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diff --git a/38033-h/38033-h.htm b/38033-h/38033-h.htm new file mode 100644 index 0000000..6994c8f --- /dev/null +++ b/38033-h/38033-h.htm @@ -0,0 +1,2463 @@ +<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN" + "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd"> +<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml"> +<head> +<meta name="generator" content= +"HTML Tidy for Mac OS X (vers 25 March 2009), see www.w3.org" /> +<meta http-equiv="Content-Type" content= +"text/html; charset=utf-8" /> +<meta http-equiv="Content-Style-Type" content="text/css" /> +<meta name="generator" content="pandoc" /> +<meta name="author" content="Felix Klein" /> +<meta name="date" content="1872" /> +<title>Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische +Forschungen</title> +</head> +<body> + + +<pre> + +The Project Gutenberg EBook of Vergleichende Betrachtungen über neuere +geometrische Forschungen, by Felix Klein + +This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with +almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or +re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included +with this eBook or online at www.gutenberg.org + + +Title: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen + +Author: Felix Klein + +Release Date: November 16, 2011 [EBook #38033] + +Language: German + +Character set encoding: UTF-8 + +*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK VERGLEICHENDE BETRACHTUNGEN *** + + + + +Produced by R.S. + + + + + +</pre> + +<center> +<div id="header"> +<h1 class="title">Vergleichende Betrachtungen über neuere +geometrische Forschungen</h1> +<h3 class="author">Felix Klein</h3> +<h4 class="date">1872</h4> +<h4 class="city">Erlangen</h4> +<h4 class="publisher">Verlag von Andreas Deichert</h4> +</div> +</center> +<center> +<div class="figure"><img src="images/cover.png" width="50%" alt= +"Cover" /> +<p class="caption"></p> +</div> +</center> +<div id="TOC"> +<ul> +<li><a href= +"#gruppen-von-r.umlichen-transformationen.-hauptgruppe.-aufstellung-eines-allgemeinen-problems."> +§.1. Gruppen von räumlichen Transformationen. Hauptgruppe. +Aufstellung eines allgemeinen Problems.</a></li> +<li><a href= +"#transformationsgruppen-von-denen-die-eine-die-andere-umfasst-werden-nach-einander-adjungirt.-die-verschiedenen-typen-geometrischer-forschung-und-ihr-gegenseitiges-verh.ltniss."> +§.2. Transformationsgruppen, von denen die eine die andere umfasst, +werden nach einander adjungirt. Die verschiedenen Typen +geometrischer Forschung und ihr gegenseitiges Verhältniss.</a></li> +<li><a href="#die-projectivische-geometrie.">§.3. Die +projectivische Geometrie.</a></li> +<li><a href="#uebertragung-durch-abbildung.">§.4. Uebertragung +durch Abbildung.</a></li> +<li><a href= +"#von-der-willk.rlichkeit-in-der-wahl-des-raumelements.-das-hessesche-uebertragungsprincip.-die-liniengeometrie."> +§.5. Von der Willkürlichkeit in der Wahl des Raumelements. Das +Hessesche Uebertragungsprincip. Die Liniengeometrie.</a></li> +<li><a href= +"#die-geometrie-der-reciproken-radien.-die-interpretation-von-xiy."> +§.6. Die Geometrie der reciproken Radien. Die Interpretation von +<span class= +"math"><em>x</em> + <em>i</em><em>y</em></span>.</a></li> +<li><a href= +"#erweiterungen-des-vorangehenden.-lies-kugelgeometrie.">§.7. +Erweiterungen des Vorangehenden. <em>Lie</em>s +Kugelgeometrie.</a></li> +<li><a href= +"#aufz.hlung-weiterer-methoden-denen-eine-gruppe-von-puncttransformationen-zu-grunde-liegt."> +§.8. Aufzählung weiterer Methoden, denen eine Gruppe von +Puncttransformationen zu Grunde liegt.</a> +<ul> +<li><a href="#die-gruppe-der-rationalen-umformungen.">1. Die Gruppe +der rationalen Umformungen.</a></li> +<li><a href="#die-analysis-situs.">2. Die Analysis situs.</a></li> +<li><a href="#die-gruppe-aller-puncttransformationen.">3. Die +Gruppe aller Puncttransformationen.</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href= +"#von-der-gruppe-aller-ber.hrungstransformationen.">§.9. Von der +Gruppe aller Berührungstransformationen.</a></li> +<li><a href="#ueber-beliebig-ausgedehnte-mannigfaltigkeiten.">§.10. +Ueber beliebig ausgedehnte Mannigfaltigkeiten.</a> +<ul> +<li><a href= +"#die-projectivische-behandlungsweise-oder-die-moderne-algebra-invariantentheorie."> +1. Die projectivische Behandlungsweise oder die moderne Algebra +(Invariantentheorie).</a></li> +<li><a href= +"#die-mannigfaltigkeit-von-constantem-kr.mmungsma.e.">2. Die +Mannigfaltigkeit von constantem Krümmungsmaße.</a></li> +<li><a href="#die-ebene-mannigfaltigkeit.">3. Die ebene +Mannigfaltigkeit.</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#schlussbemerkungen.">Schlussbemerkungen.</a></li> +<li><a href="#noten.">Noten.</a> +<ul> +<li><a href= +"#i.-ueber-den-gegensatz-der-synthetischen-und-analytischen-richtung-in-der-neueren-geometrie."> +I. Ueber den Gegensatz der synthetischen und analytischen Richtung +in der neueren Geometrie.</a></li> +<li><a href= +"#ii.-trennung-der-heutigen-geometrie-in-disciplinen.">II. Trennung +der heutigen Geometrie in Disciplinen.</a></li> +<li><a href="#iii.-ueber-den-werth-r.umlicher-anschauung.">III. +Ueber den Werth räumlicher Anschauung.</a></li> +<li><a href= +"#iv.-ueber-mannigfaltigkeiten-von-beliebig-vielen-dimensionen.">IV. +Ueber Mannigfaltigkeiten von beliebig vielen Dimensionen.</a></li> +<li><a href= +"#v.-ueber-die-sogenannte-nicht-euklidische-geometrie.">V. Ueber +die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie.</a></li> +<li><a href= +"#vi.-liniengeometrie-als-untersuchung-einer-mannigfaltigkeit-von-constantem-kr.mmungsma.e."> +VI. Liniengeometrie als Untersuchung einer Mannigfaltigkeit von +constantem Krümmungsmaße.</a></li> +<li><a href="#vii.-zur-interpretation-der-bin.ren-formen.">VII. Zur +Interpretation der binären Formen.</a></li> +</ul> +</li> +</ul> +</div> +<p>Unter den Leistungen der letzten fünfzig Jahre auf dem Gebiete +der Geometrie nimmt die Ausbildung der +<em>projectivischen<sup><a href="#fn1" class="footnoteRef" id= +"fnref1" name="fnref1">1</a></sup> Geometrie</em> die erste Stelle +ein. Wenn es anfänglich schien, als sollten die sogenannten +metrischen Beziehungen ihrer Behandlung nicht zugänglich sein, da +sie beim Projiciren nicht ungeändert bleiben, so hat man in neuerer +Zeit gelernt, auch sie vom projectivischen Standpuncte aufzufassen, +so dass nun die projectivische Methode die gesammte Geometrie +umspannt. Die metrischen Eigenschaften erscheinen in ihr nur nicht +mehr als Eigenschaften der räumlichen Dinge an sich, sondern als +Beziehungen derselben zu einem Fundamental-Gebilde, dem unendlich +fernen Kugelkreise.</p> +<p>Vergleicht man mit der so allmählich gewonnenen Auffassungsweise +der räumlichen Dinge die Vorstellungen der gewöhnlichen +(elementaren) Geometrie, so entsteht die Frage nach einem +allgemeinen Principe, nach welchem die beiden Methoden sich +ausbilden konnten. Diese Frage erscheint um so wichtiger als sich +neben die elementare und die projectivische Geometrie, ob auch +minder entwickelt, eine Reihe anderer Methoden stellt, denen man +dasselbe Recht selbständiger Existenz zugestehen muss. Dahin +gehören die Geometrie der reciproken Radien, die Geometrie der +rationalen Umformungen etc., wie sie in der Folge noch erwähnt und +dargestellt werden sollen.</p> +<p>Wenn wir es im Nachstehenden unternehmen, ein solches Princip +aufzustellen, so entwickeln wir wohl keinen eigentlich neuen +Gedanken, sondern umgränzen nur klar und deutlich, was mehr oder +minder bestimmt von Manchem gedacht worden ist. Aber es schien um +so berechtigter, derartige zusammenfassende Betrachtungen zu +publiciren, als die Geometrie, die doch ihrem Stoffe nach +einheitlich ist, bei der raschen Entwicklung, die sie in der +letzten Zeit genommen hat, nur zu sehr in eine Reihe von beinahe +getrennten Disciplinen zerfallen ist<sup><a href="#fn2" class= +"footnoteRef" id="fnref2" name="fnref2">2</a></sup>, die sich +ziemlich unabhängig von einander weiter bilden. Es lag dabei aber +auch noch die besondere Absicht vor, Methoden und Gesichtspuncte +darzulegen, welche von <em>Lie</em> und mir in neueren Arbeiten +entwickelt wurden. Es haben unsere beiderseitigen Arbeiten, auf wie +verschiedenartige Gegenstände sie sich auch bezogen, +übereinstimmend auf die hier dargelegte allgemeine Auffassungsweise +hingedrängt, so dass es eine Art von Nothwendigkeit war, auch +einmal diese zu erörtern und von ihr aus die betr. Arbeiten nach +Inhalt und Tendenz zu characterisiren.</p> +<p>War bisher nur von geometrischen Forschungen die Rede, so sollen +darunter mit verstanden sein die Untersuchungen über beliebig +ausgedehnte Mannigfaltigkeiten, die sich, unter Abstreifung des für +die rein mathemathische Betrachtung unwesentlichen räumlichen +Bildes<sup><a href="#fn3" class="footnoteRef" id="fnref3" name= +"fnref3">3</a></sup>, aus der Geometrie entwickelt +haben<sup><a href="#fn4" class="footnoteRef" id="fnref4" name= +"fnref4">4</a></sup>. Es gibt bei der Untersuchung von +Mannigfaltigkeiten eben solche verschiedene Typen, wie in der +Geometrie, und es gilt, wie bei der Geometrie, das Gemeinsame und +das Unterscheidende unabhängig von einander unternommener +Forschungen hervorzuheben. Abstract genommen war es im Folgenden +nur nöthig, schlechthin von mehrfach ausgedehnten +Mannigfaltigkeiten zu reden; aber durch Anknüpfung an die +geläufigeren räumlichen Vorstellungen wird die Auseinandersetzung +einfacher und verständlicher. Indem wir von der Betrachtung der +geometrischen Dinge ausgehen und an ihnen als einem Beispiele die +allgemeinen Gedanken entwickeln, verfolgen wir den Gang, den die +Wissenschaft in ihrer Ausbildung genommen hat, und den bei der +Darstellung zu Grunde zu legen gewöhnlich das Vorteilhafteste ist. +–</p> +<p>Eine vorläufige Exposition des im Folgenden besprochenen +Inhaltes ist hier wohl nicht möglich, da sich derselbe kaum in eine +knappere Form<sup><a href="#fn5" class="footnoteRef" id="fnref5" +name="fnref5">5</a></sup> fügen will; die Ueberschriften der +Paragraphen werden den allgemeinen Fortschritt des Gedankens +angeben. Ich habe zum Schlusse eine Reihe von Noten zugefügt, in +welchen ich entweder, wo es im Interesse der allgemeinen +Auseinandersetzung des Textes nützlich schien, besondere Punkte +weiter entwickelt habe, oder in denen ich bemüht war, den abstract +mathematischen Standpunkt, der für die Betrachtungen des Textes +maßgebend ist, gegen verwandte abzugränzen.</p> +<h2 id= +"gruppen-von-r.umlichen-transformationen.-hauptgruppe.-aufstellung-eines-allgemeinen-problems."> +<a href="#TOC">§.1. Gruppen von räumlichen Transformationen. +Hauptgruppe. Aufstellung eines allgemeinen Problems.</a></h2> +<p>Der wesentlichste Begriff, der bei den folgenden +Auseinandersetzungen nothwendig ist, ist der einer <em>Gruppe</em> +von räumlichen Aenderungen.</p> +<p>Beliebig viele Transformationen des Raumes<sup><a href="#fn6" +class="footnoteRef" id="fnref6" name="fnref6">6</a></sup> ergeben +zusammengesetzt immer wieder eine Transformation. Hat nun eine +gegebene Reihe von Transformationen die Eigenschaft, dass jede +Aenderung, die aus den ihr angehörigen durch Zusammensetzung +hervorgeht, ihr selbst wieder angehört, so soll die Reihe eine +<em>Transformationsgruppe</em><sup><a href="#fn7" class= +"footnoteRef" id="fnref7" name="fnref7">7</a></sup> genannt +werden.</p> +<p>Ein Beispiel für eine Transformationsgruppe bildet die +Gesammtheit der Bewegungen (jede Bewegung als eine auf den ganzen +Raum ausgeführte Operation betrachtet). Eine in ihr enthaltene +Gruppe bilden etwa die Rotationen um einen Punct<sup><a href="#fn8" +class="footnoteRef" id="fnref8" name="fnref8">8</a></sup>. Eine +Gruppe, welche umgekehrt die Gruppe der Bewegungen umfasst, wird +durch die Gesammtheit der Collineationen vorgestellt. Die +Gesammtheit der dualistischen Umformungen bildet dagegen keine +Gruppe — denn zwei dualistische Umformungen ergeben zusammen wieder +eine Collineation —, wohl aber wird wieder eine Gruppe erzeugt, +wenn man die Gesammtheit der dualistischen mit der Gesammtheit der +collinearen zusammenfügt<sup><a href="#fn9" class="footnoteRef" id= +"fnref9" name="fnref9">9</a></sup>.</p> +<p>Es gibt nun räumliche Transformationen, welche die geometrischen +Eigenschaften räumlicher Gebilde überhaupt ungeändert lassen. +Geometrische Eigenschaften sind nämlich ihrem Begriffe nach +unabhängig von der Lage, die das zu untersuchende Gebilde im Raume +einnimmt, von seiner absoluten Grösse, endlich auch von dem +Sinne<sup><a href="#fn10" class="footnoteRef" id="fnref10" name= +"fnref10">10</a></sup>, in welchem seine Theile geordnet sind. Die +Eigenschaften eines räumlichen Gebildes bleiben also ungeändert +durch alle Bewegungen des Raumes, durch seine +Aehnlichkeitstransformationen, durch den Process der Spiegelung, +sowie durch alle Transformationen, die sich aus diesen +zusammensetzen. Den Inbegriff aller dieser Transformationen +bezeichnen wir als die <em>Hauptgruppe</em><sup><a href="#fn11" +class="footnoteRef" id="fnref11" name="fnref11">11</a></sup> +räumlicher Aenderungen; <em>geometrische Eigenschaften werden durch +die Transformationen der Hauptgruppe nicht geändert</em>. Auch +umgekehrt kann man sagen: <em>Geometrische Eigenschaften sind durch +ihre Unveränderlichkeit gegenüber den Transformationen der +Hauptgruppe characterisirt</em>. Betrachtet man nämlich den Raum +einen Augenblick als unbeweglich etc., als eine starre +Mannigfaltigkeit, so hat jede Figur ein individuelles Interesse; +von den Eigenschaften, die sie als Individuum hat, sind es nur die +eigentlich geometrischen, welche bei den Aenderungen der +Hauptgruppe erhalten bleiben. Dieser hier etwas unbestimmt +formulirte Gedanke wird im weiteren Verlaufe der Auseinandersetzung +deutlicher erscheinen.</p> +<p>Streifen wir jetzt das mathematisch unwesentliche sinnliche Bild +ab, und erblicken im Raume nur eine mehrfach ausgedehnte +Mannigfaltigkeit, also, indem wir an der gewohnten Vorstellung des +Punctes als Raumelement festhalten, eine dreifach ausgedehnte. Nach +Analogie mit den räumlichen Transformationen reden wir von +Transformationen der Mannigfaltigkeit; auch sie bilden +<em>Gruppen</em>. Nur ist nicht mehr, wie im Raume, eine Gruppe vor +den übrigen durch ihre Bedeutung ausgezeichnet; jede Gruppe ist mit +jeder anderen gleichberechtigt. Als Verallgemeinerung der Geometrie +entsteht so das folgende umfassende Problem:</p> +<p><em>Es ist eine Mannigfaltigkeit und in derselben eine +Transformationsgruppe gegeben; man soll die der Mannigfaltigkeit +angehörigen Gebilde hinsichtlich solcher Eigenschaften untersuchen, +die durch die Transformationen der Gruppe nicht geändert +werden.</em></p> +<p>In Anlehnung an die moderne Ausdrucksweise, die man freilich nur +auf eine bestimmte Gruppe, die Gruppe aller linearen Umformungen, +zu beziehen pflegt, mag man auch so sagen:</p> +<p><em>Es ist eine Mannigfaltigkeit und in derselben eine +Transformationsgruppe gegeben. Man entwickele die auf die Gruppe +bezügliche Invariantentheorie.</em></p> +<p>Dies ist das allgemeine Problem, welches die gewöhnliche +Geometrie nicht nur, sondern namentlich auch die hier zu nennenden +neueren geometrischen Methoden und die verschiedenen +Behandlungsweisen beliebig ausgedehnter Mannigfaltigkeiten unter +sich begreift. Was besonders betont sein mag, ist die +Willkürlichkeit, die hinsichtlich der Wahl der zu adjungirenden +Transformationsgruppe besteht, und die daraus fliessende und in +diesem Sinne zu verstehende gleiche Berechtigung aller sich unter +die allgemeine Forderung subsumirenden Betrachtungsweisen.</p> +<h2 id= +"transformationsgruppen-von-denen-die-eine-die-andere-umfasst-werden-nach-einander-adjungirt.-die-verschiedenen-typen-geometrischer-forschung-und-ihr-gegenseitiges-verh.ltniss."> +<a href="#TOC">§.2. Transformationsgruppen, von denen die eine die +andere umfasst, werden nach einander adjungirt. Die verschiedenen +Typen geometrischer Forschung und ihr gegenseitiges +Verhältniss.</a></h2> +<p>Da die geometrischen Eigenschaften räumlicher Dinge durch +<em>alle</em> Transformationen der Hauptgruppe ungeändert bleiben, +so ist es an und für sich absurd, nach solchen Eigenschaften +derselben zu fragen, bei denen dies nur gegenüber einem Theile +dieser Transformationen der Fall ist. Diese Fragestellung wird +indess berechtigt, ob auch nur <em>formal</em>, wenn wir die +räumlichen Gebilde in ihrer Beziehung zu fest gedachten Elementen +untersuchen. Betrachten wir z. B., wie in der sphärischen +Trigonometrie, die räumlichen Dinge unter Auszeichnung eines +Punctes. Dann ist zunächst die Forderung: die unter Adjunction der +Hauptgruppe invarianten Eigenschaften nicht mehr der räumlichen +Dinge an sich, sondern des von ihnen mit dem gegebenen Puncte +gebildeten Systems zu entwickeln. Aber dieser Forderung können wir +die andere Form ertheilen: Man untersuche die räumlichen Gebilde an +sich hinsichtlich solcher Eigenschaften, welche ungeändert bleiben +durch diejenigen Transformationen der Hauptgruppe, welche noch +stattfinden können, wenn wir den Punct fest halten. Mit anderen +Worten: Es ist dasselbe, ob wir die räumlichen Gebilde im Sinne der +Hauptgruppe untersuchen und ihnen den gegebenen Punct hinzufügen, +oder ob wir, ohne ihnen irgend ein Gegebenes hinzuzufügen, die +Hauptgruppe durch die in ihr enthaltene Gruppe ersetzen, deren +Transformationen den bez. Punct ungeändert lassen.</p> +<p>Es ist dies ein in der Folge häufig angewandtes Princip, das wir +desshalb gleich hier allgemein formuliren wollen; etwa in der +folgenden Weise:</p> +<p>Es sei eine Mannigfaltigkeit und zu ihrer Behandlung eine auf +sie bezügliche Transformationsgruppe gegeben. Es werde das Problem +vorgelegt, die in der Mannigfaltigkeit enthaltenen Gebilde +hinsichtlich eines gegebenen Gebildes zu untersuchen. <em>So kann +man entweder dem Systeme der Gebilde das gegebene hinzufügen, und +es fragt sich dann nach den Eigenschaften des erweiterten Systems +im Sinne der gegebenen Gruppe — oder, man lasse das System +unerweitert, beschränke aber die Transformationen, die man bei der +Behandlung zu Grunde legt, auf diejenigen in der gegebenen Gruppe +enthaltenen, welche das gegebene Gebilde ungeändert lassen (und die +nothwendig wieder eine Gruppe bilden).</em> —</p> +<p>Im Gegensatze zu der zu Anfang des Paragraphen aufgeworfenen +Frage beschäftige uns nun die umgekehrte, die von Vornherein +verständlich ist. Wir fragen nach denjenigen Eigenschaften +räumlicher Dinge, welche bei einer Transformationsgruppe erhalten +bleiben, die die Hauptgruppe als einen Theil umfasst. Jede +Eigenschaft, die wir bei einer solchen Untersuchung finden, ist +eine geometrische Eigenschaft des Dings an sich, aber das +Umgekehrte gilt nicht. Bei der Umkehr tritt vielmehr das eben +vorgetragene Princip in Kraft, wobei die Hauptgruppe nun die +kleinere Gruppe ist. Wir erhalten so:</p> +<p><em>Ersetzt man die Hauptgruppe durch eine umfassendere Gruppe, +so bleibt nur ein Theil der geometrischen Eigenschaften erhalten. +Die übrigen erscheinen nicht mehr als Eigenschaften der räumlichen +Dinge an sich, sondern als Eigenschaften des Systems, welches +hervorgeht, wenn man denselben ein ausgezeichnetes Gebilde +hinzufügt. Dieses ausgezeichnete Gebilde ist (soweit es überhaupt +ein bestimmtes<sup><a href="#fn12" class="footnoteRef" id="fnref12" +name="fnref12">12</a></sup> ist) dadurch definirt, dass es, fest +gedacht, dem Raume unter den Transformationen der gegebenen Gruppe +nur noch die Transformationen der Hauptgruppe gestattet.</em></p> +<p>In diesem Satze beruht die Eigenart der hier zu besprechenden +neueren geometrischen Richtungen und ihr Verhältniss zur +elementaren Methode. Sie sind dadurch eben zu characterisiren, dass +sie an Stelle der Hauptgruppe eine erweiterte Gruppe räumlicher +Umformungen der Betrachtung zu Grunde legen. Ihr gegenseitiges +Verhältniss ist, sofern sich ihre Gruppen einschliessen, durch +einen entsprechenden Satz bestimmt. Dasselbe gilt von den +verschiedenen hier zu betrachtenden Behandlungsweisen mehrfach +ausgedehnter Mannigfaltigkeiten. Es soll dies nun an den einzelnen +Methoden gezeigt werden, wobei denn die Sätze, die in diesem und +dem vorigen Paragraphen allgemein hingestellt wurden, ihre +Erläuterung an concreten Gegenständen finden.</p> +<h2 id="die-projectivische-geometrie."><a href="#TOC">§.3. Die +projectivische Geometrie.</a></h2> +<p>Jede räumliche Umformung, die nicht gerade der Hauptgruppe +angehört, kann dazu benutzt werden, um Eigenschaften bekannter +Gebilde auf neue Gebilde zu übertragen. So verwerthen wir die +Geometrie der Ebene für die Geometrie der Flächen, die sich auf die +Ebene abbilden lassen; so schloss man schon lange vor dem Entstehen +einer eigentlichen projectivischen Geometrie von den Eigenschaften +einer gegebenen Figur auf Eigenschaften anderer, die durch +Projection aus ihr hervorgingen. Aber die projectivische Geometrie +erwuchs erst, als man sich gewöhnte, die ursprüngliche Figur mit +allen aus ihr projectivisch ableitbaren als wesentlich identisch zu +erachten und die Eigenschaften, welche sich beim Projiciren +übertragen, so auszusprechen, dass ihre Unabhängigkeit von der mit +dem Projiciren verknüpften Aenderung in Evidenz tritt. Hiermit war +denn der Behandlung im Sinne von §.1 <em>die Gruppe aller +projectivischen Umformungen</em> zu Grunde gelegt und dadurch eben +der Gegensatz zwischen projectivischer und gewöhnlicher Geometrie +geschaffen.</p> +<p>Ein ähnlicher Entwicklungsgang, wie der hier geschilderte, kann +bei jeder Art von räumlicher Transformation als möglich gedacht +werden; wir werden noch öfter darauf zurückkommen. Er hat sich +innerhalb der projectivischen Geometrie selbst noch nach zwei +Seiten vollzogen. Die eine Weiterbildung der Auffassung geschah +durch Aufnahme der <em>dualistischen</em> Umformungen in die Gruppe +der zu Grunde gelegten Aenderungen. Für den heutigen Standpunct +sind zwei einander dualistisch entgegenstehende Figuren nicht mehr +als zwei unterschiedene sondern als wesentlich dieselben Figuren +anzusehen. Ein anderer Schritt bestand in der Erweiterung der zu +Grunde gelegten Gruppe collinearer und dualistischer Umformungen +durch Aufnahme der bez. <em>imaginären</em> Transformationen. +Dieser Schritt bedingt, dass man vorher den Kreis der eigentlichen +Raumelemente durch Hinzunahme der imaginären erweitert habe — ganz +dem entsprechend, wie die Aufnahme der dualistischen Umformungen in +die zu Grunde gelegte Gruppe die gleichzeitige Einführung von Punct +und Ebene als Raumelement nach sich zieht. Es ist hier nicht der +Ort, auf die Zweckmässigkeit der Einführung imaginärer Elemente zu +verweisen, durch welche allein der genaue Anschluss der Raumlehre +an das einmal gewählte Gebiet algebraischer Operationen erreicht +wird. Dagegen muss betont werden, dass der Grund für die Einführung +eben in der Betrachtung algebraischer Operationen, nicht aber in +der Gruppe der projectivischen und dualistischen Umformungen liegt. +So gut wir uns bei den letzteren auf reelle Transformationen +beschränken können, da schon die reellen Collineationen und +dualistischen Transformationen eine Gruppe bilden; — so gut können +wir imaginäre Raumelemente einführen, auch wenn wir nicht auf +projektivischem Standpuncte stehen, und sollen es, sofern wir +principiell algebraische Gebilde untersuchen.</p> +<p>Wie man vom projectivischem Standpuncte aus die metrischen +Eigenschaften aufzufassen hat, bestimmt sich nach dem allgemeinen +Satze des vorangehenden Paragraphen. Die metrischen Eigenschaften +sind als projectivische Beziehungen zu einem Fundamentalgebilde, +dem unendlich fernen Kugelkreise<sup><a href="#fn13" class= +"footnoteRef" id="fnref13" name="fnref13">13</a></sup>, zu +betrachten, einem Gebilde, das die Eigenschaft hat, nur durch +diejenigen Transformationen der projectivischen Gruppe, die eben +auch Transformationen der Hauptgruppe sind, in sich überzugehen. +Der so schlechthin ausgesprochene Satz bedarf noch einer +wesentlichen Ergänzung, die der Beschränkung der gewöhnlichen +Anschauungsweise auf reelle Raumelemente (und reelle +Transformationen) entspricht. Man muss dem Kugelkreise, um diesem +Standpuncte gerecht zu werden, noch das System der rellen +Raumelemente (Puncte) ausdrücklich hinzufügen; Eigenschaften im +Sinne der elementaren Geometrie sind projectivisch entweder +Eigenschaften der Dinge an sich oder Beziehungen zu diesem Systeme +der reellen Elemente, oder zum Kugelkreise oder endlich zu +beiden.</p> +<p>Es mag hier noch der Art gedacht werden, wie <em>v. Staudt</em> +in seiner Geometrie der Lage[2] die projectivische Geometrie +aufbaut — d. h. diejenige projectivische Geometrie, welche +sich auf Zugrundelegung der Gruppe aller reeller +projectivisch-dualistischer Umformung beschränkt<sup><a href= +"#fn14" class="footnoteRef" id="fnref14" name= +"fnref14">14</a></sup>.</p> +<p>Es ist bekannt, wie er dabei aus dem gewöhnlichen +Anschauungsmaterial nur solche Momente herausgreift, die auch bei +projectivischen Umformungen erhalten bleiben. Wollte man weiterhin +zur Betrachtung auch metrischer Eigenschaften übergehen, so hätte +man die letzteren geradezu als Beziehungen zum Kugelkreise +einzuführen. Der so vervollständigte Gedankengang ist für die hier +vorliegenden Betrachtungen insofern von grosser Bedeutung, als ein +entsprechender Aufbau der Geometrie im Sinne jeder einzelnen der +noch anzuführenden Methoden möglich ist.</p> +<h2 id="uebertragung-durch-abbildung."><a href="#TOC">§.4. +Uebertragung durch Abbildung.</a></h2> +<p>Ehe wir in der Besprechung der geometrischen Methoden, die sich +neben die elementare und die projectivische Geometrie stellen, +weiter gehen, mögen allgemein einige Betrachtungen entwickelt +werden, die im Folgenden immer wieder vorkommen und zu denen die +bisher berührten Dinge bereits hinreichend viele Beispiele liefern. +Auf diese Erörterungen bezieht sich der gegenwärtige und der +nächstfolgende Paragraph.</p> +<p>Gesetzt, man habe eine Mannigfaltigkeit A unter Zugrundelegung +einer Gruppe B untersucht. Führt man sodann A durch irgendwelche +Transformation in eine andere Mannigfaltigkeit A' über, so wird aus +der Gruppe B von Aenderungen, die A in sich transformirten, nunmehr +eine Gruppe B', deren Transformationen sich auf A' beziehen. Dann +ist es ein selbstverständliches Princip, <em>dass die +Behandlungsweise von A unter Zugrundelegung von B die +Behandlungsweise von A' unter Zugrundelegung von B' ergibt</em>, +d. h. jede Eigenschaft, welche ein in A enthaltenes Gebilde +mit Bezug auf die Gruppe B hat, ergibt eine Eigenschaft des +entsprechenden Gebildes in A' mit Bezug auf die Gruppe B'.</p> +<p>Lassen wir z. B. A eine gerade Linie, B die dreifach unendlich +vielen linearen Transformationen bedeuten, welche dieselbe in sich +überführen. Die Behandlungsweise von A ist dann eben diejenige, +welche die neuere Algebra als Theorie der binären Formen +bezeichnet. Nun kann man die gerade Linie auf einen Kegelschnitt A' +der Ebene durch Protection von einem Puncte des letzteren aus +beziehen. Aus den linearen Transformationen B der Geraden in sich +selbst werden dann die linearen Transformationen B' des +Kegelschnittes in sich selbst, wie man leicht zeigt, d. h. +diejenigen Aenderungen des Kegelschnittes, welche mit den linearen +Transformationen der Ebene, die den Kegelschnitt in sich +überführen, verknüpft sind.</p> +<p>Es ist nun aber nach dem Princip des zweiten +Paragraphen<sup><a href="#fn15" class="footnoteRef" id="fnref15" +name="fnref15">15</a></sup> dasselbe: nach der Geometrie auf einem +Kegelschnitte zu fragen, wenn man sich den Kegelschnitt als fest +denkt und nur auf diejenigen linearen Transformationen der Ebene +achtet, welche ihn in sich überführen; oder die Geometrie auf dem +Kegelschnitte zu studiren, indem man überhaupt die linearen +Transformationen der Ebene betrachtet und sich den Kegelschnitt mit +ändern lässt. Die Eigenschaften, welche wir an den Punctsystemen +auf dem Kegelschnitte auffassten, sind mithin im gewöhnlichen Sinne +projectivische. Die Verknüpfung der letzten Ueberlegung mit dem +eben abgeleiteten Resultate gibt also:</p> +<p><em>Binäre Formentheorie und projectivische Geometrie der +Punctsysteme auf einem Kegelschnitte ist dasselbe, d. h. jedem +binären Satze entspricht ein Satz über derartige Punctsysteme und +umgekehrt</em><sup><a href="#fn16" class="footnoteRef" id="fnref16" +name="fnref16">16</a></sup>.</p> +<p>Ein anderes Beispiel, welches geeignet ist, diese Art von +Betrachtungen zu veranschaulichen, ist das folgende: Wenn man eine +Fläche zweiten Grades mit einer Ebene durch stereographische +Projection in Verbindung setzt, so tritt auf der Fläche ein +Fundamentalpunct auf: der Projectionspunct, in der Ebene sind es +zwei: die Bilder der durch den Projectionspunct gehenden +Erzeugenden. Man zeigt nun ohne Weiteres: Die linearen +Transformationen der Ebene, welche die beiden Fundamentalpuncte +derselben ungeändert lassen, gehen durch die Abbildung in lineare +Transformationen der Fläche zweiten Grades in sich selbst über, +aber nur in diejenigen, welche den Projectionspunct ungeändert +lassen. Unter linearen Transformationen der Fläche in sich selbst +sind dabei diejenigen Aenderungen verstanden, welche die Fläche +erfährt, wenn man lineare Raumtransformationen ausführt, welche die +Fläche mit sich selbst zur Deckung bringen. Hiernach wird also die +projectivische Untersuchung einer Ebene unter Zugrundelegung zweier +Puncte und die projectivische Untersuchung einer Fläche zweiten +Grades unter Zugrundelegung eines Punctes identisch. Die erstere +ist nun — sofern man imaginäre Elemente mit in Betracht zieht — +nichts Anderes, als die Untersuchung der Ebene im Sinne der +elementaren Geometrie. Denn die Hauptgruppe der ebenen +Transformationen besteht eben in den linearen Umformungen, welche +ein Punctepaar (die unendlich fernen Kreispuncte) ungeändert +lassen. Wir erhalten also schliesslich:</p> +<p><em>Die elementare Geometrie der Ebene und die projectivische +Untersuchung einer Fläche zweiten Grades unter Hinzunahme eines +ihrer Puncte sind dasselbe.</em></p> +<p>Diese Beispiele liessen sich beliebig vervielfachen<sup><a href= +"#fn17" class="footnoteRef" id="fnref17" name= +"fnref17">17</a></sup>; die beiden hier entwickelten sind gewählt +worden, da wir in der Folge noch Gelegenheit haben werden, auf +dieselben zurückzukommen.</p> +<h2 id= +"von-der-willk.rlichkeit-in-der-wahl-des-raumelements.-das-hessesche-uebertragungsprincip.-die-liniengeometrie."> +<a href="#TOC">§.5. Von der Willkürlichkeit in der Wahl des +Raumelements. Das Hessesche Uebertragungsprincip. Die +Liniengeometrie.</a></h2> +<p>Als Element der geraden Linie, der Ebene, des Raumes, überhaupt +einer zu untersuchenden Mannigfaltigkeit kann statt des Punctes +jedes in der Mannigfaltigkeit enthaltene Gebilde: die Punctgruppe, +ev. die Curve, die Fläche u. s. w. verwandt +werden<sup><a href="#fn18" class="footnoteRef" id="fnref18" name= +"fnref18">18</a></sup>. Indem über die Zahl willkürlicher +Parameter, von denen man diese Gebilde abhängig setzen will, von +Vornherein gar Nichts fest steht, erscheinen Linie, Ebene, Raum +etc. je nach der Wahl des Elementes mit beliebig vielen Dimensionen +behaftet. <em>Aber so lange wir der geometrischen Untersuchung +dieselbe Gruppe von Aenderungen zu Grunde legen, bleibt der Inhalt +der Geometrie unverändert,</em> das heißt, jeder Satz, der bei +einer Annahme des Raumelements sich ergab, ist auch ein Satz bei +beliebiger anderer Annahme, nur die Anordnung und Verknüpfung der +Sätze ist geändert.</p> +<p>Das Wesentliche ist also die Transformationsgruppe; die Zahl der +Dimensionen, die wir einer Mannigfaltigkeit beilegen wollen, +erscheint als etwas Secundäres.</p> +<p>Die Verknüpfung dieser Bemerkung mit dem Princip des vorigen +Paragraphen ergibt eine Reihe schöner Anwendungen, von denen hier +einige entwickelt werden mögen, da diese Beispiele mehr als alle +lange Auseinandersetzung geeignet scheinen, den Sinn der +allgemeinen Betrachtung darzulegen.</p> +<p>Die projectivische Geometrie auf der Geraden (die Theorie der +binären Formen) ist nach dem vorigen Paragraphen mit der +projectivischen Geometrie auf dem Kegelschnitte gleichbedeutend. +Auf letzterem mögen wir jetzt statt des Punctes das Punctepaar als +Element betrachten</p> +<p>Die Gesammtheit der Punctepaare des Kegelschnitts lässt sich +aber auf die Gesammtheit der Geraden der Ebene beziehen, indem man +jede Gerade dem Punctepaare zuordnet, in welchem sie den +Kegelschnitt trifft. Bei dieser Abbildung gehen die linearen +Transformationen des Kegelschnitts in sich selbst in die linearen +Transformationen der (aus Geraden bestehend gedachten) Ebene über, +welche den Kegelschnitt ungeändert lassen. Ob wir aber die aus den +letzteren bestehende Gruppe betrachten, oder die Gesammtheit der +linearen Transformationen der Ebene zu Grunde legen und den zu +untersuchenden Gebilden der Ebene den Kegelschnitt allemal +hinzufügen, ist nach §.2 gleichbedeutend. Indem wir alle diese +Ueberlegungen zusammen nehmen, haben wir:</p> +<p><em>Die Theorie der binären Formen und die projectivische +Geometrie der Ebene unter Zugrundelegung eines Kegelschnittes sind +gleichbedeutend.</em></p> +<p>Da endlich projectivische Geometrie der Ebene unter +Zugrundelegung eines Kegelschnittes eben wegen der Gleichheit der +Gruppe mit der projectivischen Maßgeometrie coincidirt, die man in +der Ebene auf einen Kegelschnitt gründen kann<sup><a href="#fn19" +class="footnoteRef" id="fnref19" name="fnref19">19</a></sup>, so +mögen wir auch so sagen:</p> +<p><em>Die Theorie der binären Formen und die allgemeine +projectivische Maßgeometrie in der Ebene sind dasselbe.</em></p> +<p>Statt des Kegelschnitts in der Ebene können wir in der +vorstehenden Betrachtung die Curve dritter Ordnung im Raume setzen +etc., doch mag dies unausgeführt bleiben. Der hier dargelegte +Zusammenhang zwischen der Geometrie der Ebene, weiterhin des Raumes +oder einer beliebig ausgedehnten Mannigfaltigkeit deckt sich im +Wesentlichen mit dem von <em>Hesse</em> vorgeschlagenen +Uebertragungsprincipe [7].</p> +<p>Ein Beispiel ganz ähnlicher Art ergibt die projectivische +Geometrie des Raumes, oder, anders ausgedrückt, die Theorie der +quaternären Formen. Fasst man die gerade Linie als Raumelement und +ertheilt ihr, wie in der Liniengeometrie geschieht, sechs homogene +Coordinaten, zwischen denen eine Bedingungsgleichung vom zweiten +Grade Statt findet, so erscheinen die linearen und dualistischen +Transformationen des Raumes als diejenigen linearen +Transformationen der unabhängig gedachten sechs Veränderlichen, +welche die Bedingungsgleichung in sich überführen. Durch eine +Verknüpfung ähnlicher Ueberlegungen, wie sie soeben entwickelt +wurden, erhält man hieraus den Satz:</p> +<p><em>Die Theorie der quaternären Formen deckt sich mit der +projectivischen Maßbestimmung in einer durch 6 homogene +Veränderliche erzeugten Mannigfaltigkeit.</em></p> +<p>Wegen der näheren Ausführung dieser Auffassung verweise ich auf +einen demnächst in den Math. Annalen (Bd. VI) erscheinenden +Aufsatz: „Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie"[8], +sowie auf eine Note am Schlusse dieser Mittheilung<sup><a href= +"#fn20" class="footnoteRef" id="fnref20" name= +"fnref20">20</a></sup>.</p> +<p>Ich knüpfe an die vorstehenden Auseinandersetzungen noch zwei +Bemerkungen, von denen die erste zwar schon implicite in dem +Bisherigen enthalten ist, aber ausgeführt werden soll, weil der +Gegenstand, auf den sie sich bezieht, zu leicht Missverständnissen +ausgesetzt ist.</p> +<p>Wenn wir beliebige Gebilde als Raumelemente einführen, so erhält +der Raum beliebig viele Dimensionen. Wenn wir dann aber an der uns +geläufigen (elementaren oder projectivischen) Anschauungsweise +festhalten, so ist die Gruppe, welche wir für die mehrfach +ausgedehnte Mannigfaltigkeit zu Grunde zu legen haben, von Vorne +herein gegeben; es ist eben die Hauptgruppe bez. die Gruppe der +projectivischen Umformungen. Wollten wir eine andere Gruppe zu +Grunde legen, so müssten wir von der gewöhnlichen bez. der +projectivischen Anschauung abgehen. So richtig es also ist, dass +bei geschickter Wahl der Raumelemente der Raum Mannigfaltigkeiten +von beliebig vielen Ausdehnungen repräsentirt, so wichtig ist es, +hinzuzufügen, <em>dass bei dieser Repräsentation entweder von +Vorneherein eine bestimmte Gruppe der Behandlung der +Mannigfaltigkeit zu Grunde zu legen ist, oder dass wir, wollen wir +über die Gruppe verfügen, unsere geometrische Auffassung +entsprechend auszubilden haben.</em> — Es könnte, ohne diese +Bemerkung, z. B. eine Repräsentation der Liniengeometrie in +der folgenden Weise gesucht werden. Die Gerade erhält in der +Liniengeometrie sechs Coordinaten; eben so viele Coefficienten +besitzt der Kegelschnitt in der Ebene. Das Bild der Liniengeometrie +würde also die Geometrie in einem Kegelschnittsysteme sein, das aus +der Gesammtheit der Kegelschnitte durch eine quadratische Gleichung +zwischen den Coefficienten ausgesondert wird. Das ist richtig, +sowie wir als Gruppe der ebenen Geometrie die Gesammtheit der +Transformationen zu Grunde legen, die durch lineare Umformungen der +Kegelschnitts-Coefficienten repräsentirt werden, welche die +quadratische Bedingungsgleichung in sich überführen. Halten wir +aber an der elementaren bez. der projectivischen Auffassung der +ebenen Geometrie fest, so haben wir eben <em>kein</em> Bild.</p> +<p>Die zweite Bemerkung bezieht sich auf folgende Begriffsbildung. +Sei im Raume irgend eine Gruppe, etwa die Hauptgruppe gegeben. So +wähle man ein einzelnes räumliches Gebilde, etwa einen Punct, oder +eine Gerade, oder auch ein Ellipsoid etc. aus und wende auf +dasselbe alle Transformationen der Hauptgruppe an. Man erhält dann +eine mehrfach unendliche Mannigfaltigkeit mit einer Anzahl von +Dimensionen, die im Allgemeinen gleich der Zahl der in der Gruppe +enthaltenen willkürlichen Parameter ist, die in besonderen Fällen +herabsinkt, wenn nämlich das ursprünglich gewählte Gebilde die +Eigenschaft besitzt, durch unendlich viele Transformationen der +Gruppe in sich übergeführt zu werden. Jede so erzeugte +Mannigfaltigkeit heiße mit Bezug auf die erzeugende Gruppe ein +<em>Körper</em><sup><a href="#fn21" class="footnoteRef" id= +"fnref21" name="fnref21">21</a></sup>. Wollen wir nun den Raum im +Sinne der Gruppe untersuchen und dabei bestimmte Gebilde als +Raumelemente auszeichnen, und wollen wir nicht, dass +Gleichberechtigtes ungleichartig dargestellt werde, <em>so müssen +wir die Raumelemente ersichtlich so wählen, dass ihre +Mannigfaltigkeit entweder selbst einen Körper bildet oder in Körper +zerlegt werden kann.</em> Von dieser evidenten Bemerkung soll +später (§.9) eine Anwendung gemacht werden. Der Körper-Begriff +selbst wird im Schlussparagraphen in Verbindung mit verwandten +Begriffen noch einmal zur Sprache kommen.</p> +<h2 id= +"die-geometrie-der-reciproken-radien.-die-interpretation-von-xiy."> +<a href="#TOC">§.6. Die Geometrie der reciproken Radien. Die +Interpretation von <span class= +"math"><em>x</em> + <em>i</em><em>y</em></span>.</a></h2> +<p>Wir kehren mit diesem Paragraphen zur Besprechung der +verschiedenen Richtungen der geometrischen Forschung zurück, wie +sie in §§.2.3 begonnen wurde.</p> +<p>Als ein Seitenstück zu den Betrachtungsweisen der +projectivischen Geometrie kann man in vielfacher Hinsicht eine +Classe geometrischer Ueberlegungen betrachten, bei denen von der +Umformung durch reciproke Radien fortlaufender Gebrauch gemacht +wird. Es gehören hierher die Untersuchungen über die sog. Cycliden +und anallagmatische Flächen, über die allgemeine Theorie der +Orthogonalsysteme, ferner Untersuchungen über das Potential etc. +Wenn man die in denselben enthaltenen Betrachtungen noch nicht +gleich den projectivischen zu einer besonderen Geometrie +zusammengefasst hat, <em>die dann als Gruppe die Gesammtheit +derjenigen Umformungen zu Grunde zu legen hätte, welche durch +Verbindung der Hauptgruppe mit der Transformation durch reciproke +Radien entstehen</em>, so ist das wohl dem zufälligen Umstande +zuzuschreiben, dass die genannten Theorien seither nicht im +Zusammenhange dargestellt worden sind; den einzelnen Autoren, die +in dieser Richtung arbeiteten, wird eine solche methodische +Auffassung nicht fern gelegen haben.</p> +<p>Die Parallele zwischen dieser Geometrie der reciproken Radien +und der projectivischen ergibt sich, sowie einmal die Frage nach +einem Vergleiche vorhanden ist, von selbst, und es mag daher nur +ganz im Allgemeinen auf die folgenden Puncte aufmerksam gemacht +werden:</p> +<p>In der projectivischen Geometrie sind Punct, Gerade, Ebene die +Elementar-Begriffe. Kreis und Kugel sind nur specielle Fälle von +Kegelschnitt und Fläche zweiten Grades. Das unendlich Ferne der +elementaren Geometrie erscheint als Ebene; das Fundamentalgebilde, +auf welches sich die elementare Geometrie bezieht, ist ein +unendlich ferner, imaginärer Kegelschnitt.</p> +<p>In der Geometrie der reciproken Radien sind Punct, Kreis und +Kugel die Elementarbegriffe. Gerade und Ebene sind specielle Fälle +der letzteren, dadurch charakterisirt, dass sie einen, im Sinne der +Methode übrigens nicht weiter ausgezeichneten Punct, den unendlich +fernen Punct enthalten. Die elementare Geometrie erwächst, so wie +man diesen Punct fest denkt.</p> +<p>Die Geometrie der reciproken Radien ist einer Einkleidung fähig, +welche sie neben die Theorie der binären Formen und die +Liniengeometrie stellt, falls man die letzteren in der Weise +behandelt, wie das im vorigen Paragraphen angedeutet wurde. Wir +mögen zu diesem Zwecke die Betrachtung zunächst auf ebene Geometrie +und also auf Geometrie der reciproken Radien in der +Ebene<sup><a href="#fn22" class="footnoteRef" id="fnref22" name= +"fnref22">22</a></sup> beschränken.</p> +<p>Es wurde bereits des Zusammenhangs gedacht, der zwischen der +elementaren Geometrie der Ebene und der projectivischen Geometrie +der mit einem ausgezeichneten Puncte versehenen Fläche zweiten +Grades besteht (§.4). Sieht man von dem ausgezeichneten Puncte ab +und betrachtet also die projectivische Geometrie auf der Fläche an +sich, so hat man ein Bild der Geometrie der reciproken Radien in +der Ebene. Denn man überzeugt sich leicht<sup><a href="#fn23" +class="footnoteRef" id="fnref23" name="fnref23">23</a></sup>, dass +der Transformationsgruppe der reciproken Radien in der Ebene +vermöge der Abbildung der Fläche zweiten Grades die Gesammtheit der +linearen Transformationen der letzteren in sich selbst entspricht. +Man hat also:</p> +<p><em>Geometrie der reciproken Radien in der Ebene und +projectivische Geometrie auf einer Fläche zweiten Grades ist +dasselbe,</em></p> +<p>und ganz entsprechend:</p> +<p><em>Geometrie der reciproken Radien im Raume ist mit der +projectivischen Behandlung einer Mannigfaltigkeit gleichbedeutend, +die durch eine quadratische Gleichung zwischen fünf homogenen +Veränderlichen dargestellt wird.</em></p> +<p>Die Raumgeometrie ist also durch die Geometrie der reciproken +Radien in ganz dieselbe Verbindung mit einer Mannigfaltigkeit von +vier Dimensionen gesetzt, wie vermöge der Liniengeometrie mit einer +Mannigfaltigkeit von fünf Ausdehnungen.</p> +<p>Die Geometrie der reciproken Radien in der Ebene gestattet, +sofern man nur auf <em>reelle</em> Transformationen achten will, +noch nach einer anderen Seite eine interessante Darstellung, resp. +Verwendung. Breitet man nämlich eine complexe Variable <span class= +"math"><em>x</em> + <em>i</em><em>y</em></span> in gewöhnlicher +Weise in der Ebene aus, so entspricht ihren linearen +Transformationen die Gruppe der reciproken Radien, mit der +erwähnten Beschränkung auf das Reelle. Die Untersuchung der +Functionen einer complexen Veränderlichen, die beliebigen linearen +Transformationen unterworfen gedacht ist, ist aber nichts Anderes, +als was bei einer etwas abgeänderten Darstellungsweise Theorie der +binären Formen genannt wird. Also:</p> +<p><em>Die Theorie der binären Formen findet ihre Darstellung durch +die Geometrie der reciproken Radien in der reellen Ebene, so zwar, +dass auch die complexen Werthe der Variabeln repräsentirt +werden.</em></p> +<p>Von der Ebene mögen wir, um in den gewohnteren Vorstellungskreis +der projectivischen Umformungen zu gelangen, zur Fläche zweiten +Grades aufsteigen. Da wir nur reelle Elemente der Ebene +betrachteten, ist es nicht mehr gleichgültig, wie man die Fläche +wählt; sie ist ersichtlich nicht geradlinig zu nehmen. Insbesondere +können wir uns dieselbe — wie man das zur Interpretation einer +complexen Veränderlichen auch sonst thut — als Kugelfläche denken +und erhalten so den Satz:</p> +<p><em>Die Theorie der binären Formen complexer Variablen findet +ihre Repräsentation in der projectivischen Geometrie der reellen +Kugelfläche.</em></p> +<p>Ich habe mir nicht versagen mögen, in einer Note<sup><a href= +"#fn24" class="footnoteRef" id="fnref24" name= +"fnref24">24</a></sup> noch auseinanderzusetzen, wie schön dieses +Bild die Theorie der binären cubischen und biquadratischen Formen +erläutert.</p> +<h2 id="erweiterungen-des-vorangehenden.-lies-kugelgeometrie."> +<a href="#TOC">§.7. Erweiterungen des Vorangehenden. <em>Lie</em>s +Kugelgeometrie.</a></h2> +<p>An die Theorie der binären Formen, die Geometrie der reciproken +Radien und die Liniengeometrie, welche im Vorstehenden coordinirt +und nur durch die Zahl der Veränderlichen unterschieden scheinen, +lassen sich gewisse Erweiterungen knüpfen, die nun +auseinandergesetzt werden mögen. Dieselben sollen einmal dazu +beitragen, den Gedanken, dass die Gruppe, welche die +Behandlungsweise gegebener Gebiete bestimmt, beliebig erweitert +werden kann, an neuen Beispielen zu erläutern; dann aber ist +namentlich die Absicht gewesen, Betrachtungen, welche <em>Lie</em> +in einer neueren Abhandlung niedergelegt hat<sup><a href="#fn25" +class="footnoteRef" id="fnref25" name="fnref25">25</a></sup>, in +ihrer Beziehung zu den hier vorgetragenen Ueberlegungen darzulegen. +Der Weg, auf welchem wir zu <em>Lie</em>s Kugelgeometrie gelangen, +weicht insofern von dem von <em>Lie</em> eingeschlagenen ab, als +<em>Lie</em> an liniengeometrische Vorstellungen anknüpft, während +wir, um uns mehr der gewöhnlichen geometrischen Anschauung +anzuschliessen und im Zusammenhange mit dem Vorhergehenden zu +bleiben, bei den bez. Auseinandersetzungen eine geringere Zahl von +Veränderlichen voraussetzen. Die Betrachtungen sind, wie bereits +<em>Lie</em> selbst hervorgehoben hat (Göttinger Nachrichten 1871. +N. 7, 22 [11]) von der Zahl der Variabeln unabhängig. Sie +gehören dem grossen Kreise von Untersuchungen an, welche sich mit +der projectivischen Untersuchung quadratischer Gleichungen zwischen +beliebig vielen Veränderlichen beschäftigen, Untersuchungen, die +wir bereits öfter berührt haben und die uns noch wiederholt +begegnen werden (vergl. §.10 u. a.)</p> +<p>Ich knüpfe an den Zusammenhang an, der zwischen der reellen +Ebene und der Kugelfläche durch stereographische Projection +hergestellt wird. Wir setzten bereits in §.5 die Geometrie der +Ebene mit der Geometrie auf einem Kegelschnitte in Verbindung, +indem wir der Geraden der Ebene das Punctepaar zuordneten, in +welchem sie den Kegelschnitt trifft. Entsprechend können wir einen +Zusammenhang zwischen der Raumgeometrie und der Geometrie auf der +Kugel aufstellen, indem wir jeder Ebene des Raumes den Kreis +zuordnen, in welchem sie die Kugel schneidet. Uebertragen wir dann +durch stereographische Projection die Geometrie auf der Kugel von +derselben auf die Ebene, wobei jeder Kreis in einen Kreis übergeht, +so entsprechen einander also:</p> +<ul> +<li>die Raumgeometrie, welche als Element die Ebene, als Gruppe +diejenigen linearen Transformationen benutzt, welche eine Kugel in +sich überführen;</li> +<li>die ebene Geometrie, deren Element der Kreis, deren Gruppe die +Gruppe der reciproken Radien ist.</li> +</ul> +<p>Die erstere Geometrie wollen wir nun nach zwei Seiten +verallgemeinern, indem wir statt ihrer Gruppe eine umfassendere +setzen. Die resultirende Erweiterung überträgt sich dann durch die +Abbildung ohne Weiteres auf ebene Geometrie.</p> +<p>Statt der linearen Transformationen des aus Ebenen bestehenden +Raumes, welche die Kugel in sich überführen, liegt es nahe, +entweder die Gesammtheit der linearen Transformationen des Raumes, +oder die Gesammtheit der Ebenen-Transformationen des Raumes zu +wählen, welche die Kugel ungeändert lassen, indem wir das eine Mal +von der Kugel, das andere Mal von dem linearen Character der +anzuwendenden Transformationen absehen. Die erste Verallgemeinerung +ist ohne Weiteres verständlich und wir mögen sie also zuerst +betrachten und in ihrer Bedeutung für ebene Geometrie verfolgen; +auf die zweite kommen wir hernach zurück, wobei es sich denn +zunächst darum handelt, die allgemeinste betreffende Transformation +zu bestimmen.</p> +<p>Die linearen Transformationen des Raumes haben die Eigenschaft +gemein, Ebenenbüschel und Ebenenbündel wieder in solche +überzuführen. Aber auf die Kugel übertragen ergibt das +Ebenenbüschel ein Kreisbüschel, d. h. eine einfach unendliche +Reihe von Kreisen mit gemeinsamen Schnittpunkten; das Ebenenbündel +ergibt ein Kreisbündel, d. h. eine zweifach unendliche Schaar +von Kreisen, die auf einem festen Kreise senkrecht stehen (dem +Kreise, dessen Ebene die Polarebene des den Ebenen des geg. Bündels +gemeinsamen Punctes ist). Den linearen Transformationen des Raumes +entsprechen also auf der Kugel und weiterhin in der Ebene +Kreistransformationen von der characteristischen Eigenschaft, +Kreisbüschel und Kreisbündel in ebensolche +überzuführen<sup><a href="#fn26" class="footnoteRef" id="fnref26" +name="fnref26">26</a></sup>. <em>Die ebene Geometrie welche die +Gruppe der so gewonnenen Transformationen benutzt, ist das Bild der +gewöhnlichen projectivischen Raumgeometrie.</em> Als Element der +Ebene wird man in dieser Geometrie nicht den Punct benutzen können, +da die Puncte für die gewählte Transformationsgruppe keinen Körper +bilden (§.5), sondern man wird die Kreise als Elemente wählen.</p> +<p>Bei der zweiten Erweiterung, die wir nannten, gilt es zunächst +die Frage nach der Art der bez. Transformationsgruppe erledigen. Es +handelt sich darum, Ebenen-Transformationen zu finden, die aus +jedem Ebenenbündel, dessen Scheitel auf der Kugel liegt, wieder ein +solches Bündel machen. Wir mögen der kürzeren Ausdrucksweise wegen +zunächst die Frage dualistisch umkehren und überdies einen Schritt +in der Zahl der Dimensionen hinab gehen; wir wollen also nach +Puncttransformationen der Ebene fragen, welche aus jeder Tangente +eines gegebenen Kegelschnittes wiederum eine Tangente erzeugen. Zu +dem Zwecke betrachten wir die Ebene mit ihrem Kegelschnitte als +Bild einer Fläche zweiten Grades, die man von einem nicht auf ihr +befindlichen Raumpuncte aus so auf die Ebene projicirt hat, dass +der bez. Kegelschnitt die Uebergangscurve vorstellt. Den Tangenten +des Kegelschnitts entsprechen die Erzeugenden der Fläche, und die +Frage ist auf die andere zurückgeführt nach der Gesammtheit der +Puncttransformationen der Fläche in sich selbst, bei denen die +Erzeugenden Erzeugende bleiben.</p> +<p>Solcher Transformationen gibt es nun zwar beliebig unendlich +viele: denn man braucht nur den Punct der Fläche als Durchschnitt +der Erzeugenden zweierlei Art zu betrachten und jedes der +Geraden-Systeme beliebig in sich zu transformiren. Aber unter den +Transformationen sind insbesondere die linearen. Nur auf diese +wollen wir achten. Hätten wir nämlich nicht mit einer Fläche, +sondern mit einer mehrfach ausgedehnten Mannigfaltigkeit zu thun, +die durch eine quadratische Gleichung repräsentirt wird, so blieben +nur die linearen Transformationen, die anderen kämen in +Wegfall<sup><a href="#fn27" class="footnoteRef" id="fnref27" name= +"fnref27">27</a></sup>.</p> +<p>Diese linearen Transformationen der Fläche in sich selbst +ergeben, durch (nicht stereographische) Projection auf die Ebene +übertragen, zweideutige Puncttransformationen, vermöge deren aus +jeder Tangente des Kegelschnittes, der die Uebergangscurve bildet, +allerdings wieder eine Tangente wird, aus jeder anderen Geraden +aber im Allgemeinen ein Kegelschnitt, der die Uebergangscurve +doppelt berührt. Es lässt sich diese Transformationsgruppe passend +characterisiren, wenn man auf den Kegelschnitt, der die +Uebergangscurve bildet, eine projectivische Maßbestimmung gründet. +Die Transformationen haben dann die Eigenschaft, Puncte, welche im +Sinne der Maßbestimmung von einander eine Entfernung gleich Null +haben, sowie Puncte, welche von einem anderen Puncte eine constante +Entfernung haben, wieder in solche Puncte zu verwandeln.</p> +<p>Alle diese Betrachtungen lassen sich auf beliebig viele +Variabeln übertragen, insbesondere also für die ursprüngliche +Fragestellung, die sich auf die Kugel und die Ebene als Element +bezog, verwerthen. Man kann dem Resultate dabei eine besonders +anschauliche Form geben, weil der Winkel, den zwei Ebenen im Sinne +der auf eine Kugel gegründeten projectivischen Maßbestimmung mit +einander bilden, mit dem Winkel gleich ist, den ihre +Durchschnittskreise mit der Kugel im gewöhnlichen Sinne mit +einander bilden.</p> +<p>Wir erhalten also auf der Kugel und weiterhin auf der Ebene eine +Gruppe von Kreistransformationen, welche die Eigenschaft haben, +<em>Kreise, die einander berühren (einen Winkel gleich Null +einschliessen), sowie Kreise, die einen anderen Kreis unter +gleichem Winkel schneiden, in eben solche Kreise überzuführen.</em> +In der Gruppe dieser Transformationen sind auf der Kugel die bez. +linearen, in der Ebene die Transformationen der Gruppe der +reciproken Radien enthalten.</p> +<p>Die auf diese Gruppe zu gründende Kreisgeometrie ist nun das +Analogon zu der <em>Kugelgeometrie</em>, wie sie <em>Lie</em> für +den Raum entworfen hat, und wie sie bei Untersuchungen über +Krümmung der Flächen von ausgezeichneter Bedeutung scheint. Sie +schliesst die Geometrie der reciproken Radien in demselben Sinne in +sich, wie letztere wieder die elementare Geometrie. —</p> +<p>Die nunmehr gewonnenen Kreis-(Kugel-)Transformationen haben +insbesondere die Eigenschaft, sich berührende Kreise (Kugeln) in +eben solche überzuführen. Betrachtet man alle Curven (Flächen) als +Umhüllungsgebilde von Kreisen (Kugeln), so werden in Folge dessen +Curven (Flächen), die sich berühren, immer in wieder solche +übergehen. Die fraglichen Transformationen gehören also in die +Classe der später allgemein zu betrachtenden +<em>Berührungstransformationen</em>, d. h. solcher +Umformungen, bei denen Berührung von Punctgebilden eine invariante +Beziehung ist. Die im vorliegenden Paragraphen zuerst erwähnten +Kreistransformationen, denen man analoge Kugeltransformationen an +die Seite stellen kann, sind keine Berührungstransformationen. +—</p> +<p>Wurden vorstehend die zweierlei Erweiterungen nur an die +Geometrie der reciproken Radien angeknüpft, so gelten dieselben in +entsprechender Weise für Liniengeometrie, überhaupt für die +projectivische Untersuchung einer durch eine quadratische Gleichung +ausgeschiedenen Mannigfaltigkeit, wie bereits angedeutet wurde, +hier aber nicht weiter ausgeführt werden soll.</p> +<h2 id= +"aufz.hlung-weiterer-methoden-denen-eine-gruppe-von-puncttransformationen-zu-grunde-liegt."> +<a href="#TOC">§.8. Aufzählung weiterer Methoden, denen eine Gruppe +von Puncttransformationen zu Grunde liegt.</a></h2> +<p>Elementare Geometrie, Geometrie der reciproken Radien und auch +projectivische Geometrie, sofern man von den mit Wechsel des +Raumelements verknüpften dualistischen Umformungen absieht, +subsumiren sich als einzelne Glieder unter die grosse Menge von +denkbaren Betrachtungsweisen, welche überhaupt Gruppen von +Puncttransformationen zu Grunde legen. Wir mögen hier nur die +folgenden drei Methoden, die hierin mit den genannten +übereinstimmen, hervorheben. Sind diese Methoden auch lange nicht +in dem Maße, wie die projectivische Geometrie, zu selbständigen +Disciplinen entwickelt, so treten sie doch deutlich erkennbar in +den neueren Untersuchungen auf.</p> +<h3 id="die-gruppe-der-rationalen-umformungen."><a href="#TOC">1. +Die Gruppe der rationalen Umformungen.</a></h3> +<p>Bei rationalen Umformungen muss wohl unterschieden werden, ob +dieselben für <em>alle</em> Puncte des Gebietes, in welchem man +operirt, also des Raumes oder der Ebene etc., rational sind, oder +nur für die Puncte einer in dem Gebiete enthaltenen +Mannigfaltigkeit, einer Fläche, einer Curve. Nur die ersteren sind +zu verwenden, wenn es gilt, im bisherigen Sinne eine Geometrie des +Raumes, der Ebene zu entwerfen; die letzteren gewinnen von dem hier +gegebenen Standpuncte aus erst Bedeutung, wenn Geometrie auf einer +gegebenen Fläche, Curve studirt werden soll. Dieselbe +Unterscheidung gilt bei der sogleich anzuführenden Analysis +situs.</p> +<p>Die seitherigen Untersuchungen, hier wie dort, haben sich aber +wesentlich mit Transformationen der zweiten Art beschäftigt. +Insofern dabei nicht die Frage nach der Geometrie auf der Fläche, +der Curve war, es sich vielmehr darum handelte, Criterien zu +finden, damit zwei Flächen, Curven in einander transformirt werden +können, treten diese Untersuchungen aus dem Kreise der hier zu +betrachtenden heraus. Der hier aufgestellte allgemeine Schematismus +umspannt eben nicht die Gesammtheit mathematischer Forschung +überhaupt, sondern er bringt nur gewisse Richtungen unter einen +gemeinsamen Gesichtspunct.</p> +<p>Für eine Geometrie der rationalen Umformungen, wie sie sich +unter Zugrundelegung der Transformationen der ersten Art ergeben +muss, sind bis jetzt erst die Anfänge vorhanden. Im Gebiete erster +Stufe, auf der geraden Linie, sind die rationalen Umformungen mit +den linearen identisch und liefern also nichts Neues. In der Ebene +kennt man freilich die Gesammtheit der rationalen Umformungen (der +<em>Cremona</em>schen Transformationen), man weiss, dass sie sich +durch Zusammensetzung quadratischer erzeugen lassen. Man kennt auch +invariante Charactere der ebenen Curven: ihr Geschlecht, die +Existenz der Moduln; aber eigentlich zu einer Geometrie der Ebene +in dem hier gemeinten Sinne entwickelt sind diese Betrachtungen +noch nicht. Im Raume ist die ganze Theorie noch erst im Entstehen +begriffen. Von den rationalen Umformungen kennt man bis jetzt nur +wenige und benutzt dieselben, um bekannte Flächen mit unbekannten +durch Abbildung in Verbindung zu setzen. —</p> +<h3 id="die-analysis-situs."><a href="#TOC">2. Die Analysis +situs.</a></h3> +<p>In der sog. Analysis situs sucht man das Bleibende gegenüber +solchen Umformungen, die aus unendlich kleinen Verzerrungen durch +Zusammensetzung entstehen. Auch hier muss man, wie bereits gesagt, +unterscheiden, ob das ganze Gebiet, also etwa der Raum, als Object +der Transformationen gedacht werden soll, oder nur eine aus ihm +ausgesonderte Mannigfaltigkeit, eine Fläche. Die Transformationen +der ersten Art sind es, die man einer Raumgeometrie würde zu Grunde +legen können. Ihre Gruppe wäre wesentlich anders constituirt, als +die bisher betrachteten es waren. Indem sie alle Transformationen +umfasst, die sich aus reell gedachten unendlich kleinen +Puncttransformationen zusammensetzen, trägt sie die principielle +Beschränkung auf reelle Raumelemente in sich, und bewegt sich auf +dem Gebiete der willkürlichen Function. Man kann diese +Transformationsgruppe nicht ungeschickt erweitern, indem man sie +noch mit den reellen Collineationen, die auch das unendlich Ferne +modificiren, verbindet. —</p> +<h3 id="die-gruppe-aller-puncttransformationen."><a href="#TOC">3. +Die Gruppe aller Puncttransformationen.</a></h3> +<p>Wenn gegenüber dieser Gruppe keine Fläche mehr individuelle +Eigenschaften besitzt, da jede in jede andere durch +Transformationen der Gruppe übergeführt werden kann, so sind es +höhere Gebilde, bei deren Untersuchung die Gruppe mit Vortheil +Anwendung findet. Bei der Auffassung der Geometrie, wie sie hier zu +Grunde gelegt ist, kann es gleichgültig sein, wenn diese Gebilde +seither nicht sowohl als geometrische sondern nur als analytische +betrachtet wurden, die gelegentlich geometrische Anwendung fanden, +und wenn man bei ihrer Untersuchung Processe anwandte (wie eben +beliebige Puncttransformationen), die man erst in neuerer Zeit +bewusst als geometrische Umformungen aufzufassen begonnen hat. +Unter diese analytischen Gebilde gehören vor allen die homogenen +Differentialausdrücke, sodann auch die partiellen +Differentialgleichungen. Bei der allgemeinen Discussion der +letzteren scheint aber, wie in dem folgenden Paragraphen ausgeführt +wird, die umfassendere Gruppe aller Berührungstransformationen noch +vorteilhafter.</p> +<p>Der Hauptsatz, der in der Geometrie, welche die Gruppe aller +Puncttransformationen zu Grunde legt, in Geltung ist, ist der, +<em>dass eine Puncttransformation für eine unendlich kleine Partie +des Raumes immer den Werth einer linearen Transformation hat</em>. +Die Entwickelungen der projectivischen Geometrie haben also nun +ihren Werth für das Unendlichkleine, und hierin liegt, mag sonst +die Wahl der Gruppe bei Behandlung von Mannigfaltigkeiten +willkürlich sein — <em>hierin liegt ein auszeichnender Character +für die projectivische Anschauungsweise</em>.</p> +<p>Nachdem nun schon lange von dem Verhältnisse der +Betrachtungsweisen, die einander einschliessende Gruppen zu Grunde +legen, nicht mehr die Rede war, mag hier noch einmal ein Beispiel +für die allgemeine Theorie des §.2 gegeben werden. Wir mögen uns +die Frage vorlegen, wie denn vom Standpuncte „aller +Puncttransformationen" projectivische Eigenschaften aufzufassen +sind, wobei von den dualistischen Umformungen, die eigentlich mit +zur Gruppe der projectivischen Geometrie gehören, abgesehen werden +mag. Die Frage deckt sich dann mit der andern: durch welche +Bedingung aus der Gesammtheit der Puncttransformationen die Gruppe +der linearen ausgeschieden wird. Das Characteristische der +letzteren ist, dass sie jeder Ebene eine Ebene zuordnen: sie sind +diejenigen Puncttransformationen, vermöge deren die +Mannigfaltigkeit der Ebenen (oder, was auf dasselbe hinaus kommt, +der geraden Linien) erhalten bleibt. <em>Die projectivische +Geometrie ist aus der Geometrie aller Puncttransformationen ebenso +durch Adjunction der Mannigfaltigkeit der Ebenen zu gewinnen, wie +die elementare Geometrie aus der projectivischen durch Adjunction +des unendlich fernen Kugelkreises.</em> Insbesondere haben wir +z. B. vom Standpuncte aller Puncttransformationen die +Bezeichnung einer Fläche als einer algebraischen von einer gewissen +Ordnung als eine invariante Beziehung zur Mannigfaltigkeit der +Ebenen aufzufassen. Es wird dies recht deutlich, wenn man, mit +<em>Grassmann</em>, die Erzeugung der algebraischen Gebilde an ihre +lineale Construction knüpft.</p> +<h2 id="von-der-gruppe-aller-ber.hrungstransformationen."><a href= +"#TOC">§.9. Von der Gruppe aller +Berührungstransformationen.</a></h2> +<p>Berührungstransformationen sind zwar in einzelnen Fällen schon +lange betrachtet; auch hat <em>Jacobi</em> bei analytischen +Untersuchungen bereits von den allgemeinsten +Berührungstransformationen Gebrauch gemacht; aber in die lebendige +geometrische Anschauung wurden sie erst durch neuere Arbeiten von +<em>Lie</em> eingeführt<sup><a href="#fn28" class="footnoteRef" id= +"fnref28" name="fnref28">28</a></sup>. Es ist daher wohl nicht +überflüssig, hier ausdrücklich auseinanderzusetzen, was eine +Berührungstransformation ist, wobei wir uns, wie immer, auf den +Punctraum mit seinen drei Dimensionen beschränken.</p> +<p>Unter einer Berührungstransformation hat man, analytisch zu +reden, jede Substitution zu verstehen, welche die Variabel-Werthe +<span class="math"><em>x</em></span>, <span class= +"math"><em>y</em></span>, <span class="math"><em>z</em></span> und +ihre partiellen Differentialquotienten <span class= +"math"><em>d</em><em>z</em> / <em>d</em><em>x</em> = <em>p</em></span>, +<span class= +"math"><em>d</em><em>z</em> / <em>d</em><em>y</em> = <em>q</em></span> +durch neue <span class="math"><em>x</em>ʹ</span>, <span class= +"math"><em>y</em>ʹ</span>, <span class="math"><em>z</em>ʹ</span>, +<span class="math"><em>p</em>ʹ</span>, <span class= +"math"><em>q</em>ʹ</span> ausdrückt. Dabei gehen, wie ersichtlich, +sich berührende Flächen im Allgemeinen wieder in sich berührende +Flächen über, was den Namen Berührungstransformation begründet. Die +Berührungstransformationen zerfallen, wenn man vom Puncte als +Raumelement ausgeht, in drei Classen: solche, die den dreifach +unendlich vielen Puncten wieder Puncte zuordnen — das sind die eben +betrachteten Puncttransformationen —, solche, die sie in Curven, +endlich solche, die sie in Flächen überführen. Diese Eintheilung +hat man insofern nicht als eine wesentliche zu betrachten, als bei +Benutzung anderer dreifach unendlich vieler Raumelemente, etwa der +Ebenen, allerdings wieder eine Theilung in drei Gruppen eintritt, +die aber mit der Theilung, die unter Zugrundelegung der Puncte +statt fand, nicht coincidirt.</p> +<p>Wenden wir auf einen Punct alle Berührungstransformationen an, +so geht er in die Gesammtheit aller Puncte, Curven und Flächen +über. In ihrer Gesammtheit erst bilden also Puncte, Curven und +Flächen einen <em>Körper</em> unserer Gruppe. Man mag daraus die +allgemeine Regel abnehmen, dass die formale Behandlung eines +Problems im Sinne aller Berührungstransformationen (also etwa die +sogleich vorzutragende Theorie der partiellen +Differentialgleichungen) eine unvollkommene werden muss, sowie man +mit Punct- (oder Ebenen-) Coordinaten operirt, da die zu Grunde +gelegten Raumelemente eben keinen Körper bilden.</p> +<p>Alle in dem gen. Körper enthaltene Individuen als Raumelemente +einzuführen, geht aber, will man in Verbindung mit den gewöhnlichen +Methoden bleiben, nicht an, da deren Zahl unendlichfach unendlich +ist. Hierin liegt die Notwendigkeit, bei diesen Betrachtungen nicht +den Punct, nicht die Curve oder die Fläche, sondern das +<em>Flächenelement</em>, d. h. das Werthsystem <span class= +"math"><em>x</em></span>, <span class="math"><em>y</em></span>, +<span class="math"><em>z</em></span>, <span class= +"math"><em>p</em></span>, <span class="math"><em>q</em></span> als +<em>Raumelement</em> einzuführen. Bei jeder +Berührungstransformation wird aus jedem Flächenelemente ein neues; +die fünffach unendlich vielen Flächenelemente bilden also einen +Körper.</p> +<p>Bei diesem Standpuncte muss man Punct, Curve, Fläche +gleichmässig als Aggregate von Flächenelementen auffassen, und zwar +von zweifach unendlich vielen. Denn die Fläche wird von +<span class="math">∞<sup>2</sup></span> Elementen bedeckt, die +Curve von ebenso vielen berührt, durch den Punct gehen <span class= +"math">∞<sup>2</sup></span> hindurch. Aber diese zweifach +unendlichen Aggregate von Elementen haben noch eine +characteristische Eigenschaft gemein. Man bezeichne als +<em>vereinigte Lage</em> zweier consecutiven Flächenelemente +<span class="math"><em>x</em></span>, <span class= +"math"><em>y</em></span>, <span class="math"><em>z</em></span>, +<span class="math"><em>p</em></span>, <span class= +"math"><em>q</em></span> und <span class= +"math"><em>x</em> + <em>d</em><em>x</em></span>, <span class= +"math"><em>y</em> + <em>d</em><em>y</em></span>, <span class= +"math"><em>z</em> + <em>d</em><em>z</em></span>, <span class= +"math"><em>p</em> + <em>d</em><em>p</em></span>, <span class= +"math"><em>q</em> + <em>d</em><em>q</em></span> die Beziehung, +welche durch<br /> +<span class= +"math"><em>d</em><em>z</em> − <em>p</em><em>d</em><em>x</em> − <em>q</em><em>d</em><em>y</em> = 0</span><br /> + +dargestellt wird. So sind Punct, Curve, Fläche übereinstimmend +<em>zweifach unendliche Mannigfaltigkeiten von Elementen, deren +jedes mit den einfach unendlich vielen ihm benachbarten vereinigt +liegt</em>. Dadurch sind Punct, Curve, Fläche gemeinsam +characterisirt, und so müssen sie auch, wenn man die Gruppe der +Berührungstransformationen zu Grunde legen will, analytisch +repräsentirt werden.</p> +<p>Die vereinigte Lage consecutiver Elemente ist eine bei +beliebiger Berührungstransformation invariante Beziehung. Aber auch +umgekehrt können die Berührungstransformationen definirt werden +<em>als diejenigen Substitutionen der fünf Veränderlichen +<span class="math"><em>x</em></span>, <span class= +"math"><em>y</em></span>, <span class="math"><em>z</em></span>, +<span class="math"><em>p</em></span>, <span class= +"math"><em>q</em></span>, vermöge deren die Relation <span class= +"math"><em>d</em><em>z</em> − <em>p</em><em>d</em><em>x</em> − <em>q</em><em>d</em><em>y</em> = 0</span> +in sich selbst übergeführt wird</em>. Der Raum ist also bei diesen +Untersuchungen als eine Mannigfaltigkeit von fünf Dimensionen +anzusehen und diese Mannigfaltigkeit hat man zu behandeln, indem +man als Gruppe die Gesammtheit aller Transformationen der Variabeln +zu Grunde legt, welche eine bestimmte Relation zwischen den +Differentialen ungeändert lassen.</p> +<p>Gegenstand der Untersuchung werden in erster Linie diejenigen +Mannigfaltigkeiten, welche durch eine oder mehrere Gleichungen +zwischen den Variabein dargestellt werden, d. h. <em>die +partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung und ihre +Systeme</em>. Eine Hauptfrage wird, wie sich aus den +Mannigfaltigkeiten von Elementen, die gegebenen Gleichungen +genügen, einfach, zweifach unendliche Reihen von Elementen +ausscheiden lassen, deren jedes mit einem benachbarten vereinigt +liegt. Auf eine solche Frage läuft z. B. die Aufgabe der +Lösung einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung +hinaus. Man soll — so kann man sie formuliren — aus den vierfach +unendlich vielen Elementen, die der Gleichung genügen, alle +zweifach unendlichen Mannigfaltigkeiten der bewussten Art +ausscheiden. Insbesondere die Aufgabe der vollständigen Lösung +nimmt jetzt die präcise Form an: man soll die vierfach unendlich +vielen Elemente, die der Gleichung genügen, auf eine Weise in +zweifach unendlich viele derartige Mannigfaltigkeiten zerlegen.</p> +<p>Ein Verfolg dieser Betrachtung über partielle +Differentialgleichungen kann hier nicht in der Absicht liegen; ich +verweise in Bezug hierauf auf die citirten <em>Lie</em>schen +Arbeiten. Es sei nur noch hervorgehoben, dass für den Standpunct +der Berührungstransformationen eine partielle Differentialgleichung +erster Ordnung keine Invariante hat, dass jede in jede andere +übergeführt werden kann, dass also namentlich die linearen +Gleichungen nicht weiter ausgezeichnet sind. Unterscheidungen +treten erst ein, wenn man zu dem Standpuncte der +Puncttransformationen zurückgeht.</p> +<p>Die Gruppen der Berührungstransformationen, der +Puncttransformationen, endlich der projectivischen Umformungen +lassen sich in einer einheitlichen Weise characterisiren, die ich +hier nicht unterdrücken mag<sup><a href="#fn29" class="footnoteRef" +id="fnref29" name="fnref29">29</a></sup>. +Berührungstransformationen wurden bereits definirt als diejenigen +Umformungen, bei denen die vereinigte Lage consecutiver +Flächenelemente erhalten bleibt. Die Puncttransformationen haben +dagegen die characteristische Eigenschaft, vereinigt gelegene +consecutive Linienelemente in eben solche zu verwandeln: die +linearen und dualistischen Transformationen endlich bewahren die +vereinigte Lage consecutiver Connex-Elemente. Unter einem +Connex-Elemente verstehe ich die Vereinigung eines Flächenelementes +mit einem in ihm enthaltenen Linienelemente; consecutive +Connexelemente heißen vereinigt gelegen, wenn nicht nur der Punct +sondern auch das Linienelement des einen in dem Flächenelemente des +anderen enthalten ist. Die (übrigens vorläufige) Bezeichnung: +Connexelement bezieht sich auf die von <em>Clebsch</em> +neuerdings<sup><a href="#fn30" class="footnoteRef" id="fnref30" +name="fnref30">30</a></sup> in die Geometrie eingeführten Gebilde, +welche durch eine Gleichung dargestellt werden, die gleichzeitig +eine Reihe Punct-, eine Reihe Ebenen- und eine Reihe +Liniencoordinaten enthalten, und deren Analoga in der Ebene +<em>Clebsch</em> als Connexe bezeichnet.</p> +<h2 id="ueber-beliebig-ausgedehnte-mannigfaltigkeiten."><a href= +"#TOC">§.10. Ueber beliebig ausgedehnte +Mannigfaltigkeiten.</a></h2> +<p>Es wurde bereits wiederholt hervorgehoben, wie bei der +Anknüpfung der bisherigen Auseinandersetzungen an die räumliche +Vorstellung nur der Wunsch maßgebend war, die abstracten Begriffe +durch Anlehnung an anschauliche Beispiele leichter entwickeln zu +können. An und für sich sind die Betrachtungen von dem sinnlichen +Bilde unabhängig und gehören dem allgemeinen Gebiete mathematischer +Forschung an, das man als die Lehre von den ausgedehnten +Mannigfaltigkeiten, oder (nach <em>Grassmann</em>) kurz als +<em>Ausdehnungslehre</em> bezeichnet. Wie man die Uebertragung des +Vorhergehenden vom Raume auf den blossen Mannigfaltigkeitsbegriff +zu bewerkstelligen hat, ist ersichtlich. Es sei dabei nur noch +einmal bemerkt, dass wir bei der abstracten Untersuchung, der +Geometrie gegenüber, den Vortheil haben, die Gruppe von +Transformationen, welche wir zu Grunde legen wollen, ganz +willkürlich wählen zu können, während in der Geometrie eine +kleinste Gruppe, die Hauptgruppe, von Vornherein gegeben war.</p> +<p>Wir mögen hier nur die folgenden drei Behandlungsweisen, und +auch diese ganz kurz berühren.</p> +<h3 id= +"die-projectivische-behandlungsweise-oder-die-moderne-algebra-invariantentheorie."> +<a href="#TOC">1. Die projectivische Behandlungsweise oder die +moderne Algebra (Invariantentheorie).</a></h3> +<p>Ihre Gruppe besteht in der Gesammtheit der linearen und +dualistischen Transformationen der zur Darstellung des Einzelnen in +der Mannigfaltigkeit verwendeten Veränderlichen; sie ist die +Verallgemeinerung der projectivischen Geometrie. Es wurde bereits +hervorgehoben wie diese Behandlungsweise bei der Discussion des +unendlich Kleinen in einer um eine Dimension mehr ausgedehnten +Mannigfaltigkeit zur Verwendung kommt. Sie schliesst die beiden +noch zu nennenden Behandlungsweisen in dem Sinne ein, als ihre +Gruppe die bei jenen zu Grunde zu legende Gruppe umfasst.</p> +<h3 id="die-mannigfaltigkeit-von-constantem-kr.mmungsma.e."> +<a href="#TOC">2. Die Mannigfaltigkeit von constantem +Krümmungsmaße.</a></h3> +<p>Die Vorstellung einer solchen erwuchs bei <em>Riemann</em> aus +der allgemeineren einer Mannigfaltigkeit, in der ein +Differentialausdruck der Veränderlichen gegeben ist. Die Gruppe +besteht bei ihm aus der Gesammtheit der Transformationen der +Variabeln, welche den gegebenen Ausdruck ungeändert lassen. Von +einer andern Seite kommt man zur Vorstellung einer Mannigfaltigkeit +von constanter Krümmung, wenn man im projectivischen Sinne auf eine +zwischen den Veränderlichen gegebene quadratische Gleichung eine +Maßbestimmung gründet. Bei dieser Weise tritt gegenüber der +<em>Riemann</em>schen die Erweiterung ein, dass die Variabeln als +complex gedacht werden; man mag hinterher die Veränderlichkeit auf +das reelle Gebiet beschränken. Hierher gehören die grosse Reihe von +Untersuchungen, die wir in §§. 5, 6, 7 berührt haben.</p> +<h3 id="die-ebene-mannigfaltigkeit."><a href="#TOC">3. Die ebene +Mannigfaltigkeit.</a></h3> +<p>Als ebene Mannigfaltigkeit bezeichnet <em>Riemann</em> die +Mannigfaltigkeit von constantem verschwindenden Krümmungsmaße. Ihre +Theorie ist die unmittelbare Verallgemeinerung der elementaren +Geometrie. Ihre Gruppe kann, — wie die Hauptgruppe der Geometrie — +aus der Gruppe der projectivischen dadurch ausgeschieden werden, +dass man ein Gebilde fest hält, welches durch zwei Gleichungen, +eine lineare und eine quadratische, dargestellt wird. Dabei hat man +zwischen Reellem und Imaginärem zu unterscheiden, wenn man sich der +Form, unter der die Theorie gewöhnlich dargestellt wird, +anschliessen will. Hierher zu rechnen sind vor Allem die elementare +Geometrie selbst, dann z. B. die in neuerer Zeit entwickelten +Verallgemeinerungen der gewöhnlichen Krümmungstheorie +u. s. w.</p> +<h2 id="schlussbemerkungen."><a href= +"#TOC">Schlussbemerkungen.</a></h2> +<p>Zum Schlusse mögen noch zwei Bemerkungen ihre Stelle finden, die +mit dem bisher Vorgetragenen in enger Beziehung stehen; die eine +betrifft den Formalismus, durch welche man die begrifflichen +Entwicklungen den Vorangehenden repräsentiren will, die andere soll +einige Probleme kennzeichnen, deren Inangriffnahme nach den hier +gegebenen Auseinandersetzungen als wichtig und lohnend +erscheint.</p> +<p>Man hat der analytischen Geometrie häufig den Vorwurf gemacht, +durch Einführung des Coordinatensystems willkürliche Elemente zu +bevorzugen, und dieser Vorwurf trifft gleichmässig jede +Behandlungsweise ausgedehnter Mannigfaltigkeiten, welche das +Einzelne durch die Werthe von Veränderlichen characterisirt. War +dieser Vorwurf bei der mangelhaften Art, mit der man namentlich +früher die Coordinatenmethode handhabte, nur zu oft gerechtfertigt, +so verschwindet er bei einer rationellen Behandlung der Methode. +Die analytischen Ausdrücke, welche bei der Untersuchung einer +Mannigfaltigkeit im Sinne einer Gruppe entstehen können, müssen, +ihrer Bedeutung nach, von dem Coordinatensysteme, insofern es +zufällig gewählt ist, unabhängig sein, und es gilt nun, diese +Unabhängigkeit auch <em>formal</em> in Evidenz zu setzen. Dass dies +möglich ist und wie es zu geschehen hat, zeigt die moderne Algebra, +in der der formale Invariantenbegriff, um den es sich hier handelt, +am deutlichsten ausgeprägt ist. Sie besitzt ein allgemeines und +erschöpfendes Bildungsgesetz für invariante Ausdrücke und operirt +principiell nur mit solchen. Die gleiche Forderung soll man an die +formale Behandlung stellen, auch wenn andere Gruppen, als die +projectivische, zu Grunde gelegt sind. Denn der Formalismus soll +sich doch mit der Begriffsbildung decken, mag man nun den +Formalismus nur als präcisen und durchsichtigen Ausdruck der +Begriffsbildung verwerthen, oder will man ihn benutzen, um an +seiner Hand in noch unerforschte Gebiete einzudringen. —</p> +<p>Die Problemstellung, deren wir noch erwähnen wollten, erwächst +durch einen Vergleich der vorgetragenen Anschauungen mit der sog. +<em>Galois</em>schen Theorie der Gleichungen.</p> +<p>In der <em>Galois</em>schen Theorie, wie hier, concentrirt sich +das Interesse auf <em>Gruppen</em> von Aenderungen. Die Objecte, +auf welche sich die Aenderungen beziehen, sind allerdings +verschieden; man hat es dort mit einer endlichen Zahl discreter +Elemente, hier mit der unendlichen Zahl von Elementen einer +stetigen Mannigfaltigkeit zu thun. Aber der Vergleich lässt sich +bei der Identität des Gruppenbegriffes doch weiter +verfolgen<sup><a href="#fn31" class="footnoteRef" id="fnref31" +name="fnref31">31</a></sup>, und es mag dies hier um so lieber +angedeutet werden, als dadurch die Stellung characterisirt wird, +die man gewissen von <em>Lie</em> und mir begonnenen +Untersuchungen<sup><a href="#fn32" class="footnoteRef" id="fnref32" +name="fnref32">32</a></sup> im Sinne der hier entwickelten +Anschauungen zuzuweisen hat.</p> +<p>In der <em>Galois</em>schen Theorie, wie sie z. B. in +<em>Serret</em>s Traité d'Algèbre supérieure[19] oder in C. +<em>Jordan</em>s Traité des substitutions[20] dargestellt wird, ist +der eigentliche Untersuchungsgegenstand die Gruppen- oder +Substitutionstheorie selbst, die Gleichungstheorie fliesst aus ihr +als eine Anwendung. Entsprechend verlangen wir eine +<em>Transformationstheorie</em>, eine Lehre von den Gruppen, welche +von Transformationen gegebener Beschaffenheit erzeugt werden +können. Die Begriffe der Vertauschbarkeit, der Aehnlichkeit +u. s. w. kommen, wie in der Substitutionstheorie, zur +Verwendung. Als eine Anwendung der Transformationstheorie erscheint +die aus der Zugrundelegung der Transformationsgruppen fliessende +Behandlung der Mannigfaltigkeit.</p> +<p>In der Gleichungstheorie sind es zunächst die symmetrischen +Functionen der Coefficienten, die das Interesse auf sich ziehen, +sodann aber diejenigen Ausdrücke, welche, wenn nicht bei allen, so +durch eine grössere Reihe von Vertauschungen der Wurzeln ungeändert +bleiben. Bei der Behandlung einer Mannigfaltigkeit unter +Zugrundelegung einer Gruppe fragen wir entsprechend zunächst nach +den Körpern (§.5), nach den Gebilden, die durch alle +Transformationen der Gruppe ungeändert bleiben. Aber es gibt +Gebilde, welche nicht alle aber einige Transformationen der Gruppe +zulassen, und diese sind dann im Sinne der auf die Gruppe +gegründeten Behandlung besonders interessant, sie haben +ausgezeichnete Eigenschaften. Es kommt das also darauf hinaus, im +Sinne der gewöhnlichen Geometrie symmetrische, reguläre Körper, +Rotations- und Schraubenflächen auszuzeichnen. Stellt man sich auf +den Standpunct der projectivischen Geometrie und verlangt +insbesondere, dass die Transformationen, durch welche die Gebilde +in sich übergehen, vertauschbar sein sollen, so kommt man auf die +von <em>Lie</em> und mir in dem citirten Aufsatze[18] betrachteten +Gebilde und auf das in §.6. desselben gestellte allgemeine Problem. +Die dort in §§. 1, 3 gegebene Bestimmung aller Gruppen unendlich +vieler vertauschbarer linearer Transformationen in der Ebene gehört +als ein Theil in die soeben genannte allgemeine +Transformationstheorie<sup><a href="#fn33" class="footnoteRef" id= +"fnref33" name="fnref33">33</a></sup>.</p> +<h1 id="noten."><a href="#TOC">Noten.</a></h1> +<h2 id= +"i.-ueber-den-gegensatz-der-synthetischen-und-analytischen-richtung-in-der-neueren-geometrie."> +<a href="#TOC">I. Ueber den Gegensatz der synthetischen und +analytischen Richtung in der neueren Geometrie.</a></h2> +<p>Den Unterschied zwischen neuerer Synthese und neuerer +analytischer Geometrie hat man zur Zeit nicht mehr als einen +wesentlichen zu betrachten, da der gedankliche Inhalt sowohl als +die Schlussweise sich auf beiden Seiten allmählich ganz ähnlich +gestaltet haben. Daher wählen wir im Texte zur gemeinsamen +Bezeichnung beider das Wort „projectivische Geometrie". Wenn die +synthetische Methode mehr mit räumlicher Anschauung arbeitet und +ihren ersten, einfachen Entwickelungen dadurch einen ungemeinen +Reiz ertheilt, so ist das Gebiet räumlicher Anschauung der +analytischen Methode nicht verschlossen, und man kann die Formeln +der analytischen Geometrie als einen präcisen und durchsichtigen +Ausdruck der geometrischen Beziehungen auffassen. Man hat auf der +anderen Seite den Vortheil nicht zu unterschätzen, den ein gut +angelegter Formalismus der Weiterforschung dadurch leistet, dass er +gewissermaßen dem Gedanken vorauseilt. Es ist zwar immer an der +Forderung festzuhalten, dass man einen mathematischen Gegenstand +noch nicht als erledigt betrachten soll, so lange er nicht +begrifflich evident geworden ist, und es ist das Vordringen an der +Hand des Formalismus eben nur ein erster aber schon sehr wichtiger +Schritt.</p> +<h2 id="ii.-trennung-der-heutigen-geometrie-in-disciplinen."> +<a href="#TOC">II. Trennung der heutigen Geometrie in +Disciplinen.</a></h2> +<p>Wenn man z. B. beachtet, wie der mathematische Physiker +sich durchgängig der Vortheile entschlägt, die ihm eine nur +einigermaßen ausgebildete projectivische Anschauung in vielen +Fällen gewähren kann, wie auf der anderen Seite der Projectiviker +die reiche Fundgrube mathematischer Wahrheiten unberührt lässt, +welche die Theorie der Krümmung der Flächen aufgedeckt hat, so muss +man den gegenwärtigen Zustand des geometrischen Wissens als recht +unvollkommen und als hoffentlich vorübergehend betrachten.</p> +<h2 id="iii.-ueber-den-werth-r.umlicher-anschauung."><a href= +"#TOC">III. Ueber den Werth räumlicher Anschauung.</a></h2> +<p>Wenn wir im Texte die räumliche Anschauung als etwas Beiläufiges +bezeichnen, so ist dies mit Bezug auf den rein mathematischen +Inhalt der zu formulirenden Betrachtungen gemeint. Die Anschauung +hat für ihn nur den Werth der Veranschaulichung, der allerdings in +pädagogischer Beziehung sehr hoch anzuschlagen ist. Ein +geometrisches Modell z. B. ist auf diesem Standpuncte sehr +lehrreich und interessant.</p> +<p>Ganz anders stellt sich aber, die Frage nach dem Werthe der +räumlichen Anschauung überhaupt. Ich stelle denselben als etwas +selbständiges hin. Es gibt eine eigentliche Geometrie, die nicht, +wie die im Texte besprochenen Untersuchungen, nur eine +veranschaulichte Form abstracterer Untersuchungen sein will. In ihr +gilt es, die räumlichen Figuren nach ihrer vollen gestaltlichen +Wirklichkeit aufzufassen und (was die mathematische Seite ist) die +für sie geltenden Beziehungen als evidente Folgen der Grundsätze +räumlicher Anschauung zu verstehen. Ein Modell — mag es nun +ausgeführt und angeschaut oder nur lebhaft vorgestellt sein — ist +für diese Geometrie nicht ein Mittel zum Zwecke sondern die Sache +selbst.</p> +<p>Wenn wir so, neben und unabhängig von der reinen Mathematik, +Geometrie als etwas Selbständiges hinstellen, so ist das an und für +sich gewiss nichts Neues. Es ist aber wünschenswerth, diesen +Gesichtspunct ausdrücklich einmal wieder hervorzuheben, da die +neuere Forschung ihn fast ganz übergeht. Hiermit hängt zusammen, +dass umgekehrt die neuere Forschung selten dazu verwendet wurde, +wenn es galt, gestaltliche Verhältnisse räumlicher Erzeugnisse zu +beherrschen, und doch scheint sie gerade in dieser Richtung sehr +fruchtbar.</p> +<h2 id= +"iv.-ueber-mannigfaltigkeiten-von-beliebig-vielen-dimensionen."> +<a href="#TOC">IV. Ueber Mannigfaltigkeiten von beliebig vielen +Dimensionen.</a></h2> +<p>Dass der Raum, als Ort für Puncte aufgefasst, nur drei +Dimensionen hat, braucht vom mathematischen Standpuncte aus nicht +discutirt zu werden; ebenso wenig kann man aber vom mathematischen +Standpuncte aus Jemanden hindern, zu behaupten, der Raum habe +eigentlich vier, oder unbegränzt viele Dimensionen, wir seien aber +nur im Stande, drei wahrzunehmen. Die Theorie der mehrfach +ausgedehnten Mannigfaltigkeiten, wie sie je länger je mehr in den +Vordergrund neuerer mathematischer Forschung tritt, ist, ihrem +Wesen nach, von einer solchen Behauptung vollkommen unabhängig. Es +hat sich in ihr aber eine Redeweise eingebürgert, die allerdings +dieser Vorstellung entflossen ist. Man spricht, statt von den +Individuen einer Mannigfaltigkeit, von den Puncten eines höheren +Raumes etc. An und für sich hat diese Redeweise manches Gute, +insofern sie durch Erinnern an die geometrischen Anschauungen das +Verständniss erleichtert. Sie hat aber die nachtheilige Folge +gehabt, dass in ausgedehnten Kreisen die Untersuchungen über +Mannigfaltigkeiten mit beliebig vielen Dimensionen als solidarisch +erachtet werden mit der erwähnten Vorstellung von der +Beschaffenheit des Raumes. Nichts ist grundloser als diese +Auffassung. Die betr. mathematischen Untersuchungen würden +allerdings sofort geometrische Verwendung finden, wenn die +Vorstellung richtig wäre, — aber ihr Werth und ihre Absicht ruht, +gänzlich unabhängig von dieser Vorstellung, in ihrem eigenen +mathematischen Inhalte.</p> +<p>Etwas ganz anders ist es, wenn <em>Plücker</em> gelehrt hat, den +wirklichen Raum als eine Mannigfaltigkeit von beliebig vielen +Dimensionen aufzufassen, indem man als Element des Raumes ein von +beliebig vielen Parametern abhängendes Gebilde (Curve, Fläche etc.) +einführt (vergl. §.5 des Textes).</p> +<p>Die Vorstellungsweise, welche das Element der beliebig +ausgedehnten Mannigfaltigkeit als ein Analogon zum Puncte des +Raumes betrachtet, ist wohl zuerst von <em>Grassmann</em> in seiner +Ausdehnungslehre (1844, [17]) entwickelt worden. Bei ihm ist der +Gedanke völlig frei von der erwähnten Vorstellung von der Natur des +Raumes; letztere geht auf gelegentliche Bemerkungen von +<em>Gauss</em> zurück und wurde durch <em>Riemann</em>s +Untersuchungen über mehrfach ausgedehnte Mannigfaltigkeiten, in +welche sie mit eingeflochten ist, in weiteren Kreisen bekannt.</p> +<p>Beide Auffassungsweisen — die <em>Grassmann</em>sche wie die +<em>Plücker</em>sche — haben ihre eigentümlichen Vorzüge; man +verwendet sie beide, zwischen ihnen abwechselnd, mit Vortheil.</p> +<h2 id="v.-ueber-die-sogenannte-nicht-euklidische-geometrie."> +<a href="#TOC">V. Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische +Geometrie.</a></h2> +<p>Die im Texte gemeinte projectivische Maßgeometrie coincidirt, +wie neuere Untersuchungen gelehrt haben, dem Wesen nach mit der +Maßgeometrie, welche unter Nicht-Annahme des Parallelen-Axioms +entworfen werden kann und die zur Zeit unter dem Namen der +Nicht-Euklidischen Geometrie vielfach besprochen und disputirt +wird. Wenn wir im Texte diesen Namen überhaupt nicht berührt haben, +so geschah es aus einem Grunde, der mit den in der vorstehenden +Note gegebenen Auseinandersetzungen verwandt ist. Man verknüpft mit +dem Namen Nicht-Euklidische Geometrie eine Menge unmathematischer +Vorstellungen, die auf der einen Seite mit eben so viel Eifer +gepflegt als auf der anderen perhorrescirt werden, mit denen aber +unsere rein mathematischen Betrachtungen gar Nichts zu schaffen +haben. Der Wunsch, in dieser Richtung etwas zur Klärung der +Begriffe beizutragen, mag die folgenden Auseinandersetzungen +motiviren.</p> +<p>Die gemeinten Untersuchungen über Parallelentheorie haben mit +ihren Weiterbildungen mathematisch nach zwei Seiten einen +bestimmten Werth.</p> +<p>Sie zeigen einmal — und dieses ihr Geschäft kann man als ein +einmaliges, abgeschlossenes betrachten —, dass das Parallelenaxiom +keine mathematische Folge der gewöhnlich vorangestellten Axiome +ist, sondern dass ein wesentlich neues Anschauungselement, welches +in den vorhergehenden Untersuchungen nicht berührt wurde, in ihm +zum Ausdruck gelangt. Aehnliche Untersuchungen könnte man und +sollte man mit Bezug auf jedes Axiom nicht nur der Geometrie +durchführen; man würde dadurch an Einsicht in die gegenseitige +Stellung der Axiome gewinnen.</p> +<p>Dann aber haben uns diese Untersuchungen mit einem werthvollen +mathematischen Begriffe beschenkt: dem Begriffe einer +Mannigfaltigkeit von constanter Krümmung. Er hängt, wie bereits +bemerkt und wie in §.10 des Textes noch weiter ausgeführt ist, mit +der unabhängig von aller Parallelentheorie erwachsenen +projectivischen Maßbestimmung auf das Innigste zusammen. Wenn das +Studium dieser Maßbestimmung an und für sich hohes mathematisches +Interesse bietet und zahlreiche Anwendungen gestattet, so kommt +hinzu, dass sie die in der Geometrie gegebene Maßbestimmung als +speciellen Fall (Gränz-fall) umfasst und uns lehrt, dieselbe von +einem erhöhten Standpuncte aufzufassen.</p> +<p>Völlig unabhängig von den entwickelten Gesichtspunkten steht die +Frage, welche Gründe das Parallelen-Axiom stützen, ob wir dasselbe +als absolut gegeben — wie die Einen wollen — oder als durch +Erfahrung nur approximativ erwiesen — wie die Anderen sagen — +betrachten wollen. Sollten Gründe sein, das letztere anzunehmen, so +geben uns die fragl. mathematischen Untersuchungen an die Hand, wie +man dann eine exactere Geometrie zu construiren habe. Aber die +Fragestellung ist offenbar eine philosophische, welche die +allgemeinsten Grundlagen unserer Erkenntniss betrifft. Den +Mathematiker <em>als solchen</em> interessirt die Fragestellung +nicht, und er wünscht, dass seine Untersuchungen nicht als abhängig +betrachtet werden von der Antwort, die man von der einen oder der +anderen Seite auf die Frage geben mag.</p> +<h2 id= +"vi.-liniengeometrie-als-untersuchung-einer-mannigfaltigkeit-von-constantem-kr.mmungsma.e."> +<a href="#TOC">VI. Liniengeometrie als Untersuchung einer +Mannigfaltigkeit von constantem Krümmungsmaße.</a></h2> +<p>Wenn wir Liniengeometrie mit der projectivischen Maßbestimmung +in einer fünffach ausgedehnten Mannigfaltigkeit in Verbindung +setzen, müssen wir beachten, dass wir in den geraden Linien nur die +(im Sinne der Maßbestimmung) unendlich fernen Elemente der +Mannigfaltigkeit vor uns haben. Es wird daher nöthig, zu überlegen, +welchen Werth eine projectivische Maßbestimmung für ihre unendlich +fernen Elemente hat, und das mag hier etwas auseinandergesetzt +werden, um Schwierigkeiten, die sich sonst der Auffassung der +Liniengeometrie als einer Maßgeometrie entgegen stellen, zu +entfernen. Wir knüpfen diese Auseinandersetzungen an das +anschauliche Beispiel, welches die auf eine Fläche zweiten Grades +gegründete projectivische Maßbestimmung ergibt.</p> +<p>Zwei beliebig angenommene Puncte des Raumes haben in Bezug auf +die Fläche eine absolute Invariante: ihr Doppelverhältniss zu den +beiden Durchschnittspuncten ihrer Verbindungsgeraden mit der +Fläche. Rücken aber die beiden Puncte auf die Fläche, so wird dies +Doppelverhältniss unabhängig von der Lage der Puncte gleich Null, +ausser in dem Falle, dass die beiden Puncte auf eine Erzeugende zu +liegen kommen, wo es unbestimmt wird. Dies ist die einzige +Particularisation, die in ihrer Beziehung eintreten kann, wenn sie +nicht zusammenfallen, und wir haben also den Satz:</p> +<p><em>Die projectivische Maßbestimmung, welche man im Raume auf +eine Fläche zweiten Grades gründen kann, ergibt für die Geometrie +auf der Fläche noch keine Maßbestimmung.</em></p> +<p>Hiermit hängt zusammen, dass man durch lineare Transformationen +der Fläche in sich selbst drei beliebige Puncte derselben mit drei +anderen zusammenfallen lassen kann<sup><a href="#fn34" class= +"footnoteRef" id="fnref34" name="fnref34">34</a></sup>.</p> +<p>Will man auf der Fläche selbst eine Maßbestimmung haben, so muss +man die Gruppe der Transformationen beschränken, und dies erreicht +man, indem man einen beliebigen Raumpunct (oder seine Polarebene) +festhält. Der Raumpunct sei zunächst nicht auf der Fläche gelegen. +So projicire man die Fläche von dem Puncte auf eine Ebene, wobei +ein Kegelschnitt als Uebergangscurve auftritt. Auf diesen +Kegelschnitt gründe man in der Ebene eine projectivische +Maßbestimmung, die man dann rückwärts auf die Fläche +überträgt<sup><a href="#fn35" class="footnoteRef" id="fnref35" +name="fnref35">35</a></sup>. Dies ist eine eigentliche +Maßbestimmung von constanter Krümmung und man hat also den +Satz:</p> +<p><em>Auf der Fläche erhält man eine solche Maßbestimmung, sowie +man einen ausserhalb der Fläche gelegenen Punct festhält.</em></p> +<p>Entsprechend findet man<sup><a href="#fn36" class="footnoteRef" +id="fnref36" name="fnref36">36</a></sup>:</p> +<p><em>Eine Maßbestimmung von verschwindender Krümmung erhält man +auf der Fläche, wenn man für den festen Punct einen Punct der +Fläche selbst wählt.</em></p> +<p>Für alle diese Maßbestimmungen auf der Fläche sind die +Erzeugenden der Fläche Linien von verschwindender Länge. Der +Ausdruck für das Bogenelement auf der Fläche ist also für die +verschiedenen Bestimmungen nur um einen Factor verschieden. Ein +absolutes Bogenelement auf der Fläche gibt es nicht. Wohl aber kann +man von dem Winkel sprechen, den Fortschreitungsrichtungen auf der +Fläche mit einander bilden. —</p> +<p>Alle diese Sätze und Betrachtungen können nun ohne Weiteres für +Liniengeometrie benutzt werden. Für den Linienraum selbst existirt +zunächst keine eigentliche Maßbestimmung. Eine solche erwächst +erst, wenn wir einen linearen Complex fest halten, und zwar erhält +sie constante oder verschwindende Krümmung, je nachdem der Complex +ein allgemeiner oder ein specieller (eine Gerade) ist. An die +Auszeichnung eines Complexes ist namentlich auch die Geltung eines +absoluten Bogenelements geknüpft. Unabhängig davon sind die +Fortschreitungsrichtungen zu benachbarten Geraden, welche die +gegebene schneiden, von der Länge Null, und auch kann man von einem +Winkel reden, den zwei beliebige Fortschreitungsrichtungen mit +einander bilden<sup><a href="#fn37" class="footnoteRef" id= +"fnref37" name="fnref37">37</a></sup>.</p> +<h2 id="vii.-zur-interpretation-der-bin.ren-formen."><a href= +"#TOC">VII. Zur Interpretation der binären Formen.</a></h2> +<p>Es mag hier der übersichtlichen Gestalt gedacht werden, welche, +unter Zugrundelegung der Interpretation von <span class= +"math"><em>x</em> + <em>i</em><em>y</em></span> auf der +Kugelfläche, dem Formensysteme der cubischen und der +biquadratischen binären Form ertheilt werden kann.</p> +<p>Eine cubische binäre Form <span class="math"><em>f</em></span> +hat eine cubische Covariante <span class="math"><em>Q</em></span>, +eine quadratische <span class="math">Δ </span>, und eine Invariante +<span class="math"><em>R</em></span><sup><a href="#fn38" class= +"footnoteRef" id="fnref38" name="fnref38">38</a></sup>. Aus +<span class="math"><em>f</em></span> und <span class= +"math"><em>Q</em></span> setzt sich eine ganze Reihe von +Covarianten sechsten Grades<br /> +<span class= +"math"><em>Q</em><sup>2</sup> + <em>λ</em> ⋅ <em>R</em><em>f</em><sup>2</sup></span><br /> + +zusammen, unter denen auch <span class="math">Δ <sup>3</sup></span> +enthalten ist. Man kann zeigen<sup><a href="#fn39" class= +"footnoteRef" id="fnref39" name="fnref39">39</a></sup>, dass jede +Covariante der cubischen Form in solche Gruppen von sechs Puncten +zerfallen muss. Insofern <span class="math"><em>λ</em></span> +complexe Werthe annehmen kann, gibt es zweifach unendlich viele +derselben.</p> +<p>Das ganze so umgrenzte Formensystem kann auf der Kugel nun +folgendermaßen repräsentirt werden. Durch geeignete lineare +Transformation der Kugel in sich selbst bringe man die drei Puncte, +welche <span class="math"><em>f</em></span> repräsentiren, in drei +äquidistante Puncte eines grössten Kreises. Derselbe mag als +Aequator bezeichnet sein; auf ihm haben die drei Puncte +<span class="math"><em>f</em></span> die geographische Länge 0°, +120°, 240°. So wird <span class="math"><em>Q</em></span> durch die +Puncte des Aequators mit der Länge 60°, 180°, 300°, <span class= +"math">Δ </span> durch die beiden Pole vorgestellt. Jede Form +<span class= +"math"><em>Q</em><sup>2</sup> + <em>λ</em><em>R</em><em>f</em><sup>2</sup></span> +ist durch 6 Puncte repräsentirt, deren geographische Breite und +Länge, unter <span class="math"><em>α</em></span> und <span class= +"math"><em>β</em></span> beliebige Zahlen verstanden, in dem +folgenden Schema enthalten ist:</p> +<p>(<span class="math"><em>α</em></span>, <span class= +"math"><em>β</em></span>), (<span class="math"><em>α</em></span>, +<span class="math">120 + <em>β</em></span>), (<span class= +"math"><em>α</em></span>, <span class= +"math">240 + <em>β</em></span>) , (<span class= +"math"> − <em>α</em></span>, <span class= +"math"> − <em>β</em></span>), (<span class= +"math"> − <em>α</em></span>, <span class= +"math">120 − <em>β</em></span>), (<span class= +"math"> − <em>α</em></span>, <span class= +"math">240 − <em>β</em></span>)</p> +<p>Verfolgt man diese Punctsysteme auf der Kugel, so ist es +interessant, zu sehen, wie <span class="math"><em>f</em></span> und +<span class="math"><em>Q</em></span> doppelt, <span class= +"math">Δ </span> dreifach zählend aus denselben entsteht.</p> +<p>Eine biquadratische Form <span class="math"><em>f</em></span> +hat eine ebensolche Covariante <span class= +"math"><em>H</em></span>, eine Covariante sechsten Grades +<span class="math"><em>T</em></span>, zwei Invarianten <span class= +"math"><em>i</em></span> und <span class="math"><em>j</em></span>. +Besonders zu bemerken ist die Schaar biquadratischer Formen +<span class= +"math"><em>i</em><em>H</em> + <em>λ</em><em>j</em><em>f</em></span>, +die alle zu dem nämlichen <span class="math"><em>T</em></span> +gehören, und unter denen die drei quadratischen Factoren, in welche +man <span class="math"><em>T</em></span> zerlegen kann, doppelt +zählend enthalten sind. —</p> +<p>Man lege jetzt durch den Mittelpunct der Kugel drei zu einander +rechtwinklige Axen <span class="math"><em>O</em><em>X</em></span>, +<span class="math"><em>O</em><em>Y</em></span>, <span class= +"math"><em>O</em><em>Z</em></span>. Ihre 6 Durchstosspuncte mit der +Kugel bilden die Form <span class="math"><em>T</em></span>. Die 4 +Puncte eines Quadrupels <span class= +"math"><em>i</em><em>H</em> + <em>λ</em><em>j</em><em>f</em></span> +sind, unter <span class="math"><em>x</em></span>, <span class= +"math"><em>y</em></span>, <span class="math"><em>z</em></span> +Coordinaten eines beliebigen Kugelpunctes verstanden, durch das +Schema</p> +<pre> +<code> x, y, z, + x, -y, -z, +-x, y, -z, +-x, -y, z +</code> +</pre> +<p>vorgestellt. Die vier Puncte bilden jedesmal die Ecken eines +symmetrischen Tetraeders, dessen gegenüberstehende Seiten von den +Axen des Coordinatensystems halbirt werden, wodurch die Rolle, +welche <span class="math"><em>T</em></span> in der Theorie der +biquadratischen Gleichungen als Resolvente von <span class= +"math"><em>i</em><em>H</em> + <em>λ</em><em>j</em><em>f</em></span> +spielt, gekennzeichnet ist.</p> +<p><em>Erlangen</em> im October 1872.</p> +<hr /> +<p>[1] C. Jordan, “Mémoire sur les groupes de mouvements.” In: +<em>Annali di Matematica pura et applicata</em> +<strong>1896</strong>, <em>2</em>, 167-215 − <a href= +"http://dx.doi.org/10.1007/BF02419610" title= +"http://dx.doi.org/10.1007/BF02419610">http://dx.doi.org/10.1007/BF02419610</a>.</p> +<p>[2] K. G. C. v. Staudt, <em>Geometrie Der Lage</em>, Fr. Korn, +Nürnberg, <strong>1847</strong>.</p> +<p>[3] K. G. C. v. Staudt, <em>Beiträge Zur Geometrie Der Lage. +Erstes Heft</em>, Fr. Korn, Nürnberg, <strong>1856</strong>.</p> +<p>[4] K. G. C. v. Staudt, <em>Beiträge Zur Geometrie Der Lage. +Zweites Heft</em>, Fr. Korn, Nürnberg, <strong>1857</strong>.</p> +<p>[5] K. G. C. v. Staudt, <em>Beiträge Zur Geometrie Der Lage. +Drittes Heft</em>, Fr. Korn, Nürnberg, <strong>1860</strong>.</p> +<p>[6] F. Klein, “Ueber Liniengeometrie und metrische Geometrie” +In: <em>Mathematische Annalen</em> <strong>1872</strong>, +<em>5</em>, 257-277 − <a href= +"http://dx.doi.org/10.1007/BF01444841" title= +"http://dx.doi.org/10.1007/BF01444841">http://dx.doi.org/10.1007/BF01444841</a>.</p> +<p>[7] O. Hesse, “Ein Uebertragungsprinzip” In: <em>Crelle’s +Journal für die reine und angewandte Mathematik</em> +<strong>1866</strong>, <em>66</em>, 15-22 − <a href= +"http://gdz.sub.uni-goettingen.de/ru/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0066&DMDID=dmdlog6" +title= +"http://gdz.sub.uni-goettingen.de/ru/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0066&DMDID=dmdlog6"> +http://gdz.sub.uni-goettingen.de/ru/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0066&DMDID=dmdlog6</a>.</p> +<p>[8] F. Klein, “Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie. +Zweiter Aufsatz.” In: <em>Mathematische Annalen</em> +<strong>1873</strong>, <em>6</em>, 112-145 − <a href= +"http://dx.doi.org/10.1007/BF01443189" title= +"http://dx.doi.org/10.1007/BF01443189">http://dx.doi.org/10.1007/BF01443189</a>.</p> +<p>[9] P. Lejeune-Dirichlet, <em>Vorlesungen Über +Zahlentheorie</em>, Vieweg, Braunschweig, +<strong>1863</strong>.</p> +<p>[10] S. Lie, “Ueber Complexe, insbesondere Linien- und +Kugel-Complexe, mit Anwendung auf die Theorie partieller +Differential-Gleichungen.” In: <em>Mathematische Annalen</em> +<strong>1872</strong>, <em>5</em>, 145-208 − <a href= +"http://dx.doi.org/10.1007/BF01446331" title= +"http://dx.doi.org/10.1007/BF01446331">http://dx.doi.org/10.1007/BF01446331</a>.</p> +<p>[11] S. Lie, “Ueber diejenige Theorie eines Raumes mit beleibig +vielen Dimensionen, die der Krümmungs-Theorie des gewöhnlichen +Raumes entspricht.” In: <em>Nachrichten von der Königl. +Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität +zu Göttingen</em> <strong>1871</strong>, <em>7</em>, 191-209 − +<a href= +"http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN252457072_1871" +title= +"http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN252457072_1871">http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN252457072_1871</a>.</p> +<p>[12] H. Grassmann, <em>Die Ausdehnungslehre</em>, Enslin, +Berlin, <strong>1862</strong>.</p> +<p>[13] S. Lie, “Zur Theorie partieller Differentialgleichungen +erster Ordnung; insbesondere über eine Classification derselben.” +In: <em>Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften +und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen</em> +<strong>1872</strong>, <em>8</em>, 473-490 − <a href= +"http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=PPN252457072_1872" +title= +"http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=PPN252457072_1872">http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=PPN252457072_1872</a>.</p> +<p>[14] A. Clebsch, “Ueber eine Fundamentalaufgabe der +Invariantentheorie.” In: <em>Mathematische Annalen</em> +<strong>1872</strong>, <em>5</em>, 427-434 − <a href= +"http://dx.doi.org/10.1007/BF01442803" title= +"http://dx.doi.org/10.1007/BF01442803">http://dx.doi.org/10.1007/BF01442803</a>.</p> +<p>[15] A. Clebsch, “Ueber ein neues Grundgebilde der analysischen +Geometrie.” In: <em>Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der +Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen</em> +<strong>1872</strong>, <em>22</em>, 429-448 − <a href= +"http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN252457072_1872" +title= +"http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN252457072_1872">http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN252457072_1872</a>.</p> +<p>[16] A. Clebsch, “Ueber ein neues Grundgebilde der analysischen +Geometrie der Ebene.” In: <em>Mathematische Annalen</em> +<strong>1872</strong>, <em>6</em>, 203-215 − <a href= +"http://dx.doi.org/10.1007/BF01443192" title= +"http://dx.doi.org/10.1007/BF01443192">http://dx.doi.org/10.1007/BF01443192</a>.</p> +<p>[17] H. Grassmann, <em>Die Lineale Ausdehnungslehre / Ein Neuer +Zweig Der Mathematik / Dargestellt Und Durch Anwendungen Auf Die +Übrigen Zweige Der Mathematik, Wie Auch Auf Die Statik, Mechanik, +Die Lehre Vom Magnetismus Und Die Krystallonomie Erläutert</em>, O. +Wigand, Leipzig, <strong>1844</strong>.</p> +<p>[18] F. und L. S. Klein, “Ueber diejenigen ebenen Curven, welche +durch ein geschlossenes System von einfach unendlich vielen +vertauschbaren linearen Transformationen in sich übergehen.” In: +<em>Mathematische Annalen</em> <strong>1871</strong>, <em>3</em>, +50-84 − <a href="http://dx.doi.org/10.1007/BF01443297" title= +"http://dx.doi.org/10.1007/BF01443297">http://dx.doi.org/10.1007/BF01443297</a>.</p> +<p>[19] J. A. Serret, <em>Cours D’algèbre Supérieure</em>, +Gauthier-villard, Paris, <strong>1866</strong>.</p> +<p>[20] C. Jordan, <em>Traité Des Substitutions Et Des Équations +Algébriques</em>, Gauthier-villard, Paris, +<strong>1870</strong>.</p> +<p>[21] A. Clebsch, <em>Theorie Der Binären Algebraischen +Formen</em>, Teubner, Leipzig, <strong>1872</strong>.</p> +<p>[22] F. Klein, “Ueber eine geometrische Repräsentation der +Resolventen algebraischer Gleichungen.” In: <em>Mathematische +Annalen</em> <strong>1871</strong>, <em>4</em>, 346-358 − <a href= +"http://dx.doi.org/10.1007/BF01442600" title= +"http://dx.doi.org/10.1007/BF01442600">http://dx.doi.org/10.1007/BF01442600</a>.</p> +<div class="footnotes"> +<hr /> +<ol> +<li id="fn1"> +<p>Vergl. Note I. des Anhangs. <a href="#fnref1" class= +"footnoteBackLink">↩</a></p> +</li> +<li id="fn2"> +<p>Vergl. Note II <a href="#fnref2" class= +"footnoteBackLink">↩</a></p> +</li> +<li id="fn3"> +<p>Vergl. Note III <a href="#fnref3" class= +"footnoteBackLink">↩</a></p> +</li> +<li id="fn4"> +<p>Vergl. Note IV <a href="#fnref4" class= +"footnoteBackLink">↩</a></p> +</li> +<li id="fn5"> +<p>Diese knappe Form ist ein Mangel der im Folgenden gegebenen +Darstellung, der das Verständniss, wie ich fürchte, wesentlich +erschweren wird. Aber dem hätte wohl nur durch eine sehr viel +weitere Auseinandersetzung abgeholfen werden können, in der die +Einzel-Theorien, die hier nur berührt werden, ausführlich +entwickelt worden wären. <a href="#fnref5" class= +"footnoteBackLink">↩</a></p> +</li> +<li id="fn6"> +<p>Wir denken von den Transformationen immer die Gesammtheit der +räumlichen Gebilde gleichzeitig betroffen und reden desshalb +schlechthin von Transformationen des Raumes. Die Transformationen +können, wie z. B. die dualistischen, statt der Puncte andere +Elemente einführen; es wird dies im Texte nicht unterschieden. +<a href="#fnref6" class="footnoteBackLink">↩</a></p> +</li> +<li id="fn7"> +<p>Begriffsbildung wie Bezeichnung sind herübergenommen von der +<em>Substitutionstheorie</em>, in der nur an Stelle der +Transformationen eines continuirlichen Gebietes die Vertauschungen +einer endlichen Zahl discreter Grössen auftreten. <a href="#fnref7" +class="footnoteBackLink">↩</a></p> +</li> +<li id="fn8"> +<p>Camille Jordan hat alle Gruppen aufgestellt, die überhaupt in +der Gruppe der Bewegungen enthalten sind: Sur les groupes de +mouvements. Annali di Matematica. t. II[1] <a href="#fnref8" class= +"footnoteBackLink">↩</a></p> +</li> +<li id="fn9"> +<p>Die Transformationen einer Gruppe brauchen übrigens durchaus +nicht, wie das bei den im Texte zu nennenden Gruppen allerdings +immer der Fall sein wird, in stetiger Aufeinanderfolge vorhanden zu +sein. Eine Gruppe bildet z. B. auch die endliche Reihe von +Bewegungen, die einen regelmässigen Körper mit sich selbst zur +Deckung bringen, oder die unendliche, aber discrete Reihe, welche +eine Sinuslinie sich selber superponiren. <a href="#fnref9" class= +"footnoteBackLink">↩</a></p> +</li> +<li id="fn10"> +<p>Unter dem Sinne verstehe ich hier die Eigenschaft der Anordnung, +welche den Unterschied von der symmetrischen Figur (dem +Spiegelbilde) begründet. Ihrem Sinne nach unterschieden sind also +z. B. eine rechts- und eine linksgewundene Schraubenlinie. +<a href="#fnref10" class="footnoteBackLink">↩</a></p> +</li> +<li id="fn11"> +<p>Dass diese Transformationen eine Gruppe bilden, ist begrifflich +nothwendig. <a href="#fnref11" class="footnoteBackLink">↩</a></p> +</li> +<li id="fn12"> +<p>Man erzeugt ein solches Gebilde beispielsweise, indem man auf +ein beliebiges Anfangselement, das durch keine Transformation der +gegebenen Gruppe in sich selbst überzuführen ist, die +Transformationen der Hauptgruppe anwendet. <a href="#fnref12" +class="footnoteBackLink">↩</a></p> +</li> +<li id="fn13"> +<p>Diese Anschauungsweise ist als eine der schönsten Leistungen von +<em>Chasles</em> zu betrachten; durch sie erst gewinnt die +Eintheilung in Eigenschaften der Lage und Eigenschaften des Maßes, +wie man sie gern an die Spitze der projectivischen Geometrie +stellt, einen präcisen Inhalt. <a href="#fnref13" class= +"footnoteBackLink">↩</a></p> +</li> +<li id="fn14"> +<p>Den erweiterten Kreis, der auch imaginäre Umformungen umspannt, +hat <em>v. Staudt</em> erst in den „Beiträgen zur Geometrie der +Lage"[3–5] zu Grunde gelegt. <a href="#fnref14" class= +"footnoteBackLink">↩</a></p> +</li> +<li id="fn15"> +<p>Wenn man will, ist hier das Princip unter etwas erweiterter Form +angewendet. <a href="#fnref15" class="footnoteBackLink">↩</a></p> +</li> +<li id="fn16"> +<p>Statt des Kegelschnittes in der Ebene kann man mit gleichem +Erfolge eine Raumcurve dritter Ordnung einführen, überhaupt bei +<span class="math"><em>n</em></span> Dimensionen etwas +Entsprechendes aufstellen <a href="#fnref16" class= +"footnoteBackLink">↩</a></p> +</li> +<li id="fn17"> +<p>Bez. anderer Beispiele, sowie namentlich der Erweiterungen auf +mehr Dimensionen, deren die angeführten fähig sind, verweise ich +auf bez. Auseinandersetzungen in einem Aufsatze von mir[6] sowie +auf die sogleich noch zu nennenden <em>Lie</em>schen Arbeiten. +<a href="#fnref17" class="footnoteBackLink">↩</a></p> +</li> +<li id="fn18"> +<p>Vergl. Note III. <a href="#fnref18" class= +"footnoteBackLink">↩</a></p> +</li> +<li id="fn19"> +<p>Vergl. Note V <a href="#fnref19" class= +"footnoteBackLink">↩</a></p> +</li> +<li id="fn20"> +<p>Vergl. Note VI. <a href="#fnref20" class= +"footnoteBackLink">↩</a></p> +</li> +<li id="fn21"> +<p>Ich wähle den Namen nach dem Vorgange von <em>Dedekind</em>, der +in der Zahlentheorie ein Zahlengebiet als Körper bezeichnet, wenn +es aus gegebenen Elementen durch gegebene Operationen entstanden +ist (Zweite Auflage von <em>Dirichlet</em>s Vorlesungen [9].) +<a href="#fnref21" class="footnoteBackLink">↩</a></p> +</li> +<li id="fn22"> +<p>Geometrie der reciproken Radien auf der Geraden ist mit der +projectivischen Untersuchung der Geraden gleichbedeutend, da die +bez. Umformungen die nämlichen sind. Man kann daher auch in der +Geometrie der reciproken Radien von einem +<em>Doppelverhältnisse</em> von vier Puncten einer Geraden und +weiterhin eines Kreises reden. <a href="#fnref22" class= +"footnoteBackLink">↩</a></p> +</li> +<li id="fn23"> +<p>Vergleiche die bereits genannte Arbeit: Ueber Liniengeometrie +und metrische Geometrie. Math. Annalen Bd. V [6]. <a href= +"#fnref23" class="footnoteBackLink">↩</a></p> +</li> +<li id="fn24"> +<p>Vergl. Note VII. <a href="#fnref24" class= +"footnoteBackLink">↩</a></p> +</li> +<li id="fn25"> +<p>Partielle Differentialgleichungen und Complexe. Math. Annalen +V.[10] <a href="#fnref25" class="footnoteBackLink">↩</a></p> +</li> +<li id="fn26"> +<p>Diese Transformationen werden gelegentlich in +<em>Grassmann</em>s Ausdehnungslehre betrachtet (in der Auflage von +1862, [12] p. 278). <a href="#fnref26" class= +"footnoteBackLink">↩</a></p> +</li> +<li id="fn27"> +<p>Projicirt man die Mannigfaltigkeit stereographisch, so erhält +man den bekannten Satz: In mehrfach ausgedehnten Gebieten (schon im +Raume) gibt es ausser den Transformationen, die sich in der Gruppe +der reciproken Radien befinden, keine conformen +Puncttransformationen. In der Ebene gibt es dagegen beliebig viele +andere. Vergl. auch die citirten Arbeiten von <em>Lie</em> +([10,11]). <a href="#fnref27" class="footnoteBackLink">↩</a></p> +</li> +<li id="fn28"> +<p>Vergl. bes. die bereits citirte Arbeit[10]: Ueber partielle +Differentialgleichungen und Complexe. Math. Ann. V. Die im Texte +gegebenen Ausführungen betr. partielle Differentialgleichungen habe +ich wesentlich mündlichen Mittheilungen von <em>Lie</em> entnommen; +vergl. dessen Note[13]: Zur Theorie partieller +Differentialgleichungen. Göttinger Nachrichten. Oct. 1872. <a href= +"#fnref28" class="footnoteBackLink">↩</a></p> +</li> +<li id="fn29"> +<p>Ich verdanke diese Definitionen einer Bemerkung von +<em>Lie</em>. <a href="#fnref29" class="footnoteBackLink">↩</a></p> +</li> +<li id="fn30"> +<p>Gött. Abhandlungen. 1872. (Bd. 17): Ueber eine +Fundamentalaufgabe der Invariantentheorie[14], sowie namentlich +Gött. Nachrichten 1872. Nr. 22: Ueber ein neues Grundgebilde der +analytischen Geometrie der Ebene[15,16]. <a href="#fnref30" class= +"footnoteBackLink">↩</a></p> +</li> +<li id="fn31"> +<p>Ich erinnere hier daran, dass <em>Grassmann</em> bereits in der +Einleitung zur ersten Auflage seiner Ausdehnungslehre (1844, [17]) +die Combinatorik und die Ausdehnungslehre parallelisirt. <a href= +"#fnref31" class="footnoteBackLink">↩</a></p> +</li> +<li id="fn32"> +<p>Vergleiche den gemeinsamen Aufsatz: Ueber diejenigen ebenen +Curven, welche durch ein geschlossenes System von einfach unendlich +vielen vertauschbaren linearen Transformationen in sich übergehen, +Math. Annalen Bd. IV. [18]. <a href="#fnref32" class= +"footnoteBackLink">↩</a></p> +</li> +<li id="fn33"> +<p>Ich muss mir versagen, im Texte auf die Fruchtbarkeit +hinzuweisen, welche die Betrachtung unendlich kleiner +Transformationen in der Theorie der Differentialgleichungen hat. In +§.7. der citirten Arbeit haben <em>Lie</em> und ich gezeigt: +Gewöhnliche Differentialgleichungen, welche gleiche unendlich +kleine Transformationen zugeben, bieten gleiche +Integrationsschwierigkeiten. Wie die Betrachtungen für partielle +Differentialgleichungen zu verwerthen seien, hat <em>Lie</em> an +verschiedenen Orten, so bes. in dem früher genannten Aufsatze +(Math. Ann. V., [10]) an verschiedenen Beispielen +auseinandergesetzt (vergl. namentlich auch Mittheilungen der +Academie zu Christiania. Mai 1872.) <a href="#fnref33" class= +"footnoteBackLink">↩</a></p> +</li> +<li id="fn34"> +<p>Diese Verhältnisse ändern sich bei der gew. Maßgeometrie; zwei +unendlich ferne Puncte haben für sie freilich eine absolute +Invariante. Der Widerspruch, den man in der Abzählung der linearen +Transformationen der unendlich fernen Fläche in sich selbst hiermit +finden könnte, erledigt sich dadurch, dass die unter ihnen +befindlichen Translationen und Aehnlichkeitstransformationen das +Unendlich-Ferne überhaupt nicht ändern. <a href="#fnref34" class= +"footnoteBackLink">↩</a></p> +</li> +<li id="fn35"> +<p>Vergl. §.7 des Textes. <a href="#fnref35" class= +"footnoteBackLink">↩</a></p> +</li> +<li id="fn36"> +<p>Vergl. §.4 des Textes. <a href="#fnref36" class= +"footnoteBackLink">↩</a></p> +</li> +<li id="fn37"> +<p>Vergl. den Aufsatz: Ueber Liniengeometrie und metrische +Geometrie. Math. Ann. Bd. V. p. 271.[6] <a href="#fnref37" class= +"footnoteBackLink">↩</a></p> +</li> +<li id="fn38"> +<p>Vergl. hiezu die betr. Abschnitte von <em>Clebsch</em>: Theorie +der binären Formen[21] <a href="#fnref38" class= +"footnoteBackLink">↩</a></p> +</li> +<li id="fn39"> +<p>Durch Betrachtung der linearen Transformationen von <span class= +"math"><em>f</em></span> in sich selbst, vergl. Math. Ann, IV. p. +352 [22] <a href="#fnref39" class="footnoteBackLink">↩</a></p> +</li> +</ol> +</div> +<h1>Anmerkungen zur Transkription</h1> +<p>Wir verwendeten ABBYY Mac für die OCR. Pandoc konvertierte nach +plain text und HTML.</p> +<p>Die Rechtschreibung wurde belassen (Ausnahmen: Maß/Mass, +Genitiv-Apostroph), kleinere Fehler ausgebessert. Die +Einzelnachweise wurden nachrecherchiert und, wo vorhanden, mit URL +versehen und als bibtex-Datenbank verarbeitet.</p> +<p>Der markdown-Quelltext, die bibtex-Datenbank und alle anderen +Hilfsdateien einschließlich der ursprünglichen Seitenbilder +befinden sich auf github.com/rwst/book-klein-erlangen. Dort können +Fehler gemeldet und gepatcht werden. R.S.</p> + + + + + + + +<pre> + + + + + +End of the Project Gutenberg EBook of Vergleichende Betrachtungen übe + neuere geometrische Forschungen, by Felix Klein + +*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK VERGLEICHENDE BETRACHTUNGEN *** + +***** This file should be named 38033-h.htm or 38033-h.zip ***** +This and all associated files of various formats will be found in: + http://www.gutenberg.org/3/8/0/3/38033/ + +Produced by R.S. + +Updated editions will replace the previous one--the old editions +will be renamed. + +Creating the works from public domain print editions means that no +one owns a United States copyright in these works, so the Foundation +(and you!) can copy and distribute it in the United States without +permission and without paying copyright royalties. Special rules, +set forth in the General Terms of Use part of this license, apply to +copying and distributing Project Gutenberg-tm electronic works to +protect the PROJECT GUTENBERG-tm concept and trademark. 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Information about the Project Gutenberg Literary Archive +Foundation + +The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit +501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the +state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal +Revenue Service. The Foundation's EIN or federal tax identification +number is 64-6221541. Its 501(c)(3) letter is posted at +http://pglaf.org/fundraising. Contributions to the Project Gutenberg +Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent +permitted by U.S. federal laws and your state's laws. + +The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S. +Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered +throughout numerous locations. Its business office is located at +809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email +business@pglaf.org. 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