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| author | Roger Frank <rfrank@pglaf.org> | 2025-10-15 02:14:32 -0700 |
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You may copy it, + give it away or re-use it under the terms of the Project + Gutenberg License <a href="#pglicense" class="tei tei-ref">included with this + eBook</a> or online at <a href="http://www.gutenberg.org/license" class="tei tei-xref">http://www.gutenberg.org/license</a></p></div><pre class="pre tei tei-div" style="margin-bottom: 3.00em; margin-top: 3.00em">Title: Ueber die Geometrie der alten Aegypter. + +Author: Emil Weyr + +Release Date: March 13, 2008 [Ebook #24817] + +Language: German + +Character set encoding: UTF-8 + + +***START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK UEBER DIE GEOMETRIE DER ALTEN AEGYPTER.*** +</pre></div> + </div> + + <div class="tei tei-div" style="margin-bottom: 5.00em; margin-top: 5.00em"> + + </div> + + <hr class="doublepage" /><div class="tei tei-div" style="margin-bottom: 5.00em; margin-top: 5.00em"> + <p class="tei tei-p" style="text-align: center; margin-bottom: 1.20em"><span style="font-size: 120%">ÜBER DIE</span></p> + <p class="tei tei-p" style="text-align: center; margin-bottom: 1.73em"><span style="font-size: 173%">GEOMETRIE DER ALTEN ÆGYPTER</span></p> + <div class="tei tei-tb"><hr style="width: 25%" /></div> + <p class="tei tei-p" style="text-align: center; margin-bottom: 1.44em"><span style="font-size: 144%">VORTRAG</span></p> + <p class="tei tei-p" style="text-align: center; margin-bottom: 0.90em"><span style="font-size: 90%">GEHALTEN IN DER</span></p> + <p class="tei tei-p" style="text-align: center; margin-bottom: 1.20em"><span style="font-size: 120%">FEIERLICHEN SITZUNG DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN</span></p> + <p class="tei tei-p" style="text-align: center; margin-bottom: 0.90em"><span style="font-size: 90%">AM</span></p> + <p class="tei tei-p" style="text-align: center; margin-bottom: 1.20em"><span style="font-size: 120%">XXIX. MAI MDCCCLXXXIV</span></p> + <p class="tei tei-p" style="text-align: center; margin-bottom: 0.90em"><span style="font-size: 90%">VON</span></p> + <p class="tei tei-p" style="text-align: center; margin-bottom: 1.44em"><span style="font-size: 144%">DR. EMIL WEYR</span></p> + <p class="tei tei-p" style="text-align: center; margin-bottom: 0.90em"><span style="font-size: 90%">WIRKLICHEM MITGLIEDE DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN.</span></p> + <div class="tei tei-tb"><hr style="width: 25%" /></div> + <p class="tei tei-p" style="text-align: center; margin-bottom: 1.44em"><span style="font-size: 144%">WIEN</span></p> + <p class="tei tei-p" style="text-align: center; margin-bottom: 1.00em"><span style="font-size: 100%">AUS DER K. K. HOF- UND STAATSDRUCKEREI.</span></p> + <p class="tei tei-p" style="text-align: center; margin-bottom: 1.00em"><span style="font-size: 100%">IN COMMISSION BEI KARL GEROLD'S SOHN,</span></p> + <p class="tei tei-p" style="text-align: center; margin-bottom: 1.00em"><span style="font-size: 100%">BUCHHÄNDLER DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN.</span></p> + <p class="tei tei-p" style="text-align: center; margin-bottom: 1.20em"><span style="font-size: 120%">1884</span></p> + </div> + + </div> + + <hr class="doublepage" /><div class="tei tei-body" style="margin-bottom: 6.00em; margin-top: 6.00em"> +<span class="tei tei-pb" id="page03">[pg 03]</span><a name="Pg03" id="Pg03" class="tei tei-anchor"></a> +<div class="tei tei-div" style="margin-bottom: 5.00em; margin-top: 5.00em"> + <h1 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 3.46em; margin-top: 3.46em"></h1> + <p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Möge mir gestattet sein, bei dem heutigen feierlichen Anlasse +ein Bild zu entrollen, welches in grossen Strichen die +allgemeinen Umrisse des Zustandes der geometrischen +Wissenschaften bei den alten Aegyptern zur Darstellung +bringen soll; und möge dasselbe Wohlwollen, das, gepaart +mit einer althergebrachten Sitte, mich heute auf diesen eben so +ehrenvollen als schwierigen Platz gestellt, auch bei der +Beurtheilung der folgenden bescheidenen, weil schwachen +Kräften entspringenden Leistung obwalten! +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +So wie der Anfang aller menschlichen Kenntnisse, so ist +auch der Ursprung der Geometrie in grauestes Alterthum zu +versetzen, er ist zu suchen in jenen der Zeit nach unangebbaren +Perioden der menschlichen Entwicklung, in welchen +das erste Erwachen des Selbstbewusstseins zu finden wäre. +Sind doch manche geometrische Anschauungen auch dem +Thiere eigen; so jene der geraden Verbindungslinie zweier +Punkte als der kürzesten Entfernung; jene des Mehr und +Weniger bei Quantitäten der Entfernungen, Höhen, Neigungen, +und so werden auch manche abstractere Raumanschauungen +dem Menschen in seinen ersten Entwicklungsperioden eigen +geworden sein, Anschauungen, welche durch die Möglichkeit +und auf Grund der sprachlichen Bezeichnung jene Stabilität +erhielten, die sie befähigte, als erste Fundamente der geometrischen +Kenntnisse zunächst, und der Geometrie als Wissenschaft +später aufzutreten. +</p> +<span class="tei tei-pb" id="page04">[pg 04]</span><a name="Pg04" id="Pg04" class="tei tei-anchor"></a> +<p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Geometrisches Denken entstand zu den verschiedensten +Zeiten, an den verschiedensten Orten. Denn überall, wo +der menschliche Geist sich zu entwickeln begann, und +das menschliche Denken jene Höhe erreichte, auf welcher +Abstractionen entstehen, bildeten sich die grundlegenden +Raumbegriffe; der des Punktes, der geraden und krummen +Linien, der ebenen und krummen Flächen. Denn überall +in der Natur boten sich dem erwachenden Menschen +Repräsentanten dieser Begriffe in grösserer oder geringerer +Genauigkeit dar. Während der Anblick der auf- und untergehenden +Sonne, sowie des vollen Mondes in südlichen +Gegenden fast täglich das Bild der »vollkommensten«, +der »schönsten« Linie, der Kreislinie vorführte, stellten sich +die zahllosen Sterne des Abends dem Auge als glänzende +Punkte dar, welche in ihren mannigfaltigen gegenseitigen +Lagenverhältnissen die Phantasie des Menschen bei der, von +ihm beliebten Eintheilung des Himmels in Sternbilder zur +Herstellung so mancher geraden und krummen Linien verleiten +mochten. Und selbst in seiner nächsten Umgebung +fand der beobachtende Mensch geometrische Anklänge; das +Gewebe der Spinne mit seinen kreisrunden und radialen +Fäden, die sechseckige Bienenzelle, die beim Fallen eines +Körpers in ruhendes Wasser entstehenden concentrischen +Wellenringe, und wie vieles Andere musste, wenn auch +nach und nach, so doch mit zwingender Nothwendigkeit +den Menschen zur Beobachtung gesetzmässiger geometrischer +Formen führen. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Als Mutterland der Mathematik im Allgemeinen, und +der Geometrie im Besonderen wird Aegypten angeführt; doch +ist die Zeit längst vorbei, wo man sich Aegypten als einzigen +Ursprungsort dieser Wissenschaften dachte, vielmehr muss +als feststehend angenommen werden, dass jedes Volk in +<span class="tei tei-pb" id="page05">[pg 05]</span><a name="Pg05" id="Pg05" class="tei tei-anchor"></a> +seinem Entwicklungsgange geometrische Anschauungen sich +anzueignen schon durch praktische Bedürfnisse gezwungen +war. Die Höhe, zu welcher sich die einzelnen Völker in ihren +mathematischen Speculationen emporzuschwingen vermochten, +hing von der Richtung des Bildungsganges, von +dem Maasse des Bedürfnisses und nicht in letzter Reihe von +dem Einflüsse religiöser Verhältnisse ab. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Und so mag sich zunächst jene Naturgeometrie entwickelt +haben, welche allen Völkern zugesprochen werden +muss, und auf deren Vorhandensein, weil auf die Anwendungen +ihrer freilich einfachsten Principien, Ueberreste von +Bauten überall dort hinweisen, wo wir in der Lage sind, +solche beobachten zu können. Die Pellasger, die vorhellenischen +Ureinwohner Griechenlands, mussten lange vor Entstehung +der Philosophie geometrische Kenntnisse in dem +Maasse besessen haben, wie sie zur Aufführung von Wasserbauten, +Dämmen, Canälen und Burgen, von denen man jetzt +noch Spuren findet, nothwendig waren. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Verfolgt man die Entwicklung der Geometrie zu ihren +Quellen aufwärts, so dürfen wir nicht überrascht sein, dass +man bei dem uns bekannten ältesten Culturvolke, bei den +Aegyptern, am weitesten vorzudringen vermag, und zwar an +der Hand der indirecten wie der directen Nachrichten, welche +uns über diesen Gegenstand zugekommen sind. Leider jedoch +sind die Ersteren ihrem Inhalte und die Letzteren ihrer Zahl +nach nur spärliche zu nennen. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Zahlreich sind wohl die Stellen in griechischen Philosophen +und Geschichtschreibern, welche Bezug haben auf +aegyptische Geometrie, es lässt sich jedoch nicht verkennen, +dass oft die Späteren auf Frühere sich stützen, und wir es +möglicherweise mit einer einzigen, durch Jahrhunderte fortgeführten +Nachricht zu thun haben. +</p> +<span class="tei tei-pb" id="page06">[pg 06]</span><a name="Pg06" id="Pg06" class="tei tei-anchor"></a> +<p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> + Durch <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Herodot</span></span>, welcher <span class="tei tei-date">um die Mitte des fünften + vorchristlichen Jahrhunderts (460)</span> Aegypten bereiste, erfahren +wir<a id="noteref_1" name="noteref_1" href="#note_1"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">1</span></span></a>, +dass die Geometrie von Aegypten nach Griechenland +verpflanzt worden sei. Etwas später (<span class="tei tei-date">393 v. Chr.</span>) +berichtet <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Isokrates</span></span> die Thatsache<a id="noteref_2" name="noteref_2" href="#note_2"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">2</span></span></a>, dass die Aegypter »<span class="tei tei-q">die +Aelteren (unter ihren Priestern) über die wichtigsten Angelegenheiten +setzten, dagegen die Jüngeren beredeten, mit +Hintansetzung des Vergnügens, sich mit Astronomie, Rechenkunst +und Geometrie zu beschäftigen</span>«. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +In <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Platon</span></span>'s <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Phädrus</span></span> sagt +<span id="a:sok" class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Sokrates</span></span>: »<span class="tei tei-q">Ich habe +vernommen, zu Naukratis in Aegypten sei einer der dortigen +alten Götter gewesen, dem auch der Vogel geheiligt ist, +den sie Isis nennen, während der Gott selbst den Namen +Teuth führt; dieser habe zuerst Zahlenlehre und Rechenkunst +erfunden und Geometrie und Astronomie</span>«<a id="noteref_3" name="noteref_3" href="#note_3"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">3</span></span></a>, +und einen +directen Hinweis finden wir bei <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Aristoteles</span></span>, welcher in +seiner <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Metaphysik</span></span> sagt:<a id="noteref_4" name="noteref_4" href="#note_4"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">4</span></span></a> +»<span class="tei tei-q">Daher entstanden auch in Aegypten +die mathematischen Wissenschaften, denn hier war den +Priestern die dazu nöthige Müsse vergönnt.</span>« +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Uebrigens schrieben sich die Aegypter neben der Erfindung +der Buchstabenschrift auch jene der meisten Wissenschaften +und Künste zu, worüber <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Diodor</span></span><a id="noteref_5" name="noteref_5" href="#note_5"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">5</span></span></a>, +welcher etwa +<span class="tei tei-date">70 Jahre v. Chr. G.</span> Aegypten bereiste, bemerkt: »<span class="tei tei-q">Die +Aegypter behaupten, von ihnen sei die Erfindung der Buchstabenschrift +und die Beobachtung der Gestirne ausgegangen, +ebenso seien von ihnen die Theoreme der Geometrie und +die meisten Wissenschaften und Künste erfunden worden.</span>« +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Neben diesen ganz allgemein gehaltenen Angaben sind +hauptsächlich diejenigen Berichte zu erwähnen, welche sich +auf die Art der wissenschaftlichen Leistungen der Aegypter +beziehen. +</p> +<span class="tei tei-pb" id="page07">[pg 07]</span><a name="Pg07" id="Pg07" class="tei tei-anchor"></a> +<p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> + Da sagt zunächst <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Herodot</span></span><a id="noteref_6" name="noteref_6" href="#note_6"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">6</span></span></a> +in Hinsicht auf die unter +dem Könige <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Sesostris</span></span> durchgeführte Ländereintheilung: +»<span class="tei tei-q">Auch sagten sie, dass dieser König das Land unter alle +Aegypter so vertheilt habe, dass er jedem ein gleich grosses +Viereck gegeben, und von diesem seine Einkünfte bezogen habe, +indem er eine jährlich zu entrichtende Steuer auflegte. +Wem aber der Fluss (Nil) von seinem Theile etwas +wegriss, der musste zu ihm kommen und das Geschehene +anzeigen; er schickte dann die Aufseher, die auszumessen +hatten, um wie viel das Landstück kleiner geworden war, +damit der Inhaber von dem übrigen nach Verhältniss der +aufgelegten Abgaben steure. Hieraus erscheint mir die Geometrie +entstanden zu sein, die von da nach Hellas kam.</span>« +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Die, <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Herodot</span></span>, dem Vater der Geschichtsschreibung +folgenden Berichterstatter hielten sich nun, vielleicht erklärlicherweise, +vorzüglich an den einen, die Nilüberschwemmungen +betreffenden Theil obiger Nachricht, und wurde, +gewiss Unberechtigtermassen der Nil als der unmittelbare +Anstoss für alle geometrischen Arbeiten der Aegypter hingestellt. +Und doch scheint es uns viel näherliegend, die einerseits +behufs der Steuerbemessung und Controle, anderseits +wegen der aus den Veränderungen im Besitzstande sich +nothwendig ergebenden Flächenfestsetzungen als den Hauptbeweggrund +jener Vermessungen zu erkennen, wobei die +gesammelten Erfahrungen gewiss auch bei der Beurtheilung +der unzweifelhaft nach den periodisch eintretenden Nilüberschwemmungen +vorgekommenen Terrainveränderungen mit +Vortheil benutzt worden sein mögen. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Unverkennbar ist der Zug nach Aufbauschung und Ausschmückung +des, jene Nilüberschwemmungen betreffenden +Theiles des <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Herodot</span></span>'schen Berichtes, wenn man die Aufzeichnungen +späterer Gewährsmänner näher betrachtet. +</p> +<span class="tei tei-pb" id="page08">[pg 08]</span><a name="Pg08" id="Pg08" class="tei tei-anchor"></a> +<p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> + Zunächst finden wir bei <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Heron</span></span> dem Aelteren die folgende + diesbezügliche Stelle<a id="noteref_7" name="noteref_7" href="#note_7"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">7</span></span></a>: + »<span class="tei tei-q">Die früheste Geometrie beschäftigte +sich, wie uns die alte Ueberlieferung lehrt, mit der Messung und +Vertheilung der Ländereien, woher sie Feldmessung genannt +wurde. Der Gedanke einer Messung nämlich ward den Aegyptern +an die Hand gegeben durch die Ueberschwemmungen des +Nil. Denn viele Grundstücke, die vor der Flussschwelle offen +dalagen, verschwanden beim Steigen des Flusses und kamen +erst nach dem Sinken desselben zum Vorschein, und es war +nicht immer möglich, über die Identität derselben zu entscheiden. +Dadurch kamen die Aegypter auf den Gedanken +einer solchen Messung des vom Nil blossgelegten Landes.</span>« +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Weiter finden wir bei <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Diodor</span></span><a id="noteref_8" name="noteref_8" href="#note_8"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">8</span></span></a> +einen Ausspruch, +durch welchen wir übrigens auch über andere wissenschaftliche +Leistungen der Aegypter belehrt werden; <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Diodor</span></span> +sagt: »<span class="tei tei-q">Die Priester lehren ihre Söhne zweierlei Schrift, die +sogenannte heilige, und die, welche man gewöhnlich lernt. +Mit Geometrie und Arithmetik beschäftigen sie sich eifrig. +Denn indem der Fluss jährlich das Land vielfach verändert, +veranlasst er viele und mannigfache Streitigkeiten über die +Grenzen zwischen den Nachbarn; diese können nun nicht +leicht ausgeglichen werden, wenn nicht ein Geometer den +wahren Sachverhalt durch directe Messung ermittelt. Die +Arithmetik dient ihnen in Haushaltungsangelegenheiten und +bei den Lehrsätzen der Geometrie; auch ist sie denen von +nicht geringem Vortheile, die sich mit Sternkunde beschäftigen. +Denn wenn bei irgend einem Volke die Stellungen und Bewegungen +der Gestirne sorgfältig beobachtet worden sind, +so ist es bei den Aegyptern geschehen; sie verwahren Aufzeichnungen +der einzelnen Beobachtungen seit einer unglaublich +langen Beihe von Jahren, da bei ihnen seit alten +Zeiten her die grösste Sorgfalt hierauf verwendet worden +<span class="tei tei-pb" id="page09">[pg 09]</span><a name="Pg09" id="Pg09" class="tei tei-anchor"></a> +ist. Die Bewegungen und Umlaufszeiten sowie die Stillstände +der Planeten, auch den Einfluss eines jeden auf die Entstehung +lebender Wesen und alle ihre guten und schädlichen +Einwirkungen haben sie sehr sorgfältig beobachtet.</span>« +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Am innigsten verknüpft erscheint die Geometrie der +Aegypter mit den Ueberschwemmungen des Nil bei <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Strabon</span></span><a id="noteref_9" name="noteref_9" href="#note_9"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">9</span></span></a>; +welcher bemerkt, »<span class="tei tei-q">dass es einer sorgfältigen und bis auf das +Genaueste gehenden Eintheilung bedurfte, wegen der beständigen +Verwüstung der Grenzen, die der Nil bei seinen +Ueberschwemmungen veranlasst, indem er Land wegnimmt +und zusetzt, und die Gestalt verändert, und die anderen Zeichen +unkenntlich macht, wodurch das fremde und eigene Besitzthum +unterschieden wird. Man müsse daher immer und +immer wieder messen. Hieraus soll die Geometrie entstanden +sein.</span>« +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Den gesellschaftlichen Einrichtungen der Aegypter +entsprechend, muss als feststehend angenommen werden, +dass sich eine Kaste, nach eben Gehörtem die der Priester, +mit dem wissenschaftlichen Theile der Geometrie beschäftigte, +während eine andere, die der Feldmesser, die von den +Ersteren aufgestellten und sorgsam gehüteten geometrischen +Principien praktisch zur Anwendung brachte. Dabei wurden, +wie wir später sehen werden, die Geheimnisse der Priester, +insoweit sie geometrische Wahrheiten und Berechnungsregeln +betrafen, möglicherweise nur insoweit enthüllt, dass +bei deren Verwendung nur annäherungsweise richtige Resultate +zum Vorschein kamen. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Wohl sind einige Schriftsteller so weit gegangen, dass +sie, die unläugbaren Uebertreibungen des Zusammenhanges +zwischen den Nilüberschwemmungen und der ägyptischen +Geometrie im Auge behaltend, die Existenz der letzteren +<span class="tei tei-pb" id="page10">[pg 10]</span><a name="Pg10" id="Pg10" class="tei tei-anchor"></a> +einfach negirten, und alle die citirten Aussprüche in das +Gebiet der Fabel verwiesen. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Was macht man jedoch dann mit den wohlbeglaubigten +Nachrichten über die Reisen, welche hervorragende griechische +Philosophen nach Aegypten unternahmen, oft jahrelang +dort verweilend, um sich in die Geheimnisse aegyptischer +Priester einweihen und mit deren geometrischem Wissen +vertraut machen zu lassen? +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +<span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Eudemus von Rhodos</span></span><a id="noteref_10" name="noteref_10" href="#note_10"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">10</span></span></a>, + einer der ältesten Peripatetiker, +schrieb eine Geschichte der Mathematik, aus +welcher uns durch <span id="a:pro" class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Proklos Diadochus</span></span><a id="noteref_11" name="noteref_11" href="#note_11"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">11</span></span></a>, einen Philosophen +des fünften nachchristlichen Jahrhunderts, ein +Bruchstück erhalten ist, welches sozusagen das einzige +Mittel bildet, das uns einen Einblick in die geometrischen +Errungenschaften der Griechen in den ersten dritthalb +Jahrhunderten nach <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Thales</span></span> gewährt. Hierin heisst es unter +Anderem: »<span class="tei tei-q"><span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Thales</span></span>, der nach Aegypten ging, brachte zuerst +die Geometrie nach Hellas hinüber und Vieles entdeckte er +selbst, von Vielem aber überlieferte er die Anfänge seinen +Nachfolgern; das Eine machte er allgemeiner, das Andere +mehr sinnlich fassbar.</span>« Hundert Jahre nach dem Tode des +<span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Pythagoras</span></span> berichtet der Redner <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Isokrates</span></span><a id="noteref_12" name="noteref_12" href="#note_12"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">12</span></span></a>: »<span class="tei tei-q">Man +könnte, wenn man nicht eilen wollte, viel Bewunderungswürdiges +von der Heiligkeit aegyptischer Priester anführen, +welche ich weder allein noch zuerst erkannt habe, sondern +viele der jetzt Lebenden und der Früheren, unter denen +auch <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Pythagoras</span></span> der Samier ist, der nach Aegypten +kam und ihr Schüler wurde und die fremde Philosophie +zuerst zu den Griechen verpflanzte.</span>« +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Während der Aufenthalt des <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Pythagoras</span></span> in Aegypten +unter Anderen auch noch von <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Strabon</span></span><a id="noteref_13" name="noteref_13" href="#note_13"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">13</span></span></a> +und <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Antiphon</span></span><a id="noteref_14" name="noteref_14" href="#note_14"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">14</span></span></a> +bestätiget wird, nennt uns <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Diodor</span></span><a id="noteref_15" name="noteref_15" href="#note_15"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">15</span></span></a> +eine ganze Reihe von +<span class="tei tei-pb" id="page011">[pg 011]</span><a name="V2Pg011" id="V2Pg011" class="tei tei-anchor"></a> +Namen, indem er sagt; »<span class="tei tei-q">Die aegyptischen Priester nennen +unter den Fremden, welche nach den Verzeichnissen in den +heiligen Büchern vormals zu ihnen gekommen seien, den +<span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Orpheus</span></span>, <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Musaios</span></span>, +<span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Melampus</span></span> und <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Daidalos</span></span>, nach +diesen den Dichter <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Homer</span></span>, den Spartaner <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Lykurgos</span></span>, ingleichen +den Athener <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Solon</span></span> und den Philosophen <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Platon</span></span>. +Gekommen sei zu ihnen auch der Samier <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Pythagoras</span></span> und +der Mathematiker <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Eudoxos</span></span>, ingleichen <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Demokritos von + Abdera</span></span> und <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Oinopides von Chios</span></span>. Von allen diesen +weisen sie noch Spuren auf, von den Einen Bildnisse von +den Anderen Orte und Gebäude, die nach ihnen benannt +sind. Aus der Vergleichung dessen, was jeder von ihnen in +seinem Fache geleistet hat, führen sie den Beweis, dass sie +Dasjenige um desswillen sie von den Hellenen bewundert +werden, aus Aegypten entlehnt haben.</span>« Aus diesen Stellen +geht mit Sicherheit hervor, dass viele Griechen nach +Aegypten zogen, um bei den dortigen Priestern Philosophie +und Mathematik kennen zu lernen, da wohl in den Berichten +nur die hervorragenden Männer angeführt wurden. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Der Milesier <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Thales</span></span>, welcher erst in vorgerücktem +Alter, und nachdem er als Handelsmann früher gewiss schon +mehrmals Aegypten besucht gehabt, sich daselbst behufs +seiner Studien zu längerem Aufenthalt niederlies, ist merkwürdiger +Weise in dem Berichte des Diodor nicht angeführt, +und könnte man wohl aus diesem Umstande umsomehr +einen gewissen Grad von Unglaublichkeit ableiten, als darin +mythische Namen wie <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Orpheus</span></span>, <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Daidalos</span></span> und <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Homer</span></span> +angeführt erscheinen. Diese letzteren konnten jedoch sehr +wohl dem im Ganzen und Grossen sonst richtigen Verzeichnisse +vom Berichterstatter eigenwillig beigefügt worden sein, +um dadurch das hohe Alter aegyptischer Wissenschaft in ein +vorteilhaftes Licht zu setzen. +</p> +<span class="tei tei-pb" id="page12">[pg 12]</span><a name="Pg12" id="Pg12" class="tei tei-anchor"></a> +<p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Abgesehen jedoch von aller Wahrscheinlichkeit oder +Unwahrscheinlichkeit für die Exactheit obiger Aussprüche +in Bezug auf einzelne Namen, dürfte jedenfalls das als +unumstössliche Wahrheit gelten, dass die ägyptischen Priester +von den Griechen als in den Wissenschaften, insbesondere +in der Geometrie sehr bewandert gehalten wurden, und +zwar in einem solchen Maasse, dass eine Reihe hervorragender +griechischer Philosophen es nicht verschmähte, die, für +damalige Verhältnisse nicht unbedeutende Reise nach +Aegypten zu unternehmen, ja oft jahrelang in diesem Lande +mit unbekannter Sprache und Schrift zu verweilen, um sich +die Kenntnisse der Aegypter anzueignen. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Stellt man nun zunächst die Frage nach Quantität und +Qualität des geometrischen Wissens, welches die Griechen +von ihren Studienreisen mit nach Hause brachten, so scheint +dies, selbst vom Standpunkte der unmittelbar nachpythagoräischen +Geometrie, äusserst Weniges gewesen zu sein. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +<span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Thales</span></span> von Milet, einer der sieben griechischen +Weltweisen, der Begründer der ionischen Schule, <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Thales</span></span>, +welcher für das Jahr 585 v. Chr. G. eine, auch eingetroffene +Sonnenfinsterniss vorherzusagen wusste, soll, den uns von +<span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Proklos</span></span> zugekommenen Berichten zufolge, in Aegypten +nicht viel mehr erfahren haben, als die Sätze über die Gleichheit +der Winkel an der Basis eines gleichschenkligen Dreieckes, +die Gleichheit der Scheitelwinkel am Durchschnitt +zweier Geraden; er wusste ferner, wie ein Dreieck durch eine +Seite und die beiden anliegenden Winkel bestimmt erscheint, +diese Erörterung zur Messung der Entfernungen von Schiffen +auf dem Meere benützend, es war ihm bekannt, dass ein +Kreis durch einen Durchmesser halbirt wird,<a id="noteref_16" name="noteref_16" href="#note_16"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">16</span></span></a> +und soll er die +Höhe der Pyramiden aus der Länge des Schattens gemessen +haben, höchst wahrscheinlich in dem Momente, wo die +<span class="tei tei-pb" id="page13">[pg 13]</span><a name="Pg13" id="Pg13" class="tei tei-anchor"></a> +Schattenlänge eines senkrechten Stabes der Stablänge gleich +ist,<a id="noteref_17" name="noteref_17" href="#note_17"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">17</span></span></a> +möglicherweise jedoch, wie <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Plutarch</span></span><a id="noteref_18" name="noteref_18" href="#note_18"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">18</span></span></a> +berichtet, +auch zu einer beliebigen Tageszeit. Auch wird ihm von +<span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Pamphile</span></span><a id="noteref_19" name="noteref_19" href="#note_19"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">19</span></span></a> +die Kenntniss des Satzes zugeschrieben, dass +der Peripheriewinkel im Halbkreise ein rechter sei. Gewiss +hat Thales wenigstens jene geometrischen Fundamente in +Aegypten kennen gelernt, welche es ihm ermöglichten, die +genannten Sätze als wahr zu erkennen, wenn auch bei ihm, +selbst bei diesen einfachen Dingen an einen strengen Beweis +nicht gedacht werden kann. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Es wäre jedoch voreilig, aus der Geringfügigkeit der +Thaletischen geometrischen Kenntnisse mit <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Montucla</span></span> +<a id="noteref_20" name="noteref_20" href="#note_20"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">20</span></span></a> +zu schliessen, dass auch die Aegypter nicht viel mehr gewusst +hätten. Man kann wohl annehmen, dass die aegyptischen +Priester bei ihrer den Fremden gegenüber beobachteten +Zurückhaltung nur einen Theil ihres Wissens offenbarten; +wer könnte jedoch bemessen, in welchem Verhältnisse dieser +Theil zu ihrem Gesammtwissen stand? Der Ansicht +<span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Montucla</span></span>'s kann man entgegensetzen, dass die Aegypter +den Fremden nur einen kleinen Bruchtheil ihres sorgsam +im Verborgenen gehüteten Wissens preisgegeben haben +mochten, wobei ferner nicht unberücksichtigt bleiben darf, +dass den nach Aegypten gekommenen Griechen auch die +Unkenntniss der Sprache und der Schrift weitere, nicht zu +unterschätzende Schwierigkeiten bereitete, in dem Maasse als +vielleicht Manches, was ihnen die aegyptischen Priester von +aegyptischem Wissen zur Verfügung stellten, unverstanden +bleiben konnte. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Was nun das Wesen aegyptischer Geometrie betrifft, so +finden wir in den Berichten der Alten fast gar keine Anhaltspunkte, +um uns hierüber Klarheit verschaffen zu können, und +war man bis vor Kurzem darauf hingewiesen, aus den +<span class="tei tei-pb" id="page14">[pg 14]</span><a name="Pg14" id="Pg14" class="tei tei-anchor"></a> +Anfängen griechischer Mathematik auf den Stand der aegyptischen +zurückzuschliessen, was, wie aus dem Vorhergesagten +folgen dürfte, mit nicht geringen Schwierigkeiten verbunden +erscheint. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Die Ansicht, dass die Geometrie der Aegypter eigentlich +nur constructiver Natur war, ähnlich dem was wir als Reisskunst +zu bezeichnen pflegen,<a id="noteref_21" name="noteref_21" href="#note_21"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">21</span></span></a> +dürfte sich nicht als stichhältig +erweisen; es möge jedoch gleich jetzt darauf hingedeutet +werden, dass die Aegypter im Construiren geometrischer +Formen nicht unbewandert sein konnten. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +So sagt in etwas prahlerischer Weise <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Demokritos</span></span> +von <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Abdera</span></span><a id="noteref_22" name="noteref_22" href="#note_22"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">22</span></span></a> +um 420 v. Chr. G.: »<span class="tei tei-q">Im Construiren von +Linien nach Maassgabe der aus den Voraussetzungen zu +ziehenden Schlüsse hat mich keiner je übertroffen, selbst +nicht die sogenannten Harpedonapten der Aegypter</span>«; und +<span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Theon</span></span> von <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Smyrna</span></span><a id="noteref_23" name="noteref_23" href="#note_23"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">23</span></span></a> +erzählt, dass +»<span class="tei tei-q">Babylonier, Chaldäer +und Aegypter eifrig nach allerhand Grundgesetzen und +Hypothesen suchten, durch welche den Erscheinungen +genügt werden könnte; zu erreichen suchten sie dies dadurch, +dass sie das früher Gefundene in Ueberlegung zogen, und +über die zukünftigen Erscheinungen Vermuthungen aufstellten, +wobei die Einen sich arithmetischer Methoden bedienten, +wie die Chaldäer, die Anderen construirender wie +die Aegypter</span>«. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Aus diesen und ähnlichen Berichten, sowie aus dem +Umstande, dass die Anfänge der griechischen Geometrie +selbst hauptsächlich constructiver Natur waren, muss man +zu dem Schlusse kommen, dass die alten Aegypter seit unvordenklichen +Zeiten die Reisskunst pflegten, und in der langen +Reihe der Jahrhunderte sicherlich eine ziemlich bedeutende +Masse sowohl einfacher als complicirterer Constructionen +erfanden und in ein gewisses System brachten, von Ersteren +<span class="tei tei-pb" id="page15">[pg 15]</span><a name="Pg15" id="Pg15" class="tei tei-anchor"></a> +zu Letzteren aufsteigend. Diese Constructionen dürften ihrem +grösseren Theile nach, und zwar jenem Theile nach, welcher, +wenn auch ohne Begründung Gemeingut der die Künste und +Gewerbe betreibenden Kasten wurde, nur solche gewesen +sein, die dem praktischen Bedürfnisse dienen konnten, also +zumeist Ornamentenconstructionen. Wir bemerken hier unter +Anderem das Vorkommen regelmässiger geometrischer +Figuren auf uralten Wandgemälden, wie sie sich z. B. als +färbige Zeichnungen aus den Zeiten der fünften Dynastie, +also unmittelbar nach den Erbauern der Pyramiden, das ist +3400 Jahre v. Chr. G. etwa vorfinden.<a id="noteref_24" name="noteref_24" href="#note_24"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">24</span></span></a> +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Man sieht unter der grossen Menge der in dieser Zeit +vorkommenden Figuren eine, aus verschobenen, ineinander +gezeichneten, theilweise durch zu einer Diagonale Parallele +zerlegten Quadraten zusammengesetzte Figur, ferner aus der +Zeit von der zwölften bis zur sechsundzwanzigsten Dynastie, +eine Figur, bestehend aus einem Quadrate, und zwei, längs +der Diagonale centrisch hineingelegten lemniscatischen +Curven, sowie eine Zusammenstellung von um fünfundvierzig +Grade gegeneinander verdrehten, sich durchsetzenden Quadraten. +Kreise erscheinen durch ihre Durchmesser in gleiche +Kreisausschnitte getheilt; so zunächst durch zwei oder vier +Durchmesser in vier beziehungsweise acht, und in späteren +Zeiten auch durch sechs Durchmesser in zwölf gleiche Ausschnitte; +die in den Zeichnungen vorkommenden Wagenräder +besitzen zumeist sechs, seltener vier Speichen, so dass +auch die Theilung des Kreises durch drei Diameter in sechs +gleiche Kreisausschnitte vertreten erscheint. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +In einer unvollendet gebliebenen Kammer des Grabes +<span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Seti I.</span></span>, des Vater +<span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Ramses II.</span></span> aus der neunzehnten Dynastie +(das sogenannte Grab <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Belzoni</span></span>)<a id="noteref_25" name="noteref_25" href="#note_25"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">25</span></span></a> +finden wir die Wände +behufs Anbringung von Reliefarbeiten mit einem Netze gleich +<span class="tei tei-pb" id="page16">[pg 16]</span><a name="Pg16" id="Pg16" class="tei tei-anchor"></a> +grosser Quadrate bedeckt, und es kann keinem Zweifel unterliegen, +dass wir es hier mit der Anwendung eines Verkleinerungs- +beziehungsweise Vergrösserungsmaassstabes zu thun +haben. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Wenn nun auch die einfachen Figuren des Dreieckes, +Quadrates und des Kreises höchst wahrscheinlich ohne +besondere Ueberlegung, einfach dem inneren geometrischen +Formendrange entsprungen sein dürften, so ist doch gewiss, +dass ihre verschiedenartige Zusammensetzung zu Mustern +das Product, wenn auch primitiven geometrischen Denkens +war, welches dann schon eine ziemliche Selbstständigkeit +erreicht haben musste, als die vorerwähnte Anwendung von +Proportionalmaassstäben in Uebung kam. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Andererseits musste das öftere Betrachten der regelmässigen +Figuren einen geometrisch disponirten Geist von +selbst zum Aufsuchen unbekannter Eigenschaften derselben +reizen, und vielleicht ist der Thaletische Satz von der +Halbirung des Kreises durch einen Durchmesser nichts als +eine aus der Betrachtung jener aegyptischen Zeichnungen +gewonnene Abstraction, und huldigen wir in dieser Beziehung +der Ansicht, dass <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Thales</span></span> beim Ausspruche des erwähnten, +für uns freilich höchst einfach klingenden Satzes, wahrscheinlich +sagen wollte, nur der Kreis habe die ausgezeichnete +Eigenschaft, von allen durch einen Punkt, den Mittelpunkt, +gehenden Geraden in lauter untereinander gleiche Hälften +getheilt zu werden. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Von besonderer Wichtigkeit scheint uns jedoch der +früher citirte selbstgefällige Ausspruch des <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Demokritos</span></span> zu +sein, da er uns vor einer ungerechtfertigten Unterschätzung +aegyptischer Constructionsgewandtheit bewahren kann. Bedenklich +in <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Demokritos</span></span>' Angabe könnte allenfalls jenes +Selbstlob erscheinen, das er sich spendet; wenn es nun +<span class="tei tei-pb" id="page17">[pg 17]</span><a name="Pg17" id="Pg17" class="tei tei-anchor"></a> +wohl auch schon im Alterthume Männer geben mochte, die +ihre Berühmtheit vorzugsweise und oft nur der Hochschätzung +verdankten, die sie sich selbst und ihren Werken gezollt, +Männer, welche in der Verbreitung des eigenen Lobes so +emsig, so unermüdlich waren, dass sich um sie als die +davon Ueberzeugtesten noch ein Kreis von Gläubigen bildete, +welche den, oft nur auf schwankenden Füssen einhergehenden +Ruhm ihrer Profeten weiter führten, so ist doch die Bedeudung +des Geometers <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Demokritos</span></span> durch so viele, und verschiedenen +Quellen entspringende Aussprüche beglaubigt, +dass es gewiss Niemandem einfallen wird, seine Autorität +als die eines gründlichen Kenners der Geometrie seiner Zeit +in Zweifel zu ziehen. Wohl sind uns von den geometrischen +Werken des <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Demokritos</span></span>, und kaum von allen nur die ganz +allgemein klingenden Titel erhalten. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Während uns <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Cicero</span></span><a id="noteref_26" name="noteref_26" href="#note_26"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">26</span></span></a> +diesen Philosophen als einen +gelehrten, in der Geometrie vollkommen bewanderten Mann +anpreist, theilt uns <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Diogenes Laertius</span></span><a id="noteref_27" name="noteref_27" href="#note_27"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">27</span></span></a> +mit, dass <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Demokritos</span></span> +»<span class="tei tei-q">über Geometrie</span>«, »<span class="tei tei-q">über Zahlen</span>«, »<span class="tei tei-q">über den Unterschied +des Gnomon oder über die Berührung des Kreises +und der Kugel</span>«, sowie zwei Bücher »<span class="tei tei-q">über irrationale Linien +und die dichten Dinge</span>« geschrieben habe, Schriften, deren +Titel theilweise uns über ihren Inhalt ganz im Unklaren +lassen. Legen wir den angeführten Zeugnissen Glauben bei, +und es ist kein Grund vorhanden dies nicht zu thuh, so +müssen wir von <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Demokritos</span></span> als von einem »<span class="tei tei-q">in der Geometrie + vollkommenen Manne</span>« voraussetzen, dass er mit den +Errungenschaften des <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Pythagoras</span></span>, welcher ein Jahrhundert +vor <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Demokritos</span></span> Aegypten besucht hatte, vollkommen vertraut +war. Gewiss war ihm somit bekannt: die Methode der +»<span class="tei tei-q">Anlegung der Flächen</span>«, welche wieder die Vertrautheit mit +den Hauptsätzen aus der Theorie der Parallelen und der +<span class="tei tei-pb" id="page18">[pg 18]</span><a name="Pg18" id="Pg18" class="tei tei-anchor"></a> +Winkel, so wie die Kenntniss der Abhängigkeit der Flächeninhalte +von den ihnen zukommenden Ausmaassen voraussetzt. +Nicht minder bekannt mussten ihm die, dem <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Pythagoras</span></span> +zugeschriebenen Constructionen der fünf regelmässigen, +sogenannten kosmischen Körper sein, woraus sich weiter +schliessen lässt, dass auch einerseits die Eigenschaften der +Kugel, welcher doch jene Körper eingeschrieben wurden, +und anderseits die Entstehungen der regelmässigen, jene +Körper begrenzenden Vielecke, vor Allem die des Fünfeckes +dem <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Demokritos</span></span> nicht ungeläufig sein konnten. Die Construction +des Letzteren erheischt wiederum die Kenntniss der +Lehre vom goldenen Schnitt, und diese den Satz vom Quadrate +der Hypothenuse<a id="noteref_28" name="noteref_28" href="#note_28"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">28</span></span></a>. +Hat nun <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Demokritos</span></span> auch selbst +nichts Neues hinzugefügt, so musste er doch Jenes kennen; +wenn er nun anderseits sagt: »<span class="tei tei-q">im Construiren hätte ihn + Niemand, selbst nicht die Harpedonapten der Aegypter übertroffen</span>«, +so dürfen wir hieraus mit Sicherheit schliessen, +dass die geometrischen Kenntnisse der aegyptischen Priester +bedeutend genug gewesen sein mussten, weil sich <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Demokritos</span></span> +sonst kaum gerade über diese Geometer gesetzt hätte. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Doch verlassen wir für jetzt die Nachrichten des griechischen +Alterthums, welche in der Beurtheilung aegyptischer +Geometrie nur Conjecturen zulassen, und blicken wir nach +directen Denkmalen aegyptischen Ursprungs, aus denen vielleicht +Schlüsse gezogen werden könnten auf Wesen und +Umfang aegyptischer Geometrie. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Das Britische Museum bewahrt eine Papyrusrolle, +welche aus dem Nachlasse des Engländers <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">A. Henry Rhind</span></span> +stammt, die derselbe nebst anderen werthvollen Rollen in +Aegypten käufllich an sich gebracht haben dürfte. Der +erwähnte Papyrus, ein altes Denkmal ägyptischer Mathematik, +ist, wie es scheint, nicht mit vollster Berechtigung als ein +<span class="tei tei-pb" id="page19">[pg 19]</span><a name="Pg19" id="Pg19" class="tei tei-anchor"></a> +»<span class="tei tei-q">mathematisches Handbuch</span>« der alten Aegypter bezeichnet +worden<a id="noteref_29" name="noteref_29" href="#note_29"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">29</span></span></a>. + Der fragliche Papyrus nennt sich selbst eine +Nachahmung älterer mathematischer Schriften, denn es heisst +in der Einleitung: »<span class="tei tei-q">Verfasst wurde diese Schrift im Jahre +dreiunddreissig im vierten Monat der Wasserzeit unter König +Ra-ā-us, Leben gebend nach dem Muster alter Schriften in +den Zeiten des Königs …ât vom Schreiber Aahmes verfasst +die Schrift.</span>« +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Nachdem zuerst Dr. <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Birch</span></span><a id="noteref_30" name="noteref_30" href="#note_30"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">30</span></span></a> +auf diesen mathematischen +Papyrus durch einen kurzen vorläufigen Bericht aufmerksam +gemacht hatte, wurde der Gegenstand von dem +ausgezeichneten Heidelberger Aegyptologen Dr. <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Eisenlohr</span></span> +einer eingehenden, höchst schwierigen und zeitraubenden +Untersuchung unterzogen, deren Resultate, was die Uebersetzung +betrifft, unseren gegenwärtigen Betrachtungen zu +Grunde liegen. Bezüglich des Alters des Papyrus hat man +jenes der vorhandenen Abschrift von dem Alter des unbekannten +Originals zu unterscheiden. Nach der von <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Eisenlohr</span></span> +gegebenen Vervollständigung der in der erwähnten Einleitung +auf das Wort König folgenden Lücke, würde der Herrscher, +unter dessen Regierung das Original entstanden ist, der +König <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Ra-en-mat</span></span> sein, dessen Regierungszeit <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Lepsius</span></span><a id="noteref_31" name="noteref_31" href="#note_31"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">31</span></span></a> +auf 2221–2179 v. Chr. G. legt. Da ferner der Name +<span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Ra-a-us</span></span> in den bis dahin vorhandenen Königslisten nicht +vorkommt, sah man sich, um die Zeit der Entstehung der +Abschrift wenigstens annähernd angeben zu können, darauf +angewiesen, aus der bekannten Sitte der Aegypter die Eigennamen +der eben herrschenden oder der unmittelbar vorhergegangenen +Regenten zu gebrauchen, Schlüsse zu ziehen. +Und da liess der Name <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Aahmes</span></span> des Schreibers, sowie auch +die (althieratische) Schrift des Papyrus vermuthen, dass derselbe +um 1700 v. Chr. G. entstanden sein dürfte. Die Vermuthung +<span class="tei tei-pb" id="page20">[pg 20]</span><a name="Pg20" id="Pg20" class="tei tei-anchor"></a> +in Bezug auf das Zeitalter der Abschrift hat sich +nun neueren Forschungen zu Folge vollkommen bestätigt. +Denn <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Ra-a-us</span></span> wurde als der Hyksoskönig <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Apophis</span></span> +erkannt, und <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Aahmes</span></span> dürfte seinen Namen von dem, kurze +Zeit dem Apophis vorhergegangenen Könige <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Amasis</span></span> entlehnt +haben. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Es erscheint so vollkommen sichergestellt, dass unser +Papyrus aus dem achtzehnten Jahrhundert v. Chr. G. stammt. +Die Eingangsworte des Papyrus, welche lauten: »<span class="tei tei-q">Vorschrift +zu gelangen zur Kenntniss aller dunklen Dinge, aller Geheimnisse, +welche enthalten sind in den Gegenständen</span>«, sowie +die Anordnung des Stoffes in Arithmetik, Planimetrie und +Stereometrie, an welche sich ein, verschiedene Beispiele enthaltender +Theil anschliesst, konnten im ersten Augenblicke +den Gedanken aufkommen lassen, dass wir es vielleicht mit +einem Lehrbuche der Mathematik zu thun haben. Der Umstand +jedoch, dass der Papyrus nur die Zusammenstellung, +allerdings eine in gewissem Grade systematische Zusammenstellung +von Aufgaben nebst ihren Lösungen und den zugehörigen +Proben ist, ohne dass Definitionen oder Lehrsätze +und Beweise vorkommen würden, liess den Papyrus wiederum +als eine Aufgabensammlung, als ein Anleitungsbuch für +Praktiker erscheinen. Man ist noch weiter gegangen, und +stellte die Ansicht auf, der Autor habe bei Abfassung dieser +Schrift vorzüglich an Landleute, welchen die Theorie unzugänglich +war, gedacht. Daraufhin weise nicht nur die Formulirung +des grössten Theiles der Aufgaben, welche Verhältnisse +und Bedürfnisse der Landwirthschaft berücksichtigen, sondern +auch der Schlusssatz des Papyrus, welcher sagt: »<span class="tei tei-q">Fange das +Ungeziefer und die Mäuse, (vertilge) das verschiedenartige +Unkraut, bitte Gott <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Ra</span></span> um Wärme, Wind und hohes Wasser</span>«. +</p> +<span class="tei tei-pb" id="page21">[pg 21]</span><a name="Pg21" id="Pg21" class="tei tei-anchor"></a> +<p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Dass wir es nicht mit einem Handbuche, welches dem +damaligen Standpunkte der mathematischen Wissenschaften +in Aegypten entsprechen müsste, zu thun haben, ergibt sich +nicht nur aus dem schon hervorgehobenen Mangel an Definitionen, +Lehrsätzen und Beweisen, ja es fehlt selbst jede Erklärung, +sondern auch aus dem Umstände, dass neben der +richtigen Lösung einzelner Aufgaben die unrichtigen oder +unvollendeten Lösungen derselben oder ähnlicher Aufgaben, +sowie manche Wiederholungen vorkommen. Nur nebenbei +verweisen wir darauf, dass in einem Handbuche unzweifelhaft +wenigstens Anklänge an die erste der Wissenschaften des +Alterthums, an die Astronomie, zu finden sein müssten. Doch +ist von diesem Theile der Mathematik im Papyrus nicht die +geringste Spur zu finden. Aufklärungen über den wahren +Charakter des Originals unseres Papyrus, und eine viele Wahrscheinlichkeit +besitzende Vermuthung über die Entstehung +der uns beschäftigenden Abschrift, verdanken wir dem Scharfsinne +des französischen Aegyptologen Eugène <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Revillout</span></span>.<a id="noteref_32" name="noteref_32" href="#note_32"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">32</span></span></a> +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Bei richtiger Erwägung des Umstandes, dass oft auf ein +fehlerlos gelöstes Beispiel, falsche Lösungen ähnlicher Beispiele +folgen, welchen sich dann gewöhnlich eine Reihe von +Uebungsrechnungen anschliesst, Rechnungen die einem Schulpensum +in hohem Grade ähnlich sehen, bei Betrachtung der +Thatsache ferner, wie ein und dasselbe Zahlenbeispiel oft +einigemal und zwar so behandelt wird, dass der Reihe nach +die vorkommenden Zahlenwerthe als die berechneten Resultate +erscheinen, drängt sich uns mit <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Eugène Revillout</span></span> die +Ueberzeugung auf, dass wir es mit dem Uebungs- oder Aufgabenhefte +eines Zöglings jener Unterrichtshäuser (a·sbo) zu +thun haben, wie deren in so manchem Papyrus Erwähnung +geschieht, und in denen die Schüler, welche später Landwirthe, +Verwalter, Feldmesser oder Constructeure werden +<span class="tei tei-pb" id="page22">[pg 22]</span><a name="Pg22" id="Pg22" class="tei tei-anchor"></a> +wollten, mit den für ihre künftige Laufbahn notwendigen +Rechnungsoperationen vertraut gemacht wurden. Da dieses +Schulheft selbstverständlich nicht für die Oeffentlichkeit +bestimmt sein konnte, so trägt es auch thatsächlich keinen +Autornamen und keine Jahresangabe; denn, was die in der +Einleitung bezüglich der Zeitperiode, in welcher das Original +entstanden sein sollte, gemachte Erwähnung betrifft, so ist +mehr als wahrscheinlich, dass dieselbe von dem Abschreiber +<span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Aahmes</span></span> herrührt, welcher das Original einige Jahrhunderte +nach seiner Entstehung auffand, und dasselbe, der Mathematik +gewiss ganz unkundig, sammt allen Fehlern abschrieb, zu +diesen noch neue hinzufügend. Nachdem <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Aahmes</span></span> aus der +Aehnlichkeit der Schriftart des mathematischen Heftes mit +der Schrift anderer ihm bekannten Papyri auf das Alter des +ersteren einen im Ganzen und Grossen nicht unrichtigen +Schluss gezogen haben mochte, so können wir das Ende, +vielleicht auch die Mitte des dritten Jahrtausends v. Chr. G. +als jene Zeit betrachten, in welcher das Original der Abschrift +entstanden sein dürfte. Ob <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Aahmes</span></span> die Abschrift +mit der viel versprechenden Einleitung und der zugleich +praktischen und gottesfürchtigen Schlussregel in der Absicht +versehen hatte, um sie an irgend einen einfachen aegyptischen +Landmann um gutes Geld anzubringen, lassen wir dahingestellt, +und wiederholen nur unsere Uebereinstimmung mit +der Ansicht, dass das Original des Papyrus neben den von +einem Lehrer der Mathematik herrührenden Musterbeispielen, +die sehr oft verunglückten Uebungen eines Schülers enthält, +eines Schülers überdies, der nicht zu den hervorragenden +seiner Glasse gehört haben mochte. Und wie kostbar ist +dennoch dieses altägyptische Schulheft! Wenn wir in aller +Eile eine Skizze seines Inhaltes vorführen sollen, so +müssen wir zunächst die sich auf acht Columnen der oben +<span class="tei tei-pb" id="page23">[pg 23]</span><a name="Pg23" id="Pg23" class="tei tei-anchor"></a> +erwähnten Einleitung anschliessende Theilung der Zahl 2 +durch die Zahlen von 3 bis 99 erwähnen; jeder auftretende +Bruch erscheint in zwei bis vier sogenannte +Stammbrüche, Brüche mit dem Zähler Eins, zerlegt, und sind +die Nenner der letzteren meist gerade Zahlen mit einer +grösseren Divisorenanzahl. Im Anschluss an diese Tabelle +finden wir sechs Beispiele, in denen in Form von Brodvertheilungen +die Division der Zahlen l, 3, 6, 7, 8 und 9 durch +die Zahl 10 gelehrt wird, und es folgt hierauf in 17 Beispielen +die sogenannte Sequem- oder Ergänzungsrechnung, +in welcher es sich darum handelt, Zahlenwerthe zu finden, +die mit gegebenen Werthen durch Addition oder Multiplication +verbunden, andere gegebene Zahlenwerthe liefern. Die nächsten +15 Beispiele gehören der sogenannten <em class="tei tei-emph"><span style="font-weight: 700">Haurechnung</span></em> +an, und finden wir in diesem Abschnitte die Lösungen linearer +Gleichungen mit einer Unbekannten. Zwei weitere, der sogenannten +<em class="tei tei-emph"><span style="font-weight: 700">Tunnu-</span></em> oder Unterschiedsrechnung angehörige +Beispiele belehren uns darüber, dass den alten Aegyptern der +Begriff arithmetischer Reihen nicht fremd war. Es folgen nun +sieben Beispiele über Volumetrie, ebensoviele über Geometrie +und fünf Beispiele über Berechnungen von Pyramiden, also +19 Aufgaben über die wir später noch einige Worte sagen +müssen. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Hieran schliessen sich endlich dreiundzwanzig verschiedenen +Materien entlehnte, Fragen des bürgerlichen Lebens +betreffende Beispiele, wie die Berechnung des Werthes von +Schmuckgegenständen, abermals Vertheilungen von Broden +oder von Getreide, Bestimmung des auf einen Tag entfallenden +Theiles eines Jahresertrages, Berechnungen von Arbeitslöhnen, +Nahrungsmitteln sowie des Futters für Geflügelhöfe. +Einer besonderen Ankündigung werth erscheinen uns in +dieser letzten Abtheilung zwei Beispiele; das eine derselben<a id="noteref_33" name="noteref_33" href="#note_33"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">33</span></span></a> +<span class="tei tei-pb" id="page24">[pg 24]</span><a name="Pg24" id="Pg24" class="tei tei-anchor"></a> +lässt keinen Zweifel darüber aufkommen, dass den alten +Aegyptern die Theorie der arithmetischen Progressionen +vollkommen geläufig war, während wir in dem zweiten<a id="noteref_34" name="noteref_34" href="#note_34"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">34</span></span></a> +unter der Aufschrift »<span class="tei tei-q">eine Leiter</span>« die geometrische Progression +von 7 hoch 1 bis 7 hoch 5 nebst deren Summe vorfinden, wobei +die einzelnen Potenzen eigene Namen: an, Katze, Maus, +Gerste, Maass zu führen scheinen. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Nicht unbemerkt lassen wir endlich die in den Haurechnungen +auftretende Benützung mathematischer Zeichen; +so nach links oder rechts ausschreitender Beine für Addition +und Subtraction, drei horizontale Pfeile für Differenz, sowie +endlich ein besonderes, dem unseren nicht unähnliches +Gleichheitszeichen. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Aus dem geometrischen Theile heben wir zunächst, der +Anordnung des Papyrus nicht folgend, die Flächenberechnungen +von Feldern hervor. Die vorkommenden Beispiele +beziehen sich auf quadratische, rechteckige, kreisrunde und +trapezförmige Felder, deren Flächeninhalte aus ihren Längenmaassen +bestimmt werden. Nachdem in den Aufgaben über +die Berechnung des Fassungsvermögens von Fruchtspeichern +mit quadratischer Grundfläche diese letztere gefunden wird +durch Multiplication der Maasszahl der Seite mit sich selbst, +kann es gar keinem Zweifel unterliegen, dass auch die Fläche +des Rechteckes durch Multiplication der Maasszahlen zweier +zusammenstossender Seiten erhalten wurde, da die Erkenntniss +der Richtigkeit der einen Bestimmungsart, jene der Richtigkeit +der anderen involvirt. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Schon die Betrachtung solcher Proportionalmaassstäbe, +wie wir sie im Grabe <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Belzoni</span></span> bemerken konnten, hätte +die alten Aegypter, die mit Gleichungen und arithmetischen +Reihen umzugehen wussten, auf die Bestimmung der Fläche +eines Rechteckes aus seinen beiden Seitenlängen mit Nothwendigkeit +<span class="tei tei-pb" id="page25">[pg 25]</span><a name="Pg25" id="Pg25" class="tei tei-anchor"></a> +führen müssen, und werden wir uns durch den +Umstand, dass im Papyrus der diesbezüglichen Aufgabe eine +zu ihr nicht gehörige Lösung beigefügt ist, durchaus nicht +beirren lassen. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Von hohem Interesse ist die, an mehreren Stellen des +Papyrus vorkommende Methode der Flächenberechnung eines +Kreises, welche zeigt, dass die alten Aegypter mit ziemlicher +Annäherung den Kreis zu quadriren wussten, in der That zu +quadriren, weil sie aus dem Durchmesser eine Länge ableiten, +welche als Seite ein Quadrat liefert, dessen Fläche jener des +Kreises gleichgesetzt wurde. Da sie acht Neuntel des Durchmessers +zur Seite jenes Quadrates machten, so entspricht dies +einem Werthe der Ludolphischen Zahl, welcher dem richtigen +Werthe gegenüber um nicht ganz zwei Hundertstel (um +0,018901) zu hoch gegriffen erscheint; für das dritte Jahrtausend +v. Chr. G. und im Vergleiche zu dem Werth π = 3 +der Babylonier, und noch mehr im Vergleiche zu dem Werthe +π = 4 späterer römischer Geometer, jedenfalls eine nicht zu +unterschätzende Annäherung an den richtigen Werth. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Eine Aufgabe behandelt die Flächenbestimmung des +Dreieckes, wobei das Resultat als das Product zweier Seitenlängen +gefunden wird. Die hier beigefügte Figur<a id="noteref_35" name="noteref_35" href="#note_35"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">35</span></span></a>, welche +in Wirklichkeit ein ungleichseitiges langgestrecktes Dreieck +darstellt, kann ebensowohl als die verfehlte Zeichnung eines +rechtwinkligen wie auch eines gleichschenkligen Dreieckes +betrachtet werden. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Letztere Annahme ist von <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Eisenlohr</span></span> gemacht und +von <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Cantor</span></span><a id="noteref_36" name="noteref_36" href="#note_36"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">36</span></span></a> +acceptirt worden. Darnach würde sich die +Methode der Dreiecksberechnung der alten Aegypter nur als +eine Näherungsmethode darstellen, und ist auch von beiden +genannten Gelehrten der begangene, in diesem Falle in der +That nicht bedeutende Fehler ermittelt worden. +</p> +<span class="tei tei-pb" id="page26">[pg 26]</span><a name="Pg26" id="Pg26" class="tei tei-anchor"></a> +<p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Wir sind dagegen mit Revillout anderer Meinung. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Mit Rücksicht auf den von uns klar erkannten Charakter +des Originales des Papyrus als eines sehr ungenauen Collegienheftes, +dessen Rechnungen ebensosehr wie die vorkommenden +Zeichnungen von der Mittelmässigkeit seines +Zusammenstellers beredtes Zeugniss ablegen, zweifeln wir +keinen Augenblick, dass die fragliche Figur ein rechtwinkliges +Dreieck vorzustellen hatte. Die mangelhafte Schülerzeichnung +ist durch den Copisten <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Aahmes</span></span> nur noch +schlechter geworden. Dass ein rechtwinkliges Dreieck gemeint +sein soll, erkennt man übrigens auch aus dem Umstande, +dass in der Figur die Maasszahlen der multiplicirten Seiten +bei den Schenkeln des, vom rechten Winkel nur wenig differirenden +Winkels angesetzt sind, wo doch, wenn es sich hätte +um ein gleichschenkliges Dreieck handeln sollen die Maasszahl +der Schenkel in der Figur gewiss bei beiden Schenkeln zu +finden wäre. Dieselben Gründe bestimmen uns zu der +Annahme, dass die im Papyrus befindliche Flächenberechnung +eines Trapezes eine vollkommen richtige ist, indem es sich +auch hier nur um ein Trapez handeln kann, dessen zwei +parallelen Seiten auf einer der nicht parallelen Seiten senkrecht +stehen. Und warum sollten denn die alten Aegypter +nicht die richtige Art der Flächenberechnung auch beliebiger +Dreiecke gekannt haben? +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Konnte man einmal die Fläche eines Rechteckes genau +bestimmen, so musste sich durch einfache Anschauung eines, +durch eine Diagonale zerlegten Rechteckes, von selbst die +Regel zur Flächenbestimmung des rechtwinkligen Dreieckes +ergeben; und wurde nun ein beliebiges schiefwinkliges +Dreieck durch ein Höhenperpendikel in zwei rechtwinklige +zerlegt, so war nichts leichter als die allgemeine Regel zur +Bestimmung der Dreieckfläche aus Basis und Höhe (<span class="tei tei-foreign">tepro</span> +<span class="tei tei-pb" id="page27">[pg 27]</span><a name="Pg27" id="Pg27" class="tei tei-anchor"></a> +und <span class="tei tei-foreign">merit</span>) zu entwickeln. Dass die Gewinnung des Höhenperpendikels +sowohl bei Constructionen als auch auf dem +Felde den alten Aegyptern nicht unmöglich war, folgt zunächst +aus der grossen Bedeutung der Winkelmaasses (<span class="tei tei-foreign">hapt</span>) für alle +Operationen der praktischen Geometer Aegyptens. Nicht nur, +dass wir in vielen aegyptischen Documenten das Winkelmaass +erwähnt finden, sieht man auch Könige abgebildet, das Winkelmaass +in der Hand, welches von ihnen vielleicht in derselben +Weise durch symbolische Benützung geehrt wurde, wie der +Kaiser von China alljährlich einmal den Pflug zu führen +pflegt. Ein solches Winkelmaass sieht man übrigens auch auf +einem Wandgemälde abgebildet, das eine Schreinerwerkstätte +darstellt,<a id="noteref_37" name="noteref_37" href="#note_37"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">37</span></span></a> +und es unterliegt keinem Zweifel, dass dasselbe +ebensowohl zur Anlegung rechter Winkel als zum Fällen von +Senkrechten benützt worden ist. Aber auch auf freiem Felde +musste den Aegyptern die Construction rechter Winkel geläufig +sein; sowohl die Pyramiden als auch die aegyptischen +Tempel sind vollkommen orientirt, und wurde, wie uns alte +Inschriften<a id="noteref_38" name="noteref_38" href="#note_38"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">38</span></span></a> +belehren, die Orientirung in festlicher Weise +vom Könige unter Beihilfe der Bibliotheksgöttin <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Safech</span></span> vollzogen, +mit den Worten: »<span class="tei tei-q">Ich habe gefasst den Holzpflock und +den Stiel des Schlägels, ich halte den Strick gemeinschaftlich +mit der Göttin <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Safech</span></span>. Mein Blick folgt dem Gange der +Gestirne. Wenn mein Auge an dem Sternbilde des grossen +Bären angekommen ist, und erfüllt ist der mir bestimmte +Zeitabschnitt der Zahl der Uhr, so stelle ich auf die Eckpunkte +Deines Gotteshauses.</span>« +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +In welchem Maasse bei diesen Operationen die von +<span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Demokritos</span></span> so hochgestellten <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Harpedonapten</span></span> oder +Seilspanner betheiligt waren, hat <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Cantor</span></span><a id="noteref_39" name="noteref_39" href="#note_39"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">39</span></span></a> in höchst +scharfsinniger Weise zu beleuchten versucht, und es erscheint +auch uns wahrscheinlich, dass sich die alten Aegypter beim +<span class="tei tei-pb" id="page28">[pg 28]</span><a name="Pg28" id="Pg28" class="tei tei-anchor"></a> +Construiren rechter Winkel sowie beim Fällen von Senkrechten +auf dem Felde, der Thatsache bedienten, dass der +eine Winkel in einem, die Seitenlängen drei, vier und fünf +besitzenden Dreiecke, ein rechter Winkel sein müsse. Musste +ja doch dieser Satz seit unvordenklichen Zeiten auch den +Chinesen bekannt sein, da wir ihn in der bei ihnen so +berühmten Schrift <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Tschiu-pī</span></span> finden, welche mehrere Jahrhunderte +v. Chr. G. entstanden, auf den Kaiser <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Tschīu-Kung</span></span> +also in das Jahr 1100 v. Chr. G. etwa zurückgeführt +wird.<a id="noteref_40" name="noteref_40" href="#note_40"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">40</span></span></a> +Uebrigens konnten directe Messungsversuche an +diagonalen Linien in den Proportionalmaassstäben sowohl zu +dem erwähnten als auch noch zu anderen rechtwinkligen +Dreiecken mit rationalen Seitenlängen geführt haben, und +scheint uns die Möglichkeit nicht ausgeschlossen, dass der +berühmte und berüchtigte Satz des <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Pythagoras</span></span> über die +Quadrate der Katheten und der Hypothenuse einer eingehenden +Untersuchung solcher Proportionalmaassstäbe entsprungen +ist. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Wenn wir nun einerseits behaupten, dass die alten +Aegypter nicht nur die Fläche des Kreises, des Quadrates, +des Rechteckes, des rechtwinkligen sowie des schiefen Dreieckes, +und unter Zuhilfenahme der Zerlegungen auch die +Flächen beliebiger Polygone theoretisch genau zu bestimmen +im Stande waren, mit Ausnahme der auch für uns eine solche +bildenden Kreisfläche, so muss doch anderseits zugestanden +werden, dass man sich bei praktischen Anwendungen mit +Näherungen begnügte, welche im Laufe der Zeiten so ausarteten, +dass der Gebrauch falscher Regeln ein allgemeiner +wurde. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Am linken Nilufer in der Mitte zwischen <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Theben</span></span> und +<span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Assuan</span></span> liegt <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Edfu</span></span>, das alte <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Appollinopolis Magna</span></span> +mit einem stattlichen Tempelbau aus den Zeiten der Ptolomäer. +<span class="tei tei-pb" id="page29">[pg 29]</span><a name="Pg29" id="Pg29" class="tei tei-anchor"></a> +Der Tempel, hauptsächlich dem Gotte <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Horus</span></span> geweiht, +ist mit einer freistehenden Umfassungsmauer umgeben,<a id="noteref_41" name="noteref_41" href="#note_41"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">41</span></span></a> +deren Ostseite zwischen dem Brunnenthore und dem östlichen +Pylonflügel eine Inschrift trägt, welche uns auf acht +Feldern und in hundertvierundsechzig Columnen<a id="noteref_42" name="noteref_42" href="#note_42"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">42</span></span></a> eine +Schenkungsurkunde des Königs <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Ptolomäus XI. Alexander + I.</span></span> (mit dem Beinamen <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Philometor</span></span>) bekannt gibt. Das +Geschenk, welches hier <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Horus</span></span> und den übrigen Göttern von +<span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Edfu</span></span> verliehen wird, besteht aus einer Anzahl von meist +viereckigen Aeckern, deren vier Seitenlängen nebst Flächeninhalten +angegeben erscheinen. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Da jeder der vorkommenden Flächeninhalte identisch +ist mit dem Producte der arithmetischen Mittel der beiden +Gegenseitenpaare, so wurde nach <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Lepsius</span></span> die Vermuthung +aufgestellt, die alten Aegypter hätten, um Vierecke bei der +Flächenbestimmung annähernd wie Rechtecke behandeln zu +können, den Unterschied der Gegenseiten dadurch auszugleichen +gesucht, dass sie die arithmetischen Mittel derselben +in Rechnung zogen. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Bei sehr vielen der in der <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Edfu</span></span>er Schenkungsurkunde +vorkommenden Vierecke ist der Unterschied je zweier Gegenseiten +entweder Null oder verhältnissmässig so klein, dass +man den betreffenden Vierecken eine vom Rechtecke wenig +verschiedene Gestalt beilegen kann, und die erhaltenen Resultate +somit eine ziemliche Annäherung an den richtigen +Flächenwerth darstellen dürften, nach dem man mit Rücksicht +auf die bei <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Sesostris</span></span> bemerkte Eintheilung des Landes +in Rechtecke voraussetzen darf, gerade diese oder eine ihr +zunächst kommende Form der Felder sei die auch damals +schon beliebte gewesen. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Doch kommen auch Vierecke vor, wo der Längenunterschied +der Gegenseiten ein bemerkenswerther ist; ja es werden +<span class="tei tei-pb" id="page30">[pg 30]</span><a name="Pg30" id="Pg30" class="tei tei-anchor"></a> +auch Dreiecke als Vierecke mit einer verschwindenden Seite +behandelt, so dass der begangene Fehler in manchen Fällen +ein nicht unbedeutender ist. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Nur nebenbei bemerken wir, dass man dieselbe unrichtige +Flächenformel für das Viereck erhält, wenn man dasselbe +zunächst durch eine Diagonale in zwei Dreiecke zerlegt, +auf jedes dieser Dreiecke die unrichtige Flächenformel, +die den Inhalt als das halbe Product der beiden Seiten liefert, +anwendet, die beiden so erhaltenen Dreiecksflächen addirt +und dann aus dieser Summe und jener, welche man bei dem +ähnlichen Vorgange durch Zerlegung mittelst der zweiten +Diagonale erhält, das arithmetische Mittel construirt. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Nimmt man mit <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Eisenlohr</span></span> und <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Cantor</span></span> an, dass die +Aegypter die Dreiecksfläche wirklich dem halben Producte +zweier Seiten gleichsetzten, so steht man vor der Frage, +warum nicht in derselben Art die Flächen der in der <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Edfu</span></span>er +Schenkungsurkunde auftretenden Dreiecke bestimmt erscheinen? +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Uebrigens wolle man sich darüber nicht wundern, dass +es überhaupt möglich war, die Flächenberechnungen im +praktischen Leben nach einer so falschen Methode durchzuführen. +Wissen wir doch, dass im Alterthume, zur Zeit +<span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Platon</span></span>s, einer der gebildetsten Männer, einer der +hervorragendsten Geschichtschreiber, dass <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Thukydides</span></span><a id="noteref_43" name="noteref_43" href="#note_43"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">43</span></span></a> in seiner +Unkenntniss der Beziehung zwischen Flächeninhalt und Umfang, +die Fläche einer Insel nach der zu ihrer Umschiffung +nothwendigen Zeit zu bestimmen suchte; in der Geometrie +<span id="a:g" class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Gerbert</span></span>'s,<a id="noteref_44" name="noteref_44" href="#note_44"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">44</span></span></a> +des nachmaligen Papstes <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Silvester II.</span></span> +finden wir, 1000 Jahre nach Chr. G., die Fläche eines gleichschenkligen +Dreieckes durch Multiplication des Schenkels +mit der halben Basis berechnet, wo doch schon <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Hero von +</span><span class="tei tei-pb" id="page31">[pg 31]</span><a name="Pg31" id="Pg31" class="tei tei-anchor"></a><span style="font-weight: 700"> +Alexandrien</span></span><a id="noteref_45" name="noteref_45" href="#note_45"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">45</span></span></a> +1100 Jahre früher die richtige Formel +für diese Berechnung kennt. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Wir berühren diese Thatsachen, und könnten noch eine +ganze Reihe ähnlicher Beispiele anführen, nur um zu zeigen, +wie übereilt es wäre, aus den oft nur schwache Annäherungen +liefernden Berechnungen der <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Edfu</span></span>er Schenkungsurkunde +schliessen zu wollen, die richtigen Methoden seien +den in die Wissenschaften eingeweihten aegyptischen Priestern +nicht bekannt gewesen. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Doch zurück zum Papyrus <em class="tei tei-emph"><span style="font-weight: 700">Rhind</span></em>. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Wir übergehen die Inhaltsbestimmungen von Fruchthäusern, +bei denen der Inhalt durch Multiplication einer +Fläche mit einer Länge bestimmt wird, weil wir es für +müssig halten, Erörterungen darüber anzustellen, welche +Flächen und Längen hiebei gemeint sind, so lange uns über +die Form jener Fruchthäuser oder Speicher nichts bekannt +ist. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Dagegen erwecken die im Papyrus vorkommenden Pyramiden-Berechnungen +das höchste Interesse, besonders nach +den glänzenden Untersuchungen, welchen <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Revillout</span></span> +diesen Gegenstand unterzogen hat, und deren Resultate wir, +entgegen der von <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Eisenlohr</span></span> ausgesprochenen und auch +von <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Lepsius</span></span><a id="noteref_46" name="noteref_46" href="#note_46"><span class="tei tei-noteref"><span style="font-size: 60%; vertical-align: super">46</span></span></a> +acceptirten Ansicht als solche betrachten, +welche in einfacher und natürlicher Weise die sogenannte +<em class="tei tei-emph"><span style="font-weight: 700">Seket</span></em>-Rechnung der alten Aegypter beleuchten. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Es wird in diesen Rechnungen die Böschung der Seitenflächen +einer quadratischen Pyramide dadurch fixirt, dass +jener Theil der Länge eines der beiden gleichlangen Schenkel +des Winkelmaasses berechnet wird, der sich zur Länge des +anderen Schenkels so verhält, wie die halbe Länge der Basisseite +der quadratischen Pyramide zur Höhe derselben. +</p> +<span class="tei tei-pb" id="page32">[pg 32]</span><a name="Pg32" id="Pg32" class="tei tei-anchor"></a> +<p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Zu dem Behufe war der eine der beiden Schenkel des +Winkelmaasses in eine gewisse Anzahl gleich grosser Theile +getheilt, während der andere Schenkel, der Pyramidenhöhe +entsprechend, und als Einheit betrachtet, ungetheilt blieb. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Um nun den sogenannten <em class="tei tei-emph"><span style="font-weight: 700">Seket</span></em> zu bestimmen, wurde +die halbe Länge der Basisseite durch die Pyramidenhöhe +dividirt und mit dem erhaltenen Quotienten die Anzahl der +Theile des horizontalen, getheilten Schenkels des Winkelmaasses +multiplicirt. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Es war somit der Seket (welcher in derselben Art für +einen geraden Kreiskegel aus dem Durchmesser der Basis +und der Höhe bestimmt erscheint) als Verhältniss aufgefasst, +die goniometrische Cotangente des Neigungswinkels der Seitenfläche +der Pyramide, respective der Kegelkante zur Basis. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Wenn wir selbstverständlich weit davon entfernt sind, +hierin vielleicht Anfänge der Trigonometrie sehen zu wollen, +so erkennen wir doch anderseits, dass den alten Aegyptern +auch die Lehre proportionaler Linien, wenigstens in ihren +Anwendungen, bekannt gewesen sein musste, und erscheint +uns auch der am Eingange erwähnte Ausspruch über die +dem Milesier <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Thales</span></span> zugeschriebene Höhenmessung der +Pyramiden als ein ganz glaubwürdiger, wenn wir sehen, wie +im Papyrus von den drei Werthen: Basis, Höhe, Seket, jeder +aus den beiden anderen berechnet erscheint. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Fassen wir nun die Ergebnisse unserer Betrachtungen +zusammen, so müssen wir aus der quellenmässig erwiesenen +grossen Bewunderung, welche die ausgesprochen geometrisch +hochentwickelten Griechen den aegyptischen Geometern rückhaltlos +zollten, wir müssen aus der unanfechtbaren Thatsache, +dass griechische Geometer den Grund zu ihren Kenntnissen +und Entdeckungen in Aegypten suchten und fanden, +wir müssen im Hinblicke auf das, aus der nun vollends +<span class="tei tei-pb" id="page33">[pg 33]</span><a name="Pg33" id="Pg33" class="tei tei-anchor"></a> +entzifferten[42] <span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">Edfu</span></span>er Schenkungsurkunde sich mit Sicherheit +ergebende ausgebreitete und fest organisirte Katasterwesen +der alten Aegypter, welches zugleich mit den zahlreichen, +dem öffentlichen Leben dienenden Land- und +Wasserbauten auf eine verhältnissmässig bedeutend entwickelte +Vermessungskunde hinweist, wir müssen endlich +aus dem von uns besprochenen Papyrus, der sich als eine +ungenaue Abschrift eines mangelhaften, aus dem dritten Jahrtausend +vor Chr. G. stammenden, mathematischen Collegien- oder +Aufgabenheftes erweist, und aus dessen Vorhandensein +sich fast mit Gewissheit auf damals existirende, neben den +Regeln auch ihre Ableitungen enthaltende Lehrbücher +schliessen lässt, wir können und müssen aus allen diesen +Umständen den allgemeinen Schluss ziehen, dass bereits drei +Jahrtausende vor unserer Zeitrechnung sowohl die arithmetischen, +als auch die geometrischen Kenntnisse der Aegypter, +einen für dieses Zeitalter bedeutenden Grad der Entwicklung +besassen. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Insbesondere können wir in jenen fernen Zeiten eine +staunenswerth weitgehende Annäherung bei der Berechnung +der Kreisfläche beobachten, wir finden mit vollständiger +Sicherheit richtige Flächenbestimmungen des Quadrates, +Rechteckes und des rechtwinkligen Dreieckes; höchst wahrscheinlich +auch richtige Bestimmungen der Flächen schiefwinkliger +Dreiecke und Vierecke, welche im praktischen +Leben durch leichter zu handhabende Annäherungsformeln +ersetzt wurden; wir sehen Bestimmungen des Rauminhaltes +durch ihre Dimensionen gegebener Körper und erkennen die +Anfänge der Aehnlichkeitslehre. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Was das geometrische Zeichnen betrifft, so kennen wir +schon die Construction der früher beobachteten regelmässigen +Figuren und dürfen weiter vermuthen, dass die Anlegung +<span class="tei tei-pb" id="page34">[pg 34]</span><a name="Pg34" id="Pg34" class="tei tei-anchor"></a> +rechter Winkel und das Fällen von Senkrechten sowohl +mittelst des Winkelmaasses als auch mittelst rationaler rechtwinkliger +Dreiecke bekannt, und die Zerlegung gegebener +Flächen behufs ihrer Inhaltbestimmung in allgemeiner Verwendung +war. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Gewiss werden auch theoretische Resultate bekannt +gewesen sein; so die Hälftung des Kreises durch seinen +Durchmesser, die sich aus der besprochenen Seketrechnung +von selbst ergebende Winkelgleichheit an der Basis gleichschenkliger +Dreiecke und gleichseitiger quadratischer Pyramiden, +und wohl noch manches Andere. +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Möge es gelingen, durch Auffindung neuer, sowie durch +Entzifferung der, noch ihrer Erklärung harrenden Denkmale +und Schriften, von welchen letzteren, Dank der hohen Munificenz +des Erlauchten Curators unserer Akademie, auch Wien +eine imposante Zahl aufweisen kann, möge es so gelingen +noch weitere Anhaltspunkte für die Kenntniss der mathematischen +Thätigkeit des uns bekannten ältesten Culturvolkes, +der Aegypter zu gewinnen! +</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"> +Diesen unseren Wunsch theilen gewiss Alle, denen die +Erforschung der Culturgeschichte des menschlichen Geschlechtes +nicht ohne Wichtigkeit erscheint! +</p> + </div> + <div class="tei tei-div" style="margin-bottom: 5.00em; margin-top: 5.00em"> + <dl class="tei tei-list-footnotes"><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_1" name="note_1" href="#noteref_1">1.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"><span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Herodot</span></span>, <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Reisebericht</span></span>, + <span class="tei tei-biblScope">II, 109</span></span>.</dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_2" name="note_2" href="#noteref_2">2.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Isokrates</span></span>, <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Busiris</span></span>, + <span class="tei tei-biblScope">c. 9.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_3" name="note_3" href="#noteref_3">3.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> +<span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-title"><em class="tei tei-emph"><span style="font-style: italic; font-weight: 700">Platonis</span></em><span style="font-style: italic"> Phaedrus</span></span>, + ed. <span class="tei tei-editor">Ast.</span> + <span class="tei tei-biblScope">I. p. 246.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_4" name="note_4" href="#noteref_4">4.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Aristoteles</span></span>, <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Metaph. I</span></span>, + <span class="tei tei-biblScope">1.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_5" name="note_5" href="#noteref_5">5.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Diodor</span></span>, <span class="tei tei-biblScope">I, 69</span></span>.</dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_6" name="note_6" href="#noteref_6">6.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + Herodot l. c.</dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_7" name="note_7" href="#noteref_7">7.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-title"><em class="tei tei-emph"><span style="font-style: italic; font-weight: 700">Heronis Alexandr.</span></em><span style="font-style: italic"> geom. et stereom. reliquiae</span></span>, + ed. <span class="tei tei-editor">Hultsch.</span> + <span class="tei tei-biblScope">p. 138.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_8" name="note_8" href="#noteref_8">8.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Diodor</span></span>, <span class="tei tei-biblScope"> I, 81.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_9" name="note_9" href="#noteref_9">9.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Strabon</span></span>, ed. <span class="tei tei-editor">Meinike</span>, + <span class="tei tei-biblScope">lib. XVII, C. 787, p. 1098.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_10" name="note_10" href="#noteref_10">10.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-title"><em class="tei tei-emph"><span style="font-style: italic; font-weight: 700">Eudemi Rhodii</span></em><span style="font-style: italic"> Peripatetici fragmenta quae + supersunt</span></span>. + ed. <span class="tei tei-editor">L. Spengel.</span> + <span class="tei tei-biblScope">Berlin 1870.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_11" name="note_11" href="#noteref_11">11.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"></span><span class="tei tei-title"><em class="tei tei-emph"><span style="font-style: italic; font-weight: 700">Procl.</span></em><span style="font-style: italic"> comment.</span></span> + ed. <span class="tei tei-editor">Rasil.</span> + <span class="tei tei-biblScope">p. 19;</span></span> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"></span><span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Barocius</span></span> + <span class="tei tei-biblScope">p. 37.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_12" name="note_12" href="#noteref_12">12.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Isokrates</span></span>, <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Busiris</span></span>, + <span class="tei tei-biblScope">cap. 11.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_13" name="note_13" href="#noteref_13">13.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Strabon</span></span>, + <span class="tei tei-biblScope">XIV, 1. 16.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_14" name="note_14" href="#noteref_14">14.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Porphyrius</span></span>, <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">De vita Pythagorae</span></span> + <span class="tei tei-biblScope">cap. 7;</span></span> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Diogenes Laertius</span></span>, + <span class="tei tei-biblScope">VIII, 3.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_15" name="note_15" href="#noteref_15">15.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Diodor</span></span>, <span class="tei tei-biblScope">I, c. 96.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_16" name="note_16" href="#noteref_16">16.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Proklos</span></span>, ed. <span class="tei tei-editor">Friedlein</span>, + <span class="tei tei-biblScope">250, 299, 352, 157.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_17" name="note_17" href="#noteref_17">17.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Diogenes Laertius</span></span>, + <span class="tei tei-biblScope">I, 27.</span></span> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Plinius</span></span>, <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Hist. nat.</span></span> + <span class="tei tei-biblScope">XXXVI, 12, 17.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_18" name="note_18" href="#noteref_18">18.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Plutarch</span></span>, ed. <span class="tei tei-editor">Didot.</span> + <span class="tei tei-biblScope">Vol. 2, III, p. 174.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_19" name="note_19" href="#noteref_19">19.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Diogenes Laertius</span></span> + <span class="tei tei-biblScope">I, 24–25.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_20" name="note_20" href="#noteref_20">20.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"><span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Montucla</span></span>, <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Hist. d. math.</span></span> + <span class="tei tei-biblScope">2. édit. t. I, p. 49.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_21" name="note_21" href="#noteref_21">21.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Bretschneider</span></span>, + <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Die Geometrie und die Geometer vor Euklides</span></span>, + <span class="tei tei-biblScope">p. 11.</span></span> +Dem Werke Bretschneiders, sowie jenem <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Cantor</span></span>'s: + <span id="t:c" class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Vorlesungen über Geschichte + der Mathematik</span></span></span>, sind die grundlegenden Gedanken entnommen.</dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_22" name="note_22" href="#noteref_22">22.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Clemens Alexandrinus</span></span>, <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Stromata</span></span>, + ed. <span class="tei tei-editor">Potter</span>, + <span class="tei tei-biblScope">I, 357.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_23" name="note_23" href="#noteref_23">23.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Theon Smyrnaios</span></span>, <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">lib. de astron.</span></span> + ed. <span class="tei tei-editor">Martin</span>, + <span class="tei tei-biblScope">p. 272.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_24" name="note_24" href="#noteref_24">24.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Prisse d'Avennes</span></span>, + <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Hist. de l'art Egypt. d'après les monuments.</span></span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_25" name="note_25" href="#noteref_25">25.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Wilkinson</span></span>, + <span id="t:w" class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Manners and customs of the ancient Egyptians</span></span>, + <span class="tei tei-biblScope">III, p. 313.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_26" name="note_26" href="#noteref_26">26.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Cicero</span></span>, <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">De finibus bonorum ed malorum</span></span> + <span class="tei tei-biblScope">I, 6, 20.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_27" name="note_27" href="#noteref_27">27.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Diogenes Laertius</span></span> + <span class="tei tei-biblScope">IX, 47.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_28" name="note_28" href="#noteref_28">28.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Cantor</span></span>, + <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Vorlesungen über Geschichte der Mathematik</span></span>, + <span class="tei tei-biblScope">I, p. 144–159</span> + (<span class="tei tei-pubPlace">Leipzig</span> <span class="tei tei-date">1880</span>).</span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_29" name="note_29" href="#noteref_29">29.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Eisenlohr</span></span>, + <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Ein math. Handbuch der alten Aegypter</span></span>. + <span class="tei tei-pubPlace">Leipzig</span> <span class="tei tei-date">1877</span>.</span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_30" name="note_30" href="#noteref_30">30.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Birch</span></span>, in Lepsius' + <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Zeitschrift für ägypt. Sprache und Alterthum</span></span>, + <span class="tei tei-date">1868</span>, <span class="tei tei-biblScope">p. 108.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_31" name="note_31" href="#noteref_31">31.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Lepsius</span></span>, <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">ägypt. Zeitschrift</span></span>, + <span class="tei tei-date">1871</span>, <span class="tei tei-biblScope">p. 63.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_32" name="note_32" href="#noteref_32">32.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Revillout, Eugène</span></span>, + <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Revue Egyptologique</span></span>, + <span class="tei tei-date">1881</span>, + <span class="tei tei-biblScope">Nr. II et III, p. 304.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_33" name="note_33" href="#noteref_33">33.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Eisenlohr</span></span>, + <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Ein math. Handbuch der alten Aegypter</span></span>. + <span class="tei tei-biblScope">Nr. 64.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_34" name="note_34" href="#noteref_34">34.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + ibid. Nr. 79.</dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_35" name="note_35" href="#noteref_35">35.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + ibid. p. 125.</dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_36" name="note_36" href="#noteref_36">36.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Cantor</span></span>, + <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Vorlesungen aus der Geschichte der Mathematik</span></span>, + <span class="tei tei-biblScope">I, p. 49.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_37" name="note_37" href="#noteref_37">37.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Wilkinson</span></span>, + <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Manners and customs u. s. w.</span></span> + <span class="tei tei-biblScope">III., p. 144.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_38" name="note_38" href="#noteref_38">38.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Brugsch</span></span>, + <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Ueber Bau und Maasse des Tempels von </span><span class="tei tei-name"><span style="font-style: italic; font-weight: 700">Edfu</span></span></span> + (<span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Zeitschrift für ägypt. Sprache u. Alterth.</span></span> + <span class="tei tei-biblScope">Bd. VIII.</span>)</span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_39" name="note_39" href="#noteref_39">39.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Cantor</span></span>, + <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Vorlesungen u. s. w.</span></span> + <span class="tei tei-biblScope">I, p. 55.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_40" name="note_40" href="#noteref_40">40.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Éd. Biot</span></span>, <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Journal Asiatique</span></span>, + <span class="tei tei-pubPlace">Paris</span> <span class="tei tei-date">1841</span>, + <span class="tei tei-biblScope">I. Sem. p. 593.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_41" name="note_41" href="#noteref_41">41.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Lepsius</span></span>, + <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Ueber eine hieroglyphische Inschrift am Tempel von </span><span class="tei tei-name"><span style="font-style: italic; font-weight: 700">Edfu</span></span></span>. + <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Abhandlung d. Acad. d. Wiss. in Berlin</span></span>, + <span class="tei tei-date">1855</span>, <span class="tei tei-biblScope">p. 69.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_42" name="note_42" href="#noteref_42">42.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Brugsch</span></span>, <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Thesaurus III</span></span>, + <span class="tei tei-pubPlace">Leipzig</span> <span class="tei tei-date">1884.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_43" name="note_43" href="#noteref_43">43.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Thukydides</span></span>, + ed. <span class="tei tei-editor">Rothe</span>, + <span class="tei tei-biblScope">VI. 1.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_44" name="note_44" href="#noteref_44">44.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"></span> ed. <span class="tei tei-editor">Olleris</span>, + <span class="tei tei-biblScope">Cap. LXX. p. 460.</span></span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_45" name="note_45" href="#noteref_45">45.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> +<span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-title"><em class="tei tei-emph"><span style="font-style: italic; font-weight: 700">Heronis Alexandrini</span></em><span style="font-style: italic"> geometricorum et stereometricorum reliquiae</span></span> + (ed. <span class="tei tei-editor">Hultsch</span>, + <span class="tei tei-pubPlace">Berlin</span> <span class="tei tei-date">1864</span>).</span></dd><dt class="tei tei-notelabel"><a id="note_46" name="note_46" href="#noteref_46">46.</a></dt><dd class="tei tei-notetext"> + <span class="tei tei-bibl"><span class="tei tei-author"><span style="font-variant: small-caps">Lepsius</span></span>, + <span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Ueber die 6palmige grosse Elle von 7 kleinen Palmen Länge + in dem »math. Handbuche« von Eisenlohr</span></span>. + (<span class="tei tei-title"><span style="font-style: italic">Zeitschrift f. äg. Sp.</span></span> + <span class="tei tei-date">1884.</span> <span class="tei tei-biblScope">1. Heft.)</span></span></dd></dl> + </div> + </div> + + <div class="tei tei-back" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 6.00em"> + <div class="tei tei-div" style="margin-bottom: 5.00em; margin-top: 5.00em"> + <div id="pgfooter" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 4.00em; margin-top: 4.00em"><pre class="pre tei tei-div" style="margin-bottom: 3.00em; margin-top: 3.00em">***END OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK UEBER DIE GEOMETRIE DER ALTEN AEGYPTER.*** +</pre><hr class="doublepage" /><div class="tei tei-div" style="margin-bottom: 3.00em; margin-top: 3.00em"><a name="rightpageheader1" id="rightpageheader1"></a><a name="pgtoc2" id="pgtoc2"></a><a name="pdf3" id="pdf3"></a><h1 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 3.46em; margin-top: 3.46em"><span style="font-size: 173%">Credits</span></h1><table summary="This is a list." class="tei tei-list" style="margin-bottom: 1.00em; margin-top: 1.00em"><tbody><tr><th class="tei tei-label tei-label-gloss">March 13, 2008 </th></tr><tr><td class="tei tei-item"><table summary="This is a list." class="tei tei-list" style="margin-bottom: 1.00em; margin-top: 1.00em"><tbody><tr class="tei tei-labelitem"><th class="tei tei-label"></th><td class="tei tei-item">Project Gutenberg TEI edition 01</td></tr><tr class="tei tei-labelitem"><th class="tei tei-label"></th><td class="tei tei-item"><span class="tei tei-respStmt"><span class="tei tei-name"><span style="font-weight: 700">R. Stephan</span></span></span></td></tr></tbody></table></td></tr></tbody></table></div><hr class="doublepage" /><div class="tei tei-div" style="margin-bottom: 3.00em; margin-top: 3.00em"><a name="rightpageheader4" id="rightpageheader4"></a><a name="pgtoc5" id="pgtoc5"></a><a name="pdf6" id="pdf6"></a><h1 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 3.46em; margin-top: 3.46em"><span style="font-size: 173%">A Word from Project Gutenberg</span></h1><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">This file should be named + 24817-h.html or + 24817-h.zip.</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">This and all associated files of various formats will be found + in: + + <a href="http://www.gutenberg.org/dirs/2/4/8/1/24817/" class="block tei tei-xref" style="margin-bottom: 1.80em; margin-left: 3.60em; margin-top: 1.80em; margin-right: 3.60em"><span style="font-size: 90%">http://www.gutenberg.org</span><span style="font-size: 90%">/dirs/2/4/8/1/24817/</span></a></p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">Updated editions will replace the previous one — the old + editions will be renamed.</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">Creating the works from public domain print editions means that + no one owns a United States copyright in these works, so the + Foundation (and you!) can copy and distribute it in the United + States without permission and without paying copyright royalties. + Special rules, set forth in the General Terms of Use part of this + license, apply to copying and distributing Project Gutenberg™ electronic works + to protect the Project Gutenberg™ concept and trademark. Project Gutenberg is a registered + trademark, and may not be used if you charge for the eBooks, + unless you receive specific permission. If you do not charge + anything for copies of this eBook, complying with the rules is + very easy. 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If you do not agree + to abide by all the terms of this agreement, you must cease + using and return or destroy all copies of Project Gutenberg™ electronic + works in your possession. If you paid a fee for obtaining a + copy of or access to a Project Gutenberg™ electronic work and you do not + agree to be bound by the terms of this agreement, you may + obtain a refund from the person or entity to whom you paid the + fee as set forth in paragraph <a href="#pglicense1E8" class="tei tei-ref">1.E.8.</a></p></div><div id="pglicense1B" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h3 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.40em; margin-top: 2.40em"><span style="font-size: 120%">1.B.</span></h3><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"><span class="tei tei-q">Project Gutenberg</span> is a registered trademark. It may only be used on or + associated in any way with an electronic work by people who agree to be + bound by the terms of this agreement. There are a few things that you + can do with most Project Gutenberg™ electronic works even without complying with the + full terms of this agreement. See paragraph <a href="#pglicense1C" class="tei tei-ref">1.C</a> below. There are a lot of things you can + do with Project Gutenberg™ electronic works if you follow the terms of this + agreement and help preserve free future access to Project Gutenberg™ electronic + works. See paragraph <a href="#pglicense1E" class="tei tei-ref">1.E</a> below.</p></div><div id="pglicense1C" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h3 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.40em; margin-top: 2.40em"><span style="font-size: 120%">1.C.</span></h3><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">The Project Gutenberg Literary Archive Foundation (<span class="tei tei-q">the Foundation</span> or PGLAF), owns a compilation + copyright in the collection of Project Gutenberg™ electronic works. Nearly all the + individual works in the collection are in the public domain in the + United States. If an individual work is in the public domain in the + United States and you are located in the United States, we do not claim + a right to prevent you from copying, distributing, performing, + displaying or creating derivative works based on the work as long as all + references to Project Gutenberg are removed. Of course, we hope that you will support + the Project Gutenberg™ mission of promoting free access to electronic works by + freely sharing Project Gutenberg™ works in compliance with the terms of this + agreement for keeping the Project Gutenberg™ name associated with the work. You can + easily comply with the terms of this agreement by keeping this work in + the same format with its attached full Project Gutenberg™ License when you share it + without charge with others.</p></div><div id="pglicense1D" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h3 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.40em; margin-top: 2.40em"><span style="font-size: 120%">1.D.</span></h3><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">The copyright laws of the place where you are located also govern + what you can do with this work. Copyright laws in most countries are in + a constant state of change. If you are outside the United States, check + the laws of your country in addition to the terms of this agreement + before downloading, copying, displaying, performing, distributing or + creating derivative works based on this work or any other Project Gutenberg™ work. + The Foundation makes no representations concerning the copyright status + of any work in any country outside the United States.</p></div><div id="pglicense1E" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h3 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.40em; margin-top: 2.40em"><span style="font-size: 120%">1.E.</span></h3><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">Unless you have removed all references to Project Gutenberg:</p><div id="pglicense1E1" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h4 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em">1.E.1.</h4><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">The following sentence, with active links to, or other immediate + access to, the full Project Gutenberg™ License must appear prominently whenever any + copy of a Project Gutenberg™ work (any work on which the phrase <span class="tei tei-q">Project Gutenberg</span> + appears, or with which the phrase <span class="tei tei-q">Project Gutenberg</span> is associated) is + accessed, displayed, performed, viewed, copied or distributed: + + </p><div class="block tei tei-q" style="margin-bottom: 1.80em; margin-left: 3.60em; margin-top: 1.80em; margin-right: 3.60em"><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 0.90em"><span style="font-size: 90%">This eBook is for the use of + anyone anywhere at no cost and with almost no + restrictions whatsoever. You may copy it, give it + away or re-use it under the terms of the Project + Gutenberg License included with this eBook or + online at </span><a href="http://www.gutenberg.org" class="tei tei-xref"><span style="font-size: 90%">http://www.gutenberg.org</span></a></p></div></div><div id="pglicense1E2" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h4 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em">1.E.2.</h4><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">If an individual Project Gutenberg™ electronic work is derived from the public + domain (does not contain a notice indicating that it is posted with + permission of the copyright holder), the work can be copied and + distributed to anyone in the United States without paying any fees or + charges. If you are redistributing or providing access to a work with + the phrase <span class="tei tei-q">Project Gutenberg</span> associated with or appearing on the work, you + must comply either with the requirements of paragraphs <a href="#pglicense1E1" class="tei tei-ref">1.E.1</a> through 1.E.7 or obtain permission for + the use of the work and the Project Gutenberg™ trademark as set forth in paragraphs + <a href="#pglicense1E8" class="tei tei-ref">1.E.8</a> or 1.E.9.</p></div><div id="pglicense1E3" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h4 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em">1.E.3.</h4><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">If an individual Project Gutenberg™ electronic work is posted with the permission + of the copyright holder, your use and distribution must comply with both + paragraphs <a href="#pglicense1E1" class="tei tei-ref">1.E.1</a> through 1.E.7 and any + additional terms imposed by the copyright holder. Additional terms will + be linked to the Project Gutenberg™ License for all works posted with the permission + of the copyright holder found at the beginning of this work.</p></div><div id="pglicense1E4" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h4 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em">1.E.4.</h4><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">Do not unlink or detach or remove the full Project Gutenberg™ License terms from + this work, or any files containing a part of this work or any other work + associated with Project Gutenberg™.</p></div><div id="pglicense1E5" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h4 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em">1.E.5.</h4><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">Do not copy, display, perform, distribute or redistribute this + electronic work, or any part of this electronic work, without + prominently displaying the sentence set forth in paragraph <a href="#pglicense1E1" class="tei tei-ref">1.E.1</a> with active links or immediate access + to the full terms of the Project Gutenberg™ License.</p></div><div id="pglicense1E6" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h4 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em">1.E.6.</h4><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">You may convert to and distribute this work in any binary, + compressed, marked up, nonproprietary or proprietary form, including + any word processing or hypertext form. However, if you provide access + to or distribute copies of a Project Gutenberg™ work in a format other than + <span class="tei tei-q">Plain Vanilla ASCII</span> or other format used in the official + version posted on the official Project Gutenberg™ web site (http://www.gutenberg.org), you must, at + no additional cost, fee or expense to the user, provide a copy, a + means of exporting a copy, or a means of obtaining a copy upon + request, of the work in its original <span class="tei tei-q">Plain Vanilla ASCII</span> or + other form. Any alternate format must include the full Project Gutenberg™ License + as specified in paragraph <a href="#pglicense1E1" class="tei tei-ref">1.E.1.</a></p></div><div id="pglicense1E7" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h4 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em">1.E.7.</h4><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">Do not charge a fee for access to, viewing, displaying, performing, + copying or distributing any Project Gutenberg™ works unless you comply with + paragraph <a href="#pglicense1E8" class="tei tei-ref">1.E.8</a> or 1.E.9.</p></div><div id="pglicense1E8" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h4 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em">1.E.8.</h4><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">You may charge a reasonable fee for copies of or providing access to + or distributing Project Gutenberg™ electronic works provided that</p><table summary="This is a list." class="tei tei-list" style="margin-bottom: 1.00em; margin-top: 1.00em"><tbody><tr class="tei tei-labelitem"><th class="tei tei-label">• </th><td class="tei tei-item"><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">You pay a royalty fee of 20% of the gross profits you derive from + the use of Project Gutenberg™ works calculated using the method you already use to + calculate your applicable taxes. The fee is owed to the owner of the + Project Gutenberg™ trademark, but he has agreed to donate royalties under this + paragraph to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation. Royalty payments must be paid within 60 days + following each date on which you prepare (or are legally required to + prepare) your periodic tax returns. Royalty payments should be clearly + marked as such and sent to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation at the address specified in <a href="#pglicense4" class="tei tei-ref">Section 4, <span class="tei tei-q">Information about donations to the + Project Gutenberg Literary Archive Foundation.</span></a></p></td></tr><tr class="tei tei-labelitem"><th class="tei tei-label"></th><td class="tei tei-item"><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">You provide a full refund of any money paid by a user who notifies + you in writing (or by e-mail) within 30 days of receipt that s/he does + not agree to the terms of the full Project Gutenberg™ License. You must require such + a user to return or destroy all copies of the works possessed in a + physical medium and discontinue all use of and all access to other + copies of Project Gutenberg™ works.</p></td></tr><tr class="tei tei-labelitem"><th class="tei tei-label"></th><td class="tei tei-item"><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">You provide, in accordance with paragraph <a href="#pglicense1F3" class="tei tei-ref">1.F.3</a>, a full refund of any money paid for a + work or a replacement copy, if a defect in the electronic work is + discovered and reported to you within 90 days of receipt of the + work.</p></td></tr><tr class="tei tei-labelitem"><th class="tei tei-label"></th><td class="tei tei-item"><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">You comply with all other terms of this agreement for free + distribution of Project Gutenberg™ works.</p></td></tr></tbody></table></div><div id="pglicense1E9" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h4 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em">1.E.9.</h4><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">If you wish to charge a fee or distribute a Project Gutenberg™ electronic work or + group of works on different terms than are set forth in this agreement, + you must obtain permission in writing from both the Project Gutenberg Literary Archive Foundation and Michael + Hart, the owner of the Project Gutenberg™ trademark. Contact the Foundation as set + forth in <a href="#pglicense3" class="tei tei-ref">Section 3</a> below.</p></div></div><div id="pglicense1F" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h3 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.40em; margin-top: 2.40em"><span style="font-size: 120%">1.F.</span></h3><div id="pglicense1F1" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h4 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em">1.F.1.</h4><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">Project Gutenberg volunteers and employees expend considerable effort to identify, + do copyright research on, transcribe and proofread public domain works + in creating the Project Gutenberg™ collection. Despite these efforts, Project Gutenberg™ + electronic works, and the medium on which they may be stored, may + contain <span class="tei tei-q">Defects,</span> such as, but not limited to, incomplete, + inaccurate or corrupt data, transcription errors, a copyright or other + intellectual property infringement, a defective or damaged disk or other + medium, a computer virus, or computer codes that damage or cannot be + read by your equipment.</p></div><div id="pglicense1F2" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h4 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em">1.F.2.</h4><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">LIMITED WARRANTY, DISCLAIMER OF DAMAGES — Except for the <span class="tei tei-q">Right of + Replacement or Refund</span> described in <a href="#pglicense1F3" class="tei tei-ref">paragraph + 1.F.3</a>, the Project Gutenberg Literary Archive Foundation, the owner of the Project Gutenberg™ trademark, and any + other party distributing a Project Gutenberg™ electronic work under this agreement, + disclaim all liability to you for damages, costs and expenses, including + legal fees. YOU AGREE THAT YOU HAVE NO REMEDIES FOR NEGLIGENCE, STRICT + LIABILITY, BREACH OF WARRANTY OR BREACH OF CONTRACT EXCEPT THOSE + PROVIDED IN PARAGRAPH F3. YOU AGREE THAT THE FOUNDATION, THE TRADEMARK + OWNER, AND ANY DISTRIBUTOR UNDER THIS AGREEMENT WILL NOT BE LIABLE TO + YOU FOR ACTUAL, DIRECT, INDIRECT, CONSEQUENTIAL, PUNITIVE OR INCIDENTAL + DAMAGES EVEN IF YOU GIVE NOTICE OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.</p></div><div id="pglicense1F3" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h4 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em">1.F.3.</h4><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">LIMITED RIGHT OF REPLACEMENT OR REFUND — If you discover a defect in + this electronic work within 90 days of receiving it, you can receive a + refund of the money (if any) you paid for it by sending a written + explanation to the person you received the work from. If you received + the work on a physical medium, you must return the medium with your + written explanation. The person or entity that provided you with the + defective work may elect to provide a replacement copy in lieu of a + refund. If you received the work electronically, the person or entity + providing it to you may choose to give you a second opportunity to + receive the work electronically in lieu of a refund. If the second copy + is also defective, you may demand a refund in writing without further + opportunities to fix the problem.</p></div><div id="pglicense1F4" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h4 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em">1.F.4.</h4><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">Except for the limited right of replacement or refund set forth in + <a href="#pglicense1F3" class="tei tei-ref">paragraph 1.F.3</a>, this work is provided + to you 'AS-IS,' WITH NO OTHER WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR + IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO WARRANTIES OF MERCHANTIBILITY OR + FITNESS FOR ANY PURPOSE.</p></div><div id="pglicense1F5" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h4 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em">1.F.5.</h4><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">Some states do not allow disclaimers of certain implied warranties or + the exclusion or limitation of certain types of damages. If any + disclaimer or limitation set forth in this agreement violates the law of + the state applicable to this agreement, the agreement shall be + interpreted to make the maximum disclaimer or limitation permitted by + the applicable state law. The invalidity or unenforceability of any + provision of this agreement shall not void the remaining provisions.</p></div><div id="pglicense1F6" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h4 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em">1.F.6.</h4><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">INDEMNITY — You agree to indemnify and hold the Foundation, the + trademark owner, any agent or employee of the Foundation, anyone + providing copies of Project Gutenberg™ electronic works in accordance with this + agreement, and any volunteers associated with the production, promotion + and distribution of Project Gutenberg™ electronic works, harmless from all + liability, costs and expenses, including legal fees, that arise directly + or indirectly from any of the following which you do or cause to occur: + (a) distribution of this or any Project Gutenberg™ work, (b) alteration, + modification, or additions or deletions to any Project Gutenberg™ work, and (c) any + Defect you cause.</p></div></div></div><div id="pglicense2" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h2 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.88em; margin-top: 2.88em"><span style="font-size: 144%">Section 2.</span></h2><h2 class="tei tei-head" style="text-align: center; margin-bottom: 2.40em; margin-top: 2.40em"><span style="font-size: 120%">Information about the Mission of Project Gutenberg™</span></h2><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">Project Gutenberg™ is synonymous with the free distribution of electronic works + in formats readable by the widest variety of computers including + obsolete, old, middle-aged and new computers. It exists because of the + efforts of hundreds of volunteers and donations from people in all walks + of life.</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">Volunteers and financial support to provide volunteers with the + assistance they need, is critical to reaching Project Gutenberg™'s goals and + ensuring that the Project Gutenberg™ collection will remain freely available for + generations to come. In 2001, the Project Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a + secure and permanent future for Project Gutenberg™ and future generations. To learn + more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation and how your efforts and donations can help, see + Sections <a href="#pglicense3" class="tei tei-ref">3</a> and <a href="#pglicense4" class="tei tei-ref">4</a> and the Foundation web page at <a href="http://www.pglaf.org" class="tei tei-xref">http://www.pglaf.org</a>.</p></div><div id="pglicense3" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h2 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.88em; margin-top: 2.88em"><span style="font-size: 144%">Section 3.</span></h2><h2 class="tei tei-head" style="text-align: center; margin-bottom: 2.40em; margin-top: 2.40em"><span style="font-size: 120%">Information about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation</span></h2><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit 501(c)(3) educational corporation + organized under the laws of the state of Mississippi and granted tax + exempt status by the Internal Revenue Service. The Foundation's EIN or + federal tax identification number is 64-6221541. Its 501(c)(3) letter + is posted at <a href="http://www.gutenberg.org/fundraising/pglaf" class="tei tei-xref">http://www.gutenberg.org/fundraising/pglaf</a>. Contributions + to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent permitted by U.S. + federal laws and your state's laws.</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. + S. Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are + scattered throughout numerous locations. Its business office is + located at 809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) + 596-1887, email business@pglaf.org. Email contact links and up to date + contact information can be found at the Foundation's web site and + official page at <a href="http://www.pglaf.org" class="tei tei-xref">http://www.pglaf.org</a></p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">For additional contact information: + + </p><div class="block tei tei-address" style="margin-bottom: 1.80em; margin-left: 3.60em; margin-top: 1.80em; margin-right: 3.60em"><span class="tei tei-addrLine"><span style="font-size: 90%">Dr. Gregory B. Newby</span></span><br /><span class="tei tei-addrLine"><span style="font-size: 90%">Chief Executive and Director</span></span><br /><span class="tei tei-addrLine"><span style="font-size: 90%">gbnewby@pglaf.org</span></span><br /></div></div><div id="pglicense4" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h2 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.88em; margin-top: 2.88em"><span style="font-size: 144%">Section 4.</span></h2><h2 class="tei tei-head" style="text-align: center; margin-bottom: 2.40em; margin-top: 2.40em"><span style="font-size: 120%">Information about Donations to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation</span></h2><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">Project Gutenberg™ depends upon and cannot survive without wide spread public + support and donations to carry out its mission of increasing the number + of public domain and licensed works that can be freely distributed in + machine readable form accessible by the widest array of equipment + including outdated equipment. Many small donations ($1 to $5,000) are + particularly important to maintaining tax exempt status with the + IRS.</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">The Foundation is committed to complying with the laws regulating + charities and charitable donations in all 50 states of the United + States. Compliance requirements are not uniform and it takes a + considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up + with these requirements. We do not solicit donations in locations where + we have not received written confirmation of compliance. To SEND + DONATIONS or determine the status of compliance for any particular state + visit <a href="http://www.gutenberg.org/fundraising/donate" class="tei tei-xref">http://www.gutenberg.org/fundraising/donate</a></p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">While we cannot and do not solicit contributions from states where we + have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition + against accepting unsolicited donations from donors in such states who + approach us with offers to donate.</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">International donations are gratefully accepted, but we cannot make + any statements concerning tax treatment of donations received from + outside the United States. U.S. laws alone swamp our small staff.</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation methods and + addresses. Donations are accepted in a number of other ways including + checks, online payments and credit card donations. To donate, please + visit: <a href="http://www.gutenberg.org/fundraising/donate" class="tei tei-xref">http://www.gutenberg.org/fundraising/donate</a></p></div><div id="pglicense5" class="tei tei-div" style="margin-bottom: 2.00em; margin-top: 2.00em"><h2 class="tei tei-head" style="text-align: left; margin-bottom: 2.88em; margin-top: 2.88em"><span style="font-size: 144%">Section 5.</span></h2><h2 class="tei tei-head" style="text-align: center; margin-bottom: 2.40em; margin-top: 2.40em"><span style="font-size: 120%">General Information About Project Gutenberg™ electronic + works.</span></h2><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em"><span class="tei tei-name">Professor Michael S. Hart</span> is the + originator of the Project Gutenberg™ concept of a library of electronic works that + could be freely shared with anyone. For thirty years, he produced and + distributed Project Gutenberg™ eBooks with only a loose network of volunteer + support.</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">Project Gutenberg™ eBooks are often created from several printed editions, all of + which are confirmed as Public Domain in the U.S. unless a copyright + notice is included. Thus, we do not necessarily keep eBooks in + compliance with any particular paper edition.</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">Each eBook is in a subdirectory of the same number as the eBook's + eBook number, often in several formats including plain vanilla ASCII, + compressed (zipped), HTML and others.</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">Corrected <em class="tei tei-emph"><span style="font-weight: 700">editions</span></em> of our eBooks replace the old file + and take over the old filename and etext number. The replaced older file + is renamed. <em class="tei tei-emph"><span style="font-weight: 700">Versions</span></em> based on separate sources are treated + as new eBooks receiving new filenames and etext numbers.</p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">Most people start at our Web site which has the main PG search + facility: + + <a href="http://www.gutenberg.org" class="block tei tei-xref" style="margin-bottom: 1.80em; margin-left: 3.60em; margin-top: 1.80em; margin-right: 3.60em"><span style="font-size: 90%">http://www.gutenberg.org</span></a></p><p class="tei tei-p" style="margin-bottom: 1.00em">This Web site includes information about Project Gutenberg™, including how to + make donations to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and + how to subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks.</p></div></div></div> + </div> + </div> +</div> +</body></html> |