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You may copy it, give it away or +re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included +with this eBook or online at www.gutenberg.org + + +Title: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen + +Author: Felix Klein + +Release Date: November 16, 2011 [EBook #38033] + +Language: German + +Character set encoding: UTF-8 + +*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK VERGLEICHENDE BETRACHTUNGEN *** + + + + +Produced by R.S. + + + + +Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen + Felix Klein + 1872 + + Erlangen + Verlag von Andreas Deichert + +Unter den Leistungen der letzten fünfzig Jahre auf dem Gebiete der +Geometrie nimmt die Ausbildung der projectivischen[^1] Geometrie die +erste Stelle ein. Wenn es anfänglich schien, als sollten die sogenannten +metrischen Beziehungen ihrer Behandlung nicht zugänglich sein, da sie +beim Projiciren nicht ungeändert bleiben, so hat man in neuerer Zeit +gelernt, auch sie vom projectivischen Standpuncte aufzufassen, so dass +nun die projectivische Methode die gesammte Geometrie umspannt. Die +metrischen Eigenschaften erscheinen in ihr nur nicht mehr als +Eigenschaften der räumlichen Dinge an sich, sondern als Beziehungen +derselben zu einem Fundamental-Gebilde, dem unendlich fernen +Kugelkreise. + +Vergleicht man mit der so allmählich gewonnenen Auffassungsweise der +räumlichen Dinge die Vorstellungen der gewöhnlichen (elementaren) +Geometrie, so entsteht die Frage nach einem allgemeinen Principe, nach +welchem die beiden Methoden sich ausbilden konnten. Diese Frage +erscheint um so wichtiger als sich neben die elementare und die +projectivische Geometrie, ob auch minder entwickelt, eine Reihe anderer +Methoden stellt, denen man dasselbe Recht selbständiger Existenz +zugestehen muss. Dahin gehören die Geometrie der reciproken Radien, die +Geometrie der rationalen Umformungen etc., wie sie in der Folge noch +erwähnt und dargestellt werden sollen. + +Wenn wir es im Nachstehenden unternehmen, ein solches Princip +aufzustellen, so entwickeln wir wohl keinen eigentlich neuen Gedanken, +sondern umgränzen nur klar und deutlich, was mehr oder minder bestimmt +von Manchem gedacht worden ist. Aber es schien um so berechtigter, +derartige zusammenfassende Betrachtungen zu publiciren, als die +Geometrie, die doch ihrem Stoffe nach einheitlich ist, bei der raschen +Entwicklung, die sie in der letzten Zeit genommen hat, nur zu sehr in +eine Reihe von beinahe getrennten Disciplinen zerfallen ist[^2], die +sich ziemlich unabhängig von einander weiter bilden. Es lag dabei aber +auch noch die besondere Absicht vor, Methoden und Gesichtspuncte +darzulegen, welche von Lie und mir in neueren Arbeiten entwickelt +wurden. Es haben unsere beiderseitigen Arbeiten, auf wie +verschiedenartige Gegenstände sie sich auch bezogen, übereinstimmend auf +die hier dargelegte allgemeine Auffassungsweise hingedrängt, so dass es +eine Art von Nothwendigkeit war, auch einmal diese zu erörtern und von +ihr aus die betr. Arbeiten nach Inhalt und Tendenz zu characterisiren. + +War bisher nur von geometrischen Forschungen die Rede, so sollen +darunter mit verstanden sein die Untersuchungen über beliebig +ausgedehnte Mannigfaltigkeiten, die sich, unter Abstreifung des für die +rein mathemathische Betrachtung unwesentlichen räumlichen Bildes[^3], +aus der Geometrie entwickelt haben[^4]. Es gibt bei der Untersuchung von +Mannigfaltigkeiten eben solche verschiedene Typen, wie in der Geometrie, +und es gilt, wie bei der Geometrie, das Gemeinsame und das +Unterscheidende unabhängig von einander unternommener Forschungen +hervorzuheben. Abstract genommen war es im Folgenden nur nöthig, +schlechthin von mehrfach ausgedehnten Mannigfaltigkeiten zu reden; aber +durch Anknüpfung an die geläufigeren räumlichen Vorstellungen wird die +Auseinandersetzung einfacher und verständlicher. Indem wir von der +Betrachtung der geometrischen Dinge ausgehen und an ihnen als einem +Beispiele die allgemeinen Gedanken entwickeln, verfolgen wir den Gang, +den die Wissenschaft in ihrer Ausbildung genommen hat, und den bei der +Darstellung zu Grunde zu legen gewöhnlich das Vorteilhafteste ist. – + +Eine vorläufige Exposition des im Folgenden besprochenen Inhaltes ist +hier wohl nicht möglich, da sich derselbe kaum in eine knappere Form[^5] +fügen will; die Ueberschriften der Paragraphen werden den allgemeinen +Fortschritt des Gedankens angeben. Ich habe zum Schlusse eine Reihe von +Noten zugefügt, in welchen ich entweder, wo es im Interesse der +allgemeinen Auseinandersetzung des Textes nützlich schien, besondere +Punkte weiter entwickelt habe, oder in denen ich bemüht war, den +abstract mathematischen Standpunkt, der für die Betrachtungen des Textes +maßgebend ist, gegen verwandte abzugränzen. + +§.1. Gruppen von räumlichen Transformationen. Hauptgruppe. Aufstellung +eines allgemeinen Problems. +-------------------------------------------------------------------------------------------------- + +Der wesentlichste Begriff, der bei den folgenden Auseinandersetzungen +nothwendig ist, ist der einer Gruppe von räumlichen Aenderungen. + +Beliebig viele Transformationen des Raumes[^6] ergeben zusammengesetzt +immer wieder eine Transformation. Hat nun eine gegebene Reihe von +Transformationen die Eigenschaft, dass jede Aenderung, die aus den ihr +angehörigen durch Zusammensetzung hervorgeht, ihr selbst wieder +angehört, so soll die Reihe eine Transformationsgruppe[^7] genannt +werden. + +Ein Beispiel für eine Transformationsgruppe bildet die Gesammtheit der +Bewegungen (jede Bewegung als eine auf den ganzen Raum ausgeführte +Operation betrachtet). Eine in ihr enthaltene Gruppe bilden etwa die +Rotationen um einen Punct[^8]. Eine Gruppe, welche umgekehrt die Gruppe +der Bewegungen umfasst, wird durch die Gesammtheit der Collineationen +vorgestellt. Die Gesammtheit der dualistischen Umformungen bildet +dagegen keine Gruppe — denn zwei dualistische Umformungen ergeben +zusammen wieder eine Collineation —, wohl aber wird wieder eine Gruppe +erzeugt, wenn man die Gesammtheit der dualistischen mit der Gesammtheit +der collinearen zusammenfügt[^9]. + +Es gibt nun räumliche Transformationen, welche die geometrischen +Eigenschaften räumlicher Gebilde überhaupt ungeändert lassen. +Geometrische Eigenschaften sind nämlich ihrem Begriffe nach unabhängig +von der Lage, die das zu untersuchende Gebilde im Raume einnimmt, von +seiner absoluten Grösse, endlich auch von dem Sinne[^10], in welchem +seine Theile geordnet sind. Die Eigenschaften eines räumlichen Gebildes +bleiben also ungeändert durch alle Bewegungen des Raumes, durch seine +Aehnlichkeitstransformationen, durch den Process der Spiegelung, sowie +durch alle Transformationen, die sich aus diesen zusammensetzen. Den +Inbegriff aller dieser Transformationen bezeichnen wir als die +Hauptgruppe[^11] räumlicher Aenderungen; geometrische Eigenschaften +werden durch die Transformationen der Hauptgruppe nicht geändert. Auch +umgekehrt kann man sagen: Geometrische Eigenschaften sind durch ihre +Unveränderlichkeit gegenüber den Transformationen der Hauptgruppe +characterisirt. Betrachtet man nämlich den Raum einen Augenblick als +unbeweglich etc., als eine starre Mannigfaltigkeit, so hat jede Figur +ein individuelles Interesse; von den Eigenschaften, die sie als +Individuum hat, sind es nur die eigentlich geometrischen, welche bei den +Aenderungen der Hauptgruppe erhalten bleiben. Dieser hier etwas +unbestimmt formulirte Gedanke wird im weiteren Verlaufe der +Auseinandersetzung deutlicher erscheinen. + +Streifen wir jetzt das mathematisch unwesentliche sinnliche Bild ab, und +erblicken im Raume nur eine mehrfach ausgedehnte Mannigfaltigkeit, also, +indem wir an der gewohnten Vorstellung des Punctes als Raumelement +festhalten, eine dreifach ausgedehnte. Nach Analogie mit den räumlichen +Transformationen reden wir von Transformationen der Mannigfaltigkeit; +auch sie bilden Gruppen. Nur ist nicht mehr, wie im Raume, eine Gruppe +vor den übrigen durch ihre Bedeutung ausgezeichnet; jede Gruppe ist mit +jeder anderen gleichberechtigt. Als Verallgemeinerung der Geometrie +entsteht so das folgende umfassende Problem: + +Es ist eine Mannigfaltigkeit und in derselben eine Transformationsgruppe +gegeben; man soll die der Mannigfaltigkeit angehörigen Gebilde +hinsichtlich solcher Eigenschaften untersuchen, die durch die +Transformationen der Gruppe nicht geändert werden. + +In Anlehnung an die moderne Ausdrucksweise, die man freilich nur auf +eine bestimmte Gruppe, die Gruppe aller linearen Umformungen, zu +beziehen pflegt, mag man auch so sagen: + +Es ist eine Mannigfaltigkeit und in derselben eine Transformationsgruppe +gegeben. Man entwickele die auf die Gruppe bezügliche +Invariantentheorie. + +Dies ist das allgemeine Problem, welches die gewöhnliche Geometrie nicht +nur, sondern namentlich auch die hier zu nennenden neueren geometrischen +Methoden und die verschiedenen Behandlungsweisen beliebig ausgedehnter +Mannigfaltigkeiten unter sich begreift. Was besonders betont sein mag, +ist die Willkürlichkeit, die hinsichtlich der Wahl der zu adjungirenden +Transformationsgruppe besteht, und die daraus fliessende und in diesem +Sinne zu verstehende gleiche Berechtigung aller sich unter die +allgemeine Forderung subsumirenden Betrachtungsweisen. + +§.2. Transformationsgruppen, von denen die eine die andere umfasst, +werden nach einander adjungirt. Die verschiedenen Typen geometrischer +Forschung und ihr gegenseitiges Verhältniss. +-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + +Da die geometrischen Eigenschaften räumlicher Dinge durch alle +Transformationen der Hauptgruppe ungeändert bleiben, so ist es an und +für sich absurd, nach solchen Eigenschaften derselben zu fragen, bei +denen dies nur gegenüber einem Theile dieser Transformationen der Fall +ist. Diese Fragestellung wird indess berechtigt, ob auch nur formal, +wenn wir die räumlichen Gebilde in ihrer Beziehung zu fest gedachten +Elementen untersuchen. Betrachten wir z. B., wie in der sphärischen +Trigonometrie, die räumlichen Dinge unter Auszeichnung eines Punctes. +Dann ist zunächst die Forderung: die unter Adjunction der Hauptgruppe +invarianten Eigenschaften nicht mehr der räumlichen Dinge an sich, +sondern des von ihnen mit dem gegebenen Puncte gebildeten Systems zu +entwickeln. Aber dieser Forderung können wir die andere Form ertheilen: +Man untersuche die räumlichen Gebilde an sich hinsichtlich solcher +Eigenschaften, welche ungeändert bleiben durch diejenigen +Transformationen der Hauptgruppe, welche noch stattfinden können, wenn +wir den Punct fest halten. Mit anderen Worten: Es ist dasselbe, ob wir +die räumlichen Gebilde im Sinne der Hauptgruppe untersuchen und ihnen +den gegebenen Punct hinzufügen, oder ob wir, ohne ihnen irgend ein +Gegebenes hinzuzufügen, die Hauptgruppe durch die in ihr enthaltene +Gruppe ersetzen, deren Transformationen den bez. Punct ungeändert +lassen. + +Es ist dies ein in der Folge häufig angewandtes Princip, das wir +desshalb gleich hier allgemein formuliren wollen; etwa in der folgenden +Weise: + +Es sei eine Mannigfaltigkeit und zu ihrer Behandlung eine auf sie +bezügliche Transformationsgruppe gegeben. Es werde das Problem +vorgelegt, die in der Mannigfaltigkeit enthaltenen Gebilde hinsichtlich +eines gegebenen Gebildes zu untersuchen. So kann man entweder dem +Systeme der Gebilde das gegebene hinzufügen, und es fragt sich dann nach +den Eigenschaften des erweiterten Systems im Sinne der gegebenen Gruppe +— oder, man lasse das System unerweitert, beschränke aber die +Transformationen, die man bei der Behandlung zu Grunde legt, auf +diejenigen in der gegebenen Gruppe enthaltenen, welche das gegebene +Gebilde ungeändert lassen (und die nothwendig wieder eine Gruppe +bilden). — + +Im Gegensatze zu der zu Anfang des Paragraphen aufgeworfenen Frage +beschäftige uns nun die umgekehrte, die von Vornherein verständlich ist. +Wir fragen nach denjenigen Eigenschaften räumlicher Dinge, welche bei +einer Transformationsgruppe erhalten bleiben, die die Hauptgruppe als +einen Theil umfasst. Jede Eigenschaft, die wir bei einer solchen +Untersuchung finden, ist eine geometrische Eigenschaft des Dings an +sich, aber das Umgekehrte gilt nicht. Bei der Umkehr tritt vielmehr das +eben vorgetragene Princip in Kraft, wobei die Hauptgruppe nun die +kleinere Gruppe ist. Wir erhalten so: + +Ersetzt man die Hauptgruppe durch eine umfassendere Gruppe, so bleibt +nur ein Theil der geometrischen Eigenschaften erhalten. Die übrigen +erscheinen nicht mehr als Eigenschaften der räumlichen Dinge an sich, +sondern als Eigenschaften des Systems, welches hervorgeht, wenn man +denselben ein ausgezeichnetes Gebilde hinzufügt. Dieses ausgezeichnete +Gebilde ist (soweit es überhaupt ein bestimmtes[^12] ist) dadurch +definirt, dass es, fest gedacht, dem Raume unter den Transformationen +der gegebenen Gruppe nur noch die Transformationen der Hauptgruppe +gestattet. + +In diesem Satze beruht die Eigenart der hier zu besprechenden neueren +geometrischen Richtungen und ihr Verhältniss zur elementaren Methode. +Sie sind dadurch eben zu characterisiren, dass sie an Stelle der +Hauptgruppe eine erweiterte Gruppe räumlicher Umformungen der +Betrachtung zu Grunde legen. Ihr gegenseitiges Verhältniss ist, sofern +sich ihre Gruppen einschliessen, durch einen entsprechenden Satz +bestimmt. Dasselbe gilt von den verschiedenen hier zu betrachtenden +Behandlungsweisen mehrfach ausgedehnter Mannigfaltigkeiten. Es soll dies +nun an den einzelnen Methoden gezeigt werden, wobei denn die Sätze, die +in diesem und dem vorigen Paragraphen allgemein hingestellt wurden, ihre +Erläuterung an concreten Gegenständen finden. + +§.3. Die projectivische Geometrie. +---------------------------------- + +Jede räumliche Umformung, die nicht gerade der Hauptgruppe angehört, +kann dazu benutzt werden, um Eigenschaften bekannter Gebilde auf neue +Gebilde zu übertragen. So verwerthen wir die Geometrie der Ebene für die +Geometrie der Flächen, die sich auf die Ebene abbilden lassen; so +schloss man schon lange vor dem Entstehen einer eigentlichen +projectivischen Geometrie von den Eigenschaften einer gegebenen Figur +auf Eigenschaften anderer, die durch Projection aus ihr hervorgingen. +Aber die projectivische Geometrie erwuchs erst, als man sich gewöhnte, +die ursprüngliche Figur mit allen aus ihr projectivisch ableitbaren als +wesentlich identisch zu erachten und die Eigenschaften, welche sich beim +Projiciren übertragen, so auszusprechen, dass ihre Unabhängigkeit von +der mit dem Projiciren verknüpften Aenderung in Evidenz tritt. Hiermit +war denn der Behandlung im Sinne von §.1 die Gruppe aller +projectivischen Umformungen zu Grunde gelegt und dadurch eben der +Gegensatz zwischen projectivischer und gewöhnlicher Geometrie +geschaffen. + +Ein ähnlicher Entwicklungsgang, wie der hier geschilderte, kann bei +jeder Art von räumlicher Transformation als möglich gedacht werden; wir +werden noch öfter darauf zurückkommen. Er hat sich innerhalb der +projectivischen Geometrie selbst noch nach zwei Seiten vollzogen. Die +eine Weiterbildung der Auffassung geschah durch Aufnahme der +dualistischen Umformungen in die Gruppe der zu Grunde gelegten +Aenderungen. Für den heutigen Standpunct sind zwei einander dualistisch +entgegenstehende Figuren nicht mehr als zwei unterschiedene sondern als +wesentlich dieselben Figuren anzusehen. Ein anderer Schritt bestand in +der Erweiterung der zu Grunde gelegten Gruppe collinearer und +dualistischer Umformungen durch Aufnahme der bez. imaginären +Transformationen. Dieser Schritt bedingt, dass man vorher den Kreis der +eigentlichen Raumelemente durch Hinzunahme der imaginären erweitert habe +— ganz dem entsprechend, wie die Aufnahme der dualistischen Umformungen +in die zu Grunde gelegte Gruppe die gleichzeitige Einführung von Punct +und Ebene als Raumelement nach sich zieht. Es ist hier nicht der Ort, +auf die Zweckmässigkeit der Einführung imaginärer Elemente zu verweisen, +durch welche allein der genaue Anschluss der Raumlehre an das einmal +gewählte Gebiet algebraischer Operationen erreicht wird. Dagegen muss +betont werden, dass der Grund für die Einführung eben in der Betrachtung +algebraischer Operationen, nicht aber in der Gruppe der projectivischen +und dualistischen Umformungen liegt. So gut wir uns bei den letzteren +auf reelle Transformationen beschränken können, da schon die reellen +Collineationen und dualistischen Transformationen eine Gruppe bilden; — +so gut können wir imaginäre Raumelemente einführen, auch wenn wir nicht +auf projektivischem Standpuncte stehen, und sollen es, sofern wir +principiell algebraische Gebilde untersuchen. + +Wie man vom projectivischem Standpuncte aus die metrischen Eigenschaften +aufzufassen hat, bestimmt sich nach dem allgemeinen Satze des +vorangehenden Paragraphen. Die metrischen Eigenschaften sind als +projectivische Beziehungen zu einem Fundamentalgebilde, dem unendlich +fernen Kugelkreise[^13], zu betrachten, einem Gebilde, das die +Eigenschaft hat, nur durch diejenigen Transformationen der +projectivischen Gruppe, die eben auch Transformationen der Hauptgruppe +sind, in sich überzugehen. Der so schlechthin ausgesprochene Satz bedarf +noch einer wesentlichen Ergänzung, die der Beschränkung der gewöhnlichen +Anschauungsweise auf reelle Raumelemente (und reelle Transformationen) +entspricht. Man muss dem Kugelkreise, um diesem Standpuncte gerecht zu +werden, noch das System der rellen Raumelemente (Puncte) ausdrücklich +hinzufügen; Eigenschaften im Sinne der elementaren Geometrie sind +projectivisch entweder Eigenschaften der Dinge an sich oder Beziehungen +zu diesem Systeme der reellen Elemente, oder zum Kugelkreise oder +endlich zu beiden. + +Es mag hier noch der Art gedacht werden, wie v. Staudt in seiner +Geometrie der Lage[2] die projectivische Geometrie aufbaut — d. h. +diejenige projectivische Geometrie, welche sich auf Zugrundelegung der +Gruppe aller reeller projectivisch-dualistischer Umformung +beschränkt[^14]. + +Es ist bekannt, wie er dabei aus dem gewöhnlichen Anschauungsmaterial +nur solche Momente herausgreift, die auch bei projectivischen +Umformungen erhalten bleiben. Wollte man weiterhin zur Betrachtung auch +metrischer Eigenschaften übergehen, so hätte man die letzteren geradezu +als Beziehungen zum Kugelkreise einzuführen. Der so vervollständigte +Gedankengang ist für die hier vorliegenden Betrachtungen insofern von +grosser Bedeutung, als ein entsprechender Aufbau der Geometrie im Sinne +jeder einzelnen der noch anzuführenden Methoden möglich ist. + +§.4. Uebertragung durch Abbildung. +---------------------------------- + +Ehe wir in der Besprechung der geometrischen Methoden, die sich neben +die elementare und die projectivische Geometrie stellen, weiter gehen, +mögen allgemein einige Betrachtungen entwickelt werden, die im Folgenden +immer wieder vorkommen und zu denen die bisher berührten Dinge bereits +hinreichend viele Beispiele liefern. Auf diese Erörterungen bezieht sich +der gegenwärtige und der nächstfolgende Paragraph. + +Gesetzt, man habe eine Mannigfaltigkeit A unter Zugrundelegung einer +Gruppe B untersucht. Führt man sodann A durch irgendwelche +Transformation in eine andere Mannigfaltigkeit A' über, so wird aus der +Gruppe B von Aenderungen, die A in sich transformirten, nunmehr eine +Gruppe B', deren Transformationen sich auf A' beziehen. Dann ist es ein +selbstverständliches Princip, dass die Behandlungsweise von A unter +Zugrundelegung von B die Behandlungsweise von A' unter Zugrundelegung +von B' ergibt, d. h. jede Eigenschaft, welche ein in A enthaltenes +Gebilde mit Bezug auf die Gruppe B hat, ergibt eine Eigenschaft des +entsprechenden Gebildes in A' mit Bezug auf die Gruppe B'. + +Lassen wir z. B. A eine gerade Linie, B die dreifach unendlich vielen +linearen Transformationen bedeuten, welche dieselbe in sich überführen. +Die Behandlungsweise von A ist dann eben diejenige, welche die neuere +Algebra als Theorie der binären Formen bezeichnet. Nun kann man die +gerade Linie auf einen Kegelschnitt A' der Ebene durch Protection von +einem Puncte des letzteren aus beziehen. Aus den linearen +Transformationen B der Geraden in sich selbst werden dann die linearen +Transformationen B' des Kegelschnittes in sich selbst, wie man leicht +zeigt, d. h. diejenigen Aenderungen des Kegelschnittes, welche mit den +linearen Transformationen der Ebene, die den Kegelschnitt in sich +überführen, verknüpft sind. + +Es ist nun aber nach dem Princip des zweiten Paragraphen[^15] dasselbe: +nach der Geometrie auf einem Kegelschnitte zu fragen, wenn man sich den +Kegelschnitt als fest denkt und nur auf diejenigen linearen +Transformationen der Ebene achtet, welche ihn in sich überführen; oder +die Geometrie auf dem Kegelschnitte zu studiren, indem man überhaupt die +linearen Transformationen der Ebene betrachtet und sich den Kegelschnitt +mit ändern lässt. Die Eigenschaften, welche wir an den Punctsystemen auf +dem Kegelschnitte auffassten, sind mithin im gewöhnlichen Sinne +projectivische. Die Verknüpfung der letzten Ueberlegung mit dem eben +abgeleiteten Resultate gibt also: + +Binäre Formentheorie und projectivische Geometrie der Punctsysteme auf +einem Kegelschnitte ist dasselbe, d. h. jedem binären Satze entspricht +ein Satz über derartige Punctsysteme und umgekehrt[^16]. + +Ein anderes Beispiel, welches geeignet ist, diese Art von Betrachtungen +zu veranschaulichen, ist das folgende: Wenn man eine Fläche zweiten +Grades mit einer Ebene durch stereographische Projection in Verbindung +setzt, so tritt auf der Fläche ein Fundamentalpunct auf: der +Projectionspunct, in der Ebene sind es zwei: die Bilder der durch den +Projectionspunct gehenden Erzeugenden. Man zeigt nun ohne Weiteres: Die +linearen Transformationen der Ebene, welche die beiden Fundamentalpuncte +derselben ungeändert lassen, gehen durch die Abbildung in lineare +Transformationen der Fläche zweiten Grades in sich selbst über, aber nur +in diejenigen, welche den Projectionspunct ungeändert lassen. Unter +linearen Transformationen der Fläche in sich selbst sind dabei +diejenigen Aenderungen verstanden, welche die Fläche erfährt, wenn man +lineare Raumtransformationen ausführt, welche die Fläche mit sich selbst +zur Deckung bringen. Hiernach wird also die projectivische Untersuchung +einer Ebene unter Zugrundelegung zweier Puncte und die projectivische +Untersuchung einer Fläche zweiten Grades unter Zugrundelegung eines +Punctes identisch. Die erstere ist nun — sofern man imaginäre Elemente +mit in Betracht zieht — nichts Anderes, als die Untersuchung der Ebene +im Sinne der elementaren Geometrie. Denn die Hauptgruppe der ebenen +Transformationen besteht eben in den linearen Umformungen, welche ein +Punctepaar (die unendlich fernen Kreispuncte) ungeändert lassen. Wir +erhalten also schliesslich: + +Die elementare Geometrie der Ebene und die projectivische Untersuchung +einer Fläche zweiten Grades unter Hinzunahme eines ihrer Puncte sind +dasselbe. + +Diese Beispiele liessen sich beliebig vervielfachen[^17]; die beiden +hier entwickelten sind gewählt worden, da wir in der Folge noch +Gelegenheit haben werden, auf dieselben zurückzukommen. + +§.5. Von der Willkürlichkeit in der Wahl des Raumelements. Das Hessesche +Uebertragungsprincip. Die Liniengeometrie. +------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + +Als Element der geraden Linie, der Ebene, des Raumes, überhaupt einer zu +untersuchenden Mannigfaltigkeit kann statt des Punctes jedes in der +Mannigfaltigkeit enthaltene Gebilde: die Punctgruppe, ev. die Curve, die +Fläche u. s. w. verwandt werden[^18]. Indem über die Zahl willkürlicher +Parameter, von denen man diese Gebilde abhängig setzen will, von +Vornherein gar Nichts fest steht, erscheinen Linie, Ebene, Raum etc. je +nach der Wahl des Elementes mit beliebig vielen Dimensionen behaftet. +Aber so lange wir der geometrischen Untersuchung dieselbe Gruppe von +Aenderungen zu Grunde legen, bleibt der Inhalt der Geometrie +unverändert, das heißt, jeder Satz, der bei einer Annahme des +Raumelements sich ergab, ist auch ein Satz bei beliebiger anderer +Annahme, nur die Anordnung und Verknüpfung der Sätze ist geändert. + +Das Wesentliche ist also die Transformationsgruppe; die Zahl der +Dimensionen, die wir einer Mannigfaltigkeit beilegen wollen, erscheint +als etwas Secundäres. + +Die Verknüpfung dieser Bemerkung mit dem Princip des vorigen Paragraphen +ergibt eine Reihe schöner Anwendungen, von denen hier einige entwickelt +werden mögen, da diese Beispiele mehr als alle lange Auseinandersetzung +geeignet scheinen, den Sinn der allgemeinen Betrachtung darzulegen. + +Die projectivische Geometrie auf der Geraden (die Theorie der binären +Formen) ist nach dem vorigen Paragraphen mit der projectivischen +Geometrie auf dem Kegelschnitte gleichbedeutend. Auf letzterem mögen wir +jetzt statt des Punctes das Punctepaar als Element betrachten + +Die Gesammtheit der Punctepaare des Kegelschnitts lässt sich aber auf +die Gesammtheit der Geraden der Ebene beziehen, indem man jede Gerade +dem Punctepaare zuordnet, in welchem sie den Kegelschnitt trifft. Bei +dieser Abbildung gehen die linearen Transformationen des Kegelschnitts +in sich selbst in die linearen Transformationen der (aus Geraden +bestehend gedachten) Ebene über, welche den Kegelschnitt ungeändert +lassen. Ob wir aber die aus den letzteren bestehende Gruppe betrachten, +oder die Gesammtheit der linearen Transformationen der Ebene zu Grunde +legen und den zu untersuchenden Gebilden der Ebene den Kegelschnitt +allemal hinzufügen, ist nach §.2 gleichbedeutend. Indem wir alle diese +Ueberlegungen zusammen nehmen, haben wir: + +Die Theorie der binären Formen und die projectivische Geometrie der +Ebene unter Zugrundelegung eines Kegelschnittes sind gleichbedeutend. + +Da endlich projectivische Geometrie der Ebene unter Zugrundelegung eines +Kegelschnittes eben wegen der Gleichheit der Gruppe mit der +projectivischen Maßgeometrie coincidirt, die man in der Ebene auf einen +Kegelschnitt gründen kann[^19], so mögen wir auch so sagen: + +Die Theorie der binären Formen und die allgemeine projectivische +Maßgeometrie in der Ebene sind dasselbe. + +Statt des Kegelschnitts in der Ebene können wir in der vorstehenden +Betrachtung die Curve dritter Ordnung im Raume setzen etc., doch mag +dies unausgeführt bleiben. Der hier dargelegte Zusammenhang zwischen der +Geometrie der Ebene, weiterhin des Raumes oder einer beliebig +ausgedehnten Mannigfaltigkeit deckt sich im Wesentlichen mit dem von +Hesse vorgeschlagenen Uebertragungsprincipe [7]. + +Ein Beispiel ganz ähnlicher Art ergibt die projectivische Geometrie des +Raumes, oder, anders ausgedrückt, die Theorie der quaternären Formen. +Fasst man die gerade Linie als Raumelement und ertheilt ihr, wie in der +Liniengeometrie geschieht, sechs homogene Coordinaten, zwischen denen +eine Bedingungsgleichung vom zweiten Grade Statt findet, so erscheinen +die linearen und dualistischen Transformationen des Raumes als +diejenigen linearen Transformationen der unabhängig gedachten sechs +Veränderlichen, welche die Bedingungsgleichung in sich überführen. Durch +eine Verknüpfung ähnlicher Ueberlegungen, wie sie soeben entwickelt +wurden, erhält man hieraus den Satz: + +Die Theorie der quaternären Formen deckt sich mit der projectivischen +Maßbestimmung in einer durch 6 homogene Veränderliche erzeugten +Mannigfaltigkeit. + +Wegen der näheren Ausführung dieser Auffassung verweise ich auf einen +demnächst in den Math. Annalen (Bd. VI) erscheinenden Aufsatz: „Ueber +die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie"[8], sowie auf eine Note am +Schlusse dieser Mittheilung[^20]. + +Ich knüpfe an die vorstehenden Auseinandersetzungen noch zwei +Bemerkungen, von denen die erste zwar schon implicite in dem Bisherigen +enthalten ist, aber ausgeführt werden soll, weil der Gegenstand, auf den +sie sich bezieht, zu leicht Missverständnissen ausgesetzt ist. + +Wenn wir beliebige Gebilde als Raumelemente einführen, so erhält der +Raum beliebig viele Dimensionen. Wenn wir dann aber an der uns +geläufigen (elementaren oder projectivischen) Anschauungsweise +festhalten, so ist die Gruppe, welche wir für die mehrfach ausgedehnte +Mannigfaltigkeit zu Grunde zu legen haben, von Vorne herein gegeben; es +ist eben die Hauptgruppe bez. die Gruppe der projectivischen +Umformungen. Wollten wir eine andere Gruppe zu Grunde legen, so müssten +wir von der gewöhnlichen bez. der projectivischen Anschauung abgehen. So +richtig es also ist, dass bei geschickter Wahl der Raumelemente der Raum +Mannigfaltigkeiten von beliebig vielen Ausdehnungen repräsentirt, so +wichtig ist es, hinzuzufügen, dass bei dieser Repräsentation entweder +von Vorneherein eine bestimmte Gruppe der Behandlung der +Mannigfaltigkeit zu Grunde zu legen ist, oder dass wir, wollen wir über +die Gruppe verfügen, unsere geometrische Auffassung entsprechend +auszubilden haben. — Es könnte, ohne diese Bemerkung, z. B. eine +Repräsentation der Liniengeometrie in der folgenden Weise gesucht +werden. Die Gerade erhält in der Liniengeometrie sechs Coordinaten; eben +so viele Coefficienten besitzt der Kegelschnitt in der Ebene. Das Bild +der Liniengeometrie würde also die Geometrie in einem +Kegelschnittsysteme sein, das aus der Gesammtheit der Kegelschnitte +durch eine quadratische Gleichung zwischen den Coefficienten +ausgesondert wird. Das ist richtig, sowie wir als Gruppe der ebenen +Geometrie die Gesammtheit der Transformationen zu Grunde legen, die +durch lineare Umformungen der Kegelschnitts-Coefficienten repräsentirt +werden, welche die quadratische Bedingungsgleichung in sich überführen. +Halten wir aber an der elementaren bez. der projectivischen Auffassung +der ebenen Geometrie fest, so haben wir eben kein Bild. + +Die zweite Bemerkung bezieht sich auf folgende Begriffsbildung. Sei im +Raume irgend eine Gruppe, etwa die Hauptgruppe gegeben. So wähle man ein +einzelnes räumliches Gebilde, etwa einen Punct, oder eine Gerade, oder +auch ein Ellipsoid etc. aus und wende auf dasselbe alle Transformationen +der Hauptgruppe an. Man erhält dann eine mehrfach unendliche +Mannigfaltigkeit mit einer Anzahl von Dimensionen, die im Allgemeinen +gleich der Zahl der in der Gruppe enthaltenen willkürlichen Parameter +ist, die in besonderen Fällen herabsinkt, wenn nämlich das ursprünglich +gewählte Gebilde die Eigenschaft besitzt, durch unendlich viele +Transformationen der Gruppe in sich übergeführt zu werden. Jede so +erzeugte Mannigfaltigkeit heiße mit Bezug auf die erzeugende Gruppe ein +Körper[^21]. Wollen wir nun den Raum im Sinne der Gruppe untersuchen und +dabei bestimmte Gebilde als Raumelemente auszeichnen, und wollen wir +nicht, dass Gleichberechtigtes ungleichartig dargestellt werde, so +müssen wir die Raumelemente ersichtlich so wählen, dass ihre +Mannigfaltigkeit entweder selbst einen Körper bildet oder in Körper +zerlegt werden kann. Von dieser evidenten Bemerkung soll später (§.9) +eine Anwendung gemacht werden. Der Körper-Begriff selbst wird im +Schlussparagraphen in Verbindung mit verwandten Begriffen noch einmal +zur Sprache kommen. + +§.6. Die Geometrie der reciproken Radien. Die Interpretation von x+iy. +---------------------------------------------------------------------- + +Wir kehren mit diesem Paragraphen zur Besprechung der verschiedenen +Richtungen der geometrischen Forschung zurück, wie sie in §§.2.3 +begonnen wurde. + +Als ein Seitenstück zu den Betrachtungsweisen der projectivischen +Geometrie kann man in vielfacher Hinsicht eine Classe geometrischer +Ueberlegungen betrachten, bei denen von der Umformung durch reciproke +Radien fortlaufender Gebrauch gemacht wird. Es gehören hierher die +Untersuchungen über die sog. Cycliden und anallagmatische Flächen, über +die allgemeine Theorie der Orthogonalsysteme, ferner Untersuchungen über +das Potential etc. Wenn man die in denselben enthaltenen Betrachtungen +noch nicht gleich den projectivischen zu einer besonderen Geometrie +zusammengefasst hat, die dann als Gruppe die Gesammtheit derjenigen +Umformungen zu Grunde zu legen hätte, welche durch Verbindung der +Hauptgruppe mit der Transformation durch reciproke Radien entstehen, so +ist das wohl dem zufälligen Umstande zuzuschreiben, dass die genannten +Theorien seither nicht im Zusammenhange dargestellt worden sind; den +einzelnen Autoren, die in dieser Richtung arbeiteten, wird eine solche +methodische Auffassung nicht fern gelegen haben. + +Die Parallele zwischen dieser Geometrie der reciproken Radien und der +projectivischen ergibt sich, sowie einmal die Frage nach einem +Vergleiche vorhanden ist, von selbst, und es mag daher nur ganz im +Allgemeinen auf die folgenden Puncte aufmerksam gemacht werden: + +In der projectivischen Geometrie sind Punct, Gerade, Ebene die +Elementar-Begriffe. Kreis und Kugel sind nur specielle Fälle von +Kegelschnitt und Fläche zweiten Grades. Das unendlich Ferne der +elementaren Geometrie erscheint als Ebene; das Fundamentalgebilde, auf +welches sich die elementare Geometrie bezieht, ist ein unendlich ferner, +imaginärer Kegelschnitt. + +In der Geometrie der reciproken Radien sind Punct, Kreis und Kugel die +Elementarbegriffe. Gerade und Ebene sind specielle Fälle der letzteren, +dadurch charakterisirt, dass sie einen, im Sinne der Methode übrigens +nicht weiter ausgezeichneten Punct, den unendlich fernen Punct +enthalten. Die elementare Geometrie erwächst, so wie man diesen Punct +fest denkt. + +Die Geometrie der reciproken Radien ist einer Einkleidung fähig, welche +sie neben die Theorie der binären Formen und die Liniengeometrie stellt, +falls man die letzteren in der Weise behandelt, wie das im vorigen +Paragraphen angedeutet wurde. Wir mögen zu diesem Zwecke die Betrachtung +zunächst auf ebene Geometrie und also auf Geometrie der reciproken +Radien in der Ebene[^22] beschränken. + +Es wurde bereits des Zusammenhangs gedacht, der zwischen der elementaren +Geometrie der Ebene und der projectivischen Geometrie der mit einem +ausgezeichneten Puncte versehenen Fläche zweiten Grades besteht (§.4). +Sieht man von dem ausgezeichneten Puncte ab und betrachtet also die +projectivische Geometrie auf der Fläche an sich, so hat man ein Bild der +Geometrie der reciproken Radien in der Ebene. Denn man überzeugt sich +leicht[^23], dass der Transformationsgruppe der reciproken Radien in der +Ebene vermöge der Abbildung der Fläche zweiten Grades die Gesammtheit +der linearen Transformationen der letzteren in sich selbst entspricht. +Man hat also: + +Geometrie der reciproken Radien in der Ebene und projectivische +Geometrie auf einer Fläche zweiten Grades ist dasselbe, + +und ganz entsprechend: + +Geometrie der reciproken Radien im Raume ist mit der projectivischen +Behandlung einer Mannigfaltigkeit gleichbedeutend, die durch eine +quadratische Gleichung zwischen fünf homogenen Veränderlichen +dargestellt wird. + +Die Raumgeometrie ist also durch die Geometrie der reciproken Radien in +ganz dieselbe Verbindung mit einer Mannigfaltigkeit von vier Dimensionen +gesetzt, wie vermöge der Liniengeometrie mit einer Mannigfaltigkeit von +fünf Ausdehnungen. + +Die Geometrie der reciproken Radien in der Ebene gestattet, sofern man +nur auf reelle Transformationen achten will, noch nach einer anderen +Seite eine interessante Darstellung, resp. Verwendung. Breitet man +nämlich eine complexe Variable x+iy in gewöhnlicher Weise in der Ebene +aus, so entspricht ihren linearen Transformationen die Gruppe der +reciproken Radien, mit der erwähnten Beschränkung auf das Reelle. Die +Untersuchung der Functionen einer complexen Veränderlichen, die +beliebigen linearen Transformationen unterworfen gedacht ist, ist aber +nichts Anderes, als was bei einer etwas abgeänderten Darstellungsweise +Theorie der binären Formen genannt wird. Also: + +Die Theorie der binären Formen findet ihre Darstellung durch die +Geometrie der reciproken Radien in der reellen Ebene, so zwar, dass auch +die complexen Werthe der Variabeln repräsentirt werden. + +Von der Ebene mögen wir, um in den gewohnteren Vorstellungskreis der +projectivischen Umformungen zu gelangen, zur Fläche zweiten Grades +aufsteigen. Da wir nur reelle Elemente der Ebene betrachteten, ist es +nicht mehr gleichgültig, wie man die Fläche wählt; sie ist ersichtlich +nicht geradlinig zu nehmen. Insbesondere können wir uns dieselbe — wie +man das zur Interpretation einer complexen Veränderlichen auch sonst +thut — als Kugelfläche denken und erhalten so den Satz: + +Die Theorie der binären Formen complexer Variablen findet ihre +Repräsentation in der projectivischen Geometrie der reellen Kugelfläche. + +Ich habe mir nicht versagen mögen, in einer Note[^24] noch +auseinanderzusetzen, wie schön dieses Bild die Theorie der binären +cubischen und biquadratischen Formen erläutert. + +§.7. Erweiterungen des Vorangehenden. Lies Kugelgeometrie. +---------------------------------------------------------- + +An die Theorie der binären Formen, die Geometrie der reciproken Radien +und die Liniengeometrie, welche im Vorstehenden coordinirt und nur durch +die Zahl der Veränderlichen unterschieden scheinen, lassen sich gewisse +Erweiterungen knüpfen, die nun auseinandergesetzt werden mögen. +Dieselben sollen einmal dazu beitragen, den Gedanken, dass die Gruppe, +welche die Behandlungsweise gegebener Gebiete bestimmt, beliebig +erweitert werden kann, an neuen Beispielen zu erläutern; dann aber ist +namentlich die Absicht gewesen, Betrachtungen, welche Lie in einer +neueren Abhandlung niedergelegt hat[^25], in ihrer Beziehung zu den hier +vorgetragenen Ueberlegungen darzulegen. Der Weg, auf welchem wir zu Lies +Kugelgeometrie gelangen, weicht insofern von dem von Lie eingeschlagenen +ab, als Lie an liniengeometrische Vorstellungen anknüpft, während wir, +um uns mehr der gewöhnlichen geometrischen Anschauung anzuschliessen und +im Zusammenhange mit dem Vorhergehenden zu bleiben, bei den bez. +Auseinandersetzungen eine geringere Zahl von Veränderlichen +voraussetzen. Die Betrachtungen sind, wie bereits Lie selbst +hervorgehoben hat (Göttinger Nachrichten 1871. N. 7, 22 [11]) von der +Zahl der Variabeln unabhängig. Sie gehören dem grossen Kreise von +Untersuchungen an, welche sich mit der projectivischen Untersuchung +quadratischer Gleichungen zwischen beliebig vielen Veränderlichen +beschäftigen, Untersuchungen, die wir bereits öfter berührt haben und +die uns noch wiederholt begegnen werden (vergl. §.10 u. a.) + +Ich knüpfe an den Zusammenhang an, der zwischen der reellen Ebene und +der Kugelfläche durch stereographische Projection hergestellt wird. Wir +setzten bereits in §.5 die Geometrie der Ebene mit der Geometrie auf +einem Kegelschnitte in Verbindung, indem wir der Geraden der Ebene das +Punctepaar zuordneten, in welchem sie den Kegelschnitt trifft. +Entsprechend können wir einen Zusammenhang zwischen der Raumgeometrie +und der Geometrie auf der Kugel aufstellen, indem wir jeder Ebene des +Raumes den Kreis zuordnen, in welchem sie die Kugel schneidet. +Uebertragen wir dann durch stereographische Projection die Geometrie auf +der Kugel von derselben auf die Ebene, wobei jeder Kreis in einen Kreis +übergeht, so entsprechen einander also: + +- die Raumgeometrie, welche als Element die Ebene, als Gruppe + diejenigen linearen Transformationen benutzt, welche eine Kugel in + sich überführen; +- die ebene Geometrie, deren Element der Kreis, deren Gruppe die + Gruppe der reciproken Radien ist. + +Die erstere Geometrie wollen wir nun nach zwei Seiten verallgemeinern, +indem wir statt ihrer Gruppe eine umfassendere setzen. Die resultirende +Erweiterung überträgt sich dann durch die Abbildung ohne Weiteres auf +ebene Geometrie. + +Statt der linearen Transformationen des aus Ebenen bestehenden Raumes, +welche die Kugel in sich überführen, liegt es nahe, entweder die +Gesammtheit der linearen Transformationen des Raumes, oder die +Gesammtheit der Ebenen-Transformationen des Raumes zu wählen, welche die +Kugel ungeändert lassen, indem wir das eine Mal von der Kugel, das +andere Mal von dem linearen Character der anzuwendenden Transformationen +absehen. Die erste Verallgemeinerung ist ohne Weiteres verständlich und +wir mögen sie also zuerst betrachten und in ihrer Bedeutung für ebene +Geometrie verfolgen; auf die zweite kommen wir hernach zurück, wobei es +sich denn zunächst darum handelt, die allgemeinste betreffende +Transformation zu bestimmen. + +Die linearen Transformationen des Raumes haben die Eigenschaft gemein, +Ebenenbüschel und Ebenenbündel wieder in solche überzuführen. Aber auf +die Kugel übertragen ergibt das Ebenenbüschel ein Kreisbüschel, d. h. +eine einfach unendliche Reihe von Kreisen mit gemeinsamen +Schnittpunkten; das Ebenenbündel ergibt ein Kreisbündel, d. h. eine +zweifach unendliche Schaar von Kreisen, die auf einem festen Kreise +senkrecht stehen (dem Kreise, dessen Ebene die Polarebene des den Ebenen +des geg. Bündels gemeinsamen Punctes ist). Den linearen Transformationen +des Raumes entsprechen also auf der Kugel und weiterhin in der Ebene +Kreistransformationen von der characteristischen Eigenschaft, +Kreisbüschel und Kreisbündel in ebensolche überzuführen[^26]. Die ebene +Geometrie welche die Gruppe der so gewonnenen Transformationen benutzt, +ist das Bild der gewöhnlichen projectivischen Raumgeometrie. Als Element +der Ebene wird man in dieser Geometrie nicht den Punct benutzen können, +da die Puncte für die gewählte Transformationsgruppe keinen Körper +bilden (§.5), sondern man wird die Kreise als Elemente wählen. + +Bei der zweiten Erweiterung, die wir nannten, gilt es zunächst die Frage +nach der Art der bez. Transformationsgruppe erledigen. Es handelt sich +darum, Ebenen-Transformationen zu finden, die aus jedem Ebenenbündel, +dessen Scheitel auf der Kugel liegt, wieder ein solches Bündel machen. +Wir mögen der kürzeren Ausdrucksweise wegen zunächst die Frage +dualistisch umkehren und überdies einen Schritt in der Zahl der +Dimensionen hinab gehen; wir wollen also nach Puncttransformationen der +Ebene fragen, welche aus jeder Tangente eines gegebenen Kegelschnittes +wiederum eine Tangente erzeugen. Zu dem Zwecke betrachten wir die Ebene +mit ihrem Kegelschnitte als Bild einer Fläche zweiten Grades, die man +von einem nicht auf ihr befindlichen Raumpuncte aus so auf die Ebene +projicirt hat, dass der bez. Kegelschnitt die Uebergangscurve vorstellt. +Den Tangenten des Kegelschnitts entsprechen die Erzeugenden der Fläche, +und die Frage ist auf die andere zurückgeführt nach der Gesammtheit der +Puncttransformationen der Fläche in sich selbst, bei denen die +Erzeugenden Erzeugende bleiben. + +Solcher Transformationen gibt es nun zwar beliebig unendlich viele: denn +man braucht nur den Punct der Fläche als Durchschnitt der Erzeugenden +zweierlei Art zu betrachten und jedes der Geraden-Systeme beliebig in +sich zu transformiren. Aber unter den Transformationen sind insbesondere +die linearen. Nur auf diese wollen wir achten. Hätten wir nämlich nicht +mit einer Fläche, sondern mit einer mehrfach ausgedehnten +Mannigfaltigkeit zu thun, die durch eine quadratische Gleichung +repräsentirt wird, so blieben nur die linearen Transformationen, die +anderen kämen in Wegfall[^27]. + +Diese linearen Transformationen der Fläche in sich selbst ergeben, durch +(nicht stereographische) Projection auf die Ebene übertragen, +zweideutige Puncttransformationen, vermöge deren aus jeder Tangente des +Kegelschnittes, der die Uebergangscurve bildet, allerdings wieder eine +Tangente wird, aus jeder anderen Geraden aber im Allgemeinen ein +Kegelschnitt, der die Uebergangscurve doppelt berührt. Es lässt sich +diese Transformationsgruppe passend characterisiren, wenn man auf den +Kegelschnitt, der die Uebergangscurve bildet, eine projectivische +Maßbestimmung gründet. Die Transformationen haben dann die Eigenschaft, +Puncte, welche im Sinne der Maßbestimmung von einander eine Entfernung +gleich Null haben, sowie Puncte, welche von einem anderen Puncte eine +constante Entfernung haben, wieder in solche Puncte zu verwandeln. + +Alle diese Betrachtungen lassen sich auf beliebig viele Variabeln +übertragen, insbesondere also für die ursprüngliche Fragestellung, die +sich auf die Kugel und die Ebene als Element bezog, verwerthen. Man kann +dem Resultate dabei eine besonders anschauliche Form geben, weil der +Winkel, den zwei Ebenen im Sinne der auf eine Kugel gegründeten +projectivischen Maßbestimmung mit einander bilden, mit dem Winkel gleich +ist, den ihre Durchschnittskreise mit der Kugel im gewöhnlichen Sinne +mit einander bilden. + +Wir erhalten also auf der Kugel und weiterhin auf der Ebene eine Gruppe +von Kreistransformationen, welche die Eigenschaft haben, Kreise, die +einander berühren (einen Winkel gleich Null einschliessen), sowie +Kreise, die einen anderen Kreis unter gleichem Winkel schneiden, in eben +solche Kreise überzuführen. In der Gruppe dieser Transformationen sind +auf der Kugel die bez. linearen, in der Ebene die Transformationen der +Gruppe der reciproken Radien enthalten. + +Die auf diese Gruppe zu gründende Kreisgeometrie ist nun das Analogon zu +der Kugelgeometrie, wie sie Lie für den Raum entworfen hat, und wie sie +bei Untersuchungen über Krümmung der Flächen von ausgezeichneter +Bedeutung scheint. Sie schliesst die Geometrie der reciproken Radien in +demselben Sinne in sich, wie letztere wieder die elementare Geometrie. — + +Die nunmehr gewonnenen Kreis-(Kugel-)Transformationen haben insbesondere +die Eigenschaft, sich berührende Kreise (Kugeln) in eben solche +überzuführen. Betrachtet man alle Curven (Flächen) als Umhüllungsgebilde +von Kreisen (Kugeln), so werden in Folge dessen Curven (Flächen), die +sich berühren, immer in wieder solche übergehen. Die fraglichen +Transformationen gehören also in die Classe der später allgemein zu +betrachtenden Berührungstransformationen, d. h. solcher Umformungen, bei +denen Berührung von Punctgebilden eine invariante Beziehung ist. Die im +vorliegenden Paragraphen zuerst erwähnten Kreistransformationen, denen +man analoge Kugeltransformationen an die Seite stellen kann, sind keine +Berührungstransformationen. — + +Wurden vorstehend die zweierlei Erweiterungen nur an die Geometrie der +reciproken Radien angeknüpft, so gelten dieselben in entsprechender +Weise für Liniengeometrie, überhaupt für die projectivische Untersuchung +einer durch eine quadratische Gleichung ausgeschiedenen +Mannigfaltigkeit, wie bereits angedeutet wurde, hier aber nicht weiter +ausgeführt werden soll. + +§.8. Aufzählung weiterer Methoden, denen eine Gruppe von +Puncttransformationen zu Grunde liegt. +----------------------------------------------------------------------------------------------- + +Elementare Geometrie, Geometrie der reciproken Radien und auch +projectivische Geometrie, sofern man von den mit Wechsel des +Raumelements verknüpften dualistischen Umformungen absieht, subsumiren +sich als einzelne Glieder unter die grosse Menge von denkbaren +Betrachtungsweisen, welche überhaupt Gruppen von Puncttransformationen +zu Grunde legen. Wir mögen hier nur die folgenden drei Methoden, die +hierin mit den genannten übereinstimmen, hervorheben. Sind diese +Methoden auch lange nicht in dem Maße, wie die projectivische Geometrie, +zu selbständigen Disciplinen entwickelt, so treten sie doch deutlich +erkennbar in den neueren Untersuchungen auf. + +1. Die Gruppe der rationalen Umformungen. + +Bei rationalen Umformungen muss wohl unterschieden werden, ob dieselben +für alle Puncte des Gebietes, in welchem man operirt, also des Raumes +oder der Ebene etc., rational sind, oder nur für die Puncte einer in dem +Gebiete enthaltenen Mannigfaltigkeit, einer Fläche, einer Curve. Nur die +ersteren sind zu verwenden, wenn es gilt, im bisherigen Sinne eine +Geometrie des Raumes, der Ebene zu entwerfen; die letzteren gewinnen von +dem hier gegebenen Standpuncte aus erst Bedeutung, wenn Geometrie auf +einer gegebenen Fläche, Curve studirt werden soll. Dieselbe +Unterscheidung gilt bei der sogleich anzuführenden Analysis situs. + +Die seitherigen Untersuchungen, hier wie dort, haben sich aber +wesentlich mit Transformationen der zweiten Art beschäftigt. Insofern +dabei nicht die Frage nach der Geometrie auf der Fläche, der Curve war, +es sich vielmehr darum handelte, Criterien zu finden, damit zwei +Flächen, Curven in einander transformirt werden können, treten diese +Untersuchungen aus dem Kreise der hier zu betrachtenden heraus. Der hier +aufgestellte allgemeine Schematismus umspannt eben nicht die Gesammtheit +mathematischer Forschung überhaupt, sondern er bringt nur gewisse +Richtungen unter einen gemeinsamen Gesichtspunct. + +Für eine Geometrie der rationalen Umformungen, wie sie sich unter +Zugrundelegung der Transformationen der ersten Art ergeben muss, sind +bis jetzt erst die Anfänge vorhanden. Im Gebiete erster Stufe, auf der +geraden Linie, sind die rationalen Umformungen mit den linearen +identisch und liefern also nichts Neues. In der Ebene kennt man freilich +die Gesammtheit der rationalen Umformungen (der Cremonaschen +Transformationen), man weiss, dass sie sich durch Zusammensetzung +quadratischer erzeugen lassen. Man kennt auch invariante Charactere der +ebenen Curven: ihr Geschlecht, die Existenz der Moduln; aber eigentlich +zu einer Geometrie der Ebene in dem hier gemeinten Sinne entwickelt sind +diese Betrachtungen noch nicht. Im Raume ist die ganze Theorie noch erst +im Entstehen begriffen. Von den rationalen Umformungen kennt man bis +jetzt nur wenige und benutzt dieselben, um bekannte Flächen mit +unbekannten durch Abbildung in Verbindung zu setzen. — + +2. Die Analysis situs. + +In der sog. Analysis situs sucht man das Bleibende gegenüber solchen +Umformungen, die aus unendlich kleinen Verzerrungen durch +Zusammensetzung entstehen. Auch hier muss man, wie bereits gesagt, +unterscheiden, ob das ganze Gebiet, also etwa der Raum, als Object der +Transformationen gedacht werden soll, oder nur eine aus ihm +ausgesonderte Mannigfaltigkeit, eine Fläche. Die Transformationen der +ersten Art sind es, die man einer Raumgeometrie würde zu Grunde legen +können. Ihre Gruppe wäre wesentlich anders constituirt, als die bisher +betrachteten es waren. Indem sie alle Transformationen umfasst, die sich +aus reell gedachten unendlich kleinen Puncttransformationen +zusammensetzen, trägt sie die principielle Beschränkung auf reelle +Raumelemente in sich, und bewegt sich auf dem Gebiete der willkürlichen +Function. Man kann diese Transformationsgruppe nicht ungeschickt +erweitern, indem man sie noch mit den reellen Collineationen, die auch +das unendlich Ferne modificiren, verbindet. — + +3. Die Gruppe aller Puncttransformationen. + +Wenn gegenüber dieser Gruppe keine Fläche mehr individuelle +Eigenschaften besitzt, da jede in jede andere durch Transformationen der +Gruppe übergeführt werden kann, so sind es höhere Gebilde, bei deren +Untersuchung die Gruppe mit Vortheil Anwendung findet. Bei der +Auffassung der Geometrie, wie sie hier zu Grunde gelegt ist, kann es +gleichgültig sein, wenn diese Gebilde seither nicht sowohl als +geometrische sondern nur als analytische betrachtet wurden, die +gelegentlich geometrische Anwendung fanden, und wenn man bei ihrer +Untersuchung Processe anwandte (wie eben beliebige +Puncttransformationen), die man erst in neuerer Zeit bewusst als +geometrische Umformungen aufzufassen begonnen hat. Unter diese +analytischen Gebilde gehören vor allen die homogenen +Differentialausdrücke, sodann auch die partiellen +Differentialgleichungen. Bei der allgemeinen Discussion der letzteren +scheint aber, wie in dem folgenden Paragraphen ausgeführt wird, die +umfassendere Gruppe aller Berührungstransformationen noch vorteilhafter. + +Der Hauptsatz, der in der Geometrie, welche die Gruppe aller +Puncttransformationen zu Grunde legt, in Geltung ist, ist der, dass eine +Puncttransformation für eine unendlich kleine Partie des Raumes immer +den Werth einer linearen Transformation hat. Die Entwickelungen der +projectivischen Geometrie haben also nun ihren Werth für das +Unendlichkleine, und hierin liegt, mag sonst die Wahl der Gruppe bei +Behandlung von Mannigfaltigkeiten willkürlich sein — hierin liegt ein +auszeichnender Character für die projectivische Anschauungsweise. + +Nachdem nun schon lange von dem Verhältnisse der Betrachtungsweisen, die +einander einschliessende Gruppen zu Grunde legen, nicht mehr die Rede +war, mag hier noch einmal ein Beispiel für die allgemeine Theorie des +§.2 gegeben werden. Wir mögen uns die Frage vorlegen, wie denn vom +Standpuncte „aller Puncttransformationen" projectivische Eigenschaften +aufzufassen sind, wobei von den dualistischen Umformungen, die +eigentlich mit zur Gruppe der projectivischen Geometrie gehören, +abgesehen werden mag. Die Frage deckt sich dann mit der andern: durch +welche Bedingung aus der Gesammtheit der Puncttransformationen die +Gruppe der linearen ausgeschieden wird. Das Characteristische der +letzteren ist, dass sie jeder Ebene eine Ebene zuordnen: sie sind +diejenigen Puncttransformationen, vermöge deren die Mannigfaltigkeit der +Ebenen (oder, was auf dasselbe hinaus kommt, der geraden Linien) +erhalten bleibt. Die projectivische Geometrie ist aus der Geometrie +aller Puncttransformationen ebenso durch Adjunction der Mannigfaltigkeit +der Ebenen zu gewinnen, wie die elementare Geometrie aus der +projectivischen durch Adjunction des unendlich fernen Kugelkreises. +Insbesondere haben wir z. B. vom Standpuncte aller Puncttransformationen +die Bezeichnung einer Fläche als einer algebraischen von einer gewissen +Ordnung als eine invariante Beziehung zur Mannigfaltigkeit der Ebenen +aufzufassen. Es wird dies recht deutlich, wenn man, mit Grassmann, die +Erzeugung der algebraischen Gebilde an ihre lineale Construction knüpft. + +§.9. Von der Gruppe aller Berührungstransformationen. +----------------------------------------------------- + +Berührungstransformationen sind zwar in einzelnen Fällen schon lange +betrachtet; auch hat Jacobi bei analytischen Untersuchungen bereits von +den allgemeinsten Berührungstransformationen Gebrauch gemacht; aber in +die lebendige geometrische Anschauung wurden sie erst durch neuere +Arbeiten von Lie eingeführt[^28]. Es ist daher wohl nicht überflüssig, +hier ausdrücklich auseinanderzusetzen, was eine Berührungstransformation +ist, wobei wir uns, wie immer, auf den Punctraum mit seinen drei +Dimensionen beschränken. + +Unter einer Berührungstransformation hat man, analytisch zu reden, jede +Substitution zu verstehen, welche die Variabel-Werthe x, y, z und ihre +partiellen Differentialquotienten dz/dx = p, dz/dy = q durch neue x', +y', z', p', q' ausdrückt. Dabei gehen, wie ersichtlich, sich berührende +Flächen im Allgemeinen wieder in sich berührende Flächen über, was den +Namen Berührungstransformation begründet. Die Berührungstransformationen +zerfallen, wenn man vom Puncte als Raumelement ausgeht, in drei Classen: +solche, die den dreifach unendlich vielen Puncten wieder Puncte zuordnen +— das sind die eben betrachteten Puncttransformationen —, solche, die +sie in Curven, endlich solche, die sie in Flächen überführen. Diese +Eintheilung hat man insofern nicht als eine wesentliche zu betrachten, +als bei Benutzung anderer dreifach unendlich vieler Raumelemente, etwa +der Ebenen, allerdings wieder eine Theilung in drei Gruppen eintritt, +die aber mit der Theilung, die unter Zugrundelegung der Puncte statt +fand, nicht coincidirt. + +Wenden wir auf einen Punct alle Berührungstransformationen an, so geht +er in die Gesammtheit aller Puncte, Curven und Flächen über. In ihrer +Gesammtheit erst bilden also Puncte, Curven und Flächen einen Körper +unserer Gruppe. Man mag daraus die allgemeine Regel abnehmen, dass die +formale Behandlung eines Problems im Sinne aller +Berührungstransformationen (also etwa die sogleich vorzutragende Theorie +der partiellen Differentialgleichungen) eine unvollkommene werden muss, +sowie man mit Punct- (oder Ebenen-) Coordinaten operirt, da die zu +Grunde gelegten Raumelemente eben keinen Körper bilden. + +Alle in dem gen. Körper enthaltene Individuen als Raumelemente +einzuführen, geht aber, will man in Verbindung mit den gewöhnlichen +Methoden bleiben, nicht an, da deren Zahl unendlichfach unendlich ist. +Hierin liegt die Notwendigkeit, bei diesen Betrachtungen nicht den +Punct, nicht die Curve oder die Fläche, sondern das Flächenelement, +d. h. das Werthsystem x, y, z, p, q als Raumelement einzuführen. Bei +jeder Berührungstransformation wird aus jedem Flächenelemente ein neues; +die fünffach unendlich vielen Flächenelemente bilden also einen Körper. + +Bei diesem Standpuncte muss man Punct, Curve, Fläche gleichmässig als +Aggregate von Flächenelementen auffassen, und zwar von zweifach +unendlich vielen. Denn die Fläche wird von ∞^2 Elementen bedeckt, +die Curve von ebenso vielen berührt, durch den Punct gehen ∞^2 +hindurch. Aber diese zweifach unendlichen Aggregate von Elementen haben +noch eine characteristische Eigenschaft gemein. Man bezeichne als +vereinigte Lage zweier consecutiven Flächenelemente x, y, z, p, q und +x+dx, y+dy, z+dz, p+dp, q+dq die Beziehung, welche durch +dz - pdx - qdy = 0 + dargestellt wird. So sind Punct, Curve, Fläche übereinstimmend zweifach +unendliche Mannigfaltigkeiten von Elementen, deren jedes mit den einfach +unendlich vielen ihm benachbarten vereinigt liegt. Dadurch sind Punct, +Curve, Fläche gemeinsam characterisirt, und so müssen sie auch, wenn man +die Gruppe der Berührungstransformationen zu Grunde legen will, +analytisch repräsentirt werden. + +Die vereinigte Lage consecutiver Elemente ist eine bei beliebiger +Berührungstransformation invariante Beziehung. Aber auch umgekehrt +können die Berührungstransformationen definirt werden als diejenigen +Substitutionen der fünf Veränderlichen x, y, z, p, q, vermöge deren die +Relation dz-pdx-qdy=0 in sich selbst übergeführt wird. Der Raum ist also +bei diesen Untersuchungen als eine Mannigfaltigkeit von fünf Dimensionen +anzusehen und diese Mannigfaltigkeit hat man zu behandeln, indem man als +Gruppe die Gesammtheit aller Transformationen der Variabeln zu Grunde +legt, welche eine bestimmte Relation zwischen den Differentialen +ungeändert lassen. + +Gegenstand der Untersuchung werden in erster Linie diejenigen +Mannigfaltigkeiten, welche durch eine oder mehrere Gleichungen zwischen +den Variabein dargestellt werden, d. h. die partiellen +Differentialgleichungen erster Ordnung und ihre Systeme. Eine Hauptfrage +wird, wie sich aus den Mannigfaltigkeiten von Elementen, die gegebenen +Gleichungen genügen, einfach, zweifach unendliche Reihen von Elementen +ausscheiden lassen, deren jedes mit einem benachbarten vereinigt liegt. +Auf eine solche Frage läuft z. B. die Aufgabe der Lösung einer +partiellen Differentialgleichung erster Ordnung hinaus. Man soll — so +kann man sie formuliren — aus den vierfach unendlich vielen Elementen, +die der Gleichung genügen, alle zweifach unendlichen Mannigfaltigkeiten +der bewussten Art ausscheiden. Insbesondere die Aufgabe der +vollständigen Lösung nimmt jetzt die präcise Form an: man soll die +vierfach unendlich vielen Elemente, die der Gleichung genügen, auf eine +Weise in zweifach unendlich viele derartige Mannigfaltigkeiten zerlegen. + +Ein Verfolg dieser Betrachtung über partielle Differentialgleichungen +kann hier nicht in der Absicht liegen; ich verweise in Bezug hierauf auf +die citirten Lieschen Arbeiten. Es sei nur noch hervorgehoben, dass für +den Standpunct der Berührungstransformationen eine partielle +Differentialgleichung erster Ordnung keine Invariante hat, dass jede in +jede andere übergeführt werden kann, dass also namentlich die linearen +Gleichungen nicht weiter ausgezeichnet sind. Unterscheidungen treten +erst ein, wenn man zu dem Standpuncte der Puncttransformationen +zurückgeht. + +Die Gruppen der Berührungstransformationen, der Puncttransformationen, +endlich der projectivischen Umformungen lassen sich in einer +einheitlichen Weise characterisiren, die ich hier nicht unterdrücken +mag[^29]. Berührungstransformationen wurden bereits definirt als +diejenigen Umformungen, bei denen die vereinigte Lage consecutiver +Flächenelemente erhalten bleibt. Die Puncttransformationen haben dagegen +die characteristische Eigenschaft, vereinigt gelegene consecutive +Linienelemente in eben solche zu verwandeln: die linearen und +dualistischen Transformationen endlich bewahren die vereinigte Lage +consecutiver Connex-Elemente. Unter einem Connex-Elemente verstehe ich +die Vereinigung eines Flächenelementes mit einem in ihm enthaltenen +Linienelemente; consecutive Connexelemente heißen vereinigt gelegen, +wenn nicht nur der Punct sondern auch das Linienelement des einen in dem +Flächenelemente des anderen enthalten ist. Die (übrigens vorläufige) +Bezeichnung: Connexelement bezieht sich auf die von Clebsch +neuerdings[^30] in die Geometrie eingeführten Gebilde, welche durch eine +Gleichung dargestellt werden, die gleichzeitig eine Reihe Punct-, eine +Reihe Ebenen- und eine Reihe Liniencoordinaten enthalten, und deren +Analoga in der Ebene Clebsch als Connexe bezeichnet. + +§.10. Ueber beliebig ausgedehnte Mannigfaltigkeiten. +---------------------------------------------------- + +Es wurde bereits wiederholt hervorgehoben, wie bei der Anknüpfung der +bisherigen Auseinandersetzungen an die räumliche Vorstellung nur der +Wunsch maßgebend war, die abstracten Begriffe durch Anlehnung an +anschauliche Beispiele leichter entwickeln zu können. An und für sich +sind die Betrachtungen von dem sinnlichen Bilde unabhängig und gehören +dem allgemeinen Gebiete mathematischer Forschung an, das man als die +Lehre von den ausgedehnten Mannigfaltigkeiten, oder (nach Grassmann) +kurz als Ausdehnungslehre bezeichnet. Wie man die Uebertragung des +Vorhergehenden vom Raume auf den blossen Mannigfaltigkeitsbegriff zu +bewerkstelligen hat, ist ersichtlich. Es sei dabei nur noch einmal +bemerkt, dass wir bei der abstracten Untersuchung, der Geometrie +gegenüber, den Vortheil haben, die Gruppe von Transformationen, welche +wir zu Grunde legen wollen, ganz willkürlich wählen zu können, während +in der Geometrie eine kleinste Gruppe, die Hauptgruppe, von Vornherein +gegeben war. + +Wir mögen hier nur die folgenden drei Behandlungsweisen, und auch diese +ganz kurz berühren. + +1. Die projectivische Behandlungsweise oder die moderne Algebra +(Invariantentheorie). + +Ihre Gruppe besteht in der Gesammtheit der linearen und dualistischen +Transformationen der zur Darstellung des Einzelnen in der +Mannigfaltigkeit verwendeten Veränderlichen; sie ist die +Verallgemeinerung der projectivischen Geometrie. Es wurde bereits +hervorgehoben wie diese Behandlungsweise bei der Discussion des +unendlich Kleinen in einer um eine Dimension mehr ausgedehnten +Mannigfaltigkeit zur Verwendung kommt. Sie schliesst die beiden noch zu +nennenden Behandlungsweisen in dem Sinne ein, als ihre Gruppe die bei +jenen zu Grunde zu legende Gruppe umfasst. + +2. Die Mannigfaltigkeit von constantem Krümmungsmaße. + +Die Vorstellung einer solchen erwuchs bei Riemann aus der allgemeineren +einer Mannigfaltigkeit, in der ein Differentialausdruck der +Veränderlichen gegeben ist. Die Gruppe besteht bei ihm aus der +Gesammtheit der Transformationen der Variabeln, welche den gegebenen +Ausdruck ungeändert lassen. Von einer andern Seite kommt man zur +Vorstellung einer Mannigfaltigkeit von constanter Krümmung, wenn man im +projectivischen Sinne auf eine zwischen den Veränderlichen gegebene +quadratische Gleichung eine Maßbestimmung gründet. Bei dieser Weise +tritt gegenüber der Riemannschen die Erweiterung ein, dass die Variabeln +als complex gedacht werden; man mag hinterher die Veränderlichkeit auf +das reelle Gebiet beschränken. Hierher gehören die grosse Reihe von +Untersuchungen, die wir in §§. 5, 6, 7 berührt haben. + +3. Die ebene Mannigfaltigkeit. + +Als ebene Mannigfaltigkeit bezeichnet Riemann die Mannigfaltigkeit von +constantem verschwindenden Krümmungsmaße. Ihre Theorie ist die +unmittelbare Verallgemeinerung der elementaren Geometrie. Ihre Gruppe +kann, — wie die Hauptgruppe der Geometrie — aus der Gruppe der +projectivischen dadurch ausgeschieden werden, dass man ein Gebilde fest +hält, welches durch zwei Gleichungen, eine lineare und eine +quadratische, dargestellt wird. Dabei hat man zwischen Reellem und +Imaginärem zu unterscheiden, wenn man sich der Form, unter der die +Theorie gewöhnlich dargestellt wird, anschliessen will. Hierher zu +rechnen sind vor Allem die elementare Geometrie selbst, dann z. B. die +in neuerer Zeit entwickelten Verallgemeinerungen der gewöhnlichen +Krümmungstheorie u. s. w. + +Schlussbemerkungen. +------------------- + +Zum Schlusse mögen noch zwei Bemerkungen ihre Stelle finden, die mit dem +bisher Vorgetragenen in enger Beziehung stehen; die eine betrifft den +Formalismus, durch welche man die begrifflichen Entwicklungen den +Vorangehenden repräsentiren will, die andere soll einige Probleme +kennzeichnen, deren Inangriffnahme nach den hier gegebenen +Auseinandersetzungen als wichtig und lohnend erscheint. + +Man hat der analytischen Geometrie häufig den Vorwurf gemacht, durch +Einführung des Coordinatensystems willkürliche Elemente zu bevorzugen, +und dieser Vorwurf trifft gleichmässig jede Behandlungsweise +ausgedehnter Mannigfaltigkeiten, welche das Einzelne durch die Werthe +von Veränderlichen characterisirt. War dieser Vorwurf bei der +mangelhaften Art, mit der man namentlich früher die Coordinatenmethode +handhabte, nur zu oft gerechtfertigt, so verschwindet er bei einer +rationellen Behandlung der Methode. Die analytischen Ausdrücke, welche +bei der Untersuchung einer Mannigfaltigkeit im Sinne einer Gruppe +entstehen können, müssen, ihrer Bedeutung nach, von dem +Coordinatensysteme, insofern es zufällig gewählt ist, unabhängig sein, +und es gilt nun, diese Unabhängigkeit auch formal in Evidenz zu setzen. +Dass dies möglich ist und wie es zu geschehen hat, zeigt die moderne +Algebra, in der der formale Invariantenbegriff, um den es sich hier +handelt, am deutlichsten ausgeprägt ist. Sie besitzt ein allgemeines und +erschöpfendes Bildungsgesetz für invariante Ausdrücke und operirt +principiell nur mit solchen. Die gleiche Forderung soll man an die +formale Behandlung stellen, auch wenn andere Gruppen, als die +projectivische, zu Grunde gelegt sind. Denn der Formalismus soll sich +doch mit der Begriffsbildung decken, mag man nun den Formalismus nur als +präcisen und durchsichtigen Ausdruck der Begriffsbildung verwerthen, +oder will man ihn benutzen, um an seiner Hand in noch unerforschte +Gebiete einzudringen. — + +Die Problemstellung, deren wir noch erwähnen wollten, erwächst durch +einen Vergleich der vorgetragenen Anschauungen mit der sog. Galoisschen +Theorie der Gleichungen. + +In der Galoisschen Theorie, wie hier, concentrirt sich das Interesse auf +Gruppen von Aenderungen. Die Objecte, auf welche sich die Aenderungen +beziehen, sind allerdings verschieden; man hat es dort mit einer +endlichen Zahl discreter Elemente, hier mit der unendlichen Zahl von +Elementen einer stetigen Mannigfaltigkeit zu thun. Aber der Vergleich +lässt sich bei der Identität des Gruppenbegriffes doch weiter +verfolgen[^31], und es mag dies hier um so lieber angedeutet werden, als +dadurch die Stellung characterisirt wird, die man gewissen von Lie und +mir begonnenen Untersuchungen[^32] im Sinne der hier entwickelten +Anschauungen zuzuweisen hat. + +In der Galoisschen Theorie, wie sie z. B. in Serrets Traité d'Algèbre +supérieure[19] oder in C. Jordans Traité des substitutions[20] +dargestellt wird, ist der eigentliche Untersuchungsgegenstand die +Gruppen- oder Substitutionstheorie selbst, die Gleichungstheorie fliesst +aus ihr als eine Anwendung. Entsprechend verlangen wir eine +Transformationstheorie, eine Lehre von den Gruppen, welche von +Transformationen gegebener Beschaffenheit erzeugt werden können. Die +Begriffe der Vertauschbarkeit, der Aehnlichkeit u. s. w. kommen, wie in +der Substitutionstheorie, zur Verwendung. Als eine Anwendung der +Transformationstheorie erscheint die aus der Zugrundelegung der +Transformationsgruppen fliessende Behandlung der Mannigfaltigkeit. + +In der Gleichungstheorie sind es zunächst die symmetrischen Functionen +der Coefficienten, die das Interesse auf sich ziehen, sodann aber +diejenigen Ausdrücke, welche, wenn nicht bei allen, so durch eine +grössere Reihe von Vertauschungen der Wurzeln ungeändert bleiben. Bei +der Behandlung einer Mannigfaltigkeit unter Zugrundelegung einer Gruppe +fragen wir entsprechend zunächst nach den Körpern (§.5), nach den +Gebilden, die durch alle Transformationen der Gruppe ungeändert bleiben. +Aber es gibt Gebilde, welche nicht alle aber einige Transformationen der +Gruppe zulassen, und diese sind dann im Sinne der auf die Gruppe +gegründeten Behandlung besonders interessant, sie haben ausgezeichnete +Eigenschaften. Es kommt das also darauf hinaus, im Sinne der +gewöhnlichen Geometrie symmetrische, reguläre Körper, Rotations- und +Schraubenflächen auszuzeichnen. Stellt man sich auf den Standpunct der +projectivischen Geometrie und verlangt insbesondere, dass die +Transformationen, durch welche die Gebilde in sich übergehen, +vertauschbar sein sollen, so kommt man auf die von Lie und mir in dem +citirten Aufsatze[18] betrachteten Gebilde und auf das in §.6. desselben +gestellte allgemeine Problem. Die dort in §§. 1, 3 gegebene Bestimmung +aller Gruppen unendlich vieler vertauschbarer linearer Transformationen +in der Ebene gehört als ein Theil in die soeben genannte allgemeine +Transformationstheorie[^33]. + +Noten. +====== + +I. Ueber den Gegensatz der synthetischen und analytischen Richtung in +der neueren Geometrie. +-------------------------------------------------------------------------------------------- + +Den Unterschied zwischen neuerer Synthese und neuerer analytischer +Geometrie hat man zur Zeit nicht mehr als einen wesentlichen zu +betrachten, da der gedankliche Inhalt sowohl als die Schlussweise sich +auf beiden Seiten allmählich ganz ähnlich gestaltet haben. Daher wählen +wir im Texte zur gemeinsamen Bezeichnung beider das Wort „projectivische +Geometrie". Wenn die synthetische Methode mehr mit räumlicher Anschauung +arbeitet und ihren ersten, einfachen Entwickelungen dadurch einen +ungemeinen Reiz ertheilt, so ist das Gebiet räumlicher Anschauung der +analytischen Methode nicht verschlossen, und man kann die Formeln der +analytischen Geometrie als einen präcisen und durchsichtigen Ausdruck +der geometrischen Beziehungen auffassen. Man hat auf der anderen Seite +den Vortheil nicht zu unterschätzen, den ein gut angelegter Formalismus +der Weiterforschung dadurch leistet, dass er gewissermaßen dem Gedanken +vorauseilt. Es ist zwar immer an der Forderung festzuhalten, dass man +einen mathematischen Gegenstand noch nicht als erledigt betrachten soll, +so lange er nicht begrifflich evident geworden ist, und es ist das +Vordringen an der Hand des Formalismus eben nur ein erster aber schon +sehr wichtiger Schritt. + +II. Trennung der heutigen Geometrie in Disciplinen. +--------------------------------------------------- + +Wenn man z. B. beachtet, wie der mathematische Physiker sich durchgängig +der Vortheile entschlägt, die ihm eine nur einigermaßen ausgebildete +projectivische Anschauung in vielen Fällen gewähren kann, wie auf der +anderen Seite der Projectiviker die reiche Fundgrube mathematischer +Wahrheiten unberührt lässt, welche die Theorie der Krümmung der Flächen +aufgedeckt hat, so muss man den gegenwärtigen Zustand des geometrischen +Wissens als recht unvollkommen und als hoffentlich vorübergehend +betrachten. + +III. Ueber den Werth räumlicher Anschauung. +------------------------------------------- + +Wenn wir im Texte die räumliche Anschauung als etwas Beiläufiges +bezeichnen, so ist dies mit Bezug auf den rein mathematischen Inhalt der +zu formulirenden Betrachtungen gemeint. Die Anschauung hat für ihn nur +den Werth der Veranschaulichung, der allerdings in pädagogischer +Beziehung sehr hoch anzuschlagen ist. Ein geometrisches Modell z. B. ist +auf diesem Standpuncte sehr lehrreich und interessant. + +Ganz anders stellt sich aber, die Frage nach dem Werthe der räumlichen +Anschauung überhaupt. Ich stelle denselben als etwas selbständiges hin. +Es gibt eine eigentliche Geometrie, die nicht, wie die im Texte +besprochenen Untersuchungen, nur eine veranschaulichte Form abstracterer +Untersuchungen sein will. In ihr gilt es, die räumlichen Figuren nach +ihrer vollen gestaltlichen Wirklichkeit aufzufassen und (was die +mathematische Seite ist) die für sie geltenden Beziehungen als evidente +Folgen der Grundsätze räumlicher Anschauung zu verstehen. Ein Modell — +mag es nun ausgeführt und angeschaut oder nur lebhaft vorgestellt sein — +ist für diese Geometrie nicht ein Mittel zum Zwecke sondern die Sache +selbst. + +Wenn wir so, neben und unabhängig von der reinen Mathematik, Geometrie +als etwas Selbständiges hinstellen, so ist das an und für sich gewiss +nichts Neues. Es ist aber wünschenswerth, diesen Gesichtspunct +ausdrücklich einmal wieder hervorzuheben, da die neuere Forschung ihn +fast ganz übergeht. Hiermit hängt zusammen, dass umgekehrt die neuere +Forschung selten dazu verwendet wurde, wenn es galt, gestaltliche +Verhältnisse räumlicher Erzeugnisse zu beherrschen, und doch scheint sie +gerade in dieser Richtung sehr fruchtbar. + +IV. Ueber Mannigfaltigkeiten von beliebig vielen Dimensionen. +------------------------------------------------------------- + +Dass der Raum, als Ort für Puncte aufgefasst, nur drei Dimensionen hat, +braucht vom mathematischen Standpuncte aus nicht discutirt zu werden; +ebenso wenig kann man aber vom mathematischen Standpuncte aus Jemanden +hindern, zu behaupten, der Raum habe eigentlich vier, oder unbegränzt +viele Dimensionen, wir seien aber nur im Stande, drei wahrzunehmen. Die +Theorie der mehrfach ausgedehnten Mannigfaltigkeiten, wie sie je länger +je mehr in den Vordergrund neuerer mathematischer Forschung tritt, ist, +ihrem Wesen nach, von einer solchen Behauptung vollkommen unabhängig. Es +hat sich in ihr aber eine Redeweise eingebürgert, die allerdings dieser +Vorstellung entflossen ist. Man spricht, statt von den Individuen einer +Mannigfaltigkeit, von den Puncten eines höheren Raumes etc. An und für +sich hat diese Redeweise manches Gute, insofern sie durch Erinnern an +die geometrischen Anschauungen das Verständniss erleichtert. Sie hat +aber die nachtheilige Folge gehabt, dass in ausgedehnten Kreisen die +Untersuchungen über Mannigfaltigkeiten mit beliebig vielen Dimensionen +als solidarisch erachtet werden mit der erwähnten Vorstellung von der +Beschaffenheit des Raumes. Nichts ist grundloser als diese Auffassung. +Die betr. mathematischen Untersuchungen würden allerdings sofort +geometrische Verwendung finden, wenn die Vorstellung richtig wäre, — +aber ihr Werth und ihre Absicht ruht, gänzlich unabhängig von dieser +Vorstellung, in ihrem eigenen mathematischen Inhalte. + +Etwas ganz anders ist es, wenn Plücker gelehrt hat, den wirklichen Raum +als eine Mannigfaltigkeit von beliebig vielen Dimensionen aufzufassen, +indem man als Element des Raumes ein von beliebig vielen Parametern +abhängendes Gebilde (Curve, Fläche etc.) einführt (vergl. §.5 des +Textes). + +Die Vorstellungsweise, welche das Element der beliebig ausgedehnten +Mannigfaltigkeit als ein Analogon zum Puncte des Raumes betrachtet, ist +wohl zuerst von Grassmann in seiner Ausdehnungslehre (1844, [17]) +entwickelt worden. Bei ihm ist der Gedanke völlig frei von der erwähnten +Vorstellung von der Natur des Raumes; letztere geht auf gelegentliche +Bemerkungen von Gauss zurück und wurde durch Riemanns Untersuchungen +über mehrfach ausgedehnte Mannigfaltigkeiten, in welche sie mit +eingeflochten ist, in weiteren Kreisen bekannt. + +Beide Auffassungsweisen — die Grassmannsche wie die Plückersche — haben +ihre eigentümlichen Vorzüge; man verwendet sie beide, zwischen ihnen +abwechselnd, mit Vortheil. + +V. Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie. +---------------------------------------------------- + +Die im Texte gemeinte projectivische Maßgeometrie coincidirt, wie neuere +Untersuchungen gelehrt haben, dem Wesen nach mit der Maßgeometrie, +welche unter Nicht-Annahme des Parallelen-Axioms entworfen werden kann +und die zur Zeit unter dem Namen der Nicht-Euklidischen Geometrie +vielfach besprochen und disputirt wird. Wenn wir im Texte diesen Namen +überhaupt nicht berührt haben, so geschah es aus einem Grunde, der mit +den in der vorstehenden Note gegebenen Auseinandersetzungen verwandt +ist. Man verknüpft mit dem Namen Nicht-Euklidische Geometrie eine Menge +unmathematischer Vorstellungen, die auf der einen Seite mit eben so viel +Eifer gepflegt als auf der anderen perhorrescirt werden, mit denen aber +unsere rein mathematischen Betrachtungen gar Nichts zu schaffen haben. +Der Wunsch, in dieser Richtung etwas zur Klärung der Begriffe +beizutragen, mag die folgenden Auseinandersetzungen motiviren. + +Die gemeinten Untersuchungen über Parallelentheorie haben mit ihren +Weiterbildungen mathematisch nach zwei Seiten einen bestimmten Werth. + +Sie zeigen einmal — und dieses ihr Geschäft kann man als ein einmaliges, +abgeschlossenes betrachten —, dass das Parallelenaxiom keine +mathematische Folge der gewöhnlich vorangestellten Axiome ist, sondern +dass ein wesentlich neues Anschauungselement, welches in den +vorhergehenden Untersuchungen nicht berührt wurde, in ihm zum Ausdruck +gelangt. Aehnliche Untersuchungen könnte man und sollte man mit Bezug +auf jedes Axiom nicht nur der Geometrie durchführen; man würde dadurch +an Einsicht in die gegenseitige Stellung der Axiome gewinnen. + +Dann aber haben uns diese Untersuchungen mit einem werthvollen +mathematischen Begriffe beschenkt: dem Begriffe einer Mannigfaltigkeit +von constanter Krümmung. Er hängt, wie bereits bemerkt und wie in §.10 +des Textes noch weiter ausgeführt ist, mit der unabhängig von aller +Parallelentheorie erwachsenen projectivischen Maßbestimmung auf das +Innigste zusammen. Wenn das Studium dieser Maßbestimmung an und für sich +hohes mathematisches Interesse bietet und zahlreiche Anwendungen +gestattet, so kommt hinzu, dass sie die in der Geometrie gegebene +Maßbestimmung als speciellen Fall (Gränz-fall) umfasst und uns lehrt, +dieselbe von einem erhöhten Standpuncte aufzufassen. + +Völlig unabhängig von den entwickelten Gesichtspunkten steht die Frage, +welche Gründe das Parallelen-Axiom stützen, ob wir dasselbe als absolut +gegeben — wie die Einen wollen — oder als durch Erfahrung nur +approximativ erwiesen — wie die Anderen sagen — betrachten wollen. +Sollten Gründe sein, das letztere anzunehmen, so geben uns die fragl. +mathematischen Untersuchungen an die Hand, wie man dann eine exactere +Geometrie zu construiren habe. Aber die Fragestellung ist offenbar eine +philosophische, welche die allgemeinsten Grundlagen unserer Erkenntniss +betrifft. Den Mathematiker als solchen interessirt die Fragestellung +nicht, und er wünscht, dass seine Untersuchungen nicht als abhängig +betrachtet werden von der Antwort, die man von der einen oder der +anderen Seite auf die Frage geben mag. + +VI. Liniengeometrie als Untersuchung einer Mannigfaltigkeit von +constantem Krümmungsmaße. +----------------------------------------------------------------------------------------- + +Wenn wir Liniengeometrie mit der projectivischen Maßbestimmung in einer +fünffach ausgedehnten Mannigfaltigkeit in Verbindung setzen, müssen wir +beachten, dass wir in den geraden Linien nur die (im Sinne der +Maßbestimmung) unendlich fernen Elemente der Mannigfaltigkeit vor uns +haben. Es wird daher nöthig, zu überlegen, welchen Werth eine +projectivische Maßbestimmung für ihre unendlich fernen Elemente hat, und +das mag hier etwas auseinandergesetzt werden, um Schwierigkeiten, die +sich sonst der Auffassung der Liniengeometrie als einer Maßgeometrie +entgegen stellen, zu entfernen. Wir knüpfen diese Auseinandersetzungen +an das anschauliche Beispiel, welches die auf eine Fläche zweiten Grades +gegründete projectivische Maßbestimmung ergibt. + +Zwei beliebig angenommene Puncte des Raumes haben in Bezug auf die +Fläche eine absolute Invariante: ihr Doppelverhältniss zu den beiden +Durchschnittspuncten ihrer Verbindungsgeraden mit der Fläche. Rücken +aber die beiden Puncte auf die Fläche, so wird dies Doppelverhältniss +unabhängig von der Lage der Puncte gleich Null, ausser in dem Falle, +dass die beiden Puncte auf eine Erzeugende zu liegen kommen, wo es +unbestimmt wird. Dies ist die einzige Particularisation, die in ihrer +Beziehung eintreten kann, wenn sie nicht zusammenfallen, und wir haben +also den Satz: + +Die projectivische Maßbestimmung, welche man im Raume auf eine Fläche +zweiten Grades gründen kann, ergibt für die Geometrie auf der Fläche +noch keine Maßbestimmung. + +Hiermit hängt zusammen, dass man durch lineare Transformationen der +Fläche in sich selbst drei beliebige Puncte derselben mit drei anderen +zusammenfallen lassen kann[^34]. + +Will man auf der Fläche selbst eine Maßbestimmung haben, so muss man die +Gruppe der Transformationen beschränken, und dies erreicht man, indem +man einen beliebigen Raumpunct (oder seine Polarebene) festhält. Der +Raumpunct sei zunächst nicht auf der Fläche gelegen. So projicire man +die Fläche von dem Puncte auf eine Ebene, wobei ein Kegelschnitt als +Uebergangscurve auftritt. Auf diesen Kegelschnitt gründe man in der +Ebene eine projectivische Maßbestimmung, die man dann rückwärts auf die +Fläche überträgt[^35]. Dies ist eine eigentliche Maßbestimmung von +constanter Krümmung und man hat also den Satz: + +Auf der Fläche erhält man eine solche Maßbestimmung, sowie man einen +ausserhalb der Fläche gelegenen Punct festhält. + +Entsprechend findet man[^36]: + +Eine Maßbestimmung von verschwindender Krümmung erhält man auf der +Fläche, wenn man für den festen Punct einen Punct der Fläche selbst +wählt. + +Für alle diese Maßbestimmungen auf der Fläche sind die Erzeugenden der +Fläche Linien von verschwindender Länge. Der Ausdruck für das +Bogenelement auf der Fläche ist also für die verschiedenen Bestimmungen +nur um einen Factor verschieden. Ein absolutes Bogenelement auf der +Fläche gibt es nicht. Wohl aber kann man von dem Winkel sprechen, den +Fortschreitungsrichtungen auf der Fläche mit einander bilden. — + +Alle diese Sätze und Betrachtungen können nun ohne Weiteres für +Liniengeometrie benutzt werden. Für den Linienraum selbst existirt +zunächst keine eigentliche Maßbestimmung. Eine solche erwächst erst, +wenn wir einen linearen Complex fest halten, und zwar erhält sie +constante oder verschwindende Krümmung, je nachdem der Complex ein +allgemeiner oder ein specieller (eine Gerade) ist. An die Auszeichnung +eines Complexes ist namentlich auch die Geltung eines absoluten +Bogenelements geknüpft. Unabhängig davon sind die +Fortschreitungsrichtungen zu benachbarten Geraden, welche die gegebene +schneiden, von der Länge Null, und auch kann man von einem Winkel reden, +den zwei beliebige Fortschreitungsrichtungen mit einander bilden[^37]. + +VII. Zur Interpretation der binären Formen. +------------------------------------------- + +Es mag hier der übersichtlichen Gestalt gedacht werden, welche, unter +Zugrundelegung der Interpretation von x+iy auf der Kugelfläche, dem +Formensysteme der cubischen und der biquadratischen binären Form +ertheilt werden kann. + +Eine cubische binäre Form f hat eine cubische Covariante Q, eine +quadratische Δ, und eine Invariante R[^38]. Aus f und Q setzt sich +eine ganze Reihe von Covarianten sechsten Grades +Q^2 + λ ⋅ Rf^2 + zusammen, unter denen auch Δ^3 enthalten ist. Man kann +zeigen[^39], dass jede Covariante der cubischen Form in solche Gruppen +von sechs Puncten zerfallen muss. Insofern λ complexe Werthe +annehmen kann, gibt es zweifach unendlich viele derselben. + +Das ganze so umgrenzte Formensystem kann auf der Kugel nun +folgendermaßen repräsentirt werden. Durch geeignete lineare +Transformation der Kugel in sich selbst bringe man die drei Puncte, +welche f repräsentiren, in drei äquidistante Puncte eines grössten +Kreises. Derselbe mag als Aequator bezeichnet sein; auf ihm haben die +drei Puncte f die geographische Länge 0°, 120°, 240°. So wird Q durch +die Puncte des Aequators mit der Länge 60°, 180°, 300°, Δ durch die +beiden Pole vorgestellt. Jede Form Q^2+λ Rf^2 ist durch 6 Puncte +repräsentirt, deren geographische Breite und Länge, unter α und +β beliebige Zahlen verstanden, in dem folgenden Schema enthalten +ist: + +(α, β), (α, 120+β), (α, 240+β) , (-α, +-β), (-α, 120-β), (-α, 240-β) + +Verfolgt man diese Punctsysteme auf der Kugel, so ist es interessant, zu +sehen, wie f und Q doppelt, Δ dreifach zählend aus denselben +entsteht. + +Eine biquadratische Form f hat eine ebensolche Covariante H, eine +Covariante sechsten Grades T, zwei Invarianten i und j. Besonders zu +bemerken ist die Schaar biquadratischer Formen iH+λ jf, die alle +zu dem nämlichen T gehören, und unter denen die drei quadratischen +Factoren, in welche man T zerlegen kann, doppelt zählend enthalten sind. +— + +Man lege jetzt durch den Mittelpunct der Kugel drei zu einander +rechtwinklige Axen OX, OY, OZ. Ihre 6 Durchstosspuncte mit der Kugel +bilden die Form T. Die 4 Puncte eines Quadrupels iH+λ jf sind, +unter x, y, z Coordinaten eines beliebigen Kugelpunctes verstanden, +durch das Schema + + x, y, z, + x, -y, -z, + -x, y, -z, + -x, -y, z + +vorgestellt. Die vier Puncte bilden jedesmal die Ecken eines +symmetrischen Tetraeders, dessen gegenüberstehende Seiten von den Axen +des Coordinatensystems halbirt werden, wodurch die Rolle, welche T in +der Theorie der biquadratischen Gleichungen als Resolvente von +iH+λ jf spielt, gekennzeichnet ist. + +Erlangen im October 1872. + +* * * * * + +[1] C. Jordan, “Mémoire sur les groupes de mouvements.” In: Annali di +Matematica pura et applicata 1896, 2, 167-215 − +http://dx.doi.org/10.1007/BF02419610. + +[2] K. G. C. v. Staudt, Geometrie Der Lage, Fr. Korn, Nürnberg, 1847. + +[3] K. G. C. v. Staudt, Beiträge Zur Geometrie Der Lage. Erstes Heft, +Fr. Korn, Nürnberg, 1856. + +[4] K. G. C. v. Staudt, Beiträge Zur Geometrie Der Lage. Zweites Heft, +Fr. Korn, Nürnberg, 1857. + +[5] K. G. C. v. Staudt, Beiträge Zur Geometrie Der Lage. Drittes Heft, +Fr. Korn, Nürnberg, 1860. + +[6] F. Klein, “Ueber Liniengeometrie und metrische Geometrie” In: +Mathematische Annalen 1872, 5, 257-277 − +http://dx.doi.org/10.1007/BF01444841. + +[7] O. Hesse, “Ein Uebertragungsprinzip” In: Crelle’s Journal für die +reine und angewandte Mathematik 1866, 66, 15-22 − +http://gdz.sub.uni-goettingen.de/ru/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0066&DMDID=dmdlog6. + +[8] F. Klein, “Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie. Zweiter +Aufsatz.” In: Mathematische Annalen 1873, 6, 112-145 − +http://dx.doi.org/10.1007/BF01443189. + +[9] P. Lejeune-Dirichlet, Vorlesungen Über Zahlentheorie, Vieweg, +Braunschweig, 1863. + +[10] S. Lie, “Ueber Complexe, insbesondere Linien- und Kugel-Complexe, +mit Anwendung auf die Theorie partieller Differential-Gleichungen.” In: +Mathematische Annalen 1872, 5, 145-208 − +http://dx.doi.org/10.1007/BF01446331. + +[11] S. Lie, “Ueber diejenige Theorie eines Raumes mit beleibig vielen +Dimensionen, die der Krümmungs-Theorie des gewöhnlichen Raumes +entspricht.” In: Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der +Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen 1871, 7, +191-209 − http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN252457072_1871. + +[12] H. Grassmann, Die Ausdehnungslehre, Enslin, Berlin, 1862. + +[13] S. Lie, “Zur Theorie partieller Differentialgleichungen erster +Ordnung; insbesondere über eine Classification derselben.” In: +Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der +Georg-Augusts-Universität zu Göttingen 1872, 8, 473-490 − +http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=PPN252457072_1872. + +[14] A. Clebsch, “Ueber eine Fundamentalaufgabe der Invariantentheorie.” +In: Mathematische Annalen 1872, 5, 427-434 − +http://dx.doi.org/10.1007/BF01442803. + +[15] A. Clebsch, “Ueber ein neues Grundgebilde der analysischen +Geometrie.” In: Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der +Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen 1872, 22, +429-448 − http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN252457072_1872. + +[16] A. Clebsch, “Ueber ein neues Grundgebilde der analysischen +Geometrie der Ebene.” In: Mathematische Annalen 1872, 6, 203-215 − +http://dx.doi.org/10.1007/BF01443192. + +[17] H. Grassmann, Die Lineale Ausdehnungslehre / Ein Neuer Zweig Der +Mathematik / Dargestellt Und Durch Anwendungen Auf Die Übrigen Zweige +Der Mathematik, Wie Auch Auf Die Statik, Mechanik, Die Lehre Vom +Magnetismus Und Die Krystallonomie Erläutert, O. Wigand, Leipzig, 1844. + +[18] F. und L. S. Klein, “Ueber diejenigen ebenen Curven, welche durch +ein geschlossenes System von einfach unendlich vielen vertauschbaren +linearen Transformationen in sich übergehen.” In: Mathematische Annalen +1871, 3, 50-84 − http://dx.doi.org/10.1007/BF01443297. + +[19] J. A. Serret, Cours D’algèbre Supérieure, Gauthier-villard, Paris, +1866. + +[20] C. Jordan, Traité Des Substitutions Et Des Équations Algébriques, +Gauthier-villard, Paris, 1870. + +[21] A. Clebsch, Theorie Der Binären Algebraischen Formen, Teubner, +Leipzig, 1872. + +[22] F. Klein, “Ueber eine geometrische Repräsentation der Resolventen +algebraischer Gleichungen.” In: Mathematische Annalen 1871, 4, 346-358 − +http://dx.doi.org/10.1007/BF01442600. + +[^1]: Vergl. Note I. des Anhangs. + +[^2]: Vergl. Note II + +[^3]: Vergl. Note III + +[^4]: Vergl. Note IV + +[^5]: Diese knappe Form ist ein Mangel der im Folgenden gegebenen + Darstellung, der das Verständniss, wie ich fürchte, wesentlich + erschweren wird. Aber dem hätte wohl nur durch eine sehr viel + weitere Auseinandersetzung abgeholfen werden können, in der die + Einzel-Theorien, die hier nur berührt werden, ausführlich entwickelt + worden wären. + +[^6]: Wir denken von den Transformationen immer die Gesammtheit der + räumlichen Gebilde gleichzeitig betroffen und reden desshalb + schlechthin von Transformationen des Raumes. Die Transformationen + können, wie z. B. die dualistischen, statt der Puncte andere + Elemente einführen; es wird dies im Texte nicht unterschieden. + +[^7]: Begriffsbildung wie Bezeichnung sind herübergenommen von der + Substitutionstheorie, in der nur an Stelle der Transformationen + eines continuirlichen Gebietes die Vertauschungen einer endlichen + Zahl discreter Grössen auftreten. + +[^8]: Camille Jordan hat alle Gruppen aufgestellt, die überhaupt in der + Gruppe der Bewegungen enthalten sind: Sur les groupes de mouvements. + Annali di Matematica. t. II[1] + +[^9]: Die Transformationen einer Gruppe brauchen übrigens durchaus + nicht, wie das bei den im Texte zu nennenden Gruppen allerdings + immer der Fall sein wird, in stetiger Aufeinanderfolge vorhanden zu + sein. Eine Gruppe bildet z. B. auch die endliche Reihe von + Bewegungen, die einen regelmässigen Körper mit sich selbst zur + Deckung bringen, oder die unendliche, aber discrete Reihe, welche + eine Sinuslinie sich selber superponiren. + +[^10]: Unter dem Sinne verstehe ich hier die Eigenschaft der Anordnung, + welche den Unterschied von der symmetrischen Figur (dem + Spiegelbilde) begründet. Ihrem Sinne nach unterschieden sind also + z. B. eine rechts- und eine linksgewundene Schraubenlinie. + +[^11]: Dass diese Transformationen eine Gruppe bilden, ist begrifflich + nothwendig. + +[^12]: Man erzeugt ein solches Gebilde beispielsweise, indem man auf ein + beliebiges Anfangselement, das durch keine Transformation der + gegebenen Gruppe in sich selbst überzuführen ist, die + Transformationen der Hauptgruppe anwendet. + +[^13]: Diese Anschauungsweise ist als eine der schönsten Leistungen von + Chasles zu betrachten; durch sie erst gewinnt die Eintheilung in + Eigenschaften der Lage und Eigenschaften des Maßes, wie man sie gern + an die Spitze der projectivischen Geometrie stellt, einen präcisen + Inhalt. + +[^14]: Den erweiterten Kreis, der auch imaginäre Umformungen umspannt, + hat v. Staudt erst in den „Beiträgen zur Geometrie der Lage"[3–5] zu + Grunde gelegt. + +[^15]: Wenn man will, ist hier das Princip unter etwas erweiterter Form + angewendet. + +[^16]: Statt des Kegelschnittes in der Ebene kann man mit gleichem + Erfolge eine Raumcurve dritter Ordnung einführen, überhaupt bei n + Dimensionen etwas Entsprechendes aufstellen + +[^17]: Bez. anderer Beispiele, sowie namentlich der Erweiterungen auf + mehr Dimensionen, deren die angeführten fähig sind, verweise ich auf + bez. Auseinandersetzungen in einem Aufsatze von mir[6] sowie auf die + sogleich noch zu nennenden Lieschen Arbeiten. + +[^18]: Vergl. Note III. + +[^19]: Vergl. Note V + +[^20]: Vergl. Note VI. + +[^21]: Ich wähle den Namen nach dem Vorgange von Dedekind, der in der + Zahlentheorie ein Zahlengebiet als Körper bezeichnet, wenn es aus + gegebenen Elementen durch gegebene Operationen entstanden ist + (Zweite Auflage von Dirichlets Vorlesungen [9].) + +[^22]: Geometrie der reciproken Radien auf der Geraden ist mit der + projectivischen Untersuchung der Geraden gleichbedeutend, da die + bez. Umformungen die nämlichen sind. Man kann daher auch in der + Geometrie der reciproken Radien von einem Doppelverhältnisse von + vier Puncten einer Geraden und weiterhin eines Kreises reden. + +[^23]: Vergleiche die bereits genannte Arbeit: Ueber Liniengeometrie und + metrische Geometrie. Math. Annalen Bd. V [6]. + +[^24]: Vergl. Note VII. + +[^25]: Partielle Differentialgleichungen und Complexe. Math. Annalen + V.[10] + +[^26]: Diese Transformationen werden gelegentlich in Grassmanns + Ausdehnungslehre betrachtet (in der Auflage von 1862, [12] p. 278). + +[^27]: Projicirt man die Mannigfaltigkeit stereographisch, so erhält man + den bekannten Satz: In mehrfach ausgedehnten Gebieten (schon im + Raume) gibt es ausser den Transformationen, die sich in der Gruppe + der reciproken Radien befinden, keine conformen + Puncttransformationen. In der Ebene gibt es dagegen beliebig viele + andere. Vergl. auch die citirten Arbeiten von Lie ([10,11]). + +[^28]: Vergl. bes. die bereits citirte Arbeit[10]: Ueber partielle + Differentialgleichungen und Complexe. Math. Ann. V. Die im Texte + gegebenen Ausführungen betr. partielle Differentialgleichungen habe + ich wesentlich mündlichen Mittheilungen von Lie entnommen; vergl. + dessen Note[13]: Zur Theorie partieller Differentialgleichungen. + Göttinger Nachrichten. Oct. 1872. + +[^29]: Ich verdanke diese Definitionen einer Bemerkung von Lie. + +[^30]: Gött. Abhandlungen. 1872. (Bd. 17): Ueber eine Fundamentalaufgabe + der Invariantentheorie[14], sowie namentlich Gött. Nachrichten 1872. + Nr. 22: Ueber ein neues Grundgebilde der analytischen Geometrie der + Ebene[15,16]. + +[^31]: Ich erinnere hier daran, dass Grassmann bereits in der Einleitung + zur ersten Auflage seiner Ausdehnungslehre (1844, [17]) die + Combinatorik und die Ausdehnungslehre parallelisirt. + +[^32]: Vergleiche den gemeinsamen Aufsatz: Ueber diejenigen ebenen + Curven, welche durch ein geschlossenes System von einfach unendlich + vielen vertauschbaren linearen Transformationen in sich übergehen, + Math. Annalen Bd. IV. [18]. + +[^33]: Ich muss mir versagen, im Texte auf die Fruchtbarkeit + hinzuweisen, welche die Betrachtung unendlich kleiner + Transformationen in der Theorie der Differentialgleichungen hat. In + §.7. der citirten Arbeit haben Lie und ich gezeigt: Gewöhnliche + Differentialgleichungen, welche gleiche unendlich kleine + Transformationen zugeben, bieten gleiche + Integrationsschwierigkeiten. Wie die Betrachtungen für partielle + Differentialgleichungen zu verwerthen seien, hat Lie an + verschiedenen Orten, so bes. in dem früher genannten Aufsatze (Math. + Ann. V., [10]) an verschiedenen Beispielen auseinandergesetzt + (vergl. namentlich auch Mittheilungen der Academie zu Christiania. + Mai 1872.) + +[^34]: Diese Verhältnisse ändern sich bei der gew. Maßgeometrie; zwei + unendlich ferne Puncte haben für sie freilich eine absolute + Invariante. Der Widerspruch, den man in der Abzählung der linearen + Transformationen der unendlich fernen Fläche in sich selbst hiermit + finden könnte, erledigt sich dadurch, dass die unter ihnen + befindlichen Translationen und Aehnlichkeitstransformationen das + Unendlich-Ferne überhaupt nicht ändern. + +[^35]: Vergl. §.7 des Textes. + +[^36]: Vergl. §.4 des Textes. + +[^37]: Vergl. den Aufsatz: Ueber Liniengeometrie und metrische + Geometrie. Math. Ann. Bd. V. p. 271.[6] + +[^38]: Vergl. hiezu die betr. Abschnitte von Clebsch: Theorie der + binären Formen[21] + +[^39]: Durch Betrachtung der linearen Transformationen von f in sich + selbst, vergl. Math. Ann, IV. p. 352 [22] + + +Anmerkungen zur Transkription +----------------------------- + +Wir verwendeten ABBYY Mac für die OCR. Pandoc konvertierte nach plain text und HTML. + +Die Rechtschreibung wurde belassen (Ausnahmen: Maß/Mass, Genitiv-Apostroph), kleinere Fehler ausgebessert. Die Einzelnachweise wurden nachrecherchiert und, wo vorhanden, mit URL versehen und als bibtex-Datenbank verarbeitet. + +Der markdown-Quelltext, die bibtex-Datenbank und alle anderen Hilfsdateien einschließlich der ursprünglichen Seitenbilder befinden sich auf github.com/rwst/book-klein-erlangen. Dort können Fehler gemeldet und gepatcht werden. R.S. + + + + + +End of the Project Gutenberg EBook of Vergleichende Betrachtungen übe + neuere geometrische Forschungen, by Felix Klein + +*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK VERGLEICHENDE BETRACHTUNGEN *** + +***** This file should be named 38033-0.txt or 38033-0.zip ***** +This and all associated files of various formats will be found in: + http://www.gutenberg.org/3/8/0/3/38033/ + +Produced by R.S. + +Updated editions will replace the previous one--the old editions +will be renamed. + +Creating the works from public domain print editions means that no +one owns a United States copyright in these works, so the Foundation +(and you!) can copy and distribute it in the United States without +permission and without paying copyright royalties. Special rules, +set forth in the General Terms of Use part of this license, apply to +copying and distributing Project Gutenberg-tm electronic works to +protect the PROJECT GUTENBERG-tm concept and trademark. 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It exists +because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from +people in all walks of life. + +Volunteers and financial support to provide volunteers with the +assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's +goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will +remain freely available for generations to come. In 2001, the Project +Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure +and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations. +To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation +and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4 +and the Foundation web page at http://www.pglaf.org. + + +Section 3. Information about the Project Gutenberg Literary Archive +Foundation + +The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit +501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the +state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal +Revenue Service. The Foundation's EIN or federal tax identification +number is 64-6221541. Its 501(c)(3) letter is posted at +http://pglaf.org/fundraising. Contributions to the Project Gutenberg +Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent +permitted by U.S. federal laws and your state's laws. + +The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S. +Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered +throughout numerous locations. Its business office is located at +809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email +business@pglaf.org. 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