K_. Diese Aussage nennen wir „Relativitätsprinzip“ (im +engeren Sinne). + +Solange man überzeugt war, daß sich alles Naturgeschehen mit Hilfe +der klassischen Mechanik darstellen lasse, konnte man an der +Gültigkeit dieses Relativitätsprinzips nicht zweifeln. Mit der +neueren Entwickelung der Elektrodynamik und Optik aber ward es immer +mehr offenkundig, daß die klassische Mechanik als Grundlage für alle +physikalische Naturbeschreibung nicht zureichend sei. Damit wurde auch +die Frage nach der Gültigkeit des Relativitätsprinzips zu einer wohl +diskutierbaren, und es erschien nicht ausgeschlossen, daß die Antwort +auf diese Frage verneinend sein könnte. + +Immerhin gibt es zwei allgemeine Tatsachen, die von vornherein sehr +für die Gültigkeit des Relativitätsprinzips sprechen. Wenn nämlich +die klassische Mechanik auch nicht eine genügend breite Basis für +die theoretische Darstellung +aller+ physikalischen Erscheinungen +liefert, so muß ihr doch ein sehr bedeutender Wahrheitsgehalt zukommen; +denn sie liefert mit bewunderungswürdiger Schärfe die tatsächlichen +Bewegungen der Himmelskörper. Es muß daher auch das Relativitätsprinzip +auf dem Gebiete +der Mechanik+ jedenfalls mit großer Genauigkeit +gelten. Daß aber ein Prinzip von so großer Allgemeinheit, welches +auf einem Erscheinungsgebiete mit solcher Exaktheit gilt, einem +anderen Erscheinungsgebiete gegenüber versage, ist a priori wenig +wahrscheinlich. + +Das zweite Argument, auf welches wir später noch zurückkommen +werden, ist folgendes. Wenn das Relativitätsprinzip (im engeren +Sinne) nicht gilt, so werden die relativ zueinander gleichförmig +bewegten +Galilei+schen Koordinatensysteme _K_, _K′_, _K″_ usw. +nicht +gleichwertig+ sein für die Beschreibung des Naturgeschehens. +Dann wäre es kaum anders denkbar, als daß die Naturgesetze besonders +einfach und natürlich sich nur dann formulieren ließen, wenn unter +allen +Galilei+schen Koordinatensystemen +eines+ (_K₀_) von bestimmtem +Bewegungszustande als Bezugskörper gewählt würde. Dieses würden wir +dann mit Recht (wegen seiner Vorzüge für die Naturbeschreibung) als +das „absolut ruhende“ bezeichnen, die übrigen +Galilei+schen Systeme +_K_ aber als „bewegt“. Wäre z. B. unser Bahndamm das System _K₀_, +so wäre unser Eisenbahnwagen ein System _K_, in bezug auf welches +weniger einfache Gesetze gelten würden als in bezug auf _K₀_. Diese +geringere Einfachheit würde darauf zurückzuführen sein, daß der Wagen +_K_ gegen _K₀_ (d. h. „wirklich“) bewegt sei. In diesen in bezug auf +_K_ formulierten allgemeinen Naturgesetzen müßten Größe und Richtung +der Fahrgeschwindigkeit des Wagens eine Rolle spielen. Es wäre z. B. zu +erwarten, daß der Ton einer Orgelpfeife ein anderer wäre, wenn diese +mit ihrer Achse parallel zur Fahrrichtung gestellt wird, als wenn sie +mit ihrer Achse senkrecht zu dieser Richtung gestellt wird. Nun ist +aber unsere Erde wegen ihrer Bahnbewegung um die Sonne einem mit etwa +20 km Geschwindigkeit fahrenden Wagen vergleichbar. Es wäre daher im +Falle der Ungültigkeit des Relativitätsprinzips zu erwarten, daß die +momentane Bewegungsrichtung der Erde in die Naturgesetze eingehe, daß +also die physikalischen Systeme in ihrem Verhalten von der räumlichen +Orientierung gegen die Erde abhängen sollten. Denn wegen der im Laufe +des Jahres stattfindenden Änderung der Richtung der Geschwindigkeit +der Umlaufbewegung der Erde kann diese nicht das ganze Jahr hindurch +relativ zu dem hypothetischen System _K₀_ in Ruhe sein. Bei aller +Sorgfalt hat man aber eine derartige Anisotropie des irdischen +physikalischen Raumes, d. h. eine physikalische Ungleichwertigkeit +der verschiedenen Richtungen, niemals beobachten können. Dies ist ein +schwer wiegendes Argument zugunsten des Relativitätsprinzips. + + +§ 6. Das Additionstheorem der Geschwindigkeiten gemäß der klassischen +Mechanik. + +Der schon oft betrachtete Eisenbahnwagen fahre mit der konstanten +Geschwindigkeit _v_ auf dem Geleise. Im Eisenbahnwagen durchschreite +ein Mann den Wagen in dessen Längsrichtung, und zwar in Richtung +der Fahrt mit der Geschwindigkeit _w_. Wie rasch bzw. mit welcher +Geschwindigkeit _W_ kommt der Mann relativ zum Bahndamm während des +Gehens vorwärts? Die einzig mögliche Antwort scheint aus folgender +Überlegung zu entspringen: + +Würde der Mann eine Sekunde lang still stehen, so käme er relativ zum +Bahndamm um eine der Fahrgeschwindigkeit des Wagens gleiche Strecke _v_ +vorwärts. In Wirklichkeit durchmißt er aber außerdem relativ zum Wagen, +also auch relativ zum Bahndamm in dieser Sekunde durch sein Gehen die +Strecke _w_, welche der Geschwindigkeit seines Ganges gleich ist. Er +legt also in der betrachteten Sekunde relativ zum Bahndamm im ganzen +die Strecke + + _W_ = _v_ + _w_ + +zurück. Später werden wir sehen, daß diese Überlegung, welche das +Additionstheorem der Geschwindigkeiten gemäß der klassischen Mechanik +ausdrückt, nicht aufrecht erhalten werden kann, daß also das soeben +hingeschriebene Gesetz in Wahrheit nicht zutrifft. Einstweilen aber +werden wir auf dessen Richtigkeit bauen. + + +§ 7. Die scheinbare Unvereinbarkeit des Ausbreitungsgesetzes des +Lichtes mit dem Relativitätsprinzip. + +Es gibt kaum ein einfacheres Gesetz in der Physik als dasjenige, gemäß +welchem sich das Licht im leeren Raume fortpflanzt. Jedes Schulkind +weiß oder glaubt zu wissen, daß diese Fortpflanzung geradlinig mit +einer Geschwindigkeit _c_ = 300000 km/Sek. geschieht. Wir wissen +jedenfalls mit großer Exaktheit, daß diese Geschwindigkeit für alle +Farben dieselbe ist; denn wäre dies nicht der Fall, so würde bei +der Bedeckung eines Fixsternes durch seinen dunklen Begleiter das +Emissionsminimum für die verschiedenen Farben nicht gleichzeitig +beobachtet werden. Durch eine ähnliche, an die Beobachtungen der +Doppelsterne sich knüpfende Überlegung konnte der holländische Astronom ++De Sitter+ auch zeigen, daß die Fortpflanzungsgeschwindigkeit +des Lichtes von der Bewegungsgeschwindigkeit des das Licht +emittierenden Körpers nicht abhängen kann. Die Annahme, daß diese +Fortpflanzungsgeschwindigkeit von der Richtung „im Raume“ abhänge, ist +an sich unwahrscheinlich. + +Kurz, nehmen wir einmal an, das einfache Gesetz von der konstanten +Lichtgeschwindigkeit _c_ (im Vakuum) werde von dem Schulkinde mit Recht +geglaubt! Wer möchte denken, daß dieses simple Gesetz den gewissenhaft +überlegenden Physiker in die größten gedanklichen Schwierigkeiten +gestürzt hat? Diese Schwierigkeiten ergeben sich wie folgt. + +Natürlich müssen wir den Vorgang der Lichtausbreitung wie jeden anderen +auf einen starren Bezugskörper (Koordinatensystem) beziehen. Als +solchen wählen wir wieder unseren Bahndamm. Die Luft über demselben +wollen wir uns weggepumpt denken. Längs des Bahndammes werde ein +Lichtstrahl gesandt, dessen Scheitel sich nach dem vorigen mit der +Geschwindigkeit _c_ relativ zum Bahndamme fortpflanzt. Auf dem +Geleise fahre wieder unser Eisenbahnwagen mit der Geschwindigkeit +_v_, und zwar in derselben Richtung, in der sich der Lichtstrahl +fortpflanzt, aber natürlich viel langsamer. Wir fragen nach der +Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtstrahles relativ zum +Wagen. Es ist leicht ersichtlich, daß hier die Betrachtung des +vorigen Paragraphen Anwendung finden kann; denn der relativ zum +Eisenbahnwagen laufende Mann spielt die Rolle des Lichtstrahles. +Statt dessen Geschwindigkeit _W_ gegen den Bahndamm tritt hier die +Lichtgeschwindigkeit gegen diesen; _w_ ist die gesuchte Geschwindigkeit +des Lichtes gegen den Wagen, für welche also gilt: + + _w_ = _c_ − _v_. + +Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtstrahles relativ zum Wagen +ergibt sich also als kleiner als _c_. + +Dies Ergebnis verstößt aber gegen das im § 5 dargelegte +Relativitätsprinzip. Das Gesetz der Lichtausbreitung im Vakuum müßte +nämlich nach dem Relativitätsprinzip wie jedes andere allgemeine +Naturgesetz für den Eisenbahnwagen als Bezugskörper gleich lauten +wie für das Geleise als Bezugskörper. Das erscheint aber nach unserer +Betrachtung unmöglich. Wenn sich jeder Lichtstrahl in bezug auf den +Damm mit der Geschwindigkeit _c_ fortpflanzt, so scheint eben deshalb +das Lichtausbreitungsgesetz in bezug auf den Wagen ein anderes sein zu +müssen — im Widerspruch mit dem Relativitätsprinzip. + +Im Hinblick auf dies Dilemma erscheint es unerläßlich, entweder das +Relativitätsprinzip oder das einfache Gesetz der Fortpflanzung des +Lichtes im Vakuum aufzugeben. Gewiß wird der Leser, der den bisherigen +Ausführungen aufmerksam gefolgt ist, erwarten, daß das Prinzip der +Relativität, das sich durch seine Natürlichkeit und Einfachheit +dem Geiste als fast unabweislich empfiehlt, aufrecht zu erhalten +sei, daß aber das Gesetz der Lichtausbreitung im Vakuum durch ein +komplizierteres, mit dem Relativitätsprinzip vereinbares Gesetz zu +ersetzen sei. Die Entwickelung der theoretischen Physik zeigte aber, +daß dieser Weg nicht gangbar ist. Die bahnbrechenden theoretischen +Forschungen von +H. A. Lorentz+ über die elektrodynamischen und +optischen Vorgänge in bewegten Körpern zeigten nämlich, daß die +Erfahrungen in diesen Gebieten mit zwingender Notwendigkeit zu einer +Theorie der elektromagnetischen Vorgänge führen, welche das Gesetz +der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum zur unabweisbaren +Konsequenz hat. Deshalb waren die führenden Theoretiker eher geneigt, +das Relativitätsprinzip fallen zu lassen, trotzdem sich keine einzige +Erfahrungstatsache auffinden ließ, welche diesem Prinzip widersprochen +hätte. + +Hier setzte die Relativitätstheorie ein. Durch eine Analyse der +physikalischen Begriffe von Zeit und Raum zeigte sich, +daß in +Wahrheit eine Unvereinbarkeit des Relativitätsprinzips mit dem +Ausbreitungsgesetz des Lichtes gar nicht vorhanden sei+, daß man +vielmehr durch systematisches Festhalten an diesen beiden Gesetzen zu +einer logisch einwandfreien Theorie gelange. Diese Theorie, welche wir +zum Unterschiede von ihrer später zu besprechenden Erweiterung als +„spezielle Relativitätstheorie“ bezeichnen, soll im folgenden in ihren +Grundgedanken dargestellt werden. + + +§ 8. Über den Zeitbegriff in der Physik. + +An zwei weit voneinander entfernten Stellen _A_ und _B_ unseres +Bahndammes hat der Blitz ins Geleise eingeschlagen. Ich füge die +Behauptung hinzu, diese beiden Schläge seien +gleichzeitig+ erfolgt. +Wenn ich dich nun frage, lieber Leser, ob diese Aussage einen Sinn +habe, so wirst du mir mit einem überzeugten „Ja“ antworten. Wenn ich +aber jetzt in dich dringe mit der Bitte, mir den Sinn der Aussage +genauer zu erklären, merkst du nach einiger Überlegung, daß die Antwort +auf diese Frage nicht so einfach ist, wie es auf den ersten Blick +scheint. + +Nach einiger Zeit wird dir vielleicht folgende Antwort in den Sinn +kommen: „Die Bedeutung der Aussage ist an und für sich klar und bedarf +keiner weiteren Erläuterung; einiges Nachdenken müßte ich allerdings +aufwenden, wenn ich den Auftrag erhielte, durch Beobachtungen zu +ermitteln, ob im konkreten Falle die beiden Ereignisse gleichzeitig +stattfanden oder nicht.“ Mit dieser Antwort kann ich mich aber aus +folgendem Grunde nicht zufrieden geben. Gesetzt, ein geschickter +Meteorologe hätte durch scharfsinnige Überlegungen herausgefunden, daß +es an den Orten _A_ und _B_ immer gleichzeitig einschlagen müsse, dann +entsteht die Aufgabe, nachzuprüfen, ob dieses theoretische Resultat +der Wirklichkeit entspricht oder nicht. Analog ist es bei allen +physikalischen Aussagen, bei denen der Begriff „gleichzeitig“ eine +Rolle spielt. Der Begriff existiert für den Physiker erst dann, wenn +die Möglichkeit gegeben ist, im konkreten Falle herauszufinden, ob der +Begriff zutrifft oder nicht. Es bedarf also einer solchen Definition +der Gleichzeitigkeit, daß diese Definition die Methode an die Hand +gibt, nach welcher im vorliegenden Falle aus Experimenten entschieden +werden kann, ob beide Blitzschläge gleichzeitig erfolgt sind oder +nicht. Solange diese Forderung nicht erfüllt ist, gebe ich mich als +Physiker (allerdings auch als Nichtphysiker!) einer Täuschung hin, wenn +ich glaube, mit der Aussage der Gleichzeitigkeit einen Sinn verbinden +zu können. (Bevor du mir dies mit Überzeugung zugegeben hast, lieber +Leser, lies nicht weiter.) + +Nach einiger Zeit des Nachdenkens machst du nun folgenden Vorschlag +für das Konstatieren der Gleichzeitigkeit. Die Verbindungsstrecke _AB_ +werde dem Geleise nach ausgemessen und in die Mitte _M_ der Strecke +ein Beobachter gestellt, der mit einer Einrichtung versehen ist (etwa +zwei um 90° gegeneinander geneigte Spiegel), die ihm eine gleichzeitige +optische Fixierung beider Orte _A_ und _B_ erlaubt. Nimmt dieser die +beiden Blitzschläge gleichzeitig wahr, so sind sie gleichzeitig. + +Ich bin mit diesem Vorschlag sehr zufrieden und halte die Sache dennoch +nicht für ganz geklärt, weil ich mich zu folgendem Einwand gedrängt +fühle: „Deine Definition wäre unbedingt richtig, wenn ich schon wüßte, +daß das Licht, welches dem Beobachter in _M_ die Wahrnehmung der +Blitzschläge vermittelt, sich mit der gleichen Geschwindigkeit auf +der Strecke _A_ ⟶ _M_ wie auf der Strecke _B_ ⟶ _M_ fortpflanze. Eine +Prüfung dieser Voraussetzung wäre aber nur dann möglich, wenn man über +die Mittel der Zeitmessung bereits verfügte. Man scheint sich also hier +in einem logischen Zirkel zu bewegen.“ + +Nach einiger weiterer Überlegung wirfst du mir aber mit Recht einen +etwas verächtlichen Blick zu und erklärst mir: „Ich halte meine +Definition von vorhin trotzdem aufrecht, da sie in Wahrheit gar nichts +über das Licht voraussetzt. An die Definition der Gleichzeitigkeit ist +nur die +eine+ Forderung zu stellen, daß sie in jedem realen Falle +eine empirische Entscheidung an die Hand gibt über das Zutreffen oder +Nichtzutreffen des zu definierenden Begriffs. Daß meine Definition +dies leistet, ist unbestreitbar. Daß das Licht zum Durchlaufen des +Weges _A_ ⟶ _M_ und zum Durchlaufen der Strecke _B_ ⟶ _M_ dieselbe +Zeit brauche, ist in Wahrheit keine +Voraussetzung oder Hypothese+ +über die physikalische Natur des Lichtes, sondern eine +Festsetzung+, +die ich nach freiem Ermessen treffen kann, um zu einer Definition der +Gleichzeitigkeit zu gelangen.“ + +Es ist klar, daß diese Definition benutzt werden kann, um der Aussage +der Gleichzeitigkeit nicht nur +zweier+ Ereignisse, sondern beliebig +vieler Ereignisse einen exakten Sinn zu geben, wie die Ereignisorte +relativ zum Bezugskörper (hier dem Bahndamm) gelagert sein mögen[6]. +Damit gelangt man auch zu einer Definition der „Zeit“ in der Physik. +Man denke sich nämlich in den Punkten _A_, _B_, _C_ des Geleises +(Koordinatensystems) Uhren von gleicher Beschaffenheit aufgestellt +und derart gerichtet, daß deren Zeigerstellungen gleichzeitig (im +obigen Sinne) dieselben sind. Dann versteht man unter der „Zeit“ eines +Ereignisses die Zeitangabe (Zeigerstellung) derjenigen dieser Uhren, +welche dem Ereignis (räumlich) unmittelbar benachbart ist. Auf diese +Weise wird jedem Ereignis ein Zeitwert zugeordnet, der sich prinzipiell +beobachten läßt. + +Diese Festsetzung enthält noch eine physikalische Hypothese, an deren +Zutreffen man ohne empirische Gründe kaum zweifeln wird. Es ist +nämlich angenommen, daß alle diese Uhren „gleich rasch“ gehen, wenn +sie von gleicher Beschaffenheit sind. Exakt formuliert: Wenn zwei an +verschiedenen Stellen des Bezugskörpers ruhend angeordnete Uhren so +eingestellt werden, daß +eine+ Zeigerstellung der einen mit +derselben+ +Zeigerstellung der anderen +gleichzeitig+ (im obigen Sinne) ist, so +sind gleiche Zeigerstellungen überhaupt gleichzeitig (im Sinne obiger +Definition). + + +§ 9. Die Relativität der Gleichzeitigkeit. + +Bisher haben wir alle Betrachtungen auf einen bestimmten Bezugskörper +bezogen, den wir als „Bahndamm“ bezeichnet haben. Es fahre nun auf +dem Geleise ein sehr langer Zug mit der konstanten Geschwindigkeit +_v_ in der in Fig. 1 angegebenen Richtung. Menschen, die in diesem +Zuge fahren, werden mit Vorteil den Zug als starren Bezugskörper +(Koordinatensystem) verwenden; sie beziehen alle Ereignisse auf den +Zug. Jedes Ereignis, welches längs des Geleises stattfindet, findet +dann auch an einem bestimmten Punkte des Zuges statt. Auch die +Definition der Gleichzeitigkeit läßt sich in bezug auf den Zug in genau +derselben Weise geben, wie in bezug auf den Bahndamm. Es entsteht aber +nun naturgemäß folgende Frage: + +Sind zwei Ereignisse (z. B. die beiden Blitzschläge _A_ und _B_), +welche +in bezug auf den Bahndamm+ gleichzeitig sind, auch +in bezug +auf den Zug+ gleichzeitig? Wir werden sogleich zeigen, daß die Antwort +verneinend lauten muß. + +[Illustration: Fig. 1.] + +Wenn wir sagen, daß die Blitzschläge _A_ und _B_ in bezug auf den +Bahndamm gleichzeitig sind, so bedeutet dies: die von den Blitzorten +_A_ und _B_ ausgehenden Lichtstrahlen begegnen sich in dem Mittelpunkte +_M_ der Fahrdammstrecke _A_–_B_. Den Ereignissen _A_ und _B_ +entsprechen aber auch Stellen _A_ und _B_ auf dem Zuge. Es sei _M′_ +der Mittelpunkt der Strecke _A_—_B_ des fahrenden Zuges. Dieser Punkt +_M′_ fällt zwar im Augenblick der Blitzschläge[7] mit dem Punkte _M_ +zusammen, bewegt sich aber in der Zeichnung mit der Geschwindigkeit _v_ +des Zuges nach rechts. Würde ein bei _M′_ im Zuge sitzender Beobachter +diese Geschwindigkeit nicht besitzen, so würde er dauernd in _M_ +bleiben, und es würden ihn dann die von den Blitzschlägen _A_ und _B_ +ausgehenden Lichtstrahlen gleichzeitig erreichen, d. h., diese beiden +Strahlen würden sich gerade bei ihm begegnen. In Wahrheit aber eilt +er (vom Bahndamm aus beurteilt) dem von _B_ herkommenden Lichtstrahl +entgegen, während er dem von _A_ herkommenden Lichtstrahl vorauseilt. +Der Beobachter wird also den von _B_ ausgehenden Lichtstrahl früher +sehen, als den von _A_ ausgehenden. Die Beobachter, welche den +Eisenbahnzug als Bezugskörper benutzen, müssen also zu dem Ergebnis +kommen, der Blitzschlag _B_ habe früher stattgefunden als der +Blitzschlag _A_. Wir kommen also zu dem wichtigen Ergebnis: + +Ereignisse, welche in bezug auf den Bahndamm gleichzeitig sind, sind +in bezug auf den Zug nicht gleichzeitig und umgekehrt (Relativität der +Gleichzeitigkeit). Jeder Bezugskörper (Koordinatensystem) hat seine +besondere Zeit; eine Zeitangabe hat nur dann einen Sinn, wenn der +Bezugskörper angegeben ist, auf den sich die Zeitangabe bezieht. + +Die Physik hat nun vor der Relativitätstheorie stets stillschweigend +angenommen, daß die Bedeutung der Zeitangaben eine absolute, d. h. +vom Bewegungszustande des Bezugskörpers unabhängige, sei. Daß diese +Annahme aber mit der nächstliegenden Definition der Gleichzeitigkeit +unvereinbar ist, haben wir soeben gesehen; läßt man sie fallen, +so verschwindet der in § 7 entwickelte Konflikt des Gesetzes der +Vakuum-Lichtausbreitung mit dem Relativitätsprinzip. + +Zu jenem Konflikt führt nämlich die Überlegung des § 6, die nun nicht +mehr aufrecht zu erhalten ist. Wir schlossen dort, daß der Mann im +Wagen, der relativ zu diesem die Strecke _w_ +in einer Sekunde+ +durchläuft, diese Strecke auch relativ zum Bahndamm +in einer Sekunde+ +durchläuft. Da nun aber die Zeit, welche ein bestimmter Vorgang mit +Bezug auf den Wagen braucht, nach den soeben angestellten Überlegungen +nicht gleich gesetzt werden darf der vom Bahndamm als Bezugskörper aus +beurteilten Dauer desselben Vorganges, so kann nicht behauptet werden, +daß der Mann durch sein Gehen relativ zum Geleise die Strecke _w_ in +einer Zeit zurücklegt, welche — vom Bahndamm aus beurteilt — gleich +einer Sekunde ist. + +Die Überlegung des § 6 ruht übrigens noch auf einer zweiten +Voraussetzung, die im Lichte einer strengen Überlegung als willkürlich +erscheint, wenn sie auch vor der Aufstellung der Relativitätstheorie +stets (stillschweigend) gemacht wurde. + + +§ 10. Über die Relativität des Begriffes der räumlichen Entfernung. + +Wir betrachten zwei bestimmte Stellen des mit der Geschwindigkeit +_v_ längs des Bahndammes dahinfahrenden Zuges[8] und fragen nach +deren Entfernung. Wir wissen bereits, daß man zur Messung einer +Entfernung eines Bezugskörpers bedarf, mit Bezug auf welchen die +Entfernung ausgemessen wird. Am einfachsten ist es, den Zug selbst als +Bezugskörper (Koordinatensystem) zu verwenden. Ein im Zuge fahrender +Beobachter mißt den Abstand, indem er in gerader Linie seinen Maßstab +etwa längs der Wagenböden so oft aufträgt, bis er von dem einen +markierten Punkte zum anderen gelangt. Die Zahl, welche angibt, wie oft +der Stab angelegt werden muß, ist dann die gesuchte Entfernung. + +Anders ist es, wenn die Entfernung vom Geleise aus beurteilt werden +soll. Da bietet sich folgende Methode. Nennt man _A′_ und _B′_ die +beiden Punkte des Zuges, um deren Entfernung es sich handelt, so sind +diese beiden Punkte mit der Geschwindigkeit _v_ längs des Bahndammes +bewegt. Wir fragen nun zuerst nach den Punkten _A_ bzw. _B_ des +Bahndammes, bei welchen die beiden Punkte _A′_ und _B′_ zu einer +bestimmten Zeit _t_ — vom Bahndamm aus beurteilt — gerade vorbeilaufen. +Diese Punkte _A_ und _B_ des Bahndammes sind vermöge der in § 8 +gegebenen Zeitdefinition ermittelbar. Hierauf wird der Abstand dieser +Punkte _A_ und _B_ durch wiederholtes Abtragen des Meterstabes längs +des Bahndammes gemessen. + +Es ist a priori durchaus nicht ausgemacht, daß diese letztere Messung +dasselbe Ergebnis zeitigen müsse wie die erstere. Vom Bahndamm aus +gemessen kann also die Länge des Zuges eine andere sein als vom Zuge +selbst aus gemessen. Dieser Umstand ergibt einen zweiten gegen die +scheinbar so einleuchtende Betrachtung des § 6 zu erhebenden Einwand. +Legt nämlich der Mann im Wagen in einer Zeiteinheit — +vom Zuge aus +gemessen+ — die Strecke _w_ zurück, so braucht diese Strecke — +vom +Bahndamm aus gemessen+ — nicht auch gleich _w_ zu sein. + + +§ 11. Die Lorentz-Transformation. + +Die Überlegungen der letzten drei Paragraphen zeigen uns, daß die +scheinbare Unvereinbarkeit des Ausbreitungsgesetzes des Lichtes mit dem +Relativitätsprinzip in § 7 durch eine Betrachtung abgeleitet worden +ist, welche der klassischen Mechanik zwei durch nichts gerechtfertigte +Hypothesen entlehnte; diese Hypothesen lauten: + + 1. Der Zeitabstand zwischen zwei Ereignissen ist vom + Bewegungszustande des Bezugskörpers unabhängig. + + 2. Der räumliche Abstand zwischen zwei Punkten eines starren Körpers + ist vom Bewegungszustande des Bezugskörpers unabhängig. + +Läßt man nun diese Hypothesen fallen, so verschwindet das Dilemma des § +7, weil das in § 6 abgeleitete Additionstheorem der Geschwindigkeiten +ungültig wird. Es taucht vor uns die Möglichkeit auf, daß das Gesetz +der Lichtausbreitung im Vakuum mit dem Relativitätsprinzip vereinbar +sein könnte. Wir kommen zu der Frage: Wie ist die Überlegung des § +6 zu modifizieren, um den scheinbaren Widerspruch zwischen diesen +beiden fundamentalen Ergebnissen der Erfahrung zu beseitigen? Diese +Frage führt auf eine allgemeine. In der Überlegung des § 6 kommen Orte +und Zeiten in bezug auf den Zug und in bezug auf den Bahndamm vor. +Wie findet man Ort und Zeit eines Ereignisses in bezug auf den Zug, +wenn Ort und Zeit des Ereignisses in bezug auf den Bahndamm bekannt +sind? Gibt es eine solche denkbare Antwort auf diese Frage, daß das +Gesetz der Lichtausbreitung im Vakuum dem Relativitätsprinzip nicht +widerspricht? Anders ausgedrückt: Ist eine Relation zwischen Ort und +Zeit der einzelnen Ereignisse in bezug auf beide Bezugskörper denkbar, +derart, daß jeder Lichtstrahl relativ zum Bahndamm +und+ relativ zum +Zug die Ausbreitungsgeschwindigkeit _c_ besitzt? Diese Frage führt zu +einer bejahenden, ganz bestimmten Antwort, zu einem ganz bestimmten +Verwandlungsgesetz für die Raum-Zeit-Größen eines Ereignisses beim +Übergang von einem Bezugskörper zu einem anderen. + +Bevor wir hierauf eingehen, sei folgende Zwischenüberlegung +eingeschaltet. Wir haben bis jetzt stets nur Ereignisse betrachtet, die +sich längs des Bahndammes abspielten, der mathematisch die Funktion +einer geraden Linie zu übernehmen hatte. Man kann sich aber in der +in § 2 angegebenen Weise diesen Bezugskörper seitlich und nach oben +durch ein Stabgerüst derart fortgesetzt denken, daß ein irgendwo +stattfindendes Ereignis relativ zu diesem Stabgerüst lokalisiert +werden kann. Analog kann man sich den mit der Geschwindigkeit _v_ +fahrenden Zug durch den ganzen Raum fortgesetzt denken, so daß +jedes noch so ferne Ereignis auch in bezug auf das zweite Gerüst +lokalisiert werden könnte. Davon, daß diese Gerüste einander in +Wahrheit wegen der Undurchdringlichkeit der festen Körper immer +wieder zerstören müßten, können wir absehen, ohne in prinzipielle +Fehler zu geraten. In jedem solchen Gerüst denken wir uns drei +aufeinander senkrechte Wände ausgezeichnet und als „Koordinatenebenen“ +bezeichnet („Koordinatensystem“). Dem Bahndamm entspricht dann ein +Koordinatensystem _K_, dem Zug ein Koordinatensystem _K′_. Ein irgendwo +stattfindendes Ereignis wird bezüglich _K_ räumlich fixiert durch die +drei Lote _x_, _y_, _z_ auf die Koordinatenebenen und zeitlich fixiert +durch einen Zeitwert _t_. +Dasselbe Ereignis+ wird bezüglich _K′_ +raum-zeitlich fixiert durch entsprechende Werte _x′_, _y′_, _z′_, _t′_, +welche mit _x_, _y_, _z_, _t_ natürlich nicht übereinstimmen. Wie diese +Größen als Ergebnisse physikalischer Messungen aufzufassen sind, wurde +früher ausführlich dargelegt. + +[Illustration: Fig. 2.] + +Unser Problem lautet in exakter Formulierung offenbar folgendermaßen. +Wie groß sind die Werte _x′_, _y′_, _z′_, _t′_ eines Ereignisses +in bezug auf _K′_, wenn die Größen _x_, _y_, _z_, _t_ desselben +Ereignisses in bezug auf _K_ gegeben sind? Die Beziehungen müssen so +gewählt werden, daß dem Gesetz der Vakuumfortpflanzung des Lichtes +für einen und denselben Lichtstrahl (und zwar für jeden) in bezug auf +_K_ +und+ _K′_ Genüge geleistet wird. Dies Problem wird für die in +der Zeichnung (Fig. 2) angegebene relative räumliche Orientierung der +Koordinatensysteme gelöst durch die Gleichungen: + + x′ = (x−vt) / sqrt (1 − v²/c²) + + y′ = y + + z′ = z + + t′ = (t − vx/c² ) / sqrt (1 − v²/c²), + + +welches Gleichungssystem mit dem Namen „Lorentz-Transformation“ +bezeichnet wird. + +Würden wir aber an Stelle des Lichtausbreitungsgesetzes die +stillschweigenden Voraussetzungen der alten Mechanik von dem absoluten +Charakter der Zeiten und Längen zugrunde gelegt haben, so würden wir +statt dieser Transformationsgleichungen zu den Gleichungen + + x′ = x − vt + + y′ = y + + z′ = z + + t′ = t + +gelangt sein, welches System man oft als „Galilei-Transformation“ +bezeichnet. Die Galilei-Transformation geht aus der +Lorentz-Transformation dadurch hervor, daß man in letzterer die +Lichtgeschwindigkeit _c_ gleich einem unendlich großen Werte setzt. + +Daß gemäß der Lorentz-Transformation das Gesetz der Lichtausbreitung im +Vakuum sowohl für den Bezugskörper _K_ wie für den Bezugskörper _K′_ +erfüllt sein kann, sieht man bequem an folgendem Beispiel. Es werde ein +Lichtsignal längs der positiven _x_-Achse gesandt, und es pflanze sich +die Lichterregung gemäß der Gleichung + + x = ct, + +also mit der Geschwindigkeit _c_ fort. Gemäß den Gleichungen der +Lorentz-Transformation bedingt diese einfache Beziehung zwischen _x_ +und _t_ eine Beziehung zwischen _x′_ und _t′_. In der Tat liefert die +erste und vierte Gleichung der Lorentz-Transformation, wenn man in +dieselben für _x_ den Wert _ct_ einsetzt: + + x′ = (c−v)t / sqrt (1−v²/c²) + + t′ = (1−v/c)t / sqrt (1−v²/c²), + +aus welchen dann durch Division unmittelbar + + x′ = ct′ + +folgt. Nach dieser Gleichung erfolgt die Lichterregung, wenn sie +auf das System _K′_ bezogen wird. Es zeigt sich also, daß die +Ausbreitungsgeschwindigkeit auch relativ zum Bezugskörper _K′_ gleich +_c_ ist. Analog ist es mit Lichtstrahlen, die sich in beliebiger +anderer Richtung fortpflanzen. Dies ist natürlich nicht zu verwundern, +denn die Gleichungen der Lorentz-Transformation sind ja nach diesem +Gesichtspunkte abgeleitet. + + +§ 12. Das Verhalten bewegter Stäbe und Uhren. + +Ich lege einen Meterstab in die _x′_-Achse von _K′_ derart, daß sein +Anfang in den Punkt _x′_ = 0, sein Ende in den Punkt _x′_ = 1 fällt. +Welches ist die Länge des Meterstabes relativ zum System _K_? Um das +zu erfahren, brauchen wir nur zu fragen, wo Stabanfang und Stabende +relativ zu _K_ liegen zu einer bestimmten Zeit _t_ des Systems _K_. +Man findet für diese beiden Punkte aus der ersten Gleichung der +Lorentz−Transformation: + + x_{(Stabanfang)} = 0 · sqrt(1−v²/c²) + + x_{(Stabende)} = 1 · sqrt(1−v²/c²), + +welche beiden Punkte den Abstand sqrt(1−v²/c²) haben. Relativ zu _K_ +ist aber der Meterstab mit der Geschwindigkeit _v_ bewegt. Es folgt +also, daß die Länge eines mit der Geschwindigkeit _v_ in seiner +Längsrichtung bewegten starren Meterstabes sqrt(1−v²/c²) Meter beträgt. +Der bewegte starre Stab ist also kürzer als derselbe Stab, wenn er im +Zustande der Ruhe ist, und zwar um so kürzer, je rascher er bewegt +ist. Für die Geschwindigkeit _v_ = _c_ wäre sqrt(1−v²/c² = 0), für +noch größere Geschwindigkeiten wird die Wurzel imaginär. Wir schließen +daraus, daß in der Relativitätstheorie die Geschwindigkeit _c_ die +Rolle einer Grenzgeschwindigkeit spielt, die durch keinen wirklichen +Körper erreicht oder gar überschritten werden könnte. + +Diese Rolle der Geschwindigkeit _c_ als einer Grenzgeschwindigkeit +folgt übrigens bereits aus den Gleichungen der Lorentz-Transformation +selbst. Denn diese werden sinnlos, wenn _v_ größer als _c_ gewählt wird. + +Hätten wir umgekehrt einen Meterstab betrachtet, der in der _x_-Achse +relativ zu _K_ ruht, so hätten wir gefunden, daß er, von _K′_ aus +beurteilt, die Länge sqrt(1−v²/c²) hat; dies liegt ganz im Sinne des +Relativitätsprinzips, welches unseren Betrachtungen zugrunde gelegt ist. + +Daß wir aus den Transformationsgleichungen etwas über das physikalische +Verhalten von Maßstäben und Uhren erfahren müssen, liegt a priori auf +der Hand. Denn die Größen _x_, _y_, _z_, _t_ sind ja nichts anderes +als mit Maßstäben und Uhren zu gewinnende Meßresultate. Hätten wir +die Galilei-Transformation zugrunde gelegt, so hätten wir eine +Stabverkürzung infolge der Bewegung nicht erhalten. + +Wir betrachten nun eine Sekundenuhr, die dauernd im Anfangspunkte +(_x′_ = 0) von _K′_ ruht. _t′_ = 0 und _t′_ = 1 seien zwei aufeinander +folgende Schläge dieser Uhr. Für diese beiden Schläge ergeben die erste +und vierte der Gleichungen der Lorentz-Transformation: + + t = 0 + +und + + t = 1/sqrt(1−v²/c²). + +Von _K_ aus beurteilt ist die Uhr mit der Geschwindigkeit _v_ bewegt; +von diesem Bezugskörper aus beurteilt vergeht zwischen zweien ihrer +Schläge nicht eine Sekunde, sondern 1/sqrt(1−v²/c²) Sekunden, also +eine etwas größere Zeit. Die Uhr geht infolge ihrer Bewegung langsamer +als im Zustande der Ruhe. Auch hier spielt die Geschwindigkeit _c_ die +Rolle einer unerreichbaren Grenzgeschwindigkeit. + + +§ 13. Additionstheorem der Geschwindigkeiten. +Fizeau+scher +Versuch. + +Da wir Uhren und Maßstäbe in praxi nur mit Geschwindigkeiten bewegen +können, die klein sind gegen die Lichtgeschwindigkeit _c_, so +werden die Ergebnisse des vorigen Paragraphen kaum direkt mit der +Wirklichkeit verglichen werden können. Da dieselben andererseits dem +Leser recht sonderbar vorkommen werden, so will ich nun aus der Theorie +eine andere Konsequenz ziehen, die aus dem bisher Dargelegten leicht +abzuleiten ist, und die durch das Experiment glänzend bestätigt wird. + +In § 6 haben wir das Additionstheorem für gleich gerichtete +Geschwindigkeiten abgeleitet, so, wie es sich aus den Hypothesen +der klassischen Mechanik ergibt. Dasselbe läßt sich auch leicht +aus der Galilei-Transformation (§ 11) folgern. Statt des gehenden +Mannes im Wagen führen wir einen Punkt ein, der sich relativ zum +Koordinatensystem _K′_ nach der Gleichung + + x′ = wt′ + +bewegt. Aus der ersten und vierten Gleichung der Galilei-Transformation +kann man _x′_ und _t′_ durch _x_ und _t_ ausdrücken und erhält so: + + x = (v + w) t. + +Diese Gleichung drückt nichts anderes aus als das Bewegungsgesetz des +Punktes gegenüber dem System _K_ (des Mannes gegenüber dem Bahndamm), +welche Geschwindigkeit wir mit _W_ bezeichnen, so daß man, wie in § 6, +erhält: + + W = v + w (A) + +Wir können aber diese Betrachtung ebenso gut unter Zugrundelegung der +Relativitätstheorie durchführen. Man hat dann in der Gleichung + + x′ = wt′ + +_x′_ und _t′_ durch _x_ und _t_ auszudrücken unter Verwendung der +ersten und vierten Gleichung der +Lorentz-Transformation+. Man erhält +dann statt der Gleichung (A) die Gleichung: + + W = (v + w) / (1 + vw/c²), (B) + +welche dem Additionstheorem gleichgerichteter Geschwindigkeiten nach +der Relativitätstheorie entspricht. Die Frage ist nun, welches von +diesen beiden Theoremen der Erfahrung gegenüber standhält. Hierüber +belehrt uns ein höchst wichtiges Experiment, welches der geniale +Physiker +Fizeau+ vor mehr als einem halben Jahrhundert ausführte, und +das seitdem von einigen der besten Experimentalphysiker wiederholt +wurde, so daß das Resultat unbezweifelbar ist. Das Experiment behandelt +folgende Frage. In einer ruhenden Flüssigkeit pflanze sich das Licht +mit einer bestimmten Geschwindigkeit _w_ fort. Wie rasch pflanzt es +sich in der Röhre _R_ der Figur + +[Illustration] + +in der Pfeilrichtung fort, wenn diese von der vorhin genannten +Flüssigkeit mit der Geschwindigkeit _v_ durchströmt ist? + +Wir werden im Sinne des Relativitätsprinzips jedenfalls vorauszusetzen +haben, daß +relativ zur Flüssigkeit+ die Lichtausbreitung immer mit +derselben Geschwindigkeit _w_ erfolgt, mag die Flüssigkeit relativ zu +anderen Körpern bewegt sein oder nicht. Es ist also die Geschwindigkeit +des Lichtes relativ zur Flüssigkeit und die Geschwindigkeit der +letzteren relativ zur Röhre bekannt, gesucht die Geschwindigkeit des +Lichtes relativ zur Röhre. + +Es ist klar, daß hier wieder die Aufgabe des § 6 vorliegt. Die Röhre +spielt die Rolle des Bahndammes bzw. des Koordinatensystems _K_, die +Flüssigkeit die Rolle des Wagens bzw. des Koordinatensystems _K′_, +das Licht endlich die Rolle des im Wagen laufenden Mannes bzw. des +bewegten Punktes in diesem Paragraphen. Bezeichnet man also mit _W_ die +Geschwindigkeit des Lichtes relativ zur Röhre, so ist diese durch die +Gleichung (A) bzw. (B) gegeben, je nachdem die Galilei-Transformation +oder die Lorentz-Transformation der Wirklichkeit entspricht. + +Das Experiment[9] entscheidet für die aus der Relativitätstheorie +abgeleitete Gleichung (B), und zwar sehr exakt. Der Einfluß der +Strömungsgeschwindigkeit _v_ auf die Lichtfortpflanzung wird nach den +letzten, ausgleichenden Messungen von +Zeemann+ durch die Formel (B) +genauer als auf 1 Proz. genau dargestellt. + +Es ist nun allerdings hervorzuheben, daß eine Theorie dieses +Phänomens lange vor der Aufstellung der Relativitätstheorie auf rein +elektrodynamischem Wege unter Benutzung bestimmter Hypothesen über +die elektromagnetische Struktur der Materie von +H. A. Lorentz+ +gegeben worden ist. Dieser Umstand vermindert aber die Beweiskraft des +Versuches als experimentum crucis zugunsten der Relativitätstheorie +keineswegs. Denn die +Maxwell-Lorentz+sche Elektrodynamik, auf welcher +die ursprüngliche Theorie beruhte, steht in keinerlei Gegensatz zur +Relativitätstheorie. Letztere ist vielmehr aus der Elektrodynamik +herausgewachsen als verblüffend einfache Zusammenfassung und +Verallgemeinerung der früher voneinander unabhängigen Hypothesen, auf +welchen die Elektrodynamik aufgebaut war. + + +§ 14. Der heuristische Wert der Relativitätstheorie. + +Der bisher dargelegte Gedankengang läßt sich wie folgt kurz +zusammenfassen. Die Erfahrung hat zu der Überzeugung geführt, daß +einerseits das Relativitätsprinzip (im engeren Sinne) gelte und +daß andererseits die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes im +Vakuum gleich einer Konstanten _c_ zu setzen sei. Durch Vereinigung +dieser beiden Postulate ergab sich das Transformationsgesetz für +die rechtwinkeligen Koordinaten _x_, _y_, _z_ und die Zeit _t_ der +Ereignisse, welche das Naturgeschehen zusammensetzen, und zwar ergab +sich nicht die Galilei-Transformation, sondern (abweichend von der +klassischen Mechanik) die Lorentz-Transformation. + +In diesem Gedankengange spielte das Ausbreitungsgesetz des Lichtes +eine wichtige Rolle, dessen Annahme sich aus unserem tatsächlichen +Wissen rechtfertigt. Wir können aber, nachdem wir einmal im Besitz +der Lorentz-Transformation sind, diese mit dem Relativitätsprinzip +vereinigen und die Theorie in die Aussage zusammenfassen: + +Jedes allgemeine Naturgesetz muß so beschaffen sein, daß es in +ein Gesetz von genau gleicher Fassung übergeht, wenn man statt +der Raum-Zeit-Variabeln _x_, _y_, _z_, _t_ des ursprünglichen +Koordinatensystems _K_ neue Raum-Zeit-Variable _x′_, _y′_, _z′_, +_t′_ eines Koordinatensystems _K′_ einführt, wobei der mathematische +Zusammenhang zwischen den gestrichenen und ungestrichenen +Größen durch die Lorentz-Transformation gegeben ist. Kurz +formuliert: Die allgemeinen Naturgesetze sind kovariant bezüglich +Lorentz-Transformationen. + +Es ist dies eine bestimmte mathematische Bedingung, welche die +Relativitätstheorie einem Naturgesetze vorschreibt; dadurch wird +sie zu einem wertvollen heuristischen Hilfsmittel beim Aufsuchen +der allgemeinen Naturgesetze. Würde ein allgemeines Naturgesetz +aufgefunden, welches jener Bedingung nicht entspricht, so wäre +mindestens eine der beiden Grundvoraussetzungen der Theorie widerlegt. +Sehen wir nun zu, was letztere an allgemeinen Ergebnissen bisher +gezeitigt hat. + + +§ 15. Allgemeine Ergebnisse der Theorie. + +Aus den bisherigen Darlegungen ist ersichtlich, daß die (spezielle) +Relativitätstheorie aus der Elektrodynamik und Optik herausgewachsen +ist. Auf diesen Gebieten hat sie an den Aussagen der Theorie +nicht viel geändert, aber sie hat das theoretische Gebäude, d. h. +die Ableitung der Gesetze bedeutend vereinfacht und — was noch +ungleich wichtiger ist — die Zahl der voneinander unabhängigen +Hypothesen, auf welchen die Theorie beruht, erheblich vermindert. +Sie hat der +Maxwell-Lorentz+schen Theorie einen solchen Grad von +Evidenz verliehen, daß diese auch dann bei den Physikern allgemein +durchgedrungen wäre, wenn das Experiment weniger überzeugend zu ihren +Gunsten gesprochen hätte. + +Die klassische Mechanik bedurfte erst einer Modifikation, um mit der +Forderung der speziellen Relativitätstheorie in Einklang zu kommen. +Diese Modifikation betrifft jedoch im wesentlichen nur die Gesetze +für rasche Bewegungen, bei welchen die Geschwindigkeiten _v_ der +Materie gegenüber der Lichtgeschwindigkeit nicht gar zu klein sind. +So rasche Bewegungen zeigt uns die Erfahrung nur an Elektronen und +Ionen; bei anderen Bewegungen sind die Abweichungen von den Gesetzen +der klassischen Mechanik zu gering, um sich praktisch bemerkbar zu +machen. Von der Bewegung der Gestirne wird erst bei der allgemeinen +Relativitätstheorie zu sprechen sein. Nach der Relativitätstheorie wird +die kinetische Energie eines materiellen Punktes von der Masse _m_ +nicht mehr durch den bekannten Ausdruck + + m v²/2 + +gegeben, sondern durch den Ausdruck: + + mc² / sqrt(1 − v²/c²). + +Dieser Ausdruck wird unendlich, wenn sich die Geschwindigkeit _v_ +der Lichtgeschwindigkeit _c_ nähert. Es muß also die Geschwindigkeit +stets kleiner als _c_ bleiben, wie große Energien man auch auf die +Beschleunigung verwenden mag. Entwickelt man den Ausdruck für die +kinetische Theorie in eine Reihe, so erhält man: + + mc² + m v²/2 + 3/8 m v⁴/c² + ... + +Das dritte dieser Glieder ist gegenüber dem zweiten, in der klassischen +Mechanik allein berücksichtigten, stets klein, wenn v²/c² klein gegen +1 ist. Das erste Glied _mc²_ enthält die Geschwindigkeit nicht, kommt +also nicht in Betracht, wenn es sich nur um die Frage handelt, wie die +Energie eines Massenpunktes von der Geschwindigkeit abhängt. Über seine +prinzipielle Bedeutung wird nachher gesprochen werden. + +Das wichtigste Ergebnis allgemeiner Art, zu dem die spezielle +Relativitätstheorie geführt hat, betrifft den Begriff der Masse. Die +vorrelativistische Physik kennt zwei Erhaltungssätze von grundlegender +Bedeutung, nämlich den Satz von der Erhaltung der Energie und den Satz +von der Erhaltung der Masse; diese beiden Fundamentalsätze erscheinen +als ganz unabhängig voneinander. Durch die Relativitätstheorie +werden sie zu einem Satze verschmolzen. Wie dies kam, und wie diese +Verschmelzung aufzufassen ist, soll nun kurz dargelegt werden. + +Das Relativitätsprinzip fordert, daß der Satz von der Erhaltung der +Energie nicht nur bezüglich eines Koordinatensystems _K_ gelte, sondern +bezüglich eines jeden Koordinatensystems _K′_, das relativ zu _K_ sich +in gleichförmiger Translationsbewegung befindet (kurz gesagt, bezüglich +jedes „Galileischen“ Koordinatensystems). Für den Übergang zwischen +zwei solchen Systemen ist im Gegensatz zur klassischen Mechanik die +Lorentz-Transformation maßgebend. + +Aus diesen Prämissen in Verbindung mit den Grundgleichungen der ++Maxwell+schen Elektrodynamik kann man mit zwingender Notwendigkeit +durch verhältnismäßig einfache Betrachtungen folgenden Schluß ziehen: +Ein mit der Geschwindigkeit _v_ fliegender Körper, der in Form von +Strahlung die Energie _E₀_ aufnimmt[10], ohne hierbei seine +Geschwindigkeit zu ändern, erfährt dabei eine Zunahme seiner Energie um +den Betrag: + + E₀ / sqrt(1−v²/c²). + +Die gesuchte Energie des Körpers ist also dann mit Rücksicht auf den +vorher angegebenen Ausdruck für die kinetische Energie gegeben durch: + + (m + E₀ / c²) c² / sqrt((1−v²/c²). + +Der Körper hat also dann dieselbe Energie wie ein mit der +Geschwindigkeit _v_ bewegter Körper von der Masse _m + E₀ / c²_. Man +kann also sagen: Nimmt ein Körper die Energie _E₀_ auf, so wächst +seine träge Masse um _E₀/c²_; die träge Masse eines Körpers ist keine +Konstante, sondern nach Maßgabe seiner Energieänderung veränderlich. +Die träge Masse eines Körpersystems kann geradezu als Maß für seine +Energie angesehen werden. Der Satz von der Erhaltung der Masse eines +Systems fällt mit dem Satze von der Erhaltung der Energie zusammen und +gilt nur insoweit, als das System keine Energie aufnimmt und abgibt. +Schreibt man den Ausdruck für eine kinetische Energie in der Form + + mc² + E₀ / sqrt(1−v²/c²) + +so sieht man, daß die Form _mc²_, die uns schon vorhin auffiel, nichts +anderes ist als die Energie, welche der Körper schon besaß[11], bevor +er die Energie _E₀_ aufgenommen hatte. + +Der direkte Vergleich dieses Satzes mit der Erfahrung scheitert +vorläufig daran, daß die Energieänderungen _E₀_, welche wir einem +System erteilen können, nicht groß genug sind, um sich als Änderung +der trägen Masse des Systems bemerkbar zu machen. _E₀/c²_ ist zu klein +im Vergleich zu der Masse _m_, die vor der Energieänderung vorhanden +war. Auf diesem Umstande beruht es, daß ein Satz von der Erhaltung der +Masse von selbständiger Geltung mit Erfolg aufgestellt werden konnte. + +Noch eine letzte Bemerkung prinzipieller Natur. Der Erfolg der ++Faraday-Maxwell+schen Deutung der elektromagnetischen Fernwirkung +durch intermediäre Vorgänge mit endlicher Ausbreitungsgeschwindigkeit +brachte es mit sich, daß bei den Physikern sich die Überzeugung +Bahn brach, daß es unvermittelte, momentane Fernwirkungen vom +Typus des +Newton+schen Gravitationsgesetzes nicht gebe. Nach der +Relativitätstheorie tritt an die Stelle der Momentanwirkung in die +Ferne bzw. der Fernwirkung mit unendlicher Ausbreitungsgeschwindigkeit +stets die Fernwirkung mit Lichtgeschwindigkeit. Es hängt dies zusammen +mit der prinzipiellen Rolle, welche die Geschwindigkeit _c_ in dieser +Theorie spielt. Im zweiten Teile wird sich zeigen, in welcher Weise +dies Ergebnis in der allgemeinen Relativitätstheorie modifiziert wird. + + +§ 16. Spezielle Relativitätstheorie und Erfahrung. + +Die Beantwortung der Frage, inwieweit die spezielle Relativitätstheorie +durch die Erfahrung gestützt wird, ist nicht einfach zu beantworten aus +einem Grunde, der schon bei Gelegenheit des Fundamentalversuches von ++Fizeau+ erwähnt ist. Die spezielle Relativitätstheorie ist aus der ++Maxwell-Lorentz+schen Theorie der elektromagnetischen Erscheinungen +auskristallisiert. Somit stützen alle Erfahrungstatsachen die +Relativitätstheorie, welche jene elektromagnetische Theorie stützen. +Ich erwähne hier als besonders wichtig, daß die Relativitätstheorie +in überaus einfacher Weise in Übereinstimmung mit der Erfahrung die +Einflüsse abzuleiten gestattet, welche das von den Fixsternen zu uns +gesandte Licht durch die Relativbewegung der Erde gegen jene Fixsterne +erfährt. Es ist dies die jährliche Wanderung des scheinbaren Ortes der +Fixsterne infolge der Erdbewegung um die Sonne (Aberration) und der +Einfluß der Radialkomponente der Relativbewegungen der Fixsterne gegen +die Erde auf die Farbe des zu uns gelangenden Lichtes; der letztere +Einfluß äußert sich in einer kleinen Verschiebung der Spektrallinien +des von einem Fixstern zu uns gelangenden Lichtes gegenüber der +spektralen Lage der gleichen, mit einer irdischen Lichtquelle erzeugten +Spektrallinie (+Doppler+sches Prinzip). Die experimentellen Argumente +zugunsten der +Maxwell-Lorentz+schen Theorie, welche alle zugleich +Argumente zugunsten der Relativitätstheorie sind, sind zu zahlreich, +um hier dargelegt zu werden. Sie engen tatsächlich die theoretischen +Möglichkeiten derart ein, daß sich keine andere Theorie als die ++Maxwell-Lorentz+sche der Erfahrung gegenüber hat behaupten können. + +Zwei Klassen von bisher ermittelten experimentellen Tatsachen aber gibt +es, welche die +Maxwell-Lorentz+sche Theorie nur durch Hinzuziehung +einer Hilfshypothese darstellen kann, die an sich — d. h. ohne +Benutzung der Relativitätstheorie — befremdlich erscheint. + +Es ist bekannt, daß die Kathodenstrahlen und die von radioaktiven +Substanzen ausgesandten sogenannten β-Strahlen aus negativ elektrischen +Körperchen (Elektronen) von sehr geringer Trägheit und großer +Geschwindigkeit bestehen. Dadurch, daß man die Ablenkung dieser +Strahlungen unter dem Einfluß elektrischer und magnetischer Felder +untersucht, kann man das Bewegungsgesetz dieser Körperchen sehr genau +studieren. + +Bei der theoretischen Behandlung dieser Elektronen hat man mit der +Schwierigkeit zu kämpfen, daß die Elektrodynamik allein von ihrer Natur +keine Rechenschaft zu geben vermag. Denn da elektrische Massen eines +Vorzeichens sich abstoßen, müßten die das Elektron konstituierenden +negativen elektrischen Massen unter dem Einfluß ihrer Wechselwirkung +auseinander getrieben werden, wenn nicht noch Kräfte anderer Art +zwischen ihnen wirksam wären, deren Natur uns bisher dunkel ist. +Nimmt man nun an, daß die relativen Abstände der das Elektron +konstituierenden elektrischen Massen bei den Bewegungen des Elektrons +ungeändert bleiben (starre Verbindung im Sinne der klassischen +Mechanik), so gelangt man zu einem Bewegungsgesetz des Elektrons, +welches mit der Erfahrung nicht übereinstimmt. +H. A. Lorentz+ hat +als Erster, geführt durch rein formale Gesichtspunkte, die Hypothese +eingeführt, daß der Körper des Elektrons durch die Bewegung eine +Kontraktion in der Bewegungsrichtung erfahre, proportional dem Ausdruck +sqrt(1−v²/c²). Diese Hypothese, welche sich elektrodynamisch durch +nichts rechtfertigen läßt, liefert dann dasjenige Bewegungsgesetz, +welches die Erfahrung mit großer Präzision in den letzten Jahren +bestätigt hat. + +Die Relativitätstheorie liefert dasselbe Bewegungsgesetz, ohne daß +sie irgendeiner speziellen Hypothese über den Bau und das Verhalten +des Elektrons bedürfte. Analog liegen die Dinge, wie wir in § +13 gesehen haben, bei dem Versuch von +Fizeau+, dessen Ergebnis +die Relativitätstheorie lieferte, ohne daß Hypothesen über die +physikalische Natur der Flüssigkeit gemacht werden mußten. + +Die zweite Klasse von Tatsachen, auf die hier hingewiesen ist, bezieht +sich auf die Frage, ob bei Versuchen auf der Erde deren Bewegung im +Weltenraume sich bemerkbar mache. Es wurde schon in § 5 bemerkt, daß +alle derartigen Bemühungen ein negatives Resultat lieferten. Vor der +Aufstellung der Relativitätstheorie hatte es die Wissenschaft schwer, +sich mit diesem negativen Befunde auseinanderzusetzen; die Sachlage +war nämlich folgende. Die überkommenen Vorurteile über Zeit und Raum +ließen keinen Zweifel darüber aufkommen, daß die Galilei-Transformation +für den Übergang von einem Bezugskörper zu einem anderen maßgebend +sei. Angenommen nun, die +Maxwell-Lorentz+schen Gleichungen gelten +für einen Bezugskörper _K_, so findet man, daß sie nicht gelten für +einen relativ zu _K_ gleichförmig bewegten Bezugskörper _K′_, wenn man +annimmt, daß zwischen den Koordinaten von _K_ und _K′_ die Beziehungen +der Galilei-Transformation bestehen. Dadurch scheint es, daß von +allen Galileischen Koordinatensystemen eines (_K_) von bestimmtem +Bewegungszustande physikalisch ausgezeichnet sei. Physikalisch +interpretierte man dies Ergebnis dahin, daß man _K_ als relativ zu +einem hypothetischen Lichtäther ruhend ansah. Dagegen sollten alle +gegen _K_ bewegten Koordinatensysteme _K′_ gegen den Äther bewegt +sein. Dieser Bewegung von _K′_ gegen den Äther („Ätherwind“ relativ +zu _K′_) schrieb man die komplizierteren Gesetze zu, welche relativ +zu _K′_ gelten sollten. Auch relativ zur Erde mußte folgerichtig ein +solcher Ätherwind angenommen werden, und das Bestreben der Physiker war +lange darauf gerichtet, diesen nachzuweisen. + +Hierfür hatte +Michelson+ einen Weg gefunden, der nicht fehlschlagen +zu können schien. Man denke sich an einem starren Körper zwei Spiegel +angeordnet, welche einander die reflektierende Seite zukehren. Ein +Lichtstrahl braucht eine ganz bestimmte Zeit _T_, um von einem Spiegel +zum anderen und wieder zurück zu gelangen, falls dies ganze System +gegen den Lichtäther ruht. Man findet für diesen Vorgang aber eine +etwas andere Zeit _T′_, wenn der Körper nebst Spiegeln relativ zum +Äther bewegt ist. Ja noch mehr! Die Rechnung ergibt, daß diese Zeit +_T′_ bei gegebener Geschwindigkeit _v_ gegen den Äther eine andere +sei, wenn der Körper senkrecht zu den Spiegelebenen bewegt ist, als +wenn er parallel zu den Spiegelebenen bewegt ist. So winzig die so +berechnete Differenz zwischen diesen beiden Zeitdauern auch sich +ergab, +Michelson+ und +Morley+ führten ein Interferenzexperiment +aus, bei welchem die Differenz deutlich hätte in Erscheinung treten +müssen. Das Experiment fiel aber negativ aus, zur großen Verlegenheit +der Physiker. +Lorentz+ und +FitzGerald+ zogen die Theorie aus dieser +Verlegenheit, indem sie annahmen, daß die Bewegung des Körpers gegen +den Äther eine Kontraktion in der Bewegungsrichtung bewirke, welche das +Verschwinden der genannten Zeitdifferenz gerade bewirken sollte. Ein +Vergleich mit den Darlegungen des § 12 zeigt, daß dieser Ausweg auch +vom Standpunkt der Relativitätstheorie der richtige war. Die Auffassung +der Sachlage ist aber nach der Relativitätstheorie eine unvergleichlich +befriedigendere. Nach ihr gibt es kein bevorzugtes Koordinatensystem, +welches zur Einführung der Ätheridee Anlaß gibt, mithin auch keinen +Ätherwind und kein Experiment, um einen solchen in Evidenz zu setzen. +Die Kontraktion bewegter Körper folgt hier ohne besondere Hypothesen +aus den beiden Grundprinzipien der Theorie; und zwar ergibt sich +als maßgebend für diese Kontraktion nicht die Bewegung an sich, +welcher wir keinen Sinn beizulegen vermögen, sondern die Bewegung +gegen den jeweilen gewählten Bezugskörper. So ist also für ein mit +der Erde bewegtes Bezugssystem der Spiegelkörper von +Michelson+ und ++Morley+ nicht verkürzt, wohl aber für ein relativ zur Sonne ruhendes +Bezugssystem. + + +§ 17. +Minkowski+s vierdimensionaler Raum. + +Ein mystischer Schauer ergreift den Nichtmathematiker, wenn er von +„vierdimensional“ hört, ein Gefühl, das dem vom Theatergespenst +erzeugten nicht unähnlich ist. Und doch ist keine Aussage banaler als +die, daß unsere gewohnte Welt ein vierdimensionales zeiträumliches +Kontinuum ist. + +Der +Raum+ ist ein dreidimensionales Kontinuum. Dies will sagen, daß +es möglich ist, die Lage eines (ruhenden) Punktes durch drei Zahlen +(Koordinaten), _x_, _y_, _z_, zu beschreiben, und daß es zu jedem +Punkte beliebig „benachbarte“ Punkte gibt, deren Lage durch solche +Koordinatenwerte (Koordinaten) _x₁_, _y₁_, _z₁_ beschrieben werden +kann, die den Koordinaten _x_, _y_, _z_ des erstgenannten beliebig nahe +kommen. Wegen der letzteren Eigenschaft sprechen wir von „Kontinuum“, +wegen der Dreizahl der Koordinaten von „dreidimensional“. + +Analog ist die Welt des physikalischen Geschehens, von +Minkowski+ +kurz „Welt“ genannt, natürlich vierdimensional in zeiträumlichem +Sinne. Denn sie setzt sich aus Einzelereignissen zusammen, deren jedes +durch vier Zahlen, nämlich drei räumliche Koordinaten _x_, _y_, _z_ +und eine zeitliche Koordinate, den Zeitwert _t_ beschrieben ist. Die +„Welt“ ist in diesem Sinne auch ein Kontinuum; denn es gibt zu jedem +Ereignis beliebig „benachbarte“ (realisierte oder doch denkbare) +Ereignisse, deren Koordinaten _x₁_, _y₁_, _z₁_, _t₁_ sich von denen des +ursprünglich betrachteten Ereignisses _x_, _y_, _z_, _t_ beliebig wenig +unterscheiden. Daß wir nicht daran gewöhnt sind, die Welt in diesem +Sinne als vierdimensionales Kontinuum aufzufassen, liegt darin, daß +die Zeit in der vorrelativistischen Physik gegenüber den räumlichen +Koordinaten eine verschiedene, mehr selbständige Rolle spielt. +Darum haben wir uns daran gewöhnt, die Zeit als ein selbständiges +Kontinuum zu behandeln. In der Tat ist die Zeit gemäß der klassischen +Physik absolut, d. h. von der Lage und dem +Bewegungszustande+ des +Bezugssystems unabhängig. Dies kommt in der letzten Gleichung der +Galilei-Transformation (_t′ = t_) zum Ausdruck. + +Durch die Relativitätstheorie ist die vierdimensionale +Betrachtungsweise der „Welt“ geboten, da ja gemäß dieser Theorie die +Zeit ihrer Selbständigkeit beraubt wird, wie die vierte der Gleichungen +der Lorentz-Transformation + + t′ = t − v/c² x / sqrt(1−v²/c²) + +lehrt. Denn nach dieser Gleichung verschwindet die Zeitdifferenz +_Δt′_ zweier Ereignisse in bezug auf _K′_ auch dann im allgemeinen +nicht, wenn die Zeitdifferenz _Δt_ derselben in bezug auf _K_ +verschwindet. Rein räumliche Distanz zweier Ereignisse in bezug auf +_K_ hat zeitliche Distanz derselben in bezug auf _K′_ zur Folge. +Auch hierin liegt nicht +Minkowski+s für die formale Entwicklung der +Relativitätstheorie wichtige Entdeckung. Diese liegt vielmehr in der +Erkenntnis, daß das vierdimensionale zeiträumliche Kontinuum der +Relativitätstheorie in seinen maßgebenden formalen Eigenschaften die +weitgehendste Verwandtschaft zeigt zu dem dreidimensionalen Kontinuum +des Euklidischen geometrischen Raumes. Um diese Verwandtschaft +ganz hervortreten zu lassen, muß man allerdings statt der üblichen +Zeitkoordinate _t_ die ihr proportionale imaginäre Größe sqrt(−1) +_ct_ einführen. Dann aber nehmen die den Forderungen der (speziellen) +Relativitätstheorie genügenden Naturgesetze mathematische Formen an, +in denen die Zeitkoordinate genau dieselbe Rolle spielt wie die drei +räumlichen Koordinaten. Diese vier Koordinaten entsprechen formal genau +den drei räumlichen Koordinaten der Euklidischen Geometrie. Es muß +auch dem Nichtmathematiker einleuchten, daß durch diese rein formale +Erkenntnis die Theorie außerordentlich an Übersichtlichkeit gewinnen +mußte. + +Diese dürftigen Andeutungen geben dem Leser nur eine vage Idee von dem +wichtigen Gedanken +Minkowski+s, ohne den die im folgenden in ihren +Grundgedanken entwickelte allgemeine Relativitätstheorie vielleicht +in den Windeln stecken geblieben wäre. Da aber ein exakteres Erfassen +dieses für den mathematisch nichtgeübten Leser zweifellos schwer +zugänglichen Gegenstandes für das Verständnis der Grundgedanken weder +der speziellen noch der allgemeinen Relativitätstheorie nötig ist, so +will ich denselben hier verlassen, um erst in den letzten Darlegungen +dieses Büchleins wieder darauf zurückzukommen. + + + [2] Damit ist auch der geraden Linie ein Naturobjekt zugeordnet. + Drei Punkte eines starren Körpers _A_, _B_, _C_ liegen dann in + einer Geraden, wenn bei gegebenen Punkten _A_ und _C_ der Punkt + _B_ so gewählt ist, daß die Summe der Entfernungen _A͞B_ und + _B͞C_ möglichst gering wird. Diese lückenhafte Andeutung mag in + diesem Zusammenhange genügen. + + [3] Dabei ist allerdings angenommen, daß die Messung aufgehe, d. h. + eine ganze Zahl ergebe. Von dieser Schwierigkeit befreit man + sich durch die Anwendung geteilter Maßstäbe, deren Einführung + keine prinzipiell neue Methode verlangt. + + [4] Eine weitere Untersuchung darüber, was hier „räumliche + Koinzidenz“ bedeutet, ist hier nicht nötig; denn dieser + Begriff ist insofern klar, als im einzelnen realen Falle + Meinungsverschiedenheiten darüber, ob er zutreffe oder nicht, + kaum auftreten dürften. + + [5] Erst durch die im zweiten Teil des Büchleins behandelte + allgemeine Relativitätstheorie wird eine Verfeinerung und + Änderung dieser Auffassungen nötig. + + [6] Wir nehmen ferner an, daß, wenn drei Ereignisse _A_, _B_, + _C_ derartig an verschiedenen Orten stattfinden, daß, wenn + _A_ gleichzeitig mit _B_ und _B_ gleichzeitig mit _C_ ist + (gleichzeitig im Sinne obiger Definition), das Kriterium der + Gleichzeitigkeit auch für das Ereignispaar _A_—_C_ erfüllt + sei. Diese Annahme ist eine physikalische Hypothese über das + Ausbreitungsgesetz des Lichtes; sie muß unbedingt erfüllt sein, + wenn es möglich sein soll, an dem Gesetz von der Konstanz der + Vakuum-Lichtgeschwindigkeit festzuhalten. + + [7] Vom Fahrdamm aus beurteilt! + + [8] Etwa die Mitte des 1. und 100. Wagens. + + [9] +Fizeau+ fand W = w + v(1−1/n²), wobei n = c/w der + Brechungsexponent der Flüssigkeit ist. Andererseits kann für + (B) wegen der Kleinheit von vw/c² gegenüber 1 zunächst + W = (w + v)(1−vw/c²), oder mit der gleichen Näherung + w + v(1−1/n²) gesetzt werden, was mit +Fizeau+s Resultat + übereinstimmt. + + [10] _E₀_ ist die aufgenommene Energie, von einem mit dem Körper + bewegten Koordinatensystem aus beurteilt. + + [11] Von einem mitbewegten Koordinatensystem aus beurteilt. + + + + +Zweiter Teil. + +Über die allgemeine Relativitätstheorie. + + +§ 18. Spezielles und allgemeines Relativitätsprinzip. + +Die Grundthese, um welche sich alle bisherigen Ausführungen drehten, +war das +spezielle+ Relativitätsprinzip, d. h. das Prinzip von der +physikalischen Relativität aller +gleichförmigen+ Bewegung. Analysieren +wir noch einmal genau seinen Inhalt! + +Daß jegliche Bewegung ihrem Begriff nach nur als +relative+ Bewegung +gedacht werden muß, war zu allen Zeiten einleuchtend. Bei unserem viel +benutzten Beispiel vom Bahndamm und vom Eisenbahnwagen kann z. B. die +Tatsache der hier stattfindenden Bewegung mit gleichem Rechte in den +beiden Formen ausgesprochen werden: + + a) Der Wagen bewegt sich relativ zum Bahndamm, + + b) Der Bahndamm bewegt sich relativ zum Wagen. + +Im Falle a) dient bei dieser Aussage der Bahndamm, im Falle b) der +Wagen als Bezugskörper. Bei der bloßen Feststellung bzw. Beschreibung +der Bewegung ist es prinzipiell gleichgültig, auf was für einen +Bezugskörper man die Bewegung bezieht. Dies ist, wie gesagt, +selbstverständlich und darf nicht mit der viel weitergehenden Aussage +verwechselt werden, welche wir „Relativitätsprinzip“ genannt und +unseren Untersuchungen zugrunde gelegt haben. + +Das von uns benutzte Prinzip behauptet nicht nur, daß man für +die Beschreibung jeglichen Geschehens ebensowohl den Wagen wie +den Bahndamm als Bezugskörper wählen könne (denn auch dies ist +selbstverständlich). Unser Prinzip behauptet vielmehr: Formuliert man +die allgemeinen Naturgesetze, wie sie sich aus der Erfahrung ergeben, +indem man sich + + a) des Bahndammes als Bezugskörpers bedient, + + b) des Wagens als Bezugskörpers bedient, + +so lauten diese allgemeinen Naturgesetze (z. B. die Gesetze der +Mechanik oder das Gesetz der Lichtausbreitung im Vakuum) genau +gleich in beiden Fällen. Man kann das auch so ausdrücken: Für die ++physikalische+ Beschreibung der Naturvorgänge ist keiner der +Bezugskörper _K_, _K′_ vor dem anderen ausgezeichnet. Diese letztere +Aussage muß nicht a priori notwendig zutreffen wie die erstere; sie ist +nicht in den Begriffen „Bewegung“ und „Bezugskörper“ enthalten und aus +ihnen ableitbar, sondern über ihre Richtigkeit oder Unrichtigkeit kann +nur die +Erfahrung+ entscheiden. + +Wir haben nun aber bisher keineswegs die Gleichwertigkeit aller +Bezugskörper _K_ mit Bezug auf die Formulierung der Naturgesetze +behauptet. Unser Weg war vielmehr folgender. Wir gingen zunächst +von der Annahme aus, daß es einen Bezugskörper _K_ von solchem +Bewegungszustande gebe, daß relativ zu ihm der +Galilei+sche +Grundsatz gilt: Ein sich selbst überlassener, von allen übrigen +hinlänglich entfernter Massenpunkt bewegt sich gleichförmig und +geradlinig. Auf _K_ (+Galilei+scher Bezugskörper) bezogen sollten +die Naturgesetze möglichst einfache sein. Außer _K_ sollten aber +alle diejenigen Bezugskörper _K′_ in diesem Sinne bevorzugt und mit +_K_ für die Formulierung der Naturgesetze genau gleichwertig sein, +welche relativ zu _K_ eine +geradlinig gleichförmige, rotationsfreie +Bewegung+ ausführen; alle diese Bezugskörper werden als +Galilei+sche +Bezugskörper angesehen. Nur für diese Bezugskörper wurde die Gültigkeit +des Relativitätsprinzips angenommen, für andere (anders bewegte) nicht. +In diesem Sinne sprechen wir vom +speziellen+ Relativitätsprinzip bzw. +spezieller Relativitätstheorie. + +Im Gegensatz hierzu wollen wir unter „allgemeinem Relativitätsprinzip“ +die Behauptung verstehen: Alle Bezugskörper _K_, _K′_ usw. sind für +die Naturbeschreibung (Formulierung der allgemeinen Naturgesetze) +gleichwertig, welches auch deren Bewegungszustand sein mag. Es sei aber +gleich bemerkt, daß diese Formulierung später durch eine abstraktere +ersetzt werden muß aus Gründen, die erst später zutage treten werden. + +Nachdem sich die Einführung des speziellen Relativitätsprinzips bewährt +hat, muß es jedem nach Verallgemeinerung strebenden Geiste verlockend +erscheinen, den Schritt zum allgemeinen Relativitätsprinzip zu wagen. +Aber eine einfache, scheinbar ganz zuverlässige Betrachtung läßt einen +solchen Versuch zunächst aussichtslos erscheinen. Der Leser denke sich +in den schon so oft betrachteten, gleichförmig fahrenden Eisenbahnwagen +versetzt. Solange der Wagen gleichförmig fährt, ist für den Insassen +nichts vom Fahren des Wagens zu merken. Daher kommt es auch, daß der +Insasse den Tatbestand ohne inneres Widerstreben dahin deuten kann, daß +der Wagen ruhe, der Bahndamm aber bewegt sei. Diese Interpretation ist +übrigens nach dem speziellen Relativitätsprinzip auch physikalisch ganz +berechtigt. + +Wird nun aber die Bewegung des Wagens etwa dadurch in eine +ungleichförmige verwandelt, daß der Wagen kräftig gebremst wird, so +erhält der Insasse einen entsprechend kräftigen Ruck nach vorne. Die +beschleunigte Bewegung des Wagens äußert sich in dem mechanischen +Verhalten der Körper relativ zu ihm; das mechanische Verhalten ist ein +anderes als im vorhin betrachteten Falle, und es erscheint deshalb +ausgeschlossen zu sein, daß relativ zum ungleichförmig bewegten Wagen +die gleichen mechanischen Gesetze gelten, wie relativ zum ruhenden +bzw. gleichförmig bewegten Wagen. Jedenfalls ist klar, daß relativ +zum ungleichförmig bewegten Wagen der +Galilei+sche Grundsatz nicht +gilt. Wir fühlen uns daher zunächst genötigt, entgegen dem allgemeinen +Relativitätsprinzip der ungleichförmigen Bewegung eine Art absolute +physikalische Realität zuzusprechen. Im folgenden werden wir aber bald +sehen, daß dieser Schluß nicht stichhaltig ist. + + +§ 19. Das Gravitationsfeld. + +Auf die Frage: „Warum fällt ein Stein, den wir emporheben und darauf +loslassen, zur Erde?“ antwortet man gewöhnlich: „Weil er von der Erde +angezogen wird.“ Die moderne Physik formuliert die Antwort etwas anders +aus folgendem Grunde. Durch genaueres Studium der elektromagnetischen +Erscheinungen ist man zu der Auffassung gekommen, daß es eine +unvermittelte Wirkung in die Ferne nicht gebe. Zieht z. B. ein Magnet +ein Stück Eisen an, so darf man sich nicht mit der Auffassung zufrieden +geben, daß der Magnet durch den leeren Zwischenraum hindurch auf das +Eisen direkt einwirke, sondern man stellt sich nach +Faraday+ vor, +daß der Magnet in dem ihn umgebenden Raume etwas physikalisch Reales +stets hervorrufe, was man als „magnetisches Feld“ bezeichnet. Dies +magnetische Feld wirkt seinerseits wieder auf das Eisenstück ein, so +daß es sich zum Magneten zu bewegen strebt. Die Berechtigung dieses an +sich willkürlichen Zwischenbegriffes wollen wir hier nicht erörtern. +Es sei nur bemerkt, daß man mit seiner Hilfe die elektromagnetischen +Erscheinungen, insbesondere die Ausbreitung der elektromagnetischen +Wellen, viel befriedigender theoretisch darstellen kann als ohne +denselben. Analog faßt man auch die Wirkungen der Gravitation auf. + +Die Einwirkung der Erde auf den Stein kommt indirekt zustande. Die +Erde erzeugt in ihrer Umgebung ein Gravitationsfeld. Dieses wirkt auf +den Stein und veranlaßt seine Fallbewegung. Die Stärke der Einwirkung +auf einen Körper nimmt erfahrungsgemäß ab, wenn man sich mehr und +mehr von der Erde entfernt, nach einem ganz bestimmten Gesetze. +Dies heißt in unserer Auffassungsweise: Das Gesetz, welches die +räumlichen Eigenschaften des Gravitationsfeldes beherrscht, muß ein +ganz bestimmtes sein, um die Abnahme der Gravitationswirkung mit der +Entfernung vom wirksamen Körper richtig darzustellen. Man stellt sich +etwa vor, der Körper erzeuge direkt das Feld in seiner unmittelbaren +Nähe; Stärke und Richtung des Feldes in größerer Entfernung sind +dann hieraus durch das Gesetz bestimmt, welches die räumlichen +Eigenschaften der Gravitationsfelder selbst beherrscht. + +Das Gravitationsfeld weist im Gegensatz zum elektrischen und +magnetischen Felde eine höchst merkwürdige Eigenschaft auf, welche +für das Folgende von fundamentaler Bedeutung ist. Körper, die +sich unter ausschließlicher Wirkung des Schwerefeldes bewegen, +erfahren eine Beschleunigung, +welche weder vom Material noch vom +physikalischen Zustande des Körpers im geringsten abhängt+. Ein Stück +Blei und ein Stück Holz fallen beispielsweise im Schwerefelde (im +luftleeren Raume) genau gleich, wenn man sie ohne bzw. mit gleicher +Anfangsgeschwindigkeit fallen läßt. Man kann dies äußerst genau gültige +Gesetz auch noch anders formulieren auf Grund folgender Erwägung. + +Nach +Newton+s Bewegungsgesetz ist + + (Kraft) = (träge Masse) . (Beschleunigung), + +wobei die „träge Masse“ eine charakteristische Konstante des +beschleunigten Körpers ist. Ist nun die beschleunigende Kraft die +Schwere, so ist andererseits + + (Kraft) = (schwere Masse) . (Intensität des Schwerefeldes), + +wobei die „schwere Masse“ ebenfalls eine für den Körper +charakteristische Konstante ist. Aus beiden Relationen folgt: + + (Beschleunigung) = (schwere Masse) / (träge Masse) . (Intensität des + Schwerefeldes) + +Soll nun, wie die Erfahrung ergibt, bei gegebenem Schwerefelde die +Beschleunigung unabhängig von der Natur und dem Zustande des Körpers +stets dieselbe sein, so muß das Verhältnis der schweren zur trägen +Masse ebenfalls für alle Körper gleich sein. Man kann also dies +Verhältnis bei passender Wahl der Einheiten zu 1 machen; dann gilt der +Satz: Die +schwere+ und die +träge+ Masse eines Körpers sind einander +gleich. + +Die bisherige Mechanik hat diesen wichtigen Satz zwar +registriert+, +aber nicht +interpretiert+. Eine befriedigende Interpretation kann nur +so zustande kommen, daß man einsieht: +Dieselbe+ Qualität des Körpers +äußert sich je nach Umständen als „Trägheit“ oder als „Schwere“. +Inwiefern dies tatsächlich der Fall ist, und wie diese Frage mit dem +allgemeinen Relativitätspostulat zusammenhängt, wird im nächsten +Paragraphen dargelegt werden. + + +§ 20. Die Gleichheit der trägen und schweren Masse als Argument für das +allgemeine Relativitätspostulat. + +Wir denken uns ein geräumiges Stück leeren Weltraumes, so weit weg von +Sternen und erheblichen Massen, daß wir mit erheblicher Genauigkeit +den Fall vor uns haben, der im +Galilei+schen Grundgesetz vorgesehen +ist. Es ist dann möglich, für diesen Teil Welt einen +Galilei+schen +Bezugskörper zu wählen, relativ zu dem ruhende Punkte ruhend bleiben, +bewegte dauernd in geradlinig gleichförmiger Bewegung verharren. Als +Bezugskörper denken wir uns einen geräumigen Kasten von der Gestalt +eines Zimmers; darin befinde sich ein mit Apparaten ausgestatteter +Beobachter. Für diesen gibt es natürlich keine Schwere. Er muß sich mit +Schnüren am Boden befestigen, wenn er nicht beim leisesten Stoß gegen +den Boden langsam gegen die Decke des Zimmers entschweben will. + +In der Mitte der Kastendecke sei außen ein Haken mit Seil befestigt und +an diesem fange nun ein Wesen von uns gleichgültiger Art mit konstanter +Kraft zu ziehen an. Dann beginnt der Kasten samt dem Beobachter in +gleichförmig beschleunigtem Fluge nach „oben“ zu fliegen. Seine +Geschwindigkeit wird im Laufe der Zeit ins Phantastische zunehmen — +falls wir all dies beurteilen von einem anderen Bezugskörper aus, an +dem nicht mit einem Stricke gezogen wird. + +Wie beurteilt aber der Mann im Kasten den Vorgang? Die Beschleunigung +des Kastens wird vom Boden desselben durch Gegendruck auf ihn +übertragen. Er muß also diesen Druck mittels seiner Beine aufnehmen, +wenn er nicht seiner ganzen Länge nach den Boden berühren will. Er +steht dann im Kasten genau wie einer in einem Zimmer eines Hauses +auf unserer Erde steht. Läßt er einen Körper los, den er vorher in +der Hand hatte, so wird auf diesen die Beschleunigung des Kastens +nicht mehr übertragen; der Körper wird sich daher in beschleunigter +Relativbewegung dem Boden des Kastens nähern. Der Beobachter wird sich +ferner überzeugen, +daß die Beschleunigung des Körpers gegen den Boden +immer gleich groß ist, mit was für einem Körper er auch den Versuch +ausführen mag+. + +Der Mann im Kasten wird also, gestützt auf seine Kenntnisse vom +Schwerefelde, wie wir sie im letzten Paragraphen besprochen, zu +dem Ergebnis kommen, daß er samt dem Kasten sich in einem zeitlich +konstanten Schwerefelde befinde. Er wird allerdings einen Augenblick +verwundert sein darüber, daß der Kasten in diesem Schwerefelde nicht +falle. Da entdeckt er aber den Haken in der Mitte der Decke und das an +demselben befestigte gespannte Seil, und er kommt folgerichtig zu dem +Ergebnis, daß der Kasten in dem Schwerefelde ruhend aufgehängt sei. + +Dürfen wir über den Mann lächeln und sagen, er befinde sich mit +seiner Auffassung im Irrtum? Ich glaube, wir dürfen das nicht, +wenn wir konsequent bleiben wollen, sondern wir müssen zugeben, +daß seine Auffassungsweise weder gegen die Vernunft noch gegen die +bekannten mechanischen Gesetze verstößt. Wir können den Kasten, +wenn er auch gegen den zuerst betrachteten „+Galilei+schen Raum“ +beschleunigt ist, dennoch als ruhend ansehen. Wir haben also guten +Grund, das Relativitätsprinzip auszudehnen auf relativ zueinander +beschleunigte Bezugskörper und haben so ein kräftiges Argument für ein +verallgemeinertes Relativitätspostulat gewonnen. + +Man beachte wohl, daß die Möglichkeit dieser Auffassungsweise auf der +fundamentalen Eigenschaft des Schwerefeldes beruht, allen Körpern +dieselbe Beschleunigung zu erteilen, oder, was dasselbe bedeutet, auf +dem Satz von der Gleichheit der trägen und schweren Masse. Würde dies +Naturgesetz nicht bestehen, so würde der Mann im beschleunigten Kasten +das Verhalten der Körper seiner Umgebung nicht durch die Voraussetzung +eines Gravitationsfeldes deuten können, und er wäre auf Grund keiner +Erfahrung berechtigt, seinen Bezugskörper als einen „ruhenden“ +vorauszusetzen. + +Der Mann im Kasten befestige an der Innenseite der Kastendecke ein +Seil und an dessen freiem Ende einen Körper. Durch diesen wird bewirkt +werden, daß das Seil in gespanntem Zustande „vertikal“ herabhängt. Wir +fragen nach der Ursache der Spannung des Seiles. Der Mann im Kasten +wird sagen: „Der aufgehängte Körper erfährt in dem Schwerefelde eine +Kraft nach unten, welcher durch die Seilspannung das Gleichgewicht +gehalten wird; maßgebend für die Größe der Seilspannung ist die ++schwere Masse+ des aufgehängten Körpers.“ Andererseits wird aber ein +Beurteiler, der frei im Raume schwebt, den Zustand so beurteilen: „Das +Seil ist gezwungen, die beschleunigte Bewegung des Kastens mitzumachen +und überträgt diese auf den daran befestigten Körper. Die Seilspannung +ist so groß, daß sie die Beschleunigung des letzteren gerade zu +bewirken vermag. Maßgebend für die Größe der Spannung im Seile ist die ++träge Masse+ des Körpers.“ Wir sehen aus diesem Beispiele, daß unsere +Erweiterung des Relativitätsprinzips den Satz von der Gleichheit der +trägen und schweren Masse als +notwendig+ erscheinen läßt. Damit ist +eine physikalische Interpretation dieses Satzes gewonnen. + +Aus der Betrachtung des beschleunigten Kastens sieht man, daß eine +allgemeine Relativitätstheorie wichtige Ergebnisse über die Gesetze der +Gravitation liefern muß. Tatsächlich hat die konsequente Verfolgung +des allgemeinen Relativitätsgedankens die Gesetze geliefert, denen das +Gravitationsfeld genügt. Ich muß jedoch schon hier den Leser vor einem +Mißverständnis warnen, das durch diese Überlegungen nahegelegt wird. +Für den Mann im Kasten existiert ein Gravitationsfeld, trotzdem für das +zuerst gewählte Koordinatensystem ein solches nicht vorhanden war. Man +könnte nun leicht meinen, daß die Existenz eines Gravitationsfeldes +stets eine nur +scheinbare+ sei. Man könnte denken, daß, was auch +immer für ein Gravitationsfeld vorhanden sein mag, man immer einen +anderen Bezugskörper so wählen könne, daß in bezug auf ihn +kein+ +Gravitationsfeld existiert. Dies trifft aber keineswegs für alle +Gravitationsfelder zu, sondern nur für solche von ganz speziellem Bau. +So ist es beispielsweise unmöglich, einen Bezugskörper so zu wählen, +daß von ihm aus beurteilt das Gravitationsfeld der Erde (in seiner +ganzen Ausdehnung) verschwindet. + +Wir bemerken jetzt, warum das gegen das allgemeine Relativitätsprinzip +am Ende des § 18 vorgebrachte Argument nicht beweisend ist. Es ist wohl +richtig, daß der im gebremsten Eisenbahnwagen befindliche Beobachter +infolge der Bremsung einen Ruck nach vorn empfindet und daß er daran +die Ungleichförmigkeit (Beschleunigung) des Wagens merkt. Aber niemand +zwingt ihn, den Ruck auf eine „wirkliche“ Beschleunigung des Wagens +zurückzuführen. Er kann sein Erlebnis auch so interpretieren: „Mein +Bezugskörper (der Wagen) bleibt dauernd in Ruhe. Es herrscht aber +(während der Bremsungsperiode) in bezug auf denselben ein nach vorn +gerichtetes, zeitlich veränderliches Schwerefeld. Unter dem Einfluß des +letzteren bewegt sich der Bahndamm samt der Erde ungleichförmig derart, +daß dessen ursprüngliche, nach rückwärts gerichtete Geschwindigkeit +immer mehr abnimmt.“ + + +§ 21. Inwiefern sind die Grundlagen der klassischen Mechanik und der +speziellen Relativitätstheorie unbefriedigend? + +Wie schon mehrfach erwähnt, geht die klassische Mechanik von dem +Satze aus: Von anderen materiellen Punkten hinreichend entfernte +materielle Punkte bewegen sich geradlinig gleichförmig oder verharren +im Ruhezustande. Wir haben auch mehrfach hervorgehoben, daß das +Grundgesetz nur gültig sein kann für Bezugskörper _K_ von gewissen +ausgezeichneten Bewegungszuständen, welche relativ zueinander sich +in gleichförmiger Translationsbewegung befinden. Relativ zu anderen +Bezugskörpern _K_ gilt der Satz nicht. Sowohl in der klassischen +Mechanik wie in der speziellen Relativitätstheorie unterscheidet man +demgemäß zwischen Bezugskörpern _K_, relativ zu denen die Naturgesetze +gültig sind, und zwischen Bezugskörpern _K_, relativ zu welchen die +Naturgesetze nicht gelten. + +Mit dieser Sachlage kann sich aber kein konsequent denkender +Mensch zufrieden geben. Er fragt: „Wie ist es möglich, daß gewisse +Bezugskörper (bzw. deren Bewegungszustände) vor anderen Bezugskörpern +(bzw. deren Bewegungszuständen) ausgezeichnet sind? +Welches ist der +Grund für diese Bevorzugung?+“ Um deutlich zu zeigen, was ich mit +dieser Frage meine, will ich mich eines Vergleichs bedienen. + +Ich stehe vor einem Gasherde. Auf demselben stehen nebeneinander +zwei Kochtöpfe, die einander zum Verwechseln ähnlich sind. Beide +sind zur Hälfte mit Wasser gefüllt. Ich nehme wahr, daß aus dem +einen unaufhörlich Dampf entweicht, aus dem anderen nicht. Hierüber +wundere ich mich, auch wenn mir ein Gasherd und ein Kochtopf noch nie +zu Gesicht gekommen ist. Nehme ich nun unter dem ersteren Kochtopfe +ein bläulich leuchtendes Etwas wahr, unter dem letzteren nicht, +so schwindet meine Verwunderung auch dann, wenn ich noch nie eine +Gasflamme wahrgenommen habe. Denn ich kann nur sagen, daß dieses +bläuliche Etwas das Entweichen des Dampfes verursachen wird, oder +wenigstens +möglicherweise+ verursacht. Nehme ich aber bei keinem Topfe +das bläuliche Etwas wahr, und sehe ich, daß der eine unaufhörlich +dampft, der andere nicht, so bin ich so lange verwundert und +unbefriedigt, bis ich irgendeinen Umstand wahrgenommen habe, den ich +für das verschiedene Verhalten beider Töpfe verantwortlich machen kann. + +Analog suche ich in der klassischen Mechanik (bzw. in der speziellen +Relativitätstheorie) vergeblich nach einem realen Etwas, auf das ich +das verschiedene Verhalten der Körper gegenüber den Bezugssystemen _K_ +und _K′_ zurückführen könnte[12]. Diesen Mangel fühlte schon +Newton+ +und suchte ihn vergeblich zu entkräften. Am klarsten hat ihn aber E. ++Mach+ erkannt und seinetwegen gefordert, daß die Mechanik auf eine +neue Grundlage gestellt werden müsse. Dieser Einwand läßt sich nur +durch eine Physik vermeiden, welche dem allgemeinen Relativitätsprinzip +entspricht. Denn die Gleichungen einer solchen Theorie gelten für jeden +Bezugskörper, in was für einem Bewegungszustande derselbe auch sein mag. + + +§ 22. Einige Schlüsse aus dem allgemeinen Relativitätsprinzip. + +Die Betrachtungen des § 20 zeigen, daß das allgemeine +Relativitätsprinzip uns in den Stand setzt, auf rein theoretischem +Wege Eigenschaften des Gravitationsfeldes abzuleiten. Es sei nämlich +der raum-zeitliche Verlauf irgendeines Naturvorganges bekannt, so wie +er sich im +Galilei+schen Gebiete relativ zu einem +Galilei+schen +Bezugskörper _K_ abspielt. Dann kann man durch rein theoretische +Operationen, d. h. durch bloße Rechnung, finden, wie sich dieser +bekannte Naturvorgang von einem relativ zu _K_ beschleunigten +Bezugskörper _K′_ aus ausnimmt. Da aber relativ zu diesem neuen +Bezugskörper _K′_ ein Gravitationsfeld existiert, so erfährt man bei +der Betrachtung, wie das Gravitationsfeld den studierten Vorgang +beeinflußt. + +So erfahren wir beispielsweise, daß ein Körper, der gegenüber _K_ +eine geradlinig gleichförmige Bewegung ausführt (entsprechend dem ++Galilei+schen Satze), gegenüber dem beschleunigten Bezugskörper _K′_ +(Kasten) eine beschleunigte, im allgemeinen krummlinige Bewegung +ausführt. Diese Beschleunigung bzw. Krümmung entspricht dem Einfluß +des relativ zu _K′_ herrschenden Gravitationsfeldes auf den bewegten +Körper. Daß das Gravitationsfeld in dieser Weise die Bewegung +der Körper beeinflußt, ist bekannt, so daß die Überlegung nichts +prinzipiell Neues liefert. + +Ein neues Ergebnis von fundamentaler Wichtigkeit erhält man aber, wenn +man die entsprechende Überlegung für einen Lichtstrahl durchführt. +Gegenüber dem +Galilei+schen Bezugskörper _K_ pflanzt sich dieser in +gerader Linie mit der Geschwindigkeit _c_ fort. In bezug auf den +beschleunigten Kasten (Bezugskörper _K′_) ist, wie leicht abzuleiten +ist, die Bahn desselben Lichtstrahles keine Gerade mehr. Hieraus +ist zu schließen, +daß sich Lichtstrahlen in Gravitationsfeldern im +allgemeinen krummlinig fortpflanzen+. Dies Ergebnis ist in zweifacher +Hinsicht von großer Wichtigkeit. + +Erstens nämlich kann dasselbe mit der Wirklichkeit verglichen werden. +Wenn eine eingehende Überlegung auch ergibt, daß die Krümmung der +Lichtstrahlen, welche die allgemeine Relativitätstheorie liefert, für +die uns in der Erfahrung zur Verfügung stehenden Gravitationsfelder nur +äußerst gering ist, so soll sie für Lichtstrahlen, die in der Nähe der +Sonne vorbeigehen, doch 1,7 Bogensekunden betragen. Dies müßte sich +dadurch äußern, daß die in der Nähe der Sonne erscheinenden Fixsterne, +welche bei totalen Sonnenfinsternissen der Beobachtung zugänglich +sind, um diesen Betrag von der Sonne weggerückt erscheinen müssen +gegenüber der Lage, die sie für uns am Himmel annehmen, wenn die Sonne +an einer anderen Stelle am Himmel steht. Die Prüfung des Zutreffens +oder Nichtzutreffens dieser Konsequenz ist eine Aufgabe von höchster +Wichtigkeit, deren baldige Lösung wir von den Astronomen erhoffen +dürfen. + +Zweitens aber zeigt diese Konsequenz, daß nach der allgemeinen +Relativitätstheorie das schon oft erwähnte Gesetz von der Konstanz der +Vakuumlichtgeschwindigkeit, das eine der beiden grundlegenden Annahmen +der speziellen Relativitätstheorie bildet, keine unbegrenzte Gültigkeit +beanspruchen kann. Eine Krümmung der Lichtstrahlen kann nämlich nur +dann eintreten, wenn die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes mit +dem Orte variiert. Man könnte nun denken, daß durch diese Konsequenz +die spezielle Relativitätstheorie, und mit ihr die Relativitätstheorie +überhaupt, zu Fall gebracht würde. Dies trifft aber in Wahrheit nicht +zu. Es läßt sich nur schließen, daß die spezielle Relativitätstheorie +kein unbegrenztes Gültigkeitsgebiet beanspruchen kann; ihre Ergebnisse +gelten nur insoweit, als man von den Einflüssen der Gravitationsfelder +auf die Erscheinungen (z. B. des Lichtes) absehen kann. + +Da die Gegner der Relativitätstheorie öfters behauptet haben, +die spezielle Relativitätstheorie werde durch die allgemeine +Relativitätstheorie über den Haufen geworfen, will ich den wirklichen +Sachverhalt durch einen Vergleich deutlicher machen. Vor der +Aufstellung der Elektrodynamik wurden die Gesetze der Elektrostatik für +die Gesetze der Elektrizität schlechthin angesehen. Heute wissen wir, +daß die Elektrostatik die elektrischen Felder nur in dem nie streng +realisierten Falle richtig liefern kann, daß die elektrischen Massen +relativ zueinander und zum Koordinatensystem exakt ruhen. Ist deshalb +die Elektrostatik durch +Maxwell+s Feldgleichungen der Elektrodynamik +über den Haufen geworfen worden? Keineswegs! Die Elektrostatik ist als +Grenzfall in der Elektrodynamik enthalten; die Gesetze der letzteren +führen direkt auf die ersteren in dem Falle, daß die Felder zeitlich +unveränderlich sind. Es ist das schönste Los einer physikalischen +Theorie, wenn sie selbst zur Aufstellung einer umfassenden Theorie den +Weg weist, in welcher sie als Grenzfall weiterlebt. + +Bei dem eben behandelten Beispiel der Lichtausbreitung haben wir +gesehen, daß das allgemeine Relativitätsprinzip uns in den Stand +setzt, den Einfluß des Gravitationsfeldes auf den Ablauf von Vorgängen +auf theoretischem Wege abzuleiten, deren Gesetze für den Fall des +Fehlens eines Gravitationsfeldes bereits bekannt sind. Die reizvollste +Aufgabe, zu deren Lösung das allgemeine Relativitätsprinzip den +Schlüssel liefert, betrifft aber die Ermittelung der Gesetze, denen das +Gravitationsfeld selbst genügt. Der Sachverhalt ist hier folgender. + +Wir kennen raum-zeitliche Gebiete, die sich bei passender Wahl des +Bezugskörpers (annähernd) „galileisch“ verhalten, d. h. Gebiete, +in denen Gravitationsfelder fehlen. Beziehen wir nun ein solches +Gebiet auf einen beliebig bewegten Bezugskörper _K′_, so ist in bezug +auf _K′_ ein zeitlich und räumlich veränderliches Gravitationsfeld +vorhanden[13]. Die Beschaffenheit des letzteren hängt natürlich davon +ab, wie wir die Bewegung von _K′_ wählen. Das allgemeine Gesetz des +Gravitationsfeldes muß nach der allgemeinen Relativitätstheorie für +alle so erhältlichen Gravitationsfelder erfüllt sein. Wenn nun auch +keineswegs alle Gravitationsfelder auf diese Weise erzeugt werden +können, so schöpft man doch Hoffnung, aus diesen Gravitationsfeldern +spezieller Art das allgemeine Gesetz der Gravitation ableiten zu +können. Diese Hoffnung ist aufs schönste in Erfüllung gegangen! +Aber vom klaren Sehen dieses Zieles bis zum tatsächlichen Erreichen +desselben bedurfte es noch der Überwindung einer ernstlichen +Schwierigkeit, die ich dem Leser nicht vorenthalten darf, da sie tief +im Wesen der Sache liegt. Es bedarf einer abermaligen Vertiefung der +Begriffe von dem raum-zeitlichen Kontinuum. + + +§ 23. Verhalten von Uhren und Maßstäben auf einem rotierenden +Bezugskörper. + +Ich habe bis jetzt absichtlich nicht gesprochen über die physikalische +Interpretation von räumlichen und zeitlichen Angaben in dem Falle +der allgemeinen Relativitätstheorie. Dadurch habe ich mich einer +gewissen Unsauberkeit schuldig gemacht, von der wir aus der speziellen +Relativitätstheorie wissen, daß sie keineswegs unwichtig und +verzeihlich ist. Nun ist es hohe Zeit, daß wir diese Lücke ausfüllen; +ich bemerke aber im voraus, daß diese Angelegenheit an die Geduld und +das Abstraktionsvermögen des Lesers keine geringen Anforderungen stellt. + +Wir gehen wieder von oft herangezogenen, ganz speziellen Fällen +aus. Es liege ein raum-zeitliches Gebiet vor, in welchem relativ zu +einem Bezugskörper _K_ von passend gewähltem Bewegungszustande kein +Gravitationsfeld existiere; in bezug auf das ins Auge gefaßte Gebiet +ist dann _K_ ein +Galilei+scher Bezugskörper, und es gelten relativ +zu _K_ die Ergebnisse der speziellen Relativitätstheorie. Dasselbe +Gebiet denken wir uns auf einen zweiten Bezugskörper _K′_ bezogen, +welcher relativ zu _K_ gleichförmig rotiert. Um die Vorstellung zu +fixieren, denken wir uns _K′_ in Gestalt einer ebenen Kreisscheibe, +welche um ihren Mittelpunkt in ihrer Ebene gleichmäßig rotiere. Ein +exzentrisch auf der Kreisscheibe _K′_ sitzender Beobachter empfindet +eine Kraft, die in radialer Richtung nach außen wirkt, und welche von +einem relativ zum ursprünglichen Bezugskörper _K_ ruhenden Beobachter +als Trägheitswirkung (Zentrifugalkraft) gedeutet wird. Der auf der +Scheibe sitzende Beobachter möge jedoch seine Scheibe als „ruhenden“ +Bezugskörper auffassen; dazu ist er auf Grund des allgemeinen +Relativitätsprinzips berechtigt. Die auf ihn und überhaupt auf relativ +zur Scheibe ruhende Körper wirkende Kraft faßt er als Wirkung eines +Gravitationsfeldes auf. Allerdings ist die räumliche Verteilung +dieses Schwerefeldes eine solche, wie sie nach +Newton+s Theorie der +Gravitation nicht möglich wäre[14]. Aber da der Beobachter an die +allgemeine Relativität glaubt, stört ihn dies nicht; er hofft mit +Recht, daß ein allgemeines Gravitationsgesetz sich aufstellen lasse, +welches nicht nur die Bewegung der Gestirne, sondern auch das von ihm +wahrgenommene Kraftfeld richtig erklärt. + +Dieser Beobachter experimentiert auf seiner Kreisscheibe mit Uhren +und Maßstäben, in der Absicht, auf Grund seiner Beobachtungen exakte +Definitionen für die Bedeutung zeitlicher und räumlicher Angaben in +bezug auf die Kreisscheibe _K′_ zu erhalten. Was wird er dabei für +Erfahrungen machen? + +Der Beobachter stelle zunächst von zwei gleich beschaffenen Uhren die +eine in dem Mittelpunkte der Kreisscheibe, die andere an der Peripherie +derselben auf, so daß sie relativ zur Kreisscheibe ruhen. Wir fragen +uns zunächst, ob diese beiden Uhren gleich schnell gehen vom Standpunkt +des nicht rotierenden +Galilei+schen Bezugskörpers _K_. Von diesem +aus beurteilt, hat die Uhr im Mittelpunkt keine Geschwindigkeit, +während die Uhr an der Peripherie infolge der Rotation relativ zu +_K_ in Bewegung ist. Nach einem Ergebnis des § 12 geht deshalb die +letztere Uhr von _K_ aus beurteilt dauernd langsamer als die Uhr in +der Mitte der Kreisscheibe. Dasselbe müßte offenbar auch der Mann auf +der Kreisscheibe konstatieren, den wir uns etwa als in der Mitte der +Kreisscheibe neben der dortigen Uhr sitzend vorstellen wollen. Auf +unserer Kreisscheibe und allgemeiner in jedem Gravitationsfelde wird +also eine Uhr rascher oder langsamer laufen, je nach der Stelle, in +welcher die Uhr (ruhend) angeordnet ist. Eine vernünftige Definition +der Zeit mit Hilfe von relativ zum Bezugskörper ruhend angeordneten +Uhren ist also nicht möglich. Eine ähnliche Schwierigkeit zeigt sich, +wenn man versucht, unsere frühere Definition der Gleichzeitigkeit hier +anzuwenden, worauf ich nicht weiter eingehen will. + +Aber auch die Definition der räumlichen Koordinaten macht hier zunächst +unüberwindliche Schwierigkeiten. Legt nämlich der Beobachter seinen +Einheitsmaßstab (ein relativ zum Scheibenradius kleines Stäbchen) an +der Scheibenperipherie tangential zu dieser an, so ist derselbe, vom ++Galilei+schen System aus beurteilt, kürzer als 1, weil bewegte Körper +nach § 12 in Richtung der Bewegung eine Verkürzung erfahren. Legt er +dagegen seinen Maßstab in die Richtung des Scheibenradius, so erfährt +er, von _K_ aus beurteilt, keine Verkürzung. Mißt der Beobachter also +zuerst den Scheibenumfang, dann den Scheibendurchmesser mit seinem +Maßstab und dividiert er hierauf diese beiden Meßergebnisse, so findet +er als Quotienten nicht die bekannte Zahl π = 3,14..., sondern eine +größere Zahl, während sich auf einer relativ zu _K_ ruhenden Scheibe +bei dieser Operation natürlich exakt π ergeben müßte. Damit ist bereits +bewiesen, daß die Sätze der Euklidischen Geometrie auf der rotierenden +Scheibe und damit überhaupt in einem Gravitationsfelde nicht genau +gelten können, wenigstens wenn man dem Stäbchen überall und in jeder +Orientierung die Länge 1 zuschreibt. Auch der Begriff der geraden +Linie verliert damit seine Bedeutung. Wir sind deshalb nicht in der +Lage, relativ zur Scheibe die Koordinaten _x_, _y_, _z_ nach der in +der speziellen Relativität benutzten Methode exakt zu definieren. +Solange jedoch Koordinaten und Zeiten der Ereignisse nicht definiert +sind, haben auch Naturgesetze, in welchen diese vorkommen, keine exakte +Bedeutung. + +Damit scheinen alle Überlegungen, welche wir bisher über allgemeine +Relativität angestellt haben, in Frage gestellt zu sein. In der Tat +bedarf es eines subtilen Umweges, um das Postulat der allgemeinen +Relativität exakt anzuwenden. Auf diesen wird der Leser durch die +folgenden Betrachtungen vorbereitet werden. + + +§ 24. Euklidisches und Nicht-Euklidisches Kontinuum. + +Die Oberfläche eines Marmortisches liegt vor mir. Ich kann von +irgendeinem Punkte derselben aus zu irgendeinem anderen gelangen, +indem ich eine (große) Anzahl von Malen immer zu einem „benachbarten“ +Punkte übergehe, oder — anders gesagt — indem ich von Punkt zu Punkt +gehe, ohne „Sprünge“ zu machen. Was hier unter „benachbart“ und unter +„Sprüngen“ zu verstehen ist, empfindet der Leser gewiß mit genügender +Schärfe (wenn er nicht gar zu anspruchsvoll ist). Dies drücken wir aus, +indem wir sagen, die Oberfläche sei ein Kontinuum. + +Wir denken uns nun eine große Zahl gegen die Abmessungen der +Tischplatte kleiner Stäbchen hergestellt, die alle gleich lang seien. +Darunter ist verstanden, daß die Enden je zweier davon zur Deckung +gebracht werden können. Wir legen nun vier dieser Stäbchen auf der +Tischplatte so aufeinander, daß ihre Enden ein Viereck bilden, +dessen Diagonalen gleich lang seien (Quadrat). Zur Erzielung der +Diagonalengleichheit bedienen wir uns eines Probierstäbchens. An dies +Quadrat legen wir gleiche Quadrate an, welche mit ihm ein Stäbchen +gemein haben, an diese letzteren Quadrate ebenfalls usw. Schließlich +ist die ganze Tischplatte mit Quadraten belegt, derart, daß jede +Quadratseite zu zwei Quadraten und jede Quadratecke zu vier Quadraten +gehört. + +Daß man dies Geschäft ausführen kann, ohne in die größten +Schwierigkeiten zu geraten, ist ein wahres Wunder! Man braucht nur +an folgendes zu denken. Stoßen an einer Ecke bereits drei Quadrate +zusammen, so sind auch von dem vierten bereits zwei Seiten gelegt. Wie +die beiden anderen Seiten desselben gelegt werden müssen, ist dadurch +schon vollkommen bestimmt. Jetzt kann ich das Viereck aber nicht mehr +zurechtrücken, damit seine Diagonalen gleich werden. Sind sie es von +selbst schon, so ist dies eine besondere Gunst der Tischplatte und der +Stäbchen, über die ich mich nur dankbar wundern kann! Analoger Wunder +müssen wir viele erleben, wenn die Konstruktion gelingen soll. + +Ist wirklich alles glatt vonstatten gegangen, so sage ich, daß die +Punkte der Tischplatte ein Euklidisches Kontinuum mit Bezug auf das +benutzte Stäbchen als Strecke bilden. Hebe ich eine Quadratecke als +„Anfangspunkt“ hervor, so kann ich jede andere Quadratecke mit Bezug +auf den Anfangspunkt durch zwei Zahlen charakterisieren. Ich brauche +nur anzugeben, wie viele Stäbchen ich nach „rechts“ und wie viele +darauf nach „oben“ ich vom Anfangspunkte zurücklegen muß, um zu der ins +Auge gefaßten Quadratecke zu gelangen. Diese zwei Zahlen sind dann die +„Kartesischen Koordinaten“ der letzteren mit Bezug auf das durch die +gelegten Stäbchen bestimmte „Kartesische Koordinatensystem“. + +Daß es auch Fälle geben muß, in denen das Experiment mißlingt, erkennen +wir an folgender Modifikation des Gedankenexperiments. Die Stäbchen +sollen sich nach Maßgabe der Temperatur „ausdehnen“. Die Tischplatte +werde in der Mitte erwärmt, am Rande aber nicht, wobei zwei unserer +Stäbchen immer noch an jeder Stelle des Tisches zur Deckung gebracht +werden können. Aber unsere Quadratkonstruktion muß dabei notwendig +in Unordnung kommen, weil sich die Stäbchen der inneren Partie der +Tischplatte ausdehnen, die der äußeren Partie aber nicht. + +Mit Bezug auf unsere Stäbchen — als Einheitsstrecken definiert — ist +die Tischplatte nun kein Euklidisches Kontinuum mehr, und wir sind +auch nicht mehr in der Lage, unmittelbar mit ihrer Hilfe Kartesische +Koordinaten zu definieren, da die obige Konstruktion sich nicht mehr +durchführen läßt. Da es aber andere Dinge gibt, welche durch die +Temperatur des Tisches nicht in analoger Weise wie die Stäbchen (oder +überhaupt nicht) beeinflußt werden, gelingt es, in einer natürlichen +Weise die Auffassung aufrecht zu erhalten, daß die Tischplatte ein +„Euklidisches Kontinuum“ sei; es gelingt in befriedigender Weise +durch eine subtilere Festsetzung über das Messen bzw. Vergleichen von +Strecken. + +Würden aber Stäbchen jeder Art, d. h. jeden Materials, sich in ++gleicher+ Weise temperaturempfindlich verhalten auf der verschieden +temperierten Tischplatte, und hätten wir kein anderes Mittel, die +Wirkung der Temperatur wahrzunehmen, als das geometrische Verhalten +der Stäbchen bei Experimenten analog dem oben beschriebenen, so könnte +es wohl zweckmäßig sein, zwei Punkten des Tisches die Entfernung +1 zuzuschreiben, wenn sich die Enden eines unserer Stäbchen mit +ihnen zur Deckung bringen lassen; denn wie sollte man ohne die +krasseste Willkür die Strecke anders definieren? Dann aber muß die +Kartesische Koordinatenmethode verlassen und durch eine andere +ersetzt werden, welche die Gültigkeit der Euklidischen Geometrie für +starre Körper nicht voraussetzt[15]. Der Leser bemerkt, daß die hier +geschilderte Situation derjenigen entspricht, welche das allgemeine +Relativitätspostulat mit sich gebracht hat (§ 23). + + +§ 25. Gaußsche Koordinaten. + +[Illustration: Fig. 3.] + +Diese analytisch-geometrische Behandlungsweise läßt sich nach +Gauß+ +folgendermaßen erzielen. Man denke sich auf die Tischplatte ein +System von beliebigen Kurven (vgl. Fig. 3) aufgezeichnet, die wir als +_u_-Kurven bezeichnen und die wir je mit einer Zahl bezeichnen. In der +Zeichnung sind die Kurven _u_ = 1, _u_ = 2 und _u_ = 3 gezeichnet. +Zwischen den Kurven _u_ = 1 und _u_ = 2 sind aber noch unendlich viele +eingezeichnet zu denken, welche allen reellen Zahlen entsprechen, +die zwischen 1 und 2 liegen. Es liegt dann ein System von _u_-Kurven +vor, welche unendlich dicht die ganze Tischplatte überdecken. Keine +_u_-Kurve soll eine andere schneiden, sondern durch jeden Punkt der +Tischplatte eine und nur eine Kurve hindurchgehen. Zu jedem Punkte der +Oberfläche der Tischplatte gehört dann ein ganz bestimmter _u_-Wert. +Ebenso sei auf die Fläche ein System von _v_ Kurven gezeichnet, die +denselben Bedingungen genügen, in entsprechender Weise mit Zahlen +versehen sind, aber ebenfalls beliebig gestaltet sein können. Es gehört +dann zu jedem Punkte der Tischplatte ein _u_-Wert und ein _v_-Wert, +welche beiden Zahlen wir die Koordinaten der Tischplatte nennen +(+Gauß+sche Koordinaten). Der Punkt _P_ der Figur hat beispielsweise +die +Gauß+schen Koordinaten _u_ = 3; _v_ = 1. Zwei benachbarten Punkten +_P_ und _P′_ auf der Fläche entsprechen dann die Koordinaten + + _P: u; v_ + _P′: u + du, v + dv_, + +wobei _du_ und _dv_ sehr kleine Zahlen bedeuten. Der mit einem Stäbchen +gemessene Abstand von _P_ und _P′_ sei die ebenfalls sehr kleine Zahl +_ds_. Dann ist nach +Gauß+: + + _ds²_ = _g₁₁ du²_ + _2g₁₂ du dv_ + _g₂₂ dv²_, + +wobei _g₁₁_, _g₁₂_, _g₂₂_ Größen sind, die in ganz bestimmter Weise +von _u_ und _v_ abhängen. Die Größen _g₁₁_, _g₁₂_ und _g₂₂_ bestimmen +das Verhalten der Stäbchen relativ zu den _u_-Kurven und _v_-Kurven, +also auch relativ zur Oberfläche des Tisches. In dem Falle, daß die +Punkte der betrachteten Oberfläche in bezug auf die Meßstäbchen ein +Euklidisches Kontinuum bilden, aber auch nur dann, ist es möglich, die +_u_-Kurven und _v_-Kurven so zu zeichnen und mit Zahlen zu versehen, +daß einfach + + ds² = du² + dv² + +wird. Dann sind die _u_-Kurven und _v_-Kurven gerade Linien im Sinne +der Euklidischen Geometrie, welche aufeinander senkrecht stehen. Dann +sind die +Gauß+schen Koordinaten einfach Kartesische. Man sieht, daß +die +Gauß+schen Koordinaten weiter nichts sind als eine Zuordnung je +zweier Zahlen zu den Punkten der betrachteten Fläche, derart, daß +räumlich benachbarten Punkten sehr wenig verschiedene Zahlenwerte +zugeordnet sind. + +Diese Betrachtungen gelten zunächst für ein Kontinuum von zwei +Dimensionen. Aber die +Gauß+sche Methode läßt sich auch auf ein +Kontinuum von drei, vier oder mehr Dimensionen anwenden. Liegt z. B. +ein Kontinuum von vier Dimensionen vor, so ergibt sich folgende +Darstellung. Jedem Punkte des Kontinuums werden willkürlich vier Zahlen +_x₁_, _x₂_, _x₃_, _x₄_ zugeordnet, welche „Koordinaten“ genannt werden. +Benachbarten Punkten entsprechen benachbarte Koordinatenwerte. Ist nun +benachbarten Punkten _P_ und _P′_ ein durch Messungen ermittelbarer, +physikalisch wohldefinierter Abstand _ds_ zugeordnet, so gilt eine +Formel: + + _ds²_ = _g₁₁ dx₁²_ + _2 g₁₂ dx₁ dx₂_ ... + _g₄₄ dx₄²_ , + +wobei die Größen g₁₁ usw. Werte haben, die mit dem Orte im Kontinuum +variieren. Nur in dem Falle, daß das Kontinuum ein Euklidisches ist, +ist es möglich, die Koordinaten _x₁_···_x₄_ den Punkten des +Kontinuums so zuzuordnen, daß einfach + + _ds²_ = _dx₁²_ + _dx₂²_ + _dx₃²_ + _dx₄²_ + +wird. Dann gelten in dem vierdimensionalen Kontinuum Beziehungen, +welche den in unseren dreidimensionalen Messungen geltenden analog sind. + +Die angegebene +Gauß+sche Darstellung für _ds²_ ist übrigens nicht +immer möglich, sondern nur dann, wenn genügend kleine Gebiete des +betrachteten Kontinuums sich als Euklidische Kontinua ansehen +lassen. Dies trifft z. B. offenbar zu in dem Falle der Tischplatte +und örtlich veränderlicher Temperatur. Denn für einen kleinen Teil +der Platte ist die Temperatur praktisch konstant, das geometrische +Verhalten der Stäbchen also +beinahe+ ein solches, wie es gemäß den +Regeln der Euklidischen Geometrie sein soll. Die Unstimmigkeiten der +Quadratkonstruktion des vorigen Paragraphen treten somit erst deutlich +zutage, wenn die Konstruktion des vorigen Paragraphen über einen +beträchtlichen Teil der Tischplatte ausgedehnt wird. + +Zusammenfassend können wir also sagen: +Gauß+ hat eine Methode zur +mathematischen Behandlung beliebiger Kontinua erfunden, in denen +Maßbeziehungen („Abstand“ benachbarter Punkte) definiert sind. Jedem +Punkte des Kontinuums werden so viel Zahlen (+Gauß+sche Koordinaten) +zugeordnet, als das Kontinuum Dimensionen hat. Die Zuordnung erfolgt +so, daß die Eindeutigkeit der Zuordnung gewahrt wird, und daß +benachbarten Punkten unendlich wenig verschiedene Zahlen (+Gauß+sche +Koordinaten) zugeordnet werden. Das +Gauß+sche Koordinatensystem ist +eine logische Verallgemeinerung des Kartesischen Koordinatensystems. +Es ist auch auf Nicht-Euklidische Kontinua anwendbar, allerdings nur +dann, wenn kleine Teile des betrachteten Kontinuums mit Bezug auf +das definierte Maß („Abstand“) sich mit desto größerer Annäherung +Euklidisch verhalten, je kleiner der ins Auge gefaßte Teil des +Kontinuums ist. + + +§ 26. Das raum-zeitliche Kontinuum der speziellen Relativitätstheorie +als Euklidisches Kontinuum. + +Wir sind nun in der Lage, den in § 17 nur lose angedeuteten Gedanken ++Minkowski+s etwas genauer zu formulieren. Gemäß der speziellen +Relativitätstheorie sind für die Beschreibung des raum-zeitlichen, +vierdimensionalen Kontinuums gewisse Koordinatensysteme bevorzugt, die +wir „+Galilei+sche Koordinatensysteme“ genannt haben. Für sie sind die +vier Koordinaten _x_, _y_, _z_, _t_, welche ein Ereignis oder — anders +ausgedrückt — einen Punkt des vierdimensionalen Kontinuums bestimmen, +in einfacher Weise physikalisch definiert, wie im ersten Teile dieses +Büchleins ausführlich dargelegt ist. Für den Übergang von einem ++Galilei+schen System zu einem anderen, relativ zum ersten gleichförmig +bewegten gelten die Gleichungen der Lorentz-Transformation, welche +die Basis für die Ableitung der Konsequenzen der speziellen +Relativitätstheorie bilden und ihrerseits weiter nichts sind als der +Ausdruck der universellen Gültigkeit des Lichtausbreitungsgesetzes für +alle +Galilei+schen Bezugssysteme. + ++Minkowski+ fand, daß die Lorentz-Transformationen folgenden einfachen +Bedingungen genügen. Es seien zwei benachbarte Ereignisse betrachtet, +deren gegenseitige Lage im vierdimensionalen Kontinuum durch die +räumlichen Koordinatendifferenzen _dx_, _dy_, _dz_ und die zeitliche +Differenz _dt_ bezüglich eines +Galilei+schen Bezugskörpers _K_ gegeben +seien. Bezüglich eines zweiten +Galilei+schen Systems seien die +analogen Differenzen für diese beiden Ereignisse _dx′_, _dy′_, _dz′_, +_dt′_. Dann gilt zwischen ihnen stets die Bedingung: + + _dx²_ + _dy²_ + _dz²_ − _c²_ _dt²_ = _dx′²_ + _dy′²_ + _dz′²_ − + _c²_ _dt′²_. + +Diese Bedingung hat die Gültigkeit der Lorentz-Transformation zur +Konsequenz. Wir können das so aussprechen: Die zu zwei benachbarten +Punkten des vierdimensionalen raum-zeitlichen Kontinuums gehörige Größe + + _ds²_ = _dx²_ + _dy²_ + _dz²_ − _c²_ _dt²_ + +hat für alle bevorzugten (+Galilei+schen) Bezugskörper denselben Wert. +Ersetzt man _x_, _y_, _z_, sqrt(−1) _ct_ durch _x₁_, _x₂_, _x₃_, _x₄_, +so erhält man auch das Resultat, daß + + _ds²_ = _dx₁²_ + _dx₂²_ + _dx₃²_ + _dx₄²_ + +von der Wahl des Bezugskörpers unabhängig ist. Die Größe _ds_ nennen +wir den „Abstand“ der beiden Ereignisse oder vierdimensionalen Punkte. + +Wählt man also die imaginäre Variable sqrt(−1) _ct_ statt des reellen +_t_ als Zeitvariable, so kann man das raum-zeitliche Kontinuum +gemäß der speziellen Relativitätstheorie als ein „Euklidisches“ +vierdimensionales Kontinuum auffassen, wie aus den Darlegungen des +letzten Paragraphen hervorgeht. + + +§ 27. Das raum-zeitliche Kontinuum der allgemeinen Relativitätstheorie +ist kein Euklidisches Kontinuum. + +Im ersten Teil dieses Schriftchens haben wir uns raum-zeitlicher +Koordinaten bedienen können, welche eine einfache, direkte +physikalische Interpretation zuließen und welche sich nach § +26 als vierdimensionale Kartesische Koordinaten deuten lassen. +Dies war möglich auf Grund des Gesetzes von der Konstanz der +Lichtgeschwindigkeit, an welchem aber nach § 21 die allgemeine +Relativitätstheorie nicht festhalten kann; wir kamen vielmehr zu +dem Ergebnis, daß gemäß letzterer Theorie die Lichtgeschwindigkeit +stets von den Koordinaten abhängen muß, falls ein Gravitationsfeld +vorhanden ist. Wir fanden ferner in § 23 an einem speziellen Beispiel, +daß das Vorhandensein eines Gravitationsfeldes jene Definition der +Koordinaten und der Zeit unmöglich macht, welche bei der speziellen +Relativitätstheorie zum Ziele geführt hat. + +Mit Rücksicht auf diese Überlegungsergebnisse kommen wir zu der +Überzeugung, daß gemäß dem allgemeinen Relativitätsprinzip das +raum-zeitliche Kontinuum nicht als ein Euklidisches aufgefaßt werden +kann, sondern daß hier der allgemeine Fall vorliegt, welchen wir für +das zweidimensionale Kontinuum der Tischplatte von örtlich variabler +Temperatur kennen gelernt haben. Wie es dort unmöglich war, aus +gleichen Stäbchen ein Kartesisches Koordinatensystem zu konstruieren, +so ist es hier unmöglich, aus starren Körpern und Uhren ein System +(Bezugskörper) aufzubauen, derart, daß relativ zueinander fest +angeordnete Maßstäbe und Uhren direkt Ort und Zeit anzeigen. Dies ist +das Wesen der Schwierigkeit, die uns in § 23 entgegentrat. + +Die Darlegungen des § 25 und § 26 zeigen aber den Weg, auf dem diese +Schwierigkeit zu überwinden ist. Wir beziehen das vierdimensionale +raum-zeitliche Kontinuum in willkürlicher Weise auf +Gauß+sche +Koordinaten. Jedem Punkte des Kontinuums (Ereignis) ordnen wir +vier Zahlen _x₁_, _x₂_, _x₃_, _x₄_ (Koordinaten) zu, die gar keine +unmittelbare physikalische Bedeutung besitzen, sondern nur dazu +dienen, die Punkte des Kontinuums in bestimmter, aber willkürlicher +Weise zu numerieren. Solche Koordinaten legen wir der Beschreibung der +physikalischen Vorgänge zugrunde. Bei dieser Zuordnung ist zwischen +„räumlicher“ und „zeitlicher“ Ausdehnung nicht unterschieden, so daß +man nicht mehr die Koordinaten _x₁_, _x₂_, _x₃_ als „räumliche“, die +Koordinaten _x₄_ als „zeitliche“ unterscheiden kann. + +Der Leser könnte denken, daß eine derartige Beschreibung der Welt +gänzlich unzulänglich wäre. Was bedeutet es, wenn ich einem Ereignis +die bestimmten Koordinaten _x₁_, _x₂_, _x₃_, _x₄_ zuschreibe, wenn +diese Koordinaten selbst nichts bedeuten? Bei genauerer Überlegung +zeigt sich jedoch, daß diese Sorge nicht begründet ist. Betrachten +wir z. B. einen beliebig bewegten materiellen Punkt! Hätte derselbe +nur eine momentane Existenz ohne Dauer, so wäre er raum-zeitlich +beschrieben durch ein einziges Wertsystem _x₁_, _x₂_, _x₃_, _x₄_. +Seine bleibende Existenz ist also durch eine unendlich große Zahl +von solchen Wertsystemen charakterisiert, deren Koordinatenwerte +sich stetig aneinanderreihen; dem Massenpunkte entspricht also eine +(eindimensionale) Linie im vierdimensionalen Kontinuum. Vielen bewegten +Punkten entsprechen ebensowohl derartige Linien in unserem Kontinuum. +Die einzigen diese Punkte betreffenden Aussagen, welche physikalische +Realität beanspruchen können, sind in Wahrheit die Aussagen über +Begegnungen dieser Punkte. Eine solche Begegnung äußert sich in unserer +mathematischen Darstellung darin, daß die beiden Linien, welche die +betreffenden Punktbewegungen darstellen, ein gewisses System _x₁_, +_x₂_, _x₃_, _x₄_ von Koordinatenwerten gemeinsam haben. Daß solche +Begegnungen in Wahrheit die einzigen tatsächlichen Konstatierungen +zeit-räumlichen Charakters sind, die wir in physikalischen Aussagen +antreffen, wird der Leser nach eingehender Überlegung ohne Zweifel +zugeben. + +Wenn wir früher die Bewegung eines materiellen Punktes relativ zu +einem Bezugskörper beschrieben, gaben wir nichts weiter an, als die +Begegnungen dieses Punktes mit bestimmten Punkten des Bezugskörpers. +Auch die zugehörigen Zeitangaben lassen sich auflösen in die +Konstatierung von Begegnungen des Körpers mit Uhren, in Verbindung mit +Konstatierung der Begegnung von Uhrzeigern mit bestimmten Punkten von +Zifferblättern. Nicht anders ist es mit den räumlichen Messungen durch +Maßstäbe, wie einiges Nachdenken zeigt. + +Allgemein gilt: „Jede physikalische Beschreibung löst sich auf in eine +Zahl von Aussagen, deren jede sich auf die raum-zeitliche Koinzidenz +zweier Ereignisse A und B bezieht. Jede solche Aussage drückt sich in ++Gauß+schen Koordinaten durch die Übereinstimmung der vier Koordinaten +_x₁_, _x₂_, _x₃_, _x₄_ aus.“ Die Beschreibung des zeit-räumlichen +Kontinuums durch +Gauß+sche Koordinaten ersetzt also tatsächlich die +Beschreibung mit Hilfe eines Bezugskörpers vollständig, ohne an den +Mängeln der letzteren Beschreibungsmethode zu kranken; sie ist nicht an +den Euklidischen Charakter des darzustellenden Kontinuums gebunden. + + +§ 28. Exakte Formulierung des allgemeinen Relativitätsprinzips. + +Nun sind wir in der Lage, die in § 18 gegebene vorläufige Formulierung +des allgemeinen Relativitätsprinzips durch eine exakte zu ersetzen. +Die damalige Fassung, „Alle Bezugskörper _K_, _K′_ usw. sind für +die Naturbeschreibung (Formulierung der allgemeinen Naturgesetze) +gleichwertig, welches auch deren Bewegungszustand sein mag“, läßt sich +nicht aufrecht erhalten, weil die Benutzung von starren Bezugskörpern +bei der raum-zeitlichen Beschreibung im Sinne der bei der speziellen +Relativitätstheorie befolgten Methode im allgemeinen nicht möglich ist. +An die Stelle des Bezugskörpers hat das +Gauß+sche Koordinatensystem +zu treten. Dem Grundgedanken des allgemeinen Relativitätsprinzips +entspricht die Aussage: „+Alle Gaußschen Koordinatensysteme sind +für die Formulierung der allgemeinen Naturgesetze prinzipiell +gleichwertig.+“ + +Man kann dies allgemeine Relativitätsprinzip auch noch in einer anderen +Form aussprechen, die dasselbe noch deutlicher als die naturgemäße +Erweiterung des speziellen Relativitätsprinzips erkennen läßt. Nach der +speziellen Relativitätstheorie gehen die die allgemeinen Naturgesetze +ausdrückenden Gleichungen in Gleichungen derselben Form über, wenn man +statt der Raum-Zeit-Variabeln _x_, _y_, _z_, _t_ eines (+Galilei+schen) +Bezugskörpers _K_ unter Benutzung der Lorentz-Transformation die +Raum-Zeit-Variabeln _x′_, _y′_, _z′_, _t′_ eines neuen Bezugskörpers +_K′_ einführt. Nach der allgemeinen Relativitätstheorie dagegen +müssen die Gleichungen bei Anwendung +beliebiger Substitutionen+ +der +Gauß+schen Variabeln _x₁_, _x₂_, _x₃_, _x₄_ in Gleichungen +derselben Form übergehen; denn jede Transformation (nicht nur die +Lorentz-Transformation) entspricht dem Übergang eines +Gauß+schen +Koordinatensystems in ein anderes. + +Will man auf die gewohnte dreidimensionale Anschauung nicht +verzichten, so kann man die Entwicklung, welche wir den Grundgedanken +der allgemeinen Relativitätstheorie durchmachen sehen, wie folgt +charakterisieren: Die spezielle Relativitätstheorie bezieht sich +auf +Galilei+sche Gebiete, d. h. auf solche, in welchen kein +Gravitationsfeld existiert. Als Bezugskörper dient dabei ein ++Galilei+scher Bezugskörper, d. h. ein starrer Körper von so gewähltem +Bewegungszustande, daß relativ zu ihm der +Galilei+sche Satz von der +gleichförmig-geradlinigen Bewegung „isolierter“ materieller Punkte gilt. + +Gewisse Überlegungen legen es nahe, dieselben +Galilei+schen Gebiete +auch auf Nicht-+Galilei+sche Bezugskörper zu beziehen. Relativ zu +diesen ist dann ein Gravitationsfeld von spezieller Art vorhanden (§ 20 +und § 23). + +Starre Körper mit Euklidischen Eigenschaften gibt es aber in +Gravitationsfeldern nicht; die Fiktion des starren Bezugskörpers +versagt daher in der allgemeinen Relativitätstheorie. Auch wird der +Gang der Uhren von Gravitationsfeldern beeinflußt, derart, daß eine +physikalische Zeitdefinition direkt mit Hilfe von Uhren durchaus nicht +jenen Grad der Evidenz hat wie in der speziellen Relativitätstheorie. + +Man benutzt daher nichtstarre Bezugskörper, welche nicht nur als +Ganzes beliebig bewegt sind, sondern auch während ihrer Bewegung +beliebige Gestaltsänderungen erleiden. Zur Definition der Zeit dienen +Uhren von beliebigem, noch so unregelmäßigem Ganggesetz, welche man +sich je an einem Punkte des nichtstarren Bezugskörpers befestigt +zu denken hat, und welche nur die eine Bedingung erfüllen, daß +die gleichzeitig wahrnehmbaren Angaben örtlich benachbarter Uhren +unendlich wenig voneinander abweichen. Dieser nichtstarre Bezugskörper, +den man nicht mit Unrecht als „Bezugsmolluske“ bezeichnen könnte, +ist im wesentlichen gleichwertig mit einem beliebigen +Gauß+schen +vierdimensionalen Koordinatensystem. Was der „Molluske“ gegenüber dem ++Gauß+schen Koordinatensystem eine gewisse Anschaulichkeit gibt, ist +die (eigentlich unberechtigte) formale Wahrung der Sonderexistenz der +räumlichen Koordinaten gegenüber der Zeitkoordinate. Jeder Punkt der +Molluske wird als Raumpunkt behandelt, jeder relativ zu ihm ruhende +materielle Punkt schlechthin als ruhend, solange die Molluske als +Bezugskörper behandelt wird. Das allgemeine Relativitätsprinzip +fordert, daß alle diese Mollusken mit gleichem Rechte und gleichem +Erfolge bei der Formulierung der allgemeinen Naturgesetze als +Bezugskörper verwendet werden können; die Gesetze sollen von der +Molluskenwahl gänzlich unabhängig sein. + +In der weitgehenden Beschränkung, welche hierdurch den Naturgesetzen +auferlegt wird, liegt die Spürkraft, die dem allgemeinen +Relativitätsprinzip innewohnt. + + +§ 29. Die Lösung des Gravitationsproblems auf Grund des allgemeinen +Relativitätsprinzips. + +Ist der Leser allen bisherigen Überlegungen gefolgt, so bereitet +ihm das Verstehen der zur Lösung des Gravitationsproblems führenden +Methoden keine Schwierigkeiten mehr. + +Wir gehen aus von der Betrachtung eines +Galilei+schen Gebietes, d. h. +eines solchen, in welchem relativ zum +Galilei+schen Bezugskörper _K_ +kein Gravitationsfeld existiert. Das Verhalten von Maßstäben und Uhren +in bezug auf _K_ ist aus der speziellen Relativitätstheorie bekannt, +ebenso das Verhalten von „isolierten“ Massepunkten; letztere bewegen +sich geradlinig und gleichförmig. + +Nun beziehen wir dies Gebiet auf ein beliebiges +Gauß+sches +Koordinatensystem bzw. auf eine „Molluske“ als Bezugskörper _K′_. +In bezug auf _K′_ besteht dann ein Gravitationsfeld _G_ (besonderer +Art). Durch bloße Umrechnung erfährt man dann das Verhalten von +Maßstäben und Uhren sowie von frei beweglichen materiellen Punkten in +bezug auf _K′_. Dies Verhalten interpretiert man als das Verhalten +von Maßstäben, Uhren, materiellen Punkten unter der Wirkung des +Gravitationsfeldes _G_. Man führt hierauf die Hypothese ein, daß +die Einwirkung des Gravitationsfeldes auf Maßstäbe, Uhren und frei +bewegliche, materielle Punkte auch dann nach denselben Gesetzen vor +sich gehe, wenn sich das herrschende Gravitationsfeld +nicht+ durch +bloße Koordinatentransformation aus dem +Galilei+schen Spezialfall +ableiten läßt. + +Hierauf untersucht man das raum-zeitliche Verhalten des aus dem ++Galilei+schen Spezialfall durch bloße Transformation der Koordinaten +abgeleiteten Gravitationsfeldes _G_ und formuliert dies Verhalten +durch ein Gesetz, das immer gültig ist, wie auch der zur Beschreibung +benutzte Bezugskörper (Molluske) gewählt werden mag. + +Dies Gesetz ist noch nicht das +allgemeine+ Gesetz des +Gravitationsfeldes, da das studierte Gravitationsfeld _G_ von +spezieller Art ist. Zur Auffindung des allgemeinen Feldgesetzes der +Gravitation bedarf es noch einer Verallgemeinerung des so gewonnenen +Gesetzes, welche jedoch ohne Willkür aufgefunden werden kann, unter +Berücksichtigung der folgenden Forderungen: + + a) Die gesuchte Verallgemeinerung muß ebenfalls dem allgemeinen + Relativitätspostulat genügen. + + b) Ist Materie in dem betrachteten Gebiete vorhanden, so ist für + deren felderregende Wirkung allein deren träge Masse, also gemäß § 15 + allein deren Energie maßgebend. + + c) Gravitationsfeld und Materie zusammen müssen dem Gesetz von der + Erhaltung der Energie (und des Impulses) genügen. + +Endlich erlaubt uns das allgemeine Relativitätsprinzip, den Einfluß +des Gravitationsfeldes auf den Ablauf aller derjenigen Vorgänge zu +ermitteln, die für den Fall des Fehlens eines Gravitationsfeldes +nach bekannten Gesetzen ablaufen, d. h. in den Rahmen der speziellen +Relativitätstheorie bereits eingefügt sind. Man verfährt dabei im +Prinzip nach der Methode, die vorhin für Maßstäbe, Uhren und frei +bewegliche Massenpunkte auseinandergesetzt worden ist. + +Die so aus dem allgemeinen Relativitätspostulat abgeleitete +Gravitationstheorie zeichnet sich nicht nur durch ihre Schönheit aus, +sie beseitigt nicht nur den in § 21 beleuchteten Mangel, welcher +der klassischen Mechanik anhaftet, sie interpretiert nicht nur das +Erfahrungsgesetz von der Gleichheit der trägen und schweren Masse, +sondern sie hat auch schon ein Beobachtungsergebnis der Astronomie +erklärt, dem gegenüber die klassische Mechanik versagt. + +Spezialisiert man sie nämlich auf den Fall, daß die Gravitationsfelder +als schwach anzusehen sind, und daß alle Massen sich mit +Geschwindigkeiten gegen das Koordinatensystem bewegen, welche gegen +die Lichtgeschwindigkeit klein sind, so erhält man zunächst die ++Newton+sche Theorie als erste Näherung; letztere ergibt sich also +hier ohne besondere Annahme, während +Newton+ die dem Quadrat der +Distanz aufeinander wirkender Massenpunkte indirekt proportionale +Anziehungskraft als Hypothese einführen mußte. Vergrößert man die +Genauigkeit der Rechnung, so treten Abweichungen von der +Newton+schen +Theorie auf, die sich allerdings wegen ihrer Kleinheit fast alle noch +der Beobachtung entziehen müssen. + +Eine dieser Abweichungen müssen wir hier speziell ins Auge fassen. +Nach der +Newton+schen Theorie bewegt sich ein Planet um die Sonne +in einer Ellipse, welche gegenüber den Fixsternen ihre Lage ewig +beibehalten würde, wenn von der Einwirkung der anderen Planeten auf den +betrachteten Planeten und von der Eigenbewegung der Fixsterne abgesehen +werden könnte. Korrigiert man daher die beobachtete Bewegung der +Planeten auf diese beiden Einflüsse, so soll als Bahn des Planeten eine +gegen die Fixsterne feste Ellipse resultieren, wenn +Newton+s Theorie +genau richtig ist. Bei allen Planeten, bis auf den der Sonne nächsten +Planeten Merkur, hat sich diese mit eminenter Genauigkeit prüfbare +Konsequenz mit der Genauigkeit bestätigt, welche die heute erreichbare +Beobachtungsschärfe zu erzielen gestattet. Vom Planeten Merkur aber +wissen wir seit +Leverrier+, daß die Ellipse seiner im obigen Sinne +korrigierten Bahn gegenüber den Fixsternen nicht feststeht, sondern, +wenn auch ungeheuer langsam, in der Ebene der Bahn im Sinne der +Umlaufbewegung rotiert. Für diese Rotationsbewegung der Bahnellipse +ergab sich ein Betrag von 43 Bogen-Sekunden pro Jahrhundert, welcher +Betrag bis auf wenige Bogen-Sekunden sichergestellt ist. Die Erklärung +dieser Erscheinung nach der klassischen Mechanik gelingt nur unter +Zugrundelegung von ausschließlich ihrethalben ersonnenen, wenig +wahrscheinlichen Hypothesen. + +Nach der allgemeinen Relativitätstheorie ergibt sich, daß jede +Planetenellipse um die Sonne in der oben angegebenen Weise notwendig +rotieren muß, daß diese Rotation bei allen Planeten außer Merkur +zu klein ist, um bei der heute erzielbaren Beobachtungsgenauigkeit +festgestellt zu werden, daß sie aber bei Merkur 43 Bogen-Sekunden pro +Jahrhundert betragen muß, genau wie es die Beobachtung verlangt. + +Außerdem haben aus der Theorie bisher nur zwei Konsequenzen gezogen +werden können, die sich nicht wegen ihrer Kleinheit der Beobachtung +entziehen müssen, nämlich die Krümmung der Lichtstrahlen durch das +Gravitationsfeld der Sonne und eine Spektralverschiebung des von +großen Sternen zu uns gesandten Lichtes gegenüber dem auf der Erde +in entsprechender Weise (d. h. durch dieselbe Molekülart) erzeugten +Lichte. Ich zweifle nicht daran, daß auch diese Konsequenzen der +Theorie ihre Bestätigung finden werden. + + + [12] Der Einwand ist besonders dann von Gewicht, wenn der + Bewegungszustand des Bezugskörpers ein solcher ist, daß er zu + seiner Aufrechterhaltung keiner äußeren Einwirkung bedarf, z. B. + in dem Falle, daß der Bezugskörper gleichmäßig rotiert. + + [13] Dies folgt durch Verallgemeinerung der Betrachtung des § 20. + + [14] Das Feld verschwindet im Mittelpunkt der Scheibe und nimmt + proportional dem Abstand von diesem nach außen hin zu. + + [15] Unser Problem ist den Mathematikern in folgender Form + entgegengetreten. Ist im Euklidischen, dreidimensionalen + Meßraume eine Fläche, z. B. ein Ellipsoid, gegeben, so gibt es + auf dieser Fläche eine zweidimensionale Geometrie, ebensogut + wie in der Ebene. +Gauß+ hat sich das Problem gestellt, diese + zweidimensionale Geometrie prinzipiell zu behandeln, ohne zu + benutzen, daß die Fläche einem Euklidischen Kontinuum von drei + Dimensionen angehört. Denkt man sich +in der Fläche+ mit starren + Stäbchen Konstruktionen ausgeführt (ähnlich wie vorhin auf der + Tischplatte), so gelten für diese andere Gesetze als gemäß der + Euklidischen Geometrie der Ebene. Die Fläche ist in bezug auf + die Stäbchen kein Euklidisches Kontinuum, und es lassen sich + +in der Fläche+ keine Kartesischen Koordinaten definieren. + +Gauß+ zeigte, nach welchen Prinzipien man die geometrischen + Verhältnisse in der Fläche behandeln kann, und wies damit + den Weg zu der +Riemann+schen Behandlung mehr-dimensionaler, + Nicht-Euklidischer Kontinua. So kam es, daß die Mathematiker die + formalen Probleme bereits seit langem gelöst haben, zu denen das + allgemeine Relativitätspostulat führt. + + +*** END OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK 77850 *** diff --git a/77850-h/77850-h.htm b/77850-h/77850-h.htm new file mode 100644 index 0000000..6664feb --- /dev/null +++ b/77850-h/77850-h.htm @@ -0,0 +1,3164 @@ +<!DOCTYPE html> +<html lang="de"> +<head> + <meta charset="UTF-8"> + <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1"> + <title> + Über die spezielle und die allgemeine Relativitätstheorie | Project Gutenberg + </title> + <link rel="icon" href="images/cover.jpg" type="image/x-cover"> + <style> + +body { + margin-left: 10%; + margin-right: 10%; +} + +div.eng { + width: 70%; + margin: auto 15%;} +.x-ebookmaker div.eng { + width: 90%; + margin: auto 5%;} + +h1,h2,h3,h4,h5,h6 { + text-align: center; /* all headings centered */ + clear: both; + font-weight: normal;} + +h1,.s1 {font-size: 275%;} +.s1a {font-size: 230%;} +.s1b {font-size: 250%;} +.s1c {font-size: 300%;} +h2,.s2 {font-size: 175%;} +h3,.s3 {font-size: 125%;} +h4,.s4 {font-size: 110%;} +h5,.s5 {font-size: 90%;} +h6,.s6 {font-size: 70%;} + +p { + margin-top: .51em; 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Offensichtliche +Druckfehler wurden stillschweigend korrigiert.</p> + +<p class="p0 hidehtml">Abhängig von der im jeweiligen Lesegerät installierten +Schriftart können die im Original <em class="gesperrt">gesperrt</em> +gedruckten Passagen gesperrt, in serifenloser Schrift, oder aber sowohl +serifenlos als auch gesperrt erscheinen.</p> + +</div> + +<div class="eng"> + +<h1> +Über die spezielle und die allgemeine Relativitätstheorie +</h1> + +<p class="s3 center"><b>(Gemeinverständlich)</b></p> + +<p class="s4 center mtop2">Von</p> + +<p class="s2 center">A. EINSTEIN</p> + +<hr class="r10"> + +<p class="center">Mit 3 Figuren</p> + +<figure class="figcenter illowe6" id="signet"> + <img class="w100 padtop5 mbot3" src="images/signet.jpg" alt="Signet der Sammlung Vieweg"> +</figure> + +<p class="center mtop2"><em class="gesperrt">Braunschweig</em></p> + +<p class="center"><em class="gesperrt">Druck und Verlag von Friedr. Vieweg & Sohn</em></p> + +<p class="s4 center"><em class="gesperrt">1917</em></p> + +<div class="chapter"> + +<p class="s5 center padtop5"><span class="bdt">  Herausgeber dieses Heftes ist  </span><br> +<span class="bdb">Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. <em class="gesperrt">Karl Scheel</em></span></p> + + + +<p class="s5 center padtop5"><em class="gesperrt">Alle Rechte vorbehalten</em></p> + +</div> + +<p><span class="pagenum" id="Page_iii">[S. iii]</span></p> + +</div> + +<div class="chapter"> + <h2 class="nobreak" id="Vorwort"> + Vorwort. + </h2> +</div> + +<p>Das vorliegende Büchlein soll solchen eine möglichst exakte Einsicht +in die Relativitätstheorie vermitteln, die sich vom allgemein +wissenschaftlichen, philosophischen Standpunkt für die Theorie +interessieren, ohne den mathematischen Apparat⁠<a id="FNanchor_1_1" href="#Footnote_1_1" class="fnanchor">[1]</a> der theoretischen +Physik zu beherrschen. Die Lektüre setzt etwa Maturitätsbildung und — +trotz der Kürze des Büchleins — ziemlich viel Geduld und Willenskraft +beim Leser voraus. Der Verfasser hat sich die größte Mühe gegeben, +die Hauptgedanken möglichst deutlich und einfach vorzubringen, im +ganzen in solcher Reihenfolge und in solchem Zusammenhange, wie sie +tatsächlich entstanden sind. Im Interesse der Deutlichkeit erschien +es mir unvermeidlich, mich oft zu wiederholen, ohne auf die Eleganz +der Darstellung die geringste Rücksicht zu nehmen; ich hielt mich +gewissenhaft<span class="pagenum" id="Page_iv">[S. iv]</span> an die Vorschrift des genialen Theoretikers <em class="gesperrt">L. +Boltzmann</em>, man solle die Eleganz Sache der Schneider und Schuster +sein lassen. Schwierigkeiten, die in der Sache begründet liegen, +glaube ich dem Leser nicht vorenthalten zu haben. Dagegen habe ich +die empirischen physikalischen Unterlagen der Theorie absichtlich +stiefmütterlich behandelt, damit es dem der Physik ferner stehenden +Leser nicht ergehe wie dem Wanderer, der vor lauter Bäumen keinen Wald +sieht. Möge das Büchlein manchem einige frohe Stunden der Anregung +bringen!</p> + +<p class="mtop1">Dezember 1916.</p> + +<p class="mtop1 right mright2"><em class="gesperrt">A. Einstein.</em></p> + + +<div class="footnotes"> + +<div class="footnote"><p><a id="Footnote_1_1" href="#FNanchor_1_1" class="label">[1]</a> Die mathematischen Grundlagen der speziellen +Relativitätstheorie findet man in den bei B. G. Teubner in +der Monographiensammlung „Fortschritte der mathematischen +Wissenschaften“ unter dem Titel „Das Relativitätsprinzip“ erschienenen +Originalabhandlungen von <em class="gesperrt">H. A. Lorentz</em>, <em class="gesperrt">A. Einstein</em>, +<em class="gesperrt">H. Minkowski</em>, sowie in <em class="gesperrt">M. Laue</em>s ausführlichem Buche „Das +Relativitätsprinzip“ (Verlag von Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig). +Die allgemeine Relativitätstheorie nebst den zugehörigen mathematischen +Hilfsmitteln der Invariantentheorie ist in der Broschüre des +Verfassers, „Die Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie“ (Joh. +Ambr. Barth, 1916) behandelt; diese Broschüre setzt einige Vertrautheit +mit der speziellen Relativitätstheorie voraus.</p> + +</div> + +</div> + +<div class="chapter"> + +<p><span class="pagenum" id="Page_1">[S. 1]</span></p> + + <h2 class="nobreak" id="Erster_Teil"> + <span class="s6">Erster Teil.</span> + <br> + Über die spezielle Relativitätstheorie. + </h2> +</div> + +<h3 id="Physikalischer_Inhalt_geometrischer_Saetze">§ 1. Physikalischer Inhalt +geometrischer Sätze.</h3> + +<p>Gewiß hast auch du, lieber Leser, als Knabe oder Mädchen mit dem +stolzen Gebäude der Geometrie Euklids Bekanntschaft gemacht und +erinnerst dich vielleicht mit mehr Achtung als Liebe an den stolzen +Bau, auf dessen hohen Treppen du von gewissenhaften Fachlehrern in +ungezählten Stunden umhergejagt wurdest. Gewiß würdest du kraft dieser +deiner Vergangenheit jeden mit Verachtung strafen, der auch nur das +abgelegenste Sätzchen dieser Wissenschaft für unwahr erklärte. Aber +dies Gefühl stolzer Sicherheit verließe dich vielleicht sogleich, wenn +dich einer fragte: „Was meinst du denn mit der Behauptung, daß diese +Sätze wahr seien?“ Bei dieser Frage wollen wir ein wenig verweilen.</p> + +<p>Die Geometrie geht aus von gewissen Grundbegriffen, wie Ebene, Punkt, +Gerade, mit denen wir mehr oder minder deutliche Vorstellungen zu +verbinden imstande sind, und von gewissen einfachen Sätzen (Axiomen), +die wir auf Grund jener Vorstellungen als „wahr“ hinzunehmen geneigt +sind. Alle übrigen Sätze werden dann auf Grund einer logischen Methode, +deren Berechtigung wir uns anzuerkennen genötigt fühlen, auf jene +Axiome zurückgeführt, d. h. bewiesen. Ein Satz ist dann richtig bzw. +„wahr“, wenn er in der anerkannten Weise aus den Axiomen hergeleitet +ist. Die Frage nach der „Wahrheit“ der einzelnen geometrischen Sätze +führt also <span class="pagenum" id="Page_2">[S. 2]</span>zurück auf die Frage nach der „Wahrheit“ der Axiome. +Längst aber ist es bekannt, daß die letztere Frage nicht nur durch die +Methoden der Geometrie nicht beantwortbar, sondern überhaupt an sich +ohne Sinn ist. Man kann nicht fragen, ob es wahr sei, daß durch zwei +Punkte nur <em class="gesperrt">eine</em> Gerade hindurchgeht. Man kann nur sagen, daß die +Euklidische Geometrie von Gebilden handelt, die sie „Gerade“ nennt, und +denen sie die Eigenschaft beilegt, durch zwei ihrer Punkte eindeutig +bestimmt zu sein. Der Begriff „wahr“ paßt nicht auf die Aussagen der +reinen Geometrie, weil wir mit dem Worte „wahr“ in letzter Linie stets +die Übereinstimmung mit einem „realen“ Gegenstande zu bezeichnen +pflegen; die Geometrie aber befaßt sich nicht mit der Beziehung ihrer +Begriffe zu den Gegenständen der Erfahrung, sondern nur mit dem +logischen Zusammenhang dieser Begriffe untereinander.</p> + +<p>Daß wir uns trotzdem dazu hingezogen fühlen, die Sätze der Geometrie +als „wahr“ zu bezeichnen, erklärt sich leicht. Den geometrischen +Begriffen entsprechen mehr oder weniger exakt Gegenstände in der +Natur, welch letztere ohne Zweifel die alleinige Ursache für die +Entstehung jener Begriffe sind. Mag die Geometrie, um ihrem Gebäude +die größtmögliche logische Geschlossenheit zu geben, hiervon Abstand +nehmen; die Gewohnheit, beispielsweise in einer Strecke zwei markierte +Stellen auf <em class="gesperrt">einem</em> praktisch starren Körper zu sehen, steckt +tief in unseren Denkgewohnheiten. Wir sind ferner gewohnt, drei Orte +als auf einer Geraden befindlich anzunehmen, wenn wir ihre scheinbaren +Sehorte durch passende Wahl des Beobachtungsortes bei einäugigem Sehen +zusammenfallen lassen können.</p> + +<p>Wenn wir nun, der Denkgewohnheit folgend, den Sätzen der Euklidischen +Geometrie den einzigen Satz zufügen, daß zwei Punkten eines praktisch +starren Körpers stets die nämliche Entfernung (Strecke) entspreche, was +für Lagenänderungen wir auch mit dem Körper vornehmen mögen, so werden +aus den Sätzen der euklidischen Geometrie Sätze über die mögliche +relative Lagerung praktisch starrer <span class="pagenum" id="Page_3">[S. 3]</span>Körper⁠<a id="FNanchor_2_2" href="#Footnote_2_2" class="fnanchor">[2]</a>. Die so ergänzte +Geometrie ist dann als ein Zweig der Physik zu behandeln. Jetzt kann +mit Recht nach der „Wahrheit“ so interpretierter geometrischer Sätze +gefragt werden, denn es kann gefragt werden, ob jene Sätze zutreffen +für diejenigen realen Dinge, welche wir den geometrischen Begriffen +zugeordnet haben. Etwas ungenau können wir also sagen, daß wir unter +der „Wahrheit“ eines geometrischen Satzes in diesem Sinne sein +Zutreffen bei einer Konstruktion mit Zirkel und Lineal verstehen.</p> + +<p>Die Überzeugung von der „Wahrheit“ der geometrischen Sätze in diesem +Sinne beruht natürlich ausschließlich auf ziemlich unvollkommenen +Erfahrungen. Wir werden jene Wahrheit der geometrischen Sätze zunächst +voraussetzen, um dann im letzten Teile unserer Betrachtungen (bei der +allgemeinen Relativitätstheorie) zu sehen, daß und inwiefern jene +Wahrheit ihre Grenzen hat.</p> + +<div class="section"> + +<h3 id="Das_Koordinatensystem"> + § 2. Das Koordinatensystem. +</h3> + +</div> + +<p>Auf Grund der angedeuteten physikalischen Interpretation des Abstandes +sind wir auch in der Lage, den Abstand zweier Punkte eines starren +Körpers auf Grund von Messungen festzusetzen. Dazu brauchen wir eine +ein- für allemal zu benutzende Strecke (Stäbchen <i>S</i>), welche +als Einheitsmaßstab verwendet wird. Sind nun <i>A</i> und <i>B</i> +zwei Punkte eines starren Körpers, so ist deren Verbindungsgerade +konstruierbar nach den Gesetzen der Geometrie; hierauf kann man auf +dieser Verbindungsgeraden die Strecke <i>S</i> von <i>A</i> aus so oft +abtragen, bis man nach <i>B</i> gelangt. Die Zahl der Wiederholungen +des Abtragens ist die Maßzahl der Strecke <i class="bt">AB</i>. Hierauf beruht +alles Messen von Längen⁠<a id="FNanchor_3_3" href="#Footnote_3_3" class="fnanchor">[3]</a>.</p> + +<p><span class="pagenum" id="Page_4">[S. 4]</span></p> + +<p>Jede räumliche Beschreibung des Ortes eines Ereignisses oder +Gegenstandes beruht darauf, daß man den Punkt eines starren Körpers +(Bezugskörpers) angibt, mit dem jenes Ereignis koinzidiert. Dies gilt +nicht nur für die wissenschaftliche Beschreibung, sondern auch für +das tägliche Leben. Analysiere ich die Ortsangabe „in Berlin, auf dem +Potsdamer Platz“, so bedeutet sie folgendes. Die Erdoberfläche ist +der starre Körper, auf den sich die Ortsangabe bezieht; auf ihm ist +„Potsdamerplatz in Berlin“ ein markierter, mit Namen versehener Punkt, +mit dem das Ereignis räumlich koinzidiert⁠<a id="FNanchor_4_4" href="#Footnote_4_4" class="fnanchor">[4]</a>.</p> + +<p>Diese primitive Art der Ortsangabe kennt nur Orte an der Oberfläche +starrer Körper und ist an das Vorhandensein unterscheidbarer Punkte +dieser Oberfläche gebunden. Sehen wir zu, wie sich der menschliche +Geist von diesen beiden Beschränkungen befreit, ohne daß das Wesen +der Ortsangabe eine Änderung erfährt! Schwebt beispielsweise über +dem Potsdamer Platz eine Wolke, so kann der Ort dieser, bezogen auf +die Erdoberfläche, dadurch festgelegt werden, daß man auf dem Platze +senkrecht eine Stange errichtet, die bis zur Wolke hinaufreicht. Die +mit dem Einheitsmaßstab gemessene Länge der Stange in Verbindung +mit der Angabe des Ortes des Fußpunktes der Stange ist dann eine +vollständige Ortsangabe. An diesem Beispiele sehen wir, auf welchem +Wege eine Verfeinerung des Ortsbegriffes vor sich gegangen ist.</p> + +<blockquote> +<p>a) Man setzt den starren Körper, auf den sich die Ortsangabe bezieht, +in solcher Weise fort, daß der zu lokalisierende Gegenstand von dem +vervollständigten starren Körper erreicht wird.</p> + +<p>b) Man benutzt zur Charakterisierung des Ortes die <em class="gesperrt">Zahl</em> statt +benannter Merkpunkte (hier die mit dem Maßstab gemessene Länge der +Stange).</p> + +<p><span class="pagenum" id="Page_5">[S. 5]</span></p> + +<p>c) Man spricht von der Höhe der Wolke auch dann, wenn eine +Stange, welche die Wolke erreicht, gar nicht errichtet ist. In +unserem Falle ermittelt man aus optischen Aufnahmen der Wolke von +verschiedenen Stellen des Bodens aus unter Berücksichtigung der +Ausbreitungseigenschaften des Lichtes, wie lang die Stange gemacht +werden müßte, um die Wolke zu erreichen.</p> +</blockquote> + +<p>Aus dieser Überlegung sieht man, daß es für die Beschreibung von +Orten vorteilhaft sein wird, wenn es gelingt, sich durch Verwendung +von Meßzahlen von der Existenz mit Namen versehener Merkpunkte auf +dem starren Körper, auf den sich die Ortsangabe bezieht, unabhängig +zu machen. Dies erreicht die messende Physik durch Anwendung des +Kartesischen Koordinatensystems.</p> + +<p>Dieses besteht in drei zueinander senkrechten, zu einem starren Körper +verbundenen starren, ebenen Wänden. Der Ort irgendeines Geschehnisses +in bezug auf das Koordinatensystem wird (im wesentlichen) beschrieben +durch die Angabe der Länge der drei Lote oder Koordinaten (<i>x</i>, +<i>y</i>, <i>z</i>), welche von dem Geschehnis aus auf jene drei +ebenen Wände gefällt werden können. Die Längen dieser drei Lote sind +durch eine Folge von Manipulationen mit starren Stäben ermittelbar, +welche Manipulationen durch die Gesetze und Methoden der Euklidischen +Geometrie vorgeschrieben werden.</p> + +<p>Bei den Anwendungen sind jene das Koordinatensystem bildenden starren +Wände meist nicht realisiert; auch werden die Koordinaten nicht +wirklich durch Konstruktionen mit starren Stäben, sondern indirekt +ermittelt. Der physikalische Sinn der Ortsangaben muß jedoch stets den +vorstehenden Eröterungen gemäß gesucht werden, wenn die Ergebnisse der +Physik und Astronomie nicht ins Unklare zerfließen sollen⁠<a id="FNanchor_5_5" href="#Footnote_5_5" class="fnanchor">[5]</a>.</p> + +<p>Es ergibt sich also folgendes: Jede räumliche Beschreibung von +Geschehnissen bedient sich eines starren Körpers, auf <span class="pagenum" id="Page_6">[S. 6]</span>den die +Geschehnisse räumlich zu beziehen sind. Jene Beziehung setzt voraus, +daß für „Strecken“ die Gesetze der Euklidischen Geometrie gelten, wobei +die „Strecke“ physikalisch repräsentiert wird durch zwei Marken auf +einem starren Körper.</p> + +<div class="section"> + +<h3 id="Raum_und_Zeit_in_der_klassischen_Mechanik"> + § 3. Raum und Zeit in der klassischen Mechanik. +</h3> + +</div> + +<p>Wenn ich ohne schwere Bedenken und eingehende Erläuterungen die Aufgabe +der Mechanik so formuliere: „Die Mechanik hat zu beschreiben, wie die +Körper mit der Zeit ihren Ort im Raume ändern“, so nehme ich einige +Todsünden gegen den heiligen Geist der Klarheit auf mein Gewissen; +diese Sünden sollen zunächst aufgedeckt werden.</p> + +<p>Es ist unklar, was hier unter „Ort“ und „Raum“ zu verstehen ist. Ich +stehe am Fenster eines gleichförmig fahrenden Eisenbahnwagens und lasse +einen Stein auf den Bahndamm fallen, ohne ihm einen Schwung zu geben. +Dann sehe ich (abgesehen vom Einfluß des Luftwiderstandes) den Stein +geradlinig herabfallen. Ein Fußgänger, der die Übeltat vom Fußwege +aus mit ansieht, bemerkt, daß der Stein in einem Parabelbogen zur +Erde herabfällt. Ich frage nun: Liegen die „Orte“, welche der Stein +durchläuft, „in Wirklichkeit“ auf einer Geraden oder auf einer Parabel? +Was bedeutet hier ferner Bewegung „im Raume“? Die Antwort ist nach +den Überlegungen des § 2 selbstverständlich. Zunächst lassen wir das +dunkle Wort „Raum“, unter dem wir uns bei ehrlichem Geständnis nicht +das geringste denken können, ganz beiseite; wir setzen statt dessen +„Bewegung in bezug auf einen praktisch starren Bezugskörper.“ Die +Orte in bezug auf den Bezugskörper (Bahnwagen <em class="gesperrt">oder</em> Erdboden) +sind im vorigen Paragraphen bereits ausführlich definiert worden. +Indem wir statt „Bezugskörper“ den für die mathematische Beschreibung +nützlichen Begriff „Koordinatensystem“ einführen, können wir sagen: +Der Stein beschreibt in bezug auf ein mit dem Wagen starr verbundenes +Koordinatensystem eine Gerade, in bezug auf ein mit dem Erdboden +starr verbundenes Koordinatensystem eine Parabel. Man sieht an diesem +Beispiel deutlich, <span class="pagenum" id="Page_7">[S. 7]</span>daß es eine Bahnkurve an sich nicht gibt, sondern +nur eine Bahnkurve in bezug auf einen bestimmten Bezugskörper.</p> + +<p>Eine <em class="gesperrt">vollständige</em> Beschreibung der Bewegung kommt aber erst +dadurch zustande, daß man angibt, wie der Körper seinen Ort <em class="gesperrt">mit +der Zeit</em> ändert; d. h. es muß für jeden Punkt der Bahnkurve +angegeben werden, zu welcher Zeit der Körper sich dort befindet. Diese +Angaben müssen durch eine solche Definition der Zeit vervollständigt +werden, daß diese Zeitwerte kraft jener Definition als prinzipiell +beobachtbare Größen (Resultate von Messungen) angesehen werden können. +Dieser Forderung entsprechen wir — auf dem Boden der klassischen +Mechanik stehend — für unser Beispiel in folgender Weise. Wir +denken uns zwei genau gleich beschaffene Uhren; die eine hat der +Mann am Eisenbahnwagenfenster, die andere der Mann auf dem Fußwege +in der Hand. Jeder der beiden stellt fest, an welcher Stelle des +betreffenden Bezugskörpers der Stein sich gerade befindet, wenn die +Uhr tickt, die er in der Hand hat. Dabei verzichten wir auf ein +Eingehen auf die Ungenauigkeit, welche durch die Endlichkeit der +Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtes hereinkommt. Hiervon und von +einer zweiten hier obwaltenden Schwierigkeit wird später ausführlich +die Rede sein.</p> + +<div class="section"> + +<h3 id="_4_Das_Galileische_Koordinatensystem"> + § 4. Das Galileische Koordinatensystem. +</h3> + +</div> + +<p>Bekanntlich lautet das unter dem Namen Trägheitsgesetz bekannte +Grundgesetz der <em class="gesperrt">Galilei</em>-<em class="gesperrt">Newton</em>schen Mechanik: Ein +von anderen Körpern hinreichend entfernter Körper verharrt im +Zustande der Ruhe oder der gleichförmig-geradlinigen Bewegung. +Dieser Satz sagt nicht nur etwas aus über die Bewegung der Körper, +sondern auch über die in der Mechanik zulässigen Bezugskörper +oder Koordinatensysteme, welche bei der mechanischen Beschreibung +verwendet werden dürfen. Körper, auf welche der Trägheitssatz +sicherlich mit großer Annäherung Anwendung finden kann, sind die +sichtbaren Fixsterne. Benutzen wir nun ein Koordinatensystem, +welches mit der Erde starr verbunden ist, so beschreibt relativ zu +ihm jeder Fixstern im Laufe eines (astronomischen) Tages <span class="pagenum" id="Page_8">[S. 8]</span>einen +Kreis von ungeheurem Radius, im Widerspruch mit dem Wortlaut des +Trägheitsgesetzes. Hält man also an diesem Gesetze fest, so darf +man die Bewegungen nur auf Koordinatensysteme beziehen, relativ +zu welchen die Fixsterne keine Kreisbewegungen ausführen. Ein +Koordinatensystem, dessen Bewegungszustand ein solcher ist, daß relativ +zu ihm das Trägheitsgesetz gilt, nennen wir ein „<em class="gesperrt">Galilei</em>sches +Koordinatensystem.“ Nur für ein <em class="gesperrt">Galilei</em>sches Koordinatensystem +beanspruchen die Gesetze der <em class="gesperrt">Galilei</em>-<em class="gesperrt">Newton</em>schen Mechanik +Gültigkeit.</p> + +<div class="section"> + +<h3 id="Das_Relativitatsprinzip_im_engeren_Sinne"> + § 5. Das Relativitätsprinzip (im engeren Sinne). +</h3> + +</div> + +<p>Wir gehen wieder, um möglichste Anschaulichkeit zu erzielen, von +dem Beispiel des gleichmäßig fahrenden Eisenbahnwagens aus. Seine +Bewegung nennen wir eine gleichförmige Translation („gleichförmig“, +weil von konstanter Geschwindigkeit und Richtung, „Translation“, +weil der Wagen relativ zum Fahrdamm zwar seinen Ort ändert, aber +hierbei keine Drehungen ausführt). Es fliege ein Rabe geradlinig und +gleichförmig — vom Bahndamm aus beurteilt — durch die Luft. Dann ist +— vom fahrenden Wagen aus beurteilt — die Bewegung des Raben zwar +eine Bewegung von anderer Geschwindigkeit und anderer Richtung; aber +sie ist ebenfalls geradlinig und gleichförmig. Abstrakt ausgedrückt: +Bewegt sich eine Masse <i>m</i> geradlinig und gleichförmig in +bezug auf ein Koordinatensystem <i>K</i>, so bewegt sie sich auch +geradlinig und gleichförmig in bezug auf ein zweites Koordinatensystem +<i>K′</i>, falls letzteres in bezug auf <i>K</i> eine gleichförmige +Translationsbewegung ausführt. Hieraus folgt mit Rücksicht auf die +Darlegung des vorigen Paragraphen:</p> + +<p>Ist <i>K</i> ein <em class="gesperrt">Galilei</em>sches Koordinatensystem, so ist auch +jedes andere Koordinatensystem <i>K′</i> ein <em class="gesperrt">Galilei</em>sches, +wenn <i>K′</i> gegenüber <i>K</i> im Zustande gleichförmiger +Translationsbewegung ist. In bezug auf <i>K′</i> gelten die Gesetze +der <em class="gesperrt">Galilei</em>-<em class="gesperrt">Newton</em>schen Mechanik ebenso wie in bezug auf +<i>K</i>.</p> + +<p>Wir gehen in der Verallgemeinerung noch einen Schritt weiter, indem +wir den Satz aussprechen: Ist <i>K′</i> ein in bezug <span class="pagenum" id="Page_9">[S. 9]</span>auf <i>K</i> +gleichförmig und drehungsfrei bewegtes Koordinatensystem, so verläuft +das Naturgeschehen in bezug auf <i>K′</i> nach genau denselben +allgemeinen Gesetzen wie in bezug auf <i>K</i>. Diese Aussage nennen +wir „Relativitätsprinzip“ (im engeren Sinne).</p> + +<p>Solange man überzeugt war, daß sich alles Naturgeschehen mit Hilfe +der klassischen Mechanik darstellen lasse, konnte man an der +Gültigkeit dieses Relativitätsprinzips nicht zweifeln. Mit der +neueren Entwickelung der Elektrodynamik und Optik aber ward es immer +mehr offenkundig, daß die klassische Mechanik als Grundlage für alle +physikalische Naturbeschreibung nicht zureichend sei. Damit wurde auch +die Frage nach der Gültigkeit des Relativitätsprinzips zu einer wohl +diskutierbaren, und es erschien nicht ausgeschlossen, daß die Antwort +auf diese Frage verneinend sein könnte.</p> + +<p>Immerhin gibt es zwei allgemeine Tatsachen, die von vornherein sehr +für die Gültigkeit des Relativitätsprinzips sprechen. Wenn nämlich +die klassische Mechanik auch nicht eine genügend breite Basis für die +theoretische Darstellung <em class="gesperrt">aller</em> physikalischen Erscheinungen +liefert, so muß ihr doch ein sehr bedeutender Wahrheitsgehalt zukommen; +denn sie liefert mit bewunderungswürdiger Schärfe die tatsächlichen +Bewegungen der Himmelskörper. Es muß daher auch das Relativitätsprinzip +auf dem Gebiete <em class="gesperrt">der Mechanik</em> jedenfalls mit großer Genauigkeit +gelten. Daß aber ein Prinzip von so großer Allgemeinheit, welches +auf einem Erscheinungsgebiete mit solcher Exaktheit gilt, einem +anderen Erscheinungsgebiete gegenüber versage, ist a priori wenig +wahrscheinlich.</p> + +<p>Das zweite Argument, auf welches wir später noch zurückkommen +werden, ist folgendes. Wenn das Relativitätsprinzip (im engeren +Sinne) nicht gilt, so werden die relativ zueinander gleichförmig +bewegten <em class="gesperrt">Galilei</em>schen Koordinatensysteme <i>K</i>, <i>K′</i>, +<i>K″</i> usw. nicht <em class="gesperrt">gleichwertig</em> sein für die Beschreibung +des Naturgeschehens. Dann wäre es kaum anders denkbar, als daß die +Naturgesetze besonders einfach und natürlich sich nur dann formulieren +ließen, wenn unter allen <em class="gesperrt">Galilei</em>schen Koordinatensystemen +<em class="gesperrt">eines</em> (<i>K<sub>0</sub></i>) von bestimmtem Bewegungszustande <span class="pagenum" id="Page_10">[S. 10]</span>als +Bezugskörper gewählt würde. Dieses würden wir dann mit Recht (wegen +seiner Vorzüge für die Naturbeschreibung) als das „absolut ruhende“ +bezeichnen, die übrigen <em class="gesperrt">Galilei</em>schen Systeme <i>K</i> aber als +„bewegt“. Wäre z. B. unser Bahndamm das System <i>K<sub>0</sub></i>, so wäre +unser Eisenbahnwagen ein System <i>K</i>, in bezug auf welches weniger +einfache Gesetze gelten würden als in bezug auf <i>K<sub>0</sub></i>. Diese +geringere Einfachheit würde darauf zurückzuführen sein, daß der Wagen +<i>K</i> gegen <i>K<sub>0</sub></i> (d. h. „wirklich“) bewegt sei. In diesen in +bezug auf <i>K</i> formulierten allgemeinen Naturgesetzen müßten Größe +und Richtung der Fahrgeschwindigkeit des Wagens eine Rolle spielen. Es +wäre z. B. zu erwarten, daß der Ton einer Orgelpfeife ein anderer wäre, +wenn diese mit ihrer Achse parallel zur Fahrrichtung gestellt wird, +als wenn sie mit ihrer Achse senkrecht zu dieser Richtung gestellt +wird. Nun ist aber unsere Erde wegen ihrer Bahnbewegung um die Sonne +einem mit etwa 20 km Geschwindigkeit fahrenden Wagen vergleichbar. +Es wäre daher im Falle der Ungültigkeit des Relativitätsprinzips +zu erwarten, daß die momentane Bewegungsrichtung der Erde in die +Naturgesetze eingehe, daß also die physikalischen Systeme in ihrem +Verhalten von der räumlichen Orientierung gegen die Erde abhängen +sollten. Denn wegen der im Laufe des Jahres stattfindenden Änderung +der Richtung der Geschwindigkeit der Umlaufbewegung der Erde kann +diese nicht das ganze Jahr hindurch relativ zu dem hypothetischen +System <i>K<sub>0</sub></i> in Ruhe sein. Bei aller Sorgfalt hat man aber eine +derartige Anisotropie des irdischen physikalischen Raumes, d. h. eine +physikalische Ungleichwertigkeit der verschiedenen Richtungen, niemals +beobachten können. Dies ist ein schwer wiegendes Argument zugunsten des +Relativitätsprinzips.</p> + +<div class="section"> + +<h3 id="Das_Additionstheorem_der_Geschwindigkeiten_gemaess_der_klassischen_Mechanik">§ 6. +Das Additionstheorem der Geschwindigkeiten gemäß der klassischen Mechanik.</h3> + +</div> + +<p>Der schon oft betrachtete Eisenbahnwagen fahre mit der konstanten +Geschwindigkeit <i>v</i> auf dem Geleise. Im Eisenbahnwagen +durchschreite ein Mann den Wagen in dessen <span class="pagenum" id="Page_11">[S. 11]</span>Längsrichtung, und zwar in +Richtung der Fahrt mit der Geschwindigkeit <i>w</i>. Wie rasch bzw. mit +welcher Geschwindigkeit <i>W</i> kommt der Mann relativ zum Bahndamm +während des Gehens vorwärts? Die einzig mögliche Antwort scheint aus +folgender Überlegung zu entspringen:</p> + +<p>Würde der Mann eine Sekunde lang still stehen, so käme er relativ zum +Bahndamm um eine der Fahrgeschwindigkeit des Wagens gleiche Strecke +<i>v</i> vorwärts. In Wirklichkeit durchmißt er aber außerdem relativ +zum Wagen, also auch relativ zum Bahndamm in dieser Sekunde durch sein +Gehen die Strecke <i>w</i>, welche der Geschwindigkeit seines Ganges +gleich ist. Er legt also in der betrachteten Sekunde relativ zum +Bahndamm im ganzen die Strecke</p> + +<div class="s5 center mtop1 mbot1"><i>W</i> = <i>v</i> + <i>w</i></div> + +<p class="p0">zurück. Später werden wir sehen, daß diese Überlegung, welche das +Additionstheorem der Geschwindigkeiten gemäß der klassischen Mechanik +ausdrückt, nicht aufrecht erhalten werden kann, daß also das soeben +hingeschriebene Gesetz in Wahrheit nicht zutrifft. Einstweilen aber +werden wir auf dessen Richtigkeit bauen.</p> + +<div class="section"> + +<h3 id="Die_scheinbare_Unvereinbarkeit_des_Ausbreitungsgesetzes_des_Lichtes">§ 7. Die +scheinbare Unvereinbarkeit des Ausbreitungsgesetzes des Lichtes mit dem +Relativitätsprinzip.</h3> + +</div> + +<p>Es gibt kaum ein einfacheres Gesetz in der Physik als dasjenige, gemäß +welchem sich das Licht im leeren Raume fortpflanzt. Jedes Schulkind +weiß oder glaubt zu wissen, daß diese Fortpflanzung geradlinig mit +einer Geschwindigkeit <i>c</i> = 300000 km/Sek. geschieht. Wir wissen +jedenfalls mit großer Exaktheit, daß diese Geschwindigkeit für alle +Farben dieselbe ist; denn wäre dies nicht der Fall, so würde bei +der Bedeckung eines Fixsternes durch seinen dunklen Begleiter das +Emissionsminimum für die verschiedenen Farben nicht gleichzeitig +beobachtet werden. Durch eine ähnliche, an die Beobachtungen der +Doppelsterne sich knüpfende Überlegung konnte der holländische Astronom +<em class="gesperrt">De Sitter</em> auch zeigen, daß die <span class="pagenum" id="Page_12">[S. 12]</span>Fort­pflanzungs­ge­schwin­digkeit +des Lichtes von der Bewegungsgeschwindigkeit des das Licht +emittierenden Körpers nicht abhängen kann. Die Annahme, daß diese +Fortpflanzungsgeschwindigkeit von der Richtung „im Raume“ abhänge, ist +an sich unwahrscheinlich.</p> + +<p>Kurz, nehmen wir einmal an, das einfache Gesetz von der konstanten +Lichtgeschwindigkeit <i>c</i> (im Vakuum) werde von dem Schulkinde +mit Recht geglaubt! Wer möchte denken, daß dieses simple Gesetz +den gewissenhaft überlegenden Physiker in die größten gedanklichen +Schwierigkeiten gestürzt hat? Diese Schwierigkeiten ergeben sich wie +folgt.</p> + +<p>Natürlich müssen wir den Vorgang der Lichtausbreitung wie jeden +anderen auf einen starren Bezugskörper (Koordinatensystem) beziehen. +Als solchen wählen wir wieder unseren Bahndamm. Die Luft über +demselben wollen wir uns weggepumpt denken. Längs des Bahndammes +werde ein Lichtstrahl gesandt, dessen Scheitel sich nach dem +vorigen mit der Geschwindigkeit <i>c</i> relativ zum Bahndamme +fortpflanzt. Auf dem Geleise fahre wieder unser Eisenbahnwagen mit +der Geschwindigkeit <i>v</i>, und zwar in derselben Richtung, in der +sich der Lichtstrahl fortpflanzt, aber natürlich viel langsamer. +Wir fragen nach der Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtstrahles +relativ zum Wagen. Es ist leicht ersichtlich, daß hier die Betrachtung +des vorigen Paragraphen Anwendung finden kann; denn der relativ zum +Eisenbahnwagen laufende Mann spielt die Rolle des Lichtstrahles. +Statt dessen Geschwindigkeit <i>W</i> gegen den Bahndamm tritt hier +die Lichtgeschwindigkeit gegen diesen; <i>w</i> ist die gesuchte +Geschwindigkeit des Lichtes gegen den Wagen, für welche also gilt:</p> + +<div class="s5 center mtop1 mbot1"><i>w</i> = <i>c</i> − <i>v</i>.</div> + +<p>Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtstrahles relativ zum Wagen +ergibt sich also als kleiner als <i>c</i>.</p> + +<p>Dies Ergebnis verstößt aber gegen das im § 5 dargelegte +Relativitätsprinzip. Das Gesetz der Lichtausbreitung im Vakuum müßte +nämlich nach dem Relativitätsprinzip wie jedes andere allgemeine +Naturgesetz für den Eisenbahnwagen <span class="pagenum" id="Page_13">[S. 13]</span>als Bezugskörper gleich lauten +wie für das Geleise als Bezugskörper. Das erscheint aber nach unserer +Betrachtung unmöglich. Wenn sich jeder Lichtstrahl in bezug auf den +Damm mit der Geschwindigkeit <i>c</i> fortpflanzt, so scheint eben +deshalb das Lichtausbreitungsgesetz in bezug auf den Wagen ein anderes +sein zu müssen — im Widerspruch mit dem Relativitätsprinzip.</p> + +<p>Im Hinblick auf dies Dilemma erscheint es unerläßlich, entweder das +Relativitätsprinzip oder das einfache Gesetz der Fortpflanzung des +Lichtes im Vakuum aufzugeben. Gewiß wird der Leser, der den bisherigen +Ausführungen aufmerksam gefolgt ist, erwarten, daß das Prinzip der +Relativität, das sich durch seine Natürlichkeit und Einfachheit +dem Geiste als fast unabweislich empfiehlt, aufrecht zu erhalten +sei, daß aber das Gesetz der Lichtausbreitung im Vakuum durch ein +komplizierteres, mit dem Relativitätsprinzip vereinbares Gesetz zu +ersetzen sei. Die Entwickelung der theoretischen Physik zeigte aber, +daß dieser Weg nicht gangbar ist. Die bahnbrechenden theoretischen +Forschungen von <em class="gesperrt">H. A. Lorentz</em> über die elektrodynamischen +und optischen Vorgänge in bewegten Körpern zeigten nämlich, daß die +Erfahrungen in diesen Gebieten mit zwingender Notwendigkeit zu einer +Theorie der elektromagnetischen Vorgänge führen, welche das Gesetz +der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum zur unabweisbaren +Konsequenz hat. Deshalb waren die führenden Theoretiker eher geneigt, +das Relativitätsprinzip fallen zu lassen, trotzdem sich keine einzige +Erfahrungstatsache auffinden ließ, welche diesem Prinzip widersprochen +hätte.</p> + +<p>Hier setzte die Relativitätstheorie ein. Durch eine Analyse der +physikalischen Begriffe von Zeit und Raum zeigte sich, <em class="gesperrt">daß in +Wahrheit eine Un­vereinbar­keit des Rela­tivitäts­prin­zips mit dem +Aus­breitungs­gesetz des Lichtes gar nicht vorhanden sei</em>, daß man +vielmehr durch systematisches Festhalten an diesen beiden Gesetzen zu +einer logisch einwandfreien Theorie gelange. Diese Theorie, welche wir +zum Unterschiede von ihrer später zu besprechenden Erweiterung als +„spezielle Relativitätstheorie“ bezeichnen, soll im folgenden in ihren +Grundgedanken dargestellt werden.</p> + +<div class="section"> + +<p><span class="pagenum" id="Page_14">[S. 14]</span></p> + +<h3 id="Uber_den_Zeitbegriff_in_der_Physik"> + § 8. Über den Zeitbegriff in der Physik. +</h3> + +</div> + +<p>An zwei weit voneinander entfernten Stellen <i>A</i> und <i>B</i> +unseres Bahndammes hat der Blitz ins Geleise eingeschlagen. Ich füge +die Behauptung hinzu, diese beiden Schläge seien <em class="gesperrt">gleichzeitig</em> +erfolgt. Wenn ich dich nun frage, lieber Leser, ob diese Aussage einen +Sinn habe, so wirst du mir mit einem überzeugten „Ja“ antworten. Wenn +ich aber jetzt in dich dringe mit der Bitte, mir den Sinn der Aussage +genauer zu erklären, merkst du nach einiger Überlegung, daß die Antwort +auf diese Frage nicht so einfach ist, wie es auf den ersten Blick +scheint.</p> + +<p>Nach einiger Zeit wird dir vielleicht folgende Antwort in den Sinn +kommen: „Die Bedeutung der Aussage ist an und für sich klar und bedarf +keiner weiteren Erläuterung; einiges Nachdenken müßte ich allerdings +aufwenden, wenn ich den Auftrag erhielte, durch Beobachtungen zu +ermitteln, ob im konkreten Falle die beiden Ereignisse gleichzeitig +stattfanden oder nicht.“ Mit dieser Antwort kann ich mich aber aus +folgendem Grunde nicht zufrieden geben. Gesetzt, ein geschickter +Meteorologe hätte durch scharfsinnige Überlegungen herausgefunden, daß +es an den Orten <i>A</i> und <i>B</i> immer gleichzeitig einschlagen +müsse, dann entsteht die Aufgabe, nachzuprüfen, ob dieses theoretische +Resultat der Wirklichkeit entspricht oder nicht. Analog ist es bei +allen physikalischen Aussagen, bei denen der Begriff „gleichzeitig“ +eine Rolle spielt. Der Begriff existiert für den Physiker erst dann, +wenn die Möglichkeit gegeben ist, im konkreten Falle herauszufinden, +ob der Begriff zutrifft oder nicht. Es bedarf also einer solchen +Definition der Gleichzeitigkeit, daß diese Definition die Methode an +die Hand gibt, nach welcher im vorliegenden Falle aus Experimenten +entschieden werden kann, ob beide Blitzschläge gleichzeitig erfolgt +sind oder nicht. Solange diese Forderung nicht erfüllt ist, gebe ich +mich als Physiker (allerdings auch als Nichtphysiker!) einer Täuschung +hin, wenn ich glaube, mit der Aussage der Gleichzeitigkeit einen <span class="pagenum" id="Page_15">[S. 15]</span>Sinn +verbinden zu können. (Bevor du mir dies mit Überzeugung zugegeben hast, +lieber Leser, lies nicht weiter.)</p> + +<p>Nach einiger Zeit des Nachdenkens machst du nun folgenden Vorschlag +für das Konstatieren der Gleichzeitigkeit. Die Verbindungsstrecke +<i>AB</i> werde dem Geleise nach ausgemessen und in die Mitte <i>M</i> +der Strecke ein Beobachter gestellt, der mit einer Einrichtung versehen +ist (etwa zwei um 90° gegeneinander geneigte Spiegel), die ihm eine +gleichzeitige optische Fixierung beider Orte <i>A</i> und <i>B</i> +erlaubt. Nimmt dieser die beiden Blitzschläge gleichzeitig wahr, so +sind sie gleichzeitig.</p> + +<p>Ich bin mit diesem Vorschlag sehr zufrieden und halte die Sache dennoch +nicht für ganz geklärt, weil ich mich zu folgendem Einwand gedrängt +fühle: „Deine Definition wäre unbedingt richtig, wenn ich schon wüßte, +daß das Licht, welches dem Beobachter in <i>M</i> die Wahrnehmung der +Blitzschläge vermittelt, sich mit der gleichen Geschwindigkeit auf der +Strecke <i>A</i>­⟶­<i>M</i> wie auf der Strecke <i>B</i>­⟶­<i>M</i> +fortpflanze. Eine Prüfung dieser Voraussetzung wäre aber nur dann +möglich, wenn man über die Mittel der Zeitmessung bereits verfügte. Man +scheint sich also hier in einem logischen Zirkel zu bewegen.“</p> + +<p>Nach einiger weiterer Überlegung wirfst du mir aber mit Recht einen +etwas verächtlichen Blick zu und erklärst mir: „Ich halte meine +Definition von vorhin trotzdem aufrecht, da sie in Wahrheit gar nichts +über das Licht voraussetzt. An die Definition der Gleichzeitigkeit ist +nur die <em class="gesperrt">eine</em> Forderung zu stellen, daß sie in jedem realen Falle +eine empirische Entscheidung an die Hand gibt über das Zutreffen oder +Nichtzutreffen des zu definierenden Begriffs. Daß meine Definition dies +leistet, ist unbestreitbar. Daß das Licht zum Durchlaufen des Weges +<i>A</i>­⟶­<i>M</i> und zum Durchlaufen der Strecke <i>B</i>­⟶­<i>M</i> +dieselbe Zeit brauche, ist in Wahrheit keine <em class="gesperrt">Voraussetzung oder +Hypothese</em> über die physikalische Natur des Lichtes, sondern eine +<em class="gesperrt">Festsetzung</em>, die ich nach freiem Ermessen treffen kann, um zu +einer Definition der Gleichzeitigkeit zu gelangen.“</p> + +<p><span class="pagenum" id="Page_16">[S. 16]</span></p> + +<p>Es ist klar, daß diese Definition benutzt werden kann, um der +Aussage der Gleichzeitigkeit nicht nur <em class="gesperrt">zweier</em> Ereignisse, +sondern beliebig vieler Ereignisse einen exakten Sinn zu geben, +wie die Ereignisorte relativ zum Bezugskörper (hier dem Bahndamm) +gelagert sein mögen⁠<a id="FNanchor_6_6" href="#Footnote_6_6" class="fnanchor">[6]</a>. Damit gelangt man auch zu einer Definition +der „Zeit“ in der Physik. Man denke sich nämlich in den Punkten +<i>A</i>, <i>B</i>, <i>C</i> des Geleises (Koordinatensystems) Uhren +von gleicher Beschaffenheit aufgestellt und derart gerichtet, daß +deren Zeigerstellungen gleichzeitig (im obigen Sinne) dieselben sind. +Dann versteht man unter der „Zeit“ eines Ereignisses die Zeitangabe +(Zeigerstellung) derjenigen dieser Uhren, welche dem Ereignis +(räumlich) unmittelbar benachbart ist. Auf diese Weise wird jedem +Ereignis ein Zeitwert zugeordnet, der sich prinzipiell beobachten läßt.</p> + +<p>Diese Festsetzung enthält noch eine physikalische Hypothese, an +deren Zutreffen man ohne empirische Gründe kaum zweifeln wird. Es +ist nämlich angenommen, daß alle diese Uhren „gleich rasch“ gehen, +wenn sie von gleicher Beschaffenheit sind. Exakt formuliert: Wenn +zwei an verschiedenen Stellen des Bezugskörpers ruhend angeordnete +Uhren so eingestellt werden, daß <em class="gesperrt">eine</em> Zeigerstellung der einen +mit <em class="gesperrt">derselben</em> Zeigerstellung der anderen <em class="gesperrt">gleichzeitig</em> +(im obigen Sinne) ist, so sind gleiche Zeigerstellungen überhaupt +gleichzeitig (im Sinne obiger Definition).</p> + +<div class="section"> + +<h3 id="Die_Relativitat_der_Gleichzeitigkeit"> + §9. Die Relativität der Gleichzeitigkeit. +</h3> + +</div> + +<p>Bisher haben wir alle Betrachtungen auf einen bestimmten Bezugskörper +bezogen, den wir als „Bahndamm“ bezeichnet <span class="pagenum" id="Page_17">[S. 17]</span>haben. Es fahre nun auf +dem Geleise ein sehr langer Zug mit der konstanten Geschwindigkeit +<i>v</i> in der in Fig. 1 angegebenen Richtung. Menschen, die in diesem +Zuge fahren, werden mit Vorteil den Zug als starren Bezugskörper +(Koordinatensystem) verwenden; sie beziehen alle Ereignisse auf den +Zug. Jedes Ereignis, welches längs des Geleises stattfindet, findet +dann auch an einem bestimmten Punkte des Zuges statt. Auch die +Definition der Gleichzeitigkeit läßt sich in bezug auf den Zug in genau +derselben Weise geben, wie in bezug auf den Bahndamm. Es entsteht aber +nun naturgemäß folgende Frage:</p> + +<p>Sind zwei Ereignisse (z. B. die beiden Blitzschläge <i>A</i> und +<i>B</i>), welche <em class="gesperrt">in bezug auf den Bahndamm</em> gleichzeitig sind, +auch <em class="gesperrt">in bezug auf den Zug</em> gleichzeitig? Wir werden sogleich +zeigen, daß die Antwort verneinend lauten muß.</p> + +<figure class="figcenter illowe45" id="fig1"> + <figcaption class="caption"> + Fig. 1. + </figcaption> + <img class="w100" src="images/fig1.jpg" alt=""> +</figure> + +<p>Wenn wir sagen, daß die Blitzschläge <i>A</i> und <i>B</i> in +bezug auf den Bahndamm gleichzeitig sind, so bedeutet dies: die +von den Blitzorten <i>A</i> und <i>B</i> ausgehenden Lichtstrahlen +begegnen sich in dem Mittelpunkte <i>M</i> der Fahrdammstrecke +<i>A</i>–<i>B</i>. Den Ereignissen <i>A</i> und <i>B</i> entsprechen +aber auch Stellen <i>A</i> und <i>B</i> auf dem Zuge. Es sei <i>M′</i> +der Mittelpunkt der Strecke <i>A</i>–<i>B</i> des fahrenden Zuges. +Dieser Punkt <i>M′</i> fällt zwar im Augenblick der Blitzschläge⁠<a id="FNanchor_7_7" href="#Footnote_7_7" class="fnanchor">[7]</a> mit +dem Punkte <i>M</i> zusammen, bewegt sich aber in der Zeichnung mit der +Geschwindigkeit <i>v</i> des Zuges nach rechts. Würde ein bei <i>M′</i> +im Zuge sitzender Beobachter diese Geschwindigkeit nicht besitzen, +so würde er dauernd in <i>M</i> bleiben, und es würden ihn dann die +von den Blitzschlägen <i>A</i> und <i>B</i> ausgehenden Lichtstrahlen +gleichzeitig erreichen, d. h., diese beiden Strahlen würden sich +gerade bei ihm begegnen. In Wahrheit aber eilt er <span class="pagenum" id="Page_18">[S. 18]</span>(vom Bahndamm aus +beurteilt) dem von <i>B</i> herkommenden Lichtstrahl entgegen, während +er dem von <i>A</i> herkommenden Lichtstrahl vorauseilt. Der Beobachter +wird also den von <i>B</i> ausgehenden Lichtstrahl früher sehen, als +den von <i>A</i> ausgehenden. Die Beobachter, welche den Eisenbahnzug +als Bezugskörper benutzen, müssen also zu dem Ergebnis kommen, der +Blitzschlag <i>B</i> habe früher stattgefunden als der Blitzschlag +<i>A</i>. Wir kommen also zu dem wichtigen Ergebnis:</p> + +<p>Ereignisse, welche in bezug auf den Bahndamm gleichzeitig sind, sind +in bezug auf den Zug nicht gleichzeitig und umgekehrt (Relativität der +Gleichzeitigkeit). Jeder Bezugskörper (Koordinatensystem) hat seine +besondere Zeit; eine Zeitangabe hat nur dann einen Sinn, wenn der +Bezugskörper angegeben ist, auf den sich die Zeitangabe bezieht.</p> + +<p>Die Physik hat nun vor der Relativitätstheorie stets stillschweigend +angenommen, daß die Bedeutung der Zeitangaben eine absolute, d. h. +vom Bewegungszustande des Bezugskörpers unabhängige, sei. Daß diese +Annahme aber mit der nächstliegenden Definition der Gleichzeitigkeit +unvereinbar ist, haben wir soeben gesehen; läßt man sie fallen, +so verschwindet der in § 7 entwickelte Konflikt des Gesetzes der +Vakuum-Lichtausbreitung mit dem Relativitätsprinzip.</p> + +<p>Zu jenem Konflikt führt nämlich die Überlegung des § 6, die nun nicht +mehr aufrecht zu erhalten ist. Wir schlossen dort, daß der Mann +im Wagen, der relativ zu diesem die Strecke <i>w</i> <em class="gesperrt">in einer +Sekunde</em> durchläuft, diese Strecke auch relativ zum Bahndamm +<em class="gesperrt">in einer Sekunde</em> durchläuft. Da nun aber die Zeit, welche ein +bestimmter Vorgang mit Bezug auf den Wagen braucht, nach den soeben +angestellten Überlegungen nicht gleich gesetzt werden darf der vom +Bahndamm als Bezugskörper aus beurteilten Dauer desselben Vorganges, so +kann nicht behauptet werden, daß der Mann durch sein Gehen relativ zum +Geleise die Strecke <i>w</i> in einer Zeit zurücklegt, welche — vom +Bahndamm aus beurteilt — gleich einer Sekunde ist.</p> + +<p>Die Überlegung des § 6 ruht übrigens noch auf einer zweiten +Voraussetzung, die im Lichte einer strengen Überlegung <span class="pagenum" id="Page_19">[S. 19]</span>als willkürlich +erscheint, wenn sie auch vor der Aufstellung der Relativitätstheorie +stets (stillschweigend) gemacht wurde.</p> + +<div class="section"> + +<h3 id="Uber_die_Relativitat_des_Begriffes_der_raumlichen_Entfernung"> + § 10. Über die Relativität des Begriffes der räumlichen Entfernung. +</h3> + +</div> + +<p>Wir betrachten zwei bestimmte Stellen des mit der Geschwindigkeit +<i>v</i> längs des Bahndammes dahinfahrenden Zuges⁠<a id="FNanchor_8_8" href="#Footnote_8_8" class="fnanchor">[8]</a> und fragen +nach deren Entfernung. Wir wissen bereits, daß man zur Messung einer +Entfernung eines Bezugskörpers bedarf, mit Bezug auf welchen die +Entfernung ausgemessen wird. Am einfachsten ist es, den Zug selbst als +Bezugskörper (Koordinatensystem) zu verwenden. Ein im Zuge fahrender +Beobachter mißt den Abstand, indem er in gerader Linie seinen Maßstab +etwa längs der Wagenböden so oft aufträgt, bis er von dem einen +markierten Punkte zum anderen gelangt. Die Zahl, welche angibt, wie oft +der Stab angelegt werden muß, ist dann die gesuchte Entfernung.</p> + +<p>Anders ist es, wenn die Entfernung vom Geleise aus beurteilt werden +soll. Da bietet sich folgende Methode. Nennt man <i>A′</i> und +<i>B′</i> die beiden Punkte des Zuges, um deren Entfernung es sich +handelt, so sind diese beiden Punkte mit der Geschwindigkeit <i>v</i> +längs des Bahndammes bewegt. Wir fragen nun zuerst nach den Punkten +<i>A</i> bzw. <i>B</i> des Bahndammes, bei welchen die beiden Punkte +<i>A′</i> und <i>B′</i> zu einer bestimmten Zeit <i>t</i> — vom +Bahndamm aus beurteilt — gerade vorbeilaufen. Diese Punkte <i>A</i> +und <i>B</i> des Bahndammes sind vermöge der in § 8 gegebenen +Zeitdefinition ermittelbar. Hierauf wird der Abstand dieser Punkte +<i>A</i> und <i>B</i> durch wiederholtes Abtragen des Meterstabes längs +des Bahndammes gemessen.</p> + +<p>Es ist a priori durchaus nicht ausgemacht, daß diese letztere Messung +dasselbe Ergebnis zeitigen müsse wie die erstere. Vom Bahndamm aus +gemessen kann also die Länge des Zuges eine andere sein als vom Zuge +selbst aus gemessen. Dieser Umstand ergibt einen zweiten gegen die +scheinbar so <span class="pagenum" id="Page_20">[S. 20]</span>einleuchtende Betrachtung des § 6 zu erhebenden Einwand. +Legt nämlich der Mann im Wagen in einer Zeiteinheit — <em class="gesperrt">vom Zuge aus +gemessen</em> — die Strecke <i>w</i> zurück, so braucht diese Strecke +— <em class="gesperrt">vom Bahndamm aus gemessen</em> — nicht auch gleich <i>w</i> zu +sein.</p> + +<div class="section"> + +<h3 id="Die_Lorentz-Transformation"> + § 11. Die Lorentz-Transformation. +</h3> + +</div> + +<p>Die Überlegungen der letzten drei Paragraphen zeigen uns, daß die +scheinbare Unvereinbarkeit des Ausbreitungsgesetzes des Lichtes mit dem +Relativitätsprinzip in § 7 durch eine Betrachtung abgeleitet worden +ist, welche der klassischen Mechanik zwei durch nichts gerechtfertigte +Hypothesen entlehnte; diese Hypothesen lauten:</p> + +<blockquote> +<p>1. Der Zeitabstand zwischen zwei Ereignissen ist vom +Bewegungszustande des Bezugskörpers unabhängig.</p> + +<p>2. Der räumliche Abstand zwischen zwei Punkten eines starren Körpers +ist vom Bewegungszustande des Bezugskörpers unabhängig.</p> +</blockquote> + +<p>Läßt man nun diese Hypothesen fallen, so verschwindet das Dilemma des § +7, weil das in § 6 abgeleitete Additionstheorem der Geschwindigkeiten +ungültig wird. Es taucht vor uns die Möglichkeit auf, daß das Gesetz +der Lichtausbreitung im Vakuum mit dem Relativitätsprinzip vereinbar +sein könnte. Wir kommen zu der Frage: Wie ist die Überlegung des § +6 zu modifizieren, um den scheinbaren Widerspruch zwischen diesen +beiden fundamentalen Ergebnissen der Erfahrung zu beseitigen? Diese +Frage führt auf eine allgemeine. In der Überlegung des § 6 kommen Orte +und Zeiten in bezug auf den Zug und in bezug auf den Bahndamm vor. +Wie findet man Ort und Zeit eines Ereignisses in bezug auf den Zug, +wenn Ort und Zeit des Ereignisses in bezug auf den Bahndamm bekannt +sind? Gibt es eine solche denkbare Antwort auf diese Frage, daß das +Gesetz der Lichtausbreitung im Vakuum dem Relativitätsprinzip nicht +widerspricht? Anders ausgedrückt: Ist eine Relation zwischen Ort und +Zeit der einzelnen Ereignisse in bezug auf beide Bezugskörper denkbar, +derart, daß jeder Lichtstrahl relativ zum Bahndamm <em class="gesperrt">und</em> <span class="pagenum" id="Page_21">[S. 21]</span>relativ +zum Zug die Ausbreitungsgeschwindigkeit <i>c</i> besitzt? Diese +Frage führt zu einer bejahenden, ganz bestimmten Antwort, zu einem +ganz bestimmten Verwandlungsgesetz für die Raum-Zeit-Größen eines +Ereignisses beim Übergang von einem Bezugskörper zu einem anderen.</p> + +<p>Bevor wir hierauf eingehen, sei folgende Zwischenüberlegung +eingeschaltet. Wir haben bis jetzt stets nur Ereignisse betrachtet, die +sich längs des Bahndammes abspielten, der mathematisch die Funktion +einer geraden Linie zu übernehmen hatte. Man kann sich aber in der +in § 2 angegebenen Weise diesen Bezugskörper seitlich und nach oben +durch ein Stabgerüst derart fortgesetzt denken, daß ein irgendwo +stattfindendes Ereignis relativ zu diesem Stabgerüst lokalisiert +werden kann. Analog kann man sich den mit der Geschwindigkeit +<i>v</i> fahrenden Zug durch den ganzen Raum fortgesetzt denken, +so daß jedes noch so ferne Ereignis auch in bezug auf das zweite +Gerüst lokalisiert werden könnte. Davon, daß diese Gerüste einander +in Wahrheit wegen der Undurchdringlichkeit der festen Körper immer +wieder zerstören müßten, können wir absehen, ohne in prinzipielle +Fehler zu geraten. In jedem solchen Gerüst denken wir uns drei +aufeinander senkrechte Wände ausgezeichnet und als „Koordinatenebenen“ +bezeichnet („Koordinatensystem“). Dem Bahndamm entspricht dann ein +Koordinatensystem <i>K</i>, dem Zug ein Koordinatensystem <i>K′</i>. +Ein irgendwo stattfindendes Ereignis wird bezüglich <i>K</i> räumlich +fixiert durch die drei Lote <i>x</i>, <i>y</i>, <i>z</i> auf die +Koordinatenebenen und zeitlich fixiert durch einen Zeitwert <i>t</i>. +<em class="gesperrt">Dasselbe Ereignis</em> wird bezüglich <i>K′</i> raum-zeitlich +fixiert durch entsprechende Werte <i>x′</i>, <i>y′</i>, <i>z′</i>, +<i>t′</i>, welche mit <i>x</i>, <i>y</i>, <i>z</i>, <i>t</i> natürlich +nicht übereinstimmen. Wie diese Größen als Ergebnisse physikalischer +Messungen aufzufassen sind, wurde früher ausführlich dargelegt.</p> + +<figure class="figcenter illowe28" id="fig2"> + <figcaption class="caption"> + Fig. 2. + </figcaption> + <img class="w100" src="images/fig2.jpg" alt=""> +</figure> + +<p>Unser Problem lautet in exakter Formulierung offenbar folgendermaßen. +Wie groß sind die Werte <i>x′</i>, <i>y′</i>, <i>z′</i>, <i>t′</i> +eines Ereignisses in bezug auf <i>K′</i>, wenn die Größen <i>x</i>, +<i>y</i>, <i>z</i>, <i>t</i> desselben Ereignisses in bezug auf +<i>K</i> gegeben sind? Die Beziehungen müssen so gewählt werden, daß +dem Gesetz der Vakuumfortpflanzung <span class="pagenum" id="Page_22">[S. 22]</span>des Lichtes für einen und denselben +Lichtstrahl (und zwar für jeden) in bezug auf <i>K</i> <em class="gesperrt">und</em> +<i>K′</i> Genüge geleistet wird. Dies Problem wird für die in der +Zeichnung (Fig. 2) angegebene relative räumliche Orientierung der +Koordinatensysteme gelöst durch die Gleichungen:</p> + +<div class="s5 center mtop1 mbot1"><span class="val_90"><i>x′</i> =</span> +<span class="hfrac"><span class="numerator"><i>x</i> − <i>v t</i></span> +<span class="denominator padtop0_1"><span class="s1b val_50">√</span><span class="val_100 padtop0_2 btt"><span class="vam ">1 −</span> +<span class="hfrac val-80"><span class="numerator"><i class="val_ep2">v<sup>2</sup></i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span></span></span></span></div> + +<div class="s5 center mtop1 mbot1"><i>y′</i> = <i>y</i></div> + +<div class="s5 center mtop1 mbot1"><i>z′</i> = <i>z</i></div> + +<div class="s5 center mtop1 mbot1"><span class="val_60"><i>t′</i> =</span> +<span class="hfrac"><span class="numerator"><i>t</i> − <span class="hfrac"><span class="numerator"><i>v</i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span> <i>x</i></span> +<span class="denominator padtop0_1"><span class="s1b val_50">√</span><span class="val_100 padtop0_2 btt"><span class="vam ">1 −</span> +<span class="hfrac val-80"><span class="numerator"><i class="val_ep2">v<sup>2</sup></i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span></span></span></span></div> + +<p class="p0">welches Gleichungssystem mit dem Namen „Lorentz-Transformation“ +bezeichnet wird.</p> + +<p>Würden wir aber an Stelle des Lichtausbreitungsgesetzes die +stillschweigenden Voraussetzungen der alten Mechanik von dem absoluten +Charakter der Zeiten und Längen zugrunde gelegt haben, so würden wir +statt dieser Transformationsgleichungen zu den Gleichungen</p> + +<div class="s5 center mtop1 mbot1"><i>x′</i> = <i>x</i> - <i>v t</i></div> + +<div class="s5 center mtop1 mbot1"><i>y′</i> = <i>y</i></div> + +<div class="s5 center mtop1 mbot1"><i>z′</i> = <i>z</i></div> + +<div class="s5 center mtop1 mbot1"><i>t′</i> = <i>t</i></div> + +<p><span class="pagenum" id="Page_23">[S. 23]</span></p> + +<p>gelangt sein, welches System man oft als „Galilei-Transformation“ +bezeichnet. Die Galilei-Transformation geht aus der +Lorentz-Transformation dadurch hervor, daß man in letzterer die +Lichtgeschwindigkeit <i>c</i> gleich einem unendlich großen Werte setzt.</p> + +<p>Daß gemäß der Lorentz-Transformation das Gesetz der Lichtausbreitung im +Vakuum sowohl für den Bezugskörper <i>K</i> wie für den Bezugskörper +<i>K′</i> erfüllt sein kann, sieht man bequem an folgendem Beispiel. Es +werde ein Lichtsignal längs der positiven <i>x</i>-Achse gesandt, und +es pflanze sich die Lichterregung gemäß der Gleichung</p> + +<div class="s5 center mtop1 mbot1"><i>x</i> = <i>c t</i>,</div> + +<p class="p0">also mit der Geschwindigkeit <i>c</i> fort. Gemäß den Gleichungen +der Lorentz-Transformation bedingt diese einfache Beziehung zwischen +<i>x</i> und <i>t</i> eine Beziehung zwischen <i>x′</i> und +<i>t′</i>. In der Tat liefert die erste und vierte Gleichung der +Lorentz-Transformation, wenn man in dieselben für <i>x</i> den Wert +<i>ct</i> einsetzt:</p> + +<div class="s5 center mtop1 mbot1"><span class="val_100"><i>x′</i> =</span> +<span class="hfrac"><span class="numerator">(<i>c</i> − <i>v</i>) <i>t</i></span> +<span class="denominator padtop0_1"><span class="s1b val_50">√</span><span class="val_100 padtop0_2 btt"><span class="vam ">1 −</span> +<span class="hfrac val-80"><span class="numerator"><i class="val_ep2">v<sup>2</sup></i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span></span></span></span></div> + +<div class="s5 center mtop1 mbot1"><span class="val_55"><i>t′</i> =</span> +<span class="hfrac"><span class="numerator"><span class="s1 val-10">(</span>1 − <span class="hfrac"><span class="numerator"><i>v</i></span><span class="denominator"><i>c</i></span></span> <span class="s1a val-10">)</span> <i>t</i></span> +<span class="denominator padtop0_1"><span class="s1b val_50">√</span><span class="val_100 padtop0_2 btt"><span class="vam ">1 −</span> +<span class="hfrac val-80"><span class="numerator"><i class="val_ep2">v<sup>2</sup></i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span></span></span></span></div> + +<p class="p0">aus welchen dann durch Division unmittelbar</p> + +<div class="s5 center mtop1 mbot1"><i>x′</i> = <i>c t′</i></div> + +<p class="p0">folgt. Nach dieser Gleichung erfolgt die Lichterregung, wenn sie +auf das System <i>K′</i> bezogen wird. Es zeigt sich also, daß die +Ausbreitungsgeschwindigkeit auch relativ zum Bezugskörper <i>K′</i> +gleich <i>c</i> ist. Analog ist es mit Lichtstrahlen, die sich in +beliebiger anderer Richtung fortpflanzen. Dies ist natürlich nicht zu +verwundern, denn die Gleichungen der Lorentz-Transformation sind ja +nach diesem Gesichtspunkte abgeleitet.</p> + +<div class="section"> + +<p><span class="pagenum" id="Page_24">[S. 24]</span></p> + +<h3 id="Das_Verhalten_bewegter_Stabe_und_Uhren"> + § 12. Das Verhalten bewegter Stäbe und Uhren. +</h3> + +</div> + +<p>Ich lege einen Meterstab in die <i>x′</i>-Achse von <i>K′</i> derart, +daß sein Anfang in den Punkt <i>x′</i> = 0, sein Ende in den Punkt +<i>x′</i> = 1 fällt. Welches ist die Länge des Meterstabes relativ zum +System <i>K</i>? Um das zu erfahren, brauchen wir nur zu fragen, wo +Stabanfang und Stabende relativ zu <i>K</i> liegen zu einer bestimmten +Zeit <i>t</i> des Systems <i>K</i>. Man findet für diese beiden Punkte +aus der ersten Gleichung der Lorentz-Transformation:</p> + +<div class="s5 center mtop1 mbot1"><i>x</i><sub>(Stabanfang)</sub> = 0 · +<span class="val-10"><span class="s1b val-10 nowrap">√</span><span class="val_70 padtop0_2 btt"><span class="val-10 ">1 −</span> <span class="hfrac"><span class="numerator"><i>v<sup>2</sup></i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span></span></span></div> + +<div class="s5 center mtop1 mbot1"><i>x</i><sub>(Stabende)</sub> = 1 · +<span class="val-10"><span class="s1b val-10">√</span><span class="val_70 padtop0_2 btt"><span class="val-10 ">1 −</span> <span class="hfrac"><span class="numerator"><i>v<sup>2</sup></i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span></span></span></div> + +<p class="p0">welche beiden Punkte den Abstand <span class="val-10 nowrap"><span class="s1b val-10">√</span><span class="val_70 padtop0_2 btt"><span class="val-10 ">1 −</span> +<span class="hfrac"><span class="numerator"><i>v<sup>2</sup></i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span></span></span> haben. Relativ zu +<i>K</i> ist aber der Meterstab mit der Geschwindigkeit <i>v</i> +bewegt. Es folgt also, daß die Länge eines mit der Geschwindigkeit +<i>v</i> in seiner Längsrichtung bewegten starren Meterstabes +<span class="val-10 nowrap"><span class="s1b val-10">√</span><span class="val_70 padtop0_2 btt"><span class="val-10 ">1 −</span> <span class="hfrac"><span class="numerator"><i>v<sup>2</sup></i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span></span></span> Meter beträgt. Der bewegte starre Stab ist also +kürzer als derselbe Stab, wenn er im Zustande der Ruhe ist, und zwar +um so kürzer, je rascher er bewegt ist. Für die Geschwindigkeit +<i>v</i> = <i>c</i> wäre <span class="val-10 nowrap"><span class="s1b val-10">√</span><span class="val_70 padtop0_2 btt"><span class="val-10 ">1 −</span> +<span class="hfrac"><span class="numerator"><i>v<sup>2</sup></i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span></span></span> = 0, für noch größere +Geschwindigkeiten wird die Wurzel imaginär. Wir schließen daraus, daß +in der Relativitätstheorie die Geschwindigkeit <i>c</i> die Rolle +einer Grenzgeschwindigkeit spielt, die durch keinen wirklichen Körper +erreicht oder gar überschritten werden könnte.</p> + +<p>Diese Rolle der Geschwindigkeit <i>c</i> als einer Grenzgeschwindigkeit +folgt übrigens bereits aus den Gleichungen der Lorentz-Transformation +selbst. Denn diese werden sinnlos, wenn <i>v</i> größer als <i>c</i> +gewählt wird.</p> + +<p>Hätten wir umgekehrt einen Meterstab betrachtet, der in der +<i>x</i>-Achse relativ zu <i>K</i> ruht, so hätten wir gefunden, daß +<span class="pagenum" id="Page_25">[S. 25]</span>er, von <i>K′</i> aus beurteilt, die Länge +<span class="val-10 nowrap"><span class="s1b val-10">√</span><span class="val_70 padtop0_2 btt"><span class="val-10 ">1 −</span> +<span class="hfrac"><span class="numerator"><i>v<sup>2</sup></i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span></span></span> hat; +dies liegt ganz im Sinne des Relativitätsprinzips, welches unseren +Betrachtungen zugrunde gelegt ist.</p> + +<p>Daß wir aus den Transformationsgleichungen etwas über das physikalische +Verhalten von Maßstäben und Uhren erfahren müssen, liegt a priori +auf der Hand. Denn die Größen <i>x</i>, <i>y</i>, <i>z</i>, <i>t</i> +sind ja nichts anderes als mit Maßstäben und Uhren zu gewinnende +Meßresultate. Hätten wir die Galilei-Transformation zugrunde gelegt, so +hätten wir eine Stabverkürzung infolge der Bewegung nicht erhalten.</p> + +<p>Wir betrachten nun eine Sekundenuhr, die dauernd im Anfangspunkte +(<i>x′</i> = 0) von <i>K′</i> ruht. <i>t′</i> = 0 und <i>t′</i> = +1 seien zwei aufeinander folgende Schläge dieser Uhr. Für diese +beiden Schläge ergeben die erste und vierte der Gleichungen der +Lorentz-Transformation:</p> + +<div class="s5 center mtop1 mbot1"><i>t</i> = 0</div> + +<p class="p0">und</p> + +<div class="s5 center mtop1 mbot1"><span class="val_90"><i>t</i> =</span> +<span class="hfrac"><span class="numerator">1</span> +<span class="denominator padtop0_1"><span class="s1b val_50">√</span><span class="val_100 padtop0_2 btt"><span class="vam ">1 −</span> +<span class="hfrac val-80"><span class="numerator"><i class="val_ep2">v<sup>2</sup></i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span></span></span></span></div> + +<p>Von <i>K</i> aus beurteilt ist die Uhr mit der Geschwindigkeit <i>v</i> +bewegt; von diesem Bezugskörper aus beurteilt vergeht zwischen +zweien ihrer Schläge nicht eine Sekunde, sondern <span class="val-40"><span class="hfrac"><span class="numerator">1</span> +<span class="denominator padtop0_1"><span class="s1b val_60">√</span><span class="val_100 padtop0_3 btt"><span class="vam">1 −</span> +<span class="hfrac"><span class="nowrap"><span class="numerator"><i>v<sup>2</sup></i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span></span></span></span></span></span> +Sekunden, also eine etwas größere Zeit. Die Uhr geht infolge +ihrer Bewegung langsamer als im Zustande der Ruhe. Auch hier +spielt die Geschwindigkeit <i>c</i> die Rolle einer unerreichbaren +Grenzgeschwindigkeit.</p> + +<div class="section"> + +<h3 id="Additionstheorem_der_Geschwindigkeiten">§ 13. Additionstheorem der Geschwindigkeiten +<em class="gesperrt">Fizeau</em>scher Versuch.</h3> + +</div> + +<p>Da wir Uhren und Maßstäbe in praxi nur mit Geschwindigkeiten bewegen +können, die klein sind gegen die Lichtgeschwindigkeit <i>c</i>, so +werden die Ergebnisse des vorigen <span class="pagenum" id="Page_26">[S. 26]</span>Paragraphen kaum direkt mit der +Wirklichkeit verglichen werden können. Da dieselben andererseits dem +Leser recht sonderbar vorkommen werden, so will ich nun aus der Theorie +eine andere Konsequenz ziehen, die aus dem bisher Dargelegten leicht +abzuleiten ist, und die durch das Experiment glänzend bestätigt wird.</p> + +<p>In § 6 haben wir das Additionstheorem für gleich gerichtete +Geschwindigkeiten abgeleitet, so, wie es sich aus den Hypothesen +der klassischen Mechanik ergibt. Dasselbe läßt sich auch leicht +aus der Galilei-Transformation (§ 11) folgern. Statt des gehenden +Mannes im Wagen führen wir einen Punkt ein, der sich relativ zum +Koordinatensystem <i>K′</i> nach der Gleichung</p> + +<div class="s5 center mtop1 mbot1"><i>x′</i> = <i>w t′</i></div> + +<p class="p0">bewegt. Aus der ersten und vierten Gleichung der Galilei-Transformation +kann man <i>x′</i> und <i>t′</i> durch <i>x</i> und <i>t</i> ausdrücken +und erhält so:</p> + +<div class="s5 center mtop1 mbot1"><i>x</i> = (<i>v</i> + <i>w</i>) <i>t</i>.</div> + +<p>Diese Gleichung drückt nichts anderes aus als das Bewegungsgesetz +des Punktes gegenüber dem System <i>K</i> (des Mannes gegenüber dem +Bahndamm), welche Geschwindigkeit wir mit <i>W</i> bezeichnen, so daß +man, wie in § 6, erhält:</p> + +<div class="s5 center mtop1 mbot1" id="Gleichung_A"><i>W</i>= <i>v</i> + <i>w</i> +<span class="fright">(A)</span></div> + +<p>Wir können aber diese Betrachtung ebenso gut unter Zugrundelegung der +Relativitätstheorie durchführen. Man hat dann in der Gleichung</p> + +<div class="s5 center mtop1 mbot1"><i>x′</i> = <i>w t′</i></div> + +<p class="p0"><i>x′</i> und <i>t′</i> durch <i>x</i> und <i>t</i> auszudrücken +unter Verwendung der ersten und vierten Gleichung der +<em class="gesperrt">Lorentz-Transformation</em>. Man erhält dann statt der Gleichung (A) +die Gleichung:</p> + +<div class="s5 center mtop1 mbot1" id="Gleichung_B"><span class="val_75"><i>W</i> =</span> +<span class="hfrac"><span class="numerator"><i>v</i> + <i>w</i></span><span class="denominator">1 + +<span class="hfrac"><span class="numerator"><i>v w</i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span></span></span> <span class="val_80">,</span> +<span class="fright">(B)</span></div> + +<p><span class="pagenum" id="Page_27">[S. 27]</span></p> + +<p class="p0">welche dem Additionstheorem gleichgerichteter Geschwindigkeiten nach +der Relativitätstheorie entspricht. Die Frage ist nun, welches von +diesen beiden Theoremen der Erfahrung gegenüber standhält. Hierüber +belehrt uns ein höchst wichtiges Experiment, welches der geniale +Physiker <em class="gesperrt">Fizeau</em> vor mehr als einem halben Jahrhundert ausführte, +und das seitdem von einigen der besten Experimentalphysiker wiederholt +wurde, so daß das Resultat unbezweifelbar ist. Das Experiment behandelt +folgende Frage. In einer ruhenden Flüssigkeit pflanze sich das Licht +mit einer bestimmten Geschwindigkeit <i>w</i> fort. Wie rasch pflanzt +es sich in der Röhre <i>R</i> der Figur</p> + +<figure class="figcenter illowe28" id="fig2a"> + <img class="w100" src="images/fig2a.jpg" alt="Fortpflanzung des Lichts in einer Röhre"> +</figure> + +<p class="p0">in der Pfeilrichtung fort, wenn diese von der vorhin genannten +Flüssigkeit mit der Geschwindigkeit <i>v</i> durchströmt ist?</p> + +<p>Wir werden im Sinne des Relativitätsprinzips jedenfalls vorauszusetzen +haben, daß <em class="gesperrt">relativ zur Flüssigkeit</em> die Lichtausbreitung immer +mit derselben Geschwindigkeit <i>w</i> erfolgt, mag die Flüssigkeit +relativ zu anderen Körpern bewegt sein oder nicht. Es ist also +die Geschwindigkeit des Lichtes relativ zur Flüssigkeit und die +Geschwindigkeit der letzteren relativ zur Röhre bekannt, gesucht die +Geschwindigkeit des Lichtes relativ zur Röhre.</p> + +<p>Es ist klar, daß hier wieder die Aufgabe des § 6 vorliegt. Die Röhre +spielt die Rolle des Bahndammes bzw. des Koordinatensystems <i>K</i>, +die Flüssigkeit die Rolle des Wagens bzw. des Koordinatensystems +<i>K′</i>, das Licht endlich die Rolle des im Wagen laufenden Mannes +bzw. des bewegten Punktes in diesem Paragraphen. Bezeichnet man also +mit <i>W</i> die Geschwindigkeit des Lichtes relativ zur Röhre, so +ist diese durch die Gleichung (A) bzw. (B) gegeben, je nachdem die +Galilei-Transformation oder die Lorentz-Transformation der Wirklichkeit +entspricht.</p> + +<p><span class="pagenum" id="Page_28">[S. 28]</span></p> + +<p>Das Experiment⁠<a id="FNanchor_9_9" href="#Footnote_9_9" class="fnanchor">[9]</a> entscheidet für die aus der Relativitätstheorie +abgeleitete Gleichung (B), und zwar sehr exakt. Der Einfluß der +Strömungsgeschwindigkeit <i>v</i> auf die Lichtfortpflanzung wird nach +den letzten, ausgleichenden Messungen von <em class="gesperrt">Zeemann</em> durch die +Formel (B) genauer als auf 1 Proz. genau dargestellt.</p> + +<p>Es ist nun allerdings hervorzuheben, daß eine Theorie dieses +Phänomens lange vor der Aufstellung der Relativitätstheorie auf rein +elektrodynamischem Wege unter Benutzung bestimmter Hypothesen über +die elektromagnetische Struktur der Materie von <em class="gesperrt">H. A. Lorentz</em> +gegeben worden ist. Dieser Umstand vermindert aber die Beweiskraft des +Versuches als experimentum crucis zugunsten der Relativitätstheorie +keineswegs. Denn die <em class="gesperrt">Maxwell-Lorentz</em>sche Elektrodynamik, auf +welcher die ursprüngliche Theorie beruhte, steht in keinerlei Gegensatz +zur Relativitätstheorie. Letztere ist vielmehr aus der Elektrodynamik +herausgewachsen als verblüffend einfache Zusammenfassung und +Verallgemeinerung der früher voneinander unabhängigen Hypothesen, auf +welchen die Elektrodynamik aufgebaut war.</p> + +<div class="section"> + +<h3 id="Der_heuristische_Wert_der_Relativitatstheorie"> + § 14. Der heuristische Wert der Relativitätstheorie. +</h3> + +</div> + +<p>Der bisher dargelegte Gedankengang läßt sich wie folgt kurz +zusammenfassen. Die Erfahrung hat zu der Überzeugung geführt, daß +einerseits das Relativitätsprinzip (im engeren Sinne) gelte und daß +andererseits die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes im Vakuum +gleich einer Konstanten <i>c</i> zu setzen sei. Durch Vereinigung +dieser beiden Postulate ergab sich das Transformationsgesetz für die +rechtwinkeligen Koordinaten <span class="pagenum" id="Page_29">[S. 29]</span><i>x</i>, <i>y</i>, <i>z</i> und die Zeit +<i>t</i> der Ereignisse, welche das Naturgeschehen zusammensetzen, und +zwar ergab sich nicht die Galilei-Transformation, sondern (abweichend +von der klassischen Mechanik) die Lorentz-Transformation.</p> + +<p>In diesem Gedankengange spielte das Ausbreitungsgesetz des Lichtes +eine wichtige Rolle, dessen Annahme sich aus unserem tatsächlichen +Wissen rechtfertigt. Wir können aber, nachdem wir einmal im Besitz +der Lorentz-Transformation sind, diese mit dem Relativitätsprinzip +vereinigen und die Theorie in die Aussage zusammenfassen:</p> + +<p>Jedes allgemeine Naturgesetz muß so beschaffen sein, daß es in ein +Gesetz von genau gleicher Fassung übergeht, wenn man statt der +Raum-Zeit-Variabeln <i>x</i>, <i>y</i>, <i>z</i>, <i>t</i> des +ursprünglichen Koordinatensystems <i>K</i> neue Raum-Zeit-Variable +<i>x′</i>, <i>y′</i>, <i>z′</i>, <i>t′</i> eines Koordinatensystems +<i>K′</i> einführt, wobei der mathematische Zusammenhang zwischen den +gestrichenen und ungestrichenen Größen durch die Lorentz-Transformation +gegeben ist. Kurz formuliert: Die allgemeinen Naturgesetze sind +kovariant bezüglich Lorentz-Transformationen.</p> + +<p>Es ist dies eine bestimmte mathematische Bedingung, welche die +Relativitätstheorie einem Naturgesetze vorschreibt; dadurch wird +sie zu einem wertvollen heuristischen Hilfsmittel beim Aufsuchen +der allgemeinen Naturgesetze. Würde ein allgemeines Naturgesetz +aufgefunden, welches jener Bedingung nicht entspricht, so wäre +mindestens eine der beiden Grundvoraussetzungen der Theorie widerlegt. +Sehen wir nun zu, was letztere an allgemeinen Ergebnissen bisher +gezeitigt hat.</p> + +<div class="section"> + +<h3 id="Allgemeine_Ergebnisse_der_Theorie"> + § 15. Allgemeine Ergebnisse der Theorie. +</h3> + +</div> + +<p>Aus den bisherigen Darlegungen ist ersichtlich, daß die (spezielle) +Relativitätstheorie aus der Elektrodynamik und Optik herausgewachsen +ist. Auf diesen Gebieten hat sie an den Aussagen der Theorie nicht +viel geändert, aber sie hat das theoretische Gebäude, d. h. die +Ableitung der Gesetze bedeutend vereinfacht und — was noch ungleich +wichtiger ist — die Zahl der voneinander unabhängigen Hypothesen, +<span class="pagenum" id="Page_30">[S. 30]</span>auf welchen die Theorie beruht, erheblich vermindert. Sie hat +der <em class="gesperrt">Maxwell-Lorentz</em>schen Theorie einen solchen Grad von +Evidenz verliehen, daß diese auch dann bei den Physikern allgemein +durchgedrungen wäre, wenn das Experiment weniger überzeugend zu ihren +Gunsten gesprochen hätte.</p> + +<p>Die klassische Mechanik bedurfte erst einer Modifikation, um mit der +Forderung der speziellen Relativitätstheorie in Einklang zu kommen. +Diese Modifikation betrifft jedoch im wesentlichen nur die Gesetze +für rasche Bewegungen, bei welchen die Geschwindigkeiten <i>v</i> der +Materie gegenüber der Lichtgeschwindigkeit nicht gar zu klein sind. +So rasche Bewegungen zeigt uns die Erfahrung nur an Elektronen und +Ionen; bei anderen Bewegungen sind die Abweichungen von den Gesetzen +der klassischen Mechanik zu gering, um sich praktisch bemerkbar zu +machen. Von der Bewegung der Gestirne wird erst bei der allgemeinen +Relativitätstheorie zu sprechen sein. Nach der Relativitätstheorie wird +die kinetische Energie eines materiellen Punktes von der Masse <i>m</i> +nicht mehr durch den bekannten Ausdruck</p> + +<div class="center"><span class="hfrac"><span class="numerator"><i>m</i> <i>v</i><sup>2</sup></span><span class="denominator">2</span></span></div> + +<p class="p0">gegeben, sondern durch den Ausdruck:</p> + +<div class="center"><span class="hfrac"><span class="numerator"><i>m</i> <i>c</i><sup>2</sup></span> +<span class="denominator padtop0_1"><span class="s1b val_50">√</span><span class="val_100 padtop0_2 btt"><span class="vam ">1 −</span> +<span class="hfrac val-80"><span class="numerator"><i class="val_ep2">v<sup>2</sup></i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span></span></span></span></div> + +<p class="p0">Dieser Ausdruck wird unendlich, wenn sich die Geschwindigkeit +<i>v</i> der Lichtgeschwindigkeit <i>c</i> nähert. Es muß also die +Geschwindigkeit stets kleiner als <i>c</i> bleiben, wie große Energien +man auch auf die Beschleunigung verwenden mag. Entwickelt man den +Ausdruck für die kinetische Theorie in eine Reihe, so erhält man:</p> + +<div class="center">m <i>c</i><sup>2</sup> + <i>m</i> <span class="hfrac"><span class="numerator"> +<i>v</i><sup>2</sup></span><span class="denominator padtop0_1">2</span></span> + <span class="hfrac"><span class="numerator"> +3</span><span class="denominator padtop0_1">8</span></span> <span class="hfrac"><span class="numerator"> +<i>v</i><sup>4</sup> </span><span class="denominator padtop0_1"><i>c</i><sup>2</sup></span></span> + …</div> + +<p>Das dritte dieser Glieder ist gegenüber dem zweiten, in der klassischen +Mechanik allein berücksichtigten, stets klein, wenn <span class="hfrac"><span class="numerator"> +<i>v</i><sup>2</sup></span><span class="denominator padtop0_1"><i>c</i><sup>2</sup></span></span><span class="pagenum" id="Page_31">[S. 31]</span> klein +gegen 1 ist. Das erste Glied <i>mc</i><sup>2</sup> enthält die Geschwindigkeit +nicht, kommt also nicht in Betracht, wenn es sich nur um die Frage +handelt, wie die Energie eines Massenpunktes von der Geschwindigkeit +abhängt. Über seine prinzipielle Bedeutung wird nachher gesprochen +werden.</p> + +<p>Das wichtigste Ergebnis allgemeiner Art, zu dem die spezielle +Relativitätstheorie geführt hat, betrifft den Begriff der Masse. Die +vorrelativistische Physik kennt zwei Erhaltungssätze von grundlegender +Bedeutung, nämlich den Satz von der Erhaltung der Energie und den Satz +von der Erhaltung der Masse; diese beiden Fundamentalsätze erscheinen +als ganz unabhängig voneinander. Durch die Relativitätstheorie +werden sie zu einem Satze verschmolzen. Wie dies kam, und wie diese +Verschmelzung aufzufassen ist, soll nun kurz dargelegt werden.</p> + +<p>Das Relativitätsprinzip fordert, daß der Satz von der Erhaltung der +Energie nicht nur bezüglich eines Koordinatensystems <i>K</i> gelte, +sondern bezüglich eines jeden Koordinatensystems <i>K′</i>, das relativ +zu <i>K</i> sich in gleichförmiger Translationsbewegung befindet +(kurz gesagt, bezüglich jedes „Galileischen“ Koordinatensystems). +Für den Übergang zwischen zwei solchen Systemen ist im Gegensatz zur +klassischen Mechanik die Lorentz-Transformation maßgebend.</p> + +<p>Aus diesen Prämissen in Verbindung mit den Grundgleichungen +der <em class="gesperrt">Maxwell</em>schen Elektrodynamik kann man mit zwingender +Notwendigkeit durch verhältnismäßig einfache Betrachtungen folgenden +Schluß ziehen: Ein mit der Geschwindigkeit <i>v</i> fliegender Körper, +der in Form von Strahlung die Energie <i>E<sub>0</sub></i> aufnimmt⁠<a id="FNanchor_10_10" href="#Footnote_10_10" class="fnanchor">[10]</a>, ohne +hierbei seine Geschwindigkeit zu ändern, erfährt dabei eine Zunahme +seiner Energie um den Betrag:</p> + +<div class="center"><span class="hfrac"><span class="numerator"><i>E</i><sub>0</sub></span> +<span class="denominator padtop0_1"><span class="s1b val_50">√</span><span class="val_100 padtop0_2 btt"><span class="vam ">1 −</span> +<span class="hfrac val-80"><span class="numerator"><i class="val_ep2">v<sup>2</sup></i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span></span></span></span></div> + +<p><span class="pagenum" id="Page_32">[S. 32]</span></p> + +<p>Die gesuchte Energie des Körpers ist also dann mit Rücksicht auf den +vorher angegebenen Ausdruck für die kinetische Energie gegeben durch:</p> + +<div class="s5 center mtop1 mbot1"> +<span class="hfrac"><span class="numerator"><span class="s1a val-10">(</span>m + <span class="hfrac"><span class="numerator"><i>E</i><sub>0</sub></span><span class="denominator"><i>c</i><sup>2</sup></span></span> <span class="s1a val-10">)</span> <i>c</i><sup>2</sup></span> +<span class="denominator padtop0_1"><span class="s1b val_50">√</span><span class="val_100 padtop0_2 btt"><span class="vam ">1 −</span> +<span class="hfrac val-80"><span class="numerator"><i class="val_ep2">v<sup>2</sup></i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span></span></span></span></div> + +<p>Der Körper hat also dann dieselbe Energie wie ein mit der +Geschwindigkeit <i>v</i> bewegter Körper von der Masse m + <span class="hfrac"><span class="numerator"><i>E</i><sub>0</sub></span><span class="denominator"><i>c</i><sup>2</sup></span></span>. Man kann also sagen: Nimmt ein Körper die Energie +<i>E<sub>0</sub></i> auf, so wächst seine träge Masse um <span class="hfrac"><span class="numerator"><i>E</i><sub>0</sub></span><span class="denominator"><i>c</i><sup>2</sup></span></span>; +die träge Masse eines Körpers ist keine Konstante, sondern nach +Maßgabe seiner Energieänderung veränderlich. Die träge Masse eines +Körpersystems kann geradezu als Maß für seine Energie angesehen werden. +Der Satz von der Erhaltung der Masse eines Systems fällt mit dem Satze +von der Erhaltung der Energie zusammen und gilt nur insoweit, als das +System keine Energie aufnimmt und abgibt. Schreibt man den Ausdruck für +eine kinetische Energie in der Form</p> + +<div class="s5 center mtop1 mbot1"> +<span class="hfrac"><span class="numerator">m <i>c</i><sup>2</sup> +<i>E</i><sub>0</sub></span> +<span class="denominator padtop0_1"><span class="s1b val_50">√</span><span class="val_100 padtop0_2 btt"><span class="vam ">1 −</span> +<span class="hfrac val-80"><span class="numerator"><i class="val_ep2">v<sup>2</sup></i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span></span></span></span></div> + +<p class="p0">so sieht man, daß die Form <i>mc</i><sup>2</sup>, die uns schon vorhin auffiel, +nichts anderes ist als die Energie, welche der Körper schon besaß⁠<a id="FNanchor_11_11" href="#Footnote_11_11" class="fnanchor">[11]</a>, +bevor er die Energie <i>E<sub>0</sub></i> aufgenommen hatte.</p> + +<p>Der direkte Vergleich dieses Satzes mit der Erfahrung scheitert +vorläufig daran, daß die Energieänderungen <i>E<sub>0</sub></i>, welche +wir einem System erteilen können, nicht groß genug sind, um sich +als Änderung der trägen Masse des Systems bemerkbar zu machen. +<span class="hfrac"><span class="numerator"><i>E</i><sub>0</sub></span><span class="denominator"><i>c</i><sup>2</sup></span></span> ist zu klein im Vergleich zu der Masse <i>m</i>, die +vor der Energieänderung vorhanden war. Auf <span class="pagenum" id="Page_33">[S. 33]</span>diesem Umstande beruht es, +daß ein Satz von der Erhaltung der Masse von selbständiger Geltung mit +Erfolg aufgestellt werden konnte.</p> + +<p>Noch eine letzte Bemerkung prinzipieller Natur. Der Erfolg der +<em class="gesperrt">Faraday-Maxwell</em>schen Deutung der elektromagnetischen Fernwirkung +durch intermediäre Vorgänge mit endlicher Ausbreitungsgeschwindigkeit +brachte es mit sich, daß bei den Physikern sich die Überzeugung +Bahn brach, daß es unvermittelte, momentane Fernwirkungen vom Typus +des <em class="gesperrt">Newton</em>schen Gravitationsgesetzes nicht gebe. Nach der +Relativitätstheorie tritt an die Stelle der Momentanwirkung in die +Ferne bzw. der Fernwirkung mit unendlicher Ausbreitungsgeschwindigkeit +stets die Fernwirkung mit Lichtgeschwindigkeit. Es hängt dies zusammen +mit der prinzipiellen Rolle, welche die Geschwindigkeit <i>c</i> in +dieser Theorie spielt. Im zweiten Teile wird sich zeigen, in welcher +Weise dies Ergebnis in der allgemeinen Relativitätstheorie modifiziert +wird.</p> + +<div class="section"> + +<h3 id="Spezielle_Relativitatstheorie_und_Erfahrung"> + § 16. Spezielle Relativitätstheorie und Erfahrung. +</h3> + +</div> + +<p>Die Beantwortung der Frage, inwieweit die spezielle Relativitätstheorie +durch die Erfahrung gestützt wird, ist nicht einfach zu beantworten +aus einem Grunde, der schon bei Gelegenheit des Fundamentalversuches +von <em class="gesperrt">Fizeau</em> erwähnt ist. Die spezielle Relativitätstheorie ist +aus der <em class="gesperrt">Maxwell-Lorentz</em>schen Theorie der elektromagnetischen +Erscheinungen auskristallisiert. Somit stützen alle Erfahrungstatsachen +die Relativitätstheorie, welche jene elektromagnetische Theorie +stützen. Ich erwähne hier als besonders wichtig, daß die +Relativitätstheorie in überaus einfacher Weise in Übereinstimmung +mit der Erfahrung die Einflüsse abzuleiten gestattet, welche das +von den Fixsternen zu uns gesandte Licht durch die Relativbewegung +der Erde gegen jene Fixsterne erfährt. Es ist dies die jährliche +Wanderung des scheinbaren Ortes der Fixsterne infolge der Erdbewegung +um die Sonne (Aberration) und der Einfluß der Radialkomponente +der Relativbewegungen der Fixsterne gegen die Erde auf die Farbe +des zu uns gelangenden <span class="pagenum" id="Page_34">[S. 34]</span>Lichtes; der letztere Einfluß äußert sich +in einer kleinen Verschiebung der Spektrallinien des von einem +Fixstern zu uns gelangenden Lichtes gegenüber der spektralen Lage der +gleichen, mit einer irdischen Lichtquelle erzeugten Spektrallinie +(<em class="gesperrt">Doppler</em>sches Prinzip). Die experimentellen Argumente zugunsten +der <em class="gesperrt">Maxwell-Lorentz</em>schen Theorie, welche alle zugleich +Argumente zugunsten der Relativitätstheorie sind, sind zu zahlreich, +um hier dargelegt zu werden. Sie engen tatsächlich die theoretischen +Möglichkeiten derart ein, daß sich keine andere Theorie als die +<em class="gesperrt">Maxwell-Lorentz</em>sche der Erfahrung gegenüber hat behaupten können.</p> + +<p>Zwei Klassen von bisher ermittelten experimentellen Tatsachen aber +gibt es, welche die <em class="gesperrt">Maxwell-Lorentz</em>sche Theorie nur durch +Hinzuziehung einer Hilfshypothese darstellen kann, die an sich — d. h. +ohne Benutzung der Relativitätstheorie — befremdlich erscheint.</p> + +<p>Es ist bekannt, daß die Kathodenstrahlen und die von radioaktiven +Substanzen ausgesandten sogenannten β-Strahlen aus negativ elektrischen +Körperchen (Elektronen) von sehr geringer Trägheit und großer +Geschwindigkeit bestehen. Dadurch, daß man die Ablenkung dieser +Strahlungen unter dem Einfluß elektrischer und magnetischer Felder +untersucht, kann man das Bewegungsgesetz dieser Körperchen sehr genau +studieren.</p> + +<p>Bei der theoretischen Behandlung dieser Elektronen hat man mit der +Schwierigkeit zu kämpfen, daß die Elektrodynamik allein von ihrer +Natur keine Rechenschaft zu geben vermag. Denn da elektrische +Massen eines Vorzeichens sich abstoßen, müßten die das Elektron +konstituierenden negativen elektrischen Massen unter dem Einfluß +ihrer Wechselwirkung auseinander getrieben werden, wenn nicht noch +Kräfte anderer Art zwischen ihnen wirksam wären, deren Natur uns +bisher dunkel ist. Nimmt man nun an, daß die relativen Abstände der +das Elektron konstituierenden elektrischen Massen bei den Bewegungen +des Elektrons ungeändert bleiben (starre Verbindung im Sinne der +klassischen Mechanik), so gelangt man zu einem Bewegungsgesetz des +Elektrons, welches mit <span class="pagenum" id="Page_35">[S. 35]</span>der Erfahrung nicht übereinstimmt. <em class="gesperrt">H. A. +Lorentz</em> hat als Erster, geführt durch rein formale Gesichtspunkte, +die Hypothese eingeführt, daß der Körper des Elektrons durch +die Bewegung eine Kontraktion in der Bewegungsrichtung erfahre, +proportional dem Ausdruck <span class="val-10 nowrap"><span class="s1b val-10">√</span><span class="val_70 padtop0_2 btt"><span class="val-10 ">1 −</span> +<span class="hfrac"><span class="numerator"><i>v<sup>2</sup></i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span></span></span>. Diese Hypothese, welche +sich elektrodynamisch durch nichts rechtfertigen läßt, liefert dann +dasjenige Bewegungsgesetz, welches die Erfahrung mit großer Präzision +in den letzten Jahren bestätigt hat.</p> + +<p>Die Relativitätstheorie liefert dasselbe Bewegungsgesetz, ohne daß +sie irgendeiner speziellen Hypothese über den Bau und das Verhalten +des Elektrons bedürfte. Analog liegen die Dinge, wie wir in § 13 +gesehen haben, bei dem Versuch von <em class="gesperrt">Fizeau</em>, dessen Ergebnis +die Relativitätstheorie lieferte, ohne daß Hypothesen über die +physikalische Natur der Flüssigkeit gemacht werden mußten.</p> + +<p>Die zweite Klasse von Tatsachen, auf die hier hingewiesen ist, bezieht +sich auf die Frage, ob bei Versuchen auf der Erde deren Bewegung im +Weltenraume sich bemerkbar mache. Es wurde schon in § 5 bemerkt, daß +alle derartigen Bemühungen ein negatives Resultat lieferten. Vor der +Aufstellung der Relativitätstheorie hatte es die Wissenschaft schwer, +sich mit diesem negativen Befunde auseinanderzusetzen; die Sachlage war +nämlich folgende. Die überkommenen Vorurteile über Zeit und Raum ließen +keinen Zweifel darüber aufkommen, daß die Galilei-Transformation für +den Übergang von einem Bezugskörper zu einem anderen maßgebend sei. +Angenommen nun, die <em class="gesperrt">Maxwell-Lorentz</em>schen Gleichungen gelten für +einen Bezugskörper <i>K</i>, so findet man, daß sie nicht gelten für +einen relativ zu <i>K</i> gleichförmig bewegten Bezugskörper <i>K′</i>, +wenn man annimmt, daß zwischen den Koordinaten von <i>K</i> und +<i>K′</i> die Beziehungen der Galilei-Transformation bestehen. Dadurch +scheint es, daß von allen Galileischen Koordinatensystemen eines +(<i>K</i>) von bestimmtem Bewegungszustande physikalisch ausgezeichnet +sei. Physikalisch interpretierte man dies Ergebnis dahin, daß man +<i>K</i> als relativ zu einem hypothetischen Lichtäther ruhend ansah. +Dagegen sollten alle gegen <i>K</i> <span class="pagenum" id="Page_36">[S. 36]</span>bewegten Koordinatensysteme +<i>K′</i> gegen den Äther bewegt sein. Dieser Bewegung von <i>K′</i> +gegen den Äther („Ätherwind“ relativ zu <i>K′</i>) schrieb man die +komplizierteren Gesetze zu, welche relativ zu <i>K′</i> gelten sollten. +Auch relativ zur Erde mußte folgerichtig ein solcher Ätherwind +angenommen werden, und das Bestreben der Physiker war lange darauf +gerichtet, diesen nachzuweisen.</p> + +<p>Hierfür hatte <em class="gesperrt">Michelson</em> einen Weg gefunden, der nicht +fehlschlagen zu können schien. Man denke sich an einem starren Körper +zwei Spiegel angeordnet, welche einander die reflektierende Seite +zukehren. Ein Lichtstrahl braucht eine ganz bestimmte Zeit <i>T</i>, +um von einem Spiegel zum anderen und wieder zurück zu gelangen, falls +dies ganze System gegen den Lichtäther ruht. Man findet für diesen +Vorgang aber eine etwas andere Zeit <i>T′</i>, wenn der Körper nebst +Spiegeln relativ zum Äther bewegt ist. Ja noch mehr! Die Rechnung +ergibt, daß diese Zeit <i>T′</i> bei gegebener Geschwindigkeit <i>v</i> +gegen den Äther eine andere sei, wenn der Körper senkrecht zu den +Spiegelebenen bewegt ist, als wenn er parallel zu den Spiegelebenen +bewegt ist. So winzig die so berechnete Differenz zwischen diesen +beiden Zeitdauern auch sich ergab, <em class="gesperrt">Michelson</em> und <em class="gesperrt">Morley</em> +führten ein Interferenzexperiment aus, bei welchem die Differenz +deutlich hätte in Erscheinung treten müssen. Das Experiment fiel aber +negativ aus, zur großen Verlegenheit der Physiker. <em class="gesperrt">Lorentz</em> und +<em class="gesperrt">FitzGerald</em> zogen die Theorie aus dieser Verlegenheit, indem sie +annahmen, daß die Bewegung des Körpers gegen den Äther eine Kontraktion +in der Bewegungsrichtung bewirke, welche das Verschwinden der +genannten Zeitdifferenz gerade bewirken sollte. Ein Vergleich mit den +Darlegungen des § 12 zeigt, daß dieser Ausweg auch vom Standpunkt der +Relativitätstheorie der richtige war. Die Auffassung der Sachlage ist +aber nach der Relativitätstheorie eine unvergleichlich befriedigendere. +Nach ihr gibt es kein bevorzugtes Koordinatensystem, welches zur +Einführung der Ätheridee Anlaß gibt, mithin auch keinen Ätherwind und +kein Experiment, um einen solchen in Evidenz zu setzen. Die Kontraktion +bewegter Körper folgt hier ohne besondere <span class="pagenum" id="Page_37">[S. 37]</span>Hypothesen aus den beiden +Grundprinzipien der Theorie; und zwar ergibt sich als maßgebend für +diese Kontraktion nicht die Bewegung an sich, welcher wir keinen Sinn +beizulegen vermögen, sondern die Bewegung gegen den jeweilen gewählten +Bezugskörper. So ist also für ein mit der Erde bewegtes Bezugssystem +der Spiegelkörper von <em class="gesperrt">Michelson</em> und <em class="gesperrt">Morley</em> nicht +verkürzt, wohl aber für ein relativ zur Sonne ruhendes Bezugssystem.</p> + +<div class="section"> + +<h3 id="Minkowskis_vierdimensionaler_Raum"> + § 17. <em class="gesperrt">Minkowski</em>s vierdimensionaler Raum. +</h3> + +</div> + +<p>Ein mystischer Schauer ergreift den Nichtmathematiker, wenn er von +„vierdimensional“ hört, ein Gefühl, das dem vom Theatergespenst +erzeugten nicht unähnlich ist. Und doch ist keine Aussage banaler als +die, daß unsere gewohnte Welt ein vierdimensionales zeiträumliches +Kontinuum ist.</p> + +<p>Der <em class="gesperrt">Raum</em> ist ein dreidimensionales Kontinuum. Dies will sagen, +daß es möglich ist, die Lage eines (ruhenden) Punktes durch drei Zahlen +(Koordinaten), <i>x</i>, <i>y</i>, <i>z</i>, zu beschreiben, und daß es +zu jedem Punkte beliebig „benachbarte“ Punkte gibt, deren Lage durch +solche Koordinatenwerte (Koordinaten) <i>x<sub>1</sub></i>, <i>y<sub>1</sub></i>, +<i>z<sub>1</sub></i> beschrieben werden kann, die den Koordinaten <i>x</i>, +<i>y</i>, <i>z</i> des erstgenannten beliebig nahe kommen. Wegen der +letzteren Eigenschaft sprechen wir von „Kontinuum“, wegen der Dreizahl +der Koordinaten von „dreidimensional“.</p> + +<p>Analog ist die Welt des physikalischen Geschehens, von <em class="gesperrt">Minkowski</em> +kurz „Welt“ genannt, natürlich vierdimensional in zeiträumlichem +Sinne. Denn sie setzt sich aus Einzelereignissen zusammen, deren +jedes durch vier Zahlen, nämlich drei räumliche Koordinaten <i>x</i>, +<i>y</i>, <i>z</i> und eine zeitliche Koordinate, den Zeitwert +<i>t</i> beschrieben ist. Die „Welt“ ist in diesem Sinne auch ein +Kontinuum; denn es gibt zu jedem Ereignis beliebig „benachbarte“ +(realisierte oder doch denkbare) Ereignisse, deren Koordinaten +<i>x<sub>1</sub></i>, <i>y<sub>1</sub></i>, <i>z<sub>1</sub></i>, <i>t<sub>1</sub></i> sich von +denen des ursprünglich betrachteten Ereignisses <i>x</i>, <i>y</i>, +<i>z</i>, <i>t</i> beliebig wenig unterscheiden. Daß wir nicht daran +gewöhnt sind, die Welt in diesem Sinne als vierdimensionales Kontinuum +aufzufassen, <span class="pagenum" id="Page_38">[S. 38]</span>liegt darin, daß die Zeit in der vorrelativistischen +Physik gegenüber den räumlichen Koordinaten eine verschiedene, mehr +selbständige Rolle spielt. Darum haben wir uns daran gewöhnt, die +Zeit als ein selbständiges Kontinuum zu behandeln. In der Tat ist die +Zeit gemäß der klassischen Physik absolut, d. h. von der Lage und dem +<em class="gesperrt">Bewegungszustande</em> des Bezugssystems unabhängig. Dies kommt in +der letzten Gleichung der Galilei-Transformation (<i>t′ = t</i>) zum +Ausdruck.</p> + +<p>Durch die Relativitätstheorie ist die vierdimensionale +Betrachtungsweise der „Welt“ geboten, da ja gemäß dieser Theorie die +Zeit ihrer Selbständigkeit beraubt wird, wie die vierte der Gleichungen +der Lorentz-Transformation</p> + +<div class="s5 center mtop1 mbot1"><span class="val_60"><i>t′</i> =</span> +<span class="hfrac"><span class="numerator">t − <span class="hfrac"><span class="numerator"><i>v</i></span><span class="denominator"><i>c</i><sup>2</sup></span></span> <i>x</i></span> +<span class="denominator padtop0_1"><span class="s1b val_50">√</span><span class="val_100 padtop0_2 btt"><span class="vam ">1 −</span> +<span class="hfrac val-80"><span class="numerator"><i class="val_ep2">v<sup>2</sup></i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span></span></span></span></div> + +<p class="p0">lehrt. Denn nach dieser Gleichung verschwindet die Zeitdifferenz +<i>Δt′</i> zweier Ereignisse in bezug auf <i>K′</i> auch dann im +allgemeinen nicht, wenn die Zeitdifferenz <i>Δt</i> derselben in bezug +auf <i>K</i> verschwindet. Rein räumliche Distanz zweier Ereignisse +in bezug auf <i>K</i> hat zeitliche Distanz derselben in bezug auf +<i>K′</i> zur Folge. Auch hierin liegt nicht <em class="gesperrt">Minkowski</em>s für +die formale Entwicklung der Relativitätstheorie wichtige Entdeckung. +Diese liegt vielmehr in der Erkenntnis, daß das vierdimensionale +zeiträumliche Kontinuum der Relativitätstheorie in seinen maßgebenden +formalen Eigenschaften die weitgehendste Verwandtschaft zeigt zu dem +dreidimensionalen Kontinuum des Euklidischen geometrischen Raumes. Um +diese Verwandtschaft ganz hervortreten zu lassen, muß man allerdings +statt der üblichen Zeitkoordinate <i>t</i> die ihr proportionale +imaginäre Größe √<span class="bt">−1 </span><i>c t</i> einführen. Dann aber nehmen die +den Forderungen der (speziellen) Relativitätstheorie genügenden +Naturgesetze mathematische Formen an, in denen die Zeitkoordinate genau +dieselbe Rolle spielt wie die drei räumlichen Koordinaten. Diese vier +Koordinaten entsprechen formal genau den drei räumlichen Koordinaten +der Euklidischen Geometrie. <span class="pagenum" id="Page_39">[S. 39]</span>Es muß auch dem Nichtmathematiker +einleuchten, daß durch diese rein formale Erkenntnis die Theorie +außerordentlich an Übersichtlichkeit gewinnen mußte.</p> + +<p>Diese dürftigen Andeutungen geben dem Leser nur eine vage Idee von +dem wichtigen Gedanken <em class="gesperrt">Minkowski</em>s, ohne den die im folgenden +in ihren Grundgedanken entwickelte allgemeine Relativitätstheorie +vielleicht in den Windeln stecken geblieben wäre. Da aber ein exakteres +Erfassen dieses für den mathematisch nichtgeübten Leser zweifellos +schwer zugänglichen Gegenstandes für das Verständnis der Grundgedanken +weder der speziellen noch der allgemeinen Relativitätstheorie nötig +ist, so will ich denselben hier verlassen, um erst in den letzten +Darlegungen dieses Büchleins wieder darauf zurückzukommen.</p> + +<div class="footnotes"> + +<div class="footnote"><p><a id="Footnote_2_2" href="#FNanchor_2_2" class="label">[2]</a> Damit ist auch der geraden Linie ein Naturobjekt +zugeordnet. Drei Punkte eines starren Körpers <i>A</i>, <i>B</i>, +<i>C</i> liegen dann in einer Geraden, wenn bei gegebenen Punkten +<i>A</i> und <i>C</i> der Punkt <i>B</i> so gewählt ist, daß die Summe +der Entfernungen <i class="bt">AB</i> und <i class="bt">BC</i> möglichst gering wird. +Diese lückenhafte Andeutung mag in diesem Zusammenhange genügen.</p></div> + +<div class="footnote"><p><a id="Footnote_3_3" href="#FNanchor_3_3" class="label">[3]</a> Dabei ist allerdings angenommen, daß die Messung aufgehe, +d. h. eine ganze Zahl ergebe. Von dieser Schwierigkeit befreit man +sich durch die Anwendung geteilter Maßstäbe, deren Einführung keine +prinzipiell neue Methode verlangt.</p></div> + +<div class="footnote"><p><a id="Footnote_4_4" href="#FNanchor_4_4" class="label">[4]</a> Eine weitere Untersuchung darüber, was hier „räumliche +Koinzidenz“ bedeutet, ist hier nicht nötig; denn dieser Begriff ist +insofern klar, als im einzelnen realen Falle Meinungsverschiedenheiten +darüber, ob er zutreffe oder nicht, kaum auftreten dürften.</p></div> + +<div class="footnote"><p><a id="Footnote_5_5" href="#FNanchor_5_5" class="label">[5]</a> Erst durch die im zweiten Teil des Büchleins behandelte +allgemeine Relativitätstheorie wird eine Verfeinerung und Änderung +dieser Auffassungen nötig.</p></div> + +<div class="footnote"><p><a id="Footnote_6_6" href="#FNanchor_6_6" class="label">[6]</a> Wir nehmen ferner an, daß, wenn drei Ereignisse <i>A</i>, +<i>B</i>, <i>C</i> derartig an verschiedenen Orten stattfinden, daß, +wenn <i>A</i> gleichzeitig mit <i>B</i> und <i>B</i> gleichzeitig mit +<i>C</i> ist (gleichzeitig im Sinne obiger Definition), das Kriterium +der Gleichzeitigkeit auch für das Ereignispaar <span class="nowrap"><i>A</i>–<i>C</i></span> +erfüllt sei. Diese Annahme ist eine physikalische Hypothese über +das Ausbreitungsgesetz des Lichtes; sie muß unbedingt erfüllt sein, +wenn es möglich sein soll, an dem Gesetz von der Konstanz der +Vakuum-Lichtgeschwindigkeit festzuhalten.</p></div> + +<div class="footnote"><p><a id="Footnote_7_7" href="#FNanchor_7_7" class="label">[7]</a> Vom Fahrdamm aus beurteilt!</p></div> + +<div class="footnote"><p><a id="Footnote_8_8" href="#FNanchor_8_8" class="label">[8]</a> Etwa die Mitte des 1. und 100. Wagens.</p></div> + +<div class="footnote"><p><a id="Footnote_9_9" href="#FNanchor_9_9" class="label">[9]</a> <em class="gesperrt">Fizeau</em> fand<i> +W</i> = <i>w</i> + <i>v</i> <span class="s1a val-10">(</span>1 − <span class="hfrac"><span class="numerator">1</span><span class="denominator"><i>n<sup>2</sup></i></span></span><span class="s1a val-10">)</span>, +wobei <i>n</i> = <span class="hfrac"><span class="numerator"><i>c</i></span><span class="denominator"><i>w</i></span></span> der +Brechungsexponent der Flüssigkeit ist. Andererseits kann für (B) wegen +der Kleinheit von <span class="hfrac"><span class="numerator"><i>v w</i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span> gegenüber 1 zunächst +<i>W</i> = (<i>w</i> + <i>v</i>) <span class="s1a val-10">(</span>1 − <span class="hfrac"><span class="numerator"><i>v w</i></span><span class="denominator"><i>c<sup>2</sup></i></span></span><span class="s1a val-10">)</span>, +oder mit der gleichen Näherung <i>W</i> = <i>w</i> + <i>v</i> <span class="s1a val-10">(</span>1 − <span class="hfrac"><span class="numerator">1</span><span class="denominator"><i>n<sup>2</sup></i></span></span><span class="s1a val-10">)</span> gesetzt werden, was mit +<em class="gesperrt">Fizeau</em>s Resultat übereinstimmt.</p></div> + +<div class="footnote"><p><a id="Footnote_10_10" href="#FNanchor_10_10" class="label">[10]</a> <i>E<sub>0</sub></i> ist die aufgenommene Energie, von einem mit +dem Körper bewegten Koordinatensystem aus beurteilt.</p></div> + +<div class="footnote"><p><a id="Footnote_11_11" href="#FNanchor_11_11" class="label">[11]</a> Von einem mitbewegten Koordinatensystem aus beurteilt.</p></div> +</div> + +<div class="chapter"> + +<p><span class="pagenum" id="Page_40">[S. 40]</span></p> + + <h2 class="nobreak" id="Zweiter_Teil"> + <span class="s6">Zweiter Teil.</span> + <br> + Über die allgemeine Relativitätstheorie. + </h2> +</div> + +<h3 id="Spezielles_und_allgemeines_Relativitaetsprinzip">§ 18. Spezielles und +allgemeines Relativitätsprinzip.</h3> + +<p>Die Grundthese, um welche sich alle bisherigen Ausführungen drehten, +war das <em class="gesperrt">spezielle</em> Relativitätsprinzip, d. h. das Prinzip von +der physikalischen Relativität aller <em class="gesperrt">gleichförmigen</em> Bewegung. +Analysieren wir noch einmal genau seinen Inhalt!</p> + +<p>Daß jegliche Bewegung ihrem Begriff nach nur als <em class="gesperrt">relative</em> +Bewegung gedacht werden muß, war zu allen Zeiten einleuchtend. Bei +unserem viel benutzten Beispiel vom Bahndamm und vom Eisenbahnwagen +kann z. B. die Tatsache der hier stattfindenden Bewegung mit gleichem +Rechte in den beiden Formen ausgesprochen werden:</p> + +<p class="p0 mleft1_5">a) Der Wagen bewegt sich relativ zum Bahndamm,<br> +b) Der Bahndamm bewegt sich relativ zum Wagen.</p> + +<p>Im Falle a) dient bei dieser Aussage der Bahndamm, im Falle b) der +Wagen als Bezugskörper. Bei der bloßen Feststellung bzw. Beschreibung +der Bewegung ist es prinzipiell gleichgültig, auf was für einen +Bezugskörper man die Bewegung bezieht. Dies ist, wie gesagt, +selbstverständlich und darf nicht mit der viel weitergehenden Aussage +verwechselt werden, welche wir „Relativitätsprinzip“ genannt und +unseren Untersuchungen zugrunde gelegt haben.</p> + +<p>Das von uns benutzte Prinzip behauptet nicht nur, daß man für +die Beschreibung jeglichen Geschehens ebensowohl <span class="pagenum" id="Page_41">[S. 41]</span>den Wagen wie +den Bahndamm als Bezugskörper wählen könne (denn auch dies ist +selbstverständlich). Unser Prinzip behauptet vielmehr: Formuliert man +die allgemeinen Naturgesetze, wie sie sich aus der Erfahrung ergeben, +indem man sich</p> + +<p class="p0 mleft1_5">a) des Bahndammes als Bezugskörpers bedient,<br> +b) des Wagens als Bezugskörpers bedient,</p> + +<p>so lauten diese allgemeinen Naturgesetze (z. B. die Gesetze der +Mechanik oder das Gesetz der Lichtausbreitung im Vakuum) genau +gleich in beiden Fällen. Man kann das auch so ausdrücken: Für die +<em class="gesperrt">physikalische</em> Beschreibung der Naturvorgänge ist keiner der +Bezugskörper <i>K</i>, <i>K′</i> vor dem anderen ausgezeichnet. Diese +letztere Aussage muß nicht a priori notwendig zutreffen wie die +erstere; sie ist nicht in den Begriffen „Bewegung“ und „Bezugskörper“ +enthalten und aus ihnen ableitbar, sondern über ihre Richtigkeit oder +Unrichtigkeit kann nur die <em class="gesperrt">Erfahrung</em> entscheiden.</p> + +<p>Wir haben nun aber bisher keineswegs die Gleichwertigkeit aller +Bezugskörper <i>K</i> mit Bezug auf die Formulierung der Naturgesetze +behauptet. Unser Weg war vielmehr folgender. Wir gingen zunächst +von der Annahme aus, daß es einen Bezugskörper <i>K</i> von solchem +Bewegungszustande gebe, daß relativ zu ihm der <em class="gesperrt">Galilei</em>sche +Grundsatz gilt: Ein sich selbst überlassener, von allen übrigen +hinlänglich entfernter Massenpunkt bewegt sich gleichförmig und +geradlinig. Auf <i>K</i> (<em class="gesperrt">Galilei</em>scher Bezugskörper) bezogen +sollten die Naturgesetze möglichst einfache sein. Außer <i>K</i> +sollten aber alle diejenigen Bezugskörper <i>K′</i> in diesem Sinne +bevorzugt und mit <i>K</i> für die Formulierung der Naturgesetze genau +gleichwertig sein, welche relativ zu <i>K</i> eine <em class="gesperrt">geradlinig +gleichförmige, rotationsfreie Bewegung</em> ausführen; alle diese +Bezugskörper werden als <em class="gesperrt">Galilei</em>sche Bezugskörper angesehen. Nur +für diese Bezugskörper wurde die Gültigkeit des Relativitätsprinzips +angenommen, für andere (anders bewegte) nicht. In diesem Sinne +sprechen wir vom <em class="gesperrt">speziellen</em> Relativitätsprinzip bzw. spezieller +Relativitätstheorie.</p> + +<p><span class="pagenum" id="Page_42">[S. 42]</span></p> + +<p>Im Gegensatz hierzu wollen wir unter „allgemeinem Relativitätsprinzip“ +die Behauptung verstehen: Alle Bezugskörper <i>K</i>, <i>K′</i> +usw. sind für die Naturbeschreibung (Formulierung der allgemeinen +Naturgesetze) gleichwertig, welches auch deren Bewegungszustand sein +mag. Es sei aber gleich bemerkt, daß diese Formulierung später durch +eine abstraktere ersetzt werden muß aus Gründen, die erst später zutage +treten werden.</p> + +<p>Nachdem sich die Einführung des speziellen Relativitätsprinzips bewährt +hat, muß es jedem nach Verallgemeinerung strebenden Geiste verlockend +erscheinen, den Schritt zum allgemeinen Relativitätsprinzip zu wagen. +Aber eine einfache, scheinbar ganz zuverlässige Betrachtung läßt einen +solchen Versuch zunächst aussichtslos erscheinen. Der Leser denke sich +in den schon so oft betrachteten, gleichförmig fahrenden Eisenbahnwagen +versetzt. Solange der Wagen gleichförmig fährt, ist für den Insassen +nichts vom Fahren des Wagens zu merken. Daher kommt es auch, daß der +Insasse den Tatbestand ohne inneres Widerstreben dahin deuten kann, daß +der Wagen ruhe, der Bahndamm aber bewegt sei. Diese Interpretation ist +übrigens nach dem speziellen Relativitätsprinzip auch physikalisch ganz +berechtigt.</p> + +<p>Wird nun aber die Bewegung des Wagens etwa dadurch in eine +ungleichförmige verwandelt, daß der Wagen kräftig gebremst wird, so +erhält der Insasse einen entsprechend kräftigen Ruck nach vorne. Die +beschleunigte Bewegung des Wagens äußert sich in dem mechanischen +Verhalten der Körper relativ zu ihm; das mechanische Verhalten ist ein +anderes als im vorhin betrachteten Falle, und es erscheint deshalb +ausgeschlossen zu sein, daß relativ zum ungleichförmig bewegten Wagen +die gleichen mechanischen Gesetze gelten, wie relativ zum ruhenden +bzw. gleichförmig bewegten Wagen. Jedenfalls ist klar, daß relativ zum +ungleichförmig bewegten Wagen der <em class="gesperrt">Galilei</em>sche Grundsatz nicht +gilt. Wir fühlen uns daher zunächst genötigt, entgegen dem allgemeinen +Relativitätsprinzip der ungleichförmigen Bewegung eine Art absolute +physikalische Realität zuzusprechen. Im folgenden werden wir aber bald +sehen, daß dieser Schluß nicht stichhaltig ist.</p> + +<div class="section"> + +<p><span class="pagenum" id="Page_43">[S. 43]</span></p> + +<h3 id="Das_Gravitationsfeld_19"> + § 19. Das Gravitationsfeld. +</h3> + +</div> + +<p>Auf die Frage: „Warum fällt ein Stein, den wir emporheben und darauf +loslassen, zur Erde?“ antwortet man gewöhnlich: „Weil er von der Erde +angezogen wird.“ Die moderne Physik formuliert die Antwort etwas anders +aus folgendem Grunde. Durch genaueres Studium der elektromagnetischen +Erscheinungen ist man zu der Auffassung gekommen, daß es eine +unvermittelte Wirkung in die Ferne nicht gebe. Zieht z. B. ein Magnet +ein Stück Eisen an, so darf man sich nicht mit der Auffassung zufrieden +geben, daß der Magnet durch den leeren Zwischenraum hindurch auf das +Eisen direkt einwirke, sondern man stellt sich nach <em class="gesperrt">Faraday</em> vor, +daß der Magnet in dem ihn umgebenden Raume etwas physikalisch Reales +stets hervorrufe, was man als „magnetisches Feld“ bezeichnet. Dies +magnetische Feld wirkt seinerseits wieder auf das Eisenstück ein, so +daß es sich zum Magneten zu bewegen strebt. Die Berechtigung dieses an +sich willkürlichen Zwischenbegriffes wollen wir hier nicht erörtern. +Es sei nur bemerkt, daß man mit seiner Hilfe die elektromagnetischen +Erscheinungen, insbesondere die Ausbreitung der elektromagnetischen +Wellen, viel befriedigender theoretisch darstellen kann als ohne +denselben. Analog faßt man auch die Wirkungen der Gravitation auf.</p> + +<p>Die Einwirkung der Erde auf den Stein kommt indirekt zustande. Die +Erde erzeugt in ihrer Umgebung ein Gravitationsfeld. Dieses wirkt auf +den Stein und veranlaßt seine Fallbewegung. Die Stärke der Einwirkung +auf einen Körper nimmt erfahrungsgemäß ab, wenn man sich mehr und +mehr von der Erde entfernt, nach einem ganz bestimmten Gesetze. +Dies heißt in unserer Auffassungsweise: Das Gesetz, welches die +räumlichen Eigenschaften des Gravitationsfeldes beherrscht, muß ein +ganz bestimmtes sein, um die Abnahme der Gravitationswirkung mit der +Entfernung vom wirksamen Körper richtig darzustellen. Man stellt sich +etwa vor, der Körper erzeuge direkt das Feld in seiner unmittelbaren +Nähe; Stärke und Richtung des Feldes in größerer Entfernung sind +dann <span class="pagenum" id="Page_44">[S. 44]</span>hieraus durch das Gesetz bestimmt, welches die räumlichen +Eigenschaften der Gravitationsfelder selbst beherrscht.</p> + +<p>Das Gravitationsfeld weist im Gegensatz zum elektrischen und +magnetischen Felde eine höchst merkwürdige Eigenschaft auf, welche +für das Folgende von fundamentaler Bedeutung ist. Körper, die +sich unter ausschließlicher Wirkung des Schwerefeldes bewegen, +erfahren eine Beschleunigung, <em class="gesperrt">welche weder vom Material noch vom +physikalischen Zustande des Körpers im geringsten abhängt</em>. Ein +Stück Blei und ein Stück Holz fallen beispielsweise im Schwerefelde (im +luftleeren Raume) genau gleich, wenn man sie ohne bzw. mit gleicher +Anfangsgeschwindigkeit fallen läßt. Man kann dies äußerst genau gültige +Gesetz auch noch anders formulieren auf Grund folgender Erwägung.</p> + +<p>Nach <em class="gesperrt">Newton</em>s Bewegungsgesetz ist</p> + +<p class="center">(Kraft) = (träge Masse) <b>.</b> (Beschleunigung),</p> + +<p class="p0">wobei die „träge Masse“ eine charakteristische Konstante des +beschleunigten Körpers ist. Ist nun die beschleunigende Kraft die +Schwere, so ist andererseits</p> + +<p class="center">(Kraft) = (schwere Masse) <b>.</b> (Intensität des Schwerefeldes),</p> + +<p class="p0">wobei die „schwere Masse“ ebenfalls eine für den Körper +charakteristische Konstante ist. Aus beiden Relationen folgt:</p> + +<p class="center">(Beschleunigung) = <span class="hfrac"><span class="numerator">(schwere Masse)</span><span class="denominator">(träge Masse)</span></span> <b>.</b> (Intensität des +Schwerefeldes)</p> + +<p>Soll nun, wie die Erfahrung ergibt, bei gegebenem Schwerefelde die +Beschleunigung unabhängig von der Natur und dem Zustande des Körpers +stets dieselbe sein, so muß das Verhältnis der schweren zur trägen +Masse ebenfalls für alle Körper gleich sein. Man kann also dies +Verhältnis bei passender Wahl der Einheiten zu 1 machen; dann gilt der +Satz: Die <em class="gesperrt">schwere</em> und die <em class="gesperrt">träge</em> Masse eines Körpers sind +einander gleich.</p> + +<p>Die bisherige Mechanik hat diesen wichtigen Satz zwar +<em class="gesperrt">registriert</em>, aber nicht <em class="gesperrt">interpretiert</em>. Eine befriedigende +<span class="pagenum" id="Page_45">[S. 45]</span>Interpretation kann nur so zustande kommen, daß man einsieht: +<em class="gesperrt">Dieselbe</em> Qualität des Körpers äußert sich je nach Umständen als +„Trägheit“ oder als „Schwere“. Inwiefern dies tatsächlich der Fall +ist, und wie diese Frage mit dem allgemeinen Relativitätspostulat +zusammenhängt, wird im nächsten Paragraphen dargelegt werden.</p> + +<div class="section"> + +<h3 id="Die_Gleichheit_der_traegen_und_schweren_Masse_20"> + § 20. Die Gleichheit der trägen und schweren Masse als Argument für das + allgemeine Relativitätspostulat. +</h3> + +</div> + +<p>Wir denken uns ein geräumiges Stück leeren Weltraumes, so weit weg von +Sternen und erheblichen Massen, daß wir mit erheblicher Genauigkeit +den Fall vor uns haben, der im <em class="gesperrt">Galilei</em>schen Grundgesetz +vorgesehen ist. Es ist dann möglich, für diesen Teil Welt einen +<em class="gesperrt">Galilei</em>schen Bezugskörper zu wählen, relativ zu dem ruhende +Punkte ruhend bleiben, bewegte dauernd in geradlinig gleichförmiger +Bewegung verharren. Als Bezugskörper denken wir uns einen geräumigen +Kasten von der Gestalt eines Zimmers; darin befinde sich ein mit +Apparaten ausgestatteter Beobachter. Für diesen gibt es natürlich keine +Schwere. Er muß sich mit Schnüren am Boden befestigen, wenn er nicht +beim leisesten Stoß gegen den Boden langsam gegen die Decke des Zimmers +entschweben will.</p> + +<p>In der Mitte der Kastendecke sei außen ein Haken mit Seil befestigt und +an diesem fange nun ein Wesen von uns gleichgültiger Art mit konstanter +Kraft zu ziehen an. Dann beginnt der Kasten samt dem Beobachter in +gleichförmig beschleunigtem Fluge nach „oben“ zu fliegen. Seine +Geschwindigkeit wird im Laufe der Zeit ins Phantastische zunehmen — +falls wir all dies beurteilen von einem anderen Bezugskörper aus, an +dem nicht mit einem Stricke gezogen wird.</p> + +<p>Wie beurteilt aber der Mann im Kasten den Vorgang? Die Beschleunigung +des Kastens wird vom Boden desselben durch Gegendruck auf ihn +übertragen. Er muß also diesen Druck mittels seiner Beine aufnehmen, +wenn er nicht seiner ganzen Länge nach den Boden berühren will. Er +steht dann <span class="pagenum" id="Page_46">[S. 46]</span>im Kasten genau wie einer in einem Zimmer eines Hauses +auf unserer Erde steht. Läßt er einen Körper los, den er vorher in +der Hand hatte, so wird auf diesen die Beschleunigung des Kastens +nicht mehr übertragen; der Körper wird sich daher in beschleunigter +Relativbewegung dem Boden des Kastens nähern. Der Beobachter wird +sich ferner überzeugen, <em class="gesperrt">daß die Beschleunigung des Körpers gegen +den Boden immer gleich groß ist, mit was für einem Körper er auch den +Versuch ausführen mag</em>.</p> + +<p>Der Mann im Kasten wird also, gestützt auf seine Kenntnisse vom +Schwerefelde, wie wir sie im letzten Paragraphen besprochen, zu +dem Ergebnis kommen, daß er samt dem Kasten sich in einem zeitlich +konstanten Schwerefelde befinde. Er wird allerdings einen Augenblick +verwundert sein darüber, daß der Kasten in diesem Schwerefelde nicht +falle. Da entdeckt er aber den Haken in der Mitte der Decke und das an +demselben befestigte gespannte Seil, und er kommt folgerichtig zu dem +Ergebnis, daß der Kasten in dem Schwerefelde ruhend aufgehängt sei.</p> + +<p>Dürfen wir über den Mann lächeln und sagen, er befinde sich mit +seiner Auffassung im Irrtum? Ich glaube, wir dürfen das nicht, +wenn wir konsequent bleiben wollen, sondern wir müssen zugeben, +daß seine Auffassungsweise weder gegen die Vernunft noch gegen die +bekannten mechanischen Gesetze verstößt. Wir können den Kasten, wenn +er auch gegen den zuerst betrachteten „<em class="gesperrt">Galilei</em>schen Raum“ +beschleunigt ist, dennoch als ruhend ansehen. Wir haben also guten +Grund, das Relativitätsprinzip auszudehnen auf relativ zueinander +beschleunigte Bezugskörper und haben so ein kräftiges Argument für ein +verallgemeinertes Relativitätspostulat gewonnen.</p> + +<p>Man beachte wohl, daß die Möglichkeit dieser Auffassungsweise auf der +fundamentalen Eigenschaft des Schwerefeldes beruht, allen Körpern +dieselbe Beschleunigung zu erteilen, oder, was dasselbe bedeutet, auf +dem Satz von der Gleichheit der trägen und schweren Masse. Würde dies +Naturgesetz nicht bestehen, so würde der Mann im beschleunigten Kasten +das Verhalten der Körper seiner Umgebung nicht durch die <span class="pagenum" id="Page_47">[S. 47]</span>Voraussetzung +eines Gravitationsfeldes deuten können, und er wäre auf Grund keiner +Erfahrung berechtigt, seinen Bezugskörper als einen „ruhenden“ +vorauszusetzen.</p> + +<p>Der Mann im Kasten befestige an der Innenseite der Kastendecke ein +Seil und an dessen freiem Ende einen Körper. Durch diesen wird bewirkt +werden, daß das Seil in gespanntem Zustande „vertikal“ herabhängt. Wir +fragen nach der Ursache der Spannung des Seiles. Der Mann im Kasten +wird sagen: „Der aufgehängte Körper erfährt in dem Schwerefelde eine +Kraft nach unten, welcher durch die Seilspannung das Gleichgewicht +gehalten wird; maßgebend für die Größe der Seilspannung ist die +<em class="gesperrt">schwere Masse</em> des aufgehängten Körpers.“ Andererseits wird aber +ein Beurteiler, der frei im Raume schwebt, den Zustand so beurteilen: +„Das Seil ist gezwungen, die beschleunigte Bewegung des Kastens +mitzumachen und überträgt diese auf den daran befestigten Körper. Die +Seilspannung ist so groß, daß sie die Beschleunigung des letzteren +gerade zu bewirken vermag. Maßgebend für die Größe der Spannung im +Seile ist die <em class="gesperrt">träge Masse</em> des Körpers.“ Wir sehen aus diesem +Beispiele, daß unsere Erweiterung des Relativitätsprinzips den Satz +von der Gleichheit der trägen und schweren Masse als <em class="gesperrt">notwendig</em> +erscheinen läßt. Damit ist eine physikalische Interpretation dieses +Satzes gewonnen.</p> + +<p>Aus der Betrachtung des beschleunigten Kastens sieht man, daß eine +allgemeine Relativitätstheorie wichtige Ergebnisse über die Gesetze der +Gravitation liefern muß. Tatsächlich hat die konsequente Verfolgung +des allgemeinen Relativitätsgedankens die Gesetze geliefert, denen das +Gravitationsfeld genügt. Ich muß jedoch schon hier den Leser vor einem +Mißverständnis warnen, das durch diese Überlegungen nahegelegt wird. +Für den Mann im Kasten existiert ein Gravitationsfeld, trotzdem für das +zuerst gewählte Koordinatensystem ein solches nicht vorhanden war. Man +könnte nun leicht meinen, daß die Existenz eines Gravitationsfeldes +stets eine nur <em class="gesperrt">scheinbare</em> sei. Man könnte denken, daß, was auch +immer für ein Gravitationsfeld vorhanden sein mag, <span class="pagenum" id="Page_48">[S. 48]</span>man immer einen +anderen Bezugskörper so wählen könne, daß in bezug auf ihn <em class="gesperrt">kein</em> +Gravitationsfeld existiert. Dies trifft aber keineswegs für alle +Gravitationsfelder zu, sondern nur für solche von ganz speziellem Bau. +So ist es beispielsweise unmöglich, einen Bezugskörper so zu wählen, +daß von ihm aus beurteilt das Gravitationsfeld der Erde (in seiner +ganzen Ausdehnung) verschwindet.</p> + +<p>Wir bemerken jetzt, warum das gegen das allgemeine Relativitätsprinzip +am Ende des § 18 vorgebrachte Argument nicht beweisend ist. Es ist wohl +richtig, daß der im gebremsten Eisenbahnwagen befindliche Beobachter +infolge der Bremsung einen Ruck nach vorn empfindet und daß er daran +die Ungleichförmigkeit (Beschleunigung) des Wagens merkt. Aber niemand +zwingt ihn, den Ruck auf eine „wirkliche“ Beschleunigung des Wagens +zurückzuführen. Er kann sein Erlebnis auch so interpretieren: „Mein +Bezugskörper (der Wagen) bleibt dauernd in Ruhe. Es herrscht aber +(während der Bremsungsperiode) in bezug auf denselben ein nach vorn +gerichtetes, zeitlich veränderliches Schwerefeld. Unter dem Einfluß des +letzteren bewegt sich der Bahndamm samt der Erde ungleichförmig derart, +daß dessen ursprüngliche, nach rückwärts gerichtete Geschwindigkeit +immer mehr abnimmt.“</p> + +<div class="section"> + +<h3 id="Grundlagen_der_klassischen_Mechanik_und_der_speziellen_Relativitaetstheorie_unbefriedigend_21"> + § 21. Inwiefern sind die Grundlagen der klassischen Mechanik und der + speziellen Relativitätstheorie unbefriedigend? +</h3> + +</div> + +<p>Wie schon mehrfach erwähnt, geht die klassische Mechanik von dem +Satze aus: Von anderen materiellen Punkten hinreichend entfernte +materielle Punkte bewegen sich geradlinig gleichförmig oder verharren +im Ruhezustande. Wir haben auch mehrfach hervorgehoben, daß das +Grundgesetz nur gültig sein kann für Bezugskörper <i>K</i> von gewissen +ausgezeichneten Bewegungszuständen, welche relativ zueinander sich +in gleichförmiger Translationsbewegung befinden. Relativ zu anderen +Bezugskörpern <i>K</i> gilt der Satz nicht. Sowohl in der klassischen +Mechanik wie in der speziellen Relativitätstheorie unterscheidet +man demgemäß zwischen Bezugskörpern <i>K</i>, <span class="pagenum" id="Page_49">[S. 49]</span>relativ zu denen die +Naturgesetze gültig sind, und zwischen Bezugskörpern <i>K</i>, relativ +zu welchen die Naturgesetze nicht gelten.</p> + +<p>Mit dieser Sachlage kann sich aber kein konsequent denkender +Mensch zufrieden geben. Er fragt: „Wie ist es möglich, daß gewisse +Bezugskörper (bzw. deren Bewegungszustände) vor anderen Bezugskörpern +(bzw. deren Bewegungszuständen) ausgezeichnet sind? <em class="gesperrt">Welches ist der +Grund für diese Bevorzugung?</em>“ Um deutlich zu zeigen, was ich mit +dieser Frage meine, will ich mich eines Vergleichs bedienen.</p> + +<p>Ich stehe vor einem Gasherde. Auf demselben stehen nebeneinander +zwei Kochtöpfe, die einander zum Verwechseln ähnlich sind. Beide +sind zur Hälfte mit Wasser gefüllt. Ich nehme wahr, daß aus dem +einen unaufhörlich Dampf entweicht, aus dem anderen nicht. Hierüber +wundere ich mich, auch wenn mir ein Gasherd und ein Kochtopf noch nie +zu Gesicht gekommen ist. Nehme ich nun unter dem ersteren Kochtopfe +ein bläulich leuchtendes Etwas wahr, unter dem letzteren nicht, +so schwindet meine Verwunderung auch dann, wenn ich noch nie eine +Gasflamme wahrgenommen habe. Denn ich kann nur sagen, daß dieses +bläuliche Etwas das Entweichen des Dampfes verursachen wird, oder +wenigstens <em class="gesperrt">möglicherweise</em> verursacht. Nehme ich aber bei +keinem Topfe das bläuliche Etwas wahr, und sehe ich, daß der eine +unaufhörlich dampft, der andere nicht, so bin ich so lange verwundert +und unbefriedigt, bis ich irgendeinen Umstand wahrgenommen habe, den +ich für das verschiedene Verhalten beider Töpfe verantwortlich machen +kann.</p> + +<p>Analog suche ich in der klassischen Mechanik (bzw. in der speziellen +Relativitätstheorie) vergeblich nach einem realen Etwas, auf das ich +das verschiedene Verhalten der Körper gegenüber den Bezugssystemen +<i>K</i> und <i>K′</i> zurückführen könnte⁠<a id="FNanchor_12_12" href="#Footnote_12_12" class="fnanchor">[12]</a>. Diesen Mangel fühlte +schon <em class="gesperrt">Newton</em> und suchte ihn vergeblich <span class="pagenum" id="Page_50">[S. 50]</span>zu entkräften. Am +klarsten hat ihn aber E. <em class="gesperrt">Mach</em> erkannt und seinetwegen gefordert, +daß die Mechanik auf eine neue Grundlage gestellt werden müsse. +Dieser Einwand läßt sich nur durch eine Physik vermeiden, welche dem +allgemeinen Relativitätsprinzip entspricht. Denn die Gleichungen +einer solchen Theorie gelten für jeden Bezugskörper, in was für einem +Bewegungszustande derselbe auch sein mag.</p> + +<div class="section"> + +<h3 id="Einige_Schluesse_aus_dem_allgemeinen_Relativitaetsprinzip_22"> + §22. Einige Schlüsse aus dem allgemeinen Relativitätsprinzip. +</h3> + +</div> + +<p>Die Betrachtungen des § 20 zeigen, daß das allgemeine +Relativitätsprinzip uns in den Stand setzt, auf rein theoretischem +Wege Eigenschaften des Gravitationsfeldes abzuleiten. Es sei nämlich +der raum-zeitliche Verlauf irgendeines Naturvorganges bekannt, +so wie er sich im <em class="gesperrt">Galilei</em>schen Gebiete relativ zu einem +<em class="gesperrt">Galilei</em>schen Bezugskörper <i>K</i> abspielt. Dann kann man durch +rein theoretische Operationen, d. h. durch bloße Rechnung, finden, +wie sich dieser bekannte Naturvorgang von einem relativ zu <i>K</i> +beschleunigten Bezugskörper <i>K′</i> aus ausnimmt. Da aber relativ zu +diesem neuen Bezugskörper <i>K′</i> ein Gravitationsfeld existiert, +so erfährt man bei der Betrachtung, wie das Gravitationsfeld den +studierten Vorgang beeinflußt.</p> + +<p>So erfahren wir beispielsweise, daß ein Körper, der gegenüber <i>K</i> +eine geradlinig gleichförmige Bewegung ausführt (entsprechend dem +<em class="gesperrt">Galilei</em>schen Satze), gegenüber dem beschleunigten Bezugskörper +<i>K′</i> (Kasten) eine beschleunigte, im allgemeinen krummlinige +Bewegung ausführt. Diese Beschleunigung bzw. Krümmung entspricht dem +Einfluß des relativ zu <i>K′</i> herrschenden Gravitationsfeldes auf +den bewegten Körper. Daß das Gravitationsfeld in dieser Weise die +Bewegung der Körper beeinflußt, ist bekannt, so daß die Überlegung +nichts prinzipiell Neues liefert.</p> + +<p>Ein neues Ergebnis von fundamentaler Wichtigkeit erhält man aber, wenn +man die entsprechende Überlegung für einen Lichtstrahl durchführt. +Gegenüber dem <em class="gesperrt">Galilei</em>schen Bezugskörper <i>K</i> pflanzt sich +dieser in gerader Linie mit der Geschwindigkeit <span class="pagenum" id="Page_51">[S. 51]</span><i>c</i> fort. In +bezug auf den beschleunigten Kasten (Bezugskörper <i>K′</i>) ist, +wie leicht abzuleiten ist, die Bahn desselben Lichtstrahles keine +Gerade mehr. Hieraus ist zu schließen, <em class="gesperrt">daß sich Lichtstrahlen in +Gravitationsfeldern im allgemeinen krummlinig fortpflanzen</em>. Dies +Ergebnis ist in zweifacher Hinsicht von großer Wichtigkeit.</p> + +<p>Erstens nämlich kann dasselbe mit der Wirklichkeit verglichen werden. +Wenn eine eingehende Überlegung auch ergibt, daß die Krümmung der +Lichtstrahlen, welche die allgemeine Relativitätstheorie liefert, für +die uns in der Erfahrung zur Verfügung stehenden Gravitationsfelder nur +äußerst gering ist, so soll sie für Lichtstrahlen, die in der Nähe der +Sonne vorbeigehen, doch 1,7 Bogensekunden betragen. Dies müßte sich +dadurch äußern, daß die in der Nähe der Sonne erscheinenden Fixsterne, +welche bei totalen Sonnenfinsternissen der Beobachtung zugänglich +sind, um diesen Betrag von der Sonne weggerückt erscheinen müssen +gegenüber der Lage, die sie für uns am Himmel annehmen, wenn die Sonne +an einer anderen Stelle am Himmel steht. Die Prüfung des Zutreffens +oder Nichtzutreffens dieser Konsequenz ist eine Aufgabe von höchster +Wichtigkeit, deren baldige Lösung wir von den Astronomen erhoffen +dürfen.</p> + +<p>Zweitens aber zeigt diese Konsequenz, daß nach der allgemeinen +Relativitätstheorie das schon oft erwähnte Gesetz von der Konstanz der +Vakuumlichtgeschwindigkeit, das eine der beiden grundlegenden Annahmen +der speziellen Relativitätstheorie bildet, keine unbegrenzte Gültigkeit +beanspruchen kann. Eine Krümmung der Lichtstrahlen kann nämlich nur +dann eintreten, wenn die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes mit +dem Orte variiert. Man könnte nun denken, daß durch diese Konsequenz +die spezielle Relativitätstheorie, und mit ihr die Relativitätstheorie +überhaupt, zu Fall gebracht würde. Dies trifft aber in Wahrheit nicht +zu. Es läßt sich nur schließen, daß die spezielle Relativitätstheorie +kein unbegrenztes Gültigkeitsgebiet beanspruchen kann; ihre Ergebnisse +gelten nur insoweit, als man von den Einflüssen der Gravitationsfelder +auf die Erscheinungen (z. B. des Lichtes) absehen kann.</p> + +<p><span class="pagenum" id="Page_52">[S. 52]</span></p> + +<p>Da die Gegner der Relativitätstheorie öfters behauptet haben, +die spezielle Relativitätstheorie werde durch die allgemeine +Relativitätstheorie über den Haufen geworfen, will ich den wirklichen +Sachverhalt durch einen Vergleich deutlicher machen. Vor der +Aufstellung der Elektrodynamik wurden die Gesetze der Elektrostatik +für die Gesetze der Elektrizität schlechthin angesehen. Heute wissen +wir, daß die Elektrostatik die elektrischen Felder nur in dem nie +streng realisierten Falle richtig liefern kann, daß die elektrischen +Massen relativ zueinander und zum Koordinatensystem exakt ruhen. +Ist deshalb die Elektrostatik durch <em class="gesperrt">Maxwell</em>s Feldgleichungen +der Elektrodynamik über den Haufen geworfen worden? Keineswegs! Die +Elektrostatik ist als Grenzfall in der Elektrodynamik enthalten; die +Gesetze der letzteren führen direkt auf die ersteren in dem Falle, +daß die Felder zeitlich unveränderlich sind. Es ist das schönste Los +einer physikalischen Theorie, wenn sie selbst zur Aufstellung einer +umfassenden Theorie den Weg weist, in welcher sie als Grenzfall +weiterlebt.</p> + +<p>Bei dem eben behandelten Beispiel der Lichtausbreitung haben wir +gesehen, daß das allgemeine Relativitätsprinzip uns in den Stand +setzt, den Einfluß des Gravitationsfeldes auf den Ablauf von Vorgängen +auf theoretischem Wege abzuleiten, deren Gesetze für den Fall des +Fehlens eines Gravitationsfeldes bereits bekannt sind. Die reizvollste +Aufgabe, zu deren Lösung das allgemeine Relativitätsprinzip den +Schlüssel liefert, betrifft aber die Ermittelung der Gesetze, denen das +Gravitationsfeld selbst genügt. Der Sachverhalt ist hier folgender.</p> + +<p>Wir kennen raum-zeitliche Gebiete, die sich bei passender Wahl des +Bezugskörpers (annähernd) „galileisch“ verhalten, d. h. Gebiete, in +denen Gravitationsfelder fehlen. Beziehen wir nun ein solches Gebiet +auf einen beliebig bewegten Bezugskörper <i>K′</i>, so ist in bezug auf +<i>K′</i> ein zeitlich und räumlich veränderliches Gravitationsfeld +vorhanden⁠<a id="FNanchor_13_13" href="#Footnote_13_13" class="fnanchor">[13]</a>. Die Beschaffenheit des letzteren hängt natürlich davon +ab, wie wir die Bewegung von <i>K′</i> wählen. Das allgemeine Gesetz +des Gravitationsfeldes <span class="pagenum" id="Page_53">[S. 53]</span>muß nach der allgemeinen Relativitätstheorie +für alle so erhältlichen Gravitationsfelder erfüllt sein. Wenn nun +auch keineswegs alle Gravitationsfelder auf diese Weise erzeugt werden +können, so schöpft man doch Hoffnung, aus diesen Gravitationsfeldern +spezieller Art das allgemeine Gesetz der Gravitation ableiten zu +können. Diese Hoffnung ist aufs schönste in Erfüllung gegangen! +Aber vom klaren Sehen dieses Zieles bis zum tatsächlichen Erreichen +desselben bedurfte es noch der Überwindung einer ernstlichen +Schwierigkeit, die ich dem Leser nicht vorenthalten darf, da sie tief +im Wesen der Sache liegt. Es bedarf einer abermaligen Vertiefung der +Begriffe von dem raum-zeitlichen Kontinuum.</p> + +<div class="section"> + +<h3 id="Verhalten_von_Uhren_und_Massstaeben_auf_einem_rotierenden_Bezugskoerper_23"> + § 23. Verhalten von Uhren und Maßstäben auf einem rotierenden + Bezugskörper. +</h3> + +</div> + +<p>Ich habe bis jetzt absichtlich nicht gesprochen über die physikalische +Interpretation von räumlichen und zeitlichen Angaben in dem Falle +der allgemeinen Relativitätstheorie. Dadurch habe ich mich einer +gewissen Unsauberkeit schuldig gemacht, von der wir aus der speziellen +Relativitätstheorie wissen, daß sie keineswegs unwichtig und +verzeihlich ist. Nun ist es hohe Zeit, daß wir diese Lücke ausfüllen; +ich bemerke aber im voraus, daß diese Angelegenheit an die Geduld und +das Abstraktionsvermögen des Lesers keine geringen Anforderungen stellt.</p> + +<p>Wir gehen wieder von oft herangezogenen, ganz speziellen Fällen aus. +Es liege ein raum-zeitliches Gebiet vor, in welchem relativ zu einem +Bezugskörper <i>K</i> von passend gewähltem Bewegungszustande kein +Gravitationsfeld existiere; in bezug auf das ins Auge gefaßte Gebiet +ist dann <i>K</i> ein <em class="gesperrt">Galilei</em>scher Bezugskörper, und es gelten +relativ zu <i>K</i> die Ergebnisse der speziellen Relativitätstheorie. +Dasselbe Gebiet denken wir uns auf einen zweiten Bezugskörper <i>K′</i> +bezogen, welcher relativ zu <i>K</i> gleichförmig rotiert. Um die +Vorstellung zu fixieren, denken wir uns <i>K′</i> in Gestalt einer +ebenen Kreisscheibe, welche um ihren Mittelpunkt in ihrer Ebene +gleichmäßig rotiere. <span class="pagenum" id="Page_54">[S. 54]</span>Ein exzentrisch auf der Kreisscheibe <i>K′</i> +sitzender Beobachter empfindet eine Kraft, die in radialer Richtung +nach außen wirkt, und welche von einem relativ zum ursprünglichen +Bezugskörper <i>K</i> ruhenden Beobachter als Trägheitswirkung +(Zentrifugalkraft) gedeutet wird. Der auf der Scheibe sitzende +Beobachter möge jedoch seine Scheibe als „ruhenden“ Bezugskörper +auffassen; dazu ist er auf Grund des allgemeinen Relativitätsprinzips +berechtigt. Die auf ihn und überhaupt auf relativ zur Scheibe ruhende +Körper wirkende Kraft faßt er als Wirkung eines Gravitationsfeldes +auf. Allerdings ist die räumliche Verteilung dieses Schwerefeldes eine +solche, wie sie nach <em class="gesperrt">Newton</em>s Theorie der Gravitation nicht +möglich wäre⁠<a id="FNanchor_14_14" href="#Footnote_14_14" class="fnanchor">[14]</a>. Aber da der Beobachter an die allgemeine Relativität +glaubt, stört ihn dies nicht; er hofft mit Recht, daß ein allgemeines +Gravitationsgesetz sich aufstellen lasse, welches nicht nur die +Bewegung der Gestirne, sondern auch das von ihm wahrgenommene Kraftfeld +richtig erklärt.</p> + +<p>Dieser Beobachter experimentiert auf seiner Kreisscheibe mit Uhren +und Maßstäben, in der Absicht, auf Grund seiner Beobachtungen exakte +Definitionen für die Bedeutung zeitlicher und räumlicher Angaben in +bezug auf die Kreisscheibe <i>K′</i> zu erhalten. Was wird er dabei für +Erfahrungen machen?</p> + +<p>Der Beobachter stelle zunächst von zwei gleich beschaffenen Uhren die +eine in dem Mittelpunkte der Kreisscheibe, die andere an der Peripherie +derselben auf, so daß sie relativ zur Kreisscheibe ruhen. Wir fragen +uns zunächst, ob diese beiden Uhren gleich schnell gehen vom Standpunkt +des nicht rotierenden <em class="gesperrt">Galilei</em>schen Bezugskörpers <i>K</i>. Von +diesem aus beurteilt, hat die Uhr im Mittelpunkt keine Geschwindigkeit, +während die Uhr an der Peripherie infolge der Rotation relativ zu +<i>K</i> in Bewegung ist. Nach einem Ergebnis des § 12 geht deshalb die +letztere Uhr von <i>K</i> aus beurteilt dauernd langsamer als die Uhr +in der Mitte der Kreisscheibe. Dasselbe müßte offenbar auch der Mann +auf der Kreisscheibe <span class="pagenum" id="Page_55">[S. 55]</span>konstatieren, den wir uns etwa als in der Mitte +der Kreisscheibe neben der dortigen Uhr sitzend vorstellen wollen. Auf +unserer Kreisscheibe und allgemeiner in jedem Gravitationsfelde wird +also eine Uhr rascher oder langsamer laufen, je nach der Stelle, in +welcher die Uhr (ruhend) angeordnet ist. Eine vernünftige Definition +der Zeit mit Hilfe von relativ zum Bezugskörper ruhend angeordneten +Uhren ist also nicht möglich. Eine ähnliche Schwierigkeit zeigt sich, +wenn man versucht, unsere frühere Definition der Gleichzeitigkeit hier +anzuwenden, worauf ich nicht weiter eingehen will.</p> + +<p>Aber auch die Definition der räumlichen Koordinaten macht hier zunächst +unüberwindliche Schwierigkeiten. Legt nämlich der Beobachter seinen +Einheitsmaßstab (ein relativ zum Scheibenradius kleines Stäbchen) an +der Scheibenperipherie tangential zu dieser an, so ist derselbe, vom +<em class="gesperrt">Galilei</em>schen System aus beurteilt, kürzer als 1, weil bewegte +Körper nach § 12 in Richtung der Bewegung eine Verkürzung erfahren. +Legt er dagegen seinen Maßstab in die Richtung des Scheibenradius, so +erfährt er, von <i>K</i> aus beurteilt, keine Verkürzung. Mißt der +Beobachter also zuerst den Scheibenumfang, dann den Scheibendurchmesser +mit seinem Maßstab und dividiert er hierauf diese beiden Meßergebnisse, +so findet er als Quotienten nicht die bekannte Zahl π = 3,14..., +sondern eine größere Zahl, während sich auf einer relativ zu <i>K</i> +ruhenden Scheibe bei dieser Operation natürlich exakt π ergeben +müßte. Damit ist bereits bewiesen, daß die Sätze der Euklidischen +Geometrie auf der rotierenden Scheibe und damit überhaupt in einem +Gravitationsfelde nicht genau gelten können, wenigstens wenn man dem +Stäbchen überall und in jeder Orientierung die Länge 1 zuschreibt. +Auch der Begriff der geraden Linie verliert damit seine Bedeutung. Wir +sind deshalb nicht in der Lage, relativ zur Scheibe die Koordinaten +<i>x</i>, <i>y</i>, <i>z</i> nach der in der speziellen Relativität +benutzten Methode exakt zu definieren. Solange jedoch Koordinaten und +Zeiten der Ereignisse nicht definiert sind, haben auch Naturgesetze, in +welchen diese vorkommen, keine exakte Bedeutung.</p> + +<p><span class="pagenum" id="Page_56">[S. 56]</span></p> + +<p>Damit scheinen alle Überlegungen, welche wir bisher über allgemeine +Relativität angestellt haben, in Frage gestellt zu sein. In der Tat +bedarf es eines subtilen Umweges, um das Postulat der allgemeinen +Relativität exakt anzuwenden. Auf diesen wird der Leser durch die +folgenden Betrachtungen vorbereitet werden.</p> + +<div class="section"> + +<h3 id="Euklidisches_und_Nicht-Euklidisches_Kontinuum_24"> + § 24. Euklidisches und Nicht-Euklidisches Kontinuum. +</h3> + +</div> + +<p>Die Oberfläche eines Marmortisches liegt vor mir. Ich kann von +irgendeinem Punkte derselben aus zu irgendeinem anderen gelangen, +indem ich eine (große) Anzahl von Malen immer zu einem „benachbarten“ +Punkte übergehe, oder — anders gesagt — indem ich von Punkt zu Punkt +gehe, ohne „Sprünge“ zu machen. Was hier unter „benachbart“ und unter +„Sprüngen“ zu verstehen ist, empfindet der Leser gewiß mit genügender +Schärfe (wenn er nicht gar zu anspruchsvoll ist). Dies drücken wir aus, +indem wir sagen, die Oberfläche sei ein Kontinuum.</p> + +<p>Wir denken uns nun eine große Zahl gegen die Abmessungen der +Tischplatte kleiner Stäbchen hergestellt, die alle gleich lang seien. +Darunter ist verstanden, daß die Enden je zweier davon zur Deckung +gebracht werden können. Wir legen nun vier dieser Stäbchen auf der +Tischplatte so aufeinander, daß ihre Enden ein Viereck bilden, +dessen Diagonalen gleich lang seien (Quadrat). Zur Erzielung der +Diagonalengleichheit bedienen wir uns eines Probierstäbchens. An dies +Quadrat legen wir gleiche Quadrate an, welche mit ihm ein Stäbchen +gemein haben, an diese letzteren Quadrate ebenfalls usw. Schließlich +ist die ganze Tischplatte mit Quadraten belegt, derart, daß jede +Quadratseite zu zwei Quadraten und jede Quadratecke zu vier Quadraten +gehört.</p> + +<p>Daß man dies Geschäft ausführen kann, ohne in die größten +Schwierigkeiten zu geraten, ist ein wahres Wunder! Man braucht nur +an folgendes zu denken. Stoßen an einer Ecke bereits drei Quadrate +zusammen, so sind auch von dem vierten bereits zwei Seiten gelegt. Wie +die beiden anderen <span class="pagenum" id="Page_57">[S. 57]</span>Seiten desselben gelegt werden müssen, ist dadurch +schon vollkommen bestimmt. Jetzt kann ich das Viereck aber nicht mehr +zurechtrücken, damit seine Diagonalen gleich werden. Sind sie es von +selbst schon, so ist dies eine besondere Gunst der Tischplatte und der +Stäbchen, über die ich mich nur dankbar wundern kann! Analoger Wunder +müssen wir viele erleben, wenn die Konstruktion gelingen soll.</p> + +<p>Ist wirklich alles glatt vonstatten gegangen, so sage ich, daß die +Punkte der Tischplatte ein Euklidisches Kontinuum mit Bezug auf das +benutzte Stäbchen als Strecke bilden. Hebe ich eine Quadratecke als +„Anfangspunkt“ hervor, so kann ich jede andere Quadratecke mit Bezug +auf den Anfangspunkt durch zwei Zahlen charakterisieren. Ich brauche +nur anzugeben, wie viele Stäbchen ich nach „rechts“ und wie viele +darauf nach „oben“ ich vom Anfangspunkte zurücklegen muß, um zu der ins +Auge gefaßten Quadratecke zu gelangen. Diese zwei Zahlen sind dann die +„Kartesischen Koordinaten“ der letzteren mit Bezug auf das durch die +gelegten Stäbchen bestimmte „Kartesische Koordinatensystem“.</p> + +<p>Daß es auch Fälle geben muß, in denen das Experiment mißlingt, erkennen +wir an folgender Modifikation des Gedankenexperiments. Die Stäbchen +sollen sich nach Maßgabe der Temperatur „ausdehnen“. Die Tischplatte +werde in der Mitte erwärmt, am Rande aber nicht, wobei zwei unserer +Stäbchen immer noch an jeder Stelle des Tisches zur Deckung gebracht +werden können. Aber unsere Quadratkonstruktion muß dabei notwendig +in Unordnung kommen, weil sich die Stäbchen der inneren Partie der +Tischplatte ausdehnen, die der äußeren Partie aber nicht.</p> + +<p>Mit Bezug auf unsere Stäbchen — als Einheitsstrecken definiert — ist +die Tischplatte nun kein Euklidisches Kontinuum mehr, und wir sind +auch nicht mehr in der Lage, unmittelbar mit ihrer Hilfe Kartesische +Koordinaten zu definieren, da die obige Konstruktion sich nicht mehr +durchführen läßt. Da es aber andere Dinge gibt, welche durch die +Temperatur des Tisches nicht in analoger Weise wie die Stäbchen (oder +überhaupt nicht) beeinflußt werden, gelingt es, in einer <span class="pagenum" id="Page_58">[S. 58]</span>natürlichen +Weise die Auffassung aufrecht zu erhalten, daß die Tischplatte ein +„Euklidisches Kontinuum“ sei; es gelingt in befriedigender Weise +durch eine subtilere Festsetzung über das Messen bzw. Vergleichen von +Strecken.</p> + +<p>Würden aber Stäbchen jeder Art, d. h. jeden Materials, sich in +<em class="gesperrt">gleicher</em> Weise temperaturempfindlich verhalten auf der +verschieden temperierten Tischplatte, und hätten wir kein anderes +Mittel, die Wirkung der Temperatur wahrzunehmen, als das geometrische +Verhalten der Stäbchen bei Experimenten analog dem oben beschriebenen, +so könnte es wohl zweckmäßig sein, zwei Punkten des Tisches die +Entfernung 1 zuzuschreiben, wenn sich die Enden eines unserer Stäbchen +mit ihnen zur Deckung bringen lassen; denn wie sollte man ohne die +krasseste Willkür die Strecke anders definieren? Dann aber muß die +Kartesische Koordinatenmethode verlassen und durch eine andere +ersetzt werden, welche die Gültigkeit der Euklidischen Geometrie für +starre Körper nicht voraussetzt⁠<a id="FNanchor_15_15" href="#Footnote_15_15" class="fnanchor">[15]</a>. Der Leser bemerkt, daß die hier +geschilderte Situation derjenigen entspricht, welche das allgemeine +Relativitätspostulat mit sich gebracht hat (§ 23).</p> + +<div class="section"> + +<p><span class="pagenum" id="Page_59">[S. 59]</span></p> + +<h3 id="Gausssche_Koordinaten_25"> + § 25. Gaußsche Koordinaten. +</h3> + +</div> + +<figure class="figcenter illowe26" id="fig3"> + <figcaption> + Fig. 3. + </figcaption> + <img class="w100" src="images/fig3.jpg" alt=""> +</figure> + +<p>Diese analytisch-geometrische Behandlungsweise läßt sich nach +<em class="gesperrt">Gauß</em> folgendermaßen erzielen. Man denke sich auf die Tischplatte +ein System von beliebigen Kurven (vgl. Fig. 3) aufgezeichnet, die +wir als <i>u</i>-Kurven bezeichnen und die wir je mit einer Zahl +bezeichnen. In der Zeichnung sind die Kurven <i>u</i> = 1, +<i>u</i> = 2 und <i>u</i> = 3 gezeichnet. Zwischen den Kurven +<i>u</i> = 1 und <i>u</i> = 2 sind aber noch unendlich viele eingezeichnet zu denken, +welche allen reellen Zahlen entsprechen, die zwischen 1 und 2 liegen. +Es liegt dann ein System von <i>u</i>-Kurven vor, welche unendlich +dicht die ganze Tischplatte überdecken. Keine <i>u</i>-Kurve soll +eine andere schneiden, sondern durch jeden Punkt der Tischplatte eine +und nur eine Kurve hindurchgehen. Zu jedem Punkte der Oberfläche der +Tischplatte gehört dann ein ganz bestimmter <i>u</i>-Wert. Ebenso +sei auf die Fläche ein System von <i>v</i> Kurven gezeichnet, die +denselben Bedingungen genügen, in entsprechender Weise mit Zahlen +versehen sind, aber ebenfalls beliebig gestaltet sein können. Es +gehört dann zu jedem Punkte der Tischplatte ein <i>u</i>-Wert und ein +<i>v</i>-Wert, welche beiden Zahlen wir die Koordinaten der Tischplatte +nennen (<em class="gesperrt">Gauß</em>sche Koordinaten). Der Punkt <i>P</i> der Figur hat +beispielsweise die <em class="gesperrt">Gauß</em>schen Koordinaten +<i>u</i> = 3; <i>v</i> = 1. Zwei benachbarten Punkten <i>P</i> und <i>P′</i> auf der Fläche +entsprechen dann die Koordinaten</p> + +<p class="center"><span class="mright4_1"><i>P</i> : u; <i>v</i></span><br> +<i>P′</i> : <i>u</i> + <i>du</i>, <i>v</i> + <i>dv</i>, +</p> + +<p>wobei <i>du</i> und <i>dv</i> sehr kleine Zahlen bedeuten. Der mit +einem Stäbchen gemessene Abstand von <i>P</i> und <i>P′</i> sei die +ebenfalls sehr kleine Zahl <i>ds</i>. Dann ist nach <em class="gesperrt">Gauß</em>:</p> + +<p class="center"><i>ds</i>² = <i>g<sub>11</sub> du²</i> + +<i>2 g<sub>12</sub> du dv</i> + <i>g<sub>22</sub> dv²</i>,</p> + +<p><span class="pagenum" id="Page_60">[S. 60]</span></p> + +<p class="p0">wobei <i>g</i><sub>11</sub>, <i>g</i><sub>12</sub>, <i>g</i><sub>22</sub> Größen sind, die in +ganz bestimmter Weise von <i>u</i> und <i>v</i> abhängen. Die Größen +<i>g</i><sub>11</sub>, <i>g</i><sub>12</sub> und <i>g</i><sub>22</sub> bestimmen das Verhalten +der Stäbchen relativ zu den <i>u</i>-Kurven und <i>v</i>-Kurven, +also auch relativ zur Oberfläche des Tisches. In dem Falle, daß die +Punkte der betrachteten Oberfläche in bezug auf die Meßstäbchen ein +Euklidisches Kontinuum bilden, aber auch nur dann, ist es möglich, die +<i>u</i>-Kurven und <i>v</i>-Kurven so zu zeichnen und mit Zahlen zu +versehen, daß einfach</p> + +<p class="center"><i>ds²</i> = <i>du²</i> + <i>dv²</i></p> + +<p class="p0">wird. Dann sind die <i>u</i>-Kurven und <i>v</i>-Kurven gerade Linien +im Sinne der Euklidischen Geometrie, welche aufeinander senkrecht +stehen. Dann sind die <em class="gesperrt">Gauß</em>schen Koordinaten einfach Kartesische. +Man sieht, daß die <em class="gesperrt">Gauß</em>schen Koordinaten weiter nichts sind als +eine Zuordnung je zweier Zahlen zu den Punkten der betrachteten Fläche, +derart, daß räumlich benachbarten Punkten sehr wenig verschiedene +Zahlenwerte zugeordnet sind.</p> + +<p>Diese Betrachtungen gelten zunächst für ein Kontinuum von zwei +Dimensionen. Aber die <em class="gesperrt">Gauß</em>sche Methode läßt sich auch auf +ein Kontinuum von drei, vier oder mehr Dimensionen anwenden. Liegt +z. B. ein Kontinuum von vier Dimensionen vor, so ergibt sich folgende +Darstellung. Jedem Punkte des Kontinuums werden willkürlich vier Zahlen +<i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, <i>x</i><sub>3</sub>, <i>x</i><sub>4</sub> zugeordnet, +welche „Koordinaten“ genannt werden. Benachbarten Punkten entsprechen +benachbarte Koordinatenwerte. Ist nun benachbarten Punkten <i>P</i> +und <i>P′</i> ein durch Messungen ermittelbarer, physikalisch +wohldefinierter Abstand <i>ds</i> zugeordnet, so gilt eine Formel:</p> + +<p class="center"><i>ds²</i> = <i>g<sub>11</sub> dx<sub>1</sub>²</i> + +<i>2 g<sub>12</sub> dx<sub>1</sub> dx<sub>2</sub></i> ··· + +<i>g<sub>44</sub> dx<sub>4</sub>²</i> ,</p> + +<p class="p0">wobei die Größen g<sub>11</sub> usw. Werte haben, die mit dem Orte im Kontinuum +variieren. Nur in dem Falle, daß das Kontinuum ein Euklidisches ist, +ist es möglich, die Koordinaten <i>x<sub>1</sub></i>···<i>x<sub>4</sub></i> den Punkten +des Kontinuums so zuzuordnen, daß einfach</p> + +<p class="center"><i>ds²</i> = <i>dx<sub>1</sub>²</i> + <i>dx<sub>2</sub>²</i> + +<i>dx<sub>3</sub>²</i> + <i>dx<sub>4</sub>²</i></p> + +<p class="p0">wird. Dann gelten in dem vierdimensionalen Kontinuum Beziehungen, +welche den in unseren dreidimensionalen Messungen geltenden analog sind.</p> + +<p><span class="pagenum" id="Page_61">[S. 61]</span></p> + +<p>Die angegebene <em class="gesperrt">Gauß</em>sche Darstellung für <i>ds²</i> ist übrigens +nicht immer möglich, sondern nur dann, wenn genügend kleine Gebiete +des betrachteten Kontinuums sich als Euklidische Kontinua ansehen +lassen. Dies trifft z. B. offenbar zu in dem Falle der Tischplatte +und örtlich veränderlicher Temperatur. Denn für einen kleinen Teil +der Platte ist die Temperatur praktisch konstant, das geometrische +Verhalten der Stäbchen also <em class="gesperrt">beinahe</em> ein solches, wie es gemäß +den Regeln der Euklidischen Geometrie sein soll. Die Unstimmigkeiten +der Quadratkonstruktion des vorigen Paragraphen treten somit erst +deutlich zutage, wenn die Konstruktion des vorigen Paragraphen über +einen beträchtlichen Teil der Tischplatte ausgedehnt wird.</p> + +<p>Zusammenfassend können wir also sagen: <em class="gesperrt">Gauß</em> hat eine Methode +zur mathematischen Behandlung beliebiger Kontinua erfunden, in denen +Maßbeziehungen („Abstand“ benachbarter Punkte) definiert sind. +Jedem Punkte des Kontinuums werden so viel Zahlen (<em class="gesperrt">Gauß</em>sche +Koordinaten) zugeordnet, als das Kontinuum Dimensionen hat. Die +Zuordnung erfolgt so, daß die Eindeutigkeit der Zuordnung gewahrt +wird, und daß benachbarten Punkten unendlich wenig verschiedene Zahlen +(<em class="gesperrt">Gauß</em>sche Koordinaten) zugeordnet werden. Das <em class="gesperrt">Gauß</em>sche +Koordinatensystem ist eine logische Verallgemeinerung des Kartesischen +Koordinatensystems. Es ist auch auf Nicht-Euklidische Kontinua +anwendbar, allerdings nur dann, wenn kleine Teile des betrachteten +Kontinuums mit Bezug auf das definierte Maß („Abstand“) sich mit desto +größerer Annäherung Euklidisch verhalten, je kleiner der ins Auge +gefaßte Teil des Kontinuums ist.</p> + +<div class="section"> + +<h3 id="Das_raum_zeitliche_Kontinuum_der_speziellen_Relativitaetstheorie_26"> + § 26. Das raum-zeitliche Kontinuum der speziellen Relativitätstheorie + als Euklidisches Kontinuum. +</h3> + +</div> + +<p>Wir sind nun in der Lage, den in § 17 nur lose angedeuteten Gedanken +<em class="gesperrt">Minkowski</em>s etwas genauer zu formulieren. Gemäß der speziellen +Relativitätstheorie sind für die Beschreibung des raum-zeitlichen, +vierdimensionalen Kontinuums gewisse Koordinatensysteme bevorzugt, +die wir „<em class="gesperrt">Galilei</em>sche <span class="pagenum" id="Page_62">[S. 62]</span>Koordinatensysteme“ genannt haben. Für +sie sind die vier Koordinaten <i>x</i>, <i>y</i>, <i>z</i>, <i>t</i>, +welche ein Ereignis oder — anders ausgedrückt — einen Punkt des +vierdimensionalen Kontinuums bestimmen, in einfacher Weise physikalisch +definiert, wie im ersten Teile dieses Büchleins ausführlich dargelegt +ist. Für den Übergang von einem <em class="gesperrt">Galilei</em>schen System zu +einem anderen, relativ zum ersten gleichförmig bewegten gelten die +Gleichungen der Lorentz-Transformation, welche die Basis für die +Ableitung der Konsequenzen der speziellen Relativitätstheorie bilden +und ihrerseits weiter nichts sind als der Ausdruck der universellen +Gültigkeit des Lichtausbreitungsgesetzes für alle <em class="gesperrt">Galilei</em>schen +Bezugssysteme.</p> + +<p><em class="gesperrt">Minkowski</em> fand, daß die Lorentz-Transformationen folgenden +einfachen Bedingungen genügen. Es seien zwei benachbarte Ereignisse +betrachtet, deren gegenseitige Lage im vierdimensionalen Kontinuum +durch die räumlichen Koordinatendifferenzen <i>dx</i>, <i>dy</i>, +<i>dz</i> und die zeitliche Differenz <i>dt</i> bezüglich eines +<em class="gesperrt">Galilei</em>schen Bezugskörpers <i>K</i> gegeben seien. Bezüglich +eines zweiten <em class="gesperrt">Galilei</em>schen Systems seien die analogen +Differenzen für diese beiden Ereignisse <i>dx′</i>, <i>dy′</i>, +<i>dz′</i>, <i>dt′</i>. Dann gilt zwischen ihnen stets die Bedingung:</p> + +<p class="center"><i>d x</i><sup>2</sup> + <i>d y</i><sup>2</sup> + +<i>d z</i><sup>2</sup> − <i>c</i><sup>2</sup> <i>d t</i><sup>2</sup> += <i>d x′</i><sup>2</sup> + <i>d y′</i><sup>2</sup> ++ <i>d z′</i><sup>2</sup> − <i>c</i><sup>2</sup> <i>d t′</i><sup>2</sup> .</p> + +<p>Diese Bedingung hat die Gültigkeit der Lorentz-Transformation zur +Konsequenz. Wir können das so aussprechen: Die zu zwei benachbarten +Punkten des vierdimensionalen raum-zeitlichen Kontinuums gehörige Größe</p> + +<p class="center"><i>d s</i><sup>2</sup> = <i>d x</i><sup>2</sup> ++ <i>d y</i><sup>2</sup> + <i>d z</i><sup>2</sup> − +<i>c</i><sup>2</sup> <i>d t</i><sup>2</sup> +</p> + +<p class="p0">hat für alle bevorzugten (<em class="gesperrt">Galilei</em>schen) Bezugskörper denselben +Wert. Ersetzt man <i>x</i>, <i>y</i>, <i>z</i>, √<span class="bt">−1 </span><i> c t</i> +durch <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, <i>x</i><sub>3</sub>, <i>x</i><sub>4</sub>, so erhält +man auch das Resultat, daß</p> + +<p class="center"><i>d s</i><sup>2</sup> = <i>d x</i><sub>1</sub><sup>2</sup> ++ <i>d x</i><sub>2</sub><sup>2</sup> + <i>dx </i><sub>3</sub><sup>2</sup> + +<i>d x</i><sub>4</sub><sup>2</sup></p> + +<p class="p0">von der Wahl des Bezugskörpers unabhängig ist. Die Größe <i>ds</i> +nennen wir den „Abstand“ der beiden Ereignisse oder vierdimensionalen +Punkte.</p> + +<p><span class="pagenum" id="Page_63">[S. 63]</span></p> + +<p>Wählt man also die imaginäre Variable √<span class="bt">−1 </span><i> c t</i> statt des +reellen <i>t</i> als Zeitvariable, so kann man das raum-zeitliche +Kontinuum gemäß der speziellen Relativitätstheorie als ein +„Euklidisches“ vierdimensionales Kontinuum auffassen, wie aus den +Darlegungen des letzten Paragraphen hervorgeht.</p> + +<div class="section"> + +<h3 id="Das_raum_zeitliche_Kontinuum_der_allgemeinen_Relativitaetstheorie_27"> + § 27. Das raum-zeitliche Kontinuum der allgemeinen Relativitätstheorie + ist kein Euklidisches Kontinuum. +</h3> + +</div> + +<p>Im ersten Teil dieses Schriftchens haben wir uns raum-zeitlicher +Koordinaten bedienen können, welche eine einfache, direkte +physikalische Interpretation zuließen und welche sich nach § +26 als vierdimensionale Kartesische Koordinaten deuten lassen. +Dies war möglich auf Grund des Gesetzes von der Konstanz der +Lichtgeschwindigkeit, an welchem aber nach § 21 die allgemeine +Relativitätstheorie nicht festhalten kann; wir kamen vielmehr zu +dem Ergebnis, daß gemäß letzterer Theorie die Lichtgeschwindigkeit +stets von den Koordinaten abhängen muß, falls ein Gravitationsfeld +vorhanden ist. Wir fanden ferner in § 23 an einem speziellen Beispiel, +daß das Vorhandensein eines Gravitationsfeldes jene Definition der +Koordinaten und der Zeit unmöglich macht, welche bei der speziellen +Relativitätstheorie zum Ziele geführt hat.</p> + +<p>Mit Rücksicht auf diese Überlegungsergebnisse kommen wir zu der +Überzeugung, daß gemäß dem allgemeinen Relativitätsprinzip das +raum-zeitliche Kontinuum nicht als ein Euklidisches aufgefaßt werden +kann, sondern daß hier der allgemeine Fall vorliegt, welchen wir für +das zweidimensionale Kontinuum der Tischplatte von örtlich variabler +Temperatur kennen gelernt haben. Wie es dort unmöglich war, aus +gleichen Stäbchen ein Kartesisches Koordinatensystem zu konstruieren, +so ist es hier unmöglich, aus starren Körpern und Uhren ein System +(Bezugskörper) aufzubauen, derart, daß relativ zueinander fest +angeordnete Maßstäbe und Uhren direkt Ort und Zeit anzeigen. Dies ist +das Wesen der Schwierigkeit, die uns in § 23 entgegentrat.</p> + +<p>Die Darlegungen des § 25 und § 26 zeigen aber den Weg, auf dem diese +Schwierigkeit zu überwinden ist. Wir beziehen <span class="pagenum" id="Page_64">[S. 64]</span>das vierdimensionale +raum-zeitliche Kontinuum in willkürlicher Weise auf <em class="gesperrt">Gauß</em>sche +Koordinaten. Jedem Punkte des Kontinuums (Ereignis) ordnen wir +vier Zahlen <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, <i>x</i><sub>3</sub>, <i>x</i><sub>4</sub> +(Koordinaten) zu, die gar keine unmittelbare physikalische Bedeutung +besitzen, sondern nur dazu dienen, die Punkte des Kontinuums in +bestimmter, aber willkürlicher Weise zu numerieren. Solche Koordinaten +legen wir der Beschreibung der physikalischen Vorgänge zugrunde. +Bei dieser Zuordnung ist zwischen „räumlicher“ und „zeitlicher“ +Ausdehnung nicht unterschieden, so daß man nicht mehr die Koordinaten +<i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, <i>x</i><sub>3</sub> als „räumliche“, die +Koordinaten <i>x</i><sub>4</sub> als „zeitliche“ unterscheiden kann.</p> + +<p>Der Leser könnte denken, daß eine derartige Beschreibung der Welt +gänzlich unzulänglich wäre. Was bedeutet es, wenn ich einem Ereignis +die bestimmten Koordinaten <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, <i>x</i><sub>3</sub>, +<i>x</i><sub>4</sub> zuschreibe, wenn diese Koordinaten selbst nichts +bedeuten? Bei genauerer Überlegung zeigt sich jedoch, daß diese Sorge +nicht begründet ist. Betrachten wir z. B. einen beliebig bewegten +materiellen Punkt! Hätte derselbe nur eine momentane Existenz ohne +Dauer, so wäre er raum-zeitlich beschrieben durch ein einziges +Wertsystem <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, <i>x</i><sub>3</sub>, <i>x</i><sub>4</sub>. +Seine bleibende Existenz ist also durch eine unendlich große Zahl +von solchen Wertsystemen charakterisiert, deren Koordinatenwerte +sich stetig aneinanderreihen; dem Massenpunkte entspricht also eine +(eindimensionale) Linie im vierdimensionalen Kontinuum. Vielen bewegten +Punkten entsprechen ebensowohl derartige Linien in unserem Kontinuum. +Die einzigen diese Punkte betreffenden Aussagen, welche physikalische +Realität beanspruchen können, sind in Wahrheit die Aussagen über +Begegnungen dieser Punkte. Eine solche Begegnung äußert sich in +unserer mathematischen Darstellung darin, daß die beiden Linien, +welche die betreffenden Punktbewegungen darstellen, ein gewisses +System <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, <i>x</i><sub>3</sub>, <i>x</i><sub>4</sub> von +Koordinatenwerten gemeinsam haben. Daß solche Begegnungen in Wahrheit +die einzigen tatsächlichen Konstatierungen zeit-räumlichen Charakters +sind, die wir in physikalischen Aussagen antreffen, wird der Leser nach +eingehender Überlegung ohne Zweifel zugeben.</p> + +<p><span class="pagenum" id="Page_65">[S. 65]</span></p> + +<p>Wenn wir früher die Bewegung eines materiellen Punktes relativ zu +einem Bezugskörper beschrieben, gaben wir nichts weiter an, als die +Begegnungen dieses Punktes mit bestimmten Punkten des Bezugskörpers. +Auch die zugehörigen Zeitangaben lassen sich auflösen in die +Konstatierung von Begegnungen des Körpers mit Uhren, in Verbindung mit +Konstatierung der Begegnung von Uhrzeigern mit bestimmten Punkten von +Zifferblättern. Nicht anders ist es mit den räumlichen Messungen durch +Maßstäbe, wie einiges Nachdenken zeigt.</p> + +<p>Allgemein gilt: „Jede physikalische Beschreibung löst sich auf in eine +Zahl von Aussagen, deren jede sich auf die raum-zeitliche Koinzidenz +zweier Ereignisse A und B bezieht. Jede solche Aussage drückt sich +in <em class="gesperrt">Gauß</em>schen Koordinaten durch die Übereinstimmung der vier +Koordinaten <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, <i>x</i><sub>3</sub>, <i>x</i><sub>4</sub> +aus.“ Die Beschreibung des zeit-räumlichen Kontinuums durch +<em class="gesperrt">Gauß</em>sche Koordinaten ersetzt also tatsächlich die Beschreibung +mit Hilfe eines Bezugskörpers vollständig, ohne an den Mängeln der +letzteren Beschreibungsmethode zu kranken; sie ist nicht an den +Euklidischen Charakter des darzustellenden Kontinuums gebunden.</p> + +<div class="section"> + +<h3 id="Exakte_Formulierung_des_allgemeinen_Relativitatsprinzips_28"> + § 28. Exakte Formulierung des allgemeinen Relativitätsprinzips. +</h3> + +</div> + +<p>Nun sind wir in der Lage, die in § 18 gegebene vorläufige Formulierung +des allgemeinen Relativitätsprinzips durch eine exakte zu ersetzen. +Die damalige Fassung, „Alle Bezugskörper <i>K</i>, <i>K′</i> usw. +sind für die Naturbeschreibung (Formulierung der allgemeinen +Naturgesetze) gleichwertig, welches auch deren Bewegungszustand sein +mag“, läßt sich nicht aufrecht erhalten, weil die Benutzung von +starren Bezugskörpern bei der raum-zeitlichen Beschreibung im Sinne +der bei der speziellen Relativitätstheorie befolgten Methode im +allgemeinen nicht möglich ist. An die Stelle des Bezugskörpers hat +das <em class="gesperrt">Gauß</em>sche Koordinatensystem zu treten. Dem Grundgedanken +des allgemeinen Relativitätsprinzips entspricht die Aussage: „<em class="gesperrt">Alle +Gaußschen Koordinatensysteme sind für die <span class="pagenum" id="Page_66">[S. 66]</span>Formulierung der allgemeinen +Naturgesetze prinzipiell gleichwertig.</em>“</p> + +<p>Man kann dies allgemeine Relativitätsprinzip auch noch in einer anderen +Form aussprechen, die dasselbe noch deutlicher als die naturgemäße +Erweiterung des speziellen Relativitätsprinzips erkennen läßt. Nach der +speziellen Relativitätstheorie gehen die die allgemeinen Naturgesetze +ausdrückenden Gleichungen in Gleichungen derselben Form über, wenn man +statt der Raum-Zeit-Variabeln <i>x</i>, <i>y</i>, <i>z</i>, <i>t</i> +eines (<em class="gesperrt">Galilei</em>schen) Bezugskörpers <i>K</i> unter Benutzung der +Lorentz-Transformation die Raum-Zeit-Variabeln <i>x′</i>, <i>y′</i>, +<i>z′</i>, <i>t′</i> eines neuen Bezugskörpers <i>K′</i> einführt. Nach +der allgemeinen Relativitätstheorie dagegen müssen die Gleichungen +bei Anwendung <em class="gesperrt">beliebiger Substitutionen</em> der <em class="gesperrt">Gauß</em>schen +Variabeln <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, <i>x</i><sub>3</sub>, <i>x</i><sub>4</sub> +in Gleichungen derselben Form übergehen; denn jede Transformation +(nicht nur die Lorentz-Transformation) entspricht dem Übergang eines +<em class="gesperrt">Gauß</em>schen Koordinatensystems in ein anderes.</p> + +<p>Will man auf die gewohnte dreidimensionale Anschauung nicht +verzichten, so kann man die Entwicklung, welche wir den Grundgedanken +der allgemeinen Relativitätstheorie durchmachen sehen, wie folgt +charakterisieren: Die spezielle Relativitätstheorie bezieht sich +auf <em class="gesperrt">Galilei</em>sche Gebiete, d. h. auf solche, in welchen kein +Gravitationsfeld existiert. Als Bezugskörper dient dabei ein +<em class="gesperrt">Galilei</em>scher Bezugskörper, d. h. ein starrer Körper von so +gewähltem Bewegungszustande, daß relativ zu ihm der <em class="gesperrt">Galilei</em>sche +Satz von der gleichförmig-geradlinigen Bewegung „isolierter“ +materieller Punkte gilt.</p> + +<p>Gewisse Überlegungen legen es nahe, dieselben <em class="gesperrt">Galilei</em>schen +Gebiete auch auf Nicht-<em class="gesperrt">Galilei</em>sche Bezugskörper zu beziehen. +Relativ zu diesen ist dann ein Gravitationsfeld von spezieller Art +vorhanden (§ 20 und § 23).</p> + +<p>Starre Körper mit Euklidischen Eigenschaften gibt es aber in +Gravitationsfeldern nicht; die Fiktion des starren Bezugskörpers +versagt daher in der allgemeinen Relativitätstheorie. Auch wird der +Gang der Uhren von Gravitationsfeldern beeinflußt, derart, daß eine +physikalische Zeitdefinition direkt mit <span class="pagenum" id="Page_67">[S. 67]</span>Hilfe von Uhren durchaus nicht +jenen Grad der Evidenz hat wie in der speziellen Relativitätstheorie.</p> + +<p>Man benutzt daher nichtstarre Bezugskörper, welche nicht nur als +Ganzes beliebig bewegt sind, sondern auch während ihrer Bewegung +beliebige Gestaltsänderungen erleiden. Zur Definition der Zeit dienen +Uhren von beliebigem, noch so unregelmäßigem Ganggesetz, welche man +sich je an einem Punkte des nichtstarren Bezugskörpers befestigt +zu denken hat, und welche nur die eine Bedingung erfüllen, daß die +gleichzeitig wahrnehmbaren Angaben örtlich benachbarter Uhren unendlich +wenig voneinander abweichen. Dieser nichtstarre Bezugskörper, den +man nicht mit Unrecht als „Bezugsmolluske“ bezeichnen könnte, ist +im wesentlichen gleichwertig mit einem beliebigen <em class="gesperrt">Gauß</em>schen +vierdimensionalen Koordinatensystem. Was der „Molluske“ gegenüber dem +<em class="gesperrt">Gauß</em>schen Koordinatensystem eine gewisse Anschaulichkeit gibt, +ist die (eigentlich unberechtigte) formale Wahrung der Sonderexistenz +der räumlichen Koordinaten gegenüber der Zeitkoordinate. Jeder Punkt +der Molluske wird als Raumpunkt behandelt, jeder relativ zu ihm +ruhende materielle Punkt schlechthin als ruhend, solange die Molluske +als Bezugskörper behandelt wird. Das allgemeine Relativitätsprinzip +fordert, daß alle diese Mollusken mit gleichem Rechte und gleichem +Erfolge bei der Formulierung der allgemeinen Naturgesetze als +Bezugskörper verwendet werden können; die Gesetze sollen von der +Molluskenwahl gänzlich unabhängig sein.</p> + +<p>In der weitgehenden Beschränkung, welche hierdurch den Naturgesetzen +auferlegt wird, liegt die Spürkraft, die dem allgemeinen +Relativitätsprinzip innewohnt.</p> + +<div class="section"> + +<h3 id="Die_Loesung_des_Graviationsproblems_aufgrund_des_allgemeinen_Relativitatsprinzips_29"> + § 29. Die Lösung des Gravitationsproblems auf Grund des allgemeinen + Relativitätsprinzips. +</h3> + +</div> + +<p>Ist der Leser allen bisherigen Überlegungen gefolgt, so bereitet +ihm das Verstehen der zur Lösung des Gravitationsproblems führenden +Methoden keine Schwierigkeiten mehr.</p> + +<p>Wir gehen aus von der Betrachtung eines <em class="gesperrt">Galilei</em>schen Gebietes, +d. h. eines solchen, in welchem relativ zum <em class="gesperrt">Galilei</em>schen +<span class="pagenum" id="Page_68">[S. 68]</span>Bezugskörper <i>K</i> kein Gravitationsfeld existiert. Das Verhalten +von Maßstäben und Uhren in bezug auf <i>K</i> ist aus der speziellen +Relativitätstheorie bekannt, ebenso das Verhalten von „isolierten“ +Massepunkten; letztere bewegen sich geradlinig und gleichförmig.</p> + +<p>Nun beziehen wir dies Gebiet auf ein beliebiges <em class="gesperrt">Gauß</em>sches +Koordinatensystem bzw. auf eine „Molluske“ als Bezugskörper <i>K′</i>. +In bezug auf <i>K′</i> besteht dann ein Gravitationsfeld <i>G</i> +(besonderer Art). Durch bloße Umrechnung erfährt man dann das Verhalten +von Maßstäben und Uhren sowie von frei beweglichen materiellen Punkten +in bezug auf <i>K′</i>. Dies Verhalten interpretiert man als das +Verhalten von Maßstäben, Uhren, materiellen Punkten unter der Wirkung +des Gravitationsfeldes <i>G</i>. Man führt hierauf die Hypothese ein, +daß die Einwirkung des Gravitationsfeldes auf Maßstäbe, Uhren und frei +bewegliche, materielle Punkte auch dann nach denselben Gesetzen vor +sich gehe, wenn sich das herrschende Gravitationsfeld <em class="gesperrt">nicht</em> +durch bloße Koordinatentransformation aus dem <em class="gesperrt">Galilei</em>schen +Spezialfall ableiten läßt.</p> + +<p>Hierauf untersucht man das raum-zeitliche Verhalten des aus dem +<em class="gesperrt">Galilei</em>schen Spezialfall durch bloße Transformation der +Koordinaten abgeleiteten Gravitationsfeldes <i>G</i> und formuliert +dies Verhalten durch ein Gesetz, das immer gültig ist, wie auch der zur +Beschreibung benutzte Bezugskörper (Molluske) gewählt werden mag.</p> + +<p>Dies Gesetz ist noch nicht das <em class="gesperrt">allgemeine</em> Gesetz des +Gravitationsfeldes, da das studierte Gravitationsfeld <i>G</i> von +spezieller Art ist. Zur Auffindung des allgemeinen Feldgesetzes der +Gravitation bedarf es noch einer Verallgemeinerung des so gewonnenen +Gesetzes, welche jedoch ohne Willkür aufgefunden werden kann, unter +Berücksichtigung der folgenden Forderungen:</p> + +<div class="csstab"> + <div class="cssrow"> + <div class="csscell">a) </div> + <div class="csscell">Die gesuchte Verallgemeinerung muß ebenfalls dem + allgemeinen Relativitätspostulat genügen.</div> + </div> + <div class="cssrow"> + <div class="csscell">b) </div> + <div class="csscell">Ist Materie in dem betrachteten Gebiete vorhanden, so + ist für deren felderregende Wirkung allein deren träge Masse, also gemäß + § 15 allein deren Energie maßgebend.</div> + </div> + <div class="cssrow"> + <div class="csscell"><span class="pagenum" id="Page_69">[S. 69]</span> + c) </div> + <div class="csscell">Gravitationsfeld und Materie zusammen müssen dem + Gesetz von der Erhaltung der Energie (und des Impulses) genügen.</div> + </div> +</div> + +<p>Endlich erlaubt uns das allgemeine Relativitätsprinzip, den Einfluß +des Gravitationsfeldes auf den Ablauf aller derjenigen Vorgänge zu +ermitteln, die für den Fall des Fehlens eines Gravitationsfeldes +nach bekannten Gesetzen ablaufen, d. h. in den Rahmen der speziellen +Relativitätstheorie bereits eingefügt sind. Man verfährt dabei im +Prinzip nach der Methode, die vorhin für Maßstäbe, Uhren und frei +bewegliche Massenpunkte auseinandergesetzt worden ist.</p> + +<p>Die so aus dem allgemeinen Relativitätspostulat abgeleitete +Gravitationstheorie zeichnet sich nicht nur durch ihre Schönheit aus, +sie beseitigt nicht nur den in § 21 beleuchteten Mangel, welcher +der klassischen Mechanik anhaftet, sie interpretiert nicht nur das +Erfahrungsgesetz von der Gleichheit der trägen und schweren Masse, +sondern sie hat auch schon ein Beobachtungsergebnis der Astronomie +erklärt, dem gegenüber die klassische Mechanik versagt.</p> + +<p>Spezialisiert man sie nämlich auf den Fall, daß die Gravitationsfelder +als schwach anzusehen sind, und daß alle Massen sich mit +Geschwindigkeiten gegen das Koordinatensystem bewegen, welche gegen +die Lichtgeschwindigkeit klein sind, so erhält man zunächst die +<em class="gesperrt">Newton</em>sche Theorie als erste Näherung; letztere ergibt sich +also hier ohne besondere Annahme, während <em class="gesperrt">Newton</em> die dem +Quadrat der Distanz aufeinander wirkender Massenpunkte indirekt +proportionale Anziehungskraft als Hypothese einführen mußte. Vergrößert +man die Genauigkeit der Rechnung, so treten Abweichungen von der +<em class="gesperrt">Newton</em>schen Theorie auf, die sich allerdings wegen ihrer +Kleinheit fast alle noch der Beobachtung entziehen müssen.</p> + +<p>Eine dieser Abweichungen müssen wir hier speziell ins Auge fassen. +Nach der <em class="gesperrt">Newton</em>schen Theorie bewegt sich ein Planet um die +Sonne in einer Ellipse, welche gegenüber den Fixsternen ihre Lage +ewig beibehalten würde, wenn von der Einwirkung der anderen Planeten +auf den betrachteten Planeten und von der Eigenbewegung der Fixsterne +abgesehen <span class="pagenum" id="Page_70">[S. 70]</span>werden könnte. Korrigiert man daher die beobachtete +Bewegung der Planeten auf diese beiden Einflüsse, so soll als Bahn +des Planeten eine gegen die Fixsterne feste Ellipse resultieren, wenn +<em class="gesperrt">Newton</em>s Theorie genau richtig ist. Bei allen Planeten, bis auf +den der Sonne nächsten Planeten Merkur, hat sich diese mit eminenter +Genauigkeit prüfbare Konsequenz mit der Genauigkeit bestätigt, welche +die heute erreichbare Beobachtungsschärfe zu erzielen gestattet. +Vom Planeten Merkur aber wissen wir seit <em class="gesperrt">Leverrier</em>, daß die +Ellipse seiner im obigen Sinne korrigierten Bahn gegenüber den +Fixsternen nicht feststeht, sondern, wenn auch ungeheuer langsam, +in der Ebene der Bahn im Sinne der Umlaufbewegung rotiert. Für +diese Rotationsbewegung der Bahnellipse ergab sich ein Betrag von +43 Bogen-Sekunden pro Jahrhundert, welcher Betrag bis auf wenige +Bogen-Sekunden sichergestellt ist. Die Erklärung dieser Erscheinung +nach der klassischen Mechanik gelingt nur unter Zugrundelegung +von ausschließlich ihrethalben ersonnenen, wenig wahrscheinlichen +Hypothesen.</p> + +<p>Nach der allgemeinen Relativitätstheorie ergibt sich, daß jede +Planetenellipse um die Sonne in der oben angegebenen Weise notwendig +rotieren muß, daß diese Rotation bei allen Planeten außer Merkur +zu klein ist, um bei der heute erzielbaren Beobachtungsgenauigkeit +festgestellt zu werden, daß sie aber bei Merkur 43 Bogen-Sekunden pro +Jahrhundert betragen muß, genau wie es die Beobachtung verlangt.</p> + +<p>Außerdem haben aus der Theorie bisher nur zwei Konsequenzen gezogen +werden können, die sich nicht wegen ihrer Kleinheit der Beobachtung +entziehen müssen, nämlich die Krümmung der Lichtstrahlen durch das +Gravitationsfeld der Sonne und eine Spektralverschiebung des von +großen Sternen zu uns gesandten Lichtes gegenüber dem auf der Erde +in entsprechender Weise (d. h. durch dieselbe Molekülart) erzeugten +Lichte. Ich zweifle nicht daran, daß auch diese Konsequenzen der +Theorie ihre Bestätigung finden werden.</p> + +<div class="footnotes"> + +<div class="footnote"><p><a id="Footnote_12_12" href="#FNanchor_12_12" class="label">[12]</a> Der Einwand ist besonders dann von Gewicht, wenn der +Bewegungszustand des Bezugskörpers ein solcher ist, daß er zu seiner +Aufrechterhaltung keiner äußeren Einwirkung bedarf, z. B. in dem Falle, +daß der Bezugskörper gleichmäßig rotiert.</p></div> + +<div class="footnote"><p><a id="Footnote_13_13" href="#FNanchor_13_13" class="label">[13]</a> Dies folgt durch Verallgemeinerung der Betrachtung des § +20.</p></div> + +<div class="footnote"><p><a id="Footnote_14_14" href="#FNanchor_14_14" class="label">[14]</a> Das Feld verschwindet im Mittelpunkt der Scheibe und +nimmt proportional dem Abstand von diesem nach außen hin zu.</p></div> + +<div class="footnote"><p><a id="Footnote_15_15" href="#FNanchor_15_15" class="label">[15]</a> Unser Problem ist den Mathematikern in folgender Form +entgegengetreten. Ist im Euklidischen, dreidimensionalen Meßraume eine +Fläche, z. B. ein Ellipsoid, gegeben, so gibt es auf dieser Fläche eine +zweidimensionale Geometrie, ebensogut wie in der Ebene. <em class="gesperrt">Gauß</em> hat +sich das Problem gestellt, diese zweidimensionale Geometrie prinzipiell +zu behandeln, ohne zu benutzen, daß die Fläche einem Euklidischen +Kontinuum von drei Dimensionen angehört. Denkt man sich <em class="gesperrt">in der +Fläche</em> mit starren Stäbchen Konstruktionen ausgeführt (ähnlich wie +vorhin auf der Tischplatte), so gelten für diese andere Gesetze als +gemäß der Euklidischen Geometrie der Ebene. Die Fläche ist in bezug +auf die Stäbchen kein Euklidisches Kontinuum, und es lassen sich <em class="gesperrt">in +der Fläche</em> keine Kartesischen Koordinaten definieren. <em class="gesperrt">Gauß</em> +zeigte, nach welchen Prinzipien man die geometrischen Verhältnisse +in der Fläche behandeln kann, und wies damit den Weg zu der +<em class="gesperrt">Riemann</em>schen Behandlung mehr-dimensionaler, Nicht-Euklidischer +Kontinua. So kam es, daß die Mathematiker die formalen Probleme bereits +seit langem gelöst haben, zu denen das allgemeine Relativitätspostulat +führt.</p></div> +</div> + +<div style='text-align:center'>*** END OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK 77850 ***</div> +</body> +</html> diff --git a/77850-h/images/cover.jpg b/77850-h/images/cover.jpg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..b943088 --- /dev/null +++ b/77850-h/images/cover.jpg diff --git a/77850-h/images/fig1.jpg b/77850-h/images/fig1.jpg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..7065b4d --- /dev/null +++ b/77850-h/images/fig1.jpg diff --git a/77850-h/images/fig2.jpg b/77850-h/images/fig2.jpg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..5dd420b --- /dev/null +++ b/77850-h/images/fig2.jpg diff --git a/77850-h/images/fig2a.jpg b/77850-h/images/fig2a.jpg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..8ca9beb --- /dev/null +++ b/77850-h/images/fig2a.jpg diff --git a/77850-h/images/fig3.jpg b/77850-h/images/fig3.jpg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..668835e --- /dev/null +++ b/77850-h/images/fig3.jpg diff --git a/77850-h/images/signet.jpg b/77850-h/images/signet.jpg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..e294c2f --- /dev/null +++ b/77850-h/images/signet.jpg diff --git a/LICENSE.txt b/LICENSE.txt new file mode 100644 index 0000000..6c72794 --- /dev/null +++ b/LICENSE.txt @@ -0,0 +1,11 @@ +This book, including all associated images, markup, improvements, +metadata, and any other content or labor, has been confirmed to be +in the PUBLIC DOMAIN IN THE UNITED STATES. + +Procedures for determining public domain status are described in +the "Copyright How-To" at https://www.gutenberg.org. + +No investigation has been made concerning possible copyrights in +jurisdictions other than the United States. 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