diff options
| -rw-r--r-- | .gitattributes | 3 | ||||
| -rw-r--r-- | 24817-0.txt | 1555 | ||||
| -rw-r--r-- | 24817-0.zip | bin | 0 -> 30780 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 24817-8.txt | 1555 | ||||
| -rw-r--r-- | 24817-8.zip | bin | 0 -> 30632 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 24817-h.zip | bin | 0 -> 37454 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 24817-h/24817-h.html | 1688 | ||||
| -rw-r--r-- | 24817-page-images/p003.tiff | bin | 0 -> 58614 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 24817-page-images/p004.tiff | bin | 0 -> 75050 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 24817-page-images/p005.tiff | bin | 0 -> 72556 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 24817-page-images/p006.tiff | bin | 0 -> 69732 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 24817-page-images/p007.tiff | bin | 0 -> 75036 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 24817-page-images/p008.tiff | bin | 0 -> 76674 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 24817-page-images/p009.tiff | bin | 0 -> 71080 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 24817-page-images/p010.tiff | bin | 0 -> 70912 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 24817-page-images/p011.tiff | bin | 0 -> 72874 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 24817-page-images/p012.tiff | bin | 0 -> 76092 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 24817-page-images/p013.tiff | bin | 0 -> 72936 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 24817-page-images/p014.tiff | bin | 0 -> 72284 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 24817-page-images/p015.tiff | bin | 0 -> 75296 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 24817-page-images/p016.tiff | bin | 0 -> 72414 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 24817-page-images/p017.tiff | bin | 0 -> 73456 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 24817-page-images/p018.tiff | bin | 0 -> 78920 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 24817-page-images/p019.tiff | bin | 0 -> 76714 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 24817-page-images/p020.tiff | bin | 0 -> 73210 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 24817-page-images/p021.tiff | bin | 0 -> 78154 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 24817-page-images/p022.tiff | bin | 0 -> 81110 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 24817-page-images/p023.tiff | bin | 0 -> 77382 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 24817-page-images/p024.tiff | bin | 0 -> 73272 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 24817-page-images/p025.tiff | bin | 0 -> 73276 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 24817-page-images/p026.tiff | bin | 0 -> 82620 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 24817-page-images/p027.tiff | bin | 0 -> 79094 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 24817-page-images/p028.tiff | bin | 0 -> 75144 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 24817-page-images/p029.tiff | bin | 0 -> 73420 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 24817-page-images/p030.tiff | bin | 0 -> 72998 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 24817-page-images/p031.tiff | bin | 0 -> 68378 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 24817-page-images/p032.tiff | bin | 0 -> 76006 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 24817-page-images/p033.tiff | bin | 0 -> 75880 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 24817-page-images/p034.tiff | bin | 0 -> 63164 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 24817-page-images/p035.tiff | bin | 0 -> 62820 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 24817-page-images/title.tiff | bin | 0 -> 21018 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 24817-page-images/verso.tiff | bin | 0 -> 1408 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 24817-pdf.pdf | 3193 | ||||
| -rw-r--r-- | 24817-pdf.zip | bin | 0 -> 70550 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 24817-tei.zip | bin | 0 -> 26325 bytes | |||
| -rw-r--r-- | 24817-tei/24817-tei.tei | 1522 | ||||
| -rw-r--r-- | 24817.txt | 1555 | ||||
| -rw-r--r-- | 24817.zip | bin | 0 -> 30581 bytes | |||
| -rw-r--r-- | LICENSE.txt | 11 | ||||
| -rw-r--r-- | README.md | 2 |
50 files changed, 11084 insertions, 0 deletions
diff --git a/.gitattributes b/.gitattributes new file mode 100644 index 0000000..6833f05 --- /dev/null +++ b/.gitattributes @@ -0,0 +1,3 @@ +* text=auto +*.txt text +*.md text diff --git a/24817-0.txt b/24817-0.txt new file mode 100644 index 0000000..82981fa --- /dev/null +++ b/24817-0.txt @@ -0,0 +1,1555 @@ +The Project Gutenberg EBook of Ueber die Geometrie der alten Aegypter. by +Emil Weyr + + + +This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no +restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under +the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or +online at http://www.gutenberg.org/license + + + +Title: Ueber die Geometrie der alten Aegypter. + +Author: Emil Weyr + +Release Date: March 13, 2008 [Ebook #24817] + +Language: German + +Character set encoding: UTF-8 + + +***START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK UEBER DIE GEOMETRIE DER ALTEN AEGYPTER.*** + + + + + + ÜBER DIE + + GEOMETRIE DER ALTEN ÆGYPTER + + ------------------ + + VORTRAG + + GEHALTEN IN DER + + FEIERLICHEN SITZUNG DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN + + AM + + XXIX. MAI MDCCCLXXXIV + + VON + + DR. EMIL WEYR + + WIRKLICHEM MITGLIEDE DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN. + + ------------------ + + WIEN + + AUS DER K. K. HOF- UND STAATSDRUCKEREI. + + IN COMMISSION BEI KARL GEROLD’S SOHN, + + BUCHHÄNDLER DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN. + + 1884 + + + + + + +Möge mir gestattet sein, bei dem heutigen feierlichen Anlasse ein Bild zu +entrollen, welches in grossen Strichen die allgemeinen Umrisse des +Zustandes der geometrischen Wissenschaften bei den alten Aegyptern zur +Darstellung bringen soll; und möge dasselbe Wohlwollen, das, gepaart mit +einer althergebrachten Sitte, mich heute auf diesen eben so ehrenvollen +als schwierigen Platz gestellt, auch bei der Beurtheilung der folgenden +bescheidenen, weil schwachen Kräften entspringenden Leistung obwalten! + +So wie der Anfang aller menschlichen Kenntnisse, so ist auch der Ursprung +der Geometrie in grauestes Alterthum zu versetzen, er ist zu suchen in +jenen der Zeit nach unangebbaren Perioden der menschlichen Entwicklung, in +welchen das erste Erwachen des Selbstbewusstseins zu finden wäre. Sind +doch manche geometrische Anschauungen auch dem Thiere eigen; so jene der +geraden Verbindungslinie zweier Punkte als der kürzesten Entfernung; jene +des Mehr und Weniger bei Quantitäten der Entfernungen, Höhen, Neigungen, +und so werden auch manche abstractere Raumanschauungen dem Menschen in +seinen ersten Entwicklungsperioden eigen geworden sein, Anschauungen, +welche durch die Möglichkeit und auf Grund der sprachlichen Bezeichnung +jene Stabilität erhielten, die sie befähigte, als erste Fundamente der +geometrischen Kenntnisse zunächst, und der Geometrie als Wissenschaft +später aufzutreten. + +Geometrisches Denken entstand zu den verschiedensten Zeiten, an den +verschiedensten Orten. Denn überall, wo der menschliche Geist sich zu +entwickeln begann, und das menschliche Denken jene Höhe erreichte, auf +welcher Abstractionen entstehen, bildeten sich die grundlegenden +Raumbegriffe; der des Punktes, der geraden und krummen Linien, der ebenen +und krummen Flächen. Denn überall in der Natur boten sich dem erwachenden +Menschen Repräsentanten dieser Begriffe in grösserer oder geringerer +Genauigkeit dar. Während der Anblick der auf- und untergehenden Sonne, +sowie des vollen Mondes in südlichen Gegenden fast täglich das Bild der +»vollkommensten«, der »schönsten« Linie, der Kreislinie vorführte, +stellten sich die zahllosen Sterne des Abends dem Auge als glänzende +Punkte dar, welche in ihren mannigfaltigen gegenseitigen +Lagenverhältnissen die Phantasie des Menschen bei der, von ihm beliebten +Eintheilung des Himmels in Sternbilder zur Herstellung so mancher geraden +und krummen Linien verleiten mochten. Und selbst in seiner nächsten +Umgebung fand der beobachtende Mensch geometrische Anklänge; das Gewebe +der Spinne mit seinen kreisrunden und radialen Fäden, die sechseckige +Bienenzelle, die beim Fallen eines Körpers in ruhendes Wasser entstehenden +concentrischen Wellenringe, und wie vieles Andere musste, wenn auch nach +und nach, so doch mit zwingender Nothwendigkeit den Menschen zur +Beobachtung gesetzmässiger geometrischer Formen führen. + +Als Mutterland der Mathematik im Allgemeinen, und der Geometrie im +Besonderen wird Aegypten angeführt; doch ist die Zeit längst vorbei, wo +man sich Aegypten als einzigen Ursprungsort dieser Wissenschaften dachte, +vielmehr muss als feststehend angenommen werden, dass jedes Volk in seinem +Entwicklungsgange geometrische Anschauungen sich anzueignen schon durch +praktische Bedürfnisse gezwungen war. Die Höhe, zu welcher sich die +einzelnen Völker in ihren mathematischen Speculationen emporzuschwingen +vermochten, hing von der Richtung des Bildungsganges, von dem Maasse des +Bedürfnisses und nicht in letzter Reihe von dem Einflüsse religiöser +Verhältnisse ab. + +Und so mag sich zunächst jene Naturgeometrie entwickelt haben, welche +allen Völkern zugesprochen werden muss, und auf deren Vorhandensein, weil +auf die Anwendungen ihrer freilich einfachsten Principien, Ueberreste von +Bauten überall dort hinweisen, wo wir in der Lage sind, solche beobachten +zu können. Die Pellasger, die vorhellenischen Ureinwohner Griechenlands, +mussten lange vor Entstehung der Philosophie geometrische Kenntnisse in +dem Maasse besessen haben, wie sie zur Aufführung von Wasserbauten, +Dämmen, Canälen und Burgen, von denen man jetzt noch Spuren findet, +nothwendig waren. + +Verfolgt man die Entwicklung der Geometrie zu ihren Quellen aufwärts, so +dürfen wir nicht überrascht sein, dass man bei dem uns bekannten ältesten +Culturvolke, bei den Aegyptern, am weitesten vorzudringen vermag, und zwar +an der Hand der indirecten wie der directen Nachrichten, welche uns über +diesen Gegenstand zugekommen sind. Leider jedoch sind die Ersteren ihrem +Inhalte und die Letzteren ihrer Zahl nach nur spärliche zu nennen. + +Zahlreich sind wohl die Stellen in griechischen Philosophen und +Geschichtschreibern, welche Bezug haben auf aegyptische Geometrie, es +lässt sich jedoch nicht verkennen, dass oft die Späteren auf Frühere sich +stützen, und wir es möglicherweise mit einer einzigen, durch Jahrhunderte +fortgeführten Nachricht zu thun haben. + +Durch *Herodot*, welcher um die Mitte des fünften vorchristlichen +Jahrhunderts (460) Aegypten bereiste, erfahren wir(1), dass die Geometrie +von Aegypten nach Griechenland verpflanzt worden sei. Etwas später (393 +v. Chr.) berichtet *Isokrates* die Thatsache(2), dass die Aegypter »die +Aelteren (unter ihren Priestern) über die wichtigsten Angelegenheiten +setzten, dagegen die Jüngeren beredeten, mit Hintansetzung des Vergnügens, +sich mit Astronomie, Rechenkunst und Geometrie zu beschäftigen«. + +In *Platon*’s _Phädrus_ sagt *Sokrates*: »Ich habe vernommen, zu Naukratis +in Aegypten sei einer der dortigen alten Götter gewesen, dem auch der +Vogel geheiligt ist, den sie Isis nennen, während der Gott selbst den +Namen Teuth führt; dieser habe zuerst Zahlenlehre und Rechenkunst erfunden +und Geometrie und Astronomie«(3), und einen directen Hinweis finden wir +bei *Aristoteles*, welcher in seiner _Metaphysik_ sagt:(4) »Daher +entstanden auch in Aegypten die mathematischen Wissenschaften, denn hier +war den Priestern die dazu nöthige Müsse vergönnt.« + +Uebrigens schrieben sich die Aegypter neben der Erfindung der +Buchstabenschrift auch jene der meisten Wissenschaften und Künste zu, +worüber *Diodor*(5), welcher etwa 70 Jahre v. Chr. G. Aegypten bereiste, +bemerkt: »Die Aegypter behaupten, von ihnen sei die Erfindung der +Buchstabenschrift und die Beobachtung der Gestirne ausgegangen, ebenso +seien von ihnen die Theoreme der Geometrie und die meisten Wissenschaften +und Künste erfunden worden.« + +Neben diesen ganz allgemein gehaltenen Angaben sind hauptsächlich +diejenigen Berichte zu erwähnen, welche sich auf die Art der +wissenschaftlichen Leistungen der Aegypter beziehen. + +Da sagt zunächst *Herodot*(6) in Hinsicht auf die unter dem Könige +*Sesostris* durchgeführte Ländereintheilung: »Auch sagten sie, dass dieser +König das Land unter alle Aegypter so vertheilt habe, dass er jedem ein +gleich grosses Viereck gegeben, und von diesem seine Einkünfte bezogen +habe, indem er eine jährlich zu entrichtende Steuer auflegte. Wem aber der +Fluss (Nil) von seinem Theile etwas wegriss, der musste zu ihm kommen und +das Geschehene anzeigen; er schickte dann die Aufseher, die auszumessen +hatten, um wie viel das Landstück kleiner geworden war, damit der Inhaber +von dem übrigen nach Verhältniss der aufgelegten Abgaben steure. Hieraus +erscheint mir die Geometrie entstanden zu sein, die von da nach Hellas +kam.« + +Die, *Herodot*, dem Vater der Geschichtsschreibung folgenden +Berichterstatter hielten sich nun, vielleicht erklärlicherweise, +vorzüglich an den einen, die Nilüberschwemmungen betreffenden Theil obiger +Nachricht, und wurde, gewiss Unberechtigtermassen der Nil als der +unmittelbare Anstoss für alle geometrischen Arbeiten der Aegypter +hingestellt. Und doch scheint es uns viel näherliegend, die einerseits +behufs der Steuerbemessung und Controle, anderseits wegen der aus den +Veränderungen im Besitzstande sich nothwendig ergebenden +Flächenfestsetzungen als den Hauptbeweggrund jener Vermessungen zu +erkennen, wobei die gesammelten Erfahrungen gewiss auch bei der +Beurtheilung der unzweifelhaft nach den periodisch eintretenden +Nilüberschwemmungen vorgekommenen Terrainveränderungen mit Vortheil +benutzt worden sein mögen. + +Unverkennbar ist der Zug nach Aufbauschung und Ausschmückung des, jene +Nilüberschwemmungen betreffenden Theiles des *Herodot*’schen Berichtes, +wenn man die Aufzeichnungen späterer Gewährsmänner näher betrachtet. + +Zunächst finden wir bei *Heron* dem Aelteren die folgende diesbezügliche +Stelle(7): »Die früheste Geometrie beschäftigte sich, wie uns die alte +Ueberlieferung lehrt, mit der Messung und Vertheilung der Ländereien, +woher sie Feldmessung genannt wurde. Der Gedanke einer Messung nämlich +ward den Aegyptern an die Hand gegeben durch die Ueberschwemmungen des +Nil. Denn viele Grundstücke, die vor der Flussschwelle offen dalagen, +verschwanden beim Steigen des Flusses und kamen erst nach dem Sinken +desselben zum Vorschein, und es war nicht immer möglich, über die +Identität derselben zu entscheiden. Dadurch kamen die Aegypter auf den +Gedanken einer solchen Messung des vom Nil blossgelegten Landes.« + +Weiter finden wir bei *Diodor*(8) einen Ausspruch, durch welchen wir +übrigens auch über andere wissenschaftliche Leistungen der Aegypter +belehrt werden; *Diodor* sagt: »Die Priester lehren ihre Söhne zweierlei +Schrift, die sogenannte heilige, und die, welche man gewöhnlich lernt. Mit +Geometrie und Arithmetik beschäftigen sie sich eifrig. Denn indem der +Fluss jährlich das Land vielfach verändert, veranlasst er viele und +mannigfache Streitigkeiten über die Grenzen zwischen den Nachbarn; diese +können nun nicht leicht ausgeglichen werden, wenn nicht ein Geometer den +wahren Sachverhalt durch directe Messung ermittelt. Die Arithmetik dient +ihnen in Haushaltungsangelegenheiten und bei den Lehrsätzen der Geometrie; +auch ist sie denen von nicht geringem Vortheile, die sich mit Sternkunde +beschäftigen. Denn wenn bei irgend einem Volke die Stellungen und +Bewegungen der Gestirne sorgfältig beobachtet worden sind, so ist es bei +den Aegyptern geschehen; sie verwahren Aufzeichnungen der einzelnen +Beobachtungen seit einer unglaublich langen Beihe von Jahren, da bei ihnen +seit alten Zeiten her die grösste Sorgfalt hierauf verwendet worden ist. +Die Bewegungen und Umlaufszeiten sowie die Stillstände der Planeten, auch +den Einfluss eines jeden auf die Entstehung lebender Wesen und alle ihre +guten und schädlichen Einwirkungen haben sie sehr sorgfältig beobachtet.« + +Am innigsten verknüpft erscheint die Geometrie der Aegypter mit den +Ueberschwemmungen des Nil bei *Strabon*(9); welcher bemerkt, »dass es +einer sorgfältigen und bis auf das Genaueste gehenden Eintheilung +bedurfte, wegen der beständigen Verwüstung der Grenzen, die der Nil bei +seinen Ueberschwemmungen veranlasst, indem er Land wegnimmt und zusetzt, +und die Gestalt verändert, und die anderen Zeichen unkenntlich macht, +wodurch das fremde und eigene Besitzthum unterschieden wird. Man müsse +daher immer und immer wieder messen. Hieraus soll die Geometrie entstanden +sein.« + +Den gesellschaftlichen Einrichtungen der Aegypter entsprechend, muss als +feststehend angenommen werden, dass sich eine Kaste, nach eben Gehörtem +die der Priester, mit dem wissenschaftlichen Theile der Geometrie +beschäftigte, während eine andere, die der Feldmesser, die von den +Ersteren aufgestellten und sorgsam gehüteten geometrischen Principien +praktisch zur Anwendung brachte. Dabei wurden, wie wir später sehen +werden, die Geheimnisse der Priester, insoweit sie geometrische Wahrheiten +und Berechnungsregeln betrafen, möglicherweise nur insoweit enthüllt, dass +bei deren Verwendung nur annäherungsweise richtige Resultate zum Vorschein +kamen. + +Wohl sind einige Schriftsteller so weit gegangen, dass sie, die +unläugbaren Uebertreibungen des Zusammenhanges zwischen den +Nilüberschwemmungen und der ägyptischen Geometrie im Auge behaltend, die +Existenz der letzteren einfach negirten, und alle die citirten Aussprüche +in das Gebiet der Fabel verwiesen. + +Was macht man jedoch dann mit den wohlbeglaubigten Nachrichten über die +Reisen, welche hervorragende griechische Philosophen nach Aegypten +unternahmen, oft jahrelang dort verweilend, um sich in die Geheimnisse +aegyptischer Priester einweihen und mit deren geometrischem Wissen +vertraut machen zu lassen? + +*Eudemus von Rhodos*(10), einer der ältesten Peripatetiker, schrieb eine +Geschichte der Mathematik, aus welcher uns durch *Proklos Diadochus*(11), +einen Philosophen des fünften nachchristlichen Jahrhunderts, ein +Bruchstück erhalten ist, welches sozusagen das einzige Mittel bildet, das +uns einen Einblick in die geometrischen Errungenschaften der Griechen in +den ersten dritthalb Jahrhunderten nach *Thales* gewährt. Hierin heisst es +unter Anderem: »*Thales*, der nach Aegypten ging, brachte zuerst die +Geometrie nach Hellas hinüber und Vieles entdeckte er selbst, von Vielem +aber überlieferte er die Anfänge seinen Nachfolgern; das Eine machte er +allgemeiner, das Andere mehr sinnlich fassbar.« Hundert Jahre nach dem +Tode des *Pythagoras* berichtet der Redner *Isokrates*(12): »Man könnte, +wenn man nicht eilen wollte, viel Bewunderungswürdiges von der Heiligkeit +aegyptischer Priester anführen, welche ich weder allein noch zuerst +erkannt habe, sondern viele der jetzt Lebenden und der Früheren, unter +denen auch *Pythagoras* der Samier ist, der nach Aegypten kam und ihr +Schüler wurde und die fremde Philosophie zuerst zu den Griechen +verpflanzte.« + +Während der Aufenthalt des *Pythagoras* in Aegypten unter Anderen auch +noch von *Strabon*(13) und *Antiphon*(14) bestätiget wird, nennt uns +*Diodor*(15) eine ganze Reihe von Namen, indem er sagt; »Die aegyptischen +Priester nennen unter den Fremden, welche nach den Verzeichnissen in den +heiligen Büchern vormals zu ihnen gekommen seien, den *Orpheus*, +*Musaios*, *Melampus* und *Daidalos*, nach diesen den Dichter *Homer*, den +Spartaner *Lykurgos*, ingleichen den Athener *Solon* und den Philosophen +*Platon*. Gekommen sei zu ihnen auch der Samier *Pythagoras* und der +Mathematiker *Eudoxos*, ingleichen *Demokritos von Abdera* und *Oinopides +von Chios*. Von allen diesen weisen sie noch Spuren auf, von den Einen +Bildnisse von den Anderen Orte und Gebäude, die nach ihnen benannt sind. +Aus der Vergleichung dessen, was jeder von ihnen in seinem Fache geleistet +hat, führen sie den Beweis, dass sie Dasjenige um desswillen sie von den +Hellenen bewundert werden, aus Aegypten entlehnt haben.« Aus diesen +Stellen geht mit Sicherheit hervor, dass viele Griechen nach Aegypten +zogen, um bei den dortigen Priestern Philosophie und Mathematik kennen zu +lernen, da wohl in den Berichten nur die hervorragenden Männer angeführt +wurden. + +Der Milesier *Thales*, welcher erst in vorgerücktem Alter, und nachdem er +als Handelsmann früher gewiss schon mehrmals Aegypten besucht gehabt, sich +daselbst behufs seiner Studien zu längerem Aufenthalt niederlies, ist +merkwürdiger Weise in dem Berichte des Diodor nicht angeführt, und könnte +man wohl aus diesem Umstande umsomehr einen gewissen Grad von +Unglaublichkeit ableiten, als darin mythische Namen wie *Orpheus*, +*Daidalos* und *Homer* angeführt erscheinen. Diese letzteren konnten +jedoch sehr wohl dem im Ganzen und Grossen sonst richtigen Verzeichnisse +vom Berichterstatter eigenwillig beigefügt worden sein, um dadurch das +hohe Alter aegyptischer Wissenschaft in ein vorteilhaftes Licht zu setzen. + +Abgesehen jedoch von aller Wahrscheinlichkeit oder Unwahrscheinlichkeit +für die Exactheit obiger Aussprüche in Bezug auf einzelne Namen, dürfte +jedenfalls das als unumstössliche Wahrheit gelten, dass die ägyptischen +Priester von den Griechen als in den Wissenschaften, insbesondere in der +Geometrie sehr bewandert gehalten wurden, und zwar in einem solchen +Maasse, dass eine Reihe hervorragender griechischer Philosophen es nicht +verschmähte, die, für damalige Verhältnisse nicht unbedeutende Reise nach +Aegypten zu unternehmen, ja oft jahrelang in diesem Lande mit unbekannter +Sprache und Schrift zu verweilen, um sich die Kenntnisse der Aegypter +anzueignen. + +Stellt man nun zunächst die Frage nach Quantität und Qualität des +geometrischen Wissens, welches die Griechen von ihren Studienreisen mit +nach Hause brachten, so scheint dies, selbst vom Standpunkte der +unmittelbar nachpythagoräischen Geometrie, äusserst Weniges gewesen zu +sein. + +*Thales* von Milet, einer der sieben griechischen Weltweisen, der +Begründer der ionischen Schule, *Thales*, welcher für das Jahr 585 +v. Chr. G. eine, auch eingetroffene Sonnenfinsterniss vorherzusagen +wusste, soll, den uns von *Proklos* zugekommenen Berichten zufolge, in +Aegypten nicht viel mehr erfahren haben, als die Sätze über die Gleichheit +der Winkel an der Basis eines gleichschenkligen Dreieckes, die Gleichheit +der Scheitelwinkel am Durchschnitt zweier Geraden; er wusste ferner, wie +ein Dreieck durch eine Seite und die beiden anliegenden Winkel bestimmt +erscheint, diese Erörterung zur Messung der Entfernungen von Schiffen auf +dem Meere benützend, es war ihm bekannt, dass ein Kreis durch einen +Durchmesser halbirt wird,(16) und soll er die Höhe der Pyramiden aus der +Länge des Schattens gemessen haben, höchst wahrscheinlich in dem Momente, +wo die Schattenlänge eines senkrechten Stabes der Stablänge gleich +ist,(17) möglicherweise jedoch, wie *Plutarch*(18) berichtet, auch zu +einer beliebigen Tageszeit. Auch wird ihm von *Pamphile*(19) die Kenntniss +des Satzes zugeschrieben, dass der Peripheriewinkel im Halbkreise ein +rechter sei. Gewiss hat Thales wenigstens jene geometrischen Fundamente in +Aegypten kennen gelernt, welche es ihm ermöglichten, die genannten Sätze +als wahr zu erkennen, wenn auch bei ihm, selbst bei diesen einfachen +Dingen an einen strengen Beweis nicht gedacht werden kann. + +Es wäre jedoch voreilig, aus der Geringfügigkeit der Thaletischen +geometrischen Kenntnisse mit *Montucla* (20) zu schliessen, dass auch die +Aegypter nicht viel mehr gewusst hätten. Man kann wohl annehmen, dass die +aegyptischen Priester bei ihrer den Fremden gegenüber beobachteten +Zurückhaltung nur einen Theil ihres Wissens offenbarten; wer könnte jedoch +bemessen, in welchem Verhältnisse dieser Theil zu ihrem Gesammtwissen +stand? Der Ansicht *Montucla*’s kann man entgegensetzen, dass die Aegypter +den Fremden nur einen kleinen Bruchtheil ihres sorgsam im Verborgenen +gehüteten Wissens preisgegeben haben mochten, wobei ferner nicht +unberücksichtigt bleiben darf, dass den nach Aegypten gekommenen Griechen +auch die Unkenntniss der Sprache und der Schrift weitere, nicht zu +unterschätzende Schwierigkeiten bereitete, in dem Maasse als vielleicht +Manches, was ihnen die aegyptischen Priester von aegyptischem Wissen zur +Verfügung stellten, unverstanden bleiben konnte. + +Was nun das Wesen aegyptischer Geometrie betrifft, so finden wir in den +Berichten der Alten fast gar keine Anhaltspunkte, um uns hierüber Klarheit +verschaffen zu können, und war man bis vor Kurzem darauf hingewiesen, aus +den Anfängen griechischer Mathematik auf den Stand der aegyptischen +zurückzuschliessen, was, wie aus dem Vorhergesagten folgen dürfte, mit +nicht geringen Schwierigkeiten verbunden erscheint. + +Die Ansicht, dass die Geometrie der Aegypter eigentlich nur constructiver +Natur war, ähnlich dem was wir als Reisskunst zu bezeichnen pflegen,(21) +dürfte sich nicht als stichhältig erweisen; es möge jedoch gleich jetzt +darauf hingedeutet werden, dass die Aegypter im Construiren geometrischer +Formen nicht unbewandert sein konnten. + +So sagt in etwas prahlerischer Weise *Demokritos* von *Abdera*(22) um 420 +v. Chr. G.: »Im Construiren von Linien nach Maassgabe der aus den +Voraussetzungen zu ziehenden Schlüsse hat mich keiner je übertroffen, +selbst nicht die sogenannten Harpedonapten der Aegypter«; und *Theon* von +*Smyrna*(23) erzählt, dass »Babylonier, Chaldäer und Aegypter eifrig nach +allerhand Grundgesetzen und Hypothesen suchten, durch welche den +Erscheinungen genügt werden könnte; zu erreichen suchten sie dies dadurch, +dass sie das früher Gefundene in Ueberlegung zogen, und über die +zukünftigen Erscheinungen Vermuthungen aufstellten, wobei die Einen sich +arithmetischer Methoden bedienten, wie die Chaldäer, die Anderen +construirender wie die Aegypter«. + +Aus diesen und ähnlichen Berichten, sowie aus dem Umstande, dass die +Anfänge der griechischen Geometrie selbst hauptsächlich constructiver +Natur waren, muss man zu dem Schlusse kommen, dass die alten Aegypter seit +unvordenklichen Zeiten die Reisskunst pflegten, und in der langen Reihe +der Jahrhunderte sicherlich eine ziemlich bedeutende Masse sowohl +einfacher als complicirterer Constructionen erfanden und in ein gewisses +System brachten, von Ersteren zu Letzteren aufsteigend. Diese +Constructionen dürften ihrem grösseren Theile nach, und zwar jenem Theile +nach, welcher, wenn auch ohne Begründung Gemeingut der die Künste und +Gewerbe betreibenden Kasten wurde, nur solche gewesen sein, die dem +praktischen Bedürfnisse dienen konnten, also zumeist +Ornamentenconstructionen. Wir bemerken hier unter Anderem das Vorkommen +regelmässiger geometrischer Figuren auf uralten Wandgemälden, wie sie sich +z. B. als färbige Zeichnungen aus den Zeiten der fünften Dynastie, also +unmittelbar nach den Erbauern der Pyramiden, das ist 3400 Jahre v. Chr. G. +etwa vorfinden.(24) + +Man sieht unter der grossen Menge der in dieser Zeit vorkommenden Figuren +eine, aus verschobenen, ineinander gezeichneten, theilweise durch zu einer +Diagonale Parallele zerlegten Quadraten zusammengesetzte Figur, ferner aus +der Zeit von der zwölften bis zur sechsundzwanzigsten Dynastie, eine +Figur, bestehend aus einem Quadrate, und zwei, längs der Diagonale +centrisch hineingelegten lemniscatischen Curven, sowie eine +Zusammenstellung von um fünfundvierzig Grade gegeneinander verdrehten, +sich durchsetzenden Quadraten. Kreise erscheinen durch ihre Durchmesser in +gleiche Kreisausschnitte getheilt; so zunächst durch zwei oder vier +Durchmesser in vier beziehungsweise acht, und in späteren Zeiten auch +durch sechs Durchmesser in zwölf gleiche Ausschnitte; die in den +Zeichnungen vorkommenden Wagenräder besitzen zumeist sechs, seltener vier +Speichen, so dass auch die Theilung des Kreises durch drei Diameter in +sechs gleiche Kreisausschnitte vertreten erscheint. + +In einer unvollendet gebliebenen Kammer des Grabes *Seti I.*, des Vater +*Ramses II.* aus der neunzehnten Dynastie (das sogenannte Grab +*Belzoni*)(25) finden wir die Wände behufs Anbringung von Reliefarbeiten +mit einem Netze gleich grosser Quadrate bedeckt, und es kann keinem +Zweifel unterliegen, dass wir es hier mit der Anwendung eines +Verkleinerungs- beziehungsweise Vergrösserungsmaassstabes zu thun haben. + +Wenn nun auch die einfachen Figuren des Dreieckes, Quadrates und des +Kreises höchst wahrscheinlich ohne besondere Ueberlegung, einfach dem +inneren geometrischen Formendrange entsprungen sein dürften, so ist doch +gewiss, dass ihre verschiedenartige Zusammensetzung zu Mustern das +Product, wenn auch primitiven geometrischen Denkens war, welches dann +schon eine ziemliche Selbstständigkeit erreicht haben musste, als die +vorerwähnte Anwendung von Proportionalmaassstäben in Uebung kam. + +Andererseits musste das öftere Betrachten der regelmässigen Figuren einen +geometrisch disponirten Geist von selbst zum Aufsuchen unbekannter +Eigenschaften derselben reizen, und vielleicht ist der Thaletische Satz +von der Halbirung des Kreises durch einen Durchmesser nichts als eine aus +der Betrachtung jener aegyptischen Zeichnungen gewonnene Abstraction, und +huldigen wir in dieser Beziehung der Ansicht, dass *Thales* beim +Ausspruche des erwähnten, für uns freilich höchst einfach klingenden +Satzes, wahrscheinlich sagen wollte, nur der Kreis habe die ausgezeichnete +Eigenschaft, von allen durch einen Punkt, den Mittelpunkt, gehenden +Geraden in lauter untereinander gleiche Hälften getheilt zu werden. + +Von besonderer Wichtigkeit scheint uns jedoch der früher citirte +selbstgefällige Ausspruch des *Demokritos* zu sein, da er uns vor einer +ungerechtfertigten Unterschätzung aegyptischer Constructionsgewandtheit +bewahren kann. Bedenklich in *Demokritos*’ Angabe könnte allenfalls jenes +Selbstlob erscheinen, das er sich spendet; wenn es nun wohl auch schon im +Alterthume Männer geben mochte, die ihre Berühmtheit vorzugsweise und oft +nur der Hochschätzung verdankten, die sie sich selbst und ihren Werken +gezollt, Männer, welche in der Verbreitung des eigenen Lobes so emsig, so +unermüdlich waren, dass sich um sie als die davon Ueberzeugtesten noch ein +Kreis von Gläubigen bildete, welche den, oft nur auf schwankenden Füssen +einhergehenden Ruhm ihrer Profeten weiter führten, so ist doch die +Bedeudung des Geometers *Demokritos* durch so viele, und verschiedenen +Quellen entspringende Aussprüche beglaubigt, dass es gewiss Niemandem +einfallen wird, seine Autorität als die eines gründlichen Kenners der +Geometrie seiner Zeit in Zweifel zu ziehen. Wohl sind uns von den +geometrischen Werken des *Demokritos*, und kaum von allen nur die ganz +allgemein klingenden Titel erhalten. + +Während uns *Cicero*(26) diesen Philosophen als einen gelehrten, in der +Geometrie vollkommen bewanderten Mann anpreist, theilt uns *Diogenes +Laertius*(27) mit, dass *Demokritos* »über Geometrie«, »über Zahlen«, +»über den Unterschied des Gnomon oder über die Berührung des Kreises und +der Kugel«, sowie zwei Bücher »über irrationale Linien und die dichten +Dinge« geschrieben habe, Schriften, deren Titel theilweise uns über ihren +Inhalt ganz im Unklaren lassen. Legen wir den angeführten Zeugnissen +Glauben bei, und es ist kein Grund vorhanden dies nicht zu thuh, so müssen +wir von *Demokritos* als von einem »in der Geometrie vollkommenen Manne« +voraussetzen, dass er mit den Errungenschaften des *Pythagoras*, welcher +ein Jahrhundert vor *Demokritos* Aegypten besucht hatte, vollkommen +vertraut war. Gewiss war ihm somit bekannt: die Methode der »Anlegung der +Flächen«, welche wieder die Vertrautheit mit den Hauptsätzen aus der +Theorie der Parallelen und der Winkel, so wie die Kenntniss der +Abhängigkeit der Flächeninhalte von den ihnen zukommenden Ausmaassen +voraussetzt. Nicht minder bekannt mussten ihm die, dem *Pythagoras* +zugeschriebenen Constructionen der fünf regelmässigen, sogenannten +kosmischen Körper sein, woraus sich weiter schliessen lässt, dass auch +einerseits die Eigenschaften der Kugel, welcher doch jene Körper +eingeschrieben wurden, und anderseits die Entstehungen der regelmässigen, +jene Körper begrenzenden Vielecke, vor Allem die des Fünfeckes dem +*Demokritos* nicht ungeläufig sein konnten. Die Construction des Letzteren +erheischt wiederum die Kenntniss der Lehre vom goldenen Schnitt, und diese +den Satz vom Quadrate der Hypothenuse(28). Hat nun *Demokritos* auch +selbst nichts Neues hinzugefügt, so musste er doch Jenes kennen; wenn er +nun anderseits sagt: »im Construiren hätte ihn Niemand, selbst nicht die +Harpedonapten der Aegypter übertroffen«, so dürfen wir hieraus mit +Sicherheit schliessen, dass die geometrischen Kenntnisse der aegyptischen +Priester bedeutend genug gewesen sein mussten, weil sich *Demokritos* +sonst kaum gerade über diese Geometer gesetzt hätte. + +Doch verlassen wir für jetzt die Nachrichten des griechischen Alterthums, +welche in der Beurtheilung aegyptischer Geometrie nur Conjecturen +zulassen, und blicken wir nach directen Denkmalen aegyptischen Ursprungs, +aus denen vielleicht Schlüsse gezogen werden könnten auf Wesen und Umfang +aegyptischer Geometrie. + +Das Britische Museum bewahrt eine Papyrusrolle, welche aus dem Nachlasse +des Engländers *A. Henry Rhind* stammt, die derselbe nebst anderen +werthvollen Rollen in Aegypten käufllich an sich gebracht haben dürfte. +Der erwähnte Papyrus, ein altes Denkmal ägyptischer Mathematik, ist, wie +es scheint, nicht mit vollster Berechtigung als ein »mathematisches +Handbuch« der alten Aegypter bezeichnet worden(29). Der fragliche Papyrus +nennt sich selbst eine Nachahmung älterer mathematischer Schriften, denn +es heisst in der Einleitung: »Verfasst wurde diese Schrift im Jahre +dreiunddreissig im vierten Monat der Wasserzeit unter König Ra-a-us, Leben +gebend nach dem Muster alter Schriften in den Zeiten des Königs ...ât vom +Schreiber Aahmes verfasst die Schrift.« + +Nachdem zuerst Dr. *Birch*(30) auf diesen mathematischen Papyrus durch +einen kurzen vorläufigen Bericht aufmerksam gemacht hatte, wurde der +Gegenstand von dem ausgezeichneten Heidelberger Aegyptologen Dr. +*Eisenlohr* einer eingehenden, höchst schwierigen und zeitraubenden +Untersuchung unterzogen, deren Resultate, was die Uebersetzung betrifft, +unseren gegenwärtigen Betrachtungen zu Grunde liegen. Bezüglich des Alters +des Papyrus hat man jenes der vorhandenen Abschrift von dem Alter des +unbekannten Originals zu unterscheiden. Nach der von *Eisenlohr* gegebenen +Vervollständigung der in der erwähnten Einleitung auf das Wort König +folgenden Lücke, würde der Herrscher, unter dessen Regierung das Original +entstanden ist, der König *Ra-en-mat* sein, dessen Regierungszeit +*Lepsius*(31) auf 2221--2179 v. Chr. G. legt. Da ferner der Name *Ra-a-us* +in den bis dahin vorhandenen Königslisten nicht vorkommt, sah man sich, um +die Zeit der Entstehung der Abschrift wenigstens annähernd angeben zu +können, darauf angewiesen, aus der bekannten Sitte der Aegypter die +Eigennamen der eben herrschenden oder der unmittelbar vorhergegangenen +Regenten zu gebrauchen, Schlüsse zu ziehen. Und da liess der Name *Aahmes* +des Schreibers, sowie auch die (althieratische) Schrift des Papyrus +vermuthen, dass derselbe um 1700 v. Chr. G. entstanden sein dürfte. Die +Vermuthung in Bezug auf das Zeitalter der Abschrift hat sich nun neueren +Forschungen zu Folge vollkommen bestätigt. Denn *Ra-a-us* wurde als der +Hyksoskönig *Apophis* erkannt, und *Aahmes* dürfte seinen Namen von dem, +kurze Zeit dem Apophis vorhergegangenen Könige *Amasis* entlehnt haben. + +Es erscheint so vollkommen sichergestellt, dass unser Papyrus aus dem +achtzehnten Jahrhundert v. Chr. G. stammt. Die Eingangsworte des Papyrus, +welche lauten: »Vorschrift zu gelangen zur Kenntniss aller dunklen Dinge, +aller Geheimnisse, welche enthalten sind in den Gegenständen«, sowie die +Anordnung des Stoffes in Arithmetik, Planimetrie und Stereometrie, an +welche sich ein, verschiedene Beispiele enthaltender Theil anschliesst, +konnten im ersten Augenblicke den Gedanken aufkommen lassen, dass wir es +vielleicht mit einem Lehrbuche der Mathematik zu thun haben. Der Umstand +jedoch, dass der Papyrus nur die Zusammenstellung, allerdings eine in +gewissem Grade systematische Zusammenstellung von Aufgaben nebst ihren +Lösungen und den zugehörigen Proben ist, ohne dass Definitionen oder +Lehrsätze und Beweise vorkommen würden, liess den Papyrus wiederum als +eine Aufgabensammlung, als ein Anleitungsbuch für Praktiker erscheinen. +Man ist noch weiter gegangen, und stellte die Ansicht auf, der Autor habe +bei Abfassung dieser Schrift vorzüglich an Landleute, welchen die Theorie +unzugänglich war, gedacht. Daraufhin weise nicht nur die Formulirung des +grössten Theiles der Aufgaben, welche Verhältnisse und Bedürfnisse der +Landwirthschaft berücksichtigen, sondern auch der Schlusssatz des Papyrus, +welcher sagt: »Fange das Ungeziefer und die Mäuse, (vertilge) das +verschiedenartige Unkraut, bitte Gott *Ra* um Wärme, Wind und hohes +Wasser«. + +Dass wir es nicht mit einem Handbuche, welches dem damaligen Standpunkte +der mathematischen Wissenschaften in Aegypten entsprechen müsste, zu thun +haben, ergibt sich nicht nur aus dem schon hervorgehobenen Mangel an +Definitionen, Lehrsätzen und Beweisen, ja es fehlt selbst jede Erklärung, +sondern auch aus dem Umstände, dass neben der richtigen Lösung einzelner +Aufgaben die unrichtigen oder unvollendeten Lösungen derselben oder +ähnlicher Aufgaben, sowie manche Wiederholungen vorkommen. Nur nebenbei +verweisen wir darauf, dass in einem Handbuche unzweifelhaft wenigstens +Anklänge an die erste der Wissenschaften des Alterthums, an die +Astronomie, zu finden sein müssten. Doch ist von diesem Theile der +Mathematik im Papyrus nicht die geringste Spur zu finden. Aufklärungen +über den wahren Charakter des Originals unseres Papyrus, und eine viele +Wahrscheinlichkeit besitzende Vermuthung über die Entstehung der uns +beschäftigenden Abschrift, verdanken wir dem Scharfsinne des französischen +Aegyptologen Eugène *Revillout*.(32) + +Bei richtiger Erwägung des Umstandes, dass oft auf ein fehlerlos gelöstes +Beispiel, falsche Lösungen ähnlicher Beispiele folgen, welchen sich dann +gewöhnlich eine Reihe von Uebungsrechnungen anschliesst, Rechnungen die +einem Schulpensum in hohem Grade ähnlich sehen, bei Betrachtung der +Thatsache ferner, wie ein und dasselbe Zahlenbeispiel oft einigemal und +zwar so behandelt wird, dass der Reihe nach die vorkommenden Zahlenwerthe +als die berechneten Resultate erscheinen, drängt sich uns mit *Eugène +Revillout* die Ueberzeugung auf, dass wir es mit dem Uebungs- oder +Aufgabenhefte eines Zöglings jener Unterrichtshäuser (a·sbo) zu thun +haben, wie deren in so manchem Papyrus Erwähnung geschieht, und in denen +die Schüler, welche später Landwirthe, Verwalter, Feldmesser oder +Constructeure werden wollten, mit den für ihre künftige Laufbahn +notwendigen Rechnungsoperationen vertraut gemacht wurden. Da dieses +Schulheft selbstverständlich nicht für die Oeffentlichkeit bestimmt sein +konnte, so trägt es auch thatsächlich keinen Autornamen und keine +Jahresangabe; denn, was die in der Einleitung bezüglich der Zeitperiode, +in welcher das Original entstanden sein sollte, gemachte Erwähnung +betrifft, so ist mehr als wahrscheinlich, dass dieselbe von dem +Abschreiber *Aahmes* herrührt, welcher das Original einige Jahrhunderte +nach seiner Entstehung auffand, und dasselbe, der Mathematik gewiss ganz +unkundig, sammt allen Fehlern abschrieb, zu diesen noch neue hinzufügend. +Nachdem *Aahmes* aus der Aehnlichkeit der Schriftart des mathematischen +Heftes mit der Schrift anderer ihm bekannten Papyri auf das Alter des +ersteren einen im Ganzen und Grossen nicht unrichtigen Schluss gezogen +haben mochte, so können wir das Ende, vielleicht auch die Mitte des +dritten Jahrtausends v. Chr. G. als jene Zeit betrachten, in welcher das +Original der Abschrift entstanden sein dürfte. Ob *Aahmes* die Abschrift +mit der viel versprechenden Einleitung und der zugleich praktischen und +gottesfürchtigen Schlussregel in der Absicht versehen hatte, um sie an +irgend einen einfachen aegyptischen Landmann um gutes Geld anzubringen, +lassen wir dahingestellt, und wiederholen nur unsere Uebereinstimmung mit +der Ansicht, dass das Original des Papyrus neben den von einem Lehrer der +Mathematik herrührenden Musterbeispielen, die sehr oft verunglückten +Uebungen eines Schülers enthält, eines Schülers überdies, der nicht zu den +hervorragenden seiner Glasse gehört haben mochte. Und wie kostbar ist +dennoch dieses altägyptische Schulheft! Wenn wir in aller Eile eine Skizze +seines Inhaltes vorführen sollen, so müssen wir zunächst die sich auf acht +Columnen der oben erwähnten Einleitung anschliessende Theilung der Zahl 2 +durch die Zahlen von 3 bis 99 erwähnen; jeder auftretende Bruch erscheint +in zwei bis vier sogenannte Stammbrüche, Brüche mit dem Zähler Eins, +zerlegt, und sind die Nenner der letzteren meist gerade Zahlen mit einer +grösseren Divisorenanzahl. Im Anschluss an diese Tabelle finden wir sechs +Beispiele, in denen in Form von Brodvertheilungen die Division der Zahlen +l, 3, 6, 7, 8 und 9 durch die Zahl 10 gelehrt wird, und es folgt hierauf +in 17 Beispielen die sogenannte Sequem- oder Ergänzungsrechnung, in +welcher es sich darum handelt, Zahlenwerthe zu finden, die mit gegebenen +Werthen durch Addition oder Multiplication verbunden, andere gegebene +Zahlenwerthe liefern. Die nächsten 15 Beispiele gehören der sogenannten +*Haurechnung* an, und finden wir in diesem Abschnitte die Lösungen +linearer Gleichungen mit einer Unbekannten. Zwei weitere, der sogenannten +*Tunnu-* oder Unterschiedsrechnung angehörige Beispiele belehren uns +darüber, dass den alten Aegyptern der Begriff arithmetischer Reihen nicht +fremd war. Es folgen nun sieben Beispiele über Volumetrie, ebensoviele +über Geometrie und fünf Beispiele über Berechnungen von Pyramiden, also 19 +Aufgaben über die wir später noch einige Worte sagen müssen. + +Hieran schliessen sich endlich dreiundzwanzig verschiedenen Materien +entlehnte, Fragen des bürgerlichen Lebens betreffende Beispiele, wie die +Berechnung des Werthes von Schmuckgegenständen, abermals Vertheilungen von +Broden oder von Getreide, Bestimmung des auf einen Tag entfallenden +Theiles eines Jahresertrages, Berechnungen von Arbeitslöhnen, +Nahrungsmitteln sowie des Futters für Geflügelhöfe. Einer besonderen +Ankündigung werth erscheinen uns in dieser letzten Abtheilung zwei +Beispiele; das eine derselben(33) lässt keinen Zweifel darüber aufkommen, +dass den alten Aegyptern die Theorie der arithmetischen Progressionen +vollkommen geläufig war, während wir in dem zweiten(34) unter der +Aufschrift »eine Leiter« die geometrische Progression von 7 hoch 1 bis 7 +hoch 5 nebst deren Summe vorfinden, wobei die einzelnen Potenzen eigene +Namen: an, Katze, Maus, Gerste, Maass zu führen scheinen. + +Nicht unbemerkt lassen wir endlich die in den Haurechnungen auftretende +Benützung mathematischer Zeichen; so nach links oder rechts +ausschreitender Beine für Addition und Subtraction, drei horizontale +Pfeile für Differenz, sowie endlich ein besonderes, dem unseren nicht +unähnliches Gleichheitszeichen. + +Aus dem geometrischen Theile heben wir zunächst, der Anordnung des Papyrus +nicht folgend, die Flächenberechnungen von Feldern hervor. Die +vorkommenden Beispiele beziehen sich auf quadratische, rechteckige, +kreisrunde und trapezförmige Felder, deren Flächeninhalte aus ihren +Längenmaassen bestimmt werden. Nachdem in den Aufgaben über die Berechnung +des Fassungsvermögens von Fruchtspeichern mit quadratischer Grundfläche +diese letztere gefunden wird durch Multiplication der Maasszahl der Seite +mit sich selbst, kann es gar keinem Zweifel unterliegen, dass auch die +Fläche des Rechteckes durch Multiplication der Maasszahlen zweier +zusammenstossender Seiten erhalten wurde, da die Erkenntniss der +Richtigkeit der einen Bestimmungsart, jene der Richtigkeit der anderen +involvirt. + +Schon die Betrachtung solcher Proportionalmaassstäbe, wie wir sie im Grabe +*Belzoni* bemerken konnten, hätte die alten Aegypter, die mit Gleichungen +und arithmetischen Reihen umzugehen wussten, auf die Bestimmung der Fläche +eines Rechteckes aus seinen beiden Seitenlängen mit Nothwendigkeit führen +müssen, und werden wir uns durch den Umstand, dass im Papyrus der +diesbezüglichen Aufgabe eine zu ihr nicht gehörige Lösung beigefügt ist, +durchaus nicht beirren lassen. + +Von hohem Interesse ist die, an mehreren Stellen des Papyrus vorkommende +Methode der Flächenberechnung eines Kreises, welche zeigt, dass die alten +Aegypter mit ziemlicher Annäherung den Kreis zu quadriren wussten, in der +That zu quadriren, weil sie aus dem Durchmesser eine Länge ableiten, +welche als Seite ein Quadrat liefert, dessen Fläche jener des Kreises +gleichgesetzt wurde. Da sie acht Neuntel des Durchmessers zur Seite jenes +Quadrates machten, so entspricht dies einem Werthe der Ludolphischen Zahl, +welcher dem richtigen Werthe gegenüber um nicht ganz zwei Hundertstel (um +0,018901) zu hoch gegriffen erscheint; für das dritte Jahrtausend +v. Chr. G. und im Vergleiche zu dem Werth pi = 3 der Babylonier, und noch +mehr im Vergleiche zu dem Werthe pi = 4 späterer römischer Geometer, +jedenfalls eine nicht zu unterschätzende Annäherung an den richtigen +Werth. + +Eine Aufgabe behandelt die Flächenbestimmung des Dreieckes, wobei das +Resultat als das Product zweier Seitenlängen gefunden wird. Die hier +beigefügte Figur(35), welche in Wirklichkeit ein ungleichseitiges +langgestrecktes Dreieck darstellt, kann ebensowohl als die verfehlte +Zeichnung eines rechtwinkligen wie auch eines gleichschenkligen Dreieckes +betrachtet werden. + +Letztere Annahme ist von *Eisenlohr* gemacht und von *Cantor*(36) +acceptirt worden. Darnach würde sich die Methode der Dreiecksberechnung +der alten Aegypter nur als eine Näherungsmethode darstellen, und ist auch +von beiden genannten Gelehrten der begangene, in diesem Falle in der That +nicht bedeutende Fehler ermittelt worden. + +Wir sind dagegen mit Revillout anderer Meinung. + +Mit Rücksicht auf den von uns klar erkannten Charakter des Originales des +Papyrus als eines sehr ungenauen Collegienheftes, dessen Rechnungen +ebensosehr wie die vorkommenden Zeichnungen von der Mittelmässigkeit +seines Zusammenstellers beredtes Zeugniss ablegen, zweifeln wir keinen +Augenblick, dass die fragliche Figur ein rechtwinkliges Dreieck +vorzustellen hatte. Die mangelhafte Schülerzeichnung ist durch den +Copisten *Aahmes* nur noch schlechter geworden. Dass ein rechtwinkliges +Dreieck gemeint sein soll, erkennt man übrigens auch aus dem Umstande, +dass in der Figur die Maasszahlen der multiplicirten Seiten bei den +Schenkeln des, vom rechten Winkel nur wenig differirenden Winkels +angesetzt sind, wo doch, wenn es sich hätte um ein gleichschenkliges +Dreieck handeln sollen die Maasszahl der Schenkel in der Figur gewiss bei +beiden Schenkeln zu finden wäre. Dieselben Gründe bestimmen uns zu der +Annahme, dass die im Papyrus befindliche Flächenberechnung eines Trapezes +eine vollkommen richtige ist, indem es sich auch hier nur um ein Trapez +handeln kann, dessen zwei parallelen Seiten auf einer der nicht parallelen +Seiten senkrecht stehen. Und warum sollten denn die alten Aegypter nicht +die richtige Art der Flächenberechnung auch beliebiger Dreiecke gekannt +haben? + +Konnte man einmal die Fläche eines Rechteckes genau bestimmen, so musste +sich durch einfache Anschauung eines, durch eine Diagonale zerlegten +Rechteckes, von selbst die Regel zur Flächenbestimmung des rechtwinkligen +Dreieckes ergeben; und wurde nun ein beliebiges schiefwinkliges Dreieck +durch ein Höhenperpendikel in zwei rechtwinklige zerlegt, so war nichts +leichter als die allgemeine Regel zur Bestimmung der Dreieckfläche aus +Basis und Höhe (tepro und merit) zu entwickeln. Dass die Gewinnung des +Höhenperpendikels sowohl bei Constructionen als auch auf dem Felde den +alten Aegyptern nicht unmöglich war, folgt zunächst aus der grossen +Bedeutung der Winkelmaasses (hapt) für alle Operationen der praktischen +Geometer Aegyptens. Nicht nur, dass wir in vielen aegyptischen Documenten +das Winkelmaass erwähnt finden, sieht man auch Könige abgebildet, das +Winkelmaass in der Hand, welches von ihnen vielleicht in derselben Weise +durch symbolische Benützung geehrt wurde, wie der Kaiser von China +alljährlich einmal den Pflug zu führen pflegt. Ein solches Winkelmaass +sieht man übrigens auch auf einem Wandgemälde abgebildet, das eine +Schreinerwerkstätte darstellt,(37) und es unterliegt keinem Zweifel, dass +dasselbe ebensowohl zur Anlegung rechter Winkel als zum Fällen von +Senkrechten benützt worden ist. Aber auch auf freiem Felde musste den +Aegyptern die Construction rechter Winkel geläufig sein; sowohl die +Pyramiden als auch die aegyptischen Tempel sind vollkommen orientirt, und +wurde, wie uns alte Inschriften(38) belehren, die Orientirung in +festlicher Weise vom Könige unter Beihilfe der Bibliotheksgöttin *Safech* +vollzogen, mit den Worten: »Ich habe gefasst den Holzpflock und den Stiel +des Schlägels, ich halte den Strick gemeinschaftlich mit der Göttin +*Safech*. Mein Blick folgt dem Gange der Gestirne. Wenn mein Auge an dem +Sternbilde des grossen Bären angekommen ist, und erfüllt ist der mir +bestimmte Zeitabschnitt der Zahl der Uhr, so stelle ich auf die Eckpunkte +Deines Gotteshauses.« + +In welchem Maasse bei diesen Operationen die von *Demokritos* so +hochgestellten *Harpedonapten* oder Seilspanner betheiligt waren, hat +*Cantor*(39) in höchst scharfsinniger Weise zu beleuchten versucht, und es +erscheint auch uns wahrscheinlich, dass sich die alten Aegypter beim +Construiren rechter Winkel sowie beim Fällen von Senkrechten auf dem +Felde, der Thatsache bedienten, dass der eine Winkel in einem, die +Seitenlängen drei, vier und fünf besitzenden Dreiecke, ein rechter Winkel +sein müsse. Musste ja doch dieser Satz seit unvordenklichen Zeiten auch +den Chinesen bekannt sein, da wir ihn in der bei ihnen so berühmten +Schrift _Tschiu-pi_ finden, welche mehrere Jahrhunderte v. Chr. G. +entstanden, auf den Kaiser *Tschiu-Kung* also in das Jahr 1100 v. Chr. G. +etwa zurückgeführt wird.(40) Uebrigens konnten directe Messungsversuche an +diagonalen Linien in den Proportionalmaassstäben sowohl zu dem erwähnten +als auch noch zu anderen rechtwinkligen Dreiecken mit rationalen +Seitenlängen geführt haben, und scheint uns die Möglichkeit nicht +ausgeschlossen, dass der berühmte und berüchtigte Satz des *Pythagoras* +über die Quadrate der Katheten und der Hypothenuse einer eingehenden +Untersuchung solcher Proportionalmaassstäbe entsprungen ist. + +Wenn wir nun einerseits behaupten, dass die alten Aegypter nicht nur die +Fläche des Kreises, des Quadrates, des Rechteckes, des rechtwinkligen +sowie des schiefen Dreieckes, und unter Zuhilfenahme der Zerlegungen auch +die Flächen beliebiger Polygone theoretisch genau zu bestimmen im Stande +waren, mit Ausnahme der auch für uns eine solche bildenden Kreisfläche, so +muss doch anderseits zugestanden werden, dass man sich bei praktischen +Anwendungen mit Näherungen begnügte, welche im Laufe der Zeiten so +ausarteten, dass der Gebrauch falscher Regeln ein allgemeiner wurde. + +Am linken Nilufer in der Mitte zwischen *Theben* und *Assuan* liegt +*Edfu*, das alte *Appollinopolis Magna* mit einem stattlichen Tempelbau +aus den Zeiten der Ptolomäer. Der Tempel, hauptsächlich dem Gotte *Horus* +geweiht, ist mit einer freistehenden Umfassungsmauer umgeben,(41) deren +Ostseite zwischen dem Brunnenthore und dem östlichen Pylonflügel eine +Inschrift trägt, welche uns auf acht Feldern und in hundertvierundsechzig +Columnen(42) eine Schenkungsurkunde des Königs *Ptolomäus XI. Alexander +I.* (mit dem Beinamen *Philometor*) bekannt gibt. Das Geschenk, welches +hier *Horus* und den übrigen Göttern von *Edfu* verliehen wird, besteht +aus einer Anzahl von meist viereckigen Aeckern, deren vier Seitenlängen +nebst Flächeninhalten angegeben erscheinen. + +Da jeder der vorkommenden Flächeninhalte identisch ist mit dem Producte +der arithmetischen Mittel der beiden Gegenseitenpaare, so wurde nach +*Lepsius* die Vermuthung aufgestellt, die alten Aegypter hätten, um +Vierecke bei der Flächenbestimmung annähernd wie Rechtecke behandeln zu +können, den Unterschied der Gegenseiten dadurch auszugleichen gesucht, +dass sie die arithmetischen Mittel derselben in Rechnung zogen. + +Bei sehr vielen der in der *Edfu*er Schenkungsurkunde vorkommenden +Vierecke ist der Unterschied je zweier Gegenseiten entweder Null oder +verhältnissmässig so klein, dass man den betreffenden Vierecken eine vom +Rechtecke wenig verschiedene Gestalt beilegen kann, und die erhaltenen +Resultate somit eine ziemliche Annäherung an den richtigen Flächenwerth +darstellen dürften, nach dem man mit Rücksicht auf die bei *Sesostris* +bemerkte Eintheilung des Landes in Rechtecke voraussetzen darf, gerade +diese oder eine ihr zunächst kommende Form der Felder sei die auch damals +schon beliebte gewesen. + +Doch kommen auch Vierecke vor, wo der Längenunterschied der Gegenseiten +ein bemerkenswerther ist; ja es werden auch Dreiecke als Vierecke mit +einer verschwindenden Seite behandelt, so dass der begangene Fehler in +manchen Fällen ein nicht unbedeutender ist. + +Nur nebenbei bemerken wir, dass man dieselbe unrichtige Flächenformel für +das Viereck erhält, wenn man dasselbe zunächst durch eine Diagonale in +zwei Dreiecke zerlegt, auf jedes dieser Dreiecke die unrichtige +Flächenformel, die den Inhalt als das halbe Product der beiden Seiten +liefert, anwendet, die beiden so erhaltenen Dreiecksflächen addirt und +dann aus dieser Summe und jener, welche man bei dem ähnlichen Vorgange +durch Zerlegung mittelst der zweiten Diagonale erhält, das arithmetische +Mittel construirt. + +Nimmt man mit *Eisenlohr* und *Cantor* an, dass die Aegypter die +Dreiecksfläche wirklich dem halben Producte zweier Seiten gleichsetzten, +so steht man vor der Frage, warum nicht in derselben Art die Flächen der +in der *Edfu*er Schenkungsurkunde auftretenden Dreiecke bestimmt +erscheinen? + +Uebrigens wolle man sich darüber nicht wundern, dass es überhaupt möglich +war, die Flächenberechnungen im praktischen Leben nach einer so falschen +Methode durchzuführen. Wissen wir doch, dass im Alterthume, zur Zeit +*Platon*s, einer der gebildetsten Männer, einer der hervorragendsten +Geschichtschreiber, dass *Thukydides*(43) in seiner Unkenntniss der +Beziehung zwischen Flächeninhalt und Umfang, die Fläche einer Insel nach +der zu ihrer Umschiffung nothwendigen Zeit zu bestimmen suchte; in der +Geometrie *Gerbert*’s,(44) des nachmaligen Papstes *Silvester II.* finden +wir, 1000 Jahre nach Chr. G., die Fläche eines gleichschenkligen Dreieckes +durch Multiplication des Schenkels mit der halben Basis berechnet, wo doch +schon *Hero von ** Alexandrien*(45) 1100 Jahre früher die richtige Formel +für diese Berechnung kennt. + +Wir berühren diese Thatsachen, und könnten noch eine ganze Reihe ähnlicher +Beispiele anführen, nur um zu zeigen, wie übereilt es wäre, aus den oft +nur schwache Annäherungen liefernden Berechnungen der *Edfu*er +Schenkungsurkunde schliessen zu wollen, die richtigen Methoden seien den +in die Wissenschaften eingeweihten aegyptischen Priestern nicht bekannt +gewesen. + +Doch zurück zum Papyrus *Rhind*. + +Wir übergehen die Inhaltsbestimmungen von Fruchthäusern, bei denen der +Inhalt durch Multiplication einer Fläche mit einer Länge bestimmt wird, +weil wir es für müssig halten, Erörterungen darüber anzustellen, welche +Flächen und Längen hiebei gemeint sind, so lange uns über die Form jener +Fruchthäuser oder Speicher nichts bekannt ist. + +Dagegen erwecken die im Papyrus vorkommenden Pyramiden-Berechnungen das +höchste Interesse, besonders nach den glänzenden Untersuchungen, welchen +*Revillout* diesen Gegenstand unterzogen hat, und deren Resultate wir, +entgegen der von *Eisenlohr* ausgesprochenen und auch von *Lepsius*(46) +acceptirten Ansicht als solche betrachten, welche in einfacher und +natürlicher Weise die sogenannte *Seket*-Rechnung der alten Aegypter +beleuchten. + +Es wird in diesen Rechnungen die Böschung der Seitenflächen einer +quadratischen Pyramide dadurch fixirt, dass jener Theil der Länge eines +der beiden gleichlangen Schenkel des Winkelmaasses berechnet wird, der +sich zur Länge des anderen Schenkels so verhält, wie die halbe Länge der +Basisseite der quadratischen Pyramide zur Höhe derselben. + +Zu dem Behufe war der eine der beiden Schenkel des Winkelmaasses in eine +gewisse Anzahl gleich grosser Theile getheilt, während der andere +Schenkel, der Pyramidenhöhe entsprechend, und als Einheit betrachtet, +ungetheilt blieb. + +Um nun den sogenannten *Seket* zu bestimmen, wurde die halbe Länge der +Basisseite durch die Pyramidenhöhe dividirt und mit dem erhaltenen +Quotienten die Anzahl der Theile des horizontalen, getheilten Schenkels +des Winkelmaasses multiplicirt. + +Es war somit der Seket (welcher in derselben Art für einen geraden +Kreiskegel aus dem Durchmesser der Basis und der Höhe bestimmt erscheint) +als Verhältniss aufgefasst, die goniometrische Cotangente des +Neigungswinkels der Seitenfläche der Pyramide, respective der Kegelkante +zur Basis. + +Wenn wir selbstverständlich weit davon entfernt sind, hierin vielleicht +Anfänge der Trigonometrie sehen zu wollen, so erkennen wir doch +anderseits, dass den alten Aegyptern auch die Lehre proportionaler Linien, +wenigstens in ihren Anwendungen, bekannt gewesen sein musste, und +erscheint uns auch der am Eingange erwähnte Ausspruch über die dem +Milesier *Thales* zugeschriebene Höhenmessung der Pyramiden als ein ganz +glaubwürdiger, wenn wir sehen, wie im Papyrus von den drei Werthen: Basis, +Höhe, Seket, jeder aus den beiden anderen berechnet erscheint. + +Fassen wir nun die Ergebnisse unserer Betrachtungen zusammen, so müssen +wir aus der quellenmässig erwiesenen grossen Bewunderung, welche die +ausgesprochen geometrisch hochentwickelten Griechen den aegyptischen +Geometern rückhaltlos zollten, wir müssen aus der unanfechtbaren +Thatsache, dass griechische Geometer den Grund zu ihren Kenntnissen und +Entdeckungen in Aegypten suchten und fanden, wir müssen im Hinblicke auf +das, aus der nun vollends entzifferten[42] *Edfu*er Schenkungsurkunde sich +mit Sicherheit ergebende ausgebreitete und fest organisirte Katasterwesen +der alten Aegypter, welches zugleich mit den zahlreichen, dem öffentlichen +Leben dienenden Land- und Wasserbauten auf eine verhältnissmässig +bedeutend entwickelte Vermessungskunde hinweist, wir müssen endlich aus +dem von uns besprochenen Papyrus, der sich als eine ungenaue Abschrift +eines mangelhaften, aus dem dritten Jahrtausend vor Chr. G. stammenden, +mathematischen Collegien- oder Aufgabenheftes erweist, und aus dessen +Vorhandensein sich fast mit Gewissheit auf damals existirende, neben den +Regeln auch ihre Ableitungen enthaltende Lehrbücher schliessen lässt, wir +können und müssen aus allen diesen Umständen den allgemeinen Schluss +ziehen, dass bereits drei Jahrtausende vor unserer Zeitrechnung sowohl die +arithmetischen, als auch die geometrischen Kenntnisse der Aegypter, einen +für dieses Zeitalter bedeutenden Grad der Entwicklung besassen. + +Insbesondere können wir in jenen fernen Zeiten eine staunenswerth +weitgehende Annäherung bei der Berechnung der Kreisfläche beobachten, wir +finden mit vollständiger Sicherheit richtige Flächenbestimmungen des +Quadrates, Rechteckes und des rechtwinkligen Dreieckes; höchst +wahrscheinlich auch richtige Bestimmungen der Flächen schiefwinkliger +Dreiecke und Vierecke, welche im praktischen Leben durch leichter zu +handhabende Annäherungsformeln ersetzt wurden; wir sehen Bestimmungen des +Rauminhaltes durch ihre Dimensionen gegebener Körper und erkennen die +Anfänge der Aehnlichkeitslehre. + +Was das geometrische Zeichnen betrifft, so kennen wir schon die +Construction der früher beobachteten regelmässigen Figuren und dürfen +weiter vermuthen, dass die Anlegung rechter Winkel und das Fällen von +Senkrechten sowohl mittelst des Winkelmaasses als auch mittelst rationaler +rechtwinkliger Dreiecke bekannt, und die Zerlegung gegebener Flächen +behufs ihrer Inhaltbestimmung in allgemeiner Verwendung war. + +Gewiss werden auch theoretische Resultate bekannt gewesen sein; so die +Hälftung des Kreises durch seinen Durchmesser, die sich aus der +besprochenen Seketrechnung von selbst ergebende Winkelgleichheit an der +Basis gleichschenkliger Dreiecke und gleichseitiger quadratischer +Pyramiden, und wohl noch manches Andere. + +Möge es gelingen, durch Auffindung neuer, sowie durch Entzifferung der, +noch ihrer Erklärung harrenden Denkmale und Schriften, von welchen +letzteren, Dank der hohen Munificenz des Erlauchten Curators unserer +Akademie, auch Wien eine imposante Zahl aufweisen kann, möge es so +gelingen noch weitere Anhaltspunkte für die Kenntniss der mathematischen +Thätigkeit des uns bekannten ältesten Culturvolkes, der Aegypter zu +gewinnen! + +Diesen unseren Wunsch theilen gewiss Alle, denen die Erforschung der +Culturgeschichte des menschlichen Geschlechtes nicht ohne Wichtigkeit +erscheint! + + + + + + 1 HERODOT, _Reisebericht_, II, 109. + + 2 ISOKRATES, _Busiris_, c. 9. + +_ 3 Platonis__ Phaedrus_, ed. Ast. I. p. 246. + + 4 ARISTOTELES, _Metaph. I_, 1. + + 5 DIODOR, I, 69. + + 6 Herodot l. c. + +_ 7 Heronis Alexandr.__ geom. et stereom. reliquiae_, ed. Hultsch. p. + 138. + + 8 DIODOR, I, 81. + + 9 STRABON, ed. Meinike, lib. XVII, C. 787, p. 1098. + +_ 10 Eudemi Rhodii__ Peripatetici fragmenta quae supersunt_. ed. L. + Spengel. Berlin 1870. + +_ 11 Procl.__ comment._ ed. Rasil. p. 19; _Barocius_ p. 37. + + 12 ISOKRATES, _Busiris_, cap. 11. + + 13 STRABON, XIV, 1. 16. + + 14 PORPHYRIUS, _De vita Pythagorae_ cap. 7; DIOGENES LAERTIUS, VIII, 3. + + 15 DIODOR, I, c. 96. + + 16 PROKLOS, ed. Friedlein, 250, 299, 352, 157. + + 17 DIOGENES LAERTIUS, I, 27. PLINIUS, _Hist. nat._ XXXVI, 12, 17. + + 18 PLUTARCH, ed. Didot. Vol. 2, III, p. 174. + + 19 DIOGENES LAERTIUS I, 24--25. + + 20 MONTUCLA, _Hist. d. math._ 2. édit. t. I, p. 49. + + 21 BRETSCHNEIDER, _Die Geometrie und die Geometer vor Euklides_, p. 11. + Dem Werke Bretschneiders, sowie jenem CANTOR’s: _Vorlesungen über + Geschichte der Mathematik_, sind die grundlegenden Gedanken + entnommen. + + 22 CLEMENS ALEXANDRINUS, _Stromata_, ed. Potter, I, 357. + + 23 THEON SMYRNAIOS, _lib. de astron._ ed. Martin, p. 272. + + 24 PRISSE D’AVENNES, _Hist. de l’art Egypt. d’après les monuments._ + + 25 WILKINSON, _Manners and customs of the ancient Egyptians_, III, p. + 313. + + 26 CICERO, _De finibus bonorum ed malorum_ I, 6, 20. + + 27 DIOGENES LAERTIUS IX, 47. + + 28 CANTOR, _Vorlesungen über Geschichte der Mathematik_, I, p. 144--159 + (Leipzig 1880). + + 29 EISENLOHR, _Ein math. Handbuch der alten Aegypter_. Leipzig 1877. + + 30 BIRCH, in Lepsius’ _Zeitschrift für ägypt. Sprache und Alterthum_, + 1868, p. 108. + + 31 LEPSIUS, _ägypt. Zeitschrift_, 1871, p. 63. + + 32 REVILLOUT, EUGÈNE, _Revue Egyptologique_, 1881, Nr. II et III, p. + 304. + + 33 EISENLOHR, _Ein math. Handbuch der alten Aegypter_. Nr. 64. + + 34 ibid. Nr. 79. + + 35 ibid. p. 125. + + 36 CANTOR, _Vorlesungen aus der Geschichte der Mathematik_, I, p. 49. + + 37 WILKINSON, _Manners and customs u. s. w._ III., p. 144. + + 38 BRUGSCH, _Ueber Bau und Maasse des Tempels von __Edfu_ (_Zeitschrift + für ägypt. Sprache u. Alterth._ Bd. VIII.) + + 39 CANTOR, _Vorlesungen u. s. w._ I, p. 55. + + 40 ÉD. BIOT, _Journal Asiatique_, Paris 1841, I. Sem. p. 593. + + 41 LEPSIUS, _Ueber eine hieroglyphische Inschrift am Tempel von + __Edfu_. _Abhandlung d. Acad. d. Wiss. in Berlin_, 1855, p. 69. + + 42 BRUGSCH, _Thesaurus III_, Leipzig 1884. + + 43 THUKYDIDES, ed. Rothe, VI. 1. + + 44 ed. Olleris, Cap. LXX. p. 460. + +_ 45 Heronis Alexandrini__ geometricorum et stereometricorum reliquiae_ + (ed. Hultsch, Berlin 1864). + + 46 LEPSIUS, _Ueber die 6palmige grosse Elle von 7 kleinen Palmen Länge + in dem »math. Handbuche« von Eisenlohr_. (_Zeitschrift f. äg. Sp._ + 1884. 1. Heft.) + + + + + + +***END OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK UEBER DIE GEOMETRIE DER ALTEN AEGYPTER.*** + + + +CREDITS + + +March 13, 2008 + + Project Gutenberg TEI edition 01 + * R. Stephan* + + + +A WORD FROM PROJECT GUTENBERG + + +This file should be named 24817-0.txt or 24817-0.zip. + +This and all associated files of various formats will be found in: + + + http://www.gutenberg.org/dirs/2/4/8/1/24817/ + + +Updated editions will replace the previous one -- the old editions will be +renamed. + +Creating the works from public domain print editions means that no one +owns a United States copyright in these works, so the Foundation (and +you!) can copy and distribute it in the United States without permission +and without paying copyright royalties. Special rules, set forth in the +General Terms of Use part of this license, apply to copying and +distributing Project Gutenberg™ electronic works to protect the Project +Gutenberg™ concept and trademark. Project Gutenberg is a registered +trademark, and may not be used if you charge for the eBooks, unless you +receive specific permission. If you do not charge anything for copies of +this eBook, complying with the rules is very easy. You may use this eBook +for nearly any purpose such as creation of derivative works, reports, +performances and research. They may be modified and printed and given away +-- you may do practically *anything* with public domain eBooks. +Redistribution is subject to the trademark license, especially commercial +redistribution. + + + +THE FULL PROJECT GUTENBERG LICENSE + + +*Please read this before you distribute or use this work.* + +To protect the Project Gutenberg™ mission of promoting the free +distribution of electronic works, by using or distributing this work (or +any other work associated in any way with the phrase Project Gutenberg), +you agree to comply with all the terms of the Full Project Gutenberg™ +License (available with this file or online at +http://www.gutenberg.org/license). + + +Section 1. + + +General Terms of Use & Redistributing Project Gutenberg™ electronic works + + +1.A. + + +By reading or using any part of this Project Gutenberg™ electronic work, +you indicate that you have read, understand, agree to and accept all the +terms of this license and intellectual property (trademark/copyright) +agreement. If you do not agree to abide by all the terms of this +agreement, you must cease using and return or destroy all copies of +Project Gutenberg™ electronic works in your possession. If you paid a fee +for obtaining a copy of or access to a Project Gutenberg™ electronic work +and you do not agree to be bound by the terms of this agreement, you may +obtain a refund from the person or entity to whom you paid the fee as set +forth in paragraph 1.E.8. + + +1.B. + + +Project Gutenberg is a registered trademark. It may only be used on or +associated in any way with an electronic work by people who agree to be +bound by the terms of this agreement. There are a few things that you can +do with most Project Gutenberg™ electronic works even without complying +with the full terms of this agreement. See paragraph 1.C below. There are +a lot of things you can do with Project Gutenberg™ electronic works if you +follow the terms of this agreement and help preserve free future access to +Project Gutenberg™ electronic works. See paragraph 1.E below. + + +1.C. + + +The Project Gutenberg Literary Archive Foundation (the Foundation or +PGLAF), owns a compilation copyright in the collection of Project +Gutenberg™ electronic works. Nearly all the individual works in the +collection are in the public domain in the United States. If an individual +work is in the public domain in the United States and you are located in +the United States, we do not claim a right to prevent you from copying, +distributing, performing, displaying or creating derivative works based on +the work as long as all references to Project Gutenberg are removed. Of +course, we hope that you will support the Project Gutenberg™ mission of +promoting free access to electronic works by freely sharing Project +Gutenberg™ works in compliance with the terms of this agreement for +keeping the Project Gutenberg™ name associated with the work. You can +easily comply with the terms of this agreement by keeping this work in the +same format with its attached full Project Gutenberg™ License when you +share it without charge with others. + + +1.D. + + +The copyright laws of the place where you are located also govern what you +can do with this work. Copyright laws in most countries are in a constant +state of change. If you are outside the United States, check the laws of +your country in addition to the terms of this agreement before +downloading, copying, displaying, performing, distributing or creating +derivative works based on this work or any other Project Gutenberg™ work. +The Foundation makes no representations concerning the copyright status of +any work in any country outside the United States. + + +1.E. + + +Unless you have removed all references to Project Gutenberg: + + +1.E.1. + + +The following sentence, with active links to, or other immediate access +to, the full Project Gutenberg™ License must appear prominently whenever +any copy of a Project Gutenberg™ work (any work on which the phrase +Project Gutenberg appears, or with which the phrase Project Gutenberg is +associated) is accessed, displayed, performed, viewed, copied or +distributed: + + + This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with + almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away + or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License + included with this eBook or online at http://www.gutenberg.org + + +1.E.2. + + +If an individual Project Gutenberg™ electronic work is derived from the +public domain (does not contain a notice indicating that it is posted with +permission of the copyright holder), the work can be copied and +distributed to anyone in the United States without paying any fees or +charges. If you are redistributing or providing access to a work with the +phrase Project Gutenberg associated with or appearing on the work, you +must comply either with the requirements of paragraphs 1.E.1 through 1.E.7 +or obtain permission for the use of the work and the Project Gutenberg™ +trademark as set forth in paragraphs 1.E.8 or 1.E.9. + + +1.E.3. + + +If an individual Project Gutenberg™ electronic work is posted with the +permission of the copyright holder, your use and distribution must comply +with both paragraphs 1.E.1 through 1.E.7 and any additional terms imposed +by the copyright holder. Additional terms will be linked to the Project +Gutenberg™ License for all works posted with the permission of the +copyright holder found at the beginning of this work. + + +1.E.4. + + +Do not unlink or detach or remove the full Project Gutenberg™ License +terms from this work, or any files containing a part of this work or any +other work associated with Project Gutenberg™. + + +1.E.5. + + +Do not copy, display, perform, distribute or redistribute this electronic +work, or any part of this electronic work, without prominently displaying +the sentence set forth in paragraph 1.E.1 with active links or immediate +access to the full terms of the Project Gutenberg™ License. + + +1.E.6. + + +You may convert to and distribute this work in any binary, compressed, +marked up, nonproprietary or proprietary form, including any word +processing or hypertext form. However, if you provide access to or +distribute copies of a Project Gutenberg™ work in a format other than +Plain Vanilla ASCII or other format used in the official version posted on +the official Project Gutenberg™ web site (http://www.gutenberg.org), you +must, at no additional cost, fee or expense to the user, provide a copy, a +means of exporting a copy, or a means of obtaining a copy upon request, of +the work in its original Plain Vanilla ASCII or other form. Any alternate +format must include the full Project Gutenberg™ License as specified in +paragraph 1.E.1. + + +1.E.7. + + +Do not charge a fee for access to, viewing, displaying, performing, +copying or distributing any Project Gutenberg™ works unless you comply +with paragraph 1.E.8 or 1.E.9. + + +1.E.8. + + +You may charge a reasonable fee for copies of or providing access to or +distributing Project Gutenberg™ electronic works provided that + + - You pay a royalty fee of 20% of the gross profits you derive from + the use of Project Gutenberg™ works calculated using the method you + already use to calculate your applicable taxes. The fee is owed to + the owner of the Project Gutenberg™ trademark, but he has agreed to + donate royalties under this paragraph to the Project Gutenberg + Literary Archive Foundation. Royalty payments must be paid within 60 + days following each date on which you prepare (or are legally + required to prepare) your periodic tax returns. Royalty payments + should be clearly marked as such and sent to the Project Gutenberg + Literary Archive Foundation at the address specified in Section 4, + Information about donations to the Project Gutenberg Literary + Archive Foundation. + + You provide a full refund of any money paid by a user who notifies + you in writing (or by e-mail) within 30 days of receipt that s/he + does not agree to the terms of the full Project Gutenberg™ License. + You must require such a user to return or destroy all copies of the + works possessed in a physical medium and discontinue all use of and + all access to other copies of Project Gutenberg™ works. + + You provide, in accordance with paragraph 1.F.3, a full refund of + any money paid for a work or a replacement copy, if a defect in the + electronic work is discovered and reported to you within 90 days of + receipt of the work. + + You comply with all other terms of this agreement for free + distribution of Project Gutenberg™ works. + + +1.E.9. + + +If you wish to charge a fee or distribute a Project Gutenberg™ electronic +work or group of works on different terms than are set forth in this +agreement, you must obtain permission in writing from both the Project +Gutenberg Literary Archive Foundation and Michael Hart, the owner of the +Project Gutenberg™ trademark. Contact the Foundation as set forth in +Section 3 below. + + +1.F. + + +1.F.1. + + +Project Gutenberg volunteers and employees expend considerable effort to +identify, do copyright research on, transcribe and proofread public domain +works in creating the Project Gutenberg™ collection. Despite these +efforts, Project Gutenberg™ electronic works, and the medium on which they +may be stored, may contain Defects, such as, but not limited to, +incomplete, inaccurate or corrupt data, transcription errors, a copyright +or other intellectual property infringement, a defective or damaged disk +or other medium, a computer virus, or computer codes that damage or cannot +be read by your equipment. + + +1.F.2. + + +LIMITED WARRANTY, DISCLAIMER OF DAMAGES -- Except for the Right of +Replacement or Refund described in paragraph 1.F.3, the Project Gutenberg +Literary Archive Foundation, the owner of the Project Gutenberg™ +trademark, and any other party distributing a Project Gutenberg™ +electronic work under this agreement, disclaim all liability to you for +damages, costs and expenses, including legal fees. YOU AGREE THAT YOU HAVE +NO REMEDIES FOR NEGLIGENCE, STRICT LIABILITY, BREACH OF WARRANTY OR BREACH +OF CONTRACT EXCEPT THOSE PROVIDED IN PARAGRAPH F3. YOU AGREE THAT THE +FOUNDATION, THE TRADEMARK OWNER, AND ANY DISTRIBUTOR UNDER THIS AGREEMENT +WILL NOT BE LIABLE TO YOU FOR ACTUAL, DIRECT, INDIRECT, CONSEQUENTIAL, +PUNITIVE OR INCIDENTAL DAMAGES EVEN IF YOU GIVE NOTICE OF THE POSSIBILITY +OF SUCH DAMAGE. + + +1.F.3. + + +LIMITED RIGHT OF REPLACEMENT OR REFUND -- If you discover a defect in this +electronic work within 90 days of receiving it, you can receive a refund +of the money (if any) you paid for it by sending a written explanation to +the person you received the work from. If you received the work on a +physical medium, you must return the medium with your written explanation. +The person or entity that provided you with the defective work may elect +to provide a replacement copy in lieu of a refund. If you received the +work electronically, the person or entity providing it to you may choose +to give you a second opportunity to receive the work electronically in +lieu of a refund. If the second copy is also defective, you may demand a +refund in writing without further opportunities to fix the problem. + + +1.F.4. + + +Except for the limited right of replacement or refund set forth in +paragraph 1.F.3, this work is provided to you ’AS-IS,’ WITH NO OTHER +WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO +WARRANTIES OF MERCHANTIBILITY OR FITNESS FOR ANY PURPOSE. + + +1.F.5. + + +Some states do not allow disclaimers of certain implied warranties or the +exclusion or limitation of certain types of damages. If any disclaimer or +limitation set forth in this agreement violates the law of the state +applicable to this agreement, the agreement shall be interpreted to make +the maximum disclaimer or limitation permitted by the applicable state +law. The invalidity or unenforceability of any provision of this agreement +shall not void the remaining provisions. + + +1.F.6. + + +INDEMNITY -- You agree to indemnify and hold the Foundation, the trademark +owner, any agent or employee of the Foundation, anyone providing copies of +Project Gutenberg™ electronic works in accordance with this agreement, and +any volunteers associated with the production, promotion and distribution +of Project Gutenberg™ electronic works, harmless from all liability, costs +and expenses, including legal fees, that arise directly or indirectly from +any of the following which you do or cause to occur: (a) distribution of +this or any Project Gutenberg™ work, (b) alteration, modification, or +additions or deletions to any Project Gutenberg™ work, and (c) any Defect +you cause. + + +Section 2. + + + Information about the Mission of Project Gutenberg™ + + +Project Gutenberg™ is synonymous with the free distribution of electronic +works in formats readable by the widest variety of computers including +obsolete, old, middle-aged and new computers. It exists because of the +efforts of hundreds of volunteers and donations from people in all walks +of life. + +Volunteers and financial support to provide volunteers with the assistance +they need, is critical to reaching Project Gutenberg™’s goals and ensuring +that the Project Gutenberg™ collection will remain freely available for +generations to come. In 2001, the Project Gutenberg Literary Archive +Foundation was created to provide a secure and permanent future for +Project Gutenberg™ and future generations. To learn more about the Project +Gutenberg Literary Archive Foundation and how your efforts and donations +can help, see Sections 3 and 4 and the Foundation web page at +http://www.pglaf.org. + + +Section 3. + + + Information about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation + + +The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit +501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the state of +Mississippi and granted tax exempt status by the Internal Revenue Service. +The Foundation’s EIN or federal tax identification number is 64-6221541. +Its 501(c)(3) letter is posted at +http://www.gutenberg.org/fundraising/pglaf. Contributions to the Project +Gutenberg Literary Archive Foundation are tax deductible to the full +extent permitted by U.S. federal laws and your state’s laws. + +The Foundation’s principal office is located at 4557 Melan Dr. +S. Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered +throughout numerous locations. Its business office is located at 809 North +1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email +business@pglaf.org. Email contact links and up to date contact information +can be found at the Foundation’s web site and official page at +http://www.pglaf.org + +For additional contact information: + + + Dr. Gregory B. Newby + Chief Executive and Director + gbnewby@pglaf.org + + +Section 4. + + + Information about Donations to the Project Gutenberg Literary Archive + Foundation + + +Project Gutenberg™ depends upon and cannot survive without wide spread +public support and donations to carry out its mission of increasing the +number of public domain and licensed works that can be freely distributed +in machine readable form accessible by the widest array of equipment +including outdated equipment. Many small donations ($1 to $5,000) are +particularly important to maintaining tax exempt status with the IRS. + +The Foundation is committed to complying with the laws regulating +charities and charitable donations in all 50 states of the United States. +Compliance requirements are not uniform and it takes a considerable +effort, much paperwork and many fees to meet and keep up with these +requirements. We do not solicit donations in locations where we have not +received written confirmation of compliance. To SEND DONATIONS or +determine the status of compliance for any particular state visit +http://www.gutenberg.org/fundraising/donate + +While we cannot and do not solicit contributions from states where we have +not met the solicitation requirements, we know of no prohibition against +accepting unsolicited donations from donors in such states who approach us +with offers to donate. + +International donations are gratefully accepted, but we cannot make any +statements concerning tax treatment of donations received from outside the +United States. U.S. laws alone swamp our small staff. + +Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation methods +and addresses. Donations are accepted in a number of other ways including +checks, online payments and credit card donations. To donate, please +visit: http://www.gutenberg.org/fundraising/donate + + +Section 5. + + + General Information About Project Gutenberg™ electronic works. + + +Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg™ +concept of a library of electronic works that could be freely shared with +anyone. For thirty years, he produced and distributed Project Gutenberg™ +eBooks with only a loose network of volunteer support. + +Project Gutenberg™ eBooks are often created from several printed editions, +all of which are confirmed as Public Domain in the U.S. unless a copyright +notice is included. Thus, we do not necessarily keep eBooks in compliance +with any particular paper edition. + +Each eBook is in a subdirectory of the same number as the eBook’s eBook +number, often in several formats including plain vanilla ASCII, compressed +(zipped), HTML and others. + +Corrected *editions* of our eBooks replace the old file and take over the +old filename and etext number. The replaced older file is renamed. +*Versions* based on separate sources are treated as new eBooks receiving +new filenames and etext numbers. + +Most people start at our Web site which has the main PG search facility: + + + http://www.gutenberg.org + + +This Web site includes information about Project Gutenberg™, including how +to make donations to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation, +how to help produce our new eBooks, and how to subscribe to our email +newsletter to hear about new eBooks. + + + + + + +***FINIS*** +
\ No newline at end of file diff --git a/24817-0.zip b/24817-0.zip Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..6652202 --- /dev/null +++ b/24817-0.zip diff --git a/24817-8.txt b/24817-8.txt new file mode 100644 index 0000000..32afa09 --- /dev/null +++ b/24817-8.txt @@ -0,0 +1,1555 @@ +The Project Gutenberg EBook of Ueber die Geometrie der alten Aegypter. by +Emil Weyr + + + +This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no +restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under +the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or +online at http://www.gutenberg.org/license + + + +Title: Ueber die Geometrie der alten Aegypter. + +Author: Emil Weyr + +Release Date: March 13, 2008 [Ebook #24817] + +Language: German + +Character set encoding: ISO 8859-1 + + +***START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK UEBER DIE GEOMETRIE DER ALTEN AEGYPTER.*** + + + + + + BER DIE + + GEOMETRIE DER ALTEN GYPTER + + ------------------ + + VORTRAG + + GEHALTEN IN DER + + FEIERLICHEN SITZUNG DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN + + AM + + XXIX. MAI MDCCCLXXXIV + + VON + + DR. EMIL WEYR + + WIRKLICHEM MITGLIEDE DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN. + + ------------------ + + WIEN + + AUS DER K. K. HOF- UND STAATSDRUCKEREI. + + IN COMMISSION BEI KARL GEROLD'S SOHN, + + BUCHHNDLER DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN. + + 1884 + + + + + + +Mge mir gestattet sein, bei dem heutigen feierlichen Anlasse ein Bild zu +entrollen, welches in grossen Strichen die allgemeinen Umrisse des +Zustandes der geometrischen Wissenschaften bei den alten Aegyptern zur +Darstellung bringen soll; und mge dasselbe Wohlwollen, das, gepaart mit +einer althergebrachten Sitte, mich heute auf diesen eben so ehrenvollen +als schwierigen Platz gestellt, auch bei der Beurtheilung der folgenden +bescheidenen, weil schwachen Krften entspringenden Leistung obwalten! + +So wie der Anfang aller menschlichen Kenntnisse, so ist auch der Ursprung +der Geometrie in grauestes Alterthum zu versetzen, er ist zu suchen in +jenen der Zeit nach unangebbaren Perioden der menschlichen Entwicklung, in +welchen das erste Erwachen des Selbstbewusstseins zu finden wre. Sind +doch manche geometrische Anschauungen auch dem Thiere eigen; so jene der +geraden Verbindungslinie zweier Punkte als der krzesten Entfernung; jene +des Mehr und Weniger bei Quantitten der Entfernungen, Hhen, Neigungen, +und so werden auch manche abstractere Raumanschauungen dem Menschen in +seinen ersten Entwicklungsperioden eigen geworden sein, Anschauungen, +welche durch die Mglichkeit und auf Grund der sprachlichen Bezeichnung +jene Stabilitt erhielten, die sie befhigte, als erste Fundamente der +geometrischen Kenntnisse zunchst, und der Geometrie als Wissenschaft +spter aufzutreten. + +Geometrisches Denken entstand zu den verschiedensten Zeiten, an den +verschiedensten Orten. Denn berall, wo der menschliche Geist sich zu +entwickeln begann, und das menschliche Denken jene Hhe erreichte, auf +welcher Abstractionen entstehen, bildeten sich die grundlegenden +Raumbegriffe; der des Punktes, der geraden und krummen Linien, der ebenen +und krummen Flchen. Denn berall in der Natur boten sich dem erwachenden +Menschen Reprsentanten dieser Begriffe in grsserer oder geringerer +Genauigkeit dar. Whrend der Anblick der auf- und untergehenden Sonne, +sowie des vollen Mondes in sdlichen Gegenden fast tglich das Bild der +vollkommensten, der schnsten Linie, der Kreislinie vorfhrte, +stellten sich die zahllosen Sterne des Abends dem Auge als glnzende +Punkte dar, welche in ihren mannigfaltigen gegenseitigen +Lagenverhltnissen die Phantasie des Menschen bei der, von ihm beliebten +Eintheilung des Himmels in Sternbilder zur Herstellung so mancher geraden +und krummen Linien verleiten mochten. Und selbst in seiner nchsten +Umgebung fand der beobachtende Mensch geometrische Anklnge; das Gewebe +der Spinne mit seinen kreisrunden und radialen Fden, die sechseckige +Bienenzelle, die beim Fallen eines Krpers in ruhendes Wasser entstehenden +concentrischen Wellenringe, und wie vieles Andere musste, wenn auch nach +und nach, so doch mit zwingender Nothwendigkeit den Menschen zur +Beobachtung gesetzmssiger geometrischer Formen fhren. + +Als Mutterland der Mathematik im Allgemeinen, und der Geometrie im +Besonderen wird Aegypten angefhrt; doch ist die Zeit lngst vorbei, wo +man sich Aegypten als einzigen Ursprungsort dieser Wissenschaften dachte, +vielmehr muss als feststehend angenommen werden, dass jedes Volk in seinem +Entwicklungsgange geometrische Anschauungen sich anzueignen schon durch +praktische Bedrfnisse gezwungen war. Die Hhe, zu welcher sich die +einzelnen Vlker in ihren mathematischen Speculationen emporzuschwingen +vermochten, hing von der Richtung des Bildungsganges, von dem Maasse des +Bedrfnisses und nicht in letzter Reihe von dem Einflsse religiser +Verhltnisse ab. + +Und so mag sich zunchst jene Naturgeometrie entwickelt haben, welche +allen Vlkern zugesprochen werden muss, und auf deren Vorhandensein, weil +auf die Anwendungen ihrer freilich einfachsten Principien, Ueberreste von +Bauten berall dort hinweisen, wo wir in der Lage sind, solche beobachten +zu knnen. Die Pellasger, die vorhellenischen Ureinwohner Griechenlands, +mussten lange vor Entstehung der Philosophie geometrische Kenntnisse in +dem Maasse besessen haben, wie sie zur Auffhrung von Wasserbauten, +Dmmen, Canlen und Burgen, von denen man jetzt noch Spuren findet, +nothwendig waren. + +Verfolgt man die Entwicklung der Geometrie zu ihren Quellen aufwrts, so +drfen wir nicht berrascht sein, dass man bei dem uns bekannten ltesten +Culturvolke, bei den Aegyptern, am weitesten vorzudringen vermag, und zwar +an der Hand der indirecten wie der directen Nachrichten, welche uns ber +diesen Gegenstand zugekommen sind. Leider jedoch sind die Ersteren ihrem +Inhalte und die Letzteren ihrer Zahl nach nur sprliche zu nennen. + +Zahlreich sind wohl die Stellen in griechischen Philosophen und +Geschichtschreibern, welche Bezug haben auf aegyptische Geometrie, es +lsst sich jedoch nicht verkennen, dass oft die Spteren auf Frhere sich +sttzen, und wir es mglicherweise mit einer einzigen, durch Jahrhunderte +fortgefhrten Nachricht zu thun haben. + +Durch *Herodot*, welcher um die Mitte des fnften vorchristlichen +Jahrhunderts (460) Aegypten bereiste, erfahren wir(1), dass die Geometrie +von Aegypten nach Griechenland verpflanzt worden sei. Etwas spter (393 +v. Chr.) berichtet *Isokrates* die Thatsache(2), dass die Aegypter die +Aelteren (unter ihren Priestern) ber die wichtigsten Angelegenheiten +setzten, dagegen die Jngeren beredeten, mit Hintansetzung des Vergngens, +sich mit Astronomie, Rechenkunst und Geometrie zu beschftigen. + +In *Platon*'s _Phdrus_ sagt *Sokrates*: Ich habe vernommen, zu Naukratis +in Aegypten sei einer der dortigen alten Gtter gewesen, dem auch der +Vogel geheiligt ist, den sie Isis nennen, whrend der Gott selbst den +Namen Teuth fhrt; dieser habe zuerst Zahlenlehre und Rechenkunst erfunden +und Geometrie und Astronomie(3), und einen directen Hinweis finden wir +bei *Aristoteles*, welcher in seiner _Metaphysik_ sagt:(4) Daher +entstanden auch in Aegypten die mathematischen Wissenschaften, denn hier +war den Priestern die dazu nthige Msse vergnnt. + +Uebrigens schrieben sich die Aegypter neben der Erfindung der +Buchstabenschrift auch jene der meisten Wissenschaften und Knste zu, +worber *Diodor*(5), welcher etwa 70 Jahre v. Chr. G. Aegypten bereiste, +bemerkt: Die Aegypter behaupten, von ihnen sei die Erfindung der +Buchstabenschrift und die Beobachtung der Gestirne ausgegangen, ebenso +seien von ihnen die Theoreme der Geometrie und die meisten Wissenschaften +und Knste erfunden worden. + +Neben diesen ganz allgemein gehaltenen Angaben sind hauptschlich +diejenigen Berichte zu erwhnen, welche sich auf die Art der +wissenschaftlichen Leistungen der Aegypter beziehen. + +Da sagt zunchst *Herodot*(6) in Hinsicht auf die unter dem Knige +*Sesostris* durchgefhrte Lndereintheilung: Auch sagten sie, dass dieser +Knig das Land unter alle Aegypter so vertheilt habe, dass er jedem ein +gleich grosses Viereck gegeben, und von diesem seine Einknfte bezogen +habe, indem er eine jhrlich zu entrichtende Steuer auflegte. Wem aber der +Fluss (Nil) von seinem Theile etwas wegriss, der musste zu ihm kommen und +das Geschehene anzeigen; er schickte dann die Aufseher, die auszumessen +hatten, um wie viel das Landstck kleiner geworden war, damit der Inhaber +von dem brigen nach Verhltniss der aufgelegten Abgaben steure. Hieraus +erscheint mir die Geometrie entstanden zu sein, die von da nach Hellas +kam. + +Die, *Herodot*, dem Vater der Geschichtsschreibung folgenden +Berichterstatter hielten sich nun, vielleicht erklrlicherweise, +vorzglich an den einen, die Nilberschwemmungen betreffenden Theil obiger +Nachricht, und wurde, gewiss Unberechtigtermassen der Nil als der +unmittelbare Anstoss fr alle geometrischen Arbeiten der Aegypter +hingestellt. Und doch scheint es uns viel nherliegend, die einerseits +behufs der Steuerbemessung und Controle, anderseits wegen der aus den +Vernderungen im Besitzstande sich nothwendig ergebenden +Flchenfestsetzungen als den Hauptbeweggrund jener Vermessungen zu +erkennen, wobei die gesammelten Erfahrungen gewiss auch bei der +Beurtheilung der unzweifelhaft nach den periodisch eintretenden +Nilberschwemmungen vorgekommenen Terrainvernderungen mit Vortheil +benutzt worden sein mgen. + +Unverkennbar ist der Zug nach Aufbauschung und Ausschmckung des, jene +Nilberschwemmungen betreffenden Theiles des *Herodot*'schen Berichtes, +wenn man die Aufzeichnungen spterer Gewhrsmnner nher betrachtet. + +Zunchst finden wir bei *Heron* dem Aelteren die folgende diesbezgliche +Stelle(7): Die frheste Geometrie beschftigte sich, wie uns die alte +Ueberlieferung lehrt, mit der Messung und Vertheilung der Lndereien, +woher sie Feldmessung genannt wurde. Der Gedanke einer Messung nmlich +ward den Aegyptern an die Hand gegeben durch die Ueberschwemmungen des +Nil. Denn viele Grundstcke, die vor der Flussschwelle offen dalagen, +verschwanden beim Steigen des Flusses und kamen erst nach dem Sinken +desselben zum Vorschein, und es war nicht immer mglich, ber die +Identitt derselben zu entscheiden. Dadurch kamen die Aegypter auf den +Gedanken einer solchen Messung des vom Nil blossgelegten Landes. + +Weiter finden wir bei *Diodor*(8) einen Ausspruch, durch welchen wir +brigens auch ber andere wissenschaftliche Leistungen der Aegypter +belehrt werden; *Diodor* sagt: Die Priester lehren ihre Shne zweierlei +Schrift, die sogenannte heilige, und die, welche man gewhnlich lernt. Mit +Geometrie und Arithmetik beschftigen sie sich eifrig. Denn indem der +Fluss jhrlich das Land vielfach verndert, veranlasst er viele und +mannigfache Streitigkeiten ber die Grenzen zwischen den Nachbarn; diese +knnen nun nicht leicht ausgeglichen werden, wenn nicht ein Geometer den +wahren Sachverhalt durch directe Messung ermittelt. Die Arithmetik dient +ihnen in Haushaltungsangelegenheiten und bei den Lehrstzen der Geometrie; +auch ist sie denen von nicht geringem Vortheile, die sich mit Sternkunde +beschftigen. Denn wenn bei irgend einem Volke die Stellungen und +Bewegungen der Gestirne sorgfltig beobachtet worden sind, so ist es bei +den Aegyptern geschehen; sie verwahren Aufzeichnungen der einzelnen +Beobachtungen seit einer unglaublich langen Beihe von Jahren, da bei ihnen +seit alten Zeiten her die grsste Sorgfalt hierauf verwendet worden ist. +Die Bewegungen und Umlaufszeiten sowie die Stillstnde der Planeten, auch +den Einfluss eines jeden auf die Entstehung lebender Wesen und alle ihre +guten und schdlichen Einwirkungen haben sie sehr sorgfltig beobachtet. + +Am innigsten verknpft erscheint die Geometrie der Aegypter mit den +Ueberschwemmungen des Nil bei *Strabon*(9); welcher bemerkt, dass es +einer sorgfltigen und bis auf das Genaueste gehenden Eintheilung +bedurfte, wegen der bestndigen Verwstung der Grenzen, die der Nil bei +seinen Ueberschwemmungen veranlasst, indem er Land wegnimmt und zusetzt, +und die Gestalt verndert, und die anderen Zeichen unkenntlich macht, +wodurch das fremde und eigene Besitzthum unterschieden wird. Man msse +daher immer und immer wieder messen. Hieraus soll die Geometrie entstanden +sein. + +Den gesellschaftlichen Einrichtungen der Aegypter entsprechend, muss als +feststehend angenommen werden, dass sich eine Kaste, nach eben Gehrtem +die der Priester, mit dem wissenschaftlichen Theile der Geometrie +beschftigte, whrend eine andere, die der Feldmesser, die von den +Ersteren aufgestellten und sorgsam gehteten geometrischen Principien +praktisch zur Anwendung brachte. Dabei wurden, wie wir spter sehen +werden, die Geheimnisse der Priester, insoweit sie geometrische Wahrheiten +und Berechnungsregeln betrafen, mglicherweise nur insoweit enthllt, dass +bei deren Verwendung nur annherungsweise richtige Resultate zum Vorschein +kamen. + +Wohl sind einige Schriftsteller so weit gegangen, dass sie, die +unlugbaren Uebertreibungen des Zusammenhanges zwischen den +Nilberschwemmungen und der gyptischen Geometrie im Auge behaltend, die +Existenz der letzteren einfach negirten, und alle die citirten Aussprche +in das Gebiet der Fabel verwiesen. + +Was macht man jedoch dann mit den wohlbeglaubigten Nachrichten ber die +Reisen, welche hervorragende griechische Philosophen nach Aegypten +unternahmen, oft jahrelang dort verweilend, um sich in die Geheimnisse +aegyptischer Priester einweihen und mit deren geometrischem Wissen +vertraut machen zu lassen? + +*Eudemus von Rhodos*(10), einer der ltesten Peripatetiker, schrieb eine +Geschichte der Mathematik, aus welcher uns durch *Proklos Diadochus*(11), +einen Philosophen des fnften nachchristlichen Jahrhunderts, ein +Bruchstck erhalten ist, welches sozusagen das einzige Mittel bildet, das +uns einen Einblick in die geometrischen Errungenschaften der Griechen in +den ersten dritthalb Jahrhunderten nach *Thales* gewhrt. Hierin heisst es +unter Anderem: *Thales*, der nach Aegypten ging, brachte zuerst die +Geometrie nach Hellas hinber und Vieles entdeckte er selbst, von Vielem +aber berlieferte er die Anfnge seinen Nachfolgern; das Eine machte er +allgemeiner, das Andere mehr sinnlich fassbar. Hundert Jahre nach dem +Tode des *Pythagoras* berichtet der Redner *Isokrates*(12): Man knnte, +wenn man nicht eilen wollte, viel Bewunderungswrdiges von der Heiligkeit +aegyptischer Priester anfhren, welche ich weder allein noch zuerst +erkannt habe, sondern viele der jetzt Lebenden und der Frheren, unter +denen auch *Pythagoras* der Samier ist, der nach Aegypten kam und ihr +Schler wurde und die fremde Philosophie zuerst zu den Griechen +verpflanzte. + +Whrend der Aufenthalt des *Pythagoras* in Aegypten unter Anderen auch +noch von *Strabon*(13) und *Antiphon*(14) besttiget wird, nennt uns +*Diodor*(15) eine ganze Reihe von Namen, indem er sagt; Die aegyptischen +Priester nennen unter den Fremden, welche nach den Verzeichnissen in den +heiligen Bchern vormals zu ihnen gekommen seien, den *Orpheus*, +*Musaios*, *Melampus* und *Daidalos*, nach diesen den Dichter *Homer*, den +Spartaner *Lykurgos*, ingleichen den Athener *Solon* und den Philosophen +*Platon*. Gekommen sei zu ihnen auch der Samier *Pythagoras* und der +Mathematiker *Eudoxos*, ingleichen *Demokritos von Abdera* und *Oinopides +von Chios*. Von allen diesen weisen sie noch Spuren auf, von den Einen +Bildnisse von den Anderen Orte und Gebude, die nach ihnen benannt sind. +Aus der Vergleichung dessen, was jeder von ihnen in seinem Fache geleistet +hat, fhren sie den Beweis, dass sie Dasjenige um desswillen sie von den +Hellenen bewundert werden, aus Aegypten entlehnt haben. Aus diesen +Stellen geht mit Sicherheit hervor, dass viele Griechen nach Aegypten +zogen, um bei den dortigen Priestern Philosophie und Mathematik kennen zu +lernen, da wohl in den Berichten nur die hervorragenden Mnner angefhrt +wurden. + +Der Milesier *Thales*, welcher erst in vorgercktem Alter, und nachdem er +als Handelsmann frher gewiss schon mehrmals Aegypten besucht gehabt, sich +daselbst behufs seiner Studien zu lngerem Aufenthalt niederlies, ist +merkwrdiger Weise in dem Berichte des Diodor nicht angefhrt, und knnte +man wohl aus diesem Umstande umsomehr einen gewissen Grad von +Unglaublichkeit ableiten, als darin mythische Namen wie *Orpheus*, +*Daidalos* und *Homer* angefhrt erscheinen. Diese letzteren konnten +jedoch sehr wohl dem im Ganzen und Grossen sonst richtigen Verzeichnisse +vom Berichterstatter eigenwillig beigefgt worden sein, um dadurch das +hohe Alter aegyptischer Wissenschaft in ein vorteilhaftes Licht zu setzen. + +Abgesehen jedoch von aller Wahrscheinlichkeit oder Unwahrscheinlichkeit +fr die Exactheit obiger Aussprche in Bezug auf einzelne Namen, drfte +jedenfalls das als unumstssliche Wahrheit gelten, dass die gyptischen +Priester von den Griechen als in den Wissenschaften, insbesondere in der +Geometrie sehr bewandert gehalten wurden, und zwar in einem solchen +Maasse, dass eine Reihe hervorragender griechischer Philosophen es nicht +verschmhte, die, fr damalige Verhltnisse nicht unbedeutende Reise nach +Aegypten zu unternehmen, ja oft jahrelang in diesem Lande mit unbekannter +Sprache und Schrift zu verweilen, um sich die Kenntnisse der Aegypter +anzueignen. + +Stellt man nun zunchst die Frage nach Quantitt und Qualitt des +geometrischen Wissens, welches die Griechen von ihren Studienreisen mit +nach Hause brachten, so scheint dies, selbst vom Standpunkte der +unmittelbar nachpythagorischen Geometrie, usserst Weniges gewesen zu +sein. + +*Thales* von Milet, einer der sieben griechischen Weltweisen, der +Begrnder der ionischen Schule, *Thales*, welcher fr das Jahr 585 +v. Chr. G. eine, auch eingetroffene Sonnenfinsterniss vorherzusagen +wusste, soll, den uns von *Proklos* zugekommenen Berichten zufolge, in +Aegypten nicht viel mehr erfahren haben, als die Stze ber die Gleichheit +der Winkel an der Basis eines gleichschenkligen Dreieckes, die Gleichheit +der Scheitelwinkel am Durchschnitt zweier Geraden; er wusste ferner, wie +ein Dreieck durch eine Seite und die beiden anliegenden Winkel bestimmt +erscheint, diese Errterung zur Messung der Entfernungen von Schiffen auf +dem Meere bentzend, es war ihm bekannt, dass ein Kreis durch einen +Durchmesser halbirt wird,(16) und soll er die Hhe der Pyramiden aus der +Lnge des Schattens gemessen haben, hchst wahrscheinlich in dem Momente, +wo die Schattenlnge eines senkrechten Stabes der Stablnge gleich +ist,(17) mglicherweise jedoch, wie *Plutarch*(18) berichtet, auch zu +einer beliebigen Tageszeit. Auch wird ihm von *Pamphile*(19) die Kenntniss +des Satzes zugeschrieben, dass der Peripheriewinkel im Halbkreise ein +rechter sei. Gewiss hat Thales wenigstens jene geometrischen Fundamente in +Aegypten kennen gelernt, welche es ihm ermglichten, die genannten Stze +als wahr zu erkennen, wenn auch bei ihm, selbst bei diesen einfachen +Dingen an einen strengen Beweis nicht gedacht werden kann. + +Es wre jedoch voreilig, aus der Geringfgigkeit der Thaletischen +geometrischen Kenntnisse mit *Montucla* (20) zu schliessen, dass auch die +Aegypter nicht viel mehr gewusst htten. Man kann wohl annehmen, dass die +aegyptischen Priester bei ihrer den Fremden gegenber beobachteten +Zurckhaltung nur einen Theil ihres Wissens offenbarten; wer knnte jedoch +bemessen, in welchem Verhltnisse dieser Theil zu ihrem Gesammtwissen +stand? Der Ansicht *Montucla*'s kann man entgegensetzen, dass die Aegypter +den Fremden nur einen kleinen Bruchtheil ihres sorgsam im Verborgenen +gehteten Wissens preisgegeben haben mochten, wobei ferner nicht +unbercksichtigt bleiben darf, dass den nach Aegypten gekommenen Griechen +auch die Unkenntniss der Sprache und der Schrift weitere, nicht zu +unterschtzende Schwierigkeiten bereitete, in dem Maasse als vielleicht +Manches, was ihnen die aegyptischen Priester von aegyptischem Wissen zur +Verfgung stellten, unverstanden bleiben konnte. + +Was nun das Wesen aegyptischer Geometrie betrifft, so finden wir in den +Berichten der Alten fast gar keine Anhaltspunkte, um uns hierber Klarheit +verschaffen zu knnen, und war man bis vor Kurzem darauf hingewiesen, aus +den Anfngen griechischer Mathematik auf den Stand der aegyptischen +zurckzuschliessen, was, wie aus dem Vorhergesagten folgen drfte, mit +nicht geringen Schwierigkeiten verbunden erscheint. + +Die Ansicht, dass die Geometrie der Aegypter eigentlich nur constructiver +Natur war, hnlich dem was wir als Reisskunst zu bezeichnen pflegen,(21) +drfte sich nicht als stichhltig erweisen; es mge jedoch gleich jetzt +darauf hingedeutet werden, dass die Aegypter im Construiren geometrischer +Formen nicht unbewandert sein konnten. + +So sagt in etwas prahlerischer Weise *Demokritos* von *Abdera*(22) um 420 +v. Chr. G.: Im Construiren von Linien nach Maassgabe der aus den +Voraussetzungen zu ziehenden Schlsse hat mich keiner je bertroffen, +selbst nicht die sogenannten Harpedonapten der Aegypter; und *Theon* von +*Smyrna*(23) erzhlt, dass Babylonier, Chalder und Aegypter eifrig nach +allerhand Grundgesetzen und Hypothesen suchten, durch welche den +Erscheinungen gengt werden knnte; zu erreichen suchten sie dies dadurch, +dass sie das frher Gefundene in Ueberlegung zogen, und ber die +zuknftigen Erscheinungen Vermuthungen aufstellten, wobei die Einen sich +arithmetischer Methoden bedienten, wie die Chalder, die Anderen +construirender wie die Aegypter. + +Aus diesen und hnlichen Berichten, sowie aus dem Umstande, dass die +Anfnge der griechischen Geometrie selbst hauptschlich constructiver +Natur waren, muss man zu dem Schlusse kommen, dass die alten Aegypter seit +unvordenklichen Zeiten die Reisskunst pflegten, und in der langen Reihe +der Jahrhunderte sicherlich eine ziemlich bedeutende Masse sowohl +einfacher als complicirterer Constructionen erfanden und in ein gewisses +System brachten, von Ersteren zu Letzteren aufsteigend. Diese +Constructionen drften ihrem grsseren Theile nach, und zwar jenem Theile +nach, welcher, wenn auch ohne Begrndung Gemeingut der die Knste und +Gewerbe betreibenden Kasten wurde, nur solche gewesen sein, die dem +praktischen Bedrfnisse dienen konnten, also zumeist +Ornamentenconstructionen. Wir bemerken hier unter Anderem das Vorkommen +regelmssiger geometrischer Figuren auf uralten Wandgemlden, wie sie sich +z. B. als frbige Zeichnungen aus den Zeiten der fnften Dynastie, also +unmittelbar nach den Erbauern der Pyramiden, das ist 3400 Jahre v. Chr. G. +etwa vorfinden.(24) + +Man sieht unter der grossen Menge der in dieser Zeit vorkommenden Figuren +eine, aus verschobenen, ineinander gezeichneten, theilweise durch zu einer +Diagonale Parallele zerlegten Quadraten zusammengesetzte Figur, ferner aus +der Zeit von der zwlften bis zur sechsundzwanzigsten Dynastie, eine +Figur, bestehend aus einem Quadrate, und zwei, lngs der Diagonale +centrisch hineingelegten lemniscatischen Curven, sowie eine +Zusammenstellung von um fnfundvierzig Grade gegeneinander verdrehten, +sich durchsetzenden Quadraten. Kreise erscheinen durch ihre Durchmesser in +gleiche Kreisausschnitte getheilt; so zunchst durch zwei oder vier +Durchmesser in vier beziehungsweise acht, und in spteren Zeiten auch +durch sechs Durchmesser in zwlf gleiche Ausschnitte; die in den +Zeichnungen vorkommenden Wagenrder besitzen zumeist sechs, seltener vier +Speichen, so dass auch die Theilung des Kreises durch drei Diameter in +sechs gleiche Kreisausschnitte vertreten erscheint. + +In einer unvollendet gebliebenen Kammer des Grabes *Seti I.*, des Vater +*Ramses II.* aus der neunzehnten Dynastie (das sogenannte Grab +*Belzoni*)(25) finden wir die Wnde behufs Anbringung von Reliefarbeiten +mit einem Netze gleich grosser Quadrate bedeckt, und es kann keinem +Zweifel unterliegen, dass wir es hier mit der Anwendung eines +Verkleinerungs- beziehungsweise Vergrsserungsmaassstabes zu thun haben. + +Wenn nun auch die einfachen Figuren des Dreieckes, Quadrates und des +Kreises hchst wahrscheinlich ohne besondere Ueberlegung, einfach dem +inneren geometrischen Formendrange entsprungen sein drften, so ist doch +gewiss, dass ihre verschiedenartige Zusammensetzung zu Mustern das +Product, wenn auch primitiven geometrischen Denkens war, welches dann +schon eine ziemliche Selbststndigkeit erreicht haben musste, als die +vorerwhnte Anwendung von Proportionalmaassstben in Uebung kam. + +Andererseits musste das ftere Betrachten der regelmssigen Figuren einen +geometrisch disponirten Geist von selbst zum Aufsuchen unbekannter +Eigenschaften derselben reizen, und vielleicht ist der Thaletische Satz +von der Halbirung des Kreises durch einen Durchmesser nichts als eine aus +der Betrachtung jener aegyptischen Zeichnungen gewonnene Abstraction, und +huldigen wir in dieser Beziehung der Ansicht, dass *Thales* beim +Ausspruche des erwhnten, fr uns freilich hchst einfach klingenden +Satzes, wahrscheinlich sagen wollte, nur der Kreis habe die ausgezeichnete +Eigenschaft, von allen durch einen Punkt, den Mittelpunkt, gehenden +Geraden in lauter untereinander gleiche Hlften getheilt zu werden. + +Von besonderer Wichtigkeit scheint uns jedoch der frher citirte +selbstgefllige Ausspruch des *Demokritos* zu sein, da er uns vor einer +ungerechtfertigten Unterschtzung aegyptischer Constructionsgewandtheit +bewahren kann. Bedenklich in *Demokritos*' Angabe knnte allenfalls jenes +Selbstlob erscheinen, das er sich spendet; wenn es nun wohl auch schon im +Alterthume Mnner geben mochte, die ihre Berhmtheit vorzugsweise und oft +nur der Hochschtzung verdankten, die sie sich selbst und ihren Werken +gezollt, Mnner, welche in der Verbreitung des eigenen Lobes so emsig, so +unermdlich waren, dass sich um sie als die davon Ueberzeugtesten noch ein +Kreis von Glubigen bildete, welche den, oft nur auf schwankenden Fssen +einhergehenden Ruhm ihrer Profeten weiter fhrten, so ist doch die +Bedeudung des Geometers *Demokritos* durch so viele, und verschiedenen +Quellen entspringende Aussprche beglaubigt, dass es gewiss Niemandem +einfallen wird, seine Autoritt als die eines grndlichen Kenners der +Geometrie seiner Zeit in Zweifel zu ziehen. Wohl sind uns von den +geometrischen Werken des *Demokritos*, und kaum von allen nur die ganz +allgemein klingenden Titel erhalten. + +Whrend uns *Cicero*(26) diesen Philosophen als einen gelehrten, in der +Geometrie vollkommen bewanderten Mann anpreist, theilt uns *Diogenes +Laertius*(27) mit, dass *Demokritos* ber Geometrie, ber Zahlen, +ber den Unterschied des Gnomon oder ber die Berhrung des Kreises und +der Kugel, sowie zwei Bcher ber irrationale Linien und die dichten +Dinge geschrieben habe, Schriften, deren Titel theilweise uns ber ihren +Inhalt ganz im Unklaren lassen. Legen wir den angefhrten Zeugnissen +Glauben bei, und es ist kein Grund vorhanden dies nicht zu thuh, so mssen +wir von *Demokritos* als von einem in der Geometrie vollkommenen Manne +voraussetzen, dass er mit den Errungenschaften des *Pythagoras*, welcher +ein Jahrhundert vor *Demokritos* Aegypten besucht hatte, vollkommen +vertraut war. Gewiss war ihm somit bekannt: die Methode der Anlegung der +Flchen, welche wieder die Vertrautheit mit den Hauptstzen aus der +Theorie der Parallelen und der Winkel, so wie die Kenntniss der +Abhngigkeit der Flcheninhalte von den ihnen zukommenden Ausmaassen +voraussetzt. Nicht minder bekannt mussten ihm die, dem *Pythagoras* +zugeschriebenen Constructionen der fnf regelmssigen, sogenannten +kosmischen Krper sein, woraus sich weiter schliessen lsst, dass auch +einerseits die Eigenschaften der Kugel, welcher doch jene Krper +eingeschrieben wurden, und anderseits die Entstehungen der regelmssigen, +jene Krper begrenzenden Vielecke, vor Allem die des Fnfeckes dem +*Demokritos* nicht ungelufig sein konnten. Die Construction des Letzteren +erheischt wiederum die Kenntniss der Lehre vom goldenen Schnitt, und diese +den Satz vom Quadrate der Hypothenuse(28). Hat nun *Demokritos* auch +selbst nichts Neues hinzugefgt, so musste er doch Jenes kennen; wenn er +nun anderseits sagt: im Construiren htte ihn Niemand, selbst nicht die +Harpedonapten der Aegypter bertroffen, so drfen wir hieraus mit +Sicherheit schliessen, dass die geometrischen Kenntnisse der aegyptischen +Priester bedeutend genug gewesen sein mussten, weil sich *Demokritos* +sonst kaum gerade ber diese Geometer gesetzt htte. + +Doch verlassen wir fr jetzt die Nachrichten des griechischen Alterthums, +welche in der Beurtheilung aegyptischer Geometrie nur Conjecturen +zulassen, und blicken wir nach directen Denkmalen aegyptischen Ursprungs, +aus denen vielleicht Schlsse gezogen werden knnten auf Wesen und Umfang +aegyptischer Geometrie. + +Das Britische Museum bewahrt eine Papyrusrolle, welche aus dem Nachlasse +des Englnders *A. Henry Rhind* stammt, die derselbe nebst anderen +werthvollen Rollen in Aegypten kufllich an sich gebracht haben drfte. +Der erwhnte Papyrus, ein altes Denkmal gyptischer Mathematik, ist, wie +es scheint, nicht mit vollster Berechtigung als ein mathematisches +Handbuch der alten Aegypter bezeichnet worden(29). Der fragliche Papyrus +nennt sich selbst eine Nachahmung lterer mathematischer Schriften, denn +es heisst in der Einleitung: Verfasst wurde diese Schrift im Jahre +dreiunddreissig im vierten Monat der Wasserzeit unter Knig Ra-a-us, Leben +gebend nach dem Muster alter Schriften in den Zeiten des Knigs ...t vom +Schreiber Aahmes verfasst die Schrift. + +Nachdem zuerst Dr. *Birch*(30) auf diesen mathematischen Papyrus durch +einen kurzen vorlufigen Bericht aufmerksam gemacht hatte, wurde der +Gegenstand von dem ausgezeichneten Heidelberger Aegyptologen Dr. +*Eisenlohr* einer eingehenden, hchst schwierigen und zeitraubenden +Untersuchung unterzogen, deren Resultate, was die Uebersetzung betrifft, +unseren gegenwrtigen Betrachtungen zu Grunde liegen. Bezglich des Alters +des Papyrus hat man jenes der vorhandenen Abschrift von dem Alter des +unbekannten Originals zu unterscheiden. Nach der von *Eisenlohr* gegebenen +Vervollstndigung der in der erwhnten Einleitung auf das Wort Knig +folgenden Lcke, wrde der Herrscher, unter dessen Regierung das Original +entstanden ist, der Knig *Ra-en-mat* sein, dessen Regierungszeit +*Lepsius*(31) auf 2221--2179 v. Chr. G. legt. Da ferner der Name *Ra-a-us* +in den bis dahin vorhandenen Knigslisten nicht vorkommt, sah man sich, um +die Zeit der Entstehung der Abschrift wenigstens annhernd angeben zu +knnen, darauf angewiesen, aus der bekannten Sitte der Aegypter die +Eigennamen der eben herrschenden oder der unmittelbar vorhergegangenen +Regenten zu gebrauchen, Schlsse zu ziehen. Und da liess der Name *Aahmes* +des Schreibers, sowie auch die (althieratische) Schrift des Papyrus +vermuthen, dass derselbe um 1700 v. Chr. G. entstanden sein drfte. Die +Vermuthung in Bezug auf das Zeitalter der Abschrift hat sich nun neueren +Forschungen zu Folge vollkommen besttigt. Denn *Ra-a-us* wurde als der +Hyksosknig *Apophis* erkannt, und *Aahmes* drfte seinen Namen von dem, +kurze Zeit dem Apophis vorhergegangenen Knige *Amasis* entlehnt haben. + +Es erscheint so vollkommen sichergestellt, dass unser Papyrus aus dem +achtzehnten Jahrhundert v. Chr. G. stammt. Die Eingangsworte des Papyrus, +welche lauten: Vorschrift zu gelangen zur Kenntniss aller dunklen Dinge, +aller Geheimnisse, welche enthalten sind in den Gegenstnden, sowie die +Anordnung des Stoffes in Arithmetik, Planimetrie und Stereometrie, an +welche sich ein, verschiedene Beispiele enthaltender Theil anschliesst, +konnten im ersten Augenblicke den Gedanken aufkommen lassen, dass wir es +vielleicht mit einem Lehrbuche der Mathematik zu thun haben. Der Umstand +jedoch, dass der Papyrus nur die Zusammenstellung, allerdings eine in +gewissem Grade systematische Zusammenstellung von Aufgaben nebst ihren +Lsungen und den zugehrigen Proben ist, ohne dass Definitionen oder +Lehrstze und Beweise vorkommen wrden, liess den Papyrus wiederum als +eine Aufgabensammlung, als ein Anleitungsbuch fr Praktiker erscheinen. +Man ist noch weiter gegangen, und stellte die Ansicht auf, der Autor habe +bei Abfassung dieser Schrift vorzglich an Landleute, welchen die Theorie +unzugnglich war, gedacht. Daraufhin weise nicht nur die Formulirung des +grssten Theiles der Aufgaben, welche Verhltnisse und Bedrfnisse der +Landwirthschaft bercksichtigen, sondern auch der Schlusssatz des Papyrus, +welcher sagt: Fange das Ungeziefer und die Muse, (vertilge) das +verschiedenartige Unkraut, bitte Gott *Ra* um Wrme, Wind und hohes +Wasser. + +Dass wir es nicht mit einem Handbuche, welches dem damaligen Standpunkte +der mathematischen Wissenschaften in Aegypten entsprechen msste, zu thun +haben, ergibt sich nicht nur aus dem schon hervorgehobenen Mangel an +Definitionen, Lehrstzen und Beweisen, ja es fehlt selbst jede Erklrung, +sondern auch aus dem Umstnde, dass neben der richtigen Lsung einzelner +Aufgaben die unrichtigen oder unvollendeten Lsungen derselben oder +hnlicher Aufgaben, sowie manche Wiederholungen vorkommen. Nur nebenbei +verweisen wir darauf, dass in einem Handbuche unzweifelhaft wenigstens +Anklnge an die erste der Wissenschaften des Alterthums, an die +Astronomie, zu finden sein mssten. Doch ist von diesem Theile der +Mathematik im Papyrus nicht die geringste Spur zu finden. Aufklrungen +ber den wahren Charakter des Originals unseres Papyrus, und eine viele +Wahrscheinlichkeit besitzende Vermuthung ber die Entstehung der uns +beschftigenden Abschrift, verdanken wir dem Scharfsinne des franzsischen +Aegyptologen Eugne *Revillout*.(32) + +Bei richtiger Erwgung des Umstandes, dass oft auf ein fehlerlos gelstes +Beispiel, falsche Lsungen hnlicher Beispiele folgen, welchen sich dann +gewhnlich eine Reihe von Uebungsrechnungen anschliesst, Rechnungen die +einem Schulpensum in hohem Grade hnlich sehen, bei Betrachtung der +Thatsache ferner, wie ein und dasselbe Zahlenbeispiel oft einigemal und +zwar so behandelt wird, dass der Reihe nach die vorkommenden Zahlenwerthe +als die berechneten Resultate erscheinen, drngt sich uns mit *Eugne +Revillout* die Ueberzeugung auf, dass wir es mit dem Uebungs- oder +Aufgabenhefte eines Zglings jener Unterrichtshuser (asbo) zu thun +haben, wie deren in so manchem Papyrus Erwhnung geschieht, und in denen +die Schler, welche spter Landwirthe, Verwalter, Feldmesser oder +Constructeure werden wollten, mit den fr ihre knftige Laufbahn +notwendigen Rechnungsoperationen vertraut gemacht wurden. Da dieses +Schulheft selbstverstndlich nicht fr die Oeffentlichkeit bestimmt sein +konnte, so trgt es auch thatschlich keinen Autornamen und keine +Jahresangabe; denn, was die in der Einleitung bezglich der Zeitperiode, +in welcher das Original entstanden sein sollte, gemachte Erwhnung +betrifft, so ist mehr als wahrscheinlich, dass dieselbe von dem +Abschreiber *Aahmes* herrhrt, welcher das Original einige Jahrhunderte +nach seiner Entstehung auffand, und dasselbe, der Mathematik gewiss ganz +unkundig, sammt allen Fehlern abschrieb, zu diesen noch neue hinzufgend. +Nachdem *Aahmes* aus der Aehnlichkeit der Schriftart des mathematischen +Heftes mit der Schrift anderer ihm bekannten Papyri auf das Alter des +ersteren einen im Ganzen und Grossen nicht unrichtigen Schluss gezogen +haben mochte, so knnen wir das Ende, vielleicht auch die Mitte des +dritten Jahrtausends v. Chr. G. als jene Zeit betrachten, in welcher das +Original der Abschrift entstanden sein drfte. Ob *Aahmes* die Abschrift +mit der viel versprechenden Einleitung und der zugleich praktischen und +gottesfrchtigen Schlussregel in der Absicht versehen hatte, um sie an +irgend einen einfachen aegyptischen Landmann um gutes Geld anzubringen, +lassen wir dahingestellt, und wiederholen nur unsere Uebereinstimmung mit +der Ansicht, dass das Original des Papyrus neben den von einem Lehrer der +Mathematik herrhrenden Musterbeispielen, die sehr oft verunglckten +Uebungen eines Schlers enthlt, eines Schlers berdies, der nicht zu den +hervorragenden seiner Glasse gehrt haben mochte. Und wie kostbar ist +dennoch dieses altgyptische Schulheft! Wenn wir in aller Eile eine Skizze +seines Inhaltes vorfhren sollen, so mssen wir zunchst die sich auf acht +Columnen der oben erwhnten Einleitung anschliessende Theilung der Zahl 2 +durch die Zahlen von 3 bis 99 erwhnen; jeder auftretende Bruch erscheint +in zwei bis vier sogenannte Stammbrche, Brche mit dem Zhler Eins, +zerlegt, und sind die Nenner der letzteren meist gerade Zahlen mit einer +grsseren Divisorenanzahl. Im Anschluss an diese Tabelle finden wir sechs +Beispiele, in denen in Form von Brodvertheilungen die Division der Zahlen +l, 3, 6, 7, 8 und 9 durch die Zahl 10 gelehrt wird, und es folgt hierauf +in 17 Beispielen die sogenannte Sequem- oder Ergnzungsrechnung, in +welcher es sich darum handelt, Zahlenwerthe zu finden, die mit gegebenen +Werthen durch Addition oder Multiplication verbunden, andere gegebene +Zahlenwerthe liefern. Die nchsten 15 Beispiele gehren der sogenannten +*Haurechnung* an, und finden wir in diesem Abschnitte die Lsungen +linearer Gleichungen mit einer Unbekannten. Zwei weitere, der sogenannten +*Tunnu-* oder Unterschiedsrechnung angehrige Beispiele belehren uns +darber, dass den alten Aegyptern der Begriff arithmetischer Reihen nicht +fremd war. Es folgen nun sieben Beispiele ber Volumetrie, ebensoviele +ber Geometrie und fnf Beispiele ber Berechnungen von Pyramiden, also 19 +Aufgaben ber die wir spter noch einige Worte sagen mssen. + +Hieran schliessen sich endlich dreiundzwanzig verschiedenen Materien +entlehnte, Fragen des brgerlichen Lebens betreffende Beispiele, wie die +Berechnung des Werthes von Schmuckgegenstnden, abermals Vertheilungen von +Broden oder von Getreide, Bestimmung des auf einen Tag entfallenden +Theiles eines Jahresertrages, Berechnungen von Arbeitslhnen, +Nahrungsmitteln sowie des Futters fr Geflgelhfe. Einer besonderen +Ankndigung werth erscheinen uns in dieser letzten Abtheilung zwei +Beispiele; das eine derselben(33) lsst keinen Zweifel darber aufkommen, +dass den alten Aegyptern die Theorie der arithmetischen Progressionen +vollkommen gelufig war, whrend wir in dem zweiten(34) unter der +Aufschrift eine Leiter die geometrische Progression von 7 hoch 1 bis 7 +hoch 5 nebst deren Summe vorfinden, wobei die einzelnen Potenzen eigene +Namen: an, Katze, Maus, Gerste, Maass zu fhren scheinen. + +Nicht unbemerkt lassen wir endlich die in den Haurechnungen auftretende +Bentzung mathematischer Zeichen; so nach links oder rechts +ausschreitender Beine fr Addition und Subtraction, drei horizontale +Pfeile fr Differenz, sowie endlich ein besonderes, dem unseren nicht +unhnliches Gleichheitszeichen. + +Aus dem geometrischen Theile heben wir zunchst, der Anordnung des Papyrus +nicht folgend, die Flchenberechnungen von Feldern hervor. Die +vorkommenden Beispiele beziehen sich auf quadratische, rechteckige, +kreisrunde und trapezfrmige Felder, deren Flcheninhalte aus ihren +Lngenmaassen bestimmt werden. Nachdem in den Aufgaben ber die Berechnung +des Fassungsvermgens von Fruchtspeichern mit quadratischer Grundflche +diese letztere gefunden wird durch Multiplication der Maasszahl der Seite +mit sich selbst, kann es gar keinem Zweifel unterliegen, dass auch die +Flche des Rechteckes durch Multiplication der Maasszahlen zweier +zusammenstossender Seiten erhalten wurde, da die Erkenntniss der +Richtigkeit der einen Bestimmungsart, jene der Richtigkeit der anderen +involvirt. + +Schon die Betrachtung solcher Proportionalmaassstbe, wie wir sie im Grabe +*Belzoni* bemerken konnten, htte die alten Aegypter, die mit Gleichungen +und arithmetischen Reihen umzugehen wussten, auf die Bestimmung der Flche +eines Rechteckes aus seinen beiden Seitenlngen mit Nothwendigkeit fhren +mssen, und werden wir uns durch den Umstand, dass im Papyrus der +diesbezglichen Aufgabe eine zu ihr nicht gehrige Lsung beigefgt ist, +durchaus nicht beirren lassen. + +Von hohem Interesse ist die, an mehreren Stellen des Papyrus vorkommende +Methode der Flchenberechnung eines Kreises, welche zeigt, dass die alten +Aegypter mit ziemlicher Annherung den Kreis zu quadriren wussten, in der +That zu quadriren, weil sie aus dem Durchmesser eine Lnge ableiten, +welche als Seite ein Quadrat liefert, dessen Flche jener des Kreises +gleichgesetzt wurde. Da sie acht Neuntel des Durchmessers zur Seite jenes +Quadrates machten, so entspricht dies einem Werthe der Ludolphischen Zahl, +welcher dem richtigen Werthe gegenber um nicht ganz zwei Hundertstel (um +0,018901) zu hoch gegriffen erscheint; fr das dritte Jahrtausend +v. Chr. G. und im Vergleiche zu dem Werth pi = 3 der Babylonier, und noch +mehr im Vergleiche zu dem Werthe pi = 4 spterer rmischer Geometer, +jedenfalls eine nicht zu unterschtzende Annherung an den richtigen +Werth. + +Eine Aufgabe behandelt die Flchenbestimmung des Dreieckes, wobei das +Resultat als das Product zweier Seitenlngen gefunden wird. Die hier +beigefgte Figur(35), welche in Wirklichkeit ein ungleichseitiges +langgestrecktes Dreieck darstellt, kann ebensowohl als die verfehlte +Zeichnung eines rechtwinkligen wie auch eines gleichschenkligen Dreieckes +betrachtet werden. + +Letztere Annahme ist von *Eisenlohr* gemacht und von *Cantor*(36) +acceptirt worden. Darnach wrde sich die Methode der Dreiecksberechnung +der alten Aegypter nur als eine Nherungsmethode darstellen, und ist auch +von beiden genannten Gelehrten der begangene, in diesem Falle in der That +nicht bedeutende Fehler ermittelt worden. + +Wir sind dagegen mit Revillout anderer Meinung. + +Mit Rcksicht auf den von uns klar erkannten Charakter des Originales des +Papyrus als eines sehr ungenauen Collegienheftes, dessen Rechnungen +ebensosehr wie die vorkommenden Zeichnungen von der Mittelmssigkeit +seines Zusammenstellers beredtes Zeugniss ablegen, zweifeln wir keinen +Augenblick, dass die fragliche Figur ein rechtwinkliges Dreieck +vorzustellen hatte. Die mangelhafte Schlerzeichnung ist durch den +Copisten *Aahmes* nur noch schlechter geworden. Dass ein rechtwinkliges +Dreieck gemeint sein soll, erkennt man brigens auch aus dem Umstande, +dass in der Figur die Maasszahlen der multiplicirten Seiten bei den +Schenkeln des, vom rechten Winkel nur wenig differirenden Winkels +angesetzt sind, wo doch, wenn es sich htte um ein gleichschenkliges +Dreieck handeln sollen die Maasszahl der Schenkel in der Figur gewiss bei +beiden Schenkeln zu finden wre. Dieselben Grnde bestimmen uns zu der +Annahme, dass die im Papyrus befindliche Flchenberechnung eines Trapezes +eine vollkommen richtige ist, indem es sich auch hier nur um ein Trapez +handeln kann, dessen zwei parallelen Seiten auf einer der nicht parallelen +Seiten senkrecht stehen. Und warum sollten denn die alten Aegypter nicht +die richtige Art der Flchenberechnung auch beliebiger Dreiecke gekannt +haben? + +Konnte man einmal die Flche eines Rechteckes genau bestimmen, so musste +sich durch einfache Anschauung eines, durch eine Diagonale zerlegten +Rechteckes, von selbst die Regel zur Flchenbestimmung des rechtwinkligen +Dreieckes ergeben; und wurde nun ein beliebiges schiefwinkliges Dreieck +durch ein Hhenperpendikel in zwei rechtwinklige zerlegt, so war nichts +leichter als die allgemeine Regel zur Bestimmung der Dreieckflche aus +Basis und Hhe (tepro und merit) zu entwickeln. Dass die Gewinnung des +Hhenperpendikels sowohl bei Constructionen als auch auf dem Felde den +alten Aegyptern nicht unmglich war, folgt zunchst aus der grossen +Bedeutung der Winkelmaasses (hapt) fr alle Operationen der praktischen +Geometer Aegyptens. Nicht nur, dass wir in vielen aegyptischen Documenten +das Winkelmaass erwhnt finden, sieht man auch Knige abgebildet, das +Winkelmaass in der Hand, welches von ihnen vielleicht in derselben Weise +durch symbolische Bentzung geehrt wurde, wie der Kaiser von China +alljhrlich einmal den Pflug zu fhren pflegt. Ein solches Winkelmaass +sieht man brigens auch auf einem Wandgemlde abgebildet, das eine +Schreinerwerksttte darstellt,(37) und es unterliegt keinem Zweifel, dass +dasselbe ebensowohl zur Anlegung rechter Winkel als zum Fllen von +Senkrechten bentzt worden ist. Aber auch auf freiem Felde musste den +Aegyptern die Construction rechter Winkel gelufig sein; sowohl die +Pyramiden als auch die aegyptischen Tempel sind vollkommen orientirt, und +wurde, wie uns alte Inschriften(38) belehren, die Orientirung in +festlicher Weise vom Knige unter Beihilfe der Bibliotheksgttin *Safech* +vollzogen, mit den Worten: Ich habe gefasst den Holzpflock und den Stiel +des Schlgels, ich halte den Strick gemeinschaftlich mit der Gttin +*Safech*. Mein Blick folgt dem Gange der Gestirne. Wenn mein Auge an dem +Sternbilde des grossen Bren angekommen ist, und erfllt ist der mir +bestimmte Zeitabschnitt der Zahl der Uhr, so stelle ich auf die Eckpunkte +Deines Gotteshauses. + +In welchem Maasse bei diesen Operationen die von *Demokritos* so +hochgestellten *Harpedonapten* oder Seilspanner betheiligt waren, hat +*Cantor*(39) in hchst scharfsinniger Weise zu beleuchten versucht, und es +erscheint auch uns wahrscheinlich, dass sich die alten Aegypter beim +Construiren rechter Winkel sowie beim Fllen von Senkrechten auf dem +Felde, der Thatsache bedienten, dass der eine Winkel in einem, die +Seitenlngen drei, vier und fnf besitzenden Dreiecke, ein rechter Winkel +sein msse. Musste ja doch dieser Satz seit unvordenklichen Zeiten auch +den Chinesen bekannt sein, da wir ihn in der bei ihnen so berhmten +Schrift _Tschiu-pi_ finden, welche mehrere Jahrhunderte v. Chr. G. +entstanden, auf den Kaiser *Tschiu-Kung* also in das Jahr 1100 v. Chr. G. +etwa zurckgefhrt wird.(40) Uebrigens konnten directe Messungsversuche an +diagonalen Linien in den Proportionalmaassstben sowohl zu dem erwhnten +als auch noch zu anderen rechtwinkligen Dreiecken mit rationalen +Seitenlngen gefhrt haben, und scheint uns die Mglichkeit nicht +ausgeschlossen, dass der berhmte und berchtigte Satz des *Pythagoras* +ber die Quadrate der Katheten und der Hypothenuse einer eingehenden +Untersuchung solcher Proportionalmaassstbe entsprungen ist. + +Wenn wir nun einerseits behaupten, dass die alten Aegypter nicht nur die +Flche des Kreises, des Quadrates, des Rechteckes, des rechtwinkligen +sowie des schiefen Dreieckes, und unter Zuhilfenahme der Zerlegungen auch +die Flchen beliebiger Polygone theoretisch genau zu bestimmen im Stande +waren, mit Ausnahme der auch fr uns eine solche bildenden Kreisflche, so +muss doch anderseits zugestanden werden, dass man sich bei praktischen +Anwendungen mit Nherungen begngte, welche im Laufe der Zeiten so +ausarteten, dass der Gebrauch falscher Regeln ein allgemeiner wurde. + +Am linken Nilufer in der Mitte zwischen *Theben* und *Assuan* liegt +*Edfu*, das alte *Appollinopolis Magna* mit einem stattlichen Tempelbau +aus den Zeiten der Ptolomer. Der Tempel, hauptschlich dem Gotte *Horus* +geweiht, ist mit einer freistehenden Umfassungsmauer umgeben,(41) deren +Ostseite zwischen dem Brunnenthore und dem stlichen Pylonflgel eine +Inschrift trgt, welche uns auf acht Feldern und in hundertvierundsechzig +Columnen(42) eine Schenkungsurkunde des Knigs *Ptolomus XI. Alexander +I.* (mit dem Beinamen *Philometor*) bekannt gibt. Das Geschenk, welches +hier *Horus* und den brigen Gttern von *Edfu* verliehen wird, besteht +aus einer Anzahl von meist viereckigen Aeckern, deren vier Seitenlngen +nebst Flcheninhalten angegeben erscheinen. + +Da jeder der vorkommenden Flcheninhalte identisch ist mit dem Producte +der arithmetischen Mittel der beiden Gegenseitenpaare, so wurde nach +*Lepsius* die Vermuthung aufgestellt, die alten Aegypter htten, um +Vierecke bei der Flchenbestimmung annhernd wie Rechtecke behandeln zu +knnen, den Unterschied der Gegenseiten dadurch auszugleichen gesucht, +dass sie die arithmetischen Mittel derselben in Rechnung zogen. + +Bei sehr vielen der in der *Edfu*er Schenkungsurkunde vorkommenden +Vierecke ist der Unterschied je zweier Gegenseiten entweder Null oder +verhltnissmssig so klein, dass man den betreffenden Vierecken eine vom +Rechtecke wenig verschiedene Gestalt beilegen kann, und die erhaltenen +Resultate somit eine ziemliche Annherung an den richtigen Flchenwerth +darstellen drften, nach dem man mit Rcksicht auf die bei *Sesostris* +bemerkte Eintheilung des Landes in Rechtecke voraussetzen darf, gerade +diese oder eine ihr zunchst kommende Form der Felder sei die auch damals +schon beliebte gewesen. + +Doch kommen auch Vierecke vor, wo der Lngenunterschied der Gegenseiten +ein bemerkenswerther ist; ja es werden auch Dreiecke als Vierecke mit +einer verschwindenden Seite behandelt, so dass der begangene Fehler in +manchen Fllen ein nicht unbedeutender ist. + +Nur nebenbei bemerken wir, dass man dieselbe unrichtige Flchenformel fr +das Viereck erhlt, wenn man dasselbe zunchst durch eine Diagonale in +zwei Dreiecke zerlegt, auf jedes dieser Dreiecke die unrichtige +Flchenformel, die den Inhalt als das halbe Product der beiden Seiten +liefert, anwendet, die beiden so erhaltenen Dreiecksflchen addirt und +dann aus dieser Summe und jener, welche man bei dem hnlichen Vorgange +durch Zerlegung mittelst der zweiten Diagonale erhlt, das arithmetische +Mittel construirt. + +Nimmt man mit *Eisenlohr* und *Cantor* an, dass die Aegypter die +Dreiecksflche wirklich dem halben Producte zweier Seiten gleichsetzten, +so steht man vor der Frage, warum nicht in derselben Art die Flchen der +in der *Edfu*er Schenkungsurkunde auftretenden Dreiecke bestimmt +erscheinen? + +Uebrigens wolle man sich darber nicht wundern, dass es berhaupt mglich +war, die Flchenberechnungen im praktischen Leben nach einer so falschen +Methode durchzufhren. Wissen wir doch, dass im Alterthume, zur Zeit +*Platon*s, einer der gebildetsten Mnner, einer der hervorragendsten +Geschichtschreiber, dass *Thukydides*(43) in seiner Unkenntniss der +Beziehung zwischen Flcheninhalt und Umfang, die Flche einer Insel nach +der zu ihrer Umschiffung nothwendigen Zeit zu bestimmen suchte; in der +Geometrie *Gerbert*'s,(44) des nachmaligen Papstes *Silvester II.* finden +wir, 1000 Jahre nach Chr. G., die Flche eines gleichschenkligen Dreieckes +durch Multiplication des Schenkels mit der halben Basis berechnet, wo doch +schon *Hero von ** Alexandrien*(45) 1100 Jahre frher die richtige Formel +fr diese Berechnung kennt. + +Wir berhren diese Thatsachen, und knnten noch eine ganze Reihe hnlicher +Beispiele anfhren, nur um zu zeigen, wie bereilt es wre, aus den oft +nur schwache Annherungen liefernden Berechnungen der *Edfu*er +Schenkungsurkunde schliessen zu wollen, die richtigen Methoden seien den +in die Wissenschaften eingeweihten aegyptischen Priestern nicht bekannt +gewesen. + +Doch zurck zum Papyrus *Rhind*. + +Wir bergehen die Inhaltsbestimmungen von Fruchthusern, bei denen der +Inhalt durch Multiplication einer Flche mit einer Lnge bestimmt wird, +weil wir es fr mssig halten, Errterungen darber anzustellen, welche +Flchen und Lngen hiebei gemeint sind, so lange uns ber die Form jener +Fruchthuser oder Speicher nichts bekannt ist. + +Dagegen erwecken die im Papyrus vorkommenden Pyramiden-Berechnungen das +hchste Interesse, besonders nach den glnzenden Untersuchungen, welchen +*Revillout* diesen Gegenstand unterzogen hat, und deren Resultate wir, +entgegen der von *Eisenlohr* ausgesprochenen und auch von *Lepsius*(46) +acceptirten Ansicht als solche betrachten, welche in einfacher und +natrlicher Weise die sogenannte *Seket*-Rechnung der alten Aegypter +beleuchten. + +Es wird in diesen Rechnungen die Bschung der Seitenflchen einer +quadratischen Pyramide dadurch fixirt, dass jener Theil der Lnge eines +der beiden gleichlangen Schenkel des Winkelmaasses berechnet wird, der +sich zur Lnge des anderen Schenkels so verhlt, wie die halbe Lnge der +Basisseite der quadratischen Pyramide zur Hhe derselben. + +Zu dem Behufe war der eine der beiden Schenkel des Winkelmaasses in eine +gewisse Anzahl gleich grosser Theile getheilt, whrend der andere +Schenkel, der Pyramidenhhe entsprechend, und als Einheit betrachtet, +ungetheilt blieb. + +Um nun den sogenannten *Seket* zu bestimmen, wurde die halbe Lnge der +Basisseite durch die Pyramidenhhe dividirt und mit dem erhaltenen +Quotienten die Anzahl der Theile des horizontalen, getheilten Schenkels +des Winkelmaasses multiplicirt. + +Es war somit der Seket (welcher in derselben Art fr einen geraden +Kreiskegel aus dem Durchmesser der Basis und der Hhe bestimmt erscheint) +als Verhltniss aufgefasst, die goniometrische Cotangente des +Neigungswinkels der Seitenflche der Pyramide, respective der Kegelkante +zur Basis. + +Wenn wir selbstverstndlich weit davon entfernt sind, hierin vielleicht +Anfnge der Trigonometrie sehen zu wollen, so erkennen wir doch +anderseits, dass den alten Aegyptern auch die Lehre proportionaler Linien, +wenigstens in ihren Anwendungen, bekannt gewesen sein musste, und +erscheint uns auch der am Eingange erwhnte Ausspruch ber die dem +Milesier *Thales* zugeschriebene Hhenmessung der Pyramiden als ein ganz +glaubwrdiger, wenn wir sehen, wie im Papyrus von den drei Werthen: Basis, +Hhe, Seket, jeder aus den beiden anderen berechnet erscheint. + +Fassen wir nun die Ergebnisse unserer Betrachtungen zusammen, so mssen +wir aus der quellenmssig erwiesenen grossen Bewunderung, welche die +ausgesprochen geometrisch hochentwickelten Griechen den aegyptischen +Geometern rckhaltlos zollten, wir mssen aus der unanfechtbaren +Thatsache, dass griechische Geometer den Grund zu ihren Kenntnissen und +Entdeckungen in Aegypten suchten und fanden, wir mssen im Hinblicke auf +das, aus der nun vollends entzifferten[42] *Edfu*er Schenkungsurkunde sich +mit Sicherheit ergebende ausgebreitete und fest organisirte Katasterwesen +der alten Aegypter, welches zugleich mit den zahlreichen, dem ffentlichen +Leben dienenden Land- und Wasserbauten auf eine verhltnissmssig +bedeutend entwickelte Vermessungskunde hinweist, wir mssen endlich aus +dem von uns besprochenen Papyrus, der sich als eine ungenaue Abschrift +eines mangelhaften, aus dem dritten Jahrtausend vor Chr. G. stammenden, +mathematischen Collegien- oder Aufgabenheftes erweist, und aus dessen +Vorhandensein sich fast mit Gewissheit auf damals existirende, neben den +Regeln auch ihre Ableitungen enthaltende Lehrbcher schliessen lsst, wir +knnen und mssen aus allen diesen Umstnden den allgemeinen Schluss +ziehen, dass bereits drei Jahrtausende vor unserer Zeitrechnung sowohl die +arithmetischen, als auch die geometrischen Kenntnisse der Aegypter, einen +fr dieses Zeitalter bedeutenden Grad der Entwicklung besassen. + +Insbesondere knnen wir in jenen fernen Zeiten eine staunenswerth +weitgehende Annherung bei der Berechnung der Kreisflche beobachten, wir +finden mit vollstndiger Sicherheit richtige Flchenbestimmungen des +Quadrates, Rechteckes und des rechtwinkligen Dreieckes; hchst +wahrscheinlich auch richtige Bestimmungen der Flchen schiefwinkliger +Dreiecke und Vierecke, welche im praktischen Leben durch leichter zu +handhabende Annherungsformeln ersetzt wurden; wir sehen Bestimmungen des +Rauminhaltes durch ihre Dimensionen gegebener Krper und erkennen die +Anfnge der Aehnlichkeitslehre. + +Was das geometrische Zeichnen betrifft, so kennen wir schon die +Construction der frher beobachteten regelmssigen Figuren und drfen +weiter vermuthen, dass die Anlegung rechter Winkel und das Fllen von +Senkrechten sowohl mittelst des Winkelmaasses als auch mittelst rationaler +rechtwinkliger Dreiecke bekannt, und die Zerlegung gegebener Flchen +behufs ihrer Inhaltbestimmung in allgemeiner Verwendung war. + +Gewiss werden auch theoretische Resultate bekannt gewesen sein; so die +Hlftung des Kreises durch seinen Durchmesser, die sich aus der +besprochenen Seketrechnung von selbst ergebende Winkelgleichheit an der +Basis gleichschenkliger Dreiecke und gleichseitiger quadratischer +Pyramiden, und wohl noch manches Andere. + +Mge es gelingen, durch Auffindung neuer, sowie durch Entzifferung der, +noch ihrer Erklrung harrenden Denkmale und Schriften, von welchen +letzteren, Dank der hohen Munificenz des Erlauchten Curators unserer +Akademie, auch Wien eine imposante Zahl aufweisen kann, mge es so +gelingen noch weitere Anhaltspunkte fr die Kenntniss der mathematischen +Thtigkeit des uns bekannten ltesten Culturvolkes, der Aegypter zu +gewinnen! + +Diesen unseren Wunsch theilen gewiss Alle, denen die Erforschung der +Culturgeschichte des menschlichen Geschlechtes nicht ohne Wichtigkeit +erscheint! + + + + + + 1 HERODOT, _Reisebericht_, II, 109. + + 2 ISOKRATES, _Busiris_, c. 9. + +_ 3 Platonis__ Phaedrus_, ed. Ast. I. p. 246. + + 4 ARISTOTELES, _Metaph. I_, 1. + + 5 DIODOR, I, 69. + + 6 Herodot l. c. + +_ 7 Heronis Alexandr.__ geom. et stereom. reliquiae_, ed. Hultsch. p. + 138. + + 8 DIODOR, I, 81. + + 9 STRABON, ed. Meinike, lib. XVII, C. 787, p. 1098. + +_ 10 Eudemi Rhodii__ Peripatetici fragmenta quae supersunt_. ed. L. + Spengel. Berlin 1870. + +_ 11 Procl.__ comment._ ed. Rasil. p. 19; _Barocius_ p. 37. + + 12 ISOKRATES, _Busiris_, cap. 11. + + 13 STRABON, XIV, 1. 16. + + 14 PORPHYRIUS, _De vita Pythagorae_ cap. 7; DIOGENES LAERTIUS, VIII, 3. + + 15 DIODOR, I, c. 96. + + 16 PROKLOS, ed. Friedlein, 250, 299, 352, 157. + + 17 DIOGENES LAERTIUS, I, 27. PLINIUS, _Hist. nat._ XXXVI, 12, 17. + + 18 PLUTARCH, ed. Didot. Vol. 2, III, p. 174. + + 19 DIOGENES LAERTIUS I, 24--25. + + 20 MONTUCLA, _Hist. d. math._ 2. dit. t. I, p. 49. + + 21 BRETSCHNEIDER, _Die Geometrie und die Geometer vor Euklides_, p. 11. + Dem Werke Bretschneiders, sowie jenem CANTOR's: _Vorlesungen ber + Geschichte der Mathematik_, sind die grundlegenden Gedanken + entnommen. + + 22 CLEMENS ALEXANDRINUS, _Stromata_, ed. Potter, I, 357. + + 23 THEON SMYRNAIOS, _lib. de astron._ ed. Martin, p. 272. + + 24 PRISSE D'AVENNES, _Hist. de l'art Egypt. d'aprs les monuments._ + + 25 WILKINSON, _Manners and customs of the ancient Egyptians_, III, p. + 313. + + 26 CICERO, _De finibus bonorum ed malorum_ I, 6, 20. + + 27 DIOGENES LAERTIUS IX, 47. + + 28 CANTOR, _Vorlesungen ber Geschichte der Mathematik_, I, p. 144--159 + (Leipzig 1880). + + 29 EISENLOHR, _Ein math. Handbuch der alten Aegypter_. Leipzig 1877. + + 30 BIRCH, in Lepsius' _Zeitschrift fr gypt. Sprache und Alterthum_, + 1868, p. 108. + + 31 LEPSIUS, _gypt. Zeitschrift_, 1871, p. 63. + + 32 REVILLOUT, EUGNE, _Revue Egyptologique_, 1881, Nr. II et III, p. + 304. + + 33 EISENLOHR, _Ein math. Handbuch der alten Aegypter_. Nr. 64. + + 34 ibid. Nr. 79. + + 35 ibid. p. 125. + + 36 CANTOR, _Vorlesungen aus der Geschichte der Mathematik_, I, p. 49. + + 37 WILKINSON, _Manners and customs u. s. w._ III., p. 144. + + 38 BRUGSCH, _Ueber Bau und Maasse des Tempels von __Edfu_ (_Zeitschrift + fr gypt. Sprache u. Alterth._ Bd. VIII.) + + 39 CANTOR, _Vorlesungen u. s. w._ I, p. 55. + + 40 D. BIOT, _Journal Asiatique_, Paris 1841, I. Sem. p. 593. + + 41 LEPSIUS, _Ueber eine hieroglyphische Inschrift am Tempel von + __Edfu_. _Abhandlung d. Acad. d. Wiss. in Berlin_, 1855, p. 69. + + 42 BRUGSCH, _Thesaurus III_, Leipzig 1884. + + 43 THUKYDIDES, ed. Rothe, VI. 1. + + 44 ed. Olleris, Cap. LXX. p. 460. + +_ 45 Heronis Alexandrini__ geometricorum et stereometricorum reliquiae_ + (ed. Hultsch, Berlin 1864). + + 46 LEPSIUS, _Ueber die 6palmige grosse Elle von 7 kleinen Palmen Lnge + in dem math. Handbuche von Eisenlohr_. (_Zeitschrift f. g. Sp._ + 1884. 1. Heft.) + + + + + + +***END OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK UEBER DIE GEOMETRIE DER ALTEN AEGYPTER.*** + + + +CREDITS + + +March 13, 2008 + + Project Gutenberg TEI edition 01 + * R. Stephan* + + + +A WORD FROM PROJECT GUTENBERG + + +This file should be named 24817-8.txt or 24817-8.zip. + +This and all associated files of various formats will be found in: + + + http://www.gutenberg.org/dirs/2/4/8/1/24817/ + + +Updated editions will replace the previous one -- the old editions will be +renamed. + +Creating the works from public domain print editions means that no one +owns a United States copyright in these works, so the Foundation (and +you!) can copy and distribute it in the United States without permission +and without paying copyright royalties. Special rules, set forth in the +General Terms of Use part of this license, apply to copying and +distributing Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works to protect the Project +Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} concept and trademark. Project Gutenberg is a registered +trademark, and may not be used if you charge for the eBooks, unless you +receive specific permission. If you do not charge anything for copies of +this eBook, complying with the rules is very easy. You may use this eBook +for nearly any purpose such as creation of derivative works, reports, +performances and research. They may be modified and printed and given away +-- you may do practically *anything* with public domain eBooks. +Redistribution is subject to the trademark license, especially commercial +redistribution. + + + +THE FULL PROJECT GUTENBERG LICENSE + + +*Please read this before you distribute or use this work.* + +To protect the Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} mission of promoting the free +distribution of electronic works, by using or distributing this work (or +any other work associated in any way with the phrase Project Gutenberg), +you agree to comply with all the terms of the Full Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} +License (available with this file or online at +http://www.gutenberg.org/license). + + +Section 1. + + +General Terms of Use & Redistributing Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works + + +1.A. + + +By reading or using any part of this Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic work, +you indicate that you have read, understand, agree to and accept all the +terms of this license and intellectual property (trademark/copyright) +agreement. If you do not agree to abide by all the terms of this +agreement, you must cease using and return or destroy all copies of +Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works in your possession. If you paid a fee +for obtaining a copy of or access to a Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic work +and you do not agree to be bound by the terms of this agreement, you may +obtain a refund from the person or entity to whom you paid the fee as set +forth in paragraph 1.E.8. + + +1.B. + + +Project Gutenberg is a registered trademark. It may only be used on or +associated in any way with an electronic work by people who agree to be +bound by the terms of this agreement. There are a few things that you can +do with most Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works even without complying +with the full terms of this agreement. See paragraph 1.C below. There are +a lot of things you can do with Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works if you +follow the terms of this agreement and help preserve free future access to +Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works. See paragraph 1.E below. + + +1.C. + + +The Project Gutenberg Literary Archive Foundation (the Foundation or +PGLAF), owns a compilation copyright in the collection of Project +Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works. Nearly all the individual works in the +collection are in the public domain in the United States. If an individual +work is in the public domain in the United States and you are located in +the United States, we do not claim a right to prevent you from copying, +distributing, performing, displaying or creating derivative works based on +the work as long as all references to Project Gutenberg are removed. Of +course, we hope that you will support the Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} mission of +promoting free access to electronic works by freely sharing Project +Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} works in compliance with the terms of this agreement for +keeping the Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} name associated with the work. You can +easily comply with the terms of this agreement by keeping this work in the +same format with its attached full Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} License when you +share it without charge with others. + + +1.D. + + +The copyright laws of the place where you are located also govern what you +can do with this work. Copyright laws in most countries are in a constant +state of change. If you are outside the United States, check the laws of +your country in addition to the terms of this agreement before +downloading, copying, displaying, performing, distributing or creating +derivative works based on this work or any other Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} work. +The Foundation makes no representations concerning the copyright status of +any work in any country outside the United States. + + +1.E. + + +Unless you have removed all references to Project Gutenberg: + + +1.E.1. + + +The following sentence, with active links to, or other immediate access +to, the full Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} License must appear prominently whenever +any copy of a Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} work (any work on which the phrase +Project Gutenberg appears, or with which the phrase Project Gutenberg is +associated) is accessed, displayed, performed, viewed, copied or +distributed: + + + This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with + almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away + or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License + included with this eBook or online at http://www.gutenberg.org + + +1.E.2. + + +If an individual Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic work is derived from the +public domain (does not contain a notice indicating that it is posted with +permission of the copyright holder), the work can be copied and +distributed to anyone in the United States without paying any fees or +charges. If you are redistributing or providing access to a work with the +phrase Project Gutenberg associated with or appearing on the work, you +must comply either with the requirements of paragraphs 1.E.1 through 1.E.7 +or obtain permission for the use of the work and the Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} +trademark as set forth in paragraphs 1.E.8 or 1.E.9. + + +1.E.3. + + +If an individual Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic work is posted with the +permission of the copyright holder, your use and distribution must comply +with both paragraphs 1.E.1 through 1.E.7 and any additional terms imposed +by the copyright holder. Additional terms will be linked to the Project +Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} License for all works posted with the permission of the +copyright holder found at the beginning of this work. + + +1.E.4. + + +Do not unlink or detach or remove the full Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} License +terms from this work, or any files containing a part of this work or any +other work associated with Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~}. + + +1.E.5. + + +Do not copy, display, perform, distribute or redistribute this electronic +work, or any part of this electronic work, without prominently displaying +the sentence set forth in paragraph 1.E.1 with active links or immediate +access to the full terms of the Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} License. + + +1.E.6. + + +You may convert to and distribute this work in any binary, compressed, +marked up, nonproprietary or proprietary form, including any word +processing or hypertext form. However, if you provide access to or +distribute copies of a Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} work in a format other than +Plain Vanilla ASCII or other format used in the official version posted on +the official Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} web site (http://www.gutenberg.org), you +must, at no additional cost, fee or expense to the user, provide a copy, a +means of exporting a copy, or a means of obtaining a copy upon request, of +the work in its original Plain Vanilla ASCII or other form. Any alternate +format must include the full Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} License as specified in +paragraph 1.E.1. + + +1.E.7. + + +Do not charge a fee for access to, viewing, displaying, performing, +copying or distributing any Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} works unless you comply +with paragraph 1.E.8 or 1.E.9. + + +1.E.8. + + +You may charge a reasonable fee for copies of or providing access to or +distributing Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works provided that + + - You pay a royalty fee of 20% of the gross profits you derive from + the use of Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} works calculated using the method you + already use to calculate your applicable taxes. The fee is owed to + the owner of the Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} trademark, but he has agreed to + donate royalties under this paragraph to the Project Gutenberg + Literary Archive Foundation. Royalty payments must be paid within 60 + days following each date on which you prepare (or are legally + required to prepare) your periodic tax returns. Royalty payments + should be clearly marked as such and sent to the Project Gutenberg + Literary Archive Foundation at the address specified in Section 4, + Information about donations to the Project Gutenberg Literary + Archive Foundation. + + You provide a full refund of any money paid by a user who notifies + you in writing (or by e-mail) within 30 days of receipt that s/he + does not agree to the terms of the full Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} License. + You must require such a user to return or destroy all copies of the + works possessed in a physical medium and discontinue all use of and + all access to other copies of Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} works. + + You provide, in accordance with paragraph 1.F.3, a full refund of + any money paid for a work or a replacement copy, if a defect in the + electronic work is discovered and reported to you within 90 days of + receipt of the work. + + You comply with all other terms of this agreement for free + distribution of Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} works. + + +1.E.9. + + +If you wish to charge a fee or distribute a Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic +work or group of works on different terms than are set forth in this +agreement, you must obtain permission in writing from both the Project +Gutenberg Literary Archive Foundation and Michael Hart, the owner of the +Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} trademark. Contact the Foundation as set forth in +Section 3 below. + + +1.F. + + +1.F.1. + + +Project Gutenberg volunteers and employees expend considerable effort to +identify, do copyright research on, transcribe and proofread public domain +works in creating the Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} collection. Despite these +efforts, Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works, and the medium on which they +may be stored, may contain Defects, such as, but not limited to, +incomplete, inaccurate or corrupt data, transcription errors, a copyright +or other intellectual property infringement, a defective or damaged disk +or other medium, a computer virus, or computer codes that damage or cannot +be read by your equipment. + + +1.F.2. + + +LIMITED WARRANTY, DISCLAIMER OF DAMAGES -- Except for the Right of +Replacement or Refund described in paragraph 1.F.3, the Project Gutenberg +Literary Archive Foundation, the owner of the Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} +trademark, and any other party distributing a Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} +electronic work under this agreement, disclaim all liability to you for +damages, costs and expenses, including legal fees. YOU AGREE THAT YOU HAVE +NO REMEDIES FOR NEGLIGENCE, STRICT LIABILITY, BREACH OF WARRANTY OR BREACH +OF CONTRACT EXCEPT THOSE PROVIDED IN PARAGRAPH F3. YOU AGREE THAT THE +FOUNDATION, THE TRADEMARK OWNER, AND ANY DISTRIBUTOR UNDER THIS AGREEMENT +WILL NOT BE LIABLE TO YOU FOR ACTUAL, DIRECT, INDIRECT, CONSEQUENTIAL, +PUNITIVE OR INCIDENTAL DAMAGES EVEN IF YOU GIVE NOTICE OF THE POSSIBILITY +OF SUCH DAMAGE. + + +1.F.3. + + +LIMITED RIGHT OF REPLACEMENT OR REFUND -- If you discover a defect in this +electronic work within 90 days of receiving it, you can receive a refund +of the money (if any) you paid for it by sending a written explanation to +the person you received the work from. If you received the work on a +physical medium, you must return the medium with your written explanation. +The person or entity that provided you with the defective work may elect +to provide a replacement copy in lieu of a refund. If you received the +work electronically, the person or entity providing it to you may choose +to give you a second opportunity to receive the work electronically in +lieu of a refund. If the second copy is also defective, you may demand a +refund in writing without further opportunities to fix the problem. + + +1.F.4. + + +Except for the limited right of replacement or refund set forth in +paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS,' WITH NO OTHER +WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO +WARRANTIES OF MERCHANTIBILITY OR FITNESS FOR ANY PURPOSE. + + +1.F.5. + + +Some states do not allow disclaimers of certain implied warranties or the +exclusion or limitation of certain types of damages. If any disclaimer or +limitation set forth in this agreement violates the law of the state +applicable to this agreement, the agreement shall be interpreted to make +the maximum disclaimer or limitation permitted by the applicable state +law. The invalidity or unenforceability of any provision of this agreement +shall not void the remaining provisions. + + +1.F.6. + + +INDEMNITY -- You agree to indemnify and hold the Foundation, the trademark +owner, any agent or employee of the Foundation, anyone providing copies of +Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works in accordance with this agreement, and +any volunteers associated with the production, promotion and distribution +of Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works, harmless from all liability, costs +and expenses, including legal fees, that arise directly or indirectly from +any of the following which you do or cause to occur: (a) distribution of +this or any Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} work, (b) alteration, modification, or +additions or deletions to any Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} work, and (c) any Defect +you cause. + + +Section 2. + + + Information about the Mission of Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} + + +Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} is synonymous with the free distribution of electronic +works in formats readable by the widest variety of computers including +obsolete, old, middle-aged and new computers. It exists because of the +efforts of hundreds of volunteers and donations from people in all walks +of life. + +Volunteers and financial support to provide volunteers with the assistance +they need, is critical to reaching Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~}'s goals and ensuring +that the Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} collection will remain freely available for +generations to come. In 2001, the Project Gutenberg Literary Archive +Foundation was created to provide a secure and permanent future for +Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} and future generations. To learn more about the Project +Gutenberg Literary Archive Foundation and how your efforts and donations +can help, see Sections 3 and 4 and the Foundation web page at +http://www.pglaf.org. + + +Section 3. + + + Information about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation + + +The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit +501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the state of +Mississippi and granted tax exempt status by the Internal Revenue Service. +The Foundation's EIN or federal tax identification number is 64-6221541. +Its 501(c)(3) letter is posted at +http://www.gutenberg.org/fundraising/pglaf. Contributions to the Project +Gutenberg Literary Archive Foundation are tax deductible to the full +extent permitted by U.S. federal laws and your state's laws. + +The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. +S. Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered +throughout numerous locations. Its business office is located at 809 North +1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email +business@pglaf.org. Email contact links and up to date contact information +can be found at the Foundation's web site and official page at +http://www.pglaf.org + +For additional contact information: + + + Dr. Gregory B. Newby + Chief Executive and Director + gbnewby@pglaf.org + + +Section 4. + + + Information about Donations to the Project Gutenberg Literary Archive + Foundation + + +Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} depends upon and cannot survive without wide spread +public support and donations to carry out its mission of increasing the +number of public domain and licensed works that can be freely distributed +in machine readable form accessible by the widest array of equipment +including outdated equipment. Many small donations ($1 to $5,000) are +particularly important to maintaining tax exempt status with the IRS. + +The Foundation is committed to complying with the laws regulating +charities and charitable donations in all 50 states of the United States. +Compliance requirements are not uniform and it takes a considerable +effort, much paperwork and many fees to meet and keep up with these +requirements. We do not solicit donations in locations where we have not +received written confirmation of compliance. To SEND DONATIONS or +determine the status of compliance for any particular state visit +http://www.gutenberg.org/fundraising/donate + +While we cannot and do not solicit contributions from states where we have +not met the solicitation requirements, we know of no prohibition against +accepting unsolicited donations from donors in such states who approach us +with offers to donate. + +International donations are gratefully accepted, but we cannot make any +statements concerning tax treatment of donations received from outside the +United States. U.S. laws alone swamp our small staff. + +Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation methods +and addresses. Donations are accepted in a number of other ways including +checks, online payments and credit card donations. To donate, please +visit: http://www.gutenberg.org/fundraising/donate + + +Section 5. + + + General Information About Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works. + + +Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} +concept of a library of electronic works that could be freely shared with +anyone. For thirty years, he produced and distributed Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} +eBooks with only a loose network of volunteer support. + +Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} eBooks are often created from several printed editions, +all of which are confirmed as Public Domain in the U.S. unless a copyright +notice is included. Thus, we do not necessarily keep eBooks in compliance +with any particular paper edition. + +Each eBook is in a subdirectory of the same number as the eBook's eBook +number, often in several formats including plain vanilla ASCII, compressed +(zipped), HTML and others. + +Corrected *editions* of our eBooks replace the old file and take over the +old filename and etext number. The replaced older file is renamed. +*Versions* based on separate sources are treated as new eBooks receiving +new filenames and etext numbers. + +Most people start at our Web site which has the main PG search facility: + + + http://www.gutenberg.org + + +This Web site includes information about Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~}, including how +to make donations to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation, +how to help produce our new eBooks, and how to subscribe to our email +newsletter to hear about new eBooks. + + + + + + +***FINIS*** +
\ No newline at end of file diff --git a/24817-8.zip b/24817-8.zip Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..84ce276 --- /dev/null +++ b/24817-8.zip diff --git a/24817-h.zip b/24817-h.zip Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..abf8b82 --- /dev/null +++ b/24817-h.zip diff --git a/24817-h/24817-h.html b/24817-h/24817-h.html new file mode 100644 index 0000000..dff7142 --- /dev/null +++ b/24817-h/24817-h.html @@ -0,0 +1,1688 @@ +<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?> +<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Strict//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd"> +<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" lang="de" xml:lang="de"><head><meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8" /><meta http-equiv="Content-Style-Type" content="text/css" /><link rel="schema.DC" href="http://purl.org/dc/elements/1.1/" /><meta name="DC.Creator" content="Emil Weyr" /><meta name="DC.Title" content="Ueber die Geometrie der alten Aegypter." /><meta name="DC.Date" content="March 13, 2008" /><meta name="DC.Language" content="German" /><meta name="DC.Publisher" content="Project Gutenberg" /><meta name="DC.Identifier" content="http://www.gutenberg.org/etext/24817" /><meta name="DC.Rights" content="This text is in the public domain." /><title>The Project Gutenberg EBook of Ueber die Geometrie der alten Aegypter. by Emil Weyr</title><style type="text/css">/* +The Gnutenberg Press - default CSS2 stylesheet + +Any generated element will have a class "tei" and a class "tei-elem" +where elem is the element name in TEI. +The order of statements is important !!! +*/ + +.tei { margin: 0; padding: 0; + font-size: 100%; font-weight: normal; font-style: normal } + +.block { display: block; } +.inline { display: inline; } +.floatleft { float: left; margin: 1em 2em 1em 0; } +.floatright { float: right; margin: 1em 0 1em 2em; } +.shaded { margin-top: 1em; margin-bottom: 1em; + padding: 1em; background-color: #eee; } +.boxed { margin-top: 1em; margin-bottom: 1em; + padding: 1em; border: 1px solid black; } + +body.tei { margin: 4ex 10%; text-align: justify } +div.tei { margin: 2em 0em } +p.tei { margin: 0em 0em 1em 0em; text-indent: 0em; } +blockquote.tei { margin: 2em 4em } + +div.tei-lg { margin: 1em 0em; } +div.tei-l { margin: 0em; text-align: left; } +div.tei-tb { text-align: center; } +div.tei-epigraph { margin: 0em 0em 1em 10em; } +div.tei-dateline { margin: 1ex 0em; text-align: right } +div.tei-salute { margin: 1ex 0em; } +div.tei-signed { margin: 1ex 0em; text-align: right } +div.tei-byline { margin: 1ex 0em; } + + /* calculate from size of body = 80% */ +div.tei-marginnote { margin: 0em 0em 0em -12%; width: 11%; float: left; } + +div.tei-sp { margin: 1em 0em 1em 2em } +div.tei-speaker { margin: 0em 0em 1em -2em; + font-weight: bold; text-indent: 0em } +div.tei-stage { margin: 1em 0em; font-weight: normal; font-style: italic } +span.tei-stage { font-weight: normal; font-style: italic } + +div.tei-eg { padding: 1em; + color: black; background-color: #eee } + +hr.doublepage { margin: 4em 0em; height: 5px; } +hr.page { margin: 4em 0em; height: 2px; } + +ul.tei-index { list-style-type: none } + +dl.tei { margin: 1em 0em } + +dt.tei-notelabel { font-weight: normal; text-align: right; + float: left; width: 3em } +dd.tei-notetext { margin: 0em 0em 1ex 4em } + +span.tei-pb { position: absolute; left: 1%; width: 8%; + font-style: normal; } + +span.code { font-family: monospace; font-size: 110%; } + +ul.tei-castlist { margin: 0em; list-style-type: none } +li.tei-castitem { margin: 0em; } +table.tei-castgroup { margin: 0em; } +ul.tei-castgroup { margin: 0em; list-style-type: none; + padding-right: 2em; border-right: solid black 2px; } +caption.tei-castgroup-head { caption-side: right; width: 50%; text-align: left; + vertical-align: middle; padding-left: 2em; } +*.tei-roledesc { font-style: italic } +*.tei-set { font-style: italic } + +table.rules { border-collapse: collapse; } +table.rules caption, +table.rules th, +table.rules td { border: 1px solid black; } + +table.tei { border-collapse: collapse; } +table.tei-list { width: 100% } + +th.tei-head-table { padding: 0.5ex 1em } + +th.tei-cell { padding: 0em 1em } +td.tei-cell { padding: 0em 1em } + +td.tei-item { padding: 0; font-weight: normal; + vertical-align: top; text-align: left; } +th.tei-label, +td.tei-label { width: 3em; padding: 0; font-weight: normal; + vertical-align: top; text-align: right; } + +th.tei-label-gloss, +td.tei-label-gloss { text-align: left } + +td.tei-item-gloss, +th.tei-headItem-gloss { padding-left: 4em; } + +img.tei-formula { vertical-align: middle; } + +</style></head><body class="tei"> + + + + + + +<div lang="de" class="tei tei-text" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em" xml:lang="de"> + <div class="tei tei-front" style="margin-bottom: 6.00em; margin-top: 2.00em"> + <div class="tei tei-div" style="margin-bottom: 5.00em; margin-top: 5.00em"> + <div id="pgheader" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 4.00em; margin-top: 4.00em"><div class="tei tei-div" style="margin-bottom: 3.00em; margin-top: 3.00em"><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 2.00em">The Project Gutenberg EBook of Ueber die Geometrie der alten Aegypter. by Emil Weyr</p></div><div class="tei tei-div" style="margin-bottom: 3.00em; margin-top: 3.00em"><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost + and with almost no restrictions whatsoever. You may copy it, + give it away or re-use it under the terms of the Project + Gutenberg License <a href="#pglicense" class="tei tei-ref">included with this + eBook</a> or online at <a href="http://www.gutenberg.org/license" class="tei tei-xref">http://www.gutenberg.org/license</a></p></div><pre class="pre tei tei-div" style="margin-bottom: 3.00em; margin-top: 3.00em">Title: Ueber die Geometrie der alten Aegypter. + +Author: Emil Weyr + +Release Date: March 13, 2008 [Ebook #24817] + +Language: German + +Character set encoding: UTF-8 + + +***START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK UEBER DIE GEOMETRIE DER ALTEN AEGYPTER.*** +</pre></div> + </div> + + <div class="tei tei-div" style="margin-bottom: 5.00em; margin-top: 5.00em"> + + </div> + + <hr class="doublepage" /><div class="tei tei-div" style="margin-bottom: 5.00em; margin-top: 5.00em"> + <p class="tei tei-p" style="text-align: center; margin-bottom: 1.20em"><span style="font-size: 120%">ÜBER DIE</span></p> + <p class="tei tei-p" style="text-align: center; margin-bottom: 1.73em"><span style="font-size: 173%">GEOMETRIE DER ALTEN ÆGYPTER</span></p> + <div class="tei tei-tb"><hr style="width: 25%" /></div> + <p class="tei tei-p" style="text-align: center; margin-bottom: 1.44em"><span style="font-size: 144%">VORTRAG</span></p> + <p class="tei tei-p" style="text-align: center; margin-bottom: 0.90em"><span style="font-size: 90%">GEHALTEN IN DER</span></p> + <p class="tei tei-p" style="text-align: center; margin-bottom: 1.20em"><span style="font-size: 120%">FEIERLICHEN SITZUNG DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN</span></p> + <p class="tei tei-p" style="text-align: center; margin-bottom: 0.90em"><span style="font-size: 90%">AM</span></p> + <p class="tei tei-p" style="text-align: center; margin-bottom: 1.20em"><span style="font-size: 120%">XXIX. MAI MDCCCLXXXIV</span></p> + <p class="tei tei-p" style="text-align: center; margin-bottom: 0.90em"><span style="font-size: 90%">VON</span></p> + <p class="tei tei-p" style="text-align: center; margin-bottom: 1.44em"><span style="font-size: 144%">DR. EMIL WEYR</span></p> + <p class="tei tei-p" style="text-align: center; margin-bottom: 0.90em"><span style="font-size: 90%">WIRKLICHEM MITGLIEDE DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN.</span></p> + <div class="tei tei-tb"><hr style="width: 25%" /></div> + <p class="tei tei-p" style="text-align: center; margin-bottom: 1.44em"><span style="font-size: 144%">WIEN</span></p> + <p class="tei tei-p" style="text-align: center; margin-bottom: 1.00em"><span style="font-size: 100%">AUS DER K. K. HOF- UND STAATSDRUCKEREI.</span></p> + <p class="tei tei-p" style="text-align: center; margin-bottom: 1.00em"><span style="font-size: 100%">IN COMMISSION BEI KARL GEROLD'S SOHN,</span></p> + <p class="tei tei-p" style="text-align: center; margin-bottom: 1.00em"><span style="font-size: 100%">BUCHHÄNDLER DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN.</span></p> + <p class="tei tei-p" style="text-align: center; margin-bottom: 1.20em"><span style="font-size: 120%">1884</span></p> + </div> + + </div> + + <hr class="doublepage" /><div class="tei tei-body" style="margin-bottom: 6.00em; margin-top: 6.00em"> +<span class="tei tei-pb" id="page03">[pg 03]</span><a name="Pg03" id="Pg03" class="tei tei-anchor"></a> +<div class="tei tei-div" style="margin-bottom: 5.00em; margin-top: 5.00em"> + <h1 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 3.46em; margin-top: 3.46em"></h1> + <p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Möge mir gestattet sein, bei dem heutigen feierlichen Anlasse +ein Bild zu entrollen, welches in grossen Strichen die +allgemeinen Umrisse des Zustandes der geometrischen +Wissenschaften bei den alten Aegyptern zur Darstellung +bringen soll; und möge dasselbe Wohlwollen, das, gepaart +mit einer althergebrachten Sitte, mich heute auf diesen eben so +ehrenvollen als schwierigen Platz gestellt, auch bei der +Beurtheilung der folgenden bescheidenen, weil schwachen +Kräften entspringenden Leistung obwalten! +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +So wie der Anfang aller menschlichen Kenntnisse, so ist +auch der Ursprung der Geometrie in grauestes Alterthum zu +versetzen, er ist zu suchen in jenen der Zeit nach unangebbaren +Perioden der menschlichen Entwicklung, in welchen +das erste Erwachen des Selbstbewusstseins zu finden wäre. +Sind doch manche geometrische Anschauungen auch dem +Thiere eigen; so jene der geraden Verbindungslinie zweier +Punkte als der kürzesten Entfernung; jene des Mehr und +Weniger bei Quantitäten der Entfernungen, Höhen, Neigungen, +und so werden auch manche abstractere Raumanschauungen +dem Menschen in seinen ersten Entwicklungsperioden eigen +geworden sein, Anschauungen, welche durch die Möglichkeit +und auf Grund der sprachlichen Bezeichnung jene Stabilität +erhielten, die sie befähigte, als erste Fundamente der geometrischen +Kenntnisse zunächst, und der Geometrie als Wissenschaft +später aufzutreten. +</p> +<span class="tei tei-pb" id="page04">[pg 04]</span><a name="Pg04" id="Pg04" class="tei tei-anchor"></a> +<p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Geometrisches Denken entstand zu den verschiedensten +Zeiten, an den verschiedensten Orten. Denn überall, wo +der menschliche Geist sich zu entwickeln begann, und +das menschliche Denken jene Höhe erreichte, auf welcher +Abstractionen entstehen, bildeten sich die grundlegenden +Raumbegriffe; der des Punktes, der geraden und krummen +Linien, der ebenen und krummen Flächen. Denn überall +in der Natur boten sich dem erwachenden Menschen +Repräsentanten dieser Begriffe in grösserer oder geringerer +Genauigkeit dar. Während der Anblick der auf- und untergehenden +Sonne, sowie des vollen Mondes in südlichen +Gegenden fast täglich das Bild der »vollkommensten«, +der »schönsten« Linie, der Kreislinie vorführte, stellten sich +die zahllosen Sterne des Abends dem Auge als glänzende +Punkte dar, welche in ihren mannigfaltigen gegenseitigen +Lagenverhältnissen die Phantasie des Menschen bei der, von +ihm beliebten Eintheilung des Himmels in Sternbilder zur +Herstellung so mancher geraden und krummen Linien verleiten +mochten. Und selbst in seiner nächsten Umgebung +fand der beobachtende Mensch geometrische Anklänge; das +Gewebe der Spinne mit seinen kreisrunden und radialen +Fäden, die sechseckige Bienenzelle, die beim Fallen eines +Körpers in ruhendes Wasser entstehenden concentrischen +Wellenringe, und wie vieles Andere musste, wenn auch +nach und nach, so doch mit zwingender Nothwendigkeit +den Menschen zur Beobachtung gesetzmässiger geometrischer +Formen führen. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Als Mutterland der Mathematik im Allgemeinen, und +der Geometrie im Besonderen wird Aegypten angeführt; doch +ist die Zeit längst vorbei, wo man sich Aegypten als einzigen +Ursprungsort dieser Wissenschaften dachte, vielmehr muss +als feststehend angenommen werden, dass jedes Volk in +<span class="tei tei-pb" id="page05">[pg 05]</span><a name="Pg05" id="Pg05" class="tei tei-anchor"></a> +seinem Entwicklungsgange geometrische Anschauungen sich +anzueignen schon durch praktische Bedürfnisse gezwungen +war. Die Höhe, zu welcher sich die einzelnen Völker in ihren +mathematischen Speculationen emporzuschwingen vermochten, +hing von der Richtung des Bildungsganges, von +dem Maasse des Bedürfnisses und nicht in letzter Reihe von +dem Einflüsse religiöser Verhältnisse ab. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Und so mag sich zunächst jene Naturgeometrie entwickelt +haben, welche allen Völkern zugesprochen werden +muss, und auf deren Vorhandensein, weil auf die Anwendungen +ihrer freilich einfachsten Principien, Ueberreste von +Bauten überall dort hinweisen, wo wir in der Lage sind, +solche beobachten zu können. Die Pellasger, die vorhellenischen +Ureinwohner Griechenlands, mussten lange vor Entstehung +der Philosophie geometrische Kenntnisse in dem +Maasse besessen haben, wie sie zur Aufführung von Wasserbauten, +Dämmen, Canälen und Burgen, von denen man jetzt +noch Spuren findet, nothwendig waren. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Verfolgt man die Entwicklung der Geometrie zu ihren +Quellen aufwärts, so dürfen wir nicht überrascht sein, dass +man bei dem uns bekannten ältesten Culturvolke, bei den +Aegyptern, am weitesten vorzudringen vermag, und zwar an +der Hand der indirecten wie der directen Nachrichten, welche +uns über diesen Gegenstand zugekommen sind. Leider jedoch +sind die Ersteren ihrem Inhalte und die Letzteren ihrer Zahl +nach nur spärliche zu nennen. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Zahlreich sind wohl die Stellen in griechischen Philosophen +und Geschichtschreibern, welche Bezug haben auf +aegyptische Geometrie, es lässt sich jedoch nicht verkennen, +dass oft die Späteren auf Frühere sich stützen, und wir es +möglicherweise mit einer einzigen, durch Jahrhunderte fortgeführten +Nachricht zu thun haben. +</p> +<span class="tei tei-pb" id="page06">[pg 06]</span><a name="Pg06" id="Pg06" class="tei tei-anchor"></a> +<p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> + Durch <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Herodot</span></span>, welcher <span class="tei tei-date">um die Mitte des fünften + vorchristlichen Jahrhunderts (460)</span> Aegypten bereiste, erfahren +wir<a id="noteref_1" name="noteref_1" href="#note_1"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">1</span></span></a>, +dass die Geometrie von Aegypten nach Griechenland +verpflanzt worden sei. Etwas später (<span class="tei tei-date">393 v. Chr.</span>) +berichtet <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Isokrates</span></span> die Thatsache<a id="noteref_2" name="noteref_2" href="#note_2"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">2</span></span></a>, dass die Aegypter »<span class="tei tei-q">die +Aelteren (unter ihren Priestern) über die wichtigsten Angelegenheiten +setzten, dagegen die Jüngeren beredeten, mit +Hintansetzung des Vergnügens, sich mit Astronomie, Rechenkunst +und Geometrie zu beschäftigen</span>«. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +In <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Platon</span></span>'s <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Phädrus</span></span> sagt +<span id="a:sok" class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Sokrates</span></span>: »<span class="tei tei-q">Ich habe +vernommen, zu Naukratis in Aegypten sei einer der dortigen +alten Götter gewesen, dem auch der Vogel geheiligt ist, +den sie Isis nennen, während der Gott selbst den Namen +Teuth führt; dieser habe zuerst Zahlenlehre und Rechenkunst +erfunden und Geometrie und Astronomie</span>«<a id="noteref_3" name="noteref_3" href="#note_3"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">3</span></span></a>, +und einen +directen Hinweis finden wir bei <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Aristoteles</span></span>, welcher in +seiner <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Metaphysik</span></span> sagt:<a id="noteref_4" name="noteref_4" href="#note_4"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">4</span></span></a> +»<span class="tei tei-q">Daher entstanden auch in Aegypten +die mathematischen Wissenschaften, denn hier war den +Priestern die dazu nöthige Müsse vergönnt.</span>« +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Uebrigens schrieben sich die Aegypter neben der Erfindung +der Buchstabenschrift auch jene der meisten Wissenschaften +und Künste zu, worüber <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Diodor</span></span><a id="noteref_5" name="noteref_5" href="#note_5"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">5</span></span></a>, +welcher etwa +<span class="tei tei-date">70 Jahre v. Chr. G.</span> Aegypten bereiste, bemerkt: »<span class="tei tei-q">Die +Aegypter behaupten, von ihnen sei die Erfindung der Buchstabenschrift +und die Beobachtung der Gestirne ausgegangen, +ebenso seien von ihnen die Theoreme der Geometrie und +die meisten Wissenschaften und Künste erfunden worden.</span>« +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Neben diesen ganz allgemein gehaltenen Angaben sind +hauptsächlich diejenigen Berichte zu erwähnen, welche sich +auf die Art der wissenschaftlichen Leistungen der Aegypter +beziehen. +</p> +<span class="tei tei-pb" id="page07">[pg 07]</span><a name="Pg07" id="Pg07" class="tei tei-anchor"></a> +<p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> + Da sagt zunächst <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Herodot</span></span><a id="noteref_6" name="noteref_6" href="#note_6"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">6</span></span></a> +in Hinsicht auf die unter +dem Könige <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Sesostris</span></span> durchgeführte Ländereintheilung: +»<span class="tei tei-q">Auch sagten sie, dass dieser König das Land unter alle +Aegypter so vertheilt habe, dass er jedem ein gleich grosses +Viereck gegeben, und von diesem seine Einkünfte bezogen habe, +indem er eine jährlich zu entrichtende Steuer auflegte. +Wem aber der Fluss (Nil) von seinem Theile etwas +wegriss, der musste zu ihm kommen und das Geschehene +anzeigen; er schickte dann die Aufseher, die auszumessen +hatten, um wie viel das Landstück kleiner geworden war, +damit der Inhaber von dem übrigen nach Verhältniss der +aufgelegten Abgaben steure. Hieraus erscheint mir die Geometrie +entstanden zu sein, die von da nach Hellas kam.</span>« +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Die, <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Herodot</span></span>, dem Vater der Geschichtsschreibung +folgenden Berichterstatter hielten sich nun, vielleicht erklärlicherweise, +vorzüglich an den einen, die Nilüberschwemmungen +betreffenden Theil obiger Nachricht, und wurde, +gewiss Unberechtigtermassen der Nil als der unmittelbare +Anstoss für alle geometrischen Arbeiten der Aegypter hingestellt. +Und doch scheint es uns viel näherliegend, die einerseits +behufs der Steuerbemessung und Controle, anderseits +wegen der aus den Veränderungen im Besitzstande sich +nothwendig ergebenden Flächenfestsetzungen als den Hauptbeweggrund +jener Vermessungen zu erkennen, wobei die +gesammelten Erfahrungen gewiss auch bei der Beurtheilung +der unzweifelhaft nach den periodisch eintretenden Nilüberschwemmungen +vorgekommenen Terrainveränderungen mit +Vortheil benutzt worden sein mögen. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Unverkennbar ist der Zug nach Aufbauschung und Ausschmückung +des, jene Nilüberschwemmungen betreffenden +Theiles des <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Herodot</span></span>'schen Berichtes, wenn man die Aufzeichnungen +späterer Gewährsmänner näher betrachtet. +</p> +<span class="tei tei-pb" id="page08">[pg 08]</span><a name="Pg08" id="Pg08" class="tei tei-anchor"></a> +<p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> + Zunächst finden wir bei <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Heron</span></span> dem Aelteren die folgende + diesbezügliche Stelle<a id="noteref_7" name="noteref_7" href="#note_7"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">7</span></span></a>: + »<span class="tei tei-q">Die früheste Geometrie beschäftigte +sich, wie uns die alte Ueberlieferung lehrt, mit der Messung und +Vertheilung der Ländereien, woher sie Feldmessung genannt +wurde. Der Gedanke einer Messung nämlich ward den Aegyptern +an die Hand gegeben durch die Ueberschwemmungen des +Nil. Denn viele Grundstücke, die vor der Flussschwelle offen +dalagen, verschwanden beim Steigen des Flusses und kamen +erst nach dem Sinken desselben zum Vorschein, und es war +nicht immer möglich, über die Identität derselben zu entscheiden. +Dadurch kamen die Aegypter auf den Gedanken +einer solchen Messung des vom Nil blossgelegten Landes.</span>« +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Weiter finden wir bei <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Diodor</span></span><a id="noteref_8" name="noteref_8" href="#note_8"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">8</span></span></a> +einen Ausspruch, +durch welchen wir übrigens auch über andere wissenschaftliche +Leistungen der Aegypter belehrt werden; <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Diodor</span></span> +sagt: »<span class="tei tei-q">Die Priester lehren ihre Söhne zweierlei Schrift, die +sogenannte heilige, und die, welche man gewöhnlich lernt. +Mit Geometrie und Arithmetik beschäftigen sie sich eifrig. +Denn indem der Fluss jährlich das Land vielfach verändert, +veranlasst er viele und mannigfache Streitigkeiten über die +Grenzen zwischen den Nachbarn; diese können nun nicht +leicht ausgeglichen werden, wenn nicht ein Geometer den +wahren Sachverhalt durch directe Messung ermittelt. Die +Arithmetik dient ihnen in Haushaltungsangelegenheiten und +bei den Lehrsätzen der Geometrie; auch ist sie denen von +nicht geringem Vortheile, die sich mit Sternkunde beschäftigen. +Denn wenn bei irgend einem Volke die Stellungen und Bewegungen +der Gestirne sorgfältig beobachtet worden sind, +so ist es bei den Aegyptern geschehen; sie verwahren Aufzeichnungen +der einzelnen Beobachtungen seit einer unglaublich +langen Beihe von Jahren, da bei ihnen seit alten +Zeiten her die grösste Sorgfalt hierauf verwendet worden +<span class="tei tei-pb" id="page09">[pg 09]</span><a name="Pg09" id="Pg09" class="tei tei-anchor"></a> +ist. Die Bewegungen und Umlaufszeiten sowie die Stillstände +der Planeten, auch den Einfluss eines jeden auf die Entstehung +lebender Wesen und alle ihre guten und schädlichen +Einwirkungen haben sie sehr sorgfältig beobachtet.</span>« +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Am innigsten verknüpft erscheint die Geometrie der +Aegypter mit den Ueberschwemmungen des Nil bei <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Strabon</span></span><a id="noteref_9" name="noteref_9" href="#note_9"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">9</span></span></a>; +welcher bemerkt, »<span class="tei tei-q">dass es einer sorgfältigen und bis auf das +Genaueste gehenden Eintheilung bedurfte, wegen der beständigen +Verwüstung der Grenzen, die der Nil bei seinen +Ueberschwemmungen veranlasst, indem er Land wegnimmt +und zusetzt, und die Gestalt verändert, und die anderen Zeichen +unkenntlich macht, wodurch das fremde und eigene Besitzthum +unterschieden wird. Man müsse daher immer und +immer wieder messen. Hieraus soll die Geometrie entstanden +sein.</span>« +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Den gesellschaftlichen Einrichtungen der Aegypter +entsprechend, muss als feststehend angenommen werden, +dass sich eine Kaste, nach eben Gehörtem die der Priester, +mit dem wissenschaftlichen Theile der Geometrie beschäftigte, +während eine andere, die der Feldmesser, die von den +Ersteren aufgestellten und sorgsam gehüteten geometrischen +Principien praktisch zur Anwendung brachte. Dabei wurden, +wie wir später sehen werden, die Geheimnisse der Priester, +insoweit sie geometrische Wahrheiten und Berechnungsregeln +betrafen, möglicherweise nur insoweit enthüllt, dass +bei deren Verwendung nur annäherungsweise richtige Resultate +zum Vorschein kamen. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Wohl sind einige Schriftsteller so weit gegangen, dass +sie, die unläugbaren Uebertreibungen des Zusammenhanges +zwischen den Nilüberschwemmungen und der ägyptischen +Geometrie im Auge behaltend, die Existenz der letzteren +<span class="tei tei-pb" id="page10">[pg 10]</span><a name="Pg10" id="Pg10" class="tei tei-anchor"></a> +einfach negirten, und alle die citirten Aussprüche in das +Gebiet der Fabel verwiesen. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Was macht man jedoch dann mit den wohlbeglaubigten +Nachrichten über die Reisen, welche hervorragende griechische +Philosophen nach Aegypten unternahmen, oft jahrelang +dort verweilend, um sich in die Geheimnisse aegyptischer +Priester einweihen und mit deren geometrischem Wissen +vertraut machen zu lassen? +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +<span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Eudemus von Rhodos</span></span><a id="noteref_10" name="noteref_10" href="#note_10"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">10</span></span></a>, + einer der ältesten Peripatetiker, +schrieb eine Geschichte der Mathematik, aus +welcher uns durch <span id="a:pro" class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Proklos Diadochus</span></span><a id="noteref_11" name="noteref_11" href="#note_11"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">11</span></span></a>, einen Philosophen +des fünften nachchristlichen Jahrhunderts, ein +Bruchstück erhalten ist, welches sozusagen das einzige +Mittel bildet, das uns einen Einblick in die geometrischen +Errungenschaften der Griechen in den ersten dritthalb +Jahrhunderten nach <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Thales</span></span> gewährt. Hierin heisst es unter +Anderem: »<span class="tei tei-q"><span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Thales</span></span>, der nach Aegypten ging, brachte zuerst +die Geometrie nach Hellas hinüber und Vieles entdeckte er +selbst, von Vielem aber überlieferte er die Anfänge seinen +Nachfolgern; das Eine machte er allgemeiner, das Andere +mehr sinnlich fassbar.</span>« Hundert Jahre nach dem Tode des +<span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Pythagoras</span></span> berichtet der Redner <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Isokrates</span></span><a id="noteref_12" name="noteref_12" href="#note_12"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">12</span></span></a>: »<span class="tei tei-q">Man +könnte, wenn man nicht eilen wollte, viel Bewunderungswürdiges +von der Heiligkeit aegyptischer Priester anführen, +welche ich weder allein noch zuerst erkannt habe, sondern +viele der jetzt Lebenden und der Früheren, unter denen +auch <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Pythagoras</span></span> der Samier ist, der nach Aegypten +kam und ihr Schüler wurde und die fremde Philosophie +zuerst zu den Griechen verpflanzte.</span>« +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Während der Aufenthalt des <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Pythagoras</span></span> in Aegypten +unter Anderen auch noch von <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Strabon</span></span><a id="noteref_13" name="noteref_13" href="#note_13"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">13</span></span></a> +und <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Antiphon</span></span><a id="noteref_14" name="noteref_14" href="#note_14"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">14</span></span></a> +bestätiget wird, nennt uns <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Diodor</span></span><a id="noteref_15" name="noteref_15" href="#note_15"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">15</span></span></a> +eine ganze Reihe von +<span class="tei tei-pb" id="page011">[pg 011]</span><a name="V2Pg011" id="V2Pg011" class="tei tei-anchor"></a> +Namen, indem er sagt; »<span class="tei tei-q">Die aegyptischen Priester nennen +unter den Fremden, welche nach den Verzeichnissen in den +heiligen Büchern vormals zu ihnen gekommen seien, den +<span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Orpheus</span></span>, <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Musaios</span></span>, +<span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Melampus</span></span> und <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Daidalos</span></span>, nach +diesen den Dichter <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Homer</span></span>, den Spartaner <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Lykurgos</span></span>, ingleichen +den Athener <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Solon</span></span> und den Philosophen <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Platon</span></span>. +Gekommen sei zu ihnen auch der Samier <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Pythagoras</span></span> und +der Mathematiker <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Eudoxos</span></span>, ingleichen <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Demokritos von + Abdera</span></span> und <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Oinopides von Chios</span></span>. Von allen diesen +weisen sie noch Spuren auf, von den Einen Bildnisse von +den Anderen Orte und Gebäude, die nach ihnen benannt +sind. Aus der Vergleichung dessen, was jeder von ihnen in +seinem Fache geleistet hat, führen sie den Beweis, dass sie +Dasjenige um desswillen sie von den Hellenen bewundert +werden, aus Aegypten entlehnt haben.</span>« Aus diesen Stellen +geht mit Sicherheit hervor, dass viele Griechen nach +Aegypten zogen, um bei den dortigen Priestern Philosophie +und Mathematik kennen zu lernen, da wohl in den Berichten +nur die hervorragenden Männer angeführt wurden. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Der Milesier <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Thales</span></span>, welcher erst in vorgerücktem +Alter, und nachdem er als Handelsmann früher gewiss schon +mehrmals Aegypten besucht gehabt, sich daselbst behufs +seiner Studien zu längerem Aufenthalt niederlies, ist merkwürdiger +Weise in dem Berichte des Diodor nicht angeführt, +und könnte man wohl aus diesem Umstande umsomehr +einen gewissen Grad von Unglaublichkeit ableiten, als darin +mythische Namen wie <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Orpheus</span></span>, <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Daidalos</span></span> und <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Homer</span></span> +angeführt erscheinen. Diese letzteren konnten jedoch sehr +wohl dem im Ganzen und Grossen sonst richtigen Verzeichnisse +vom Berichterstatter eigenwillig beigefügt worden sein, +um dadurch das hohe Alter aegyptischer Wissenschaft in ein +vorteilhaftes Licht zu setzen. +</p> +<span class="tei tei-pb" id="page12">[pg 12]</span><a name="Pg12" id="Pg12" class="tei tei-anchor"></a> +<p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Abgesehen jedoch von aller Wahrscheinlichkeit oder +Unwahrscheinlichkeit für die Exactheit obiger Aussprüche +in Bezug auf einzelne Namen, dürfte jedenfalls das als +unumstössliche Wahrheit gelten, dass die ägyptischen Priester +von den Griechen als in den Wissenschaften, insbesondere +in der Geometrie sehr bewandert gehalten wurden, und +zwar in einem solchen Maasse, dass eine Reihe hervorragender +griechischer Philosophen es nicht verschmähte, die, für +damalige Verhältnisse nicht unbedeutende Reise nach +Aegypten zu unternehmen, ja oft jahrelang in diesem Lande +mit unbekannter Sprache und Schrift zu verweilen, um sich +die Kenntnisse der Aegypter anzueignen. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Stellt man nun zunächst die Frage nach Quantität und +Qualität des geometrischen Wissens, welches die Griechen +von ihren Studienreisen mit nach Hause brachten, so scheint +dies, selbst vom Standpunkte der unmittelbar nachpythagoräischen +Geometrie, äusserst Weniges gewesen zu sein. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +<span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Thales</span></span> von Milet, einer der sieben griechischen +Weltweisen, der Begründer der ionischen Schule, <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Thales</span></span>, +welcher für das Jahr 585 v. Chr. G. eine, auch eingetroffene +Sonnenfinsterniss vorherzusagen wusste, soll, den uns von +<span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Proklos</span></span> zugekommenen Berichten zufolge, in Aegypten +nicht viel mehr erfahren haben, als die Sätze über die Gleichheit +der Winkel an der Basis eines gleichschenkligen Dreieckes, +die Gleichheit der Scheitelwinkel am Durchschnitt +zweier Geraden; er wusste ferner, wie ein Dreieck durch eine +Seite und die beiden anliegenden Winkel bestimmt erscheint, +diese Erörterung zur Messung der Entfernungen von Schiffen +auf dem Meere benützend, es war ihm bekannt, dass ein +Kreis durch einen Durchmesser halbirt wird,<a id="noteref_16" name="noteref_16" href="#note_16"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">16</span></span></a> +und soll er die +Höhe der Pyramiden aus der Länge des Schattens gemessen +haben, höchst wahrscheinlich in dem Momente, wo die +<span class="tei tei-pb" id="page13">[pg 13]</span><a name="Pg13" id="Pg13" class="tei tei-anchor"></a> +Schattenlänge eines senkrechten Stabes der Stablänge gleich +ist,<a id="noteref_17" name="noteref_17" href="#note_17"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">17</span></span></a> +möglicherweise jedoch, wie <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Plutarch</span></span><a id="noteref_18" name="noteref_18" href="#note_18"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">18</span></span></a> +berichtet, +auch zu einer beliebigen Tageszeit. Auch wird ihm von +<span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Pamphile</span></span><a id="noteref_19" name="noteref_19" href="#note_19"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">19</span></span></a> +die Kenntniss des Satzes zugeschrieben, dass +der Peripheriewinkel im Halbkreise ein rechter sei. Gewiss +hat Thales wenigstens jene geometrischen Fundamente in +Aegypten kennen gelernt, welche es ihm ermöglichten, die +genannten Sätze als wahr zu erkennen, wenn auch bei ihm, +selbst bei diesen einfachen Dingen an einen strengen Beweis +nicht gedacht werden kann. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Es wäre jedoch voreilig, aus der Geringfügigkeit der +Thaletischen geometrischen Kenntnisse mit <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Montucla</span></span> +<a id="noteref_20" name="noteref_20" href="#note_20"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">20</span></span></a> +zu schliessen, dass auch die Aegypter nicht viel mehr gewusst +hätten. Man kann wohl annehmen, dass die aegyptischen +Priester bei ihrer den Fremden gegenüber beobachteten +Zurückhaltung nur einen Theil ihres Wissens offenbarten; +wer könnte jedoch bemessen, in welchem Verhältnisse dieser +Theil zu ihrem Gesammtwissen stand? Der Ansicht +<span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Montucla</span></span>'s kann man entgegensetzen, dass die Aegypter +den Fremden nur einen kleinen Bruchtheil ihres sorgsam +im Verborgenen gehüteten Wissens preisgegeben haben +mochten, wobei ferner nicht unberücksichtigt bleiben darf, +dass den nach Aegypten gekommenen Griechen auch die +Unkenntniss der Sprache und der Schrift weitere, nicht zu +unterschätzende Schwierigkeiten bereitete, in dem Maasse als +vielleicht Manches, was ihnen die aegyptischen Priester von +aegyptischem Wissen zur Verfügung stellten, unverstanden +bleiben konnte. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Was nun das Wesen aegyptischer Geometrie betrifft, so +finden wir in den Berichten der Alten fast gar keine Anhaltspunkte, +um uns hierüber Klarheit verschaffen zu können, und +war man bis vor Kurzem darauf hingewiesen, aus den +<span class="tei tei-pb" id="page14">[pg 14]</span><a name="Pg14" id="Pg14" class="tei tei-anchor"></a> +Anfängen griechischer Mathematik auf den Stand der aegyptischen +zurückzuschliessen, was, wie aus dem Vorhergesagten +folgen dürfte, mit nicht geringen Schwierigkeiten verbunden +erscheint. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Die Ansicht, dass die Geometrie der Aegypter eigentlich +nur constructiver Natur war, ähnlich dem was wir als Reisskunst +zu bezeichnen pflegen,<a id="noteref_21" name="noteref_21" href="#note_21"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">21</span></span></a> +dürfte sich nicht als stichhältig +erweisen; es möge jedoch gleich jetzt darauf hingedeutet +werden, dass die Aegypter im Construiren geometrischer +Formen nicht unbewandert sein konnten. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +So sagt in etwas prahlerischer Weise <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Demokritos</span></span> +von <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Abdera</span></span><a id="noteref_22" name="noteref_22" href="#note_22"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">22</span></span></a> +um 420 v. Chr. G.: »<span class="tei tei-q">Im Construiren von +Linien nach Maassgabe der aus den Voraussetzungen zu +ziehenden Schlüsse hat mich keiner je übertroffen, selbst +nicht die sogenannten Harpedonapten der Aegypter</span>«; und +<span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Theon</span></span> von <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Smyrna</span></span><a id="noteref_23" name="noteref_23" href="#note_23"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">23</span></span></a> +erzählt, dass +»<span class="tei tei-q">Babylonier, Chaldäer +und Aegypter eifrig nach allerhand Grundgesetzen und +Hypothesen suchten, durch welche den Erscheinungen +genügt werden könnte; zu erreichen suchten sie dies dadurch, +dass sie das früher Gefundene in Ueberlegung zogen, und +über die zukünftigen Erscheinungen Vermuthungen aufstellten, +wobei die Einen sich arithmetischer Methoden bedienten, +wie die Chaldäer, die Anderen construirender wie +die Aegypter</span>«. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Aus diesen und ähnlichen Berichten, sowie aus dem +Umstande, dass die Anfänge der griechischen Geometrie +selbst hauptsächlich constructiver Natur waren, muss man +zu dem Schlusse kommen, dass die alten Aegypter seit unvordenklichen +Zeiten die Reisskunst pflegten, und in der langen +Reihe der Jahrhunderte sicherlich eine ziemlich bedeutende +Masse sowohl einfacher als complicirterer Constructionen +erfanden und in ein gewisses System brachten, von Ersteren +<span class="tei tei-pb" id="page15">[pg 15]</span><a name="Pg15" id="Pg15" class="tei tei-anchor"></a> +zu Letzteren aufsteigend. Diese Constructionen dürften ihrem +grösseren Theile nach, und zwar jenem Theile nach, welcher, +wenn auch ohne Begründung Gemeingut der die Künste und +Gewerbe betreibenden Kasten wurde, nur solche gewesen +sein, die dem praktischen Bedürfnisse dienen konnten, also +zumeist Ornamentenconstructionen. Wir bemerken hier unter +Anderem das Vorkommen regelmässiger geometrischer +Figuren auf uralten Wandgemälden, wie sie sich z. B. als +färbige Zeichnungen aus den Zeiten der fünften Dynastie, +also unmittelbar nach den Erbauern der Pyramiden, das ist +3400 Jahre v. Chr. G. etwa vorfinden.<a id="noteref_24" name="noteref_24" href="#note_24"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">24</span></span></a> +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Man sieht unter der grossen Menge der in dieser Zeit +vorkommenden Figuren eine, aus verschobenen, ineinander +gezeichneten, theilweise durch zu einer Diagonale Parallele +zerlegten Quadraten zusammengesetzte Figur, ferner aus der +Zeit von der zwölften bis zur sechsundzwanzigsten Dynastie, +eine Figur, bestehend aus einem Quadrate, und zwei, längs +der Diagonale centrisch hineingelegten lemniscatischen +Curven, sowie eine Zusammenstellung von um fünfundvierzig +Grade gegeneinander verdrehten, sich durchsetzenden Quadraten. +Kreise erscheinen durch ihre Durchmesser in gleiche +Kreisausschnitte getheilt; so zunächst durch zwei oder vier +Durchmesser in vier beziehungsweise acht, und in späteren +Zeiten auch durch sechs Durchmesser in zwölf gleiche Ausschnitte; +die in den Zeichnungen vorkommenden Wagenräder +besitzen zumeist sechs, seltener vier Speichen, so dass +auch die Theilung des Kreises durch drei Diameter in sechs +gleiche Kreisausschnitte vertreten erscheint. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +In einer unvollendet gebliebenen Kammer des Grabes +<span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Seti I.</span></span>, des Vater +<span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Ramses II.</span></span> aus der neunzehnten Dynastie +(das sogenannte Grab <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Belzoni</span></span>)<a id="noteref_25" name="noteref_25" href="#note_25"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">25</span></span></a> +finden wir die Wände +behufs Anbringung von Reliefarbeiten mit einem Netze gleich +<span class="tei tei-pb" id="page16">[pg 16]</span><a name="Pg16" id="Pg16" class="tei tei-anchor"></a> +grosser Quadrate bedeckt, und es kann keinem Zweifel unterliegen, +dass wir es hier mit der Anwendung eines Verkleinerungs- +beziehungsweise Vergrösserungsmaassstabes zu thun +haben. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Wenn nun auch die einfachen Figuren des Dreieckes, +Quadrates und des Kreises höchst wahrscheinlich ohne +besondere Ueberlegung, einfach dem inneren geometrischen +Formendrange entsprungen sein dürften, so ist doch gewiss, +dass ihre verschiedenartige Zusammensetzung zu Mustern +das Product, wenn auch primitiven geometrischen Denkens +war, welches dann schon eine ziemliche Selbstständigkeit +erreicht haben musste, als die vorerwähnte Anwendung von +Proportionalmaassstäben in Uebung kam. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Andererseits musste das öftere Betrachten der regelmässigen +Figuren einen geometrisch disponirten Geist von +selbst zum Aufsuchen unbekannter Eigenschaften derselben +reizen, und vielleicht ist der Thaletische Satz von der +Halbirung des Kreises durch einen Durchmesser nichts als +eine aus der Betrachtung jener aegyptischen Zeichnungen +gewonnene Abstraction, und huldigen wir in dieser Beziehung +der Ansicht, dass <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Thales</span></span> beim Ausspruche des erwähnten, +für uns freilich höchst einfach klingenden Satzes, wahrscheinlich +sagen wollte, nur der Kreis habe die ausgezeichnete +Eigenschaft, von allen durch einen Punkt, den Mittelpunkt, +gehenden Geraden in lauter untereinander gleiche Hälften +getheilt zu werden. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Von besonderer Wichtigkeit scheint uns jedoch der +früher citirte selbstgefällige Ausspruch des <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Demokritos</span></span> zu +sein, da er uns vor einer ungerechtfertigten Unterschätzung +aegyptischer Constructionsgewandtheit bewahren kann. Bedenklich +in <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Demokritos</span></span>' Angabe könnte allenfalls jenes +Selbstlob erscheinen, das er sich spendet; wenn es nun +<span class="tei tei-pb" id="page17">[pg 17]</span><a name="Pg17" id="Pg17" class="tei tei-anchor"></a> +wohl auch schon im Alterthume Männer geben mochte, die +ihre Berühmtheit vorzugsweise und oft nur der Hochschätzung +verdankten, die sie sich selbst und ihren Werken gezollt, +Männer, welche in der Verbreitung des eigenen Lobes so +emsig, so unermüdlich waren, dass sich um sie als die +davon Ueberzeugtesten noch ein Kreis von Gläubigen bildete, +welche den, oft nur auf schwankenden Füssen einhergehenden +Ruhm ihrer Profeten weiter führten, so ist doch die Bedeudung +des Geometers <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Demokritos</span></span> durch so viele, und verschiedenen +Quellen entspringende Aussprüche beglaubigt, +dass es gewiss Niemandem einfallen wird, seine Autorität +als die eines gründlichen Kenners der Geometrie seiner Zeit +in Zweifel zu ziehen. Wohl sind uns von den geometrischen +Werken des <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Demokritos</span></span>, und kaum von allen nur die ganz +allgemein klingenden Titel erhalten. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Während uns <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Cicero</span></span><a id="noteref_26" name="noteref_26" href="#note_26"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">26</span></span></a> +diesen Philosophen als einen +gelehrten, in der Geometrie vollkommen bewanderten Mann +anpreist, theilt uns <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Diogenes Laertius</span></span><a id="noteref_27" name="noteref_27" href="#note_27"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">27</span></span></a> +mit, dass <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Demokritos</span></span> +»<span class="tei tei-q">über Geometrie</span>«, »<span class="tei tei-q">über Zahlen</span>«, »<span class="tei tei-q">über den Unterschied +des Gnomon oder über die Berührung des Kreises +und der Kugel</span>«, sowie zwei Bücher »<span class="tei tei-q">über irrationale Linien +und die dichten Dinge</span>« geschrieben habe, Schriften, deren +Titel theilweise uns über ihren Inhalt ganz im Unklaren +lassen. Legen wir den angeführten Zeugnissen Glauben bei, +und es ist kein Grund vorhanden dies nicht zu thuh, so +müssen wir von <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Demokritos</span></span> als von einem »<span class="tei tei-q">in der Geometrie + vollkommenen Manne</span>« voraussetzen, dass er mit den +Errungenschaften des <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Pythagoras</span></span>, welcher ein Jahrhundert +vor <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Demokritos</span></span> Aegypten besucht hatte, vollkommen vertraut +war. Gewiss war ihm somit bekannt: die Methode der +»<span class="tei tei-q">Anlegung der Flächen</span>«, welche wieder die Vertrautheit mit +den Hauptsätzen aus der Theorie der Parallelen und der +<span class="tei tei-pb" id="page18">[pg 18]</span><a name="Pg18" id="Pg18" class="tei tei-anchor"></a> +Winkel, so wie die Kenntniss der Abhängigkeit der Flächeninhalte +von den ihnen zukommenden Ausmaassen voraussetzt. +Nicht minder bekannt mussten ihm die, dem <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Pythagoras</span></span> +zugeschriebenen Constructionen der fünf regelmässigen, +sogenannten kosmischen Körper sein, woraus sich weiter +schliessen lässt, dass auch einerseits die Eigenschaften der +Kugel, welcher doch jene Körper eingeschrieben wurden, +und anderseits die Entstehungen der regelmässigen, jene +Körper begrenzenden Vielecke, vor Allem die des Fünfeckes +dem <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Demokritos</span></span> nicht ungeläufig sein konnten. Die Construction +des Letzteren erheischt wiederum die Kenntniss der +Lehre vom goldenen Schnitt, und diese den Satz vom Quadrate +der Hypothenuse<a id="noteref_28" name="noteref_28" href="#note_28"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">28</span></span></a>. +Hat nun <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Demokritos</span></span> auch selbst +nichts Neues hinzugefügt, so musste er doch Jenes kennen; +wenn er nun anderseits sagt: »<span class="tei tei-q">im Construiren hätte ihn + Niemand, selbst nicht die Harpedonapten der Aegypter übertroffen</span>«, +so dürfen wir hieraus mit Sicherheit schliessen, +dass die geometrischen Kenntnisse der aegyptischen Priester +bedeutend genug gewesen sein mussten, weil sich <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Demokritos</span></span> +sonst kaum gerade über diese Geometer gesetzt hätte. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Doch verlassen wir für jetzt die Nachrichten des griechischen +Alterthums, welche in der Beurtheilung aegyptischer +Geometrie nur Conjecturen zulassen, und blicken wir nach +directen Denkmalen aegyptischen Ursprungs, aus denen vielleicht +Schlüsse gezogen werden könnten auf Wesen und +Umfang aegyptischer Geometrie. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Das Britische Museum bewahrt eine Papyrusrolle, +welche aus dem Nachlasse des Engländers <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">A. Henry Rhind</span></span> +stammt, die derselbe nebst anderen werthvollen Rollen in +Aegypten käufllich an sich gebracht haben dürfte. Der +erwähnte Papyrus, ein altes Denkmal ägyptischer Mathematik, +ist, wie es scheint, nicht mit vollster Berechtigung als ein +<span class="tei tei-pb" id="page19">[pg 19]</span><a name="Pg19" id="Pg19" class="tei tei-anchor"></a> +»<span class="tei tei-q">mathematisches Handbuch</span>« der alten Aegypter bezeichnet +worden<a id="noteref_29" name="noteref_29" href="#note_29"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">29</span></span></a>. + Der fragliche Papyrus nennt sich selbst eine +Nachahmung älterer mathematischer Schriften, denn es heisst +in der Einleitung: »<span class="tei tei-q">Verfasst wurde diese Schrift im Jahre +dreiunddreissig im vierten Monat der Wasserzeit unter König +Ra-ā-us, Leben gebend nach dem Muster alter Schriften in +den Zeiten des Königs …ât vom Schreiber Aahmes verfasst +die Schrift.</span>« +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Nachdem zuerst Dr. <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Birch</span></span><a id="noteref_30" name="noteref_30" href="#note_30"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">30</span></span></a> +auf diesen mathematischen +Papyrus durch einen kurzen vorläufigen Bericht aufmerksam +gemacht hatte, wurde der Gegenstand von dem +ausgezeichneten Heidelberger Aegyptologen Dr. <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Eisenlohr</span></span> +einer eingehenden, höchst schwierigen und zeitraubenden +Untersuchung unterzogen, deren Resultate, was die Uebersetzung +betrifft, unseren gegenwärtigen Betrachtungen zu +Grunde liegen. Bezüglich des Alters des Papyrus hat man +jenes der vorhandenen Abschrift von dem Alter des unbekannten +Originals zu unterscheiden. Nach der von <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Eisenlohr</span></span> +gegebenen Vervollständigung der in der erwähnten Einleitung +auf das Wort König folgenden Lücke, würde der Herrscher, +unter dessen Regierung das Original entstanden ist, der +König <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Ra-en-mat</span></span> sein, dessen Regierungszeit <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Lepsius</span></span><a id="noteref_31" name="noteref_31" href="#note_31"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">31</span></span></a> +auf 2221–2179 v. Chr. G. legt. Da ferner der Name +<span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Ra-a-us</span></span> in den bis dahin vorhandenen Königslisten nicht +vorkommt, sah man sich, um die Zeit der Entstehung der +Abschrift wenigstens annähernd angeben zu können, darauf +angewiesen, aus der bekannten Sitte der Aegypter die Eigennamen +der eben herrschenden oder der unmittelbar vorhergegangenen +Regenten zu gebrauchen, Schlüsse zu ziehen. +Und da liess der Name <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Aahmes</span></span> des Schreibers, sowie auch +die (althieratische) Schrift des Papyrus vermuthen, dass derselbe +um 1700 v. Chr. G. entstanden sein dürfte. Die Vermuthung +<span class="tei tei-pb" id="page20">[pg 20]</span><a name="Pg20" id="Pg20" class="tei tei-anchor"></a> +in Bezug auf das Zeitalter der Abschrift hat sich +nun neueren Forschungen zu Folge vollkommen bestätigt. +Denn <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Ra-a-us</span></span> wurde als der Hyksoskönig <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Apophis</span></span> +erkannt, und <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Aahmes</span></span> dürfte seinen Namen von dem, kurze +Zeit dem Apophis vorhergegangenen Könige <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Amasis</span></span> entlehnt +haben. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Es erscheint so vollkommen sichergestellt, dass unser +Papyrus aus dem achtzehnten Jahrhundert v. Chr. G. stammt. +Die Eingangsworte des Papyrus, welche lauten: »<span class="tei tei-q">Vorschrift +zu gelangen zur Kenntniss aller dunklen Dinge, aller Geheimnisse, +welche enthalten sind in den Gegenständen</span>«, sowie +die Anordnung des Stoffes in Arithmetik, Planimetrie und +Stereometrie, an welche sich ein, verschiedene Beispiele enthaltender +Theil anschliesst, konnten im ersten Augenblicke +den Gedanken aufkommen lassen, dass wir es vielleicht mit +einem Lehrbuche der Mathematik zu thun haben. Der Umstand +jedoch, dass der Papyrus nur die Zusammenstellung, +allerdings eine in gewissem Grade systematische Zusammenstellung +von Aufgaben nebst ihren Lösungen und den zugehörigen +Proben ist, ohne dass Definitionen oder Lehrsätze +und Beweise vorkommen würden, liess den Papyrus wiederum +als eine Aufgabensammlung, als ein Anleitungsbuch für +Praktiker erscheinen. Man ist noch weiter gegangen, und +stellte die Ansicht auf, der Autor habe bei Abfassung dieser +Schrift vorzüglich an Landleute, welchen die Theorie unzugänglich +war, gedacht. Daraufhin weise nicht nur die Formulirung +des grössten Theiles der Aufgaben, welche Verhältnisse +und Bedürfnisse der Landwirthschaft berücksichtigen, sondern +auch der Schlusssatz des Papyrus, welcher sagt: »<span class="tei tei-q">Fange das +Ungeziefer und die Mäuse, (vertilge) das verschiedenartige +Unkraut, bitte Gott <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Ra</span></span> um Wärme, Wind und hohes Wasser</span>«. +</p> +<span class="tei tei-pb" id="page21">[pg 21]</span><a name="Pg21" id="Pg21" class="tei tei-anchor"></a> +<p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Dass wir es nicht mit einem Handbuche, welches dem +damaligen Standpunkte der mathematischen Wissenschaften +in Aegypten entsprechen müsste, zu thun haben, ergibt sich +nicht nur aus dem schon hervorgehobenen Mangel an Definitionen, +Lehrsätzen und Beweisen, ja es fehlt selbst jede Erklärung, +sondern auch aus dem Umstände, dass neben der +richtigen Lösung einzelner Aufgaben die unrichtigen oder +unvollendeten Lösungen derselben oder ähnlicher Aufgaben, +sowie manche Wiederholungen vorkommen. Nur nebenbei +verweisen wir darauf, dass in einem Handbuche unzweifelhaft +wenigstens Anklänge an die erste der Wissenschaften des +Alterthums, an die Astronomie, zu finden sein müssten. Doch +ist von diesem Theile der Mathematik im Papyrus nicht die +geringste Spur zu finden. Aufklärungen über den wahren +Charakter des Originals unseres Papyrus, und eine viele Wahrscheinlichkeit +besitzende Vermuthung über die Entstehung +der uns beschäftigenden Abschrift, verdanken wir dem Scharfsinne +des französischen Aegyptologen Eugène <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Revillout</span></span>.<a id="noteref_32" name="noteref_32" href="#note_32"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">32</span></span></a> +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Bei richtiger Erwägung des Umstandes, dass oft auf ein +fehlerlos gelöstes Beispiel, falsche Lösungen ähnlicher Beispiele +folgen, welchen sich dann gewöhnlich eine Reihe von +Uebungsrechnungen anschliesst, Rechnungen die einem Schulpensum +in hohem Grade ähnlich sehen, bei Betrachtung der +Thatsache ferner, wie ein und dasselbe Zahlenbeispiel oft +einigemal und zwar so behandelt wird, dass der Reihe nach +die vorkommenden Zahlenwerthe als die berechneten Resultate +erscheinen, drängt sich uns mit <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Eugène Revillout</span></span> die +Ueberzeugung auf, dass wir es mit dem Uebungs- oder Aufgabenhefte +eines Zöglings jener Unterrichtshäuser (a·sbo) zu +thun haben, wie deren in so manchem Papyrus Erwähnung +geschieht, und in denen die Schüler, welche später Landwirthe, +Verwalter, Feldmesser oder Constructeure werden +<span class="tei tei-pb" id="page22">[pg 22]</span><a name="Pg22" id="Pg22" class="tei tei-anchor"></a> +wollten, mit den für ihre künftige Laufbahn notwendigen +Rechnungsoperationen vertraut gemacht wurden. Da dieses +Schulheft selbstverständlich nicht für die Oeffentlichkeit +bestimmt sein konnte, so trägt es auch thatsächlich keinen +Autornamen und keine Jahresangabe; denn, was die in der +Einleitung bezüglich der Zeitperiode, in welcher das Original +entstanden sein sollte, gemachte Erwähnung betrifft, so ist +mehr als wahrscheinlich, dass dieselbe von dem Abschreiber +<span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Aahmes</span></span> herrührt, welcher das Original einige Jahrhunderte +nach seiner Entstehung auffand, und dasselbe, der Mathematik +gewiss ganz unkundig, sammt allen Fehlern abschrieb, zu +diesen noch neue hinzufügend. Nachdem <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Aahmes</span></span> aus der +Aehnlichkeit der Schriftart des mathematischen Heftes mit +der Schrift anderer ihm bekannten Papyri auf das Alter des +ersteren einen im Ganzen und Grossen nicht unrichtigen +Schluss gezogen haben mochte, so können wir das Ende, +vielleicht auch die Mitte des dritten Jahrtausends v. Chr. G. +als jene Zeit betrachten, in welcher das Original der Abschrift +entstanden sein dürfte. Ob <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Aahmes</span></span> die Abschrift +mit der viel versprechenden Einleitung und der zugleich +praktischen und gottesfürchtigen Schlussregel in der Absicht +versehen hatte, um sie an irgend einen einfachen aegyptischen +Landmann um gutes Geld anzubringen, lassen wir dahingestellt, +und wiederholen nur unsere Uebereinstimmung mit +der Ansicht, dass das Original des Papyrus neben den von +einem Lehrer der Mathematik herrührenden Musterbeispielen, +die sehr oft verunglückten Uebungen eines Schülers enthält, +eines Schülers überdies, der nicht zu den hervorragenden +seiner Glasse gehört haben mochte. Und wie kostbar ist +dennoch dieses altägyptische Schulheft! Wenn wir in aller +Eile eine Skizze seines Inhaltes vorführen sollen, so +müssen wir zunächst die sich auf acht Columnen der oben +<span class="tei tei-pb" id="page23">[pg 23]</span><a name="Pg23" id="Pg23" class="tei tei-anchor"></a> +erwähnten Einleitung anschliessende Theilung der Zahl 2 +durch die Zahlen von 3 bis 99 erwähnen; jeder auftretende +Bruch erscheint in zwei bis vier sogenannte +Stammbrüche, Brüche mit dem Zähler Eins, zerlegt, und sind +die Nenner der letzteren meist gerade Zahlen mit einer +grösseren Divisorenanzahl. Im Anschluss an diese Tabelle +finden wir sechs Beispiele, in denen in Form von Brodvertheilungen +die Division der Zahlen l, 3, 6, 7, 8 und 9 durch +die Zahl 10 gelehrt wird, und es folgt hierauf in 17 Beispielen +die sogenannte Sequem- oder Ergänzungsrechnung, +in welcher es sich darum handelt, Zahlenwerthe zu finden, +die mit gegebenen Werthen durch Addition oder Multiplication +verbunden, andere gegebene Zahlenwerthe liefern. Die nächsten +15 Beispiele gehören der sogenannten <em class="tei tei-emph"><span style="font-weight: 700">Haurechnung</span></em> +an, und finden wir in diesem Abschnitte die Lösungen linearer +Gleichungen mit einer Unbekannten. Zwei weitere, der sogenannten +<em class="tei tei-emph"><span style="font-weight: 700">Tunnu-</span></em> oder Unterschiedsrechnung angehörige +Beispiele belehren uns darüber, dass den alten Aegyptern der +Begriff arithmetischer Reihen nicht fremd war. Es folgen nun +sieben Beispiele über Volumetrie, ebensoviele über Geometrie +und fünf Beispiele über Berechnungen von Pyramiden, also +19 Aufgaben über die wir später noch einige Worte sagen +müssen. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Hieran schliessen sich endlich dreiundzwanzig verschiedenen +Materien entlehnte, Fragen des bürgerlichen Lebens +betreffende Beispiele, wie die Berechnung des Werthes von +Schmuckgegenständen, abermals Vertheilungen von Broden +oder von Getreide, Bestimmung des auf einen Tag entfallenden +Theiles eines Jahresertrages, Berechnungen von Arbeitslöhnen, +Nahrungsmitteln sowie des Futters für Geflügelhöfe. +Einer besonderen Ankündigung werth erscheinen uns in +dieser letzten Abtheilung zwei Beispiele; das eine derselben<a id="noteref_33" name="noteref_33" href="#note_33"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">33</span></span></a> +<span class="tei tei-pb" id="page24">[pg 24]</span><a name="Pg24" id="Pg24" class="tei tei-anchor"></a> +lässt keinen Zweifel darüber aufkommen, dass den alten +Aegyptern die Theorie der arithmetischen Progressionen +vollkommen geläufig war, während wir in dem zweiten<a id="noteref_34" name="noteref_34" href="#note_34"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">34</span></span></a> +unter der Aufschrift »<span class="tei tei-q">eine Leiter</span>« die geometrische Progression +von 7 hoch 1 bis 7 hoch 5 nebst deren Summe vorfinden, wobei +die einzelnen Potenzen eigene Namen: an, Katze, Maus, +Gerste, Maass zu führen scheinen. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Nicht unbemerkt lassen wir endlich die in den Haurechnungen +auftretende Benützung mathematischer Zeichen; +so nach links oder rechts ausschreitender Beine für Addition +und Subtraction, drei horizontale Pfeile für Differenz, sowie +endlich ein besonderes, dem unseren nicht unähnliches +Gleichheitszeichen. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Aus dem geometrischen Theile heben wir zunächst, der +Anordnung des Papyrus nicht folgend, die Flächenberechnungen +von Feldern hervor. Die vorkommenden Beispiele +beziehen sich auf quadratische, rechteckige, kreisrunde und +trapezförmige Felder, deren Flächeninhalte aus ihren Längenmaassen +bestimmt werden. Nachdem in den Aufgaben über +die Berechnung des Fassungsvermögens von Fruchtspeichern +mit quadratischer Grundfläche diese letztere gefunden wird +durch Multiplication der Maasszahl der Seite mit sich selbst, +kann es gar keinem Zweifel unterliegen, dass auch die Fläche +des Rechteckes durch Multiplication der Maasszahlen zweier +zusammenstossender Seiten erhalten wurde, da die Erkenntniss +der Richtigkeit der einen Bestimmungsart, jene der Richtigkeit +der anderen involvirt. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Schon die Betrachtung solcher Proportionalmaassstäbe, +wie wir sie im Grabe <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Belzoni</span></span> bemerken konnten, hätte +die alten Aegypter, die mit Gleichungen und arithmetischen +Reihen umzugehen wussten, auf die Bestimmung der Fläche +eines Rechteckes aus seinen beiden Seitenlängen mit Nothwendigkeit +<span class="tei tei-pb" id="page25">[pg 25]</span><a name="Pg25" id="Pg25" class="tei tei-anchor"></a> +führen müssen, und werden wir uns durch den +Umstand, dass im Papyrus der diesbezüglichen Aufgabe eine +zu ihr nicht gehörige Lösung beigefügt ist, durchaus nicht +beirren lassen. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Von hohem Interesse ist die, an mehreren Stellen des +Papyrus vorkommende Methode der Flächenberechnung eines +Kreises, welche zeigt, dass die alten Aegypter mit ziemlicher +Annäherung den Kreis zu quadriren wussten, in der That zu +quadriren, weil sie aus dem Durchmesser eine Länge ableiten, +welche als Seite ein Quadrat liefert, dessen Fläche jener des +Kreises gleichgesetzt wurde. Da sie acht Neuntel des Durchmessers +zur Seite jenes Quadrates machten, so entspricht dies +einem Werthe der Ludolphischen Zahl, welcher dem richtigen +Werthe gegenüber um nicht ganz zwei Hundertstel (um +0,018901) zu hoch gegriffen erscheint; für das dritte Jahrtausend +v. Chr. G. und im Vergleiche zu dem Werth π = 3 +der Babylonier, und noch mehr im Vergleiche zu dem Werthe +π = 4 späterer römischer Geometer, jedenfalls eine nicht zu +unterschätzende Annäherung an den richtigen Werth. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Eine Aufgabe behandelt die Flächenbestimmung des +Dreieckes, wobei das Resultat als das Product zweier Seitenlängen +gefunden wird. Die hier beigefügte Figur<a id="noteref_35" name="noteref_35" href="#note_35"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">35</span></span></a>, welche +in Wirklichkeit ein ungleichseitiges langgestrecktes Dreieck +darstellt, kann ebensowohl als die verfehlte Zeichnung eines +rechtwinkligen wie auch eines gleichschenkligen Dreieckes +betrachtet werden. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Letztere Annahme ist von <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Eisenlohr</span></span> gemacht und +von <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Cantor</span></span><a id="noteref_36" name="noteref_36" href="#note_36"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">36</span></span></a> +acceptirt worden. Darnach würde sich die +Methode der Dreiecksberechnung der alten Aegypter nur als +eine Näherungsmethode darstellen, und ist auch von beiden +genannten Gelehrten der begangene, in diesem Falle in der +That nicht bedeutende Fehler ermittelt worden. +</p> +<span class="tei tei-pb" id="page26">[pg 26]</span><a name="Pg26" id="Pg26" class="tei tei-anchor"></a> +<p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Wir sind dagegen mit Revillout anderer Meinung. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Mit Rücksicht auf den von uns klar erkannten Charakter +des Originales des Papyrus als eines sehr ungenauen Collegienheftes, +dessen Rechnungen ebensosehr wie die vorkommenden +Zeichnungen von der Mittelmässigkeit seines +Zusammenstellers beredtes Zeugniss ablegen, zweifeln wir +keinen Augenblick, dass die fragliche Figur ein rechtwinkliges +Dreieck vorzustellen hatte. Die mangelhafte Schülerzeichnung +ist durch den Copisten <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Aahmes</span></span> nur noch +schlechter geworden. Dass ein rechtwinkliges Dreieck gemeint +sein soll, erkennt man übrigens auch aus dem Umstande, +dass in der Figur die Maasszahlen der multiplicirten Seiten +bei den Schenkeln des, vom rechten Winkel nur wenig differirenden +Winkels angesetzt sind, wo doch, wenn es sich hätte +um ein gleichschenkliges Dreieck handeln sollen die Maasszahl +der Schenkel in der Figur gewiss bei beiden Schenkeln zu +finden wäre. Dieselben Gründe bestimmen uns zu der +Annahme, dass die im Papyrus befindliche Flächenberechnung +eines Trapezes eine vollkommen richtige ist, indem es sich +auch hier nur um ein Trapez handeln kann, dessen zwei +parallelen Seiten auf einer der nicht parallelen Seiten senkrecht +stehen. Und warum sollten denn die alten Aegypter +nicht die richtige Art der Flächenberechnung auch beliebiger +Dreiecke gekannt haben? +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Konnte man einmal die Fläche eines Rechteckes genau +bestimmen, so musste sich durch einfache Anschauung eines, +durch eine Diagonale zerlegten Rechteckes, von selbst die +Regel zur Flächenbestimmung des rechtwinkligen Dreieckes +ergeben; und wurde nun ein beliebiges schiefwinkliges +Dreieck durch ein Höhenperpendikel in zwei rechtwinklige +zerlegt, so war nichts leichter als die allgemeine Regel zur +Bestimmung der Dreieckfläche aus Basis und Höhe (<span class="tei tei-foreign">tepro</span> +<span class="tei tei-pb" id="page27">[pg 27]</span><a name="Pg27" id="Pg27" class="tei tei-anchor"></a> +und <span class="tei tei-foreign">merit</span>) zu entwickeln. Dass die Gewinnung des Höhenperpendikels +sowohl bei Constructionen als auch auf dem +Felde den alten Aegyptern nicht unmöglich war, folgt zunächst +aus der grossen Bedeutung der Winkelmaasses (<span class="tei tei-foreign">hapt</span>) für alle +Operationen der praktischen Geometer Aegyptens. Nicht nur, +dass wir in vielen aegyptischen Documenten das Winkelmaass +erwähnt finden, sieht man auch Könige abgebildet, das Winkelmaass +in der Hand, welches von ihnen vielleicht in derselben +Weise durch symbolische Benützung geehrt wurde, wie der +Kaiser von China alljährlich einmal den Pflug zu führen +pflegt. Ein solches Winkelmaass sieht man übrigens auch auf +einem Wandgemälde abgebildet, das eine Schreinerwerkstätte +darstellt,<a id="noteref_37" name="noteref_37" href="#note_37"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">37</span></span></a> +und es unterliegt keinem Zweifel, dass dasselbe +ebensowohl zur Anlegung rechter Winkel als zum Fällen von +Senkrechten benützt worden ist. Aber auch auf freiem Felde +musste den Aegyptern die Construction rechter Winkel geläufig +sein; sowohl die Pyramiden als auch die aegyptischen +Tempel sind vollkommen orientirt, und wurde, wie uns alte +Inschriften<a id="noteref_38" name="noteref_38" href="#note_38"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">38</span></span></a> +belehren, die Orientirung in festlicher Weise +vom Könige unter Beihilfe der Bibliotheksgöttin <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Safech</span></span> vollzogen, +mit den Worten: »<span class="tei tei-q">Ich habe gefasst den Holzpflock und +den Stiel des Schlägels, ich halte den Strick gemeinschaftlich +mit der Göttin <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Safech</span></span>. Mein Blick folgt dem Gange der +Gestirne. Wenn mein Auge an dem Sternbilde des grossen +Bären angekommen ist, und erfüllt ist der mir bestimmte +Zeitabschnitt der Zahl der Uhr, so stelle ich auf die Eckpunkte +Deines Gotteshauses.</span>« +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +In welchem Maasse bei diesen Operationen die von +<span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Demokritos</span></span> so hochgestellten <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Harpedonapten</span></span> oder +Seilspanner betheiligt waren, hat <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Cantor</span></span><a id="noteref_39" name="noteref_39" href="#note_39"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">39</span></span></a> in höchst +scharfsinniger Weise zu beleuchten versucht, und es erscheint +auch uns wahrscheinlich, dass sich die alten Aegypter beim +<span class="tei tei-pb" id="page28">[pg 28]</span><a name="Pg28" id="Pg28" class="tei tei-anchor"></a> +Construiren rechter Winkel sowie beim Fällen von Senkrechten +auf dem Felde, der Thatsache bedienten, dass der +eine Winkel in einem, die Seitenlängen drei, vier und fünf +besitzenden Dreiecke, ein rechter Winkel sein müsse. Musste +ja doch dieser Satz seit unvordenklichen Zeiten auch den +Chinesen bekannt sein, da wir ihn in der bei ihnen so +berühmten Schrift <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Tschiu-pī</span></span> finden, welche mehrere Jahrhunderte +v. Chr. G. entstanden, auf den Kaiser <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Tschīu-Kung</span></span> +also in das Jahr 1100 v. Chr. G. etwa zurückgeführt +wird.<a id="noteref_40" name="noteref_40" href="#note_40"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">40</span></span></a> +Uebrigens konnten directe Messungsversuche an +diagonalen Linien in den Proportionalmaassstäben sowohl zu +dem erwähnten als auch noch zu anderen rechtwinkligen +Dreiecken mit rationalen Seitenlängen geführt haben, und +scheint uns die Möglichkeit nicht ausgeschlossen, dass der +berühmte und berüchtigte Satz des <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Pythagoras</span></span> über die +Quadrate der Katheten und der Hypothenuse einer eingehenden +Untersuchung solcher Proportionalmaassstäbe entsprungen +ist. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Wenn wir nun einerseits behaupten, dass die alten +Aegypter nicht nur die Fläche des Kreises, des Quadrates, +des Rechteckes, des rechtwinkligen sowie des schiefen Dreieckes, +und unter Zuhilfenahme der Zerlegungen auch die +Flächen beliebiger Polygone theoretisch genau zu bestimmen +im Stande waren, mit Ausnahme der auch für uns eine solche +bildenden Kreisfläche, so muss doch anderseits zugestanden +werden, dass man sich bei praktischen Anwendungen mit +Näherungen begnügte, welche im Laufe der Zeiten so ausarteten, +dass der Gebrauch falscher Regeln ein allgemeiner +wurde. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Am linken Nilufer in der Mitte zwischen <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Theben</span></span> und +<span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Assuan</span></span> liegt <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Edfu</span></span>, das alte <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Appollinopolis Magna</span></span> +mit einem stattlichen Tempelbau aus den Zeiten der Ptolomäer. +<span class="tei tei-pb" id="page29">[pg 29]</span><a name="Pg29" id="Pg29" class="tei tei-anchor"></a> +Der Tempel, hauptsächlich dem Gotte <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Horus</span></span> geweiht, +ist mit einer freistehenden Umfassungsmauer umgeben,<a id="noteref_41" name="noteref_41" href="#note_41"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">41</span></span></a> +deren Ostseite zwischen dem Brunnenthore und dem östlichen +Pylonflügel eine Inschrift trägt, welche uns auf acht +Feldern und in hundertvierundsechzig Columnen<a id="noteref_42" name="noteref_42" href="#note_42"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">42</span></span></a> eine +Schenkungsurkunde des Königs <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Ptolomäus XI. Alexander + I.</span></span> (mit dem Beinamen <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Philometor</span></span>) bekannt gibt. Das +Geschenk, welches hier <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Horus</span></span> und den übrigen Göttern von +<span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Edfu</span></span> verliehen wird, besteht aus einer Anzahl von meist +viereckigen Aeckern, deren vier Seitenlängen nebst Flächeninhalten +angegeben erscheinen. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Da jeder der vorkommenden Flächeninhalte identisch +ist mit dem Producte der arithmetischen Mittel der beiden +Gegenseitenpaare, so wurde nach <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Lepsius</span></span> die Vermuthung +aufgestellt, die alten Aegypter hätten, um Vierecke bei der +Flächenbestimmung annähernd wie Rechtecke behandeln zu +können, den Unterschied der Gegenseiten dadurch auszugleichen +gesucht, dass sie die arithmetischen Mittel derselben +in Rechnung zogen. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Bei sehr vielen der in der <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Edfu</span></span>er Schenkungsurkunde +vorkommenden Vierecke ist der Unterschied je zweier Gegenseiten +entweder Null oder verhältnissmässig so klein, dass +man den betreffenden Vierecken eine vom Rechtecke wenig +verschiedene Gestalt beilegen kann, und die erhaltenen Resultate +somit eine ziemliche Annäherung an den richtigen +Flächenwerth darstellen dürften, nach dem man mit Rücksicht +auf die bei <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Sesostris</span></span> bemerkte Eintheilung des Landes +in Rechtecke voraussetzen darf, gerade diese oder eine ihr +zunächst kommende Form der Felder sei die auch damals +schon beliebte gewesen. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Doch kommen auch Vierecke vor, wo der Längenunterschied +der Gegenseiten ein bemerkenswerther ist; ja es werden +<span class="tei tei-pb" id="page30">[pg 30]</span><a name="Pg30" id="Pg30" class="tei tei-anchor"></a> +auch Dreiecke als Vierecke mit einer verschwindenden Seite +behandelt, so dass der begangene Fehler in manchen Fällen +ein nicht unbedeutender ist. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Nur nebenbei bemerken wir, dass man dieselbe unrichtige +Flächenformel für das Viereck erhält, wenn man dasselbe +zunächst durch eine Diagonale in zwei Dreiecke zerlegt, +auf jedes dieser Dreiecke die unrichtige Flächenformel, +die den Inhalt als das halbe Product der beiden Seiten liefert, +anwendet, die beiden so erhaltenen Dreiecksflächen addirt +und dann aus dieser Summe und jener, welche man bei dem +ähnlichen Vorgange durch Zerlegung mittelst der zweiten +Diagonale erhält, das arithmetische Mittel construirt. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Nimmt man mit <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Eisenlohr</span></span> und <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Cantor</span></span> an, dass die +Aegypter die Dreiecksfläche wirklich dem halben Producte +zweier Seiten gleichsetzten, so steht man vor der Frage, +warum nicht in derselben Art die Flächen der in der <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Edfu</span></span>er +Schenkungsurkunde auftretenden Dreiecke bestimmt erscheinen? +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Uebrigens wolle man sich darüber nicht wundern, dass +es überhaupt möglich war, die Flächenberechnungen im +praktischen Leben nach einer so falschen Methode durchzuführen. +Wissen wir doch, dass im Alterthume, zur Zeit +<span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Platon</span></span>s, einer der gebildetsten Männer, einer der +hervorragendsten Geschichtschreiber, dass <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Thukydides</span></span><a id="noteref_43" name="noteref_43" href="#note_43"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">43</span></span></a> in seiner +Unkenntniss der Beziehung zwischen Flächeninhalt und Umfang, +die Fläche einer Insel nach der zu ihrer Umschiffung +nothwendigen Zeit zu bestimmen suchte; in der Geometrie +<span id="a:g" class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Gerbert</span></span>'s,<a id="noteref_44" name="noteref_44" href="#note_44"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">44</span></span></a> +des nachmaligen Papstes <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Silvester II.</span></span> +finden wir, 1000 Jahre nach Chr. G., die Fläche eines gleichschenkligen +Dreieckes durch Multiplication des Schenkels +mit der halben Basis berechnet, wo doch schon <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Hero von +</span><span class="tei tei-pb" id="page31">[pg 31]</span><a name="Pg31" id="Pg31" class="tei tei-anchor"></a><span style="font-weight: 700"> +Alexandrien</span></span><a id="noteref_45" name="noteref_45" href="#note_45"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">45</span></span></a> +1100 Jahre früher die richtige Formel +für diese Berechnung kennt. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Wir berühren diese Thatsachen, und könnten noch eine +ganze Reihe ähnlicher Beispiele anführen, nur um zu zeigen, +wie übereilt es wäre, aus den oft nur schwache Annäherungen +liefernden Berechnungen der <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Edfu</span></span>er Schenkungsurkunde +schliessen zu wollen, die richtigen Methoden seien +den in die Wissenschaften eingeweihten aegyptischen Priestern +nicht bekannt gewesen. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Doch zurück zum Papyrus <em class="tei tei-emph"><span style="font-weight: 700">Rhind</span></em>. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Wir übergehen die Inhaltsbestimmungen von Fruchthäusern, +bei denen der Inhalt durch Multiplication einer +Fläche mit einer Länge bestimmt wird, weil wir es für +müssig halten, Erörterungen darüber anzustellen, welche +Flächen und Längen hiebei gemeint sind, so lange uns über +die Form jener Fruchthäuser oder Speicher nichts bekannt +ist. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Dagegen erwecken die im Papyrus vorkommenden Pyramiden-Berechnungen +das höchste Interesse, besonders nach +den glänzenden Untersuchungen, welchen <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Revillout</span></span> +diesen Gegenstand unterzogen hat, und deren Resultate wir, +entgegen der von <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Eisenlohr</span></span> ausgesprochenen und auch +von <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Lepsius</span></span><a id="noteref_46" name="noteref_46" href="#note_46"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">46</span></span></a> +acceptirten Ansicht als solche betrachten, +welche in einfacher und natürlicher Weise die sogenannte +<em class="tei tei-emph"><span style="font-weight: 700">Seket</span></em>-Rechnung der alten Aegypter beleuchten. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Es wird in diesen Rechnungen die Böschung der Seitenflächen +einer quadratischen Pyramide dadurch fixirt, dass +jener Theil der Länge eines der beiden gleichlangen Schenkel +des Winkelmaasses berechnet wird, der sich zur Länge des +anderen Schenkels so verhält, wie die halbe Länge der Basisseite +der quadratischen Pyramide zur Höhe derselben. +</p> +<span class="tei tei-pb" id="page32">[pg 32]</span><a name="Pg32" id="Pg32" class="tei tei-anchor"></a> +<p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Zu dem Behufe war der eine der beiden Schenkel des +Winkelmaasses in eine gewisse Anzahl gleich grosser Theile +getheilt, während der andere Schenkel, der Pyramidenhöhe +entsprechend, und als Einheit betrachtet, ungetheilt blieb. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Um nun den sogenannten <em class="tei tei-emph"><span style="font-weight: 700">Seket</span></em> zu bestimmen, wurde +die halbe Länge der Basisseite durch die Pyramidenhöhe +dividirt und mit dem erhaltenen Quotienten die Anzahl der +Theile des horizontalen, getheilten Schenkels des Winkelmaasses +multiplicirt. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Es war somit der Seket (welcher in derselben Art für +einen geraden Kreiskegel aus dem Durchmesser der Basis +und der Höhe bestimmt erscheint) als Verhältniss aufgefasst, +die goniometrische Cotangente des Neigungswinkels der Seitenfläche +der Pyramide, respective der Kegelkante zur Basis. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Wenn wir selbstverständlich weit davon entfernt sind, +hierin vielleicht Anfänge der Trigonometrie sehen zu wollen, +so erkennen wir doch anderseits, dass den alten Aegyptern +auch die Lehre proportionaler Linien, wenigstens in ihren +Anwendungen, bekannt gewesen sein musste, und erscheint +uns auch der am Eingange erwähnte Ausspruch über die +dem Milesier <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Thales</span></span> zugeschriebene Höhenmessung der +Pyramiden als ein ganz glaubwürdiger, wenn wir sehen, wie +im Papyrus von den drei Werthen: Basis, Höhe, Seket, jeder +aus den beiden anderen berechnet erscheint. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Fassen wir nun die Ergebnisse unserer Betrachtungen +zusammen, so müssen wir aus der quellenmässig erwiesenen +grossen Bewunderung, welche die ausgesprochen geometrisch +hochentwickelten Griechen den aegyptischen Geometern rückhaltlos +zollten, wir müssen aus der unanfechtbaren Thatsache, +dass griechische Geometer den Grund zu ihren Kenntnissen +und Entdeckungen in Aegypten suchten und fanden, +wir müssen im Hinblicke auf das, aus der nun vollends +<span class="tei tei-pb" id="page33">[pg 33]</span><a name="Pg33" id="Pg33" class="tei tei-anchor"></a> +entzifferten[42] <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Edfu</span></span>er Schenkungsurkunde sich mit Sicherheit +ergebende ausgebreitete und fest organisirte Katasterwesen +der alten Aegypter, welches zugleich mit den zahlreichen, +dem öffentlichen Leben dienenden Land- und +Wasserbauten auf eine verhältnissmässig bedeutend entwickelte +Vermessungskunde hinweist, wir müssen endlich +aus dem von uns besprochenen Papyrus, der sich als eine +ungenaue Abschrift eines mangelhaften, aus dem dritten Jahrtausend +vor Chr. G. stammenden, mathematischen Collegien- oder +Aufgabenheftes erweist, und aus dessen Vorhandensein +sich fast mit Gewissheit auf damals existirende, neben den +Regeln auch ihre Ableitungen enthaltende Lehrbücher +schliessen lässt, wir können und müssen aus allen diesen +Umständen den allgemeinen Schluss ziehen, dass bereits drei +Jahrtausende vor unserer Zeitrechnung sowohl die arithmetischen, +als auch die geometrischen Kenntnisse der Aegypter, +einen für dieses Zeitalter bedeutenden Grad der Entwicklung +besassen. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Insbesondere können wir in jenen fernen Zeiten eine +staunenswerth weitgehende Annäherung bei der Berechnung +der Kreisfläche beobachten, wir finden mit vollständiger +Sicherheit richtige Flächenbestimmungen des Quadrates, +Rechteckes und des rechtwinkligen Dreieckes; höchst wahrscheinlich +auch richtige Bestimmungen der Flächen schiefwinkliger +Dreiecke und Vierecke, welche im praktischen +Leben durch leichter zu handhabende Annäherungsformeln +ersetzt wurden; wir sehen Bestimmungen des Rauminhaltes +durch ihre Dimensionen gegebener Körper und erkennen die +Anfänge der Aehnlichkeitslehre. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Was das geometrische Zeichnen betrifft, so kennen wir +schon die Construction der früher beobachteten regelmässigen +Figuren und dürfen weiter vermuthen, dass die Anlegung +<span class="tei tei-pb" id="page34">[pg 34]</span><a name="Pg34" id="Pg34" class="tei tei-anchor"></a> +rechter Winkel und das Fällen von Senkrechten sowohl +mittelst des Winkelmaasses als auch mittelst rationaler rechtwinkliger +Dreiecke bekannt, und die Zerlegung gegebener +Flächen behufs ihrer Inhaltbestimmung in allgemeiner Verwendung +war. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Gewiss werden auch theoretische Resultate bekannt +gewesen sein; so die Hälftung des Kreises durch seinen +Durchmesser, die sich aus der besprochenen Seketrechnung +von selbst ergebende Winkelgleichheit an der Basis gleichschenkliger +Dreiecke und gleichseitiger quadratischer Pyramiden, +und wohl noch manches Andere. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Möge es gelingen, durch Auffindung neuer, sowie durch +Entzifferung der, noch ihrer Erklärung harrenden Denkmale +und Schriften, von welchen letzteren, Dank der hohen Munificenz +des Erlauchten Curators unserer Akademie, auch Wien +eine imposante Zahl aufweisen kann, möge es so gelingen +noch weitere Anhaltspunkte für die Kenntniss der mathematischen +Thätigkeit des uns bekannten ältesten Culturvolkes, +der Aegypter zu gewinnen! +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Diesen unseren Wunsch theilen gewiss Alle, denen die +Erforschung der Culturgeschichte des menschlichen Geschlechtes +nicht ohne Wichtigkeit erscheint! +</p> + </div> + <div class="tei tei-div" style="margin-bottom: 5.00em; margin-top: 5.00em"> + <dl class="tei tei-list-footnotes"><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_1" name="note_1" href="#noteref_1">1.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"><span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Herodot</span></span>, <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Reisebericht</span></span>, + <span class="tei tei-biblScope">II, 109</span></span>.</dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_2" name="note_2" href="#noteref_2">2.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Isokrates</span></span>, <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Busiris</span></span>, + <span class="tei tei-biblScope">c. 9.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_3" name="note_3" href="#noteref_3">3.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> +<span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-title"><em class="tei tei-emph"><span style="font-style: italic; font-weight: 700">Platonis</span></em><span style="font-style: italic"> Phaedrus</span></span>, + ed. <span class="tei tei-editor">Ast.</span> + <span class="tei tei-biblScope">I. p. 246.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_4" name="note_4" href="#noteref_4">4.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Aristoteles</span></span>, <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Metaph. I</span></span>, + <span class="tei tei-biblScope">1.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_5" name="note_5" href="#noteref_5">5.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Diodor</span></span>, <span class="tei tei-biblScope">I, 69</span></span>.</dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_6" name="note_6" href="#noteref_6">6.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + Herodot l. c.</dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_7" name="note_7" href="#noteref_7">7.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-title"><em class="tei tei-emph"><span style="font-style: italic; font-weight: 700">Heronis Alexandr.</span></em><span style="font-style: italic"> geom. et stereom. reliquiae</span></span>, + ed. <span class="tei tei-editor">Hultsch.</span> + <span class="tei tei-biblScope">p. 138.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_8" name="note_8" href="#noteref_8">8.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Diodor</span></span>, <span class="tei tei-biblScope"> I, 81.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_9" name="note_9" href="#noteref_9">9.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Strabon</span></span>, ed. <span class="tei tei-editor">Meinike</span>, + <span class="tei tei-biblScope">lib. XVII, C. 787, p. 1098.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_10" name="note_10" href="#noteref_10">10.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-title"><em class="tei tei-emph"><span style="font-style: italic; font-weight: 700">Eudemi Rhodii</span></em><span style="font-style: italic"> Peripatetici fragmenta quae + supersunt</span></span>. + ed. <span class="tei tei-editor">L. Spengel.</span> + <span class="tei tei-biblScope">Berlin 1870.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_11" name="note_11" href="#noteref_11">11.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"></span><span class="tei tei-title"><em class="tei tei-emph"><span style="font-style: italic; font-weight: 700">Procl.</span></em><span style="font-style: italic"> comment.</span></span> + ed. <span class="tei tei-editor">Rasil.</span> + <span class="tei tei-biblScope">p. 19;</span></span> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"></span><span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Barocius</span></span> + <span class="tei tei-biblScope">p. 37.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_12" name="note_12" href="#noteref_12">12.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Isokrates</span></span>, <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Busiris</span></span>, + <span class="tei tei-biblScope">cap. 11.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_13" name="note_13" href="#noteref_13">13.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Strabon</span></span>, + <span class="tei tei-biblScope">XIV, 1. 16.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_14" name="note_14" href="#noteref_14">14.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Porphyrius</span></span>, <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">De vita Pythagorae</span></span> + <span class="tei tei-biblScope">cap. 7;</span></span> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Diogenes Laertius</span></span>, + <span class="tei tei-biblScope">VIII, 3.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_15" name="note_15" href="#noteref_15">15.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Diodor</span></span>, <span class="tei tei-biblScope">I, c. 96.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_16" name="note_16" href="#noteref_16">16.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Proklos</span></span>, ed. <span class="tei tei-editor">Friedlein</span>, + <span class="tei tei-biblScope">250, 299, 352, 157.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_17" name="note_17" href="#noteref_17">17.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Diogenes Laertius</span></span>, + <span class="tei tei-biblScope">I, 27.</span></span> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Plinius</span></span>, <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Hist. nat.</span></span> + <span class="tei tei-biblScope">XXXVI, 12, 17.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_18" name="note_18" href="#noteref_18">18.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Plutarch</span></span>, ed. <span class="tei tei-editor">Didot.</span> + <span class="tei tei-biblScope">Vol. 2, III, p. 174.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_19" name="note_19" href="#noteref_19">19.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Diogenes Laertius</span></span> + <span class="tei tei-biblScope">I, 24–25.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_20" name="note_20" href="#noteref_20">20.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"><span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Montucla</span></span>, <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Hist. d. math.</span></span> + <span class="tei tei-biblScope">2. édit. t. I, p. 49.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_21" name="note_21" href="#noteref_21">21.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Bretschneider</span></span>, + <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Die Geometrie und die Geometer vor Euklides</span></span>, + <span class="tei tei-biblScope">p. 11.</span></span> +Dem Werke Bretschneiders, sowie jenem <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Cantor</span></span>'s: + <span id="t:c" class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Vorlesungen über Geschichte + der Mathematik</span></span></span>, sind die grundlegenden Gedanken entnommen.</dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_22" name="note_22" href="#noteref_22">22.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Clemens Alexandrinus</span></span>, <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Stromata</span></span>, + ed. <span class="tei tei-editor">Potter</span>, + <span class="tei tei-biblScope">I, 357.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_23" name="note_23" href="#noteref_23">23.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Theon Smyrnaios</span></span>, <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">lib. de astron.</span></span> + ed. <span class="tei tei-editor">Martin</span>, + <span class="tei tei-biblScope">p. 272.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_24" name="note_24" href="#noteref_24">24.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Prisse d'Avennes</span></span>, + <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Hist. de l'art Egypt. d'après les monuments.</span></span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_25" name="note_25" href="#noteref_25">25.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Wilkinson</span></span>, + <span id="t:w" class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Manners and customs of the ancient Egyptians</span></span>, + <span class="tei tei-biblScope">III, p. 313.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_26" name="note_26" href="#noteref_26">26.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Cicero</span></span>, <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">De finibus bonorum ed malorum</span></span> + <span class="tei tei-biblScope">I, 6, 20.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_27" name="note_27" href="#noteref_27">27.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Diogenes Laertius</span></span> + <span class="tei tei-biblScope">IX, 47.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_28" name="note_28" href="#noteref_28">28.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Cantor</span></span>, + <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Vorlesungen über Geschichte der Mathematik</span></span>, + <span class="tei tei-biblScope">I, p. 144–159</span> + (<span class="tei tei-pubPlace">Leipzig</span> <span class="tei tei-date">1880</span>).</span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_29" name="note_29" href="#noteref_29">29.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Eisenlohr</span></span>, + <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Ein math. Handbuch der alten Aegypter</span></span>. + <span class="tei tei-pubPlace">Leipzig</span> <span class="tei tei-date">1877</span>.</span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_30" name="note_30" href="#noteref_30">30.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Birch</span></span>, in Lepsius' + <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Zeitschrift für ägypt. Sprache und Alterthum</span></span>, + <span class="tei tei-date">1868</span>, <span class="tei tei-biblScope">p. 108.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_31" name="note_31" href="#noteref_31">31.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Lepsius</span></span>, <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">ägypt. Zeitschrift</span></span>, + <span class="tei tei-date">1871</span>, <span class="tei tei-biblScope">p. 63.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_32" name="note_32" href="#noteref_32">32.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Revillout, Eugène</span></span>, + <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Revue Egyptologique</span></span>, + <span class="tei tei-date">1881</span>, + <span class="tei tei-biblScope">Nr. II et III, p. 304.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_33" name="note_33" href="#noteref_33">33.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Eisenlohr</span></span>, + <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Ein math. Handbuch der alten Aegypter</span></span>. + <span class="tei tei-biblScope">Nr. 64.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_34" name="note_34" href="#noteref_34">34.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + ibid. Nr. 79.</dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_35" name="note_35" href="#noteref_35">35.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + ibid. p. 125.</dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_36" name="note_36" href="#noteref_36">36.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Cantor</span></span>, + <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Vorlesungen aus der Geschichte der Mathematik</span></span>, + <span class="tei tei-biblScope">I, p. 49.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_37" name="note_37" href="#noteref_37">37.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Wilkinson</span></span>, + <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Manners and customs u. s. w.</span></span> + <span class="tei tei-biblScope">III., p. 144.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_38" name="note_38" href="#noteref_38">38.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Brugsch</span></span>, + <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Ueber Bau und Maasse des Tempels von </span><span class="tei tei-name"><span style="font-style: italic; font-weight: 700">Edfu</span></span></span> + (<span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Zeitschrift für ägypt. Sprache u. Alterth.</span></span> + <span class="tei tei-biblScope">Bd. VIII.</span>)</span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_39" name="note_39" href="#noteref_39">39.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Cantor</span></span>, + <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Vorlesungen u. s. w.</span></span> + <span class="tei tei-biblScope">I, p. 55.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_40" name="note_40" href="#noteref_40">40.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Éd. Biot</span></span>, <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Journal Asiatique</span></span>, + <span class="tei tei-pubPlace">Paris</span> <span class="tei tei-date">1841</span>, + <span class="tei tei-biblScope">I. Sem. p. 593.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_41" name="note_41" href="#noteref_41">41.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Lepsius</span></span>, + <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Ueber eine hieroglyphische Inschrift am Tempel von </span><span class="tei tei-name"><span style="font-style: italic; font-weight: 700">Edfu</span></span></span>. + <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Abhandlung d. Acad. d. Wiss. in Berlin</span></span>, + <span class="tei tei-date">1855</span>, <span class="tei tei-biblScope">p. 69.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_42" name="note_42" href="#noteref_42">42.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Brugsch</span></span>, <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Thesaurus III</span></span>, + <span class="tei tei-pubPlace">Leipzig</span> <span class="tei tei-date">1884.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_43" name="note_43" href="#noteref_43">43.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Thukydides</span></span>, + ed. <span class="tei tei-editor">Rothe</span>, + <span class="tei tei-biblScope">VI. 1.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_44" name="note_44" href="#noteref_44">44.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"></span> ed. <span class="tei tei-editor">Olleris</span>, + <span class="tei tei-biblScope">Cap. LXX. p. 460.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_45" name="note_45" href="#noteref_45">45.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> +<span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-title"><em class="tei tei-emph"><span style="font-style: italic; font-weight: 700">Heronis Alexandrini</span></em><span style="font-style: italic"> geometricorum et stereometricorum reliquiae</span></span> + (ed. <span class="tei tei-editor">Hultsch</span>, + <span class="tei tei-pubPlace">Berlin</span> <span class="tei tei-date">1864</span>).</span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_46" name="note_46" href="#noteref_46">46.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Lepsius</span></span>, + <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Ueber die 6palmige grosse Elle von 7 kleinen Palmen Länge + in dem »math. Handbuche« von Eisenlohr</span></span>. + (<span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Zeitschrift f. äg. Sp.</span></span> + <span class="tei tei-date">1884.</span> <span class="tei tei-biblScope">1. Heft.)</span></span></dd></dl> + </div> + </div> + + <div class="tei tei-back" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 6.00em"> + <div class="tei tei-div" style="margin-bottom: 5.00em; margin-top: 5.00em"> + <div id="pgfooter" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 4.00em; margin-top: 4.00em"><pre class="pre tei tei-div" style="margin-bottom: 3.00em; margin-top: 3.00em">***END OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK UEBER DIE GEOMETRIE DER ALTEN AEGYPTER.*** +</pre><hr class="doublepage" /><div class="tei tei-div" style="margin-bottom: 3.00em; margin-top: 3.00em"><a name="rightpageheader1" id="rightpageheader1"></a><a name="pgtoc2" id="pgtoc2"></a><a name="pdf3" id="pdf3"></a><h1 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 3.46em; margin-top: 3.46em"><span style="font-size: 173%">Credits</span></h1><table summary="This is a list." class="tei tei-list" style="margin-bottom: 1.00em; margin-top: 1.00em"><tbody><tr><th class="tei tei-label tei-label-gloss">March 13, 2008 </th></tr><tr><td class="tei tei-item"><table summary="This is a list." class="tei tei-list" style="margin-bottom: 1.00em; margin-top: 1.00em"><tbody><tr class="tei tei-labelitem"><th class="tei tei-label"></th><td class="tei tei-item">Project Gutenberg TEI edition 01</td></tr><tr class="tei tei-labelitem"><th class="tei tei-label"></th><td class="tei tei-item"><span class="tei tei-respStmt"><span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">R. Stephan</span></span></span></td></tr></tbody></table></td></tr></tbody></table></div><hr class="doublepage" /><div class="tei tei-div" style="margin-bottom: 3.00em; margin-top: 3.00em"><a name="rightpageheader4" id="rightpageheader4"></a><a name="pgtoc5" id="pgtoc5"></a><a name="pdf6" id="pdf6"></a><h1 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 3.46em; margin-top: 3.46em"><span style="font-size: 173%">A Word from Project Gutenberg</span></h1><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">This file should be named + 24817-h.html or + 24817-h.zip.</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">This and all associated files of various formats will be found + in: + + <a href="http://www.gutenberg.org/dirs/2/4/8/1/24817/" class="block tei tei-xref" style="margin-bottom: 1.80em; margin-left: 3.60em; margin-top: 1.80em; margin-right: 3.60em"><span style="font-size: 90%">http://www.gutenberg.org</span><span style="font-size: 90%">/dirs/2/4/8/1/24817/</span></a></p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">Updated editions will replace the previous one — the old + editions will be renamed.</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">Creating the works from public domain print editions means that + no one owns a United States copyright in these works, so the + Foundation (and you!) can copy and distribute it in the United + States without permission and without paying copyright royalties. + Special rules, set forth in the General Terms of Use part of this + license, apply to copying and distributing Project Gutenberg™ electronic works + to protect the Project Gutenberg™ concept and trademark. Project Gutenberg is a registered + trademark, and may not be used if you charge for the eBooks, + unless you receive specific permission. If you do not charge + anything for copies of this eBook, complying with the rules is + very easy. You may use this eBook for nearly any purpose such as + creation of derivative works, reports, performances and research. + They may be modified and printed and given away — you may do + practically <em class="tei tei-emph"><span style="font-weight: 700">anything</span></em> with public domain eBooks. + Redistribution is subject to the trademark license, especially + commercial redistribution.</p></div><hr class="page" /><div id="pglicense" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 3.00em; margin-top: 3.00em"><a name="rightpageheader7" id="rightpageheader7"></a><a name="pgtoc8" id="pgtoc8"></a><a name="pdf9" id="pdf9"></a><h1 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 3.46em; margin-top: 3.46em"><span style="font-size: 173%">The Full Project Gutenberg License</span></h1><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"><em class="tei tei-emph"><span style="font-weight: 700">Please read this before you distribute or use this + work.</span></em></p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">To protect the Project Gutenberg™ mission of promoting the free + distribution of electronic works, by using or distributing + this work (or any other work associated in any way with the + phrase <span class="tei tei-q">Project Gutenberg</span>), you agree to comply with all the terms + of the Full Project Gutenberg™ License (<a href="#pglicense" class="tei tei-ref">available with this file</a> or online + at <a href="http://www.gutenberg.org/license" class="tei tei-xref">http://www.gutenberg.org/license</a>).</p><div id="pglicense1" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h2 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.88em; margin-top: 2.88em"><span style="font-size: 144%">Section 1.</span></h2><h2 class="tei tei-head" style="text-align: center; margin-bottom: 2.40em; margin-top: 2.40em"><span style="font-size: 120%">General Terms of Use & Redistributing Project Gutenberg™ + electronic works</span></h2><div id="pglicense1A" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h3 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.40em; margin-top: 2.40em"><span style="font-size: 120%">1.A.</span></h3><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">By reading or using any part of this Project Gutenberg™ electronic + work, you indicate that you have read, understand, agree to + and accept all the terms of this license and intellectual + property (trademark/copyright) agreement. If you do not agree + to abide by all the terms of this agreement, you must cease + using and return or destroy all copies of Project Gutenberg™ electronic + works in your possession. If you paid a fee for obtaining a + copy of or access to a Project Gutenberg™ electronic work and you do not + agree to be bound by the terms of this agreement, you may + obtain a refund from the person or entity to whom you paid the + fee as set forth in paragraph <a href="#pglicense1E8" class="tei tei-ref">1.E.8.</a></p></div><div id="pglicense1B" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h3 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.40em; margin-top: 2.40em"><span style="font-size: 120%">1.B.</span></h3><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"><span class="tei tei-q">Project Gutenberg</span> is a registered trademark. It may only be used on or + associated in any way with an electronic work by people who agree to be + bound by the terms of this agreement. There are a few things that you + can do with most Project Gutenberg™ electronic works even without complying with the + full terms of this agreement. See paragraph <a href="#pglicense1C" class="tei tei-ref">1.C</a> below. There are a lot of things you can + do with Project Gutenberg™ electronic works if you follow the terms of this + agreement and help preserve free future access to Project Gutenberg™ electronic + works. See paragraph <a href="#pglicense1E" class="tei tei-ref">1.E</a> below.</p></div><div id="pglicense1C" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h3 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.40em; margin-top: 2.40em"><span style="font-size: 120%">1.C.</span></h3><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">The Project Gutenberg Literary Archive Foundation (<span class="tei tei-q">the Foundation</span> or PGLAF), owns a compilation + copyright in the collection of Project Gutenberg™ electronic works. Nearly all the + individual works in the collection are in the public domain in the + United States. If an individual work is in the public domain in the + United States and you are located in the United States, we do not claim + a right to prevent you from copying, distributing, performing, + displaying or creating derivative works based on the work as long as all + references to Project Gutenberg are removed. Of course, we hope that you will support + the Project Gutenberg™ mission of promoting free access to electronic works by + freely sharing Project Gutenberg™ works in compliance with the terms of this + agreement for keeping the Project Gutenberg™ name associated with the work. You can + easily comply with the terms of this agreement by keeping this work in + the same format with its attached full Project Gutenberg™ License when you share it + without charge with others.</p></div><div id="pglicense1D" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h3 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.40em; margin-top: 2.40em"><span style="font-size: 120%">1.D.</span></h3><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">The copyright laws of the place where you are located also govern + what you can do with this work. Copyright laws in most countries are in + a constant state of change. If you are outside the United States, check + the laws of your country in addition to the terms of this agreement + before downloading, copying, displaying, performing, distributing or + creating derivative works based on this work or any other Project Gutenberg™ work. + The Foundation makes no representations concerning the copyright status + of any work in any country outside the United States.</p></div><div id="pglicense1E" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h3 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.40em; margin-top: 2.40em"><span style="font-size: 120%">1.E.</span></h3><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">Unless you have removed all references to Project Gutenberg:</p><div id="pglicense1E1" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h4 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em">1.E.1.</h4><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">The following sentence, with active links to, or other immediate + access to, the full Project Gutenberg™ License must appear prominently whenever any + copy of a Project Gutenberg™ work (any work on which the phrase <span class="tei tei-q">Project Gutenberg</span> + appears, or with which the phrase <span class="tei tei-q">Project Gutenberg</span> is associated) is + accessed, displayed, performed, viewed, copied or distributed: + + </p><div class="block tei tei-q" style="margin-bottom: 1.80em; margin-left: 3.60em; margin-top: 1.80em; margin-right: 3.60em"><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 0.90em"><span style="font-size: 90%">This eBook is for the use of + anyone anywhere at no cost and with almost no + restrictions whatsoever. You may copy it, give it + away or re-use it under the terms of the Project + Gutenberg License included with this eBook or + online at </span><a href="http://www.gutenberg.org" class="tei tei-xref"><span style="font-size: 90%">http://www.gutenberg.org</span></a></p></div></div><div id="pglicense1E2" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h4 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em">1.E.2.</h4><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">If an individual Project Gutenberg™ electronic work is derived from the public + domain (does not contain a notice indicating that it is posted with + permission of the copyright holder), the work can be copied and + distributed to anyone in the United States without paying any fees or + charges. If you are redistributing or providing access to a work with + the phrase <span class="tei tei-q">Project Gutenberg</span> associated with or appearing on the work, you + must comply either with the requirements of paragraphs <a href="#pglicense1E1" class="tei tei-ref">1.E.1</a> through 1.E.7 or obtain permission for + the use of the work and the Project Gutenberg™ trademark as set forth in paragraphs + <a href="#pglicense1E8" class="tei tei-ref">1.E.8</a> or 1.E.9.</p></div><div id="pglicense1E3" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h4 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em">1.E.3.</h4><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">If an individual Project Gutenberg™ electronic work is posted with the permission + of the copyright holder, your use and distribution must comply with both + paragraphs <a href="#pglicense1E1" class="tei tei-ref">1.E.1</a> through 1.E.7 and any + additional terms imposed by the copyright holder. Additional terms will + be linked to the Project Gutenberg™ License for all works posted with the permission + of the copyright holder found at the beginning of this work.</p></div><div id="pglicense1E4" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h4 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em">1.E.4.</h4><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">Do not unlink or detach or remove the full Project Gutenberg™ License terms from + this work, or any files containing a part of this work or any other work + associated with Project Gutenberg™.</p></div><div id="pglicense1E5" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h4 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em">1.E.5.</h4><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">Do not copy, display, perform, distribute or redistribute this + electronic work, or any part of this electronic work, without + prominently displaying the sentence set forth in paragraph <a href="#pglicense1E1" class="tei tei-ref">1.E.1</a> with active links or immediate access + to the full terms of the Project Gutenberg™ License.</p></div><div id="pglicense1E6" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h4 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em">1.E.6.</h4><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">You may convert to and distribute this work in any binary, + compressed, marked up, nonproprietary or proprietary form, including + any word processing or hypertext form. However, if you provide access + to or distribute copies of a Project Gutenberg™ work in a format other than + <span class="tei tei-q">Plain Vanilla ASCII</span> or other format used in the official + version posted on the official Project Gutenberg™ web site (http://www.gutenberg.org), you must, at + no additional cost, fee or expense to the user, provide a copy, a + means of exporting a copy, or a means of obtaining a copy upon + request, of the work in its original <span class="tei tei-q">Plain Vanilla ASCII</span> or + other form. Any alternate format must include the full Project Gutenberg™ License + as specified in paragraph <a href="#pglicense1E1" class="tei tei-ref">1.E.1.</a></p></div><div id="pglicense1E7" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h4 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em">1.E.7.</h4><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">Do not charge a fee for access to, viewing, displaying, performing, + copying or distributing any Project Gutenberg™ works unless you comply with + paragraph <a href="#pglicense1E8" class="tei tei-ref">1.E.8</a> or 1.E.9.</p></div><div id="pglicense1E8" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h4 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em">1.E.8.</h4><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">You may charge a reasonable fee for copies of or providing access to + or distributing Project Gutenberg™ electronic works provided that</p><table summary="This is a list." class="tei tei-list" style="margin-bottom: 1.00em; margin-top: 1.00em"><tbody><tr class="tei tei-labelitem"><th class="tei tei-label">• </th><td class="tei tei-item"><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">You pay a royalty fee of 20% of the gross profits you derive from + the use of Project Gutenberg™ works calculated using the method you already use to + calculate your applicable taxes. The fee is owed to the owner of the + Project Gutenberg™ trademark, but he has agreed to donate royalties under this + paragraph to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation. Royalty payments must be paid within 60 days + following each date on which you prepare (or are legally required to + prepare) your periodic tax returns. Royalty payments should be clearly + marked as such and sent to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation at the address specified in <a href="#pglicense4" class="tei tei-ref">Section 4, <span class="tei tei-q">Information about donations to the + Project Gutenberg Literary Archive Foundation.</span></a></p></td></tr><tr class="tei tei-labelitem"><th class="tei tei-label"></th><td class="tei tei-item"><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">You provide a full refund of any money paid by a user who notifies + you in writing (or by e-mail) within 30 days of receipt that s/he does + not agree to the terms of the full Project Gutenberg™ License. You must require such + a user to return or destroy all copies of the works possessed in a + physical medium and discontinue all use of and all access to other + copies of Project Gutenberg™ works.</p></td></tr><tr class="tei tei-labelitem"><th class="tei tei-label"></th><td class="tei tei-item"><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">You provide, in accordance with paragraph <a href="#pglicense1F3" class="tei tei-ref">1.F.3</a>, a full refund of any money paid for a + work or a replacement copy, if a defect in the electronic work is + discovered and reported to you within 90 days of receipt of the + work.</p></td></tr><tr class="tei tei-labelitem"><th class="tei tei-label"></th><td class="tei tei-item"><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">You comply with all other terms of this agreement for free + distribution of Project Gutenberg™ works.</p></td></tr></tbody></table></div><div id="pglicense1E9" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h4 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em">1.E.9.</h4><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">If you wish to charge a fee or distribute a Project Gutenberg™ electronic work or + group of works on different terms than are set forth in this agreement, + you must obtain permission in writing from both the Project Gutenberg Literary Archive Foundation and Michael + Hart, the owner of the Project Gutenberg™ trademark. Contact the Foundation as set + forth in <a href="#pglicense3" class="tei tei-ref">Section 3</a> below.</p></div></div><div id="pglicense1F" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h3 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.40em; margin-top: 2.40em"><span style="font-size: 120%">1.F.</span></h3><div id="pglicense1F1" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h4 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em">1.F.1.</h4><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">Project Gutenberg volunteers and employees expend considerable effort to identify, + do copyright research on, transcribe and proofread public domain works + in creating the Project Gutenberg™ collection. Despite these efforts, Project Gutenberg™ + electronic works, and the medium on which they may be stored, may + contain <span class="tei tei-q">Defects,</span> such as, but not limited to, incomplete, + inaccurate or corrupt data, transcription errors, a copyright or other + intellectual property infringement, a defective or damaged disk or other + medium, a computer virus, or computer codes that damage or cannot be + read by your equipment.</p></div><div id="pglicense1F2" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h4 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em">1.F.2.</h4><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">LIMITED WARRANTY, DISCLAIMER OF DAMAGES — Except for the <span class="tei tei-q">Right of + Replacement or Refund</span> described in <a href="#pglicense1F3" class="tei tei-ref">paragraph + 1.F.3</a>, the Project Gutenberg Literary Archive Foundation, the owner of the Project Gutenberg™ trademark, and any + other party distributing a Project Gutenberg™ electronic work under this agreement, + disclaim all liability to you for damages, costs and expenses, including + legal fees. YOU AGREE THAT YOU HAVE NO REMEDIES FOR NEGLIGENCE, STRICT + LIABILITY, BREACH OF WARRANTY OR BREACH OF CONTRACT EXCEPT THOSE + PROVIDED IN PARAGRAPH F3. YOU AGREE THAT THE FOUNDATION, THE TRADEMARK + OWNER, AND ANY DISTRIBUTOR UNDER THIS AGREEMENT WILL NOT BE LIABLE TO + YOU FOR ACTUAL, DIRECT, INDIRECT, CONSEQUENTIAL, PUNITIVE OR INCIDENTAL + DAMAGES EVEN IF YOU GIVE NOTICE OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.</p></div><div id="pglicense1F3" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h4 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em">1.F.3.</h4><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">LIMITED RIGHT OF REPLACEMENT OR REFUND — If you discover a defect in + this electronic work within 90 days of receiving it, you can receive a + refund of the money (if any) you paid for it by sending a written + explanation to the person you received the work from. If you received + the work on a physical medium, you must return the medium with your + written explanation. The person or entity that provided you with the + defective work may elect to provide a replacement copy in lieu of a + refund. If you received the work electronically, the person or entity + providing it to you may choose to give you a second opportunity to + receive the work electronically in lieu of a refund. If the second copy + is also defective, you may demand a refund in writing without further + opportunities to fix the problem.</p></div><div id="pglicense1F4" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h4 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em">1.F.4.</h4><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">Except for the limited right of replacement or refund set forth in + <a href="#pglicense1F3" class="tei tei-ref">paragraph 1.F.3</a>, this work is provided + to you 'AS-IS,' WITH NO OTHER WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR + IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO WARRANTIES OF MERCHANTIBILITY OR + FITNESS FOR ANY PURPOSE.</p></div><div id="pglicense1F5" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h4 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em">1.F.5.</h4><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">Some states do not allow disclaimers of certain implied warranties or + the exclusion or limitation of certain types of damages. If any + disclaimer or limitation set forth in this agreement violates the law of + the state applicable to this agreement, the agreement shall be + interpreted to make the maximum disclaimer or limitation permitted by + the applicable state law. The invalidity or unenforceability of any + provision of this agreement shall not void the remaining provisions.</p></div><div id="pglicense1F6" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h4 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em">1.F.6.</h4><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">INDEMNITY — You agree to indemnify and hold the Foundation, the + trademark owner, any agent or employee of the Foundation, anyone + providing copies of Project Gutenberg™ electronic works in accordance with this + agreement, and any volunteers associated with the production, promotion + and distribution of Project Gutenberg™ electronic works, harmless from all + liability, costs and expenses, including legal fees, that arise directly + or indirectly from any of the following which you do or cause to occur: + (a) distribution of this or any Project Gutenberg™ work, (b) alteration, + modification, or additions or deletions to any Project Gutenberg™ work, and (c) any + Defect you cause.</p></div></div></div><div id="pglicense2" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h2 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.88em; margin-top: 2.88em"><span style="font-size: 144%">Section 2.</span></h2><h2 class="tei tei-head" style="text-align: center; margin-bottom: 2.40em; margin-top: 2.40em"><span style="font-size: 120%">Information about the Mission of Project Gutenberg™</span></h2><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">Project Gutenberg™ is synonymous with the free distribution of electronic works + in formats readable by the widest variety of computers including + obsolete, old, middle-aged and new computers. It exists because of the + efforts of hundreds of volunteers and donations from people in all walks + of life.</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">Volunteers and financial support to provide volunteers with the + assistance they need, is critical to reaching Project Gutenberg™'s goals and + ensuring that the Project Gutenberg™ collection will remain freely available for + generations to come. In 2001, the Project Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a + secure and permanent future for Project Gutenberg™ and future generations. To learn + more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation and how your efforts and donations can help, see + Sections <a href="#pglicense3" class="tei tei-ref">3</a> and <a href="#pglicense4" class="tei tei-ref">4</a> and the Foundation web page at <a href="http://www.pglaf.org" class="tei tei-xref">http://www.pglaf.org</a>.</p></div><div id="pglicense3" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h2 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.88em; margin-top: 2.88em"><span style="font-size: 144%">Section 3.</span></h2><h2 class="tei tei-head" style="text-align: center; margin-bottom: 2.40em; margin-top: 2.40em"><span style="font-size: 120%">Information about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation</span></h2><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit 501(c)(3) educational corporation + organized under the laws of the state of Mississippi and granted tax + exempt status by the Internal Revenue Service. The Foundation's EIN or + federal tax identification number is 64-6221541. Its 501(c)(3) letter + is posted at <a href="http://www.gutenberg.org/fundraising/pglaf" class="tei tei-xref">http://www.gutenberg.org/fundraising/pglaf</a>. Contributions + to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent permitted by U.S. + federal laws and your state's laws.</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. + S. Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are + scattered throughout numerous locations. Its business office is + located at 809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) + 596-1887, email business@pglaf.org. Email contact links and up to date + contact information can be found at the Foundation's web site and + official page at <a href="http://www.pglaf.org" class="tei tei-xref">http://www.pglaf.org</a></p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">For additional contact information: + + </p><div class="block tei tei-address" style="margin-bottom: 1.80em; margin-left: 3.60em; margin-top: 1.80em; margin-right: 3.60em"><span class="tei tei-addrLine"><span style="font-size: 90%">Dr. Gregory B. Newby</span></span><br /><span class="tei tei-addrLine"><span style="font-size: 90%">Chief Executive and Director</span></span><br /><span class="tei tei-addrLine"><span style="font-size: 90%">gbnewby@pglaf.org</span></span><br /></div></div><div id="pglicense4" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h2 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.88em; margin-top: 2.88em"><span style="font-size: 144%">Section 4.</span></h2><h2 class="tei tei-head" style="text-align: center; margin-bottom: 2.40em; margin-top: 2.40em"><span style="font-size: 120%">Information about Donations to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation</span></h2><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">Project Gutenberg™ depends upon and cannot survive without wide spread public + support and donations to carry out its mission of increasing the number + of public domain and licensed works that can be freely distributed in + machine readable form accessible by the widest array of equipment + including outdated equipment. Many small donations ($1 to $5,000) are + particularly important to maintaining tax exempt status with the + IRS.</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">The Foundation is committed to complying with the laws regulating + charities and charitable donations in all 50 states of the United + States. Compliance requirements are not uniform and it takes a + considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up + with these requirements. We do not solicit donations in locations where + we have not received written confirmation of compliance. To SEND + DONATIONS or determine the status of compliance for any particular state + visit <a href="http://www.gutenberg.org/fundraising/donate" class="tei tei-xref">http://www.gutenberg.org/fundraising/donate</a></p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">While we cannot and do not solicit contributions from states where we + have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition + against accepting unsolicited donations from donors in such states who + approach us with offers to donate.</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">International donations are gratefully accepted, but we cannot make + any statements concerning tax treatment of donations received from + outside the United States. U.S. laws alone swamp our small staff.</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation methods and + addresses. Donations are accepted in a number of other ways including + checks, online payments and credit card donations. To donate, please + visit: <a href="http://www.gutenberg.org/fundraising/donate" class="tei tei-xref">http://www.gutenberg.org/fundraising/donate</a></p></div><div id="pglicense5" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h2 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.88em; margin-top: 2.88em"><span style="font-size: 144%">Section 5.</span></h2><h2 class="tei tei-head" style="text-align: center; margin-bottom: 2.40em; margin-top: 2.40em"><span style="font-size: 120%">General Information About Project Gutenberg™ electronic + works.</span></h2><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"><span class="tei tei-name">Professor Michael S. Hart</span> is the + originator of the Project Gutenberg™ concept of a library of electronic works that + could be freely shared with anyone. For thirty years, he produced and + distributed Project Gutenberg™ eBooks with only a loose network of volunteer + support.</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">Project Gutenberg™ eBooks are often created from several printed editions, all of + which are confirmed as Public Domain in the U.S. unless a copyright + notice is included. Thus, we do not necessarily keep eBooks in + compliance with any particular paper edition.</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">Each eBook is in a subdirectory of the same number as the eBook's + eBook number, often in several formats including plain vanilla ASCII, + compressed (zipped), HTML and others.</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">Corrected <em class="tei tei-emph"><span style="font-weight: 700">editions</span></em> of our eBooks replace the old file + and take over the old filename and etext number. The replaced older file + is renamed. <em class="tei tei-emph"><span style="font-weight: 700">Versions</span></em> based on separate sources are treated + as new eBooks receiving new filenames and etext numbers.</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">Most people start at our Web site which has the main PG search + facility: + + <a href="http://www.gutenberg.org" class="block tei tei-xref" style="margin-bottom: 1.80em; margin-left: 3.60em; margin-top: 1.80em; margin-right: 3.60em"><span style="font-size: 90%">http://www.gutenberg.org</span></a></p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">This Web site includes information about Project Gutenberg™, including how to + make donations to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and + how to subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks.</p></div></div></div> + </div> + </div> +</div> +</body></html> diff --git a/24817-page-images/p003.tiff b/24817-page-images/p003.tiff Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..1df94c7 --- /dev/null +++ b/24817-page-images/p003.tiff diff --git a/24817-page-images/p004.tiff b/24817-page-images/p004.tiff Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..1f33ccc --- /dev/null +++ b/24817-page-images/p004.tiff diff --git a/24817-page-images/p005.tiff b/24817-page-images/p005.tiff Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..70d48d3 --- /dev/null +++ b/24817-page-images/p005.tiff diff --git a/24817-page-images/p006.tiff b/24817-page-images/p006.tiff Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..cf3e3f3 --- /dev/null +++ b/24817-page-images/p006.tiff diff --git a/24817-page-images/p007.tiff b/24817-page-images/p007.tiff Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..209f44c --- /dev/null +++ b/24817-page-images/p007.tiff diff --git a/24817-page-images/p008.tiff b/24817-page-images/p008.tiff Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..05f4a0e --- /dev/null +++ b/24817-page-images/p008.tiff diff --git a/24817-page-images/p009.tiff b/24817-page-images/p009.tiff Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..2c4f559 --- /dev/null +++ b/24817-page-images/p009.tiff diff --git a/24817-page-images/p010.tiff b/24817-page-images/p010.tiff Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..697ae96 --- /dev/null +++ b/24817-page-images/p010.tiff diff --git a/24817-page-images/p011.tiff b/24817-page-images/p011.tiff Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..c417579 --- /dev/null +++ b/24817-page-images/p011.tiff diff --git a/24817-page-images/p012.tiff b/24817-page-images/p012.tiff Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..3097e64 --- /dev/null +++ b/24817-page-images/p012.tiff diff --git a/24817-page-images/p013.tiff b/24817-page-images/p013.tiff Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..541faf6 --- /dev/null +++ b/24817-page-images/p013.tiff diff --git a/24817-page-images/p014.tiff b/24817-page-images/p014.tiff Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..6ae85b7 --- /dev/null +++ b/24817-page-images/p014.tiff diff --git a/24817-page-images/p015.tiff b/24817-page-images/p015.tiff Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..ae2486f --- /dev/null +++ b/24817-page-images/p015.tiff diff --git a/24817-page-images/p016.tiff b/24817-page-images/p016.tiff Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..310e3be --- /dev/null +++ b/24817-page-images/p016.tiff diff --git a/24817-page-images/p017.tiff b/24817-page-images/p017.tiff Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..3469894 --- /dev/null +++ b/24817-page-images/p017.tiff diff --git a/24817-page-images/p018.tiff b/24817-page-images/p018.tiff Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..dfc99ba --- /dev/null +++ b/24817-page-images/p018.tiff diff --git a/24817-page-images/p019.tiff b/24817-page-images/p019.tiff Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..35e5973 --- /dev/null +++ b/24817-page-images/p019.tiff diff --git a/24817-page-images/p020.tiff b/24817-page-images/p020.tiff Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..0508218 --- /dev/null +++ b/24817-page-images/p020.tiff diff --git a/24817-page-images/p021.tiff b/24817-page-images/p021.tiff Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..2140f51 --- /dev/null +++ b/24817-page-images/p021.tiff diff --git a/24817-page-images/p022.tiff b/24817-page-images/p022.tiff Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..03dbc4e --- /dev/null +++ b/24817-page-images/p022.tiff diff --git a/24817-page-images/p023.tiff b/24817-page-images/p023.tiff Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..ddc4c9e --- /dev/null +++ b/24817-page-images/p023.tiff diff --git a/24817-page-images/p024.tiff b/24817-page-images/p024.tiff Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..821aed5 --- /dev/null +++ b/24817-page-images/p024.tiff diff --git a/24817-page-images/p025.tiff b/24817-page-images/p025.tiff Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..f5fdd4f --- /dev/null +++ b/24817-page-images/p025.tiff diff --git a/24817-page-images/p026.tiff b/24817-page-images/p026.tiff Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..0d3a353 --- /dev/null +++ b/24817-page-images/p026.tiff diff --git a/24817-page-images/p027.tiff b/24817-page-images/p027.tiff Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..2d93018 --- /dev/null +++ b/24817-page-images/p027.tiff diff --git a/24817-page-images/p028.tiff b/24817-page-images/p028.tiff Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..e87fce6 --- /dev/null +++ b/24817-page-images/p028.tiff diff --git a/24817-page-images/p029.tiff b/24817-page-images/p029.tiff Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..715e179 --- /dev/null +++ b/24817-page-images/p029.tiff diff --git a/24817-page-images/p030.tiff b/24817-page-images/p030.tiff Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..d8ae740 --- /dev/null +++ b/24817-page-images/p030.tiff diff --git a/24817-page-images/p031.tiff b/24817-page-images/p031.tiff Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..e1d3e24 --- /dev/null +++ b/24817-page-images/p031.tiff diff --git a/24817-page-images/p032.tiff b/24817-page-images/p032.tiff Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..3a7d37e --- /dev/null +++ b/24817-page-images/p032.tiff diff --git a/24817-page-images/p033.tiff b/24817-page-images/p033.tiff Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..e30e440 --- /dev/null +++ b/24817-page-images/p033.tiff diff --git a/24817-page-images/p034.tiff b/24817-page-images/p034.tiff Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..5e0ed8f --- /dev/null +++ b/24817-page-images/p034.tiff diff --git a/24817-page-images/p035.tiff b/24817-page-images/p035.tiff Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..cf460ad --- /dev/null +++ b/24817-page-images/p035.tiff diff --git a/24817-page-images/title.tiff b/24817-page-images/title.tiff Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..0f9be65 --- /dev/null +++ b/24817-page-images/title.tiff diff --git a/24817-page-images/verso.tiff b/24817-page-images/verso.tiff Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..b61389e --- /dev/null +++ b/24817-page-images/verso.tiff diff --git a/24817-pdf.pdf b/24817-pdf.pdf new file mode 100644 index 0000000..9eb8e3b --- /dev/null +++ b/24817-pdf.pdf @@ -0,0 +1,3193 @@ +%PDF-1.4 +3 0 obj << +/Length 1415 +>> +stream +1 0 0 1 46.7715 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -280.6297 -19.7995 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -529.134 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 46.7715 518.1751 Td[(The)-266(Project)-267(Gutenberg)-266(EBook)-267(of)-266(Ueber)-266(die)-267(Geometrie)-266(der)-266(alten)]TJ 0 -13.5492 Td[(Aegypter.)-250(by)-250(Emil)-250(Weyr)]TJ 0 -29.9128 Td[(This)-380(eBook)-380(is)-381(for)-380(the)-380(use)-380(of)-380(anyone)-381(anywhere)-380(at)-380(no)-380(cost)-380(and)]TJ 0 -13.5492 Td[(with)-327(almost)-327(no)-327(restrictions)-327(whatsoever.)-480(You)-327(may)-327(copy)-327(it,)-346(give)]TJ 0 -13.5492 Td[(it)-400(away)-399(or)-400(re-use)-400(it)-399(under)-400(the)-400(terms)-399(of)-400(the)-400(Project)-399(Gutenberg)]TJ 0 -13.5492 Td[(License)-240(included)-240(with)-240(this)-240(eBook)-240(or)-240(online)-240(at)-240(http://www.guten-)]TJ 0 -13.5492 Td[(berg.org/license)]TJ 0 -29.9128 Td[(Title:)-500(Ueber)-500(die)-500(Geometrie)-500(der)-500(alten)-500(Aegypter.)]TJ 0 -27.0984 Td[(Author:)-500(Emil)-500(Weyr)]TJ 0 -27.0984 Td[(Release)-500(Date:)-500(March)-500(13,)-500(2008)-500([Ebook)-500(24817])]TJ 0 -27.0984 Td[(Language:)-500(German)]TJ 0 -40.6476 Td[(***START)-500(OF)-500(THE)-500(PROJECT)-500(GUTENBERG)-500(EBOOK)]TJ 0 -13.5492 Td[(UEBER)-500(DIE)-500(GEOMETRIE)-500(DER)-500(ALTEN)-500(AEGYPTER.***)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +2 0 obj << +/Type /Page +/Contents 3 0 R +/Resources 1 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 10 0 R +/Annots [ 7 0 R 8 0 R 9 0 R ] +>> endobj +7 0 obj << +/Type /Annot +/BS << /Type /Border /S /U >> /H /I /C [0 1 1] +/Rect [83.3175 431.6873 192.3882 441.4073] +/Subtype /Link +/A << /S /GoTo /D (pglicense) >> +>> endobj +8 0 obj << +/Type /Annot + /BS << /Type /Border /S /U >> /H /I /C [1 0.5 0.5] +/Rect [247.0996 431.6873 327.4012 441.4073] + /Subtype /Link /A << /Type /Action /S /URI /URI (http://www.gutenberg.org/license) >> +>> endobj +9 0 obj << +/Type /Annot + /BS << /Type /Border /S /U >> /H /I /C [1 0.5 0.5] +/Rect [46.7715 418.1381 116.7532 427.8581] + /Subtype /Link /A << /Type /Action /S /URI /URI (http://www.gutenberg.org/license) >> +>> endobj +4 0 obj << +/D [2 0 R /XYZ 46.7715 529.134 null] +>> endobj +1 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +14 0 obj << +/Length 135 +>> +stream +1 0 0 1 93.5434 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -280.6297 -510.1518 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +13 0 obj << +/Type /Page +/Contents 14 0 R +/Resources 12 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 10 0 R +>> endobj +12 0 obj << +/ProcSet [ /PDF ] +>> endobj +17 0 obj << +/Length 1662 +>> +stream +1 0 0 1 46.7715 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -327.4012 -548.9335 cm +BT +/F16 13.1507 Tf 156.7342 518.0611 Td[(\334BER)-283(DIE)]TJ/F16 18.9589 Tf -73.3362 -24.6465 Td[(GEOMETRIE)-257(DER)-258(ALTEN)]TJ 58.3957 -24.6465 Td[(\306GYPTER)]TJ +ET +1 0 0 1 152.0077 452.2301 cm +q +[]0 d +0 J +0.3985 w +0 0.1992 m +70.1574 0.1992 l +S +Q +1 0 0 1 -152.0077 -452.2301 cm +BT +/F16 15.7808 Tf 154.9295 428.7262 Td[(VORTRAG)]TJ/F16 9.8629 Tf -5.9593 -12.8218 Td[(GEHALTEN)-277(IN)-277(DER)]TJ/F16 13.1507 Tf -43.0253 -17.0958 Td[(FEIERLICHEN)-264(SITZUNG)-264(DER)]TJ -18.3665 -17.0959 Td[(KAISERLICHEN)-262(AKADEMIE)-263(DER)]TJ 41.0599 -17.0958 Td[(WISSENSCHAFTEN)]TJ/F16 9.8629 Tf 56.481 -12.8219 Td[(AM)]TJ/F16 13.1507 Tf -75.3497 -17.0958 Td[(XXIX.)-265(MAI)-266(MDCCCLXXXIV)]TJ/F16 9.8629 Tf 72.6128 -12.8218 Td[(VON)]TJ/F16 15.7808 Tf -49.064 -20.5151 Td[(DR.)-272(EMIL)-273(WEYR)]TJ/F16 9.8629 Tf -48.7091 -12.8218 Td[(WIRKLICHEM)-258(MITGLIEDE)-258(DER)-257(KAISERLICHEN)]TJ 18.6176 -12.8218 Td[(AKADEMIE)-267(DER)-267(WISSENSCHAFTEN.)]TJ +ET +1 0 0 1 152.0077 259.1807 cm +q +[]0 d +0 J +0.3985 w +0 0.1992 m +70.1574 0.1992 l +S +Q +1 0 0 1 -152.0077 -259.1807 cm +BT +/F16 15.7808 Tf 172.47 235.6768 Td[(WIEN)]TJ/F16 10.9589 Tf -98.4234 -14.2466 Td[(AUS)-255(DER)-254(K.)-255(K.)-254(HOF-)-255(UND)-255(STAATSDRUCKEREI.)]TJ 4.9327 -14.2466 Td[(IN)-256(COMMISSION)-256(BEI)-256(KARL)-256(GEROLD'S)-256(SOHN,)]TJ -11.5147 -14.2466 Td[(BUCHH\304NDLER)-253(DER)-252(KAISERLICHEN)-253(AKADEMIE)]TJ 57.0881 -14.2465 Td[(DER)-273(WISSENSCHAFTEN.)]TJ/F16 13.1507 Tf 55.3606 -17.0959 Td[(1884)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +16 0 obj << +/Type /Page +/Contents 17 0 R +/Resources 15 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 10 0 R +>> endobj +15 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +20 0 obj << +/Length 135 +>> +stream +1 0 0 1 93.5434 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -280.6297 -510.1518 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +19 0 obj << +/Type /Page +/Contents 20 0 R +/Resources 18 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 10 0 R +>> endobj +18 0 obj << +/ProcSet [ /PDF ] +>> endobj +23 0 obj << +/Length 3895 +>> +stream +1 0 0 1 46.7715 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -280.6297 -19.7995 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -529.134 cm +BT +/F16 7.9701 Tf 337.795 512.8112 Td[([03])]TJ/F16 10.9091 Tf -291.0235 -48.5183 Td[(M\366ge)-194(mir)-194(gestattet)-194(sein,)-205(bei)-194(dem)-194(heutigen)-194(feierlichen)-194(Anlasse)-193(ein)]TJ 0 -13.5492 Td[(Bild)-342(zu)-341(entrollen,)-365(welches)-341(in)-342(grossen)-341(Strichen)-342(die)-341(allgemeinen)]TJ 0 -13.5492 Td[(Umrisse)-399(des)-400(Zustandes)-399(der)-400(geometrischen)-399(Wissenschaften)-399(bei)]TJ 0 -13.5492 Td[(den)-222(alten)-222(Aegyptern)-222(zur)-222(Darstellung)-221(bringen)-222(soll;)-232(und)-222(m\366ge)-221(das-)]TJ 0 -13.5492 Td[(selbe)-266(Wohlwollen,)-270(das,)-269(gepaart)-266(mit)-266(einer)-266(althergebrachten)-265(Sitte,)]TJ 0 -13.5492 Td[(mich)-254(heute)-254(auf)-254(diesen)-254(eben)-254(so)-254(ehrenvollen)-254(als)-253(schwierigen)-254(Platz)]TJ 0 -13.5492 Td[(gestellt,)-304(auch)-293(bei)-293(der)-294(Beurtheilung)-293(der)-293(folgenden)-293(bescheidenen,)]TJ 0 -13.5492 Td[(weil)-250(schwachen)-250(Kr\344ften)-250(entspringenden)-250(Leistung)-250(obwalten!)]TJ 11.9552 -16.1613 Td[(So)-498(wie)-499(der)-498(Anfang)-498(aller)-499(menschlichen)-498(Kenntnisse,)-560(so)-499(ist)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(auch)-466(der)-467(Ursprung)-466(der)-466(Geometrie)-467(in)-466(grauestes)-466(Alterthum)-466(zu)]TJ 0 -13.5492 Td[(versetzen,)-302(er)-292(ist)-291(zu)-292(suchen)-291(in)-292(jenen)-292(der)-291(Zeit)-292(nach)-291(unangebbaren)]TJ 0 -13.5492 Td[(Perioden)-381(der)-381(menschlichen)-382(Entwicklung,)-414(in)-381(welchen)-381(das)-381(erste)]TJ 0 -13.5492 Td[(Erwachen)-417(des)-418(Selbstbewusstseins)-417(zu)-418(finden)-417(w\344re.)-752(Sind)-417(doch)]TJ 0 -13.5492 Td[(manche)-255(geometrische)-255(Anschauungen)-255(auch)-254(dem)-255(Thiere)-255(eigen;)-257(so)]TJ 0 -13.5492 Td[(jene)-397(der)-397(geraden)-397(Verbindungslinie)-397(zweier)-397(Punkte)-397(als)-396(der)-397(k\374r-)]TJ 0 -13.5492 Td[(zesten)-303(Entfernung;)-330(jene)-303(des)-304(Mehr)-303(und)-303(Weniger)-303(bei)-303(Quantit\344ten)]TJ 0 -13.5492 Td[(der)-240(Entfernungen,)-242(H\366hen,)-242(Neigungen,)-242(und)-240(so)-240(werden)-240(auch)-239(man-)]TJ 0 -13.5492 Td[(che)-239(abstractere)-240(Raumanschauungen)-239(dem)-240(Menschen)-239(in)-240(seinen)-239(er-)]TJ 0 -13.5492 Td[(sten)-188(Entwicklungsperioden)-188(eigen)-187(geworden)-188(sein,)-200(Anschauungen,)]TJ 0 -13.5492 Td[(welche)-355(durch)-355(die)-356(M\366glichkeit)-355(und)-355(auf)-355(Grund)-355(der)-355(sprachlichen)]TJ 0 -13.5492 Td[(Bezeichnung)-270(jene)-271(Stabilit\344t)-270(erhielten,)-276(die)-270(sie)-271(bef\344higte,)-275(als)-270(erste)]TJ 0 -13.5492 Td[(Fundamente)-442(der)-442(geometrischen)-443(Kenntnisse)-442(zun\344chst,)-490(und)-442(der)]TJ 0 -13.5492 Td[(Geometrie)-250(als)-250(Wissenschaft)-250(sp\344ter)-250(aufzutreten.)]TJ/F16 7.9701 Tf 291.0235 0 Td[([04])]TJ/F16 10.9091 Tf -279.0683 -16.1612 Td[(Geometrisches)-300(Denken)-301(entstand)-300(zu)-300(den)-300(verschiedensten)-301(Zei-)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(ten,)-212(an)-202(den)-202(verschiedensten)-202(Orten.)-234(Denn)-202(\374berall,)-212(wo)-202(der)-202(mensch-)]TJ 0 -13.5492 Td[(liche)-463(Geist)-463(sich)-463(zu)-463(entwickeln)-462(begann,)-517(und)-463(das)-462(menschliche)]TJ 0 -13.5492 Td[(Denken)-481(jene)-482(H\366he)-481(erreichte,)-539(auf)-482(welcher)-481(Abstractionen)-481(ent-)]TJ 0 -13.5492 Td[(stehen,)-368(bildeten)-344(sich)-344(die)-344(grundlegenden)-344(Raumbegriffe;)-391(der)-344(des)]TJ 0 -13.5492 Td[(Punktes,)-553(der)-493(geraden)-493(und)-492(krummen)-493(Linien,)-553(der)-493(ebenen)-492(und)]TJ 0 -13.5492 Td[(krummen)-377(Fl\344chen.)-630(Denn)-377(\374berall)-377(in)-377(der)-377(Natur)-377(boten)-377(sich)-376(dem)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +22 0 obj << +/Type /Page +/Contents 23 0 R +/Resources 21 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 10 0 R +>> endobj +24 0 obj << +/D [22 0 R /XYZ 46.7715 518.1751 null] +>> endobj +25 0 obj << +/D [22 0 R /XYZ 46.7715 161.2312 null] +>> endobj +21 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +28 0 obj << +/Length 4425 +>> +stream +1 0 0 1 93.5434 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 93.5434 548.9335 Td[(2)-8896(Ueber)-250(die)-250(Geometrie)-250(der)-250(alten)-250(Aegypter.)]TJ +ET +1 0 0 1 374.1731 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -374.1731 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 93.5434 518.1751 Td[(erwachenden)-270(Menschen)-270(Repr\344sentanten)-271(dieser)-270(Begriffe)-270(in)-270(gr\366s-)]TJ 0 -13.5492 Td[(serer)-424(oder)-424(geringerer)-424(Genauigkeit)-424(dar.)-772(W\344hrend)-424(der)-424(Anblick)]TJ 0 -13.5492 Td[(der)-281(auf-)-280(und)-281(untergehenden)-281(Sonne,)-288(sowie)-281(des)-281(vollen)-281(Mondes)-280(in)]TJ 0 -13.5492 Td[(s\374dlichen)-203(Gegenden)-203(fast)-203(t\344glich)-203(das)-203(Bild)-203(der)-203(\273vollkommensten\253,)]TJ 0 -13.5492 Td[(der)-277(\273sch\366nsten\253)-277(Linie,)-283(der)-277(Kreislinie)-277(vorf\374hrte,)-284(stellten)-277(sich)-276(die)]TJ 0 -13.5492 Td[(zahllosen)-397(Sterne)-396(des)-397(Abends)-397(dem)-396(Auge)-397(als)-397(gl\344nzende)-396(Punkte)]TJ 0 -13.5492 Td[(dar,)-232(welche)-227(in)-228(ihren)-227(mannigfaltigen)-228(gegenseitigen)-227(Lagenverh\344lt-)]TJ 0 -13.5492 Td[(nissen)-359(die)-358(Phantasie)-359(des)-359(Menschen)-358(bei)-359(der,)-386(von)-359(ihm)-358(beliebten)]TJ 0 -13.5492 Td[(Eintheilung)-244(des)-243(Himmels)-244(in)-243(Sternbilder)-244(zur)-243(Herstellung)-244(so)-243(man-)]TJ 0 -13.5492 Td[(cher)-209(geraden)-210(und)-209(krummen)-209(Linien)-209(verleiten)-210(mochten.)-236(Und)-209(selbst)]TJ 0 -13.5492 Td[(in)-414(seiner)-414(n\344chsten)-414(Umgebung)-414(fand)-414(der)-414(beobachtende)-413(Mensch)]TJ 0 -13.5492 Td[(geometrische)-506(Ankl\344nge;)-635(das)-507(Gewebe)-506(der)-507(Spinne)-506(mit)-506(seinen)]TJ 0 -13.5492 Td[(kreisrunden)-429(und)-429(radialen)-429(F\344den,)-474(die)-429(sechseckige)-429(Bienenzelle,)]TJ 0 -13.5492 Td[(die)-272(beim)-272(Fallen)-271(eines)-272(K\366rpers)-272(in)-272(ruhendes)-272(Wasser)-271(entstehenden)]TJ 0 -13.5492 Td[(concentrischen)-154(Wellenringe,)-174(und)-154(wie)-155(vieles)-154(Andere)-155(musste,)-173(wenn)]TJ 0 -13.5492 Td[(auch)-375(nach)-376(und)-375(nach,)-407(so)-375(doch)-376(mit)-375(zwingender)-375(Nothwendigkeit)]TJ 0 -13.5492 Td[(den)-379(Menschen)-380(zur)-379(Beobachtung)-380(gesetzm\344ssiger)-379(geometrischer)]TJ 0 -13.5492 Td[(Formen)-250(f\374hren.)]TJ 11.9552 -16.004 Td[(Als)-178(Mutterland)-178(der)-178(Mathematik)-178(im)-177(Allgemeinen,)-193(und)-178(der)-178(Geo-)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(metrie)-203(im)-202(Besonderen)-203(wird)-203(Aegypten)-202(angef\374hrt;)-219(doch)-202(ist)-203(die)-202(Zeit)]TJ 0 -13.5492 Td[(l\344ngst)-382(vorbei,)-415(wo)-382(man)-382(sich)-382(Aegypten)-382(als)-382(einzigen)-382(Ursprungs-)]TJ 0 -13.5492 Td[(ort)-266(dieser)-267(Wissenschaften)-266(dachte,)-270(vielmehr)-267(muss)-266(als)-266(feststehend)]TJ 0 -13.5492 Td[(angenommen)-240(werden,)-242(dass)-240(jedes)-240(Volk)-240(in)-480(seinem)-240(Entwicklungs-)]TJ/F16 7.9701 Tf -72.7559 0 Td[([05])]TJ/F16 10.9091 Tf 72.7559 -13.5492 Td[(gange)-214(geometrische)-215(Anschauungen)-214(sich)-215(anzueignen)-214(schon)-214(durch)]TJ 0 -13.5492 Td[(praktische)-338(Bed\374rfnisse)-338(gezwungen)-338(war.)-515(Die)-338(H\366he,)-360(zu)-338(welcher)]TJ 0 -13.5492 Td[(sich)-342(die)-342(einzelnen)-343(V\366lker)-342(in)-342(ihren)-342(mathematischen)-342(Speculatio-)]TJ 0 -13.5492 Td[(nen)-282(emporzuschwingen)-281(vermochten,)-289(hing)-282(von)-281(der)-282(Richtung)-281(des)]TJ 0 -13.5492 Td[(Bildungsganges,)-263(von)-261(dem)-260(Maasse)-261(des)-261(Bed\374rfnisses)-260(und)-261(nicht)-260(in)]TJ 0 -13.5492 Td[(letzter)-250(Reihe)-250(von)-250(dem)-250(Einfl\374sse)-250(religi\366ser)-250(Verh\344ltnisse)-250(ab.)]TJ 11.9552 -16.004 Td[(Und)-225(so)-225(mag)-225(sich)-225(zun\344chst)-225(jene)-225(Naturgeometrie)-225(entwickelt)-226(ha-)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(ben,)-317(welche)-303(allen)-303(V\366lkern)-304(zugesprochen)-303(werden)-303(muss,)-317(und)-303(auf)]TJ 0 -13.5492 Td[(deren)-336(Vorhandensein,)-357(weil)-335(auf)-336(die)-335(Anwendungen)-336(ihrer)-335(freilich)]TJ 0 -13.5492 Td[(einfachsten)-305(Principien,)-318(Ueberreste)-305(von)-304(Bauten)-305(\374berall)-305(dort)-304(hin-)]TJ 0 -13.5492 Td[(weisen,)-301(wo)-290(wir)-290(in)-291(der)-290(Lage)-291(sind,)-300(solche)-291(beobachten)-290(zu)-290(k\366nnen.)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +27 0 obj << +/Type /Page +/Contents 28 0 R +/Resources 26 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 10 0 R +>> endobj +29 0 obj << +/D [27 0 R /XYZ 274.3976 217.638 null] +>> endobj +26 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +32 0 obj << +/Length 5065 +>> +stream +1 0 0 1 46.7715 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 321.9467 548.9335 Td[(3)]TJ +ET +1 0 0 1 327.4012 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -327.4012 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 46.7715 518.1751 Td[(Die)-299(Pellasger,)-312(die)-299(vorhellenischen)-299(Ureinwohner)-299(Griechenlands,)]TJ 0 -13.5492 Td[(mussten)-519(lange)-519(vor)-520(Entstehung)-519(der)-519(Philosophie)-519(geometrische)]TJ 0 -13.5492 Td[(Kenntnisse)-431(in)-431(dem)-431(Maasse)-431(besessen)-431(haben,)-476(wie)-431(sie)-431(zur)-431(Auf-)]TJ 0 -13.5492 Td[(f\374hrung)-258(von)-258(Wasserbauten,)-260(D\344mmen,)-260(Can\344len)-258(und)-258(Burgen,)-260(von)]TJ 0 -13.5492 Td[(denen)-250(man)-250(jetzt)-250(noch)-250(Spuren)-250(findet,)-250(nothwendig)-250(waren.)]TJ 11.9552 -14.7766 Td[(Verfolgt)-301(man)-302(die)-301(Entwicklung)-302(der)-301(Geometrie)-302(zu)-301(ihren)-302(Quel-)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(len)-325(aufw\344rts,)-343(so)-325(d\374rfen)-325(wir)-325(nicht)-325(\374berrascht)-324(sein,)-344(dass)-325(man)-324(bei)]TJ 0 -13.5492 Td[(dem)-462(uns)-461(bekannten)-462(\344ltesten)-461(Culturvolke,)-514(bei)-462(den)-461(Aegyptern,)]TJ 0 -13.5492 Td[(am)-335(weitesten)-335(vorzudringen)-335(vermag,)-357(und)-335(zwar)-335(an)-335(der)-335(Hand)-335(der)]TJ 0 -13.5492 Td[(indirecten)-261(wie)-262(der)-261(directen)-261(Nachrichten,)-264(welche)-262(uns)-261(\374ber)-261(diesen)]TJ 0 -13.5492 Td[(Gegenstand)-300(zugekommen)-300(sind.)-401(Leider)-300(jedoch)-300(sind)-300(die)-300(Ersteren)]TJ 0 -13.5492 Td[(ihrem)-262(Inhalte)-262(und)-262(die)-262(Letzteren)-262(ihrer)-262(Zahl)-262(nach)-262(nur)-262(sp\344rliche)-262(zu)]TJ 0 -13.5492 Td[(nennen.)]TJ 11.9552 -14.7766 Td[(Zahlreich)-336(sind)-336(wohl)-336(die)-336(Stellen)-336(in)-336(griechischen)-337(Philosophen)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(und)-336(Geschichtschreibern,)-357(welche)-336(Bezug)-336(haben)-336(auf)-336(aegyptische)]TJ 0 -13.5492 Td[(Geometrie,)-467(es)-423(l\344sst)-423(sich)-423(jedoch)-423(nicht)-424(verkennen,)-466(dass)-423(oft)-423(die)]TJ 0 -13.5492 Td[(Sp\344teren)-389(auf)-389(Fr\374here)-389(sich)-389(st\374tzen,)-424(und)-389(wir)-388(es)-389(m\366glicherweise)]TJ 0 -13.5492 Td[(mit)-345(einer)-345(einzigen,)-368(durch)-345(Jahrhunderte)-345(fortgef\374hrten)-344(Nachricht)]TJ 0 -13.5492 Td[(zu)-250(thun)-250(haben.)]TJ/F16 7.9701 Tf 291.0235 0 Td[([06])]TJ/F16 10.9091 Tf -279.0683 -14.7766 Td[(Durch)]TJ/F23 10.9091 Tf 30.4962 0 Td[(Herodot)]TJ/F16 10.9091 Tf 38.7818 0 Td[(,)-308(welcher)-297(um)-296(die)-297(Mitte)-296(des)-297(f\374nften)-296(vorchrist-)]TJ -81.2332 -13.5492 Td[(lichen)-244(Jahrhunderts)-244(\050460\051)-244(Aegypten)-243(bereiste,)-246(erfahren)-243(wir)]TJ/F16 7.9701 Tf 251.9602 3.9588 Td[(1)]TJ/F16 10.9091 Tf 4.4832 -3.9588 Td[(,)-245(dass)]TJ -256.4434 -13.5492 Td[(die)-239(Geometrie)-240(von)-239(Aegypten)-240(nach)-239(Griechenland)-240(verpflanzt)-239(wor-)]TJ 0 -13.5492 Td[(den)-443(sei.)-828(Etwas)-443(sp\344ter)-443(\050393)-443(v.)-442(Chr.\051)-829(berichtet)]TJ/F23 10.9091 Tf 219.4429 0 Td[(Isokrates)]TJ/F16 10.9091 Tf 47.856 0 Td[(die)]TJ -267.2989 -13.5492 Td[(Thatsache)]TJ/F16 7.9701 Tf 44.2254 3.9588 Td[(2)]TJ/F16 10.9091 Tf 4.4832 -3.9588 Td[(,)-370(dass)-346(die)-346(Aegypter)-346(\273die)-346(Aelteren)-346(\050unter)-346(ihren)-346(Prie-)]TJ -48.7086 -13.5492 Td[(stern\051)-210(\374ber)-211(die)-210(wichtigsten)-210(Angelegenheiten)-211(setzten,)-218(dagegen)-210(die)]TJ 0 -13.5492 Td[(J\374ngeren)-213(beredeten,)-221(mit)-213(Hintansetzung)-213(des)-213(Vergn\374gens,)-220(sich)-213(mit)]TJ 0 -13.5492 Td[(Astronomie,)-250(Rechenkunst)-250(und)-250(Geometrie)-250(zu)-250(besch\344ftigen\253.)]TJ 11.9552 -14.7766 Td[(In)]TJ/F23 10.9091 Tf 13.1871 0 Td[(Platon)]TJ/F16 10.9091 Tf 30.3054 0 Td[('s)]TJ/F32 10.9091 Tf 10.307 0 Td[(Ph\344drus)]TJ/F16 10.9091 Tf 41.0707 0 Td[(sagt)]TJ/F23 10.9091 Tf 21.6743 0 Td[(Sokrates)]TJ/F16 10.9091 Tf 40.6036 0 Td[(:)-502(\273Ich)-375(habe)-376(vernommen,)]TJ -169.1033 -13.5492 Td[(zu)-445(Naukratis)-446(in)-445(Aegypten)-445(sei)-445(einer)-446(der)-445(dortigen)-445(alten)-445(G\366tter)]TJ 0 -13.5492 Td[(gewesen,)-300(dem)-291(auch)-290(der)-290(Vogel)-291(geheiligt)-290(ist,)-300(den)-291(sie)-290(Isis)-290(nennen,)]TJ 0 -13.5492 Td[(w\344hrend)-412(der)-411(Gott)-412(selbst)-411(den)-412(Namen)-412(Teuth)-411(f\374hrt;)-493(dieser)-411(habe)]TJ 0 -13.5492 Td[(zuerst)-437(Zahlenlehre)-436(und)-437(Rechenkunst)-436(erfunden)-437(und)-436(Geometrie)]TJ 0 -13.5492 Td[(und)-373(Astronomie\253)]TJ/F16 7.9701 Tf 77.3955 3.9588 Td[(3)]TJ/F16 10.9091 Tf 4.4832 -3.9588 Td[(,)-403(und)-373(einen)-372(directen)-373(Hinweis)-373(finden)-372(wir)-373(bei)]TJ/F23 10.9091 Tf -81.8787 -13.5492 Td[(Aristoteles)]TJ/F16 10.9091 Tf 49.6799 0 Td[(,)-227(welcher)-222(in)-221(seiner)]TJ/F32 10.9091 Tf 81.5204 0 Td[(Metaphysik)]TJ/F16 10.9091 Tf 52.7072 0 Td[(sagt:)]TJ/F16 7.9701 Tf 20.6072 3.9588 Td[(4)]TJ/F16 10.9091 Tf 7.0551 -3.9588 Td[(\273Daher)-222(ent)1(stan-)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +31 0 obj << +/Type /Page +/Contents 32 0 R +/Resources 30 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 38 0 R +>> endobj +33 0 obj << +/D [31 0 R /XYZ 46.7715 271.7366 null] +>> endobj +30 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F23 35 0 R /F32 37 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +41 0 obj << +/Length 4833 +>> +stream +1 0 0 1 93.5434 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 93.5434 548.9335 Td[(4)-8896(Ueber)-250(die)-250(Geometrie)-250(der)-250(alten)-250(Aegypter.)]TJ +ET +1 0 0 1 374.1731 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -374.1731 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 93.5434 518.1751 Td[(den)-218(auch)-219(in)-218(Aegypten)-219(die)-218(mathematischen)-219(Wissenschaften,)-224(denn)]TJ 0 -13.5492 Td[(hier)-250(war)-250(den)-250(Priestern)-250(die)-250(dazu)-250(n\366thige)-250(M\374sse)-250(verg\366nnt.\253)]TJ 11.9552 -14.7766 Td[(Uebrigens)-345(schrieben)-344(sich)-345(die)-345(Aegypter)-344(neben)-345(der)-345(Erfindung)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(der)-215(Buchstabenschrift)-216(auch)-215(jene)-216(der)-215(meisten)-216(Wissenschaften)-215(und)]TJ 0 -13.5492 Td[(K\374nste)-304(zu,)-318(wor\374ber)]TJ/F23 10.9091 Tf 90.3846 0 Td[(Diodor)]TJ/F16 7.9701 Tf 32.7272 3.9588 Td[(5)]TJ/F16 10.9091 Tf 4.4832 -3.9588 Td[(,)-318(welcher)-304(etwa)-304(70)-304(Jahre)-305(v.)-304(Chr.)-304(G.)]TJ -127.595 -13.5492 Td[(Aegypten)-313(bereiste,)-329(bemerkt:)-376(\273Die)-313(Aegypter)-313(behaupten,)-328(von)-313(ih-)]TJ 0 -13.5492 Td[(nen)-174(sei)-175(die)-174(Erfindung)-175(der)-174(Buchstabenschrift)-175(und)-174(die)-174(Beobachtung)]TJ 0 -13.5492 Td[(der)-335(Gestirne)-336(ausgegangen,)-356(ebenso)-335(seien)-336(von)-335(ihnen)-335(die)-335(Theore-)]TJ 0 -13.5492 Td[(me)-320(der)-321(Geometrie)-320(und)-320(die)-321(meisten)-320(Wissenschaften)-320(und)-320(K\374nste)]TJ 0 -13.5492 Td[(erfunden)-250(worden.\253)]TJ 11.9552 -14.7766 Td[(Neben)-210(diesen)-209(ganz)-210(allgemein)-210(gehaltenen)-209(Angaben)-210(sind)-210(haupt-)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(s\344chlich)-356(diejeni)1(gen)-356(Berichte)-356(zu)-355(erw\344hnen,)-382(welche)-355(sich)-356(auf)-355(die)]TJ 0 -13.5492 Td[(Art)-250(der)-250(wissenschaftlichen)-250(Leistungen)-250(der)-250(Aegypter)-250(beziehen.)]TJ/F16 7.9701 Tf -72.7559 0 Td[([07])]TJ/F16 10.9091 Tf 84.7111 -14.7766 Td[(Da)-239(sagt)-239(zun\344chst)]TJ/F23 10.9091 Tf 76.2825 0 Td[(Herodot)]TJ/F16 7.9701 Tf 38.7818 3.9588 Td[(6)]TJ/F16 10.9091 Tf 7.0889 -3.9588 Td[(in)-239(Hinsicht)-239(auf)-239(die)-238(unter)-239(dem)-239(K\366-)]TJ -134.1084 -13.5492 Td[(nige)]TJ/F23 10.9091 Tf 22.5862 0 Td[(Sesostris)]TJ/F16 10.9091 Tf 44.4043 0 Td[(durchgef\374hrte)-348(L\344ndereintheilung:)-447(\273Auch)-349(sagten)]TJ -66.9905 -13.5492 Td[(sie,)-302(dass)-291(dieser)-291(K\366nig)-292(das)-291(Land)-291(unter)-291(alle)-292(Aegypter)-291(so)-291(vertheilt)]TJ 0 -13.5492 Td[(habe,)-452(dass)-412(er)-412(jedem)-411(ein)-412(gleich)-412(grosses)-412(Viereck)-411(gegeben,)-452(und)]TJ 0 -13.5492 Td[(von)-213(diesem)-213(seine)-213(Eink\374nfte)-213(bezogen)-213(habe,)-220(indem)-213(er)-213(eine)-213(j\344hrlich)]TJ 0 -13.5492 Td[(zu)-326(entrichtende)-327(Steuer)-326(auflegte.)-480(Wem)-326(aber)-327(der)-326(Fluss)-327(\050Nil\051)-326(von)]TJ 0 -13.5492 Td[(seinem)-185(Theile)-186(etwas)-185(wegriss,)-198(der)-186(musste)-185(zu)-185(ihm)-186(kommen)-185(und)-185(das)]TJ 0 -13.5492 Td[(Geschehene)-261(anzeigen;)-266(er)-261(schickte)-261(dann)-260(die)-261(Aufseher,)-264(die)-260(auszu-)]TJ 0 -13.5492 Td[(messen)-210(hatten,)-218(um)-209(wie)-210(viel)-210(das)-210(Landst\374ck)-210(kleiner)-210(geworden)-209(war,)]TJ 0 -13.5492 Td[(damit)-390(der)-390(Inhaber)-389(von)-390(dem)-390(\374brigen)-390(nach)-390(Verh\344ltniss)-390(der)-389(auf-)]TJ 0 -13.5492 Td[(gelegten)-337(Abgaben)-338(steure.)-512(Hieraus)-337(erscheint)-338(mir)-337(die)-337(Geometrie)]TJ 0 -13.5492 Td[(entstanden)-250(zu)-250(sein,)-250(die)-250(von)-250(da)-250(nach)-250(Hellas)-250(kam.\253)]TJ 11.9552 -14.7766 Td[(Die,)]TJ/F23 10.9091 Tf 20.6377 0 Td[(Herodot)]TJ/F16 10.9091 Tf 38.7817 0 Td[(,)-198(dem)-185(Vater)-184(der)-185(Geschichtsschreibung)-185(folgenden)]TJ -71.3746 -13.5492 Td[(Berichterstatter)-152(hielten)-152(sich)-153(nun,)-171(vielleicht)-153(erkl\344rlicherweise,)-171(vor-)]TJ 0 -13.5492 Td[(z\374glich)-354(an)-353(den)-354(einen,)-379(die)-354(Nil\374berschwemmungen)-353(betreffenden)]TJ 0 -13.5492 Td[(Theil)-320(obiger)-319(Nachricht,)-337(und)-320(wurde,)-337(gewiss)-319(Unberechtigtermas-)]TJ 0 -13.5492 Td[(sen)-309(der)-310(Nil)-309(als)-310(der)-309(unmittelbare)-309(Anstoss)-310(f\374r)-309(alle)-309(geometrischen)]TJ 0 -13.5492 Td[(Arbeiten)-459(der)-459(Aegypter)-459(hingestellt.)-877(Und)-459(doch)-459(scheint)-458(es)-459(uns)]TJ 0 -13.5492 Td[(viel)-469(n\344herliegend,)-524(die)-469(einerseits)-469(behufs)-468(der)-469(Steuerbemessung)]TJ 0 -13.5492 Td[(und)-322(Controle,)-339(anderseits)-322(wegen)-322(der)-321(aus)-322(den)-322(Ver\344nderungen)-321(im)]TJ 0 -13.5492 Td[(Besitzstande)-280(sich)-279(nothwendig)-280(ergebenden)-279(Fl\344chenfestsetzungen)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +40 0 obj << +/Type /Page +/Contents 41 0 R +/Resources 39 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 38 0 R +>> endobj +42 0 obj << +/D [40 0 R /XYZ 93.5434 350.7517 null] +>> endobj +39 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F23 35 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +45 0 obj << +/Length 4668 +>> +stream +1 0 0 1 46.7715 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 321.9467 548.9335 Td[(5)]TJ +ET +1 0 0 1 327.4012 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -327.4012 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 46.7715 518.1751 Td[(als)-497(den)-497(Hauptbeweggrund)-497(jener)-497(Vermessungen)-497(zu)-496(erkennen,)]TJ 0 -13.5492 Td[(wobei)-404(die)-404(gesammelten)-403(Erfahrungen)-404(gewiss)-404(auch)-404(bei)-404(der)-403(Be-)]TJ 0 -13.5492 Td[(urtheilung)-400(der)-399(unzweifelhaft)-400(nach)-399(den)-400(periodisch)-399(eintretenden)]TJ 0 -13.5492 Td[(Nil\374berschwemmungen)-282(vorgekommenen)-282(Terrainver\344nderungen)]TJ 0 -13.5492 Td[(mit)-250(Vortheil)-250(benutzt)-250(worden)-250(sein)-250(m\366gen.)]TJ 11.9552 -15.1857 Td[(Unverkennbar)-559(ist)-559(der)-558(Zug)-559(nach)-559(Aufbauschung)-559(und)-559(Aus-)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(schm\374ckung)-677(des,)-783(jene)-677(Nil\374berschwemmungen)-676(betreffenden)]TJ 0 -13.5492 Td[(Theiles)-326(des)]TJ/F23 10.9091 Tf 53.7691 0 Td[(Herodot)]TJ/F16 10.9091 Tf 38.7818 0 Td[('schen)-326(Berichtes,)-345(wenn)-326(man)-326(die)-326(Aufzeich-)]TJ -92.5509 -13.5492 Td[(nungen)-250(sp\344terer)-250(Gew\344hrsm\344nner)-250(n\344her)-250(betrachtet.)]TJ/F16 7.9701 Tf 291.0235 0 Td[([08])]TJ/F16 10.9091 Tf -279.0683 -15.1857 Td[(Zun\344chst)-406(finden)-405(wir)-406(bei)]TJ/F23 10.9091 Tf 113.4355 0 Td[(Heron)]TJ/F16 10.9091 Tf 34.1188 0 Td[(dem)-406(Aelteren)-405(die)-406(folgende)]TJ -159.5095 -13.5492 Td[(diesbez\374gliche)-474(Stelle)]TJ/F16 7.9701 Tf 94.8589 3.9588 Td[(7)]TJ/F16 10.9091 Tf 4.4832 -3.9588 Td[(:)-699(\273Die)-474(fr\374heste)-475(Geometrie)-474(besch\344ftigte)]TJ -99.3421 -13.5492 Td[(sich,)-251(wie)-250(uns)-251(die)-251(alte)-250(Ueberlieferung)-251(lehrt,)-251(mit)-250(der)-251(Messung)-250(und)]TJ 0 -13.5492 Td[(Vertheilung)-469(der)-469(L\344ndereien,)-524(woher)-469(sie)-468(Feldmessung)-469(genannt)]TJ 0 -13.5492 Td[(wurde.)-445(Der)-314(Gedanke)-315(einer)-315(Messung)-315(n\344mlich)-315(ward)-315(den)-314(Aegyp-)]TJ 0 -13.5492 Td[(tern)-341(an)-342(die)-341(Hand)-342(gegeben)-341(durch)-342(die)-341(Ueberschwemmungen)-341(des)]TJ 0 -13.5492 Td[(Nil.)-593(Denn)-365(viele)-364(Grundst\374cke,)-394(die)-364(vor)-364(der)-365(Flussschwelle)-364(offen)]TJ 0 -13.5492 Td[(dalagen,)-225(verschwanden)-219(beim)-219(Steigen)-218(des)-219(Flusses)-219(und)-219(kamen)-218(erst)]TJ 0 -13.5492 Td[(nach)-389(dem)-389(Sinken)-389(desselben)-388(zum)-389(Vorschein,)-424(und)-389(es)-389(war)-388(nicht)]TJ 0 -13.5492 Td[(immer)-492(m\366glich,)-553(\374ber)-492(die)-493(Identit\344t)-492(derselben)-492(zu)-492(entscheiden.)]TJ 0 -13.5492 Td[(Dadurch)-355(kamen)-356(die)-355(Aegypter)-356(auf)-355(den)-356(Gedanken)-355(einer)-355(solchen)]TJ 0 -13.5492 Td[(Messung)-250(des)-250(vom)-250(Nil)-250(blossgelegten)-250(Landes.\253)]TJ 11.9552 -15.1857 Td[(Weiter)-328(finden)-327(wir)-328(bei)]TJ/F23 10.9091 Tf 99.7209 0 Td[(Diodor)]TJ/F16 7.9701 Tf 32.7272 3.9588 Td[(8)]TJ/F16 10.9091 Tf 8.0562 -3.9588 Td[(einen)-328(Ausspruch,)-346(durch)-328(wel-)]TJ -152.4595 -13.5492 Td[(chen)-176(wir)-176(\374brigens)-176(auch)-176(\374ber)-176(andere)-176(wissenschaftliche)-175(Leistungen)]TJ 0 -13.5492 Td[(der)-286(Aegypter)-286(belehrt)-286(werden;)]TJ/F23 10.9091 Tf 132.6296 0 Td[(Diodor)]TJ/F16 10.9091 Tf 35.8466 0 Td[(sagt:)-322(\273Die)-286(Priester)-286(lehren)]TJ -168.4762 -13.5492 Td[(ihre)-411(S\366hne)-411(zweierlei)-411(Schrift,)-451(die)-411(sogenannte)-410(heilige,)-452(und)-410(die,)]TJ 0 -13.5492 Td[(welche)-374(man)-374(gew\366hnlich)-374(lernt.)-622(Mit)-374(Geometrie)-374(und)-374(Arithmetik)]TJ 0 -13.5492 Td[(besch\344ftigen)-326(sie)-327(sich)-326(eifrig.)-479(Denn)-326(indem)-326(der)-327(Fluss)-326(j\344hrlich)-326(das)]TJ 0 -13.5492 Td[(Land)-428(vielfach)-427(ver\344ndert,)-472(veranlasst)-428(er)-427(viele)-428(und)-427(mannigfache)]TJ 0 -13.5492 Td[(Streitigkeiten)-359(\374ber)-358(die)-359(Grenzen)-358(zwischen)-359(den)-359(Nachbarn;)-412(diese)]TJ 0 -13.5492 Td[(k\366nnen)-402(nun)-403(nicht)-402(leicht)-402(ausgeglichen)-402(werden,)-441(wenn)-402(nicht)-402(ein)]TJ 0 -13.5492 Td[(Geometer)-231(den)-232(wahren)-231(Sachverhalt)-232(durch)-231(directe)-232(Messung)-231(ermit-)]TJ 0 -13.5492 Td[(telt.)-245(Die)-235(Arithmetik)-236(dient)-235(ihnen)-235(in)-235(Haushaltungsangelegenheiten)]TJ 0 -13.5492 Td[(und)-351(bei)-352(den)-351(Lehrs\344tzen)-351(der)-351(Geometrie;)-402(auch)-352(ist)-351(sie)-351(denen)-351(von)]TJ 0 -13.5492 Td[(nicht)-270(geringem)-270(Vortheile,)-275(die)-270(sich)-270(mit)-270(St)1(ernkunde)-270(besch\344ftigen.)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +44 0 obj << +/Type /Page +/Contents 45 0 R +/Resources 43 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 38 0 R +>> endobj +46 0 obj << +/D [44 0 R /XYZ 46.7715 405.7668 null] +>> endobj +43 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F23 35 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +49 0 obj << +/Length 4588 +>> +stream +1 0 0 1 93.5434 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 93.5434 548.9335 Td[(6)-8896(Ueber)-250(die)-250(Geometrie)-250(der)-250(alten)-250(Aegypter.)]TJ +ET +1 0 0 1 374.1731 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -374.1731 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 93.5434 518.1751 Td[(Denn)-346(wenn)-347(bei)-346(irgend)-347(einem)-346(Volke)-346(die)-347(Stellungen)-346(und)-346(Bewe-)]TJ 0 -13.5492 Td[(gungen)-396(der)-395(Gestirne)-396(sorgf\344ltig)-395(beobachtet)-396(worden)-395(sind,)-432(so)-395(ist)]TJ 0 -13.5492 Td[(es)-231(bei)-230(den)-231(Aegyptern)-231(geschehen;)-237(sie)-231(verwahren)-230(Aufzeichnungen)]TJ 0 -13.5492 Td[(der)-184(einzelnen)-183(Beobachtungen)-184(seit)-184(einer)-183(unglaublich)-184(langen)-183(Beihe)]TJ 0 -13.5492 Td[(von)-230(Jahren,)-234(da)-230(bei)-230(ihnen)-230(seit)-230(alten)-230(Zeiten)-230(her)-230(die)-230(gr\366sste)-230(Sorgfalt)]TJ 0 -13.5492 Td[(hierauf)-309(verwendet)-309(worden)-619(ist.)-427(Die)-309(Bewegungen)-309(und)-309(Umlaufs-)]TJ/F16 7.9701 Tf -72.7559 0 Td[([09])]TJ/F16 10.9091 Tf 72.7559 -13.5492 Td[(zeiten)-213(sowie)-213(die)-212(Stillst\344nde)-213(der)-213(Planeten,)-220(auch)-213(den)-213(Einfluss)-212(eines)]TJ 0 -13.5492 Td[(jeden)-217(auf)-218(die)-217(Entstehung)-218(lebender)-217(Wesen)-218(und)-217(alle)-218(ihre)-217(guten)-217(und)]TJ 0 -13.5492 Td[(sch\344dlichen)-210(Einwirkungen)-209(haben)-210(sie)-209(sehr)-210(sorgf\344ltig)-209(beobachtet.\253)]TJ 11.9552 -15.1857 Td[(Am)-218(innigst)1(en)-218(verkn\374pft)-218(erscheint)-217(die)-218(Geometrie)-217(der)-218(Aegypter)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(mit)-400(den)-399(Ueberschwemmungen)-400(des)-400(Nil)-399(bei)]TJ/F23 10.9091 Tf 195.8286 0 Td[(Strabon)]TJ/F16 7.9701 Tf 37.5817 3.9588 Td[(9)]TJ/F16 10.9091 Tf 4.4832 -3.9588 Td[(;)-474(welcher)]TJ -237.8935 -13.5492 Td[(bemerkt,)-341(\273dass)-323(es)-323(einer)-323(sorgf\344ltigen)-323(und)-323(bis)-323(auf)-323(das)-322(Genaueste)]TJ 0 -13.5492 Td[(gehenden)-318(Eintheilung)-318(bedurfte,)-335(wegen)-318(der)-318(best\344ndigen)-318(Verw\374-)]TJ 0 -13.5492 Td[(stung)-268(der)-268(Grenzen,)-272(die)-268(der)-268(Nil)-268(bei)-268(seinen)-267(Ueberschwemmungen)]TJ 0 -13.5492 Td[(veranlasst,)-207(indem)-195(er)-196(Land)-196(wegnimmt)-196(und)-195(zusetzt,)-207(und)-196(die)-195(Gestalt)]TJ 0 -13.5492 Td[(ver\344ndert,)-241(und)-239(die)-238(anderen)-239(Zeichen)-239(unkenntlich)-238(macht,)-241(wodurch)]TJ 0 -13.5492 Td[(das)-436(fremde)-436(und)-436(eigene)-436(Besitzthum)-436(unterschieden)-436(wird.)-807(Man)]TJ 0 -13.5492 Td[(m\374sse)-281(daher)-281(immer)-281(und)-280(immer)-281(wieder)-281(messen.)-343(Hieraus)-281(soll)-280(die)]TJ 0 -13.5492 Td[(Geometrie)-250(entstanden)-250(sein.\253)]TJ 11.9552 -15.1857 Td[(Den)-383(gesellschaftli)1(chen)-383(Einrichtungen)-383(der)-382(Aegypter)-383(entspre-)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(chend,)-233(muss)-229(als)-229(feststehend)-229(angenommen)-229(werden,)-233(dass)-229(sich)-229(eine)]TJ 0 -13.5492 Td[(Kaste,)-415(nach)-383(eben)-382(Geh\366rtem)-383(die)-382(der)-382(Priester,)-416(mit)-382(dem)-382(wissen-)]TJ 0 -13.5492 Td[(schaftlichen)-434(Theile)-433(der)-434(Geometrie)-434(besch\344ftigte,)-480(w\344hrend)-433(eine)]TJ 0 -13.5492 Td[(andere,)-382(die)-356(der)-355(Feldmesser,)-382(die)-356(von)-355(den)-356(Ersteren)-355(aufgestellten)]TJ 0 -13.5492 Td[(und)-353(sorgsam)-353(geh\374teten)-353(geometrischen)-353(Principien)-353(praktisch)-352(zur)]TJ 0 -13.5492 Td[(Anwendung)-321(brachte.)-465(Dabei)-321(wurden,)-340(wie)-321(wir)-322(sp\344ter)-321(sehen)-321(wer-)]TJ 0 -13.5492 Td[(den,)-496(die)-448(Geheimnisse)-447(der)-447(Priester,)-496(insoweit)-447(sie)-447(geometrische)]TJ 0 -13.5492 Td[(Wahrheiten)-481(und)-481(Berechnungsregeln)-481(betrafen,)-538(m\366glicherweise)]TJ 0 -13.5492 Td[(nur)-355(insoweit)-356(enth\374llt,)-381(dass)-355(bei)-356(deren)-355(Verwendung)-355(nur)-355(ann\344he-)]TJ 0 -13.5492 Td[(rungsweise)-250(richtige)-250(Resultate)-250(zum)-250(Vorschein)-250(kamen.)]TJ 11.9552 -15.1857 Td[(Wohl)-236(sind)-236(einige)-237(Schriftsteller)-236(so)-236(weit)-236(gegangen,)-239(dass)-237(sie,)-239(die)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(unl\344ugbaren)-447(Uebertreibungen)-446(des)-447(Zusammenhanges)-446(zwischen)]TJ 0 -13.5492 Td[(den)-316(Nil\374berschwemmungen)-316(und)-316(der)-316(\344gyptischen)-316(Geometrie)-315(im)]TJ 0 -13.5492 Td[(Auge)-228(behaltend,)-233(die)-229(Existenz)-228(der)-228(letzteren)-457(einfach)-229(negirten,)-232(und)]TJ/F16 7.9701 Tf -72.7558 0 Td[([10])]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +48 0 obj << +/Type /Page +/Contents 49 0 R +/Resources 47 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 38 0 R +>> endobj +50 0 obj << +/D [48 0 R /XYZ 212.7079 450.4291 null] +>> endobj +51 0 obj << +/D [48 0 R /XYZ 279.7051 66.142 null] +>> endobj +47 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F23 35 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +54 0 obj << +/Length 5873 +>> +stream +1 0 0 1 46.7715 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 321.9467 548.9335 Td[(7)]TJ +ET +1 0 0 1 327.4012 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -327.4012 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 46.7715 518.1751 Td[(alle)-250(die)-250(citirten)-250(Ausspr\374che)-250(in)-250(das)-250(Gebiet)-250(der)-250(Fabel)-250(verwiesen.)]TJ 11.9552 -15.1857 Td[(Was)-211(macht)-211(man)-211(jedoch)-211(dann)-211(mit)-211(den)-211(wohlbeglaubigten)-212(Nach-)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(richten)-305(\374ber)-305(die)-305(Reisen,)-319(welche)-305(hervorragende)-304(griechische)-305(Phi-)]TJ 0 -13.5492 Td[(losophen)-194(nach)-194(Aegypten)-194(unternahmen,)-205(oft)-194(jahrelang)-194(dort)-194(verwei-)]TJ 0 -13.5492 Td[(lend,)-197(um)-183(sich)-183(in)-183(die)-183(Geheimnisse)-183(aegyptischer)-183(Priester)-183(einweihen)]TJ 0 -13.5492 Td[(und)-195(mit)-196(deren)-195(geometrischem)-196(Wissen)-195(vertraut)-196(machen)-195(zu)-195(lassen?)]TJ/F23 10.9091 Tf 11.9552 -15.1857 Td[(Eudemus)-511(von)-511(Rhodos)]TJ/F16 7.9701 Tf 106.9308 3.9588 Td[(10)]TJ/F16 10.9091 Tf 8.4682 -3.9588 Td[(,)-576(einer)-511(der)-511(\344ltesten)-511(Peripatetiker,)]TJ -127.3542 -13.5492 Td[(schrieb)-275(eine)-274(Geschichte)-275(der)-275(Mathematik,)-280(aus)-275(welcher)-275(uns)-274(durch)]TJ/F23 10.9091 Tf 0 -13.5492 Td[(Proklos)-549(Diadochus)]TJ/F16 7.9701 Tf 90.8462 3.9588 Td[(11)]TJ/F16 10.9091 Tf 8.4683 -3.9588 Td[(,)-623(einen)-549(Philosophen)-548(des)-549(f\374nften)-549(nach-)]TJ -99.3145 -13.5492 Td[(christlichen)-371(Jahrhunderts,)-401(ein)-370(Bruchst\374ck)-371(erhalten)-371(ist,)-400(welches)]TJ 0 -13.5492 Td[(sozusagen)-371(das)-370(einzige)-371(Mittel)-370(bildet,)-401(das)-371(uns)-370(einen)-371(Einblick)-370(in)]TJ 0 -13.5492 Td[(die)-295(geometrischen)-295(Errungenschaften)-295(der)-295(Griechen)-295(in)-295(den)-295(ersten)]TJ 0 -13.5492 Td[(dritthalb)-368(Jahrhunderten)-368(nach)]TJ/F23 10.9091 Tf 131.4086 0 Td[(Thales)]TJ/F16 10.9091 Tf 34.9302 0 Td[(gew\344hrt.)-604(Hierin)-368(heisst)-368(es)]TJ -166.3388 -13.5492 Td[(unter)-333(Anderem:)-415(\273)]TJ/F23 10.9091 Tf 79.6584 0 Td[(Thales)]TJ/F16 10.9091 Tf 30.9163 0 Td[(,)-353(der)-333(nach)-333(Aegypten)-332(ging,)-354(brachte)-332(zu-)]TJ -110.5747 -13.5492 Td[(erst)-432(die)-431(Geometrie)-432(nach)-431(Hellas)-432(hin\374ber)-431(und)-432(Vieles)-431(entdeckte)]TJ 0 -13.5492 Td[(er)-401(selbst,)-439(von)-401(Vielem)-402(aber)-401(\374berlieferte)-401(er)-401(die)-401(Anf\344nge)-401(seinen)]TJ 0 -13.5492 Td[(Nachfolgern;)-304(das)-286(Eine)-286(machte)-286(er)-286(allgemeiner,)-295(das)-286(Andere)-286(mehr)]TJ 0 -13.5492 Td[(sinnlich)-345(fassbar.\253)-344(Hundert)-345(Jahre)-345(nach)-344(dem)-345(Tode)-345(des)]TJ/F23 10.9091 Tf 238.8153 0 Td[(Pythago-)]TJ -238.8153 -13.5492 Td[(ras)]TJ/F16 10.9091 Tf 17.9014 0 Td[(berichtet)-308(der)-308(Redner)]TJ/F23 10.9091 Tf 93.686 0 Td[(Isokrates)]TJ/F16 7.9701 Tf 43.0254 3.9588 Td[(12)]TJ/F16 10.9091 Tf 8.4682 -3.9588 Td[(:)-366(\273Man)-308(k\366nnte,)-322(wenn)-308(man)]TJ -163.081 -13.5492 Td[(nicht)-320(eilen)-319(wollte,)-338(viel)-319(Bewunderungsw\374rdiges)-320(von)-320(der)-319(Heilig-)]TJ 0 -13.5492 Td[(keit)-205(aegyptischer)-205(Priester)-205(anf\374hren,)-214(welche)-205(ich)-205(weder)-204(allein)-205(noch)]TJ 0 -13.5492 Td[(zuerst)-371(erkannt)-371(habe,)-402(sondern)-371(viele)-371(der)-371(jetzt)-371(Lebenden)-371(und)-371(der)]TJ 0 -13.5492 Td[(Fr\374heren,)-248(unter)-248(denen)-248(auch)]TJ/F23 10.9091 Tf 121.9892 0 Td[(Pythagoras)]TJ/F16 10.9091 Tf 55.4259 0 Td[(der)-248(Samier)-247(ist,)-249(der)-247(nach)]TJ -177.4151 -13.5492 Td[(Aegypten)-186(kam)-186(und)-185(ihr)-186(Sch\374ler)-186(wurde)-186(und)-186(die)-186(fremde)-185(Philosophie)]TJ 0 -13.5492 Td[(zuerst)-250(zu)-250(den)-250(Griechen)-250(verpflanzte.\253)]TJ 11.9552 -15.1857 Td[(W\344hrend)-360(der)-361(Aufenthalt)-360(des)]TJ/F23 10.9091 Tf 130.8374 0 Td[(Pythagoras)]TJ/F16 10.9091 Tf 56.6548 0 Td[(in)-360(Aegypten)-361(unter)]TJ -199.4474 -13.5492 Td[(Anderen)-366(auch)-366(noch)-366(von)]TJ/F23 10.9091 Tf 111.6976 0 Td[(Strabon)]TJ/F16 7.9701 Tf 37.5817 3.9588 Td[(13)]TJ/F16 10.9091 Tf 12.4608 -3.9588 Td[(und)]TJ/F23 10.9091 Tf 20.3563 0 Td[(Antiphon)]TJ/F16 7.9701 Tf 44.258 3.9588 Td[(14)]TJ/F16 10.9091 Tf 12.4609 -3.9588 Td[(best\344tiget)]TJ -238.8153 -13.5492 Td[(wird,)-284(nennt)-277(uns)]TJ/F23 10.9091 Tf 71.261 0 Td[(Diodor)]TJ/F16 7.9701 Tf 32.7272 3.9588 Td[(15)]TJ/F16 10.9091 Tf 11.4918 -3.9588 Td[(eine)-277(ganze)-277(Reihe)-277(von)-555(Namen,)-284(indem)]TJ/F16 7.9701 Tf 175.5435 0 Td[([011])]TJ/F16 10.9091 Tf -291.0235 -13.5492 Td[(er)-326(sagt;)-364(\273Die)-326(aegyptischen)-326(Priester)-326(nennen)-326(unter)-326(den)-326(Fremden,)]TJ 0 -13.5492 Td[(welche)-175(nach)-174(den)-175(Verzeichnissen)-175(in)-174(den)-175(heiligen)-175(B\374chern)-174(vormals)]TJ 0 -13.5492 Td[(zu)-293(ihnen)-294(gekommen)-293(seien,)-304(den)]TJ/F23 10.9091 Tf 140.0388 0 Td[(Orpheus)]TJ/F16 10.9091 Tf 40.6145 0 Td[(,)]TJ/F23 10.9091 Tf 6.0465 0 Td[(Musaios)]TJ/F16 10.9091 Tf 38.7926 0 Td[(,)]TJ/F23 10.9091 Tf 6.0465 0 Td[(Melampus)]TJ/F16 10.9091 Tf -231.5389 -13.5492 Td[(und)]TJ/F23 10.9091 Tf 20.1695 0 Td[(Daidalos)]TJ/F16 10.9091 Tf 40.6144 0 Td[(,)-374(nach)-348(diesen)-349(den)-349(Dichter)]TJ/F23 10.9091 Tf 118.9645 0 Td[(Homer)]TJ/F16 10.9091 Tf 32.7163 0 Td[(,)-374(den)-348(Spartaner)]TJ/F23 10.9091 Tf -212.4647 -13.5492 Td[(Lykurgos)]TJ/F16 10.9091 Tf 44.8581 0 Td[(,)-337(ingleichen)-319(den)-319(Athener)]TJ/F23 10.9091 Tf 113.1875 0 Td[(Solon)]TJ/F16 10.9091 Tf 29.5559 0 Td[(und)-319(den)-320(Philosophen)]TJ/F23 10.9091 Tf -187.6015 -13.5492 Td[(Platon)]TJ/F16 10.9091 Tf 30.3054 0 Td[(.)-527(Gekommen)-342(sei)-342(zu)-342(ihnen)-343(auch)-342(der)-342(Samier)]TJ/F23 10.9091 Tf 197.6008 0 Td[(Pythagoras)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +53 0 obj << +/Type /Page +/Contents 54 0 R +/Resources 52 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 38 0 R +>> endobj +55 0 obj << +/D [53 0 R /XYZ 259.7747 147.4372 null] +>> endobj +52 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F23 35 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +58 0 obj << +/Length 4882 +>> +stream +1 0 0 1 93.5434 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 93.5434 548.9335 Td[(8)-8896(Ueber)-250(die)-250(Geometrie)-250(der)-250(alten)-250(Aegypter.)]TJ +ET +1 0 0 1 374.1731 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -374.1731 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 93.5434 518.1751 Td[(und)-442(der)-441(Mathematiker)]TJ/F23 10.9091 Tf 105.9517 0 Td[(Eudoxos)]TJ/F16 10.9091 Tf 40.0144 0 Td[(,)-490(ingleichen)]TJ/F23 10.9091 Tf 58.3356 0 Td[(Demokritos)-442(von)]TJ -204.3017 -13.5492 Td[(Abdera)]TJ/F16 10.9091 Tf 37.9333 0 Td[(und)]TJ/F23 10.9091 Tf 19.1478 0 Td[(Oinopides)-255(von)-255(Chios)]TJ/F16 10.9091 Tf 96.5064 0 Td[(.)-266(Von)-255(allen)-255(diesen)-255(weisen)-256(sie)]TJ -153.5875 -13.5492 Td[(noch)-225(Spuren)-225(auf,)-230(von)-226(den)-225(Einen)-225(Bildnisse)-225(von)-225(den)-225(Anderen)-225(Orte)]TJ 0 -13.5492 Td[(und)-179(Geb\344ude,)-194(die)-179(nach)-179(ihnen)-179(benannt)-180(sind.)-226(Aus)-179(der)-179(Vergleichung)]TJ 0 -13.5492 Td[(dessen,)-218(was)-210(jeder)-211(von)-210(ihnen)-210(in)-210(seinem)-211(Fache)-210(geleistet)-210(hat,)-218(f\374hren)]TJ 0 -13.5492 Td[(sie)-356(den)-356(Beweis,)-383(dass)-356(sie)-356(Dasjenige)-357(um)-356(desswillen)-356(sie)-356(von)-356(den)]TJ 0 -13.5492 Td[(Hellenen)-214(bewundert)-215(werden,)-222(aus)-214(Aegypten)-214(entlehnt)-215(haben.\253)-214(Aus)]TJ 0 -13.5492 Td[(diesen)-382(Stellen)-382(geht)-382(mit)-382(Sicherheit)-382(hervor,)-415(dass)-382(viele)-382(Griechen)]TJ 0 -13.5492 Td[(nach)-219(Aegypten)-218(zogen,)-225(um)-219(bei)-218(den)-219(dortigen)-219(Priestern)-218(Philosophie)]TJ 0 -13.5492 Td[(und)-242(Mathematik)-242(kennen)-243(zu)-242(lernen,)-243(da)-243(wohl)-242(in)-242(den)-242(Berichten)-242(nur)]TJ 0 -13.5492 Td[(die)-250(hervorragenden)-250(M\344nner)-250(angef\374hrt)-250(wurden.)]TJ 11.9552 -16.004 Td[(Der)-246(Milesier)]TJ/F23 10.9091 Tf 58.0711 0 Td[(Thales)]TJ/F16 10.9091 Tf 30.9163 0 Td[(,)-246(welcher)-246(erst)-246(in)-245(vorger\374cktem)-246(Alter,)-246(und)]TJ -100.9426 -13.5492 Td[(nachdem)-469(er)-470(als)-469(Handelsmann)-469(fr\374her)-470(gewiss)-469(schon)-469(mehrmals)]TJ 0 -13.5492 Td[(Aegypten)-496(besucht)-496(gehabt,)-557(sich)-496(daselbst)-496(behufs)-496(seiner)-496(Studi-)]TJ 0 -13.5492 Td[(en)-366(zu)-366(l\344ngerem)-366(Aufenthalt)-366(niederlies,)-395(ist)-366(merkw\374rdiger)-366(Weise)]TJ 0 -13.5492 Td[(in)-401(dem)-400(Berichte)-401(des)-401(Diodor)-401(nicht)-400(angef\374hrt,)-439(und)-401(k\366nnte)-400(man)]TJ 0 -13.5492 Td[(wohl)-493(aus)-493(diesem)-493(Umstande)-493(umsomehr)-493(einen)-493(gewissen)-492(Grad)]TJ 0 -13.5492 Td[(von)-389(Unglaublichkeit)-388(ableiten,)-424(als)-388(darin)-389(mythische)-389(Namen)-388(wie)]TJ/F23 10.9091 Tf 0 -13.5492 Td[(Orpheus)]TJ/F16 10.9091 Tf 40.6145 0 Td[(,)]TJ/F23 10.9091 Tf 7.7593 0 Td[(Daidalos)]TJ/F16 10.9091 Tf 45.1856 0 Td[(und)]TJ/F23 10.9091 Tf 20.9348 0 Td[(Homer)]TJ/F16 10.9091 Tf 37.2875 0 Td[(angef\374hrt)-419(erscheinen.)-757(Diese)]TJ -151.7817 -13.5492 Td[(letzteren)-235(konnten)-236(jedoch)-235(sehr)-236(wohl)-235(dem)-235(im)-236(Ganzen)-235(und)-235(Grossen)]TJ 0 -13.5492 Td[(sonst)-412(richtigen)-413(Verzeichnisse)-412(vom)-412(Berichterstatter)-412(eigenwillig)]TJ 0 -13.5492 Td[(beigef\374gt)-275(worden)-274(sein,)-281(um)-274(dadurch)-275(das)-274(hohe)-275(Alter)-274(aegyptischer)]TJ 0 -13.5492 Td[(Wissenschaft)-250(in)-250(ein)-250(vorteilhaftes)-250(Licht)-250(zu)-250(setzen.)]TJ/F16 7.9701 Tf -72.7559 0 Td[([12])]TJ/F16 10.9091 Tf 84.7111 -16.004 Td[(Abgesehen)-189(jedoch)-190(von)-189(aller)-189(Wahrscheinlichkeit)-189(oder)-190(Unwahr-)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(scheinlichkeit)-265(f\374r)-265(die)-264(Exactheit)-265(obiger)-265(Ausspr\374che)-265(in)-265(Bezug)-264(auf)]TJ 0 -13.5492 Td[(einzelne)-259(Namen,)-261(d\374rfte)-258(jedenfalls)-259(das)-259(als)-259(unumst\366ssliche)-258(Wahr-)]TJ 0 -13.5492 Td[(heit)-335(gelten,)-356(dass)-335(die)-334(\344gyptischen)-335(Priester)-335(von)-335(den)-335(Griechen)-334(als)]TJ 0 -13.5492 Td[(in)-315(den)-315(Wissenschaften,)-331(insbesondere)-315(in)-315(der)-315(Geometrie)-315(sehr)-315(be-)]TJ 0 -13.5492 Td[(wandert)-359(gehalten)-359(wurden,)-386(und)-358(zwar)-359(in)-359(einem)-359(solchen)-358(Maasse,)]TJ 0 -13.5492 Td[(dass)-176(eine)-176(Reihe)-175(hervorragender)-176(griechischer)-176(Philosophen)-176(es)-175(nicht)]TJ 0 -13.5492 Td[(verschm\344hte,)-262(die,)-262(f\374r)-260(damalige)-260(Verh\344ltnisse)-260(nicht)-259(unbedeutende)]TJ 0 -13.5492 Td[(Reise)-238(nach)-238(Aegypten)-239(zu)-238(unternehmen,)-241(ja)-238(oft)-238(jahrelang)-238(in)-238(diesem)]TJ 0 -13.5492 Td[(Lande)-382(mit)-382(unbekannter)-383(Sprache)-382(und)-382(Schrift)-382(zu)-382(verweilen,)-415(um)]TJ 0 -13.5492 Td[(sich)-250(die)-250(Kenntnisse)-250(der)-250(Aegypter)-250(anzueignen.)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +57 0 obj << +/Type /Page +/Contents 58 0 R +/Resources 56 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 38 0 R +>> endobj +59 0 obj << +/D [57 0 R /XYZ 93.5434 217.4962 null] +>> endobj +56 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F23 35 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +62 0 obj << +/Length 5067 +>> +stream +1 0 0 1 46.7715 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 321.9467 548.9335 Td[(9)]TJ +ET +1 0 0 1 327.4012 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -327.4012 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 58.7267 518.1751 Td[(Stellt)-218(man)-219(nun)-218(zun\344chst)-218(die)-218(Frage)-219(nach)-218(Quantit\344t)-218(und)-219(Qualit\344t)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(des)-205(geometrischen)-204(Wissens,)-214(welches)-205(die)-204(Griechen)-205(von)-205(ihren)-204(Stu-)]TJ 0 -13.5492 Td[(dienreisen)-283(mit)-283(nach)-282(Hause)-283(brachten,)-291(so)-283(scheint)-283(dies,)-291(selbst)-282(vom)]TJ 0 -13.5492 Td[(Standpunkte)-481(der)-481(unmittelbar)-481(nachpythagor\344ischen)-480(Geometrie,)]TJ 0 -13.5492 Td[(\344usserst)-250(Weniges)-250(gewesen)-250(zu)-250(sein.)]TJ/F23 10.9091 Tf 11.9552 -16.004 Td[(Thales)]TJ/F16 10.9091 Tf 34.0521 0 Td[(von)-287(Milet,)-297(einer)-288(der)-287(sieben)-288(griechischen)-287(Weltweisen,)]TJ -46.0073 -13.5492 Td[(der)-414(Begr\374nder)-415(der)-414(ionischen)-414(Schule,)]TJ/F23 10.9091 Tf 171.1907 0 Td[(Thales)]TJ/F16 10.9091 Tf 30.9163 0 Td[(,)-455(welcher)-415(f\374r)-414(das)]TJ -202.107 -13.5492 Td[(Jahr)-352(585)-352(v.)-352(Chr.)-351(G.)-352(eine,)-378(auch)-352(eingetroffene)-351(Sonnenfinsterniss)]TJ 0 -13.5492 Td[(vorherzusagen)-336(wusste,)-357(soll,)-358(den)-336(uns)-336(von)]TJ/F23 10.9091 Tf 184.2489 0 Td[(Proklos)]TJ/F16 10.9091 Tf 39.4245 0 Td[(zugekomme-)]TJ -223.6734 -13.5492 Td[(nen)-443(Berichten)-443(zufolge,)-491(in)-443(Aegypten)-443(nicht)-443(viel)-443(mehr)-442(erfahren)]TJ 0 -13.5492 Td[(haben,)-257(als)-256(die)-255(S\344tze)-256(\374ber)-256(die)-255(Gleichheit)-256(der)-256(Winkel)-255(an)-256(der)-255(Basis)]TJ 0 -13.5492 Td[(eines)-327(gleichschenkligen)-327(Dreieckes,)-346(die)-327(Gleichheit)-327(der)-326(Scheitel-)]TJ 0 -13.5492 Td[(winkel)-331(am)-330(Durchschnitt)-331(zweier)-330(Geraden;)-371(er)-330(wusste)-331(ferner,)-350(wie)]TJ 0 -13.5492 Td[(ein)-248(Dreieck)-248(durch)-247(eine)-248(Seite)-248(und)-248(die)-248(beiden)-248(anliegenden)-247(Winkel)]TJ 0 -13.5492 Td[(bestimmt)-389(erscheint,)-424(diese)-389(Er\366rterung)-389(zur)-389(Messung)-388(der)-389(Entfer-)]TJ 0 -13.5492 Td[(nungen)-449(von)-449(Schiffen)-449(auf)-449(dem)-449(Meere)-449(ben\374tzend,)-499(es)-449(war)-449(ihm)]TJ 0 -13.5492 Td[(bekannt,)-251(dass)-251(ein)-252(Kreis)-251(durch)-251(einen)-251(Durchmesser)-251(halbirt)-251(wird,)]TJ/F16 7.9701 Tf 272.1615 3.9588 Td[(16)]TJ/F16 10.9091 Tf -272.1615 -17.508 Td[(und)-248(soll)-248(er)-248(die)-249(H\366he)-248(der)-248(Pyramiden)-248(aus)-248(der)-248(L\344nge)-248(des)-248(Schattens)]TJ 0 -13.5492 Td[(gemessen)-380(haben,)-414(h\366chst)-380(wahrscheinlich)-380(in)-381(dem)-380(Momente,)-413(wo)]TJ 0 -13.5492 Td[(die)-446(Schattenl\344nge)-224(eines)-223(senkrechten)-223(Stabes)-223(der)-223(Stabl\344nge)-223(gleich)]TJ/F16 7.9701 Tf 291.0235 0 Td[([13])]TJ/F16 10.9091 Tf -291.0235 -13.5492 Td[(ist,)]TJ/F16 7.9701 Tf 13.0363 3.9588 Td[(17)]TJ/F16 10.9091 Tf 11.6036 -3.9588 Td[(m\366glicherweise)-280(jedoch,)-287(wie)]TJ/F23 10.9091 Tf 125.8826 0 Td[(Plutarch)]TJ/F16 7.9701 Tf 40.6036 3.9588 Td[(18)]TJ/F16 10.9091 Tf 11.5219 -3.9588 Td[(berichtet,)-287(auch)-280(zu)]TJ -202.648 -13.5492 Td[(einer)-287(beliebigen)-287(Tageszeit.)-360(Auch)-287(wird)-287(ihm)-287(von)]TJ/F23 10.9091 Tf 211.4545 0 Td[(Pamphile)]TJ/F16 7.9701 Tf 44.2472 3.9588 Td[(19)]TJ/F16 10.9091 Tf 11.5972 -3.9588 Td[(die)]TJ -267.2989 -13.5492 Td[(Kenntniss)-336(des)-335(Satzes)-336(zugeschrieben,)-357(dass)-336(der)-335(Peripheriewinkel)]TJ 0 -13.5492 Td[(im)-224(Halbkreise)-224(ein)-225(rechter)-224(sei.)-241(Gewiss)-225(hat)-224(Thales)-224(wenigstens)-224(jene)]TJ 0 -13.5492 Td[(geometrischen)-256(Fundamente)-255(in)-256(Aegypten)-256(kennen)-255(gelernt,)-257(welche)]TJ 0 -13.5492 Td[(es)-260(ihm)-260(erm\366glichten,)-262(die)-260(genannten)-260(S\344tze)-260(als)-260(wahr)-260(zu)-259(erkennen,)]TJ 0 -13.5492 Td[(wenn)-264(auch)-265(bei)-264(ihm,)-268(selbst)-264(bei)-264(diesen)-265(einfachen)-264(Dingen)-264(an)-264(einen)]TJ 0 -13.5492 Td[(strengen)-250(Beweis)-250(nicht)-250(gedacht)-250(werden)-250(kann.)]TJ 11.9552 -16.004 Td[(Es)-276(w\344re)-277(jedoch)-276(voreilig,)-283(aus)-276(der)-277(Geringf\374gigkeit)-276(der)-277(Thaleti-)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(schen)-243(geometrischen)-243(Kenntnisse)-243(mit)]TJ/F23 10.9091 Tf 162.099 0 Td[(Montucla)]TJ/F16 7.9701 Tf 47.4984 3.9588 Td[(20)]TJ/F16 10.9091 Tf 11.1194 -3.9588 Td[(zu)-243(schliessen,)]TJ -220.7168 -13.5492 Td[(dass)-397(auch)-397(die)-397(Aegypter)-397(nicht)-397(viel)-397(mehr)-397(gewusst)-397(h\344tten.)-691(Man)]TJ 0 -13.5492 Td[(kann)-382(wohl)-382(annehmen,)-416(dass)-382(die)-382(aegyptischen)-382(Priester)-382(bei)-382(ihrer)]TJ 0 -13.5492 Td[(den)-316(Fremden)-316(gegen\374ber)-317(beobachteten)-316(Zur\374ckhaltung)-316(nur)-316(einen)]TJ 0 -13.5492 Td[(Theil)-340(ihres)-340(Wissens)-340(offenbarten;)-385(wer)-340(k\366nnte)-339(jedoch)-340(bemessen,)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +61 0 obj << +/Type /Page +/Contents 62 0 R +/Resources 60 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 64 0 R +>> endobj +63 0 obj << +/D [61 0 R /XYZ 62.537 258.2855 null] +>> endobj +60 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F23 35 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +67 0 obj << +/Length 4894 +>> +stream +1 0 0 1 93.5434 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 93.5434 548.9335 Td[(10)-8396(Ueber)-250(die)-250(Geometrie)-250(der)-250(alten)-250(Aegypter.)]TJ +ET +1 0 0 1 374.1731 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -374.1731 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 93.5434 518.1751 Td[(in)-287(welchem)-286(Verh\344ltnisse)-287(dieser)-287(Theil)-286(zu)-287(ihrem)-286(Gesammtwissen)]TJ 0 -13.5492 Td[(stand?)-374(Der)-291(Ansicht)]TJ/F23 10.9091 Tf 88.6005 0 Td[(Montucla)]TJ/F16 10.9091 Tf 44.8472 0 Td[('s)-291(kann)-292(man)-291(entgegensetzen,)-302(dass)]TJ -133.4477 -13.5492 Td[(die)-397(Aegypter)-396(den)-397(Fremden)-397(nur)-396(einen)-397(kleinen)-397(Bruchtheil)-396(ihres)]TJ 0 -13.5492 Td[(sorgsam)-205(im)-205(Verborgenen)-205(geh\374teten)-205(Wissens)-205(preisgegeben)-205(haben)]TJ 0 -13.5492 Td[(mochten,)-293(wobei)-284(ferner)-285(nicht)-284(unber\374cksichtigt)-284(bleiben)-285(darf,)-292(dass)]TJ 0 -13.5492 Td[(den)-192(nach)-191(Aegypten)-192(gekommenen)-192(Griechen)-191(auch)-192(die)-191(Unkenntniss)]TJ 0 -13.5492 Td[(der)-389(Sprache)-389(und)-390(der)-389(Schrift)-389(weitere,)-424(nicht)-389(zu)-389(untersch\344tzende)]TJ 0 -13.5492 Td[(Schwierigkeiten)-190(bereitete,)-202(in)-189(dem)-190(Maasse)-190(als)-190(vielleicht)-189(Manches,)]TJ 0 -13.5492 Td[(was)-358(ihnen)-358(die)-358(aegyptischen)-358(Priester)-358(von)-358(aegyptischem)-358(Wissen)]TJ 0 -13.5492 Td[(zur)-250(Verf\374gung)-250(stellten,)-250(unverstanden)-250(bleiben)-250(konnte.)]TJ 11.9552 -15.1857 Td[(Was)-193(nun)-192(das)-193(Wesen)-192(aegyptischer)-193(Geometrie)-192(betrifft,)-204(so)-193(finden)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(wir)-253(in)-254(den)-253(Berichten)-253(der)-254(Alten)-253(fast)-254(gar)-253(keine)-253(Anhaltspunkte,)-254(um)]TJ 0 -13.5492 Td[(uns)-335(hier\374ber)-335(Klarheit)-335(verschaffen)-335(zu)-335(k\366nnen,)-356(und)-335(war)-335(man)-335(bis)]TJ 0 -13.5492 Td[(vor)-219(Kurzem)-220(darauf)-219(hingewiesen,)-225(aus)-220(den)-438(Anf\344ngen)-219(griechischer)]TJ/F16 7.9701 Tf -72.7558 0 Td[([14])]TJ/F16 10.9091 Tf 72.7558 -13.5492 Td[(Mathematik)-446(auf)-445(den)-446(Stand)-446(der)-446(aegyptischen)-445(zur\374ckzuschlies-)]TJ 0 -13.5492 Td[(sen,)-344(was,)-343(wie)-325(aus)-325(dem)-324(Vorhergesagten)-325(folgen)-325(d\374rfte,)-344(mit)-324(nicht)]TJ 0 -13.5492 Td[(geringen)-250(Schwierigkeiten)-250(verbunden)-250(erscheint.)]TJ 11.9552 -15.1857 Td[(Die)-296(Ansicht,)-309(dass)-296(die)-297(Geometrie)-296(der)-297(Aegypter)-296(eigentlich)-297(nur)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(constructiver)-429(Natur)-429(war,)-474(\344hnlich)-430(dem)-429(was)-429(wir)-429(als)-429(Reisskunst)]TJ 0 -13.5492 Td[(zu)-302(bezeichnen)-301(pflegen,)]TJ/F16 7.9701 Tf 101.3924 3.9588 Td[(21)]TJ/F16 10.9091 Tf 11.9 -3.9588 Td[(d\374rfte)-302(sich)-301(nicht)-302(als)-302(stichh\344ltig)-301(erwei-)]TJ -113.2924 -13.5492 Td[(sen;)-570(es)-463(m\366ge)-464(jedoch)-463(gleich)-463(jetzt)-464(darauf)-463(hingedeutet)-463(werden,)]TJ 0 -13.5492 Td[(dass)-358(die)-358(Aegypter)-358(im)-358(Construiren)-358(geometrischer)-358(Formen)-357(nicht)]TJ 0 -13.5492 Td[(unbewandert)-250(sein)-250(konnten.)]TJ 11.9552 -15.1857 Td[(So)-385(sagt)-384(in)-385(etwas)-385(prahlerischer)-384(Weise)]TJ/F23 10.9091 Tf 171.8087 0 Td[(Demokritos)]TJ/F16 10.9091 Tf 58.7311 0 Td[(von)]TJ/F23 10.9091 Tf 20.5602 0 Td[(Ab-)]TJ -263.0552 -13.5492 Td[(dera)]TJ/F16 7.9701 Tf 21.2073 3.9588 Td[(22)]TJ/F16 10.9091 Tf 12.8261 -3.9588 Td[(um)-399(420)-400(v.)-399(Chr.)-400(G.:)-549(\273Im)-399(Construiren)-400(von)-399(Linien)-400(nach)]TJ -34.0334 -13.5492 Td[(Maassgabe)-263(der)-263(aus)-264(den)-263(Voraussetzungen)-263(zu)-263(ziehenden)-263(Schl\374sse)]TJ 0 -13.5492 Td[(hat)-245(mich)-244(keiner)-245(je)-244(\374bertroffen,)-246(selbst)-245(nicht)-244(die)-245(sogenannten)-244(Har-)]TJ 0 -13.5492 Td[(pedonapten)-347(der)-347(Aegypter\253;)-396(und)]TJ/F23 10.9091 Tf 145.3471 0 Td[(Theon)]TJ/F16 10.9091 Tf 33.4933 0 Td[(von)]TJ/F23 10.9091 Tf 20.1515 0 Td[(Smyrna)]TJ/F16 7.9701 Tf 36.9708 3.9588 Td[(23)]TJ/F16 10.9091 Tf 12.2562 -3.9588 Td[(erz\344hlt,)]TJ -248.2189 -13.5492 Td[(dass)-312(\273Babylonier,)-328(Chald\344er)-313(und)-312(Aegypter)-313(eifrig)-312(nach)-312(allerhand)]TJ 0 -13.5492 Td[(Grundgesetzen)-328(und)-328(Hypothesen)-328(suchten,)-347(durch)-328(welche)-328(den)-327(Er-)]TJ 0 -13.5492 Td[(scheinungen)-200(gen\374gt)-201(werden)-200(k\366nnte;)-217(zu)-200(erreichen)-201(suchten)-200(sie)-200(dies)]TJ 0 -13.5492 Td[(dadurch,)-352(dass)-332(sie)-332(das)-332(fr\374her)-332(Gefundene)-332(in)-332(Ueberlegung)-332(zogen,)]TJ 0 -13.5492 Td[(und)-205(\374ber)-205(die)-205(zuk\374nftigen)-205(Erscheinungen)-205(Vermuthungen)-204(aufstell-)]TJ 0 -13.5492 Td[(ten,)-419(wobei)-385(die)-385(Einen)-385(sich)-385(arithmetischer)-384(Methoden)-385(bedienten,)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +66 0 obj << +/Type /Page +/Contents 67 0 R +/Resources 65 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 64 0 R +>> endobj +68 0 obj << +/D [66 0 R /XYZ 273.0616 340.399 null] +>> endobj +65 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F23 35 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +71 0 obj << +/Length 4459 +>> +stream +1 0 0 1 46.7715 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 316.4922 548.9335 Td[(11)]TJ +ET +1 0 0 1 327.4012 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -327.4012 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 46.7715 518.1751 Td[(wie)-201(die)-202(Chald\344er,)-211(die)-201(Anderen)-201(construirender)-202(wie)-201(die)-201(Aegypter\253.)]TJ 11.9552 -16.004 Td[(Aus)-263(diesen)-262(und)-263(\344hnlichen)-263(Berichten,)-266(sowie)-262(aus)-263(dem)-263(Umstan-)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(de,)-365(dass)-342(die)-342(Anf\344nge)-342(der)-342(griechischen)-342(Geometrie)-341(selbst)-342(haupt-)]TJ 0 -13.5492 Td[(s\344chlich)-288(constructiver)-288(Natur)-288(waren,)-297(muss)-288(man)-288(zu)-288(dem)-287(Schlusse)]TJ 0 -13.5492 Td[(kommen,)-414(dass)-381(die)-381(alten)-381(Aegypter)-381(seit)-381(unvordenklichen)-381(Zeiten)]TJ 0 -13.5492 Td[(die)-226(Reisskunst)-225(pflegten,)-230(und)-226(in)-225(der)-226(langen)-225(Reihe)-226(der)-225(Jahrhunder-)]TJ 0 -13.5492 Td[(te)-327(sicherlich)-326(eine)-327(ziemlich)-327(bedeutende)-326(Masse)-327(sowohl)-326(einfacher)]TJ 0 -13.5492 Td[(als)-453(complicirterer)-454(Constructionen)-453(erfanden)-453(und)-454(in)-453(ein)-453(gewis-)]TJ 0 -13.5492 Td[(ses)-426(System)-426(brachten,)-470(von)-426(Ersteren)-852(zu)-426(Letzteren)-426(aufsteigend.)]TJ/F16 7.9701 Tf 291.0235 0 Td[([15])]TJ/F16 10.9091 Tf -291.0235 -13.5492 Td[(Diese)-297(Constructionen)-297(d\374rften)-297(ihrem)-297(gr\366sseren)-297(Theile)-297(nach,)-308(und)]TJ 0 -13.5492 Td[(zwar)-284(jenem)-284(Theile)-283(nach,)-293(welcher,)-292(wenn)-284(auch)-284(ohne)-283(Begr\374ndung)]TJ 0 -13.5492 Td[(Gemeingut)-414(der)-414(die)-414(K\374nste)-414(und)-414(Gewerbe)-414(bet)1(reibenden)-414(Kasten)]TJ 0 -13.5492 Td[(wurde,)-245(nur)-244(solche)-243(gewesen)-244(sein,)-245(die)-244(dem)-244(praktischen)-243(Bed\374rfnis-)]TJ 0 -13.5492 Td[(se)-230(dienen)-229(konnten,)-234(also)-230(zumeist)-229(Ornamentenconstructionen.)-243(Wir)]TJ 0 -13.5492 Td[(bemerken)-418(hier)-418(unter)-418(Anderem)-418(das)-418(Vorkommen)-418(regelm\344ssiger)]TJ 0 -13.5492 Td[(geometrischer)-312(Figuren)-313(auf)-312(uralten)-313(Wandgem\344lden,)-328(wie)-312(sie)-312(sich)]TJ 0 -13.5492 Td[(z.)-295(B.)-296(als)-295(f\344rbige)-295(Zeichnungen)-296(aus)-295(den)-295(Zeiten)-296(der)-295(f\374nften)-295(Dyna-)]TJ 0 -13.5492 Td[(stie,)-313(also)-300(unmittelbar)-301(nach)-300(den)-300(Erbauern)-301(der)-300(Pyramiden,)-313(das)-300(ist)]TJ 0 -13.5492 Td[(3400)-250(Jahre)-250(v.)-250(Chr.)-250(G.)-250(etwa)-250(vorfinden.)]TJ/F16 7.9701 Tf 164.8142 3.9588 Td[(24)]TJ/F16 10.9091 Tf -152.859 -19.9628 Td[(Man)-224(sieht)-225(unter)-224(der)-225(grossen)-224(Menge)-225(der)-224(in)-225(dieser)-224(Zeit)-225(vorkom-)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(menden)-457(Figuren)-456(eine,)-508(aus)-457(verschobenen,)-508(ineinander)-456(gezeich-)]TJ 0 -13.5492 Td[(neten,)-424(theilweise)-389(durch)-389(zu)-390(einer)-389(Diagonale)-389(Parallele)-389(zerlegten)]TJ 0 -13.5492 Td[(Quadraten)-496(zusammengesetzte)-497(Figur,)-558(ferner)-496(aus)-497(der)-496(Zeit)-496(von)]TJ 0 -13.5492 Td[(der)-286(zw\366lften)-285(bis)-286(zur)-285(sechsundzwanzigsten)-286(Dynastie,)-294(eine)-285(Figur,)]TJ 0 -13.5492 Td[(bestehend)-401(aus)-402(einem)-401(Quadrate,)-439(und)-402(zwei,)-439(l\344ngs)-401(der)-401(Diagona-)]TJ 0 -13.5492 Td[(le)-318(centrisch)-317(hineingelegten)-318(lemniscatischen)-318(Curven,)-335(sowie)-317(eine)]TJ 0 -13.5492 Td[(Zusammenstellung)-224(von)-223(um)-224(f\374nfundvierzig)-224(Grade)-223(gegeneinander)]TJ 0 -13.5492 Td[(verdrehten,)-391(sich)-362(durchsetzenden)-363(Quadraten.)-588(Kreise)-362(erscheinen)]TJ 0 -13.5492 Td[(durch)-306(ihre)-307(Durchmesser)-306(in)-307(gleiche)-306(Kreisausschnitte)-307(getheilt;)-334(so)]TJ 0 -13.5492 Td[(zun\344chst)-286(durch)-286(zwei)-286(oder)-286(vier)-286(Durchmesser)-286(in)-285(vier)-286(beziehungs-)]TJ 0 -13.5492 Td[(weise)-194(acht,)-206(und)-194(in)-194(sp\344teren)-194(Zeiten)-195(auch)-194(durch)-194(sechs)-194(Durchmesser)]TJ 0 -13.5492 Td[(in)-329(zw\366lf)-329(gleiche)-329(Ausschnitte;)-369(die)-329(in)-329(den)-329(Zeichnungen)-329(vorkom-)]TJ 0 -13.5492 Td[(menden)-297(Wagenr\344der)-297(besitzen)-298(zumeist)-297(sechs,)-309(seltener)-297(vier)-297(Spei-)]TJ 0 -13.5492 Td[(chen,)-239(so)-237(dass)-237(auch)-236(die)-237(Theilung)-237(des)-236(Kreises)-237(durch)-237(drei)-236(Diameter)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +70 0 obj << +/Type /Page +/Contents 71 0 R +/Resources 69 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 64 0 R +>> endobj +72 0 obj << +/D [70 0 R /XYZ 208.9488 407.3267 null] +>> endobj +69 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +75 0 obj << +/Length 4720 +>> +stream +1 0 0 1 93.5434 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 93.5434 548.9335 Td[(12)-8396(Ueber)-250(die)-250(Geometrie)-250(der)-250(alten)-250(Aegypter.)]TJ +ET +1 0 0 1 374.1731 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -374.1731 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 93.5434 518.1751 Td[(in)-250(sechs)-250(gleiche)-250(Kreisausschnitte)-250(vertreten)-250(erscheint.)]TJ 11.9552 -14.7766 Td[(In)-260(einer)-260(unvollendet)-259(gebliebenen)-260(Kammer)-260(des)-260(Grabes)]TJ/F23 10.9091 Tf 238.5675 0 Td[(Seti)-260(I.)]TJ/F16 10.9091 Tf 27.3798 0 Td[(,)]TJ -277.9025 -13.5492 Td[(des)-313(Vater)]TJ/F23 10.9091 Tf 45.5937 0 Td[(Ramses)-313(II.)]TJ/F16 10.9091 Tf 53.7864 0 Td[(aus)-313(der)-312(neunzehnten)-313(Dynastie)-313(\050das)-313(soge-)]TJ -99.3801 -13.5492 Td[(nannte)-168(Grab)]TJ/F23 10.9091 Tf 54.5513 0 Td[(Belzoni)]TJ/F16 10.9091 Tf 34.549 0 Td[(\051)]TJ/F16 7.9701 Tf 3.6327 3.9588 Td[(25)]TJ/F16 10.9091 Tf 10.2985 -3.9588 Td[(finden)-168(wir)-168(die)-167(W\344nde)-168(behufs)-168(Anbringung)]TJ -103.0315 -13.5492 Td[(von)-242(Reliefarbeiten)-241(mit)-242(einem)-242(Netze)-242(gleich)-483(grosser)-242(Quadrate)-241(be-)]TJ/F16 7.9701 Tf -72.7559 0 Td[([16])]TJ/F16 10.9091 Tf 72.7559 -13.5492 Td[(deckt,)-525(und)-470(es)-470(kann)-470(keinem)-470(Zweifel)-470(unterliegen,)-525(dass)-470(wir)-470(es)]TJ 0 -13.5492 Td[(hier)-224(mit)-223(der)-224(Anwendung)-223(eines)-224(Verkleinerungs-)-223(beziehungsweise)]TJ 0 -13.5492 Td[(Vergr\366sserungsmaassstabes)-250(zu)-250(thun)-250(haben.)]TJ 11.9551 -14.7766 Td[(Wenn)-378(nun)-377(auch)-378(die)-377(einfachen)-378(Figuren)-377(des)-378(Dreieckes,)-410(Qua-)]TJ -11.9551 -13.5492 Td[(drates)-406(und)-406(des)-406(Kreises)-406(h\366chst)-406(wahrscheinlich)-405(ohne)-406(besondere)]TJ 0 -13.5492 Td[(Ueberlegung,)-205(einfach)-194(dem)-194(inneren)-194(geometrischen)-194(Formendrange)]TJ 0 -13.5492 Td[(entsprungen)-265(sein)-266(d\374rften,)-269(so)-265(ist)-265(doch)-266(gewiss,)-269(dass)-265(ihre)-265(verschie-)]TJ 0 -13.5492 Td[(denartige)-210(Zusammensetzung)-210(zu)-211(Mustern)-210(das)-210(Product,)-218(wenn)-210(auch)]TJ 0 -13.5492 Td[(primitiven)-186(geometrischen)-186(Denkens)-185(war,)-199(welches)-186(dann)-186(schon)-185(eine)]TJ 0 -13.5492 Td[(ziemliche)-358(Selbstst\344ndigkeit)-358(erreicht)-358(haben)-358(musste,)-385(als)-358(die)-358(vor-)]TJ 0 -13.5492 Td[(erw\344hnte)-346(Anwendung)-345(von)-346(Proportionalmaassst\344ben)-346(in)-345(Uebung)]TJ 0 -13.5492 Td[(kam.)]TJ 11.9551 -14.7766 Td[(Andererseits)-300(musste)-301(das)-300(\366ftere)-300(Betrachten)-300(der)-301(regelm\344ssigen)]TJ -11.9551 -13.5492 Td[(Figuren)-493(einen)-492(geometrisch)-493(disponirten)-493(Geist)-492(von)-493(selbst)-492(zum)]TJ 0 -13.5492 Td[(Aufsuchen)-538(unbekannter)-537(Eigenschaften)-538(derselben)-537(reizen,)-609(und)]TJ 0 -13.5492 Td[(vielleicht)-254(ist)-254(der)-253(Thaletische)-254(Satz)-254(von)-254(der)-254(Halbirung)-254(des)-253(Kreises)]TJ 0 -13.5492 Td[(durch)-418(einen)-417(Durchmesser)-418(nichts)-418(als)-417(eine)-418(aus)-418(der)-417(Betrachtung)]TJ 0 -13.5492 Td[(jener)-453(aegyptischen)-452(Zeichnungen)-453(gewonnene)-452(Abstraction,)-503(und)]TJ 0 -13.5492 Td[(huldigen)-250(wir)-251(in)-250(dieser)-251(Beziehung)-250(der)-251(Ansicht,)-250(dass)]TJ/F23 10.9091 Tf 225.1628 0 Td[(Thales)]TJ/F16 10.9091 Tf 33.6488 0 Td[(beim)]TJ -258.8116 -13.5492 Td[(Ausspruche)-295(des)-295(erw\344hnten,)-306(f\374r)-294(uns)-295(freilich)-295(h\366chst)-295(einfach)-294(klin-)]TJ 0 -13.5492 Td[(genden)-284(Satzes,)-292(wahrscheinlich)-284(sagen)-283(wollte,)-292(nur)-284(der)-284(Kreis)-283(habe)]TJ 0 -13.5492 Td[(die)-193(ausgezeichnete)-192(Eigenschaft,)-204(von)-193(allen)-192(durch)-193(einen)-192(Punkt,)-204(den)]TJ 0 -13.5492 Td[(Mittelpunkt,)-368(gehenden)-345(Geraden)-345(in)-344(lauter)-345(untereinander)-344(gleiche)]TJ 0 -13.5492 Td[(H\344lften)-250(getheilt)-250(zu)-250(werden.)]TJ 11.9552 -14.7766 Td[(Von)-456(besonderer)-455(Wichtigkeit)-456(scheint)-456(uns)-455(jedoch)-456(der)-456(fr\374her)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(citirte)-458(selbstgef\344llige)-458(Ausspruch)-457(des)]TJ/F23 10.9091 Tf 169.6485 0 Td[(Demokritos)]TJ/F16 10.9091 Tf 59.5284 0 Td[(zu)-458(sein,)-510(da)]TJ -229.1769 -13.5492 Td[(er)-261(uns)-261(vor)-261(einer)-261(ungerechtfertigten)-261(Untersch\344tzung)-260(aegyptischer)]TJ 0 -13.5492 Td[(Constructionsgewandtheit)-200(bewahren)-200(kann.)-234(Bedenklich)-200(in)]TJ/F23 10.9091 Tf 249.7352 0 Td[(Demo-)]TJ -249.7352 -13.5492 Td[(kritos)]TJ/F16 10.9091 Tf 27.2727 0 Td[(')-272(Angabe)-272(k\366nnte)-272(allenfalls)-272(jenes)-272(Selbstlob)-272(erscheinen,)-277(das)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +74 0 obj << +/Type /Page +/Contents 75 0 R +/Resources 73 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 64 0 R +>> endobj +76 0 obj << +/D [74 0 R /XYZ 280.8444 462.7509 null] +>> endobj +73 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F23 35 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +79 0 obj << +/Length 5156 +>> +stream +1 0 0 1 46.7715 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 316.4922 548.9335 Td[(13)]TJ +ET +1 0 0 1 327.4012 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -327.4012 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 46.7715 518.1751 Td[(er)-330(sich)-330(spendet;)-371(wenn)-330(es)-330(nun)-661(wohl)-330(auch)-330(schon)-330(im)-330(Alterthume)]TJ/F16 7.9701 Tf 291.0235 0 Td[([17])]TJ/F16 10.9091 Tf -291.0235 -13.5492 Td[(M\344nner)-328(geben)-327(mochte,)-347(die)-328(ihre)-327(Ber\374hmtheit)-328(vorzugsweise)-327(und)]TJ 0 -13.5492 Td[(oft)-377(nur)-377(der)-377(Hochsch\344tzung)-376(verdankten,)-409(die)-377(sie)-377(sich)-377(selbst)-376(und)]TJ 0 -13.5492 Td[(ihren)-382(Werken)-382(gezollt,)-414(M\344nner,)-415(welche)-382(in)-382(der)-382(Verbreitung)-381(des)]TJ 0 -13.5492 Td[(eigenen)-370(Lobes)-371(so)-370(emsig,)-401(so)-370(unerm\374dlich)-371(waren,)-400(dass)-371(sich)-370(um)]TJ 0 -13.5492 Td[(sie)-242(als)-241(die)-242(davon)-241(Ueberzeugtesten)-242(noch)-242(ein)-241(Kreis)-242(von)-241(Gl\344ubigen)]TJ 0 -13.5492 Td[(bildete,)-398(welche)-369(den,)-398(oft)-369(nur)-369(auf)-368(schwankenden)-369(F\374ssen)-368(einher-)]TJ 0 -13.5492 Td[(gehenden)-389(Ruhm)-389(ihrer)-389(Profeten)-388(weiter)-389(f\374hrten,)-424(so)-389(ist)-389(doch)-388(die)]TJ 0 -13.5492 Td[(Bedeudung)-254(des)-255(Geometers)]TJ/F23 10.9091 Tf 119.8131 0 Td[(Demokritos)]TJ/F16 10.9091 Tf 57.3086 0 Td[(durch)-254(so)-255(viele,)-255(und)-254(ver-)]TJ -177.1217 -13.5492 Td[(schiedenen)-315(Quellen)-315(entspringende)-315(Ausspr\374che)-314(beglaubigt,)-331(dass)]TJ 0 -13.5492 Td[(es)-456(gewiss)-456(Niemandem)-456(einfallen)-456(wird,)-508(seine)-456(Autorit\344t)-456(als)-456(die)]TJ 0 -13.5492 Td[(eines)-362(gr\374ndlichen)-362(Kenners)-363(der)-362(Geometrie)-362(seiner)-362(Zeit)-362(in)-362(Zwei-)]TJ 0 -13.5492 Td[(fel)-377(zu)-377(ziehen.)-631(Wohl)-377(sind)-377(uns)-377(von)-377(den)-376(geometrischen)-377(Werken)]TJ 0 -13.5492 Td[(des)]TJ/F23 10.9091 Tf 18.8487 0 Td[(Demokritos)]TJ/F16 10.9091 Tf 54.5345 0 Td[(,)-431(und)-395(kaum)-395(von)-394(allen)-395(nur)-395(die)-395(ganz)-395(allgemein)]TJ -73.3832 -13.5492 Td[(klingenden)-250(Titel)-250(erhalten.)]TJ 11.9552 -18.4588 Td[(W\344hrend)-337(uns)]TJ/F23 10.9091 Tf 62.4818 0 Td[(Cicero)]TJ/F16 7.9701 Tf 30.8945 3.9588 Td[(26)]TJ/F16 10.9091 Tf 12.142 -3.9588 Td[(diesen)-337(Philosophen)-336(als)-337(einen)-337(gelehr-)]TJ -117.4735 -13.5492 Td[(ten,)-304(in)-293(der)-293(Geometrie)-293(vollkommen)-293(bewanderten)-293(Mann)-293(anpreist,)]TJ 0 -13.5492 Td[(theilt)-488(uns)]TJ/F23 10.9091 Tf 48.234 0 Td[(Diogenes)-488(Laertius)]TJ/F16 7.9701 Tf 86.5333 3.9588 Td[(27)]TJ/F16 10.9091 Tf 13.7944 -3.9588 Td[(mit,)-548(dass)]TJ/F23 10.9091 Tf 47.3674 0 Td[(Demokritos)]TJ/F16 10.9091 Tf 59.8607 0 Td[(\273\374ber)]TJ -255.7898 -13.5492 Td[(Geometrie\253,)-227(\273\374ber)-222(Zahlen\253,)-227(\273\374ber)-222(den)-222(Unterschied)-222(des)-221(Gnomon)]TJ 0 -13.5492 Td[(oder)-443(\374ber)-443(die)-443(Ber\374hrung)-443(des)-443(Kreises)-443(und)-443(der)-443(Kugel\253,)-491(sowie)]TJ 0 -13.5492 Td[(zwei)-418(B\374cher)-417(\273\374ber)-418(irrationale)-417(Linien)-418(und)-417(die)-418(dichten)-417(Dinge\253)]TJ 0 -13.5492 Td[(geschrieben)-303(habe,)-317(Schriften,)-316(deren)-304(Titel)-303(theilweise)-303(uns)-303(\374ber)-303(ih-)]TJ 0 -13.5492 Td[(ren)-291(Inhalt)-291(ganz)-292(im)-291(Unklaren)-291(lassen.)-374(Legen)-291(wir)-291(den)-291(angef\374hrten)]TJ 0 -13.5492 Td[(Zeugnissen)-323(Glauben)-322(bei,)-341(und)-323(es)-323(ist)-322(kein)-323(Grund)-323(vorhanden)-322(dies)]TJ 0 -13.5492 Td[(nicht)-394(zu)-394(thuh,)-430(so)-394(m\374ssen)-394(wir)-394(von)]TJ/F23 10.9091 Tf 158.054 0 Td[(Demokritos)]TJ/F16 10.9091 Tf 58.8331 0 Td[(als)-394(von)-394(einem)]TJ -216.8871 -13.5492 Td[(\273in)-416(der)-415(Geometrie)-416(vollkommenen)-415(Manne\253)-416(voraussetzen,)-456(dass)]TJ 0 -13.5492 Td[(er)-288(mit)-288(den)-288(Errungenschaften)-288(des)]TJ/F23 10.9091 Tf 145.9805 0 Td[(Pythagoras)]TJ/F16 10.9091 Tf 52.7235 0 Td[(,)-298(welcher)-288(ein)-288(Jahr-)]TJ -198.704 -13.5492 Td[(hundert)-353(vor)]TJ/F23 10.9091 Tf 55.5732 0 Td[(Demokritos)]TJ/F16 10.9091 Tf 58.3866 0 Td[(Aegypten)-353(besucht)-353(hatte,)-379(vollkommen)]TJ -113.9598 -13.5492 Td[(vertraut)-325(war.)-473(Gewiss)-325(war)-325(ihm)-324(somit)-325(bekannt:)-399(die)-325(Methode)-324(der)]TJ 0 -13.5492 Td[(\273Anlegung)-212(der)-212(Fl\344chen\253,)-219(welche)-212(wieder)-212(die)-212(Vertrautheit)-212(mit)-211(den)]TJ 0 -13.5492 Td[(Haupts\344tzen)-424(aus)-424(der)-423(Theorie)-424(der)-424(Parallelen)-424(und)-424(der)-847(Winkel,)]TJ/F16 7.9701 Tf 291.0235 0 Td[([18])]TJ/F16 10.9091 Tf -291.0235 -13.5492 Td[(so)-348(wie)-348(die)-348(Kenntniss)-348(der)-348(Abh\344ngigkeit)-348(der)-347(Fl\344cheninhalte)-348(von)]TJ 0 -13.5492 Td[(den)-351(ihnen)-352(zukommenden)-351(Ausmaassen)-352(voraussetzt.)-554(Nicht)-351(min-)]TJ 0 -13.5492 Td[(der)-251(bekannt)-251(mussten)-251(ihm)-251(die,)-251(dem)]TJ/F23 10.9091 Tf 152.4711 0 Td[(Pythagoras)]TJ/F16 10.9091 Tf 55.4605 0 Td[(zugeschriebenen)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +78 0 obj << +/Type /Page +/Contents 79 0 R +/Resources 77 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 64 0 R +>> endobj +80 0 obj << +/D [78 0 R /XYZ 180.3136 518.1751 null] +>> endobj +81 0 obj << +/D [78 0 R /XYZ 287.9341 106.7896 null] +>> endobj +77 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F23 35 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +84 0 obj << +/Length 4877 +>> +stream +1 0 0 1 93.5434 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 93.5434 548.9335 Td[(14)-8396(Ueber)-250(die)-250(Geometrie)-250(der)-250(alten)-250(Aegypter.)]TJ +ET +1 0 0 1 374.1731 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -374.1731 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 93.5434 518.1751 Td[(Constructionen)-193(der)-194(f\374nf)-193(regelm\344ssigen,)-205(sogenannten)-193(kosmischen)]TJ 0 -13.5492 Td[(K\366rper)-359(sein,)-386(woraus)-359(sich)-359(weiter)-359(schliessen)-359(l\344sst,)-386(dass)-359(auch)-359(ei-)]TJ 0 -13.5492 Td[(nerseits)-275(die)-275(Eigenschaften)-274(der)-275(Kugel,)-281(welcher)-275(doch)-275(jene)-274(K\366rper)]TJ 0 -13.5492 Td[(eingeschrieben)-274(wurden,)-280(und)-275(anderseits)-274(die)-274(Entstehungen)-274(der)-274(re-)]TJ 0 -13.5492 Td[(gelm\344ssigen,)-234(jene)-231(K\366rper)-230(begrenzenden)-230(Vielecke,)-235(vor)-230(Allem)-230(die)]TJ 0 -13.5492 Td[(des)-314(F\374nfeckes)-315(dem)]TJ/F23 10.9091 Tf 88.4513 0 Td[(Demokritos)]TJ/F16 10.9091 Tf 57.9637 0 Td[(nicht)-314(ungel\344ufig)-315(sein)-314(konnten.)]TJ -146.415 -13.5492 Td[(Die)-342(Construction)-343(des)-342(Letzteren)-342(erheischt)-343(wiederum)-342(die)-342(Kennt-)]TJ 0 -13.5492 Td[(niss)-351(der)-350(Lehre)-351(vom)-351(goldenen)-351(Schnitt,)-376(und)-350(diese)-351(den)-351(Satz)-350(vom)]TJ 0 -13.5492 Td[(Quadrate)-319(der)-319(Hypothenuse)]TJ/F16 7.9701 Tf 118.4378 3.9588 Td[(28)]TJ/F16 10.9091 Tf 8.4683 -3.9588 Td[(.)-457(Hat)-319(nun)]TJ/F23 10.9091 Tf 46.784 0 Td[(Demokritos)]TJ/F16 10.9091 Tf 58.0135 0 Td[(auch)-319(selbst)]TJ -231.7036 -13.5492 Td[(nichts)-211(Neues)-212(hinzugef\374gt,)-219(so)-211(musste)-212(er)-211(doch)-212(Jenes)-211(kennen;)-224(wenn)]TJ 0 -13.5492 Td[(er)-204(nun)-203(anderseits)-204(sagt:)-227(\273im)-203(Construiren)-204(h\344tte)-204(ihn)-203(Niemand,)-213(selbst)]TJ 0 -13.5492 Td[(nicht)-374(die)-374(Harpedonapten)-374(der)-374(Aegypter)-374(\374bertroffen\253,)-404(so)-374(d\374rfen)]TJ 0 -13.5492 Td[(wir)-427(hieraus)-427(mit)-427(Sicherheit)-427(schliessen,)-471(dass)-427(die)-427(geometrischen)]TJ 0 -13.5492 Td[(Kenntnisse)-288(der)-289(aegyptischen)-288(Priester)-289(bedeutend)-288(genug)-288(gewesen)]TJ 0 -13.5492 Td[(sein)-436(mussten,)-482(weil)-436(sich)]TJ/F23 10.9091 Tf 111.9483 0 Td[(Demokritos)]TJ/F16 10.9091 Tf 59.2894 0 Td[(sonst)-436(kaum)-436(gerade)-436(\374ber)]TJ -171.2377 -13.5492 Td[(diese)-250(Geometer)-250(gesetzt)-250(h\344tte.)]TJ 11.9552 -16.004 Td[(Doch)-253(verlassen)-253(wir)-253(f\374r)-253(jetzt)-253(die)-253(Nachrichten)-253(des)-254(griechischen)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(Alterthums,)-268(welche)-265(in)-264(der)-264(Beurtheilung)-265(aegyptischer)-264(Geometrie)]TJ 0 -13.5492 Td[(nur)-308(Conjecturen)-308(zulassen,)-323(und)-308(blicken)-309(wir)-308(nach)-308(directen)-308(Denk-)]TJ 0 -13.5492 Td[(malen)-442(aegyptischen)-442(Ursprungs,)-490(aus)-442(denen)-442(vielleicht)-442(Schl\374sse)]TJ 0 -13.5492 Td[(gezogen)-343(werden)-342(k\366nnten)-343(auf)-343(Wesen)-342(und)-343(Umfang)-342(aegyptischer)]TJ 0 -13.5492 Td[(Geometrie.)]TJ 11.9552 -16.004 Td[(Das)-229(Britische)-229(Museum)-228(bewahrt)-229(eine)-229(Papyrusrolle,)-233(welche)-229(aus)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(dem)-412(Nachlasse)-412(des)-412(Engl\344nders)]TJ/F23 10.9091 Tf 144.6157 0 Td[(A.)-412(Henry)-412(Rhind)]TJ/F16 10.9091 Tf 82.8908 0 Td[(stammt,)-453(die)]TJ -227.5065 -13.5492 Td[(derselbe)-207(nebst)-208(anderen)-207(werthvollen)-207(Rollen)-208(in)-207(Aegypten)-207(k\344ufllich)]TJ 0 -13.5492 Td[(an)-318(sich)-317(gebracht)-318(haben)-317(d\374rfte.)-453(Der)-317(erw\344hnte)-318(Papyrus,)-334(ein)-317(altes)]TJ 0 -13.5492 Td[(Denkmal)-304(\344gyptischer)-305(Mathematik,)-318(ist,)-318(wie)-304(es)-305(scheint,)-318(nicht)-304(mit)]TJ 0 -13.5492 Td[(vollster)-318(Berechtigung)-319(als)-318(ein)-637(\273mathematisches)-318(Handbuch\253)-318(der)]TJ/F16 7.9701 Tf -72.7559 0 Td[([19])]TJ/F16 10.9091 Tf 72.7559 -13.5492 Td[(alten)-173(Aegypter)-173(bezeichnet)-172(worden)]TJ/F16 7.9701 Tf 146.8193 3.9588 Td[(29)]TJ/F16 10.9091 Tf 8.4682 -3.9588 Td[(.)-224(Der)-173(fragliche)-173(Papyrus)-173(nennt)]TJ -155.2875 -13.5492 Td[(sich)-339(selbst)-339(eine)-340(Nachahmung)-339(\344lterer)-339(mathematischer)-339(Schriften,)]TJ 0 -13.5492 Td[(denn)-331(es)-331(heisst)-331(in)-332(der)-331(Einleitung:)-412(\273Verfasst)-331(wurde)-331(diese)-331(Schrift)]TJ 0 -13.5492 Td[(im)-279(Jahre)-278(dreiunddreissig)-279(im)-279(vierten)-278(Monat)-279(der)-279(Wasserzeit)-278(unter)]TJ 0 -13.5492 Td[(K\366nig)-322(Ra-a-us,)-339(Leben)-322(gebend)-322(nach)-321(dem)-322(Muster)-322(alter)-321(Schriften)]TJ 0 -13.5492 Td[(in)-334(den)-334(Zeiten)-334(des)-334(K\366nigs)]TJ/F33 10.9091 Tf 116.3915 0 Td[(&)]TJ/F16 10.9091 Tf 10.9091 0 Td[(\342t)-334(vom)-334(Schreiber)-334(Aahmes)-334(verfasst)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +83 0 obj << +/Type /Page +/Contents 84 0 R +/Resources 82 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 64 0 R +>> endobj +85 0 obj << +/D [83 0 R /XYZ 224.3911 147.4372 null] +>> endobj +82 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F23 35 0 R /F33 87 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +90 0 obj << +/Length 5146 +>> +stream +1 0 0 1 46.7715 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 316.4922 548.9335 Td[(15)]TJ +ET +1 0 0 1 327.4012 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -327.4012 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 46.7715 518.1751 Td[(die)-250(Schrift.\253)]TJ 11.9552 -16.004 Td[(Nachdem)-175(zuerst)-175(Dr.)]TJ/F23 10.9091 Tf 88.3606 0 Td[(Birch)]TJ/F16 7.9701 Tf 26.0618 3.9588 Td[(30)]TJ/F16 10.9091 Tf 10.3761 -3.9588 Td[(auf)-175(diesen)-175(mathematischen)-175(Papy-)]TJ -136.7537 -13.5492 Td[(rus)-208(durch)-207(einen)-208(kurzen)-208(vorl\344ufigen)-207(Bericht)-208(aufmerksam)-207(gemacht)]TJ 0 -13.5492 Td[(hatte,)-338(wurde)-320(der)-320(Gegenstand)-321(von)-320(dem)-320(ausgezeichneten)-320(Heidel-)]TJ 0 -13.5492 Td[(berger)-332(Aegyptologen)-331(Dr.)]TJ/F23 10.9091 Tf 116.5432 0 Td[(Eisenlohr)]TJ/F16 10.9091 Tf 48.4758 0 Td[(einer)-332(eingehenden,)-352(h\366chst)]TJ -165.019 -13.5492 Td[(schwierigen)-252(und)-252(zeitraubenden)-251(Untersuchung)-252(unterzogen,)-252(deren)]TJ 0 -13.5492 Td[(Resultate,)-455(was)-413(die)-414(Uebersetzung)-414(betrifft,)-455(unseren)-413(gegenw\344rti-)]TJ 0 -13.5492 Td[(gen)-315(Betrachtungen)-314(zu)-315(Grunde)-315(liegen.)-443(Bez\374glich)-315(des)-315(Alters)-314(des)]TJ 0 -13.5492 Td[(Papyrus)-303(hat)-304(man)-303(jenes)-303(der)-303(vorhandenen)-304(Abschrift)-303(von)-303(dem)-303(Al-)]TJ 0 -13.5492 Td[(ter)-337(des)-337(unbekannten)-337(Originals)-337(zu)-337(unterscheiden.)-511(Nach)-336(der)-337(von)]TJ/F23 10.9091 Tf 0 -13.5492 Td[(Eisenlohr)]TJ/F16 10.9091 Tf 49.2134 0 Td[(gegebenen)-399(Vervollst\344ndigung)-399(der)-400(in)-399(der)-399(erw\344hnten)]TJ -49.2134 -13.5492 Td[(Einleitung)-476(auf)-477(das)-476(Wort)-477(K\366nig)-476(folgenden)-477(L\374cke,)-533(w\374rde)-476(der)]TJ 0 -13.5492 Td[(Herrscher,)-381(unter)-354(dessen)-355(Regierung)-354(das)-354(Original)-355(entstanden)-354(ist,)]TJ 0 -13.5492 Td[(der)-218(K\366nig)]TJ/F23 10.9091 Tf 45.9689 0 Td[(Ra-en-mat)]TJ/F16 10.9091 Tf 52.0625 0 Td[(sein,)-225(dessen)-218(Regierungszeit)]TJ/F23 10.9091 Tf 122.0457 0 Td[(Lepsius)]TJ/F16 7.9701 Tf 35.7709 3.9588 Td[(31)]TJ/F16 10.9091 Tf 10.8508 -3.9588 Td[(auf)]TJ -266.6988 -13.5492 Td[(2221)]TJ/F33 10.9091 Tf 21.8181 0 Td[(\023)]TJ/F16 10.9091 Tf 5.4546 0 Td[(2179)-167(v.)-168(Chr.)-167(G.)-167(legt.)-223(Da)-167(ferner)-167(der)-167(Name)]TJ/F23 10.9091 Tf 174.5519 0 Td[(Ra-a-us)]TJ/F16 10.9091 Tf 38.1847 0 Td[(in)-167(den)-168(bis)]TJ -240.0093 -13.5492 Td[(dahin)-277(vorhandenen)-278(K\366nigslisten)-277(nicht)-277(vorkommt,)-285(sah)-277(man)-277(sich,)]TJ 0 -13.5492 Td[(um)-272(die)-271(Zeit)-272(der)-272(Entstehung)-271(der)-272(Abschrift)-272(wenigstens)-271(ann\344hernd)]TJ 0 -13.5492 Td[(angeben)-277(zu)-277(k\366nnen,)-284(darauf)-278(angewiesen,)-284(aus)-277(der)-277(bekannten)-277(Sitte)]TJ 0 -13.5492 Td[(der)-369(Aegypter)-370(die)-369(Eigennamen)-370(der)-369(eben)-370(herrschenden)-369(oder)-369(der)]TJ 0 -13.5492 Td[(unmittelbar)-229(vorhergegangenen)-228(Regenten)-229(zu)-229(gebrauchen,)-232(Schl\374s-)]TJ 0 -13.5492 Td[(se)-353(zu)-352(ziehen.)-558(Und)-352(da)-353(liess)-352(der)-353(Name)]TJ/F23 10.9091 Tf 172.0509 0 Td[(Aahmes)]TJ/F16 10.9091 Tf 41.4167 0 Td[(des)-353(Schreibers,)]TJ -213.4676 -13.5492 Td[(sowie)-354(auch)-354(die)-355(\050althieratische\051)-354(Schrift)-354(des)-354(Papyrus)-354(vermuthen,)]TJ 0 -13.5492 Td[(dass)-371(derselbe)-371(um)-371(1700)-370(v.)-371(Chr.)-371(G.)-371(entstanden)-371(sein)-371(d\374rfte.)-612(Die)]TJ 0 -13.5492 Td[(Vermuthung)-690(in)-345(Bezug)-346(auf)-345(das)-345(Zeitalter)-345(der)-345(Abschrift)-345(hat)-345(sich)]TJ/F16 7.9701 Tf 291.0235 0 Td[([20])]TJ/F16 10.9091 Tf -291.0235 -13.5492 Td[(nun)-257(neueren)-256(Forschungen)-257(zu)-257(Folge)-257(vollkommen)-256(best\344tigt.)-270(Denn)]TJ/F23 10.9091 Tf 0 -13.5492 Td[(Ra-a-us)]TJ/F16 10.9091 Tf 38.8207 0 Td[(wurde)-226(als)-225(der)-226(Hyksosk\366nig)]TJ/F23 10.9091 Tf 120.7337 0 Td[(Apophis)]TJ/F16 10.9091 Tf 41.2643 0 Td[(erkannt,)-230(und)]TJ/F23 10.9091 Tf 56.782 0 Td[(Aah-)]TJ -257.6007 -13.5492 Td[(mes)]TJ/F16 10.9091 Tf 22.7445 0 Td[(d\374rfte)-419(seinen)-419(Namen)-419(von)-419(dem,)-461(kurze)-419(Zeit)-419(dem)-419(Apophis)]TJ -22.7445 -13.5492 Td[(vorhergegangenen)-250(K\366nige)]TJ/F23 10.9091 Tf 118.1453 0 Td[(Amasis)]TJ/F16 10.9091 Tf 36.6654 0 Td[(entlehnt)-250(haben.)]TJ -142.8555 -16.004 Td[(Es)-204(erscheint)-204(so)-204(vollkommen)-204(sichergestellt,)-213(dass)-204(unser)-204(Papyrus)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(aus)-349(dem)-349(achtzehnten)-349(Jahrhundert)-349(v.)-349(Chr.)-349(G.)-349(stammt.)-547(Die)-349(Ein-)]TJ 0 -13.5492 Td[(gangsworte)-225(des)-225(Papyrus,)-230(welche)-224(lauten:)-238(\273Vorschrift)-225(zu)-224(gelangen)]TJ 0 -13.5492 Td[(zur)-381(Kenntniss)-380(aller)-381(dunklen)-380(Dinge,)-414(aller)-380(Geheimnisse,)-413(welche)]TJ 0 -13.5492 Td[(enthalten)-288(sind)-287(in)-288(den)-288(Gegenst\344nden\253,)-297(sowie)-288(die)-288(Anordnung)-287(des)]TJ 0 -13.5492 Td[(Stoffes)-314(in)-313(Arithmetik,)-330(Planimetrie)-314(und)-313(Stereometrie,)-330(an)-313(welche)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +89 0 obj << +/Type /Page +/Contents 90 0 R +/Resources 88 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 92 0 R +>> endobj +91 0 obj << +/D [89 0 R /XYZ 105.6821 204.0888 null] +>> endobj +88 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F23 35 0 R /F33 87 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +95 0 obj << +/Length 4537 +>> +stream +1 0 0 1 93.5434 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 93.5434 548.9335 Td[(16)-8396(Ueber)-250(die)-250(Geometrie)-250(der)-250(alten)-250(Aegypter.)]TJ +ET +1 0 0 1 374.1731 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -374.1731 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 93.5434 518.1751 Td[(sich)-340(ein,)-362(verschiedene)-340(Beispiele)-340(enthaltender)-340(Theil)-340(anschliesst,)]TJ 0 -13.5492 Td[(konnten)-318(im)-319(ersten)-318(Augenblicke)-319(den)-318(Gedanken)-319(aufkommen)-318(las-)]TJ 0 -13.5492 Td[(sen,)-266(dass)-263(wir)-262(es)-263(vielleicht)-263(mit)-262(einem)-263(Lehrbuche)-263(der)-262(Mathematik)]TJ 0 -13.5492 Td[(zu)-337(thun)-336(haben.)-511(Der)-336(Umstand)-337(jedoch,)-359(dass)-336(der)-337(Papyrus)-337(nur)-336(die)]TJ 0 -13.5492 Td[(Zusammenstellung,)-257(allerdings)-255(eine)-255(in)-256(gewissem)-255(Grade)-255(systema-)]TJ 0 -13.5492 Td[(tische)-371(Zusammenstellung)-371(von)-372(Aufgaben)-371(nebst)-371(ihren)-371(L\366sungen)]TJ 0 -13.5492 Td[(und)-409(den)-409(zugeh\366rigen)-409(Proben)-409(ist,)-449(ohne)-409(dass)-408(Definitionen)-409(oder)]TJ 0 -13.5492 Td[(Lehrs\344tze)-343(und)-343(Beweise)-343(vorkommen)-343(w\374rden,)-366(liess)-343(den)-342(Papyrus)]TJ 0 -13.5492 Td[(wiederum)-318(als)-317(eine)-318(Aufgabensammlung,)-334(als)-318(ein)-317(Anleitungsbuch)]TJ 0 -13.5492 Td[(f\374r)-403(Praktiker)-402(erscheinen.)-708(Man)-402(ist)-403(noch)-402(weiter)-403(gegangen,)-440(und)]TJ 0 -13.5492 Td[(stellte)-449(die)-449(Ansicht)-449(auf,)-499(der)-449(Autor)-449(habe)-448(bei)-449(Abfassung)-449(dieser)]TJ 0 -13.5492 Td[(Schrift)-235(vorz\374glich)-235(an)-235(Landleute,)-238(welchen)-235(die)-235(Theorie)-234(unzug\344ng-)]TJ 0 -13.5492 Td[(lich)-364(war,)-394(gedacht.)-593(Daraufhin)-365(weise)-364(nicht)-364(nur)-365(die)-364(Formulirung)]TJ 0 -13.5492 Td[(des)-233(gr\366ssten)-234(Theiles)-233(der)-233(Aufgaben,)-237(welche)-233(Verh\344ltnisse)-233(und)-233(Be-)]TJ 0 -13.5492 Td[(d\374rfnisse)-218(der)-218(Landwirthschaft)-218(ber\374cksichtigen,)-224(sondern)-218(auch)-218(der)]TJ 0 -13.5492 Td[(Schlusssatz)-345(des)-345(Papyrus,)-369(welcher)-346(sagt:)-440(\273Fange)-345(das)-345(Ungeziefer)]TJ 0 -13.5492 Td[(und)-373(die)-374(M\344use,)-404(\050vertilge\051)-373(das)-373(verschiedenartige)-373(Unkraut,)-404(bitte)]TJ 0 -13.5492 Td[(Gott)]TJ/F23 10.9091 Tf 22.1236 0 Td[(Ra)]TJ/F16 10.9091 Tf 16.0581 0 Td[(um)-250(W\344rme,)-250(Wind)-250(und)-250(hohes)-250(Wasser\253.)]TJ/F16 7.9701 Tf -110.9376 0 Td[([21])]TJ/F16 10.9091 Tf 84.7111 -18.4588 Td[(Dass)-215(wir)-214(es)-215(nicht)-214(mit)-215(einem)-215(Handbuche,)-221(welches)-215(dem)-215(damali-)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(gen)-242(Standpunkte)-242(der)-242(mathematischen)-242(Wissenschaften)-242(in)-241(Aegyp-)]TJ 0 -13.5492 Td[(ten)-272(entsprechen)-272(m\374sste,)-277(zu)-271(thun)-272(haben,)-277(ergibt)-272(sich)-272(nicht)-272(nur)-271(aus)]TJ 0 -13.5492 Td[(dem)-345(schon)-344(hervorgehobenen)-345(Mangel)-345(an)-344(Definitionen,)-368(Lehrs\344t-)]TJ 0 -13.5492 Td[(zen)-205(und)-204(Beweisen,)-214(ja)-204(es)-205(fehlt)-204(selbst)-205(jede)-204(Erkl\344rung,)-214(sondern)-204(auch)]TJ 0 -13.5492 Td[(aus)-342(dem)-342(Umst\344nde,)-364(dass)-342(neben)-342(der)-342(richtigen)-342(L\366sung)-341(einzelner)]TJ 0 -13.5492 Td[(Aufgaben)-316(die)-316(unrichtigen)-316(oder)-316(unvollendeten)-316(L\366sungen)-316(dersel-)]TJ 0 -13.5492 Td[(ben)-407(oder)-407(\344hnlicher)-407(Aufgaben,)-446(sowie)-407(manche)-407(Wiederholungen)]TJ 0 -13.5492 Td[(vorkommen.)-350(Nur)-283(nebenbei)-284(verweisen)-283(wir)-283(darauf,)-292(dass)-283(in)-283(einem)]TJ 0 -13.5492 Td[(Handbuche)-287(unzweifelhaft)-287(wenigstens)-287(Ankl\344nge)-287(an)-287(die)-287(erste)-287(der)]TJ 0 -13.5492 Td[(Wissenschaften)-380(des)-381(Alterthums,)-413(an)-380(die)-381(Astronomie,)-413(zu)-380(finden)]TJ 0 -13.5492 Td[(sein)-206(m\374ssten.)-235(Doch)-206(ist)-206(von)-205(diesem)-206(Theile)-206(der)-206(Mathematik)-206(im)-205(Pa-)]TJ 0 -13.5492 Td[(pyrus)-244(nicht)-244(die)-245(geringste)-244(Spur)-244(zu)-244(finden.)-248(Aufkl\344rungen)-244(\374ber)-244(den)]TJ 0 -13.5492 Td[(wahren)-275(Charakter)-274(des)-275(Originals)-274(unseres)-275(Papyrus,)-280(und)-275(eine)-274(viele)]TJ 0 -13.5492 Td[(Wahrscheinlichkeit)-235(besitzende)-234(Vermuthung)-235(\374ber)-235(die)-234(Entstehung)]TJ 0 -13.5492 Td[(der)-336(uns)-335(besch\344ftigenden)-336(Abschrift,)-357(verdanken)-335(wir)-336(dem)-335(Scharf-)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +94 0 obj << +/Type /Page +/Contents 95 0 R +/Resources 93 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 92 0 R +>> endobj +96 0 obj << +/D [94 0 R /XYZ 93.5434 286.3224 null] +>> endobj +93 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F23 35 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +99 0 obj << +/Length 4800 +>> +stream +1 0 0 1 46.7715 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 316.4922 548.9335 Td[(17)]TJ +ET +1 0 0 1 327.4012 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -327.4012 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 46.7715 518.1751 Td[(sinne)-250(des)-250(franz\366sischen)-250(Aegyptologen)-250(Eug\350ne)]TJ/F23 10.9091 Tf 205.7124 0 Td[(Revillout)]TJ/F16 10.9091 Tf 42.4254 0 Td[(.)]TJ/F16 7.9701 Tf 2.7272 3.9588 Td[(32)]TJ/F16 10.9091 Tf -238.9098 -22.4176 Td[(Bei)-306(richtiger)-307(Erw\344gung)-306(des)-307(Umstandes,)-321(dass)-306(oft)-307(auf)-306(ein)-307(feh-)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(lerlos)-415(gel\366stes)-416(Beispiel,)-456(falsche)-416(L\366sungen)-415(\344hnlicher)-415(Beispiele)]TJ 0 -13.5492 Td[(folgen,)-248(welchen)-247(sich)-248(dann)-247(gew\366hnlich)-247(eine)-248(Reihe)-247(von)-247(Uebungs-)]TJ 0 -13.5492 Td[(rechnungen)-473(anschliesst,)-529(Rechnungen)-474(die)-473(einem)-473(Schulpensum)]TJ 0 -13.5492 Td[(in)-483(hohem)-484(Grade)-483(\344hnlich)-483(sehen,)-542(bei)-483(Betrachtung)-483(der)-483(Thatsa-)]TJ 0 -13.5492 Td[(che)-396(ferner,)-432(wie)-396(ein)-395(und)-396(dasselbe)-396(Zahlenbeispiel)-396(oft)-395(einigemal)]TJ 0 -13.5492 Td[(und)-351(zwar)-351(so)-351(behandelt)-351(wird,)-376(dass)-351(der)-351(Reihe)-351(nach)-351(die)-351(vorkom-)]TJ 0 -13.5492 Td[(menden)-275(Zahlenwerthe)-274(als)-275(die)-275(berechneten)-275(Resultate)-274(erscheinen,)]TJ 0 -13.5492 Td[(dr\344ngt)-400(sich)-400(uns)-400(mit)]TJ/F23 10.9091 Tf 92.604 0 Td[(Eug\350ne)-400(Revillout)]TJ/F16 10.9091 Tf 85.7001 0 Td[(die)-400(Ueberzeugung)-400(auf,)]TJ -178.3041 -13.5492 Td[(dass)-353(wir)-352(es)-353(mit)-353(dem)-353(Uebungs-)-352(oder)-353(Aufgabenhefte)-353(eines)-352(Z\366g-)]TJ 0 -13.5492 Td[(lings)-359(jener)-359(Unterrichtsh\344user)-358(\050a\267sbo\051)-359(zu)-359(thun)-359(haben,)-386(wie)-358(deren)]TJ 0 -13.5492 Td[(in)-449(so)-450(manchem)-449(Papyrus)-449(Erw\344hnung)-450(geschieht,)-499(und)-449(in)-449(denen)]TJ 0 -13.5492 Td[(die)-371(Sch\374ler,)-400(welche)-371(sp\344ter)-371(Landwirthe,)-401(Verwalter,)-400(Feldmesser)]TJ 0 -13.5492 Td[(oder)-365(Constructeure)-365(werden)-729(wollten,)-394(mit)-365(den)-365(f\374r)-365(ihre)-364(k\374nftige)]TJ/F16 7.9701 Tf 291.0235 0 Td[([22])]TJ/F16 10.9091 Tf -291.0235 -13.5492 Td[(Laufbahn)-266(notwendigen)-266(Rechnungsoperationen)-266(vertraut)-265(gemacht)]TJ 0 -13.5492 Td[(wurden.)-826(Da)-442(dieses)-442(Schulheft)-442(selbstverst\344ndlich)-442(nicht)-442(f\374r)-442(die)]TJ 0 -13.5492 Td[(Oeffentlichkeit)-288(bestimmt)-287(sein)-288(konnte,)-297(so)-288(tr\344gt)-288(es)-288(auch)-287(thats\344ch-)]TJ 0 -13.5492 Td[(lich)-480(keinen)-481(Autornamen)-480(und)-481(keine)-480(Jahresangabe;)-595(denn,)-538(was)]TJ 0 -13.5492 Td[(die)-329(in)-329(der)-329(Einleitung)-328(bez\374glich)-329(der)-329(Zeitperiode,)-349(in)-329(welcher)-328(das)]TJ 0 -13.5492 Td[(Original)-247(entstanden)-246(sein)-247(sollte,)-248(gemachte)-246(Erw\344hnung)-247(betrifft,)-247(so)]TJ 0 -13.5492 Td[(ist)-389(mehr)-389(als)-389(wahrscheinlich,)-423(dass)-389(dieselbe)-389(von)-389(dem)-388(Abschrei-)]TJ 0 -13.5492 Td[(ber)]TJ/F23 10.9091 Tf 17.1734 0 Td[(Aahmes)]TJ/F16 10.9091 Tf 40.8134 0 Td[(herr\374hrt,)-309(welcher)-297(das)-297(Original)-298(einige)-297(Jahrhunderte)]TJ -57.9868 -13.5492 Td[(nach)-336(seiner)-336(Entstehung)-337(auffand,)-357(und)-336(dasselbe,)-358(der)-336(Mathematik)]TJ 0 -13.5492 Td[(gewiss)-229(ganz)-229(unkundig,)-233(sammt)-229(allen)-229(Fehlern)-228(abschrieb,)-234(zu)-228(diesen)]TJ 0 -13.5492 Td[(noch)-362(neue)-362(hinzuf\374gend.)-586(Nachdem)]TJ/F23 10.9091 Tf 159.112 0 Td[(Aahmes)]TJ/F16 10.9091 Tf 41.5205 0 Td[(aus)-362(der)-362(Aehnlich-)]TJ -200.6325 -13.5492 Td[(keit)-424(der)-425(Schriftart)-424(des)-425(mathematischen)-424(Heftes)-425(mit)-424(der)-424(Schrift)]TJ 0 -13.5492 Td[(anderer)-347(ihm)-346(bekannten)-347(Papyri)-347(auf)-347(das)-346(Alter)-347(des)-347(ersteren)-346(einen)]TJ 0 -13.5492 Td[(im)-327(Ganzen)-327(und)-328(Grossen)-327(nicht)-327(unrichtigen)-327(Schluss)-327(gezogen)-327(ha-)]TJ 0 -13.5492 Td[(ben)-325(mochte,)-343(so)-324(k\366nnen)-325(wir)-325(das)-324(Ende,)-344(vielleicht)-324(auch)-325(die)-324(Mitte)]TJ 0 -13.5492 Td[(des)-359(dritten)-359(Jahrtausends)-359(v.)-359(Chr.)-359(G.)-359(als)-359(jene)-359(Zeit)-359(betrachten,)-386(in)]TJ 0 -13.5492 Td[(welcher)-359(das)-359(Original)-359(der)-360(Abschrift)-359(entstanden)-359(sein)-359(d\374rfte.)-577(Ob)]TJ/F23 10.9091 Tf 0 -13.5492 Td[(Aahmes)]TJ/F16 10.9091 Tf 41.823 0 Td[(die)-390(Abschrift)-390(mit)-389(der)-390(viel)-390(versprechenden)-390(Einleitung)]TJ -41.823 -13.5492 Td[(und)-316(der)-316(zugleich)-316(praktischen)-316(und)-316(gottesf\374rchtigen)-315(Schlussregel)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +98 0 obj << +/Type /Page +/Contents 99 0 R +/Resources 97 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 92 0 R +>> endobj +100 0 obj << +/D [98 0 R /XYZ 171.403 323.5767 null] +>> endobj +97 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F23 35 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +103 0 obj << +/Length 4732 +>> +stream +1 0 0 1 93.5434 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 93.5434 548.9335 Td[(18)-8396(Ueber)-250(die)-250(Geometrie)-250(der)-250(alten)-250(Aegypter.)]TJ +ET +1 0 0 1 374.1731 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -374.1731 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 93.5434 518.1751 Td[(in)-286(der)-286(Absicht)-286(versehen)-286(hatte,)-295(um)-286(sie)-286(an)-286(irgend)-286(einen)-286(einfachen)]TJ 0 -13.5492 Td[(aegyptischen)-274(Landmann)-274(um)-274(gutes)-274(Geld)-274(anzubringen,)-280(lassen)-273(wir)]TJ 0 -13.5492 Td[(dahingestellt,)-503(und)-452(wiederholen)-452(nur)-452(unsere)-452(Uebereinstimmung)]TJ 0 -13.5492 Td[(mit)-220(der)-219(Ansicht,)-226(dass)-220(das)-219(Original)-220(des)-220(Papyrus)-219(neben)-220(den)-220(von)-219(ei-)]TJ 0 -13.5492 Td[(nem)-256(Lehrer)-256(der)-255(Mathematik)-256(herr\374hrenden)-256(Musterbeispielen,)-257(die)]TJ 0 -13.5492 Td[(sehr)-366(oft)-366(verungl\374ckten)-366(Uebungen)-366(eines)-366(Sch\374lers)-366(enth\344lt,)-394(eines)]TJ 0 -13.5492 Td[(Sch\374lers)-205(\374berdies,)-214(der)-205(nicht)-205(zu)-205(den)-205(hervorragenden)-205(seiner)-204(Glasse)]TJ 0 -13.5492 Td[(geh\366rt)-377(haben)-377(mochte.)-630(Und)-377(wie)-377(kostbar)-377(ist)-377(dennoch)-377(dieses)-376(al-)]TJ 0 -13.5492 Td[(t\344gyptische)-258(Schulheft!)-275(Wenn)-258(wir)-258(in)-259(aller)-258(Eile)-258(eine)-258(Skizze)-258(seines)]TJ 0 -13.5492 Td[(Inhaltes)-347(vorf\374hren)-347(sollen,)-371(so)-346(m\374ssen)-347(wir)-347(zun\344chst)-347(die)-347(sich)-346(auf)]TJ 0 -13.5492 Td[(acht)-342(Columnen)-342(der)-343(oben)-684(erw\344hnten)-342(Einleitung)-342(anschliessende)]TJ/F16 7.9701 Tf -72.7559 0 Td[([23])]TJ/F16 10.9091 Tf 72.7559 -13.5492 Td[(Theilung)-354(der)-354(Zahl)-354(2)-355(durch)-354(die)-354(Zahlen)-354(von)-354(3)-354(bis)-354(99)-354(erw\344hnen;)]TJ 0 -13.5492 Td[(jeder)-411(auftretende)-411(Bruch)-410(erscheint)-411(in)-411(zwei)-411(bis)-411(vier)-410(sogenannte)]TJ 0 -13.5492 Td[(Stammbr\374che,)-421(Br\374che)-387(mit)-387(dem)-388(Z\344hler)-387(Eins,)-421(zerlegt,)-421(und)-387(sind)]TJ 0 -13.5492 Td[(die)-229(Nenner)-230(der)-229(letzteren)-230(meist)-229(gerade)-230(Zahlen)-229(mit)-230(einer)-229(gr\366sseren)]TJ 0 -13.5492 Td[(Divisorenanzahl.)-234(Im)-202(Anschluss)-201(an)-202(diese)-202(Tabelle)-202(finden)-202(wir)-201(sechs)]TJ 0 -13.5492 Td[(Beispiele,)-247(in)-247(denen)-247(in)-247(Form)-247(von)-247(Brodvertheilungen)-247(die)-246(Division)]TJ 0 -13.5492 Td[(der)-246(Zahlen)-247(l,)-247(3,)-247(6,)-247(7,)-248(8)-246(und)-247(9)-246(durch)-246(die)-247(Zahl)-246(10)-247(gelehrt)-246(wird,)-247(und)]TJ 0 -13.5492 Td[(es)-346(folgt)-347(hierauf)-346(in)-347(17)-346(Beispielen)-346(die)-347(sogenannte)-346(Sequem-)-346(oder)]TJ 0 -13.5492 Td[(Erg\344nzungsrechnung,)-256(in)-255(welcher)-255(es)-255(sich)-254(darum)-255(handelt,)-256(Zahlen-)]TJ 0 -13.5492 Td[(werthe)-389(zu)-389(finden,)-424(die)-389(mit)-389(gegebenen)-389(Werthen)-388(durch)-389(Addition)]TJ 0 -13.5492 Td[(oder)-358(Multiplication)-357(verbunden,)-384(andere)-358(gegebene)-357(Zahlenwerthe)]TJ 0 -13.5492 Td[(liefern.)-229(Die)-187(n\344chsten)-186(15)-187(Beispiele)-186(geh\366ren)-187(der)-187(sogenannten)]TJ/F34 10.9091 Tf 256.9898 0 Td[(Hau-)]TJ -256.9898 -13.5492 Td[(rechnung)]TJ/F16 10.9091 Tf 46.1035 0 Td[(an,)-230(und)-225(finden)-225(wir)-226(in)-225(diesem)-225(Abschnitte)-225(die)-225(L\366sungen)]TJ -46.1035 -13.5492 Td[(linearer)-487(Gleichungen)-487(mit)-488(einer)-487(Unbekannten.)-961(Zwei)-487(weitere,)]TJ 0 -13.5492 Td[(der)-224(sogenannten)]TJ/F34 10.9091 Tf 73.3458 0 Td[(Tunnu-)]TJ/F16 10.9091 Tf 37.0001 0 Td[(oder)-224(Unterschiedsrechnung)-223(angeh\366rige)]TJ -110.3459 -13.5492 Td[(Beispiele)-403(belehren)-402(uns)-403(dar\374ber,)-440(dass)-403(den)-402(alten)-403(Aegyptern)-402(der)]TJ 0 -13.5492 Td[(Begriff)-359(arithmetischer)-359(Reihen)-359(nicht)-359(fremd)-359(war.)-577(Es)-359(folgen)-359(nun)]TJ 0 -13.5492 Td[(sieben)-353(Beispiele)-354(\374ber)-353(Volumetrie,)-380(ebensoviele)-353(\374ber)-353(Geometrie)]TJ 0 -13.5492 Td[(und)-321(f\374nf)-322(Beispiele)-321(\374ber)-322(Berechnungen)-321(von)-322(Pyramiden,)-339(also)-321(19)]TJ 0 -13.5492 Td[(Aufgaben)-250(\374ber)-250(die)-250(wir)-250(sp\344ter)-250(noch)-250(einige)-250(Worte)-250(sagen)-250(m\374ssen.)]TJ 11.9552 -18.4588 Td[(Hieran)-238(schliessen)-238(sich)-238(endlich)-238(dreiundzwanzig)-239(verschiedenen)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(Materien)-265(entlehnte,)-269(Fragen)-265(des)-265(b\374rgerlichen)-264(Lebens)-265(betreffende)]TJ 0 -13.5492 Td[(Beispiele,)-238(wie)-235(die)-234(Berechnung)-235(des)-235(Werthes)-235(von)-234(Schmuckgegen-)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +102 0 obj << +/Type /Page +/Contents 103 0 R +/Resources 101 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 92 0 R +>> endobj +104 0 obj << +/D [102 0 R /XYZ 207.2467 382.6831 null] +>> endobj +101 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F34 106 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +109 0 obj << +/Length 4589 +>> +stream +1 0 0 1 46.7715 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 316.4922 548.9335 Td[(19)]TJ +ET +1 0 0 1 327.4012 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -327.4012 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 46.7715 518.1751 Td[(st\344nden,)-241(abermals)-239(Vertheilungen)-239(von)-239(Broden)-239(oder)-239(von)-238(Getreide,)]TJ 0 -13.5492 Td[(Bestimmung)-334(des)-334(auf)-335(einen)-334(Tag)-334(entfallenden)-334(Theiles)-334(eines)-334(Jah-)]TJ 0 -13.5492 Td[(resertrages,)-314(Berechnungen)-301(von)-301(Arbeitsl\366hnen,)-313(Nahrungsmitteln)]TJ 0 -13.5492 Td[(sowie)-368(des)-368(Futters)-368(f\374r)-369(Gefl\374gelh\366fe.)-604(Einer)-368(besonderen)-368(Ank\374n-)]TJ 0 -13.5492 Td[(digung)-348(werth)-348(erscheinen)-348(uns)-348(in)-348(dieser)-348(letzten)-348(Abtheilung)-348(zwei)]TJ 0 -13.5492 Td[(Beispiele;)-516(das)-428(eine)-427(derselben)]TJ/F16 7.9701 Tf 133.1171 3.9588 Td[(33)]TJ/F16 10.9091 Tf 17.7966 -3.9588 Td[(l\344sst)-428(keinen)-427(Zweifel)-428(dar\374ber)]TJ/F16 7.9701 Tf 140.1098 0 Td[([24])]TJ/F16 10.9091 Tf -291.0235 -13.5492 Td[(aufkommen,)-306(dass)-295(den)-295(alten)-294(Aegyptern)-295(die)-295(Theorie)-295(der)-294(arithme-)]TJ 0 -13.5492 Td[(tischen)-389(Progressionen)-389(vollkommen)-388(gel\344ufig)-389(war,)-424(w\344hrend)-388(wir)]TJ 0 -13.5492 Td[(in)-427(dem)-427(zweiten)]TJ/F16 7.9701 Tf 70.5167 3.9588 Td[(34)]TJ/F16 10.9091 Tf 13.1266 -3.9588 Td[(unter)-427(der)-427(Aufschrift)-427(\273eine)-427(Leiter\253)-427(die)-427(geo-)]TJ -83.6433 -13.5492 Td[(metrische)-384(Progression)-385(von)-384(7)-384(hoch)-385(1)-384(bis)-384(7)-384(hoch)-385(5)-384(nebst)-384(deren)]TJ 0 -13.5492 Td[(Summe)-227(vorfinden,)-231(wobei)-226(die)-227(einzelnen)-226(Potenzen)-227(eigene)-226(Namen:)]TJ 0 -13.5492 Td[(an,)-250(Katze,)-250(Maus,)-250(Gerste,)-250(Maass)-250(zu)-250(f\374hren)-250(scheinen.)]TJ 11.9552 -15.1857 Td[(Nicht)-343(unbemerkt)-343(lassen)-343(wir)-343(endlich)-343(die)-343(in)-343(den)-344(Haurechnun-)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(gen)-456(auftretende)-457(Ben\374tzung)-456(mathematischer)-456(Zeichen;)-560(so)-456(nach)]TJ 0 -13.5492 Td[(links)-369(oder)-369(rechts)-368(ausschreitender)-369(Beine)-369(f\374r)-369(Addition)-369(und)-368(Sub-)]TJ 0 -13.5492 Td[(traction,)-292(drei)-284(horizontale)-284(Pfeile)-283(f\374r)-284(Differenz,)-292(sowie)-284(endlich)-283(ein)]TJ 0 -13.5492 Td[(besonderes,)-250(dem)-250(unseren)-250(nicht)-250(un\344hnliches)-250(Gleichheitszeichen.)]TJ 11.9552 -15.1857 Td[(Aus)-157(dem)-157(geometrischen)-157(Theile)-156(heben)-157(wir)-157(zun\344chst,)-176(der)-157(Anord-)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(nung)-335(des)-335(Papyrus)-335(nicht)-336(folgend,)-356(die)-335(Fl\344chenberechnungen)-335(von)]TJ 0 -13.5492 Td[(Feldern)-269(hervor.)-309(Die)-269(vorkommenden)-269(Beispiele)-270(beziehen)-269(sich)-269(auf)]TJ 0 -13.5492 Td[(quadratische,)-290(rechteckige,)-290(kreisrunde)-282(und)-282(trapezf\366rmige)-282(Felder,)]TJ 0 -13.5492 Td[(deren)-154(Fl\344cheninhalte)-154(aus)-154(ihren)-154(L\344ngenmaassen)-154(bestimmt)-154(werden.)]TJ 0 -13.5492 Td[(Nachdem)-320(in)-321(den)-320(Aufgaben)-321(\374ber)-320(die)-321(Berechnung)-320(des)-320(Fassungs-)]TJ 0 -13.5492 Td[(verm\366gens)-335(von)-335(Fruchtspeichern)-335(mit)-335(quadratischer)-334(Grundfl\344che)]TJ 0 -13.5492 Td[(diese)-239(letztere)-239(gefunden)-240(wird)-239(durch)-239(Multiplication)-239(der)-239(Maasszahl)]TJ 0 -13.5492 Td[(der)-211(Seite)-211(mit)-211(sich)-211(selbst,)-219(kann)-211(es)-211(gar)-211(keinem)-210(Zweifel)-211(unterliegen,)]TJ 0 -13.5492 Td[(dass)-383(auch)-383(die)-382(Fl\344che)-383(des)-383(Rechteckes)-383(durch)-383(Multiplication)-382(der)]TJ 0 -13.5492 Td[(Maasszahlen)-368(zweier)-369(zusammenstossender)-368(Seiten)-369(erhalten)-368(wur-)]TJ 0 -13.5492 Td[(de,)-216(da)-208(die)-208(Erkenntniss)-208(der)-208(Richtigkeit)-208(der)-208(einen)-207(Bestimmungsart,)]TJ 0 -13.5492 Td[(jene)-250(der)-250(Richtigkeit)-250(der)-250(anderen)-250(involvirt.)]TJ 11.9552 -15.1857 Td[(Schon)-381(die)-381(Betrachtung)-381(solcher)-381(Proportionalmaassst\344be,)-414(wie)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(wir)-449(sie)-449(im)-449(Grabe)]TJ/F23 10.9091 Tf 84.4191 0 Td[(Belzoni)]TJ/F16 10.9091 Tf 39.4457 0 Td[(bemerken)-449(konnten,)-498(h\344tte)-449(die)-449(alten)]TJ -123.8648 -13.5492 Td[(Aegypter,)-198(die)-186(mit)-185(Gleichungen)-186(und)-185(arithmetischen)-186(Reihen)-185(umzu-)]TJ 0 -13.5492 Td[(gehen)-212(wussten,)-219(auf)-212(die)-212(Bestimmung)-211(der)-212(Fl\344che)-212(eines)-211(Rechteckes)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +108 0 obj << +/Type /Page +/Contents 109 0 R +/Resources 107 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 92 0 R +>> endobj +110 0 obj << +/D [108 0 R /XYZ 193.0211 450.4291 null] +>> endobj +107 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F23 35 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +113 0 obj << +/Length 4730 +>> +stream +1 0 0 1 93.5434 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 93.5434 548.9335 Td[(20)-8396(Ueber)-250(die)-250(Geometrie)-250(der)-250(alten)-250(Aegypter.)]TJ +ET +1 0 0 1 374.1731 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -374.1731 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 93.5434 518.1751 Td[(aus)-202(seinen)-202(beiden)-202(Seitenl\344ngen)-202(mit)-202(Nothwendigkeit)-404(f\374hren)-202(m\374s-)]TJ/F16 7.9701 Tf -72.7559 0 Td[([25])]TJ/F16 10.9091 Tf 72.7559 -13.5492 Td[(sen,)-356(und)-336(werden)-335(wir)-335(uns)-335(durch)-335(den)-336(Umstand,)-356(dass)-335(im)-335(Papyrus)]TJ 0 -13.5492 Td[(der)-293(diesbez\374glichen)-292(Aufgabe)-293(eine)-293(zu)-292(ihr)-293(nicht)-293(geh\366rige)-292(L\366sung)]TJ 0 -13.5492 Td[(beigef\374gt)-250(ist,)-250(durchaus)-250(nicht)-250(beirren)-250(lassen.)]TJ 11.9552 -14.5311 Td[(Von)-240(hohem)-240(Interesse)-239(ist)-240(die,)-242(an)-240(mehreren)-240(Stellen)-240(des)-240(Papyrus)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(vorkommende)-396(Methode)-396(der)-396(Fl\344chenberechnung)-396(eines)-396(Kreises,)]TJ 0 -13.5492 Td[(welche)-198(zeigt,)-208(dass)-197(die)-198(alten)-198(Aegypter)-197(mit)-198(ziemlicher)-197(Ann\344herung)]TJ 0 -13.5492 Td[(den)-320(Kreis)-319(zu)-320(quadriren)-319(wussten,)-337(in)-320(der)-319(That)-320(zu)-319(quadriren,)-337(weil)]TJ 0 -13.5492 Td[(sie)-305(aus)-305(dem)-305(Durchmesser)-305(eine)-305(L\344nge)-305(ableiten,)-318(welche)-305(als)-305(Seite)]TJ 0 -13.5492 Td[(ein)-219(Quadrat)-219(liefert,)-226(dessen)-219(Fl\344che)-219(jener)-219(des)-219(Kreises)-219(gleichgesetzt)]TJ 0 -13.5492 Td[(wurde.)-601(Da)-367(sie)-367(acht)-367(Neuntel)-367(des)-367(Durchmessers)-367(zur)-366(Seite)-367(jenes)]TJ 0 -13.5492 Td[(Quadrates)-429(machten,)-475(so)-429(entspricht)-430(dies)-429(einem)-430(Werthe)-429(der)-429(Lu-)]TJ 0 -13.5492 Td[(dolphischen)-282(Zahl,)-290(welcher)-281(dem)-282(richtigen)-282(Werthe)-282(gegen\374ber)-281(um)]TJ 0 -13.5492 Td[(nicht)-379(ganz)-380(zwei)-379(Hundertstel)-380(\050um)-379(0,018901\051)-380(zu)-379(hoch)-379(gegriffen)]TJ 0 -13.5492 Td[(erscheint;)-342(f\374r)-312(das)-311(dritte)-312(Jahrtausend)-311(v.)-312(Chr.)-311(G.)-311(und)-312(im)-311(Verglei-)]TJ 0 -13.5492 Td[(che)-397(zu)-397(dem)-398(Werth)-397(pi)-397(=)-397(3)-398(der)-397(Babylonier,)-434(und)-397(noch)-397(mehr)-397(im)]TJ 0 -13.5492 Td[(Vergleiche)-389(zu)-389(dem)-389(Werthe)-389(pi)-389(=)-389(4)-389(sp\344terer)-389(r\366mischer)-389(Geome-)]TJ 0 -13.5492 Td[(ter,)-272(jedenfalls)-268(eine)-268(nicht)-268(zu)-268(untersch\344tzende)-268(Ann\344herung)-268(an)-268(den)]TJ 0 -13.5492 Td[(richtigen)-250(Werth.)]TJ 11.9552 -14.5311 Td[(Eine)-448(Aufgabe)-448(behandelt)-448(die)-448(Fl\344chenbestimmung)-448(des)-449(Drei-)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(eckes,)-373(wobei)-349(das)-348(Resultat)-349(als)-348(das)-348(Product)-349(zweier)-348(Seitenl\344ngen)]TJ 0 -13.5492 Td[(gefunden)-251(wird.)-253(Die)-250(hier)-251(beigef\374gte)-251(Figur)]TJ/F16 7.9701 Tf 179.4244 3.9588 Td[(35)]TJ/F16 10.9091 Tf 8.4683 -3.9588 Td[(,)-251(welche)-251(in)-251(Wirklich-)]TJ -187.8927 -13.5492 Td[(keit)-300(ein)-300(ungleichseitiges)-300(langgestrecktes)-300(Dreieck)-300(darstellt,)-312(kann)]TJ 0 -13.5492 Td[(ebensowohl)-184(als)-183(die)-184(verfehlte)-184(Zeichnung)-183(eines)-184(rechtwinkligen)-183(wie)]TJ 0 -13.5492 Td[(auch)-250(eines)-250(gleichschenkligen)-250(Dreieckes)-250(betrachtet)-250(werden.)]TJ 11.9552 -14.5311 Td[(Letztere)-301(Annahme)-301(ist)-301(von)]TJ/F23 10.9091 Tf 117.9628 0 Td[(Eisenlohr)]TJ/F16 10.9091 Tf 48.1424 0 Td[(gemacht)-301(und)-301(von)]TJ/F23 10.9091 Tf 79.5403 0 Td[(Can-)]TJ -257.6007 -13.5492 Td[(tor)]TJ/F16 7.9701 Tf 13.9309 3.9588 Td[(36)]TJ/F16 10.9091 Tf 12.7535 -3.9588 Td[(acceptirt)-393(worden.)-678(Darnach)-393(w\374rde)-393(sich)-393(die)-393(Methode)-392(der)]TJ -26.6844 -13.5492 Td[(Dreiecksberechnung)-255(der)-256(alten)-255(Aegypter)-256(nur)-255(als)-256(eine)-255(N\344herungs-)]TJ 0 -13.5492 Td[(methode)-197(darstellen,)-208(und)-198(ist)-197(auch)-198(von)-197(beiden)-198(genannten)-197(Gelehrten)]TJ 0 -13.5492 Td[(der)-203(begangene,)-212(in)-202(diesem)-203(Falle)-202(in)-203(der)-203(That)-202(nicht)-203(bedeutende)-202(Feh-)]TJ 0 -13.5492 Td[(ler)-250(ermittelt)-250(worden.)]TJ/F16 7.9701 Tf -72.7559 0 Td[([26])]TJ/F16 10.9091 Tf 84.7111 -14.5311 Td[(Wir)-250(sind)-250(dagegen)-250(mit)-250(Revillout)-250(anderer)-250(Meinung.)]TJ 0 -14.5311 Td[(Mit)-517(R\374cksicht)-516(auf)-517(den)-516(von)-517(uns)-516(klar)-517(erkannten)-517(Charakter)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(des)-286(Originales)-285(des)-286(Papyrus)-285(als)-286(eines)-285(sehr)-286(ungenauen)-285(Collegien-)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +112 0 obj << +/Type /Page +/Contents 113 0 R +/Resources 111 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 92 0 R +>> endobj +114 0 obj << +/D [112 0 R /XYZ 319.4738 518.1751 null] +>> endobj +115 0 obj << +/D [112 0 R /XYZ 93.5434 108.6116 null] +>> endobj +111 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F23 35 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +118 0 obj << +/Length 4482 +>> +stream +1 0 0 1 46.7715 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 316.4922 548.9335 Td[(21)]TJ +ET +1 0 0 1 327.4012 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -327.4012 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 46.7715 518.1751 Td[(heftes,)-357(dessen)-336(Rechnungen)-335(ebensosehr)-336(wie)-336(die)-335(vorkommenden)]TJ 0 -13.5492 Td[(Zeichnungen)-256(von)-257(der)-256(Mittelm\344ssigkeit)-257(seines)-256(Zusammenstellers)]TJ 0 -13.5492 Td[(beredtes)-188(Zeugniss)-188(ablegen,)-201(zweifeln)-188(wir)-188(keinen)-188(Augenblick,)-200(dass)]TJ 0 -13.5492 Td[(die)-295(fragliche)-295(Figur)-294(ein)-295(rechtwinkliges)-295(Dreieck)-295(vorzustellen)-294(hat-)]TJ 0 -13.5492 Td[(te.)-659(Die)-387(mangelhafte)-386(Sch\374lerzeichnung)-387(ist)-386(durch)-387(den)-386(Copisten)]TJ/F23 10.9091 Tf 0 -13.5492 Td[(Aahmes)]TJ/F16 10.9091 Tf 40.2162 0 Td[(nur)-242(noch)-243(schlechter)-242(geworden.)-248(Dass)-242(ein)-243(rechtwinkliges)]TJ -40.2162 -13.5492 Td[(Dreieck)-323(gemeint)-323(sein)-322(soll,)-341(erkennt)-323(man)-323(\374brigens)-323(auch)-323(aus)-322(dem)]TJ 0 -13.5492 Td[(Umstande,)-306(dass)-294(in)-294(der)-295(Figur)-294(die)-295(Maasszahlen)-294(der)-294(multiplicirten)]TJ 0 -13.5492 Td[(Seiten)-191(bei)-191(den)-191(Schenkeln)-192(des,)-203(vom)-191(rechten)-191(Winkel)-191(nur)-191(wenig)-191(dif-)]TJ 0 -13.5492 Td[(ferirenden)-295(Winkels)-294(angesetzt)-295(sind,)-306(wo)-295(doch,)-305(wenn)-295(es)-295(sich)-294(h\344tte)]TJ 0 -13.5492 Td[(um)-279(ein)-279(gleichschenkliges)-278(Dreieck)-279(handeln)-279(sollen)-279(die)-278(Maasszahl)]TJ 0 -13.5492 Td[(der)-228(Schenkel)-229(in)-228(der)-229(Figur)-228(gewiss)-229(bei)-228(beiden)-229(Schenkeln)-228(zu)-228(finden)]TJ 0 -13.5492 Td[(w\344re.)-447(Dieselben)-316(Gr\374nde)-316(bestimmen)-316(uns)-316(zu)-315(der)-316(Annahme,)-332(dass)]TJ 0 -13.5492 Td[(die)-372(im)-371(Papyrus)-372(befindliche)-372(Fl\344chenberechnung)-372(eines)-371(Trapezes)]TJ 0 -13.5492 Td[(eine)-230(vollkommen)-230(richtige)-230(ist,)-233(indem)-230(es)-230(sich)-230(auch)-230(hier)-230(nur)-230(um)-229(ein)]TJ 0 -13.5492 Td[(Trapez)-226(handeln)-226(kann,)-231(dessen)-226(zwei)-226(parallelen)-226(Seiten)-226(auf)-225(einer)-226(der)]TJ 0 -13.5492 Td[(nicht)-187(parallelen)-186(Seiten)-187(senkrecht)-186(stehen.)-229(Und)-186(warum)-187(sollten)-186(denn)]TJ 0 -13.5492 Td[(die)-265(alten)-265(Aegypter)-265(nicht)-265(die)-265(richtige)-265(Art)-264(der)-265(Fl\344chenberechnung)]TJ 0 -13.5492 Td[(auch)-250(beliebiger)-250(Dreiecke)-250(gekannt)-250(haben?)]TJ 11.9552 -18.4588 Td[(Konnte)-385(man)-385(einmal)-384(die)-385(Fl\344che)-385(eines)-385(Rechteckes)-385(genau)-385(be-)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(stimmen,)-198(so)-185(musste)-185(sich)-185(durch)-185(einfache)-185(Anschauung)-185(eines,)-198(durch)]TJ 0 -13.5492 Td[(eine)-355(Diagonale)-356(zerlegten)-355(Rechteckes,)-382(von)-355(selbst)-356(die)-355(Regel)-355(zur)]TJ 0 -13.5492 Td[(Fl\344chenbestimmung)-266(des)-267(rechtwinkligen)-266(Dreieckes)-267(ergeben;)-274(und)]TJ 0 -13.5492 Td[(wurde)-501(nun)-501(ein)-501(beliebiges)-501(schiefwinkliges)-501(Dreieck)-501(durch)-501(ein)]TJ 0 -13.5492 Td[(H\366henperpendikel)-343(in)-343(zwei)-343(rechtwinklige)-343(zerlegt,)-366(so)-343(war)-343(nichts)]TJ 0 -13.5492 Td[(leichter)-313(als)-314(die)-313(allgemeine)-314(Regel)-313(zur)-314(Bestimmung)-313(der)-313(Dreieck-)]TJ 0 -13.5492 Td[(fl\344che)-420(aus)-420(Basis)-420(und)-421(H\366he)-420(\050tepro)-840(und)-420(merit\051)-420(zu)-420(entwickeln.)]TJ/F16 7.9701 Tf 291.0235 0 Td[([27])]TJ/F16 10.9091 Tf -291.0235 -13.5492 Td[(Dass)-382(die)-382(Gewinnung)-381(des)-382(H\366henperpendikels)-382(sowohl)-382(bei)-381(Con-)]TJ 0 -13.5492 Td[(structionen)-383(als)-384(auch)-383(auf)-384(dem)-383(Felde)-384(den)-383(alten)-384(Aegyptern)-383(nicht)]TJ 0 -13.5492 Td[(unm\366glich)-375(war,)-407(folgt)-375(zun\344chst)-376(aus)-375(der)-376(grossen)-375(Bedeutung)-375(der)]TJ 0 -13.5492 Td[(Winkelmaasses)-239(\050hapt\051)-240(f\374r)-239(alle)-240(Operationen)-239(der)-240(praktischen)-239(Geo-)]TJ 0 -13.5492 Td[(meter)-408(Aegyptens.)-723(Nicht)-408(nur,)-447(dass)-408(wir)-408(in)-408(vielen)-407(aegyptischen)]TJ 0 -13.5492 Td[(Documenten)-335(das)-336(Winkelmaass)-335(erw\344hnt)-335(finden,)-357(sieht)-335(man)-335(auch)]TJ 0 -13.5492 Td[(K\366nige)-303(abgebildet,)-316(das)-304(Winkelmaass)-303(in)-303(der)-303(Hand,)-316(welches)-303(von)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +117 0 obj << +/Type /Page +/Contents 118 0 R +/Resources 116 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 120 0 R +>> endobj +119 0 obj << +/D [117 0 R /XYZ 205.1479 160.9864 null] +>> endobj +116 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F23 35 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +123 0 obj << +/Length 5332 +>> +stream +1 0 0 1 93.5434 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 93.5434 548.9335 Td[(22)-8396(Ueber)-250(die)-250(Geometrie)-250(der)-250(alten)-250(Aegypter.)]TJ +ET +1 0 0 1 374.1731 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -374.1731 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 93.5434 518.1751 Td[(ihnen)-382(vielleicht)-382(in)-381(derselben)-382(Weise)-382(durch)-382(symbolische)-381(Ben\374t-)]TJ 0 -13.5492 Td[(zung)-281(geehrt)-281(wurde,)-288(wie)-281(der)-281(Kaiser)-281(von)-281(China)-281(allj\344hrlich)-280(einmal)]TJ 0 -13.5492 Td[(den)-487(Pflug)-486(zu)-487(f\374hren)-487(pflegt.)-959(Ein)-487(solches)-487(Winkelmaass)-486(sieht)]TJ 0 -13.5492 Td[(man)-219(\374brigens)-219(auch)-219(auf)-219(einem)-219(Wandgem\344lde)-219(abgebildet,)-225(das)-219(eine)]TJ 0 -13.5492 Td[(Schreinerwerkst\344tte)-175(darstellt,)]TJ/F16 7.9701 Tf 126.4237 3.9588 Td[(37)]TJ/F16 10.9091 Tf 10.5397 -3.9588 Td[(und)-175(es)-175(unterliegt)-175(keinem)-174(Zweifel,)]TJ -136.9634 -13.5492 Td[(dass)-258(dasselbe)-258(ebensowohl)-258(zur)-258(Anlegung)-258(rechter)-258(Winkel)-257(als)-258(zum)]TJ 0 -13.5492 Td[(F\344llen)-204(von)-205(Senkrechten)-204(ben\374tzt)-204(worden)-205(ist.)-234(Aber)-205(auch)-204(auf)-204(freiem)]TJ 0 -13.5492 Td[(Felde)-421(musste)-422(den)-421(Aegyptern)-422(die)-421(Construction)-422(rechter)-421(Winkel)]TJ 0 -13.5492 Td[(gel\344ufig)-329(sein;)-369(sowohl)-329(die)-329(Pyramiden)-329(als)-329(auch)-329(die)-329(aegyptischen)]TJ 0 -13.5492 Td[(Tempel)-479(sind)-479(vollkommen)-480(orientirt,)-536(und)-479(wurde,)-537(wie)-479(uns)-479(alte)]TJ 0 -13.5492 Td[(Inschriften)]TJ/F16 7.9701 Tf 47.2581 3.9588 Td[(38)]TJ/F16 10.9091 Tf 11.9617 -3.9588 Td[(belehren,)-338(die)-320(Orientirung)-320(in)-320(festlicher)-321(Weise)-320(vom)]TJ -59.2198 -13.5492 Td[(K\366nige)-376(unter)-375(Beihilfe)-376(der)-375(Bibliotheksg\366ttin)]TJ/F23 10.9091 Tf 199.8745 0 Td[(Safech)]TJ/F16 10.9091 Tf 35.0026 0 Td[(vollzogen,)]TJ -234.8771 -13.5492 Td[(mit)-459(den)-459(Worten:)-668(\273Ich)-459(habe)-459(gefasst)-459(den)-459(Holzpflock)-459(und)-459(den)]TJ 0 -13.5492 Td[(Stiel)-225(des)-226(Schl\344gels,)-230(ich)-225(halte)-225(den)-226(Strick)-225(gemeinschaftlich)-225(mit)-225(der)]TJ 0 -13.5492 Td[(G\366ttin)]TJ/F23 10.9091 Tf 30.6389 0 Td[(Safech)]TJ/F16 10.9091 Tf 30.9054 0 Td[(.)-258(Mein)-252(Blick)-253(folgt)-252(dem)-253(Gange)-253(der)-252(Gestirne.)-258(Wenn)]TJ -61.5443 -13.5492 Td[(mein)-327(Auge)-327(an)-328(dem)-327(Sternbilde)-327(des)-327(grossen)-327(B\344ren)-327(angekommen)]TJ 0 -13.5492 Td[(ist,)-335(und)-318(erf\374llt)-318(ist)-319(der)-318(mir)-318(bestimmte)-318(Zeitabschnitt)-318(der)-318(Zahl)-318(der)]TJ 0 -13.5492 Td[(Uhr,)-250(so)-250(stelle)-250(ich)-250(auf)-250(die)-250(Eckpunkte)-250(Deines)-250(Gotteshauses.\253)]TJ 11.9552 -18.4588 Td[(In)-531(welchem)-530(Maasse)-531(bei)-531(diesen)-530(Operationen)-531(die)-531(von)]TJ/F23 10.9091 Tf 252.3218 0 Td[(De-)]TJ -264.277 -13.5492 Td[(mokritos)]TJ/F16 10.9091 Tf 46.3078 0 Td[(so)-412(hochgestellten)]TJ/F23 10.9091 Tf 81.7065 0 Td[(Harpedonapten)]TJ/F16 10.9091 Tf 77.835 0 Td[(oder)-412(Seilspanner)]TJ -205.8493 -13.5492 Td[(betheiligt)-212(waren,)-219(hat)]TJ/F23 10.9091 Tf 90.9429 0 Td[(Cantor)]TJ/F16 7.9701 Tf 33.3272 3.9588 Td[(39)]TJ/F16 10.9091 Tf 10.7804 -3.9588 Td[(in)-212(h\366chst)-212(scharfsinniger)-212(Weise)-212(zu)]TJ -135.0505 -13.5492 Td[(beleuchten)-316(versucht,)-333(und)-316(es)-317(erscheint)-316(auch)-316(uns)-316(wahrscheinlich,)]TJ 0 -13.5492 Td[(dass)-340(sich)-341(die)-340(alten)-340(Aegypter)-340(beim)-681(Construiren)-340(rechter)-340(Winkel)]TJ/F16 7.9701 Tf -72.7559 0 Td[([28])]TJ/F16 10.9091 Tf 72.7559 -13.5492 Td[(sowie)-299(beim)-299(F\344llen)-298(von)-299(Senkrechten)-299(auf)-299(dem)-299(Felde,)-311(der)-298(Thatsa-)]TJ 0 -13.5492 Td[(che)-300(bedienten,)-314(dass)-300(der)-300(eine)-301(Winkel)-300(in)-301(einem,)-313(die)-300(Seitenl\344ngen)]TJ 0 -13.5492 Td[(drei,)-233(vier)-228(und)-229(f\374nf)-228(besitzenden)-229(Dreiecke,)-233(ein)-228(rechter)-229(Winkel)-228(sein)]TJ 0 -13.5492 Td[(m\374sse.)-443(Musste)-315(ja)-314(doch)-315(dieser)-314(Satz)-315(seit)-314(unvordenklichen)-314(Zeiten)]TJ 0 -13.5492 Td[(auch)-414(den)-413(Chinesen)-414(bekannt)-413(sein,)-454(da)-414(wir)-413(ihn)-414(in)-413(der)-414(bei)-413(ihnen)]TJ 0 -13.5492 Td[(so)-235(ber\374hmten)-235(Schrift)]TJ/F32 10.9091 Tf 93.7341 0 Td[(Tschiu-pi)]TJ/F16 10.9091 Tf 43.7756 0 Td[(finden,)-238(welche)-235(mehrere)-234(Jahrhun-)]TJ -137.5097 -13.5492 Td[(derte)-350(v.)-349(Chr.)-350(G.)-349(entstanden,)-375(auf)-350(den)-349(Kaiser)]TJ/F23 10.9091 Tf 198.0087 0 Td[(Tschiu-Kung)]TJ/F16 10.9091 Tf 65.0465 0 Td[(also)]TJ -263.0552 -13.5492 Td[(in)-334(das)-334(Jahr)-334(1100)-334(v.)-334(Chr.)-335(G.)-334(etwa)-334(zur\374ckgef\374hrt)-334(wird.)]TJ/F16 7.9701 Tf 238.2092 3.9588 Td[(40)]TJ/F16 10.9091 Tf 13.9478 -3.9588 Td[(Uebri-)]TJ -252.157 -13.5492 Td[(gens)-239(konnten)-239(directe)-239(Messungsversuche)-239(an)-239(diagonalen)-239(Linien)-239(in)]TJ 0 -13.5492 Td[(den)-223(Proportionalmaassst\344ben)-223(sowohl)-224(zu)-223(dem)-223(erw\344hnten)-223(als)-223(auch)]TJ 0 -13.5492 Td[(noch)-374(zu)-374(anderen)-375(rechtwinkligen)-374(Dreiecken)-374(mit)-374(rationalen)-374(Sei-)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +122 0 obj << +/Type /Page +/Contents 123 0 R +/Resources 121 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 120 0 R +>> endobj +124 0 obj << +/D [122 0 R /XYZ 249.1245 215.1832 null] +>> endobj +121 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F23 35 0 R /F32 37 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +127 0 obj << +/Length 5072 +>> +stream +1 0 0 1 46.7715 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 316.4922 548.9335 Td[(23)]TJ +ET +1 0 0 1 327.4012 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -327.4012 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 46.7715 518.1751 Td[(tenl\344ngen)-308(gef\374hrt)-308(haben,)-322(und)-308(scheint)-308(uns)-308(die)-308(M\366glichkeit)-307(nicht)]TJ 0 -13.5492 Td[(ausgeschlossen,)-264(dass)-261(der)-261(ber\374hmte)-261(und)-261(ber\374chtigte)-261(Satz)-260(des)]TJ/F23 10.9091 Tf 264.877 0 Td[(Py-)]TJ -264.877 -13.5492 Td[(thagoras)]TJ/F16 10.9091 Tf 43.8728 0 Td[(\374ber)-300(die)-299(Quadrate)-300(der)-300(Katheten)-299(und)-300(der)-300(Hypothenuse)]TJ -43.8728 -13.5492 Td[(einer)-169(eingehenden)-168(Untersuchung)-169(solcher)-168(Proportionalmaassst\344be)]TJ 0 -13.5492 Td[(entsprungen)-250(ist.)]TJ 11.9552 -15.1857 Td[(Wenn)-330(wir)-330(nun)-331(einerseits)-330(behaupten,)-350(dass)-330(die)-330(alten)-331(Aegypter)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(nicht)-464(nur)-465(die)-464(Fl\344che)-464(des)-464(Kreises,)-518(des)-464(Quadrates,)-518(des)-464(Recht-)]TJ 0 -13.5492 Td[(eckes,)-488(des)-440(rechtwinkligen)-440(sowie)-440(des)-440(schiefen)-440(Dreieckes,)-487(und)]TJ 0 -13.5492 Td[(unter)-208(Zuhilfenahme)-207(der)-208(Zerlegungen)-208(auch)-207(die)-208(Fl\344chen)-207(beliebiger)]TJ 0 -13.5492 Td[(Polygone)-254(theoretisch)-254(genau)-254(zu)-254(bestimmen)-254(im)-254(Stande)-254(waren,)-254(mit)]TJ 0 -13.5492 Td[(Ausnahme)-338(der)-338(auch)-338(f\374r)-338(uns)-338(eine)-338(solche)-337(bildenden)-338(Kreisfl\344che,)]TJ 0 -13.5492 Td[(so)-269(muss)-268(doch)-269(anderseits)-269(zugestanden)-269(werden,)-273(dass)-269(man)-269(sich)-268(bei)]TJ 0 -13.5492 Td[(praktischen)-453(Anwendungen)-452(mit)-453(N\344herungen)-452(begn\374gte,)-503(welche)]TJ 0 -13.5492 Td[(im)-359(Laufe)-359(der)-360(Zeiten)-359(so)-359(ausarteten,)-387(dass)-359(der)-359(Gebrauch)-359(falscher)]TJ 0 -13.5492 Td[(Regeln)-250(ein)-250(allgemeiner)-250(wurde.)]TJ 11.9552 -15.1857 Td[(Am)-218(linken)-218(Nilufer)-218(in)-218(der)-218(Mitte)-218(zwischen)]TJ/F23 10.9091 Tf 178.4443 0 Td[(Theben)]TJ/F16 10.9091 Tf 37.5388 0 Td[(und)]TJ/F23 10.9091 Tf 18.7424 0 Td[(Assuan)]TJ/F16 10.9091 Tf -246.6807 -13.5492 Td[(liegt)]TJ/F23 10.9091 Tf 23.7744 0 Td[(Edfu)]TJ/F16 10.9091 Tf 23.0399 0 Td[(,)-439(das)-401(alte)]TJ/F23 10.9091 Tf 46.5688 0 Td[(Appollinopolis)-401(Magna)]TJ/F16 10.9091 Tf 109.3924 0 Td[(mit)-401(einem)-402(stattli-)]TJ -202.7755 -13.5492 Td[(chen)-351(Tempelbau)-351(aus)-351(den)-351(Zeiten)-351(der)-351(Ptolom\344er.)-1106(Der)-351(Tempel,)]TJ/F16 7.9701 Tf 291.0235 0 Td[([29])]TJ/F16 10.9091 Tf -291.0235 -13.5492 Td[(haupts\344chlich)-382(dem)-382(Gotte)]TJ/F23 10.9091 Tf 115.514 0 Td[(Horus)]TJ/F16 10.9091 Tf 33.261 0 Td[(geweiht,)-415(ist)-382(mit)-382(einer)-382(freiste-)]TJ -148.775 -13.5492 Td[(henden)-305(Umfassungsmauer)-304(umgeben,)]TJ/F16 7.9701 Tf 162.0696 3.9588 Td[(41)]TJ/F16 10.9091 Tf 11.9414 -3.9588 Td[(deren)-305(Ostseite)-304(zwischen)]TJ -174.011 -13.5492 Td[(dem)-278(Brunnenthore)-279(und)-278(dem)-279(\366stlichen)-278(Pylonfl\374gel)-279(eine)-278(Inschrift)]TJ 0 -13.5492 Td[(tr\344gt,)-255(welche)-255(uns)-254(auf)-254(acht)-255(Feldern)-254(und)-254(in)-254(hundertvierundsechzig)]TJ 0 -13.5492 Td[(Columnen)]TJ/F16 7.9701 Tf 45.4581 3.9588 Td[(42)]TJ/F16 10.9091 Tf 13.4497 -3.9588 Td[(eine)-457(Schenkungsurkunde)-456(des)-457(K\366nigs)]TJ/F23 10.9091 Tf 172.6311 0 Td[(Ptolom\344us)]TJ -231.5389 -13.5492 Td[(XI.)-219(Alexander)-220(I.)]TJ/F16 10.9091 Tf 77.4753 0 Td[(\050mit)-219(dem)-220(Beinamen)]TJ/F23 10.9091 Tf 88.3844 0 Td[(Philometor)]TJ/F16 10.9091 Tf 52.1126 0 Td[(\051)-219(bekannt)-220(gibt.)]TJ -217.9723 -13.5492 Td[(Das)-219(Geschenk,)-226(welches)-219(hier)]TJ/F23 10.9091 Tf 124.4416 0 Td[(Horus)]TJ/F16 10.9091 Tf 31.4864 0 Td[(und)-219(den)-220(\374brigen)-219(G\366ttern)-219(von)]TJ/F23 10.9091 Tf -155.928 -13.5492 Td[(Edfu)]TJ/F16 10.9091 Tf 26.8881 0 Td[(verliehen)-353(wird,)-378(besteht)-353(aus)-353(einer)-352(Anzahl)-353(von)-353(meist)-353(vier-)]TJ -26.8881 -13.5492 Td[(eckigen)-256(Aeckern,)-257(deren)-256(vier)-256(Seitenl\344ngen)-256(nebst)-255(Fl\344cheninhalten)]TJ 0 -13.5492 Td[(angegeben)-250(erscheinen.)]TJ 11.9552 -15.1857 Td[(Da)-305(jeder)-304(der)-305(vorkommenden)-304(Fl\344cheninhalte)-305(identisch)-304(ist)-305(mit)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(dem)-231(Producte)-231(der)-232(arithmetischen)-231(Mittel)-231(der)-231(beiden)-231(Gegenseiten-)]TJ 0 -13.5492 Td[(paare,)-373(so)-349(wurde)-349(nach)]TJ/F23 10.9091 Tf 99.3895 0 Td[(Lepsius)]TJ/F16 10.9091 Tf 39.5755 0 Td[(die)-349(Vermuthung)-349(aufgestellt,)-373(die)]TJ -138.965 -13.5492 Td[(alten)-266(Aegypter)-267(h\344tten,)-270(um)-266(Vierecke)-267(bei)-266(der)-266(Fl\344chenbestimmung)]TJ 0 -13.5492 Td[(ann\344hernd)-202(wie)-203(Rechtecke)-202(behandeln)-203(zu)-202(k\366nnen,)-212(den)-202(Unterschied)]TJ 0 -13.5492 Td[(der)-458(Gegenseiten)-458(dadurch)-458(auszugleichen)-458(gesucht,)-510(dass)-458(sie)-458(die)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +126 0 obj << +/Type /Page +/Contents 127 0 R +/Resources 125 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 120 0 R +>> endobj +128 0 obj << +/D [126 0 R /XYZ 265.1308 284.5657 null] +>> endobj +125 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F23 35 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +131 0 obj << +/Length 4746 +>> +stream +1 0 0 1 93.5434 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 93.5434 548.9335 Td[(24)-8396(Ueber)-250(die)-250(Geometrie)-250(der)-250(alten)-250(Aegypter.)]TJ +ET +1 0 0 1 374.1731 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -374.1731 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 93.5434 518.1751 Td[(arithmetischen)-250(Mittel)-250(derselben)-250(in)-250(Rechnung)-250(zogen.)]TJ 11.9552 -14.5311 Td[(Bei)-392(sehr)-391(vielen)-392(der)-391(in)-392(der)]TJ/F23 10.9091 Tf 121.9678 0 Td[(Edfu)]TJ/F16 10.9091 Tf 23.04 0 Td[(er)-392(Schenkungsurkunde)-391(vor-)]TJ -156.963 -13.5492 Td[(kommenden)-255(Vierecke)-256(ist)-255(der)-255(Unterschied)-256(je)-255(zweier)-255(Gegenseiten)]TJ 0 -13.5492 Td[(entweder)-416(Null)-415(oder)-416(verh\344ltnissm\344ssig)-416(so)-415(klein,)-457(dass)-416(man)-415(den)]TJ 0 -13.5492 Td[(betreffenden)-215(Vierecken)-215(eine)-215(vom)-215(Rechtecke)-215(wenig)-214(verschiedene)]TJ 0 -13.5492 Td[(Gestalt)-348(beilegen)-349(kann,)-373(und)-348(die)-348(erhaltenen)-349(Resultate)-348(somit)-348(eine)]TJ 0 -13.5492 Td[(ziemliche)-270(Ann\344herung)-270(an)-270(den)-270(richtigen)-270(Fl\344chenwerth)-269(darstellen)]TJ 0 -13.5492 Td[(d\374rften,)-335(nach)-319(dem)-318(man)-318(mit)-319(R\374cksicht)-318(auf)-318(die)-319(bei)]TJ/F23 10.9091 Tf 222.6225 0 Td[(Sesostris)]TJ/F16 10.9091 Tf 44.0763 0 Td[(be-)]TJ -266.6988 -13.5492 Td[(merkte)-299(Eintheilung)-299(des)-298(Landes)-299(in)-299(Rechtecke)-299(voraussetzen)-298(darf,)]TJ 0 -13.5492 Td[(gerade)-279(diese)-278(oder)-279(eine)-279(ihr)-279(zun\344chst)-278(kommende)-279(Form)-279(der)-278(Felder)]TJ 0 -13.5492 Td[(sei)-250(die)-250(auch)-250(damals)-250(schon)-250(beliebte)-250(gewesen.)]TJ 11.9552 -14.5311 Td[(Doch)-253(kommen)-254(auch)-253(Vierecke)-254(vor,)-254(wo)-253(der)-254(L\344ngenunterschied)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(der)-359(Gegenseiten)-359(ein)-360(bemerkenswerther)-359(ist;)-414(ja)-359(es)-359(werden)-718(auch)]TJ/F16 7.9701 Tf -72.7559 0 Td[([30])]TJ/F16 10.9091 Tf 72.7559 -13.5492 Td[(Dreiecke)-335(als)-335(Vierecke)-334(mit)-335(einer)-335(verschwindenden)-335(Seite)-334(behan-)]TJ 0 -13.5492 Td[(delt,)-329(so)-313(dass)-313(der)-313(begangene)-313(Fehler)-313(in)-313(manchen)-312(F\344llen)-313(ein)-313(nicht)]TJ 0 -13.5492 Td[(unbedeutender)-250(ist.)]TJ 11.9552 -14.5311 Td[(Nur)-192(nebenbei)-193(bemerken)-192(wir,)-204(dass)-192(man)-193(dieselbe)-192(unrichtige)-193(Fl\344-)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(chenformel)-275(f\374r)-275(das)-274(Viereck)-275(erh\344lt,)-281(wenn)-275(man)-275(dasselbe)-274(zun\344chst)]TJ 0 -13.5492 Td[(durch)-299(eine)-299(Diagonale)-300(in)-299(zwei)-299(Dreiecke)-299(zerlegt,)-312(auf)-299(jedes)-299(dieser)]TJ 0 -13.5492 Td[(Dreiecke)-409(die)-409(unrichtige)-410(Fl\344chenformel,)-449(die)-409(den)-409(Inhalt)-409(als)-409(das)]TJ 0 -13.5492 Td[(halbe)-277(Product)-277(der)-277(beiden)-277(Seiten)-277(liefert,)-284(anwendet,)-284(die)-277(beiden)-277(so)]TJ 0 -13.5492 Td[(erhaltenen)-358(Dreiecksfl\344chen)-359(addirt)-358(und)-358(dann)-359(aus)-358(dieser)-358(Summe)]TJ 0 -13.5492 Td[(und)-293(jener,)-304(welche)-293(man)-293(bei)-293(dem)-293(\344hnlichen)-293(Vorgange)-293(durch)-293(Zer-)]TJ 0 -13.5492 Td[(legung)-320(mittelst)-320(der)-320(zweiten)-319(Diagonale)-320(erh\344lt,)-338(das)-319(arithmetische)]TJ 0 -13.5492 Td[(Mittel)-250(construirt.)]TJ 11.9552 -14.5311 Td[(Nimmt)-246(man)-245(mit)]TJ/F23 10.9091 Tf 72.2969 0 Td[(Eisenlohr)]TJ/F16 10.9091 Tf 47.5389 0 Td[(und)]TJ/F23 10.9091 Tf 19.0445 0 Td[(Cantor)]TJ/F16 10.9091 Tf 36.008 0 Td[(an,)-247(dass)-245(die)-246(Aegypter)]TJ -186.8435 -13.5492 Td[(die)-295(Dreiecksfl\344che)-295(wirklich)-295(dem)-295(halben)-295(Producte)-295(zwei)1(er)-295(Seiten)]TJ 0 -13.5492 Td[(gleichsetzten,)-363(so)-341(steht)-340(man)-341(vor)-341(der)-340(Frage,)-364(warum)-340(nicht)-341(in)-340(der-)]TJ 0 -13.5492 Td[(selben)-390(Art)-389(die)-390(Fl\344chen)-390(der)-389(in)-390(der)]TJ/F23 10.9091 Tf 156.3898 0 Td[(Edfu)]TJ/F16 10.9091 Tf 23.0399 0 Td[(er)-390(Schenkungsurkunde)]TJ -179.4297 -13.5492 Td[(auftretenden)-250(Dreiecke)-250(bestimmt)-250(erscheinen?)]TJ 11.9552 -14.5311 Td[(Uebrigens)-445(wolle)-444(man)-445(sich)-444(dar\374ber)-445(nicht)-445(wundern,)-493(dass)-445(es)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(\374berhaupt)-170(m\366glich)-170(war,)-186(die)-170(Fl\344chenberechnungen)-170(im)-169(praktischen)]TJ 0 -13.5492 Td[(Leben)-337(nach)-338(einer)-337(so)-338(falschen)-337(Methode)-338(durchzuf\374hren.)-512(Wissen)]TJ 0 -13.5492 Td[(wir)-269(doch,)-273(dass)-269(im)-268(Alterthume,)-274(zur)-268(Zeit)]TJ/F23 10.9091 Tf 173.3216 0 Td[(Platon)]TJ/F16 10.9091 Tf 30.3054 0 Td[(s,)-273(einer)-269(der)-269(gebil-)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +130 0 obj << +/Type /Page +/Contents 131 0 R +/Resources 129 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 120 0 R +>> endobj +132 0 obj << +/D [130 0 R /XYZ 349.6582 353.6209 null] +>> endobj +129 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F23 35 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +135 0 obj << +/Length 5053 +>> +stream +1 0 0 1 46.7715 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 316.4922 548.9335 Td[(25)]TJ +ET +1 0 0 1 327.4012 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -327.4012 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 46.7715 518.1751 Td[(detsten)-278(M\344nner,)-286(einer)-278(der)-279(hervorragendsten)-278(Geschichtschreiber,)]TJ 0 -13.5492 Td[(dass)]TJ/F23 10.9091 Tf 22.9483 0 Td[(Thukydides)]TJ/F16 7.9701 Tf 55.178 3.9588 Td[(43)]TJ/F16 10.9091 Tf 12.6312 -3.9588 Td[(in)-382(seiner)-381(Unkenntniss)-382(der)-381(Beziehung)-382(zwi-)]TJ -90.7575 -13.5492 Td[(schen)-219(Fl\344cheninhalt)-220(und)-219(Umfang,)-226(die)-219(Fl\344che)-219(einer)-220(Insel)-219(nach)-219(der)]TJ 0 -13.5492 Td[(zu)-310(ihrer)-311(Umschiffung)-310(nothwendigen)-310(Zeit)-311(zu)-310(bestimmen)-310(suchte;)]TJ 0 -13.5492 Td[(in)-364(der)-364(Geometrie)]TJ/F23 10.9091 Tf 80.3857 0 Td[(Gerbert)]TJ/F16 10.9091 Tf 37.5599 0 Td[('s,)]TJ/F16 7.9701 Tf 8.9345 3.9588 Td[(44)]TJ/F16 10.9091 Tf 12.7532 -3.9588 Td[(des)-364(nachmaligen)-364(Papstes)]TJ/F23 10.9091 Tf 114.9347 0 Td[(Silve-)]TJ -254.568 -13.5492 Td[(ster)-362(II.)]TJ/F16 10.9091 Tf 36.6714 0 Td[(finden)-362(wir,)-389(1000)-362(Jahre)-362(nach)-362(Chr.)-362(G.,)-389(die)-362(Fl\344che)-362(eines)]TJ -36.6714 -13.5492 Td[(gleichschenkligen)-223(Dreieckes)-224(durch)-223(Multiplication)-224(des)-223(Schenkels)]TJ 0 -13.5492 Td[(mit)-486(der)-487(halben)-486(Basis)-486(berechnet,)-546(wo)-486(doch)-486(schon)]TJ/F23 10.9091 Tf 229.4152 0 Td[(Hero)-486(von)]TJ/F16 7.9701 Tf 61.6083 0 Td[([31])]TJ/F23 10.9091 Tf -291.0235 -13.5492 Td[(Alexandrien)]TJ/F16 7.9701 Tf 57.5781 3.9588 Td[(45)]TJ/F16 10.9091 Tf 12.1912 -3.9588 Td[(1100)-341(Jahre)-342(fr\374her)-341(die)-341(richtige)-341(Formel)-342(f\374r)-341(diese)]TJ -69.7693 -13.5492 Td[(Berechnung)-250(kennt.)]TJ 11.9552 -14.5311 Td[(Wir)-317(ber\374hren)-317(diese)-317(Thatsachen,)-333(und)-317(k\366nnten)-317(noch)-317(eine)-317(gan-)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(ze)-371(Reihe)-371(\344hnlicher)-370(Beispiele)-371(anf\374hren,)-401(nur)-371(um)-371(zu)-370(zeigen,)-401(wie)]TJ 0 -13.5492 Td[(\374bereilt)-188(es)-188(w\344re,)-201(aus)-188(den)-188(oft)-188(nur)-188(schwache)-188(Ann\344herungen)-188(liefern-)]TJ 0 -13.5492 Td[(den)-205(Berechnungen)-205(der)]TJ/F23 10.9091 Tf 99.4004 0 Td[(Edfu)]TJ/F16 10.9091 Tf 23.04 0 Td[(er)-205(Schenkungsurkunde)-205(schliessen)-205(zu)]TJ -122.4404 -13.5492 Td[(wollen,)-272(die)-268(richtigen)-267(Methoden)-268(seien)-268(den)-267(in)-268(die)-267(Wissenschaften)]TJ 0 -13.5492 Td[(eingeweihten)-250(aegyptischen)-250(Priestern)-250(nicht)-250(bekannt)-250(gewesen.)]TJ 11.9552 -14.5311 Td[(Doch)-250(zur\374ck)-250(zum)-250(Papyrus)]TJ/F34 10.9091 Tf 118.1562 0 Td[(Rhind)]TJ/F16 10.9091 Tf 27.8944 0 Td[(.)]TJ -146.0506 -14.5311 Td[(Wir)-321(\374bergehen)-321(die)-321(Inhaltsbestimmungen)-321(von)-321(Fruchth\344usern,)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(bei)-278(denen)-279(der)-278(Inhalt)-279(durch)-278(Multiplication)-279(einer)-278(Fl\344che)-279(mit)-278(einer)]TJ 0 -13.5492 Td[(L\344nge)-435(bestimmt)-435(wird,)-481(weil)-434(wir)-435(es)-435(f\374r)-435(m\374ssig)-434(halten,)-481(Er\366rte-)]TJ 0 -13.5492 Td[(rungen)-313(dar\374ber)-312(anzustellen,)-328(welche)-313(Fl\344chen)-312(und)-313(L\344ngen)-312(hiebei)]TJ 0 -13.5492 Td[(gemeint)-197(sind,)-207(so)-197(lange)-197(uns)-197(\374ber)-196(die)-197(Form)-197(jener)-197(Fruchth\344user)-196(oder)]TJ 0 -13.5492 Td[(Speicher)-250(nichts)-250(bekannt)-250(ist.)]TJ 11.9552 -14.5311 Td[(Dagegen)-374(erwecken)-374(die)-374(im)-374(Papyrus)-374(vorkommenden)-375(Pyrami-)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(den-Berechnungen)-434(das)-433(h\366chste)-434(Interesse,)-480(besonders)-434(nach)-433(den)]TJ 0 -13.5492 Td[(gl\344nzenden)-326(Untersuchungen,)-344(welchen)]TJ/F23 10.9091 Tf 171.1201 0 Td[(Revillout)]TJ/F16 10.9091 Tf 45.9784 0 Td[(diesen)-326(Gegen-)]TJ -217.0985 -13.5492 Td[(stand)-254(unterzogen)-253(hat,)-255(und)-254(deren)-254(Resultate)-253(wir,)-255(entgegen)-254(der)-253(von)]TJ/F23 10.9091 Tf 0 -13.5492 Td[(Eisenlohr)]TJ/F16 10.9091 Tf 47.4966 0 Td[(ausgesprochenen)-242(und)-242(auch)-242(von)]TJ/F23 10.9091 Tf 138.3975 0 Td[(Lepsius)]TJ/F16 7.9701 Tf 35.7708 3.9588 Td[(46)]TJ/F16 10.9091 Tf 11.1067 -3.9588 Td[(acceptirten)]TJ -232.7716 -13.5492 Td[(Ansicht)-342(als)-342(solche)-342(betrachten,)-365(welche)-342(in)-342(einfacher)-341(und)-342(nat\374rli-)]TJ 0 -13.5492 Td[(cher)-318(Weise)-319(die)-318(sogenannte)]TJ/F34 10.9091 Tf 122.3386 0 Td[(Seket)]TJ/F16 10.9091 Tf 24.2727 0 Td[(-Rechnung)-318(der)-319(alten)-318(Aegypter)]TJ -146.6113 -13.5492 Td[(beleuchten.)]TJ 11.9552 -14.5311 Td[(Es)-190(wird)-190(in)-191(diesen)-190(Rechnungen)-190(die)-190(B\366schung)-190(der)-191(Seitenfl\344chen)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(einer)-219(quadratischen)-219(Pyramide)-219(dadurch)-219(fixirt,)-225(dass)-219(jener)-219(Theil)-219(der)]TJ 0 -13.5492 Td[(L\344nge)-255(eines)-255(der)-256(beiden)-255(gleichlangen)-255(Schenkel)-255(des)-255(Winkelmaas-)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +134 0 obj << +/Type /Page +/Contents 135 0 R +/Resources 133 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 120 0 R +>> endobj +136 0 obj << +/D [134 0 R /XYZ 327.4012 423.3307 null] +>> endobj +133 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F23 35 0 R /F34 106 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +139 0 obj << +/Length 4568 +>> +stream +1 0 0 1 93.5434 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 93.5434 548.9335 Td[(26)-8396(Ueber)-250(die)-250(Geometrie)-250(der)-250(alten)-250(Aegypter.)]TJ +ET +1 0 0 1 374.1731 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -374.1731 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 93.5434 518.1751 Td[(ses)-365(berechnet)-365(wird,)-394(der)-366(sich)-365(zur)-365(L\344nge)-365(des)-365(anderen)-365(Schenkels)]TJ 0 -13.5492 Td[(so)-263(verh\344lt,)-266(wie)-263(die)-263(halbe)-263(L\344nge)-263(der)-263(Basisseite)-263(der)-262(quadratischen)]TJ 0 -13.5492 Td[(Pyramide)-250(zur)-250(H\366he)-250(derselben.)]TJ/F16 7.9701 Tf -72.7559 0 Td[([32])]TJ/F16 10.9091 Tf 84.7111 -14.5311 Td[(Zu)-225(dem)-224(Behufe)-225(war)-225(der)-224(eine)-225(der)-225(beiden)-224(Schenkel)-225(des)-225(Winkel-)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(maasses)-352(in)-351(eine)-352(gewisse)-351(Anzahl)-352(gleich)-351(grosser)-352(Theile)-351(getheilt,)]TJ 0 -13.5492 Td[(w\344hrend)-223(der)-223(andere)-223(Schenkel,)-228(der)-223(Pyramidenh\366he)-223(entsprechend,)]TJ 0 -13.5492 Td[(und)-250(als)-250(Einheit)-250(betrachtet,)-250(ungetheilt)-250(blieb.)]TJ 11.9552 -14.5311 Td[(Um)-233(nun)-233(den)-233(sogenannten)]TJ/F34 10.9091 Tf 113.1873 0 Td[(Seket)]TJ/F16 10.9091 Tf 26.8159 0 Td[(zu)-233(bestimmen,)-237(wurde)-233(die)-233(hal-)]TJ -151.9584 -13.5492 Td[(be)-348(L\344nge)-348(der)-348(Basisseite)-348(durch)-348(die)-348(Pyramidenh\366he)-347(dividirt)-348(und)]TJ 0 -13.5492 Td[(mit)-316(dem)-315(erhaltenen)-316(Quotienten)-315(die)-316(Anzahl)-316(der)-315(Theile)-316(des)-315(hori-)]TJ 0 -13.5492 Td[(zontalen,)-250(getheilten)-250(Schenkels)-250(des)-250(Winkelmaasses)-250(multiplicirt.)]TJ 11.9552 -14.5311 Td[(Es)-363(war)-364(somit)-363(der)-364(Seket)-363(\050welcher)-364(in)-363(derselben)-364(Art)-363(f\374r)-364(einen)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(geraden)-459(Kreiskegel)-460(aus)-459(dem)-460(Durchmesser)-459(der)-460(Basis)-459(und)-459(der)]TJ 0 -13.5492 Td[(H\366he)-297(bestimmt)-297(erscheint\051)-296(als)-297(Verh\344ltniss)-297(aufgefasst,)-309(die)-296(gonio-)]TJ 0 -13.5492 Td[(metrische)-251(Cotangente)-251(des)-252(Neigungswinkels)-251(der)-251(Seitenfl\344che)-251(der)]TJ 0 -13.5492 Td[(Pyramide,)-250(respective)-250(der)-250(Kegelkante)-250(zur)-250(Basis.)]TJ 11.9552 -14.5311 Td[(Wenn)-376(wir)-375(selbstverst\344ndlich)-376(weit)-375(davon)-376(entfernt)-376(sind,)-407(hier-)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(in)-449(vielleicht)-450(Anf\344nge)-449(der)-450(Trigonometrie)-449(sehen)-450(zu)-449(wollen,)-499(so)]TJ 0 -13.5492 Td[(erkennen)-409(wir)-410(doch)-409(anderseits,)-449(dass)-409(den)-410(alten)-409(Aegyptern)-409(auch)]TJ 0 -13.5492 Td[(die)-435(Lehre)-435(proportionaler)-435(Linien,)-481(wenigstens)-435(in)-435(ihren)-434(Anwen-)]TJ 0 -13.5492 Td[(dungen,)-382(bekannt)-355(gewesen)-355(sein)-356(musste,)-381(und)-356(erscheint)-355(uns)-355(auch)]TJ 0 -13.5492 Td[(der)-432(am)-431(Eingange)-432(erw\344hnte)-431(Ausspruch)-432(\374ber)-431(die)-432(dem)-431(Milesier)]TJ/F23 10.9091 Tf 0 -13.5492 Td[(Thales)]TJ/F16 10.9091 Tf 35.6753 0 Td[(zugeschriebene)-436(H\366henmessung)-436(der)-437(Pyramiden)-436(als)-436(ein)]TJ -35.6753 -13.5492 Td[(ganz)-336(glaubw\374rdiger,)-356(wenn)-336(wir)-335(sehen,)-357(wie)-336(im)-335(Papyrus)-336(von)-335(den)]TJ 0 -13.5492 Td[(drei)-277(Werthen:)-303(Basis,)-283(H\366he,)-284(Seket,)-283(jeder)-276(aus)-277(den)-277(beiden)-276(anderen)]TJ 0 -13.5492 Td[(berechnet)-250(erscheint.)]TJ 11.9552 -14.5311 Td[(Fassen)-257(wir)-257(nun)-258(die)-257(Ergebnisse)-257(unserer)-257(Betrachtungen)-258(zusam-)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(men,)-348(so)-328(m\374ssen)-328(wir)-328(aus)-329(der)-328(quellenm\344ssig)-328(erwiesenen)-328(grossen)]TJ 0 -13.5492 Td[(Bewunderung,)-318(welche)-305(die)-304(ausgesprochen)-305(geometrisch)-304(hochent-)]TJ 0 -13.5492 Td[(wickelten)-524(Griechen)-524(den)-524(aegyptischen)-524(Geometern)-523(r\374ckhaltlos)]TJ 0 -13.5492 Td[(zollten,)-562(wir)-499(m\374ssen)-499(aus)-499(der)-500(unanfechtbaren)-499(Thatsache,)-561(dass)]TJ 0 -13.5492 Td[(griechische)-258(Geometer)-258(den)-258(Grund)-258(zu)-258(ihren)-258(Kenntnissen)-257(und)-258(Ent-)]TJ 0 -13.5492 Td[(deckungen)-470(in)-469(Aegypten)-470(suchten)-469(und)-470(fanden,)-524(wir)-470(m\374ssen)-469(im)]TJ 0 -13.5492 Td[(Hinblicke)-251(auf)-251(das,)-251(aus)-250(der)-251(nun)-251(vollends)-502(entzifferten[42])]TJ/F23 10.9091 Tf 249.1134 0 Td[(Edfu)]TJ/F16 10.9091 Tf 23.04 0 Td[(er)]TJ/F16 7.9701 Tf -344.9092 0 Td[([33])]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +138 0 obj << +/Type /Page +/Contents 139 0 R +/Resources 137 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 120 0 R +>> endobj +140 0 obj << +/D [138 0 R /XYZ 93.5434 488.6985 null] +>> endobj +141 0 obj << +/D [138 0 R /XYZ 268.7303 66.142 null] +>> endobj +137 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F34 106 0 R /F23 35 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +144 0 obj << +/Length 4227 +>> +stream +1 0 0 1 46.7715 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 316.4922 548.9335 Td[(27)]TJ +ET +1 0 0 1 327.4012 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -327.4012 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 46.7715 518.1751 Td[(Schenkungsurkunde)-246(sich)-246(mit)-246(Sicherheit)-246(ergebende)-245(ausgebreitete)]TJ 0 -13.5492 Td[(und)-320(fest)-321(organisirte)-320(Katasterwesen)-320(der)-320(alten)-321(Aegypter,)-337(welches)]TJ 0 -13.5492 Td[(zugleich)-219(mit)-218(den)-219(zahlreichen,)-225(dem)-218(\366ffentlichen)-219(Leben)-218(dienenden)]TJ 0 -13.5492 Td[(Land-)-344(und)-344(Wasserbauten)-344(auf)-344(eine)-344(verh\344ltnissm\344ssig)-343(bedeutend)]TJ 0 -13.5492 Td[(entwickelte)-170(Vermessungskunde)-169(hinweist,)-186(wir)-169(m\374ssen)-170(endlich)-169(aus)]TJ 0 -13.5492 Td[(dem)-293(von)-293(uns)-293(besprochenen)-292(Papyrus,)-304(der)-293(sich)-293(als)-293(eine)-292(ungenaue)]TJ 0 -13.5492 Td[(Abschrift)-351(eines)-350(mangelhaften,)-376(aus)-351(dem)-350(dritten)-351(Jahrtausend)-350(vor)]TJ 0 -13.5492 Td[(Chr.)-389(G.)-389(stammenden,)-423(mathematischen)-389(Collegien-)-389(oder)-388(Aufga-)]TJ 0 -13.5492 Td[(benheftes)-348(erweist,)-374(und)-348(aus)-349(dessen)-348(Vorhandensein)-348(sich)-349(fast)-348(mit)]TJ 0 -13.5492 Td[(Gewissheit)-301(auf)-302(damals)-301(existirende,)-315(neben)-301(den)-302(Regeln)-301(auch)-301(ihre)]TJ 0 -13.5492 Td[(Ableitungen)-199(enthaltende)-198(Lehrb\374cher)-199(schliessen)-198(l\344sst,)-209(wir)-198(k\366nnen)]TJ 0 -13.5492 Td[(und)-181(m\374ssen)-181(aus)-182(allen)-181(diesen)-181(Umst\344nden)-181(den)-181(allgemeinen)-181(Schluss)]TJ 0 -13.5492 Td[(ziehen,)-319(dass)-305(bereits)-305(drei)-305(Jahrtausende)-305(vor)-304(unserer)-305(Zeitrechnung)]TJ 0 -13.5492 Td[(sowohl)-210(die)-210(arithmetischen,)-218(als)-210(auch)-210(die)-210(geometrischen)-210(Kenntnis-)]TJ 0 -13.5492 Td[(se)-239(der)-238(Aegypter,)-241(einen)-239(f\374r)-238(dieses)-239(Zeitalter)-238(bedeutenden)-239(Grad)-238(der)]TJ 0 -13.5492 Td[(Entwicklung)-250(besassen.)]TJ 11.9552 -15.1857 Td[(Insbesondere)-427(k\366nnen)-426(wir)-427(in)-426(jenen)-427(fernen)-426(Zeiten)-427(eine)-427(stau-)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(nenswerth)-502(weitgehende)-501(Ann\344herung)-502(bei)-501(der)-502(Berechnung)-501(der)]TJ 0 -13.5492 Td[(Kreisfl\344che)-487(beobachten,)-546(wir)-486(finden)-487(mit)-487(vollst\344ndiger)-486(Sicher-)]TJ 0 -13.5492 Td[(heit)-378(richtige)-379(Fl\344chenbestimmungen)-378(des)-378(Quadrates,)-410(Rechteckes)]TJ 0 -13.5492 Td[(und)-337(des)-336(rechtwinkligen)-337(Dreieckes;)-380(h\366chst)-337(wahrscheinlich)-336(auch)]TJ 0 -13.5492 Td[(richtige)-468(Bestimmungen)-468(der)-468(Fl\344chen)-468(schiefwinkliger)-468(Dreiecke)]TJ 0 -13.5492 Td[(und)-389(Vierecke,)-424(welche)-389(im)-390(praktischen)-389(Leben)-389(durch)-389(leichter)-389(zu)]TJ 0 -13.5492 Td[(handhabende)-469(Ann\344herungsformeln)-469(ersetzt)-468(wurden;)-579(wir)-468(sehen)]TJ 0 -13.5492 Td[(Bestimmungen)-242(des)-241(Rauminhaltes)-242(durch)-241(ihre)-242(Dimensionen)-241(gege-)]TJ 0 -13.5492 Td[(bener)-250(K\366rper)-250(und)-250(erkennen)-250(die)-250(Anf\344nge)-250(der)-250(Aehnlichkeitslehre.)]TJ 11.9552 -15.1857 Td[(Was)-249(das)-250(geometrische)-249(Zeichnen)-250(betrifft,)-249(so)-250(kennen)-249(wir)-250(schon)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(die)-409(Construction)-408(der)-409(fr\374her)-408(beobachteten)-409(regelm\344ssigen)-408(Figu-)]TJ 0 -13.5492 Td[(ren)-401(und)-401(d\374rfen)-401(weiter)-401(vermuthen,)-439(dass)-401(die)-401(Anlegung)-802(rechter)]TJ/F16 7.9701 Tf 291.0235 0 Td[([34])]TJ/F16 10.9091 Tf -291.0235 -13.5492 Td[(Winkel)-473(und)-472(das)-473(F\344llen)-473(von)-472(Senkrechten)-473(sowohl)-473(mittelst)-472(des)]TJ 0 -13.5492 Td[(Winkelmaasses)-288(als)-288(auch)-289(mittelst)-288(rationaler)-288(rechtwinkliger)-288(Drei-)]TJ 0 -13.5492 Td[(ecke)-226(bekannt,)-231(und)-227(die)-226(Zerlegung)-226(gegebener)-227(Fl\344chen)-226(behufs)-226(ihrer)]TJ 0 -13.5492 Td[(Inhaltbestimmung)-250(in)-250(allgemeiner)-250(Verwendung)-250(war.)]TJ 11.9552 -15.1857 Td[(Gewiss)-282(werden)-282(auch)-281(theoretische)-282(Resultate)-282(bekannt)-282(gewesen)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +143 0 obj << +/Type /Page +/Contents 144 0 R +/Resources 142 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 146 0 R +>> endobj +145 0 obj << +/D [143 0 R /XYZ 292.7423 135.5245 null] +>> endobj +142 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +149 0 obj << +/Length 5294 +>> +stream +1 0 0 1 93.5434 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 93.5434 548.9335 Td[(28)-8396(Ueber)-250(die)-250(Geometrie)-250(der)-250(alten)-250(Aegypter.)]TJ +ET +1 0 0 1 374.1731 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -374.1731 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 93.5434 518.1751 Td[(sein;)-251(so)-251(die)-251(H\344lftung)-250(des)-251(Kreises)-251(durch)-251(seinen)-250(Durchmesser,)-251(die)]TJ 0 -13.5492 Td[(sich)-311(aus)-311(der)-310(besprochenen)-311(Seketrechnung)-311(von)-311(selbst)-310(ergebende)]TJ 0 -13.5492 Td[(Winkelgleichheit)-381(an)-381(der)-381(Basis)-381(gleichschenkliger)-381(Dreiecke)-380(und)]TJ 0 -13.5492 Td[(gleichseitiger)-237(quadratischer)-237(Pyramiden,)-239(und)-237(wohl)-237(noch)-236(manches)]TJ 0 -13.5492 Td[(Andere.)]TJ 11.9552 -14.4072 Td[(M\366ge)-253(es)-252(gelingen,)-254(durch)-252(Auffindung)-253(neuer,)-253(sowie)-253(durch)-253(Ent-)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(zifferung)-435(der,)-482(noch)-435(ihrer)-436(Erkl\344rung)-435(harrenden)-435(Denkmale)-435(und)]TJ 0 -13.5492 Td[(Schriften,)-423(von)-388(welchen)-388(letzteren,)-423(Dank)-388(der)-388(hohen)-388(Munificenz)]TJ 0 -13.5492 Td[(des)-275(Erlauchten)-274(Curators)-275(unserer)-275(Akademie,)-280(auch)-275(Wien)-275(eine)-274(im-)]TJ 0 -13.5492 Td[(posante)-257(Zahl)-257(aufweisen)-257(kann,)-258(m\366ge)-257(es)-257(so)-257(gelingen)-257(noch)-256(weitere)]TJ 0 -13.5492 Td[(Anhaltspunkte)-464(f\374r)-464(die)-464(Kenntniss)-464(der)-464(mathematischen)-463(Th\344tig-)]TJ 0 -13.5492 Td[(keit)-369(des)-368(uns)-369(bekannten)-368(\344ltesten)-369(Culturvolkes,)-398(der)-369(Aegypter)-368(zu)]TJ 0 -13.5492 Td[(gewinnen!)]TJ 11.9552 -14.4071 Td[(Diesen)-391(unseren)-391(Wunsch)-390(theilen)-391(gewiss)-391(Alle,)-426(denen)-391(die)-391(Er-)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(forschung)-313(der)-312(Culturgeschichte)-313(des)-313(menschlichen)-312(Geschlechtes)]TJ 0 -13.5492 Td[(nicht)-250(ohne)-250(Wichtigkeit)-250(erscheint!)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 268.9674 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -268.9674 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 109.9071 268.9674 Td[(1)]TJ +ET +1 0 0 1 115.3616 268.9674 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -115.3616 -268.9674 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 120.8162 268.9674 Td[(H)]TJ/F16 7.9701 Tf 7.8764 0 Td[(ERODOT)]TJ/F16 10.9091 Tf 32.3188 0 Td[(,)]TJ/F32 10.9091 Tf 5.4545 0 Td[(Reisebericht)]TJ/F16 10.9091 Tf 54.5344 0 Td[(,)-250(II,)-250(109.)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 245.3079 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -245.3079 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 109.9071 245.3079 Td[(2)]TJ +ET +1 0 0 1 115.3616 245.3079 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -115.3616 -245.3079 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 120.8162 245.3079 Td[(I)]TJ/F16 7.9701 Tf 3.6327 0 Td[(SOKRATES)]TJ/F16 10.9091 Tf 41.1816 0 Td[(,)]TJ/F32 10.9091 Tf 5.4545 0 Td[(Busiris)]TJ/F16 10.9091 Tf 30.9163 0 Td[(,)-250(c.)-250(9.)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 221.6484 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -221.6484 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 109.9071 221.6484 Td[(3)]TJ +ET +1 0 0 1 115.3616 221.6484 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -115.3616 -221.6484 cm +BT +/F34 10.9091 Tf 120.8162 221.6484 Td[(Platonis)]TJ/F32 10.9091 Tf 39.709 0 Td[(Phaedrus)]TJ/F16 10.9091 Tf 41.8145 0 Td[(,)-250(ed.)-250(Ast.)-250(I.)-250(p.)-250(246.)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 197.9888 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -197.9888 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 109.9071 197.9888 Td[(4)]TJ +ET +1 0 0 1 115.3616 197.9888 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -115.3616 -197.9888 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 120.8162 197.9888 Td[(A)]TJ/F16 7.9701 Tf 7.8764 0 Td[(RISTOTELES)]TJ/F16 10.9091 Tf 46.936 0 Td[(,)]TJ/F32 10.9091 Tf 5.4545 0 Td[(Metaph.)-250(I)]TJ/F16 10.9091 Tf 42.4145 0 Td[(,)-250(1.)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 174.3293 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -174.3293 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 109.9071 174.3293 Td[(5)]TJ +ET +1 0 0 1 115.3616 174.3293 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -115.3616 -174.3293 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 120.8162 174.3293 Td[(D)]TJ/F16 7.9701 Tf 7.8764 0 Td[(IODOR)]TJ/F16 10.9091 Tf 25.2333 0 Td[(,)-250(I,)-250(69.)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 150.6698 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -150.6698 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 109.9071 150.6698 Td[(6)]TJ +ET +1 0 0 1 115.3616 150.6698 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -115.3616 -150.6698 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 120.8162 150.6698 Td[(Herodot)-250(l.)-250(c.)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 127.0103 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -127.0103 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 109.9071 127.0103 Td[(7)]TJ +ET +1 0 0 1 115.3616 127.0103 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -115.3616 -127.0103 cm +BT +/F34 10.9091 Tf 120.8162 127.0103 Td[(Heronis)-470(Alexandr.)]TJ/F32 10.9091 Tf 95.9866 0 Td[(geom.)-911(et)-470(stereom.)-910(reliquiae)]TJ/F16 10.9091 Tf 135.8877 0 Td[(,)-525(ed.)]TJ -231.8743 -13.5492 Td[(Hultsch.)-250(p.)-250(138.)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 89.8015 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -89.8015 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 109.9071 89.8015 Td[(8)]TJ +ET +1 0 0 1 115.3616 89.8015 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -115.3616 -89.8015 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 120.8162 89.8015 Td[(D)]TJ/F16 7.9701 Tf 7.8764 0 Td[(IODOR)]TJ/F16 10.9091 Tf 25.2333 0 Td[(,)-250(I,)-250(81.)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 66.142 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -66.142 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 109.9071 66.142 Td[(9)]TJ +ET +1 0 0 1 115.3616 66.142 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -115.3616 -66.142 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 120.8162 66.142 Td[(S)]TJ/F16 7.9701 Tf 6.0654 0 Td[(TRABON)]TJ/F16 10.9091 Tf 32.7652 0 Td[(,)-250(ed.)-250(Meinike,)-250(lib.)-250(XVII,)-250(C.)-250(787,)-250(p.)-250(1098.)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +148 0 obj << +/Type /Page +/Contents 149 0 R +/Resources 147 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 146 0 R +>> endobj +147 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F32 37 0 R /F34 106 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +152 0 obj << +/Length 7961 +>> +stream +1 0 0 1 46.7715 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 316.4922 548.9335 Td[(29)]TJ +ET +1 0 0 1 327.4012 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -280.6297 -30.7584 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -518.1751 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 57.6807 518.1751 Td[(10)]TJ +ET +1 0 0 1 68.5897 518.1751 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -68.5897 -518.1751 cm +BT +/F34 10.9091 Tf 74.0443 518.1751 Td[(Eudemi)-461(Rhodii)]TJ/F32 10.9091 Tf 75.5406 0 Td[(Peripatetici)-461(fragmenta)-462(quae)-461(supersunt)]TJ/F16 10.9091 Tf 175.0891 0 Td[(.)]TJ -250.6297 -13.5492 Td[(ed.)-250(L.)-250(Spengel.)-250(Berlin)-250(1870.)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 481.7166 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -481.7166 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 57.6807 481.7166 Td[(11)]TJ +ET +1 0 0 1 68.5897 481.7166 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -68.5897 -481.7166 cm +BT +/F34 10.9091 Tf 74.0443 481.7166 Td[(Procl.)]TJ/F32 10.9091 Tf 29.6945 0 Td[(comment.)]TJ/F16 10.9091 Tf 44.8363 0 Td[(ed.)-250(Rasil.)-250(p.)-250(19;)]TJ/F32 10.9091 Tf 71.2143 0 Td[(Barocius)]TJ/F16 10.9091 Tf 42.1199 0 Td[(p.)-250(37.)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 458.8073 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -458.8073 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 57.6807 458.8073 Td[(12)]TJ +ET +1 0 0 1 68.5897 458.8073 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -68.5897 -458.8073 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 74.0443 458.8073 Td[(I)]TJ/F16 7.9701 Tf 3.6327 0 Td[(SOKRATES)]TJ/F16 10.9091 Tf 41.1816 0 Td[(,)]TJ/F32 10.9091 Tf 5.4545 0 Td[(Busiris)]TJ/F16 10.9091 Tf 30.9163 0 Td[(,)-250(cap.)-250(11.)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 435.898 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -435.898 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 57.6807 435.898 Td[(13)]TJ +ET +1 0 0 1 68.5897 435.898 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -68.5897 -435.898 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 74.0443 435.898 Td[(S)]TJ/F16 7.9701 Tf 6.0654 0 Td[(TRABON)]TJ/F16 10.9091 Tf 32.7651 0 Td[(,)-250(XIV,)-250(1.)-250(16.)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 412.9887 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -412.9887 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 57.6807 412.9887 Td[(14)]TJ +ET +1 0 0 1 68.5897 412.9887 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -68.5897 -412.9887 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 74.0443 412.9887 Td[(P)]TJ/F16 7.9701 Tf 6.0654 0 Td[(ORPHYRIUS)]TJ/F16 10.9091 Tf 45.1666 0 Td[(,)]TJ/F32 10.9091 Tf 6.0612 0 Td[(De)-306(vita)-305(Pythagorae)]TJ/F16 10.9091 Tf 89.9869 0 Td[(cap.)-417(7;)-333(D)]TJ/F16 7.9701 Tf 42.417 0 Td[(IOGENES)]TJ/F16 10.9091 Tf 37.4214 0 Td[(L)]TJ/F16 7.9701 Tf 6.6655 0 Td[(AER)]TJ/F16 10.9091 Tf 15.9402 0 Td[(-)]TJ/F16 7.9701 Tf -249.7242 -13.5492 Td[(TIUS)]TJ/F16 10.9091 Tf 17.7096 0 Td[(,)-250(VIII,)-250(3.)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 376.5302 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -376.5302 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 57.6807 376.5302 Td[(15)]TJ +ET +1 0 0 1 68.5897 376.5302 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -68.5897 -376.5302 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 74.0443 376.5302 Td[(D)]TJ/F16 7.9701 Tf 7.8763 0 Td[(IODOR)]TJ/F16 10.9091 Tf 25.2334 0 Td[(,)-250(I,)-250(c.)-250(96.)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 353.6209 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -353.6209 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 57.6807 353.6209 Td[(16)]TJ +ET +1 0 0 1 68.5897 353.6209 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -68.5897 -353.6209 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 74.0443 353.6209 Td[(P)]TJ/F16 7.9701 Tf 6.0654 0 Td[(ROKLOS)]TJ/F16 10.9091 Tf 31.8805 0 Td[(,)-250(ed.)-250(Friedlein,)-250(250,)-250(299,)-250(352,)-250(157.)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 330.7116 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -330.7116 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 57.6807 330.7116 Td[(17)]TJ +ET +1 0 0 1 68.5897 330.7116 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -68.5897 -330.7116 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 74.0443 330.7116 Td[(D)]TJ/F16 7.9701 Tf 7.8763 0 Td[(IOGENES)]TJ/F16 10.9091 Tf 36.9968 0 Td[(L)]TJ/F16 7.9701 Tf 6.6655 0 Td[(AERTIUS)]TJ/F16 10.9091 Tf 33.6498 0 Td[(,)-267(I,)-266(27.)-300(P)]TJ/F16 7.9701 Tf 37.8784 0 Td[(LINIUS)]TJ/F16 10.9091 Tf 26.1181 0 Td[(,)]TJ/F32 10.9091 Tf 5.636 0 Td[(Hist.)-300(nat.)]TJ/F16 10.9091 Tf 44.1255 0 Td[(XXXVI,)-267(12,)]TJ -198.9464 -13.5492 Td[(17.)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 294.2531 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -294.2531 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 57.6807 294.2531 Td[(18)]TJ +ET +1 0 0 1 68.5897 294.2531 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -68.5897 -294.2531 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 74.0443 294.2531 Td[(P)]TJ/F16 7.9701 Tf 6.0654 0 Td[(LUTARCH)]TJ/F16 10.9091 Tf 37.6349 0 Td[(,)-250(ed.)-250(Didot.)-250(Vol.)-250(2,)-250(III,)-250(p.)-250(174.)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 271.3438 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -271.3438 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 57.6807 271.3438 Td[(19)]TJ +ET +1 0 0 1 68.5897 271.3438 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -68.5897 -271.3438 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 74.0443 271.3438 Td[(D)]TJ/F16 7.9701 Tf 7.8763 0 Td[(IOGENES)]TJ/F16 10.9091 Tf 36.8155 0 Td[(L)]TJ/F16 7.9701 Tf 6.6654 0 Td[(AERTIUS)]TJ/F16 10.9091 Tf 36.3771 0 Td[(I,)-250(24)]TJ/F33 10.9091 Tf 19.9963 0 Td[(\023)]TJ/F16 10.9091 Tf 5.4546 0 Td[(25.)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 248.4345 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -248.4345 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 57.6807 248.4345 Td[(20)]TJ +ET +1 0 0 1 68.5897 248.4345 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -68.5897 -248.4345 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 74.0443 248.4345 Td[(M)]TJ/F16 7.9701 Tf 9.6982 0 Td[(ONTUCLA)]TJ/F16 10.9091 Tf 38.0732 0 Td[(,)]TJ/F32 10.9091 Tf 5.4545 0 Td[(Hist.)-250(d.)-250(math.)]TJ/F16 10.9091 Tf 61.8217 0 Td[(2.)-250(\351dit.)-250(t.)-250(I,)-250(p.)-250(49.)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 225.5252 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -225.5252 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 57.6807 225.5252 Td[(21)]TJ +ET +1 0 0 1 68.5897 225.5252 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -68.5897 -225.5252 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 74.0443 225.5252 Td[(B)]TJ/F16 7.9701 Tf 7.2763 0 Td[(RETSCHNEIDER)]TJ/F16 10.9091 Tf 59.7759 0 Td[(,)]TJ/F32 10.9091 Tf 5.4093 0 Td[(Die)-246(Geometrie)-246(und)-246(die)-245(Geometer)-246(vor)-246(Eu-)]TJ -72.4615 -13.5492 Td[(klides)]TJ/F16 10.9091 Tf 25.4509 0 Td[(,)-393(p.)-592(11.)-592(Dem)-365(Werke)-364(Bretschneiders,)-392(sowie)-364(jenem)]TJ -25.4509 -13.5492 Td[(C)]TJ/F16 7.9701 Tf 7.2763 0 Td[(ANTOR)]TJ/F16 10.9091 Tf 27.4491 0 Td[('s:)]TJ/F32 10.9091 Tf 12.8882 0 Td[(Vorlesungen)-292(\374ber)-292(Geschichte)-293(der)-292(Mathematik)]TJ/F16 10.9091 Tf 203.0161 0 Td[(,)]TJ -250.6297 -13.5492 Td[(sind)-250(die)-250(grundlegenden)-250(Gedanken)-250(entnommen.)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 161.9683 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -161.9683 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 57.6807 161.9683 Td[(22)]TJ +ET +1 0 0 1 68.5897 161.9683 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -68.5897 -161.9683 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 74.0443 161.9683 Td[(C)]TJ/F16 7.9701 Tf 7.2763 0 Td[(LEMENS)]TJ/F16 10.9091 Tf 34.6077 0 Td[(A)]TJ/F16 7.9701 Tf 7.8764 0 Td[(LEXANDRINUS)]TJ/F16 10.9091 Tf 56.6675 0 Td[(,)]TJ/F32 10.9091 Tf 5.4545 0 Td[(Stromata)]TJ/F16 10.9091 Tf 40.0036 0 Td[(,)-250(ed.)-250(Potter,)-250(I,)-250(357.)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 139.059 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -139.059 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 57.6807 139.059 Td[(23)]TJ +ET +1 0 0 1 68.5897 139.059 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -68.5897 -139.059 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 74.0443 139.059 Td[(T)]TJ/F16 7.9701 Tf 6.6654 0 Td[(HEON)]TJ/F16 10.9091 Tf 24.8603 0 Td[(S)]TJ/F16 7.9701 Tf 6.0654 0 Td[(MYRNAIOS)]TJ/F16 10.9091 Tf 42.5046 0 Td[(,)]TJ/F32 10.9091 Tf 5.4546 0 Td[(lib.)-250(de)-250(astron.)]TJ/F16 10.9091 Tf 63.338 0 Td[(ed.)-250(Martin,)-250(p.)-250(272.)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 116.1497 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -116.1497 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 57.6807 116.1497 Td[(24)]TJ +ET +1 0 0 1 68.5897 116.1497 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -68.5897 -116.1497 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 74.0443 116.1497 Td[(P)]TJ/F16 7.9701 Tf 6.0654 0 Td[(RISSE)-389(D)]TJ/F16 10.9091 Tf 30.5595 0 Td[('A)]TJ/F16 7.9701 Tf 9.84 0 Td[(VENNES)]TJ/F16 10.9091 Tf 31.4341 0 Td[(,)]TJ/F32 10.9091 Tf 5.8301 0 Td[(Hist.)-353(de)-285(l'art)-284(Egypt.)-353(d'apr\350s)-285(les)-284(monu-)]TJ -83.7291 -13.5492 Td[(ments.)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 79.6912 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -79.6912 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 57.6807 79.6912 Td[(25)]TJ +ET +1 0 0 1 68.5897 79.6912 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -68.5897 -79.6912 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 74.0443 79.6912 Td[(W)]TJ/F16 7.9701 Tf 10.2982 0 Td[(ILKINSON)]TJ/F16 10.9091 Tf 37.6269 0 Td[(,)]TJ/F32 10.9091 Tf 4.4576 0 Td[(Manners)-159(and)-158(customs)-159(of)-158(the)-159(ancient)-159(Egyptians)]TJ/F16 10.9091 Tf 198.247 0 Td[(,)]TJ -250.6297 -13.5492 Td[(III,)-250(p.)-250(313.)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +151 0 obj << +/Type /Page +/Contents 152 0 R +/Resources 150 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 146 0 R +>> endobj +150 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F34 106 0 R /F32 37 0 R /F33 87 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +155 0 obj << +/Length 7988 +>> +stream +1 0 0 1 93.5434 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 93.5434 548.9335 Td[(30)-8396(Ueber)-250(die)-250(Geometrie)-250(der)-250(alten)-250(Aegypter.)]TJ +ET +1 0 0 1 374.1731 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -280.6297 -30.7584 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -518.1751 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 104.4526 518.1751 Td[(26)]TJ +ET +1 0 0 1 115.3616 518.1751 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -115.3616 -518.1751 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 120.8162 518.1751 Td[(C)]TJ/F16 7.9701 Tf 7.2763 0 Td[(ICERO)]TJ/F16 10.9091 Tf 23.9104 0 Td[(,)]TJ/F32 10.9091 Tf 5.4545 0 Td[(De)-250(finibus)-250(bonorum)-250(ed)-250(malorum)]TJ/F16 10.9091 Tf 145.1452 0 Td[(I,)-250(6,)-250(20.)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 496.1691 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -496.1691 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 104.4526 496.1691 Td[(27)]TJ +ET +1 0 0 1 115.3616 496.1691 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -115.3616 -496.1691 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 120.8162 496.1691 Td[(D)]TJ/F16 7.9701 Tf 7.8764 0 Td[(IOGENES)]TJ/F16 10.9091 Tf 36.8154 0 Td[(L)]TJ/F16 7.9701 Tf 6.6654 0 Td[(AERTIUS)]TJ/F16 10.9091 Tf 36.3771 0 Td[(IX,)-250(47.)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 474.1631 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -474.1631 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 104.4526 474.1631 Td[(28)]TJ +ET +1 0 0 1 115.3616 474.1631 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -115.3616 -474.1631 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 120.8162 474.1631 Td[(C)]TJ/F16 7.9701 Tf 7.2763 0 Td[(ANTOR)]TJ/F16 10.9091 Tf 27.4491 0 Td[(,)]TJ/F32 10.9091 Tf 5.4847 0 Td[(Vorlesungen)-253(\374ber)-253(Geschichte)-252(der)-253(Mathematik)]TJ/F16 10.9091 Tf 201.2947 0 Td[(,)-253(I,)]TJ -241.5048 -13.5492 Td[(p.)-250(144)]TJ/F33 10.9091 Tf 27.2727 0 Td[(\023)]TJ/F16 10.9091 Tf 5.4545 0 Td[(159)-250(\050Leipzig)-250(1880\051.)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 438.6078 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -438.6078 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 104.4526 438.6078 Td[(29)]TJ +ET +1 0 0 1 115.3616 438.6078 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -115.3616 -438.6078 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 120.8162 438.6078 Td[(E)]TJ/F16 7.9701 Tf 6.6654 0 Td[(ISENLOHR)]TJ/F16 10.9091 Tf 39.4043 0 Td[(,)]TJ/F32 10.9091 Tf 5.1414 0 Td[(Ein)-221(math.)-241(Handbuch)-221(der)-221(alten)-222(Aegypter)]TJ/F16 10.9091 Tf 173.1666 0 Td[(.)-240(Leip-)]TJ -224.3777 -13.5492 Td[(zig)-250(1877.)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 403.0526 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -403.0526 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 104.4526 403.0526 Td[(30)]TJ +ET +1 0 0 1 115.3616 403.0526 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -115.3616 -403.0526 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 120.8162 403.0526 Td[(B)]TJ/F16 7.9701 Tf 7.2763 0 Td[(IRCH)]TJ/F16 10.9091 Tf 19.0406 0 Td[(,)-496(in)-496(Lepsius')]TJ/F32 10.9091 Tf 63.3528 0 Td[(Zeitschrift)-496(f\374r)-496(\344gypt.)-989(Sprache)-496(und)]TJ -89.6697 -13.5492 Td[(Alterthum)]TJ/F16 10.9091 Tf 43.6363 0 Td[(,)-250(1868,)-250(p.)-250(108.)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 367.4974 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -367.4974 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 104.4526 367.4974 Td[(31)]TJ +ET +1 0 0 1 115.3616 367.4974 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -115.3616 -367.4974 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 120.8162 367.4974 Td[(L)]TJ/F16 7.9701 Tf 6.6654 0 Td[(EPSIUS)]TJ/F16 10.9091 Tf 26.5724 0 Td[(,)]TJ/F32 10.9091 Tf 5.4545 0 Td[(\344gypt.)-250(Zeitschrift)]TJ/F16 10.9091 Tf 74.5525 0 Td[(,)-250(1871,)-250(p.)-250(63.)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 345.4914 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -345.4914 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 104.4526 345.4914 Td[(32)]TJ +ET +1 0 0 1 115.3616 345.4914 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -115.3616 -345.4914 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 120.8162 345.4914 Td[(R)]TJ/F16 7.9701 Tf 7.2763 0 Td[(EVILLOUT)]TJ/F16 10.9091 Tf 39.3963 0 Td[(,)-265(E)]TJ/F16 7.9701 Tf 12.2817 0 Td[(UG\310NE)]TJ/F16 10.9091 Tf 27.0028 0 Td[(,)]TJ/F32 10.9091 Tf 5.6163 0 Td[(Revue)-265(Egyptologique)]TJ/F16 10.9091 Tf 93.1725 0 Td[(,)-269(1881,)-268(Nr.)-295(II)-264(et)]TJ -184.7459 -13.5492 Td[(III,)-250(p.)-250(304.)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 309.9362 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -309.9362 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 104.4526 309.9362 Td[(33)]TJ +ET +1 0 0 1 115.3616 309.9362 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -115.3616 -309.9362 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 120.8162 309.9362 Td[(E)]TJ/F16 7.9701 Tf 6.6654 0 Td[(ISENLOHR)]TJ/F16 10.9091 Tf 39.4043 0 Td[(,)]TJ/F32 10.9091 Tf 6.1471 0 Td[(Ein)-313(math.)-441(Handbuch)-313(der)-314(alten)-313(Aegypter)]TJ/F16 10.9091 Tf 179.3715 0 Td[(.)-440(Nr.)]TJ -231.5883 -13.5492 Td[(64.)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 274.3809 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -274.3809 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 104.4526 274.3809 Td[(34)]TJ +ET +1 0 0 1 115.3616 274.3809 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -115.3616 -274.3809 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 120.8162 274.3809 Td[(ibid.)-250(Nr.)-250(79.)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 252.3749 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -252.3749 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 104.4526 252.3749 Td[(35)]TJ +ET +1 0 0 1 115.3616 252.3749 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -115.3616 -252.3749 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 120.8162 252.3749 Td[(ibid.)-250(p.)-250(125.)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 230.3689 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -230.3689 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 104.4526 230.3689 Td[(36)]TJ +ET +1 0 0 1 115.3616 230.3689 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -115.3616 -230.3689 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 120.8162 230.3689 Td[(C)]TJ/F16 7.9701 Tf 7.2763 0 Td[(ANTOR)]TJ/F16 10.9091 Tf 27.4491 0 Td[(,)]TJ/F32 10.9091 Tf 4.9295 0 Td[(Vorlesungen)-202(aus)-202(der)-202(Geschichte)-202(der)-201(Mathematik)]TJ/F16 10.9091 Tf 210.9748 0 Td[(,)]TJ -250.6297 -13.5492 Td[(I,)-250(p.)-250(49.)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 194.8137 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -194.8137 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 104.4526 194.8137 Td[(37)]TJ +ET +1 0 0 1 115.3616 194.8137 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -115.3616 -194.8137 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 120.8162 194.8137 Td[(W)]TJ/F16 7.9701 Tf 10.2982 0 Td[(ILKINSON)]TJ/F16 10.9091 Tf 37.6269 0 Td[(,)]TJ/F32 10.9091 Tf 5.4545 0 Td[(Manners)-250(and)-250(customs)-250(u.)-250(s.)-250(w.)]TJ/F16 10.9091 Tf 131.8143 0 Td[(III.,)-250(p.)-250(144.)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 172.8077 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -172.8077 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 104.4526 172.8077 Td[(38)]TJ +ET +1 0 0 1 115.3616 172.8077 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -115.3616 -172.8077 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 120.8162 172.8077 Td[(B)]TJ/F16 7.9701 Tf 7.2763 0 Td[(RUGSCH)]TJ/F16 10.9091 Tf 32.3268 0 Td[(,)]TJ/F32 10.9091 Tf 6.1543 0 Td[(Ueber)-314(Bau)-314(und)-314(Maasse)-315(des)-314(Tempels)-314(von)]TJ/F34 10.9091 Tf 185.1705 0 Td[(Edfu)]TJ/F16 10.9091 Tf -230.9279 -13.5492 Td[(\050)]TJ/F32 10.9091 Tf 3.6327 0 Td[(Zeitschrift)-250(f\374r)-250(\344gypt.)-250(Sprache)-250(u.)-250(Alterth.)]TJ/F16 10.9091 Tf 177.8832 0 Td[(Bd.)-250(VIII.\051)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 137.2524 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -137.2524 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 104.4526 137.2524 Td[(39)]TJ +ET +1 0 0 1 115.3616 137.2524 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -115.3616 -137.2524 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 120.8162 137.2524 Td[(C)]TJ/F16 7.9701 Tf 7.2763 0 Td[(ANTOR)]TJ/F16 10.9091 Tf 27.4491 0 Td[(,)]TJ/F32 10.9091 Tf 5.4545 0 Td[(Vorlesungen)-250(u.)-250(s.)-250(w.)]TJ/F16 10.9091 Tf 91.2107 0 Td[(I,)-250(p.)-250(55.)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 115.2464 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -115.2464 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 104.4526 115.2464 Td[(40)]TJ +ET +1 0 0 1 115.3616 115.2464 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -115.3616 -115.2464 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 120.8162 115.2464 Td[(\311)]TJ/F16 7.9701 Tf 6.6654 0 Td[(D)]TJ/F16 10.9091 Tf 5.7545 0 Td[(.)-250(B)]TJ/F16 7.9701 Tf 12.7308 0 Td[(IOT)]TJ/F16 10.9091 Tf 13.2782 0 Td[(,)]TJ/F32 10.9091 Tf 5.4546 0 Td[(Journal)-250(Asiatique)]TJ/F16 10.9091 Tf 77.8798 0 Td[(,)-250(Paris)-250(1841,)-250(I.)-250(Sem.)-250(p.)-250(593.)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 93.2404 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -93.2404 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 104.4526 93.2404 Td[(41)]TJ +ET +1 0 0 1 115.3616 93.2404 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -115.3616 -93.2404 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 120.8162 93.2404 Td[(L)]TJ/F16 7.9701 Tf 6.6654 0 Td[(EPSIUS)]TJ/F16 10.9091 Tf 26.5724 0 Td[(,)]TJ/F32 10.9091 Tf 6.0357 0 Td[(Ueber)-303(eine)-304(hieroglyphische)-303(Inschrift)-303(am)-303(Tempel)]TJ -39.2735 -13.5492 Td[(von)]TJ/F34 10.9091 Tf 18.8276 0 Td[(Edfu)]TJ/F16 10.9091 Tf 22.429 0 Td[(.)]TJ/F32 10.9091 Tf 6.4975 0 Td[(Abhandlung)-282(d.)-345(Acad.)-346(d.)-346(Wiss.)-345(in)-282(Berlin)]TJ/F16 10.9091 Tf 175.1684 0 Td[(,)-290(1855,)]TJ -222.9225 -13.5492 Td[(p.)-250(69.)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +154 0 obj << +/Type /Page +/Contents 155 0 R +/Resources 153 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 146 0 R +>> endobj +153 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F32 37 0 R /F33 87 0 R /F34 106 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +158 0 obj << +/Length 2455 +>> +stream +1 0 0 1 46.7715 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 316.4922 548.9335 Td[(31)]TJ +ET +1 0 0 1 327.4012 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -280.6297 -30.7584 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -518.1751 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 57.6807 518.1751 Td[(42)]TJ +ET +1 0 0 1 68.5897 518.1751 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -68.5897 -518.1751 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 74.0443 518.1751 Td[(B)]TJ/F16 7.9701 Tf 7.2763 0 Td[(RUGSCH)]TJ/F16 10.9091 Tf 32.3268 0 Td[(,)]TJ/F32 10.9091 Tf 5.4545 0 Td[(Thesaurus)-250(III)]TJ/F16 10.9091 Tf 59.0835 0 Td[(,)-250(Leipzig)-250(1884.)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 495.6595 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -495.6595 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 57.6807 495.6595 Td[(43)]TJ +ET +1 0 0 1 68.5897 495.6595 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -68.5897 -495.6595 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 74.0443 495.6595 Td[(T)]TJ/F16 7.9701 Tf 6.6654 0 Td[(HUKYDIDES)]TJ/F16 10.9091 Tf 46.4817 0 Td[(,)-250(ed.)-250(Rothe,)-250(VI.)-250(1.)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 473.1439 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -473.1439 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 57.6807 473.1439 Td[(44)]TJ +ET +1 0 0 1 68.5897 473.1439 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -68.5897 -473.1439 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 74.0443 473.1439 Td[(ed.)-250(Olleris,)-250(Cap.)-250(LXX.)-250(p.)-250(460.)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 450.6284 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -450.6284 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 57.6807 450.6284 Td[(45)]TJ +ET +1 0 0 1 68.5897 450.6284 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -68.5897 -450.6284 cm +BT +/F34 10.9091 Tf 74.0443 450.6284 Td[(Heronis)-251(Alexandrini)]TJ/F32 10.9091 Tf 95.7948 0 Td[(geometricorum)-251(et)-250(stereometricorum)]TJ -95.7948 -13.5492 Td[(reliquiae)]TJ/F16 10.9091 Tf 42.1199 0 Td[(\050ed.)-250(Hultsch,)-250(Berlin)-250(1864\051.)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 414.5636 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -414.5636 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 57.6807 414.5636 Td[(46)]TJ +ET +1 0 0 1 68.5897 414.5636 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -68.5897 -414.5636 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 74.0443 414.5636 Td[(L)]TJ/F16 7.9701 Tf 6.6654 0 Td[(EPSIUS)]TJ/F16 10.9091 Tf 26.5724 0 Td[(,)]TJ/F32 10.9091 Tf 7.4054 0 Td[(Ueber)-429(die)-429(6palmige)-428(grosse)-429(Elle)-429(von)-429(7)-429(kleinen)]TJ -40.6432 -13.5492 Td[(Palmen)-254(L\344nge)-253(in)-254(dem)-253(\273math.)-261(Handbuche\253)-254(von)-253(Eisenlohr)]TJ/F16 10.9091 Tf 250.6297 0 Td[(.)]TJ -250.6297 -13.5492 Td[(\050)]TJ/F32 10.9091 Tf 3.6327 0 Td[(Zeitschrift)-250(f.)-250(\344g.)-250(Sp.)]TJ/F16 10.9091 Tf 88.7997 0 Td[(1884.)-250(1.)-250(Heft.\051)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +157 0 obj << +/Type /Page +/Contents 158 0 R +/Resources 156 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 146 0 R +>> endobj +156 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F32 37 0 R /F34 106 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +161 0 obj << +/Length 135 +>> +stream +1 0 0 1 93.5434 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -280.6297 -510.1518 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +160 0 obj << +/Type /Page +/Contents 161 0 R +/Resources 159 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 146 0 R +>> endobj +159 0 obj << +/ProcSet [ /PDF ] +>> endobj +164 0 obj << +/Length 395 +>> +stream +1 0 0 1 46.7715 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -280.6297 -19.7995 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -529.134 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 46.7715 518.1751 Td[(***END)-500(OF)-500(THE)-500(PROJECT)-500(GUTENBERG)-500(EBOOK)]TJ 0 -13.5492 Td[(UEBER)-500(DIE)-500(GEOMETRIE)-500(DER)-500(ALTEN)-500(AEGYPTER.***)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +163 0 obj << +/Type /Page +/Contents 164 0 R +/Resources 162 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 166 0 R +>> endobj +165 0 obj << +/D [163 0 R /XYZ 46.7715 529.134 null] +>> endobj +162 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +169 0 obj << +/Length 135 +>> +stream +1 0 0 1 93.5434 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -280.6297 -510.1518 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +168 0 obj << +/Type /Page +/Contents 169 0 R +/Resources 167 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 166 0 R +>> endobj +167 0 obj << +/ProcSet [ /PDF ] +>> endobj +170 0 obj +<< /S /GoTo /D (index1) >> +endobj +173 0 obj +(Credits) +endobj +176 0 obj << +/Length 404 +>> +stream +1 0 0 1 46.7715 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -327.4012 -548.9335 cm +BT +/F16 18.9589 Tf 46.7715 479.3208 Td[(Credits)]TJ/F16 10.9091 Tf 0 -37.8764 Td[(March)-250(13,)-250(2008)]TJ 21.8182 -19.0037 Td[(Project)-250(Gutenberg)-250(TEI)-250(edition)-250(01)]TJ/F23 10.9091 Tf 0 -13.5492 Td[(R.)-250(Stephan)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +175 0 obj << +/Type /Page +/Contents 176 0 R +/Resources 174 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 166 0 R +>> endobj +171 0 obj << +/D [175 0 R /XYZ 46.7715 529.134 null] +>> endobj +174 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F23 35 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +179 0 obj << +/Length 135 +>> +stream +1 0 0 1 93.5434 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -280.6297 -510.1518 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +178 0 obj << +/Type /Page +/Contents 179 0 R +/Resources 177 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 166 0 R +>> endobj +177 0 obj << +/ProcSet [ /PDF ] +>> endobj +180 0 obj +<< /S /GoTo /D (index2) >> +endobj +183 0 obj +(A Word from Project Gutenberg) +endobj +186 0 obj << +/Length 3207 +>> +stream +1 0 0 1 46.7715 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -327.4012 -548.9335 cm +BT +/F16 18.9589 Tf 46.7715 479.3208 Td[(A)-250(Word)-250(from)-250(Project)-250(Gutenberg)]TJ/F16 10.9091 Tf 0 -32.4219 Td[(This)-250(file)-250(should)-250(be)-250(named)-250(24817-pdf.pdf)-250(or)-250(24817-pdf.zip.)]TJ 11.9552 -13.5492 Td[(This)-291(and)-291(all)-291(associated)-291(files)-291(of)-291(various)-291(formats)-291(will)-291(be)-291(found)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(in:)]TJ/F16 9.8629 Tf 19.6364 -22.6399 Td[(http://www.gutenberg.org/dirs/2/4/8/1/24817/)]TJ/F16 10.9091 Tf -7.6812 -23.3673 Td[(Updated)-447(editions)-446(will)-447(replace)-447(the)-447(previous)-446(one)]TJ/F33 10.9091 Tf 220.746 0 Td[(\024)]TJ/F16 10.9091 Tf 15.7825 0 Td[(the)-447(old)]TJ -248.4837 -13.5492 Td[(editions)-250(will)-250(be)-250(renamed.)]TJ 11.9552 -13.5492 Td[(Creating)-308(the)-308(works)-308(from)-308(public)-308(domain)-308(print)-308(editions)-308(means)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(that)-220(no)-220(one)-219(owns)-220(a)-220(United)-220(States)-219(copyright)-220(in)-220(these)-220(works,)-226(so)-219(the)]TJ 0 -13.5492 Td[(Foundation)-324(\050and)-325(you!\051)-473(can)-325(copy)-324(and)-325(distribute)-324(it)-325(in)-324(the)-324(United)]TJ 0 -13.5492 Td[(States)-163(without)-163(permission)-163(and)-163(without)-163(paying)-163(copyright)-163(royalties.)]TJ 0 -13.5492 Td[(Special)-298(rules,)-310(set)-299(forth)-298(in)-298(the)-298(General)-298(Terms)-299(of)-298(Use)-298(part)-298(of)-298(this)]TJ 0 -13.5492 Td[(license,)-360(apply)-337(to)-338(copying)-337(and)-338(distributing)-338(Project)-337(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 269.9388 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf -269.9388 -13.5492 Td[(electronic)-247(works)-246(to)-247(protect)-246(the)-247(Project)-246(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 214.8796 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 13.3805 0 Td[(concept)-247(and)]TJ -228.2601 -13.5492 Td[(trademark.)-243(Project)-228(Gutenberg)-227(is)-228(a)-228(registered)-228(trademark,)-233(and)-227(may)]TJ 0 -13.5492 Td[(not)-394(be)-394(used)-394(if)-393(you)-394(charge)-394(for)-394(the)-394(eBooks,)-430(unless)-394(you)-393(receive)]TJ 0 -13.5492 Td[(specific)-377(permission.)-630(If)-377(you)-377(do)-377(not)-377(charge)-377(anything)-377(for)-376(copies)]TJ 0 -13.5492 Td[(of)-303(this)-302(eBook,)-316(complying)-303(with)-303(the)-302(rules)-303(is)-303(very)-303(easy.)-408(You)-302(may)]TJ 0 -13.5492 Td[(use)-314(this)-314(eBook)-314(for)-313(nearly)-314(any)-314(purpose)-314(such)-314(as)-314(creation)-314(of)-313(deri-)]TJ 0 -13.5492 Td[(vative)-285(works,)-295(reports,)-294(performances)-285(and)-286(research.)-356(They)-285(may)-285(be)]TJ 0 -13.5492 Td[(modified)-262(and)-261(printed)-262(and)-262(given)-262(away)]TJ/F33 10.9091 Tf 166.1939 0 Td[(\024)]TJ/F16 10.9091 Tf 13.7644 0 Td[(you)-262(may)-261(do)-262(practically)]TJ/F34 10.9091 Tf -179.9583 -13.5492 Td[(anything)]TJ/F16 10.9091 Tf 43.415 0 Td[(with)-312(public)-311(domain)-312(eBooks.)-435(Redistribution)-312(is)-312(subject)]TJ -43.415 -13.5492 Td[(to)-250(the)-250(trademark)-250(license,)-250(especially)-250(commercial)-250(redistribution.)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +185 0 obj << +/Type /Page +/Contents 186 0 R +/Resources 184 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 166 0 R +/Annots [ 187 0 R ] +>> endobj +187 0 obj << +/Type /Annot + /BS << /Type /Border /S /U >> /H /I /C [1 0.5 0.5] +/Rect [66.4079 395.0105 247.2349 403.7984] + /Subtype /Link /A << /Type /Action /S /URI /URI (http://www.gutenberg.org/dirs/2/4/8/1/24817/) >> +>> endobj +181 0 obj << +/D [185 0 R /XYZ 46.7715 529.134 null] +>> endobj +11 0 obj << +/D [185 0 R /XYZ 46.7715 124.7152 null] +>> endobj +184 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F33 87 0 R /F35 189 0 R /F34 106 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +190 0 obj +<< /S /GoTo /D (index3) >> +endobj +193 0 obj +(The Full Project Gutenberg License) +endobj +196 0 obj << +/Length 3281 +>> +stream +1 0 0 1 93.5434 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -374.1731 -548.9335 cm +BT +/F16 18.9589 Tf 93.5434 479.3208 Td[(The)-250(Full)-250(Project)-250(Gutenberg)-250(License)]TJ/F34 10.9091 Tf 0 -31.6842 Td[(Please)-250(read)-250(this)-250(before)-250(you)-250(distribute)-250(or)-250(use)-250(this)-250(work.)]TJ/F16 10.9091 Tf 11.9552 -13.5492 Td[(To)-269(protect)-269(the)-268(Project)-269(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 144.4282 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 13.6234 0 Td[(mission)-269(of)-269(promoting)-268(the)]TJ -170.0068 -13.5492 Td[(free)-225(distribution)-225(of)-225(electronic)-226(works,)-230(by)-225(using)-225(or)-225(distributing)-225(this)]TJ 0 -13.5492 Td[(work)-304(\050or)-304(any)-303(other)-304(work)-304(associated)-304(in)-303(any)-304(way)-304(with)-304(the)-303(phrase)]TJ 0 -13.5492 Td[(Project)-356(Gutenberg\051,)-383(you)-356(agree)-357(to)-356(comply)-356(with)-357(all)-356(the)-356(terms)-356(of)]TJ 0 -13.5492 Td[(the)-268(Full)-269(Project)-268(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 116.6487 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 13.6175 0 Td[(License)-268(\050available)-269(with)-268(this)-268(file)-268(or)]TJ -130.2662 -13.5492 Td[(online)-250(at)-250(http://www.gutenberg.org/license\051.)]TJ/F16 15.7808 Tf 0 -35.4865 Td[(Section)-250(1.)]TJ/F16 13.1507 Tf 15.5801 -44.4205 Td[(General)-255(Terms)-254(of)-255(Use)-255(&)-254(Redistributing)-255(Project)]TJ 45.0124 -17.0958 Td[(Gutenberg)]TJ/F35 13.1507 Tf 55.5088 0 Td[(")]TJ/F16 13.1507 Tf 16.4153 0 Td[(electronic)-268(works)]TJ -132.5166 -41.8023 Td[(1.A.)]TJ/F16 10.9091 Tf 0 -25.9023 Td[(By)-219(reading)-220(or)-219(using)-219(any)-220(part)-219(of)-219(this)-220(Project)-219(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 234.2297 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 13.0837 0 Td[(electro-)]TJ -247.3134 -13.5492 Td[(nic)-305(work,)-319(you)-305(indicate)-305(that)-305(you)-305(have)-305(read,)-319(understand,)-318(agree)-305(to)]TJ 0 -13.5492 Td[(and)-295(accept)-295(all)-295(the)-296(terms)-295(of)-295(this)-295(license)-295(and)-295(intellectual)-295(property)]TJ 0 -13.5492 Td[(\050trademark/copyright\051)-211(agreement.)-237(If)-211(you)-211(do)-211(not)-211(agree)-211(to)-211(abide)-211(by)]TJ 0 -13.5492 Td[(all)-270(the)-271(terms)-270(of)-270(this)-271(agreement,)-275(you)-270(must)-271(cease)-270(using)-270(and)-270(return)]TJ 0 -13.5492 Td[(or)-262(destroy)-263(all)-262(copies)-262(of)-262(Project)-263(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 183.192 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 13.552 0 Td[(electronic)-262(works)-263(in)]TJ -196.744 -13.5492 Td[(your)-379(possession.)-639(If)-379(you)-380(paid)-379(a)-380(fee)-379(for)-380(obtaining)-379(a)-380(copy)-379(of)-379(or)]TJ 0 -13.5492 Td[(access)-269(to)-270(a)-269(Project)-270(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 129.9028 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 13.6303 0 Td[(electronic)-269(work)-270(and)-269(you)-270(do)-269(not)]TJ -143.5331 -13.5492 Td[(agree)-206(to)-206(be)-205(bound)-206(by)-206(the)-206(terms)-206(of)-205(this)-206(agreement,)-215(you)-206(may)-205(obtain)]TJ 0 -13.5492 Td[(a)-304(refund)-304(from)-304(the)-304(person)-304(or)-304(entity)-304(to)-304(whom)-304(you)-304(paid)-304(the)-303(fee)-304(as)]TJ 0 -13.5492 Td[(set)-250(forth)-250(in)-250(paragraph)-250(1.E.8.)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +195 0 obj << +/Type /Page +/Contents 196 0 R +/Resources 194 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 166 0 R +/Annots [ 197 0 R 198 0 R 201 0 R ] +>> endobj +197 0 obj << +/Type /Annot +/BS << /Type /Border /S /U >> /H /I /C [0 1 1] +/Rect [264.2961 377.5124 362.1593 387.2324] +/Subtype /Link +/A << /S /GoTo /D (pglicense) >> +>> endobj +198 0 obj << +/Type /Annot + /BS << /Type /Border /S /U >> /H /I /C [1 0.5 0.5] +/Rect [134.1469 363.9632 280.7976 373.6832] + /Subtype /Link /A << /Type /Action /S /URI /URI (http://www.gutenberg.org/license) >> +>> endobj +201 0 obj << +/Type /Annot +/BS << /Type /Border /S /U >> /H /I /C [0 1 1] +/Rect [189.8814 63.7638 215.6377 73.4838] +/Subtype /Link +/A << /S /GoTo /D (pglicense1E8) >> +>> endobj +191 0 obj << +/D [195 0 R /XYZ 93.5434 529.134 null] +>> endobj +199 0 obj << +/D [195 0 R /XYZ 93.5434 363.9632 null] +>> endobj +200 0 obj << +/D [195 0 R /XYZ 93.5434 254.1186 null] +>> endobj +194 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F34 106 0 R /F35 189 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +205 0 obj << +/Length 4316 +>> +stream +1 0 0 1 46.7715 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 46.7715 548.9335 Td[(The)-250(Full)-250(Project)-250(Gutenberg)-250(License)-10393(39)]TJ +ET +1 0 0 1 327.4012 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -327.4012 -548.9335 cm +BT +/F16 13.1507 Tf 46.7715 518.1751 Td[(1.B.)]TJ/F16 10.9091 Tf 0 -27.8662 Td[(Project)-242(Gutenberg)-242(is)-242(a)-242(registered)-242(trademark.)-247(It)-242(may)-242(only)-242(be)-241(used)]TJ 0 -13.5492 Td[(on)-319(or)-319(associated)-319(in)-318(any)-319(way)-319(with)-319(an)-319(electronic)-319(work)-319(by)-318(people)]TJ 0 -13.5492 Td[(who)-357(agree)-358(to)-357(be)-358(bound)-357(by)-358(the)-357(terms)-357(of)-358(this)-357(agreement.)-572(There)]TJ 0 -13.5492 Td[(are)-270(a)-270(few)-270(things)-270(that)-270(you)-270(can)-270(do)-270(with)-270(most)-270(Project)-270(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 269.9388 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf -269.9388 -13.5492 Td[(electronic)-297(works)-297(even)-296(without)-297(complying)-297(with)-297(the)-297(full)-297(terms)-296(of)]TJ 0 -13.5492 Td[(this)-388(agreement.)-662(See)-388(paragraph)-387(1.C)-388(below.)-662(There)-388(are)-387(a)-388(lot)-387(of)]TJ 0 -13.5492 Td[(things)-399(you)-399(can)-399(do)-399(with)-399(Project)-399(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 191.556 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 15.0442 0 Td[(electronic)-399(works)]TJ -206.6002 -13.5492 Td[(if)-456(you)-456(follow)-457(the)-456(terms)-456(of)-456(this)-457(agreement)-456(and)-456(help)-456(preserve)]TJ 0 -13.5492 Td[(free)-284(future)-283(access)-284(to)-283(Project)-284(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 171.7712 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 13.7841 0 Td[(electronic)-284(works.)-350(See)]TJ -185.5553 -13.5492 Td[(paragraph)-250(1.E)-250(below.)]TJ/F16 13.1507 Tf 0 -43.3027 Td[(1.C.)]TJ/F16 10.9091 Tf 0 -27.8661 Td[(The)-176(Project)-175(Gutenberg)-176(Literary)-176(Archive)-175(Foundation)-176(\050the)-175(Founda-)]TJ 0 -13.5492 Td[(tion)-275(or)-275(PGLAF\051,)-275(owns)-275(a)-275(compilation)-275(copyright)-275(in)-275(the)-275(collection)]TJ 0 -13.5492 Td[(of)-389(Project)-389(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 94.5237 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 14.9328 0 Td[(electronic)-389(works.)-666(Nearly)-389(all)-389(the)-389(indi-)]TJ -109.4565 -13.5492 Td[(vidual)-374(works)-374(in)-374(the)-375(collection)-374(are)-374(in)-374(the)-374(public)-374(domain)-374(in)-374(the)]TJ 0 -13.5492 Td[(United)-323(States.)-469(If)-322(an)-323(individual)-323(work)-323(is)-323(in)-323(the)-323(public)-323(domain)-322(in)]TJ 0 -13.5492 Td[(the)-344(United)-345(States)-344(and)-344(you)-345(are)-344(located)-344(in)-345(the)-344(United)-344(States,)-368(we)]TJ 0 -13.5492 Td[(do)-332(not)-331(claim)-332(a)-331(right)-332(to)-332(prevent)-331(you)-332(from)-331(copying,)-352(distributing,)]TJ 0 -13.5492 Td[(performing,)-231(displaying)-226(or)-226(creating)-226(derivative)-226(works)-226(based)-225(on)-226(the)]TJ 0 -13.5492 Td[(work)-232(as)-231(long)-232(as)-231(all)-232(references)-231(to)-232(Project)-231(Gutenberg)-232(are)-231(removed.)]TJ 0 -13.5492 Td[(Of)-187(course,)-200(we)-188(hope)-187(that)-188(you)-187(will)-188(support)-187(the)-188(Project)-187(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 269.9388 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf -269.9388 -13.5492 Td[(mission)-334(of)-334(promoting)-334(free)-335(access)-334(to)-334(electronic)-334(works)-334(by)-334(freely)]TJ 0 -13.5492 Td[(sharing)-212(Project)-211(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 113.6846 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 12.9988 0 Td[(works)-212(in)-211(compliance)-212(with)-211(the)-212(terms)]TJ -126.6834 -13.5492 Td[(of)-441(this)-441(agreement)-441(for)-441(keeping)-441(the)-441(Project)-440(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 241.4996 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 15.5011 0 Td[(name)]TJ -257.0007 -13.5492 Td[(associated)-262(with)-262(the)-262(work.)-286(You)-262(can)-262(easily)-262(comply)-262(with)-262(the)-262(terms)]TJ 0 -13.5492 Td[(of)-283(this)-284(agreement)-283(by)-283(keeping)-284(this)-283(work)-283(in)-283(the)-284(same)-283(format)-283(with)]TJ 0 -13.5492 Td[(its)-287(attached)-287(full)-287(Project)-287(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 151.2842 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 13.8212 0 Td[(License)-287(when)-287(you)-287(share)-287(it)]TJ -165.1054 -13.5492 Td[(without)-250(charge)-250(with)-250(others.)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +204 0 obj << +/Type /Page +/Contents 205 0 R +/Resources 203 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 211 0 R +/Annots [ 207 0 R 208 0 R ] +>> endobj +207 0 obj << +/Type /Annot +/BS << /Type /Border /S /U >> /H /I /C [0 1 1] +/Rect [189.9776 420.1848 205.4357 429.9048] +/Subtype /Link +/A << /S /GoTo /D (pglicense1C) >> +>> endobj +208 0 obj << +/Type /Annot +/BS << /Type /Border /S /U >> /H /I /C [0 1 1] +/Rect [93.1133 365.988 107.9605 375.708] +/Subtype /Link +/A << /S /GoTo /D (pglicense1E) >> +>> endobj +206 0 obj << +/D [204 0 R /XYZ 46.7715 529.134 null] +>> endobj +209 0 obj << +/D [204 0 R /XYZ 46.7715 354.098 null] +>> endobj +210 0 obj << +/D [204 0 R /XYZ 46.7715 66.142 null] +>> endobj +203 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F35 189 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +215 0 obj << +/Length 3281 +>> +stream +1 0 0 1 93.5434 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 93.5434 548.9335 Td[(40)-8396(Ueber)-250(die)-250(Geometrie)-250(der)-250(alten)-250(Aegypter.)]TJ +ET +1 0 0 1 374.1731 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -374.1731 -548.9335 cm +BT +/F16 13.1507 Tf 93.5434 518.1751 Td[(1.D.)]TJ/F16 10.9091 Tf 0 -29.3501 Td[(The)-468(copyright)-467(laws)-468(of)-467(the)-468(place)-467(where)-468(you)-467(are)-468(located)-467(also)]TJ 0 -13.5492 Td[(govern)-267(what)-268(you)-267(can)-267(do)-268(with)-267(this)-267(work.)-302(Copyright)-268(laws)-267(in)-267(most)]TJ 0 -13.5492 Td[(countries)-366(are)-366(in)-366(a)-366(constant)-366(state)-366(of)-366(change.)-598(If)-366(you)-366(are)-366(outside)]TJ 0 -13.5492 Td[(the)-394(United)-394(States,)-430(check)-395(the)-394(laws)-394(of)-394(your)-394(country)-394(in)-394(addition)]TJ 0 -13.5492 Td[(to)-439(the)-440(terms)-439(of)-439(this)-439(agreement)-440(before)-439(downloading,)-486(copying,)]TJ 0 -13.5492 Td[(displaying,)-243(performing,)-243(distributing)-241(or)-240(creating)-241(derivative)-241(works)]TJ 0 -13.5492 Td[(based)-268(on)-269(this)-268(work)-269(or)-268(any)-269(other)-268(Project)-269(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 221.5701 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 13.6194 0 Td[(work.)-305(The)]TJ -235.1895 -13.5492 Td[(Foundation)-344(makes)-343(no)-344(representations)-343(concerning)-344(the)-343(copyright)]TJ 0 -13.5492 Td[(status)-250(of)-250(any)-250(work)-250(in)-250(any)-250(country)-250(outside)-250(the)-250(United)-250(States.)]TJ/F16 13.1507 Tf 0 -45.9739 Td[(1.E.)]TJ/F16 10.9091 Tf 0 -29.3501 Td[(Unless)-250(you)-250(have)-250(removed)-250(all)-250(references)-250(to)-250(Project)-250(Gutenberg:)]TJ 0 -27.1683 Td[(1.E.1.)]TJ 0 -27.1684 Td[(The)-259(following)-260(sentence,)-261(with)-260(active)-259(links)-259(to,)-262(or)-259(other)-259(immediate)]TJ 0 -13.5492 Td[(access)-234(to,)-238(the)-234(full)-234(Project)-234(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 157.3243 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 13.2464 0 Td[(License)-234(must)-235(appear)-234(pro-)]TJ -170.5707 -13.5492 Td[(minently)-194(whenever)-195(any)-194(copy)-195(of)-194(a)-195(Project)-194(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 223.8918 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 12.8126 0 Td[(work)-194(\050any)]TJ -236.7044 -13.5492 Td[(work)-377(on)-377(which)-377(the)-377(phrase)-377(Project)-377(Gutenberg)-377(appears,)-408(or)-377(with)]TJ 0 -13.5492 Td[(which)-359(the)-358(phrase)-359(Project)-359(Gutenberg)-358(is)-359(associated\051)-359(is)-358(accessed,)]TJ 0 -13.5492 Td[(displayed,)-250(performed,)-250(viewed,)-250(copied)-250(or)-250(distributed:)]TJ/F16 9.8629 Tf 19.6364 -25.3499 Td[(This)-432(eBook)-432(is)-432(for)-432(the)-433(use)-432(of)-432(anyone)-432(anywhere)-432(at)-432(no)-432(cost)]TJ 0 -12.8218 Td[(and)-345(with)-344(almost)-345(no)-344(restrictions)-345(whatsoever.)-534(You)-345(may)-344(copy)]TJ 0 -12.8219 Td[(it,)-437(give)-400(it)-400(away)-400(or)-400(re-use)-400(it)-400(under)-400(the)-399(terms)-400(of)-400(the)-400(Project)]TJ 0 -12.8218 Td[(Gutenberg)-476(License)-476(included)-476(with)-476(this)-475(eBook)-476(or)-476(online)-476(at)]TJ 0 -12.8218 Td[(http://www.gutenberg.org)]TJ/F16 10.9091 Tf -19.6364 -40.2455 Td[(1.E.2.)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +214 0 obj << +/Type /Page +/Contents 215 0 R +/Resources 213 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 211 0 R +/Annots [ 217 0 R ] +>> endobj +217 0 obj << +/Type /Annot + /BS << /Type /Border /S /U >> /H /I /C [1 0.5 0.5] +/Rect [113.1798 104.2374 215.636 113.0252] + /Subtype /Link /A << /Type /Action /S /URI /URI (http://www.gutenberg.org) >> +>> endobj +212 0 obj << +/D [214 0 R /XYZ 93.5434 364.9761 null] +>> endobj +216 0 obj << +/D [214 0 R /XYZ 93.5434 302.7292 null] +>> endobj +218 0 obj << +/D [214 0 R /XYZ 93.5434 91.1602 null] +>> endobj +213 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F35 189 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +221 0 obj << +/Length 3733 +>> +stream +1 0 0 1 46.7715 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 46.7715 548.9335 Td[(The)-250(Full)-250(Project)-250(Gutenberg)-250(License)-10393(41)]TJ +ET +1 0 0 1 327.4012 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -327.4012 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 46.7715 518.1751 Td[(If)-295(an)-295(individual)-295(Project)-295(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 151.6385 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 13.9096 0 Td[(electronic)-295(work)-295(is)-295(derived)]TJ -165.5481 -13.5492 Td[(from)-228(the)-228(public)-229(domain)-228(\050does)-228(not)-228(contain)-229(a)-228(notice)-228(indicating)-228(that)]TJ 0 -13.5492 Td[(it)-184(is)-183(posted)-184(with)-183(permission)-184(of)-183(the)-184(copyright)-183(holder\051,)-197(the)-184(work)-183(can)]TJ 0 -13.5492 Td[(be)-256(copied)-256(and)-256(distributed)-256(to)-256(anyone)-256(in)-256(the)-256(United)-255(States)-256(without)]TJ 0 -13.5492 Td[(paying)-230(any)-230(fees)-230(or)-230(charges.)-243(If)-230(you)-230(are)-230(redistributing)-230(or)-230(providing)]TJ 0 -13.5492 Td[(access)-347(to)-346(a)-347(work)-346(with)-347(the)-347(phrase)-346(Project)-347(Gutenberg)-346(associated)]TJ 0 -13.5492 Td[(with)-410(or)-411(appearing)-410(on)-410(the)-411(work,)-450(you)-410(must)-411(comply)-410(either)-410(with)]TJ 0 -13.5492 Td[(the)-424(requirements)-425(of)-424(paragraphs)-425(1.E.1)-424(through)-425(1.E.7)-424(or)-424(obtain)]TJ 0 -13.5492 Td[(permission)-280(for)-281(the)-280(use)-281(of)-280(the)-281(work)-280(and)-281(the)-280(Project)-280(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 269.9388 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf -269.9388 -13.5492 Td[(trademark)-250(as)-250(set)-250(forth)-250(in)-250(paragraphs)-250(1.E.8)-250(or)-250(1.E.9.)]TJ 0 -38.6077 Td[(1.E.3.)]TJ 0 -26.2584 Td[(If)-344(an)-343(individual)-344(Project)-343(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 153.7548 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 14.4388 0 Td[(electronic)-344(work)-343(is)-344(posted)]TJ -168.1936 -13.5492 Td[(with)-351(the)-350(permission)-351(of)-351(the)-351(copyright)-350(holder,)-376(your)-351(use)-351(and)-350(dis-)]TJ 0 -13.5492 Td[(tribution)-257(must)-258(comply)-257(with)-257(both)-258(paragraphs)-257(1.E.1)-257(through)-257(1.E.7)]TJ 0 -13.5492 Td[(and)-301(any)-301(additional)-301(terms)-301(imposed)-301(by)-301(the)-301(copyright)-301(holder.)-402(Ad-)]TJ 0 -13.5492 Td[(ditional)-256(terms)-256(will)-255(be)-256(linked)-256(to)-256(the)-256(Project)-256(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 233.2208 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 13.4817 0 Td[(License)]TJ -246.7025 -13.5492 Td[(for)-267(all)-267(works)-267(posted)-268(with)-267(the)-267(permission)-267(of)-267(the)-267(copyright)-267(holder)]TJ 0 -13.5492 Td[(found)-250(at)-250(the)-250(beginning)-250(of)-250(this)-250(work.)]TJ 0 -38.6077 Td[(1.E.4.)]TJ 0 -26.2584 Td[(Do)-275(not)-275(unlink)-275(or)-274(detach)-275(or)-275(remove)-275(the)-275(full)-275(Project)-274(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 269.9388 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf -269.9388 -13.5492 Td[(License)-330(terms)-329(from)-330(this)-329(work,)-350(or)-329(any)-330(files)-330(containing)-329(a)-330(part)-329(of)]TJ 0 -13.5492 Td[(this)-185(work)-185(or)-185(any)-185(other)-185(work)-185(associated)-185(with)-185(Project)-185(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 267.2116 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 10.6909 0 Td[(.)]TJ -277.9025 -38.6077 Td[(1.E.5.)]TJ 0 -26.2584 Td[(Do)-457(not)-457(copy,)-508(display,)-509(perform,)-508(distribute)-457(or)-457(redistribute)-456(this)]TJ 0 -13.5492 Td[(electronic)-441(work,)-488(or)-441(any)-441(part)-441(of)-440(this)-441(electronic)-441(work,)-488(without)]TJ 0 -13.5492 Td[(prominently)-258(displaying)-257(the)-258(sentence)-258(set)-257(forth)-258(in)-258(paragraph)-257(1.E.1)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +220 0 obj << +/Type /Page +/Contents 221 0 R +/Resources 219 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 211 0 R +/Annots [ 222 0 R 223 0 R 225 0 R 228 0 R ] +>> endobj +222 0 obj << +/Type /Annot +/BS << /Type /Border /S /U >> /H /I /C [0 1 1] +/Rect [192.5246 420.9525 215.5536 430.6725] +/Subtype /Link +/A << /S /GoTo /D (pglicense1E1) >> +>> endobj +223 0 obj << +/Type /Annot +/BS << /Type /Border /S /U >> /H /I /C [0 1 1] +/Rect [206.1203 393.8541 229.1493 403.5741] +/Subtype /Link +/A << /S /GoTo /D (pglicense1E8) >> +>> endobj +225 0 obj << +/Type /Annot +/BS << /Type /Border /S /U >> /H /I /C [0 1 1] +/Rect [241.7911 301.8896 264.8201 311.6096] +/Subtype /Link +/A << /S /GoTo /D (pglicense1E1) >> +>> endobj +228 0 obj << +/Type /Annot +/BS << /Type /Border /S /U >> /H /I /C [0 1 1] +/Rect [304.3722 63.7638 327.4012 73.4838] +/Subtype /Link +/A << /S /GoTo /D (pglicense1E1) >> +>> endobj +224 0 obj << +/D [220 0 R /XYZ 46.7715 381.5049 null] +>> endobj +226 0 obj << +/D [220 0 R /XYZ 46.7715 235.3436 null] +>> endobj +227 0 obj << +/D [220 0 R /XYZ 46.7715 143.3791 null] +>> endobj +219 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F35 189 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +231 0 obj << +/Length 3680 +>> +stream +1 0 0 1 93.5434 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 93.5434 548.9335 Td[(42)-8396(Ueber)-250(die)-250(Geometrie)-250(der)-250(alten)-250(Aegypter.)]TJ +ET +1 0 0 1 374.1731 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -374.1731 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 93.5434 518.1751 Td[(with)-394(active)-395(links)-394(or)-395(immediate)-394(access)-394(to)-395(the)-394(full)-395(terms)-394(of)-394(the)]TJ 0 -13.5492 Td[(Project)-250(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 79.6799 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 13.4181 0 Td[(License.)]TJ -93.098 -37.2185 Td[(1.E.6.)]TJ 0 -25.4866 Td[(You)-475(may)-476(convert)-475(to)-476(and)-475(distribute)-476(this)-475(work)-476(in)-475(any)-475(binary,)]TJ 0 -13.5492 Td[(compressed,)-287(marked)-280(up,)-287(nonproprietary)-280(or)-280(proprietary)-279(form,)-287(in-)]TJ 0 -13.5492 Td[(cluding)-234(any)-234(word)-233(processing)-234(or)-234(hypertext)-234(form.)-245(However,)-237(if)-233(you)]TJ 0 -13.5492 Td[(provide)-318(access)-318(to)-317(or)-318(distribute)-318(copies)-318(of)-318(a)-318(Project)-317(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 269.9388 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf -269.9388 -13.5492 Td[(work)-364(in)-364(a)-365(format)-364(other)-364(than)-364(Plain)-365(Vanilla)-364(ASCII)-364(or)-364(other)-364(for-)]TJ 0 -13.5492 Td[(mat)-401(used)-400(in)-401(the)-400(official)-401(version)-400(posted)-401(on)-400(the)-401(official)-400(Project)]TJ 0 -13.5492 Td[(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 46.0472 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 13.8335 0 Td[(web)-288(site)-288(\050http://www.gutenberg.org\051,)-298(you)-288(must,)-297(at)]TJ -59.8807 -13.5492 Td[(no)-357(additional)-357(cost,)-383(fee)-357(or)-357(expense)-357(to)-357(the)-357(user,)-384(provide)-357(a)-356(copy,)]TJ 0 -13.5492 Td[(a)-380(means)-380(of)-379(exporting)-380(a)-380(copy,)-412(or)-380(a)-380(means)-380(of)-380(obtaining)-380(a)-379(copy)]TJ 0 -13.5492 Td[(upon)-290(request,)-300(of)-290(the)-289(work)-290(in)-290(its)-290(original)-290(Plain)-290(Vanilla)-290(ASCII)-289(or)]TJ 0 -13.5492 Td[(other)-346(form.)-540(Any)-346(alternate)-347(format)-346(must)-347(include)-346(the)-347(full)-346(Project)]TJ 0 -13.5492 Td[(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 46.0472 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 13.4182 0 Td[(License)-250(as)-250(specified)-250(in)-250(paragraph)-250(1.E.1.)]TJ -59.4654 -37.2185 Td[(1.E.7.)]TJ 0 -25.4867 Td[(Do)-341(not)-342(charge)-341(a)-341(fee)-341(for)-342(access)-341(to,)-364(viewing,)-364(displaying,)-364(perfor-)]TJ 0 -13.5492 Td[(ming,)-436(copying)-399(or)-399(distributing)-399(any)-399(Project)-399(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 238.9256 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 15.0424 0 Td[(works)]TJ -253.968 -13.5492 Td[(unless)-250(you)-250(comply)-250(with)-250(paragraph)-250(1.E.8)-250(or)-250(1.E.9.)]TJ 0 -37.2184 Td[(1.E.8.)]TJ 0 -25.4867 Td[(You)-440(may)-440(charge)-440(a)-439(reasonable)-440(fee)-440(for)-440(copies)-440(of)-440(or)-439(providing)]TJ 0 -13.5492 Td[(access)-361(to)-361(or)-361(distributing)-361(Project)-361(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 192.388 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 14.6282 0 Td[(electronic)-361(works)]TJ -207.0162 -13.5492 Td[(provided)-250(that)]TJ/F33 10.9091 Tf 12.5455 -20.0321 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 9.2727 0 Td[(You)-218(pay)-218(a)-219(royalty)-218(fee)-218(of)-218(20%)-218(of)-219(the)-218(gross)-218(profits)-218(you)-218(derive)]TJ 0 -13.5492 Td[(from)-212(the)-211(use)-212(of)-212(Project)-211(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 146.6659 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 13.0001 0 Td[(works)-212(calculated)-211(using)]TJ -159.666 -13.5492 Td[(the)-431(method)-432(you)-431(already)-432(use)-431(to)-432(calculate)-431(your)-431(applicable)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +230 0 obj << +/Type /Page +/Contents 231 0 R +/Resources 229 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 211 0 R +/Annots [ 233 0 R 235 0 R ] +>> endobj +233 0 obj << +/Type /Annot +/BS << /Type /Border /S /U >> /H /I /C [0 1 1] +/Rect [301.1431 290.5014 326.8994 300.2214] +/Subtype /Link +/A << /S /GoTo /D (pglicense1E1) >> +>> endobj +235 0 obj << +/Type /Annot +/BS << /Type /Border /S /U >> /H /I /C [0 1 1] +/Rect [246.554 200.6979 269.5831 210.4179] +/Subtype /Link +/A << /S /GoTo /D (pglicense1E8) >> +>> endobj +232 0 obj << +/D [230 0 R /XYZ 93.5434 490.5159 null] +>> endobj +234 0 obj << +/D [230 0 R /XYZ 93.5434 278.7696 null] +>> endobj +202 0 obj << +/D [230 0 R /XYZ 93.5434 188.9661 null] +>> endobj +229 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F35 189 0 R /F33 87 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +238 0 obj << +/Length 4287 +>> +stream +1 0 0 1 46.7715 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 46.7715 548.9335 Td[(The)-250(Full)-250(Project)-250(Gutenberg)-250(License)-10393(43)]TJ +ET +1 0 0 1 327.4012 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -327.4012 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 68.5897 518.1751 Td[(taxes.)-739(The)-413(fee)-413(is)-413(owed)-413(to)-413(the)-413(owner)-413(of)-413(the)-412(Project)-413(Gu-)]TJ 0 -13.5492 Td[(tenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 32.7163 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 13.8591 0 Td[(trademark,)-301(but)-290(he)-290(has)-291(agreed)-290(to)-291(donate)-290(royalties)]TJ -46.5754 -13.5492 Td[(under)-293(this)-292(paragraph)-293(to)-293(the)-292(Project)-293(Gutenberg)-293(Literary)-292(Ar-)]TJ 0 -13.5492 Td[(chive)-343(Foundation.)-528(Royalty)-343(payments)-343(must)-343(be)-343(paid)-342(within)]TJ 0 -13.5492 Td[(60)-318(days)-317(following)-318(each)-317(date)-318(on)-317(which)-318(you)-317(prepare)-318(\050or)-317(are)]TJ 0 -13.5492 Td[(legally)-179(required)-179(to)-179(prepare\051)-180(your)-179(periodic)-179(tax)-179(returns.)-226(Royal-)]TJ 0 -13.5492 Td[(ty)-328(payments)-329(should)-328(be)-328(clearly)-329(marked)-328(as)-328(such)-329(and)-328(sent)-328(to)]TJ 0 -13.5492 Td[(the)-358(Project)-358(Gutenberg)-358(Literary)-358(Archive)-358(Foundation)-358(at)-358(the)]TJ 0 -13.5492 Td[(address)-243(specified)-242(in)-243(Section)-242(4,)-244(Information)-243(about)-242(donations)]TJ 0 -13.5492 Td[(to)-250(the)-250(Project)-250(Gutenberg)-250(Literary)-250(Archive)-250(Foundation.)]TJ 0 -14.2791 Td[(You)-425(provide)-425(a)-425(full)-424(refund)-425(of)-425(any)-425(money)-425(paid)-425(by)-425(a)-424(user)]TJ 0 -13.5492 Td[(who)-339(notifies)-339(you)-340(in)-339(writing)-339(\050or)-339(by)-340(e-mail\051)-339(within)-339(30)-339(days)]TJ 0 -13.5492 Td[(of)-343(receipt)-343(that)-343(s/he)-343(does)-344(not)-343(agree)-343(to)-343(the)-343(terms)-343(of)-343(the)-343(full)]TJ 0 -13.5492 Td[(Project)-235(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 79.5139 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 13.2522 0 Td[(License.)-245(You)-235(must)-234(require)-235(such)-235(a)-235(user)]TJ -92.7661 -13.5492 Td[(to)-324(return)-324(or)-323(destroy)-324(all)-324(copies)-324(of)-323(the)-324(works)-324(possessed)-324(in)-323(a)]TJ 0 -13.5492 Td[(physical)-322(medium)-321(and)-322(discontinue)-321(all)-322(use)-322(of)-321(and)-322(all)-321(access)]TJ 0 -13.5492 Td[(to)-250(other)-250(copies)-250(of)-250(Project)-250(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 158.4542 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 13.4182 0 Td[(works.)]TJ -171.8724 -14.2791 Td[(You)-427(provide,)-472(in)-427(accordance)-428(with)-427(paragraph)-427(1.F.3,)-472(a)-427(full)]TJ 0 -13.5492 Td[(refund)-215(of)-216(any)-215(money)-216(paid)-215(for)-216(a)-215(work)-216(or)-215(a)-216(replacement)-215(copy,)]TJ 0 -13.5492 Td[(if)-245(a)-246(defect)-245(in)-245(the)-246(electronic)-245(work)-245(is)-246(discovered)-245(and)-245(reported)]TJ 0 -13.5492 Td[(to)-250(you)-250(within)-250(90)-250(days)-250(of)-250(receipt)-250(of)-250(the)-250(work.)]TJ 0 -14.2791 Td[(You)-278(comply)-279(with)-278(all)-279(other)-278(terms)-279(of)-278(this)-279(agreement)-278(for)-278(free)]TJ 0 -13.5492 Td[(distribution)-250(of)-250(Project)-250(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 144.5342 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 13.4182 0 Td[(works.)]TJ -179.7706 -41.9366 Td[(1.E.9.)]TJ 0 -28.1079 Td[(If)-316(you)-315(wish)-316(to)-316(charge)-315(a)-316(fee)-316(or)-315(distribute)-316(a)-316(Project)-315(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 269.9389 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf -269.9389 -13.5492 Td[(electronic)-233(work)-233(or)-233(group)-234(of)-233(works)-233(on)-233(different)-233(terms)-233(than)-233(are)-233(set)]TJ 0 -13.5492 Td[(forth)-346(in)-347(this)-346(agreement,)-371(you)-346(must)-346(obtain)-347(permission)-346(in)-346(writing)]TJ 0 -13.5492 Td[(from)-161(both)-160(the)-161(Project)-160(Gutenberg)-161(Literary)-160(Archive)-161(Foundation)-160(and)]TJ 0 -13.5492 Td[(Michael)-287(Hart,)-297(the)-287(owner)-287(of)-287(the)-287(Project)-287(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 219.8537 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 13.8234 0 Td[(trademark.)]TJ -233.6771 -13.5492 Td[(Contact)-250(the)-250(Foundation)-250(as)-250(set)-250(forth)-250(in)-250(Section)-250(3)-250(below.)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +237 0 obj << +/Type /Page +/Contents 238 0 R +/Resources 236 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 211 0 R +/Annots [ 239 0 R 240 0 R 241 0 R 243 0 R ] +>> endobj +239 0 obj << +/Type /Annot +/BS << /Type /Border /S /U >> /H /I /C [0 1 1] +/Rect [157.1134 407.4142 327.4012 417.1233] +/Subtype /Link +/A << /S /GoTo /D (pglicense4) >> +>> endobj +240 0 obj << +/Type /Annot +/BS << /Type /Border /S /U >> /H /I /C [0 1 1] +/Rect [46.7715 393.8541 306.4292 403.5741] +/Subtype /Link +/A << /S /GoTo /D (pglicense4) >> +>> endobj +241 0 obj << +/Type /Annot +/BS << /Type /Border /S /U >> /H /I /C [0 1 1] +/Rect [272.4411 284.0007 294.8701 293.7207] +/Subtype /Link +/A << /S /GoTo /D (pglicense1F3) >> +>> endobj +243 0 obj << +/Type /Annot +/BS << /Type /Border /S /U >> /H /I /C [0 1 1] +/Rect [213.7347 79.9708 254.6437 87.4544] +/Subtype /Link +/A << /S /GoTo /D (pglicense3) >> +>> endobj +242 0 obj << +/D [237 0 R /XYZ 46.7715 201.6961 null] +>> endobj +244 0 obj << +/D [237 0 R /XYZ 46.7715 66.142 null] +>> endobj +236 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F35 189 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +250 0 obj << +/Length 3601 +>> +stream +1 0 0 1 93.5434 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 93.5434 548.9335 Td[(44)-8396(Ueber)-250(die)-250(Geometrie)-250(der)-250(alten)-250(Aegypter.)]TJ +ET +1 0 0 1 374.1731 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -374.1731 -548.9335 cm +BT +/F16 13.1507 Tf 93.5434 518.1751 Td[(1.F.)]TJ/F16 10.9091 Tf 0 -39.1625 Td[(1.F.1.)]TJ 0 -25.3546 Td[(Project)-288(Gutenberg)-289(volunteers)-288(and)-289(employees)-288(expend)-288(considera-)]TJ 0 -13.5492 Td[(ble)-365(effort)-365(to)-365(identify,)-393(do)-365(copyright)-365(research)-365(on,)-394(transcribe)-364(and)]TJ 0 -13.5492 Td[(proofread)-383(public)-383(domain)-382(works)-383(in)-383(creating)-383(the)-383(Project)-382(Guten-)]TJ 0 -13.5492 Td[(berg)]TJ/F35 10.9091 Tf 19.3854 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 15.0968 0 Td[(collection.)-712(Despite)-403(these)-404(efforts,)-443(Project)-404(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 235.4566 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf -269.9388 -13.5492 Td[(electronic)-261(works,)-265(and)-261(the)-262(medium)-261(on)-262(which)-261(they)-262(may)-261(be)-261(stored,)]TJ 0 -13.5492 Td[(may)-401(contain)-402(Defects,)-439(such)-402(as,)-439(but)-401(not)-402(limited)-401(to,)-439(incomplete,)]TJ 0 -13.5492 Td[(inaccurate)-395(or)-395(corrupt)-395(data,)-431(transcription)-395(errors,)-431(a)-395(copyright)-394(or)]TJ 0 -13.5492 Td[(other)-266(intellectual)-267(property)-266(infringement,)-271(a)-266(defective)-267(or)-266(damaged)]TJ 0 -13.5492 Td[(disk)-277(or)-277(other)-277(medium,)-284(a)-277(computer)-277(virus,)-283(or)-277(computer)-277(codes)-277(that)]TJ 0 -13.5492 Td[(damage)-250(or)-250(cannot)-250(be)-250(read)-250(by)-250(your)-250(equipment.)]TJ 0 -36.9807 Td[(1.F.2.)]TJ 0 -25.3546 Td[(LIMITED)-451(WARRANTY,)-451(DISCLAIMER)-451(OF)-451(DAMAGES)]TJ/F33 10.9091 Tf 269.7206 0 Td[(\024)]TJ/F16 10.9091 Tf -269.7206 -13.5492 Td[(Except)-433(for)-433(the)-432(Right)-433(of)-433(Replacement)-433(or)-433(Refund)-433(described)-432(in)]TJ 0 -13.5492 Td[(paragraph)-328(1.F.3,)-347(the)-328(Project)-327(Gutenberg)-328(Literary)-328(Archive)-327(Foun-)]TJ 0 -13.5492 Td[(dation,)-224(the)-218(owner)-218(of)-217(the)-218(Project)-218(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 184.2848 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 13.0661 0 Td[(trademark,)-224(and)-218(any)]TJ -197.3509 -13.5492 Td[(other)-361(party)-361(distributing)-361(a)-361(Project)-361(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 196.6316 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 14.6282 0 Td[(electronic)-361(work)]TJ -211.2598 -13.5492 Td[(under)-320(this)-319(agreement,)-337(disclaim)-320(all)-319(liability)-320(to)-319(you)-320(for)-319(damages,)]TJ 0 -13.5492 Td[(costs)-316(and)-315(expenses,)-333(including)-315(legal)-316(fees.)-447(YOU)-316(AGREE)-315(THAT)]TJ 0 -13.5492 Td[(YOU)-394(HAVE)-394(NO)-395(REMEDIES)-394(FOR)-394(NEGLIGENCE,)-394(STRICT)]TJ 0 -13.5492 Td[(LIABILITY,)-450(BREACH)-449(OF)-450(WARRANTY)-449(OR)-450(BREACH)-449(OF)]TJ 0 -13.5492 Td[(CONTRACT)-234(EXCEPT)-234(THOSE)-234(PROVIDED)-234(IN)-233(PARAGRAPH)]TJ 0 -13.5492 Td[(F3.)-298(YOU)-267(AGREE)-266(THAT)-266(THE)-266(FOUNDATION,)-266(THE)-266(TRADE-)]TJ 0 -13.5492 Td[(MARK)-367(OWNER,)-366(AND)-367(ANY)-366(DISTRIBUTOR)-367(UNDER)-366(THIS)]TJ 0 -13.5492 Td[(AGREEMENT)-376(WILL)-375(NOT)-376(BE)-376(LIABLE)-375(TO)-376(YOU)-376(FOR)-375(AC-)]TJ 0 -13.5492 Td[(TUAL,)-210(DIRECT,)-210(INDIRECT,)-210(CONSEQUENTIAL,)-209(PUNITIVE)]TJ 0 -13.5492 Td[(OR)-223(INCIDENTAL)-223(DAMAGES)-224(EVEN)-223(IF)-223(YOU)-223(GIVE)-223(NOTICE)]TJ 0 -13.5492 Td[(OF)-250(THE)-250(POSSIBILITY)-250(OF)-250(SUCH)-250(DAMAGE.)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +249 0 obj << +/Type /Page +/Contents 250 0 R +/Resources 248 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 211 0 R +/Annots [ 253 0 R ] +>> endobj +253 0 obj << +/Type /Annot +/BS << /Type /Border /S /U >> /H /I /C [0 1 1] +/Rect [93.5434 239.9034 163.162 249.6234] +/Subtype /Link +/A << /S /GoTo /D (pglicense1F3) >> +>> endobj +251 0 obj << +/D [249 0 R /XYZ 93.5434 504.2488 null] +>> endobj +252 0 obj << +/D [249 0 R /XYZ 93.5434 317.7109 null] +>> endobj +248 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F35 189 0 R /F33 87 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +256 0 obj << +/Length 3719 +>> +stream +1 0 0 1 46.7715 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 46.7715 548.9335 Td[(The)-250(Full)-250(Project)-250(Gutenberg)-250(License)-10393(45)]TJ +ET +1 0 0 1 327.4012 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -327.4012 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 46.7715 518.1751 Td[(1.F.3.)]TJ 0 -23.9286 Td[(LIMITED)-421(RIGHT)-421(OF)-422(REPLACEMENT)-421(OR)-421(REFUND)]TJ/F33 10.9091 Tf 257.8587 0 Td[(\024)]TJ/F16 10.9091 Tf 15.5056 0 Td[(If)]TJ -273.3643 -13.5492 Td[(you)-434(discover)-434(a)-434(defect)-434(in)-434(this)-434(electronic)-434(work)-434(within)-433(90)-434(days)]TJ 0 -13.5492 Td[(of)-335(receiving)-334(it,)-356(you)-335(can)-335(receive)-334(a)-335(refund)-335(of)-334(the)-335(money)-335(\050if)-334(any\051)]TJ 0 -13.5492 Td[(you)-369(paid)-369(for)-369(it)-370(by)-369(sending)-369(a)-369(written)-369(explanation)-369(to)-369(the)-369(person)]TJ 0 -13.5492 Td[(you)-430(received)-430(the)-431(work)-430(from.)-790(If)-430(you)-431(received)-430(the)-430(work)-430(on)-430(a)]TJ 0 -13.5492 Td[(physical)-231(medium,)-236(you)-231(must)-231(return)-232(the)-231(medium)-232(with)-231(your)-231(written)]TJ 0 -13.5492 Td[(explanation.)-706(The)-402(person)-402(or)-402(entity)-402(that)-402(provided)-402(you)-401(with)-402(the)]TJ 0 -13.5492 Td[(defective)-301(work)-301(may)-301(elect)-300(to)-301(provide)-301(a)-301(replacement)-301(copy)-301(in)-300(lieu)]TJ 0 -13.5492 Td[(of)-305(a)-305(refund.)-416(If)-305(you)-306(received)-305(the)-305(work)-305(electronically,)-319(the)-305(person)]TJ 0 -13.5492 Td[(or)-348(entity)-347(providing)-348(it)-347(to)-348(you)-347(may)-348(choose)-347(to)-348(give)-347(you)-348(a)-347(second)]TJ 0 -13.5492 Td[(opportunity)-226(to)-225(receive)-226(the)-226(work)-226(electronically)-225(in)-226(lieu)-226(of)-226(a)-225(refund.)]TJ 0 -13.5492 Td[(If)-315(the)-315(second)-315(copy)-315(is)-315(also)-315(defective,)-331(you)-315(may)-315(demand)-315(a)-314(refund)]TJ 0 -13.5492 Td[(in)-250(writing)-250(without)-250(further)-250(opportunities)-250(to)-250(fix)-250(the)-250(problem.)]TJ 0 -34.3079 Td[(1.F.4.)]TJ 0 -23.9286 Td[(Except)-258(for)-258(the)-259(limited)-258(right)-258(of)-258(replacement)-259(or)-258(refund)-258(set)-258(forth)-258(in)]TJ 0 -13.5492 Td[(paragraph)-225(1.F.3,)-230(this)-225(work)-226(is)-225(provided)-225(to)-225(you)-225('AS-IS,')-225(WITH)-225(NO)]TJ 0 -13.5492 Td[(OTHER)-346(WARRANTIES)-346(OF)-345(ANY)-346(KIND,)-346(EXPRESS)-346(OR)-345(IM-)]TJ 0 -13.5492 Td[(PLIED,)-172(INCLUDING)-173(BUT)-172(NOT)-173(LIMITED)-172(TO)-172(WARRANTIES)]TJ 0 -13.5492 Td[(OF)-190(MERCHANTIBILITY)-190(OR)-190(FITNESS)-190(FOR)-190(ANY)-190(PURPOSE.)]TJ 0 -34.3079 Td[(1.F.5.)]TJ 0 -23.9286 Td[(Some)-272(states)-273(do)-272(not)-272(allow)-272(disclaimers)-273(of)-272(certain)-272(implied)-272(warran-)]TJ 0 -13.5492 Td[(ties)-255(or)-254(the)-255(exclusion)-255(or)-255(limitation)-254(of)-255(certain)-255(types)-255(of)-254(damages.)-264(If)]TJ 0 -13.5492 Td[(any)-315(disclaimer)-316(or)-315(limitation)-315(set)-315(forth)-316(in)-315(this)-315(agreement)-315(violates)]TJ 0 -13.5492 Td[(the)-302(law)-302(of)-303(the)-302(state)-302(applicable)-302(to)-303(this)-302(agreement,)-315(the)-302(agreement)]TJ 0 -13.5492 Td[(shall)-377(be)-377(interpreted)-377(to)-377(make)-377(the)-377(maximum)-377(disclaimer)-377(or)-377(limi-)]TJ 0 -13.5492 Td[(tation)-367(permitted)-366(by)-367(the)-366(applicable)-367(state)-366(law.)-600(The)-367(invalidity)-366(or)]TJ 0 -13.5492 Td[(unenforceability)-192(of)-192(any)-192(provision)-192(of)-192(this)-192(agreement)-192(shall)-191(not)-192(void)]TJ 0 -13.5492 Td[(the)-250(remaining)-250(provisions.)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +255 0 obj << +/Type /Page +/Contents 256 0 R +/Resources 254 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 260 0 R +/Annots [ 258 0 R ] +>> endobj +258 0 obj << +/Type /Annot +/BS << /Type /Border /S /U >> /H /I /C [0 1 1] +/Rect [46.7715 257.4923 115.2712 267.2123] +/Subtype /Link +/A << /S /GoTo /D (pglicense1F3) >> +>> endobj +246 0 obj << +/D [255 0 R /XYZ 46.7715 529.134 null] +>> endobj +257 0 obj << +/D [255 0 R /XYZ 46.7715 318.8986 null] +>> endobj +259 0 obj << +/D [255 0 R /XYZ 46.7715 208.7017 null] +>> endobj +254 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F33 87 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +263 0 obj << +/Length 3918 +>> +stream +1 0 0 1 93.5434 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 93.5434 548.9335 Td[(46)-8396(Ueber)-250(die)-250(Geometrie)-250(der)-250(alten)-250(Aegypter.)]TJ +ET +1 0 0 1 374.1731 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -374.1731 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 93.5434 518.1751 Td[(1.F.6.)]TJ 0 -27.8765 Td[(INDEMNITY)]TJ/F33 10.9091 Tf 65.981 0 Td[(\024)]TJ/F16 10.9091 Tf 15.0916 0 Td[(You)-383(agree)-384(to)-383(indemnify)-384(and)-383(hold)-383(the)-384(Foun-)]TJ -81.0726 -13.5492 Td[(dation,)-554(the)-494(trademark)-493(owner,)-555(any)-493(agent)-494(or)-493(employee)-494(of)-493(the)]TJ 0 -13.5492 Td[(Foundation,)-494(anyone)-445(providing)-445(copies)-445(of)-445(Project)-445(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 269.9388 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf -269.9388 -13.5492 Td[(electronic)-436(works)-436(in)-437(accordance)-436(with)-436(this)-436(agreement,)-483(and)-436(any)]TJ 0 -13.5492 Td[(volunteers)-266(associated)-266(with)-266(the)-266(production,)-270(promotion)-266(and)-265(distri-)]TJ 0 -13.5492 Td[(bution)-307(of)-308(Project)-307(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 123.9806 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 14.0432 0 Td[(electronic)-307(works,)-322(harmless)-307(from)]TJ -138.0238 -13.5492 Td[(all)-336(liability,)-357(costs)-336(and)-336(expenses,)-358(including)-336(legal)-336(fees,)-357(that)-336(arise)]TJ 0 -13.5492 Td[(directly)-263(or)-263(indirectly)-263(from)-264(any)-263(of)-263(the)-263(following)-263(which)-263(you)-263(do)-263(or)]TJ 0 -13.5492 Td[(cause)-188(to)-189(occur:)-219(\050a\051)-189(distribution)-188(of)-189(this)-188(or)-188(any)-189(Project)-188(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 269.9388 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf -269.9388 -13.5492 Td[(work,)-413(\050b\051)-381(alteration,)-413(modification,)-414(or)-380(additions)-381(or)-381(deletions)-380(to)]TJ 0 -13.5492 Td[(any)-250(Project)-250(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 98.1598 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 13.4182 0 Td[(work,)-250(and)-250(\050c\051)-250(any)-250(Defect)-250(you)-250(cause.)]TJ/F16 15.7808 Tf -111.578 -53.2861 Td[(Section)-250(2.)]TJ/F16 13.1507 Tf 32.4217 -52.0487 Td[(Information)-260(about)-259(the)-260(Mission)-260(of)-260(Project)]TJ 73.6949 -17.0958 Td[(Gutenberg)]TJ/F35 13.1507 Tf 55.5089 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf -161.6255 -30.0583 Td[(Project)-400(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 81.3185 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 15.0568 0 Td[(is)-400(synonymous)-400(with)-401(the)-400(free)-400(distribution)]TJ -96.3753 -13.5492 Td[(of)-284(electronic)-284(works)-284(in)-285(formats)-284(readable)-284(by)-284(the)-284(widest)-284(variety)-284(of)]TJ 0 -13.5492 Td[(computers)-351(including)-350(obsolete,)-376(old,)-376(middle-aged)-351(and)-351(new)-350(com-)]TJ 0 -13.5492 Td[(puters.)-328(It)-276(exists)-277(because)-276(of)-276(the)-276(efforts)-276(of)-276(hundreds)-276(of)-276(volunteers)]TJ 0 -13.5492 Td[(and)-250(donations)-250(from)-250(people)-250(in)-250(all)-250(walks)-250(of)-250(life.)]TJ 11.9552 -14.2329 Td[(Volunteers)-162(and)-163(financial)-162(support)-162(to)-163(provide)-162(volunteers)-162(with)-163(the)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(assistance)-198(they)-199(need,)-208(is)-199(critical)-198(to)-199(reaching)-198(Project)-198(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 263.7316 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 10.6909 0 Td[('s)]TJ -274.4225 -13.5492 Td[(goals)-309(and)-308(ensuring)-309(that)-309(the)-308(Project)-309(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 203.2042 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 14.0583 0 Td[(collection)-309(will)]TJ -217.2625 -13.5492 Td[(remain)-382(freely)-381(available)-382(for)-381(generations)-382(to)-382(come.)-644(In)-382(2001,)-414(the)]TJ 0 -13.5492 Td[(Project)-350(Gutenberg)-351(Literary)-350(Archive)-350(Foundation)-351(was)-350(created)-350(to)]TJ 0 -13.5492 Td[(provide)-302(a)-303(secure)-302(and)-302(permanent)-303(future)-302(for)-302(Project)-302(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 269.9389 0 Td[(")]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +262 0 obj << +/Type /Page +/Contents 263 0 R +/Resources 261 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 260 0 R +>> endobj +264 0 obj << +/D [262 0 R /XYZ 93.5434 529.134 null] +>> endobj +265 0 obj << +/D [262 0 R /XYZ 93.5434 338.7847 null] +>> endobj +261 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F33 87 0 R /F35 189 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +268 0 obj << +/Length 3191 +>> +stream +1 0 0 1 46.7715 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 46.7715 548.9335 Td[(The)-250(Full)-250(Project)-250(Gutenberg)-250(License)-10393(47)]TJ +ET +1 0 0 1 327.4012 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -327.4012 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 46.7715 518.1751 Td[(and)-412(future)-413(generations.)-737(To)-412(learn)-412(more)-412(about)-413(the)-412(Project)-412(Gu-)]TJ 0 -13.5492 Td[(tenberg)-334(Literary)-335(Archive)-334(Foundation)-334(and)-335(how)-334(your)-334(efforts)-334(and)]TJ 0 -13.5492 Td[(donations)-225(can)-225(help,)-229(see)-225(Sections)-225(3)-225(and)-224(4)-225(and)-225(the)-225(Foundation)-224(web)]TJ 0 -13.5492 Td[(page)-250(at)-250(http://www.pglaf.org.)]TJ/F16 15.7808 Tf 0 -46.0426 Td[(Section)-250(3.)]TJ/F16 13.1507 Tf 10.3759 -44.8051 Td[(Information)-253(about)-253(the)-253(Project)-253(Gutenberg)-254(Literary)]TJ 76.9859 -17.0959 Td[(Archive)-276(Foundation)]TJ/F16 10.9091 Tf -87.3618 -26.0947 Td[(The)-204(Project)-205(Gutenberg)-204(Literary)-205(Archive)-204(Foundation)-205(is)-204(a)-205(non)-204(pro-)]TJ 0 -13.5492 Td[(fit)-366(501\050c\051\0503\051)-367(educational)-366(corporation)-366(organized)-367(under)-366(the)-366(laws)]TJ 0 -13.5492 Td[(of)-456(the)-456(state)-456(of)-456(Mississippi)-456(and)-456(granted)-456(tax)-456(exempt)-455(status)-456(by)]TJ 0 -13.5492 Td[(the)-319(Internal)-319(Revenue)-319(Service.)-457(The)-319(Foundation's)-319(EIN)-318(or)-319(federal)]TJ 0 -13.5492 Td[(tax)-337(identification)-336(number)-337(is)-337(64-6221541.)-509(Its)-337(501\050c\051\0503\051)-337(letter)-336(is)]TJ 0 -13.5492 Td[(posted)-228(at)-228(http://www.gutenberg.org/fundraising/pglaf.)-242(Contribu-)]TJ 0 -13.5492 Td[(tions)-313(to)-314(the)-313(Project)-313(Gutenberg)-314(Literary)-313(Archive)-313(Foundation)-313(are)]TJ 0 -13.5492 Td[(tax)-328(deductible)-329(to)-328(the)-328(full)-329(extent)-328(permitted)-328(by)-329(U.S.)-328(federal)-328(laws)]TJ 0 -13.5492 Td[(and)-250(your)-250(state's)-250(laws.)]TJ 11.9552 -13.5492 Td[(The)-214(Foundation's)-214(principal)-214(office)-213(is)-214(located)-214(at)-214(4557)-214(Melan)-214(Dr.)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(S.)-297(Fairbanks,)-309(AK,)-298(99712.,)-309(but)-297(its)-297(volunteers)-298(and)-297(employees)-297(are)]TJ 0 -13.5492 Td[(scattered)-343(throughout)-343(numerous)-343(locations.)-530(Its)-343(business)-343(office)-343(is)]TJ 0 -13.5492 Td[(located)-197(at)-197(809)-197(North)-197(1500)-197(West,)-208(Salt)-197(Lake)-197(City,)-208(UT)-197(84116,)-207(\050801\051)]TJ 0 -13.5492 Td[(596-1887,)-225(email)-218(business@pglaf.org.)-239(Email)-219(contact)-218(links)-218(and)-218(up)]TJ 0 -13.5492 Td[(to)-227(date)-227(contact)-227(information)-227(can)-227(be)-227(found)-227(at)-227(the)-227(Foundation's)-227(web)]TJ 0 -13.5492 Td[(site)-250(and)-250(official)-250(page)-250(at)-250(http://www.pglaf.org)]TJ 11.9552 -13.5492 Td[(For)-250(additional)-250(contact)-250(information:)]TJ/F16 9.8629 Tf 7.6812 -22.0946 Td[(Dr.)-250(Gregory)-250(B.)-250(Newby)]TJ 0 -12.8218 Td[(Chief)-250(Executive)-250(and)-250(Director)]TJ 0 -12.8218 Td[(gbnewby@pglaf.org)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +267 0 obj << +/Type /Page +/Contents 268 0 R +/Resources 266 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 260 0 R +/Annots [ 269 0 R 270 0 R 271 0 R 272 0 R 273 0 R ] +>> endobj +269 0 obj << +/Type /Annot +/BS << /Type /Border /S /U >> /H /I /C [0 1 1] +/Rect [189.0679 488.7094 194.5224 498.4185] +/Subtype /Link +/A << /S /GoTo /D (pglicense3) >> +>> endobj +270 0 obj << +/Type /Annot +/BS << /Type /Border /S /U >> /H /I /C [0 1 1] +/Rect [215.179 488.7094 220.6336 498.4185] +/Subtype /Link +/A << /S /GoTo /D (pglicense4) >> +>> endobj +271 0 obj << +/Type /Annot + /BS << /Type /Border /S /U >> /H /I /C [1 0.5 0.5] +/Rect [80.6987 475.1493 172.8149 484.8693] + /Subtype /Link /A << /Type /Action /S /URI /URI (http://www.pglaf.org) >> +>> endobj +272 0 obj << +/Type /Annot + /BS << /Type /Border /S /U >> /H /I /C [1 0.5 0.5] +/Rect [88.1039 273.365 279.6017 283.085] + /Subtype /Link /A << /Type /Action /S /URI /URI (http://www.gutenberg.org/fundraising/pglaf) >> +>> endobj +273 0 obj << +/Type /Annot + /BS << /Type /Border /S /U >> /H /I /C [1 0.5 0.5] +/Rect [151.2913 137.8731 243.4074 147.5931] + /Subtype /Link /A << /Type /Action /S /URI /URI (http://www.pglaf.org) >> +>> endobj +247 0 obj << +/D [267 0 R /XYZ 46.7715 464.7856 null] +>> endobj +266 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +276 0 obj << +/Length 3865 +>> +stream +1 0 0 1 93.5434 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 93.5434 548.9335 Td[(48)-8396(Ueber)-250(die)-250(Geometrie)-250(der)-250(alten)-250(Aegypter.)]TJ +ET +1 0 0 1 374.1731 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -374.1731 -548.9335 cm +BT +/F16 15.7808 Tf 93.5434 518.1751 Td[(Section)-250(4.)]TJ/F16 13.1507 Tf 26.9981 -50.957 Td[(Information)-258(about)-258(Donations)-258(to)-258(the)-259(Project)]TJ 8.107 -17.0958 Td[(Gutenberg)-261(Literary)-260(Archive)-261(Foundation)]TJ/F16 10.9091 Tf -35.1051 -29.4518 Td[(Project)-329(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 80.5424 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 14.2806 0 Td[(depends)-329(upon)-329(and)-329(cannot)-329(survive)-329(without)]TJ -94.823 -13.5492 Td[(wide)-217(spread)-217(public)-217(support)-217(and)-217(donations)-217(to)-217(carry)-217(out)-217(its)-217(mission)]TJ 0 -13.5492 Td[(of)-334(increasing)-334(the)-334(number)-334(of)-334(public)-334(domain)-334(and)-334(licensed)-334(works)]TJ 0 -13.5492 Td[(that)-192(can)-193(be)-192(freely)-193(distributed)-192(in)-192(machine)-193(readable)-192(form)-192(accessible)]TJ 0 -13.5492 Td[(by)-261(the)-261(widest)-261(array)-261(of)-261(equipment)-261(including)-261(outdated)-261(equipment.)]TJ 0 -13.5492 Td[(Many)-303(small)-302(donations)-303(\050$1)-303(to)-302($5,000\051)-303(are)-303(particularly)-302(important)]TJ 0 -13.5492 Td[(to)-250(maintaining)-250(tax)-250(exempt)-250(status)-250(with)-250(the)-250(IRS.)]TJ 11.9552 -14.1115 Td[(The)-460(Foundation)-461(is)-460(committed)-461(to)-460(complying)-461(with)-460(the)-461(laws)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(regulating)-352(charities)-353(and)-352(charitable)-353(donations)-352(in)-353(all)-352(50)-353(states)-352(of)]TJ 0 -13.5492 Td[(the)-430(United)-429(States.)-789(Compliance)-430(requirements)-429(are)-430(not)-429(uniform)]TJ 0 -13.5492 Td[(and)-389(it)-389(takes)-389(a)-389(considerable)-389(effort,)-424(much)-389(paperwork)-389(and)-389(many)]TJ 0 -13.5492 Td[(fees)-353(to)-353(meet)-353(and)-353(keep)-354(up)-353(with)-353(these)-353(requirements.)-559(We)-353(do)-353(not)]TJ 0 -13.5492 Td[(solicit)-322(donations)-321(in)-322(locations)-322(where)-322(we)-321(have)-322(not)-322(received)-321(writ-)]TJ 0 -13.5492 Td[(ten)-417(confirmation)-418(of)-417(compliance.)-752(To)-418(SEND)-417(DONATIONS)-417(or)]TJ 0 -13.5492 Td[(determine)-309(the)-310(status)-309(of)-310(compliance)-309(for)-309(any)-310(particular)-309(state)-309(visit)]TJ 0 -13.5492 Td[(http://www.gutenberg.org/fundraising/donate)]TJ 11.9552 -14.1115 Td[(While)-305(we)-304(cannot)-305(and)-304(do)-305(not)-305(solicit)-304(contributions)-305(from)-305(states)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(where)-323(we)-323(have)-322(not)-323(met)-323(the)-323(solicitation)-323(requirements,)-341(we)-322(know)]TJ 0 -13.5492 Td[(of)-366(no)-365(prohibition)-366(against)-366(accepting)-365(unsolicited)-366(donations)-365(from)]TJ 0 -13.5492 Td[(donors)-250(in)-250(such)-250(states)-250(who)-250(approach)-250(us)-250(with)-250(offers)-250(to)-250(donate.)]TJ 11.9552 -14.1115 Td[(International)-237(donations)-237(are)-237(gratefully)-238(accepted,)-239(but)-237(we)-238(cannot)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(make)-327(any)-328(statements)-327(concerning)-327(tax)-328(treatment)-327(of)-327(donations)-327(re-)]TJ 0 -13.5492 Td[(ceived)-326(from)-326(outside)-327(the)-326(United)-326(States.)-479(U.S.)-326(laws)-326(alone)-326(swamp)]TJ 0 -13.5492 Td[(our)-250(small)-250(staff.)]TJ 11.9552 -14.1115 Td[(Please)-413(check)-413(the)-412(Project)-413(Gutenberg)-413(Web)-413(pages)-413(for)-413(current)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(donation)-376(methods)-375(and)-376(addresses.)-627(Donations)-376(are)-376(accepted)-376(in)-375(a)]TJ 0 -13.5492 Td[(number)-396(of)-395(other)-396(ways)-395(including)-396(checks,)-431(online)-396(payments)-395(and)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +275 0 obj << +/Type /Page +/Contents 276 0 R +/Resources 274 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 260 0 R +/Annots [ 277 0 R ] +>> endobj +277 0 obj << +/Type /Annot + /BS << /Type /Border /S /U >> /H /I /C [1 0.5 0.5] +/Rect [93.5434 214.492 291.7067 224.212] + /Subtype /Link /A << /Type /Action /S /URI /URI (http://www.gutenberg.org/fundraising/donate) >> +>> endobj +245 0 obj << +/D [275 0 R /XYZ 93.5434 529.134 null] +>> endobj +274 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F35 189 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +280 0 obj << +/Length 3347 +>> +stream +1 0 0 1 46.7715 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -46.7715 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 46.7715 548.9335 Td[(The)-250(Full)-250(Project)-250(Gutenberg)-250(License)-10393(49)]TJ +ET +1 0 0 1 327.4012 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -327.4012 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 46.7715 518.1751 Td[(credit)-241(card)-241(donations.)-247(To)-241(donate,)-243(please)-241(visit:)-245(http://www.guten-)]TJ 0 -13.5492 Td[(berg.org/fundraising/donate)]TJ/F16 15.7808 Tf 0 -57.0314 Td[(Section)-250(5.)]TJ/F16 13.1507 Tf 12.1577 -55.794 Td[(General)-254(Information)-253(About)-254(Project)-254(Gutenberg)]TJ/F35 13.1507 Tf 243.4267 0 Td[(")]TJ/F16 13.1507 Tf -160.7415 -17.0958 Td[(electronic)-279(works.)]TJ/F16 10.9091 Tf -94.8429 -32.1391 Td[(Professor)-381(Michael)-381(S.)-381(Hart)-382(is)-381(the)-381(originator)-381(of)-381(the)-381(Project)-381(Gu-)]TJ 0 -13.5492 Td[(tenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 32.7163 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 15.2369 0 Td[(concept)-417(of)-416(a)-417(library)-417(of)-417(electronic)-416(works)-417(that)-417(could)]TJ -47.9532 -13.5492 Td[(be)-436(freely)-436(shared)-436(with)-436(anyone.)-807(For)-436(thirty)-436(years,)-483(he)-435(produced)]TJ 0 -13.5492 Td[(and)-357(distributed)-357(Project)-358(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 151.0638 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 14.5874 0 Td[(eBooks)-357(with)-357(only)-358(a)-357(loose)]TJ -165.6512 -13.5492 Td[(network)-250(of)-250(volunteer)-250(support.)]TJ 11.9552 -14.649 Td[(Project)-379(Gutenberg)]TJ/F35 10.9091 Tf 81.0911 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 14.8294 0 Td[(eBooks)-379(are)-380(often)-379(created)-379(from)-380(several)]TJ -107.8757 -13.5492 Td[(printed)-248(editions,)-248(all)-248(of)-247(which)-248(are)-248(confirmed)-247(as)-248(Public)-248(Domain)-247(in)]TJ 0 -13.5492 Td[(the)-303(U.S.)-302(unless)-303(a)-303(copyright)-303(notice)-302(is)-303(included.)-408(Thus,)-316(we)-303(do)-302(not)]TJ 0 -13.5492 Td[(necessarily)-216(keep)-217(eBooks)-216(in)-216(compliance)-217(with)-216(any)-216(particular)-216(paper)]TJ 0 -13.5492 Td[(edition.)]TJ 11.9552 -14.649 Td[(Each)-356(eBook)-355(is)-356(in)-355(a)-356(subdirectory)-355(of)-356(the)-355(same)-356(number)-355(as)-356(the)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(eBook's)-266(eBook)-266(number,)-269(often)-266(in)-266(several)-266(formats)-266(including)-265(plain)]TJ 0 -13.5492 Td[(vanilla)-250(ASCII,)-250(compressed)-250(\050zipped\051,)-250(HTML)-250(and)-250(others.)]TJ 11.9552 -14.649 Td[(Corrected)]TJ/F34 10.9091 Tf 45.7052 0 Td[(editions)]TJ/F16 10.9091 Tf 37.8507 0 Td[(of)-247(our)-246(eBooks)-247(replace)-247(the)-246(old)-247(file)-247(and)-246(take)]TJ -95.5111 -13.5492 Td[(over)-285(the)-286(old)-285(filename)-286(and)-285(etext)-286(number.)-356(The)-286(replaced)-285(older)-285(file)]TJ 0 -13.5492 Td[(is)-357(renamed.)]TJ/F34 10.9091 Tf 57.681 0 Td[(Versions)]TJ/F16 10.9091 Tf 43.2965 0 Td[(based)-357(on)-357(separate)-357(sources)-356(are)-357(treated)-357(as)]TJ -100.9775 -13.5492 Td[(new)-250(eBooks)-250(receiving)-250(new)-250(filenames)-250(and)-250(etext)-250(numbers.)]TJ 11.9552 -14.6489 Td[(Most)-416(people)-416(start)-416(at)-416(our)-416(Web)-416(site)-416(which)-416(has)-416(the)-416(main)-416(PG)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(search)-250(facility:)]TJ/F16 9.8629 Tf 19.6364 -28.1389 Td[(http://www.gutenberg.org)]TJ +ET +1 0 0 1 46.7715 38.7817 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +279 0 obj << +/Type /Page +/Contents 280 0 R +/Resources 278 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 260 0 R +/Annots [ 281 0 R 282 0 R 284 0 R ] +>> endobj +281 0 obj << +/Type /Annot + /BS << /Type /Border /S /U >> /H /I /C [1 0.5 0.5] +/Rect [247.0996 515.7969 327.4012 525.5169] + /Subtype /Link /A << /Type /Action /S /URI /URI (http://www.gutenberg.org/fundraising/donate) >> +>> endobj +282 0 obj << +/Type /Annot + /BS << /Type /Border /S /U >> /H /I /C [1 0.5 0.5] +/Rect [46.7715 502.2477 168.2658 511.9677] + /Subtype /Link /A << /Type /Action /S /URI /URI (http://www.gutenberg.org/fundraising/donate) >> +>> endobj +284 0 obj << +/Type /Annot + /BS << /Type /Border /S /U >> /H /I /C [1 0.5 0.5] +/Rect [66.4079 63.9919 168.8641 72.7798] + /Subtype /Link /A << /Type /Action /S /URI /URI (http://www.gutenberg.org) >> +>> endobj +283 0 obj << +/D [279 0 R /XYZ 46.7715 486.9394 null] +>> endobj +278 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F35 189 0 R /F34 106 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +287 0 obj << +/Length 1017 +>> +stream +1 0 0 1 93.5434 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -93.5434 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 93.5434 548.9335 Td[(50)-8396(Ueber)-250(die)-250(Geometrie)-250(der)-250(alten)-250(Aegypter.)]TJ +ET +1 0 0 1 374.1731 548.9335 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 -374.1731 -548.9335 cm +BT +/F16 10.9091 Tf 105.4986 518.1751 Td[(This)-527(Web)-526(site)-527(includes)-527(information)-526(about)-527(Project)-527(Guten-)]TJ -11.9552 -13.5492 Td[(berg)]TJ/F35 10.9091 Tf 19.3854 0 Td[(")]TJ/F16 10.9091 Tf 10.6909 0 Td[(,)-321(including)-307(how)-306(to)-307(make)-307(donations)-306(to)-307(the)-307(Project)-306(Guten-)]TJ -30.0763 -13.5492 Td[(berg)-251(Literary)-251(Archive)-250(Foundation,)-251(how)-251(to)-251(help)-251(produce)-251(our)-250(new)]TJ 0 -13.5492 Td[(eBooks,)-410(and)-378(how)-378(to)-378(subscribe)-378(to)-378(our)-378(email)-378(newsletter)-377(to)-378(hear)]TJ 0 -13.5492 Td[(about)-250(new)-250(eBooks.)]TJ +ET +1 0 0 1 93.5434 436.5638 cm +0 g 0 G +0 g 0 G +0 g 0 G +1 0 0 1 0 -397.7821 cm +0 g 0 G +1 0 0 1 280.6297 0 cm +0 g 0 G +endstream +endobj +286 0 obj << +/Type /Page +/Contents 287 0 R +/Resources 285 0 R +/MediaBox [0 0 419.5276 595.2756] +/Parent 260 0 R +>> endobj +285 0 obj << +/Font << /F16 6 0 R /F35 189 0 R >> +/ProcSet [ /PDF /Text ] +>> endobj +288 0 obj << +/Type /Encoding +/Differences [ 0 /uni2100/uni2101/uni2102/centigrade/uni2104/careof/uni2106/uni2107/uni2108/fahrenheit/uni210a/uni210b/uni210c/uni210d/uni210e/uni210f/uni2110/Ifraktur/uni2112/lsquare/uni2114/uni2115/numero/uni2117/weierstrass/uni2119/uni211a/uni211b/Rfraktur/uni211d/prescription/uni211f/uni2120/telephone/trademark/uni2123/uni2124/uni2125/Omega/uni2127/uni2128/uni2129/uni212a/angstrom/uni212c/uni212d/estimated/uni212f/uni2130/uni2131/uni2132/uni2133/uni2134/aleph/uni2136/uni2137/uni2138/uni2139/uni213a/uni213b/uni213c/uni213d/uni213e/uni213f/uni2140/uni2141/uni2142/uni2143/uni2144/uni2145/uni2146/uni2147/uni2148/uni2149/uni214a/uni214b/uni214c/uni214d/uni214e/uni214f/uni2150/uni2151/uni2152/onethird/twothirds/uni2155/uni2156/uni2157/uni2158/uni2159/uni215a/oneeighth/threeeighths/fiveeighths/seveneighths/uni215f/Oneroman/Tworoman/Threeroman/Fourroman/Fiveroman/Sixroman/Sevenroman/Eightroman/Nineroman/Tenroman/Elevenroman/Twelveroman/uni216c/uni216d/uni216e/uni216f/oneroman/tworoman/threeroman/fourroman/fiveroman/sixroman/sevenroman/eightroman/nineroman/tenroman/elevenroman/twelveroman/uni217c/uni217d/uni217e/uni217f/uni2180/uni2181/uni2182/uni2183/uni2184/uni2185/uni2186/uni2187/uni2188/uni2189/uni218a/uni218b/uni218c/uni218d/uni218e/uni218f/arrowleft/arrowup/arrowright/arrowdown/arrowboth/arrowupdn/arrowupleft/arrowupright/arrowdownright/arrowdownleft/uni219a/uni219b/uni219c/uni219d/uni219e/uni219f/uni21a0/uni21a1/uni21a2/uni21a3/uni21a4/uni21a5/uni21a6/uni21a7/arrowupdownbase/uni21a9/uni21aa/uni21ab/uni21ac/uni21ad/uni21ae/uni21af/uni21b0/uni21b1/uni21b2/uni21b3/uni21b4/carriagereturn/uni21b6/uni21b7/uni21b8/uni21b9/uni21ba/uni21bb/harpoonleftbarbup/uni21bd/uni21be/uni21bf/harpoonrightbarbup/uni21c1/uni21c2/uni21c3/arrowrightoverleft/arrowupleftofdown/arrowleftoverright/uni21c7/uni21c8/uni21c9/uni21ca/uni21cb/uni21cc/arrowleftdblstroke/uni21ce/arrowrightdblstroke/arrowleftdbl/arrowdblup/dblarrowright/arrowdbldown/dblarrowleft/uni21d5/uni21d6/uni21d7/uni21d8/uni21d9/uni21da/uni21db/uni21dc/uni21dd/pageup/pagedown/arrowdashleft/arrowdashup/arrowdashright/arrowdashdown/arrowtableft/arrowtabright/arrowleftwhite/arrowupwhite/arrowrightwhite/arrowdownwhite/capslock/uni21eb/uni21ec/uni21ed/uni21ee/uni21ef/uni21f0/uni21f1/uni21f2/uni21f3/uni21f4/uni21f5/uni21f6/uni21f7/uni21f8/uni21f9/uni21fa/uni21fb/uni21fc/uni21fd/uni21fe/uni21ff] +>> endobj +189 0 obj << +/Type /Font +/Subtype /Type1 +/Encoding 288 0 R +/BaseFont /Times-Roman +>> endobj +289 0 obj << +/Type /Encoding +/Differences [ 0 /uni0000/controlSTX/controlSOT/controlETX/controlEOT/controlENQ/controlACK/controlBEL/controlBS/controlHT/controlLF/controlVT/controlFF/controlCR/controlSO/controlSI/controlDLE/controlDC1/controlDC2/controlDC3/controlDC4/controlNAK/controlSYN/controlETB/controlCAN/controlEM/controlSUB/controlESC/controlFS/controlGS/controlRS/controlUS/spacehackarabic/exclam/quotedbl/numbersign/dollar/percent/ampersand/quotesingle/parenleft/parenright/asterisk/plus/comma/hyphen/period/slash/zero/one/two/three/four/five/six/seven/eight/nine/colon/semicolon/less/equal/greater/question/at/A/B/C/D/E/F/G/H/I/J/K/L/M/N/O/P/Q/R/S/T/U/V/W/X/Y/Z/bracketleft/backslash/bracketright/asciicircum/underscore/grave/a/b/c/d/e/f/g/h/i/j/k/l/m/n/o/p/q/r/s/t/u/v/w/x/y/z/braceleft/verticalbar/braceright/asciitilde/controlDEL/uni0080/uni0081/uni0082/uni0083/uni0084/uni0085/uni0086/uni0087/uni0088/uni0089/uni008a/uni008b/uni008c/uni008d/uni008e/uni008f/uni0090/uni0091/uni0092/uni0093/uni0094/uni0095/uni0096/uni0097/uni0098/uni0099/uni009a/uni009b/uni009c/uni009d/uni009e/uni009f/nonbreakingspace/exclamdown/cent/sterling/currency/yen/brokenbar/section/dieresis/copyright/ordfeminine/guillemotleft/logicalnot/softhyphen/registered/overscore/degree/plusminus/twosuperior/threesuperior/acute/mu1/paragraph/periodcentered/cedilla/onesuperior/ordmasculine/guillemotright/onequarter/onehalf/threequarters/questiondown/Agrave/Aacute/Acircumflex/Atilde/Adieresis/Aring/AE/Ccedilla/Egrave/Eacute/Ecircumflex/Edieresis/Igrave/Iacute/Icircumflex/Idieresis/Eth/Ntilde/Ograve/Oacute/Ocircumflex/Otilde/Odieresis/multiply/Oslash/Ugrave/Uacute/Ucircumflex/Udieresis/Yacute/Thorn/germandbls/agrave/aacute/acircumflex/atilde/adieresis/aring/ae/ccedilla/egrave/eacute/ecircumflex/edieresis/igrave/iacute/icircumflex/idieresis/eth/ntilde/ograve/oacute/ocircumflex/otilde/odieresis/divide/oslash/ugrave/uacute/ucircumflex/udieresis/yacute/thorn/ydieresis] +>> endobj +106 0 obj << +/Type /Font +/Subtype /Type1 +/Encoding 289 0 R +/BaseFont /Times-BoldItalic +>> endobj +290 0 obj << +/Type /Encoding +/Differences [ 0 /uni2000/uni2001/enspace/uni2003/uni2004/uni2005/uni2006/uni2007/uni2008/uni2009/uni200a/zerowidthspace/zerowidthnonjoiner/afii301/afii299/afii300/hyphentwo/uni2011/figuredash/endash/emdash/horizontalbar/dblverticalbar/underscoredbl/quoteleft/quoteright/quotesinglbase/quotereversed/quotedblleft/quotedblright/quotedblbase/uni201f/dagger/daggerdbl/bullet/uni2023/onedotenleader/twodotleader/ellipsis/uni2027/uni2028/uni2029/uni202a/uni202b/afii61573/afii61574/afii61575/uni202f/perthousand/uni2031/minute/second/uni2034/primereversed/uni2036/uni2037/uni2038/guilsinglleft/guilsinglright/referencemark/exclamdbl/uni203d/overline/uni203f/uni2040/uni2041/asterism/uni2043/fraction/uni2045/uni2046/uni2047/uni2048/uni2049/uni204a/uni204b/uni204c/uni204d/uni204e/uni204f/uni2050/uni2051/uni2052/uni2053/uni2054/uni2055/uni2056/uni2057/uni2058/uni2059/uni205a/uni205b/uni205c/uni205d/uni205e/uni205f/uni2060/uni2061/uni2062/uni2063/uni2064/uni2065/uni2066/uni2067/uni2068/uni2069/uni206a/uni206b/uni206c/uni206d/uni206e/uni206f/zerosuperior/uni2071/uni2072/uni2073/foursuperior/fivesuperior/sixsuperior/sevensuperior/eightsuperior/ninesuperior/plussuperior/uni207b/equalsuperior/parenleftsuperior/parenrightsuperior/nsuperior/zeroinferior/oneinferior/twoinferior/threeinferior/fourinferior/fiveinferior/sixinferior/seveninferior/eightinferior/nineinferior/uni208a/uni208b/uni208c/parenleftinferior/parenrightinferior/uni208f/uni2090/uni2091/uni2092/uni2093/uni2094/uni2095/uni2096/uni2097/uni2098/uni2099/uni209a/uni209b/uni209c/uni209d/uni209e/uni209f/uni20a0/colonsign/cruzeiro/franc/lira/uni20a5/uni20a6/peseta/uni20a8/won/sheqelhebrew/dong/euro/uni20ad/uni20ae/uni20af/uni20b0/uni20b1/uni20b2/uni20b3/uni20b4/uni20b5/uni20b6/uni20b7/uni20b8/uni20b9/uni20ba/uni20bb/uni20bc/uni20bd/uni20be/uni20bf/uni20c0/uni20c1/uni20c2/uni20c3/uni20c4/uni20c5/uni20c6/uni20c7/uni20c8/uni20c9/uni20ca/uni20cb/uni20cc/uni20cd/uni20ce/uni20cf/uni20d0/uni20d1/uni20d2/uni20d3/uni20d4/uni20d5/uni20d6/uni20d7/uni20d8/uni20d9/uni20da/uni20db/uni20dc/uni20dd/uni20de/uni20df/uni20e0/uni20e1/uni20e2/uni20e3/uni20e4/uni20e5/uni20e6/uni20e7/uni20e8/uni20e9/uni20ea/uni20eb/uni20ec/uni20ed/uni20ee/uni20ef/uni20f0/uni20f1/uni20f2/uni20f3/uni20f4/uni20f5/uni20f6/uni20f7/uni20f8/uni20f9/uni20fa/uni20fb/uni20fc/uni20fd/uni20fe/uni20ff] +>> endobj +87 0 obj << +/Type /Font +/Subtype /Type1 +/Encoding 290 0 R +/BaseFont /Times-Roman +>> endobj +37 0 obj << +/Type /Font +/Subtype /Type1 +/Encoding 289 0 R +/BaseFont /Times-Italic +>> endobj +35 0 obj << +/Type /Font +/Subtype /Type1 +/Encoding 289 0 R +/BaseFont /Times-Bold +>> endobj +6 0 obj << +/Type /Font +/Subtype /Type1 +/Encoding 289 0 R +/BaseFont /Times-Roman +>> endobj +10 0 obj << +/Type /Pages +/Count 6 +/Parent 291 0 R +/Kids [2 0 R 13 0 R 16 0 R 19 0 R 22 0 R 27 0 R] +>> endobj +38 0 obj << +/Type /Pages +/Count 6 +/Parent 291 0 R +/Kids [31 0 R 40 0 R 44 0 R 48 0 R 53 0 R 57 0 R] +>> endobj +64 0 obj << +/Type /Pages +/Count 6 +/Parent 291 0 R +/Kids [61 0 R 66 0 R 70 0 R 74 0 R 78 0 R 83 0 R] +>> endobj +92 0 obj << +/Type /Pages +/Count 6 +/Parent 291 0 R +/Kids [89 0 R 94 0 R 98 0 R 102 0 R 108 0 R 112 0 R] +>> endobj +120 0 obj << +/Type /Pages +/Count 6 +/Parent 291 0 R +/Kids [117 0 R 122 0 R 126 0 R 130 0 R 134 0 R 138 0 R] +>> endobj +146 0 obj << +/Type /Pages +/Count 6 +/Parent 291 0 R +/Kids [143 0 R 148 0 R 151 0 R 154 0 R 157 0 R 160 0 R] +>> endobj +166 0 obj << +/Type /Pages +/Count 6 +/Parent 292 0 R +/Kids [163 0 R 168 0 R 175 0 R 178 0 R 185 0 R 195 0 R] +>> endobj +211 0 obj << +/Type /Pages +/Count 6 +/Parent 292 0 R +/Kids [204 0 R 214 0 R 220 0 R 230 0 R 237 0 R 249 0 R] +>> endobj +260 0 obj << +/Type /Pages +/Count 6 +/Parent 292 0 R +/Kids [255 0 R 262 0 R 267 0 R 275 0 R 279 0 R 286 0 R] +>> endobj +291 0 obj << +/Type /Pages +/Count 36 +/Parent 293 0 R +/Kids [10 0 R 38 0 R 64 0 R 92 0 R 120 0 R 146 0 R] +>> endobj +292 0 obj << +/Type /Pages +/Count 18 +/Parent 293 0 R +/Kids [166 0 R 211 0 R 260 0 R] +>> endobj +293 0 obj << +/Type /Pages +/Count 54 +/Kids [291 0 R 292 0 R] +>> endobj +294 0 obj << +/Type /Outlines +/First 172 0 R +/Last 192 0 R +/Count 3 +>> endobj +192 0 obj << +/Title 193 0 R +/A 190 0 R +/Parent 294 0 R +/Prev 182 0 R +>> endobj +182 0 obj << +/Title 183 0 R +/A 180 0 R +/Parent 294 0 R +/Prev 172 0 R +/Next 192 0 R +>> endobj +172 0 obj << +/Title 173 0 R +/A 170 0 R +/Parent 294 0 R +/Next 182 0 R +>> endobj +295 0 obj << +/Names [(Pg03) 24 0 R (Pg04) 25 0 R (Pg05) 29 0 R (Pg06) 33 0 R (Pg07) 42 0 R (Pg08) 46 0 R (Pg09) 50 0 R (Pg10) 51 0 R (Pg12) 59 0 R (Pg13) 63 0 R (Pg14) 68 0 R (Pg15) 72 0 R (Pg16) 76 0 R (Pg17) 80 0 R (Pg18) 81 0 R (Pg19) 85 0 R (Pg20) 91 0 R (Pg21) 96 0 R (Pg22) 100 0 R (Pg23) 104 0 R (Pg24) 110 0 R (Pg25) 114 0 R (Pg26) 115 0 R (Pg27) 119 0 R (Pg28) 124 0 R (Pg29) 128 0 R (Pg30) 132 0 R (Pg31) 136 0 R (Pg32) 140 0 R (Pg33) 141 0 R (Pg34) 145 0 R (V2Pg011) 55 0 R (index1) 171 0 R (index2) 181 0 R (index3) 191 0 R (pgfooter) 165 0 R (pgheader) 4 0 R (pglicense) 11 0 R (pglicense1) 199 0 R (pglicense1A) 200 0 R (pglicense1B) 206 0 R (pglicense1C) 209 0 R (pglicense1D) 210 0 R (pglicense1E) 212 0 R (pglicense1E1) 216 0 R (pglicense1E2) 218 0 R (pglicense1E3) 224 0 R (pglicense1E4) 226 0 R (pglicense1E5) 227 0 R (pglicense1E6) 232 0 R (pglicense1E7) 234 0 R (pglicense1E8) 202 0 R (pglicense1E9) 242 0 R (pglicense1F) 244 0 R (pglicense1F1) 251 0 R (pglicense1F2) 252 0 R (pglicense1F3) 246 0 R (pglicense1F4) 257 0 R (pglicense1F5) 259 0 R (pglicense1F6) 264 0 R (pglicense2) 265 0 R (pglicense3) 247 0 R (pglicense4) 245 0 R (pglicense5) 283 0 R] +/Limits [(Pg03) (pglicense5)] +>> endobj +296 0 obj << +/Kids [295 0 R] +>> endobj +297 0 obj << +/Dests 296 0 R +>> endobj +298 0 obj << +/Type /Catalog +/Pages 293 0 R +/Outlines 294 0 R +/Names 297 0 R +>> endobj +299 0 obj << +/Producer (pdfeTeX-1.21a) + /Author (Emil Weyr) /Title (Ueber die Geometrie der alten Aegypter.) +/Creator (TeX) +/CreationDate (D:20080313071640-07'00') +/PTEX.Fullbanner (This is pdfeTeX using libpoppler, Version 3.141592-1.21a-2.2 (Web2C 7.5.4) kpathsea version 3.5.4) +>> endobj +xref +0 300 +0000000005 65535 f +0000002293 00000 n +0000001481 00000 n +0000000009 00000 n +0000002235 00000 n +0000000034 00000 f +0000237976 00000 n +0000001626 00000 n +0000001798 00000 n +0000002017 00000 n +0000238066 00000 n +0000174600 00000 n +0000002672 00000 n +0000002554 00000 n +0000002361 00000 n +0000004550 00000 n +0000004432 00000 n +0000002712 00000 n +0000004930 00000 n +0000004812 00000 n +0000004619 00000 n +0000009163 00000 n +0000008923 00000 n +0000004970 00000 n +0000009041 00000 n +0000009102 00000 n +0000013894 00000 n +0000013715 00000 n +0000009232 00000 n +0000013833 00000 n +0000019265 00000 n +0000019086 00000 n +0000013963 00000 n +0000019204 00000 n +0000000036 00000 f +0000237886 00000 n +0000000086 00000 f +0000237794 00000 n +0000238175 00000 n +0000024428 00000 n +0000024249 00000 n +0000019358 00000 n +0000024367 00000 n +0000029414 00000 n +0000029235 00000 n +0000024509 00000 n +0000029353 00000 n +0000034381 00000 n +0000034141 00000 n +0000029495 00000 n +0000034259 00000 n +0000034321 00000 n +0000040573 00000 n +0000040393 00000 n +0000034462 00000 n +0000040511 00000 n +0000045773 00000 n +0000045594 00000 n +0000040654 00000 n +0000045712 00000 n +0000051157 00000 n +0000050979 00000 n +0000045854 00000 n +0000051097 00000 n +0000238285 00000 n +0000056369 00000 n +0000056190 00000 n +0000051238 00000 n +0000056308 00000 n +0000061147 00000 n +0000060967 00000 n +0000056450 00000 n +0000061085 00000 n +0000066174 00000 n +0000065994 00000 n +0000061216 00000 n +0000066112 00000 n +0000071711 00000 n +0000071469 00000 n +0000066255 00000 n +0000071587 00000 n +0000071649 00000 n +0000076907 00000 n +0000076727 00000 n +0000071792 00000 n +0000076845 00000 n +0000000105 00000 f +0000237703 00000 n +0000082384 00000 n +0000082204 00000 n +0000077000 00000 n +0000082322 00000 n +0000238395 00000 n +0000087251 00000 n +0000087072 00000 n +0000082477 00000 n +0000087190 00000 n +0000092370 00000 n +0000092190 00000 n +0000087332 00000 n +0000092308 00000 n +0000097427 00000 n +0000097242 00000 n +0000092451 00000 n +0000097363 00000 n +0000000188 00000 f +0000235242 00000 n +0000102343 00000 n +0000102158 00000 n +0000097510 00000 n +0000102279 00000 n +0000107462 00000 n +0000107214 00000 n +0000102425 00000 n +0000107335 00000 n +0000107399 00000 n +0000112271 00000 n +0000112085 00000 n +0000107544 00000 n +0000112207 00000 n +0000238508 00000 n +0000117930 00000 n +0000117744 00000 n +0000112353 00000 n +0000117866 00000 n +0000123341 00000 n +0000123155 00000 n +0000118024 00000 n +0000123277 00000 n +0000128414 00000 n +0000128228 00000 n +0000123423 00000 n +0000128350 00000 n +0000133794 00000 n +0000133608 00000 n +0000128496 00000 n +0000133730 00000 n +0000138763 00000 n +0000138516 00000 n +0000133889 00000 n +0000138638 00000 n +0000138701 00000 n +0000143330 00000 n +0000143144 00000 n +0000138858 00000 n +0000143266 00000 n +0000238625 00000 n +0000148875 00000 n +0000148753 00000 n +0000143400 00000 n +0000157112 00000 n +0000156990 00000 n +0000148970 00000 n +0000165388 00000 n +0000165266 00000 n +0000157219 00000 n +0000168131 00000 n +0000168009 00000 n +0000165495 00000 n +0000168542 00000 n +0000168420 00000 n +0000168226 00000 n +0000169221 00000 n +0000169037 00000 n +0000168583 00000 n +0000169159 00000 n +0000238742 00000 n +0000169607 00000 n +0000169485 00000 n +0000169291 00000 n +0000169648 00000 n +0000170304 00000 n +0000239620 00000 n +0000169692 00000 n +0000170366 00000 n +0000170182 00000 n +0000169719 00000 n +0000170764 00000 n +0000170642 00000 n +0000170448 00000 n +0000170805 00000 n +0000174538 00000 n +0000239527 00000 n +0000170849 00000 n +0000174662 00000 n +0000174164 00000 n +0000170898 00000 n +0000174306 00000 n +0000000000 00000 f +0000233183 00000 n +0000174770 00000 n +0000178938 00000 n +0000239448 00000 n +0000174814 00000 n +0000179126 00000 n +0000178208 00000 n +0000174868 00000 n +0000178366 00000 n +0000178541 00000 n +0000179000 00000 n +0000179063 00000 n +0000178762 00000 n +0000197641 00000 n +0000184283 00000 n +0000183597 00000 n +0000179222 00000 n +0000184098 00000 n +0000183747 00000 n +0000183924 00000 n +0000184160 00000 n +0000184222 00000 n +0000238859 00000 n +0000188060 00000 n +0000188248 00000 n +0000187706 00000 n +0000184366 00000 n +0000188123 00000 n +0000187848 00000 n +0000188186 00000 n +0000193188 00000 n +0000192123 00000 n +0000188331 00000 n +0000192289 00000 n +0000192467 00000 n +0000192999 00000 n +0000192645 00000 n +0000193062 00000 n +0000193125 00000 n +0000192823 00000 n +0000197704 00000 n +0000197010 00000 n +0000193271 00000 n +0000197515 00000 n +0000197160 00000 n +0000197578 00000 n +0000197338 00000 n +0000203138 00000 n +0000202145 00000 n +0000197799 00000 n +0000202311 00000 n +0000202487 00000 n +0000202662 00000 n +0000203014 00000 n +0000202840 00000 n +0000203077 00000 n +0000224954 00000 n +0000211517 00000 n +0000220526 00000 n +0000207325 00000 n +0000206881 00000 n +0000203221 00000 n +0000207199 00000 n +0000207262 00000 n +0000207023 00000 n +0000211705 00000 n +0000211198 00000 n +0000207420 00000 n +0000211579 00000 n +0000211340 00000 n +0000211642 00000 n +0000238976 00000 n +0000216011 00000 n +0000215764 00000 n +0000211787 00000 n +0000215886 00000 n +0000215948 00000 n +0000220589 00000 n +0000219356 00000 n +0000216106 00000 n +0000219530 00000 n +0000219706 00000 n +0000219881 00000 n +0000220089 00000 n +0000220317 00000 n +0000225016 00000 n +0000224583 00000 n +0000220659 00000 n +0000224725 00000 n +0000229399 00000 n +0000228505 00000 n +0000225099 00000 n +0000228663 00000 n +0000228895 00000 n +0000229336 00000 n +0000229126 00000 n +0000230693 00000 n +0000230571 00000 n +0000229495 00000 n +0000230776 00000 n +0000233275 00000 n +0000235339 00000 n +0000239093 00000 n +0000239207 00000 n +0000239301 00000 n +0000239371 00000 n +0000239699 00000 n +0000240913 00000 n +0000240952 00000 n +0000240990 00000 n +0000241076 00000 n +trailer +<< +/Size 300 +/Root 298 0 R +/Info 299 0 R +/ID [<C11C2340315264F042CB519304E1AB3C> <C11C2340315264F042CB519304E1AB3C>] +>> +startxref +241368 +%%EOF diff --git a/24817-pdf.zip b/24817-pdf.zip Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..0ab62ac --- /dev/null +++ b/24817-pdf.zip diff --git a/24817-tei.zip b/24817-tei.zip Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..61914b5 --- /dev/null +++ b/24817-tei.zip diff --git a/24817-tei/24817-tei.tei b/24817-tei/24817-tei.tei new file mode 100644 index 0000000..7a34a10 --- /dev/null +++ b/24817-tei/24817-tei.tei @@ -0,0 +1,1522 @@ +<?xml version="1.0" encoding="iso-8859-1" ?> + +<!DOCTYPE TEI.2 SYSTEM "http://www.gutenberg.org/tei/marcello/0.4/dtd/pgtei.dtd" [ +<!ENTITY amacron 'ā'> +<!ENTITY imacron 'ī'> +<!ENTITY alpha 'α'> +<!ENTITY beta 'β'> +<!ENTITY delta 'δ'> +<!ENTITY epsilon 'ε'> +<!ENTITY eta 'η'> +<!ENTITY lambda 'λ'> +<!ENTITY pi 'π'> +<!ENTITY iotaprime 'ί'> +<!ENTITY bdquo '„'> +<!ENTITY minus '−'> +]> + +<TEI.2 lang="de"> +<teiHeader> + <fileDesc> + <titleStmt> + <title>Ueber die Geometrie der alten Aegypter.</title> + <title type='sub'>Vortrag, gehalten in der feierlichen Sitzung der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften am 29. Mai 1884</title> + <author><name rend='gesperrt' type="person" reg="Weyr, Emil">Emil Weyr</name></author> + </titleStmt> + <editionStmt> + <edition n="01"> + Project Gutenberg TEI Edition 01 + </edition> + </editionStmt> + <publicationStmt> + <publisher>Project Gutenberg</publisher> + <date value="2008-03-13">March 13, 2008</date> + <idno type="etext-no">24817</idno> + <availability> + <p>This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and + with almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it + away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg + License online at www.gutenberg.org/license</p> + </availability> + </publicationStmt> + <sourceDesc> + <bibl> + <title>ber die Geometrie der alten gypter.</title> + <title type='alt'>Ueber die Geometrie der alten Aegypter.</title> + <title type='sub'>Vortrag, gehalten in der feierlichen Sitzung der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften am 29. Mai 1884</title> + <author><name rend='gesperrt' type="person" reg="Weyr, Emil">Emil Weyr</name></author> + <pubPlace>Wien</pubPlace> + <publisher>Karl Gerold's Sohn</publisher> + <date>1884</date> + </bibl> + </sourceDesc> +</fileDesc> +<encodingDesc> + <classDecl> + <taxonomy id="lc"> + <bibl> + <title>Library of Congress Classification</title> + </bibl> + </taxonomy> + </classDecl> +</encodingDesc> +<profileDesc> + <langUsage> + <language id="de"></language> + </langUsage> + <textClass> + <classCode scheme="lc">QA</classCode> + <keywords> + <list> + <item>Mathematics</item> + <item>Geometry</item> + <item>History</item> + <item>Egypt</item> + </list> + </keywords> + </textClass> +</profileDesc> +<revisionDesc> + <change> + <date value="2008-03-13">March 13, 2008</date> + <respStmt><name rend='gesperrt' type='person'>R. Stephan</name></respStmt> + <item>Project Gutenberg TEI edition 01</item> + </change> + </revisionDesc> +</teiHeader> +<pgExtensions> + <pgStyleSheet> + emph { font-weight: bold } + table { rules: all } + .indent { margin-left: 2 } + .smallcaps { font-variant: small-caps } + .gesperrt { font-weight: bold } + .antiqua { font-style: italic } + .sperrantiqua { font-weight: bold; font-style: italic } + argument { font-size: small } + q { pre: none; post: none } + soCalled { font-style: italic; pre: none; post: none } + author { font-variant: small-caps } + title { font-style: italic } + biblStruct { display: block; margin: 0.5em } + </pgStyleSheet> + <pgCharMap formats="pdf txt"> + <char id="U0x2032"> + <charName>prime</charName> + <desc>PRIME</desc> + <mapping>'</mapping> + </char> + <char id="U0x0101"> + <charName>amacron</charName> + <desc>SMALL A MACRON</desc> + <mapping>a</mapping> + </char> + <char id="U0x012B"> + <charName>imacron</charName> + <desc>SMALL I MACRON</desc> + <mapping>i</mapping> + </char> + <char id="U0x2033"> + <charName>Prime</charName> + <desc>DOUBLE PRIME</desc> + <mapping>''</mapping> + </char> + <char id="U0x03B1"> + <charName>alpha</charName> + <desc>SMALL ALPHA</desc> + <mapping>a</mapping> + </char> + <char id="U0x03B2"> + <charName>beta</charName> + <desc>SMALL BETA</desc> + <mapping></mapping> + </char> + <char id="U0x03B4"> + <charName>delta</charName> + <desc>SMALL DELTA</desc> + <mapping>d</mapping> + </char> + <char id="U0x03B5"> + <charName>epsilon</charName> + <desc>SMALL EPSILON</desc> + <mapping>e</mapping> + </char> + <char id="U0x03B7"> + <charName>epsilon</charName> + <desc>SMALL ETA</desc> + <mapping>e</mapping> + </char> + <char id="U0x03BB"> + <charName>lambda</charName> + <desc>SMALL LAMBDA</desc> + <mapping>l</mapping> + </char> + <char id="U0x03C0"> + <charName>pi</charName> + <desc>SMALL PI</desc> + <mapping>pi</mapping> + </char> + <char id="U0x03AF"> + <charName>iotaprime</charName> + <desc>SMALL IOTA PRIMED</desc> + <mapping></mapping> + </char> + </pgCharMap> + <pgCharMap formats="txt"> + <char id="U0x2014"> + <charName>mdash</charName> + <desc>EM DASH</desc> + <mapping>--</mapping> + </char> + <char id="U0x2013"> + <charName>ndash</charName> + <desc>EN DASH</desc> + <mapping>--</mapping> + </char> + <char id="U0x2003"> + <charName>emsp</charName> + <desc>EM SPACE</desc> + <mapping> </mapping> + </char> + <char id="U0x2026"> + <charName>hellip</charName> + <desc>HORIZONTAL ELLIPSIS</desc> + <mapping>...</mapping> + </char> + <char id="U0x2212"> + <charName>minus</charName> + <desc>MINUS</desc> + <mapping>-</mapping> + </char> + <char id="U0x201E"> + <charName>bdquo</charName> + <desc>DOUBLE LOQW QUOTE MARK</desc> + <mapping>"</mapping> + </char> + </pgCharMap> +</pgExtensions> +<text lang="de"> + <front> + <div> + <divGen type="pgheader" /> + </div> + + <div> + <divGen type="encodingDesc" /> + </div> + + <div rend="page-break-before: right"> + <p rend="font-size: large; text-align: center">BER DIE</p> + <p rend="font-size: xx-large; text-align: center">GEOMETRIE DER ALTEN GYPTER</p> + <milestone unit="tb" rend="rule: 25%" /> + <p rend="font-size: x-large; text-align: center">VORTRAG</p> + <p rend="font-size: small; text-align: center">GEHALTEN IN DER</p> + <p rend="font-size: large; text-align: center">FEIERLICHEN SITZUNG DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN</p> + <p rend="font-size: small; text-align: center">AM</p> + <p rend="font-size: large; text-align: center">XXIX. MAI MDCCCLXXXIV</p> + <p rend="font-size: small; text-align: center">VON</p> + <p rend="font-size: x-large; text-align: center">DR. EMIL WEYR</p> + <p rend="font-size: small; text-align: center">WIRKLICHEM MITGLIEDE DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN.</p> + <milestone unit="tb" rend="rule: 25%" /> + <p rend="font-size: x-large; text-align: center">WIEN</p> + <p rend="font-size: medium; text-align: center">AUS DER K. K. HOF- UND STAATSDRUCKEREI.</p> + <p rend="font-size: medium; text-align: center">IN COMMISSION BEI KARL GEROLD'S SOHN,</p> + <p rend="font-size: medium; text-align: center">BUCHHNDLER DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN.</p> + <p rend="font-size: large; text-align: center">1884</p> + </div> + + </front> + + <body rend="page-break-before: right"> +<pb n='03'/><anchor id='Pg03'/> +<div> + <head /> + <p> +Mge mir gestattet sein, bei dem heutigen feierlichen Anlasse +ein Bild zu entrollen, welches in grossen Strichen die +allgemeinen Umrisse des Zustandes der geometrischen +Wissenschaften bei den alten Aegyptern zur Darstellung +bringen soll; und mge dasselbe Wohlwollen, das, gepaart +mit einer althergebrachten Sitte, mich heute auf diesen eben so +ehrenvollen als schwierigen Platz gestellt, auch bei der +Beurtheilung der folgenden bescheidenen, weil schwachen +Krften entspringenden Leistung obwalten! +</p><p> +So wie der Anfang aller menschlichen Kenntnisse, so ist +auch der Ursprung der Geometrie in grauestes Alterthum zu +versetzen, er ist zu suchen in jenen der Zeit nach unangebbaren +Perioden der menschlichen Entwicklung, in welchen +das erste Erwachen des Selbstbewusstseins zu finden wre. +Sind doch manche geometrische Anschauungen auch dem +Thiere eigen; so jene der geraden Verbindungslinie zweier +Punkte als der krzesten Entfernung; jene des Mehr und +Weniger bei Quantitten der Entfernungen, Hhen, Neigungen, +und so werden auch manche abstractere Raumanschauungen +dem Menschen in seinen ersten Entwicklungsperioden eigen +geworden sein, Anschauungen, welche durch die Mglichkeit +und auf Grund der sprachlichen Bezeichnung jene Stabilitt +erhielten, die sie befhigte, als erste Fundamente der geometrischen +Kenntnisse zunchst, und der Geometrie als Wissenschaft +spter aufzutreten. +</p> +<pb n='04'/><anchor id='Pg04'/> +<p> +Geometrisches Denken entstand zu den verschiedensten +Zeiten, an den verschiedensten Orten. Denn berall, wo +der menschliche Geist sich zu entwickeln begann, und +das menschliche Denken jene Hhe erreichte, auf welcher +Abstractionen entstehen, bildeten sich die grundlegenden +Raumbegriffe; der des Punktes, der geraden und krummen +Linien, der ebenen und krummen Flchen. Denn berall +in der Natur boten sich dem erwachenden Menschen +Reprsentanten dieser Begriffe in grsserer oder geringerer +Genauigkeit dar. Whrend der Anblick der auf- und untergehenden +Sonne, sowie des vollen Mondes in sdlichen +Gegenden fast tglich das Bild der vollkommensten, +der schnsten Linie, der Kreislinie vorfhrte, stellten sich +die zahllosen Sterne des Abends dem Auge als glnzende +Punkte dar, welche in ihren mannigfaltigen gegenseitigen +Lagenverhltnissen die Phantasie des Menschen bei der, von +ihm beliebten Eintheilung des Himmels in Sternbilder zur +Herstellung so mancher geraden und krummen Linien verleiten +mochten. Und selbst in seiner nchsten Umgebung +fand der beobachtende Mensch geometrische Anklnge; das +Gewebe der Spinne mit seinen kreisrunden und radialen +Fden, die sechseckige Bienenzelle, die beim Fallen eines +Krpers in ruhendes Wasser entstehenden concentrischen +Wellenringe, und wie vieles Andere musste, wenn auch +nach und nach, so doch mit zwingender Nothwendigkeit +den Menschen zur Beobachtung gesetzmssiger geometrischer +Formen fhren. +</p><p> +Als Mutterland der Mathematik im Allgemeinen, und +der Geometrie im Besonderen wird Aegypten angefhrt; doch +ist die Zeit lngst vorbei, wo man sich Aegypten als einzigen +Ursprungsort dieser Wissenschaften dachte, vielmehr muss +als feststehend angenommen werden, dass jedes Volk in +<pb n='05'/><anchor id='Pg05'/> +seinem Entwicklungsgange geometrische Anschauungen sich +anzueignen schon durch praktische Bedrfnisse gezwungen +war. Die Hhe, zu welcher sich die einzelnen Vlker in ihren +mathematischen Speculationen emporzuschwingen vermochten, +hing von der Richtung des Bildungsganges, von +dem Maasse des Bedrfnisses und nicht in letzter Reihe von +dem Einflsse religiser Verhltnisse ab. +</p><p> +Und so mag sich zunchst jene Naturgeometrie entwickelt +haben, welche allen Vlkern zugesprochen werden +muss, und auf deren Vorhandensein, weil auf die Anwendungen +ihrer freilich einfachsten Principien, Ueberreste von +Bauten berall dort hinweisen, wo wir in der Lage sind, +solche beobachten zu knnen. Die Pellasger, die vorhellenischen +Ureinwohner Griechenlands, mussten lange vor Entstehung +der Philosophie geometrische Kenntnisse in dem +Maasse besessen haben, wie sie zur Auffhrung von Wasserbauten, +Dmmen, Canlen und Burgen, von denen man jetzt +noch Spuren findet, nothwendig waren. +</p><p> +Verfolgt man die Entwicklung der Geometrie zu ihren +Quellen aufwrts, so drfen wir nicht berrascht sein, dass +man bei dem uns bekannten ltesten Culturvolke, bei den +Aegyptern, am weitesten vorzudringen vermag, und zwar an +der Hand der indirecten wie der directen Nachrichten, welche +uns ber diesen Gegenstand zugekommen sind. Leider jedoch +sind die Ersteren ihrem Inhalte und die Letzteren ihrer Zahl +nach nur sprliche zu nennen. +</p><p> +Zahlreich sind wohl die Stellen in griechischen Philosophen +und Geschichtschreibern, welche Bezug haben auf +aegyptische Geometrie, es lsst sich jedoch nicht verkennen, +dass oft die Spteren auf Frhere sich sttzen, und wir es +mglicherweise mit einer einzigen, durch Jahrhunderte fortgefhrten +Nachricht zu thun haben. +</p> +<pb n='06'/><anchor id='Pg06'/> +<p> + Durch <name rend='gesperrt'>Herodot</name>, welcher <date>um die Mitte des fnften + vorchristlichen Jahrhunderts (460)</date> Aegypten bereiste, erfahren +wir<note place='end'><bibl><author>Herodot</author>, <title>Reisebericht</title>, + <biblScope>II, 109</biblScope></bibl>.</note>, +dass die Geometrie von Aegypten nach Griechenland +verpflanzt worden sei. Etwas spter (<date>393 v. Chr.</date>) +berichtet <name rend='gesperrt'>Isokrates</name> die Thatsache<note place='end'> + <bibl><author>Isokrates</author>, <title>Busiris</title>, + <biblScope>c. 9.</biblScope></bibl></note>, dass die Aegypter <q>die +Aelteren (unter ihren Priestern) ber die wichtigsten Angelegenheiten +setzten, dagegen die Jngeren beredeten, mit +Hintansetzung des Vergngens, sich mit Astronomie, Rechenkunst +und Geometrie zu beschftigen</q>. +</p><p> +In <name rend='gesperrt'>Platon</name>'s <title>Phdrus</title> sagt +<name rend='gesperrt' id='a:sok'>Sokrates</name>: <q>Ich habe +vernommen, zu Naukratis in Aegypten sei einer der dortigen +alten Gtter gewesen, dem auch der Vogel geheiligt ist, +den sie Isis nennen, whrend der Gott selbst den Namen +Teuth fhrt; dieser habe zuerst Zahlenlehre und Rechenkunst +erfunden und Geometrie und Astronomie</q><note place='end'> +<bibl><title><emph>Platonis</emph> Phaedrus</title>, + ed. <editor>Ast.</editor> + <biblScope>I. p. 246.</biblScope></bibl></note>, +und einen +directen Hinweis finden wir bei <name rend='gesperrt'>Aristoteles</name>, welcher in +seiner <title>Metaphysik</title> sagt:<note place='end'> + <bibl><author>Aristoteles</author>, <title>Metaph. I</title>, + <biblScope>1.</biblScope></bibl></note> +<q>Daher entstanden auch in Aegypten +die mathematischen Wissenschaften, denn hier war den +Priestern die dazu nthige Msse vergnnt.</q> +</p><p> +Uebrigens schrieben sich die Aegypter neben der Erfindung +der Buchstabenschrift auch jene der meisten Wissenschaften +und Knste zu, worber <name rend='gesperrt'>Diodor</name><note place='end'> + <bibl><author>Diodor</author>, <biblScope>I, 69</biblScope></bibl>.</note>, +welcher etwa +<date>70 Jahre v. Chr. G.</date> Aegypten bereiste, bemerkt: <q>Die +Aegypter behaupten, von ihnen sei die Erfindung der Buchstabenschrift +und die Beobachtung der Gestirne ausgegangen, +ebenso seien von ihnen die Theoreme der Geometrie und +die meisten Wissenschaften und Knste erfunden worden.</q> +</p><p> +Neben diesen ganz allgemein gehaltenen Angaben sind +hauptschlich diejenigen Berichte zu erwhnen, welche sich +auf die Art der wissenschaftlichen Leistungen der Aegypter +beziehen. +</p> +<pb n='07'/><anchor id='Pg07'/> +<p> + Da sagt zunchst <name rend='gesperrt'>Herodot</name><note place='end'> + Herodot l. c.</note> +in Hinsicht auf die unter +dem Knige <name rend='gesperrt'>Sesostris</name> durchgefhrte Lndereintheilung: +<q>Auch sagten sie, dass dieser Knig das Land unter alle +Aegypter so vertheilt habe, dass er jedem ein gleich grosses +Viereck gegeben, und von diesem seine Einknfte bezogen habe, +indem er eine jhrlich zu entrichtende Steuer auflegte. +Wem aber der Fluss (Nil) von seinem Theile etwas +wegriss, der musste zu ihm kommen und das Geschehene +anzeigen; er schickte dann die Aufseher, die auszumessen +hatten, um wie viel das Landstck kleiner geworden war, +damit der Inhaber von dem brigen nach Verhltniss der +aufgelegten Abgaben steure. Hieraus erscheint mir die Geometrie +entstanden zu sein, die von da nach Hellas kam.</q> +</p><p> +Die, <name rend='gesperrt'>Herodot</name>, dem Vater der Geschichtsschreibung +folgenden Berichterstatter hielten sich nun, vielleicht erklrlicherweise, +vorzglich an den einen, die Nilberschwemmungen +betreffenden Theil obiger Nachricht, und wurde, +gewiss Unberechtigtermassen der Nil als der unmittelbare +Anstoss fr alle geometrischen Arbeiten der Aegypter hingestellt. +Und doch scheint es uns viel nherliegend, die einerseits +behufs der Steuerbemessung und Controle, anderseits +wegen der aus den Vernderungen im Besitzstande sich +nothwendig ergebenden Flchenfestsetzungen als den Hauptbeweggrund +jener Vermessungen zu erkennen, wobei die +gesammelten Erfahrungen gewiss auch bei der Beurtheilung +der unzweifelhaft nach den periodisch eintretenden Nilberschwemmungen +vorgekommenen Terrainvernderungen mit +Vortheil benutzt worden sein mgen. +</p><p> +Unverkennbar ist der Zug nach Aufbauschung und Ausschmckung +des, jene Nilberschwemmungen betreffenden +Theiles des <name rend='gesperrt'>Herodot</name>'schen Berichtes, wenn man die Aufzeichnungen +spterer Gewhrsmnner nher betrachtet. +</p> +<pb n='08'/><anchor id='Pg08'/> +<p> + Zunchst finden wir bei <name rend='gesperrt'>Heron</name> dem Aelteren die folgende + diesbezgliche Stelle<note place='end'> + <bibl><title><emph>Heronis Alexandr.</emph> geom. et stereom. reliquiae</title>, + ed. <editor>Hultsch.</editor> + <biblScope>p. 138.</biblScope></bibl></note>: + <q>Die frheste Geometrie beschftigte +sich, wie uns die alte Ueberlieferung lehrt, mit der Messung und +Vertheilung der Lndereien, woher sie Feldmessung genannt +wurde. Der Gedanke einer Messung nmlich ward den Aegyptern +an die Hand gegeben durch die Ueberschwemmungen des +Nil. Denn viele Grundstcke, die vor der Flussschwelle offen +dalagen, verschwanden beim Steigen des Flusses und kamen +erst nach dem Sinken desselben zum Vorschein, und es war +nicht immer mglich, ber die Identitt derselben zu entscheiden. +Dadurch kamen die Aegypter auf den Gedanken +einer solchen Messung des vom Nil blossgelegten Landes.</q> +</p><p> +Weiter finden wir bei <name rend='gesperrt'>Diodor</name><note place='end'> + <bibl><author>Diodor</author>, <biblScope> I, 81.</biblScope></bibl></note> +einen Ausspruch, +durch welchen wir brigens auch ber andere wissenschaftliche +Leistungen der Aegypter belehrt werden; <name rend='gesperrt'>Diodor</name> +sagt: <q>Die Priester lehren ihre Shne zweierlei Schrift, die +sogenannte heilige, und die, welche man gewhnlich lernt. +Mit Geometrie und Arithmetik beschftigen sie sich eifrig. +Denn indem der Fluss jhrlich das Land vielfach verndert, +veranlasst er viele und mannigfache Streitigkeiten ber die +Grenzen zwischen den Nachbarn; diese knnen nun nicht +leicht ausgeglichen werden, wenn nicht ein Geometer den +wahren Sachverhalt durch directe Messung ermittelt. Die +Arithmetik dient ihnen in Haushaltungsangelegenheiten und +bei den Lehrstzen der Geometrie; auch ist sie denen von +nicht geringem Vortheile, die sich mit Sternkunde beschftigen. +Denn wenn bei irgend einem Volke die Stellungen und Bewegungen +der Gestirne sorgfltig beobachtet worden sind, +so ist es bei den Aegyptern geschehen; sie verwahren Aufzeichnungen +der einzelnen Beobachtungen seit einer unglaublich +langen Beihe von Jahren, da bei ihnen seit alten +Zeiten her die grsste Sorgfalt hierauf verwendet worden +<pb n='09'/><anchor id='Pg09'/> +ist. Die Bewegungen und Umlaufszeiten sowie die Stillstnde +der Planeten, auch den Einfluss eines jeden auf die Entstehung +lebender Wesen und alle ihre guten und schdlichen +Einwirkungen haben sie sehr sorgfltig beobachtet.</q> +</p><p> +Am innigsten verknpft erscheint die Geometrie der +Aegypter mit den Ueberschwemmungen des Nil bei <name rend='gesperrt'>Strabon</name><note place='end'> + <bibl><author>Strabon</author>, ed. <editor>Meinike</editor>, + <biblScope>lib. XVII, C. 787, p. 1098.</biblScope></bibl></note>; +welcher bemerkt, <q>dass es einer sorgfltigen und bis auf das +Genaueste gehenden Eintheilung bedurfte, wegen der bestndigen +Verwstung der Grenzen, die der Nil bei seinen +Ueberschwemmungen veranlasst, indem er Land wegnimmt +und zusetzt, und die Gestalt verndert, und die anderen Zeichen +unkenntlich macht, wodurch das fremde und eigene Besitzthum +unterschieden wird. Man msse daher immer und +immer wieder messen. Hieraus soll die Geometrie entstanden +sein.</q> +</p><p> +Den gesellschaftlichen Einrichtungen der Aegypter +entsprechend, muss als feststehend angenommen werden, +dass sich eine Kaste, nach eben Gehrtem die der Priester, +mit dem wissenschaftlichen Theile der Geometrie beschftigte, +whrend eine andere, die der Feldmesser, die von den +Ersteren aufgestellten und sorgsam gehteten geometrischen +Principien praktisch zur Anwendung brachte. Dabei wurden, +wie wir spter sehen werden, die Geheimnisse der Priester, +insoweit sie geometrische Wahrheiten und Berechnungsregeln +betrafen, mglicherweise nur insoweit enthllt, dass +bei deren Verwendung nur annherungsweise richtige Resultate +zum Vorschein kamen. +</p><p> +Wohl sind einige Schriftsteller so weit gegangen, dass +sie, die unlugbaren Uebertreibungen des Zusammenhanges +zwischen den Nilberschwemmungen und der gyptischen +Geometrie im Auge behaltend, die Existenz der letzteren +<pb n='10'/><anchor id='Pg10'/> +einfach negirten, und alle die citirten Aussprche in das +Gebiet der Fabel verwiesen. +</p><p> +Was macht man jedoch dann mit den wohlbeglaubigten +Nachrichten ber die Reisen, welche hervorragende griechische +Philosophen nach Aegypten unternahmen, oft jahrelang +dort verweilend, um sich in die Geheimnisse aegyptischer +Priester einweihen und mit deren geometrischem Wissen +vertraut machen zu lassen? +</p><p> +<name rend='gesperrt'>Eudemus von Rhodos</name><note place='end'> + <bibl><title><emph>Eudemi Rhodii</emph> Peripatetici fragmenta quae + supersunt</title>. + ed. <editor>L. Spengel.</editor> + <biblScope>Berlin 1870.</biblScope></bibl></note>, + einer der ltesten Peripatetiker, +schrieb eine Geschichte der Mathematik, aus +welcher uns durch <name id='a:pro' rend='gesperrt'>Proklos Diadochus</name><note place='end'> + <bibl><author corresp='a:pro' /><title><emph>Procl.</emph> comment.</title> + ed. <editor>Rasil.</editor> + <biblScope>p. 19;</biblScope></bibl> + <bibl><author corresp='a:pro' /><title>Barocius</title> + <biblScope>p. 37.</biblScope></bibl></note>, einen Philosophen +des fnften nachchristlichen Jahrhunderts, ein +Bruchstck erhalten ist, welches sozusagen das einzige +Mittel bildet, das uns einen Einblick in die geometrischen +Errungenschaften der Griechen in den ersten dritthalb +Jahrhunderten nach <name rend='gesperrt'>Thales</name> gewhrt. Hierin heisst es unter +Anderem: <q><name rend='gesperrt'>Thales</name>, der nach Aegypten ging, brachte zuerst +die Geometrie nach Hellas hinber und Vieles entdeckte er +selbst, von Vielem aber berlieferte er die Anfnge seinen +Nachfolgern; das Eine machte er allgemeiner, das Andere +mehr sinnlich fassbar.</q> Hundert Jahre nach dem Tode des +<name rend='gesperrt'>Pythagoras</name> berichtet der Redner <name rend='gesperrt'>Isokrates</name><note place='end'> + <bibl><author>Isokrates</author>, <title>Busiris</title>, + <biblScope>cap. 11.</biblScope></bibl></note>: <q>Man +knnte, wenn man nicht eilen wollte, viel Bewunderungswrdiges +von der Heiligkeit aegyptischer Priester anfhren, +welche ich weder allein noch zuerst erkannt habe, sondern +viele der jetzt Lebenden und der Frheren, unter denen +auch <name rend='gesperrt'>Pythagoras</name> der Samier ist, der nach Aegypten +kam und ihr Schler wurde und die fremde Philosophie +zuerst zu den Griechen verpflanzte.</q> +</p><p> +Whrend der Aufenthalt des <name rend='gesperrt'>Pythagoras</name> in Aegypten +unter Anderen auch noch von <name rend='gesperrt'>Strabon</name><note place='end'> + <bibl><author>Strabon</author>, + <biblScope>XIV, 1. 16.</biblScope></bibl></note> +und <name rend='gesperrt'>Antiphon</name><note place='end'> + <bibl><author>Porphyrius</author>, <title>De vita Pythagorae</title> + <biblScope>cap. 7;</biblScope></bibl> + <bibl><author>Diogenes Laertius</author>, + <biblScope>VIII, 3.</biblScope></bibl></note> +besttiget wird, nennt uns <name rend='gesperrt'>Diodor</name><note place='end'> + <bibl><author>Diodor</author>, <biblScope>I, c. 96.</biblScope></bibl></note> +eine ganze Reihe von +<pb n='011'/><anchor id='V2Pg011'/> +Namen, indem er sagt; <q>Die aegyptischen Priester nennen +unter den Fremden, welche nach den Verzeichnissen in den +heiligen Bchern vormals zu ihnen gekommen seien, den +<name rend='gesperrt'>Orpheus</name>, <name rend='gesperrt'>Musaios</name>, +<name rend='gesperrt'>Melampus</name> und <name rend='gesperrt'>Daidalos</name>, nach +diesen den Dichter <name rend='gesperrt'>Homer</name>, den Spartaner <name rend='gesperrt'>Lykurgos</name>, ingleichen +den Athener <name rend='gesperrt'>Solon</name> und den Philosophen <name rend='gesperrt'>Platon</name>. +Gekommen sei zu ihnen auch der Samier <name rend='gesperrt'>Pythagoras</name> und +der Mathematiker <name rend='gesperrt'>Eudoxos</name>, ingleichen <name rend='gesperrt'>Demokritos von + Abdera</name> und <name rend='gesperrt'>Oinopides von Chios</name>. Von allen diesen +weisen sie noch Spuren auf, von den Einen Bildnisse von +den Anderen Orte und Gebude, die nach ihnen benannt +sind. Aus der Vergleichung dessen, was jeder von ihnen in +seinem Fache geleistet hat, fhren sie den Beweis, dass sie +Dasjenige um desswillen sie von den Hellenen bewundert +werden, aus Aegypten entlehnt haben.</q> Aus diesen Stellen +geht mit Sicherheit hervor, dass viele Griechen nach +Aegypten zogen, um bei den dortigen Priestern Philosophie +und Mathematik kennen zu lernen, da wohl in den Berichten +nur die hervorragenden Mnner angefhrt wurden. +</p><p> +Der Milesier <name rend='gesperrt'>Thales</name>, welcher erst in vorgercktem +Alter, und nachdem er als Handelsmann frher gewiss schon +mehrmals Aegypten besucht gehabt, sich daselbst behufs +seiner Studien zu lngerem Aufenthalt niederlies, ist merkwrdiger +Weise in dem Berichte des Diodor nicht angefhrt, +und knnte man wohl aus diesem Umstande umsomehr +einen gewissen Grad von Unglaublichkeit ableiten, als darin +mythische Namen wie <name rend='gesperrt'>Orpheus</name>, <name rend='gesperrt'>Daidalos</name> und <name rend='gesperrt'>Homer</name> +angefhrt erscheinen. Diese letzteren konnten jedoch sehr +wohl dem im Ganzen und Grossen sonst richtigen Verzeichnisse +vom Berichterstatter eigenwillig beigefgt worden sein, +um dadurch das hohe Alter aegyptischer Wissenschaft in ein +vorteilhaftes Licht zu setzen. +</p> +<pb n='12'/><anchor id='Pg12'/> +<p> +Abgesehen jedoch von aller Wahrscheinlichkeit oder +Unwahrscheinlichkeit fr die Exactheit obiger Aussprche +in Bezug auf einzelne Namen, drfte jedenfalls das als +unumstssliche Wahrheit gelten, dass die gyptischen Priester +von den Griechen als in den Wissenschaften, insbesondere +in der Geometrie sehr bewandert gehalten wurden, und +zwar in einem solchen Maasse, dass eine Reihe hervorragender +griechischer Philosophen es nicht verschmhte, die, fr +damalige Verhltnisse nicht unbedeutende Reise nach +Aegypten zu unternehmen, ja oft jahrelang in diesem Lande +mit unbekannter Sprache und Schrift zu verweilen, um sich +die Kenntnisse der Aegypter anzueignen. +</p><p> +Stellt man nun zunchst die Frage nach Quantitt und +Qualitt des geometrischen Wissens, welches die Griechen +von ihren Studienreisen mit nach Hause brachten, so scheint +dies, selbst vom Standpunkte der unmittelbar nachpythagorischen +Geometrie, usserst Weniges gewesen zu sein. +</p><p> +<name rend='gesperrt'>Thales</name> von Milet, einer der sieben griechischen +Weltweisen, der Begrnder der ionischen Schule, <name rend='gesperrt'>Thales</name>, +welcher fr das Jahr 585 v. Chr. G. eine, auch eingetroffene +Sonnenfinsterniss vorherzusagen wusste, soll, den uns von +<name rend='gesperrt'>Proklos</name> zugekommenen Berichten zufolge, in Aegypten +nicht viel mehr erfahren haben, als die Stze ber die Gleichheit +der Winkel an der Basis eines gleichschenkligen Dreieckes, +die Gleichheit der Scheitelwinkel am Durchschnitt +zweier Geraden; er wusste ferner, wie ein Dreieck durch eine +Seite und die beiden anliegenden Winkel bestimmt erscheint, +diese Errterung zur Messung der Entfernungen von Schiffen +auf dem Meere bentzend, es war ihm bekannt, dass ein +Kreis durch einen Durchmesser halbirt wird,<note place='end'> + <bibl><author>Proklos</author>, ed. <editor>Friedlein</editor>, + <biblScope>250, 299, 352, 157.</biblScope></bibl></note> +und soll er die +Hhe der Pyramiden aus der Lnge des Schattens gemessen +haben, hchst wahrscheinlich in dem Momente, wo die +<pb n='13'/><anchor id='Pg13'/> +Schattenlnge eines senkrechten Stabes der Stablnge gleich +ist,<note place='end'> + <bibl><author>Diogenes Laertius</author>, + <biblScope>I, 27.</biblScope></bibl> + <bibl><author>Plinius</author>, <title>Hist. nat.</title> + <biblScope>XXXVI, 12, 17.</biblScope></bibl></note> +mglicherweise jedoch, wie <name rend='gesperrt'>Plutarch</name><note place='end'> + <bibl><author>Plutarch</author>, ed. <editor>Didot.</editor> + <biblScope>Vol. 2, III, p. 174.</biblScope></bibl></note> +berichtet, +auch zu einer beliebigen Tageszeit. Auch wird ihm von +<name rend='gesperrt'>Pamphile</name><note place='end'> + <bibl><author>Diogenes Laertius</author> + <biblScope>I, 24–25.</biblScope></bibl></note> +die Kenntniss des Satzes zugeschrieben, dass +der Peripheriewinkel im Halbkreise ein rechter sei. Gewiss +hat Thales wenigstens jene geometrischen Fundamente in +Aegypten kennen gelernt, welche es ihm ermglichten, die +genannten Stze als wahr zu erkennen, wenn auch bei ihm, +selbst bei diesen einfachen Dingen an einen strengen Beweis +nicht gedacht werden kann. +</p><p> +Es wre jedoch voreilig, aus der Geringfgigkeit der +Thaletischen geometrischen Kenntnisse mit <name rend='gesperrt'>Montucla</name> +<note place='end'><bibl><author>Montucla</author>, <title>Hist. d. math.</title> + <biblScope>2. dit. t. I, p. 49.</biblScope></bibl></note> +zu schliessen, dass auch die Aegypter nicht viel mehr gewusst +htten. Man kann wohl annehmen, dass die aegyptischen +Priester bei ihrer den Fremden gegenber beobachteten +Zurckhaltung nur einen Theil ihres Wissens offenbarten; +wer knnte jedoch bemessen, in welchem Verhltnisse dieser +Theil zu ihrem Gesammtwissen stand? Der Ansicht +<name rend='gesperrt'>Montucla</name>'s kann man entgegensetzen, dass die Aegypter +den Fremden nur einen kleinen Bruchtheil ihres sorgsam +im Verborgenen gehteten Wissens preisgegeben haben +mochten, wobei ferner nicht unbercksichtigt bleiben darf, +dass den nach Aegypten gekommenen Griechen auch die +Unkenntniss der Sprache und der Schrift weitere, nicht zu +unterschtzende Schwierigkeiten bereitete, in dem Maasse als +vielleicht Manches, was ihnen die aegyptischen Priester von +aegyptischem Wissen zur Verfgung stellten, unverstanden +bleiben konnte. +</p><p> +Was nun das Wesen aegyptischer Geometrie betrifft, so +finden wir in den Berichten der Alten fast gar keine Anhaltspunkte, +um uns hierber Klarheit verschaffen zu knnen, und +war man bis vor Kurzem darauf hingewiesen, aus den +<pb n='14'/><anchor id='Pg14'/> +Anfngen griechischer Mathematik auf den Stand der aegyptischen +zurckzuschliessen, was, wie aus dem Vorhergesagten +folgen drfte, mit nicht geringen Schwierigkeiten verbunden +erscheint. +</p><p> +Die Ansicht, dass die Geometrie der Aegypter eigentlich +nur constructiver Natur war, hnlich dem was wir als Reisskunst +zu bezeichnen pflegen,<note place='end'> + <bibl><author>Bretschneider</author>, + <title>Die Geometrie und die Geometer vor Euklides</title>, + <biblScope>p. 11.</biblScope></bibl> +Dem Werke Bretschneiders, sowie jenem <bibl><author>Cantor</author>'s: + <title id='t:c'>Vorlesungen ber Geschichte + der Mathematik</title></bibl>, sind die grundlegenden Gedanken entnommen.</note> +drfte sich nicht als stichhltig +erweisen; es mge jedoch gleich jetzt darauf hingedeutet +werden, dass die Aegypter im Construiren geometrischer +Formen nicht unbewandert sein konnten. +</p><p> +So sagt in etwas prahlerischer Weise <name rend='gesperrt'>Demokritos</name> +von <name rend='gesperrt' type='place'>Abdera</name><note place='end'> + <bibl><author>Clemens Alexandrinus</author>, <title>Stromata</title>, + ed. <editor>Potter</editor>, + <biblScope>I, 357.</biblScope></bibl></note> +um 420 v. Chr. G.: <q>Im Construiren von +Linien nach Maassgabe der aus den Voraussetzungen zu +ziehenden Schlsse hat mich keiner je bertroffen, selbst +nicht die sogenannten Harpedonapten der Aegypter</q>; und +<name rend='gesperrt'>Theon</name> von <name rend='gesperrt' type='place'>Smyrna</name><note place='end'> + <bibl><author>Theon Smyrnaios</author>, <title>lib. de astron.</title> + ed. <editor>Martin</editor>, + <biblScope>p. 272.</biblScope></bibl></note> +erzhlt, dass +<q>Babylonier, Chalder +und Aegypter eifrig nach allerhand Grundgesetzen und +Hypothesen suchten, durch welche den Erscheinungen +gengt werden knnte; zu erreichen suchten sie dies dadurch, +dass sie das frher Gefundene in Ueberlegung zogen, und +ber die zuknftigen Erscheinungen Vermuthungen aufstellten, +wobei die Einen sich arithmetischer Methoden bedienten, +wie die Chalder, die Anderen construirender wie +die Aegypter</q>. +</p><p> +Aus diesen und hnlichen Berichten, sowie aus dem +Umstande, dass die Anfnge der griechischen Geometrie +selbst hauptschlich constructiver Natur waren, muss man +zu dem Schlusse kommen, dass die alten Aegypter seit unvordenklichen +Zeiten die Reisskunst pflegten, und in der langen +Reihe der Jahrhunderte sicherlich eine ziemlich bedeutende +Masse sowohl einfacher als complicirterer Constructionen +erfanden und in ein gewisses System brachten, von Ersteren +<pb n='15'/><anchor id='Pg15'/> +zu Letzteren aufsteigend. Diese Constructionen drften ihrem +grsseren Theile nach, und zwar jenem Theile nach, welcher, +wenn auch ohne Begrndung Gemeingut der die Knste und +Gewerbe betreibenden Kasten wurde, nur solche gewesen +sein, die dem praktischen Bedrfnisse dienen konnten, also +zumeist Ornamentenconstructionen. Wir bemerken hier unter +Anderem das Vorkommen regelmssiger geometrischer +Figuren auf uralten Wandgemlden, wie sie sich z. B. als +frbige Zeichnungen aus den Zeiten der fnften Dynastie, +also unmittelbar nach den Erbauern der Pyramiden, das ist +3400 Jahre v. Chr. G. etwa vorfinden.<note place='end'> + <bibl><author>Prisse d'Avennes</author>, + <title>Hist. de l'art Egypt. d'aprs les monuments.</title></bibl></note> +</p><p> +Man sieht unter der grossen Menge der in dieser Zeit +vorkommenden Figuren eine, aus verschobenen, ineinander +gezeichneten, theilweise durch zu einer Diagonale Parallele +zerlegten Quadraten zusammengesetzte Figur, ferner aus der +Zeit von der zwlften bis zur sechsundzwanzigsten Dynastie, +eine Figur, bestehend aus einem Quadrate, und zwei, lngs +der Diagonale centrisch hineingelegten lemniscatischen +Curven, sowie eine Zusammenstellung von um fnfundvierzig +Grade gegeneinander verdrehten, sich durchsetzenden Quadraten. +Kreise erscheinen durch ihre Durchmesser in gleiche +Kreisausschnitte getheilt; so zunchst durch zwei oder vier +Durchmesser in vier beziehungsweise acht, und in spteren +Zeiten auch durch sechs Durchmesser in zwlf gleiche Ausschnitte; +die in den Zeichnungen vorkommenden Wagenrder +besitzen zumeist sechs, seltener vier Speichen, so dass +auch die Theilung des Kreises durch drei Diameter in sechs +gleiche Kreisausschnitte vertreten erscheint. +</p><p> +In einer unvollendet gebliebenen Kammer des Grabes +<name rend='gesperrt'>Seti I.</name>, des Vater +<name rend='gesperrt'>Ramses II.</name> aus der neunzehnten Dynastie +(das sogenannte Grab <name rend='gesperrt'>Belzoni</name>)<note place='end'> + <bibl><author>Wilkinson</author>, + <title id='t:w'>Manners and customs of the ancient Egyptians</title>, + <biblScope>III, p. 313.</biblScope></bibl></note> +finden wir die Wnde +behufs Anbringung von Reliefarbeiten mit einem Netze gleich +<pb n='16'/><anchor id='Pg16'/> +grosser Quadrate bedeckt, und es kann keinem Zweifel unterliegen, +dass wir es hier mit der Anwendung eines Verkleinerungs- +beziehungsweise Vergrsserungsmaassstabes zu thun +haben. +</p><p> +Wenn nun auch die einfachen Figuren des Dreieckes, +Quadrates und des Kreises hchst wahrscheinlich ohne +besondere Ueberlegung, einfach dem inneren geometrischen +Formendrange entsprungen sein drften, so ist doch gewiss, +dass ihre verschiedenartige Zusammensetzung zu Mustern +das Product, wenn auch primitiven geometrischen Denkens +war, welches dann schon eine ziemliche Selbststndigkeit +erreicht haben musste, als die vorerwhnte Anwendung von +Proportionalmaassstben in Uebung kam. +</p><p> +Andererseits musste das ftere Betrachten der regelmssigen +Figuren einen geometrisch disponirten Geist von +selbst zum Aufsuchen unbekannter Eigenschaften derselben +reizen, und vielleicht ist der Thaletische Satz von der +Halbirung des Kreises durch einen Durchmesser nichts als +eine aus der Betrachtung jener aegyptischen Zeichnungen +gewonnene Abstraction, und huldigen wir in dieser Beziehung +der Ansicht, dass <name rend='gesperrt'>Thales</name> beim Ausspruche des erwhnten, +fr uns freilich hchst einfach klingenden Satzes, wahrscheinlich +sagen wollte, nur der Kreis habe die ausgezeichnete +Eigenschaft, von allen durch einen Punkt, den Mittelpunkt, +gehenden Geraden in lauter untereinander gleiche Hlften +getheilt zu werden. +</p><p> +Von besonderer Wichtigkeit scheint uns jedoch der +frher citirte selbstgefllige Ausspruch des <name rend='gesperrt'>Demokritos</name> zu +sein, da er uns vor einer ungerechtfertigten Unterschtzung +aegyptischer Constructionsgewandtheit bewahren kann. Bedenklich +in <name rend='gesperrt'>Demokritos</name>' Angabe knnte allenfalls jenes +Selbstlob erscheinen, das er sich spendet; wenn es nun +<pb n='17'/><anchor id='Pg17'/> +wohl auch schon im Alterthume Mnner geben mochte, die +ihre Berhmtheit vorzugsweise und oft nur der Hochschtzung +verdankten, die sie sich selbst und ihren Werken gezollt, +Mnner, welche in der Verbreitung des eigenen Lobes so +emsig, so unermdlich waren, dass sich um sie als die +davon Ueberzeugtesten noch ein Kreis von Glubigen bildete, +welche den, oft nur auf schwankenden Fssen einhergehenden +Ruhm ihrer Profeten weiter fhrten, so ist doch die Bedeudung +des Geometers <name rend='gesperrt'>Demokritos</name> durch so viele, und verschiedenen +Quellen entspringende Aussprche beglaubigt, +dass es gewiss Niemandem einfallen wird, seine Autoritt +als die eines grndlichen Kenners der Geometrie seiner Zeit +in Zweifel zu ziehen. Wohl sind uns von den geometrischen +Werken des <name rend='gesperrt'>Demokritos</name>, und kaum von allen nur die ganz +allgemein klingenden Titel erhalten. +</p><p> +Whrend uns <name rend='gesperrt'>Cicero</name><note place='end'> + <bibl><author>Cicero</author>, <title>De finibus bonorum ed malorum</title> + <biblScope>I, 6, 20.</biblScope></bibl></note> +diesen Philosophen als einen +gelehrten, in der Geometrie vollkommen bewanderten Mann +anpreist, theilt uns <name rend='gesperrt'>Diogenes Laertius</name><note place='end'> + <bibl><author>Diogenes Laertius</author> + <biblScope>IX, 47.</biblScope></bibl></note> +mit, dass <name rend='gesperrt'>Demokritos</name> +<q>ber Geometrie</q>, <q>ber Zahlen</q>, <q>ber den Unterschied +des Gnomon oder ber die Berhrung des Kreises +und der Kugel</q>, sowie zwei Bcher <q>ber irrationale Linien +und die dichten Dinge</q> geschrieben habe, Schriften, deren +Titel theilweise uns ber ihren Inhalt ganz im Unklaren +lassen. Legen wir den angefhrten Zeugnissen Glauben bei, +und es ist kein Grund vorhanden dies nicht zu thuh, so +mssen wir von <name rend='gesperrt'>Demokritos</name> als von einem <q>in der Geometrie + vollkommenen Manne</q> voraussetzen, dass er mit den +Errungenschaften des <name rend='gesperrt'>Pythagoras</name>, welcher ein Jahrhundert +vor <name rend='gesperrt'>Demokritos</name> Aegypten besucht hatte, vollkommen vertraut +war. Gewiss war ihm somit bekannt: die Methode der +<q>Anlegung der Flchen</q>, welche wieder die Vertrautheit mit +den Hauptstzen aus der Theorie der Parallelen und der +<pb n='18'/><anchor id='Pg18'/> +Winkel, so wie die Kenntniss der Abhngigkeit der Flcheninhalte +von den ihnen zukommenden Ausmaassen voraussetzt. +Nicht minder bekannt mussten ihm die, dem <name rend='gesperrt'>Pythagoras</name> +zugeschriebenen Constructionen der fnf regelmssigen, +sogenannten kosmischen Krper sein, woraus sich weiter +schliessen lsst, dass auch einerseits die Eigenschaften der +Kugel, welcher doch jene Krper eingeschrieben wurden, +und anderseits die Entstehungen der regelmssigen, jene +Krper begrenzenden Vielecke, vor Allem die des Fnfeckes +dem <name rend='gesperrt'>Demokritos</name> nicht ungelufig sein konnten. Die Construction +des Letzteren erheischt wiederum die Kenntniss der +Lehre vom goldenen Schnitt, und diese den Satz vom Quadrate +der Hypothenuse<note place='end'> + <bibl><author>Cantor</author>, + <title>Vorlesungen ber Geschichte der Mathematik</title>, + <biblScope>I, p. 144–159</biblScope> + (<pubPlace>Leipzig</pubPlace> <date>1880</date>).</bibl></note>. +Hat nun <name rend='gesperrt'>Demokritos</name> auch selbst +nichts Neues hinzugefgt, so musste er doch Jenes kennen; +wenn er nun anderseits sagt: <q>im Construiren htte ihn + Niemand, selbst nicht die Harpedonapten der Aegypter bertroffen</q>, +so drfen wir hieraus mit Sicherheit schliessen, +dass die geometrischen Kenntnisse der aegyptischen Priester +bedeutend genug gewesen sein mussten, weil sich <name rend='gesperrt'>Demokritos</name> +sonst kaum gerade ber diese Geometer gesetzt htte. +</p><p> +Doch verlassen wir fr jetzt die Nachrichten des griechischen +Alterthums, welche in der Beurtheilung aegyptischer +Geometrie nur Conjecturen zulassen, und blicken wir nach +directen Denkmalen aegyptischen Ursprungs, aus denen vielleicht +Schlsse gezogen werden knnten auf Wesen und +Umfang aegyptischer Geometrie. +</p><p> +Das Britische Museum bewahrt eine Papyrusrolle, +welche aus dem Nachlasse des Englnders <name rend='gesperrt'>A. Henry Rhind</name> +stammt, die derselbe nebst anderen werthvollen Rollen in +Aegypten kufllich an sich gebracht haben drfte. Der +erwhnte Papyrus, ein altes Denkmal gyptischer Mathematik, +ist, wie es scheint, nicht mit vollster Berechtigung als ein +<pb n='19'/><anchor id='Pg19'/> +<q>mathematisches Handbuch</q> der alten Aegypter bezeichnet +worden<note place='end'> + <bibl><author>Eisenlohr</author>, + <title>Ein math. Handbuch der alten Aegypter</title>. + <pubPlace>Leipzig</pubPlace> <date>1877</date>.</bibl></note>. + Der fragliche Papyrus nennt sich selbst eine +Nachahmung lterer mathematischer Schriften, denn es heisst +in der Einleitung: <q>Verfasst wurde diese Schrift im Jahre +dreiunddreissig im vierten Monat der Wasserzeit unter Knig +Ra-&amacron;-us, Leben gebend nach dem Muster alter Schriften in +den Zeiten des Knigs …t vom Schreiber Aahmes verfasst +die Schrift.</q> +</p><p> +Nachdem zuerst Dr. <name rend='gesperrt'>Birch</name><note place='end'> + <bibl><author>Birch</author>, in Lepsius' + <title level='j'>Zeitschrift fr gypt. Sprache und Alterthum</title>, + <date>1868</date>, <biblScope>p. 108.</biblScope></bibl></note> +auf diesen mathematischen +Papyrus durch einen kurzen vorlufigen Bericht aufmerksam +gemacht hatte, wurde der Gegenstand von dem +ausgezeichneten Heidelberger Aegyptologen Dr. <name rend='gesperrt'>Eisenlohr</name> +einer eingehenden, hchst schwierigen und zeitraubenden +Untersuchung unterzogen, deren Resultate, was die Uebersetzung +betrifft, unseren gegenwrtigen Betrachtungen zu +Grunde liegen. Bezglich des Alters des Papyrus hat man +jenes der vorhandenen Abschrift von dem Alter des unbekannten +Originals zu unterscheiden. Nach der von <name rend='gesperrt'>Eisenlohr</name> +gegebenen Vervollstndigung der in der erwhnten Einleitung +auf das Wort Knig folgenden Lcke, wrde der Herrscher, +unter dessen Regierung das Original entstanden ist, der +Knig <name rend='gesperrt'>Ra-en-mat</name> sein, dessen Regierungszeit <name rend='gesperrt'>Lepsius</name><note place='end'> + <bibl><author>Lepsius</author>, <title level='j'>gypt. Zeitschrift</title>, + <date>1871</date>, <biblScope>p. 63.</biblScope></bibl></note> +auf 2221–2179 v. Chr. G. legt. Da ferner der Name +<name rend='gesperrt'>Ra-a-us</name> in den bis dahin vorhandenen Knigslisten nicht +vorkommt, sah man sich, um die Zeit der Entstehung der +Abschrift wenigstens annhernd angeben zu knnen, darauf +angewiesen, aus der bekannten Sitte der Aegypter die Eigennamen +der eben herrschenden oder der unmittelbar vorhergegangenen +Regenten zu gebrauchen, Schlsse zu ziehen. +Und da liess der Name <name rend='gesperrt'>Aahmes</name> des Schreibers, sowie auch +die (althieratische) Schrift des Papyrus vermuthen, dass derselbe +um 1700 v. Chr. G. entstanden sein drfte. Die Vermuthung +<pb n='20'/><anchor id='Pg20'/> +in Bezug auf das Zeitalter der Abschrift hat sich +nun neueren Forschungen zu Folge vollkommen besttigt. +Denn <name rend='gesperrt'>Ra-a-us</name> wurde als der Hyksosknig <name rend='gesperrt'>Apophis</name> +erkannt, und <name rend='gesperrt'>Aahmes</name> drfte seinen Namen von dem, kurze +Zeit dem Apophis vorhergegangenen Knige <name rend='gesperrt'>Amasis</name> entlehnt +haben. +</p><p> +Es erscheint so vollkommen sichergestellt, dass unser +Papyrus aus dem achtzehnten Jahrhundert v. Chr. G. stammt. +Die Eingangsworte des Papyrus, welche lauten: <q>Vorschrift +zu gelangen zur Kenntniss aller dunklen Dinge, aller Geheimnisse, +welche enthalten sind in den Gegenstnden</q>, sowie +die Anordnung des Stoffes in Arithmetik, Planimetrie und +Stereometrie, an welche sich ein, verschiedene Beispiele enthaltender +Theil anschliesst, konnten im ersten Augenblicke +den Gedanken aufkommen lassen, dass wir es vielleicht mit +einem Lehrbuche der Mathematik zu thun haben. Der Umstand +jedoch, dass der Papyrus nur die Zusammenstellung, +allerdings eine in gewissem Grade systematische Zusammenstellung +von Aufgaben nebst ihren Lsungen und den zugehrigen +Proben ist, ohne dass Definitionen oder Lehrstze +und Beweise vorkommen wrden, liess den Papyrus wiederum +als eine Aufgabensammlung, als ein Anleitungsbuch fr +Praktiker erscheinen. Man ist noch weiter gegangen, und +stellte die Ansicht auf, der Autor habe bei Abfassung dieser +Schrift vorzglich an Landleute, welchen die Theorie unzugnglich +war, gedacht. Daraufhin weise nicht nur die Formulirung +des grssten Theiles der Aufgaben, welche Verhltnisse +und Bedrfnisse der Landwirthschaft bercksichtigen, sondern +auch der Schlusssatz des Papyrus, welcher sagt: <q>Fange das +Ungeziefer und die Muse, (vertilge) das verschiedenartige +Unkraut, bitte Gott <name rend='gesperrt'>Ra</name> um Wrme, Wind und hohes Wasser</q>. +</p> +<pb n='21'/><anchor id='Pg21'/> +<p> +Dass wir es nicht mit einem Handbuche, welches dem +damaligen Standpunkte der mathematischen Wissenschaften +in Aegypten entsprechen msste, zu thun haben, ergibt sich +nicht nur aus dem schon hervorgehobenen Mangel an Definitionen, +Lehrstzen und Beweisen, ja es fehlt selbst jede Erklrung, +sondern auch aus dem Umstnde, dass neben der +richtigen Lsung einzelner Aufgaben die unrichtigen oder +unvollendeten Lsungen derselben oder hnlicher Aufgaben, +sowie manche Wiederholungen vorkommen. Nur nebenbei +verweisen wir darauf, dass in einem Handbuche unzweifelhaft +wenigstens Anklnge an die erste der Wissenschaften des +Alterthums, an die Astronomie, zu finden sein mssten. Doch +ist von diesem Theile der Mathematik im Papyrus nicht die +geringste Spur zu finden. Aufklrungen ber den wahren +Charakter des Originals unseres Papyrus, und eine viele Wahrscheinlichkeit +besitzende Vermuthung ber die Entstehung +der uns beschftigenden Abschrift, verdanken wir dem Scharfsinne +des franzsischen Aegyptologen Eugne <name rend='gesperrt'>Revillout</name>.<note place='end'> + <bibl><author>Revillout, Eugne</author>, + <title level='j'>Revue Egyptologique</title>, + <date>1881</date>, + <biblScope>Nr. II et III, p. 304.</biblScope></bibl></note> +</p><p> +Bei richtiger Erwgung des Umstandes, dass oft auf ein +fehlerlos gelstes Beispiel, falsche Lsungen hnlicher Beispiele +folgen, welchen sich dann gewhnlich eine Reihe von +Uebungsrechnungen anschliesst, Rechnungen die einem Schulpensum +in hohem Grade hnlich sehen, bei Betrachtung der +Thatsache ferner, wie ein und dasselbe Zahlenbeispiel oft +einigemal und zwar so behandelt wird, dass der Reihe nach +die vorkommenden Zahlenwerthe als die berechneten Resultate +erscheinen, drngt sich uns mit <name rend='gesperrt'>Eugne Revillout</name> die +Ueberzeugung auf, dass wir es mit dem Uebungs- oder Aufgabenhefte +eines Zglings jener Unterrichtshuser (asbo) zu +thun haben, wie deren in so manchem Papyrus Erwhnung +geschieht, und in denen die Schler, welche spter Landwirthe, +Verwalter, Feldmesser oder Constructeure werden +<pb n='22'/><anchor id='Pg22'/> +wollten, mit den fr ihre knftige Laufbahn notwendigen +Rechnungsoperationen vertraut gemacht wurden. Da dieses +Schulheft selbstverstndlich nicht fr die Oeffentlichkeit +bestimmt sein konnte, so trgt es auch thatschlich keinen +Autornamen und keine Jahresangabe; denn, was die in der +Einleitung bezglich der Zeitperiode, in welcher das Original +entstanden sein sollte, gemachte Erwhnung betrifft, so ist +mehr als wahrscheinlich, dass dieselbe von dem Abschreiber +<name rend='gesperrt'>Aahmes</name> herrhrt, welcher das Original einige Jahrhunderte +nach seiner Entstehung auffand, und dasselbe, der Mathematik +gewiss ganz unkundig, sammt allen Fehlern abschrieb, zu +diesen noch neue hinzufgend. Nachdem <name rend='gesperrt'>Aahmes</name> aus der +Aehnlichkeit der Schriftart des mathematischen Heftes mit +der Schrift anderer ihm bekannten Papyri auf das Alter des +ersteren einen im Ganzen und Grossen nicht unrichtigen +Schluss gezogen haben mochte, so knnen wir das Ende, +vielleicht auch die Mitte des dritten Jahrtausends v. Chr. G. +als jene Zeit betrachten, in welcher das Original der Abschrift +entstanden sein drfte. Ob <name rend='gesperrt'>Aahmes</name> die Abschrift +mit der viel versprechenden Einleitung und der zugleich +praktischen und gottesfrchtigen Schlussregel in der Absicht +versehen hatte, um sie an irgend einen einfachen aegyptischen +Landmann um gutes Geld anzubringen, lassen wir dahingestellt, +und wiederholen nur unsere Uebereinstimmung mit +der Ansicht, dass das Original des Papyrus neben den von +einem Lehrer der Mathematik herrhrenden Musterbeispielen, +die sehr oft verunglckten Uebungen eines Schlers enthlt, +eines Schlers berdies, der nicht zu den hervorragenden +seiner Glasse gehrt haben mochte. Und wie kostbar ist +dennoch dieses altgyptische Schulheft! Wenn wir in aller +Eile eine Skizze seines Inhaltes vorfhren sollen, so +mssen wir zunchst die sich auf acht Columnen der oben +<pb n='23'/><anchor id='Pg23'/> +erwhnten Einleitung anschliessende Theilung der Zahl 2 +durch die Zahlen von 3 bis 99 erwhnen; jeder auftretende +Bruch erscheint in zwei bis vier sogenannte +Stammbrche, Brche mit dem Zhler Eins, zerlegt, und sind +die Nenner der letzteren meist gerade Zahlen mit einer +grsseren Divisorenanzahl. Im Anschluss an diese Tabelle +finden wir sechs Beispiele, in denen in Form von Brodvertheilungen +die Division der Zahlen l, 3, 6, 7, 8 und 9 durch +die Zahl 10 gelehrt wird, und es folgt hierauf in 17 Beispielen +die sogenannte Sequem- oder Ergnzungsrechnung, +in welcher es sich darum handelt, Zahlenwerthe zu finden, +die mit gegebenen Werthen durch Addition oder Multiplication +verbunden, andere gegebene Zahlenwerthe liefern. Die nchsten +15 Beispiele gehren der sogenannten <emph>Haurechnung</emph> +an, und finden wir in diesem Abschnitte die Lsungen linearer +Gleichungen mit einer Unbekannten. Zwei weitere, der sogenannten +<emph>Tunnu-</emph> oder Unterschiedsrechnung angehrige +Beispiele belehren uns darber, dass den alten Aegyptern der +Begriff arithmetischer Reihen nicht fremd war. Es folgen nun +sieben Beispiele ber Volumetrie, ebensoviele ber Geometrie +und fnf Beispiele ber Berechnungen von Pyramiden, also +19 Aufgaben ber die wir spter noch einige Worte sagen +mssen. +</p><p> +Hieran schliessen sich endlich dreiundzwanzig verschiedenen +Materien entlehnte, Fragen des brgerlichen Lebens +betreffende Beispiele, wie die Berechnung des Werthes von +Schmuckgegenstnden, abermals Vertheilungen von Broden +oder von Getreide, Bestimmung des auf einen Tag entfallenden +Theiles eines Jahresertrages, Berechnungen von Arbeitslhnen, +Nahrungsmitteln sowie des Futters fr Geflgelhfe. +Einer besonderen Ankndigung werth erscheinen uns in +dieser letzten Abtheilung zwei Beispiele; das eine derselben<note place='end'> + <bibl><author>Eisenlohr</author>, + <title>Ein math. Handbuch der alten Aegypter</title>. + <biblScope>Nr. 64.</biblScope></bibl></note> +<pb n='24'/><anchor id='Pg24'/> +lsst keinen Zweifel darber aufkommen, dass den alten +Aegyptern die Theorie der arithmetischen Progressionen +vollkommen gelufig war, whrend wir in dem zweiten<note place='end'> + ibid. Nr. 79.</note> +unter der Aufschrift <q>eine Leiter</q> die geometrische Progression +von 7 hoch 1 bis 7 hoch 5 nebst deren Summe vorfinden, wobei +die einzelnen Potenzen eigene Namen: an, Katze, Maus, +Gerste, Maass zu fhren scheinen. +</p><p> +Nicht unbemerkt lassen wir endlich die in den Haurechnungen +auftretende Bentzung mathematischer Zeichen; +so nach links oder rechts ausschreitender Beine fr Addition +und Subtraction, drei horizontale Pfeile fr Differenz, sowie +endlich ein besonderes, dem unseren nicht unhnliches +Gleichheitszeichen. +</p><p> +Aus dem geometrischen Theile heben wir zunchst, der +Anordnung des Papyrus nicht folgend, die Flchenberechnungen +von Feldern hervor. Die vorkommenden Beispiele +beziehen sich auf quadratische, rechteckige, kreisrunde und +trapezfrmige Felder, deren Flcheninhalte aus ihren Lngenmaassen +bestimmt werden. Nachdem in den Aufgaben ber +die Berechnung des Fassungsvermgens von Fruchtspeichern +mit quadratischer Grundflche diese letztere gefunden wird +durch Multiplication der Maasszahl der Seite mit sich selbst, +kann es gar keinem Zweifel unterliegen, dass auch die Flche +des Rechteckes durch Multiplication der Maasszahlen zweier +zusammenstossender Seiten erhalten wurde, da die Erkenntniss +der Richtigkeit der einen Bestimmungsart, jene der Richtigkeit +der anderen involvirt. +</p><p> +Schon die Betrachtung solcher Proportionalmaassstbe, +wie wir sie im Grabe <name rend='gesperrt'>Belzoni</name> bemerken konnten, htte +die alten Aegypter, die mit Gleichungen und arithmetischen +Reihen umzugehen wussten, auf die Bestimmung der Flche +eines Rechteckes aus seinen beiden Seitenlngen mit Nothwendigkeit +<pb n='25'/><anchor id='Pg25'/> +fhren mssen, und werden wir uns durch den +Umstand, dass im Papyrus der diesbezglichen Aufgabe eine +zu ihr nicht gehrige Lsung beigefgt ist, durchaus nicht +beirren lassen. +</p><p> +Von hohem Interesse ist die, an mehreren Stellen des +Papyrus vorkommende Methode der Flchenberechnung eines +Kreises, welche zeigt, dass die alten Aegypter mit ziemlicher +Annherung den Kreis zu quadriren wussten, in der That zu +quadriren, weil sie aus dem Durchmesser eine Lnge ableiten, +welche als Seite ein Quadrat liefert, dessen Flche jener des +Kreises gleichgesetzt wurde. Da sie acht Neuntel des Durchmessers +zur Seite jenes Quadrates machten, so entspricht dies +einem Werthe der Ludolphischen Zahl, welcher dem richtigen +Werthe gegenber um nicht ganz zwei Hundertstel (um +0,018901) zu hoch gegriffen erscheint; fr das dritte Jahrtausend +v. Chr. G. und im Vergleiche zu dem Werth π = 3 +der Babylonier, und noch mehr im Vergleiche zu dem Werthe +π = 4 spterer rmischer Geometer, jedenfalls eine nicht zu +unterschtzende Annherung an den richtigen Werth. +</p><p> +Eine Aufgabe behandelt die Flchenbestimmung des +Dreieckes, wobei das Resultat als das Product zweier Seitenlngen +gefunden wird. Die hier beigefgte Figur<note place='end'> + ibid. p. 125.</note>, welche +in Wirklichkeit ein ungleichseitiges langgestrecktes Dreieck +darstellt, kann ebensowohl als die verfehlte Zeichnung eines +rechtwinkligen wie auch eines gleichschenkligen Dreieckes +betrachtet werden. +</p><p> +Letztere Annahme ist von <name rend='gesperrt'>Eisenlohr</name> gemacht und +von <name rend='gesperrt'>Cantor</name><note place='end'> + <bibl><author>Cantor</author>, + <title>Vorlesungen aus der Geschichte der Mathematik</title>, + <biblScope>I, p. 49.</biblScope></bibl></note> +acceptirt worden. Darnach wrde sich die +Methode der Dreiecksberechnung der alten Aegypter nur als +eine Nherungsmethode darstellen, und ist auch von beiden +genannten Gelehrten der begangene, in diesem Falle in der +That nicht bedeutende Fehler ermittelt worden. +</p> +<pb n='26'/><anchor id='Pg26'/> +<p> +Wir sind dagegen mit Revillout anderer Meinung. +</p><p> +Mit Rcksicht auf den von uns klar erkannten Charakter +des Originales des Papyrus als eines sehr ungenauen Collegienheftes, +dessen Rechnungen ebensosehr wie die vorkommenden +Zeichnungen von der Mittelmssigkeit seines +Zusammenstellers beredtes Zeugniss ablegen, zweifeln wir +keinen Augenblick, dass die fragliche Figur ein rechtwinkliges +Dreieck vorzustellen hatte. Die mangelhafte Schlerzeichnung +ist durch den Copisten <name rend='gesperrt'>Aahmes</name> nur noch +schlechter geworden. Dass ein rechtwinkliges Dreieck gemeint +sein soll, erkennt man brigens auch aus dem Umstande, +dass in der Figur die Maasszahlen der multiplicirten Seiten +bei den Schenkeln des, vom rechten Winkel nur wenig differirenden +Winkels angesetzt sind, wo doch, wenn es sich htte +um ein gleichschenkliges Dreieck handeln sollen die Maasszahl +der Schenkel in der Figur gewiss bei beiden Schenkeln zu +finden wre. Dieselben Grnde bestimmen uns zu der +Annahme, dass die im Papyrus befindliche Flchenberechnung +eines Trapezes eine vollkommen richtige ist, indem es sich +auch hier nur um ein Trapez handeln kann, dessen zwei +parallelen Seiten auf einer der nicht parallelen Seiten senkrecht +stehen. Und warum sollten denn die alten Aegypter +nicht die richtige Art der Flchenberechnung auch beliebiger +Dreiecke gekannt haben? +</p><p> +Konnte man einmal die Flche eines Rechteckes genau +bestimmen, so musste sich durch einfache Anschauung eines, +durch eine Diagonale zerlegten Rechteckes, von selbst die +Regel zur Flchenbestimmung des rechtwinkligen Dreieckes +ergeben; und wurde nun ein beliebiges schiefwinkliges +Dreieck durch ein Hhenperpendikel in zwei rechtwinklige +zerlegt, so war nichts leichter als die allgemeine Regel zur +Bestimmung der Dreieckflche aus Basis und Hhe (<foreign>tepro</foreign> +<pb n='27'/><anchor id='Pg27'/> +und <foreign>merit</foreign>) zu entwickeln. Dass die Gewinnung des Hhenperpendikels +sowohl bei Constructionen als auch auf dem +Felde den alten Aegyptern nicht unmglich war, folgt zunchst +aus der grossen Bedeutung der Winkelmaasses (<foreign>hapt</foreign>) fr alle +Operationen der praktischen Geometer Aegyptens. Nicht nur, +dass wir in vielen aegyptischen Documenten das Winkelmaass +erwhnt finden, sieht man auch Knige abgebildet, das Winkelmaass +in der Hand, welches von ihnen vielleicht in derselben +Weise durch symbolische Bentzung geehrt wurde, wie der +Kaiser von China alljhrlich einmal den Pflug zu fhren +pflegt. Ein solches Winkelmaass sieht man brigens auch auf +einem Wandgemlde abgebildet, das eine Schreinerwerksttte +darstellt,<note place='end'> + <bibl><author>Wilkinson</author>, + <title corresp='t:w'>Manners and customs u. s. w.</title> + <biblScope>III., p. 144.</biblScope></bibl></note> +und es unterliegt keinem Zweifel, dass dasselbe +ebensowohl zur Anlegung rechter Winkel als zum Fllen von +Senkrechten bentzt worden ist. Aber auch auf freiem Felde +musste den Aegyptern die Construction rechter Winkel gelufig +sein; sowohl die Pyramiden als auch die aegyptischen +Tempel sind vollkommen orientirt, und wurde, wie uns alte +Inschriften<note place='end'> + <bibl><author>Brugsch</author>, + <title>Ueber Bau und Maasse des Tempels von <name type='place' rend='gesperrt'>Edfu</name></title> + (<title level='j'>Zeitschrift fr gypt. Sprache u. Alterth.</title> + <biblScope>Bd. VIII.</biblScope>)</bibl></note> +belehren, die Orientirung in festlicher Weise +vom Knige unter Beihilfe der Bibliotheksgttin <name rend='gesperrt'>Safech</name> vollzogen, +mit den Worten: <q>Ich habe gefasst den Holzpflock und +den Stiel des Schlgels, ich halte den Strick gemeinschaftlich +mit der Gttin <name rend='gesperrt'>Safech</name>. Mein Blick folgt dem Gange der +Gestirne. Wenn mein Auge an dem Sternbilde des grossen +Bren angekommen ist, und erfllt ist der mir bestimmte +Zeitabschnitt der Zahl der Uhr, so stelle ich auf die Eckpunkte +Deines Gotteshauses.</q> +</p><p> +In welchem Maasse bei diesen Operationen die von +<name rend='gesperrt'>Demokritos</name> so hochgestellten <name rend='gesperrt'>Harpedonapten</name> oder +Seilspanner betheiligt waren, hat <name rend='gesperrt'>Cantor</name><note place='end'> + <bibl><author>Cantor</author>, + <title corresp='t:c'>Vorlesungen u. s. w.</title> + <biblScope>I, p. 55.</biblScope></bibl></note> in hchst +scharfsinniger Weise zu beleuchten versucht, und es erscheint +auch uns wahrscheinlich, dass sich die alten Aegypter beim +<pb n='28'/><anchor id='Pg28'/> +Construiren rechter Winkel sowie beim Fllen von Senkrechten +auf dem Felde, der Thatsache bedienten, dass der +eine Winkel in einem, die Seitenlngen drei, vier und fnf +besitzenden Dreiecke, ein rechter Winkel sein msse. Musste +ja doch dieser Satz seit unvordenklichen Zeiten auch den +Chinesen bekannt sein, da wir ihn in der bei ihnen so +berhmten Schrift <title>Tschiu-p&imacron;</title> finden, welche mehrere Jahrhunderte +v. Chr. G. entstanden, auf den Kaiser <name rend='gesperrt'>Tsch&imacron;u-Kung</name> +also in das Jahr 1100 v. Chr. G. etwa zurckgefhrt +wird.<note place='end'> + <bibl><author>d. Biot</author>, <title level='j'>Journal Asiatique</title>, + <pubPlace>Paris</pubPlace> <date>1841</date>, + <biblScope>I. Sem. p. 593.</biblScope></bibl></note> +Uebrigens konnten directe Messungsversuche an +diagonalen Linien in den Proportionalmaassstben sowohl zu +dem erwhnten als auch noch zu anderen rechtwinkligen +Dreiecken mit rationalen Seitenlngen gefhrt haben, und +scheint uns die Mglichkeit nicht ausgeschlossen, dass der +berhmte und berchtigte Satz des <name rend='gesperrt'>Pythagoras</name> ber die +Quadrate der Katheten und der Hypothenuse einer eingehenden +Untersuchung solcher Proportionalmaassstbe entsprungen +ist. +</p><p> +Wenn wir nun einerseits behaupten, dass die alten +Aegypter nicht nur die Flche des Kreises, des Quadrates, +des Rechteckes, des rechtwinkligen sowie des schiefen Dreieckes, +und unter Zuhilfenahme der Zerlegungen auch die +Flchen beliebiger Polygone theoretisch genau zu bestimmen +im Stande waren, mit Ausnahme der auch fr uns eine solche +bildenden Kreisflche, so muss doch anderseits zugestanden +werden, dass man sich bei praktischen Anwendungen mit +Nherungen begngte, welche im Laufe der Zeiten so ausarteten, +dass der Gebrauch falscher Regeln ein allgemeiner +wurde. +</p><p> +Am linken Nilufer in der Mitte zwischen <name rend='gesperrt' type='place'>Theben</name> und +<name rend='gesperrt' type='place'>Assuan</name> liegt <name rend='gesperrt' type='place'>Edfu</name>, das alte <name rend='gesperrt' type='place'>Appollinopolis Magna</name> +mit einem stattlichen Tempelbau aus den Zeiten der Ptolomer. +<pb n='29'/><anchor id='Pg29'/> +Der Tempel, hauptschlich dem Gotte <name rend='gesperrt'>Horus</name> geweiht, +ist mit einer freistehenden Umfassungsmauer umgeben,<note place='end'> + <bibl><author>Lepsius</author>, + <title>Ueber eine hieroglyphische Inschrift am Tempel von <name type='place' rend='gesperrt'>Edfu</name></title>. + <title level='j'>Abhandlung d. Acad. d. Wiss. in Berlin</title>, + <date>1855</date>, <biblScope>p. 69.</biblScope></bibl></note> +deren Ostseite zwischen dem Brunnenthore und dem stlichen +Pylonflgel eine Inschrift trgt, welche uns auf acht +Feldern und in hundertvierundsechzig Columnen<note place='end'> + <bibl><author>Brugsch</author>, <title>Thesaurus III</title>, + <pubPlace>Leipzig</pubPlace> <date>1884.</date></bibl></note> eine +Schenkungsurkunde des Knigs <name rend='gesperrt'>Ptolomus XI. Alexander + I.</name> (mit dem Beinamen <name rend='gesperrt'>Philometor</name>) bekannt gibt. Das +Geschenk, welches hier <name rend='gesperrt'>Horus</name> und den brigen Gttern von +<name rend='gesperrt' type='place'>Edfu</name> verliehen wird, besteht aus einer Anzahl von meist +viereckigen Aeckern, deren vier Seitenlngen nebst Flcheninhalten +angegeben erscheinen. +</p><p> +Da jeder der vorkommenden Flcheninhalte identisch +ist mit dem Producte der arithmetischen Mittel der beiden +Gegenseitenpaare, so wurde nach <name rend='gesperrt'>Lepsius</name> die Vermuthung +aufgestellt, die alten Aegypter htten, um Vierecke bei der +Flchenbestimmung annhernd wie Rechtecke behandeln zu +knnen, den Unterschied der Gegenseiten dadurch auszugleichen +gesucht, dass sie die arithmetischen Mittel derselben +in Rechnung zogen. +</p><p> +Bei sehr vielen der in der <name rend='gesperrt' type='place'>Edfu</name>er Schenkungsurkunde +vorkommenden Vierecke ist der Unterschied je zweier Gegenseiten +entweder Null oder verhltnissmssig so klein, dass +man den betreffenden Vierecken eine vom Rechtecke wenig +verschiedene Gestalt beilegen kann, und die erhaltenen Resultate +somit eine ziemliche Annherung an den richtigen +Flchenwerth darstellen drften, nach dem man mit Rcksicht +auf die bei <name rend='gesperrt'>Sesostris</name> bemerkte Eintheilung des Landes +in Rechtecke voraussetzen darf, gerade diese oder eine ihr +zunchst kommende Form der Felder sei die auch damals +schon beliebte gewesen. +</p><p> +Doch kommen auch Vierecke vor, wo der Lngenunterschied +der Gegenseiten ein bemerkenswerther ist; ja es werden +<pb n='30'/><anchor id='Pg30'/> +auch Dreiecke als Vierecke mit einer verschwindenden Seite +behandelt, so dass der begangene Fehler in manchen Fllen +ein nicht unbedeutender ist. +</p><p> +Nur nebenbei bemerken wir, dass man dieselbe unrichtige +Flchenformel fr das Viereck erhlt, wenn man dasselbe +zunchst durch eine Diagonale in zwei Dreiecke zerlegt, +auf jedes dieser Dreiecke die unrichtige Flchenformel, +die den Inhalt als das halbe Product der beiden Seiten liefert, +anwendet, die beiden so erhaltenen Dreiecksflchen addirt +und dann aus dieser Summe und jener, welche man bei dem +hnlichen Vorgange durch Zerlegung mittelst der zweiten +Diagonale erhlt, das arithmetische Mittel construirt. +</p><p> +Nimmt man mit <name rend='gesperrt'>Eisenlohr</name> und <name rend='gesperrt'>Cantor</name> an, dass die +Aegypter die Dreiecksflche wirklich dem halben Producte +zweier Seiten gleichsetzten, so steht man vor der Frage, +warum nicht in derselben Art die Flchen der in der <name rend='gesperrt' type='place'>Edfu</name>er +Schenkungsurkunde auftretenden Dreiecke bestimmt erscheinen? +</p><p> +Uebrigens wolle man sich darber nicht wundern, dass +es berhaupt mglich war, die Flchenberechnungen im +praktischen Leben nach einer so falschen Methode durchzufhren. +Wissen wir doch, dass im Alterthume, zur Zeit +<name rend='gesperrt'>Platon</name>s, einer der gebildetsten Mnner, einer der +hervorragendsten Geschichtschreiber, dass <name rend='gesperrt'>Thukydides</name><note place='end'> + <bibl><author>Thukydides</author>, + ed. <editor>Rothe</editor>, + <biblScope>VI. 1.</biblScope></bibl></note> in seiner +Unkenntniss der Beziehung zwischen Flcheninhalt und Umfang, +die Flche einer Insel nach der zu ihrer Umschiffung +nothwendigen Zeit zu bestimmen suchte; in der Geometrie +<name rend='gesperrt' id='a:g'>Gerbert</name>'s,<note place='end'> + <bibl><author corresp='a:g' /> ed. <editor>Olleris</editor>, + <biblScope>Cap. LXX. p. 460.</biblScope></bibl></note> +des nachmaligen Papstes <name rend='gesperrt'>Silvester II.</name> +finden wir, 1000 Jahre nach Chr. G., die Flche eines gleichschenkligen +Dreieckes durch Multiplication des Schenkels +mit der halben Basis berechnet, wo doch schon <name rend='gesperrt'>Hero von +<pb n='31'/><anchor id='Pg31'/> +Alexandrien</name><note place='end'> +<bibl><title><emph>Heronis Alexandrini</emph> geometricorum et stereometricorum reliquiae</title> + (ed. <editor>Hultsch</editor>, + <pubPlace>Berlin</pubPlace> <date>1864</date>).</bibl></note> +1100 Jahre frher die richtige Formel +fr diese Berechnung kennt. +</p><p> +Wir berhren diese Thatsachen, und knnten noch eine +ganze Reihe hnlicher Beispiele anfhren, nur um zu zeigen, +wie bereilt es wre, aus den oft nur schwache Annherungen +liefernden Berechnungen der <name rend='gesperrt' type='place'>Edfu</name>er Schenkungsurkunde +schliessen zu wollen, die richtigen Methoden seien +den in die Wissenschaften eingeweihten aegyptischen Priestern +nicht bekannt gewesen. +</p><p> +Doch zurck zum Papyrus <emph>Rhind</emph>. +</p><p> +Wir bergehen die Inhaltsbestimmungen von Fruchthusern, +bei denen der Inhalt durch Multiplication einer +Flche mit einer Lnge bestimmt wird, weil wir es fr +mssig halten, Errterungen darber anzustellen, welche +Flchen und Lngen hiebei gemeint sind, so lange uns ber +die Form jener Fruchthuser oder Speicher nichts bekannt +ist. +</p><p> +Dagegen erwecken die im Papyrus vorkommenden Pyramiden-Berechnungen +das hchste Interesse, besonders nach +den glnzenden Untersuchungen, welchen <name rend='gesperrt'>Revillout</name> +diesen Gegenstand unterzogen hat, und deren Resultate wir, +entgegen der von <name rend='gesperrt'>Eisenlohr</name> ausgesprochenen und auch +von <name rend='gesperrt'>Lepsius</name><note place='end'> + <bibl><author>Lepsius</author>, + <title>Ueber die 6palmige grosse Elle von 7 kleinen Palmen Lnge + in dem math. Handbuche von Eisenlohr</title>. + (<title level='j'>Zeitschrift f. g. Sp.</title> + <date>1884.</date> <biblScope>1. Heft.)</biblScope></bibl></note> +acceptirten Ansicht als solche betrachten, +welche in einfacher und natrlicher Weise die sogenannte +<emph>Seket</emph>-Rechnung der alten Aegypter beleuchten. +</p><p> +Es wird in diesen Rechnungen die Bschung der Seitenflchen +einer quadratischen Pyramide dadurch fixirt, dass +jener Theil der Lnge eines der beiden gleichlangen Schenkel +des Winkelmaasses berechnet wird, der sich zur Lnge des +anderen Schenkels so verhlt, wie die halbe Lnge der Basisseite +der quadratischen Pyramide zur Hhe derselben. +</p> +<pb n='32'/><anchor id='Pg32'/> +<p> +Zu dem Behufe war der eine der beiden Schenkel des +Winkelmaasses in eine gewisse Anzahl gleich grosser Theile +getheilt, whrend der andere Schenkel, der Pyramidenhhe +entsprechend, und als Einheit betrachtet, ungetheilt blieb. +</p><p> +Um nun den sogenannten <emph>Seket</emph> zu bestimmen, wurde +die halbe Lnge der Basisseite durch die Pyramidenhhe +dividirt und mit dem erhaltenen Quotienten die Anzahl der +Theile des horizontalen, getheilten Schenkels des Winkelmaasses +multiplicirt. +</p><p> +Es war somit der Seket (welcher in derselben Art fr +einen geraden Kreiskegel aus dem Durchmesser der Basis +und der Hhe bestimmt erscheint) als Verhltniss aufgefasst, +die goniometrische Cotangente des Neigungswinkels der Seitenflche +der Pyramide, respective der Kegelkante zur Basis. +</p><p> +Wenn wir selbstverstndlich weit davon entfernt sind, +hierin vielleicht Anfnge der Trigonometrie sehen zu wollen, +so erkennen wir doch anderseits, dass den alten Aegyptern +auch die Lehre proportionaler Linien, wenigstens in ihren +Anwendungen, bekannt gewesen sein musste, und erscheint +uns auch der am Eingange erwhnte Ausspruch ber die +dem Milesier <name rend='gesperrt'>Thales</name> zugeschriebene Hhenmessung der +Pyramiden als ein ganz glaubwrdiger, wenn wir sehen, wie +im Papyrus von den drei Werthen: Basis, Hhe, Seket, jeder +aus den beiden anderen berechnet erscheint. +</p><p> +Fassen wir nun die Ergebnisse unserer Betrachtungen +zusammen, so mssen wir aus der quellenmssig erwiesenen +grossen Bewunderung, welche die ausgesprochen geometrisch +hochentwickelten Griechen den aegyptischen Geometern rckhaltlos +zollten, wir mssen aus der unanfechtbaren Thatsache, +dass griechische Geometer den Grund zu ihren Kenntnissen +und Entdeckungen in Aegypten suchten und fanden, +wir mssen im Hinblicke auf das, aus der nun vollends +<pb n='33'/><anchor id='Pg33'/> +entzifferten[42] <name rend='gesperrt' type='place'>Edfu</name>er Schenkungsurkunde sich mit Sicherheit +ergebende ausgebreitete und fest organisirte Katasterwesen +der alten Aegypter, welches zugleich mit den zahlreichen, +dem ffentlichen Leben dienenden Land- und +Wasserbauten auf eine verhltnissmssig bedeutend entwickelte +Vermessungskunde hinweist, wir mssen endlich +aus dem von uns besprochenen Papyrus, der sich als eine +ungenaue Abschrift eines mangelhaften, aus dem dritten Jahrtausend +vor Chr. G. stammenden, mathematischen Collegien- oder +Aufgabenheftes erweist, und aus dessen Vorhandensein +sich fast mit Gewissheit auf damals existirende, neben den +Regeln auch ihre Ableitungen enthaltende Lehrbcher +schliessen lsst, wir knnen und mssen aus allen diesen +Umstnden den allgemeinen Schluss ziehen, dass bereits drei +Jahrtausende vor unserer Zeitrechnung sowohl die arithmetischen, +als auch die geometrischen Kenntnisse der Aegypter, +einen fr dieses Zeitalter bedeutenden Grad der Entwicklung +besassen. +</p><p> +Insbesondere knnen wir in jenen fernen Zeiten eine +staunenswerth weitgehende Annherung bei der Berechnung +der Kreisflche beobachten, wir finden mit vollstndiger +Sicherheit richtige Flchenbestimmungen des Quadrates, +Rechteckes und des rechtwinkligen Dreieckes; hchst wahrscheinlich +auch richtige Bestimmungen der Flchen schiefwinkliger +Dreiecke und Vierecke, welche im praktischen +Leben durch leichter zu handhabende Annherungsformeln +ersetzt wurden; wir sehen Bestimmungen des Rauminhaltes +durch ihre Dimensionen gegebener Krper und erkennen die +Anfnge der Aehnlichkeitslehre. +</p><p> +Was das geometrische Zeichnen betrifft, so kennen wir +schon die Construction der frher beobachteten regelmssigen +Figuren und drfen weiter vermuthen, dass die Anlegung +<pb n='34'/><anchor id='Pg34'/> +rechter Winkel und das Fllen von Senkrechten sowohl +mittelst des Winkelmaasses als auch mittelst rationaler rechtwinkliger +Dreiecke bekannt, und die Zerlegung gegebener +Flchen behufs ihrer Inhaltbestimmung in allgemeiner Verwendung +war. +</p><p> +Gewiss werden auch theoretische Resultate bekannt +gewesen sein; so die Hlftung des Kreises durch seinen +Durchmesser, die sich aus der besprochenen Seketrechnung +von selbst ergebende Winkelgleichheit an der Basis gleichschenkliger +Dreiecke und gleichseitiger quadratischer Pyramiden, +und wohl noch manches Andere. +</p><p> +Mge es gelingen, durch Auffindung neuer, sowie durch +Entzifferung der, noch ihrer Erklrung harrenden Denkmale +und Schriften, von welchen letzteren, Dank der hohen Munificenz +des Erlauchten Curators unserer Akademie, auch Wien +eine imposante Zahl aufweisen kann, mge es so gelingen +noch weitere Anhaltspunkte fr die Kenntniss der mathematischen +Thtigkeit des uns bekannten ltesten Culturvolkes, +der Aegypter zu gewinnen! +</p><p> +Diesen unseren Wunsch theilen gewiss Alle, denen die +Erforschung der Culturgeschichte des menschlichen Geschlechtes +nicht ohne Wichtigkeit erscheint! +</p> + </div> + <div> + <divGen rend="page-break-before: always" type="endnotes" /> + </div> + </body> + + <back> + <div> + <divGen rend="page-break-before: right" type="pgfooter" /> + </div> + </back> +</text> +</TEI.2> + diff --git a/24817.txt b/24817.txt new file mode 100644 index 0000000..893af75 --- /dev/null +++ b/24817.txt @@ -0,0 +1,1555 @@ +The Project Gutenberg EBook of Ueber die Geometrie der alten Aegypter. by +Emil Weyr + + + +This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no +restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under +the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or +online at http://www.gutenberg.org/license + + + +Title: Ueber die Geometrie der alten Aegypter. + +Author: Emil Weyr + +Release Date: March 13, 2008 [Ebook #24817] + +Language: German + +Character set encoding: US-ASCII + + +***START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK UEBER DIE GEOMETRIE DER ALTEN AEGYPTER.*** + + + + + + UeBER DIE + + GEOMETRIE DER ALTEN AEGYPTER + + ------------------ + + VORTRAG + + GEHALTEN IN DER + + FEIERLICHEN SITZUNG DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN + + AM + + XXIX. MAI MDCCCLXXXIV + + VON + + DR. EMIL WEYR + + WIRKLICHEM MITGLIEDE DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN. + + ------------------ + + WIEN + + AUS DER K. K. HOF- UND STAATSDRUCKEREI. + + IN COMMISSION BEI KARL GEROLD'S SOHN, + + BUCHHAeNDLER DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN. + + 1884 + + + + + + +Moege mir gestattet sein, bei dem heutigen feierlichen Anlasse ein Bild zu +entrollen, welches in grossen Strichen die allgemeinen Umrisse des +Zustandes der geometrischen Wissenschaften bei den alten Aegyptern zur +Darstellung bringen soll; und moege dasselbe Wohlwollen, das, gepaart mit +einer althergebrachten Sitte, mich heute auf diesen eben so ehrenvollen +als schwierigen Platz gestellt, auch bei der Beurtheilung der folgenden +bescheidenen, weil schwachen Kraeften entspringenden Leistung obwalten! + +So wie der Anfang aller menschlichen Kenntnisse, so ist auch der Ursprung +der Geometrie in grauestes Alterthum zu versetzen, er ist zu suchen in +jenen der Zeit nach unangebbaren Perioden der menschlichen Entwicklung, in +welchen das erste Erwachen des Selbstbewusstseins zu finden waere. Sind +doch manche geometrische Anschauungen auch dem Thiere eigen; so jene der +geraden Verbindungslinie zweier Punkte als der kuerzesten Entfernung; jene +des Mehr und Weniger bei Quantitaeten der Entfernungen, Hoehen, Neigungen, +und so werden auch manche abstractere Raumanschauungen dem Menschen in +seinen ersten Entwicklungsperioden eigen geworden sein, Anschauungen, +welche durch die Moeglichkeit und auf Grund der sprachlichen Bezeichnung +jene Stabilitaet erhielten, die sie befaehigte, als erste Fundamente der +geometrischen Kenntnisse zunaechst, und der Geometrie als Wissenschaft +spaeter aufzutreten. + +Geometrisches Denken entstand zu den verschiedensten Zeiten, an den +verschiedensten Orten. Denn ueberall, wo der menschliche Geist sich zu +entwickeln begann, und das menschliche Denken jene Hoehe erreichte, auf +welcher Abstractionen entstehen, bildeten sich die grundlegenden +Raumbegriffe; der des Punktes, der geraden und krummen Linien, der ebenen +und krummen Flaechen. Denn ueberall in der Natur boten sich dem erwachenden +Menschen Repraesentanten dieser Begriffe in groesserer oder geringerer +Genauigkeit dar. Waehrend der Anblick der auf- und untergehenden Sonne, +sowie des vollen Mondes in suedlichen Gegenden fast taeglich das Bild der +"vollkommensten", der "schoensten" Linie, der Kreislinie vorfuehrte, +stellten sich die zahllosen Sterne des Abends dem Auge als glaenzende +Punkte dar, welche in ihren mannigfaltigen gegenseitigen +Lagenverhaeltnissen die Phantasie des Menschen bei der, von ihm beliebten +Eintheilung des Himmels in Sternbilder zur Herstellung so mancher geraden +und krummen Linien verleiten mochten. Und selbst in seiner naechsten +Umgebung fand der beobachtende Mensch geometrische Anklaenge; das Gewebe +der Spinne mit seinen kreisrunden und radialen Faeden, die sechseckige +Bienenzelle, die beim Fallen eines Koerpers in ruhendes Wasser entstehenden +concentrischen Wellenringe, und wie vieles Andere musste, wenn auch nach +und nach, so doch mit zwingender Nothwendigkeit den Menschen zur +Beobachtung gesetzmaessiger geometrischer Formen fuehren. + +Als Mutterland der Mathematik im Allgemeinen, und der Geometrie im +Besonderen wird Aegypten angefuehrt; doch ist die Zeit laengst vorbei, wo +man sich Aegypten als einzigen Ursprungsort dieser Wissenschaften dachte, +vielmehr muss als feststehend angenommen werden, dass jedes Volk in seinem +Entwicklungsgange geometrische Anschauungen sich anzueignen schon durch +praktische Beduerfnisse gezwungen war. Die Hoehe, zu welcher sich die +einzelnen Voelker in ihren mathematischen Speculationen emporzuschwingen +vermochten, hing von der Richtung des Bildungsganges, von dem Maasse des +Beduerfnisses und nicht in letzter Reihe von dem Einfluesse religioeser +Verhaeltnisse ab. + +Und so mag sich zunaechst jene Naturgeometrie entwickelt haben, welche +allen Voelkern zugesprochen werden muss, und auf deren Vorhandensein, weil +auf die Anwendungen ihrer freilich einfachsten Principien, Ueberreste von +Bauten ueberall dort hinweisen, wo wir in der Lage sind, solche beobachten +zu koennen. Die Pellasger, die vorhellenischen Ureinwohner Griechenlands, +mussten lange vor Entstehung der Philosophie geometrische Kenntnisse in +dem Maasse besessen haben, wie sie zur Auffuehrung von Wasserbauten, +Daemmen, Canaelen und Burgen, von denen man jetzt noch Spuren findet, +nothwendig waren. + +Verfolgt man die Entwicklung der Geometrie zu ihren Quellen aufwaerts, so +duerfen wir nicht ueberrascht sein, dass man bei dem uns bekannten aeltesten +Culturvolke, bei den Aegyptern, am weitesten vorzudringen vermag, und zwar +an der Hand der indirecten wie der directen Nachrichten, welche uns ueber +diesen Gegenstand zugekommen sind. Leider jedoch sind die Ersteren ihrem +Inhalte und die Letzteren ihrer Zahl nach nur spaerliche zu nennen. + +Zahlreich sind wohl die Stellen in griechischen Philosophen und +Geschichtschreibern, welche Bezug haben auf aegyptische Geometrie, es +laesst sich jedoch nicht verkennen, dass oft die Spaeteren auf Fruehere sich +stuetzen, und wir es moeglicherweise mit einer einzigen, durch Jahrhunderte +fortgefuehrten Nachricht zu thun haben. + +Durch *Herodot*, welcher um die Mitte des fuenften vorchristlichen +Jahrhunderts (460) Aegypten bereiste, erfahren wir(1), dass die Geometrie +von Aegypten nach Griechenland verpflanzt worden sei. Etwas spaeter (393 +v. Chr.) berichtet *Isokrates* die Thatsache(2), dass die Aegypter "die +Aelteren (unter ihren Priestern) ueber die wichtigsten Angelegenheiten +setzten, dagegen die Juengeren beredeten, mit Hintansetzung des Vergnuegens, +sich mit Astronomie, Rechenkunst und Geometrie zu beschaeftigen". + +In *Platon*'s _Phaedrus_ sagt *Sokrates*: "Ich habe vernommen, zu Naukratis +in Aegypten sei einer der dortigen alten Goetter gewesen, dem auch der +Vogel geheiligt ist, den sie Isis nennen, waehrend der Gott selbst den +Namen Teuth fuehrt; dieser habe zuerst Zahlenlehre und Rechenkunst erfunden +und Geometrie und Astronomie"(3), und einen directen Hinweis finden wir +bei *Aristoteles*, welcher in seiner _Metaphysik_ sagt:(4) "Daher +entstanden auch in Aegypten die mathematischen Wissenschaften, denn hier +war den Priestern die dazu noethige Muesse vergoennt." + +Uebrigens schrieben sich die Aegypter neben der Erfindung der +Buchstabenschrift auch jene der meisten Wissenschaften und Kuenste zu, +worueber *Diodor*(5), welcher etwa 70 Jahre v. Chr. G. Aegypten bereiste, +bemerkt: "Die Aegypter behaupten, von ihnen sei die Erfindung der +Buchstabenschrift und die Beobachtung der Gestirne ausgegangen, ebenso +seien von ihnen die Theoreme der Geometrie und die meisten Wissenschaften +und Kuenste erfunden worden." + +Neben diesen ganz allgemein gehaltenen Angaben sind hauptsaechlich +diejenigen Berichte zu erwaehnen, welche sich auf die Art der +wissenschaftlichen Leistungen der Aegypter beziehen. + +Da sagt zunaechst *Herodot*(6) in Hinsicht auf die unter dem Koenige +*Sesostris* durchgefuehrte Laendereintheilung: "Auch sagten sie, dass dieser +Koenig das Land unter alle Aegypter so vertheilt habe, dass er jedem ein +gleich grosses Viereck gegeben, und von diesem seine Einkuenfte bezogen +habe, indem er eine jaehrlich zu entrichtende Steuer auflegte. Wem aber der +Fluss (Nil) von seinem Theile etwas wegriss, der musste zu ihm kommen und +das Geschehene anzeigen; er schickte dann die Aufseher, die auszumessen +hatten, um wie viel das Landstueck kleiner geworden war, damit der Inhaber +von dem uebrigen nach Verhaeltniss der aufgelegten Abgaben steure. Hieraus +erscheint mir die Geometrie entstanden zu sein, die von da nach Hellas +kam." + +Die, *Herodot*, dem Vater der Geschichtsschreibung folgenden +Berichterstatter hielten sich nun, vielleicht erklaerlicherweise, +vorzueglich an den einen, die Nilueberschwemmungen betreffenden Theil obiger +Nachricht, und wurde, gewiss Unberechtigtermassen der Nil als der +unmittelbare Anstoss fuer alle geometrischen Arbeiten der Aegypter +hingestellt. Und doch scheint es uns viel naeherliegend, die einerseits +behufs der Steuerbemessung und Controle, anderseits wegen der aus den +Veraenderungen im Besitzstande sich nothwendig ergebenden +Flaechenfestsetzungen als den Hauptbeweggrund jener Vermessungen zu +erkennen, wobei die gesammelten Erfahrungen gewiss auch bei der +Beurtheilung der unzweifelhaft nach den periodisch eintretenden +Nilueberschwemmungen vorgekommenen Terrainveraenderungen mit Vortheil +benutzt worden sein moegen. + +Unverkennbar ist der Zug nach Aufbauschung und Ausschmueckung des, jene +Nilueberschwemmungen betreffenden Theiles des *Herodot*'schen Berichtes, +wenn man die Aufzeichnungen spaeterer Gewaehrsmaenner naeher betrachtet. + +Zunaechst finden wir bei *Heron* dem Aelteren die folgende diesbezuegliche +Stelle(7): "Die frueheste Geometrie beschaeftigte sich, wie uns die alte +Ueberlieferung lehrt, mit der Messung und Vertheilung der Laendereien, +woher sie Feldmessung genannt wurde. Der Gedanke einer Messung naemlich +ward den Aegyptern an die Hand gegeben durch die Ueberschwemmungen des +Nil. Denn viele Grundstuecke, die vor der Flussschwelle offen dalagen, +verschwanden beim Steigen des Flusses und kamen erst nach dem Sinken +desselben zum Vorschein, und es war nicht immer moeglich, ueber die +Identitaet derselben zu entscheiden. Dadurch kamen die Aegypter auf den +Gedanken einer solchen Messung des vom Nil blossgelegten Landes." + +Weiter finden wir bei *Diodor*(8) einen Ausspruch, durch welchen wir +uebrigens auch ueber andere wissenschaftliche Leistungen der Aegypter +belehrt werden; *Diodor* sagt: "Die Priester lehren ihre Soehne zweierlei +Schrift, die sogenannte heilige, und die, welche man gewoehnlich lernt. Mit +Geometrie und Arithmetik beschaeftigen sie sich eifrig. Denn indem der +Fluss jaehrlich das Land vielfach veraendert, veranlasst er viele und +mannigfache Streitigkeiten ueber die Grenzen zwischen den Nachbarn; diese +koennen nun nicht leicht ausgeglichen werden, wenn nicht ein Geometer den +wahren Sachverhalt durch directe Messung ermittelt. Die Arithmetik dient +ihnen in Haushaltungsangelegenheiten und bei den Lehrsaetzen der Geometrie; +auch ist sie denen von nicht geringem Vortheile, die sich mit Sternkunde +beschaeftigen. Denn wenn bei irgend einem Volke die Stellungen und +Bewegungen der Gestirne sorgfaeltig beobachtet worden sind, so ist es bei +den Aegyptern geschehen; sie verwahren Aufzeichnungen der einzelnen +Beobachtungen seit einer unglaublich langen Beihe von Jahren, da bei ihnen +seit alten Zeiten her die groesste Sorgfalt hierauf verwendet worden ist. +Die Bewegungen und Umlaufszeiten sowie die Stillstaende der Planeten, auch +den Einfluss eines jeden auf die Entstehung lebender Wesen und alle ihre +guten und schaedlichen Einwirkungen haben sie sehr sorgfaeltig beobachtet." + +Am innigsten verknuepft erscheint die Geometrie der Aegypter mit den +Ueberschwemmungen des Nil bei *Strabon*(9); welcher bemerkt, "dass es +einer sorgfaeltigen und bis auf das Genaueste gehenden Eintheilung +bedurfte, wegen der bestaendigen Verwuestung der Grenzen, die der Nil bei +seinen Ueberschwemmungen veranlasst, indem er Land wegnimmt und zusetzt, +und die Gestalt veraendert, und die anderen Zeichen unkenntlich macht, +wodurch das fremde und eigene Besitzthum unterschieden wird. Man muesse +daher immer und immer wieder messen. Hieraus soll die Geometrie entstanden +sein." + +Den gesellschaftlichen Einrichtungen der Aegypter entsprechend, muss als +feststehend angenommen werden, dass sich eine Kaste, nach eben Gehoertem +die der Priester, mit dem wissenschaftlichen Theile der Geometrie +beschaeftigte, waehrend eine andere, die der Feldmesser, die von den +Ersteren aufgestellten und sorgsam gehueteten geometrischen Principien +praktisch zur Anwendung brachte. Dabei wurden, wie wir spaeter sehen +werden, die Geheimnisse der Priester, insoweit sie geometrische Wahrheiten +und Berechnungsregeln betrafen, moeglicherweise nur insoweit enthuellt, dass +bei deren Verwendung nur annaeherungsweise richtige Resultate zum Vorschein +kamen. + +Wohl sind einige Schriftsteller so weit gegangen, dass sie, die +unlaeugbaren Uebertreibungen des Zusammenhanges zwischen den +Nilueberschwemmungen und der aegyptischen Geometrie im Auge behaltend, die +Existenz der letzteren einfach negirten, und alle die citirten Aussprueche +in das Gebiet der Fabel verwiesen. + +Was macht man jedoch dann mit den wohlbeglaubigten Nachrichten ueber die +Reisen, welche hervorragende griechische Philosophen nach Aegypten +unternahmen, oft jahrelang dort verweilend, um sich in die Geheimnisse +aegyptischer Priester einweihen und mit deren geometrischem Wissen +vertraut machen zu lassen? + +*Eudemus von Rhodos*(10), einer der aeltesten Peripatetiker, schrieb eine +Geschichte der Mathematik, aus welcher uns durch *Proklos Diadochus*(11), +einen Philosophen des fuenften nachchristlichen Jahrhunderts, ein +Bruchstueck erhalten ist, welches sozusagen das einzige Mittel bildet, das +uns einen Einblick in die geometrischen Errungenschaften der Griechen in +den ersten dritthalb Jahrhunderten nach *Thales* gewaehrt. Hierin heisst es +unter Anderem: "*Thales*, der nach Aegypten ging, brachte zuerst die +Geometrie nach Hellas hinueber und Vieles entdeckte er selbst, von Vielem +aber ueberlieferte er die Anfaenge seinen Nachfolgern; das Eine machte er +allgemeiner, das Andere mehr sinnlich fassbar." Hundert Jahre nach dem +Tode des *Pythagoras* berichtet der Redner *Isokrates*(12): "Man koennte, +wenn man nicht eilen wollte, viel Bewunderungswuerdiges von der Heiligkeit +aegyptischer Priester anfuehren, welche ich weder allein noch zuerst +erkannt habe, sondern viele der jetzt Lebenden und der Frueheren, unter +denen auch *Pythagoras* der Samier ist, der nach Aegypten kam und ihr +Schueler wurde und die fremde Philosophie zuerst zu den Griechen +verpflanzte." + +Waehrend der Aufenthalt des *Pythagoras* in Aegypten unter Anderen auch +noch von *Strabon*(13) und *Antiphon*(14) bestaetiget wird, nennt uns +*Diodor*(15) eine ganze Reihe von Namen, indem er sagt; "Die aegyptischen +Priester nennen unter den Fremden, welche nach den Verzeichnissen in den +heiligen Buechern vormals zu ihnen gekommen seien, den *Orpheus*, +*Musaios*, *Melampus* und *Daidalos*, nach diesen den Dichter *Homer*, den +Spartaner *Lykurgos*, ingleichen den Athener *Solon* und den Philosophen +*Platon*. Gekommen sei zu ihnen auch der Samier *Pythagoras* und der +Mathematiker *Eudoxos*, ingleichen *Demokritos von Abdera* und *Oinopides +von Chios*. Von allen diesen weisen sie noch Spuren auf, von den Einen +Bildnisse von den Anderen Orte und Gebaeude, die nach ihnen benannt sind. +Aus der Vergleichung dessen, was jeder von ihnen in seinem Fache geleistet +hat, fuehren sie den Beweis, dass sie Dasjenige um desswillen sie von den +Hellenen bewundert werden, aus Aegypten entlehnt haben." Aus diesen +Stellen geht mit Sicherheit hervor, dass viele Griechen nach Aegypten +zogen, um bei den dortigen Priestern Philosophie und Mathematik kennen zu +lernen, da wohl in den Berichten nur die hervorragenden Maenner angefuehrt +wurden. + +Der Milesier *Thales*, welcher erst in vorgeruecktem Alter, und nachdem er +als Handelsmann frueher gewiss schon mehrmals Aegypten besucht gehabt, sich +daselbst behufs seiner Studien zu laengerem Aufenthalt niederlies, ist +merkwuerdiger Weise in dem Berichte des Diodor nicht angefuehrt, und koennte +man wohl aus diesem Umstande umsomehr einen gewissen Grad von +Unglaublichkeit ableiten, als darin mythische Namen wie *Orpheus*, +*Daidalos* und *Homer* angefuehrt erscheinen. Diese letzteren konnten +jedoch sehr wohl dem im Ganzen und Grossen sonst richtigen Verzeichnisse +vom Berichterstatter eigenwillig beigefuegt worden sein, um dadurch das +hohe Alter aegyptischer Wissenschaft in ein vorteilhaftes Licht zu setzen. + +Abgesehen jedoch von aller Wahrscheinlichkeit oder Unwahrscheinlichkeit +fuer die Exactheit obiger Aussprueche in Bezug auf einzelne Namen, duerfte +jedenfalls das als unumstoessliche Wahrheit gelten, dass die aegyptischen +Priester von den Griechen als in den Wissenschaften, insbesondere in der +Geometrie sehr bewandert gehalten wurden, und zwar in einem solchen +Maasse, dass eine Reihe hervorragender griechischer Philosophen es nicht +verschmaehte, die, fuer damalige Verhaeltnisse nicht unbedeutende Reise nach +Aegypten zu unternehmen, ja oft jahrelang in diesem Lande mit unbekannter +Sprache und Schrift zu verweilen, um sich die Kenntnisse der Aegypter +anzueignen. + +Stellt man nun zunaechst die Frage nach Quantitaet und Qualitaet des +geometrischen Wissens, welches die Griechen von ihren Studienreisen mit +nach Hause brachten, so scheint dies, selbst vom Standpunkte der +unmittelbar nachpythagoraeischen Geometrie, aeusserst Weniges gewesen zu +sein. + +*Thales* von Milet, einer der sieben griechischen Weltweisen, der +Begruender der ionischen Schule, *Thales*, welcher fuer das Jahr 585 +v. Chr. G. eine, auch eingetroffene Sonnenfinsterniss vorherzusagen +wusste, soll, den uns von *Proklos* zugekommenen Berichten zufolge, in +Aegypten nicht viel mehr erfahren haben, als die Saetze ueber die Gleichheit +der Winkel an der Basis eines gleichschenkligen Dreieckes, die Gleichheit +der Scheitelwinkel am Durchschnitt zweier Geraden; er wusste ferner, wie +ein Dreieck durch eine Seite und die beiden anliegenden Winkel bestimmt +erscheint, diese Eroerterung zur Messung der Entfernungen von Schiffen auf +dem Meere benuetzend, es war ihm bekannt, dass ein Kreis durch einen +Durchmesser halbirt wird,(16) und soll er die Hoehe der Pyramiden aus der +Laenge des Schattens gemessen haben, hoechst wahrscheinlich in dem Momente, +wo die Schattenlaenge eines senkrechten Stabes der Stablaenge gleich +ist,(17) moeglicherweise jedoch, wie *Plutarch*(18) berichtet, auch zu +einer beliebigen Tageszeit. Auch wird ihm von *Pamphile*(19) die Kenntniss +des Satzes zugeschrieben, dass der Peripheriewinkel im Halbkreise ein +rechter sei. Gewiss hat Thales wenigstens jene geometrischen Fundamente in +Aegypten kennen gelernt, welche es ihm ermoeglichten, die genannten Saetze +als wahr zu erkennen, wenn auch bei ihm, selbst bei diesen einfachen +Dingen an einen strengen Beweis nicht gedacht werden kann. + +Es waere jedoch voreilig, aus der Geringfuegigkeit der Thaletischen +geometrischen Kenntnisse mit *Montucla* (20) zu schliessen, dass auch die +Aegypter nicht viel mehr gewusst haetten. Man kann wohl annehmen, dass die +aegyptischen Priester bei ihrer den Fremden gegenueber beobachteten +Zurueckhaltung nur einen Theil ihres Wissens offenbarten; wer koennte jedoch +bemessen, in welchem Verhaeltnisse dieser Theil zu ihrem Gesammtwissen +stand? Der Ansicht *Montucla*'s kann man entgegensetzen, dass die Aegypter +den Fremden nur einen kleinen Bruchtheil ihres sorgsam im Verborgenen +gehueteten Wissens preisgegeben haben mochten, wobei ferner nicht +unberuecksichtigt bleiben darf, dass den nach Aegypten gekommenen Griechen +auch die Unkenntniss der Sprache und der Schrift weitere, nicht zu +unterschaetzende Schwierigkeiten bereitete, in dem Maasse als vielleicht +Manches, was ihnen die aegyptischen Priester von aegyptischem Wissen zur +Verfuegung stellten, unverstanden bleiben konnte. + +Was nun das Wesen aegyptischer Geometrie betrifft, so finden wir in den +Berichten der Alten fast gar keine Anhaltspunkte, um uns hierueber Klarheit +verschaffen zu koennen, und war man bis vor Kurzem darauf hingewiesen, aus +den Anfaengen griechischer Mathematik auf den Stand der aegyptischen +zurueckzuschliessen, was, wie aus dem Vorhergesagten folgen duerfte, mit +nicht geringen Schwierigkeiten verbunden erscheint. + +Die Ansicht, dass die Geometrie der Aegypter eigentlich nur constructiver +Natur war, aehnlich dem was wir als Reisskunst zu bezeichnen pflegen,(21) +duerfte sich nicht als stichhaeltig erweisen; es moege jedoch gleich jetzt +darauf hingedeutet werden, dass die Aegypter im Construiren geometrischer +Formen nicht unbewandert sein konnten. + +So sagt in etwas prahlerischer Weise *Demokritos* von *Abdera*(22) um 420 +v. Chr. G.: "Im Construiren von Linien nach Maassgabe der aus den +Voraussetzungen zu ziehenden Schluesse hat mich keiner je uebertroffen, +selbst nicht die sogenannten Harpedonapten der Aegypter"; und *Theon* von +*Smyrna*(23) erzaehlt, dass "Babylonier, Chaldaeer und Aegypter eifrig nach +allerhand Grundgesetzen und Hypothesen suchten, durch welche den +Erscheinungen genuegt werden koennte; zu erreichen suchten sie dies dadurch, +dass sie das frueher Gefundene in Ueberlegung zogen, und ueber die +zukuenftigen Erscheinungen Vermuthungen aufstellten, wobei die Einen sich +arithmetischer Methoden bedienten, wie die Chaldaeer, die Anderen +construirender wie die Aegypter". + +Aus diesen und aehnlichen Berichten, sowie aus dem Umstande, dass die +Anfaenge der griechischen Geometrie selbst hauptsaechlich constructiver +Natur waren, muss man zu dem Schlusse kommen, dass die alten Aegypter seit +unvordenklichen Zeiten die Reisskunst pflegten, und in der langen Reihe +der Jahrhunderte sicherlich eine ziemlich bedeutende Masse sowohl +einfacher als complicirterer Constructionen erfanden und in ein gewisses +System brachten, von Ersteren zu Letzteren aufsteigend. Diese +Constructionen duerften ihrem groesseren Theile nach, und zwar jenem Theile +nach, welcher, wenn auch ohne Begruendung Gemeingut der die Kuenste und +Gewerbe betreibenden Kasten wurde, nur solche gewesen sein, die dem +praktischen Beduerfnisse dienen konnten, also zumeist +Ornamentenconstructionen. Wir bemerken hier unter Anderem das Vorkommen +regelmaessiger geometrischer Figuren auf uralten Wandgemaelden, wie sie sich +z. B. als faerbige Zeichnungen aus den Zeiten der fuenften Dynastie, also +unmittelbar nach den Erbauern der Pyramiden, das ist 3400 Jahre v. Chr. G. +etwa vorfinden.(24) + +Man sieht unter der grossen Menge der in dieser Zeit vorkommenden Figuren +eine, aus verschobenen, ineinander gezeichneten, theilweise durch zu einer +Diagonale Parallele zerlegten Quadraten zusammengesetzte Figur, ferner aus +der Zeit von der zwoelften bis zur sechsundzwanzigsten Dynastie, eine +Figur, bestehend aus einem Quadrate, und zwei, laengs der Diagonale +centrisch hineingelegten lemniscatischen Curven, sowie eine +Zusammenstellung von um fuenfundvierzig Grade gegeneinander verdrehten, +sich durchsetzenden Quadraten. Kreise erscheinen durch ihre Durchmesser in +gleiche Kreisausschnitte getheilt; so zunaechst durch zwei oder vier +Durchmesser in vier beziehungsweise acht, und in spaeteren Zeiten auch +durch sechs Durchmesser in zwoelf gleiche Ausschnitte; die in den +Zeichnungen vorkommenden Wagenraeder besitzen zumeist sechs, seltener vier +Speichen, so dass auch die Theilung des Kreises durch drei Diameter in +sechs gleiche Kreisausschnitte vertreten erscheint. + +In einer unvollendet gebliebenen Kammer des Grabes *Seti I.*, des Vater +*Ramses II.* aus der neunzehnten Dynastie (das sogenannte Grab +*Belzoni*)(25) finden wir die Waende behufs Anbringung von Reliefarbeiten +mit einem Netze gleich grosser Quadrate bedeckt, und es kann keinem +Zweifel unterliegen, dass wir es hier mit der Anwendung eines +Verkleinerungs- beziehungsweise Vergroesserungsmaassstabes zu thun haben. + +Wenn nun auch die einfachen Figuren des Dreieckes, Quadrates und des +Kreises hoechst wahrscheinlich ohne besondere Ueberlegung, einfach dem +inneren geometrischen Formendrange entsprungen sein duerften, so ist doch +gewiss, dass ihre verschiedenartige Zusammensetzung zu Mustern das +Product, wenn auch primitiven geometrischen Denkens war, welches dann +schon eine ziemliche Selbststaendigkeit erreicht haben musste, als die +vorerwaehnte Anwendung von Proportionalmaassstaeben in Uebung kam. + +Andererseits musste das oeftere Betrachten der regelmaessigen Figuren einen +geometrisch disponirten Geist von selbst zum Aufsuchen unbekannter +Eigenschaften derselben reizen, und vielleicht ist der Thaletische Satz +von der Halbirung des Kreises durch einen Durchmesser nichts als eine aus +der Betrachtung jener aegyptischen Zeichnungen gewonnene Abstraction, und +huldigen wir in dieser Beziehung der Ansicht, dass *Thales* beim +Ausspruche des erwaehnten, fuer uns freilich hoechst einfach klingenden +Satzes, wahrscheinlich sagen wollte, nur der Kreis habe die ausgezeichnete +Eigenschaft, von allen durch einen Punkt, den Mittelpunkt, gehenden +Geraden in lauter untereinander gleiche Haelften getheilt zu werden. + +Von besonderer Wichtigkeit scheint uns jedoch der frueher citirte +selbstgefaellige Ausspruch des *Demokritos* zu sein, da er uns vor einer +ungerechtfertigten Unterschaetzung aegyptischer Constructionsgewandtheit +bewahren kann. Bedenklich in *Demokritos*' Angabe koennte allenfalls jenes +Selbstlob erscheinen, das er sich spendet; wenn es nun wohl auch schon im +Alterthume Maenner geben mochte, die ihre Beruehmtheit vorzugsweise und oft +nur der Hochschaetzung verdankten, die sie sich selbst und ihren Werken +gezollt, Maenner, welche in der Verbreitung des eigenen Lobes so emsig, so +unermuedlich waren, dass sich um sie als die davon Ueberzeugtesten noch ein +Kreis von Glaeubigen bildete, welche den, oft nur auf schwankenden Fuessen +einhergehenden Ruhm ihrer Profeten weiter fuehrten, so ist doch die +Bedeudung des Geometers *Demokritos* durch so viele, und verschiedenen +Quellen entspringende Aussprueche beglaubigt, dass es gewiss Niemandem +einfallen wird, seine Autoritaet als die eines gruendlichen Kenners der +Geometrie seiner Zeit in Zweifel zu ziehen. Wohl sind uns von den +geometrischen Werken des *Demokritos*, und kaum von allen nur die ganz +allgemein klingenden Titel erhalten. + +Waehrend uns *Cicero*(26) diesen Philosophen als einen gelehrten, in der +Geometrie vollkommen bewanderten Mann anpreist, theilt uns *Diogenes +Laertius*(27) mit, dass *Demokritos* "ueber Geometrie", "ueber Zahlen", +"ueber den Unterschied des Gnomon oder ueber die Beruehrung des Kreises und +der Kugel", sowie zwei Buecher "ueber irrationale Linien und die dichten +Dinge" geschrieben habe, Schriften, deren Titel theilweise uns ueber ihren +Inhalt ganz im Unklaren lassen. Legen wir den angefuehrten Zeugnissen +Glauben bei, und es ist kein Grund vorhanden dies nicht zu thuh, so muessen +wir von *Demokritos* als von einem "in der Geometrie vollkommenen Manne" +voraussetzen, dass er mit den Errungenschaften des *Pythagoras*, welcher +ein Jahrhundert vor *Demokritos* Aegypten besucht hatte, vollkommen +vertraut war. Gewiss war ihm somit bekannt: die Methode der "Anlegung der +Flaechen", welche wieder die Vertrautheit mit den Hauptsaetzen aus der +Theorie der Parallelen und der Winkel, so wie die Kenntniss der +Abhaengigkeit der Flaecheninhalte von den ihnen zukommenden Ausmaassen +voraussetzt. Nicht minder bekannt mussten ihm die, dem *Pythagoras* +zugeschriebenen Constructionen der fuenf regelmaessigen, sogenannten +kosmischen Koerper sein, woraus sich weiter schliessen laesst, dass auch +einerseits die Eigenschaften der Kugel, welcher doch jene Koerper +eingeschrieben wurden, und anderseits die Entstehungen der regelmaessigen, +jene Koerper begrenzenden Vielecke, vor Allem die des Fuenfeckes dem +*Demokritos* nicht ungelaeufig sein konnten. Die Construction des Letzteren +erheischt wiederum die Kenntniss der Lehre vom goldenen Schnitt, und diese +den Satz vom Quadrate der Hypothenuse(28). Hat nun *Demokritos* auch +selbst nichts Neues hinzugefuegt, so musste er doch Jenes kennen; wenn er +nun anderseits sagt: "im Construiren haette ihn Niemand, selbst nicht die +Harpedonapten der Aegypter uebertroffen", so duerfen wir hieraus mit +Sicherheit schliessen, dass die geometrischen Kenntnisse der aegyptischen +Priester bedeutend genug gewesen sein mussten, weil sich *Demokritos* +sonst kaum gerade ueber diese Geometer gesetzt haette. + +Doch verlassen wir fuer jetzt die Nachrichten des griechischen Alterthums, +welche in der Beurtheilung aegyptischer Geometrie nur Conjecturen +zulassen, und blicken wir nach directen Denkmalen aegyptischen Ursprungs, +aus denen vielleicht Schluesse gezogen werden koennten auf Wesen und Umfang +aegyptischer Geometrie. + +Das Britische Museum bewahrt eine Papyrusrolle, welche aus dem Nachlasse +des Englaenders *A. Henry Rhind* stammt, die derselbe nebst anderen +werthvollen Rollen in Aegypten kaeufllich an sich gebracht haben duerfte. +Der erwaehnte Papyrus, ein altes Denkmal aegyptischer Mathematik, ist, wie +es scheint, nicht mit vollster Berechtigung als ein "mathematisches +Handbuch" der alten Aegypter bezeichnet worden(29). Der fragliche Papyrus +nennt sich selbst eine Nachahmung aelterer mathematischer Schriften, denn +es heisst in der Einleitung: "Verfasst wurde diese Schrift im Jahre +dreiunddreissig im vierten Monat der Wasserzeit unter Koenig Ra-a-us, Leben +gebend nach dem Muster alter Schriften in den Zeiten des Koenigs ...at vom +Schreiber Aahmes verfasst die Schrift." + +Nachdem zuerst Dr. *Birch*(30) auf diesen mathematischen Papyrus durch +einen kurzen vorlaeufigen Bericht aufmerksam gemacht hatte, wurde der +Gegenstand von dem ausgezeichneten Heidelberger Aegyptologen Dr. +*Eisenlohr* einer eingehenden, hoechst schwierigen und zeitraubenden +Untersuchung unterzogen, deren Resultate, was die Uebersetzung betrifft, +unseren gegenwaertigen Betrachtungen zu Grunde liegen. Bezueglich des Alters +des Papyrus hat man jenes der vorhandenen Abschrift von dem Alter des +unbekannten Originals zu unterscheiden. Nach der von *Eisenlohr* gegebenen +Vervollstaendigung der in der erwaehnten Einleitung auf das Wort Koenig +folgenden Luecke, wuerde der Herrscher, unter dessen Regierung das Original +entstanden ist, der Koenig *Ra-en-mat* sein, dessen Regierungszeit +*Lepsius*(31) auf 2221--2179 v. Chr. G. legt. Da ferner der Name *Ra-a-us* +in den bis dahin vorhandenen Koenigslisten nicht vorkommt, sah man sich, um +die Zeit der Entstehung der Abschrift wenigstens annaehernd angeben zu +koennen, darauf angewiesen, aus der bekannten Sitte der Aegypter die +Eigennamen der eben herrschenden oder der unmittelbar vorhergegangenen +Regenten zu gebrauchen, Schluesse zu ziehen. Und da liess der Name *Aahmes* +des Schreibers, sowie auch die (althieratische) Schrift des Papyrus +vermuthen, dass derselbe um 1700 v. Chr. G. entstanden sein duerfte. Die +Vermuthung in Bezug auf das Zeitalter der Abschrift hat sich nun neueren +Forschungen zu Folge vollkommen bestaetigt. Denn *Ra-a-us* wurde als der +Hyksoskoenig *Apophis* erkannt, und *Aahmes* duerfte seinen Namen von dem, +kurze Zeit dem Apophis vorhergegangenen Koenige *Amasis* entlehnt haben. + +Es erscheint so vollkommen sichergestellt, dass unser Papyrus aus dem +achtzehnten Jahrhundert v. Chr. G. stammt. Die Eingangsworte des Papyrus, +welche lauten: "Vorschrift zu gelangen zur Kenntniss aller dunklen Dinge, +aller Geheimnisse, welche enthalten sind in den Gegenstaenden", sowie die +Anordnung des Stoffes in Arithmetik, Planimetrie und Stereometrie, an +welche sich ein, verschiedene Beispiele enthaltender Theil anschliesst, +konnten im ersten Augenblicke den Gedanken aufkommen lassen, dass wir es +vielleicht mit einem Lehrbuche der Mathematik zu thun haben. Der Umstand +jedoch, dass der Papyrus nur die Zusammenstellung, allerdings eine in +gewissem Grade systematische Zusammenstellung von Aufgaben nebst ihren +Loesungen und den zugehoerigen Proben ist, ohne dass Definitionen oder +Lehrsaetze und Beweise vorkommen wuerden, liess den Papyrus wiederum als +eine Aufgabensammlung, als ein Anleitungsbuch fuer Praktiker erscheinen. +Man ist noch weiter gegangen, und stellte die Ansicht auf, der Autor habe +bei Abfassung dieser Schrift vorzueglich an Landleute, welchen die Theorie +unzugaenglich war, gedacht. Daraufhin weise nicht nur die Formulirung des +groessten Theiles der Aufgaben, welche Verhaeltnisse und Beduerfnisse der +Landwirthschaft beruecksichtigen, sondern auch der Schlusssatz des Papyrus, +welcher sagt: "Fange das Ungeziefer und die Maeuse, (vertilge) das +verschiedenartige Unkraut, bitte Gott *Ra* um Waerme, Wind und hohes +Wasser". + +Dass wir es nicht mit einem Handbuche, welches dem damaligen Standpunkte +der mathematischen Wissenschaften in Aegypten entsprechen muesste, zu thun +haben, ergibt sich nicht nur aus dem schon hervorgehobenen Mangel an +Definitionen, Lehrsaetzen und Beweisen, ja es fehlt selbst jede Erklaerung, +sondern auch aus dem Umstaende, dass neben der richtigen Loesung einzelner +Aufgaben die unrichtigen oder unvollendeten Loesungen derselben oder +aehnlicher Aufgaben, sowie manche Wiederholungen vorkommen. Nur nebenbei +verweisen wir darauf, dass in einem Handbuche unzweifelhaft wenigstens +Anklaenge an die erste der Wissenschaften des Alterthums, an die +Astronomie, zu finden sein muessten. Doch ist von diesem Theile der +Mathematik im Papyrus nicht die geringste Spur zu finden. Aufklaerungen +ueber den wahren Charakter des Originals unseres Papyrus, und eine viele +Wahrscheinlichkeit besitzende Vermuthung ueber die Entstehung der uns +beschaeftigenden Abschrift, verdanken wir dem Scharfsinne des franzoesischen +Aegyptologen Eugene *Revillout*.(32) + +Bei richtiger Erwaegung des Umstandes, dass oft auf ein fehlerlos geloestes +Beispiel, falsche Loesungen aehnlicher Beispiele folgen, welchen sich dann +gewoehnlich eine Reihe von Uebungsrechnungen anschliesst, Rechnungen die +einem Schulpensum in hohem Grade aehnlich sehen, bei Betrachtung der +Thatsache ferner, wie ein und dasselbe Zahlenbeispiel oft einigemal und +zwar so behandelt wird, dass der Reihe nach die vorkommenden Zahlenwerthe +als die berechneten Resultate erscheinen, draengt sich uns mit *Eugene +Revillout* die Ueberzeugung auf, dass wir es mit dem Uebungs- oder +Aufgabenhefte eines Zoeglings jener Unterrichtshaeuser (a.sbo) zu thun +haben, wie deren in so manchem Papyrus Erwaehnung geschieht, und in denen +die Schueler, welche spaeter Landwirthe, Verwalter, Feldmesser oder +Constructeure werden wollten, mit den fuer ihre kuenftige Laufbahn +notwendigen Rechnungsoperationen vertraut gemacht wurden. Da dieses +Schulheft selbstverstaendlich nicht fuer die Oeffentlichkeit bestimmt sein +konnte, so traegt es auch thatsaechlich keinen Autornamen und keine +Jahresangabe; denn, was die in der Einleitung bezueglich der Zeitperiode, +in welcher das Original entstanden sein sollte, gemachte Erwaehnung +betrifft, so ist mehr als wahrscheinlich, dass dieselbe von dem +Abschreiber *Aahmes* herruehrt, welcher das Original einige Jahrhunderte +nach seiner Entstehung auffand, und dasselbe, der Mathematik gewiss ganz +unkundig, sammt allen Fehlern abschrieb, zu diesen noch neue hinzufuegend. +Nachdem *Aahmes* aus der Aehnlichkeit der Schriftart des mathematischen +Heftes mit der Schrift anderer ihm bekannten Papyri auf das Alter des +ersteren einen im Ganzen und Grossen nicht unrichtigen Schluss gezogen +haben mochte, so koennen wir das Ende, vielleicht auch die Mitte des +dritten Jahrtausends v. Chr. G. als jene Zeit betrachten, in welcher das +Original der Abschrift entstanden sein duerfte. Ob *Aahmes* die Abschrift +mit der viel versprechenden Einleitung und der zugleich praktischen und +gottesfuerchtigen Schlussregel in der Absicht versehen hatte, um sie an +irgend einen einfachen aegyptischen Landmann um gutes Geld anzubringen, +lassen wir dahingestellt, und wiederholen nur unsere Uebereinstimmung mit +der Ansicht, dass das Original des Papyrus neben den von einem Lehrer der +Mathematik herruehrenden Musterbeispielen, die sehr oft verunglueckten +Uebungen eines Schuelers enthaelt, eines Schuelers ueberdies, der nicht zu den +hervorragenden seiner Glasse gehoert haben mochte. Und wie kostbar ist +dennoch dieses altaegyptische Schulheft! Wenn wir in aller Eile eine Skizze +seines Inhaltes vorfuehren sollen, so muessen wir zunaechst die sich auf acht +Columnen der oben erwaehnten Einleitung anschliessende Theilung der Zahl 2 +durch die Zahlen von 3 bis 99 erwaehnen; jeder auftretende Bruch erscheint +in zwei bis vier sogenannte Stammbrueche, Brueche mit dem Zaehler Eins, +zerlegt, und sind die Nenner der letzteren meist gerade Zahlen mit einer +groesseren Divisorenanzahl. Im Anschluss an diese Tabelle finden wir sechs +Beispiele, in denen in Form von Brodvertheilungen die Division der Zahlen +l, 3, 6, 7, 8 und 9 durch die Zahl 10 gelehrt wird, und es folgt hierauf +in 17 Beispielen die sogenannte Sequem- oder Ergaenzungsrechnung, in +welcher es sich darum handelt, Zahlenwerthe zu finden, die mit gegebenen +Werthen durch Addition oder Multiplication verbunden, andere gegebene +Zahlenwerthe liefern. Die naechsten 15 Beispiele gehoeren der sogenannten +*Haurechnung* an, und finden wir in diesem Abschnitte die Loesungen +linearer Gleichungen mit einer Unbekannten. Zwei weitere, der sogenannten +*Tunnu-* oder Unterschiedsrechnung angehoerige Beispiele belehren uns +darueber, dass den alten Aegyptern der Begriff arithmetischer Reihen nicht +fremd war. Es folgen nun sieben Beispiele ueber Volumetrie, ebensoviele +ueber Geometrie und fuenf Beispiele ueber Berechnungen von Pyramiden, also 19 +Aufgaben ueber die wir spaeter noch einige Worte sagen muessen. + +Hieran schliessen sich endlich dreiundzwanzig verschiedenen Materien +entlehnte, Fragen des buergerlichen Lebens betreffende Beispiele, wie die +Berechnung des Werthes von Schmuckgegenstaenden, abermals Vertheilungen von +Broden oder von Getreide, Bestimmung des auf einen Tag entfallenden +Theiles eines Jahresertrages, Berechnungen von Arbeitsloehnen, +Nahrungsmitteln sowie des Futters fuer Gefluegelhoefe. Einer besonderen +Ankuendigung werth erscheinen uns in dieser letzten Abtheilung zwei +Beispiele; das eine derselben(33) laesst keinen Zweifel darueber aufkommen, +dass den alten Aegyptern die Theorie der arithmetischen Progressionen +vollkommen gelaeufig war, waehrend wir in dem zweiten(34) unter der +Aufschrift "eine Leiter" die geometrische Progression von 7 hoch 1 bis 7 +hoch 5 nebst deren Summe vorfinden, wobei die einzelnen Potenzen eigene +Namen: an, Katze, Maus, Gerste, Maass zu fuehren scheinen. + +Nicht unbemerkt lassen wir endlich die in den Haurechnungen auftretende +Benuetzung mathematischer Zeichen; so nach links oder rechts +ausschreitender Beine fuer Addition und Subtraction, drei horizontale +Pfeile fuer Differenz, sowie endlich ein besonderes, dem unseren nicht +unaehnliches Gleichheitszeichen. + +Aus dem geometrischen Theile heben wir zunaechst, der Anordnung des Papyrus +nicht folgend, die Flaechenberechnungen von Feldern hervor. Die +vorkommenden Beispiele beziehen sich auf quadratische, rechteckige, +kreisrunde und trapezfoermige Felder, deren Flaecheninhalte aus ihren +Laengenmaassen bestimmt werden. Nachdem in den Aufgaben ueber die Berechnung +des Fassungsvermoegens von Fruchtspeichern mit quadratischer Grundflaeche +diese letztere gefunden wird durch Multiplication der Maasszahl der Seite +mit sich selbst, kann es gar keinem Zweifel unterliegen, dass auch die +Flaeche des Rechteckes durch Multiplication der Maasszahlen zweier +zusammenstossender Seiten erhalten wurde, da die Erkenntniss der +Richtigkeit der einen Bestimmungsart, jene der Richtigkeit der anderen +involvirt. + +Schon die Betrachtung solcher Proportionalmaassstaebe, wie wir sie im Grabe +*Belzoni* bemerken konnten, haette die alten Aegypter, die mit Gleichungen +und arithmetischen Reihen umzugehen wussten, auf die Bestimmung der Flaeche +eines Rechteckes aus seinen beiden Seitenlaengen mit Nothwendigkeit fuehren +muessen, und werden wir uns durch den Umstand, dass im Papyrus der +diesbezueglichen Aufgabe eine zu ihr nicht gehoerige Loesung beigefuegt ist, +durchaus nicht beirren lassen. + +Von hohem Interesse ist die, an mehreren Stellen des Papyrus vorkommende +Methode der Flaechenberechnung eines Kreises, welche zeigt, dass die alten +Aegypter mit ziemlicher Annaeherung den Kreis zu quadriren wussten, in der +That zu quadriren, weil sie aus dem Durchmesser eine Laenge ableiten, +welche als Seite ein Quadrat liefert, dessen Flaeche jener des Kreises +gleichgesetzt wurde. Da sie acht Neuntel des Durchmessers zur Seite jenes +Quadrates machten, so entspricht dies einem Werthe der Ludolphischen Zahl, +welcher dem richtigen Werthe gegenueber um nicht ganz zwei Hundertstel (um +0,018901) zu hoch gegriffen erscheint; fuer das dritte Jahrtausend +v. Chr. G. und im Vergleiche zu dem Werth pi = 3 der Babylonier, und noch +mehr im Vergleiche zu dem Werthe pi = 4 spaeterer roemischer Geometer, +jedenfalls eine nicht zu unterschaetzende Annaeherung an den richtigen +Werth. + +Eine Aufgabe behandelt die Flaechenbestimmung des Dreieckes, wobei das +Resultat als das Product zweier Seitenlaengen gefunden wird. Die hier +beigefuegte Figur(35), welche in Wirklichkeit ein ungleichseitiges +langgestrecktes Dreieck darstellt, kann ebensowohl als die verfehlte +Zeichnung eines rechtwinkligen wie auch eines gleichschenkligen Dreieckes +betrachtet werden. + +Letztere Annahme ist von *Eisenlohr* gemacht und von *Cantor*(36) +acceptirt worden. Darnach wuerde sich die Methode der Dreiecksberechnung +der alten Aegypter nur als eine Naeherungsmethode darstellen, und ist auch +von beiden genannten Gelehrten der begangene, in diesem Falle in der That +nicht bedeutende Fehler ermittelt worden. + +Wir sind dagegen mit Revillout anderer Meinung. + +Mit Ruecksicht auf den von uns klar erkannten Charakter des Originales des +Papyrus als eines sehr ungenauen Collegienheftes, dessen Rechnungen +ebensosehr wie die vorkommenden Zeichnungen von der Mittelmaessigkeit +seines Zusammenstellers beredtes Zeugniss ablegen, zweifeln wir keinen +Augenblick, dass die fragliche Figur ein rechtwinkliges Dreieck +vorzustellen hatte. Die mangelhafte Schuelerzeichnung ist durch den +Copisten *Aahmes* nur noch schlechter geworden. Dass ein rechtwinkliges +Dreieck gemeint sein soll, erkennt man uebrigens auch aus dem Umstande, +dass in der Figur die Maasszahlen der multiplicirten Seiten bei den +Schenkeln des, vom rechten Winkel nur wenig differirenden Winkels +angesetzt sind, wo doch, wenn es sich haette um ein gleichschenkliges +Dreieck handeln sollen die Maasszahl der Schenkel in der Figur gewiss bei +beiden Schenkeln zu finden waere. Dieselben Gruende bestimmen uns zu der +Annahme, dass die im Papyrus befindliche Flaechenberechnung eines Trapezes +eine vollkommen richtige ist, indem es sich auch hier nur um ein Trapez +handeln kann, dessen zwei parallelen Seiten auf einer der nicht parallelen +Seiten senkrecht stehen. Und warum sollten denn die alten Aegypter nicht +die richtige Art der Flaechenberechnung auch beliebiger Dreiecke gekannt +haben? + +Konnte man einmal die Flaeche eines Rechteckes genau bestimmen, so musste +sich durch einfache Anschauung eines, durch eine Diagonale zerlegten +Rechteckes, von selbst die Regel zur Flaechenbestimmung des rechtwinkligen +Dreieckes ergeben; und wurde nun ein beliebiges schiefwinkliges Dreieck +durch ein Hoehenperpendikel in zwei rechtwinklige zerlegt, so war nichts +leichter als die allgemeine Regel zur Bestimmung der Dreieckflaeche aus +Basis und Hoehe (tepro und merit) zu entwickeln. Dass die Gewinnung des +Hoehenperpendikels sowohl bei Constructionen als auch auf dem Felde den +alten Aegyptern nicht unmoeglich war, folgt zunaechst aus der grossen +Bedeutung der Winkelmaasses (hapt) fuer alle Operationen der praktischen +Geometer Aegyptens. Nicht nur, dass wir in vielen aegyptischen Documenten +das Winkelmaass erwaehnt finden, sieht man auch Koenige abgebildet, das +Winkelmaass in der Hand, welches von ihnen vielleicht in derselben Weise +durch symbolische Benuetzung geehrt wurde, wie der Kaiser von China +alljaehrlich einmal den Pflug zu fuehren pflegt. Ein solches Winkelmaass +sieht man uebrigens auch auf einem Wandgemaelde abgebildet, das eine +Schreinerwerkstaette darstellt,(37) und es unterliegt keinem Zweifel, dass +dasselbe ebensowohl zur Anlegung rechter Winkel als zum Faellen von +Senkrechten benuetzt worden ist. Aber auch auf freiem Felde musste den +Aegyptern die Construction rechter Winkel gelaeufig sein; sowohl die +Pyramiden als auch die aegyptischen Tempel sind vollkommen orientirt, und +wurde, wie uns alte Inschriften(38) belehren, die Orientirung in +festlicher Weise vom Koenige unter Beihilfe der Bibliotheksgoettin *Safech* +vollzogen, mit den Worten: "Ich habe gefasst den Holzpflock und den Stiel +des Schlaegels, ich halte den Strick gemeinschaftlich mit der Goettin +*Safech*. Mein Blick folgt dem Gange der Gestirne. Wenn mein Auge an dem +Sternbilde des grossen Baeren angekommen ist, und erfuellt ist der mir +bestimmte Zeitabschnitt der Zahl der Uhr, so stelle ich auf die Eckpunkte +Deines Gotteshauses." + +In welchem Maasse bei diesen Operationen die von *Demokritos* so +hochgestellten *Harpedonapten* oder Seilspanner betheiligt waren, hat +*Cantor*(39) in hoechst scharfsinniger Weise zu beleuchten versucht, und es +erscheint auch uns wahrscheinlich, dass sich die alten Aegypter beim +Construiren rechter Winkel sowie beim Faellen von Senkrechten auf dem +Felde, der Thatsache bedienten, dass der eine Winkel in einem, die +Seitenlaengen drei, vier und fuenf besitzenden Dreiecke, ein rechter Winkel +sein muesse. Musste ja doch dieser Satz seit unvordenklichen Zeiten auch +den Chinesen bekannt sein, da wir ihn in der bei ihnen so beruehmten +Schrift _Tschiu-pi_ finden, welche mehrere Jahrhunderte v. Chr. G. +entstanden, auf den Kaiser *Tschiu-Kung* also in das Jahr 1100 v. Chr. G. +etwa zurueckgefuehrt wird.(40) Uebrigens konnten directe Messungsversuche an +diagonalen Linien in den Proportionalmaassstaeben sowohl zu dem erwaehnten +als auch noch zu anderen rechtwinkligen Dreiecken mit rationalen +Seitenlaengen gefuehrt haben, und scheint uns die Moeglichkeit nicht +ausgeschlossen, dass der beruehmte und beruechtigte Satz des *Pythagoras* +ueber die Quadrate der Katheten und der Hypothenuse einer eingehenden +Untersuchung solcher Proportionalmaassstaebe entsprungen ist. + +Wenn wir nun einerseits behaupten, dass die alten Aegypter nicht nur die +Flaeche des Kreises, des Quadrates, des Rechteckes, des rechtwinkligen +sowie des schiefen Dreieckes, und unter Zuhilfenahme der Zerlegungen auch +die Flaechen beliebiger Polygone theoretisch genau zu bestimmen im Stande +waren, mit Ausnahme der auch fuer uns eine solche bildenden Kreisflaeche, so +muss doch anderseits zugestanden werden, dass man sich bei praktischen +Anwendungen mit Naeherungen begnuegte, welche im Laufe der Zeiten so +ausarteten, dass der Gebrauch falscher Regeln ein allgemeiner wurde. + +Am linken Nilufer in der Mitte zwischen *Theben* und *Assuan* liegt +*Edfu*, das alte *Appollinopolis Magna* mit einem stattlichen Tempelbau +aus den Zeiten der Ptolomaeer. Der Tempel, hauptsaechlich dem Gotte *Horus* +geweiht, ist mit einer freistehenden Umfassungsmauer umgeben,(41) deren +Ostseite zwischen dem Brunnenthore und dem oestlichen Pylonfluegel eine +Inschrift traegt, welche uns auf acht Feldern und in hundertvierundsechzig +Columnen(42) eine Schenkungsurkunde des Koenigs *Ptolomaeus XI. Alexander +I.* (mit dem Beinamen *Philometor*) bekannt gibt. Das Geschenk, welches +hier *Horus* und den uebrigen Goettern von *Edfu* verliehen wird, besteht +aus einer Anzahl von meist viereckigen Aeckern, deren vier Seitenlaengen +nebst Flaecheninhalten angegeben erscheinen. + +Da jeder der vorkommenden Flaecheninhalte identisch ist mit dem Producte +der arithmetischen Mittel der beiden Gegenseitenpaare, so wurde nach +*Lepsius* die Vermuthung aufgestellt, die alten Aegypter haetten, um +Vierecke bei der Flaechenbestimmung annaehernd wie Rechtecke behandeln zu +koennen, den Unterschied der Gegenseiten dadurch auszugleichen gesucht, +dass sie die arithmetischen Mittel derselben in Rechnung zogen. + +Bei sehr vielen der in der *Edfu*er Schenkungsurkunde vorkommenden +Vierecke ist der Unterschied je zweier Gegenseiten entweder Null oder +verhaeltnissmaessig so klein, dass man den betreffenden Vierecken eine vom +Rechtecke wenig verschiedene Gestalt beilegen kann, und die erhaltenen +Resultate somit eine ziemliche Annaeherung an den richtigen Flaechenwerth +darstellen duerften, nach dem man mit Ruecksicht auf die bei *Sesostris* +bemerkte Eintheilung des Landes in Rechtecke voraussetzen darf, gerade +diese oder eine ihr zunaechst kommende Form der Felder sei die auch damals +schon beliebte gewesen. + +Doch kommen auch Vierecke vor, wo der Laengenunterschied der Gegenseiten +ein bemerkenswerther ist; ja es werden auch Dreiecke als Vierecke mit +einer verschwindenden Seite behandelt, so dass der begangene Fehler in +manchen Faellen ein nicht unbedeutender ist. + +Nur nebenbei bemerken wir, dass man dieselbe unrichtige Flaechenformel fuer +das Viereck erhaelt, wenn man dasselbe zunaechst durch eine Diagonale in +zwei Dreiecke zerlegt, auf jedes dieser Dreiecke die unrichtige +Flaechenformel, die den Inhalt als das halbe Product der beiden Seiten +liefert, anwendet, die beiden so erhaltenen Dreiecksflaechen addirt und +dann aus dieser Summe und jener, welche man bei dem aehnlichen Vorgange +durch Zerlegung mittelst der zweiten Diagonale erhaelt, das arithmetische +Mittel construirt. + +Nimmt man mit *Eisenlohr* und *Cantor* an, dass die Aegypter die +Dreiecksflaeche wirklich dem halben Producte zweier Seiten gleichsetzten, +so steht man vor der Frage, warum nicht in derselben Art die Flaechen der +in der *Edfu*er Schenkungsurkunde auftretenden Dreiecke bestimmt +erscheinen? + +Uebrigens wolle man sich darueber nicht wundern, dass es ueberhaupt moeglich +war, die Flaechenberechnungen im praktischen Leben nach einer so falschen +Methode durchzufuehren. Wissen wir doch, dass im Alterthume, zur Zeit +*Platon*s, einer der gebildetsten Maenner, einer der hervorragendsten +Geschichtschreiber, dass *Thukydides*(43) in seiner Unkenntniss der +Beziehung zwischen Flaecheninhalt und Umfang, die Flaeche einer Insel nach +der zu ihrer Umschiffung nothwendigen Zeit zu bestimmen suchte; in der +Geometrie *Gerbert*'s,(44) des nachmaligen Papstes *Silvester II.* finden +wir, 1000 Jahre nach Chr. G., die Flaeche eines gleichschenkligen Dreieckes +durch Multiplication des Schenkels mit der halben Basis berechnet, wo doch +schon *Hero von ** Alexandrien*(45) 1100 Jahre frueher die richtige Formel +fuer diese Berechnung kennt. + +Wir beruehren diese Thatsachen, und koennten noch eine ganze Reihe aehnlicher +Beispiele anfuehren, nur um zu zeigen, wie uebereilt es waere, aus den oft +nur schwache Annaeherungen liefernden Berechnungen der *Edfu*er +Schenkungsurkunde schliessen zu wollen, die richtigen Methoden seien den +in die Wissenschaften eingeweihten aegyptischen Priestern nicht bekannt +gewesen. + +Doch zurueck zum Papyrus *Rhind*. + +Wir uebergehen die Inhaltsbestimmungen von Fruchthaeusern, bei denen der +Inhalt durch Multiplication einer Flaeche mit einer Laenge bestimmt wird, +weil wir es fuer muessig halten, Eroerterungen darueber anzustellen, welche +Flaechen und Laengen hiebei gemeint sind, so lange uns ueber die Form jener +Fruchthaeuser oder Speicher nichts bekannt ist. + +Dagegen erwecken die im Papyrus vorkommenden Pyramiden-Berechnungen das +hoechste Interesse, besonders nach den glaenzenden Untersuchungen, welchen +*Revillout* diesen Gegenstand unterzogen hat, und deren Resultate wir, +entgegen der von *Eisenlohr* ausgesprochenen und auch von *Lepsius*(46) +acceptirten Ansicht als solche betrachten, welche in einfacher und +natuerlicher Weise die sogenannte *Seket*-Rechnung der alten Aegypter +beleuchten. + +Es wird in diesen Rechnungen die Boeschung der Seitenflaechen einer +quadratischen Pyramide dadurch fixirt, dass jener Theil der Laenge eines +der beiden gleichlangen Schenkel des Winkelmaasses berechnet wird, der +sich zur Laenge des anderen Schenkels so verhaelt, wie die halbe Laenge der +Basisseite der quadratischen Pyramide zur Hoehe derselben. + +Zu dem Behufe war der eine der beiden Schenkel des Winkelmaasses in eine +gewisse Anzahl gleich grosser Theile getheilt, waehrend der andere +Schenkel, der Pyramidenhoehe entsprechend, und als Einheit betrachtet, +ungetheilt blieb. + +Um nun den sogenannten *Seket* zu bestimmen, wurde die halbe Laenge der +Basisseite durch die Pyramidenhoehe dividirt und mit dem erhaltenen +Quotienten die Anzahl der Theile des horizontalen, getheilten Schenkels +des Winkelmaasses multiplicirt. + +Es war somit der Seket (welcher in derselben Art fuer einen geraden +Kreiskegel aus dem Durchmesser der Basis und der Hoehe bestimmt erscheint) +als Verhaeltniss aufgefasst, die goniometrische Cotangente des +Neigungswinkels der Seitenflaeche der Pyramide, respective der Kegelkante +zur Basis. + +Wenn wir selbstverstaendlich weit davon entfernt sind, hierin vielleicht +Anfaenge der Trigonometrie sehen zu wollen, so erkennen wir doch +anderseits, dass den alten Aegyptern auch die Lehre proportionaler Linien, +wenigstens in ihren Anwendungen, bekannt gewesen sein musste, und +erscheint uns auch der am Eingange erwaehnte Ausspruch ueber die dem +Milesier *Thales* zugeschriebene Hoehenmessung der Pyramiden als ein ganz +glaubwuerdiger, wenn wir sehen, wie im Papyrus von den drei Werthen: Basis, +Hoehe, Seket, jeder aus den beiden anderen berechnet erscheint. + +Fassen wir nun die Ergebnisse unserer Betrachtungen zusammen, so muessen +wir aus der quellenmaessig erwiesenen grossen Bewunderung, welche die +ausgesprochen geometrisch hochentwickelten Griechen den aegyptischen +Geometern rueckhaltlos zollten, wir muessen aus der unanfechtbaren +Thatsache, dass griechische Geometer den Grund zu ihren Kenntnissen und +Entdeckungen in Aegypten suchten und fanden, wir muessen im Hinblicke auf +das, aus der nun vollends entzifferten[42] *Edfu*er Schenkungsurkunde sich +mit Sicherheit ergebende ausgebreitete und fest organisirte Katasterwesen +der alten Aegypter, welches zugleich mit den zahlreichen, dem oeffentlichen +Leben dienenden Land- und Wasserbauten auf eine verhaeltnissmaessig +bedeutend entwickelte Vermessungskunde hinweist, wir muessen endlich aus +dem von uns besprochenen Papyrus, der sich als eine ungenaue Abschrift +eines mangelhaften, aus dem dritten Jahrtausend vor Chr. G. stammenden, +mathematischen Collegien- oder Aufgabenheftes erweist, und aus dessen +Vorhandensein sich fast mit Gewissheit auf damals existirende, neben den +Regeln auch ihre Ableitungen enthaltende Lehrbuecher schliessen laesst, wir +koennen und muessen aus allen diesen Umstaenden den allgemeinen Schluss +ziehen, dass bereits drei Jahrtausende vor unserer Zeitrechnung sowohl die +arithmetischen, als auch die geometrischen Kenntnisse der Aegypter, einen +fuer dieses Zeitalter bedeutenden Grad der Entwicklung besassen. + +Insbesondere koennen wir in jenen fernen Zeiten eine staunenswerth +weitgehende Annaeherung bei der Berechnung der Kreisflaeche beobachten, wir +finden mit vollstaendiger Sicherheit richtige Flaechenbestimmungen des +Quadrates, Rechteckes und des rechtwinkligen Dreieckes; hoechst +wahrscheinlich auch richtige Bestimmungen der Flaechen schiefwinkliger +Dreiecke und Vierecke, welche im praktischen Leben durch leichter zu +handhabende Annaeherungsformeln ersetzt wurden; wir sehen Bestimmungen des +Rauminhaltes durch ihre Dimensionen gegebener Koerper und erkennen die +Anfaenge der Aehnlichkeitslehre. + +Was das geometrische Zeichnen betrifft, so kennen wir schon die +Construction der frueher beobachteten regelmaessigen Figuren und duerfen +weiter vermuthen, dass die Anlegung rechter Winkel und das Faellen von +Senkrechten sowohl mittelst des Winkelmaasses als auch mittelst rationaler +rechtwinkliger Dreiecke bekannt, und die Zerlegung gegebener Flaechen +behufs ihrer Inhaltbestimmung in allgemeiner Verwendung war. + +Gewiss werden auch theoretische Resultate bekannt gewesen sein; so die +Haelftung des Kreises durch seinen Durchmesser, die sich aus der +besprochenen Seketrechnung von selbst ergebende Winkelgleichheit an der +Basis gleichschenkliger Dreiecke und gleichseitiger quadratischer +Pyramiden, und wohl noch manches Andere. + +Moege es gelingen, durch Auffindung neuer, sowie durch Entzifferung der, +noch ihrer Erklaerung harrenden Denkmale und Schriften, von welchen +letzteren, Dank der hohen Munificenz des Erlauchten Curators unserer +Akademie, auch Wien eine imposante Zahl aufweisen kann, moege es so +gelingen noch weitere Anhaltspunkte fuer die Kenntniss der mathematischen +Thaetigkeit des uns bekannten aeltesten Culturvolkes, der Aegypter zu +gewinnen! + +Diesen unseren Wunsch theilen gewiss Alle, denen die Erforschung der +Culturgeschichte des menschlichen Geschlechtes nicht ohne Wichtigkeit +erscheint! + + + + + + 1 HERODOT, _Reisebericht_, II, 109. + + 2 ISOKRATES, _Busiris_, c. 9. + +_ 3 Platonis__ Phaedrus_, ed. Ast. I. p. 246. + + 4 ARISTOTELES, _Metaph. I_, 1. + + 5 DIODOR, I, 69. + + 6 Herodot l. c. + +_ 7 Heronis Alexandr.__ geom. et stereom. reliquiae_, ed. Hultsch. p. + 138. + + 8 DIODOR, I, 81. + + 9 STRABON, ed. Meinike, lib. XVII, C. 787, p. 1098. + +_ 10 Eudemi Rhodii__ Peripatetici fragmenta quae supersunt_. ed. L. + Spengel. Berlin 1870. + +_ 11 Procl.__ comment._ ed. Rasil. p. 19; _Barocius_ p. 37. + + 12 ISOKRATES, _Busiris_, cap. 11. + + 13 STRABON, XIV, 1. 16. + + 14 PORPHYRIUS, _De vita Pythagorae_ cap. 7; DIOGENES LAERTIUS, VIII, 3. + + 15 DIODOR, I, c. 96. + + 16 PROKLOS, ed. Friedlein, 250, 299, 352, 157. + + 17 DIOGENES LAERTIUS, I, 27. PLINIUS, _Hist. nat._ XXXVI, 12, 17. + + 18 PLUTARCH, ed. Didot. Vol. 2, III, p. 174. + + 19 DIOGENES LAERTIUS I, 24--25. + + 20 MONTUCLA, _Hist. d. math._ 2. edit. t. I, p. 49. + + 21 BRETSCHNEIDER, _Die Geometrie und die Geometer vor Euklides_, p. 11. + Dem Werke Bretschneiders, sowie jenem CANTOR's: _Vorlesungen ueber + Geschichte der Mathematik_, sind die grundlegenden Gedanken + entnommen. + + 22 CLEMENS ALEXANDRINUS, _Stromata_, ed. Potter, I, 357. + + 23 THEON SMYRNAIOS, _lib. de astron._ ed. Martin, p. 272. + + 24 PRISSE D'AVENNES, _Hist. de l'art Egypt. d'apres les monuments._ + + 25 WILKINSON, _Manners and customs of the ancient Egyptians_, III, p. + 313. + + 26 CICERO, _De finibus bonorum ed malorum_ I, 6, 20. + + 27 DIOGENES LAERTIUS IX, 47. + + 28 CANTOR, _Vorlesungen ueber Geschichte der Mathematik_, I, p. 144--159 + (Leipzig 1880). + + 29 EISENLOHR, _Ein math. Handbuch der alten Aegypter_. Leipzig 1877. + + 30 BIRCH, in Lepsius' _Zeitschrift fuer aegypt. Sprache und Alterthum_, + 1868, p. 108. + + 31 LEPSIUS, _aegypt. Zeitschrift_, 1871, p. 63. + + 32 REVILLOUT, EUGENE, _Revue Egyptologique_, 1881, Nr. II et III, p. + 304. + + 33 EISENLOHR, _Ein math. Handbuch der alten Aegypter_. Nr. 64. + + 34 ibid. Nr. 79. + + 35 ibid. p. 125. + + 36 CANTOR, _Vorlesungen aus der Geschichte der Mathematik_, I, p. 49. + + 37 WILKINSON, _Manners and customs u. s. w._ III., p. 144. + + 38 BRUGSCH, _Ueber Bau und Maasse des Tempels von __Edfu_ (_Zeitschrift + fuer aegypt. Sprache u. Alterth._ Bd. VIII.) + + 39 CANTOR, _Vorlesungen u. s. w._ I, p. 55. + + 40 ED. BIOT, _Journal Asiatique_, Paris 1841, I. Sem. p. 593. + + 41 LEPSIUS, _Ueber eine hieroglyphische Inschrift am Tempel von + __Edfu_. _Abhandlung d. Acad. d. Wiss. in Berlin_, 1855, p. 69. + + 42 BRUGSCH, _Thesaurus III_, Leipzig 1884. + + 43 THUKYDIDES, ed. Rothe, VI. 1. + + 44 ed. Olleris, Cap. LXX. p. 460. + +_ 45 Heronis Alexandrini__ geometricorum et stereometricorum reliquiae_ + (ed. Hultsch, Berlin 1864). + + 46 LEPSIUS, _Ueber die 6palmige grosse Elle von 7 kleinen Palmen Laenge + in dem "math. Handbuche" von Eisenlohr_. (_Zeitschrift f. aeg. Sp._ + 1884. 1. Heft.) + + + + + + +***END OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK UEBER DIE GEOMETRIE DER ALTEN AEGYPTER.*** + + + +CREDITS + + +March 13, 2008 + + Project Gutenberg TEI edition 01 + * R. Stephan* + + + +A WORD FROM PROJECT GUTENBERG + + +This file should be named 24817.txt or 24817.zip. + +This and all associated files of various formats will be found in: + + + http://www.gutenberg.org/dirs/2/4/8/1/24817/ + + +Updated editions will replace the previous one -- the old editions will be +renamed. + +Creating the works from public domain print editions means that no one +owns a United States copyright in these works, so the Foundation (and +you!) can copy and distribute it in the United States without permission +and without paying copyright royalties. Special rules, set forth in the +General Terms of Use part of this license, apply to copying and +distributing Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works to protect the Project +Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} concept and trademark. Project Gutenberg is a registered +trademark, and may not be used if you charge for the eBooks, unless you +receive specific permission. If you do not charge anything for copies of +this eBook, complying with the rules is very easy. You may use this eBook +for nearly any purpose such as creation of derivative works, reports, +performances and research. They may be modified and printed and given away +-- you may do practically *anything* with public domain eBooks. +Redistribution is subject to the trademark license, especially commercial +redistribution. + + + +THE FULL PROJECT GUTENBERG LICENSE + + +*Please read this before you distribute or use this work.* + +To protect the Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} mission of promoting the free +distribution of electronic works, by using or distributing this work (or +any other work associated in any way with the phrase Project Gutenberg), +you agree to comply with all the terms of the Full Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} +License (available with this file or online at +http://www.gutenberg.org/license). + + +Section 1. + + +General Terms of Use & Redistributing Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works + + +1.A. + + +By reading or using any part of this Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic work, +you indicate that you have read, understand, agree to and accept all the +terms of this license and intellectual property (trademark/copyright) +agreement. If you do not agree to abide by all the terms of this +agreement, you must cease using and return or destroy all copies of +Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works in your possession. If you paid a fee +for obtaining a copy of or access to a Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic work +and you do not agree to be bound by the terms of this agreement, you may +obtain a refund from the person or entity to whom you paid the fee as set +forth in paragraph 1.E.8. + + +1.B. + + +Project Gutenberg is a registered trademark. It may only be used on or +associated in any way with an electronic work by people who agree to be +bound by the terms of this agreement. There are a few things that you can +do with most Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works even without complying +with the full terms of this agreement. See paragraph 1.C below. There are +a lot of things you can do with Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works if you +follow the terms of this agreement and help preserve free future access to +Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works. See paragraph 1.E below. + + +1.C. + + +The Project Gutenberg Literary Archive Foundation (the Foundation or +PGLAF), owns a compilation copyright in the collection of Project +Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works. Nearly all the individual works in the +collection are in the public domain in the United States. If an individual +work is in the public domain in the United States and you are located in +the United States, we do not claim a right to prevent you from copying, +distributing, performing, displaying or creating derivative works based on +the work as long as all references to Project Gutenberg are removed. Of +course, we hope that you will support the Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} mission of +promoting free access to electronic works by freely sharing Project +Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} works in compliance with the terms of this agreement for +keeping the Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} name associated with the work. You can +easily comply with the terms of this agreement by keeping this work in the +same format with its attached full Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} License when you +share it without charge with others. + + +1.D. + + +The copyright laws of the place where you are located also govern what you +can do with this work. Copyright laws in most countries are in a constant +state of change. If you are outside the United States, check the laws of +your country in addition to the terms of this agreement before +downloading, copying, displaying, performing, distributing or creating +derivative works based on this work or any other Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} work. +The Foundation makes no representations concerning the copyright status of +any work in any country outside the United States. + + +1.E. + + +Unless you have removed all references to Project Gutenberg: + + +1.E.1. + + +The following sentence, with active links to, or other immediate access +to, the full Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} License must appear prominently whenever +any copy of a Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} work (any work on which the phrase +Project Gutenberg appears, or with which the phrase Project Gutenberg is +associated) is accessed, displayed, performed, viewed, copied or +distributed: + + + This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with + almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away + or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License + included with this eBook or online at http://www.gutenberg.org + + +1.E.2. + + +If an individual Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic work is derived from the +public domain (does not contain a notice indicating that it is posted with +permission of the copyright holder), the work can be copied and +distributed to anyone in the United States without paying any fees or +charges. If you are redistributing or providing access to a work with the +phrase Project Gutenberg associated with or appearing on the work, you +must comply either with the requirements of paragraphs 1.E.1 through 1.E.7 +or obtain permission for the use of the work and the Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} +trademark as set forth in paragraphs 1.E.8 or 1.E.9. + + +1.E.3. + + +If an individual Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic work is posted with the +permission of the copyright holder, your use and distribution must comply +with both paragraphs 1.E.1 through 1.E.7 and any additional terms imposed +by the copyright holder. Additional terms will be linked to the Project +Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} License for all works posted with the permission of the +copyright holder found at the beginning of this work. + + +1.E.4. + + +Do not unlink or detach or remove the full Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} License +terms from this work, or any files containing a part of this work or any +other work associated with Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~}. + + +1.E.5. + + +Do not copy, display, perform, distribute or redistribute this electronic +work, or any part of this electronic work, without prominently displaying +the sentence set forth in paragraph 1.E.1 with active links or immediate +access to the full terms of the Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} License. + + +1.E.6. + + +You may convert to and distribute this work in any binary, compressed, +marked up, nonproprietary or proprietary form, including any word +processing or hypertext form. However, if you provide access to or +distribute copies of a Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} work in a format other than +Plain Vanilla ASCII or other format used in the official version posted on +the official Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} web site (http://www.gutenberg.org), you +must, at no additional cost, fee or expense to the user, provide a copy, a +means of exporting a copy, or a means of obtaining a copy upon request, of +the work in its original Plain Vanilla ASCII or other form. Any alternate +format must include the full Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} License as specified in +paragraph 1.E.1. + + +1.E.7. + + +Do not charge a fee for access to, viewing, displaying, performing, +copying or distributing any Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} works unless you comply +with paragraph 1.E.8 or 1.E.9. + + +1.E.8. + + +You may charge a reasonable fee for copies of or providing access to or +distributing Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works provided that + + - You pay a royalty fee of 20% of the gross profits you derive from + the use of Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} works calculated using the method you + already use to calculate your applicable taxes. The fee is owed to + the owner of the Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} trademark, but he has agreed to + donate royalties under this paragraph to the Project Gutenberg + Literary Archive Foundation. Royalty payments must be paid within 60 + days following each date on which you prepare (or are legally + required to prepare) your periodic tax returns. Royalty payments + should be clearly marked as such and sent to the Project Gutenberg + Literary Archive Foundation at the address specified in Section 4, + Information about donations to the Project Gutenberg Literary + Archive Foundation. + + You provide a full refund of any money paid by a user who notifies + you in writing (or by e-mail) within 30 days of receipt that s/he + does not agree to the terms of the full Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} License. + You must require such a user to return or destroy all copies of the + works possessed in a physical medium and discontinue all use of and + all access to other copies of Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} works. + + You provide, in accordance with paragraph 1.F.3, a full refund of + any money paid for a work or a replacement copy, if a defect in the + electronic work is discovered and reported to you within 90 days of + receipt of the work. + + You comply with all other terms of this agreement for free + distribution of Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} works. + + +1.E.9. + + +If you wish to charge a fee or distribute a Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic +work or group of works on different terms than are set forth in this +agreement, you must obtain permission in writing from both the Project +Gutenberg Literary Archive Foundation and Michael Hart, the owner of the +Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} trademark. Contact the Foundation as set forth in +Section 3 below. + + +1.F. + + +1.F.1. + + +Project Gutenberg volunteers and employees expend considerable effort to +identify, do copyright research on, transcribe and proofread public domain +works in creating the Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} collection. Despite these +efforts, Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works, and the medium on which they +may be stored, may contain Defects, such as, but not limited to, +incomplete, inaccurate or corrupt data, transcription errors, a copyright +or other intellectual property infringement, a defective or damaged disk +or other medium, a computer virus, or computer codes that damage or cannot +be read by your equipment. + + +1.F.2. + + +LIMITED WARRANTY, DISCLAIMER OF DAMAGES -- Except for the Right of +Replacement or Refund described in paragraph 1.F.3, the Project Gutenberg +Literary Archive Foundation, the owner of the Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} +trademark, and any other party distributing a Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} +electronic work under this agreement, disclaim all liability to you for +damages, costs and expenses, including legal fees. YOU AGREE THAT YOU HAVE +NO REMEDIES FOR NEGLIGENCE, STRICT LIABILITY, BREACH OF WARRANTY OR BREACH +OF CONTRACT EXCEPT THOSE PROVIDED IN PARAGRAPH F3. YOU AGREE THAT THE +FOUNDATION, THE TRADEMARK OWNER, AND ANY DISTRIBUTOR UNDER THIS AGREEMENT +WILL NOT BE LIABLE TO YOU FOR ACTUAL, DIRECT, INDIRECT, CONSEQUENTIAL, +PUNITIVE OR INCIDENTAL DAMAGES EVEN IF YOU GIVE NOTICE OF THE POSSIBILITY +OF SUCH DAMAGE. + + +1.F.3. + + +LIMITED RIGHT OF REPLACEMENT OR REFUND -- If you discover a defect in this +electronic work within 90 days of receiving it, you can receive a refund +of the money (if any) you paid for it by sending a written explanation to +the person you received the work from. If you received the work on a +physical medium, you must return the medium with your written explanation. +The person or entity that provided you with the defective work may elect +to provide a replacement copy in lieu of a refund. If you received the +work electronically, the person or entity providing it to you may choose +to give you a second opportunity to receive the work electronically in +lieu of a refund. If the second copy is also defective, you may demand a +refund in writing without further opportunities to fix the problem. + + +1.F.4. + + +Except for the limited right of replacement or refund set forth in +paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS,' WITH NO OTHER +WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO +WARRANTIES OF MERCHANTIBILITY OR FITNESS FOR ANY PURPOSE. + + +1.F.5. + + +Some states do not allow disclaimers of certain implied warranties or the +exclusion or limitation of certain types of damages. If any disclaimer or +limitation set forth in this agreement violates the law of the state +applicable to this agreement, the agreement shall be interpreted to make +the maximum disclaimer or limitation permitted by the applicable state +law. The invalidity or unenforceability of any provision of this agreement +shall not void the remaining provisions. + + +1.F.6. + + +INDEMNITY -- You agree to indemnify and hold the Foundation, the trademark +owner, any agent or employee of the Foundation, anyone providing copies of +Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works in accordance with this agreement, and +any volunteers associated with the production, promotion and distribution +of Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works, harmless from all liability, costs +and expenses, including legal fees, that arise directly or indirectly from +any of the following which you do or cause to occur: (a) distribution of +this or any Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} work, (b) alteration, modification, or +additions or deletions to any Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} work, and (c) any Defect +you cause. + + +Section 2. + + + Information about the Mission of Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} + + +Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} is synonymous with the free distribution of electronic +works in formats readable by the widest variety of computers including +obsolete, old, middle-aged and new computers. It exists because of the +efforts of hundreds of volunteers and donations from people in all walks +of life. + +Volunteers and financial support to provide volunteers with the assistance +they need, is critical to reaching Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~}'s goals and ensuring +that the Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} collection will remain freely available for +generations to come. In 2001, the Project Gutenberg Literary Archive +Foundation was created to provide a secure and permanent future for +Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} and future generations. To learn more about the Project +Gutenberg Literary Archive Foundation and how your efforts and donations +can help, see Sections 3 and 4 and the Foundation web page at +http://www.pglaf.org. + + +Section 3. + + + Information about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation + + +The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit +501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the state of +Mississippi and granted tax exempt status by the Internal Revenue Service. +The Foundation's EIN or federal tax identification number is 64-6221541. +Its 501(c)(3) letter is posted at +http://www.gutenberg.org/fundraising/pglaf. Contributions to the Project +Gutenberg Literary Archive Foundation are tax deductible to the full +extent permitted by U.S. federal laws and your state's laws. + +The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. +S. Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered +throughout numerous locations. Its business office is located at 809 North +1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email +business@pglaf.org. Email contact links and up to date contact information +can be found at the Foundation's web site and official page at +http://www.pglaf.org + +For additional contact information: + + + Dr. Gregory B. Newby + Chief Executive and Director + gbnewby@pglaf.org + + +Section 4. + + + Information about Donations to the Project Gutenberg Literary Archive + Foundation + + +Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} depends upon and cannot survive without wide spread +public support and donations to carry out its mission of increasing the +number of public domain and licensed works that can be freely distributed +in machine readable form accessible by the widest array of equipment +including outdated equipment. Many small donations ($1 to $5,000) are +particularly important to maintaining tax exempt status with the IRS. + +The Foundation is committed to complying with the laws regulating +charities and charitable donations in all 50 states of the United States. +Compliance requirements are not uniform and it takes a considerable +effort, much paperwork and many fees to meet and keep up with these +requirements. We do not solicit donations in locations where we have not +received written confirmation of compliance. To SEND DONATIONS or +determine the status of compliance for any particular state visit +http://www.gutenberg.org/fundraising/donate + +While we cannot and do not solicit contributions from states where we have +not met the solicitation requirements, we know of no prohibition against +accepting unsolicited donations from donors in such states who approach us +with offers to donate. + +International donations are gratefully accepted, but we cannot make any +statements concerning tax treatment of donations received from outside the +United States. U.S. laws alone swamp our small staff. + +Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation methods +and addresses. Donations are accepted in a number of other ways including +checks, online payments and credit card donations. To donate, please +visit: http://www.gutenberg.org/fundraising/donate + + +Section 5. + + + General Information About Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works. + + +Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} +concept of a library of electronic works that could be freely shared with +anyone. For thirty years, he produced and distributed Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} +eBooks with only a loose network of volunteer support. + +Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} eBooks are often created from several printed editions, +all of which are confirmed as Public Domain in the U.S. unless a copyright +notice is included. Thus, we do not necessarily keep eBooks in compliance +with any particular paper edition. + +Each eBook is in a subdirectory of the same number as the eBook's eBook +number, often in several formats including plain vanilla ASCII, compressed +(zipped), HTML and others. + +Corrected *editions* of our eBooks replace the old file and take over the +old filename and etext number. The replaced older file is renamed. +*Versions* based on separate sources are treated as new eBooks receiving +new filenames and etext numbers. + +Most people start at our Web site which has the main PG search facility: + + + http://www.gutenberg.org + + +This Web site includes information about Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~}, including how +to make donations to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation, +how to help produce our new eBooks, and how to subscribe to our email +newsletter to hear about new eBooks. + + + + + + +***FINIS*** +
\ No newline at end of file diff --git a/24817.zip b/24817.zip Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..c70dd5e --- /dev/null +++ b/24817.zip diff --git a/LICENSE.txt b/LICENSE.txt new file mode 100644 index 0000000..6312041 --- /dev/null +++ b/LICENSE.txt @@ -0,0 +1,11 @@ +This eBook, including all associated images, markup, improvements, +metadata, and any other content or labor, has been confirmed to be +in the PUBLIC DOMAIN IN THE UNITED STATES. + +Procedures for determining public domain status are described in +the "Copyright How-To" at https://www.gutenberg.org. + +No investigation has been made concerning possible copyrights in +jurisdictions other than the United States. Anyone seeking to utilize +this eBook outside of the United States should confirm copyright +status under the laws that apply to them. diff --git a/README.md b/README.md new file mode 100644 index 0000000..398cb04 --- /dev/null +++ b/README.md @@ -0,0 +1,2 @@ +Project Gutenberg (https://www.gutenberg.org) public repository for +eBook #24817 (https://www.gutenberg.org/ebooks/24817) |