5 files changed, 1328 insertions, 6030 deletions
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-% The Project Gutenberg EBook of Oeuvres mathématiques d'Évariste Galois, by 
-% Évariste Galois                                                         %
+% The Project Gutenberg EBook of Oeuvres mathÃ©matiques d'Ã‰variste Galois, by 
+% Ã‰variste Galois                                                         %
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 % This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with        %
 % almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or    %
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-% Author: Évariste Galois                                                 %
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-% Editor: Société mathématique de France                                  %
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+% Editor: SociÃ©tÃ© mathÃ©matique de France                                  %
+%         Ã‰mile Picard                                                    %
 %                                                                         %
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 % Language: French                                                        %
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-% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK OEUVRES MATHÉMATIQUES ***     %
+% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK OEUVRES MATHÃ‰MATIQUES ***     %
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 \documentclass[leqno,12pt]{book}[2005/09/16]
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PACKAGES %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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+\usepackage[utf8]{inputenc}[2006/05/05]
 
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 \newcommand{\PDFPageLayout}{SinglePage}
 \newcommand{\TransNote}{Note sur la transcription}
 \newcommand{\TransNoteCommon}{%
-%  Ce livre a été préparé à l'aide d'images fournies par la
-%  Département des Mathématiques, Université de Glasgow.
-  Des modifications mineures ont été apportées à la présentation,
-  l'orthographe, la ponctuation et aux notations mathématiques. Le
-  fichier \LaTeX\ source, qui on peut trouve à
+%  Ce livre a Ã©tÃ© prÃ©parÃ© Ã  l'aide d'images fournies par la
+%  DÃ©partement des MathÃ©matiques, UniversitÃ© de Glasgow.
+  Des modifications mineures ont Ã©tÃ© apportÃ©es Ã  la prÃ©sentation,
+  l'orthographe, la ponctuation et aux notations mathÃ©matiques. Le
+  fichier \LaTeX\ source, qui on peut trouve Ã 
   \begin{center}
     \texttt{www.gutenberg.org/ebooks/\ebook},
   \end{center}
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 \newcommand{\TransNoteText}{%
   \TransNoteCommon
 
-  Ce fichier est optimisée pour être lu sur un écran, mais peut être
-  aisément reformater pour être imprimer. Veuillez consulter le
-  préambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions.
+  Ce fichier est optimisÃ©e pour Ãªtre lu sur un Ã©cran, mais peut Ãªtre
+  aisÃ©ment reformater pour Ãªtre imprimer. Veuillez consulter le
+  prÃ©ambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions.
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     \TransNoteCommon
     \bigskip
 
-    Ce fichier est optimisée pour imprimer, mais peut être aisément
-    reformater pour être lu sur un écran. Veuillez consulter le
-    préambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions.
+    Ce fichier est optimisÃ©e pour imprimer, mais peut Ãªtre aisÃ©ment
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   }
 }{% If ForPrinting=false, don't skip to recto
   \renewcommand{\cleardoublepage}{\clearpage}
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 \hypersetup{pdftitle={The Project Gutenberg eBook \#\ebook:%
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 \newenvironment{PGtext}{%
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 % Contents heading
 \newcommand{\Contents}{%
   \FlushRunningHeads
-  \BookMark{0}{Table des Matières}
+  \BookMark{0}{Table des MatiÃ¨res}
   \thispagestyle{empty}
-  \section*{\centering TABLE DES MATIÈRES}
+  \section*{\centering TABLE DES MATIÃˆRES}
   \noindent\hfill{\footnotesize Pages.}
 }
 
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 % [** TN: First article of Chapter 1 does not get a page break]
   \ifthenelse{\not\equal{\theArtNo}{1}}{\FlushRunningHeads}{}
   \refstepcounter{ArtNo}\Label{art:\theArtNo}%
-% [** TN: Heading of "Des équations primitives..." gets special handling]
+% [** TN: Heading of "Des Ã©quations primitives..." gets special handling]
   \ifthenelse{\not\equal{#2}{}}{%
     \subsection*{\centering \normalsize #1 \\[6pt] \scriptsize #2 \\[6pt] \footnotesize #3}
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 \newcommand{\Section}[2]{%
 %[** TN: Size-dependent vertical space tweaking when \Section follows \Article]
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   }{}
 
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 }{\medskip\normalfont}
 
 % Document-level semantic formatting
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 \newenvironment{Thm}{\itshape\ignorespaces}{\normalfont}
 
 \newenvironment{Demonstration}{%
   \medskip\par
-  \textit{Démonstration.}\ --- \ignorespaces
+  \textit{DÃ©monstration.}\ --- \ignorespaces
 }{\medskip\normalfont}
 
 \newcommand{\Par}[1]{\medskip\par\textit{#1}\ ---\ \ignorespaces}
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 %%%% Misc. textual macros %%%%
 \newcommand{\OEUVRES}[1][.]{%
   \textbf{\LARGE {\OE}UVRES} \\[\baselineskip]
-  \footnotesize MATHÉMATIQUES \\[\baselineskip]
-  \textbf{\Huge D'ÉVARISTE GALOIS#1}
+  \footnotesize MATHÃ‰MATIQUES \\[\baselineskip]
+  \textbf{\Huge D'Ã‰VARISTE GALOIS#1}
 }
 
 \newcommand{\Label}[1]{\phantomsection\label{#1}}
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 \DeclareMathSymbol{Z}{\mathalpha}{operators}{`Z}
 
 % Handle degree symbols and centered dots as Latin-1 characters
-\DeclareInputText{176}{\ifmmode{{}^\circ}\else\textdegree\fi}
+\DeclareUnicodeCharacter{00A3}{\pounds}
 \DeclareInputText{183}{\ifmmode\mathbin{.}\else\textperiodcentered\fi}
 
 % Corrections
@@ -518,8 +519,8 @@
 \begin{minipage}{\textwidth}
 \small
 \begin{PGtext}
-The Project Gutenberg EBook of Oeuvres mathématiques d'Évariste Galois, by 
-Évariste Galois
+The Project Gutenberg EBook of Oeuvres mathÃ©matiques d'Ã‰variste Galois, by 
+Ã‰variste Galois
 
 This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
 almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or
@@ -527,20 +528,21 @@ re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included
 with this eBook or online at www.gutenberg.org
 
 
-Title: Oeuvres mathématiques d'Évariste Galois
+Title: Oeuvres mathÃ©matiques d'Ã‰variste Galois
 
-Author: Évariste Galois
+Author: Ã‰variste Galois
 
-Editor: Société mathématique de France
-        Émile Picard
+Editor: SociÃ©tÃ© mathÃ©matique de France
+        Ã‰mile Picard
 
 Release Date: July 11, 2012 [EBook #40213]
+Most recently updated: June 11, 2021
 
 Language: French
 
-Character set encoding: ISO-8859-1
+Character set encoding: UTF-8     
 
-*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK OEUVRES MATHÉMATIQUES ***
+*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK OEUVRES MATHÃ‰MATIQUES ***
 \end{PGtext}
 \end{minipage}
 \end{center}
@@ -566,8 +568,8 @@ http://www.pgdp.net
 \begin{center}
 % ** Macro (see also top of next page) prints
 % {\OE}UVRES
-% MATHÉMATIQUES
-% D'ÉVARISTE GALOIS.
+% MATHÃ‰MATIQUES
+% D'Ã‰VARISTE GALOIS.
 \OEUVRES
 \end{center}
 \vfil
@@ -577,13 +579,13 @@ http://www.pgdp.net
 \OEUVRES[,]
 \vfill
 
-\footnotesize PUBLIÉES \\[6pt]
-\small SOUS LES AUSPICES DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE,
+\footnotesize PUBLIÃ‰ES \\[6pt]
+\small SOUS LES AUSPICES DE LA SOCIÃ‰TÃ‰ MATHÃ‰MATIQUE DE FRANCE,
 \vfill
 
 \large AVEC UNE INTRODUCTION \\[6pt]
 \footnotesize PAR \\[6pt]
-\large M. \textsc{Émile PICARD}, \\[6pt]
+\large M. \textsc{Ã‰mile PICARD}, \\[6pt]
 \footnotesize MEMBRE DE L'INSTITUT.
 \vfill
 
@@ -591,240 +593,240 @@ http://www.pgdp.net
 
 \large PARIS, \\[6pt]
 \normalsize GAUTHIER-VILLARS ET FILS, IMPRIMEURS-LIBRAIRES \\[6pt]
-\footnotesize DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE, \\[6pt]
+\footnotesize DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L'Ã‰COLE POLYTECHNIQUE, \\[6pt]
 Quai des Grands-Augustins, 55. \\[6pt]
 \TB[0.5cm] \\[6pt]
 \normalsize 1897 \\[6pt]
-\footnotesize (Tous droits réservés.)
+\footnotesize (Tous droits rÃ©servÃ©s.)
 \end{center}
 %% -----File: 003.png---Folio v-------
 
 \Introduction
 
-Les {\OE}uvres de Galois ont, comme on sait, été publiées
-en 1846 par Liouville, dans le \Title{Journal de Mathématiques}.
-Il était regrettable que l'on ne pût posséder à part les
-{\OE}uvres du grand géomètre; aussi la Société mathématique
-a-t-elle décidé de faire réimprimer les Mémoires de Galois.
-Cette édition est conforme à la précédente; on a seulement
-supprimé l'avertissement placé par Liouville au début de la
+Les {\OE}uvres de Galois ont, comme on sait, Ã©tÃ© publiÃ©es
+en 1846 par Liouville, dans le \Title{Journal de MathÃ©matiques}.
+Il Ã©tait regrettable que l'on ne pÃ»t possÃ©der Ã  part les
+{\OE}uvres du grand gÃ©omÃ¨tre; aussi la SociÃ©tÃ© mathÃ©matique
+a-t-elle dÃ©cidÃ© de faire rÃ©imprimer les MÃ©moires de Galois.
+Cette Ã©dition est conforme Ã  la prÃ©cÃ©dente; on a seulement
+supprimÃ© l'avertissement placÃ© par Liouville au dÃ©but de la
 publication.
 
-Un travail, qui paraît définitif, sur la vie de Galois vient
-d'être publié par M.~Paul Dupuy, dans les \Title{Annales de
-l'École Normale supérieure} (1896). Comme documents
-antérieurs relatifs à la vie de Galois, il faut citer la Notice
-nécrologique que lui consacra son ami Auguste Chevalier,
-dans la \Title{Revue encyclopédique} (septembre 1832), et un
-article paru dans le \Title{Magasin pittoresque}, en 1848. Évariste
-Galois est né à Bourg-la-Reine, près de Paris, le
+Un travail, qui paraÃ®t dÃ©finitif, sur la vie de Galois vient
+d'Ãªtre publiÃ© par M.~Paul Dupuy, dans les \Title{Annales de
+l'Ã‰cole Normale supÃ©rieure} (1896). Comme documents
+antÃ©rieurs relatifs Ã  la vie de Galois, il faut citer la Notice
+nÃ©crologique que lui consacra son ami Auguste Chevalier,
+dans la \Title{Revue encyclopÃ©dique} (septembre 1832), et un
+article paru dans le \Title{Magasin pittoresque}, en 1848. Ã‰variste
+Galois est nÃ© Ã  Bourg-la-Reine, prÃ¨s de Paris, le
 25~octobre 1811; il quitta la maison paternelle en 1823,
-pour entrer en quatrième au collège Louis-le-Grand. Dès
-l'âge de quinze ans, ses dispositions extraordinaires pour les
-Sciences mathématiques commencent à se manifester; les
-livres élémentaires d'Algèbre ne le satisfont pas, et c'est dans
-les Ouvrages classiques de Lagrange qu'il fait son éducation
-algébrique. Il semble qu'à dix-sept ans Galois avait déjà
-obtenu des résultats de la plus haute importance concernant
-la théorie des équations algébriques. On ne peut faire que
+pour entrer en quatriÃ¨me au collÃ¨ge Louis-le-Grand. DÃ¨s
+l'Ã¢ge de quinze ans, ses dispositions extraordinaires pour les
+Sciences mathÃ©matiques commencent Ã  se manifester; les
+livres Ã©lÃ©mentaires d'AlgÃ¨bre ne le satisfont pas, et c'est dans
+les Ouvrages classiques de Lagrange qu'il fait son Ã©ducation
+algÃ©brique. Il semble qu'Ã  dix-sept ans Galois avait dÃ©jÃ 
+obtenu des rÃ©sultats de la plus haute importance concernant
+la thÃ©orie des Ã©quations algÃ©briques. On ne peut faire que
 %% -----File: 004.png---Folio xx-------
-des conjectures sur la marche de ses idées, les deux Mémoires
-qu'il présenta à l'Académie des Sciences ayant été
-perdus; une chose toutefois est certaine: il était, au commencement
-de 1830, en possession de ses principes généraux,
-comme le montre l'analyse d'un Mémoire sur la résolution
-algébrique des équations dans le \Title{Bulletin de
-Férussac}, où sont énoncés une série de résultats qui ne sont
-manifestement que des applications d'une théorie générale.
-Ce court article est le plus important qui ait été publié par
-Galois lui-même, le Mémoire fondamental sur l'Algèbre retrouvé
-dans ses papiers n'ayant été imprimé qu'en 1846.
+des conjectures sur la marche de ses idÃ©es, les deux MÃ©moires
+qu'il prÃ©senta Ã  l'AcadÃ©mie des Sciences ayant Ã©tÃ©
+perdus; une chose toutefois est certaine: il Ã©tait, au commencement
+de 1830, en possession de ses principes gÃ©nÃ©raux,
+comme le montre l'analyse d'un MÃ©moire sur la rÃ©solution
+algÃ©brique des Ã©quations dans le \Title{Bulletin de
+FÃ©russac}, oÃ¹ sont Ã©noncÃ©s une sÃ©rie de rÃ©sultats qui ne sont
+manifestement que des applications d'une thÃ©orie gÃ©nÃ©rale.
+Ce court article est le plus important qui ait Ã©tÃ© publiÃ© par
+Galois lui-mÃªme, le MÃ©moire fondamental sur l'AlgÃ¨bre retrouvÃ©
+dans ses papiers n'ayant Ã©tÃ© imprimÃ© qu'en 1846.
 
 On trouvera, dans l'article de M.~Dupuy, des renseignements
-d'un grand intérêt sur la vie de Galois. Il est peu probable
-que de nouveaux documents viennent désormais
-s'ajouter à ceux que nous possédons maintenant. Après
-deux échecs à l'École Polytechnique, Galois entra à l'École
-Normale en 1829 et fut obligé de la quitter l'année suivante.
-Dans la dernière année de sa vie, il se donna tout entier à la
-politique, passa plusieurs mois sous les verrous de Sainte-Pélagie
-et, blessé mortellement en duel, mourut le 31~mai
-1832. En présence d'une vie si courte et si tourmentée, l'admiration
-redouble pour le génie prodigieux qui a laissé dans
+d'un grand intÃ©rÃªt sur la vie de Galois. Il est peu probable
+que de nouveaux documents viennent dÃ©sormais
+s'ajouter Ã  ceux que nous possÃ©dons maintenant. AprÃ¨s
+deux Ã©checs Ã  l'Ã‰cole Polytechnique, Galois entra Ã  l'Ã‰cole
+Normale en 1829 et fut obligÃ© de la quitter l'annÃ©e suivante.
+Dans la derniÃ¨re annÃ©e de sa vie, il se donna tout entier Ã  la
+politique, passa plusieurs mois sous les verrous de Sainte-PÃ©lagie
+et, blessÃ© mortellement en duel, mourut le 31~mai
+1832. En prÃ©sence d'une vie si courte et si tourmentÃ©e, l'admiration
+redouble pour le gÃ©nie prodigieux qui a laissÃ© dans
 la Science une trace aussi profonde; les exemples de productions
-précoces ne sont pas rares chez les grands géomètres,
+prÃ©coces ne sont pas rares chez les grands gÃ©omÃ¨tres,
 mais celui de Galois est remarquable entre tous.
-Il semble, hélas! que le malheureux jeune homme ait tristement
-payé la rançon de son génie. A mesure que se \DPtypo{déveveloppent}{développent}
-ses brillantes facultés mathématiques, on voit
-s'assombrir son caractère, autrefois gai et ouvert, et le
-sentiment de son immense supériorité développe chez lui un
-orgueil excessif. Ce fut la cause des déceptions qui eurent
-tant d'influence sur sa carrière, et dont la première fut son
-échec à l'École Polytechnique. Son examen dans cette
+Il semble, hÃ©las! que le malheureux jeune homme ait tristement
+payÃ© la ranÃ§on de son gÃ©nie. A mesure que se \DPtypo{dÃ©veveloppent}{dÃ©veloppent}
+ses brillantes facultÃ©s mathÃ©matiques, on voit
+s'assombrir son caractÃ¨re, autrefois gai et ouvert, et le
+sentiment de son immense supÃ©rioritÃ© dÃ©veloppe chez lui un
+orgueil excessif. Ce fut la cause des dÃ©ceptions qui eurent
+tant d'influence sur sa carriÃ¨re, et dont la premiÃ¨re fut son
+Ã©chec Ã  l'Ã‰cole Polytechnique. Son examen dans cette
 %% -----File: 005.png---Folio xx-------
-École a laissé des souvenirs; sans aller aussi loin que le
-veut la légende, disons seulement que Galois refusa de répondre
-à une question, qu'il jugeait ridicule, sur la théorie
-arithmétique des logarithmes. On ne peut douter aussi qu'il
-ne se soit pas prêté à fournir sur ses travaux les explications
-que lui demandaient les mathématiciens avec qui il s'est
-trouvé en relations, explications que rendait nécessaires la
-rédaction rapide de ses Mémoires; aussi comprend-on facilement
-que son mérite n'ait pas été reconnu de ses contemporains.
-Ce n'est pas sans peine que Liouville réussit à saisir
-l'enchaînement des idées de Galois, et il fallut encore de
+Ã‰cole a laissÃ© des souvenirs; sans aller aussi loin que le
+veut la lÃ©gende, disons seulement que Galois refusa de rÃ©pondre
+Ã  une question, qu'il jugeait ridicule, sur la thÃ©orie
+arithmÃ©tique des logarithmes. On ne peut douter aussi qu'il
+ne se soit pas prÃªtÃ© Ã  fournir sur ses travaux les explications
+que lui demandaient les mathÃ©maticiens avec qui il s'est
+trouvÃ© en relations, explications que rendait nÃ©cessaires la
+rÃ©daction rapide de ses MÃ©moires; aussi comprend-on facilement
+que son mÃ©rite n'ait pas Ã©tÃ© reconnu de ses contemporains.
+Ce n'est pas sans peine que Liouville rÃ©ussit Ã  saisir
+l'enchaÃ®nement des idÃ©es de Galois, et il fallut encore de
 nombreux commentateurs pour combler les lacunes qui subsistaient
-dans plus d'une démonstration, et amener les théories
-du grand géomètre au degré de simplicité qu'elles sont
-susceptibles de revêtir aujourd'hui.
-
-La théorie des équations doit à Lagrange, Gauss et Abel
-des progrès considérables, mais aucun d'eux n'arriva à
-mettre en évidence l'élément fondamental dont dépendent
-toutes les propriétés de l'équation; cette gloire était réservée
-à Galois, qui montra qu'à chaque équation algébrique correspond
-un groupe de substitutions dans lequel se reflètent
-les caractères essentiels de l'équation. En Algèbre, la théorie
+dans plus d'une dÃ©monstration, et amener les thÃ©ories
+du grand gÃ©omÃ¨tre au degrÃ© de simplicitÃ© qu'elles sont
+susceptibles de revÃªtir aujourd'hui.
+
+La thÃ©orie des Ã©quations doit Ã  Lagrange, Gauss et Abel
+des progrÃ¨s considÃ©rables, mais aucun d'eux n'arriva Ã 
+mettre en Ã©vidence l'Ã©lÃ©ment fondamental dont dÃ©pendent
+toutes les propriÃ©tÃ©s de l'Ã©quation; cette gloire Ã©tait rÃ©servÃ©e
+Ã  Galois, qui montra qu'Ã  chaque Ã©quation algÃ©brique correspond
+un groupe de substitutions dans lequel se reflÃ¨tent
+les caractÃ¨res essentiels de l'Ã©quation. En AlgÃ¨bre, la thÃ©orie
 des groupes avait fait auparavant l'objet de nombreuses recherches
-dues, pour la plupart, à Cauchy, qui avait introduit
-déjà certains éléments de classification; les études de
-Galois sur la Théorie des équations lui montrèrent l'importance
+dues, pour la plupart, Ã  Cauchy, qui avait introduit
+dÃ©jÃ  certains Ã©lÃ©ments de classification; les Ã©tudes de
+Galois sur la ThÃ©orie des Ã©quations lui montrÃ¨rent l'importance
 de la notion de sous-groupe invariant d'un groupe
-donné, et il fut ainsi conduit à partager les groupes en
-groupes simples et groupes composés, distinction fondamentale
-qui dépasse de beaucoup, en réalité, le domaine de
-l'Algèbre et s'étend au concept de groupes d'opérations dans
-son acception la plus étendue.
+donnÃ©, et il fut ainsi conduit Ã  partager les groupes en
+groupes simples et groupes composÃ©s, distinction fondamentale
+qui dÃ©passe de beaucoup, en rÃ©alitÃ©, le domaine de
+l'AlgÃ¨bre et s'Ã©tend au concept de groupes d'opÃ©rations dans
+son acception la plus Ã©tendue.
 
-Les théories générales, pour prendre dans la Science un
+Les thÃ©ories gÃ©nÃ©rales, pour prendre dans la Science un
 %% -----File: 006.png---Folio xx-------
-droit de cité définitif, ont le plus souvent besoin de s'illustrer
-par des applications particulières. Dans plusieurs domaines,
-celles-ci ne sont pas toujours faciles à trouver, et l'on pourrait
-citer, dans les Mathématiques modernes, plus d'une théorie
-confinée, si j'ose le dire, dans sa trop grande généralité;
-au point de vue artistique, qui joue un rôle capital dans les
-Mathématiques pures, rien n'est plus satisfaisant que le développement
-de ces grandes théories, cependant de bons
-esprits regrettent cette tendance, qui a peut-être ses dangers.
-On ne peut, pour Galois, émettre un pareil regret; la résolution
-algébrique des équations lui a fourni, dès le début, un
-champ particulier d'applications où le suivirent depuis de
-nombreux géomètres, parmi lesquels il faut citer au premier
+droit de citÃ© dÃ©finitif, ont le plus souvent besoin de s'illustrer
+par des applications particuliÃ¨res. Dans plusieurs domaines,
+celles-ci ne sont pas toujours faciles Ã  trouver, et l'on pourrait
+citer, dans les MathÃ©matiques modernes, plus d'une thÃ©orie
+confinÃ©e, si j'ose le dire, dans sa trop grande gÃ©nÃ©ralitÃ©;
+au point de vue artistique, qui joue un rÃ´le capital dans les
+MathÃ©matiques pures, rien n'est plus satisfaisant que le dÃ©veloppement
+de ces grandes thÃ©ories, cependant de bons
+esprits regrettent cette tendance, qui a peut-Ãªtre ses dangers.
+On ne peut, pour Galois, Ã©mettre un pareil regret; la rÃ©solution
+algÃ©brique des Ã©quations lui a fourni, dÃ¨s le dÃ©but, un
+champ particulier d'applications oÃ¹ le suivirent depuis de
+nombreux gÃ©omÃ¨tres, parmi lesquels il faut citer au premier
 rang M.~Camille Jordan.
 
-Les travaux de Galois, sur les équations algébriques, ont
-rendu son nom célèbre, mais il semble qu'il avait fait, en
-Analyse, des découvertes au moins aussi importantes. Dans
-sa lettre à Auguste Chevalier, écrite la veille de sa mort, et
+Les travaux de Galois, sur les Ã©quations algÃ©briques, ont
+rendu son nom cÃ©lÃ¨bre, mais il semble qu'il avait fait, en
+Analyse, des dÃ©couvertes au moins aussi importantes. Dans
+sa lettre Ã  Auguste Chevalier, Ã©crite la veille de sa mort, et
 qui est une sorte de testament scientifique, Galois parle d'un
-Mémoire qu'on pourrait composer avec ses recherches sur
-les intégrales. Nous ne connaissons de ces recherches que ce
+MÃ©moire qu'on pourrait composer avec ses recherches sur
+les intÃ©grales. Nous ne connaissons de ces recherches que ce
 qu'il en dit dans cette lettre; plusieurs points restent obscurs
-dans quelques énoncés de Galois, mais on peut cependant se
-faire une idée précise de quelques-uns des résultats auxquels
-il était arrivé dans la théorie des intégrales de fonctions algébriques.
-On acquiert ainsi la conviction qu'il était en possession
-des résultats les plus essentiels sur les intégrales abéliennes
+dans quelques Ã©noncÃ©s de Galois, mais on peut cependant se
+faire une idÃ©e prÃ©cise de quelques-uns des rÃ©sultats auxquels
+il Ã©tait arrivÃ© dans la thÃ©orie des intÃ©grales de fonctions algÃ©briques.
+On acquiert ainsi la conviction qu'il Ã©tait en possession
+des rÃ©sultats les plus essentiels sur les intÃ©grales abÃ©liennes
 que Riemann devait obtenir vingt-cinq ans plus tard.
-Nous ne voyons pas sans étonnement Galois parler des périodes
-d'une intégrale abélienne relative à une fonction
-algébrique quelconque; pour les intégrales hyperelliptiques,
-nous n'avons aucune difficulté à comprendre ce qu'il entend
-par \emph{période}, mais il en est autrement dans le cas général, et
+Nous ne voyons pas sans Ã©tonnement Galois parler des pÃ©riodes
+d'une intÃ©grale abÃ©lienne relative Ã  une fonction
+algÃ©brique quelconque; pour les intÃ©grales hyperelliptiques,
+nous n'avons aucune difficultÃ© Ã  comprendre ce qu'il entend
+par \emph{pÃ©riode}, mais il en est autrement dans le cas gÃ©nÃ©ral, et
 %% -----File: 007.png---Folio xx-------
-l'on est presque tenté de supposer que Galois avait tout au
+l'on est presque tentÃ© de supposer que Galois avait tout au
 moins pressenti certaines notions sur les fonctions d'une variable
-complexe, qui ne devaient être développées que plusieurs
-années après sa mort. Les énoncés sont précis;
-l'illustre auteur fait la classification en trois espèces des intégrales
-abéliennes, et affirme que, si $n$~désigne le nombre des
-intégrales de première espèce linéairement indépendantes,
-les périodes seront en nombre~$2n$. Le théorème relatif à
-l'inversion du paramètre et de l'argument dans les intégrales
-de troisième espèce est nettement indiqué, ainsi que
-les relations entre les périodes des intégrales abéliennes;
-Galois parle aussi d'une généralisation de l'équation classique
-de Legendre, où figurent les périodes des intégrales
-elliptiques, généralisation qui l'avait probablement conduit
-aux importantes relations découvertes depuis par
+complexe, qui ne devaient Ãªtre dÃ©veloppÃ©es que plusieurs
+annÃ©es aprÃ¨s sa mort. Les Ã©noncÃ©s sont prÃ©cis;
+l'illustre auteur fait la classification en trois espÃ¨ces des intÃ©grales
+abÃ©liennes, et affirme que, si $n$~dÃ©signe le nombre des
+intÃ©grales de premiÃ¨re espÃ¨ce linÃ©airement indÃ©pendantes,
+les pÃ©riodes seront en nombre~$2n$. Le thÃ©orÃ¨me relatif Ã 
+l'inversion du paramÃ¨tre et de l'argument dans les intÃ©grales
+de troisiÃ¨me espÃ¨ce est nettement indiquÃ©, ainsi que
+les relations entre les pÃ©riodes des intÃ©grales abÃ©liennes;
+Galois parle aussi d'une gÃ©nÃ©ralisation de l'Ã©quation classique
+de Legendre, oÃ¹ figurent les pÃ©riodes des intÃ©grales
+elliptiques, gÃ©nÃ©ralisation qui l'avait probablement conduit
+aux importantes relations dÃ©couvertes depuis par
 Weierstrass et par M.~Fuchs. Nous en avons dit assez pour
-montrer l'étendue des découvertes de Galois en Analyse;
-si quelques années de plus lui avaient été données pour développer
-ses idées dans cette direction, il aurait été le glorieux
-continuateur d'Abel et aurait édifié, dans ses parties
-essentielles, la théorie des fonctions algébriques d'une
+montrer l'Ã©tendue des dÃ©couvertes de Galois en Analyse;
+si quelques annÃ©es de plus lui avaient Ã©tÃ© donnÃ©es pour dÃ©velopper
+ses idÃ©es dans cette direction, il aurait Ã©tÃ© le glorieux
+continuateur d'Abel et aurait Ã©difiÃ©, dans ses parties
+essentielles, la thÃ©orie des fonctions algÃ©briques d'une
 variable telle que nous la connaissons aujourd'hui. Les
-méditations de Galois portèrent encore plus loin; il termine
-sa lettre en parlant de l'application à l'Analyse transcendante
-de la théorie de l'ambiguïté. On devine à peu près
-ce qu'il entend par là, et sur ce terrain qui, comme il le dit,
-est immense, il reste encore aujourd'hui bien des découvertes
-à faire.
-
-Ce n'est pas sans émotion que l'on achève la lecture du
-testament scientifique de ce jeune homme de vingt ans, écrit
-la veille du jour où il devait disparaître dans une obscure
+mÃ©ditations de Galois portÃ¨rent encore plus loin; il termine
+sa lettre en parlant de l'application Ã  l'Analyse transcendante
+de la thÃ©orie de l'ambiguÃ¯tÃ©. On devine Ã  peu prÃ¨s
+ce qu'il entend par lÃ , et sur ce terrain qui, comme il le dit,
+est immense, il reste encore aujourd'hui bien des dÃ©couvertes
+Ã  faire.
+
+Ce n'est pas sans Ã©motion que l'on achÃ¨ve la lecture du
+testament scientifique de ce jeune homme de vingt ans, Ã©crit
+la veille du jour oÃ¹ il devait disparaÃ®tre dans une obscure
 querelle. Sa mort fut pour la Science une perte immense;
-l'influence de Galois, s'il eût vécu, aurait grandement modifié
+l'influence de Galois, s'il eÃ»t vÃ©cu, aurait grandement modifiÃ©
 %% -----File: 008.png---Folio xx-------
-l'orientation des recherches mathématiques dans notre
-pays. Je ne me risquerai pas à des comparaisons périlleuses:
-Galois a sans doute des égaux parmi les grands mathématiciens
-de ce siècle; aucun ne le surpasse par l'originalité et la
+l'orientation des recherches mathÃ©matiques dans notre
+pays. Je ne me risquerai pas Ã  des comparaisons pÃ©rilleuses:
+Galois a sans doute des Ã©gaux parmi les grands mathÃ©maticiens
+de ce siÃ¨cle; aucun ne le surpasse par l'originalitÃ© et la
 profondeur de ses conceptions.
 
-\Signature{Émile Picard,}{Président de la Société mathématique de France.}
+\Signature{Ã‰mile Picard,}{PrÃ©sident de la SociÃ©tÃ© mathÃ©matique de France.}
 %% -----File: 009.png---Folio 1-------
 \MainMatter
 % ** Text is printed by the \Chapter macro
 % {\OE}UVRES
-% MATHÉMATIQUES
-% D'ÉVARISTE GALOIS.
+% MATHÃ‰MATIQUES
+% D'Ã‰VARISTE GALOIS.
 
-\Chapter{I.}{ARTICLES PUBLIÉS PAR GALOIS.}
+\Chapter{I.}{ARTICLES PUBLIÃ‰S PAR GALOIS.}
 
-\Article{DÉMONSTRATION}{D'UN}{THÉORÈME SUR LES FRACTIONS CONTINUES PÉRIODIQUES\footnotemark.}
+\Article{DÃ‰MONSTRATION}{D'UN}{THÃ‰ORÃˆME SUR LES FRACTIONS CONTINUES PÃ‰RIODIQUES\footnotemark.}
 
-\footnotetext{Tome~XIX des \Title{Annales de Mathématiques} de M.~Gergonne, page~294
-  (1828--1829). Galois était alors élève au collège Louis-le-Grand. \Annot{(J.~Liouville.)}}
+\footnotetext{Tome~XIX des \Title{Annales de MathÃ©matiques} de M.~Gergonne, page~294
+  (1828--1829). Galois Ã©tait alors Ã©lÃ¨ve au collÃ¨ge Louis-le-Grand. \Annot{(J.~Liouville.)}}
 
-On sait que si, par la méthode du Lagrange, on développe en
-fraction continue une des racines d'une équation du second degré,
-cette fraction continue sera périodique, et qu'il en sera encore de
-même de l'une des racines d'une équation de degré quelconque,
-si cette racine est racine d'un facteur rationnel du second degré
-du premier membre de la proposée, auquel cas cette équation
-aura, tout au moins, une autre racine qui sera également périodique.
+On sait que si, par la mÃ©thode du Lagrange, on dÃ©veloppe en
+fraction continue une des racines d'une Ã©quation du second degrÃ©,
+cette fraction continue sera pÃ©riodique, et qu'il en sera encore de
+mÃªme de l'une des racines d'une Ã©quation de degrÃ© quelconque,
+si cette racine est racine d'un facteur rationnel du second degrÃ©
+du premier membre de la proposÃ©e, auquel cas cette Ã©quation
+aura, tout au moins, une autre racine qui sera Ã©galement pÃ©riodique.
 Dans l'un et dans l'autre cas, la fraction continue pourra
-d'ailleurs être immédiatement périodique ou ne l'être pas immédiatement;
+d'ailleurs Ãªtre immÃ©diatement pÃ©riodique ou ne l'Ãªtre pas immÃ©diatement;
 %% -----File: 010.png---Folio 2-------
-mais, lorsque cette dernière circonstance aura lieu, il
-y aura du moins une des transformées dont une des racines sera
-immédiatement périodique.
+mais, lorsque cette derniÃ¨re circonstance aura lieu, il
+y aura du moins une des transformÃ©es dont une des racines sera
+immÃ©diatement pÃ©riodique.
 
-Or, lorsqu'une équation a deux racines périodiques répondant
-à un même facteur rationnel du second degré, et que l'une d'elles
-est immédiatement périodique, il existe entre ces deux racines
-une relation assez singulière qui paraît n'avoir pas encore été remarquée,
-et qui peut être exprimée par le théorème suivant:
+Or, lorsqu'une Ã©quation a deux racines pÃ©riodiques rÃ©pondant
+Ã  un mÃªme facteur rationnel du second degrÃ©, et que l'une d'elles
+est immÃ©diatement pÃ©riodique, il existe entre ces deux racines
+une relation assez singuliÃ¨re qui paraÃ®t n'avoir pas encore Ã©tÃ© remarquÃ©e,
+et qui peut Ãªtre exprimÃ©e par le thÃ©orÃ¨me suivant:
 
 \begin{Theoreme}
-Si une des racines d'une équation de degré
-quelconque est une fraction continue immédiatement périodique,
-cette équation aura nécessairement une autre racine
-également périodique que l'on obtiendra en divisant l'unité
-négative par cette même fraction continue périodique, écrite
+Si une des racines d'une Ã©quation de degrÃ©
+quelconque est une fraction continue immÃ©diatement pÃ©riodique,
+cette Ã©quation aura nÃ©cessairement une autre racine
+Ã©galement pÃ©riodique que l'on obtiendra en divisant l'unitÃ©
+nÃ©gative par cette mÃªme fraction continue pÃ©riodique, Ã©crite
 dans un ordre inverse.
 \end{Theoreme}
 
 \begin{Demonstration}
-Pour fixer les idées, ne prenons que des
-périodes de quatre termes; car la marche uniforme du calcul
-prouve qu'il en serait de même si nous en admettions un plus
-grand nombre. Soit une des racines d'une équation de degré quelconque
-exprimée comme il suit;
+Pour fixer les idÃ©es, ne prenons que des
+pÃ©riodes de quatre termes; car la marche uniforme du calcul
+prouve qu'il en serait de mÃªme si nous en admettions un plus
+grand nombre. Soit une des racines d'une Ã©quation de degrÃ© quelconque
+exprimÃ©e comme il suit;
 \[
 a - x = a + \Cfrac{1}{
       \,b + \hlap{$\cfrac{1}{
@@ -835,8 +837,8 @@ a - x = a + \Cfrac{1}{
       \,c + \hlap{$\cfrac{1}{\Strut
       \,d + \raisebox{-2ex}{$\ddots$\rlap{\,;}} }$}}\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}\CfracCorrect
 \]
-l'équation du second degré, à laquelle appartiendra cette racine,
-et qui contiendra conséquemment sa corrélative, sera
+l'Ã©quation du second degrÃ©, Ã  laquelle appartiendra cette racine,
+et qui contiendra consÃ©quemment sa corrÃ©lative, sera
 \[
 x = a + \Cfrac{1}{
   \,b + \hlap{$\cfrac{1}{
@@ -844,7 +846,7 @@ x = a + \Cfrac{1}{
   \,d + \hlap{$\cfrac{1}{\quad x \quad } \;\rlap{;}$}}\;$}}\;$}}\CfracCorrect
 \]
 %% -----File: 011.png---Folio 3-------
-or, on tire de là successivement
+or, on tire de lÃ  successivement
 \begin{align*}
 &a - x = - \Cfrac{1}{
       \,b + \hlap{$\cfrac{1}{
@@ -888,7 +890,7 @@ or, on tire de là successivement
       \,a - x \, }$}}\;$}}\;$}}\CfracCorrect
 =     -x\,,
 \end{align*}
-c'est-à-dire
+c'est-Ã -dire
 \[
   x =     - \Cfrac{1}{
       \,d + \hlap{$\cfrac{1}{
@@ -896,9 +898,9 @@ c'est-à-dire
       \,b + \hlap{$\cfrac{1}{
       \,a - x\, } \;\rlap{;}$}}\;$}}$}}\CfracCorrect
 \]
-c'est donc toujours là l'équation du second degré qui donne les
+c'est donc toujours lÃ  l'Ã©quation du second degrÃ© qui donne les
 deux racines dont il s'agit; mais, en mettant continuellement
-pour $x$, dans son second membre, ce même second membre, qui
+pour $x$, dans son second membre, ce mÃªme second membre, qui
 en est, en effet, la valeur, elle donne
 \[
   x =     - \Cfrac{1}{
@@ -912,13 +914,13 @@ en est, en effet, la valeur, elle donne
       \,a + \raisebox{-2ex}{$\ddots$\rlap{\,;}} }\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}
 \CfracCorrect
 \]
-c'est donc là l'autre valeur de $x$, donnée par cette équation, valeur
-qui, comme l'on voit, est égale à $-1$ divisé par la première écrite
+c'est donc lÃ  l'autre valeur de $x$, donnÃ©e par cette Ã©quation, valeur
+qui, comme l'on voit, est Ã©gale Ã  $-1$ divisÃ© par la premiÃ¨re Ã©crite
 dans un ordre inverse.
 %% -----File: 012.png---Folio 4-------
 
-Dans ce qui précède, nous avons supposé que la racine proposée
-était plus grande que l'unité; mais, si l'on avait
+Dans ce qui prÃ©cÃ¨de, nous avons supposÃ© que la racine proposÃ©e
+Ã©tait plus grande que l'unitÃ©; mais, si l'on avait
 \[
   x =       \Cfrac{1}{
       \,a + \hlap{$\cfrac{1}{
@@ -943,7 +945,7 @@ on en conclurait, pour une des valeurs de~$\dfrac{1}{x}$,
       \,d + \raisebox{-2ex}{$\ddots$\rlap{\,;}} }$}}\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}
 \CfracCorrect
 \]
-l'autre valeur de $\dfrac{1}{x}$ serait donc, par ce qui précède,
+l'autre valeur de $\dfrac{1}{x}$ serait donc, par ce qui prÃ©cÃ¨de,
 \[
   \frac{1}{x} =   - \Cfrac{1}{
       \,d + \hlap{$\cfrac{1}{
@@ -956,7 +958,7 @@ l'autre valeur de $\dfrac{1}{x}$ serait donc, par ce qui précède,
       \,a + \raisebox{-2ex}{$\ddots$\rlap{\,,}} }$}}\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}
 \CfracCorrect
 \]
-d'où l'on conclurait, pour l'autre valeur de $x$,
+d'oÃ¹ l'on conclurait, pour l'autre valeur de $x$,
 \[
   x = - d + \Cfrac{1}{
       \,c + \hlap{$\cfrac{1}{
@@ -982,93 +984,93 @@ ou
       \,a + \raisebox{-2ex}{$\ddots$\rlap{\,;}}}$}}\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}
 \CfracCorrect
 \]
-ce qui rentre exactement dans notre théorème.
+ce qui rentre exactement dans notre thÃ©orÃ¨me.
 \end{Demonstration}
 
-Soit $A$ une fraction continue immédiatement périodique quelconque,
-et soit $B$ la fraction continue qu'on en déduit en renversant
-la période; on voit que, si l'une des racines d'une équation
-est $x = A$, elle aura nécessairement une autre racine $x = -\dfrac{1}{B}$;
-or, si $A$ est un nombre positif plus grand que l'unité, $-\dfrac{1}{B}$~sera
-négatif et compris entre $0$ et~$-1$; et, à l'inverse, si $A$ est un
-nombre négatif compris entre $0$ et~$-1$, $-\dfrac{1}{B}$~sera un nombre positif
-plus grand que l'unité. Ainsi, lorsque l'une des racines d'une
-équation du second degré est une fraction continue immédiatement
-périodique, plus grande que l'unité, l'autre est nécessairement
-comprise entre $0$ et $-1$; et réciproquement, si l'une d'elles
-est comprise entre $0$ et $-1$, l'autre sera nécessairement positive
-et plus grande que l'unité.
-
-On peut prouver que, réciproquement, si l'une des deux racines
-d'une équation du second degré est positive et plus grande
-que l'unité, et que l'autre soit comprise entre $0$ et $-1$, ces racines
-seront exprimables en fractions continues immédiatement périodiques.
-En effet, soit toujours $A$ une fraction continue immédiatement
-périodique quelconque, positive et plus grande que
-l'unité, et $B$ la fraction continue immédiatement périodique qu'on
-en déduit, en renversant la période, laquelle sera aussi, comme
-elle, positive et plus grande que l'unité. La première des racines
-de la proposée ne pourra être de la forme
+Soit $A$ une fraction continue immÃ©diatement pÃ©riodique quelconque,
+et soit $B$ la fraction continue qu'on en dÃ©duit en renversant
+la pÃ©riode; on voit que, si l'une des racines d'une Ã©quation
+est $x = A$, elle aura nÃ©cessairement une autre racine $x = -\dfrac{1}{B}$;
+or, si $A$ est un nombre positif plus grand que l'unitÃ©, $-\dfrac{1}{B}$~sera
+nÃ©gatif et compris entre $0$ et~$-1$; et, Ã  l'inverse, si $A$ est un
+nombre nÃ©gatif compris entre $0$ et~$-1$, $-\dfrac{1}{B}$~sera un nombre positif
+plus grand que l'unitÃ©. Ainsi, lorsque l'une des racines d'une
+Ã©quation du second degrÃ© est une fraction continue immÃ©diatement
+pÃ©riodique, plus grande que l'unitÃ©, l'autre est nÃ©cessairement
+comprise entre $0$ et $-1$; et rÃ©ciproquement, si l'une d'elles
+est comprise entre $0$ et $-1$, l'autre sera nÃ©cessairement positive
+et plus grande que l'unitÃ©.
+
+On peut prouver que, rÃ©ciproquement, si l'une des deux racines
+d'une Ã©quation du second degrÃ© est positive et plus grande
+que l'unitÃ©, et que l'autre soit comprise entre $0$ et $-1$, ces racines
+seront exprimables en fractions continues immÃ©diatement pÃ©riodiques.
+En effet, soit toujours $A$ une fraction continue immÃ©diatement
+pÃ©riodique quelconque, positive et plus grande que
+l'unitÃ©, et $B$ la fraction continue immÃ©diatement pÃ©riodique qu'on
+en dÃ©duit, en renversant la pÃ©riode, laquelle sera aussi, comme
+elle, positive et plus grande que l'unitÃ©. La premiÃ¨re des racines
+de la proposÃ©e ne pourra Ãªtre de la forme
 \[
   x = p + \frac{1}{A},
 \]
 %% -----File: 014.png---Folio 6-------
-car alors, en vertu de notre théorème, la seconde devrait être
+car alors, en vertu de notre thÃ©orÃ¨me, la seconde devrait Ãªtre
 \[
   x = a + \frac{1}{-\dfrac{1}{B}} = a - B ;
 \]
-or $a - B$ ne saurait être compris entre 0 et 1 qu'autant que la
-partie entière de $B$ serait égale à $p$, auquel cas la première valeur
-serait immédiatement périodique. On ne pourrait avoir davantage,
-pour la première valeur de $x$, $x= p + \dfrac{1}{q + \dfrac{1}{A}}$, car alors l'autre
+or $a - B$ ne saurait Ãªtre compris entre 0 et 1 qu'autant que la
+partie entiÃ¨re de $B$ serait Ã©gale Ã  $p$, auquel cas la premiÃ¨re valeur
+serait immÃ©diatement pÃ©riodique. On ne pourrait avoir davantage,
+pour la premiÃ¨re valeur de $x$, $x= p + \dfrac{1}{q + \dfrac{1}{A}}$, car alors l'autre
 serait
 \[
   x = p + \frac{1}{q - B} \qquad \text{ou} \qquad
   x = p - \frac{1}{B - q};
 \]
-or, pour que cette valeur fût comprise entre 0 et $-1$, il faudrait
-d'abord que $\dfrac{1}{B-q}$ fût égal à $p$, plus une fraction. Il faudrait
-donc que $B-q$ fût plus petit que l'unité, ce qui exigerait que $B$
-fût égal à $q$, plus une fraction; d'où l'on voit que $q$ et $p$ devraient
-être respectivement égaux aux deux premiers termes de la période
-qui répond à $B$, ou aux deux derniers de la période qui répond à $A$;
-de sorte que, contrairement à l'hypothèse, la valeur $x = p + \dfrac{1}{q + \dfrac{1}{A}}$
-serait immédiatement périodique. On prouverait, par un raisonnement
-analogue, que les périodes ne sauraient être précédées
+or, pour que cette valeur fÃ»t comprise entre 0 et $-1$, il faudrait
+d'abord que $\dfrac{1}{B-q}$ fÃ»t Ã©gal Ã  $p$, plus une fraction. Il faudrait
+donc que $B-q$ fÃ»t plus petit que l'unitÃ©, ce qui exigerait que $B$
+fÃ»t Ã©gal Ã  $q$, plus une fraction; d'oÃ¹ l'on voit que $q$ et $p$ devraient
+Ãªtre respectivement Ã©gaux aux deux premiers termes de la pÃ©riode
+qui rÃ©pond Ã  $B$, ou aux deux derniers de la pÃ©riode qui rÃ©pond Ã  $A$;
+de sorte que, contrairement Ã  l'hypothÃ¨se, la valeur $x = p + \dfrac{1}{q + \dfrac{1}{A}}$
+serait immÃ©diatement pÃ©riodique. On prouverait, par un raisonnement
+analogue, que les pÃ©riodes ne sauraient Ãªtre prÃ©cÃ©dÃ©es
 d'un plus grand nombre de termes n'en faisant pas partie.
 
-Lors donc que l'on traitera une équation numérique par la méthode
-de Lagrange, on sera sûr qu'il n'y a point de racines périodiques
-à espérer tant qu'on ne rencontrera pas une transformée
-ayant au moins une racine positive plus grande que l'unité, et une
+Lors donc que l'on traitera une Ã©quation numÃ©rique par la mÃ©thode
+de Lagrange, on sera sÃ»r qu'il n'y a point de racines pÃ©riodiques
+Ã  espÃ©rer tant qu'on ne rencontrera pas une transformÃ©e
+ayant au moins une racine positive plus grande que l'unitÃ©, et une
 autre comprise entre 0 et $-1$; et si, en effet, la racine que l'on
-poursuit doit être périodique, ce sera tout au plus à cette transformée
-que les périodes commenceront.
+poursuit doit Ãªtre pÃ©riodique, ce sera tout au plus Ã  cette transformÃ©e
+que les pÃ©riodes commenceront.
 
-Si l'une des racines d'une équation du second degré est non
-seulement immédiatement périodique, mais encore symétrique,
-c'est-à-dire si les termes de la période sont égaux à égale distance
-des extrêmes, on aura $B = A$; de sorte que ces deux racines
+Si l'une des racines d'une Ã©quation du second degrÃ© est non
+seulement immÃ©diatement pÃ©riodique, mais encore symÃ©trique,
+c'est-Ã -dire si les termes de la pÃ©riode sont Ã©gaux Ã  Ã©gale distance
+des extrÃªmes, on aura $B = A$; de sorte que ces deux racines
 %% -----File: 015.png---Folio 7-------
-seront $A$ et $-\dfrac{1}{A}$; l'équation sera donc
+seront $A$ et $-\dfrac{1}{A}$; l'Ã©quation sera donc
 \[
 Ax^{2} - (A^{2}-1)x - A = 0.
 \]
-Réciproquement, toute équation du second degré de la forme
+RÃ©ciproquement, toute Ã©quation du second degrÃ© de la forme
 \[
 ax^{2} - bx - a = 0
 \]
-aura ses racines à la fois immédiatement périodiques et symétriques.
-En effet, on mettant tour à tour pour $x$ l'infini et $-1$, on
-obtient des résultats positifs, tandis qu'en faisant $x=1$ et $x=0$,
-on obtient des résultats négatifs; d'où l'on voit d'abord que cette
-équation a une racine positive plus grande que l'unité et une racine
-négative comprise entre $0$ et $-1$, et qu'ainsi ces racines sont
-immédiatement périodiques; de plus, cette équation ne change
-pas en y changeant $x$ en $-\dfrac{1}{x}$; d'où il suit que, si $A$ est une de ses
+aura ses racines Ã  la fois immÃ©diatement pÃ©riodiques et symÃ©triques.
+En effet, on mettant tour Ã  tour pour $x$ l'infini et $-1$, on
+obtient des rÃ©sultats positifs, tandis qu'en faisant $x=1$ et $x=0$,
+on obtient des rÃ©sultats nÃ©gatifs; d'oÃ¹ l'on voit d'abord que cette
+Ã©quation a une racine positive plus grande que l'unitÃ© et une racine
+nÃ©gative comprise entre $0$ et $-1$, et qu'ainsi ces racines sont
+immÃ©diatement pÃ©riodiques; de plus, cette Ã©quation ne change
+pas en y changeant $x$ en $-\dfrac{1}{x}$; d'oÃ¹ il suit que, si $A$ est une de ses
 racines, l'autre sera $-\dfrac{1}{A}$, et qu'ainsi, dans ce cas, $B=A$.
 
-Appliquons ces généralités à l'équation du second degré
+Appliquons ces gÃ©nÃ©ralitÃ©s Ã  l'Ã©quation du second degrÃ©
 \[
 3x^{2} - 16x + 18 = 0;
 \]
@@ -1077,25 +1079,25 @@ en posant
 \[
 x = 3 + \frac{1}{y},
 \]
-on obtient la transformée
+on obtient la transformÃ©e
 \[
 3y^{2} - 2y - 3 = 0,
 \]
-dont la forme nous apprend que les valeurs de $y$ sont à la fois
-immédiatement périodiques et symétriques; en effet, en posant
-tour à tour
+dont la forme nous apprend que les valeurs de $y$ sont Ã  la fois
+immÃ©diatement pÃ©riodiques et symÃ©triques; en effet, en posant
+tour Ã  tour
 \[
 y = 1 + \frac{1}{z}, \qquad
 z = 2 + \frac{1}{t}, \qquad
 t = 1 + \frac{1}{u},
 \]
-on obtient les transformées
+on obtient les transformÃ©es
 \[
 2z^{2} - 4z - 3 = 0, \qquad
 3t^{2} - 4t - 2 = 0, \qquad
 3u^{2} - 2u - 3 = 0.
 \]
-L'identité entre les équations en $u$ et en $y$ prouve que la valeur
+L'identitÃ© entre les Ã©quations en $u$ et en $y$ prouve que la valeur
 %% -----File: 016.png---Folio 8-------
 positive de $y$ est
 \[
@@ -1107,7 +1109,7 @@ positive de $y$ est
       \,1 + \raisebox{-2ex}{$\ddots$\rlap{\,;}} }$}}\;$}}\;$}}\;$}}
 \CfracCorrect
 \]
-sa valeur négative sera donc
+sa valeur nÃ©gative sera donc
 \[
   y =     - \Cfrac{1}{
       \,1 + \hlap{$\cfrac{1}{
@@ -1138,7 +1140,7 @@ les deux valeurs de $x$ seront donc
       \,1 + \raisebox{-2ex}{$\ddots$\rlap{\,,}} }$}}\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}
 \CfracCorrect
 \]
-dont la dernière, en vertu de la formule connue
+dont la derniÃ¨re, en vertu de la formule connue
 \[
   p - \frac{1}{q}
 = p -   1 + \Cfrac{1}{
@@ -1163,20 +1165,20 @@ devient
 
 \Article{NOTES}{SUR}{QUELQUES POINTS D'ANALYSE\footnotemark.}
 
-\footnotetext{\Title{Annales de Mathématiques} de M.~Gergonne, tome~XXI, page~182 (1830--1831).
-  C'est par suite d'une faute d'impression qu'on y lit: \Title{Galais, élève à l'École
+\footnotetext{\Title{Annales de MathÃ©matiques} de M.~Gergonne, tome~XXI, page~182 (1830--1831).
+  C'est par suite d'une faute d'impression qu'on y lit: \Title{Galais, Ã©lÃ¨ve Ã  l'Ã‰cole
   normale}, au lieu de \textit{Galois}. \Annot{(J.~Liouville.)}}
 
 
-\Section{§~I.}{Démonstration d'un théorème d'Analyse.}
+\Section{Â§~I.}{DÃ©monstration d'un thÃ©orÃ¨me d'Analyse.}
 
 \begin{Theoreme}
 Soient $Fx$ et $fx$ deux fonctions quelconques
-données; on aura, quels que soient $x$ et~$h$,
+donnÃ©es; on aura, quels que soient $x$ et~$h$,
 \[
 \frac{F(x + h) - Fx}{f(x + h) - fx} = \phi(k),
 \]
-$\phi$ étant une fonction déterminée, et $k$ une quantité intermédiaire
+$\phi$ Ã©tant une fonction dÃ©terminÃ©e, et $k$ une quantitÃ© intermÃ©diaire
 entre $x$ et~$x + h$.
 \end{Theoreme}
 
@@ -1185,51 +1187,51 @@ Posons, en effet,
 \[
 \frac{F(x + h) - Fx}{f(x + h) - fx} = P;
 \]
-on en déduira
+on en dÃ©duira
 \[
 F(x + h) - Pf(x + h) = Fx - Pfx;
 \]
-d'où l'on voit que la fonction $Fx - Pfx$ ne change pas quand on
-y change $x$ en $x+h$; d'où il suit qu'à moins qu'elle ne reste
+d'oÃ¹ l'on voit que la fonction $Fx - Pfx$ ne change pas quand on
+y change $x$ en $x+h$; d'oÃ¹ il suit qu'Ã  moins qu'elle ne reste
 constante entre ces limites, ce qui ne pourrait avoir lieu que dans
 des cas particuliers, cette fonction aura, entre $x$ et $x+h$, un ou
-plusieurs maxima et minima. Soit $k$ la valeur de $x$ répondant à
-l'un d'eux; on aura évidemment $k = \psi(P)$, $\psi$ étant une fonction
-déterminée; donc on doit avoir aussi $P = \phi(k)$, $\phi$~étant une autre
-fonction également déterminée; ce qui démontre le théorème.
+plusieurs maxima et minima. Soit $k$ la valeur de $x$ rÃ©pondant Ã 
+l'un d'eux; on aura Ã©videmment $k = \psi(P)$, $\psi$ Ã©tant une fonction
+dÃ©terminÃ©e; donc on doit avoir aussi $P = \phi(k)$, $\phi$~Ã©tant une autre
+fonction Ã©galement dÃ©terminÃ©e; ce qui dÃ©montre le thÃ©orÃ¨me.
 \end{Demonstration}
 
-De là on peut conclure, comme corollaire, que la quantité
+De lÃ  on peut conclure, comme corollaire, que la quantitÃ©
 \[
 %[** TN: Original uses "lim."]
 \lim \frac{F(x + h) - Fx}{f(x + h) - fx} = \psi(x),
 \]
-pour $h = 0$, est nécessairement une fonction de~$x$, ce qui démontre,
-\textit{a~priori}, l'existence des fonctions dérivées.
+pour $h = 0$, est nÃ©cessairement une fonction de~$x$, ce qui dÃ©montre,
+\textit{a~priori}, l'existence des fonctions dÃ©rivÃ©es.
 %% -----File: 018.png---Folio 10-------
 
-\Section{§~II.}{Rayon de courbure des courbes de l'espace.}
+\Section{Â§~II.}{Rayon de courbure des courbes de l'espace.}
 
 Le rayon de courbure d'une courbe en l'un quelconque de ses
-points~$M$ est la perpendiculaire abaissée de ce point sur l'intersection
-du plan normal au point~$M$ avec le plan normal consécutif,
-comme il est aisé de s'en assurer par des considérations
-géométriques.
+points~$M$ est la perpendiculaire abaissÃ©e de ce point sur l'intersection
+du plan normal au point~$M$ avec le plan normal consÃ©cutif,
+comme il est aisÃ© de s'en assurer par des considÃ©rations
+gÃ©omÃ©triques.
 
-Cela posé, soit $(x, y, z)$ un point de la courbe; on sait que le
-plan normal en ce point aura pour équation
+Cela posÃ©, soit $(x, y, z)$ un point de la courbe; on sait que le
+plan normal en ce point aura pour Ã©quation
 \[
 \Tag{(N)}
 (X - x) \frac{dx}{ds} + (Y - y) \frac{dy}{ds} + (Z - z) \frac{dz}{ds} = 0,
 \]
-$X$, $Y$, $Z$ étant les symboles des coordonnées courantes. L'intersection
-de ce plan normal avec le plan normal consécutif sera
-donnée par le système de cette équation et de la suivante
+$X$, $Y$, $Z$ Ã©tant les symboles des coordonnÃ©es courantes. L'intersection
+de ce plan normal avec le plan normal consÃ©cutif sera
+donnÃ©e par le systÃ¨me de cette Ã©quation et de la suivante
 \[
 \Tag{(I)}
-(X - x) \frac{d · \left(\dfrac{dx}{ds}\right)}{ds} +
-(Y - y) \frac{d · \left(\dfrac{dy}{ds}\right)}{ds} +
-(Z - z) \frac{d · \left(\dfrac{dz}{ds}\right)}{ds}
+(X - x) \frac{d Â· \left(\dfrac{dx}{ds}\right)}{ds} +
+(Y - y) \frac{d Â· \left(\dfrac{dy}{ds}\right)}{ds} +
+(Z - z) \frac{d Â· \left(\dfrac{dz}{ds}\right)}{ds}
 = 1,
 \]
 attendu que
@@ -1239,153 +1241,153 @@ attendu que
 \left(\frac{dz}{ds}\right)^{2}
 = 1.
 \]
-Or, il est aisé de voir que le plan~\Eq{(I)} est perpendiculaire an
+Or, il est aisÃ© de voir que le plan~\Eq{(I)} est perpendiculaire an
 plan~\Eq{(N)}, car on a
 \[
-\frac{dx}{ds}\, d· \left(\frac{dx}{ds}\right) +
-\frac{dy}{ds}\, d· \left(\frac{dy}{ds}\right) +
-\frac{dz}{ds}\, d· \left(\frac{dz}{ds}\right)
+\frac{dx}{ds}\, dÂ· \left(\frac{dx}{ds}\right) +
+\frac{dy}{ds}\, dÂ· \left(\frac{dy}{ds}\right) +
+\frac{dz}{ds}\, dÂ· \left(\frac{dz}{ds}\right)
 = 0;
 \]
-donc la perpendiculaire abaissée du point $(x, y, z)$ sur l'intersection
+donc la perpendiculaire abaissÃ©e du point $(x, y, z)$ sur l'intersection
 des deux plans \Eq{(N)}~et~\Eq{(I)} n'est autre chose que la perpendiculaire
-abaissée du même point sur le plan~\Eq{(I)}. Le rayon de
-courbure est donc la perpendiculaire abaissée du point $(x, y, z)$
-sur le plan~\Eq{(I)}. Cette considération donne, très simplement, les
-théorèmes connus sur les rayons de courbure des courbes dans
+abaissÃ©e du mÃªme point sur le plan~\Eq{(I)}. Le rayon de
+courbure est donc la perpendiculaire abaissÃ©e du point $(x, y, z)$
+sur le plan~\Eq{(I)}. Cette considÃ©ration donne, trÃ¨s simplement, les
+thÃ©orÃ¨mes connus sur les rayons de courbure des courbes dans
 l'espace.
 %% -----File: 019.png---Folio 11-------
 
 
-\Article{ANALYSE}{D'UN}{MÉMOIRE SUR LA RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS\footnotemark.}
+\Article{ANALYSE}{D'UN}{MÃ‰MOIRE SUR LA RÃ‰SOLUTION ALGÃ‰BRIQUE DES Ã‰QUATIONS\footnotemark.}
 
-\footnotetext{\Title{Bulletin des Sciences mathématiques} de M.~Férussac, t.~XIII, p.~271
-  (année 1830, cahier d'avril). \Annot{(J.~Liouville.)}}
+\footnotetext{\Title{Bulletin des Sciences mathÃ©matiques} de M.~FÃ©russac, t.~XIII, p.~271
+  (annÃ©e 1830, cahier d'avril). \Annot{(J.~Liouville.)}}
 
-On appelle équations non primitives les équations qui, étant,
-par exemple, du degré~$mn$, se décomposent en $m$~facteurs du
-degré~$n$, au moyen d'une seule équation du degré~$m$. Ce sont les
-équations de M.~Gauss. Les équations primitives sont celles qui
-ne jouissent pas d'une pareille simplification. Je suis, à l'égard
-des équations primitives, parvenu aux résultats suivants:
+On appelle Ã©quations non primitives les Ã©quations qui, Ã©tant,
+par exemple, du degrÃ©~$mn$, se dÃ©composent en $m$~facteurs du
+degrÃ©~$n$, au moyen d'une seule Ã©quation du degrÃ©~$m$. Ce sont les
+Ã©quations de M.~Gauss. Les Ã©quations primitives sont celles qui
+ne jouissent pas d'une pareille simplification. Je suis, Ã  l'Ã©gard
+des Ã©quations primitives, parvenu aux rÃ©sultats suivants:
 
-\primo Pour qu'une équation de degré premier soit résoluble par
+\primo Pour qu'une Ã©quation de degrÃ© premier soit rÃ©soluble par
 radicaux, il faut et il suffit que, deux quelconques de ses racines
-étant connues, les autres s'en déduisent rationnellement.
+Ã©tant connues, les autres s'en dÃ©duisent rationnellement.
 
-\secundo Pour qu'une équation primitive du degré~$m$ soit résoluble
-par radicaux, il faut que $m = p^{\nu}$, $p$~étant un nombre premier.
+\secundo Pour qu'une Ã©quation primitive du degrÃ©~$m$ soit rÃ©soluble
+par radicaux, il faut que $m = p^{\nu}$, $p$~Ã©tant un nombre premier.
 
-\tertio A part les cas mentionnés ci-dessous, pour qu'une équation
-primitive du degré $p^{\nu}$ soit résoluble par radicaux, il faut que,
-deux quelconques de ses racines étant connues, les autres s'en
-déduisent rationnellement.
+\tertio A part les cas mentionnÃ©s ci-dessous, pour qu'une Ã©quation
+primitive du degrÃ© $p^{\nu}$ soit rÃ©soluble par radicaux, il faut que,
+deux quelconques de ses racines Ã©tant connues, les autres s'en
+dÃ©duisent rationnellement.
 \medskip
 
-A la règle précédente échappent les cas très particuliers qui
+A la rÃ¨gle prÃ©cÃ©dente Ã©chappent les cas trÃ¨s particuliers qui
 suivent:
 
 \primo Le cas de $m = p^{\nu} = 9$, $= 25$;
 
-\secundo Le cas de $m = p^{\nu} = 4$ et généralement celui où, $a^{\alpha}$~étant un
+\secundo Le cas de $m = p^{\nu} = 4$ et gÃ©nÃ©ralement celui oÃ¹, $a^{\alpha}$~Ã©tant un
 diviseur de $\dfrac{p^{\nu} - 1}{p - 1}$, on aurait $a$ premier, et
 \[
 \frac{p^{\nu} - 1}{a^{\alpha} (p - 1)} \nu = p\ (\mod a^{\alpha}).
 \]
-Ces cas s'écartent toutefois fort peu de la règle générale.
+Ces cas s'Ã©cartent toutefois fort peu de la rÃ¨gle gÃ©nÃ©rale.
 
-Quand $m = 9$, $= 25$, l'équation devra être du genre de celles
-qui déterminent la trisection et la quintisection des fonctions
+Quand $m = 9$, $= 25$, l'Ã©quation devra Ãªtre du genre de celles
+qui dÃ©terminent la trisection et la quintisection des fonctions
 elliptiques.
 %% -----File: 020.png---Folio 12-------
 
 Dans le second cas, il faudra toujours que, deux des racines
-étant connues, les autres s'en déduisent, du moins au moyen d'un
-nombre de radicaux, du degré~$p$, égal au nombre des diviseurs~$a^{\alpha}$
+Ã©tant connues, les autres s'en dÃ©duisent, du moins au moyen d'un
+nombre de radicaux, du degrÃ©~$p$, Ã©gal au nombre des diviseurs~$a^{\alpha}$
 de~$\dfrac{p^{\nu} - 1}{p - 1}$, qui sont tels que
 \[
 \frac{p^{\nu} - 1}{a^{\alpha}(p - 1)} \nu = p\ (\mod a^{\alpha}), \quad\text{$\alpha$ premier}.
 \]
 
-Toutes ces propositions ont été déduites de la théorie des permutations.
+Toutes ces propositions ont Ã©tÃ© dÃ©duites de la thÃ©orie des permutations.
 
-Voici d'autres résultats qui découlent de ma théorie.
+Voici d'autres rÃ©sultats qui dÃ©coulent de ma thÃ©orie.
 
 \primo Soit $k$ le module d'une fonction elliptique, $p$~un nombre
-premier donné~$> 3$; pour que l'équation du degré~$p + 1$, qui
-donne les divers modules des fonctions transformées relativement
-au nombre $p$, soit résoluble par radicaux, \emph{il faut} de deux choses
+premier donnÃ©~$> 3$; pour que l'Ã©quation du degrÃ©~$p + 1$, qui
+donne les divers modules des fonctions transformÃ©es relativement
+au nombre $p$, soit rÃ©soluble par radicaux, \emph{il faut} de deux choses
 l'une: ou bien qu'une des racines soit rationnellement connue,
 ou bien que toutes soient des fonctions rationnelles les unes des
-autres. Il ne s'agit ici, bien entendu, que des valeurs particulières
-du module $k$. Il est évident que la chose n'a pas lieu en général.
-Cette règle n'a pas lieu pour $p = 5$.
-
-\secundo Il est remarquable que l'équation modulaire générale du
-sixième degré, correspondant au nombre 5, peut s'abaisser à une
-du cinquième degré dont elle est la réduite. Au contraire, pour
-des degrés supérieurs, les équations modulaires ne peuvent s'abaisser\footnotemark.
-
-\footnotetext{Cette assertion n'est pas tout à fait exacte, comme Galois en avertit lui-même
-  dans sa Lettre à M.~Auguste Chevalier, qu'on trouve plus bas. Il dit en général,
-  au sujet de l'article que nous reproduisons ici: «La condition que j'ai indiquée
-  dans le \Title{Bulletin de Férussac}, pour la solubilité par radicaux, est trop
-  restreinte; il y a peu d'exceptions, mais il y en a.» Quant aux équations modulaires
-  en particulier, il déclare l'abaissement du degré~$p + 1$ au degré~$p$ possible, non
+autres. Il ne s'agit ici, bien entendu, que des valeurs particuliÃ¨res
+du module $k$. Il est Ã©vident que la chose n'a pas lieu en gÃ©nÃ©ral.
+Cette rÃ¨gle n'a pas lieu pour $p = 5$.
+
+\secundo Il est remarquable que l'Ã©quation modulaire gÃ©nÃ©rale du
+sixiÃ¨me degrÃ©, correspondant au nombre 5, peut s'abaisser Ã  une
+du cinquiÃ¨me degrÃ© dont elle est la rÃ©duite. Au contraire, pour
+des degrÃ©s supÃ©rieurs, les Ã©quations modulaires ne peuvent s'abaisser\footnotemark.
+
+\footnotetext{Cette assertion n'est pas tout Ã  fait exacte, comme Galois en avertit lui-mÃªme
+  dans sa Lettre Ã  M.~Auguste Chevalier, qu'on trouve plus bas. Il dit en gÃ©nÃ©ral,
+  au sujet de l'article que nous reproduisons ici: Â«La condition que j'ai indiquÃ©e
+  dans le \Title{Bulletin de FÃ©russac}, pour la solubilitÃ© par radicaux, est trop
+  restreinte; il y a peu d'exceptions, mais il y en a.Â» Quant aux Ã©quations modulaires
+  en particulier, il dÃ©clare l'abaissement du degrÃ©~$p + 1$ au degrÃ©~$p$ possible, non
   seulement pour $p = 5$, mais encore pour $p = 7$ et $p = 11$; mais il en maintient
-  l'impossibilité pour $p > 11$. \Annot{(J.~Liouville.)}}
+  l'impossibilitÃ© pour $p > 11$. \Annot{(J.~Liouville.)}}
 %% -----File: 021.png---Folio 13-------
 
 
-\Article{NOTE}{SUR LA}{RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES\footnotemark.}
+\Article{NOTE}{SUR LA}{RÃ‰SOLUTION DES Ã‰QUATIONS NUMÃ‰RIQUES\footnotemark.}
 
-\footnotetext{\Title{Bulletin des Sciences mathématiques} de M.~Férussac, t.~XIII, p.~413
-  (année 1830, cahier de juin). \Annot{(J.~Liouville.)}}
+\footnotetext{\Title{Bulletin des Sciences mathÃ©matiques} de M.~FÃ©russac, t.~XIII, p.~413
+  (annÃ©e 1830, cahier de juin). \Annot{(J.~Liouville.)}}
 
-M.~Legendre a le premier remarqué que, lorsqu'une équation
-algébrique était mise sous la forme
+M.~Legendre a le premier remarquÃ© que, lorsqu'une Ã©quation
+algÃ©brique Ã©tait mise sous la forme
 \[
 \phi x = x,
 \]
-où $\phi x$ est une fonction de~$x$ qui croît constamment en même
-temps que~$x$, il était facile de trouver la racine de cette équation
-immédiatement plus petite qu'un nombre donné~$a$, si $\phi a < a$, et
-la racine immédiatement plus grande que~$a$, si $\phi a > a$.
+oÃ¹ $\phi x$ est une fonction de~$x$ qui croÃ®t constamment en mÃªme
+temps que~$x$, il Ã©tait facile de trouver la racine de cette Ã©quation
+immÃ©diatement plus petite qu'un nombre donnÃ©~$a$, si $\phi a < a$, et
+la racine immÃ©diatement plus grande que~$a$, si $\phi a > a$.
 
-Pour le démontrer, on construit la courbe $y = \phi x$ et la droite
+Pour le dÃ©montrer, on construit la courbe $y = \phi x$ et la droite
 $y = x$. Soit prise une abscisse $= a$, et supposons, pour fixer les
-idées, $\phi a > a$, je dis qu'il sera aisé d'obtenir la racine immédiatement
-supérieure à $a$. En effet, les racines de l'équation $\phi x = x$
+idÃ©es, $\phi a > a$, je dis qu'il sera aisÃ© d'obtenir la racine immÃ©diatement
+supÃ©rieure Ã  $a$. En effet, les racines de l'Ã©quation $\phi x = x$
 ne sont que les abscisses des points d'intersection de la droite et
 de la courbe, et il est clair que l'on s'approchera du point le plus
-voisin d'intersection en substituant à l'abscisse $a$ l'abscisse $\phi a$.
-On aura une valeur plus approchée encore en prenant $\phi\phi a$,
+voisin d'intersection en substituant Ã  l'abscisse $a$ l'abscisse $\phi a$.
+On aura une valeur plus approchÃ©e encore en prenant $\phi\phi a$,
 puis $\phi\phi\phi a$, et ainsi de suite.
 
-Soit $Fx = 0$ une équation donnée du degré $n$, et $Fx = X - Y$,
+Soit $Fx = 0$ une Ã©quation donnÃ©e du degrÃ© $n$, et $Fx = X - Y$,
 $X$~et~$Y$ n'ayant que des termes positifs. Legendre met successivement
-l'équation sous ces deux formes:
+l'Ã©quation sous ces deux formes:
 \[
 x = \phi x = \sqrt[n]{\frac{X}{\left(\dfrac{Y}{x^{n}}\right)}}, \qquad
 x = \psi x = \sqrt[n]{\frac{X}{\left(\dfrac{x^{n}}{Y}\right)}};
 \]
 les deux fonctions $\phi x$ et $\psi x$ sont toujours, comme on voit, l'une
-plus grande, l'autre plus petite que $x$. Ainsi, à l'aide de ces deux
-fonctions, on pourra avoir les deux racines de l'équation les plus
-approchées d'un nombre donné $a$, l'une en plus et l'autre en
+plus grande, l'autre plus petite que $x$. Ainsi, Ã  l'aide de ces deux
+fonctions, on pourra avoir les deux racines de l'Ã©quation les plus
+approchÃ©es d'un nombre donnÃ© $a$, l'une en plus et l'autre en
 moins.
 %% -----File: 022.png---Folio 14-------
 
-Mais cette méthode a l'inconvénient d'exiger, à chaque opération,
-l'extraction d'une racine~$n^{\text{ième}}$. Voici deux formes plus commodes.
+Mais cette mÃ©thode a l'inconvÃ©nient d'exiger, Ã  chaque opÃ©ration,
+l'extraction d'une racine~$n^{\text{iÃ¨me}}$. Voici deux formes plus commodes.
 Cherchons un nombre~$k$ tel que la fonction
 \[
 x + \frac{Fx}{kx^{n}}
 \]
 croisse avec~$x$, quand $x > 1$. (Il suffit, en effet, de savoir trouver
-les racines d'une équation qui sont plus grandes que l'unité.)
+les racines d'une Ã©quation qui sont plus grandes que l'unitÃ©.)
 
-Nous aurons, pour la condition proposée,
+Nous aurons, pour la condition proposÃ©e,
 \[
 1 + \frac{d\dfrac{X - Y}{kx^{n}}}{dx} > 0, \quad\text{ou bien}\quad
 1 - \frac{nX - xX'}{kx^{n+1}} + \frac{nY - xY'}{kx^{n+1}} > 0;
@@ -1399,149 +1401,149 @@ il suffit donc de poser
 \frac{nX - xX'}{kx^{n+1}} < 1 \quad\text{pour}\quad x > 1,
 \]
 et il suffit, pour cela, de prendre pour $k$ la valeur de la fonction
-$nX - xX'$, relative à $x = 1$.
+$nX - xX'$, relative Ã  $x = 1$.
 
-On trouvera de même un nombre~$h$ tel que la fonction
+On trouvera de mÃªme un nombre~$h$ tel que la fonction
 \[
 x - \frac{Fx}{hx^{n}}
 \]
-croîtra avec~$x$, quand $x$~sera $> 1$, en changeant $Y$~en~$X$.
+croÃ®tra avec~$x$, quand $x$~sera $> 1$, en changeant $Y$~en~$X$.
 
-Ainsi, l'équation donnée pourra se mettre sous l'une des formes
+Ainsi, l'Ã©quation donnÃ©e pourra se mettre sous l'une des formes
 \[
 x = x + \frac{Fx}{kx^{n}}, \qquad
 x = x - \frac{Fx}{hx^{n}},
 \]
-qui sont toutes deux rationnelles et donnent pour la résolution
-une méthode facile.
+qui sont toutes deux rationnelles et donnent pour la rÃ©solution
+une mÃ©thode facile.
 %% -----File: 023.png---Folio 15-------
 
 
-\Article{}{SUR}{LA THÉORIE DES NOMBRES\footnotemark.}
+\Article{}{SUR}{LA THÃ‰ORIE DES NOMBRES\footnotemark.}
 
-\footnotetext{\Title{Bulletin des Sciences mathématiques} de M.~Férussac, t.~XIII, p.~438
-  (année 1830, cahier de juin); avec la note suivante: «Ce Mémoire fait partie
-  des recherches de M.~Galois sur la théorie des permutations et des équations
-  algébriques.» \Annot{(J.~Liouville.)}}
+\footnotetext{\Title{Bulletin des Sciences mathÃ©matiques} de M.~FÃ©russac, t.~XIII, p.~438
+  (annÃ©e 1830, cahier de juin); avec la note suivante: Â«Ce MÃ©moire fait partie
+  des recherches de M.~Galois sur la thÃ©orie des permutations et des Ã©quations
+  algÃ©briques.Â» \Annot{(J.~Liouville.)}}
 
-Quand on convient de regarder comme nulles toutes les quantités
-qui, dans les calculs algébriques, se trouvent multipliées par
-un nombre premier donné~$p$, et qu'on cherche, dans cette convention,
-les solutions d'une équation algébrique $Fx = 0$, ce que
-M.~Gauss désigne par la notation $Fx \equiv 0$, on n'a coutume de
-considérer que les solutions entières de ces sortes de questions.
-Ayant été conduit par des recherches particulières à considérer
-les solutions incommensurables, je suis parvenu à quelques résultats
+Quand on convient de regarder comme nulles toutes les quantitÃ©s
+qui, dans les calculs algÃ©briques, se trouvent multipliÃ©es par
+un nombre premier donnÃ©~$p$, et qu'on cherche, dans cette convention,
+les solutions d'une Ã©quation algÃ©brique $Fx = 0$, ce que
+M.~Gauss dÃ©signe par la notation $Fx \equiv 0$, on n'a coutume de
+considÃ©rer que les solutions entiÃ¨res de ces sortes de questions.
+Ayant Ã©tÃ© conduit par des recherches particuliÃ¨res Ã  considÃ©rer
+les solutions incommensurables, je suis parvenu Ã  quelques rÃ©sultats
 que je crois nouveaux.
 
-Soit une pareille équation ou congruence, $Fx = 0$, et $p$~le module.
-Supposons d'abord, pour plus de simplicité, que la congruence
+Soit une pareille Ã©quation ou congruence, $Fx = 0$, et $p$~le module.
+Supposons d'abord, pour plus de simplicitÃ©, que la congruence
 en question n'admette aucun facteur commensurable,
-c'est-à-dire qu'on ne puisse pas trouver trois fonctions $\phi x$, $\psi x$,
+c'est-Ã -dire qu'on ne puisse pas trouver trois fonctions $\phi x$, $\psi x$,
 $\chi x$ telles que
 \[
-\phi x · \psi x = Fx + p · \chi x.
+\phi x Â· \psi x = Fx + p Â· \chi x.
 \]
-Dans ce cas, la congruence n'admettra donc aucune racine entière,
-ni même aucune racine incommensurable de degré inférieur.
+Dans ce cas, la congruence n'admettra donc aucune racine entiÃ¨re,
+ni mÃªme aucune racine incommensurable de degrÃ© infÃ©rieur.
 Il faut donc regarder les racines de cette congruence comme
-des espèces de symboles imaginaires, puisqu'elles ne satisfont pas
+des espÃ¨ces de symboles imaginaires, puisqu'elles ne satisfont pas
 aux questions des nombres entiers, symboles dont l'emploi, dans
 le calcul, sera souvent aussi utile que celui de l'imaginaire~$\sqrt{-1}$
 dans l'analyse ordinaire.
 
-C'est la classification de ces imaginaires, et leur réduction au
+C'est la classification de ces imaginaires, et leur rÃ©duction au
 plus petit nombre possible, qui va nous occuper.
 
 Appelons $i$ l'une des racines de la congruence $Fx = 0$, que
-nous supposerons du degré~$\nu$.
+nous supposerons du degrÃ©~$\nu$.
 
-Considérons l'expression générale
+ConsidÃ©rons l'expression gÃ©nÃ©rale
 \[
 \Tag{(A)}
 a + a_{1} i + a_{2} i^{2} + \dots + a_{\nu-1} i^{\nu-1},
 \]
 %% -----File: 024.png---Folio 16-------
-où $a$,~$a_{1}$, $a_{2}$,~\dots, $a_{\nu-1}$ représentent des nombres entiers. En donnant
-à ces nombres toutes les valeurs, l'expression~\Eq{(A)} en
+oÃ¹ $a$,~$a_{1}$, $a_{2}$,~\dots, $a_{\nu-1}$ reprÃ©sentent des nombres entiers. En donnant
+Ã  ces nombres toutes les valeurs, l'expression~\Eq{(A)} en
 acquiert $p^{\nu}$, qui jouissent, ainsi que je vais le faire voir, des
-mêmes propriétés que les nombres naturels dans la \emph{théorie des
-résidus des puissances}.
+mÃªmes propriÃ©tÃ©s que les nombres naturels dans la \emph{thÃ©orie des
+rÃ©sidus des puissances}.
 
-Ne prenons des expressions~\Eq{(A)} que les $p^{\nu} - 1$ valeurs où $a$,
+Ne prenons des expressions~\Eq{(A)} que les $p^{\nu} - 1$ valeurs oÃ¹ $a$,
 $a_{1}$, $a_{2}$,~\dots, $a_{\nu-1}$ ne sont pas toutes nulles: soit $\alpha$ l'une de ces
 expressions.
 
-Si l'on élève successivement $\alpha$ aux puissances $2$\ieme, $3$\ieme,~\dots, on
-aura une suite de quantités de même forme [parce que toute
-fonction de~$i$ peut se réduire au $(\nu - 1)^\text{ième}$~degré]. Donc on devra
-avoir $\alpha^{n} = 1$, $n$~étant un certain nombre; soit $n$ le plus petit
+Si l'on Ã©lÃ¨ve successivement $\alpha$ aux puissances $2$\ieme, $3$\ieme,~\dots, on
+aura une suite de quantitÃ©s de mÃªme forme [parce que toute
+fonction de~$i$ peut se rÃ©duire au $(\nu - 1)^\text{iÃ¨me}$~degrÃ©]. Donc on devra
+avoir $\alpha^{n} = 1$, $n$~Ã©tant un certain nombre; soit $n$ le plus petit
 nombre qui soit tel que l'on ait $\alpha^{n} = 1$. On aura un ensemble
-de $n$~expressions, toutes différentes entre elles,
+de $n$~expressions, toutes diffÃ©rentes entre elles,
 \[
 1,\ \alpha,\ \alpha^{2},\ \alpha^{3},\ \dots,\ \alpha^{n-1}.
 \]
-Multiplions ces $n$~quantités par une autre expression~$\beta$ de la même
-forme. Nous obtiendrons encore un nouveau groupe de quantités
-toutes différentes des premières et différentes entre elles. Si les
-quantités~\Eq{(A)} ne sont pas épuisées, on multipliera encore les
+Multiplions ces $n$~quantitÃ©s par une autre expression~$\beta$ de la mÃªme
+forme. Nous obtiendrons encore un nouveau groupe de quantitÃ©s
+toutes diffÃ©rentes des premiÃ¨res et diffÃ©rentes entre elles. Si les
+quantitÃ©s~\Eq{(A)} ne sont pas Ã©puisÃ©es, on multipliera encore les
 puissances de~$\alpha$ par une nouvelle expression~$\gamma$, et ainsi de suite.
-On voit donc que le nombre $n$ divisera nécessairement le nombre
-total des quantités~\Eq{(A)}. Ce nombre étant $p^{\nu} - 1$, on voit que $n$
-divise $p^{\nu} - 1$. De là suit encore que l'on aura
+On voit donc que le nombre $n$ divisera nÃ©cessairement le nombre
+total des quantitÃ©s~\Eq{(A)}. Ce nombre Ã©tant $p^{\nu} - 1$, on voit que $n$
+divise $p^{\nu} - 1$. De lÃ  suit encore que l'on aura
 \[
 \alpha^{p^{\nu}-1}\! = 1, \quad\text{ou bien}\quad
 \alpha^{p^{\nu}}\! = \alpha.
 \]
 
-Ensuite on prouvera, comme dans la théorie des nombres, qu'il
-y a des racines primitives $\alpha$ pour lesquelles on ait précisément
-$p^{\nu} - 1 = n$, et qui reproduisent par conséquent, par l'élévation
+Ensuite on prouvera, comme dans la thÃ©orie des nombres, qu'il
+y a des racines primitives $\alpha$ pour lesquelles on ait prÃ©cisÃ©ment
+$p^{\nu} - 1 = n$, et qui reproduisent par consÃ©quent, par l'Ã©lÃ©vation
 aux puissances, toute la suite des autres racines.
 
-Et l'une quelconque de ces racines primitives ne dépendra que
-d'une congruence du degré~$\nu$, congruence \emph{irréductible}, sans quoi
-l'équation en~$i$ ne le serait pas non plus, parce que les racines de
+Et l'une quelconque de ces racines primitives ne dÃ©pendra que
+d'une congruence du degrÃ©~$\nu$, congruence \emph{irrÃ©ductible}, sans quoi
+l'Ã©quation en~$i$ ne le serait pas non plus, parce que les racines de
 la congruence en $i$ sont toutes des puissances de la racine primitive.
 
-On voit ici cette conséquence remarquable que toutes les quantités
-algébriques qui peuvent se présenter dans la théorie sont
-racines d'équations de la forme
+On voit ici cette consÃ©quence remarquable que toutes les quantitÃ©s
+algÃ©briques qui peuvent se prÃ©senter dans la thÃ©orie sont
+racines d'Ã©quations de la forme
 \[
 x^{p^{\nu}}\! = x.
 \]
 %% -----File: 025.png---Folio 17-------
 
-Cette proposition, énoncée algébriquement, est celle-ci: Étant
-donnés une fonction~$Fx$ et un nombre premier~$p$, on peut poser
+Cette proposition, Ã©noncÃ©e algÃ©briquement, est celle-ci: Ã‰tant
+donnÃ©s une fonction~$Fx$ et un nombre premier~$p$, on peut poser
 \[
-fx · Fx = x^{p^{\nu}}\! - x + p \phi x,
+fx Â· Fx = x^{p^{\nu}}\! - x + p \phi x,
 \]
-$fx$ et $\phi x$ étant des fonctions entières, toutes les fois que la congruence
-$Fx = 0\ (\mod p)$ sera irréductible.
+$fx$ et $\phi x$ Ã©tant des fonctions entiÃ¨res, toutes les fois que la congruence
+$Fx = 0\ (\mod p)$ sera irrÃ©ductible.
 
 Si l'on veut avoir toutes les racines d'une pareille congruence
-au moyen d'une seule, il suffit d'observer que l'on a généralement
+au moyen d'une seule, il suffit d'observer que l'on a gÃ©nÃ©ralement
 \[
 (Fx)^{p^{n}}\! = F(x^{p^{n}})
 \]
-et que, par conséquent, l'une des racines étant~$x$, les autres
+et que, par consÃ©quent, l'une des racines Ã©tant~$x$, les autres
 seront
 \[
 x^{p},\ x^{p^{2}}\!,\ \dots,\ x^{p^{\nu-1}}\footnotemark.
 \]
-\footnotetext{De ce que les racines de la congruence irréductible de degré~$\nu$
+\footnotetext{De ce que les racines de la congruence irrÃ©ductible de degrÃ©~$\nu$
 \[
 Fx = 0
 \]
-sont exprimées par la suite
+sont exprimÃ©es par la suite
 \[
 x,\ x^{p},\ x^{p^{2}}\!,\ \dots, x^{p^{\nu-1}}\!,
 \]
-on aurait tort de conclure que ces racines soient toujours des quantités exprimables
+on aurait tort de conclure que ces racines soient toujours des quantitÃ©s exprimables
 par radicaux. Voici un exemple du contraire:
 
-La congruence irréductible
+La congruence irrÃ©ductible
 \[
 x^{2} + x + 1 = 0\ (\mod 2)
 \]
@@ -1549,30 +1551,30 @@ donne
 \[
 x = \frac{-1 + \sqrt{-3}}{2},
 \]
-qui se réduit à
+qui se rÃ©duit Ã 
 \[
 \frac{0}{0}\ (\mod 2),
 \]
 formule qui n'apprend rien.}
 
-Il s'agit maintenant de faire voir que, réciproquement à ce que
-nous venons de dire, les racines de l'équation ou de la congruence
-$x^{p^{\nu}}\! = x$ dépendront toutes d'une seule congruence du degré~$\nu$.
+Il s'agit maintenant de faire voir que, rÃ©ciproquement Ã  ce que
+nous venons de dire, les racines de l'Ã©quation ou de la congruence
+$x^{p^{\nu}}\! = x$ dÃ©pendront toutes d'une seule congruence du degrÃ©~$\nu$.
 
-Soit en effet $i$ une racine d'une congruence irréductible et telle
+Soit en effet $i$ une racine d'une congruence irrÃ©ductible et telle
 que toutes les racines de la congruence $x^{p^{\nu}}\! = x$ soient fonctions
-rationnelles de~$i$ (Il est clair qu'ici, comme dans les équations
-ordinaires, cette propriété a lieu)\footnotemark.
-\footnotetext{La proposition générale dont il s'agit ici peut s'énoncer ainsi: Étant donnée
-  une équation algébrique, on pourra trouver une fonction rationnelle~$\theta$ de
-  toutes ses racines, de telle sorte que, réciproquement, chacune des racines s'exprime
-  rationnellement en~$\theta$. Ce théorème était connu d'Abel, ainsi qu'on peut le
-  voir par la première Partie du Mémoire que ce célèbre géomètre a laissé sur les
+rationnelles de~$i$ (Il est clair qu'ici, comme dans les Ã©quations
+ordinaires, cette propriÃ©tÃ© a lieu)\footnotemark.
+\footnotetext{La proposition gÃ©nÃ©rale dont il s'agit ici peut s'Ã©noncer ainsi: Ã‰tant donnÃ©e
+  une Ã©quation algÃ©brique, on pourra trouver une fonction rationnelle~$\theta$ de
+  toutes ses racines, de telle sorte que, rÃ©ciproquement, chacune des racines s'exprime
+  rationnellement en~$\theta$. Ce thÃ©orÃ¨me Ã©tait connu d'Abel, ainsi qu'on peut le
+  voir par la premiÃ¨re Partie du MÃ©moire que ce cÃ©lÃ¨bre gÃ©omÃ¨tre a laissÃ© sur les
 fonctions elliptiques.}
 %% -----File: 026.png---Folio 18-------
 
-Il est d'abord évident que le degré~$\mu$ de la congruence en~$i$ ne
-saurait être plus petit que~$\nu$, sans quoi la congruence
+Il est d'abord Ã©vident que le degrÃ©~$\mu$ de la congruence en~$i$ ne
+saurait Ãªtre plus petit que~$\nu$, sans quoi la congruence
 \[
 \Tag{(\nu)}
 x^{p^{\nu-1}}\! - 1 = 0
@@ -1582,53 +1584,53 @@ aurait toutes ses racines communes avec la congruence
 x^{p^{\mu-1}}\! - 1 = 0,
 \]
 ce qui est absurde, puisque la congruence~\Eq{(\nu)} n'a pas de racines
-égales, comme on le voit en prenant la dérivée du premier
-membre. Je dis maintenant que $\mu$ ne peut non plus être~$> \nu$.
+Ã©gales, comme on le voit en prenant la dÃ©rivÃ©e du premier
+membre. Je dis maintenant que $\mu$ ne peut non plus Ãªtre~$> \nu$.
 
-En effet, s'il en était ainsi, toutes les racines de la congruence
+En effet, s'il en Ã©tait ainsi, toutes les racines de la congruence
 \[
 x^{p^{\mu}}\! = x
 \]
-devraient dépendre rationnellement de celles de la congruence
+devraient dÃ©pendre rationnellement de celles de la congruence
 \[
 x^{p^{\nu}}\! = x.
 \]
-Mais il est aisé de voir que, si l'on a
+Mais il est aisÃ© de voir que, si l'on a
 \[
 i^{p^{\nu}}\! = i,
 \]
 toute fonction rationnelle $h = fi$ donnera encore
 \[
-(fi)^{p^{\nu}}\! = f (i^{p^{\nu}}) = fi, \quad\text{d'où}\quad
+(fi)^{p^{\nu}}\! = f (i^{p^{\nu}}) = fi, \quad\text{d'oÃ¹}\quad
 h^{p^{\nu}}\! = h.
 \]
 
 Donc toutes les racines de la congruence $x^{p^{\mu}}\! = x$ lui seraient
-communes avec l'équation $x^{p^{\nu}}\! = x$, ce qui est absurde.
+communes avec l'Ã©quation $x^{p^{\nu}}\! = x$, ce qui est absurde.
 
-Nous savons donc enfin que toutes les racines de l'équation ou
-congruence $x^{p^{\nu}}\! = x$ dépendent nécessairement d'une \emph{seule} congruence
-\emph{irréductible} de degré~$\nu$.
+Nous savons donc enfin que toutes les racines de l'Ã©quation ou
+congruence $x^{p^{\nu}}\! = x$ dÃ©pendent nÃ©cessairement d'une \emph{seule} congruence
+\emph{irrÃ©ductible} de degrÃ©~$\nu$.
 
-Maintenant, pour avoir cette congruence irréductible d'où
-dépendent les racines de la congruence $x^{p^{\nu}}\! = x$, la méthode la
-plus générale sera de délivrer d'abord cette congruence de tous
+Maintenant, pour avoir cette congruence irrÃ©ductible d'oÃ¹
+dÃ©pendent les racines de la congruence $x^{p^{\nu}}\! = x$, la mÃ©thode la
+plus gÃ©nÃ©rale sera de dÃ©livrer d'abord cette congruence de tous
 les facteurs communs qu'elle pourrait avoir avec des congruences
-de degré inférieur et de la forme
+de degrÃ© infÃ©rieur et de la forme
 \[
 x^{p^{\mu}}\! = x.
 \]
 
 On obtiendra ainsi une congruence qui devra se partager en
-congruences irréductibles de degré~$\nu$. Et, comme on sait exprimer
-toutes les racines de chacune de ces congruences irréductibles au
+congruences irrÃ©ductibles de degrÃ©~$\nu$. Et, comme on sait exprimer
+toutes les racines de chacune de ces congruences irrÃ©ductibles au
 %% -----File: 027.png---Folio 19-------
-moyen d'une seule, il sera aisé de les obtenir toutes par la méthode
+moyen d'une seule, il sera aisÃ© de les obtenir toutes par la mÃ©thode
 de M.~Gauss.
 
-Le plus souvent, cependant, il sera aisé de trouver par le tâtonnement
-une congruence irréductible d'un degré donné~$\nu$, et l'on
-doit en déduire toutes les autres.
+Le plus souvent, cependant, il sera aisÃ© de trouver par le tÃ¢tonnement
+une congruence irrÃ©ductible d'un degrÃ© donnÃ©~$\nu$, et l'on
+doit en dÃ©duire toutes les autres.
 
 Soient, pour exemple, $p = 7$, $\nu = 3$. Cherchons les racines de
 la congruence
@@ -1641,8 +1643,8 @@ J'observe que la congruence
 \Tag{(2)}
 i^{3} = 2\ (\mod 7)
 \]
-étant irréductible, et du degré~$3$, toutes les racines de la congruence~\Eq{(1)}
-dépendent rationnellement de celles de la congruence~\Eq{(2)},
+Ã©tant irrÃ©ductible, et du degrÃ©~$3$, toutes les racines de la congruence~\Eq{(1)}
+dÃ©pendent rationnellement de celles de la congruence~\Eq{(2)},
 en sorte que toutes les racines de~\Eq{(1)} sont de la
 forme
 \[
@@ -1651,12 +1653,12 @@ a + a_{1} i + a_{2} i^{2} \quad\text{ou bien}\quad
 a + a_{1} \sqrt[3]{2} + a_{2} \sqrt[3]{4}.
 \]
 
-Il faut maintenant trouver une racine primitive, c'est-à-dire une
-forme de l'expression~\Eq{(3)} qui, élevée à toutes les puissances,
+Il faut maintenant trouver une racine primitive, c'est-Ã -dire une
+forme de l'expression~\Eq{(3)} qui, Ã©levÃ©e Ã  toutes les puissances,
 donne toutes les racines de la congruence
 \[
 x^{7^{3}-1} = 1, \quad\text{savoir}\quad
-x^{2^{1} · 3^{2} · 19} = 1\ (\mod 7),
+x^{2^{1} Â· 3^{2} Â· 19} = 1\ (\mod 7),
 \]
 et nous n'avons besoin pour cela, que d'avoir une racine primitive
 de chaque congruence
@@ -1666,50 +1668,50 @@ x^{3^{2}} = 1,\qquad
 x^{19} = 1.
 \]
 
-La racine primitive de la première est~$-1$; celles de $x^{3^{2}} - 1 = 0$
-sont données par les équations
+La racine primitive de la premiÃ¨re est~$-1$; celles de $x^{3^{2}} - 1 = 0$
+sont donnÃ©es par les Ã©quations
 \[
 x^{3} = 2,\qquad
 x^{3} = 4,
 \]
 en sorte que $i$ est une racine primitive de $x^{3^{2}} = 1$.
 
-Il ne reste qu'à trouver une racine de $x^{19} - 1 = 0$, ou plutôt de
+Il ne reste qu'Ã  trouver une racine de $x^{19} - 1 = 0$, ou plutÃ´t de
 \[
 \frac{x^{19} - 1}{x - 1} = 0,
 \]
-et essayons pour cela si l'on ne peut pas satisfaire à la question
+et essayons pour cela si l'on ne peut pas satisfaire Ã  la question
 %% -----File: 028.png---Folio 20-------
 en posant simplement $x = a + a_{1} i$, au lieu de $a + a_{1} i + a_{2} i^{2}$;
 nous devrons avoir
 \[
 (a + a_{1} i)^{19} = 1,
 \]
-ce qui, en développant par la formule de Newton, et réduisant les
+ce qui, en dÃ©veloppant par la formule de Newton, et rÃ©duisant les
 puissances de~$a$, de~$a_{1}$ et de~$i$, par les formules
 \[
 a^{m(p-1)} = 1, \qquad
 a_{1}^{m(p-1)} = 1, \qquad
 i^{3} = 2,
 \]
-se réduit à
+se rÃ©duit Ã 
 \[
 3 \bigl[a - a^{4} a_{1}^{3} + (a^{5} a_{1}^{2} + a^{2} a_{1}^{5}) i^{2} \bigr] = 1,
 \]
-d'où, en séparant,
+d'oÃ¹, en sÃ©parant,
 \[
 3a - 3a^{4} a_{1}^{3} = 1, \qquad
 a^{5} a_{1}^{2} + a^{2} a_{1}^{5} = 0.
 \]
 
-Ces deux dernières équations sont satisfaites en posant $a = -1$,
+Ces deux derniÃ¨res Ã©quations sont satisfaites en posant $a = -1$,
 $a_{1} = 1$. Donc
 \[
 -1 + i
 \]
-est une racine primitive de $x^{19} = 1$. Nous avons trouvé plus haut,
+est une racine primitive de $x^{19} = 1$. Nous avons trouvÃ© plus haut,
 pour racines primitives de $x^{2} = 1$ et de $x^{3^{2}} = 1$, les valeurs $-1$
-et~$i$; il ne reste plus qu'à multiplier entre elles les trois quantités
+et~$i$; il ne reste plus qu'Ã  multiplier entre elles les trois quantitÃ©s
 \[
 -1,\quad i,\quad -1 + i,
 \]
@@ -1718,16 +1720,16 @@ et le produit $i - i^{2}$ sera une racine primitive de la congruence
 x^{7^{3} - 1} = 1.
 \]
 
-Donc ici l'expression $i - i^{2}$ jouit de la propriété que, en l'élevant
-à toutes les puissances, on obtiendra $7^{3} - 1$ expressions différentes
+Donc ici l'expression $i - i^{2}$ jouit de la propriÃ©tÃ© que, en l'Ã©levant
+Ã  toutes les puissances, on obtiendra $7^{3} - 1$ expressions diffÃ©rentes
 et de la forme
 \[
 a + a_{1} i + a_{2} i^{2}.
 \]
 
-Si nous voulons avoir la congruence de moindre degré d'où
-dépend notre racine primitive, il faut éliminer~$i$ entre les deux
-équations
+Si nous voulons avoir la congruence de moindre degrÃ© d'oÃ¹
+dÃ©pend notre racine primitive, il faut Ã©liminer~$i$ entre les deux
+Ã©quations
 \[
 i^{3} = 2, \qquad
 \alpha = i - i^{2}.
@@ -1738,7 +1740,7 @@ On obtient ainsi
 \]
 
 Il sera convenable de prendre pour base des imaginaires et de
-représenter par~$i$ la racine de cette équation, en sorte que
+reprÃ©senter par~$i$ la racine de cette Ã©quation, en sorte que
 \[
 \Tag{(i)}
 i^{3} - i + 2 = 0,
@@ -1748,61 +1750,61 @@ et l'on aura toutes les imaginaires de la forme
 \[
 a + a_{1} i + a_{2} i^{2},
 \]
-en élevant $i$ à toutes les puissances et réduisant par l'équation~\Eq{(i)}.
+en Ã©levant $i$ Ã  toutes les puissances et rÃ©duisant par l'Ã©quation~\Eq{(i)}.
 
-Le principal avantage de la nouvelle théorie que nous venons
-d'exposer est de ramener les congruences à la propriété (si utile
-dans les équations ordinaires), d'admettre précisément autant de
-racines qu'il y a d'unités dans l'ordre de leur degré.
+Le principal avantage de la nouvelle thÃ©orie que nous venons
+d'exposer est de ramener les congruences Ã  la propriÃ©tÃ© (si utile
+dans les Ã©quations ordinaires), d'admettre prÃ©cisÃ©ment autant de
+racines qu'il y a d'unitÃ©s dans l'ordre de leur degrÃ©.
 
-La méthode pour avoir toutes ces racines sera très simple. Premièrement,
-on pourra toujours préparer la congruence donnée
-$Fx = 0$ de manière qu'elle n'ait plus de racines égales, ou,
+La mÃ©thode pour avoir toutes ces racines sera trÃ¨s simple. PremiÃ¨rement,
+on pourra toujours prÃ©parer la congruence donnÃ©e
+$Fx = 0$ de maniÃ¨re qu'elle n'ait plus de racines Ã©gales, ou,
 en d'autres termes, qu'elle n'ait plus de facteur commun avec
-$F'x = 0$, et le moyen de le faire est évidemment le même que
-pour les équations ordinaires.
+$F'x = 0$, et le moyen de le faire est Ã©videmment le mÃªme que
+pour les Ã©quations ordinaires.
 
-Ensuite, pour avoir les solutions entières, il suffira, ainsi que
-M.~Libri paraît en avoir fait le premier la remarque, de chercher
-le plus grand facteur commun à $Fx = 0$ et à $x^{p-1} = 1$.
+Ensuite, pour avoir les solutions entiÃ¨res, il suffira, ainsi que
+M.~Libri paraÃ®t en avoir fait le premier la remarque, de chercher
+le plus grand facteur commun Ã  $Fx = 0$ et Ã  $x^{p-1} = 1$.
 
 Si maintenant on veut avoir les solutions imaginaires du second
-degré, on cherchera le plus grand facteur commun à $Fx = 0$
-et à $x^{p^{2}-1}\! = 1$, et, en général, les solutions de l'ordre~$\nu$ seront
-données par le plus grand commun diviseur à $Fx = 0$ et à
+degrÃ©, on cherchera le plus grand facteur commun Ã  $Fx = 0$
+et Ã  $x^{p^{2}-1}\! = 1$, et, en gÃ©nÃ©ral, les solutions de l'ordre~$\nu$ seront
+donnÃ©es par le plus grand commun diviseur Ã  $Fx = 0$ et Ã 
 $x^{p^{\nu}-1}\! = 1$.
 
-C'est surtout dans la théorie des permutations, où l'on a sans
-cesse besoin de varier la forme des indices, que la considération
-des racines imaginaires des congruences paraît indispensable.
-Elle donne un moyen simple et facile de reconnaître dans quel
-cas une équation primitive est soluble par radicaux, comme je
-vais essayer d'en donner en deux mots une idée.
+C'est surtout dans la thÃ©orie des permutations, oÃ¹ l'on a sans
+cesse besoin de varier la forme des indices, que la considÃ©ration
+des racines imaginaires des congruences paraÃ®t indispensable.
+Elle donne un moyen simple et facile de reconnaÃ®tre dans quel
+cas une Ã©quation primitive est soluble par radicaux, comme je
+vais essayer d'en donner en deux mots une idÃ©e.
 
-Soit une équation algébrique $fx = 0$, de degré~$p^{\nu}$; supposons
-que les $p^{\nu}$~racines soient désignées par~$x_{k}$, en donnant à l'indice~$k$
-les $p^{\nu}$~valeurs déterminées par la congruence $k^{p^{\nu}}\! =k\ (\mod p)$.
+Soit une Ã©quation algÃ©brique $fx = 0$, de degrÃ©~$p^{\nu}$; supposons
+que les $p^{\nu}$~racines soient dÃ©signÃ©es par~$x_{k}$, en donnant Ã  l'indice~$k$
+les $p^{\nu}$~valeurs dÃ©terminÃ©es par la congruence $k^{p^{\nu}}\! =k\ (\mod p)$.
 
 Prenons une fonction quelconque rationnelle $V$ des $p^{\nu}$ racines $x_{k}$.
-Transformons cette fonction en substituant partout à l'indice~$k$
-l'indice $(ak + b)^{p^{r}}\!$, $a$,~$b$,~$r$ étant des constantes arbitraires satisfaisant
+Transformons cette fonction en substituant partout Ã  l'indice~$k$
+l'indice $(ak + b)^{p^{r}}\!$, $a$,~$b$,~$r$ Ã©tant des constantes arbitraires satisfaisant
 aux conditions de $a^{p^{\nu}-1}\! = 1$, $b^{p^{\nu}}\! = b\ (\mod p)$ et de $r$~entier.
 
 En donnant aux constantes $a$,~$b$,~$r$ toutes les valeurs dont elles
-sont susceptibles, on obtiendra en tout $p^{\nu}(p^{\nu} - 1)\nu$ manières de
+sont susceptibles, on obtiendra en tout $p^{\nu}(p^{\nu} - 1)\nu$ maniÃ¨res de
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 permuter les racines entre elles par des substitutions de la forme
-$[x_{k}, x_{(ak+b)^{p^{r}}}]$, et la fonction~$V$ admettra en général par ces substitutions
-$p^{\nu}(p^{\nu} - 1)\nu$ formes différentes.
+$[x_{k}, x_{(ak+b)^{p^{r}}}]$, et la fonction~$V$ admettra en gÃ©nÃ©ral par ces substitutions
+$p^{\nu}(p^{\nu} - 1)\nu$ formes diffÃ©rentes.
 
-Admettons maintenant que l'équation proposée $fx = 0$ soit
+Admettons maintenant que l'Ã©quation proposÃ©e $fx = 0$ soit
 telle que toute fonction des racines, invariable par les $p^{\nu}(p^{\nu} - 1)\nu$
-permutations que nous venons de construire, ait pour cela même
-une valeur numérique rationnelle.
+permutations que nous venons de construire, ait pour cela mÃªme
+une valeur numÃ©rique rationnelle.
 
-On remarque que, dans ces circonstances, l'équation $fx = 0$
-sera soluble par radicaux, et, pour parvenir à cette conséquence,
-il suffit d'observer que la valeur substituée à~$k$, dans chaque
+On remarque que, dans ces circonstances, l'Ã©quation $fx = 0$
+sera soluble par radicaux, et, pour parvenir Ã  cette consÃ©quence,
+il suffit d'observer que la valeur substituÃ©e Ã ~$k$, dans chaque
 indice, peut, se mettre sous les trois formes
 \[
 (ak + b)^{p^{r}}\!
@@ -1811,42 +1813,42 @@ indice, peut, se mettre sous les trois formes
   = a' (k+b')^{p^{r}}.
 \]
 
-Les personnes habituées à la théorie des équations le verront
+Les personnes habituÃ©es Ã  la thÃ©orie des Ã©quations le verront
 sans peine.
 
-Cette remarque aurait peu d'importance si je n'étais parvenu à
-démontrer que, réciproquement, une équation primitive ne saurait
-être soluble par radicaux, à moins de satisfaire aux conditions
-que je viens d'énoncer. (J'excepte les équations du neuvième et
-du vingt-cinquième degré.)
+Cette remarque aurait peu d'importance si je n'Ã©tais parvenu Ã 
+dÃ©montrer que, rÃ©ciproquement, une Ã©quation primitive ne saurait
+Ãªtre soluble par radicaux, Ã  moins de satisfaire aux conditions
+que je viens d'Ã©noncer. (J'excepte les Ã©quations du neuviÃ¨me et
+du vingt-cinquiÃ¨me degrÃ©.)
 
 Ainsi, pour chaque nombre de la forme~$p^{\nu}$, on pourra former
 un groupe de permutations tel, que toute fonction des racines
 invariable par ces permutations devra admettre une valeur rationnelle
-quand l'équation de degré~$p^{\nu}$ sera primitive et soluble par
+quand l'Ã©quation de degrÃ©~$p^{\nu}$ sera primitive et soluble par
 radicaux.
 
-D'ailleurs, il n'y a que les équations d'un pareil degré~$p^{\nu}$ qui
-soient à la fois primitives et solubles par radicaux.
+D'ailleurs, il n'y a que les Ã©quations d'un pareil degrÃ©~$p^{\nu}$ qui
+soient Ã  la fois primitives et solubles par radicaux.
 
-Le théorème général que je viens d'énoncer précise et développe
-les conditions que j'avais données dans le \Title{Bulletin} du mois
+Le thÃ©orÃ¨me gÃ©nÃ©ral que je viens d'Ã©noncer prÃ©cise et dÃ©veloppe
+les conditions que j'avais donnÃ©es dans le \Title{Bulletin} du mois
 d'avril. Il indique le moyen de former une fonction des racines
-dont la valeur sera rationnelle, toutes les fois que l'équation primitive
-de degré~$p^{\nu}$ sera soluble par radicaux, et mène, par conséquent,
-aux caractères de résolubilité de ces équations, par
+dont la valeur sera rationnelle, toutes les fois que l'Ã©quation primitive
+de degrÃ©~$p^{\nu}$ sera soluble par radicaux, et mÃ¨ne, par consÃ©quent,
+aux caractÃ¨res de rÃ©solubilitÃ© de ces Ã©quations, par
 des calculs sinon praticables, du moins qui sont possibles en
-théorie.
+thÃ©orie.
 
-Il est à remarquer que, dans le cas où $\nu = 1$, les diverses valeurs
+Il est Ã  remarquer que, dans le cas oÃ¹ $\nu = 1$, les diverses valeurs
 de~$k$ ne sont autre chose que la suite des nombres entiers. Les
 %% -----File: 031.png---Folio 23-------
 substitutions de la forme $(x_{k}, x_{ak+b})$ seront au nombre de~$p(p - 1)$.
 
-La fonction qui, dans le cas des équations solubles par radicaux,
-doit avoir une valeur rationnelle, dépendra, en général,
-d'une équation de degré $1 · 2 · 3 \dots (p - 2)$, à laquelle il faudra,
-par conséquent, appliquer la méthode des racines rationnelles.
+La fonction qui, dans le cas des Ã©quations solubles par radicaux,
+doit avoir une valeur rationnelle, dÃ©pendra, en gÃ©nÃ©ral,
+d'une Ã©quation de degrÃ© $1 Â· 2 Â· 3 \dots (p - 2)$, Ã  laquelle il faudra,
+par consÃ©quent, appliquer la mÃ©thode des racines rationnelles.
 %% -----File: 032.png---Folio 24-------
 %[Blank Page]
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@@ -1856,142 +1858,142 @@ par conséquent, appliquer la méthode des racines rationnelles.
 
 \Letter{Lettre a Auguste Chevalier\footnotemark.}
 
-\footnotetext{Écrite la veille de la mort de l'auteur. (Insérée en 1832 dans la \Title{Revue encyclopédique},
-  numéro de septembre, page~568.) \Annot{(J.~Liouville.)}}
+\footnotetext{Ã‰crite la veille de la mort de l'auteur. (InsÃ©rÃ©e en 1832 dans la \Title{Revue encyclopÃ©dique},
+  numÃ©ro de septembre, page~568.) \Annot{(J.~Liouville.)}}
 
 \qquad Mon cher ami,
 \medskip
 
 J'ai fait en Analyse plusieurs choses nouvelles.
 
-Les unes concernent la théorie des équations; les autres, les
-fonctions intégrales.
+Les unes concernent la thÃ©orie des Ã©quations; les autres, les
+fonctions intÃ©grales.
 
-Dans la théorie des équations, j'ai recherché dans quels cas les
-équations étaient résolubles par des radicaux, ce qui m'a donné
-occasion d'approfondir cette théorie et de décrire toutes les transformations
-possibles sur une équation, lors même qu'elle n'est
+Dans la thÃ©orie des Ã©quations, j'ai recherchÃ© dans quels cas les
+Ã©quations Ã©taient rÃ©solubles par des radicaux, ce qui m'a donnÃ©
+occasion d'approfondir cette thÃ©orie et de dÃ©crire toutes les transformations
+possibles sur une Ã©quation, lors mÃªme qu'elle n'est
 pas soluble par radicaux.
 
-On pourra faire avec tout cela trois Mémoires.
+On pourra faire avec tout cela trois MÃ©moires.
 
-Le premier est écrit, et, malgré ce qu'en a dit Poisson, je le
+Le premier est Ã©crit, et, malgrÃ© ce qu'en a dit Poisson, je le
 maintiens, avec les corrections que j'y ai faites.
 \bigskip
 
 Le second contient des applications assez curieuses de la
-théorie des équations. Voici le résumé des choses les plus importantes:
+thÃ©orie des Ã©quations. Voici le rÃ©sumÃ© des choses les plus importantes:
 
-\primo D'après les propositions II~et~III du premier Mémoire, on
-voit une grande différence entre adjoindre à une équation une des
-racines d'une équation auxiliaire ou les adjoindre toutes.
+\primo D'aprÃ¨s les propositions II~et~III du premier MÃ©moire, on
+voit une grande diffÃ©rence entre adjoindre Ã  une Ã©quation une des
+racines d'une Ã©quation auxiliaire ou les adjoindre toutes.
 
-Dans les deux cas, le groupe de l'équation se partage par l'adjonction
-en groupes tels, que l'on passe de l'un à l'autre par une
-même substitution; mais la condition que ces groupes aient les
-mêmes substitutions n'a lieu certainement que dans le second
-cas. Cela s'appelle la \emph{décomposition propre}.
+Dans les deux cas, le groupe de l'Ã©quation se partage par l'adjonction
+en groupes tels, que l'on passe de l'un Ã  l'autre par une
+mÃªme substitution; mais la condition que ces groupes aient les
+mÃªmes substitutions n'a lieu certainement que dans le second
+cas. Cela s'appelle la \emph{dÃ©composition propre}.
 
 En d'autres termes, quand un groupe~$G$ en contient un autre~$H$,
 %% -----File: 034.png---Folio 26-------
 le groupe~$G$ peut se partager en groupes, que l'on obtient chacun
-en opérant sur les permutations de~$H$ une même substitution; en
+en opÃ©rant sur les permutations de~$H$ une mÃªme substitution; en
 sorte que
 \[
 G = H + HS + HS' + \dots.
 \]
-Et aussi il peut se diviser en groupes qui ont tous les mêmes substitutions,
+Et aussi il peut se diviser en groupes qui ont tous les mÃªmes substitutions,
 en sorte que
 \[
 G = H + TH + T'H + \dots.
 \]
 
-Ces deux genres de décompositions ne coïncident pas ordinairement.
-Quand ils coïncident, la décomposition est dite \emph{propre}.
+Ces deux genres de dÃ©compositions ne coÃ¯ncident pas ordinairement.
+Quand ils coÃ¯ncident, la dÃ©composition est dite \emph{propre}.
 
-Il est aisé de voir que, quand le groupe d'une équation n'est
-susceptible d'aucune décomposition propre, on aura beau transformer
-cette équation, les groupes des équations transformées
-auront toujours le même nombre de permutations.
+Il est aisÃ© de voir que, quand le groupe d'une Ã©quation n'est
+susceptible d'aucune dÃ©composition propre, on aura beau transformer
+cette Ã©quation, les groupes des Ã©quations transformÃ©es
+auront toujours le mÃªme nombre de permutations.
 
-Au contraire, quand le groupe d'une équation est susceptible
-d'une décomposition propre, en sorte qu'il se partage en $M$~groupes
-de $N$~permutations, on pourra résoudre l'équation donnée
-au moyen de deux équations: l'une aura un groupe de $M$~permutations,
+Au contraire, quand le groupe d'une Ã©quation est susceptible
+d'une dÃ©composition propre, en sorte qu'il se partage en $M$~groupes
+de $N$~permutations, on pourra rÃ©soudre l'Ã©quation donnÃ©e
+au moyen de deux Ã©quations: l'une aura un groupe de $M$~permutations,
 l'autre un de $N$~permutations.
 
-Lors donc qu'on aura épuisé sur le groupe d'une équation tout
-ce qu'il y a de décompositions propres possibles sur ce groupe,
-on arrivera à des groupes qu'on pourra transformer, mais dont
-les permutations seront toujours en même nombre.
+Lors donc qu'on aura Ã©puisÃ© sur le groupe d'une Ã©quation tout
+ce qu'il y a de dÃ©compositions propres possibles sur ce groupe,
+on arrivera Ã  des groupes qu'on pourra transformer, mais dont
+les permutations seront toujours en mÃªme nombre.
 
 Si ces groupes ont chacun un nombre premier de permutations,
-l'équation sera soluble par radicaux; sinon, non.
+l'Ã©quation sera soluble par radicaux; sinon, non.
 
 Le plus petit nombre de permutations que puisse avoir un
-groupe indécomposable, quand ce nombre n'est pas premier,
-est $5 · 4 · 3$.
+groupe indÃ©composable, quand ce nombre n'est pas premier,
+est $5 Â· 4 Â· 3$.
 
-\secundo Les décompositions les plus simples sont celles qui ont lieu
-par la méthode de M.~Gauss.
+\secundo Les dÃ©compositions les plus simples sont celles qui ont lieu
+par la mÃ©thode de M.~Gauss.
 
-Comme ces décompositions sont évidentes, même dans la forme
-actuelle du groupe de l'équation, il est inutile de s'arrêter longtemps
+Comme ces dÃ©compositions sont Ã©videntes, mÃªme dans la forme
+actuelle du groupe de l'Ã©quation, il est inutile de s'arrÃªter longtemps
 sur cet objet.
 
-Quelles décompositions sont praticables sur une équation qui
-ne se simplifie pas par la méthode de M.~Gauss?
+Quelles dÃ©compositions sont praticables sur une Ã©quation qui
+ne se simplifie pas par la mÃ©thode de M.~Gauss?
 
-J'ai appelé \emph{primitives} les équations qui ne peuvent se simplifier
-par la méthode de M.~Gauss; non que ces équations soient
+J'ai appelÃ© \emph{primitives} les Ã©quations qui ne peuvent se simplifier
+par la mÃ©thode de M.~Gauss; non que ces Ã©quations soient
 %% -----File: 035.png---Folio 27-------
-réellement indécomposables, puisqu'elles peuvent même se
-résoudre par radicaux.
+rÃ©ellement indÃ©composables, puisqu'elles peuvent mÃªme se
+rÃ©soudre par radicaux.
 
-Comme lemme à la théorie des équations primitives solubles
-par radicaux, j'ai mis en juin~1830, dans le \Title{Bulletin de Férussac},
-une analyse sur les imaginaires de la théorie des nombres.
+Comme lemme Ã  la thÃ©orie des Ã©quations primitives solubles
+par radicaux, j'ai mis en juin~1830, dans le \Title{Bulletin de FÃ©russac},
+une analyse sur les imaginaires de la thÃ©orie des nombres.
 
 On trouvera ci-jointe\footnote
-  {Galois parle des manuscrits, jusqu'ici inédits, que nous publions. \\
+  {Galois parle des manuscrits, jusqu'ici inÃ©dits, que nous publions. \\
   \Annot{(J.~Liouville.)}}
-la démonstration des théorèmes suivants:
+la dÃ©monstration des thÃ©orÃ¨mes suivants:
 
-\primo Pour qu'une équation primitive soit soluble par radicaux,
-elle doit être du degré~$p^{\nu}$, $p$~étant premier.
+\primo Pour qu'une Ã©quation primitive soit soluble par radicaux,
+elle doit Ãªtre du degrÃ©~$p^{\nu}$, $p$~Ã©tant premier.
 
-\secundo Toutes les permutations d'une pareille équation sont de la
+\secundo Toutes les permutations d'une pareille Ã©quation sont de la
 forme
 \[
 x_{k, l, m\dots} \mid x_{ak+bl+cm+\dots+h,\: a'k+b'l+c'm+\dots+h',\: a''k+\dots\dots},
 \]
-$k$,~$l$,~$m$,~\dots\ étant $\nu$~indices, qui, prenant chacun $p$~valeurs, indiquent
+$k$,~$l$,~$m$,~\dots\ Ã©tant $\nu$~indices, qui, prenant chacun $p$~valeurs, indiquent
 toutes les racines. Les indices sont pris suivant le module~$p$;
-c'est-à-dire que la racine sera la même quand on ajoutera à l'un
+c'est-Ã -dire que la racine sera la mÃªme quand on ajoutera Ã  l'un
 des indices un multiple de~$p$.
 
-Le groupe qu'on obtient en opérant toutes les substitutions de
-cette forme linéaire contient, en tout,
+Le groupe qu'on obtient en opÃ©rant toutes les substitutions de
+cette forme linÃ©aire contient, en tout,
 \[
 p^{\nu} (p^{\nu} - 1) (p^{\nu} - p) \dots (p^{\nu} - p^{\nu-1}) \text{ permutations.}
 \]
 
-Il s'en faut que, dans cette généralité, les équations qui lui
-répondent soient solubles par radicaux.
+Il s'en faut que, dans cette gÃ©nÃ©ralitÃ©, les Ã©quations qui lui
+rÃ©pondent soient solubles par radicaux.
 
-La condition que j'ai indiquée dans le \Title{Bulletin de Férussac}
-pour que l'équation soit soluble par radicaux est trop restreinte;
+La condition que j'ai indiquÃ©e dans le \Title{Bulletin de FÃ©russac}
+pour que l'Ã©quation soit soluble par radicaux est trop restreinte;
 il y a peu d'exceptions, mais il y en a.
 
-La dernière application de la théorie des équations est relative
-aux équations modulaires des fonctions elliptiques.
+La derniÃ¨re application de la thÃ©orie des Ã©quations est relative
+aux Ã©quations modulaires des fonctions elliptiques.
 
-On sait que le groupe de l'équation qui a pour racines les sinus
-de l'amplitude des $p^{2} - 1$ divisions d'une période est celui-ci:
+On sait que le groupe de l'Ã©quation qui a pour racines les sinus
+de l'amplitude des $p^{2} - 1$ divisions d'une pÃ©riode est celui-ci:
 \[
 x_{k, l}, \quad x_{ak+bl,\: ck+dl};
 \]
-par conséquent l'équation modulaire correspondante aura pour
+par consÃ©quent l'Ã©quation modulaire correspondante aura pour
 groupe
 \[
 x_{\efrac{k}{l}}, \quad x_{\efrac{ak+bl}{ck+dl}},
@@ -2001,49 +2003,49 @@ dans laquelle $\dfrac{k}{l}$ peut avoir les $p + 1$~valeurs
 \[
 \infty,\ 0,\ 1,\ 2,\ \dots,\ p - 1.
 \]
-Ainsi, en convenant que $k$ peut être infini, on peut écrire simplement
+Ainsi, en convenant que $k$ peut Ãªtre infini, on peut Ã©crire simplement
 \[
 x_{k},\quad x_{\efrac{ak+b}{ck+d}}.
 \]
 
-En donnant à $a$, $b$, $c$, $d$ toutes les valeurs, on obtient
+En donnant Ã  $a$, $b$, $c$, $d$ toutes les valeurs, on obtient
 \[
 (p+1) p (p-1) \text{ permutations}.
 \]
 
-Or ce groupe se décompose \emph{proprement} en deux groupes,
+Or ce groupe se dÃ©compose \emph{proprement} en deux groupes,
 dont les substitutions sont
 \[
 x_{k},\quad x_{\efrac{ak+b}{ck+d}} ,
 \]
-$ad - bc$ étant un résidu quadratique de~$p$.
+$ad - bc$ Ã©tant un rÃ©sidu quadratique de~$p$.
 
-Le groupe ainsi simplifié est de
+Le groupe ainsi simplifiÃ© est de
 \[
 (p + 1) p\, \frac{p - 1}{2} \text{ permutations}.
 \]
 
-Mais il est aisé de voir qu'il n'est plus décomposable proprement,
-à moins que $p = 2$, ou $p = 3$.
+Mais il est aisÃ© de voir qu'il n'est plus dÃ©composable proprement,
+Ã  moins que $p = 2$, ou $p = 3$.
 
-Ainsi, de quelle manière que l'on transforme l'équation, son
-groupe aura toujours le même nombre de permutations.
+Ainsi, de quelle maniÃ¨re que l'on transforme l'Ã©quation, son
+groupe aura toujours le mÃªme nombre de permutations.
 
-Mais il est curieux de savoir si le degré peut s'abaisser.
+Mais il est curieux de savoir si le degrÃ© peut s'abaisser.
 
 Et d'abord il ne peut s'abaisser plus bas que~$p$, puisqu'une
-équation de degré moindre que $p$ ne peut avoir~$p$ pour facteur
+Ã©quation de degrÃ© moindre que $p$ ne peut avoir~$p$ pour facteur
 dans le nombre des permutations de son groupe.
 
-Voyons donc si l'équation de degré~$p + 1$, dont les racines~$x_{k}$
-s'indiquent en donnant à~$k$ toutes les valeurs, y compris l'infini,
+Voyons donc si l'Ã©quation de degrÃ©~$p + 1$, dont les racines~$x_{k}$
+s'indiquent en donnant Ã ~$k$ toutes les valeurs, y compris l'infini,
 et dont le groupe a pour substitutions
 \[
 x_{k},\quad x_{\efrac{ak+b}{ck+d}},
 \]
-$ad - bc$ étant un carré, peut s'abaisser au degré~$p$.
+$ad - bc$ Ã©tant un carrÃ©, peut s'abaisser au degrÃ©~$p$.
 
-Or il faut pour cela que le groupe se décompose (improprement,
+Or il faut pour cela que le groupe se dÃ©compose (improprement,
 s'entend) en $p$~groupes de $(p + 1)\dfrac{p - 1}{2}$ permutations
 chacun.
 %% -----File: 037.png---Folio 29-------
@@ -2056,11 +2058,11 @@ x_{k},\quad x_{m^{2} k}.
 \]
 
 Donc si $M$ est la lettre conjointe de~$1$, la lettre conjointe de $m^{2}$
-sera~$m^{2} M$. Quand $M$~est un carré, on aura donc $M^{2} = 1$. Mais
+sera~$m^{2} M$. Quand $M$~est un carrÃ©, on aura donc $M^{2} = 1$. Mais
 cette simplification ne peut avoir lieu que pour $p = 5$.
 
 Pour $p = 7$ on trouve un groupe de $(p + 1)\dfrac{p - 1}{2}$ permutations,
-où
+oÃ¹
 \[
 \infty,\ 1,\ 2,\ 4
 \]
@@ -2073,11 +2075,11 @@ Ce groupe a ses substitutions de la forme
 \[
 x_{k}, \quad x_{a\efrac{k - b}{k - c}},
 \]
-$b$ étant la lettre conjointe de~$c$, et $a$~une lettre qui est résidu ou
-non résidu en même temps que~$c$.
+$b$ Ã©tant la lettre conjointe de~$c$, et $a$~une lettre qui est rÃ©sidu ou
+non rÃ©sidu en mÃªme temps que~$c$.
 
-Pour $p = 11$, les mêmes substitutions auront lieu avec les
-mêmes notations,
+Pour $p = 11$, les mÃªmes substitutions auront lieu avec les
+mÃªmes notations,
 \[
 \infty,\ 1,\ 3,\ 5,\ 5,\ 9
 \]
@@ -2086,339 +2088,339 @@ ayant respectivement pour conjointes
 0,\ 2,\ 6,\ 8,\ 10,\ 7.
 \]
 
-Ainsi, pour le cas de $p = 5$, $7$, $11$, l'équation modulaire
-s'abaisse au degré~$p$.
+Ainsi, pour le cas de $p = 5$, $7$, $11$, l'Ã©quation modulaire
+s'abaisse au degrÃ©~$p$.
 
-En toute rigueur, cette équation n'est pas possible dans les cas
-plus élevés.
+En toute rigueur, cette Ã©quation n'est pas possible dans les cas
+plus Ã©levÃ©s.
 
-Le troisième Mémoire concerne les intégrales.
+Le troisiÃ¨me MÃ©moire concerne les intÃ©grales.
 
-On sait qu'une somme de termes d'une même fonction elliptique
-se réduit toujours à un seul terme, plus des quantités algébriques
+On sait qu'une somme de termes d'une mÃªme fonction elliptique
+se rÃ©duit toujours Ã  un seul terme, plus des quantitÃ©s algÃ©briques
 ou logarithmiques.
 
-Il n'y a pas d'autres fonctions pour lesquelles cette propriété
+Il n'y a pas d'autres fonctions pour lesquelles cette propriÃ©tÃ©
 ait lieu.
 
-Mais des propriétés absolument semblables y suppléent dans
-toutes les intégrales de fonctions algébriques.
+Mais des propriÃ©tÃ©s absolument semblables y supplÃ©ent dans
+toutes les intÃ©grales de fonctions algÃ©briques.
 %% -----File: 038.png---Folio 30-------
 
-On traite à la fois toutes les intégrales dont la différentielle est
-une fonction de la variable et d'une même fonction irrationnelle
+On traite Ã  la fois toutes les intÃ©grales dont la diffÃ©rentielle est
+une fonction de la variable et d'une mÃªme fonction irrationnelle
 de la variable, que cette irrationnelle soit ou ne soit pas un radical,
 qu'elle s'exprime ou ne s'exprime pas par des radicaux.
 
-On trouve que le nombre des périodes distinctes de l'intégrale
-la plus générale relative à une irrationnelle donnée est toujours
+On trouve que le nombre des pÃ©riodes distinctes de l'intÃ©grale
+la plus gÃ©nÃ©rale relative Ã  une irrationnelle donnÃ©e est toujours
 un nombre pair.
 
-Soit $2n$ ce nombre, on aura le théorème suivant:
+Soit $2n$ ce nombre, on aura le thÃ©orÃ¨me suivant:
 
-Une somme quelconque de termes se réduit à $n$~termes, plus
-des quantités algébriques et logarithmiques.
+Une somme quelconque de termes se rÃ©duit Ã  $n$~termes, plus
+des quantitÃ©s algÃ©briques et logarithmiques.
 
-Les fonctions de première espèce sont celles pour lesquelles la
-partie algébrique et logarithmique est nulle.
+Les fonctions de premiÃ¨re espÃ¨ce sont celles pour lesquelles la
+partie algÃ©brique et logarithmique est nulle.
 
 Il y en a $n$~distinctes.
 
-Les fonctions de seconde espèce sont celles pour lesquelles la
-partie complémentaire est purement algébrique.
+Les fonctions de seconde espÃ¨ce sont celles pour lesquelles la
+partie complÃ©mentaire est purement algÃ©brique.
 
 Il y en a $n$~distinctes.
 
-On peut supposer que les différentielles des autres fonctions
+On peut supposer que les diffÃ©rentielles des autres fonctions
 ne soient jamais infinies qu'une fois pour $x = a$, et, de plus, que
-leur partie complémentaire se réduise à un seul logarithme, $\log P$,
-$P$~étant une quantité algébrique. En désignant par $\prod(x, a)$ ces
-fonctions, on aura le théorème
+leur partie complÃ©mentaire se rÃ©duise Ã  un seul logarithme, $\log P$,
+$P$~Ã©tant une quantitÃ© algÃ©brique. En dÃ©signant par $\prod(x, a)$ ces
+fonctions, on aura le thÃ©orÃ¨me
 \[
-\textstyle \prod(x, a) - \prod(a, x) = \sum \phi a · \psi x,
+\textstyle \prod(x, a) - \prod(a, x) = \sum \phi a Â· \psi x,
 \]
-$\phi a$ et $\psi x$ étant des fonctions de première et de seconde espèce.
+$\phi a$ et $\psi x$ Ã©tant des fonctions de premiÃ¨re et de seconde espÃ¨ce.
 
-On en déduit, en appelant $\prod(a)$ et $\psi$ les périodes de $\prod(x, a)$
-et $\psi x$ relatives à une même révolution de~$x$,
+On en dÃ©duit, en appelant $\prod(a)$ et $\psi$ les pÃ©riodes de $\prod(x, a)$
+et $\psi x$ relatives Ã  une mÃªme rÃ©volution de~$x$,
 \[
-\textstyle \prod(a) = \sum \psi × \phi a.
+\textstyle \prod(a) = \sum \psi Ã— \phi a.
 \]
-Ainsi les périodes des fonctions de troisième espèce s'expriment
-toujours en fonction de première et de seconde espèce.
+Ainsi les pÃ©riodes des fonctions de troisiÃ¨me espÃ¨ce s'expriment
+toujours en fonction de premiÃ¨re et de seconde espÃ¨ce.
 
-On peut en déduire aussi des théorèmes analogues au théorème
+On peut en dÃ©duire aussi des thÃ©orÃ¨mes analogues au thÃ©orÃ¨me
 de Legendre
 \[
 FE' + EF' - FF' = \frac{\pi}{2}.
 \]
 
-La réduction des fonctions de troisième espèce à des intégrales
-définies, qui est la plus belle découverte de M.~Jacobi, n'est pas
+La rÃ©duction des fonctions de troisiÃ¨me espÃ¨ce Ã  des intÃ©grales
+dÃ©finies, qui est la plus belle dÃ©couverte de M.~Jacobi, n'est pas
 praticable, hors le cas des fonctions elliptiques.
 
-La multiplication des fonctions intégrales par un nombre entier
+La multiplication des fonctions intÃ©grales par un nombre entier
 %% -----File: 039.png---Folio 31-------
-est toujours possible, comme l'addition, au moyen d'une équation
-de degré~$n$ dont les racines sont les valeurs à substituer dans
-l'intégrale pour avoir les termes réduits.
+est toujours possible, comme l'addition, au moyen d'une Ã©quation
+de degrÃ©~$n$ dont les racines sont les valeurs Ã  substituer dans
+l'intÃ©grale pour avoir les termes rÃ©duits.
 
-L'équation qui donne la division des périodes en $p$~parties
-égales est du degré~$p^{2n} - 1$. Son groupe a en tout
+L'Ã©quation qui donne la division des pÃ©riodes en $p$~parties
+Ã©gales est du degrÃ©~$p^{2n} - 1$. Son groupe a en tout
 \[
 (p^{2n} - 1)(p^{2n} - p) \dots (p^{2n} - p^{2n-1}) \text{ permutations}.
 \]
 
-L'équation qui donne la division d'une somme de $n$~termes
-en $p$~parties égales est du degré~$p^{2n}$. Elle est soluble par radicaux.
+L'Ã©quation qui donne la division d'une somme de $n$~termes
+en $p$~parties Ã©gales est du degrÃ©~$p^{2n}$. Elle est soluble par radicaux.
 
 \Par{De la transformation.} On peut d'abord, en suivant des raisonnements
-analogues à ceux qu'Abel a consignés dans son dernier
-Mémoire, démontrer que si, dans une même relation entre
-des intégrales, on a les deux fonctions
+analogues Ã  ceux qu'Abel a consignÃ©s dans son dernier
+MÃ©moire, dÃ©montrer que si, dans une mÃªme relation entre
+des intÃ©grales, on a les deux fonctions
 \[
 \int \Phi(x, X)\, dx, \quad
 \int \Psi(y, Y)\, dy,
 \]
-la dernière intégrale ayant $2n$~périodes, il sera permis de supposer
-que $y$~et~$Y$ s'expriment moyennant une seule équation de
-degré~$n$ en fonction de~$x$ et de~$X$.
+la derniÃ¨re intÃ©grale ayant $2n$~pÃ©riodes, il sera permis de supposer
+que $y$~et~$Y$ s'expriment moyennant une seule Ã©quation de
+degrÃ©~$n$ en fonction de~$x$ et de~$X$.
 
-D'après cela on peut supposer que les transformations aient
-lieu constamment entre deux intégrales seulement, puisqu'on
-aura évidemment, en prenant une fonction quelconque rationnelle
+D'aprÃ¨s cela on peut supposer que les transformations aient
+lieu constamment entre deux intÃ©grales seulement, puisqu'on
+aura Ã©videmment, en prenant une fonction quelconque rationnelle
 de~$y$ et de~$Y$,
 \[
 {\textstyle\sum} \int f(y, Y)\, dy
   = \int F(x, X)\, dx + \text{ une quant.\ alg.\ et log.}
 \]
 
-Il y aurait sur cette équation des réductions évidentes dans le
-cas où les intégrales de l'un et de l'autre membre n'auraient pas
-toutes deux le même nombre de périodes.
+Il y aurait sur cette Ã©quation des rÃ©ductions Ã©videntes dans le
+cas oÃ¹ les intÃ©grales de l'un et de l'autre membre n'auraient pas
+toutes deux le mÃªme nombre de pÃ©riodes.
 
-Ainsi nous n'avons à comparer que des intégrales qui aient
-toutes deux le même nombre de périodes.
+Ainsi nous n'avons Ã  comparer que des intÃ©grales qui aient
+toutes deux le mÃªme nombre de pÃ©riodes.
 
-On démontrera que le plus petit degré d'irrationnalité de deux
-pareilles intégrales ne peut être plus grand pour l'une que pour
+On dÃ©montrera que le plus petit degrÃ© d'irrationnalitÃ© de deux
+pareilles intÃ©grales ne peut Ãªtre plus grand pour l'une que pour
 l'autre.
 
-On fera voir ensuite qu'on peut toujours transformer une intégrale
-donnée en une autre dans laquelle une période de la première
-soit divisée par le nombre premier~$p$, et les $2n - 1$~autres
-restent les mêmes.
+On fera voir ensuite qu'on peut toujours transformer une intÃ©grale
+donnÃ©e en une autre dans laquelle une pÃ©riode de la premiÃ¨re
+soit divisÃ©e par le nombre premier~$p$, et les $2n - 1$~autres
+restent les mÃªmes.
 %% -----File: 040.png---Folio 32-------
 
-Il ne restera donc à comparer que des intégrales où les périodes
-seront les mêmes de part et d'autre, et telles, par conséquent,
-que $n$~termes de l'une s'expriment sans autre équation qu'une
-seule du degré~$n$, au moyen de ceux de l'autre, et réciproquement.
+Il ne restera donc Ã  comparer que des intÃ©grales oÃ¹ les pÃ©riodes
+seront les mÃªmes de part et d'autre, et telles, par consÃ©quent,
+que $n$~termes de l'une s'expriment sans autre Ã©quation qu'une
+seule du degrÃ©~$n$, au moyen de ceux de l'autre, et rÃ©ciproquement.
 Ici nous ne savons rien.
 \bigskip
 
 Tu sais, mon cher Auguste, que ces sujets ne sont pas les seuls
-que j'aie explorés. Mes principales méditations, depuis quelque
-temps étaient dirigées sur l'application à l'analyse transcendante
-de la théorie de l'ambiguïté. Il s'agissait de voir \textit{a~priori}, dans
-une relation entre des quantités ou fonctions transcendantes,
-quels échanges on pouvait faire, quelles quantités on pouvait
-substituer aux quantités données, sans que la relation pût cesser
-d'avoir lieu. Cela fait reconnaître de suite l'impossibilité de beaucoup
+que j'aie explorÃ©s. Mes principales mÃ©ditations, depuis quelque
+temps Ã©taient dirigÃ©es sur l'application Ã  l'analyse transcendante
+de la thÃ©orie de l'ambiguÃ¯tÃ©. Il s'agissait de voir \textit{a~priori}, dans
+une relation entre des quantitÃ©s ou fonctions transcendantes,
+quels Ã©changes on pouvait faire, quelles quantitÃ©s on pouvait
+substituer aux quantitÃ©s donnÃ©es, sans que la relation pÃ»t cesser
+d'avoir lieu. Cela fait reconnaÃ®tre de suite l'impossibilitÃ© de beaucoup
 d'expressions que l'on pourrait chercher. Mais je n'ai pas le
-temps, et mes idées ne sont pas encore bien développées sur ce
+temps, et mes idÃ©es ne sont pas encore bien dÃ©veloppÃ©es sur ce
 terrain, qui est immense.
 
-Tu feras imprimer cette Lettre dans la \Title{Revue encyclopédique}.
+Tu feras imprimer cette Lettre dans la \Title{Revue encyclopÃ©dique}.
 
-Je me suis souvent hasardé dans ma vie à avancer des propositions
-dont je n'étais pas sûr; mais tout ce que j'ai écrit là est depuis
-bientôt un an dans ma tête, et il est trop de mon intérêt de
-ne pas me tromper pour qu'on me soupçonne d'énoncer des théorèmes
-dont je n'aurais pas la démonstration complète.
+Je me suis souvent hasardÃ© dans ma vie Ã  avancer des propositions
+dont je n'Ã©tais pas sÃ»r; mais tout ce que j'ai Ã©crit lÃ  est depuis
+bientÃ´t un an dans ma tÃªte, et il est trop de mon intÃ©rÃªt de
+ne pas me tromper pour qu'on me soupÃ§onne d'Ã©noncer des thÃ©orÃ¨mes
+dont je n'aurais pas la dÃ©monstration complÃ¨te.
 
 Tu prieras publiquement Jacobi ou Gauss de donner leur avis,
-non sur la vérité, mais sur l'importance des théorèmes.
+non sur la vÃ©ritÃ©, mais sur l'importance des thÃ©orÃ¨mes.
 
-Après cela, il y aura, j'espère, des gens qui trouveront leur
-profit à déchiffrer tout ce gâchis.
+AprÃ¨s cela, il y aura, j'espÃ¨re, des gens qui trouveront leur
+profit Ã  dÃ©chiffrer tout ce gÃ¢chis.
 
 Je t'embrasse avec effusion.
 \Date{E.~Galois.}{Le 29 mai 1832.}
 %% -----File: 041.png---Folio 33-------
 
 
-\Article{MÉMOIRE}{SUR LES}{CONDITIONS DE RÉSOLUBILITÉ DES ÉQUATIONS PAR RADICAUX\footnotemark.}
+\Article{MÃ‰MOIRE}{SUR LES}{CONDITIONS DE RÃ‰SOLUBILITÃ‰ DES Ã‰QUATIONS PAR RADICAUX\footnotemark.}
 
-\footnotetext{Ce Mémoire et le suivant ont été retrouvés dans les papiers de Galois et
-  publiés pour la première fois en 1846 par Liouville, qui les avait fait précéder de
+\footnotetext{Ce MÃ©moire et le suivant ont Ã©tÃ© retrouvÃ©s dans les papiers de Galois et
+  publiÃ©s pour la premiÃ¨re fois en 1846 par Liouville, qui les avait fait prÃ©cÃ©der de
   la note suivante:
 \Label{page33}
 
-  «En insérant dans leur Recueil la lettre qu'on vient de lire, les éditeurs de la
-  \Title{Revue encyclopédique} annonçaient qu'ils publieraient prochainement les manuscrits
-  laissés par Galois. Mais celle promesse n'a pas été tenue. M.~Auguste Chevalier
-  avait cependant préparé le travail. Il nous a remis et l'on trouvera dans
+  Â«En insÃ©rant dans leur Recueil la lettre qu'on vient de lire, les Ã©diteurs de la
+  \Title{Revue encyclopÃ©dique} annonÃ§aient qu'ils publieraient prochainement les manuscrits
+  laissÃ©s par Galois. Mais celle promesse n'a pas Ã©tÃ© tenue. M.~Auguste Chevalier
+  avait cependant prÃ©parÃ© le travail. Il nous a remis et l'on trouvera dans
   les feuilles qui vont suivre:
 
-  »\primo Un Mémoire entier sur les conditions de résolubilité des équations par
-radicaux, avec l'application aux équations de degré premier;
+  Â»\primo Un MÃ©moire entier sur les conditions de rÃ©solubilitÃ© des Ã©quations par
+radicaux, avec l'application aux Ã©quations de degrÃ© premier;
 
-  »\secundo Un fragment d'un second Mémoire où Galois traite de la théorie générale
-  des équations qu'il nomme \emph{primitives}.
+  Â»\secundo Un fragment d'un second MÃ©moire oÃ¹ Galois traite de la thÃ©orie gÃ©nÃ©rale
+  des Ã©quations qu'il nomme \emph{primitives}.
 
-  »Nous avons conservé la plupart des notes que M.~Auguste Chevalier avait
-  jointes aux Mémoires dont nous venons de parler. Ces notes sont toutes marquées
-  des initiales A.~Ch. Les notes non signées sont de Galois lui-même.
+  Â»Nous avons conservÃ© la plupart des notes que M.~Auguste Chevalier avait
+  jointes aux MÃ©moires dont nous venons de parler. Ces notes sont toutes marquÃ©es
+  des initiales A.~Ch. Les notes non signÃ©es sont de Galois lui-mÃªme.
 
-  »Nous compléterons cette publication par quelques autres morceaux extraits
+  Â»Nous complÃ©terons cette publication par quelques autres morceaux extraits
   des papiers de Galois, et qui, sans avoir une grande importance, pourront cependant
-  encore être lus avec intérêt par les géomètres.»
+  encore Ãªtre lus avec intÃ©rÃªt par les gÃ©omÃ¨tres.Â»
 
-  Les extraits dont parle Liouville dans la dernière phrase de cette note n'ont
-  jamais été publiés.}
+  Les extraits dont parle Liouville dans la derniÃ¨re phrase de cette note n'ont
+  jamais Ã©tÃ© publiÃ©s.}
 
-Le Mémoire ci-joint\footnote
-  {J'ai jugé convenable de placer en tête de ce Mémoire la préface qu'on va
-  lire, bien que je l'aie trouvée biffée dans le manuscrit. \Annot{(A.~Ch.)}}
+Le MÃ©moire ci-joint\footnote
+  {J'ai jugÃ© convenable de placer en tÃªte de ce MÃ©moire la prÃ©face qu'on va
+  lire, bien que je l'aie trouvÃ©e biffÃ©e dans le manuscrit. \Annot{(A.~Ch.)}}
 est extrait d'un Ouvrage que j'ai eu
-l'honneur de présenter à l'Académie il y a un an. Cet Ouvrage
-n'ayant pas été compris, les propositions qu'il renferme ayant été
-révoquées en doute, j'ai dû me contenter de donner, sous forme
-synthétique, les principes généraux et une \emph{seule} application de
-ma théorie. Je supplie mes juges de lire du moins avec attention
+l'honneur de prÃ©senter Ã  l'AcadÃ©mie il y a un an. Cet Ouvrage
+n'ayant pas Ã©tÃ© compris, les propositions qu'il renferme ayant Ã©tÃ©
+rÃ©voquÃ©es en doute, j'ai dÃ» me contenter de donner, sous forme
+synthÃ©tique, les principes gÃ©nÃ©raux et une \emph{seule} application de
+ma thÃ©orie. Je supplie mes juges de lire du moins avec attention
 ce peu de pages.
 
-On trouvera ici une \emph{condition} générale à laquelle \emph{satisfait
-toute équation soluble par radicaux}, et qui réciproquement
-assure leur résolubilité. On en fait l'application seulement aux
+On trouvera ici une \emph{condition} gÃ©nÃ©rale Ã  laquelle \emph{satisfait
+toute Ã©quation soluble par radicaux}, et qui rÃ©ciproquement
+assure leur rÃ©solubilitÃ©. On en fait l'application seulement aux
 %% -----File: 042.png---Folio 34-------
-équations dont le degré est un nombre premier. Voici le théorème
-donné par notre analyse:
+Ã©quations dont le degrÃ© est un nombre premier. Voici le thÃ©orÃ¨me
+donnÃ© par notre analyse:
 \medskip
 
 \begin{Thm}
-Pour qu'une équation de degré premier, qui n'a pas de diviseurs
+Pour qu'une Ã©quation de degrÃ© premier, qui n'a pas de diviseurs
 commensurables, soit soluble par radicaux, il \emph{faut} et
 il \emph{suffit} que toutes les racines soient des fonctions rationnelles
 de deux quelconques d'entre elles.
 \end{Thm}
 \medskip
 
-Les autres applications de la théorie sont elles-mêmes autant
-de théories particulières. Elles nécessitent d'ailleurs l'emploi de
-la théorie des nombres, et d'un algorithme particulier: nous les
-réservons pour une autre occasion. Elles sont en partie relatives
-aux équations modulaires de la théorie des fonctions elliptiques,
-que nous démontrons ne pouvoir se résoudre par radicaux.
+Les autres applications de la thÃ©orie sont elles-mÃªmes autant
+de thÃ©ories particuliÃ¨res. Elles nÃ©cessitent d'ailleurs l'emploi de
+la thÃ©orie des nombres, et d'un algorithme particulier: nous les
+rÃ©servons pour une autre occasion. Elles sont en partie relatives
+aux Ã©quations modulaires de la thÃ©orie des fonctions elliptiques,
+que nous dÃ©montrons ne pouvoir se rÃ©soudre par radicaux.
 %[** TN: Name printed below date in the original]
 \Date{E.~Galois.}{Ce 16 janvier 1831.}
 
 
 \Subsection{PRINCIPES.}
 
-Je commencerai par établir quelques définitions et une suite de
+Je commencerai par Ã©tablir quelques dÃ©finitions et une suite de
 lemmes qui sont tous connus.
 
-\Par{Définitions.} Une équation est dite \emph{réductible} quand elle
-admet des diviseurs rationnels; \emph{irréductible} dans le cas contraire.
+\Par{DÃ©finitions.} Une Ã©quation est dite \emph{rÃ©ductible} quand elle
+admet des diviseurs rationnels; \emph{irrÃ©ductible} dans le cas contraire.
 
 Il faut ici expliquer ce qu'on doit entendre par le mot \emph{rationnel},
-car il se représentera souvent.
+car il se reprÃ©sentera souvent.
 
-Quand l'équation a \emph{tous} ses coefficients numériques et rationnels,
-cela veut dire simplement que l'équation peut se décomposer
-en facteurs qui aient leurs coefficients numériques et rationnels.
+Quand l'Ã©quation a \emph{tous} ses coefficients numÃ©riques et rationnels,
+cela veut dire simplement que l'Ã©quation peut se dÃ©composer
+en facteurs qui aient leurs coefficients numÃ©riques et rationnels.
 
-Mais quand les coefficients d'une équation ne seront \emph{pas tous}
-numériques et rationnels, alors il faudra entendre par diviseur
+Mais quand les coefficients d'une Ã©quation ne seront \emph{pas tous}
+numÃ©riques et rationnels, alors il faudra entendre par diviseur
 rationnel un diviseur dont les coefficients s'exprimeraient en
-fonction rationnelle des coefficients de la proposée.
+fonction rationnelle des coefficients de la proposÃ©e.
 
 Il y a plus: on pourra convenir de regarder comme rationnelle
-toute fonction rationnelle d'un certain nombre de quantités déterminées,
-supposées connues \textit{a~priori}. Par exemple, on pourra
+toute fonction rationnelle d'un certain nombre de quantitÃ©s dÃ©terminÃ©es,
+supposÃ©es connues \textit{a~priori}. Par exemple, on pourra
 %% -----File: 043.png---Folio 35-------
 choisir une certaine racine d'un nombre entier, et regarder comme
 rationnelle toute fonction rationnelle de ce radical.
 
 Lorsque nous conviendrons de regarder ainsi comme connues
-de certaines quantités, nous dirons que nous les \emph{adjoignons} à
-l'équation qu'il s'agit de résoudre. Nous dirons que ces quantités
-sont \emph{adjointes} à l'équation.
+de certaines quantitÃ©s, nous dirons que nous les \emph{adjoignons} Ã 
+l'Ã©quation qu'il s'agit de rÃ©soudre. Nous dirons que ces quantitÃ©s
+sont \emph{adjointes} Ã  l'Ã©quation.
 
-Cela posé, nous appellerons \emph{rationnelle} toute quantité qui
-s'exprimera en fonction rationnelle des coefficients de l'équation
-et d'un certain nombre de quantités \emph{adjointes} à l'équation et
+Cela posÃ©, nous appellerons \emph{rationnelle} toute quantitÃ© qui
+s'exprimera en fonction rationnelle des coefficients de l'Ã©quation
+et d'un certain nombre de quantitÃ©s \emph{adjointes} Ã  l'Ã©quation et
 convenues arbitrairement.
 
-Quand nous nous servirons d'équations auxiliaires, elles seront
+Quand nous nous servirons d'Ã©quations auxiliaires, elles seront
 rationnelles, si leurs coefficients sont rationnels en notre sens.
 
-On voit, au surplus, que les propriétés et les difficultés d'une
-équation peuvent être tout à fait différentes suivant les quantités
-qui lui sont adjointes. Par exemple, l'adjonction d'une quantité
-peut rendre réductible une équation irréductible.
+On voit, au surplus, que les propriÃ©tÃ©s et les difficultÃ©s d'une
+Ã©quation peuvent Ãªtre tout Ã  fait diffÃ©rentes suivant les quantitÃ©s
+qui lui sont adjointes. Par exemple, l'adjonction d'une quantitÃ©
+peut rendre rÃ©ductible une Ã©quation irrÃ©ductible.
 
-Ainsi, quand on adjoint à l'équation
+Ainsi, quand on adjoint Ã  l'Ã©quation
 \[
 \frac{x^{n} - 1}{x - 1} = 0\DPtypo{.}{,}
 \]
-où $n$ est premier, une racine d'une des équations auxiliaires de
-M.~Gauss, cette équation se décompose en facteurs et devient, par
-conséquent, réductible.
+oÃ¹ $n$ est premier, une racine d'une des Ã©quations auxiliaires de
+M.~Gauss, cette Ã©quation se dÃ©compose en facteurs et devient, par
+consÃ©quent, rÃ©ductible.
 
-Les substitutions sont le passage d'une permutation à l'autre.
+Les substitutions sont le passage d'une permutation Ã  l'autre.
 
-La permutation d'où l'on part pour indiquer les substitutions
+La permutation d'oÃ¹ l'on part pour indiquer les substitutions
 est toute arbitraire, quand il s'agit de fonctions; car il n'y a aucune
 raison pour que, dans une fonction de plusieurs lettres, une
-lettre occupe un rang plutôt qu'un autre.
+lettre occupe un rang plutÃ´t qu'un autre.
 
-Cependant, comme on ne peut guère se former l'idée d'une
+Cependant, comme on ne peut guÃ¨re se former l'idÃ©e d'une
 substitution sans se former celle d'une permutation, nous ferons,
-dans le langage, un emploi fréquent des permutations, et nous ne
-considérerons les substitutions que comme le passage d'une permutation
-à une autre.
+dans le langage, un emploi frÃ©quent des permutations, et nous ne
+considÃ©rerons les substitutions que comme le passage d'une permutation
+Ã  une autre.
 
 Quand nous voudrons grouper des substitutions, nous les ferons
-toutes provenir d'une même permutation.
+toutes provenir d'une mÃªme permutation.
 
-Comme il s'agit toujours de questions où la disposition primitive
-des lettres n'influe en rien dans les groupes que nous considérerons,
-on devra avoir les mêmes substitutions, quelle que soit
+Comme il s'agit toujours de questions oÃ¹ la disposition primitive
+des lettres n'influe en rien dans les groupes que nous considÃ©rerons,
+on devra avoir les mÃªmes substitutions, quelle que soit
 %% -----File: 044.png---Folio 36-------
-la permutation d'où l'on sera parti. Donc, si dans un pareil
-groupe on a les substitutions $S$~et~$T$, on est sûr d'avoir la substitution~$ST$.
+la permutation d'oÃ¹ l'on sera parti. Donc, si dans un pareil
+groupe on a les substitutions $S$~et~$T$, on est sÃ»r d'avoir la substitution~$ST$.
 
-Telles sont les définitions que nous avons cru devoir rappeler.
+Telles sont les dÃ©finitions que nous avons cru devoir rappeler.
 
 \begin{Lemme}[I.]
-Une équation irréductible ne peut avoir aucune
-racine commune avec une équation rationnelle, sans la diviser.
+Une Ã©quation irrÃ©ductible ne peut avoir aucune
+racine commune avec une Ã©quation rationnelle, sans la diviser.
 \end{Lemme}
 
-Car le plus grand commun diviseur entre l'équation irréductible
-et l'autre équation sera encore rationnel; donc, etc.
+Car le plus grand commun diviseur entre l'Ã©quation irrÃ©ductible
+et l'autre Ã©quation sera encore rationnel; donc, etc.
 
 \begin{Lemme}[II.]
-Étant donnée une équation quelconque, qui
-n'a pas de racines égales, dont les racines sont $a$,~$b$, $c$,~\dots, on
+Ã‰tant donnÃ©e une Ã©quation quelconque, qui
+n'a pas de racines Ã©gales, dont les racines sont $a$,~$b$, $c$,~\dots, on
 peut toujours former une fonction~$V$ des racines, telle qu'aucune
 des valeurs que l'on obtient en permutant dans celle fonction
-les racines de toutes manières, ne soit égale à une autre.
+les racines de toutes maniÃ¨res, ne soit Ã©gale Ã  une autre.
 \end{Lemme}
 
 Par exemple, on peut prendre
 \[
 V = Aa + Bb + Cc + \dots,
 \]
-$A$, $B$, $C$ étant des nombres entiers convenablement choisis.
+$A$, $B$, $C$ Ã©tant des nombres entiers convenablement choisis.
 
 \begin{Lemme}[III.]
-La fonction~$V$ étant choisie comme il est indiqué
-dans l'article précèdent, elle jouira de cette propriété,
-que toutes les racines de l'équation proposée s'exprimeront rationnellement
+La fonction~$V$ Ã©tant choisie comme il est indiquÃ©
+dans l'article prÃ©cÃ¨dent, elle jouira de cette propriÃ©tÃ©,
+que toutes les racines de l'Ã©quation proposÃ©e s'exprimeront rationnellement
 en fonction de~$V$.
 \end{Lemme}
 
@@ -2430,66 +2432,66 @@ ou bien
 \[
 V - \phi (a, b, c, d, \dots) = 0.
 \]
-Multiplions entre elles toutes les équations semblables, que l'on
-obtient en permutant dans celles-ci toutes les lettres, la première
+Multiplions entre elles toutes les Ã©quations semblables, que l'on
+obtient en permutant dans celles-ci toutes les lettres, la premiÃ¨re
 seulement restant fixe; il viendra une expression suivante:
 \[
 \bigl[V - \phi (a, b, c, d, \dots)\bigr]
 \bigl[V - \phi (a, c, b, d, \dots)\bigr]
 \bigl[V - \phi (a, b, d, c, \dots)\bigr] \dots,
 \]
-symétrique en $b$, $c$, $d$,~\dots, laquelle pourra, par conséquent,
-s'écrire en fonction de~$a$. Nous aurons donc une équation de la
+symÃ©trique en $b$, $c$, $d$,~\dots, laquelle pourra, par consÃ©quent,
+s'Ã©crire en fonction de~$a$. Nous aurons donc une Ã©quation de la
 forme
 \[
 F(V, a) = 0.
 \]
 %% -----File: 045.png---Folio 37-------
-Or je dis que de là on peut tirer la valeur de~$a$. Il suffit pour cela
-de chercher la solution commune à cette équation et à la proposée.
+Or je dis que de lÃ  on peut tirer la valeur de~$a$. Il suffit pour cela
+de chercher la solution commune Ã  cette Ã©quation et Ã  la proposÃ©e.
 Cette solution est la seule commune, car on ne peut avoir,
 par exemple,
 \[
 F(V, b) = 0,
 \]
-cette équation ayant un facteur commun avec l'équation semblable,
-sans quoi l'une des fonctions $\phi(a, \dots)$ serait égale à
-l'une des fonctions $\phi(b, \dots)$; ce qui est contre l'hypothèse.
+cette Ã©quation ayant un facteur commun avec l'Ã©quation semblable,
+sans quoi l'une des fonctions $\phi(a, \dots)$ serait Ã©gale Ã 
+l'une des fonctions $\phi(b, \dots)$; ce qui est contre l'hypothÃ¨se.
 
-Il suit de là que $a$ s'exprime en fonction rationnelle de~$V$, et il
-en est de même des autres racines.
+Il suit de lÃ  que $a$ s'exprime en fonction rationnelle de~$V$, et il
+en est de mÃªme des autres racines.
 
 Cette proposition\footnote
   {Il est remarquable que de cette proposition on peut conclure que toute
-  équation dépend d'une équation auxiliaire telle, que toutes les racines de cette
-  nouvelle équation soient des fonctions rationnelles les unes des autres: car
-  l'équation auxiliaire en~$V$ est dans ce cas.
+  Ã©quation dÃ©pend d'une Ã©quation auxiliaire telle, que toutes les racines de cette
+  nouvelle Ã©quation soient des fonctions rationnelles les unes des autres: car
+  l'Ã©quation auxiliaire en~$V$ est dans ce cas.
 
-  Au surplus, cette remarque est purement curieuse. En effet, une équation qui
-  a cette propriété n'est pas, en général, plus facile à résoudre qu'une autre.}
-est citée sans démonstration par Abel,
-dans le Mémoire posthume sur les fonctions elliptiques.
+  Au surplus, cette remarque est purement curieuse. En effet, une Ã©quation qui
+  a cette propriÃ©tÃ© n'est pas, en gÃ©nÃ©ral, plus facile Ã  rÃ©soudre qu'une autre.}
+est citÃ©e sans dÃ©monstration par Abel,
+dans le MÃ©moire posthume sur les fonctions elliptiques.
 
 \begin{Lemme}[IV]
-Supposons que l'on ait formé l'équation en~$V$,
-et que l'on ait pris l'un de ses facteurs irréductibles, en sorte
-que~$V$ soit racine d'une équation irréductible. Soient $V$,~$V'$,
-$V''$,~\dots\ les racines de cette équation irréductible. Si $a = f(V)$
-est une des racines de la proposée, $f(V')$~de même sera une racine
-de la proposée.
+Supposons que l'on ait formÃ© l'Ã©quation en~$V$,
+et que l'on ait pris l'un de ses facteurs irrÃ©ductibles, en sorte
+que~$V$ soit racine d'une Ã©quation irrÃ©ductible. Soient $V$,~$V'$,
+$V''$,~\dots\ les racines de cette Ã©quation irrÃ©ductible. Si $a = f(V)$
+est une des racines de la proposÃ©e, $f(V')$~de mÃªme sera une racine
+de la proposÃ©e.
 \end{Lemme}
 
 En effet, en multipliant entre eux tous les facteurs de la forme
-$V - \phi (a, b, c, \dots, d)$, où l'on aura opéré sur les lettres toutes
-les permutations possibles, on aura une équation rationnelle en~$V$,
-laquelle se trouvera nécessairement divisible par l'équation en
-question; donc $V'$~doit s'obtenir par l'échange des lettres dans la
-fonction~$V$. Soit $F(V, a) = 0$ l'équation qu'on obtient en permutant
-dans $V$ toutes les lettres, hors la première. On aura donc
-$F(V', b) = 0$, $b$ pouvant être égal à~$a$, mais étant certainement
-l'une des racines de l'équation proposée; par conséquent, de
-même que de la proposée et de $F(V, a) = 0$ est résulté $a = f(V)$,
-de même il résultera de la proposée et de $F(V', b) = 0$ combinées,
+$V - \phi (a, b, c, \dots, d)$, oÃ¹ l'on aura opÃ©rÃ© sur les lettres toutes
+les permutations possibles, on aura une Ã©quation rationnelle en~$V$,
+laquelle se trouvera nÃ©cessairement divisible par l'Ã©quation en
+question; donc $V'$~doit s'obtenir par l'Ã©change des lettres dans la
+fonction~$V$. Soit $F(V, a) = 0$ l'Ã©quation qu'on obtient en permutant
+dans $V$ toutes les lettres, hors la premiÃ¨re. On aura donc
+$F(V', b) = 0$, $b$ pouvant Ãªtre Ã©gal Ã ~$a$, mais Ã©tant certainement
+l'une des racines de l'Ã©quation proposÃ©e; par consÃ©quent, de
+mÃªme que de la proposÃ©e et de $F(V, a) = 0$ est rÃ©sultÃ© $a = f(V)$,
+de mÃªme il rÃ©sultera de la proposÃ©e et de $F(V', b) = 0$ combinÃ©es,
 la suivante $b = f(V')$.
 %% -----File: 046.png---Folio 38-------
 
@@ -2497,33 +2499,33 @@ la suivante $b = f(V')$.
 \Subsection{PROPOSITION I.}
 
 \begin{Theoreme}
-Soit une équation donnée, dont $a$,~$b$, $c$,~\dots\
+Soit une Ã©quation donnÃ©e, dont $a$,~$b$, $c$,~\dots\
 sont les $m$~racines. Il y aura toujours un groupe de permutations
-des lettres $a$,~$b$, $c$,~\dots\ qui jouira de la propriété suivante:
+des lettres $a$,~$b$, $c$,~\dots\ qui jouira de la propriÃ©tÃ© suivante:
 
 \primo Que toute fonction des racines, invariable\footnote
   {Nous appelons ici invariable non seulement une fonction dont la forme est
   invariable par les substitutions des racines entre elles, mais encore celle dont la
-  valeur numérique ne varierait pas par ces substitutions. Par exemple, si $Fx = 0$
-  est une équation, $Fx$~est une fonction des racines qui ne varie par aucune permutation.
+  valeur numÃ©rique ne varierait pas par ces substitutions. Par exemple, si $Fx = 0$
+  est une Ã©quation, $Fx$~est une fonction des racines qui ne varie par aucune permutation.
 
   Quand nous disons qu'une fonction est rationnellement connue, nous voulons
-  dire que sa valeur numérique est exprimable en fonction rationnelle des coefficients
-  de l'équation et des quantités adjointes.}
+  dire que sa valeur numÃ©rique est exprimable en fonction rationnelle des coefficients
+  de l'Ã©quation et des quantitÃ©s adjointes.}
 par les substitutions
 de ce groupe, soit rationnellement connue;
 
-\secundo Réciproquement, que toute fonction des racines, déterminable
+\secundo RÃ©ciproquement, que toute fonction des racines, dÃ©terminable
 rationnellement, soit invariable par les substitutions.
 \end{Theoreme}
 
-(Dans le cas des équations algébriques, ce groupe n'est autre
-chose que l'ensemble des $1 · 2 · 3 \dots\ m$ permutations possibles
-sur les $m$~lettres, puisque, dans ce cas, les fonctions symétriques
-sont seules déterminables rationnellement.)
+(Dans le cas des Ã©quations algÃ©briques, ce groupe n'est autre
+chose que l'ensemble des $1 Â· 2 Â· 3 \dots\ m$ permutations possibles
+sur les $m$~lettres, puisque, dans ce cas, les fonctions symÃ©triques
+sont seules dÃ©terminables rationnellement.)
 
-(Dans le cas de l'équation $\dfrac{x^{n} - 1}{x - 1} = 0$, si l'on suppose $a = r$,
-$b = r^{g}$, $c = r^{g^{2}}$,~\dots, $g$~étant une racine primitive, le groupe de
+(Dans le cas de l'Ã©quation $\dfrac{x^{n} - 1}{x - 1} = 0$, si l'on suppose $a = r$,
+$b = r^{g}$, $c = r^{g^{2}}$,~\dots, $g$~Ã©tant une racine primitive, le groupe de
 permutations sera simplement celui-ci:
 \[
 \begin{array}{c}
@@ -2534,21 +2536,21 @@ permutations sera simplement celui-ci:
   kabc \dotfill   i;
 \end{array}
 \]
-dans ce cas particulier, le nombre des permutations est égal au
-degré de l'équation, et la même chose aurait lieu dans les équations
+dans ce cas particulier, le nombre des permutations est Ã©gal au
+degrÃ© de l'Ã©quation, et la mÃªme chose aurait lieu dans les Ã©quations
 dont toutes les racines seraient des fonctions rationnelles
 les unes des autres.)
 
-\Par{Démonstration.} Quelle que soit l'équation donnée, on pourra
+\Par{DÃ©monstration.} Quelle que soit l'Ã©quation donnÃ©e, on pourra
 trouver une fonction rationnelle $V$ des racines, telle que toutes
 %% -----File: 047.png---Folio 39-------
-les racines soient fonctions rationnelles de~$V$. Cela posé, considérons
-l'équation irréductible dont $V$~est racine (lemmes III~et~IV)\@.
-Soient $V$,~$V'$, $V''$,~\dots, $V^{(n-1)}$ les racines de cette équation.
+les racines soient fonctions rationnelles de~$V$. Cela posÃ©, considÃ©rons
+l'Ã©quation irrÃ©ductible dont $V$~est racine (lemmes III~et~IV)\@.
+Soient $V$,~$V'$, $V''$,~\dots, $V^{(n-1)}$ les racines de cette Ã©quation.
 
-Soient $\phi V$, $\phi_{1} V$, $\phi_{2} V$,~\dots, $\phi_{m-1} V$ les racines de la proposée.
+Soient $\phi V$, $\phi_{1} V$, $\phi_{2} V$,~\dots, $\phi_{m-1} V$ les racines de la proposÃ©e.
 
-Écrivons les $n$~permutations suivantes des racines:
+Ã‰crivons les $n$~permutations suivantes des racines:
 \[
 \begin{array}{*{6}{l}}
 (V)       & \phi V,  & \phi_{1} V,  & \phi_{2} V,  & \dots, & \phi_{m-1} V,\\
@@ -2558,96 +2560,96 @@ Soient $\phi V$, $\phi_{1} V$, $\phi_{2} V$,~\dots, $\phi_{m-1} V$ les racines d
 (V^{(n-1)})& \phi V^{(n-1)},& \phi_{1} V^{(n-1)},& \phi_{2} V^{(n-1)},& \dots, & \phi_{m-1} V^{(n-1)}:
 \end{array}
 \]
-je dis que ce groupe de permutations jouit de la propriété énoncée.
+je dis que ce groupe de permutations jouit de la propriÃ©tÃ© Ã©noncÃ©e.
 
 En effet:
 
 \primo Toute fonction $F$ des racines, invariable par les substitutions
-de ce groupe, pourra être écrite ainsi: $F = \psi V$, et l'on aura
+de ce groupe, pourra Ãªtre Ã©crite ainsi: $F = \psi V$, et l'on aura
 \[
 \psi V = \psi V' = \psi V'' = \dots = \psi V^{(n-1)}.
 \]
-La valeur de $F$ pourra donc se déterminer rationnellement.
+La valeur de $F$ pourra donc se dÃ©terminer rationnellement.
 
-\secundo Réciproquement, si une fonction~$F$ est déterminable rationnellement,
+\secundo RÃ©ciproquement, si une fonction~$F$ est dÃ©terminable rationnellement,
 et que l'on pose $F = \psi V$, on devra avoir
 \[
 \psi V = \psi V' = \psi V'' = \dots = \psi V^{(n-1)},
 \]
-puisque l'équation en~$V$ n'a pas de diviseur commensurable et que
-$V$~satisfait à l'équation $F = \psi V$, $F$~étant une quantité rationnelle.
-Donc la fonction~$F$ sera nécessairement invariable par les substitutions
-du groupe écrit ci-dessus.
+puisque l'Ã©quation en~$V$ n'a pas de diviseur commensurable et que
+$V$~satisfait Ã  l'Ã©quation $F = \psi V$, $F$~Ã©tant une quantitÃ© rationnelle.
+Donc la fonction~$F$ sera nÃ©cessairement invariable par les substitutions
+du groupe Ã©crit ci-dessus.
 
-Ainsi, ce groupe jouit de la double propriété dont il s'agit dans
-le théorème proposé. Le théorème est donc démontré.
+Ainsi, ce groupe jouit de la double propriÃ©tÃ© dont il s'agit dans
+le thÃ©orÃ¨me proposÃ©. Le thÃ©orÃ¨me est donc dÃ©montrÃ©.
 
-Nous appellerons \emph{groupe de l'équation} le groupe en question.
+Nous appellerons \emph{groupe de l'Ã©quation} le groupe en question.
 
-\Par{Scolie~\upshape I.} Il est évident que, dans le groupe de permutations
-dont il s'agit ici, la disposition des lettres n'est point à considérer,
+\Par{Scolie~\upshape I.} Il est Ã©vident que, dans le groupe de permutations
+dont il s'agit ici, la disposition des lettres n'est point Ã  considÃ©rer,
 mais seulement les substitutions de lettres par lesquelles on passe
-d'une permutation à l'autre.
+d'une permutation Ã  l'autre.
 
-Ainsi l'on peut se donner arbitrairement une première permutation,
-pourvu que les autres permutations s'en déduisent toujours
-par les mêmes substitutions de lettres. Le nouveau groupe ainsi
-formé jouira évidemment des mêmes propriétés que le premier,
+Ainsi l'on peut se donner arbitrairement une premiÃ¨re permutation,
+pourvu que les autres permutations s'en dÃ©duisent toujours
+par les mÃªmes substitutions de lettres. Le nouveau groupe ainsi
+formÃ© jouira Ã©videmment des mÃªmes propriÃ©tÃ©s que le premier,
 %% -----File: 048.png---Folio 40-------
-puisque, dans le théorème précédent, il ne s'agit que des substitutions
+puisque, dans le thÃ©orÃ¨me prÃ©cÃ©dent, il ne s'agit que des substitutions
 que l'on peut faire dans les fonctions.
 
-\Par{Scolie~\upshape II.} Les substitutions sont indépendantes même du
+\Par{Scolie~\upshape II.} Les substitutions sont indÃ©pendantes mÃªme du
 nombre des racines.
 
 \Subsection{PROPOSITION II.}
 
 \begin{Theoreme}[\protect\footnotemark.]
-Si l'on adjoint à une équation donnée la
-racine~$r$ d'une équation auxiliaire irréductible, \primo il arrivera
-de deux choses l'une: ou bien le groupe de l'équation ne sera
-pas changé, ou bien il se partagera en $p$~groupes appartenant
-chacun à l'équation proposée respectivement quand on lui adjoint
-chacune des racines de l'équation auxiliaire; \secundo ces
-groupes jouiront de la propriété remarquable, que l'on passera
-de l'un à l'autre en opérant dans toutes les permutations du
-premier une même substitution de lettres.
+Si l'on adjoint Ã  une Ã©quation donnÃ©e la
+racine~$r$ d'une Ã©quation auxiliaire irrÃ©ductible, \primo il arrivera
+de deux choses l'une: ou bien le groupe de l'Ã©quation ne sera
+pas changÃ©, ou bien il se partagera en $p$~groupes appartenant
+chacun Ã  l'Ã©quation proposÃ©e respectivement quand on lui adjoint
+chacune des racines de l'Ã©quation auxiliaire; \secundo ces
+groupes jouiront de la propriÃ©tÃ© remarquable, que l'on passera
+de l'un Ã  l'autre en opÃ©rant dans toutes les permutations du
+premier une mÃªme substitution de lettres.
 \end{Theoreme}
 
-\footnotetext{Dans l'énoncé du théorème, après ces mots: \emph{la racine~$r$ d'une équation
-  auxiliaire irréductible}, Galois avait mis d'abord ceux-ci: \emph{de degré $p$ premier},
-  qu'il a effacés plus tard. De même, dans la démonstration, au lieu de $r$,~$r'$,
-  $r''$,~\dots\ étant d'autres valeurs de~$r$, la rédaction primitive portait: $r$,~$r'$, $r''$,~\dots\
-  étant les diverses valeurs de~$r$. Enfin on trouve à la marge du manuscrit la
+\footnotetext{Dans l'Ã©noncÃ© du thÃ©orÃ¨me, aprÃ¨s ces mots: \emph{la racine~$r$ d'une Ã©quation
+  auxiliaire irrÃ©ductible}, Galois avait mis d'abord ceux-ci: \emph{de degrÃ© $p$ premier},
+  qu'il a effacÃ©s plus tard. De mÃªme, dans la dÃ©monstration, au lieu de $r$,~$r'$,
+  $r''$,~\dots\ Ã©tant d'autres valeurs de~$r$, la rÃ©daction primitive portait: $r$,~$r'$, $r''$,~\dots\
+  Ã©tant les diverses valeurs de~$r$. Enfin on trouve Ã  la marge du manuscrit la
   note suivante de l'auteur:
 
-  «Il y a quelque chose à compléter dans cette démonstration. Je n'ai pas le
-  temps.»
+  Â«Il y a quelque chose Ã  complÃ©ter dans cette dÃ©monstration. Je n'ai pas le
+  temps.Â»
 
-  Cette ligne a été jetée avec une grande rapidité sur le papier; circonstance
-  qui, jointe aux mots: «Je n'ai pas le temps», me fait penser que Galois a relu
-  son Mémoire pour le corriger avant d'aller sur le terrain. \Annot{(A. Ch.)}}
+  Cette ligne a Ã©tÃ© jetÃ©e avec une grande rapiditÃ© sur le papier; circonstance
+  qui, jointe aux mots: Â«Je n'ai pas le tempsÂ», me fait penser que Galois a relu
+  son MÃ©moire pour le corriger avant d'aller sur le terrain. \Annot{(A. Ch.)}}
 
-\primo Si, après l'adjonction de~$r$, l'équation en~$V$, dont il est
-question plus haut, reste irréductible, il est clair que le groupe
-de l'équation ne sera pas changé. Si, au contraire, elle se réduit,
-alors l'équation en~$V$ se décomposera en $p$~facteurs, tous de même
-degré et de la forme
+\primo Si, aprÃ¨s l'adjonction de~$r$, l'Ã©quation en~$V$, dont il est
+question plus haut, reste irrÃ©ductible, il est clair que le groupe
+de l'Ã©quation ne sera pas changÃ©. Si, au contraire, elle se rÃ©duit,
+alors l'Ã©quation en~$V$ se dÃ©composera en $p$~facteurs, tous de mÃªme
+degrÃ© et de la forme
 \[
-f(V, r) × f(V, r') × f(V, r'') × \dots,
+f(V, r) Ã— f(V, r') Ã— f(V, r'') Ã— \dots,
 \]
-$r$, $r'$, $r''$,~\dots\ étant d'autres valeurs de~$r$. Ainsi, le groupe de
-l'équation proposée se décomposera aussi en groupes chacun
-d'un même nombre de permutations, puisque à chaque valeur
+$r$, $r'$, $r''$,~\dots\ Ã©tant d'autres valeurs de~$r$. Ainsi, le groupe de
+l'Ã©quation proposÃ©e se dÃ©composera aussi en groupes chacun
+d'un mÃªme nombre de permutations, puisque Ã  chaque valeur
 de~$V$ correspond une permutation. Ces groupes seront respectivement
 %% -----File: 049.png---Folio 41-------
-ceux de l'équation proposée, quand on lui adjoindra successivement
+ceux de l'Ã©quation proposÃ©e, quand on lui adjoindra successivement
 $r$,~$r'$, $r''$,~\dots.
 
-\secundo Nous avons vu plus haut que toutes les valeurs de~$V$ étaient
-des fonctions rationnelles les unes des autres. D'après cela, supposons
-que, $V$~étant une racine de $f(V, r) = 0$, $F(V)$~en soit une
-autre; il est clair que de même si $V'$ est une racine de $f(V, r') = 0$,
+\secundo Nous avons vu plus haut que toutes les valeurs de~$V$ Ã©taient
+des fonctions rationnelles les unes des autres. D'aprÃ¨s cela, supposons
+que, $V$~Ã©tant une racine de $f(V, r) = 0$, $F(V)$~en soit une
+autre; il est clair que de mÃªme si $V'$ est une racine de $f(V, r') = 0$,
 $F(V')$~en sera une autre; car on aura
 \[
 f \bigl[F(V), r\bigr] = \text{une fonction divisible par $f(V, r)$}.
@@ -2659,8 +2661,8 @@ Donc (lemme~I)
 f \bigl[F(V'), r'\bigr] = \text{une fonction divisible par $f(V', r')$}.
 \]
 
-Cela posé, je dis que l'on obtient le groupe relatif à~$r'$ en opérant
-partout dans le groupe relatif à~$r$ une même substitution de
+Cela posÃ©, je dis que l'on obtient le groupe relatif Ã ~$r'$ en opÃ©rant
+partout dans le groupe relatif Ã ~$r$ une mÃªme substitution de
 lettres.
 
 En effet, si l'on a, par exemple,
@@ -2671,44 +2673,44 @@ on aura encore (lemme~I),
 \[
 \phi_{\mu} F(V') = \phi_{\nu} (V').
 \]
-Donc, pour passer de la permutation $\bigl[F(V)\bigr]$ à la permutation
-$\bigl[F(V')\bigr]$, il faut faire la même substitution que pour passer de la
-permutation~$(V)$ à la permutation~$(V')$.
+Donc, pour passer de la permutation $\bigl[F(V)\bigr]$ Ã  la permutation
+$\bigl[F(V')\bigr]$, il faut faire la mÃªme substitution que pour passer de la
+permutation~$(V)$ Ã  la permutation~$(V')$.
 
-Le théorème est donc démontré.
+Le thÃ©orÃ¨me est donc dÃ©montrÃ©.
 
 
 \Subsection{PROPOSITION III.}
 
 \begin{Theoreme}
-Si l'on adjoint à une équation \emph{toutes} les racines
-d'une équation auxiliaire, les groupes dont il est question
-dans le théorème~II jouiront, de plus, de cette propriété que
-les substitutions sont les mêmes dans chaque groupe.
+Si l'on adjoint Ã  une Ã©quation \emph{toutes} les racines
+d'une Ã©quation auxiliaire, les groupes dont il est question
+dans le thÃ©orÃ¨me~II jouiront, de plus, de cette propriÃ©tÃ© que
+les substitutions sont les mÃªmes dans chaque groupe.
 \end{Theoreme}
 
-On trouvera la démonstration\footnotemark.
+On trouvera la dÃ©monstration\footnotemark.
 
-\footnotetext{Dans le manuscrit, l'énoncé du théorème qu'on vient de lire se trouve en
-  marge et en remplace un autre que Galois avait écrit avec sa démonstration sous
-  le même titre: \textit{Proposition~III}. Voici le texte primitif:
+\footnotetext{Dans le manuscrit, l'Ã©noncÃ© du thÃ©orÃ¨me qu'on vient de lire se trouve en
+  marge et en remplace un autre que Galois avait Ã©crit avec sa dÃ©monstration sous
+  le mÃªme titre: \textit{Proposition~III}. Voici le texte primitif:
 %[** TN: Set in-line in the original]
-  \begin{Theoreme} Si l'équation
-  en $r$~est de la forme $r^{p} = A$, et que les racines~$p^\text{ièmes}$ de l'unité se trouvent
-  au nombre des quantités précédemment adjointes, les $p$~groupes dont il est
-  question dans le Théorème~II jouiront, de plus, de cette \DPtypo{proprieté}{propriété} que les
-  substitutions de lettres par lesquelles on passe d'une permutation à une
-  autre dans chaque groupe soient les mêmes pour tous les groupes.\end{Theoreme}
+  \begin{Theoreme} Si l'Ã©quation
+  en $r$~est de la forme $r^{p} = A$, et que les racines~$p^\text{iÃ¨mes}$ de l'unitÃ© se trouvent
+  au nombre des quantitÃ©s prÃ©cÃ©demment adjointes, les $p$~groupes dont il est
+  question dans le ThÃ©orÃ¨me~II jouiront, de plus, de cette \DPtypo{proprietÃ©}{propriÃ©tÃ©} que les
+  substitutions de lettres par lesquelles on passe d'une permutation Ã  une
+  autre dans chaque groupe soient les mÃªmes pour tous les groupes.\end{Theoreme}
 
   \noindent En effet,
-  dans ce cas, il revient au même d'adjoindre à l'équation telle ou telle valeur
-  de~$r$. Par conséquent, ses propriétés doivent être les mêmes après l'adjonction de
-  telle ou telle valeur. Ainsi son groupe doit être le même quant aux substitutions
+  dans ce cas, il revient au mÃªme d'adjoindre Ã  l'Ã©quation telle ou telle valeur
+  de~$r$. Par consÃ©quent, ses propriÃ©tÃ©s doivent Ãªtre les mÃªmes aprÃ¨s l'adjonction de
+  telle ou telle valeur. Ainsi son groupe doit Ãªtre le mÃªme quant aux substitutions
   (Proposition~I, scolie). Donc,~etc.
 
-  Tout cela est effacé avec soin; le nouvel énoncé porte la date 1832 et montre,
-  par la manière dont il est écrit, que l'auteur était extrêmement pressé, ce qui
-  confirme l'assertion que j'ai avancée dans la Note précédente.
+  Tout cela est effacÃ© avec soin; le nouvel Ã©noncÃ© porte la date 1832 et montre,
+  par la maniÃ¨re dont il est Ã©crit, que l'auteur Ã©tait extrÃªmement pressÃ©, ce qui
+  confirme l'assertion que j'ai avancÃ©e dans la Note prÃ©cÃ©dente.
   \Annot{(A.~Ch.)}}
 %% -----File: 050.png---Folio 42-------
 
@@ -2716,130 +2718,130 @@ On trouvera la démonstration\footnotemark.
 \Subsection{PROPOSITION IV.}
 
 \begin{Theoreme}
-Si l'on adjoint à une équation la valeur \emph{numérique}
+Si l'on adjoint Ã  une Ã©quation la valeur \emph{numÃ©rique}
 d'une certaine fonction de ses racines, le groupe de
-l'équation s'abaissera de manière à n'avoir plus d'autres
+l'Ã©quation s'abaissera de maniÃ¨re Ã  n'avoir plus d'autres
 permutations que celles par lesquelles cette fonction est invariable.
 \end{Theoreme}
 
-En effet, d'après la proposition~I, toute fonction connue doit
-être invariable par les permutations du groupe de l'équation.
+En effet, d'aprÃ¨s la proposition~I, toute fonction connue doit
+Ãªtre invariable par les permutations du groupe de l'Ã©quation.
 
 
 \Subsection{PROPOSITION V.}
 
 \begin{Probleme}
-Dans quel cas une équation est-elle soluble par
+Dans quel cas une Ã©quation est-elle soluble par
 de simples radicaux?
 \end{Probleme}
 
-J'observerai d'abord que, pour résoudre une équation, il faut
-successivement abaisser son groupe jusqu'à ne contenir plus
-qu'une seule permutation. Car, quand une équation est résolue,
-une fonction quelconque de ses racines est connue, même quand
+J'observerai d'abord que, pour rÃ©soudre une Ã©quation, il faut
+successivement abaisser son groupe jusqu'Ã  ne contenir plus
+qu'une seule permutation. Car, quand une Ã©quation est rÃ©solue,
+une fonction quelconque de ses racines est connue, mÃªme quand
 elle n'est invariable par aucune permutation.
 
-Cela posé, cherchons à quelle condition doit satisfaire le groupe
-d'une équation, pour qu'il puisse s'abaisser ainsi par l'adjonction
-de quantités radicales.
+Cela posÃ©, cherchons Ã  quelle condition doit satisfaire le groupe
+d'une Ã©quation, pour qu'il puisse s'abaisser ainsi par l'adjonction
+de quantitÃ©s radicales.
 
-Suivons la marche des opérations possibles dans cette solution,
-en considérant comme opérations distinctes l'extraction de chaque
-racine de degré premier.
+Suivons la marche des opÃ©rations possibles dans cette solution,
+en considÃ©rant comme opÃ©rations distinctes l'extraction de chaque
+racine de degrÃ© premier.
 %% -----File: 051.png---Folio 43-------
 
-Adjoignons à l'équation le premier radical extrait dans la solution.
+Adjoignons Ã  l'Ã©quation le premier radical extrait dans la solution.
 Il pourra arriver deux cas: ou bien, par l'adjonction de ce
-radical, le groupe des permutations de l'équation sera diminué; ou
-bien, cette extraction de racine n'étant qu'une simple préparation,
-le groupe restera le même.
+radical, le groupe des permutations de l'Ã©quation sera diminuÃ©; ou
+bien, cette extraction de racine n'Ã©tant qu'une simple prÃ©paration,
+le groupe restera le mÃªme.
 
-Toujours sera-t-il qu'après un certain nombre \emph{fini} d'extractions
-de racines, le groupe devra se trouver diminué, sans quoi l'équation
+Toujours sera-t-il qu'aprÃ¨s un certain nombre \emph{fini} d'extractions
+de racines, le groupe devra se trouver diminuÃ©, sans quoi l'Ã©quation
 ne serait pas soluble.
 
-Si, arrivé à ce point, il y avait plusieurs manières de diminuer le
-groupe de l'équation proposée par une simple extraction de racine,
-il faudrait, pour ce que nous allons dire, considérer seulement un
-radical du degré le moins haut possible parmi tous les simples
+Si, arrivÃ© Ã  ce point, il y avait plusieurs maniÃ¨res de diminuer le
+groupe de l'Ã©quation proposÃ©e par une simple extraction de racine,
+il faudrait, pour ce que nous allons dire, considÃ©rer seulement un
+radical du degrÃ© le moins haut possible parmi tous les simples
 radicaux, qui sont tels que la connaissance de chacun d'eux
-diminue le groupe de l'équation.
+diminue le groupe de l'Ã©quation.
 
-Soit donc $p$ le nombre premier qui représente ce degré minimum,
-en sorte que par une extraction de racine de degré~$p$, on
-diminue le groupe de l'équation.
+Soit donc $p$ le nombre premier qui reprÃ©sente ce degrÃ© minimum,
+en sorte que par une extraction de racine de degrÃ©~$p$, on
+diminue le groupe de l'Ã©quation.
 
 Nous pouvons toujours supposer, du moins pour ce qui est
-relatif au groupe de l'équation, que, parmi les quantités adjointes
-précédemment à l'équation, se trouve une racine~$p^{\text{ième}}$ de l'unité,~$\alpha$.
+relatif au groupe de l'Ã©quation, que, parmi les quantitÃ©s adjointes
+prÃ©cÃ©demment Ã  l'Ã©quation, se trouve une racine~$p^{\text{iÃ¨me}}$ de l'unitÃ©,~$\alpha$.
 Car, comme cette expression s'obtient par des extractions de
-racines de degré inférieur à~$p$, sa connaissance n'altérera en rien
-le groupe de l'équation.
-
-Par conséquent, d'après les théorèmes II~et~III, le groupe de
-l'équation devra se décomposer en $p$ groupes jouissant les uns par
-rapport aux autres de cette double propriété: \primo que l'on passe
-de l'un à l'autre par une seule et même substitution; \secundo que tous
-contiennent les mêmes substitutions.
-
-Je dis réciproquement que, si le groupe de l'équation peut se
-partager en $p$~groupes qui jouissent de cette double propriété, on
-pourra, par une simple extraction de racine~$p^{\text{ième}}$, et par l'adjonction
-de cette racine~$p^{\text{ième}}$, réduire le groupe de l'équation à l'un de
+racines de degrÃ© infÃ©rieur Ã ~$p$, sa connaissance n'altÃ©rera en rien
+le groupe de l'Ã©quation.
+
+Par consÃ©quent, d'aprÃ¨s les thÃ©orÃ¨mes II~et~III, le groupe de
+l'Ã©quation devra se dÃ©composer en $p$ groupes jouissant les uns par
+rapport aux autres de cette double propriÃ©tÃ©: \primo que l'on passe
+de l'un Ã  l'autre par une seule et mÃªme substitution; \secundo que tous
+contiennent les mÃªmes substitutions.
+
+Je dis rÃ©ciproquement que, si le groupe de l'Ã©quation peut se
+partager en $p$~groupes qui jouissent de cette double propriÃ©tÃ©, on
+pourra, par une simple extraction de racine~$p^{\text{iÃ¨me}}$, et par l'adjonction
+de cette racine~$p^{\text{iÃ¨me}}$, rÃ©duire le groupe de l'Ã©quation Ã  l'un de
 ces groupes partiels.
 
 Prenons, en effet, une fonction des racines qui soit invariable
 pour toutes les substitutions de l'un des groupes partiels, et varie
 pour toute autre substitution. (Il suffit, pour cela, de choisir une
-fonction symétrique des diverses valeurs que prend, par toutes les
+fonction symÃ©trique des diverses valeurs que prend, par toutes les
 %% -----File: 052.png---Folio 44-------
 permutations de l'un des groupes partiels, une fonction qui n'est
 invariable par aucune substitution.)
 
 Soit $\theta$ cette fonction des racines.
 
-Opérons sur la fonction~$\theta$ une des substitutions du groupe total
+OpÃ©rons sur la fonction~$\theta$ une des substitutions du groupe total
 qui ne lui sont pas communes avec les groupes partiels. Soit $\theta_{1}$ le
-résultat. Opérons sur la fonction~$\theta_{1}$ la même substitution, et
-soit $\theta_{2}$ le résultat, et ainsi de suite.
+rÃ©sultat. OpÃ©rons sur la fonction~$\theta_{1}$ la mÃªme substitution, et
+soit $\theta_{2}$ le rÃ©sultat, et ainsi de suite.
 
-Comme $p$ est un nombre premier, cette suite ne pourra s'arrêter
+Comme $p$ est un nombre premier, cette suite ne pourra s'arrÃªter
 qu'au terme~$\theta_{p-1}$; ensuite l'on aura $\theta_{p} = \theta_{1}$, $\theta_{p+1}=\theta_{1}$, et
 ainsi de suite.
 
-Cela posé, il est clair que la fonction
+Cela posÃ©, il est clair que la fonction
 \[
 (\theta + \alpha\theta_{1}
         + \alpha^{2}\theta_{2} + \dots
         + \alpha^{p-1}\theta_{p-1})^{p}
 \]
 sera invariable par toutes les permutations du groupe total et, par
-conséquent, sera actuellement connue.
+consÃ©quent, sera actuellement connue.
 
-Si l'on extrait la racine~$p^\text{ième}$ de cette fonction, et qu'on l'adjoigne
-à l'équation, alors, par la proposition~IV, le groupe de
-l'équation ne contiendra plus d'autres substitutions que celles des
+Si l'on extrait la racine~$p^\text{iÃ¨me}$ de cette fonction, et qu'on l'adjoigne
+Ã  l'Ã©quation, alors, par la proposition~IV, le groupe de
+l'Ã©quation ne contiendra plus d'autres substitutions que celles des
 groupes partiels.
 
-Ainsi, pour que le groupe d'une équation puisse s'abaisser par
-une simple extraction de racine, la condition ci-dessus est nécessaire
+Ainsi, pour que le groupe d'une Ã©quation puisse s'abaisser par
+une simple extraction de racine, la condition ci-dessus est nÃ©cessaire
 et suffisante.
 
-Adjoignons à l'équation le radical en question; nous pourrons
-raisonner maintenant sur le nouveau groupe comme sur le précédent,
-et il faudra qu'il se décompose lui-même de la manière
-indiquée, et ainsi de suite, jusqu'à un certain groupe qui ne contiendra
+Adjoignons Ã  l'Ã©quation le radical en question; nous pourrons
+raisonner maintenant sur le nouveau groupe comme sur le prÃ©cÃ©dent,
+et il faudra qu'il se dÃ©compose lui-mÃªme de la maniÃ¨re
+indiquÃ©e, et ainsi de suite, jusqu'Ã  un certain groupe qui ne contiendra
 plus qu'une seule permutation.
 
-\Par{Scolie.} Il est aisé d'observer cette marche dans la résolution
-connue des équations générales du quatrième degré. En effet, ces
-équations se résolvent au moyen d'une équation du troisième
-degré, qui exige elle-même l'extraction d'une racine carrée. Dans
-la suite naturelle des idées, c'est donc par cette racine carrée
-qu'il faut commencer. Or, en adjoignant à l'équation du quatrième
-degré cette racine carrée, le groupe de l'équation, qui contenait
-en tout vingt-quatre substitutions, se décompose en deux qui n'en
-contiennent que douze. En désignant par $a$,~$b$, $c$,~$d$ les racines,
+\Par{Scolie.} Il est aisÃ© d'observer cette marche dans la rÃ©solution
+connue des Ã©quations gÃ©nÃ©rales du quatriÃ¨me degrÃ©. En effet, ces
+Ã©quations se rÃ©solvent au moyen d'une Ã©quation du troisiÃ¨me
+degrÃ©, qui exige elle-mÃªme l'extraction d'une racine carrÃ©e. Dans
+la suite naturelle des idÃ©es, c'est donc par cette racine carrÃ©e
+qu'il faut commencer. Or, en adjoignant Ã  l'Ã©quation du quatriÃ¨me
+degrÃ© cette racine carrÃ©e, le groupe de l'Ã©quation, qui contenait
+en tout vingt-quatre substitutions, se dÃ©compose en deux qui n'en
+contiennent que douze. En dÃ©signant par $a$,~$b$, $c$,~$d$ les racines,
 %% -----File: 053.png---Folio 45-------
 voici l'un de ces groupes:
 \[
@@ -2850,9 +2852,9 @@ voici l'un de ces groupes:
   dcba, & bdca, & cbda.
 \end{array}
 \]
-Maintenant ce groupe se partage lui-même en trois groupes,
-comme il est indiqué aux théorèmes II~et~III\@. Ainsi, par l'extraction
-d'un seul radical du troisième degré, il reste simplement le
+Maintenant ce groupe se partage lui-mÃªme en trois groupes,
+comme il est indiquÃ© aux thÃ©orÃ¨mes II~et~III\@. Ainsi, par l'extraction
+d'un seul radical du troisiÃ¨me degrÃ©, il reste simplement le
 groupe
 \[
 \begin{array}{l}
@@ -2869,65 +2871,65 @@ ce groupe se partage de nouveau en deux groupes:
   badc, & dcba.
 \end{array}
 \]
-Ainsi, après une simple extraction de racine carrée, il restera
+Ainsi, aprÃ¨s une simple extraction de racine carrÃ©e, il restera
 \[
 \begin{array}{l}
   abcd,  \\
   badc;
 \end{array}
 \]
-ce qui se résoudra enfin par une simple extraction de racine
-carrée.
+ce qui se rÃ©soudra enfin par une simple extraction de racine
+carrÃ©e.
 
 On obtient ainsi, soit la solution de Descartes, soit celle
-d'Euler; car, bien qu'après la résolution de l'équation auxiliaire
+d'Euler; car, bien qu'aprÃ¨s la rÃ©solution de l'Ã©quation auxiliaire
 %[** TN: [sic] extraye]
-du troisième degré ce dernier extraye trois racines carrées, on
-sait qu'il suffit de deux, puisque la troisième s'en déduit rationnellement.
+du troisiÃ¨me degrÃ© ce dernier extraye trois racines carrÃ©es, on
+sait qu'il suffit de deux, puisque la troisiÃ¨me s'en dÃ©duit rationnellement.
 
-Nous allons maintenant appliquer cette condition aux équations
-irréductibles dont le degré est premier.
+Nous allons maintenant appliquer cette condition aux Ã©quations
+irrÃ©ductibles dont le degrÃ© est premier.
 %% -----File: 054.png---Folio 46-------
 
 
-\Section{}{Application aux équations irréductibles de degré premier.}
+\Section{}{Application aux Ã©quations irrÃ©ductibles de degrÃ© premier.}
 
 \Subsection{PROPOSITION VI.}
 
 \begin{Lemme}
-Une équation irréductible de degré premier ne
-peut devenir réductible par l'adjonction d'un radical dont
-l'indice serait autre que le degré même de l'équation.
+Une Ã©quation irrÃ©ductible de degrÃ© premier ne
+peut devenir rÃ©ductible par l'adjonction d'un radical dont
+l'indice serait autre que le degrÃ© mÃªme de l'Ã©quation.
 \end{Lemme}
 
 Car si $r$,~$r'$, $r''$,~\dots\ sont les diverses valeurs du radical, et
-$Fx = 0$ l'équation proposée, il faudrait que $Fx$ se partageât en
+$Fx = 0$ l'Ã©quation proposÃ©e, il faudrait que $Fx$ se partageÃ¢t en
 facteurs
 \[
-f(x,r) × f(x,r') × \dots,
+f(x,r) Ã— f(x,r') Ã— \dots,
 \]
-tous de même degré, ce qui ne se peut, à moins que $f(x, r)$ ne
-soit du premier degré en~$x$.
+tous de mÃªme degrÃ©, ce qui ne se peut, Ã  moins que $f(x, r)$ ne
+soit du premier degrÃ© en~$x$.
 
-Ainsi, une équation irréductible de degré premier ne peut
-devenir réductible, à moins que son groupe ne se réduise à une
+Ainsi, une Ã©quation irrÃ©ductible de degrÃ© premier ne peut
+devenir rÃ©ductible, Ã  moins que son groupe ne se rÃ©duise Ã  une
 seule permutation.
 
 
 \Subsection{PROPOSITION VII.}
 
 \begin{Probleme}
-Quel est le groupe d'une équation irréductible
-d'un degré premier~$n$, soluble par radicaux?
+Quel est le groupe d'une Ã©quation irrÃ©ductible
+d'un degrÃ© premier~$n$, soluble par radicaux?
 \end{Probleme}
 
-D'après proposition précédente, le plus petit groupe possible,
+D'aprÃ¨s proposition prÃ©cÃ©dente, le plus petit groupe possible,
 avant celui qui n'a qu'une seule permutation, contiendra $n$~permutations.
 Or, un groupe du permutations d'un nombre premier~$n$
-de lettres ne peut se réduire à $n$~permutations, à moins que
-l'une de ces permutations ne se déduise de l'autre par une substitution
-circulaire de l'ordre~$n$. (\emph{Voir} le Mémoire de M.~Cauchy,
-\Title{Journal de l'École Polytechnique}, XVII\ieme~cahier.) Ainsi, l'avant-dernier
+de lettres ne peut se rÃ©duire Ã  $n$~permutations, Ã  moins que
+l'une de ces permutations ne se dÃ©duise de l'autre par une substitution
+circulaire de l'ordre~$n$. (\emph{Voir} le MÃ©moire de M.~Cauchy,
+\Title{Journal de l'Ã‰cole Polytechnique}, XVII\ieme~cahier.) Ainsi, l'avant-dernier
 groupe sera
 \[
 \Tag{(G)}
@@ -2941,29 +2943,29 @@ x_{n-1}, &x_{0}, &x_{1}, &\dots, &\dots, &x_{n-4}, &x_{n-3}, &x_{n-2},
 \end{array}
 \right.
 \]
-$x_{0}$, $x_{1}$, $x_{2}$,~\dots, $x_{n-1}$ étant les racines.
+$x_{0}$, $x_{1}$, $x_{2}$,~\dots, $x_{n-1}$ Ã©tant les racines.
 %% -----File: 055.png---Folio 47-------
 
-Maintenant, le groupe qui précédera immédiatement celui-ci
-dans l'ordre des décompositions devra se composer d'un certain
-nombre de groupes ayant tous les mêmes substitutions que
+Maintenant, le groupe qui prÃ©cÃ©dera immÃ©diatement celui-ci
+dans l'ordre des dÃ©compositions devra se composer d'un certain
+nombre de groupes ayant tous les mÃªmes substitutions que
 celui-ci. Or, j'observe que ces substitutions peuvent s'exprimer
-ainsi (faisons, en général, $x_{n} = x_{0}$, $x_{n+1} = x_{1}$,~\dots; il est clair
+ainsi (faisons, en gÃ©nÃ©ral, $x_{n} = x_{0}$, $x_{n+1} = x_{1}$,~\dots; il est clair
 que chacune des substitutions du groupe~\Eq{(G)} s'obtient en mettant
-partout à la place de $x_{k}$,~$x_{k+c}$, $c$~étant une constante).
+partout Ã  la place de $x_{k}$,~$x_{k+c}$, $c$~Ã©tant une constante).
 
-Considérons l'un quelconque des groupes semblables au
-groupe~\Eq{(G)}. D'après le théorème~II, il devra s'obtenir en opérant
-partout dans ce groupe une même substitution; par exemple, en
-mettant partout dans le groupe~\Eq{(G)}, à la place de $x_{k}$,~$x_{f(k)}$, $f$~étant
+ConsidÃ©rons l'un quelconque des groupes semblables au
+groupe~\Eq{(G)}. D'aprÃ¨s le thÃ©orÃ¨me~II, il devra s'obtenir en opÃ©rant
+partout dans ce groupe une mÃªme substitution; par exemple, en
+mettant partout dans le groupe~\Eq{(G)}, Ã  la place de $x_{k}$,~$x_{f(k)}$, $f$~Ã©tant
 une certaine fonction.
 
-Les substitutions de ces nouveaux groupes devant être les
-mêmes que celles du groupe~\Eq{(G)}, on devra avoir
+Les substitutions de ces nouveaux groupes devant Ãªtre les
+mÃªmes que celles du groupe~\Eq{(G)}, on devra avoir
 \[
 f(x + c) = f(k) + C,
 \]
-$C$~étant indépendant de~$k$.
+$C$~Ã©tant indÃ©pendant de~$k$.
 
 Donc
 \begin{alignat*}{2}
@@ -2979,35 +2981,35 @@ ou bien
 \[
 f(k) = ak + b,
 \]
-$a$~et~$b$ étant des constantes.
+$a$~et~$b$ Ã©tant des constantes.
 
-Donc, le groupe qui précède immédiatement le groupe~\Eq{(G)} ne
+Donc, le groupe qui prÃ©cÃ¨de immÃ©diatement le groupe~\Eq{(G)} ne
 devra contenir que des substitutions telles que
 \[
 x_{k}, \quad x_{ak+b},
 \]
-et ne contiendra pas, par conséquent, d'autre substitution circulaire
+et ne contiendra pas, par consÃ©quent, d'autre substitution circulaire
 que celle du groupe~\Eq{(G)}.
 %% -----File: 056.png---Folio 48-------
 
-On raisonnera sur ce groupe comme sur le précédent, et il s'ensuivra
-que le premier groupe dans l'ordre des décompositions,
-c'est-à-dire le groupe \emph{actuel} de l'équation, ne peut contenir que
+On raisonnera sur ce groupe comme sur le prÃ©cÃ©dent, et il s'ensuivra
+que le premier groupe dans l'ordre des dÃ©compositions,
+c'est-Ã -dire le groupe \emph{actuel} de l'Ã©quation, ne peut contenir que
 des substitutions de la forme
 \[
 x_{k},\quad x_{ak+b}.
 \]
 
-Donc, \begin{Thm}si une équation irréductible de degré premier est
-soluble par radicaux, le groupe de cette équation ne saurait
+Donc, \begin{Thm}si une Ã©quation irrÃ©ductible de degrÃ© premier est
+soluble par radicaux, le groupe de cette Ã©quation ne saurait
 contenir que des substitutions de la forme
 \[
 x_{k}, \quad x_{ak+b},
 \]
-$a$~et~$b$ étant des constantes.\end{Thm}
+$a$~et~$b$ Ã©tant des constantes.\end{Thm}
 
-Réciproquement, si cette condition a lieu, je dis que l'équation
-sera soluble par radicaux. Considérons, en effet, les fonctions
+RÃ©ciproquement, si cette condition a lieu, je dis que l'Ã©quation
+sera soluble par radicaux. ConsidÃ©rons, en effet, les fonctions
 \begin{alignat*}{5}
 & (x_{0} + \alpha x_{1}     &&{}+ \alpha^{2} x_{2}
 &&{}+ \dots + \alpha^{n-1} x_{n-1}       &&)^{n} = X_{1}     && ,
@@ -3020,14 +3022,14 @@ sera soluble par radicaux. Considérons, en effet, les fonctions
 \\
 \multispan{9}{\dotfill} & ,
 \end{alignat*}
-$\alpha$ étant une racine~$n^{\text{ième}}$ de l'unité, $a$~une racine primitive de~$n$.
+$\alpha$ Ã©tant une racine~$n^{\text{iÃ¨me}}$ de l'unitÃ©, $a$~une racine primitive de~$n$.
 
 Il est clair que toute fonction invariable par les substitutions
-circulaires des quantités $X_{1}$, $X_{a}$, $X_{a^{2}}$,~\dots\ sera, dans ce cas, immédiatement
+circulaires des quantitÃ©s $X_{1}$, $X_{a}$, $X_{a^{2}}$,~\dots\ sera, dans ce cas, immÃ©diatement
 connue. Donc, on pourra trouver $X_{1}$, $X_{a}$, $X_{a^{2}}$,~\dots, par
-la méthode de M.~Gauss pour les équations binômes. Donc,~etc.
+la mÃ©thode de M.~Gauss pour les Ã©quations binÃ´mes. Donc,~etc.
 
-Ainsi, pour qu'une équation irréductible de degré premier soit
+Ainsi, pour qu'une Ã©quation irrÃ©ductible de degrÃ© premier soit
 soluble par radicaux, il \emph{faut} et il \emph{suffit} que toute fonction invariable
 par les substitutions
 \[
@@ -3039,55 +3041,55 @@ Ainsi, la fonction
 \[
 (X_{1} - X) (X_{a} - X) (X_{a^{2}} - X) \dots
 \]
-devra, quel que soit~$X$, être connue.
+devra, quel que soit~$X$, Ãªtre connue.
 %% -----File: 057.png---Folio 49-------
 
-Il \emph{faut} donc et il \emph{suffit} que l'équation qui donne cette fonction
+Il \emph{faut} donc et il \emph{suffit} que l'Ã©quation qui donne cette fonction
 des racines admette, quel que soit~$X$, une valeur rationnelle.
 
-Si l'équation proposée a tous ses coefficients rationnels, l'équation
+Si l'Ã©quation proposÃ©e a tous ses coefficients rationnels, l'Ã©quation
 auxiliaire qui donne cette fonction les aura tous aussi, et il
-suffira de reconnaître si cette équation auxiliaire du degré
-$1 · 2 · 3 \dots (n - 2)$ a ou non une racine rationnelle, ce que l'on
+suffira de reconnaÃ®tre si cette Ã©quation auxiliaire du degrÃ©
+$1 Â· 2 Â· 3 \dots (n - 2)$ a ou non une racine rationnelle, ce que l'on
 sait faire.
 
-C'est là le moyen qu'il faudrait employer dans la pratique. Mais
-nous allons présenter le théorème sous une autre forme.
+C'est lÃ  le moyen qu'il faudrait employer dans la pratique. Mais
+nous allons prÃ©senter le thÃ©orÃ¨me sous une autre forme.
 
 
 \Subsection{PROPOSITION VIII.}
 
 \begin{Theoreme}
-Pour qu'une équation irréductible de degré
+Pour qu'une Ã©quation irrÃ©ductible de degrÃ©
 premier soit soluble par radicaux, il \emph{faut} et il \emph{suffit} que deux
-quelconques des racines étant connues, les autres s'en déduisent
+quelconques des racines Ã©tant connues, les autres s'en dÃ©duisent
 rationnellement.
 \end{Theoreme}
 
-Premièrement, il le faut, car la substitution
+PremiÃ¨rement, il le faut, car la substitution
 \[
 x_{k}, \quad x_{ak+b}
 \]
-ne laissant jamais deux lettres à la même place, il est clair qu'en
-adjoignant deux racines à l'équation, par la proposition~IV, son
-groupe devra se réduire à une seule permutation.
+ne laissant jamais deux lettres Ã  la mÃªme place, il est clair qu'en
+adjoignant deux racines Ã  l'Ã©quation, par la proposition~IV, son
+groupe devra se rÃ©duire Ã  une seule permutation.
 
 En second lieu, cela suffit; car, dans ce cas, aucune substitution
-du groupe ne laissera deux lettres aux mêmes places. Par conséquent,
+du groupe ne laissera deux lettres aux mÃªmes places. Par consÃ©quent,
 le groupe contiendra tout au plus $n(n - 1)$~permutations.
 Donc, il ne contiendra qu'une seule substitution circulaire (sans
 quoi il y aurait au moins $n^{2}$~permutations). Donc, toute substitution
-du groupe, $x_{k}$,~$x_{fk}$, devra satisfaire à la condition
+du groupe, $x_{k}$,~$x_{fk}$, devra satisfaire Ã  la condition
 \[
 f(k + c) = f(k) + C.
 \]
 Donc, etc.
 
-Le théorème est donc démontré.
+Le thÃ©orÃ¨me est donc dÃ©montrÃ©.
 %% -----File: 058.png---Folio 50-------
 
 
-\Subsection{EXEMPLE DU THÉORÈME VII.}
+\Subsection{EXEMPLE DU THÃ‰ORÃˆME VII.}
 
 Soit $n = 5$; le groupe sera le suivant:
 %[** TN: Set in one column in the original; commented code below]
@@ -3129,60 +3131,60 @@ Soit $n = 5$; le groupe sera le suivant:
 %% -----File: 059.png---Folio 51-------
 
 
-\Article{DES ÉQUATIONS PRIMITIVES}{}{QUI SONT SOLUBLES PAR RADICAUX\footnotemark. \\[6pt]
+\Article{DES Ã‰QUATIONS PRIMITIVES}{}{QUI SONT SOLUBLES PAR RADICAUX\footnotemark. \\[6pt]
 (Fragment.)}
 
 \footnotetext{\emph{Voir} la Note~1 de la page~\pageref{page33}.}
 
-Cherchons, en général, dans quel cas une équation primitive
-est soluble par radicaux. Or, nous pouvons de suite établir un
-caractère général fondé sur le degré même de ces équations. Ce
-caractère est celui-ci: \begin{Thm}Pour qu'une équation primitive soit résoluble
-par radicaux, il faut que son degré soit de la forme~$p^{\nu}$, $p$~étant
-premier.\end{Thm} Et de là suivra immédiatement que, lorsqu'on aura
-à résoudre par radicaux une équation irréductible dont le degré
-admettrait des facteurs premiers inégaux, on ne pourra le faire
-que par la méthode de décomposition due à M.~Gauss; sinon
-l'équation sera insoluble.
-
-Pour établir la propriété générale que nous venons d'énoncer
-relativement aux équations primitives qu'on peut résoudre par
-radicaux, nous pouvons supposer que l'équation que l'on veut
-résoudre soit primitive, mais cesse de l'être par l'adjonction d'un
+Cherchons, en gÃ©nÃ©ral, dans quel cas une Ã©quation primitive
+est soluble par radicaux. Or, nous pouvons de suite Ã©tablir un
+caractÃ¨re gÃ©nÃ©ral fondÃ© sur le degrÃ© mÃªme de ces Ã©quations. Ce
+caractÃ¨re est celui-ci: \begin{Thm}Pour qu'une Ã©quation primitive soit rÃ©soluble
+par radicaux, il faut que son degrÃ© soit de la forme~$p^{\nu}$, $p$~Ã©tant
+premier.\end{Thm} Et de lÃ  suivra immÃ©diatement que, lorsqu'on aura
+Ã  rÃ©soudre par radicaux une Ã©quation irrÃ©ductible dont le degrÃ©
+admettrait des facteurs premiers inÃ©gaux, on ne pourra le faire
+que par la mÃ©thode de dÃ©composition due Ã  M.~Gauss; sinon
+l'Ã©quation sera insoluble.
+
+Pour Ã©tablir la propriÃ©tÃ© gÃ©nÃ©rale que nous venons d'Ã©noncer
+relativement aux Ã©quations primitives qu'on peut rÃ©soudre par
+radicaux, nous pouvons supposer que l'Ã©quation que l'on veut
+rÃ©soudre soit primitive, mais cesse de l'Ãªtre par l'adjonction d'un
 simple radical. En d'autres termes, nous pouvons supposer que,
-$n$ étant premier, le groupe de l'équation se partage en $n$ groupes
-irréductibles conjugués, mais non primitifs. Car, à moins que le
-degré de l'équation soit premier, un pareil groupe se présentera
-toujours dans la suite des décompositions.
-
-Soit $N$ le degré de l'équation, et supposons qu'après une extraction
-de racine de degré premier~$n$, elle devienne non primitive et
-se partage en $Q$~équations primitives de degré~$P$, au moyen d'une
-seule équation de degré~$Q$.
-
-Si nous appelons $G$ le groupe de l'équation, ce groupe devra se
-partager en $n$~groupes conjugués non primitifs, dans lesquels les
-lettres se rangeront en systèmes composés de $P$~lettres conjointes
-chacun. Voyons de combien de manières cela pourra se faire.
-
-Soit $H$ l'un des groupes conjugués non primitifs. Il est aisé de
+$n$ Ã©tant premier, le groupe de l'Ã©quation se partage en $n$ groupes
+irrÃ©ductibles conjuguÃ©s, mais non primitifs. Car, Ã  moins que le
+degrÃ© de l'Ã©quation soit premier, un pareil groupe se prÃ©sentera
+toujours dans la suite des dÃ©compositions.
+
+Soit $N$ le degrÃ© de l'Ã©quation, et supposons qu'aprÃ¨s une extraction
+de racine de degrÃ© premier~$n$, elle devienne non primitive et
+se partage en $Q$~Ã©quations primitives de degrÃ©~$P$, au moyen d'une
+seule Ã©quation de degrÃ©~$Q$.
+
+Si nous appelons $G$ le groupe de l'Ã©quation, ce groupe devra se
+partager en $n$~groupes conjuguÃ©s non primitifs, dans lesquels les
+lettres se rangeront en systÃ¨mes composÃ©s de $P$~lettres conjointes
+chacun. Voyons de combien de maniÃ¨res cela pourra se faire.
+
+Soit $H$ l'un des groupes conjuguÃ©s non primitifs. Il est aisÃ© de
 %% -----File: 060.png---Folio 52-------
-voir que, dans ce groupe, deux lettres quelconques prises à volonté
-feront partie d'un certain système de $P$~lettres conjointes,
+voir que, dans ce groupe, deux lettres quelconques prises Ã  volontÃ©
+feront partie d'un certain systÃ¨me de $P$~lettres conjointes,
 et ne feront partie que d'un seul.
 
 Car, en premier lieu, s'il y avait deux lettres qui ne pussent
-faire partie d'un même système de $P$~lettres conjointes, le groupe~$G$,
+faire partie d'un mÃªme systÃ¨me de $P$~lettres conjointes, le groupe~$G$,
 qui est tel que l'une quelconque de ses substitutions transforme
 les unes dans les autres toutes les substitutions du groupe~$H$,
-serait non primitif, ce qui est contre l'hypothèse.
+serait non primitif, ce qui est contre l'hypothÃ¨se.
 
 En second lieu, si deux lettres faisaient partie de plusieurs
-systèmes différents, il s'ensuivrait que les groupes qui répondent
-aux divers systèmes de $P$~lettres conjointes ne seraient pas primitifs,
-ce qui est encore contre l'hypothèse.
+systÃ¨mes diffÃ©rents, il s'ensuivrait que les groupes qui rÃ©pondent
+aux divers systÃ¨mes de $P$~lettres conjointes ne seraient pas primitifs,
+ce qui est encore contre l'hypothÃ¨se.
 
-Cela posé, soient
+Cela posÃ©, soient
 \[
 \begin{array}{*{5}{l}}
 a_{0}, & a_{1}, & a_{2}, & \dots, & a_{P-1}, \\
@@ -3190,30 +3192,30 @@ b_{0}, & b_{1}, & b_{2}, & \dots, & b_{P-1}, \\
 c_{0}, & c_{1}, & c_{2}, & \dots, & c_{P-1}
 \end{array}
 \]
-les $N$~lettres: supposons que chaque ligne horizontale représente
-un système de lettres conjointes. Soient
+les $N$~lettres: supposons que chaque ligne horizontale reprÃ©sente
+un systÃ¨me de lettres conjointes. Soient
 \[
 \DPtypo{a_{0}}{a_{0,0}},\quad a_{0,1}, \quad a_{0,2}, \ \dots, \quad a_{0,P-1}
 \]
-$P$~lettres conjointes toutes situées dans la première colonne verticale.
+$P$~lettres conjointes toutes situÃ©es dans la premiÃ¨re colonne verticale.
 (Il est clair que nous pouvons faire qu'il en soit ainsi, en
 intervertissant l'ordre des lignes horizontales.)
 
-Soient, de même,
+Soient, de mÃªme,
 \[
 a_{1,0}, \quad a_{1,1}, \quad a_{1,2}, \quad a_{1,3}, \ \dots, \quad a_{1,P-1}
 \]
-$P$~lettres conjointes toutes situées dans la seconde colonne verticale,
+$P$~lettres conjointes toutes situÃ©es dans la seconde colonne verticale,
 en sorte que
 \[
 a_{1,0}, \quad a_{1,1}, \quad a_{1,2}, \quad a_{1,3}, \ \dots, \quad a_{1,P-1}
 \]
-appartiennent respectivement aux mêmes lignes horizontales
+appartiennent respectivement aux mÃªmes lignes horizontales
 que
 \[
 a_{0,0}, \quad a_{0,1}, \quad a_{0,2}, \quad a_{0,3}, \ \dots, \quad a_{0,P-1};
 \]
-soient, de même, les systèmes de lettres conjointes
+soient, de mÃªme, les systÃ¨mes de lettres conjointes
 \[
 \begin{array}{*{6}{l}}
 a_{2,0}, &a_{2,1}, &a_{2,2}, &a_{2,3}, & \dots, &a_{2,P-1}, \\
@@ -3223,50 +3225,50 @@ a_{3,0}, &a_{3,1}, &a_{3,2}, &a_{3,3}, & \dots, &a_{3,P-1}, \\
 \]
 %% -----File: 061.png---Folio 53-------
 nous obtiendrons ainsi, en tout, $P^{2}$~lettres. Si le nombre total
-des lettres n'est pas épuisé, on prendra un troisième indice, en
+des lettres n'est pas Ã©puisÃ©, on prendra un troisiÃ¨me indice, en
 sorte que
 \[
 a_{m,n,0}, \quad a_{m,n,1}, \quad a_{m,n,2}, \quad a_{m,n,3},\ \dots, \quad a_{m,n,P-1}
 \]
-soit, en général, un système de lettres conjointes; et l'on parviendra
-ainsi à cette conclusion, que $N = P^{\mu}$, $\mu$~étant un certain
-nombre égal à celui des indices différents dont on aura besoin. La
-forme générale des lettres sera
+soit, en gÃ©nÃ©ral, un systÃ¨me de lettres conjointes; et l'on parviendra
+ainsi Ã  cette conclusion, que $N = P^{\mu}$, $\mu$~Ã©tant un certain
+nombre Ã©gal Ã  celui des indices diffÃ©rents dont on aura besoin. La
+forme gÃ©nÃ©rale des lettres sera
 \[
 a_{k_{1}, k_{2}, k_{3}, \dots, k_{\mu}},
 \]
-$k_{1}$,~$k_{2}$, $k_{3}$,~\dots, $k_{\mu}$ étant des indices qui peuvent prendre chacun
+$k_{1}$,~$k_{2}$, $k_{3}$,~\dots, $k_{\mu}$ Ã©tant des indices qui peuvent prendre chacun
 les $P$~valeurs $0$,~$1$, $2$, $3$,~\dots, $P - 1$.
 
-On voit aussi, par la manière dont nous avons procédé, que,
+On voit aussi, par la maniÃ¨re dont nous avons procÃ©dÃ©, que,
 dans le groupe~$H$, toutes les substitutions seront de la forme
 \[
 \bigl[a_{k_{1}, k_{2}, k_{3} \dots k_{\mu}}, \quad
       a_{\phi(k_{1}), \DPtypo{\psi(k)_{2}}{\psi(k_{2})}, \chi(k_{3}) \dots, \sigma(k_{\mu})}
 \bigr],
 \]
-puisque chaque indice correspond à un système de lettres conjointes.
+puisque chaque indice correspond Ã  un systÃ¨me de lettres conjointes.
 
 Si $P$ n'est pas un nombre premier, on raisonnera sur le groupe
-de permutations de l'un quelconque des systèmes de lettres conjointes,
-comme sur le groupe~$G$, en remplaçant chaque indice
+de permutations de l'un quelconque des systÃ¨mes de lettres conjointes,
+comme sur le groupe~$G$, en remplaÃ§ant chaque indice
 par un certain nombre de nouveaux indices, et l'on trouvera
-$P = R^{\alpha}$, et ainsi de suite; d'où enfin $N = p^{\nu}$, $p$~étant un nombre
+$P = R^{\alpha}$, et ainsi de suite; d'oÃ¹ enfin $N = p^{\nu}$, $p$~Ã©tant un nombre
 premier.
 
 
-\Section{}{Des équations primitives de degrée~$p^{2}$.}
+\Section{}{Des Ã©quations primitives de degrÃ©e~$p^{2}$.}
 
-Arrêtons-nous un moment pour traiter de suite les équations
-primitives d'un degré~$p^{2}$, $p$~étant premier impair. (Le cas de
-$p = 2$ a été examiné.) Si une équation du degré~$p^{2}$ est soluble
+ArrÃªtons-nous un moment pour traiter de suite les Ã©quations
+primitives d'un degrÃ©~$p^{2}$, $p$~Ã©tant premier impair. (Le cas de
+$p = 2$ a Ã©tÃ© examinÃ©.) Si une Ã©quation du degrÃ©~$p^{2}$ est soluble
 par radicaux, supposons-la d'abord telle, qu'elle devienne non
 primitive par une extraction de radical.
 
 Soit donc $G$ un groupe primitif de $p^{2}$~lettres qui se partage
-en $n$~groupes non primitifs conjugués à~$H$.
+en $n$~groupes non primitifs conjuguÃ©s Ã ~$H$.
 
-Les lettres devront nécessairement, dans le groupe~$H$, se ranger
+Les lettres devront nÃ©cessairement, dans le groupe~$H$, se ranger
 %% -----File: 062.png---Folio 54-------
 ainsi:
 \[
@@ -3278,18 +3280,18 @@ ainsi:
   a_{p-1,0}, & a_{p-1,1}, & a_{p-1,2}, & a_{p-1,3}, & \dots, & \rlap{$a_{p-1,p-1},$}
 \end{array}
 \]
-chaque ligne horizontale et chaque ligne verticale étant un système
+chaque ligne horizontale et chaque ligne verticale Ã©tant un systÃ¨me
 de lettres conjointes.
 
 Si l'on permute entre elles les lignes horizontales, le groupe
-que l'on obtiendra, étant primitif et de degré premier, ne devra
+que l'on obtiendra, Ã©tant primitif et de degrÃ© premier, ne devra
 contenir que des substitutions de la forme
 \[
 (a_{k_{1},k_{2}},\ a_{mk_{1}+n\DPtypo{}{,} k_{2}}),
 \]
-les indices étant pris relativement au module~$p$.
+les indices Ã©tant pris relativement au module~$p$.
 
-Il en sera de même pour les lignes qui ne pourront donner que
+Il en sera de mÃªme pour les lignes qui ne pourront donner que
 des substitutions de la forme
 \[
 (a_{k_{1},k_{2}},\ a_{k_{1}, qk_{2}+r}).
@@ -3299,28 +3301,28 @@ forme
 \[
 (\DPtypo{a_{k_{2},k_{3}}}{a_{k_{1},k_{2}}},\ a_{m_{1} k_{1}+n_{1}, m_{2} k_{2}+n_{2}}).
 \]
-Si un groupe~$G$ se partage en $n$~groupes conjugués à celui que
-nous venons de décrire, toutes les substitutions du groupe~$G$ devront
+Si un groupe~$G$ se partage en $n$~groupes conjuguÃ©s Ã  celui que
+nous venons de dÃ©crire, toutes les substitutions du groupe~$G$ devront
 transformer les unes dans les autres les substitutions circulaires
-du groupe~$H$, qui sont toutes écrites comme il suit:
+du groupe~$H$, qui sont toutes Ã©crites comme il suit:
 \[
 \Tag{(a)}
 (a_{k_{1},k_{2}},\ \dots,\ a_{k_{1}+\alpha_{1}, k_{2}+\alpha_{2}},\ \dots).
 \]
 Supposons donc que l'une des substitutions du groupe~$G$ se forme
-en remplaçant respectivement
+en remplaÃ§ant respectivement
 \begin{align*}
 k_{1} & \quad\text{par}\quad \phi_{1} (k_{1}, k_{2}),\\
 k_{2} & \quad\text{par}\quad \phi_{2} (k_{1}, k_{2}).
 \end{align*}
 Si, dans les fonctions $\phi_{1}$,~$\phi_{2}$, on substitue pour $k_{1}$~et~$k_{2}$ les valeurs
-$k_{1} + \alpha_{1}$, $k_{2} + \alpha_{2}$, il devra venir des résultats de la forme
+$k_{1} + \alpha_{1}$, $k_{2} + \alpha_{2}$, il devra venir des rÃ©sultats de la forme
 \[
 \phi_{1} + \beta_{1},\quad \phi_{2} + \beta_{2},
 \]
 %% -----File: 063.png---Folio 55-------
-et de là il est aisé de conclure immédiatement que les substitutions
-du groupe~$G$ doivent être toutes comprises dans la formule
+et de lÃ  il est aisÃ© de conclure immÃ©diatement que les substitutions
+du groupe~$G$ doivent Ãªtre toutes comprises dans la formule
 \[
 \Tag{(A)}
 (a_{k_{1}, k_{2}},\ a_{m_{1} k_{1} + n_{1} k + \alpha_{1} m_{2} k_{1} + n_{2} k_{2} + \alpha_{2}}),
@@ -3329,124 +3331,124 @@ Or nous savons, par le \no~\footnotemark,
 que les substitutions du groupe~$G$
 ne peuvent embrasser que $p^{2} - 1$ ou $p^{2} - p$ lettres. Ce n'est
 point $p^{2} - p$, puisque, dans ce cas, le groupe~$G$ serait non primitif.
-Si donc, dans le groupe~$G$, on ne considère que les permutations
-où la lettre~$a_{0,0}$, par exemple, conserve toujours la même
+Si donc, dans le groupe~$G$, on ne considÃ¨re que les permutations
+oÃ¹ la lettre~$a_{0,0}$, par exemple, conserve toujours la mÃªme
 place, on n'aura que des substitutions de l'ordre $p^{2} - 1$ entre les
 $p^{2} - 1$ autres lettres.
-\footnotetext{Ce Mémoire faisant suite à un travail de Galois que je ne possède pas, il
-  m'est impossible d'indiquer le Mémoire cité ici et plus bas. \Annot{(A.~Ch.)}}
+\footnotetext{Ce MÃ©moire faisant suite Ã  un travail de Galois que je ne possÃ¨de pas, il
+  m'est impossible d'indiquer le MÃ©moire citÃ© ici et plus bas. \Annot{(A.~Ch.)}}
 
-Mais rappelons-nous ici que c'est simplement pour la démonstration
-que nous avons supposé que le groupe primitif~$G$ se partageât
-en groupes conjugués non primitifs. Comme cette condition
-n'est nullement nécessaire, les groupes seront souvent beaucoup
-plus composés.
+Mais rappelons-nous ici que c'est simplement pour la dÃ©monstration
+que nous avons supposÃ© que le groupe primitif~$G$ se partageÃ¢t
+en groupes conjuguÃ©s non primitifs. Comme cette condition
+n'est nullement nÃ©cessaire, les groupes seront souvent beaucoup
+plus composÃ©s.
 
-Il s'agit donc de reconnaître dans quel cas ces groupes pourront
-admettre des substitutions où $p^{2} - p$ lettres seulement varieraient,
+Il s'agit donc de reconnaÃ®tre dans quel cas ces groupes pourront
+admettre des substitutions oÃ¹ $p^{2} - p$ lettres seulement varieraient,
 et cette recherche va nous retenir quelque temps.
 
 Soit donc $G$ un groupe qui contienne quelque substitution de
 l'ordre $p^{2} - p$; je dis d'abord que toutes les substitutions de ce
-groupe seront linéaires, c'est-à-dire de la forme~\Eq{(A)}.
+groupe seront linÃ©aires, c'est-Ã -dire de la forme~\Eq{(A)}.
 
 La chose est reconnue vraie pour les substitutions de l'ordre
-$p^{2} - 1$; il suffit donc de la démontrer pour celles de l'ordre
-$p^{2} - p$. Ne considérons donc qu'un groupe où les substitutions
+$p^{2} - 1$; il suffit donc de la dÃ©montrer pour celles de l'ordre
+$p^{2} - p$. Ne considÃ©rons donc qu'un groupe oÃ¹ les substitutions
 seraient toutes $m$ de l'ordre~$p^{2}$ ou de l'ordre $p^{2} - p$. (\emph{Voyez} l'endroit
-cité.)
+citÃ©.)
 
 Alors les $p$~lettres qui, dans une substitution de l'ordre $p^{2} - p$,
-ne varieront pas, devront être des lettres conjointes.
+ne varieront pas, devront Ãªtre des lettres conjointes.
 
 Supposons que ces lettres conjointes soient
 \[
 a_{0,0},\quad a_{0,1},\quad a_{0,2},\quad \dots, \quad a_{0,p-1}.
 \]
-Nous pouvons déduire toutes les substitutions où ces $p$~lettres ne
-changent pas de place, nous pouvons les déduire de substitutions
+Nous pouvons dÃ©duire toutes les substitutions oÃ¹ ces $p$~lettres ne
+changent pas de place, nous pouvons les dÃ©duire de substitutions
 %% -----File: 064.png---Folio 56-------
 de la forme
 \[
 (a_{k_{1},k_{2}},\ a_{k_{1},\phi k_{2}})
 \]
-et de substitutions de l'ordre $p^{2} - p$, dont la période serait de $p$~termes.
-(\emph{Voyez} encore l'endroit cité.)
+et de substitutions de l'ordre $p^{2} - p$, dont la pÃ©riode serait de $p$~termes.
+(\emph{Voyez} encore l'endroit citÃ©.)
 
-Les premiers doivent nécessairement, pour que le groupe
-jouisse de la propriété voulue, se réduire à la forme
+Les premiers doivent nÃ©cessairement, pour que le groupe
+jouisse de la propriÃ©tÃ© voulue, se rÃ©duire Ã  la forme
 \[
 (a_{k_{1},k_{2}},\ a_{k_{1},m k_{2}})
 \]
-d'après ce qu'on a vu pour les équations de degré~$p$.
+d'aprÃ¨s ce qu'on a vu pour les Ã©quations de degrÃ©~$p$.
 
-Quant aux substitutions dont la période serait de $p$~termes,
-comme elles sont conjuguées aux précédentes, nous pouvons supposer
+Quant aux substitutions dont la pÃ©riode serait de $p$~termes,
+comme elles sont conjuguÃ©es aux prÃ©cÃ©dentes, nous pouvons supposer
 un groupe qui les contienne sans contenir celles-ci: donc
 elles devront transformer les substitutions circulaires~\Eq{(a)} les unes
-dans les autres; donc elles seront aussi linéaires.
+dans les autres; donc elles seront aussi linÃ©aires.
 
-Nous sommes donc arrivés à cette conclusion, que le groupe
+Nous sommes donc arrivÃ©s Ã  cette conclusion, que le groupe
 primitif de permutations de $p^{2}$~lettres doit ne contenir que des
 substitutions de la forme~\Eq{(A)}.
 
-Maintenant, prenons le groupe total que l'on obtient en opérant
+Maintenant, prenons le groupe total que l'on obtient en opÃ©rant
 sur l'expression
 \[
 a_{k_{1},k_{2}}
 \]
-toutes les substitutions linéaires possibles, et cherchons quels
-sont les diviseurs de ce groupe qui peuvent jouir de la propriété
-voulue pour la résolubilité des équations.
+toutes les substitutions linÃ©aires possibles, et cherchons quels
+sont les diviseurs de ce groupe qui peuvent jouir de la propriÃ©tÃ©
+voulue pour la rÃ©solubilitÃ© des Ã©quations.
 
-Quel est d'abord le nombre total des substitutions linéaires?
-Premièrement, il est clair que toute transformation de la forme
+Quel est d'abord le nombre total des substitutions linÃ©aires?
+PremiÃ¨rement, il est clair que toute transformation de la forme
 \[
 k_{1},\ k_{2},\quad m_{1}k_{1} + n_{1}k_{2} + \alpha_{1},\ m_{2}k_{1} + n_{2}k_{2} + \alpha_{2}
 \]
 ne sera pas pour cela une substitution; car il faut, dans une substitution,
-qu'à chaque lettre de la première permutation il ne réponde
-qu'une seule lettre de la seconde, et réciproquement.
+qu'Ã  chaque lettre de la premiÃ¨re permutation il ne rÃ©ponde
+qu'une seule lettre de la seconde, et rÃ©ciproquement.
 
 Si donc on prend une lettre quelconque $a_{l_{1},l_{2}}$ de la seconde permutation,
-et que l'on remonte à la lettre correspondante dans la
-première, on devra trouver une lettre $a_{k_{1},k_{2}}$ où les indices $k_{1}$,~$k_{2}$
-seront parfaitement déterminés. Il faut donc que, quels que soient
-$l_{1}$~et~$l_{2}$, on ait, par les deux équations
+et que l'on remonte Ã  la lettre correspondante dans la
+premiÃ¨re, on devra trouver une lettre $a_{k_{1},k_{2}}$ oÃ¹ les indices $k_{1}$,~$k_{2}$
+seront parfaitement dÃ©terminÃ©s. Il faut donc que, quels que soient
+$l_{1}$~et~$l_{2}$, on ait, par les deux Ã©quations
 \[
 m_{1}k_{1} + n_{1}k_{2} + \alpha_{1} = l_{1}, \quad
 m_{2}k_{1} + n_{2}k_{2} + \alpha_{2} = l_{2},
 \]
 %% -----File: 065.png---Folio 57-------
-des valeurs de $k_{1}$~et~$k_{2}$ finies et déterminées. Ainsi la condition
-pour qu'une pareille transformation soit réellement une substitution
+des valeurs de $k_{1}$~et~$k_{2}$ finies et dÃ©terminÃ©es. Ainsi la condition
+pour qu'une pareille transformation soit rÃ©ellement une substitution
 est que $m_{1}n_{2} - m_{2}n_{1}$ ne soit ni nul ni divisible par le module~$p$,
-ce qui est la même chose.
+ce qui est la mÃªme chose.
 
-Je dis maintenant que, bien que ce groupe à substitutions
-linéaires n'appartienne pas toujours, comme on le verra, à des
-équations solubles par radicaux, il jouira toutefois de cette propriété,
+Je dis maintenant que, bien que ce groupe Ã  substitutions
+linÃ©aires n'appartienne pas toujours, comme on le verra, Ã  des
+Ã©quations solubles par radicaux, il jouira toutefois de cette propriÃ©tÃ©,
 que, si dans une quelconque de ses substitutions il y a $n$~lettres
 de fixes, $n$~divisera le nombre des lettres. Et, en effet, quel
 que soit le nombre des lettres qui restent fixes, on pourra exprimer
-cette circonstance par des équations linéaires qui donneront
+cette circonstance par des Ã©quations linÃ©aires qui donneront
 tous les indices de l'une des lettres fixes, au moyen d'un certain
-nombre d'entre eux. Donnant à chacun de ces indices, restés arbitraires,
-$p$~valeurs, on aura $p^{m}$~systèmes de valeurs, $m$~étant un certain
-nombre. Dans le cas qui nous occupe, $m$~est nécessairement
-$< 2$ et se trouve par conséquent être $0$ ou~$1$. Donc le nombre des
-substitutions ne saurait être plus grand que
+nombre d'entre eux. Donnant Ã  chacun de ces indices, restÃ©s arbitraires,
+$p$~valeurs, on aura $p^{m}$~systÃ¨mes de valeurs, $m$~Ã©tant un certain
+nombre. Dans le cas qui nous occupe, $m$~est nÃ©cessairement
+$< 2$ et se trouve par consÃ©quent Ãªtre $0$ ou~$1$. Donc le nombre des
+substitutions ne saurait Ãªtre plus grand que
 \[
 p^{2}(p^{2} - 1)(p^{2} - p).
 \]
 
-Ne considérons maintenant que les substitutions linéaires où la
+Ne considÃ©rons maintenant que les substitutions linÃ©aires oÃ¹ la
 lettre~$a_{0,0}$ ne varie pas; si, dans ce cas, nous trouvons le nombre
 total des permutations du groupe qui contient toutes les substitutions
-linéaires possibles, il nous suffira de multiplier ce nombre
+linÃ©aires possibles, il nous suffira de multiplier ce nombre
 par~$p^{2}$.
 
-Or, premièrement, en substituant $p$ à l'indice~$k_{2}$, toutes les
+Or, premiÃ¨rement, en substituant $p$ Ã  l'indice~$k_{2}$, toutes les
 substitutions de la forme
 \[
 (a_{k_{1}, k_{2}},\ a_{m_{1}k_{1}, k_{2}})
@@ -3458,12 +3460,12 @@ ajoutant au terme~$k_{2}$ le terme~$m_{2}k_{1}$, ainsi qu'il suit:
 (k_{1},\ k_{2},\ m_{1}k_{1},\ m_{2}k_{1} + k_{2}).
 \]
 
-D'un autre côté, il est aisé de trouver un groupe linéaire
+D'un autre cÃ´tÃ©, il est aisÃ© de trouver un groupe linÃ©aire
 de $p^{2} - 1$ permutations, tel que, dans chacune de ses substitutions,
-toutes les lettres, à l'exception de~$a_{0,0}$, varient. Car, en
-remplaçant le double indice $k_{1}$,~$k_{2}$ par l'indice simple $k_{1} + ik_{2}$,
+toutes les lettres, Ã  l'exception de~$a_{0,0}$, varient. Car, en
+remplaÃ§ant le double indice $k_{1}$,~$k_{2}$ par l'indice simple $k_{1} + ik_{2}$,
 %% -----File: 066.png---Folio 58-------
-$i$~étant une racine primitive de
+$i$~Ã©tant une racine primitive de
 \[
 x^{p^{2}-1}\! - 1 = 0\ (\mod p),
 \]
@@ -3471,41 +3473,41 @@ il est clair que toute substitution de la forme
 \[
 [a_{k_{1}+k_{2} l},\ a_{(m_{1}+m_{2}l)(k_{1}+k_{2}l)}]
 \]
-sera une substitution linéaire; mais, dans ces substitutions, aucune
-lettre ne reste à la même place, et elles sont au nombre
+sera une substitution linÃ©aire; mais, dans ces substitutions, aucune
+lettre ne reste Ã  la mÃªme place, et elles sont au nombre
 de~$p^{2} - 1$.
 
-Nous avons donc un système de $p^{2} - 1$ permutations tel que,
-dans chacune de ses substitutions, toutes les lettres varient, à
+Nous avons donc un systÃ¨me de $p^{2} - 1$ permutations tel que,
+dans chacune de ses substitutions, toutes les lettres varient, Ã 
 l'exception de~$a_{0,0}$. Combinant ces substitutions avec les $p^{2} - p$
-dont il est parlé plus haut, nous aurons
+dont il est parlÃ© plus haut, nous aurons
 \[
 (p^{2} - 1)(p^{2} - p) \text{ substitutions}.
 \]
 
 Or, nous avons vu \textit{a~priori} que le nombre des substitutions
-où $a_{0,0}$~reste fixe ne pouvait être plus grand que $(p^{2} - 1)(p^{2} - p)$.
-Donc il est précisément égal à $(p^{2} - 1)(p^{2} - p)$, et le groupe
-linéaire total aura en tout
+oÃ¹ $a_{0,0}$~reste fixe ne pouvait Ãªtre plus grand que $(p^{2} - 1)(p^{2} - p)$.
+Donc il est prÃ©cisÃ©ment Ã©gal Ã  $(p^{2} - 1)(p^{2} - p)$, et le groupe
+linÃ©aire total aura en tout
 \[
 p^{2}(p^{2} - 1)(p^{2} - p) \text{ permutations}.
 \]
 
-Il reste à chercher les diviseurs de ce groupe, qui peuvent
-jouir de la propriété d'être solubles par radicaux. Pour cela, nous
+Il reste Ã  chercher les diviseurs de ce groupe, qui peuvent
+jouir de la propriÃ©tÃ© d'Ãªtre solubles par radicaux. Pour cela, nous
 allons faire une transformation qui a pour but d'abaisser autant
-que possible les équations générales de degré~$p^{2}$ dont le groupe
-serait linéaire.
+que possible les Ã©quations gÃ©nÃ©rales de degrÃ©~$p^{2}$ dont le groupe
+serait linÃ©aire.
 
-Premièrement, comme les substitutions circulaires d'un pareil
+PremiÃ¨rement, comme les substitutions circulaires d'un pareil
 groupe sont telles, que toute autre substitution du groupe les
-transforme les unes dans les autres, on pourra abaisser l'équation
-d'un degré et considérer une équation de degré $p^{2} - 1$ dont le
+transforme les unes dans les autres, on pourra abaisser l'Ã©quation
+d'un degrÃ© et considÃ©rer une Ã©quation de degrÃ© $p^{2} - 1$ dont le
 groupe n'aurait que des substitutions de la forme
 \[
 (b_{k_{1}, k_{2}},\ b_{m_{1}k_{1}+n_{1}k_{2},\: m_{2}k_{1}+n_{2}k_{2}}),
 \]
-les $p^{2} - 1$ lettres étant
+les $p^{2} - 1$ lettres Ã©tant
 \[
 \begin{array}{*{5}{l}}
          &b_{0,1}, &b_{0,2}, &b_{0,3}, &\dots,\\
@@ -3517,15 +3519,15 @@ b_{2,0}, &b_{2,1}, &b_{2,2}, &b_{2,3}, &\dots,\\
 %% -----File: 067.png---Folio 59-------
 
 J'observe maintenant que ce groupe est non primitif, en sorte
-que toutes les lettres où le rapport des deux indices est le même
+que toutes les lettres oÃ¹ le rapport des deux indices est le mÃªme
 sont des lettres conjointes. Si l'on remplace par une seule lettre
-chaque système de lettres conjointes, on aura un groupe dont
+chaque systÃ¨me de lettres conjointes, on aura un groupe dont
 toutes les substitutions seront de la forme
 \[
 \biggl(b_{\efrac{k_{1}}{k_{2}}},\
       b_{\efrac{m_{1} k_{1} + n_{1} k_{2}}{m_{2} k_{1} + n_{2} k_{2}}}\biggr),
 \]
-$\dfrac{k_{1}}{k_{2}}$ étant les nouveaux indices. En remplaçant ce rapport par un
+$\dfrac{k_{1}}{k_{2}}$ Ã©tant les nouveaux indices. En remplaÃ§ant ce rapport par un
 seul indice~$k$, on voit que les $p + 1$~lettres seront
 \[
 b_{0}, \quad b_{1}, \quad b_{2}, \quad b_{3}, \quad \dots, \quad b_{p-1}, \quad b_{\efrac{1}{0}},
@@ -3536,12 +3538,12 @@ et les substitutions seront de la forme
 \]
 
 Cherchons combien de lettres, dans chacune de ces substitutions,
-restent à la même place; il faut pour cela résoudre l'équation
+restent Ã  la mÃªme place; il faut pour cela rÃ©soudre l'Ã©quation
 \[
 (rk + s)k - m(mk + n) = 0,
 \]
 qui aura deux, ou une, ou aucune racine, suivant que $(m - s)^{2} + 4nr$
-sera résidu quadratique, nul ou non résidu quadratique. Suivant
+sera rÃ©sidu quadratique, nul ou non rÃ©sidu quadratique. Suivant
 ces trois cas, la substitution sera de l'ordre $p - 1$, ou~$p$, ou~$p + 1$.
 
 On peut prendre pour type des deux premiers cas les substitutions
@@ -3549,32 +3551,32 @@ de la forme
 \[
 (k,\ mk + n),
 \]
-où la seule lettre~$b_{\efrac{1}{0}}$ ne varie pas, et de là on voit que le nombre
-total des substitutions du groupe réduit est
+oÃ¹ la seule lettre~$b_{\efrac{1}{0}}$ ne varie pas, et de lÃ  on voit que le nombre
+total des substitutions du groupe rÃ©duit est
 \[
 (p + 1)p(p - 1).
 \]
 
-C'est après avoir ainsi réduit ce groupe que nous allons le
-traiter généralement. Nous chercherons d'abord dans quel cas un
+C'est aprÃ¨s avoir ainsi rÃ©duit ce groupe que nous allons le
+traiter gÃ©nÃ©ralement. Nous chercherons d'abord dans quel cas un
 diviseur de ce groupe, qui contiendrait des substitutions de
-l'ordre~$p$, pourrait appartenir à une équation soluble par radicaux.
+l'ordre~$p$, pourrait appartenir Ã  une Ã©quation soluble par radicaux.
 
-Dans ce cas, l'équation serait primitive et elle ne pourrait être
+Dans ce cas, l'Ã©quation serait primitive et elle ne pourrait Ãªtre
 %% -----File: 068.png---Folio 60-------
-soluble par radicaux, à moins que l'on n'eût $p + 1 = 2^{n}$, $n$~étant
+soluble par radicaux, Ã  moins que l'on n'eÃ»t $p + 1 = 2^{n}$, $n$~Ã©tant
 un certain nombre.
 
 Nous pouvons supposer que le groupe ne contienne que des
 substitutions de l'ordre~$p$ et de l'ordre~$p + 1$. Toutes les substitutions
-de l'ordre~$p + 1$ seront par conséquent semblables, et leur
-période sera de deux termes.
+de l'ordre~$p + 1$ seront par consÃ©quent semblables, et leur
+pÃ©riode sera de deux termes.
 
 Prenons donc l'expression
 \[
 \biggl(k,\ \frac{mk + n}{rk + s}\biggr),
 \]
-et voyons dans quel cas cette substitution peut avoir une période
+et voyons dans quel cas cette substitution peut avoir une pÃ©riode
 de deux termes. Il faut pour cela que la substitution inverse se
 confonde avec elle. La substitution inverse est
 \[
@@ -3590,10 +3592,10 @@ ou encore
 \[
 k,\ m + \frac{N}{k - m},
 \]
-$N$~étant un certain nombre qui est le même pour toutes les substitutions,
-puisque ces substitutions doivent être transformées les
+$N$~Ã©tant un certain nombre qui est le mÃªme pour toutes les substitutions,
+puisque ces substitutions doivent Ãªtre transformÃ©es les
 unes dans les autres par toutes les substitutions de l'ordre~$p$,
-$(k, k+m)$; or ces substitutions doivent, de plus, être conjuguées
+$(k, k+m)$; or ces substitutions doivent, de plus, Ãªtre conjuguÃ©es
 les unes des autres. Si donc
 \[
 \biggl(k,\ m + \frac{N}{k - m}\biggr), \qquad
@@ -3609,21 +3611,21 @@ savoir
 (m - n)^{2} = 2N.
 \]
 
-Donc la différence entre deux valeurs de~$m$ ne peut acquérir
+Donc la diffÃ©rence entre deux valeurs de~$m$ ne peut acquÃ©rir
 %% -----File: 069.png---Folio 61-------
-que deux valeurs différentes; donc $m$ ne peut avoir plus de trois
+que deux valeurs diffÃ©rentes; donc $m$ ne peut avoir plus de trois
 valeurs; donc enfin $p = 3$. Ainsi, c'est seulement dans ce cas
-que le groupe réduit pourra contenir des substitutions de l'ordre~$p$.
+que le groupe rÃ©duit pourra contenir des substitutions de l'ordre~$p$.
 
-Et, en effet, la réduite sera alors du quatrième degré, et, par
-conséquent, soluble par radicaux.
+Et, en effet, la rÃ©duite sera alors du quatriÃ¨me degrÃ©, et, par
+consÃ©quent, soluble par radicaux.
 
-Nous savons par là qu'en général, parmi les substitutions de notre
-groupe réduit, il ne devra pas se trouver de substitutions de
+Nous savons par lÃ  qu'en gÃ©nÃ©ral, parmi les substitutions de notre
+groupe rÃ©duit, il ne devra pas se trouver de substitutions de
 l'ordre~$p$. Peut-il y en avoir de l'ordre~$p - 1$? C'est ce que je vais
 rechercher\footnotemark.
 
-\footnotetext{J'ai cherché inutilement dans les papiers de Galois la continuation de ce
+\footnotetext{J'ai cherchÃ© inutilement dans les papiers de Galois la continuation de ce
   qu'on vient de lire. \Annot{(A.~Ch.)}}
 
 \vfil
@@ -3634,35 +3636,35 @@ rechercher\footnotemark.
 
 
 \BackMatter
-\Contents % ** Prints: "TABLE DES MATIÈRES." and "Pages."
+\Contents % ** Prints: "TABLE DES MATIÃˆRES." and "Pages."
 
 \ToCArt{\textsc{Introduction}}{1}
 
 
-\ToCChap{I.}{ARTICLES PUBLIÉS PAR GALOIS.}
+\ToCChap{I.}{ARTICLES PUBLIÃ‰S PAR GALOIS.}
 
-\ToCArt{Démonstration d'un théorème sur les fractions continues périodiques}{1}
+\ToCArt{DÃ©monstration d'un thÃ©orÃ¨me sur les fractions continues pÃ©riodiques}{1}
 
 \ToCArt{Notes sur quelques points d'Analyse}{9}
 
-\ToCArt{Analyse d'un Mémoire sur la résolution algébrique des équations}{11}
+\ToCArt{Analyse d'un MÃ©moire sur la rÃ©solution algÃ©brique des Ã©quations}{11}
 
-\ToCArt{Note sur la résolution des équations numériques}{13}
+\ToCArt{Note sur la rÃ©solution des Ã©quations numÃ©riques}{13}
 
-\ToCArt{Sur la théorie des nombres}{15}
+\ToCArt{Sur la thÃ©orie des nombres}{15}
 
 
 \ToCChap{II.}{{\OE}UVRES POSTHUMES.}
 
-\ToCArt{Lettre à Auguste Chevalier}{25}
+\ToCArt{Lettre Ã  Auguste Chevalier}{25}
 
-\ToCArt{Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux}{33}
+\ToCArt{MÃ©moire sur les conditions de rÃ©solubilitÃ© des Ã©quations par radicaux}{33}
 
-\ToCArt{Des équations primitives qui sont solubles par radicaux (fragment)}{51}
+\ToCArt{Des Ã©quations primitives qui sont solubles par radicaux (fragment)}{51}
 
 \vfil
 \begin{center}
-FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES.
+FIN DE LA TABLE DES MATIÃˆRES.
 \end{center}
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% GUTENBERG LICENSE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
@@ -3670,10 +3672,10 @@ FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES.
 \FlushRunningHeads
 \PGLicense
 \begin{PGtext}
-End of the Project Gutenberg EBook of Oeuvres mathématiques d'Évariste Galois, by 
-Évariste Galois
+End of the Project Gutenberg EBook of Oeuvres mathÃ©matiques d'Ã‰variste Galois, by 
+Ã‰variste Galois
 
-*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK OEUVRES MATHÉMATIQUES ***
+*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK OEUVRES MATHÃ‰MATIQUES ***
 
 ***** This file should be named 40213-pdf.pdf or 40213-pdf.zip *****
 This and all associated files of various formats will be found in:
@@ -4034,10 +4036,10 @@ subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks.
 
 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
 %                                                                         %
-% End of the Project Gutenberg EBook of Oeuvres mathématiques d'Évariste Galois, by 
-% Évariste Galois                                                         %
+% End of the Project Gutenberg EBook of Oeuvres mathÃ©matiques d'Ã‰variste Galois, by 
+% Ã‰variste Galois                                                         %
 %                                                                         %
-% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK OEUVRES MATHÉMATIQUES ***       %
+% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK OEUVRES MATHÃ‰MATIQUES ***       %
 %                                                                         %
 % ***** This file should be named 40213-t.tex or 40213-t.zip *****        %
 % This and all associated files of various formats will be found in:      %
@@ -4065,8 +4067,8 @@ subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks.
   ['\\Section', 1, 1, '', ' ', 1, 1, '', ' '],
   ['\\Subsection', 1, 1, '', ''],
   ['\\Par', 1, 1, '', ' '],
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+  ['\\begin{Theoreme}', 0, 1, 'ThÃ©orÃ¨me ', ''],
+  ['\\begin{Probleme}', 0, 1, 'ProblÃ¨me ', ''],
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@@ -4538,8 +4540,8 @@ LaTeX Font Warning: Font shape `T1/cmr/m/n' in size <6.49994> not available
 
 ]
 Overfull \hbox (0.79935pt too wide) in paragraph at lines 2333--2337
-[]\T1/cmr/m/n/12 Mais quand les co-ef-fi-cients d'une équa-tion ne seront \T1/c
-mr/m/it/12 pas tous \T1/cmr/m/n/12 numériques
+[]\T1/cmr/m/n/12 Mais quand les co-ef-fi-cients d'une Ã©qua-tion ne seront \T1/c
+mr/m/it/12 pas tous \T1/cmr/m/n/12 numÃ©riques
  []
 
 [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44]
@@ -4556,8 +4558,8 @@ Underfull \vbox (badness 1152) has occurred while \output is active []
 
 ]
 Overfull \hbox (3.21407pt too wide) in paragraph at lines 3673--3673
-[]\T1/cmtt/m/n/9 End of the Project Gutenberg EBook of Oeuvres mathématiques d'
-Évariste Galois, by[] 
+[]\T1/cmtt/m/n/9 End of the Project Gutenberg EBook of Oeuvres mathÃ©matiques d'
+Ã‰variste Galois, by[] 
  []
 
 
diff --git a/40213-t/old/40213-t.tex b/40213-t/old/40213-t.tex
deleted file mode 100644
index e6034b4..0000000
--- a/40213-t/old/40213-t.tex
+++ /dev/null
@@ -1,4704 +0,0 @@
-% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
-%                                                                         %
-% The Project Gutenberg EBook of Oeuvres mathématiques d'Évariste Galois, by 
-% Évariste Galois                                                         %
-%                                                                         %
-% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with        %
-% almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or    %
-% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included     %
-% with this eBook or online at www.gutenberg.org                          %
-%                                                                         %
-%                                                                         %
-% Title: Oeuvres mathématiques d'Évariste Galois                          %
-%                                                                         %
-% Author: Évariste Galois                                                 %
-%                                                                         %
-% Editor: Société mathématique de France                                  %
-%         Émile Picard                                                    %
-%                                                                         %
-% Release Date: July 11, 2012 [EBook #40213]                              %
-%                                                                         %
-% Language: French                                                        %
-%                                                                         %
-% Character set encoding: ISO-8859-1                                      %
-%                                                                         %
-% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK OEUVRES MATHÉMATIQUES ***     %
-%                                                                         %
-% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
-
-\def\ebook{40213}
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-%%                                                                  %%
-%% Packages and substitutions:                                      %%
-%%                                                                  %%
-%% book:     Required.                                              %%
-%% inputenc: Standard DP encoding. Required.                        %%
-%%                                                                  %%
-%% fontenc: For French hyphenation. Required.                       %%
-%% babel:    French language features. Required.                    %%
-%%                                                                  %%
-%% ifthen:   Logical conditionals. Required.                        %%
-%%                                                                  %%
-%% amsmath:  AMS mathematics enhancements. Required.                %%
-%% amssymb:  Additional mathematical symbols. Required.             %%
-%%                                                                  %%
-%% alltt:    Fixed-width font environment. Required.                %%
-%%                                                                  %%
-%% indentfirst: Indent first word of each sectional unit. Required. %%
-%% footmisc: Renumber footnotes on each page. Required.             %%
-%%                                                                  %%
-%% calc:     Length calculations. Required.                         %%
-%%                                                                  %%
-%% fancyhdr: Enhanced running headers and footers. Required.        %%
-%%                                                                  %%
-%% geometry: Enhanced page layout package. Required.                %%
-%% hyperref: Hypertext embellishments for pdf output. Required.     %%
-%%                                                                  %%
-%%                                                                  %%
-%% Producer's Comments:                                             %%
-%%                                                                  %%
-%%   Changes are noted in this file in two ways.                    %%
-%%   1. \DPtypo{}{} for typographical corrections, showing original %%
-%%      and replacement text side-by-side.                          %%
-%%   2. [** TN: Note]s for minor typographical comments.            %%
-%%                                                                  %%
-%%                                                                  %%
-%% Compilation Flags:                                               %%
-%%                                                                  %%
-%%   The following behavior may be controlled by boolean flags.     %%
-%%                                                                  %%
-%%   ForPrinting (true by default):                                 %%
-%%   Compile a print-optimized PDF file. Set to false for screen-   %%
-%%   optimized file (pages cropped, one-sided, blue hyperlinks).    %%
-%%                                                                  %%
-%%                                                                  %%
-%% PDF pages: 78 (if ForPrinting set to false)                      %%
-%% PDF page size: 5.5 x 8in (non-standard)                          %%
-%%                                                                  %%
-%% Summary of log file:                                             %%
-%% * One overfull hbox (4.1pt too wide), two underfull hboxes.      %%
-%% * Five underfull vboxes.                                         %%
-%%                                                                  %%
-%%                                                                  %%
-%% Compile History:                                                 %%
-%%                                                                  %%
-%% July, 2012: adhere (Andrew D. Hwang)                             %%
-%%             texlive2007, GNU/Linux                               %%
-%%                                                                  %%
-%% Command block:                                                   %%
-%%                                                                  %%
-%%     pdflatex x2                                                  %%
-%%                                                                  %%
-%%                                                                  %%
-%% July 2012: pglatex.                                              %%
-%%   Compile this project with:                                     %%
-%%   pdflatex 40213-t.tex ..... TWO times                           %%
-%%                                                                  %%
-%%   pdfTeX, Version 3.1415926-1.40.10 (TeX Live 2009/Debian)       %%
-%%                                                                  %%
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-%  Département des Mathématiques, Université de Glasgow.
-  Des modifications mineures ont été apportées à la présentation,
-  l'orthographe, la ponctuation et aux notations mathématiques. Le
-  fichier \LaTeX\ source, qui on peut trouve à
-  \begin{center}
-    \texttt{www.gutenberg.org/ebooks/\ebook},
-  \end{center}
-  contient les notes sur ces corrections.
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-  Ce fichier est optimisée pour être lu sur un écran, mais peut être
-  aisément reformater pour être imprimer. Veuillez consulter le
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-    Ce fichier est optimisée pour imprimer, mais peut être aisément
-    reformater pour être lu sur un écran. Veuillez consulter le
-    préambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions.
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-
-  \section*{\centering #1\ --- #2}
-
-  \vspace*{3\baselineskip}
-}
-
-\newcounter{ArtNo}
-\newcommand{\Article}[3]{%
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-  \ifthenelse{\not\equal{\theArtNo}{1}}{\FlushRunningHeads}{}
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-% [** TN: Heading of "Des équations primitives..." gets special handling]
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-\vspace*{\baselineskip}
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-
-\newcommand{\Letter}[1]{%
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-\newcommand{\Section}[2]{%
-%[** TN: Size-dependent vertical space tweaking when \Section follows \Article]
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-\newcommand{\Subsection}[1]{\subsubsection*{\centering\small\normalfont #1}}
-
-\newcommand{\Introduction}{%
-  \FlushRunningHeads
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-  \section*{\centering INTRODUCTION.}
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-
-%%%% Other semantic units %%%%
-
-% Template for definitions, theorems, corollaries
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-
-\newenvironment{Thm}{\itshape\ignorespaces}{\normalfont}
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-\newenvironment{Demonstration}{%
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-  \textit{Démonstration.}\ --- \ignorespaces
-}{\medskip\normalfont}
-
-\newcommand{\Par}[1]{\medskip\par\textit{#1}\ ---\ \ignorespaces}
-
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-
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-
-%%%% Misc. textual macros %%%%
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-  \footnotesize MATHÉMATIQUES \\[\baselineskip]
-  \textbf{\Huge D'ÉVARISTE GALOIS#1}
-}
-
-\newcommand{\Label}[1]{\phantomsection\label{#1}}
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-
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-
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-}
-
-%%%% Miscellaneous formatting %%%%
-
-% Surround footnote markers with upright parentheses
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-\renewcommand\@makefntext[1]%
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-
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-
-\newcommand{\TB}[1][1.5cm]{\rule{#1}{0.5pt}}
-
-\makeatletter
-\def\Cfrac{\global\@tempdimb\z@\cfrac}
-\def\hlap#1{{\setbox\@tempboxa\hbox{#1}\@tempdima=\wd\@tempboxa
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-\def\CfracCorrect{\kern\@tempdimb\relax}
-\makeatother
-
-\renewcommand{\phi}{\varphi}
-%[** TN: Original uses "mod." and "mod" inconsistently]
-\DeclareMathOperator{\Mod}{mod\;}
-\renewcommand{\mod}{\Mod}
-\newcommand{\efrac}[2]{\tfrac{#1}{#2}}
-
-% Make upright regardless of surrounding font
-\let\Primo=\primo
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-
-\renewcommand{\primo}{{\upshape\Primo}}
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-
-% Use upright capitals, tweak math size
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-
-% Corrections
-\newcommand{\DPtypo}[2]{#2}
-
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% START OF DOCUMENT %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\begin{document}
-\FrontMatter
-%%%% PG BOILERPLATE %%%%
-\PGBoilerPlate
-\begin{center}
-\begin{minipage}{\textwidth}
-\small
-\begin{PGtext}
-The Project Gutenberg EBook of Oeuvres mathématiques d'Évariste Galois, by 
-Évariste Galois
-
-This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
-almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or
-re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included
-with this eBook or online at www.gutenberg.org
-
-
-Title: Oeuvres mathématiques d'Évariste Galois
-
-Author: Évariste Galois
-
-Editor: Société mathématique de France
-        Émile Picard
-
-Release Date: July 11, 2012 [EBook #40213]
-
-Language: French
-
-Character set encoding: ISO-8859-1
-
-*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK OEUVRES MATHÉMATIQUES ***
-\end{PGtext}
-\end{minipage}
-\end{center}
-\clearpage
-
-%%%% Credits and transcriber's note %%%%
-\begin{center}
-\begin{minipage}{\textwidth}
-\begin{PGtext}
-Produced by Andrew D. Hwang, K. F. Greiner, Paul Murray
-and the Online Distributed Proofreading Team at
-http://www.pgdp.net
-\end{PGtext}
-\end{minipage}
-\vfill
-\TranscribersNote{\TransNoteText}
-\end{center}
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FRONT MATTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-%% -----File: 001.png---Folio iii-------
-\cleardoublepage
-\pagenumbering{Roman}
-\null\vfil
-\begin{center}
-% ** Macro (see also top of next page) prints
-% {\OE}UVRES
-% MATHÉMATIQUES
-% D'ÉVARISTE GALOIS.
-\OEUVRES
-\end{center}
-\vfil
-%% -----File: 002.png---Folio iv-------
-\newpage
-\begin{center}
-\OEUVRES[,]
-\vfill
-
-\footnotesize PUBLIÉES \\[6pt]
-\small SOUS LES AUSPICES DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE,
-\vfill
-
-\large AVEC UNE INTRODUCTION \\[6pt]
-\footnotesize PAR \\[6pt]
-\large M. \textsc{Émile PICARD}, \\[6pt]
-\footnotesize MEMBRE DE L'INSTITUT.
-\vfill
-
-%Illustration
-
-\large PARIS, \\[6pt]
-\normalsize GAUTHIER-VILLARS ET FILS, IMPRIMEURS-LIBRAIRES \\[6pt]
-\footnotesize DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE, \\[6pt]
-Quai des Grands-Augustins, 55. \\[6pt]
-\TB[0.5cm] \\[6pt]
-\normalsize 1897 \\[6pt]
-\footnotesize (Tous droits réservés.)
-\end{center}
-%% -----File: 003.png---Folio v-------
-
-\Introduction
-
-Les {\OE}uvres de Galois ont, comme on sait, été publiées
-en 1846 par Liouville, dans le \Title{Journal de Mathématiques}.
-Il était regrettable que l'on ne pût posséder à part les
-{\OE}uvres du grand géomètre; aussi la Société mathématique
-a-t-elle décidé de faire réimprimer les Mémoires de Galois.
-Cette édition est conforme à la précédente; on a seulement
-supprimé l'avertissement placé par Liouville au début de la
-publication.
-
-Un travail, qui paraît définitif, sur la vie de Galois vient
-d'être publié par M.~Paul Dupuy, dans les \Title{Annales de
-l'École Normale supérieure} (1896). Comme documents
-antérieurs relatifs à la vie de Galois, il faut citer la Notice
-nécrologique que lui consacra son ami Auguste Chevalier,
-dans la \Title{Revue encyclopédique} (septembre 1832), et un
-article paru dans le \Title{Magasin pittoresque}, en 1848. Évariste
-Galois est né à Bourg-la-Reine, près de Paris, le
-25~octobre 1811; il quitta la maison paternelle en 1823,
-pour entrer en quatrième au collège Louis-le-Grand. Dès
-l'âge de quinze ans, ses dispositions extraordinaires pour les
-Sciences mathématiques commencent à se manifester; les
-livres élémentaires d'Algèbre ne le satisfont pas, et c'est dans
-les Ouvrages classiques de Lagrange qu'il fait son éducation
-algébrique. Il semble qu'à dix-sept ans Galois avait déjà
-obtenu des résultats de la plus haute importance concernant
-la théorie des équations algébriques. On ne peut faire que
-%% -----File: 004.png---Folio xx-------
-des conjectures sur la marche de ses idées, les deux Mémoires
-qu'il présenta à l'Académie des Sciences ayant été
-perdus; une chose toutefois est certaine: il était, au commencement
-de 1830, en possession de ses principes généraux,
-comme le montre l'analyse d'un Mémoire sur la résolution
-algébrique des équations dans le \Title{Bulletin de
-Férussac}, où sont énoncés une série de résultats qui ne sont
-manifestement que des applications d'une théorie générale.
-Ce court article est le plus important qui ait été publié par
-Galois lui-même, le Mémoire fondamental sur l'Algèbre retrouvé
-dans ses papiers n'ayant été imprimé qu'en 1846.
-
-On trouvera, dans l'article de M.~Dupuy, des renseignements
-d'un grand intérêt sur la vie de Galois. Il est peu probable
-que de nouveaux documents viennent désormais
-s'ajouter à ceux que nous possédons maintenant. Après
-deux échecs à l'École Polytechnique, Galois entra à l'École
-Normale en 1829 et fut obligé de la quitter l'année suivante.
-Dans la dernière année de sa vie, il se donna tout entier à la
-politique, passa plusieurs mois sous les verrous de Sainte-Pélagie
-et, blessé mortellement en duel, mourut le 31~mai
-1832. En présence d'une vie si courte et si tourmentée, l'admiration
-redouble pour le génie prodigieux qui a laissé dans
-la Science une trace aussi profonde; les exemples de productions
-précoces ne sont pas rares chez les grands géomètres,
-mais celui de Galois est remarquable entre tous.
-Il semble, hélas! que le malheureux jeune homme ait tristement
-payé la rançon de son génie. A mesure que se \DPtypo{déveveloppent}{développent}
-ses brillantes facultés mathématiques, on voit
-s'assombrir son caractère, autrefois gai et ouvert, et le
-sentiment de son immense supériorité développe chez lui un
-orgueil excessif. Ce fut la cause des déceptions qui eurent
-tant d'influence sur sa carrière, et dont la première fut son
-échec à l'École Polytechnique. Son examen dans cette
-%% -----File: 005.png---Folio xx-------
-École a laissé des souvenirs; sans aller aussi loin que le
-veut la légende, disons seulement que Galois refusa de répondre
-à une question, qu'il jugeait ridicule, sur la théorie
-arithmétique des logarithmes. On ne peut douter aussi qu'il
-ne se soit pas prêté à fournir sur ses travaux les explications
-que lui demandaient les mathématiciens avec qui il s'est
-trouvé en relations, explications que rendait nécessaires la
-rédaction rapide de ses Mémoires; aussi comprend-on facilement
-que son mérite n'ait pas été reconnu de ses contemporains.
-Ce n'est pas sans peine que Liouville réussit à saisir
-l'enchaînement des idées de Galois, et il fallut encore de
-nombreux commentateurs pour combler les lacunes qui subsistaient
-dans plus d'une démonstration, et amener les théories
-du grand géomètre au degré de simplicité qu'elles sont
-susceptibles de revêtir aujourd'hui.
-
-La théorie des équations doit à Lagrange, Gauss et Abel
-des progrès considérables, mais aucun d'eux n'arriva à
-mettre en évidence l'élément fondamental dont dépendent
-toutes les propriétés de l'équation; cette gloire était réservée
-à Galois, qui montra qu'à chaque équation algébrique correspond
-un groupe de substitutions dans lequel se reflètent
-les caractères essentiels de l'équation. En Algèbre, la théorie
-des groupes avait fait auparavant l'objet de nombreuses recherches
-dues, pour la plupart, à Cauchy, qui avait introduit
-déjà certains éléments de classification; les études de
-Galois sur la Théorie des équations lui montrèrent l'importance
-de la notion de sous-groupe invariant d'un groupe
-donné, et il fut ainsi conduit à partager les groupes en
-groupes simples et groupes composés, distinction fondamentale
-qui dépasse de beaucoup, en réalité, le domaine de
-l'Algèbre et s'étend au concept de groupes d'opérations dans
-son acception la plus étendue.
-
-Les théories générales, pour prendre dans la Science un
-%% -----File: 006.png---Folio xx-------
-droit de cité définitif, ont le plus souvent besoin de s'illustrer
-par des applications particulières. Dans plusieurs domaines,
-celles-ci ne sont pas toujours faciles à trouver, et l'on pourrait
-citer, dans les Mathématiques modernes, plus d'une théorie
-confinée, si j'ose le dire, dans sa trop grande généralité;
-au point de vue artistique, qui joue un rôle capital dans les
-Mathématiques pures, rien n'est plus satisfaisant que le développement
-de ces grandes théories, cependant de bons
-esprits regrettent cette tendance, qui a peut-être ses dangers.
-On ne peut, pour Galois, émettre un pareil regret; la résolution
-algébrique des équations lui a fourni, dès le début, un
-champ particulier d'applications où le suivirent depuis de
-nombreux géomètres, parmi lesquels il faut citer au premier
-rang M.~Camille Jordan.
-
-Les travaux de Galois, sur les équations algébriques, ont
-rendu son nom célèbre, mais il semble qu'il avait fait, en
-Analyse, des découvertes au moins aussi importantes. Dans
-sa lettre à Auguste Chevalier, écrite la veille de sa mort, et
-qui est une sorte de testament scientifique, Galois parle d'un
-Mémoire qu'on pourrait composer avec ses recherches sur
-les intégrales. Nous ne connaissons de ces recherches que ce
-qu'il en dit dans cette lettre; plusieurs points restent obscurs
-dans quelques énoncés de Galois, mais on peut cependant se
-faire une idée précise de quelques-uns des résultats auxquels
-il était arrivé dans la théorie des intégrales de fonctions algébriques.
-On acquiert ainsi la conviction qu'il était en possession
-des résultats les plus essentiels sur les intégrales abéliennes
-que Riemann devait obtenir vingt-cinq ans plus tard.
-Nous ne voyons pas sans étonnement Galois parler des périodes
-d'une intégrale abélienne relative à une fonction
-algébrique quelconque; pour les intégrales hyperelliptiques,
-nous n'avons aucune difficulté à comprendre ce qu'il entend
-par \emph{période}, mais il en est autrement dans le cas général, et
-%% -----File: 007.png---Folio xx-------
-l'on est presque tenté de supposer que Galois avait tout au
-moins pressenti certaines notions sur les fonctions d'une variable
-complexe, qui ne devaient être développées que plusieurs
-années après sa mort. Les énoncés sont précis;
-l'illustre auteur fait la classification en trois espèces des intégrales
-abéliennes, et affirme que, si $n$~désigne le nombre des
-intégrales de première espèce linéairement indépendantes,
-les périodes seront en nombre~$2n$. Le théorème relatif à
-l'inversion du paramètre et de l'argument dans les intégrales
-de troisième espèce est nettement indiqué, ainsi que
-les relations entre les périodes des intégrales abéliennes;
-Galois parle aussi d'une généralisation de l'équation classique
-de Legendre, où figurent les périodes des intégrales
-elliptiques, généralisation qui l'avait probablement conduit
-aux importantes relations découvertes depuis par
-Weierstrass et par M.~Fuchs. Nous en avons dit assez pour
-montrer l'étendue des découvertes de Galois en Analyse;
-si quelques années de plus lui avaient été données pour développer
-ses idées dans cette direction, il aurait été le glorieux
-continuateur d'Abel et aurait édifié, dans ses parties
-essentielles, la théorie des fonctions algébriques d'une
-variable telle que nous la connaissons aujourd'hui. Les
-méditations de Galois portèrent encore plus loin; il termine
-sa lettre en parlant de l'application à l'Analyse transcendante
-de la théorie de l'ambiguïté. On devine à peu près
-ce qu'il entend par là, et sur ce terrain qui, comme il le dit,
-est immense, il reste encore aujourd'hui bien des découvertes
-à faire.
-
-Ce n'est pas sans émotion que l'on achève la lecture du
-testament scientifique de ce jeune homme de vingt ans, écrit
-la veille du jour où il devait disparaître dans une obscure
-querelle. Sa mort fut pour la Science une perte immense;
-l'influence de Galois, s'il eût vécu, aurait grandement modifié
-%% -----File: 008.png---Folio xx-------
-l'orientation des recherches mathématiques dans notre
-pays. Je ne me risquerai pas à des comparaisons périlleuses:
-Galois a sans doute des égaux parmi les grands mathématiciens
-de ce siècle; aucun ne le surpasse par l'originalité et la
-profondeur de ses conceptions.
-
-\Signature{Émile Picard,}{Président de la Société mathématique de France.}
-%% -----File: 009.png---Folio 1-------
-\MainMatter
-% ** Text is printed by the \Chapter macro
-% {\OE}UVRES
-% MATHÉMATIQUES
-% D'ÉVARISTE GALOIS.
-
-\Chapter{I.}{ARTICLES PUBLIÉS PAR GALOIS.}
-
-\Article{DÉMONSTRATION}{D'UN}{THÉORÈME SUR LES FRACTIONS CONTINUES PÉRIODIQUES\footnotemark.}
-
-\footnotetext{Tome~XIX des \Title{Annales de Mathématiques} de M.~Gergonne, page~294
-  (1828--1829). Galois était alors élève au collège Louis-le-Grand. \Annot{(J.~Liouville.)}}
-
-On sait que si, par la méthode du Lagrange, on développe en
-fraction continue une des racines d'une équation du second degré,
-cette fraction continue sera périodique, et qu'il en sera encore de
-même de l'une des racines d'une équation de degré quelconque,
-si cette racine est racine d'un facteur rationnel du second degré
-du premier membre de la proposée, auquel cas cette équation
-aura, tout au moins, une autre racine qui sera également périodique.
-Dans l'un et dans l'autre cas, la fraction continue pourra
-d'ailleurs être immédiatement périodique ou ne l'être pas immédiatement;
-%% -----File: 010.png---Folio 2-------
-mais, lorsque cette dernière circonstance aura lieu, il
-y aura du moins une des transformées dont une des racines sera
-immédiatement périodique.
-
-Or, lorsqu'une équation a deux racines périodiques répondant
-à un même facteur rationnel du second degré, et que l'une d'elles
-est immédiatement périodique, il existe entre ces deux racines
-une relation assez singulière qui paraît n'avoir pas encore été remarquée,
-et qui peut être exprimée par le théorème suivant:
-
-\begin{Theoreme}
-Si une des racines d'une équation de degré
-quelconque est une fraction continue immédiatement périodique,
-cette équation aura nécessairement une autre racine
-également périodique que l'on obtiendra en divisant l'unité
-négative par cette même fraction continue périodique, écrite
-dans un ordre inverse.
-\end{Theoreme}
-
-\begin{Demonstration}
-Pour fixer les idées, ne prenons que des
-périodes de quatre termes; car la marche uniforme du calcul
-prouve qu'il en serait de même si nous en admettions un plus
-grand nombre. Soit une des racines d'une équation de degré quelconque
-exprimée comme il suit;
-\[
-a - x = a + \Cfrac{1}{
-      \,b + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,c + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,d + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,a + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,b + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,c + \hlap{$\cfrac{1}{\Strut
-      \,d + \raisebox{-2ex}{$\ddots$\rlap{\,;}} }$}}\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}\CfracCorrect
-\]
-l'équation du second degré, à laquelle appartiendra cette racine,
-et qui contiendra conséquemment sa corrélative, sera
-\[
-x = a + \Cfrac{1}{
-  \,b + \hlap{$\cfrac{1}{
-  \,c + \hlap{$\cfrac{1}{
-  \,d + \hlap{$\cfrac{1}{\quad x \quad } \;\rlap{;}$}}\;$}}\;$}}\CfracCorrect
-\]
-%% -----File: 011.png---Folio 3-------
-or, on tire de là successivement
-\begin{align*}
-&a - x = - \Cfrac{1}{
-      \,b + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,c + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,d + \hlap{$\cfrac{1}{\quad x \quad } \;\rlap{,}$}}\;$}}\;$}}\CfracCorrect \qquad
-&&\frac{1}{a-x} =
-      - b + \Cfrac{1}{
-      \,c + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,d + \hlap{$\cfrac{1}{\quad x \quad } \;\rlap{,}$}}\;$}}\CfracCorrect
-\displaybreak[0] \\[\baselineskip]
-& b + \frac{1}{a-x} =
-          - \Cfrac{1}{
-      \,c + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,d + \hlap{$\cfrac{1}{\quad x \quad } \;\rlap{,}$}}\;$}}\CfracCorrect
-&&\Cfrac{1}{
-      \,b + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,a - x \, }\;$}}\CfracCorrect
-=     - c + \Cfrac{1}{
-      \,d + \hlap{$\cfrac{1}{\quad x \quad } \;\rlap{,}$}}\CfracCorrect
-\displaybreak[0] \\[\baselineskip]
-&c + \Cfrac{1}{
-      \,b + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,a - x \, }\;$}}\CfracCorrect
-=         - \Cfrac{1}{
-      \,d + \hlap{$\cfrac{1}{\quad x \quad } \;\rlap{,}$}}\CfracCorrect
-&&\Cfrac{1}{
-      \,c + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,b + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,a - x \, }\;$}}\;$}}\CfracCorrect
-=     -d + \frac{1}{x} \,,
-\displaybreak[0] \\[\baselineskip]
-&       d + \Cfrac{1}{
-      \,c + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,b + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,a - x \, }$}}\;$}}\CfracCorrect
-=         - \frac{1}{x} \,;
-&&\Cfrac{1}{
-      \,d + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,c + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,b + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,a - x \, }$}}\;$}}\;$}}\CfracCorrect
-=     -x\,,
-\end{align*}
-c'est-à-dire
-\[
-  x =     - \Cfrac{1}{
-      \,d + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,c + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,b + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,a - x\, } \;\rlap{;}$}}\;$}}$}}\CfracCorrect
-\]
-c'est donc toujours là l'équation du second degré qui donne les
-deux racines dont il s'agit; mais, en mettant continuellement
-pour $x$, dans son second membre, ce même second membre, qui
-en est, en effet, la valeur, elle donne
-\[
-  x =     - \Cfrac{1}{
-      \,d + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,c + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,b + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,a + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,d + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,c + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,b + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,a + \raisebox{-2ex}{$\ddots$\rlap{\,;}} }\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}
-\CfracCorrect
-\]
-c'est donc là l'autre valeur de $x$, donnée par cette équation, valeur
-qui, comme l'on voit, est égale à $-1$ divisé par la première écrite
-dans un ordre inverse.
-%% -----File: 012.png---Folio 4-------
-
-Dans ce qui précède, nous avons supposé que la racine proposée
-était plus grande que l'unité; mais, si l'on avait
-\[
-  x =       \Cfrac{1}{
-      \,a + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,b + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,c + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,d + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,a + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,b + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,c + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,d + \raisebox{-2ex}{$\ddots$\rlap{\,;}} }$}}\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}
-\CfracCorrect
-\]
-on en conclurait, pour une des valeurs de~$\dfrac{1}{x}$,
-\[
-  \frac{1}{x} =   a + \Cfrac{1}{
-      \,b + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,c + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,d + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,a + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,b + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,c + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,d + \raisebox{-2ex}{$\ddots$\rlap{\,;}} }$}}\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}
-\CfracCorrect
-\]
-l'autre valeur de $\dfrac{1}{x}$ serait donc, par ce qui précède,
-\[
-  \frac{1}{x} =   - \Cfrac{1}{
-      \,d + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,c + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,b + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,a + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,d + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,c + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,b + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,a + \raisebox{-2ex}{$\ddots$\rlap{\,,}} }$}}\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}
-\CfracCorrect
-\]
-d'où l'on conclurait, pour l'autre valeur de $x$,
-\[
-  x = - d + \Cfrac{1}{
-      \,c + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,b + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,a + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,d + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,c + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,b + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,a + \raisebox{-2ex}{$\ddots$} }$}}\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}
-\CfracCorrect
-\]
-%% -----File: 013.png---Folio 5-------
-ou
-\[
-  x = - 1 : \Cfrac{1}{
-      \,d + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,c + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,b + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,a + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,d + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,c + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,b + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,a + \raisebox{-2ex}{$\ddots$\rlap{\,;}}}$}}\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}
-\CfracCorrect
-\]
-ce qui rentre exactement dans notre théorème.
-\end{Demonstration}
-
-Soit $A$ une fraction continue immédiatement périodique quelconque,
-et soit $B$ la fraction continue qu'on en déduit en renversant
-la période; on voit que, si l'une des racines d'une équation
-est $x = A$, elle aura nécessairement une autre racine $x = -\dfrac{1}{B}$;
-or, si $A$ est un nombre positif plus grand que l'unité, $-\dfrac{1}{B}$~sera
-négatif et compris entre $0$ et~$-1$; et, à l'inverse, si $A$ est un
-nombre négatif compris entre $0$ et~$-1$, $-\dfrac{1}{B}$~sera un nombre positif
-plus grand que l'unité. Ainsi, lorsque l'une des racines d'une
-équation du second degré est une fraction continue immédiatement
-périodique, plus grande que l'unité, l'autre est nécessairement
-comprise entre $0$ et $-1$; et réciproquement, si l'une d'elles
-est comprise entre $0$ et $-1$, l'autre sera nécessairement positive
-et plus grande que l'unité.
-
-On peut prouver que, réciproquement, si l'une des deux racines
-d'une équation du second degré est positive et plus grande
-que l'unité, et que l'autre soit comprise entre $0$ et $-1$, ces racines
-seront exprimables en fractions continues immédiatement périodiques.
-En effet, soit toujours $A$ une fraction continue immédiatement
-périodique quelconque, positive et plus grande que
-l'unité, et $B$ la fraction continue immédiatement périodique qu'on
-en déduit, en renversant la période, laquelle sera aussi, comme
-elle, positive et plus grande que l'unité. La première des racines
-de la proposée ne pourra être de la forme
-\[
-  x = p + \frac{1}{A},
-\]
-%% -----File: 014.png---Folio 6-------
-car alors, en vertu de notre théorème, la seconde devrait être
-\[
-  x = a + \frac{1}{-\dfrac{1}{B}} = a - B ;
-\]
-or $a - B$ ne saurait être compris entre 0 et 1 qu'autant que la
-partie entière de $B$ serait égale à $p$, auquel cas la première valeur
-serait immédiatement périodique. On ne pourrait avoir davantage,
-pour la première valeur de $x$, $x= p + \dfrac{1}{q + \dfrac{1}{A}}$, car alors l'autre
-serait
-\[
-  x = p + \frac{1}{q - B} \qquad \text{ou} \qquad
-  x = p - \frac{1}{B - q};
-\]
-or, pour que cette valeur fût comprise entre 0 et $-1$, il faudrait
-d'abord que $\dfrac{1}{B-q}$ fût égal à $p$, plus une fraction. Il faudrait
-donc que $B-q$ fût plus petit que l'unité, ce qui exigerait que $B$
-fût égal à $q$, plus une fraction; d'où l'on voit que $q$ et $p$ devraient
-être respectivement égaux aux deux premiers termes de la période
-qui répond à $B$, ou aux deux derniers de la période qui répond à $A$;
-de sorte que, contrairement à l'hypothèse, la valeur $x = p + \dfrac{1}{q + \dfrac{1}{A}}$
-serait immédiatement périodique. On prouverait, par un raisonnement
-analogue, que les périodes ne sauraient être précédées
-d'un plus grand nombre de termes n'en faisant pas partie.
-
-Lors donc que l'on traitera une équation numérique par la méthode
-de Lagrange, on sera sûr qu'il n'y a point de racines périodiques
-à espérer tant qu'on ne rencontrera pas une transformée
-ayant au moins une racine positive plus grande que l'unité, et une
-autre comprise entre 0 et $-1$; et si, en effet, la racine que l'on
-poursuit doit être périodique, ce sera tout au plus à cette transformée
-que les périodes commenceront.
-
-Si l'une des racines d'une équation du second degré est non
-seulement immédiatement périodique, mais encore symétrique,
-c'est-à-dire si les termes de la période sont égaux à égale distance
-des extrêmes, on aura $B = A$; de sorte que ces deux racines
-%% -----File: 015.png---Folio 7-------
-seront $A$ et $-\dfrac{1}{A}$; l'équation sera donc
-\[
-Ax^{2} - (A^{2}-1)x - A = 0.
-\]
-Réciproquement, toute équation du second degré de la forme
-\[
-ax^{2} - bx - a = 0
-\]
-aura ses racines à la fois immédiatement périodiques et symétriques.
-En effet, on mettant tour à tour pour $x$ l'infini et $-1$, on
-obtient des résultats positifs, tandis qu'en faisant $x=1$ et $x=0$,
-on obtient des résultats négatifs; d'où l'on voit d'abord que cette
-équation a une racine positive plus grande que l'unité et une racine
-négative comprise entre $0$ et $-1$, et qu'ainsi ces racines sont
-immédiatement périodiques; de plus, cette équation ne change
-pas en y changeant $x$ en $-\dfrac{1}{x}$; d'où il suit que, si $A$ est une de ses
-racines, l'autre sera $-\dfrac{1}{A}$, et qu'ainsi, dans ce cas, $B=A$.
-
-Appliquons ces généralités à l'équation du second degré
-\[
-3x^{2} - 16x + 18 = 0;
-\]
-on lui trouve d'abord une racine positive comprise entre $3$ et $4$;
-en posant
-\[
-x = 3 + \frac{1}{y},
-\]
-on obtient la transformée
-\[
-3y^{2} - 2y - 3 = 0,
-\]
-dont la forme nous apprend que les valeurs de $y$ sont à la fois
-immédiatement périodiques et symétriques; en effet, en posant
-tour à tour
-\[
-y = 1 + \frac{1}{z}, \qquad
-z = 2 + \frac{1}{t}, \qquad
-t = 1 + \frac{1}{u},
-\]
-on obtient les transformées
-\[
-2z^{2} - 4z - 3 = 0, \qquad
-3t^{2} - 4t - 2 = 0, \qquad
-3u^{2} - 2u - 3 = 0.
-\]
-L'identité entre les équations en $u$ et en $y$ prouve que la valeur
-%% -----File: 016.png---Folio 8-------
-positive de $y$ est
-\[
-  y =   1 + \Cfrac{1}{
-      \,2 + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,1 + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,1 + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,2 + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,1 + \raisebox{-2ex}{$\ddots$\rlap{\,;}} }$}}\;$}}\;$}}\;$}}
-\CfracCorrect
-\]
-sa valeur négative sera donc
-\[
-  y =     - \Cfrac{1}{
-      \,1 + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,2 + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,1 + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,1 + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,2 + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,1 + \raisebox{-2ex}{$\ddots$\rlap{\,;}} }$}}\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}
-\CfracCorrect
-\]
-les deux valeurs de $x$ seront donc
-%[** TN: Slightly wide]
-\[
-  x =   3 + \Cfrac{1}{
-      \,1 + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,2 + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,1 + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,1 + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,2 + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,1 + \raisebox{-2ex}{$\ddots$\rlap{\,,}} }$}}\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}
-\CfracCorrect
-  x =   3 - \Cfrac{1}{
-      \,1 + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,2 + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,1 + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,1 + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,2 + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,1 + \raisebox{-2ex}{$\ddots$\rlap{\,,}} }$}}\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}
-\CfracCorrect
-\]
-dont la dernière, en vertu de la formule connue
-\[
-  p - \frac{1}{q}
-= p -   1 + \Cfrac{1}{
-      \,1 + \hlap{$\cfrac{1}{q-1}\, ,$}}
-\CfracCorrect
-\]
-devient
-\[
-  x =   1 + \Cfrac{1}{
-      \,1 + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,1 + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,1 + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,1 + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,3 + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,1 + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,1 + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,2 + \hlap{$\cfrac{1}{
-      \,1 + \raisebox{-2ex}{$\ddots$\rlap{\ .}} }$}}\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}\;$}}
-\CfracCorrect
-\]
-%% -----File: 017.png---Folio 9-------
-
-\Article{NOTES}{SUR}{QUELQUES POINTS D'ANALYSE\footnotemark.}
-
-\footnotetext{\Title{Annales de Mathématiques} de M.~Gergonne, tome~XXI, page~182 (1830--1831).
-  C'est par suite d'une faute d'impression qu'on y lit: \Title{Galais, élève à l'École
-  normale}, au lieu de \textit{Galois}. \Annot{(J.~Liouville.)}}
-
-
-\Section{§~I.}{Démonstration d'un théorème d'Analyse.}
-
-\begin{Theoreme}
-Soient $Fx$ et $fx$ deux fonctions quelconques
-données; on aura, quels que soient $x$ et~$h$,
-\[
-\frac{F(x + h) - Fx}{f(x + h) - fx} = \phi(k),
-\]
-$\phi$ étant une fonction déterminée, et $k$ une quantité intermédiaire
-entre $x$ et~$x + h$.
-\end{Theoreme}
-
-\begin{Demonstration}
-Posons, en effet,
-\[
-\frac{F(x + h) - Fx}{f(x + h) - fx} = P;
-\]
-on en déduira
-\[
-F(x + h) - Pf(x + h) = Fx - Pfx;
-\]
-d'où l'on voit que la fonction $Fx - Pfx$ ne change pas quand on
-y change $x$ en $x+h$; d'où il suit qu'à moins qu'elle ne reste
-constante entre ces limites, ce qui ne pourrait avoir lieu que dans
-des cas particuliers, cette fonction aura, entre $x$ et $x+h$, un ou
-plusieurs maxima et minima. Soit $k$ la valeur de $x$ répondant à
-l'un d'eux; on aura évidemment $k = \psi(P)$, $\psi$ étant une fonction
-déterminée; donc on doit avoir aussi $P = \phi(k)$, $\phi$~étant une autre
-fonction également déterminée; ce qui démontre le théorème.
-\end{Demonstration}
-
-De là on peut conclure, comme corollaire, que la quantité
-\[
-%[** TN: Original uses "lim."]
-\lim \frac{F(x + h) - Fx}{f(x + h) - fx} = \psi(x),
-\]
-pour $h = 0$, est nécessairement une fonction de~$x$, ce qui démontre,
-\textit{a~priori}, l'existence des fonctions dérivées.
-%% -----File: 018.png---Folio 10-------
-
-\Section{§~II.}{Rayon de courbure des courbes de l'espace.}
-
-Le rayon de courbure d'une courbe en l'un quelconque de ses
-points~$M$ est la perpendiculaire abaissée de ce point sur l'intersection
-du plan normal au point~$M$ avec le plan normal consécutif,
-comme il est aisé de s'en assurer par des considérations
-géométriques.
-
-Cela posé, soit $(x, y, z)$ un point de la courbe; on sait que le
-plan normal en ce point aura pour équation
-\[
-\Tag{(N)}
-(X - x) \frac{dx}{ds} + (Y - y) \frac{dy}{ds} + (Z - z) \frac{dz}{ds} = 0,
-\]
-$X$, $Y$, $Z$ étant les symboles des coordonnées courantes. L'intersection
-de ce plan normal avec le plan normal consécutif sera
-donnée par le système de cette équation et de la suivante
-\[
-\Tag{(I)}
-(X - x) \frac{d · \left(\dfrac{dx}{ds}\right)}{ds} +
-(Y - y) \frac{d · \left(\dfrac{dy}{ds}\right)}{ds} +
-(Z - z) \frac{d · \left(\dfrac{dz}{ds}\right)}{ds}
-= 1,
-\]
-attendu que
-\[
-\left(\frac{dx}{ds}\right)^{2} +
-\left(\frac{dy}{ds}\right)^{2} +
-\left(\frac{dz}{ds}\right)^{2}
-= 1.
-\]
-Or, il est aisé de voir que le plan~\Eq{(I)} est perpendiculaire an
-plan~\Eq{(N)}, car on a
-\[
-\frac{dx}{ds}\, d· \left(\frac{dx}{ds}\right) +
-\frac{dy}{ds}\, d· \left(\frac{dy}{ds}\right) +
-\frac{dz}{ds}\, d· \left(\frac{dz}{ds}\right)
-= 0;
-\]
-donc la perpendiculaire abaissée du point $(x, y, z)$ sur l'intersection
-des deux plans \Eq{(N)}~et~\Eq{(I)} n'est autre chose que la perpendiculaire
-abaissée du même point sur le plan~\Eq{(I)}. Le rayon de
-courbure est donc la perpendiculaire abaissée du point $(x, y, z)$
-sur le plan~\Eq{(I)}. Cette considération donne, très simplement, les
-théorèmes connus sur les rayons de courbure des courbes dans
-l'espace.
-%% -----File: 019.png---Folio 11-------
-
-
-\Article{ANALYSE}{D'UN}{MÉMOIRE SUR LA RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS\footnotemark.}
-
-\footnotetext{\Title{Bulletin des Sciences mathématiques} de M.~Férussac, t.~XIII, p.~271
-  (année 1830, cahier d'avril). \Annot{(J.~Liouville.)}}
-
-On appelle équations non primitives les équations qui, étant,
-par exemple, du degré~$mn$, se décomposent en $m$~facteurs du
-degré~$n$, au moyen d'une seule équation du degré~$m$. Ce sont les
-équations de M.~Gauss. Les équations primitives sont celles qui
-ne jouissent pas d'une pareille simplification. Je suis, à l'égard
-des équations primitives, parvenu aux résultats suivants:
-
-\primo Pour qu'une équation de degré premier soit résoluble par
-radicaux, il faut et il suffit que, deux quelconques de ses racines
-étant connues, les autres s'en déduisent rationnellement.
-
-\secundo Pour qu'une équation primitive du degré~$m$ soit résoluble
-par radicaux, il faut que $m = p^{\nu}$, $p$~étant un nombre premier.
-
-\tertio A part les cas mentionnés ci-dessous, pour qu'une équation
-primitive du degré $p^{\nu}$ soit résoluble par radicaux, il faut que,
-deux quelconques de ses racines étant connues, les autres s'en
-déduisent rationnellement.
-\medskip
-
-A la règle précédente échappent les cas très particuliers qui
-suivent:
-
-\primo Le cas de $m = p^{\nu} = 9$, $= 25$;
-
-\secundo Le cas de $m = p^{\nu} = 4$ et généralement celui où, $a^{\alpha}$~étant un
-diviseur de $\dfrac{p^{\nu} - 1}{p - 1}$, on aurait $a$ premier, et
-\[
-\frac{p^{\nu} - 1}{a^{\alpha} (p - 1)} \nu = p\ (\mod a^{\alpha}).
-\]
-Ces cas s'écartent toutefois fort peu de la règle générale.
-
-Quand $m = 9$, $= 25$, l'équation devra être du genre de celles
-qui déterminent la trisection et la quintisection des fonctions
-elliptiques.
-%% -----File: 020.png---Folio 12-------
-
-Dans le second cas, il faudra toujours que, deux des racines
-étant connues, les autres s'en déduisent, du moins au moyen d'un
-nombre de radicaux, du degré~$p$, égal au nombre des diviseurs~$a^{\alpha}$
-de~$\dfrac{p^{\nu} - 1}{p - 1}$, qui sont tels que
-\[
-\frac{p^{\nu} - 1}{a^{\alpha}(p - 1)} \nu = p\ (\mod a^{\alpha}), \quad\text{$\alpha$ premier}.
-\]
-
-Toutes ces propositions ont été déduites de la théorie des permutations.
-
-Voici d'autres résultats qui découlent de ma théorie.
-
-\primo Soit $k$ le module d'une fonction elliptique, $p$~un nombre
-premier donné~$> 3$; pour que l'équation du degré~$p + 1$, qui
-donne les divers modules des fonctions transformées relativement
-au nombre $p$, soit résoluble par radicaux, \emph{il faut} de deux choses
-l'une: ou bien qu'une des racines soit rationnellement connue,
-ou bien que toutes soient des fonctions rationnelles les unes des
-autres. Il ne s'agit ici, bien entendu, que des valeurs particulières
-du module $k$. Il est évident que la chose n'a pas lieu en général.
-Cette règle n'a pas lieu pour $p = 5$.
-
-\secundo Il est remarquable que l'équation modulaire générale du
-sixième degré, correspondant au nombre 5, peut s'abaisser à une
-du cinquième degré dont elle est la réduite. Au contraire, pour
-des degrés supérieurs, les équations modulaires ne peuvent s'abaisser\footnotemark.
-
-\footnotetext{Cette assertion n'est pas tout à fait exacte, comme Galois en avertit lui-même
-  dans sa Lettre à M.~Auguste Chevalier, qu'on trouve plus bas. Il dit en général,
-  au sujet de l'article que nous reproduisons ici: «La condition que j'ai indiquée
-  dans le \Title{Bulletin de Férussac}, pour la solubilité par radicaux, est trop
-  restreinte; il y a peu d'exceptions, mais il y en a.» Quant aux équations modulaires
-  en particulier, il déclare l'abaissement du degré~$p + 1$ au degré~$p$ possible, non
-  seulement pour $p = 5$, mais encore pour $p = 7$ et $p = 11$; mais il en maintient
-  l'impossibilité pour $p > 11$. \Annot{(J.~Liouville.)}}
-%% -----File: 021.png---Folio 13-------
-
-
-\Article{NOTE}{SUR LA}{RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES\footnotemark.}
-
-\footnotetext{\Title{Bulletin des Sciences mathématiques} de M.~Férussac, t.~XIII, p.~413
-  (année 1830, cahier de juin). \Annot{(J.~Liouville.)}}
-
-M.~Legendre a le premier remarqué que, lorsqu'une équation
-algébrique était mise sous la forme
-\[
-\phi x = x,
-\]
-où $\phi x$ est une fonction de~$x$ qui croît constamment en même
-temps que~$x$, il était facile de trouver la racine de cette équation
-immédiatement plus petite qu'un nombre donné~$a$, si $\phi a < a$, et
-la racine immédiatement plus grande que~$a$, si $\phi a > a$.
-
-Pour le démontrer, on construit la courbe $y = \phi x$ et la droite
-$y = x$. Soit prise une abscisse $= a$, et supposons, pour fixer les
-idées, $\phi a > a$, je dis qu'il sera aisé d'obtenir la racine immédiatement
-supérieure à $a$. En effet, les racines de l'équation $\phi x = x$
-ne sont que les abscisses des points d'intersection de la droite et
-de la courbe, et il est clair que l'on s'approchera du point le plus
-voisin d'intersection en substituant à l'abscisse $a$ l'abscisse $\phi a$.
-On aura une valeur plus approchée encore en prenant $\phi\phi a$,
-puis $\phi\phi\phi a$, et ainsi de suite.
-
-Soit $Fx = 0$ une équation donnée du degré $n$, et $Fx = X - Y$,
-$X$~et~$Y$ n'ayant que des termes positifs. Legendre met successivement
-l'équation sous ces deux formes:
-\[
-x = \phi x = \sqrt[n]{\frac{X}{\left(\dfrac{Y}{x^{n}}\right)}}, \qquad
-x = \psi x = \sqrt[n]{\frac{X}{\left(\dfrac{x^{n}}{Y}\right)}};
-\]
-les deux fonctions $\phi x$ et $\psi x$ sont toujours, comme on voit, l'une
-plus grande, l'autre plus petite que $x$. Ainsi, à l'aide de ces deux
-fonctions, on pourra avoir les deux racines de l'équation les plus
-approchées d'un nombre donné $a$, l'une en plus et l'autre en
-moins.
-%% -----File: 022.png---Folio 14-------
-
-Mais cette méthode a l'inconvénient d'exiger, à chaque opération,
-l'extraction d'une racine~$n^{\text{ième}}$. Voici deux formes plus commodes.
-Cherchons un nombre~$k$ tel que la fonction
-\[
-x + \frac{Fx}{kx^{n}}
-\]
-croisse avec~$x$, quand $x > 1$. (Il suffit, en effet, de savoir trouver
-les racines d'une équation qui sont plus grandes que l'unité.)
-
-Nous aurons, pour la condition proposée,
-\[
-1 + \frac{d\dfrac{X - Y}{kx^{n}}}{dx} > 0, \quad\text{ou bien}\quad
-1 - \frac{nX - xX'}{kx^{n+1}} + \frac{nY - xY'}{kx^{n+1}} > 0;
-\]
-or on a identiquement
-\[
-nX - xX' > 0, \qquad nY - xY' >0;
-\]
-il suffit donc de poser
-\[
-\frac{nX - xX'}{kx^{n+1}} < 1 \quad\text{pour}\quad x > 1,
-\]
-et il suffit, pour cela, de prendre pour $k$ la valeur de la fonction
-$nX - xX'$, relative à $x = 1$.
-
-On trouvera de même un nombre~$h$ tel que la fonction
-\[
-x - \frac{Fx}{hx^{n}}
-\]
-croîtra avec~$x$, quand $x$~sera $> 1$, en changeant $Y$~en~$X$.
-
-Ainsi, l'équation donnée pourra se mettre sous l'une des formes
-\[
-x = x + \frac{Fx}{kx^{n}}, \qquad
-x = x - \frac{Fx}{hx^{n}},
-\]
-qui sont toutes deux rationnelles et donnent pour la résolution
-une méthode facile.
-%% -----File: 023.png---Folio 15-------
-
-
-\Article{}{SUR}{LA THÉORIE DES NOMBRES\footnotemark.}
-
-\footnotetext{\Title{Bulletin des Sciences mathématiques} de M.~Férussac, t.~XIII, p.~438
-  (année 1830, cahier de juin); avec la note suivante: «Ce Mémoire fait partie
-  des recherches de M.~Galois sur la théorie des permutations et des équations
-  algébriques.» \Annot{(J.~Liouville.)}}
-
-Quand on convient de regarder comme nulles toutes les quantités
-qui, dans les calculs algébriques, se trouvent multipliées par
-un nombre premier donné~$p$, et qu'on cherche, dans cette convention,
-les solutions d'une équation algébrique $Fx = 0$, ce que
-M.~Gauss désigne par la notation $Fx \equiv 0$, on n'a coutume de
-considérer que les solutions entières de ces sortes de questions.
-Ayant été conduit par des recherches particulières à considérer
-les solutions incommensurables, je suis parvenu à quelques résultats
-que je crois nouveaux.
-
-Soit une pareille équation ou congruence, $Fx = 0$, et $p$~le module.
-Supposons d'abord, pour plus de simplicité, que la congruence
-en question n'admette aucun facteur commensurable,
-c'est-à-dire qu'on ne puisse pas trouver trois fonctions $\phi x$, $\psi x$,
-$\chi x$ telles que
-\[
-\phi x · \psi x = Fx + p · \chi x.
-\]
-Dans ce cas, la congruence n'admettra donc aucune racine entière,
-ni même aucune racine incommensurable de degré inférieur.
-Il faut donc regarder les racines de cette congruence comme
-des espèces de symboles imaginaires, puisqu'elles ne satisfont pas
-aux questions des nombres entiers, symboles dont l'emploi, dans
-le calcul, sera souvent aussi utile que celui de l'imaginaire~$\sqrt{-1}$
-dans l'analyse ordinaire.
-
-C'est la classification de ces imaginaires, et leur réduction au
-plus petit nombre possible, qui va nous occuper.
-
-Appelons $i$ l'une des racines de la congruence $Fx = 0$, que
-nous supposerons du degré~$\nu$.
-
-Considérons l'expression générale
-\[
-\Tag{(A)}
-a + a_{1} i + a_{2} i^{2} + \dots + a_{\nu-1} i^{\nu-1},
-\]
-%% -----File: 024.png---Folio 16-------
-où $a$,~$a_{1}$, $a_{2}$,~\dots, $a_{\nu-1}$ représentent des nombres entiers. En donnant
-à ces nombres toutes les valeurs, l'expression~\Eq{(A)} en
-acquiert $p^{\nu}$, qui jouissent, ainsi que je vais le faire voir, des
-mêmes propriétés que les nombres naturels dans la \emph{théorie des
-résidus des puissances}.
-
-Ne prenons des expressions~\Eq{(A)} que les $p^{\nu} - 1$ valeurs où $a$,
-$a_{1}$, $a_{2}$,~\dots, $a_{\nu-1}$ ne sont pas toutes nulles: soit $\alpha$ l'une de ces
-expressions.
-
-Si l'on élève successivement $\alpha$ aux puissances $2$\ieme, $3$\ieme,~\dots, on
-aura une suite de quantités de même forme [parce que toute
-fonction de~$i$ peut se réduire au $(\nu - 1)^\text{ième}$~degré]. Donc on devra
-avoir $\alpha^{n} = 1$, $n$~étant un certain nombre; soit $n$ le plus petit
-nombre qui soit tel que l'on ait $\alpha^{n} = 1$. On aura un ensemble
-de $n$~expressions, toutes différentes entre elles,
-\[
-1,\ \alpha,\ \alpha^{2},\ \alpha^{3},\ \dots,\ \alpha^{n-1}.
-\]
-Multiplions ces $n$~quantités par une autre expression~$\beta$ de la même
-forme. Nous obtiendrons encore un nouveau groupe de quantités
-toutes différentes des premières et différentes entre elles. Si les
-quantités~\Eq{(A)} ne sont pas épuisées, on multipliera encore les
-puissances de~$\alpha$ par une nouvelle expression~$\gamma$, et ainsi de suite.
-On voit donc que le nombre $n$ divisera nécessairement le nombre
-total des quantités~\Eq{(A)}. Ce nombre étant $p^{\nu} - 1$, on voit que $n$
-divise $p^{\nu} - 1$. De là suit encore que l'on aura
-\[
-\alpha^{p^{\nu}-1}\! = 1, \quad\text{ou bien}\quad
-\alpha^{p^{\nu}}\! = \alpha.
-\]
-
-Ensuite on prouvera, comme dans la théorie des nombres, qu'il
-y a des racines primitives $\alpha$ pour lesquelles on ait précisément
-$p^{\nu} - 1 = n$, et qui reproduisent par conséquent, par l'élévation
-aux puissances, toute la suite des autres racines.
-
-Et l'une quelconque de ces racines primitives ne dépendra que
-d'une congruence du degré~$\nu$, congruence \emph{irréductible}, sans quoi
-l'équation en~$i$ ne le serait pas non plus, parce que les racines de
-la congruence en $i$ sont toutes des puissances de la racine primitive.
-
-On voit ici cette conséquence remarquable que toutes les quantités
-algébriques qui peuvent se présenter dans la théorie sont
-racines d'équations de la forme
-\[
-x^{p^{\nu}}\! = x.
-\]
-%% -----File: 025.png---Folio 17-------
-
-Cette proposition, énoncée algébriquement, est celle-ci: Étant
-donnés une fonction~$Fx$ et un nombre premier~$p$, on peut poser
-\[
-fx · Fx = x^{p^{\nu}}\! - x + p \phi x,
-\]
-$fx$ et $\phi x$ étant des fonctions entières, toutes les fois que la congruence
-$Fx = 0\ (\mod p)$ sera irréductible.
-
-Si l'on veut avoir toutes les racines d'une pareille congruence
-au moyen d'une seule, il suffit d'observer que l'on a généralement
-\[
-(Fx)^{p^{n}}\! = F(x^{p^{n}})
-\]
-et que, par conséquent, l'une des racines étant~$x$, les autres
-seront
-\[
-x^{p},\ x^{p^{2}}\!,\ \dots,\ x^{p^{\nu-1}}\footnotemark.
-\]
-\footnotetext{De ce que les racines de la congruence irréductible de degré~$\nu$
-\[
-Fx = 0
-\]
-sont exprimées par la suite
-\[
-x,\ x^{p},\ x^{p^{2}}\!,\ \dots, x^{p^{\nu-1}}\!,
-\]
-on aurait tort de conclure que ces racines soient toujours des quantités exprimables
-par radicaux. Voici un exemple du contraire:
-
-La congruence irréductible
-\[
-x^{2} + x + 1 = 0\ (\mod 2)
-\]
-donne
-\[
-x = \frac{-1 + \sqrt{-3}}{2},
-\]
-qui se réduit à
-\[
-\frac{0}{0}\ (\mod 2),
-\]
-formule qui n'apprend rien.}
-
-Il s'agit maintenant de faire voir que, réciproquement à ce que
-nous venons de dire, les racines de l'équation ou de la congruence
-$x^{p^{\nu}}\! = x$ dépendront toutes d'une seule congruence du degré~$\nu$.
-
-Soit en effet $i$ une racine d'une congruence irréductible et telle
-que toutes les racines de la congruence $x^{p^{\nu}}\! = x$ soient fonctions
-rationnelles de~$i$ (Il est clair qu'ici, comme dans les équations
-ordinaires, cette propriété a lieu)\footnotemark.
-\footnotetext{La proposition générale dont il s'agit ici peut s'énoncer ainsi: Étant donnée
-  une équation algébrique, on pourra trouver une fonction rationnelle~$\theta$ de
-  toutes ses racines, de telle sorte que, réciproquement, chacune des racines s'exprime
-  rationnellement en~$\theta$. Ce théorème était connu d'Abel, ainsi qu'on peut le
-  voir par la première Partie du Mémoire que ce célèbre géomètre a laissé sur les
-fonctions elliptiques.}
-%% -----File: 026.png---Folio 18-------
-
-Il est d'abord évident que le degré~$\mu$ de la congruence en~$i$ ne
-saurait être plus petit que~$\nu$, sans quoi la congruence
-\[
-\Tag{(\nu)}
-x^{p^{\nu-1}}\! - 1 = 0
-\]
-aurait toutes ses racines communes avec la congruence
-\[
-x^{p^{\mu-1}}\! - 1 = 0,
-\]
-ce qui est absurde, puisque la congruence~\Eq{(\nu)} n'a pas de racines
-égales, comme on le voit en prenant la dérivée du premier
-membre. Je dis maintenant que $\mu$ ne peut non plus être~$> \nu$.
-
-En effet, s'il en était ainsi, toutes les racines de la congruence
-\[
-x^{p^{\mu}}\! = x
-\]
-devraient dépendre rationnellement de celles de la congruence
-\[
-x^{p^{\nu}}\! = x.
-\]
-Mais il est aisé de voir que, si l'on a
-\[
-i^{p^{\nu}}\! = i,
-\]
-toute fonction rationnelle $h = fi$ donnera encore
-\[
-(fi)^{p^{\nu}}\! = f (i^{p^{\nu}}) = fi, \quad\text{d'où}\quad
-h^{p^{\nu}}\! = h.
-\]
-
-Donc toutes les racines de la congruence $x^{p^{\mu}}\! = x$ lui seraient
-communes avec l'équation $x^{p^{\nu}}\! = x$, ce qui est absurde.
-
-Nous savons donc enfin que toutes les racines de l'équation ou
-congruence $x^{p^{\nu}}\! = x$ dépendent nécessairement d'une \emph{seule} congruence
-\emph{irréductible} de degré~$\nu$.
-
-Maintenant, pour avoir cette congruence irréductible d'où
-dépendent les racines de la congruence $x^{p^{\nu}}\! = x$, la méthode la
-plus générale sera de délivrer d'abord cette congruence de tous
-les facteurs communs qu'elle pourrait avoir avec des congruences
-de degré inférieur et de la forme
-\[
-x^{p^{\mu}}\! = x.
-\]
-
-On obtiendra ainsi une congruence qui devra se partager en
-congruences irréductibles de degré~$\nu$. Et, comme on sait exprimer
-toutes les racines de chacune de ces congruences irréductibles au
-%% -----File: 027.png---Folio 19-------
-moyen d'une seule, il sera aisé de les obtenir toutes par la méthode
-de M.~Gauss.
-
-Le plus souvent, cependant, il sera aisé de trouver par le tâtonnement
-une congruence irréductible d'un degré donné~$\nu$, et l'on
-doit en déduire toutes les autres.
-
-Soient, pour exemple, $p = 7$, $\nu = 3$. Cherchons les racines de
-la congruence
-\[
-\Tag{(1)}
-x^{7^{3}} = x\ (\mod 7).
-\]
-J'observe que la congruence
-\[
-\Tag{(2)}
-i^{3} = 2\ (\mod 7)
-\]
-étant irréductible, et du degré~$3$, toutes les racines de la congruence~\Eq{(1)}
-dépendent rationnellement de celles de la congruence~\Eq{(2)},
-en sorte que toutes les racines de~\Eq{(1)} sont de la
-forme
-\[
-\Tag{(3)}
-a + a_{1} i + a_{2} i^{2} \quad\text{ou bien}\quad
-a + a_{1} \sqrt[3]{2} + a_{2} \sqrt[3]{4}.
-\]
-
-Il faut maintenant trouver une racine primitive, c'est-à-dire une
-forme de l'expression~\Eq{(3)} qui, élevée à toutes les puissances,
-donne toutes les racines de la congruence
-\[
-x^{7^{3}-1} = 1, \quad\text{savoir}\quad
-x^{2^{1} · 3^{2} · 19} = 1\ (\mod 7),
-\]
-et nous n'avons besoin pour cela, que d'avoir une racine primitive
-de chaque congruence
-\[
-x^{2} = 1,\qquad
-x^{3^{2}} = 1,\qquad
-x^{19} = 1.
-\]
-
-La racine primitive de la première est~$-1$; celles de $x^{3^{2}} - 1 = 0$
-sont données par les équations
-\[
-x^{3} = 2,\qquad
-x^{3} = 4,
-\]
-en sorte que $i$ est une racine primitive de $x^{3^{2}} = 1$.
-
-Il ne reste qu'à trouver une racine de $x^{19} - 1 = 0$, ou plutôt de
-\[
-\frac{x^{19} - 1}{x - 1} = 0,
-\]
-et essayons pour cela si l'on ne peut pas satisfaire à la question
-%% -----File: 028.png---Folio 20-------
-en posant simplement $x = a + a_{1} i$, au lieu de $a + a_{1} i + a_{2} i^{2}$;
-nous devrons avoir
-\[
-(a + a_{1} i)^{19} = 1,
-\]
-ce qui, en développant par la formule de Newton, et réduisant les
-puissances de~$a$, de~$a_{1}$ et de~$i$, par les formules
-\[
-a^{m(p-1)} = 1, \qquad
-a_{1}^{m(p-1)} = 1, \qquad
-i^{3} = 2,
-\]
-se réduit à
-\[
-3 \bigl[a - a^{4} a_{1}^{3} + (a^{5} a_{1}^{2} + a^{2} a_{1}^{5}) i^{2} \bigr] = 1,
-\]
-d'où, en séparant,
-\[
-3a - 3a^{4} a_{1}^{3} = 1, \qquad
-a^{5} a_{1}^{2} + a^{2} a_{1}^{5} = 0.
-\]
-
-Ces deux dernières équations sont satisfaites en posant $a = -1$,
-$a_{1} = 1$. Donc
-\[
--1 + i
-\]
-est une racine primitive de $x^{19} = 1$. Nous avons trouvé plus haut,
-pour racines primitives de $x^{2} = 1$ et de $x^{3^{2}} = 1$, les valeurs $-1$
-et~$i$; il ne reste plus qu'à multiplier entre elles les trois quantités
-\[
--1,\quad i,\quad -1 + i,
-\]
-et le produit $i - i^{2}$ sera une racine primitive de la congruence
-\[
-x^{7^{3} - 1} = 1.
-\]
-
-Donc ici l'expression $i - i^{2}$ jouit de la propriété que, en l'élevant
-à toutes les puissances, on obtiendra $7^{3} - 1$ expressions différentes
-et de la forme
-\[
-a + a_{1} i + a_{2} i^{2}.
-\]
-
-Si nous voulons avoir la congruence de moindre degré d'où
-dépend notre racine primitive, il faut éliminer~$i$ entre les deux
-équations
-\[
-i^{3} = 2, \qquad
-\alpha = i - i^{2}.
-\]
-On obtient ainsi
-\[
-\alpha^{3} - \alpha + 2 = 0.
-\]
-
-Il sera convenable de prendre pour base des imaginaires et de
-représenter par~$i$ la racine de cette équation, en sorte que
-\[
-\Tag{(i)}
-i^{3} - i + 2 = 0,
-\]
-%% -----File: 029.png---Folio 21-------
-et l'on aura toutes les imaginaires de la forme
-\[
-a + a_{1} i + a_{2} i^{2},
-\]
-en élevant $i$ à toutes les puissances et réduisant par l'équation~\Eq{(i)}.
-
-Le principal avantage de la nouvelle théorie que nous venons
-d'exposer est de ramener les congruences à la propriété (si utile
-dans les équations ordinaires), d'admettre précisément autant de
-racines qu'il y a d'unités dans l'ordre de leur degré.
-
-La méthode pour avoir toutes ces racines sera très simple. Premièrement,
-on pourra toujours préparer la congruence donnée
-$Fx = 0$ de manière qu'elle n'ait plus de racines égales, ou,
-en d'autres termes, qu'elle n'ait plus de facteur commun avec
-$F'x = 0$, et le moyen de le faire est évidemment le même que
-pour les équations ordinaires.
-
-Ensuite, pour avoir les solutions entières, il suffira, ainsi que
-M.~Libri paraît en avoir fait le premier la remarque, de chercher
-le plus grand facteur commun à $Fx = 0$ et à $x^{p-1} = 1$.
-
-Si maintenant on veut avoir les solutions imaginaires du second
-degré, on cherchera le plus grand facteur commun à $Fx = 0$
-et à $x^{p^{2}-1}\! = 1$, et, en général, les solutions de l'ordre~$\nu$ seront
-données par le plus grand commun diviseur à $Fx = 0$ et à
-$x^{p^{\nu}-1}\! = 1$.
-
-C'est surtout dans la théorie des permutations, où l'on a sans
-cesse besoin de varier la forme des indices, que la considération
-des racines imaginaires des congruences paraît indispensable.
-Elle donne un moyen simple et facile de reconnaître dans quel
-cas une équation primitive est soluble par radicaux, comme je
-vais essayer d'en donner en deux mots une idée.
-
-Soit une équation algébrique $fx = 0$, de degré~$p^{\nu}$; supposons
-que les $p^{\nu}$~racines soient désignées par~$x_{k}$, en donnant à l'indice~$k$
-les $p^{\nu}$~valeurs déterminées par la congruence $k^{p^{\nu}}\! =k\ (\mod p)$.
-
-Prenons une fonction quelconque rationnelle $V$ des $p^{\nu}$ racines $x_{k}$.
-Transformons cette fonction en substituant partout à l'indice~$k$
-l'indice $(ak + b)^{p^{r}}\!$, $a$,~$b$,~$r$ étant des constantes arbitraires satisfaisant
-aux conditions de $a^{p^{\nu}-1}\! = 1$, $b^{p^{\nu}}\! = b\ (\mod p)$ et de $r$~entier.
-
-En donnant aux constantes $a$,~$b$,~$r$ toutes les valeurs dont elles
-sont susceptibles, on obtiendra en tout $p^{\nu}(p^{\nu} - 1)\nu$ manières de
-%% -----File: 030.png---Folio 22-------
-permuter les racines entre elles par des substitutions de la forme
-$[x_{k}, x_{(ak+b)^{p^{r}}}]$, et la fonction~$V$ admettra en général par ces substitutions
-$p^{\nu}(p^{\nu} - 1)\nu$ formes différentes.
-
-Admettons maintenant que l'équation proposée $fx = 0$ soit
-telle que toute fonction des racines, invariable par les $p^{\nu}(p^{\nu} - 1)\nu$
-permutations que nous venons de construire, ait pour cela même
-une valeur numérique rationnelle.
-
-On remarque que, dans ces circonstances, l'équation $fx = 0$
-sera soluble par radicaux, et, pour parvenir à cette conséquence,
-il suffit d'observer que la valeur substituée à~$k$, dans chaque
-indice, peut, se mettre sous les trois formes
-\[
-(ak + b)^{p^{r}}\!
-  = \bigl[a(k + b^{1})\bigr]^{p^{r}}\!
-  = a' k^{p^{r}} + b''
-  = a' (k+b')^{p^{r}}.
-\]
-
-Les personnes habituées à la théorie des équations le verront
-sans peine.
-
-Cette remarque aurait peu d'importance si je n'étais parvenu à
-démontrer que, réciproquement, une équation primitive ne saurait
-être soluble par radicaux, à moins de satisfaire aux conditions
-que je viens d'énoncer. (J'excepte les équations du neuvième et
-du vingt-cinquième degré.)
-
-Ainsi, pour chaque nombre de la forme~$p^{\nu}$, on pourra former
-un groupe de permutations tel, que toute fonction des racines
-invariable par ces permutations devra admettre une valeur rationnelle
-quand l'équation de degré~$p^{\nu}$ sera primitive et soluble par
-radicaux.
-
-D'ailleurs, il n'y a que les équations d'un pareil degré~$p^{\nu}$ qui
-soient à la fois primitives et solubles par radicaux.
-
-Le théorème général que je viens d'énoncer précise et développe
-les conditions que j'avais données dans le \Title{Bulletin} du mois
-d'avril. Il indique le moyen de former une fonction des racines
-dont la valeur sera rationnelle, toutes les fois que l'équation primitive
-de degré~$p^{\nu}$ sera soluble par radicaux, et mène, par conséquent,
-aux caractères de résolubilité de ces équations, par
-des calculs sinon praticables, du moins qui sont possibles en
-théorie.
-
-Il est à remarquer que, dans le cas où $\nu = 1$, les diverses valeurs
-de~$k$ ne sont autre chose que la suite des nombres entiers. Les
-%% -----File: 031.png---Folio 23-------
-substitutions de la forme $(x_{k}, x_{ak+b})$ seront au nombre de~$p(p - 1)$.
-
-La fonction qui, dans le cas des équations solubles par radicaux,
-doit avoir une valeur rationnelle, dépendra, en général,
-d'une équation de degré $1 · 2 · 3 \dots (p - 2)$, à laquelle il faudra,
-par conséquent, appliquer la méthode des racines rationnelles.
-%% -----File: 032.png---Folio 24-------
-%[Blank Page]
-%% -----File: 033.png---Folio 25-------
-
-
-\Chapter{II.}{{\OE}UVRES POSTHUMES.}
-
-\Letter{Lettre a Auguste Chevalier\footnotemark.}
-
-\footnotetext{Écrite la veille de la mort de l'auteur. (Insérée en 1832 dans la \Title{Revue encyclopédique},
-  numéro de septembre, page~568.) \Annot{(J.~Liouville.)}}
-
-\qquad Mon cher ami,
-\medskip
-
-J'ai fait en Analyse plusieurs choses nouvelles.
-
-Les unes concernent la théorie des équations; les autres, les
-fonctions intégrales.
-
-Dans la théorie des équations, j'ai recherché dans quels cas les
-équations étaient résolubles par des radicaux, ce qui m'a donné
-occasion d'approfondir cette théorie et de décrire toutes les transformations
-possibles sur une équation, lors même qu'elle n'est
-pas soluble par radicaux.
-
-On pourra faire avec tout cela trois Mémoires.
-
-Le premier est écrit, et, malgré ce qu'en a dit Poisson, je le
-maintiens, avec les corrections que j'y ai faites.
-\bigskip
-
-Le second contient des applications assez curieuses de la
-théorie des équations. Voici le résumé des choses les plus importantes:
-
-\primo D'après les propositions II~et~III du premier Mémoire, on
-voit une grande différence entre adjoindre à une équation une des
-racines d'une équation auxiliaire ou les adjoindre toutes.
-
-Dans les deux cas, le groupe de l'équation se partage par l'adjonction
-en groupes tels, que l'on passe de l'un à l'autre par une
-même substitution; mais la condition que ces groupes aient les
-mêmes substitutions n'a lieu certainement que dans le second
-cas. Cela s'appelle la \emph{décomposition propre}.
-
-En d'autres termes, quand un groupe~$G$ en contient un autre~$H$,
-%% -----File: 034.png---Folio 26-------
-le groupe~$G$ peut se partager en groupes, que l'on obtient chacun
-en opérant sur les permutations de~$H$ une même substitution; en
-sorte que
-\[
-G = H + HS + HS' + \dots.
-\]
-Et aussi il peut se diviser en groupes qui ont tous les mêmes substitutions,
-en sorte que
-\[
-G = H + TH + T'H + \dots.
-\]
-
-Ces deux genres de décompositions ne coïncident pas ordinairement.
-Quand ils coïncident, la décomposition est dite \emph{propre}.
-
-Il est aisé de voir que, quand le groupe d'une équation n'est
-susceptible d'aucune décomposition propre, on aura beau transformer
-cette équation, les groupes des équations transformées
-auront toujours le même nombre de permutations.
-
-Au contraire, quand le groupe d'une équation est susceptible
-d'une décomposition propre, en sorte qu'il se partage en $M$~groupes
-de $N$~permutations, on pourra résoudre l'équation donnée
-au moyen de deux équations: l'une aura un groupe de $M$~permutations,
-l'autre un de $N$~permutations.
-
-Lors donc qu'on aura épuisé sur le groupe d'une équation tout
-ce qu'il y a de décompositions propres possibles sur ce groupe,
-on arrivera à des groupes qu'on pourra transformer, mais dont
-les permutations seront toujours en même nombre.
-
-Si ces groupes ont chacun un nombre premier de permutations,
-l'équation sera soluble par radicaux; sinon, non.
-
-Le plus petit nombre de permutations que puisse avoir un
-groupe indécomposable, quand ce nombre n'est pas premier,
-est $5 · 4 · 3$.
-
-\secundo Les décompositions les plus simples sont celles qui ont lieu
-par la méthode de M.~Gauss.
-
-Comme ces décompositions sont évidentes, même dans la forme
-actuelle du groupe de l'équation, il est inutile de s'arrêter longtemps
-sur cet objet.
-
-Quelles décompositions sont praticables sur une équation qui
-ne se simplifie pas par la méthode de M.~Gauss?
-
-J'ai appelé \emph{primitives} les équations qui ne peuvent se simplifier
-par la méthode de M.~Gauss; non que ces équations soient
-%% -----File: 035.png---Folio 27-------
-réellement indécomposables, puisqu'elles peuvent même se
-résoudre par radicaux.
-
-Comme lemme à la théorie des équations primitives solubles
-par radicaux, j'ai mis en juin~1830, dans le \Title{Bulletin de Férussac},
-une analyse sur les imaginaires de la théorie des nombres.
-
-On trouvera ci-jointe\footnote
-  {Galois parle des manuscrits, jusqu'ici inédits, que nous publions. \\
-  \Annot{(J.~Liouville.)}}
-la démonstration des théorèmes suivants:
-
-\primo Pour qu'une équation primitive soit soluble par radicaux,
-elle doit être du degré~$p^{\nu}$, $p$~étant premier.
-
-\secundo Toutes les permutations d'une pareille équation sont de la
-forme
-\[
-x_{k, l, m\dots} \mid x_{ak+bl+cm+\dots+h,\: a'k+b'l+c'm+\dots+h',\: a''k+\dots\dots},
-\]
-$k$,~$l$,~$m$,~\dots\ étant $\nu$~indices, qui, prenant chacun $p$~valeurs, indiquent
-toutes les racines. Les indices sont pris suivant le module~$p$;
-c'est-à-dire que la racine sera la même quand on ajoutera à l'un
-des indices un multiple de~$p$.
-
-Le groupe qu'on obtient en opérant toutes les substitutions de
-cette forme linéaire contient, en tout,
-\[
-p^{\nu} (p^{\nu} - 1) (p^{\nu} - p) \dots (p^{\nu} - p^{\nu-1}) \text{ permutations.}
-\]
-
-Il s'en faut que, dans cette généralité, les équations qui lui
-répondent soient solubles par radicaux.
-
-La condition que j'ai indiquée dans le \Title{Bulletin de Férussac}
-pour que l'équation soit soluble par radicaux est trop restreinte;
-il y a peu d'exceptions, mais il y en a.
-
-La dernière application de la théorie des équations est relative
-aux équations modulaires des fonctions elliptiques.
-
-On sait que le groupe de l'équation qui a pour racines les sinus
-de l'amplitude des $p^{2} - 1$ divisions d'une période est celui-ci:
-\[
-x_{k, l}, \quad x_{ak+bl,\: ck+dl};
-\]
-par conséquent l'équation modulaire correspondante aura pour
-groupe
-\[
-x_{\efrac{k}{l}}, \quad x_{\efrac{ak+bl}{ck+dl}},
-\]
-%% -----File: 036.png---Folio 28-------
-dans laquelle $\dfrac{k}{l}$ peut avoir les $p + 1$~valeurs
-\[
-\infty,\ 0,\ 1,\ 2,\ \dots,\ p - 1.
-\]
-Ainsi, en convenant que $k$ peut être infini, on peut écrire simplement
-\[
-x_{k},\quad x_{\efrac{ak+b}{ck+d}}.
-\]
-
-En donnant à $a$, $b$, $c$, $d$ toutes les valeurs, on obtient
-\[
-(p+1) p (p-1) \text{ permutations}.
-\]
-
-Or ce groupe se décompose \emph{proprement} en deux groupes,
-dont les substitutions sont
-\[
-x_{k},\quad x_{\efrac{ak+b}{ck+d}} ,
-\]
-$ad - bc$ étant un résidu quadratique de~$p$.
-
-Le groupe ainsi simplifié est de
-\[
-(p + 1) p\, \frac{p - 1}{2} \text{ permutations}.
-\]
-
-Mais il est aisé de voir qu'il n'est plus décomposable proprement,
-à moins que $p = 2$, ou $p = 3$.
-
-Ainsi, de quelle manière que l'on transforme l'équation, son
-groupe aura toujours le même nombre de permutations.
-
-Mais il est curieux de savoir si le degré peut s'abaisser.
-
-Et d'abord il ne peut s'abaisser plus bas que~$p$, puisqu'une
-équation de degré moindre que $p$ ne peut avoir~$p$ pour facteur
-dans le nombre des permutations de son groupe.
-
-Voyons donc si l'équation de degré~$p + 1$, dont les racines~$x_{k}$
-s'indiquent en donnant à~$k$ toutes les valeurs, y compris l'infini,
-et dont le groupe a pour substitutions
-\[
-x_{k},\quad x_{\efrac{ak+b}{ck+d}},
-\]
-$ad - bc$ étant un carré, peut s'abaisser au degré~$p$.
-
-Or il faut pour cela que le groupe se décompose (improprement,
-s'entend) en $p$~groupes de $(p + 1)\dfrac{p - 1}{2}$ permutations
-chacun.
-%% -----File: 037.png---Folio 29-------
-
-Soient $0$ et $\infty$ deux lettres conjointes dans l'un de ces groupes.
-Les substitutions qui ne font pas changer $0$~et~$\infty$ de place seront
-de la forme
-\[
-x_{k},\quad x_{m^{2} k}.
-\]
-
-Donc si $M$ est la lettre conjointe de~$1$, la lettre conjointe de $m^{2}$
-sera~$m^{2} M$. Quand $M$~est un carré, on aura donc $M^{2} = 1$. Mais
-cette simplification ne peut avoir lieu que pour $p = 5$.
-
-Pour $p = 7$ on trouve un groupe de $(p + 1)\dfrac{p - 1}{2}$ permutations,
-où
-\[
-\infty,\ 1,\ 2,\ 4
-\]
-ont respectivement pour lettres conjointes
-\[
-0,\ 3,\ 6,\ 5.
-\]
-
-Ce groupe a ses substitutions de la forme
-\[
-x_{k}, \quad x_{a\efrac{k - b}{k - c}},
-\]
-$b$ étant la lettre conjointe de~$c$, et $a$~une lettre qui est résidu ou
-non résidu en même temps que~$c$.
-
-Pour $p = 11$, les mêmes substitutions auront lieu avec les
-mêmes notations,
-\[
-\infty,\ 1,\ 3,\ 5,\ 5,\ 9
-\]
-ayant respectivement pour conjointes
-\[
-0,\ 2,\ 6,\ 8,\ 10,\ 7.
-\]
-
-Ainsi, pour le cas de $p = 5$, $7$, $11$, l'équation modulaire
-s'abaisse au degré~$p$.
-
-En toute rigueur, cette équation n'est pas possible dans les cas
-plus élevés.
-
-Le troisième Mémoire concerne les intégrales.
-
-On sait qu'une somme de termes d'une même fonction elliptique
-se réduit toujours à un seul terme, plus des quantités algébriques
-ou logarithmiques.
-
-Il n'y a pas d'autres fonctions pour lesquelles cette propriété
-ait lieu.
-
-Mais des propriétés absolument semblables y suppléent dans
-toutes les intégrales de fonctions algébriques.
-%% -----File: 038.png---Folio 30-------
-
-On traite à la fois toutes les intégrales dont la différentielle est
-une fonction de la variable et d'une même fonction irrationnelle
-de la variable, que cette irrationnelle soit ou ne soit pas un radical,
-qu'elle s'exprime ou ne s'exprime pas par des radicaux.
-
-On trouve que le nombre des périodes distinctes de l'intégrale
-la plus générale relative à une irrationnelle donnée est toujours
-un nombre pair.
-
-Soit $2n$ ce nombre, on aura le théorème suivant:
-
-Une somme quelconque de termes se réduit à $n$~termes, plus
-des quantités algébriques et logarithmiques.
-
-Les fonctions de première espèce sont celles pour lesquelles la
-partie algébrique et logarithmique est nulle.
-
-Il y en a $n$~distinctes.
-
-Les fonctions de seconde espèce sont celles pour lesquelles la
-partie complémentaire est purement algébrique.
-
-Il y en a $n$~distinctes.
-
-On peut supposer que les différentielles des autres fonctions
-ne soient jamais infinies qu'une fois pour $x = a$, et, de plus, que
-leur partie complémentaire se réduise à un seul logarithme, $\log P$,
-$P$~étant une quantité algébrique. En désignant par $\prod(x, a)$ ces
-fonctions, on aura le théorème
-\[
-\textstyle \prod(x, a) - \prod(a, x) = \sum \phi a · \psi x,
-\]
-$\phi a$ et $\psi x$ étant des fonctions de première et de seconde espèce.
-
-On en déduit, en appelant $\prod(a)$ et $\psi$ les périodes de $\prod(x, a)$
-et $\psi x$ relatives à une même révolution de~$x$,
-\[
-\textstyle \prod(a) = \sum \psi × \phi a.
-\]
-Ainsi les périodes des fonctions de troisième espèce s'expriment
-toujours en fonction de première et de seconde espèce.
-
-On peut en déduire aussi des théorèmes analogues au théorème
-de Legendre
-\[
-FE' + EF' - FF' = \frac{\pi}{2}.
-\]
-
-La réduction des fonctions de troisième espèce à des intégrales
-définies, qui est la plus belle découverte de M.~Jacobi, n'est pas
-praticable, hors le cas des fonctions elliptiques.
-
-La multiplication des fonctions intégrales par un nombre entier
-%% -----File: 039.png---Folio 31-------
-est toujours possible, comme l'addition, au moyen d'une équation
-de degré~$n$ dont les racines sont les valeurs à substituer dans
-l'intégrale pour avoir les termes réduits.
-
-L'équation qui donne la division des périodes en $p$~parties
-égales est du degré~$p^{2n} - 1$. Son groupe a en tout
-\[
-(p^{2n} - 1)(p^{2n} - p) \dots (p^{2n} - p^{2n-1}) \text{ permutations}.
-\]
-
-L'équation qui donne la division d'une somme de $n$~termes
-en $p$~parties égales est du degré~$p^{2n}$. Elle est soluble par radicaux.
-
-\Par{De la transformation.} On peut d'abord, en suivant des raisonnements
-analogues à ceux qu'Abel a consignés dans son dernier
-Mémoire, démontrer que si, dans une même relation entre
-des intégrales, on a les deux fonctions
-\[
-\int \Phi(x, X)\, dx, \quad
-\int \Psi(y, Y)\, dy,
-\]
-la dernière intégrale ayant $2n$~périodes, il sera permis de supposer
-que $y$~et~$Y$ s'expriment moyennant une seule équation de
-degré~$n$ en fonction de~$x$ et de~$X$.
-
-D'après cela on peut supposer que les transformations aient
-lieu constamment entre deux intégrales seulement, puisqu'on
-aura évidemment, en prenant une fonction quelconque rationnelle
-de~$y$ et de~$Y$,
-\[
-{\textstyle\sum} \int f(y, Y)\, dy
-  = \int F(x, X)\, dx + \text{ une quant.\ alg.\ et log.}
-\]
-
-Il y aurait sur cette équation des réductions évidentes dans le
-cas où les intégrales de l'un et de l'autre membre n'auraient pas
-toutes deux le même nombre de périodes.
-
-Ainsi nous n'avons à comparer que des intégrales qui aient
-toutes deux le même nombre de périodes.
-
-On démontrera que le plus petit degré d'irrationnalité de deux
-pareilles intégrales ne peut être plus grand pour l'une que pour
-l'autre.
-
-On fera voir ensuite qu'on peut toujours transformer une intégrale
-donnée en une autre dans laquelle une période de la première
-soit divisée par le nombre premier~$p$, et les $2n - 1$~autres
-restent les mêmes.
-%% -----File: 040.png---Folio 32-------
-
-Il ne restera donc à comparer que des intégrales où les périodes
-seront les mêmes de part et d'autre, et telles, par conséquent,
-que $n$~termes de l'une s'expriment sans autre équation qu'une
-seule du degré~$n$, au moyen de ceux de l'autre, et réciproquement.
-Ici nous ne savons rien.
-\bigskip
-
-Tu sais, mon cher Auguste, que ces sujets ne sont pas les seuls
-que j'aie explorés. Mes principales méditations, depuis quelque
-temps étaient dirigées sur l'application à l'analyse transcendante
-de la théorie de l'ambiguïté. Il s'agissait de voir \textit{a~priori}, dans
-une relation entre des quantités ou fonctions transcendantes,
-quels échanges on pouvait faire, quelles quantités on pouvait
-substituer aux quantités données, sans que la relation pût cesser
-d'avoir lieu. Cela fait reconnaître de suite l'impossibilité de beaucoup
-d'expressions que l'on pourrait chercher. Mais je n'ai pas le
-temps, et mes idées ne sont pas encore bien développées sur ce
-terrain, qui est immense.
-
-Tu feras imprimer cette Lettre dans la \Title{Revue encyclopédique}.
-
-Je me suis souvent hasardé dans ma vie à avancer des propositions
-dont je n'étais pas sûr; mais tout ce que j'ai écrit là est depuis
-bientôt un an dans ma tête, et il est trop de mon intérêt de
-ne pas me tromper pour qu'on me soupçonne d'énoncer des théorèmes
-dont je n'aurais pas la démonstration complète.
-
-Tu prieras publiquement Jacobi ou Gauss de donner leur avis,
-non sur la vérité, mais sur l'importance des théorèmes.
-
-Après cela, il y aura, j'espère, des gens qui trouveront leur
-profit à déchiffrer tout ce gâchis.
-
-Je t'embrasse avec effusion.
-\Date{E.~Galois.}{Le 29 mai 1832.}
-%% -----File: 041.png---Folio 33-------
-
-
-\Article{MÉMOIRE}{SUR LES}{CONDITIONS DE RÉSOLUBILITÉ DES ÉQUATIONS PAR RADICAUX\footnotemark.}
-
-\footnotetext{Ce Mémoire et le suivant ont été retrouvés dans les papiers de Galois et
-  publiés pour la première fois en 1846 par Liouville, qui les avait fait précéder de
-  la note suivante:
-\Label{page33}
-
-  «En insérant dans leur Recueil la lettre qu'on vient de lire, les éditeurs de la
-  \Title{Revue encyclopédique} annonçaient qu'ils publieraient prochainement les manuscrits
-  laissés par Galois. Mais celle promesse n'a pas été tenue. M.~Auguste Chevalier
-  avait cependant préparé le travail. Il nous a remis et l'on trouvera dans
-  les feuilles qui vont suivre:
-
-  »\primo Un Mémoire entier sur les conditions de résolubilité des équations par
-radicaux, avec l'application aux équations de degré premier;
-
-  »\secundo Un fragment d'un second Mémoire où Galois traite de la théorie générale
-  des équations qu'il nomme \emph{primitives}.
-
-  »Nous avons conservé la plupart des notes que M.~Auguste Chevalier avait
-  jointes aux Mémoires dont nous venons de parler. Ces notes sont toutes marquées
-  des initiales A.~Ch. Les notes non signées sont de Galois lui-même.
-
-  »Nous compléterons cette publication par quelques autres morceaux extraits
-  des papiers de Galois, et qui, sans avoir une grande importance, pourront cependant
-  encore être lus avec intérêt par les géomètres.»
-
-  Les extraits dont parle Liouville dans la dernière phrase de cette note n'ont
-  jamais été publiés.}
-
-Le Mémoire ci-joint\footnote
-  {J'ai jugé convenable de placer en tête de ce Mémoire la préface qu'on va
-  lire, bien que je l'aie trouvée biffée dans le manuscrit. \Annot{(A.~Ch.)}}
-est extrait d'un Ouvrage que j'ai eu
-l'honneur de présenter à l'Académie il y a un an. Cet Ouvrage
-n'ayant pas été compris, les propositions qu'il renferme ayant été
-révoquées en doute, j'ai dû me contenter de donner, sous forme
-synthétique, les principes généraux et une \emph{seule} application de
-ma théorie. Je supplie mes juges de lire du moins avec attention
-ce peu de pages.
-
-On trouvera ici une \emph{condition} générale à laquelle \emph{satisfait
-toute équation soluble par radicaux}, et qui réciproquement
-assure leur résolubilité. On en fait l'application seulement aux
-%% -----File: 042.png---Folio 34-------
-équations dont le degré est un nombre premier. Voici le théorème
-donné par notre analyse:
-\medskip
-
-\begin{Thm}
-Pour qu'une équation de degré premier, qui n'a pas de diviseurs
-commensurables, soit soluble par radicaux, il \emph{faut} et
-il \emph{suffit} que toutes les racines soient des fonctions rationnelles
-de deux quelconques d'entre elles.
-\end{Thm}
-\medskip
-
-Les autres applications de la théorie sont elles-mêmes autant
-de théories particulières. Elles nécessitent d'ailleurs l'emploi de
-la théorie des nombres, et d'un algorithme particulier: nous les
-réservons pour une autre occasion. Elles sont en partie relatives
-aux équations modulaires de la théorie des fonctions elliptiques,
-que nous démontrons ne pouvoir se résoudre par radicaux.
-%[** TN: Name printed below date in the original]
-\Date{E.~Galois.}{Ce 16 janvier 1831.}
-
-
-\Subsection{PRINCIPES.}
-
-Je commencerai par établir quelques définitions et une suite de
-lemmes qui sont tous connus.
-
-\Par{Définitions.} Une équation est dite \emph{réductible} quand elle
-admet des diviseurs rationnels; \emph{irréductible} dans le cas contraire.
-
-Il faut ici expliquer ce qu'on doit entendre par le mot \emph{rationnel},
-car il se représentera souvent.
-
-Quand l'équation a \emph{tous} ses coefficients numériques et rationnels,
-cela veut dire simplement que l'équation peut se décomposer
-en facteurs qui aient leurs coefficients numériques et rationnels.
-
-Mais quand les coefficients d'une équation ne seront \emph{pas tous}
-numériques et rationnels, alors il faudra entendre par diviseur
-rationnel un diviseur dont les coefficients s'exprimeraient en
-fonction rationnelle des coefficients de la proposée.
-
-Il y a plus: on pourra convenir de regarder comme rationnelle
-toute fonction rationnelle d'un certain nombre de quantités déterminées,
-supposées connues \textit{a~priori}. Par exemple, on pourra
-%% -----File: 043.png---Folio 35-------
-choisir une certaine racine d'un nombre entier, et regarder comme
-rationnelle toute fonction rationnelle de ce radical.
-
-Lorsque nous conviendrons de regarder ainsi comme connues
-de certaines quantités, nous dirons que nous les \emph{adjoignons} à
-l'équation qu'il s'agit de résoudre. Nous dirons que ces quantités
-sont \emph{adjointes} à l'équation.
-
-Cela posé, nous appellerons \emph{rationnelle} toute quantité qui
-s'exprimera en fonction rationnelle des coefficients de l'équation
-et d'un certain nombre de quantités \emph{adjointes} à l'équation et
-convenues arbitrairement.
-
-Quand nous nous servirons d'équations auxiliaires, elles seront
-rationnelles, si leurs coefficients sont rationnels en notre sens.
-
-On voit, au surplus, que les propriétés et les difficultés d'une
-équation peuvent être tout à fait différentes suivant les quantités
-qui lui sont adjointes. Par exemple, l'adjonction d'une quantité
-peut rendre réductible une équation irréductible.
-
-Ainsi, quand on adjoint à l'équation
-\[
-\frac{x^{n} - 1}{x - 1} = 0\DPtypo{.}{,}
-\]
-où $n$ est premier, une racine d'une des équations auxiliaires de
-M.~Gauss, cette équation se décompose en facteurs et devient, par
-conséquent, réductible.
-
-Les substitutions sont le passage d'une permutation à l'autre.
-
-La permutation d'où l'on part pour indiquer les substitutions
-est toute arbitraire, quand il s'agit de fonctions; car il n'y a aucune
-raison pour que, dans une fonction de plusieurs lettres, une
-lettre occupe un rang plutôt qu'un autre.
-
-Cependant, comme on ne peut guère se former l'idée d'une
-substitution sans se former celle d'une permutation, nous ferons,
-dans le langage, un emploi fréquent des permutations, et nous ne
-considérerons les substitutions que comme le passage d'une permutation
-à une autre.
-
-Quand nous voudrons grouper des substitutions, nous les ferons
-toutes provenir d'une même permutation.
-
-Comme il s'agit toujours de questions où la disposition primitive
-des lettres n'influe en rien dans les groupes que nous considérerons,
-on devra avoir les mêmes substitutions, quelle que soit
-%% -----File: 044.png---Folio 36-------
-la permutation d'où l'on sera parti. Donc, si dans un pareil
-groupe on a les substitutions $S$~et~$T$, on est sûr d'avoir la substitution~$ST$.
-
-Telles sont les définitions que nous avons cru devoir rappeler.
-
-\begin{Lemme}[I.]
-Une équation irréductible ne peut avoir aucune
-racine commune avec une équation rationnelle, sans la diviser.
-\end{Lemme}
-
-Car le plus grand commun diviseur entre l'équation irréductible
-et l'autre équation sera encore rationnel; donc, etc.
-
-\begin{Lemme}[II.]
-Étant donnée une équation quelconque, qui
-n'a pas de racines égales, dont les racines sont $a$,~$b$, $c$,~\dots, on
-peut toujours former une fonction~$V$ des racines, telle qu'aucune
-des valeurs que l'on obtient en permutant dans celle fonction
-les racines de toutes manières, ne soit égale à une autre.
-\end{Lemme}
-
-Par exemple, on peut prendre
-\[
-V = Aa + Bb + Cc + \dots,
-\]
-$A$, $B$, $C$ étant des nombres entiers convenablement choisis.
-
-\begin{Lemme}[III.]
-La fonction~$V$ étant choisie comme il est indiqué
-dans l'article précèdent, elle jouira de cette propriété,
-que toutes les racines de l'équation proposée s'exprimeront rationnellement
-en fonction de~$V$.
-\end{Lemme}
-
-En effet, soit
-\[
-V = \phi (a, b, c, d, \dots),
-\]
-ou bien
-\[
-V - \phi (a, b, c, d, \dots) = 0.
-\]
-Multiplions entre elles toutes les équations semblables, que l'on
-obtient en permutant dans celles-ci toutes les lettres, la première
-seulement restant fixe; il viendra une expression suivante:
-\[
-\bigl[V - \phi (a, b, c, d, \dots)\bigr]
-\bigl[V - \phi (a, c, b, d, \dots)\bigr]
-\bigl[V - \phi (a, b, d, c, \dots)\bigr] \dots,
-\]
-symétrique en $b$, $c$, $d$,~\dots, laquelle pourra, par conséquent,
-s'écrire en fonction de~$a$. Nous aurons donc une équation de la
-forme
-\[
-F(V, a) = 0.
-\]
-%% -----File: 045.png---Folio 37-------
-Or je dis que de là on peut tirer la valeur de~$a$. Il suffit pour cela
-de chercher la solution commune à cette équation et à la proposée.
-Cette solution est la seule commune, car on ne peut avoir,
-par exemple,
-\[
-F(V, b) = 0,
-\]
-cette équation ayant un facteur commun avec l'équation semblable,
-sans quoi l'une des fonctions $\phi(a, \dots)$ serait égale à
-l'une des fonctions $\phi(b, \dots)$; ce qui est contre l'hypothèse.
-
-Il suit de là que $a$ s'exprime en fonction rationnelle de~$V$, et il
-en est de même des autres racines.
-
-Cette proposition\footnote
-  {Il est remarquable que de cette proposition on peut conclure que toute
-  équation dépend d'une équation auxiliaire telle, que toutes les racines de cette
-  nouvelle équation soient des fonctions rationnelles les unes des autres: car
-  l'équation auxiliaire en~$V$ est dans ce cas.
-
-  Au surplus, cette remarque est purement curieuse. En effet, une équation qui
-  a cette propriété n'est pas, en général, plus facile à résoudre qu'une autre.}
-est citée sans démonstration par Abel,
-dans le Mémoire posthume sur les fonctions elliptiques.
-
-\begin{Lemme}[IV]
-Supposons que l'on ait formé l'équation en~$V$,
-et que l'on ait pris l'un de ses facteurs irréductibles, en sorte
-que~$V$ soit racine d'une équation irréductible. Soient $V$,~$V'$,
-$V''$,~\dots\ les racines de cette équation irréductible. Si $a = f(V)$
-est une des racines de la proposée, $f(V')$~de même sera une racine
-de la proposée.
-\end{Lemme}
-
-En effet, en multipliant entre eux tous les facteurs de la forme
-$V - \phi (a, b, c, \dots, d)$, où l'on aura opéré sur les lettres toutes
-les permutations possibles, on aura une équation rationnelle en~$V$,
-laquelle se trouvera nécessairement divisible par l'équation en
-question; donc $V'$~doit s'obtenir par l'échange des lettres dans la
-fonction~$V$. Soit $F(V, a) = 0$ l'équation qu'on obtient en permutant
-dans $V$ toutes les lettres, hors la première. On aura donc
-$F(V', b) = 0$, $b$ pouvant être égal à~$a$, mais étant certainement
-l'une des racines de l'équation proposée; par conséquent, de
-même que de la proposée et de $F(V, a) = 0$ est résulté $a = f(V)$,
-de même il résultera de la proposée et de $F(V', b) = 0$ combinées,
-la suivante $b = f(V')$.
-%% -----File: 046.png---Folio 38-------
-
-
-\Subsection{PROPOSITION I.}
-
-\begin{Theoreme}
-Soit une équation donnée, dont $a$,~$b$, $c$,~\dots\
-sont les $m$~racines. Il y aura toujours un groupe de permutations
-des lettres $a$,~$b$, $c$,~\dots\ qui jouira de la propriété suivante:
-
-\primo Que toute fonction des racines, invariable\footnote
-  {Nous appelons ici invariable non seulement une fonction dont la forme est
-  invariable par les substitutions des racines entre elles, mais encore celle dont la
-  valeur numérique ne varierait pas par ces substitutions. Par exemple, si $Fx = 0$
-  est une équation, $Fx$~est une fonction des racines qui ne varie par aucune permutation.
-
-  Quand nous disons qu'une fonction est rationnellement connue, nous voulons
-  dire que sa valeur numérique est exprimable en fonction rationnelle des coefficients
-  de l'équation et des quantités adjointes.}
-par les substitutions
-de ce groupe, soit rationnellement connue;
-
-\secundo Réciproquement, que toute fonction des racines, déterminable
-rationnellement, soit invariable par les substitutions.
-\end{Theoreme}
-
-(Dans le cas des équations algébriques, ce groupe n'est autre
-chose que l'ensemble des $1 · 2 · 3 \dots\ m$ permutations possibles
-sur les $m$~lettres, puisque, dans ce cas, les fonctions symétriques
-sont seules déterminables rationnellement.)
-
-(Dans le cas de l'équation $\dfrac{x^{n} - 1}{x - 1} = 0$, si l'on suppose $a = r$,
-$b = r^{g}$, $c = r^{g^{2}}$,~\dots, $g$~étant une racine primitive, le groupe de
-permutations sera simplement celui-ci:
-\[
-\begin{array}{c}
-  abcd \dots\dots k, \\
-  bcd  \dotfill  ka, \\
-  cd   \dotfill kab, \\
-       \dotfill      \\
-  kabc \dotfill   i;
-\end{array}
-\]
-dans ce cas particulier, le nombre des permutations est égal au
-degré de l'équation, et la même chose aurait lieu dans les équations
-dont toutes les racines seraient des fonctions rationnelles
-les unes des autres.)
-
-\Par{Démonstration.} Quelle que soit l'équation donnée, on pourra
-trouver une fonction rationnelle $V$ des racines, telle que toutes
-%% -----File: 047.png---Folio 39-------
-les racines soient fonctions rationnelles de~$V$. Cela posé, considérons
-l'équation irréductible dont $V$~est racine (lemmes III~et~IV)\@.
-Soient $V$,~$V'$, $V''$,~\dots, $V^{(n-1)}$ les racines de cette équation.
-
-Soient $\phi V$, $\phi_{1} V$, $\phi_{2} V$,~\dots, $\phi_{m-1} V$ les racines de la proposée.
-
-Écrivons les $n$~permutations suivantes des racines:
-\[
-\begin{array}{*{6}{l}}
-(V)       & \phi V,  & \phi_{1} V,  & \phi_{2} V,  & \dots, & \phi_{m-1} V,\\
-(V')      & \phi V', & \phi_{1} V', & \phi_{2} V', & \dots, & \phi_{m-1} V',\\
-(V'')     & \phi V'',& \phi_{1} V'',& \phi_{2} V'',& \dots, & \phi_{m-1} V'',\\
-\dots,    & \dots,   & \dots,     & \dots,     & \dots, & \dots, \\
-(V^{(n-1)})& \phi V^{(n-1)},& \phi_{1} V^{(n-1)},& \phi_{2} V^{(n-1)},& \dots, & \phi_{m-1} V^{(n-1)}:
-\end{array}
-\]
-je dis que ce groupe de permutations jouit de la propriété énoncée.
-
-En effet:
-
-\primo Toute fonction $F$ des racines, invariable par les substitutions
-de ce groupe, pourra être écrite ainsi: $F = \psi V$, et l'on aura
-\[
-\psi V = \psi V' = \psi V'' = \dots = \psi V^{(n-1)}.
-\]
-La valeur de $F$ pourra donc se déterminer rationnellement.
-
-\secundo Réciproquement, si une fonction~$F$ est déterminable rationnellement,
-et que l'on pose $F = \psi V$, on devra avoir
-\[
-\psi V = \psi V' = \psi V'' = \dots = \psi V^{(n-1)},
-\]
-puisque l'équation en~$V$ n'a pas de diviseur commensurable et que
-$V$~satisfait à l'équation $F = \psi V$, $F$~étant une quantité rationnelle.
-Donc la fonction~$F$ sera nécessairement invariable par les substitutions
-du groupe écrit ci-dessus.
-
-Ainsi, ce groupe jouit de la double propriété dont il s'agit dans
-le théorème proposé. Le théorème est donc démontré.
-
-Nous appellerons \emph{groupe de l'équation} le groupe en question.
-
-\Par{Scolie~\upshape I.} Il est évident que, dans le groupe de permutations
-dont il s'agit ici, la disposition des lettres n'est point à considérer,
-mais seulement les substitutions de lettres par lesquelles on passe
-d'une permutation à l'autre.
-
-Ainsi l'on peut se donner arbitrairement une première permutation,
-pourvu que les autres permutations s'en déduisent toujours
-par les mêmes substitutions de lettres. Le nouveau groupe ainsi
-formé jouira évidemment des mêmes propriétés que le premier,
-%% -----File: 048.png---Folio 40-------
-puisque, dans le théorème précédent, il ne s'agit que des substitutions
-que l'on peut faire dans les fonctions.
-
-\Par{Scolie~\upshape II.} Les substitutions sont indépendantes même du
-nombre des racines.
-
-\Subsection{PROPOSITION II.}
-
-\begin{Theoreme}[\protect\footnotemark.]
-Si l'on adjoint à une équation donnée la
-racine~$r$ d'une équation auxiliaire irréductible, \primo il arrivera
-de deux choses l'une: ou bien le groupe de l'équation ne sera
-pas changé, ou bien il se partagera en $p$~groupes appartenant
-chacun à l'équation proposée respectivement quand on lui adjoint
-chacune des racines de l'équation auxiliaire; \secundo ces
-groupes jouiront de la propriété remarquable, que l'on passera
-de l'un à l'autre en opérant dans toutes les permutations du
-premier une même substitution de lettres.
-\end{Theoreme}
-
-\footnotetext{Dans l'énoncé du théorème, après ces mots: \emph{la racine~$r$ d'une équation
-  auxiliaire irréductible}, Galois avait mis d'abord ceux-ci: \emph{de degré $p$ premier},
-  qu'il a effacés plus tard. De même, dans la démonstration, au lieu de $r$,~$r'$,
-  $r''$,~\dots\ étant d'autres valeurs de~$r$, la rédaction primitive portait: $r$,~$r'$, $r''$,~\dots\
-  étant les diverses valeurs de~$r$. Enfin on trouve à la marge du manuscrit la
-  note suivante de l'auteur:
-
-  «Il y a quelque chose à compléter dans cette démonstration. Je n'ai pas le
-  temps.»
-
-  Cette ligne a été jetée avec une grande rapidité sur le papier; circonstance
-  qui, jointe aux mots: «Je n'ai pas le temps», me fait penser que Galois a relu
-  son Mémoire pour le corriger avant d'aller sur le terrain. \Annot{(A. Ch.)}}
-
-\primo Si, après l'adjonction de~$r$, l'équation en~$V$, dont il est
-question plus haut, reste irréductible, il est clair que le groupe
-de l'équation ne sera pas changé. Si, au contraire, elle se réduit,
-alors l'équation en~$V$ se décomposera en $p$~facteurs, tous de même
-degré et de la forme
-\[
-f(V, r) × f(V, r') × f(V, r'') × \dots,
-\]
-$r$, $r'$, $r''$,~\dots\ étant d'autres valeurs de~$r$. Ainsi, le groupe de
-l'équation proposée se décomposera aussi en groupes chacun
-d'un même nombre de permutations, puisque à chaque valeur
-de~$V$ correspond une permutation. Ces groupes seront respectivement
-%% -----File: 049.png---Folio 41-------
-ceux de l'équation proposée, quand on lui adjoindra successivement
-$r$,~$r'$, $r''$,~\dots.
-
-\secundo Nous avons vu plus haut que toutes les valeurs de~$V$ étaient
-des fonctions rationnelles les unes des autres. D'après cela, supposons
-que, $V$~étant une racine de $f(V, r) = 0$, $F(V)$~en soit une
-autre; il est clair que de même si $V'$ est une racine de $f(V, r') = 0$,
-$F(V')$~en sera une autre; car on aura
-\[
-f \bigl[F(V), r\bigr] = \text{une fonction divisible par $f(V, r)$}.
-\]
-
-%[** TN: "lemme" italicized in the original here, below]
-Donc (lemme~I)
-\[
-f \bigl[F(V'), r'\bigr] = \text{une fonction divisible par $f(V', r')$}.
-\]
-
-Cela posé, je dis que l'on obtient le groupe relatif à~$r'$ en opérant
-partout dans le groupe relatif à~$r$ une même substitution de
-lettres.
-
-En effet, si l'on a, par exemple,
-\[
-\phi_{\mu} F(V) = \phi_{\nu} (V),
-\]
-on aura encore (lemme~I),
-\[
-\phi_{\mu} F(V') = \phi_{\nu} (V').
-\]
-Donc, pour passer de la permutation $\bigl[F(V)\bigr]$ à la permutation
-$\bigl[F(V')\bigr]$, il faut faire la même substitution que pour passer de la
-permutation~$(V)$ à la permutation~$(V')$.
-
-Le théorème est donc démontré.
-
-
-\Subsection{PROPOSITION III.}
-
-\begin{Theoreme}
-Si l'on adjoint à une équation \emph{toutes} les racines
-d'une équation auxiliaire, les groupes dont il est question
-dans le théorème~II jouiront, de plus, de cette propriété que
-les substitutions sont les mêmes dans chaque groupe.
-\end{Theoreme}
-
-On trouvera la démonstration\footnotemark.
-
-\footnotetext{Dans le manuscrit, l'énoncé du théorème qu'on vient de lire se trouve en
-  marge et en remplace un autre que Galois avait écrit avec sa démonstration sous
-  le même titre: \textit{Proposition~III}. Voici le texte primitif:
-%[** TN: Set in-line in the original]
-  \begin{Theoreme} Si l'équation
-  en $r$~est de la forme $r^{p} = A$, et que les racines~$p^\text{ièmes}$ de l'unité se trouvent
-  au nombre des quantités précédemment adjointes, les $p$~groupes dont il est
-  question dans le Théorème~II jouiront, de plus, de cette \DPtypo{proprieté}{propriété} que les
-  substitutions de lettres par lesquelles on passe d'une permutation à une
-  autre dans chaque groupe soient les mêmes pour tous les groupes.\end{Theoreme}
-
-  \noindent En effet,
-  dans ce cas, il revient au même d'adjoindre à l'équation telle ou telle valeur
-  de~$r$. Par conséquent, ses propriétés doivent être les mêmes après l'adjonction de
-  telle ou telle valeur. Ainsi son groupe doit être le même quant aux substitutions
-  (Proposition~I, scolie). Donc,~etc.
-
-  Tout cela est effacé avec soin; le nouvel énoncé porte la date 1832 et montre,
-  par la manière dont il est écrit, que l'auteur était extrêmement pressé, ce qui
-  confirme l'assertion que j'ai avancée dans la Note précédente.
-  \Annot{(A.~Ch.)}}
-%% -----File: 050.png---Folio 42-------
-
-
-\Subsection{PROPOSITION IV.}
-
-\begin{Theoreme}
-Si l'on adjoint à une équation la valeur \emph{numérique}
-d'une certaine fonction de ses racines, le groupe de
-l'équation s'abaissera de manière à n'avoir plus d'autres
-permutations que celles par lesquelles cette fonction est invariable.
-\end{Theoreme}
-
-En effet, d'après la proposition~I, toute fonction connue doit
-être invariable par les permutations du groupe de l'équation.
-
-
-\Subsection{PROPOSITION V.}
-
-\begin{Probleme}
-Dans quel cas une équation est-elle soluble par
-de simples radicaux?
-\end{Probleme}
-
-J'observerai d'abord que, pour résoudre une équation, il faut
-successivement abaisser son groupe jusqu'à ne contenir plus
-qu'une seule permutation. Car, quand une équation est résolue,
-une fonction quelconque de ses racines est connue, même quand
-elle n'est invariable par aucune permutation.
-
-Cela posé, cherchons à quelle condition doit satisfaire le groupe
-d'une équation, pour qu'il puisse s'abaisser ainsi par l'adjonction
-de quantités radicales.
-
-Suivons la marche des opérations possibles dans cette solution,
-en considérant comme opérations distinctes l'extraction de chaque
-racine de degré premier.
-%% -----File: 051.png---Folio 43-------
-
-Adjoignons à l'équation le premier radical extrait dans la solution.
-Il pourra arriver deux cas: ou bien, par l'adjonction de ce
-radical, le groupe des permutations de l'équation sera diminué; ou
-bien, cette extraction de racine n'étant qu'une simple préparation,
-le groupe restera le même.
-
-Toujours sera-t-il qu'après un certain nombre \emph{fini} d'extractions
-de racines, le groupe devra se trouver diminué, sans quoi l'équation
-ne serait pas soluble.
-
-Si, arrivé à ce point, il y avait plusieurs manières de diminuer le
-groupe de l'équation proposée par une simple extraction de racine,
-il faudrait, pour ce que nous allons dire, considérer seulement un
-radical du degré le moins haut possible parmi tous les simples
-radicaux, qui sont tels que la connaissance de chacun d'eux
-diminue le groupe de l'équation.
-
-Soit donc $p$ le nombre premier qui représente ce degré minimum,
-en sorte que par une extraction de racine de degré~$p$, on
-diminue le groupe de l'équation.
-
-Nous pouvons toujours supposer, du moins pour ce qui est
-relatif au groupe de l'équation, que, parmi les quantités adjointes
-précédemment à l'équation, se trouve une racine~$p^{\text{ième}}$ de l'unité,~$\alpha$.
-Car, comme cette expression s'obtient par des extractions de
-racines de degré inférieur à~$p$, sa connaissance n'altérera en rien
-le groupe de l'équation.
-
-Par conséquent, d'après les théorèmes II~et~III, le groupe de
-l'équation devra se décomposer en $p$ groupes jouissant les uns par
-rapport aux autres de cette double propriété: \primo que l'on passe
-de l'un à l'autre par une seule et même substitution; \secundo que tous
-contiennent les mêmes substitutions.
-
-Je dis réciproquement que, si le groupe de l'équation peut se
-partager en $p$~groupes qui jouissent de cette double propriété, on
-pourra, par une simple extraction de racine~$p^{\text{ième}}$, et par l'adjonction
-de cette racine~$p^{\text{ième}}$, réduire le groupe de l'équation à l'un de
-ces groupes partiels.
-
-Prenons, en effet, une fonction des racines qui soit invariable
-pour toutes les substitutions de l'un des groupes partiels, et varie
-pour toute autre substitution. (Il suffit, pour cela, de choisir une
-fonction symétrique des diverses valeurs que prend, par toutes les
-%% -----File: 052.png---Folio 44-------
-permutations de l'un des groupes partiels, une fonction qui n'est
-invariable par aucune substitution.)
-
-Soit $\theta$ cette fonction des racines.
-
-Opérons sur la fonction~$\theta$ une des substitutions du groupe total
-qui ne lui sont pas communes avec les groupes partiels. Soit $\theta_{1}$ le
-résultat. Opérons sur la fonction~$\theta_{1}$ la même substitution, et
-soit $\theta_{2}$ le résultat, et ainsi de suite.
-
-Comme $p$ est un nombre premier, cette suite ne pourra s'arrêter
-qu'au terme~$\theta_{p-1}$; ensuite l'on aura $\theta_{p} = \theta_{1}$, $\theta_{p+1}=\theta_{1}$, et
-ainsi de suite.
-
-Cela posé, il est clair que la fonction
-\[
-(\theta + \alpha\theta_{1}
-        + \alpha^{2}\theta_{2} + \dots
-        + \alpha^{p-1}\theta_{p-1})^{p}
-\]
-sera invariable par toutes les permutations du groupe total et, par
-conséquent, sera actuellement connue.
-
-Si l'on extrait la racine~$p^\text{ième}$ de cette fonction, et qu'on l'adjoigne
-à l'équation, alors, par la proposition~IV, le groupe de
-l'équation ne contiendra plus d'autres substitutions que celles des
-groupes partiels.
-
-Ainsi, pour que le groupe d'une équation puisse s'abaisser par
-une simple extraction de racine, la condition ci-dessus est nécessaire
-et suffisante.
-
-Adjoignons à l'équation le radical en question; nous pourrons
-raisonner maintenant sur le nouveau groupe comme sur le précédent,
-et il faudra qu'il se décompose lui-même de la manière
-indiquée, et ainsi de suite, jusqu'à un certain groupe qui ne contiendra
-plus qu'une seule permutation.
-
-\Par{Scolie.} Il est aisé d'observer cette marche dans la résolution
-connue des équations générales du quatrième degré. En effet, ces
-équations se résolvent au moyen d'une équation du troisième
-degré, qui exige elle-même l'extraction d'une racine carrée. Dans
-la suite naturelle des idées, c'est donc par cette racine carrée
-qu'il faut commencer. Or, en adjoignant à l'équation du quatrième
-degré cette racine carrée, le groupe de l'équation, qui contenait
-en tout vingt-quatre substitutions, se décompose en deux qui n'en
-contiennent que douze. En désignant par $a$,~$b$, $c$,~$d$ les racines,
-%% -----File: 053.png---Folio 45-------
-voici l'un de ces groupes:
-\[
-\begin{array}{*{3}{l}}
-  abcd, & acdb, & adbc,  \\
-  badc, & cabd, & dacb,  \\
-  cdab, & dbac, & bcad,  \\
-  dcba, & bdca, & cbda.
-\end{array}
-\]
-Maintenant ce groupe se partage lui-même en trois groupes,
-comme il est indiqué aux théorèmes II~et~III\@. Ainsi, par l'extraction
-d'un seul radical du troisième degré, il reste simplement le
-groupe
-\[
-\begin{array}{l}
-  abcd,  \\
-  badc,  \\
-  cdab,  \\
-  dcba:
-\end{array}
-\]
-ce groupe se partage de nouveau en deux groupes:
-\[
-\begin{array}{ll}
-  abcd, & cdab,  \\
-  badc, & dcba.
-\end{array}
-\]
-Ainsi, après une simple extraction de racine carrée, il restera
-\[
-\begin{array}{l}
-  abcd,  \\
-  badc;
-\end{array}
-\]
-ce qui se résoudra enfin par une simple extraction de racine
-carrée.
-
-On obtient ainsi, soit la solution de Descartes, soit celle
-d'Euler; car, bien qu'après la résolution de l'équation auxiliaire
-%[** TN: [sic] extraye]
-du troisième degré ce dernier extraye trois racines carrées, on
-sait qu'il suffit de deux, puisque la troisième s'en déduit rationnellement.
-
-Nous allons maintenant appliquer cette condition aux équations
-irréductibles dont le degré est premier.
-%% -----File: 054.png---Folio 46-------
-
-
-\Section{}{Application aux équations irréductibles de degré premier.}
-
-\Subsection{PROPOSITION VI.}
-
-\begin{Lemme}
-Une équation irréductible de degré premier ne
-peut devenir réductible par l'adjonction d'un radical dont
-l'indice serait autre que le degré même de l'équation.
-\end{Lemme}
-
-Car si $r$,~$r'$, $r''$,~\dots\ sont les diverses valeurs du radical, et
-$Fx = 0$ l'équation proposée, il faudrait que $Fx$ se partageât en
-facteurs
-\[
-f(x,r) × f(x,r') × \dots,
-\]
-tous de même degré, ce qui ne se peut, à moins que $f(x, r)$ ne
-soit du premier degré en~$x$.
-
-Ainsi, une équation irréductible de degré premier ne peut
-devenir réductible, à moins que son groupe ne se réduise à une
-seule permutation.
-
-
-\Subsection{PROPOSITION VII.}
-
-\begin{Probleme}
-Quel est le groupe d'une équation irréductible
-d'un degré premier~$n$, soluble par radicaux?
-\end{Probleme}
-
-D'après proposition précédente, le plus petit groupe possible,
-avant celui qui n'a qu'une seule permutation, contiendra $n$~permutations.
-Or, un groupe du permutations d'un nombre premier~$n$
-de lettres ne peut se réduire à $n$~permutations, à moins que
-l'une de ces permutations ne se déduise de l'autre par une substitution
-circulaire de l'ordre~$n$. (\emph{Voir} le Mémoire de M.~Cauchy,
-\Title{Journal de l'École Polytechnique}, XVII\ieme~cahier.) Ainsi, l'avant-dernier
-groupe sera
-\[
-\Tag{(G)}
-\left\{
-\begin{array}{*{8}{l}}
-x_{0},    &x_{1}, &x_{2}, &x_{3}, &\dots, &x_{n-3}, &x_{n-2}, &x_{n-1}, \\
-x_{1},    &x_{2}, &x_{3}, &x_{4}, &\dots, &x_{n-2}, &x_{n-1}, &x_{0}, \\
-x_{2},    &x_{3}, &\dots, &\dots, &\dots, &x_{n-1}, &x_{0}, &x_{1}, \\
-\dots,  &\dots, &\dots, &\dots, &\dots, &\dots, &\dots, &\dots, \\
-x_{n-1}, &x_{0}, &x_{1}, &\dots, &\dots, &x_{n-4}, &x_{n-3}, &x_{n-2},
-\end{array}
-\right.
-\]
-$x_{0}$, $x_{1}$, $x_{2}$,~\dots, $x_{n-1}$ étant les racines.
-%% -----File: 055.png---Folio 47-------
-
-Maintenant, le groupe qui précédera immédiatement celui-ci
-dans l'ordre des décompositions devra se composer d'un certain
-nombre de groupes ayant tous les mêmes substitutions que
-celui-ci. Or, j'observe que ces substitutions peuvent s'exprimer
-ainsi (faisons, en général, $x_{n} = x_{0}$, $x_{n+1} = x_{1}$,~\dots; il est clair
-que chacune des substitutions du groupe~\Eq{(G)} s'obtient en mettant
-partout à la place de $x_{k}$,~$x_{k+c}$, $c$~étant une constante).
-
-Considérons l'un quelconque des groupes semblables au
-groupe~\Eq{(G)}. D'après le théorème~II, il devra s'obtenir en opérant
-partout dans ce groupe une même substitution; par exemple, en
-mettant partout dans le groupe~\Eq{(G)}, à la place de $x_{k}$,~$x_{f(k)}$, $f$~étant
-une certaine fonction.
-
-Les substitutions de ces nouveaux groupes devant être les
-mêmes que celles du groupe~\Eq{(G)}, on devra avoir
-\[
-f(x + c) = f(k) + C,
-\]
-$C$~étant indépendant de~$k$.
-
-Donc
-\begin{alignat*}{2}
-&f(k + 2c) &&= f(k) + 2C, \\
-\multispan{5}{\dotfill} \\
-&f(k + mc) &&= f(k) + mC.
-\end{alignat*}
-Si $c = 1$, $k = 0$, on trouvera
-\[
-f(m) = am + b
-\]
-ou bien
-\[
-f(k) = ak + b,
-\]
-$a$~et~$b$ étant des constantes.
-
-Donc, le groupe qui précède immédiatement le groupe~\Eq{(G)} ne
-devra contenir que des substitutions telles que
-\[
-x_{k}, \quad x_{ak+b},
-\]
-et ne contiendra pas, par conséquent, d'autre substitution circulaire
-que celle du groupe~\Eq{(G)}.
-%% -----File: 056.png---Folio 48-------
-
-On raisonnera sur ce groupe comme sur le précédent, et il s'ensuivra
-que le premier groupe dans l'ordre des décompositions,
-c'est-à-dire le groupe \emph{actuel} de l'équation, ne peut contenir que
-des substitutions de la forme
-\[
-x_{k},\quad x_{ak+b}.
-\]
-
-Donc, \begin{Thm}si une équation irréductible de degré premier est
-soluble par radicaux, le groupe de cette équation ne saurait
-contenir que des substitutions de la forme
-\[
-x_{k}, \quad x_{ak+b},
-\]
-$a$~et~$b$ étant des constantes.\end{Thm}
-
-Réciproquement, si cette condition a lieu, je dis que l'équation
-sera soluble par radicaux. Considérons, en effet, les fonctions
-\begin{alignat*}{5}
-& (x_{0} + \alpha x_{1}     &&{}+ \alpha^{2} x_{2}
-&&{}+ \dots + \alpha^{n-1} x_{n-1}       &&)^{n} = X_{1}     && ,
-\\
-& (x_{0} + \alpha x_{a}     &&{}+ \alpha^{2} x_{2a}
-&&{}+ \dots + \alpha^{n-1} x_{(n-1)a}    &&)^{n} = X_{a}     && ,
-\\
-& (x_{0} + \alpha x_{a^{2}} &&{}+ \alpha^{2} x_{2a^{2}}
-&&{}+ \dots + \alpha^{n-1} x_{(n-1)a^{2}}  &&)^{n} = X_{a^{2}} && ,
-\\
-\multispan{9}{\dotfill} & ,
-\end{alignat*}
-$\alpha$ étant une racine~$n^{\text{ième}}$ de l'unité, $a$~une racine primitive de~$n$.
-
-Il est clair que toute fonction invariable par les substitutions
-circulaires des quantités $X_{1}$, $X_{a}$, $X_{a^{2}}$,~\dots\ sera, dans ce cas, immédiatement
-connue. Donc, on pourra trouver $X_{1}$, $X_{a}$, $X_{a^{2}}$,~\dots, par
-la méthode de M.~Gauss pour les équations binômes. Donc,~etc.
-
-Ainsi, pour qu'une équation irréductible de degré premier soit
-soluble par radicaux, il \emph{faut} et il \emph{suffit} que toute fonction invariable
-par les substitutions
-\[
-x_{k}, \quad  x_{ak+b}
-\]
-soit rationnellement connue.
-
-Ainsi, la fonction
-\[
-(X_{1} - X) (X_{a} - X) (X_{a^{2}} - X) \dots
-\]
-devra, quel que soit~$X$, être connue.
-%% -----File: 057.png---Folio 49-------
-
-Il \emph{faut} donc et il \emph{suffit} que l'équation qui donne cette fonction
-des racines admette, quel que soit~$X$, une valeur rationnelle.
-
-Si l'équation proposée a tous ses coefficients rationnels, l'équation
-auxiliaire qui donne cette fonction les aura tous aussi, et il
-suffira de reconnaître si cette équation auxiliaire du degré
-$1 · 2 · 3 \dots (n - 2)$ a ou non une racine rationnelle, ce que l'on
-sait faire.
-
-C'est là le moyen qu'il faudrait employer dans la pratique. Mais
-nous allons présenter le théorème sous une autre forme.
-
-
-\Subsection{PROPOSITION VIII.}
-
-\begin{Theoreme}
-Pour qu'une équation irréductible de degré
-premier soit soluble par radicaux, il \emph{faut} et il \emph{suffit} que deux
-quelconques des racines étant connues, les autres s'en déduisent
-rationnellement.
-\end{Theoreme}
-
-Premièrement, il le faut, car la substitution
-\[
-x_{k}, \quad x_{ak+b}
-\]
-ne laissant jamais deux lettres à la même place, il est clair qu'en
-adjoignant deux racines à l'équation, par la proposition~IV, son
-groupe devra se réduire à une seule permutation.
-
-En second lieu, cela suffit; car, dans ce cas, aucune substitution
-du groupe ne laissera deux lettres aux mêmes places. Par conséquent,
-le groupe contiendra tout au plus $n(n - 1)$~permutations.
-Donc, il ne contiendra qu'une seule substitution circulaire (sans
-quoi il y aurait au moins $n^{2}$~permutations). Donc, toute substitution
-du groupe, $x_{k}$,~$x_{fk}$, devra satisfaire à la condition
-\[
-f(k + c) = f(k) + C.
-\]
-Donc, etc.
-
-Le théorème est donc démontré.
-%% -----File: 058.png---Folio 50-------
-
-
-\Subsection{EXEMPLE DU THÉORÈME VII.}
-
-Soit $n = 5$; le groupe sera le suivant:
-%[** TN: Set in one column in the original; commented code below]
-\iffalse
-\[
-\begin{array}{l}
-  abcde \\
-  bcdea \\
-  cdeab \\
-  deabc \\
-  eabcd \\[2ex]
-  acebd \\
-  cebda \\
-  ebdac \\
-  bdace \\
-  daceb \\[2ex]
-  aedcb \\
-  edcba \\
-  dcbae \\
-  cbaed \\
-  baedc \\[2ex]
-  adbec \\
-  dbeca \\
-  becad \\
-  ecadb \\
-  cadbe
-\end{array}
-\]
-\fi
-\[
-\begin{array}{c@{\qquad}*{3}{|@{\qquad}c@{\qquad}}}
-  abcde & acebd & aedcb & adbec \\
-  bcdea & cebda & edcba & dbeca \\
-  cdeab & ebdac & dcbae & becad \\
-  deabc & bdace & cbaed & ecadb \\
-  eabcd & daceb & baedc & cadbe
-\end{array}
-\]
-%% -----File: 059.png---Folio 51-------
-
-
-\Article{DES ÉQUATIONS PRIMITIVES}{}{QUI SONT SOLUBLES PAR RADICAUX\footnotemark. \\[6pt]
-(Fragment.)}
-
-\footnotetext{\emph{Voir} la Note~1 de la page~\pageref{page33}.}
-
-Cherchons, en général, dans quel cas une équation primitive
-est soluble par radicaux. Or, nous pouvons de suite établir un
-caractère général fondé sur le degré même de ces équations. Ce
-caractère est celui-ci: \begin{Thm}Pour qu'une équation primitive soit résoluble
-par radicaux, il faut que son degré soit de la forme~$p^{\nu}$, $p$~étant
-premier.\end{Thm} Et de là suivra immédiatement que, lorsqu'on aura
-à résoudre par radicaux une équation irréductible dont le degré
-admettrait des facteurs premiers inégaux, on ne pourra le faire
-que par la méthode de décomposition due à M.~Gauss; sinon
-l'équation sera insoluble.
-
-Pour établir la propriété générale que nous venons d'énoncer
-relativement aux équations primitives qu'on peut résoudre par
-radicaux, nous pouvons supposer que l'équation que l'on veut
-résoudre soit primitive, mais cesse de l'être par l'adjonction d'un
-simple radical. En d'autres termes, nous pouvons supposer que,
-$n$ étant premier, le groupe de l'équation se partage en $n$ groupes
-irréductibles conjugués, mais non primitifs. Car, à moins que le
-degré de l'équation soit premier, un pareil groupe se présentera
-toujours dans la suite des décompositions.
-
-Soit $N$ le degré de l'équation, et supposons qu'après une extraction
-de racine de degré premier~$n$, elle devienne non primitive et
-se partage en $Q$~équations primitives de degré~$P$, au moyen d'une
-seule équation de degré~$Q$.
-
-Si nous appelons $G$ le groupe de l'équation, ce groupe devra se
-partager en $n$~groupes conjugués non primitifs, dans lesquels les
-lettres se rangeront en systèmes composés de $P$~lettres conjointes
-chacun. Voyons de combien de manières cela pourra se faire.
-
-Soit $H$ l'un des groupes conjugués non primitifs. Il est aisé de
-%% -----File: 060.png---Folio 52-------
-voir que, dans ce groupe, deux lettres quelconques prises à volonté
-feront partie d'un certain système de $P$~lettres conjointes,
-et ne feront partie que d'un seul.
-
-Car, en premier lieu, s'il y avait deux lettres qui ne pussent
-faire partie d'un même système de $P$~lettres conjointes, le groupe~$G$,
-qui est tel que l'une quelconque de ses substitutions transforme
-les unes dans les autres toutes les substitutions du groupe~$H$,
-serait non primitif, ce qui est contre l'hypothèse.
-
-En second lieu, si deux lettres faisaient partie de plusieurs
-systèmes différents, il s'ensuivrait que les groupes qui répondent
-aux divers systèmes de $P$~lettres conjointes ne seraient pas primitifs,
-ce qui est encore contre l'hypothèse.
-
-Cela posé, soient
-\[
-\begin{array}{*{5}{l}}
-a_{0}, & a_{1}, & a_{2}, & \dots, & a_{P-1}, \\
-b_{0}, & b_{1}, & b_{2}, & \dots, & b_{P-1}, \\
-c_{0}, & c_{1}, & c_{2}, & \dots, & c_{P-1}
-\end{array}
-\]
-les $N$~lettres: supposons que chaque ligne horizontale représente
-un système de lettres conjointes. Soient
-\[
-\DPtypo{a_{0}}{a_{0,0}},\quad a_{0,1}, \quad a_{0,2}, \ \dots, \quad a_{0,P-1}
-\]
-$P$~lettres conjointes toutes situées dans la première colonne verticale.
-(Il est clair que nous pouvons faire qu'il en soit ainsi, en
-intervertissant l'ordre des lignes horizontales.)
-
-Soient, de même,
-\[
-a_{1,0}, \quad a_{1,1}, \quad a_{1,2}, \quad a_{1,3}, \ \dots, \quad a_{1,P-1}
-\]
-$P$~lettres conjointes toutes situées dans la seconde colonne verticale,
-en sorte que
-\[
-a_{1,0}, \quad a_{1,1}, \quad a_{1,2}, \quad a_{1,3}, \ \dots, \quad a_{1,P-1}
-\]
-appartiennent respectivement aux mêmes lignes horizontales
-que
-\[
-a_{0,0}, \quad a_{0,1}, \quad a_{0,2}, \quad a_{0,3}, \ \dots, \quad a_{0,P-1};
-\]
-soient, de même, les systèmes de lettres conjointes
-\[
-\begin{array}{*{6}{l}}
-a_{2,0}, &a_{2,1}, &a_{2,2}, &a_{2,3}, & \dots, &a_{2,P-1}, \\
-a_{3,0}, &a_{3,1}, &a_{3,2}, &a_{3,3}, & \dots, &a_{3,P-1}, \\
-\dots,  & \dots,  & \dots, & \dots, & \dots, & \dotfill,
-\end{array}
-\]
-%% -----File: 061.png---Folio 53-------
-nous obtiendrons ainsi, en tout, $P^{2}$~lettres. Si le nombre total
-des lettres n'est pas épuisé, on prendra un troisième indice, en
-sorte que
-\[
-a_{m,n,0}, \quad a_{m,n,1}, \quad a_{m,n,2}, \quad a_{m,n,3},\ \dots, \quad a_{m,n,P-1}
-\]
-soit, en général, un système de lettres conjointes; et l'on parviendra
-ainsi à cette conclusion, que $N = P^{\mu}$, $\mu$~étant un certain
-nombre égal à celui des indices différents dont on aura besoin. La
-forme générale des lettres sera
-\[
-a_{k_{1}, k_{2}, k_{3}, \dots, k_{\mu}},
-\]
-$k_{1}$,~$k_{2}$, $k_{3}$,~\dots, $k_{\mu}$ étant des indices qui peuvent prendre chacun
-les $P$~valeurs $0$,~$1$, $2$, $3$,~\dots, $P - 1$.
-
-On voit aussi, par la manière dont nous avons procédé, que,
-dans le groupe~$H$, toutes les substitutions seront de la forme
-\[
-\bigl[a_{k_{1}, k_{2}, k_{3} \dots k_{\mu}}, \quad
-      a_{\phi(k_{1}), \DPtypo{\psi(k)_{2}}{\psi(k_{2})}, \chi(k_{3}) \dots, \sigma(k_{\mu})}
-\bigr],
-\]
-puisque chaque indice correspond à un système de lettres conjointes.
-
-Si $P$ n'est pas un nombre premier, on raisonnera sur le groupe
-de permutations de l'un quelconque des systèmes de lettres conjointes,
-comme sur le groupe~$G$, en remplaçant chaque indice
-par un certain nombre de nouveaux indices, et l'on trouvera
-$P = R^{\alpha}$, et ainsi de suite; d'où enfin $N = p^{\nu}$, $p$~étant un nombre
-premier.
-
-
-\Section{}{Des équations primitives de degrée~$p^{2}$.}
-
-Arrêtons-nous un moment pour traiter de suite les équations
-primitives d'un degré~$p^{2}$, $p$~étant premier impair. (Le cas de
-$p = 2$ a été examiné.) Si une équation du degré~$p^{2}$ est soluble
-par radicaux, supposons-la d'abord telle, qu'elle devienne non
-primitive par une extraction de radical.
-
-Soit donc $G$ un groupe primitif de $p^{2}$~lettres qui se partage
-en $n$~groupes non primitifs conjugués à~$H$.
-
-Les lettres devront nécessairement, dans le groupe~$H$, se ranger
-%% -----File: 062.png---Folio 54-------
-ainsi:
-\[
-\begin{array}{*{6}{l}}
-  a_{0,0}, & a_{0,1}, & a_{0,2}, & a_{0,3}, & \dots, & a_{0,p-1},\\
-  a_{1,0}, & a_{1,1}, & a_{1,2}, & a_{1,3}, & \dots, & a_{1,p-1},\\
-  a_{2,0}, & a_{2,1}, & a_{2,2}, & a_{2,3}, & \dots, & a_{2,p-1},\\
-  \dots,  & \dots,  & \dots,  & \dots,  & \dots, & \dotfill, \\
-  a_{p-1,0}, & a_{p-1,1}, & a_{p-1,2}, & a_{p-1,3}, & \dots, & \rlap{$a_{p-1,p-1},$}
-\end{array}
-\]
-chaque ligne horizontale et chaque ligne verticale étant un système
-de lettres conjointes.
-
-Si l'on permute entre elles les lignes horizontales, le groupe
-que l'on obtiendra, étant primitif et de degré premier, ne devra
-contenir que des substitutions de la forme
-\[
-(a_{k_{1},k_{2}},\ a_{mk_{1}+n\DPtypo{}{,} k_{2}}),
-\]
-les indices étant pris relativement au module~$p$.
-
-Il en sera de même pour les lignes qui ne pourront donner que
-des substitutions de la forme
-\[
-(a_{k_{1},k_{2}},\ a_{k_{1}, qk_{2}+r}).
-\]
-Donc enfin toutes les substitutions du groupe~$H$ seront de la
-forme
-\[
-(\DPtypo{a_{k_{2},k_{3}}}{a_{k_{1},k_{2}}},\ a_{m_{1} k_{1}+n_{1}, m_{2} k_{2}+n_{2}}).
-\]
-Si un groupe~$G$ se partage en $n$~groupes conjugués à celui que
-nous venons de décrire, toutes les substitutions du groupe~$G$ devront
-transformer les unes dans les autres les substitutions circulaires
-du groupe~$H$, qui sont toutes écrites comme il suit:
-\[
-\Tag{(a)}
-(a_{k_{1},k_{2}},\ \dots,\ a_{k_{1}+\alpha_{1}, k_{2}+\alpha_{2}},\ \dots).
-\]
-Supposons donc que l'une des substitutions du groupe~$G$ se forme
-en remplaçant respectivement
-\begin{align*}
-k_{1} & \quad\text{par}\quad \phi_{1} (k_{1}, k_{2}),\\
-k_{2} & \quad\text{par}\quad \phi_{2} (k_{1}, k_{2}).
-\end{align*}
-Si, dans les fonctions $\phi_{1}$,~$\phi_{2}$, on substitue pour $k_{1}$~et~$k_{2}$ les valeurs
-$k_{1} + \alpha_{1}$, $k_{2} + \alpha_{2}$, il devra venir des résultats de la forme
-\[
-\phi_{1} + \beta_{1},\quad \phi_{2} + \beta_{2},
-\]
-%% -----File: 063.png---Folio 55-------
-et de là il est aisé de conclure immédiatement que les substitutions
-du groupe~$G$ doivent être toutes comprises dans la formule
-\[
-\Tag{(A)}
-(a_{k_{1}, k_{2}},\ a_{m_{1} k_{1} + n_{1} k + \alpha_{1} m_{2} k_{1} + n_{2} k_{2} + \alpha_{2}}),
-\]
-Or nous savons, par le \no~\footnotemark,
-que les substitutions du groupe~$G$
-ne peuvent embrasser que $p^{2} - 1$ ou $p^{2} - p$ lettres. Ce n'est
-point $p^{2} - p$, puisque, dans ce cas, le groupe~$G$ serait non primitif.
-Si donc, dans le groupe~$G$, on ne considère que les permutations
-où la lettre~$a_{0,0}$, par exemple, conserve toujours la même
-place, on n'aura que des substitutions de l'ordre $p^{2} - 1$ entre les
-$p^{2} - 1$ autres lettres.
-\footnotetext{Ce Mémoire faisant suite à un travail de Galois que je ne possède pas, il
-  m'est impossible d'indiquer le Mémoire cité ici et plus bas. \Annot{(A.~Ch.)}}
-
-Mais rappelons-nous ici que c'est simplement pour la démonstration
-que nous avons supposé que le groupe primitif~$G$ se partageât
-en groupes conjugués non primitifs. Comme cette condition
-n'est nullement nécessaire, les groupes seront souvent beaucoup
-plus composés.
-
-Il s'agit donc de reconnaître dans quel cas ces groupes pourront
-admettre des substitutions où $p^{2} - p$ lettres seulement varieraient,
-et cette recherche va nous retenir quelque temps.
-
-Soit donc $G$ un groupe qui contienne quelque substitution de
-l'ordre $p^{2} - p$; je dis d'abord que toutes les substitutions de ce
-groupe seront linéaires, c'est-à-dire de la forme~\Eq{(A)}.
-
-La chose est reconnue vraie pour les substitutions de l'ordre
-$p^{2} - 1$; il suffit donc de la démontrer pour celles de l'ordre
-$p^{2} - p$. Ne considérons donc qu'un groupe où les substitutions
-seraient toutes $m$ de l'ordre~$p^{2}$ ou de l'ordre $p^{2} - p$. (\emph{Voyez} l'endroit
-cité.)
-
-Alors les $p$~lettres qui, dans une substitution de l'ordre $p^{2} - p$,
-ne varieront pas, devront être des lettres conjointes.
-
-Supposons que ces lettres conjointes soient
-\[
-a_{0,0},\quad a_{0,1},\quad a_{0,2},\quad \dots, \quad a_{0,p-1}.
-\]
-Nous pouvons déduire toutes les substitutions où ces $p$~lettres ne
-changent pas de place, nous pouvons les déduire de substitutions
-%% -----File: 064.png---Folio 56-------
-de la forme
-\[
-(a_{k_{1},k_{2}},\ a_{k_{1},\phi k_{2}})
-\]
-et de substitutions de l'ordre $p^{2} - p$, dont la période serait de $p$~termes.
-(\emph{Voyez} encore l'endroit cité.)
-
-Les premiers doivent nécessairement, pour que le groupe
-jouisse de la propriété voulue, se réduire à la forme
-\[
-(a_{k_{1},k_{2}},\ a_{k_{1},m k_{2}})
-\]
-d'après ce qu'on a vu pour les équations de degré~$p$.
-
-Quant aux substitutions dont la période serait de $p$~termes,
-comme elles sont conjuguées aux précédentes, nous pouvons supposer
-un groupe qui les contienne sans contenir celles-ci: donc
-elles devront transformer les substitutions circulaires~\Eq{(a)} les unes
-dans les autres; donc elles seront aussi linéaires.
-
-Nous sommes donc arrivés à cette conclusion, que le groupe
-primitif de permutations de $p^{2}$~lettres doit ne contenir que des
-substitutions de la forme~\Eq{(A)}.
-
-Maintenant, prenons le groupe total que l'on obtient en opérant
-sur l'expression
-\[
-a_{k_{1},k_{2}}
-\]
-toutes les substitutions linéaires possibles, et cherchons quels
-sont les diviseurs de ce groupe qui peuvent jouir de la propriété
-voulue pour la résolubilité des équations.
-
-Quel est d'abord le nombre total des substitutions linéaires?
-Premièrement, il est clair que toute transformation de la forme
-\[
-k_{1},\ k_{2},\quad m_{1}k_{1} + n_{1}k_{2} + \alpha_{1},\ m_{2}k_{1} + n_{2}k_{2} + \alpha_{2}
-\]
-ne sera pas pour cela une substitution; car il faut, dans une substitution,
-qu'à chaque lettre de la première permutation il ne réponde
-qu'une seule lettre de la seconde, et réciproquement.
-
-Si donc on prend une lettre quelconque $a_{l_{1},l_{2}}$ de la seconde permutation,
-et que l'on remonte à la lettre correspondante dans la
-première, on devra trouver une lettre $a_{k_{1},k_{2}}$ où les indices $k_{1}$,~$k_{2}$
-seront parfaitement déterminés. Il faut donc que, quels que soient
-$l_{1}$~et~$l_{2}$, on ait, par les deux équations
-\[
-m_{1}k_{1} + n_{1}k_{2} + \alpha_{1} = l_{1}, \quad
-m_{2}k_{1} + n_{2}k_{2} + \alpha_{2} = l_{2},
-\]
-%% -----File: 065.png---Folio 57-------
-des valeurs de $k_{1}$~et~$k_{2}$ finies et déterminées. Ainsi la condition
-pour qu'une pareille transformation soit réellement une substitution
-est que $m_{1}n_{2} - m_{2}n_{1}$ ne soit ni nul ni divisible par le module~$p$,
-ce qui est la même chose.
-
-Je dis maintenant que, bien que ce groupe à substitutions
-linéaires n'appartienne pas toujours, comme on le verra, à des
-équations solubles par radicaux, il jouira toutefois de cette propriété,
-que, si dans une quelconque de ses substitutions il y a $n$~lettres
-de fixes, $n$~divisera le nombre des lettres. Et, en effet, quel
-que soit le nombre des lettres qui restent fixes, on pourra exprimer
-cette circonstance par des équations linéaires qui donneront
-tous les indices de l'une des lettres fixes, au moyen d'un certain
-nombre d'entre eux. Donnant à chacun de ces indices, restés arbitraires,
-$p$~valeurs, on aura $p^{m}$~systèmes de valeurs, $m$~étant un certain
-nombre. Dans le cas qui nous occupe, $m$~est nécessairement
-$< 2$ et se trouve par conséquent être $0$ ou~$1$. Donc le nombre des
-substitutions ne saurait être plus grand que
-\[
-p^{2}(p^{2} - 1)(p^{2} - p).
-\]
-
-Ne considérons maintenant que les substitutions linéaires où la
-lettre~$a_{0,0}$ ne varie pas; si, dans ce cas, nous trouvons le nombre
-total des permutations du groupe qui contient toutes les substitutions
-linéaires possibles, il nous suffira de multiplier ce nombre
-par~$p^{2}$.
-
-Or, premièrement, en substituant $p$ à l'indice~$k_{2}$, toutes les
-substitutions de la forme
-\[
-(a_{k_{1}, k_{2}},\ a_{m_{1}k_{1}, k_{2}})
-\]
-donneront en tout $p - 1$ substitutions. On en aura $p^{2} - p$ en
-ajoutant au terme~$k_{2}$ le terme~$m_{2}k_{1}$, ainsi qu'il suit:
-\[
-\Tag{(m')}
-(k_{1},\ k_{2},\ m_{1}k_{1},\ m_{2}k_{1} + k_{2}).
-\]
-
-D'un autre côté, il est aisé de trouver un groupe linéaire
-de $p^{2} - 1$ permutations, tel que, dans chacune de ses substitutions,
-toutes les lettres, à l'exception de~$a_{0,0}$, varient. Car, en
-remplaçant le double indice $k_{1}$,~$k_{2}$ par l'indice simple $k_{1} + ik_{2}$,
-%% -----File: 066.png---Folio 58-------
-$i$~étant une racine primitive de
-\[
-x^{p^{2}-1}\! - 1 = 0\ (\mod p),
-\]
-il est clair que toute substitution de la forme
-\[
-[a_{k_{1}+k_{2} l},\ a_{(m_{1}+m_{2}l)(k_{1}+k_{2}l)}]
-\]
-sera une substitution linéaire; mais, dans ces substitutions, aucune
-lettre ne reste à la même place, et elles sont au nombre
-de~$p^{2} - 1$.
-
-Nous avons donc un système de $p^{2} - 1$ permutations tel que,
-dans chacune de ses substitutions, toutes les lettres varient, à
-l'exception de~$a_{0,0}$. Combinant ces substitutions avec les $p^{2} - p$
-dont il est parlé plus haut, nous aurons
-\[
-(p^{2} - 1)(p^{2} - p) \text{ substitutions}.
-\]
-
-Or, nous avons vu \textit{a~priori} que le nombre des substitutions
-où $a_{0,0}$~reste fixe ne pouvait être plus grand que $(p^{2} - 1)(p^{2} - p)$.
-Donc il est précisément égal à $(p^{2} - 1)(p^{2} - p)$, et le groupe
-linéaire total aura en tout
-\[
-p^{2}(p^{2} - 1)(p^{2} - p) \text{ permutations}.
-\]
-
-Il reste à chercher les diviseurs de ce groupe, qui peuvent
-jouir de la propriété d'être solubles par radicaux. Pour cela, nous
-allons faire une transformation qui a pour but d'abaisser autant
-que possible les équations générales de degré~$p^{2}$ dont le groupe
-serait linéaire.
-
-Premièrement, comme les substitutions circulaires d'un pareil
-groupe sont telles, que toute autre substitution du groupe les
-transforme les unes dans les autres, on pourra abaisser l'équation
-d'un degré et considérer une équation de degré $p^{2} - 1$ dont le
-groupe n'aurait que des substitutions de la forme
-\[
-(b_{k_{1}, k_{2}},\ b_{m_{1}k_{1}+n_{1}k_{2},\: m_{2}k_{1}+n_{2}k_{2}}),
-\]
-les $p^{2} - 1$ lettres étant
-\[
-\begin{array}{*{5}{l}}
-         &b_{0,1}, &b_{0,2}, &b_{0,3}, &\dots,\\
-b_{1,0}, &b_{1,1}, &b_{1,2}, &b_{1,3}, &\dots,\\
-b_{2,0}, &b_{2,1}, &b_{2,2}, &b_{2,3}, &\dots,\\
-\dots,  &\dots,  &\dots,  &\dots,  &\dots.
-\end{array}
-\]
-%% -----File: 067.png---Folio 59-------
-
-J'observe maintenant que ce groupe est non primitif, en sorte
-que toutes les lettres où le rapport des deux indices est le même
-sont des lettres conjointes. Si l'on remplace par une seule lettre
-chaque système de lettres conjointes, on aura un groupe dont
-toutes les substitutions seront de la forme
-\[
-\biggl(b_{\efrac{k_{1}}{k_{2}}},\
-      b_{\efrac{m_{1} k_{1} + n_{1} k_{2}}{m_{2} k_{1} + n_{2} k_{2}}}\biggr),
-\]
-$\dfrac{k_{1}}{k_{2}}$ étant les nouveaux indices. En remplaçant ce rapport par un
-seul indice~$k$, on voit que les $p + 1$~lettres seront
-\[
-b_{0}, \quad b_{1}, \quad b_{2}, \quad b_{3}, \quad \dots, \quad b_{p-1}, \quad b_{\efrac{1}{0}},
-\]
-et les substitutions seront de la forme
-\[
-\biggl(k,\ \frac{mk + n}{rk + s}\biggr).
-\]
-
-Cherchons combien de lettres, dans chacune de ces substitutions,
-restent à la même place; il faut pour cela résoudre l'équation
-\[
-(rk + s)k - m(mk + n) = 0,
-\]
-qui aura deux, ou une, ou aucune racine, suivant que $(m - s)^{2} + 4nr$
-sera résidu quadratique, nul ou non résidu quadratique. Suivant
-ces trois cas, la substitution sera de l'ordre $p - 1$, ou~$p$, ou~$p + 1$.
-
-On peut prendre pour type des deux premiers cas les substitutions
-de la forme
-\[
-(k,\ mk + n),
-\]
-où la seule lettre~$b_{\efrac{1}{0}}$ ne varie pas, et de là on voit que le nombre
-total des substitutions du groupe réduit est
-\[
-(p + 1)p(p - 1).
-\]
-
-C'est après avoir ainsi réduit ce groupe que nous allons le
-traiter généralement. Nous chercherons d'abord dans quel cas un
-diviseur de ce groupe, qui contiendrait des substitutions de
-l'ordre~$p$, pourrait appartenir à une équation soluble par radicaux.
-
-Dans ce cas, l'équation serait primitive et elle ne pourrait être
-%% -----File: 068.png---Folio 60-------
-soluble par radicaux, à moins que l'on n'eût $p + 1 = 2^{n}$, $n$~étant
-un certain nombre.
-
-Nous pouvons supposer que le groupe ne contienne que des
-substitutions de l'ordre~$p$ et de l'ordre~$p + 1$. Toutes les substitutions
-de l'ordre~$p + 1$ seront par conséquent semblables, et leur
-période sera de deux termes.
-
-Prenons donc l'expression
-\[
-\biggl(k,\ \frac{mk + n}{rk + s}\biggr),
-\]
-et voyons dans quel cas cette substitution peut avoir une période
-de deux termes. Il faut pour cela que la substitution inverse se
-confonde avec elle. La substitution inverse est
-\[
-\biggl(k,\ \frac{-sk + n}{rk - m}\biggr).
-\]
-
-Donc on doit avoir $m = -s$, et toutes les substitutions en
-question seront
-\[
-\biggl(k,\ \frac{mk + n}{k - m}\biggr),
-\]
-ou encore
-\[
-k,\ m + \frac{N}{k - m},
-\]
-$N$~étant un certain nombre qui est le même pour toutes les substitutions,
-puisque ces substitutions doivent être transformées les
-unes dans les autres par toutes les substitutions de l'ordre~$p$,
-$(k, k+m)$; or ces substitutions doivent, de plus, être conjuguées
-les unes des autres. Si donc
-\[
-\biggl(k,\ m + \frac{N}{k - m}\biggr), \qquad
-\biggl(k,\ n + \frac{N}{k - m}\biggr)
-\]
-sont deux pareilles substitutions, il faut que l'on ait
-\[
-n + \frac{N}{\dfrac{N}{k-m} + m - n} =
-m + \frac{N}{\dfrac{N}{k-n} + n - m},
-\]
-savoir
-\[
-(m - n)^{2} = 2N.
-\]
-
-Donc la différence entre deux valeurs de~$m$ ne peut acquérir
-%% -----File: 069.png---Folio 61-------
-que deux valeurs différentes; donc $m$ ne peut avoir plus de trois
-valeurs; donc enfin $p = 3$. Ainsi, c'est seulement dans ce cas
-que le groupe réduit pourra contenir des substitutions de l'ordre~$p$.
-
-Et, en effet, la réduite sera alors du quatrième degré, et, par
-conséquent, soluble par radicaux.
-
-Nous savons par là qu'en général, parmi les substitutions de notre
-groupe réduit, il ne devra pas se trouver de substitutions de
-l'ordre~$p$. Peut-il y en avoir de l'ordre~$p - 1$? C'est ce que je vais
-rechercher\footnotemark.
-
-\footnotetext{J'ai cherché inutilement dans les papiers de Galois la continuation de ce
-  qu'on vient de lire. \Annot{(A.~Ch.)}}
-
-\vfil
-\begin{center}
-  FIN.
-\end{center}
-%% -----File: 070.png---Folio 62-------
-
-
-\BackMatter
-\Contents % ** Prints: "TABLE DES MATIÈRES." and "Pages."
-
-\ToCArt{\textsc{Introduction}}{1}
-
-
-\ToCChap{I.}{ARTICLES PUBLIÉS PAR GALOIS.}
-
-\ToCArt{Démonstration d'un théorème sur les fractions continues périodiques}{1}
-
-\ToCArt{Notes sur quelques points d'Analyse}{9}
-
-\ToCArt{Analyse d'un Mémoire sur la résolution algébrique des équations}{11}
-
-\ToCArt{Note sur la résolution des équations numériques}{13}
-
-\ToCArt{Sur la théorie des nombres}{15}
-
-
-\ToCChap{II.}{{\OE}UVRES POSTHUMES.}
-
-\ToCArt{Lettre à Auguste Chevalier}{25}
-
-\ToCArt{Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux}{33}
-
-\ToCArt{Des équations primitives qui sont solubles par radicaux (fragment)}{51}
-
-\vfil
-\begin{center}
-FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES.
-\end{center}
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% GUTENBERG LICENSE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-
-
-\FlushRunningHeads
-\PGLicense
-\begin{PGtext}
-End of the Project Gutenberg EBook of Oeuvres mathématiques d'Évariste Galois, by 
-Évariste Galois
-
-*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK OEUVRES MATHÉMATIQUES ***
-
-***** This file should be named 40213-pdf.pdf or 40213-pdf.zip *****
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-
-Produced by Andrew D. Hwang, K. F. Greiner, Paul Murray
-and the Online Distributed Proofreading Team at
-http://www.pgdp.net
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-
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-
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-such as creation of derivative works, reports, performances and
-research.  They may be modified and printed and given away--you may do
-practically ANYTHING with public domain eBooks.  Redistribution is
-subject to the trademark license, especially commercial
-redistribution.
-
-
-
-*** START: FULL LICENSE ***
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-things that you can do with most Project Gutenberg-tm electronic works
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-paragraph 1.C below.  There are a lot of things you can do with Project
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-and help preserve free future access to Project Gutenberg-tm electronic
-works.  See paragraph 1.E below.
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-or PGLAF), owns a compilation copyright in the collection of Project
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-1.E.9.
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-     money paid for a work or a replacement copy, if a defect in the
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-     of receipt of the work.
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-     distribution of Project Gutenberg-tm works.
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-the applicable state law.  The invalidity or unenforceability of any
-provision of this agreement shall not void the remaining provisions.
-
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-trademark owner, any agent or employee of the Foundation, anyone
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-with this agreement, and any volunteers associated with the production,
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-harmless from all liability, costs and expenses, including legal fees,
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-or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm
-work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any
-Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause.
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-
-Section  2.  Information about the Mission of Project Gutenberg-tm
-
-Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of
-electronic works in formats readable by the widest variety of computers
-including obsolete, old, middle-aged and new computers.  It exists
-because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from
-people in all walks of life.
-
-Volunteers and financial support to provide volunteers with the
-assistance they need are critical to reaching Project Gutenberg-tm's
-goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will
-remain freely available for generations to come.  In 2001, the Project
-Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure
-and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations.
-To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation
-and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4
-and the Foundation information page at www.gutenberg.org
-
-
-Section 3.  Information about the Project Gutenberg Literary Archive
-Foundation
-
-The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit
-501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the
-state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal
-Revenue Service.  The Foundation's EIN or federal tax identification
-number is 64-6221541.  Contributions to the Project Gutenberg
-Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent
-permitted by U.S. federal laws and your state's laws.
-
-The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S.
-Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered
-throughout numerous locations.  Its business office is located at 809
-North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887.  Email
-contact links and up to date contact information can be found at the
-Foundation's web site and official page at www.gutenberg.org/contact
-
-For additional contact information:
-     Dr. Gregory B. Newby
-     Chief Executive and Director
-     gbnewby@pglaf.org
-
-Section 4.  Information about Donations to the Project Gutenberg
-Literary Archive Foundation
-
-Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide
-spread public support and donations to carry out its mission of
-increasing the number of public domain and licensed works that can be
-freely distributed in machine readable form accessible by the widest
-array of equipment including outdated equipment.  Many small donations
-($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt
-status with the IRS.
-
-The Foundation is committed to complying with the laws regulating
-charities and charitable donations in all 50 states of the United
-States.  Compliance requirements are not uniform and it takes a
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-have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition
-against accepting unsolicited donations from donors in such states who
-approach us with offers to donate.
-
-International donations are gratefully accepted, but we cannot make
-any statements concerning tax treatment of donations received from
-outside the United States.  U.S. laws alone swamp our small staff.
-
-Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation
-methods and addresses.  Donations are accepted in a number of other
-ways including checks, online payments and credit card donations.
-To donate, please visit:  www.gutenberg.org/donate
-
-
-Section 5.  General Information About Project Gutenberg-tm electronic
-works.
-
-Professor Michael S. Hart was the originator of the Project Gutenberg-tm
-concept of a library of electronic works that could be freely shared
-with anyone.  For forty years, he produced and distributed Project
-Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support.
-
-Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed
-editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S.
-unless a copyright notice is included.  Thus, we do not necessarily
-keep eBooks in compliance with any particular paper edition.
-
-Most people start at our Web site which has the main PG search facility:
-
-     www.gutenberg.org
-
-This Web site includes information about Project Gutenberg-tm,
-including how to make donations to the Project Gutenberg Literary
-Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to
-subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks.
-\end{PGtext}
-
-% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
-%                                                                         %
-% End of the Project Gutenberg EBook of Oeuvres mathématiques d'Évariste Galois, by 
-% Évariste Galois                                                         %
-%                                                                         %
-% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK OEUVRES MATHÉMATIQUES ***       %
-%                                                                         %
-% ***** This file should be named 40213-t.tex or 40213-t.zip *****        %
-% This and all associated files of various formats will be found in:      %
-%         http://www.gutenberg.org/4/0/2/1/40213/                         %
-%                                                                         %
-% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
-
-\end{document}
-###
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-  ['\\OE', 'Oe'],
-  ['\\end{Theoreme}', ''],
-  ['\\end{Probleme}', ''],
-  ['\\begin{Thm}', ''],
-  ['\\end{Thm}', ''],
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-  );
-
-@ControlwordArguments = (
-  ['\\ToCChap', 1, 1, '', ' ', 1, 1, '', ''],
-  ['\\ToCArt', 1, 1, '', '.', 1, 0, '', ''],
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-  );
-###
-This is pdfTeX, Version 3.1415926-1.40.10 (TeX Live 2009/Debian) (format=pdflatex 2012.3.22)  11 JUL 2012 12:44
-entering extended mode
- %&-line parsing enabled.
-**40213-t.tex
-(./40213-t.tex
-LaTeX2e <2009/09/24>
-Babel <v3.8l> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh
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-File: latin1.def 2008/03/30 v1.1d Input encoding file
-)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/fontenc.sty
-Package: fontenc 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package
-(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1enc.def
-File: t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
-LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 43.
-)) (/var/lib/texmf/tex/generic/babel/babel.sty
-Package: babel 2008/07/06 v3.8l The Babel package
-(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.ldf
-Language: frenchb 2009/03/16 v2.3d French support from the babel system
-(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def
-File: babel.def 2008/07/06 v3.8l Babel common definitions
-\babel@savecnt=\count88
-\U@D=\dimen103
-)
-
-Package babel Warning: No hyphenation patterns were loaded for
-(babel)                the language `French'
-(babel)                I will use the patterns loaded for \language=0 instead.
-
-\l@french = a dialect from \language0
-Package babel Info: Making : an active character on input line 120.
-Package babel Info: Making ; an active character on input line 121.
-Package babel Info: Making ! an active character on input line 122.
-Package babel Info: Making ? an active character on input line 123.
-\FB@Mht=\dimen104
-\std@mcc=\count89
-\dec@mcc=\count90
-\parindentFFN=\dimen105
-*************************************
-* Local config file frenchb.cfg used
-*
-(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.cfg))) (/usr/share/texmf-te
-xlive/tex/latex/carlisle/scalefnt.sty) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/grap
-hics/keyval.sty
-Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
-\KV@toks@=\toks16
-) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ifthen.sty
-Package: ifthen 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
-) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
-Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features
-\@mathmargin=\skip43
-For additional information on amsmath, use the `?' option.
-(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty
-Package: amstext 2000/06/29 v2.01
-(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
-File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0
-\@emptytoks=\toks17
-\ex@=\dimen106
-)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
-Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d
-\pmbraise@=\dimen107
-) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
-Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names
-)
-\inf@bad=\count91
-LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211.
-\uproot@=\count92
-\leftroot@=\count93
-LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307.
-\classnum@=\count94
-\DOTSCASE@=\count95
-LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379.
-LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382.
-LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467.
-\Mathstrutbox@=\box26
-\strutbox@=\box27
-\big@size=\dimen108
-LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OML on input line 567.
-LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OMS on input line 568.
-\macc@depth=\count96
-\c@MaxMatrixCols=\count97
-\dotsspace@=\muskip10
-\c@parentequation=\count98
-\dspbrk@lvl=\count99
-\tag@help=\toks18
-\row@=\count100
-\column@=\count101
-\maxfields@=\count102
-\andhelp@=\toks19
-\eqnshift@=\dimen109
-\alignsep@=\dimen110
-\tagshift@=\dimen111
-\tagwidth@=\dimen112
-\totwidth@=\dimen113
-\lineht@=\dimen114
-\@envbody=\toks20
-\multlinegap=\skip44
-\multlinetaggap=\skip45
-\mathdisplay@stack=\toks21
-LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666.
-LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667.
-) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
-Package: amssymb 2009/06/22 v3.00
-(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
-Package: amsfonts 2009/06/22 v3.00 Basic AMSFonts support
-\symAMSa=\mathgroup4
-\symAMSb=\mathgroup5
-LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
-(Font)                  U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 96.
-)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/alltt.sty
-Package: alltt 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
-) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/indentfirst.sty
-Package: indentfirst 1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC)
-) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/footmisc/footmisc.sty
-Package: footmisc 2009/09/15 v5.5a a miscellany of footnote facilities
-\FN@temptoken=\toks22
-\footnotemargin=\dimen115
-\c@pp@next@reset=\count103
-\c@@fnserial=\count104
-Package footmisc Info: Declaring symbol style bringhurst on input line 855.
-Package footmisc Info: Declaring symbol style chicago on input line 863.
-Package footmisc Info: Declaring symbol style wiley on input line 872.
-Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport-robust on input line 883.
-
-Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport* on input line 903.
-Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport*-robust on input line 924
-.
-) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/calc.sty
-Package: calc 2007/08/22 v4.3 Infix arithmetic (KKT,FJ)
-\calc@Acount=\count105
-\calc@Bcount=\count106
-\calc@Adimen=\dimen116
-\calc@Bdimen=\dimen117
-\calc@Askip=\skip46
-\calc@Bskip=\skip47
-LaTeX Info: Redefining \setlength on input line 76.
-LaTeX Info: Redefining \addtolength on input line 77.
-\calc@Ccount=\count107
-\calc@Cskip=\skip48
-) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/fancyhdr/fancyhdr.sty
-\fancy@headwidth=\skip49
-\f@ncyO@elh=\skip50
-\f@ncyO@erh=\skip51
-\f@ncyO@olh=\skip52
-\f@ncyO@orh=\skip53
-\f@ncyO@elf=\skip54
-\f@ncyO@erf=\skip55
-\f@ncyO@olf=\skip56
-\f@ncyO@orf=\skip57
-) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/geometry/geometry.sty
-Package: geometry 2008/12/21 v4.2 Page Geometry
-(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/ifpdf.sty
-Package: ifpdf 2009/04/10 v2.0 Provides the ifpdf switch (HO)
-Package ifpdf Info: pdfTeX in pdf mode detected.
-) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/ifvtex.sty
-Package: ifvtex 2008/11/04 v1.4 Switches for detecting VTeX and its modes (HO)
-Package ifvtex Info: VTeX not detected.
-)
-\Gm@cnth=\count108
-\Gm@cntv=\count109
-\c@Gm@tempcnt=\count110
-\Gm@bindingoffset=\dimen118
-\Gm@wd@mp=\dimen119
-\Gm@odd@mp=\dimen120
-\Gm@even@mp=\dimen121
-\Gm@dimlist=\toks23
-(/usr/share/texmf-texlive/tex/xelatex/xetexconfig/geometry.cfg)) (/usr/share/te
-xmf-texlive/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
-Package: hyperref 2009/10/09 v6.79a Hypertext links for LaTeX
-(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/ifxetex/ifxetex.sty
-Package: ifxetex 2009/01/23 v0.5 Provides ifxetex conditional
-) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/hycolor.sty
-Package: hycolor 2009/10/02 v1.5 Code for color options of hyperref/bookmark (H
-O)
-(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/xcolor-patch.sty
-Package: xcolor-patch 2009/10/02 xcolor patch
-))
-\@linkdim=\dimen122
-\Hy@linkcounter=\count111
-\Hy@pagecounter=\count112
-(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/pd1enc.def
-File: pd1enc.def 2009/10/09 v6.79a Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
-) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/etexcmds.sty
-Package: etexcmds 2007/12/12 v1.2 Prefix for e-TeX command names (HO)
-(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/infwarerr.sty
-Package: infwarerr 2007/09/09 v1.2 Providing info/warning/message (HO)
-)
-Package etexcmds Info: Could not find \expanded.
-(etexcmds)             That can mean that you are not using pdfTeX 1.50 or
-(etexcmds)             that some package has redefined \expanded.
-(etexcmds)             In the latter case, load this package earlier.
-) (/etc/texmf/tex/latex/config/hyperref.cfg
-File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
-) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty
-Package: kvoptions 2009/08/13 v3.4 Keyval support for LaTeX options (HO)
-(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/kvsetkeys.sty
-Package: kvsetkeys 2009/07/30 v1.5 Key value parser with default handler suppor
-t (HO)
-))
-Package hyperref Info: Option `hyperfootnotes' set `false' on input line 2864.
-Package hyperref Info: Option `bookmarks' set `true' on input line 2864.
-Package hyperref Info: Option `linktocpage' set `false' on input line 2864.
-Package hyperref Info: Option `pdfdisplaydoctitle' set `true' on input line 286
-4.
-Package hyperref Info: Option `pdfpagelabels' set `true' on input line 2864.
-Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 2864.
-Package hyperref Info: Option `colorlinks' set `true' on input line 2864.
-Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 2975.
-Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 2980.
-Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 2983.
-Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 2990.
-Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 2995.
-Implicit mode ON; LaTeX internals redefined
-Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 3191.
-(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/url.sty
-\Urlmuskip=\muskip11
-Package: url 2006/04/12  ver 3.3  Verb mode for urls, etc.
-)
-LaTeX Info: Redefining \url on input line 3428.
-(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/bitset.sty
-Package: bitset 2007/09/28 v1.0 Data type bit set (HO)
-(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/intcalc.sty
-Package: intcalc 2007/09/27 v1.1 Expandable integer calculations (HO)
-) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/bigintcalc.sty
-Package: bigintcalc 2007/11/11 v1.1 Expandable big integer calculations (HO)
-(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/pdftexcmds.sty
-Package: pdftexcmds 2009/09/23 v0.6 LuaTeX support for pdfTeX utility functions
- (HO)
-(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/ifluatex.sty
-Package: ifluatex 2009/04/17 v1.2 Provides the ifluatex switch (HO)
-Package ifluatex Info: LuaTeX not detected.
-) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/ltxcmds.sty
-Package: ltxcmds 2009/08/05 v1.0 Some LaTeX kernel commands for general use (HO
-)
-)
-Package pdftexcmds Info: LuaTeX not detected.
-Package pdftexcmds Info: \pdf@primitive is available.
-Package pdftexcmds Info: \pdf@ifprimitive is available.
-)))
-\Fld@menulength=\count113
-\Field@Width=\dimen123
-\Fld@charsize=\dimen124
-\Field@toks=\toks24
-Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 4377.
-Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 4382.
-Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 4385.
-Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 4392.
-Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 4395.
-Package hyperref Info: Link coloring with OCG OFF on input line 4402.
-Package hyperref Info: PDF/A mode OFF on input line 4407.
-(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/atbegshi.sty
-Package: atbegshi 2008/07/31 v1.9 At begin shipout hook (HO)
-)
-\Hy@abspage=\count114
-\c@Item=\count115
-)
-*hyperref using driver hpdftex*
-(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hpdftex.def
-File: hpdftex.def 2009/10/09 v6.79a Hyperref driver for pdfTeX
-\Fld@listcount=\count116
-)
-\TmpLen=\skip58
-\c@ToCArtNo=\count117
-\c@ArtNo=\count118
-(./40213-t.aux)
-\openout1 = `40213-t.aux'.
-
-LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 513.
-LaTeX Font Info:    ... okay on input line 513.
-LaTeX Font Info:    Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 513.
-LaTeX Font Info:    ... okay on input line 513.
-LaTeX Font Info:    Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 513.
-LaTeX Font Info:    ... okay on input line 513.
-LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 513.
-LaTeX Font Info:    ... okay on input line 513.
-LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 513.
-LaTeX Font Info:    ... okay on input line 513.
-LaTeX Font Info:    Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 513.
-LaTeX Font Info:    ... okay on input line 513.
-LaTeX Font Info:    Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 513.
-LaTeX Font Info:    ... okay on input line 513.
-LaTeX Info: Redefining \degres on input line 513.
-LaTeX Info: Redefining \dots on input line 513.
-LaTeX Info: Redefining \up on input line 513.
-*geometry auto-detecting driver*
-*geometry detected driver: pdftex*
--------------------- Geometry parameters
-paper: class default
-landscape: --
-twocolumn: --
-twoside: true
-asymmetric: --
-h-parts: 9.03374pt, 379.4175pt, 9.03375pt
-v-parts: 7.04944pt, 560.53635pt, 10.5742pt
-hmarginratio: 1:1
-vmarginratio: 2:3
-lines: --
-heightrounded: --
-bindingoffset: 0.0pt
-truedimen: --
-includehead: true
-includefoot: true
-includemp: --
-driver: pdftex
--------------------- Page layout dimensions and switches
-\paperwidth  397.48499pt
-\paperheight 578.15999pt
-\textwidth  379.4175pt
-\textheight 498.66255pt
-\oddsidemargin  -63.23625pt
-\evensidemargin -63.23624pt
-\topmargin  -65.22055pt
-\headheight 15.0pt
-\headsep    19.8738pt
-\footskip   30.0pt
-\marginparwidth 98.0pt
-\marginparsep   7.0pt
-\columnsep  10.0pt
-\skip\footins  10.8pt plus 4.0pt minus 2.0pt
-\hoffset 0.0pt
-\voffset 0.0pt
-\mag 1000
-\@twosidetrue \@mparswitchtrue 
-(1in=72.27pt, 1cm=28.45pt)
------------------------
-(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/color.sty
-Package: color 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
-(/etc/texmf/tex/latex/config/color.cfg
-File: color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
-)
-Package color Info: Driver file: pdftex.def on input line 130.
-(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def
-File: pdftex.def 2009/08/25 v0.04m Graphics/color for pdfTeX
-\Gread@gobject=\count119
-(/usr/share/texmf-texlive/tex/context/base/supp-pdf.mkii
-[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).]
-\scratchcounter=\count120
-\scratchdimen=\dimen125
-\scratchbox=\box28
-\nofMPsegments=\count121
-\nofMParguments=\count122
-\everyMPshowfont=\toks25
-\MPscratchCnt=\count123
-\MPscratchDim=\dimen126
-\MPnumerator=\count124
-\everyMPtoPDFconversion=\toks26
-)))
-Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 513.
-(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/nameref.sty
-Package: nameref 2007/05/29 v2.31 Cross-referencing by name of section
-(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/refcount.sty
-Package: refcount 2008/08/11 v3.1 Data extraction from references (HO)
-)
-\c@section@level=\count125
-)
-LaTeX Info: Redefining \ref on input line 513.
-LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 513.
-(./40213-t.out) (./40213-t.out)
-\@outlinefile=\write3
-\openout3 = `40213-t.out'.
-
-\AtBeginShipoutBox=\box29
-LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+cmtt on input line 520.
-
-(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1cmtt.fd
-File: t1cmtt.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
-)
-LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msa on input line 545.
-(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
-File: umsa.fd 2009/06/22 v3.00 AMS symbols A
-)
-LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msb on input line 545.
-(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
-File: umsb.fd 2009/06/22 v3.00 AMS symbols B
-) [1
-
-
-
-{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2
-
-] [1
-
-] [2]
-Underfull \vbox (badness 1910) has occurred while \output is active []
-
-[3
-
-
-]
-Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []
-
-[4]
-Underfull \vbox (badness 6792) has occurred while \output is active []
-
-[5] [6] [1
-
-
-
-
-
-] [2] [3]
-Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []
-
-[4]
-Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []
-
-[5] [6] [7] [8]
-Overfull \hbox (4.09212pt too wide) detected at line 1140
-\OML/cmm/m/it/10.95 x \OT1/cmr/m/n/10.95 = 3 + []\OML/cmm/m/it/10.95 x \OT1/cmr
-/m/n/10.95 = 3 \OMS/cmsy/m/n/10.95 ^^@ []
- []
-
-[9] [10] [11
-
-
-] [12] [13
-
-
-] [14] [15
-
-
-] [16] [17
-
-
-] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26
-
-
-] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33]
-
-LaTeX Font Warning: Font shape `T1/cmr/m/n' in size <6.49994> not available
-(Font)              size <6> substituted on input line 2279.
-
-[34
-
-
-]
-Overfull \hbox (0.79935pt too wide) in paragraph at lines 2333--2337
-[]\T1/cmr/m/n/12 Mais quand les co-ef-fi-cients d'une équa-tion ne seront \T1/c
-mr/m/it/12 pas tous \T1/cmr/m/n/12 numériques
- []
-
-[35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44]
-Underfull \vbox (badness 1152) has occurred while \output is active []
-
-[45] [46] [47] [48] [49] [50] [51
-
-
-] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62
-
-
-
-
-
-]
-Overfull \hbox (3.21407pt too wide) in paragraph at lines 3673--3673
-[]\T1/cmtt/m/n/9 End of the Project Gutenberg EBook of Oeuvres mathématiques d'
-Évariste Galois, by[] 
- []
-
-
-Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []
-
-[1
-
-
-
-
-]
-Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []
-
-[2]
-Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []
-
-[3]
-Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []
-
-[4]
-Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []
-
-[5]
-Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []
-
-[6]
-Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []
-
-[7] [8] (./40213-t.aux)
-
- *File List*
-    book.cls    2007/10/19 v1.4h Standard LaTeX document class
-   leqno.clo    1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers)
-    bk12.clo    2007/10/19 v1.4h Standard LaTeX file (size option)
-inputenc.sty    2008/03/30 v1.1d Input encoding file
-  latin1.def    2008/03/30 v1.1d Input encoding file
- fontenc.sty
-   t1enc.def    2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
-   babel.sty    2008/07/06 v3.8l The Babel package
- frenchb.ldf    2009/03/16 v2.3d French support from the babel system
- frenchb.cfg
-scalefnt.sty    
-  keyval.sty    1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
-  ifthen.sty    2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
- amsmath.sty    2000/07/18 v2.13 AMS math features
- amstext.sty    2000/06/29 v2.01
-  amsgen.sty    1999/11/30 v2.0
-  amsbsy.sty    1999/11/29 v1.2d
-  amsopn.sty    1999/12/14 v2.01 operator names
- amssymb.sty    2009/06/22 v3.00
-amsfonts.sty    2009/06/22 v3.00 Basic AMSFonts support
-   alltt.sty    1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
-indentfirst.sty    1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC)
-footmisc.sty    2009/09/15 v5.5a a miscellany of footnote facilities
-    calc.sty    2007/08/22 v4.3 Infix arithmetic (KKT,FJ)
-fancyhdr.sty    
-geometry.sty    2008/12/21 v4.2 Page Geometry
-   ifpdf.sty    2009/04/10 v2.0 Provides the ifpdf switch (HO)
-  ifvtex.sty    2008/11/04 v1.4 Switches for detecting VTeX and its modes (HO)
-geometry.cfg
-hyperref.sty    2009/10/09 v6.79a Hypertext links for LaTeX
- ifxetex.sty    2009/01/23 v0.5 Provides ifxetex conditional
- hycolor.sty    2009/10/02 v1.5 Code for color options of hyperref/bookmark (HO
-)
-xcolor-patch.sty    2009/10/02 xcolor patch
-  pd1enc.def    2009/10/09 v6.79a Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
-etexcmds.sty    2007/12/12 v1.2 Prefix for e-TeX command names (HO)
-infwarerr.sty    2007/09/09 v1.2 Providing info/warning/message (HO)
-hyperref.cfg    2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
-kvoptions.sty    2009/08/13 v3.4 Keyval support for LaTeX options (HO)
-kvsetkeys.sty    2009/07/30 v1.5 Key value parser with default handler support 
-(HO)
-     url.sty    2006/04/12  ver 3.3  Verb mode for urls, etc.
-  bitset.sty    2007/09/28 v1.0 Data type bit set (HO)
- intcalc.sty    2007/09/27 v1.1 Expandable integer calculations (HO)
-bigintcalc.sty    2007/11/11 v1.1 Expandable big integer calculations (HO)
-pdftexcmds.sty    2009/09/23 v0.6 LuaTeX support for pdfTeX utility functions (
-HO)
-ifluatex.sty    2009/04/17 v1.2 Provides the ifluatex switch (HO)
- ltxcmds.sty    2009/08/05 v1.0 Some LaTeX kernel commands for general use (HO)
-
-atbegshi.sty    2008/07/31 v1.9 At begin shipout hook (HO)
- hpdftex.def    2009/10/09 v6.79a Hyperref driver for pdfTeX
-   color.sty    2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
-   color.cfg    2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
-  pdftex.def    2009/08/25 v0.04m Graphics/color for pdfTeX
-supp-pdf.mkii
- nameref.sty    2007/05/29 v2.31 Cross-referencing by name of section
-refcount.sty    2008/08/11 v3.1 Data extraction from references (HO)
- 40213-t.out
- 40213-t.out
-  t1cmtt.fd    1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
-    umsa.fd    2009/06/22 v3.00 AMS symbols A
-    umsb.fd    2009/06/22 v3.00 AMS symbols B
- ***********
-
-
-LaTeX Font Warning: Size substitutions with differences
-(Font)              up to 0.49994pt have occurred.
-
- ) 
-Here is how much of TeX's memory you used:
- 6859 strings out of 495046
- 93628 string characters out of 1181937
- 181032 words of memory out of 3000000
- 9733 multiletter control sequences out of 15000+50000
- 31956 words of font info for 78 fonts, out of 3000000 for 9000
- 28 hyphenation exceptions out of 8191
- 41i,47n,61p,298b,504s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,50000s
-{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc}</usr/share/texmf-
-texlive/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmex10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fon
-ts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/pu
-blic/amsfonts/cm/cmmi5.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/amsfont
-s/cm/cmmi7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi9.p
-fb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr10.pfb></usr/sha
-re/texmf-texlive/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr5.pfb></usr/share/texmf-texl
-ive/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/typ
-e1/public/amsfonts/cm/cmr9.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/ams
-fonts/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cm
-sy5.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy7.pfb></us
-r/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy9.pfb></usr/share/texm
-f/fonts/type1/public/cm-super/sfbx0800.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public
-/cm-super/sfbx1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1200.p
-fb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1728.pfb></usr/share/texmf
-/fonts/type1/public/cm-super/sfbx2074.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/
-cm-super/sfbx2488.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfcc1000.pf
-b></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfcc1095.pfb></usr/share/texmf/
-fonts/type1/public/cm-super/sfcc1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/c
-m-super/sfcc1440.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm0600.pfb
-></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm0700.pfb></usr/share/texmf/f
-onts/type1/public/cm-super/sfrm0800.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm
--super/sfrm0900.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1000.pfb>
-</usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1095.pfb></usr/share/texmf/fo
-nts/type1/public/cm-super/sfrm1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-
-super/sfrm1440.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfti0700.pfb><
-/usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfti1000.pfb></usr/share/texmf/fon
-ts/type1/public/cm-super/sfti1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-s
-uper/sftt0900.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sftt1095.pfb>
-Output written on 40213-t.pdf (78 pages, 727389 bytes).
-PDF statistics:
- 630 PDF objects out of 1000 (max. 8388607)
- 159 named destinations out of 1000 (max. 500000)
- 73 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)
-
diff --git a/40213-t/old/40213-t.zip b/40213-t/old/40213-t.zip
deleted file mode 100644
index 7e2c888..0000000
--- a/40213-t/old/40213-t.zip
+++ /dev/null