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If you are not located in the United States, you'll have -to check the laws of the country where you are located before using this ebook. - -Title: Geschichte der Mathematik im Altertum - In Verbindung mit antiker Kulturgeschichte - -Author: Max Simon - -Release Date: May 14, 2020 [EBook #62131] - -Language: German - -Character set encoding: UTF-8 - -*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK GESCHICHTE DER MATHEMATIK IM ALTERTUM *** - - - - -Produced by Peter Becker and the Online Distributed -Proofreading Team at https://www.pgdp.net - - - - - - - +------------------------------------------------------------------+ - | Anmerkungen zur Transkription | - | | - | [**symbol] oder [**symbols] bedeuten Symbole im Text, die nicht | - | als Text wiedergegeben werden können. [**arc] steht für einen | - | Kreisbogen über dem folgenden Text, [**vector] für einen Pfeil | - | über dem Text. | - | n [**ueber] k ist der Binomialkoeffizient »n über k«. | - | 1-1/2 steht für den Bruch 1½, bei Subtraktionen ist ein | - | Leerzeichen vor und nach dem Minuszeichen, wie bei 1 - 1/2. | - | Hostgestellte Buchstaben und Text werden als n^k oder n^{k+1} | - | dargestellt, tiefgestellte Buchstaben und Text als n_{k} oder | - | n_{k+1}. Gesperrter Text ist als ¨gesperrt¨ dargestellt, | - | Kursivschrift als ¯kursiv¯ und Fettschrift als $fett$. | - | | - | Eine Liste der Änderungen befindet sich am Ende des Buchs. | - +------------------------------------------------------------------+ - - - - - GESCHICHTE - DER - MATHEMATIK IM ALTERTUM - - IN VERBINDUNG MIT - ANTIKER KULTURGESCHICHTE - - VON - - D^{R.} MAX SIMON - - HONORARPROFESSOR DER UNIVERSITÄT STRASSBURG - - [Illustration] - - VERLAG VON BRUNO CASSIRER - BERLIN 1909 - - - Theodor Reye - - IN - DANKBARKEIT UND VEREHRUNG - GEWIDMET - - - - -Vorwort - - -Diese Schrift ist im wesentlichen eine Drucklegung der Vorlesung, -welche ich 1903 in Strassburg gehalten habe, nur der Abschnitt über -Babylon musste infolge der raschen Arbeit des Spatens in Mesopotamien -stark erweitert werden. Die Vorlesung sollte der Ausführung des -Satzes aus meiner Didaktik und Methodik in ¨Baumeisters¨ Handbuch der -Erziehungs- und Unterrichtslehre dienen, dass, wie jeder Oberlehrer, so -besonders der Mathematiker möglichst allgemein gebildet sein müsse. - -Für Ägypten hatte ich an ¨Wilhelm Spiegelberg¨ einen stets bereiten -Führer und Helfer, für Indien konnte ich mich auf meinen langjährigen -Freund ¨Ernst Leumann¨ stützen. Beiden Herren hier meinen herzlichen -Dank auszusprechen, möge mir erlaubt sein. - -Leider hat die Universitas litterarum Argentoratensis eine empfindliche -und schwer begreifliche Lücke, ¨es fehlt der Assyriologe¨, und so war -ich hier auf mich selbst angewiesen, da die Hoffnung sich zerschlug -einen Kritiker in ¨W. Bezold¨ zu finden, dessen höchst anziehende -Monographie »¨Babylon und Ninive¨« mich in dies Gebiet eingeführt -hatte, wie ¨Ermans¨ klassisches »Ägypten« in jenes. - -Bei der Korrektur hat mich der Dozent der Philosophie an der -Universität Berlin ¨Dr. E. Cassirer¨, der Verfasser des Werkes »das -Erkenntnisproblem in der Philosophie und Wissenschaft der neueren Zeit« -freiwillig unterstützt, wofür ich um so dankbarer bin als meine Augen -nicht mehr die besten sind. - -Meinem Schüler und jüngeren Freund Herrn Diplomingenieur ¨Ernst Frank¨ -bin ich für die mühsame und schöne Federzeichnung ¨Gudeas¨ und eine -ganze Anzahl Photographien verpflichtet, aber die meisten Photographien -hat mein langjähriger Kollege der Maler und Zeichenlehrer Herr ¨Chr. -Kneer¨ in liebenswürdigster Weise mir geliefert. - -Zum Schluss ist es mir Bedürfnis, der Verlagshandlung ¨Bruno Cassirer¨, -für welche die Drucklegung dieses Werkes mit ausserordentlicher Mühe -verknüpft war, für ihre Sorgfalt und Opferwilligkeit meinen Dank -auszusprechen. - - Strassburg i. E., Nov. 1908. - - ¨Max Simon¨ - - - - - Meine Herren! - - -Die zusammenhängende Geschichte der Mathematik auf strenger Grundlage -ist einer der jüngsten Zweige unserer Wissenschaft; sie datiert -eigentlich erst seit dem grossen Werke ¨Jean Etienne Montucla¨'s: -Histoire des Mathématiques von 1758 oder richtiger vom 7. August 1799, -an welchem Tage die beiden ersten Bände der zweiten Auflage erschienen. -Es liegt dies in der Natur der Sache, eine Geschichtsschreibung setzt -immer einen gewissen Abschluss voraus, es müssen die ihrer Zeit -treibenden Gedanken -- damals die Prinzipien der Infinitesimalrechnung --- ausgebeutet sein, sie müssen ihre treibende Kraft verloren haben, -um einer objektiven Darstellung Raum zu gewähren. Ganz analog schrieb -der Aristoteliker ¨Eudemos¨ sein leider grösstenteils verlornes -Geschichtswerk, als die Mathematik der Pythagoreer und Platoniker ihre -Kodifikation durch ¨Eudoxos¨ und andere gefunden hatte. Man darf auch -nicht vergessen, dass die Weltgeschichte selbst erst Wissenschaft -geworden ist, seitdem am Ende des 17. Jahrhunderts ¨Leibniz¨ auf -die Urkunde, auf die Forschung in den Archiven als ihre Grundlage -hingewiesen hat. - -So grossartig die Leistung Montuclas war, so hat doch nur ein geringer -Teil seiner Darbietungen die Kritik bestanden. Einerseits war sein -Plan zu gross für einen einzelnen Menschen angelegt, er sollte nicht -bloss Geometrie, Algebra, Infinitesimalrechnung umfassen, sondern -auch Astronomie, Mechanik und die bis zur französischen Revolution -zur Mathematik gezählten Disziplinen, Optik, Nautik, Chronologie und -Gnomonik. Dann aber sind erst im 19. Jahrhundert die Quellen für die -ägyptische, babylonische, arabische und indische Mathematik erschlossen -worden, und selbst die Mathematik der Griechen und Römer erscheint -uns heut in ganz anderem Lichte. Der Neuhumanismus von den grossen -Philologen Friedrich August Wolf und Gottfried Hermann ausgehend, schuf -eine Schule von Philologen, ich nenne nur Diels, Heiberg und Hultsch, -welche mit einer vorher unbekannten Schärfe und ungeahntem Erfolge -die mathematischen Werke der Alten, Euklid, Ptolemeus, Pappus, Heron, -Archimedes, Vitruv etc. edierten. - -Der grosse Aufschwung, den das Interesse für Geschichte der Mathematik -im 19. Jahrhundert, besonders seit der Mitte desselben, genommen, -erklärt sich aber auch allgemeiner. Mit Kants Kritik der reinen -Vernunft setzt die kritische Strömung ein, die in erster Linie das -Geistesleben des 19. Jahrhunderts beherrscht hat. Sie unterwarf sich -durch Bolzano, Gauss, Kummer, Weierstrass, auch die Mathematik und -drängte dazu, alles Überlieferte auf seine Wahrheit und seinen inneren -Zusammenhang zu prüfen. - -Dazu kam dann die stärkere Betonung des geschichtlichen Elements für -die Ausbildung der Methode des mathematischen Unterrichts. Er hat -seine Geschichte und seine Koryphäen für sich. Ich verweise auf die 2. -Auflage meiner Didaktik und Methodik des Rechnens und der Mathematik -(München 1908). Aber die Lehrer begriffen doch allmählich, wie die -zahlreichen l. c. erwähnten Programme, denen ich als neuestes das -Programm von Dr. ¨M. Gebhart¨ Ostern 1908 hinzufüge, beweisen, dass für -den Unterrichtserfolg der Einblick in das historische Werden durchaus -nötig sei. Denn der Einblick in das historische Werden der Erkenntnis -vermittelt zugleich das beste Verständnis für die gewordene. Es sei -hingewiesen auf ¨E. Cassirer¨, das Erkenntnisproblem in der Philosophie -und Wissenschaft der neueren Zeit Bd. I 1906, Bd. II 1908. - -Für den Lehrer ist dieser Einblick ganz besonders wichtig, weil nur -die Geschichte Aufklärung gibt über die Schwierigkeiten, welche der -Geist bei der Bewältigung der einzelnen Probleme zu überwinden hat. -Dazu kommt noch ein anderer Umstand, der für die Schule ganz besonders -zu betonen ist, der Hinweis nämlich auf den Zusammenhang aller -Kulturarbeit, das ist kurz auf die Einheit des menschlichen Geistes. -Logarithmen und Wahrscheinlichkeitsrechnung haben die Statistik und -die Sozialgesetzgebung geschaffen. »Die stille Arbeit des grossen -Regiomontan in seiner Kammer zu Nürnberg berechnete die Ephemeriden, -welche Kolumbus die Entdeckung Amerikas ermöglichten.« (¨F. Rudio.¨) - -Der kritische Geist des Jahrhunderts zeitigte noch eine Blüte, die -der historischen Forschung zugute kam, so wenig erfreulich sie sonst -ist. -- Ich meine die Prioritätsstreitigkeiten, wobei allerdings die -historische Wahrheit nicht selten durch die ebenfalls ganz moderne -Ausbildung des Nationalitätsgefühls getrübt wird. - -Dazu kommt noch ein weiteres wichtiges und treibendes Moment der -historischen Forschung, das ist die nur historisch zu begreifende -Wandlung, welche die Begriffe im Laufe der Zeit durchmachen, die -Umwertung aller Werte, um mit Nietzsche zu reden. Nehmen Sie z. B. -den Funktionsbegriff, den wichtigsten und weittragendsten von allen; -¨Leibniz¨ und die ¨Bernoulli¨, die diesen Begriff zuerst als einen -selbständigen ausgeprägt haben, nahmen das Wort von der gemeinsamen -Bezeichnung der verschiedenen Potenzen von x her und bezeichneten y -als Funktion von x, wenn ein analytischer Ausdruck, eine Gleichung -vorlag, durch welche die Änderung des y an die des x gebunden wurde. -Die Fourierschen Reihen, d. h. die nach dem sinus oder cosinus der -multiplen eines Argumentes x fortschreitenden Reihen, welche eine -einzige Darstellung für eine ganz willkürliche Veränderliche lieferten, -zwangen dann Dirichlet den Begriff umzuprägen. Heute fasst man z. B. -√x nicht als Funktion von x auf, wohl aber einen Dezimalbruch, dessen -x-Stellen in x-Würfen ausgewürfelt werden. Hierher gehört die ganze -Lehre vom Flächen- und Körperinhalt, sowohl die Flächenvergleichung -als die Inhaltsbestimmung krummlinig begrenzter Flächen, überhaupt -die ganze räumliche Messung. Noch ¨Christoffel¨ stützte in seinen -Vorlesungen die Lehre vom bestimmten Integral darauf, dass das Integral -den Flächeninhalt angibt. Er versprach zwar an dieser Stelle immer den -arithmetischen Beweis dafür, dass Σ(y_{K∓1} y_{K}) (x_{K∓1} x_{K}) eine -bestimmte Grenze habe gelegentlich zu liefern, aber die Gelegenheit -fand er nicht. Jahrhunderte hindurch wurde die Integralrechnung -Quadratur genannt, heute wird umgekehrt der Flächeninhalt durch das -bestimmte Integral definiert. Der naive Mensch verbindet mit der -Strecke sofort ihre Länge, aber 1892 wurde diese Länge definiert als -die bestimmte transfinite Anzahl der Linienelemente. Und die Lehre von -den Polyedern und dem Eulerschen Satze! Welche Wandlung hat da schon -der Begriff Polyeder durchgemacht bis ¨C. Jordan¨ und ¨C. K. Becker¨ -den Zusammenhang mit der Riemannschen Zahl p, dem Geschlecht der -Abelschen Funktionen, der Ordnung des Zusammenhanges erkannten. Und der -Begriff der Fläche, -- man denke an die einseitigen Flächen ¨Listings¨ -und ¨Möbius'¨, ferner an die stetigen aber nicht differenzierbaren -Funktionen, ja an den Begriff der Geometrie selber, der sich in den -letzten 50 Jahren vollkommen verschoben hat. All diese Entwicklungen -können nur historisch oder gar nicht erfasst werden. - -Allmählich aber hat sich auch in weiteren Kreisen ein reines Interesse -an der historischen Forschung als solcher entwickelt. Es gewährt eine -hohe Befriedigung, das grosse Gesetz der Kontinuität, das sich wie -ein roter Faden durch alle menschliche Geistesarbeit hindurchzieht -und alle menschlichen Generationen verknüpft, auch in der Mathematik -blosszulegen und gewissermassen diesen Faden aufzurollen. - -Das Standardwerk des Säkulums ist das Riesenwerk ¨Moritz Cantors¨ in -Heidelberg, die Vorlesung über Geschichte der Mathematik in 3 Bänden. -Band 1 erschien 1880, Band 3 wurde 1899 fertig und noch ehe das Werk -vollendet war, 1894, erschien die 2. Auflage des 1. Bandes, 1901 schon -die des 3. Diese rasche Folge ist wohl der sprechendste Beweis dafür, -wie sehr das historische Interesse unter den Mathematikern erstarkt -ist. Das Werk Cantors ist eine staunenswerte Leistung und wird es -bleiben, auch wenn es ihm ergangen sein wird, wie seinem Vorgänger, -dem Montucla; die von diesem grossen Werke ausgehende Einzelforschung -wird vieles, ja sehr vieles was im Cantor steht, berichtigen. Für -indische, ägyptische, babylonische, hellenische Mathematik ist diese -verdienstliche Maulwurfsarbeit bereits stark im Gange. - -Wenn ich mich nun zu meinem Gegenstande wende, so ist es klar, dass ich -nicht mit der Erfindung der Mathematik beginnen kann. Die Mathematik -ist nie und nirgends erfunden worden und wenn die Ägypter die Erfindung -ihrem Gott Thot zuschrieben, so ist damit auch nichts anderes gesagt. -Mathematische Vorstellungen sind ja keineswegs auf den Menschen -beschränkt; die Henne, die all ihre Küchlein, der Hirtenhund, der alle -Tiere seiner Herde kennt, haben Zahlvorstellungen. Die Spinne, wenn -sie ihr Netz anlegt, bedient sich ihres eigentümlich gebauten Fusses, -wie eines Masszirkels, die Bienen haben beim Bau ihrer sechseckigen -Zellen eine schwierige Maximumsaufgabe gelöst. Ja selbst der Regenwurm -dreht den Grashalm um und schleppt ihn mit der Spitze voran in seine -Röhre, und Proklus erzählt uns, dass auch der Esel in gerader Linie -auf sein Futter ziele. Es ist eine lange durch ungezählte Jahrtausende -fortgesetzte und durch Vererbung erhaltene Arbeit, welche von den -dunkelsten Reaktionen auf Kontaktreiz etwa in den verschiedenen Wimpern -der Aktinien bis zur bewussten dreidimensionalen Reaktion auf Tast- und -Hautreiz führt und unsere Geometrie geschaffen hat und fortwährend an -ihr schafft. - -Wie überall, so geht auch der geschichtlichen Mathematik eine schier -unendlich lange prähistorische Zeit voraus, in der die wichtigsten -Begriffe geschaffen werden: der des Masses, der Zahl, der geraden -Linie, des Abstands, der Richtung, des Winkels, des Punkts, der Fläche, -des Körpers etc.; in dieses Dunkel kann höchstens die Sprachforschung -einiges Licht bringen. Wir sehen, dass die Masse überall vom eigenen -Körper hergenommen werden, von der Puruscha, der Menschenlänge der -Inder, der Elle Mah und Handbreite der Ägypter bis zum Fusse der -Griechen, Römer und Germanen. Die Finger, gelegentlich auch die Zehen -bilden die natürlichen Komplexe für die Zählung; 20, 10, 5 bilden -die Abschnitte. Wenn die Griechen die Ebene επιπεδον nennen, d. h. -das, worauf der Fuss steht, so können wir schliessen, wie sich ihnen -der mathematische Begriff Ebene aus dem der Ebenheit entwickelt -hat und ευθεια, was ich als die ohne Zeitverlust darauflosgehende -interpretiere und mit θυνω zusammenbringe, bezieht sich auf die Gerade -als kürzeste Verbindung, wie das lateinische recta mit Richtung -zusammenhängt. Sinnesreize, Sinneswahrnehmungen sind es, aus denen sich -die mathematischen Vorstellungen entwickelten und man kann sich den -Ursprung und die Anfangsepoche der Mathematik gar nicht grobsinnlich -genug vorstellen. Die Mathematik, die Arithmetik wie die Geometrie -ist eine Experimentalwissenschaft bis Archimedes gewesen. Ja sie ist -es noch heute, man denke an die Seifenblasen und die Gelatineflächen, -die sich Kummer herstellte, an viele zahlentheoretische Sätze Fermats -und Eulers, an Gauss' Zahleninduktion; und wenn man die Mathematik -rubrizieren will, so gehört sie historisch zu den Naturwissenschaften, -wenn sie auch allmählich mehr und mehr den Übergang zur reinen -Geisteswissenschaft vollführt, und grade die gegenwärtige, durch -¨Veronese¨ und ¨Hilbert¨ gekennzeichnete Phase einen rein logischen -Charakter trägt. - -Wenn aber irgendwo der experimentelle Charakter der Mathematik -hervortritt, so ist es bei den Ägyptern, deren Mathematik ganz und -gar auf dem Wege des Experimentes zustande gekommen ist. ¨Heron¨ aus -Alexandrien, der Mechanikus, wie ihn ¨Proklus¨ nennt, der grosse -Feldmesser und Ingenieur, der wahrscheinlich 100 v. Chr. gelebt hat, -ist in Form und Inhalt stark von altägyptischer Mathematik beeinflusst. -In seinen 1903 von ¨Schöne¨ edierten Metrika sagt er: Nachdem die -Körper, welche ein bestimmtes Gesetz befolgen, gemessen sind, ist es -folgerichtig, auch die regellosen wie Baumstümpfe und Felsblöcke zu -besprechen, da einige berichten, dass sich ¨Archimedes¨ dafür eine -Methode ausgedacht hat. Falls nämlich jener Körper leicht transportabel -wäre, sollte man eine hinlänglich grosse, vollkommen rechtwinklige -Wanne machen, sie mit Wasser füllen und den unregelmässigen Körper -hineintauchen. Es ist nun klar, dass soviel Wasser überfliessen -wird, als jener Körper enthält. Soweit Archimedes, und nun schlägt -Heron vor, den betr. schwer transportablen Körper mit Wachs oder -Lehm zu bestreichen und zwar so, dass er mit der Umhüllung zu einem -balkenförmigen Körper wird, dann den Lehm abzukratzen und gleichfalls -in Balkenform zu kneten. - -Man sieht, wie äusserst wahrscheinlich es ist, dass Archimedes, der in -Alexandrien studiert hat, seine Formel über den Inhalt der Kugel auf -physikalischem Wege gefunden hat. - -Diesen experimentellen Charakter hat nun die gesamte Mathematik der -Ägypter besessen, die ein Bauernvolk waren und sind, deren ganze Natur -eine durch und durch realistische war, wie der Totenkultus und die -Kunst bezeugen; waren doch ihre Säulen Nachbildungen der Lotos und -Papyrosstauden, ihr Fussboden Nachahmung der Erde; ihr Leben nach dem -Tode ganz nach dem Diesseits gemodelt, von allem andern zu schweigen. - -¨Handel und Verwaltung¨ zwangen zur Ausbildung der Rechenkunst. Der -Handel wurde schon vor unvordenklicher Zeit von Staats wegen getrieben; -grosse Handelsexpeditionen nach Punt (Somaliküste) und Kusch (Nubien) -ausgesandt. Die Verwaltung war bis aufs kleinste organisiert. Ein Heer -von Hofbeamten, ein Heer von Beamten der Lehnsbarone, sie ist in China -und in Deutschland nicht bureaukratischer gewesen. Wir haben genug -Denkmäler von dem Hochmut der Beamten und dem selbstverständlich noch -grösseren ihrer Schreiber. Die ¨Feldmessung¨ aber und die Baukunst -entwickelten die Geometrie. Die ¨Baukunst¨, die jene Denkmäler -geschaffen, vor denen der grosse Napoleon seinen ¨Soldaten¨ zurief: -Songez que du haut de ces monuments quarante siècles vous contemplent; -und die gewaltigen Kanäle, Stau- und Schleusenwerke und Nildämme, die -sich bis heute erhalten haben. Die ¨Feldmessung¨ aber musste in hohem -Ansehen stehen bei dem komplizierten auf den Landbesitz gegründeten -Steuersystem und dem hohen Werte des schmalen Kulturstreifens längs -des Niles. ¨Herodot¨, dem wir die erste Kunde von Ägypten verdanken, -berichtet, dass Sesostris -- in dieser sagenhaften Figur hat sich die -Erinnerung an 2 Pharaonen, den mächtigen Pharao Sen-wos ret der XII. -Dynastie etwa um 2200 und Ramses II erhalten -- das Land in Quadrate -geteilt und wenn der Nil in seiner Überschwemmung Land ab- oder -angespült hatte, Nachmessungen der staatlichen Feldmesser stattfanden, -zum Zwecke der richtigen Steuerveranlagung. Daraus ist dann -schliesslich bei ¨Strabo¨ die Erzählung geworden, dass das ganze Land, -weil der Nil die Grenzzeichen jährlich fortgerissen hätte, jährlich neu -vermessen wurde. - -Die historische, d. h. die auf Urkunden gestützte Zeit beginnt mit -den Ägyptern und Babyloniern. Wenn wir mit den Ägyptern beginnen, so -geschieht es nicht deswegen, weil wir heute noch die Vorstellung haben, -wie sie von den Griechen ausgehend bis weit über die Mitte des 19. -Jahrhunderts geherrscht hat, dass die Mathematik sich von Ägypten aus -auf die übrigen Völker etwa wie eine Art Infektionskrankheit verbreitet -habe. In seiner Festrede von 1884 sagt ¨Emil Weyr¨, der vor wenigen -Jahren verstorbene Wiener Mathematiker: »Es muss als feststehend -angenommen werden, dass ¨jedes¨ Volk in seinem Entwicklungsgange -schon durch praktische Bedürfnisse gezwungen war, sich geometrische -Kenntnisse anzueignen. Die Höhe dieser Kenntnisse richten sich nach -der Grösse der praktischen Bedürfnisse, zu denen auch die religiösen -gezählt werden müssen.« - -Wie wesentlich, wie entscheidend diese letzteren z. B. für die indische -Mathematik gewesen sind, wusste Weyr selbst nicht, als er die Worte -aussprach. - -Die Originalität der Ägypter ist gerade seit den letzten 30 Jahren -keineswegs mehr unbestritten, in den letzten 30 Jahren ist auf den -uralten Kulturzusammenhang zwischen Ägyptern und Babyloniern mehrfach -hingewiesen worden, doch ist hier im einzelnen noch alles unklar. Für -die Wägekunst und die Messkunst hängen die Ägypter direkt von Babylon -ab. Die wunderbaren Funde von Tel Amarna zeigten uns kürzlich, dass um -die Zeit des mittleren Reiches syrische Kleinkönige, die unter ägypt. -Oberhoheit standen, in Asien an ihren Hof babylonisch berichteten, so -etwa wie im 18. Jahrhundert unsere Gesandten französisch berichteten. -Und was das Alter betrifft, so ist das ägyptische Papier, ja selbst -das Leder nicht älter als die Ziegelsteine Babylons. (Die neuesten -Forschungen ¨L. W. Kings¨ für Babylon [Chronicles Concerning early -Babylonian Kings, 2. voll. 1907] und ¨Eduard Meyers¨ [Ägypten zur Zeit -der Pyramidenerbauer, Leipzig 1908] geben allerdings dem ägyptischen -Staate ein um mehrere Jahrhunderte höheres Alter.) Aber es gibt bis -jetzt kein anderes Volk, für das die historische Überlieferung so -wenig Lücken bietet wie das ägyptische. Erman in Berlin, der durch -seine und seiner Schule Arbeit eigentlich erst die Ägyptologie auf -wissenschaftliche Grundlage gestellt hat, sagt: Von der Zeit des Königs -Snofru bis Alexander dem Grossen und von der griechischen Epoche her -bis zum Einbruch der Araber und von diesem wieder bis auf unsere Tage -liegt eine ununterbrochene Kette von Denkmälern und Schriftwerken vor, -die uns die Verhältnisse dieses Landes kennen lehren. - -Über 6000 Jahre können wir die Geschichte dieses Volkes und nur dieses -verfolgen. Darum und nur darum beginne ich mit den Ägyptern. - - - - -I. Kapitel. - -Ägypten. - - -Ägyptische Geschichte. - -Eine genaue ägyptische Chronologie existiert zurzeit nicht, obwohl im -letzten Dezennium, insbesondere durch die Ausgrabungen der deutschen -Orient-Gesellschaft unter Leitung von ¨Borchardt¨, wichtige Ansätze -gewonnen sind. Nach dem Vorgange des ägyptischen Priesters Manetho, -der in griechischer Sprache eine Königstafel gab, von der einiges -erhalten ist, hat man die Geschichte bis auf Alexander in 30 Dynastien -geteilt. Ich gebe hier die Epochen nach ¨Ed. Meyer¨ (Ägypt. Chronologie -1904, Nachträge 1907) und ¨W. Spiegelberg¨, und zugleich nach diesem -die der Kunstgeschichte. Der ursprüngliche Zustand in einer Zeit, die -sich unserer Berechnung entzieht, ist wohl der einer Besiedlung des -Landes durch einzelne selbständige Gaue gewesen; diese Gauverbände -haben sich während des ganzen Altertums erhalten. Aber sehr früh muss -der Riesenstrom, der nur durch vereinte Kräfte nutzbar zu machen war, -namentlich in Unterägypten ein straff zentralisiertes Reich geschaffen -haben, das bereits vor 4000 ein Kulturland war. Nach Meyer hat es -das ägyptische Kalenderjahr geschaffen, »das vom 19. Juli 4241 an -4000 Jahr unverändert in Ägypten bestanden hat, -- das älteste feste -Datum, welches die Geschichte der Menschheit kennt.« Der Tag ist -durch den Heliakischen Aufgang des Sothis (Sirius) festgelegt, denn -das ägyptische Jahr mit 365 Tagen sollte mit diesem Aufgang beginnen, -und der verschob sich alle 4 Jahre um einen Tag. Es folgten dann zwei -politisch getrennte, religiös und kulturell gleichartige Reiche, Unter- -und Oberägypten, von denen jenes die Fischer und Schiffer des Delta, -dieses die Ackerbauer des oberen Stromlaufs umfasste, bis etwa um 3400 -Menes von Thinis, mit Königsname vielleicht ¨Namarê¨, Wahrheit eignet -dem Re, Unterägypten unterwarf und die beiden Reiche vereinigte. Diese -Vereinigung war eine wirtschaftliche Notwendigkeit; die Ackerbauer -Oberägyptens mussten sich die freie Ausfuhr ihres Kornüberschusses in -die Länder des Mittelmeerbeckens sichern. - -Die folgende Tabelle hat ¨W. Spiegelberg¨ seiner Vorlesung über die -ägyptische Kunstgeschichte vom Winter 1906|7 zugrunde gelegt und -mir die Publikation gestattet. Als Zentren der Frühzeit kamen neben -Hierakonpolis (äg. Nechen) noch Buto (äg. Pe) in Betracht sowie Abydos. -Als Könige der Kunstblüte des alten Stils sind Sahurê und Neweserrê zu -nennen (Ausgrabungen der deutschen Orient-Gesellschaft ¨L. Borchardt¨; -vergl. ¨Ed. Meyers¨, des um die ägypt. Chronologie hochverdienten -Forschers Vortrag: Ägypten zur Zeit der Pyramidenerbauer, Leipzig, -J. C. Hinrichs, 1908.) (Siehe Abb.) - - -Die Epochen der ägyptischen Geschichte und Kunst. - - I. ¨Prähistorische Zeit¨. - - II. ¨Frühzeit¨ -- Archaische Kunst. Etwa 3400-2900 v. Chr. Dynastie - I-III. - - III. ¨Altes Reich¨ -- Pyramidenzeit. Etwa 2900-2500 v. Chr. - - 1. Dynastie IV -- Die Pyramidenerbauer Cheops, Chephren und - Mykerinos -- Entwicklung des neuen Stils. - - 2. Dynastie V -- Blütezeit des neuen Stils. Kunstzentrum: - ¨Memphis¨. - - Erste Übergangsperiode -- Dynastie VI-XI -- Etwa 2500-2000 v. - Chr. -- Zerfall des Reiches in Gaustaaten. - - IV. ¨Mittleres Reich¨ -- Der klassische Stil -- Dynastie XII. Um - 2000-1800 v. Chr. -- Sen-wosret (das Urbild des Sesostris) und - der Labyrintherbauer Amenemhet-Labares (Moeris). Kunstzentrum: - ¨Fajum¨. - - Zweite Übergangsperiode -- Dynastie XIII-XVII. Um 1800-1580 v. Chr. - -- Hyksosherrschaft. - - V. ¨Neues Reich¨ -- 1580-1100 v. Chr. Dynastie XVIII bis XX. - - 1. Wiederbelebung des klassischen Stils -- König Thutmosis III. - und Königin Hatschepsowet. Um 1560 bis 1470 v. Chr. - - 2. Blütezeit -- Der freiere Stil. Beziehungen zu der - mesopotamischen und mykenischen Kunst. -- Amenophis II. III. - Thutmosis IV. -- Um 1470-1370 v. Chr. - - 3. Sonderkunst des Ketzerkönigs Chinatôn (= Amenophis IV.) -- - Ausartung des freieren Stils. -- Um 1375-1350 v. Chr. - - 4. Die Restauration -- (Haremheb, Sethos I.). Um 1313-1292 v. Chr. - - 5. Ramessidenkunst -- (Ramses II.). Impressionistische Richtung - in der Architektur. -- Um 1292-1100 v. Chr. - - Dritte Übergangsperiode -- Dynastie XXI-XXV. Um 1100-663 v. Chr. - - Niedergang der Kunst und Beginn des Archaismus unter der - libyschen und äthiopischen Fremdherrschaft. -- Schischak. - Kunstzentrum ist im ganzen neuen Reich ¨Theben¨, mit Ausnahme - der Regierung des Chinatôn, wo es ¨El-Amarna¨ ist. - - VI. ¨Die Spätzeit¨ -- Um 663-532 v. Chr. - - 1. Saitenzeit -- Dynastie XXVI. Psammetich, Amasis, Archaismus - und Renaissance. Blütezeit der Porträtkunst. -- Um 663-525 v. - Chr. - - 2. Perserzeit -- Verfall der Kunst während der persischen - Fremdherrschaft (Herodot). Kunstzentrum ist ¨Sais¨. - - 3. Letzte Blüte unter den letzten einheimischen Dynastien -- - (XXVIII-XXX -- Nektanebos) -- 525-332 v. Chr. Kunstzentrum: - ¨Philä¨. - - VII. ¨Hellenistische Zeit¨ -- Ausleben und Erstarren der ägyptischen - Kunst -- 332 v. Chr.-395 n. Chr. - - 1. Ptolemäerzeit -- 332-30 v. Chr. - - 2. Römische Kaiserzeit -- 30 v. Chr.-395 n. Chr. Zentrum der - Kunst und Wissenschaft ist ¨Alexandria¨. - -Die ersten 6 Dynastien bilden das alte Reich, etwa von 3400-2500. Die -Hauptstadt ist Memphis, gegründet vom Könige ¨Menes¨, dem Men Herodots, -der lange völlig sagenhaft war, bis vor kurzem sein Grab bei Negade in -Oberägypten mit der Leiche gefunden wurde. Das Grab, eine gewaltige -Kammer aus Ziegelsteinen, ist eine sogenannte ¨Mastaba¨, ein arabisches -Wort, das eine grosse Bank bezeichnet. Das Grab, eine Nachbildung des -Palastes, ist vorbildlich geworden, aus ihm sind die Gräber der Grossen -und die Pyramiden, die Gräber der Könige, zunächst die der dritten und -vierten Dynastie, hervorgegangen. Die Stufenpyramide von ¨Sakkara¨ -(siehe Abb.) zeigt, wie sich die Pyramide aus aufeinandergesetzten -Mastabas entwickelt hat. Nur durch ihre Höhe und Masse konnten die -Gräber vor der Verwehung durch den Wüstensand geschützt werden. - -Vor der Scheintür in der westlichen Mitte, aus der der Tote oder -vielmehr seine Seele, der Ka, mit der Welt verkehren sollte, waren die -Opfersteine und später die Opfertempel, wo die Angehörigen dem Ka ihre -Gaben darbringen konnten. Die vollständige Anlage des Königsgrabes -zeigten die Funde ¨Borchardts¨ bei Abusîr, der aus ihnen die Gräber der -Könige der V. Dynastie, des Sahurê und des Neweserrê rekonstruiert hat. -Zuerst der Empfangsraum, in den die Königsleiche aus dem Kahn getragen -wird, dann ein sehr langer gedeckter Gang, mit vielen Reliefs geziert, -der zum Totentempel führt, in dessen Hintergrund sich der Eingang -in die Pyramide, die Scheintür der Mastaba, befand. Die Pyramide -enthält viele Kammern und viele Kostbarkeiten, aber Statuen, wie in den -Mastabas, sind dort nicht gefunden worden. Die vielen Kostbarkeiten -entwickelten eine eigene Zunft der Gräberdiebe, uns sind die Akten -eines grossen Prozesses unter Ramses IX. erhalten, und durch einen -sonderbaren Zufall haben Northampton, Spiegelberg und Newberry bei -ihren Ausgrabungen in der Gräberstadt (Nekropole) von Theben diese -Akten verifizieren können (excavations in the Theben necropolis, London -1908). - -Aus Furcht vor den Dieben sind die Königsgräber später in die schwer -zugänglichen Felsentäler von Biban el Moluk gelegt, deren Zugänge -polizeilich überwacht wurden, trotzdem sind sie geplündert worden. - -¨Menes¨ hat nach der Tradition die beiden Reiche Ober- und Unterägypten -vereinigt, aber die Verwaltung war noch lange getrennt, es gibt zwei -Silberkammern (Reichsbank), zwei Oberrichter oder Vorsteher des Südens -und des Nordens. Der König trägt die beiden Kronen von Ober- und -Unterägypten. Der König ist zugleich Oberpriester, geniesst göttliches -Ansehen, er ist Sohn des Amon oder des Re, des Sonnengottes, ist Horus, -d. h. Frühlingsgott. - -Die Verwaltung ist aufs genaueste organisiert, das Land ist in Gaue -verteilt, denen Gaufürsten mit eigenem Hofstaat vorstehen. Es ist die -Zeit jugendlicher Kraft, des Erblühens von Kunst und Wissenschaft, die -Glanzzeit ist die der V. Dynastie; riesige Tempelbauten, Mastabas, -Steinkammern, dann die Riesenpyramiden des Cheops, des Chephre und des -Mykerinos; sie fallen in die IV. Dynastie. Die Bautätigkeit tritt so -in den Vordergrund, dass die Prinzen den Titel eines Vorstehers der -Arbeiten des Königs tragen. Um den Syenit, das vorzügliche Baumaterial, -zu gewinnen, hat sich das Reich bis an die Katarakten, bis nach Syene -ausgedehnt. Aber nach der VI. Dynastie, nach Pepi III. geriet die -Königsmacht in Verfall. Die Gaugrafen werden selbständig und erblich, -im östlichen Delta um Tanis setzen sich libysche Stämme fest. Schon zur -Zeit Pepis treten neben der Totenstadt, der Nekropole, von Memphis -andere Nekropolen auf, die Gaufürsten lassen sich in ihrer Heimat -begraben und viele Vornehme auch auf dem heiligen Boden von Abydos -neben der Grabstätte des Osiris. Es bildet sich dann in Theben eine -neue Dynastie heran, die in der XI. Dynastie das Land vereinigt und es -beginnt mit der XII. Dynastie das mittlere Reich, dessen erster König -¨Amenemhet¨ I. gründlich Ordnung stiftet. Es muss wirr genug in Ägypten -ausgesehen haben als Amenemhet das Land mit seinem Heere durchzog. In -der uns erhaltenen Inschrift des Chnemhôtep eines sehr hohen Beamten -heisst es: Damit er die Sünde vernichte, er, der wie der Gott ¨Atum¨ -glänzte, da musste er auch wieder herstellen, was er zerstört fand. Er -trennte eine Stadt von der anderen; er lehrte jede Stadt ihre Grenze -gegen die andere kennen und stellte ihre Grenzsteine fest wie den -Himmel auf. Er unterrichtete sich über die Wassergebiete der einzelnen -Städte aus dem was in den Büchern stand und verzeichnete sie nach dem -was in alten Schriften stand, weil er die Wahrheit so sehr liebte. - -Das mittlere Reich geht bis etwa 1800. Gewaltige Bauten an Tempeln -und Gräbern besonders in Theben, daneben auch nützliche Arbeiten -wie Nildämme und besonders das grosse Staubecken des Mörissee, von -¨Amenemhet III. Labares¨, dem Erbauer des Labyrinths angelegt, das -sich bis auf den heutigen Tag erhalten hat und die Landschaft Fajum -erst fruchtbar machte. Zum ersten Mal wirkliche Eroberungskriege; -Nubien, »Das elende Kusch«, wird der Goldminen in seiner Wüste halber -nach langem Kampfe endgültig von Sen-wosret erobert, der im Herzen des -Landes bei Semneh die Grenzfestung anlegt; auch mit Syrien und Arabien -tritt Ägypten in Verbindung. Doch nach den 200 Jahren Blütezeit unter -der XII. Dynastie zerrütten Thronstreitigkeiten, dieser Krebsschaden -aller orientalischen Länder, ausgehend von den mächtigen Gaufürsten, -das Land. Es erliegt dem Ansturm semitischer Nomadenstämme, den -Hirtenfürsten, den Hyksos der Griechen, die von Nordosten her, von -Suez eindringen und zweifelsohne von den Gaufürsten unterstützt werden. - -Ihre Herrschaft nahm den Verlauf, den der Einbruch der Mongolen in -das Kalifenreich und den der Germanen in das Römerreich genommen -hat. Mit unwiderstehlicher Gewalt werfen die Barbaren das zerrüttete -Reich über den Haufen, schaffen Ruhe und sehen dann, dass sie einen -solchen Grossstaat zwar erobern aber nicht verwalten können. Die -alte Regierungsmaschine arbeitet weiter und nur Garnisonen in den -Grossstädten erinnern an die Fremdherrschaft. Nach einigen Generationen -nivellieren sich die Fürsten und Vornehmen, und die späteren -Hyksoskönige sind so gut Ägypter wie die Nachkommen Dschingis Khans -gute Moslems wurden. Aber mit der Zivilisation, die sie gewinnen, -verlieren die Barbarenfürsten ihre Kraft und so wurden die Hyksos -allerdings nicht ohne Kampf nach etwa 300 Jahren von Theben aus durch -Amose I. vertrieben. - -Es beginnt das neue Reich, 1580-1100. Die Zeit der Thutmosen und -Ramessiden, Ägypten wird Weltmacht. Noch der Urenkel des grossen -Eroberers Thutmose III., Amenhôtep III. herrschte über Nubien, Libyen, -Ägypten, Arabien, Palästina und Syrien, bis an den Euphrat und die -Ramessiden behaupteten dieses Reich noch gegen die mächtige semitische -Grossmacht der Chetafürsten. Aber das neue Reich ist ganz vom alten -verschieden. Der Feudaladel wird systematisch vernichtet, etwa wie der -französische durch Richelieu; es ist ein Militär- und Priesterstaat. -Libysche und semitische und hellenische Söldner schlagen die Kriege; -denn der ägyptische Bauer, tapfer wie jeder Bauer, wenn er sein -Eigentum schützt, ist für Eroberungskriege nicht zu brauchen. Der -König ernährt die Heere und die Priester, alles Land, soweit es nicht -den Göttern gehört, d. h. den Priestern, die durch immer grössere -Geschenke gewonnen werden, gehört dem König, der es den Bauern gegen -eine Abgabe von 20 % des Ertrages vermietet. Aber in Wahrheit sind die -Söldnerführer und der Hohepriester mächtiger als der König. Es ist die -bekannte Verbindung von Thron und Altar, wobei gewöhnlich dem Altar -der Löwenanteil zufällt. - -Sehr lehrreich ist hierfür der grosse Papyrus ¨Harris¨, über den uns -¨Erman¨, Berl. Ber. XXI, 1903, aufgeklärt hat. Man glaubte vorher, -dass es sich um ins Ungeheuerliche gehende Schenkungen Ramses III. -an die Tempel handle, E. hat gezeigt, dass es sich um eine für die -Begräbnisfeier dieses Königs in grösster Eile zusammengestellte -Lobschrift handle, und dass die sogen. Geschenke die Bestätigung des -Tempelbesitzes durch den König bedeuten. Aber wir erfahren auch, dass -dieser Besitz mässig geschätzt ein Zehntel des ganzen Landes umfasste. -Insbesondere war der Besitz und damit die Macht der Priester des Amon -zu Theben ins Riesenhafte angeschwollen, daneben Heliopolis, äg. On, -mit dem Tempel des Atum, der Abendsonne, und Memphis mit dem Tempel des -Weltschöpfers Ptah. - -Ich füge hier gleich einiges über die Religion und den Kultus an. -Das ursprüngliche Negervolk hatte Fetischdienst, jeder Ort und Gau -seinen Lokalgott, wie z. B. das Seenland Fajum den in Krokodilsgestalt -verehrten Sokk. Mit dem Eindringen der sehr stark religiös veranlagten -Semiten wurden aus den Fetischen im wesentlichen Lichtgötter, -insbesondere wird die Sonne Gegenstand der Verehrung, bald als -Abendsonne Atum, als Frühlingssonne Horus, als Mittagssonne Rê, als -sich stetig erneuerndes Gestirn Osiris, als Lebenspenderin Amon. Mit -der straffen Zentralisation des Reiches zentralisierte sich auch der -Olymp, die Hausgötter der Dynastien wurden Herrscher in der Götterwelt, -und werden mehr und mehr zu einer Gottheit, im wesentlichen die -Sonne. Am frühesten sind Amon und Rê zum Amon-Rê verschmolzen. Längst -musste die Geheimlehre der Priester monotheistisch gewesen sein, als -Amenophis IV. sich entschloss, alle Machtmittel des Königs daran zu -setzen, den Monotheismus zur Volksreligion zu machen. Zweifelsohne -haben politische Motive mitgewirkt, der König erkannte die Gefahr, -welche die Macht der Amonspriester zu Theben für die Dynastie -barg, und versuchte sie zu brechen. Mit wahrhaft fanatischem Eifer -bekämpfte er den Dienst des Amon, aus allen Denkmälern tilgte er den -verhassten Namen, seinen eignen Namen, der Amon enthielt, änderte er -in ¨Chinatôn¨, »Verkörperung der Sonnenscheibe«, und seine Residenz -verlegte er aus Theben nach El-Amarna. Ebendort wurde 1888 von Arabern -seine Korrespondenz mit den asiatischen Tributfürsten in Keilschrift -auf Tontäfelchen gefunden, sie bewies, dass er es vorzog, Jerusalem -dem Ansturm der Chabiri (Hebräer) preiszugeben und das Anwachsen der -Chetamacht zu dulden als seine Truppenmacht für die Durchführung der -religiös-politischen Revolution zu schwächen. - -Die Macht des Chetareiches ist es wohl auch gewesen, welche bald nach -Chinatôns Tode den energischen ¨Haremheb¨ bewog, seinen Frieden mit -den Priestern zu machen und den alten Zustand rücksichtslos wieder -herzustellen. Er ermöglichte es so seinen Nachfolgern Sethos I. und -Ramses II. den Kampf mit den Cheta mit Erfolg aufzunehmen. Der Kult -der Götter war ein Herzensbedürfnis des Volkes, im Opferzeremoniell -steht der König, der der eigentliche Hohepriester ist, obenan, wie -es denn überhaupt anfänglich ein Laienpriestertum der hohen Beamten -gab, neben dem aber auch eine eigene Priesterkaste stand, die später -den Kult ausschliesslich leitete. Der Gott bewirtet das Volk und ein -grosser Teil der Einkünfte der Priesterschaft ging für Brot und Bier -zur Speisung des Volkes an den Festen auf, wie uns die zahlreich -erhaltenen, sehr detaillierten Tempelrechnungen beweisen. Bei Erman -findet man S. 388 die Beschreibung und S. 389 die Abbildung des -grossartigen Tempels der Sonnenscheibe von Tell el Amarna. - -Etwa ein Jahrhundert nach der Zeit Ramses III., der als der letzte das -Weltreich im vollen Umfang besass, nahm der Hohepriester von Theben den -Thron ein, um 100 Jahre später dem gewaltigen Scheschonk (Schischak), -dem Führer der libyschen Söldner Platz zu machen. In den Kämpfen, die -das Reich zerrütten, beginnt der Vorstoss oder Rückstoss der Assyrer, -nur noch einmal von 625-525 bis auf Kambyses gelingt es der libyschen -Dynastie, Psammetich, Nekao, Amasis, aus Herodot uns wohlbekannt, eine -kurze Blüte ägyptischer Kultur, die absichtlich an das alte Reich -anknüpft, herbeizuführen. Dann wird Ägypten persisch und wird mit -Persien von Alexander dem Grossen erbeutet. Nach dessen Tode regiert -300 Jahre lang die Diadochenfamilie der Ptolemäer. Die hellenistische -Kultur dringt ein, berührt aber nur die Vornehmen, unter Kleopatra wird -30 v. Chr. Ägypten römische Provinz. Die Kultur dieser Zeit verwächst -mit der griechisch-römischen als hellenistische. - - -Ägyptische Sprache und Schrift. - - -Die ägyptische Sprache gilt heute als verwandt mit dem Semitischen, dem -Arabischen, Babylonischen und Hebräischen. Wir können sie verfolgen von -4000 v. Chr. bis 1650 n. Chr. Wir unterscheiden: - - 1. Das Altägyptische, die Sprache der Pyramidentexte, die als - gelehrte Literatursprache bis in die römische Zeit unter Kaiser - Decius fortlebt. - - 2. Die Volkssprache des mittleren und neueren Reiches, das - Neuägyptische. - - 3. Das Demotische, die Volkssprache der griechischen Zeit. - - 4. Das Koptische, die Sprache der christlichen Ägypter. - -Das Demotische knüpft unmittelbar an das Altägyptische an. Das -Koptische zeigt zwar grosse lautliche Veränderungen durch den Einfluss -des Griechischen, gewährt aber generaliter die beste Hilfe für die -Entzifferung des Altägyptischen, denn die ersten drei Sprachen wurden -ohne Vokale geschrieben. - -Hinsichtlich der Schrift sind 4 Epochen zu konstatieren. - - 1. Die Periode der Hieroglyphen, welche von 4000 v. Chr. bis 250 - n. Chr. reicht, obwohl in den letzten 1000 Jahren nur noch zu - dekorativen Zwecken, wie Tempelinschriften und feierlichen Urkunden. - - 2. Die Periode der hieratischen Schrift, welche die Periode der - Hieroglyphen von 2500, von der XI. Dynastie an, begleitet bis zu - Psammetich. Sie hat sich aus Abkürzung der Hieroglyphen entwickelt. - Sie ist die Geschäftssprache und Schrift und aus ihr entwickelt sich: - - 3. Die demotische Sprache und Schrift, welche dann aber, als nach - Diokletian die ägyptische Religion dem Christentum erlag, durch - - 4. die koptische Schrift verdrängt wurde, die griechisch ist, bis auf - einige Zeichen, die demotisch blieben, weil sie Laute bezeichnen, - die das Griechische nicht hat. Das Koptische ist eine tote Sprache, - es erlag dem Arabischen. Um die Mitte des 17. Jahrhunderts, genauer - noch 1673 starb der nachweislich letzte Mann der Koptisch sprach, der - 80jährige Muallim Athanasios. Nur noch im koptischen Kultus hat es - sich als Sprache der koptischen Bibel gehalten, wie etwa das Latein - in der katholischen Kirchensprache. - - -Ägyptische Kultur. - - -Meine Herren! Mit der Schätzung der ägyptischen Kultur ist es seltsam -gegangen. Im ganzen Kulturgebiet des Mittelmeeres stand ägyptische -Weisheit seit der Zeit der Hellenen bis in die Mitte des 19. -Jahrhunderts im höchsten Ansehen, während ihre Kunst als seltsam und -barbarisch gering geschätzt wurde. Die geheimnisvolle Weisheit der -Priester, die vielen Inschriften in der wunderbaren Bilderschrift der -Hieroglyphen -- vielleicht ein griechisches Wort, das Einmeisselung in -den heiligen Stätten bedeutet --, die unentzifferbaren Papyrosrollen, -der einzig dastehende Totenkult, alles das trug dazu bei, den Gedanken -an tief verborgene geheimnisvolle Weisheit zu erwecken. Welchen -Eindruck Ägypten auf die Hellenen gemacht, erfahren wir aus Herodot, -der ersten und der besten alten Quelle. Er, der Ägypten etwa um die -Mitte des 5. Jahrhunderts bereiste, schreibt: Wie der Himmel bei ihnen -von sonderlicher Art, wie ihr Strom eine andere Natur hat, als die -übrigen Flüsse, so sind auch fast alle Sitten und Gebräuche der Ägypter -entgegengesetzt der Weise der anderen Menschen. Bei ihnen sitzen die -Weiber auf dem Markt und handeln, die Männer bleiben zu Hause. Lasten -tragen die Männer auf dem Kopf, die Frauen auf den Schultern. Ihre -Notdurft verrichten sie in den Häusern, die Speisen aber nehmen sie auf -der Strasse zu sich und sagen dazu: Im Verborgenen müsse man tun, was -unziemlich sei, aber notwendig, öffentlich aber, was nicht unziemlich -sei etc. - -In jeder Hieroglyphe sah man ein Bild oder Symbol irgend eines tiefen -Gedankens und suchte sie wie einen Rebus zu erraten. So las der -bekannte viel wissende Jesuit ¨Athanasius Kircher¨, der von 1601-1680 -lebte und die Laterna magica u. a. erfunden hat, die sieben Zeichen: - -[Illustration] - -welche in Wahrheit autkrtr heissen und den Titel αυτοκρατως, -Selbstherrscher, bezeichnen, der den Titel Imperator des römischen -Kaisers wiedergibt, in folgender Weise: Osiris ([**symbol] = a) ist -Urheber der Fruchtbarkeit und aller Vegetation, ([**symbol] = u). Seine -Zeugungskraft ([**symbol] = tk) zieht aus dem Himmel ([**symbol] = r) -der heilige Mophta ([**symbol] = tr[*]) in sein Reich, und in einem -andren Falle las Kircher die 17 Buchstaben kasrs Tmitins sbsts d. h. -Kaiser Domitianus Sebastos so: Der wohltätige Vorsteher der Zeugung -der im Himmel vierfach mächtige übergibt durch den wohltätigen Mophta -die luftige Feuchtigkeit an den Amon, der in der Unterwelt mächtig -ist und durch seine Statue und geeignete Zeremonien veranlasst wird, -seine Macht auszuüben. ¨Kircher¨ hat übrigens um die Kenntnis des -Koptischen wirkliche Verdienste. Er hat zuerst das Koptische als die -altägyptische Volkssprache bezeichnet (lingua aegyptiaca restituta -1645). Während Kircher metaphysische und theosophische Spekulationen -in die Hieroglyphen hineinlas, fand der Abbé Pluche meteorologische -Beobachtungen in ihnen und ein Anonymus sogar Davidische Psalmen. - -[*] Der Löwe ist ein spätes Zeichen, das eigentlich dazu dient, r und -l, die in alter Zeit das gleiche Zeichen haben, zu unterscheiden. - -Meine Herren! Sie können sich denken, dass durch solche Spielereien -die ganze Beschäftigung mit Hieroglyphen in Verruf kam und wir -blieben für die wirkliche Kunde von Ägypten auf die griechischen -Quellen, insbesondere auf Herodot, Eusebios, Horapollo, Plutarch, -Diodor und die jüdischen Erzählungen in der Bibel angewiesen. Das -wurde mit einem Schlage anders, als ¨Napoleon¨ im Jahre 1798 seinen -Zug nach Ägypten unternahm, um von da aus die Engländer in Indien zu -bedrohen. Grossartig wie der Plan und der Mann nahm er einen ganzen -Stab hervorragender Gelehrten unter Vorsitz von ¨Fourier¨ mit, die -mit der Erforschung des Landes beauftragt wurden, für welche Napoleon -durch des Mathematikers ¨Karsten Niebuhrs¨ Reise in Arabien (voyage en -Arabie) 1761-67 angeregt worden war. Sie haben ihre Aufgabe glänzend -gelöst und ihr grosses Material in der description de l'Egypte, dem -Fundament der Ägyptologie, niedergelegt. Statt der wenigen nach Rom und -Byzanz verschleppten Inschriften lag jetzt eine Fülle von Texten vor -und die Entzifferung wäre, wenn auch langsam, gelungen, wie die der -Keilschriften Assyriens gelungen ist, auch ohne den glücklichen Zufall -des Fundes von Rosette. - -»Im August 1799, als die Lage des französischen Heeres schon recht -misslich war, fand man beim Ausheben von Schanzen im Port St. Julien -(Raschêd), 7,5 km N. W. von ¨Rosette¨ in der Nähe der westlichen -Nilmündung eine schwarze Granittafel, deren Vorderseite mit drei -Inschriften bedeckt war. Die oberste in Hieroglyphen, die mittlere in -der ägyptischen Volksschrift zur Zeit der Ptolemäer, dem Demotischen, -und die unterste in griechischer Schrift und Sprache. Im griechischen -Text stand: Man solle dieses Dekret der Priester von Memphis zu -Ehren des Königs (Ptolemäus Epiphanes, 196) in heiliger Schrift, -in Volksschrift und in griechischer schreiben. Es war also kein -Zweifel, dass die beiden ägyptischen Texte des Steines von Rosette die -Übersetzung des Griechischen enthielten. In dem Dekret war mehrfach -von König Ptolemäus die Rede, es war unwahrscheinlich, dass für diesen -fremden Namen die Hieroglyphen als Symbolik dienen sollten. Die -Vermutung lag nahe, dass die Hieroglyphen eine Lautschrift seien.« - -Sie wurde 1816 von dem grossen englischen Physiker ¨Thomas Young¨ -ausgesprochen, welcher an der durch die Kapitulation von Alexandria -1801 nach England gesandten Tafel i, n, p, t, f entzifferte und -unabhängig von ihm kam der junge französische Gelehrte ¨Jean François -Champollion-le Jeune¨ auf den gleichen Gedanken. Champollion muss -als der eigentliche Entzifferer der Hieroglyphen angesehen werden. -Wer sich genau für ihn und seine Taten interessiert, findet alles -denkbare Material in dem höchst fesselnden Werke von ¨H. Hartleben¨: -Champollion, sein Leben und sein Werk 1906, in dem mit der ganzen -liebevollen Sorgfalt, deren nur eine Frau fähig ist, und mit -glänzendem Erfolg in vieljähriger unermüdlicher Arbeit alle überhaupt -beschaffbaren Urkunden verwertet sind. Dass Young und Champollion -Vorläufer hatten, ist selbstverständlich, so erwiesen sich z. B. die -Angaben des Kirchenvaters ¨Clemens Alexandrinus¨ über das altägyptische -Schriftsystem bedeutend zuverlässiger als die des Herodot und Diodor. -Ganz bedeutend muss der Däne ¨Georg Zoëga¨ hervorgehoben werden, der -sich von 1783 an mit Hieroglyphik beschäftigte. Zoëga, geschulter -Philologe, -- er war der Lieblingsschüler des berühmten Göttinger -Philologen ¨Ch. G. Heyne¨ --, hat den Lautcharakter der Hieroglyphen -erkannt. Er hat vermutet, dass der Ring: [**symbol], die alphabetisch -geschriebenen Namen des Königs und der Königin umschlösse und was -die Hauptsache war, er hat die ägyptische Kunst richtig beurteilt. -¨Winckelmann¨ hatte die ägyptische Kunst als völlig stabil hingestellt. -Demgegenüber zeigte Zoëga, dass es in ihr Entwicklung, Blüte und -Verfall gibt, kurz Bewegung. Heute wissen wir, dass das alte Reich -eine Zeit der Entwicklung durchmachte von kühner, aber technisch -unvollkommener Nachahmung der Natur aufsteigend bis zu Meisterwerken -wie: »der Dorfschulze, der Schreiber«, und der gewaltigen Sphinx', -das Abbild der vollen Majestät des Königs (siehe Abbild.). Auf diese -Zeit folgte ein Beharren und ein Stabilwerden im mittleren Reich, -ein Verfall in der Hyksosperiode, bis dann im neuen Reiche die neue -grossartige Kunstepoche herbeigeführt wurde dadurch, dass die aus dem -Verkehr mit Syrien und Babylonien gewonnenen neuen Motive der Eigenart -des ägyptischen Volkes gemäss entwickelt wurden. In dem Werke von -H. Hartleben finden Sie, meine Herren, wie Champollion von frühester -Jugend an die Entzifferung des ägyptischen Geheimnisses als sein -Lebensziel erkannte und wie unentwegt er diesem Ziel trotz Krankheit -und Not nachgestrebt. Von besonderem Einfluss ist das Interesse, das -¨Fourier¨, der Verfasser der Théorie de la Chaleur, dem genialen Knaben -entgegenbrachte, der 12jährig im Herbst 1802 dem Präfekten von Grenoble -durch den älteren Bruder, den ebenfalls bedeutenden Gelehrten Jacques -vorgestellt wurde. Aber wir sehen aus dem Buche auch, wie gross die -Arbeit, wie mannigfaltig die Schwankungen und Irrtümer waren, bis es -1822 Champollion gelang, die grundlegenden Sätze auszusprechen: - - 1. Die drei altägyptischen Schriftformen, Hieroglyphen, - Hieratisch, Demotisch, stellen im Grunde dasselbe einheitliche - System dar. - - 2. Das System besteht aus einem Gemisch von etwa 19 teils - »figurativer«, teils »symbolischer« Zeichen. - -Champollion ging wie Young vom Stein von Rosette aus. Dort kam an der -Stelle, wo der griechische Text von Ptolemäus spricht, derselbe Ring -vor, den man von den Bildern der Tempel neben dem Haupt des durch -die Doppelkrone bezeichneten Königs her kannte und in diesem Ring -[**symbol] finden sich die Zeichen: - -[Illustration] - -[Illustration] - -Champollion hatte bemerkt, dass auf einem Obelisken aus Philä, der -wichtigen Grenzstadt in Unterägypten, neben demselben Königsring ein -anderer stand, der 5 von den Zeichen des ersten Ringes enthielt. Aus -der griechischen Inschrift an der Basis des Obelisken liess sich -entnehmen, dass es der Name Kleopatra sei und er musste es sein, denn -von den drei in der Königsfamilie üblichen Frauennamen: Arsinoe, -Berenike, Kleopatra enthält nur der letzte 5 Buchstaben, die auch in -Ptolemäus vorkommen. So wurden die Zeichen für die Laute a, e, l, m, o, -p, r, s, t gefunden und bald fand Champollion Bestätigungen, die ihn -weiter führten, so an dem Königsnamen Aleksentros, id est Alexander. -Dazu kam dann bald als der schlagendste Beweis, dass, wenn man nach -dieser Deutung Worte las, die phonetisch geschrieben, hinter denen -aber, was sehr häufig ist, ein Deutungszeichen stand, wie z. B. - -[**symbols] Eh und: [**symbols] - -erp, man auf wohl bekannte koptische Worte ehe der Ochse und erp, der -Wein stiess. - -Diese Determinative oder Deutungszeichen waren unentbehrlich und -wurden immer zahlreicher. Dieselben beiden Zeichen [**symbols] -konnten noch bedeuten: Weinen, dann war ein tränendes Auge dahinter -[**symbol]; Feld, dann war ein Markstein dahinter, wenn es Strick -bedeutete [**symbol]. Wenn es Loben, Preisen, Rufen, kurz einen Ausruf -bedeutete, ein sitzender Mann, wenn es Bedrohen, Bedrängen bedeutet, -ein bewaffneter Arm: [**symbol], der überall vorkommt, wo Energie -ihren Ausdruck findet. Es sind diese Determinative Überreste der -ältesten Zeit, wo die Hieroglyphen wirklich Bilderschrift war, wie es -die chinesische Schrift noch heute ist. -- Ich nehme als Beispiel die -Hieroglyphe [**symbol] per das Haus, der rohe Grundriss eines Hauses, -wie es noch heute der ägyptische Bauer bewohnt. Aber das Zeichen für -Haus der ältesten Zeit wurde im Laufe der Zeit zum ¨Zeichen¨ der -Silbe per. Dies kann dann sehr verschiedenes bedeuten: [**symbols] -hinausgehen, [**symbols] hineingehen. - -Als Champollion 1832 schon 10 Jahre nach seiner Entdeckung starb, -war es ihm gelungen, das ganze Schriftsystem der Hieroglyphen zu -entziffern. Dieser eine Mann hatte in einem Jahrzehnt das grosse Rätsel -gelöst und ein ganzes Volk wieder in die Weltgeschichte eingeführt. - -Nach den Hieroglyphen wurde die hieratische Schrift entziffert, die -Priesterschrift, in der die meisten Papyri geschrieben sind, und -die aus Zusammenziehung der Hieroglyphen, sogenannten Ligaturen, -entstanden, sich zu jener verhält, wie unsere Schreibschrift zur -Druckschrift und nach dieser von Brugsch das Demotische. Es konnte -eine ägyptische Grammatik geschrieben werden, ägyptische Literatur -gelesen werden und eine glänzende Bestätigung erhielten die Arbeiten -der Ägyptologen als ¨Lepsius¨, der 1842 die berühmte, so erfolgreiche, -sogenannte preussische Expedition geleitet hatte und die Gräber des -alten Reiches aufgedeckt hatte, 1867 auf dem Trümmerfelde der alten -Stadt Tanis eine andere Trilingue fand, von sehr bedeutender Länge und -ganz vollkommen erhalten: Das Dekret von Canopus, das sich auf eine -Kalenderverbesserung bezog. - -Aber als nun die ägyptische Literatur entziffert war, machte sich -zunächst eine grosse Enttäuschung geltend. An Stelle der erwarteten -tiefsinnigen Weisheit fand man eine wirre Mythologie, aus der nur die -schon durch Plutarch, de Iside, bekannten Gestalten des Osiris, der -Isis, des Seth oder Typhon, und des Horus oder besser Hor deutlicher -sich abhoben. Man lese Erman S. 365 ff. Daneben Haarspaltereien, -wie etwa die rabbinischen Untersuchungen über die Jakobsleiter, -Zaubersprüche und eine tolle Dämonologie. Die Papyri entpuppten sich -meist als Schülerhefte oder als Briefe, die zum Unterricht geschrieben -waren und etwas mehr Inhalt boten eigentlich nur die Totenbücher, -buchstäblich Reisehandbücher für den Ka, die Seele des Verstorbenen, -auf seiner Reise in das Reich des Osiris, in die Totenwelt. - -Die Medizin, die Herodot solchen Respekt einflösste, lernten wir -aus dem grossen Papyrus Ebers kennen, eine ausserordentliche, -reiche Sammlung von Rezepten, deren vornehmster Bestandteil Kot der -verschiedenartigsten Tiere, überhaupt die ekelerregendsten Elemente -sind. Beiläufig gesagt ist auch für die mathematische Tradition die -Bemerkung nicht unwichtig, dass ein Teil dieser Rezepte noch heute -unverändert einen Bestandteil der Volksapotheke in Europa bildet. -- -So schlug denn die Ehrfurcht in ihr Gegenteil um. Man unterschätzte -die ägyptische Wissenschaft, wie man sie überschätzt hatte. Aber etwa -seit 1880 trat eine Wandlung ein, die genaue Detailforschung, gefundene -Briefe, Rechnungen, Steuerquittungen, Prozessakten zeigten, dass man -es mit einer seit 4000 v. Chr. grossartig organisierten Verwaltung -und mit einem ausserordentlich klaren und verständigen Volke zu tun -hatte. In die Geschichte, in die Mythologie kam Licht, Lyrik, ein -reicher Märchenschatz, wie ihn noch heute die Fellah lieben; auch die -Kunst zeigte sich zum Teil auf erstaunlicher Höhe. Vergl. die kurze -Kunstgeschichte von ¨W. Spiegelberg¨. Man denke an die Statuen des -Pepi und Ramses II., die herrlichen Statuen von Gizeh im Louvre etc. -Ferner an Architekturwerke, Meisterwerke, wie die Tempel von Karnak -und Luxor. Papyri, wie die älteren, auf Leder geschriebenen, z. B. -der Papyrus Prisse, zeigten wirklich hohe Weisheit auf ethischem -Gebiet 2500 v. Chr. Ausserordentlich früh war das Barbarentum, wie -Menschenopfer, Tötung der Frauen und Sklaven, die es bei den Griechen -noch im Homerischen Zeitalter gab, abgeschafft. Auch die Stellung der -Frau zeigt die ethische Reife, sie war weit höher als bei irgend einem -orientalischen Volke, vielleicht die Hebräer ausgenommen, selbst der -Adel der Herkunft richtet sich nach der Mutter. Wir haben Kunde von -der bedeutenden Rolle, welche z. B. Tye, die Mutter des Chinatôn, -spielte, deren wundervoller Goldschmuck vor kurzem gefunden wurde, wir -wissen von der zwanzigjährigen kraftvollen Regierung der Hatschepsowet, -der Mutter des grossen Thutmosis III., welche u. a. eine grosse -und erfolgreiche Expedition nach Punt sandte und dort ihre Statue -aufstellen liess. Die Ehe war sehr früh im wesentlichen monogamisch, -und das Familienleben ausserordentlich innig. Vielleicht hat die -Schwesterehe der Ägypter zu dieser Wertung der Frau beigetragen. -Anfänglich Sitte der Vornehmsten, wohl um Erbteilungen zu vermeiden, -verbreitete sie sich rasch über das ganze Land, und die Ägypter haben -für Schwester und Geliebte das gleiche Wort. -- Die Rechtspflege war -sehr früh geordnet, Richter von Fach führten die Untersuchung, die -Strafen bestimmte der König, sie waren nicht grausamer, als sie bei uns -bis ins 19. Jahrhundert hinein gebräuchlich waren. - - -Ägyptische Mathematik. - - -Was nun die Mathematik der alten Ägypter betrifft, so waren wir bis -1868 auf sehr dürftige Quellen angewiesen. Dass die Ägypter schon -früh im Besitze nicht geringer mathematischer Kenntnisse gewesen, -geht schon aus den gewaltigen Bauten hervor. Die Gräber der Grossen -waren genau orientiert. Stets stand die Statue des Toten, die dem Ka, -der Seele, Gelegenheit geben sollte in seinen Leib zurückzukehren, -so dass sie genau nach Westen schaute. Die grossen Pyramiden waren -auf das Genaueste orientiert, so dass die wunderbarsten Vermutungen, -und zwar vor noch nicht langer Zeit, über ihre eigentliche Bedeutung -gemacht wurden. Ich nenne nur die des Ingenieurs Price Smith über die -Pyramide des Cheops. Im allgemeinen standen die Tempel im Meridian. -Diese Orientierung war Aufgabe einer besonderen Priestergruppe, der -Harpedonapten id est der Seilspanner. Der König selbst beteiligte sich -dabei. Man vergleiche die von dem früheren Strassburger Ägyptologen -¨Dümichen¨ veröffentlichte Baugeschichte des Tempels von Denderah; -der Tempel wird genau nach dem Eintritt der Plejaden in den Meridian -orientiert. Dort ist der König abgebildet an einem Pflock stehend, und -diesem gegenüber steht Să̇fchet, die Göttin der Wissenschaft und der -Bibliotheken; beide schlagen gleichlange Pflöcke mit einer Keule in -den Erdgrund und halten gemeinsam ein Seil. Die Inschrift sagt: Ich -habe gefasst die Holzpflöcke und den Stiel des Schlegels, ich halte -das Seil gemeinsam mit der Göttin Să̇fchet. Mein Blick folgt dem Gange -der Gestirne; wenn mein Auge an dem Sternbilde des Siebengestirns -angekommen ist und erfüllt ist der mir bestimmte Abschnitt der Zahl -der Uhr, stelle ich die Pflöcke auf die Eckpunkte deines Gotteshauses. -Die Stelle: wenn mein Auge usw. wird dadurch verständlich, dass die -Himmelskarte so angelegt wurde, dass unter der Mitte des Himmels ein -Mensch aufrecht sitzt und nun wird der Gang der Sterne angegeben. Uns -sind mehrere solcher Listen erhalten. Da heisst es z. B.: Am 16. Phaopi -steht in der 8. Stunde die Fingerspitze des Sternbildes Sa'h id est -Orion über dem linken Auge etc. Ich will hier nur kurz bemerken, dass -auch unser Kalender im wesentlichen auf die Ägypter bezw. Babylonier -zurückgeht. - -An Werkzeugen war ihnen schon in ältester Zeit der rechte Winkel, das -Richtscheit, bekannt, das man u. a. in einer Tischlerwerkstatt gefunden -hat; die Orientierung im Felde geschah durch das Spannen des Seiles mit -den Knoten 3, 7, 12. Dass danach das pythagoreische Dreieck mit den -Seiten 3, 4, 5 den Ägyptern bekannt war, steht unzweifelhaft fest. Auch -Zirkel verschiedener Art können nicht gefehlt haben. Ein eigentümliches -Instrument zum Ebenmachen, unserem Hobel entsprechend, ist ebenfalls -gefunden worden. An Massstäben etc. hat es auch nicht gefehlt. Das -Richtscheit kommt des öfteren auf Bildern in der Hand des Königs vor, -wie etwa der Pflug in der des Kaisers von China. In der Ornamentik -findet sich eine Reihe geometrischer Figuren, ihre Wagenräder -verlangen die Kreisteilung, anfangs sind sie viergeteilt, später nach -Zusammenstoss mit den Chaldäern oder Babyloniern sind sie sechsgeteilt. -In der grossen Schenkungsurkunde des Tempels von Edfu haben wir eine -ganze Reihe von Flächenberechnungen; einzelne Rechenexempel finden sich -in den Papyri, aber im grossen und ganzen waren wir auf sehr dürftige -Nachrichten der Klassiker, in erster Linie auf Proklus angewiesen. - -Fest steht, dass ¨Thales¨, der Milesier, etwa um 600 einige Kenntnisse, -die ihm ägyptische Priester vielleicht wegen ihrer Geringfügigkeit -mitgeteilt hatten, nach Jonien brachte, darunter den Satz von den -Basiswinkeln im gleichschenkligen Dreieck, den 2. Kongruenzsatz -und die Konstruktion des gleichseitigen Dreiecks. Weit länger und -fruchtbarer scheint der Aufenthalt des ¨Pythagoras¨, dem es allem -Anscheine nach gelang in die schwierige Sprache und in das noch -schwierigere Vertrauen der ägyptischen Priester einzudringen, gewesen -zu sein. Pythagoras brachte vermutlich auch die Form, in welche die -Ägypter Sätze und Aufgaben kleideten, nach Europa, die sich bei -Euklid und Heron erhalten hat. Sicher bezeugt ist der Aufenthalt des -Mathophilosophen ¨Eudoxos¨ und der des Oinopides, der die Konstruktion -des Lotes aus Ägypten importierte. Wahrscheinlich der des Platon -von Sizilien aus, sicher wiederum der des Eudemos, wahrscheinlich -der des ¨Demokrit¨, der sich rühmte, dass ihn im Konstruieren nicht -einmal die Ägypter überträfen. Die ägyptische Reisskunst hatte den -höchsten Ruf. Ägyptische Feldmesser und Baumeister waren in der -ganzen Welt des Mittelmeeres bis tief in die römische Kaiserzeit die -gesuchtesten. Einen hohen Ruf hatten ihre astronomischen Kenntnisse -und Beobachtungen, die sehr lange fortgesetzt waren. Man muss freilich -sagen, dass die eigentümlichen, ganz neuerdings von ¨L. Borchardt¨ -erklärten Instrumente mit unseren astronomischen Präzisionsinstrumenten -keinen Vergleich zulassen, ja nicht einmal mit denen der Babylonier. - -Eine direkte altägyptische Urkunde sprach zum ersten Male zu uns im -Papyrus Rhind, über welchen 1868 der Engländer ¨Birch¨ im Lepsius einen -kurzen Bericht gab. 1872 erhielt ¨August Eisenlohr¨ in Heidelberg eine -lithographische Abschrift des Textes und in fünfjähriger mühevoller -Arbeit entzifferte er denselben, unterstützt von seinem Bruder, dem -Mathematiker ¨Friedrich Eisenlohr¨ und vor allem von ¨Moritz Cantor¨. -Die Ausgabe ist jetzt veraltet, besonders die Namen, aber auch die -Zahlworte und Masse sind falsch gelesen. So ist z. B. psd 9 mit paut -Kreis verwechselt und eine neue Ausgabe vom Standpunkte der heutigen -Ägyptologie wäre sehr zu wünschen. - -Der Papyrus beginnt mit den Worten: »Vorschrift zu gelangen zur -Kenntnis aller dunklen Dinge, aller Geheimnisse, welche sind in den -Dingen. Verfasst wurde diese Schrift im Jahre 33, im vierten Monat -(Mesori) der Überschwemmungszeit unter König Raa-us lebenspendend -nach dem Muster alter Schriften in der Zeit des Königs .......at vom -Schreiber Aahmesu.« Der König heisst nicht Raa-us, sondern mit seinem -Horusnamen Apophis, wie die furchtbare Schlange des Typhon. Es ist der -Hyksoskönig mit seinem Königsnamen A-vose-re, gross ist die Macht des -Re. Re, nicht Ra, ist die heisse Mittagssonne, deren Gewalt nirgends -sich fühlbarer machte als in Ägypten, und deren Kult im alten und -im mittleren Reich alle übrigen überbot. Der König des Musters ist -Amenemhet III., etwa um 2200. Die Muster sind, wie es scheint, gefunden -worden von Flinders Petrie in Kahun im Jahre 1889, die Papyri hat -Griffith 1897 herausgegeben, wenigstens stimmt Papyrus Ames mit denen -von Kahun genau überein. - -¨Eisenlohr¨ und mit ihm ¨Cantor¨ bezeichnen den Papyrus als ein -mathematisches Handbuch der alten Ägypter, Cantor nennt es gelegentlich -sogar »Vademecum eines ägyptischen Feldmessers«, dem gegenüber erklärte -¨Eugène Revillout¨, der Herausgeber der Revue égyptologique, in einer -Note, die Cantor, wie es scheint, entgangen ist, ist sie doch dem -so rührigen und so viel jüngeren ¨L. Borchardt¨ entgangen, das Heft -ganz kurz und klar für das Heft eines mässigen Schülers, das einige -Jahrhunderte später von einem Schreiber ohne alle mathematische -Bildung, und solcher gab es schon im alten Ägypten, dem Jamesu, Sohn -des Mondes, abgeschrieben und an einen schlichten Landmann verkauft -ist. Dieser Ansicht Revillouts schloss sich Weyr in seinem Festvortrag -in der Wiener Akademie an; ¨Borchardt¨, dessen Autorität sehr schwer -ins Gewicht fällt, teilte gleichfalls diese Ansicht und auch ich -kann ihr nur beipflichten. Das Heft wimmelt geradezu von groben -Rechenfehlern, die oft vom Lehrer mit roter Tinte tout comme chez -nous korrigiert, öfter nur generaliter bemerkt sind. So kommt z. B. -ein Exempel vor, wo der Schüler durchgehend 14 mit 9 verwechselt hat, -das war leicht möglich, die Schrift ist althieratisch, ganz ähnlich -wie beim Papyrus Ebers, unserer Hauptquelle für die Geschichte der -ägyptischen Medizin. Das Hieratische verhält sich, wie schon gesagt, -zu den Hieroglyphen, die nur in prähistorischer Zeit wirkliche -Bilderschrift waren, wie unsere Schreibschrift zur Druckschrift, es -entsteht durch Ligaturen. Der Lehrer schreibt nur eine 14 an den Rand; -er lässt, wenn die Exempel falsch sind, Proben machen, gibt auch -gelegentlich dasselbe Exempel mit anderen Zahlen, manchmal gibt er -selbst die Lösung an, die mitunter ganz anderen Gebieten der Mathematik -angehörte. Daneben kommen auch Fehler genug auf Rechnung des Schreibers -Jamesu. - -Die Ansicht ¨Revillouts¨ ist schon an und für sich wahrscheinlich, -da die grosse Mehrzahl der auf uns gekommenen Papyri Schülerhefte -waren. Es gab schon im alten Reiche ein ausgebildetes Schulwesen. Die -Schulen a-sbo waren teils staatliche, teils private. Sie waren ganz -und gar realistisch. Ihr Zweck war nicht die formale Geistesbildung, -an toten Sprachen abgezogen, sie übersetzten nicht ihren Julius Cäsar -Shakespeares ins Lateinische, um denselben den Römern zugänglich zu -machen, sondern sie hatten Fachschulen, Schulen für Ackersleute, -für Baumeister, für Feldmesser, für Intendanten, für Kaufleute etc. -Unser Heft entstammt einer landwirtschaftlichen Schule. Der Schreiber -schliesst es mit den Worten: Fange das Ungeziefer und die Mäuse, -vertilge das Unkraut aller Art. Bitte Gott Re um Wärme, Wind und hohes -Wasser. - -Das letzte war die Hauptsache. Ägypten, sagt Herodot, ist ein Geschenk -des Niles, wurde doch die ganze straffe Zusammenfassung des Volkes -unter ¨einen¨ König durch die Notwendigkeit dem gewaltigen Strom mit -vereinten Kräften zu wehren, unabweisbar; damit das Jahr gut war, -musste die Nilhöhe am Pegel von Memphis 16 Ellen, à 0,538 m, betragen. -Bei 18 Ellen war es ein gesegnetes, was darüber war, war schädlich. -Aber auch abgesehen von dem Spruche, bezeugt es der Inhalt des Heftes; -die Beispiele sind zum weitaus grössten Teil direkt für den Gebrauch -des Landmanns bestimmt. Ein nicht unwichtiges Argument für Revillouts -Ansicht gab mir Herr ¨Spiegelberg¨ an. Der Papyrus soll nämlich -vorzüglich erhalten sein, was äusserst unwahrscheinlich ist bei einem -viel gebrauchten Handbuch. - - -Ägyptische Arithmetik. - - -Das Zahlensystem der Ägypter ist dekadisch. Die Ziffern sind für die -Einer Striche [**symbol], für die Zehner [**symbol], für die Hunderter -[**symbol], für die Tausender [**symbol], für die Zehntausender -[**symbol], für die Hunderttausender [**symbol]. Die grössere Zahl geht -der kleineren vor, z. B. - -[Illustration] - -gleich 212,635. - -In den Stundenangaben und Datierungen werden die Einer auch noch durch -horizontale Striche bezeichnet. - -[Illustration] - -In monumentalen Einmeisselungen stehen die Zahlen auch vertikal, wie -z. B. die Zahl 7551, die in der Schenkungsurkunde auf der Tempelmauer -von Edfu vorkommt. Für 5 kommt auch in hieroglyphischen Ziffern -[**symbol] vor. - -Die lautliche Bezeichnung, soweit sie feststeht, ist für 1 wa, für -zwei meist die Dualform vom Stamme sen Bruder, nämlich der eins. Die -5, dua, heisst Hand, wie im Indischen und Mexikanischen und wird auch -meist durch eine Hand determiniert. Umgekehrt wird z. B. Handwerker -dargestellt durch fünf Striche, dahinter Mann und Frau. Die 10 (met) -wird durch den Phallus [**symbol] geschrieben, der denselben Lautwert -met hat. Das Zeichen für 100 (vielleicht schent), eine Schlinge, -ist vom zusammengerollten Seil von 100 Ellen hergenommen, 1000 -(cha) ist die so häufige Lotosblume, deba, d. i. 10000, ist Finger, -Zeichen und Wort für 100000 ist die Kaulquappe hafen, welche nach der -Überschwemmung im Nilschlamme in ungeheuren Mengen vorkommt. Als der -Handel im Delta ausserordentlich entwickelt war, im neuen Reiche gab es -auch Zeichen für Millionen und Zehnmillionen. Die Zeichen kommen schon -früher vor, sie werden dann aber meist, wie das griechische Myrioi, für -unendlich gebraucht. Der Gott verspricht dem Könige nicht Millionen -Jahre, sondern ewiges Leben. - -Es gab seit der ältesten Zeit ein Zeichen für 0 nen, nichts. - -Nen ist zugleich die grammatische Negation, die Hieroglyphen -[**symbols] stellen vielleicht eine im Gleichgewicht befindliche Wage, -vielleicht zwei gleichmässig ausgestreckte Arme, [**symbol] auch -Schulter, Arme und abwinkende Hände. Determiniert wird nen durch das -Zeichen des Bösen, richtiger des Ungemütlichen, ein Vogel, der unserem -Spatz ähnelt [**symbol]. Ob die 0 vor der Ptolemäer Zeit als Zahl -angesehen wurde, steht nicht fest, als Ziffer war sie überflüssig, und -als Zahl der Zahlenreihe, wie wir gleich hervorheben, nicht möglich. - -¨Die Ordinalzahlen¨ werden gebildet durch Anhängen der Silbe nu -[**symbol] an die Kardinalzahl und später durch Vorsetzen von mh -vollmachen, also der die 5 vollmacht, d. i. eben der fünfte; im -Koptischen die ausschliessliche Ableitung. - -Zu der aufsteigenden Zahlenreihe bildeten die Ägypter auch die -absteigende 1/2, 1/3, 1/4 usw., indem sie über die Kardinalzahl die -Partikel ro [**symbol] setzten. (Eine Ausnahme bildet 1/2, welches -mit Hälfte [**symbol] geschrieben wird.) Ro ist das Zeichen für Mund, -das zur Präposition geworden ist und in etwas hinein etc. bedeutet, -auch distributiv pro Tag etc. bedeutet. Im Hieratischen ist es zu -einem einfachen Punkt verkürzt worden, es sind ganz ähnliche Gedanken, -und wunderbarerweise auch im Hieratischen dieselbe Bezeichnung wie -bei den Indern, die die absteigende Reihe als Reihe der negativen -Zahlen gebildet haben. Der Ägypter fasst 3 auf als 3 × 1 und dem -entspricht die Zahl, welche dreimal genommen 1 gibt. Mit dieser -Auffassung der Zahlenreihe hängt die so eigentümliche und gänzlich -missverstandene ägyptische Bruchrechnung, mit der der Papyrus Ames -beginnt, aufs innigste zusammen. Da heisst es z. B. noch in einer -grossen Abhandlung von 1895 eines um die Geschichte der Mathematik -sehr verdienten Philologen, nämlich bei ¨F. Hultsch¨: die Ägypter -kannten keine gemeine Bruchrechnung, sondern nur eine Teilung in -der Einheitsreihe. Die Rechnung war für die Ägypter erst zu Ende -geführt, wenn sie den Quotienten in Zahlen ihrer Zahlenreihe, d. h. -in ganze Zahlen oder Stammbrüche aufgelöst hatten. Ihre Zahlenreihe -war ihnen so geläufig, wie uns die unsrige und wie wir scheinbar immer -mit Brüchen, mit konstantem Nenner 10 rechnen und die Resultate nur -übersehen, wenn sie uns in Dezimalbruchform vorliegen, so rechneten -die Ägypter scheinbar nur mit Brüchen, mit dem konstanten Zähler -1. Dass aber dem Ägypter gemeine Bruchrechnung samt Generalnenner, -reduzieren, erweitern etc., völlig vertraut war, geht aus den Papyri -Ames, denen vom Kahun, von Achmin aufs klarste hervor. Sie scheuten -nicht einmal vor Doppelbrüchen. -- Eine Ausnahme bildet der Bruch 2/3, -der auch bei den Griechen sein eigenes Zeichen hat. Er heisst neb -[**symbol] oder [**symbol]. Griffith fasst ihn als 1/1½. Hier war die -Zusammensetzung aus ½ und 1/6 eben jedem ägyptischem Kinde geläufig. -Aber ich bin hier schon bei der Division. Die Addition wird bezeichnet -durch vorwärtsschreitende Beine [**symbol], die Subtraktion durch 2 -rückwärtsschreitende Beine [**symbol], es werden auch verba gebraucht, -die addieren, hinzulegen, hinzufügen bezw. zurückkehren, ausgehen -bedeuten; bei mehreren Summanden wird die Summe durch eine eigene -Hieroglyphe bezeichnet: [**symbol], eine Papyrusrolle, das Determinativ -für alles Abstrakte. - -[Sidenote: Arithmetik der Ägypter, Abschnitt 1 des Papyrus Ames.] - -Die Multiplikation wird durch das Wort uah = vervielfältigen, -eingeleitet; die Division durch nis = teilen, richtiger künden, -klarmachen. Die Division war wie die unsrige ein Einschliessen -in Grenzen und wird durch Multiplikation und Kenntnis des 1 × 1 -erleichtert. Die 1 × 1-Tabelle kommt im Ames nicht vor, sie wird -als bekannt vorausgesetzt. ¨Hultsch¨ hat das kleine 1 × 1 nach den -Andeutungen des Ames rekonstruiert. Der Papyrus lehrt zunächst die -Bruchrechnung und beginnt mit der Zerlegung der Brüche von 2/3 bis 2/99 -in Stammbrüche inklusiv 2/3. - -Regeln werden weder hier noch sonst irgendwo im Buche angegeben; eine -Ausnahme macht nur die eine Regel in N. 61a: 2/3 zu machen von einem -Bruch (gebrochenen Teil). Wenn dir gesagt ist: Was ist 2/3 von 1/5, so -nimm seine Hälfte und seinen 6. Teil, das ist sein 2/3: Also ist es zu -machen in gleicher Weise für jeden gebrochenen Teil, welcher vorkommt. -Cantor hat den Schlusssatz missverstanden, er meint, er bezieht sich -darauf, dass 2/3 durch irgend einen andern Stammbruch ersetzt werden -könne, während die Verallgemeinerung sich auf 1/5 bezieht, C. sieht -hierin die allgemeine Vorschrift 2/u, wo u eine ungerade Zahl ist, -zu zerlegen in 1/(u/2 + 1/2) + 1/((u/2 + 1/2)u), die unzweifelhaft, -darin hat er recht, zur Zeit des Papyrus bekannt war. Aber es werden -auch andere Formeln für das an sich unbestimmte Problem benutzt, z. B. -wenn p und q ungerade Zahlen sind, also 1/2 (p + q) eine ganze Zahl n: -2/(p · q) = 1/(pn) + 1/(qn). Meist wird dafür gesorgt, dass der erste -Bruch einen geraden Nenner hat, weil dies die nötige Zusammenfassung -bei grösseren Dividenden als 2 erleichtert. Die Tabelle enthält nur -ungerade Zahlen, weil eben den Ägyptern die Reduktion völlig bekannt -war. - -[Sidenote: Zerlegung in Partialbrüche.] - -Ferner wird möglichst dafür gesorgt, dass die Zahl der Stammbrüche so -klein als möglich. Im Papyrus Ames werden als Anfangsnenner ausser 2 -und 3 nur teilbare Anfangsnenner der Reihe zugelassen, nur einmal kommt -5 vor. Im Papyrus von Achmin ist diese Beschränkung aufgehoben, um -die Zahl der Stammbrüche zu verkleinern. Jede Zerlegung ist von einer -Probe, smot -- der ¨Beweis¨ genannt, begleitet. Der Beweis, d. h. die -Probe, zeigt hier schon, wie völlig die Beherrschung der Bruchrechnung -war, z. B. 2/17 (Anfang der 2. Kolumne) nis son chent, d. h. mache -deutlich 2 durch, z. B. 17, hieroglyphisch: (nis son chent met sefech) - -[**symbols] - - Verdeutliche 2/17: 1/12 1/51 1/68 - - smot 1-1/3 1/12 1/3 1/4 (NB. 17/12 i. 1-1/3 + 1/12) - -Der Beweis -- smot [**symbols] genannt --, besteht darin, dass gezeigt -wird, dass 1/12 der 17te Teil von 1-1/3 1/12 oder 1-1/4 1/6 ist und von -dem was noch an 2 fehlt, nämlich 1/3 + 1/4, der 17te Teil 1/51 und 1/68 -ist. - -[Sidenote: Abschnitt 2: Zerlegung in Zehn-Teile.] - -Es folgen dann als 2. Abschnitt die Dezimalteilungen der Zahlen von -1-9, eingekleidet als Verteilung von Broten; die Dezimalteilung war -besonders für die Feldteilung wichtig, 1 3 6 7 8 9 werden geteilt, -da 2/10, 4/10 und 5/10 schon in der vorigen Tabelle vorkommen. Nur -das letzte der Beispiele ist vollständig erhalten: Geben Brote 9 an -Personen 10. Verfahre wie geschieht, vervielfältige 2/3 1/5 1/30 mit 10. - -Brot hot statt t [**symbol]. Um mit 10 zu multiplizieren wird mit -2 multipliziert, das zweifache mit 2, und das wieder mit 2 und das -zweifach und achtfache addiert. - - [**symbols] - /..| [**symbols] (1-2/3 1/10 1/30 als zweifaches von 2/3 1/5 1/30) - (4.) 3 1/2 1/10 - / (8.) 7 1/5 - -Zusammen 9 Brote, welche es sind; für zusammen [**symbol] - -M. H. es dauert eine ganze Weile bis wir die Zerfällungen in 2 und 4 -ausführen. Der Ägypter zerlegt 4/3 in 1-1/3 und 2/5 + 1/15 = 1/3 + 2/15 -und 2/15 = 1/10 + 1/30. - -Die Ägypter wussten in ihren Tabellen vorzüglich Bescheid, genau wie -wir mit unserm Einmaleins. Wenn man sich übt, findet man, dass der -Unterschied mit unsern Methoden keineswegs so gross ist. - -[Sidenote: 3: Sequem- oder Ergänzungsrechnung.] - -Die Tabelle verlangt nun vielfach Subtraktion einer Anzahl von Brüchen -und Division einer Zahl durch eine Summe von Brüchen. Dazu dient die -im 3. Abschnitt gegebene Sequemrechnung -- von quem = vollenden -- das -Causativ also: Vollende, ergänze; quem allein kommt auch vor in No. 21 -b, 22 b, 37 e 1. - -Ich greife die beiden letzten Beispiele heraus, No. 22: - - [** symbols] (30 ist m' b [** symbol]; - sequem mā neb ro sa em uā statt mā ist richtiger mi) - - Ergänze 2/3 1/30 zu 1. - - 20 1 - -(zu ergänzen ist der gemeinsame Nenner 30, die Ägypter beherrschten -die Bruchrechnung vollständig, samt Gleichnamigmachung, Kürzen etc.) -lege zu seinen Unterschied, nämlich 9; Zeichen des Unterschieds ist -[**symbol] gelesen chomt, vervielfältige die Zahl 30 zu vollenden 9. - - 30 - 1/10 3 - 1/5 6 - ------- - zusammen 9 - -Es sollen hier 2/3 und 1/30 zu 1 ergänzt werden; es sind auf den Nenner -30 gebracht 20 und 1 Dreissigstel; es fehlen also 9 und 9/30 sind dann -zerlegt in 1/10 und 1/5 womit das Resultat eben aussprechbar, d. h. -deutlich für den Ägypter gemacht ist. - -No. 23: - - [**symbols] - 1/4 1/8 1/10 1/30 1/45 sequem em neb - - [**symbols] - cher em uah hi--f ir neb - - und 1/9 1/40 im Hinzufügen zu ihm macht 2/3. - -Als Generalnenner wird 45 gewählt und die Zähler der Doppelbrüche -werden in Stammbruchform geschrieben, wobei noch 1/8 hinzugefügt wird. - - 1/4 1/8 1/9 1/10 1/30 1/40 1/45 1/3 [**symbol] 1 - 11-1/4 5-1/2 1/8 5 4-1/2 1-1/2 1-1/8 1 15 macht 1 - - -4. Abschnitt. - -[Sidenote: Abschnitt 4: Gleichung ersten Grades (Hau-Rechnung).] - -Die Haurechnung oder die Lösung von Gleichungen ersten Grades. No. -24-38. - -Die Nummern 24-34 sind Zahlengleichungen; die vier letzten Aufgaben -beziehen sich auf Teilung des Getreidemasses auit. Die Unbekannte -heisst hau, d. h. Haufen, also eine unbestimmte Menge, analog dem cosa -irgend ein Ding der italienischen Mathematiker der Renaissancezeit. -Über die Lösung der Gleichungen entstand ein Streit zwischen -¨J. Rodet¨, dem bekannten französischen Orientalisten, speziell -Sanskritisten und ¨M. Cantor¨, in dem, wie so häufig beide recht und -beide unrecht haben. Rodet meint, die Ägypter hatten die regula falsi -benutzt, Cantor sagt, sie hätten gerade so wie wir operiert. C. selbst -bemerkt ganz richtig, dass bei den Gleichungen ersten Grades beide -Methoden schwer zu unterscheiden sind. Ich nehme das erste Beispiel: - -Haufe, sein Siebentel, sein Ganzes, es macht 19; also x/7 + x = 19. -Es ist schwer zu sagen, rechnet der Ägypter x(1/7 + 1) = x 8/7 = 19; -x/7 = 19/8 · x = 19/8 · 7 oder setzt er probeweise für x 7, wonach er -als Summe 8 statt 19 bekommt und somit den Proportionalitätsfaktor 19/8 -erhält und damit seinen Probewert multipliziert. - -Die Rechnung sieht so aus: - - /. 7 . 8 / 1/4 2 /. 2-1/4 1/8 (n. b. 19/8 das ist der - / 1/7 1 /.. 16 / 1/8 1 /.. 4-1/2 1/4 Proport.-Faktor) - 1/2 4 / 4. 9-1/2 - -nun kommt die stehende Formel: - - [**symbols] ȧrt mȧ cheper, tue wie folgt: - Der Hau 16-1/2 1/8 (Probe) 1/7 : 2-1/4 1/8 [**symbol] (zusammen) 19. - -Vom Beispiel No. 28 an kann man aber nicht mehr gut von einem -unmittelbaren Probieren reden zum Beispiel No. 32: x/3 + x/4 + x = 2. -Es wird 1 1/3 1/4 multipliziert bis das Ergebnis 2 ist, d. h. es wird x -ausgeklammert und mit 1 1/3 1/4 in 2 dividiert. - -Unter den Beispielen sind einige recht komplizierte, z. B. No. 28 -und sie liefert zugleich ein Beispiel für die Schwierigkeit der -Entzifferung. Die Aufgabe lautet: - - [**symbols] - neb em iw ro chomt em ān met uta - 2/3 im hinzugehen 1/3 im weggehen 10 sind aufzubewahren. - -Gemeint ist: (x + 2/3x) - 1/3(x + 2/3x) = 10. - -Die Rechnung ist falsch, das Resultat 9 ist richtig; die Probe zeigt, -wie die Aufgabe gemeint ist. Noch komplizierter ist No. 29. Ein -wahres Muster von Kompliziertheit und nicht minder von ägyptischer -Bruchrechnung sind No. 31 und 33: Haufe sein 2/3, sein 1/2, sein 1/7, -sein Ganzes, es beträgt 37. Es wird die Division mit 1 2/3 1/2 1/7 ganz -direkt durchgeführt. - -Die Aufgabe 30 übersetze ich abweichend von Eisenlohr und Cantor: - -Wenn dir der Schreiber (id est Lehrer) sagt: 10 ist das Ergebnis von -2/3 und 1/10, lass mich den Grund hören. - -Um die Division von 10 durch 2/3 + 1/10 auszuführen, wird dies zunächst -mit 13 multipliziert, das gibt 9-29/30; man muss dann noch 1/30 -dividieren und findet zum Schluss 13-1/23 als sogenannten Hau. - -No. 35: Um die Masseinheit zu erreichen, bin ich dreimal genommen -und 1/3 von mir zu mir, dann bin ich zur Einheit vervollständigt. -Diese Aufgabe 3x + 1/3 x = 1 ist das textliche Vorbild zu einer -Menge von eingekleideten Gleichungen, die sich noch bis heute in -den Rechenbüchern finden. Die Einheit ist das Hequatmass. Die -Verteilungsaufgaben der Fruchtmasse bedurften sämtlich einer genauen -Revision, die durch ¨Erman¨ 1902 und ¨Schack-Schackenburg¨ 1904 -vollzogen ist. - -[Sidenote: Arithmetische Reihe (Tunnu-Rechnung).] - -Es folgen dann zwei Aufgaben, die als »Tunnu«-Rechnung bezeichnet -werden, zu denen sich sachlich noch Aufgaben aus einem späteren -Abschnitt gesellen, der eine Anzahl praktischer Beispiele enthält und -vielleicht einem ¨zweiten¨ Schülerheft entnommen ist. Von besonderer -Bedeutung ist No. 40: Brode 100 an Personen 5; 1/7 der 3 ersten an die -2 letzten Personen, was ist der Unterschied? Die Rechnung lautet: Tue, -wie folgt: (die stehende Formel) der Unterschied 5-1/2 / 23, 17-1/2, -12, 6-1/2, 1 [**symbol] zusammen 60. Vervielfältige diese Zahlen 23, -17-1/2 etc. mit 1-2/3, das gibt dann 38-1/3, 28-1/6 ... zusammen 100. - -Hier haben wir a) Gleichungen mit mehreren Unbekannten, b) die -arithmetische Reihe, c) unzweifelhaft regula falsi. Ist der Tunnus d -und der Anteil des letzten a, so bekommen die Personen 4d + a, 3d + a, -2d + a, d + a, a, und es ist: 9d + 3a = 7 (d + a); also 2d = 11a; d = -5-1/2 a. Es wird nun als falscher Ansatz a = 1 gesetzt, also d = 5-1/2 -und da 100 = 60 + 2/3 · 60 ist, mit dem Proportionalitätsfaktor 1-2/3 -multipliziert. - -Hierhin gehört No. 64, die darauf hinausläuft eine arithmetische Reihe -von 10 Gliedern zu bilden, deren Summe 10 und deren Differenz 1/8 ist. -Es wird wieder zuerst das höchste, das letzte Glied bestimmt. Wir haben -aus den bekannten Formeln: - - s = n/2(a + u) und u = a + (n-1)d; u = s/n + (n - 1)d/2, - -d. h. also um das letzte Glied zu bestimmen, muss man den -Durchschnittswert s/n bilden und dazu (n-1) · d/2 addieren, und ganz -genau so verfährt der ägyptische Rechner. - -Ich teile in der Mitte, gibt 1; ziehe 1 von 10 ab Rest 9, halbiere den -Unterschied: 1/16, nimm es 9 mal, gibt 1/2, 1/16, lege es hinzu zum -Durchschnittswert, gibt für u 1 1/2 1/16 etc. Ja, m. H. hier ist jeder -Zweifel an der Kenntnis der allgemeinen Formeln ausgeschlossen. - -[Sidenote: Geometrische Reihe.] - -Und das gleiche gilt von der geometrischen Reihe. Der fünfte und -zugleich letzte Teil enthält unter No. 62-84 eine Sammlung praktischer -Beispiele, welche sich auf Landwirtschaft beziehen, Aichung von -Bierkrügen, Futterverbrauch auf dem Geflügelhof und in Stallungen, -Mehlverbrauch beim Backen, Lohnzahlung etc. Solche Aufgaben kommen -auch in Tempelrechnungen sehr vielfach vor, denn die ägyptischen -Priesterschaften hatten wie die mittelalterlichen Klöster grosse -Ausgaben um das Volk an den Festtagen zu beköstigen. Mitten hinein -schneit dann die Aufgabe 19. Die Aufgabe war nach Eisenlohr völlig -rätselhaft. Es ist von einer Sutek (vielleicht Leiter? unsre Skala) die -Rede, deren Sprossen - - 7, 49, 343, 2401, 16807 - -sind, und bei diesen Zahlen stehen Worte, welche bedeuten: Person, -Katze, Maus, Gersten, Ähre, Mass. - -Eisenlohr meinte, dass dies die Namen der 5 ersten Potenzen seien, -während doch erst ganz vor kurzem bei Heron dynamo-dynamis für die 4. -Potenz konstatiert ist. - -Die Rechnung sieht so aus: - - 7 - /. 2801 49 - /.. 5602 343 - /... 11204 2402 - [**symbol] 19607 16807 - [**symbol] 19607 - -Das Rätsel hat ¨Rodet¨ in der schon erwähnten Abhandlung gelöst. -Er fand dieselbe Aufgabe bei ¨Leonardo Pisano¨ um 1200 in dem -epochemachenden Liber abaci, das aus Afrika stammt, aus Bugia, einer -Pisaner Handelsstation, der westlichsten von Nordafrika. - -Die Aufgabe heisst: 7 Personen haben je 7 Katzen, jede Katze frisst -7 Mäuse, jede Maus 7 Ähren Gerste, jede Ähre bringt 7 Mass ? ist die -Summe, und sie ist berechnet nach der richtigen Formel: - - (a^n - 1)/(a - 1) · a, da (7^5 - 1)/(7 - 1) = 16806 : 6 = 2801 ist - -wo also die Multiplikation mit 7 gut ägyptisch vollzogen ist und durch -Addition geprüft wird. Nicht vielleicht, wie Cantor meint, sondern -unzweifelhaft war die Summenformel der geometrischen Reihe um 2000 v. -Chr. bekannt. Wir sehen über 3000, wahrscheinlich über 4000 Jahre hat -sich die Aufgabe in den Schulen Afrikas gehalten, ein Seitenstück zur -Bruchrechnung. - -Aber die arithmetischen Kenntnisse der alten Ägypter gingen noch -weit darüber hinaus, was Cantor freilich auch bei der 2. Auflage -vom Dezember 1893 nicht wissen konnte. In den von ¨Griffith¨ 1897 -herausgegebenen mathematischen Papyri der Funde Petries in Kahun fand -sich das erste Beispiel einer quadratischen Gleichung. - - -Die quadratische Gleichung der Ägypter. - -Als Griffith die Petriepapyri 1897 herausgab, fand sich dort das erste -Beispiel einer quadratischen Gleichung auf Tafel 8 des Papyrus. 1900 -hat Schack im Berliner Papyrus 6619 ein zweites gefunden. Der Papyrus -ist vermutlich aus dem mittleren Reiche und lautet folgendermassen: Ein -ferneres | Beispiel der Verteilung einer gegebenen Fläche auf mehrere -Quadrate | wenn dir gesagt wird | 100 Quadratellen auf zwei unbekannte -Grössen zu verteilen und | 3/4 der Seite der | einen Grösse für die -andere | zu nehmen | bitte gib mir | jede der unbekannten Grössen an |. - -Die Ausrechnung geschieht mit der regula falsi, der Verfasser drückt -sie so aus: Mache ein Rechteck von immer 1 (d. h. also ein Quadrat) -und nimm 3/4 | der Seitenlänge | der einen für die andere | dies gibt -3/4 |. Multipliziere dies mit 3/4 das gibt 9/16. Wenn so die eine -Grösse zu 1 die andere mit 3/4 genommen ist, so vereinige diese beiden -Grössen, das gibt 25/16. Nimm die Quadratwurzel daraus, das gibt 5/4. -Nimm die Wurzel der gegebenen von 100 das gibt 10. Teile 10 durch 5/4, -der Quozient ist 8 (Zeichen: [**symbol] auch Zeichen der Differenz). -Der Rest ist zerstört, doch ist noch soviel zu erkennen: Nimm 3/4 von -diesen 8 das gibt 6. Hier haben wir also - - x^2 + y^2 = 100; x : y = 1 : 3/4. - -Das Beispiel des Kahun Papyrus bezieht sich darauf, 120 kubische -Ellen in 10 Körper von der Höhe einer Elle so zu zerlegen, dass die -Grundflächen Rechtecke sind, deren Seiten sich wie 1 : 3/4 verhalten. - -Hier würde die Anwendung der regula falsi auf die irrationale -Quadratwurzel aus 3/4 führen. Der Verfasser verfährt also ganz anders. -Er geht davon aus, dass der Inhalt des Rechtecks mit 4/3 multipliziert -das Quadrat der grossen Seite gibt. - -[Illustration] - -Die Rechnung lautet: Dividiere 1 : 3/4, das gibt 1-1/3, multipliziere -12 mit 1-1/3, das gibt 16, die √ ist 4, das ist die Länge der einen -Seite. Nimm 3/4, das ist 3. Hier haben wir also xy = 12-x/y = 1 : 3/4. -Man sieht, beide Male haben wir das Dreieck 3, 4, 5 bezw. 6, 8, 10, das -also schon um 2200 den Ägyptern bekannt war. - -Das dritte Beispiel hat Schack 1903 aus demselben Papyrusfragment -entziffert. - -Es handelt sich um: - - x : y = 2 : 1-1/2 und x^2 + y^2 = 400. - -Wird dann probeweise x = 2, y = 1-1/2 gesetzt, so gibt es 6-1/4, die √ -ist 2-1/2, dies ist 1/8 von 20, also ist x = 16, y = 12 - - [16, 12, 20 ～ 3, 4, 5 ～ 8, 6, 10] - -Das Zeichen der Quadratwurzel ist dem unsrigen nicht unähnlich -[**symbol] To-Erdreich, Grund, auf dem etwas ruht? - -In Mitteilungen zur Gesch. der Med. u. Naturw. vom 18. April 1908 p. -337 wird diese Hieroglyphe als ¨Gnomon¨ erklärt, und den alten Ägyptern -damit eine Kenntnis des Quadratwurzelausziehens nach der Formel -(a + b)^2 supponiert. Einem Sprachforscher von Fach wäre die äussere -Ähnlichkeit, ich verweise auf Max Müller, ein Grund das Zeichen nicht -vom Gnomon abzuleiten. Es ist bisher auch keine Spur einer Ausziehung -von Wurzeln aus Nicht-quadratzahlen bei den alten Ägyptern gefunden, so -wie die Babylonier haben sie die Quadratwurzeln (tabellarisch?) durch -Multiplikation von 1 × 1, 2 × 2 etc. gefunden. - -Es ist nicht unwahrscheinlich, dass der Pythagoras den Ägyptern schon -um jene frühe Zeit bekannt war. - - -Geometrie. - -[Sidenote: Geometrie der Ägypter.] - -Ich komme zur Geometrie, sie findet sich im Abschnitt 3 und 4 des -Papyrus Ahmes, daneben ist für uns die Schenkungsurkunde des Tempels -von Edfu von Wichtigkeit, die allerdings 1500 Jahre nach Ahmes zu -datieren ist; aber auch die 500 Jahre älteren Papyri von Kahun kommen -in Betracht. Vor allem muss ich die Quadratur des Zirkels erwähnen, -No. 41, No. 48 und No. 50. Sie setzen den Kreis, der bald teben, -bald paut, bald k d heisst gleich einem Quadrat, dessen Seite 8/9 -des Durchmessers, d. h. sie setzten π gleich 256/81 = 3,1605; eine -Übereinstimmung mit dem alten indischen √10 = 3,162, die zu denken -gibt. Die Frage, wie sie zu diesem erstaunlich genauen Näherungswert -gekommen sind, scheint mir unschwer zu beantworten. - -[Sidenote: Quadratur des Zirkels.] - -Sie nahmen einen Zylinder mit der Höhe h und dem Durchmesser d des -Grundkreises und gossen Wasser hinein und dieses Wasser in ein -balkenartiges Gefäss mit dem Grundquadrat a^2. Das Wasser stieg bis zur -Höhe η, dann hatten sie xd^2h = a^2η und x = a^2/d^2 · η/h, falls a = -d, x = η/h und fanden für das Verhältnis η/h, oder x den Wert 64/81. - -Wie selbstverständlich es war, dass man das Volumen eines Gefässes von -konstantem Querschnitt seiner Höhe proportional setzte, das kann man -bei Heron lesen. Der Begriff des (rationalen) Verhältnisses war ihnen, -wie schon die Rechenaufgaben des Ahmes zeigen, völlig geläufig. - -[Sidenote: Volumenbestimmung.] - -Die Geometrie beginnt mit der Bestimmung des Volumens von -Fruchtspeichern mit kreisförmiger, bezw. krummliniger und rechteckiger -Grundfläche, z. B.: Ein rundes Fruchthaus von 9 Ellen Höhe in der -grössten Ausdehnung und 6 Ellen Breite, wieviel Getreide geht hinein? -Es wird, wenn statt 9 l und statt 6 h gesetzt wird, gerechnet nach der -Formel - - (4/3 · 8/9 l)^2 · 2/3 h. - -[Sidenote: Halbkugel.] - -Es lässt sich mit diesen Beispielen nicht allzuviel anfangen, die -Abbildungen fehlen und alle näheren Angaben über die Beschaffenheit der -Haufen. Aber schon ¨Eisenlohr¨ bemerkt: sollte unserm Rechner die zur -Bestimmung der Halbkugel nötige Formel πr^2 2/3 r vorgeschwebt haben? - -Ich komme damit auf die Berechnung der Kugel, bezw. Halbkugel. - -Im ersten Hefte der Kahunpapyri auf Tafel 8 ist eine Figur gezeichnet, -die der Herausgeber der Petriepapyri Griffith richtig umschrieben und -gelesen hat, deren Deutung er aber nicht gefunden zu haben bekennt. Er -sagt, es scheint sich um den Inhalt eines kreisförmigen Fruchthaufen zu -handeln, dessen Höhe 12 und dessen Durchmesser 8 ist. Er hat sich durch -eine Zahl 12, welche über der Figur steht, und die zur Rechnung gehört, -täuschen lassen, sonst wäre er wohl selbst darauf gekommen, dass -wir hier die Zahlenrechnung zur Ermittelung eines halbkugelförmigen -Getreideschobers von 8 Ellen Durchmesser vor uns haben. Die Figur zeigt -einen Kreis, neben dem links 8, der Durchmesser in Ellen, steht, und in -dem 1365-1/3 der Inhalt zu lesen ist. - - 12 - - [**symbol] - - [1] 1365-1/3 / 1 . 256 In unserer Rechnung: - 8 2 .. 512 8 . 3/2 = 12 - 2/3 8 / 4 . 1024 12 . 4/3 = 16 - / 1/3 4 / 1/3. 85-1/3 16 . 16 = 256 - zusammen 16 [**symbol] 1365-1/3 256 . 5-1/3 = 1365-1/3 - / 1 16 - /10 160 - / 5 80 Heute d^3π/12 = 134,041 Kubikellen = 1340,41. - zusammen 256 - -Abgesehen von dem Fehler für π ist also der Inhalt in 1/10 Kubikellen -ausgedrückt. Was dieses Mass betrifft, so ist es eine ganz natürliche -Übereinheit. Das Haupthohlmass ist das Hin; die Kubikelle = 320 Hin, -die Elle = 0,526^m ergibt für das Hin 0,455 Liter, 32 Hin sind 14,61 -Liter, ungefähr 1/2 Scheffel. Das Hin wurde geteilt in 1/2 1/4 1/8 1/16 -1/32, es ist also 32 Hin als Übereinheit durchaus gerechtfertigt. - -Die Rechnung ist: - - (d-3/2 . 4/3)^2 . 2/3 d = 32d^3/12. - -[Sidenote: Ausmessung eines grossen Haufens durch kleines Mass.] - -Der Fehler bleibt unter 2%, für π ergibt sich 3,2. Dies ist ungenauer -als im Handbuch, wo π = 3,16 ist, aber ¨Borchardt¨, der Erklärer, -setzt ganz richtig hinzu: Dies Resultat ist durch häufiges wirkliches -Ausmessen solcher halbkugeligen Haufen gewonnen worden. Dabei waren -viele Beobachtungsfehler unvermeidlich. Die mathematische Form -der Haufen war kaum herzustellen, die Hohlmasse (32 Hin) waren -recht ungleich gefüllt und endlich lassen sich von einem grossen -Getreidehaufen infolge des grösseren Druckes und dadurch veranlassten -dichteren Lagerung in seinem Innern in praxi mehr kleinere Hohlmasse -füllen als man theoretisch rein nach der Volumenvergleichung erwarten -sollte, da sich im kleineren Masse die Körner naturgemäss loser lagern. - -Die Aufgabe zu ermitteln, wieviel kleine Masse sich aus einem gegebenen -grossen füllen lassen, gibt ¨so¨ gefasst noch unsern heutigen -Mathophysikern Rätsel auf. Davon können Sie sich überzeugen, wenn Sie -z. B. die Correspondence ¨Quetelet¨ nachlesen, wo das Problem öfter -behandelt wird. Daher ist es gar nicht zu verwundern, dass die Ägypter -sie nicht aufs Haar lösen konnten. Ich weise aber noch auf einen -Umstand hin, der mir ganz besonders wichtig scheint: der Näherungswert -3,2 für π passt vorzüglich für die Übereinheit 32 Hin. - -[Sidenote: Ausmessung der Dreiecke und Trapeze.] - -Der 3. Abschnitt des Ahmes, der eigentlich geometrische Teil, -handelt von der Ausmessung der Felder, kreisförmiger, dreieckiger, -trapezförmiger, und solcher, die in Dreiecke und Trapeze zerlegt -werden. ¨Eisenlohr¨ fasst auf Grund der Autorität M. Cantors und des -grossen Ägyptologen ¨Rich. Lepsius¨, was mir beinahe unfassbar ist, -die Dreiecke und Trapeze als gleichschenklige, und vindiziert den -Ägyptern den groben Fehler, das gleichschenklige Dreieck zu bestimmen -als halbes Produkt der Grundlinie und des ¨Schenkels¨, und das Trapez -als Produkt der Mittellinie mit dem Schenkel statt der Höhe, und diesen -Fehler sollten sie bis nach Christi, hunderte von Jahren nach Euklid -und Heron begangen haben, und ¨Cantor¨ hat mit dem Starrsinn des Alters -an seiner Auffassung festgehalten, trotz der Kritik ¨Revillout's¨ -in der Revue égyptologique von 1882 und der davon ganz unabhängigen -¨Borchardt's¨, die darauf hingewiesen haben, dass die Figuren ganz rohe -Handzeichnungen sind, wie Sie z. B. bei Nr. 48 (Figur) sich überzeugen -können, wo statt des Kreises ein rohes Achteck gezeichnet ist. Die -Dreiecke sind (Figur), wie Sie ebenfalls sehen, mindestens so gut -rechtwinklig wie gleichschenklig. - -[Illustration] - -M. H., es ist an sich unwahrscheinlich, dass die Ägypter solche groben -Fehler begangen haben. Aus den von ¨Wilke¨ mit unendlichem Fleiss -gesammelten Ostraka, d. s. im wesentlichen Steuerquittungen auf dem -billigsten Material, auf Tonscherben, wissen wir, dass es eine eigene -Steuer gab. περι γεομετριας. - -[Sidenote: Widerlegung der Lepsius-Cantor'schen Formel.] - -Die Ägypter besassen nachweislich im alten Reich eine Reichsbank, -sie hatten eine Plankammer, sie hatten statt des Tabakmonopol das -Ölmonopol. Jedes Fleckchen, wo ein Ölbaum stand, wurde vermessen, jedes -Stückchen Weizenland, von dem eine Naturalabgabe für die Ernährung -der Truppen erhoben wurde, desgleichen. Sie haben von den jährlichen -Nachmessungen unter Sesostris gehört; und dann sollen solche groben -Irrtümer begangen worden sein! Ich kann Ihnen für Revillouts und -Borchardts Auffassung einen schlagenden Beweis geben; hier sehen -Sie die Figur im Codex konstantinopolitanus, der 1903 von Schöne -edierten Metrica des Hero, da haben Sie zwei Figuren zur Ableitung -des sogenannten erweiterten Pythagoras. Die Höhen sind gefällt und -die Winkel der Figur weichen vom rechten Winkel weit erheblicher ab -als die des Ahmes. Man kann gegen die Ostraka einwenden, sie stammen -grösstenteils aus der Zeit der Ptolemäer; ja, m. H. wer den Charakter -der Ägypter kennt, und nicht nur den der Ägypter, dem wird klar sein, -dass die Steuergesetzgebung so wenig wie der Totenkult und das Erbrecht -geändert werden konnte. - -Wenn Alexander sich zum Sohn des Amon machen liess, so tat er es -wahrlich nicht aus Grössenwahn, sondern genau so wie vor ihm die -Hyksoskönige, weil das Volk seinen Pharao nur als Sohn des Gottes -anerkannte. - -Und was die Steuern betrifft, als wir 1870 die elsässische Verwaltung -einrichteten, sagte der Oberpräsident von ¨Möller¨ die Fenstersteuer, -das Enregistrement, das ganze Steuersystem ist miserabel, aber wir -rühren nicht daran, die Leute sind daran gewöhnt. - -Cantor stützte sich bei seinem Widerstand, ich möchte sagen -ausschliesslich, auf die Schenkungsurkunde des Tempels von Edfu, dessen -Grundlegung, wie ¨Dümichen¨ nachgewiesen am 23. Aug. 237 v. Chr. von -Ptolemäus XI, Alexander I, Philometor genau in der schon geschilderten -Weise vollzogen ist. Die Schenkungsurkunde nimmt einen grossen Teil der -Aussenwand der östlichen Umfassungsmauer des Tempels ein. Der gesamte -Text 164 Kolonnen ist auf 8 grössere Felder verteilt, von denen, -als ¨Cantor¨ seine erste Auflage schrieb, nur die drei ersten durch -¨Lepsius¨ publiziert waren. Es werden von den Feldern von 60 Kolonnen -die Masse angegeben, z. B. - - 22 + 23 4 + 4 oder 90 etc. - 15 + 15 3-1/2 + 2-1/2 1/4 1/16 1/32 oder 47-1/2 1/8 1/16. - -(nicht stimmend 47, 1/2 . 1/16 1/64) richtiger Wert 47,566425. - -[Sidenote: Lepsius-Cantor'sche Formel.] - -Lepsius hat nun gefunden, dass diese Vierecke nach der Formel -(a + b)/2 · (c + d)/2 berechnet wurden, wo a und b das eine Paar -Gegenseiten, c und d das andere Paar ist. Es kommen, wie es -scheint, ein ganzer Teil Rechtecke vor, ein anderer Teil sind -Trapeze, dazwischen Dreiecke, die als Vierecke, deren eine Seite 0 -ist, aufgefasst werden. In dieser Auffassung liegt soviel von der -Philosophie der Null, die hier als Grenzbegriff gefasst ist, dass ich -Cantor nicht zustimmen kann, wenn er sagt: an eine Zahl 0 ist in keiner -Weise zu denken. - -[Sidenote: 0 als Grenze.] - -Gewiss, eine Ziffer 0 hatten sie nicht, brauchten sie auch nicht; -aber dass sie mit 0 rechneten, dass ihnen der Zahlencharakter der -Null bekannt war, samt dem Grenzbegriff und dem sogen. Arbogast'schen -Prinzip, das geht doch zur Evidenz aus der Urkunde hervor. Als Cantor -aber seine zweite Auflage schrieb, da waren schon die übrigen 98 -Colonnen durch ¨Brugsch Pascha¨ publiziert, und da stellt sich die -Sache sehr anders; die Lepsius'sche Formel, welche übrigens schon für -das zweite Beispiel, das sich bei Lepsius findet, ¨nicht¨ passt, ist -häufig genug nicht angewandt. Sieht man näher zu, so bemerkt man, dass -es sich um ¨angenäherte Quadratwurzelausziehung¨ handelt. Ich habe fast -alle nachgerechnet, die Fehler sind sehr gering und alle Angaben etwas -zu gross z. B. auf Tafel 6: 2 + 1-1/2; 1 + 0 als Inhalt 7/8, während -der richtige Inhalt noch nicht 6/8 ist. Natürlich, der König hatte ja -ein Interesse daran dem Gott, oder was dasselbe ist, seinen Priestern -die Schenkung möglichst gross darzustellen. Ich bemerke, dass nach -meiner Erkundigung nicht nur die römischen Agrimensoren, wie Cantor -angibt, sondern auch unsere heutigen, und zwar gerade diejenigen, -welche über mathematische Bildung verfügen, sich das Wurzelziehen -tunlichst sparen, indem sie z. B. für: - - √(α^2 + ε) α + 1/2·ε/α setzen. - -Aus dem Text der ägyptischen Aufgabe hat ¨Revillout¨ die -Unwahrscheinlichkeit der Cantor'schen Auffassung nachgewiesen, die -mit allen Traditionen des Altertums in Widerspruch steht. Ägyptische -Baumeister wurden in der ganzen Welt des Mittelmeeres geholt, und als -Augustus das römische Reich vermessen liess, nahm er dazu ägyptische -Feldmesser. - -[Sidenote: Ägyptische Trigonometrie.] - -Ich komme nun zu dem Bedeutsamsten und zugleich zu dem Seltsamsten, was -sich im Papyrus Ahmes (2. Schülerheft) und, muss ich leider sagen, bei -Cantor-Eisenlohr findet. Der 4. Teil des Papyrus enthält die ägyptische -¨Trigonometrie¨: Aufgabe Nr. 56-60, Aufgabe 59 ist doppelt. In den fünf -ersten Aufgaben heisst die Pyramide, die stets quadratische Grundfläche -hat, mr (nicht smr) in der 6. Aufg. Nr. 60, die von einer viel -steileren Pyramide handelt -- ¨Borchardt¨ vermutet einen Monolithen -- -heisst sie in. Es kommen zwei Abmessungen in Betracht, in den Aufgaben -56-59; - - a) die Pir--m--s Pirems, woher vielleicht der Name Pyramide. - - b) die ucha--tebet. - -und in Nr. 60 a) k^3y --n--h r w. b) Snti: Das Verhältnis zwischen 1/2 -b : a heisst überall Sqd. - -Z. B. Nr. 56. Berechnung einer Pyramide. Die uchatebet ist 360, ihre -Pirems 250. Lass mich ihren Seqd wissen. Nimm die Hälfte von 360, macht -180, dividiere mit 250 in 180 macht 1/2 + 1/5 + 1/50 von einer Elle. -Eine Elle hat 7 Spannen, multipliziere mit 7: ihr Skd ist 5-1/5 Spannen. - -Nr. 57. Eine Pyramide, 140 ist die uchatebet, 5-1/4 Spannen ihr Skd,? -die Pirems. Antwort: 93-1/3. - -Nr. 58. Pirems 93-1/3, uchatebet 140,? Sqd. -- Antwort: 5-1/4 wiederum. -Die Rechnung enthält wieder einen groben Fehler des Schreibers. - -Nr. 59 a. Pirems ist 12, uchatebet 8? Sqd. Antwort wieder 5-1/4. - -und Nr. 59 b. Kontrollaufgabe, uchatebet gefragt, ganz verworren -abgeschrieben. Resultat 4 statt 8, wenn die eine Linie 12 und der Sqd -5-1/4. - -Nr. 60. Ein In von 15 Ellen an seinem Snti und 30 an seinem k^3y--n h r -w. Lass mich seine Skd. wissen. Multipliziere 15; 1/2 davon ist 7-1/2, -multipliziere 7-1/2 mit 4 um 30 zu erhalten. Sein Rhi ist 4.... Das ist -sein Skd. - -¨Eisenlohr¨ bemerkt Rhi ist unklar, was jedoch ohne Einfluss auf die -Rechnung ist. - -¨Eisenlohr¨ und ¨Cantor¨ erklären nun die Pir--m--us als die -Seitenkante und die ucha tebet als die Diagonale des Grundquadrates, -während sie durch das Koptische gezwungen sind die Kaienharu als die -Höhe und die snti als die Grundlinie aufzufassen; sie erklären also den -Sekt in den fünf ersten Aufgaben als den Cosinus des Neigungswinkels -der Kante und Grundfläche und in der letzten als die Cotangente des -Böschungswinkels! - -Dagegen wenden sich nun ganz unabhängig voneinander ¨Revillout¨ und -¨Borchardt¨ und schon ¨Weyr¨ trat ihnen bei, beide zunächst vom -Standpunkt des Steinhauers und Architekten; beide bemerken, dass der -Neigungswinkel für den Steinhauer ganz wertlos. - -[Illustration] - -Die Pyramide wurde in geraden Absätzen gebaut, die dann mit -mächtigen Steinplatten ausgefüllt wurden. Kannte der Arbeiter den -Böschungswinkel, der an allen Quadern derselbe, dann konnte er jedes -Stück richtig behauen; der Neigungswinkel ergab sich dann ganz von -selbst. (Figur.) - -Eisenlohr erklärt Piremus als die aus der Säge heraustretende und -seqet leitet er von qd -- ähnlich machen -- ab und übersetzt es mit -Ähnlichkeit, besser wäre wohl Verhältnis. Revillout sagt, piremus -bedeutet hinausgehen in die Breite oder aus der Breite und beides passt -für die Höhe der Pyramide, die Linie, welche die Spitze mit der Mitte -der Grundlinie verbindet; uchatebet ist die Basis, und beide Worte -sind Synonyma für Kainharu und senti. ¨Cantor¨ noch in dem Brief an -Weyr und in der 2. Auflage mutet den Ägyptern die Ungeheuerlichkeit zu -zwei verschiedene Funktionen mit demselben Namen bezeichnet zu haben. -¨Revillout¨ und ¨Borchardt¨ sagen, es sei stets die Cotangente des -Böschungswinkels und nun erinnern Sie sich daran, dass Ägypten aus -zwei verschiedenen Ländern mit verschiedener Sprache zusammengewachsen -ist. Synonyma sind häufig, wie wir aus analogen Gründen die ähnliche -Erscheinung im Englischen haben. Die Pyramide heisst smr und in, der -Kreis Deben und kd, der Vater heisst ¨if¨ und atef, der König bjty und -hk^3 usw. - -[Sidenote: Koordinaten.] - -Die Höhe ist als Summe der Schichtenhöhen, ev. auch aus der -Schattenlänge und die Seite des Grundquadrats ganz direkt messbar. Die -Diagonale muss aber berechnet werden, und zwar mit dem Pythagoras. - -Eisenlohr hat die Winkel der Pyramiden γ und β (siehe Figur S. 50) -berechnet aus - - cos β entweder 5-1/4 Sp oder 5-1/25 und damit - cos β = 3/4 oder = 126/175 = 18/25 - -und sie stimmen so ziemlich mit den Winkeln der erhaltenen Pyramiden, -was für den, der weiss, wie oft grobe Fehler der Schüler geringe Fehler -im Resultat geben, nicht wunderbar ist. - -Aber Borchardt hat die Neigungswinkel aus der Cotangente berechnet. Es -sind dies Winkel von 54° 14′ 16″; 53° 7′ 48″ (kommt 4 mal vor) und in -No. 60, 75° 57′ 50″. - -Von diesen Neigungswinkeln gleicht der erste ¨genau¨ bis auf die -Sekunde dem Winkel an der südlichen Steinpyramide von Daschur (untere -Hälfte), der zweite stimmt, ebenso haarscharf mit dem von Petrie an Ort -und Stelle gemessenen Winkel der zweiten Pyramide von Giseh überein und -der letzte ist ebenso ¨genau¨ der von Petrie 1892 nachgewiesene Winkel -aus der Mastaba von Meidum. Und dass die Werkleute wie die unsrigen -nach solchen Vorschriften, sogenannten Leeren, arbeiteten, das zeigen -die von Petrie aufgedeckten Winkelmauern an den Ecken der Mastaba No. -17 zu Meidum. - -Diese Eckwinkelmauern zeigen wie die Erbauer der Mastaba sich die -anzulegende Neigung der Winkel ¨genau¨ nach der in No. 60 gegebenen -Vorschrift aufgezeichnet haben. Damit ist die Seqtfrage entschieden. -Sekt ist die Cotangente, rhi vermutlich nichts anderes als die -¨Tangente¨, die also den Ägyptern auch schon bekannt war. - -Das Wort seqd aber leitet Revillout von kd -- bewegen ab und aus dem -hapt -- Richtscheit, das ein unentbehrliches Werkzeug war; seine -aufrechtstehende Kathete ist 1 Elle, die untere ist in 7 Spannen und -4 Finger geteilt, und eine Schnur wurde nach dem unteren beweglichen -Punkte geknüpft und gab dem Arbeiter damit durch den sekd unmittelbar -den Winkel, nach dem er seinen Stein zurichtete. - -Ein ganz entscheidendes Moment liegt aber in der Natur der Sache; der -königliche Bauherr der Pyramide der sagt einfach, meine Pyramide soll -so und so viel im Geviert haben und so und so hoch soll sie sein, die -Ausführung überlässt er seinem Architekten. - -Dass die Ägypter aber mit der Proportionalitäts- und Ähnlichkeitslehre -ganz vertraut waren, das zeigen ihre Abbildungen. Sie teilten die Wand -durch Linien in ein Netz von Quadraten, ganz wie unsere Ingenieure ihr -Zeichenpapier, und trugen in die einzelnen Quadrate die Figuren in -entsprechendem Massstab ein. In dem sogenannten Grabe Belzoni zu Biban -el Moluk ist ein solches Coordinatensystem erhalten in einer unfertig -gebliebenen Grabkammer König Sety I., des gewaltigsten der Bamessiden -nächst seinem Sohne Ramses II. - -[Sidenote: Darstellende Geometrie bei den Ägyptern.] - -Nun zeigen die Bilder und Inschriften, ähnlich wie die japanischen, -keine Perspektive, und man nahm an, dass den Ägyptern die Perspektive -unbekannt gewesen sei. Aber vor etwa 10 Jahren wurden in Fayum, vom -trockenen Wüstensand geschützt, eine grosse Anzahl Totenmasken, -Porträts der Verstorbenen, gefunden, allerdings aus hellenistischer -Zeit, die meisten Handwerksarbeiten, aber auch eine ganze Anzahl -Kunstwerke ersten Ranges, die unsern besten Porträts nicht nachstehen. -Und dazu noch eins, was ich Ihnen nicht vorenthalten darf, oben auf -dem Pylon des Isis-Tempels von Phile, den Ptolemeus IX. Euergetes II. -150 v. Chr. erneuert hat an der Stelle, von wo der Werkmeister seinen -Bau am besten übersehen konnte, sind in Stein geritzt zwei Zeichnungen -erhalten. - -M. H. Nicht Menge, nicht Lambert, nicht Dürer sind die Urheber der -darstellenden Geometrie, hier sehen sie eine Werkzeichnung in dem -Sandstein der Plattform des Pylon, welche Borchardt 1878 aufgenommen -hat, mit beigeschriebenen Massen, ¨Grundriss¨ und ¨Aufriss¨, und noch -steht die Säule, welche genau danach gearbeitet ist. - -[Sidenote: Résumé.] - -Resumieren wir die ägyptische Mathematik so weit wir jetzt davon wissen. - -In der Arithmetik hatten sie eine entwickelte Fingerrechnung und -Rechenbretter, auf denen sie mit Steinen rechneten, kannten alle vier -Spezies mit ganzen und gebrochenen Zahlen, wussten mit Gleichungen 1. -und 2. Grades, arithmetischen und geometrischen Reihen Bescheid und -hatten Näherungsmethoden für die Ausziehung der Quadratwurzeln. - -In der Geometrie war ihre Konstruktions- oder Reisskunst hoch -entwickelt. 420 v. Chr. rühmte sich der grosse Demokrit, dass ihn in -der Reisskunst nicht einmal die ägyptischen Harpedonapten überträfen; -sie hatten eine sehr achtenswerte Quadratur des Kreises, kannten -Symmetrie und Proportion, waren mit der Kreisteilung vertraut, hatten -Ähnlichkeitslehre und Anfänge der Trigonometrie und Elemente der -darstellenden Geometrie. - - - - -II. Kapitel. - -Babylonien -- Assyrien. - -Ich wende mich nun dem Zuge der semitischen Völkerwanderung folgend -nach dem uralten Kulturland, zwischen den grossen Strömen Euphrat -und Tigris, zum Zweistromland, dem mâtu Pur Pur, nach Mesopotamien, -Babylonien, Assyrien. Hier kam zu den schon für Ägypten fliessenden -Quellen noch ¨Berossos¨ hinzu, und die Bibel in weit reichlicherem -Masse. Berosus, ein Babylonischer Priester des Bel der im 3. Jahre v. -Chr. in griechischer Sprache schrieb, hat sich als mit den Traditionen -seines Volkes in Mythos und Geschichte sehr vertraut erwiesen, und es -ist zu bedauern, dass von seinem grossen Werke nur Fragmente durch -Alexander Polyhistor und danach von Josephus und Eusebios erhalten -sind. Verdanken wir doch Berossos die Kunde von dem Babylonischen -Weltschöpfungsmythus, die Sintflut eingeschlossen, der Quelle des -mosaischen, eine Kunde, welche durch die Funde von Kujundschik-Ninive -so glänzend bestätigt und erweitert wurde. Aber auch die Bibel hat sich -als eine nicht zu unterschätzende Geschichtsquelle erwiesen, und unter -dem Einfluss der Ausgrabungen in den letzten 30 Jahren ist »Babel und -Bibel« (¨P. Delitzsch¨) zu einem Schlagwort geworden. Aber erst im -letzten Drittel des 19. Jahrhunderts gelang es durch Entzifferung der -rätselhaften Keilschrift, die Geschichte Vorderasiens auf urkundliche -Grundlage zu stellen. So bedeutend aber die Leistungen der Schüler -¨Eberhard Schraders¨ im letzten Dezennium gewesen sind, so sagt doch -einer der berufensten unter ihnen ¨P. Jensen¨: »Ein jedes Werk von -Assyriologen auch der besten ist und wird auf lange noch vergleichbar -bleiben einem Feld mit Hopfenstangen, von denen sehr viele zwar -annähernd oder durchaus korrekt und gerade, viele aber, nach allen -Richtungen hin, schief stehen.« - -Im Gegensatz zu Ägypten, wo wir ein und dasselbe Volk bis zum heutigen -Tage vor uns haben, sind im Zweistromland zwei der Rasse nach -verschiedene Völker zu unterscheiden, die beide langsam kulturell -zusammengeschmolzen sind. Vom Nordosten her, möglicherweise vom Altai -und dem Pamirplateau kamen als Nomaden in einzelnen Schwärmen die -¨Sumerer¨, ein Volk, das bis dato für sich steht, die sich vorzugsweise -in Südbabylonien in Sumer ansiedelten, vielleicht vom Meere aus in -die Mündungen des Euphrat und Tigris eindringend. Vom Nordwesten her -in gleicher Weise die ¨Semiten¨, die sich, zugleich oder früher, -vorzugsweise in Nordbabylonien, Accad (Agade) festsetzten. Naturgemäss -mussten beide Völker zusammenstossen, und in hin und her schwankenden -Kämpfen drangen Sumerer in Accad und Accader in Sumer ein, bis seit -¨Chammurabi¨ die Sumerer endgültig den Semiten unterlagen, die an -den Beduinen Arabiens immer frischen Nachschub hatten. Gehörte doch -nach ¨Ed. Meyer¨, welcher sich dabei stützt auf ¨Ranke¨, Early -Babyl. personal names (p. 33, Band VI, 1 des grossen Hilprecht'schen -Sammelwerkes über die Amerik. Ausgrabungen in Nippur) und noch mehr -auf die Monumente, Chammurabi selbst einem solchen frischen Schwarm -Amoriter Beduinen an. - -[Sidenote: Sumerische Frage.] - -Die sogen. Sumerische Frage gehörte zu den dunkelsten; während -anfangs der Siebziger die Sumerer als die Kulturträger, die Semiten -als rohe Nomadenhorden hingestellt wurden, hat später ein so -bedeutender Semitologe, wie Halévy, die ganze Existenz der Sumerer -geleugnet und ihre Schrift und Sprache für eine Art Stenographie der -Semitisch-Babylonischen erklärt. Gestützt auf die genaue Untersuchung -der ihm zugänglichen plastischen Denkmäler, hat ¨Eduard Meyer¨ in -seiner Abhandlung »Sumerier und Semiten in Babylonien« [Abh. d. Kön. -Preuss. Akad. d. W. 1906 phil-hist.] die Frage aufgehellt. An der -Existenz der Sumerischen Sprache konnte, wie Meyer mit Fug bemerkt, -nach der Auffindung der griechischen Übersetzungen bilinguer Syllabare, -das sind Listen von Schriftzeichen mit Angabe ihrer Sumerischen und -Assyrischen Silben- und Wortwerte, nicht mehr gezweifelt werden. Man -vgl. die Abhandlung von ¨T. G. Pinches¨ in den Proc. Bib. Arch. 24, p. -108 und ¨A. H. Sayce¨ ibid. p. 120, in denen die Aspiration des p, k -und t durch die Griechische Übertragung konstatiert ist. - -[Sidenote: Sumerer und Semiten.] - -Die Rassenfrage wurde durch die bildlichen Darstellungen im -wesentlichen auf Grund der Ausgrabungen ¨de Sarzecs¨, die von -¨Heuzey¨ vortrefflich ediert sind, und denen von Nippur, die seit -20 Jahren ununterbrochen fortgesetzt sind, unzweifelhaft zugunsten -eines selbständigen Volks der Sumerer entschieden, wie es ¨Bezold¨, -¨Winkler¨, ¨Hilprecht¨ etc. angenommen hatten. Abgesehen von der -Kleidung, dem sumerischen Mantel und dem semitischen bunten Plaid, sind -scharfe und stereotype Unterschiede vorhanden. Zunächst zeichnen sich -die Semiten wie noch heute durch üppig wucherndes Bart- und Haupthaar -aus, während die Sumerischen Köpfe bis auf die Augenbrauen völlig ohne -Haar sind. Die Nase ist von der semitischen scharf verschieden, ebenso -Mund, Backe und Stirn. Auch die Frauenköpfe aus Tello sehen durchaus -nicht semitisch aus. »So lehren die Denkmäler mit unwiderleglicher -Evidenz, dass es zwei verschiedene Rassen in Babylonien gegeben hat, -eine semitische [vorzugsweise] im Norden, und eine nicht semitische -[vorzugsweise] im Süden, [die Sumerer]. Zu diesen beiden Rassen kamen -dann als drittes Element die Beduinischen Westsemiten Chammurabis, die -das Haupthaar kurz schneiden und die Lippen rasieren.« - -[Sidenote: Anteil der Sumerer und der Semiten an der Kultur.] - -Die dritte Frage, die von ¨Meyer¨ naturgemäss nicht so entscheidend, -wie die beiden ersten beantwortet wird, ist die Frage nach dem Anteil -der beiden Rassen an der Kultur. Da hat nun Meyer nachgewiesen, dass -die ¨Sumerer der Zeit Gudeas¨ (etwa um 2600), ¨ihre Götter nicht mit -ihrem eignen sumerischen Typus, sondern in Gesichtsbildung, Bart, Haar -und Gewandung als Semiten gebildet haben¨. Danach haben auf religiösem -Gebiete die Semiten entschieden die Führung gehabt, wenn naturgemäss -auch ihre Religion durch die der Sumerer beeinflusst ist, bis sich -eine einheitliche Religion heranbildete. Meyer glaubt die Sagen von -Gilgamesch, dem Herkules der Babylonier, der Sintflut etc. den Semiten -zuweisen zu können, während besonders die Verbindung der Götter mit den -Sternen, insbesondere die Astrologie, der Hexen- und Dämonenglauben -sumerisch seien, der sich ja von Babylon aus insbesondere durch das -spätere Judentum und das Christentum über die ganze Welt verbreitet hat. - -Die Semiten scheinen auch auf dem Gebiet der Kunst die Führenden -gewesen zu sein, und sehr früh haben sie eine hohe Stufe der Kunst -erreicht, wie die unübertroffene Siegesstele des Naramsin (s. u.) -beweist (vgl. Abbildung). - -[Illustration: Siegesstele des Naramsin.] - -Über einen Punkt aber herrscht unter den Assyriologen volle -Übereinstimmung, ¨die Erfindung der Babylonischen Schrift, der -Keilschrift, ist Eigentum der Sumerer¨. Zwar ist die von ¨Hilprecht¨ -als sumerisch angesprochene vorsargonische Periode Nippurs schriftlos, -und wir haben aus der Zeit wo in dieser Stadt, dem uralten -Stammesheiligtum der Babylonier, der Sumerische Sturmgott En-lil, -dessen Idiogramm später als Bel gelesen wird, seinen Kult hatte, keine -Tafeln mit Schriftzeichen gefunden, aber der Beweis liegt darin, dass -die semitischen Silbenzeichen ursprünglich sumerische Worte bedeuten. -Meyer weist mit Recht darauf hin, dass die Semiten als Erfinder der -Schrift, alle Konsonanten ihrer Sprache bezeichnet hätten, und weist -auf den entscheidenden Einfluss hin, den die sumerische Schrift und -Sprache auf das Semitische der Babylonier für Phonetik und Satzbau -geübt hat. - -[Sidenote: Gudea und die Fürstpriester von Telloh.] - -Durch die Ausgrabungen de Sarzecs wissen wir, dass nach dem Tode der -grossen Semitischen Fürsten Sargon und Naramsin die Sumerer auch in -Accad vorübergehend zur Macht gelangten in dem Königreich von Sumer -und Accad der Fürsten von Ur; wir kennen durch die so erfolgreichen -Ausgrabungen ¨E. de Sarzecs¨ aus wunderbaren Statuen, denen leider der -Kopf fehlte (vgl. Abbildung) und einer Reihe von Schriften, genauer -Vertonungen ihren König oder richtiger Fürstpriester, pateïssi, denn -nie nennt er sich König, ¨Gudea¨; nach ¨Winkler¨ war er Vasall des -¨Urengur¨ von Ur, König von Sumer und Accad, und Gudeas Vorgänger -Urnina, Entemena etc. Ihre Residenz war Schirpurla auch Lagasch, -heute Telloh geheissen; und die Urkunden aus jenen ältesten Zeiten -sind für die Entwicklung der Schrift ganz besonders wichtig. Der Plan -und der Massstab Gudeas (vgl. Abb. S. 62) ist für die Metrologie -beinahe unschätzbar; wie die p. 105 besprochene Arbeit ¨Borchardts¨ -beweist, ist er zirka 3000 Jahr in Gültigkeit geblieben, und stimmt -nach der ¨Borchardt¨'schen Messung mit ¨Lehmanns¨ Hypothesen (p. 106) -vortrefflich. - -[Illustration: Gudea mit Plan und Massstab.] - -[Illustration: Plan der Gudeastatue, 1/2 der nat. Grösse.] - -[Illustration: Massstab der Gudeastatue, 1/2 der nat. Grösse.] - -[Sidenote: Statuen des Gudea.] - -Durch einen merkwürdigen Zufall ist uns jetzt auch der ¨Kopf Gudeas¨ -bekannt geworden. Der Nachfolger de Sarzecs in den Ausgrabungen von -Tello (Sirpurla), der Kapitän ¨G. Cros¨, fand unweit der Stelle, -wo jener einen prächtig gearbeiteten Kopf aus Diorit ausgegraben -hatte, eine kleine ganz disproportionierte Statue ohne Kopf, die laut -Inschrift als die der Gudea bezeichnet wurde, von ihm seinem speziellen -Schutzgott, dem er auch den neuen Tempel in Tello gebaut hatte, dem -Ningiszida, dem Sohn des Nin-a-zu (nach Meyer ein anderer Name für -den Götterkönig Anu, den Himmelsgott) gewidmet. ¨Léon Heuzey¨, der -ausgezeichnete Leiter der Assyrischen Abteilung des Louvre, bemerkte, -dass die Brüche des Kopfes und des Torso zu einander passten, er -setzte den Kopf auf den Torso und ohne jeden Kitt sass er fest (vgl. -Rev. d'Assyr. Bd. VI, 1907 p. 19). Dadurch besitzen wir jetzt 4 Köpfe -des Gudea, darunter der von Hilprecht in seinem Vortrag über die -Ausgrabungen im Bêl-Tempel zu Nippur S. 52 wiedergegebene »Marmorkopf -von feinster Arbeit«. Die Köpfe tragen sämtlich die sogenannte Kappe -der Sumerischen Fürsten, die wir bei Chammurabi (s. u.) wiederfinden, -und drei davon den Turban, der also uralt sumerischen Ursprungs ist. -Die scheinbare Plumpheit und Disproportioniertheit der Körper der -Statuen aus Tello hat Heuzey m. E. sehr zutreffend erklärt. Der Körper -diente nur als Sockel für den Kopf, falls der schwer zu bearbeitende -Dioritblock für eine ganze Statue zu klein war, und ¨Heuzey¨ bemerkt -sehr richtig, dass unsere Büsten mit ihrer abgespalteten Brust den -Sumerern, so sonderbar vorgekommen waren, wie uns die ihren. - -[Illustration: Kopf des Gudea, Federzeichnung nach dem Funde des Cap. -Cros.] - -[Sidenote: Semitische Einwanderung in Vorderasien.] - -Und von der entgegengesetzten Seite her, wie heute ziemlich feststeht, -von Nordafrika her, drangen nomadische Semitenschwärme, in verschiedene -Volksstämme, richtiger Clane gespalten in das reiche Zweistromland, und -siedelten sich in der 13 Meridian breiten, paradiesisch fruchtbaren -Ebene an. ¨Delitzsch¨ versetzt geradezu das Paradies in die Gegend -von Babylon, den Euphrat und Tigris nennt die Bibel selbst und die -beiden andern Ströme erklärt er für Kanäle, was nicht unmöglich, da -die Babylonier für Kanal und Fluss dasselbe Wort nâru haben. An der -jetzigen grauenhaften Verödung dieses Paradieses erklärt Delitzsch -die Türken für unschuldig, und sicher haben Beduinen und Islam vor -den Türken die Versandung der Kanäle und damit die Verödung des -Landes auf dem Gewissen. Wir hegen die begründete Hoffnung, dass -die deutsche Bagdadbahn und das deutsche Kapital in wenig mehr als -einem Menschenalter die jetzige Wüste wieder zu einem grossen Garten -umgeschaffen haben wird. - -[Sidenote: Sargon und Naramsin.] - -Die Unterwerfung der Sumerer gelang um so leichter, als sie keinen -Grossstaat hatten, sondern nur einzelne grosse Städte, in denen -sich nach und nach die Semiten ansiedeln. Die Städte standen unter -sogenannten Fürstpriestern, Pateissi, die sich gegenseitig unter -einander befehdeten, wie wir aus den Inschriften ¨Gudeas¨ erfahren, und -aus dem von ¨Cros¨ vor kurzem ausgegrabenen Bericht über die Verwüstung -Tellos durch Lugalzaggissi, den Pateissi der Nachbarstadt Gishu, bis -sie unter die Oberherrschaft Semitischer »Grosskönige« gerieten, wie -Tello unter die des grossen Semitenfürsten ¨Sargon I.¨, Besitzer -von Argade (Accad), der von Nordbabylonien, dem Lande Accad aus, -auch Südbabylonien (Sumer) unterwarf. Sargons und seines ebenfalls -bedeutenden Sohnes ¨Naramsin¨ Existenz war lange sagenhaft, -- die -Moses-Mythe wird auch von Sargon erzählt -- bis Nabonahid und die Funde -der Amerikaner in ¨Nippur¨, dem Sitz eines uralten Tempels des Bêl, -ihre historische Existenz bewiesen. Dort ist sogar der Stempel des -Sargon (vgl. Abb.) mit seinen altertümlichen Schriftzeichen gefunden -worden. - -¨Nabonahid¨, der letzte König von Babylon, war das, was wir heute einen -Romantiker nennen würden, seine Interessen wurzelten in der Vorzeit, er -wollte den uralten Dienst des Schamasch, der Sonne, und des Sins, des -Mondes, wiederherstellen und geriet so in Konflikt mit der mächtigen -Priesterschaft des Marduk-Bel in Babylonien, deren Unterstützung Cyrus -mehr für seinen Erfolg verdankte als der Macht seiner Waffen. Im -Grundstein des Tempels von Sippar, den Nabonid erneuern wollte, fand -er die Urkunde Naramsins, des Sohnes des Sar-u-ukin. Die Gelehrten -des Königs berechneten nach den Königslisten die Regierungszeit des -Naramsin auf 3200 Jahre früher, wodurch Sargon auf 3800 v. Chr. gerückt -wurde, und mit ihm Gudea. Trotz mancher Bedenken, welche gegen dieses -hohe Alter geltend gemacht wurden, insbesondere von ¨H. Winkler¨ und -¨C. F. Lehmann¨, nahm doch noch ¨Bezold¨ 1903 diese Daten als richtig -an. Aber der Fund der neuen Königsliste von Nippur, aus dem Ende des -3. Jahrtausend der Schrift nach, durch ¨Hilprecht¨ 1906 im XX. Bd. -der Berichte publiziert und interpretiert, bewies, dass Lehmann mit -seiner Vermutung, dass die Gelehrten des Nabonid sich um etwa 800 Jahre -geirrt hatten, im Recht war und die neue Chronologie von ¨L. W. King¨ -(Chronicles conc. early Babyl. kings 2 vol 1907) setzt Sargon von Akkad -auf 2500 v. Chr. auf Grund der Arbeiten ¨H. Rankes¨. - -[Illustration] - -[Sidenote: Babylonisch-Assyrische Chronologie.] - -Über die Chronologie sei gleich hier bemerkt, dass der Hang der -Babylonier zum genauen Datieren, insbesondere auch die zahllosen -Geschäftsurkunden, die wir von Gudea bis Nabonid besitzen, uns über -die Chronologie der Assyrer weit besser als über die der Ägypter -unterrichtet haben. In Kürze werden uns die Ausgrabungen, besonders -die der Pennsylvania Universität in Nippur bis ins 4. Jahrtausend -hinein eine völlig gesicherte Zeitfolge der Geschichte gewähren, von -Chammurabi bis Kyros, von 2000 bis 539 steht sie schon jetzt auf -sicherem Boden. Vom 15. Jahrhundert bis zum Jahr 1000 können wir uns -auf die sogen. ¨synchronistische¨ Geschichte stützen. Nach ¨H. Winkler¨ -(die Keilinschr. u. das alte Test. 3. Aufl. 1903 p. 47) ist es ein -Dokument, in welchem ¨Adad-nirari¨ III. von Assyrien (812-783) die -Vereinigung Assyriens und Babyloniens als im Interesse beider Völker -hinstellt, nach ¨Bezold¨ ein Staatsvertrag beider Länder. Jedenfalls -wird darin in Kürze die Geschichte beider Länder chronologisch erzählt. -Die synchron. Geschichte ist immerhin nicht ganz einwandfrei, sie -enthält gewissermassen den persönlichen Fehler Adad-niraris. Von -diesen sind für Assyrien die ¨Eponymenkanones¨, für Babylonien die -¨Königslisten¨ frei. Das Jahr wurde von Adad-nirari II., etwa um 900 -an, zunächst nach dem die Regierung antretenden Herrscher und dann -der Reihe gemäss, nach den höchsten Beamten benannt, wie in Athen -nach den Archonten. Beide Listen sind Chroniken zum Zweck genauer -Datierung von Rechtshandlungen. Die Vergleichbarkeit des Kanons mit -unserer Zeitrechnung wurde möglich durch Erwähnung der Sonnenfinsternis -im Monat Sivan bei Gelegenheit eines Aufstands gegen Assur-daja. Die -Astronomische Berechnung ergab den 15. Juni 763. Eine weitere Kontrolle -ergab dann der völlig zuverlässige Kanon des grossen Astronomen -Ptolemaios (vgl. Hellas), der uns hilft bis zur ¨Seleuciden¨-Ära -(Berossos), deren Beginn zwischen 312 und 311 schwankt und die -Arsaciden-Ära von 248, welche neben der Seleucidenära hergeht. - -Die Semiten überschwemmten ganz Westasien, längs der Küste des -Mittelmeeres zogen die Phönizier, besser Kanaanäer, zu denen die -Chabiri, die wir jetzt als Hebräer bezeichnen, gehören, die, wie es -scheint, noch im Anfange der historischen Zeit nicht sesshaft waren, -und erst zur Zeit Chinatôns ihre Stammesgenossen angriffen. - -Arvat, Byblos und vor allem Sydon und Tyrus sind Städte der Phönizier. -Die zweite Sammelgruppe der Beduinenschwärme bilden die Aramäer, mit -dem Hauptzweig der Syrer, die südlich von den Kanaanäern hielten -und sich weit nach Norden und Osten vorschoben. Hier kam es nur in -Damaskus, der alt berühmten noch heute blühenden Handelsstadt zu einer -Staatenbildung. Am ausgedehntesten war die Wanderung des an Zahl -stärksten dritten Zweiges, der Babylonier und Assyrer, die sprachlich -und genealogisch nahe verwandt sind. Doch sind nach den Abbildungen die -Babylonier weit stärker mit den Sumerern blutgemischt als die Assyrer. - -[Sidenote: Geschichte der Babylonier und Assyrer.] - -Die Assyrer sind sprachlich und auch dem Rassentypus nach mit den -Babyloniern so nahe verwandt, dass die Annahme ihrer Abzweigung von -diesen, etwa um 1150, nach einem siegreichen Einfall der Elamiten, sehr -wahrscheinlich ist. Sie waren ein Krieger- und Herrenvolk, das den -Priestern einen weit geringeren Einfluss einräumte als die Babylonier. -Ihre Kämpfe, wie die der Babylonier, gelten, wie leicht begreiflich -ist, dem Bestreben, sich die grossen Handelsstrassen nach Indien und -nach dem Kulturzentrum, dem Mittelmeerbecken offen zu halten. Wird -ihnen, durch das Aufkommen einer nicht semitischen Grossmacht ein -Handelsweg im Westen verlegt, so erkämpfen sie sich einen neuen im -Osten. Sehr bald gingen sie gegen Babylonien aggressiv vor, und der -grausame aber tüchtige ¨Assurnassirpal¨ bringt Babylon völlig unter -seinen Einfluss. Der eigentliche Begründer der Assyrischen Weltmacht -¨Tiglat Pileser¨ III. besteigt dann 744 unter dem Namen Pulu (Phul -der Bibel) den Thron Babels und nennt sich König von Sumer und Accad. -Diese Glanzzeit Assyriens hält unter Sargon II. und seinem Sohn -¨Sanherib¨ an, aber kurz nachdem Sanherib Babylon zerstört hatte (689) -und nach der erfolgreichen Regierung ¨Assurbanipals¨ (Sardanapal) wird -auch Ninive, die Residenz seit Sanherib von den Medern unter Kyaxares -zerstört und zwar weit gründlicher als Babel. - -Bis an die Hochebene Mediens in Nordosten, Elams oder Susa in Südosten, -im Süden bis an die Sümpfe der Mündung des Euphrat und Tigris in -den persischen Busen drangen die Semiten, auch hier zunächst kein -Grossstaat, sondern Städte, die das Stammesheiligtum bargen als Zentren -des Kultus, des Marktverkehrs und Sitz der Fürsten. Nach Agade und -Sirpurla nenne ich Kis, Ur (deren Fürsten sich seit ¨Urengur¨ Könige -der vier Weltgegenden nannten und Nordbabylonien in Abhängigkeit -brachten), Nippur, Larsam und Babel, die mehr oder minder zentrale -Bedeutung gewannen bis Chammurabi (vielleicht der Amraphel der -Bibel) Babel zur Hauptstadt des Grossstaats Babylon machte, der nun -Nordbabylonien (Accad) und Südbabylonien (Sumer) durch Eroberung von -Larsam im Süden und Absetzung des dortigen Königs einte. - -Babel war eigentlich eine Doppelstadt, an einem Ufer Babel -- das -Tor Gottes, am andern Borsippa (Birs) -- die Stadt des Mondgottes -Sin, dessen Kult in Sumer, insbesondere in Ur blühte, während in -Nordbabylonien der Dienst der Sonne (Schamasch und Marduk) in den -Vordergrund trat. - -[Sidenote: Chammurabi.] - -[Illustration: Ḫammurabi empfängt von Schamasch seine Gesetze.] - -Wir kennen ¨Chammurabi¨ wie wenige Fürsten des Altertums, und wenige -Regenten dürften ihn in alter und neuer Zeit an Kraft und Weisheit, -und wenn wir seinen Gesichtszügen (s. Abb.) und den zahlreichen -Rechtsschriften Glauben schenken, auch an Gerechtigkeit und Milde -übertroffen haben. Was er für die Stadt Babel getan, berichtet er uns -selbst sumerisch und babylonisch: »Chammurabi, der mächtige König, der -König von Babylon, der König der vier Weltgegenden, der Begründer des -Landes, der König, dessen Taten dem Fleische des Gottes Schamasch und -des Gottes Marduk wohltun, bin ich. Die Spitze der Mauer von Sippar -habe ich mit Erdreich wie einen Berg erhöht, mit Rohrgeflecht habe ich -sie umgeben. Den Euphrat grub ich ab gen Sippar zu und liess einen -Damm dafür aufwerfen. Chammurabi, der Begründer des Landes, dessen -Taten etc. wohltun, bin ich. Sippar und Babel habe ich auf immerdar zu -behaglichen Wohnstätten gemacht. Chammurabi, der Günstling des Gottes -Schamasch, der Liebling des Gottes Marduk bin ich. Was seit uralten -Tagen kein König dem Herrn der Stadt (dem Schutzgott) gebaut hat, das -habe ich für Schamasch, meinen Herrn, grossartig ausgeführt.« - -[Illustration: Chammurabi.] - -[Sidenote: Codex des Ḫammurabi.] - -Hatte ¨C. Bezold¨ in Ninive und Babylon schon ¨Chammurabi¨ in der -eben zitierten Weise gewürdigt, so wurde die Gestalt dieses grossen -Fürsten in noch weit helleres Licht gerückt durch die Erfolge der -französischen Ausgrabung unter ¨G. de Morgan¨ in Susa, der Hauptstadt -von Elam. In drei Stücken wurde dort im Dezember 1901 und Januar 1902 -die Standsäule mit der Gesetzsammlung Ḫammurabis gefunden, welche -1903 von ¨V. Scheil¨ zum ersten Male ediert und in französischer -Sprache erklärt wurde und 1904 von ¨H. Winkler¨ deutsch und von -¨R. Harper¨ englisch ebenfalls 1904, und vom juristischen Standpunkt -von ¨J. Köhler¨ und ¨E. Peiser¨ 1904. Der Codex Hammurabis steht auf -einer ethischen Höhe, welche dem mosaischen vom Sinai nichts nachgibt, -und ist das erste uns erhaltene Corpus juris. Sie genoss, Winkler -zufolge, viele Jahrhunderte das höchste Ansehen -- wie die Gesetze des -Moses sind sie von Gott gegeben, das Bild der Säule zeigt, wie der -König die Gesetze von Schamasch empfängt, leider ist das Antlitz des -Königs, der Kappe und Stab trägt, verstümmelt, der Sonnengott ist mit -¨Turban¨ und Faltenrock bekleidet -- sie hat das griechische Recht, -dieses das römische und dieses das unsrige in hohem Grade beeinflusst. -Die Strafe ist natürlich wie bei den Hebräern und Römern Vergeltung, -bei Sittlichkeitsvergehen Abschreckung. Im Zivilprozess spielt der Eid, -grade wie bedauerlicherweise noch heute, eine hervorragende Rolle. Die -Sammlung weist der Frau eine rechtliche Stellung an, welche sie noch -heute in der Türkei nicht errungen hat, sie schränkt die väterliche -Gewalt, ich nenne nur § 168, die Ausweisung des Sohnes betreffend, -erheblich ein, und das Erbrecht ist in sehr zu billigender Weise -geregelt, denn auch hier ist die Frau und die Tochter geschützt. Das -Handelsrecht hat er wohl kaum modifizieren können, denn das war ja -zugleich international, aber das sogenannte Sumerische Familienrecht -zeigt, dass dieser Schutz der weiblichen Familienglieder so recht -dem eigenen Sinn des grossen Königs entsprungen ist. Und so können -wir den Worten, mit denen er auf der Säule sich seiner Taten nach -orientalischer Sitte rühmt -- Einleitung und Schluss -- wohl Glauben -schenken. Die Stele kam nach Susa als Trophäe zugleich mit anderen -wichtigen steinernen Urkunden im 12/11 Jahr v. Chr., als die Elamiten -unter Sutruk-Nahunte Sippar und Babylonien erobert hatten. Es sei hier -auch erwähnt, dass von dem Kampfe Abrahams zur Befreiung Lots auch eine -Urkunde Chammurabis berichten soll. Die Stele mit der Gesetzsammlung -zeigt am Anfang das Relief, welches die Übergabe des Codex an den König -durch Schamasch schildert, das Relief ist verstümmelt; (Abbild. S. 69) -die Legende ist um so deutlicher. - -[Sidenote: Babylonisch-Assyrische Kultur.] - -Die Geschichte Babyloniens und Assyriens kann ich hier nicht erzählen, -sie ist z. T. in der Bibel und bei Herodot und später bei Arrian, -Diodor, und vor allem bei Berossos etc. wenigstens von 2000 ab erzählt; -sie ist jetzt bis 4000 v. Chr. so ziemlich aufgehellt; sie wurde in -grossen Zügen durch die verschiedenen Schichten der einwandernden -nomadischen Semitenschwärme und durch die geographische Lage im -einzelnen bedingt. Nach Westen und Südosten Kämpfe mit den Aramäern -und weiter nördlich mit den Kanaanäern, Phöniziern und Hebräern, die -an dem nahen Ägypten Rückendeckung hatten. Im nördlichen Syrien auch -Kämpfe mit dem uralten vermutlich von Kappadocien her eingedrungenen -vielleicht indogermanischen Stamm der Cheti oder Hetiter, die sich -später mit den Hebräern vermischt haben und mit den Mitani, die noch -ziemlich rätselhaft sind. Im Norden, Osten oder Südosten ist es die -indogermanische Wanderung, die unausgesetzt das babylonisch-assyrische -Reich bedroht; im Norden zusammengefasst als Skythen, im Osten die -Meder, in Südosten die Elamiter mit der Hauptstadt Susa. Im Süden -wieder hemmten die Chaldäer, die im sogenannten neubabylonischen -Reiche nach jahrhundertelangen Kämpfen schliesslich die Herrschaft an -sich rissen. Und hinter den Medern und Elamitern wieder Indogermanen, -deren bedeutsamster Stamm, die Perser, das ganze babylonische Reich -zerstörten. - -[Sidenote: Grotefend und die Entzifferung der Keilschrift.] - -¨Die Erschliessung der babylonisch-assyrischen Kultur¨ verdanken wir -in erster Linie dem Lehrer am Gymnasium zu Göttingen: ¨Georg Friedrich -Grotefend¨. Aus den Ruinen von Persepolis, der von Alexander dem -Grossen in der Trunkenheit in Brand gesteckten Hauptstadt Persiens, -waren im Laufe der Zeit einige Inschriften in eigentümlichen -keilförmigen Zeichen bekannt geworden, und ¨Carsten Niebuhr¨, der -Vater des berühmten Historikers hatte 1770 äusserst sorgfältige und -ausführliche Kopien mitgebracht, welche die allgemeine Aufmerksamkeit -auf die Keilschrift lenkten; er hatte auch schon bemerkt, dass die -Inschriften drei verschiedenen Schriftsystemen angehörten und von -links nach rechts zu lesen waren. Zufällig wurde Grotefend auf einem -Spaziergang im Juli 1802 veranlasst, sich mit der Entzifferung zu -beschäftigen und schon am 4. September 1802 legte er die Resultate -seiner Forschung der Göttinger gelehrten Gesellschaft vor. Er ging -davon aus, dass die in drei verschiedenen Keilschriften und also -auch wohl in drei verschiedenen Sprachen verfassten Inschriften -von den Erbauern der Paläste, den persischen Achämeniden Darius, -Xerxes, Artaxerxes etc. herrührten; dass also vermutlich die erste -der drei Sprachen die persische, dass die Texte wahrscheinlich auch -die Namen der Könige enthielten, dass endlich die Schrift des ersten -Systems wegen der geringen Anzahl der Zeichen eine Buchstabenschrift -sein musste; danach verglich Grotefend die ihm aus der Bibel und -den Klassikern und aus der Zendsprache in den heiligen Büchern -Zarathustras bekannten Namen dieser Könige auf ihre Länge und die -Wiederkehr gewisser Zeichen und kam zu folgendem Schluss: Eine häufig -wiederkehrende Gruppe von Zeichen musste König oder verdoppelt König -der Könige bedeuten, und in den dieser Gruppe vorangehenden Zeichen -war der Name des Königs enthalten; so fand er Darius oder vielmehr -die altpersische Form Dārheūsch, und ein zweiter Name liess sich als -Xerxes-Khschêrsche, ein dritter als Hystaspes-Gôschtaspähe deuten -und ebenso bekam er das Wort Sohn heraus. Die Göttinger gelehrte -Gesellschaft verfuhr mit der Abhandlung Gr. ähnlich wie die dänische -mit der Kaspar Wessels über die geometrische Darstellung der Complexen -Zahlen und die Pariser Akademie mit ¨Abels¨ grösster Arbeit: sie -lehnte es ab, die Abhandlung zu veröffentlichen. »Erst neunzig Jahre -später (1893) ist seine Originalabhandlung von Prof. Wilhelm Meyer in -Göttingen wieder aufgefunden und in den »Gelehrten Nachrichten« der -Akademie veröffentlicht worden.« (¨H. V. Hilprecht¨, die Ausgrabungen -in Assyrien und Babylonien 1904). - -Aber die Entdeckungen Grotefends wurden vor dem Schicksal der -Wessel'schen und Abel'schen bewahrt, dadurch dass sie Aufnahme fanden -in das s. Z. epochemachende Werk von ¨A. Heeren¨, Ideen über Politik, -den Verkehr und den Handel der alten Welt 4. Aufl. I, 2 S. 345. So war -die Grundlage geschaffen, auf der dann die anderen, ich nenne ¨Benfey¨, -¨Hinks¨, ¨Oppert¨, ¨Spiegel¨ weitergebaut haben, so dass jetzt die -bisher bekannten derartigen Texte, mit voller Sicherheit gelesen werden. - -In der zweiten Schrift entdeckten ¨Norris¨ und ¨Oppert¨ eine aus -Silbenzeichen und einigen Wortzeichen konstruierte Schrift, in der, -wie heute feststeht, die susische oder elamitische Sprache ausgedrückt -wurde; sie enthält gegen 100 Zeichen. - -Weit grössere Schwierigkeit bot das dritte System, das über 300 -verschiedene Keilschriftzeichen enthielt. Die Entzifferung war schwer -möglich und sie gelang Grotefend nicht. Da entdeckte ¨James Rich¨, ein -geborener Franzose, aber Resident der ostindischen Kompagnie in Bagdad -im Jahre 1820-21 gegenüber der blühenden Handelsstadt Mossul (Musselin) -auf dem linken Tigrisufer die Ruinen von Ninive und fand zahlreiche -Inschriften des dritten Systems. Bemerkenswert ist es, dass schon im -12. Jahrhundert der spanische Rabbi ¨Benjamin von Tudela¨ den Ort von -Ninive bestimmt bezeichnete. - -Fast gleichzeitig wurde die sogenannte grosse Dariusinschrift, eine -sehr lange dreisprachige Inschrift am Felsen von Behistun, einer 100 -Meter steilen Felswand, an der Grenze des alten Mediens gefunden und -1835 von ¨Henry Rawlinson¨ vermittelst hoher Leitern auf ungeheueren -Papierabklatschen aufgenommen unter grosser Lebensgefahr --, man nennt -die Dariusschrift den Babylonischen Stein von Rosette --. Von nun ab -wuchs die Menge der ausgegrabenen Inschriften rapide, besonders durch -die Arbeiten von Sir ¨Henry Layard¨ und ¨Rassam¨, im Auftrage des -British Museum, in Nimrud, 25 Kilometer von Mossul, die alte Residenz -¨Kelach¨. - -[Sidenote: Die wichtigsten Ausgrabungen.] - -Im Jahre 1881 entdeckte ¨Hormuz Rassam¨ die Ruinen von Sippar. R. -hatte schon 1878 in Balawat, die für die assyrische Kunst- und -Kulturgeschichte gleich wichtigen Bronzetüren Salmanassars II. -gefunden. Von grösster Bedeutung sind die Ausgrabungen der Franzosen in -Tello gewesen, schon dadurch dass die wunderbaren Funde ¨E. de Sarzecs¨ -Franzosen, Engländer, Amerikaner, Deutsche, ja selbst die hohe Pforte -zu weiteren Arbeiten anspornte. Vor de Sarzec hatten schon im Auftrage -der französischen Regierung ¨Botta und Place¨ in Korsabad den Palast -Sargons II. gefunden und mit Glück gearbeitet, und den Grund zu der -grossen Sammlung im Louvre gelegt. - -¨De Sarzecs¨ »Découvertes en Chaldée« von ¨Léon Heuzey¨ 1868 auf Kosten -der Regierung herausgegeben, wie schon die Prachtwerke, welche über -Bottas und Places Arbeiten berichteten: Monument de Ninive découvert -et décrit par ¨E. Botta¨, mesuré et dessiné, par ¨E. Flandin¨, Paris -1846-50 und ¨V. Place¨, Ninive et l'Assyrie 1866-69, haben der modernen -Assyriologie den stärksten Impuls gegeben. Die Franzosen setzen die -Ausgrabungen von Tello bis heute fort, daneben hat die Expedition -nach Elam (Susa) unter ¨De Morgan¨, deren Resultate der hochverdiente -¨V. Scheil¨ mitgeteilt hat, u. a. den Kodex des Chammurabi aufgefunden. -Die Engländer ihrerseits haben fleissig unter Budge und King in -Kujundschik, das Layard seinerzeit den Franzosen weggenommen, -gearbeitet. Die ¨Deutsche Orientgesellschaft¨ arbeitet seit 1899 -unter ¨R. Koldwey¨ und ¨L. Borchardt¨ mit grossem Erfolg in Babylon -und besonders in Assur. Aber mit den Riesensummen, welche der Staat -Pennsylvanien und seine Universität Philadelphia auf die Ausgrabungen -in Nippur verwandt hat, ist keine Konkurrenz möglich. Von den Leitern -¨J. P. Peters¨, ¨H. V. Hilprecht¨, ¨J. H. Haynes¨ ist besonders der -Deutsche Hilprecht der eigentliche Assyriologe, unter dessen Leitung -die Excavations in Assyria and Babylonia die Resultate der seit 1879 -bis jetzt fortgesetzten Ausgrabungen der Mit- und Nachwelt zugänglich -machen. - -[Sidenote: Die Keilschrift.] - -Es gelang vier grossen Forschern ¨Rawlinson¨, ¨Oppert¨, ¨De Saulcy¨ -und dem scharfsinnigen Irländer ¨Hinks¨ die dritte Schrift und die -Sprache zu entziffern. Die Schrift war eine Verbindung von Wort und -Silbenzeichen, die Sprache eine der arabischen und hebräischen nahe -verwandte, es war die babylonisch-assyrische Sprache. Die Schrift war -ursprünglich eine ziemlich rohe Bilderschrift, zeigt aber schon in -ihren ältesten Formen das Bestreben, Bogen durch Striche zu ersetzen, -aus denen sich dann die Keilschrift entwickelte. So sind z. B. die -ältesten Formen für »Stern«, »Sonne«, »Rohrpflanze«: - - [**symbol] [**symbol] für [**symbol] [**symbol], später [**symbols] - -und weiterhin vereinfacht: - - [**symbols] - -und analog haben sich aus den Bildern [**symbols] für Fuss und Weib die -betreffenden Keilschriftzeichen entwickelt. - -Diese Keilschriftzeichen lassen sich im wesentlichen auf drei -Grundelemente: den horizontalen Keil [**symbol], den vertikalen Keil -[**symbol] und den schrägen Keil [**symbol] zurückführen, selten -sind die umgekehrten Keile, der Winkelhaken [**symbol] ist wohl aus -Vereinigung zweier Keile hervorgegangen. Die Keile konnten durch -Wiederholung, Neben- und Übereinanderstellung und Kreuzung zu den -mannigfachsten, oft äusserst komplizierten Gruppen vereinigt, sowohl -Worte als Silben im Assyrischen bezeichnen. Dabei zeigte sich aber eine -anfangs äusserst rätselhafte Erscheinung, die sogenannte Polyphonie. -Dasselbe Zeichen bedeutet sehr oft ein oder mehrere Worte und daneben -noch ein oder mehrere Silben. So bedeutet das Zeichen [**symbol] -nicht nur »Stern«, assyrisch Kakkabu, sondern auch Himmel schami und -Gott ilu und hatte die Silbenwerte an und il. Das Zeichen [**symbol] -hatte nicht nur die Wortbedeutungen »Land« (matu) »Berg« (schadu), -erreichen, erobern Kaschādu; aufgehen (von der Sonne, napāchu), sondern -konnte auch ausserdem als Silbenzeichen in seinen verschiedenen -Zusammenstellungen mit andern Zeichen noch kur, mad, mat, schad, schat, -lat, nad, nat, kin oder gin gelesen werden. - -Das Rätsel löste sich mit einem Schlage als ¨Rawlinson¨ aus einer -Anzahl sehr alter Keilschrifttexte eine neue Sprache in genau derselben -Schrift entdeckte, die Sprache der Sumerer. - -Die Beduinenhorden der Babylonier hatten sich mit dem Lande zugleich -der ¨Schrift¨ der Sumerer bemächtigt, [**symbol] der Himmel hiess -sumerisch an, hoch und wurde im Babylonischen Zeichen für den Begriff -Himmel und für die Lautsilbe an, Wortzeichen und Determinativ für Gott -und ebenso wurde [**symbol] Land; Berg, sumerisch kur als Wortzeichen -und Determinativ für Land und Berg und Silbenzeichen gebraucht. - -Diese Erklärung wurde später durch die Auffindung einer grossen -Menge zweisprachiger Texte, babylonisch und sumerisch, in derselben -Schrift bestätigt. (¨E. Bezold¨: Ninive und Babylon, Monographien zur -Weltgeschichte XVIII 1903.) - -[Sidenote: Entwicklung der Keilschrift nach Delitzsch.] - -Über die Entwicklung der Schrift oder den Ursprung der Keilinschriften -hat ¨Fr. Delitzsch¨, dem wir Wörterbuch und Grammatik des Assyrischen -verdanken, 1897 ein Werk veröffentlicht, das, mögen auch Einzelheiten -verbesserungsfähig sein, die Prinzipien völlig einleuchtend festlegt, -nach denen die Sumerischen Priesterfürsten die Schrift als Verbindung -von Wortzeichen -- Idiogrammen -- und Silbenzeichen geschaffen haben. -Und wenn die ¨Schrift¨ planmässig mittelst weniger aber wirksamer -Grundgedanken aus der Bilderschrift entstanden ist, so wird damit -auch meine Ansicht, dass das ¨Zahlsystem¨ eine planmässige und mit -Überlegung ausgeführte Schöpfung derselben Gelehrten ist, im höchsten -Grade wahrscheinlich. Gestützt auf die Formen der Schrift aus Telloh -und die noch älteren aus Nippur, die Geierstele, die Vase Entemenàs, -die Vase Lugat-šug-engur, welche sicher bis gegen 4000 (3700) -heraufreicht, und, anknüpfend an des grossen 1905 verstorbenen Jules -Oppert Expédition en Mésopotamie 1859 Kap. I, schied D. zunächst -37 Urzeichen aus, welche sich aus 21 Urbildern und 16 Urmotiven -zusammensetzen. Ich gebe hier die wichtigsten an: [**symbol] Stern -etc., [**symbol] Sonne, aufgehend, Tag, Licht, hell sein, [**symbol] -untergehende Sonne, schwach werden, niedergehen. [**symbol] Zunehmender -Mond (Horn), zunehmen, voll werden, [**symbol] schwinden, zurückkehren -(abnehmender Mond), [**symbol] penis = Mann, männlich, [**symbol] Mann, -Diener, [**symbol] (volva) = Weib, [**symbol] Auge aus [**symbol]; -[**symbol] Hand, [**symbol] (Fuss) gehen, stehen. [**symbol] Herz, -[**symbol] Ochse, [**symbol] Werkzeug zum Öffnen, daher öffnen, -auflösen, Tod, [**symbol] Netz, Geflecht, Gefüge, [**symbol] -Umschliessung, [**symbol] Raum, [**symbol] Kreis (aus [**symbol]), -[**symbol] das Richtungsmotiv, dessen Ecken die 4 Kardinalpunkte und -dessen Axe die Nord-Südlinie verbildlicht; [**symbol] oder [**symbol] -Spitze, daher [**symbol] Gebirge, [**symbol] Kopf, [**symbol] Bogen, -Kurve etc. - -Aus diesen Grundelementen werden dann durch Zusammensetzung gleicher -oder verschiedener Zeichen beliebig viele neue Wortzeichen abgeleitet, -welche sich häufig als Definitionen der dargestellten Begriffe erweisen -und auf die Psyche und die Kultur des Volkes der Sumerer ein so helles -Schlaglicht werfen, dass D. daraufhin den Versuch wagen konnte, ihren -Kulturzustand zur Zeit der Schrifterfindung zu rekonstruieren. - -Die Verdoppelung, im Altbabylonischen auch als Kreuzung sichtbar -gemacht, dient zunächst als Pluralzeichen und Iterativum wie das -hebräische Piël, dann aber auch zu Neubildungen. Aus [**symbol] geben -wird durch [**symbol] hinzugeben, addieren tab, dap; aus [**symbol] -gross (nun-rabû) wird [**symbol] Herr d. i. Grösster (Grossmann -der Hottentotten), mit doppelten Zeichen des Umschliessens wird -die Summe bezeichnet: [**symbol] entwickelt zu [**symbol]. Für die -Zusammensetzung ungleicher Zeichen greife ich aus den Beispielen von D. -die folgenden heraus: berufen, erwählen = Auge + werfen, König = gross -+ Mensch, Hirt, [**symbols] bei Gudea = Stab + Träger. Fügte man in -das Zeichen für Mund das Zeichen für Brot ein, so erhielt man: essen, -und das eingefügte [**symbol] (Wasser) ergab trinken und tränken. Die -»Schlacht« wird dargestellt als »Handwerk des Kriegers«, der Regen als -[**symbols] gleich Wasser des Himmels, die Tränen als Wasser des Auges -[**symbols]; Vater als Schützer des Hauses zu erklären unter Hinweis -auf das entsprechende lateinische pater familias scheint allerdings -zweifach fehlerhaft, insofern das Zeichen im Haus den Feind bedeutet -und das sanscrit paṭar schützen mit piter Vater gar nichts zu tun -hat. Die Verkürzung des a zu i in Jupiter und der Komposition (z. B. -suscipio) ist eine ganz spez. lateinische Eigentümlichkeit. Eins der -schlagendsten Beispiele ist Mond oder Monat, das durch Tag und 30 -bezeichnet wird; [**symbol] und [**symbol] also [**symbol]. - -[Sidenote: Die Gunierung.] - -Ein ebenso einfaches wie weittragendes Mittel der Weiterbildung ist die -von den Babylonisch-Assyrischen Grammatikern gunû, d. i. Beschwerung, -genannte Steigerung. Sie besteht in der Hinzufügung von 4 Strichen oder -Keilen, d. h. also Paare von Paaren, die aus Rücksicht auf den Raum -mitunter auf drei reduziert werden. So wird aus [**symbol] Wohnung, -Wohnraum durch Gunierung [**symbol] Palast, Residenz, Grossstadt, und -damit das Determinativ für die Sitze der Pateissi. Aus [**symbol] dem -Bilde des Unterschenkels mit Fuss, das zugleich gehen, stehen, stellen -etc. bedeutet, wird durch Gunierung [**symbol] »Fundament«. Zu den -von den Babylonischen Grammatikern, insbesondere von dem so äusserst -wichtigen Syllabar b der Bibliothek Sardanapals (s. u.) gegebenen hat -D. eine ganze Reihe neuer Gunû Idiogramme abgeleitet, von denen ich -erwähne das Schwert als grosser Dolch; der Vollmond ist der gunierte -Mond, d. h. der grosse, volle, Mond, die Monatsmitte, die vom Neulicht -(s. u.) gezählt wurde und dann Mitte schlechtweg, archaisch [**symbol], -und das Neulicht selbst wird als der ¨grosse¨ Eingang des Tages oder -als Anfang einer Tagesreihe guniert geschrieben. Es ist D. gelungen, -für einen sehr grossen Teil der Idiogramme meist recht einleuchtende -Ableitungen zu geben, auf Grund derer er es eben wagen konnte ein Bild -des Kulturzustandes der Sumerer nach Erfindung der Schrift zu geben. -Und selbst Erklärung wie die des Zeichen für Mensch [**symbol] als des -auf das Antlitz geworfenen Knechts oder »¨Hundes¨« der Götter sind in -Anbetracht, dass es Priester waren, welche die Schrift erfanden, nicht -unglaubwürdig, und recht einleuchtend ist die Erklärung für Ehemann -oder Frau als Verbindung von [**symbol] und [**symbol] durch das -Vereinigungszeichen [**symbol] p. 161 (vgl. Abb.). - -[Illustration] - -[Sidenote: Die Determinative und das phonetische Komplement.] - -Die Schwierigkeiten, welche die Vieldeutigkeit der Wort- und -Silbenzeichen boten, wurden durch zwei Mittel wesentlich vermindert, -erstens durch die Determinative, welche wie im Ägyptischen nicht -mitgelesen wurden, und zweitens durch das sogenannte Phonetische -Komplement (Delitzsch Grammatik 1907, § 33 a). Die gebräuchlichsten -Determinative sind [**symbol] ilu Gott sum. an, das nur vor An(u) -fehlt, dem Himmelsgott, der ja selbst mit an bezeichnet ist, [**symbol] -vor Ländern und Gebirgen, Fluss Kanal [**symbol] (Euphrat), Baum -[**symbol], Gerät altertümlich Holz [**symbol]. Mitunter wurden die -Determinative wie bei den Ägyptern nachgesetzt, so hinter Städten Ki -und hinter Fischen ḫa. - -Das phonetische Komplement besteht in der Hinzufügung einer oder auch -zwei Silben »um durch Bestimmung der Schlusssilbe (n) die richtige -Lesung zu sichern. Das sumerische Silbenzeichen [**symbol] für kur -bedeutet als Wortzeichen Berg šadu, Land mâtu, erobern kaṣadu etc. -Folgt auf kur, u, a, i, plur-e. -- Pluralzeichen nachgesetztes -[**symbol], vielleicht gunierte eins -- so sichert dies šadu -- a -- -i, etc., während Kur-ti, Kur plur-ti auf mâti, mâtati (Länder) und -Kur-ud auf aksud (ich eroberte) hinführt.« - -[Sidenote: Babylonisch-Assyrische Ausgrabungen.] - -In unerwarteter Weise haben wir über die Kultur, der diese Sprache -diente, Aufschluss erhalten durch die Ausgrabungen einer ganzen Anzahl -von Tempelbibliotheken. Im Jahre 1854 entdeckten ¨Rassam¨ und ¨Layard¨ -im Trümmerhügel von Kujundschik, einem Dorf gegenüber Mossul, die -Bibliothek Assurbanipals, das ist Sardanapal, in dem Nordpalast dieses -vielleicht grössten assyrischen Fürsten zu Ninive, dessen Regierung von -668-626 fällt. Über 22000 sorgfältig gebrannte Tontäfelchen oder Stücke -solcher Tafeln sind allein im British Museum geborgen. Es sind Tafeln, -deren Fläche von 37 × 22 und 2,4 × 2 variiert bei einer mittleren Dicke -von 2,4. Vorder- und Rückfläche, ja vielfach auch die Seitenwände sind -mit sorgfältiger Schrift beschrieben; die Tafeln enthalten Löcher -zur Aufnahme kleiner Holzpflöcke, mit denen die Tafeln zu Büchern -aufgereiht wurden. Die Zusammensetzung ist vielfach dadurch ermöglicht, -dass, ähnlich wie bei unsern Akten, das letzte, für sich stehende, Wort -einer Tafel das Anfangswort der folgenden ist. Eine Anzahl Tafeln ist -durch ein mit Adresse versehenes Kuvert, natürlich aus Ton, geschützt; -wir haben hier den Ursprung unserer Briefkuverts. Es ist die älteste -eigentliche Bibliothek, d. h. absichtliche Sammlung zur Bewahrung -der Literatur und zu wissenschaftlichen Zwecken. Sehr vielfach sind -sorgfältige Abdrücke älterer Schriften erhalten. - -[Sidenote: Die Ausgrabungen von Nippur.] - -1874 fanden Araber in Babylon mehr als 3000 beschriebene Tontafeln -geschäftlichen Inhalts, 1881 entdeckte ¨Rassam¨ die Ruinen von -Sepharwaim und fand bei Ausgrabungen des Sonnentempels das Archiv, das -aus Tonzylindern und über 50000 allerdings sehr schlecht gebrannten -Tontafeln bestand. Und die Ausgrabungen der Pennsylvania Universität -Philadelphia von 1889 an haben bereits zwei grosse Bibliotheken in -Nippur zutage gefördert, wo das älteste grosse Landes-Heiligtum des -Bel matâti, des Herrn der Länder, ¨ekur¨, das Haus des Berges, stand. -Die bedeutendere über 3 Jahrtausende v. Chr. alte, ist durch den -schon erwähnten Einfall der Elamiten gewaltsam zerstört, während die -jüngere auf schlecht gebrannten Tafeln, neubabylonisch, allmählich in -Verfall geraten ist. Über 23000 Tafeln sind geborgen und dabei sind -erst 80 Zimmer oder etwa 1/12 der Bibliothek ausgegraben worden. Aus -einer Reihe von Anzeichen im Boden schliesst ¨Hilprecht¨, der Leiter -der Ausgrabungen, dass in der untersten Schicht der Hügel noch eine -ältere vor Sargon, d. h. vor 3000 entstandene Bibliothek verborgen -liegt. Hilprecht bezeichnet die Bibliothek geradezu als Universität, -die sogar nach Fakultäten gegliedert war; eine Anzahl Säle enthielt die -philologische Abteilung, eine andere die astrologisch-astronomische, -wieder eine andere die technische etc. Im untersten Grund des -Tempelturmes fand Hilprecht vorzüglich erhalten aus dem 5. oder 4. -Jahrtausend v. Chr. eine Kanalisations-Einrichtung, die die unseren -beschämt. In mächtigen ¨Tonnengewölben¨, die noch den Römern unbekannt -waren, eingebettet in eine Art Zement, zwei Tonrohrleitungen mit Knie- -und T-Stücken, so dass jede Reparatur ohne Belästigung des Publikums -vorgenommen werden konnte. - -[Illustration: Turm zu Borsippa.] - -[Sidenote: Tempelanlage, Priesterausbildung.] - -Eine solche Tempelanlage bestand aus dem in Terrassen gelegentlich auch -mit Rampen in 7 Etagen aufgeführten hohen Turme; ich erinnere an den -Turm zu Borsippa (vgl. Abbildung), zu Babel, den Esagila, auf dessen -Höhe der Gott wohnt, in dessen Mitte die Menschen verkehrten und der -unten mit der Unterwelt zusammenhing. Daran schloss sich der Palast der -Priesterfürsten und die besonderen Gebäude der Unterrichtsanstalten, -das Archiv, die Verwaltungsgebäude. Ein solcher Tempel war nicht nur -Kultstätte, nationales Heiligtum, Sitz der Fürsten, sondern Landgut und -Fabrik, Bank, Archiv und Handelshaus. Die Tempel waren stets nach den 4 -Himmelsgegenden genau ausgerichtet, daher bedeutet das Richtungszeichen -(s. o.) auch Tempelfundament und das ¨gunierte¨ Zeichen [**symbol] -die Erde selbst als das grosse Fundament, da nach der Babylonischen -Weltschöpfungssage die Erde nach den 4 Kardinalpunkten ausgerichtet ist. - -[Illustration: Tonnengewölbe der Kanalisation von Nippur.] - -Wie sorgfältig der Unterricht war, und wie mühsam die Vorbereitung -eines jungen Priesters, davon können wir, die über Überbürdung -klagen bei unserm bisschen Unterricht, uns kaum eine Vorstellung -machen. Schrift und Sprache allein würden kaum von uns heutigen -bewältigt; hunderte von Schriftzeichen, die zusammen in mehr denn -12000 verschiedenen Anwendungen gebraucht wurden, die alle den -Adepten geläufig sein mussten; das Schreiben selbst schon so viel -umständlicher. -- Zu den wichtigsten Entdeckungen gehören auch die bei -Ägypten besprochenen Funde von Tell Amarna 1888. - -[Illustration: Hochrelief Urnina, König von Telloh und seine Familie.] - -[Sidenote: Babylonisch-Assyrische Kunst.] - -Die ¨Kunst¨ zeigt ganz analoge Entwicklung wie die ägyptische. -Von naturalistischen Anfängen wo die Kalamones, das Rohrgeflecht -der Euphrat- und Tigrismündung als Vorbild dienten, eine rasche -Entwicklung; dann ein Sinken, und wieder ein Emporblühen. Die erste -Blütezeit entwickelt sich etwa in 200 Jahren; altsumerisch bezeichnet -den Anfang etwa das Hochrelief ¨Urnina¨, König von Telloh etwas vor -3000, und seiner Familie; der verhältnismässig riesengrosse König, -links, trägt auf dem Kopf in einem Korbe Erde zum Bau seines Tempels -herbei (vgl. Abb.). Die genauere Erklärung bei E. Meyer l. c. p. 77 ff. -Die nächste Stufe wird verdeutlicht durch die berühmte ¨Geierstele¨ -(vgl. Abb.), welche den Sieg eines Vorgängers von Gudea, des Eannatum -über die feindlichen Nachbarn von Gishu darstellt, vgl. Meyer p. -82. ff. Es wird die Hilfe des Lokalgottes von Telloh, des Ningirsu, -verherrlicht, das Relief zeigt grosse Fortschritte, sowohl in der -Komposition als in der Technik des Hochrelief. Unter semitischem -Einfluss erhebt sich die Kunst zu der Höhe, welche sie unter Sargon -und Naramsin erreicht, wofür die herrliche Siegesstele des Naramsin, -von den Franzosen unter de Morgan in Susa gefunden, der vollgültige -Beweis ist, vgl. Meyer p. 10 ff. Diese Blüte semitischer Kunst -beeinflusst auch die sumerische, wofür die Fundstücke aus der Periode -Gudeas zeugen. Im Gegensatz zu dem Mangel an Proportionen bei den -Sumerern sind die Gestalten schlank und proportional, und die Technik -des Relief steht auf grösster künstlerischer Höhe. - -[Illustration: Rückseite der Geierstele.] - -[Illustration: Vorderseite der Geierstele.] - -[Illustration: Relief von den Bronzetüren aus Balawat.] - -Diese Blüte hält an bis auf ¨Chammurabi¨ und seine nächsten Nachfolger, -die Könige von Sumer und Accad. Aber mit dem Sinken der Macht dieses -altbabylonischen Reiches sinkt auch die Kunst, um dann unter der -Assyrischen Macht neu emporzublühen, etwa von Nebukadnezar I., von -1150 an, sie erreicht unter Sargon II. und Sanherib ihre Höhe, und -hält sich auf dieser bis Sardanapal bis etwa 600. Ich führe als -Beispiel hier die Bronzetüren Salmanassar II. aus Balawat (vgl. Abb.), -ferner den Urkundenstein ¨Kudurru¨, aus dem Berliner Museum, der die -Belehnung des Magnaten Bel-ache-irbâ seitens des Königs Mardukbaliddin -II. 715 darstellt (vgl. Abbildung). Meyer findet in diesem Stein den -semitischen Typus am reinsten ausgeprägt. Dazu die Dämonen (vgl. -Abbildung), Engel- und Tierkolosse, die wunderbaren Mosaiken der -Fussböden in den Palästen von Khorsabad (vgl. Abb.), und vor allem die -herrlichen Tiergestalten in bunter Mosaik aus der Zeit Nebukadnezar -II., Sargons etc. - -[Illustration: Mosaik aus dem Palaste Sargon II.] - -[Sidenote: Babylonisch-Assyrische Wissenschaft.] - -Wie es mit der Wissenschaft steht, bleibt noch zu untersuchen. Von -der Rechtswissenschaft wissen wir, dass sie sich bedeutend entwickelt -hatte, insbesondere das Handelsrecht stand auf einer Höhe, die dem -römischen nichts nachgibt. Wir kennen die Siegel und Namen grosser -Handelsfirmen wie Egibi und Söhne am Euphrat zur Zeit Nebukadnezars -und die Firma Maraschi Söhne zu Nippur zur Zeit Ezras und Nehemias. -Wir wissen, dass sie Filialen in allen Grossstädten hatten, und dass -der Schekverkehr, unsere neueste Errungenschaft, bei den babylonischen -Grossfirmen gang und gäbe war. - -[Illustration: Belehnung des Belacheirba durch König Mardukbaliddin II.] - -[Sidenote: Medizin, Mathematik.] - -Aus den Beiträgen zur Kenntnis der assyrisch-babylonischen Medizin -von ¨F. Küchler¨ (Assyrische Bibliothek von Delitzsch und Haupt XVIII -1904) sehen wir, dass die Priesterärzte, abgesehen von den üblichen -Beschwörungen, Omina etc. über eine sehr ausgedehnte Pharmazie -geboten. Es ist bekannt, dass die griechische Heilkunst stark von der -babylonischen beeinflusst ist, und auf Hippokrates geht unsere Medizin -zurück. Unser altes Apothekergewicht Gran, Skrupel geht auf Babylon -zurück (vgl. Küchler S. 84 ši'u). Geht doch auch Stab und Ring unserer -Bischöfe auf altbabylonische Götterdarstellungen zurück (Winkler, die -Gesetze Hammurabis 1904 p. VI). - -Eine neue Ausgabe des Theophrast ist in Vorbereitung und hoffentlich -wird man auf dem Umweg über die Griechische einigen Aufschluss über die -Babylonische Pharmakologie erhalten. - -Wenden wir uns nun zur Mathematik der Babylonier, so müssen wir -sagen, dass von reiner Mathematik bis jetzt verhältnismässig wenig -entziffert ist. Das wichtigste sind die sogenannten ¨Tafeln von -Senkereh¨ (Larsa) aus dem 3. Jahrhundert v. Chr., de facto eine in zwei -Stücke zerbrochene Tafel; die astronomischen Bücher aus der königlich -Sardanapalschen Bibliothek und die 1 × 1 Tabellen von Nippur. Hilprecht -sagt: »in geradezu staunenswerter Weise wurde das 1 × 1 geübt.« - -[Illustration: Dämon mit Flügeln.] - -M. H. In unserer Kulturgeschichte wird es als hohes wissenschaftliches -Verdienst des Petrus de Dacia, Rektors der Sorbonne vom Jahre -1328 gerühmt, das 1 × 1 bis zu 50 × 50 fortgesetzt zu haben, und -¨Hilprecht¨ versichert, dass er in der im 3. Jahrtausend zerstörten -Bibliothek Tafeln des 1 × 1 bis 1350 in der Hand gehabt hat. Das kleine -1 × 1 ging bis zur 60 (s. p. 113 ff.). - -[Illustration: Bruchstücke der Geierstele, Vorderseite.] - -[Sidenote: Münz-, Mass- und Gewichtssystem.] - -Uns sind zwei Zahlsysteme bekannt; das eine ist rein dekadisch, -das andere, ältere, ist sexagesimal und hängt auf das genaueste -mit dem babylonischen Gewichts-, Münz- und Masssystem zusammen, -dessen Einteilung uns in der Tafel von Senkereh und in zahlreichen -griechischen, römischen und jüdischen Quellen enthalten ist. Es ist -ja die Bibel erst nach der babylonischen Gefangenschaft redigiert und -zeigt in allen Namen der Masse und Gewichte babylonischen Einfluss. -Seit der grosse Philologe ¨August Boeckh¨ das Münz- und Gewichtssystem -der Römer erschlossen und in der vergleichenden Betrachtung der -Masse ein wichtiges Mittel erkannt hat um den Handels- und sonstigen -Verkehr der Völker zu erkennen, haben eine Reihe von Forschern, ich -nenne ¨Brandis¨, ¨Ginzel¨, ¨Lehmann¨ und vor allen ¨Boeckh¨ selbst -dargetan, dass die Wiege der Messkunst in Babylon steht, und die Masse -der Babylonier in ausgedehntester Weise bis zum Metersystem Gültigkeit -hatten, ja, zum Teil heute noch gelten. (cf. ¨C. F. Lehmann¨, das -altbabylonische Mass- und Gewichtssystem als Grundlagen des antiken -Gewichts-, Münz- und Masssystem. 8. intern. Orient. Kongress, -Bastiansche Zeitschrift für Ethnologie 1889. Verh. der Berl. anthrop. -Gesellschaft 1889. Als selbst. Schrift Leiden 1893.) - -[Illustration: Gewicht in Löwenform.] - -Die Babylonier hatten vor 5000 Jahren ein geschlossenes Masssystem, das -in seiner Anlage unserm metrischen System sehr ähnlich war. Wie bei uns -das Zehntel des Meters die Kante des Würfels bildet, der ein ¨Liter¨ -fasst und der mit destilliertem Wasser von 4° C. gefüllt bei der Wägung -das ¨Kilogramm¨ gibt, so ist das Zehntel der babylonischen Doppelelle -die Basis des Hohlmasses, dessen Wassergewicht die Mine gibt. Es sind -uns künstlerisch geformte Gewichte in Eisen- und Bronzearbeit mit -Entenform und Eberköpfen und besonders in Löwenform und ausserdem -einige justierte Gewichte erhalten. - -a) Früher Eigentum des Dr. Blau: Ein sehr harter dunkelgrüner -Stein sehr sorgfältig geglättet, oval, der in altbabylonischer -Keilschrift und in sumerischer Sprache (die ja auch idiographisch als -babylonisch-assyrisch gelesen werden kann) die Inschrift hat: - - 1/2 ma na gina -- gal (mulu) dingir igi ma na - Mensch Gott Auge Mine - -d. h. 1/2 Mine richtig, der Diener des Gottes, der das Auge auf der -Mine hat. - -[Sidenote: Metrologie.] - -Die Masse unterstanden göttlichem Schutz; in Athen waren die -Normalmasse auf der Akropolis; in Rom auf dem Kapitol und im Tempel der -Juno moneta verwahrt (Generalaichamt). - -[Illustration] - -b) In der Vorderasiatischen Abteilung des Berliner Museums aus -demselben Material 1/6 Mine, Inschrift unentzifferbar. - -c) Das Gewicht der amerikanischen Wolfe Expedition 1885 (Americ. -Orient. Soc. Proceedings at New York 1885), das die bei den sogenannten -Zylindern mit Bau- und Weihinschriften übliche Fässchenform hat, aus -gleichem Material, es wiegt fast genau doppelt soviel wie b, ist also -1/3 Mine und das bestätigt die Inschrift: - -[Illustration] - -1) 1/3 Ṭu gina, 2) e--kal^m Nabû -- sum -- esir (?), 3) abli^m Da--lat -(?), 4) .... pāte--is--si ili Marduk - -d. i. 1/3 [Mine in] Schekel [n] [ausgedrückt] Palast des Nab., Sohnes -des D., Fürstpriester des Marduk (Lehmann, Verh. der Berl. anthrop. -Gesellschaft 1891; J. Oppert, L'étalon des mesures assyr., Extrait du -journal asiat. Paris 1875). - -Die Gewichte in Entenform sind erheblich ungenauer, aber als -Durchschnittsgewicht ergibt sich 491,2 Gramm für die leichte Mine, -982,4 für die schwere. Indem man die Kubikwurzel aus 982,4 zieht, -ergibt sich für die 10fache Wurzel, das ist die Doppelelle 992,35 -mm. Nun ist die Länge des Sekundenpendels für den 31. Breitengrad -992,35 mm, und nach der Hypothese Lehmanns, welche Helmholtz plausibel -erschien, hatten die Babylonier zur Zeit Gudeas den Gedanken Huygens, -die Länge des Sekundenpendels als natürliches Längenmass zu verwerten, -schon vorweggenommen. Als Bestätigung der von Lehmann gegebenen -sogenannten »gemeinen Norm« dient dann eine Ende des Jahres 1893 in -Babylon zum Vorschein gekommene ganze Mine, die nach ihrer Legende -eine Kopie aus der Zeit Nebukadnezar II. 607-561 nach einer Mine aus -der Regierungszeit Dungis ist, des ältesten erreichbaren Königs eines -grossen Teils von Babylon etwa um 3200; die Mine, welche sich jetzt im -British Museum befindet, hat ein Gewicht von 979,2 Gramm. - -Die meisten und wichtigsten antiken Gewichte sind direkte Abkömmlinge -der babylonischen gemeinen Norm, bezw. der daraus gebildeten -Silbermine, welche 10/9 der Gewichtsmine ist. - - schwer leicht - Teilbetrag 60/60; Gewichtsmine 982,4 491,2 - " 50/60; Goldmine 818,6 409,3 - " 50/45; babyl. Silbermine 1091,5 545,8 - " 100/135; phöniz. Silbermine 727,6 363,8 - ägypt. Goldmine 409,31 - babyl. Silbermine = 6 ägypt. Pfund à 10 Lot. - -Die römisch-athenische Elle = 10/9 der babylonischen gemeinen Elle, -der Fuss = 2/3 Elle und der Schritt = 5 Fuss = 1-2/3 Elle = 1-1/2 -babylonischen Elle. - -Wir rechnen heute 114 Schritt in der Minute für die deutsche Armee, die -Babylonier 120 Schritt = 180 Ellen, ¨also auf die Doppelminute¨ $360 -Ellen$. - -¨J. Brandis¨: das Münz-, Mass- und Gewichtssystem in Vorderasien -bis auf Alexander den Grossen, Berlin 1866. Brandis setzt das -Wertverhältnis des Goldes zu Silber bei den Babyloniern wie 40:3 = -360:27 (wie Jahr:Monat). - -¨Die Tafel von Senkereh und das Zahlsystem.¨ - -[Sidenote: Die Tafel von Senkereh.] - -Im Jahre 1854 fand der Ingenieur ¨W. K. Loftus¨ in den Ruinen von -Larsam beim heutigen Senkereh eine leider stark verstümmelte Tafel, -die aber doch für die Kenntnis des Zahl- und Masssystems von grösster -Wichtigkeit geworden ist. - -Die Tafel von Senkereh enthält auf der Rückseite drei Kolonnen: a) -die Zahlen von 1-39 mit ihren Quadraten, b) die Zahlen der Quadrate -mit ihren Wurzeln 1-39, c) die Kubikzahlen von 1-39. Zu b ist in -Kujundschik, der Residenz Salmanassars eine Ergänzung gefunden, welche -die Quadrate der Zahlen von 44-60 enthält. -- Auf der Vorderseite ist, -stark verstümmelt in Kolonne I und II eine Tabelle, die nach Finger, -Ellen und deren Vielfachen bis zu 2 Kaspu fortschreitet; Kol. III und -IV enthält dann eine Tabelle, die zwei Masssysteme vergleicht, deren -erstes die gewöhnlichen Bezeichnungen des Längenmasses trägt, während -die zweite nur in unbenannten Zahlen fortschreitet. - -[Sidenote: Zahlsystem.] - -Ehe ich auf die Erklärung der Tabelle eingehe, muss ich über das -babylonische Zahlsystem sprechen. Es sind zwei Zahlsysteme in Gebrauch, -das eine dekadisch, das andere ältere sexagesimal, das bei Massen und -in der Astronomie sich erhalten hat. Es ist möglich, dass die dekadisch -Zählenden die Semiten, und die Sexagesimalen die Sumerer waren. -Nach Lehmanns Angaben über die sumerischen Zahlzeichen, die z. B. 7 -als 5 + 2 wiedergeben, kann ein Fünfer-System das ursprüngliche der -Sumerer gewesen sein, und das Sexagesimalsystem sich von den grossen -wissenschaftlichen Zentren aus als ursprünglich gelehrte Schöpfung -zunächst auf die Gebildeten und die Priester verbreitet haben, aus -denen sich die Schreiber (Staatsbeamten) und Handelsherren rekrutierten. - -Sie hatten nur zwei Ziffern, den einfachen Keil für eins, istan, isten -als Zahlwort ist, aus dessen Häufung die Einer gebildet werden, und -[**symbol] 10 esru, Plural esrit; dazu kommt später das gemeinsame -semitische (auch ägyptische) Zahlwort me 100 geschrieben [**symbol]. - -[**symbol] ist eins und die Einer werden durch den betreffenden Haufen -von Keilen gebildet; z. B. [**symbol] si-ba sibista, die Zehner durch -eben solche Haufen der Zahl 10 [**symbol] esru esertu, eserte esrit, -also 11 [**symbol] isten ésrit. - -1 isten, 2 sina, 5 hamsu, 100 mê [**symbol], 1000 für das wir bislang -kein Zahlwort haben als 10 · 100 [**symbol]. Dies ist aber zu einem -eignen Zahlzeichen geworden, [**symbol] ist nicht 2000 sondern -10 · 1000 = 10000 und [**symbol] würde 100000 sein. - -Das zweite System hat zur Einteilungszahl 60 und seine Übereinheiten -wie 60^2, 60^3, seine Untereinheit ist 1/60, deren Untereinheit -(1/60)^2, die Eins wird, wie sie bei uns als 10^0, so hier als -60^0 angesehen. Alle diese Zahlen drückt dasselbe Zeichen aus, der -einfache Keil, und die Bedeutung ergibt sich wie in unserm sogn. -indisch-arabischen System durch ¨Position¨. - -Die 60 heisst sussu (Schock), σωσσος der Hellenen, soss assyrisch, -[**symbol], die 60^2 heisst Sar, Saros der Hellenen [**symbol]. - -Daneben gibt es Einheiten II. Klasse, wie sie ¨Lehmann¨ nennt. - - 60^3| |60^2| |60| | |1/60| |(1/60)^2| - |36000|sar |600| |10|1/6| |1/360| |1/21600 - | | | | oder| | | | | - | | |ner| | 6| | | | | - - -für 600 ist ein eignes Zahlwort [**symbol] ner durchaus belegt und -volkstümlich gewesen; so ist - - [**symbol] = 672 = 11 · 60 + 12. - -[Sidenote: Das magische Quadrat.] - -Als interessantestes Beispiel altchaldäischer Rechnung gebe ich Ihnen -die Bildung des Quadrats von 653 nach einer von ¨J. Oppert¨ edierten -magischen Tafel, welche aus der gleichen Zeit stammt (Zeitschrift für -Assyriologie 1903 Bd. 17 pag. 60). Die Zahl 653 ist unter dem Namen -Sulbâr = Ewigkeit die magische Zahl κατ' εξοχήν; - -5 · 653 = 3265 ist die Phönixperiode; 653 ist gleich 292 + 361 -und 5 · 292 = 1460 ist die Sothisperiode; 5 · 361 = 1805 ist die -Lunarperiode. Ich bemerke, dass die hohe Wertung der Zahl 653 ein -Argument für ein ursprüngliches Fünfersystem (wie bei den Azteken) ist. - -Die Rechnung gestaltet sich wie folgt: - - 1) [**symbols] [**symbols] - - 6 Soss 40 idem (400^2) 44 Sar 26 Soss 40 = 160000 - - 2) [**symbols] [**symbols] - - 2 Soss 2 · 2 Soss 2 = 122^2 4 Sar 8 Soss 4 = 14884 - - 3) [**symbols] [**symbols] - - 30 30/60 · 30 27/60 15 Soss 29 = 929 - - 4) [**symbols] [**symbols] - - 1 Soss 54 · 14 Soss 24 27 Sar 21 Soss 36 = 98496 - - 5) [**symbols] [**symbols] - - 6 Soss 30 idem 42 Sar 15 Soss = 152100 - - 6) [**symbols] [**symbols] - - Summe 2 Soss minus 2 Sar 2 Ner 6 Soss 49 von welcher Zahl ist es - das Quadrat. - - Also: 118 · 60^2 + 2 · 600 · 6 · 60 + 49 = 426409. - - 7) [**symbols] [**symbols] - - (Von) 6 5 3 (ist es das) Quadrat. - -Also: 653^2= 426409 ist zerlegt in: - - 400^2 = 160000 - 122^2 = 14884 - 30-1/2 · 30-9/20 = 929 - 114 · 864 = 98496 - 390^2 = 152100 - -[Sidenote: Die Tafel von Senkereh.] - -Ehe ich diese Rechnung weiter bespreche, möchte ich Ihnen die Tafel -von Senkereh in 4facher Vergrösserung aus dem grossen und kostbaren -Rawlinson'schen Werke vorführen und Sie auf gewisse Eigentümlichkeiten -der Tafel aufmerksam machen. Leider steht mir nur die erste Auflage -und nicht die wesentlich veränderte zweite Auflage zur Verfügung. -Sie sehen in der Tabelle No. 2 die Tafel der Quadrate der Zahlen von -1-60 mit einer Lücke von 25-44, so dass das Quadrat voransteht, d. h. -also die Tabelle ist zum Wurzelziehen eingerichtet und daneben zum -Quadrieren. Die Tabelle, welche die Überschrift Reverse trägt, ist eine -Tafel der Kubikzahlen von 1-32. Die wichtigste Tafel, die (irrtümlich) -die Überschrift Obverse trägt, ist die rechte Tabelle, die für die -Metrologie von entscheidender Bedeutung geworden. - -Nun sehen Sie, bitte, mal hier [**symbol] (3) und dort [**symbol] -(121) und bedenken Sie die 4fache Vergrösserung, dann werden Sie -sehen, welche Übung und Schärfe nötig war um die, wie Sie schon an dem -Beispiel 653 gesehen haben und wie bei der Besprechung der Astronomie -noch deutlicher hervorgehen wird, recht komplizierten Rechnungen -auszuführen mit einem System von 2 Ziffern; es ist klar, dass sehr -ausgedehnte Tabellen diesen Rechnern völlig geläufig sein mussten. -Kritisch würde die Sache bei 61 sein, aber ich vermute, denn die Zahl -ist m. W. nicht gefunden, sie würden ebenso wie sie dort [**symbol] 120 -sehen, ganz ruhig geschrieben haben [**symbol] und es dem Scharfsinn -des Lesers überlassen haben darin 60 + 1 oder 1 + 1 zu sehen. - -[Sidenote: Die magische Rechnung.] - -Ich komme nun auf unsere magische Tafel und die Rechnung zurück. -Berossus und Eusebios von Cäsarea berichten uns, dass die Chaldäer -ihre heroische Zeit auf 60 · 653 geschätzt haben, die Bibel gibt -von Erschaffung der Welt bis auf Abraham 292 Jahre und von Abraham -bis zum Ende der Genesis 361, macht 653 Jahre. Gerade diese beiden -Bestandteile der Zahl sind das, was sie zur magischen Zahl gemacht -hat. 5 · 292 = 1460 ist die Sothisperiode, die Anzahl der Jahre, die -vergeht bis der Anfang des bürgerlichen Jahres zu 365 Tagen mit dem -heliakischen (heliakisch = Aufgang in der Morgendämmerung) Aufgang des -Sirius zusammenfällt und 1805 oder 5 · 361 Jahre ist die Lunarperiode, -die Zahl der Jahre, nach welcher der Mond immer wieder die gleiche -Stellung einnimmt sowohl im Vergleich zu den Jahreszeiten als auch in -seinem Abstand von der Sonne (Phasen), in bezug auf das Eintreten der -Finsternisse als auch in seiner Beziehung zu den Sternen. - -Nimmt man das tropische Jahr der Babylonier zu 365^d 2475, so sind: - - 1805^a = 659271^d ferner: - - 22325 synod. Monate = 659270^d (Neulicht zu Neulicht) - 24227 draconische Mon. = 659271^d (Rückkehr zum Knotenpunkt) - 24130 Siderische Mon. = 659271 (Rückkehr d. Mondes z. Fixstern). - -Ich will auf das Exempel noch weiter eingehen, es ist nach ¨Oppert¨ -ein klassisches Beispiel altchaldäischer Zahlenmystik, die unter -dem Namen der Kabbala bis in die neueste Zeit, ja noch heute unter -den Juden Galiziens im Schwange ist. Die Zahl und Rechnung spielten -im Kulturleben der Babylonier eine enorme Rolle, jeder Gott hat -seine eigene Zahl, z. B. Bel das Symbol [**symbol], d. h. Gott, dem -die 20 zukommt, Marduk als Stier des Tierkreises repräsentiert die -[**symbol], die Zahl der Zeichen die er anführt. Sin des Mondes Gott -hat die [**symbol] vielleicht weil er in ältester Zeit der Hauptgott, -wahrscheinlich wegen des Monats von 30 Tagen, die Engel-Brüche etc. Die -Horoskope, die ja auch babylonischen Ursprungs sind, sind ein Ausfluss -solcher Zahlenmystik, die sich von Babylon aus über die ganze Welt -verbreitet hat. Wer unter Ihnen bibelfest ist, wird sich an die Kabbala -im Daniel erinnern (s. u. Pythagoräer). - -Wir haben bereits eine grosse Anzahl solcher magischer Tafeln und -sehen, wie wir auch an unserm Beispiel nachweisen können, darin die -Anfänge der wissenschaftlichen Zahlentheorie, man vergleiche Astronomie -und Astrologie. - -Unter den wenigen aus Khorsabad geretteten Inschriften haben wir -glücklicherweise die Angabe des Sargon II. über die von ihm gegründete -Stadt Dar Sarkim- (Khorsabad von E. Botta 1842-45). Die Mauer war -rechteckig, sie hat 1647 auf 1750^m. Keine Halle, kein Zimmer, kein -Stadtplan durfte aus religiöser Scheu rein quadratisch sein; dies -scheint als eine Verletzung der Ehrfurcht gegen den Gott gegolten zu -haben, bei dem Allerheiligsten war eine sehr enge Annäherung an das -Quadrat gestattet. In der Inschrift von Khorsabad gibt Sarkin nun an, -dass der Umfang der Mauer die Zahl seines Namens sei; dieser Name ist -sar Fürst und kin das wir allenfalls mit mächtig wiedergeben können; -sar entsprach der Zahl 20 und kin 40; und misst man den Umfang aus, -so findet sich, dass er 20 · 3265 + 40 · 1460 Spannen, d. h. also die -Stadt sollte 20 Phönix- und 40 Sothisperioden überdauern. - -»In unserer Tafel haben wir es nun mit einem zyklischen Flächenraum zu -tun, 653^2, und dies ist in Quadrate zerlegt bis auf 99425, das in zwei -Rechtecke zerlegt ist, das ist auffallend, da doch - - 99425 = 311^2 + 52^2; 305^2 + 80^2; 292^2 + 119^2; 284^2 + 137^2; - 280^2 + 145^2; 247^2 + 196^2 - -und keine dieser Möglichkeiten den Chaldäern unbekannt sein konnte, -die mit der Zerlegung von Quadraten vollkommen vertraut waren.« Ich -halte es für äusserst wahrscheinlich, dass der Pythagoras bereits den -Chaldäern bekannt war und von ihnen nach Indien gekommen ist. Die -Ausschliessungen aller der Zerlegungen muss also ihren guten Grund -gehabt haben. - -[Sidenote: Die Zahlenmystik auf Tempel-Grundrisse angewandt.] - -Es handelt sich um ein schwieriges arithmetisches Problem: »Ein -heiliges Quadrat von 653 so zu zerlegen, dass der Umfang der Figur -eine Zahl von Phönix- und Sothisperioden und die Tiefe eine ganze -Lunarperiode darstellt.« Demgemäss würde der Tempel folgendermassen -angelegt (nach Oppert). Ein Vorhof von 400 Ellen im Geviert, mit -einer Öffnung von 16 Ellen, einer Vorhalle desgleichen von 122, eine -kleine heilige Stelle von 30-1/2 auf 30-9/20, danach ein langer Gang -von 869 auf 114, eine quadratische Endhalle von 390. Die Tiefe ergibt -1806, was unmerklich von 1805, der Lunarperiode, abweicht, den Umfang -findet Oppert, mittelst der Öffnung zu 5086 = 6 · 653 + 4 · 292. Meine -Berechnung ergibt aber nur 5071 und für das gesamte Mauerwerk 5429. -Die erste Zahl kann mit 2 Öffnungen hinten und vorn auf die Summe von -5 Phönix- und 6 Sothis-Perioden reduziert werden, wodurch die heilige -Zahl des Marduk ihre Ehrung findet, die letztere (unwahrscheinlichere) -auf 1 Phönix- und 3 Sothisperioden mit Zusatz von 8 Ellen für einen -Eingangsvorbau. - -[Illustration: Tempel-Grundriss des Sargon.] - -Als sehr interessantes Beispiel der Zahlenschreibung hebe ich Zeile -6 aus der von J. Oppert 1903 behandelten magischen Quadrattafel -hervor, wo sich vorne das von Oppert ergänzte Summenzeichen tab -[**symbol] findet, die 118 sar geschrieben werden als 120 - 2, -mit dem Minuszeichen lal, die beiden ner nicht [**symbol] sondern -[**symbol] wiedergegeben sind, und das Wortzeichen für ¨Ibdi¨, Quadrat, -[**symbol], welches selbst in seiner neuassyrischen Form deutlich die -Kombination von Zusammenfassung und Zwei bekundet, wie das Zeichen von -Kubus, Badie, sich durch drei innere Striche kennzeichnet. - -[Sidenote: Über das Vorkommen der 0; Entstehung des Sexagesimalsystems.] - -Es drängt sich hier die Frage auf nach der 0, denn das ist ja noch das -einzige, was für die Inder zu retten wäre, da der Gedanke die Potenzen -der Grundzahl durch den Stellenwert der Ziffer zu kennzeichnen, wie -Sie gesehen haben, altbabylonisch ist und auf die ältesten Zeiten der -Völker von Sumer und Accad zurückgeht. Da geben nun die Tafeln von -Senkereh keinen Aufschluss, denn weder unter den Quadratzahlen noch -unter den Kubikzahlen der Tafel kommt eine Zahl vor, welche die 0 -in der Mitte verlangte. Aber in den Stimmen von Maria Laach haben -die beiden Patres ¨S. J. Strassmaier¨ und ¨Epping¨ eine sehr schöne -Arbeit veröffentlicht »Astronomisches aus Babylon« oder »Das Wissen -der Chaldäer über den gestirnten Himmel«; hier kommt der Fall der 0 -des öfteren vor, da ist nun meist die 0 aus der Lücke zu erkennen wie -auch sonst, aber es kommt auch dafür das Zeichen [**symbol], genannt -der ¨Trenner¨, vor. Mit diesem Zeichen für die Null ist die Möglichkeit -näher gerückt, dass die 0 babylonisch ist. Es spricht allerdings -wieder manches dagegen, so schreibt der Babylonier 2 meist [**symbol] -und nicht [**symbol] und 61 wird durch (soss) d. h. [**symbol] -wiedergegeben und z. B. 120 kommt bis dato nicht in der Form [**symbol] -vor, statt [**symbol] oder [**symbol]. - -[Sidenote: Ursprung des Sexagesimalsystems.] - -Nun, meine Herren, lassen Sie uns die allerinteressanteste Frage -berühren: wie ist das Sexagesimalsystem entstanden? - -Da waren nun bis vor kurzem alle Autoritäten, vor allen ¨M. Cantor¨ -darin einig, dass es vom Himmel stamme, d. h. nicht bildlich sondern -physisch, und dass es auf das Engste mit der Teilung des Kreises in -360 Teile, die als altbabylonisch feststeht, zusammen hänge. Nach dem -Vorgang eines Italieners ¨Formaleoni¨ von 1788 nahm auch M. Cantor -100 Jahre später an, die Quelle der Kreisteilung in 360 sei ein -uralter grober Irrtum der Babylonier über das Sonnenjahr gewesen. -Diese schärfsten aller Himmelsbeobachter, deren ganzes Leben seit -uralter Zeit unter dem Einfluss der himmlischen Konstellationen stand, -deren ganzer Kult ein Kult der Sonne, des Mondes und der Sterne, der -Naturerscheinungen insgesamt war, die hätten einen Irrtum, der so grob -war, dass er in 8 Jahren 42 Tage betrug, nicht eher gemerkt, als bis -sie ihr ganzes Mass-, Münz- und Gewichtssystem darauf zugeschnitten. -Cantor meint nun, sie seien zur 60 gekommen von der Kreisteilung aus, -auf der Suche nach einer passenden Untereinheit hätten sie den Radius -als Sehne in den Kreis getragen und dabei gefunden, dass er 1/6 des -Kreises gleich 60 Grad spanne, und da hätten wir ja glücklich die 60! - -Wenn ¨Letronne¨, Journal des savants étrangers 1817 diese Hypothese -aufstellte, so konnte man diesen Versuch anerkennen. - -Bis etwa 1900 nahmen die Assyriologen diese Erklärung gedankenlos -hin; sie hatten so viele schwierige Probleme, dass sie das geringe -mathematische Material zunächst beiseite liessen. Wurde doch das -Sexagesimalsystem erst nach 1854 von ¨E. Hincks¨ entdeckt. In dem von -ihm behandelten Mondtäfelchen (Irish academy) handelt es sich um die in -15 auf den Neumond folgenden Tagen sichtbar werdenden Teile des Mondes. - -Es seien, heisst es, an diesen 15 Tagen der Reihe nach sichtbar: - - |5 |10 |20 |40 1|20 - 1|36 1|52 2|8 2|24 2|40 - 2|56 3|12 3|28 3|44 4| - -Hincks nahm an, dass die Mondscheibe in 240 Teile zerlegt gedacht sei -und die weiter nach links stehende Zahl 1.60 2.60 etc. bedeutete und -die Beobachtungszahlen in den ersten 5 Tagen einer geometrischen, in -den folgenden 10 Tagen einer arithmetischen Reihe folgen. Nebenbei -bemerkt ist es nicht unwichtig hier eine Kreisteilung in 4 Quadranten -und jeden Quadranten in 60 Teile geteilt zu finden, denn damit ist der -astronomische Ursprung des Grades verurteilt. Die Erklärung Hincks -wurde dann zuerst 1854 durch die Tafeln von Senkereh und dann immer -mehr bestätigt. Um 1900 wendeten sich gleichzeitig drei Assyriologen -¨Mahler¨, ¨Ginzel¨, ¨Lehmann¨ gegen den Ursprung des Systems aus der -Jahresbewegung. ¨Mahler¨ machte höchst zutreffend darauf aufmerksam, -dass das Jahr sich überhaupt nicht zum Massentnehmen eigene, die -Babylonier schon so lange die Denkmäler reichen mit der Zahl 365,2(4) -der Tage vertraut waren und wie auch die Ägypter ein eigenes Fest der 5 -Extratage feierten. Er wies darauf hin, dass die tägliche Bewegung den -Lichttag als Hälfte und Vor- und Nachmittag einen Vierteltag ergäbe. - -[Illustration] - -Noch ansprechender war die Hypothese ¨Lehmanns¨, dass die Babylonier -beobachtet hätten, dass der Sonnendurchmesser 1/720 der Ekliptik und -jedes Tierkreisbild 1/12 und damit das Verhältnis 1/60 gewonnen sei. -Leider stimmt die Sache nicht. Die Wasseruhr war den Babyloniern -bekannt und mit ihrer Hilfe wurde der Sonnendurchmesser zu 32′ 6″ -bestimmt. Nebenbei bemerkt, ist die genaue Bestimmung eines der -diffizilsten astronomischen Probleme, man vgl. die Arbeiten ¨Auwers¨ in -den Berliner Sitzungsberichten. - -Der Tierkreis ist allerdings unzweifelhaft babylonischen Ursprungs; -Sie sehen hier in der schon erwähnten Arbeit Eppings Abbildungen. -Die Gleichheit aber der 12 Zeichen ist nicht ursprünglich. Lehmann -fand auch in der Festsetzung der Gold- und Silberwährung 40 : 3 etwas -Himmlisches, nämlich das Verhältnis der Tage des Jahres 360 und deren -des Monats 27. Alles dies wäre sehr schön, wenn es nur richtig wäre. -Das Verhältnis des Sonnendurchmessers zum Vollkreis ist ungefähr -1/673, das des Jahres zum Monat keineswegs 40 : 3. Auch die 12 Monate -zu 30 Tagen stimmen nicht, denn nie hat ein Monat volle 30 Tage. Das -erlösende Wort hat 1904 wieder ein Lehrer der Mathematik, diesmal ein -pensionierter, gesprochen, ¨Kewitsch¨ in Freiburg. Er hat den, man -sollte meinen, selbstverständlichen Satz ausgesprochen: erst Zählen, -dann Messen; 6, 60, 360, 3600 waren runde Zahlen bei den Babyloniern -und sind von ihnen an den Himmel versetzt, in die Natur hineingelegt. - -Damit ist freilich die Frage wie die 6 und die 60 zu Grundzahlen -wurden, nicht gelöst. Kewitsch leitet sie von der Fingerrechnung -ab; er gibt zwei Wege an; den ersten hält er selbst für nicht sehr -wahrscheinlich; dem zweiten zufolge sollen sie, nachdem alle fünf -Finger benutzt, noch einmal die Hand mit weggestrecktem Daumen als 6 -gezählt haben und in Verbindung mit den 10 Fingern zu 6 · 10 = 60 als -Grundzahl gelangt sein. Kewitsch führt den Umstand, dass das Zeichen -für Hand ursprünglich 6 Striche gehabt hat, als Beweis an: Quat-Hand -[**symbol], später [**symbol]; andrerseits ist die natürliche Stellung -der ausgestreckten Hand doch die, dass der Daumen nicht angedrückt -wird. Ausserdem scheint mir Kewitsch einen Umstand nicht beachtet zu -haben, nämlich den, dass das Sexagesimalsystem der Sumerer ein durchaus -künstliches ist, das mit einer ausserordentlichen Übung im Rechnen mit -grossen Zahlen verknüpft ist und dass das Zählen an den Fingern bei -Entwicklung dieses Systems ein längst überwundener Standpunkt gewesen -ist. Ausserdem ist die älteste Form des Idiogrammes für Hand, (s. o.), -ein ganz deutliches Bild der 5 Finger mit der Handwurzel und zugleich -Name für fünf. - -Ich halte die Frage für nicht geklärt und wage nur Vermutungen wie -die, dass es sich um eine ganz bewusste von den Gelehrten, d. h. den -Priestern ausgehende Wahl der 6 als teilbar durch 2 und 3 gehandelt -haben kann. Diese Teilung war auch technisch leicht durchführbar, man -vergleiche die Elle des Gudea bei ¨Borchardt¨ (Berliner Berichte 1888, -I); diese Wahl kann sehr wohl astronomisch beeinflusst gewesen sein. -Die 60 empfahl sich als Grundzahl, weil sie durch die ersten 6 Zahlen -teilbar ist und sich sowohl ins Fünfer- als Zehner- als Zwölfer-System -einfügt. In den Mondtafeln von Hincks kommen so ziemlich alle Faktoren -von 60, sogar die Mandel vor. - -Die Beobachtung der Gestirne durchdrang das ganze Leben des Volkes, -denn vom Himmel holten sie die Omina, die Vorbedeutungen, nach denen -sie ihre Handlungen einrichteten. Ein Wechsel des Beobachters alle -4 Stunden, später alle 2 Stunden ist durchaus praktisch; (lösen wir -doch unsere Posten alle 2 Stunden ab) und wir wissen jetzt, man -vergleiche ¨Epping¨, dass vom Anbeginn an bis in die Seleuciden- und -Arsacidenzeit die Chaldäer den vollen Tag in 6 Teile oder Kas. pu -geteilt haben, und die eigentliche Bedeutung des Wortes Su-su (Schock) -ist 1/6. Die Unterteilung der Doppelstunden in 10 Teile ist dann zu -genauer Ortsbestimmung durchaus praktisch, und die Zehnteilung ist am -System unserer Finger vorgebildet. Erst später trat die Halbierung -der Doppelstunde und damit die Stunde als 24stel des Tages ein. Der -Tag, d. h. die Dauer der Rotation ist und bleibt die einzige wirklich -in der Natur gegebene Masseinheit, und selbst wenn die Achsendrehung -der Erde nicht völlig konstant ist, sind wir ausserstande die kleinen -Schwankungen zu konstatieren. Nachdem die 360-Teilung des Tages -durchgeführt, lag es nahe zur Erleichterung des Geschäftsverkehrs das -¨Geschäftsjahr¨, wie auch heute auf 360 Tage und den Monat auf 30 Tage -abzurunden. Sie wissen ja, dass noch heute unsere Soldaten für den 31. -keinen Sold bekommen. - -[Sidenote: Die Tafeln von Senkereh.] - -Ich komme nun auf die Tafel von Senkereh zurück, von der wir erst -seit 1870 durch ¨Georg Smiths¨ wissen, dass wir darin Zahlentabellen -haben, und die erst ¨Hincks¨, wohl des geistig bedeutendsten -Keilschriftentzifferers Entdeckung des Sexagesimalsystems bestätigte. -¨R. Lepsius¨, der grosse Ägyptologe, hat die Tafel 1877 in der Berliner -Akademie in einer längeren Arbeit behandelt. Abgesehen davon, dass ihm -die mathematische Bildung mangelte um einzusehen, dass eine Tabelle der -Quadratzahlen zugleich eine der Wurzeln ist, hat er in der Tabelle, -deren linke Kolonne benannte, deren rechte unbenannte Zahlen enthält, -einen Vergleich sumerischer und assyrischer Längenmasse gesehen. In -seiner Arbeit: Beiträge zur alten Geschichte, 1902, hat ¨C. F. Lehmann¨ -nachgewiesen, dass es sich hier um eine Vergleichung von Zeitmass -und Längenmass handelt und dass wir hier strikte Durchführung -des Sexagesimalsystems vor uns haben. Lehmann hat nachgewiesen, -dass während wir 114 Schritt auf die Minute rechnen, Römer und -Babylonier 120 Schritt à 1-1/2 Ellen, also 180 Ellen, und somit auf -die Doppelminute 360 Ellen und auf den Zeitgrad, auf 1/360 Tages, -360 Doppelellen gehen. Dass aber die Doppelelle das ursprüngliche -Längenmass ist, das zeigen uns die beiden Massstäbe der Gudea, von -denen ich hier Ihnen ein Exemplar vorführe. - -[Illustration: Massstab der Gudeastatue, 1/2 der nat. Grösse.] - -Ich gebe nun die Tafel von Senkereh in Umschreibung wieder: - - Kolonne III. - - Zeit | Zeit- | Grade |Zeiteinheit| Raum- - |Doppelelle| | |doppelelle - ------------------+----------+-------+-----------+---------- - 1 Zeit-Finger | 1/60 |1/21600| 1/90 Sek.| 1/60 - 5 | 1/12 | 1/4320| 1/18 " | 1/12 - 1 Elle | 1/2 | 1/720| 1/3 " | 1/2 - 1/2 Gar | 3 | 1/120| 2 " | 3 - 1 Gar | 6 | 1/60| 4 " | 6 - ------------------+----------+-------+-----------+---------- - 5 Gar | 30 | 1/12| 20 " | 30 - 1 Soss = 60 Gar | 360 | 1| 4 " | 360 - 1 Kas-pu = 30 Soss| 10800 | 30| 2 Std.| 10800 - 2 Kas-pu | 21600 | 60| 4 " | 21600 - -Darin scheint nun Lehmann recht zu haben, dass die Zeiteinteilung die -ursprüngliche gewesen und dass die experimentelle Beobachtung, dass -zirka 480 Schritt auf den Taggrad kommen, bezw. 120 auf die Minute, -dahin geführt hat, das Längenmass auf die Länge des Sekundenpendels zu -gründen. - -[Sidenote: Astrologie.] - -Welche ausserordentliche Rolle die Astrologie und die sich aus ihr -entwickelnde Astronomie für das religiöse und praktische Leben der -Babylonier spielte, darüber belehren uns schon die jetzt entzifferten -Denkmäler auf das genaueste. In dem schon erwähnten Werk Sargons I., -das nach seinen Anfangsworten genannt wird: »Wenn der Bel-Stern,« -sind bereits 66 ganze oder gebrochene Tafeln und teilweise in -mehreren Exemplaren bekannt. Wir haben ein anderes Werk: »Wenn der -Mond bei seinem Erscheinen;« hunderte von Tafeln mit astrologischen -Berichterstattungen meist an den König sind im British Museum. Ich gebe -ein paar Beispiele: - -1) Am 15. Tage des Nisan (März-April) halten sich Tag und Nacht die -Wage; sechs Doppelstunden war Tag, sechs Doppelstunden Nacht. Mögen -Nebo und Merodach meinem Herrn König gnädig sein. Nebo, Gott der -Weisheit, Sohn von Merodach, der als Gott der Frühlingssonne Sohn Bêls, -des Gottes der Luft gedacht wird. Merodach wurde zum Hauptgott in -Babylonien und verschmolz mit Bêl. - -2) An den König, meinen Herrn Ischtarnadinapal, der oberste der -Astronomen der Stadt Arbela; Friedensgruss dem König (Salem aleikon) -meinem Herrn. Ischtar (Astarte, Aphrodite) von Arbela sei dem Könige, -meinem Herrn gnädig; am 29. Tag machten wir eine Beobachtung, aber -die Sternwarte war umwölkt und wir sahen den Mond nicht. Am 1. Tag -des Monats Schebat (Januar-Februar) im Eponymat (s. u. S. 66) des -Bilcharranschadua. - -3) Der Mond ist sichtbar am 1. Tag wie am 28.: Unglück für das -Westland. Der Mond ist am 28. Tage sichtbar: Glück für das Land Akkad -(Babylonien), Unglück für das Westland; Bericht des Oberastronomen. - -[Sidenote: Babylonische Kosmologie.] - -Aus derselben Zeit etwa dem 8. Jahrhundert stammen auch mehrere -Fragmente von Festkalendern, welche für jeden einzelnen Tag des Monats -Angaben enthielten, welchem Gott der Tag geweiht und welche Opfer in -den Tempeln dargebracht werden sollten. Diese Fragmente lassen uns -erkennen, dass damals ein ausgebildeter Kalender in Assyrien bestand, -und wenn wir damit den Eponymenkanon in Verbindung bringen, so ist -der Schluss berechtigt, dass dieser Kalender bis zum Anfang dieses -Kanons heraufreicht, d. h. bis in das 10. Jahrhundert v. Chr. Aus der -Astrologie hat sich die Astronomie der Babylonier entwickelt, wie aus -der Kabbala, den magischen Rechnungen, die Anfänge der Zahlentheorie. -Der Hauptstern ist der Nordpol der Ekliptik, der dem Anu (Himmel) -geweiht war. Als Gegenpol ist der Ea-Stern (Ozean) = η Argus. (?) - -Die drei Regionen des Himmels, welche vom Nordpol ausgehen, sind die -Region des Anu: Stier, Zwillinge, Krebs und Löwe, und, beginnend mit -dem Aldebaran, die Regionen des Bel (Luft): Jungfrau, Wage, Skorpion, -Schütz; die Regionen des Ea (Ozean): Steinbock, Amphora (Wassermann), -Fische, Widder. - -Die Milchstrasse, mit ihren beiden Verzweigungen wird als Euphrat -und Tigris aufgefasst. Die Ekliptik ist die Furche des Himmels; die -Milchstrasse erscheint auch unter dem Begriff des Hirtenzeltes, woher -auch unser poetisches »Himmelszelt«. Entstanden ist der babylonische -Tierkreis zu einer Zeit als der Frühlingspunkt, der jährlich etwa -um 50″ zurückweicht, im Stier lag; also etwa 3000-4000 v. Chr., -der dann im Laufe der Zeit mannigfache Veränderung erlitt bis die -völlige Gleichteilung durchgeführt wurde. Besonders wichtig ist die -Untersuchung der alten Grenzsteine (Kudurru) geworden, von denen -Hommel 14 untersucht hat. Die Abbildung des Tierkreises auf diesen -Steinen geschah vielleicht zum Zweck Konstellationen zur Datierung -festzuhalten. Auf keinem der Steine fehlt die grosse Schlange als Bild -der Milchstrasse und schon auf dem ältesten, der auf 1070 datiert ist, -sind die 12 Zeichen. Die Bilder sind die bei den Griechen und zum Teil -noch heute üblichen. - -Das neueste Werk über diese Grenzsteine ist A new Boundary Stone -of Nebuchadnezzar I. von ¨W. M. J. Hinke¨, Bd. IV der Serie D des -grossen Hilprechtschen Sammelwerks the Babylonian Expedition of the -Univ. of Pennsylvania 1907. Hier ist auch der Zusammenhang mit dem -¨tibetanischen¨ und indischen Tierkreisen besprochen. - -[Sidenote: Astronomie.] - -Die Untersuchung der Namen etc. zeigt, dass der Tierkreis -babylonisch-sumerischen Ursprungs ist und sich von den Babyloniern zu -Ägyptern, Griechen, Indern, Chinesen und zu uns verbreitet hat. Das -gleiche gilt von den Mondstationen oder Häusern, ihre Zahl schwankte -zwischen 24-36, und sie haben sich ebenfalls nach China, Indien -(naxatra) und Arabien verbreitet. Die helleren Sterne waren ihnen in -sehr alter Zeit bekannt. Aus der Arsakidenzeit der Jahre 122 v. Chr. -und 110 sind uns vollständige Ephemeridentafeln, Bestimmungen der -Abstände der Sterne von festen Sternen der Ekliptik, erhalten. Sie -hatten ganz bestimmte Regeln für die Berechnung des Neumondes und -Neulichtes, die von ¨J. Epping¨, S. I. unter Beihilfe des Assyriologen -Strassmaier, S. I. 1889 in den Stimmen aus Maria Laach unter dem Titel: -Astronomisches aus Babylon mitgeteilt sind; es finden sich darin auch -Tabellen des heliakischen Auf- und Untergangs der Planeten und einer -Anzahl von Fixsternen, vor allem des Sothis, id est Sirius und des -»Kakkab mišre« des Orion. Sie kannten die Periodizität der Finsternisse -und konnten deren Sichtbarkeit für Babylon annähernd vorausbestimmen. -Sie hatten Instrumente, die unserem Astrolabium und Planetarium -entsprechen; sie kannten die mittlere Geschwindigkeit des Mondes, -d. h. den Bogen, den der Mond durchschnittlich während eines Tages -in der Ekliptik beschreibt, die grösste Geschwindigkeit des Mondes, -ebenso die der Sonne und das Gesetz, nach dem die Geschwindigkeit -der Sonne in der Ekliptik sich ändert, sie kannten die Jahresdauer, -die Durchschnittsdauer des Monats von Neumond zu Neumond, also des -sogenannten mittleren synodischen Monats, den sie nur um 0,4 ¨Sekunden¨ -länger als wir ansetzten, sowie die Durchschnittsdauer von einer -Erdnähe des Mondes zur andern, d. i. also den sogenannten mittleren -anomalistischen Monat, den sie nur um 3,6 ¨Sekunden¨ zu lang ansetzten. -Dabei ist erst ein kleiner Teil des aufgefundenen Materials entziffert -und dieser aufgefundene ein verschwindender Teil des vorhandenen. -Hilprecht berechnet die Zeit, die für Nippur nötig ist bei 400 -Arbeitern auf etwa 100 Jahre! - -Über die Instrumente, deren sich die Babylonier zu ihren Beobachtungen -bedienten, ist wenig bekannt; wir wissen, dass sie die Zeit durch die -Wasserwage massen und durch die Sonnenuhr, mittelst des Gnomon und aus -der Schattenlänge die Meridiane, bezw. den längsten und kürzesten Tag -bestimmten. Aus dem 3. Jahrhundert v. Chr. sind aber durch ¨Kugler¨ -eine ganze Reihe sehr feiner Positionsbestimmungen festgestellt worden, -die nur mit Hilfe von Instrumenten wie der sogenannten Armillarsphäre, -dem Diopter etc. möglich war. Der Diopter setzt dann allerdings die -Ähnlichkeitslehre für rechtwinklige Dreiecke, kurz eine Sehnenrechnung -voraus und damit wird es wahrscheinlich, dass die Sehnenrechnung, die -bis dato dem Bessel des Altertums, Hipparch von Rhodus zugeschrieben -wurde, babylonischen Ursprungs ist. Soviel steht fest, wenn auch -anfangs die Astrologie zur Himmelsbeobachtung insbesondere der Sonnen- -und Mondfinsternisse trieb, seit etwa 300 Jahren v. Chr. gab es an -den Sternwarten eine vollkommen wissenschaftliche Astronomie, und die -Beobachtungen der Babylonier sind oder werden für unsere Mondtafeln -noch wertvoll. - -¨Kugler¨ hat seiner »babylonischen Mondrechnung« von 1900, der -pietätvollen Vollendung des ¨Strassmeier-Epping¨schen Werkes, 1907 -den ersten Band seines grossen auf 4 Bände berechneten Werkes -»Sternkunde und Sterndienst in Babel« folgen lassen, unter dem Titel -»Entwicklung der Babylonischen Planetenkunde von ihren Anfängen bis -auf Christus.« Wenngleich, wie Oefele (Mitteilungen zur Gesch. d. -Med. u. Naturw. 29. Juni 1908) schon hervorgehoben hat, dieser Titel -nicht glücklich gewählt ist, so ist das Buch doch reich an wichtigen -Resultaten: Der unbezweifelbare Nachweis des Babylonischen Ursprungs -des Tierkreises und seiner 12 Zeichen, die Kenntnis der Namen für die -Planeten und die Masisterne, die hellen Sterne der Ekliptik, welche zur -Positionsbestimmung dienten, in Fortsetzung der Leistungen ¨P. Jensens¨ -aus seinem Hauptwerke, die Kosmologie der Babylonier 1890, die Kunde -der technischen Sprache der Babylonischen Astronomie, die Tatsache -der Ekliptikkoordinaten, die Feststellung des Bogenmasses und der -Richtungen, Festsetzung des Bogens von 22° 3′ zwischen dem festen -Koordinatenanfangspunkt 0° arietis der Babylonier und dem 0-Punkt, -dem Frühlingsäquinoktium von 1800 n. Chr., die Planetenephemeriden -infolge Auffinden von grossen und kleinen Perioden, z. B. für Mars 71 -und 41 Jahre, für Venus 8 Jahre (Fehler nur 3′ 13,3″) etc. Freilich -hebt Kugler hervor, dass im 2. Jahrh. v. Chr. die wissenschaftliche -Astronomie der Babylonier sehr grosse Fortschritte gegen die früheren -Zeiten aufweist, und wie weit dabei hellenischer Geist insbesondere der -grosse Hipparch in Betracht kommt, müsste erst noch untersucht werden. - -[Illustration] - -[Sidenote: Geometrie.] - -Über die Geometrie der Babylonier müssen wir uns zurzeit kurz fassen -bis grösseres Material vorliegt. Ein Bauplan, eine Tempelanlage -von so vorzüglicher Ausführung wie der von ¨L. Borchardt¨ l. c. -veröffentlichte, in dem die Türleibungen und die Mauerstärke -berücksichtigt ist (siehe Fig. auf S. 112), Beobachtungen, wie die -von ¨Kugler¨ mitgeteilten, sind nicht ohne bedeutende geometrische -Kenntnisse möglich, aber was uns direkt übermittelt ist, beschränkt -sich auf ganz wenige Zeichnungen wie die bei Cantor abgedruckten aus -¨A. H. Sayce¨ Abhandlung: Babylonian augury by means of geometrical -figures. In der hier beigegebenen Kopie scheinen mir mehrfach ¨alte -Idiogramme¨ wie N 15 etc. vorzuliegen. ¨Bezold¨ bemerkt (Z. A. XVII p. -95), dass ein grosser Teil z. B. der in Kujundschik gefundenen Figuren -analoge Bedeutung besitzen, wie die Oppert'sche Konstr. s. Fig. S. 100 -und sich auf kabbalistische Rechnung beziehen z. B. 10 und 3. - -[Illustration: Bruchstück des Bauplanes.] - -[Illustration: Borchardt'scher Bauplan.] - -[Sidenote: Babylonische Kreisteilung.] - -Feststeht aus ägyptischen und babylonischen Abbildungen, dass den -Babyloniern die Teilung des Kreises in 6 Teile bekannt gewesen sei, -d. h. de facto. Vom Hereintragen des Radius ist bisher keine Spur -gefunden. Wenn Cantor meint, die 6-Teilung ist ohne diese Kenntnis -nicht möglich, so irrt er sehr. Man braucht nichts zu wissen als die -Tatsache, dass das Rad, bezw. der Kreis in sich drehbar ist, also zu -gleichen Bogen gleiche Sehnen etc. gehören, u. v. v., dies reicht aus -den Kreis experimentell zu vierteln und zu sechsteln. Im höchsten Grade -wahrscheinlich ist allerdings, dass sie bei einem gesechsteilten Kreise -gesehen haben, dass die Sehne gleich dem Radius ist. Die im Buche -der Könige erwähnten fünfeckigen Pfosten, können genau so auf einer -experimentellen Teilung des Kreises in fünf gleiche Teile beruhen, wie -sie meine Quartaner ohne allen goldenen Schnitt sehr exakt ausführen. - -Es ist ausserdem eine Tafel bekannt geworden, aber leider zurzeit nicht -auffindbar, in der ein in drei gleiche Teile geteilter rechter Winkel -vorkommt, und das ist fast alles, was wir zurzeit von der babylonischen -Geometrie wirklich wissen; vermuten müssen wir sehr viel mehr; wäre -der Pythagoras, was nach den Beispielen der quadratischen Gleichungen -ganz gut möglich, den Ägyptern bekannt gewesen, so wäre er sicher den -Babyloniern nicht unbekannt geblieben, aber hier heisst es abwarten. - -[Sidenote: Babylonische Rechentabellen.] - -Von grosser Bedeutung für die Auffassung der Babylonischen Arithmetik -ist Band XX part. 1 Serie A des ¨Hilprecht¨schen Werkes The Babyl. -Expedition of the Univers. of Pennsylv. 1906 (mir erst vor kurzem -zugänglich geworden). Es sind hier, abgesehen von Wiederholungen, 31 -math. Tafeln veröffentlicht; Multiplikationstafeln, Divisionstafeln, -Tafeln von Quadratzahlen und -Wurzeln, eine geometrische Progression. -Auf Tafeln, welche dazu dienen, die Rechnungsresulate rasch in das -Sexagesimalsystem einzureihen, hat H. hingewiesen, deren eine (s. -Bild) er schon in seinem Vortrag von 1903 Bild 45 veröffentlicht hat. -Es hat nun Hilprecht bemerkt, dass ¨sämtliche bis jetzt bekannten 46 -Multiplikationstafeln sich auf Divisoren der Zahl 60^4 beziehen¨, inkl. -der 2 aus Sippar und Kujundschik, und zwar gehen sie bis 180000×1. -Dazu konstatierte er das Multiplikationszeichen A-R A z. B. 2×1 (=) -2: [**symbols], Plan 1, N. 1, das wie das unsrige, oft weggelassen -wird, das Divisionszeichen Igi-Gal, habend Auge gelegentlich mit -hinter dem Quotienten folgenden Distributivzeichen a-an»je«. Hilprecht -konstatierte, dass ¨alle diese Divisionstabellen sich wiederum auf 60^4 -beziehen¨, es sind Tafel N. 20, 21, 24, auf denen das Divisionszeichen -fehlt, und Tafel 22 obv., wo es gesetzt wird. Mit Hilfe der wichtigsten -Tafel 25 ergänzt H. Tafel 22: - -[Illustration] - - Igi-1-Gal-Bi = 8640000 - Igi-2-Gal-Bi = 6480000 - Igi-3-Gal-Bi = 4320000 - -etc., das »Bi« »dessen« bezeichnet den gemeinsamen Dividend 60^4. Ich -gebe hier als Beispiel die Multiplikationstabelle 15 (Obv. und Bev.), -das 1×1 mit 540, es ist zunächst eingerichtet wie die anderen, d. h. -es fehlt das Zeichen, und es enthält 1a bis 20a, und dann 30a, 40a, -50a, so dass also 23a berechnet wird als 20a + 3a, wofür es ja auch -Tabellen gab. Diese Tafel ist aber besonders interessant, weil sie -eine derjenigen ist, in denen die Zweideutigkeit durch die Zusatzlinie -am Schluss gehoben wird. Die Tafel lässt es zweifelhaft, ob man es mit -dem 1 × 9 oder 1 × 9.60 zu tun hat, die Schlusszeile (colophon) gibt -die nächstniedrige Tabelle der Serie an und lautet hier 8.60 + 20 mal 1 -ist 8.60 + 20 id est 500 × 1 = 500, somit ist die [**symbol] in unserer -Tafel 9.60. Sehr bedeutsam ist die Tabelle 25, welche in Hilprechts -Übertragung lautet: - - Linie 1: 125 720 - 2: Igi-Gal-Bi 103680 - 3: 250 360 - 4: Igi-Gal-Bi 51840 - 5: 500 180 - 6: Igi-Gal-Bi 25920 - 7: 1000 90 - 8: Igi-Gal-Bi 12960 - 9: 2000 18 - 10: Igi-Gal-Bi 6480 - 11: 4000 9 - 12: Igi-Gal-Bi 3240 - 13: 8000 18 - 14: Igi-Gal-Bi 1620 - 15: 16000 9 - 16: Igi-Gal-Bi 810 - -[Sidenote: Babylonische Divisionstafeln.] - -H. erkannte darin unschwer Divisionen von 60^4 durch eine aufsteigende -Reihe von Divisoren, für die Bedeutung der Zahlen 720; 360 etc. bis -9 wandte er sich an Mathematiker, diese brachten heraus dass, wenn -man die Divisoren in die Form a šar + b ner + r schreibt, dann 60^2/r -diese Zahlen ergibt. Hiernach erscheint es allerdings als im hohen -Grade wahrscheinlich, dass wir es hier mit einer kabbalistischen -Rechnung zu tun haben, und wir sehen dass hier wieder 60^4 seine -Rolle spielt. ¨Hilprecht¨ selbst zitiert aus dem Literaturverzeichnis -von ¨Bezold¨: »Die Mathematik stand bei den Babyloniern-Assyriern, -soviel wir bis jetzt wissen, vornehmlich im Dienste der Astronomie und -letztere wiederum in dem einer Pseudowissenschaft, der Astrologie, die -wahrscheinlich in Mesopotamien entstand, sich von dort aus verbreitete.« - -[Sidenote: Die goldene Zahl des Platon.] - -Ich möchte aber doch bemerken, dass wie der Mangel an beglaubigender -Unterschrift der Tafeln aus Nippur beweist, und nicht minder die -zahlreichen Fehler, dass wir es auch hier, ähnlich wie in Ägypten, -vielfach mit Schülerübungen zu tun haben. Ebenso sorgfältig wie das -Schreiben und Lesen, wurde auch die Elementarkunst des Rechnens -geübt, selbstverständlich vorzugsweise an »heiligen« Zahlen, von denen -60^4, wie es scheint, im Vordergrund stand. H. hat sicher mit Recht -auf die Abhängigkeit ¨Platons¨ von Babylon hingewiesen. In die Stelle -Republik VIII, 546 B-D hat zuerst der grosse, kürzlich verstorbene -Philologe ¨Fr. Hultsch¨, der Herausgeber des Pappos, Licht gebracht, -er hat, Schlömilch XXVII hist. lit. Abt. S. 41, in der sehr dunkel -beschriebenen Zahl des Platon die Zahl 60^4 erkannt und hervorgehoben, -dass ihre Teiler von glückbringendem Einfluss auf die Geburten und -Schicksale der Menschheit sein sollten, wie denn tatsächlich die nach -der kürzesten Fötalperiode von 216 Tagen geborenen 7 Monatskinder -bessere Lebenschance besitzen als die 8 Monatskinder. Wesentlich -ist hier der Nachweis des Einfluss Babylonischer Kultur auf die -Hellenische, den übrigens m. W. niemand mehr bestreitet. Gegenüber -¨Hommel¨ führe ich an, dass die Babylonische Phönixperiode 653 Jahre -und nicht 500 betrug, und gegenüber Hilprecht, dass nach ¨Censorinus¨, -wie Hultsch erwähnt, Plato das Alter der Menschen nicht auf 100, -sondern auf 81 setzte. Dass dabei 36000 eine Rolle gespielt hat, ist -nicht unwahrscheinlich, denn noch Ptolemäos gibt in der μεγαλη συνταξις -36000 als Cyclus der Präzession an, und Berosus dieselbe Zahl als -altbabylonische Präzessionszahl. - -Dass aber nicht nur die Inder, wie bekannt, in Riesenzahlen schwelgten, -sondern auch die alten Babylonier, beweist die von Hilprecht mit Glück -restaurierte Tafel ¨Bezold¨, Katalogue Kujundschik Vol. I N. 2069, -von denen Bezold l. c. die folgenden 4 Zeilen (2 bis 5 der Tablette) -veröffentlicht hat: - -[Illustration] - -[Sidenote: Babylonische Riesenzahlen; Quadratwurzeln.] - -H. hat überzeugend nachgewiesen, dass diese Tafel aus der Bibliothek -Asurbanipals mit ihren 28 Zeilen dieselbe Bedeutung hatte wie die -Tabellen No. 20, 21, 22, 24 Hilprecht's auf S. 21, es ist eine -Divisionstabelle, aber Divisoren und Quotienten beziehen sich -auf [**symbol] -- -- -- -- -- -- d. h. auf 60^8 + 10.60^7 id est -195,955,200,000000 also 195 Billionen 955200 Millionen! Zu dieser -Erkenntnis wurde H. in den Stand gesetzt durch die Bemerkung, dass -die längste Zahl links vorn Teilungsstrich vor [**symbol] drei -Ziffergruppen von je zwei Ziffern hat, also mit 60^3 zu multiplizieren -ist, und die längste Zahl rechts hat hinter ihrer Ziffergruppe vier -andere, ist also mit 60^4 zu multiplizieren. - -Tabellen von Quadratzahlen bezw. Wurzeln sind ziemlich zahlreich in -Nippur gefunden, die Quadrierung ist teils durch das A-Ra »mal«, teils -durch das Idiogramm für Ibdi das aber etwas von der Rawlinsonschen -Tafel IV, 40 abweichende Gestalt hat. Am leichtesten lesbar ist Pl. 16, -No. 28, Quadrate der Zahlen von 31-39, die dadurch interessant ist, -dass sie sich an die Tafel des Berliner Museums genau anschliesst. -H. hat aus ihr die Kenntnis der Formel für (a + b)^2 gefolgert, da -diese Formel in Indien bekannt war, vgl. S. 161, so ist sie höchst -wahrscheinlich auch den Babyloniern-Assyriern bekannt gewesen. Ein -irgendwie zwingender Beweis ist aber, da mir die Resultate gegeben -werden, ¨nicht¨ erbracht. - -Sehr dürftig ist wenigstens die bisherige Ausbeute für die Geometrie, -der Inhalt des geraden Prisma und des geraden Zylinders ist zu allen -Zeiten ohne weiteres als Grundfläche mal Höhe angenommen worden. Das -einzige was von Interesse, ist, dass nach einer Veröffentlichung von -¨Thureau-Dangin¨ schon unter der 2. Dynastie von Ur, also rund 3000 v. -Chr. man in Babylonien den Inhalt des Trapezes als Mittellinie mal Höhe -berechnen konnte. - -[Sidenote: Vase mit geometrischer Zeichnung.] - -Wie hoch entwickelt aber schon in unvordenklicher Zeit die -geometrische Zeichenkunst war, beweist die von ¨Kapitän Cros¨ 1903 in -Telloh gefundene Vase, mit deren Bild ich diesen Abschnitt schliesse. - -[Illustration] - - - - -Hellas - -Unser Werdegang müsste uns nun eigentlich nach Indien und China -führen, aber die Kultur der Inder und Chinesen ist so abhängig von -Babylon, oder, was richtiger ist, ganz Asien bildete von 4000 v. -Chr. bis etwa 100 n. Chr. ein einziges Kulturgebiet, Ägypten bis -zum Nil eingeschlossen, dass wir uns zunächst gleich nach ¨Hellas¨ -wenden. Die Hellenen sind das erste Volk, das die Wissenschaft um der -Wissenschaft willen getrieben hat, das Volk, von dem man wohl sagen -kann, dass ihm an Begabung für Kunst und Wissenschaft kein anderes je -gleichgekommen ist, und unter ihnen erwuchs im 6. Jahrh. v. Chr. aus -den Handwerksregeln ägyptischer und babylonischer Priester die reine -Mathematik als Wissenschaft. - -Wohl steht seit den Ausgrabungen ¨Heinrich Schliemanns¨ fest, dass -die Hellenische Kultur und Kunst sich unter starkem orientalischen -Einflusse, Ägypten eingeschlossen, entwickelt hat, aber schon für -¨Kreta¨, ja selbst für ¨Cypern¨ ist auch die selbständige Entfaltung -Hellenischen Geistes deutlich. Die Aufeinanderfolge ist wohl diese. -¨Cypern¨ fast völlig unterm Einfluss Babyloniens (Phöniziens); -¨Kreta¨: Ägypten und Babylon vereint. Für Kreta sind epochemachend -die Ausgrabungen von ¨Evans¨ zu ¨Knossos¨, Annalen der brit. Schule -in Athen 1899 ff. bes. 1902 (Bd. 8) u. ff. Daneben die der Italiener -in ¨Phaistos¨, Acad. dei Lincei Bd. XII (1902) ff. Das von Evans in -Knossos gefundene herrliche Kunstwerk des becherkredenzenden Epheben -(Jüngling, Page) geht über die Orientalischen Vorbilder schon hinaus, -auch Architektur und Kleinkunst, z. B. die ¨polychromen Vasen¨ (sogen. -Kamaris-Stil) ist selbständig. - -Es folgt dann die durch ¨Schliemanns¨ Ausgrabungen in Mykene, Tyrinz, -Troja zeitlich früher bekannte »¨Mykene-Periode¨«. Auch sie bekundet -starken Verkehr mit dem Orient durch kretische Vermittlung, aber sie -zeigt auch Kreta gegenüber eigenartige Entwicklung. Die Palastanlage -ist ganz verschieden, sie ist genau die von Homer beschriebene. Was -die Kleinkunst betrifft, so genügt es an die Becher von ¨Vaphio¨ zu -erinnern. Für die Mykeneperiode verweise ich auf ¨C. Schuchhardts¨ -Wertung der Schliemann'schen Funde (2. Aufl.). Die Beziehung zwischen -Mykene und Kreta ist zurzeit eine brennende Streitfrage. ¨Dörpfeld¨, -kret. u. hom. Paläste, Athen. Mitteilungen Bd. 30 (1905 p. 257), -unterscheidet für die kretischen Paläste zwei Perioden, a) eine -ältere genuin-kretische, b) eine jüngere, in der Mykenische Eroberer -ihre Paläste auf den zerstörten Resten der älteren erbaut hätten. -Gegen Dörpfeld hat ¨Mackenzie¨, Annals of brit. School XI u. XII -die Einheitlichkeit und Selbständigkeit der kretischen Paläste mit -triftigen Gründen behauptet. Dörpfeld hat 1907, Athen. Mitt. 32 p. 576 -erwidert. Die Herkunft der altkretischen Schrift ist zurzeit noch nicht -entschieden, möglicherweise ist sie hetitisch. - -Die politische Geschichte der Hellenen und die Geschichte der -Hellenischen Kunst zu schildern, muss ich den Historikern und -Archäologen von Fach überlassen. - -[Sidenote: Mathematikerverzeichnis des Proklos.] - -Die wichtigste Stelle für die Geschichte der hellenischen Mathematik -ist das sogenannte Mathematikerverzeichnis bei ¨Proklos¨. Es ist -vermutlich ein bei ¨Geminus¨, einem Schriftsteller des ersten Jahrh. v. -Chr. erhaltener Auszug aus der Geschichte der Mathematik des ¨Eudemos¨, -von der leider nur wenige Fragmente, z. B. in dem Kommentar des -¨Simplicius¨ zu Aristoteles uns erhalten sind. - -[Sidenote: Thales von Milet.] - -Beginnen wir also mit ¨Thales von Milet¨. Herodot sagt in seinem ersten -Buch, dass Thales von phönizischer Abkunft gewesen, unzweifelhaft -lebte er im 7. Jahrh. v. Chr. und war ein Zeitgenosse des Krösos und -Solon. Proklos gibt p. 250 der ¨Friedlein¨'schen Ausgabe an, dass -er den Satz von der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen -Dreieck gefunden habe und zwar habe er die Winkel nicht ἴσας sondern -ὁμοιας genannt; p. 299 Satz von der Gleichheit der Scheitelwinkel; -p. 157 Satz, dass die Durchmesser den Kreis halbieren, und p. 352 -sagt Proklos, nach Eudemos, dass Euclid I, 26 der sogenannte 2. -Kongruenzsatz von Thales herrühre, der sich seiner notwendig bedienen -musste bei seiner Methode die Entfernung der Schiffe im Meere zu -bestimmen. - -¨Marcus Junius Nipsus¨, ein römischer Agrimensor, gibt (¨M. Cantor¨) -folgende alte Methode, die so ziemlich die einzige sein kann, die mit -den geringen Kenntnissen, welche nach Proklos dem Thales zur Verfügung -standen und zugleich mit der Angabe des Eudemos stimmt: - -Die Dreiecke ASD und DCB (s. Fig.) sind nach den 2 Congr. congruent und -damit ist CB die gesuchte Entfernung. - -[Illustration] - -Ausser Proklos haben wir Angaben von ¨Plutarch¨ (100 n. Chr. -Neuplatoniker, ziemlich zuverlässig), in septem sapient. conviv., -wonach Thales die Höhe der Pyramide durch Messung ihres Schattens -bestimmt habe; aber die Quelle dieses Berichtes ist nach ¨Diogenes -Laertios¨ (Kompilator des 3. Jahrh. n. Chr.) Hieronymos von Rhodos, -welcher sagt, er mass die Pyramiden aus dem Schatten, wenn der Schatten -der Pyramidenhöhe gleich, d. h. bei einer Sonnenhöhe von 45°. Noch weit -unsicherer ist die Angabe bei Diogenes Laertius: ¨Pamphila¨ (Ende des -1. Jahrh. n. Chr.) erzählt uns, dass er als der erste, den Halbkreis -in den rechten Winkel einschrieb, und dass er bei dieser Gelegenheit -einen Ochsen opferte. Andere, z. B. ¨Apollodoros¨, der Rechenmeister, -schreiben diesen Zug den Pythagoräern zu. Da Proklos den Satz -ausdrücklich erst den Pythagoräern zuschreibt und eine bei Eutokios -erhaltene Stelle dies bestätigt, so verliert die Nachricht der Pamphila -ihren Wert. - -Auch als Astronom wird Thales gerühmt; im Theätet des ¨Platon¨ p. 174 -lesen wir die Anekdote, dass, als er, den Blick nach oben gerichtet -um den Himmel zu schauen, in den Brunnen fiel, eine thracische Magd -ihn verspottet habe: das was am Himmel vorginge, wäre ihm bekannt, -aber was vor seinen Füssen läge, das sähe er nicht. (¨Socrates¨ setzt -bekanntlich hinzu, dass man mit diesem Spott noch immer gegen die -ausreiche, die in der Philosophie leben.) Die von ihm vorausgesagte -Sonnenfinsternis ist, wie Herodot berichtet, die vom 28. Mai 585 -bei der Schlacht zwischen Medern und Lydern. Nach ¨Eudemos¨ hat er -auch die Ungleichheit der Jahreszeiten gekannt. Beides würde auf -babylonische Bildungsquellen deuten; und das wird ganz sicher durch -ein Missverständnis des ¨Diogenes Laertius¨, er habe die Sonne als -720 mal Mond angegeben, während der eigentliche Autor ¨Apulejus¨ -klar und deutlich sagt, er habe den Sonnendurchmesser als 1/720 der -Ekliptik gefunden. Soviel steht fest durch das einwandfreie Zeugnis -von ¨Herodot¨, ¨Platon¨, ¨Aristoteles¨, ¨Eudemos¨ und wohl auch -von ¨Xenophanes¨, des zeitlich ersten Eleaten: sein Ruhm war sehr -bedeutend, er steht stets an der Spitze der sieben Weisen, und nach -Aristoteles ist er der Begründer der ionischen oder physikalischen -Philosophenschule, des (fälschlich) sogenannten ¨Hylozoismus¨. -Aristoteles sagt, dass Thales im Wasser die eigentliche Urmaterie -gesehen habe und setzt hinzu, er vermute, dass er dazu durch die -Beobachtung geführt sei, dass die Nahrung aller Tiere feucht ist und -dass alles aus Samenfeuchtigkeit entstehe. - -[Sidenote: Thales von Milet, Anaximander.] - -¨Aristoteles¨ (περί Ψυχής, de anima) fügt hinzu, Thales habe vielleicht -angenommen, dass alles voll Götter sei; beispielsweise habe er gesagt, -dass der Magnet eine Seele habe. Noch müssen wir seinen Schüler oder -wohl richtiger jüngeren Stadtgenossen ¨Anaximander¨ erwähnen, obwohl -das Mathematikerverzeichnis ihn nicht nennt. Anaximander markiert -in der Geschichte des Erkenntnisproblems die Stelle, in der das -Mathematisch-Unendliche auftritt. Er lehrte, der Weltstoff müsse -unendlich sein, damit er sich nicht in der Erzeugung erschöpfe. Er darf -daher nicht unter den empirisch gegebenen Stoffen gesucht werden, und -es bleibt nur das Merkmal der zeitlichen und räumlichen Unendlichkeit -übrig. Daher sagte er αρχη εστι το απειρον. Anaximander erklärte also -die sinnliche Welt durch ein Gedachtes, er sagt: απειρον ist αιδιον, -und ist somit ein Vorläufer der Pythagoräer, und er hat auch eine -Vorstellung davon, dass gegen das Unendliche die Endliche Anzahl -verschwindet. - -[Sidenote: Pythagoras.] - -Die dem ¨Thales¨ zugeschriebenen Schriften sind alle Fälschungen; der -nach ihm von Proklos genannte Mamerkos samt seinem Bruder, dem Dichter -Stesichoros, sind spurlos verschollen, nicht aber der zu dritt genannte -¨Pythagoras¨, der einzige Mathematiker, der in den ganz und halb -gebildeten Schichten aller Kulturnationen populär geworden ist. Und -doch ist in dem Fabelmeer, in dem er geradezu ertrunken ist, sehr wenig -wirklich festes Land zu finden. - -¨E. Zeller¨ sagt: »Unter allen Philosophenschulen, welche wir kennen, -ist keine, deren Geschichte von Sagen und Dichtungen so vielfach -umsponnen und fast verhüllt, deren Lehre in der Überlieferung mit -einer solchen Masse späterer Bestandteile versetzt wäre wie die der -Pythagoräer.« - -[Sidenote: Pythagoräer.] - -Die Schriftsteller vor ¨Aristoteles¨ erwähnen des Pythagoras und seiner -Schüler nur selten. Aus dem 5. Jahrh. haben wir einzelne Angaben von -Xenophanes, Heraklit, Empedokles, Jon aus Chios, Herodot, Demokrit; aus -dem 4. Jahrh. von Platon, Isokrates, Anaximander II, Andron, Heraklid, -Eudoxos, Lyko, dem Pythagoräer. ¨Platon¨, der doch in die Schule der -Pythagoräer ging, ist sehr zurückhaltend mit historischen Nachrichten. -¨Aristoteles¨ hat zwar die pythagoräische Philosophie in eigenen -Schriften behandelt; was uns erhalten ist, ist wenig und besonders -was die Zahlenlehre betrifft, nicht frei von Unklarheiten. Pythagoras -selbst spielt dabei nur eine geringe Rolle. Unter den Schülern des -Aristoteles beginnt schon die Sage das Leben des Pythagoras zu -umspinnen, aber erst in der Zeit des Neupythagoreismus vom 1. Jahrh. -v. Chr. ab sind Romane wie die des ¨Apollonios von Thyana¨ und des -¨Porphyrios¨ und des ¨Jamblichos¨ entstanden. - -Feststeht durch das Zeugnis ¨Herodots¨, IV., 95, der ganz beiläufig -dort den ¨Pythagoras¨ erwähnt, dass er als Sohn des Mnesarchos in -Samos geboren, feststeht, dass er um die Mitte des Jahrhundert, etwa -von 580-500 gelebt hat, als reifer Mann 530 etwa nach Unteritalien -ausgewandert ist, in Kroton eine Kongregation, die etwa nach Art der -Freimaurer organisiert war, gegründet hat, und hochbetagt in Metapont -gestorben ist. Vorher soll er zu seiner Bildung lange Jahre Reisen in -so ziemlich alle Länder des orbis terrarum gemacht haben, und dies -scheint nicht unwahrscheinlich. Ganz besonders lange soll er in Ägypten -verweilt haben; aber dann wäre es im höchsten Grade auffallend, dass -¨Herodot¨, der etwa 100 Jahre nach ihm Ägypten bereist hat, und der den -Spuren des Hellenentums dort sehr sorgsam nachgegangen ist, kein Wort -davon erwähnt. - -Der Bund der Pythagoräer war ein religiös ethischer; er sollte eine -Pflanzschule der Mässigkeit, der Tapferkeit, der Ordnung, des Gehorsams -gegen Obrigkeit und Gesetz, der Freundestreue, überhaupt aller jener -Tugenden sein, die zum griechischen und insbesondere zum dorischen -(Spartaner) Begriff eines wackeren Mannes gehören. Neben den religiösen -Beweggründen, die sich aus dem Walten der Götter und vor allem aus -des Stifters Lehre von der Seelenwanderung für das sittliche Ideal -ergaben, wurde von ihm auch als Bildungsmittel in erster Linie auf die -Beschäftigung mit Mathematik, Musik, auch auf Diätetik und Beschwörung -mittelst Zahl und Musik zur Heilkunst hingewiesen. Da der Bund seiner -ganzen Natur nach sehr bald politisch oligarchisch wurde und die -Regierungsgewalt in den grossen unteritalienischen Kommunen Kroton, -Tarent, Metapont etc. an sich riss, so richtete sich die demokratische -Strömung gegen ihn und in den Kämpfen, die um die Wende des 5. Jahrh. -die Aristokratie der Städte stürzten, wurde der Bund gesprengt, ein -grosser Teil der Pythagoräer getötet, darunter vielleicht ¨Pythagoras¨ -selbst, die andern vertrieben. - -Diese Vertreibung hatte eine Wirkung, die wir mit der durch die -Eroberung von Constantinopel geweckten ¨Renaissance¨ vergleichen -können. Die mathematischen, philosophischen, naturwissenschaftlichen -Kenntnisse, die bisher auf einen kleinen Kreis beschränkt waren, wurden -nach Griechenland, Kleinasien, Sizilien verbreitet und bewirkten dort -das Aufblühen der mathematischen Wissenschaften. - -Von den Lehren der ¨Pythagoräer¨ ist am bekanntesten die Lehre von der -Seelenwanderung (Metempsychose) und die Anschauung, dass das Wesen -der Dinge die Zahl sei, dann ihre Kosmologie mit der Ordnung der -Sphären, dem Zentralfeuer, der Sphärenmusik, und dann die Harmonielehre -gestützt auf die Auffindung der Intervalle mittelst des Monochords. -Ihre ganz hervorragende Pflege der Mathematik ist unbestreitbar und -ebenso, dass sie zuerst das Bedürfnis nach Systematik und wirklichen -Beweisen empfanden und befriedigten. Wie weit aber die Kenntnisse -der Pythagoräer selbst reichten, ist ganz unmöglich zu bestimmen -und schwierig ist es auch den Stand des Wissens in der Schule der -Pythagoräer, die wir bis zu ¨Platon¨ und ¨Archytas¨ rechnen, zu -skizzieren. - -[Sidenote: Philolaos.] - -Die ersten wirklichen Nachrichten über die Lehre des Pythagoras rühren -von ¨Philolaos¨ her, einem älteren Zeitgenossen des Sokrates und -Demokrit, der nach der Vertreibung aus Unteritalien sich nach Theben -geflüchtet hatte. Es scheint, dass ¨Platon¨ seine Schrift von den Erben -in Sizilien gekauft und daraus seine Kunde des Pythagoreismus und auch -viele Anregung für seine eignen mathematischen und philosophischen -Gedanken geholt hat. Sein Neffe und Nachfolger in der Leitung der -Akademie, ¨Speusippos¨, hat die Schrift geerbt und dessen Bibliothek -hat ¨Aristoteles¨ gekauft, der das Werk veröffentlichte, d. h. -mehrfach abschreiben liess. Nicht unbedeutende Fragmente dieses -Glaubensbekenntnisses der Pythagoräer haben sich erhalten und ¨Aug. -Boeckh¨ hat ihre Echtheit dargetan. Ausserdem besitzen wir eine geringe -Anzahl echter Bruchstücke des Archytas und haben an guten Quellen die -Dialoge des ¨Platon¨: Philebos, Theätet, Timäos, der ganz besonders -wichtig ist, und die Physik und Metaphysik des absolut zuverlässigen -¨Aristoteles¨, sowie einige Stellen des ¨Eudemos¨, die uns besonders -durch Proklos erhalten sind. - -¨Philolaos¨ bezeichnet die Zahl als das Gesetz und den Zusammenhalt der -Welt, als herrschende Macht über Götter und Menschen, die Bedingung -aller Bestimmtheit und Erkenntnis. ¨Das Begrenzende aber und das -Unbegrenzte, diese zwei Bestandteile der Zahlen, sind die Dinge, aus -denen alles gebildet sei.¨ Die Zahl ist nicht bloss die Form, durch -welche der Zusammenhang der Dinge bestimmt wird, sondern auch die -Essenz, das Wesen, (nicht etwa die Materie), aus welcher sie bestehen, -oder vielleicht richtiger ¨das Gesetz¨, welches die Dinge erschafft. -In Fortbildung des auf Naturerkenntnis gerichteten Gedankengangs der -Ionier erkannten sie die Bedeutung der Zahl, insbesondere der relativen -Zahl, für eben diese Erkenntnis. Philolaos braucht die Ausdrücke ουσια, -Wesen, und αρχη, Grundlage. ¨Aristoteles¨ und ¨Philolaos¨ selbst geben -als Grund an, dass alle Erscheinungen nach Zahlen geordnet sind, dass -namentlich die Verhältnisse der Sphärenharmonie und der Töne, alle -ästhetischen, alle räumlichen Bestimmungen, von gewissen festen Zahlen -und Zahlenverhältnissen beherrscht sind. (Symbolische Rundzahlen -z. B. 40. Kabbala der Chaldäer), und dass unsre Erfahrung nur in der -Feststellung der Zahlenverhältnisse besteht (vgl. Diels, Fragmente der -Vorsokratiker p. 250). - -Die Zahlen zerfallen in gerade und ungerade und die gerad-ungeraden -2 (2n + 1). Eins, die unteilbare monas, steht ausser oder richtiger -über den Zahlen; in der reinen Eins, die geradezu mit der Gottheit -identifiziert wird, sind die Gegensätze vereinigt, und so wird auch -die Eins als gerad-ungerad bezeichnet. - -Zunächst möchte ich die scheinbaren Widersprüche, die sich bei -Aristoteles in seinem Bericht über die Grundlagen der Pythagoräischen -Philosophie finden, rechtfertigen. Zwischen der »phantastisch -orakelnden, grossartig erhabenen« Sprache des ¨Philolaos¨ und der -Darstellung bei ¨Archytas¨, dem grossen Mathematiker, sind sicher -nicht bloss zeitliche, sondern auch sachlich bedeutende Differenzen. -Ich zweifle gar nicht, dass Archytas der Pythagoräer gewesen, dessen -einfache Klarheit ¨Dionysios von Halikarnassos¨ rühmt (Boeckh l. c. p. -43). Und zwischen beiden gab es sicher zahlreiche Nuancen. Übrigens -interpretiere ich die Stelle Metaph. XIII, 8, 1083b so: »Die Körper -bestehen auf Grund von Zahlen (Verhältnissen).« Auf chemische Ideen der -Pythagoräer habe ich schon in meinem Aufsatz »Über Mathematik«, Bd. -II, Heft 1 der Cohen-Natorp'schen Hefte hingewiesen. Die Pythagoräer -haben die Tonempfindungen durch den Monochord in Zahlenverhältnisse -umgewandelt, und so sind sie es gewesen, welche zuerst den Schritt von -ungeheurer Tragweite getan, Qualitäten in Quantitäten umzusetzen und -so die Welt der äusseren Erscheinungen, die Physik, in die Welt der -inneren Verknüpfungen, die Mathematik, umzuwandeln. Und so kommen sie -naturgemäss darauf als ουσια, als Substanz, nicht als ὑλη, Materie, der -Dinge, das Bleibende in der Vergänglichkeit, die Zahl zu setzen, d. i. -das math. Gesetz. Als Belag für diese Auffassung genügt es auf die von -Boeckh p. 141 angeführte Stelle aus ¨Stobäos¨ zu verweisen; Boeckh hat -sie frei in dem eben angeführten Sinne übersetzt, und den Vergleich mit -dem Gnomon meisterhaft interpretiert: »Das Erkannte (die Dinge) wird -von dem Erkennbarmachenden (der Zahl) umfasst und ergriffen, wobei eine -ursprüngliche Übereinstimmung und Anpassung, wie des ¨Gnomon¨ um sein -Quadrat herum vorausgesetzt wird.« - -Das Gnomon ist die ungerade Zahl 2a + 1, welche durch ihr Hinzukommen -aus a^2 das Quadrat von (a + 1) liefert und zwar in der geometrischen -Form des Winkelhaken. - -[Illustration] - -Eine nähere Ausführung zeigt die Analogie mit den Chaldäern noch -deutlicher, die Zuordnung von Zahlen an die Planeten und an bestimmte -Begriffe. Die Gerechtigkeit z. B. entsprach dem ισακις ισος, dem -Gleichmal gleichen, d. h. der 4 oder der 9, als der ersten geraden, -bezw. ungeraden Quadratzahl; 5 als Verbindung der ersten männlichen mit -der ersten weiblichen Zahl gleich Ehe, die Einheit Vernunft, weil sie -unveränderlich, die 2 Meinung, weil sie veränderlich etc. - -Das Männliche und Weibliche bezieht sich auf die bekannten 10 -Gegensätze des ¨Philolaos¨: 1) Grenze und Unbegrenztes. 2) Ungerade und -Gerade. 3) Einheit und Vielheit. 4) Rechts und Links. 5) Männliches und -Weibliches. 6) Ruhendes und Bewegtes. 7) Gerades und Krummes. 8) Licht -und Finsternis. 9) Gutes und Böses. 10) Quadrat und Rechteck. - -¨Aristoteles¨ berichtet uns auch in der Metaphysik über das dekadische -System. Die Zahlen über 10 sind nur Wiederholungen der ersten 10. (Eine -¨Art arithm. Kongruenzidee¨.) Die Dekas umfasst alle Zahlen und alle -Kräfte der Zahlen; sie heisst daher bei ¨Philolaos¨ gross, gewaltig, -alles vollbringend, Anfang und Führerin des göttlichen wie des -irdischen Lebens, sie gilt ihm nach Aristoteles als das Vollkommene, -welches das ganze Wesen der Zahl einschliesst. Wir danken es nur ihr, -dass uns ein Wissen überhaupt möglich ist. - -Eine ähnliche Bedeutung hatte die 4heit nicht als 2^2, sondern -weil 1 + 2 + 3 + 4 = 10, so wird in der Tetractys, dem Schwur der -Pythagoräer, die Zehn, d. h. die Zahl selbst als Wurzel und Quelle der -ewigen Natur gefeiert. - -Auch von den anderen Zahlen hat jede ihre eigene Wesenheit, z. B. 3 ist -die erste vollkommene, denn sie hat nur Anfang, Mitte und Ende (||| -älteste Zahlenschreibung); 6 die zweite gleich der Summe ihrer Teiler -1 + 2 + 3; 3, 4, 5 sind die Zahlen des vollkommensten rechtwinkligen -Dreiecks. - -Sie sehen in dieser »Zahlenspielerei« den Ernst der Zahlentheorie, -und wenn Aristoteles uns erzählt, dass der Pythagoräer Eurytos die -Bedeutung der einzelnen Zahlen dadurch beweisen wollte, dass er -die Figuren der Dinge, denen sie äquivalent gesetzt wurden, aus -der entsprechenden Zahl von Steinchen (Kinderspiel: Pythagoras) -zusammensetzen wollte, so sehen Sie hier die Richtung gewiesen, welche -die griechische Arithmetik (nicht die Logistik, die Rechenkunst) -während der ganzen klassischen Epoche eingehalten hat; man vergleiche -die Kapitel des Hauptarithmetikers ¨Nikomachos von Gerasa¨ über die -figurierten Zahlen. - -Ich komme damit auf die Anwendung der Zahlenlehre auf die geometrischen -Figuren. ¨Aristoteles¨ sagt, sie haben die Linie durch die Zahl 2 -erklärt. ¨Philolaos¨ nennt 4 die Körperzahl, ¨Platon¨ scheint die 3- -und 4-Zahl als Flächen- und Körperzahl von ¨Philolaos¨ entnommen zu -haben. Die Pythagoräer setzten die Einheit den Punkten gleich, weil die -μόνας (Leibniz' Monade) unteilbar; die gerade Linie als 2, weil sie -durch 2 Punkte bestimmt sei, das Dreieck durch 3 Punkte, der einfachste -Körper durch 4 Punkte bestimmt seien. - -Der Körper ¨besteht¨ ihm zufolge auf Grund der ihn umschliessenden -Linien und Flächen, wie die Linien und Flächen durch Punkte und Linien -determiniert werden. Von den 4 Elementen weisen sie nach ¨Philolaos¨ -der Erde den Kubus, dem Feuer das Tetraëder (eine Ableitung von -Pyramide), der Luft den Oktaëder, dem Wasser den Ikosaëder zu, dem -fünften alles umfassenden Element, dem Äther, den Dodekaëder, d. h. sie -nahmen an, dass die kleinsten Teile dieser Elemente die betreffende -Form hätten. (Hier haben wir also schon den Grundgedanken der -Stereochemie, nur kommt der Tetraëder dem Feuer statt der Kohle zu.) -Daher heissen diese Körper oft die kosmischen, und, da sich ¨Platon¨ im -Timäus von ¨Philolaos¨ diese Zueignung angeeignet hat, so heissen sie -auch oft die platonischen. - -Es scheint nicht unglaubhaft, dass der fünfte Körper, der Dodekaëder, -eine Entdeckung der Pythagoräer gewesen und im Zusammenhang damit steht -die Konstruktion des regelmässigen Fünfecks und damit des goldenen -Schnittes. - -[Sidenote: Boeckh's Interpretation des Philolaos.] - -In der Geschichte des Erkenntnisproblems, das die eigentliche -Geschichte der Kultur ist, bezeichnen die Pythagoräer einen grossen -Fortschritt gegenüber den Ioniern, da sie zum ersten Mal nicht in -religiöser sondern in philosophischer Form die Erkenntnis haben, dass -die sinnliche Erscheinung der Welt nicht das letzte, sondern dass ein -geistiges Prinzip dahinterstehe. Sie fanden es in der Mathematik, die -ja auch Plato als zwischen den Dingen und den Ideen stehend auffasst; -und nicht weil sie sich mit Mathematik beschäftigten, sahen sie in der -Zahl die Substanz der Dinge, sondern umgekehrt, weil sie nach einem -die Erscheinungswelt beherrschenden Gesetz der Vernunft ¨suchten¨, -¨fanden¨ sie dies in Mass und Zahl. Das Hauptwerk für die Philosophie -der Pythagoräer ist neben ¨Brandis¨ und ¨Zeller¨, die Geschichte der -Phil. von ¨Ritter¨ 1828, wozu die Kritik von ¨Ernst Reinhold¨ (Jena) -im Jahrb. für wiss. Kritik 1828 p. 358 zu vergleichen ist. Am tiefsten -scheint mir der grosse Philologe ¨August Boeckh¨ in den Geist der -Pythagoräer eingedrungen zu sein in seiner Schrift: ¨Philolaos¨ des -Pythagoräers Lehren etc., Berlin 1819. Gegenüber Zeller, dem Klassiker -der griechischen Philosophie, der aber auch m. E. nach den Pythagoräern -nicht gerecht geworden ist, ist ¨W. Kinkel¨ in seiner Geschichte -der Philosophie als Einleitung in das System der Philosophie Bd. 1, -1906 neben eigenen Auffassungen vielfach auf ¨Ritter¨ und ¨Boeckh¨ -zurückgegangen. Bei dieser Sachlage sei mir ein näheres Eingehen auf -den Kern des Pythagoreismus gestattet. - -Auch über den dunkelsten Punkt der Lehre des Philolaos hat Boeckh -mit bewunderungswürdig genialem Instinkt Licht verbreitet: Es ist -die Stelle Metaphysik I, 5 des Aristoteles: Του δε αριθμού στοιχεια -το τ' αρτιον και το περιττόν, τούτων δε το μεν πεπερασμενον το δε -άπειρον, το δ' ἑν εξ αμφοτέρων ειναι τουτων [και γαρ αρτιον ειναι -και περιττον], τον δ' αριθμον εκ του ἑνος. »Grundlegungen der Zahlen -sind das Gerade und das Ungerade, das erste begrenzt, das andere -unbegrenzt. Die Eins besteht aus beiden. Die Zahl aber stammt aus -der Eins.« Was zunächst die Gegensätze begrenzt (bei Philolaos und -Platon richtiger begrenzend oder Grenze) und Unbegrenztes, und Gerade -und Ungerade, wie überhaupt die 10 Gegensatzpaare der Pythagoräer -betrifft, so stimme ich Ritter bei, dass sie den einen Heraklitischen -Gedanken verkörpern, der Streit (id est die Polarität) ist der Vater -der Dinge. Gerade in der Ausgleichung dieser Gegensätze besteht nach -Philolaos die pythagoräische ¨Harmonie¨. Dann aber hat Boeckh es -hervorgehoben, dass hier in andrer Form in der Bildung der Zahl aus -Grenze und Unbegrenztem, auch Unbestimmtem, eigentlich schon von den -Pythagoräern genau dasselbe ausgedrückt wird, was ich 1884 chemisch -rein von Kenntnis des Pythagoreismus auf S. 1 meiner »Elemente der -Arithmetik als Vorbereitung auf die Funktionentheorie«, sub 4, d gesagt -habe: »d) wird die erzählte Zahl als Anzahl des abgezählten Komplexes -erhalten durch eine eigne Tätigkeit, welche den Zählprozess abschliesst -(begrenzt).« Und 1906 fügte ich hinzu: Hierin haben wir die erste -Äusserung des so entscheidend wichtigen ¨Grenzbegriffs¨ (Meth. der -elem. Arithm. p. 9 u.). Und ganz analog dem was bei Boeckh S. 55 über 1 -und die unbestimmte Zweiheit, die erst durch Anwendung der begrenzenden -Eins zur zwei wird, gesagt wird, habe ich l. c. gesagt, dass zwei im -Grunde die einzige Zahl sei, und die Drei eine neue Zwei. In diesem -doppelten Zusammentreffen sehe ich wieder eine Bestätigung meines -Lieblingssatzes: Nie hat irgendwer irgendwas gefunden. - -Der Grund, weshalb in sekundärer Weise die ungeraden Zahlen dem -Begrenzenden zugeordnet werden und die geraden dem Unbegrenzten, -scheint mir darin zu liegen, dass aufgelöst in Einheiten die ungeraden -Anfang, Mitte und Ende haben, die geraden nur Anfang und Ende, und die -Mitte unbestimmt ist. Ausserdem hat Boeckh wohl auch darin recht, dass -im Volke eine Bevorzugung der ungeraden Zahl herrscht: (Aller guten -Dinge sind 3, 1001 Nacht etc.). - -Auch der Zusammenhang der Zahl mit der Zeit findet sich angedeutet. -Zeit und Raum verlegen sie an die Peripherie der Welt, von wo aus sie -in die Welt eintreten, und indem sie sich mit der schöpferischen Eins -verbinden die Erzeugung des Seienden bewirken. Hier liegt, wenn auch -bildlich verschleiert, die Ahnung von Zeit und Raum als Bedingung der -Erfahrung vor und zugleich davon, dass die Kategorie Zeit mittelst der -Kategorie Zahl die Welt der Erscheinungen realisiert d. h. begreiflich -macht. - -[Sidenote: Kosmogonie und Pantheismus der Pythagoräer.] - -Die Kosmogonie der Pythagoräer ist von ¨Boeckh¨ l. c. und in seinen -Arbeiten zum ¨Timäos des Platon¨ erschöpfend behandelt, sie ist voll -tiefer Gedanken und der des Aristoteles entschieden überlegen. Aber die -gewaltige Autorität des Aristoteles, dem sich ¨Poseidonios¨ anschloss, -hat die Entwicklung heliozentrischer Ideen wie sie sich schon bei -Philolaos und noch mehr bei ¨Hiketas¨ finden auf Jahrtausende gehemmt, -bis infolge der Renaissance ¨Kopernikus¨ auf die Pythagoräer zurückging. - -Nur noch ein paar Bemerkungen, welche für die Frage nach der Priorität -des Pythagoräischen Satzes wichtig sind. Der bei Philolaos (vgl. Boeckh -und Ritter) scharf ausgesprochene ¨Pantheismus¨ und die ¨Weltseele¨ -weisen deutlich auf Indien, wie die Zahlenmystik, das grosse Weltjahr -auf Babylon. Wie die Babylonier den einzelnen Göttern einzelne -Zahlen zuordnen, so werden hier den einzelnen Göttern, d. h. den -Personifikationen von Kräften des Einen einzelne Winkel zugeordnet. -Möglicherweise können auch die ¨Orphiker¨ mit ihrer Geheimlehre die -Vermittler zwischen dem Orient und den Pythagoräern gewesen sein. - -[Sidenote: Mathematische Kenntnisse der Pythagoräer.] - -Nach diesem Exkurs fahre ich in dem Bericht über die rein -mathematischen Kenntnisse der Pythagoräer fort. - -Es ist sehr glaubhaft, dass ihnen das Sternfünfeck, das Pentalpha oder -pentagramma bekannt gewesen und dass sie sich desselben als Symbol für -»sei gesund« bedienten, wofür die bekannte Stelle aus Lukianos (pro -lapsu in salut.) angeführt wird (s. Fig.). - -[Illustration] - -Das Θ statt des Diphtonges ει, die Figur als Anfang der Briefe statt -des sonst üblichen: »sei gegrüsst«. - -In Verbindung damit steht die Kenntnis von den Proportionen, der -arithmetischen a - b = c - d, der geometrischen a : b = c : d, und der -Spezialfälle a - b = b - c, a : b = b : c, d. h. des arithmetischen -und geometrischen Mittels, dem sie als drittes das harmonische Mittel -anreihten: (a - b)/(b - c) = a/c; (2/b = 1/a + 1/c); harmonisch, weil -die Seitenlängen des Grundtones c der Quinte g der Oktave C 1, 2/3, 1/2 -diese Proportion bilden, denn 1 - 2/3 : 2/3 - 1/2 = 1/(1/2). Dass sie -diese Verhältnisse kannten, bezeugt ¨Philolaos¨ ausdrücklich und ebenso -¨Eudemos¨, und sie fanden sie auch am Würfel anschaulich vor. - -In der Geometrie schuldet man ihnen nach dem Zeugnis des Eudemos bei -Proklos den Beweis des Satzes von der Winkelsumme im Dreieck durch -Ziehen der Parallele und den Satz von den Wechselwinkeln. - -Nach der durch Geminos, dem Eudemos vorlag, verbürgten Notiz im -Kommentar des ¨Eutokios¨ zu den Kegelschnitten des Apollonios bewiesen -»die Alten den Satz für jede besondere Form des Dreiecks einzeln, -zuerst für das gleichseitige aus der Sechsteilung des Kreises, dann für -das gleichschenklige und zuletzt für das ungleichseitige.« - -Diese Notiz ist für die ¨Geschichte des Parallelenaxioms¨ von grösster -Bedeutung, sie beweist, dass der vielleicht neueste Weg das Axiom zu -begründen, von der Sechsteilung des Kreises aus, zugleich der älteste -ist. - -Wir haben ferner das Zeugnis des Eudemos, Proklos I prop. 44, dafür -dass die Pythagoräer sich schon mit den drei Aufgaben beschäftigten, -welche die Grundlage der Kegelschnitte enthalten: An eine gegebene -Strecke einen gegebenen Flächenraum zu entwerfen (παραβαλειν) bezw. -die Aufgabe (Euclid 1, 44 Eucl. 3, 28, 29) so zu verallgemeinern, an -eine gegebene Strecke AB einen gegebenen Flächenraum als Rechteck -Ay so anzulegen, dass ein Quadrat By übrig bleibt (ελλειψις) oder -überschiesst υπερβολή. Man sieht in der Tat (s. Fig.), wir haben: ax = -y^2; ax - x = y^2; ax + x^2 = y^2. - -[Illustration] - -[Sidenote: Das Irrationale bei den Pythagoräern.] - -Nehmen wir dazu noch die Kenntnis der Pythagoräer von der -¨Irrationalität der √2¨ und damit die Entdeckung des Irrationalen, -oder, wie es zuerst weit passender genannt wurde, des ἄρρητον, so fehlt -uns nur noch der Pythagoräische Lehrsatz selbst. - -Von der ungeheueren Revolution, die diese Entdeckung des Irrationalen -in den Köpfen der griechischen Mathematiker hervorbrachte, haben wir -noch deutliche Spuren. Es wird uns erzählt, dass sie diese Kenntnis -als das Hauptgeheimnis behandelten und dass ein Pythagoräer, der es -unter die Leute gebracht, zur Strafe ertrunken sei. Man denke sich -nur den Eindruck! Die Zahl, die das Mass aller Dinge, die Grundlage -aller Ordnung und damit Erfahrung, hier versagte sie, und Grössen, -deren Verhältnis in der Potenz, έν δυνάμει, im Quadrat, das denkbar -Einfachste, haben in der Linie kein Verhältnis. Die ganze Grundlage des -Gebäudes wankte, alle Satze, wie z. B. die Streckenteilung, mussten neu -geprüft werden. ¨Aristoteles¨ hat uns den mutmasslich ältesten Beweis -erhalten: - -»Wenn eine √2 existierte, so müsste Gerades gleich Ungeradem sein.« - -Wir wissen aus dem Theätet, dass dann geometrische Beweise gegeben -sind; der für 2 ist im Euclid erhalten, der für ist vermutlich der, -den Bretschneider und ich selbst unabhängig von ihm gegeben, für 5 ist -er selbstverständlich. Theätet erzählt bei Plato, dass der Pythagoräer -Theodoros von Schritt zu Schritt bis zu 17 solche einzelnen Beweise -gegeben und dann den allgemeinen auf arithmetischer Grundlage, indem er -die Zahlen in Quadratzahlen und in Rechteckzahlen geteilt, d. h. in -solche die nicht in zwei gleiche Faktoren zerlegt werden können. Der -Beweis war also arithmetisch: - -n = p^2q, √n = λ, λ^2 = p^2q, λ = p√q, √q = ν, q = ν^2 gegen die -Voraussetzung. - -Resumieren wir, so waren den Pythagoräern im wesentlichen die -geometrischen Sätze bekannt, die auf Gleichungen ersten und zweiten -Grades führten; das erste und zweite Buch des Euclid, ein grosser -Teil des dritten und des zwölften; und ihre Ausläufer insbesondere -¨Archytas¨ und ¨Hippokrates¨ haben schon die Probleme dritten Grades in -Angriff genommen. - -[Sidenote: Der Pythagoräische Lehrsatz.] - -Ich wende mich nun zu dem Satz, der den Namen des Pythagoras seit über -2 Jahrtausenden trägt. - -Über diesen grossen Satz, den magister matheseos, auf den die -Flächenrechnung und die Trigonometrie sich stützen, drückt sich -¨Proklos¨ sehr vorsichtig so aus: »Wenn wir auf die, welche alles -erzählen wollen, hören, so finden wir, dass sie diesen Satz auf -Pythagoras zurückführen und sagen, bei der Auffindung habe er einen -Ochsen geopfert.« Der erste Schriftsteller, welcher ganz bestimmt -Pythagoras nennt, ist der römische Architekt ¨Vitruv¨, und nur -in Verbindung mit der Hekatombe wird die Sache erzählt. ¨Hankel¨ -sagt: »Doch möchte ich nicht so weit gehen, den Satz dem Pythagoras -abzusprechen, obwohl keine einzige nur einigermassen glaubwürdige -Nachricht darüber vorhanden ist.« ¨Cantor¨ plädiert für Pythagoras -selbst, und er hat darin wohl recht, dass die Schule durch den Meister -den Satz kennen gelernt; den Satz selbst aber hat Pythagoras aus Asien -und mit ausserordentlicher Wahrscheinlichkeit aus Indien. Auf Babylon -weist die Zahlenmystik, die Symbolisierung der Begriffe in Zahlen, und -auf Indien der Lehrsatz und die Lehre von der Seelenwanderung. - -[Sidenote: Die Geometrie der Inder.] - -¨M. Cantor¨ hat noch in der 2. Aufl. die indische Geometrie als nicht -original erklärt, er hat es wiederholt, dass wir die Geometrie nur -auf indischer Grundlage nicht begreifen können, ja, er hat sie von -Heron von Alexandria, dessen Blüte zwischen 100 v. Chr. und 100 n. -Chr. schwankt, abhängen lassen, und das, obwohl er die Existenz der -¨Sulba-sutras¨, d. i. der ¨Schnurregeln¨, der Zimmermannsregeln für -die Herstellung der Opferstätte aus ¨Thibauts¨ schöner Arbeit in -der Asiatic society of Bengal von 1875 kannte. Dabei hat 1884 der -Sanskritist ¨Leopold v. Schröder¨ ein Buch geschrieben: »Pythagoras und -die Inder,« in welchem er bereits ziemlich entscheidende Beweise für -die Beeinflussung der Pythagoräer durch die Inder beigetragen hat. - -Ich schiebe hier einiges aus meinem Vortrag im mathem. Kolloquium -vom 2. Febr. 1903 ein. -- Als ich für die Enzyklopädie den Artikel -Pythagoras abschliessen wollte, machte mich unser Indologe ¨Leumann¨ -auf die damals gerade erschienene Arbeit von ¨A. Bürk¨ über das -Apastamba Sulba-sutra (Zeitsch. d. Deut. Morgenl. Ges. Bd. 55, -1901, p. 543) aufmerksam. ¨Leumann¨ gab mir auch die Schrift -¨L. v. Schröders¨ »Pythagoras und die Inder« Dorpat 1884. Auf Grund -dieser Arbeiten inkl. Thibauts trat ich den Ansichten Schröders und -Bürks, dass der Pythagoras bei den Indern weit älter als bei den -Hellenen und vermutlich von den Indern her entlehnt sei, bei und -machte die Mathematiker auf die Arbeit ¨Bürks¨ aufmerksam, ¨Hoffm. -Ztsch.¨ 33, S. 183, 1902. Wie ¨Bürk¨ legte auch ich besonderen Wert -auf das Auftreten des Satzes vom ¨Gnomon¨, d. i. von der Gleichheit -der Ergänzungsparallelogramme, bei den Indern. Etwa ein Jahr später -erschien, auf Verlangen ¨Cantors¨ beschleunigt, im Archiv ein Artikel -desselben, in dem er ebenfalls von der Arbeit Bürks Notiz nahm. Aber -statt dass nun Cantor die Selbständigkeit oder wenigstens die relative -Selbständigkeit der Inder, d. h. die Unabhängigkeit ihrer Geometrie -von den Griechen zugegeben, drückt er sich äusserst gewunden aus, ja -selbst seine Heron-Hypothese gab er nicht auf, indem er sie hinter -der zweifelnden Frage am Schluss versteckt, ob nicht am Ende in -den Sulba-sutras verhältnismässig moderne Einschiebsel seien. Das -Auftreten von Stammbrüchen bei den erstaunlich genauen Näherungswerten -von √2 sollte auf Heron und Ägypten hinweisen; aber sieht man näher zu, -so liegt gerade hier ein entscheidender Unterschied. Während bei den -Ägyptern die gemeinen Brüche als Summe von Stammbrüchen erscheinen, -haben wir bei den Indern auch Differenzen oder genauer Aggregate; und -die Stammbruchform rechtfertigt sich als Bruchteilung der Massschnur. - -Kulturzusammenhänge bezweifle ich so wenig wie jeder der sich nicht -bloss mit der Kultur eines einzigen Volkes beschäftigt hat. Angesichts -der babylonischen Zahlenzerlegungen und der quadratischen Gleichungen -der Ägypter glaube ich persönlich, dass der Pythagoras Babyloniern wie -Ägyptern vielleicht schon vor 3000 v. Chr. bekannt war. ¨Aber Glauben -ist kein Beweis.¨ - -Und was den Einschub in das Sulba-sutra nach Apastamba betrifft, so -wäre der gleiche Einschub bei Taittirīya, Baudhāyana, Maitrāyana, -Katyāyana und Mānava, und im Satapatha-Brāhmana gemacht worden! - -Als ich Heft 9 des ¨Bühler¨'schen Grundrisses der Indo-Arischen -Philologie, Astronomie, Astrologie und Mathematik von ¨G. Thibaut¨ -las, wunderte ich mich, wie befangen sich dieser hervorragende Kenner -des indischen Wissens auf dem Gebiet der exakten Wissenschaften der -Autorität ¨Cantors¨ gegenüber zeigte. Derselbe Mann, der 1875 so -treffend geschrieben hatte: »Was nur immer fest mit altindischer -Religion verknüpft ist, muss betrachtet werden, als bei den Indern -selbst entsprungen, wenigstens so lange bis das Gegenteil erwiesen«, -der liess sich verblüffen durch Argumentationen von solcher -Ungeheuerlichkeit, wie die rhetorische Frage: »Kann unmittelbare -Anschauung zur Erfindung neuer Satze führen?« Ich sehe von ¨Jakob -Steiner¨ ganz ab, von dem es ja notorisch ist, wie viele seiner -Sätze, gelegentlich auch unrichtigen, er der unmittelbaren Anschauung -verdankt, sondern weise nur auf ¨E. E. Kummer¨ hin, gewiss ein reiner -Mathematiker wie nur einer, und doch der eigentliche Urheber der -Modellgeometrie für Flächen. Herr ¨Bürk¨ hat sich dann auch nicht -geniert, die Schwäche der Cantor'schen Argumente auch bezüglich der -Seilspannung beim Tempel von ¨Edfu¨ -- nebenbei bemerkt erst 237 v. -Chr. -- aufzudecken, und er wies mit Recht auf ¨H. Hankel¨ hin, dessen -dünnleibige Fragmente von einem fast prophetischen, wahrhaft genialen -Verständnis für die Seele der Völker zeugen. Angesichts einiger -Bemerkungen möchte ich hier sagen, dass ich von Bewunderung für die -beinahe übermenschliche Arbeitsleistung Cantors erfüllt bin, aber die -betreffenden Äusserungen in meiner Entwicklung der Elementargeometrie -aufrecht halte. Das Recht zur Kritik, das mir ¨Weierstrass¨ zugestand, -lasse ich mir von niemandem und niemand gegenüber rauben, und wenn an -irgend einer Stelle, so gilt für die Wertung der indischen Mathematik -durch Cantor das Horazische: - - Interdum bonus dormitat Homerus, - Nec semper arcum tendit Apollo. - -Übrigens ist die indische Verwandlung des Rechtecks in ein Quadrat -ohne eine schulgerechte Analyse unmöglich, und bei der Ausmessung der -Saumiki vedi findet sich derselbe Beweis, den wir heute noch für die -Flächenformel des Trapezes geben. - -Erklärlich wird das Verhalten Cantors durch sein Dogma, dass die -Hellenen speziell für Geometrie, die Inder für Arithmetik, insbesondere -für Rechnen begabt waren. Leider ist dies in dem Umfange, wie es -Cantor annimmt, falsch. Der leitende Gesichtspunkt der Entwicklung -der griechischen Mathematik war ein rein arithmetischer. Sie haben -erst die Gleichungen ersten Grades in Form der Proportion gelöst, dann -die der zweiten vermöge der Satzgruppe des Pythagoras und dann die -Gleichungen dritten Grades angegriffen, wie man absolut deutlich aus -den beiden sogenannten Delischen Problemen, der Verdoppelung, bezw. -Vervielfachung des Würfels und der Trisektion des Winkels erkennt, -an die sie sich unmittelbar nach der im zweiten Buch des Euclid -ausführlich behandelten Lösung der quadratischen Gleichungen machten. -Und die Inder, welche im Anfang ihrer Geschichte in der Astronomie und -damit in der Rechenkunst durchaus abhängig von Babylon waren, haben -höchst wahrscheinlich ihre Geometrie infolge ihres Kultus selbständig -entwickelt. - -[Sidenote: Abhängigkeit der Pythagoräer von den Indern.] - -Für die Abhängigkeit der Pythagoräer von den Indern hat ¨v. Schröder¨ -auf die Lehre von der Seelenwanderung hingewiesen; sie war ein -Hauptbestandteil der Pythagoräischen Lehre, unzweifelhaft, schon -Xenophanes berührt sie; Philolaos trägt sie vor; Aristoteles bezeichnet -sie als pythagoräisch; Plato hat seine poetische Darstellung von dem -Zustand nach dem Tode den Pythagoräern nachgebildet. Philolaos sagt, -die Seele sei an den Körper ¨zur Strafe¨ gefesselt und gleichsam im -Körper begraben. Diese Anschauung hat ¨Platon¨ in dem durch und durch -von Philolaos beeinflussten ¨Timäos¨ angenommen, im Gegensatz zu seiner -früher z. B. im Phädon aufgestellten Ansicht. - -¨Herodot¨, der die Seelenwanderung als durchaus unhellenisch -bezeichnet, schreibt sie den Ägyptern zu, aber die Denkmäler der -Ägypter, soviel sie sich auch mit dem Tode und dem Leben nach dem -Tode beschäftigen, weisen keine Spur der Metempsychose auf. Und was -für einen Zweck hätten dann die riesigen Opfer, welche die Ägypter -für die Behaglichkeit des Kha brachten, ihre Pyramidenbauten, ihre -Einbalsamierung gehabt? Ein einziges ägyptisches Märchen, das von den -drei Brüdern, könnte allenfalls herangezogen werden, doch das gehört -unzweifelhaft in den Kreis der Osirissage. - -[Sidenote: Altindischer Kulturzustand.] - -Aber in Indien da beherrschte und durchdrang gerade um diese Zeit -die Lehre von der Seelenwanderung das ganze Volk. Wir wissen mit -Bestimmtheit, dass gerade um diese Zeit der Buddhismus hereinbrach, -als dessen Ziel einzig und allein die Befreiung von dem Kreislauf -der Geburten, von der Wanderung der Seelen durch immer neue -Existenzen bezeichnet werden muss. Und nicht Buddha Gautama war der -erste (¨Oldenberg¨ 1881, Buddha, sein Leben, seine Lehre, seine -Gemeinde), sondern vor und mit ihm durchzogen schon Asceten, Mönche, -Wanderpriester teils einzeln, teils schon Orden und Kongregationen -bildend das Land, um in Busse das Ziel der Erlösung zu suchen. - -Buddhas Erfolg beruht gerade darauf, dass er den Zug nach Erlösung von -der sich immer wiederholenden Qual des ¨Sterbens¨ durch seine Lehre -befriedigte. - -[Sidenote: Der Rigveda und der Yajurveda.] - -Die Lehre von der Seelenwanderung entwickelte sich in Indien -naturgemäss im Zusammenhange mit der Lehre vom All-Einen, deren Wurzeln -schon in dem Rigveda, der Sammlung der uralten heiligen Lieder, die -die Inder zum Teil beim Einwandern aus Afghanistan mitbrachten, zu -finden sind. Wohl sind auch ein paar weltliche Lieder dabei, aber sie -finden sich erst im 10. Buch des anerkannten Textes, der Redaktion der -Çakalaschule, das erst etwa um 1000 v. Chr. den übrigen 9 Büchern oder -mandala zugefügt ist, wenngleich ihr Ursprung natürlich viel älter -ist. Wenn wir uns den Kulturzustand der Inder, der Arya zurzeit der -Entstehung des Rigveda vergegenwärtigen wollen, so brauchen wir nur die -Germania des Tacitus zu lesen, nicht einmal der Spieltrieb fehlt, wie -10, 34 bekundet: »Nach seinem Weibe greifen fremde Hände, indes mit -Würfeln er auf Beute ausgeht.« Auch hier ein freies Volk, der König -eigentlich nur Herzog, d. h. Heerführer im Kampfe, der Hausvater, -der Sippenälteste, Herr und König in seinem Hause und zugleich auch -Priester. Eine eigentliche Priesterkaste, ein Bramanentum gab es noch -nicht, überhaupt kein Kastenwesen, auch keine Witwenverbrennung. Das -alles hat sich erst in der folgenden Periode entwickelt und hängt mit -der Ausbildung des Opferrituals eng zusammen. Wohl spielt auch im -Rigveda das Opfer, insbesondere das des Agni und noch mehr des Soma -eine bedeutende Rolle, aber im Vordergrund steht doch der Hymnus. -Übrigens ist die Periode des Rigveda nicht mehr die altindogermanische, -wie aus dem Zurücktreten des indogermanischen Lichtgottes Djaus, Zeus, -des Tiu der Germanen, angerufen als Djaùs-pitar, Griech. Ζευ πατερ, -umbrisch Dispiter, Lat. Jupiter (vgl. A. Kaegi, der Rigveda Anm. 112), -des Lichtgottes, des Himmelsvaters, und der Gäa, der ¨Mutter¨ Erde, -Prithivi, hervorgeht. - -Auch die Götter des Rigveda müssen in der Brahmanen-Periode dem -Dreigestirn Brāhman, Vishnu, Çiva weichen. Der erstere eine -priesterliche Abstraktion der Weltseele, die beiden anderen, in den -Veden erwähnt, aber doch erst später hervortretend gegen ¨Varuna¨, den -Himmel, und ¨Indra¨, den Kriegsgott, den eigentlichen Nationalgott -des Rigveda. Namentlich der Kult des schrecklichen Zerstörers Çiva -entstammt so recht eigentlich dem Grund der einheimischen Volksseele, -welche die Gewalt der Naturmächte oder Götter als schwer versöhnliche -Feinde der Menschheit empfindet. Im übrigen sei für die altindische -Kultur zur Vedenzeit auf ¨H. Zimmers¨ klassisches Werk: Altindisches -Leben (1879) verwiesen. - -[Sidenote: Die Bedeutung des Opfers.] - -In der auf die Rigvedazeit folgenden Periode, der des Yajurveda, -der Lehre vom Opfer, und der Brāhmana-Texte, der Kommentare der -einzelnen hervorragenden Weisen, nimmt der Zug nach Erlösung von der -Qual des Wiedersterbens seinen Anfang. Und auf der andern Seite in -der Flucht der Erscheinungen bildet nur eins den ruhenden Pol, der -Kern aller Wesen, der Atman Brahman, der in allem ist, die heilige -Weltseele. Seelen, die in der Hölle der Existenz wandern, werden durch -Busse erlöst zu einem seligen Sein auf dem Monde, aber die gleiche -Vorstellung findet sich bei den Pythagoräern, nur dass an Stelle des -Mondes die Sonne tritt, wie im Satapatha Brāhmana die seligen Seelen -als Sonnenstäubchen erscheinen. - -Gemeinsam ist auch in der Buddha- und Pythagorassage die Erinnerung an -den früheren Seelenzustand. - -¨v. Schröder¨ sagt in Pythagoras und die Inder: - -»Wer nun mit dieser durch mehrere Jahrhunderte sich erstreckenden -Epoche der indischen Kulturgeschichte vertraut ist, der nur eigentlich -vermag es ganz zu ermessen, welch eine Rolle zu jener Zeit das Opfer -mit seinen unzähligen Details im Geistesleben der Inder spielte. -Das gesamte Sinnen und Trachten des hochbegabten Volkes ist in -diesem Jahrhundert auf das Opfer, seine Vorbereitung und Ausführung -gerichtet. Die umfangreiche Literatur, die als Zeuge jener Zeiten -zu uns redet, handelt vom Opfer und immer nur vom Opfer. Dem Opfer -in allen seinen Einzelheiten wird die höchste Bedeutung beigelegt, -die Kraft Götter und Welten zu zwingen, Natur und Menschen zu -beherrschen. Wunderbar übernatürliche Macht wohnt ihm inne und selbst -die Kosmogonie geht auf das Opfer zurück. Aus Opfern sind alle Welten -und Wesen, alle Götter und Menschen, Tiere und Pflanzen entstanden. -Das Zeremoniell des Opfers, wie schon die Yajurveden zeigen, ist ein -ungeheuer kompliziertes und die kleinste Äusserlichkeit wird mit -einem Nimbus von Wichtigkeit umgeben, der für uns nicht selten das -Lächerliche streift. Die Vorbereitung zum Opfer, die Fertigstellung -des Opferplatzes etc. spielt hier eine hervorragende Rolle. Dabei -ist natürlich die ¨Konstruktion der Altäre¨ von allerhöchster -Bedeutung. Jede Linie, jeder Punkt, jedes Formverhältnis war hier von -entscheidender Wichtigkeit und konnte nach dem indischen Glauben jener -Zeit, je nachdem es ausgeführt war, Segen oder Unheil bringen. Über -die ¨Gestalt¨ und ¨Grösse¨ der ¨Altäre¨, ihr Verhältnis zueinander und -zu ihren einzelnen Teilen, zu den mannigfachsten abstrakten Begriffen, -ihre symbolische Bedeutung und die richtige, nicht bloss gottgefällige, -sondern selbst Götter ¨zwingende¨ Art ihrer Herstellung haben -Generationen eines hochbegabten, für Spekulation und Abstraktion und -namentlich für rechnerische Leistung sehr beanlagten Volkes gegrübelt -und immer wieder gegrübelt.« - -Und ¨Bürk¨ und ¨Leumann¨ stimmen dem zu. - -Es mussten daher die Inder schon in jener sehr frühen Zeit gezwungen -werden, wenigstens auf dem Opferplatze eine Feldmesskunst auszubilden. -¨Cantors¨ Ansicht ist um so unbegreiflicher als er selbst sagt, dass -die Sulba-sutras Schriften von geometrisch-theologischem Charakter -sind; wie sie abgesehen von einigen ägyptischen Inschriften in keiner -Literatur sich wiederfinden. - -[Sidenote: Konstruktion der Opferstätten und Altäre.] - -Wenn nun ¨Pythagoras¨ in Indien war, so konnte er nicht nur, so musste -er von dort den Satz über das Quadrat der Hypotenuse mitbringen. Selbst -¨Cantor¨ hat sich dem, wie erwähnt, nicht ganz verschliessen können. - -Das Apastamba-Sulbasutra, die Lehre von der Messschnur nach Apastamba, -gehört in den Ausgang der Brāhmana-Literatur, der Zeit, die auf die -Veden folgt. - -Die Veden, von Veda (Lehre, Wissenschaft), enthalten die ältesten -religiösen Satzungen: den Rigveda, soweit sie sich in Liedern -formulieren, und den (schwarzen und weissen) Yajurveda, der vom Opfer, -seiner Zurüstung, den Zeremonien etc. handelt. Die Veden sind kurz und -dunkel. Die riesige Brāhmana-Literatur bestand in Kommentaren zu den -Veden, die die Veden selbst als bekannt voraussetzen. Gehören die Veden -der Zeit von 1200-1000 an, so gehen die Brāhmanas bis etwa 600, der -Zeit vor dem Auftreten Buddhas. - -Die Sulba-sutras bilden in den verschiedenen Lehrbüchern der Schulen -ein Kapitel der Kalpa-Sutras oder Çrauta-Sutras, deren Aufgabe es ist -das Opferritual übersichtlich darzustellen, und ihr Sulba-Sutra gibt -die Regeln für die genaue Abmessung des Opferplatzes, der verschiedenen -Altäre etc. - -Diese Schulen entsprechen den Babylonischen Tempelhochschulen, und wie -die Fürstpriester Babylons stehen die altindischen Weisen, die rishi, -an genialer Begabung für religiöse und philosophische Spekulation -keinem Platon und Aristoteles nach. - -Die Anfänge des indischen Opferwesens reichen bis in die Zeit des -Rigveda zurück; schon in ihm werden die Altar-Stätten (vedi) und der -dreifache »tri-schadhastha« Sitz des Agni, des Feuers (= lat. igni-s), -des sozusagen irdischen Gottes im Rigveda, die drei geschichteten -Altäre erwähnt: der Altar des Hausherrn, der garhapatya -- der -ahavanīya -- Opferaltar -- und der daksinagni -- Südaltar. Nach den -Angaben des Yajurveda handelte es sich bei dieser Dreiteilung um -Quadrate, Kreise und Halbkreise, die von gleicher Fläche sein mussten. - -[Sidenote: Altindische Geometrie.] - -Das Verfahren wird selbstverständlich in dem Rigveda, den wir auf -1200 v. Chr. setzen, nicht erwähnt, doch heisst es: »kundige Männer -massen den Sitz des Agni aus.« Die eigentliche Blütezeit des indischen -Opferwesens war die Periode der Brahmanas, welche nach ¨Leumann¨ sich -bis ins 7. Jahrhundert vor Chr. erstreckt. ¨L. v. Schröder¨ sagt in -»Pythagoras und die Inder«, was ¨Bürk¨ und ¨Leumann¨ akzeptieren: »Auf -Grund dieser Sulba-Sutras und unter Berufung auf noch bedeutend ältere -Werke wie die Taittirīya-Samhita (Sammlung) und das so hochbedeutende -Satapatha-Brāhmana (die hundertpfadige Lehre) lassen sich nun die -geometrischen Kenntnisse bestimmen, welche die Konstruktion der Altäre -erforderte,« und ich werde hier also Gelegenheit nehmen auf die -altindische Geometrie näher einzugehen. - -Bei den Altären unterscheidet man die vedi, d. h. das Altarbett, und -den Agni, d. h. den beim Agni-Opfer und beim Soma- (dem heiligen -Trank-) Opfer aus meist quadratischen Backsteinen geschichteten -Feueraltar. Das Somafest wurde zu Ehren Indras, des Kriegsgottes, -gefeiert. Der Gott und die Krieger sollten sich berauschen an dem -Somatrank, der aus einer stark milchsafthaltigen Pflanze bereitet -wurde. Es hatte so hohe Bedeutung, dass der Somatrank selbst zum Gott -gemacht wurde. - -I. ¨Vedi.¨ Die Inder legten grossen Wert auf genaue rechtwinklige -Herstellung ihrer Altäre, und Apastamba lehrt zu diesem Zwecke bei -der Vedi für das Somafest mehrere $ganzzahlig$ rechtwinklige Dreiecke -anzuwenden, deren Masse zum Teil schon im Taittirīya- Text und im -Satapatha-Brāhmana vorkommen. Und auf diese bei der Saumiki vedi -gelehrte Methode der Ausmessung weist er bei einer Reihe andrer Vedis -zurück. Unter diesen ist erstens noch die Vedi der Sautramani-Zeremonie -hervorzuheben, welche nach einer alten Vorschrift 1/3 der Saumiki vedi -messen soll (¨Thibaut¨). Es handelt sich dabei um das Opfer für Indra -Su-trāman (Ζευς σωτηρ). Ihre Konstruktion geschah entweder mit Hilfe -der tri-karani oder trtīya-karani (der drei oder 1/3 machenden), d. h. -entweder mittelst der geometrischen Konstruktion von √3 oder √1/3, -und das geht nicht ohne Pythagoras (denn √1/3 = 1/3√3). Apastamba -Kap. II, 2 steht die Figur (s. S. 158), natürlich ohne Buchstaben. -Ferner die vedi beim asvamedha (Rossopfer); da diese doppelt so gross -als die Saumiki vedi sein soll, wird sie mit der dvi-karani; der √2, -ausgemessen. - -[Sidenote: Grundriss des Normalaltar.] - -Damit ist auch die trtīya-karani erklärt: das Quadrat über der -tri-karani ist in 9 Teile zu teilen (Fig. S. 158). - -Nur wenn die Vedi genau den Vorschriften entsprach, war das Opfer Gott -wohlgefällig, im andern Fall eine Beleidigung. Die genannten Arten der -Vedi und die meisten andern hatten die Form eines Achsentrapez; dies -musste zuerst in ein Rechteck verwandelt werden (Ap. V, 7), dessen -Berechnung, z. B. Ap. S. V 7 und 9 gelehrt wird. - -II. ¨Agni -- geschichteter Feueraltar.¨ Alle in den Brāhmanas und -Sutras vorkommenden Vorschriften beziehen sich, wenn nicht anders -angegeben wird, auf den catur-asra syena-cit, auf den viereckig -falkenförmigen. Der atman (Wesen, Seele, Körper) des Altars, der die -Gestalt eines Falken in rohen Umrissen nachahmte, bestand aus vier -Quadraten über dem purusa (Menschenlänge) und der Schwanz und jeder -Flügel aus einem Quadrat-purusa; um der Gestalt des Vogels noch näher -zu kommen wird jeder Flügel um 1 aratni (Elle = 1/5 purusa) und der -Schwanz um 1 pradesa (= 1/10 purusa) verlängert (s. Fig.). Gemäss -seiner Zusammensetzung heisst dieser Altar auch agni saratni-pradesa -saptavidha (z. B. Ap. Sulb. s. XV, 3.). - -[Illustration] - -[Sidenote: Altindische Geometrie zur Konstruktion der Altäre.] - -Bei der Anlage der Grundfläche handelt es sich nun um die Konstruktion -von Quadraten, wofür Apastamba zwei Methoden überliefert. Die erste -Ap. VIII, 8 bis IX, 2 beschrieben, ist höchst altertümlich und -primitiv (Fig. 2), sie ist älter als die bei Thibaut beschriebene von -Baudhāyana zum caturasra-karana. Für alle vier Quadrate sieht sie aus -wie Fig. 3, aus der sich dann die von Baudhāyana beschriebene Fig. 4 -entwickelt hat. - -[Illustration] - -Die zweite jüngere ist die mittelst des visesa, d. h. mit einem Rest, -d. h. der Näherungswert 17/12 (Thibaut) für die √2, also 1,417, Fehler -< 0,003; sie setzt den Pythagoras voraus für den Spezialfall. (Ap. -Sulba sutra IX, 3), bei Apastamba 577/408 = 1,4142156; der Bruch ist -auf 5 Dezimalen richtig - - 1 + 1/3 + 1/(3·4) - 1/(3·4·34); √2 = 1,414213; Fehler < 3/10^6. - -Wenn der Inder durch das Opfer besondere Wünsche erzielen wollte, so -traten an die Stelle der Normalform die Kamyas, d. h. es gibt besondere -agnis für solche Zwecke. Dahin gehört der agni in Gestalt eines Falken -mit eingebogenen Flügeln und ausgebreitetem Schwanze, der in Form eines -gleichschenkligen Dreiecks praüga-cit, vordere ochsenjochförmig, eines -Doppeldreiecks, eines Wagenrads, rathacakra-cit, eines Troges etc. Aber -so mannigfach die Gestalten der Kamyas waren, so musste die Grundfläche -¨genau so gross¨ sein wie bei der Normalform. Man musste also schon zur -Zeit der Taittirīya Samhita verstehen, eine geometrische Figur in eine -andere ihr flächengleiche zu verwandeln. - -Die Aufgabe zu diesem Zwecke war: - -1. Beim kreisförmigen hatte man zunächst ein Quadrat = der 7-1/2 -Quadrat-purusa messenden Grundfläche des caturasra syena-cit zu -zeichnen, was ohne Pythagoras nicht möglich, und ¨das Quadrat in einen -Kreis zu verwandeln¨. - -2. Beim praüga-cit musste man das Quadrat 7-1/2 verdoppeln, also die -dvi-karani konstruieren; die Hälfte des Quadrats über der √2 gab dann -das gesuchte gleichschenklige Dreieck. Nun kommt das für die Geometrie -eigentlich Wesentlichste: Nach Satapatha-Brāhmana, Baudhāyana Sulb. -Sutra; Ap. S. und Ap. Sulba S. war der agni, wenn er das zweite Mal -konstruiert wurde, um einen Quadrat-purusa grösser als beim ersten Mal, -ebenso beim dritten um einen Quadrat-purusa grösser als das zweite Mal -und so fort. Also mussten die Inder spätestens schon zur Zeit der Sat. -Brāh. verstehen eine Figur zu konstruieren, die einer gegebenen ähnlich -ist und zu derselben in bestimmtem Verhältnis steht. - -a) War nun der erstmals konstruierte agni der »einfache« (eka-vidha) -gleich ein Quadrat-purusa -- was Apastamba nebenbei noch zulässt, -während Satapatha Brāhmana es verbietet -- so hatte man den zweiten -ebenfalls quadratischen doppelt so gross herzustellen, den dritten -dreimal und Apastamba geht bis zum sechsfachen, d. h. der Reihe nach -√2 √3 bis √6 zu konstruieren, d. h. die Summe zweier Quadrate zu -¨addieren¨, also Pythagoras. - -b) War aber der erste agni der sapta-vidha wie meist, so konnte man bei -den folgenden Malen entweder, wie Baudhāyana vorschreibt, alle Teile -der Normalform proportional vergrössern und dann das, was hinzukam -zunächst in 15 gleiche Teile teilen, oder, wie Apastamba nach älterer -Tradition lehrt, nur die 7 purusas, nicht aber auch die beiden aratnis -und den pradesa des caturasra syena-cit zunehmen lassen und dann -den Zuwachs in 7 gleiche Teile teilen. Ein solches Siebentel musste -dann, wenn es zunächst als Rechteck gezeichnet war, in ein Quadrat -verwandelt werden (Apast. S. S. II. 7) und hierbei tritt bei Apastamba -die ¨Subtraktion¨ von ¨Quadraten¨ als Hilfskonstruktion auf, und -dieses Quadrat musste dann mit jedem der sieben zu einem neuen Quadrat -vereinigt werden. - -3. Beim asva-medha musste der sapta-vidha von vornherein mit 3 oder -21 multipliziert werden, und beide Vorschriften sind nach Angabe des -Baudhāyana Sulba Sutra durch Brāhmana-Stellen belegt. - -[Sidenote: Pythagoras bei den Indern.] - -Wir sehen also, dass der Pythagoras und seine Satzgruppe eine geradezu -prominente Rolle beim indischen Opferkult spielt. - -Wir kommen nun zu der Frage, wie alt ist der Pythagoras? - -Ausgesprochen ist der Satz bei Baudhāyana, Katyāyana, Apastamba, -z. B. Ap. Sulba S. I, 7: Die Diagonale eines Rechtecks bringt beides -hervor, was die längere und die kürzere Seite desselben jede für sich -hervorbringen, und I, 5: Die Diagonale eines Quadrates bringt eine -doppelt so grosse Fläche des Quadrates hervor samasya dvi-karani (die -das Doppelte hervorbringende). Der Satz ist also jedenfalls so alt als -die genannten Sulba Sutras. Die des Apastamba bildeten den 24. Prasna -(Buch) des Srauta Sutra, und dieses kann nach der Untersuchung der -Sanskritisten nicht nach dem Anfang des 4. Jahrh. v. Chr. entstanden -sein. Damit ist die Heron-Hypothese Cantors ohne weiteres beseitigt. - -Aber der Pythagoras ist den Indern, musste den Indern viel länger -bekannt sein. Zunächst ist das Baudhāyana S. S. wahrscheinlich -mindestens 200 Jahre vor dem Apastamba Sulba Sutra redigiert; und -dann ist klar, dass die Vorschriften selbst weit älter sind als ihre -schriftliche Fixierung. Insbesondere scheint das Apast. Sulba Sutra -durchaus die ältere Tradition festgehalten zu haben. Dann aber finden -sich Vorschriften über die Vergrösserung z. B. des Asvamedha- und -Sutrāmani-Altars und über die Konstruktion der Kamyas in der Taittirīya -Samhita und über die Vergrösserung des falkenförmigen Normalaltars im -Satapatha-Brāhmana, die ohne Pythagoras unmöglich sind. Nun ist die -Taittirīya S. noch etwas älter als das Satapatha, und beide gehören zu -einer Klasse von Werken, von denen Oldenberg (Buddha 3. Aufl. S. 19) -sagt: »Wir werden schwerlich fehlgehen, wenn wir ihre Entstehung vom -10.-8. Jahrh. setzen.« Übrigens wird dieses Minimal-Alter durch Bürk -l. c. nachgewiesen mittelst zweier Stellen, je eine aus der Taitt. -Samh. und aus dem Sat. Brāh. Taitt. Samh. 6. 2, 4, 5 heisst es von der -Vedi für das Somaopfer: Die westliche Seite ist 30 padas lang, die -¨praci¨ 36; die östliche Seite 24, und genau dasselbe sagt die Stelle -im Satapatha-Brāhm. 10, 2, 3, 4. - -[Illustration] - -Bei Baudhāyana erscheint der allgemeine Pythagoras an zweiter Stelle, -und er setzt hinzu: diesen zweiten Fall erkennt man aus den Rechtecken -mit den Seiten 3 und 4, aus 12 und 5, aus 15 und 8, aus 7 und 24, aus -12 und 35, aus 15 und 36, und Cantor selbst sagt 2. Aufl. S. 398: -»Das ist nun offenbar der Pythagoräische Lehrsatz, erläutert an -Zahlenbeispielen.« Das Fehlen der Hypotenuse darf nicht auffallen. -Die Taittirīya- und die anderen Srauta-sutras sind die Yajurveden in -der Redaktion der betreffenden Schule und diese enthalten »diejenigen -Sprüche oder Verse, welche der die eigentliche Opferhandlung -verrichtende Priester, der Adhvaryu, zu sprechen oder zu murmeln hatte.« - -Auch die Brāhmanas bieten keine fortlaufende Darstellung des Opfers, -sondern vielmehr Erläuterungen zu demselben. Im Sulba Sutra bei -Apastamba, da wird die wirkliche Konstruktion gegeben und da tritt denn -auch z. B. beim Dreieck 30 : 15 die ganzzahlige Hypotenuse 39 auf. - -[Sidenote: Das Alter des Pythagoras bei den Indern.] - -Somit ist der ¨Pythagoras bei den Indern aus dem 8. Jahrh. sicher -konstatiert¨, aber höchst wahrscheinlich den Indern schon viele -Jahrhunderte vorher bekannt gewesen. (¨H. Hankel.¨) -- »Was nun -das Alter der Sulba-Sutras betrifft, so weiss jeder, der sich mit -indischer Literatur beschäftigt hat, dass jedes Erzeugnis nach seinem -Zusammenhange mit der ganzen Literaturgruppe, zu der es gehört, -beurteilt werden muss.« (¨E. Leumann.¨) Da kann nun kein Zweifel -darüber sein, dass die Sulbas, sie mögen niedergeschrieben sein wann -sie wollen, zur Yajurveden-Literatur gehören, d. h. zum Opferkult, -sie bilden ein durchaus nötiges Kapitel des Srauta Sutra, der bis -aufs i-Pünktchen detaillierten Lehre vom Opferzeremoniell und damit -ist entschieden, dass ihr Inhalt bis etwa 900 v. Chr., vielleicht -sogar noch höher hinaufreicht, und insbesondere zeichnen sich die -Apastamba- wie die Taittirīya-Schule durch Bewahrung alter Tradition -aus. Nun sind noch zwei Punkte zu besprechen. Indische Manuskripte sind -verhältnismässig jung. Baumrinde kann sich an Dauerhaftigkeit nicht -mit Papyrus, noch weniger mit gebrannten Tontafeln messen, zudem tritt -die Schrift im eigentlichen Sinne bei den Indern verhältnismässig spät -auf und ist nicht original. Dasselbe würde ja auch für das gewaltig -umfangreiche Heldengedicht des ¨Mahabharata¨ gelten. Aber abgesehen -davon, dass Zeichen analog den Runen der Germanen vermutlich auch bei -den Indern uralt waren, so war das Gedächtnis eben durch den Mangel -an Schrift enorm entwickelt. Leute, die täglich ein Kapitel auswendig -lernten, etwa wie die arabischen Geistlichen die Suren des Koran, -die kannten bald ganze Werke auswendig, und auch heute sind solche -Gedächtniskünstler nicht selten unter den Brahmanen. - -Ein zweiter Einwand klingt einleuchtender. Die erstaunlich -verklausulierten Vorschriften der Kalpasutras sollen Zeichen der -Erstarrung und des Verfalls sein. Ganz abgesehen davon, dass die -Indologen von Fach die Blüte des detaillierten Opferkults zwischen -1000 und 800 setzen, ist darauf folgendes zu erwidern: Das richtig -vollbrachte Opfer hat die Macht, die Götter unter den Willen des -Opferers zu beugen; ich habe ja schon bei Babylon darauf hingewiesen, -dass die Arier sich der Gottheit nicht annähernd so knechtisch -gegenüberstellten wie die Semiten. Ein durch Germanen, Hellenen und -Inder, kurz durch die ganze Arische Welt hindurchgehender Zug ist -das Misstrauen gegen die Götter, die Furcht vor ihrem Neide, die -Teufelslehre knüpft hier an, und der Stammbegriff des Wortes Teufel ist -das Sanskritische Wort für Gott. Grade aus der ältesten Zeit tiefster -Religiosität stammt dies Gefühl und jene Genauigkeit ist grade ein -Zeichen der naiven Periode, es darf dem Gott auch nicht die leiseste -Handhabe geboten werden, seinem Unwillen über den auf ihn ausgeübten -Zwang Ausdruck zu verleihen. - -Ich glaube nicht, dass irgend ein heutiger Indologe bezweifeln wird, -dass das Alter der Sulba-Sutras dem Inhalt nach bis mindestens 1000 -heraufgeht, und dass sich die indische Geometrie auf dem Boden der -Opferlehre, des Aufbaues der Altäre entwickelt hat. - -[Sidenote: Der Satz vom Gnomon.] - -Was aber die Entlehnung des Pythagoras von den Indern seitens des -Pythagoras noch viel sicherer macht, das ist das Auftreten des -sogenannten Gnomon, des Satzes von dem Ergänzungsparallelogramm. Schon -¨Bretschneider¨ sagt, dass die Kenntnis dieses Satzes dem Pythagoras -mutmasslich zur Auffindung des Satzes gedient hat, und Hankel sagt -l. c. mit ahnungsvollem Scharfblick, diese Herleitung erscheine -wahrscheinlich. Aber eben dieser Gnomon war den Indern auch bekannt. -¨Baudhāyana¨ geht mittelst desselben vom Quadrat mit der Seite 16 zu -dem mit der Seite 17; er sagt z. B.: Wenn man aus 256 quadratischen -Backsteinen ein Quadrat gebildet habe, so soll man nun 33 Backsteine -hinzufügen. Und ¨Apastamba¨ sagt II, 7, es folgt nun eine allgemeine -Regel: Man fügt: 1. das [Rechteck], welches man mit der jedesmaligen -Verlängerung (und mit den Seiten des gegebenen Quadrates) umzieht -[d. h. herstellt], an den zwei Seiten des Quadrates, nämlich an der -östlichen und an der nördlichen hinzu, und 2. an der nördlichen Ecke -das Quadrat, welches durch die Verlängerung hervorgebracht wird; dazu -die Figur und das ist klipp und klar - - (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. - -Der Satz konnte ihnen, da sie meist mit Backsteinen arbeiteten, gar -nicht entgehen. - -[Illustration] - -[Illustration] - -[Sidenote: Die Pythagoräischen Dreiecke bei den Indern.] - -Dass die Inder den Satz gefunden haben, ist natürlich nicht bewiesen, -aber so lange babylonische und ägyptische ältere Quellen uns nicht zur -Verfügung stehen, sind sie diejenigen, die am frühesten nachweisbar den -Satz besessen haben und die Auffindung kann ganz gut so wie ¨Bürk¨ es -angibt, geschehen sein; sie kann aber auch ganz leicht direkt erfolgt -sein, zunächst für das Dreieck 3, 4, 5 durch Drehen der Schnur, was -ja eine ihnen ganz geläufige Operation war. Es kommen im Apastamba -Sulba-Sutra 5 »erkennbare«, d. h. ganzzahlige rechtwinklige Dreiecke -vor, die Inder sagen: Rechtecke. - - 3 4 5 - 5 12 13 - 7 24 25 - 8 15 17 - 12 35 37 - 15 36 39, letzteres - -das wichtigste für die Vedi. Davon fallen die ersten 3 auch unter -die von Proklos ausdrücklich dem Pythagoras, bezw. seinen Schülern -zugeschriebenen Formeln 2a + 1; 2a^2 + 2a; 2a^2 + 2a + 1; die beiden -folgenden sind platonisch 2a; a^2 - 1; a^2 + 1. - -[Illustration] - -Das letztere ist dem zweiten ähnlich; aus Apastamba V, 4 folgt, dass -diese Ähnlichkeit ihm völlig klar war. Angesichts von ¨Thibauts¨ -Darstellung in ¨Bühlers¨ Grundr. ist es nicht uninteressant an der -Hand der Sulba-Sutras nachzusehen, was den Indern jedenfalls um 800 v. -Chr. an geom. Kenntnissen zur Verfügung stand. Ich benutze ¨Thibauts¨ -Übersetzung des Baudhāyana und ¨Bürks¨ Übers. des Ap. S. S. im 56. -Bande der Zeitschrift der D. Morgenländischen Gesellschaft. Das -Werkzeug, dessen sie sich für ihre Konstruktionen bedienten, war die -Schnur (sulba oder rajju), und gelegentlich auch ein Bambusstab. Ich -beginne mit der Konstruktion des einfachen Quadrats, Ap. Kap. VIII, -5-10, IX, 1. - -[Illustration] - -»Man schneide an einem Bambusrohr in einer Entfernung gleich der Höhe -des Opferers mit emporgehobenen Armen (der purusa, Menschenlänge, -später war das Mass die babylonische Doppelelle) zwei Zeichen (A -und B) ein, und in der Mitte ein drittes (die Mitte wird durch die -zusammengelegte Schnur bestimmt). Man lege das Bambusrohr westlich -von der Grube des Opferpfostens längs der prsthya (d. i. Rückenlinie, -die schon zuvor ein für allemal von Westen nach Osten prak gezogen -war, daher sie auch oft praci heisst). Schlage an den Einschnitten -Pflöcke ein (D, E, F), mache (das Rohr) von den beiden westlichen -(Pflöcken E und F) los und beschreibe (von F aus) in der Richtung nach -Südosten einen Kreisbogen bis zu dem (östlichen) Ende (des zu konstr. -Quadrats).« Entsprechend verfährt man von F aus, legt das Rohr von -E über G nach H, schlage in H einen Pflock ein, befestige in H das -mittlere Zeichen des Rohrs, lege die beiden andern an die Enden der -beiden Linien und schlage in die beiden Zeichen zwei Pflöcke. - -[Sidenote: Altindische Geometrie.] - -Hier haben wir die Konstruktion des Lotes mittelst der -¨Symmetrieachse¨, und die gemeinsame Tangente zweier Kreise im -speziellen Falle und die Quadratkonstruktion, die wir mit 4 Kreisen -ausführen, zugleich eine Art mechanischer Konstruktion, die bei den -Hellenen Neusis heisst (s. unter Apollonius). - -Diese Methode gilt als die älteste für die »Quadratmachung«, das -Catur-asra-karana, älter als die des Baudhāyana, welche die Figur auf -S. 148 zeigt. Von der einfachen Quadratform war dann der Agni vom -einfachen bis zum 6fachen des Grundquadrats, es musste also mittels -Pythagoras das Quadrat mit 2, 3, 4, 5, 6 multipliziert werden. Dann kam -der Saratni-pradesa saptavidha, d. h. also der caturasra syena-cit, -der viereckig falkenförmige, und dann die Vorschrift: Was beim 8fachen -und den folgenden von den 7 verschieden ist, teile man in 7 Teile, und -lasse in jedes purusa einen Teil eingehen, weil die Veränderung der -Gestalt nicht schriftgemäss wäre. Auch hier hat Apastamba weitaus die -ältere Methode, während B., wie oben gesagt, die Zunahme auf alle 10 -Flächen gleichmässig verteilt, da auch paksa und puccha, Flügel und -Schwanz, berücksichtigt werden, was schon recht komplizierte Teilungs- -und Messungsoperationen voraussetzt. A. geht bis zum 101fachen des -Quadratpurusa. - -I, 2 Konstruktion der Achsentrapez-förmigen Opfergrube, Vedi, mittelst -des rechtwinkligen Dreiecks 36, 15, 39. - -[Illustration] - -Man nimmt eine Massschnur (pramāna, A^1B^1 = 36, Fig. 1), verlängert -sie um ihre Hälfte (bis G), macht dann am westlichen Drittel (d. h. -also von G aus) weniger 1/6 desselben ein Zeichen (H). Man befestigt -die beiden Enden (der verlängerten Schnur) an den Enden der prsthya, -zieht an dem Zeichen nach Süden (daksina), ebenso verfährt man im -Norden (uttara), und nachdem man vertauscht hat, nämlich die in A -und G befestigten Enden, nach beiden Seiten (im Osten). Denn die -Fertigstellung durch diese wird eine Verkürzung oder eine Verlängerung -(12, 17) herbeiführen. - -[Illustration] - -I, 3 wird dann zur Konstr. des rechten Winkels das Dreieck 3, 4, 5 -analog benutzt (Fig. 2). - -I, 4 und 5 ¨der Pythagoras¨. - -Bei Apastamba zuerst in 4 der allgemeine: - -Die Querschnur (aksnaya-rajju, Diagonale) eines Rechtecks, was die -längere und kürzere jede für sich hervorbringt, das bringt sie zusammen -hervor. Mittelst dieser und zwar solcher, die »erkennbar« sind, ist die -Konstruktion (in § 2 u. 3) gelehrt worden. (jneya würde wohl besser mit -»feststellbar« d. h. als ganzzahlige rechtw. Dreiecke wiedergegeben.) - -5. Die Diagonale des Vierecks erzeugt die zweifache Fläche -(ausdrücklich das Wort bhumi Fläche, dvis-tāvati bhumi), sie des -Quadrats Doppeltes hervorbringende (dvi-karani). Viereck, schlechtweg -catur-asra, ist wie das griechische τετραγωνον das Quadrat, um aber -ganz deutlich zu sein, wird es im Nachsatz sama »das mit gleichen -Seiten« genannt. Katyāyana unterscheidet sogar die beiden Arten -gleichseitiger Vierecke. - -[Sidenote: Wurzel aus 2.] - -6. ¨Konstruktion des besseren Näherungswertes der √2.¨ - -[Illustration] - -Man verlängere das Mass A B um seinen dritten Teil und diesen wieder -um seinen vierten Teil weniger einem 34stel dieses vierten Teils (Fig. -3). Die √2, die dvi-karani von karana »machen«, heisst (sa-visesa) -d. h. ¨die Zahl mit dem Rest¨. Die Verlängerung ist der visesa; √2 ist -also 1 + 1/3 + 1/(3·4) - 1/(3·4·34) = 577/408 = 1,4142156; da √2 = -1,414213, so ist der Fehler kleiner als 3 Einheiten der 6. Dezimale. -Der Näherungswert des Baudhāyana ist 17/12 = 1,417, also genau bis -auf 0,003. ¨G. Thibaut¨ hat ganz richtig (bis auf einen kleinen -Rechnungsfehler) angegeben, wie sie zu beiden Näherungswerten gekommen -sind. Sie suchten zunächst nach einem Quadrat, das doppelt so gross wie -ein anderes sei, und fanden, dass 2·12^2 annähernd gleich 17^2, und -setzten daher √2 = 17/12, wodurch der Gott ja nicht zu wenig erhielt. -Da sie aber genauer verfahren wollten, so setzten sie (17 - x)^2 = -288. Dass ihnen der Satz vom Gnomon bekannt, wird gleich aus dem -Text nachgewiesen werden. Das ergab 34x - x^2 = 1, und indem sie das -ersichtlich sehr kleine x^2 vernachlässigten, setzten sie 34x = 1, also -x = 1/34 und somit die Dvi-karani (rajju) gleich 17/12 - 1/12 · 1/34, -was ja immer noch eine Zugabe enthielt. - -Hervorzuheben ist hier zunächst die ¨intuitive Erfassung¨ der -Ähnlichkeit. Sodann setzt die Konstruktion die Teilung der Strecke im -vollen Umfang voraus, aber auch Ansatz und Lösung einer Gleichung. -Ausserdem geht aus der Bezeichnung der √2 als der Zahl mit dem Rest -hervor, dass sie sich bewusst waren, die √2 zwar ¨geometrisch¨, aber -nicht arithmetisch genau konstruieren zu können, d. h. also, dass sie -bis zu einem gewissen Grade in diesem einen Falle die Erkenntnis der -¨Irrationalen¨ hatten. Ob sie den ¨Begriff¨ des Areton, des Alogon -gehabt haben, bleibt freilich durchaus zweifelhaft; aber, und darauf -ist der Hauptwert zu legen, ¨diese Näherungskonstruktion kann keine -Frucht des Zufalls sein, sondern sie musste eine Folge zielbewusster -Tätigkeit sein¨. - -Kap. II, 1 wird dann die eben konstruierte Savisesa-Grösse -zur Konstruktion des Quadrats benutzt. Sehr hübsch ist das -Sama-caturasra-karana in I, 7, wo gleich alle 4 Quadrate des Atman des -Falkenförmigen konstruiert werden mittelst der Raute, die aus zwei -gleichseitigen Dreiecken besteht. (Euklid I, prop. 1. Die Figur wird -wohl genügen.) - -[Illustration] - -II, 2 wird dann, wie schon oben S. 156 beschrieben, die dvi-karani und -mit ihr nach I, 4 die tri-karani und mittelst ihrer in II, 3 die √(1/3) -als 1/3√3 konstruiert. - -[Sidenote: Anwendungen des Pythagoras.] - -II, 4 wird der Pythagoras zur Addition zweier Quadrate verwandt, II, -5 dann zur Subtraktion; es wird ein ¨regelrechter Beweis¨ in N 6 -¨mittelst des Pythagoras gegeben¨. Wir sehen, dass die Bedeutung des -Pythagoras für die Flächenrechnung vollkommen klar erkannt ist; es wird -systematisch multipliziert, addiert, subtrahiert und dann dividiert, -wozu es erforderlich ist, ein Rechteck in ein Quadrat zu verwandeln; -dies lehrt I, 7. Das Rechteck heisst dirgha-caturasra, directum -quadrangulum, die Aufgabe das sama-caturasra-cikirsana. Wünscht man das -Rechteck in ein Quadrat zu verwandeln, so schneide man mit der kürzeren -Seite ab, teile den Rest, füge an beiden Seiten hinzu, fülle den leeren -Platz mit einem zugefügten Stück, dessen Subtraktion gelehrt worden ist. - -[Illustration: Addition zweier Quadrate.] - -[Illustration: Subtraktion zweier Quadrate.] - -[Illustration] - -M. H. Diese Verwandlung ¨setzt notwendig die Analysis¨ voraus a(a + b) -= a^2 + ab = a^2 + 2(ab)/2 = a^2 + 2(ab)/2 + (b/2)^2 - (b/2)^2 = -(a + b/2)^2 - (b/2)^2. - -¨Sie kommt m. W. bei den Hellenen nicht vor.¨ - -III, 1. Will man ein Quadrat in ein Rechteck verwandeln, so mache -man eine Seite so lang als man das Rechteck wünscht. (Es ist ganz -klar, dass hier die Rechnung xy = a^2 die Analyse gibt, und dass sie -wissen, dass eine Seite unbestimmt bleibt, also »so lang sein kann als -man wünscht«.) Darauf füge man den Rest zu dem Rechteck hinzu wie es -passt. Die Methode wird dann von dem Kommentator Sundara des Baudh. -an dem Beispiel des Quadrats mit der Seite 6 erläutert (s. Fig.), das -in ein Rechteck mit der Seite 4 verwandelt werden soll 36 = 4 . 6 + -4 . 2 + 4 . 1 = 4(6 + 2 + 1) = 4 . 9. - -[Illustration] - -Hochinteressant ist es, dass hier die ¨Inhaltsgleichheit¨ wie bei -¨Wolfgang Bolyai¨ aufgefasst wird. Der Kommentator des Baudh., -¨G. Thibaut¨ 1875 l. c. 247, gibt dann unsere auf den Satz von den -Ergänzungsparallelogrammen gegründete Kegel, doch kommt dies für die -altindische Geometrie nicht in Betracht. - -[Sidenote: Verwandlung des Quadrats in den Kreis und v. v.] - -III, 2. ¨Verwandlung eines Quadrats in einen Kreis¨ (nötig für den -Aufbau des rathacakra-cit, s. Fig.), denn »so viel als verloren geht, -kommt hinzu«. Der Kreis hat den Radius MN = MG + 1/3 GE und wenn MG = -1 gesetzt wird, so ist MN = 1 + 1/3 des visesa = 1 + 0,414213 : 3 = -1,138071, also 1,138071^2π = 4, also π = 3,0883 = 18(3 - 2√2) = 105/34. -Die Regel scheint durch Probieren gewonnen, die halbe Seite ist zu -klein, und die halbe Diagonale zu gross. - -[Illustration] - -III, 3. ¨Kreis-Quadratur¨, nötig für Vervielfältigung des -»Wagenradförmigen«. Als Seite wird 13/15 des Durchmessers genommen, -also π = 169 . 4/225 = 3,004. Baudhāyana hat genau den vorhin -ermittelten Wert für π nämlich 105/34 und gibt als Regel an -7/8 + 1/(8 . 29) - 1/(8 . 29 . 6) + 1/(8 . 29 . 6 . 8) vom Durchmesser. -Dies setzt erstens eine ¨sehr bedeutende Gewandtheit in der -Bruchrechnung¨ voraus, zweitens die Auflösung einer reinquadratischen -Gleichung, d. h. die Ausziehung der Quadratwurzel, da der Wert λ = -√(π/4) = √(105/136) = √0,77205882353 = 0,878668[8=] mit seiner Zahl -9785/11136 = 0,878682 übereinstimmt bis auf 13 Einheiten der 6 Dezimale! - -III, 7. Eine Schnur bringt jedesmal soviel Reihen hervor als sie Masse -enthält, d. h. ein Quadrat über a Längeneinheiten enthält a Reihen von -Flächeneinheiten zu a; also die Inhaltsformel des Quadrates, die in § -4, 6, 8, 10 spezialisiert ist. - -[Illustration] - -[Sidenote: Der Satz vom Gnomon.] - -III, 9. ¨Der Satz vom Gnomon¨: Es folgt nun eine allgemeine Weise -(nämlich ein Quadrat zu vergrössern, s. Fig.). Man fügt das (Rechteck), -welches man mit der jedesmaligen Verlängerung umzieht, an zwei Seiten -(Norden und Osten) hinzu und an der (nordöstlichen) Ecke das Quadrat, -welches durch die betreffende Verlängerung hervorgebracht wird. -- -D. h. also nichts anderes als (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. - -Der Satz vom Gnomon konnte ihnen, da sie ihre Quadrate vergrösserten -und meist mit quadratischen Backsteinplatten arbeiteten, nicht -entgehen, und dass in ihm die Quelle des Pythagoras liegt, haben -Bretschneider und Hankel gesehen. Der durch die punktierte Linie -angedeutete Beweis, der sich bei Bhaskara findet, heisst noch heute der -indische und beruht vermutlich auf uralter Tradition. - -[Sidenote: Dreieck und Trapez.] - -Kap. IV, 4 wird gelegentlich der Anlage der drei Feueraltäre (S. 145) -die Konstruktion des Dreiecks aus den drei Seiten gelehrt. - -Man teilt eine Schnur gleich dem Abstand zwischen garhapatya und -ahavanīya (der, falls der Opferpriester ein brāhmana war, 8 Schritt -betrug) in 5 oder 6 Teile, fügt einen 6. bezw. 7. Teil hinzu, teilt -das Ganze in 3 Teile und macht am westlichen Drittel ein Zeichen, dann -befestigt man die beiden Enden am garh. und ahav., zieht die Schnur -an dem Zeichen nach Süden und macht ein Zeichen; das ist, gemäss der -Schrift, die Stätte des daksinagni. - -Sie wissen, wie man sieht, dass 2 Seiten eines Dreiecks zusammen -grösser sind als die dritte. - -[Illustration] - -Kap. V ist von besonderer Bedeutung. Zuerst § 1 die Konstruktion der -grossen Vedi für das Somaopfer aus I, 2, nur dass statt des Rechtecks -das Achsentrapez gezeichnet wird; das rechtw. Dreieck oder nach -indischem Sprachgebrauch das Rechteck ist das mit den Seiten 36 und 15 -und der Diagonale (Hypotenuse) 39. Ganz besonders ist § 3 interessant. -Es heisst da: [Sind] die beiden Seiten eines Rechtecks 3 und 4, so -ist die Diagonale 5. Mit diesen legt man die beiden amsa (Schultern), -nachdem man sie je um ihr Dreifaches verlängert hat, fest, und nachdem -sie um ihr Vierfaches verlängert worden sind, die beiden sroni (die -Schenkel). - -[Sidenote: Ähnlichkeit.] - -Hier leuchtet ein, dass sie mit dem Begriff der Ähnlichkeit vertraut -gewesen sind. Das gleiche gilt bei No. 4. Die beiden Seiten 12 und 5, -die Diagonale 13. Mit diesen die beiden Amsa und nachdem sie um ihr -Doppeltes verlängert sind, die sroni. - -[Illustration] - -[Illustration] - -V, 5. Das Dreieck 15, 8, 17 gibt die sroni; sind die Seiten 35 und 12, -so ist die Diagonale 37, mit diesen die amsa. - -So viele »(als rational) feststellbare« Konstruktionen der vedi gibt es. - -[Illustration] - -V, 7. Die grosse Vedi (d. h. die sub 2-5 konstruierte Saumiki -Vedi) misst 972 (Quadrat) pada (Fuss). Man ziehe vom südlichen -Amsa zur südlichen sroni hin zu 12 (s. Fig.). Darauf drehe man das -abgeschnittene Stück um und füge es auf der Nordseite hinzu. ¨So erhält -die Vedi die Gestalt eines Rechtecks.¨ In dieser Form berechne man den -Inhalt 27 . 36 = 972. - -Hier haben wir einen vollgültigen Beweis, denselben, den wir heute noch -geben, - -V, 8. Für die Sautrāmani-Zeremonie wird gelehrt: Man opfere in dem 3. -Teil der vedi des Soma-Opfers; hier tritt die trtīya-karanī an Stelle -des pramana (des Grundmasses). Oder man konstruiere mit der tri-karani -(√3). ¨Hierbei sind die kürzeren Seiten 8 und 10 und die prsthya¨ (¨die -Rückenlinie¨) das 12fache desselben. (Ich vermute, dass die Vedis den -Querschnitt durch einen menschlichen Rumpf darstellen sollten.) Hier -ist die Ähnlichkeit sogar erfasst als ¨Abänderung des Massstabs¨! - -Und das wird durch die Vorschriften in V, 10 und VI, 1 bestätigt. In -V, 10 heisst es: Die Vedi des asva-medha, des Rossopfers, soll das -Doppelte der saumiki vedi sein und in VI, 1 heisst es: Es tritt die -dvi-karani des Masses an Stelle desselben! - -Es folgen nun in den Sulba-Sutras die detaillierten Vorschriften für -den Aufbau der verschiedenen Kamyas; sie sind alle in Beziehung auf -die speziellen Wünsche gedacht, der falkenförmige Agni z. B. für den, -der die himmlische Welt zu erlangen wünscht, weil der Falke sich dem -Himmel am nächsten aufschwingt. Die Vorschriften für die Anfertigung -der Ziegel offenbaren ein ganzes Teil mathematischer Kenntnisse, -insbesondere der Flächenteilung, wie beim Anblick der Figur das -vakra-paksa-syena-cit des Falken mit den krummen Flügeln klar wird. - -[Illustration: vakra-paksa-syena-cit.] - -Aber das hier Mitgeteilte genügt, um den Standpunkt der indischen -Weisen etwa um 900 v. Chr. zu beurteilen. Zunächst ist es Ehrenpflicht, -des Mannes zu gedenken, der zuerst auf die Sulba-Sutras als Schlüssel -zur Geometrie der Inder hingewiesen. Es war ¨A. C. Burnell¨, der in -seinem »Catalogue of a Collection of Sanscrit Manuscripts« 1869 p. 29 -gesagt hat: »Wir müssen die Sulba-Teile der Kalpa-sutras ansehen als -die ersten Anfänge der Geometrie unter den Brahmanas.« Die Kenntnisse -selber sind achtbar genug; sie umfassen so ziemlich das ganze erste -Buch des Euklid inkl. I, 47 (der Pythagoras), Streckenteilung, -Flächenberechnung, Ähnlichkeit und die Kenntnis einer Anzahl -ganzzahliger rechtwinkliger Dreiecke. - -[Sidenote: Altindische Arithmetik.] - -[Sidenote: Die Null bei den Indern.] - -Auch die arithmetischen Kenntnisse der Sulba-sutras sind keineswegs -unbedeutend; sie kennen Quadratwurzelausziehung, auch Auflösung -von Gleichungen, sind mit der Bruchrechnung vertraut. Gegen die -Rigveda-Zeit zeigen die Yajur-veden sehr erhebliche Fortschritte. -H. Zimmer l. c. p. 348 gibt an, dass die höchste bestimmte Zahl im -Rig-veda 100000 sata sahasra ist; aber schon in der Yajurveden-Zeit, -wie z. B. in der Taitt. Samh. und im Satapatha-Brahmana finden sich -Zahlworte bis zu 10 Billionen, und im Mahabhārata Zahlworte für -die Potenzen von 10 bis 10^{17}. Im Rig-veda kommen nur wenig Brüche -vor; ardha halb, auch sami, pada ein Viertel (der Fuss des Rindes), -tri-pad drei Viertel, sapha ein Achtel (Halbhuf der Kuh), kala ein -Sechzehntel. Als eine Grosstat, wozu sich zwei gewaltige Götter, -Indra und Vishnu, vereinigen müssen, gilt die Teilung von 1000 durch -3. Dagegen finden sich schon im Satapatha-Br. eigene Namen bis zu -15^{-4}30^{-1} als Zeitmass, und die Sulbas, insbesondere Baudh., -haben hoch entwickelte Bruchrechnung. Was das indische Positionssystem -betrifft, kann höchstens noch, vgl. Babylonien, die Einführung der -Null in Frage kommen. Nun kommt die Null vor in dem Manuskript von -¨Bakhshali¨. In Bakhshali (im nordwestlichen Indien) wurden 1881 -Bruchstücke eines Manuskripts auf Birkenrinde ausgegraben. Da die -Indologen das Alter dieses Manuskriptes oder seines Inhaltes jetzt auf -den Beginn unserer Ära setzen, so müssen wir es hier besprechen. Es -enthält Textgleichungen, auch diophantische, und die Kuttaka- d. h. -Zerstäubungs- id est ¨Kettenbruch¨methode; diese würde damit vermutlich -schon 500 Jahre vor ¨Aryabhata¨ indischer Besitz gewesen sein; ferner -Summation arithmetischer Reihen, ein eigenes Subtraktionszeichen; -und was für uns das Bedeutsamste ist, es enthält die Null in Form -eines Punktes . als Zeichen für das leere Feld und als Bezeichnung -der Unbekannten, die ja auch vorläufig leer ist. Die erste sonstige -Erwähnung der Null, auch in Form eines Punktes, findet sich in -Subandhu's Vasavadatta, wo die Sterne mit Nullen verglichen werden, die -der Schöpfer bei der Berechnung des Wertes des Alls wegen der absoluten -Wertlosigkeit des Samsara (Weltgetriebe) mit seiner Kreide -- der -Mondsichel -- überall auf das Firmament einzeichnete. (¨G. Bühler¨, -Grundriss der Indo-Arischen Philol. u. Altertumskunde II, 11 p. 78.) -Die Null in Kreisform kommt zuerst in den Cicavole Kupferplatten vor. -Ihr Name ist eigentlich sunya-bindu und wird abgekürzt zu sunya oder -bindu. Über die verschiedene Bezeichnung der Zahlen und Ziffern vgl. -Bühler l. c. Kap. VI, die Zahlenbezeichnung. - -[Sidenote: Eleaten: Xenophanes, Parmenides.] - -Wenden wir uns nun aus Indien nach Hellas zurück und zunächst zu den -Eleaten. - -¨Xenophanes¨ aus Kolophon, ein jüngerer Zeitgenosse des Pythagoras, ist -ihr Stifter. Das Weltganze als unvergängliches, ewig unveränderliches, -ewig gleichartiges Sein ist sein Gott, er ist der erste wirkliche -Pantheist. Wenige Fragmente seiner Lehrgedichte sind erhalten, aus -denen ich die Stellen anführe: - - ἑις θεος εν τε θεοισι και ανθρωποισι μεγιστος, - ουτε δεμας θνητοισιν ὁμοιιος ουτε νοημα. - -Ein Gott unter den Göttern und unter den Menschen der Grösste, nicht an -Gestalt den Menschen vergleichbar noch auch an Denkkraft. - -Und an einer andern Stelle sagt er, nachdem er gegen den -Anthropomorphismus geeifert: »Wenn die Pferde und Ochsen ihre Götter -malen könnten, so würden sie dieselben ohne Zweifel als Pferde und -Ochsen darstellen.« Xenophanes ist der Urheber der Lehre vom ἑν -και παν, von der Einheit aller Dinge, wie Platon und Aristoteles, -Theophrast und Timon übereinstimmend bezeugen. Ob der Pantheismus des -Xenophanes von den ¨Pythagoräern¨ beeinflusst ist, ob beide von den -¨Orphikern¨, und diese wieder von den ¨Indern¨ hierin beeinflusst sind, -wage ich nicht zu entscheiden. - -¨Xenophanes¨, der sich in Elea in Lukanien niedergelassen hatte, ist -für uns besonders wichtig, als Lehrer des ¨Parmenides¨ aus Elea, des -eigentlichen Hauptes der ¨Eleaten¨, welche noch weit schärfer als -die Pythagoräer, ja bis zum Extrem, die Priorität der Begriffe vor -den Erscheinungen gelehrt haben. Geboren etwa um 515 aus vornehmer -Familie, fällt seine ακμή, seine Blütezeit, etwa um 480. Die Lehre -der Pythagoräer war ihm vertraut; ohne der Schule anzugehören, hat -er sich die Sittenlehre der Pythagoräer zur Richtschnur genommen, -während er als Philosoph die Lehre des Xenophanes, welche hauptsächlich -theologischen Charakter hatte, weiterbildete. Er hat seine Ansichten -in seinem Lehrgedicht περί φύσεως niedergelegt, von dem uns nicht -unbedeutende Bruchstücke erhalten sind, welche zuletzt von ¨Diels¨ -mit dem ganzen Rüstzeug philologischer Schärfe herausgegeben sind. -(H. Diels, P. Lehrgedicht, griech. und deutsch, Berl. 1891.) - -[Sidenote: Eleaten: Parmenides, Zenon.] - -¨Parmenides¨ ging weit über Xenophanes hinaus. Es gibt, ihm zufolge, -nur ein einziges unteilbares lückenloses Kontinuum des Seienden, -unveränderlich, nicht werdend, nicht geworden, unbeweglich, zeitlos. -Es ist klar, dass die Eleaten mit der Veränderung auch das Zeitproblem -ausschalteten. Die Zeit, mitsamt der Vielheit der Dinge, ihr Werden -und Vergehen, wird uns durch die Sinne vorgetäuscht (die ¨Maja¨ der -Inder!), als Bleibendes, als einziges Sein erkannten sie nur das des -Begriffes, und das enthält die Zeit nicht mehr. Indem Parmenides -aussprach, dass wahres bleibendes Sein nur dem Begriffe zukommt, -identifizierte er Denken und Substanz. Das für uns interessanteste ist, -was Parmenides über den Raum sagt. Da zitiere ich l. c. Vers 42 ff. die -Stelle: - - αυταρ επει πειρας πυματον, τετελεσμενον εστι - παντοθεν, ευκυκλου σφαιρης εναλιγκιον ογκωι - μεσσοθεν ισοπαλες παντηι· το γαρ ουτε τι μειζον - ουτε τι βαιοτερον πελεναι χρεον εστι τηι η τηι. - -»Aber da es eine letzte Grenze gibt, so ist er von allen Seiten aus -abgeschlossen, der wohlgerundeten Kugel ähnlich an Gestalt, von der -Mitte aus an Kräften gleich überall, denn da darf es kein Mehr oder -Weniger, Hier oder Dorten geben.« Hier also bei Parmenides treffen -wir Jahrtausende vor ¨Riemann¨ die Hypothese von der Endlichkeit des -Raumes an und zugleich das Axiom von der Gleichförmigkeit des Raumes. -Parmenides hat auch das Verdienst, auf das ¨Problem¨ der ¨Kontinuität¨ -weit deutlicher hingewiesen zu haben als die Pythagoräer, die das -Problem allerdings auch in ihrer geometrischen Veranschaulichung der -Zahlenbeziehungen gestreift haben. Und ¨Zeno¨, der dritte grosse Eleat, -hat grade durch diese Frage seine bleibende Stelle in der Geschichte -der Mathematik: - -[Sidenote: Die Paradoxien des Zenon.] - -¨Zenon¨ (Ζηνων) aus Elea, der Sohn des Teleutagoras, ist ungefähr -500 geboren und seine Reife fällt um 450. Es ist sein Verdienst, die -Schwierigkeiten und Widersprüche, welche der Begriff der Bewegung, -wie überhaupt der der Veränderung enthält, aufgedeckt zu haben, -Widersprüche, welche zu ihrer Auflösung den ¨Grenzbegriff¨, diesen -wichtigsten aller mathematischen Begriffe erfordern. Eine Geschichte -der ¨Differentialrechnung¨ wird stets von Zeno und seinen berühmten -¨Paradoxien¨ auszugehen haben. Von Zeno aufgestellt, um einerseits -die Einheit und Unveränderlichkeit des Seins und andrerseits die -Unbeweglichkeit des Seienden zu beweisen, sind sie uns in der Fassung -des ¨Aristoteles¨, Physik 202a, 210b erhalten und die Beweise -insbesondere durch den Kommentar des ¨Simplicius¨ zur Physik des -Aristoteles. - -A) Beweise gegen die Vielheit des Seienden. - -1. Wenn das Seiende Vieles wäre, so müsste es zugleich unendlich klein -und unendlich gross sein. Unendlich klein, denn jede Vielheit ist Summe -von Einheiten, diese selbst aber unteilbar (Pythagoräer), also hat sie -keine Grösse, ist nichts, also ihre Summe desgleichen. Andrerseits muss -jede solche Vielheit, um zu sein, Grösse haben, ihre Teile voneinander -entfernt sein, die Teile der Teile desgleichen und so fort, also müssen -sie unendlich gross sein. - -2. Zeigt Zeno, dass das Viele auch der Anzahl nach begrenzt und -unbegrenzt zugleich sein müsste. ¨Begrenzt¨, denn es ist so Vieles als -es ist, nicht mehr und nicht weniger. ¨Unbegrenzt¨, denn zwei Dinge -sind nur dann zwei, wenn sie voneinander getrennt sind; damit sie -getrennt sein, muss etwas zwischen ihnen sein usw. - -Als konsequenter Denker und ausgezeichneter Dialektiker ¨leugnet¨ Zeno -in Numero 3 den ¨Raum¨. - -3. Die Dinge scheinen sich im Raum zu befinden, aber das ist nicht -wahr, es gibt gar keinen Raum. Denn jedes Ding ist in einem andern; ist -nun der Raum wirklich, so ist auch er in einem andern Dinge, und muss -doch wohl in einem andern Raume sein; von diesem gilt nun dasselbe wie -vom ersten, es ist also kein letzter Raum denkbar, mithin auch kein -erster und überhaupt keiner. (Dies ist wörtlich Kants Antinomie.) - -4. Ein fallendes Korn macht kein Geräusch, aber der Scheffel, also auch -das Korn, denn 0 + 0 wäre 0; also täuscht uns das Gesicht, wenn es uns -eine Vielheit von Körnern vorspiegelt. - -B) ¨Beweise gegen die Bewegung.¨ - -1. Der sich bewegende Körper, der durch unzählig viele Punkte -hindurchgehen müsste, was nicht möglich. - -2. Der ¨Achilleus¨; Achilleus, der 100mal schneller als die Schildkröte -ist, kann diese, wenn sie einen Vorsprung von einem Stadion hat, nicht -einholen, denn während er das Stadion zurücklegt, kommt die Schildkröte -um 0,01 vorwärts, und so fort in inf. - -3. Der fliegende Pfeil müsste in einem bestimmten Augenblick an einem -bestimmten Orte sein und nicht sein. - -Ein vierter Beweis bezieht sich auf die Relativität der Bewegung. -(Einem ruhenden Körper gegenüber scheint die relative Bewegung zweier -sich mit gleicher aber entgegengesetzter Geschwindigkeit bewegender -Körper verdoppelt.) Sie sehen, wie bei Zeno der Begriff der unendlichen -Reihe nach Gestaltung ringt; den infinitären Prozess hat er erfasst, -aber noch nicht seinen Abschluss, den ¨Grenzbegriff¨, auf dem die -¨Konvergenz¨ der Reihe beruht, und der zugleich das ¨Differential¨ -liefert. Den hat erst ein grösserer als Zeno, den hat ¨Demokrit¨ -erkannt. Aber Sie sehen auch, dass die ganze Lehre von der Bewegung, -von der Veränderung überhaupt, von der Stetigkeit, von der Grenze -ihre Quelle bei ¨Zeno¨ hat, der seinerseits in der Erfassung des -Widerspruchs an die Pythagoräer anknüpft. - -Die Bearbeitung der Paradoxien des Zeno hat sehr viel Gedankenarbeit -hervorgerufen, ist doch nach ¨Hegel¨ die Auflösung des Widerspruchs -die Hauptarbeit des menschlichen Geistes. Die Paradoxien des Zeno -kehren in anderer Form immer wieder. Es genügt, an ¨Berkeley¨ zu -erinnern und seine Kritik des infiniment petit. Aber sie haben noch -heutigen Tages ihre Geltung für nicht hinlänglich philosophisch -durchgebildete Mathematiker, erst vor wenigen Wochen las ich in einer -mir zur Durchsicht gegebenen pädagogischen Arbeit so ziemlich dieselben -Einwände. - -Insbesondere haben sich, wie in der Natur der Sache liegt, die -Scholastiker mit Zenon beschäftigt, und namentlich der grösste der -Scholastiker und einer der grössten Denker überhaupt, ¨Thomas von -Aquino¨, hat die Paradoxien mit grossem Scharfsinn kritisiert. -Die völlige Überwindung der Schwierigkeiten danken wir ¨Galilei¨, -¨Leibniz¨, ¨Bolzano¨, an den ¨Kerry¨ in Versuch eines Systems der -Grenzbegriffe anknüpft. Aber vor allen diesen, insbesondere auch -vor ¨G. Cantor¨, hat ¨Aristoteles¨ das schwierigste Paradoxon, B 1, -aufgeklärt. Die einzelnen Punkte der Raum- und Zeitstrecke zwischen -Anfang und Ende der Bewegung lassen sich gegenseitig eindeutig einander -zuordnen, d. h. in der Sprache ¨G. Cantors¨: die Raum- und Zeitstrecke -sind von gleicher ¨Mächtigkeit¨, und dieser so hochmoderne Begriff hat -seine Quelle bei ¨Aristoteles¨, der Zeno gradezu als den ¨Erfinder der -Dialektik¨ bezeichnet. - -Was den Achilleus betrifft, so bildet er heutzutage eins der typischen -Beispiele der Grenze, indem die Differenzen zwischen den Reihenzahlen -1,[=01] und [1-1/9] eine ¨Nullreihe¨ bilden. - -Mit den Paradoxien des Zeno haben sich auch ¨Bayle¨, ¨Descartes¨ -und ¨Leibniz¨ beschäftigt, von Neueren nenne ich ¨Ch. L. Gerling¨ -(Marburg). ¨Ed. Wellmann¨, Prgr. Frankf. a. O. 1870, ¨P. Tannery¨, -Rev. philos. B. X, 1885. ¨Tannery¨ behauptet, dass Zeno nur habe -beweisen wollen, dass der Raum nicht aus Punkten, die Zeit nicht -aus Augenblicken bestehe, aber ohne Beweise für seine Behauptung -beizubringen. Diese Sätze selbst sind von ¨Aristoteles¨ Phys. VI, 1, -231 a 24 bewiesen. Ich erwähne noch ¨J. H. Loewe¨, Böhm. Gesellsch. d. -Wiss. VI. Folge 1. Bd. 1867, und ¨Überweg¨, System d. Logik 5. Aufl. -1882 S. 245 ff. - -[Sidenote: Paradoxien des Zenon; Anaxagoras, Oinopides.] - -Das Mathematikerverzeichnis des ¨Proklos¨ erwähnt den Zeno -nicht, es wertet die »Begriffsmathematiker« nicht, sondern grade -so wie noch heute, zählt es nur die doch gegen jene sekundären -»Problemmathematiker«, die geschickten Handwerker der Mathematik, zu -den wirklichen Mathematikern. Zunächst wird ¨Anaxagoras¨ erwähnt, aber -nicht als Philosoph, nicht wegen des monotheistischen Prinzipes, der -Vernunft, des νους, der die Welt geordnet hat, sondern weil er sich -im Gefängnis mit der Quadratur des Zirkels beschäftigt hat. Danach -wird ¨Oinopides¨ genannt, der die Konstruktion des zu fällenden Lotes -aus Ägypten importiert haben soll, und es fährt dann mit Hippokrates -aus Chios fort, den man nicht mit Hippokrates aus Kos, dem Vater -der Medizin, verwechseln darf. Proklos sagt: »Nach diesen wurden -¨Hippokrates der Chier¨, der die Quadratur der Möndchen fand, und -¨Theodoros¨ aus Kyrene in der Mathematik berühmt.« - -[Sidenote: Hippokrates von Chios und seine Möndchen.] - -¨Hippokrates¨ gehörte dem Pythagoräischen Kreise an, ¨Aristoteles¨ -erwähnt seiner als eines Menschen, der im gewöhnlichen Leben unbeholfen -und stumpfsinnig gewesen, »βλαξ και άφρων,« und doch ein tüchtiger -Mathematiker. (Übrigens auch heute noch nichts Seltenes.) Nach Verlust -seines Vermögens soll er in Athen von mathematischem Unterricht gelebt -haben. Ob er wirklich Mitglied des Bundes war, ist nicht sicher, -jedenfalls knüpft seine Beschäftigung mit der Quadratur und der -Winkelteilung an den Gedankenkreis der Pythagoräer an. Seine Blütezeit -fällt etwa um 430 v. Chr. - -[Sidenote: Lunulae Hippocratis.] - -Ihnen allen sind ja die Lunulae Hippocratis bekannt. Sie haben den Satz -gelernt in der Form: die beiden Halbmonde, begrenzt von den Halbkreisen -über den Katheten nach aussen und dem über der Hypotenuse nach innen -sind gleich dem rechtwinkligen Dreieck. Und dieser Satz steht als -Satz des Hippokrates selbst in der 6. Aufl. des einzigen in bezug auf -historische Angaben zuverlässigen Elementarbuches, das ich kenne, »die -Elemente der Mathematik« von ¨R. Baltzer¨, ja selbst im ¨Rouché¨ von -1900. - -¨Hippokrates¨ hat nur einen Mond (Meniskos, lunula) quadriert und -zwar zuerst den, dessen äusserer Bogen der Halbkreis, dessen innerer -der Quadrant ist. Den allgemeinen Satz von den Lunulae gleich dem -rechtwinkligen Dreieck fand ich weder bei ¨Heron¨, noch ¨Pappos¨, noch -bei Cardano, Vieta, Clavius, Gregorius a. St. Vincentio, und Sturm, -wohl aber in der Ausgabe des ¨Taquet¨ von ¨Whiston¨ und zwar schräg -gedruckt, also nicht von Taquet herrührend, und noch früher in der 4. -Ausgabe der Elemente der Geometrie von 1683 bei ¨Pardies¨, Soc. Jesu. -Der Satz ist aber zweifelsohne erheblich älter. -- Die Arbeit des -Hippokrates ist durch einen Glücksfall erhalten. - -¨Simplicius¨ aus Kilikien, der Neuplatoniker, der zu den von Justinian -529 vertriebenen Professoren der Hochschule Athen gehörte, hat einen -umfangreichen Kommentar zur Physik des Aristoteles verfasst und uns -darin ein Bruchstück aus des ¨Eudemos¨ Geschichte der Mathematik -aufbewahrt. Es ist zuerst von ¨Bretschneider¨ griechisch und deutsch -1870 publiziert nach der lateinischen Ausgabe ¨L. Spengel's¨: »Eudemi -Rhodii Peripatetici Fragmenta quae supersunt.« Berlin 1865, 2. Aufl. -1870, während der Kommentar des Simplicius schon 1526 bei Aldus -Manutius in Venedig gedruckt ist und 1882 in dem grossen Kommentar der -Aristoteles-Ausgabe der Berliner Akademie von ¨H. Diels¨. - -Die wichtigste neuere Arbeit zur Simpliciusfrage ist die von ¨Rudio¨ -1902 in der Bibliotheca mathematica von Eneström: »Der Bericht des -Simplicius über die Quadraturen des Antiphon und des Hippokrates.« - -Aristoteles bekämpft in seiner Physik im 1. Buch an einer Stelle die -eleatische Weltanschauung, die das Seiende als eins und unwandelbar -auffasste, und erklärt dabei, dass man nicht alle falschen Sätze -widerlegen müsse, sondern nur solche, die nicht schon von vornherein -gegen die Prinzipien verstossen, und als Beispiel gibt er an: So ist -zum Beispiel der Geometer verpflichtet, die Quadratur (sc. des Zirkels) -mittelst der Segmente zu widerlegen, die des Antiphon aber nicht. Und -hierzu gibt Simplicius einen Bericht über die genannten Quadraturen, -der für uns vorn historischen Standpunkt aus gradezu unschätzbar ist. - -Es ist ¨Rudio¨ gelungen, nach Vorarbeiten von ¨P. Tannery¨, dem -vor kurzem gestorbenen grossen Kenner hellenischer Mathematik und -hellenischer Wissenschaft, und ¨Allman¨, seinem englischen Nebenbuhler, -den Text des Eudemos wohl so ziemlich endgültig festgestellt zu haben. -Rudio hat durch eine einzige, ganz nahe liegende, schlagend einfache -Konjunktur Licht und Klarheit in den ganzen Bericht und zugleich in den -Gedankengang des Hippokrates gebracht und zugleich sein Urteil über -Simplicius als eines durchaus tüchtigen Mathematikers, wie dies ja -von Simplicius dem Philosophen schon feststand, begründet. Es handelt -sich um das Wort τμήμα, das von τεμνω schneiden herkommt und allgemein -irgend einen Abschnitt, im speziellen Kreissegment, bezeichnet, aber -auch, wie Rudio bemerkt, den Sektor und an der entscheidenden Stelle -kann es nur Sektor heissen; dann lautet die Stelle nach Rudio: - -»Aber auch die Quadraturen der Möndchen, die als solche von nicht -gewöhnlichen Figuren erschienen wegen der Verwandtschaft mit dem -Kreise, wurden zuerst von Hippokrates beschrieben und schienen nach -rechter Art auseinandergesetzt zu sein, deshalb wollen wir uns -ausführlicher mit ihnen befassen und sie durchnehmen. Er bereitete sich -nun eine Grundlage und stellte als ersten der hierzu dienenden Sätze -den auf, dass die ähnlichen Segmente der Kreise dasselbe Verhältnis -haben wie ihre Grundlinien in der Potenz (δύναμις), d. h. im Quadrat. -Dies bewies er aber dadurch, dass er zeigte, dass die Durchmesser in -der Potenz dasselbe Verhältnis haben wie die Kreise. Wie sich nämlich -die Kreise verhalten, so verhalten sich auch die ähnlichen Sektoren -(τμήματα). Ähnliche Sektoren nämlich sind die, die denselben Teil des -Kreises ausmachen wie z. B. Halbkreis und Halbkreis und Drittelkreis -und Drittelkreis; deswegen nehmen die ähnlichen Segmente auch gleiche -Winkel auf. Und zwar sind die aller Halbkreise rechte und die der -grösseren kleiner als rechte, und zwar um so viel, um wie viel die -Segmente grösser als Halbkreise sind, und die der kleineren grösser und -zwar um so viel, um wie viel die Segmente kleiner sind.« - -Sie sehen, Hippokrates kannte die Sätze vom Peripheriewinkel -ganz genau; er hat den wichtigen Satz Euklid, Elem. XII, 2; -k : k´ = d^2 : d´^2 bewiesen, vermutlich wie Euklid, ihm war -die Ähnlichkeitslehre völlig vertraut wie allerdings schon den -Pythagoräern, er kannte, wie aus dem folgenden hervorgeht, auch den -sogenannten ¨erweiterten¨ Pythagoras. - -Was nun die Quadratur der Halbmonde betrifft, so kann es keinem Zweifel -unterliegen, dass Hippokrates von folgender von Tannery, aber auch -schon einige Jahrhunderte früher von ¨Vieta¨, angegebenen Erwägung -ausgegangen ist: - - ε : i = p : q z. B. 5 : 3; ε/5 = i/3 und ε/p = i/q - -Dann sind die Segmente e_{1} und i_{1}, welche von den kleinen -Sehnen abgeschnitten werden, ähnlich und es ist e_{1} : i_{1} = -r_{e}^2 : r_{i}^2. Wenn nun r_{e}^2 : r_{i}^2 gleich q : p gemacht -wäre, so wäre e_{1} : i_{1} = q : p (hier 3 : 5) und damit pe_{1} = -qi_{1}, d. h. aber ¨der Sehnenzug im äusseren Bogen schneidet so viel -an Fläche ab, als der des inneren hinzubringt¨ und das Möndchen ist -gleich der von des beiden Sehnenzügen begrenzten geradlinigen Figur. -Damit aber der Halbmond quadrierbar sei, ist nötig, dass die Figur mit -Zirkel und Lineal konstruiert werden könne, und dies tritt ein für p/q -= 2/1; 3/1; 3/2; 5/1; 5/3. - -Sie sehen aus der Gleichung Winkel ε/i = p/q = r_{i}^2/r_{e}^2 oder -r_{e}^2 . ε = r_{i}^{2}i, dass die Sektoren AEB und AJB flächengleich -sein müssen, dazu ist AB = AB, also r_{e} sin ε/2 = r_{i} sin i/2, also -haben wir die entscheidende Gleichung: √p . sin i/2 = √q . sin ε/2. - -[Illustration] - -Die elementare Behandlung findet sich bei ¨Vieta¨ (Variorum de rebus -mathem. responsorum liber VIII 1593). ¨Hippokrates¨ hat die Fälle 2/1, -3/1, 3/2 erledigt; die Fälle 5/1 und 5/3 von ¨Th. Clausen¨, Crelle 21 -(1840). Sämtliche 5 quadrierbare Möndchen finden sich aber schon in -der Dissertation von M. ¨J. Wallenius¨ (Abveae 1766). Vgl. den Artikel -6 bei ¨M. Simon¨, Über die Entwicklung der El. Geom. im 19. Jh. p. 73 -(1906). Der Fall 2/1 ist der bekannteste, er sichert Hippokrates das -Verdienst, die erste krummlinige Figur quadriert zu haben. Den Fall -3/2 findet man ausführlich bei ¨F. Enriques¨ Questioni riguardanti -la Geom. elem. (1900) p. 518, er bietet, trigonometrisch behandelt, -keinerlei Schwierigkeit. Den Fall 4/1 behandelt ¨Vieta¨. Er führt auf -eine reine Gleichung 3. Grades und damit auf die ¨Verdoppelung des -Würfels¨, und dass Hippokrates diesen Weg gegangen, das geht klar -daraus hervor, dass er nach dem Zeugnis des ¨Proklos-Geminos¨ und -dem wichtigeren des ¨Eratosthenes¨ das Problem auf die Einschiebung -zweier mittleren Proportionalen zwischen a und 2a zurückgeführt hat, -a : x = x : y = y : 2a und so Proklos zufolge das erste Beispiel einer -απαγωγή, einer Zurückführung eines Problems auf ein anderes, noch -dazu in einem über das Elementare hinausgehenden Fall geliefert hat. -¨Hippokrates¨ ist auch der erste Grieche, der »¨Elemente¨« geschrieben -hat, wie Proklos im Mathematikerverzeichnis angibt, und sie können nach -dem Muster von Hippokrates Darstellung aus des Simplicius Kommentar in -der Form nicht sehr wesentlich vom Euklid verschieden gewesen sein, -wenn nicht Eudemos (oder Simplicius) redigiert haben. Hippokrates hat -dann auch noch, wie wir bei Simplicius lesen, die Summe eines Mondes -und eines Kreises quadriert, den Zirkel selbst natürlich nicht, obwohl -er höchstwahrscheinlich bei der Suche nach dieser Quadratur auf seine -Monde gekommen ist. - -[Sidenote: Antiphon.] - -[Sidenote: Bryson.] - -Der gleichzeitig erwähnte ¨Antiphon¨, ein Sophist, Zeitgenosse des -Sokrates, glaubte die Quadratur des Zirkels dadurch gefunden zu -haben, dass er in den Kreis ein reguläres Polygon, z. B. ein Quadrat -einschrieb, dann über die Seiten gleichschenklige Dreiecke u. s. f., -und annahm, dass eines dieser Polygone dem Kreise gleich sein müsste. -Wenn nun auch Aristoteles die Annahme des Antiphon als gegen die -Prinzipien der Logik verstossend scharf getadelt hat, so hat doch -¨Hankel¨ vollständig recht, wenn er sagt: er verdient einen ehrenvollen -Platz in der Geschichte der Geometrie, denn er hat, als der erste, den -völlig richtigen Weg betreten, um den Flächeninhalt eines krummlinigen -Raumes zu ermitteln, indem er ihn durch Vielecke von immer wachsender -Seitenzahl zu erschöpfen (exhaurire) suchte. Der gleichzeitig mit ihm -genannte ¨Bryson¨ hat dann das umgeschriebene Polygon hinzugefügt; -lächeln wir auch heute über seinen Schluss, »weil der Kreis zwischen -dem ein- und umgeschriebenen Quadrate 2r^2 und 4r^2 so schön in der -Mitte liege, wie 3 zwischen 2 und 4, so müsste der Kreis gleich 3r^2 -sein,« so haben doch Antiphon und Bryson den Weg gewiesen, auf dem dann -¨Archimedes¨ gegangen und der das Riesenproblem beherrscht hat, bis er -schliesslich Vieta zu dem unendlichen Produkt für π/2 führte. - -Auf Hippokrates und seine Elemente folgt bei Proklos unmittelbar -¨Platon¨, aber eine Geschichte der Mathematik, welche zugleich auf die -Begriffsbildung Wert legt, darf an den beiden ihm an Tiefe ebenbürtigen -Vorgängern ¨Heraklit¨ und ¨Demokrit¨ nicht vorübergehen. - -[Sidenote: Heraklit.] - -¨Heraklit¨, Ηράκλειτος, aus Ephesos in Kleinasien, aus der angesehenen -Familie des Gründers von Ephesos, des Kodriden Androklos, war ein -Zeitgenosse des Xenophanes, er hat seine Blütezeit um 500. Wir haben -als Hauptquellen für seine Lehre die Fragmente seiner einzigen Schrift -περι φύσεως (Von der Natur, ed. von ¨H. Diels¨ 1901) und Platons -Dialog ¨Kratylos¨, ferner ¨Aristoteles¨ und seine Kommentatoren. -Daneben kommen ¨Plutarch¨ und ¨Diogenes Laertios¨ in Betracht. Eine -für ihre Zeit ausgezeichnete Darstellung gab der bekannte ¨Ferdinand -Lassalle¨ in seiner Schrift »Die Philosophie Herakleitos des Dunkeln,« -Bd. 2, Berlin 1858, aus neuester Zeit nenne ich ¨W. Kinkel¨, l. c. -1906. ¨H. Diels¨, Her. von Eph., Berl. 1901, ¨P. Natorp¨, Neue -Heraklitforschung, Ph. Monatsh. 24. Heraklit, der Dunkle, ὁ σκοτεινός, -war kein Systematiker, aber vor seinen tiefsinnigen, orakelhaften -Weisheitssprüchen stand das ganze Altertum voll staunender Ehrfurcht. -Er erinnert an ¨Nietzsche¨, der formaliter und materialiter sehr viel -von Heraklit entlehnt hat. Am bekanntesten ist das πάντα ῥεῖ, alles -fliesst; πάντα χωρεῖ καὶ οὐδὲν μένει, alles weicht und nichts bleibt; --- πόλεμος πατήρ πάντων, der Streit ist der Vater der Dinge. In der -Kosmologie knüpft Heraklit zunächst an seine Ionischen Landsleute, an -Anaximander und besonders an dessen schwächeren Nachfolger Anaximenes -an, der die Luft als Grundstoff (ὑλη) ansah. Heraklit nimmt das Feuer -als Substanz aller Dinge an, aber ein ideales Feuer, das zugleich die -Weltvernunft, der ¨Logos¨, die Weltseele ist. Im bewussten Gegensatz -zu den Eleaten, insbesondere zu Xenophanes, denn Parmenides ist -jünger, leugnet er alles Sein, und erfasst die Welt als in beständiger -Veränderung, in ewigem Wechsel befindlich. »Wir steigen nicht zweimal -in denselben Strom.« Ein Schein des Beharrens wird nur dadurch erzeugt, -dass Abfluss und Zufluss des Feuers annähernd gleich ist. Er ist in -noch höherem Masse und mit voller Klarheit Pantheist als Xenophanes. -Das Urfeuer oder die Gottheit, ist, in beständiger Umwandlung -begriffen, in allem, soweit es überhaupt ist. »Dieses Weltganze -(Kosmos) hat keiner von allen Göttern und keiner von allen Menschen -geschaffen, sondern es war, ist und wird sein ein ewig lebendiges -Feuer, das sich entzündet und verlöscht nach bestimmter Ordnung.« Man -sieht, es ist die ¨Kategorie Bewegung¨, die er, etwa wie seinerzeit -¨Ad. Trendelenburg¨, als das Bleibende im Wechsel setzt, während die -Eleaten grade die Bewegung leugneten. Und indem ihm der Widerspruch im -Begriff des Werdens, das zugleich ein Sein und Nicht-sein ist, nicht -entging, fasste er eben diesen Widerspruch als »Vater der Dinge«. -¨Hegel¨ hat in seiner Logik an Heraklit angeknüpft, der Widerspruch, -überall vorhanden und doch für uns undenkbar, erfordert seine Auflösung -und Versöhnung als unsere geistige Arbeit. Die späteren Stoiker -schliessen sich direkt an Heraklit an wie auch ¨Philon¨ von Alexandria -in seiner Logos-Lehre. Für uns kommt vom Standpunkt der exakten -Wissenschaft besonders in Betracht, dass sich bei ihm der erste Gedanke -eines ¨physikalischen Kreisprozesses¨ findet. »In dieselben Ströme und -aus denselben steigen wir.« - -Rein mathematisch ist von Bedeutung die grosse Betonung der -Veränderlichkeit aller Werte und Grössen; auffallend ist es, dass er, -der kein Entstehen und Vergehen der Materie, sondern eine beständige -Bewegung gelehrt hat, das Zeitproblem, wie es scheint, nie gestreift -hat. - -Die Dunkelheit des Heraklit erklärt sich zum Teil daraus, dass er für -seine tiefe Lehre vom Logos keine termini technici vorfand, welche -begriffliches Denken mitteilsam machen, immerhin ist er der erste -Philosoph, welcher das Problem der Erkenntnis als solches empfunden -hat, »εδιζησαμην εμαυτον« (ich suchte mir mich selbst zu verschaffen). - -[Sidenote: Empedokles, Sophisten.] - -Ich übergehe ¨Empedokles¨ aus Agrigent, so wichtig er auch für die -Physiker und Chemiker ist, denn er hat zuerst die 4 Elemente, Feuer, -Wasser, Luft und Erde, als qualitativ und quantitativ unveränderliche -Urstoffe aufgestellt, um mich zu den sogen. Atomikern zu wenden zum -Leukipp und seinem grossen Schüler ¨Demokrit¨. Vorher aber noch -ein paar Worte über die so übel berüchtigten »¨Sophisten¨«, deren -Bekämpfung das Leben des Sokrates galt, und zugleich der Tod. Denn -dadurch, dass er jene mit ihrer eignen Waffe, der Dialektik, bekämpfte, -hielt ihn das Volk für den Hauptsophisten, und er fiel dem Aufbäumen -des Volksgeistes gegen die unsittliche Lehre der Sophisten zum Opfer. - -Das geistige Haupt der Sophisten ist ¨Protagoras¨ aus Abdera, von -480-410; von Zeno, Heraklit und Leukipp beeinflusst, war er an sich von -durchaus ernster, wissenschaftlich nicht unbedeutender Beschaffenheit, -so schildert ihn auch der gleichnamige Dialog des Platon, ein Kunstwerk -ersten Ranges. - -Indem Protagoras ganz wie ¨Kant¨ empfand, dass wir das Ding an -sich nicht erkennen, sondern nur unsere Wahrnehmung, kam er zu dem -Faustischen: »Seh ein, dass wir nichts wissen können,« wenigstens -nichts von allgemeiner, sondern nur etwas von subjektiver Wahrheit. Und -indem er ausspricht, dass ¨unsere¨ Wahrnehmung, für ¨uns¨ wahr ist, -formulierte er den Satz: »¨Der Mensch ist das Mass der Dinge.¨« Von -diesem Standpunkt aus kamen seine Nachfolger Gorgias, Hippias etc. zu -einer Verwerfung aller sittlichen Normen und von allen Wissenschaften -blieb nur die Dialektik übrig oder die Rhetorik, die Kunst, den eignen -Willen, das eigene Mass, den anderen aufzuzwingen. Zeitlich traf ihre -Blüte mit dem grossen Aufschwung des öffentlichen Lebens in Hellas -nach den Perserkriegen zusammen, wodurch eine zweckmässige Vorbildung -der Staatsmänner nötig wurde. Die Sophisten fanden daher als Lehrer -der Redekunst gewinnreiche Tätigkeit, Protagoras selbst war ein sehr -geschätzter Wanderlehrer. So haben die Sophisten, die prinzipiellen -Gegner des Wissens, dennoch die Wissenschaft der Satzbildung, der -Grammatik, des Wohlklangs gradezu geschaffen, und was sie für uns -Mathematiker wichtig macht, sie haben die Lehre vom Beweis mächtig -gefördert. - -Ich komme zu den Atomikern. Vom ¨Leukipp¨ wissen wir so wenig, dass -¨Epikur¨ meinen konnte, er habe gar nicht existiert. Das Zeugnis des -¨Aristoteles¨ ist aber unanfechtbar. Leukipp ist wohl der Urheber des -Grundgedankens, aber in der überragenden Persönlichkeit seines Schülers -¨Demokrit¨ ist er verschwunden. Zeller fasst beide zusammen als -Atomiker. - -[Sidenote: Demokrit.] - -¨Demokrit¨ ist in ¨Abdera¨ etwa um 470 geboren, und ist zwischen 90 -und 100 Jahre alt geworden. An umfassender Bildung nur dem Aristoteles -vergleichbar, hat er das Wissen, das er auf vielen Reisen, insbesondere -nach Ägypten und Babylonien, erworben, in einer Reihe von Schriften -niedergelegt, von denen leider zurzeit nur wenige Bruchstücke, -meist ethischen Inhalts, erhalten sind. Glücklicherweise hat sich -¨Aristoteles¨ sehr viel mit Demokrit beschäftigt, während Platon in -auffallender Weise über ihn schweigt. Platon neigt überhaupt nicht -zu literarischen Angaben in seinen Dialogen, und wird wohl in seinen -Vorlesungen sich genügend mit Demokrit beschäftigt haben, auch konnte -er die Lehre des Demokrit zu seiner Zeit als bekannt voraussetzen. -Jedenfalls ist beim Charakter Platons irgendwelche böswillige -Absichtlichkeit zurückzuweisen. Soviel steht fest, je tiefer die -Quellenforschung ging, um so höher ist die Gestalt des Demokrit -emporgewachsen, den wir jetzt neben Platon und Aristoteles als den -dritten grossen Hellenischen Philosophen werten. Trotz des geringen -Umfangs der erhaltenen Fragmente können wir uns von der Fülle und -Kühnheit seiner Gedanken ein ziemlich deutliches Bild machen. - -Mit den ¨Eleaten¨ hat er die Ewigkeit und Unveränderlichkeit des -Seienden gemeinsam, die Überzeugung von der Unzerstörbarkeit der -Materie. Aber ¨Heraklit¨ missverstehend, fassten jene sein »Werden« -als ein Vergehen und Entstehen der Materie und nicht als einen Wechsel -der Form im Kreisprozess, und da sie den Unterschied zwischen »Werden« -und »Veränderung« verfehlten, leugneten sie schlankweg die Bewegung -und damit die ganze erkenntnistheoretische Physik der Erscheinung, -welche ja in der reinen Bewegungslehre besteht. Hier setzen Leukipp -und ¨Demokrit¨ ein, sie müssen den Begriff der Materie umarbeiten, um -die Bewegung begreiflich zu machen. Das Seiende ist ihnen nicht, wie -dem ¨Parmenides¨, die kugelförmig gedachte, lückenlose Masse alles -reell Existierenden, sondern es sind die unteilbaren, αδιαιρητα, -Atome, ὁι ατομοι, die er hochmodern als der ουσια, dem Wesen nach, -ganz gleich denkt, nur mathematisch, d. h. in bezug auf Figur, Grösse -und Zahl verschieden. Leukipp und Demokrit haben den Begriff des Atoms -geschaffen, diesen Hilfsbegriff, den Physik und Chemie bis auf den -heutigen Tag und in alle Zukunft nicht entbehren können; ein sehr -bekannter Chemiker sagte mir: »Was ¨Demokrit¨ über die Atome gesagt, -bildet die beste Einleitung zu einem modernen Lehrbuch der Chemie.« - -Und von ¨Heraklit¨ entnahm er den Gedanken der beständigen Bewegung -und Veränderung in der Zusammensetzung der Atome zu Molekülen. Die -Atome bewegen sich ewig und anfangslos, weil das in ihrem Wesen liegt, -nach einem Grund dieser Bewegung zu fragen, erklärt er für töricht, -wie etwa die Frage, warum ein Löwe Fleisch frisst. Dass aber die Atome -sich ¨bewegen können¨, das liegt daran, dass sie voneinander durch den -¨leeren Raum¨ getrennt werden, und auch dieser für die Mathematik so -entscheidend wichtige Grenzbegriff des leeren Raumes und der Porosität -hat bei Demokrit seine Formulierung gefunden, denn »das Leere« (το -κενόν) der Pythagoräer ist wohl nur ein Synonym für Raum überhaupt, -obwohl selbstverständlich Keime für Demokritische Gedanken bei den -Pythagoräern liegen. - -Dieser leere Raum, von dem er mit ironischer Anpassung an des -Parmenides »ἔστι γὰρ εἶναι, μηδὲν δ΄ οὐκ ἔστι« (Es gibt ein Sein, ein -Nichtsein gibt es nicht) sagt, dass er das Nichts ist, ermöglicht alles -wirkliche Sein der Aussenwelt. ¨Aristoteles¨, Metaph. I, 4, 985b: -Λευκιππος δε και ὁ ἑταιρος αυτου Δημοκριτος στοιχεια μεν το πληρες και -το κενον ειναι φασι, λεγοντες τι μεν ον το δε μη ον, το 'των δε τι μεν -πληδες και στερεον το ον, το δε κενον γε και μανον το μη ον, αιτια δε -των οντων ταιτα ως ὑλην. Leukipp und Demokrit, sein Genosse, erklären -das Volle und das Leere als die Elemente und nennen jenes das Seiende, -dieses das Nichtseiende, und diese beiden sind die Ursache, der Stoff, -alles Wahrnehmbaren. Ja mit bewundernswerter Kühnheit der Spekulation -sagt Demokrit: »το δεν ον μαλλον εστι η το μηδέν.« Das Nichts ist -ebenso existenzberechtigt als das »Ichts«. - -Wie das Atom nichts anderes ist als das ¨Differential, der Ursprung der -Masse¨, so ist dieses »μηδέν« nichts anderes, als das ¨Differential, -der Ursprung des Raumes¨. Dass dies keine leere Vermutung ist, dass -¨Demokrit¨ als der erste erreichbare Urheber der ¨Differentialrechnung¨ -anzusehen ist, dafür haben wir jetzt einen Beweis in dem 1907 von -¨Heiberg¨ aus dem Palimpsest entzifferten »εφόδιον« (so viel wie -Methode) des ¨Archimedes¨, welche ¨H. Zeuthen¨ übersetzt hat. Die -Formel für das Volumen der Pyramide und des Kegels, die nach der Angabe -des Archimedes von ¨Eudoxos¨ streng d. h. euklidisch bewiesen, die -habe, steht im Ephodion, ¨Demokrit¨ gefunden aber nicht bewiesen d. h. -nicht streng, grade so wie Archimedes seine mit Differentialrechnung -gefundenen Formeln nur für wahrscheinlich aber nicht für streng -bewiesen erachtet. Das Verfahren des Demokrit kann kein anderes gewesen -sein als das des ¨Cavalieri¨, das Volumen ist das Integral, die Summe -der unzählig vielen unendlich kleinen Prismen, deren Grundflächen -die veränderlichen Querschnitte sind. Man vergleiche dazu die Angabe -Plutarchs, Diels Fragmente 155 (auch Anmerkung S. 723): »Es machte ihm -nämlich die Frage Schwierigkeiten, ob, wenn man einen Kegel parallel -der Basis durchschnitte, die so entstehenden Schnittflächen einander -gleich seien oder nicht. Schon ¨Aristoteles¨ hat darauf hingewiesen, -wie stark mathematisch durchtränkt die Lehre des Demokrit gewesen, der -sich, Plutarch zufolge, rühmte, selbst die Ägyptischen Harpedonapten -in der Reisskunst zu übertreffen. Bisher schwebte diese Angabe in -der Luft, jetzt ist sie durch den Palimpsest bestätigt worden. Ich -mache auch auf den uns erhaltenen Titel der Schrift: περι διαφορης -γνωμης η περι ψαυσεως κυκλου και σφαιρας und auf seinen Einfluss auf -¨Archimedes¨ und dadurch auf ¨Galilei¨ aufmerksam. Dass sich Demokrit -eingehend mit dem Problem der Kontinuität beschäftigt hat geht aus dem -erhaltenen Titel der verlorenen Schrift: περι αλογων γραμμων και ναστων -(über irrationale Strecken und das Kontinuum) hervor. - -¨Demokrit¨ ist von Grund aus Naturforscher im Gegensatz zu ¨Platon¨, -dem Dichter und Metaphysiker, er hat zum ersten Male versucht ernsthaft -eine mechanische Welttheorie durchzuführen. Seine Wirbelbewegung -treffen wir bei ¨Descartes¨ wieder, wie auch seine Unterscheidung -der primären Qualitäten (Schwere, Härte, mathematische Gestalt -etc.), der Eigenschaften der Atome, von den sekundären, wie Farbe, -Geschmack etc. Die Zahl und die Figur der Atome ist es, welche die -wesentliche Verschiedenheit der Dinge bewirkt, mit der Trias, Atom, -leerer Raum, Bewegung haben Leukipp und ¨Demokrit¨ die mathematische -Naturerkenntnis geschaffen. Das Atom sowohl wie der leere Raum sind -¨Ideen¨, das Wort rührt von Demokrit her, und an Demokrit knüpft die -Platonische Ideenlehre an. ¨H. Cohen¨ zählt in seinem vorzüglichen -Marburger Programm Demokrit mit vollem Recht zu den Idealisten und -zum recht eigentlichen Vorgänger von Platon. Wie dieser bezeichnet -er die Sinneswahrnehmung als dunkele, die logische als klare -Erkenntnis; ¨W. Kinkel¨ sagt, es ist schwer begreiflich wie man ihn -hat zum Materialisten stempeln können. Ich möchte aber bemerken, dass -der Idealismus sowohl des Demokrit als der übrigen idealistischen -Philosophen im Grunde eine Doppelnatur besitzt, eine ¨skeptische¨, -insofern er die Realität der Sinneswahrnehmung leugnet, und eine -supranaturalistische, insofern er die Realität des Geistigen lehrt. -Daher ist es ganz begreiflich, dass von Demokrit eine Schule der -Materialisten ausgehen konnte, wie von Platon Skeptizismus und -insbesondere Mystizismus (Plotin, Augustin). Jedenfalls ist die -»tyche« D.'s nicht der blinde Zufall, sondern das Schicksal als eine -durchaus vernünftige Gesetzmässigkeit des in Erscheinung tretenden -(der Phänomena). Nicht bloss auf metaphysischem Gebiet ist Demokrit -ein Vorläufer des Platon, sondern auch auf ethischem Gebiet, in der -Auffassung des Menschen als μικρόκοσμος -- das Wort ist demokritisch --- in der Wertung der Erziehung berührt er sich mit Platon. Ich -nenne hier ausser Zeller und Kinkel noch ¨P. Natorp¨, Forsch. z. -Gesch. des Erkenntnisproblems im Altertum; ¨G. Hart¨, Zur Seelen- -und Erkenntnislehre des Dem., Progr. Mühlhausen (im Elsass) 1886; -¨P. Natorp¨, Die Ethik des Dem., Marburg 1893. - -[Sidenote: Platon.] - -¨Platon¨, der Göttliche, wie ihn Schopenhauer bezeichnet, ist im -Todesjahre des Perikles 429 aus vornehmster Familie geboren, mit ihm -erreicht die Hellenische Philosophie ihren Höhepunkt. Wie in einem -Brennpunkt fasst er alle bedeutenden Gedanken seiner Vorgänger, der -Pythagoräer, der Eleaten, des Heraklit und vor allem des Demokrit -zusammen, um sie als Bausteine seiner Theorie des Erkennens zu -verwenden. Es ist das Kennzeichen der Allergrössten, dass sie über -den Parteien stehen, oder richtiger, wie ¨Lange¨ in der Geschichte -des Materialismus sagt, dass sie die Gegensätze ihrer Epoche in sich -zur Versöhnung bringen. Er ist mit ¨Kant¨ der grösste Idealist aller -Zeiten, und keiner hat auf Kant solchen Einfluss geübt, nicht einmal -Hume, wie Platon. - -Ich verstehe aber unter ¨Idealismus¨ in der Philosophie diejenige -Weltanschauung, welche die Welt der Dinge nur insofern als seiend -auffasst, als sie Gegenstand oder Objekt der Erkenntnis eines -erkennenden Subjektes ist. Sagt doch ¨Platon¨ oft gradezu (z. B. Rep. -529, Phaed. 833, Tim. 513) das Seiende ist das Unsichtbare, das von -uns nicht Wahrnehmbare, sondern nur Gedachte, das was das Bewusstsein -selbst bei sich selbst sieht. Unter ¨Realität¨ der Erscheinung -versteht man im idealistischen Sinne diejenige Eigenschaft derselben, -vermöge derer sie zu in Zeit und Raum geordneten Gegenständen der -Erfahrung werden. Es ist Platons ewiges Verdienst, dass er das Problem -des Erkennens als das eigentliche Grundproblem der Philosophie in diese -Wissenschaft eingeführt hat, die er mit der Frage τι εστι επιστήμη, was -ist Wissen, eigentlich erst als Wissenschaft geschaffen hat. - -¨Kant¨ trifft auch darin mit ¨Platon¨ zusammen, dass beide für ihre -Erkenntnistheorie von der Frage nach dem Erkenntniswert der Mathematik -ausgingen. Ich nehme hier Gelegenheit den Dank auszusprechen, den -ich für das Verständnis des Philosophen Platon der trefflichen -Jugendschrift ¨H. Cohens¨, Plato und die Mathematik, Marburg 1878 -schulde. Platon den Dichter und Gottsucher schildert eine Broschüre -¨Windelbands¨ in hervorragender Weise. - -Viel schuldete er seinem Lehrer ¨Sokrates¨, sowohl in bezug auf das -Interesse an der Ethik, an den sittlichen Gesetzen und Idealen der -Menschheit, als besonders hinsichtlich des Bestrebens die einzelnen -Begriffe scharf zu definieren. Nach dem Tode des Sokrates floh er aus -Athen, und brachte etwa 10 Jahre auf Reisen zu, überall den Verkehr -mit den geistigen Grössen suchend. In Cyrene hat er beim Pythagoräer -¨Theodoros¨, dessen wir schon bei Gelegenheit des Theätet gedacht -haben, sich das mathematische Wissen der Pythagoräer angeeignet, in -Unteritalien den grossen ¨Archytas¨ von Tarent kennen gelernt, und in -Sizilien ebenfalls viel mit Pythagoräern verkehrt; dass er von Sizilien -aus Ägypten besucht hat, ist sehr wahrscheinlich. - -Nach Athen zurückgekehrt, gründete er dort den Freund- und Schülerbund -der ¨Akademie¨, ein Gymnasium bei Athen, nach dem attischen Heros -Ακάδημος benannt, wo Platon ein Landgut besass. Ein glücklicher Zufall -hat uns das Testament des Platon erhalten, es findet sich bei ¨Diogenes -Laertios¨ und ist von ¨U. v. Wilamowitz¨ und Kiessling Phil. Unters. -IV. ediert. - -Schon 2000 Jahre vor den Amerikanischen Multimillionären hat hier -ein Privatmann aus seinen Mitteln eine Universität gegründet, die -Universität Athen, die bedeutendste des Altertums, an der Euklid und -Cicero studierten, welche etwa 900 Jahre blühte, bis sie Justinian -529 n. Chr. aufhob, teils um sich ihren Besitz anzueignen, teils weil -die Professoren auf Seiten der Gemahlin des Kaisers, der ¨Theodora¨, -standen, und das Heidentum oder richtiger den Neuplatonischen -Mystizismus unterstützten, während der Kaiser das Christentum oder das -Gottesgnadentum des Monarchen als Staatsreligion durchführen wollte. - -Eine zweite Reise nach Sizilien 367 ist wohl von Dion, dem Freunde -des Platon und Schwager des Dionys I., der s. Z. Platon seiner -Freimütigkeit wegen als Sklaven verkaufen liess, veranlasst. -Platon sollte den jungen Dionysios II. nach den in der »Republik« -niedergelegten ethischen und politischen Prinzipien erziehen. - -Aber wie fast alle Theoretiker der Pädagogik war er kein glücklicher -Praktiker. Noch einmal 361 unterbrach eine zugunsten des Dion -unternommene Reise seine im höchsten Grade erfolgreiche akademische -Lehrtätigkeit, die bis zu seinem 347 im 80. Jahre eingetretenen Tode -angehalten haben soll. - -Was nun Platon als Mathematiker von Fach betrifft, so ist die Legende -von Platons Leistungen in der speziellen Problemmathematik schon von -¨C. Blass¨ in seiner Dissertation »de Platone mathematico«, Bonn 1861, -zerstört worden; als reinen Mathematiker haben ihn seine Zeitgenossen -¨Archytas¨, ¨Theätet¨ und besonders der grosse ¨Eudoxos¨ von ¨Knidos¨ -sicher weit übertroffen, er ist von der Philosophie zur Mathematik -gekommen und nicht umgekehrt. Platon hat nicht die Philosophie der -Mathematik geschaffen, wie M. Cantor sagt, -- das würde weit eher -auf Demokrit und Eudoxos passen --, aber was eben so wertvoll ist, -er hat die Bedeutung der Mathematik für die Philosophie erfasst, und -es bedarf nicht des seit ¨Melanchthon¨ immer wieder zitierten μηδεις -αγεωμετρητος εισιτω μου την στεγην, »Kein der Mathematik Unkundiger -betrete meine Schwelle«, aus der zweifelhaften Quelle des ¨Tzetzes¨, um -uns darüber zu belehren. Platon erkannte, dass die Mathematik für die -Philosophie dieselbe Bedeutung als Hilfswissenschaft hat, welche der -Physik für die Mathematik zukommt. Einerseits liefert sie für die Logik -die einfachsten und schlagendsten Beispiele, wie uns denn Aristoteles -den Beweis der Pythagoräer für die Irrationalität der Wurzel aus 2 als -Beispiel eines indirekten Beweises erhalten hat, andrerseits liefert -sie für die Erkenntnistheorie die Probleme, an deren Lösung sich die -Philosophie entwickelt hat. Und Platon gab mit der Betonung dieser -Bedeutung der Mathematik den mächtigen Impuls, der die Blütezeit der -Hellenischen Mathematik im 3. Jahrhundert herbeiführte. Ganz besonders -sind die erkenntnistheoretischen Probleme, welche die inkommensurabeln -Streckenbrüche geben, von Platon und seinen Schülern und Mitarbeitern, -von ¨Theätet¨ und insbesondere von ¨Eudoxos¨ bearbeitet worden. - -[Sidenote: Platon und die Mathematik.] - -Und noch in einer zweiten Richtung sind wir Platon den grössten Dank -schuldig; ohne ihn und die scharfen Worte, mit denen er den gewaltigen -Wert der Mathematik für die Bildung der Jugend dargelegt hat, würde -wahrscheinlich die Mathematik ihre Stellung als Hauptfach in unseren -Gymnasien weder erhalten noch behauptet haben. In seiner Schrift vom -Staate, der »πολιτεια«, der bedeutsamsten Utopie, die je geschrieben, -in der er als der Erste den grossen Plan einer idealen staatlichen -Erziehung der Jugend ¨ins Einzelne¨ durchgeführt, entwirft, sogar -bis auf die Schulzimmer, vergleicht er die Bedeutung, welche die -Mathematik in seiner Zeit hat, mit der, welche sie haben sollte. Er -geht in seiner Wertung der Mathematik als Bildungsmittel von dem -Fundamentalsatz aus: die Wahrnehmungen zerfallen in zwei Klassen, die -einen finden eine Ergänzung durch das reine Denken, die andern nicht. -Politeia 523 heisst es: »Ich zeige dir also, wenn du es (ein)siehst, -einiges was gar nicht die Vernunft herbeiruft, es wird schon durch die -Wahrnehmung hinlänglich beurteilt, andres hingegen, was auf alle Weise -die Wahrnehmung zu untersuchen auffordert. (Ähnlich Timäos § 46.) Und -diese Untersuchung der Wahrnehmung, welche sie umprägt in Erfahrung -im Kantischen Sinne, bewirkt in erster Linie die Mathematik. Sie ist -ihm der »Paraklet«, der Wecker der reinen, vernünftigen, der wahren -Erkenntnis. - -Zunächst die Arithmetik, d. h. nicht die praktische Rechenkunst, die -Logistik, sondern die wissenschaftliche Zahlenlehre, deren Hauptteil -die Lehre von der relativen Zahl, von den Verhältnissen, bildet, die -»θεά«, die innere Schau, der Zahlenverhältnisse. Und dasjenige in der -Wahrnehmung, was solche Verhältnisse liefert, das ist dadurch, das -es uns veranlasst, über die Gründe dieser Verhältnisse nachzudenken, -der Herbeirufer, der Paraklet, der reinen Vernunft. Die Betonung der -dritten Quelle, aus der unser Zahlbegriff fliesst, der Kategorie oder -Konstituente des Bewusstseins Relation, bildet ein grosses Verdienst -Platons um die Begriffsbildung in der Mathematik. Aus zahlreichen -Stellen (man vgl. auch Theon Smyrneus trad. du Grec en Français p. -J. Dupuis 1892) geht hervor, dass ihm die Zahl vorzugsweise relative -Zahl oder Masszahl ist, auf der alle Erweiterungen des Zahlbegriffs -beruhen, da die Cardinalzahl, die Vieleinheit, und die Ordinalzahl, die -Reihungszahl, eine Begriffserweiterung nicht zulassen. - -Die gleiche Bedeutung wie der Arithmetik erkennt er der ¨Geometrie¨ -zu. Er weiss sehr wohl, dass ihr Ursprung, der Veranlassung nach, -die Wahrnehmung, d. h. der sinnliche Eindruck ist, und spricht dies -nicht nur in der Republik, sondern auch im Timäos ganz unumwunden -aus. Aber, sagt er, der Begriff des Gleichen, die ¨Idee¨ Gleichheit, -steckt nicht in der Wahrnehmung gleicher Steine, obwohl wir ihn ohne -diese Wahrnehmung nicht hätten. [Die gleichen Steine dienten als -Rechenpfennige, daher ψηφιζειν lat. calculare für »rechnen«.] Und er -warnt nachdrücklich davor, die Wertung der Geometrie von ihrem Nutzen -für die Praxis abhängig zu machen, sondern sie lehrt und erleichtert -uns die Erkenntnis »του οντως οντος« des Wahrhaft-Seienden, der Idee, -ja sie bewirkt, dass die höchste Idee, die Idee des Guten leichter -geschaut werde. - -[Sidenote: Platonische Ideen.] - -Da es Platon ist, der zuerst die Bedeutung der Idealisierung für die -reine Geometrie erkannt hat, wird es nötig auf die so viel umstrittene -Platonische Ideenlehre näher einzugehen. Sie ist der Grundstein -seiner Philosophie, und zugleich von Anfang an grade durch seinen -bedeutendsten Schüler, durch ¨Aristoteles¨ missverstanden, verspottet -und entwertet worden. Nur aus dem Verständnis der Platonischen Idee -lässt sich einsehen wie viel Kant für seine transzendentale Ästhetik -des Raumes aus Platon entnommen hat. Über die Beziehung zwischen Kant -und Platon verweise ich auf einen kleinen Aufsatz in den Philos. -Arbeiten, her. von ¨H. Cohen¨ und ¨P. Natorp¨ Bd. 2 Heft 1 1908 »Über -Mathematik«. - -Vom Sokrates nahm er die Betrachtung, dass dem allgemeinen (Gattungs) -Begriff jeder einzelne Gegenstand, von dem er abstrahiert wird, -zukommt. Von den Pythagoräern das Interesse für die geistigen -Prozesse der Mathematik, von den Eleaten den Grundgedanken, dass nur -dem durch die Vernunft erkannten bleibendes Sein zukommt, von den -Atomikern die Erkenntnis, dass die Zahl- und Raumbegriffe, grade weil -sie vom sinnlichen Standpunkt aus Nichts sind, das wirkliche Sein -repräsentieren und schmolz alles zusammen in seiner Idee. Durch eine -wahrhaft göttliche Eigenschaft der Vernunft wird dieselbe, und zwar -am leichtesten durch Vermittlung der Mathematik, angeregt, in den -einzelnen Erfahrungen, die das Daseiende (τὰ όντα) liefert, das dauernd -Seiende (το οντως ον), die Urbilder, die Ideen zu erschauen, Hypothesen -oder Grundlegungen der reinen Vernunft. Von ihnen als dem ewig -Seienden, obwohl in keiner einzelnen Erscheinung verkörpert, empfängt -das Daseiende sein Sein, seine Essenz, seine Substanz. - -Sind die Ideen wie die des Gleichen, des Schönen, des Wahren, und -die höchste Idee, welche alle andern trägt, die des Guten erschaut, -denn Idee, ἰδέα, kommt von ιδείν (schauen), so werden ihnen die -Erscheinungen untergeordnet, und nun wird im einzelnen die Idee -geschaut, im breiten Strich die Gerade, im Ball die Kugel etc. Beim -reifen Menschen geht die Idee der sinnlichen Erscheinung voraus. »Ehe -wir also anhuben zu sehen und zu hören und die Aussenwelt wahrzunehmen, -mussten wir in uns, irgend woher genommen, die Erkenntnis des -Gleichen angetroffen haben, das, worauf wir die aus den Wahrnehmungen -stammenden Gleichheiten beziehen können« (Phaedon p. 758, Theätet p. -186 c). Die Platonische Idee nähert sich, wie aus dieser Darstellung -hervorgeht, der (idealistisch aufgefassten) Kategorie der ¨Substanz¨ -einerseits, und berührt sich andererseits mit dem Begriff der ¨Kraft¨, -denn z. B. die Idee des Guten ist die Ursache aller Vollkommenheit, -sie ist gradezu die göttliche schöpferische Vernunft. Die Idee, wie -z. B. Sophist 248 A beweist, hat Bewegung, Leben, Seele, wie die -¨Leibniz¨sche Monade, sie wird öfters gradezu ἑνας oder μόνας, Einheit -genannt. - -Die Stellung, welche Platon der Mathematik anweist, erinnert -unwillkürlich an Kant, auch bei Platon hat die Mathematik eine -Zwischenstellung zwischen Sinnlichkeit und Logik, auch bei ihm ist -sie »reine Sinnlichkeit a priori«, die in das Objekt der sinnlichen -Wahrnehmung, Zahl und Gestalt hineinsieht und als Ewig-Seiendes, die -»im barbarischen Schlamme der Sinnlichkeit« steckende Seele hinleitet, -im Abbilde das Urbild das wahrhaft Seiende zu sehen. In der Republ. -529 D, 520 C, im Timäos 28 heisst es: Das, was ihr Wirklichkeit -nennt, die bunten Gestalten am Himmel und auf Erden, sind nur die -Abbilder von den Urbildern in der Erkenntnis und dem Bewusstsein. -In seiner Lehrtätigkeit, welche der Hauptfaktor seines Einflusses -auf seine Zeitgenossen war, unterschied er Empfindung; Anschauung; -Hinzuziehung von Mass und Zahl -- διάνοια; und Hinzuziehung der Idee, -die transzendentale Erkenntnis, die νόησις. - -[Sidenote: Raum bei Platon.] - -Platon hat das Kategorische des Raumbegriffes oder besser die Idealität -des Raumes, die ja schon die »richi« der Inder empfunden haben, -scharf hervorgehoben, während er Zeit und Bewegung nicht hinlänglich -geschieden hat. Die bekannteste Stelle findet sich 50-52 des Timäos, -des schwierigsten Dialogs, welcher beweist, wie völlig Platon im Alter -unter den Bann pythagoräischer Gedankenkreise geraten war (vgl. den -zitierten Aufsatz von 1908). Es heisst da: Der Raum ist die aufnehmende -¨Mutter¨, die Idee, das reine Erzeugnis der Vernunft, der ¨Vater¨ der -Gegenstände der Wahrnehmung der Natur (50 D). Er bildet die 3. Art -der Erkenntnis, der ewige unvergängliche Raum (52 B), der uns durch -nichtsinnliche Wahrnehmung (μεθ' αναισθησιας) durch eine Art von -unechter Vernunfttätigkeit mühsam klar wird, den wir ¨mit offenen Augen -träumen¨. Das ist nichts anderes als der ideale Raum Kants, die reine -Form des äusseren Seins für das erkennende Bewusstsein als solches, -losgelöst von aller Individualität. - -Seit Aristoteles und durch Aristoteles ist die Meinung verbreitet, -dass Platon Raum und Materie identifiziert hat, und ¨Fr. Ast¨ hat -dies 1816, Plat. Leben und Schriften Note p. 362 in feiner Weise -aus dem Gedankengang Platons abzuleiten versucht. Dass ich anderer -Meinung bin, habe ich schon in dem erwähnten Aufsatz der Marburger -philosophischen Arbeiten von 1908 gesagt, es handelt sich bei der -Ableitung der Körperwelt im Timäos im wesentlichen um eine Kombination -Pythagoräischer und Demokritischer Gedanken. Auf Demokrit weist auch -die so wichtige Auffassung des Punktes als ¨Streckendifferential¨, -als »αρχή γραμμής«, Ursprung der Linie. ¨Proklos¨ (Friedlein S. 88) -sagt, »aber es liegt in ihm verborgen eine unbegrenzte Macht Längen zu -erzeugen.« - -So hoch das Verdienst Platons um die erkenntniskritische Untersuchung -des Raumbegriffs zu veranschlagen ist, so muss doch auch die Sage -von Platon als dem Erfinder stereometrischer Sätze als unbegründet -zurückgewiesen werden. Er hat dies selbst, so drastisch als man es nur -wünschen kann, getan. In der bekannten Stelle der Republik heisst es: -»Ausserdem aber legen sie (die Griechen) hinsichtlich der Messung von -allem was Länge, Breite, Tiefe hat eine bei allen Menschen vorhandene, -eben so lächerliche als schmähliche Unwissenheit an den Tag.« - -Kleinias fragt: Welche und wie beschaffene meinst du? - -¨Sokrates-Platon¨: Mein lieber Kleinias, habe ich doch selbst ¨erst -spät¨ davon gehört, wie es mit uns in dieser Hinsicht bestellt ist, -nämlich meiner Ansicht nach, nicht wie es sich für Menschen gehört, -sondern für ¨Schweine¨. - -Wie es mit den Griechen in dieser Hinsicht bestellt war, erfahren wir -aus Thukydides, wo die Griechen den Inhalt einer Insel dem Umfang -proportional setzen. Platon ist sicher kein Erfinder stereometrischer -Sätze gewesen, sein Verdienst ist auch hier ein methodisches. Durch -seinen Umgang mit ¨Archytas¨ und ¨Eudoxos¨ hat er die Bedeutung der -Stereometrie erkannt, und die ihm zuteil gewordene Anregung auf seine -Schüler übertragen, die denn auch nicht ermangelten die Stereometrie zu -fördern. - -[Sidenote: Platon als Mathematiker.] - -Eben so falsch ist es, dass Platon die sogen. ¨Analysis¨ zur Lösung -der Konstruktionsaufgaben erfunden habe. Dass Platon die analytische -Methode gekannt hat, geht unwiderleglich aus ¨Menon¨ S. 87 bei der -Frage, ob ein gegebenes Dreieck in einen gegebenen Kreis eingetragen -werden könne, hervor. ¨Proklos¨ p. 58: Sie überlieferten die -trefflichste Methode, und zwar die, welche durch die Analyse das -Gesuchte auf ein anerkanntes Prinzip zurückführt, welche auch ¨Platon, -wie sie sagen¨, dem Laodamas hinterliess, mit der dieser vieles in der -Geometrie gefunden haben soll, dann aber auch jene, die auf genauer -Einteilung beruht, welche Platon ebenfalls stark betonte. (Für letztere -Methode denke man an die Untersuchungen über die Beziehungen zwischen -Gerade und Gerade, Gerade und Kreis etc.) Bei ¨Diogenes Laertios¨ III, -25 heisst es: - - Πρωτος ὁ Πλατων τον κατα την αναλυσιν της ζητησεως τροπον εισηγησατο - Λεωδαμαντι τω Θασιω - -Aber Pappos, der im Buch VII seiner Kollektaneen, diesem Inventar -Hellenischen Könnens, sehr ausführlich über die Analysis gehandelt -hat, erwähnt mit keinem Wort des Platon. Die Sage liebt es eben, alle -Heldentaten auf das Haupt des Haupthelden zu häufen. - -Aber die Sache ist an sich klar, in dem oben erwähnten Überrest der -Arbeit des ¨Hippokrates¨ ist die analytische Methode angewandt, -und jede Gleichung ist ein Beispiel derselben, die Verwandlung des -Rechtecks in ein Quadrat bei den Indern (S. 159) ist ohne Analyse -unmöglich, und im Grunde verfährt jeder Künstler analytisch. Erst muss -das Kunstwerk, der Plan des Architekten, im Kopfe fix und fertig sein, -ehe der erste Pinselstrich, der erste Spatenstich erfolgen kann. Die -Definition von Analysis findet sich Euklid XIII, 5 und sie rührt, wie -¨Bretschneider¨, Geometrie und Geometer vor Euklides, bemerkt hat, von -¨Eudoxos¨ her: Analysis ist die Annahme des Gesuchten als zugestanden -durch die Folgerung hindurch bis zu einem als wahr Bekannten. - -¨Platon¨ hat als ¨Philosoph¨ auf die Bedeutung der analytischen Methode -für die Konstruktion und als Beweismittel in jeder Wissenschaft -aufmerksam gemacht und grade an der angeführten Stelle Menon S. 87 -wird die mathematische Anwendung als Beispiel gebraucht, weil sie -besonders einfach ist und Plato sagt selbst: Ich brauche den Ausdruck -»Aus der Voraussetzung« so, wie oft die Geometer argumentieren. Ebenso -apokryph ist die unter Platons Namen gehende Lösung des ¨Problems der -Würfelverdoppelung¨. In meinem Urteil über Platon den Mathematiker -schliesse ich mich völlig ¨Blass¨ an, der seine Dissertation de Platone -Mathematico also beendet: nam si amicus Plato, amicior tamen veritas: -et is quoque, qui scientiae amorem aliis iniecit, de scientia bene est -meritus. - - -Die Würfelverdoppelung. - -[Sidenote: Würfelverdoppelung (Delisches Problem).] - -Dies Problem, das sogen. erste Delische Problem, ist eins der drei -grossen Probleme: Würfelverdoppelung, Winkel- oder Bogenteilung -(Kreisteilung), Quadratur des Zirkels, an deren Bewältigung sich die -Hellenische Mathematik zu ihrer bewundernswerten Höhe entwickelt -hat. Die beiden ersten Probleme sind von den Pythagoräern und ihren -Ausläufern, unmittelbar nachdem sie durch die nach Pythagoras genannte -Satzgruppe die Probleme, welche auf Gleichungen zweiten Grades führen, -bewältigt hatten, in Angriff genommen worden. Diese Tatsache liefert -einen klaren Beweis, dass der eigentlich leitende Gesichtspunkt der -Hellenen der arithmetische war und dass die Griechen schon zu jener -Zeit klar den Satz des ¨Vieta¨ erkannten, dass mit der Vervielfältigung -des Würfels und der Trisektion des Winkels die Gleichung dritten (und -vierten) Grades allgemein gelöst sei. - -In drei aufeinanderfolgenden Programmen von Linz hat ¨Ambros Sturm¨ -1895, 96, 97 eine vortreffliche Geschichte »des Delischen Problems« -geliefert, im Anschluss an ¨Montuclas¨ Quadrature du cercle. Über -den Ursprung unseres Problems berichtet ein Brief das ¨Eratosthenes¨ -(s. u.), den ¨Eutokios¨, Bischof von Askalon, geb. 480 n. Chr., in -seinem Kommentar zu Archimedes Kugel und Zylinder überliefert hat. - -»¨Eratosthenes¨ wünscht, dass es dem Könige Ptolemaios wohlergehe. -Es wird erzählt, dass ein alter Tragiker, den Minos eingeführt habe, -der dem Glaukos ein Grabmal erbauen lassen wollte, und als er dabei -bemerkte, dass es nach allen drei Dimensionen 100 Fuss mass, soll er -gesagt haben: - - Zu klein hast du des Königs Grab mir angelegt, - Drum dopple es, doch nicht vergiss der schönen Form, - Verdopple jede Kante schnell des Grabs. - -Er schien aber sich geirrt zu haben, denn durch Verdopplung der Seiten -wird das ebene Feld vervierfacht, der Raum verachtfacht. Seitens der -Geometer wurde nun geforscht, wie man einen Körper unter Beibehaltung -seiner Gestalt verdoppeln könne und man nannte dies Problem die -Würfelverdopplung (κυβου διπλασιασμός), denn vom Würfel ausgehend -suchten sie diesen zu verdoppeln. Während aber alle lange Zeit nicht -aus noch ein wussten, wurde es zuerst dem ¨Hippokrates von Chios¨ klar, -dass der Würfel verdoppelt werden würde, wenn zwischen zwei Strecken, -von denen die grössere das Doppelte der kleineren ist, zwei mittlere -Proportionalen in stetiger Proportion gefunden wären. So verwandelte er -diese Schwierigkeit in eine andere nicht geringere. - -Nach einiger Zeit sollen einige Delier, welche durch einen Orakelspruch -zur Verdoppelung eines Altars gedrängt wurden, in dieselbe Verlegenheit -geraten sein. Und sie sollen die Geometer aus der Umgebung des ¨Platon¨ -in der Akademie gebeten haben das Gesuchte zu finden. -- Die letztere -Version war im ganzen Altertum verbreitet, z. B. ¨Theon von Smyrna¨ -(aus einer andern nicht weiter bekannten Schrift des Eratosthenes -»Πλατωνικός« (Ambros Sturm), Plutarch an 2 Stellen »De genio Socratis« -VII; De ει apud. Delphos VI, Joh. Philopömos, (Commentator des -Aristoteles; Προλεγόμενα της πλάτωνος φιλοσοφίας), Vitruv, Valerius -Maximus. Wir sehen hier einen der deutlichsten Beweise für ¨den -Zusammenhang der hellenischen Mathematik mit der indischen¨, nur dass -die Inder, entsprechend der früheren Entwicklungsstufe die Fläche -verdoppeln, d. h. sich mit der quadratischen Gleichung begnügen, -während die Pythagoräer, das kulturelle Problem von den Indern -aufnehmend, das Volumen verdoppeln, d. h. zur Gleichung 3. Grades -fortschreiten. - -[Sidenote: Archytas.] - -Die älteste Lösung zufolge Eutokios Bericht aus Eudemos (nach -¨P. Tannery¨ aus ¨Sporus¨, der etwa um 300 n. Chr. Eudemos benutzt -hat) ist die des ¨Archytas¨ aus Tarent, den ¨Horaz¨ in der Ode 28 des -Buch I erwähnt »te maris et terrae numeroque carentis arenae mensorem -cohibent, Archyta«, der etwa 430 bis 365 zu setzen ist, wo er durch -Schiffbruch am Kap Matinum den Tod fand. ¨Platon¨ hatte bei seiner -ersten Reise nach Sizilien die Bekanntschaft des als Staatsmann, -Philosoph und Mathematikers gleich ausgezeichneten Pythagoräers -gemacht, und stand mit ihm in Briefwechsel. Archytas soll seinerseits -den Platon in Athen wiederbesucht haben. Von den Schriften, die unter -seinen Namen auf uns gekommen sind, ist fast alles als unecht erwiesen. -Seine Lösung des Delischen Problems, die bedeutendste von allen, zeigt -ihn als erstklassigen Mathematiker. Ich gebe den Wortlaut (s. Figur). - -[Illustration] - -ΑΛ und Γ mögen die beiden gegebenen Strecken darstellen, verlangt -zwischen ΑΛ und Γ zwei mittlere Proportionalen zu finden. -- Um die -grössere, nämlich ΑΛ, möge der Kreis ΑΒΛΖ beschrieben werden und ihm -werde die Γ gleiche [Sehne] ΑΒ eingefügt, und ausgezogen soll diese -mit der in Λ berührenden [Linie] des Kreises in Η zusammentreffen. -Neben [παρά d. h. parallel] ΗΛΟ möge ΒΕΖ geführt werden, auch ein -Halbcylinder ersonnen werden senkrecht auf den Halbkreis ΑΒΛ und ein -senkrechter Halbkreis auf ΑΛ, welcher in dem Parallelogramm (dem -Achsenschnitt) des Cylinders liegt. - -Wird nun der Halbkreis herumgeführt in der Richtung von Λ nach Β, -während der Endpunkt Α des Durchmessers fest bleibt, so wird er die -cylindrische Fläche schneiden und in ihr eine Linie einzeichnen. Und -wenn wiederum herumgedreht wurde [und zwar] bei beharrender [Linie] ΑΛ -das Dreieck ΑΒΛ, in dem Halbkreis entgegengesetzter Bewegung, wird es -für die Strecke ΑΗ eine Kegelfläche erzeugen. Und diese wird bei der -Drehung die Linie auf dem Cylinder in einem gewissen Punkte treffen, -und zugleich wird auch [Punkt] Β einen Halbkreis in der Kegelfläche -beschreiben. An dem Orte des Zusammentreffens der Linien habe nun der -bewegte Halbkreis eine Lage wie etwa Λ′ΚΑ, das entgegengesetzt gedrehte -Dreieck die von ΑΗ′Λ, und der Punkt des besagten Zusammentreffens sei -Κ. Und der von Β beschriebene Halbkreis sei ΒΜΖ und sein Schnitt mit -ΒΛΖΑ sei die [Sehne] ΒΖ. Und es werde von Κ auf die Ebene des Halbkreis -ΒΛΑ das Lot gezogen, so wird es auf die Peripherie des Kreises fallen -wegen des Senkrechtstehens des Cylinders. Es falle also und sei ΚΙ und -die von Ι an Α geknüpfte Linie treffe ΒΖ in Θ, und ΑΗ′ den Halbkreis -ΒΜΖ in Μ. Es möge auch ΚΛ′, ΜΙ, ΜΘ gezogen werden. Da nun jeder der -Halbkreise ΛΚΑ und ΒΜΖ senkrecht steht zur Grundebene, so steht auch -ihr gemeinsamer Schnitt senkrecht zur Ebene des Kreises, daher steht -auch ΜΘ senkrecht auf ΒΖ, das heisst das Rechteck aus ΘΑ und ΘΙ ist -gleich dem Quadrat über ΜΘ. Folglich ist das Dreieck ΑΜΙ jedem der -Dreiecke ΜΙΘ, ΜΑΘ ähnlich, und ist rechtwinklig. Aber auch das Dreieck -Λ′ΚΑ ist rechtwinklig; folglich sind die [Linien] ΚΛ′ und ΜΙ parallel, -und es wird das Verhältnis bestehen wie ΛΑ zu ΚΑ, ebenso ist ΚΑ zu ΑΙ -und so auch ΙΑ zu ΑΜ wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke, also sind die -4 (Strecken) ΛΑ, ΑΚ, ΑΙ, ΑΜ der Reihe nach in Proportion und ΑΜ ist -gleich Γ, da sie gleich ΑΒ ist. Zu den beiden gegebenen ΑΛ und Γ sind -also die beiden mittleren Proportionalen gefunden worden ΑΚ u. ΑΙ. - -Analytisch geometrisch ist diese Konstruktion, welche ein glänzendes -Zeugnis von dem Können des Archytas ablegt, sehr leicht zu -verifizieren. Wählt man ΑΛ als Abscissenaxe, Α als Anfangspunkt, und -die Tangente in Α an den Kreis ΑΒΛ als Ordinatenaxe, so ist, wenn Κ { -x, y, z; ΑΛ = a und Γ = ΑΒ = b gesetzt wird, da Κ auf Zylinder, Kegel -und Wulst liegt: - -1) x^2 + y^2 = ax (Gleichung des Cylinders); 2) x^2 + y^2 + z^2 = -(a^2/b^2)x^2 (Gleichung des Kegels durch doppelten Ausdruck des Cosinus -des konstanten Öffnungswinkels) 3) x^2 + y^2 + z^2 = ắ√(x^2 + y^2) -(Gleichung des Wulstes). Daraus für Punkt Κ: ắ√(ax) = a^2x^2 : b^2 und -a^3x = a^4x^4 : b^4; x^3 = b^4 : a; x = b∛(b : a), √(x^2 + y^2) = ΑΙ = -∛(ab^2) und √(x^2 + y^2 + z^2) = ΑΚ = ∛(a^2b), also ΑΛ : ΑΚ = ΑΚ : ΑΙ = -ΛΙ: ΑΒ. - -Dass ¨Archytas¨ seine Konstruktion analytisch d. h. von der gelösten -Aufgabe aus rückwärts gehend gefunden, unterliegt keinem Zweifel und -ebensowenig die Ansicht ¨Bretschneiders¨, dass er vom rechtwinkligen -Dreieck ΑΚΛ′ ausging und ΑΙ auf ΑΚ projizierte. - -Die Lösung des Archytas wird bestätigt durch den oben besprochenen -Brief des Eratosthenes, durch Vitruv und Diogenes Laërtios (200 -n. Chr.). Wir sehen hier wie hoch etwa um 400 die Kenntnisse der -Pythagoräer stehen; der Potenzsatz (der zweite Hauptsatz vom -Kreise), die Sätze vom rechtwinkligen Dreieck und ihre Umkehr, die -Ähnlichkeitslehre, die Anwendung der Bewegung zur Konstruktion, -allerdings nach dem Vorgang des ¨Hippias¨ von ¨Elis¨ und seiner -Quadratrix (s. u.) - -Der Satz: »Stehen 2 Ebenen auf einer dritten senkrecht, so steht ihre -Schnittgerade auch auf dieser senkrecht«, die Kenntnis und Benutzung -der geometrischen Orte; Schnitt eines Cylinders und eines Kegels, und -damit die erste ¨Raumkurve¨, der Wulst und sein Schnitt, die erste -von Proklos »¨spirische¨« benannte Linie, und überhaupt so grosse -stereometrische Kenntnisse, dass es klar wird, dass die Pythagoräer, -vor allem ¨Archytas¨ die Lehrer des Platon gewesen sind, und ¨nicht¨ -umgekehrt, wie das ja die oben zitierte Stelle der Gesetze bestätigt. - -[Sidenote: Eudoxos.] - -Die nächste Lösung führt uns auf den grössten Mathematiker und Astronom -zur Zeit des Platon, auf ¨Eudoxos¨ von ¨Knidos¨, dessen Ruhm durch -den des Platon lange verdunkelt ist und den die zusammenfassende -Geschichte der Mathematik bisher zu stiefmütterlich behandelt hat. Die -Programme von ¨H. Künssberg¨, Dinkelsbühl 1888-90, der Astron., Math. -und Geograph E. v. Knidos, werden ihm gerecht. ¨Eudoxos¨ auf allen -drei Gebieten und auch auf dem der Gesetzgebung gleich bedeutend, -ist etwa um 410 zu Knidos, einer dorischen Stadt in Karien, an der -Küste von Kleinasien, aus armer Familie hervorgegangen, früh kam er -in das ebenfalls dorische Tarent und genoss dort in Mathematik und -Astronomie den Unterricht des grössten Pythagoräers, des ¨Archytas¨. -Etwa 23 Jahre alt ging er nach kurzem Aufenthalt in Athen, wo er -Platon gehört haben soll, nach Ägypten, vermutlich als Begleiter eines -Arztes Chrysippos, mit Empfehlung des Sparterkönigs ¨Agesilaos¨ an -Nektanebos (Necht-Harebhēt). Die Reise fällt gegen 380, da etwa von -394-380 Nektanebos den Aufruhr seiner Ägypter bekämpfen musste. Dort -verkehrte er in Heliopolis mit den Priestern insbesondere mit dem -Priester Chonuphis und indem er völlig ihre Sitten annahm (ξυρομενος τε -ιβην και οφρυς, geschoren am Scham und Augenbrauen) bekam er Einblick -in das riesige astronomische Beobachtungsmaterial und dort schrieb er -seine Octaëteris etwa um 375, vergl. ¨A. Boeckh¨: Über die vierjährigen -Sonnenkreise der Alten 1863. Die Octaëteris ist eine 8jährige Periode -zum Ausgleich des Mond- und Sonnenjahres. 8 · 354 + 3 · 30 = 2922 = -8 · 365-1/4. - -Etwa um 370 in der Akme gründete er in Kyzikos in Mysien (Panorma am -Marmorameer) eine Hochschule, die rasch zu grosser Blüte gelangte, -aber schon nach wenigen Jahren trieb ihn sein rastloser Bildungseifer -in die Weite. Zunächst zog er nach Athen und führte eine grosse Anzahl -seiner Schüler dem Platon zu, darunter die bedeutendsten Mathematiker -der Akademie, wie ¨Menaichmos¨, den eigentlichen Entdecker der -¨Kegelschnitte¨, ¨Dinostratos¨, der den Nutzen der Kurve des Hippias -von Elis für die Quadratur des Zirkels erkannte und ihr den Namen -Quadratrix, τετραγωνίζουσα, verschaffte, Athenaios, Helikon etc. Von -Athen zog er nach Sizilien und studierte dort unter dem italischen -Lokrer ¨Philistion¨, vermutlich auch ein Pythagoräer, Medizin. Dann -kehrte er von Knidos zurück, mit grossen Ehren empfangen, und schuf für -die Stadt neue Gesetze. - -Unsere fast einzige Quelle über Eudoxos ist Diogenes Laertios, die -sich aber auf gute Autoritäten wie Kallimachos, Sotios, Nikomachos, -Eratosthenes stützt. Sonst haben wir nur eine kurze Notiz in der -Ethik des Aristoteles 172, b. 15, wonach er Hedoniker etwa im Sinne -Demokrits war und in dem bekannten Lexikon des Suidas, der zwar die -drei sehr gelehrten Töchter des Eudoxos mit Namen nennt, aber über ihn -selbst so gut wie nichts sagt. Doch gibt Aristoteles seinem Charakter -ein günstiges Zeugnis. Aber über die wissenschaftliche Bedeutung des -Mannes war das ganze Altertum einig, und ich kann dafür auf ¨Cicero¨ -verweisen, den ich, wie sehr Sie auch sein Cato major, sein Lälius, -seine Officien gelangweilt haben mögen, als ¨Historiker¨ nicht zu -unterschätzen bitte. Diogenes Laertios berichtet, dass er in Knidos -statt »Eudoxos« in »Endoxos« umgetauft wurde, d. h. der Anerkannte -und Eratosthenes nennt ihn, den Astronomen, Mathematiker, Geographen, -Philosophen, Mediziner, Staatsmann, der an die »Allmenschen« des -Cinquecento an Leonardo da Vinci und Michelangelo erinnert, den -»Göttergleichen« in dem Epigramm: »θεουδεος Ευδοξοιο καμπυλον εν -γραμμαις ειδος.« - -Auch Platon hatte die höchste Achtung vor Eudoxos als Mathematiker, wie -aus seiner 13. Epistel hervorgeht und aus der Angabe bei Plutarch, dass -er die Delier an den Eudoxos verwiesen habe. Er starb 53 Jahre alt um -356. - -[Sidenote: Lösung des Delischen Problems von Eudoxos.] - -Seine Lösung des Delischen Problems übergeht Eutokios, die kurze -Andeutung bei Eratosthenes war ihm unverständlich, und die ihm -vorliegende Lösung fehlerhaft überliefert. Eratosthenes sagt in dem -zitierten Briefe: »Während nun diese (die Geometer der Akademie) -sich arbeitsfreudig drangaben und zu zwei gegebenen zwei mittlere -zu fassen suchten, soll sie Archytas der Tarentiner mittelst des -Halbcylinders gefunden haben und Eudoxos von Knidos mittelst der -bogenförmig (καμπύλον) genannten Linien. Das Wort Kampylos bedeutet -»gekrümmt« insbesondere gekrümmt nach Art des Kriegsbogens der Griechen -[**symbol], den ¨Homer¨ stets mit diesem epitheton ornans bezeichnet. - -Es ist ¨P. Tannery¨ gelungen (Sur les solutions du problème de Delos -par Archytas et par Eudoxe, Mém. de Bordeaux Ser. 2, T. II Paris -1878 p. 277), die naturgemäss eng an Archytas anschliessende Lösung -des Eudoxos wiederherzustellen, dadurch dass er erkannte die Kurve -müsse ein dem griechischen Kriegsbogen ähnliches Aussehen haben und -daraufhin, nicht wie V. Flauti, Geom. di sit. Napol. 1842, 3. Aufl. -die Projektion der Schnittkurve des Wulstes und des Kegels auf die zx -Ebene, sondern auf den Grundkreis, auf die xy Ebene, untersuchte. - -[Illustration] - -Eudoxos betrachtete die Schnittkurve des Wulstes und des Kegels, d. h. -also er sah zunächst davon ab, dass Punkt Ι der Figur[*] auf der -Peripherie des Grundkreises liegt, immer ist: ΑΘ^2/(ΑΜ^2) = ΑΙ^2/(ΑΚ^2) -= ΑΙ/ΕΔ oder I: ΑΘ^2 = b^2/aΑΙ. - -[*] In der Figur ist Θ durch Q, ξ durch ζ, und Ι durch S ersetzt. - -Dadurch ist die Projektion eines Punktes Κ der Schnittkurve und -damit ihre Projektion auf die xy Ebene, die Ebene des Grundkreises, -definiert. Sowohl ihre Gleichung wie ihre Konstruktion ist nun ohne -weiteres klar, sobald man noch nachgewiesen, dass Αξ = ΑΘ, wo Αξ die -Abscisse x von Ι (und Κ). - -Es ist: ΑΘ/ΑΕ = ΑΙ/Αξ oder ΑΘ . x = ΑΕ . ΑΙ = b^2/a . ΑΙ also nach -Ι x = ΑΘ also die Gleichung der Kurve ΑΙ^2 = x^2 + y^2 = a^2x^4/b^4 -d. h. also eine durch die Substitution ξ = x^2, η = y^2 transformierte -Parabel, welche Tannery analytisch untersucht hat. Ihre geometrische -Konstruktion ist äusserst einfach vergl. die Fig. 1 und das richtige Ι -der Punkt wo diese Kurve den Halbkreis schneidet. - -Es ist nach Konstruktion: ΑΘ^1 = Αξ^1 und ΑΙ^1/(Αξ^1) = ΑΘ^1/ΑΕ, oder -ΑΘ′^2 = ΑΙ′ . ΑΕ und da ΑΒ^2 = a . ΑΕ so ist ΑΘ′^2 = ΑΙ′b^2/a somit Ι′ -ein Punkt des Ortes. - -[Sidenote: Mechanische Lösung von Eudoxos (Platon).] - -Vom Eudoxos rührt m. E. auch die Konstruktion her, welche Eutokios dem -Platon zuschreibt. ΑΒ und ΒΓ, s. Fig., seien die gegebenen Strecken; -man verlängere sie nach Δ und Ε, so dass ΑΕΔ und ΓΔΕ rechte Winkel -sind, dann ist nach der Satzgruppe des Pythagoras ΓΒ : ΒΔ = ΒΔ : ΒΕ = -ΒΕ : ΑΒ. - -[Illustration] - -[Illustration] - -Die Punkte Δ und Ε lassen sich auf mechanischem Wege leicht -finden mittelst zweier aufeinander verschiebbarer rechten Winkel -(Winkelhaken); es wurde ein eigenes Hilfsinstrument (siehe Figur) -angefertigt, durch einen beilförmigen Einschnitt β in die Lineale -(κανών, Kanon) wurde dafür gesorgt, dass sich ΚΔ nur parallel zu -ΗΘ bewegen konnte, die nähere Beschreibung siehe man bei A. Sturm -l. c. p. 50. Die ganze Konstruktion ist so unplatonisch wie möglich, -wir wissen dass gerade auf Platon die strenge Beschränkung der -geometrischen Hilfsmittel auf Zirkel und Lineal zurückgeht, dass er die -sogenannte Neusis, die Einschiebung von Strecken auf mechanischem Wege -verpönte. Ausserdem berichtet Plutarch ganz ausdrücklich Quaest, conv. -VIII p. c. 1: Platon ¨tadelte¨ Eudoxos, Archytas und Menaichmos, weil -sie die Verdoppelung eines Körpers auf instrumentale und mechanische -Apparate zurückführten. Dagegen passt sowohl die Anwendung des -Satzes von der Höhe im rechtwinkligen Dreieck, den auch ¨Archytas¨ -anwandte und die Lösung mittelst eines Instrumentes sehr gut auf -Eudoxos, der als leidenschaftlicher Astronom mit Apparaten durchaus -vertraut war. Ich schliesse hier gleich den Bericht über ¨Eudoxos¨ -Gesamtleistungen an. Von Eudoxos rührt fast sicher das ganze 5. Buch -der Elemente des Euklid her, die so diffizile Lehre vom Streckenbuch, -und zwar wörtlich; man vergl. ¨Proklos¨, ed. Friedlein p. 68 und s. u. -Euklid. Und ein Scholion der lat. Ausgabe der 6 ersten Bücher Basel -1550 zum 5. Buch des »Adelos« und im prächtigen Codex des Euklid aus -der Sammlung Mazarin ist von ¨Knoche¨ als von ¨Proklos¨ herrührend -erkannt, es heisst da: Einige sagen dass dieses Buch die Erfindung des -Eudoxos sei, -- und das wird direkt bestätigt durch weitere Scholien -(¨Knoche¨ 1865) und indirekt dadurch, dass Buch 7 der Elemente die -Lehre von den Proportionen für ganze Zahlen noch einmal aufnimmt, -ohne irgend eine Rücksicht auf das 5. Buch. Von Eudoxos rühren die -fünf ersten Sätze des XIII. Buchs samt der Definition von Analysis -und Synthesis her, vermutlich auch ein ganzer Teil der weiteren Sätze -über die 5 Platonischen Körper. Eudoxos, der als grosser Astronom auf -das genaueste mit der Sphärik vertraut war, ist wohl der eigentliche -Schöpfer der später von Theodosios bearbeiteten Sphärik. - -Für eine Anzahl wichtigster Sätze der Stereometrie haben wir das -schwerwiegende Zeugnis des ¨Archimedes¨, der in seiner Quadratur der -Parabel, der ersten grossen Leistung der Integralrechnung, das nach -ihm benannte jetzt so viel besprochene Prinzip älteren Geometern -vindiziert, welche damit bewiesen, dass Kreise sich wie die Quadrate, -Kugeln wie die Kuben ihrer Durchmesser verhalten, ferner dass jede -Pyramide der dritte Teil des Prisma von gleicher Grundfläche und Höhe, -jeder Kegel der dritte Teil des Cylinders von gleicher Basis und -Höhe sei. Alles das haben sie durch Annahme des aufgestellten Lemma -bewiesen. Hier wurde Eudoxos Name nicht genannt. Aber in der Einleitung -zum ersten Buch seiner Schrift: περι σφαιρας και κυλινδρου. heisst -es: »Ebenso verhält es sich mit vielen von ¨Eudoxos¨ über die Körper -aufgefundenen Sätzen, die Beifall erhalten haben z. B. dass jede -Pyramide etc., jeder Kegel etc. Denn obgleich diese Sätze über diese -Gebilde schon früher experimentell bekannt waren, so traf es sich doch, -obgleich es vor Eudoxos viele erwähnenswerte Geometer gab, dass sie von -keinem begrifflich erkannt und auch von keinem folgerichtig bewiesen -wurden.« - -Demnach hat Eudoxos auch einen bedeutenden Anteil am XII. Buch der -Elemente. Im besonderen sind die wertvollen Beweise XII, 2 -- XII, 10 -Eigentum des Eudoxos, und indem sie sich eng an die Definitionen und -Sätze des 5. Buches anschliessen, geben sie wie ¨L. Ofterdinger¨ -bemerkt hat, zugleich einen Beweis für das Eigentumsrecht des Eudoxos -auf Buch V. Freilich müssen wir das mathophilosophische Verdienst des -Eudoxos jetzt nach dem Ephodion erheblich einschränken. Das Prinzip -der Exhaustionsmethode des Euklid ist im Grunde nichts weiter als das -unendlich kleine des ¨Demokrit¨, das Eudoxos den Hellenen mundgerecht -gemacht hatte, welche vor der rücksichtslosen Kühnheit, mit der -Demokrit seine Differentiale der Masse und des Raumes einführte, -scheuten. Es ist so ziemlich derselbe Vorgang, welcher sich in der -Neuzeit abspielte, als die Fluxion, das Moment des ¨Newton¨, das -»infiniment petit« des Leibniz von Lagrange durch die Ableitung ersetzt -wurde. - -[Sidenote: Das Weltsystem des Eudoxos.] - -So gross die Leistungen des Eudoxos auf mathematischem Gebiete waren, -so bedeutend er als Geograph war durch seine »γης περιοδος«, eine -umfassende Länder- und Völkerkunde, am grössten steht er doch als -Astronom da. So leidenschaftlich war seine Liebe zur Sternkunde, -dass er wie Plutarch erzählt, geäussert hat »Ich wünschte auf die -Sonne zu kommen um die Gestalt und Grösse des Gestirnes kennen zu -lernen und wäre es auch um den Preis, wie Phaëton zu verbrennen«. -An den verschiedensten Punkten des Orbis terrarum hat er die Sterne -beobachtet, noch ¨Strabo¨ wurde seine Warte bei Heliopolis gezeigt, -auch eine eigentümliche Sonnenuhr αραχνη (Spinne, wohl von der -Ähnlichkeit mit dem Netze einer Spinne) hat er konstruiert. Wir -verdanken die Kunde seines Weltsystems, ¨des ersten¨, das ¨streng -mathematisch¨ die Bewegungen der Gestirne zu erklären suchte, -Aristoteles in der Metaphysik und besonders dem so wichtigen -Commentar des Simplicius zu Aristoteles de coelo, auf den gestützt -¨I. K. Schaubach¨ in seiner klassischen Geschichte der griech. -Astron. bis auf Eratosthenes Gött. 1802 und der grosse Chronologe -¨Chr. L. Ideler¨ 1806 und besonders 1828, 29 Eudoxos als Astronom -würdigen konnten. Die völlige Aufklärung gab der hervorragende -italienische Astronom ¨G. V. Schiaparelli¨ in Le sfere omocentriche -di Eudosso, di Calippo e di Aristotele (Mil. 1875), gelesen bei -Gelegenheit des 400. Geburtstags des Copernicus zu Mailand 20. Febr. -1875, deutsch von W. Horn im Supplementband des Schlömilch von 1877. -Er konnte dabei schon einen von ¨Brunet de Presle¨ aus dem Nachlass -des bedeutenden Historikers der Mathematik ¨Letronne¨ in den Not. -et extraits des Manscr. de la bibl. imp. T. 18, p. I Par. 1865 -veröffentlichten Papyrus des Louvre benutzen, der vermutlich ein aus -190 v. Chr. stammendes Kollegienheft einer alexandrinischen Vorlesung -über Astronomie ist. Ich folge hier im Wesentlichen Schiaparelli und -¨Künssberg¨ Th. I 1889. - -Das Prinzip von dem Eudoxos ausging, war dasselbe, dem wir ¨Kepler's¨ -harmonice mundi verdanken und das bewusst oder unbewusst jeder annimmt, -das Prinzip: der Kosmos ist nach einem einzigen allgemeinen Gesetze -geordnet. Schiaparelli sagt: »den griechischen Astronomen fehlte das -physikalische Gesetz der allgemeinen Schwere, sie mussten sich daher -an geometrische Gesetze halten«. Nun aber bot der tägliche Umschwung -des Fixsternhimmels eine gleichförmige Kreisbewegung dar und ebenso -schienen die monatlichen und jährlichen Bewegungen des Mondes und der -Sonne gleichförmig in Kreisbahnen vor sich zu gehen. Die Planeten, -besonders die oberen, zeigten zwar grosse Unregelmässigkeiten, sie -beschrieben ja ganz verwickelte Schleifenlinien, aber man entnahm aus -dem obigen Prinzip das Axiom, es müssten sich alle diese Abweichungen -aus dem Zusammenwirken von mehreren gleichförmigen Kreisbewegungen -erklären lassen. Dies Axiom soll nach Gemīnos (Géminus), isagoge -eis phaenomena Cap. I, von den ¨Pythagoräern¨ herrühren und hat die -theoretische Astronomie bis Galilei und Newton beherrscht. - -¨Schiaparelli¨ sagt: »Eine andere Bedingung, der sich die, welche -zuerst über den Bau des Universums nachdachten, fügen mussten, war -diese, für denselben die grösste Einfachheit und Symmetrie anzunehmen. -Da bildeten im System des Philolaos (s. Pythagoräer) die Bahnen der -Himmelskörper ein System von Kreisen, die um ein gemeinsames Zentrum -beschrieben wurden, und dieselbe Regel oder wenigstens eine ähnliche -ist in den verschiedenen Systemen des Platon beobachtet. [Timaios 11]. -An dieser Grundanschauung hielt auch Eudoxos fest und stellte sich -vor, dass alle seine Sphären konzentrisch um die Erde gleichmässig -beschrieben seien, weshalb ihnen später der Name homozentrische -Sphären beigelegt wurde. Durch diese Anschauung wurde das Problem viel -schwieriger, weil dadurch diesen Sphären jede fortschreitende Bewegung -genommen wurde und dem Geometer zur Erklärung ihrer Bewegung nichts -anderes übrig blieb als die Kombination ihrer Rotationsbewegung, aber -dem Bau der Welt wurde dadurch eine Eleganz bewahrt, von welcher die -Konstruktionen des Hipparch [von Rhodos], des Ptolemaios und alle -andern, selbst des Copernicus weit entfernt blieben und die bis Kepler -ihresgleichen nicht wiederfand.« -- - -¨Eudoxos¨ dachte sich ungefähr wie Platon, dass jeder Himmelskörper -von einer um zwei Pole in gleichförmiger Rotation drehbaren Sphäre -in kreisförmige Bewegung versetzt würde. Er nahm ausserdem an, dass -derselbe in einem Punkt des Äquators dieser Sphäre befestigt sei. -Zur Erklärung der Planetenbewegung genügte diese Hypothese nicht, -Eudoxos setzte deshalb fest, dass die Pole der den Planeten tragenden -Sphäre nicht unbeweglich bleiben, sondern von einer grösseren, der -ersten konzentrischen getragen würden, welche gleichförmig und mit -einer ihr eigentümlichen Geschwindigkeit um zwei von den vorigen -verschiedene Pole rotiere. Da auch dies noch nicht genügte, so liess -er die Pole der zweiten auf einer dritten konzentrischen grösseren -Kugel fest sein; welche wieder ihre besonderen Pole und ihre besondere -Geschwindigkeit besass. Und wo drei Sphären nicht ausreichten, nahm -er noch eine vierte hinzu, welche die drei ersten umschloss und die -zwei Pole der dritten enthielt, und mit eigener Geschwindigkeit um -ihre Pole rotierte. Für Sonne und Mond fand er 3 Sphären bei passender -Wahl der Geschwindigkeiten, der Pole und der Neigungswinkel genügend, -für die 5 anderen Planeten fand er 4 Sphären nötig. Die bewegende -Sphäre eines jeden Planeten machte er völlig unabhängig von denen der -anderen. Für die Fixsterne genügte eine einzige Sphäre um die tägliche -Bewegung hervorzubringen. Für die Sonne hätte er mit zwei Sphären -auskommen können, da er die sogen. Anomalie, die ungleiche Dauer der -Jahreszeiten, d. h. die Ungleichförmigkeit der Geschwindigkeit nicht -berücksichtigte, aber er glaubte an eine geringfügige Veränderung der -Sonnenbreite in bezug auf die Ekliptik. Somit hatte er 27 Sphären nötig. - -[Illustration] - -Hier die Figur, das Abbild eines von Künssberg nach Eudoxos -konstruierten Planetolabium ist durchaus geeignet das System klar zu -machen. Kreis I dient dazu die tägliche, Kreis II die Bewegung in der -Ekliptik, Kreis III die Abweichung von der Ekliptik, Kreis IV die -Ungleichförmigkeit des Planeten in Bezug auf Geschwindigkeit und -Richtung zu erklären. Ich hebe hervor, dass Eudoxos den Neigungswinkel -von etwa 5° der Mondbahn gegen die Ekliptik kannte und damit dem -¨Babylonischen Saros¨ von 6585-1/8 Tagen und dass auch die Reihenfolge -der Planeten die ¨Babylonische¨ ist. Ich muss für weiteres auf -¨Schiaparelli¨ und ¨O. Tannery¨ [Note s. le syst. astron. d'Eudoxe, -Mém. de Bordeaux, Ser. II T. 1 (1876) und T. 5 (1883)] verweisen, -welche beide erklären, dass das System nach der Verbesserung durch -Kallippos ebenso gut die Bewegung von Sonne und Mond darstelle, -sowie die hauptsächlichen Unregelmässigkeiten der Planetenbahnen wie -die Epicykeln des Ptolemaios. Nur noch einige Bemerkungen über die -eigentliche Bahn der Planeten, welche durch die beiden innersten Kugeln -3 und 4 hervorgebracht wird, die sogen. ¨Hippopede¨ (Pferdefessel) -des Eudoxos, die erste sphärische Raumkurve, welche Schiaparelli sehr -richtig als ¨Lemniskate¨ bezeichnet. - -Eudoxos hat nur auf die Elementargeometrie gestützt das folgende -schwierige Problem gelöst: um zwei feste Pole dreht sich eine Kugel -gleichförmig, um zwei Pole auf dieser dreht sich ebenso eine zweite -mit derselben aber entgegengesetzt gerichteten Geschwindigkeit, -welche Bahn beschreibt ein Punkt des Äquators. Die Kurve ist dadurch -ausgezeichnet, dass ihre Bogenlänge wie die der ebenen Lemniskate -durch ein elliptisches Integral 2. Gattung dargestellt wird. Die -elementargeometrische Behandlung der Kurve wäre eine vorzügliche -Übungsaufgabe. - -Die grossen Verdienste des Eudoxos um Geographie und Kalender sind -neben Schaubach auch von ¨A. Boeckh¨ in der cit. Schrift 1863 voll -gewürdigt. - -[Sidenote: Lösung des Delischen Problems durch Menaichmos.] - -Ich verlasse Eudoxos, den grössten Mathematiker seiner Zeit, der -vermutlich ebenso nüchtern war wie Platon phantastisch war, berichtet -doch Cicero in De Divinatione, dass er die Astrologie der Babylonier -für Unsinn hielt und dies, obwohl er unzweifelhaft von Babylonischer -Astronomie beeinflusst war, wie schon aus seiner Festsetzung des -Verhältnisses von Sonnen- und Monddurchmesser hervorgeht und wende -mich zum Delischen Problem zurück. Knüpfte Eudoxos an seinen Lehrer -Archytas an, so folgte ihm wieder sein Schüler ¨Menaichmos¨, den er -seinerzeit dem Platon zugeführt hatte. Menaichmos, der um die Mitte -des 4. Jahrh. lebte, wird von den Alten einstimmig als der Erfinder -der Kegelschnitte bezeichnet. Eratosthenes nennt sie in dem Briefe, -die Menächmischen Triaden »man braucht nicht die Men. Triaden aus dem -Kegel zu schneiden«. ¨Proklos¨ (oder Gemīnos) beziehen sich auf diese -Stelle (Friedl. p. 111). Und aus des Eutoxios Excerpt aus Eudemos oder -Geminos sehen wir dass die Delische Aufgabe und der Weg des Archytas -und Eudoxos den Menaichmos geleitet haben. Es heisst bei Eutokios: - -[Illustration] - -»So wie Menaichmos: Es seien die gegebenen Geraden (die Alten kannten -den Ausdruck »Strecke« nicht) Α und Ε, gefordert zwischen Α und Ε zwei -mittlere Proportionalen zu finden. Es sei geschehen und sie sollen -Β und Γ sein, uns möge die im Punkte Λ begrenzte Grade (d. h. der -Strahl) ΛΗ gezeichnet vorliegen [εκκεισθω θεσει.] und bei Λ liege [auf -ihr] die Γ gleiche Strecke ΛΖ, und senkrecht [dazu] werde ΘΖ gezogen -(als Strahl) und ΘΖ [als Strecke] (s. Figur) gleich Β gemacht. Da nun -die drei Geraden Η, Β, Γ, proportional so ist das Rechteck aus Α und -Γ gleich dem Quadrat über Β.« Es ist also ΑΓ = Β^2 = ΘΖ^2 = Α . ΛΖ, -folglich liegt Θ auf der Parabel mit dem Scheitel Λ, der Axe ΛΗ und dem -Parameter A/2. Da auch das Rechteck ΓΒ oder ΛΖ . ΖΘ gegeben ist, weil -es gleich Α . Ε ist, so liegt Θ auch auf der gleichseitigen Hyperbel -mit den Asymptoten ΛΚ und ΛΗ, also ist Θ gefunden. Es folgt dann bei -Eutokios nach dieser Analyse auch die Synthese, ausdrücklich als solche -bezeichnet, und darauf eine zweite Lösung des Menaichmos; von der ich -auch nur die Analysis (s. Figur) gebe. - -Es seien die auf einander senkrechten Strecken ΑΒ und ΒΓ die gegebenen, -ΒΛ und ΒΕ die gesuchten, so dass ΓΒ : ΒΛ = ΒΛ : ΒΕ = ΒΕ : ΒΑ. Man ziehe -die Normalen ΛΖ, ΕΖ, so ist ΓΒ . ΒΕ = ΒΛ^2 = ΕΖ^2, also Ζ auf eine -Parabel, deren Achse ΒΕ, deren Parameter 1/2 ΓΒ. Da aber auch ΒΑ . ΒΛ = -ΒΕ^2 = ΛΖ^2 ist, so liegt Ζ auch auf der Parabel, deren Axe ΒΛ, deren -Parameter 1/2ΑΒ ist. - -[Illustration] - -Die Darstellung ist jedenfalls von Eutokios oder schon von Geminos -redigiert, denn die Namen Parabel, Ellipse, Hyperbel sind erst von -¨Apollonios¨ von ¨Pergae¨ (s. u.) im 3. Jahrh. eingeführt, ebenso wie -das Wort Asymptote. - -[Sidenote: Menaichmos, Kegelschnitte.] - -Den Gedankengang des Menaichmos hat Bretschneider, Geom. und Geometer -vor Euklides 1870 p. 156 ff., wiederhergestellt. Derselbe Eutokios -erzählt in seinem Kommentar zu des Apollonius Kōnika, dass die Alten -den Kegel nur erzeugten durch Rotation eines rechtwinkligen Dreiecks um -eine seiner Katheten. Je nachdem nun der Öffnungswinkel spitz, recht -oder stumpf war, erhielt Menaichmos Ellipse, Parabel, Hyperbel, wenn -er den Kegel durch eine Ebene, welche auf einer Seitenkante senkrecht -stand, durchschnitt. Die Ellipse war übrigens als Cylinderschnitt -schon den Ägyptern (vergl. die Säulen des Tempels von Luxor) und auch -den Hellenen vor Menaichmos bekannt, ihr alter Name war ἡ (γραμμή) -του θυρεού. [vielleicht die Schildförmige Linie, das Oval, obwohl das -ovale Schild gew. ἀσπίς und nicht θυρεός heisst]. Die Erzeugung des -Menaichmos gab sofort die Hauptachsen des Kegelschnitts. Men. erkannte -die ¨Verwandtschaft¨ seiner Kurven mit dem Kreise, da er sah dass -dieselben ¨Projektionen¨ des Kreises waren, und suchte daher nach -einem Analogon zum Potenzsatz, im Anschluss an Archytas und Eudoxos, -und fand es auch. Der ¨Begriff¨ der ¨Verwandtschaft¨ gehört zu denen, -welche sich den Geometern von selbst aufdrängen, man vergleiche die -Ähnlichkeitslehre bei Ägyptern und Indern, wenn auch Theorien der -Verwandtschaften als solcher modernen Ursprungs sind. Als Beispiel -nehme ich die Parabel, den »Schnitt des rechtwinkligen Kegels« wie sie -noch bei ¨Archimedes¨ heisst und sogar noch bei Proklos. Es ist ¯LAD¯, -s. Fig. rechtwinklig bei ¯A¯, der Schnitt ¯MIDKN¯ normal gegen die -Kante ¯AC¯ geführt, also ¯ID¯ || ¯AB¯. Es ist ¯IG¯/¯LD¯ = ¯DI¯/¯AL¯ -also gleich ¯IG¯ . ¯HI¯ : ¯LD¯^2 = ¯IK¯^2 : ¯DL¯^2 (Potenzsatz des -Kreises). Ferner wenn ¯LM¯ ⟘ ¯LD¯, ist ¯MD¯ : ¯LD¯ = ¯LD¯ : ¯AL¯, -¯LD¯^2 = ¯MD¯ . ¯AL¯ oder ¯IK¯^2 : ¯MD¯ . ¯AL¯ = ¯DI¯ : ¯AL¯, also -¯IK¯^2 = ¯MD¯ . ¯DI¯, dies ist die Grundeigenschaft (Gleichung) der -¨Parabel¨. Analog ist die Herleitung für Ellipse und Hyperbel. - -[Illustration] - -[Sidenote: Parabel; Trisektion (Dinostratos).] - -Da die nächste Lösung, die des Eratosthenes selbst ist, so unterbreche -ich hier die Geschichte des Delischen Problems um mit ¨Dinostratos¨, -den Bruder des Menaichmos der ebenfalls Schüler des Eudoxos und Platon -ist, auf die beiden andern grossen Probleme, welche die Pythagoräer -in die Hellenische Wissenschaft einführten, überzugehen. Zunächst die -Trisektion, die Dreiteilung des Winkels. Das Problem ist unzweifelhaft -von den Pythagoräern gestellt worden, und geradezu im Zusammenhange mit -dem Delischen Problem. Wie die mittlere Proportionale der Natur nach -zusammenhing mit der Halbierung des Bogens, so glaubte man würden die -beiden Medianen mit der Dreiteilung zusammenhängen und indem man die -reinkubische Gleichung lösen wollte, kam man auf die gemischte, es ist -also kein Zufall, dass dies Problem das zweite Delische genannt wurde. -Dass die Kenntnisse der Pythagoräer zu der Aufstellung der Gleichung -ausreichten, ist leicht zu zeigen vergl. Figur. Man muss nur sehen, -dass ¯ABC¯ ≅ αβγ ist. Es werde bezeichnet: αβ = ¯AB¯ = z, ¯A¯α = 2αγ -= y, ¯AD¯ = s, ¯AF¯ = σ, ¯MF¯ = p, ¯BC¯ = u = βγ, dann ist 1) s/y = -(y + z)/z, 2) u^2 + 1/4y^2 = z^2, 3) weil ¯MFB¯ ～ ¯ABC¯, 2up = y(σ - z) -4) σ^2 + p^2 = r^2. - -[Illustration] - -Setzt man u = zτ, so ist nach 2) y^2/4 = z^2(1 - τ^2) und nach 3) -gleich z^2τ^2p^2/(σ - z)^2 also 5) 1 - τ^2 = τ^2p^2/(σ - z)^2 aus 1) -und 3) folgt 6) s(σ - z)/(2τpz) = 2τp/(σ - z) + 1. - -Aus 5) folgt σ - z = τp : μ wo μ = √(1 - τ^2) ist, also z = -σ - τp : μ, also geht 6) über in 7) s = (2μ + 1)2μ(σ - τp : μ); s = -(2μ + 1)(μs - 2τp) woraus nach leichter Rechnung 4τ^3 - 3τ + ps : r^2 = -0 und da ps = ηr, wenn die Höhe des Dreiecks ¨AMD¨ von D aus η genannt -wird, 8) 4τ^3 - 3τ + η/r = 0. - -Das ist die bekannte Gleichung für sin φ/3 da η : r = sin φ ist. - -Es gewannen also die beiden Delischen Probleme die Bedeutung der -Auflösung der kubischen Gleichung, [da sich für y die Gleichung 4. -Grades y^4 + sy^3 - 3y^2r^2 - 2ysr^2 + s^2r^2 = 0 ergibt, so ist damit -zugleich die Lösung der Gleichung des 4. Grades angebahnt]. - -[Sidenote: Hippias von Elis, Dinostratos (Quadratrix).] - -Das arithmetische Problem vermochten die Pythagoräer nicht zu lösen, -und das geometrische nicht mittelst Zirkel und Lineal, d. h. elementar, -doch scheuten sie sich wie wir bei Archytas gesehen haben, keineswegs -vor Bewegungsgeometrie und so erfand denn der seiner Zeit ziemlich -übel berüchtigte Sophist ¨Hippias¨ von ¨Elis¨ im letzten Drittel des -5. Jahrh. eine mechanische Lösung und damit die erste uns bekannte vom -Kreise verschiedene nach bestimmten Gesetz erzeugte Kurve, die später -vermutlich durch oder doch ¨nach¨ Archimedes, nachdem ¨Dinostratos¨ -ihren Gebrauch zur Rektifikation (Streckung) und damit auch zur -Quadratur des Zirkels gelehrt hatte, den Namen τετραγωνίζουσα lat. -Quadratrix erhielt. Es sind sogar gegen die Autorschaft des Hippias von -Elis Bedenken erhoben (Blass, Friedlein) und ¨H. Hankel¨ der genialste -Historiker der Mathematik hat sich sehr scharf gegen die Autorschaft -des Hippias von Elis ausgesprochen, aber Gründe hat er nicht angegeben -und ich muss ¨Cantor¨ beipflichten, der aus der ständigen Gewohnheit -des Proklos nur bei der ersten Erwähnung die Herkunft anzugeben und -sie später als schon genannt wegzulassen, mit grösster Energie sich -für den Hippias von ¨Elis¨ aussprach. Proklos kann nur diesen Hippias -meinen und wenn auch der Hippias major des Platon vermutlich unecht, so -genügt doch der Hippias minor um zu beweisen, dass Hippias seinerzeit -für einen hervorragend tüchtigen Mathematiker galt. Pappos, dem wir -die Kenntnis der Kurve verdanken, erwähnt den Namen des Hippias nicht. -Die Kurve und ihre Konstruktion finden sich Buch IV prop. 25 p. 253 -der ¨Hultschen¨ Ausgabe. Während der Radius αβ, vergl. die Fig., sich -gleichförmig um α bis αδ dreht, verschiebt sich ebenfalls gleichförmig -βγ bis αδ, unsere Kurve ist der Ort des Schnittpunktes ζ der beiden -sich bewegenden Strecken. Die Grundeigenschaft ist: βκ/αβ = (Bogen -βε)/(Bogen βεδ) = Θ/(π/2). Damit ist nicht nur die ¨Trisektion¨ sondern -sogar die ¨Multisection¨ vollzogen, denn nichts hindert αβ oder irgend -ein Stück von αβ in beliebig viele gleiche Teile zu teilen. Es folgt: -(αβ - βκ)/αβ = (π/2 - Θ)/(π/2) oder 1) y . π/2 = [**arc]εδ, daraus -y_{1} : y_{2} = [**arc]ε_{1}δ : [**arc]ε_{2}δ und als Gleichung der -Kurve 2) x = y cot yπ/2. Die Proportion 1, kann auch heissen Quadrant/r -= [**arc]εδ/ζυ. Dinostratos, der mit Demokritischen Gedanken vertraut -war, bemerkte nun, dass der Bruch rechts auf der Grenze, wenn αε -unendlich nahe bei αδ ist, weil der Sektor dann in ein Dreieck übergeht -gleich δε′ : ηη′ = αδ : αη gleich r : x_{0} ist, womit zwar nicht -die Quadratur aber doch die Rektifikation des Kreises mittelst der -gezeichnet vorliegenden Kurve vollzogen ist. Der Beweis des Dinostratos -den Pappos l. c. mitteilt, rechnet selbstverständlich nicht mit dem -Unendlich kleinen, sondern ersetzt die Differentialrechnung durch -die Grenzmethode, wie das auch Archimedes selbst noch getan, obwohl -wir aus dem Ephodion sehen, wie genau er sich der Tragweite der -Infinitesimalrechnung bewusst war. Man braucht ja nur an des Cavalieri -»geometria indivisibilium« zu denken, die er umarbeiten musste, weil -seine Zeitgenossen an dem nackten Unendlich kleinen und grossen, am -Differential und Integral des Volumens, Anstoss nahmen. ¨Newton¨ der -Urheber des selbständigen Differentialkalküls hat in den Prinzipien -und in seinen geometrischen Werken ängstlich die Methode verschleiert -und noch heute gibt es Mathematiker genug, welche vor dem »infiniment -petit« scheuen, wie etwa Pferde vor einem Automobil. - -[Illustration] - -[Sidenote: Theaítetos und Theudios.] - -Sind Menaichmos und Dinostratos die produktivsten Mitglieder des -Platonischen Kreises, »derer um Platon,« so sind Theaítetos der -Athener und Theudios der Magnesier, (wohl in Karien) diejenigen, -welche die methodische Seite der Akademie am energischsten vertreten. -Von Θεαίτητος, dem schon oft genannten, rührt ein grosser Teil der -selbst für uns Heutige nicht leichten Sätze des X. Buchs der Elemente -des Eukleides her, das selbst ein Petrus Ramus, obwohl ein genauer -Kenner von Proklos' Kommentar zum I. Buch, nicht verstand, und -Θευδιος ὁ Μαγνης hat das Lehrbuch der Akademie verfasst. Von ihm sagt -Proklos: Er brachte gute Ordnung in die Elemente und verallgemeinerte -vieles in den einzelnen Abschnitten (Friedl. p. 67, wenn ὁρικων, was -Friedlein bezweifelt, richtig ist, so kann es auch vielleicht besser -als »begrenzt« d. h. »zu eng gefasst« übersetzt werden, »er machte die -Begrenzungen weiter«). - -[Sidenote: Aristoteles.] - -Die Elemente des Theudios gehen denen des Euklid unmittelbar voran, und -auf sie beziehen sich die mathematischen Angaben bei ¨Aristoteles¨. - -[Sidenote: Zeit bei Platon.] - -Dieser weltumfassendste Geist nicht bloss des Altertums, der -Wissenschaft und Kunst fast 2000 Jahre lang beherrscht hat und die -formale Logik sogar bis auf ¨Sigwart¨, d. h. bis zum letzten Drittel -des 19. Jahrhunderts, hat noch weit mehr als Platon die Mathematik -nur als Hilfswissenschaft der Philosophie insbesondere für die Lehre -vom Schluss und von den Beweisen betrachtet, und allenfalls für die -Astronomie, in der er wie ¨Kant¨ den stärksten Beweis des für sein -System ganz unentbehrlichen Gottesbegriffes sah. Es steht nicht einmal -fest, ob Aristoteles auf der vollen Höhe der mathematischen Bildung -seiner Zeit gestanden hat, von höheren Problemen streift er eigentlich -nur einmal ganz gelegentlich in de coelo die Quadratur des Zirkels. -Dass er die Kegelschnitte nicht beachtet hat, versteht sich von selbst, -da sie ja gerade zu seiner Zeit von seinem Mitschüler ¨Menaichmos¨ -gefunden wurden. Aber um so grösser ist seine Bedeutung für die -Grundbegriffe der Mathematik. Während ¨J. L. Heiberg¨ (Teubner Abh. -z. Gesch. der Math. Wiss. Heft 18, 1904) das spez. Mathematische bei -Aristoteles gesammelt hat, ähnlich wie Theon Smyrneus die Mathematik -bei Platon, ist ¨A. Görland¨ in seiner Dissertation und besonders -in dem Werke: Aristoteles und die Mathematik, Marburg 1899 auch der -begrifflichen Seite gerechter geworden. Aristoteles ist auch der -erste der Hellenen der sich genauer mit dem Begriff Zeit beschäftigt -hat. ¨Platon¨, wie er den Aristoteles an schöpferischer Kraft der -Phantasie weit überragt, übertrifft ihn auch in der Erkenntnis gerade -der tiefsten Quellen unserer Erkenntnis, aber dass die Zeit auch eine -Idee sei, wie das Gute, ist dem Idealisten κατ ἐξοχήν entgangen. Die -Hauptstelle findet sich Timäos 366-370. Gott schuf die Welt als Abbild -der ewigen Ideen (personifiziert durch die einzelnen Götter), und in -der Freude über seine Schöpfung beschloss er sie dem Urbilde noch -ähnlicher zu machen und schuf dazu die Zeit als ¨bewegliches¨, nach -Zahlenverhältnissen fortschreitendes, ewiges Abbild. Denn Tage und -Nächte und Monate und Jahre gab es nicht, bevor der Himmel geschaffen, -sondern damals als dieser zusammengesetzt wurde, bewirkte er zugleich -auch ihre Entstehung. Alle diese (die Tage etc.) sind Teile der Zeit, -und das »¨Es war¨« und das »¨Es wird sein¨« sind entstandene Formen -der Zeit, die wir ¨unvermerkt¨ auf das ewige Wesen übertragen, und -mit ¨Unrecht¨. Denn wir sprechen von einem »es war, es ist, es wird -sein« jener aber kommt in Wahrheit nur das »Es ist« zu, das »war« -und das »wird sein« aber ziemt es sich von der in der Zeit sich -bewegenden Entstehung auszusagen. Wenn hier auch die transzendentale -Idealität der Zeit gestreift ist, so sind doch Zeit und Bewegung nicht -scharf geschieden, und insbesondere scheint die Zeit selbst als Dauer -aufgefasst zu sein, was schon eine Anwendung der Kategorie Raum auf die -Zeit einschliesst. - -[Sidenote: Aristoteles über Zeit.] - -¨Aristoteles¨ hat sich besonders in der Physik mit der Zeit -beschäftigt, er hat den Zusammenhang der Zeit mit der Zahl erkannt und -im direkten Gegensatz zu Kant die Zeit auf die Zahl zurückgeführt. Im -Buch IV der Physik heisst es: die Zeit ¨scheint¨ die Bewegung einer -Kugel zu sein, weil durch sie die übrigen Bewegungen (Rotationen) -¨gemessen¨ werden. -- Ganz ähnlich heisst es in der Naturphilosophie -¨Lorenz Oken's¨, des Vorgängers von Darwin, die Zeit ist gleichsam -eine fortrollende Kugel, die immer in sich selbst wiederkehrt. -- An -anderer Stelle nennt er die Zeit die ¨Zahl des Kontinuums¨, und die -Zahl der Bewegung in bezug auf ¨vorher¨ und ¨nachher¨, Mass der Ruhe -und Bewegung. Wichtig ist, dass er Phys. 10 auseinandersetzt, dass die -Zeit nicht aus Momenten bestehe und ganz des Aristoteles würdig ist die -Stelle Phys. IV Kap. 10: Ob das Jetzt, das Vergangenheit und Zukunft -trennt, immer ein und dasselbe sei, oder anderes und anderes, das ist -nicht leicht zu entscheiden. - -[Sidenote: Aristoteles (vita).] - -¨Aristoteles¨, der ¨Stagirite¨, wie er oft genannt wird, ist 384 in -Stageira einer Stadt der athenischen Landschaft Chalcidice geboren. -Sein Vater Nikomachos war Leibarzt des Königs Amyntas von Macedonien, -des Vaters Philipps der die entzweiten Hellenen unter das Macedonische -Joch einte. Im 18. Jahre kam er nach dem Tode beider Eltern als ein -wohlhabender und wohlerzogener Hellene nach Athen vermutlich um -Platons willen, dessen Schule er bis zum Tod Platons, zwanzig Jahre -lang angehörte. Daneben muss der Sohn des Arztes mit dem Fleiss und -der ungeheuren Arbeitskraft eines grossen Genius geschafft haben um -sich auf naturwissenschaftlichem und politisch-historischem Gebiete -das Riesenmaterial von Kenntnissen anzueignen, das in seinen Schriften -verarbeitet ist. Zwei Strömungen von ganz ungewöhnlicher Stärke sind in -Aristoteles vereinigt, einerseits ist er der erste grosse ¨Biologe¨, -der mit gleicher Sorgfalt das grösste wie das kleinste Lebewesen -beobachtet, er hat es ja selbst ausgesprochen, dass es für den -Forscher nichts Grosses und nichts Kleines gebe, -- andererseits ein -Systematiker von extremer Nüchternheit und Klarheit. - -Dass der über dreissigjährige Mann in den letzten Jahren seines Lehrers -dem Platonismus schon mit kritischem Geiste gegenüberstand, ist an sich -im höchsten Grade wahrscheinlich, auch wenn es nicht durch den Klatsch -der Schule bezeugt wäre. Insbesondere richtete sich seine Kritik wohl -damals schon gegen die Ideenlehre. Aristoteles hat hier wohl von -Anfang an dem Schwunge des Dichters nicht folgen können, vermöge einer -Schwäche seiner Begabung gerade auf dem Gebiete der Phantasie. Und -dann muss gesagt werden, dass Platon selbst seine eigene grossartige -Auffassung der Idee, des reinen ewigen Urbilds, die über den Dingen -stehend, die Kraft ist, welche die Dinge schafft, mit zunehmendem -Alter mehr und mehr verdunkelt und abgeschwächt hat, man vergleiche -die »νόμοι«, die Gesetze, auch den Zusatz, die επινομις. So erklärt es -sich, dass in der Darstellung des Aristoteles die Ideenlehre in die -Zahlenmystik der Pythagoräer überging. - -Doch war und blieb er Platoniker, wie schon daraus hervorgeht, dass er -unmittelbar nach dem Tode des Meisters Athen für lange Zeit verliess, -und zwar in Gemeinschaft mit dem leidenschaftlichsten Verehrer Platons, -dem ¨Xenokrates¨, der nach dem Tode von Platons Neffen Speusippos -der Leiter der Akademie war. Aristoteles brachte die nächsten drei -Jahre bei seinem Bundesbruder Hermias, dem Fürsten von Atarneos und -Assos zu, und heiratete nach dessen Tode die Schwester oder Nichte -desselben. Im Jahre 343 (oder 342) übernahm er die Ausbildung des -damals dreizehnjährigen ¨Alexander¨, und diese Verbindung, obwohl sie -nur 3 Jahre dauerte, da Alexander schon mit 16 Jahren die Vertretung -seines Vaters Philipp in Macedonien übernahm, wurde für beide grosse -Männer von höchster Bedeutung. -- Aristoteles ging zunächst in seine -Heimatstadt Stageira, er blieb aber bis kurz vor Alexanders Tode, bis -er durch die Torheit seines Neffen Kallisthenes jenem entfremdet wurde, -in innigster Verbindung mit dem Könige. Mit königlicher Freigebigkeit -gewährte Alexander die Mittel, welche er zu seinen Arbeiten brauchte, -alle fremden Tiere und Pflanzen wurden ihm zugesandt, und die Summen, -derer er zu seiner grossen Bibliothek bedurfte, verdankte er wohl auch -zum grossen Teil dem Könige. Aristoteles ist der erste Gelehrte, von -dem wir wissen, dass er sich eine grosse Büchersammlung angelegt hat, -und das war damals ein noch weit kostspieligeres Vergnügen als heute, -um so mehr als er auch dafür sorgte, dass die wichtigsten Werke durch -Abschriften weiteren Kreisen zugänglich gemacht wurden. Die Sammlung -hat er seinem bedeutendsten Schüler, dem ¨Theophrast¨ hinterlassen. - -Dreizehn Jahre nach dem Tode Platons kehrte er nach Athen zurück, nahm -den Unterricht in der Rhetorik, den er schon bei Lebzeiten Platons sehr -erfolgreich geführt hatte, wieder auf, und eröffnete jetzt ebenfalls -bei einem Gymnasium, dem Lyceum, eine eigene Philosophenschule und -begründete den dazu gehörigen Freundschaftsbund. In den Parkanlagen des -Lyceums auf- und abgehend, disputierte er mit seinen Schülern und von -dieser Gewohnheit erhielten die Jünger den Namen der »Peripatetiker.« -Übermenschliches hat er in den 12 Jahren seiner Lehrtätigkeit -geleistet. Abgesehen von einzelnen Dialogen, welche schon zu -Platons Zeiten veröffentlicht waren, sind fast alle seine grossen -Lehrschriften, die ja im wesentlichen Vorlesungshefte für seinen und -seine Schüler Gebrauch waren, hier entweder entstanden oder doch wenn -nicht konzipiert, so doch redigiert. Aristoteles starb 332 zu Chalcis -auf Euboea, wo er ein Landgut besass, an einem Magenleiden. - -[Sidenote: Aristoteles, Werke.] - -Ich erwähne zuerst seine grossartigen naturwissenschaftlichen Werke, -als Systematiker beginnt er mit der unorganischen Natur. Zunächst die -¨Physik¨, φυσικη ακροασις, 8 Bücher, zu denen uns der sehr wichtige -Kommentar des Simplicius erhalten ist. Dies Werk hat bis an das 18. -Jahrh. heran den Stoff für die Vorlesungen über Physik gegeben. Dann -die Astronomie, περι ουρανου de coelo, 4 Bücher (dazu Kommentar des -Simplicius). Er kritisiert die Pythagoräer, den Hiketas, den Aristarch -von Samos, welche die zentrale Stellung der Erde im Weltsystem -aufgegeben; und seine Autorität hat bis auf Kopernikus den Weg zum -Fortschritt versperrt. In de coelo β 13, 293 lesen wir: δειν τη γη του -μεσου χωραν αποδιδοναι. Man muss der Erde die Stelle des Mittelpunktes -wiedergeben: denn χώρα Raum steht bei Aristoteles häufig für τόπος -Ort. Weiter nenne ich die Schrift über Entstehen und Vergehen, περὶ -γενέσεως καὶ φθορᾶς 2 Bücher, die Meteorologie 4 Bücher, woran sich -auch ein Werk über Mathematik im engeren Sinne angeschlossen haben -soll, was aber nicht gerade wahrscheinlich ist. Es schliessen sich dann -die Werke über die lebenden Wesen an, beschreibende und untersuchende. -Zunächst die grossartige ¨Zoologie¨, περὶ τα ζῷα ἱστορια. 9 Bücher, -dann 7 Bücher ¨Anatomie¨, dann die (physiologische) ¨Psychologie¨, -περὶ ψυχής, Wahrnehmen und Wahrgenommenes, Gedächtnis und Erinnerung, -Traum und Wachen. -- Ferner über Kurz- und Langlebigkeit, Leben -und Tod, und damit verbunden, über das Atmen. Über die Teile der -Tiere, die Erzeugung und den Gang der Tiere (wahrscheinlich unecht). --- Die 2 Bücher über die Pflanzen sind verloren, weil sie von der -reichhaltigeren Schrift des ¨Theophrast¨ aufgesaugt und verdrängt -sind, eine im Altertum häufige Erscheinung. -- An die Zoologie, welche -mit dem Menschen endet, reihen sich dann folgerichtig die grossen -Werke über das sittliche Handeln des einzelnen Menschen, und über -sein Leben im Staate an, Ethik und Politik. Von den drei Ethiken ist -die grosse sog. ¨Nikomachische Ethik¨ unbezweifelt das echte Werk -des Aristoteles, während die andere die Eudemische ein Kollegienheft -des Eudemos ist, und die dritte, die sog. grosse Moral ein Auszug -aus dem Eudemos ist. Die Ethik handelt von dem höchsten Gut, von der -Tugend, von der Freundschaft etc. Das höchste Gut sieht sie in der -reinen Denktätigkeit; die wissenschaftliche Arbeit um ihrer selbst -willen, diese ist göttlich. Ihr zunächst steht im Werte die Tugend, die -ethische Tugend ist auf den ¨Willen¨ gerichtet, der lernen muss, um es -kurz auszudrücken, die richtige Mitte zwischen zwei Lastern zu halten. -Tief empfunden und wahrhaft beredt ist, was Aristoteles über die -¨Freundschaft¨ sagt, ohne die ihm zufolge keine Gemeinschaft bestehen -kann. - -Von den ¨staatswissenschaftlichen¨ Werken ist uns die Politik -erhalten, 8 Bücher, unvollendet, aber wie ¨Zeller¨ sagt, eins von -den reifsten und bewundernswertesten Erzeugnissen seines Geistes. -Verloren sind bis auf wenige Bruchstücke, die sog. πολιτείαι, eine -wahrscheinlich lexikalisch geordnete Sammlung der Verfassung von 158 -Staaten oder Städten, anfangend mit Athen. Vor wenigen Jahren ist -gerade die Verfassung Athens in der Leichenbinde einer ägyptischen -Mumie gefunden und von ¨Keibel¨ und ¨Kiessling¨ meisterhaft -übersetzt worden. Sie zeigt uns was wir verloren haben und ist -unschätzbar für die Beurteilung des Aristoteles. Während dieser in -den exakt-wissenschaftlichen und philosophischen Schriften in Sprache -und Form meist trocken, nüchtern und knapp ist, -- er hat ja die -philosophische Fachsprache, ich möchte sagen, den Jargon geschaffen, -der die meisten philosophischen Werke so ungeniessbar macht, -- -begreifen wir hier wie ¨Cicero¨ sagen konnte, Aristoteles habe die -alten Rhetoren »suavitate et brevitate dicendi,« durch Anmut und -treffende Kürze der Sprache, weit hinter sich gelassen. - -Zugleich aber bekommen wir auch zum ersten Male ein genaues Bild vom -alten Athen und sind imstande die Anziehungskraft zu begreifen, welche -Athen auf die Hellenen ausübte. Wir sehen hier eine Verfassung von -solchem echten Liberalismus und von solcher Humanität, wie sie noch nie -zum zweiten Male existiert hat. Selbst die Staatssklaven der Athener -erfreuten sich einer Freiheit, die in vieler Hinsicht grösser war als -die der heutigen Staatssklaven, der Beamten. Interessant ist auch die -Rolle, welche die Erbtochter schon damals spielte. - -Die Anschauung des Aristoteles über ¨Kunst¨ kann ich hier nur flüchtig -streifen, erhalten ist nur die ¨Poëtik¨, und auch sie nur als -Fragment, aber Sie wissen, welchen langdauernden Einfluss die sog. -drei Einheiten, welche Aristoteles für das Drama forderte, die Einheit -des Orts, der Zeit und der Handlung, gerade weil die Forderungen -missverstanden wurden, insbesondere auf das klassische Drama der -Franzosen gehabt haben. - -Nun zu den eigentlichen philosophischen Schriften des Aristoteles. -Zuerst bereitet er sich den Boden für das Verständnis seiner Gedanken -dadurch, dass er die Gesetze, denen unser Denken unterworfen ist, -die Lehre vom Schluss und vom Beweise, die formale Logik, als der -Erste genau formulierte. Die Logik des Aristoteles zerfällt in 2 -grosse Abteilungen, die ¨Topik¨ und die Analytik, zusammengefasst -als ¨Organon¨ id est Werkzeug. Ich nenne hier ¨F. Kampe¨, die -Erkenntnistheorie des Aristoteles Leipz. 1870, ¨R. Eucken¨, die -Methode der arist. Forschung Berl. 1872. Von neuen Ausgaben seien die -der Berliner Akademie von 1831-70 in 5 Bänden und die auf 35 Bände -berechnete der griech. Kommentare hervorgehoben, darunter die ¨Physik -des Simplicius¨ von ¨H. Diels¨ 1882 und eben desselben Astronomie von -¨J. L. Heiberg¨ 1894. - -Die Grundlagen jeder wissenschaftlichen Arbeit sind im Organon für ewig -gelegt. Die Logik wird als wissenschaftliche Technik aufgefasst, er -will keine vollständige Erkenntnistheorie geben, etwa wie ¨H. Cohen¨'s -Logik der reinen Erkenntnis, sondern zunächst eine Untersuchung über -die Formen und Gesetze der wissenschaftlichen Beweisführung. Die Topik -beschäftigt sich mit der Dialektik, der Lehre vom Beweisbaren und -dem Wahrscheinlichen; von den Analytiken beschäftigt sich die erste -mit dem Schlusse, die andere mit der Beweisführung gestützt auf den -Syllogismus. Die Syllogistik hat es mit der Erkenntnis derjenigen -Denkformen zu tun, denen zufolge mit Hilfe eines Zwischenbegriffs, -der im einen Urteil Prädikat, im anderen Subjekt ist, entschieden -werden soll, ob ein Begriff unter einem andern subsumiert werden soll, -ganz oder teilweise, oder nicht. Aristoteles hat die Urteile nach -Quantität und Qualität eingeteilt, und zwar nach Quantität: generelle, -partikuläre, singuläre, (allgemeine, besondere, einzelne) und nach -Qualität: affirmative und negative (bejahende und verneinende). - -Ein Punkt der für Mathematiker besonders wichtig ist muss betont -werden. Nicht ¨Schopenhauer¨ hat zuerst die Forderung erhoben: der -wahre Beweis muss nicht nur dass etwas ist, sondern warum es ist, -aufdecken, sondern ¨Aristoteles¨ hat περι ψυχής II, 2 mit grösster -Schärfe das nämliche gefordert. - -[Sidenote: Aristoteles Philosophie.] - -An die Logik, die Wissenschaftslehre, schliesst sich die ¨Metaphysik¨ -an. Aristoteles setzt die Platonische Philosophie voraus, und indem -er sie umbildet, verbildet und fortbildet, ist er der Vollender der -Begriffsphilosophie. Die Metaphysik beginnt mit der berühmten Tafel -der ¨Kategorien¨, der irreduzibeln Stammbegriffe der Vernunft, die -Grundformen aller Aussagen. Sie sind bei ihm nicht völlig das was ich -¨Konstituenten¨ des Intellekts nenne, Methoden grosse Gruppen von -Erkenntnissen zusammenzufassen und zu ordnen. - -[Sidenote: Aristoteles über Grösse.] - -Er unterscheidet: 1) Substanz (ουσία, Wesenheit) 2) Grösse, Quantität, -ποσόν., 3) Beschaffenheit, Qualität, ποιόν, 4) Beziehung, Relation, -πρός τι., 5) Worin, Raum, χώρα., 6) Wann, Zeit, πότε., 7) Lage, θέσις, -8) Haben, ἕξις, 9) Wirken, ποιεῖν, 10) Leiden, πάσχειν. Lage und -Haben scheinen nur aufgestellt, um die Zehnzahl der Pythagoräer voll -zu machen, er lässt sie im Laufe der Untersuchung fallen. Doch wird -die θέσις die Lage von ihm als Grundeigenschaft des Raumes erkannt. -Uns interessiert am meisten was er über Grösse sagt. Alles was sich in -substantielle Teile teilen lässt, ist eine Grösse (dieselbe Definition -gab ¨Weierstrass¨ im Colleg.). Sind die Teile zusammenhängend, so ist -die Grösse ¨stetig¨ (συνεχές), die Lehre von der kontinuierlichen -Grösse geht wie beinahe jede scharfe begriffliche Untersuchung auf -Aristoteles zurück, der auch die recht eigentlichen mathematischen -Probleme, die Zusammensetzung und Trennung des Kontinuums erfasst -hat. Ausführlicher spricht er sich über Kontinuität in der Physik c. -3, 227 und 10 aus: Es sei etwas stetig, wenn die Grenze eines jeden -zweier aufeinander folgenden Teile, in der dieselben sich berühren, -¨ein und dieselbe ist¨, und sie, wie es auch das Wort bedeutet, (συν -zusammen, έχω halten) zusammengehalten werden. Sind die Teile in einer -bestimmten ¨Lage¨, so sind die Grössen extensive oder Raumgrössen, -das ¨Ungeteilte¨ oder die ¨Einheit¨, mit der sie gemessen wird, und -die ¨Messbarkeit¨, dass sie ein Mass hat, ist das unterscheidende -Merkmal der Grössen. Auch die für die Ausbildung des Integralbegriffs -grundlegenden Probleme der Zusammensetzung und Trennung des Kontinuums -sind von ihm gestellt. Und wenn auch περι ατομων γραμμων vielleicht -wie Tannery meint, nur ein Schülerheft, so ist doch περι φύσεως -unbestritten. Das Argument mit dem Aristoteles bewies, dass Raum und -Zeit nicht aus Punkten bestehen (es hätten sonst z. B. Seite und -Diagonale des Quadrats gleichviel Punkte und wären gleich) haben die -Arabischen Aristoteliker, (wie Averroës), gegen die Mutakallimun -(Logiker) gebraucht. - -Für die Qualitäten werden zwei Hauptarten unterschieden, diejenigen, -welche sich auf einen substantiellen Unterschied und diejenigen, welche -sich auf Bewegung und Tätigkeit beziehen. Als ein charakteristisches -Merkmal der Qualität wird der Gegensatz des Ähnlichen und Unähnlichen -betrachtet; zu bemerken ist hier, dass Kategorien der Anschauung von -Aristoteles nicht aufgestellt werden, wie z. B. Abstand, Richtung. - -Der wichtigste Stammbegriff ist der der Substanz, der der Träger der -Übrigen ist, und so ist es die Untersuchung über das Seiende als -Seiendes von der die Philosophie, welche den Zweck hat die Erfahrung -zur Einheit zusammenzufassen, ausgehen muss. Ich führe hier als den -wichtigsten Satz an das berühmte: το δ' ειναι ουσια ουδενι., der -widerspruchsfreie Begriff begründet keine Existenz des Definierten, mit -dem z. B. der ontologische Beweis des Daseins Gottes und die Grundlage -¨Spinozas¨ zusammenbricht. Die erste und höchste Philosophie hat die -Aufgabe die letzten (A. sagt richtiger die ersten) und allgemeinsten -Gründe der Dinge zu erforschen, sie gewährt das umfassendste Wissen, -dasjenige, welches am schwersten zu erlangen ist, da die allgemeinsten -Prinzipien von der sinnlichen Erfahrung am weitesten abliegen, das -sicherste, weil sie es mit den irreduziblen Begriffen und Axiomen zu -tun hat, das was am meisten Selbstzweck ist, weil es die Zwecke, denen -alles dient, feststellt. Sie muss alles Wirkliche schlechthin umfassen, -denn die letzten (πρώτας) Gründe sind nur die, welche alles Seiende als -Solches erklären. Andere Wissenschaften, wie Medizin und Mathematik, -beschränken sich auf ihr Gebiet, das sie nicht weiter definieren, die -Wissenschaft von den letzten Gründen muss die Gesamtheit der Dinge -auf ihre ewigen Ursachen und in letzter Instanz auf das Unbewegte und -Unkörperliche, d. h. auf ¨Gott¨ zurückführen, von dem alle Bewegung -und Gestaltung des Körperlichen ausgeht. Er nennt diese Wissenschaft, -die Metaphysik, erste Philosophie auch Theologie. Angesichts des -Schwungs der Sprache und der Wucht der Gründe mit denen Aristoteles -den Gottesbegriff stützt, wird es begreiflich, wie die Scholastik, wie -ein Thomas von Aquino im Gegensatz zu Platon, mehr und mehr sich auf -Aristoteles stützen musste, der fast zu einem Heiligen der katholischen -Kirche geworden ist. Verbot doch im Jahr 1624 das französische -Parlament jeden Angriff gegen seine Autorität bei Todesstrafe. - -[Sidenote: Aristoteles und die Ideenlehre.] - -Indem er nun näher auf dasjenige eingeht, was allen Seienden als -solchem zukommt, untersucht er den Satz vom Widerspruch, der ja in der -Mathematik eine so entscheidende Stelle im indirekten Beweis einnimmt, -denken Sie nur an die grosse Menge stereometrischer Sätze, welche sich -auf den Widerspruch gegen das Parallelenaxiom zurückführen lassen. Er -knüpft an seine Untersuchung den Satz vom »ausgeschlossenen Dritten« -(aut est, aut non est, tertium non datur). Ich muss für Aristoteles' -Metaphysik auf Bonitz, Windelband, Zeller etc. verweisen, nur seine -Gestaltung der Ideenlehre muss ich besprechen, denn in ihr besteht -ja seine Emanzipation von ¨Platon¨. Aristoteles hat die Idee Platons -missverstanden, vielleicht weil Platon sich nicht mit Konsequenz dahin -ausgesprochen, dass seine Idee auf der Ausschaltung des Zufälligen -beruht. Letzteres ist für uns unbefriedigend und indem wir es auffassen -als etwas, was sein oder nicht sein kann, verstösst es gegen den Satz -vom Widerspruch. Die Platonische Idee, als zeitlose Norm aus wenigen -Erfahrungen vermöge eines Grundtriebs unseres Intellekts geschaffen, -steht ¨über¨ den Dingen, Aristoteles und vermöge seiner Autorität fast -alle Nachfolger fassen sie als ¨neben¨ den Dingen, ἑν παρα τα πολλα., -als ausserhalb der wirklichen Welt und in keinem Zusammenhange mit -ihr stehend, wie die ¨praestabilierte Harmonie des Leibniz¨, wo ihre -Wirkung dann allerdings unerklärlich ist. Aristoteles fasst die Idee -als ἑν κατα πολλα, als in jedem Dinge, jedes Ding existiert eigentlich -nur insoweit, als es seine Idee ausdrückt. Man sieht, dass er Platon -missversteht, um im Grunde auf ihn zurückzugreifen. Aristoteles -unterscheidet die ὑλη, den Stoff, die Materie, die gestaltlos, nur die -Möglichkeit, die δύναμις, zum Wirklichen, zur ενεργεια hat, das ihnen -allein durch die Idee εἶδος, die Form zugeführt wird. Die Idee ist -zugleich die ¨Zweckursache¨, der gemäss die Wesen sich entwickeln, sie -ist die Seele jedes einzelnen Dinges. - -[Sidenote: Aristoteles, Stoff und Form.] - -Man darf den aristotelischen Begriff der Form nicht mit unserm Wort -verwechseln, ein toter Mensch ist der Idee nach kein Mensch, noch ein -gefällter Baum ein Baum. Stoff und Form wechseln, Bauholz ist in Bezug -auf den lebenden Baum Stoff, in Bezug auf den unbehauenen Stamm Form, -Erz für den Bildhauer Stoff, für den Erzgiesser Form etc. So stellt -sich die Gesamtheit alles Seienden als eine Stufenleiter dar, deren -unterste Stufe, die erste Materie oder πρωτη ὑλη, unterschiedslos, -unbestimmt und formlos, deren oberste eine letzte Idee, der mit gar -keinen Stoff behaftete absolute göttliche Geist. Der Gottesbegriff des -Aristoteles hat etwas Überwältigendes. Er hat den ontologischen, den -kosmologischen, den teleologischen, den moralischen Beweis für das -Dasein Gottes geschaffen, er beherrscht die katholische Theologie nicht -nur durch das ganze Mittelalter, sondern noch heute und Metaphysik -XII finden Sie in einen bei Aristoteles ganz ungewöhnlichen fast -dichterischem Schwung die Schilderung des Wesens der Gottheit. - -In dem Verhältnis des Stoffs zur Form hat nun Aristoteles die beiden -für sein System und für die ¨Mathematik¨ gleich wichtigen Begriffe -des Potentiellen und Aktuellen, der δυναμις und ενεργεια (auch -εντελεχεια Vollendung), Möglichkeit und Wirksamkeit geschaffen, denken -Sie nur an die potentielle und aktuelle (kinetische) Energie der -heutigen Mechanik. In der Auffassung der Bewegung als Übergang des -Potentiell-Seienden zum Aktuell-Seienden hat er die Schwierigkeit die -der Begriff des Werdens seinen Vorgängern machte überwunden; es ist -ein und dasselbe Sein, um das es sich handelt, nur auf verschiedener -Entwicklungsstufe. Potentiell, κατα δυναμιν ist das Samenkorn ein Baum, -der ausgewachsene Baum ist es aktuell, κατ' ενεργειαν. Potentieller -Philosoph ist Aristoteles, wenn er schläft, der bessere Feldherr Sieger -vor der Schlacht, potentiell ist der Raum ins Unendliche teilbar, die -Zahl ins Unendliche zählbar, potentiell ist Alles, was sich gemäss der -in ihm liegenden Idee entwickeln kann, wenn möglich zur Vollendung, zur -Entelechie, zur vollendeten Darstellung seiner Idee. - -[Sidenote: Aristoteles, das Unendliche.] - -Diese beiden fundamentalen Unterschiede des Seins, das Potentielle -und das Aktuelle, hat Aristoteles auch im Begriff des Unendlichen -hervorgehoben; von ihm rührt die bis auf den heutigen Tag, ich nenne -¨Georg Cantor¨, herrschende Unterscheidung des infinitum potentia -et actu, des Unendlichen im Werden und des Unendlichen im Sein. Es -ist unmöglich die Scholastiker oder Cusanus zu verstehen, ohne diese -Unterscheidung zu kennen. Aristoteles hat zuerst und bis auf ¨Galilei¨ -als der Einzige wissenschaftlich den Begriff Unendlich untersucht. Wohl -hat Zeno den Integralbegriff gestreift, Demokrit diesen ganz bewusst -benutzt, aber hier handelt es sich um eine logische Untersuchung, -denn Unendlichkeitsbetrachtungen sind an sich so alt wie der Mensch. -Schon in den Veden kommt die Göttin des Unendlichen, ¨Aditi¨, vor -und Max Müller sagt in seiner ersten Strassburger Vorlesung »alle -Religion entspringt aus dem Druck, den das Unendliche auf das Endliche -ausübt«. Ich habe l. c. auf den Ursprung des Unendlichkeitsbegriffs -aus dem Werkzeug unseres Intellekts: Zeit hingewiesen, bezw, darauf, -dass wir uns ein Ende unserer Erlebnisse nicht denken können. Wenn -¨Frege¨ in seinen Grundlagen der Arithmetik von 1884 den Versuch macht -die Existenz von (n + 1) mittelst des Schlusses von n auf n + 1 zu -beweisen, so halte ich dagegen die Unendlichkeit der Anzahlenreihe für -das Prius, das unmittelbar durch den Zusammenhang der Ordinalzahl mit -der Zeit gegeben ist. Mit jedem neuen Erlebnis ist eben auch eine neue -Einheitssetzung und damit eine neue Ordinal- und Kardinalzahl gegeben. -Aristoteles kommt wie ¨Gauss¨ zu dem Schluss, dass das Unendliche im -Sein, das infinitum actu oder κατ' ενέργειαν, das ἄπειρον, das wovon -es kein Jenseits gibt, in der Natur nicht existiert, ἡ φυσις φευγει -το απερον, also als sinnlich wahrnehmbar existiert keine unendliche -Grösse. Nur in Gott als der unendlichen Kraft, welche die unendliche -Bewegung der Welt hervorbringt, existiert das infinitum actu. Wohl -aber gibt er zu, dass es ein infinitum potentia (κατά δύναμιν) gibt. -Die Raumgrösse ist unbegrenzt teilbar, aber ein unendlich kleines gibt -es nicht, sondern das ἄπειρον ist nur im Entstehen und Vergehen. Und -die Zeit und mit ihr die Zahl ist unendlich gross im Werden, aber auch -hier ist die Zunahme endlich, die grosse Zahl entsteht und vergeht, und -macht der grösseren Zahl Platz, eine unendlich grosse Zahl existiert -nicht. Aber dieser grosse Denker streift doch schon die Lösung, er -sagt in der Physik Cap. 5, 204: »Vielleicht ist die Untersuchung ob -das Unendliche auch in der Mathematik und in dem Denkbaren und in -demjenigen was keine Grösse hat, existiere, eine weit allgemeinere.« -Die Lösung liegt eben darin, dass das mathematisch Unendliche -überhaupt keine Grösse besitzt. Es genüge hier auf ¨B. Bolzano¨'s -klassische »Paradoxien des Unendlichen« zu verweisen. Bolzano, auf -den ¨Weierstrass¨ und ¨G. Cantor¨ ganz unmittelbar fussen, hat den -Hauptanstoss hinweggeräumt, allerdings wörtlich nach ¨Galilei¨, als -er hervorhob, dass der Begriff des Ganzen keineswegs durch alle seine -Teile hindurchzugehen braucht. Ich verweise hier auf einen Vortrag im -internationalen Kongress zu Rom. - -[Sidenote: Raum und Zeit.] - -Mit dem was Aristoteles über das ἄπειρον sagt, hängen seine -Betrachtungen über Raum und Zeit und Bewegung eng zusammen. Der Raum -kann wohl unbegrenzt verkleinert, aber nicht unbegrenzt vergrössert -werden, auch gegen den Demokritischen Begriff des leeren Raumes (und -des Atoms) polemisiert er, dagegen nähert er sich der Auffassung -¨Kants¨ und noch mehr der von ¨H. Cohen¨ beträchtlich und führt die -Zeit auf die Bewegung des Jetzt (το νύν) zurück und bemerkt, dass -sie ohne das erkennende Subjekt nicht existiere. Sehr wichtig ist -das, was er vom Zeit- und Raumpunkt sagt: das zeitlich und räumlich -nicht mehr Teilbare ist niemals an und für sich (actu) gegeben, -sondern nur potentiell in der ¨stetigen¨ Grösse enthalten, und wird -nur durch ¨Verneinung¨ d. h. durch negative Prädikate (limitierende -Urteil Cohens) erkannt. Und einigermassen erstaunt war ich, als ich -die Auffassung der Ruhe als Grenze der sich stetig verlangsamenden -Bewegung, welche ich mir vor 30 Jahren ohne noch ¨Leibniz¨ zu kennen -gebildet hatte, dem Wesen nach bei ¨Aristoteles¨ fand, der sagt, dass -es in einem Zeitpunkt weder Ruhe noch Bewegung gibt, sondern nur einen -Übergang und der Körper, wenn er von der Bewegung zur Ruhe übergeht, -noch in Bewegung ist. - -¨Aristoteles¨ der heute nach mehr als 2000 Jahren noch lebendig -fortwirkt, der auf Christentum, Judentum, ja selbst auf den Islam -auf das tiefste eingewirkt hat, -- ist doch Moses ben Maimon, -der auf Thomas von Aquino so bedeutenden Einfluss übte, durch -seine Schule gegangen -- der abstrakteste Denker und zugleich der -exakteste Beobachter, der grösste Empiriker und zugleich einer der -grössten Idealisten, hat eigentlich erst die einzelnen Disziplinen -geschaffen. Bis zu ihm gibt es eine Gesamtwissenschaft τα μαθήματα, -von ihm ab und durch ihn existieren die einzelnen Disziplinen. Sein -Schüler Medon schrieb nach seinem Plan die Medizin »Ιατρικα.«, seine -Physik, Astronomie, Zoologie, Psychologie bilden den Inhalt der -Universitätsvorlesungen bis in die Neuzeit, Botanik, Meteorologie, -ja selbst Chemie wie Rhetorik, Poetik etc. werden selbständig, wie -Mathematik und die Philosophie selbst, der er die besondere Aufgabe -zuwies, die Erfahrung zur Einheit zusammenzufassen. Und nicht minder -die Geschichte, das erste Buch seiner Metaphysik ist die erste und -zugleich mit die beste Geschichte der Philosophie und überall hat -er Geschichte und ¨Kritik¨ hineingewoben. Von ihm an beginnt eine -500 Jahre andauernde Periode der Einzelforschung, die erst bei den -Neuplatonikern zur Zusammenfassung führt. - -[Sidenote: Aristoteles: Theophrast, Eudemos.] - -Die beiden bedeutendsten Peripatetiker, ¨Theophrast¨, der Freund und -Schüler des Aristoteles, der die Botanik seiner Zeit kodifiziert hat, -und ¨Eudemos¨ der Rhodier haben beide eine Geschichte der Mathematik -geschrieben. Die des Theophrast ist spurlos verschwunden, von der -des Eudemos sind spärliche Fragmente durch Proklos, Eutokios und -Simplicius erhalten, sowie eine Notiz aus dem Buch über den Winkel, -περί γωνίας, bei Proklos. Das wichtigste ist das oft erwähnte -Mathematikerverzeichnis bei Proklos. Friedl. Prolog II p. 65 ff., das -aber ¨Tannery¨ zufolge nicht direkt aus Eudemos stammt, sondern aus -einer Verarbeitung des Eudemos durch ¨Geminos¨ im 1. Jahrh. n. Chr. Es -endigt unmittelbar vor ¨Euklid¨. - -[Sidenote: Euklid, vita.] - -Von dem Verfasser der »Elemente«, des Werkes, das unter allen -mathematischen Werken für die Bildung der Menschheit weitaus das -wichtigste gewesen ist, kennt man weder Ort noch Zeit der Geburt -und des Todes, γενέσεως και φθοράς. Seinen Zeitgenossen und der -nächstfolgenden Generation war Euklid einfach der »στοιχειοτης«, -der Verfasser der Elemente und bald ging die Kenntnis seiner Person -verloren. Viele Jahrhunderte ist er mit dem Philosophen Euklid von -Megara verwechselt worden, der nach dem Tode des Sokrates die Schule -zusammenhielt, und dieser Irrtum findet sich schon bei Valerius -Maximus um 30 v. Chr. und ist dort aus einer falschen Auffassung einer -Stelle bei Geminos (Prokl. p. 60) entstanden. -- Das Wenige, was wir -von ihm wissen, verdanken wir zumeist ¨Proklos¨, einem Neuplatoniker -und Nachfolger (Diadochos) des Plato in der Leitung der Akademie, -d. h. also Rektor der Universität Athen, der um 450 n. Chr. einen -Kommentar zum Euklid verfasst hat, von dem uns die beiden Prologe und -der Kommentar des ersten Buchs der Elemente erhalten sind. Die Stelle -(Friedl. S. 68) lautet: »Nicht viel jünger als diese (Hermotimos, der -Kolophoner und Philippos, der Schüler Platons) ist Eukleídēs, der die -Elemente [τα στοιχεία] verfasste, wobei er vieles was vom ¨Eudoxos¨ -herrührte, in zusammenhängende Ordnung brachte, vieles was Theaitet -begonnen, vollendete und ausserdem so manches was früher ohne rechte -Strenge bewiesen war, auf unantastbare Beweise zurückführte. Und -dieser Mann lebte unter Ptolemaios dem ersten, denn ¨Archimedes¨, -dessen Lebenszeit sich an die des ersten Ptolemaios anschliesst, -erwähnt des Euklid [in περί σφαίρας και κυλίνδρου, Heib. I, 2, p. 14] -und zwar erzählt er: Ptolemaios frug einmal den Euklid, ob es nicht -zur Geometrie einen bequemeren Weg gebe als die Elemente. Jener aber -antwortete: Zur Geometrie gibt es für Könige keinen Privatweg [ουκ εστι -βασιλικη ατροπος επι γεωμετριαν]. Er ist also jünger als die [direkten] -Schüler des Platon und älter als Eratosthenes und Archimedes, denn -diese waren Zeitgenossen, wie Eratosthenes irgendwo sagt. Aus Grundsatz -war er Platoniker und in der Platonischen Philosophie zu Hause.« - -Danach ergibt sich für Euklid etwa 300 v. Chr. als Zeit seines -Mannesalters (der ακμή, der Zeit blühendster Körper- und Geisteskraft, -welche die Hellenen in das vierzigste Jahr verlegten), und dass er -in Athen an der Akademie gehört hatte und dem engeren Kreise der -Akademiker angehörte. - -Zur Charakterisierung des Euklid haben wir noch eine Stelle bei -Stobaios. »Ein Mensch, der bei Euklid Unterricht in der Geometrie zu -nehmen begonnen hatte, frug, nachdem er den ersten Satz der Elemente -kennen gelernt hatte, was habe ich nun davon, dass ich das weiss? -Euklid rief seinen Sklaven und sagte: Gib dem Manne drei Obolen, da er -studiert um Profit zu machen.« Und schliesslich schildert ihn ¨Pappos¨ -in der Vorrede zum 7. Buch der Kollektaneen wie folgt: Erat ingenio -mitissimus et erga omnes, ut par erat, benignus qui vel tantillum -mathematicas disciplinas promovere poterant, aliisque nullo modo -infensus, sed summe accuratus. »Er war von mildester Gesinnung und wie -es sich geziemt wohlwollend gegen jeden, der und wär's noch so wenig, -die mathematischen Disziplinen zu fördern vermochte, in keiner Weise -anderen gehässig, sondern im höchsten Grade rücksichtsvoll.« Sie sehen, -dass Euklid in der Tradition seines Volkes als hochgesinnter, reiner -wissenschaftlicher Tätigkeit hingegebener Mann fortlebte. - -Gelehrt hat er für reife Leute, ganz in der Weise unserer -Universitätsprofessoren, an der Universität (Museum) ¨Alexandria¨, -wie uns l. c. Pappos berichtet. Unter der den Wissenschaften überaus -ergebenen Diadochen-Dynastie der Ptolemäer entwickelte sich des grossen -Alexander Stadt zur Zentrale des Hellenischen Geisteslebens. Man nennt -diese Periode die ¨Hellenistische¨. Es ist lange Zeit Mode gewesen die -Alexandriner zu verspotten als Pedanten, wegen ihrer grammatischen, -auf die einzelnen Worte gerichteten Untersuchungen, haben sie doch -z. B. die Akzente eingeführt. Aber auf dem Gebiete der exakten -Wissenschaften ist die Hellenistische Periode erstklassig. Euklid grade -hat den Schwerpunkt von Athen nach Alexandrien verlegt, ¨Archimedes¨, -¨Apollonios¨, ¨Eratosthenes¨ sind aus der Alexandrinischen Schule -hervorgegangen. -- - -[Sidenote: Euklid, Schriften: die Data.] - -Die Euklidischen Schriften kennen wir durch die Angaben der Proklos -p. 68 f. und Pappos l. c. Von den Elementen abgesehen sind im -griechischen Urtext erhalten a) die Data, δεδομενα, »Gegebenes,« mit -einer Vorrede des ¨Marinos¨ von Neapolis in Palästina, einem Schüler -des Proklos. Die Echtheit des Textes wird durch die Inhaltsangabe -bei Pappos (300 n. Chr.) bestätigt, welche im Wesentlichen mit dem -Text der Codices übereinstimmt. Die Schrift enthält 95 Sätze (Pappos -90) welche aussagen, dass wenn gewisse geometrische Gebilde gegeben -sind, andere dadurch mit bestimmt sind, also eine Art ¨geometrischer -Funktionentheorie¨. Beispiele: Satz 2: Wenn eine gegebene Grösse zu -einer zweiten Grösse ein gegebenes Verhältnis hat, so ist die zweite -ebenfalls gegeben. Satz 33: In einem gegebenen Streifen ist durch die -¨Winkel¨, welche eine Querstrecke mit den Grenzen bildet, die ¨Länge¨ -der Querstrecke bestimmt. Dem Inhalt nach gehen die »Data« nicht über -die »Elemente« hinaus, doch war und ist eine solche Zusammenstellung -praktisch im hohen Grade wertvoll für die Anwendung der seit und durch -Platon sich immer mehr ausbreitenden analytischen Methode, deren Wesen -gerade darin besteht, die durch die gegebenen Stücke mit bestimmten -Punkte, Linien, Figuren aufzusuchen, bis man zu einer konstruierbaren -Nebenfigur gelangt. Die Data sind daher eine sich eng an die Elemente -anschliessende Anleitung zum Konstruieren nach der analytischen -Methode, etwa entsprechend ¨Petersen's¨ bekannten »Methoden und -Theorien«. - -[Sidenote: Astronomie.] - -Erhalten ist unter dem Titel »Phaenomena« eine Schrift über Astronomie -(lectio sphaerica) mit den Anfangsgründen der Sphärik. Die Schrift -geht bedeutend über die kurz vorhergehende des ¨Autolykos¨ hinaus. Ich -bemerke beiläufig, das die lectio sphaerica bis in die Neuzeit hinein -der Schrittmacher für die Geometrie gewesen, die sich im Lehrplan der -Gymnasien erst aus ihr entwickelt hat. Die Schrift beginnt mit dem -Satz: »Die Erde liegt in der Mitte der Welt und vertritt in bezug auf -dieselbe die Stelle des Mittelpunkts« (Aristoteles) und schliesst mit -dem Satz: »Von zwei gleichen Bogen des Halbkreises zwischen dem Äquator -und dem Sommerwendekreis durchwandelt der eine, beliebig genommen in -längerer Zeit die sichtbare Halbkugel als der andere die unsichtbare.« -Das Wort »¨Horizont¨« stammt aus der Schrift, welche von Pappos im -6. Buch seiner Kollektaneen erläutert und ergänzt wurde. (¨A. Nokk¨, -deutsche Übersetzung Prgr. Freiburg i. Brg. 1850). ¨Heiberg¨ hat -nach einer Bemerkung Nokks bewiesen, dass diese Schrift des Euklid -einen sehr wesentlichen Bestandteil der für unsere elementare Sphärik -grundlegenden Schrift des ¨Theodosios von Tripolis¨ (etwa 100 v. Chr.) -gebildet hat (siehe ¨M. Simon¨, ¨Euklid¨ und die sechs planim. Bücher, -Leipzig 1901). - -[Sidenote: Optik.] - -Echt Euklidisch sind auch die »Optica«, deren Text Heiberg restituiert -hat. Der sonst gebräuchliche Text geht vermutlich auf ein Kollegienheft -nach ¨Theon¨ von Alexandrien, dem Vater der ¨Hypatia¨, der ersten uns -bekannten ordentlichen Professorin. Sie ist mutmasslich der Autor -unserer Quadratwurzelausziehung und bekannt durch ihre Schönheit -und ihr unglückliches Schicksal. Von dem bestialischen christlichen -Mönchspöbel Alexandriens zerrissen, wurde sie nach ihrem Tode zu -Professorenromanen ausgeschlachtet. Die Schrift Euklids gehörte zu der -Sammlung, welche unter dem Titel »μικρος αστρονουμενος,« der kleine -Astronom, neben den »Elementen« das Rüstzeug des Astronomen bildete, -ehe er an das grosse Lehrbuch des Ptolemaios, die μεγαλη συνταξις -(der Almagest) gehen konnte. Die Schrift gibt die Anfangsgründe der -Perspektive. - -Dagegen ist die andere Schrift über Optik, welche unter Euklids Namen -ging, die ¨Katoptrik¨ unecht. ¨Heiberg¨ macht es sehr wahrscheinlich, -dass die von Proklos unter diesem Titel erwähnte Schrift des Euklid -rasch durch das inhaltreiche Werk des ¨Archimedes¨ über den gleichen -Gegenstand verdrängt wurde. - -[Sidenote: Euklid, Schriften: Musik.] - -Noch über einen anderen Zweig der angewandten Mathematik haben -wir eine Schrift des Euklid, die καταιομη κανονος, die Lehre von -den musikalischen Intervallen, 20 Sätze, wissenschaftlich auf dem -Standpunkt der Pythagoräer. Eine zweite musikalische Schrift, die -Harmonielehre, εισαγωγή ἁρμονική, rührt wie schon ¨Hugo Grotius¨ -1599 erkannte von dem Aristoxenianer Kleonides her. [¨Aristoxenos¨, -direkter Schüler des Aristoteles als Philosoph, setzte der auf die -arithmetischen Intervalle gegründete Harmonielehre der Pythagoräer die -Lehre von den harmonischen Sinneseindrücken entgegen]. - -[Sidenote: Über Teilung.] - -Aus ¨Arabischen Quellen¨ besitzen wir durch ¨Dee¨ 1563 eine Bearbeitung -und durch ¨Woepcke¨ 1851 eine Übersetzung der von ¨Proklos¨ zweimal -erwähnten Schrift περὶ διαιρέσεων, über Teilungen, welche wertvolle -Aufgaben über Flächenteilung enthielt. Dort findet sich die noch -heute im Schulunterricht stets vorkommende Aufgabe: ein Dreieck durch -Gerade von gegebener Richtung in Teile zu teilen, welche ein gegebenes -Verhältnis haben; ferner Teilung von Vierecken, von Kreisen, von -Figuren die von Kreisbogen und Geraden begrenzt sind. Euklid zeigt sich -hier als sehr gewandter Konstrukteur, er benutzt ausser den Sätzen der -Elemente nur solche, welche sich mühelos aus ihnen ergeben. - -[Sidenote: Euklid, Verlorene Schriften.] - -¨Verloren¨ sind die Schriften, welche sich auf die eigentliche höhere -Mathese seiner Zeit beziehen. Zunächst die zwei wichtigen Bücher τόποι -πρὸς ἐπιϕάνειαν, Oberflächen als geometrische Orte, welche Proklos und -Pappos erwähnen. Der Begriff des geometrischen Ortes wird schon von -Pappos gerade so wie heute definiert als die Gesamtheit aller Punkte, -denen ein und dieselbe bestimmte Eigenschaft (Symptoma) zukommt, und je -nachdem diese Gesamtheit eine Linie oder eine Fläche bildete, heissen -die Orte Linien- oder Flächenorte. Davon verschieden sind »körperliche -Orte« (στερεοι), dies sind Linien, welche durch den Schnitt von -Körpern entstehen, wie die ¨Kegelschnitte¨. Die Schrift des Euklid -hat nach Pappos vermutlich Ortseigenschaften der Kugel-, Kegel- und -Zylinderflächen behandelt und scheint in der bedeutenderen Arbeit des -¨Archimedes¨ über Konoide und Sphäroide aufgegangen zu sein. - -[Sidenote: Porismata.] - -[Sidenote: Elemente.] - -Mehr wissen wir von den 3 Büchern »Porismata«, da Pappos den Inhalt -so ausführlich angegeben hat, dass ¨Michael Chasles¨ danach eine -Rekonstruktion versucht hat, nach Vorarbeiten von ¨R. Simson¨, dessen -Euklidbearbeitung von 1756 noch heute für England massgebend ist. -Allerdings hat ¨P. Breton de Champ¨ zuerst erkannt, dass die 29 -Sätze in der Vorrede des VII. Buches bei ¨Pappos¨ ein Résumé der 171 -Sätze des Euklid enthalten. Das Wort Porisma selbst bildet noch eine -Streitfrage. Es hat 2 Bedeutungen, erstens Zusatz, so kommt es vielfach -in den Handschriften der Elemente vor, zweitens bedeutet es ein -Mittelding zwischen einem gewöhnlichen Lehrsatz und einem sogenannten -Ortssatz, d. h. einem Satz der ausspricht, dass eine bestimmte Kurve -eine bestimmte Eigenschaft hat. Als Beispiel diene der Satz: Der -Ort der Punkte, deren Abstände von zwei festen Punkten ein festes -Verhältnis haben ist der Kreis (des ¨Apollonios¨) dessen Durchmesser -die Strecke zwischen den beiden in diesem Verhältnis zu den gegebenen -Punkten harmonischen auf der gegebenen Graden ist. Ein Porisma wäre -demzufolge in der Geometrie etwa das, was man in der Arithmetik -einen Existenzbeweis nennt, es spräche aus, dass ein bestimmter Ort -existiert, ohne ihn direkt zu konstruieren. Die Porismata bildeten -vermutlich für die synthetische oder direkte Konstruktionsmethode -ein Seitenstück zu den »Data« als Hilfsmittel für die analytische -Methode. Nach dem Résumé bei Pappos gingen sie weit über die Elemente -hinaus und mit ¨Chasles¨ und ¨H. Zeuthen¨ müssen wir annehmen, dass -sie die Grundlagen für die ¨projektive¨ Behandlung der ¨Kegelschnitte¨ -enthalten. - -Auch über diese zu seiner Zeit höchste Mathematik hat Euklid -geschrieben, vier Bücher Konika. Ebenso wie Euklid die Arbeiten seiner -Vorgänger insbesondere des Theudios für seine Elemente benutzte und -verdrängte, wurden seine Konika nach dem Zeugnis des Pappos von dem -grossartigen Werk der 8 Bücher Konika des ¨Apollonios¨ verdrängt, in -dessen erste 4 Bücher sie vermutlich vollständig Aufnahme gefunden -haben. Sie werden daher auch schwerlich aus arabischen Quellen je -wieder zum Vorschein kommen, wenn sie nicht zufällig als Leichenbinde -einer Mumie gefunden werden. - -Verloren ist auch eine Schrift mathophilosophischen Charakters -ψευδαρια, »Trugschlüsse« genannt und zwar sind absichtliche -Falschschlüsse gemeint. Proklos nennt die Schrift »καθαρκεικον και -γυμναστικον«, reinigend und übend durch Anstrengung d. h. die Schrift -war zur Geistesgymnastik der Schüler bestimmt. - -Und nun zu dem Werke das den Namen des Euklid unsterblich gemacht hat, -zu den Elementen, die »στοιχεία«, wozu ich meine Schrift Euklid etc. -von 1901 heranzuziehen bitte. - - -Die Elemente des Euklid. - -[Sidenote: Die Elemente des Euklid.] - -Den 13 Büchern der Elemente des Euklid wurden schon früh zwei Bücher -angehängt. Das 14. Buch ist eine tüchtige Arbeit des in Alexandrien -etwa 150 v. Chr. lebenden Mathematikers und Astronomen ¨Hypsiklēs¨, -über die fünf regulären (platonischen) Körper; das 15. Buch ist -eine weit schwächere Arbeit und hat nach ¨Tannery¨ und ¨Heiberg¨, -beides grosse Kenner der hellenischen Mathematik, einen Schüler des -¨Isidoros¨, des Erbauers der Sophienkirche um 530 n. Chr. zum Verfasser. - -Den Zweck der Elemente gibt Proklos S. 72 an: Elemente nennt man -das, dessen Theorie hinreicht zum Verständnis von allem anderen, und -mittelst dessen man im Stande ist die Schwierigkeiten, welche das -andere bietet, aus dem Wege zu räumen. Stoicheion bedeutet eigentlich -Buchstabe und l. c. sagt Proklos gradezu: die Elemente enthalten -die Sätze, welche als Bestandteile aller folgenden auftreten, wie -die Buchstaben im Wort. Die Grundbedeutung von Stoichos ist eine -militärische es bedeutet das, was wir einen Zug nennen, also auch die -Grundlage der Formation. - -Der Zweck und die Notwendigkeit der Euklid'schen Elemente folgt aus der -Entwicklung der hellenischen Mathematik. Die Pythagoräer (s. d.) waren -bei den Problemen zweiten Grades auf die √2, die Savisescha gestossen -oder gestossen worden und damit auf die Irrationalzahl und die -Inkommensurabilität. Damit wurden alle früheren Beweise über Teilung, -Ähnlichkeit, Flächenmessung hinfällig. Das 4. Jahrhundert, ¨Platon¨, -Theaitet, Eudoxos und die Schüler des Platon und Eudoxos, widmeten -sich der methodischen Arbeit die neuen Grundlagen festzustellen. Boten -doch die mathematischen Definitionen Platon vortreffliche Beispiele -seinem sokratischen Hang zur Definition der Begriffe zu folgen. Von -¨Eudoxos¨ rührt das ganze fünfte Buch der Elemente, die Lehre von -den Proportionen in, ich möchte sagen, Weierstrass'scher Strenge, -her, er ist der eigentliche Schöpfer der Exhaustionsmethode, die -vermutlich durch ihn schon bei ¨Aristoteles¨ erwähnt ist, und die -sich später, befruchtet mit dem Demokritischen Differentialbegriff, -bei Archimedes und Apollonios zur Infinitesimalrechnung auswuchs. Von -¨Theaitet¨ wissen wir, dass er die Einteilung der Irrationalzahlen oder -genauer die Lösung von Gleichungen 4. Grades, welche auf quadratische -Gleichungen reduzierbar sind, jedenfalls begonnen hat. Wahrscheinlich -von ¨Platon¨ selbst, jedenfalls aus seiner Schule, rühren die Fassungen -vieler Definitionen und Axiome bei Euklid her, welche Aristoteles (vgl. -¨Heiberg¨, Teubnersche Abh. z. Gesch. etc. Heft 18, 1904) nach den -Elementen des Magnesiers Theudios zitiert. Nach einem Jahrhundert waren -die methodischen Arbeiten zum Abschluss reif und den gab Euklid, bei -dem das methodische Gefühl bereits in so eminenten Grade ausgebildet -ist, dass er mit dem Beweise schliesst: ¨Mehr als fünf regelmässige -Körper kann es nicht geben.¨ - -Die Aufgabe die er sich setzte auf Grund der notwendigsten -Voraussetzungen die Geometrie und in geometrischer Einkleidung auch die -Arithmetik als ein zusammenhängendes Ganzes unantastbar darzustellen, -hat er in einer Weise gelöst, die alle Vorgänger spurlos verschwinden -liess und die, niemals übertroffen, die Bewunderung aller Zeiten und -aller Völker erregt hat. - -Daran schliesst sich die Frage, inwieweit Euklid in den Elementen -Eigenes gegeben. Die Frage ist nur summarisch zu beantworten. -¨M. Cantor¨ sagt: »Ein grosser Mathematiker wird auch da, wo er -anderen folgt, seine Eigentümlichkeit nicht verleugnen, und so war -es sicherlich auch bei Euklid.« Gewiss, denn so ist es ja bei jedem -Schullehrer, der seine Elemente gedruckt oder ungedruckt traktiert. -Aber ebenso klar ist es auch, dass ein Werk wie die Elemente die Kräfte -eines einzelnen übersteigt, und eine ganze Reihe von Vorarbeiten -erfordert, von Hippokrates, Leōn, der die Fülle der Sätze und Strenge -der Beweise erhöhte (Proklos 66 unten) bis auf Theudios, der sich auch -in den anderen Wissenschaften auszeichnete. Die von ¨Heiberg¨ l. c. -gesammelten Zitate aus seinen Elementen zeigen vielfach wörtliche -Übereinstimmung. Ebenso sicher ist die Form des Vortrags die zum Teil -schon von den Ägyptern überkommene gewesen, samt den so berühmten -Schlussformeln »quod erat demonstrandum«, was zu beweisen war, ὅπερ -ἔδει δεῖξαι, und quod erat faciendum, was zu machen war, ὅπερ ἔδει -ποιῆσαι. Euklid gehört wohl vor allem die Auswahl der Definitionen an, -die Forderungen (Erfahrungstatsachen) sind sein Eigentum, wie Heiberg -l. c. festgestellt hat, oder wenigstens ihre Trennung von den Axiomen, -und dann die strenge Durchführung des Prinzips keinen früheren Satz -mittelst eines späteren zu beweisen, kein Gebilde zu benutzen, dessen -Existenz nicht vorher durch geforderte oder gegebene Konstruktion -gesichert ist. - -Ferner gehört ihm ein grosser Teil des zehnten Buches, die Vollendung -der Einteilung der Irrationalitäten durch Theaetet. Dem Euklid -gehört der elementare Beweis (ohne Integralrechnung) des Satzes, -dass die Pyramide gleich dem dritten Teil des Prisma ist, dass mit -ihr gleiche Grundfläche und Höhe hat; sodann viele Sätze des 13. -Buches über die Bestimmung von Stücken der regulären Körper und mit -grösster Wahrscheinlichkeit der schon erwähnte Schlusssatz. Etwa 420 -war das Dodekaëder den Hellenen bekannt geworden, wenig früher war -überhaupt erst das logische Element in der Geometrie, die Forderung -nach dem Beweise, zur Geltung gekommen. Die Ausbildung des logischen -Sinnes bis zum Bedürfnis eines solchen Existenzbeweises erforderte -sicher ein Jahrhundert. Der einzige, der noch in Frage kommen konnte -wäre ¨Eudoxos¨, doch überwog bei ihm auf der Höhe seiner Kraft das -astronomische Interesse. - -[Sidenote: Parallelentheorie.] - -Wenn ich aber trotz der verhältnismässig geringen »Produktivität« -Euklids doch ¨M. Cantor¨ beipflichte, der ihn zu den drei Heroen der -griechischen Mathematik im 3. Jahrh. zählt, so tue ich es mit Rücksicht -auf Euklids Behandlung des Parallelenproblemes, dass er so recht -eigentlich in die Welt geworfen hat und das bis auf den heutigen Tag, -ja heute noch mehr als je im Zentrum des Interesses steht. Der gesamte -Aufbau des grundlegenden ersten Buches wird vom Parallelenproblem -beherrscht. Euklid hat rund 2000 Jahre vor ¨Saccheri¨ und ¨Legendre¨ -den Zusammenhang des Problems mit dem Satz über die Winkelsumme -im Dreieck erkannt. Schon Proklos hat bemerkt, dass das berühmte -und berüchtigte sogen. »11. Axiom«, richtiger die 5. Forderung, -hervorgegangen ist aus dem vergeblichen Bemühen den Satz: »In jedem -Dreieck sind zwei Winkel zusammen kleiner als 2 Rechte« umzukehren; und -so kam er zu der Forderung in der Fassung: »Und wenn eine, zwei Geraden -schneidende, Gerade mit ihnen innere an derselben Seite liegende Winkel -bildet, die zusammen kleiner sind als 2 Rechte, so schneiden sich jene -beiden Geraden bei unbegrenzter Verlängerung an der Seite, auf der -diese beiden Winkel liegen.« - -[Sidenote: Die Elemente des Euklid, Ausgaben.] - -Von der Bibel abgesehen, ist niemals ein Werk in so vielen Auflagen und -Bearbeitungen verbreitet gewesen, als die 13 »βιβλία« des Eukleídes, -dessen Namen geradezu mit der Geometrie identifiziert wird. Eine -sehr vollständige Zusammenstellung findet sich in Mem. d. R. Acad. -d. Sc. d. Ist. di Bologna Serie IX, T. VIII und X 1887 und 1890 von -¨P. Riccardi¨; ¨R. Bonola¨, Bull. d. ¨Loria¨ und Festschr. f. Joh. -Bolyai 1902 zählt gegen 1700 Ausgaben. Im Mittelalter und bis in die -Neuzeit wird die Professur für Geometrie häufig als die des Euklid -bezeichnet, die Studenten lasen den Text, sei es ganz, sei es im -Auszug, und der Professor kommentierte, wobei selten mehr als das -erste Buch erledigt wurde. ¨Savile¨, der die noch heute in ¨Oxford¨ -bestehende Professur des Euklid stiftete, kam bis zum 8. Satz des -ersten Buches, nur ¨Petrus Ramus¨, dessen Bedeutung in erster Linie auf -seiner Lehrtätigkeit und seiner grossen literarischen Bildung beruht, -rühmte sich die ganzen Elemente in einer Vorlesung erledigt zu haben. -Es war selbstverständlich, dass der Text im Laufe der Jahrhunderte -entstellt, verdorben, erweitert wurde. Letzteres gilt besonders für die -schwierigen Teile des zehnten bis letzten Buches. - -[Sidenote: Euklid, Übersetzungen der Elemente.] - -Ich verweise auch für die Bibliographie der Elemente auf meine Schrift -von 1901, hervorzuheben ist die Bearbeitung des ¨Theon v. Alexandria¨, -der etwa 350 n. Chr. lebte und lehrte, sie muss die früheren fast -völlig im Buchhandel verdrängt haben, obwohl sie keinen Fortschritt -bedeutete. Alle bis 1808 bekannte Codices, deren Zahl sehr gross ist, -alle Drucke und Übersetzungen sind, wenn man von ¨arabischen Quellen¨ -absieht, aus dieser Ausgabe hervorgegangen. Erst 1808 fand ¨F. Peyrard¨ -in einer durch ¨Napoleon¨ dem Vatikan geraubten Handschrift (Vatic. -190, 1814 zurückgegeben) die bis jetzt einzige vollständige -Handschrift, welche auf eine ältere und bessere Ausgabe zurückgeht. Aus -diesem Codex konnte man die Änderungen des Theon feststellen und die -Codices kritisieren, eine Arbeit, welche von ¨E. F. August¨ 1826-29 in -seiner griechischen und noch gründlicher von ¨J. L. Heiberg¨ in der -griech.-lat. Ausgabe von 1882-88 geleistet ist. Ausser dem Vat. 190 -geht auch der Palimpsest Bologna M. 1721 (¨Heiberg¨, Cant.-Schlöm. 29) -auf ältere Quellen als Theon zurück. - -Neben dürftigen Auszügen die, von oder nach ¨Boëtius¨ (etwa 500 n. -Chr.) verfasst, sich in den Klöstern und Klosterschulen hielten und -besonders durch ¨Gerbert¨ den nachmaligen Papst Sylvester II. von -Wichtigkeit wurden, verdankt Europa die Kenntnis der Elemente den -arabischen Übersetzungen und Bearbeitungen. Auf sie geht die erste -gedruckte Ausgabe zurück, die dem ¨Giovanni Campano¨ aus Novara -zugeschrieben wird, der um die Mitte des 13. Jahrh. gelebt hat, und -1482 bei ¨Erhard Ratdolt¨ in Venedig erschienen ist. Die Ausgabe -ist sehr selten, sie ist von ¨A. G. Kästner¨ Gesch. der Math. Bd. I -S. 289 f. genau beschrieben. - -Als der hellenische Geist zum zweiten Male für die europäische Kultur -fruchtbar wurde in jener Glanzepoche, die man die ¨Renaissance¨ nennt, -erschienen zunächst lateinische Ausgaben gestützt auf griechische -Codices. Die erste Originalausgabe ist die des Simon Grynaeus des -älteren, sie erschien 1533 bei ¨Herwagen¨, der auch in Strassburg eine -Druckerei besass, leider verarbeitet diese Ausgabe zwei sehr schlechte -Handschriften. - -[Sidenote: Euklid-Commentatoren.] - -Indem ich wieder auf meine zitierte Schrift verweise, erwähne ich -nur noch die beiden wichtigsten lateinischen Ausgaben, die des -¨Commandinus¨ Pisa 1572, der zuerst unseren Euklid von dem Megarenser -schied, und die des ¨Clavius¨ von 1574. Die Arbeit dieses für seine -Zeit hoch bedeutenden Jesuiten ist von allen Historikern der Mathematik -von ¨Montucla¨ und ¨Kästner¨ bis auf ¨M. Cantor¨ gleich hoch gewertet -worden; Kästner nennt sie die Pandekten der Mathematik, sie soll 22 -Auflagen gefunden haben. - -¨Die Commentatoren des Euklid¨, vergl. Euklid 1901 p. 16 ff. - -Der festgefügte Bau der Elemente hat, wie er seinerseits die höchste -Bewunderung erregte, andererseits die Versuchung erweckt die -Geometrie auf andere Weise ebenfalls zu begründen. Dazu kommt, dass -der Euklid in seinem ersten Buch einen mathophilosophischen Teil -enthält, der die Grundbegriffe der Geometrie und die nötigen und -hinreichenden Voraussetzungen angibt, von denen die ersteren ihrer -Natur nach unauflöslich, die anderen variabel sind. So haben die -Elemente des Euklid, und das ist vielleicht sein grösstes Verdienst, -eine staunenswerte Geistesarbeit hervorgerufen, die besonders in der -Geschichte des Parallelenaxioms zutage tritt. Hier will ich nur (Euklid -1901) einen Überblick über die hervorragendsten Interpretationen geben, -welche zeigen, wie Recht ¨Gino Loria¨ hat, wenn er als Prinzip seiner -schönen Arbeit »Della varia fortuna di Euclide, Roma 1893« das ¨Gesetz -der Kontinuität¨ ausspricht. Es geht ein ununterbrochener Zusammenhang -von Archimedes und Apollonios bis Veronese und Hilbert. - -Von ¨Apollonios¨ sind Spuren eigener »Elemente« erhalten; darunter eine -ganz allgemeine Definition des Winkels (Heiberg V S. 88). - -¨Archimedes¨ gab eine von Euklid abweichende mechanische -Grundeigenschaft der Geraden (ebenfalls auch der Ebene) an und neue -Prinzipien, darunter das nach ihm benannte, obwohl von ¨Eudoxos¨ -oder vielleicht ¨Demokrit¨ stammende für die Exhaustionsmethode, die -er zur Integralrechnung umbildete. Ihm schliesst sich ¨Heron¨ von -Alexandrien, der grösste Mechaniker des 1. Jahrh. an; von seinem -Kommentar sind uns Fragmente durch Proklos und ¨An-Narizi¨ (s. u. bei -Heron) überliefert. - -Aus der Zusammenstellung der Euklidstellen bei ¨Heron¨ durch Heiberg -geht klar hervor, dass die Definitionen des Euklid schon zu Herons -Zeit die uns überlieferte Form hatten, Euklid also damals schon, wie -¨Tannery¨ sagt, der unantastbare Klassiker der Elemente war. - -Es ist das Parallelenaxiom und die Definitionen, überhaupt die ganze -Anordnung der ersten Bücher, dann gewisse Inkongruenzen zwischen dem -sechsten und den beiden letzten Büchern, der sonderbare Umstand, -dass Euklid die Lehre von den Proportionen ganz allgemein im fünften -Buch begründet, und dann die elementare Lehre von den Verhältnissen -ganzer Zahlen noch einmal im siebenten Buche gibt, was von jeher die -Kommentatoren in Tätigkeit gesetzt hat. - -Die Inkongruenz bezieht sich besonders auf die Bewegung. In den -sechs planimetrischen Büchern wird sie ängstlich vermieden; nur zum -Beweis des 4. Satzes (ersten Kongruenzsatz) und seiner Umkehrung wird -sie herangezogen, dagegen scheut sich Euklid im 11. und 12., den -stereometrischen Büchern, absolut nicht die Definition der Körper auf -die Bewegung zu stützen. - -Man hat daraus schliessen wollen, »einen Homeros gab es nie, sondern -acht bis zehn«, aber Euklid war Platoniker, und nach Platon und -Aristoteles setzt der Begriff der Bewegung einen körperlichen Raum -voraus. - -Auf Heron folgt Gemīnos, bezw. Géminus, von dem Proclus berichtet, -er habe die Verschiebbarkeit in sich der Schraubenlinie auf dem -Rotationscylinder, wenn nicht gefunden, so doch gekannt. Es folgt -eine Ära, in der die zusammenfassende eigentlich philosophische -Geistesrichtung unter dem Einfluss des Aristoteles gegen die Ausbildung -der einzelnen Spezialwissenschaften zurücktritt. Aus dieser Zeit, in -der sich von mathematischen Disziplinen die Trigonometrie (ebene und -sphärische) im Anschluss an die Astronomie entwickelt, wissen wir von -besonderen Kommentaren nichts, aber von den Elementen, dass sie für -unentbehrlich zur Ausbildung der angewandten Mathematiker galten. - -Als gleichzeitig mit dem Christentum gegen diese nüchterne Periode -in Anlehnung an den Theosophen Platon zunächst der Neupythagoreismus -sich erhob, war es anfangs die arithmetische Seite des Euklid, die -Bücher 7, 8, 9, die in Nikomachos von Gerasa um 100 n. Chr. dem -»Elementenschreiber der Arithmetik« (¨M. Cantor¨) und in Theon von -Smyrna ihre Kommentatoren fand. Um 300 lehrte dann zu Alexandria -¨Pappos¨, dessen Kollektaneen von unschätzbarer Bedeutung sind. Pappos -hat sicher einen Kommentar zum zehnten Buch geschrieben, von dem Reste -im Vaticanus erhalten sind und der uns nach Heiberg wahrscheinlich ganz -in einem noch unedierten Leydener Manuskripte erhalten ist. - -Mit dem ¨Neuplatonismus¨, jener seltsamen Mischung christlicher und -platonischer Mystik, nimmt auch die Mathematik die platonische Richtung -auf die Probleme, welche die geometrischen Grundbegriffe und die -Methodik bieten energisch auf. Ich nenne ¨Jamblichos¨, ¨Porphyrios¨, -von denen uns Spuren ihrer Scholien erhalten sind, ¨Theon¨ und -¨Proklos¨, dessen Kommentar zum ersten Buch uns fast ganz erhalten ist. -Der Kommentar, der bis 1873 nur in der Ausgabe von ¨Simon Grynäus¨ -1533 bei Herwagen gedruckt war, ist für die Geschichte der Mathematik -bei den Hellenen einzig; Tannery, der zuverlässigste Detailforscher -hellenischer Mathematik, nennt sein Verständnis geradezu das Problem -der Geschichte der Mathematik. - -Die Ausgabe von ¨Friedlein¨ 1873 ist philologisch sehr bedeutend, wenn -auch nach ¨Heiberg¨ noch nicht das letzte Wort über Proklos, aber -griechisch; es existiert nur die lateinische Übersetzung des ¨Barocci¨ -von 1560, welche oft nur eine Wortübersetzung ist und von Taylor -ebenso wörtlich ins Englische übertragen ist. - -Als ¨Justinian¨ 529 die Schule von Athen, mit der die hellenische -Kultur begann und schloss, aufhob und die Lehrer vertrieb, kam ¨Euklid¨ -mit ihnen nach Persien und so an die Araber, wo er, wie schon gesagt, -im 8. und 9. Jahrh. an Haggag und Ishaq Übersetzer fand. Sehr bald -darauf muss es auch arabische Kommentare gegeben haben, wie aus -der Ausgabe des Campanus hervorgeht; der schon erwähnte ¨Nasir ed -Din¨ im 13. Jahrh. ist keineswegs unbedeutend, der auch zuerst die -Trigonometrie als eigenen Zweig behandelt hat. - -Die Renaissance macht Proklos bekannt, an ihn schliesst sich -¨Commandinus¨ und ¨Clavius¨ an. Der erstere wirkte besonders auf -die Engländer, auf ¨Savile¨, der die Professur des Euklid in Oxford -begründete, wodurch ¨Wallis¨ und wohl auch ¨Barrow¨ (erste Ausgabe -1652) und durch diese Newton auf Euklid und die Beschäftigung mit den -Grundlagen hingewiesen wurden. - -Vor allem haben wir ¨Robert Simson¨ zu nennen, der direkt Commandinus -zugrunde legt und der besonders auf die englische Schulmathematik vorn -allerwesentlichsten Einfluss gewesen ist. Der Kommentar erschien 1756, -Titel: die sechs ersten Bücher des Euklid mit Verbesserung der Fehler, -wodurch Theon und Andere sie entstellt haben etc. mit erklärenden -Anmerkungen (aus dem Englischen übersetzt von Rieder. Herausg. von -Niesert, Paderborn 1806). - -¨Clavius¨ kennt den Proklos ganz genau; auch er harrt noch der -deutschen Herausgabe, der er in hohem Grade wert ist; er hat neben -¨Borelli¨ (Euklides restitutus 1658) sicher auf seinen Ordensbruder -¨Saccheri¨ gewirkt, von dessen: Euklides ab omni naevo vindicatus -(Mediol. in 4. 1733), die heutige sogenannte nicht-Euklidische -Geometrie gezählt wird. Es ist wahrscheinlich, dass ¨Lambert¨ in -Chur den Saccheri kennen lernte und fast sicher, dass ¨Gauss¨ wieder -Lamberts Abhandlung im Hindenburg'schen Archiv von 1786 gelesen. -Gauss wirkte dann auf seinen Jugendfreund ¨Wolfgang Bolyai¨ und durch -ihn auf seinen Sohn ¨Johann¨ und durch Vermittelung von Bartels auf -¨Lobatscheffski¨. - -Für Frankreich ist ausser Clavius noch ¨Petrus Ramus¨, der -sogenannte »Besieger der Scholastik«, von Bedeutung. Ramus, dem es -an philosophischer Tiefe fehlte, war nicht imstande den Euklid zu -würdigen wie ganz besonders seine Kritik des zehnten Buches beweist, -aber seine revolutionäre Anfechtung der Autorität kommt in Frankreich -im 18. Jahrh. zur Geltung. Hier geht der Weg von Clavius über Tacquet -1659 und Arnauld durch Zurückgreifen auf Ramus zu ¨Clairaut¨ 1741 und -¨Legendre¨ 1794 und ¨Bertrand¨ 1810. ¨Clairaut¨, dessen wahrhaft kühne -Elemente der Geometrie vom Rechteck als der unmittelbar anschaulichen -Figur ausgeht, hat sich auch auf die deutschen Ritterakademien, z. B. -Ilfeld verbreitet. Es scheint, als ob auch ¨Lambert¨ ihn gekannt hat; -doch ist der Ausgangspunkt vom Rechteck ein so natürlicher, dass ich -selbst um 1880 ohne eine Ahnung von Clairaut oder Lambert zu haben, im -Unterricht einen ganz ähnlichen Weg einschlug. Der ausserordentliche -Erfolg und die grosse Verbreitung der »¨Elements¨« ¨Legendres¨ (1794) -ist bekannt und berechtigt; noch heute beeinflussen sie den Unterricht -auf den Mittelschulen nicht nur Frankreichs sondern Spaniens, Hollands -und Deutschlands. - -[Sidenote: Euklid-Gegner.] - -Was die deutschen Schulen betrifft, so möchte ich auf eine Schrift -¨Hubert Müller's¨ aus Metz aufmerksam machen: »Besitzt die heutige -Schulgeometrie noch die Vorzüge des Euklid-Originals?« Ich kann meine -Kritik in der deutschen Literaturz. 1887 No. 37 nur dahin ergänzen: die -deutsche Schulgeometrie hat sie nie besessen. Weder Johannes Vogelin, -bekannt durch die Vorrede Melanchthons in der Ausgabe von 1536, noch -des Conrad Dasypodius Volumen I und II, noch die Mathesis juvenilis -Sturms oder Wolffs oder Kästners Anfangsgründe oder Thibauts Grundriss, -von Kambly, Mehler, Henrici und Treutlein ganz zu schweigen, sind -jemals dem Gange Euklids gefolgt. Dagegen waren die Studenten und die -Lehrer bis etwa um 1860, wie die rasch auf einander folgenden Ausgaben -beweisen, völlig mit dem Euklid vertraut. Von da an ändert sich die -Sache, und ich bin sicher, dass es nur eine minimale Anzahl von Lehrern -gibt, die den Euklid gelesen haben. - -Einen Teil der Schuld an dem Sinken der Autorität Euklids tragen -auch die Angriffe ¨Schopenhauers¨ gegen die »Mausefallenbeweise des -Euklid«. Schopenhauer hatte als Künstler, der er war, für die intuitive -Erkenntnis vollstes Verständnis, aber bar aller mathematischen Bildung, -fehlte ihm jedes Verständnis für die logische Erkenntnis, die oft -ebenso unmittelbar wie jene ist. Nun ist aber die euklidische Geometrie -als Wissenschaft eine chemische Verbindung von Anschauung und Logik, -und darum musste der Versuch, den z. B. ¨Kosak¨ in dem Nordhäuser -Programm anstellte die Geometrie nur auf Anschauung zu begründen, -gerade so scheitern wie der noch berühmtere ¨Bolzanos¨ von 1804 die -Geometrie rein logisch zu begründen. ¨Bolzano¨ hat übrigens viel mehr -von Leibniz entlehnt als bekannt ist. Der grosse »aemulus« Newtons -zeigt sich auch in der Auffassung der Grundlagen als Widerpart. - -Während Newton in der Vorrede der Principia phil. nat. ausdrücklich -auf den Ursprung der mathematischen Grundgebilde aus der Mechanik -hinweist: »Gerade Linien und Kreise zu beschreiben sind Probleme, aber -keine geometrischen,« ist Leibniz bemüht der Anschauung so wenig als -möglich einzuräumen. Es scheint wenig oder gar nicht bekannt, dass -schon bei Lebzeiten Leibniz' Ansichten desselben über die Grundlagen -der Geometrie veröffentlicht sind bei ¨La Montre¨ 1691: Les 47 propos. -du I livre des Elém. d'Euclide avec des remarques de G. G. Leibniz. - -Ähnlich wie in Deutschland liegt die Sache in Frankreich und Italien, -nur in England folgt Ausgabe auf Ausgabe und noch ist der sogenannte -Syllabus nicht zustande gekommen, der den Euklid verdrängen sollte, -doch ist das Festhalten an Euklid mehr Schein als Wirklichkeit s. mein -Referat von 1906, No. 4 p. 26. Auch in Schweden und Norwegen scheint -sich Interesse für Euklid dauernd erhalten zu haben. Für Deutschland -und Italien ist mit dem Ende des 19. Jahrh. ein Umschwung eingetreten, -man kann geradezu sagen, dass die Kenntnis des Euklid durch die neueste -Richtung, deren Haupt in Deutschland ¨Hilbert¨, in Italien ¨Veronese¨ -ist, wieder unentbehrlich wird. - -[Sidenote: Euklid's Elemente: Definitionen.] - -Über den Inhalt des Euklid muss ich sehr kurz sein, von meinen Hörern -kann ich erwarten, dass sie den Euklid selbst lesen. Nur wenige Worte -über das Wichtigste des Wichtigsten, die ὁροι, αιτηματα, κοιναι -εννοιαι, die Definitionen, Postulate und Axiome des ersten Buches. Eine -Bibliothek ist gleich über die ersten Worte geschrieben: σημειον εστι -ὁυ μερος ουθεν (oft auch οὐδὲν). - -Punkt ist das, dessen Teil nichts ist oder das keinen Teil hat. In -beiden Fällen ist klar, dass Euklid, der seinen Platon und Aristoteles -kannte, hiermit ausdrücklich gesagt hat, dass der Punkt nicht unter die -Kategorie Grösse fällt; so klar dies ist, ist es doch niemals gedruckt -worden, ausser bei Kant (Kritik d. reinen Vernunft p. 169), wo es frei -nach ¨Aristoteles¨ heisst: Punkte und Augenblicke sind nur Grenzen, der -Raum besteht nur aus Räumen, die Zeit aus Zeiten. - -Die Definition ist sicher platonisch; Aristoteles sagt der Punkt ist -μονας θεσιν εχουσα eine Einheit, welche Lage hat. Definition 4: ευθεια -γραμμη εστιν, ἡτις εξ ισου τοις εφ' ἁυτης σημειοις κειται. Die Gerade -ist diejenige Linie, welche gleichmässig durch ihre Punkte gesetzt -ist. Auch über diese Definition existiert eine ganze Literatur. Man -hat nicht berücksichtigt, dass Euklid die gerade Linie erst völlig -definiert durch die Forderungen 1 und 2. Es soll gefordert werden -1) dass sich von jedem Punkte bis zu jedem Punkte eine und nur eine -Strecke führen lasse, 2) und diese Strecke sich kontinuierlich auf -ihrer Geraden (vielleicht richtiger bis zur Vollendung der Geraden) -ausziehen lasse. Mit Definition 4 zusammen definiert sie die Gerade -völlig, natürlich nicht anschaulich, denn die Anschauung der Geraden, -die psychologisch ist und experimentell gewonnen wird, setzt Euklid bei -seinen Hörern voraus. Euklid sagt, die Gerade ist eine unterschiedslose -und unendliche Linie, die durch zwei ihrer Punkte völlig bestimmt ist. - -Def. 7) Ein ebener Winkel entsteht, wenn zwei Linien der Ebene -zusammentreffen, welche nicht in derselben Geraden liegen, durch die -Biegung von der einen Linie zur andern. Die Definition des Winkels -ist oft und mit Recht getadelt worden. In Schottens vergleichender -Planimetrie füllen die Abänderungen 40 Seiten aus; die von mir -herrührende »der Winkel ist die Grenze des Kreissektors bei über jedes -Mass wachsendem Radius«, ist für den Unterricht ungemein zweckmässig, -aber ich fand sie nachträglich schon 70 Jahre vor mir bei ¨Stein¨ in -Gergonnes Annales Bd. XV (1824) p. 77. -- - -Das Wort κλισις. »Neigung« kann Richtungsänderung bedeuten, kann -Drehung bedeuten etc. Proklos (Eudemos) setzt daher κλασις in περί -γωνίας. d. h. Brechung. Apollonius definiert: der Winkel ist die -Verengerung der Ebene oder des Raumes an einem Punkte infolge der -Biegung von Linien oder Flächen. - -Dass Euklid den gradlinigen Winkel ¨abc¨ im Wesentlichen als eine -Flächengrösse auffasst, das folgt aus der Definition 9 des gradlinigen -Winkels, wo περιεχουσαι »enthaltend« gebraucht wird, und aus der -ständigen Anwendung der Winkel ὑπὸ αβγ d. h. περιεχομενη, der von dem -gebrochenen Linienzug αβγ umschlossene und besonders da er unmittelbar -vom Winkel als der nicht völlig begrenzten Fläche auf die ¨Figur¨ -»οχημα« übergeht als der völlig begrenzten. - -[Sidenote: Euklid's Elemente: Forderungen.] - -Nun zu den fünf Forderungen: - -¨Proklos¨ sagt, dass die Forderungen von den Grundsätzen sich -unterscheiden wie die Aufgaben von den Lehrsätzen. Die ersteren -verlangen Konstruktionen, die jeder leicht ausführen kann, die andern -Sätze, die jeder leicht zugibt. - -¨Aristoteles¨ sagt: die Forderung ermangelt des Beweises, den man gern -geben möchte, wenn man nur könnte, während der Grundsatz von jedem ohne -Weiteres als richtig anerkannt wird. - -Die Unterscheidung des Proklos passt aber nur auf das schon genannte -1. Petitum und das 3. »Und um jedes Zentrum und mit jedem Abstand -sich ein und nur ein Kreis zeichnen lasse«, d. h. dass vom gegebenen -Zentrum aus durch jeden Punkt der Ebene ein und nur ein Kreis geht. Es -enthalten aber No. 1 und 3 Forderungen, die, ich erinnere an Newton, -von der angewandten Mechanik ihre Lösungen empfangen haben. Es darf -daher nicht überraschen, wenn in den Handschriften eine ziemliche -Verwirrung herrscht und sich z. B. in sehr vielen No. 5, das schon -erwähnte Parallelenaxiom, als 11. Grundsatz findet und das schon vor -Theon rezipierte unechte »zwei Gerade schliessen keinen Raum ein« sich -im Vaticanus als Forderung 6 und in andern Codices als Grundsatz 9 -findet. Der richtige Unterschied ist der: die Forderungen enthalten -Grundtatsachen der Anschauungen und die Axiome Grundtatsachen der Logik. - -Forderung 4: »Und alle rechte Winkel einander gleich seien«. - -Sie ist nach Proklos von Geminos und anderen angegriffen als beweisbar. -Ich gebe hier den Beweis des Geminos: Wäre αβγ < δεζ und ¨legte¨ man -δεζ auf αβγ, so dass δε u. αβ zusammenfallen, so fiele εζ als βη -innerhalb und dann wäre κβα das nach Definition des rechten Winkels -= αβη ist > θβα > αβγ, also δεζ zugleich kleiner und grösser als αβγ -(Fig.). - -[Illustration] - -Der Beweis setzt voraus, dass die Verlängerung von ηβ sich nicht mit -θβ deckt, d. h. also, dass eine Strecke sich nur auf ¨eine¨ Weise zu -einer Geraden verlängern lasse. Darin hat ¨H. Zeuthen¨ recht, aber -dies zu sagen wäre die Forderung eine seltsame Form und Euklid hat -eine ganze Reihe stillschweigender Voraussetzungen ohne die keine -geometrische, d. h. anschauliche Geometrie existieren kann, und die -genannte Forderung hat er in No. 1 und 2 ausgesprochen. - -Dem Geminos und den andern, vermutlich den Mechanikern Heron und -Archimedes ist die strenge Aristotelische Auffassung der Bewegung -verloren gegangen; der Beweis verlangt ja auch die Verschiebbarkeit und -Drehung der Ebene in sich selbst, bezw. die dritte Dimension und die -will und kann Euklid von seinem Standpunkte aus hier nicht zu Hilfe -nehmen; so bleibt ihm nur übrig zur Forderung seine Zuflucht zu nehmen. - -[Sidenote: Euklid's Elemente: Grundsätze.] - -Über die 5. und letzte Forderung, das Parallelenaxiom, und dem was drum -und dran hängt, kann ich auf ¨F. Engel¨ und ¨P. Stäckel¨, Theorie d. -Parallellinien (1895) und auf meine früheren Schriften verweisen. So -gehe ich zu den Grundsätzen. Von Proklos sind als echt bezeichnet: - -1) Was demselben (zu ergänzen: dritten) gleich ist, ist unter sich -gleich. - -2) Und wird Gleiches zu Gleichem hinzugesetzt, so sind die Ganzen -gleich. - -3) Und wird von Gleichem hinweggenommen, so sind die Reste gleich. - -8) Und das Ganze ist grösser als sein Teil. - -7) Und einander Deckendes ist gleich. - -Euklid sagt: χοιναι εννοιαι. Allen Vernünftigen gemeinsame Einsicht. - -Proklos sagt: Axiome eigentlich »Meinungen«, aber nach dem -Sprachgebrauch des Aristoteles allgemein angenommene logische Sätze, -die man nicht beweisen kann, weil sie die logischen Grundlagen des -Beweises sind. Proklos hat nur die 5 angeführt, richtig 8 vor 7, da -7 nicht rein logisch ist, sondern von dem Zusammenfallen in der -Anschauung ausgeht um daraus den logischen Schluss der Gleichheit zu -ziehen. - -Das Axiom 7 ist von ¨Schopenhauer¨ »die Welt als Wille und Vorstellung« -T. 2 S. 144 angegriffen, weil es entweder eine Tautologie ist oder eine -Bewegung voraussetzt. Es ist von ¨Bolzano¨ und ¨Grassmann¨ (¨Leibniz¨) -durch das Prinzip ersetzt worden: »Dinge, deren bestimmende Stücke -gleich sind, sind gleich« (eine andere Fassung für »gleiche Ursachen -gleiche Wirkungen«). - -Schopenhauer hat Euklid gar nicht verstanden; Euklid braucht -Axiom 7 zuerst beim Beweis des ersten Theorems, Satz 4, der -erste Kongruenzsatz, und dort im Grunde nur als Axiom von der -Gleichförmigkeit des Raumes, bezw. in dem Sinne Bolzanos und -Grassmanns. Ich halte es für einen Fehler, dass Euklid nicht den 1. und -3. Kongruenzsatz in die Forderungen aufgenommen hat. - -[Sidenote: Technologie der Elemente.] - -Es folgen nun die 48 »Protasis« (Propositionen d. i. Sätze) des ersten -Buches. Die Sätze zerfallen in »Probleme«, Aufgaben, die zur Erzeugung -eines Gebildes führen und »Theoreme« Lehrsätze. Den Unterschied -definiert Proklos S. 201, wo er, um mit P. Tannery (Géométrie -grecque S. 87) zu sprechen, von der Technologie der Elemente handelt -wie folgt: Bei den Problemen handelt es sich darum sich Fehlendes -zu beschaffen, anschaulich hinzustellen und mit den Kunstmitteln -(Lineal und Zirkel) zu erzeugen. Im »Theorem« nimmt man sich vor das -Vorhandensein einer Eigenschaft bezw. das Nichtvorhandensein zu sehen, -zu erkennen, zu beweisen. Jedes Problem aber und jedes Theorem, das -aus seinen vollständigen Teilen zusammengesetzt ist, muss folgendes -in sich enthalten: 1) ¨Vorlage¨ (προτασις). 2) Feststellung des -Gegebenen (εκθεσις.) Voraussetzung. 3) ¨Feststellung des Geforderten¨ -(διορισμός.) Behauptung. 4) Konstruktion (κατασκευη.). 5) Beweis -(απόδειξις.) 6) Schluss (συμπέρασμα). - -Die Protasis sagt aus, was gegeben und was gefordert wird; denn die -vollständige Protasis besteht aus beiden. - -Die Ekthesis setzt das Gegebene an und für sich, (d. h. ohne Rücksicht -auf das Geforderte) genau auseinander und arbeitet dadurch der -Untersuchung vor. - -Der Diorismos aber macht das Gesuchte, es sei, was es sei, an und -für sich deutlich. Der Ausdruck Diorismos wird hier bei Proklos -anders gebraucht als bei Pappos; Peyrard hat Prodiorismos: Bei Pappos -bezeichnet Diorismos genau das, was wir heute Determination nennen, -d. h. die Angabe derjenigen Einschränkungen in bezug auf die gegebenen -Stücke, welche zur Ausführbarkeit der Konstruktion nötig sind. - -Die Kataskeuē fügt das hinzu, was dem Gegebenen zur Erlangung des -Gesuchten mangelt. Proklos sagt zur »Jagd« θηραν und braucht das Bild -wiederholt, so alt ist das Bewusstsein des Kampfes des Mathematikers -mit seinem Problem. - -Die Apodeixis leitet das Vorliegende logisch von dem, was bereits -feststeht, ab. - -Das Symperasma aber kehrt wieder zur Vorlage zurück, indem es den -bewiesenen Satz klar und deutlich ausspricht. Und dies sind alle Teile -sowohl der Probleme als der Theoreme. - - -1) πρότασις. - -[Sidenote: Technologie, Beispiel.] - -Ich gebe ein Beispiel (S. 5): Im gleichschenkligen Dreieck sind die -Winkel an der Basis einander gleich, und werden die gleichen Schenkel -verlängert, so sind die Winkel unterhalb der Basis einander gleich. - -[Illustration] - - -2) εκθεσις. - -ΑΒΓ sei das gleichschenklige Dreieck mit ΑΒ gleich ΑΓ und es mögen auf -ihrer Geraden ΑΒ und ΑΓ verlängert werden um ΒΔ und ΓΕ. - - -3) διορισμός. - -Ich behaupte etc. - - -4) κατασκευή. - -Man nehme auf ΒΔ einen beliebigen Punkt Ζ an, von ΑΕ nehme man ΑΗ -gleich ΑΖ weg und ziehe ΖΓ und ΗΒ. (Fig.) - - -5) αποδειξις. - -Dann ist ◁ΑΖΓ ≅ ΑΗΒ (Satz 4), folglich ◁ΑΓΖ = ΑΒΗ und ∢ΑΖΓ = ΑΗΒ, -und da ΑΖ = ΑΗ und ihr Teil ΑΒ und ΑΓ auch gleich, so ist (Ax. 3) ΒΖ -= ΓΗ; und, da bereits bewiesen, dass ΖΓ = ΒΗ und ∢ΒΖΓ = ΒΗΓ, so ist -(4) Dreieck ΒΖΓ ≅ ΒΗΓ, folglich ∢ΖΒΓ = ΗΓΒ, und ΒΓΖ = ΓΒΗ. Da nun -der ganze Winkel ΑΒΗ = dem ganzen Winkel ΑΓΖ erwiesen wurde, und die -Teile ΓΒΗ und ΒΓΖ gleich, so ist (Ax. 3) ∢ΑΒΓ = ΑΓΒ und dies sind die -Basiswinkel. Die Gleichheit aber von ΖΒΓ und ΗΓΒ wurde schon gezeigt -und sie liegen unterhalb der Basis. - - -6) συμπέρασμα. - -Also sind im gleichschenkligen Dreieck etc. - -M. H.! ich habe dies Beispiel absichtlich gewählt, weil es zeigt, wie -turmhoch Euklid über den Beweisen unserer geometrischen Lehrbücher -steht, und weil aus Heibergs zitierter Arbeit über die Mathematik -bei Aristoteles folgt, dass hier ein bedeutender Fortschritt des -¨Eukleides¨ über den ¨Theudios¨ vorliegt. Es fällt Euklid gar nicht -ein den Satz zu benutzen: wenn die Winkel gleich sind, so sind ihre -Nebenwinkel gleich. - -¨Proklos¨ fährt fort: Am notwendigsten aber und in allem vorhanden -sind die Vorlage, der Beweis und der Schluss. Denn man muss a) -vorher wissen, was zu suchen ist und b) es durch eine Kette von -Schlüssen beweisen und c) das Resultat einsammeln. Die andern Teile -fehlen mitunter wie Diorismos und Ekthesis bei dem Problem: Ein -gleichschenkliges Dreieck zu konstruieren, worin jeder Basiswinkel -das Doppelte des Winkels an der Spitze. Dies Fehlen tritt ein, sagt -Proklos, wenn die Vorlage kein Gegebenes enthält (d. h. wenn es -ausgelassen ist) wie in dem zitierten Beispiel die Basis des Dreiecks -wie in B. X S. 20 eine 4. Wurzel zu konstruieren (nämlich bei gegebener -aber nicht erwähnter Einheitsstrecke). - -[Sidenote: Technologie der Elemente, Lemma, Porisma.] - -Die Konstruktion aber fehlt in weitaus den meisten Theoremen, da -die Ekthesis hinreicht um ohne einen Zusatz (nämlich von Zeichnung) -das Vorgesetzte (d. i. die Figur, um die es sich handelt) sichtbar -zu machen. Hin und wieder findet sich ein Hilfssatz, Lemma, (von -λαμβάνω) und Zugaben, Porisma. Lemma ist eigentlich in der Geometrie -ein Satz, der noch des Beweises bedarf, den wir für eine Konstruktion -oder einen Beweis einstweilen annehmen vorbehaltlich des Beweises, -und der sich durch diesen Vorbehalt von den Axiomen und Forderungen -unterscheidet, welche wir ohne dass sie bewiesen, zur Rechtfertigung -anderer Sätze herbeiziehen. Porisma ist ein Zusatz, der sich beim -Beweis eines anderen als eine »Gottesgabe« ungewollt von selbst ergibt, -im wesentlichen also eine andere Fassung des bewiesenen Satzes. -Übrigens sind die meisten, ich möchte sagen alle Lemmata und vielleicht -auch die Porismata verdächtig, so fehlt z. B. das Porisma zu I, 15: -(Scheitelwinkel sind gleich) »Wenn zwei Gerade einander schneiden, so -sind die vier Winkel vier Rechten gleich«, obwohl es sich bei Proklos -findet in den besten Handschriften. - -Zu bemerken ist, dass in den guten Handschriften sich weder -Überschriften noch Bezeichnungen der einzelnen Teile finden. Die -Sätze sind numeriert und dies ist sicher nicht original, da Euklid -nicht auf die betreffende Nummer verweist, sondern den einschlagenden -Satz vollständig angibt. Dies Schleppende der Darstellung veranlasste -vermutlich die Bezifferung und zwang zu Abkürzungen. Übrigens erklärt -sich die Breite, wenn man sich vergegenwärtigt, dass das Original zu -mündlichem Vortrag im Kolleg vor Studenten der Universität Alexandria -bestimmt war. Und dies ist ein Umstand, der bei der Klage über Euklid -und Euklids Methode viel zu wenig berücksichtigt ist; das Buch war für -reife Männer bestimmt nur die Torheit der Scholarchen hat aus einem der -tiefsinnigsten Werke aller Zeiten ein Buch für Schulknaben gemacht. - -[Sidenote: Euklids Elemente, Buch 1 bis 5.] - -Die Inhaltsangabe sei ganz kurz als Schluss angefügt. Buch 1, das -bedeutendste, zerfällt in drei der Ausdehnung nach sehr ungleiche -Teile. Satz 1-26 die wichtigsten Sätze über Dreiecke und Winkel mit -den drei Kongruenzsätzen und unabhängig vom Parallelenaxiom; Satz -27-33 Parallelentheorie mit Satz 32 Winkelsumme; Satz 34-48 die -Flächenvergleichung, (47 Pythagoras, 48 seine Umkehrung). - -Das 2. Buch ist längst als geometrische Algebra erkannt, in -Ausführung des Pythagoras wird das Rechnen mit Flächen gelehrt, z. B. -√(a^2 + b^2), √(a^2 - b^2), dann die Multiplikation von Aggregaten, -es geht bis zur Auflösung quadratischer Gleichungen in geometrischer -Einkleidung, zunächst nur im speziellen Fall und endet mit dem -geometrischen Existenzbeweis der Quadratwurzel durch die Verwandlung -des Rechtecks in ein Quadrat. - -Das 3. Buch handelt vom Kreis, aber die Kreisberechnung wird nicht -gelehrt. - -Buch 4 handelt von den dem Kreis ein- und umgeschriebenen Figuren, -speziell von der Kreisteilung; es geht bis zur Konstruktion des -regulären 15Ecks (ebenso wie wir: 2/15 = 1/3 - 1/5) S. 16; der dadurch -merkwürdig ist, dass sogar die Analyse in die Konstruktion verwebt ist. -Das 4. Buch hat seine Fortsetzung im Anfang des 12. Buches, wo in Satz -2: »Kreise verhalten sich wie die Quadrate ihrer Durchmesser«, alles -steht, was bei Euklid über die Quadratur des Zirkels vorkommt. - -[Sidenote: Euklids Elemente, Buch 5 und 6.] - -Das 5. Buch enthält die Lehre vom Verhältnis und der Gleichheit der -Verhältnisse (Proportionen) gleichartigen Grössen in vollständiger -Allgemeinheit. Es ist mit grösster Wahrscheinlichkeit ein Werk des -¨Eudoxos¨ und scheint nur wenig von Euklid überarbeitet zu sein, da -wo statt λέγεται steht καλεισθω. Auf sein höheres Alter deutet noch -das Ringen mit dem Ausdruck und die oft schwer verständliche Fassung -der Sätze hin. Es fehlt die Definition des Begriffes »kontinuierliche -Grösse«, sie war aber durch ¨Aristoteles¨ gegeben, vermutlich auch -von Eudoxos. Clavius (Ausgabe von 1607 p. 436) hebt wie Campanus -S. 3 hervor, dass dem 5. Buch ein Axiom zugrunde liegt, welches -Clavius formuliert: Quam proportionem habet magnitudo aliqua ad aliam, -eandem habet quaevis magnitudo proposita ad aliquam aliam, et eandem -habebit quaepiam alia magnitudo ad quamvis magnitudinem propositam. --- »Das Verhältnis, das irgend eine Grösse zu einer andern hat, das -wird jede beliebige ¨gegebene¨ Grösse zu irgend einer andern haben -und eben dasselbe wird irgend eine Grösse zu jeder gegebenen Grösse -haben«. Es ist das Axiom im Grunde nichts anderes als die Umkehrung -des Weierstrass'schen Axioms: Zu jedem Punkt in der Zahlenreihe gibt -es eine Zahl. ¨Es wird zwar immer behauptet, die Hellenen hätten in -der Irrationalzahl keine Zahl gesehen, aber aus dem 5. Buch geht -unwiderleglich hervor, dass sie den Zahlbegriff in voller, fast -wörtlich mit der Weierstrass'schen Auffassung sich deckender Schärfe -besassen und dass Euklid wie Eudoxos im Verhältnis zweier gleichartiger -Grössen nichts anderes sahen als eine Zahl.¨ Und das erhellt schon aus -dem Kunstausdruck »λόγος« für Verhältnis; denn Logik ist die Rechnung, -Logistik die Rechenkunst und Logos heisst im Grunde nichts anderes als -Masszahl einer Grösse in bezug auf eine andere. - -6. Buch: Ähnlichkeitslehre. Mit dem 6. Buch schliessen die eigentlichen -planimetrischen Bücher; wohl kommen noch einzelne planimetrische -Sätze in den stereometrischen Büchern vor, wie z. B. die auf die -stetige Teilung bezüglichen Sätze XIII, 1-12 und besonders der Satz -XII, 1 und 2, aber sie werden doch nur zum Zweck ihrer Verwendung für -stereometrische Konstruktionen und Satze gegeben. - -Nachdem so die Planimetrie zu einem gewissen Abschluss gekommen war, -sind die Bücher 7, 8, 9 der Arithmetik oder eigentlich besser der -Zahlentheorie gewidmet. - -Das 7. Buch knüpft geistig an die Lehre von den Verhältnissen an und -lehrt den Algorithmus des Aufsuchens des grössten gemeinsamen Teilers, -auf dem unsere ganze Zahlentheorie ruht, gerade so wie wir noch heute, -durch die Kette von Teilungen. - -[Sidenote: Euklid, Elemente, Buch 8 bis 12.] - -Buch 8 behandelt die Proportionen noch ausführlicher, d. h. die Lehre -von den Gleichungen ersten Grades. - -Das 9. Buch beschäftigt sich besonders mit den Primzahlen und -enthält den Satz, der der ganzen Entwicklung nach für Eigentum -des Euklid gehalten werden muss, den einfachen Beweis, dass die -Menge der Primzahlen unendlich: Entweder 1 · 2 · 3 · ... p + 1 -ist keine Primzahl, dann ist sie durch eine Primzahl > p teilbar -oder sie ist prim. Die erste Zahl die keine Primzahl ist, gibt -2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 + 1 = 30031, die zweite das Produkt der -Primzahlen von 2 bis 17 + 1, welche schon durch 19 teilbar ist. - -Das 10. Buch zum Teil von Theätet herrührend, handelt ausführlich -von den Irrationalzahlen, welche mit Zirkel und Lineal konstruierbar -sind, d. h. im Grunde von den Gleichungen 4. Grades, welche sich auf -quadratische reduzieren, dabei kommt auch die allgemeine Lösung des -Pythagoras gleichzeitig vor durch die Formeln: αβγ; (αβ^2 - αγ^2)/2; -(αβ^2 + αγ^2)/2. Der letzte Satz gibt dann den geometrischen Beweis von -der Inkommensurabilität von Seite und Diagonale des Quadrats. - -Das 11., 12., 13. Buch sind dann die stereometrischen Bücher. 11. Buch -die Anfangsgründe, der granitne Satz vom Lote auf der Ebene, dann die -dreiseitige Ecke, das Parallelepipedon, das Prisma. - -Das 12. Buch enthält im wesentlichen Körperberechnung, d. h. es gibt -nicht die wirklichen Formeln, sondern beweist nur, dass Pyramide bezw. -Kegel 1/3 vom Prisma bezw. Cylinder sind, beweist als Lemma mittelst -des Exhaustionsbeweis, den er Buch 10 formuliert hat: »Sind zwei -ungleiche Grössen gegeben und nimmt man von der grösseren die Hälfte -weg und so fort, so kommt man zu einem Reste, welcher kleiner ist als -die gegebene kleinere Grösse« dass Kreise sich wie die Quadrate ihrer -Durchmesser verhalten und damit dass Kugeln sich wie die Kuben ihrer -Durchmesser verhalten. - -[Sidenote: Euklid, Elemente Buch 13.] - -Buch 13 behandelt die platonischen Körper und gibt einleitend 12 Sätze, -die das Thema von Buch 6, die Kreisteilung oder die Konstruktion -regulärer Polygone, noch einmal aufnehmen und geht dann auf die -regulären Körper ein; es schliesst mit dem schon hervorgehobenen Beweis -der Nichtexistenz eines sechsten regulären Körpers. Wir könnten auf -Euklid denselben Schlusssatz wie bei Platon anwenden, Euklid hat das -unscheinbare aber unerschütterliche Fundament geschaffen, auf dem -sich der stolze Bau des Archimedes erheben konnte, dem wir uns jetzt -zuwenden. - -[Sidenote: Archimedes (vita).] - -An Euklid, dem »Stoicheiotes«, schliesst sich ¨Archimedes¨ an, der -Erzdenker, wie ich seinen Namen übersetze, der princeps matheseos des -Altertums und vielleicht aller Zeiten, der nur an Galilei, Gauss, -Newton und Fermat seines Gleichen hat. Gleich gross als Mathematiker, -Physiker, Mechaniker und Astronom. Auch von ¨seinem¨ Leben wissen wir -wenig, eine Biographie seines Zeitgenossen Herakleides, welche dem -Eutokios noch vorlag, ist völlig verloren. Das Todesjahr steht fest, er -fiel bei der Einnahme seiner Vaterstadt Syrakus durch. Marcellus der -Roheit eines Soldaten zum Opfer; also 212, und zwar hochbetagt; zum -Schmerz des Marcellus, der ausdrücklich befohlen hatte des Archimedes -zu schonen. ¨Tzetzes¨ sagt, (chiliad. II, 36, 105) im Alter von 75 -Jahren, dann war er 287 geboren, jedenfalls hochbetagt. Sein Vater soll -der Astronom Pheidias gewesen sein und dann wäre auch Archimedes gleich -wie Aristoteles auf die exakten Wissenschaften erblich hingewiesen. -¨Plutarch¨ erzählt im Leben des Marcellus, dass er dem Könige Hiero II. -dem trefflichsten Regenten, den Syrakus besessen, nahe verwandt gewesen -und jedenfalls war er ihm und seinem Sohne Gelon eng befreundet. Eine -andere Version lässt ihn durch Missverständnis einer Stelle bei Cicero -in den Tusculanen V, 23 aus armer Familie und von niedriger Geburt -sein. Der »humilis homunculus« bezieht sich nur auf das traurige Ende -des Archimedes. Diese andere Version ist so gut wie ausgeschlossen, wir -wissen, dass er jede gewinnbringende Tätigkeit geringschätzte, ja sogar -jede praktische, und nur auf Bitten des Hiero und schliesslich bei -der Verteidigung seiner Vaterstadt sein technisches Genie betätigte. -In den tiefsten rein wissenschaftlichen Spekulationen fand er seine -Befriedigung und im ganzen späteren Altertum wurde ein schwieriges -Problem Archimedeon problema genannt vergl. ¨Cicero¨ ep. ad Atticum 12, -4; 13, 28 etc. (¨Bunte¨, Progr. Leer 1877, ¨Heiberg¨, Quaest. Archim. -1879). Und auch sein Tod soll nach mehrfach beglaubigter Angabe eine -Folge seiner Vertiefung in die Wissenschaft gewesen sein. Jedenfalls -war er nach dem schmucklosen und glaubhaften Bericht des ¨Livius¨ so -tief in Gedanken versunken, dass er die Einnahme von Syrakus nicht -bemerkt hat. Das »Noli turbare circulos meos« (Störe ja nicht meine -Kreise) geht auf Tzetzes zurück oder richtiger auf Diodor., die andere -Version, die G. Valla nach Zonaras berichtet, lautet: παρα ταν κεφαλάν -και μα παρα ταν γραμμάν (Verletze den Kopf, aber nicht meine Linie). - -Niemals ist das Wesen des Archimedes treffender verkündet worden, als -es Schiller, Dichter und Prophet im Horazischen Sinne, mit dem Epigramm -»Archimedes und der Schüler« vermocht hat. - - Zu Archimedes kam ein wissbegieriger Jüngling, - Weihe mich, sprach er zu ihm, ein in die göttliche Kunst - Die so herrliche Frucht dem Vaterlande getragen - Und die Mauern der Stadt vor der Sambuca beschützt. - Göttlich nennst du die Kunst? Sie ist's, versetzte der Weise, - Aber das war sie, mein Sohn, eh' sie dem Staat noch gedient. - Willst du nur Früchte von ihr, die kann auch die Sterbliche zeugen, - Wer um die Göttin freit, suche in ihr nicht das Weib. - -Die Sambuca war eine von Marcellus mit grossen Kosten erbaute gewaltige -Maschine, durch welche die Mauern der Achradina, der Seefestung von -Syrakus, in der vermutlich Archimedes selbst wohnte, zertrümmert werden -sollte. Archimedes zerstörte die Sambuca durch drei hintereinander -folgende Würfe. Seine Maschinen (organa), Wurfmaschinen -- Katapulte -und Ballisten --, und eiserne Krane, die mit ihrem Arm die Schiffe der -Römer ergriffen, hochhoben und mit furchtbarer Gewalt fallen liessen, -wirkten derart, dass die Römer, sobald nur ein Seil sichtbar wurde, -davonliefen. Plutarch lässt Marcellus sagen: Sollten wir nicht aufhören -gegen den mathematischen Briareus, den hundertarmigen Giganten zu -kämpfen. Und er hob tatsächlich die Belagerung auf und schloss die -Stadt nur ein, welche erst durch Verrat und Überrumpelung in seine -Hände fiel. - -Aus dem Leben des Archimedes steht soviel fest, dass er, vermutlich -im Mannesalter, in Alexandria war, und dort wenn auch nicht unter -Euklid selbst aber unter Schülern des Euklid studierte. Es ist nicht -unwahrscheinlich, dass er bei dem ausgezeichneten Mathematiker und -Astronom ¨Konon¨ aus Samos hörte, mit dem er befreundet war und dem -er später seine Entdeckungen zusandte, wie er selbst berichtet. Nach -Pappos (Collect. I p. 234) ist ¨Konon¨, von dessen Schriften nichts -erhalten ist, der Entdecker der ¨Archimedischen Spirale¨ gewesen -(s. u.). Auch mit ¨Eratosthenes¨ muss Archimedes dort verkehrt haben, -das berühmte »Rinderproblem« ist an jenen gerichtet, und wenn auch die -Verse des Epigramm nicht echt sein mögen, das Problem selbst und die -Sendung an den Alexandriner zu bezweifeln liegt kein Grund vor. Seit -Sommer 1906 ist der Verkehr zwischen beiden Mathematikern durch das -von ¨J. L. Heiberg¨ entdeckte »Ephodion« (s. u.), erwiesen. Dort in -Alexandria hat er die berühmte Schraube erfunden, die κοχλιας, nach -der Schnecke mit gewundenem Gehäuse, der Purpurschnecke Kochlos, aber -auch Helix genannt wurde, mit der das Wasser aus dem Nil auf die Felder -gehoben wurde. - -Zurückgekehrt beschäftigte er sich mit den subtilsten mathematischen -Untersuchungen, insbesondere mit Ausbildung der infinitesimalen -Methoden und nur zu seiner Erholung mit praktischer Mechanik. Berühmt -sind die von Cicero in de republica beschriebenen Globen, von denen -namentlich die Hohlkugel, ein gewaltiges, mit Wasserkraft getriebenes -Planetarium für ein Wunderwerk galt. Es war das einzige Beutestück, das -Marcellus aus Syrakus für sich nahm. Auch die einzige Schrift, welche -Archimedes über Technik verfasst hat, ist nach dem Zeugnis des Plutarch -die Schrift über Anfertigung von Globen, περι σφαιροποιαν. - -Von Archimedes werden zwei Züge autoritär berichtet und besonders der -erste so gut beglaubigt, dass er wahr erscheint. König Hiero liess -unter Leitung des Archimedes ein prächtig ausgerüstetes Riesenschiff -bauen, etwa unsern Salondampfern vergleichbar, das Athenaios (2 Jahrh. -nach Chr., Alexandriner, der uns Auszüge aus sehr vielen verlorenen -Werken in seinen Deipnosophistae-Gastmahle Gelehrter -- erhalten -hat; siehe Details über das Schiff bei ¨Bunte¨ l. c.) ausführlich -beschreibt. Hiero bezweifelte ob man das Riesenschiff vom Stapel lassen -könne, da zog Archimedes mit dem von ihm erfundenen ¨Flaschenzug¨ -allein ein beladenes Schiff, Proklos sagt sogar ¨das¨ Schiff, ans Ufer -indem er sagte: δός μοι πᾷ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινήσω. (Gib mir einen -festen Punkt, und ich will die Erde bewegen.) Proklos (Friedlein p. 63) -berichtet weiter: »Απο ταυτης, εφη, της ἡμερας περι παντος Αρχιμηδει -λεγοντι πιστευτεον«. Und der erstaunte Hiero sagte: Von heute ab mag -Archimedes behaupten was es sei, man muss ihm Glauben schenken. Das -¨Hebelgesetz¨, die Grundlagen der Statik hat unbezweifelt Archimedes -bewiesen vergl. Pappos VIII, 19. - -Die andere Anekdote knüpft an seine Auffindung des Hydrostatischen -Grundgesetzes von der gleichmässigen Fortpflanzung des Druckes in -Flüssigkeiten an, des Archimedischen Prinzip: »Der Auftrieb ist gleich -dem Gewicht der verdrängten Wassermasse«. Sie wird uns von ¨Vitruv¨, -dem bedeutendsten Römischen Baumeister, dem Lehrmeister unserer -Architekten und Ingenieure, in de Architectura IX mitgeteilt. Es ist -die bekannte in jeder Aufgabensammlung stehende Gleichung von der Krone -des Hiero, Proklos nennt l. c. ¨Gelon¨, doch hat ¨H. Heiberg¨ höchst -wahrscheinlich recht, dass richtiger Hieron zu lesen ist, da Proklos zu -Gelon nichts hinzusetzt. Der König glaubte sich von seinem Goldschmied -betrogen, der Silber unter das Gold gemischt, und stellte die Aufgabe, -ohne die Krone aufzulösen, herauszubringen, wieviel Gold und wie viel -Silber die Krone enthalte. Archimedes habe sich im Bade mit dem Problem -beschäftigt und als er das Steigen des Wassers in der Wanne beobachtet, -sei er mit dem Ausruf, εύρηκα, εύρηκα, ich hab's (gefunden) ich hab's, -nackt aus dem Bade gesprungen. Die ganze Badegeschichte fehlt bei -Proklos, der nur angibt, dass jener die ihm gestellte Aufgabe gelöst -habe. - -Sicher steht dagegen die Tatsache, dass Archimedes den Wunsch -ausgesprochen, man möge ihm auf sein Grab eine von einem Cylinder -umschlossene Kugel setzen, mit der Angabe des Verhältnis der Volumina -2 : 3, denn auf diese Entdeckung legte er den grössten Wert, (man -denke an ¨Newton¨ und den Binom). Marcellus hat den Wunsch erfüllt, -Cicero berichtet l. c. dass er, der 75 v. Chr. als Quästor auf Sicilien -seines Amtes waltete, an dieser Inschrift das verfallene Grabmal des -Archimedes erkannt und das Grab wieder in Stand gesetzt habe. - -[Sidenote: Archimedes' Werke.] - -Und nun zu dem, was unsterblich an Archimedes ist, seine Leistungen -und Schriften. Die grosse Bedeutung seiner Entdeckungen für die reine -und angewandte Mathematik haben bewirkt, dass nur ein verhältnismässig -kleiner Bruchteil wirklich verloren gegangen ist, wenn uns auch die -Originalfassungen vielfach fehlen. Archimedes sprach und schrieb im -dorischen Dialekt und seine Schriften sind erst später attisiert. Einen -Teil kennen wir aus arabischen Quellen und lateinischen Übersetzungen. - -Archimedes verdankte seine Leistungen der so seltenen Verbindung -des höchsten experimentellen mit höchstem spekulativen Scharfsinn. -Schon in der Einleitung habe ich das Citat aus ¨Herons¨ Metrika -angeführt und die Auffindung des Kugelvolums, und ebenso ruht, wenn -nicht die Einführung, doch sicher die Benutzung des Schwerpunktes -auf experimenteller Grundlage. Aber was er auf dem Wege des -Experimentes gefunden, das vermochte er zu beweisen mit Hilfe von -Infinitesimalbetrachtungen, die er sehr früh mit vorbildlicher Klarheit -und Schärfe ausgebildet haben muss. Es scheint mir ganz sicher zu -sein, dass sein erster rein mathematischer Vorwurf das Problem der -Bogenteilung und Quadratur des Zirkels, welche ja schon ¨Dinostratos¨ -zusammengezogen hatte, gewesen ist, wenn auch die Kreismessung später -redigiert ist. Dies geht daraus hervor, dass die an ¨Konon¨ gesandten -Sätze über die »Archimedische Spirale« zeitlich so ziemlich das Erste -sind, was er veröffentlicht hat. Die Spirale selbst soll ja Pappos -zufolge Konon und nicht Archimedes gefunden haben, die Benutzung -derselben zur Winkelteilung und Kreismessung und die Auffindung -ihrer Eigenschaften sind sein Eigentum. Die Beweise der Sätze fand -er mit Hilfe des Infinitesimalen, auf Differentialrechnung beruht -seine Konstruktion der Tangente an die Spirale, die nichts anderes -ist als die ¨Roberval-Torricelli¨'sche Methode, auf Integration die -Flächen- und Volumenbestimmung. Freilich sah auch er sich durch die -Rücksicht auf seine Leser genötigt, die Differentialrechnung hinter dem -sogenannten ¨Archimedischen Prinzipe¨ (s. u.) zu verstecken, wie wir -das schon bei ¨Eudoxos¨ konstatierten, sind doch m. E. die Schriften -des ¨Demokrit¨ nur deswegen verloren gegangen, weil sie mangels -Konzessionen an die Beschränktheit nicht verstanden wurden. Eine -der frühesten Anwendung muss der Hauptsatz der κύκλου μέτρησις, der -Kreismessung, gewesen sein, und die Auffassung des Kreises als Grenze -der regulären Polygone. - -[Sidenote: Archimedes' Werke (Ephodion).] - -Wie klar sich Archimedes über die Tragweite der Infinitesimalrechnung -gewesen und wie scharf er den Grenzbegriff erfasst hat, ist jetzt -durch die Wiederauffindung des bis 1907 verloren geglaubten Ephodion -(εφοδιον) erwiesen. ¨J. L. Heiberg¨ hat durch die Entzifferung -des Palimpsest [publiziert in deutscher Übersetzung Eneström Folge -III, 7, 1907 S. 31 ff. und griechisch ¨Hermes¨ 42 Heft 2] auf den -ihn ¨H. Schoene¨, der Auffinder der Metrika des Heron hingewiesen -hatte, seinen ohnehin schon überreichen Verdiensten um die Geschichte -Hellenischer Wissenschaft die Krone aufgesetzt. Er hatte dabei die -Freude die Vermutung die er in dem Quaestiones Archimedeae über den -Inhalt des εφοδιον.εφοδιον 1879 ausgesprochen hatte, 1907 vollbestätigt -zu sehen. Es heisst da: Potius crediderim, εφοδιον esse librum methodi -mathematicae scientiam complectentem ...; εφοδος enim post Aristotelem -significat methodum. - -Die Schrift mag »druckfertig« gemacht sein wann sie will, ihr -wesentlicher Inhalt fällt nicht nur vor Kugel und Cylinder, sondern -bildete mit dem Begriffe des ¨statischen Moments¨ den Ausgangspunkt, -gewissermassen das Leitmotiv seiner ganzen wissenschaftlichen -Tätigkeit, wenigstens soweit Mechanik und Geometrie in Betracht kommen. -In einem Vortrag zu Frankfurt auf der Naturforscherversammlung 1893 -sagte ich schon, dass ¨Galilei¨ so genau an Archimedes anknüpfe, als -habe er bei ihm gehört. Das Ephodion zeigt, dass selbst die Form -Galileis und noch mehr ¨Cavalieris¨, seines Schülers, merkwürdig mit -Archimedes übereinstimmt. Die Renaissance besass gewiss ein ganz -Teil Originaltexte die inzwischen verloren gingen, wie das von der -Sammlung ¨Regiomontans¨ feststeht und von des Archimedes-Schrift -περι οχουμενων., von der übrigens ein grosses Stück sich im selben -Palimpsest vorgefunden hat und es scheint mir wahrscheinlich, dass -ein Exemplar des εφοδιον Galilei und Cavalieri vorgelegen hat. So -ist der Kunstausdruck für das Integral, den auch Leibniz zuerst von -Cavalieri entnommen, »omnia«, eine Übersetzung des »παντα« aus dem -Ephodion, so die Stelle Hermes S. 250 Z. 15-19 von και bis τμημα. und -254, 21 von συμπληχθεντος bis κώνου., welche den Archimedes, der doch -seinen Aristoteles genau genug kannte, wie seiner Zeit Cavalieri dem -Verdacht aussetzten die Fläche als Summe von Linien, den Körper als -Summe von Flächen anzusehen. Die Identität der Exhaustionsmethode -mit der Differentialrechnung hat kein Geringerer als Wallis zuerst -hervorgehoben; ich verweise hierfür auf die 2. Auflage meiner Didaktik -und Methodik, Baumeisters Handbuch IX pg. 168 (1907). - -[Sidenote: Archimedes' Werke (Ausgabe).] - -Archimedes' gesammelte Werke sind griechisch und lateinisch zuerst -1544 bei Herwagen in Basel, der auch in Strassburg eine Druckerei -besass, gedruckt worden, der Herausgeber Thomas Grechauff nennt sich -auf dem Titelblatt nicht. Der lateinische Text ist weit besser als -der griechische, Heiberg macht es wahrscheinlich, dass wir es hier -mit den Verbesserungen Regiomontans zu tun haben und ausserdem hat -noch der von Nürnberg aus 1529 nach Strassburg berufene ¨Christian -Herlin¨ wesentlichen Anteil. Das Exemplar, welches nach mannigfachen -Schicksalen jetzt die Bibliothek des Lyceums ziert, kann sehr wohl -Herlins eigenes Exemplar gewesen sein, der ursprünglich als Städtischer -Rechenmeister, dann als erster Mathematiker des ¨Sturmschen¨ (jetzigen -Protestantischen) Gymnasium bis 1562 in Strassburg wirkte. Die nächste -Gesamtausgabe griechisch und lateinisch ist die Oxforder Ausgabe in -Riesenformat des Giuseppe Torelli von 1792, sie wäre ein Meisterstück -geworden, wenn nicht der 1781 im 61. Lebensjahr erfolgte Tod des -hervorragenden Gelehrten die endgültige Ausgabe in die Hand des -Engländers Abraham Robertson gelegt hätte, der sie vergl. ¨Heiberg¨, -Quaest. Arch. p. 110 und ¨E. Nizze¨ p. IX verdorben hat. Heiberg -erwähnt noch wenig rühmend die Ausgabe des Rivaltus Paris 1615 fol., -sie ist aber durch gute Figuren bemerkenswert. ¨Torelli¨ hat das -Verdienst, durch Benutzung der ¨Begleitbriefe¨ mit denen Archimedes die -meisten Werke in die Welt gesandt, und der eignen Zitate die Schriften -in chronologisch richtigere Reihenfolge gebracht zu haben, als sie -der ¨Codex Florentinus¨, der wichtigste aller, da der »Archetyp« der -Codex des ¨Georg Valla¨ (Heib. Praef.) seit 1544 noch nicht wieder zum -Vorschein gekommen ist, und mit ihm die andern enthalten. - -Es folgt als letzte und beste die Ausgabe von ¨I. L. Heiberg¨ Teubner -1880-81, ebenfalls mit dem Kommentar des Eutokios, griechisch und -lateinisch, Heiberg bereitet auf Grund des von ihm entzifferten -Palimpsest (s. o.) eine zweite Auflage vor. - -[Sidenote: Archimedes' Werke (Übersetzungen, Kommentare).] - -Von Übersetzungen hebe ich hervor die lateinische des Federico -Commandino Venedig 15., der schon als Euklidübersetzer gerühmt werden -musste; die deutsche des Altdorfer Professor ¨Chr. Sturm¨, den ich in -der Didaktik und Methodik so vielfach erwähnen musste, den Verfasser -der Mathesis juvenilis, die ¨französische¨ von ¨F. Peyrard¨ 1807 mit -einem Anhang ¨Delambres¨ über griechisches Zahlenrechnen (Logistik) und -die vortreffliche des Stralsunder ¨Ernst Nizze¨ von 1824 mit wichtigen -kritischen Anmerkungen, in denen auch der Kommentar des Eutokios -»des einzigen, der aus dem Altertum selbst rührt« (Nizze p. VII) -berücksichtigt ist. Über ihn sagt die Florentinus (Heiberg, Quaest. p. -113): - - Ευτοκιου πινυτου γλυκερος πονος, ὁν ποτ' εκεινος - γραψεν, τοις φθονεροις πολλακι μεμψαμενος. - - Treffliche Arbeit des weisen Eutokios, einstens geschrieben, - Welche die Neider des Manns öfter [mit Unrecht] geschmäht. - -Ich wage es übrigens zu sagen, dass die einleitenden Worte Heib. B. 3, -p. 2 zu frei übersetzt sind, ich würde »η δια την δυσκολιαν οκνησας« -wiedergeben: »obwohl die Schwierigkeit mich zaudern liess«, den -Superlativ »verisimillimum« als Übersetzung von πανυ εικος mit »nicht -unwahrscheinlich« und das reizende »ει τι και παρα μελος δια νεοτητα -φθενξομαι.« »und wenn ich auch meiner Jugend wegen ab und an falsch -singen würde« etc. Leider hat ¨Eutokios¨ nur No. 1, 3, 4 der Schriften -kommentiert. - -[Sidenote: Archimedes' Werke (Reihenfolge).] - -Die jetzt festgehaltene Reihenfolge der Schriften ist: - -1) επιπεδων ισορῥοπιων α, Buch I vom Gleichgewicht der Ebenen -(Flächen). - -2) τετραγωνισμος τας ορθογονιου τομας, Quadratur der Parabel. - -Über die Dorischen Eigenarten s. Heibergs Quaest. Arch. Cap. V. - -3) επιπεδων ισορροπιων β, Buch II vom Gleichgewicht der Ebenen -(Flächen) oder vom ¨Schwerpunkt¨ derselben. - -4) περι σφαιρας και κυλινδρου αβ, 2 Bücher von der Kugel und dem -Cylinder. - -5) περι ἑλικων, über die Schneckenlinien (Archimedische Spirale). - -6) Über Konoide und Sphäroide (Über Rotationsflächen 2. Grades). - -7) κυκλου μετρησις, die Kreismessung. - -8) ψαμμιτης, der Sandzähler, lateinisch arenarius. - -9) περι οχουμενων, über schwimmende Körper. 2 Bücher, bis vor kurzem -nur lateinisch erhalten. - -10) προβλημα βοων, das Rinderproblem, bis vor kurzem (bis vor -Entdeckung des Pariser Codex) bezweifelt. - -11) εφοδιον, Methodik, das oben besprochene, jetzt erst wieder zum -Vorschein gekommene Werk, welches ¨H. Zeuthen¨ l. c. vor No. 4 ansetzt, -ich vermute, dass Heiberg in seiner neuen Ausgabe mit dem εφοδιον -beginnen wird, da er jetzt schon die Schriften nach ihrem sachlichen -Zusammenhang geordnet hat, ohne sich weiter über seine Gründe in der -Vorrede zu äussern. - -Aus dem arabischen Manuskript des ¨Thabit ibn Qurrah¨, der die -Euklidübersetzung des Ishaq ibn Hunein wesentlich verbessert hat, ist -von ¨S. Foster¨ 1659 eine angeblich von Archimedes herrührende Sammlung -von 13 Sätzen herausgegeben unter dem Titel liber assumptorum Λημματα, -Wahlsätze. Dass ein Teil sicher auf ihn zurückgeht, wird durch Pappos -bezeugt. - -Dass der grosse Mann auch ein Kinderspiel »loculus Archimedis« unter -dem Namen στομαχιον., von ¨Drachmann¨ mit Neckspiel (¨Heiberg¨, -Hermes 42, 240) wiedergegeben, ersonnen hatte, wird von ¨Heiberg¨ auf -Grund des Palimpsest von 1906 bestätigt, es bestand (Quaest. Archim. -43, 2) aus 14 teils quadratischen teils dreieckigen Plättchen aus -Elfenbein und hat sich bis heute als das »¨Pythagoras¨« genannte -Zusammensetzspiel erhalten. - -Aus einer verlorenen Schrift hat uns Pappos, Buch V, Kap. 33-36 die -13 sogen. »Archimedischen Körper« erhalten, das sind halbreguläre -Polyëder, begrenzt von abwechselnden regelmässigen Polygonen zweier -Gattungen, worüber man ¨R. Baltzers¨ klassische Elemente nachsehen -möge. Aus dem Umstand, dass Archimedes diese Körper, abgesehen von den -Prismaten, vollständig aufgestellt hat, geht klar hervor, dass er den -sogen. ¨Euler'schen¨ Satz e + f = k + 2 kannte, wie es ja auch ziemlich -sicher ist, dass er die bei Pappos gegebene sogen. ¨Guldinsche¨ Regel -vom Volumen der Rotationskörper kannte. - -Bis auf minimale Spuren verloren sind περι ζυγων, über Wāgen, -κεντροβαρικα. κατοπτρικα περι σφαιροποιας, welche von Pappos, Theon und -Proklos erwähnt werden. - - -Analyse der Schriften des Archimedes. - -[Sidenote: Analyse der Schriften des Archimedes.] - -Dieselbe wird dadurch erleichtert, dass sie Archimedes selbst gleich in -der Einleitung gibt. - -Ich beginne mit der Quadratur der Parabel von Archimedes (s. o.) -»Schnitt des rechtwinkligen Kegels« genannt. Aus Euklids Konika -schickt er 3 Sätze als bekannt voraus. I. Wenn ¯ABC¯ eine Parabel, -die Gerade ¯BD¯ entweder der Axe (Durchmesser) parallel oder die Axe -selbst ist, und wenn ¯ADC¯ der berührenden an dem Punkte Β der Parabel -(Scheiteltangente des Durchmessers) parallel ist, so wird ¯AD¯ = ¯DC¯ -sein, und wenn ¯AD¯ = ¯DC¯ ist, so werden ¯ADC¯ und die berührende an -dem Punkt Β der Parabel parallel sein. - -II. Die Tangente im Endpunkt einer Sehne schneidet den konjugierten -Durchmesser so weit hinter dem Scheitel wie die Sehne vor. - -III. Die Quadrate zweier paralleler Sehnen verhalten sich wie ihre -Abstände vom Scheitel des konjugierten Durchmessers. - -Es folgt dann die Quadratur mittelst der Sätze der Statik aus dem 1. -Buch des »Gleichgewicht der Ebenen« ¨unter Bildung des statischen -Moments¨ und dann von Satz 18 bis 24 die Quadratur in bekannter Weise -als: Σ 1/4^n wobei der strenge Beweis durch das Archimedische Prinzip -gegeben wird. Das Interessanteste ist wohl die Vorrede: - -Archimedes wünscht dem Dositheos Wohlergehen. Mit der Nachricht von -dem Tode des ¨Konon¨, der mir aus dem Freundeskreise noch übrig -geblieben war, verband sich die, dass du sein Vertrauter gewesen und -ein geschickter Geometer bist. In der Trauer über den Verstorbenen, -der mir lieb war und ein bewunderungswürdiger Mathematiker, fasste ich -den Entschluss, wie sonst mit ihm, so jetzt mit dir in schriftliche -Verbindung zu treten und dir ein bisher nicht aufgestelltes -geometrisches Theorem zu senden, das jetzt von mir bewiesen ist und -zwar wurde es zuerst statisch gefunden, dann aber auch geometrisch -bewiesen. - -[Sidenote: Quadratur der Parabel.] - -Einige von denen, welche sich früher mit Geometrie beschäftigten, -unterfingen sich zu schreiben es sei möglich eine geradlinige Figur zu -finden, welche einem gegebenen Kreise oder Kreisabschnitt gleich sei. -Danach versuchten sie auch die Ellipse zu quadrieren [Ellipse gleich -ολα τομα του κωνου., die beiden andern ατελής d. h. unvollendbar] -unter Annahme von Sätzen, die man ihnen nicht wohl zugestehen konnte. -Doch hat meines Wissens keiner von den früheren versucht den von -dem Schnitt des rechtwinkligen Kegels [= Parabel] und einer Geraden -umschlossenen Raum zu quadrieren, was jetzt von uns aufgefunden ist. -Denn es wird gezeigt, dass jedes Parabelsegment 4/3 des Dreiecks ist, -das mit ihm gleiche Grundlinie und Höhe hat, unter Annahme folgenden -Hilfssatzes: ¨Der Unterschied zweier Flächen einer grösseren und einer -kleineren kann durch Vervielfältigung jede vorgelegte begrenzte Fläche -übertreffen.¨ -- - -[Sidenote: Archimedes' Werke (Prinzip; Kugel und Cylinder).] - -Dies ist also das ¨Archimedische Prinzip¨ in Originalfassung. - -Es kommt noch einmal vor am Schluss der Einleitung zu der Spirale Heib. -II, 14, wörtlich wie hier, nur dass es auch noch auf lineare Grössen -ausgedehnt ist; in Kugel und Cylinder Heib. 1, 10, ε ist es auch auf -Körper ausgedehnt, vergl. darüber Eudoxos. - -II. Kugel und Cylinder. - -»Archimedes grüsst den Dositheos. Früher habe ich dir brieflich das -damals mehrfach behandelte Theorem, dass jedes Parabelsegment 4/3 des -Dreiecks ist, das mit ihm gleiche Grundlinie und Höhe hat, mit den -Beweisen zugesandt. Danach bin ich auf einige noch nicht bewiesene -Sätze gestossen und habe die Beweise ausgearbeitet. Es sind folgende: -Erstens, dass die Oberfläche der Kugel das Vierfache ihres grössten -Kreises ist, sodann, dass der Fläche jedes Kugelsegments ein Kreis -gleichkommt, dessen Radius[1] gleich der Verbindungslinie des Scheitels -mit einen Punkt des Grundkreises ist; dazu kommt der Satz, dass jeder -Cylinder der den grössten Kreis zur Basis und den Kugeldurchmesser zur -Höhe hat, das anderthalbfache der Kugel ist, wie seine Oberfläche von -der der Kugel«. - -[1] Der Radius heisst ἡ ἐκ τοῦ κέντρου; zu ergänzen ist γραμμή die -Linie aus dem Zentrum, das Wort Radius ακτις kommt, vergl. ¨Simon¨ -Euklid 1901, p. 80 Anmerk. 1 zuerst bei Cicero. Timaeus cap. VI vor. - -Es folgt dann die schon bei Eudoxos erwähnte Stelle über die Sätze mit -denen dieser die Demokritische Formel über die Volumina der Pyramiden -und Kegel bewiesen hatte. Wichtig sind die Annahmen, die sich an die 6 -Axiome der Einleitung anschliessen. - -1) Von den Linien, welche dieselben Endpunkte haben, ist am kürzesten -die Gerade. - -¨Archimedes hat auch nicht im mindesten die Absicht mit dieser -Forderung eine Definition der Geraden zu geben.¨ - -2) Von zwei nach denselben Seiten hohlen (gekrümmten) Verbindungslinien -zweier Punkte ist die umschlossene die kleinere. - -3) Ebenso ist von den Flächen, welche dieselben Grenzen haben, falls -diese Grenzen in einer Ebene liegen, die Ebene die kleinste. - -4) Von zwei solchen Flächen, welche nach derselben Seite hohl sind, ist -die umschlossene die kleinere. - -5) Auch ist bei ungleichen Linien, Flächen oder Körpern der Unterschied -so beschaffen, dass es durch Vervielfältigung desselben möglich ist -jede Grösse derselben Art zu übertreffen. - -¨No. 5 ist das Archimedische Prinzip in allgemeinster Fassung.¨ - -Es folgt dann die Integration oder Quadratur der Kugelfläche in der -auch in unsern Elementarbüchern leider noch oft gegebenen Weise als -Grenze einer Summe von Kegelmänteln und die des Kugelvolumens durch -den Satz eine von Kegelflächen begrenzte Figur die in eine Kugel -eingeschrieben ist, ist gleich einem Kegel, dessen Grundfläche die -Fläche der eingeschriebenen Figur ist, und dessen Höhe gleich dem Lot -vom Zentrum auf die Kante eines der Kegel ist; also als Grenzfall: -Kugel = Kegel dessen Grundfläche die Kugel, dessen Höhe der Radius ist. - -[Sidenote: Archimedes' Kreismessung.] - -Im Ephodion II hat Archimedes dann uns verraten, dass er erst das -Kugelvolumen mittelst Integration (durch geschickte Benutzung des -Hebelsatzes, die heute überflüssig ist) gefunden hat und dann die -Kugelfläche wie wir, durch den Satz, dass die Kugel eine Pyramide ist, -welche die Fläche zur Grundfläche und den Radius zur Höhe hat, der -heute jedem mit Grenzbetrachtung vertrauten Primaner einleuchtet. -Zugleich berichtet er uns in der Anmerkung, dass die ¨Kreisberechnung¨ -ihn auf diesen Gang geführt und man sieht, dass die Kreisberechnung -faktisch der Kugelberechnung voranging, was ich schon in der Vorlesung -von 1903 gesagt hatte. - -Archimedes hat wohl mit Fug und Recht das Buch I der Sphaira als -seine bedeutendste Leistung angesehen, obwohl er u. a. im zweiten -Teil unter No. 5 die Aufgabe löste von einer Kugel durch einen ebenen -Schnitt einen gegebenen Bruchteil abzuschneiden, die auf eine Gleichung -dritten Grades und zwar auf den casus irreducibilis führt und in enger -Beziehung zur Winkelteilung steht. - -Das Eindringen in die Prinzipien der Integralrechnung und seine -Kenntnis der Integrale rationaler Integranden tritt am deutlichsten -in der Abhandlung No. 4 über Konoide und Sphäroide hervor, d. h. -über Rotations-Paraboloide und -Hyperboloide (Konoide) und -Rotations-Ellipsoide (Sphäroide). Hier quadriert er auch die Ellipse, -den Schnitt des spitzwinkligen Kegels, und zeigt, dass er die Gleichung -der auf ihre konjugierten Axen bezogenen Ellipse und Hyperbel kennt. - -Ich komme zur κυκλου μετρησις, sie ist dem Wesen nach schon vor der -sphaera entstanden, aber später redigiert. (Vorlesung 1903.) Sie -beginnt mit dem wieder auf das Prinzip gestützten Nachweis, dass der -Kreis gleich einem Dreieck, dessen Grundlinie die Peripherie und dessen -Höhe der Radius ist. Es wird wohl niemand mehr bezweifeln, dass er das -gleichschenklige Dreieck, dessen Grundlinie das Bogenelement ist, als -Differential und die Kreisfläche selbst als Integral ansah, wodurch -es sich auch erklärt, dass er die Existenz eines solchen Dreiecks bei -seiner Verkleidung der Infinitesimalrechnung stillschweigend annahm. -Durch diesen Satz I hat Archimedes die Probleme der Quadratur und -Rektifikation des Kreises vereinigt. Die beiden Sätze, welche gestatten -die Kette der ein- und umgeschriebenen regulären 2^k n Ecke beliebig -weit fortzusetzen, sind heute Inventar unserer Schulgeometrie. Die -Arbeit gipfelt in dem berühmten Satz III, den ¨Ulrich v. Wilamowitz¨ in -sein Übungsbuch aufgenommen hat: - -Παντος κικλου ἡ περιμετρος της διαμετρου τριπλασιων εστι, και ετι -ὑπερεχει ελασσονι μεν η ἑβδομω μερει της διαμετρου, μειζονι δε η δεκα -ἑβδομηκοστομονοις., wo dann in den griechischen Zahlwörtern und den -Dativen ελασσονι etc. jedes Philologenherz schwelgen kann. »Jedes -Kreises Umfang ist des Durchmessers Dreifaches und geht darüber hinaus -durch einen Teil des Durchmessers der geringer ist als ein Siebentel -und grosser als 10 Einundsiebzigstel.« Ausgegangen wird vom 6 Eck, -als Grenze dient das ein- und umgeschriebene 96 Eck. Wie er die -Quadratwurzeln mit solcher Genauigkeit gezogen, steht noch nicht fest, -doch hat er sich vermutlich eines Kettenbruch ähnlichen Algorithmus -bedient und vermutlich auch die Formel gekannt - - a ± b/(2a) > √(a^2 ± b) > a + b/(2a ± 1) - -[Sidenote: Spirale.] - -Für Kreismessung und Kugel-Cylinder sind die Handschriften am -verdorbensten. Eng an die Kreismessung schliesst sich die Schrift περι -ἡλικων, ¨über die Archimedische Spirale¨, erzeugt durch einen Punkt -Μ, der sich gleichförmig auf einem sich gleichförmig drehenden Radius -bewegt. Da die Gleichung der Kurve in Polarkoordinaten r = a . Θ, wo -a2π gleich der Strecke ΑΘ ist, welche Μ auf dem Radius während eines -vollen Umlaufs zurücklegt, so gibt die Kurve sowohl den Kreisumfang als -auch jede beliebige Bogen- oder Winkelteilung. Sie wird mit den denkbar -einfachsten geometrischen Mitteln behandelt, noch elementarer als in -der kleinen analytischen Geometrie, Sammlung ¨Göschen¨ No. 65, auch der -Flächeninhalt durch Integration des Polarflächenelements 1/2 r^2 dΘ -ermittelt. Die Einleitung ist für die Datierung der Werke wichtig, sie -wiederholt die vor langen Jahren an Konon gesandten Sätze, darunter -zwei Vexiersätze, es heisst: Es trifft sich, dass darunter zwei Platz -gefunden haben, welche eine Erfüllung (nämlich der Forderung sie zu -beweisen) vermissen lassen, damit die Leute, welche behaupten, sie -könnten alles finden, während sie doch keinen Beweis herausbringen, -überführt werden, dass sie hier mal eingestanden haben, das Unmögliche -zu finden. - -[Sidenote: Archimedes: Ephodion.] - -Über das ἐφόδιον habe ich schon Einiges gesagt. Es führt im Palimpsest -¨Heiberg¨, Hermes 42 p 243 den Titel Archimedous peri tōn mechanikōn -Theōrematōn pros Eratosthenen ephodos; seine Existenz war bis 1903 nur -durch eine Stelle des Lexikographen ¨Suidas¨ bekannt, und 1903 durch -ein Zitat in dem von Schoene herausgegebenen Codex Constantinopolitanus -der Metrika des Heron von Alexandria. Die beiden von Heron angeführten -Sätze über die kubierbaren Körper, den Cylinderhuf und den Schnitt -zweier im selben Würfel eingeschriebener Cylinder mit aufeinander -senkrechten Achsen werden gleich in der Einleitung als Hauptleistungen -des έφοδος, der Methode, angeführt. Den ersten Satz habe ich als -Primaner unter ¨Bertram¨, der ihn wohl durch ¨Schellbach¨ kannte, -selbst bewiesen, und seit 1873 meinen Primanern fast regelmässig -vorgesetzt. Wer ihn wieder aufgefunden weiss ich nicht, vielleicht -¨Luca Valerio¨ »der zweite Archimedes«. Als Beispiel der Methode gebe -ich die Kugelberechnung, aus der sowohl die Kunst des Archimedes als -auch die eigenartige Verquickung von Statik und Differentialrechnung in -der Methode auf das deutlichste hervorgeht. - -[Sidenote: Archimedes: Ephodion, daraus Kugelberechnung.] - -[Illustration] - -II. Dies (die Parabelquadratur) ist zwar durch das jetzt Gesagte nicht -voll bewiesen, aber es gibt doch gewissermassen den Nachweis, dass die -Schlussfolge richtig sei etc. Dass aber jede Kugel das vierfache (im -Text fehlt der Doppellängsstrich über das δ von διπλασια) des Kegels -ist, der zur Basis den grössten Kugelkreis und zur Höhe den Kugelradius -hat und von dem Cylinder, der den grössten Kugelkreis zur Basis und -eine Höhe gleich dem Kugeldurchmesser hat, das anderthalbfache ist, -wird folgendermassen nach dieser Methode erschaut. Gegeben eine -Kugel, in welcher ein grösster Kreis αβγδ (s. Fig.) αγ u. βδ seine -zwei aufeinander senkrechte Durchmesser, und um den Durchmesser βδ -sei der auf den Kreis αβγδ senkrechte Kreis gezogen und von diesem -senkrechten (Kreis) aus, sei ein Kegel beschrieben der seinen Scheitel -im Punkte α habe und nachdem seien Oberfläche ausgezogen soll der -Kegel geschnitten worden sein von einer Ebene durch γ parallel zur -Basis. [Sie wird aber einen Kreis schaffen senkrecht auf] αγ, und -sein Durchmesser [ist ζε]. Und von diesem Kreis aus soll ein Cylinder -angeschrieben worden sein, der eine Achse hat (άξονα) welche αγ -gleich ist, und Kanten des Cylinders solle ελ und ζη sei. Und γα ist -verlängert worden (eig. weiter geworfen, vom Seil mit dem die Gerade -ursprünglich konstruiert wurde) und es wurde ihr gleich gesetzt αθ -(κειμαι ist hier nicht liegen, sondern wie häufig Passiv von τιθημι -setzen), und es werde γθ als Wagebalken gedacht dessen Mitte Punkt α, -und es sollte irgend eine Parallele gezogen werden zu βδ, die Linie μν -(wörtlich die für βδ vorhanden seiende), und sie soll den Kreis αβγδ -schneiden in den Punkten ξ und ο [Punkt wird durch den Strich über ξ -und ο angedeutet] und den Durchmesser αγ in σ und die Gerade αε in π, -und αρ in ρ und von der Geraden μν aus soll eine Ebene senkrecht zu -αγ gestellt worden sein. Diese wird nun in dem Cylinder als Schnitt -bewirken [den Kreis dessen Durchmesser μν sein wird und in der Kugel -αβγδ] den Kreis dessen Durchmesser ξο sein wird und in dem Kegel αερ -den Kreis dessen Durchmesser πρ sein wird. Weil nun das Rechteck aus μσ -und σπ -- denn αγ ist gleich σμ und ασ gleich πσ -- und das Rechteck -aus γα und ασ gleich ist den Quadrat über αξ, das heisst ξσ^2 plus -σπ^2, so ist folglich das Rechteck aus μσ und σπ gleich ξσ^2 + σπ^2. -[Ich bemerke dass Zeile 22 am Schluss statt α gelesen werden muss -ὑ.] Und weil γα : ασ wie μσ : σπ und γα gleich αθ, folglich θα : ασ = -μσ : σπ, d. h. gleich μσ^2 : μσ . σπ. Das Rechteck aus μσ und σπ wurde -gleich erwiesen ξσ^2 + σπ^2; also αθ : ασ wie μσ^2 : (ξσ^2 + σπ^2) -wie μν^2 : ξο^2 + πρ^2. Sowie μν^2 : ξο^2 + πρ^2 so verhält sich der -Kreis im Cylinder mit dem Durchmesser μν zu der Summe der Kreise, des -im Kegel mit Durchmesser πρ und des in der Kugel dessen Durchmesser -ξο. Also θα : ασ so wie der Kreis im Cylinder zu den (beiden) Kreisen -(zusammen) dem in der Kugel und dem im Kegel. ¨Wegen dieses Verhältnis -von θα : ασ wird der Cylinderkreis in bezug auf Punkt α den beiden -Kreisen zusammen mit den Durchmessern ξο und πρ, fortgetragen und so -zu θ gesetzt, dass θ der Schwerpunkt jedes der beiden Kreise ist, -das Gleichgewicht halten¨ etc. ... »Nachdem nun der Cylinder von dem -angenommenen Kreise ¨ausgefüllt¨ ist«. Wegen dieser selbstverständigen -Abkürzung, die auch heute noch wohl jeder, der den Satz und Beweis in -der Prima vorträgt, gebrauchen wird, ist ¨ein Archimedes beschuldigt¨ -worden, den Körper gleich der Summe von Flächen, wie aus gleichem -Grunde bei Satz I, der Parabelquadrierung, die Fläche als Summe von -Linien angesehen zu haben, hundert Jahre nach Aristoteles und noch dazu -wohl kurz nach seinem Weggang aus Alexandrien, wo doch wahrlich ein -strenger Dogmatismus herrschte! Heranzuziehen ist aus der Einleitung -des Arenarius die Stelle 63. 2, επει γάρ το τάς σφαιρας κέντρον -ουδέν έχει μέγεθος etc.) wird der Cylinder im Punkte α der Kugel und -dem Kegel zusammen das Gleichgewicht halten. Da der Schwerpunkt des -Cylinders im Punkte κ liegt und der der beiden andern Körper in θ, -so wird nach dem Hebelgesetz, das in ἑπιπεδων ἱσορροπιων I bewiesen -ist, der Cylinder doppelt so gross sein, als die beiden andern Körper -zusammen. Mit diesem Nachweis ist das Theorem, da der Kegel nach -¨Demokrit¨ und ¨Eudoxos¨ 1/3 des Cylinders ist, der mit ihm gleiche -Grundlinie und Höhe hat, im wesentlichen bewiesen. Man sieht auch, -dass das Buch I vom Schwerpunkt ebener Flächen der Ausgangspunkt für -Archimedes gewesen und dass er um Buch II schreiben zu können seine -Differentialrechnung ausbilden musste, ich setze daher das Ephodion -gleich hinter Buch I der Konzeption nach. -- - -[Sidenote: Archimedes: Die zwei Bücher vom Schwerpunkt.] - -¨Buch I der Schrift über den Schwerpunkt¨ ist die erste von Archimedes -veröffentlichte Schrift, ¨Nizze¨ vermutet wohl richtig, dass sie dem -¨Konon¨ gewidmet gewesen, sie ist auch inhaltlich wohl die erste -gewesen. Sie ist vermutlich kurz nach des Archimedes Rückkehr in die -Heimat verfasst worden, denn er war unter dem Einfluss der stark auf -angewandte Mathematik gerichteten Alexandrinischen Schule, wie auch aus -der Erfindung der κοχλιας hervorgeht, viel mit Mechanik beschäftigt. -Es ist vom Standpunkt der reinen Mathematik zu bedauern, dass er seine -Differentialrechnung von vornherein mit statischen Ideen belastet hat. -Der Inhalt dieses ersten Buches fehlt in keinem elementaren Schulbuch -der Physik, das Hebelgesetz selbst ist in Satz 6 und 7 auseinander -gezogen, da es für kommensurable und inkommensurable Massen gesondert -bewiesen wird, es wird Buch II, 1 noch einmal bewiesen, mit Hilfe der -einfachsten Sätze über den Schwerpunkt des Parallelogramms I, 9 und 10. -Den Begriff Schwerpunkt definiert er nicht, da er ihn als dem Konon -bekannt voraussetzt. - -[Sidenote: Schwerpunkt II.] - -Buch II beschäftigt sich im wesentlichen mit parabolischen Flächen, -es zeigt vor allem eine ausserordentliche Vertrautheit mit dem -Proportionenkalkül, sicher ein Rüstzeug aus der Alexandrinischen -Schule, doch ist es von geringerer Wichtigkeit wie Buch I. Die beiden -Bücher über ¨schwimmende Körper¨ gehören zu seinen grössten Leistungen, -sie enthalten die unverrückbare Grundlage der Hydrodynamik, auch ¨ihr¨ -Inhalt ist uns in succum et sanguinem übergegangen. Annahme I, Satz -6 und 7 enthalten die eigentlichen Prinzipien und werden heute als -¨Archimedisches¨ Prinzip bezeichnet. Unter Gewicht ist, wie Nizze -bemerkt, immer das spezifische Gewicht zu verstehen. Buch II wiederholt -das Prinzip und geht dann auf die speziellen Fälle in Flüssigkeiten -eingetauchter Umdrehungsparaboloide ein. Die Annahme 11 von Buch I -ist keine genügend klare Fassung des Prinzips von der gleichmässigen -Fortpflanzung des Druckes in Flüssigkeiten. Buch II ist für die -Beurteilung der vis mathematica des Archimedes von hohem Wert und seine -Theorie der Hydrostatik ist auch für beliebige Körper anwendbar. - -Das Werk hat ein eigentümliches Schicksal gehabt. Der Dominikanermönch -Wilhelmus de Morbeca hat es um die Mitte des 13. Jahrh. aus -griechischem Text lateinisch übersetzt; ob dem Verfasser des general -trattato, Nik. Tartaglia, ein griechischer Codex vorgelegen, ist -nicht sicher, er gab Buch I lat. 1543 (Venedig) heraus und aus seinem -Nachlass veröffentlichte Trojanus Curtius 1565 das zweite Buch. Jetzt -berichtet ¨Heiberg¨ dass der Palimpsest den Text von περι οχουμενων -fast vollständig enthält und konnte daraufhin schon die Unechtheit des -von ¨A. Mai¨ aus Vatikanischen Codices edierten Fragments, Forderung 1 -und die 8 ersten Sätze, feststellen. - -[Sidenote: Wahlsätze.] - -Von den ¨Wahlsätzen¨, dem liber assumptorum sind als echt erwiesen -die Sätze über den Arbēlos, das Schustermesser und über die -fälschlich Wogenfläche, richtiger Eppigblatt genannte Fläche σέλινον. -Meine Didaktik und Methodik weist die Lehrer auf diese bei der -Kreisberechnung in Secunda so erwünschten Aufgaben hin. Für den Arbēlos -verweise ich auf meine Entwicklung der Elementar-Geometrie (1906) No. -9 p. 87 f. Die 15 Sätze sind aber alle miteinander für den Unterricht -sehr verwendbar, sie machen übrigens durchaus nicht den Eindruck, als -ob sie von verschiedenen Autoren herrühren und können ganz wohl aus -einem Buch des Archimedes über Kreisberührungen stammen. - -[Sidenote: Archimedes: Arenarius (Sandzähler).] - -Von arithmetischen Werken ist unzweifelhaft in der Fassung des -Archimedes nur ein einziges erhalten, der ψαμμίτης, ¨arenarius, der -Sandzähler¨. Die Einleitung der an den König Gēlon, den Sohn des Hiero -gerichteten Schrift lautet: - -»Es glauben manche, König Gēlon, des Sandes Zahl sei unendlich der -Menge nach, ich spreche aber nicht nur von dem um Syrakus und das -übrige Sizilien, sondern auch von dem auf jedem Raum, bewohnten wie -unbewohnten. - -Es gibt aber auch Leute, welche zwar nicht annehmen, dass derselbe -unendlich sei, aber doch, dass keine aussprechbare Zahl existiere, -welche die Menge des Sandes überträfe. Wenn diejenigen, welche solche -Ansicht haben eine aus Sand zusammengesetzte Kugel sich denken würden, -so gross im übrigen wie die Erdkugel, aber so, dass auf dieser alle -Meere und Höhlungen bis zur Höhe der höchsten Berge ausgefüllt würden, -so würden sie noch viel mehr der Meinung sein, dass keine Zahl genannt -werden könne, welche die Menge des Sandes ihrer Kugel überträfe. -Ich aber will versuchen dir durch mathematische Beweise, welchen du -beipflichten wirst, zu zeigen, dass unter den von mir benannten Zahlen, -welche sich in meiner Schrift an den Zeúxippos finden, einige nicht -nur die Zahl des Sandes übertreffen, der die Grösse der Erde hat, -ausgefüllt so wie wir gesagt haben, sondern auch dessen, der die Grösse -des Weltalls hat. - -Du weisst ja, dass die meisten Astronomen unter Kosmos eine Kugel -verstehen, deren Zentrum das Zentrum der Erde ist und deren Radius -vom Zentrum der Erde bis zum Zentrum der Sonne reicht. Denn dies wird -gewöhnlich geschrieben, wie du von den Astronomen erfahren hast. -¨Aristarch von Samos¨ dagegen gab schriftlich einige Hypothesen -heraus, aus denen, nach dem Vorliegenden hervorgeht, dass die Welt -vielmal grösser sei als die eben genannte. Er nimmt nämlich an, dass -die Fixsterne und die Sonne unbeweglich seien, die Erde aber sich -in einer Kreislinie um die Sonne, welche mitten in der Bahn steht, -herumbewege. Die Kugel der Fixsterne nun, mit der Sonne um dasselbe -Zentrum liegend, habe eine solche Grösse, dass der Kreis, in welchem -nach seiner Annahme die Erde sich bewegt, zur Entfernung der Fixsterne -ein solches Verhältnis hat wie das Zentrum der Kugel zur Oberfläche. -Dies ist nun in seiner Unmöglichkeit ganz offenkundig [Archimedes setzt -nun auseinander, dass Aristarchos das Verhältnis der Erde zur Welt -dem der Kuben der Radien des Erd- und Fixsternkreises gleich erachte, -ein wie Nizze mit Recht hervorhebt absichtliches Missverstehen der -eigentlichen Meinung, dass die Erde gegen die Welt als verschwindend zu -betrachten sei]. Der Schluss lautet: Ich behaupte nun, dass wenn auch -eine Kugel aus Sandkörnern existieren sollte von der Grösse welche nach -der Annahme des Aristarch die Fixsternsphäre hat, auch dennoch von den -in den »Anfangsgründen« (Αρχαι) benannten Zahlen sich einige aufweisen -lassen würden, welche an Fülle die Zahl des Sandes überträfen, der -eine Grösse hat gleich der besagten Kugel, und zwar auf folgenden -Grundlagen.« - -Kulturhistorisch wichtig ist besonders Paragraph 3 und 4, sie zeigen, -wie grundlos das Vorurteil ist, dass die Alten nicht experimentiert -hätten, was z. B. noch ¨Ch. Thurot¨ in den Recherches hist. sur le -princ. d'Arch., Rev. d'Archéol. 1868 B. 18 etc. ausspricht; es ist -dies Vorurteil ebenso unausrottbar wie die Anschauung, dass sie die -Brüche etc. nicht als Zahlen angesehen, oder die Bewegung nicht als -Hilfsmittel für die Konstruktion zugelassen. - -Die »Archai« sind eine verlorene Schrift an den Ζεύξιππος, der wohl zum -Freundeskreis aus der Studierzeit gehörte, sie handelte vermutlich von -der Zahl und dem Zählen. - - -Exkurs über das elementare Rechnen der Griechen. - -[Sidenote: Exkurs über das elementare Rechnen der Griechen (Logistik).] - -Hier ist nun die Stelle, wo ich gezwungen werde auf die griechischen -Zahlzeichen und die praktische Rechenkunst, die Logistik, einzugehen. -Als Quellen führe ich Ihnen an: ¨J. B. J. Delambre¨, Arithm. d. Grecs, -Anhang zu Peyrards Übersetzung des Archimedes von 1807 und noch in -Hist. de l'astron. anc. Par. 1817, ¨Nesselmanns¨ treffliche Algebra der -Griechen nach den Quellen bearbeitet Berl. 1842, leider nur ein Band, -¨G. Friedlein¨ die Zahlzeichen und das elementare Rechnen der Griechen -und Römer, Erl. 1869; ¨F. Hultsch¨ script. Graec. metrol. 1864, -¨S. Günther¨ Gesch. der Math. und Naturw. im Iwan Müller, und dann die -Geschichtswerke. - -Anfänglich sind wie überall Striche die Zahlzeichen, dann zur Zeit -des ¨Solon¨ etwa, bezeichnete man die Zahl mit den Anfangsbuchstaben -des Zahlworts: Π war πεντε (τα) fünf, Δ war δεκα zehn, Η war 100, sie -heissen Herodianisch nach einem späteren Alexandrinischen Grammatiker, -so findet sich z. B. auf der Tafel von Salamis ΗΗΗΔΔΔΔΠΙΙΙΙ = 349. Von -hier aus war zur Annahme des Semitischen Gedankens die Zahlen mit den -Buchstaben des Alphabets zu bezeichnen, nur ein kleiner Schritt, und -diese Methode verbreitet sich von 500 ab. Dabei nahmen sie 3 Buchstaben -des phönicischen Alphabets die Lautabstufung bezeichneten, die -Hellenischer Zunge oder Kehle unaussprechbar waren als sogen. επισημα -(Zusatzzeichen) auf; es sind das ϛ Bau oder Wau für 6, ϙ Koppa für 90 -und sampi ein liegendes ϡ für 900. Sie schreiben also: - - 1 2 3 4 5 6 7 8 9 - α β γ δ ε ϛ ζ η Θ - ι κ λ μ ν ξ ο π ϟ - ρ σ τ υ φ χ ψ ω ϡ - -Die untereinander stehenden Zahlen unterscheiden sich durch den Faktor -10 also 349 gleich τμΘ. - -Sollten die Buchstaben Zahlen bedeuten, so bekamen sie meistens einen -wagerechten Strich oberhalb z, B. ᾱ (die jetzigen Grammatiken ἁ). Die -9 Tausender werden durch die betreffenden Einer mit einem kleinen -Strich darunter dargestellt, also ᾳ...Θι. Das Zeichen für 10000 war M -oder Μυ von Μυριοι Myrioi) 10000 z. B. ϛ/M für 60000. Häufig wird nur -ein Punkt gesetzt z. B. δ.γιυνη ¨gleich¨ 43458. So konnte man bis 9999 -Μυ + 9999 also 10^8 - 1 kommen, griech. ΘιϡϟΘ.ΘιϡϟΘ. Die Brüche wurden -meist nach ägyptischem Vorbild in Stammbrüche zerlegt und dann nur der -Nenner mit einem Akzent geschrieben, also ἡ = 1/8, besondere Zeichen -gab es (Ägypten) für 1/2: ϙ und 2/3: Κ. Wurde der Bruch unzerlegt -hingeschrieben, so deutete man den Zähler durch einen Akzent an und -schrieb den Nenner doppelt mit 2 Akzenten also λδ′ ωπη″ ωπη″ = 34/888. -¨Addition¨ und ¨Subtraktion¨ waren von der unsrigen nicht verschieden, -man schrieb die gleich benannten Zahlen unter einander, addierte sie -und behielt die überschiessenden Einheiten im Kopf, und entsprechend -verfuhr man bei der Subtraktion, wofür das Beispiel aus Eutokios -Kommentar zur κυκλου μετρησις entnommen ist. - - Θ.γιχλϛ 93636 - β.γιυ Θ 23409 - ------- ----- - ζ. σκζ 70227 - -Auch die Multiplikation vollzog sich unschwer, nach dem Schema des -Eutokischen Beispiels. - - φοα 571 - φοα 571 - --------- ------- - κεγ.εφ 25.... - ΜΜ ' 35... - 5.. - γεδϡο 35... - Μ'' 49.. - 7. - φοα 571 - --------- ------- - λβ.ϛμα 32^m6041 - Μ ' - - - αθϛ' 1009-1/6 - ' - αθϛ' 1009-1/6 - ' - ρθρξϛϙϛ' 1009166½ + 1/6 - Μ' - θπααϙ 9081 - ' 1½ - ρξϛϙϛ'ακλϛ' 166½ + 1/6 - 1½ + 1/36 - --------------- -------------------- - ραηυιζγλϛ' 1018417-1/3 + 1/36 - Μ' - -¨Delambre¨ sagt mit Recht sie ist leichter als unsere, weniger Fehlern -ausgesetzt, nur etwas länger. Für die Division haben wir bei Eutokios -kein ausgeführtes Beispiel, aber in ¨Theon¨ des Alexandriners Kommentar -zum Almagest findet sich eine Anleitung zum Rechnen mit Astronomischen -Brüchen d. h. mit Sexagesimalzahlen (s. Babylon) welche genau unsern -Dezimalbrüchen entsprechen, der Algorithmus der Division bei Theon -ist nur etwas zeitraubender, während das Quadratwurzelausziehen vom -unsrigen nicht verschieden ist. - -[Sidenote: Archimedes, Arenarius.] - -Im ¨Sandzähler¨ nimmt ¨Archimedes¨ das einzelne Sandkorn so klein an, -dass 10^4 auf ein Mohnkorn gehen. - -Dann weist er nach, dass 64000 Mohnkörner ein Volumen liefern, grösser -als eine Kugel von 1 Zoll (Finger) Durchmesser, also ist die Zahl der -Sandkörner, welche diese Kugel fassen kann < 64 . 10^7 also < 10^9, -also die Sandzahl der Kugel von 100 Zoll kleiner als 10^6 . 10^9 oder -10^{15} und die der Kugel von 10^4 Zoll Durchmesser < 10^{21}. Aber -ein ¨Stadion¨ zu 600 Fuss hat nur 9600 Zoll, also ist die Sandzahl -der Kugel vom Durchmesser eines Stadion kleiner als die Zahl 10^{21}, -und die von 100 Stadien kleiner als 10^{27} und die von 10000 Stadien -kleiner als 10^{33} und die Sandzahl der Kugel vom Durchmesser 10000 -Millionen Stadien kleiner als 10^{51}. - -Nun hat auf Grund der experimentellen Untersuchung des Gesichtswinkels, -in § 3 und § 4 erzählt, Archimedes festgestellt, dass der -Sonnendurchmesser grösser sei als die Seite eines reg. Tausendecks, das -in einen grössten Kreis der Weltkugel eingeschrieben ist, also ist der -Umfang dieses Tausendecks kleiner als 1000 Sonnendurchmesser. Setzt -man nun den Sonnendurchmesser nicht grösser als 30 Monddurchmesser -und den Monddurchmesser kleiner als den des Erddurchmessers, so ist -der Umfang des Tausendecks kleiner als 30000 Erddurchmesser, also der -Durchmesser des Welthauptkreis kleiner als 10000 dieser. Archimedes -setzt nun, was für seinen Zweck möglichst hohe Zahlen abzählbar -zu machen, ein Vorteil, den Erdumfang auf weniger als 3 Millionen -Stadien, (eine gegen die fast gleichzeitige Eratosthenessche Messung -auffallende Überschätzung) und kommt so für den Weltdurchmesser zu der -oberen Grenze von 10000 Millionen Stadien, deren Sandzahl kleiner als -10^{51} war. -- ¨Archimedes¨ zählt nun zunächst in gewöhnlicher Weise -bis zur oberen Grenze, d. h. also Myrio Myriaden -- 1. ΘιϡϟΘ.ΘιϡϟΘ = -99,999,999. Diese Zahlen nennt er ¨erste¨, d. h. ¨erster Ordnung¨, -und macht nun 10^8 zu einer neuen Einheit, die er ¨zweite¨ nennt, und -kann nun bis Myrio Myrioi Myriaden d. h. 10^{16} - 1 zählen, dann -kommen die Zahlen dritter Ordnung von 10^16 bis 10^24 - 1, und so -fort, d. h. also er teilt die Zahlen ab nach ¨Oktaden¨. Aber auch -die Ordinalzahlen, die er zur Abzählung der Oktaden braucht, werden -mit der 100 Millionsten weniger Eins erschöpft, er fasst also die -bisher benannten Zahlen zusammen als Zahlen der ¨ersten Periode¨, er -gelangt so zu einer Zahl welche wir mit 799,999,999 Neunen schreiben -würden, die Zahl 99,999,999 der 99,999,999sten Ordnung, er macht nun -(10^8)^{(10^8-1)} oder (10000^2)^{(10000^2-1)} zu einer neuen Einheit -und zur zweiten Periode und gelangt so schliesslich zur Zahl 10^8, der -Ordnung 10^8 der Periode 10^8 welche wir mit 1 und 80000 Billionen -Nullen schreiben würden. - -Der Paragraph 9 der Nizzeschen Übersetzung (Heiberg 268 f.) zeigt -dass Archimedes keineswegs wie Nesselmann meint, nur neue Zahlworte -geschaffen hat, sondern tatsächlich das Positionssystem gefunden und -ebenso zeigt § 10 wie dicht er an ¨Potenz¨ und ¨Logarithmenrechnung¨ -gestreift hat. Er führt darin den Begriff des Abstands ein, und nur -dadurch, dass er der Einer-Ziffer den Exponent 1 statt 0 gibt, wird -seine Regel 10^{n+1} . 10^{m+1} = 10^{n+m+1} von unsern Fundamentalsatz -10^a . 10^b = 10^{a+b} abweichend. - -Die gefundene Zahl 10^{51} ist die 3. Stelle der 7. Oktade, steht also -ziemlich am Anfang der ersten Periode, welche 100 Millionen Oktaden -weniger einer enthält, aber selbst wenn er statt der Weltkugel die -Fixsternkugel wie er sie dem Aristarch zuschreibt, annimmt, deren -Durchmesser kleiner ist als 10^4 Weltdurchmesser, so wird die Sandzahl -kleiner als 10^{63} d. h. als die 8. Stelle der 8. Oktade. - -[Sidenote: Archimedes: Rinderproblem, Eratosthenes.] - -An den Psammites schliesst sich das Rinderproblem, προβλημα βοων an, es -ist in Distichen abgefasst und an Eratosthenes gesandt; gefunden wurde -es von ¨Gotthold Ephraim Lessing¨ als Bibliothekar in Wolfenbüttel -und 1773 ediert. Wenn auch die Echtheit der Verse zweifelhaft sein -mag, so ist es jedenfalls ein »Archimedisches Problem« und Heiberg -sagt, dass kein Grund vorliegt, es Archimedes selbst abzusprechen. -Die Einkleidung des Problems schliesst an Odyssee V. 7 an: νηπιοι οἱ -κατα βους Ὑπεριονος Ἡελιοιο ἡσθιον, es soll die Zahl der Rinder des -Sonnengotts auf Trinakria (Sizilien, nach seiner dreieckigen Gestalt -genannt), berechnet werden. Es handelt sich um weisse (w), blaue -(b), gelbbraune (g) und scheckige (s); Stiere und Kühe durch Striche -unterschieden. Zur Bestimmung der 8 Unbekannten hat man 7 Gleichungen -ersten Grades, es handelt sich also um eine sogen. Diophantische -Aufgabe. Dazu kommen noch zwei Bedingungen w + b soll eine Quadratzahl, -g + s eine Dreieckszahl, d. h. von der Form (n [**ueber] 2) sein. M. E. -hat Nesselmann und nach ihm Struve etc. den Text ganz missverstanden, -nach meiner Auffassung lauten die sieben Gleichungen: - - w = 5/6 b + g + g′ w′ = 7/12 (b + b′) und: w + b = n^2 - b = 9/20 s + g + g′ b′ = 9/20 (s + s′) g+s = n(n-1)/(1·2) - 11/20 s = 13/42 w + g + g′ s′ = 11/30 (g + g′)[4] - g′ = 13/42 (w + w′) - -Heiberg ist mit Fug und Recht der Ansicht, dass die Behandlung eines -solchen Systems die Kräfte eines Archimedes nicht überstieg, dessen -im Sinne ¨H. Webers¨ spezifische mathematische Begabung ihresgleichen -nicht gefunden hat. Übrigens ist die Weglassung des Faktors [4] -(τετραχη) bei der Gleichung für s′ unberechtigt. Zur Durchführung fehlt -es mir an Zeit. - -Der zweite der Heroen des 3. Jahrhunderts, wenn auch in weitem Abstand -von Archimedes ist ¨Eratosthenes¨. Quellen: ¨F. Susemihl¨, Geschichte -der griechischen Literatur in der Alexandrinerzeit; ¨Bernhardy¨, -Artikel Eratosthenes im Ersch und Gruber; ¨Berger¨, Die geographischen -Fragmente des Eratosthenes, Leipzig 1880; Quellen über sein Leben; -¨Suidas¨ und ¨Strabon¨. - -[Sidenote: Eratosthenes (vita).] - -Eratosthenes wurde 276 in Kyrene geboren, zuerst in seiner Heimat durch -den Grammatiker Lysanias unterrichtet, studierte dann in Alexandria -unter ¨Kallimachos¨, dem berühmten Dichter und Leiter der Ptolemäischen -Bibliothek, ging dann nach Athen, wo er bei den der stoischen Richtung -angehörigen Philosophen ¨Ariston¨ und ¨Arkesilaos¨ sich philosophisch -aber auch besonders mathematisch bildete und eigene bedeutende -Schriften verfasste. Er folgte etwa um 235 einem Rufe des Ptolemäos -Euergetes als Nachfolger des Kallimachos und blieb bis zu seinem Tode -Leiter der Bibliothek. Da er infolge seiner angestrengten Arbeit -zu erblinden fürchtete, so tötete er, der Stoiker war, sich durch -Nahrungsverweigerung im 80. oder 82. Lebensjahre etwa um 196 v. Chr. - -Ein hervorragender Zug des Eratosthenes ist seine Freiheit von -nationalen Vorurteilen; im Gegensatz zu ¨Aristoteles¨ hat er Alexanders -grossartige Idee Orient und Okzident zu verschmelzen, voll gewürdigt, -und ist so ziemlich der erste, wenn nicht einzige Hellene, der fremde -Kultur objektiv zu beurteilen vermochte. - -Wie erzählt wird, ward er β genannt nach einer Version, weil er es -in allen Künsten und Wissenschaften zum Rang des zweiten gebracht, -nach andern als zweiter Platon; auch πενταθλος wird er genannt, der -Fünfkämpfer, denn er war in der Tat einer der vielseitigsten Gelehrten -aller Zeiten. Am bedeutendsten war er wohl als Geograph und Astronom, -wenn ihn auch auf letzterem Gebiet Hipparch von Nicaea (Bithynien) der -auch nach Rhodos genannt wird, übertroffen hat. Wir haben von seinen -drei Büchern Γεωγραφικα bedeutende Fragmente, und ihr Inhalt ist uns -durch Strabon und durch die Kritik Hipparchs erhalten. - -[Sidenote: Eratosthenes: Geographie.] - -Eratosthenes hat besonders die sogenannte mathematische und -physikalische Geographie als Wissenschaft im heutigen Sinne geschaffen, -allerdings Vorarbeiten des Dikaiarchos benutzend. Im 1. Buch gibt -Eratosthenes eine kritische Geschichte der geographischen Kenntnisse -der Hellenen bei Homer und Hesiod, wobei er sich nicht im geringsten -scheute die Unwissenheit des homerischen Zeitalters zu betonen, dann -wandte er sich zu der Geographie, beginnend mit ¨Anaximander¨, dem -Schüler und Freunde des Thales. - -Das 2. Buch enthält sodann die mathematische und physikalische -Geographie nebst dem Bedeutendsten der eigenen Leistungen; die -Grundlage bildet seine Gradmessung. Eratosthenes hatte bemerkt, dass -am längsten Tage in Syēne die Sonne um Mittag den Boden eines Brunnens -bescheint, d. h. im Zenith steht, also Syēne unterm Wendekreis des -Krebses liegt, und glaubte, dass Alexandria und Syēne auf demselben -Meridiane lägen. Er mass nun am längsten Tage in Alexandria die -Kulminationshöhe der Sonne, bezw. die Zenithdistanz mittelst eines -¨Skaphion¨, einer hohlen Halbkugel, und bestimmte dadurch im Gradmass -die Distanz Siene-Alexandria, dann mass er, allerdings auf Grund der -ägyptischen nomen oder der Gaueinteilung, die direkte Entfernung und -bestimmte so die Länge des Grades. - -Die Methode ist im Prinzip die noch heute angewandte, nur irrte sich -Eratosthenes darin, dass Alexandria und Syēne auf demselben Meridian -lägen. Weil aber auch die alten nomen ziemlich fehlerhaft waren, so -glichen sich die Fehler so ziemlich aus und die Angabe des Eratosthenes -auf 109 kil. statt 111 ist merkwürdig genau. Die Gradmessung scheint -er nach Makrobios schon vorher in einer eignen Schrift mitgeteilt -zu haben. Den Umfang der Erde bestimmte er auf rund 250000 Stadien, -genauer 252000. - -Der 3. Teil enthält eine kurz gefasste Einteilung und Beschreibung der -bewohnten Erde. Er teilte die bewohnte Erde durch einen Parallelkreis -von Gibraltar bis China in nördliche und südliche Hälfte und jede -Hälfte durch Striche zwischen je zwei Meridiane in »σφραγιδες« d. h. -wörtlich: Siegelabdrücke, die er dann topographisch und ethnographisch -beschrieb und kartographisch aufnahm. - -[Sidenote: Chronographie.] - -Nicht minder bedeutend waren seine zwei andern Hauptwerke: - -1) περι χρονογραφιων vermutlich eine Kritik der bisherigen -Zeitbestimmungen und eine Anweisung einen chronologisch richtigen -Abriss der Geschichte inkl. der Literaturgeschichte zu schreiben. -Wahrscheinlich ist Eratosthenes der Urheber der Einführung des -Schalttages bei den Ägyptern durch das Edikt von Kanopus, das bei -Ägypten erwähnt ist. - -Er beschränkte sich nicht auf die politische Geschichte, er bevorzugte -die Kulturgeschichte, Philosophen, Dichter etc. und hat ein eigenes -Werk: »Ολυμπιονικαι« geschrieben. In der Schrift περι της αρχαίας -κωμωδιας. zeigte er sich als feinster Kritiker und wissenschaftlich -recht bedeutender Philologe und als Kenner alles dessen, was zur -Bühnentechnik gehört, auch gibt er eine Menge geschichtlicher -Notizen z. B. über Einrichtung bei den Olympischen und anderen -Spielen. Übrigens war er auch selbst kein unbedeutender Dichter, vide -¨E. Hiller¨, Er. carminum reliquiae Leipzig 1872. - -[Sidenote: Würfelverdopplung.] - -Von seinen mathematischen Werken ist nur wenig erhalten, das -meiste in dem schon erwähnten Brief an den Ptolemaios III über die -Würfelverdoppelung im Kommentar des Eutokios zu περι σφαιρας etc. -¨Heiberg¨, Arch. p. III S. 102-114. - -Nach dem historischen Bericht gibt Eratosthenes seine eigene Lösung -mittelst eines Instruments das nach Pappos und Vitruv »Mesolabos« (von -den mittleren Proportionalen) hiess. Es bestand aus drei massiven -kongruenten Rechtecken, welche zwischen zwei mit je drei Nuten -versehenen Linealen übereinander geschoben werden konnten. - -[Illustration] - -Die Anfangslage ist bei Eutokios die der Figur. War nun ΑΕ die grössere -ΔΘ die kleinere Strecke, so musste man die Rechtecke so verschieben, -dass das erste einen Teil des zweiten, dieses einen Teil des dritten -verbarg, und zwar so, dass die Linie ΑΔ durch die Punkte Β und Γ ging, -an denen die Diagonalen sichtbar wurden; siehe Figur. ΒΖ und ΓΗ sind -dann die mittleren Proportionalen, da ΑΖ, ΒΗ, ΓΘ einander parallel sind. - -[Illustration] - -Der Brief ist von ¨E. Hiller¨ angezweifelt, insbesondere erklärt er -das Epigramm am Schluss für zweifelsohne unecht. Aber Proklos hat -p. 111 Z. 23 den Vers von den Menächmischen Triaden zitiert und das -Missverständnis des »ολιγου« im ersten Vers wirft auf den Scharfsinn -des Herausgebers kein günstiges Licht. Die von ¨Ambros Sturm¨ l. c. -angeführte Begründung Hillers ist sehr schwach, noch dazu gegenüber -Eutokios und Proklos und ¨Heiberg¨ fertigt sie mit den Worten »nulla -idonea causa adlata« ab. - -Auf diesem allerdings mechanischen Wege »¨organica¨ mesolabi ratione« -(Vitruv) konnte man wie Eratosthenes selbst angab, beliebig viele -Mittlere erhalten, d. h. durch n + 1 Täfelchen die n-Wurzel ziehen. - -Verloren ist eine Schrift »über Mittelgrössen« περι μεσοτητων auch -»Orte in bezug auf Mittelgrössen, τόποι προς μεσοτητας« genannt, -von der wir durch Pappos Kunde haben. ¨Zeuthen¨ vermutet in seinem -ausgezeichneten Werke: ¨die Lehre¨ von den Kegelschnitten im Altertum, -deutsche Ausgabe 1886, dass es sich, in Ergänzung der harmonischen -Polare eines Punktes als Pol für einen gegebenen Kegelschnitt, um die -Orte des arithmetischen und geometrischen Mittels der Sehnenschaar des -Pols gehandelt habe. Es ist leicht zu zeigen, dass die beiden Orte -Kegelschnitte sind, welche dem gegebenen ähnlich sind. - -Vielleicht aus einer verlorenen grösseren arithmetischen Schrift -ist uns in der Arithmetik des Nikomachos (s. u.) die noch heute -gebräuchliche Methode erhalten die Primzahlen unter p »herauszusieben«, -die noch heute Sieb (κοσκινον, cribrum) des Eratosthenes heisst. Völlig -verloren sind die rein philosophischen Schriften, deren bedeutendste -die von ¨Strabon¨ genannte über Gutes und Böses, περι αγαθων και -κακων gewesen sein soll, darunter bedauerlicherweise auch die Schrift -Πλατωνικός, ein Kommentar zu der Pythagoräischen Kosmologie in -¨Platons¨ Timaeos. - -[Sidenote: Apollonios von Pergae (vita).] - -[Sidenote: Konika (Kegelschnitte).] - -Der eigentliche »Aemulus«, der Nebenbuhler des Archimedes im Ruhme der -Alten, ¨Apollonios von Pergae¨ in Pamphylien war erheblich jünger als -jener, er ist frühestens um 265 unter Ptolemaios Euergetes geboren -und hatte seine Blütezeit unter Ptolemaios Philopator. Gestorben ist -er gegen 190. Er studierte in Alexandria bei den Schülern des Euklid -Mathematik, Hultsch P. III S. 678 oder nach Hultsch ein Scholiar des -Pappos sagt: συσχολασας τοις ὑπο Ευκλειδου μαθηταις εν Αλεξανδρεια -πλειστον χρονον ὁθεν εσχε και την τοιαυτην ἑξιν ουκ αμαθη. Die ganze -nicht gerade geschmackvolle Stelle lautet eigentlich wörtlich: Da er -die Schule teilte mit den Schülern des Euklid in Alexandrien sehr -lange Zeit, woher er auch ein solches nicht unmathematisches Verhalten -hatte. (!) Demnach würde Apollonios ein direkter Schüler des Euklid -gewesen sein von mässiger mathematischer Begabung! Aber im eigentlichen -Hauptkodex steht nur σχολασας und das heisst mit dem Dativ bei jemanden -in die Schule ging, und so ist die lateinische Übersetzung von Hultsch -zutreffend, die Konjektur dagegen scheint mir nicht glücklich. Dann -lebte er in Pergamon und in Ephesos befreundet mit einem Eudemos, dem -er sein grosses Werk über die Kegelschnitte, die »κωνικα« widmete. -Eudemos starb aber vor der Vollendung des Werkes und daher gab -Apollonios dem vierten Buch einen Widmungsbrief an den König Attalos -I. von Pergamon mit, in welchem er den Tod des Eudemos beklagte. Dem -Attalos sind dann auch die folgenden Bücher gewidmet. Von dem Werke, -das dem Verfasser nach dem Zeugnis des Geminos (¨Eutokios¨, Heiberg -S. 170) den Beinamen des grossen Mathematikers μεγας γεωμετρης eintrug, -sind nur die vier ersten Bücher mit dem Kommentar des ¨Eutokios¨ -erhalten, die drei folgenden in arabischer Übersetzung. Das letzte -Buch ist verloren, doch haben wir eine Inhaltsangabe bei Pappos, auf -Grund derer der durch seinen Komet noch heute viel genannte ¨Halley¨ -1710 eine Rekonstruktion versuchte. Die vier ersten Bücher wurden -zuerst von Joh. Baptist Memus schlecht ins ¨Lateinische¨ übersetzt -und von seinem Sohn 1537 ediert. Weit besser ist die Übersetzung von -¨Federico Commandino¨, dessen wir schon bei Euklid und Archimed rühmend -gedenken mussten, sie enthielt auch den Kommentar des Eutokios und -die Lemmata des Pappos. Ins ¨Arabische¨ wurden die 7 ersten Bücher -schon unter Al Mamun, 830 übertragen, aber diese Übersetzung ist -bisher nicht aufgefunden. Dagegen kam eine zweite von ¨Abulphat¨ von -¨Ispahan¨ 994 verfasste, im 17. Jh. durch den Leydener Orientalisten -und Mathematiker Golius nach Europa, der das Exemplar dem Grossherzog -von Toskana verkaufte. Es wurde von dem Orientalisten Abraham v. -Echelles in Gemeinschaft mit dem bedeutenden Mathematiker ¨Borelli¨ -(s. Euklid) 1671 Lateinisch ediert, und bestätigte glänzend die kurz -vorher von ¨Viviani¨ (einer der bedeutendsten Schüler Galileis, der -Urheber des »Florentiner« Problems der Quadrierung einer durchbrochenen -Kugelkappe) versuchte Restitution des 5. Buches. Der Anfang des 5. -Buches, wohl das bedeutendste, ist nach dem Arabischen des mehrfach -genannten ¨Thabit ibn Qurrah¨ 1899 von Nix in Leipzig herausgegeben. -Die einzigen Griechischen Ausgaben sind die von ¨Halley¨, Oxford -1710 Folio mit Eutokios und der Divinatio libri octavi und die von -¨Heiberg¨ mit Eutokios Kommentar und Fragmentensammlung Teubner -1890-93. Von besonderer Bedeutung für Apollonios Wertung ist das oben -genannte Werk von ¨Zeuthen¨. Eine freie Bearbeitung der Konika gab -¨H. Balsam¨, Berlin 1861. Die Kegelschnitte des Apollonios haben die -Eigenschaften der Kurven in solcher Vollständigkeit aufgedeckt, dass -eigentlich nichts Neues im Laufe der Jahrtausende gefunden ist. Selbst -der Satz von ¨Desargues¨ und seine selbstverständliche Anwendung, der -Satz von ¨Pascal¨, sind eigentlich schon bei Apollonios. Involution, -Brennpunktseigenschaften, Erzeugung durch projektive Punktreihen, -Asymptoten, konjugierte Hyperbel etc., alles findet sich bei ihm. -Dass er nun seine Vorgänger, insbesondere Archimedes und Euklid und -Aristaios benutzt hat, das ist selbstverständlich, aber es bleibt doch -ein gewaltiges Quantum selbständiger Arbeit, und Pappos selbst sagt, -dass er die 4 Bücher κωνικα des Euklid stark vermehrt habe (αναπληρωσας -και προσθεις) und dann noch die 4 weitem Bücher hinzugefügt habe. Vor -allem hat Apollonios zuerst bewiesen, dass die Triaden des Menaichmos -aus jedem beliebigen Kegel 2. Grades herausgeschnitten werden können. -Er hat die vollständige Hyperbel d. h. beide Äste in welche sie -zerfällt betrachtet, er hat die Kurven aus den Bestimmungsstücken -konstruiert, nachdem schon Euklid die ebene Konstruktion aus Leitlinien -und Brennpunkten gekannt hatte. Für Genaueres, insbesondere auch die -Werke des Aristaios, verweise ich auf ¨Zeuthens¨ mehrfach zitiertes -Werk über die Kegelschnitte im Altertum; nur die Vorrede mochte ich -Ihnen nicht vorenthalten. - -Apollonios sendet dem Eudemos Grüsse. Es wäre schön wenn es dir -körperlich gut ginge und alles übrige nach Wunsch stände. Mir selbst -geht es ja auch ziemlich. Als wir seinerzeit in Pergamos beisammen -waren, bemerkte ich, dass du dich lebhaft für meine Arbeiten über die -Kegelschnitte interessiertest. Ich schicke dir nun das völlig richtig -gestellte erste Buch; das übrige werde ich senden, sobald es mich -befriedigt haben wird. Ich glaube aber du erinnerst dich noch wohl von -mir gehört zu haben, weshalb ich diese Arbeit unternahm. Naukrates -der Geometer hatte mich dazu aufgefordert, als er bei mir während -seines Aufenthalts in Alexandria weilte und deswegen gab ich sie ihm, -in 8 Büchern behandelt, von dort aus mit, und weil er im Einschiffen -begriffen war, konnte ich sie nicht sorgfältig bereinigen, sondern -schrieb alles gerade so hin wie es mir unterlief, indem ich mir eine -letzte Durcharbeitung vorbehielt. Und da ich jetzt dazu Zeit gefunden, -so gebe ich was eben ganz richtig gestellt ist, heraus. Da es sich -aber traf, dass auch einige andere meiner Genossen vom ersten und -zweiten Buch vor der Verbesserung Kenntnis gewonnen haben, so wundere -dich, bitte, nicht, wenn dir abweichende Fassungen begegnen. - -Von den 8 Büchern fiel den vier ersten die Einführung in die -Elemente zu. Es enthält aber das erste Buch die Erzeugung der 3 -Schnitte und der gegenüberliegenden sowie deren Grundeigenschaften -vollständiger und umfassender ausgearbeitet im Vergleich mit den -früheren Bearbeitungen. Und das zweite enthält die Eigenschaften der -Durchmesser, Axen, Asymptoten und anderes, was zum Gebrauch für die -Konstruktionsbedingungen nötig und hinreichend ist. Was ich unter -Durchmesser und Axe verstehe, wirst du aus diesem Buche ersehen. - -Das dritte Buch enthält viele und auffallende Sätze, welche brauchbar -sind für die Konstruktionen der körperlichen Orte und für die -Existenzbedingungen, von denen die meisten und schönsten neu sind. -Und nachdem ich sie ersonnen hatte, sah ich ein, dass von Euklid der -Ort zu drei und vier geraden Linien nicht aufgestellt sei, sondern -nur ein zufälliger Teil desselben und auch dieser nicht gerade gut -getroffen. Es ist auch gar nicht möglich ohne die von mir gefundenen -Sätze die Synthesis durchzuführen. Das 4. Buch gibt an, auf wie -vielerlei Art die Kegelschnitte mit einander und der Peripherie des -Kreises zusammentreffen, und anderes darüber hinaus, worüber von meinen -Vorgängern nichts geschrieben worden ist, z. B. in wieviel Punkten ein -Kegelschnitt und eine Kreislinie zusammentreffen. Der Rest geht noch -weit darüber hinaus. Da handelt ein Buch ausführlich über Minima und -Maxima, ein anderes über gleiche und ähnliche Kegelschnitte, noch ein -anderes über Satze, welche Existenzbedingungen angeben, und das letzte -bringt Probleme über Bestimmungen von Kegelschnitten. Und fürwahr, dann -erst wenn alles herausgegeben ist, ist es denen die darauf stossen -erlaubt es zu beurteilen wie es wohl jeder von ihnen für richtig hält. -Gehab dich wohl. - -Was zunächst des Aristaios τοποι στερεοι betrifft, so ist nach -Zeuthen diese Schrift noch vor des Euklids 4 Bücher κωνικα erschienen, -sie behandelte zweifelsohne Aufgaben über geometrische Orte, welche -sich als Kegelschnitte herausstellten. Die Alten unterschieden die -körperlichen Orte, das sind die Kegelschnitte, von den ebenen Orten, -das sind Gerade und Kreis, und später noch die linearen Orte, zu denen -alle andern und auch die Raumkurven gehörten. Hiervon verschieden sind -die 2 verlorenen Bücher des Euklid die τοποι προς επιφανειαν, das sind -Flächen als geometrische Orte. - -[Sidenote: Apollonios, Ort zu 3 und 4 Geraden.] - -Sodann der Ort zu 3 und 4 Geraden. Man nennt ihn gewöhnlich nach Pappos -die Pappos'sche Aufgabe. Es handelt sich im allgemeinen Falle um den -Ort der Punkte, deren Abstände in gegebener Richtung gemessen von vier -gegebenen Geraden der Gleichung genügen xy/zu = c. Dabei werden die -Linien x = 0, z = 0, und y = 0, u = 0 als gegenüberliegend bezeichnet. -Apollonios hat die Aufgabe vollständig gelöst und den Nachweis, dass -der Ort ein Kegelschnitt ist, direkt geführt. Für das Nähere, den -Zusammenhang mit der projektiven Geometrie, Newtons Wiederherstellung -der Apollonischen Lösung etc. verweise ich auf Zeuthen bezw. auf meine -analytische Geometrie in der Sammlung Schubert. Soviel steht fest, so -unberechtigt es ist, von einer Erfindung der Differentialrechnung durch -einen der Neueren, es sei nun Galilei, Fermat, Leibniz oder Newton -zu sprechen, angesichts der Werke des Archimedes, so unberechtigt -ist es auch, den Alten angesichts der Werke des ¨Archimedes¨ und des -¨Apollonios¨ die analytische Geometrie abzusprechen. Apollonios hat -nicht nur Koordinaten, sondern auch Koordinatentransformation und -Archimedes analytische Geometrie dreier Dimensionen. - -[Sidenote: Apollonios, Verhältnisschnitt.] - -Auch die andern geometrischen Schriften des Apollonios hängen eng -mit der Theorie der Kegelschnitte zusammen. Da kommen zunächst die -beiden Schriften: De sectione rationis, die αποτομη του λογου, der -Verhältnisschnitt, und De sectione spatii die αποτομη του χωριου, -der Flächenschnitt. Die 2 Bücher der ersten Schrift sind nach einer -arabischen Handschrift, welche der Prof. ¨Bernard¨ in Oxford gefunden, -1706 von ¨E. Halley¨ herausgegeben. Die Aufgabe besteht darin, durch -einen Punkt P (s. Fig.) eine Linie so zu ziehen, dass sie auf zwei -gegebenen Linien ¯L¯ und ¯L¯_{1} von zwei gegebenen Punkten ¯A¯ und -¯A¯_{1} aus Strecken ¯AM¯ und ¯A¯_{1}¯M¯_{1} abschneidet, welche in -einem gegebenen Verhältnis stehen. Die Aufgabe wird im zweiten Buch auf -den im ersten behandelten speziellen Fall zurückgeführt, wo ¯A¯_{1} -mit dem Schnittpunkt ¯A¯_{1}^1 der beiden Geraden zusammenfällt. Diese -Aufgabe wird gelöst durch Ziehen der Parallelen ¯PB¯ zu ¯A¯_{1}¯M¯_{1} -und desgleichen durch den Schnittpunkt ¯A¯_{1}^1 von ¯L¯ und ¯PA¯_{1}, -welche ¯PMM¯_{1} in ¯M¯_{1}^1 schneidet und Annahme eines Hilfspunktes -¯C¯ auf ¯L¯, der so gelegen, dass ¯BP¯/¯AC¯ = ¯A¯_{1}^1¯M¯_{1}^1/¯AM¯ -= λ, dann folgt durch Umstellung ¯AM¯/¯AC¯ = ¯A¯_{1}^1¯M¯_{1}^1/¯BP¯ -= ¯A¯_{1}^1¯M¯/¯BM¯ -- und durch Subtraktion: ¯BM¯ · ¯MC¯ = -¯BA¯_{1}^1 · ¯AC¯ = gegebener Fläche. - -[Illustration] - -[Sidenote: Sectio spatii und determinata (Involution).] - -Die Aufgabe ist, wie man leicht sieht, identisch mit der Aufgabe: -von einem gegebenen Punkt aus an eine durch zwei Tangenten und deren -Berührungspunkte gegebene Parabel die Tangenten zu ziehen (Simon, -Parabel 1878). Das 3. Buch Satz 41 handelt von der Parabeltangente, -Satz 42 und 43 von den entsprechenden Aufgaben: Von einem gegebenen -Punkte aus an eine durch konjugierte Durchmesser gegebene Ellipse oder -Hyperbel die Tangenten zu ziehen und zeigt, dass dies spezielle Fälle -der Aufgabe sind von einem gegebenen Punkt P eine Gerade zu ziehen, -welche auf 2 gegebenen Geraden von gegebenen Punkten aus Strecken -abschneidet, deren Rechteck gegeben ist. Diese Aufgabe hat Apollonios -in den beiden Büchern der Schrift de sectione spatii behandelt, welche -¨Halley¨ nach der Inhaltsangabe bei Pappos und der Angabe ihrer -Übereinstimmung mit der ersten Schrift in der Form gleichzeitig -rekonstruiert hat. Zu diesen beiden Schriften gesellt sich als dritte -die von ¨Rob. Simson¨ nach Pappos wiederhergestellte de sectione -determinata, της διωρισμενης τομης βιβλια β, über den involutorischen -Schnitt. Wenn ¯ABCD¯ gegebene Punkte einer Geraden ¯l¯ sind, soll ein -Punkt ¯P¯ auf ¯l¯ so bestimmt werden, dass ¯AP¯ . ¯CP¯/(¯BP¯ . ¯DP¯) = -λ ist d. h. also die Theorie der Involution, welche er wie wir mittelst -der Theorie des Kreisbüschels und der Zentrale des Büschels gelöst -hat; und er hat sie benutzt um den Schnitt einer Geraden mit einem -durch 5 Punkte gegebenen Kegelschnitt zu bestimmen. Die Halley'schen -und die Simson'sche Bearbeitungen sind frei wiedergegeben von ¨Ad. -Diesterweg¨, ganz besonders lesenswert ist das Programm des um die -Elementarmathematik hochverdienten ¨v. Lühmann¨, weiland Subrektor zu -Königsberg in der Neumark, von 1882: die Sectio rationis, sectio spatii -und sectio determinata des Apollonios. - -[Sidenote: Taktionsproblem.] - -Es geht aus diesen Schriften hervor, dass Apollonios die Erzeugung der -Kegelschnitte als Enveloppe der Verbindungsgeraden zweier projektiven -Punktreihen kannte, die sich erst wieder findet in ¨Newtons¨ principien -lib. I L. 25. Die Brennpunktseigenschaften und die Konstruktionen bei -gegebenem Brennpunkt haben dann, wie Zeuthen hervorhebt, Apollonios auf -die Beschäftigung mit dem nach ihm genannten Taktionsproblem geführt. -Ist doch schon die Aufgabe, den Schnitt einer Geraden mit einer durch -Leitlinie und Brennpunkt gegebenen Parabel zu bestimmen identisch mit -der Aufgabe, einen Kreis zu konstruieren, der durch zwei gegebene -Punkte geht und eine gegebene Gerade berührt, also zwei 0-Kreise und -einen unendlich grossen. Nach ¨Pappos¨, Hultsch S. 848 hat Apollonios -die Lösung auf den Spezialfall des ¨Castillon'schen¨ Problemes -zurückgeführt, in dem alle 3 gegebenen Punkte auf derselben Graden -liegen. Die Geschichte des Taktionsproblems siehe ¨Simon¨, Entwicklung -der Elem. Geom. Das Problem selbst gehört heute zur eisernen Ration -der Gymnasiasten, mit den Lösungen aus ¨Fr. Vietas¨ Apollonius Gallus, -und zugleich hat Apollonios sich in der Schrift περι πυριου über -Brennspiegel, der Brennpunktseigenschaften der Umdrehungsflächen 2. -Grades bedient. Zeuthen vermutet, und ich glaube mit Recht, dass der -Parabolische Spiegel, der praktisch wichtigste, schon von ¨Archimedes¨ -erfunden sei und dass die Sage, er habe mit Brennspiegeln die Römische -Flotte verbrannt, hier ihren Ursprung habe. - -Ausserdem hat Apollonios auch eine Schrift geschrieben περι νευσεων. -»Über Einschiebungen auf mechanischem Wege«, dadurch dass ein Lineal -oder ein Streifen meist von gegebener Strecke so bewegt wird -- häufig -durch Drehung der zu ihr gehörigen Geraden um einen festen Punkt -- -dass sie zwischen zwei gegebene Linien fällt. Die Neusis galt sowohl -den ältern Mathematikern als auch dem Archimedes, der sich ihrer -bei der Arbeit über die Spirale wie überhaupt zur Winkeldrittelung -bedient hat, als auch dem Apollonios und überhaupt den angewandten -Mathematikern für ein durchaus erlaubtes Hilfsmittel, wie sie ja auch -¨Newton¨ gebilligt hat, erst die Neuplatoniker strikter Observanz -wie Pappos missbilligten sie und ersetzten sie durch Kegelschnitte, -was stets möglich, sobald die gegebenen Linien den zweiten Grad -nicht übersteigen. Die Schrift des Apollonios ist nach Pappos -wiederhergestellt von dem Ragusischen Patrizier Marino Ghetaldi 1607. - -[Sidenote: Würfelverdoppelung.] - -Sie enthielt vielleicht die von ¨Eutokios¨ l. c. mitgeteilte -Würfelverdoppelung auf welche Pappus I p. 56 hingewiesen hat -(Heiberg 3, p. 78.) Es sei aus den beiden gegebenen Strecken ΑΒ und -ΑΓ das Rechteck ΑΒΘΓ konstruiert, dann ist die Gleichung des ihm -umgeschriebenen Kreises wenn ΑΓ = a und ΑΒ = b gesetzt wird x^2 - -ax + y^2 - by = 0, oder (x - a) : (b - y) = y : x. Die Gleichung -einer Hyperbel, welche durch Θ geht und ΑΒ und ΑΓ zu Asymptoten -hat, ist aber xy = ab also haben wir für den zweiten Schnittpunkt M -nach leichter Rechnung a : x = x : y = y : b. Zur Konstruktion des -Schnittpunkts M benutzt Apollonios den Umstand, dass die Abschnitte -einer Hyperbelsehne zwischen Asymptote und Kurve gleich sind, und dass -die Kreissehne vom Mittelpunktslote halbiert wird. Es braucht also nur -ein Lineal so um Θ gedreht werden, dass die Punkte Δ und Ε in denen es -die Axen schneidet vom Zentrum des Rechtecks gleich weit entfernt sind. -S. Fig. unten. - -In einer verlorenen Schrift περι κοχλιου hat Apollonios sich mit der -Schraubenlinie auf dem Cylinder beschäftigt. - -Der »grosse Geometer« hat sich aber auch mit den einfachsten Elementen -der Geometrie beschäftigt, wie wir schon bei Euklid erwähnt haben, -u. a. danken wir ihm die Halbierung der Strecke mit den beiden gleichen -Kreisen um die Endpunkte, Proklos Friedl. S. 276: »Απολλωνιος δε ὁ -Περγαιος τεμνει την δοθεισαν ευθειαν πεπερασμενην διχα τουτον τον -τροπον.« - -[Illustration] - -[Sidenote: Apollonios, Arithmetische Schriften.] - -Auch auf arithmetischem Gebiete hat der Pergaier Grosses geleistet. -Eutokios erzählt Heib. 3 S. 300: Man soll auch wissen, dass Apollonios -der Pergaier in seinem Okytokion (Schnellgeburt, Schnellrechner) -dasselbe durch andere Zahlen gezeigt hat, die einander noch näher -kommen, d. h. er hat die Zahl π in noch engere Grenzen als Archimedes -eingeschlossen. Ob der Okytokion dieselbe Schrift war, von der Pappos -im 2. Buch grosse Stücke uns aufbewahrt hat, wird von den besten -Kennern, von Nesselmann und Hultsch stark bezweifelt, doch spricht der -Titel eigentlich dafür. Auch jene zweite Schrift hat im wesentlichen -die Abkürzung des Algorithmus insbesondere der Multiplikation zum -Gegenstande. Die Schrift schloss an den Sandzähler des Archimedes an, -nur dass Apollonios statt der Oktaden die den Griechen geläufigen -Tetraden, die Myriaden, setzte, die er als erste, zweite, dritte -u. s. w. bezeichnete, die er durch Μβ, Μγ etc. bezeichnet und deren -Ordnungsziffer er durch Division mit 4 bestimmte. So ist z. B, -4444444444444 = 4 . 10^{12} + 4 . 10^{11} + .. = Μγ υμδ και Μβδ_{1} -υμδ και Μαδ_{1} υμδ. Auf Grund seiner Ordnungszahlen lieferte er dann -ein Verfahren zur Multiplikation, das im Grunde das unsrige ist; -die Ordnungszahlen werden addiert und die Πυθμενες, d. h. unsere -Einerziffer, die aber hier aus dem Tableau von α bis ϡ genommen werden -konnten, multipliziert. Auch Apollonios, und er fast noch mehr als -Archimedes, hat die Grundgedanken des Positionssystemes, und wie -¨R. Baltzer¨ in seinem Brief an ¨Hultsch¨ auf den ich noch zurückkommen -werde, sehr richtig bemerkt, sind beide an Buchstabenrechnung und -Dezimalrechnung nur dadurch gehindert worden, dass die Hellenen von -den Kanaanäern die Buchstaben als Zahlzeichen übernommen hatten. Die -aller Wahrscheinlichkeit nach bedeutendste Leistung des Apollonios auf -arithmetischem Gebiete ist leider bis dato nur ganz fragmentarisch -erhalten, sie war vermutlich Pappos entweder selbst zu schwierig oder -schien ihm auf einen zu geringen Interessenkreis rechnen zu können. Die -Schrift war eine Weiterführung der Theorie der Irrationalzahlen, wie -sie für quadratische und biquadratische durch das X. Buch des Euklid -gegeben war. Aus einem Kommentar zum X. Buch, von dem ¨F. Woepcke¨ -eine Arabische Übersetzung durch Abu Ottmân den Damascener aufgefunden -hat und von dem er die auf Apollonios bezüglichen Stellen Arabisch und -Französisch herausgegeben hat, geht hervor, dass dieser in die Theorie -der algebraischen Zahlen, soweit sie durch Radicale darstellbar sind, -sehr tief eingedrungen war. Den Kommentar selbst vindiziert Woepcke dem -Griechisch schreibenden Römer ¨Vettius Valens¨ (5. Jh. n. Chr.) und die -Übersetzung würde etwa ins 9. Jh. fallen. - -[Sidenote: Apollonios als Astronom.] - -Ob Apollonius mit dem unter dem Namen Epsilon berühmten -zeitgenössischen Astronomen, der sich besonders mit der Mondtheorie -beschäftigt hat, identisch ist, ist nicht unwahrscheinlich, aber steht -nicht fest. Dass der grosse Geometer ein hervorragender Astronom war, -wissen wir aus Ptolemaios megale syntaxis XII, 1, wo er den Stillstand -und die Rückläufigkeit der Planeten mit der Theorie der Epizyklen -mathematisch ableitet und dabei eine Maximumsaufgabe löst, welche den -grossen Leistungen des 5. Buches der Konika nicht nachsteht. - -[Sidenote: Elementarmathematik.] - -Noch ist für seine Leistungen auf dem Gebiete der Elementarmathematik -nachzuholen, dass der Satz X des sogen. 14. Buches der Elemente des -Euklid: »Die Volumina des derselben Kugel eingeschriebenen regulären -Ikosaëders und Dodekaëders verhalten sich wie die Oberflächen,« von -ihm herrührt, laut der Vorrede des Verfassers des 14. Buches, des -¨Hypsikles¨. Hypsikles knüpfte daran die Folgerung, dass die Umkreise -der Seitenflächen beider Körper gleich sind. - -Mit Eudoxos, Archimedes und Apollonios hat die reine Mathematik der -Griechen ihren Höhepunkt erreicht, die Theorie des Irrationalen und des -Kontinuums, die Prinzipien der Infinitesimalrechnung, die analytische -Geometrie, die rechnende und projektive Geometrie, sind geschaffen -und neue Methoden, die auf allgemeine Problemklassen anwendbar sind, -treten nicht mehr auf. Der eben erwähnte ¨Hypsikles¨ schliesst sich -wohl unmittelbar an Apollonios an, M. Cantor setzt das 14. Buch um 180 -an, er war ein tüchtiger Mathematiker, der auch noch eine uns erhaltene -Schrift über die Aufgänge der Gestirne, im Anschluss an ¨Autolykos¨ -und ¨Euklid¨ geschrieben hat. Sie ist vergl. ¨M. Cantor¨ I p. 344 -dadurch merkwürdig, dass sich in ihr zum ¨ersten¨ Male auf Hellenischem -Boden die ¨babylonische Teilung des Kreises in dreihundertsechzig -Grade¨ findet. Auch auf arithmetischem Gebiete haben wir Hypsikles als -Vorgänger des ¨Nikomachos¨ (s. u.) für die Theorie der figurierten -Zahlen zu erwähnen. - -Die theoretische Mathematik sinkt nun im 2. Jahrh. langsam von ihrer -Höhe oder richtiger das Interesse der bedeutenden Geister wendet sich -den angewandten Disziplinen zu; Astronomie und in ihrem Gefolge die -Trigonometrie, Mechanik, Medizin etc. nehmen ihre Stelle ein. Dazu kam -für Hellas das Anwachsen der bildungsfeindlichen römischen Macht und -für Alexandrien das mörderische Regiment des Ptolemaios VII. Physcōn -(Schmerbauch, auch Euergetes II.) 141-116, der nach Ermordung seines -Neffen Eupator sich des Thrones bemächtigt hatte und die bedeutendsten -Gelehrten und Künstler von Alexandria vertrieb. Da nun der Unterricht -im wesentlichen auf dem Vortrag im Kolleg beruhte -- Archimedes und -Apollonios hatten gewissermassen nur zufällig an ihre auswärtigen -Freunde Schriftstücke gerichtet -- so machte sich jetzt der Mangel -an Büchern und damit an einer festen Formelsprache geltend und man -kann annehmen, dass schon im Laufe des Jahrhunderts manches von den -Leistungen der Heroen verloren ging. Das Entscheidende sind wohl die -Brände der Alexandrinischen Bibliothek unter Cäsar und vor allem in -den wüsten Emeuten des fanatischen Mönchpöbels und seiner würdigen -Patriarchen. Die Sage von der Vernichtung der grossen Bibliothek durch -¨Omar¨ gehört zu den böswilligsten Fälschungen der Weltgeschichte. Auch -die grosse Bibliothek von ¨Pergamon¨, das sich zur Konkurrenzstadt -Alexandriens unter Attalos und Eumenes entwickelt hatte, ging verloren, -nachdem sie Antonius an Kleopatra geschenkt hatte. - -[Sidenote: Nikomedes.] - -[Sidenote: Die Konchoide.] - -Dort in Pergamon war vermutlich wenn nicht die Wiege, so doch das -¨Domizil¨ des Nikomedes, den M. Cantor vorsichtig ins 2. Jahrh. -verweist, während P. Tannery ihn nicht ohne triftigen Grund zwischen -Eratosthenes und Apollonios einschiebt. Dass er der Erfinder der -¨Konchoide¨, der Muschellinie gewesen, unterliegt keinem Zweifel, -¨Proklos¨ sagt Friedlein S. 272 im Anschluss an die Winkelhalbierung -bei Euklid: ¨Nikomedes¨ drittelte mit der Konchoide, deren Erzeugung, -Gestalt und Eigenschaften er überlieferte, jeden geradlinigen Winkel, -und er selbst war es der ihre Eigenart gefunden hat. ¨Pappos¨ und -¨Eutokios¨ haben ihre Anwendung zur Lösung des (ersten) Delischen -Problemes durch Nikomedes ausdrücklich bezeugt, und da sie genau -übereinstimmen, so ist es sicher, dass die Lösung sowohl wie ihr Beweis -ganz auf das Konto des Nikomedes zu setzen ist. In der Stelle Hultsch -246 oben nimmt Pappos die Winkeldrittelung durch die Konchoide nicht -für sich in Anspruch, er sagt nur, dass er die Kurve dabei gebraucht -habe, dagegen sagt er 246 unten (§ 42) ganz bestimmt er habe zur -Konstruktion des Nikomedes für die Würfelverdoppelung den Beweis -geliefert, was der Angabe des Eutokios widerspricht. Dass Nikomedes -sich des Zusammenhangs beider Probleme, die er mit der einen Kurve -löste, klar bewusst war, scheint mir völlig sicher, es entspricht das -dem ganzen historischen Gange der Griechischen Mathematik. Nikomedes -kannte die Winkeldrittelung des Archimedes durch die Neusis, die -Einschiebung, und wie dem Archimedes der Zusammenhang zwischen der -Kugeldrittelung und der Winkeldrittelung nicht hat entgehen können, so -hat auch Nikomedes gesehen, dass es sich bei Würfelverdoppelung und -Trisektion um Probleme 3. Grades handelte. - -[Illustration] - -[Sidenote: Trisektion.] - -Die Kurve selbst ist eine ebene Kurve, sie wird erzeugt durch Drehung -einer Geraden um einen festen Punkt, so dass sie eine gegebene -Leitlinie schneidet und beschrieben durch einen Punkt Κ der sich -drehenden Geraden, der von dem Schnittpunkt Ε einen unveränderlichen -Abstand hat. Nikomedes hat das ¨abgebildete¨ einfache Instrument zur -mechanischen Erzeugung angegeben, es besteht aus einem Richtscheit, in -dessen horizontalem Lineal ein Schlitz in der Mitte ist, während das -vertikale den Pol durch einen Nagel angibt. Ein drittes Lineal ist fest -mit den beiden verbunden und hat in Ε einen Zapfen der in dem Schlitz -des zweiten Lineals gleitet, während ΕΚ der gegebene Abstand ist. Legt -man die x-Axe durch den Pol Δ nennt den Abstand b und den Abstand des -Pols vom horizontalen Lineal a so ist die Gleichung der Kurve r : b -= y : (y - a), also quadriert und multipliziert (x^2 + y^2)(y - a)^2 -= b^2y^2. Die Kurve ist also vom 4. Grade, geht durch die imaginären -Kreispunkte im Unendlichen, und hat in Δ einen Doppelpunkt. Die -vollständige Kurve, welche Nikomedes auch betrachtet zu haben scheint, -da er die hier konstruierte als erste Konchoide bezeichnete, besteht -aus der oberhalb der Axe und der unterhalb der Axe beschriebenen. -Ausser den in ¨Wölffings¨ so höchst dankenswerter Bibliographie -angegebenen Monographien verweise ich auf ¨G. de Longchamps¨ cours de -Math. spec. und auf das Journal von ¨Bourget¨. - -Nikomedes hat gezeigt, dass ΑΒ eine Asymptote ist, und dass jede Gerade -zwischen ΑΒ und der Kurve diese schneidet, ¨Eutokios¨, Heiberg Archim. -3 S. 118 und 120 findet sich der Beweis, während Pappos l. c. nur die -Tatsache angibt. - -[Illustration] - -[Sidenote: Trisektionen bei Montucla.] - -Die Anwendung zur Winkeldrittelung ist uns von Pappos p. 275 -überliefert, sie ist, wie ¨Montucla¨ in der noch heute lesenswerten -Histoire des recherches sur la quadrature du cercle Nouv. Edition (par -¨Lacroix¨) 1831 p. 240 sagt, fast selbstverständlich, und stimmt im -Prinzip mit der des Archimedes überein. - -Ist αβγ (s. Figur) der gegebene Winkel, so ist nur nötig, von β -als Pol aus eine Strecke δε zwischen αγ und der verlängerte ζα so -einzuschieben, dass δε gleich 2αβ ist, dann ist εβγ = 1/3αβγ. Man -findet also ε durch den Schnitt von ζα mit der Konchoide, deren Pol β, -deren Axe αγ und deren Abstand 2αβ ist. - -¨Montucla¨ gibt l. c. 243 an, dass auch die Konstruktion des Archimedes -mittelst der Konchoide gelöst werden kann, nur muss ihr Zweig unter -der Axe benutzt werden. Ist ¯ABC¯ der gegebene Winkel, (Figur) so -beschreibt man mit ¯C¯ als Pol, ¯BA¯ als Axe und ¯BC¯ als Abstand die 2 -(untere) Konchoide, welche den Kreis um ¯B¯ mit ¯BC¯ in ¯D¯ schneidet, -so ist ¯DBE¯ = 1/3 ¯CBA¯. - -[Illustration] - -Montucla gibt auch den Hinweis auf den Appendix ¨Newtons¨ zur -Arithmetica universalis, der so recht deutlich zeigt, wie innig Newton -mit der hellenischen Geometrie vertraut war. Nachdem ¨Vieta¨ (Oper. ed. -van Schooten 1615) gezeigt hatte, dass die Gleichung dritten Grades -sich auf die Würfelvervielfältigung und die Trisektionsgleichung -zurückführen lasse, hat Newton l. c. für alle Arten gemischter -kubischer Gleichungen den zu trisezierenden Winkel und die Lage -des Pols und die Grösse des Abstands angegeben (berechnet). Er hat -ausgesprochen, dass zur Lösung von Gleichungen dritten Grades die -Konchoide des Nikomedes das bequemste Mittel ist; dass dieser sich des -Vorzugs seiner leicht konstruierbaren Kurve vor der Probiermethode des -Eratosthenes voll bewusst war, kann man bei Eutokios nachlesen. - -[Sidenote: Würfelverdopplung nach Nikomedes.] - -Schwieriger gestaltet sich die Anwendung der Kurve für die -Würfelverdoppelung, die Lösung der reinen kubischen Gleichung oder die -Auffindung der beiden Mittleren. Eutokios beginnt den Bericht also: - -Nachdem dies bewiesen (nämlich dass ΑΒ Asymptote, das Wort fehlt, -was auch für höheres Alter als Apollonios spricht, etc.) seien die -gegebenen Strecken ΑΔ und ΓΛ senkrecht aufeinander, zu denen es den -beiden kontinuierlich proportionalen (δυο μεσας αναλογον κατα το -συνεχες) zu finden gilt. Mache das Rechteck ΑΒΓΔ fertig, halbiere ΑΒ -in Δ und ΒΓ in Ε. Verlängere ΛΔ und ΓΒ bis sie sich in Η schneiden, -errichte in Ε auf ΒΓ die senkrechte ΕΖ, mache ΓΖ gleich ΑΔ und verbinde -Ζ mit Η und ziehe zu ihr parallel ΓΘ. Und nun konstruiere man die -Konchoide von Ζ als Pol, ΓΘ als Leitlinie und ΔΑ = ΓΖ als Abstand, -welche ΗΓ in Κ schneidet, ziehe ΚΛ, schneidet ΒΑ in Μ so behaupte ich, -dass ΓΛ : ΚΓ = ΚΓ : ΜΑ = ΜΑ : ΑΛ ist. - -[Illustration] - -Die Pointe ist, dass ΘΖ gleich ΜΑ ist. Sei ΜΑ = x und ΚΓ = y, ΑΛ = a -und ΓΛ = b so ist x : a = b : y, und ΖΘ : (1/2 b) = 2a : y also ΖΘ : a -= b : y also ΖΘ = x, ferner weil ΖΕΓ und ΖΕΚ rechtwinklige Dreiecke -mit der gemeinsamen Kathete ΕΖ, so ist (x + 1/2 b)^2 - (y + 1/2 a)^2 -= (b/2)^2 - (a/2)^2 oder x(x + b) = y(y + a), x/y = (y + a)/(x + b) = -ΒΚ/ΜΒ = ΓΚ/ΓΔ. Die Lösung des Nikomedes ist von Newton l. c. wesentlich -vereinfacht worden. Die Konchoide auf zirkulärer Basis ist von -¨Roberval¨ Limaçon de Pascal, Pascalsche Schnecke, genannt worden, sie -ist vielfach im Journ. élém. (v. ¨Bourget¨) behandelt worden. - -[Sidenote: Diokles: Kissoide.] - -[Sidenote: Würfelverdopplung mit Kissoide.] - -Mit Nikomedes wird stets, infolge des Kommentars des Eutokios, -¨Diokles¨ genannt, von dessen Lebensführung uns zwar so gut wie nichts -bekannt ist, der aber nach seiner Kugelteilung welche Eutokios, -Heib. 3, S. 188 ff. mitteilt, und ebenfalls nach seiner Lösung der -Würfelverdoppelung, ib. S. 78, ein sehr achtbarer Geometer gewesen -ist. Nach dem gedanklichen Inhalt der beiden Fragmente aus seiner -Schrift περι πυρ(ε)ιων halte ich ihn für ziemlich gleichzeitig mit -Nikomedes und für nur wenig jünger als Apollonios. Das Fragment über -die Kugelteilung enthält zwar schon die Apollonischen Benennungen -Ellipse, Hyperbel, Asymptote, aber es ist sicher von ¨Eutokios¨ -überarbeitet, der wie ¨Heiberg¨ S. 207 anmerkt, die Konstruktion der -Hyperbel, wenn die Asymptoten und ein Punkt gegeben worden sind »de -suo« hinzufügte. Das Problem der Würfelverdoppelung löste Diokles -mittelst der ¨Kissoide¨, die er wie folgt konstruierte. Man zeichne -einen Kreis um ¯M¯, den Leitkreis, mit Radius ¯r¯, ziehe darin den -Durchmesser ¯SS′¯ gleich ¯d¯. Ziehe ¯BC¯ und ¯B′C′¯ senkrecht zu ¯SS′¯ -und symmetrisch zu ¯M¯. Ziehe ¯SB′¯ welche ¯BC¯ in ¯P¯ schneidet, -so ist die Kurve der Ort des Punktes ¯P¯ wenn ¯B′C′¯ sich von ¯S′¯ -nach ¯S¯ bewegt (die allgemeine Kurve entsteht: wenn man ¯A′B′¯ sich -unbegrenzt in der Richtung ¯S′S¯ und daher ¯AB¯ von ¯S¯ nach ¯S′¯ -zu bewegen lässt). Nimmt man als 0-Punkt ¯S¯ und als + x-Axe den -Strahl [**vector](¯SS′¯), zieht ¯AC¯ und nennt es z, so ergeben die -elementarsten Sätze die Proportion (d - x) : z = z : x = x : y d. h. x -und z sind zwischen d - x und y die Mesoteten. Will man nun zwischen -a und b die mittleren einschalten, so braucht man der Symmetrie wegen -nur auf dem zu ¯SS′¯ senkrechten Durchmesser einen Punkt ¯K¯ so zu -bestimmen, dass ¯S′M¯ : ¯MK¯ = a : b ist und ¯S′K¯ auszuziehen, bis es -die Kissoide in ¯P¯ schneidet, so ist nur noch d - x und y proportional -in a und b zu verwandeln. - -[Illustration] - -Da aus dem grundlegenden Streifensatz folgt, dass ¯SP¯ = ¯B′D′¯ ist -(entsprechende Querstrecken), so lässt sich die Kurve auch bequemer so -erzeugen, dass man von ¯S¯ aus nach allen Punkten des Leitkreises die -Strahlen zieht und das Stück zwischen der festen Tangente in ¯S′¯ und -dem Kreise von ¯S¯ aus auf den Leitstrahlen bis ¯P¯ abträgt. - -[Illustration] - -[Sidenote: Newton'sche Erzeugung.] - -Aus der ersten Erzeugung durch Diokles lässt sich ebenso elementar -(vgl. a. Samml. Göschen 65 p. 148) die mechanische Herstellung der -Kurve von Newton (l. c.) ableiten, welche Montucla l. c. S. 139 -beschreibt. Er bedarf dazu nur noch eines Richtscheites, dessen einer -Schenkel d ist, Endpunkt ¯B″¯, und der in der Mitte einen Stift ¯P¯ -hat. Dreht man das Richtscheit um den Pol ¯M′¯, so auf ¯SS′¯ gewählt, -dass ¯M′S¯ = r ist, so dass ¯B″¯ auf dem konjugierten Durchmesser zu -¯SS′¯ gleitet, so beschreibt ¯P¯ die Kissoide. - -[Sidenote: Diokles.] - -[Sidenote: Zenodoros.] - -[Sidenote: Isoperimetrie.] - -Die Kurve hat die Gleichung (x^2 + y^2)x = dy^2, ist also eine Kurve -3. Grades, geht auch durch die beiden unendlich fernen imaginären -Kreispunkte, hat die Kreistangenten ¯S′¯ zur Asymptote, ist -Fusspunktenkurve, Rollkurve, durch reciproke Radien transformierte -der Parabel. Sie ist elementar behandelt l. c., auch vielfach im -Journal de Math. spec. Dass die Kurve in ¯S¯ eine Spitze hat wusste -schon Proklos, der die Kurve viel erwähnt, Friedl. S. 126 sagt: »ὁταν -δε αι κισσοειδεις γραμμαι συννευουσαι προς ἑν σημειον, ὡσπερ τα -του κισσου φυλλα -- και γαρ την επωνυμιαν εκειθεν εσχον -- ποιωσιν -γωνιαν«. Wenn die Kissoidenlinien sich nach einem Punkt zu neigen, -wie die Blätter des ¨Efeu¨ -- und sie hat ja davon ihren Namen -- so -bilden sie einen Winkel. Sehr auffallend ist, dass Proklos trotz der -häufigen Erwähnung der Kurve den ¨Diokles¨ nicht nennt, so wenig wie -Pappos, der ihrer zweimal gedenkt. Aber wenigstens bei Proklos ist im -Zusammenhang des Textes die Auslassung des Autornamens ganz sachgemäss, -S. 111, 6 z. B. wird von der Einteilung der Kurven durch Gemīnos -geredet, wobei die Kissoide (Kittoide) nur als Beispiel einer Figur -bildenden Kurve erwähnt wird, woraus übrigens hervorgeht, dass Gemīnos -schon die Asymptote der Kurve kannte. So liegt kein Grund vor, dass -zuverlässige Zeugnis des Eutokios zu bezweifeln. Und dies um so weniger -als Pappos auch den Namen des dritten hervorragenden Mathematikers -verschweigt, der um 200 anzusetzen ist, den des ¨Zēnodoros¨, von -dessen Lebensumständen nichts weiter feststeht, als dass er nach -Archimedes und vor Quintilian gelebt hat, also ein Spielraum von fast -400 Jahren. Aber ¨Hultsch¨ und ¨Cantor¨ setzen ihn auf Grund seiner -Sprache und seines engen Anschluss an den Gedankenkreis des Euklid und -Archimedes gewiss mit Recht in die Nähe des Archimedes, vergl. dazu -noch ¨W. Schmidt¨ Enestr. 1901 S. 8. Und man kann wohl hinzusetzen, -dass der Gegenstand, den er sich zum Vorwurf nahm, auch auf Vorangang -des Apollonios schliessen lässt. Mit dem Namen des ¨Zenodoros¨ sind -die Probleme, welche wir heute als pars pro toto, isoperimetrische -nennen, für immer verknüpft. Er selbst hat zwar seine Schrift, wie -¨Hultsch¨, Papp. III, 1189 hervorgehoben über Inhalte von gleichen -Massen, περι ισομετρων σχηματων genannt, aber man versteht heute -unter Isoperimetrie sowohl Untersuchungen über Konfigurationen, die -bei gleichen Massen der Begrenzung den grössten Inhalt haben, als -diejenigen, welche bei gleichem Inhalte grösste Begrenzung bieten. Es -ist jene hochwichtige Problemklasse aus der sich im 18. Jahrh. die -¨Variationsrechnung¨ entwickelte. Die Notiz des ¨Simplicius¨ welche -W. Schmidt, Eneström 1901 S. 5 anführt, bezieht sich m. E. nur auf die -Kreis- und Kugelmessung durch ¨Archimedes¨, welcher ja de facto in -sehr vielen Fällen den Beweis für die Isoperimetrie des Kreises und -der Kugel liefert. Die Schrift selbst ist uns inhaltlich auf dreierlei -Art erhalten, a) sowie es scheint, wörtlich, durch den Kommentar des -¨Theon¨ von Alexandrien zum Almagest (Pariser Ausgabe 1821 ¨Halma¨, -33 ff.), b) freier aber völlig zu a) stimmend durch Pappos, Buch V, -S. 308 ff.) c) Abhandlung eines Anonymos über die isoperimetrischen -Figuren, welche ¨Hultsch¨, Papp. III 1138-1165 herausgegeben hat, -ebenfalls vielfach wörtlich zu Theons Mitteilung stimmend. - -Die Arbeit zerfällt in einen planimetrischen und einen stereometrischen -Teil, sie gipfelt in den Sätzen, dass unter allen ebenen Figuren von -gleichem Umfange der Kreis den grössten Inhalt hat und unter allen -räumlichen Gebilden von gleicher Oberfläche die Kugel das grösste -Volumen hat. Dass beide Sätze nicht streng bewiesen sind, braucht -kaum bemerkt zu werden, hat doch ¨Jacob Steiner¨ nicht vermocht, -den planimetrischen Satz streng zu beweisen, und der Satz über die -Isoperimetrie der Kugel ist erst 1884 von ¨H. A. Schwarz¨ mit den -Mitteln der höchsten Analysis bewiesen worden. - -[Illustration] - -Der ebene Teil des Werkes ist deutsch bearbeitet von ¨A. Nokk¨, -Programm Freiburg 1860. Nokk hat dort Zenodoros, der bis dahin als -Zeitgenosse des Oinopides also auf 500 v. Chr. geschätzt war, als -Epigonen des Archimedes erwiesen, auch auf die Bestätigung der -Authentizität von ¨Theons¨ Wiedergabe durch ¨Proklos¨ hingewiesen; -Friedlein S. 165 Z. 24: εστι γαρ τριγονα τετραπλευρα, καλουμενα -παρ' αυτοις ακιδοειδη παρα δε τω Ζηνοδωρω κοιλογωνια. »Es gibt eine -dreiwinklige (Figur) mit vier Seiten, von Jenen (Theudios und Euklid?) -[Lanzen] spitzenförmig geheissen, vom Zenodoros aber ¨hohlwinklig¨. Und -dieser Ausdruck kommt bei Theon vor. Zu bemerken ist, dass die Winkel -auf solche, welche kleiner als der gestreckte, beschränkt waren, d. h. -auf solche die im Dreiseit vorkommen konnten und dies noch bei Proklos, -der allerdings wie die Neuplatoniker überhaupt, archaistisch ist. Die -Figur galt also dem Euklid und Proklos als dreiwinklig, trotz ihrer 4 -Ecken und 4 Seiten. Der Ausdruck ¨hohlwinklig¨ ist sehr auffallend, es -scheint aus ihm hervorzugehen, dass ¨Zenodoros¨ die Figur schon für -vierwinklig ansah und seine Lebenszeit würde dadurch noch herabgedrückt -werden, wenn es nicht wahrscheinlicher wäre, dass ein literarisch so -gebildeter Autor wie Proklos den Ausdruck eben aus ¨Theons¨ Kommentar -entlehnt hat; wodurch dann wieder sein Zeugnis für die Echtheit von -Theons Wiedergabe entkräftet würde. - -[Sidenote: Zenodoros' Satz: Der Kreis ist grösser als das -isoperimetrische regelmässige Vieleck.] - -Als Probe gebe ich Ihnen den Beweis des zweiten Satzes nach ¨Nokk¨. -Wenn ein reguläres Polygon mit einem Kreise gleichen Umfang hat, so hat -der Kreis den grösseren Flächeninhalt. - -[Illustration] - -Der Kreis sei ¯ABG¯, das reguläre Polygon von gleichem Umfange ¯DEZ¯. -Das Zentrum des Kreises sei ¯H¯, das des Polygons sei ¯T¯, man -beschreibe um den Kreis ¯H¯ das dem Polygon ¯DEZ¯ ähnliche, (Fig.). -Verbinde ¯H¯ mit ¯B¯, fälle von ¯T¯ auf ¯EZ¯ das Lot ¯TN¯ und ziehe -¯HL¯ und ¯TE¯. »Da nun der Umfang des Vielecks ¯KLM¯ grösser ist als -der Umfang des Kreises ¯ABG¯, ¨wie es vom Archimedes in seiner Schrift -über Kugel und Cylinder unterstellt wird¨, der Umfang des Kreises -¯ABG¯ aber, dem des Vielecks ¯DEZ¯ gleich ist, so ist auch der Umfang -des Vielecks ¯KLM¯ grösser als der von ¯DEZ¯. Allein die Vielecke -sind ähnlich, mithin ¯BL¯ grösser als ¯NE¯ und ¯HB¯ > ¯NT¯. Also -das Rechteck aus dem Umfang des Kreises und ¯HB¯ > als das Rechteck -aus dem Umfang des Vielecks und ¯NT¯. Allein das erste Rechteck ist -»¨wie Archimedes¨ gezeigt hat« das doppelte der Kreisfläche und das -zweite das doppelte der Fläche des Polygon und somit der Satz bewiesen -(allerdings mit Hilfe des Axiom: Archimedes Kugel und Cylinder Annahme -2). - -[Sidenote: Hipparch von Rhodos.] - -In diese Epoche der durch Archimedes, Eratosthenes und Apollonios -herbeigeführten Erweiterung des mathematisch-physikalischen -Gesichtskreises der Hellenen, fällt auch der grösste Beobachter des -Himmels unter den Hellenen, ¨Hipparch¨ von ¨Nicaea¨ oder auch von -¨Rhodos¨. Hipparch ist allerdings beim geozentrischen Weltsystem -stehen geblieben, obwohl kurz vorher ¨Seleukos¨, der Kopernikus des -Altertums wie ihn ¨Susemihl¨ nennt, das Weltsystem des ¨Aristarch¨ von -¨Samos¨, dessen wir beim Psammites gedachten, auf wirkliche Beweise -stützte. ¨Seleukos¨ hat auch als der erste auf den Einfluss des -Mondes für Ebbe und Flut hingewiesen und als Grund für die Annahme -der Rotation der Erde darauf, dass die Flut am Äquator am stärksten -ist. ¨Hipparchos¨ muss etwa um 190 geboren sein, seine Beobachtungen -von 161 bis 126 sind uns durch Ptolemaios erhalten, seine letzten -Beobachtungen, Mondbestimmungen, sind vom Juni 126 aus Rhodos. -Ptolemaios nennt ihn Almagest III, 2 p. 140, einen Mann von Arbeits- -und Wissenstrieb. Von seinen Schriften ist uns nur eine einzige -erhalten, eine Exegese zu den Phainomena des Eudoxos (und Aratos) in -3 Büchern, von ¨Vettori¨, Florenz 1567 Folio, herausgegeben, kritisch -und mit deutscher Übersetzung 1894 Leipz. von ¨Manutius¨. Es war -vermutlich eine Jugendarbeit, weil er darin noch nicht die vielen -Abweichungen der Beobachtungen des Eudoxos von den seinen auf die -Präzession zurückgeführt hat, die er später genau feststellte und damit -die Dauer des Jahres von 365,25 Tagen um 5′ reduzierte. Er berechnete -ferner die Exzentrizität der Sonnenbahn, wenn auch etwas zu gross, -desgleichen die der Mondbahn, legte sowohl die Sonnenbahn als die -Mondbahn durch Beobachtung der Fixsterne, welche ihre obere Kulmination -hatten wenn jene ihre untere, genau fest, gab die Entfernungen der -Sonne und des Mondes weit genauer, (namentlich letztere) an, als seine -Vorgänger, kritisierte die bisherigen Planetentheorien, und erklärte -die Ungleichheit der Jahreszeiten durch die Annahme der ¨exzentrischen -Kreisbahn¨, welche ¨Kepler¨ vielleicht die Anregung zur Auffindung -seines ersten Gesetzes gab. Hipparchs Methode die Sonnendistanz -(Parallaxe, d. h. der Winkel unter dem der Erdradius von der Sonne -aus gesehen erscheint) mittelst der Mondparallaxe zu bestimmen durch -den von ihm gegebenen Satz: »Die Summe der Parallaxen von Sonne und -Mond ist gleich der Summe der scheinbaren Halbmesser der Sonne und des -Schattenkegels der Erde«, ist theoretisch richtig. -- Das Auftreten -eines neuen Fixsternes im Jahre 134 brachte ihn auf den Gedanken einer -möglichen Eigenbewegung derselben, und er soll (vgl. ¨Gartz¨ und -¨Schaubach¨) mittelst von ihm erfundener Instrumente, Astrolabien, und -verbessertem Visierrohr oder ¨Diopter¨ (Archimedes im Psammites) die -Position und scheinbare Grösse des Sternes genau festgestellt haben. -Jedenfalls nahm er hier Veranlassung einen ¨Sternkatalog¨ anzulegen und -verzeichnete Ptolemaios zufolge selbst 1080 Fixsterne. Aus der Arbeit -von ¨Frz. Boll¨ 1901 in München entnehme ich, dass der Sternkatalog -des Hipparch zufolge des Fundes von A. Olivieris 1898 höchstens 850 -Sterne umfasste, so dass die Meinung ¨Tannerys¨ und ¨Delambres¨ der -Ptolomäische Katalog sei der des Hipparch gewesen, hinfällig wird. - -Sein Beweggrund war, späteren Astronomen die Erkenntnis zu ermöglichen, -nicht nur ob Sterne verschwänden und neue entständen, sondern auch, ob -sich die Lage der Fixsterne gegen einander nicht ändere und ob ihre -scheinbare Grösse nicht zu- oder abnähme. Diese Beobachtungen führten -ihn eben zur Auffindung der Präzession; denn als er die seinigen -mit etwa 100 Jahre älteren verglich, fand er, dass sich zwar die -Breiten, die sphärischen Abstände von der Ekliptik oder Sonnenbahn, -nicht geändert, wohl aber die Längen um den konstanten Betrag von -1-1/3° vergrössert hatten, d. h. also, dass die Äquinoktialpunkte -auf der Ekliptik gegen die Bewegung der Sonne hin fortrückten. Wir -verdanken auch diese Kunde dem Almagest, die theoretische Erklärung der -Präzession durch die Rotation der Erdaxe um die Axe der Ekliptik aus -der Anziehung von Sonne, Mond, Jupiter etc. auf dem Wulst des Äquators -gab erst D'Alembert. - -[Sidenote: Heron von Alexandria.] - -¨Hipparch¨ wird aber auch als der Begründer der ¨Trigonometrie¨ -angesehen, wenn überhaupt von einem solchen (vgl. Ägypten) die Rede -sein kann. ¨Theon¨ teilt uns in dem schon erwähnten Kommentar zum -Almagest mit, dass jener in einem grösseren Werke περι της πραγματειας -των εν τω κυκλω ευθειων eine Sehnentafel gegeben. Siehe hierzu die -Bestätigung bei ¨Heron¨ in der Metrik S. 58, 3. 19, wo der Titel (s. u. -Heron) angegeben ist. Es steht jetzt so ziemlich fest, dass die ganze -Sexagesimalbruchrechnung inkl. Wurzelausziehung Eigentum des ¨Hipparch¨ -war (cf. ¨Hultsch¨, die Sexagesimalrechnungen in den Scholien zu -Euklids Elementen, Biblioth. Math. 5, 1904, 225). - -Nach arabischen Nachrichten hat er auch über quadratische Gleichungen -geschrieben und durch Strabon sind wir über seine Schrift προς -Ερατοσθενην gut unterrichtet. In den beiden ersten Büchern gab er -eine scharfe und nicht immer gerechte Kritik, denn genaue Längen- und -Breitebestimmungen waren dem Eratosthenes nicht möglich, im dritten -die Begründung seines eigenen Systems und die Tabellen der Breiten von -12 Städten und Bestimmung der Finsternisse. Wenn man von Eratosthenes -Sphragides absieht, ist Hipparch auch als Begründer des ¨sphärischen -Koordinatensystems¨ anzusehen. - -An Hipparch, den Astronomen, schliessen wir Heron, den Mechaniker an; ὁ -μηχανικος nennt ihn ¨Proklos¨, Fried. 305, 24; 346, 13, und in der Tat -ist er in Mechanik und Technik geradeso der Lehrer der Welt gewesen wie -Euklid für Geometrie. Ob Heron Nachfolger oder Vorläufer des Hipparch -gewesen ist, steht nicht einmal absolut fest. Doch wird in der Metrik -die von Theon erwähnte Schrift unter dem Titel περι των εν κυκλω -ευθειωνπερι των εν κυκλω ευθειων als vollkommen bekannt zitiert. - -[Sidenote: Lebenszeit.] - -Die sogen. ¨Heronische Frage¨ ist eine der diffizilsten, die Ansichten -der berühmtesten Historiker schwanken zwischen dem 3. Jahrh. v. Chr. -und dem zweiten Jahrh. n. Chr. Ein Forscher von dem Range ¨Diels¨ -setzt ihn um 100 n. Chr., ¨De Vaux¨ und ¨Paul Tannery¨ sogar um 200, -der Herausgeber der neuesten Gesamtausgabe ¨W. Schmidt¨ setzt ihn etwa -auf 56 v. Chr. Dem gegenüber stehen ¨Susemihl¨, der genaue Kenner der -Hellenistik, der ihn um 200 v. Chr. ansetzt und ¨M. Cantor¨, der ihn -um 100 v. Chr. setzt. Ich glaube, dass Cantor im ganzen das Richtige -getroffen und neige dazu Herons Geburt etwa um 150 zu setzen und -stimme der Beweisführung ¨Edmund Hoppes¨ im Programm des Hamburger -Wilhelm-Gymnasiums von 1902 bei, welche ich noch bekräftigt finde durch -die von ¨H. Schoene¨ 1903 zum ersten Mal herausgegebene »Metrika«, -deren Handschrift ¨R. Schoene¨ 1896 im Codex Constantinopolitanus -aufgefunden hatte. Da Programme bekanntermassen wenig bekannt zu werden -pflegen, so setze ich den Schluss der ¨Hoppe¨'schen Arbeit hierher, und -um so lieber, als ich bedauerlicherweise vergessen habe, diese tüchtige -Arbeit in der 2. Aufl. meiner Methodik von 1907 unter den historischen -Programmen anzuführen, obwohl sie mir seit 1903 bekannt war. Hoppe -schliesst: Wenn er den älteren Poseidōnios zitiert hat, rückt Heron -gänzlich in das zweite Sec. v. Chr. »Dahin passt er auch seinem ganzen -Inhalte nach durchaus. Heron steht ausschliesslich auf den Schultern -des Archimedes und Ktesibios in seiner Mechanik und Pneumatik, in der -Philosophie und Mathematik ist er abhängig von Aristoteles, Platon, -Pythagoras und Euklid, welche er alle zitiert. Alles Spätere ist -für Heron nicht vorhanden. Heron aber geht über seine Quellen weit -hinaus. Die physikalischen Anschauungen, welche er in der Einleitung -zur Pneumatik darlegt, hat vor ihm keiner und auch nach ihm keiner. -Wohl in Einzelheiten finden sich bei früheren Anklänge, aber ein solch -umfassendes Wissen von der Mechanik der Gase, von der Elastizität etc. -hat keiner seiner Vorgänger. Nach ihm hat man dies alles nicht mehr -verstanden, die römischen Epigonen griechischer Kulturwelt konnten -wohl Automaten und Wasserorgeln nachmachen, aber seine physikalischen -Gedanken begriffen sie nicht. Das charakterisiert Heron als den letzten -einer untergehenden Schule. Darum muss man Heron ansetzen zu einer -Zeit, wo Ägypten vor einer Katastrophe stand, nach einer Periode der -Blüte. Diese Blüte war unter den Ptolemäern, die Katastrophe war das -Einsetzen der Römerherrschaft. Somit spricht alles für den Ausgang des -zweiten sec. a. Chr. Macht man, wie Schmidt es will, Philon von Byzanz -und Ktesibios zu Zeitgenossen des Archimedes, so wäre möglich für Heron -die Zeit am Anfang des zweiten sec. anzunehmen. Setzt man Ktesibios -an das Ende des zweiten sec., so bleibt für Heron die Zeit um 100 n. -Chr., wie Cantor annimmt, bestehen; ein weiterer Spielraum scheint -ausgeschlossen.« - -Zu den von Heron benutzten Autoren kommt nach Metrik S. 58 Z. 19 noch -¨Hipparch¨ hinzu und ¨Apollonios¨ de sectione spatii (ἡ του χωριου -αποτομη) Schöne S. 162, sowie ¨Dionysodoros¨ dessen Kugelteilung -Eutokios gegeben. Auch die Heronische Würfelverdoppelung zeigt den -Einfluss des Apollonios. Ungelöst ist auch noch die Frage inwiefern -Heron für seine Geschützlehre und seine Lehre vom Luftdruck aus -¨Philon¨ von ¨Byzanz¨ (Φιλων ὁ βυζαντιος.) geschöpft hat. Die -Vorstellung, dass schwere Körper schneller fallen müssen als leichte -findet sich z. B. bei Beiden. Die Zuverlässigkeit der Literaturangaben -des ¨Eutokios¨ ist durch die Auffindung der Mechanik wieder bestätigt -worden, Eutokios überschreibt die Lösung mit den Worten »wie ¨Heron¨ -in der Einführung in die Mechanik und in den Belopoiika (Anfertigung -von Geschützen)« und sie hat sich auch in der Mechanik, Ausgabe von Nix -S. 24 gefunden. - -Ich möchte zu den Datierungsfragen allgemein bemerken, dass was für -Indien gilt mutatis mutandis auch für alle diese Streitfragen gilt. -Der gedankliche Zusammenhang, die Darstellung, die Hilfsmittel sind -der wichtigste Anhaltepunkt, und der spricht für Heron entschieden für -engen Anschluss an Archimedes, wie es insbesondere die Metrika zeigen -und für die ¨Cantorsche¨ Auffassung, welche auch von ¨Hultsch¨ geteilt -wurde. Auch die sehr sorgfältige Dissertation von ¨R. Meier¨ de Herone -aetatis, Leipz. 1905 kommt zum gleichen Resultat. Wie die Heronische -Frage hat entstehen können, darüber spricht sich ¨Cantor¨ völlig -zutreffend aus. Für 1-1/2 Jahrtausend ist wie Euklid für Mathematik so -Heron Lehrer für Geodäsie und angewandte Mechanik. Überaus zahlreich, -griechisch, lateinisch, arabisch, sind die Codices, Excerpte, -Bearbeitungen und ebenso zahlreich sind die Entstellungen und Zusätze, -Verschlimmbesserung der Abschreiber und Ausschreiber. - -[Sidenote: Heron, Werke.] - -Während die physikalischen Schriften Herons ab und an ediert sind, -ist die erste kritische Ausgabe der unter seinem Namen gehenden -mathematischen Schriften von ¨Fr. Hultsch¨, der bei seiner grossen -Arbeit über die Schriftsteller der Alten, welche sich mit Messkunst -beschäftigten, sich mit Heron beschäftigen musste. Die Hultsche Ausgabe -von 1864, für ihre Zeit mustergiltig, gibt uns den griechischen -Text möglichst bereinigt, sie enthält die Heronischen Definitionen, -die jetzt noch oder wieder für teilweise echt gelten, die Geometria -und als Anhängsel einige an sich wichtige Tafeln der Masse, die -aber grösstenteils unecht sind, dann die Stereometrie, ein Buch -über Flächen- und Raummessung, dann das liber geoponicus, das ein -ziemlich dürftiges Excerpt ist, wie der 8. Abschnitt ein ungenaues -Excerpt aus der unten zu besprechenden Dioptra, und dann vergleichende -Zusätze. Aber nach etwa einem Menschenalter machten grossartige neue -Funde (s. u.) eine neue Ausgabe nötig. Sie ist von ¨W. Schmidt¨, -einem Hultsch ebenbürtigen Kenner der antiken math. Schriftsteller, -unternommen, als Gesamtausgabe Herons und mit ¨deutscher Übersetzung¨. -Erschienen sind: Band 1, 1899 von ¨W. Schmidt¨, die »Druckwerke« und -»das Automatentheater«, mit einem Supplementheft: die Geschichte der -Textüberlieferung und Griech. Wortregister. - -Bd. II, 1900 die Mechanik und Katoptrik, erstere von ¨L. Nix¨ aus -dem Arabischen, letztere von ¨W. Schmidt¨; -- B. III 1903, die -Messungslehre (Metrika) und die Dioptra »Vermessungslehre« von -¨H. Schöne¨. Leider ist der verhältnismässig jugendliche ¨W. Schmidt¨ -Hultsch im Tode vorausgegangen. Aber schon das jetzige genügt um sich -von Herons wirklicher Bedeutung ein Bild zu machen, und zeigt, dass der -grösste Teil der von Hultsch edierten Schriften höchstens inhaltlich -auf Heron zurückgeht. ¨W. Schmidt¨ konnte die Ansicht Hultschs -bestätigen, wonach sich Herons Schriften vermutlich auf drei grosse -Werke verteilten: 1. Über Feldmesskunst, von denen die grosse Arbeit -über die Dioptra die wichtigste ist. 2. Über Mechanik. 3. Über Metrik, -d. h. die Lehre vom Inhalt der Flächen und Körper. - -[Sidenote: Heron, Leben.] - -Von den Lebensumständen Herons scheint noch festzustehen, dass er in -Alexandrien ähnlich wie Pappos einen zahlreichen Schülerkreis um sich -gesammelt hatte, sodass seine Werke als Lehrbücher für seine Schüler -vielleicht im Auftrage der Regierung entstanden sind. Es ist nicht -unwahrscheinlich, dass Heron selbst ägyptischer Nationalität war, was -auch seinen Stil erklären würde. Jedenfalls hat er auf ägyptische -Feldmesser als Leser und Hörer gerechnet, und war mit den ägyptischen -Methoden völlig vertraut. Rätselhaft war lange Zeit die Methode mit -der Heron besonders in Metrik und Dioptra die auffallend genauen -Quadratwurzeln gezogen und in der Metrik sogar die Kubikwurzel aus 100 -(S. 78). ¨G. Wertheim¨ einer der tüchtigsten Schüler ¨M. Cantors¨ hat -das Rätsel gelöst. Die kurze Notiz steht Cantor-Schlömilch Hist. litt. -Abt. Band 44, 1899 S. 1, es ist so ziemlich das letzte Vermächtnis des -Diophantherausgebers. - -[Sidenote: Herons Wurzelausziehung.] - -Heron will ∛100 bestimmen. Die Kuben zwischen denen 100 liegt sind 64 -und 125, die erstere ist um 36 zu klein, die letztere um 25 zu gross. -Die ∛ sind bezw. 4 und 5. Daher wird ∛100 gleich 4 + einem Bruche sein. -Um den Zähler zu finden multipliziert er 36 mit 5, gibt 180. Der Nenner -ist 100 + 180. Der Bruch ist also 9/14 und so ergibt sich ihm der -Näherungswert 4-9/14. - -Wertheim nimmt nun nicht wie ¨M. Curtze¨, der Freund und Genosse -¨M. Cantors¨, die 5 als √25 sondern als ∛125 und 100 sieht er nicht wie -¨Curtze¨ als den gegebenen Radikand an, sondern als das Produkt von 4 -als ∛64 mit 5^3 - 100. - -»¨Auf diese Weise stellt sich Herons Verfahren als ein dem doppelten -falschen Ansatz analoges dar.¨« - -Ich erinnere, dass schon die ältesten Ägypter die Regula falsi -benutzten. Wertheim zeigt, dass die ebenso rätselhaften Näherungswerte -des ¨Archimedes¨ für die Quadratwurzeln mit der gleichen Methode -gefunden werden können und weist dies an den Grenzwerten des der √3 aus -der Kreismessung 265/153 und 1351/780 nach. Dieser Nachweis macht die -Erklärung Wertheims wahrscheinlicher als die sachlich einfachere der -am selben Ort mitgeteilten von ¨A. Kerber¨ sub. 9. Nov. 1897 an Curtze -gesandt. - -Sei die zu kleine Wurzel a, und die um 1 grössere schon zu grosse a^1, -so ist (x^3 - a^3) = f = (x - a)(x^2 + ax + a^2) annähernd gleich -(Zeichen ～): (x - a)3ax. Ebenso ist -f^1 ～ 3a^1x, und durch Division -erhält man f/-f^1 ～ (x - a)a/((x - a^1)a^1), wenn man x - a = z setzt, -so ist x - a^1 = z - 1 und z = (fa^1)/(a^1f + af^1) und dies ist die -Korrektion des Heron. - -Die Methode würde für die Quadratwurzel ergeben z = f/(a + a^1) also -für √63; z = 14/15 aber Heron setzt sie gleich 7-1/2, 1/4, 1/8, 1/16, -(gut ägyptisch), das ist 7-15/16, welches genauer ist als 7-14/15 und -für √67500 statt 259 den Wert 259-419/515, was bedeutend genauer als -Herons Wert, der auffallend ungenau; es ist seltsam, dass Heron nicht -260 gewählt hat. Aber auch der vierfache falsche Ansatz passt für √63 -nicht. Denkt man aber an die alte ägyptische Unterteilung und bedenkt, -dass die Näherungsformel √(a^2 + ε) ～ a + ε/(2a + 1) zunächst 7-14/15 -gab, so liegt es nahe, dass probeweise 7-15/16 gesetzt wurde. Übrigens -findet sich bei ¨Theon¨ von Smyrna ein Kettenbruchverfahren für √2, und -dieses oder ein sehr ähnlicher Algorithmus ist vermutlich Archimedes -und Heron auch bekannt gewesen. - -[Sidenote: Heron als Schüler des Ktesibios.] - -Dass ¨Heron¨ nicht nach ¨Caesar¨ gelebt haben kann, das geht schon -aus der Abhängigkeit ¨Vitruvs¨ von Heron hervor, die ich schon um -deswegen nicht bezweifle, weil Vitruv den Heron nicht erwähnt. Als -sein Lehrer gilt ¨Ktesibios¨, weil ein Werk des Heron die βελοποιικα, -Geschützverfertigung, in einigen Handschriften darunter die beste, -überschrieben ist Ἡρωνος Κτησιβιου βελοποιικα. ¨Wilhelm Schmidt¨, der -verdienstvolle Neubearbeiter des Heron, verwirft diese Begründung, und -mit Recht, spricht sich aber über die Tatsache selbst nicht weiter -aus. Mir scheint das Faktum richtig. Dass auch Heron ein Alexandriner, -Αλεξανδρευς, gewesen wie Ktesibios steht fest, und dass Ktesibios der -ältere war, ebenfalls, und gerade in den »Pneumatika« der Lehre von -der mechanischen Anwendung des Luftdrucks, schliesst sich Heron eng an -Ktesibios an. Und sehr spricht für das Schülerverhältnis die Stelle -bei ¨Proklos¨, Friedl. S. 41: και ἡ θαυματοποιικη τα μεν δια πνων -φιλοτεχνουσα, ὡσπερ και Κτησιβιος και Ἡρων πραγματευονται. - -[Sidenote: Der Dampf als Motor.] - -Nach ¨Susemihl¨ lebte Ktesibios unter Ptolemaios Philadelphos und -Euergetes I in Alexandrien und zeichnete sich durch Erfindung -schwerer Geschütze, die er mit komprimierter Luft trieb, aus. Wohl -war die Triebkraft der gepressten Luft schon dem ¨Aristoteles¨ -bekannt, aber die Windbüchse hat jener konstruiert, der nicht mit dem -anderen Ktesibios, der eine Wasserorgel konstruiert hat »dem Sohn -des Bartscherers« zu verwechseln ist. Ktesibios konstruierte auch -einen Apparat zur Mauerersteigung, sowie Automaten und schrieb eine -theoretische Mechanik. An ihn schliesst sich Heron als praktischer -Mechaniker zunächst an, in der Schrift »πνευματικα,« Druckwerke, in -2 Büchern, welche besonders den Luftdruck verwertet, allerdings ohne -die heutige Theorie. Die in der Einleitung erwähnte Schrift über die -Wasseruhren (wörtlich Stundenzeiger mittelst Wassers) in 4 Büchern ist -bis auf ein ganz winziges Fragment verloren. Neben vielen ergötzlichen -Spielereien findet sich darin der Heber (Philon) der Heronsbrunnen, der -Heronsball, das Gesetz der kommunizierenden Röhren, die Druckpumpe, -die Feuerspritze, ¨die nachweislich erste Anwendung des Dampfes als -Triebkraft¨, ein Dampfkessel mit Innenfeuerung und Schlangenrohr als -Badeofen etc. Unter den Automaten ist die sich selbst regulierende -Lampe, das automatische Restaurant etc. - -[Illustration] - -[Sidenote: Anwendungen des Dampfes.] - -Ich gebe hier II, VI die erste konstatierte Anwendung des Dampfes -als Motor, nach ¨W. Schmidts¨ neuer Ausgabe wieder. »Ferner Kugeln, -welche sich auf Luft bewegen. Ein Kessel mit Wasser, der an der Mündung -verstopft ist, wird unterfeuert, s. Fig. Von der Verstopfung aus -erstreckt sich eine Röhre, mit welcher oben eine hohle Halbkugel durch -Bohrung in Verbindung gesetzt worden ist. Werfen wir nun ein leichtes -Kügelchen in die Halbkugel, so wird es sich ergeben, dass der aus dem -Kessel durch die Röhre getriebene Dampf das Kügelchen in die Luft -emporhebt, so dass es darauf getragen wird.« - -Ist hier der Dampf nur zur Spielerei benutzt, so leistet in II 34 in -dem Badeofen, nach seiner Form die einem römischen Meilenstein ähnelt, -Miliarion genannt, der Dampf nützliche Dienste. Die Figur bedarf keiner -Erläuterung. Wir haben hier einen ¨Dampfkessel mit Innenfeuerung¨ und -den Anfang des kupfernen Schlangenrohres, welches etwas später daraus -hervorging. Der Dampf steigt durch eine Röhre, welche in das den Deckel -durchsetzende Rohr eingeschlossen und darin drehbar ist, in den Mund -des kleinen Genius, der nur als Blasebalg für die Kohlenfeuerung dient. -Hier wird man wohl wieder sagen müssen, dass es nichts Neues unter der -Sonne gibt. - -[Illustration] - -[Sidenote: Automatentheater.] - -An die Pneumatika schliesst sich das »Automatentheater« wie -¨W. Schmidt¨ sinngemäss den eigentlichen Titel Περι αυτοματοποιητικης -übersetzt; auch hier wie Heron selbst angibt, in der Einleitung zu -den stehenden Automaten, Schmidt I, S. 404, Z. 12, stützt er sich auf -¨Philon¨. Die Automaten, die heute bei uns nur noch auf den Jahrmärkten -und zu Reklamezwecken in den Schaufenstern dienen, abgesehen von den -grässlichen Musikautomaten, spielten im 17. und 18. Jahrh. eine sehr -grosse Rolle in den Belustigungen auch der Hochgestellten, -- ganz wie -zur Zeit des Philon und Heron. Ich gebe hier den Bericht des Heron über -die Aufführung der Pantomime Nauplios (durch Philon). Der Sage nach war -Nauplios der Vater des Palamedes, der den Tod seines Sohnes Palamedes, -an den Argivern rächte, den Odysseus um seinen Konkurrenten in der -Klugheit zu beseitigen, verursacht hatte. Athene stand ihm bei, sie -zürnte besonders Ajax dem Lokrer, der ihr Palladion geschändet hatte. -Also: auf der Bühne war das auf Nauplios bezügliche Stück vorbereitet -(das Stück selbst: μύθος, vermutlich von Sophokles), das Einzelne -verhielt sich so: Zu Anfang öffnete sich die Bühne, dann erschienen -zwölf Figuren im Bilde, diese waren auf drei Reihen verteilt. Sie -waren als Danaer dargestellt, welche die Schiffe ausbessern und -Vorbereitungen treffen um sie ins Meer zu ziehen. Diese Figuren -bewegten sich, indem die einen sägten, die andern mit Beilen zimmerten, -andere hämmerten, wieder andere mit grossen und kleinen Bohrern -arbeiteten. Sie verursachten ein der Wirklichkeit entsprechendes, -lautes Geräusch. Nach geraumer Zeit wurden aber die Türen geschlossen -und wieder geöffnet, und es gab ein anderes Bild. Man konnte nämlich -sehen, wie die Schiffe von den Achäern ins Meer gezogen wurden. -Nachdem die Türen geschlossen und wieder geöffnet waren, sah man -nichts auf der Bühne als gemalte Luft und Meer. Bald darauf segelten -die Schiffe in Kiellinie vorbei. Während die einen verschwanden, kamen -andere zum Vorschein. Oft schwammen auch Delphine daneben, die bald -im Meere untertauchten, bald sichtbar wurden, wie in Wirklichkeit. -Allmählich wurde das Meer stürmisch und die Schiffe segelten dicht -zusammengedrängt. Machte man wieder zu und auf, war von den Segelnden -nichts zu sehen, sondern man bemerkte Nauplios mit erhobener Fackel -und Athene, welche neben ihm stand. Dann wurde über der Bühne Feuer -angezündet, wie wenn oben die Fackel mit ihrer Flamme leuchtete. Machte -man wieder zu und auf, sah man den Schiffbruch und wie Ajax schwamm. -Athene wurde auf einer Schwebemaschine und zwar oberhalb der Bühne -emporgehoben, Donner krachte, ein Blitzstrahl traf unmittelbar auf der -Bühne den Ajax und seine Figur verschwand. So hatte das Stück, nachdem -geschlossen war, ein Ende. - -[Sidenote: Heron, Euthytonos (Geradspanner).] - -[Illustration] - -Es folgen dann die genauen Vorschriften zur Anfertigung der Automaten. - -Die Pneumatik zeigt zugleich, wie falsch die Vorstellung ist, dass das -Experimentieren erst etwa durch Bacon erfunden sei, z. B. Pneum. 28, -29, aber nicht nur Heron war ein tüchtiger Experimentator, sondern -schon ¨Demokrit¨ hat seine physikalischen Theorien auf Experimente -gestützt, indem er z. B. Versuche über Filtrierung von Meerwasser -angestellt hat. - -[Sidenote: Geschützverfertigung.] - -Es folgt die βελοποιικά, den Titel hat H. Degering nicht ohne Geist -erklärt als Herons Bearbeitung von Ktesibios Geschützverfertigung; -die Frage nach den antiken Geschützen, für die bisher das grosse -Werk von ¨Köchly¨ und ¨Major Rüstow¨ ausschlaggebend war, ist durch -die Versuche von ¨E. Schramm¨ in Metz in ein neues aber noch nicht -abgeschlossenes Stadium getreten. Dass Griechen und Römer über ein -sehr hochentwickeltes Geschützwesen verfügten und eigene kaiserliche -Waffentechniker, armamentarii imperatoris, besassen ist bekannt; soll -doch nach Athenodoros der Winkelspanner des Archimedes einen 12elligen -Balken auf die Weite eines ¨Stadions¨ geworfen haben. - -Die Figur S. 323 stellt den ¨Geradspanner¨ (Euthytonos) des Heron dar. - -[Illustration] - -[Sidenote: Das Delische Problem.] - -Der Schluss des Werkes enthält die von Eutokios mitgeteilte -Konstruktion für das Delische Problem, welche mit der des Apollonios -im Prinzip und mit der des ¨Philon¨, der als 4. Buch seiner Mechanik -ebenfalls über Geschützbau ausführlich gehandelt hat, übereinstimmt. -Sollte die Kraft der Geschosse verdreifacht werden, so musste der -Cylinder, der den Spanner aufnahm, verdreifacht werden und damit war -das Delische Problem gegeben, dessen Lösung sich von der des Apollonios -und besonders der des Philon nur sehr wenig, und im Prinzip gar nicht -unterscheidet. - -Der Bericht des Eutokios ist überarbeitet, der des Pappos III p. 62 -scheint fast genau mit dem Original zu stimmen, bis auf geringfügige -Zusätze, wie z. B. gleichen Umfang παραλληλογραμμον. Das Original -ist zum Schluss vollständig verworren, und ich folge der von Köchly -jedenfalls mit Benutzung von Pappos gegebenen Sanierung und nicht der -in der Mechanik S. 24 aus dem Arabischen übertragenen. Die Konstruktion -des Philon die bei Eutokios sich anschliesst findet sich Köchly S. 238 -skizziert. - -[Illustration] - -Heron: Es seien αβ, βγ die gegebenen Strecken, senkrecht zu einander, -es soll das Rechteck αβγδ vollendet und δγ, δα verlängert worden sein. -Du sollst an Punkt β ein Lineal anlegen, das die verlängerten Strecken -schneidet und das besagte Lineal bewegen bis die zwei ε mit den -Schnitten verbindenden einander gleich sind. Es habe nun das Lineal die -Lage der Geraden ζβη und die beiden andern Geraden seien εζ und εη, so -behaupte ich, dass αζ, ηγ die mittleren Proportionalen der Strecken αβ, -βγ sind. - -Der Beweis mittelst (a + b)(a - b) gleich a^2 - b^2 (oder auch mit dem -Potenzsatz) ist ohne weiteres klar. - -Die Konstruktion des Philon führt die Gleichheit von ζε und ηε auf die -von ζβ und ηθ zurück, was mittelst geteilten Drehlineals praktisch -vorteilhaft ist. - -[Sidenote: Katoptrik.] - -Ebenfalls experimenteller Physik gehört Herons ¨Katoptrik¨, die Lehre -vom reflektierten Licht an, die Lehre vom Spiegel, Winkelspiegel, -Vexierhohlspiegel, Spiegel zu Geistererscheinungen etc. Sie ist jetzt -unter den Werken Herons von W. Schmidt 1901 (Bd. II) herausgegeben, -nach einem lat. Manuskript des Wilhelm von Mörbeck, den wir schon bei -Archimedes als Übersetzer erwähnten. Das griech. Original wird sich -vermutlich im Vatikan finden, jedenfalls hat es sich dort befunden. Die -Schrift war unter dem Titel Claudii Ptolemei de Speculis 1518 gedruckt -worden. Als die weit über Heron hinausgehende Optik des ¨Ptolemaios¨ -in einer aus dem Arabischen übersetzten Optik des Admirals Eugenius -Siculus (vgl. die Einleitung W. Schmidts S. 303) erkannt war, bewiesen -¨H. Martin¨, ¨Rose¨ und ¨Schmidt¨ dass jene frühere Schrift eine -verkürzte und verstümmelte Wiedergabe der Katoptrik des Heron sei, von -der Kunde existierte. - -[Sidenote: Reflexionsgesetz.] - -Heron legt die Emissionstheorie zugrunde, die Sehstrahlen sind eine Art -Äthermoleküle, die vom Auge aus mit unendlicher Geschwindigkeit gesandt -werden. Seine mathematischen Ableitungen beruhen auf dem Satz: das -Licht bewegt sich auf kürzestem Wege (wie s. Z. ¨Fresnel¨). Ich gebe -die Einleitung wörtlich und die Ableitung des Reflexionsgesetzes aus -Kp. IV und V dem Sinne nach. Einleitung: - -»Da es zwei Sinne gibt, durch welche man nach Platon zur Weisheit -gelangt, nämlich das Gehör und das Gesicht, so hat man sein Augenmerk -auf beide zu richten. Von dem, was in das Gebiet des Gehörs fällt, -beruht die Musik auf der Kenntnis der wohlklingenden Tonbildung und -ist, um es kurz zu sagen, die Theorie von dem Wesen der Melodie und -den Gesetzen der Tonlehre. Was die Möglichkeit betrifft, dass die -Welt entsprechend der musikalischen Harmonie geordnet sei, so stellt -die Theorie viele verschiedenartige Behauptungen darüber auf. Wenn -man nämlich den ganzen Himmel der Zahl nach in acht Sphären einteilt, -nämlich in die der 7 Planeten und in diejenige, welche alle (sieben) -umfasst und welche nur die Fixsterne tragt, so ist die Folge, dass bei -den Planeten das Vorrücken der Gestirne melodiös und harmonisch wird -wegen der gleichmässig starken Bewegungen unter ihnen, wie auch auf dem -Instrumente der Leier die Saiten melodisch erklingen. Denn wie man -sich vorstellen muss, vernimmt man infolge des Vorrückens der Gestirne -durch die Luft gewisse Töne und zwar bald tiefere, bald hellere, je -nachdem die einen sich langsamer, die andern sich schneller bewegen. -Wie wir also nach dem Anschlagen der Saite die Luftschwingungen -erkennen, so gewährt, wie man sich denken muss, uns die Luft dadurch, -dass sie infolge der Bewegung der Gestirne durch den Tierkreis -ununterbrochen sich verändert und verwandelt (in Schwingungen versetzt -wird) einen Akkord.« (Die Sphärenmusik der Pythagoräer.) - - -Ableitung des Reflexionsgesetzes. - -Für den Planspiegel genügt die Figur hier. Es sei ¨ab¨ ein ebener -Spiegel, g der Augenpunkt, d das Gesehene. Es ist da g_{1} symmetrisch -zu g, klar, dass der Weg ¨gad¨ da er gleich der Geraden ¨g_{1}ad¨ -kürzer ist als ¨gbd¨, welcher gleich der gebrochenen Linie ¨g_{1}bd¨ -ist. - -[Illustration] - -[Illustration] - -Man denke sich dann einen gekrümmten (Convex) Spiegel, bei dem ¨ab¨ -die Peripherie, g das Auge, d das Gesehene sei. Und es sollen ¨ga¨ und -¨ad¨ unter gleichen Winkeln einfallen, ¨gb¨ und ¨bd¨ unter ungleichen. -Dann ist nach vorigen Beweis ¨ga¨ + ¨ad¨ < ¨gz¨ + ¨zd¨ und dies < -¨gz¨ + ¨zb¨ + ¨bd¨ < ¨gb¨ + ¨bd¨ (2 Seiten zusammen länger als die -dritte). - -[Illustration] - -[Sidenote: Dioptrik (Feldmessung).] - -Heron selbst berichtet in der Katoptrik, dass er ihr die ¨Dioptrik¨, -sein Hauptwerk über Feldmesskunst, vorausgeschickt habe; sie ist, -in der Schmidtschen Ausgabe von ¨H. Schöne¨ mit der Metrik zusammen -nach dem Codex Constp. herausgegeben. Zuerst wird die von Heron -sehr wesentlich verbesserte Dioptra beschrieben und dann die grosse -Anzahl mittelst ihrer vorgenommenen Vermessungsaufgaben. Die Dioptra -hatte ¨Hipparch¨ nach einer Anregung die er der Bestimmung des -Sonnendurchmessers im Psammites des Archimedes verdankte, eingeführt. -Sie bestand, vgl. ¨Hultsch¨, Winkelmessung durch die Hipparchische -Dioptra Festschrift f. M. Cantor 1899 aus einem soliden Richtscheit, -auf dessen Oberfläche senkrecht zu derselben ein kleines Plättchen -verschiebbar war, dessen Ränder von einer kleinen Öffnung an einem -Plättchen, das fest mit dem oberen Ende des Richtscheits verbunden war, -abvisiert werden können. Hipparch hat mit diesem primitiven Instrument -die scheinbaren Monddurchmesser bewunderungswürdig genau gemessen. Die -Dioptra des Heron, s. Abbild., ist ein sehr vollkommenes Instrument, -ihr fehlte wie man sieht zu unserm Theodoliten nichts als die Linsen, -und zugleich diente sie als Kanalwage, als Nivellierinstrument, wozu -die Plinthe ¯KL¯ abgehoben und das Nivellierlineal, s. Abbildung, -aufgesetzt wurde. Ebenso sind die zum Gebrauch des Visierinstruments -nötigen Schiebelatten mit allem Raffinement ausgeführt. ¨W. Schmidt¨ -und ¨H. Schöne¨ haben die Einrichtung festgestellt, ersterer Eneström -1903, 7-12, Schöne, Jahrb. arch. Instit. 14, 1899, S. 91-103. Unter -den Messungen erwähne ich den Bau der Mole und den Tunnelbau, sowie -die allerdings von der Dioptra unabhängige Bestimmung der Entfernung -von Rom und Alexandria. Die Methode für diese Messung ist noch heute -giltig, es wird aus der Zeitdifferenz, die durch Eintreten der -Mondfinsternis festgelegt ist, der Längenunterschied zwischen beiden -Orten bestimmt und dadurch die Entfernung, wenn der Erdradius bekannt -ist. Dabei hat ¨Hoppe¨ schon darauf hingewiesen, dass die Annahme des -Erdumfanges von 252000 Stadien, also des Wertes von Eratosthenes und -nicht die von 240000, welche Ptolemaios nach Poseidonios dem Rhodier -gibt, zeigt, dass Heron älter ist als jener. - -[Illustration] - -[Sidenote: Tunnelbau.] - -Ich gebe hier den Tunnelbau wieder, Herodot hat III, 60 (W. Schmidt -l. c.) schon den Tunnel von Samos des Eupalinos zu den Wunderwerken -der Hellenischen Baukunst gerechnet. Die Tunnelbauten dienten -den Wasserleitungen. Dioptra XV, »Einen Berg in gerader Linie zu -durchgraben, wenn die Mündungen des Grabens im Berg gegeben sind. Man -denke sich als des Berges Grundriss (ἑδρα nicht βασις, die Fläche, auf -der der Berg ruht) die Linie ΑΒΓΔ s. Fig. S. 330, und als die Mündungen -durch welche gegraben werden muss Β und Δ. Ich zog (weil er eine -wirklich ausgeführte Arbeit beschreibt) von Β aus auf dem Boden die -[Strecke] ΒΕ nach Belieben, und mit der Dioptra von Ε aus rechtwinklig -ΕΖ, und dazu von dem beliebigen Ζ mit der Dioptra zu ΖΕ rechtwinklig -ΖΗ. Ferner vom beliebigen Η zu ΖΗ rechtwinklig ΗΘ; schliesslich vom -beliebigen Θ zu ΘΗ rechtwinklig ΘΚ, und zu ΘΚ rechtwinklig ΚΛ. Nun -führte ich die Dioptra längs der Graden ΚΛ bis durch Einstellung -des Visierlineals im rechten Winkel der Punkt Δ erschien, er möge -erschienen sein als die Dioptra in Μ war. Nun denke man sich ΕΒ -verlängert bis Ν und bis zu ihr hin ΔΝ als Lot.« -- Da jetzt ΔΝ als -ΕΖ + ΗΘ + ΜΚ und ΒΝ als ΒΕ + ΖΗ - (ΘΚ + ΜΔ) bestimmt sind, so ist auch -ihr Verhältnis und damit die Richtung des Grabens bestimmt. - -[Illustration] - -»Entsteht der Graben auf diese Weise, werden die Arbeiter einander -begegnen.« (Was bei dem Tunnel auf Salamis nicht der Fall war.) Heron -braucht rechtwinklige Coordinaten nicht nur hier, sondern vielfach -z. B. No. 24 und No. 25, auch hier im Grunde altägyptischer Tradition -folgend. Die Dioptra enthält jetzt auch die berühmte Heronische -Dreiecksberechnung aus den 3 Seiten unverstümmelt und übereinstimmend -mit der Metrik, von der Hultsch noch 1864 berichtete: Infinitum paene -laborem mihi attulit gravissimum illud theorema, quo areae triangularis -mensura ex tribus lateribus efficitur. Hultsch hielt sie für in die -Dioptra eingeschoben, jetzt sieht man, dass sie ganz naturgemäss dort -hingehört im Anschluss an Flächenteilungen; dem Feldmesser ist es -durchaus bequem die Seiten zu messen und wenn er geübt ist, sie auch so -abzustecken, dass die Differenzen konstant sind. - -[Sidenote: Mechanik.] - -Ich komme nun zu dem theoretischen Hauptwerk ¨Herons¨ »des -Mechanikers«, die Mechanik. Lange Zeit galten die bei Pappos im 8. -Buch als Heronisch angegebenen Fragmente aus dem sogen. βαρουλκος, dem -Lastenzieher und der Mechanik für Teile zweier verschiedenen Schriften. -Da wurde von ¨Carra de Vaux¨ 1893 in Leyden eine arabische Handschrift -gefunden und im Journal Asiatique Ser. 9, 1 und 2 herausgegeben, welche -bewies, dass die Fragmente bei Pappos zu einem Werke, der Mechanik, -gehören. Da in kurzer Zeit noch drei andere zum selben Archetyp -wie die Leydener gehörenden Handschriften gefunden wurden, und die -Handschriften sich gegenseitig ergänzten, so nahm Schmidt die arabisch -und deutsche Ausgabe der Mechanik von ¨L. Nix¨ als Band 2 in die -neue Edition der Heronischen Werke auf. Die Übersetzung ist laut den -Handschriften von ¨Kosta ben Luka¨ auf Befehl des Chalifen Abul Abbâs -(862-866), Nachfolger Harun al Raschids, angefertigt, gehört also zu -den frühen Aneignungen Hellenischen Wissens seitens der Araber. Das -Leydener Manuskript ist durch den schon bei Apollonios erwähnten Golius -dorthin gebracht worden. - -Die Schrift zeigt, dass Heron keineswegs der blosse Praktiker war, -sondern die theoretische Mechanik im Anschluss an ¨Aristoteles¨ und -Archimedes vollständig beherrschte. Er hat das statische Moment scharf -hervorgehoben, das Grundgesetz formuliert: was an Kraft gewonnen wird, -geht an Zeit verloren. Er gibt die vollständige Theorie der 5 einfachen -Maschinen; Wellrad, Rolle, Flaschenzug, Keil, Schraube, alle auf den -Hebel zurückgeführt, (für die Rolle mit einem Fehler in bezug auf feste -und lose Rolle), er streift auch die schiefe Ebene. Das dritte Buch ist -wieder vorzugsweise praktisch, es handelt von den Mitteln zur Bewegung -von Lasten auf Ebenen, und finden wir auf S. 267 den Vorläufer unserer -Drahtseilbahnen: die Bergseilbahn zum Transport von Steinblöcken, und -daran schliessend die Fruchtpressen, über deren Zusammenhang bezw. -Abweichung von den bei Vitruv beschriebenen ¨Hoppe¨ l. c. ausführlich -gehandelt hat. Die Schrift enthält in den beiden ersten Büchern auch -ein ganzes Teil mathematisch Interessantes, so bei Gelegenheit der -Aufgabe zu einem gegebenen Körper einen ähnlichen zu konstruieren, -die schon mitgeteilte Lösung der Würfelvervielfältigung auf S. 24, so -auf S. 28 die Einführung des ¨Ähnlichkeitspunktes¨, so auf S. 32 den -¨Proportionalzirkel¨, auf S. 188 den geom. Beweis, dass die Medianen -des Dreiecks sich im Verhältnis 2:1 schneiden und auf S. 196 die -Bestimmung eines Punktes aus seinen ¨baryzentrischen Koordinaten¨. - -Die physikalischen Kenntnisse Herons sind in einer vortrefflich -übersichtlichen Weise zusammengestellt von ¨Franz Knauff¨, Progr. des -Sophien G. zu Berlin Ostern 1900, für die Druckwerke konnte er schon -¨W. Schmidts¨ Arbeit verwerten. - -[Illustration] - -[Sidenote: Heron, reine Mathematik.] - -Ich komme nun zu den eigentlich mathematischen Schriften und beginne -mit den Horoi, den Definitionen. Es scheinen überarbeitete Reste seines -Euklidkommentars zu sein. Dass sich Heron mit den Elementen stark -beschäftigte, geht aus Proklos unzweifelhaft hervor. Ich gebe hier -den hübschen direkten Beweis des Satzes: Stimmen 2 Dreiecke in zwei -Seiten überein und sind die dritten Seiten ungleich, so sind die ihnen -gegenüberliegenden Winkel in derselben Weise ungleich. Die Dreiecke -seien αβγ und δεζ und βγ > εζ. Man schneide auf εζ die Strecke βγ ab -bis η und schlage um δ mit δζ einen Kreis der εδ in θ trifft und um -ε mit εη. Dieser Kreis muss den ersten schneiden und zwar zwischen ζ -und θ, da η ausserhalb liegt und εθ > εη. (Summe zweier Seiten.) Der -Schnitt sei κ. Man ziehe δκ und εκ, so ist εδκ ≅ βαγ und Winkel εδκ -> εδζ d. h. α > δ. Die Schlussformel lautet nicht q. e. d. sondern -wiederholt die Behauptung. Hinweisen will ich auf den Ausdruck εν -ῥυσει. und auf das öfter gebrauchte Wort »fliessen«. Es unterliegt wohl -keinem Zweifel, dass Cavalieri seinen Ausdruck fliessen (fluere), aus -Heron entnommen hat, der vielleicht auf Demokrit zurückgeht. Seltsam -hat es mich berührt, als ich mein Beispiel für den Begriff Fläche aus -den Elem. der Geom. von 1891 bei ¨Heron¨ fand in »Περι επιφανειας.« -Hultsch S. 10 Z. 19 »η το ὑδωρ ποτηριω«, nur dass Heron wie es scheint -abstinenter war. Der Satz lautet vollständig: der Begriff (Fläche) -wird erfasst da wo sich Luft mit Erde oder einem andern festen Körper -mischt, oder Luft mit Wasser, oder Wasser mit einem Trinkgefäss oder -irgend einem andern Behälter. - -Eine deutsche Übersetzung des planimetrischen Teils ist 1861 von Prof. -Val. Mayring als Programm von Neuburg a. d. D(onau) verfasst, leider -noch vor der Hultschen Sanierung des Textes. - -[Sidenote: Euklid-Kommentar (An-Nairizi).] - -In der lateinischen Übersetzung des Kommentars An-Nairîzî (Al-Neirizi) -zu den 10 ersten Büchern von Gherardus Cremonensis aus dem 12. Jh. -welche M. Curtze 1896 in Krakau auffand, ist der Kommentar des Heron -wie es scheint fast vollständig erhalten, und demnach hat Heron nur die -acht ersten Bücher kommentiert, und besonders ausführlich das erste -und zweite Buch. Auch der Kommentar zeigt, dass Heron ein tüchtiger -Geometer ist, unter den vielen Sätzen, die Heron hinzufügt, ist wohl -der interessanteste der ohne Ähnlichkeitslehre mit drei Hilfslinien -gegebene Beweis des Satzes, dass die drei Hilfslinien, welche der -Euklidische Beweis des Pythagoras erfordert, sich in einem Punkte -schneiden. - -[Illustration] - -[Sidenote: Metrik.] - -[Sidenote: Beweis der Heronischen Formel.] - -Das Hauptwerk Herons für reine Mathematik sind die »Metrika«. In einem -schon lange bekannten Codex in Konstantinopel aus dem XII. Jh., fand -R. Schöne neben der Dioptra auch eine vollständige Handschrift der -Metrika, die sein Sohn H. Schöne als Band III des Schmidtschen Werkes -1903 herausgab. Das Werk zerfällt in 3 Bücher, Buch I Flächenmessung, -Buch II Körpermessung, Buch III Teilung von Flächen und Körpern. Es -zeigt, dass die von Hultsch herausgegebene Geometrie, Stereometrie, -liber geoponicus, stark überarbeitete Teile dieses Werks sind. Das -Buch »Geoponicus« (über Erdarbeit) erinnert sehr stark an den Papyrus -Aames und spricht am stärksten für das Wurzeln Herons in ägyptischer -Tradition. Buch I findet sich auf S. 20 ff der Beweis der Heronischen -Formel wie in der Dioptra: s = √(s(s - a)(s - b)(s - c)) und zwar -sehr elegant und zunächst an dem sog. Heronischen Dreieck 13, 14, -15 exemplifiziert, das aus den beiden ganzzahligen (Pythagoräischen) -rechtwinkligen Dreiecken 15, 12, 9 und 13, 12, 5 zusammengesetzt ist; -und dann an dem nicht rationalen Dreieck 8, 10, 12. Es wird gefordert -sich dann den Inhalt zu verschaffen, ausser der Höhe. Das gegebene -Dreieck sei ΑΒΓ und jede der (Strecken) ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ sei gegeben: den -Inhalt zu finden. Es soll in das Dreieck der Kreis ΔΕΖ eingeschrieben -sein, dessen Zentrum Η ist, und in die Verbindungslinie ΑΗ, ΒΗ, ΓΗ, -gezogen werden ... Es ist also das Rechteck aus dem Umfang des Dreiecks -ΑΒΓ und ΕΗ, dem Radius des Kreises ΔΕΖ, das Doppelte des Dreiecks. -ΓΒ werde ausgezogen und ΒΘ dem ΑΔ gleichgesetzt. Es ist also ΓΘ die -Hälfte des Umfangs des Dreiecks ... Folglich ist das Rechteck aus ΓΘ -und ΕΗ gleich dem Dreieck ΑΒΓ. Das Produkt aus ΓΘ und ΕΗ ist die Wurzel -(Pleura d. h. Seite) des Quadrats von ΓΘ und ΕΗ Quadrat; also ist das -mit sich selbst multiplierte Dreieck ΑΒΓ gleich Γθ^2 mal ΕΗ^2. Es soll -einerseits zu ΓΗ rechtwinklig ΗΛ, andrerseits zu ΓΒ rechtwinklig ΒΛ -gezogen worden sein, und Γ mit Λ verbunden. Da nun ein Rechter jeder -der Winkel ΓΗΑ und ΓΒΛ so ist ΓΗΒΛ ein Viereck im Kreise [Satz vom -Peripherienzirkel auf dem Halbkreis]. Es sind folglich ΓΗΒ (+) ΓΛΒ -zweien Rechten gleich. Es ist aber auch ΓΗΒ + ΑΗΔ gleich 2 Rechten -... Also ist ΑΗΔ gleich ΓΛΒ. ... Also ist das Dreieck ΑΗΔ ähnlich dem -Dreieck ΓΒΛ, folglich ΒΓ zu ΒΛ wie ΑΔ zu ΔΗ d. h. wie ΒΘ zu ΕΗ und -umgekehrt ΓΒ : ΒΘ wie ΒΛ : ΕΗ wie ΒΚ : ΕΚ ... Und durch Zusammensetzung -ΓΘ : ΒΘ wie ΒΕ : ΕΚ so dass auch ΓΘ^2 : ΓΘ . ΘΒ = ΒΕ . ΓΕ : ΓΕ . ΕΚ -= ΒΕ . ΓΕ : ΕΗ^2. Denn im rechtwinkligen Dreieck wurde vom rechten -das Lot ΕΗ gezogen. Daher wird ΓΘ^2 . ΕΗ^2, dessen Wurzel der Inhalt -des Dreiecks ΑΒΓ war, gleich ΓΘ . ΘΒ . ΕΒ . ΓΕ sein [d. h. also J^2 = -s(s - a)(s - b)(s - c)]. - -Die Form des Beweises ist von der Euklids und Archimedes nicht -verschieden. Der Beweis selbst sollte von allen Lehrern gekannt sein. - -Der Inhalt des Dreiecks 8; 10; 12 ist √1575, Heron bestimmt sie zu -39-1/2 1/8 1/16 d. h. 39-11/16 und das Quadrat weicht von 1575 um noch -nicht 0,1 ab. - -Es folgt die Ausmessung des Trapezes, das von ¨Heron¨ vielfach zu -Aufgaben verwertet wird und neuerdings wieder als Quelle hübscher -Elementaraufgaben erkannt ist. Es werden dann die regelmässigen -Polygone bis zum 12Eck inklusive einzeln ausgemessen, im Grunde -mit den Cotangenten von 180/n, die aber ¨geometrisch¨ und nicht -¨trigonometrisch¨ abgeleitet werden, was einerseits wieder an den Skd -der Ägypter erinnert, andererseits für das Alter Herons spricht. - -Heron geht dann zur Kreismessung und erwähnt, dass Archimedes in einer -(bis dato) verlorenen Schrift: περι πλινθιδων και κυλινδρων zwischen -die Grenzen 211875 : 67441 und 197888 : 62351 eingeschlossen habe, -d. h. π bis etwa 1/14000 bestimmt hat. Es folgen dann Formeln für die -Kreissegmente, Näherungsformeln für Bogen und Flächen. Paul Tannery -hat sie mit Hilfe der Integralrechnung, Mem. de Bordeaux 2 V. S. 347, -geprüft und sie teilweise von erstaunlicher Genauigkeit gefunden. Er -behandelt auch, als Vorläufer von ¨Diophant¨ (s. u.) Quadratische -Gleichungen rein arithmetisch, er scheut sich nicht Kreisfläche und -Peripherie zu addieren und hat bereits für die 4 Potenz den terminus -technicus δυναμοδυναμις d. h. biquadratisch. Zylinder- und Kegelmantel -berechnet er wie wir, durch Aufrollen, und für die Kugelfläche hält er -sich an Archimedes. Wenn man die Metrik liest, hat man den Eindruck, -dass Archimedes zur Zeit des Heron in voller, alles andre überragenden -Bedeutung gewesen sei und wird geneigt, Heron nicht mehr als zwei -Menschenalter nach ihm anzusetzen. - -Das 2. Buch ist der Körpermessung gewidmet, hier kommen die bei -Archimedes erwähnten Zitate aus dem »εφοδικον« vor, leider ohne die -Beweise. - -Den Schluss dieses zweiten Buches habe ich einleitend bei Ägypten auf -S. XV angeführt. Der 3. Teil enthält Flächen- und Körperteilungen, es -sind Aufgaben die uns meist noch heute als Schüleraufgaben geläufig -sind. Ich erwähne die Aufgabe 18: Einen Kreis annähernd in drei gleiche -Teile zu teilen. Es wird die Seite des regulären Dreiecks eingetragen, -durch das Zentrum die Parallele gezogen, so ist das Segment ΓΔΖΒ ~ -1/3. »Da das Stück, um welches das Segment ΔΓΒ grösser ist als dieses, -(¨nämlich das Drittel¨, und nicht wie Schöne versehentlich übersetzt, -als sie), unerheblich ist im Verhältnis zum ganzen Kreis«. Der -Schlusssatz bestätigt, dass ¨Archimedes¨ im 2. Buch περι σφαιρας και -κυλινδρου die Kugel im gegebenen Verhältnis geteilt hat. - -Wenn ich bei ¨Heron¨ langer verweilt habe, als Ihnen vielleicht -wünschenswert erscheint, so tat ich es einerseits weil Heron häufig -unterschätzt wurde und andrerseits weil er für die Geschichte der -Kultur als Techniker sich würdig Euklid dem reinen Geometer an die -Seite stellt, und unter anderen einer der Riesen der Renaissance -¨Leonardo da Vinci¨ die deutlichsten Spuren seines Wirkens zeigt. - -[Sidenote: Theodosios, Sphärik.] - -Ich erwähne kurz einige historisch wichtige Namen. Ich nenne -¨Theodosios¨, möglicherweise aus einem Tripolis, wahrscheinlich aus -Bithynien, den Cantor als Zeitgenossen des Geminos ansetzt, während -Tannery in seiner Untersuchung über antike Astronomie ihn als -Zeitgenossen des Hipparch und als Bithynier ansieht. Seine Sphärik -in 3 Büchern ist eine reine ¨Geometrie¨ auf der Kugel, und hat erst -im 18. und 19. Jahrh. Nachfolger gefunden, sie hat den Inhalt von -Euklids Phänomenen aufgenommen. ¨E. Nizze¨ hat sie 1826 in Stralsund -ins Deutsche übertragen mit Erläuterungen und Zusätzen. Sie ist -interessant insbesondere auch für die Geometrie des ¨Riemann¨schen -endlichen Raumes. Nizze hat die Sphärik dann 1852 in Berlin griechisch -und lateinisch ediert, nachdem ¨A. Nokk¨ darüber ein Programm 1847 in -Bruchsal geschrieben. Das griechische Originalwerk ist zuerst 1558 -von ¨Joh. Pena¨ mit lateinischer Übersetzung ediert. Schon im 11. -Jahrh. wurde durch Platon von Tivoli (nächst Gherard von Cremona der -fleissigste Übersetzer) eine arabische Bearbeitung der Sphairika, der -Kugelschnitte durch Ebenen, ins Lateinische übersetzt, und 1558 von -Maurolycus desgleichen. Aus den vielen Zusätzen des oder der Araber -erwähne ich: wenn die gerade Linie aus dem Pole eines Kugelkreises -nach dessen Umfange gleich ist der Seite des in diesen Kreis -eingeschriebenen Quadrats, so ist der Kreis selbst ein grösster Kreis. -Es ist dies die Umkehr des von Theodosios I, 16 gegebenen Satzes. -- -Eine tüchtige, kritische und sachliche Arbeit über die Sphärik ist -das Programm von ¨A. Nokk¨. Die Arbeit des Theodosios lässt sich noch -heute ganz vortrefflich für den Unterricht in der Prima eines Real- -oder humanistischen Gymnasiums verwerten. Nokk zeigt wie sich die -Kenntnis der Geometrie auf der Kugel ¨kontinuierlich¨ von ¨Autolykos¨ -über ¨Euklid¨ zu Theodosios und von da zu ¨Ptolemaios¨ entwickelt. Da -neben und vielleicht auch vor der Feldmessung die Astronomie die Quelle -der Mathematik ist, so war die Geometrie auf der Kugel schon früh eine -Notwendigkeit. Und mit Nokk und Nizze muss man Theodosios, wenn auch -als keinen Geometer ersten Ranges, so doch als einen sehr tüchtigen -Geometer zweiten Ranges ansehen, dessen Schrift nach Inhalt und Form -auf die Zeit des Hipparch oder die nächstfolgende Generation hinweist. - -[Sidenote: Geminos.] - -In gleiche Zeit mit Theodosios setzt Cantor Geminus oder Geminos -(Γεμινος). Mit ihm beginnt ¨Loria¨ das »¨silberne Zeitalter¨« der -griechischen Geometrie, das Zeitalter der »Commentatoren«. Von dem -grossen Werk ¨Gino Lorias¨ »Le science esatte nell' antica Grecia« -standen mir leider nur die drei letzten Bände von 1902 zur Verfügung, -und auch diese nur italienisch, da bedauerlicherweise eine deutsche -Übersetzung von dem Werke dieses als Mathematiker wie als Historiker -der Mathematik gleich hervorragenden Gelehrten noch nicht erschienen -ist. Proklos erwähnt den Geminos 18mal, (den Platon 39mal). Besonders -wichtig ist 38 das grössere Zitat und 112, 24; 113, 26. - -Demnach hat Geminos ähnlich wie in unseren Tagen ¨Papperitz¨ eine -Einteilung der mathematischen Disziplinen gegeben, ebenso eine -Einteilung der Kurven. - -[Sidenote: Poseidonios.] - -[Sidenote: Stoa.] - -[Sidenote: Zenon.] - -[Sidenote: Chrysippos.] - -[Sidenote: Stoiker.] - -[Sidenote: Epikuräer.] - -Das Citat 112 vindiziert dem Geminos den Nachweis der Verschiebbarkeit -des Kreises, der Geraden, und der Schraubenlinie auf dem geraden -Kreiszylinder und den Satz: wenn von einem Punkt aus an zwei in sich -verschiebbare (ὁμοιομερεις) Linien zwei Geraden unter gleichen Winkeln -gezogen werden, so sind sie gleich lang. Ich vermute aber, dass diese -Betrachtungen aus dem Werke des ¨Apollonios¨ über die Schraubenlinie -auf dem Zylinder herrühren. In derselben Schrift hat Geminos auch -nach Proklos, Friedl. 113, Z. 4 und 5 die Erzeugung der Spirischen -Linien (Schneckenlinien und Wulstschnitte) und der Konchoïden und -Kissoïden gelehrt. Besonderen Wert lege ich auf die Stelle S. 176 -f., dort erwähnt Proklos, dass Poseidónios, gemeint kann nur der -Rhodier sein, die Euklidische Definition: Parallelen sind Asymptoten, -dahin umgeändert, dass es Abstandslinien sind, und Geminos hat diese -¨Auffassung¨ akzeptiert. Dies scheint mir für die Datierung des -Geminus entscheidend, Poseidónios war der Lehrer des Cicero, um 75 und -vermutlich auch des Geminus, so kann dieser nicht gut vor 70 angesetzt -werden, was Cantor auch tut. Die Persönlichkeit des ¨Poseidónios¨, -der, obwohl aus Apamea in Syrien nach seinem Wirkungsort meist der -Rhodier genannt wird, tritt im Laufe des letzten Dezenniums immer -mehr hervor; auch die Philosophie der Mathematik bei Geminus stammt -vermutlich ihrem gedanklichen Inhalt nach von ihm vergl. Proklos 80, -20 f., 143, 8 f., 199 und 200. Und dass er auch mit Unterscheidungen -und Einteilungen sich beschäftigte, zeigt Proklos S. 170. Aus 200 -und besonders aus dem Exkurs zur Konstruktion der Symmetrieaxe geht -hervor, dass sich Poseidónios sehr eingehend gerade mit den Elementen -der Geometrie beschäftigt hat. Dass Poseidónios als Stoiker sich -besonders gegen Epikur richtet ist erklärlich. Die Stoa ist für das -Verständnis des römischen Lebens der letzten Zeit der Republik und des -Kaiserreichs von grösster Bedeutung, da sie aber für die Geschichte der -Naturerkenntnis nur von geringem Wert ist, so will ich mich auf ganz -kurze Notizen beschränken. Der Gründer war Zēnon der in der bekannten -»bunten Halle« Stoa Poikile lehrte, etwa um 340-325. In engem Anschluss -an die Cyniker, an Antisthenes und an seinen Lehrer Krates hielt auch -Zēnon Bedürfnislosigkeit für die erste Bedingung zur Glückseligkeit, -aber er enthielt sich alles Cynismus. Auch er stellte die Forderung -auf, der ¨Natur¨ zu gehorchen, aber diese Natur ist ihm das von der -Vernunft gegebene Gesetz. Als das einzige Gut gilt den Stoikern die -Tugend und als diese die Herrschaft der Vernunft über die Erregung der -Seele. Nie darf der Weise sich hinreissen lassen Lust oder Schmerz zu -empfinden, sein Ideal ist etwa der Zustand einer völligen Apathie. -Fühlt die Vernunft, dass sie der Affekte nicht Herr werden kann, so -hat sie das Mittel durch Selbstmord die Niederlage zu vermeiden. So -soll Zenon selbst in hohem Alter durch Selbstmord geendet haben. Der -Gegensatz zu Platon und Aristoteles in der älteren Stoischen Schule -liegt hauptsächlich in der Ausbildung des Egoismus, zu der die Lehre -notwendig führen musste; eine enthusiastische Hingabe an den Staat, an -die Gottheit, an die reine Erkenntnis verstiess gegen die Forderung -der Affektlosigkeit. Das geistige Haupt der älteren Stoa ¨Chrysippos¨ -aus Soloi in Kilikien, der etwa um 240 blühte, hat die Lehren des -Zenon, die er schon wesentlich in ihrer praktischen Seite mässigte, -streng wissenschaftlich verteidigt. Von seiner ausserordentlichen -schriftstellerischen Tätigkeit, durch die er der Stoa erst ihre -Verbreitung gegeben nicht nur nach Rom, sondern auch nach Alexandrien, -wo er selbst einen ¨Eratosthenes¨ gewann, sind uns nur wenige -Bruchstücke durch Plutarch erhalten. Die Hauptquellen über die Stoiker -sind ¨Diogenes Laertios¨ und ¨Cicero¨ (De Officiis, Timaeus und vor -allem de finibus). Ihre Hauptbedeutung liegt in ihrer Ethik, die sie -als praktische Wissenschaft systematisch erfassten. Die Lehre des -Chrysipp von den Affekten war von der des Spinoza in der Ethik nicht -wesentlich verschieden. Wenn Chrysipp, das Haupt der älteren Stoa, sich -stark polemisch gegen den Idealismus wandte, so suchten die Häupter der -mittleren Stoa, ¨Panaitios¨ und ¨Poseidónios¨ um so mehr zu vermitteln, -sie sind die Begründer des besonders von Cicero, aber auch sonst -von der späteren römischen Zeit vertretenen ¨Eklekticismus¨ der ein -mixtum compositum so ziemlich aller Schulen, vielleicht mit Ausnahme -der Skeptiker (vergl. oben die Sophisten) war. Panaitios aus Rhodos -der mit den vornehmsten Römern seiner Zeit insbesondere mit Lälius -und dem jüngeren Scipio befreundet war, trägt durch sein Werk περι -του καθηκοντος »über das Geziemende« die moralische Schuld an Ciceros -Officien. Panaitios und Poseidónios, der bei ihm gehört hat, erhoben -schon die Forderung »die Waffen nieder«, indem sie in dem (Römischen) -Weltreich eine moralische Forderung erblickten. Übrigens sehen wir aus -Proklos, dass Poseidónios scharf genug gegen die Epikuräer geschrieben -hat. Über ¨Epikur¨ und die ¨Epikuräer¨ will ich mich kurz fassen, sie -waren besser als ihr Ruf, wenn sie es auch nicht liebten sich über die -schwierigen Probleme der Erkenntnistheorie die Köpfe zu zerbrechen. -Wenn sie auch im Prinzip an die Lustlehre des Aristippos anknüpften, -so war das Ideal der Lust des Epikur und seiner Genossenschaft nicht -die rohe Sinnenlust, sondern jene althellenische Tugend der Σωφροσυνη, -der temperantia, des Masshaltens. Freilich müssen sie sich in praxi von -dieser temperantia ziemlich entfernt haben, ich verweise auf ¨Horaz¨ -Epist. I, s. u. besonders I, IV an den Dichter ¨Tibull¨: - - Me pinguem et nitidum bene curata cute vises, - Cum videre voles ¨Epicuri de grege porcum¨. - - »Wenn du fettglänzend mich mit wohlgepflegetem Bäuchlein - Sehen wirst, willst du beschaun ein Schwein Epicurischer Herde.« - -[Sidenote: Stoiker.] - -Die Stoiker knüpfen in ihrer Physik ganz direkt an ¨Heraklit¨ und -sein Urfeuer an; die neuere Stoa, deren Hauptvertreter ¨Epiktet¨, -¨Seneca¨ und der treffliche Kaiser Marc Aurel waren, knüpften auch -in ihrer Ethik an ¨Heraklit¨ und seine Lehre von der Vergänglichkeit -der Dinge und an seinen Pantheismus an, für die praktische Moral und -die Weisheitslehre im engeren Sinne gehen sie auf Chrysipp zurück und -verwerfen den Eklekticismus des Panaitios und Poseidónios, welche -die Lehren der Stoa stark mit platonisch-aristotelischen Gedanken -durchsetzt hatten. Poseidónios muss übrigens dem stoischen Ideal -des Weisen, der vermöge der Hegemonie der Vernunft alles weiss, -fast vollständig entsprochen haben, er wusste so ziemlich alles, -was seinerzeit zu wissen war. Dass er nicht nur als Philosoph der -Mathematik bedeutend war, sondern auch als Astronom wissen wir aus -Ptolemaios, der durch seinen Einfluss beim geozentrischen System stehen -blieb, er berechnete die Entfernung der Erde von der Sonne richtiger -als ¨Newton¨. Dass er auch als Meteorologe bedeutend war, wissen wir -durch eine Anzahl bei späteren Schriftstellern mitgeteilter Fragmente. -Da ich für Poseidónios nicht über Studien der Originale verfüge, so -verweise ich auf ¨W. Chapelle¨, die »Schrift von der Welt« περι κοσμου, -Neue Jahrb. für das klass. Altertum etc. B. XV, 1905 p. 529 ff. und -zitiere daraus: - -[Sidenote: Poseidonios.] - -»Von der umfassenden Schriftstellerei des Poseidonios ist uns kein Werk -erhalten. Aber seine Nachwirkung in der griechischen und römischen, -auch der altchristlichen Literatur ist einzig in ihrer Art, seine -überragende Bedeutung in ihrem Einfluss auf die Folgezeit nur der des -Aristoteles vergleichbar.« - -[Sidenote: Jüngere Stoa, Marc Aurel.] - -Wie die Stoiker an Heraklit und sein Feuer für ihre Physik, oder -wie es Aristoteles richtiger nennt, für ihre Physiologie anknüpfen, -so tun sie das auch in ihrer Metaphysik. Der ¨Logos¨ des Heraklit -ist die Weltvernunft, das dem Feuer als Träger des Geschehens, der -Veränderung, gegenüberstehende gemeinsame ewige ¨Gesetz¨, das besonders -auf ethischem Gebiet das Werden bestimmt, und eben dieselbe Rolle hat -der Logos bei den Stoikern. Ist Heraklit kurz, aphoristisch dunkel, so -verweilen die Stoiker sehr ausführlich bei dem Logosbegriff, der dann -später, wenn auch stark modifiziert, eine so grosse Rolle bei ¨Philon¨ -(s. u.), den Neuplatonikern und den christlichen Gnostikern spielt. -Freilich wird, gemäss eines stark materialistischen Zuges der Stoa, -auch der Logos materialisiert, verkörperlicht, und die weltgestaltende -Kraft wird zum Logos spermatikos, zum Weltsamen, aus dem das -Welt-Lebewesen (Zoon) hervorwächst. Ganz an ¨Giordano Bruno¨ erinnert -die Stelle bei Marc Aurel, dem philosophischen Kaiser: Der Kosmos ist -vorzustellen, wie ¨ein¨ Lebewesen, das im ununterbrochenen Zusammenhang -¨ein Sein¨ und ¨eine¨ Seele hat. -- - -Um auf Geminos zurückzukommen, so ist von ihm noch ein astronomisches -Lehrbuch εισαγωγή εις τα φαινόμενα erhalten, ich werte es höher wie -Cantor, schon deswegen, weil darin eine sehr klare Schilderung des -Sonnensystems des ¨Hipparch¨ erhalten ist. - -[Illustration] - -[Sidenote: Menelaos.] - -[Sidenote: Ptolemaios.] - -In die Zeit des Trajan, also vielleicht noch vor Geminos, fällt -¨Menelaos¨, Mathematiker und Astronom; auch er, wie Heron, aus -Alexandria, aber durch Ptolemaios steht fest, dass er auch in -Rom im Jahre 98 observiert hat. Denn Ptolemaios hat zwei seiner -Fixsternbeobachtungen aufgenommen, während es sehr wahrscheinlich ist, -dass er sehr viele und gewissenhafte Beobachtungen von Fixsternen -ausgeführt hat, welche Ptolemaios für seinen Katalog zurechtgemacht -hat, vgl. A. A. Björnbo, Eneström 1901, S. 196. Proklos teilt uns -S. 345 den einfachen Beweis des Satzes mit: der grösseren Seite -liegt der grössere Winkel gegenüber, s. ¨Heron¨, welchen: Μενελαος -ὁ Αλεξανδρευς ανευρεν και παρεδωκεν. Menelaos muss also auch über -die Stoicheia der Geometrie geschrieben haben. Wenn αβγ und δεζ die -Dreiecke sind und αβ = δε, αγ = δζ und βγ > εζ, so trage man εζ auf βγ -auf bis η und Winkel δεζ an βη und mache βθ gleich δε, so ist (nach bc, -α) βθη ≅ δεζ, und θη gleich δζ gleich αγ, somit im Dreieck θακ Seite -θκ > ακ also θακ > αθκ, somit da αβθ gleichschenklig ∢ βαγ > als ∢ βθη -also auch als εδζ. - -Das Werk des Menelaos über die Geraden im Kreise, d. h. über -Sehnenberechnung oder doppelte Sinustafeln, in 6 Büchern, ist als -selbständiges Werk verloren gegangen, weil es vermutlich Aufnahme in -die Tafel des ¨Ptolemaios¨ gefunden hat. Dagegen sind seine 3 Bücher -¨Sphärik¨ in arabischer und hebräischer Übersetzung erhalten, sie -stellen die älteste uns erhaltene sphärische Trigonometrie dar. Die -Sphärik enthielt die meisten elementaren Sätze über das sphärische -Dreieck, und darunter auch den noch heute nach Menelaos genannten Satz -über die Transversale im planen und sphärischen Dreieck, wonach die -Produkte der Wechselabschnitte bezw. deren Sinus einander gleich sind. -Chasles hat es als wahrscheinlich hingestellt, dass der Satz (für das -plane Dreieck) schon in den Porismaten des Euklid gestanden habe. -Ptolemaios hat aus diesem Satz die sphärische Trigonometrie mühelos -abgeleitet. - -[Sidenote: Almagest.] - -Der Zeit nach müssten wir an Menelaos den Arithmetiker Nikomachos -anschliessen, aber sachlich fügt sich an ihn der weitaus bekannteste -und lange Zeit für den bedeutendsten gehaltene Astronom ¨Klaudios -Ptolemaios¨ an. Nach einer aus Arabischer Quelle stammenden Nachricht -des zuverlässigen Gherard von Cremona stammt auch er aus Alexandrien. -Sein Hauptwerk ist die μεγαλη συνταξις, die grosse Zusammenstellung, -die Kodifikation der antiken Astronomie, inkl. der Babylonischen, das -wie heute etwa die Theoria motus von Gauss das wesentliche Rüstzeug -des Astronomen bildete, von den Arabern schon unter Harun al Raschid -und dann gut unter Al-Mamûn von Haggag (siehe Euklid) übersetzt, und -gewöhnlich mit latinisierter arabischer Bezeichnung Almagest genannt. -Mehr und mehr wird es klar, dass das Werk, so bedeutsam es für die -Kulturgeschichte ist, doch im grossen und ganzen tatsächlich nur eine -grosse Zusammenstellung gewesen ist. Das Ptolemäische Weltsystem hat -sich eigentlich bis Kepler gehalten. Denn ¨Kopernikus¨ sah sich noch -wegen der Annahme der Kreisbahnen gezwungen vielfach auf Ptolemaios -zurückzugreifen. Freilich ist das was Ptolemaios selbst ersonnen hat, -gewiss nicht sehr viel gewesen. ¨Die Exzentrische Sonnenbahn¨ rührt von -¨Hipparch¨, der ¨Epizykel¨ von Apollonios her, der damit Stillstand -und Rückläufigkeit der Planeten (s. o.) befriedigend erklärte. -Ptolemaios kombinierte zur Planetenbewegungstheorie die Epizykel des -Apollonios mit dem Exzenter des Hipparch und liess die Planeten sich -gleichförmig bewegen auf einem Kreise, der in einem Deferenzkreise -rollte, dessen Zentrum sich in einem zur Erde exzentrischen Kreise -bewegte. Der Almagest ist im höchsten Grade wertvoll, einerseits durch -die systematische Durchführung der mathematischen Theorie für die -Himmelsbewegungen, andrerseits durch die Nachrichten über die Arbeiten -des Hipparch, durch die vollständige ebene Trigonometrie und die fast -vollständige Sphärische Trigonometrie des rechtwinkligen Dreiecks, -- -es fehlt nur die Formel des Djabir (¨Geber¨) 11. Jahrh.: cos α = cos a -sin γ und cot α cot γ = cos b. Die Ableitung des Additionstheorems für -den (doppelten) Sinus, das Verhältnis der Sehne zum Radius, gründete er -auf den nach ihm benannten Satz vom Kreisviereck für den Spezialfall, -dass die eine Seite der Durchmesser ist. Von meinem subjektiven -Standpunkt aus genügt mir schon die Tatsache, dass der Satz (Halma -113) nach Ptolemaios heisst, um dessen Autorschaft zu verwerfen. Er -wird vermutlich in des Hipparchs Geraden im Kreise gestanden haben. -Auch als Beobachter ist die Wertung des Ptolemaios in jüngster Zeit -stark herabgegangen, vgl. den zit. Aufsatz von ¨Björnbo¨ über die -fehlerhafte Beobachtung der Präzession und die tadelnswerte Korrektion -der älteren Beobachtungen. Doch ist seine Entdeckung der Präzession -des Mondes, der Evektion, nicht bestritten. Für sein Geographisches -Werk war er jedenfalls auch dem Poseidonios verschuldet, dagegen ist -seine ¨Katoptrik¨ das bedeutendste was das Altertum auf diesem Gebiet -aufzuweisen hat. - -[Sidenote: Parallelentheorie.] - -Durch Proklos p. 191 wissen wir, dass Ptolemaios ein Werk über -Parallelentheorie geschrieben hat, es ist, wenn nicht das erste, so -doch eins der ersten aus der Bibliothek, welche die 5. Forderung ins -Leben gerufen hat. Der Beweis des Parallelenaxioms, den Proklos Friedl. -S. 365-66 gibt, ist von Proklos fehlerhaft kritisiert. Er ist nur in -der Form mangelhaft, man muss bedenken, dass Ptolemaios wie Poseidónios -die Parallelen als Abstandslinien auffasst, womit der zweite -Kongruenzsatz (a, b, c) die Gleichheit des Wechselwinkel ohne weiteres -gibt. Sein Beweis S. 362 des vom Parallelenaxiom unabhängigen Satzes: -»wenn ein Paar innerer Winkel zwei Rechte beträgt, so sind die Linien -parallel« ist leider noch immer in den deutschen Lehrbüchern üblich, -während von Euklid I, 27 so schlagend einfach mit I, 16 bewiesen wird. - -[Sidenote: Nikomachos von Gerasa.] - -Wir kehren jetzt zur Zeit des Menelaos zurück und wenden uns zu -¨Nikomachos von Gerasa¨, vermutlich nahe bei der im alten Testament -erwähnten Stadt Bozra. Wir sehen hier recht deutlich, wie genau die -Entwicklung der Mathematik mit den allgemeinen die Zeit beherrschenden -Geistesströmungen zusammenhängt. - -Um die Zeit des Beginns der christlichen Ära waren die tiefer -angelegten Naturen der Nüchternheit der Stoischen und Epikureischen -Lehren satt, die sich im Skeptizismus bis zum unvernünftigen Extrem -überschlagen hatten. Schon ¨Aristoteles¨ hat verglichen mit Platon, -den ich meiner Auffassung des Grenzbegriffs gemäss, als die Vollendung -des Pythagoreismus definieren könnte, einen rationalistischen -Einschlag, auf den sich die Entwicklung der Naturwissenschaften und der -angewandten Mathematik aufbaute, und in den genannten Philosophischen -Schulen trat das ideale Element im Geistesleben der Menschheit immer -mehr in den Hintergrund, bis es von den Skeptikern geradezu geleugnet -wurde. Gegen diese Verflachung des Seelenlebens erhub sich nun in -mächtiger Reaktion der neubelebte Idealismus. Während die trostlosen -realen, die wirtschaftlichen und sozialen Zustände -- man denke nur -an den zum Ding im römischen Recht gewordenen Sklaven -- die grossen -Massen des römischen, von Prätoren und Prätorianern ausgesogenen -Weltreichs für die Essäischen Lehren empfänglich machte und sich -das Juden-Christentum infolge seines Sozialismus rapide unter ihnen -verbreitete, suchten die Gebildeten in der Rückkehr zum Idealismus -der alten Schulen, der Pythagoräer und des Platons, die Befriedigung, -welche sie im wirklichen Leben und in der Philosophie, die sich den -faktischen Zuständen angepasst hatte, nicht fanden. - -Mit dem Pythagoreismus lebt zugleich das Interesse für Zahlentheorie, -für Arithmetik und für Zahlenmystik, Zahlentheologie -- Θεολογουμενα -της αριθμητικης. -- genannt, wieder auf, und findet in ¨Nikomachos¨ -seinen wichtigsten Vertreter. - -[Sidenote: Nikomachos, Introductio.] - -Die Theologoumenen sind in dem fälschlich Nikomachos zugeschriebenen -Sammelwerke nur fragmentarisch erhalten, das 1543 in Paris gedruckt -ist. Weil das Werk von äusserster Seltenheit, ich glaube nur in -einem Exemplar vorhanden, und doch von höchster Bedeutung für den -Pythagoreismus und die Philosophie oder richtiger Theologie der -Neupythagoräer ist, hat Fr. ¨Ast¨, der verdienstliche Platoforscher, -es 1817 zugleich mit dem Hauptwerk des Nikomachos, der Einführung in -die Arithmetik, εισαγωγη αριθμητικη. 1817 herausgegeben, die 1538 in -Paris vom selben Verlag ediert war und ebenfalls sehr selten geworden. -Gestützt auf einen neuen Codex aus Zeitz hat dann 1866 ¨R. Hoche¨ die -Eisagoge ediert, höchst bedauerlicher- und schwer begreiflicherweise -ohne deutsche oder lateinische Übersetzung. - -Das Verdienst, die jetzigen Mathematiker auf Nikomachos hingewiesen -zu haben, hat sich ¨G. F. H. Nesselmann¨ in seiner trefflichen -»Algebra der Griechen« Berl. 1842 erworben, der ihm 34 Seiten des -knapp gehaltenen Buches widmete. Er hat mit Recht hervorgehoben, dass -die »Einführung in die Arithmetik« eine neue Epoche der Mathematik -bezeichnet, es ist eine wirkliche »Arithmetisierung der griechischen -Mathematik« welche nach Nesselmann vom 2. Jahrh. n. Chr. bis zum 14. -[Maximus Planudes] gedauert hat. Wie bedeutend das Werk des Nikomachos -den Zeitgenossen erschien, erhellt daraus, dass es schon im 2. Jahrh. -ins Lateinische von ¨Apulejus¨ aus Madaura übersetzt ist, eine Schrift -die fast spurlos verloren gegangen ist, vermutlich weil sie durch die -Bearbeitung des Boëtius aus dem 6. Jahrh. verdrängt ist. Apulejus -ist für uns insofern von Wert, als er uns die reizende Erzählung -von Amor und Psyche, ein Märchen auf orientalisch-mythologischer -Grundlage erhalten hat. Ob Boëtius wirklich nach dem Original oder -nach der Bearbeitung des Apulejus gearbeitet, scheint mir trotz der -an den Patrizier Symmachos, seinen Erzieher, gerichteten Einleitung -zweifelhaft. Boëtius hat auch die Musikalische Theorie der Pythagoräer -ebenfalls nach ¨Nikomachos¨ der die Tonleiter bis zur zweiten -Oktave ausgedehnt hatte, gegeben; vergl. ¨G. Friedleins¨ Ausgabe -der Arithmetik, der »Institutio musica« nebst der sogen. Geometrie -des Boëtius, dessen Abacus (Rechentisch) mit den »Apices«, den -»Staubziffern« der Westaraber so viel Staub aufgewirbelt hat. - -Die vom Mathematischen Standpunkt aus minderwertige Arbeit des Boëtius -ist schulgeschichtlich von höchster Bedeutung, denn sie ist es gewesen, -welche dem arithmetischen Unterricht der Klosterschulen zugrunde lag. - -Schon ¨M. Cantor¨ hat sich der Ansicht des Isidorus von Sevilla, der -600 Bischof von Hispalis war und 636 gestorben ist, angeschlossen, dass -wir in der Isagoge im wesentlichen das Wissen der Pythagoräer und zwar -der Alt- und Neupythagoräer kodifiziert und systematisiert vor uns -haben, und in diesem Sinne wird ¨Nikomachos¨ richtig als der ¨Euklid¨ -der ¨Arithmetik¨ gekennzeichnet. Der Vergleich mit Philolaos und dem -oben zit. Werk des Theon von Smyrna zeigt, dass es der Gedankenkreis -der Pythagoräer ist, der uns hier übermittelt wird, wenn auch das -Material durch einen an Archimedes und den anderen Grossen gebildeten -Mathematiker vermehrt ist. - -[Sidenote: Nikomachos, Einleitung der Introductio.] - -Die Einleitung ist sowohl von ¨Nesselmann¨, als von ¨Cantor¨ und -¨Loria¨ übergangen und doch ist sie vielleicht das interessanteste. -Ich werde sie an anderer Stelle ganz geben, hier hebe ich aus ihr -hervor: Cap. IV, Hoche p. 9; die Arithmetik, ist dies [die Mutter der -anderen Wissenschaften] nicht allein, weil wir sagten, dass sie in dem -Intellekt des göttlichen Künstlers den übrigen vorangegangen sei, wie -ein die Welt ordnender und vorbildlicher Plan, auf den gestützt der -Werkmeister das Ganze etwa wie auf eine Vorlage und ein erstgeprägtes -Vorbild das aus Materie Geschaffene in schöne Ordnung brachte und -bewirkte, dass es den richtigen Zweck erreichte, sondern auch weil sie -von Natur den anderen vorangeht, insofern sie die andern aufhebt, aber -nicht von ihnen aufgehoben wird. (¨Archytas.¨) - -Also eine in Zahlen gegebene ¨Praestabilierte Harmonie¨. -- Ferner: -Nikomachos unterscheidet Grössen und Mengen, Cap. II. Grössen sind -in einer Vorstellung zusammengefasst (ἡνωμένα) und ¨kontinuierlich¨ -(αλληλουχουμενα ein Synonym für συνεχη), Mengen sind ¨diskret¨ -(διηρημενα) und in Nebeneinanderstellung (παραθεσει.) wie ein Haufen. -Dann fährt er fort: da die Menge, (Anzahl) und die Grösse ihrer Natur -nach notwendigerweise unendlich ist, (die Menge von einer bestimmten -Wurzel [der Eins] ausgehend, lässt sich ins Unendliche fortsetzen, die -Grösse von einer bestimmten Ganzheit aus geteilt, hat keinen letzten -Teil und erstreckt sich dadurch ins Unendliche) die Wissenschaften aber -durchaus Wissen vom Endlichen und niemals vom Unendlichen sind, so -ist wohl klar, dass es von der Grösse und der Menge schlechthin keine -Wissenschaft geben würde (denn unbestimmt sind beide, die Menge in -bezug auf Vermehrung, die Grösse in bezug auf Verminderung) sondern nur -in bezug auf etwas von beiden Abgegrenztes, und zwar von der Menge als -begrenzter Vielheit und von der Grösse als begrenzter Grösse. - -Hier sieht man, wie klar das Kontinuitätsproblem erfasst ist. - -Noch bemerke ich, dass der so berühmte Ausdruck: Quadrivium, für die 4 -Wissenschaften Arithmetik, Musik, Geometrie, Astronomie (σφαιρικη ist -nicht, wie Nesselmann sagt, Trigonometrie, sondern Astronomie), der -von Boëtius aus das Ideal höherer Bildung bezeichnete, eine wörtliche -Übersetzung von Kap. IV, Hoche 9 των τεσσαρων μεθοδων ist. [¨Archytas¨, -Harmonik.] - -Es schliesst sich an die Einleitung die Definition der Zahl an, welche -wiederum zeigt, dass die Dreiteilung des Zahlbegriffs alt pythagoreisch -(platonisch) ist. Die Zahl ist entweder Anzahl (Kardinalzahl, πληθος -ὡρισμενον) oder Ordnungszahl (μοναδων συστημα) oder Masszahl (relative -Zahl, ποσοτητος χυμα εκ μοναδων συγκειμενον der aus Einheiten -zusammengesetzte Strom der Wievielheit). - -[Sidenote: Nikomachos, Introd. Buch 1.] - -Das 1. Buch wiederholt nur von Philolaos, Euklid und Eratosthenes -gegebenes, Kap. XIII wird das Sieb des Eratosthenes beschrieben. Das -Diagramm im Codex von Zeitz ist nicht nur eine Primzahlen- sondern -zugleich eine Faktorentabelle, Kap. XIX, Hoche p. 51, findet sich dann -das erste Diagramm des kleinen Einmaleins in der uns geläufigen Form: - - μήκος - +----+----+----+----+----+----+----+----+---------+ - | α | β | γ | δ | ε | ϛ | ζ | η | θ | ι | - +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ - | β | δ | ϛ | η | ι | ιβ | ιδ | ιϛ | ιη | κ | - +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ - | γ | ϛ | θ | ιβ | ιε | ιη | κα | κδ | κζ | λ | - +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ - | δ | η | ιβ | ιϛ | κ | κδ | κη | λβ | λϛ | μ | - +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ - | ε | ι | ιε | κ | κε | λ | λε | μ | με | ν | - βάθος +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ - | ϛ | ιβ | ιη | κδ | λ | λϛ | μβ | μη | νδ | ξ | - +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ - | ζ | ιδ | κα | κη | λε | μβ | μθ | νϛ | ξγ | ο | - +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ - | η | ιϛ | κδ | λβ | μ | μη | νϛ | ξδ | οβ | π | - +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ - | θ | ιη | κζ | λϛ | με | νδ | ξγ | οβ | πα | ϟ | - +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ - | ι | κ | λ | μ | ν | ξ | ο | π | ϟ | ρ | - +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ - - -[Sidenote: Nikomachos, Introd. Buch 2.] - -Weit bedeutender ist das zweite Buch, es enthält eine ganz achtbare -Zahlentheorie auf altpythagoreischer Grundlage, wie sich Nikomachos, -man vgl. ¨A. Boeckhs¨ Philolaos, durchaus auch in seiner Philosophie -ganz eng an Philolaos anschliesst. Zunächst kommen Betrachtungen über -gewisse, schon den Altpythagoräern geläufige Beziehungen zwischen -Ketten von geometrischen Reihen desselben Exponenten, die im Kap. 4 -aber nichts Geringeres enthalten als den ¨Binomischen Satz¨, und zwar -im Grunde nach demselben Bildungsgesetz, welches im sog. Pascalschen -Dreieck angewandt wird. - -Es folgt dann die Lehre von den figurierten Zahlen, von denen die -Dreieckszahlen (n [**ueber] 2) und die Viereckszahlen, die Quadrate, -sowie die Tetraederzahlen (n [**ueber] 3) und Würfelzahlen, Kuben, -jedenfalls allbekannt waren. Aber die Lehre von den figurierten Zahlen -(σχηματιζοντες) ist bei Nikomachos, der an ¨Hypsikles¨ einen Vorgänger -hatte, sehr ausführlich behandelt, und sie spielte, man sehe das so -wichtige Werk ¨R. Baltzers¨, Elem. d. Math., von da ab bis ¨in die -Mitte des 19. Jahrh¨. eine grosse Rolle auch im Elementarunterricht. -Die p-te Polygonalzahl ist von der Form n + (p - 2)(n [**ueber] 2) und -der Gnomon im Heronschen Sinne der von n auf (n + 1) überführt ist -1 + (p - 2)n; die Figur zeigt die 5-Ecke der Seiten 1, 2, 3, 4, 5. - - x-----x-----x-----x-----x - / \ - / \ - / \ - x x - / \ - / x-----x-----x-----x \ - / / \ \ - x / \ x - / / \ \ - / x x \ - / / \ \ - x / x-----x-----x \ x - / / / \ \ \ - / x / \ x \ - / / / \ \ \ - x / x x \ x - / / \ \ - x / x-----x \ x - / / \ \ - x / \ x - / \ - x x - - x - -Die n-te (p + 1)-Eckzahl ist gleich der n-ten p-Eckzahl vermehrt -um die (n - 1)te Dreieckszahl. Es handelt sich, wie man sieht, um -Summation arithmetischer Reihen erster Ordnung. Interessant ist der -Satz Kap. 20: n^3 = Σn(n - 1) + 2k - 1 wo k von 1 bis n geht. Nicht -minder interessant ist Kap. 7, wo die Definitionen des ¨Platon¨ und -¨Aristoteles¨ über Punkt, Linie, Fläche, zwar vereinigt werden, aber -die Platonische benutzt wird, um aus dem ¨Ursprung¨ der vorhergehenden -die folgenden Zahlen zu definieren; die Flächenzahl ist Summe der -(vorhergehenden) Linienzahlen, bezw. Reihe von ihnen, die Körperzahl -wiederum von Flächenzahlen. - -[Sidenote: Proportionenlehre.] - -Mit Kapitel 21 beginnt dann die ganz ausführliche Lehre von den -Proportionen, neu ist vielleicht die Lehre von der vollkommensten, der -musikalischen a : (a + b)/2 = 2ab/(a + b) : b z. B. 6/9 = 8/12 welche -Pythagoras, wie ¨Jamblichos¨ sagt, aus ¨Babylon¨ nach Griechenland -gebracht hat. Mit Unrecht tadelt Nesselmann die Definition des -Verhältnis bei Nikomachos; sie heisst: Verhältnis (λογος, ratio) ist -das gegenseitige Enthaltensein zweier bestimmter Grössen, denn σχεσις -ist bei Nikomachos und allgemein der technische Ausdruck für die σχεσις -κατα πηκλικοτητα für die Messung der einen durch die andere. - -Aus dem Résumé Nesselmanns hebe ich No. 1 hervor: »Bei Nikomachos -erscheint die Arithmetik zum ersten Mal frei von den Fesseln -geometrischer Vorstellungen, mit denen sie bei Euklides noch behaftet -ist.« (Aber kaum mehr bei ¨Heron¨.) - -[Sidenote: Theon.] - -Auch Nikomachos teilt die altpythagoräische Ansicht, dass die -unzerlegbare Eins keine Zahl sei. Diese Ansicht hat sich von Boëtius -bis in die Rechenbücher des 18. Jahrh. gehalten, wenn Nikomachos sie -auch nicht so klar ausgesprochen hat, wie der vielleicht etwas ältere -Astronom ¨Theon¨ von Smyrna in seinem schon mehrfach erwähnten Werk -»των κατα το μαθηματικον χρησιμων εις την του Πλατωνος αναγνωσιν; -was man an Mathematischem wissen muss, um Platon zu verstehen. -Erhalten sind grosse Fragmente der Arithmetik, der Musik, d. h. der -theoretischen Lehre von den Intervallen und dem Kontrapunkt, sowie der -Astronomie, 1892 von ¨J. Dupuis¨ Griechisch und ¨Französisch¨ ediert. -In der Astronomie hängt er von dem Peripatetiker Adrastos ab, der u. a. -einen Kommentar zum Timaios verfasst hat. Erwähnung verdient Theon nur, -weil sich bei ihm die ¨Kettenbruchentwicklung¨ der √2 findet, die sich -auch mit einer Nikomachischen Formel berührt, die selbst wieder seltsam -an f(x + 2dx) = f(x) + 2f′(x)dx + f″(x)dx^2 erinnert, die ihrerseits -wieder den Keim zu einer elementaren, wenn auch nicht strengen -Ableitung der Taylorschen Reihe birgt. Einen Weg der weder für Theon -noch einen andern Pythagoräer gangbar war, der aber geistvoll ist, hat -der Norweger ¨T. Bergh¨, Schlöm-Cantor 31, S. 135 angegeben. Geht man -von einem gleichschenklig rechtwinkligen Dreieck aus, dessen Katheten -α_{n-1} und δ_{n-1} sind und verlängert beide Katheten um δ_{n-1} und -verbindet die freien Endpunkte, so ist α_{n} = α_{n-1} + δ_{n-1} und -d_{n} = 2α_{n-1} + δ_{n-1} und dies sind die Präkursionsformeln für die -Näherungswerte des Kettenbruchs √2 = (1|2), wenn man α_{1} = δ_{1} = 1 -setzen könnte wie Theon tut. Viel wahrscheinlicher ist es, dass wir es -hier mit altem Gut der Pythagoräer zu tun haben, bezw. der Platoniker -und dass sie nach Auflösung der Diophantischen Gleichung x^2 + y^2 = -z^2 sich an die Gleichung x^2 - 2y^2 = ±1 gemacht haben. - -[Sidenote: Jamblichos, Thymaridas.] - -Ich schliesse hier gleich ¨Jamblichos¨ geboren etwa 330 in Chalkis in -Coelesyrien an, der als Philosoph der Stifter der sogen. Syrischen -Abart des Neupythagoreismus oder Neuplatonismus ist, und der ein -grosses Werk in 10 Büchern συναγωγή των πυθαγορείων δογμάτων, Sammlung -der Pythagoräischen Lehren, geschrieben, deren erstes Buch der Roman: -das Leben des Pythagoras, ist und deren 4. Buch die Erläuterungen -zu Nikomachos Arithmetik wichtig ist, erstens für das Verständnis -des Nikomachos und zweitens weil darin beiläufig das »Epanthema« -d. h. Blüte des ¨Thymaridas¨ überliefert wird, möglicherweise eines -Altpythagoräers, obwohl der Name »Blüte« ¨indische¨ Reminiscenzen -weckt, wo poetische und phantastische Bezeichnungen gang und gäbe -waren, und ferner das gänzliche Fehlen jeder geometrischen Einkleidung -auf eine erheblich d. h. mindestens 3 bis 4 Jahrhunderte spätere Zeit -weisen. Die Regel selbst ist von ¨Nesselmann¨, trotz des schlechten -Textes und der schlechten Übersetzung des Tenulius der 1668 den -Kommentar ediert hat, völlig richtig gestellt »Sind x y^I y^{II} -y^{III} y^{IV} etc. eine Anzahl ¨unbestimmter¨ (Grössen), αοριστων -und ist x + Σ y_{k} = a d. h. bestimmt (ωρισμενος), und x + y_{k} = -b_{k}, so ist x = (Σ (b_{k} - a_{k}))/(n - 1). Das von mir mehrfach als -Gesetz für Datierungen angeführte Prinzip auf den ganzen gedanklichen -Zusammenhang zu sehen, bestimmt mich auch den Thymaridas in die Zeit -der Arithmetisierung der Mathematik zu setzen. Von eigener Mathematik -des Jamblichos wären etwa die Sätze n^2 = n + 2(1 + 2 + ... n - 1) -zu erwähnen. Eine moderne, philologische Ausgabe des Kommentars ist -1894 von ¨I. Pistelli¨ gemacht worden, den als arithmetisches Werk -Nesselmann sehr ausführlich S. 236-242 behandelt hat. - -[Sidenote: Plotin.] - -Auch die Philosophie des Jamblichos, obwohl ihn Proklos im Kommentar -zum Timaios den Göttlichen nennt und obwohl der Kaiser Julianus -Apostata für ihn schwärmte, ist nur eine phantastische und vielleicht -absichtlich unklar gehaltene Ausführung der Lehren des Porphyrios oder -vielmehr des Plotin, interessant wäre es allerdings, den babylonischen -und besonders den ¨indischen¨ Einflüssen bei Jamblichos nachzugehen, -z. B. für die Rolle, welche Opfer und Gebet in seiner Lehre spielen. -¨Plotin¨ den man vielleicht statt Neuplatoniker den neuen Platon -nennen könnte, ist das geistige Haupt der Schule und durch seinen -Einfluss auf ¨Augustinus¨, den grossen kirchlichen Neuplatoniker, den -Plotins Lehre vom Sünder zum Heiligen wandelte, kulturgeschichtlich -von grösster Bedeutung, und ich bedaure aufrichtig m. H., dass ich für -Plotin zur Zeit nicht über Quellenstudien verfüge. Plotin war aber auch -mathematisch gebildet und gab in Rom mathematischen Unterricht, und -Augustins ungeheurem Einfluss auf die Abendländische Kirche wenigstens -von 400-1200 danken wir die Berücksichtigung der Arithmetik als -Wissenschaft in den Kathedralschulen. - -¨Plotin¨ ist 202 oder 205 in Lykopolis in Ägypten (Siwet = Assiut) -geboren, seine philosophische Bildung hat er in Alexandrien erhalten, -dem Brennpunkt des wissenschaftlichen Lebens in der Schlussperiode der -antiken Welt. Dort weilte er vom 18. bis 28. Lebensjahre als Schüler -des Neuplatonikers Ammonios, Saccas, d. h. der Lastträger genannt. -Dieser hat wie es scheint nichts geschrieben, aber wie bedeutend er -war, zeigen seine Schüler, Longin, Origenes und Plotin, der von allen -anderen Lehrern unbefriedigt, zehn Jahre in seiner Schule blieb. - -[Sidenote: Philon von Alexandria.] - -Mehr noch als dem Ammonios verdankte Plotin den Schriften ¨Philons¨. -Philon, etwa von 28 v. Chr. bis 50 n. Chr. war zwar äusserlich strenger -Israelit, aber er hatte in die heiligen Schriften des Judentums eine -Symbolik hineininterpretiert, welche seiner eigenen Philosophie -oder richtiger Religion entsprach. Unter dem Einfluss stoischer -(Heraklitischer) essäischer und christlicher Lehren, kann man die seine -als eine Lehre von der Zweieinigkeit Gottes und des Logos, der zugleich -Heiliger Geist und Gottes Sohn, bezeichnen. Die Symbolische Deutung -der heiligen Schriften, welche sich im gewissen Sinne schon bei Platon -und Aristoteles und ihren Schülern findet, die den Konflikt mit der -Volksreligion vermeiden wollten, hat sich von Philon ab bis heute in -der Theologie erhalten. Von ¨Philon¨ hat ¨Plotin¨ die Askese und die -Ekstase, d. i. die Vereinigung mit Gott oder Erfassung (αφή) Gottes. -Dieses Gottwerden der Menschen durch Kasteiung, Gebet und Busse, weist -wiederum nach Indien, wo solche gottgewordene Menschen noch heute -verehrt werden. Und auch in der Allgemeinheit und damit Leerheit des -eigentlichen Gottesbegriffs wurzelt Plotin in Philon. - -[Sidenote: Plotin.] - -Um 243 nahm ¨Plotin¨ an dem Feldzug Gordian III. gegen die Parther -teil, wozu ihn das Interesse an der persischen Religion, an dem was -Zarathustra sprach, antrieb. In der Askese und Ekstase und auch in dem -Dualismus zwischen Ormuz und Ahriman fanden sich enge Beziehungen zu -seinen eigenen Gedanken. Nach dem unglücklichen Ausgang des Feldzugs -ging er nach Rom, und er muss schon damals berühmt gewesen sein, da er -in der Weltstadt zahlreichen Zulauf fand und den Kaiser Galienus selbst -zu seinen Schülern zählte. In Rom lehrte er von 244-268, dann zog er -sich schwer leidend auf ein Landgut bei Minturnae in Campanien zurück, -wo sich seine Seele aus ihrem Körper befreite. Die Vorlesungsnotizen, -welche Plotin etwa mit 60 Jahren niedergeschrieben, wurden in seinem -Auftrag von seinem Lieblingsschüler ¨Porphyrios¨ redigiert und in 6 -Enneaden d. h. in 6 Büchern zu 9 Abschnitten herausgegeben. - -Der wesentliche Unterschied zwischen Plotin und Platon liegt in der -Ideenlehre. Die Ideen, die bei Platon aus der Erfahrung der Einzelnen -abstrahierte grundlegende Konzeptionen der gesamten Vernunft der -Menschheit sind, welche als solche ewige Dauer und regulative Kraft -besitzen, werden zu Ideen oder Gedanken a priori der von der Gottheit -ausstrahlenden Vernunft, des Logos bei Philo, des Noūs (νοῦς) bei -Plotin. Die Emanation stellt sich Plotin etwa vor, wie wir die -Radiumemanationen. - -Die Gottheit selbst bleibt unbewegt und ohne Teilnahme, an dem was sie -ausstrahlt, sie ist das Eine schlechtweg, das $το εν$ der Pythagoräer -und steht so hoch über uns, dass wir eigentlich gar nichts von ihr -aussagen können als jene Ausstrahlung. Bei den späteren Neuplatonikern, -insbesondere bei Proklos ist der Begriff der Gottheit so leer geworden, -dass er besser als mit der Eins mit der Null verglichen werden könnte. -Der Noūs selbst aber zeigt schon eine Entzweiung, eine Trennung in -Denkkraft und Gedanken. Abbild und Erzeugung des Noūs, der von Gott -emanierenden Weltvernunft, ist die Psyche und sie, die Seele, erzeugt, -mittelst des Substrats der Materie, der Hyle, die sie durchdringt -wie etwa das Licht ein Medium, die Körperwelt, an deren Leiden oder -richtiger Reizungen die wahrnehmende Empfindung eigentlich keinen -Anteil hat. Da die Psyche Funktion der Vernunft und diese wieder -Funktion Gottes ist, so ist es dem Menschen gegeben nach Ähnlichkeit -mit Gott zu streben und darin liegt die ¨Tugend¨. Ja durch Abtöten des -Sinnlichen und völliges Versenken in die religiöse Betrachtung des -Einen kann es gelingen zur Ekstase, d. h. zur Vereinigung mit Gott zu -kommen und in diesem Zustand war ¨Plotin¨ nach Angabe des Porphyrios -viermal. Die späteren Neuplatoniker, wie Apollonios von Thyana und -Jamblichos, knüpften an diesen Zustand, der etwa dem entspricht, -was die heutigen Mystiker »Trans« nennen an, um die Möglichkeit des -Prophezeiens und der Wundertaten zu begründen. - -Ich möchte noch hervorheben, dass die Quelle der ¨Schopenhauerschen¨ -Ästhetik eigentlich bei ¨Plotin¨ liegt. Nach jenem liegt das Wesen -der Kunst in der intuitiven Erfassung der im Objekt zur Erscheinung -kommenden Idee, d. h. der bestimmten Abstufung des Willens an sich, -losgelöst von jeder Beziehung auf das individuelle erkennende Subjekt, -und der Wert der künstlerischen Betrachtung darin, dass »das Ixionsrad« -des eigenen Wollens stille steht und wir vor dem Schönen und durch -das Schöne zum ¨reinen¨ willenlosen Subjekte der Erkenntnis werden. -¨Plotin¨ sagt, Enneade V, 81: Nicht in der blossen Symmetrie, sondern -in der Herrschaft des Hohen über das Niedere, der ¨Ideen¨ über den -Stoff, der Seele über den Leib, der Vernunft und des Guten über die -Seele, liegt das Wesen der Schönheit. - -[Sidenote: Porphyrios.] - -¨Porphyrios¨ hat bei Plotin auch Mathematik gelernt, er wird von -Proklos des öfteren erwähnt, ich führe S. 311 den Beweis von I 18 -an: Der grösseren Seite liegt der grössere Winkel gegenüber, den ich -unsern Schulen wieder gewinnen möchte: Wenn αβγ das Dreieck und αβ < -αγ, so mache man αβ mit βε gleich βγ, dann ist αεγ gleichschenklig und -Winkel ε = εγβ + γ und ε noch kleiner als β nach I, 16, dem Satz vom -Aussenwinkel. - -[Sidenote: Diophant.] - -Den Schluss und zugleich den Gipfel der Hellenistischen -Arithmetisierung der Mathematik bildet ¨Diophantos¨ von Alexandrien. - -Seine αριθμητικά bedeuten den durch eine weite Kluft von allem anderen -getrennten Höhepunkt dessen, was die Griechen auf arithmetischem Gebiet -geleistet haben. Sein Werk ist so einzigartig, dass es keineswegs -ausgeschlossen ist, dass Indische und Babylonische Einflüsse wirksam -gewesen sind. Seine Lebenszeit ist wahrscheinlich das Ende des 4. -Jahrhunderts nach Christi, wie ¨Nesselmann¨ l. c. festgestellt hat. -Dass Pappos ihn nicht erwähnt, kann ich mir nur dadurch erklären, dass -er nach Pappos geschrieben. Alles was wir von ihm wissen, steht im -Epigramm 19 der von ¨Maximus Planudes¨, einem byzantinischen Mönch, aus -älteren Exzerpten gesammelten Anthologie: - - Hier das Grabmal deckt Diophant, ein Wunder zu schauen, - Durch arithmetische Kunst lehrt sein Alter der Stein. - Knabe zu sein gewährte ein Gott ihm ein Sechstel des Lebens; - Noch ein Zwölftel dazu, spross auf der Wange der Bart. - Und ein Siebentel mehr, sieh Hymens Fackel entbrannte, - Fünf der Jahre darnach, teilt er ein Söhnlein ihm zu. - Ach unglückliches Kind! Halb hatte das Alter des Vaters - Es erreicht, da nahm's Hades der Schaurige auf. - Noch vier Jahre ertrug er den Schmerz, der Wissenschaft lebend, - Und nun künde das Ziel, welches er selber erreicht. - -Also mit 33 Jahren verheiratet und mit 84 gestorben. - -[Sidenote: Fermatsche Satz.] - -So berühmt Diophant als Arithmetiker heute ist, so wenig wurde sein -Werk von den Griechen der folgenden Zeit verstanden, nur ganz wenige -und verstümmelte Handschriften seines Werkes sind erhalten, alle, -auch die jüngst gefundenen vom selben Archetyp stammend. Ein einziger -Grieche, der schon genannte ¨Maximus Planudes¨, der in der ersten -Hälfte des XIV. Jahrh. lebte, hat Scholien zu den beiden ersten -Büchern geschrieben. Dagegen haben sich die Araber verhältnismässig -früh des Diophant bemächtigt und kein geringerer als ¨Abul Wafa¨, der -die Mondvariation festgestellt hat, übersetzte die Schrift gegen Ende -des 10. Jahrh. Das bisher noch nicht aufgefundene Werk findet sich -vielleicht auch noch in Leyden. In Europa hat zuerst ¨Regiomontan¨, -decus Germaniae, wie ihn Petrus Ramus nennt, 1464 zu Venedig einen -Diophant-Codex gesehen. Die erste zwar mangelhafte, aber vollständige -Übersetzung ins Lateinische veröffentlichte 1575 ¨Wilhelm Xylander¨ -oder Holzmann zu Augsburg, sie ist eine bibliographische Rarität. Die -erste Textausgabe mit lateinischer Version und vielen Zusätzen und -Erläuterungen rührt von ¨Gaspard Bachet¨, sieur de ¨Méziriac¨ her, --- Paris 1622, der durch seine »Problèmes plaisants et délectables« -(1612) so bekannt ist. Eine zweite Ausgabe von Bachets Arbeit -veranstaltete S. Fermat; die Ausgabe ist an sich sehr mangelhaft, -aber sie enthält die berühmten Randbemerkungen seines Vaters ¨Pierre -Fermat¨, Frankreichs grössten Mathematikers, darunter den berühmten -¨Fermatschen Satz¨: Die Gleichung x^n + y^n = z^n ist wenn n > 2 -nicht in ganzen (rationalen) Zahlen lösbar. Diese Anmerkungen haben -die moderne Zahlentheorie, die Arithmetica sublimior wie ¨Gauss¨ sie -nannte, geschaffen. Eine neue sehr sorgfältig redigierte Ausgabe -ist von ¨P. Tannery¨ 1893 geschaffen. ¨G. Wertheim¨ hat 1890 eine -tadellose deutsche Übersetzung der Arithmetik und der Schrift über -Polygonalzahlen des Diophant und der Anmerkungen Fermats gegeben. - -Von den 13 Büchern, welche Diophant selbst in dem Einleitungsschreiben -an einen gewissen Dionysios erwähnt, sind uns in den Handschriften -nur 6 erhalten, aber die allgemeine Ansicht geht dahin, dass das -Verlorene sich im wesentlichen nur auf die Behandlung der gemischt -quadratischen Gleichungen bezogen habe und wissenschaftlich der -Verlust zu verschmerzen. Dagegen scheint der Verlust eines andern -Werkes der »Porismata« (vergl. Euklid) schwerer zu wiegen, wenigstens -nach dem Satz zu urteilen, den Diophant selbst zitiert: die Differenz -zweier (rat.) Kubikzahlen (a und b) ist stets die Summe zweier (rat.) -Kubikzahlen. Von ¨Vieta¨ gelöst: x = a(a^3 - 2b^3)/(a^3 + b^3); y = -b(2a^3 - b^3)/(a^3 + b^3). - -Das erste was wir aus den Arithmetica hervorheben, ist dass bis auf -eine einzige vermutlich eingeschobene Aufgabe V, 13, Wertheim S. 209 -niemals die Zahlen seiner Aufgaben durch Linien oder sonst geometrisch -versinnlicht sind. Er spricht zwar oft von rechtwinkligen Dreiecken, -aber er meint stets drei Zahlen a, b, c, welche der Gleichung a^2 + b^2 -= c^2 genügen. Zweitens gehen auf ¨Diophant¨ die nach ihm genannten -Aufgaben der unbestimmten Analytik zurück, obwohl eine diophantische -Gleichung in unserem Sinne bei ihm nicht vorkommt. Erst ¨Bachet¨ -hat die Gleichung ax + by = c allgemein in ganzen Zahlen aufgelöst. -Diophant begnügt sich mit rationalen Zahlen und was die Hauptsache, -er gibt immer nur eine Lösung. Das was speziell an indischen Einfluss -denken lässt, liegt erstens in der Systemlosigkeit und zweitens darin, -dass eigentlich, wenn man vom ersten Buch absieht, der Lehre von den -gewöhnlichen Gleichungen ersten Grades, nirgends allgemeine Methoden -vorkommen, sondern jede Aufgabe durch eigene oft sehr merkwürdige -Kunstgriffe gelöst wird. Oft ist die Aufgabe allgemein gefasst und wird -durch willkürliche Annahmen eingeschränkt. - -Ganz eigenartig ist auch die Bezeichnung bei Diophant; vergl. -¨Nesselmann¨ l. c. Kap. 7. Für die Unbekannte die bei ihm αριθμός »die -Zahl« heisst, hat er ein Zeichen ϛ oder auch ϛο, das man früher für das -Schlusssigma hielt. ¨T. L. Heath¨, Diophantos of Alex. Cambr. 1885 hat -mit guten Gründen behauptet, dass es die Abbreviatur von αριθμός ist. -Das Quadrat der Unbekannten, unser x^2 heisst wie gewöhnlich δύναμις, -Zeichen δ^ῡ; x^3 desgleichen κύβος, Zeichen κ^ῡ, x^4 bei ihm wie -durch die Metrika nachgewiesen bei ¨Heron¨: δυναμοδύναμιν [Biquadrat] -δδ^ῡδ, x^5 δυναμοκυβος δκ^ῡ, x^6 κυβοκυβος, κκ^ῡ. Bestimmte Zahlen -(ὡριζομενοι) heissen μοναδες, Zeichen μ^ο, zum Unterschiede von den -αοριστοι den zunächst unbestimmten, also wie bei Jamblichos, 1/x heisst -αριθμοστον; 1/x^2 δυναμοστον u. s. f. - -Kein Zeichen bedeutet die ¨Addition¨, welche damals also noch als -die Hauptoperation galt, sie heisst ὑπαρξις; die Subtraktion heisst -λειψις, Zeichen ein umgekehrtes ψ also [**symbol] oder ⬆. Bei -(x - a)(x - b) findet sich die Regel: Minus × Minus ist plus (λ.λ ist -ὑπαρξις), doch schliesst Diophant negative Zahlen wie auch irrationale -Zahlen prinzipiell aus. Cantor sagt mit Recht, dass sich bei Diophant -schon eine hoch entwickelte Buchstabenrechnung findet. Immerhin ist ihr -die ¨Vieta'sche¨ sehr überlegen. - -Ich gebe nach Cantor die Gleichung 10x + 30 = 11x + 15. - -ςς^{οι} αρα ῑ μ^ο λ ἱσοι εισιν ςς^{οις} ῑᾱ μονασι ῑε (Unbekannte -nun zehn und Einheiten 30 sind gleich Unbekannten 11 und Einheiten -15.) M. H. Cantor hat wiederum recht, wenn er sagt dies ist eine -Stenographie aber noch keine Symbolik. - -Die Gleichheit wird übrigens oft nur durch ἱ ausgedrückt. - -[Sidenote: Diophant, Beispiele.] - -Als Beispiel N. 1 gebe ich Ihnen I, 9 Werth. 15. Von zwei gegebenen -Zahlen eine und dieselbe Zahl zu subtrahieren, so dass die erhaltenen -Reste in einem gegebenen Verhältnis stehen. - -Es muss jedoch dieses Verhältnis ¨grösser sein¨ als das in welchem die -grössere der beiden gegebenen Zahlen zur kleineren steht. - -Die Bedingung ist nötig damit x > 0 wird. - -Es soll [z. B.] von 20 und 100 dieselbe Zahl abgezogen werden und so -gewählt werden, dass der grössere Rest das 6fache des kleineren ist. - -100 - x, 20 - x die Reste, 120 - 6x = 100 - x die Gleichung. - -Wird die abzuziehende Grösse auf beiden Seiten addiert und sodann -Gleiches vom Gleichen subtrahiert, so erhält man 5x = 20, x = 4. - -Es folgt die Probe, man kann wohl sagen bedauerlicherweise. - -Beispiel 2: I, 32, W. 37. Zwei so beschaffene Zahlen zu finden, dass -ihre Summe 20 und die Differenz ihrer Quadrate 80, (auch diese Aufgabe -ist allgemein gestellt und wird am Beispiel allgemein gelöst). - -Wir setzen die Differenz beider Zahlen 2x, so wird die grössere x + 10, -die kleinere 10 - x betragen. Nun ist noch zu bewirken, dass die -Differenz ihrer Quadrate 80 ist, sie ist aber 40x, also die grössere -12, die kleinere 8. - -II, 9. W. 52. Zweite Lösung der Aufgabe eine gegebene Quadratzahl (16), -in zwei Quadrate zu zerlegen. - -x sei die eine Seite, die andere gleich einem um die Seite des -gegebenen Quadrats verminderten ¨beliebigen¨ Vielfachen von x, etwa -2x - 4, x = 16/5, y = 12/5. - -Zu dieser Aufgabe bemerkt ¨Fermat¨ am Rand: - -Dagegen ist es ganz unmöglich, einen Kubus in zwei Kuben, ein Biquadrat -in 2 Biquadrate und ¨allgemein irgend eine Potenz ausser dem Quadrat -in zwei Potenzen von demselben Exponenten¨ zu zerfällen. Hierfür habe -ich einen ¨wahrhaft wunderbaren Beweis¨ entdeckt, aber der Rand ist zu -klein ihn zu fassen. -- - -M. H. es gibt seit 200 Jahren wohl keinen wirklichen Mathematiker, der -nicht versucht hatte, den ¨Fermatschen Satz¨ zu beweisen, aber es ist -selbst ¨Euler¨, ¨Dirichlet¨ und ¨Kummer¨ nicht gelungen. Kummer hat -mit der ad hoc geschaffenen Theorie der idealen Primzahlen den Satz -bewiesen, mit Ausnahme der sogn. ¨Bernoullischen¨ Zahlen. Aber dass -Fermat sich getäuscht habe, ist beinahe ausgeschlossen. - -III, 22. Vier Zahlen der Beschaffenheit zu finden, dass das Quadrat -ihrer Summe ein Quadrat bleibt, wenn jede der vier Zahlen zu ihm -addiert oder von ihm subtrahiert wird. - -D. h. also s^2 ± x; s^2 ± y; s^2 ± z; s^2 ± u sollen Quadrate sein. - -Ich gebe die Lösung dieser wahrlich nicht leichten Aufgabe, die sich -zu stellen schon Mut erfordert, nach Wertheim 110 ff., sie hat wie der -Zusatz Fermats beweist sein Interesse in hohem Grade erregt und ihn -u. a. zu dem Satz geführt: eine Primzahl von der Form 4n + 1 ist nur -einmal Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, ihr Quadrat ist es -zweimal, ihr Kubus dreimal, ihr Biquadrat viermal usw. in inf. Lösung: -In jedem rechtwinkligen Dreieck bleibt das Quadrat über der Hypotenuse -ein Quadrat, wenn man das doppelte Produkt beider Katheten zu demselben -addiert oder subtrahiert. Daher suche ich zunächst vier rechtwinklige -Dreiecke mit gleichen Hypotenusen; das ist aber dasselbe wie die -Aufgabe: ein beliebiges Quadrat viermal in je 2 Quadrate zu teilen und -wir haben schon (II, 10) gelernt, ein gegebenes Quadrat auf unzählig -viele Arten in zwei Quadrate zu zerlegen. - -Wir nehmen also zwei rechtwinklige Dreiecke, deren Seiten in den -kleinsten Zahlen ausgedrückt sind, wie etwa 3, 4, 5 und 5, 12, 13. -Multiplizieren wir jetzt alle Seiten eines jeden mit der Hypotenuse des -andern, so wird das erstere die Seiten 39, 52, 65 haben und das zweite -die Seiten 25, 60, 65, und wir erhalten zwei rechtwinklige Dreiecke mit -gleichen Hypotenusen. - -Ihrer Natur nach lässt sich ferner die Zahl 65 in je 2 Quadrate zweimal -zerfällen, nämlich in 16 und 49 sowie in 64 und 1. ¨Dies rührt daher, -dass 65 durch Multiplikation von 13 und 5 entsteht von denen jede sich -in 2 Quadrate zerlegen lässt.¨ [: (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 -+ (ad - bc)^2 = (ad + bc)^2 + (ac - bd)^2, diese Formel aus der -Theorie der quadratischen Formen, das ist die Quelle der Aufgabe]. Ich -nehme nun die Seiten der Quadrate 49 und 16 nämlich 7 und 4 und bilde -vermittelst dieser das rechtwinklige Dreieck, dasselbe hat die Seiten -33, 56, 65 [a^2 - b^2; 2ab; a^2 + b^2]. Ebenso nehme ich die Seiten -der Quadrate 64 und 1 nämlich 8 und 1, das rechtwinklige Dreieck hat -die Seiten 16, 63, 65. Nun habe ich vier rechtwinklige Dreiecke mit -gleichen Hypotenusen. - -Indem ich jetzt zu der ursprünglich gestellten Aufgabe schreite, -setze ich die Summe der 4 gesuchten Zahlen gleich 65x, jede einzelne -derselben aber gleich x^2 mit einem Koefficienten, der das Vierfache -der Fläche eines der 4 Dreiecke ist [2ab], also die erste Zahl gleich -4056 x^2, die zweite gleich 3000 x^2, die dritte gleich 3696 x^2, die -vierte gleich 2016 x^2. Es ist dann die Summe der vier Zahlen 12768 -x^2 = 65 x, und daraus ergibt sich x = 65/12678. Daher werden die vier -Zahlen Brüche mit dem gemeinschaftlichen Nenner 163021824 sein und zwar -hat die erste Zahl den Zähler 17136600, die zweite 12675000, die dritte -15615600, die vierte 8517600. - -Diese Aufgabe gehört mit zu denen, welche es am begreiflichsten -erscheinen lassen, dass ein Mathematiker solchen Ranges von einem -Zeitalter des Verfalles nicht mehr begriffen wurde. - -IV, 11. x^3 + y^3 = x + y. Diophant findet durch ein Verfahren, dass -nur zu begreifen ist, wenn man annimmt, dass er die allgemeine Lösung x -= ±(1 - k^2)/((1 + k)^2 - k); y = ±(1 + 2k)/((1 + k)^2 - k) kannte, x = -5/7; y = 8/7, er setzte k = 1/4 in der ersten (+) Lösung und nicht wie -Wertheim S. 129 angibt k = 1/2; (auch k = -3/2 in der zweiten negativen -Lösung ist richtig), merkwürdig ist, dass auch x = 3/7 und y = 8/7 -eine richtige Lösung ist, da 4 - 4p + 2r = o ist. V 34, W. 233: Drei -Quadratzahlen zu finden, so dass das Produkt derselben, wenn es um jede -der Zahlen vermehrt wird, ein Quadrat bildet. - -Wir setzen u^2v^2w^2 = x^2 und suchen dann drei Quadrate, von denen -jedes, wenn es um 1 vermehrt wird, wieder ein Quadrat gibt. Das kann -vermittels jedes rechtwinkligen Dreiecks geschehen. Ich wähle also drei -rechtwinklige Dreiecke 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17; so wird das eine -Quadrat 9/16 x^2, das zweite 25/144 x^2, das dritte 64/225 x^2 sein, -und jedes derselben bleibt ein Quadrat, wenn es um eins vermehrt wird. -Nun soll noch das Produkt der drei Zahlen gleich x^2 sein. Das Produkt -ist aber 14400/518400 x^6. Das soll gleich x^2 sein. Wird alles durch -x^2 dividiert so folgt 14400/518400 x^4 = 1, also 120/720 x^2 = 1. -Nun ist die Einheit eine Quadratzahl. Wenn daher auch 120/720 x^2 ein -Quadrat wäre, so würde die Aufgabe gelöst sein. Dem ist aber nicht so. - -Diophant führt die Aufgabe nicht durch, seine Lösung ist 25/4; -256/81; 9/16. Die Aufgabe ist von ¨Fermat¨ wieder hergestellt. -Diophant nimmt drei rechtwinklige Dreiecke a_{1} b_{1} c_{1}; -a_{2} b_{2} c_{2}; a_{3} b_{3} c_{3} und setzt u = a_{1}/b_{1} -x; v = a_{2}/b_{2} x; w = a_{3}/b_{3} x. Dann hat man nur noch -zu sorgen, dass (a_{1}a_{2}a_{3})/(b_{1}b_{2}b_{3}) oder auch -a_{1}a_{2}a_{3}b_{1}b_{2}b_{3} gleich a_{1}b_{1}a_{2}b_{2}a_{3}b_{3} -eine Quadratzahl ist, was keine Schwierigkeit macht. - -VI 3. Ein rechtwinkliges Dreieck zu finden, so dass die Zahl, welche -den Flächeninhalt ausdrückt, eine Quadratzahl wird, wenn sie um eine -gegebene Zahl vermehrt wird. - -Diese recht schwierige Aufgabe ist in Wertheim S. 256 und 257 allgemein -und ihre Erweiterung durch ¨Vieta¨ (Zetetica V, 9) angegeben. - -VI 26. Die letzte Aufgabe Diophants: Ein rechtwinkliges Dreieck von der -Beschaffenheit zu finden, dass die eine seiner Katheten ein Kubus, die -andere die Differenz zwischen einem Kubus und seiner Seite, und die -Hypotenuse die Summe eines Kubus und seiner Seite sei. - -Hypotenuse x^3 + x, Kathete x^3 - x, die andere ist dann 2x^2 und soll -gleich einen Kubus sein. Es sei 2x^2 = x^3, so ist x = 2, also ist 6, -8, 10 eine Lösung. - -An die Weiterführung dieser Aufgabe durch ¨Bachet¨ hat ¨Fermat¨ eine -Reihe wichtiger zahlentheoretischer Sätze geknüpft, wie z. B. x^4 ± y^4 -ist niemals ein Quadrat, und n(n + 1)/2 nur wenn n gleich 2 ist gleich -p^2, welche beide von Euler bewiesen sind. (Werth. S. 294.) - -Die Schrift über die Polygonalzahlen, so interessant sie an sich ist, -steht doch an Bedeutung der Arithmetik unvergleichlich nach, so dass -ich auf sie nicht näher eingehe, wertvoller als sie sind ¨Fermats¨ -Anmerkungen. - -Die Beispiele aus der Arithmetik genügen, um zu zeigen, wie gross -Diophant als Arithmetiker dasteht, dabei ist er, soweit unsre Kenntnis -bis jetzt reicht, fast ohne Vorläufer, von dem einzigen Heron etwa -abgesehen. Nikomachos verschwindet gegen Diophant vollständig, und -sein Ruhm beruht nur darauf, dass sein Verständnis verglichen mit -Diophant nur die geringe Bildung erforderte, welche sich in den Stürmen -der Völkerwanderung mit ihren politischen und religiösen Umwälzungen -erhalten konnte. - -[Sidenote: Pappos aus Alexandria.] - -Von dem letzten und grössten Arithmetiker der Hellenen gehen wir -zu ihrem letzten grossen Geometer zurück, zu ¨Pappos¨, auch er -Alexandreus. Auch von seinen Lebensverhältnissen wissen wir so gut -wie nichts, doch macht die Äusserung des Proklos ὁι περι Ἡρωνα και -Παππον es wahrscheinlich, dass er als Lehrer in Alexandrien tätig war -und das wird noch mehr als durch diese immerhin der Auslegung fähige -Stelle, durch den Inhalt und Zweck seines Hauptwerkes gesichert, -das ganz und gar in der Absicht geschrieben ist, Studierenden eine -richtige und tüchtige Ausbildung für reine und angewandte Mathematik -zu sichern. Auseinandersetzungen wie die über Analysis und Synthesis, -Kritiken, wie die allerdings nicht ganz gerechtfertigte, über das -Näherungsverfahren zur Lösung des Delischen Problems (III, Anfang), -die Auswahl der Schriften, an die er seine eigenen Lemmata anknüpft, -zeigen hohes pädagogisches Interesse und Erfahrung. ¨Hultsch¨ und -¨Cantor¨ setzen seine Lebenszeit auf das Ende des dritten Jahrhunderts, -gestützt auf eine Notiz, auf welche der bekannte Philologe ¨Usener¨ -hingewiesen hat, dass er unter Diokletian gelebt habe. Für diese -Datierung spricht der ganze Inhalt seiner Werke, insbesondere zeigt -das höchst lebhafte Interesse, das er für Sphärik und Astronomie, -speziell für Klaudios Ptolemaios bekundet, dass er nicht mehr als etwa -100 Jahre nach diesem anzusetzen ist. Zur Syntaxis und zwar höchst -wahrscheinlich zur ganzen und nicht nur zu den vier ersten Büchern hat -er einen Kommentar (Scholion) geschrieben, von dem ein Teil, der sich -auf das 5. und 6. Buch bezieht, in der an Schätzen reichen Laurentiana -zu Florenz gefunden und eine Einleitung, welche die Dimensionen der -Erde, Umfang und Inhalt behandelt und eine Definition der Astronomie -gibt im Vaticanus 184. Hultsch macht es im hohen Grade wahrscheinlich, -dass der Ptolemaios-Kommentar des von nur öfter erwähnten ¨Theon¨ von -Alexandrien, etwa 100 Jahre später, wesentlich aus dem des Pappos -geschöpft sei. - -¨Pappos¨ hat auch Kommentare zu den Daten und den Elementen des -Euklid geschrieben, von denen Fragmente bei ¨Eutokios¨ und ¨Proklos¨ -erhalten sind, und die auch von ¨Marinos¨ aus ¨Neapolis¨ (Sichem in -Palästina), einem Schüler und Nachfolger des Proklos im Rektorat der -Akademie, dem wir die Erhaltung von Euklids Daten verdanken, erwähnt -werden. Ich nenne hier Friedl. S. 249-50 den Beweis der Gleichheit der -Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck, weil der auf die Symmetrie -des gleichschenkligen Dreiecks begründete Beweis meist ¨Bolzano¨ -(Betrachtungen etc. p. 17 § 25) zugeschrieben wird, der Quellenangaben -noch nicht für erforderlich hielt. Der Beweis bei Proklos zeigt -allerdings, dass auch ¨Pappos¨ den leitenden Grundsatz des Euklid, die -dritte Dimension in der Planimetrie zu vermeiden, nicht recht erfasst -hat. - -[Sidenote: Pappos, Collectiones.] - -Erhalten ist uns, obwohl nirgends von den späteren hellenistischen -oder römischen Autoren erwähnt, sein Hauptwerk die Synagoge (συναγωγή, -nicht συναγωγαι) in 8 Büchern, von denen das erste und ein grosser -Teil des zweiten verloren ist. Die Reste des zweiten Buches hat -1688 ¨Wallis¨ herausgegeben. Unter dem Titel: Pappi Alexandrini -mathematicae collectiones hat ¨Federico Commandino¨ 1588 die Bücher -3-8 lateinisch herausgegeben, wie alle Arbeiten dieses Mannes für -ihre Zeit ausgezeichnet. Die einzige Gesamtausgabe Griech. und Lat. -hat ¨Fr. Hultsch¨ 1876-78 geschaffen, sie ist geradezu vorbildlich -geworden, ¨Cantor¨ sagte in der Besprechung des letzten Bandes -(Cantor-Schlömilch 1873): Hultsch hat uns mit einer klassischen -Ausgabe eines klassischen Schriftstellers beschenkt. An dem index -graecitatis, der 125 enggedruckte Seiten umfasst, hat er ein ganzes -Jahr lang gearbeitet, nachdem er viele Jahre auf die Collation der -Codices verwandt hat und im Vaticanus graecus 218 aus dem 12. Jahrh. -den Archetyp sämtlicher anderen festgestellt hatte. Rudio nennt den -Index geradezu ein Lehrbuch der griechischen mathematisch-technischen -Sprache. Die Verdienste des am 6. April 1906 verstorbenen Philologen -um die Geschichte der Mathematik hat ¨F. Rudio¨, Eneström Ser. III, -Bd. VIII meisterlich geschildert, und in diesem Nachruf findet sich -auch eine Analyse der Synagoge (= Sammlung), welche an Klarheit nichts -zu wünschen übrig lässt, und die einfach abzuschreiben vielleicht -das zweckmässigste wäre. Trotz dessen halte ich es angezeigt, was -ich 1903 gesagt, hier zu wiederholen. Die Sammlung des ¨Pappos¨ -ist für uns die Hauptquelle der griechischen Geometrie, sie zeigt, -dass Pappos einerseits im höchsten Grade literarisch gebildet war -und vielleicht noch vor oder zur Zeit ¨Caracallas¨ anzusetzen wäre, -andererseits aber selbst ein produktiver Geometer von hohem Range -war, wie z. B. seine Quadrierung des von der sphärischen Spirale -abgeschnittenen Stück der Halbkugel (Hultsch S. 682) und seine Lösung -der Proprosition 43 des IV. Buches zeigen. Insbesondere ist schon so -ziemlich die ganze ¨Steinersche¨ Geometrie, die Arbeiten Steiners über -Isoperimetrie eingeschlossen, in nuce bei Pappos zu finden, vor allem -der grundlegende Satz von der Constanz des anharmonischen Verhältnisses -und die vollständige Theorie der Involution. Die im Altertum so viel -umworbene Lehre von den Proportionen id est die Auflösung der Gleichung -ersten Grades hat er unter einem einzigen einfachen Gesichtspunkt -dargestellt. Er gibt den Inhalt fast aller bedeutenden mathematischen -Werke bis auf seine Zeit mit grosser Gewissenhaftigkeit und unter -Angabe der Namen und hat uns so, wie wir ja gesehen haben, in Stand -gesetzt, eine ganze Anzahl verlorener Werke der Heroen entweder ganz -oder teilweise zu rekonstruieren. Ich nenne nur die Porismata und die -Topoi pros Epiphaneian des Euklid, das 8. Buch der Konika und das -Taktionsproblem des Apollonios, die Schrift des Zenodoros über die -Isoperimetrischen Figuren, die Archimedischen halbregulären Körper -etc. Höchst wichtig ist auch, dass wir durch ihn in Stand gesetzt -sind, die Arabischen Quellen auf ihre Zuverlässigkeit zu prüfen, wobei -sich die ersten islamitischen Jahrhunderte als durchaus zuverlässig -erwiesen haben, z. B. für die Mechanik des Heron, die Wahlsätze des -Archimedes. Dabei begleitet er diese Schriften überall mit wertvollen -eigenen Bereicherungen. Im VI. Buch sehen wir, wie tief die Griechen -auch in die Theorie der krummen Flächen eingedrungen waren, bei der -stereometrischen Erzeugung der Quadratrix, die an ¨Archytas¨ erinnert -aber weit über ihn hinausgeht. Buch IV, Prop. 30 Hultsch p. 264 findet -sich die Quadrierung der Spiralfläche, worauf ich schon in einem -Frankfurter Vortrag hingewiesen habe. - -[Sidenote: Kugelspirale.] - -Wie man einsieht, dass in der Ebene eine Spirale erzeugt (γινομένη -ist durch existere nicht sinngemäss wiedergegeben) wird wenn ein -Punkt sich auf einem, einen Kreis beschreibenden Strahl bewegt und -in der Stereometrie [z. B. auf den Cylinder- oder Kegelflächen ist -unnötige Konjektur von H.] wenn ein Punkt sich auf einer die Oberfläche -beschreibenden Kante bewegt, so lässt sich auch eine auf der Kugel sich -ergebende Spirale begreifen, beschrieben auf folgende Weise. - -Auf einer Kugel gehöre zum Pol Θ der grösste Kreis ΚΛΜ und von Θ aus -soll der Viertelkreis eines Hauptkreises ΘΝΚ beschrieben worden sein -und der Kreis ΘΝΚ, um den ruhenden [Punkt] Θ auf der Oberfläche [der -Kugel] gedreht, möge in sich selbst wieder zurückversetzt worden sein -und irgend ein Punkt auf demselben von Θ aus in Bewegung gesetzt, möge -nach Κ gelangt sein; er beschreibt nun auf der Oberfläche eine gewisse -Schneckenlinie wie es ΘΟΙΚ ist, und welchen Umfang eines grössten -Kreises man auch von Θ aus beschreiben möge, so hat er zum Bogen ΚΔ -das Verhältnis, welches ΘΔ [siehe Figur] zu ΘΟ hat. Ich behaupte nun, -dass wenn ausserhalb [nämlich als Nebenfigur] der Quadrant ΔΒΓ eines -Hauptkreises auf der Kugel gelegt wird um das Zentrum Δ und [die -Sehne] ΓΔ gezogen wird, so geht daraus hervor [der Satz]: wie die -Halbkugel [sich] zu [dem] zwischen der Spirale ΘΟΙΚ und dem Bogen ΚΝΘ -abgeschnittenen [Stück der Kugel]fläche [verhält], so der Sektor ΑΒΓΔ -zu dem Segment ΑΒΓ. - -[Illustration] - -[Illustration] - -[Sidenote: Pappos'sche Aufgabe.] - -Der Beweis, dass die Fläche (2π - 4)r^2 ist, kann mit Integralrechnung -ohne weiteres geführt werden, aber der Beweis des Pappos, obwohl -an Archimedes gebildet, ist doch ein beredtes Zeugnis für seine -Veranlagung. Das IV. Buch und die im VII. Buch gegebene »¨Guldin¨sche« -Regel: das Volumen des Rotationskörpers ist gleich dem Produkt der -Meridianfläche in den Weg ihres Schwerpunktes zeigt uns, dass die -Griechen in der Theorie der krummen Oberfläche ungefähr so weit -gekommen sind, wie wir durch Euler und Gauss; vermutlich infolge -verlorener Werke insbesondere von Archimedes und Apollonios (περι -κοχλιου). Ebenfalls im VII. Buch, dem bedeutsamsten für die Wertung -des Pappos als Geometer, löst er die sogen. ¨Castillon¨sche Aufgabe, -ein Dreieck zu konstruieren, dessen Seiten durch je einen festen Punkt -gehen und das einem gegebenen Kreise einbeschrieben ist, die später von -¨Giordano da Ottajano¨ auf ein beliebiges n-Eck erweitert wurde, in -dem speziellen Falle, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. -Hier im VII. Buch kommt er bei Besprechung des Ortes zu drei und vier -Geraden (Apollonios) auf die noch heute nach ¨Pappos¨ benannte Aufgabe: -wenn eine Anzahl Geraden gegeben sind, den Ort des Punktes zu bestimmen -der so beschaffen ist, dass die von ihm nach den Geraden unter -gegebenen Winkeln gezogenen Strecken in zwei Gruppen eingeteilt werden -können, so dass die Produkte der Gruppen ev. mit Wiederholung oder mit -gegebenen Hilfsfaktoren, zu einander ein bestimmtes Verhältnis haben. -Dabei ist die Bemerkung wesentlich, dass wenn die Zahl der Linien 6 -übersteigt, eins oder beide Produkte keinen geometrischen Sinn haben, -aber »οι βραχύ προ ημών«, die kurz vor ihm lebenden Mathematiker, -interpretierten ihn. Die Aufgabe wird dann für beliebig viele Geraden -von Pappos völlig als geometrisch klare aufgestellt. Und nun fügt er -hinzu: weil er sich (der ungenauen Arbeiten) seiner Vorgänger schäme -und selbst sehr viel Wertvolleres und Nützliches bewiesen habe, und -um zu zeigen, dass wenn er dieses von sich »ausposaune« (φθεγξάμενος) -er kein leerer Prahler sei, gibt er die »¨Guldin¨sche Regel«. Die -Buchstabenrechnung im Rest des zweiten Buches ist schon bei Apollonios -erwähnt; wir können den Eindruck der Synagoge des ¨Pappos¨ dahin -zusammenfassen, dass wir jedenfalls in der Geometrie nicht wesentlich -über die Griechen hinausgelangt sind, selbst die Konstruktionen mit -¨einer¨ Zirkelöffnung, die sogen. ¨Mascheroni¨-Konstruktionen finden -sich bei Pappos. - -[Sidenote: Niedergang der Hellenischen Kultur.] - -Mit Pappos und Diophant endet die Entwicklung der Hellenischen -Mathematik jäh und in den folgenden Jahrhunderten sind es nur einige -wenige Kommentatoren, deren ich schon im Laufe der Vorlesung wiederholt -gedacht habe, welche noch ein Verständnis für die Leistungen der -Vorfahren besassen und übermittelten. Da war aus dem 4. Jahrh. -¨Theon¨ von ¨Alexandrien¨ und seine Tochter ¨Hypatia¨ zu nennen, aus -dem fünften ¨Proklos¨, dessen produktive Befähigung nach dem Beweis -des Parallelenaxioms und der wirren Kosmologie in keinem günstigen -Lichte erscheint. Im 6. Jahrh. sammelte sich um den Baumeister der -Sophienkirche in Konstantinopel ¨Isidoros von Milet¨ eine Schar -eifriger Freunde der Mathematik, aus der ¨Eutokios¨ von ¨Askalon¨, -der Kommentator des Archimedes und Apollonios auch als Mathematiker -hervorragt. Ebenfalls im 6. Jahrh. lebte ¨Simplikios¨, der wichtigste -Kommentator des Aristoteles, dessen wir bei den Lunulae Hippocratis -gedachten. Er gehörte zu den Lehrern der Akademie Athen, welche mit -dem Rektor ¨Damaskios¨ nach Persien zu Kosroë wanderten und Euklid -zu den Persern und damit zu den Arabern brachten. Nicht unbedeutende -Spuren einer Eukliderklärung des Simplikios hat uns ¨Al-Neirizi¨ -aufbewahrt. Von da ab sank das Hellenentum rapide; hatten schon vom 4. -Jahrhundert ab Christentum, Völkerwanderung, das im Gegensatz zu dem -auf freie Individualität der Gebildeten gegründeten Hellenismus, mit -einen starken Tropfen demokratischen Öles gesalbte Cäsarentum höchst -ungünstig eingewirkt, so wurden von nun ab die Hellenen in Asien -geistig von den Moslimen und in Europa geistig und körperlich von den -Slaven aufgerieben. Aber meine Aufgabe ist es nicht den Untergang der -Götter Griechenlands zu schildern. - -[Sidenote: Römer.] - -Ich müsste mich nun zu den Römern wenden, aber Rom hat eine Kultur im -hellenischen Sinne nie besessen. Ihre Verdienste um die praktischen -Wissenschaften, um das bürgerliche Recht und das Verwaltungsrecht, -sind gewiss nicht zu unterschätzen. Ist doch das Napoleonische Préfet -und Souspréfet noch heute nichts anderes als der römische Prätor und -Proprätor. Als Wegebauer haben die Römer ihresgleichen nicht gehabt, -und gross stehen sie in Kriegs-Kunst und -Wissenschaft da. Aber auf -geistigem Gebiet besteht ihr Verdienst darin den konzentrierten -griechischen Geistesextrakt so verwässert zu haben, dass Germanen und -Kelten ihn in dieser Form vertragen und assimilieren konnten, und so in -jener grossen Epoche, die wir ¨Renaissance¨ nennen, für das wirkliche -Hellenentum empfänglich wurden. - -Das einzige Gebiet der Mathematik, auf dem die Römer eine gewisse, wenn -auch stark von Ägypten beeinflusste Selbständigkeit zeigten, war die -Feldmesskunst, aber die römischen Agrimensoren oder wie sie nach ihrem -ziemlich rohen Massinstrument hiessen, ¨die Gromatiker¨ hat ¨M. Cantor¨ -in seinen Agrimensoren und daraus in seinen Vorlesungen erschöpfend -behandelt. - -[Sidenote: Schluss.] - -Ich ziehe es vor, hier am Schluss noch einmal auszusprechen, dass über -die Hellenen hinaus nur der eine ¨Galilei¨ einen wahrhaft weittragenden -neuen Gedanken in die mathematische und philosophische Erkenntnis -der Natur hineingetragen hat, als er durch schärfere Erfassung des -Kontinuitätsproblems zur Geschwindigkeit die Beschleunigung, zur Statik -die Dynamik hinzufügte. - -Zur Stütze meiner Ansicht zitiere ich aus dem Briefe ¨R. Baltzers¨ an -¨F. Hultsch¨ (Hultsch Pap. p. 1231-32) die Stelle: »Sie werden staunen -über diese Leistung der Griechen: ich bin auch nicht wenig erstaunt, -als ich diese Wahrnehmung machte, um so mehr als dies wirkliche -»analytische« Geometrie ist. Aber die Griechen dürfen dieselbe -doch nicht gehabt haben, sonst hätte Descartes die Erfindung der -analytischen Geometrie nicht machen können!« - -(Heute nach Auffindung des Ephodion kann man diesen Satz noch einmal -hinschreiben, und statt »analytische Geometrie« Differentialrechnung -setzen und für »Descartes« Newton oder wen man sonst will.) - -Und damit m. H. glaube ich meine Aufgabe gelöst zu haben. - - - - -Nachwort. - - -Um die starke Betonung der Hellenischen Philosophie zu motivieren, -möchte ich hier nachträglich noch den folgenden Eröffnungsvortrag -hinzufügen. - -Meine Herren! Wenn ich Hellenische Philosophie und Mathematik -gewissermassen in ¨einen¨ Begriff zusammengezogen habe, analog -dem Mittelalterlichen Musica et Arithmetica, so rechtfertigt -sich dies dadurch, dass gerade in der schöpferischen Periode der -griechischen Philosophie und Mathematik, von Thales an bis Aristoteles -eingeschlossen, die beiden Wissenschaften nicht getrennt werden -können und grade für die Elementare Mathematik, -- ich möchte sie die -¨bildende¨ Mathematik nennen -- meines Erachtens nach bis auf den -heutigen Tag nicht getrennt werden dürfen. - -Wenn ich nun systematischer Philosoph wäre, so müsste ich damit -beginnen Ihnen des längeren und breiteren auseinanderzusetzen, -was Philosophie ist, aber m. H., in Scheffels Ekkehard sagt der -Hunnenführer auf die Frage was Philosophie sei: es ist auf hunnisch -schwer zu erklären. So will auch ich mich kurz fassen und nur sagen, -dass ich in der Philosophie die Methode sehe die Welt der äusseren -und inneren Erfahrung in ihrer ¨Notwendigkeit¨ zu begreifen, oder wie -Spinoza sagt, diese Welt zu erfassen sub specie aeterni. ¨H. Cohen¨ -bezeichnet in seiner grossartigen Ethik des reinen Willens von 1901, -welche in 5 Jahren die zweite Auflage erlebt hat, die Aufgabe der -Philosophie dahin: die Wissenschaft selbst und die Kultur überhaupt -zum Verständnis ihrer Voraussetzung zu bringen. Dabei ist unter Kultur -allerdings etwas anderes zu verstehen als die »Bezwingung der rohen -Energie der Natur für die Nutzbarmachung unserer Kräfte«. Kultur ist -viel mehr; alle drahtlose Telegraphie, Röntgenstrahlen und Luftballons, -geben noch keine Gesittung, welche im wesentlichen in der Freimachung -der ethischen Werte besteht, darin, dass im einzelnen, und gerade -über je mehr Kräfte er verfügt um so stärker, das Bewusstsein seiner -Verantwortlichkeit der Allgemeinheit gegenüber, gegenüber dem Staate -und der Menschheit geweckt und ausgebildet wird. - -Der von mir betonte Gesichtspunkt der Notwendigkeit, das Streben -nach zwingender Folgerichtigkeit, ist es gerade was Mathematik und -Philosophie verbindet, und von Anfang bis Ende die Mathematik zum -Hauptgegenstand philosophischer Betrachtung gemacht hat, wenigstens -soweit es sich um den ältesten ihrer Hauptzweige, die Erkenntnistheorie -handelt. Erst viel später hat sich die Methode, das heisst die -Zusammenfassung grosser Gruppen von Erkenntnissen unter einen -Gesichtspunkt, den Trieben und Gesetzen des menschlichen Handelns -zugewandt, es musste erst die Theorie der Unsittlichkeit, wie sie -von den Sophisten ausgebildet war, praktisch in dem Regiment der 30 -Tyrannen und theoretisch durch Sokrates zerstört werden, es musste und -zwar zumeist bei den Römern eine juristische Wissenschaft erwachsen, -ehe eine systematische Philosophische Ethik, insbesondere bei den -Stoikern möglich wurde. Freilich findet sich eine wissenschaftliche -Behandlung der Ethik, die sich aber nur auf einzelne Fragen, wie -Tugend, Gerechtigkeit, Freundschaft bezieht, schon bei Platon und -nicht minder bei Aristoteles und vor beiden schon bei Demokrit. Was -uns von den sogenannten 7 Weisen -- es sind ihrer beiläufig gesagt, -wenn man nachzählt 22 -- überliefert ist, sind meistens sprichwörtliche -oder besser »geflügelte« Worte, welche sich auf vernunftgemässes -praktisches Handeln beziehen, wie das bekannte des Chilon oder Solon -»μηδέν άγαν, Alles mit Mass«; und »Ηρεμια χρω, Nutze die Zeit;« das -Delphische »γνωθι σαυτον, Erkenne dich selbst.« »Mit der Notwendigkeit -kämpfen auch die Götter vergebens.« (Schiller hat die Anagke durch die -»Dummheit« ersetzt, die ja auch Zwangsvorstellungen liefert). Periander -und Hesiod haben beide den Spruch geliefert: das Halbe ist mehr als das -Ganze, was besonders für Festreden zu beherzigen wäre. Aber auch die -grossen Dichter der Hellenen wie Homer und besonders Hesiod erkannten -es an, dass der Mensch zum Unterschied vom Tier sittlichen Gesetzen -untertan sei. Ich zitiere nach der Übersetzung von ¨F. Blass¨ aus -Hesiod die Stelle: - - Also hat ja den Menschen bestimmt der Kronide die Satzung: Zwar den - Fischen und Tieren des Felds und geflügelten Vögeln Setzt er einander - zu fressen, denn Recht ist nicht unter ihnen. Aber den Menschen - verlieh er das Recht. - -Der dritte Zweig der Philosophie ist ganz modern, die Philosophie -der Kunst, welche die allgemeinen und notwendigen Gesetze des -Ästhetisch-Wirksamen aufzustellen hat. Die Poëtik des Aristoteles -ist eigentlich mehr eine Technologie für den Dichter, der Laokoon -Lessings legt praktisch den Unterschied zwischen der bildenden und -beschreibenden Kunst fest. Erst bei Kant, Schiller, der gerade hier -seine selbständige Stellung als Philosoph, Vischer und vor allem bei -Schopenhauer haben wir eine reine Ästhetik. - -Hängen Mathematik und Philosophie in und durch den Trieb ihren -Gegenstand unter dem Gesichtspunkt der Notwendigkeit zu fassen, also -so recht in der Wurzel zusammen, so sehen wir beide in ihren Anfängen -mit der Theologie auf das innigste verwachsen. Bei den Indern ist wie -im europäischen Mittelalter, die Philosophie aus dieser Verbindung -eigentlich nie gelöst worden, so tiefsinnig auch die philosophischen -Gedanken gerade der indischen Theologen sind, da man den Buddhismus in -seiner reinen Form eigentlich geradezu als ein philosophisches System -bezeichnen könnte. Der Druck, den das Unendliche auf das Endliche -ausübt, die Übermacht der kosmischen Erscheinungen, denen der Mensch -hilflos, machtlos, gefesselt, religatus gegenübersteht, erzeugen -das religere, die ehrfurchtsvolle Achtung, die Religion, und die -Welt bevölkert sich mit Personifikationen der Naturkräfte, wie denn -Zeus, der Nationalgott der Hellenen, wie ursprünglich aller Arier, -die Personifikation des Tageslichtes ist. Bei den rohen Naturvölkern -wie z. B. auch ursprünglich bei den Ägyptern entwickelt sich der -Fetischdienst, dann bei den begabteren eine Mythologie und im Laufe -der Zeit eine Theologie, welche nichts anders ist als eine untrennbare -Verbindung der Religion mit der Philosophie. Ich wage zu sagen, dass -die Religion bis auf den heutigen Tag die einzige Form ist, in der die -ethischen Errungenschaften der Philosophie dem Volke nutzbar gemacht -werden können, von den 10 Geboten der Israeliten, dem tat twam asi, -dieses [Andere] bist du, der Inder, bis zu dem »Liebe deinen Nächsten -wie dich selbst« des Christentums. Und auch für die Mathematik, die -angewandte wie die reine, ist der mit der Ausbildung der Theologie -sich entwickelnde Gottesdienst von höchster Bedeutung gewesen, Kultus -und Kultur sind nicht nur wortverwandt. Der Dienst der die Welt -regierenden Gottheit, die Formen in denen der Mensch seine Unterwerfung -unter die Götter zum Ausdruck bringt, ihre Gunst zu erringen, ihren -Zorn abzuwenden sucht, Opfer und Gebet, sind hervorgerufen durch -die unbewusste Erkenntnis, dass der einzelne und wäre er der König -der Allheit untersteht, und in eben dieser Erkenntnis sahen wir das -Wesen des Sittlichen. Der Tempel der Gottheit muss orientiert werden, -das Eigentum das sie schützt, wenn es im Schweisse des Angesichts -erworben (Gesetze des Manu), muss abgegrenzt, vermessen werden. Die -Astronomie der Babylonier steht in engster Beziehung zur religiösen -Verehrung der Gestirne, die wichtigen Probleme der Flächenmessung und -Vervielfältigung und der Würfelverdoppelung knüpfen bei Indern und -Griechen unmittelbar an das Opfer an, ebenso wie das arithmetische -Problem der Zahlenzerlegung in Quadrate ein uralt chaldäisches ist, -das mit der Zahlenmystik, selbst ein Ausfluss astrologischen Kultus, -gesetzt ist. - -Eine weitere Verbindung zwischen Philosophie, Mathematik und Theologie -besteht in ihrer gemeinsamen Beziehung zu Poesie und Kunst. Die älteste -Poesie ist die religiöse, die Veden, die Edda, die Hymnen Homers, die -Psalmen der Hebräer. Andrerseits haben Homer und Hesiod den Griechen -zwar nicht ihre Götter aber doch ihren Olymp gegeben. Und an die -religiösen Gedichte knüpfen die Lehrgedichte der Philosophen an, die -schwungvolle Einleitung des Parmenideischen Lehrgedichts ist die -Quelle von Goethes Zueignung. Ein grosser Dichter ist ohne eine grosse -einheitliche Weltanschauung überhaupt nicht denkbar, und wie es Dichter -gab welche Philosophen waren, ich nenne Schiller und Shakespeare, hat -es auch Philosophen gegeben, welche Dichter waren, wie Platon und -Schopenhauer. - -Ihrerseits steht auch die Mathematik, die reine wie die angewandte, -in ganz direkter Beziehung zur dichterischen Phantasie und zur -ästhetischen Schönheit. Ich sehe ganz von der grossen Bedeutung ab, -welche Symmetrie und Eleganz für die Gebilde der Algebra und Geometrie -haben, sondern verweise auf die Rolle, welche die schöpferische -Phantasie für die Produktion der grossen Mathematiker gehabt und -bemerke dass Perspektive und darstellende Geometrie von Künstlern -wie ¨Alberti¨, ¨Leonardo¨, ¨Dürer¨, für die Kunst geschaffen sind. -Ich erinnere auch an ¨Schiaparellis¨ Ausspruch: Das Grundprinzip -aller Astronomischen Systeme von Pythagoras bis Kopernikus ist die -Überzeugung von der Schönheit und Einfachheit des Kosmos gewesen. - -Und in der einzig dastehenden Befähigung für das Schöne liegt der -Grund, warum gerade die Hellenische Philosophie und Mathematik der -Träger der Bildung gewesen ist und sein wird. Wie die Hellenen -politisch besiegt, das Barbarentum der Römer niedergezwungen, so -hat in der Renaissance das erneute Hervorsprudeln der hellenischen -Quellen das Mittelalter hinweggespült, und drei Jahrhunderte später ist -es wieder das Hellenentum gewesen, welches verbunden mit dem tiefen -sittlichen Ernst der Germanen im Neuhumanismus die seichte Periode, -welche wir Aufklärungszeit nennen, überwunden hat, und ohne dass -Kant und Goethe nicht zu verstehen sind. Denn auch die Schönheit der -Wahrheit ist weder vorher noch nachher, je so tief empfunden worden, -wie von dem Volke, für das das καλον καγαθον καλεθες, das Schöne, -Gute, Wahre, ein einziger Begriff gewesen. Gerade in der Jetztzeit, -in der die sich häufenden Entdeckungen auf physikalischem und -chemischem Gebiete die Macht des Menschen und sein Selbstbewusstsein -ins Ungemessene steigernd, eine rohe Anbetung des materiellen Genusses -grossgezogen haben, da hat sich wieder der Hellenische Geist mächtig -erhoben, der mit Platon, Aristoteles, Lessing das Streben nach der -Wahrheit um der Wahrheit willen als das höchste als das befriedigendste -Gut empfindet. - -M. H.! Das Gesetz der Kontinuität, wie es nicht nur die griechische -sondern jede Wissenschaft beherrscht, gilt auch für die Hellenische -Kultur. Von Anfang an durch die grosse Küstenentwicklung und die vielen -Häfen ihres Landes auf das völkerverbindende Meer hingewiesen, haben -sie regsamsten Geistes von den Ägyptern und durch Vermittlung der -Phönizier von den Babyloniern gelernt und den Einfluss des Orients -auf allen Gebieten des Wissens und der Kunst erlitten, aber ebenso -sicher ist es, dass sie diese Einflüsse von Anfang an selbständig -verarbeiteten, »dass sie,« um mit Ostwald zu reden, »diese fremden -Kulturen nicht kopierten«, wohl aber verwerteten. Insbesondere gilt -diese Selbständigkeit für die Hellenische Philosophie und Mathematik. -Die Philosophie anfänglich auf Naturerklärung gerichtet, nimmt -schon mit ¨Anaximander¨ scharf den Weg zur Naturerkenntnis, die bei -¨Demokrit¨ ihren Höhepunkt erreicht, um mit ¨Platon¨ und ¨Aristoteles¨ -die Erkenntnistheorie und Wissenschaftslehre überhaupt zu bemeistern. -Aus Ägypten und Babylonien haben wir bisher keine Spur davon gefunden, -dass der Menschengeist selbständig der Natur gegenübergetreten, die -Semiten begnügen sich ihrer eminent religiösen Veranlagung nach mit der -Tatsache: »Im Anfang schuf Gott Himmel und Erde.« In Betracht könnten -nur die Inder kommen, besonders die Vaisesikaphilosophie; aber m. E. -liegt die Sache gerade umgekehrt, und sowohl der Atomismus derselben -als z. B. die Einführung des Äther als fünftes Element, das die -Schallwellen fortlenkt, sind Hellenischem Einfluss zuzuschreiben. - -Die wichtigste Quelle für die Geschichte der Hellenischen -Philosophie ist das erste Buch der Metaphysik des Aristoteles und -für Mathematik der Kommentar des Proklos, besonders das sogenannte -Mathematikerverzeichnis. Beide beginnen mit Thales dem Milesier, so -beginnt denn die Geschichte der Philosophie wie der Mathematik mit -Thales dem Jonier. - - -Ergänzung zur Lehre der Pythagoreer. - -Da mir bis vor kurzen die gründliche Dissertation von ¨W. Bauer¨, -der ältere Pythagoreismus, Bern 1897, entgangen war, so sehe ich -mich veranlasst, den Abschnitt über die Pythagoreer zu ergänzen. Zu -diesem Zwecke muss ich etwas näher auf ¨Anaximander¨ den Jonischen -»Physiologen« eingehen, sowie auf die ¨Orphiker¨. Anaximander hat -sicher eine Schrift peri physeos geschrieben, welche noch dem -Theophrast vorlag. Ob er sein Apeiron als Stoff oder als Kraft -gedacht hat oder was das wahrscheinlichste, als beides zugleich, -ist zweifelhaft. In der sehr merkwürdigen Stelle Aristoteles -Phys. 14. 203^b 6 (Diels Frag. S. 14) werden fünf Quellen seines -Unendlichkeitsbegriffs angegeben: die Zeit, die Auflösung des -Continuums, der Fortgang in der Begrenzung des Begrenzten (die -Compositio continui), die Zahl, der Raum (»das ausserhalb des -Himmels«). Nicht minder interessant ist die Stelle bei Simplicius -(Diels 13 oben): Anaximander nennt das Unendliche ¨Prinzip und -Element¨ der Dinge. Nicht das Wasser oder ein anderes der sogenannten -(vier) Elemente, sondern ein anderes Wesen, das Apeiron, sei das -Prinzip, aus dem alles entstanden sei, die ¨Welten¨ und ihre -¨Ordnungen¨. Woraus aber den Dingen die Entstehung stammt, eben -dahin geht auch ihr Untergang nach Notwendigkeit; ¨denn sie zahlen -einander Strafe und Busse¨ der Zeitfolge gemäss. In diesem Satz ist -a) die Unveränderlichkeit des Unendlichen dem Endlichen gegenüber -ausgesprochen, b) in dem Nebeneinanderstellen von Prinzip und Element, -arche und stoicheion, wird gesagt, dass etwas vom Unendlichen -Bestandteil der Dinge sei und c) in dem letzten Satz, der bei Diels -gesperrt gedruckt ist, liegt eine Ahnung von dem Gesetz der Erhaltung -der Energie. Jedes Entstehende entsteht auf Kosten anderer und büsst -dafür durch seinen Untergang. - -Wie aus dem Urstoff, dem Unendlichen, die vier Elemente hervorgegangen, -darüber fehlen bestimmte Angaben. Nach Aristoteles und Theophrast -scheint das Apeiron qualitätslos gedacht und die Elemente sind durch -Bewegung ausgeschieden. Zuerst trennten sich das Warme und Kalte, wie -etwa Glas- und Harz-Elektrizität durch Reibung. Zum Unterschiede von -Thales hat Anaximander den ernsthaften Versuch gemacht den Kosmos und -die Naturerscheinungen wissenschaftlich zu erklären, dabei bekunden -die Angaben, dass er die Schiefe der Ekliptik gekannt habe und die -Gestirne als Götter betrachtet, Babylonischen Einfluss. -- Die Erde -selbst dachte er sich in Form eines Cylinders, dessen Höhe 1/3 des -Durchmessers, im Mittelpunkte des Kosmos ruhend, vermutlich infolge -einer Ahnung der sich gegenseitig aufhebenden Wirkungen, denn der -Kosmos ist bei ihm vielleicht zuerst als Kugel gedacht. Geworden ist -die Erde infolge der fortgesetzten Austrocknung durch das umgebende -Feuer, insbesondere die Sonne, weshalb auch die Meere allmählich -austrocknen. (Aristoteles Meteorol. II, 1, 353^b 6). Aus dem Urschlamm -sind dann durch die belebende Wirkung der Sonne die Organismen -entstanden, und hier ist also diese Wandlung der Sonnenenergie zuerst -verwertet. Mit das interessanteste ist, dass, wie ¨Zeller¨ zuerst -hervorgehoben, Anaximander als Vorläufer Darwins angesehen werden kann. -Er wies darauf hin, dass ein so hilfloses Wesen wie das Menschenkind -sofort hätte zugrunde gehen müssen und so meinte er, dass die Menschen -sich aus alligatorähnlichen Tieren entwickelt hätten (was ja so manchen -Zug in der Menschennatur erklären würde) bis ihre Entwicklung soweit -gediehen, dass sie ihre Panzer abwerfen und am Lande leben konnten. - -Aristoteles erwähnt in der historischen Übersicht in der Metaphysik den -grössten der Physiologen nicht, sein Apeiron passt eben in keine der -vier Archai des Kapitel III, obwohl das Wort von ihm herrührt, aber -der ausserordentliche Fortschritt gegen Thales ist dem Aristoteles -nicht entgangen. Die grossen Probleme der Materie und der Substanz sind -hier in voller Deutlichkeit erfasst, um nie wieder aus der Philosophie -zu verschwinden, und in seinem Apeiron ist noch vor den Pythagoreern -der Versuch gemacht vom unmittelbar gegebenen Stoff zu abstrahieren -und ihn durch eine gedankliche Hypothese zu ersetzen. Das Apeiron des -Anaximander ist eine der Quellen der Pythagoreischen Kosmogonie. Nicht -minder wichtig ist die eigentümliche theologisch-poetische Bewegung -welche man als ¨Orphische¨ bezeichnet, für deren Verständnis ich -¨Erwin Rohdes¨ klassischer »Psyche« (1894) den meisten Dank schulde. -Das Jahrhundert von 620 etwa bis 520 kann man als die griechische -Sturm- und Drangperiode bezeichnen. Neben jonischen Denkern ein -nicht minder stürmischer Drang nach religiöser Vertiefung. Die -eleusynischen Mysterien, deren Inhalt der Unsterblichkeitsgedanke oder -richtiger das Fortleben der Seele nach dem Tode bildete, gewannen -zahlreiche Teilnehmer aus dem ganzen Hellas und es entwickelte -sich eine philosophisch-theologische Spekulation welche zu einem -abgeschlosseneren systematischeren Kultus führte, als ihn die vielfach -lokalisierte Volksreligion darbot, eben die Orphik. - -Die ¨Orphiker¨, nach dem durch die Sage von Orpheus in der Unterwelt -bekannten Thrakischen Sänger benannt, verehrten auch Thrakiens Gott -den Bakchos oder Dionysos. Das älteste Zeugnis über sie gibt Herodot -(2, 81) der die Übereinstimmung ägyptischer Priester-Vorschriften mit -den »orphischen und bakchischen« Geheimdiensten hervorhebt, die in -Wahrheit ägyptisch und pythagoreisch seien, d. h. nach ägyptischem -Vorbilde von Pythagoras eingeführt seien, etwa um die Mitte des 6. -Jahrhunderts. Orphische Gemeinden bildeten sich in Griechenland -und Gross-Griechenland (Unteritalien) mit ganz festen heiligen -Schriften und festem Kult. ¨Rohde¨ sagt: »Die Verbindung von Religion -und einer halbphilosophischen Spekulation war eine kennzeichnende -Eigentümlichkeit der Orphiker und ihrer Schriftsteller,« von denen ich -als den wichtigsten ¨Pherekydes¨ von der Insel Syros erwähne, bekannt -durch seine Theologia, einem Seitenstück zu der ¨Hesiod¨ Theogonie. Die -ganze Lehre trägt einen allegorischen Charakter, ich erwähne nur den -Abschluss. - -Am Ende der sich in Geschlechterfolge entwickelnden Götterreihe steht -der Sohn des Zeus und der Persephone, Dionysos, der als Unterweltgott -Zagreus genannt ist. Der Name bedeutet »starker Jäger«, -- das ζα -ist eine Nebenform von δια welches in der Komposition gleich dem -lateinischen per die Bedeutung des Simplex tunlichst verstärkt -- -und bezieht sich auf den Tod, den Hades. Dem Zagreus hat Zeus (Zas) -schon als Kind die Herrschaft über die Welt anvertraut, ihn überfallen -die Feinde des Zeus und der sittlichen Ordnung, die Titanen und -nach heftigen Kampfe wird er zerrissen. Nur das Herz rettet Athene, -überbringt es dem Zeus, der es verschlingt. Aus ihm entspringt der neue -Dionysos, des Zeus und der Semele Sohn, in dem Zagreus wieder auflebt. -Die Titanen stellen die Urkraft der Bösen dar, sie zerrissen den Einen -in viele Teile, durch ¨Frevel¨ breitet sich das Eine, die Gottheit, -in die Vielheit der Dinge dieser Welt aus (Anaximander!). Aber die -Gottheit entsteht wieder als Einheit im Dionysos. Zeus zerschmettert -die Titanen durch seinen Blitzstrahl, aus ihrer Asche entsteht das -Geschlecht der Menschen, die also ihrem Ursprung nach eine Spottgeburt -von Dreck und Feuer sind, von Gutem aus Zagreus, von Bösem aus dem -Titanischen Elemente. Damit ist dem Menschen sein Weg vorgezeichnet, -er soll sich von dem titanischen Elemente befreien und zurückkehren -zu Gott von dem ein Teil in ihm lebendig ist. Oder was dasselbe, der -Mensch soll sich frei machen von den Banden des Körpers in dem die -Seele gefesselt ist wie in einem Kerker. Aber der Weg ist lang, der -Tod trennt zwar Seele und Körper, aber die Seele, die beim Austritt -aus ihrem Leibe frei in der Luft schwebt, wird in einen neuen Körper -eingeatmet und so durchwandelt sie den weiten Kreis der Notwendigkeit. -Ja sie kann sogar wie ein periodischer Dezimalbruch immer dieselben -Zustände in derselben Reihenfolge durchlaufen. Nur eine Hilfe gibt es, -die Askese in der gänzlichen Versenkung in die Gottheit. - -Wie man sieht sind zeitlich und inhaltlich die indischen buddhistischen -Einflüsse unverkennbar. ¨Pythagoras¨ nun trat, Rohde zufolge, dem -ich völlig beipflichte, in die orphische Gemeinde von Kroton, die er -reformierte. Und zwar ist der Modus der stets befolgte und einzig -Erfolg verheissende, die Sitten, Gebräuche, den Kult liess er -unangetastet, die Dogmatik änderte er; Askese, Seelenwanderung, ja -Musik und Heilkunst übernahm er von den Orphikern. - -Die ursprüngliche Lehre selbst zu erkennen, wird dadurch erschwert, -dass wir den Pythagoreismus zuerst in der verhältnismässig späten -Darstellung des ¨Philolaos¨ besitzen. Philolaos aber zeigt nicht nur -den Einfluss des ¨Anaximander¨ und zwar positiv im Apeiron und negativ -in der Betonung der Einzigheit des Kosmos, sondern auch den des -Heraklit für die Rolle die das Feuer im Kosmos, einem pythagoreischen -Ausdruck, spielt. Dass Heraklit in Unteritalien schon kurz nach -500 bekannt war, ist ja erwiesen. Aber auch die vier Elemente des -¨Empedokles¨ und Momente aus der Weltschöpfung des ¨Anaxagoras¨ nahm -Philolaos auf. Ob das formgebende Prinzip oder der ordnende Nous von -einem Zentralpunkt dynamisch wirken, ist dasselbe. Allerdings lagen -dem ¨Aristoteles¨ vermutlich auch noch ältere Quellen als Philolaos -vor. Was nun die sehr dankenswerte Dissertation von ¨W. Bauer¨ -(1897) betrifft, so scheint mir die Argumentation etwas durch die -vorgefasste Meinung des Verfassers beeinflusst, der die Quellen je -nach dieser wertet, um z. B. gegen Zeller einen eignen pythagoreischen -Gott zu konstruieren, der dann von dem Nous des Anaxagoras nicht -wesentlich verschieden wäre. Von Aristoteles nimmt er weg, Syrion -und Stobaios legt er zu, das umfassende Feuer ist keineswegs als ein -zusammenfassendes gekennzeichnet, periecho ist nicht synecho, und die -»Lauterkeit der Elemente« selbst bezieht sich nicht auf Materie und -Form sondern auf die vier Elemente selbst. Das umgebende Feuer erklärt -sich einerseits durch die Auszeichnung die Anfang und Ende besitzen und -»Anfang und Ende reichen einander die Hände«. Das von der zentralen -Hestia zur Erhaltung des Kosmos verbrauchte Feuer wird von da aus -ersetzt, durch den »Atemzug des Weltalls«. - -Darin pflichte ich Herrn Bauer bei, dass die Betonung der Gegensätze, -die orphisch ist, vielleicht das ursprüngliche ist. Man muss aber -unterscheiden zwischen dem Apeiron, dem Peras und dem Perainon, d. h. -zwischen Stoff und Form und Formgebung und das formgebende Prinzip, die -Seele wie des Menschen so der Welt, ist, wenn man das Wort brauchen -will, der eigentliche »Gott« der Pythagoreer, nämlich die ¨Harmonie¨, -welche die Gegensätze zur Vereinigung zwang und darin erhält. Auch für -sie lagen orphische vielleicht auch Heraklitische Anregungen vor. - -Von der Harmonie zur ¨Zahlenlehre¨ der Aristotelischen Darstellung -ist aber nur ein kleiner Sprung, denn wenn die Ordinalzahl, wie ich -an anderer Stelle gesagt habe, der major domus der Zeit ist, so ist -es die relative, die Verhältniszahl, für die Harmonie, die eben nur -in Verhältniszahlen zum Ausdruck kommt. Die Erfindung des Monochords -ist von diesem Prinzip geleitet worden; jedes Kind, das an einer Saite -klimpert, weiss, dass die kürzere den helleren Ton gibt, aber nur wer -den Gedanken erfasst hat, dass die Harmonie in Zahlenverhältnissen -ihre Objektivierung finden muss, wird versuchen messend einfache -Verhältnisse herzustellen. So sind es die Pythagoreer, die sicher noch -vor ¨Platon¨ die Bedeutung der relativen Zahl erkannt haben, und hier -liegt vielleicht ihr grösstes Verdienst um die Mathematik. Hiermit -hängt auch die ihnen eigentümliche Auffassung der Einheit zusammen, die -keine Zahl ist, wie wir das ja noch in den Rechenbüchern des 18. Jahrh. -nach Chr. lesen können, sondern eine Grösse, und ich weise hier auf den -Zusammenhang mit ¨Galilei¨ hin und auf die Stelle Aristoteles Metaph. -XIII 6, 1080, 6, 16. - -Zum Schluss noch ein paar Worte über das »Kenon,« das Leere, der -Pythagoreer, denn hier liegt die Grundlage für den wichtigen Begriff -des »μή ὄν« des Nichtseienden, das schliesslich bei Demokrit und Platon -geradezu positiven oder besser konstruktiven Inhalt empfängt. - -Dieses Leere scheint mir nichts anderes zu sein als eine Vermischung -von Zeit und Raum, die im »Kenon« zwar noch ungeschieden, aber doch -schon als Sonderungsprinzipien (principia individuationis nach -Schopenhauer) erkannt sind. Sie werden aus dem Apeiron jenseits -der zehnten Sphäre, der des umgebenden Feuers, eingesogen um die -im Kosmos zur ordnungsgemässen Trennung und Bewegung der Sphären -verbrauchte Zeit und Raum zu ersetzen. Die Polemik des ¨Parmenides¨ -gegen das Nichtseiende ist also noch mehr gegen die Pythagoreer -als gegen Heraklit gerichtet, denn sie ist gegen Zeit und Raum -und Bewegung gerichtet. Aber dieses Kenon, dieses me on ist dann -von ¨Demokrit¨ aufgenommen, der in dem Leeren der Pythagoreer, -den Poren des ¨Empedokles¨ und den unzählig vielen unendlich -kleinen Elementen des ¨Anaxagoras¨ die Bausteine fand, aus denen er -mittelst der Differentiale der Masse, des Raumes und der Bewegung, -die unerschütterlichen Grundlagen der physikalisch-chemischen oder -richtiger der mathematischen Naturbeschreibung geschaffen hat. - - - - -Autoren-Register - - -Die Römischen Zahlen bedeuten die Kapitel, Vorwort = V, Einleitung -= E, Nachwort = N. Namenfehler im Buche bitte nach dem Register zu -verbessern. - - - Aahmes(-Ames)-Jamesu I 27 Z 7, 16, 27; 33 Z 5, 7, 32; 43 Z 2, 26; 47 - Z 5; 49 Z 6. - - Abel N. H. II 73 Z 15, 23. - - Abulphat v. Ispahan III 291 Z 12. - - Abul Wafa III 358 Z 32. - - Adrastos III 353 Z 3. - - Ahmes s. Aahmes. - - D'Alembert J. III 313 Z 15. - - Alexander Polyhistor II 57 Z 11. - - Allman G. J. III 172 Z 17. - - Ammonios III 355 Z 8. - - Anaxagoras III 170 Z 15 N 386 Z 3 12; 388 Z 1. - - Anaximander III 124 Z 32 f; 125 Z 5, 27; 176 Z 24; 278 Z 2; N 380 Z - 30; 381 Z 24; 382 Z 1, 22; 383 Z 3, 20; 384 Z 34; 385 Z 30. - - Anaximenes III 176 Z 25. - - Andron III 125 Z 27. - - Anthiphon III 172 Z 1, 10; 175 Z 12, 18. - - Antisthenes III 340 Z 6. - - Apastamba III 139 Z 16; 145 Z 6; 147 Z 32; 148 Z 15; 149 Z 4, 24, 29; - 150 Z 8, 14, 21; 151 Z 19; 153 Z 18; 154 Z 2; 155 Z 30; 156 Z 24. - - Apollodoros III 123 Z 31. - - Apollonios von Pergae III 209 Z 10, 15; 231 Z 11; 234 Z 30; 235 Z 14; - 236 Z 31; 241 Z 27; 248 Z 19, $290-300$; 301 Z 1; 306 Z 9; 311 Z - 16; 315 Z 27, 30; 324 Z 24; 339 Z 10; 343 Z 5; 369 Z 4; 370 Z 28; - 371 Z 21; 372 Z 6. - - Apollonios von Thyana III 126 Z 3; 135 Z 23; 357 Z 8. - - Apulejus III 124 Z 15; 348 Z 5 f. - - Aratos III 311 Z 33. - - Archimedes E X Z 9; XIV Z 21; XV Z 7; III S. 175 Z. 30; 181 Z 18, 20, - 23; 182 Z 6; 202 Z 28; 210 Z 1; 211 Z 29; 213 Z 3; 229 Z 34; 230 Z - 6; 231 Z 11, 233 Z 10; 234 Z 13; 236 Z 31; 241 Z 25, 30; 250 Z 9, - 258-285; 290 Z 5; 291 Z 8; 292 Z 4; 294 Z 27; 297 Z 6, 15; 298 Z - 23, 30; 299 Z 6; 300 Z 12; 301 Z 6; 302 Z 10; 303 Z 34; 304 Z 7; - 308 Z 21; 309 Z 4; 311 Z 3, 11, 15; 312 Z 26; 315 Z 1, 22; 316 Z - 12; 319 Z 18; 326 Z 2; 328 Z 7; 331 Z 27; 335 Z 33; 336 Z 13, 25, - 31; 337 Z 9; 348 Z 33. - - Archytas III 128 Z 4; 129 Z 7, 10; 137 Z 10; 184 Z 26; 185 Z 26; 191 - Z 16; 194 Z 29; 195 Z 2; 197 Z 5, 24; 198 Z 5; 199 Z 29; 200 Z 3; - 202 Z 1, 5; 208 Z 2, 11; 209 Z 29; 211 Z 24; 369 Z 14. - - Aristaios III 292 Z 5, 16; 293 Z 34. - - Aristarch (von Samos) III 218 Z 12; 279 Z 26; 280 Z 3; 284 Z 25; 311 - Z 22. - - Aristippos III 341 Z 22. - - Ariston III 286 Z 4. - - Aristoteles III 124 Z 18, 28; 125 Z 23, 30; 127 Z 33; 128 Z 7, 22; - 129 Z 4; 130 Z 17; 131 Z 12; 132 Z 32; 134 Z 14; 136 Z 24; 141 Z - 10; 167 Z 18; 169 Z 28; 170 Z 6, 27; 171 Z 24; 172 Z 3; 175 Z 17; - 176 Z 9; 179 Z 5, 16, 24; 181 Z 1, 33; 186 Z 6; 188 Z 8; 190 Z 18; - 199 Z 8; 204 Z 9; 213 Z 31, $214-228$; 232 Z 13; 236 Z 30; 242 Z - 26, 33; 247 Z 17, 20, 23; 249 Z 1; 250 Z 9; 253 Z 19; 255 Z 33; 258 - Z 28; 286 Z 13; 315 Z 3; 320 Z 6; 331 Z 27; 340 Z 18; 342 Z 26; 346 - Z 29; 352 Z 4; 355 Z 23; 372 Z 8. N 375 Z 9; 376 Z 29; 377 Z 19; - 380 Z 15, 30; 381 Z 12, 29; 382 Z 17, 33; 383 Z 10, 14; 386 Z 12; - 387 Z 15. - - Aristoxenos III 233 Z 18. - - Arkesilaos III 286 Z 4. - - Arnauld A. III 245 Z 12. - - Arrian II 71 Z 26. - - Ast Fr. III 190 Z 20; 347 Z 21. - - Athenodoros III 324 Z 18. - - August E. F. III 240 Z 8. - - Augustinus III 183 Z 3; 354 Z 29. - - Autolykos III 232 Z 8; 300 Z 22; 338 Z 14. - - Auwers Ar. II 103 Z 22. - - Averroës III 222 Z 28. - - - Bachet G. III 359 Z 8; 360 Z 10; 365 Z 28. - - Bacon III 324 Z 4. - - Balsam H. III 291 Z 30. - - Baltzer R. III 171 Z 8; 268 Z 10; 299 Z 8; 351 Z 16; 373 Z 18. - - Baudhāyana III 139 Z 17; 148 Z 1; 149 Z 4; 150 Z 7, 20; 151 Z 5; 153 - Z 14; 154 Z 20; 155 Z 20; 157 Z 18; 159 Z 26; 160 Z 15. - - Barocci Fr. III 243 Z 34. - - Barrow Ph. Soc. J. III 244 Z 16. - - Bartels J. M. C. III 245 Z 4. - - Bauer W. N 381 Z 21; 386 Z 7, 23. - - Bayle P. III 169 Z 33. - - Becker C. K. E XII Z 17. - - Benfey Th. II 73 Z 27. - - Berger Hg. III 285 Z 30. - - Bergh T. III 352 Z 11. - - Berkeley G. III 169 Z 9. - - Bernardy Gtf. III 235 Z 2. - - Bernhardy III 285 Z 29. - - Bernoulli J. E XI Z 23. - - Berossos II 57 Z 6; 71 Z 26; 97 Z 29; 116 Z 20. - - Bertram H. III 274 Z 18. - - Bertrand L. III 245 Z 13. - - Bezold W. V VII Z 26; II 59 Z 13; 65 Z 25; 66 Z 14; 70 Z 3; 77 Z 7; - 112 Z 4; 115 Z 25; 116 Z 25. - - Birch S. I 26 Z 25. - - Björnbo A. A. III 343 Z 23; 345 Z 28. - - Blass Fr. III 185 Z 24; 192 Z 27; 211 Z 34. N 377 Z 11. - - Boeckh A. II 90 Z 13; 91 Z 4; III 128 Z 2; 129 Z 11, 26; 132 Z 20, - 27, 31; 133 Z 11, 22, 34; 134 Z 12, 22; 198 Z 16; 207 Z 27; 351 Z - 1. - - Boëtius III 240 Z 14; 348 Z 7 f; 350 Z 3; 352 Z 27. - - Boll F. III 312 Z 30. - - Bolyai J. III 159 Z 32; 245 Z 3. - - Bolyai W. III 245 Z 2. - - Bolzano B. E X Z 16; III 169 Z 20; 227 Z 15; 246 Z 18; 251 Z 5, 13; - 367 Z 20. - - Bonitz H. III 224 Z 12. - - Bonola R. III 239 Z 15. - - Borchardt L. I 3 Z 4; 4 Z 14; 6 Z 28; 26 Z 19; 27 Z 24, 30; 45 Z 9; - 46 Z 10, 34; 49 Z 12; 50 Z 16; 51 Z 11, 30; 53 Z 17; II 61 Z 23, - 26; 75 Z 12; 105 Z 1; 111 Z 22; 112 Z 34. - - Borelli J. III 244 Z 29; 291 Z 16. - - Botta E. II 74 Z 29; 75 Z 2; 99 Z 5. - - Brandis J. II 91 Z 3; 93 Z 28; III 132 Z 16. - - Bretschneider C. A. III 136 Z 30; 153 Z 9; 171 Z 26; 192 Z 13; 197 Z - 7; 209 Z 12. - - Brugsch H. K, I 48 Z 15. - - Brunet de Presle III 204 Z 20. - - Bruno G. III 343 Z 8. - - Bryson III 175 Z 25. - - Budge E. A. W. II 75 Z 10. - - Bühler G. III 154 Z 16; 164 Z 34; 165 Z 5. - - Bunte Brh. III 259 Z 11; 261 Z 17. - - Bürk A. III 138 Z 14, 19, 22; 140 Z 2; 144 Z 28; 146 Z 7; 150 Z 34; - 153 Z 33; 154 Z 20. - - Burnell A. C. III 163 Z 24. - - - Campano G. III 240 Z 20; 244 Z 9; 256 Z 1. - - Cantor G. III 169 Z 22, 26; 226 Z7; 227 Z 17. - - Cantor M. E XII Z 33; I S. 26 Z 29; 27 Z 18; 33 Z 15; 36 Z 26, 28; 37 - Z 32; 40 Z 12; 45 Z 33; 46 Z 7; 47 Z 20, 27; 48 Z 14; 49 Z 7; 50 Z - 7; 51 Z 8; II 101 Z 20, 24, 33; 113 Z 2; III 123 Z 11; 137 Z 25, - 32; 138 Z 25, 28; 139 Z 24; 140 Z 3 f; 144 Z 31; 145 Z 3; 151 Z 11; - 185 Z 30; 212 Z 4; 237 Z 19; 238 Z 24; 241 Z 5; 243 Z 11; 300 Z 19, - 22; 301 Z 21; 308 Z 20; 314 Z 20; 316 Z 13, 17; 318 Z 2, 14; 337 Z - 21; 338 Z 24; 339 Z 27; 343 Z 14; 348 Z 24; 349 Z 2; 361 Z 4, 11; - 366 Z 27; 368 Z 1; 373 Z 7. - - Cardano H. III 171 Z 14. - - Cassirer E. V Z 31; E X Z 31. - - Castillon E. III 296 Z 31. - - Cavalieri B. III 181 Z 26; 213 Z 6; 264 Z 21, 28, 34; 333 Z 11. - - Censorinus II 116 Z 17. - - Champollion J. F. I 18 Z 5, 6, 14; 19 Z 15, 22; 20 Z 1, 10; 21 Z 14. - - Chapelle W. III 342 Z 19. - - Chasles M. III 234 Z 16; 235 Z 7; 344 Z 15. - - Christoffel Br. E XII Z 4. - - Chrysippos III 340 Z 23; 341 Z 1; 342 Z 5. - - Cicero III 199 Z 10; 207 Z 31; 258 Z 34; 259 Z 10; 263 Z 20; 270 Anm. - 1; 340 Z 32; 341 Z 6, 13. - - Clairaut A. C. III 245 Z 12, 19. - - Clausen Th. III 174 Z 18. - - Clavius Ch. III 171 Z 15; 241 Z 2; 244 Z 13, 27; 245 Z 5, 11; 255 Z - 34; 256 Z 2. - - Clemens Alexandrinus I 18 Z 16. - - Cohen H. III 182 Z 24; 184 Z 13; 188 Z 14; 221 Z 1; 227 Z 28; 228 Z - 1. N 375 Z 22. - - Commandino F. III 241 Z 1; 244 Z 13, 20; 266 Z 6; 291 Z 7; 367 Z 32. - - Copernicus N. III 205 Z 31. - - Cros G. II 61 Z 34; 64 Z 28; 118 Z 10. - - Curtius T. III 278 Z 16. - - Curtze M. III 318 Z 14, 30; 333 Z 27. - - Cusanus N. III 226 Z 10. - - - Darwin G. III 215 Z 18. N 383 Z 3. - - Dasypodius K. III 245 Z 32. - - Dee J. III 233 Z 21. - - Degering H. III 324 Z 9. - - Delambre J. B. J. III 266 Z 11; 280 Z 32; 282 Z 26; 312 Z 33. - - Delitzsch Fr. II 57 Z 19; 64 Z 11; 77 Z 9 f; 78 Z 9; 80 Z 20. - - Demokrit I 26 Z 12; III 127 Z 26; 168 Z 34; 176 Z 2; 178 Z 4; [88 ,?] - $179-183$; 185 Z 31; 199 Z 5; 203 Z 22; 212 Z 28; 226 Z 13; 236 Z - 31; 263 Z 25; 270 Z 32; 241 Z 33; 276 Z 34; 324 Z 6; 333 Z 12. N - 376 Z 30; 380 Z 31; 387 Z 20, 33. - - Desargues G. III 291 Z 33. - - Descartes R. III 169 Z 34; 182 Z 14; 373 Z 23, 28. - - Diels H. E X Z 16; III 128 Z 29; 166 Z 9; 171 Z 32; 176 Z 9, 16; 181 - Z 29; 220 Z 30; 314 Z 14. N 381 Z 30, 34; 382 Z 13. - - Diesterweg A. III 296 Z 13. - - Dikaiarchos III 286 Z 31. - - Dinostratos III 138 Z 27; $210-211$; 212 Z 28, 34; 213 Z 14; 263 Z 9. - - Diodor I 17 Z 2; II 71 Z 26; III 259 Z 18. - - Diokles III 306 Z 1, 20; 307 Z 15; 308 Z 6. - - Dionysios von Halikarnassos III 129 Z 11. - - Dionysodoros III 315 Z 28. - - Diophant III 336 Z 20; $358-366$; 371 Z 27. - - Dirichlet P. G. E XI Z 37; III 362 Z 22. - - Dörpfeld W. III 122 Z 11. - - Drachmann III 267 Z 34. - - Dümichen J. I 24 Z 21; 47 Z 22. - - Dupuis J. III 187 Z 19; 353 Z 1. - - - Echelles Abraham v. III 291 Z 16. - - Eisenlohr A. I 26 Z 26; 27 Z 18; 37 Z 31; 39 Z 19, 25; 44 Z 2; 45 Z - 32; 49 Z 7; 50 Z 5, 7; 51 Z 1, 22. - - Eisenlohr Fr. I 26 Z 29. - - Empedokles III 125 Z 25; 177 Z 33. N 386 Z 2; 387 Z 34. - - Engel E. III 250 Z 16. - - Enriques F. III 174 Z 24. - - Epicur III 179 Z 4; 339 Z 33; 341 Z 18. - - Epiktet III 342 Z 1. - - Epping Js. II 101 Z 3; 105 Z 12; 109 Z 20; 110 Z 29. - - Eratosthenes III 174 Z 31; 193 Z 19; 194 Z 16; 197 Z 11; 199 Z 3, - 15, 25; 208 Z 6; 210 Z 15; 230 Z 7; 231 Z 11; 260 Z 22; 284 Z 30; - $285-289$; 301 Z 23; 304 Z 29; 311 Z 15; 313 Z 29, 32, 34; 329 Z - 19; 340 Z 29; 350 Z 13. - - Erman Ad. V Z 29; E XVII Z 24 I 10 Z 4, 6; 22 Z 5; 38 Z 11. - - Eudemos E IX Z 20; III 122 Z 28; 123 Z 6, 15; 124 Z 10, 18; 128 Z 7; - 135 Z 16, 21, 31; 171 Z 24; 175 Z 7; 208 Z 10; 219 Z 6 u. 7; 228 Z - 33; 229 Z 1, 6; 248 Z 18. - - Eudoxos E IX Z 22; I 26 Z 9; III 125 Z 27; 181 Z 20; 185 Z 27, 31; - 186 Z 16; 191 Z 17; 192 Z 15; 197 Z 28, 33; $199-210$; 229 Z 30; - 236 Z 21, 26; 238 Z 21; 241 Z 33; 255 Z 28, 34; 256 Z 17; 263 Z 24; - 270 Z 11, 27; 276 Z 34; 300 Z 12; 311 Z 33; 312 Z 3. - - Eucken R. III 220 Z 26. - - Euklid E X 9; I 26 Z 7; 46 Z 6; III 123 Z 6; 136 Z 1, 29; 137 Z 8; - 141 Z 1; 173 Z 16, 17; 175 Z 6; 185 Z 4; 192 Z 13; 202 Z 10 u. 12; - 203 Z 21; 213 Z 20, 29; $229-258$; 260 Z 15; 268 Z 27; 290 Z 19; - 291 Z 7; 292 Z 4, 7; 293 Z 17; 294 Z 1, 8; 299 Z 19; 300 Z 6, 27; - 301 Z 26; 308 Z 21; 309 Z 33; 310 Z 5; 313 Z 26; 314 Z 6; 315 Z 4; - 316 Z 18; 335 Z 33; 337 Z 15, 26; 338 Z 15; 339 Z 16; 344 Z 16, 30; - 346 Z 13; 348 Z 29; 350 Z 13; 352 Z 24; 359 Z 30; 367 Z 12, 23; 369 - Z 3. - - Euler L. E XIV Z 24; III 362 Z 22; 365 Z 32; 370 Z 27. - - Eurytos III 131 Z 3. - - Eusebios I 17 Z 1; II 57 Z 11; 97 Z 29. - - Eutokios III 123 Z 33; 135 Z 22; 193 Z 19; 194 Z 28; 199 Z 24; 201 Z - 12; 208 Z 10, 13; 209 Z 8, 14; 229 Z 2; 258 Z 20; 266 Z 2, 13, 29; - 282 Z 11, 29; 288 Z 19, 27; 289 Z 11; 290 Z 31, 34; 291 Z 9, 27; - 297 Z 25; 298 Z 17; 301 Z 30; 302 Z 5; 303 Z 24; 304 Z 29, 32; 306 - Z 1, 14; 308 Z 14; 315 Z 29; 316 Z 24; 324 Z 13; 325 Z 3, 10; 367 Z - 13; 372 Z 5. - - Evans III 121 Z 27. - - - Fermat P. E XIV Z 24; III 258 Z 17; 294 Z 23; 359 Z 13, 22; 362 Z 12, - 25, 33; 365 Z 7, 29; 366 Z 3. - - Fermat S. III 359 Z 11. - - Flandin E. II 75 Z 3. - - Flauti V. III 200 Z 7. - - Flinders Petrie I Z 15; 40 Z 2; 52 Z 2, 4, 7. - - Formaleoni V. A. II 101 Z 24. - - Foster S. III 267 Z 29. - - Frege G. III 226 Z 23. - - Fresnel A. J. III 326 Z 17. - - Friedlein G. III 123 Z 1; 190 Z 28; 202 Z 11; 208 Z 9; 212 Z 1; 213 Z - 25; 229 Z 5, 26; 243 Z 31; 261 Z 23; 281 Z 2; 298 Z 13; 301 Z 25; - 307 Z 34; 309 Z 29; 314 Z 4; 319 Z 34; 339 Z 12; 346 Z 5; 348 Z 16; - 367 Z 17. - - - Galilei III 169 Z 22; 182 Z 7; 205 Z 11; 226 Z 11; 227 Z 18; 258 Z - 17; 264 Z 19, 29; 291 Z 19; 294 Z 23; 373 Z 12. N 387 Z 15. - - Gartz III 312 Z 24. - - Gauss E X Z 16; XIV Z 24; III 226 Z 30; 244 Z 34; 245 Z 1; 258 Z 17; - 344 Z 27; 359 Z 18; 370 Z 27. - - Geber, (Dschâbir) III 345 Z 18. - - Gebhart M. E X Z 27. - - Geminos III 122 Z 26; 135 Z 21; 174 Z 30; 205 Z 9; 209 Z 9; 229 Z - 7, 20; 242 Z 28; 249 Z 23; 250 Z 8; 290 Z 31; 308 Z 10; 337 Z 21; - $388-339$; 343 Z 11. - - Gerling Ch. L. III 170 Z 1. - - Gherardus von Cremona III 338 Z 1; 344 Z 24. - - Ghetaldi Marino III 297 Z 24. - - Ginzel F. K. II 91 Z 3; 102 Z 28. - - Golius Jb. III 291 Z 13; 331 Z 24. - - Gorgias III 178 Z 23. - - Görland A. III 214 Z 17. - - Grassmann H. G. III 251 Z 6, 13. - - Grechauff Th. III 265 Z 9. - - Gregorius a. St. Vincentio III 171 Z 15. - - Griffith J. I 27 Z 15; 32 Z 25; 40 Z 21; 41 Z 1; 44 Z 8. - - Grotefend G. F. II 72 Z 15, 24; 73 Z 2f; 74 Z 2. - - Grotius H. III 233 Z 17. - - Grynäus Simon III 240 Z 29; 243 Z 25. - - Günther S. III 281 Z 4. - - - Haggag III 244 Z 6; 344 Z 30. - - Halévy J. II 58 Z 26. - - Halley Edm. III 291 Z 3 u. 25; 295 Z 2, 33; 296 Z 12. - - Halma N. B. III 309 Z 9. - - Hankel H. III 137 Z 22; 140 Z 6; 151 Z 26; 153 Z 11; 175 Z 19; 212 Z - 1. - - Harper R. II 70 Z 15. - - Hart G. III 183 Z 11. - - Hartleben H. I 18 Z 9; 19 Z 5. - - Haynes J. H. II 75 Z 17. - - Heath T. L. III 360 Z 23. - - Heeren A. II 73 Z 24. - - Hegel G. W. F. III 169 Z 6; 177 Z 13. - - Heiberg J. L. E X Z 7 III 181 Z 17; 214 Z 14; 220 Z 31; 232 Z 20, 26; - 233 Z 7; 236 Z 1; 237 Z 4, 29; 238 Z 3; 240 Z 9; 241 Z 29; 242 Z 6; - 243 Z 15, 32; 253 Z 18; 259 Z 11; 260 Z 27; 262 Z 3; 264 Z 1; 265 - Z 10, 24, 33; 266 Z 1, 16, 23; 267 Z 3, 22; 268 Z 1; 270 Z 9, 11; - 274 Z 8; 278 Z 16; 284 Z 13, 34; 285 Z 19; 288 Z 20; 289 Z 12; 290 - Z 31; 291 Z 27; 297 Z 27; 298 Z 17; 303 Z 24; 306 Z 15. - - Helmholtz H. II 92 Z 33. - - Henrici J. III 245 Z 34. - - Heraklit III 125 Z 25, 27; 133 Z 8; $176-177$; 178 Z 13; 179 Z 31; - 180 Z 17; 183 Z 20; 258 Z 20; 341 Z 33; 342 Z 2, 28, 31. N 385 Z - 34; 387 Z 30. - - Herlin Ch. III 265 Z 13. - - Hermann G. E X Z 5. - - Hermotimos III 229 Z 27. - - Herodot E XVI Z 10; I 15 Z 13; 17 Z 1; 22 Z 13; 28 Z 28; II 71 Z 25; - III 122 Z 30; 124 Z 9, 17; 125 Z 26; 126 Z 5, 16; 329 Z 22. N 384 Z - 4. - - Heron E X Z 9; XIV Z 33; XV Z 12; I 26 Z 8; 43 Z 24; 47 Z 2; III 138 - Z 1, 32; 139 Z 2; 171 Z 14; 242 Z 1, 5, 28; 250 Z 9; 263 Z 34; 264 - Z 4; 274 Z 13; 313 Z 22; $314-337$; 343 Z 26; 351 Z 19; 352 Z 24; - 360 Z 28; 366 Z 7; 369 Z 10. - - Hesiod N 377 Z 8, 11; 379 Z 8; 384 Z 15. - - Heuzey L. 59 Z 10; 62 Z 7; 64 Z 1, 4; 74 Z 33. - - Hieronymos v. Rhodos III 123 Z 24. - - Hiketas III 134 Z 18; 218 Z 13. - - Hilbert D. E XIV Z 28; III 241 Z 26; 247 Z 7. - - Hiller E. III 288 Z 15; 289 Z 4, 10. - - Hilprecht H. V. II 58 Z 20; 59 Z 13; 60 Z 28; 62 Z 12; 65 Z 27; 73 Z - 20; 75 Z 17; 82 Z 8; 90 Z 1; 110 Z 8; 113 Z 23 f; 114 Z 6, 24; 115 - Z 8, 24; 116 Z 17, 24; 117 Z 1 f. - - Hinke W. M. J. II 109 Z 4. - - Hinks E. II 73 Z 27; 75 Z 23; 102 Z 9, 18, 25; 105 Z 31 f. - - Hipparch v. Rhodos II 110 Z 21; 205 Z 30; 286 Z 24; $311-314$; 315 Z - 27; 328 Z 6, 17; 337 Z 23; 338 Z 22; 343 Z 15; 345 Z 6, 16. - - Hippias III 178 Z 23; 197 Z 17; 198 Z 28; 211 Z 27, 34. - - Hippokrates aus Chios III 137 Z 10; $170-175$; 192 Z 6; 194 Z 3; 237 - Z 26. - - Hippokrates aus Kos III 170 Z 21. - - Hoche R. III 347 Z 26; 349 Z 4. - - Hommel E. II 116 Z 15. - - Hoppe E. III 314 Z 22, 28; 329 Z 17; 332 Z 5. - - Horapollo I 17 Z 2. - - Horn W. III 204 Z 19. - - Hultsch Fr. E X Z 7; I 32 Z 9; 33 Z 6; II 116 Z 6, 17; 212 Z 15; 281 - Z 3; 290 Z 11, 22; 296 Z 30; 298 Z 26; 299 Z 8; 301 Z 34; 308 Z 19, - 28; 309 Z 12; 313 Z 25; 316 Z 13, 25; 317 Z 17, 19; 328 Z 8; 330 Z - 32; 333 Z 15, 23; 334 Z 10; 366 Z 27; 367 Z 7, 34; 368 Z 2; 373 Z - 18. - - Hume D. III 183 Z 27. - - Huygens Ch. II 92 Z 34. - - Hypatia III 232 Z 29; 371 Z 33. - - Hypsikles III 235 Z 33; 300 Z 9, 18; 351 Z 14. - - - Ideler Ch. L. III 204 Z 13. - - Jon von Chios III 125 Z 26. - - Ishaq ibn Hunein III 244 Z 7; 267 Z 29. - - Isidorus von Sevilla III 348 Z 24. - - Isidoros von Milet III 372 Z 3. - - Isokrates III 125 Z 27. - - Jamblichos III 126 Z 4; 243 Z 22; 352 Z 14; $353-354$; 357 Z 8. - - Jensen P. II 57 Z 25; 111 Z 7. - - Jordan C. E XII Z 17. - - Josephus II 57 Z 11. - - - Kaegi A. III 142 Z 34. - - Kaibel G. III 219 Z 25. - - Kallimachos III 199 Z 2; 286 Z 1, 7. - - Kambly L. III 245 Z 34. - - Kampe F. III 220 Z 25. - - Kant E X Z 14; III 168 Z 11; 178 Z 16; 183 Z 25, 26; 184 Z 3; 187 Z - 4; 188 Z 11; 189 Z 20; 190 Z 15; 214 Z 5; 215 Z 13; 227 Z 27; 247 Z - 19. N 380 Z 5. - - Kästner A. G. III 240 Z 23; 241 Z 5; 245 Z 33. - - Katyayana III 139 Z 18; 150 Z 7; 157 Z 5. - - Kepler J. III 204 Z 29; 205 Z 31; 312 Z 15; 345 Z 1. - - Kerber A. III 318 Z 29. - - Kerry B. III 169 Z 20. - - Kewitsch G. II 104 Z 4 f. - - Kiessling Ad. III 184 Z 34; 219 Z 25. - - King L. W. E IX Z 19; II 65 Z 31; 75 Z 10. - - Kinkel W. III 132 Z 24; 176 Z 14; 183 Z 10. - - Kircher A. I 16 Z 2, 25. - - Kleonides III 233 Z 17. - - Knauff F. III 332 Z 18. - - Knoche J. H. III 202 Z 15. - - Köchly H. III 324 Z 12; 325 Z 7, 11. - - Köhler J. II 70 Z 17. - - Koldwey R. II 75 Z 12. - - Konon III 260 Z 17, 20; 263 Z 12, 14; 269 Z 12; 273 Z 34; 277 Z 9. - - Kopernikus III 134 Z 19; 218 Z 14; 345 Z 1. N 379 Z 27. - - Kosak R. III 246 Z 15. - - Krates III 340 Z 6. - - Ktesibios III 315 Z 2, 21; 319 Z 23, 30; 320 Z 10; 324 Z 10. - - Küchler F. II 88 Z 9. - - Kugler Fz. X. II 110 Z 15, 28; 111 Z 15, 25. - - Kummer E. E X Z 16; E XIV Z 22; III 362 Z 22. - - Künssberg H. III 197 Z 32; 204 Z 26; 206 Z 27. - - - Laertius Diogenes III 123 Z 23, 27; 124 Z 13; 176 Z 12; 184 Z 33; 191 - Z 32; 197 Z 11; 199 Z 1, 13; 340 Z 32. - - Lagrange J. L. III 203 Z 28. - - Lambert J. H. III 244 Z 33; 245 Z 17. - - Lange F. A. III 183 Z 23. - - Lassalle F. III 176 Z 13. - - Layard H. II 74 Z 18; 81 Z 7. - - Legendre A. M. III 138 Z 32; 245 Z 13, 22. - - Lehmann C. F. II 61 Z 27; 65 Z 24, 29; 91 Z 3, 7; 92 Z 33; 94 Z 20; - 95 Z 21; 102 Z 28; 103 Z 4, 30; 106 Z 7; 107 Z 1. - - Leibniz G. W. E IX Z 25; E XI Z 23; III 131 Z 16; 169 Z 20, 34; 189 Z - 16; 203 Z 27; 224 Z 26; 228 Z 4; 246 Z 19, 25; 251 Z 6; 264 Z 29; - 294 Z 23. - - Leon III 237 Z 26. - - Leonardo da Vinci III 337 Z 17. - - Lepsius R. I 21 Z 27; 45 Z 34; 47 Z 28; II 105 Z 33. - - Lessing G. E. III 284 Z 31. N 380 Z 15. - - Letronne J. A. II 102 Z 4; III 204 Z 22. - - Leukipp III 178 Z 3, 13; 179 Z 3, 5; 180 Z 4, 11; 181 Z 5; 182 Z 20. - - Leumann E. V Z 19; III 138 Z 14, 16; 144 Z 28; 146 Z 5, 7; 151 Z 30. - - Listing J. B. E XII Z 20. - - Livius III 259 Z 15. - - Lobatscheffsky N. III 245 Z 4. - - Loftus w. K. II 93 Z 33. - - Longchamps G. de III 303 Z 20. - - Longin III 355 Z 11. - - Loria Gino. III 241 Z 22; 338 Z 25, 27; 349 Z 2. - - Löwe J. H. III 170 Z 7. - - Lühmann F. v. III 296 Z 15. - - Luka Kosta ben III 331 Z 20. - - Lukianos III 135 Z 2. - - Lyko III 125 Z 27. - - - Mahler G. II 102 Z 28 f. - - Mai A. III 278 Z 19. - - Maitrayana III 139 Z 18. - - Makrobios III 287 Z 22. - - Mamercos III 125 Z 11. - - Manava III 139 Z 18. - - Manutius III 312 Z 1. - - Marinos v. Neapolis III 231 Z 16; 367 Z 13. - - Mark Aurel III 342 Z 1. - - Martin H. III 326 Z 9. - - Maurolycus III 338 Z 4. - - Mayring V. III 333 Z 22. - - Medon III 228 Z 18. - - Mehler F. G. III 245 Z 34. - - Melanchthon Ph. III 245 Z 31. - - Memus J. B. III 291 Z 5. - - Menaichmos III 198 Z 26; 202 Z 1; $208 Z 3 f$; $209 Z 19 f$; 213 Z - 14; 214 Z 12; 292 Z 11. - - Menelaos III 343 Z 17, 28; 344 Z 4, 12; 346 Z 15. - - Meier R. III 316 Z 14. - - Meyer E. E XVII Z 21; I 3 Z 8, 17; 4 Z 15; II 58 Z 18, 30, 34; 59 Z - 28; 60 Z 4, 34; 62 Z 6; 85 Z 2, 7; 86 Z 3; 87 Z 19. - - Meyer W. II 73 Z 18. - - Möbius A. E XII Z 21. - - La Montre? III 246 Z 29. - - Montucla J. E. E IX Z 11, 28; E XIII Z 6; III 193 Z 17; 241 Z 4; 303 - Z 28; 304 Z 6; 307 Z 17. - - Morbeca Wilhelmus de III 278 Z 11; 326 Z 2. - - Morgan G. de II 70 Z 6; 75 Z 7. - - Müller H. III 245 Z 26. - - Müller M. II 42 Z 25; III 226 Z 17. - - - Nasir ed Din III 244 Z 9. - - Natorp P. III 176 Z 15; 183 Z 10, 13; 188 Z 14. - - Naukrates III 292 Z 27. - - Nesselmann G. F. H. III 280 Z 34; 284 Z 14; 285 Z 12; 298 Z 26; 347 Z - 30; 348 Z 2; 349 Z 1; 350 Z 2; 352 Z 15, 21; 354 Z 4, 17; 358 Z 9; - 360 Z 21. - - Newberry Percy E. I 7 Z 6. - - Newton III 203 Z 27; 205 Z 11; 213 Z 9; 244 Z 16; 246 Z 22; 249 Z 10; - 258 Z 17; 262 Z 19; 294 Z 19, 23; 296 Z 21; 297 Z 19; 304 Z 17; 307 - Z 17; 342 Z 16; 373 Z 28. - - Niebuhr K. I 17 Z 9; II 72 Z 19. - - Nietzsche F. III 176 Z 19. - - Nikomachos v. Gerasa III 131 Z 10; 199 Z 3; 219 Z 4; 243 Z 9; 289 Z - 30; 300 Z 27; 344 Z 20; 346 Z 16; $347-352$; 353 Z 29; 366 Z 7. - - Nikomedes III 301-305. - - Nipsus III 123 Z 10. - - Nix L. III 291 Z 23; 316 Z 6; 317 Z 11; 331 Z 18. - - Nizze E. III 265 Z 25; 266 Z 12; 277 Z 8; 280 Z 5; 284 Z 13; 337 Z - 32; 338 Z 19. - - Nokk A. III 232 Z 19; 309 Z 25; 310 Z 16; 337 Z 31; 338 Z 10, 19. - - Norris Ed. II 73 Z 30. - - Northampton Marquis of I 7 Z 5. - - - Ofterdinger L. F. III 203 Z 17. - - Oinopides I 26 Z 9; III 170 Z 18. - - Oldenberg H. III 150 Z 31. - - Olivieri A. III 312 Z 32. - - Onken L. III 215 Z 17. - - Oppert J. II 73 Z 27, 30; 75 Z 22; 92 Z 25; 95 Z 33; 98 Z 17; 99 Z - 34; 100 Z 17; 112 Z 10. - - Origines III 355 Z 11. - - Ottajano G. da III 370 Z 33. - - Ottmân Abu III 299 Z 21. - - - Panaitios III 341 Z 5, 10; 342 Z 6. - - Pamphila III 123 Z 27, 34. - - Papperitz E. III 339 Z 1. - - Pappos E X Z 9; III 171 Z 14; 192 Z 1; 212 Z 11; 213 Z 1; 230 Z 27; - 231 Z 1, 14; 232 Z 18; 234 Z 2, 10, 15, 21; 235 Z 13; 243 Z 12; 252 - Z 6; 260 Z 19; 261 Z 28; 263 Z 14; 267 Z 32; 268 Z 7, 19; 243 Z 12; - 252 Z 6; 288 Z 22; 289 Z 20; 290 Z 12; 291 Z 2, 9; 292 Z 8; 294 Z - 11; 295 Z 34; 296 Z 3, 30; 297 Z 20, 26; 298 Z 24; 299 Z 15; 301 Z - 30; 302 Z 1; 303 Z 27; 308 Z 7, 15; 309 Z 10; 317 Z 25; 325 Z 3, 8; - 331 Z 8; 358 Z 9; $366-371$. - - Pardies J. G. III 171 Z 17. - - Parmenides III $165 Z 30 ff$; $166 Z 11 f$; 176 Z 9; 180 Z 6, 32. N. - 387 Z 29. - - Pascal Bl. III 291 Z 34. - - Peiser F. E. II 70 Z 18. - - Pena J. III 337 Z 33. - - Peters J. P. II 75 Z 17. - - Petersen J. III 232 Z 3. - - Peyrard F. III 240 Z 3; 253 Z 6; 266 Z 10; 280 Z 39. - - Pheidias III 258 Z 27. - - Pherekydes N. 384 Z 14. - - Philippos III 229 Z 28. - - Philolaos III 127 Z 25; 128 Z 9, 22; 129 Z 6; 130 Z 12, 21; 131 Z 13, - 23, 30; 132 Z 21, 30; 133 Z 4, 10; 134 Z 17, 22; 135 Z 15; 141 Z 9, - 12, 15; 205 Z 16; 348 Z 30; 350 Z 13; 351 Z 1. N. 385 Z 29; 386 Z - 3, 6. - - Philon v. Alexandria III 177 Z 18; 343 Z 3; $355 Z 14 f$; 356 Z 19. - - Philon von Byzanz III 315 Z 20, 32; 321 Z 31; 322 Z 1; 324 Z 26; 325 - Z 1. - - Philopömos J. III 194 Z 17. - - Pinches T. G. II 59 Z 5. - - Pisano L. I 40 Z 2. - - Pistelli L. III 354 Z 16. - - Place V. II 74 Z 29; 75 Z 3. - - Planudes M. III 358 Z 12, 29. - - Platon I 26 Z 11; II 116 Z 4, 18; III 124 Z 2, 17; 125 Z 26, 28; 127 - Z 22; 128 Z 5; 131 Z 14; 132 Z 10; 133 Z 5; 134 Z 13; 136 Z 32; 141 - Z 10, 14; 175 Z 34; 176 Z 9; 178 Z 16; 179 Z 17, 21, 24; 182 Z 12, - 26; 183 Z 2, 7, 15 f; 184 Z 4 ff; 185 Z 14 f; $186-192$; 194 Z 33; - 195 Z 3; 197 Z 25, 29; 199 Z 20; 201 Z 13, 31; 202 Z 1; 205 Z 19, - 32; 207 Z 30; 208 Z 4; 210 Z 18; 212 Z 9; 214 Z 2, 17, 21; 215 Z - 34; 216 Z 21; 224 Z 15; 231 Z 31; 236 Z 21; 237 Z 2; 242 Z 26; 243 - Z 7; 258 Z 10; 290 Z 3; 315 Z 3; 326 Z 20; 338 Z 33; 340 Z 18; 346 - Z 25; 347 Z 7; 352 Z 4, 32; 355 Z 23; 356 Z 13. N. 376 Z 29; 379 Z - 16; 380 Z 15, 30; 387 Z 9, 20. - - Platon v. Tivoli III 338 Z 1. - - Plotin III 183 Z 2; $354-357$. - - Plutarch I 17 Z 2; 22 Z 3; III 123 Z 20; 176 Z 10; 181 Z 29; 182 Z 1; - 194 Z 16; 199 Z 22; 201 Z 34; 203 Z 33; 258 Z 29; 260 Z 8; 261 Z 8; - 340 Z 31. - - Porphyrios III 126 Z 3; 243 Z 22; 354 Z 23; 356 Z 11; 357 Z 37, 26. - - Poseidonios III 134 Z 16, 314 Z 32; 329 Z 20; 339 Z 15 f; 341 Z 5, - 14, 17; 342 Z 6, 8; 345 Z 33; 346 Z 7. - - Proklos E XIII Z 25; E XIV Z 34; I 25 Z 30; III 122 Z 26, 34; 123 Z 6 - f; 125 Z 11; 128 Z 8; 135 Z 31; 137 Z 16; 170 Z 10, 22; 174 Z 30, - 33; 175 Z 3, 33; 190 Z 28; 191 Z 23; 197 Z 22; 202 Z 11, 15; 208 Z - 8; 210 Z 2; 212 Z 5, 8; 213 Z 22, 24; 229 Z 2, 5, 21; 231 Z 14; 233 - Z 8, 23; 234 Z 2; 235 Z 22; 236 Z 5; 237 Z 27; 238 Z 33; 242 Z 3, - 28; 243 Z 23, 33; 244 Z 12, 27; 248 Z 18, 31; 249 Z 5, 24; 250 Z - 19, 30; 251 Z 19; 252 Z 6, 12; 253 Z 23; 261 Z 20; 262 Z 3, 13; 268 - Z 19; 389 Z 6, 11; 298 Z 13; 301 Z 25; 307 Z 33; 308 Z 6; 309 Z 29; - 310 Z 4, 11; 314 Z 4; 319 Z 34; 338 Z 33; 339 Z 12, 15, 27; 341 Z - 17; 343 Z 24; 346 Z 1, 5; 354 Z 19; 356 Z 26; 357 Z 27; 366 Z 16; - 367 Z 13, 22; 371 Z 34. N. 381 Z 13. - - Protagoras III 178 Z 12 f. - - Ptolemäus E X Z 9; II 116 Z 19; III 205 Z 29; 207 Z 11; 299 Z 33; 311 - Z 28, 30; 312 Z 30; 326 Z 8; 329 Z 20; 338 Z 15; 342 Z 13; 343 Z - 18; 344 Z 7, 17, 22; 345 Z 3, 21; 346 Z 1,7; 366 Z 33; 367 Z 8. - - Pythagoras I 26 Z 3; III 125 Z 13, 23, 33; 126 Z 1, 6 f; 127 Z 2, 25; - 137 Z 12 f; 138 Z 7; $145 Z 1$; $153 Z 7$; 315 Z 4; 352 Z 14; 353 Z - 29. N. 379 Z 27; 384 Z 8; 385 Z 20. - - - Ramus Petrus III 213 Z 21; 239 Z 22; 245 Z 5; 359 Z 3. - - Ranke H. II 58 Z 19; 65 Z 33. - - Rassam H. II 74 Z 18, 21; 81 Z 7, 28. - - Rawlinson H. II 74 Z 13; 75 Z 22; 76 Z 27; 117 Z 26. - - Regiomontan III 264 Z 24; 265 Z 12; 359 Z 2. - - Reinhold E. III 132 Z 18. - - Revillout E. I 27 Z 21; 28 Z 14; 29 Z 4; 46 Z 8, 33; 48 Z 33; 50 Z - 16; 51 Z 11; 52 Z 15. - - Rhode E. N 383 Z 24; 384 Z 11; 385 Z 21. - - Riccardi p. III 239 Z 14. - - Riche J. II 74 Z 3. - - Rieder gleich Reder J. M. III 244 Z 25. - - Riemann B. III 166 Z 32. - - Ritter H. III 132 Z 17, 27; 133 Z 7; 134 Z 22. - - Rivaltus III 265 Z 27. - - Robertson Abr. III 265 Z 24. - - Roberval G. P. de III 263 Z 20; 305 Z 32. - - Rodet J. I 36 Z 25, 28; 40 Z 1. - - Rose Val. III 326 Z 9. - - Rouché E III 171 Z 9. - - Rudio F. E XI Z 11; III 171 Z 34; 172 Z 15, 29; 368 Z 8, 11. - - Rüstow (Major) W. III 324 Z 12. - - - Saccheri Gir. III 238 Z 31; 244 Z 30, 33. - - Sarzec E. de II 59 Z 9; 61 Z 5, 9, 32; 74 Z 26, 33. - - Saulcy F. C. de II 75 Z 23. - - Savile H. III 239 Z 20; 244 Z 14. - - Sayce A. H. II 59 Z 5; 111 Z 28. - - Schack-Schackenburg I 38 Z 12; 41 Z 3; 42 Z 11. - - Schaubach J. K. III 204 Z 11; 207 Z 27; 312 Z 24. - - Scheil V. II 70 Z 11; 75 Z 8. - - Schellbach K. H. III 274 Z 19. - - Schiaparelli G. V. III 204 Z 16, 26, 31; 205 Z 12; 207 Z 5. N. 379 Z - 26. - - Schliemann H. III 121 Z 19; 122 Z 1, 9. - - Schmidt W. III 308 Z 23; 309 Z 2; 314 Z 16; 315 Z 20; 317 Z 5 f; 319 - Z 26; 320 Z 29; 321 Z 23; 326 Z 1, 9; 328 Z 33; 329 Z 23; 331 Z 17; - 332 Z 19. - - Schöne H. E XV Z 3; I 47 Z 2; III 264 Z 3; 274 Z 12; 314 Z 24; 315 Z - 28; 317 Z 14; 328 Z 2, 33; 337 Z 7. - - Schöne R. III 314 Z 25; 334 Z 5. - - Schopenhauer A. III 221 Z 17; 246 Z 8; 251 Z 3, 9; 357 Z 12. N 379 Z - 16; 387 Z 25. - - Schotten H. III 248 Z 11. - - Schrader E. II 57 Z 23. - - Schramm E. III 324 Z 13. - - Schröder L. v. III 138 Z 7, 17; 141 Z 7; 143 Z 29; 146 Z 6. - - Schuchhardt C. III 122 Z 8. - - Schwarz H. A. III 309 Z 22. - - Seleukos III 311 Z 21, 24. - - Seneca III 342 Z 1. - - Siculus E. III 326 Z 8. - - Sigwart C. W. III 213 Z 34. - - Simon M. III 174 Z 21; 232 Z 24; 270 Anm. 1; 273 Z 31; 294 Z 20; 295 - Z 24; 296 Z 33. - - Simplicius III 122 Z 29; 167 Z 19; 171 Z 21; 172 Z 1 f; 175 Z 5, 7; - 204 Z 10; 218 Z 6, 11; 220 Z 30; 229 Z 2; 309 Z 2; 372 Z 7. N 381 Z - 34. - - Simson R. III 234 Z 18; 244 Z 19; 296 Z 3. - - Smiths G. II 105 Z 30. - - Smiths P. I 24 Z 11. - - Socrates III 124 Z 6; 127 Z 26; 178 Z 6; 184 Z 17, 21; 188 Z 16; 191 - Z 7. N 376 Z 23. - - Sotios III 199 Z 2. - - Spengel L. III 171 Z 27. - - Speusippos III 127 Z 32. - - Spiegel F. (v.) II 73 Z 28. - - Spiegelberg W. V Z 17; I 3 Z 9; 4 Z 8; 7 Z 6; 22 Z 30; 29 Z 4. - - Spinoza III 223 Z 11; 341 Z 1. N 375 Z 21. - - Sporos III 194 Z 28. - - Stäckel P. III 250 Z 17. - - Stein J. P. W. III 248 Z 15. - - Steiner J. III 309 Z 20; 368 Z 25. - - Stesichoros III 125 Z 12. - - Stobäos III 129 Z 27; 230 Z 17. N 386 Z 12. - - Strabo E XVI Z 18; III 204 Z 4; 285 Z 32; 286 Z 27; 289 Z 34; 313 Z - 28. - - Strassmaier J. N. II 101 Z 3; 109 Z 21; 110 Z 29. - - Struve J. u. K. L. III 285 Z 13. - - Sturm Ambros III 193 Z 15; 194 Z 16; 201 Z 28; 289 Z 10. - - Sturm Ch. III 171 Z 15; 245 Z 33; 266 Z 8. - - Subandhu III 164 Z 29. - - Suidas III 274 Z 11; 285 Z 31. - - Sundara III 159 Z 27. - - Susemihl F. III 285 Z 28; 311 Z 21; 314 Z 18; 320 Z 3. - - Syrion N 386 Z 12. - - - Tâbit ibn Quorrah III 267 Z 28; 291 Z 23. - - Tacitus III 142 Z 18. - - Tacquet A. III 171 Z 15; 245 Z 11. - - Tannery P. III 170 Z 2; 172 Z 15; 173 Z 23; 194 Z 28; 200 Z 1; 201 Z - 3; 207 Z 5; 222 Z 23; 229 Z 5; 236 Z 1; 242 Z 8; 243 Z 27; 251 Z - 20; 301 Z 22; 312 Z 33; 314 Z 15; 336 Z 17; 337 Z 22; 359 Z 19. - - Tartaglia N. III 278 Z 13. - - Taylor Th. III 244 Z 1. - - Teleutagoras III 167 Z 7. - - Tenulius III 353 Z 5. - - Thales I 25 Z 30; III 122 Z 30; 123 Z 7, 14, 21; 124 Z 1, 23; 125 Z - 10; 187 Z 3. N 375 Z 8; 381 Z 15; 382 Z 21; 383 Z 14. - - Theätet III 136 Z 28, 31; 185 Z 26; 186 Z 16; 213 Z 16, 18; 229 Z 31; - 236 Z 21, 32; 238 Z 9; 257 Z 15. - - Theodoros III 136 Z 32; 170 Z 24; 184 Z 23. - - Theodosios III 202 Z 25; 232 Z 23; 337 Z 20; 338 Z 8 f. - - Theon v. Alexandria III 232 Z 28; 239 Z 31; 240 Z 7; 268 Z 19; 282 Z - 30; 309 Z 8, 13, 28; 310 Z 1, 12; 313 Z 18; 314 Z 9; 367 Z 9; 371 Z - 33. - - Theon Smyrneus III 187 Z 18; 194 Z 15; 214 Z 16; 243 Z 11, 23; 244 Z - 24; 249 Z 15; 319 Z 17; 348 Z 31; 352 Z 29; 353 Z 4, 10. - - Theophrast III 217 Z 22; 218 Z 32; 228 Z 31. N 381 Z 26; 382 Z 17. - - Theudios III 213 Z 16, 22; 235 Z 12; 237 Z 27; 253 Z 20; 309 Z 32. - - Thibaut G. III 138 Z 5, 19; 139 Z 22; 146 Z 32; 148 Z 1, 13; 154 Z - 17, 19; 157 Z 18; 159 Z 33; 245 Z 34. - - Thomas v. Aquino III 169 Z 18; 223 Z 31; 228 Z 12. - - Thureau-Dangin Frc. II 118 Z 5. - - Thurot Ch. III 280 Z 17. - - Thymaridas III 353 Z 32; 354 Z 12. - - Torelli G. III 265 Z 21, 28. - - Torricelli Ev. III 263 Z 20. - - Trendelenburg F. A. III 177 Z 8. - - Treutlein P. III 245 Z 34. - - Tudela B. v. II 74 Z 8. - - Tzetzes III 186 Z 2; 258 Z 25; 259 Z 17. - - - Überweg Fr. III 170 Z 8. - - Usener H. III 366 Z 29. - - - Valens Vettius III 299 Z 27. - - Valerio Luca III 274 Z 21. - - Valerius Maximus III 229 Z 18. - - Valla G. III 259 Z 19; 265 Z 33. - - Vaux Carra de III 314 Z 15; 331 Z 10. - - Veronese G. E XIV Z 28; III 241 Z 26; 247 Z 7. - - Vettori P. III 311 Z 33. - - Vieta Fr. III 171 Z 14; 173 Z 34; 174 Z 14, 26; 175 Z 32; 297 Z 1; - 304 Z 20; 359 Z 34; 361 Z 6; 365 Z 18. - - Vitruv E X Z 9; III 137 Z 21; 194 Z 19; 197 Z 11; 261 Z 33; 288 Z 22; - 289 Z 15; 315 Z 21; 332 Z 5. - - Viviani V. III 291 Z 19. - - Vogelin J. III 245 Z 30. - - - Wafa s. Abul Wafa. - - Wallenius M. J. III 174 Z 21. - - Wallis J. III 244 Z 15; 265 Z 3; 367 Z 29. - - Weber H. III 285 Z 21. - - Weierstrass C. E X Z 17; III 223 Z 6; 227 Z 17; 256 Z 10. - - Wellmann E. III 170 Z 1. - - Wertheim G. III 318 Z 1 f; 359 Z 20; 360 Z 3; 362 Z 32; 365 Z 17. - - Wessel K. II 73 Z 14, 23. - - Weyr E. E XVI Z 28; XVII Z 2; I 27 Z 29; 50 Z 16; 51 Z 8. - - Whiston W. III 171 Z 15. - - Wilke = Wilcken Ul. I 46 Z 21. - - Wilamowitz U. v. III 184 Z 34; 273 Z 2. - - Windelband W. III 184 Z 15; 224 Z 12. - - Winkel W. III 182 Z 28. - - Winckelmann J. J. I 18 Z 25. - - Winkler H. II 59 Z 13; 61 Z 13; 65 Z 24; 66 Z 10; 70 Z 14, 23. - - Wolf F. A. E X Z 5. - - Wolff Chr. (v.) III 245 Z 33. - - Wölffing E. III 303 Z 18. - - Wöpcke F. III 233 Z 22; 299 Z 20, 26. - - - Xenokrates III 216 Z 32. - - Xenophanes III 124 Z 18; 125 Z 25; 141 Z 9; $164-166$; 176 Z 29; 177 - Z 1. - - Xylander W. (Holtzmann) III 359 Z 5. - - - Young Th. I 18 Z 2, 14; 19 Z 22. - - - Zeller E. III 125 Z 18; 132 Z 16; 179 Z 8; 183 Z 10; 219 Z 18; 224 Z - 12. N 383 Z 2; 386 Z 10. - - Zenodoros III 308 Z 17, 26; 309 Z 25, 33; 310 Z 8; 369 Z 4. - - Zenon von Elea III 167-170; 178 Z 12; 226 Z 13. - - Zenon von Kittion 340 Z 4 f. - - Zeuthen H. III 181 Z 18; 235 Z 7; 250 Z 3; 267 Z 21; 289 Z 21; 291 Z - 29; 292 Z 17; 294 Z 1, 20; 296 Z 23; 297 Z 4. - - Zeúxippos III 279 Z 19. - - Zimmer H. III 143 Z 13; 164 Z 2. - - Zoëga G. I 18 Z 18. - - Zonaras III 259 Z 19. - - -Buchdruckerei Roitzsch, Albert Schulze, Roitzsch. - - - - - +----------------------------------------------------------------+ - | Anmerkungen zur Transkription | - | | - | Inkonsistenzen wurden beibehalten, wenn beide Schreibweisen | - | gebräuchlich waren, wie: | - | | - | Aahmesu -- Aahmes -- Ahmes -- Ames | - | Abel'schen -- Abelschen | - | Achse -- Axe | - | Al Mamun -- Al-Mamûn | - | anderen -- andern -- andren | - | Anonymos -- Anonymus | - | Apollonios -- Apollonius | - | Arsacidenzeit -- Arsakidenzeit | - | asva-medha -- asvamedha | - | Bêl -- Bel | - | Bel-ache-irbâ -- Belacheirba | - | Berossos -- Berossus -- Berosus | - | catur-asra -- caturasra | - | Chammurabi -- Hammurabi -- Ḫammurabi | - | Commentar -- Kommentar | - | Coordinaten -- Koordinaten | - | Copernicus -- Kopernikus | - | Cylinder -- Zylinder | - | eigene -- eigne | - | Einer-Ziffer -- Einerziffer | - | Elementar-Geometrie -- Elementargeometrie | - | Epicykeln -- Epizyklen | - | Eukleídēs -- Euklides | - | Euklid-Kommentar -- Euklidkommentar | - | Fajum -- Fayum | - | Fünfer-System -- Fünfersystem | - | Giseh -- Gizeh | - | gerade -- grade | - | geradlinigen -- gradlinigen | - | Grynaeus -- Grynäus | - | Holtzmann -- Holzmann | - | irreduzibeln -- irreduziblen | - | Kaienharu -- Kainharu | - | Kalpa-Sutras -- Kalpa-sutras -- Kalpasutras | - | Laërtios -- Laertios -- Laertius | - | Larsa -- Larsam | - | Lobatscheffski -- Lobatscheffsky | - | Mamerkos -- Mamercos | - | Metrica -- Metrika | - | Mönchpöbel -- Mönchspöbel | - | Mykene-Periode -- Mykeneperiode | - | Nabonahid -- Nabonid | - | Orient-Gesellschaft -- Orientgesellschaft | - | Pappos -- Pappus | - | Papyros -- Papyrus | - | Phaenomena -- Phänomena | - | Proklos -- Proklus | - | Ptolemaios -- Ptolemäos -- Ptolemäus -- Ptolemeus | - | pythagoräisch -- pythagoreisch | - | Quadrat-purusa -- Quadratpurusa | - | Rê -- Re | - | Rig-veda -- Rigveda | - | Seleucidenära -- Seleuciden-Ära | - | Seqd -- Sqd | - | Sphaira -- sphaera | - | Soma-Opfer -- Somaopfer | - | Sothis-Perioden -- Sothisperioden | - | Sporos -- Sporus | - | Stobaios -- Stobäos | - | Sulba-sutra -- Sulba-Sutra | - | Tello -- Telloh | - | Theaetet -- Theätet -- Theaitet | - | unseren -- unsern | - | Verdoppelung -- Verdopplung | - | vermittels -- vermittelst | - | Vermittelung -- Vermittlung | - | Woepcke -- Wöpcke | - | | - | Interpunktion wurde ohne Erwähnung korrigiert. | - | Im Text wurden folgende Änderungen vorgenommen: | - | | - | S. VII »Methotik« in »Methodik« geändert. | - | S. X »ungeahnten Erfolge« in »ungeahntem Erfolge« geändert. | - | S. XI »Anderung« in »Änderung« geändert. | - | S. XII »Christophel« in »Christoffel« geändert. | - | S. XII »X_{K}« in »x_{K}« geändert. | - | S. XVII »Babylonias« in »Babylonian« geändert. | - | S. 4 »folgenden Tabelle« in »folgende Tabelle« geändert. | - | S. 4 »Newesserrê« in »Neweserrê« geändert. | - | S. 7 »Bibanelmoluk« in »Biban el Moluk« geändert. | - | S. 9 »Dschingiskans« in »Dschingis Khans« geändert. | - | S. 9 »Lybien« in »Libyen« geändert. | - | S. 9 »libysche« in »libysche« geändert. | - | S. 10 »Ammon« in »Amon« geändert. | - | S. 10 »Ermann« in »Erman« geändert. | - | S. 11 »libyschen« in »libyschen« geändert. | - | S. 14 »Diocletian« in »Diokletian« geändert. | - | S. 16 »Jaques« in »Jacques« geändert. | - | S. 16 »ägyptiaca« in »aegyptiaca« geändert. | - | S. 18 »Winkelmann« in »Winckelmann« geändert. | - | S. 19 »dem man« in »den man« geändert. | - | S. 26 »dem 2. Kongruenzsatz« in »den 2. Kongruenzsatz« | - | geändert. | - | S. 27 »Eugen Revillout« in »Eugène Revillout« geändert. | - | S. 27 »Flynders Petrie« in »Flinders Petrie« geändert. | - | S. 27 »Revue Egyptologique« in »Revue égyptologique« | - | geändert. | - | S. 27 »Griffiths« in »Griffith« geändert. | - | S. 27 »Uberschwemmungszeit« in »Überschwemmungszeit« | - | geändert. | - | S. 32 »F. Hultzsch« in »F. Hultsch« geändert. | - | S. 32 »Griffiths« in »Griffith« geändert. | - | S. 32 »Substraktion« in »Subtraktion« geändert. | - | S. 38 »Schack von Schackburg« in »Schack-Schackenburg« | - | geändert. | - | S. 38 »29-1/6« in »28-1/6« geändert. | - | S. 40 »Griffiths« in »Griffith« geändert. | - | S. 40 »papiri« in »Papyri« geändert. | - | S. 41 »Griffiths« in »Griffith« geändert. | - | S. 42 »Qadratwurzeln« in »Quadratwurzeln« geändert. | - | S. 42 »Phythagoras« in »Pythagoras« geändert. | - | S. 44 »Petripapyri« in »Petriepapyri« geändert. | - | S. 44 »Griffiths« in »Griffith« geändert. | - | S. 44 »8-3/2« in »8 . 3/2« geändert. | - | S. 46 »περι γεομετςιας« in »περι γεομετριας« geändert. | - | S. 52 »Biban el Moleck« in »Biban el Moluk« geändert. | - | S. 59 »Ubersetzungen« in »Übersetzungen« geändert. | - | S. 59 »Bilinguer« in »bilinguer« geändert. | - | S. 59 »Sumerier« in »Sumerer« geändert. | - | S. 60 »Ubereinstimmung« in »Übereinstimmung« geändert. | - | S. 64 »Sumeriern« in »Sumerern« geändert. | - | S. 64 »festeht« in »feststeht« geändert. | - | S. 64 »paradisisch« in »paradiesisch« geändert. | - | S. 64 »Grosstaat« in »Grossstaat« geändert. | - | S. 65 »Adadniranis« in »Adad-niraris« geändert. | - | S. 67 »Assyrier« in »Assyrer« geändert. | - | S. 67 »Kanaanern« in »Kanaanäern« geändert. | - | S. 68 »Chamurabi« in »Chammurabi« geändert. | - | S. 70 »C. Betzold« in »C. Bezold« geändert. | - | S. 70f »bedauerlicher Weise« in »bedauerlicherweise« | - | geändert. | - | S. 71 »Chamurabis« in »Chammurabis« geändert. | - | S. 71 »Kananäern« in »Kanaanäern« geändert. | - | S. 75 »Assyrilogie« in »Assyriologie« geändert. | - | S. 75 »Chamurabi« in »Chammurabi« geändert. | - | S. 75 »Exkavations« in »Excavations« geändert. | - | S. 75 »Pensylvanien« in »Pennsylvanien« geändert. | - | S. 76 »Ubereinanderstellung« in »Übereinanderstellung« | - | geändert. | - | S. 77 »der Assyrischen« in »des Assyrischen« geändert. | - | S. 77 »niedergehn« in »niedergehen« geändert. | - | S. 78 »Alt-Babylonischen« in »Altbabylonischen« geändert. | - | S. 79 »Determiniativ« in »Determinativ« geändert. | - | S. 79 »Juppiter« in »Jupiter« geändert. | - | S. 80 »in Ägyptischen« in »im Ägyptischen« geändert. | - | S. 81 »Kujundschick« in »Kujundschik« geändert. | - | S. 81 »Pensylvania« in »Pennsylvania« geändert. | - | S. 82 »T-stücken« in »T-Stücken« geändert. | - | S. 83 »bischen« in »bisschen« geändert. | - | S. 87 »Chamurabi« in »Chammurabi« geändert. | - | S. 88 »Schekverkehr« in »Scheckverkehr« geändert. | - | S. 89 »astromonischen« in »astronomischen« geändert. | - | S. 91 »Gewichtsystem« in »Gewichtssystem« geändert. | - | S. 93 »Gewichtsystem« in »Gewichtssystem« geändert. | - | S. 94 »Kujundschick« in »Kujundschik« geändert. | - | S. 94 »der Quadraten« in »der Quadrate« geändert. | - | S. 96 »396^2 = 152100« in »390^2 = 152100« geändert. | - | S. 99 »Khorsabat« in »Khorsabad« geändert. | - | S. 99 »98425 =« in »99425 =« geändert. | - | S. 100 »Offnung« in »Öffnung« geändert. | - | S. 100 »Offnungen« in »Öffnungen« geändert. | - | S. 102 »E. Hinks« in »E. Hincks« geändert. | - | S. 104 »keinesweges« in »keineswegs« geändert. | - | S. 104 »Gudeah« in »Gudea« geändert. | - | S. 104 »Kewitzsch« in »Kewitsch« geändert. | - | S. 105 »Sexagisimalsystems« in »Sexagesimalsystems« geändert. | - | S. 106 »Gudeah« in »Gudea« geändert. | - | S. 107 »8)« in »3)« geändert. | - | S. 108 »Eponymen Kanon« in »Eponymenkanon« geändert. | - | S. 108 »mit den Aldebaran« in »mit dem Aldebaran« geändert. | - | S. 108 »Fischer« in »Fische« geändert. | - | S. 109 »thibetanischen« in »tibetanischen« geändert. | - | S. 109 »univ.« in »Univ.« geändert. | - | S. 109 »Nebuckadnezzar« in »Nebuchadnezzar« geändert. | - | S. 115 »Mesepotamien« in »Mesopotamien« geändert. | - | S. 117 »Kenntniss« in »Kenntnis« geändert. | - | S. 122 »zn« in »zu« geändert. | - | S. 124 »Diagones Laertius« in »Diogenes Laertius« geändert. | - | S. 125 »gegebnen« in »gegebenen« geändert. | - | S. 126 »Neupythagorismus« in »Neupythagoreismus« geändert. | - | S. 126 »Pythagorismus« in »Pythagoreismus« geändert. | - | S. 128 »Aug. Boekh« in »Aug. Boeckh« geändert. | - | S. 131 »Nikomachus von Gerasa« in »Nikomachos von Gerasa« | - | geändert. | - | S. 132 »Pythagorismus« in »Pythagoreismus« geändert. | - | S. 133 »Heraclitischen« in »Heraklitischen« geändert. | - | S. 133 »Pythagoräismus« in »Pythagoreismus« geändert. | - | S. 133 »Lieblingsatzes« in »Lieblingssatzes« geändert. | - | S. 134 »Kopernicus« in »Kopernikus« geändert. | - | S. 139 »Indo-Arischen-Philologie« in | - | »Indo-Arischen Philologie« geändert. | - | S. 139 »Maassschnur« in »Massschnur« geändert. | - | S. 140 »Ubrigens« in »Übrigens« geändert. | - | S. 142 »Juppiter« in »Jupiter« geändert. | - | S. 142 »Afganistan« in »Afghanistan« geändert. | - | S. 145 »Meßschnur« in »Messschnur« geändert. | - | S. 146 »Maasse« in »Masse« geändert. | - | S. 148 »+ 1/3 . 4 - 1/3 : 4 . 34« in »+ 1/(3·4) - 1/(3·4·34)« | - | geändert. | - | S. 151 »Sulvas« in »Sulbas« geändert. | - | S. 156 »rechwinkligen« in »rechtwinkligen« geändert. | - | S. 166 »γας« in »γαρ« geändert. | - | S. 171 »Lunulae Hippokratis« in »Lunulae Hippocratis« | - | geändert. | - | S. 171 »Pardis« in »Pardies« geändert. | - | S. 171 »Hypothenuse« in »Hypotenuse« geändert. | - | S. 171 »Kilicien« in »Kilikien« geändert. | - | S. 171 »Fragmente« in »Fragmenta« geändert. | - | S. 171 »super sunt« in »supersunt« geändert. | - | S. 173 »ε_{1}« in »e_{1}« geändert. | - | S. 175 »Brison« in »Bryson« geändert. | - | S. 180 »ἁι ατομοι« in »ὁι ατομοι« geändert. | - | S. 184 »U. v. Willamowitz« in »U. v. Wilamowitz« geändert. | - | S. 189 »transcendentale« in »transzendentale« geändert. | - | S. 189 »transscendentale« in »transzendentale« geändert. | - | S. 190 »aus den Gedankengang« in »aus dem Gedankengang« | - | geändert. | - | S. 191 »gegebnen« in »gegebenen« geändert. | - | S. 191 »gegebnes« in »gegebenes« geändert. | - | S. 192 »amicicior« in »amicior« geändert. | - | S. 192 »injecit« in »iniecit« geändert. | - | S. 194 »διαπλασιασμός« in »διπλασιασμός« geändert. | - | S. 194 »numero« in »numeroque« geändert. | - | S. 195 »gegebnen« in »gegebenen« geändert. | - | S. 196 »Abscrissenaxe« in »Abscissenaxe« geändert. | - | S. 196 »verificieren« in »verifizieren« geändert. | - | S. 197 »Daß« in »Dass« geändert. | - | S. 198 »Nektanabos« in »Nektanebos« geändert. | - | S. 198 »8 · 357« in »8 · 354« geändert. | - | S. 200 »ΗΔ« in »ΕΔ« geändert. | - | S. 202 »15 50« in »1550« geändert. | - | S. 202 »ganz Teil« in »ganzer Teil« geändert. | - | S. 204 »klassisischen« in »klassischen« geändert. | - | S. 206 »Eudoxes« in »Eudoxos« geändert. | - | S. 208 »Méneichmos« in »Menaichmos« geändert. | - | S. 208 »Eutoxios« in »Eutokios« geändert. | - | S. 209 »deren Ache« in »deren Axe« geändert. | - | S. 211 »= o« in »= 0« geändert. | - | S. 213 »Unendlich-kleinen und -grossen« in | - | »Unendlich kleinen und grossen« geändert. | - | S. 216 »naturwissenschaftlichen« in »naturwissenschaftlichem« | - | geändert. | - | S. 217 »auf und abgehend« in »auf- und abgehend« geändert. | - | S. 218 »Znnächst« in »Zunächst« geändert. | - | S. 219 »bewunderswertesten« in »bewundernswertesten« geändert. | - | S. 223 »wiederspruchsfreie« in »widerspruchsfreie« geändert. | - | S. 224 »praestabilitierte Harmonie« in | - | »praestabilierte Harmonie« geändert. | - | S. 226 »unserer Intellekts« in »unseres Intellekts« geändert. | - | S. 226 »uud« in »und« geändert. | - | S. 227 »τονύν« in »το νύν« geändert. | - | S. 228 »auf die Islam« in »auf den Islam« geändert. | - | S. 228 »Metereologie« in »Meteorologie« geändert. | - | S. 228 »500 Jahr« in »500 Jahre« geändert. | - | S. 231 »Alexandrischen Schule« in »Alexandrinischen Schule« | - | geändert. | - | S. 231 »gegebenene« in »gegebene« geändert. | - | S. 232 »lectio sphärica« in »lectio sphaerica« geändert. | - | S. 233 »Katoptik« in »Katoptrik« geändert. | - | S. 234 »bedeuterenden« in »bedeutenderen« geändert. | - | S. 234f »Resumé« in »Résumé« geändert. | - | S. 235 »Appollonios« in »Apollonios« geändert. | - | S. 238 »Dodecaëder« in »Dodekaëder« geändert. | - | S. 240 »festellen« in »feststellen« geändert. | - | S. 242 »Anarizi« in »An-Narizi« geändert. | - | S. 243 »Neupythagoräismus« in »Neupythagoreismus« geändert. | - | S. 244 »Ishak« in »Ishaq« geändert. | - | S. 245 »Konrad Dasypodios« in »Conrad Dasypodius« geändert. | - | S. 245 »Mathesis juvenalis« in »Mathesis juvenilis« geändert. | - | S. 245 »Melanchtons« in »Melanchthons« geändert. | - | S. 245 »Rechtek« in »Rechteck« geändert. | - | S. 246 »ententlehnt« in »entlehnt« geändert. | - | S. 246 »garnicht« in »gar nicht« geändert. | - | S. 249 »Vatikanus« in »Vaticanus« geändert. | - | S. 257 »2 · 3 · 5 · 7 · 9 · 11 · 13 + 1 = 30031« in | - | »2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 + 1 = 30031« geändert. | - | S. 257 »Königo« in »Könige« geändert. | - | S. 261 »δός μοι πᾷ βῶ καὶ τὰν γᾶν κινῶ« in | - | »δός μοι πᾷ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινήσω« geändert. | - | S. 262 »Gélon« in »Gelon« geändert. | - | S. 264 »complectantem« in »complectentem« geändert. | - | S. 265 »Prostestantischen« in »Protestantischen« geändert. | - | S. 265 »Archityp« in »Archetyp« geändert. | - | S. 266 »Federigo Commandino« in »Federico Commandino« | - | geändert. | - | S. 267 »Thâbit ibn Quorra« in »Thabit ibn Qurrah« geändert. | - | S. 272 »sphära« in »sphaera« geändert. | - | S. 273 »√(a^2 ± b) < a ± b/(2a + 1)« in | - | »√(a^2 ± b) > a ± b/(2a ± 1)« geändert. | - | S. 378 »Kopernicus« in »Kopernikus« geändert. | - | S. 282 »κυκλου μετρησις« in »κυκλου μετρησις« geändert. | - | S. 282 »γεδϡοϛι« in »γεδϡο« geändert. | - | S. 282 »76.« in »7.« geändert. | - | S. 282 »1009116½« in »1009166½« geändert. | - | S. 283 »ΘιϡϛΘ.ΘιϡϛΘ« in »ΘιϡϟΘ.ΘιϡϟΘ« geändert. | - | S. 283 »dis er« in »die er« geändert. | - | S. 284 »Eratosthemes« in »Eratosthenes« geändert. | - | S. 285 »Erathostenes« in »Eratosthenes« geändert. | - | S. 286 »Kalimachos« in »Kallimachos« geändert. | - | S. 286 »Helene« in »Hellene« geändert. | - | S. 287 »Erathostenes« in »Eratosthenes« geändert. | - | S. 287 »etnographisch« in »ethnographisch« geändert. | - | S. 288 »αρχειας« in »αρχαίας« geändert. | - | S. 289 »Es ist ist« in »Es ist« geändert. | - | S. 290 »frühstens« in »frühestens« geändert. | - | S. 291 »Federigo Commandino« in »Federico Commandino« | - | geändert. | - | S. 291 »Tabit ibn Quorrah« in »Thabit ibn Qurrah« geändert. | - | S. 293 »Mimina« in »Minima« geändert. | - | S. 293 »x = o, z = o, und y = o, u = o« in | - | »x = 0, z = 0, und y = 0, u = 0« geändert. | - | S. 295 »Hyberbel« in »Hyperbel« geändert. | - | S. 296 »¯O¯-Kreise« in »0-Kreise« geändert. | - | S. 297 »Hyberbel« in »Hyperbel« geändert. | - | S. 297 »Patricier« in »Patrizier« geändert. | - | S. 299 »υμδκαι« in »υμδ και« geändert. | - | S. 299 »Woepke« in »Woepcke« geändert. | - | S. 299 »Appollonios« in »Apollonios« geändert. | - | S. 299 »vindiciert« in »vindiziert« geändert. | - | S. 300 »Problemenklassen« in »Problemklassen« geändert. | - | S. 303 »Irisektion« in »Trisektion« geändert. | - | S. 303 »x Axe« in »x-Axe« geändert. | - | S. 303 »Wölfings« in »Wölffings« geändert. | - | S. 303 »angegebnen« in »angegebenen« geändert. | - | S. 306 »von von« in »von« geändert. | - | S. 306 »¯O¯-Punkt« in »0-Punkt« geändert. | - | S. 307 »Querstecken« in »Querstrecken« geändert. | - | S. 309 »Autentizität« in »Authentizität« geändert. | - | S. 310 »regelmäßige« in »regelmässige« geändert. | - | S. 311 »des erste« in »das erste« geändert. | - | S. 314 »schliesen« in »schliessen« geändert. | - | S. 316 »Exerpte« in »Excerpte« geändert. | - | S. 334 »liber geoponikus« in »liber geoponicus« geändert. | - | S. 318 »69 und 125« in »64 und 125« geändert. | - | S. 318 »Verfahfahren« in »Verfahren« geändert. | - | S. 318 »Näherungwerte« in »Näherungswerte« geändert. | - | S. 318 »265/133« in »265/153« geändert. | - | S. 318 »1351/180« in »1351/780« geändert. | - | S. 320 »Ktesebios« in »Ktesibios« geändert. | - | S. 326 »Katatoptrik« in »Katoptrik« geändert. | - | S. 339 »grader« in »gerader« geändert. | - | S. 331 »Appollonios« in »Apollonios« geändert. | - | S. 334 »liber geoponikus« in »liber geoponicus« geändert. | - | S. 335 »wie ΑΔ zu ΑΗ« in »wie ΑΔ zu ΔΗ« geändert. | - | S. 335 »ΓΒ : ΒΓ wie ΒΛ : ΕΗ« in »ΓΒ : ΒΘ wie ΒΛ : ΕΗ« | - | geändert. | - | S. 336 »terminus technikus« in »terminus technicus« geändert. | - | S. 336 »271875 : 67441« in »211875 : 67441« geändert. | - | S. 336 »Kotangenten« in »Cotangenten« geändert. | - | S. 337 »Spärik« in »Sphärik« geändert. | - | S. 338 »Ubersetzer« in »Übersetzer« geändert. | - | S. 338 »science« in »scienze« geändert. | - | S. 339 »graden« in »geraden« geändert. | - | S. 341 »nitidam« in »nitidum« geändert. | - | S. 342 »Seneka« in »Seneca« geändert. | - | S. 342 »Eklecticismus« in »Eklekticismus« geändert. | - | S. 342 »geocentrischen« in »geozentrischen« geändert. | - | S. 342 »Metereologe« in »Meteorologe« geändert. | - | S. 343 »vg.« in »vgl.« geändert. | - | S. 346 »Parellelentheorie« in »Parallelentheorie« geändert. | - | S. 348 »Isidoros von Sevilla« in »Isidorus von Sevilla« | - | geändert. | - | S. 348 »594« in »600« geändert. | - | S. 350 »δ« in »κδ« geändert (1-mal-1 Tabelle). | - | S. 351 »A. Boecks« in »A. Boeckhs« geändert. | - | S. 351 »R. Balzers« in »R. Baltzers« geändert. | - | S. 353 »Fransösisch« in »Französisch« geändert. | - | S. 353 »πυθαγορικων« in »πυθαγορείων« geändert. | - | S. 355 »Philosopie« in »Philosophie« geändert. | - | S. 355 »Zarathusthra« in »Zarathustra« geändert. | - | S. 360 »δυναμοκιβος« in »δυναμοκυβος« geändert. | - | S. 360 »heist« in »heisst« geändert. | - | S. 362 »giebt« in »gibt« geändert. | - | S. 363 »rechtwinklingen« in »rechtwinkligen« geändert. | - | S. 367f »Vatikanus« in »Vaticanus« geändert. | - | S. 367 »Federigo Commandino« in »Federico Commandino« | - | geändert. | - | S. 372 »Moslemin« in »Moslimen« geändert. | - | S. 373 »Geschwindigheit« in »Geschwindigkeit« geändert. | - | S. 377 »Aryer« in »Arier« geändert. | - | S. 379 »Hellenentnm« in »Hellenentum« geändert. | - | S. 379 »befriedigenste« in »befriedigendste« geändert. | - | S. 380 »den Milesier« in »dem Milesier« geändert. | - | S. 381 »Metereol.« in »Meteorol.« geändert. | - | S. 382 »abgeschlossneren« in »abgeschlosseneren« geändert. | - | S. 384 »vom Bösem« in »von Bösem« geändert. | - | S. 388 »Amonios« in »Ammonios« geändert. | - | S. 388 »Appolodoros« in »Apollodoros« geändert. | - | S. 389 »Baudhayana« in »Baudhāyana« geändert. | - | S. 389 »Berosos« in »Berossos« geändert. | - | S. 390 »Boetius« in »Boëtius« geändert. | - | S. 391 »Copernikus« in »Copernicus« geändert. | - | S. 391 »Dupnis« in »Dupuis« geändert. | - | S. 391 »Erathosthenes« in »Eratosthenes« geändert. | - | S. 391 »Ermann« in »Erman« geändert. | - | S. 392 »Euken« in »Eucken« geändert. | - | S. 392 »Flynders Petrie« in »Flinders Petrie« geändert. | - | S. 393 »Griffiths« in »Griffith« geändert. | - | S. 393 »Halevy« in »Halévy« geändert. | - | S. 393 »Hieronymus« in »Hieronymos« geändert. | - | S. 394 »Isidorus von Milet« in »Isidoros von Milet« geändert. | - | S. 395 »Kopernicus« in »Kopernikus« geändert. | - | S. 396 »Northhampton« in »Northampton« geändert. | - | S. 396 »Ottojano« in »Ottajano« geändert. | - | S. 398 »Revillont« in »Revillout« geändert. | - | S. 398 »Schack v. Schackburg« in »Schack-Schackenburg« | - | geändert. | - | S. 398 »Schelbach« in »Schellbach« geändert. | - | S. 399 »Tâbit ibn Quorrah« in »Thabit ibn Qurrah« geändert. | - | S. 400 »Vaux Cara de« in »Vaux Carra de« geändert. | - | S. 400 »Willamowitz« in »Wilamowitz« geändert. | - | S. 400 »Wöpke« in »Wöpcke« geändert. | - +----------------------------------------------------------------+ - - - - - -End of Project Gutenberg's Geschichte der Mathematik im Altertum, by Max Simon - -*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK GESCHICHTE DER MATHEMATIK IM ALTERTUM *** - -***** This file should be named 62131-0.txt or 62131-0.zip ***** -This and all associated files of various formats will be found in: - http://www.gutenberg.org/6/2/1/3/62131/ - -Produced by Peter Becker and the Online Distributed -Proofreading Team at https://www.pgdp.net - -Updated editions will replace the previous one--the old editions will -be renamed. - -Creating the works from print editions not protected by U.S. copyright -law means that no one owns a United States copyright in these works, -so the Foundation (and you!) can copy and distribute it in the United -States without permission and without paying copyright -royalties. 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