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| author | Roger Frank <rfrank@pglaf.org> | 2025-10-15 02:14:32 -0700 |
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MAI MDCCCLXXXIV</p> + <p rend="font-size: small; text-align: center">VON</p> + <p rend="font-size: x-large; text-align: center">DR. EMIL WEYR</p> + <p rend="font-size: small; text-align: center">WIRKLICHEM MITGLIEDE DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN.</p> + <milestone unit="tb" rend="rule: 25%" /> + <p rend="font-size: x-large; text-align: center">WIEN</p> + <p rend="font-size: medium; text-align: center">AUS DER K. K. HOF- UND STAATSDRUCKEREI.</p> + <p rend="font-size: medium; text-align: center">IN COMMISSION BEI KARL GEROLD'S SOHN,</p> + <p rend="font-size: medium; text-align: center">BUCHHÄNDLER DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN.</p> + <p rend="font-size: large; text-align: center">1884</p> + </div> + + </front> + + <body rend="page-break-before: right"> +<pb n='03'/><anchor id='Pg03'/> +<div> + <head /> + <p> +Möge mir gestattet sein, bei dem heutigen feierlichen Anlasse +ein Bild zu entrollen, welches in grossen Strichen die +allgemeinen Umrisse des Zustandes der geometrischen +Wissenschaften bei den alten Aegyptern zur Darstellung +bringen soll; und möge dasselbe Wohlwollen, das, gepaart +mit einer althergebrachten Sitte, mich heute auf diesen eben so +ehrenvollen als schwierigen Platz gestellt, auch bei der +Beurtheilung der folgenden bescheidenen, weil schwachen +Kräften entspringenden Leistung obwalten! +</p><p> +So wie der Anfang aller menschlichen Kenntnisse, so ist +auch der Ursprung der Geometrie in grauestes Alterthum zu +versetzen, er ist zu suchen in jenen der Zeit nach unangebbaren +Perioden der menschlichen Entwicklung, in welchen +das erste Erwachen des Selbstbewusstseins zu finden wäre. +Sind doch manche geometrische Anschauungen auch dem +Thiere eigen; so jene der geraden Verbindungslinie zweier +Punkte als der kürzesten Entfernung; jene des Mehr und +Weniger bei Quantitäten der Entfernungen, Höhen, Neigungen, +und so werden auch manche abstractere Raumanschauungen +dem Menschen in seinen ersten Entwicklungsperioden eigen +geworden sein, Anschauungen, welche durch die Möglichkeit +und auf Grund der sprachlichen Bezeichnung jene Stabilität +erhielten, die sie befähigte, als erste Fundamente der geometrischen +Kenntnisse zunächst, und der Geometrie als Wissenschaft +später aufzutreten. +</p> +<pb n='04'/><anchor id='Pg04'/> +<p> +Geometrisches Denken entstand zu den verschiedensten +Zeiten, an den verschiedensten Orten. Denn überall, wo +der menschliche Geist sich zu entwickeln begann, und +das menschliche Denken jene Höhe erreichte, auf welcher +Abstractionen entstehen, bildeten sich die grundlegenden +Raumbegriffe; der des Punktes, der geraden und krummen +Linien, der ebenen und krummen Flächen. Denn überall +in der Natur boten sich dem erwachenden Menschen +Repräsentanten dieser Begriffe in grösserer oder geringerer +Genauigkeit dar. Während der Anblick der auf- und untergehenden +Sonne, sowie des vollen Mondes in südlichen +Gegenden fast täglich das Bild der »vollkommensten«, +der »schönsten« Linie, der Kreislinie vorführte, stellten sich +die zahllosen Sterne des Abends dem Auge als glänzende +Punkte dar, welche in ihren mannigfaltigen gegenseitigen +Lagenverhältnissen die Phantasie des Menschen bei der, von +ihm beliebten Eintheilung des Himmels in Sternbilder zur +Herstellung so mancher geraden und krummen Linien verleiten +mochten. Und selbst in seiner nächsten Umgebung +fand der beobachtende Mensch geometrische Anklänge; das +Gewebe der Spinne mit seinen kreisrunden und radialen +Fäden, die sechseckige Bienenzelle, die beim Fallen eines +Körpers in ruhendes Wasser entstehenden concentrischen +Wellenringe, und wie vieles Andere musste, wenn auch +nach und nach, so doch mit zwingender Nothwendigkeit +den Menschen zur Beobachtung gesetzmässiger geometrischer +Formen führen. +</p><p> +Als Mutterland der Mathematik im Allgemeinen, und +der Geometrie im Besonderen wird Aegypten angeführt; doch +ist die Zeit längst vorbei, wo man sich Aegypten als einzigen +Ursprungsort dieser Wissenschaften dachte, vielmehr muss +als feststehend angenommen werden, dass jedes Volk in +<pb n='05'/><anchor id='Pg05'/> +seinem Entwicklungsgange geometrische Anschauungen sich +anzueignen schon durch praktische Bedürfnisse gezwungen +war. Die Höhe, zu welcher sich die einzelnen Völker in ihren +mathematischen Speculationen emporzuschwingen vermochten, +hing von der Richtung des Bildungsganges, von +dem Maasse des Bedürfnisses und nicht in letzter Reihe von +dem Einflüsse religiöser Verhältnisse ab. +</p><p> +Und so mag sich zunächst jene Naturgeometrie entwickelt +haben, welche allen Völkern zugesprochen werden +muss, und auf deren Vorhandensein, weil auf die Anwendungen +ihrer freilich einfachsten Principien, Ueberreste von +Bauten überall dort hinweisen, wo wir in der Lage sind, +solche beobachten zu können. Die Pellasger, die vorhellenischen +Ureinwohner Griechenlands, mussten lange vor Entstehung +der Philosophie geometrische Kenntnisse in dem +Maasse besessen haben, wie sie zur Aufführung von Wasserbauten, +Dämmen, Canälen und Burgen, von denen man jetzt +noch Spuren findet, nothwendig waren. +</p><p> +Verfolgt man die Entwicklung der Geometrie zu ihren +Quellen aufwärts, so dürfen wir nicht überrascht sein, dass +man bei dem uns bekannten ältesten Culturvolke, bei den +Aegyptern, am weitesten vorzudringen vermag, und zwar an +der Hand der indirecten wie der directen Nachrichten, welche +uns über diesen Gegenstand zugekommen sind. Leider jedoch +sind die Ersteren ihrem Inhalte und die Letzteren ihrer Zahl +nach nur spärliche zu nennen. +</p><p> +Zahlreich sind wohl die Stellen in griechischen Philosophen +und Geschichtschreibern, welche Bezug haben auf +aegyptische Geometrie, es lässt sich jedoch nicht verkennen, +dass oft die Späteren auf Frühere sich stützen, und wir es +möglicherweise mit einer einzigen, durch Jahrhunderte fortgeführten +Nachricht zu thun haben. +</p> +<pb n='06'/><anchor id='Pg06'/> +<p> + Durch <name rend='gesperrt'>Herodot</name>, welcher <date>um die Mitte des fünften + vorchristlichen Jahrhunderts (460)</date> Aegypten bereiste, erfahren +wir<note place='end'><bibl><author>Herodot</author>, <title>Reisebericht</title>, + <biblScope>II, 109</biblScope></bibl>.</note>, +dass die Geometrie von Aegypten nach Griechenland +verpflanzt worden sei. Etwas später (<date>393 v. Chr.</date>) +berichtet <name rend='gesperrt'>Isokrates</name> die Thatsache<note place='end'> + <bibl><author>Isokrates</author>, <title>Busiris</title>, + <biblScope>c. 9.</biblScope></bibl></note>, dass die Aegypter »<q>die +Aelteren (unter ihren Priestern) über die wichtigsten Angelegenheiten +setzten, dagegen die Jüngeren beredeten, mit +Hintansetzung des Vergnügens, sich mit Astronomie, Rechenkunst +und Geometrie zu beschäftigen</q>«. +</p><p> +In <name rend='gesperrt'>Platon</name>'s <title>Phädrus</title> sagt +<name rend='gesperrt' id='a:sok'>Sokrates</name>: »<q>Ich habe +vernommen, zu Naukratis in Aegypten sei einer der dortigen +alten Götter gewesen, dem auch der Vogel geheiligt ist, +den sie Isis nennen, während der Gott selbst den Namen +Teuth führt; dieser habe zuerst Zahlenlehre und Rechenkunst +erfunden und Geometrie und Astronomie</q>«<note place='end'> +<bibl><title><emph>Platonis</emph> Phaedrus</title>, + ed. <editor>Ast.</editor> + <biblScope>I. p. 246.</biblScope></bibl></note>, +und einen +directen Hinweis finden wir bei <name rend='gesperrt'>Aristoteles</name>, welcher in +seiner <title>Metaphysik</title> sagt:<note place='end'> + <bibl><author>Aristoteles</author>, <title>Metaph. I</title>, + <biblScope>1.</biblScope></bibl></note> +»<q>Daher entstanden auch in Aegypten +die mathematischen Wissenschaften, denn hier war den +Priestern die dazu nöthige Müsse vergönnt.</q>« +</p><p> +Uebrigens schrieben sich die Aegypter neben der Erfindung +der Buchstabenschrift auch jene der meisten Wissenschaften +und Künste zu, worüber <name rend='gesperrt'>Diodor</name><note place='end'> + <bibl><author>Diodor</author>, <biblScope>I, 69</biblScope></bibl>.</note>, +welcher etwa +<date>70 Jahre v. Chr. G.</date> Aegypten bereiste, bemerkt: »<q>Die +Aegypter behaupten, von ihnen sei die Erfindung der Buchstabenschrift +und die Beobachtung der Gestirne ausgegangen, +ebenso seien von ihnen die Theoreme der Geometrie und +die meisten Wissenschaften und Künste erfunden worden.</q>« +</p><p> +Neben diesen ganz allgemein gehaltenen Angaben sind +hauptsächlich diejenigen Berichte zu erwähnen, welche sich +auf die Art der wissenschaftlichen Leistungen der Aegypter +beziehen. +</p> +<pb n='07'/><anchor id='Pg07'/> +<p> + Da sagt zunächst <name rend='gesperrt'>Herodot</name><note place='end'> + Herodot l. c.</note> +in Hinsicht auf die unter +dem Könige <name rend='gesperrt'>Sesostris</name> durchgeführte Ländereintheilung: +»<q>Auch sagten sie, dass dieser König das Land unter alle +Aegypter so vertheilt habe, dass er jedem ein gleich grosses +Viereck gegeben, und von diesem seine Einkünfte bezogen habe, +indem er eine jährlich zu entrichtende Steuer auflegte. +Wem aber der Fluss (Nil) von seinem Theile etwas +wegriss, der musste zu ihm kommen und das Geschehene +anzeigen; er schickte dann die Aufseher, die auszumessen +hatten, um wie viel das Landstück kleiner geworden war, +damit der Inhaber von dem übrigen nach Verhältniss der +aufgelegten Abgaben steure. Hieraus erscheint mir die Geometrie +entstanden zu sein, die von da nach Hellas kam.</q>« +</p><p> +Die, <name rend='gesperrt'>Herodot</name>, dem Vater der Geschichtsschreibung +folgenden Berichterstatter hielten sich nun, vielleicht erklärlicherweise, +vorzüglich an den einen, die Nilüberschwemmungen +betreffenden Theil obiger Nachricht, und wurde, +gewiss Unberechtigtermassen der Nil als der unmittelbare +Anstoss für alle geometrischen Arbeiten der Aegypter hingestellt. +Und doch scheint es uns viel näherliegend, die einerseits +behufs der Steuerbemessung und Controle, anderseits +wegen der aus den Veränderungen im Besitzstande sich +nothwendig ergebenden Flächenfestsetzungen als den Hauptbeweggrund +jener Vermessungen zu erkennen, wobei die +gesammelten Erfahrungen gewiss auch bei der Beurtheilung +der unzweifelhaft nach den periodisch eintretenden Nilüberschwemmungen +vorgekommenen Terrainveränderungen mit +Vortheil benutzt worden sein mögen. +</p><p> +Unverkennbar ist der Zug nach Aufbauschung und Ausschmückung +des, jene Nilüberschwemmungen betreffenden +Theiles des <name rend='gesperrt'>Herodot</name>'schen Berichtes, wenn man die Aufzeichnungen +späterer Gewährsmänner näher betrachtet. +</p> +<pb n='08'/><anchor id='Pg08'/> +<p> + Zunächst finden wir bei <name rend='gesperrt'>Heron</name> dem Aelteren die folgende + diesbezügliche Stelle<note place='end'> + <bibl><title><emph>Heronis Alexandr.</emph> geom. et stereom. reliquiae</title>, + ed. <editor>Hultsch.</editor> + <biblScope>p. 138.</biblScope></bibl></note>: + »<q>Die früheste Geometrie beschäftigte +sich, wie uns die alte Ueberlieferung lehrt, mit der Messung und +Vertheilung der Ländereien, woher sie Feldmessung genannt +wurde. Der Gedanke einer Messung nämlich ward den Aegyptern +an die Hand gegeben durch die Ueberschwemmungen des +Nil. Denn viele Grundstücke, die vor der Flussschwelle offen +dalagen, verschwanden beim Steigen des Flusses und kamen +erst nach dem Sinken desselben zum Vorschein, und es war +nicht immer möglich, über die Identität derselben zu entscheiden. +Dadurch kamen die Aegypter auf den Gedanken +einer solchen Messung des vom Nil blossgelegten Landes.</q>« +</p><p> +Weiter finden wir bei <name rend='gesperrt'>Diodor</name><note place='end'> + <bibl><author>Diodor</author>, <biblScope> I, 81.</biblScope></bibl></note> +einen Ausspruch, +durch welchen wir übrigens auch über andere wissenschaftliche +Leistungen der Aegypter belehrt werden; <name rend='gesperrt'>Diodor</name> +sagt: »<q>Die Priester lehren ihre Söhne zweierlei Schrift, die +sogenannte heilige, und die, welche man gewöhnlich lernt. +Mit Geometrie und Arithmetik beschäftigen sie sich eifrig. +Denn indem der Fluss jährlich das Land vielfach verändert, +veranlasst er viele und mannigfache Streitigkeiten über die +Grenzen zwischen den Nachbarn; diese können nun nicht +leicht ausgeglichen werden, wenn nicht ein Geometer den +wahren Sachverhalt durch directe Messung ermittelt. Die +Arithmetik dient ihnen in Haushaltungsangelegenheiten und +bei den Lehrsätzen der Geometrie; auch ist sie denen von +nicht geringem Vortheile, die sich mit Sternkunde beschäftigen. +Denn wenn bei irgend einem Volke die Stellungen und Bewegungen +der Gestirne sorgfältig beobachtet worden sind, +so ist es bei den Aegyptern geschehen; sie verwahren Aufzeichnungen +der einzelnen Beobachtungen seit einer unglaublich +langen Beihe von Jahren, da bei ihnen seit alten +Zeiten her die grösste Sorgfalt hierauf verwendet worden +<pb n='09'/><anchor id='Pg09'/> +ist. Die Bewegungen und Umlaufszeiten sowie die Stillstände +der Planeten, auch den Einfluss eines jeden auf die Entstehung +lebender Wesen und alle ihre guten und schädlichen +Einwirkungen haben sie sehr sorgfältig beobachtet.</q>« +</p><p> +Am innigsten verknüpft erscheint die Geometrie der +Aegypter mit den Ueberschwemmungen des Nil bei <name rend='gesperrt'>Strabon</name><note place='end'> + <bibl><author>Strabon</author>, ed. <editor>Meinike</editor>, + <biblScope>lib. XVII, C. 787, p. 1098.</biblScope></bibl></note>; +welcher bemerkt, »<q>dass es einer sorgfältigen und bis auf das +Genaueste gehenden Eintheilung bedurfte, wegen der beständigen +Verwüstung der Grenzen, die der Nil bei seinen +Ueberschwemmungen veranlasst, indem er Land wegnimmt +und zusetzt, und die Gestalt verändert, und die anderen Zeichen +unkenntlich macht, wodurch das fremde und eigene Besitzthum +unterschieden wird. Man müsse daher immer und +immer wieder messen. Hieraus soll die Geometrie entstanden +sein.</q>« +</p><p> +Den gesellschaftlichen Einrichtungen der Aegypter +entsprechend, muss als feststehend angenommen werden, +dass sich eine Kaste, nach eben Gehörtem die der Priester, +mit dem wissenschaftlichen Theile der Geometrie beschäftigte, +während eine andere, die der Feldmesser, die von den +Ersteren aufgestellten und sorgsam gehüteten geometrischen +Principien praktisch zur Anwendung brachte. Dabei wurden, +wie wir später sehen werden, die Geheimnisse der Priester, +insoweit sie geometrische Wahrheiten und Berechnungsregeln +betrafen, möglicherweise nur insoweit enthüllt, dass +bei deren Verwendung nur annäherungsweise richtige Resultate +zum Vorschein kamen. +</p><p> +Wohl sind einige Schriftsteller so weit gegangen, dass +sie, die unläugbaren Uebertreibungen des Zusammenhanges +zwischen den Nilüberschwemmungen und der ägyptischen +Geometrie im Auge behaltend, die Existenz der letzteren +<pb n='10'/><anchor id='Pg10'/> +einfach negirten, und alle die citirten Aussprüche in das +Gebiet der Fabel verwiesen. +</p><p> +Was macht man jedoch dann mit den wohlbeglaubigten +Nachrichten über die Reisen, welche hervorragende griechische +Philosophen nach Aegypten unternahmen, oft jahrelang +dort verweilend, um sich in die Geheimnisse aegyptischer +Priester einweihen und mit deren geometrischem Wissen +vertraut machen zu lassen? +</p><p> +<name rend='gesperrt'>Eudemus von Rhodos</name><note place='end'> + <bibl><title><emph>Eudemi Rhodii</emph> Peripatetici fragmenta quae + supersunt</title>. + ed. <editor>L. Spengel.</editor> + <biblScope>Berlin 1870.</biblScope></bibl></note>, + einer der ältesten Peripatetiker, +schrieb eine Geschichte der Mathematik, aus +welcher uns durch <name id='a:pro' rend='gesperrt'>Proklos Diadochus</name><note place='end'> + <bibl><author corresp='a:pro' /><title><emph>Procl.</emph> comment.</title> + ed. <editor>Rasil.</editor> + <biblScope>p. 19;</biblScope></bibl> + <bibl><author corresp='a:pro' /><title>Barocius</title> + <biblScope>p. 37.</biblScope></bibl></note>, einen Philosophen +des fünften nachchristlichen Jahrhunderts, ein +Bruchstück erhalten ist, welches sozusagen das einzige +Mittel bildet, das uns einen Einblick in die geometrischen +Errungenschaften der Griechen in den ersten dritthalb +Jahrhunderten nach <name rend='gesperrt'>Thales</name> gewährt. Hierin heisst es unter +Anderem: »<q><name rend='gesperrt'>Thales</name>, der nach Aegypten ging, brachte zuerst +die Geometrie nach Hellas hinüber und Vieles entdeckte er +selbst, von Vielem aber überlieferte er die Anfänge seinen +Nachfolgern; das Eine machte er allgemeiner, das Andere +mehr sinnlich fassbar.</q>« Hundert Jahre nach dem Tode des +<name rend='gesperrt'>Pythagoras</name> berichtet der Redner <name rend='gesperrt'>Isokrates</name><note place='end'> + <bibl><author>Isokrates</author>, <title>Busiris</title>, + <biblScope>cap. 11.</biblScope></bibl></note>: »<q>Man +könnte, wenn man nicht eilen wollte, viel Bewunderungswürdiges +von der Heiligkeit aegyptischer Priester anführen, +welche ich weder allein noch zuerst erkannt habe, sondern +viele der jetzt Lebenden und der Früheren, unter denen +auch <name rend='gesperrt'>Pythagoras</name> der Samier ist, der nach Aegypten +kam und ihr Schüler wurde und die fremde Philosophie +zuerst zu den Griechen verpflanzte.</q>« +</p><p> +Während der Aufenthalt des <name rend='gesperrt'>Pythagoras</name> in Aegypten +unter Anderen auch noch von <name rend='gesperrt'>Strabon</name><note place='end'> + <bibl><author>Strabon</author>, + <biblScope>XIV, 1. 16.</biblScope></bibl></note> +und <name rend='gesperrt'>Antiphon</name><note place='end'> + <bibl><author>Porphyrius</author>, <title>De vita Pythagorae</title> + <biblScope>cap. 7;</biblScope></bibl> + <bibl><author>Diogenes Laertius</author>, + <biblScope>VIII, 3.</biblScope></bibl></note> +bestätiget wird, nennt uns <name rend='gesperrt'>Diodor</name><note place='end'> + <bibl><author>Diodor</author>, <biblScope>I, c. 96.</biblScope></bibl></note> +eine ganze Reihe von +<pb n='011'/><anchor id='V2Pg011'/> +Namen, indem er sagt; »<q>Die aegyptischen Priester nennen +unter den Fremden, welche nach den Verzeichnissen in den +heiligen Büchern vormals zu ihnen gekommen seien, den +<name rend='gesperrt'>Orpheus</name>, <name rend='gesperrt'>Musaios</name>, +<name rend='gesperrt'>Melampus</name> und <name rend='gesperrt'>Daidalos</name>, nach +diesen den Dichter <name rend='gesperrt'>Homer</name>, den Spartaner <name rend='gesperrt'>Lykurgos</name>, ingleichen +den Athener <name rend='gesperrt'>Solon</name> und den Philosophen <name rend='gesperrt'>Platon</name>. +Gekommen sei zu ihnen auch der Samier <name rend='gesperrt'>Pythagoras</name> und +der Mathematiker <name rend='gesperrt'>Eudoxos</name>, ingleichen <name rend='gesperrt'>Demokritos von + Abdera</name> und <name rend='gesperrt'>Oinopides von Chios</name>. Von allen diesen +weisen sie noch Spuren auf, von den Einen Bildnisse von +den Anderen Orte und Gebäude, die nach ihnen benannt +sind. Aus der Vergleichung dessen, was jeder von ihnen in +seinem Fache geleistet hat, führen sie den Beweis, dass sie +Dasjenige um desswillen sie von den Hellenen bewundert +werden, aus Aegypten entlehnt haben.</q>« Aus diesen Stellen +geht mit Sicherheit hervor, dass viele Griechen nach +Aegypten zogen, um bei den dortigen Priestern Philosophie +und Mathematik kennen zu lernen, da wohl in den Berichten +nur die hervorragenden Männer angeführt wurden. +</p><p> +Der Milesier <name rend='gesperrt'>Thales</name>, welcher erst in vorgerücktem +Alter, und nachdem er als Handelsmann früher gewiss schon +mehrmals Aegypten besucht gehabt, sich daselbst behufs +seiner Studien zu längerem Aufenthalt niederlies, ist merkwürdiger +Weise in dem Berichte des Diodor nicht angeführt, +und könnte man wohl aus diesem Umstande umsomehr +einen gewissen Grad von Unglaublichkeit ableiten, als darin +mythische Namen wie <name rend='gesperrt'>Orpheus</name>, <name rend='gesperrt'>Daidalos</name> und <name rend='gesperrt'>Homer</name> +angeführt erscheinen. Diese letzteren konnten jedoch sehr +wohl dem im Ganzen und Grossen sonst richtigen Verzeichnisse +vom Berichterstatter eigenwillig beigefügt worden sein, +um dadurch das hohe Alter aegyptischer Wissenschaft in ein +vorteilhaftes Licht zu setzen. +</p> +<pb n='12'/><anchor id='Pg12'/> +<p> +Abgesehen jedoch von aller Wahrscheinlichkeit oder +Unwahrscheinlichkeit für die Exactheit obiger Aussprüche +in Bezug auf einzelne Namen, dürfte jedenfalls das als +unumstössliche Wahrheit gelten, dass die ägyptischen Priester +von den Griechen als in den Wissenschaften, insbesondere +in der Geometrie sehr bewandert gehalten wurden, und +zwar in einem solchen Maasse, dass eine Reihe hervorragender +griechischer Philosophen es nicht verschmähte, die, für +damalige Verhältnisse nicht unbedeutende Reise nach +Aegypten zu unternehmen, ja oft jahrelang in diesem Lande +mit unbekannter Sprache und Schrift zu verweilen, um sich +die Kenntnisse der Aegypter anzueignen. +</p><p> +Stellt man nun zunächst die Frage nach Quantität und +Qualität des geometrischen Wissens, welches die Griechen +von ihren Studienreisen mit nach Hause brachten, so scheint +dies, selbst vom Standpunkte der unmittelbar nachpythagoräischen +Geometrie, äusserst Weniges gewesen zu sein. +</p><p> +<name rend='gesperrt'>Thales</name> von Milet, einer der sieben griechischen +Weltweisen, der Begründer der ionischen Schule, <name rend='gesperrt'>Thales</name>, +welcher für das Jahr 585 v. Chr. G. eine, auch eingetroffene +Sonnenfinsterniss vorherzusagen wusste, soll, den uns von +<name rend='gesperrt'>Proklos</name> zugekommenen Berichten zufolge, in Aegypten +nicht viel mehr erfahren haben, als die Sätze über die Gleichheit +der Winkel an der Basis eines gleichschenkligen Dreieckes, +die Gleichheit der Scheitelwinkel am Durchschnitt +zweier Geraden; er wusste ferner, wie ein Dreieck durch eine +Seite und die beiden anliegenden Winkel bestimmt erscheint, +diese Erörterung zur Messung der Entfernungen von Schiffen +auf dem Meere benützend, es war ihm bekannt, dass ein +Kreis durch einen Durchmesser halbirt wird,<note place='end'> + <bibl><author>Proklos</author>, ed. <editor>Friedlein</editor>, + <biblScope>250, 299, 352, 157.</biblScope></bibl></note> +und soll er die +Höhe der Pyramiden aus der Länge des Schattens gemessen +haben, höchst wahrscheinlich in dem Momente, wo die +<pb n='13'/><anchor id='Pg13'/> +Schattenlänge eines senkrechten Stabes der Stablänge gleich +ist,<note place='end'> + <bibl><author>Diogenes Laertius</author>, + <biblScope>I, 27.</biblScope></bibl> + <bibl><author>Plinius</author>, <title>Hist. nat.</title> + <biblScope>XXXVI, 12, 17.</biblScope></bibl></note> +möglicherweise jedoch, wie <name rend='gesperrt'>Plutarch</name><note place='end'> + <bibl><author>Plutarch</author>, ed. <editor>Didot.</editor> + <biblScope>Vol. 2, III, p. 174.</biblScope></bibl></note> +berichtet, +auch zu einer beliebigen Tageszeit. Auch wird ihm von +<name rend='gesperrt'>Pamphile</name><note place='end'> + <bibl><author>Diogenes Laertius</author> + <biblScope>I, 24–25.</biblScope></bibl></note> +die Kenntniss des Satzes zugeschrieben, dass +der Peripheriewinkel im Halbkreise ein rechter sei. Gewiss +hat Thales wenigstens jene geometrischen Fundamente in +Aegypten kennen gelernt, welche es ihm ermöglichten, die +genannten Sätze als wahr zu erkennen, wenn auch bei ihm, +selbst bei diesen einfachen Dingen an einen strengen Beweis +nicht gedacht werden kann. +</p><p> +Es wäre jedoch voreilig, aus der Geringfügigkeit der +Thaletischen geometrischen Kenntnisse mit <name rend='gesperrt'>Montucla</name> +<note place='end'><bibl><author>Montucla</author>, <title>Hist. d. math.</title> + <biblScope>2. édit. t. I, p. 49.</biblScope></bibl></note> +zu schliessen, dass auch die Aegypter nicht viel mehr gewusst +hätten. Man kann wohl annehmen, dass die aegyptischen +Priester bei ihrer den Fremden gegenüber beobachteten +Zurückhaltung nur einen Theil ihres Wissens offenbarten; +wer könnte jedoch bemessen, in welchem Verhältnisse dieser +Theil zu ihrem Gesammtwissen stand? Der Ansicht +<name rend='gesperrt'>Montucla</name>'s kann man entgegensetzen, dass die Aegypter +den Fremden nur einen kleinen Bruchtheil ihres sorgsam +im Verborgenen gehüteten Wissens preisgegeben haben +mochten, wobei ferner nicht unberücksichtigt bleiben darf, +dass den nach Aegypten gekommenen Griechen auch die +Unkenntniss der Sprache und der Schrift weitere, nicht zu +unterschätzende Schwierigkeiten bereitete, in dem Maasse als +vielleicht Manches, was ihnen die aegyptischen Priester von +aegyptischem Wissen zur Verfügung stellten, unverstanden +bleiben konnte. +</p><p> +Was nun das Wesen aegyptischer Geometrie betrifft, so +finden wir in den Berichten der Alten fast gar keine Anhaltspunkte, +um uns hierüber Klarheit verschaffen zu können, und +war man bis vor Kurzem darauf hingewiesen, aus den +<pb n='14'/><anchor id='Pg14'/> +Anfängen griechischer Mathematik auf den Stand der aegyptischen +zurückzuschliessen, was, wie aus dem Vorhergesagten +folgen dürfte, mit nicht geringen Schwierigkeiten verbunden +erscheint. +</p><p> +Die Ansicht, dass die Geometrie der Aegypter eigentlich +nur constructiver Natur war, ähnlich dem was wir als Reisskunst +zu bezeichnen pflegen,<note place='end'> + <bibl><author>Bretschneider</author>, + <title>Die Geometrie und die Geometer vor Euklides</title>, + <biblScope>p. 11.</biblScope></bibl> +Dem Werke Bretschneiders, sowie jenem <bibl><author>Cantor</author>'s: + <title id='t:c'>Vorlesungen über Geschichte + der Mathematik</title></bibl>, sind die grundlegenden Gedanken entnommen.</note> +dürfte sich nicht als stichhältig +erweisen; es möge jedoch gleich jetzt darauf hingedeutet +werden, dass die Aegypter im Construiren geometrischer +Formen nicht unbewandert sein konnten. +</p><p> +So sagt in etwas prahlerischer Weise <name rend='gesperrt'>Demokritos</name> +von <name rend='gesperrt' type='place'>Abdera</name><note place='end'> + <bibl><author>Clemens Alexandrinus</author>, <title>Stromata</title>, + ed. <editor>Potter</editor>, + <biblScope>I, 357.</biblScope></bibl></note> +um 420 v. Chr. G.: »<q>Im Construiren von +Linien nach Maassgabe der aus den Voraussetzungen zu +ziehenden Schlüsse hat mich keiner je übertroffen, selbst +nicht die sogenannten Harpedonapten der Aegypter</q>«; und +<name rend='gesperrt'>Theon</name> von <name rend='gesperrt' type='place'>Smyrna</name><note place='end'> + <bibl><author>Theon Smyrnaios</author>, <title>lib. de astron.</title> + ed. <editor>Martin</editor>, + <biblScope>p. 272.</biblScope></bibl></note> +erzählt, dass +»<q>Babylonier, Chaldäer +und Aegypter eifrig nach allerhand Grundgesetzen und +Hypothesen suchten, durch welche den Erscheinungen +genügt werden könnte; zu erreichen suchten sie dies dadurch, +dass sie das früher Gefundene in Ueberlegung zogen, und +über die zukünftigen Erscheinungen Vermuthungen aufstellten, +wobei die Einen sich arithmetischer Methoden bedienten, +wie die Chaldäer, die Anderen construirender wie +die Aegypter</q>«. +</p><p> +Aus diesen und ähnlichen Berichten, sowie aus dem +Umstande, dass die Anfänge der griechischen Geometrie +selbst hauptsächlich constructiver Natur waren, muss man +zu dem Schlusse kommen, dass die alten Aegypter seit unvordenklichen +Zeiten die Reisskunst pflegten, und in der langen +Reihe der Jahrhunderte sicherlich eine ziemlich bedeutende +Masse sowohl einfacher als complicirterer Constructionen +erfanden und in ein gewisses System brachten, von Ersteren +<pb n='15'/><anchor id='Pg15'/> +zu Letzteren aufsteigend. Diese Constructionen dürften ihrem +grösseren Theile nach, und zwar jenem Theile nach, welcher, +wenn auch ohne Begründung Gemeingut der die Künste und +Gewerbe betreibenden Kasten wurde, nur solche gewesen +sein, die dem praktischen Bedürfnisse dienen konnten, also +zumeist Ornamentenconstructionen. Wir bemerken hier unter +Anderem das Vorkommen regelmässiger geometrischer +Figuren auf uralten Wandgemälden, wie sie sich z. B. als +färbige Zeichnungen aus den Zeiten der fünften Dynastie, +also unmittelbar nach den Erbauern der Pyramiden, das ist +3400 Jahre v. Chr. G. etwa vorfinden.<note place='end'> + <bibl><author>Prisse d'Avennes</author>, + <title>Hist. de l'art Egypt. d'après les monuments.</title></bibl></note> +</p><p> +Man sieht unter der grossen Menge der in dieser Zeit +vorkommenden Figuren eine, aus verschobenen, ineinander +gezeichneten, theilweise durch zu einer Diagonale Parallele +zerlegten Quadraten zusammengesetzte Figur, ferner aus der +Zeit von der zwölften bis zur sechsundzwanzigsten Dynastie, +eine Figur, bestehend aus einem Quadrate, und zwei, längs +der Diagonale centrisch hineingelegten lemniscatischen +Curven, sowie eine Zusammenstellung von um fünfundvierzig +Grade gegeneinander verdrehten, sich durchsetzenden Quadraten. +Kreise erscheinen durch ihre Durchmesser in gleiche +Kreisausschnitte getheilt; so zunächst durch zwei oder vier +Durchmesser in vier beziehungsweise acht, und in späteren +Zeiten auch durch sechs Durchmesser in zwölf gleiche Ausschnitte; +die in den Zeichnungen vorkommenden Wagenräder +besitzen zumeist sechs, seltener vier Speichen, so dass +auch die Theilung des Kreises durch drei Diameter in sechs +gleiche Kreisausschnitte vertreten erscheint. +</p><p> +In einer unvollendet gebliebenen Kammer des Grabes +<name rend='gesperrt'>Seti I.</name>, des Vater +<name rend='gesperrt'>Ramses II.</name> aus der neunzehnten Dynastie +(das sogenannte Grab <name rend='gesperrt'>Belzoni</name>)<note place='end'> + <bibl><author>Wilkinson</author>, + <title id='t:w'>Manners and customs of the ancient Egyptians</title>, + <biblScope>III, p. 313.</biblScope></bibl></note> +finden wir die Wände +behufs Anbringung von Reliefarbeiten mit einem Netze gleich +<pb n='16'/><anchor id='Pg16'/> +grosser Quadrate bedeckt, und es kann keinem Zweifel unterliegen, +dass wir es hier mit der Anwendung eines Verkleinerungs- +beziehungsweise Vergrösserungsmaassstabes zu thun +haben. +</p><p> +Wenn nun auch die einfachen Figuren des Dreieckes, +Quadrates und des Kreises höchst wahrscheinlich ohne +besondere Ueberlegung, einfach dem inneren geometrischen +Formendrange entsprungen sein dürften, so ist doch gewiss, +dass ihre verschiedenartige Zusammensetzung zu Mustern +das Product, wenn auch primitiven geometrischen Denkens +war, welches dann schon eine ziemliche Selbstständigkeit +erreicht haben musste, als die vorerwähnte Anwendung von +Proportionalmaassstäben in Uebung kam. +</p><p> +Andererseits musste das öftere Betrachten der regelmässigen +Figuren einen geometrisch disponirten Geist von +selbst zum Aufsuchen unbekannter Eigenschaften derselben +reizen, und vielleicht ist der Thaletische Satz von der +Halbirung des Kreises durch einen Durchmesser nichts als +eine aus der Betrachtung jener aegyptischen Zeichnungen +gewonnene Abstraction, und huldigen wir in dieser Beziehung +der Ansicht, dass <name rend='gesperrt'>Thales</name> beim Ausspruche des erwähnten, +für uns freilich höchst einfach klingenden Satzes, wahrscheinlich +sagen wollte, nur der Kreis habe die ausgezeichnete +Eigenschaft, von allen durch einen Punkt, den Mittelpunkt, +gehenden Geraden in lauter untereinander gleiche Hälften +getheilt zu werden. +</p><p> +Von besonderer Wichtigkeit scheint uns jedoch der +früher citirte selbstgefällige Ausspruch des <name rend='gesperrt'>Demokritos</name> zu +sein, da er uns vor einer ungerechtfertigten Unterschätzung +aegyptischer Constructionsgewandtheit bewahren kann. Bedenklich +in <name rend='gesperrt'>Demokritos</name>' Angabe könnte allenfalls jenes +Selbstlob erscheinen, das er sich spendet; wenn es nun +<pb n='17'/><anchor id='Pg17'/> +wohl auch schon im Alterthume Männer geben mochte, die +ihre Berühmtheit vorzugsweise und oft nur der Hochschätzung +verdankten, die sie sich selbst und ihren Werken gezollt, +Männer, welche in der Verbreitung des eigenen Lobes so +emsig, so unermüdlich waren, dass sich um sie als die +davon Ueberzeugtesten noch ein Kreis von Gläubigen bildete, +welche den, oft nur auf schwankenden Füssen einhergehenden +Ruhm ihrer Profeten weiter führten, so ist doch die Bedeudung +des Geometers <name rend='gesperrt'>Demokritos</name> durch so viele, und verschiedenen +Quellen entspringende Aussprüche beglaubigt, +dass es gewiss Niemandem einfallen wird, seine Autorität +als die eines gründlichen Kenners der Geometrie seiner Zeit +in Zweifel zu ziehen. Wohl sind uns von den geometrischen +Werken des <name rend='gesperrt'>Demokritos</name>, und kaum von allen nur die ganz +allgemein klingenden Titel erhalten. +</p><p> +Während uns <name rend='gesperrt'>Cicero</name><note place='end'> + <bibl><author>Cicero</author>, <title>De finibus bonorum ed malorum</title> + <biblScope>I, 6, 20.</biblScope></bibl></note> +diesen Philosophen als einen +gelehrten, in der Geometrie vollkommen bewanderten Mann +anpreist, theilt uns <name rend='gesperrt'>Diogenes Laertius</name><note place='end'> + <bibl><author>Diogenes Laertius</author> + <biblScope>IX, 47.</biblScope></bibl></note> +mit, dass <name rend='gesperrt'>Demokritos</name> +»<q>über Geometrie</q>«, »<q>über Zahlen</q>«, »<q>über den Unterschied +des Gnomon oder über die Berührung des Kreises +und der Kugel</q>«, sowie zwei Bücher »<q>über irrationale Linien +und die dichten Dinge</q>« geschrieben habe, Schriften, deren +Titel theilweise uns über ihren Inhalt ganz im Unklaren +lassen. Legen wir den angeführten Zeugnissen Glauben bei, +und es ist kein Grund vorhanden dies nicht zu thuh, so +müssen wir von <name rend='gesperrt'>Demokritos</name> als von einem »<q>in der Geometrie + vollkommenen Manne</q>« voraussetzen, dass er mit den +Errungenschaften des <name rend='gesperrt'>Pythagoras</name>, welcher ein Jahrhundert +vor <name rend='gesperrt'>Demokritos</name> Aegypten besucht hatte, vollkommen vertraut +war. Gewiss war ihm somit bekannt: die Methode der +»<q>Anlegung der Flächen</q>«, welche wieder die Vertrautheit mit +den Hauptsätzen aus der Theorie der Parallelen und der +<pb n='18'/><anchor id='Pg18'/> +Winkel, so wie die Kenntniss der Abhängigkeit der Flächeninhalte +von den ihnen zukommenden Ausmaassen voraussetzt. +Nicht minder bekannt mussten ihm die, dem <name rend='gesperrt'>Pythagoras</name> +zugeschriebenen Constructionen der fünf regelmässigen, +sogenannten kosmischen Körper sein, woraus sich weiter +schliessen lässt, dass auch einerseits die Eigenschaften der +Kugel, welcher doch jene Körper eingeschrieben wurden, +und anderseits die Entstehungen der regelmässigen, jene +Körper begrenzenden Vielecke, vor Allem die des Fünfeckes +dem <name rend='gesperrt'>Demokritos</name> nicht ungeläufig sein konnten. Die Construction +des Letzteren erheischt wiederum die Kenntniss der +Lehre vom goldenen Schnitt, und diese den Satz vom Quadrate +der Hypothenuse<note place='end'> + <bibl><author>Cantor</author>, + <title>Vorlesungen über Geschichte der Mathematik</title>, + <biblScope>I, p. 144–159</biblScope> + (<pubPlace>Leipzig</pubPlace> <date>1880</date>).</bibl></note>. +Hat nun <name rend='gesperrt'>Demokritos</name> auch selbst +nichts Neues hinzugefügt, so musste er doch Jenes kennen; +wenn er nun anderseits sagt: »<q>im Construiren hätte ihn + Niemand, selbst nicht die Harpedonapten der Aegypter übertroffen</q>«, +so dürfen wir hieraus mit Sicherheit schliessen, +dass die geometrischen Kenntnisse der aegyptischen Priester +bedeutend genug gewesen sein mussten, weil sich <name rend='gesperrt'>Demokritos</name> +sonst kaum gerade über diese Geometer gesetzt hätte. +</p><p> +Doch verlassen wir für jetzt die Nachrichten des griechischen +Alterthums, welche in der Beurtheilung aegyptischer +Geometrie nur Conjecturen zulassen, und blicken wir nach +directen Denkmalen aegyptischen Ursprungs, aus denen vielleicht +Schlüsse gezogen werden könnten auf Wesen und +Umfang aegyptischer Geometrie. +</p><p> +Das Britische Museum bewahrt eine Papyrusrolle, +welche aus dem Nachlasse des Engländers <name rend='gesperrt'>A. Henry Rhind</name> +stammt, die derselbe nebst anderen werthvollen Rollen in +Aegypten käufllich an sich gebracht haben dürfte. Der +erwähnte Papyrus, ein altes Denkmal ägyptischer Mathematik, +ist, wie es scheint, nicht mit vollster Berechtigung als ein +<pb n='19'/><anchor id='Pg19'/> +»<q>mathematisches Handbuch</q>« der alten Aegypter bezeichnet +worden<note place='end'> + <bibl><author>Eisenlohr</author>, + <title>Ein math. Handbuch der alten Aegypter</title>. + <pubPlace>Leipzig</pubPlace> <date>1877</date>.</bibl></note>. + Der fragliche Papyrus nennt sich selbst eine +Nachahmung älterer mathematischer Schriften, denn es heisst +in der Einleitung: »<q>Verfasst wurde diese Schrift im Jahre +dreiunddreissig im vierten Monat der Wasserzeit unter König +Ra-&amacron;-us, Leben gebend nach dem Muster alter Schriften in +den Zeiten des Königs …ât vom Schreiber Aahmes verfasst +die Schrift.</q>« +</p><p> +Nachdem zuerst Dr. <name rend='gesperrt'>Birch</name><note place='end'> + <bibl><author>Birch</author>, in Lepsius' + <title level='j'>Zeitschrift für ägypt. Sprache und Alterthum</title>, + <date>1868</date>, <biblScope>p. 108.</biblScope></bibl></note> +auf diesen mathematischen +Papyrus durch einen kurzen vorläufigen Bericht aufmerksam +gemacht hatte, wurde der Gegenstand von dem +ausgezeichneten Heidelberger Aegyptologen Dr. <name rend='gesperrt'>Eisenlohr</name> +einer eingehenden, höchst schwierigen und zeitraubenden +Untersuchung unterzogen, deren Resultate, was die Uebersetzung +betrifft, unseren gegenwärtigen Betrachtungen zu +Grunde liegen. Bezüglich des Alters des Papyrus hat man +jenes der vorhandenen Abschrift von dem Alter des unbekannten +Originals zu unterscheiden. Nach der von <name rend='gesperrt'>Eisenlohr</name> +gegebenen Vervollständigung der in der erwähnten Einleitung +auf das Wort König folgenden Lücke, würde der Herrscher, +unter dessen Regierung das Original entstanden ist, der +König <name rend='gesperrt'>Ra-en-mat</name> sein, dessen Regierungszeit <name rend='gesperrt'>Lepsius</name><note place='end'> + <bibl><author>Lepsius</author>, <title level='j'>ägypt. Zeitschrift</title>, + <date>1871</date>, <biblScope>p. 63.</biblScope></bibl></note> +auf 2221–2179 v. Chr. G. legt. Da ferner der Name +<name rend='gesperrt'>Ra-a-us</name> in den bis dahin vorhandenen Königslisten nicht +vorkommt, sah man sich, um die Zeit der Entstehung der +Abschrift wenigstens annähernd angeben zu können, darauf +angewiesen, aus der bekannten Sitte der Aegypter die Eigennamen +der eben herrschenden oder der unmittelbar vorhergegangenen +Regenten zu gebrauchen, Schlüsse zu ziehen. +Und da liess der Name <name rend='gesperrt'>Aahmes</name> des Schreibers, sowie auch +die (althieratische) Schrift des Papyrus vermuthen, dass derselbe +um 1700 v. Chr. G. entstanden sein dürfte. Die Vermuthung +<pb n='20'/><anchor id='Pg20'/> +in Bezug auf das Zeitalter der Abschrift hat sich +nun neueren Forschungen zu Folge vollkommen bestätigt. +Denn <name rend='gesperrt'>Ra-a-us</name> wurde als der Hyksoskönig <name rend='gesperrt'>Apophis</name> +erkannt, und <name rend='gesperrt'>Aahmes</name> dürfte seinen Namen von dem, kurze +Zeit dem Apophis vorhergegangenen Könige <name rend='gesperrt'>Amasis</name> entlehnt +haben. +</p><p> +Es erscheint so vollkommen sichergestellt, dass unser +Papyrus aus dem achtzehnten Jahrhundert v. Chr. G. stammt. +Die Eingangsworte des Papyrus, welche lauten: »<q>Vorschrift +zu gelangen zur Kenntniss aller dunklen Dinge, aller Geheimnisse, +welche enthalten sind in den Gegenständen</q>«, sowie +die Anordnung des Stoffes in Arithmetik, Planimetrie und +Stereometrie, an welche sich ein, verschiedene Beispiele enthaltender +Theil anschliesst, konnten im ersten Augenblicke +den Gedanken aufkommen lassen, dass wir es vielleicht mit +einem Lehrbuche der Mathematik zu thun haben. Der Umstand +jedoch, dass der Papyrus nur die Zusammenstellung, +allerdings eine in gewissem Grade systematische Zusammenstellung +von Aufgaben nebst ihren Lösungen und den zugehörigen +Proben ist, ohne dass Definitionen oder Lehrsätze +und Beweise vorkommen würden, liess den Papyrus wiederum +als eine Aufgabensammlung, als ein Anleitungsbuch für +Praktiker erscheinen. Man ist noch weiter gegangen, und +stellte die Ansicht auf, der Autor habe bei Abfassung dieser +Schrift vorzüglich an Landleute, welchen die Theorie unzugänglich +war, gedacht. Daraufhin weise nicht nur die Formulirung +des grössten Theiles der Aufgaben, welche Verhältnisse +und Bedürfnisse der Landwirthschaft berücksichtigen, sondern +auch der Schlusssatz des Papyrus, welcher sagt: »<q>Fange das +Ungeziefer und die Mäuse, (vertilge) das verschiedenartige +Unkraut, bitte Gott <name rend='gesperrt'>Ra</name> um Wärme, Wind und hohes Wasser</q>«. +</p> +<pb n='21'/><anchor id='Pg21'/> +<p> +Dass wir es nicht mit einem Handbuche, welches dem +damaligen Standpunkte der mathematischen Wissenschaften +in Aegypten entsprechen müsste, zu thun haben, ergibt sich +nicht nur aus dem schon hervorgehobenen Mangel an Definitionen, +Lehrsätzen und Beweisen, ja es fehlt selbst jede Erklärung, +sondern auch aus dem Umstände, dass neben der +richtigen Lösung einzelner Aufgaben die unrichtigen oder +unvollendeten Lösungen derselben oder ähnlicher Aufgaben, +sowie manche Wiederholungen vorkommen. Nur nebenbei +verweisen wir darauf, dass in einem Handbuche unzweifelhaft +wenigstens Anklänge an die erste der Wissenschaften des +Alterthums, an die Astronomie, zu finden sein müssten. Doch +ist von diesem Theile der Mathematik im Papyrus nicht die +geringste Spur zu finden. Aufklärungen über den wahren +Charakter des Originals unseres Papyrus, und eine viele Wahrscheinlichkeit +besitzende Vermuthung über die Entstehung +der uns beschäftigenden Abschrift, verdanken wir dem Scharfsinne +des französischen Aegyptologen Eugène <name rend='gesperrt'>Revillout</name>.<note place='end'> + <bibl><author>Revillout, Eugène</author>, + <title level='j'>Revue Egyptologique</title>, + <date>1881</date>, + <biblScope>Nr. II et III, p. 304.</biblScope></bibl></note> +</p><p> +Bei richtiger Erwägung des Umstandes, dass oft auf ein +fehlerlos gelöstes Beispiel, falsche Lösungen ähnlicher Beispiele +folgen, welchen sich dann gewöhnlich eine Reihe von +Uebungsrechnungen anschliesst, Rechnungen die einem Schulpensum +in hohem Grade ähnlich sehen, bei Betrachtung der +Thatsache ferner, wie ein und dasselbe Zahlenbeispiel oft +einigemal und zwar so behandelt wird, dass der Reihe nach +die vorkommenden Zahlenwerthe als die berechneten Resultate +erscheinen, drängt sich uns mit <name rend='gesperrt'>Eugène Revillout</name> die +Ueberzeugung auf, dass wir es mit dem Uebungs- oder Aufgabenhefte +eines Zöglings jener Unterrichtshäuser (a·sbo) zu +thun haben, wie deren in so manchem Papyrus Erwähnung +geschieht, und in denen die Schüler, welche später Landwirthe, +Verwalter, Feldmesser oder Constructeure werden +<pb n='22'/><anchor id='Pg22'/> +wollten, mit den für ihre künftige Laufbahn notwendigen +Rechnungsoperationen vertraut gemacht wurden. Da dieses +Schulheft selbstverständlich nicht für die Oeffentlichkeit +bestimmt sein konnte, so trägt es auch thatsächlich keinen +Autornamen und keine Jahresangabe; denn, was die in der +Einleitung bezüglich der Zeitperiode, in welcher das Original +entstanden sein sollte, gemachte Erwähnung betrifft, so ist +mehr als wahrscheinlich, dass dieselbe von dem Abschreiber +<name rend='gesperrt'>Aahmes</name> herrührt, welcher das Original einige Jahrhunderte +nach seiner Entstehung auffand, und dasselbe, der Mathematik +gewiss ganz unkundig, sammt allen Fehlern abschrieb, zu +diesen noch neue hinzufügend. Nachdem <name rend='gesperrt'>Aahmes</name> aus der +Aehnlichkeit der Schriftart des mathematischen Heftes mit +der Schrift anderer ihm bekannten Papyri auf das Alter des +ersteren einen im Ganzen und Grossen nicht unrichtigen +Schluss gezogen haben mochte, so können wir das Ende, +vielleicht auch die Mitte des dritten Jahrtausends v. Chr. G. +als jene Zeit betrachten, in welcher das Original der Abschrift +entstanden sein dürfte. Ob <name rend='gesperrt'>Aahmes</name> die Abschrift +mit der viel versprechenden Einleitung und der zugleich +praktischen und gottesfürchtigen Schlussregel in der Absicht +versehen hatte, um sie an irgend einen einfachen aegyptischen +Landmann um gutes Geld anzubringen, lassen wir dahingestellt, +und wiederholen nur unsere Uebereinstimmung mit +der Ansicht, dass das Original des Papyrus neben den von +einem Lehrer der Mathematik herrührenden Musterbeispielen, +die sehr oft verunglückten Uebungen eines Schülers enthält, +eines Schülers überdies, der nicht zu den hervorragenden +seiner Glasse gehört haben mochte. Und wie kostbar ist +dennoch dieses altägyptische Schulheft! Wenn wir in aller +Eile eine Skizze seines Inhaltes vorführen sollen, so +müssen wir zunächst die sich auf acht Columnen der oben +<pb n='23'/><anchor id='Pg23'/> +erwähnten Einleitung anschliessende Theilung der Zahl 2 +durch die Zahlen von 3 bis 99 erwähnen; jeder auftretende +Bruch erscheint in zwei bis vier sogenannte +Stammbrüche, Brüche mit dem Zähler Eins, zerlegt, und sind +die Nenner der letzteren meist gerade Zahlen mit einer +grösseren Divisorenanzahl. Im Anschluss an diese Tabelle +finden wir sechs Beispiele, in denen in Form von Brodvertheilungen +die Division der Zahlen l, 3, 6, 7, 8 und 9 durch +die Zahl 10 gelehrt wird, und es folgt hierauf in 17 Beispielen +die sogenannte Sequem- oder Ergänzungsrechnung, +in welcher es sich darum handelt, Zahlenwerthe zu finden, +die mit gegebenen Werthen durch Addition oder Multiplication +verbunden, andere gegebene Zahlenwerthe liefern. Die nächsten +15 Beispiele gehören der sogenannten <emph>Haurechnung</emph> +an, und finden wir in diesem Abschnitte die Lösungen linearer +Gleichungen mit einer Unbekannten. Zwei weitere, der sogenannten +<emph>Tunnu-</emph> oder Unterschiedsrechnung angehörige +Beispiele belehren uns darüber, dass den alten Aegyptern der +Begriff arithmetischer Reihen nicht fremd war. Es folgen nun +sieben Beispiele über Volumetrie, ebensoviele über Geometrie +und fünf Beispiele über Berechnungen von Pyramiden, also +19 Aufgaben über die wir später noch einige Worte sagen +müssen. +</p><p> +Hieran schliessen sich endlich dreiundzwanzig verschiedenen +Materien entlehnte, Fragen des bürgerlichen Lebens +betreffende Beispiele, wie die Berechnung des Werthes von +Schmuckgegenständen, abermals Vertheilungen von Broden +oder von Getreide, Bestimmung des auf einen Tag entfallenden +Theiles eines Jahresertrages, Berechnungen von Arbeitslöhnen, +Nahrungsmitteln sowie des Futters für Geflügelhöfe. +Einer besonderen Ankündigung werth erscheinen uns in +dieser letzten Abtheilung zwei Beispiele; das eine derselben<note place='end'> + <bibl><author>Eisenlohr</author>, + <title>Ein math. Handbuch der alten Aegypter</title>. + <biblScope>Nr. 64.</biblScope></bibl></note> +<pb n='24'/><anchor id='Pg24'/> +lässt keinen Zweifel darüber aufkommen, dass den alten +Aegyptern die Theorie der arithmetischen Progressionen +vollkommen geläufig war, während wir in dem zweiten<note place='end'> + ibid. Nr. 79.</note> +unter der Aufschrift »<q>eine Leiter</q>« die geometrische Progression +von 7 hoch 1 bis 7 hoch 5 nebst deren Summe vorfinden, wobei +die einzelnen Potenzen eigene Namen: an, Katze, Maus, +Gerste, Maass zu führen scheinen. +</p><p> +Nicht unbemerkt lassen wir endlich die in den Haurechnungen +auftretende Benützung mathematischer Zeichen; +so nach links oder rechts ausschreitender Beine für Addition +und Subtraction, drei horizontale Pfeile für Differenz, sowie +endlich ein besonderes, dem unseren nicht unähnliches +Gleichheitszeichen. +</p><p> +Aus dem geometrischen Theile heben wir zunächst, der +Anordnung des Papyrus nicht folgend, die Flächenberechnungen +von Feldern hervor. Die vorkommenden Beispiele +beziehen sich auf quadratische, rechteckige, kreisrunde und +trapezförmige Felder, deren Flächeninhalte aus ihren Längenmaassen +bestimmt werden. Nachdem in den Aufgaben über +die Berechnung des Fassungsvermögens von Fruchtspeichern +mit quadratischer Grundfläche diese letztere gefunden wird +durch Multiplication der Maasszahl der Seite mit sich selbst, +kann es gar keinem Zweifel unterliegen, dass auch die Fläche +des Rechteckes durch Multiplication der Maasszahlen zweier +zusammenstossender Seiten erhalten wurde, da die Erkenntniss +der Richtigkeit der einen Bestimmungsart, jene der Richtigkeit +der anderen involvirt. +</p><p> +Schon die Betrachtung solcher Proportionalmaassstäbe, +wie wir sie im Grabe <name rend='gesperrt'>Belzoni</name> bemerken konnten, hätte +die alten Aegypter, die mit Gleichungen und arithmetischen +Reihen umzugehen wussten, auf die Bestimmung der Fläche +eines Rechteckes aus seinen beiden Seitenlängen mit Nothwendigkeit +<pb n='25'/><anchor id='Pg25'/> +führen müssen, und werden wir uns durch den +Umstand, dass im Papyrus der diesbezüglichen Aufgabe eine +zu ihr nicht gehörige Lösung beigefügt ist, durchaus nicht +beirren lassen. +</p><p> +Von hohem Interesse ist die, an mehreren Stellen des +Papyrus vorkommende Methode der Flächenberechnung eines +Kreises, welche zeigt, dass die alten Aegypter mit ziemlicher +Annäherung den Kreis zu quadriren wussten, in der That zu +quadriren, weil sie aus dem Durchmesser eine Länge ableiten, +welche als Seite ein Quadrat liefert, dessen Fläche jener des +Kreises gleichgesetzt wurde. Da sie acht Neuntel des Durchmessers +zur Seite jenes Quadrates machten, so entspricht dies +einem Werthe der Ludolphischen Zahl, welcher dem richtigen +Werthe gegenüber um nicht ganz zwei Hundertstel (um +0,018901) zu hoch gegriffen erscheint; für das dritte Jahrtausend +v. Chr. G. und im Vergleiche zu dem Werth π = 3 +der Babylonier, und noch mehr im Vergleiche zu dem Werthe +π = 4 späterer römischer Geometer, jedenfalls eine nicht zu +unterschätzende Annäherung an den richtigen Werth. +</p><p> +Eine Aufgabe behandelt die Flächenbestimmung des +Dreieckes, wobei das Resultat als das Product zweier Seitenlängen +gefunden wird. Die hier beigefügte Figur<note place='end'> + ibid. p. 125.</note>, welche +in Wirklichkeit ein ungleichseitiges langgestrecktes Dreieck +darstellt, kann ebensowohl als die verfehlte Zeichnung eines +rechtwinkligen wie auch eines gleichschenkligen Dreieckes +betrachtet werden. +</p><p> +Letztere Annahme ist von <name rend='gesperrt'>Eisenlohr</name> gemacht und +von <name rend='gesperrt'>Cantor</name><note place='end'> + <bibl><author>Cantor</author>, + <title>Vorlesungen aus der Geschichte der Mathematik</title>, + <biblScope>I, p. 49.</biblScope></bibl></note> +acceptirt worden. Darnach würde sich die +Methode der Dreiecksberechnung der alten Aegypter nur als +eine Näherungsmethode darstellen, und ist auch von beiden +genannten Gelehrten der begangene, in diesem Falle in der +That nicht bedeutende Fehler ermittelt worden. +</p> +<pb n='26'/><anchor id='Pg26'/> +<p> +Wir sind dagegen mit Revillout anderer Meinung. +</p><p> +Mit Rücksicht auf den von uns klar erkannten Charakter +des Originales des Papyrus als eines sehr ungenauen Collegienheftes, +dessen Rechnungen ebensosehr wie die vorkommenden +Zeichnungen von der Mittelmässigkeit seines +Zusammenstellers beredtes Zeugniss ablegen, zweifeln wir +keinen Augenblick, dass die fragliche Figur ein rechtwinkliges +Dreieck vorzustellen hatte. Die mangelhafte Schülerzeichnung +ist durch den Copisten <name rend='gesperrt'>Aahmes</name> nur noch +schlechter geworden. Dass ein rechtwinkliges Dreieck gemeint +sein soll, erkennt man übrigens auch aus dem Umstande, +dass in der Figur die Maasszahlen der multiplicirten Seiten +bei den Schenkeln des, vom rechten Winkel nur wenig differirenden +Winkels angesetzt sind, wo doch, wenn es sich hätte +um ein gleichschenkliges Dreieck handeln sollen die Maasszahl +der Schenkel in der Figur gewiss bei beiden Schenkeln zu +finden wäre. Dieselben Gründe bestimmen uns zu der +Annahme, dass die im Papyrus befindliche Flächenberechnung +eines Trapezes eine vollkommen richtige ist, indem es sich +auch hier nur um ein Trapez handeln kann, dessen zwei +parallelen Seiten auf einer der nicht parallelen Seiten senkrecht +stehen. Und warum sollten denn die alten Aegypter +nicht die richtige Art der Flächenberechnung auch beliebiger +Dreiecke gekannt haben? +</p><p> +Konnte man einmal die Fläche eines Rechteckes genau +bestimmen, so musste sich durch einfache Anschauung eines, +durch eine Diagonale zerlegten Rechteckes, von selbst die +Regel zur Flächenbestimmung des rechtwinkligen Dreieckes +ergeben; und wurde nun ein beliebiges schiefwinkliges +Dreieck durch ein Höhenperpendikel in zwei rechtwinklige +zerlegt, so war nichts leichter als die allgemeine Regel zur +Bestimmung der Dreieckfläche aus Basis und Höhe (<foreign>tepro</foreign> +<pb n='27'/><anchor id='Pg27'/> +und <foreign>merit</foreign>) zu entwickeln. Dass die Gewinnung des Höhenperpendikels +sowohl bei Constructionen als auch auf dem +Felde den alten Aegyptern nicht unmöglich war, folgt zunächst +aus der grossen Bedeutung der Winkelmaasses (<foreign>hapt</foreign>) für alle +Operationen der praktischen Geometer Aegyptens. Nicht nur, +dass wir in vielen aegyptischen Documenten das Winkelmaass +erwähnt finden, sieht man auch Könige abgebildet, das Winkelmaass +in der Hand, welches von ihnen vielleicht in derselben +Weise durch symbolische Benützung geehrt wurde, wie der +Kaiser von China alljährlich einmal den Pflug zu führen +pflegt. Ein solches Winkelmaass sieht man übrigens auch auf +einem Wandgemälde abgebildet, das eine Schreinerwerkstätte +darstellt,<note place='end'> + <bibl><author>Wilkinson</author>, + <title corresp='t:w'>Manners and customs u. s. w.</title> + <biblScope>III., p. 144.</biblScope></bibl></note> +und es unterliegt keinem Zweifel, dass dasselbe +ebensowohl zur Anlegung rechter Winkel als zum Fällen von +Senkrechten benützt worden ist. Aber auch auf freiem Felde +musste den Aegyptern die Construction rechter Winkel geläufig +sein; sowohl die Pyramiden als auch die aegyptischen +Tempel sind vollkommen orientirt, und wurde, wie uns alte +Inschriften<note place='end'> + <bibl><author>Brugsch</author>, + <title>Ueber Bau und Maasse des Tempels von <name type='place' rend='gesperrt'>Edfu</name></title> + (<title level='j'>Zeitschrift für ägypt. Sprache u. Alterth.</title> + <biblScope>Bd. VIII.</biblScope>)</bibl></note> +belehren, die Orientirung in festlicher Weise +vom Könige unter Beihilfe der Bibliotheksgöttin <name rend='gesperrt'>Safech</name> vollzogen, +mit den Worten: »<q>Ich habe gefasst den Holzpflock und +den Stiel des Schlägels, ich halte den Strick gemeinschaftlich +mit der Göttin <name rend='gesperrt'>Safech</name>. Mein Blick folgt dem Gange der +Gestirne. Wenn mein Auge an dem Sternbilde des grossen +Bären angekommen ist, und erfüllt ist der mir bestimmte +Zeitabschnitt der Zahl der Uhr, so stelle ich auf die Eckpunkte +Deines Gotteshauses.</q>« +</p><p> +In welchem Maasse bei diesen Operationen die von +<name rend='gesperrt'>Demokritos</name> so hochgestellten <name rend='gesperrt'>Harpedonapten</name> oder +Seilspanner betheiligt waren, hat <name rend='gesperrt'>Cantor</name><note place='end'> + <bibl><author>Cantor</author>, + <title corresp='t:c'>Vorlesungen u. s. w.</title> + <biblScope>I, p. 55.</biblScope></bibl></note> in höchst +scharfsinniger Weise zu beleuchten versucht, und es erscheint +auch uns wahrscheinlich, dass sich die alten Aegypter beim +<pb n='28'/><anchor id='Pg28'/> +Construiren rechter Winkel sowie beim Fällen von Senkrechten +auf dem Felde, der Thatsache bedienten, dass der +eine Winkel in einem, die Seitenlängen drei, vier und fünf +besitzenden Dreiecke, ein rechter Winkel sein müsse. Musste +ja doch dieser Satz seit unvordenklichen Zeiten auch den +Chinesen bekannt sein, da wir ihn in der bei ihnen so +berühmten Schrift <title>Tschiu-p&imacron;</title> finden, welche mehrere Jahrhunderte +v. Chr. G. entstanden, auf den Kaiser <name rend='gesperrt'>Tsch&imacron;u-Kung</name> +also in das Jahr 1100 v. Chr. G. etwa zurückgeführt +wird.<note place='end'> + <bibl><author>Éd. Biot</author>, <title level='j'>Journal Asiatique</title>, + <pubPlace>Paris</pubPlace> <date>1841</date>, + <biblScope>I. Sem. p. 593.</biblScope></bibl></note> +Uebrigens konnten directe Messungsversuche an +diagonalen Linien in den Proportionalmaassstäben sowohl zu +dem erwähnten als auch noch zu anderen rechtwinkligen +Dreiecken mit rationalen Seitenlängen geführt haben, und +scheint uns die Möglichkeit nicht ausgeschlossen, dass der +berühmte und berüchtigte Satz des <name rend='gesperrt'>Pythagoras</name> über die +Quadrate der Katheten und der Hypothenuse einer eingehenden +Untersuchung solcher Proportionalmaassstäbe entsprungen +ist. +</p><p> +Wenn wir nun einerseits behaupten, dass die alten +Aegypter nicht nur die Fläche des Kreises, des Quadrates, +des Rechteckes, des rechtwinkligen sowie des schiefen Dreieckes, +und unter Zuhilfenahme der Zerlegungen auch die +Flächen beliebiger Polygone theoretisch genau zu bestimmen +im Stande waren, mit Ausnahme der auch für uns eine solche +bildenden Kreisfläche, so muss doch anderseits zugestanden +werden, dass man sich bei praktischen Anwendungen mit +Näherungen begnügte, welche im Laufe der Zeiten so ausarteten, +dass der Gebrauch falscher Regeln ein allgemeiner +wurde. +</p><p> +Am linken Nilufer in der Mitte zwischen <name rend='gesperrt' type='place'>Theben</name> und +<name rend='gesperrt' type='place'>Assuan</name> liegt <name rend='gesperrt' type='place'>Edfu</name>, das alte <name rend='gesperrt' type='place'>Appollinopolis Magna</name> +mit einem stattlichen Tempelbau aus den Zeiten der Ptolomäer. +<pb n='29'/><anchor id='Pg29'/> +Der Tempel, hauptsächlich dem Gotte <name rend='gesperrt'>Horus</name> geweiht, +ist mit einer freistehenden Umfassungsmauer umgeben,<note place='end'> + <bibl><author>Lepsius</author>, + <title>Ueber eine hieroglyphische Inschrift am Tempel von <name type='place' rend='gesperrt'>Edfu</name></title>. + <title level='j'>Abhandlung d. Acad. d. Wiss. in Berlin</title>, + <date>1855</date>, <biblScope>p. 69.</biblScope></bibl></note> +deren Ostseite zwischen dem Brunnenthore und dem östlichen +Pylonflügel eine Inschrift trägt, welche uns auf acht +Feldern und in hundertvierundsechzig Columnen<note place='end'> + <bibl><author>Brugsch</author>, <title>Thesaurus III</title>, + <pubPlace>Leipzig</pubPlace> <date>1884.</date></bibl></note> eine +Schenkungsurkunde des Königs <name rend='gesperrt'>Ptolomäus XI. Alexander + I.</name> (mit dem Beinamen <name rend='gesperrt'>Philometor</name>) bekannt gibt. Das +Geschenk, welches hier <name rend='gesperrt'>Horus</name> und den übrigen Göttern von +<name rend='gesperrt' type='place'>Edfu</name> verliehen wird, besteht aus einer Anzahl von meist +viereckigen Aeckern, deren vier Seitenlängen nebst Flächeninhalten +angegeben erscheinen. +</p><p> +Da jeder der vorkommenden Flächeninhalte identisch +ist mit dem Producte der arithmetischen Mittel der beiden +Gegenseitenpaare, so wurde nach <name rend='gesperrt'>Lepsius</name> die Vermuthung +aufgestellt, die alten Aegypter hätten, um Vierecke bei der +Flächenbestimmung annähernd wie Rechtecke behandeln zu +können, den Unterschied der Gegenseiten dadurch auszugleichen +gesucht, dass sie die arithmetischen Mittel derselben +in Rechnung zogen. +</p><p> +Bei sehr vielen der in der <name rend='gesperrt' type='place'>Edfu</name>er Schenkungsurkunde +vorkommenden Vierecke ist der Unterschied je zweier Gegenseiten +entweder Null oder verhältnissmässig so klein, dass +man den betreffenden Vierecken eine vom Rechtecke wenig +verschiedene Gestalt beilegen kann, und die erhaltenen Resultate +somit eine ziemliche Annäherung an den richtigen +Flächenwerth darstellen dürften, nach dem man mit Rücksicht +auf die bei <name rend='gesperrt'>Sesostris</name> bemerkte Eintheilung des Landes +in Rechtecke voraussetzen darf, gerade diese oder eine ihr +zunächst kommende Form der Felder sei die auch damals +schon beliebte gewesen. +</p><p> +Doch kommen auch Vierecke vor, wo der Längenunterschied +der Gegenseiten ein bemerkenswerther ist; ja es werden +<pb n='30'/><anchor id='Pg30'/> +auch Dreiecke als Vierecke mit einer verschwindenden Seite +behandelt, so dass der begangene Fehler in manchen Fällen +ein nicht unbedeutender ist. +</p><p> +Nur nebenbei bemerken wir, dass man dieselbe unrichtige +Flächenformel für das Viereck erhält, wenn man dasselbe +zunächst durch eine Diagonale in zwei Dreiecke zerlegt, +auf jedes dieser Dreiecke die unrichtige Flächenformel, +die den Inhalt als das halbe Product der beiden Seiten liefert, +anwendet, die beiden so erhaltenen Dreiecksflächen addirt +und dann aus dieser Summe und jener, welche man bei dem +ähnlichen Vorgange durch Zerlegung mittelst der zweiten +Diagonale erhält, das arithmetische Mittel construirt. +</p><p> +Nimmt man mit <name rend='gesperrt'>Eisenlohr</name> und <name rend='gesperrt'>Cantor</name> an, dass die +Aegypter die Dreiecksfläche wirklich dem halben Producte +zweier Seiten gleichsetzten, so steht man vor der Frage, +warum nicht in derselben Art die Flächen der in der <name rend='gesperrt' type='place'>Edfu</name>er +Schenkungsurkunde auftretenden Dreiecke bestimmt erscheinen? +</p><p> +Uebrigens wolle man sich darüber nicht wundern, dass +es überhaupt möglich war, die Flächenberechnungen im +praktischen Leben nach einer so falschen Methode durchzuführen. +Wissen wir doch, dass im Alterthume, zur Zeit +<name rend='gesperrt'>Platon</name>s, einer der gebildetsten Männer, einer der +hervorragendsten Geschichtschreiber, dass <name rend='gesperrt'>Thukydides</name><note place='end'> + <bibl><author>Thukydides</author>, + ed. <editor>Rothe</editor>, + <biblScope>VI. 1.</biblScope></bibl></note> in seiner +Unkenntniss der Beziehung zwischen Flächeninhalt und Umfang, +die Fläche einer Insel nach der zu ihrer Umschiffung +nothwendigen Zeit zu bestimmen suchte; in der Geometrie +<name rend='gesperrt' id='a:g'>Gerbert</name>'s,<note place='end'> + <bibl><author corresp='a:g' /> ed. <editor>Olleris</editor>, + <biblScope>Cap. LXX. p. 460.</biblScope></bibl></note> +des nachmaligen Papstes <name rend='gesperrt'>Silvester II.</name> +finden wir, 1000 Jahre nach Chr. G., die Fläche eines gleichschenkligen +Dreieckes durch Multiplication des Schenkels +mit der halben Basis berechnet, wo doch schon <name rend='gesperrt'>Hero von +<pb n='31'/><anchor id='Pg31'/> +Alexandrien</name><note place='end'> +<bibl><title><emph>Heronis Alexandrini</emph> geometricorum et stereometricorum reliquiae</title> + (ed. <editor>Hultsch</editor>, + <pubPlace>Berlin</pubPlace> <date>1864</date>).</bibl></note> +1100 Jahre früher die richtige Formel +für diese Berechnung kennt. +</p><p> +Wir berühren diese Thatsachen, und könnten noch eine +ganze Reihe ähnlicher Beispiele anführen, nur um zu zeigen, +wie übereilt es wäre, aus den oft nur schwache Annäherungen +liefernden Berechnungen der <name rend='gesperrt' type='place'>Edfu</name>er Schenkungsurkunde +schliessen zu wollen, die richtigen Methoden seien +den in die Wissenschaften eingeweihten aegyptischen Priestern +nicht bekannt gewesen. +</p><p> +Doch zurück zum Papyrus <emph>Rhind</emph>. +</p><p> +Wir übergehen die Inhaltsbestimmungen von Fruchthäusern, +bei denen der Inhalt durch Multiplication einer +Fläche mit einer Länge bestimmt wird, weil wir es für +müssig halten, Erörterungen darüber anzustellen, welche +Flächen und Längen hiebei gemeint sind, so lange uns über +die Form jener Fruchthäuser oder Speicher nichts bekannt +ist. +</p><p> +Dagegen erwecken die im Papyrus vorkommenden Pyramiden-Berechnungen +das höchste Interesse, besonders nach +den glänzenden Untersuchungen, welchen <name rend='gesperrt'>Revillout</name> +diesen Gegenstand unterzogen hat, und deren Resultate wir, +entgegen der von <name rend='gesperrt'>Eisenlohr</name> ausgesprochenen und auch +von <name rend='gesperrt'>Lepsius</name><note place='end'> + <bibl><author>Lepsius</author>, + <title>Ueber die 6palmige grosse Elle von 7 kleinen Palmen Länge + in dem »math. Handbuche« von Eisenlohr</title>. + (<title level='j'>Zeitschrift f. äg. Sp.</title> + <date>1884.</date> <biblScope>1. Heft.)</biblScope></bibl></note> +acceptirten Ansicht als solche betrachten, +welche in einfacher und natürlicher Weise die sogenannte +<emph>Seket</emph>-Rechnung der alten Aegypter beleuchten. +</p><p> +Es wird in diesen Rechnungen die Böschung der Seitenflächen +einer quadratischen Pyramide dadurch fixirt, dass +jener Theil der Länge eines der beiden gleichlangen Schenkel +des Winkelmaasses berechnet wird, der sich zur Länge des +anderen Schenkels so verhält, wie die halbe Länge der Basisseite +der quadratischen Pyramide zur Höhe derselben. +</p> +<pb n='32'/><anchor id='Pg32'/> +<p> +Zu dem Behufe war der eine der beiden Schenkel des +Winkelmaasses in eine gewisse Anzahl gleich grosser Theile +getheilt, während der andere Schenkel, der Pyramidenhöhe +entsprechend, und als Einheit betrachtet, ungetheilt blieb. +</p><p> +Um nun den sogenannten <emph>Seket</emph> zu bestimmen, wurde +die halbe Länge der Basisseite durch die Pyramidenhöhe +dividirt und mit dem erhaltenen Quotienten die Anzahl der +Theile des horizontalen, getheilten Schenkels des Winkelmaasses +multiplicirt. +</p><p> +Es war somit der Seket (welcher in derselben Art für +einen geraden Kreiskegel aus dem Durchmesser der Basis +und der Höhe bestimmt erscheint) als Verhältniss aufgefasst, +die goniometrische Cotangente des Neigungswinkels der Seitenfläche +der Pyramide, respective der Kegelkante zur Basis. +</p><p> +Wenn wir selbstverständlich weit davon entfernt sind, +hierin vielleicht Anfänge der Trigonometrie sehen zu wollen, +so erkennen wir doch anderseits, dass den alten Aegyptern +auch die Lehre proportionaler Linien, wenigstens in ihren +Anwendungen, bekannt gewesen sein musste, und erscheint +uns auch der am Eingange erwähnte Ausspruch über die +dem Milesier <name rend='gesperrt'>Thales</name> zugeschriebene Höhenmessung der +Pyramiden als ein ganz glaubwürdiger, wenn wir sehen, wie +im Papyrus von den drei Werthen: Basis, Höhe, Seket, jeder +aus den beiden anderen berechnet erscheint. +</p><p> +Fassen wir nun die Ergebnisse unserer Betrachtungen +zusammen, so müssen wir aus der quellenmässig erwiesenen +grossen Bewunderung, welche die ausgesprochen geometrisch +hochentwickelten Griechen den aegyptischen Geometern rückhaltlos +zollten, wir müssen aus der unanfechtbaren Thatsache, +dass griechische Geometer den Grund zu ihren Kenntnissen +und Entdeckungen in Aegypten suchten und fanden, +wir müssen im Hinblicke auf das, aus der nun vollends +<pb n='33'/><anchor id='Pg33'/> +entzifferten[42] <name rend='gesperrt' type='place'>Edfu</name>er Schenkungsurkunde sich mit Sicherheit +ergebende ausgebreitete und fest organisirte Katasterwesen +der alten Aegypter, welches zugleich mit den zahlreichen, +dem öffentlichen Leben dienenden Land- und +Wasserbauten auf eine verhältnissmässig bedeutend entwickelte +Vermessungskunde hinweist, wir müssen endlich +aus dem von uns besprochenen Papyrus, der sich als eine +ungenaue Abschrift eines mangelhaften, aus dem dritten Jahrtausend +vor Chr. G. stammenden, mathematischen Collegien- oder +Aufgabenheftes erweist, und aus dessen Vorhandensein +sich fast mit Gewissheit auf damals existirende, neben den +Regeln auch ihre Ableitungen enthaltende Lehrbücher +schliessen lässt, wir können und müssen aus allen diesen +Umständen den allgemeinen Schluss ziehen, dass bereits drei +Jahrtausende vor unserer Zeitrechnung sowohl die arithmetischen, +als auch die geometrischen Kenntnisse der Aegypter, +einen für dieses Zeitalter bedeutenden Grad der Entwicklung +besassen. +</p><p> +Insbesondere können wir in jenen fernen Zeiten eine +staunenswerth weitgehende Annäherung bei der Berechnung +der Kreisfläche beobachten, wir finden mit vollständiger +Sicherheit richtige Flächenbestimmungen des Quadrates, +Rechteckes und des rechtwinkligen Dreieckes; höchst wahrscheinlich +auch richtige Bestimmungen der Flächen schiefwinkliger +Dreiecke und Vierecke, welche im praktischen +Leben durch leichter zu handhabende Annäherungsformeln +ersetzt wurden; wir sehen Bestimmungen des Rauminhaltes +durch ihre Dimensionen gegebener Körper und erkennen die +Anfänge der Aehnlichkeitslehre. +</p><p> +Was das geometrische Zeichnen betrifft, so kennen wir +schon die Construction der früher beobachteten regelmässigen +Figuren und dürfen weiter vermuthen, dass die Anlegung +<pb n='34'/><anchor id='Pg34'/> +rechter Winkel und das Fällen von Senkrechten sowohl +mittelst des Winkelmaasses als auch mittelst rationaler rechtwinkliger +Dreiecke bekannt, und die Zerlegung gegebener +Flächen behufs ihrer Inhaltbestimmung in allgemeiner Verwendung +war. +</p><p> +Gewiss werden auch theoretische Resultate bekannt +gewesen sein; so die Hälftung des Kreises durch seinen +Durchmesser, die sich aus der besprochenen Seketrechnung +von selbst ergebende Winkelgleichheit an der Basis gleichschenkliger +Dreiecke und gleichseitiger quadratischer Pyramiden, +und wohl noch manches Andere. +</p><p> +Möge es gelingen, durch Auffindung neuer, sowie durch +Entzifferung der, noch ihrer Erklärung harrenden Denkmale +und Schriften, von welchen letzteren, Dank der hohen Munificenz +des Erlauchten Curators unserer Akademie, auch Wien +eine imposante Zahl aufweisen kann, möge es so gelingen +noch weitere Anhaltspunkte für die Kenntniss der mathematischen +Thätigkeit des uns bekannten ältesten Culturvolkes, +der Aegypter zu gewinnen! +</p><p> +Diesen unseren Wunsch theilen gewiss Alle, denen die +Erforschung der Culturgeschichte des menschlichen Geschlechtes +nicht ohne Wichtigkeit erscheint! +</p> + </div> + <div> + <divGen rend="page-break-before: always" type="endnotes" /> + </div> + </body> + + <back> + <div> + <divGen rend="page-break-before: right" type="pgfooter" /> + </div> + </back> +</text> +</TEI.2> + |