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diff --git a/24817.txt b/24817.txt new file mode 100644 index 0000000..893af75 --- /dev/null +++ b/24817.txt @@ -0,0 +1,1555 @@ +The Project Gutenberg EBook of Ueber die Geometrie der alten Aegypter. by +Emil Weyr + + + +This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no +restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under +the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or +online at http://www.gutenberg.org/license + + + +Title: Ueber die Geometrie der alten Aegypter. + +Author: Emil Weyr + +Release Date: March 13, 2008 [Ebook #24817] + +Language: German + +Character set encoding: US-ASCII + + +***START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK UEBER DIE GEOMETRIE DER ALTEN AEGYPTER.*** + + + + + + UeBER DIE + + GEOMETRIE DER ALTEN AEGYPTER + + ------------------ + + VORTRAG + + GEHALTEN IN DER + + FEIERLICHEN SITZUNG DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN + + AM + + XXIX. MAI MDCCCLXXXIV + + VON + + DR. EMIL WEYR + + WIRKLICHEM MITGLIEDE DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN. + + ------------------ + + WIEN + + AUS DER K. K. HOF- UND STAATSDRUCKEREI. + + IN COMMISSION BEI KARL GEROLD'S SOHN, + + BUCHHAeNDLER DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN. + + 1884 + + + + + + +Moege mir gestattet sein, bei dem heutigen feierlichen Anlasse ein Bild zu +entrollen, welches in grossen Strichen die allgemeinen Umrisse des +Zustandes der geometrischen Wissenschaften bei den alten Aegyptern zur +Darstellung bringen soll; und moege dasselbe Wohlwollen, das, gepaart mit +einer althergebrachten Sitte, mich heute auf diesen eben so ehrenvollen +als schwierigen Platz gestellt, auch bei der Beurtheilung der folgenden +bescheidenen, weil schwachen Kraeften entspringenden Leistung obwalten! + +So wie der Anfang aller menschlichen Kenntnisse, so ist auch der Ursprung +der Geometrie in grauestes Alterthum zu versetzen, er ist zu suchen in +jenen der Zeit nach unangebbaren Perioden der menschlichen Entwicklung, in +welchen das erste Erwachen des Selbstbewusstseins zu finden waere. Sind +doch manche geometrische Anschauungen auch dem Thiere eigen; so jene der +geraden Verbindungslinie zweier Punkte als der kuerzesten Entfernung; jene +des Mehr und Weniger bei Quantitaeten der Entfernungen, Hoehen, Neigungen, +und so werden auch manche abstractere Raumanschauungen dem Menschen in +seinen ersten Entwicklungsperioden eigen geworden sein, Anschauungen, +welche durch die Moeglichkeit und auf Grund der sprachlichen Bezeichnung +jene Stabilitaet erhielten, die sie befaehigte, als erste Fundamente der +geometrischen Kenntnisse zunaechst, und der Geometrie als Wissenschaft +spaeter aufzutreten. + +Geometrisches Denken entstand zu den verschiedensten Zeiten, an den +verschiedensten Orten. Denn ueberall, wo der menschliche Geist sich zu +entwickeln begann, und das menschliche Denken jene Hoehe erreichte, auf +welcher Abstractionen entstehen, bildeten sich die grundlegenden +Raumbegriffe; der des Punktes, der geraden und krummen Linien, der ebenen +und krummen Flaechen. Denn ueberall in der Natur boten sich dem erwachenden +Menschen Repraesentanten dieser Begriffe in groesserer oder geringerer +Genauigkeit dar. Waehrend der Anblick der auf- und untergehenden Sonne, +sowie des vollen Mondes in suedlichen Gegenden fast taeglich das Bild der +"vollkommensten", der "schoensten" Linie, der Kreislinie vorfuehrte, +stellten sich die zahllosen Sterne des Abends dem Auge als glaenzende +Punkte dar, welche in ihren mannigfaltigen gegenseitigen +Lagenverhaeltnissen die Phantasie des Menschen bei der, von ihm beliebten +Eintheilung des Himmels in Sternbilder zur Herstellung so mancher geraden +und krummen Linien verleiten mochten. Und selbst in seiner naechsten +Umgebung fand der beobachtende Mensch geometrische Anklaenge; das Gewebe +der Spinne mit seinen kreisrunden und radialen Faeden, die sechseckige +Bienenzelle, die beim Fallen eines Koerpers in ruhendes Wasser entstehenden +concentrischen Wellenringe, und wie vieles Andere musste, wenn auch nach +und nach, so doch mit zwingender Nothwendigkeit den Menschen zur +Beobachtung gesetzmaessiger geometrischer Formen fuehren. + +Als Mutterland der Mathematik im Allgemeinen, und der Geometrie im +Besonderen wird Aegypten angefuehrt; doch ist die Zeit laengst vorbei, wo +man sich Aegypten als einzigen Ursprungsort dieser Wissenschaften dachte, +vielmehr muss als feststehend angenommen werden, dass jedes Volk in seinem +Entwicklungsgange geometrische Anschauungen sich anzueignen schon durch +praktische Beduerfnisse gezwungen war. Die Hoehe, zu welcher sich die +einzelnen Voelker in ihren mathematischen Speculationen emporzuschwingen +vermochten, hing von der Richtung des Bildungsganges, von dem Maasse des +Beduerfnisses und nicht in letzter Reihe von dem Einfluesse religioeser +Verhaeltnisse ab. + +Und so mag sich zunaechst jene Naturgeometrie entwickelt haben, welche +allen Voelkern zugesprochen werden muss, und auf deren Vorhandensein, weil +auf die Anwendungen ihrer freilich einfachsten Principien, Ueberreste von +Bauten ueberall dort hinweisen, wo wir in der Lage sind, solche beobachten +zu koennen. Die Pellasger, die vorhellenischen Ureinwohner Griechenlands, +mussten lange vor Entstehung der Philosophie geometrische Kenntnisse in +dem Maasse besessen haben, wie sie zur Auffuehrung von Wasserbauten, +Daemmen, Canaelen und Burgen, von denen man jetzt noch Spuren findet, +nothwendig waren. + +Verfolgt man die Entwicklung der Geometrie zu ihren Quellen aufwaerts, so +duerfen wir nicht ueberrascht sein, dass man bei dem uns bekannten aeltesten +Culturvolke, bei den Aegyptern, am weitesten vorzudringen vermag, und zwar +an der Hand der indirecten wie der directen Nachrichten, welche uns ueber +diesen Gegenstand zugekommen sind. Leider jedoch sind die Ersteren ihrem +Inhalte und die Letzteren ihrer Zahl nach nur spaerliche zu nennen. + +Zahlreich sind wohl die Stellen in griechischen Philosophen und +Geschichtschreibern, welche Bezug haben auf aegyptische Geometrie, es +laesst sich jedoch nicht verkennen, dass oft die Spaeteren auf Fruehere sich +stuetzen, und wir es moeglicherweise mit einer einzigen, durch Jahrhunderte +fortgefuehrten Nachricht zu thun haben. + +Durch *Herodot*, welcher um die Mitte des fuenften vorchristlichen +Jahrhunderts (460) Aegypten bereiste, erfahren wir(1), dass die Geometrie +von Aegypten nach Griechenland verpflanzt worden sei. Etwas spaeter (393 +v. Chr.) berichtet *Isokrates* die Thatsache(2), dass die Aegypter "die +Aelteren (unter ihren Priestern) ueber die wichtigsten Angelegenheiten +setzten, dagegen die Juengeren beredeten, mit Hintansetzung des Vergnuegens, +sich mit Astronomie, Rechenkunst und Geometrie zu beschaeftigen". + +In *Platon*'s _Phaedrus_ sagt *Sokrates*: "Ich habe vernommen, zu Naukratis +in Aegypten sei einer der dortigen alten Goetter gewesen, dem auch der +Vogel geheiligt ist, den sie Isis nennen, waehrend der Gott selbst den +Namen Teuth fuehrt; dieser habe zuerst Zahlenlehre und Rechenkunst erfunden +und Geometrie und Astronomie"(3), und einen directen Hinweis finden wir +bei *Aristoteles*, welcher in seiner _Metaphysik_ sagt:(4) "Daher +entstanden auch in Aegypten die mathematischen Wissenschaften, denn hier +war den Priestern die dazu noethige Muesse vergoennt." + +Uebrigens schrieben sich die Aegypter neben der Erfindung der +Buchstabenschrift auch jene der meisten Wissenschaften und Kuenste zu, +worueber *Diodor*(5), welcher etwa 70 Jahre v. Chr. G. Aegypten bereiste, +bemerkt: "Die Aegypter behaupten, von ihnen sei die Erfindung der +Buchstabenschrift und die Beobachtung der Gestirne ausgegangen, ebenso +seien von ihnen die Theoreme der Geometrie und die meisten Wissenschaften +und Kuenste erfunden worden." + +Neben diesen ganz allgemein gehaltenen Angaben sind hauptsaechlich +diejenigen Berichte zu erwaehnen, welche sich auf die Art der +wissenschaftlichen Leistungen der Aegypter beziehen. + +Da sagt zunaechst *Herodot*(6) in Hinsicht auf die unter dem Koenige +*Sesostris* durchgefuehrte Laendereintheilung: "Auch sagten sie, dass dieser +Koenig das Land unter alle Aegypter so vertheilt habe, dass er jedem ein +gleich grosses Viereck gegeben, und von diesem seine Einkuenfte bezogen +habe, indem er eine jaehrlich zu entrichtende Steuer auflegte. Wem aber der +Fluss (Nil) von seinem Theile etwas wegriss, der musste zu ihm kommen und +das Geschehene anzeigen; er schickte dann die Aufseher, die auszumessen +hatten, um wie viel das Landstueck kleiner geworden war, damit der Inhaber +von dem uebrigen nach Verhaeltniss der aufgelegten Abgaben steure. Hieraus +erscheint mir die Geometrie entstanden zu sein, die von da nach Hellas +kam." + +Die, *Herodot*, dem Vater der Geschichtsschreibung folgenden +Berichterstatter hielten sich nun, vielleicht erklaerlicherweise, +vorzueglich an den einen, die Nilueberschwemmungen betreffenden Theil obiger +Nachricht, und wurde, gewiss Unberechtigtermassen der Nil als der +unmittelbare Anstoss fuer alle geometrischen Arbeiten der Aegypter +hingestellt. Und doch scheint es uns viel naeherliegend, die einerseits +behufs der Steuerbemessung und Controle, anderseits wegen der aus den +Veraenderungen im Besitzstande sich nothwendig ergebenden +Flaechenfestsetzungen als den Hauptbeweggrund jener Vermessungen zu +erkennen, wobei die gesammelten Erfahrungen gewiss auch bei der +Beurtheilung der unzweifelhaft nach den periodisch eintretenden +Nilueberschwemmungen vorgekommenen Terrainveraenderungen mit Vortheil +benutzt worden sein moegen. + +Unverkennbar ist der Zug nach Aufbauschung und Ausschmueckung des, jene +Nilueberschwemmungen betreffenden Theiles des *Herodot*'schen Berichtes, +wenn man die Aufzeichnungen spaeterer Gewaehrsmaenner naeher betrachtet. + +Zunaechst finden wir bei *Heron* dem Aelteren die folgende diesbezuegliche +Stelle(7): "Die frueheste Geometrie beschaeftigte sich, wie uns die alte +Ueberlieferung lehrt, mit der Messung und Vertheilung der Laendereien, +woher sie Feldmessung genannt wurde. Der Gedanke einer Messung naemlich +ward den Aegyptern an die Hand gegeben durch die Ueberschwemmungen des +Nil. Denn viele Grundstuecke, die vor der Flussschwelle offen dalagen, +verschwanden beim Steigen des Flusses und kamen erst nach dem Sinken +desselben zum Vorschein, und es war nicht immer moeglich, ueber die +Identitaet derselben zu entscheiden. Dadurch kamen die Aegypter auf den +Gedanken einer solchen Messung des vom Nil blossgelegten Landes." + +Weiter finden wir bei *Diodor*(8) einen Ausspruch, durch welchen wir +uebrigens auch ueber andere wissenschaftliche Leistungen der Aegypter +belehrt werden; *Diodor* sagt: "Die Priester lehren ihre Soehne zweierlei +Schrift, die sogenannte heilige, und die, welche man gewoehnlich lernt. Mit +Geometrie und Arithmetik beschaeftigen sie sich eifrig. Denn indem der +Fluss jaehrlich das Land vielfach veraendert, veranlasst er viele und +mannigfache Streitigkeiten ueber die Grenzen zwischen den Nachbarn; diese +koennen nun nicht leicht ausgeglichen werden, wenn nicht ein Geometer den +wahren Sachverhalt durch directe Messung ermittelt. Die Arithmetik dient +ihnen in Haushaltungsangelegenheiten und bei den Lehrsaetzen der Geometrie; +auch ist sie denen von nicht geringem Vortheile, die sich mit Sternkunde +beschaeftigen. Denn wenn bei irgend einem Volke die Stellungen und +Bewegungen der Gestirne sorgfaeltig beobachtet worden sind, so ist es bei +den Aegyptern geschehen; sie verwahren Aufzeichnungen der einzelnen +Beobachtungen seit einer unglaublich langen Beihe von Jahren, da bei ihnen +seit alten Zeiten her die groesste Sorgfalt hierauf verwendet worden ist. +Die Bewegungen und Umlaufszeiten sowie die Stillstaende der Planeten, auch +den Einfluss eines jeden auf die Entstehung lebender Wesen und alle ihre +guten und schaedlichen Einwirkungen haben sie sehr sorgfaeltig beobachtet." + +Am innigsten verknuepft erscheint die Geometrie der Aegypter mit den +Ueberschwemmungen des Nil bei *Strabon*(9); welcher bemerkt, "dass es +einer sorgfaeltigen und bis auf das Genaueste gehenden Eintheilung +bedurfte, wegen der bestaendigen Verwuestung der Grenzen, die der Nil bei +seinen Ueberschwemmungen veranlasst, indem er Land wegnimmt und zusetzt, +und die Gestalt veraendert, und die anderen Zeichen unkenntlich macht, +wodurch das fremde und eigene Besitzthum unterschieden wird. Man muesse +daher immer und immer wieder messen. Hieraus soll die Geometrie entstanden +sein." + +Den gesellschaftlichen Einrichtungen der Aegypter entsprechend, muss als +feststehend angenommen werden, dass sich eine Kaste, nach eben Gehoertem +die der Priester, mit dem wissenschaftlichen Theile der Geometrie +beschaeftigte, waehrend eine andere, die der Feldmesser, die von den +Ersteren aufgestellten und sorgsam gehueteten geometrischen Principien +praktisch zur Anwendung brachte. Dabei wurden, wie wir spaeter sehen +werden, die Geheimnisse der Priester, insoweit sie geometrische Wahrheiten +und Berechnungsregeln betrafen, moeglicherweise nur insoweit enthuellt, dass +bei deren Verwendung nur annaeherungsweise richtige Resultate zum Vorschein +kamen. + +Wohl sind einige Schriftsteller so weit gegangen, dass sie, die +unlaeugbaren Uebertreibungen des Zusammenhanges zwischen den +Nilueberschwemmungen und der aegyptischen Geometrie im Auge behaltend, die +Existenz der letzteren einfach negirten, und alle die citirten Aussprueche +in das Gebiet der Fabel verwiesen. + +Was macht man jedoch dann mit den wohlbeglaubigten Nachrichten ueber die +Reisen, welche hervorragende griechische Philosophen nach Aegypten +unternahmen, oft jahrelang dort verweilend, um sich in die Geheimnisse +aegyptischer Priester einweihen und mit deren geometrischem Wissen +vertraut machen zu lassen? + +*Eudemus von Rhodos*(10), einer der aeltesten Peripatetiker, schrieb eine +Geschichte der Mathematik, aus welcher uns durch *Proklos Diadochus*(11), +einen Philosophen des fuenften nachchristlichen Jahrhunderts, ein +Bruchstueck erhalten ist, welches sozusagen das einzige Mittel bildet, das +uns einen Einblick in die geometrischen Errungenschaften der Griechen in +den ersten dritthalb Jahrhunderten nach *Thales* gewaehrt. Hierin heisst es +unter Anderem: "*Thales*, der nach Aegypten ging, brachte zuerst die +Geometrie nach Hellas hinueber und Vieles entdeckte er selbst, von Vielem +aber ueberlieferte er die Anfaenge seinen Nachfolgern; das Eine machte er +allgemeiner, das Andere mehr sinnlich fassbar." Hundert Jahre nach dem +Tode des *Pythagoras* berichtet der Redner *Isokrates*(12): "Man koennte, +wenn man nicht eilen wollte, viel Bewunderungswuerdiges von der Heiligkeit +aegyptischer Priester anfuehren, welche ich weder allein noch zuerst +erkannt habe, sondern viele der jetzt Lebenden und der Frueheren, unter +denen auch *Pythagoras* der Samier ist, der nach Aegypten kam und ihr +Schueler wurde und die fremde Philosophie zuerst zu den Griechen +verpflanzte." + +Waehrend der Aufenthalt des *Pythagoras* in Aegypten unter Anderen auch +noch von *Strabon*(13) und *Antiphon*(14) bestaetiget wird, nennt uns +*Diodor*(15) eine ganze Reihe von Namen, indem er sagt; "Die aegyptischen +Priester nennen unter den Fremden, welche nach den Verzeichnissen in den +heiligen Buechern vormals zu ihnen gekommen seien, den *Orpheus*, +*Musaios*, *Melampus* und *Daidalos*, nach diesen den Dichter *Homer*, den +Spartaner *Lykurgos*, ingleichen den Athener *Solon* und den Philosophen +*Platon*. Gekommen sei zu ihnen auch der Samier *Pythagoras* und der +Mathematiker *Eudoxos*, ingleichen *Demokritos von Abdera* und *Oinopides +von Chios*. Von allen diesen weisen sie noch Spuren auf, von den Einen +Bildnisse von den Anderen Orte und Gebaeude, die nach ihnen benannt sind. +Aus der Vergleichung dessen, was jeder von ihnen in seinem Fache geleistet +hat, fuehren sie den Beweis, dass sie Dasjenige um desswillen sie von den +Hellenen bewundert werden, aus Aegypten entlehnt haben." Aus diesen +Stellen geht mit Sicherheit hervor, dass viele Griechen nach Aegypten +zogen, um bei den dortigen Priestern Philosophie und Mathematik kennen zu +lernen, da wohl in den Berichten nur die hervorragenden Maenner angefuehrt +wurden. + +Der Milesier *Thales*, welcher erst in vorgeruecktem Alter, und nachdem er +als Handelsmann frueher gewiss schon mehrmals Aegypten besucht gehabt, sich +daselbst behufs seiner Studien zu laengerem Aufenthalt niederlies, ist +merkwuerdiger Weise in dem Berichte des Diodor nicht angefuehrt, und koennte +man wohl aus diesem Umstande umsomehr einen gewissen Grad von +Unglaublichkeit ableiten, als darin mythische Namen wie *Orpheus*, +*Daidalos* und *Homer* angefuehrt erscheinen. Diese letzteren konnten +jedoch sehr wohl dem im Ganzen und Grossen sonst richtigen Verzeichnisse +vom Berichterstatter eigenwillig beigefuegt worden sein, um dadurch das +hohe Alter aegyptischer Wissenschaft in ein vorteilhaftes Licht zu setzen. + +Abgesehen jedoch von aller Wahrscheinlichkeit oder Unwahrscheinlichkeit +fuer die Exactheit obiger Aussprueche in Bezug auf einzelne Namen, duerfte +jedenfalls das als unumstoessliche Wahrheit gelten, dass die aegyptischen +Priester von den Griechen als in den Wissenschaften, insbesondere in der +Geometrie sehr bewandert gehalten wurden, und zwar in einem solchen +Maasse, dass eine Reihe hervorragender griechischer Philosophen es nicht +verschmaehte, die, fuer damalige Verhaeltnisse nicht unbedeutende Reise nach +Aegypten zu unternehmen, ja oft jahrelang in diesem Lande mit unbekannter +Sprache und Schrift zu verweilen, um sich die Kenntnisse der Aegypter +anzueignen. + +Stellt man nun zunaechst die Frage nach Quantitaet und Qualitaet des +geometrischen Wissens, welches die Griechen von ihren Studienreisen mit +nach Hause brachten, so scheint dies, selbst vom Standpunkte der +unmittelbar nachpythagoraeischen Geometrie, aeusserst Weniges gewesen zu +sein. + +*Thales* von Milet, einer der sieben griechischen Weltweisen, der +Begruender der ionischen Schule, *Thales*, welcher fuer das Jahr 585 +v. Chr. G. eine, auch eingetroffene Sonnenfinsterniss vorherzusagen +wusste, soll, den uns von *Proklos* zugekommenen Berichten zufolge, in +Aegypten nicht viel mehr erfahren haben, als die Saetze ueber die Gleichheit +der Winkel an der Basis eines gleichschenkligen Dreieckes, die Gleichheit +der Scheitelwinkel am Durchschnitt zweier Geraden; er wusste ferner, wie +ein Dreieck durch eine Seite und die beiden anliegenden Winkel bestimmt +erscheint, diese Eroerterung zur Messung der Entfernungen von Schiffen auf +dem Meere benuetzend, es war ihm bekannt, dass ein Kreis durch einen +Durchmesser halbirt wird,(16) und soll er die Hoehe der Pyramiden aus der +Laenge des Schattens gemessen haben, hoechst wahrscheinlich in dem Momente, +wo die Schattenlaenge eines senkrechten Stabes der Stablaenge gleich +ist,(17) moeglicherweise jedoch, wie *Plutarch*(18) berichtet, auch zu +einer beliebigen Tageszeit. Auch wird ihm von *Pamphile*(19) die Kenntniss +des Satzes zugeschrieben, dass der Peripheriewinkel im Halbkreise ein +rechter sei. Gewiss hat Thales wenigstens jene geometrischen Fundamente in +Aegypten kennen gelernt, welche es ihm ermoeglichten, die genannten Saetze +als wahr zu erkennen, wenn auch bei ihm, selbst bei diesen einfachen +Dingen an einen strengen Beweis nicht gedacht werden kann. + +Es waere jedoch voreilig, aus der Geringfuegigkeit der Thaletischen +geometrischen Kenntnisse mit *Montucla* (20) zu schliessen, dass auch die +Aegypter nicht viel mehr gewusst haetten. Man kann wohl annehmen, dass die +aegyptischen Priester bei ihrer den Fremden gegenueber beobachteten +Zurueckhaltung nur einen Theil ihres Wissens offenbarten; wer koennte jedoch +bemessen, in welchem Verhaeltnisse dieser Theil zu ihrem Gesammtwissen +stand? Der Ansicht *Montucla*'s kann man entgegensetzen, dass die Aegypter +den Fremden nur einen kleinen Bruchtheil ihres sorgsam im Verborgenen +gehueteten Wissens preisgegeben haben mochten, wobei ferner nicht +unberuecksichtigt bleiben darf, dass den nach Aegypten gekommenen Griechen +auch die Unkenntniss der Sprache und der Schrift weitere, nicht zu +unterschaetzende Schwierigkeiten bereitete, in dem Maasse als vielleicht +Manches, was ihnen die aegyptischen Priester von aegyptischem Wissen zur +Verfuegung stellten, unverstanden bleiben konnte. + +Was nun das Wesen aegyptischer Geometrie betrifft, so finden wir in den +Berichten der Alten fast gar keine Anhaltspunkte, um uns hierueber Klarheit +verschaffen zu koennen, und war man bis vor Kurzem darauf hingewiesen, aus +den Anfaengen griechischer Mathematik auf den Stand der aegyptischen +zurueckzuschliessen, was, wie aus dem Vorhergesagten folgen duerfte, mit +nicht geringen Schwierigkeiten verbunden erscheint. + +Die Ansicht, dass die Geometrie der Aegypter eigentlich nur constructiver +Natur war, aehnlich dem was wir als Reisskunst zu bezeichnen pflegen,(21) +duerfte sich nicht als stichhaeltig erweisen; es moege jedoch gleich jetzt +darauf hingedeutet werden, dass die Aegypter im Construiren geometrischer +Formen nicht unbewandert sein konnten. + +So sagt in etwas prahlerischer Weise *Demokritos* von *Abdera*(22) um 420 +v. Chr. G.: "Im Construiren von Linien nach Maassgabe der aus den +Voraussetzungen zu ziehenden Schluesse hat mich keiner je uebertroffen, +selbst nicht die sogenannten Harpedonapten der Aegypter"; und *Theon* von +*Smyrna*(23) erzaehlt, dass "Babylonier, Chaldaeer und Aegypter eifrig nach +allerhand Grundgesetzen und Hypothesen suchten, durch welche den +Erscheinungen genuegt werden koennte; zu erreichen suchten sie dies dadurch, +dass sie das frueher Gefundene in Ueberlegung zogen, und ueber die +zukuenftigen Erscheinungen Vermuthungen aufstellten, wobei die Einen sich +arithmetischer Methoden bedienten, wie die Chaldaeer, die Anderen +construirender wie die Aegypter". + +Aus diesen und aehnlichen Berichten, sowie aus dem Umstande, dass die +Anfaenge der griechischen Geometrie selbst hauptsaechlich constructiver +Natur waren, muss man zu dem Schlusse kommen, dass die alten Aegypter seit +unvordenklichen Zeiten die Reisskunst pflegten, und in der langen Reihe +der Jahrhunderte sicherlich eine ziemlich bedeutende Masse sowohl +einfacher als complicirterer Constructionen erfanden und in ein gewisses +System brachten, von Ersteren zu Letzteren aufsteigend. Diese +Constructionen duerften ihrem groesseren Theile nach, und zwar jenem Theile +nach, welcher, wenn auch ohne Begruendung Gemeingut der die Kuenste und +Gewerbe betreibenden Kasten wurde, nur solche gewesen sein, die dem +praktischen Beduerfnisse dienen konnten, also zumeist +Ornamentenconstructionen. Wir bemerken hier unter Anderem das Vorkommen +regelmaessiger geometrischer Figuren auf uralten Wandgemaelden, wie sie sich +z. B. als faerbige Zeichnungen aus den Zeiten der fuenften Dynastie, also +unmittelbar nach den Erbauern der Pyramiden, das ist 3400 Jahre v. Chr. G. +etwa vorfinden.(24) + +Man sieht unter der grossen Menge der in dieser Zeit vorkommenden Figuren +eine, aus verschobenen, ineinander gezeichneten, theilweise durch zu einer +Diagonale Parallele zerlegten Quadraten zusammengesetzte Figur, ferner aus +der Zeit von der zwoelften bis zur sechsundzwanzigsten Dynastie, eine +Figur, bestehend aus einem Quadrate, und zwei, laengs der Diagonale +centrisch hineingelegten lemniscatischen Curven, sowie eine +Zusammenstellung von um fuenfundvierzig Grade gegeneinander verdrehten, +sich durchsetzenden Quadraten. Kreise erscheinen durch ihre Durchmesser in +gleiche Kreisausschnitte getheilt; so zunaechst durch zwei oder vier +Durchmesser in vier beziehungsweise acht, und in spaeteren Zeiten auch +durch sechs Durchmesser in zwoelf gleiche Ausschnitte; die in den +Zeichnungen vorkommenden Wagenraeder besitzen zumeist sechs, seltener vier +Speichen, so dass auch die Theilung des Kreises durch drei Diameter in +sechs gleiche Kreisausschnitte vertreten erscheint. + +In einer unvollendet gebliebenen Kammer des Grabes *Seti I.*, des Vater +*Ramses II.* aus der neunzehnten Dynastie (das sogenannte Grab +*Belzoni*)(25) finden wir die Waende behufs Anbringung von Reliefarbeiten +mit einem Netze gleich grosser Quadrate bedeckt, und es kann keinem +Zweifel unterliegen, dass wir es hier mit der Anwendung eines +Verkleinerungs- beziehungsweise Vergroesserungsmaassstabes zu thun haben. + +Wenn nun auch die einfachen Figuren des Dreieckes, Quadrates und des +Kreises hoechst wahrscheinlich ohne besondere Ueberlegung, einfach dem +inneren geometrischen Formendrange entsprungen sein duerften, so ist doch +gewiss, dass ihre verschiedenartige Zusammensetzung zu Mustern das +Product, wenn auch primitiven geometrischen Denkens war, welches dann +schon eine ziemliche Selbststaendigkeit erreicht haben musste, als die +vorerwaehnte Anwendung von Proportionalmaassstaeben in Uebung kam. + +Andererseits musste das oeftere Betrachten der regelmaessigen Figuren einen +geometrisch disponirten Geist von selbst zum Aufsuchen unbekannter +Eigenschaften derselben reizen, und vielleicht ist der Thaletische Satz +von der Halbirung des Kreises durch einen Durchmesser nichts als eine aus +der Betrachtung jener aegyptischen Zeichnungen gewonnene Abstraction, und +huldigen wir in dieser Beziehung der Ansicht, dass *Thales* beim +Ausspruche des erwaehnten, fuer uns freilich hoechst einfach klingenden +Satzes, wahrscheinlich sagen wollte, nur der Kreis habe die ausgezeichnete +Eigenschaft, von allen durch einen Punkt, den Mittelpunkt, gehenden +Geraden in lauter untereinander gleiche Haelften getheilt zu werden. + +Von besonderer Wichtigkeit scheint uns jedoch der frueher citirte +selbstgefaellige Ausspruch des *Demokritos* zu sein, da er uns vor einer +ungerechtfertigten Unterschaetzung aegyptischer Constructionsgewandtheit +bewahren kann. Bedenklich in *Demokritos*' Angabe koennte allenfalls jenes +Selbstlob erscheinen, das er sich spendet; wenn es nun wohl auch schon im +Alterthume Maenner geben mochte, die ihre Beruehmtheit vorzugsweise und oft +nur der Hochschaetzung verdankten, die sie sich selbst und ihren Werken +gezollt, Maenner, welche in der Verbreitung des eigenen Lobes so emsig, so +unermuedlich waren, dass sich um sie als die davon Ueberzeugtesten noch ein +Kreis von Glaeubigen bildete, welche den, oft nur auf schwankenden Fuessen +einhergehenden Ruhm ihrer Profeten weiter fuehrten, so ist doch die +Bedeudung des Geometers *Demokritos* durch so viele, und verschiedenen +Quellen entspringende Aussprueche beglaubigt, dass es gewiss Niemandem +einfallen wird, seine Autoritaet als die eines gruendlichen Kenners der +Geometrie seiner Zeit in Zweifel zu ziehen. Wohl sind uns von den +geometrischen Werken des *Demokritos*, und kaum von allen nur die ganz +allgemein klingenden Titel erhalten. + +Waehrend uns *Cicero*(26) diesen Philosophen als einen gelehrten, in der +Geometrie vollkommen bewanderten Mann anpreist, theilt uns *Diogenes +Laertius*(27) mit, dass *Demokritos* "ueber Geometrie", "ueber Zahlen", +"ueber den Unterschied des Gnomon oder ueber die Beruehrung des Kreises und +der Kugel", sowie zwei Buecher "ueber irrationale Linien und die dichten +Dinge" geschrieben habe, Schriften, deren Titel theilweise uns ueber ihren +Inhalt ganz im Unklaren lassen. Legen wir den angefuehrten Zeugnissen +Glauben bei, und es ist kein Grund vorhanden dies nicht zu thuh, so muessen +wir von *Demokritos* als von einem "in der Geometrie vollkommenen Manne" +voraussetzen, dass er mit den Errungenschaften des *Pythagoras*, welcher +ein Jahrhundert vor *Demokritos* Aegypten besucht hatte, vollkommen +vertraut war. Gewiss war ihm somit bekannt: die Methode der "Anlegung der +Flaechen", welche wieder die Vertrautheit mit den Hauptsaetzen aus der +Theorie der Parallelen und der Winkel, so wie die Kenntniss der +Abhaengigkeit der Flaecheninhalte von den ihnen zukommenden Ausmaassen +voraussetzt. Nicht minder bekannt mussten ihm die, dem *Pythagoras* +zugeschriebenen Constructionen der fuenf regelmaessigen, sogenannten +kosmischen Koerper sein, woraus sich weiter schliessen laesst, dass auch +einerseits die Eigenschaften der Kugel, welcher doch jene Koerper +eingeschrieben wurden, und anderseits die Entstehungen der regelmaessigen, +jene Koerper begrenzenden Vielecke, vor Allem die des Fuenfeckes dem +*Demokritos* nicht ungelaeufig sein konnten. Die Construction des Letzteren +erheischt wiederum die Kenntniss der Lehre vom goldenen Schnitt, und diese +den Satz vom Quadrate der Hypothenuse(28). Hat nun *Demokritos* auch +selbst nichts Neues hinzugefuegt, so musste er doch Jenes kennen; wenn er +nun anderseits sagt: "im Construiren haette ihn Niemand, selbst nicht die +Harpedonapten der Aegypter uebertroffen", so duerfen wir hieraus mit +Sicherheit schliessen, dass die geometrischen Kenntnisse der aegyptischen +Priester bedeutend genug gewesen sein mussten, weil sich *Demokritos* +sonst kaum gerade ueber diese Geometer gesetzt haette. + +Doch verlassen wir fuer jetzt die Nachrichten des griechischen Alterthums, +welche in der Beurtheilung aegyptischer Geometrie nur Conjecturen +zulassen, und blicken wir nach directen Denkmalen aegyptischen Ursprungs, +aus denen vielleicht Schluesse gezogen werden koennten auf Wesen und Umfang +aegyptischer Geometrie. + +Das Britische Museum bewahrt eine Papyrusrolle, welche aus dem Nachlasse +des Englaenders *A. Henry Rhind* stammt, die derselbe nebst anderen +werthvollen Rollen in Aegypten kaeufllich an sich gebracht haben duerfte. +Der erwaehnte Papyrus, ein altes Denkmal aegyptischer Mathematik, ist, wie +es scheint, nicht mit vollster Berechtigung als ein "mathematisches +Handbuch" der alten Aegypter bezeichnet worden(29). Der fragliche Papyrus +nennt sich selbst eine Nachahmung aelterer mathematischer Schriften, denn +es heisst in der Einleitung: "Verfasst wurde diese Schrift im Jahre +dreiunddreissig im vierten Monat der Wasserzeit unter Koenig Ra-a-us, Leben +gebend nach dem Muster alter Schriften in den Zeiten des Koenigs ...at vom +Schreiber Aahmes verfasst die Schrift." + +Nachdem zuerst Dr. *Birch*(30) auf diesen mathematischen Papyrus durch +einen kurzen vorlaeufigen Bericht aufmerksam gemacht hatte, wurde der +Gegenstand von dem ausgezeichneten Heidelberger Aegyptologen Dr. +*Eisenlohr* einer eingehenden, hoechst schwierigen und zeitraubenden +Untersuchung unterzogen, deren Resultate, was die Uebersetzung betrifft, +unseren gegenwaertigen Betrachtungen zu Grunde liegen. Bezueglich des Alters +des Papyrus hat man jenes der vorhandenen Abschrift von dem Alter des +unbekannten Originals zu unterscheiden. Nach der von *Eisenlohr* gegebenen +Vervollstaendigung der in der erwaehnten Einleitung auf das Wort Koenig +folgenden Luecke, wuerde der Herrscher, unter dessen Regierung das Original +entstanden ist, der Koenig *Ra-en-mat* sein, dessen Regierungszeit +*Lepsius*(31) auf 2221--2179 v. Chr. G. legt. Da ferner der Name *Ra-a-us* +in den bis dahin vorhandenen Koenigslisten nicht vorkommt, sah man sich, um +die Zeit der Entstehung der Abschrift wenigstens annaehernd angeben zu +koennen, darauf angewiesen, aus der bekannten Sitte der Aegypter die +Eigennamen der eben herrschenden oder der unmittelbar vorhergegangenen +Regenten zu gebrauchen, Schluesse zu ziehen. Und da liess der Name *Aahmes* +des Schreibers, sowie auch die (althieratische) Schrift des Papyrus +vermuthen, dass derselbe um 1700 v. Chr. G. entstanden sein duerfte. Die +Vermuthung in Bezug auf das Zeitalter der Abschrift hat sich nun neueren +Forschungen zu Folge vollkommen bestaetigt. Denn *Ra-a-us* wurde als der +Hyksoskoenig *Apophis* erkannt, und *Aahmes* duerfte seinen Namen von dem, +kurze Zeit dem Apophis vorhergegangenen Koenige *Amasis* entlehnt haben. + +Es erscheint so vollkommen sichergestellt, dass unser Papyrus aus dem +achtzehnten Jahrhundert v. Chr. G. stammt. Die Eingangsworte des Papyrus, +welche lauten: "Vorschrift zu gelangen zur Kenntniss aller dunklen Dinge, +aller Geheimnisse, welche enthalten sind in den Gegenstaenden", sowie die +Anordnung des Stoffes in Arithmetik, Planimetrie und Stereometrie, an +welche sich ein, verschiedene Beispiele enthaltender Theil anschliesst, +konnten im ersten Augenblicke den Gedanken aufkommen lassen, dass wir es +vielleicht mit einem Lehrbuche der Mathematik zu thun haben. Der Umstand +jedoch, dass der Papyrus nur die Zusammenstellung, allerdings eine in +gewissem Grade systematische Zusammenstellung von Aufgaben nebst ihren +Loesungen und den zugehoerigen Proben ist, ohne dass Definitionen oder +Lehrsaetze und Beweise vorkommen wuerden, liess den Papyrus wiederum als +eine Aufgabensammlung, als ein Anleitungsbuch fuer Praktiker erscheinen. +Man ist noch weiter gegangen, und stellte die Ansicht auf, der Autor habe +bei Abfassung dieser Schrift vorzueglich an Landleute, welchen die Theorie +unzugaenglich war, gedacht. Daraufhin weise nicht nur die Formulirung des +groessten Theiles der Aufgaben, welche Verhaeltnisse und Beduerfnisse der +Landwirthschaft beruecksichtigen, sondern auch der Schlusssatz des Papyrus, +welcher sagt: "Fange das Ungeziefer und die Maeuse, (vertilge) das +verschiedenartige Unkraut, bitte Gott *Ra* um Waerme, Wind und hohes +Wasser". + +Dass wir es nicht mit einem Handbuche, welches dem damaligen Standpunkte +der mathematischen Wissenschaften in Aegypten entsprechen muesste, zu thun +haben, ergibt sich nicht nur aus dem schon hervorgehobenen Mangel an +Definitionen, Lehrsaetzen und Beweisen, ja es fehlt selbst jede Erklaerung, +sondern auch aus dem Umstaende, dass neben der richtigen Loesung einzelner +Aufgaben die unrichtigen oder unvollendeten Loesungen derselben oder +aehnlicher Aufgaben, sowie manche Wiederholungen vorkommen. Nur nebenbei +verweisen wir darauf, dass in einem Handbuche unzweifelhaft wenigstens +Anklaenge an die erste der Wissenschaften des Alterthums, an die +Astronomie, zu finden sein muessten. Doch ist von diesem Theile der +Mathematik im Papyrus nicht die geringste Spur zu finden. Aufklaerungen +ueber den wahren Charakter des Originals unseres Papyrus, und eine viele +Wahrscheinlichkeit besitzende Vermuthung ueber die Entstehung der uns +beschaeftigenden Abschrift, verdanken wir dem Scharfsinne des franzoesischen +Aegyptologen Eugene *Revillout*.(32) + +Bei richtiger Erwaegung des Umstandes, dass oft auf ein fehlerlos geloestes +Beispiel, falsche Loesungen aehnlicher Beispiele folgen, welchen sich dann +gewoehnlich eine Reihe von Uebungsrechnungen anschliesst, Rechnungen die +einem Schulpensum in hohem Grade aehnlich sehen, bei Betrachtung der +Thatsache ferner, wie ein und dasselbe Zahlenbeispiel oft einigemal und +zwar so behandelt wird, dass der Reihe nach die vorkommenden Zahlenwerthe +als die berechneten Resultate erscheinen, draengt sich uns mit *Eugene +Revillout* die Ueberzeugung auf, dass wir es mit dem Uebungs- oder +Aufgabenhefte eines Zoeglings jener Unterrichtshaeuser (a.sbo) zu thun +haben, wie deren in so manchem Papyrus Erwaehnung geschieht, und in denen +die Schueler, welche spaeter Landwirthe, Verwalter, Feldmesser oder +Constructeure werden wollten, mit den fuer ihre kuenftige Laufbahn +notwendigen Rechnungsoperationen vertraut gemacht wurden. Da dieses +Schulheft selbstverstaendlich nicht fuer die Oeffentlichkeit bestimmt sein +konnte, so traegt es auch thatsaechlich keinen Autornamen und keine +Jahresangabe; denn, was die in der Einleitung bezueglich der Zeitperiode, +in welcher das Original entstanden sein sollte, gemachte Erwaehnung +betrifft, so ist mehr als wahrscheinlich, dass dieselbe von dem +Abschreiber *Aahmes* herruehrt, welcher das Original einige Jahrhunderte +nach seiner Entstehung auffand, und dasselbe, der Mathematik gewiss ganz +unkundig, sammt allen Fehlern abschrieb, zu diesen noch neue hinzufuegend. +Nachdem *Aahmes* aus der Aehnlichkeit der Schriftart des mathematischen +Heftes mit der Schrift anderer ihm bekannten Papyri auf das Alter des +ersteren einen im Ganzen und Grossen nicht unrichtigen Schluss gezogen +haben mochte, so koennen wir das Ende, vielleicht auch die Mitte des +dritten Jahrtausends v. Chr. G. als jene Zeit betrachten, in welcher das +Original der Abschrift entstanden sein duerfte. Ob *Aahmes* die Abschrift +mit der viel versprechenden Einleitung und der zugleich praktischen und +gottesfuerchtigen Schlussregel in der Absicht versehen hatte, um sie an +irgend einen einfachen aegyptischen Landmann um gutes Geld anzubringen, +lassen wir dahingestellt, und wiederholen nur unsere Uebereinstimmung mit +der Ansicht, dass das Original des Papyrus neben den von einem Lehrer der +Mathematik herruehrenden Musterbeispielen, die sehr oft verunglueckten +Uebungen eines Schuelers enthaelt, eines Schuelers ueberdies, der nicht zu den +hervorragenden seiner Glasse gehoert haben mochte. Und wie kostbar ist +dennoch dieses altaegyptische Schulheft! Wenn wir in aller Eile eine Skizze +seines Inhaltes vorfuehren sollen, so muessen wir zunaechst die sich auf acht +Columnen der oben erwaehnten Einleitung anschliessende Theilung der Zahl 2 +durch die Zahlen von 3 bis 99 erwaehnen; jeder auftretende Bruch erscheint +in zwei bis vier sogenannte Stammbrueche, Brueche mit dem Zaehler Eins, +zerlegt, und sind die Nenner der letzteren meist gerade Zahlen mit einer +groesseren Divisorenanzahl. Im Anschluss an diese Tabelle finden wir sechs +Beispiele, in denen in Form von Brodvertheilungen die Division der Zahlen +l, 3, 6, 7, 8 und 9 durch die Zahl 10 gelehrt wird, und es folgt hierauf +in 17 Beispielen die sogenannte Sequem- oder Ergaenzungsrechnung, in +welcher es sich darum handelt, Zahlenwerthe zu finden, die mit gegebenen +Werthen durch Addition oder Multiplication verbunden, andere gegebene +Zahlenwerthe liefern. Die naechsten 15 Beispiele gehoeren der sogenannten +*Haurechnung* an, und finden wir in diesem Abschnitte die Loesungen +linearer Gleichungen mit einer Unbekannten. Zwei weitere, der sogenannten +*Tunnu-* oder Unterschiedsrechnung angehoerige Beispiele belehren uns +darueber, dass den alten Aegyptern der Begriff arithmetischer Reihen nicht +fremd war. Es folgen nun sieben Beispiele ueber Volumetrie, ebensoviele +ueber Geometrie und fuenf Beispiele ueber Berechnungen von Pyramiden, also 19 +Aufgaben ueber die wir spaeter noch einige Worte sagen muessen. + +Hieran schliessen sich endlich dreiundzwanzig verschiedenen Materien +entlehnte, Fragen des buergerlichen Lebens betreffende Beispiele, wie die +Berechnung des Werthes von Schmuckgegenstaenden, abermals Vertheilungen von +Broden oder von Getreide, Bestimmung des auf einen Tag entfallenden +Theiles eines Jahresertrages, Berechnungen von Arbeitsloehnen, +Nahrungsmitteln sowie des Futters fuer Gefluegelhoefe. Einer besonderen +Ankuendigung werth erscheinen uns in dieser letzten Abtheilung zwei +Beispiele; das eine derselben(33) laesst keinen Zweifel darueber aufkommen, +dass den alten Aegyptern die Theorie der arithmetischen Progressionen +vollkommen gelaeufig war, waehrend wir in dem zweiten(34) unter der +Aufschrift "eine Leiter" die geometrische Progression von 7 hoch 1 bis 7 +hoch 5 nebst deren Summe vorfinden, wobei die einzelnen Potenzen eigene +Namen: an, Katze, Maus, Gerste, Maass zu fuehren scheinen. + +Nicht unbemerkt lassen wir endlich die in den Haurechnungen auftretende +Benuetzung mathematischer Zeichen; so nach links oder rechts +ausschreitender Beine fuer Addition und Subtraction, drei horizontale +Pfeile fuer Differenz, sowie endlich ein besonderes, dem unseren nicht +unaehnliches Gleichheitszeichen. + +Aus dem geometrischen Theile heben wir zunaechst, der Anordnung des Papyrus +nicht folgend, die Flaechenberechnungen von Feldern hervor. Die +vorkommenden Beispiele beziehen sich auf quadratische, rechteckige, +kreisrunde und trapezfoermige Felder, deren Flaecheninhalte aus ihren +Laengenmaassen bestimmt werden. Nachdem in den Aufgaben ueber die Berechnung +des Fassungsvermoegens von Fruchtspeichern mit quadratischer Grundflaeche +diese letztere gefunden wird durch Multiplication der Maasszahl der Seite +mit sich selbst, kann es gar keinem Zweifel unterliegen, dass auch die +Flaeche des Rechteckes durch Multiplication der Maasszahlen zweier +zusammenstossender Seiten erhalten wurde, da die Erkenntniss der +Richtigkeit der einen Bestimmungsart, jene der Richtigkeit der anderen +involvirt. + +Schon die Betrachtung solcher Proportionalmaassstaebe, wie wir sie im Grabe +*Belzoni* bemerken konnten, haette die alten Aegypter, die mit Gleichungen +und arithmetischen Reihen umzugehen wussten, auf die Bestimmung der Flaeche +eines Rechteckes aus seinen beiden Seitenlaengen mit Nothwendigkeit fuehren +muessen, und werden wir uns durch den Umstand, dass im Papyrus der +diesbezueglichen Aufgabe eine zu ihr nicht gehoerige Loesung beigefuegt ist, +durchaus nicht beirren lassen. + +Von hohem Interesse ist die, an mehreren Stellen des Papyrus vorkommende +Methode der Flaechenberechnung eines Kreises, welche zeigt, dass die alten +Aegypter mit ziemlicher Annaeherung den Kreis zu quadriren wussten, in der +That zu quadriren, weil sie aus dem Durchmesser eine Laenge ableiten, +welche als Seite ein Quadrat liefert, dessen Flaeche jener des Kreises +gleichgesetzt wurde. Da sie acht Neuntel des Durchmessers zur Seite jenes +Quadrates machten, so entspricht dies einem Werthe der Ludolphischen Zahl, +welcher dem richtigen Werthe gegenueber um nicht ganz zwei Hundertstel (um +0,018901) zu hoch gegriffen erscheint; fuer das dritte Jahrtausend +v. Chr. G. und im Vergleiche zu dem Werth pi = 3 der Babylonier, und noch +mehr im Vergleiche zu dem Werthe pi = 4 spaeterer roemischer Geometer, +jedenfalls eine nicht zu unterschaetzende Annaeherung an den richtigen +Werth. + +Eine Aufgabe behandelt die Flaechenbestimmung des Dreieckes, wobei das +Resultat als das Product zweier Seitenlaengen gefunden wird. Die hier +beigefuegte Figur(35), welche in Wirklichkeit ein ungleichseitiges +langgestrecktes Dreieck darstellt, kann ebensowohl als die verfehlte +Zeichnung eines rechtwinkligen wie auch eines gleichschenkligen Dreieckes +betrachtet werden. + +Letztere Annahme ist von *Eisenlohr* gemacht und von *Cantor*(36) +acceptirt worden. Darnach wuerde sich die Methode der Dreiecksberechnung +der alten Aegypter nur als eine Naeherungsmethode darstellen, und ist auch +von beiden genannten Gelehrten der begangene, in diesem Falle in der That +nicht bedeutende Fehler ermittelt worden. + +Wir sind dagegen mit Revillout anderer Meinung. + +Mit Ruecksicht auf den von uns klar erkannten Charakter des Originales des +Papyrus als eines sehr ungenauen Collegienheftes, dessen Rechnungen +ebensosehr wie die vorkommenden Zeichnungen von der Mittelmaessigkeit +seines Zusammenstellers beredtes Zeugniss ablegen, zweifeln wir keinen +Augenblick, dass die fragliche Figur ein rechtwinkliges Dreieck +vorzustellen hatte. Die mangelhafte Schuelerzeichnung ist durch den +Copisten *Aahmes* nur noch schlechter geworden. Dass ein rechtwinkliges +Dreieck gemeint sein soll, erkennt man uebrigens auch aus dem Umstande, +dass in der Figur die Maasszahlen der multiplicirten Seiten bei den +Schenkeln des, vom rechten Winkel nur wenig differirenden Winkels +angesetzt sind, wo doch, wenn es sich haette um ein gleichschenkliges +Dreieck handeln sollen die Maasszahl der Schenkel in der Figur gewiss bei +beiden Schenkeln zu finden waere. Dieselben Gruende bestimmen uns zu der +Annahme, dass die im Papyrus befindliche Flaechenberechnung eines Trapezes +eine vollkommen richtige ist, indem es sich auch hier nur um ein Trapez +handeln kann, dessen zwei parallelen Seiten auf einer der nicht parallelen +Seiten senkrecht stehen. Und warum sollten denn die alten Aegypter nicht +die richtige Art der Flaechenberechnung auch beliebiger Dreiecke gekannt +haben? + +Konnte man einmal die Flaeche eines Rechteckes genau bestimmen, so musste +sich durch einfache Anschauung eines, durch eine Diagonale zerlegten +Rechteckes, von selbst die Regel zur Flaechenbestimmung des rechtwinkligen +Dreieckes ergeben; und wurde nun ein beliebiges schiefwinkliges Dreieck +durch ein Hoehenperpendikel in zwei rechtwinklige zerlegt, so war nichts +leichter als die allgemeine Regel zur Bestimmung der Dreieckflaeche aus +Basis und Hoehe (tepro und merit) zu entwickeln. Dass die Gewinnung des +Hoehenperpendikels sowohl bei Constructionen als auch auf dem Felde den +alten Aegyptern nicht unmoeglich war, folgt zunaechst aus der grossen +Bedeutung der Winkelmaasses (hapt) fuer alle Operationen der praktischen +Geometer Aegyptens. Nicht nur, dass wir in vielen aegyptischen Documenten +das Winkelmaass erwaehnt finden, sieht man auch Koenige abgebildet, das +Winkelmaass in der Hand, welches von ihnen vielleicht in derselben Weise +durch symbolische Benuetzung geehrt wurde, wie der Kaiser von China +alljaehrlich einmal den Pflug zu fuehren pflegt. Ein solches Winkelmaass +sieht man uebrigens auch auf einem Wandgemaelde abgebildet, das eine +Schreinerwerkstaette darstellt,(37) und es unterliegt keinem Zweifel, dass +dasselbe ebensowohl zur Anlegung rechter Winkel als zum Faellen von +Senkrechten benuetzt worden ist. Aber auch auf freiem Felde musste den +Aegyptern die Construction rechter Winkel gelaeufig sein; sowohl die +Pyramiden als auch die aegyptischen Tempel sind vollkommen orientirt, und +wurde, wie uns alte Inschriften(38) belehren, die Orientirung in +festlicher Weise vom Koenige unter Beihilfe der Bibliotheksgoettin *Safech* +vollzogen, mit den Worten: "Ich habe gefasst den Holzpflock und den Stiel +des Schlaegels, ich halte den Strick gemeinschaftlich mit der Goettin +*Safech*. Mein Blick folgt dem Gange der Gestirne. Wenn mein Auge an dem +Sternbilde des grossen Baeren angekommen ist, und erfuellt ist der mir +bestimmte Zeitabschnitt der Zahl der Uhr, so stelle ich auf die Eckpunkte +Deines Gotteshauses." + +In welchem Maasse bei diesen Operationen die von *Demokritos* so +hochgestellten *Harpedonapten* oder Seilspanner betheiligt waren, hat +*Cantor*(39) in hoechst scharfsinniger Weise zu beleuchten versucht, und es +erscheint auch uns wahrscheinlich, dass sich die alten Aegypter beim +Construiren rechter Winkel sowie beim Faellen von Senkrechten auf dem +Felde, der Thatsache bedienten, dass der eine Winkel in einem, die +Seitenlaengen drei, vier und fuenf besitzenden Dreiecke, ein rechter Winkel +sein muesse. Musste ja doch dieser Satz seit unvordenklichen Zeiten auch +den Chinesen bekannt sein, da wir ihn in der bei ihnen so beruehmten +Schrift _Tschiu-pi_ finden, welche mehrere Jahrhunderte v. Chr. G. +entstanden, auf den Kaiser *Tschiu-Kung* also in das Jahr 1100 v. Chr. G. +etwa zurueckgefuehrt wird.(40) Uebrigens konnten directe Messungsversuche an +diagonalen Linien in den Proportionalmaassstaeben sowohl zu dem erwaehnten +als auch noch zu anderen rechtwinkligen Dreiecken mit rationalen +Seitenlaengen gefuehrt haben, und scheint uns die Moeglichkeit nicht +ausgeschlossen, dass der beruehmte und beruechtigte Satz des *Pythagoras* +ueber die Quadrate der Katheten und der Hypothenuse einer eingehenden +Untersuchung solcher Proportionalmaassstaebe entsprungen ist. + +Wenn wir nun einerseits behaupten, dass die alten Aegypter nicht nur die +Flaeche des Kreises, des Quadrates, des Rechteckes, des rechtwinkligen +sowie des schiefen Dreieckes, und unter Zuhilfenahme der Zerlegungen auch +die Flaechen beliebiger Polygone theoretisch genau zu bestimmen im Stande +waren, mit Ausnahme der auch fuer uns eine solche bildenden Kreisflaeche, so +muss doch anderseits zugestanden werden, dass man sich bei praktischen +Anwendungen mit Naeherungen begnuegte, welche im Laufe der Zeiten so +ausarteten, dass der Gebrauch falscher Regeln ein allgemeiner wurde. + +Am linken Nilufer in der Mitte zwischen *Theben* und *Assuan* liegt +*Edfu*, das alte *Appollinopolis Magna* mit einem stattlichen Tempelbau +aus den Zeiten der Ptolomaeer. Der Tempel, hauptsaechlich dem Gotte *Horus* +geweiht, ist mit einer freistehenden Umfassungsmauer umgeben,(41) deren +Ostseite zwischen dem Brunnenthore und dem oestlichen Pylonfluegel eine +Inschrift traegt, welche uns auf acht Feldern und in hundertvierundsechzig +Columnen(42) eine Schenkungsurkunde des Koenigs *Ptolomaeus XI. Alexander +I.* (mit dem Beinamen *Philometor*) bekannt gibt. Das Geschenk, welches +hier *Horus* und den uebrigen Goettern von *Edfu* verliehen wird, besteht +aus einer Anzahl von meist viereckigen Aeckern, deren vier Seitenlaengen +nebst Flaecheninhalten angegeben erscheinen. + +Da jeder der vorkommenden Flaecheninhalte identisch ist mit dem Producte +der arithmetischen Mittel der beiden Gegenseitenpaare, so wurde nach +*Lepsius* die Vermuthung aufgestellt, die alten Aegypter haetten, um +Vierecke bei der Flaechenbestimmung annaehernd wie Rechtecke behandeln zu +koennen, den Unterschied der Gegenseiten dadurch auszugleichen gesucht, +dass sie die arithmetischen Mittel derselben in Rechnung zogen. + +Bei sehr vielen der in der *Edfu*er Schenkungsurkunde vorkommenden +Vierecke ist der Unterschied je zweier Gegenseiten entweder Null oder +verhaeltnissmaessig so klein, dass man den betreffenden Vierecken eine vom +Rechtecke wenig verschiedene Gestalt beilegen kann, und die erhaltenen +Resultate somit eine ziemliche Annaeherung an den richtigen Flaechenwerth +darstellen duerften, nach dem man mit Ruecksicht auf die bei *Sesostris* +bemerkte Eintheilung des Landes in Rechtecke voraussetzen darf, gerade +diese oder eine ihr zunaechst kommende Form der Felder sei die auch damals +schon beliebte gewesen. + +Doch kommen auch Vierecke vor, wo der Laengenunterschied der Gegenseiten +ein bemerkenswerther ist; ja es werden auch Dreiecke als Vierecke mit +einer verschwindenden Seite behandelt, so dass der begangene Fehler in +manchen Faellen ein nicht unbedeutender ist. + +Nur nebenbei bemerken wir, dass man dieselbe unrichtige Flaechenformel fuer +das Viereck erhaelt, wenn man dasselbe zunaechst durch eine Diagonale in +zwei Dreiecke zerlegt, auf jedes dieser Dreiecke die unrichtige +Flaechenformel, die den Inhalt als das halbe Product der beiden Seiten +liefert, anwendet, die beiden so erhaltenen Dreiecksflaechen addirt und +dann aus dieser Summe und jener, welche man bei dem aehnlichen Vorgange +durch Zerlegung mittelst der zweiten Diagonale erhaelt, das arithmetische +Mittel construirt. + +Nimmt man mit *Eisenlohr* und *Cantor* an, dass die Aegypter die +Dreiecksflaeche wirklich dem halben Producte zweier Seiten gleichsetzten, +so steht man vor der Frage, warum nicht in derselben Art die Flaechen der +in der *Edfu*er Schenkungsurkunde auftretenden Dreiecke bestimmt +erscheinen? + +Uebrigens wolle man sich darueber nicht wundern, dass es ueberhaupt moeglich +war, die Flaechenberechnungen im praktischen Leben nach einer so falschen +Methode durchzufuehren. Wissen wir doch, dass im Alterthume, zur Zeit +*Platon*s, einer der gebildetsten Maenner, einer der hervorragendsten +Geschichtschreiber, dass *Thukydides*(43) in seiner Unkenntniss der +Beziehung zwischen Flaecheninhalt und Umfang, die Flaeche einer Insel nach +der zu ihrer Umschiffung nothwendigen Zeit zu bestimmen suchte; in der +Geometrie *Gerbert*'s,(44) des nachmaligen Papstes *Silvester II.* finden +wir, 1000 Jahre nach Chr. G., die Flaeche eines gleichschenkligen Dreieckes +durch Multiplication des Schenkels mit der halben Basis berechnet, wo doch +schon *Hero von ** Alexandrien*(45) 1100 Jahre frueher die richtige Formel +fuer diese Berechnung kennt. + +Wir beruehren diese Thatsachen, und koennten noch eine ganze Reihe aehnlicher +Beispiele anfuehren, nur um zu zeigen, wie uebereilt es waere, aus den oft +nur schwache Annaeherungen liefernden Berechnungen der *Edfu*er +Schenkungsurkunde schliessen zu wollen, die richtigen Methoden seien den +in die Wissenschaften eingeweihten aegyptischen Priestern nicht bekannt +gewesen. + +Doch zurueck zum Papyrus *Rhind*. + +Wir uebergehen die Inhaltsbestimmungen von Fruchthaeusern, bei denen der +Inhalt durch Multiplication einer Flaeche mit einer Laenge bestimmt wird, +weil wir es fuer muessig halten, Eroerterungen darueber anzustellen, welche +Flaechen und Laengen hiebei gemeint sind, so lange uns ueber die Form jener +Fruchthaeuser oder Speicher nichts bekannt ist. + +Dagegen erwecken die im Papyrus vorkommenden Pyramiden-Berechnungen das +hoechste Interesse, besonders nach den glaenzenden Untersuchungen, welchen +*Revillout* diesen Gegenstand unterzogen hat, und deren Resultate wir, +entgegen der von *Eisenlohr* ausgesprochenen und auch von *Lepsius*(46) +acceptirten Ansicht als solche betrachten, welche in einfacher und +natuerlicher Weise die sogenannte *Seket*-Rechnung der alten Aegypter +beleuchten. + +Es wird in diesen Rechnungen die Boeschung der Seitenflaechen einer +quadratischen Pyramide dadurch fixirt, dass jener Theil der Laenge eines +der beiden gleichlangen Schenkel des Winkelmaasses berechnet wird, der +sich zur Laenge des anderen Schenkels so verhaelt, wie die halbe Laenge der +Basisseite der quadratischen Pyramide zur Hoehe derselben. + +Zu dem Behufe war der eine der beiden Schenkel des Winkelmaasses in eine +gewisse Anzahl gleich grosser Theile getheilt, waehrend der andere +Schenkel, der Pyramidenhoehe entsprechend, und als Einheit betrachtet, +ungetheilt blieb. + +Um nun den sogenannten *Seket* zu bestimmen, wurde die halbe Laenge der +Basisseite durch die Pyramidenhoehe dividirt und mit dem erhaltenen +Quotienten die Anzahl der Theile des horizontalen, getheilten Schenkels +des Winkelmaasses multiplicirt. + +Es war somit der Seket (welcher in derselben Art fuer einen geraden +Kreiskegel aus dem Durchmesser der Basis und der Hoehe bestimmt erscheint) +als Verhaeltniss aufgefasst, die goniometrische Cotangente des +Neigungswinkels der Seitenflaeche der Pyramide, respective der Kegelkante +zur Basis. + +Wenn wir selbstverstaendlich weit davon entfernt sind, hierin vielleicht +Anfaenge der Trigonometrie sehen zu wollen, so erkennen wir doch +anderseits, dass den alten Aegyptern auch die Lehre proportionaler Linien, +wenigstens in ihren Anwendungen, bekannt gewesen sein musste, und +erscheint uns auch der am Eingange erwaehnte Ausspruch ueber die dem +Milesier *Thales* zugeschriebene Hoehenmessung der Pyramiden als ein ganz +glaubwuerdiger, wenn wir sehen, wie im Papyrus von den drei Werthen: Basis, +Hoehe, Seket, jeder aus den beiden anderen berechnet erscheint. + +Fassen wir nun die Ergebnisse unserer Betrachtungen zusammen, so muessen +wir aus der quellenmaessig erwiesenen grossen Bewunderung, welche die +ausgesprochen geometrisch hochentwickelten Griechen den aegyptischen +Geometern rueckhaltlos zollten, wir muessen aus der unanfechtbaren +Thatsache, dass griechische Geometer den Grund zu ihren Kenntnissen und +Entdeckungen in Aegypten suchten und fanden, wir muessen im Hinblicke auf +das, aus der nun vollends entzifferten[42] *Edfu*er Schenkungsurkunde sich +mit Sicherheit ergebende ausgebreitete und fest organisirte Katasterwesen +der alten Aegypter, welches zugleich mit den zahlreichen, dem oeffentlichen +Leben dienenden Land- und Wasserbauten auf eine verhaeltnissmaessig +bedeutend entwickelte Vermessungskunde hinweist, wir muessen endlich aus +dem von uns besprochenen Papyrus, der sich als eine ungenaue Abschrift +eines mangelhaften, aus dem dritten Jahrtausend vor Chr. G. stammenden, +mathematischen Collegien- oder Aufgabenheftes erweist, und aus dessen +Vorhandensein sich fast mit Gewissheit auf damals existirende, neben den +Regeln auch ihre Ableitungen enthaltende Lehrbuecher schliessen laesst, wir +koennen und muessen aus allen diesen Umstaenden den allgemeinen Schluss +ziehen, dass bereits drei Jahrtausende vor unserer Zeitrechnung sowohl die +arithmetischen, als auch die geometrischen Kenntnisse der Aegypter, einen +fuer dieses Zeitalter bedeutenden Grad der Entwicklung besassen. + +Insbesondere koennen wir in jenen fernen Zeiten eine staunenswerth +weitgehende Annaeherung bei der Berechnung der Kreisflaeche beobachten, wir +finden mit vollstaendiger Sicherheit richtige Flaechenbestimmungen des +Quadrates, Rechteckes und des rechtwinkligen Dreieckes; hoechst +wahrscheinlich auch richtige Bestimmungen der Flaechen schiefwinkliger +Dreiecke und Vierecke, welche im praktischen Leben durch leichter zu +handhabende Annaeherungsformeln ersetzt wurden; wir sehen Bestimmungen des +Rauminhaltes durch ihre Dimensionen gegebener Koerper und erkennen die +Anfaenge der Aehnlichkeitslehre. + +Was das geometrische Zeichnen betrifft, so kennen wir schon die +Construction der frueher beobachteten regelmaessigen Figuren und duerfen +weiter vermuthen, dass die Anlegung rechter Winkel und das Faellen von +Senkrechten sowohl mittelst des Winkelmaasses als auch mittelst rationaler +rechtwinkliger Dreiecke bekannt, und die Zerlegung gegebener Flaechen +behufs ihrer Inhaltbestimmung in allgemeiner Verwendung war. + +Gewiss werden auch theoretische Resultate bekannt gewesen sein; so die +Haelftung des Kreises durch seinen Durchmesser, die sich aus der +besprochenen Seketrechnung von selbst ergebende Winkelgleichheit an der +Basis gleichschenkliger Dreiecke und gleichseitiger quadratischer +Pyramiden, und wohl noch manches Andere. + +Moege es gelingen, durch Auffindung neuer, sowie durch Entzifferung der, +noch ihrer Erklaerung harrenden Denkmale und Schriften, von welchen +letzteren, Dank der hohen Munificenz des Erlauchten Curators unserer +Akademie, auch Wien eine imposante Zahl aufweisen kann, moege es so +gelingen noch weitere Anhaltspunkte fuer die Kenntniss der mathematischen +Thaetigkeit des uns bekannten aeltesten Culturvolkes, der Aegypter zu +gewinnen! + +Diesen unseren Wunsch theilen gewiss Alle, denen die Erforschung der +Culturgeschichte des menschlichen Geschlechtes nicht ohne Wichtigkeit +erscheint! + + + + + + 1 HERODOT, _Reisebericht_, II, 109. + + 2 ISOKRATES, _Busiris_, c. 9. + +_ 3 Platonis__ Phaedrus_, ed. Ast. I. p. 246. + + 4 ARISTOTELES, _Metaph. I_, 1. + + 5 DIODOR, I, 69. + + 6 Herodot l. c. + +_ 7 Heronis Alexandr.__ geom. et stereom. reliquiae_, ed. Hultsch. p. + 138. + + 8 DIODOR, I, 81. + + 9 STRABON, ed. Meinike, lib. XVII, C. 787, p. 1098. + +_ 10 Eudemi Rhodii__ Peripatetici fragmenta quae supersunt_. ed. L. + Spengel. Berlin 1870. + +_ 11 Procl.__ comment._ ed. Rasil. p. 19; _Barocius_ p. 37. + + 12 ISOKRATES, _Busiris_, cap. 11. + + 13 STRABON, XIV, 1. 16. + + 14 PORPHYRIUS, _De vita Pythagorae_ cap. 7; DIOGENES LAERTIUS, VIII, 3. + + 15 DIODOR, I, c. 96. + + 16 PROKLOS, ed. Friedlein, 250, 299, 352, 157. + + 17 DIOGENES LAERTIUS, I, 27. PLINIUS, _Hist. nat._ XXXVI, 12, 17. + + 18 PLUTARCH, ed. Didot. Vol. 2, III, p. 174. + + 19 DIOGENES LAERTIUS I, 24--25. + + 20 MONTUCLA, _Hist. d. math._ 2. edit. t. I, p. 49. + + 21 BRETSCHNEIDER, _Die Geometrie und die Geometer vor Euklides_, p. 11. + Dem Werke Bretschneiders, sowie jenem CANTOR's: _Vorlesungen ueber + Geschichte der Mathematik_, sind die grundlegenden Gedanken + entnommen. + + 22 CLEMENS ALEXANDRINUS, _Stromata_, ed. Potter, I, 357. + + 23 THEON SMYRNAIOS, _lib. de astron._ ed. Martin, p. 272. + + 24 PRISSE D'AVENNES, _Hist. de l'art Egypt. d'apres les monuments._ + + 25 WILKINSON, _Manners and customs of the ancient Egyptians_, III, p. + 313. + + 26 CICERO, _De finibus bonorum ed malorum_ I, 6, 20. + + 27 DIOGENES LAERTIUS IX, 47. + + 28 CANTOR, _Vorlesungen ueber Geschichte der Mathematik_, I, p. 144--159 + (Leipzig 1880). + + 29 EISENLOHR, _Ein math. Handbuch der alten Aegypter_. Leipzig 1877. + + 30 BIRCH, in Lepsius' _Zeitschrift fuer aegypt. Sprache und Alterthum_, + 1868, p. 108. + + 31 LEPSIUS, _aegypt. Zeitschrift_, 1871, p. 63. + + 32 REVILLOUT, EUGENE, _Revue Egyptologique_, 1881, Nr. II et III, p. + 304. + + 33 EISENLOHR, _Ein math. Handbuch der alten Aegypter_. Nr. 64. + + 34 ibid. Nr. 79. + + 35 ibid. p. 125. + + 36 CANTOR, _Vorlesungen aus der Geschichte der Mathematik_, I, p. 49. + + 37 WILKINSON, _Manners and customs u. s. w._ III., p. 144. + + 38 BRUGSCH, _Ueber Bau und Maasse des Tempels von __Edfu_ (_Zeitschrift + fuer aegypt. Sprache u. Alterth._ Bd. VIII.) + + 39 CANTOR, _Vorlesungen u. s. w._ I, p. 55. + + 40 ED. BIOT, _Journal Asiatique_, Paris 1841, I. Sem. p. 593. + + 41 LEPSIUS, _Ueber eine hieroglyphische Inschrift am Tempel von + __Edfu_. _Abhandlung d. Acad. d. Wiss. in Berlin_, 1855, p. 69. + + 42 BRUGSCH, _Thesaurus III_, Leipzig 1884. + + 43 THUKYDIDES, ed. Rothe, VI. 1. + + 44 ed. Olleris, Cap. LXX. p. 460. + +_ 45 Heronis Alexandrini__ geometricorum et stereometricorum reliquiae_ + (ed. Hultsch, Berlin 1864). + + 46 LEPSIUS, _Ueber die 6palmige grosse Elle von 7 kleinen Palmen Laenge + in dem "math. Handbuche" von Eisenlohr_. (_Zeitschrift f. aeg. Sp._ + 1884. 1. Heft.) + + + + + + +***END OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK UEBER DIE GEOMETRIE DER ALTEN AEGYPTER.*** + + + +CREDITS + + +March 13, 2008 + + Project Gutenberg TEI edition 01 + * R. Stephan* + + + +A WORD FROM PROJECT GUTENBERG + + +This file should be named 24817.txt or 24817.zip. + +This and all associated files of various formats will be found in: + + + http://www.gutenberg.org/dirs/2/4/8/1/24817/ + + +Updated editions will replace the previous one -- the old editions will be +renamed. + +Creating the works from public domain print editions means that no one +owns a United States copyright in these works, so the Foundation (and +you!) can copy and distribute it in the United States without permission +and without paying copyright royalties. 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Its business office is located at 809 North +1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email +business@pglaf.org. Email contact links and up to date contact information +can be found at the Foundation's web site and official page at +http://www.pglaf.org + +For additional contact information: + + + Dr. Gregory B. Newby + Chief Executive and Director + gbnewby@pglaf.org + + +Section 4. + + + Information about Donations to the Project Gutenberg Literary Archive + Foundation + + +Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} depends upon and cannot survive without wide spread +public support and donations to carry out its mission of increasing the +number of public domain and licensed works that can be freely distributed +in machine readable form accessible by the widest array of equipment +including outdated equipment. 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