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If you are not located in the United States, you'll have -to check the laws of the country where you are located before using this ebook. - -Title: Geschichte der Mathematik im Altertum - In Verbindung mit antiker Kulturgeschichte - -Author: Max Simon - -Release Date: May 14, 2020 [EBook #62131] - -Language: German - -Character set encoding: UTF-8 - -*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK GESCHICHTE DER MATHEMATIK IM ALTERTUM *** - - - - -Produced by Peter Becker and the Online Distributed -Proofreading Team at https://www.pgdp.net - - - - - - - +------------------------------------------------------------------+ - | Anmerkungen zur Transkription | - | | - | [**symbol] oder [**symbols] bedeuten Symbole im Text, die nicht | - | als Text wiedergegeben werden können. [**arc] steht für einen | - | Kreisbogen über dem folgenden Text, [**vector] für einen Pfeil | - | über dem Text. | - | n [**ueber] k ist der Binomialkoeffizient »n über k«. | - | 1-1/2 steht für den Bruch 1½, bei Subtraktionen ist ein | - | Leerzeichen vor und nach dem Minuszeichen, wie bei 1 - 1/2. | - | Hostgestellte Buchstaben und Text werden als n^k oder n^{k+1} | - | dargestellt, tiefgestellte Buchstaben und Text als n_{k} oder | - | n_{k+1}. Gesperrter Text ist als ¨gesperrt¨ dargestellt, | - | Kursivschrift als ¯kursiv¯ und Fettschrift als $fett$. | - | | - | Eine Liste der Änderungen befindet sich am Ende des Buchs. | - +------------------------------------------------------------------+ - - - - - GESCHICHTE - DER - MATHEMATIK IM ALTERTUM - - IN VERBINDUNG MIT - ANTIKER KULTURGESCHICHTE - - VON - - D^{R.} MAX SIMON - - HONORARPROFESSOR DER UNIVERSITÄT STRASSBURG - - [Illustration] - - VERLAG VON BRUNO CASSIRER - BERLIN 1909 - - - Theodor Reye - - IN - DANKBARKEIT UND VEREHRUNG - GEWIDMET - - - - -Vorwort - - -Diese Schrift ist im wesentlichen eine Drucklegung der Vorlesung, -welche ich 1903 in Strassburg gehalten habe, nur der Abschnitt über -Babylon musste infolge der raschen Arbeit des Spatens in Mesopotamien -stark erweitert werden. Die Vorlesung sollte der Ausführung des -Satzes aus meiner Didaktik und Methodik in ¨Baumeisters¨ Handbuch der -Erziehungs- und Unterrichtslehre dienen, dass, wie jeder Oberlehrer, so -besonders der Mathematiker möglichst allgemein gebildet sein müsse. - -Für Ägypten hatte ich an ¨Wilhelm Spiegelberg¨ einen stets bereiten -Führer und Helfer, für Indien konnte ich mich auf meinen langjährigen -Freund ¨Ernst Leumann¨ stützen. Beiden Herren hier meinen herzlichen -Dank auszusprechen, möge mir erlaubt sein. - -Leider hat die Universitas litterarum Argentoratensis eine empfindliche -und schwer begreifliche Lücke, ¨es fehlt der Assyriologe¨, und so war -ich hier auf mich selbst angewiesen, da die Hoffnung sich zerschlug -einen Kritiker in ¨W. Bezold¨ zu finden, dessen höchst anziehende -Monographie »¨Babylon und Ninive¨« mich in dies Gebiet eingeführt -hatte, wie ¨Ermans¨ klassisches »Ägypten« in jenes. - -Bei der Korrektur hat mich der Dozent der Philosophie an der -Universität Berlin ¨Dr. E. Cassirer¨, der Verfasser des Werkes »das -Erkenntnisproblem in der Philosophie und Wissenschaft der neueren Zeit« -freiwillig unterstützt, wofür ich um so dankbarer bin als meine Augen -nicht mehr die besten sind. - -Meinem Schüler und jüngeren Freund Herrn Diplomingenieur ¨Ernst Frank¨ -bin ich für die mühsame und schöne Federzeichnung ¨Gudeas¨ und eine -ganze Anzahl Photographien verpflichtet, aber die meisten Photographien -hat mein langjähriger Kollege der Maler und Zeichenlehrer Herr ¨Chr. -Kneer¨ in liebenswürdigster Weise mir geliefert. - -Zum Schluss ist es mir Bedürfnis, der Verlagshandlung ¨Bruno Cassirer¨, -für welche die Drucklegung dieses Werkes mit ausserordentlicher Mühe -verknüpft war, für ihre Sorgfalt und Opferwilligkeit meinen Dank -auszusprechen. - - Strassburg i. E., Nov. 1908. - - ¨Max Simon¨ - - - - - Meine Herren! - - -Die zusammenhängende Geschichte der Mathematik auf strenger Grundlage -ist einer der jüngsten Zweige unserer Wissenschaft; sie datiert -eigentlich erst seit dem grossen Werke ¨Jean Etienne Montucla¨'s: -Histoire des Mathématiques von 1758 oder richtiger vom 7. August 1799, -an welchem Tage die beiden ersten Bände der zweiten Auflage erschienen. -Es liegt dies in der Natur der Sache, eine Geschichtsschreibung setzt -immer einen gewissen Abschluss voraus, es müssen die ihrer Zeit -treibenden Gedanken -- damals die Prinzipien der Infinitesimalrechnung --- ausgebeutet sein, sie müssen ihre treibende Kraft verloren haben, -um einer objektiven Darstellung Raum zu gewähren. Ganz analog schrieb -der Aristoteliker ¨Eudemos¨ sein leider grösstenteils verlornes -Geschichtswerk, als die Mathematik der Pythagoreer und Platoniker ihre -Kodifikation durch ¨Eudoxos¨ und andere gefunden hatte. Man darf auch -nicht vergessen, dass die Weltgeschichte selbst erst Wissenschaft -geworden ist, seitdem am Ende des 17. Jahrhunderts ¨Leibniz¨ auf -die Urkunde, auf die Forschung in den Archiven als ihre Grundlage -hingewiesen hat. - -So grossartig die Leistung Montuclas war, so hat doch nur ein geringer -Teil seiner Darbietungen die Kritik bestanden. Einerseits war sein -Plan zu gross für einen einzelnen Menschen angelegt, er sollte nicht -bloss Geometrie, Algebra, Infinitesimalrechnung umfassen, sondern -auch Astronomie, Mechanik und die bis zur französischen Revolution -zur Mathematik gezählten Disziplinen, Optik, Nautik, Chronologie und -Gnomonik. Dann aber sind erst im 19. Jahrhundert die Quellen für die -ägyptische, babylonische, arabische und indische Mathematik erschlossen -worden, und selbst die Mathematik der Griechen und Römer erscheint -uns heut in ganz anderem Lichte. Der Neuhumanismus von den grossen -Philologen Friedrich August Wolf und Gottfried Hermann ausgehend, schuf -eine Schule von Philologen, ich nenne nur Diels, Heiberg und Hultsch, -welche mit einer vorher unbekannten Schärfe und ungeahntem Erfolge -die mathematischen Werke der Alten, Euklid, Ptolemeus, Pappus, Heron, -Archimedes, Vitruv etc. edierten. - -Der grosse Aufschwung, den das Interesse für Geschichte der Mathematik -im 19. Jahrhundert, besonders seit der Mitte desselben, genommen, -erklärt sich aber auch allgemeiner. Mit Kants Kritik der reinen -Vernunft setzt die kritische Strömung ein, die in erster Linie das -Geistesleben des 19. Jahrhunderts beherrscht hat. Sie unterwarf sich -durch Bolzano, Gauss, Kummer, Weierstrass, auch die Mathematik und -drängte dazu, alles Überlieferte auf seine Wahrheit und seinen inneren -Zusammenhang zu prüfen. - -Dazu kam dann die stärkere Betonung des geschichtlichen Elements für -die Ausbildung der Methode des mathematischen Unterrichts. Er hat -seine Geschichte und seine Koryphäen für sich. Ich verweise auf die 2. -Auflage meiner Didaktik und Methodik des Rechnens und der Mathematik -(München 1908). Aber die Lehrer begriffen doch allmählich, wie die -zahlreichen l. c. erwähnten Programme, denen ich als neuestes das -Programm von Dr. ¨M. Gebhart¨ Ostern 1908 hinzufüge, beweisen, dass für -den Unterrichtserfolg der Einblick in das historische Werden durchaus -nötig sei. Denn der Einblick in das historische Werden der Erkenntnis -vermittelt zugleich das beste Verständnis für die gewordene. Es sei -hingewiesen auf ¨E. Cassirer¨, das Erkenntnisproblem in der Philosophie -und Wissenschaft der neueren Zeit Bd. I 1906, Bd. II 1908. - -Für den Lehrer ist dieser Einblick ganz besonders wichtig, weil nur -die Geschichte Aufklärung gibt über die Schwierigkeiten, welche der -Geist bei der Bewältigung der einzelnen Probleme zu überwinden hat. -Dazu kommt noch ein anderer Umstand, der für die Schule ganz besonders -zu betonen ist, der Hinweis nämlich auf den Zusammenhang aller -Kulturarbeit, das ist kurz auf die Einheit des menschlichen Geistes. -Logarithmen und Wahrscheinlichkeitsrechnung haben die Statistik und -die Sozialgesetzgebung geschaffen. »Die stille Arbeit des grossen -Regiomontan in seiner Kammer zu Nürnberg berechnete die Ephemeriden, -welche Kolumbus die Entdeckung Amerikas ermöglichten.« (¨F. Rudio.¨) - -Der kritische Geist des Jahrhunderts zeitigte noch eine Blüte, die -der historischen Forschung zugute kam, so wenig erfreulich sie sonst -ist. -- Ich meine die Prioritätsstreitigkeiten, wobei allerdings die -historische Wahrheit nicht selten durch die ebenfalls ganz moderne -Ausbildung des Nationalitätsgefühls getrübt wird. - -Dazu kommt noch ein weiteres wichtiges und treibendes Moment der -historischen Forschung, das ist die nur historisch zu begreifende -Wandlung, welche die Begriffe im Laufe der Zeit durchmachen, die -Umwertung aller Werte, um mit Nietzsche zu reden. Nehmen Sie z. B. -den Funktionsbegriff, den wichtigsten und weittragendsten von allen; -¨Leibniz¨ und die ¨Bernoulli¨, die diesen Begriff zuerst als einen -selbständigen ausgeprägt haben, nahmen das Wort von der gemeinsamen -Bezeichnung der verschiedenen Potenzen von x her und bezeichneten y -als Funktion von x, wenn ein analytischer Ausdruck, eine Gleichung -vorlag, durch welche die Änderung des y an die des x gebunden wurde. -Die Fourierschen Reihen, d. h. die nach dem sinus oder cosinus der -multiplen eines Argumentes x fortschreitenden Reihen, welche eine -einzige Darstellung für eine ganz willkürliche Veränderliche lieferten, -zwangen dann Dirichlet den Begriff umzuprägen. Heute fasst man z. B. -√x nicht als Funktion von x auf, wohl aber einen Dezimalbruch, dessen -x-Stellen in x-Würfen ausgewürfelt werden. Hierher gehört die ganze -Lehre vom Flächen- und Körperinhalt, sowohl die Flächenvergleichung -als die Inhaltsbestimmung krummlinig begrenzter Flächen, überhaupt -die ganze räumliche Messung. Noch ¨Christoffel¨ stützte in seinen -Vorlesungen die Lehre vom bestimmten Integral darauf, dass das Integral -den Flächeninhalt angibt. Er versprach zwar an dieser Stelle immer den -arithmetischen Beweis dafür, dass Σ(y_{K∓1} y_{K}) (x_{K∓1} x_{K}) eine -bestimmte Grenze habe gelegentlich zu liefern, aber die Gelegenheit -fand er nicht. Jahrhunderte hindurch wurde die Integralrechnung -Quadratur genannt, heute wird umgekehrt der Flächeninhalt durch das -bestimmte Integral definiert. Der naive Mensch verbindet mit der -Strecke sofort ihre Länge, aber 1892 wurde diese Länge definiert als -die bestimmte transfinite Anzahl der Linienelemente. Und die Lehre von -den Polyedern und dem Eulerschen Satze! Welche Wandlung hat da schon -der Begriff Polyeder durchgemacht bis ¨C. Jordan¨ und ¨C. K. Becker¨ -den Zusammenhang mit der Riemannschen Zahl p, dem Geschlecht der -Abelschen Funktionen, der Ordnung des Zusammenhanges erkannten. Und der -Begriff der Fläche, -- man denke an die einseitigen Flächen ¨Listings¨ -und ¨Möbius'¨, ferner an die stetigen aber nicht differenzierbaren -Funktionen, ja an den Begriff der Geometrie selber, der sich in den -letzten 50 Jahren vollkommen verschoben hat. All diese Entwicklungen -können nur historisch oder gar nicht erfasst werden. - -Allmählich aber hat sich auch in weiteren Kreisen ein reines Interesse -an der historischen Forschung als solcher entwickelt. Es gewährt eine -hohe Befriedigung, das grosse Gesetz der Kontinuität, das sich wie -ein roter Faden durch alle menschliche Geistesarbeit hindurchzieht -und alle menschlichen Generationen verknüpft, auch in der Mathematik -blosszulegen und gewissermassen diesen Faden aufzurollen. - -Das Standardwerk des Säkulums ist das Riesenwerk ¨Moritz Cantors¨ in -Heidelberg, die Vorlesung über Geschichte der Mathematik in 3 Bänden. -Band 1 erschien 1880, Band 3 wurde 1899 fertig und noch ehe das Werk -vollendet war, 1894, erschien die 2. Auflage des 1. Bandes, 1901 schon -die des 3. Diese rasche Folge ist wohl der sprechendste Beweis dafür, -wie sehr das historische Interesse unter den Mathematikern erstarkt -ist. Das Werk Cantors ist eine staunenswerte Leistung und wird es -bleiben, auch wenn es ihm ergangen sein wird, wie seinem Vorgänger, -dem Montucla; die von diesem grossen Werke ausgehende Einzelforschung -wird vieles, ja sehr vieles was im Cantor steht, berichtigen. Für -indische, ägyptische, babylonische, hellenische Mathematik ist diese -verdienstliche Maulwurfsarbeit bereits stark im Gange. - -Wenn ich mich nun zu meinem Gegenstande wende, so ist es klar, dass ich -nicht mit der Erfindung der Mathematik beginnen kann. Die Mathematik -ist nie und nirgends erfunden worden und wenn die Ägypter die Erfindung -ihrem Gott Thot zuschrieben, so ist damit auch nichts anderes gesagt. -Mathematische Vorstellungen sind ja keineswegs auf den Menschen -beschränkt; die Henne, die all ihre Küchlein, der Hirtenhund, der alle -Tiere seiner Herde kennt, haben Zahlvorstellungen. Die Spinne, wenn -sie ihr Netz anlegt, bedient sich ihres eigentümlich gebauten Fusses, -wie eines Masszirkels, die Bienen haben beim Bau ihrer sechseckigen -Zellen eine schwierige Maximumsaufgabe gelöst. Ja selbst der Regenwurm -dreht den Grashalm um und schleppt ihn mit der Spitze voran in seine -Röhre, und Proklus erzählt uns, dass auch der Esel in gerader Linie -auf sein Futter ziele. Es ist eine lange durch ungezählte Jahrtausende -fortgesetzte und durch Vererbung erhaltene Arbeit, welche von den -dunkelsten Reaktionen auf Kontaktreiz etwa in den verschiedenen Wimpern -der Aktinien bis zur bewussten dreidimensionalen Reaktion auf Tast- und -Hautreiz führt und unsere Geometrie geschaffen hat und fortwährend an -ihr schafft. - -Wie überall, so geht auch der geschichtlichen Mathematik eine schier -unendlich lange prähistorische Zeit voraus, in der die wichtigsten -Begriffe geschaffen werden: der des Masses, der Zahl, der geraden -Linie, des Abstands, der Richtung, des Winkels, des Punkts, der Fläche, -des Körpers etc.; in dieses Dunkel kann höchstens die Sprachforschung -einiges Licht bringen. Wir sehen, dass die Masse überall vom eigenen -Körper hergenommen werden, von der Puruscha, der Menschenlänge der -Inder, der Elle Mah und Handbreite der Ägypter bis zum Fusse der -Griechen, Römer und Germanen. Die Finger, gelegentlich auch die Zehen -bilden die natürlichen Komplexe für die Zählung; 20, 10, 5 bilden -die Abschnitte. Wenn die Griechen die Ebene επιπεδον nennen, d. h. -das, worauf der Fuss steht, so können wir schliessen, wie sich ihnen -der mathematische Begriff Ebene aus dem der Ebenheit entwickelt -hat und ευθεια, was ich als die ohne Zeitverlust darauflosgehende -interpretiere und mit θυνω zusammenbringe, bezieht sich auf die Gerade -als kürzeste Verbindung, wie das lateinische recta mit Richtung -zusammenhängt. Sinnesreize, Sinneswahrnehmungen sind es, aus denen sich -die mathematischen Vorstellungen entwickelten und man kann sich den -Ursprung und die Anfangsepoche der Mathematik gar nicht grobsinnlich -genug vorstellen. Die Mathematik, die Arithmetik wie die Geometrie -ist eine Experimentalwissenschaft bis Archimedes gewesen. Ja sie ist -es noch heute, man denke an die Seifenblasen und die Gelatineflächen, -die sich Kummer herstellte, an viele zahlentheoretische Sätze Fermats -und Eulers, an Gauss' Zahleninduktion; und wenn man die Mathematik -rubrizieren will, so gehört sie historisch zu den Naturwissenschaften, -wenn sie auch allmählich mehr und mehr den Übergang zur reinen -Geisteswissenschaft vollführt, und grade die gegenwärtige, durch -¨Veronese¨ und ¨Hilbert¨ gekennzeichnete Phase einen rein logischen -Charakter trägt. - -Wenn aber irgendwo der experimentelle Charakter der Mathematik -hervortritt, so ist es bei den Ägyptern, deren Mathematik ganz und -gar auf dem Wege des Experimentes zustande gekommen ist. ¨Heron¨ aus -Alexandrien, der Mechanikus, wie ihn ¨Proklus¨ nennt, der grosse -Feldmesser und Ingenieur, der wahrscheinlich 100 v. Chr. gelebt hat, -ist in Form und Inhalt stark von altägyptischer Mathematik beeinflusst. -In seinen 1903 von ¨Schöne¨ edierten Metrika sagt er: Nachdem die -Körper, welche ein bestimmtes Gesetz befolgen, gemessen sind, ist es -folgerichtig, auch die regellosen wie Baumstümpfe und Felsblöcke zu -besprechen, da einige berichten, dass sich ¨Archimedes¨ dafür eine -Methode ausgedacht hat. Falls nämlich jener Körper leicht transportabel -wäre, sollte man eine hinlänglich grosse, vollkommen rechtwinklige -Wanne machen, sie mit Wasser füllen und den unregelmässigen Körper -hineintauchen. Es ist nun klar, dass soviel Wasser überfliessen -wird, als jener Körper enthält. Soweit Archimedes, und nun schlägt -Heron vor, den betr. schwer transportablen Körper mit Wachs oder -Lehm zu bestreichen und zwar so, dass er mit der Umhüllung zu einem -balkenförmigen Körper wird, dann den Lehm abzukratzen und gleichfalls -in Balkenform zu kneten. - -Man sieht, wie äusserst wahrscheinlich es ist, dass Archimedes, der in -Alexandrien studiert hat, seine Formel über den Inhalt der Kugel auf -physikalischem Wege gefunden hat. - -Diesen experimentellen Charakter hat nun die gesamte Mathematik der -Ägypter besessen, die ein Bauernvolk waren und sind, deren ganze Natur -eine durch und durch realistische war, wie der Totenkultus und die -Kunst bezeugen; waren doch ihre Säulen Nachbildungen der Lotos und -Papyrosstauden, ihr Fussboden Nachahmung der Erde; ihr Leben nach dem -Tode ganz nach dem Diesseits gemodelt, von allem andern zu schweigen. - -¨Handel und Verwaltung¨ zwangen zur Ausbildung der Rechenkunst. Der -Handel wurde schon vor unvordenklicher Zeit von Staats wegen getrieben; -grosse Handelsexpeditionen nach Punt (Somaliküste) und Kusch (Nubien) -ausgesandt. Die Verwaltung war bis aufs kleinste organisiert. Ein Heer -von Hofbeamten, ein Heer von Beamten der Lehnsbarone, sie ist in China -und in Deutschland nicht bureaukratischer gewesen. Wir haben genug -Denkmäler von dem Hochmut der Beamten und dem selbstverständlich noch -grösseren ihrer Schreiber. Die ¨Feldmessung¨ aber und die Baukunst -entwickelten die Geometrie. Die ¨Baukunst¨, die jene Denkmäler -geschaffen, vor denen der grosse Napoleon seinen ¨Soldaten¨ zurief: -Songez que du haut de ces monuments quarante siècles vous contemplent; -und die gewaltigen Kanäle, Stau- und Schleusenwerke und Nildämme, die -sich bis heute erhalten haben. Die ¨Feldmessung¨ aber musste in hohem -Ansehen stehen bei dem komplizierten auf den Landbesitz gegründeten -Steuersystem und dem hohen Werte des schmalen Kulturstreifens längs -des Niles. ¨Herodot¨, dem wir die erste Kunde von Ägypten verdanken, -berichtet, dass Sesostris -- in dieser sagenhaften Figur hat sich die -Erinnerung an 2 Pharaonen, den mächtigen Pharao Sen-wos ret der XII. -Dynastie etwa um 2200 und Ramses II erhalten -- das Land in Quadrate -geteilt und wenn der Nil in seiner Überschwemmung Land ab- oder -angespült hatte, Nachmessungen der staatlichen Feldmesser stattfanden, -zum Zwecke der richtigen Steuerveranlagung. Daraus ist dann -schliesslich bei ¨Strabo¨ die Erzählung geworden, dass das ganze Land, -weil der Nil die Grenzzeichen jährlich fortgerissen hätte, jährlich neu -vermessen wurde. - -Die historische, d. h. die auf Urkunden gestützte Zeit beginnt mit -den Ägyptern und Babyloniern. Wenn wir mit den Ägyptern beginnen, so -geschieht es nicht deswegen, weil wir heute noch die Vorstellung haben, -wie sie von den Griechen ausgehend bis weit über die Mitte des 19. -Jahrhunderts geherrscht hat, dass die Mathematik sich von Ägypten aus -auf die übrigen Völker etwa wie eine Art Infektionskrankheit verbreitet -habe. In seiner Festrede von 1884 sagt ¨Emil Weyr¨, der vor wenigen -Jahren verstorbene Wiener Mathematiker: »Es muss als feststehend -angenommen werden, dass ¨jedes¨ Volk in seinem Entwicklungsgange -schon durch praktische Bedürfnisse gezwungen war, sich geometrische -Kenntnisse anzueignen. Die Höhe dieser Kenntnisse richten sich nach -der Grösse der praktischen Bedürfnisse, zu denen auch die religiösen -gezählt werden müssen.« - -Wie wesentlich, wie entscheidend diese letzteren z. B. für die indische -Mathematik gewesen sind, wusste Weyr selbst nicht, als er die Worte -aussprach. - -Die Originalität der Ägypter ist gerade seit den letzten 30 Jahren -keineswegs mehr unbestritten, in den letzten 30 Jahren ist auf den -uralten Kulturzusammenhang zwischen Ägyptern und Babyloniern mehrfach -hingewiesen worden, doch ist hier im einzelnen noch alles unklar. Für -die Wägekunst und die Messkunst hängen die Ägypter direkt von Babylon -ab. Die wunderbaren Funde von Tel Amarna zeigten uns kürzlich, dass um -die Zeit des mittleren Reiches syrische Kleinkönige, die unter ägypt. -Oberhoheit standen, in Asien an ihren Hof babylonisch berichteten, so -etwa wie im 18. Jahrhundert unsere Gesandten französisch berichteten. -Und was das Alter betrifft, so ist das ägyptische Papier, ja selbst -das Leder nicht älter als die Ziegelsteine Babylons. (Die neuesten -Forschungen ¨L. W. Kings¨ für Babylon [Chronicles Concerning early -Babylonian Kings, 2. voll. 1907] und ¨Eduard Meyers¨ [Ägypten zur Zeit -der Pyramidenerbauer, Leipzig 1908] geben allerdings dem ägyptischen -Staate ein um mehrere Jahrhunderte höheres Alter.) Aber es gibt bis -jetzt kein anderes Volk, für das die historische Überlieferung so -wenig Lücken bietet wie das ägyptische. Erman in Berlin, der durch -seine und seiner Schule Arbeit eigentlich erst die Ägyptologie auf -wissenschaftliche Grundlage gestellt hat, sagt: Von der Zeit des Königs -Snofru bis Alexander dem Grossen und von der griechischen Epoche her -bis zum Einbruch der Araber und von diesem wieder bis auf unsere Tage -liegt eine ununterbrochene Kette von Denkmälern und Schriftwerken vor, -die uns die Verhältnisse dieses Landes kennen lehren. - -Über 6000 Jahre können wir die Geschichte dieses Volkes und nur dieses -verfolgen. Darum und nur darum beginne ich mit den Ägyptern. - - - - -I. Kapitel. - -Ägypten. - - -Ägyptische Geschichte. - -Eine genaue ägyptische Chronologie existiert zurzeit nicht, obwohl im -letzten Dezennium, insbesondere durch die Ausgrabungen der deutschen -Orient-Gesellschaft unter Leitung von ¨Borchardt¨, wichtige Ansätze -gewonnen sind. Nach dem Vorgange des ägyptischen Priesters Manetho, -der in griechischer Sprache eine Königstafel gab, von der einiges -erhalten ist, hat man die Geschichte bis auf Alexander in 30 Dynastien -geteilt. Ich gebe hier die Epochen nach ¨Ed. Meyer¨ (Ägypt. Chronologie -1904, Nachträge 1907) und ¨W. Spiegelberg¨, und zugleich nach diesem -die der Kunstgeschichte. Der ursprüngliche Zustand in einer Zeit, die -sich unserer Berechnung entzieht, ist wohl der einer Besiedlung des -Landes durch einzelne selbständige Gaue gewesen; diese Gauverbände -haben sich während des ganzen Altertums erhalten. Aber sehr früh muss -der Riesenstrom, der nur durch vereinte Kräfte nutzbar zu machen war, -namentlich in Unterägypten ein straff zentralisiertes Reich geschaffen -haben, das bereits vor 4000 ein Kulturland war. Nach Meyer hat es -das ägyptische Kalenderjahr geschaffen, »das vom 19. Juli 4241 an -4000 Jahr unverändert in Ägypten bestanden hat, -- das älteste feste -Datum, welches die Geschichte der Menschheit kennt.« Der Tag ist -durch den Heliakischen Aufgang des Sothis (Sirius) festgelegt, denn -das ägyptische Jahr mit 365 Tagen sollte mit diesem Aufgang beginnen, -und der verschob sich alle 4 Jahre um einen Tag. Es folgten dann zwei -politisch getrennte, religiös und kulturell gleichartige Reiche, Unter- -und Oberägypten, von denen jenes die Fischer und Schiffer des Delta, -dieses die Ackerbauer des oberen Stromlaufs umfasste, bis etwa um 3400 -Menes von Thinis, mit Königsname vielleicht ¨Namarê¨, Wahrheit eignet -dem Re, Unterägypten unterwarf und die beiden Reiche vereinigte. Diese -Vereinigung war eine wirtschaftliche Notwendigkeit; die Ackerbauer -Oberägyptens mussten sich die freie Ausfuhr ihres Kornüberschusses in -die Länder des Mittelmeerbeckens sichern. - -Die folgende Tabelle hat ¨W. Spiegelberg¨ seiner Vorlesung über die -ägyptische Kunstgeschichte vom Winter 1906|7 zugrunde gelegt und -mir die Publikation gestattet. Als Zentren der Frühzeit kamen neben -Hierakonpolis (äg. Nechen) noch Buto (äg. Pe) in Betracht sowie Abydos. -Als Könige der Kunstblüte des alten Stils sind Sahurê und Neweserrê zu -nennen (Ausgrabungen der deutschen Orient-Gesellschaft ¨L. Borchardt¨; -vergl. ¨Ed. Meyers¨, des um die ägypt. Chronologie hochverdienten -Forschers Vortrag: Ägypten zur Zeit der Pyramidenerbauer, Leipzig, -J. C. Hinrichs, 1908.) (Siehe Abb.) - - -Die Epochen der ägyptischen Geschichte und Kunst. - - I. ¨Prähistorische Zeit¨. - - II. ¨Frühzeit¨ -- Archaische Kunst. Etwa 3400-2900 v. Chr. Dynastie - I-III. - - III. ¨Altes Reich¨ -- Pyramidenzeit. Etwa 2900-2500 v. Chr. - - 1. Dynastie IV -- Die Pyramidenerbauer Cheops, Chephren und - Mykerinos -- Entwicklung des neuen Stils. - - 2. Dynastie V -- Blütezeit des neuen Stils. Kunstzentrum: - ¨Memphis¨. - - Erste Übergangsperiode -- Dynastie VI-XI -- Etwa 2500-2000 v. - Chr. -- Zerfall des Reiches in Gaustaaten. - - IV. ¨Mittleres Reich¨ -- Der klassische Stil -- Dynastie XII. Um - 2000-1800 v. Chr. -- Sen-wosret (das Urbild des Sesostris) und - der Labyrintherbauer Amenemhet-Labares (Moeris). Kunstzentrum: - ¨Fajum¨. - - Zweite Übergangsperiode -- Dynastie XIII-XVII. Um 1800-1580 v. Chr. - -- Hyksosherrschaft. - - V. ¨Neues Reich¨ -- 1580-1100 v. Chr. Dynastie XVIII bis XX. - - 1. Wiederbelebung des klassischen Stils -- König Thutmosis III. - und Königin Hatschepsowet. Um 1560 bis 1470 v. Chr. - - 2. Blütezeit -- Der freiere Stil. Beziehungen zu der - mesopotamischen und mykenischen Kunst. -- Amenophis II. III. - Thutmosis IV. -- Um 1470-1370 v. Chr. - - 3. Sonderkunst des Ketzerkönigs Chinatôn (= Amenophis IV.) -- - Ausartung des freieren Stils. -- Um 1375-1350 v. Chr. - - 4. Die Restauration -- (Haremheb, Sethos I.). Um 1313-1292 v. Chr. - - 5. Ramessidenkunst -- (Ramses II.). Impressionistische Richtung - in der Architektur. -- Um 1292-1100 v. Chr. - - Dritte Übergangsperiode -- Dynastie XXI-XXV. Um 1100-663 v. Chr. - - Niedergang der Kunst und Beginn des Archaismus unter der - libyschen und äthiopischen Fremdherrschaft. -- Schischak. - Kunstzentrum ist im ganzen neuen Reich ¨Theben¨, mit Ausnahme - der Regierung des Chinatôn, wo es ¨El-Amarna¨ ist. - - VI. ¨Die Spätzeit¨ -- Um 663-532 v. Chr. - - 1. Saitenzeit -- Dynastie XXVI. Psammetich, Amasis, Archaismus - und Renaissance. Blütezeit der Porträtkunst. -- Um 663-525 v. - Chr. - - 2. Perserzeit -- Verfall der Kunst während der persischen - Fremdherrschaft (Herodot). Kunstzentrum ist ¨Sais¨. - - 3. Letzte Blüte unter den letzten einheimischen Dynastien -- - (XXVIII-XXX -- Nektanebos) -- 525-332 v. Chr. Kunstzentrum: - ¨Philä¨. - - VII. ¨Hellenistische Zeit¨ -- Ausleben und Erstarren der ägyptischen - Kunst -- 332 v. Chr.-395 n. Chr. - - 1. Ptolemäerzeit -- 332-30 v. Chr. - - 2. Römische Kaiserzeit -- 30 v. Chr.-395 n. Chr. Zentrum der - Kunst und Wissenschaft ist ¨Alexandria¨. - -Die ersten 6 Dynastien bilden das alte Reich, etwa von 3400-2500. Die -Hauptstadt ist Memphis, gegründet vom Könige ¨Menes¨, dem Men Herodots, -der lange völlig sagenhaft war, bis vor kurzem sein Grab bei Negade in -Oberägypten mit der Leiche gefunden wurde. Das Grab, eine gewaltige -Kammer aus Ziegelsteinen, ist eine sogenannte ¨Mastaba¨, ein arabisches -Wort, das eine grosse Bank bezeichnet. Das Grab, eine Nachbildung des -Palastes, ist vorbildlich geworden, aus ihm sind die Gräber der Grossen -und die Pyramiden, die Gräber der Könige, zunächst die der dritten und -vierten Dynastie, hervorgegangen. Die Stufenpyramide von ¨Sakkara¨ -(siehe Abb.) zeigt, wie sich die Pyramide aus aufeinandergesetzten -Mastabas entwickelt hat. Nur durch ihre Höhe und Masse konnten die -Gräber vor der Verwehung durch den Wüstensand geschützt werden. - -Vor der Scheintür in der westlichen Mitte, aus der der Tote oder -vielmehr seine Seele, der Ka, mit der Welt verkehren sollte, waren die -Opfersteine und später die Opfertempel, wo die Angehörigen dem Ka ihre -Gaben darbringen konnten. Die vollständige Anlage des Königsgrabes -zeigten die Funde ¨Borchardts¨ bei Abusîr, der aus ihnen die Gräber der -Könige der V. Dynastie, des Sahurê und des Neweserrê rekonstruiert hat. -Zuerst der Empfangsraum, in den die Königsleiche aus dem Kahn getragen -wird, dann ein sehr langer gedeckter Gang, mit vielen Reliefs geziert, -der zum Totentempel führt, in dessen Hintergrund sich der Eingang -in die Pyramide, die Scheintür der Mastaba, befand. Die Pyramide -enthält viele Kammern und viele Kostbarkeiten, aber Statuen, wie in den -Mastabas, sind dort nicht gefunden worden. Die vielen Kostbarkeiten -entwickelten eine eigene Zunft der Gräberdiebe, uns sind die Akten -eines grossen Prozesses unter Ramses IX. erhalten, und durch einen -sonderbaren Zufall haben Northampton, Spiegelberg und Newberry bei -ihren Ausgrabungen in der Gräberstadt (Nekropole) von Theben diese -Akten verifizieren können (excavations in the Theben necropolis, London -1908). - -Aus Furcht vor den Dieben sind die Königsgräber später in die schwer -zugänglichen Felsentäler von Biban el Moluk gelegt, deren Zugänge -polizeilich überwacht wurden, trotzdem sind sie geplündert worden. - -¨Menes¨ hat nach der Tradition die beiden Reiche Ober- und Unterägypten -vereinigt, aber die Verwaltung war noch lange getrennt, es gibt zwei -Silberkammern (Reichsbank), zwei Oberrichter oder Vorsteher des Südens -und des Nordens. Der König trägt die beiden Kronen von Ober- und -Unterägypten. Der König ist zugleich Oberpriester, geniesst göttliches -Ansehen, er ist Sohn des Amon oder des Re, des Sonnengottes, ist Horus, -d. h. Frühlingsgott. - -Die Verwaltung ist aufs genaueste organisiert, das Land ist in Gaue -verteilt, denen Gaufürsten mit eigenem Hofstaat vorstehen. Es ist die -Zeit jugendlicher Kraft, des Erblühens von Kunst und Wissenschaft, die -Glanzzeit ist die der V. Dynastie; riesige Tempelbauten, Mastabas, -Steinkammern, dann die Riesenpyramiden des Cheops, des Chephre und des -Mykerinos; sie fallen in die IV. Dynastie. Die Bautätigkeit tritt so -in den Vordergrund, dass die Prinzen den Titel eines Vorstehers der -Arbeiten des Königs tragen. Um den Syenit, das vorzügliche Baumaterial, -zu gewinnen, hat sich das Reich bis an die Katarakten, bis nach Syene -ausgedehnt. Aber nach der VI. Dynastie, nach Pepi III. geriet die -Königsmacht in Verfall. Die Gaugrafen werden selbständig und erblich, -im östlichen Delta um Tanis setzen sich libysche Stämme fest. Schon zur -Zeit Pepis treten neben der Totenstadt, der Nekropole, von Memphis -andere Nekropolen auf, die Gaufürsten lassen sich in ihrer Heimat -begraben und viele Vornehme auch auf dem heiligen Boden von Abydos -neben der Grabstätte des Osiris. Es bildet sich dann in Theben eine -neue Dynastie heran, die in der XI. Dynastie das Land vereinigt und es -beginnt mit der XII. Dynastie das mittlere Reich, dessen erster König -¨Amenemhet¨ I. gründlich Ordnung stiftet. Es muss wirr genug in Ägypten -ausgesehen haben als Amenemhet das Land mit seinem Heere durchzog. In -der uns erhaltenen Inschrift des Chnemhôtep eines sehr hohen Beamten -heisst es: Damit er die Sünde vernichte, er, der wie der Gott ¨Atum¨ -glänzte, da musste er auch wieder herstellen, was er zerstört fand. Er -trennte eine Stadt von der anderen; er lehrte jede Stadt ihre Grenze -gegen die andere kennen und stellte ihre Grenzsteine fest wie den -Himmel auf. Er unterrichtete sich über die Wassergebiete der einzelnen -Städte aus dem was in den Büchern stand und verzeichnete sie nach dem -was in alten Schriften stand, weil er die Wahrheit so sehr liebte. - -Das mittlere Reich geht bis etwa 1800. Gewaltige Bauten an Tempeln -und Gräbern besonders in Theben, daneben auch nützliche Arbeiten -wie Nildämme und besonders das grosse Staubecken des Mörissee, von -¨Amenemhet III. Labares¨, dem Erbauer des Labyrinths angelegt, das -sich bis auf den heutigen Tag erhalten hat und die Landschaft Fajum -erst fruchtbar machte. Zum ersten Mal wirkliche Eroberungskriege; -Nubien, »Das elende Kusch«, wird der Goldminen in seiner Wüste halber -nach langem Kampfe endgültig von Sen-wosret erobert, der im Herzen des -Landes bei Semneh die Grenzfestung anlegt; auch mit Syrien und Arabien -tritt Ägypten in Verbindung. Doch nach den 200 Jahren Blütezeit unter -der XII. Dynastie zerrütten Thronstreitigkeiten, dieser Krebsschaden -aller orientalischen Länder, ausgehend von den mächtigen Gaufürsten, -das Land. Es erliegt dem Ansturm semitischer Nomadenstämme, den -Hirtenfürsten, den Hyksos der Griechen, die von Nordosten her, von -Suez eindringen und zweifelsohne von den Gaufürsten unterstützt werden. - -Ihre Herrschaft nahm den Verlauf, den der Einbruch der Mongolen in -das Kalifenreich und den der Germanen in das Römerreich genommen -hat. Mit unwiderstehlicher Gewalt werfen die Barbaren das zerrüttete -Reich über den Haufen, schaffen Ruhe und sehen dann, dass sie einen -solchen Grossstaat zwar erobern aber nicht verwalten können. Die -alte Regierungsmaschine arbeitet weiter und nur Garnisonen in den -Grossstädten erinnern an die Fremdherrschaft. Nach einigen Generationen -nivellieren sich die Fürsten und Vornehmen, und die späteren -Hyksoskönige sind so gut Ägypter wie die Nachkommen Dschingis Khans -gute Moslems wurden. Aber mit der Zivilisation, die sie gewinnen, -verlieren die Barbarenfürsten ihre Kraft und so wurden die Hyksos -allerdings nicht ohne Kampf nach etwa 300 Jahren von Theben aus durch -Amose I. vertrieben. - -Es beginnt das neue Reich, 1580-1100. Die Zeit der Thutmosen und -Ramessiden, Ägypten wird Weltmacht. Noch der Urenkel des grossen -Eroberers Thutmose III., Amenhôtep III. herrschte über Nubien, Libyen, -Ägypten, Arabien, Palästina und Syrien, bis an den Euphrat und die -Ramessiden behaupteten dieses Reich noch gegen die mächtige semitische -Grossmacht der Chetafürsten. Aber das neue Reich ist ganz vom alten -verschieden. Der Feudaladel wird systematisch vernichtet, etwa wie der -französische durch Richelieu; es ist ein Militär- und Priesterstaat. -Libysche und semitische und hellenische Söldner schlagen die Kriege; -denn der ägyptische Bauer, tapfer wie jeder Bauer, wenn er sein -Eigentum schützt, ist für Eroberungskriege nicht zu brauchen. Der -König ernährt die Heere und die Priester, alles Land, soweit es nicht -den Göttern gehört, d. h. den Priestern, die durch immer grössere -Geschenke gewonnen werden, gehört dem König, der es den Bauern gegen -eine Abgabe von 20 % des Ertrages vermietet. Aber in Wahrheit sind die -Söldnerführer und der Hohepriester mächtiger als der König. Es ist die -bekannte Verbindung von Thron und Altar, wobei gewöhnlich dem Altar -der Löwenanteil zufällt. - -Sehr lehrreich ist hierfür der grosse Papyrus ¨Harris¨, über den uns -¨Erman¨, Berl. Ber. XXI, 1903, aufgeklärt hat. Man glaubte vorher, -dass es sich um ins Ungeheuerliche gehende Schenkungen Ramses III. -an die Tempel handle, E. hat gezeigt, dass es sich um eine für die -Begräbnisfeier dieses Königs in grösster Eile zusammengestellte -Lobschrift handle, und dass die sogen. Geschenke die Bestätigung des -Tempelbesitzes durch den König bedeuten. Aber wir erfahren auch, dass -dieser Besitz mässig geschätzt ein Zehntel des ganzen Landes umfasste. -Insbesondere war der Besitz und damit die Macht der Priester des Amon -zu Theben ins Riesenhafte angeschwollen, daneben Heliopolis, äg. On, -mit dem Tempel des Atum, der Abendsonne, und Memphis mit dem Tempel des -Weltschöpfers Ptah. - -Ich füge hier gleich einiges über die Religion und den Kultus an. -Das ursprüngliche Negervolk hatte Fetischdienst, jeder Ort und Gau -seinen Lokalgott, wie z. B. das Seenland Fajum den in Krokodilsgestalt -verehrten Sokk. Mit dem Eindringen der sehr stark religiös veranlagten -Semiten wurden aus den Fetischen im wesentlichen Lichtgötter, -insbesondere wird die Sonne Gegenstand der Verehrung, bald als -Abendsonne Atum, als Frühlingssonne Horus, als Mittagssonne Rê, als -sich stetig erneuerndes Gestirn Osiris, als Lebenspenderin Amon. Mit -der straffen Zentralisation des Reiches zentralisierte sich auch der -Olymp, die Hausgötter der Dynastien wurden Herrscher in der Götterwelt, -und werden mehr und mehr zu einer Gottheit, im wesentlichen die -Sonne. Am frühesten sind Amon und Rê zum Amon-Rê verschmolzen. Längst -musste die Geheimlehre der Priester monotheistisch gewesen sein, als -Amenophis IV. sich entschloss, alle Machtmittel des Königs daran zu -setzen, den Monotheismus zur Volksreligion zu machen. Zweifelsohne -haben politische Motive mitgewirkt, der König erkannte die Gefahr, -welche die Macht der Amonspriester zu Theben für die Dynastie -barg, und versuchte sie zu brechen. Mit wahrhaft fanatischem Eifer -bekämpfte er den Dienst des Amon, aus allen Denkmälern tilgte er den -verhassten Namen, seinen eignen Namen, der Amon enthielt, änderte er -in ¨Chinatôn¨, »Verkörperung der Sonnenscheibe«, und seine Residenz -verlegte er aus Theben nach El-Amarna. Ebendort wurde 1888 von Arabern -seine Korrespondenz mit den asiatischen Tributfürsten in Keilschrift -auf Tontäfelchen gefunden, sie bewies, dass er es vorzog, Jerusalem -dem Ansturm der Chabiri (Hebräer) preiszugeben und das Anwachsen der -Chetamacht zu dulden als seine Truppenmacht für die Durchführung der -religiös-politischen Revolution zu schwächen. - -Die Macht des Chetareiches ist es wohl auch gewesen, welche bald nach -Chinatôns Tode den energischen ¨Haremheb¨ bewog, seinen Frieden mit -den Priestern zu machen und den alten Zustand rücksichtslos wieder -herzustellen. Er ermöglichte es so seinen Nachfolgern Sethos I. und -Ramses II. den Kampf mit den Cheta mit Erfolg aufzunehmen. Der Kult -der Götter war ein Herzensbedürfnis des Volkes, im Opferzeremoniell -steht der König, der der eigentliche Hohepriester ist, obenan, wie -es denn überhaupt anfänglich ein Laienpriestertum der hohen Beamten -gab, neben dem aber auch eine eigene Priesterkaste stand, die später -den Kult ausschliesslich leitete. Der Gott bewirtet das Volk und ein -grosser Teil der Einkünfte der Priesterschaft ging für Brot und Bier -zur Speisung des Volkes an den Festen auf, wie uns die zahlreich -erhaltenen, sehr detaillierten Tempelrechnungen beweisen. Bei Erman -findet man S. 388 die Beschreibung und S. 389 die Abbildung des -grossartigen Tempels der Sonnenscheibe von Tell el Amarna. - -Etwa ein Jahrhundert nach der Zeit Ramses III., der als der letzte das -Weltreich im vollen Umfang besass, nahm der Hohepriester von Theben den -Thron ein, um 100 Jahre später dem gewaltigen Scheschonk (Schischak), -dem Führer der libyschen Söldner Platz zu machen. In den Kämpfen, die -das Reich zerrütten, beginnt der Vorstoss oder Rückstoss der Assyrer, -nur noch einmal von 625-525 bis auf Kambyses gelingt es der libyschen -Dynastie, Psammetich, Nekao, Amasis, aus Herodot uns wohlbekannt, eine -kurze Blüte ägyptischer Kultur, die absichtlich an das alte Reich -anknüpft, herbeizuführen. Dann wird Ägypten persisch und wird mit -Persien von Alexander dem Grossen erbeutet. Nach dessen Tode regiert -300 Jahre lang die Diadochenfamilie der Ptolemäer. Die hellenistische -Kultur dringt ein, berührt aber nur die Vornehmen, unter Kleopatra wird -30 v. Chr. Ägypten römische Provinz. Die Kultur dieser Zeit verwächst -mit der griechisch-römischen als hellenistische. - - -Ägyptische Sprache und Schrift. - - -Die ägyptische Sprache gilt heute als verwandt mit dem Semitischen, dem -Arabischen, Babylonischen und Hebräischen. Wir können sie verfolgen von -4000 v. Chr. bis 1650 n. Chr. Wir unterscheiden: - - 1. Das Altägyptische, die Sprache der Pyramidentexte, die als - gelehrte Literatursprache bis in die römische Zeit unter Kaiser - Decius fortlebt. - - 2. Die Volkssprache des mittleren und neueren Reiches, das - Neuägyptische. - - 3. Das Demotische, die Volkssprache der griechischen Zeit. - - 4. Das Koptische, die Sprache der christlichen Ägypter. - -Das Demotische knüpft unmittelbar an das Altägyptische an. Das -Koptische zeigt zwar grosse lautliche Veränderungen durch den Einfluss -des Griechischen, gewährt aber generaliter die beste Hilfe für die -Entzifferung des Altägyptischen, denn die ersten drei Sprachen wurden -ohne Vokale geschrieben. - -Hinsichtlich der Schrift sind 4 Epochen zu konstatieren. - - 1. Die Periode der Hieroglyphen, welche von 4000 v. Chr. bis 250 - n. Chr. reicht, obwohl in den letzten 1000 Jahren nur noch zu - dekorativen Zwecken, wie Tempelinschriften und feierlichen Urkunden. - - 2. Die Periode der hieratischen Schrift, welche die Periode der - Hieroglyphen von 2500, von der XI. Dynastie an, begleitet bis zu - Psammetich. Sie hat sich aus Abkürzung der Hieroglyphen entwickelt. - Sie ist die Geschäftssprache und Schrift und aus ihr entwickelt sich: - - 3. Die demotische Sprache und Schrift, welche dann aber, als nach - Diokletian die ägyptische Religion dem Christentum erlag, durch - - 4. die koptische Schrift verdrängt wurde, die griechisch ist, bis auf - einige Zeichen, die demotisch blieben, weil sie Laute bezeichnen, - die das Griechische nicht hat. Das Koptische ist eine tote Sprache, - es erlag dem Arabischen. Um die Mitte des 17. Jahrhunderts, genauer - noch 1673 starb der nachweislich letzte Mann der Koptisch sprach, der - 80jährige Muallim Athanasios. Nur noch im koptischen Kultus hat es - sich als Sprache der koptischen Bibel gehalten, wie etwa das Latein - in der katholischen Kirchensprache. - - -Ägyptische Kultur. - - -Meine Herren! Mit der Schätzung der ägyptischen Kultur ist es seltsam -gegangen. Im ganzen Kulturgebiet des Mittelmeeres stand ägyptische -Weisheit seit der Zeit der Hellenen bis in die Mitte des 19. -Jahrhunderts im höchsten Ansehen, während ihre Kunst als seltsam und -barbarisch gering geschätzt wurde. Die geheimnisvolle Weisheit der -Priester, die vielen Inschriften in der wunderbaren Bilderschrift der -Hieroglyphen -- vielleicht ein griechisches Wort, das Einmeisselung in -den heiligen Stätten bedeutet --, die unentzifferbaren Papyrosrollen, -der einzig dastehende Totenkult, alles das trug dazu bei, den Gedanken -an tief verborgene geheimnisvolle Weisheit zu erwecken. Welchen -Eindruck Ägypten auf die Hellenen gemacht, erfahren wir aus Herodot, -der ersten und der besten alten Quelle. Er, der Ägypten etwa um die -Mitte des 5. Jahrhunderts bereiste, schreibt: Wie der Himmel bei ihnen -von sonderlicher Art, wie ihr Strom eine andere Natur hat, als die -übrigen Flüsse, so sind auch fast alle Sitten und Gebräuche der Ägypter -entgegengesetzt der Weise der anderen Menschen. Bei ihnen sitzen die -Weiber auf dem Markt und handeln, die Männer bleiben zu Hause. Lasten -tragen die Männer auf dem Kopf, die Frauen auf den Schultern. Ihre -Notdurft verrichten sie in den Häusern, die Speisen aber nehmen sie auf -der Strasse zu sich und sagen dazu: Im Verborgenen müsse man tun, was -unziemlich sei, aber notwendig, öffentlich aber, was nicht unziemlich -sei etc. - -In jeder Hieroglyphe sah man ein Bild oder Symbol irgend eines tiefen -Gedankens und suchte sie wie einen Rebus zu erraten. So las der -bekannte viel wissende Jesuit ¨Athanasius Kircher¨, der von 1601-1680 -lebte und die Laterna magica u. a. erfunden hat, die sieben Zeichen: - -[Illustration] - -welche in Wahrheit autkrtr heissen und den Titel αυτοκρατως, -Selbstherrscher, bezeichnen, der den Titel Imperator des römischen -Kaisers wiedergibt, in folgender Weise: Osiris ([**symbol] = a) ist -Urheber der Fruchtbarkeit und aller Vegetation, ([**symbol] = u). Seine -Zeugungskraft ([**symbol] = tk) zieht aus dem Himmel ([**symbol] = r) -der heilige Mophta ([**symbol] = tr[*]) in sein Reich, und in einem -andren Falle las Kircher die 17 Buchstaben kasrs Tmitins sbsts d. h. -Kaiser Domitianus Sebastos so: Der wohltätige Vorsteher der Zeugung -der im Himmel vierfach mächtige übergibt durch den wohltätigen Mophta -die luftige Feuchtigkeit an den Amon, der in der Unterwelt mächtig -ist und durch seine Statue und geeignete Zeremonien veranlasst wird, -seine Macht auszuüben. ¨Kircher¨ hat übrigens um die Kenntnis des -Koptischen wirkliche Verdienste. Er hat zuerst das Koptische als die -altägyptische Volkssprache bezeichnet (lingua aegyptiaca restituta -1645). Während Kircher metaphysische und theosophische Spekulationen -in die Hieroglyphen hineinlas, fand der Abbé Pluche meteorologische -Beobachtungen in ihnen und ein Anonymus sogar Davidische Psalmen. - -[*] Der Löwe ist ein spätes Zeichen, das eigentlich dazu dient, r und -l, die in alter Zeit das gleiche Zeichen haben, zu unterscheiden. - -Meine Herren! Sie können sich denken, dass durch solche Spielereien -die ganze Beschäftigung mit Hieroglyphen in Verruf kam und wir -blieben für die wirkliche Kunde von Ägypten auf die griechischen -Quellen, insbesondere auf Herodot, Eusebios, Horapollo, Plutarch, -Diodor und die jüdischen Erzählungen in der Bibel angewiesen. Das -wurde mit einem Schlage anders, als ¨Napoleon¨ im Jahre 1798 seinen -Zug nach Ägypten unternahm, um von da aus die Engländer in Indien zu -bedrohen. Grossartig wie der Plan und der Mann nahm er einen ganzen -Stab hervorragender Gelehrten unter Vorsitz von ¨Fourier¨ mit, die -mit der Erforschung des Landes beauftragt wurden, für welche Napoleon -durch des Mathematikers ¨Karsten Niebuhrs¨ Reise in Arabien (voyage en -Arabie) 1761-67 angeregt worden war. Sie haben ihre Aufgabe glänzend -gelöst und ihr grosses Material in der description de l'Egypte, dem -Fundament der Ägyptologie, niedergelegt. Statt der wenigen nach Rom und -Byzanz verschleppten Inschriften lag jetzt eine Fülle von Texten vor -und die Entzifferung wäre, wenn auch langsam, gelungen, wie die der -Keilschriften Assyriens gelungen ist, auch ohne den glücklichen Zufall -des Fundes von Rosette. - -»Im August 1799, als die Lage des französischen Heeres schon recht -misslich war, fand man beim Ausheben von Schanzen im Port St. Julien -(Raschêd), 7,5 km N. W. von ¨Rosette¨ in der Nähe der westlichen -Nilmündung eine schwarze Granittafel, deren Vorderseite mit drei -Inschriften bedeckt war. Die oberste in Hieroglyphen, die mittlere in -der ägyptischen Volksschrift zur Zeit der Ptolemäer, dem Demotischen, -und die unterste in griechischer Schrift und Sprache. Im griechischen -Text stand: Man solle dieses Dekret der Priester von Memphis zu -Ehren des Königs (Ptolemäus Epiphanes, 196) in heiliger Schrift, -in Volksschrift und in griechischer schreiben. Es war also kein -Zweifel, dass die beiden ägyptischen Texte des Steines von Rosette die -Übersetzung des Griechischen enthielten. In dem Dekret war mehrfach -von König Ptolemäus die Rede, es war unwahrscheinlich, dass für diesen -fremden Namen die Hieroglyphen als Symbolik dienen sollten. Die -Vermutung lag nahe, dass die Hieroglyphen eine Lautschrift seien.« - -Sie wurde 1816 von dem grossen englischen Physiker ¨Thomas Young¨ -ausgesprochen, welcher an der durch die Kapitulation von Alexandria -1801 nach England gesandten Tafel i, n, p, t, f entzifferte und -unabhängig von ihm kam der junge französische Gelehrte ¨Jean François -Champollion-le Jeune¨ auf den gleichen Gedanken. Champollion muss -als der eigentliche Entzifferer der Hieroglyphen angesehen werden. -Wer sich genau für ihn und seine Taten interessiert, findet alles -denkbare Material in dem höchst fesselnden Werke von ¨H. Hartleben¨: -Champollion, sein Leben und sein Werk 1906, in dem mit der ganzen -liebevollen Sorgfalt, deren nur eine Frau fähig ist, und mit -glänzendem Erfolg in vieljähriger unermüdlicher Arbeit alle überhaupt -beschaffbaren Urkunden verwertet sind. Dass Young und Champollion -Vorläufer hatten, ist selbstverständlich, so erwiesen sich z. B. die -Angaben des Kirchenvaters ¨Clemens Alexandrinus¨ über das altägyptische -Schriftsystem bedeutend zuverlässiger als die des Herodot und Diodor. -Ganz bedeutend muss der Däne ¨Georg Zoëga¨ hervorgehoben werden, der -sich von 1783 an mit Hieroglyphik beschäftigte. Zoëga, geschulter -Philologe, -- er war der Lieblingsschüler des berühmten Göttinger -Philologen ¨Ch. G. Heyne¨ --, hat den Lautcharakter der Hieroglyphen -erkannt. Er hat vermutet, dass der Ring: [**symbol], die alphabetisch -geschriebenen Namen des Königs und der Königin umschlösse und was -die Hauptsache war, er hat die ägyptische Kunst richtig beurteilt. -¨Winckelmann¨ hatte die ägyptische Kunst als völlig stabil hingestellt. -Demgegenüber zeigte Zoëga, dass es in ihr Entwicklung, Blüte und -Verfall gibt, kurz Bewegung. Heute wissen wir, dass das alte Reich -eine Zeit der Entwicklung durchmachte von kühner, aber technisch -unvollkommener Nachahmung der Natur aufsteigend bis zu Meisterwerken -wie: »der Dorfschulze, der Schreiber«, und der gewaltigen Sphinx', -das Abbild der vollen Majestät des Königs (siehe Abbild.). Auf diese -Zeit folgte ein Beharren und ein Stabilwerden im mittleren Reich, -ein Verfall in der Hyksosperiode, bis dann im neuen Reiche die neue -grossartige Kunstepoche herbeigeführt wurde dadurch, dass die aus dem -Verkehr mit Syrien und Babylonien gewonnenen neuen Motive der Eigenart -des ägyptischen Volkes gemäss entwickelt wurden. In dem Werke von -H. Hartleben finden Sie, meine Herren, wie Champollion von frühester -Jugend an die Entzifferung des ägyptischen Geheimnisses als sein -Lebensziel erkannte und wie unentwegt er diesem Ziel trotz Krankheit -und Not nachgestrebt. Von besonderem Einfluss ist das Interesse, das -¨Fourier¨, der Verfasser der Théorie de la Chaleur, dem genialen Knaben -entgegenbrachte, der 12jährig im Herbst 1802 dem Präfekten von Grenoble -durch den älteren Bruder, den ebenfalls bedeutenden Gelehrten Jacques -vorgestellt wurde. Aber wir sehen aus dem Buche auch, wie gross die -Arbeit, wie mannigfaltig die Schwankungen und Irrtümer waren, bis es -1822 Champollion gelang, die grundlegenden Sätze auszusprechen: - - 1. Die drei altägyptischen Schriftformen, Hieroglyphen, - Hieratisch, Demotisch, stellen im Grunde dasselbe einheitliche - System dar. - - 2. Das System besteht aus einem Gemisch von etwa 19 teils - »figurativer«, teils »symbolischer« Zeichen. - -Champollion ging wie Young vom Stein von Rosette aus. Dort kam an der -Stelle, wo der griechische Text von Ptolemäus spricht, derselbe Ring -vor, den man von den Bildern der Tempel neben dem Haupt des durch -die Doppelkrone bezeichneten Königs her kannte und in diesem Ring -[**symbol] finden sich die Zeichen: - -[Illustration] - -[Illustration] - -Champollion hatte bemerkt, dass auf einem Obelisken aus Philä, der -wichtigen Grenzstadt in Unterägypten, neben demselben Königsring ein -anderer stand, der 5 von den Zeichen des ersten Ringes enthielt. Aus -der griechischen Inschrift an der Basis des Obelisken liess sich -entnehmen, dass es der Name Kleopatra sei und er musste es sein, denn -von den drei in der Königsfamilie üblichen Frauennamen: Arsinoe, -Berenike, Kleopatra enthält nur der letzte 5 Buchstaben, die auch in -Ptolemäus vorkommen. So wurden die Zeichen für die Laute a, e, l, m, o, -p, r, s, t gefunden und bald fand Champollion Bestätigungen, die ihn -weiter führten, so an dem Königsnamen Aleksentros, id est Alexander. -Dazu kam dann bald als der schlagendste Beweis, dass, wenn man nach -dieser Deutung Worte las, die phonetisch geschrieben, hinter denen -aber, was sehr häufig ist, ein Deutungszeichen stand, wie z. B. - -[**symbols] Eh und: [**symbols] - -erp, man auf wohl bekannte koptische Worte ehe der Ochse und erp, der -Wein stiess. - -Diese Determinative oder Deutungszeichen waren unentbehrlich und -wurden immer zahlreicher. Dieselben beiden Zeichen [**symbols] -konnten noch bedeuten: Weinen, dann war ein tränendes Auge dahinter -[**symbol]; Feld, dann war ein Markstein dahinter, wenn es Strick -bedeutete [**symbol]. Wenn es Loben, Preisen, Rufen, kurz einen Ausruf -bedeutete, ein sitzender Mann, wenn es Bedrohen, Bedrängen bedeutet, -ein bewaffneter Arm: [**symbol], der überall vorkommt, wo Energie -ihren Ausdruck findet. Es sind diese Determinative Überreste der -ältesten Zeit, wo die Hieroglyphen wirklich Bilderschrift war, wie es -die chinesische Schrift noch heute ist. -- Ich nehme als Beispiel die -Hieroglyphe [**symbol] per das Haus, der rohe Grundriss eines Hauses, -wie es noch heute der ägyptische Bauer bewohnt. Aber das Zeichen für -Haus der ältesten Zeit wurde im Laufe der Zeit zum ¨Zeichen¨ der -Silbe per. Dies kann dann sehr verschiedenes bedeuten: [**symbols] -hinausgehen, [**symbols] hineingehen. - -Als Champollion 1832 schon 10 Jahre nach seiner Entdeckung starb, -war es ihm gelungen, das ganze Schriftsystem der Hieroglyphen zu -entziffern. Dieser eine Mann hatte in einem Jahrzehnt das grosse Rätsel -gelöst und ein ganzes Volk wieder in die Weltgeschichte eingeführt. - -Nach den Hieroglyphen wurde die hieratische Schrift entziffert, die -Priesterschrift, in der die meisten Papyri geschrieben sind, und -die aus Zusammenziehung der Hieroglyphen, sogenannten Ligaturen, -entstanden, sich zu jener verhält, wie unsere Schreibschrift zur -Druckschrift und nach dieser von Brugsch das Demotische. Es konnte -eine ägyptische Grammatik geschrieben werden, ägyptische Literatur -gelesen werden und eine glänzende Bestätigung erhielten die Arbeiten -der Ägyptologen als ¨Lepsius¨, der 1842 die berühmte, so erfolgreiche, -sogenannte preussische Expedition geleitet hatte und die Gräber des -alten Reiches aufgedeckt hatte, 1867 auf dem Trümmerfelde der alten -Stadt Tanis eine andere Trilingue fand, von sehr bedeutender Länge und -ganz vollkommen erhalten: Das Dekret von Canopus, das sich auf eine -Kalenderverbesserung bezog. - -Aber als nun die ägyptische Literatur entziffert war, machte sich -zunächst eine grosse Enttäuschung geltend. An Stelle der erwarteten -tiefsinnigen Weisheit fand man eine wirre Mythologie, aus der nur die -schon durch Plutarch, de Iside, bekannten Gestalten des Osiris, der -Isis, des Seth oder Typhon, und des Horus oder besser Hor deutlicher -sich abhoben. Man lese Erman S. 365 ff. Daneben Haarspaltereien, -wie etwa die rabbinischen Untersuchungen über die Jakobsleiter, -Zaubersprüche und eine tolle Dämonologie. Die Papyri entpuppten sich -meist als Schülerhefte oder als Briefe, die zum Unterricht geschrieben -waren und etwas mehr Inhalt boten eigentlich nur die Totenbücher, -buchstäblich Reisehandbücher für den Ka, die Seele des Verstorbenen, -auf seiner Reise in das Reich des Osiris, in die Totenwelt. - -Die Medizin, die Herodot solchen Respekt einflösste, lernten wir -aus dem grossen Papyrus Ebers kennen, eine ausserordentliche, -reiche Sammlung von Rezepten, deren vornehmster Bestandteil Kot der -verschiedenartigsten Tiere, überhaupt die ekelerregendsten Elemente -sind. Beiläufig gesagt ist auch für die mathematische Tradition die -Bemerkung nicht unwichtig, dass ein Teil dieser Rezepte noch heute -unverändert einen Bestandteil der Volksapotheke in Europa bildet. -- -So schlug denn die Ehrfurcht in ihr Gegenteil um. Man unterschätzte -die ägyptische Wissenschaft, wie man sie überschätzt hatte. Aber etwa -seit 1880 trat eine Wandlung ein, die genaue Detailforschung, gefundene -Briefe, Rechnungen, Steuerquittungen, Prozessakten zeigten, dass man -es mit einer seit 4000 v. Chr. grossartig organisierten Verwaltung -und mit einem ausserordentlich klaren und verständigen Volke zu tun -hatte. In die Geschichte, in die Mythologie kam Licht, Lyrik, ein -reicher Märchenschatz, wie ihn noch heute die Fellah lieben; auch die -Kunst zeigte sich zum Teil auf erstaunlicher Höhe. Vergl. die kurze -Kunstgeschichte von ¨W. Spiegelberg¨. Man denke an die Statuen des -Pepi und Ramses II., die herrlichen Statuen von Gizeh im Louvre etc. -Ferner an Architekturwerke, Meisterwerke, wie die Tempel von Karnak -und Luxor. Papyri, wie die älteren, auf Leder geschriebenen, z. B. -der Papyrus Prisse, zeigten wirklich hohe Weisheit auf ethischem -Gebiet 2500 v. Chr. Ausserordentlich früh war das Barbarentum, wie -Menschenopfer, Tötung der Frauen und Sklaven, die es bei den Griechen -noch im Homerischen Zeitalter gab, abgeschafft. Auch die Stellung der -Frau zeigt die ethische Reife, sie war weit höher als bei irgend einem -orientalischen Volke, vielleicht die Hebräer ausgenommen, selbst der -Adel der Herkunft richtet sich nach der Mutter. Wir haben Kunde von -der bedeutenden Rolle, welche z. B. Tye, die Mutter des Chinatôn, -spielte, deren wundervoller Goldschmuck vor kurzem gefunden wurde, wir -wissen von der zwanzigjährigen kraftvollen Regierung der Hatschepsowet, -der Mutter des grossen Thutmosis III., welche u. a. eine grosse -und erfolgreiche Expedition nach Punt sandte und dort ihre Statue -aufstellen liess. Die Ehe war sehr früh im wesentlichen monogamisch, -und das Familienleben ausserordentlich innig. Vielleicht hat die -Schwesterehe der Ägypter zu dieser Wertung der Frau beigetragen. -Anfänglich Sitte der Vornehmsten, wohl um Erbteilungen zu vermeiden, -verbreitete sie sich rasch über das ganze Land, und die Ägypter haben -für Schwester und Geliebte das gleiche Wort. -- Die Rechtspflege war -sehr früh geordnet, Richter von Fach führten die Untersuchung, die -Strafen bestimmte der König, sie waren nicht grausamer, als sie bei uns -bis ins 19. Jahrhundert hinein gebräuchlich waren. - - -Ägyptische Mathematik. - - -Was nun die Mathematik der alten Ägypter betrifft, so waren wir bis -1868 auf sehr dürftige Quellen angewiesen. Dass die Ägypter schon -früh im Besitze nicht geringer mathematischer Kenntnisse gewesen, -geht schon aus den gewaltigen Bauten hervor. Die Gräber der Grossen -waren genau orientiert. Stets stand die Statue des Toten, die dem Ka, -der Seele, Gelegenheit geben sollte in seinen Leib zurückzukehren, -so dass sie genau nach Westen schaute. Die grossen Pyramiden waren -auf das Genaueste orientiert, so dass die wunderbarsten Vermutungen, -und zwar vor noch nicht langer Zeit, über ihre eigentliche Bedeutung -gemacht wurden. Ich nenne nur die des Ingenieurs Price Smith über die -Pyramide des Cheops. Im allgemeinen standen die Tempel im Meridian. -Diese Orientierung war Aufgabe einer besonderen Priestergruppe, der -Harpedonapten id est der Seilspanner. Der König selbst beteiligte sich -dabei. Man vergleiche die von dem früheren Strassburger Ägyptologen -¨Dümichen¨ veröffentlichte Baugeschichte des Tempels von Denderah; -der Tempel wird genau nach dem Eintritt der Plejaden in den Meridian -orientiert. Dort ist der König abgebildet an einem Pflock stehend, und -diesem gegenüber steht Să̇fchet, die Göttin der Wissenschaft und der -Bibliotheken; beide schlagen gleichlange Pflöcke mit einer Keule in -den Erdgrund und halten gemeinsam ein Seil. Die Inschrift sagt: Ich -habe gefasst die Holzpflöcke und den Stiel des Schlegels, ich halte -das Seil gemeinsam mit der Göttin Să̇fchet. Mein Blick folgt dem Gange -der Gestirne; wenn mein Auge an dem Sternbilde des Siebengestirns -angekommen ist und erfüllt ist der mir bestimmte Abschnitt der Zahl -der Uhr, stelle ich die Pflöcke auf die Eckpunkte deines Gotteshauses. -Die Stelle: wenn mein Auge usw. wird dadurch verständlich, dass die -Himmelskarte so angelegt wurde, dass unter der Mitte des Himmels ein -Mensch aufrecht sitzt und nun wird der Gang der Sterne angegeben. Uns -sind mehrere solcher Listen erhalten. Da heisst es z. B.: Am 16. Phaopi -steht in der 8. Stunde die Fingerspitze des Sternbildes Sa'h id est -Orion über dem linken Auge etc. Ich will hier nur kurz bemerken, dass -auch unser Kalender im wesentlichen auf die Ägypter bezw. Babylonier -zurückgeht. - -An Werkzeugen war ihnen schon in ältester Zeit der rechte Winkel, das -Richtscheit, bekannt, das man u. a. in einer Tischlerwerkstatt gefunden -hat; die Orientierung im Felde geschah durch das Spannen des Seiles mit -den Knoten 3, 7, 12. Dass danach das pythagoreische Dreieck mit den -Seiten 3, 4, 5 den Ägyptern bekannt war, steht unzweifelhaft fest. Auch -Zirkel verschiedener Art können nicht gefehlt haben. Ein eigentümliches -Instrument zum Ebenmachen, unserem Hobel entsprechend, ist ebenfalls -gefunden worden. An Massstäben etc. hat es auch nicht gefehlt. Das -Richtscheit kommt des öfteren auf Bildern in der Hand des Königs vor, -wie etwa der Pflug in der des Kaisers von China. In der Ornamentik -findet sich eine Reihe geometrischer Figuren, ihre Wagenräder -verlangen die Kreisteilung, anfangs sind sie viergeteilt, später nach -Zusammenstoss mit den Chaldäern oder Babyloniern sind sie sechsgeteilt. -In der grossen Schenkungsurkunde des Tempels von Edfu haben wir eine -ganze Reihe von Flächenberechnungen; einzelne Rechenexempel finden sich -in den Papyri, aber im grossen und ganzen waren wir auf sehr dürftige -Nachrichten der Klassiker, in erster Linie auf Proklus angewiesen. - -Fest steht, dass ¨Thales¨, der Milesier, etwa um 600 einige Kenntnisse, -die ihm ägyptische Priester vielleicht wegen ihrer Geringfügigkeit -mitgeteilt hatten, nach Jonien brachte, darunter den Satz von den -Basiswinkeln im gleichschenkligen Dreieck, den 2. Kongruenzsatz -und die Konstruktion des gleichseitigen Dreiecks. Weit länger und -fruchtbarer scheint der Aufenthalt des ¨Pythagoras¨, dem es allem -Anscheine nach gelang in die schwierige Sprache und in das noch -schwierigere Vertrauen der ägyptischen Priester einzudringen, gewesen -zu sein. Pythagoras brachte vermutlich auch die Form, in welche die -Ägypter Sätze und Aufgaben kleideten, nach Europa, die sich bei -Euklid und Heron erhalten hat. Sicher bezeugt ist der Aufenthalt des -Mathophilosophen ¨Eudoxos¨ und der des Oinopides, der die Konstruktion -des Lotes aus Ägypten importierte. Wahrscheinlich der des Platon -von Sizilien aus, sicher wiederum der des Eudemos, wahrscheinlich -der des ¨Demokrit¨, der sich rühmte, dass ihn im Konstruieren nicht -einmal die Ägypter überträfen. Die ägyptische Reisskunst hatte den -höchsten Ruf. Ägyptische Feldmesser und Baumeister waren in der -ganzen Welt des Mittelmeeres bis tief in die römische Kaiserzeit die -gesuchtesten. Einen hohen Ruf hatten ihre astronomischen Kenntnisse -und Beobachtungen, die sehr lange fortgesetzt waren. Man muss freilich -sagen, dass die eigentümlichen, ganz neuerdings von ¨L. Borchardt¨ -erklärten Instrumente mit unseren astronomischen Präzisionsinstrumenten -keinen Vergleich zulassen, ja nicht einmal mit denen der Babylonier. - -Eine direkte altägyptische Urkunde sprach zum ersten Male zu uns im -Papyrus Rhind, über welchen 1868 der Engländer ¨Birch¨ im Lepsius einen -kurzen Bericht gab. 1872 erhielt ¨August Eisenlohr¨ in Heidelberg eine -lithographische Abschrift des Textes und in fünfjähriger mühevoller -Arbeit entzifferte er denselben, unterstützt von seinem Bruder, dem -Mathematiker ¨Friedrich Eisenlohr¨ und vor allem von ¨Moritz Cantor¨. -Die Ausgabe ist jetzt veraltet, besonders die Namen, aber auch die -Zahlworte und Masse sind falsch gelesen. So ist z. B. psd 9 mit paut -Kreis verwechselt und eine neue Ausgabe vom Standpunkte der heutigen -Ägyptologie wäre sehr zu wünschen. - -Der Papyrus beginnt mit den Worten: »Vorschrift zu gelangen zur -Kenntnis aller dunklen Dinge, aller Geheimnisse, welche sind in den -Dingen. Verfasst wurde diese Schrift im Jahre 33, im vierten Monat -(Mesori) der Überschwemmungszeit unter König Raa-us lebenspendend -nach dem Muster alter Schriften in der Zeit des Königs .......at vom -Schreiber Aahmesu.« Der König heisst nicht Raa-us, sondern mit seinem -Horusnamen Apophis, wie die furchtbare Schlange des Typhon. Es ist der -Hyksoskönig mit seinem Königsnamen A-vose-re, gross ist die Macht des -Re. Re, nicht Ra, ist die heisse Mittagssonne, deren Gewalt nirgends -sich fühlbarer machte als in Ägypten, und deren Kult im alten und -im mittleren Reich alle übrigen überbot. Der König des Musters ist -Amenemhet III., etwa um 2200. Die Muster sind, wie es scheint, gefunden -worden von Flinders Petrie in Kahun im Jahre 1889, die Papyri hat -Griffith 1897 herausgegeben, wenigstens stimmt Papyrus Ames mit denen -von Kahun genau überein. - -¨Eisenlohr¨ und mit ihm ¨Cantor¨ bezeichnen den Papyrus als ein -mathematisches Handbuch der alten Ägypter, Cantor nennt es gelegentlich -sogar »Vademecum eines ägyptischen Feldmessers«, dem gegenüber erklärte -¨Eugène Revillout¨, der Herausgeber der Revue égyptologique, in einer -Note, die Cantor, wie es scheint, entgangen ist, ist sie doch dem -so rührigen und so viel jüngeren ¨L. Borchardt¨ entgangen, das Heft -ganz kurz und klar für das Heft eines mässigen Schülers, das einige -Jahrhunderte später von einem Schreiber ohne alle mathematische -Bildung, und solcher gab es schon im alten Ägypten, dem Jamesu, Sohn -des Mondes, abgeschrieben und an einen schlichten Landmann verkauft -ist. Dieser Ansicht Revillouts schloss sich Weyr in seinem Festvortrag -in der Wiener Akademie an; ¨Borchardt¨, dessen Autorität sehr schwer -ins Gewicht fällt, teilte gleichfalls diese Ansicht und auch ich -kann ihr nur beipflichten. Das Heft wimmelt geradezu von groben -Rechenfehlern, die oft vom Lehrer mit roter Tinte tout comme chez -nous korrigiert, öfter nur generaliter bemerkt sind. So kommt z. B. -ein Exempel vor, wo der Schüler durchgehend 14 mit 9 verwechselt hat, -das war leicht möglich, die Schrift ist althieratisch, ganz ähnlich -wie beim Papyrus Ebers, unserer Hauptquelle für die Geschichte der -ägyptischen Medizin. Das Hieratische verhält sich, wie schon gesagt, -zu den Hieroglyphen, die nur in prähistorischer Zeit wirkliche -Bilderschrift waren, wie unsere Schreibschrift zur Druckschrift, es -entsteht durch Ligaturen. Der Lehrer schreibt nur eine 14 an den Rand; -er lässt, wenn die Exempel falsch sind, Proben machen, gibt auch -gelegentlich dasselbe Exempel mit anderen Zahlen, manchmal gibt er -selbst die Lösung an, die mitunter ganz anderen Gebieten der Mathematik -angehörte. Daneben kommen auch Fehler genug auf Rechnung des Schreibers -Jamesu. - -Die Ansicht ¨Revillouts¨ ist schon an und für sich wahrscheinlich, -da die grosse Mehrzahl der auf uns gekommenen Papyri Schülerhefte -waren. Es gab schon im alten Reiche ein ausgebildetes Schulwesen. Die -Schulen a-sbo waren teils staatliche, teils private. Sie waren ganz -und gar realistisch. Ihr Zweck war nicht die formale Geistesbildung, -an toten Sprachen abgezogen, sie übersetzten nicht ihren Julius Cäsar -Shakespeares ins Lateinische, um denselben den Römern zugänglich zu -machen, sondern sie hatten Fachschulen, Schulen für Ackersleute, -für Baumeister, für Feldmesser, für Intendanten, für Kaufleute etc. -Unser Heft entstammt einer landwirtschaftlichen Schule. Der Schreiber -schliesst es mit den Worten: Fange das Ungeziefer und die Mäuse, -vertilge das Unkraut aller Art. Bitte Gott Re um Wärme, Wind und hohes -Wasser. - -Das letzte war die Hauptsache. Ägypten, sagt Herodot, ist ein Geschenk -des Niles, wurde doch die ganze straffe Zusammenfassung des Volkes -unter ¨einen¨ König durch die Notwendigkeit dem gewaltigen Strom mit -vereinten Kräften zu wehren, unabweisbar; damit das Jahr gut war, -musste die Nilhöhe am Pegel von Memphis 16 Ellen, à 0,538 m, betragen. -Bei 18 Ellen war es ein gesegnetes, was darüber war, war schädlich. -Aber auch abgesehen von dem Spruche, bezeugt es der Inhalt des Heftes; -die Beispiele sind zum weitaus grössten Teil direkt für den Gebrauch -des Landmanns bestimmt. Ein nicht unwichtiges Argument für Revillouts -Ansicht gab mir Herr ¨Spiegelberg¨ an. Der Papyrus soll nämlich -vorzüglich erhalten sein, was äusserst unwahrscheinlich ist bei einem -viel gebrauchten Handbuch. - - -Ägyptische Arithmetik. - - -Das Zahlensystem der Ägypter ist dekadisch. Die Ziffern sind für die -Einer Striche [**symbol], für die Zehner [**symbol], für die Hunderter -[**symbol], für die Tausender [**symbol], für die Zehntausender -[**symbol], für die Hunderttausender [**symbol]. Die grössere Zahl geht -der kleineren vor, z. B. - -[Illustration] - -gleich 212,635. - -In den Stundenangaben und Datierungen werden die Einer auch noch durch -horizontale Striche bezeichnet. - -[Illustration] - -In monumentalen Einmeisselungen stehen die Zahlen auch vertikal, wie -z. B. die Zahl 7551, die in der Schenkungsurkunde auf der Tempelmauer -von Edfu vorkommt. Für 5 kommt auch in hieroglyphischen Ziffern -[**symbol] vor. - -Die lautliche Bezeichnung, soweit sie feststeht, ist für 1 wa, für -zwei meist die Dualform vom Stamme sen Bruder, nämlich der eins. Die -5, dua, heisst Hand, wie im Indischen und Mexikanischen und wird auch -meist durch eine Hand determiniert. Umgekehrt wird z. B. Handwerker -dargestellt durch fünf Striche, dahinter Mann und Frau. Die 10 (met) -wird durch den Phallus [**symbol] geschrieben, der denselben Lautwert -met hat. Das Zeichen für 100 (vielleicht schent), eine Schlinge, -ist vom zusammengerollten Seil von 100 Ellen hergenommen, 1000 -(cha) ist die so häufige Lotosblume, deba, d. i. 10000, ist Finger, -Zeichen und Wort für 100000 ist die Kaulquappe hafen, welche nach der -Überschwemmung im Nilschlamme in ungeheuren Mengen vorkommt. Als der -Handel im Delta ausserordentlich entwickelt war, im neuen Reiche gab es -auch Zeichen für Millionen und Zehnmillionen. Die Zeichen kommen schon -früher vor, sie werden dann aber meist, wie das griechische Myrioi, für -unendlich gebraucht. Der Gott verspricht dem Könige nicht Millionen -Jahre, sondern ewiges Leben. - -Es gab seit der ältesten Zeit ein Zeichen für 0 nen, nichts. - -Nen ist zugleich die grammatische Negation, die Hieroglyphen -[**symbols] stellen vielleicht eine im Gleichgewicht befindliche Wage, -vielleicht zwei gleichmässig ausgestreckte Arme, [**symbol] auch -Schulter, Arme und abwinkende Hände. Determiniert wird nen durch das -Zeichen des Bösen, richtiger des Ungemütlichen, ein Vogel, der unserem -Spatz ähnelt [**symbol]. Ob die 0 vor der Ptolemäer Zeit als Zahl -angesehen wurde, steht nicht fest, als Ziffer war sie überflüssig, und -als Zahl der Zahlenreihe, wie wir gleich hervorheben, nicht möglich. - -¨Die Ordinalzahlen¨ werden gebildet durch Anhängen der Silbe nu -[**symbol] an die Kardinalzahl und später durch Vorsetzen von mh -vollmachen, also der die 5 vollmacht, d. i. eben der fünfte; im -Koptischen die ausschliessliche Ableitung. - -Zu der aufsteigenden Zahlenreihe bildeten die Ägypter auch die -absteigende 1/2, 1/3, 1/4 usw., indem sie über die Kardinalzahl die -Partikel ro [**symbol] setzten. (Eine Ausnahme bildet 1/2, welches -mit Hälfte [**symbol] geschrieben wird.) Ro ist das Zeichen für Mund, -das zur Präposition geworden ist und in etwas hinein etc. bedeutet, -auch distributiv pro Tag etc. bedeutet. Im Hieratischen ist es zu -einem einfachen Punkt verkürzt worden, es sind ganz ähnliche Gedanken, -und wunderbarerweise auch im Hieratischen dieselbe Bezeichnung wie -bei den Indern, die die absteigende Reihe als Reihe der negativen -Zahlen gebildet haben. Der Ägypter fasst 3 auf als 3 × 1 und dem -entspricht die Zahl, welche dreimal genommen 1 gibt. Mit dieser -Auffassung der Zahlenreihe hängt die so eigentümliche und gänzlich -missverstandene ägyptische Bruchrechnung, mit der der Papyrus Ames -beginnt, aufs innigste zusammen. Da heisst es z. B. noch in einer -grossen Abhandlung von 1895 eines um die Geschichte der Mathematik -sehr verdienten Philologen, nämlich bei ¨F. Hultsch¨: die Ägypter -kannten keine gemeine Bruchrechnung, sondern nur eine Teilung in -der Einheitsreihe. Die Rechnung war für die Ägypter erst zu Ende -geführt, wenn sie den Quotienten in Zahlen ihrer Zahlenreihe, d. h. -in ganze Zahlen oder Stammbrüche aufgelöst hatten. Ihre Zahlenreihe -war ihnen so geläufig, wie uns die unsrige und wie wir scheinbar immer -mit Brüchen, mit konstantem Nenner 10 rechnen und die Resultate nur -übersehen, wenn sie uns in Dezimalbruchform vorliegen, so rechneten -die Ägypter scheinbar nur mit Brüchen, mit dem konstanten Zähler -1. Dass aber dem Ägypter gemeine Bruchrechnung samt Generalnenner, -reduzieren, erweitern etc., völlig vertraut war, geht aus den Papyri -Ames, denen vom Kahun, von Achmin aufs klarste hervor. Sie scheuten -nicht einmal vor Doppelbrüchen. -- Eine Ausnahme bildet der Bruch 2/3, -der auch bei den Griechen sein eigenes Zeichen hat. Er heisst neb -[**symbol] oder [**symbol]. Griffith fasst ihn als 1/1½. Hier war die -Zusammensetzung aus ½ und 1/6 eben jedem ägyptischem Kinde geläufig. -Aber ich bin hier schon bei der Division. Die Addition wird bezeichnet -durch vorwärtsschreitende Beine [**symbol], die Subtraktion durch 2 -rückwärtsschreitende Beine [**symbol], es werden auch verba gebraucht, -die addieren, hinzulegen, hinzufügen bezw. zurückkehren, ausgehen -bedeuten; bei mehreren Summanden wird die Summe durch eine eigene -Hieroglyphe bezeichnet: [**symbol], eine Papyrusrolle, das Determinativ -für alles Abstrakte. - -[Sidenote: Arithmetik der Ägypter, Abschnitt 1 des Papyrus Ames.] - -Die Multiplikation wird durch das Wort uah = vervielfältigen, -eingeleitet; die Division durch nis = teilen, richtiger künden, -klarmachen. Die Division war wie die unsrige ein Einschliessen -in Grenzen und wird durch Multiplikation und Kenntnis des 1 × 1 -erleichtert. Die 1 × 1-Tabelle kommt im Ames nicht vor, sie wird -als bekannt vorausgesetzt. ¨Hultsch¨ hat das kleine 1 × 1 nach den -Andeutungen des Ames rekonstruiert. Der Papyrus lehrt zunächst die -Bruchrechnung und beginnt mit der Zerlegung der Brüche von 2/3 bis 2/99 -in Stammbrüche inklusiv 2/3. - -Regeln werden weder hier noch sonst irgendwo im Buche angegeben; eine -Ausnahme macht nur die eine Regel in N. 61a: 2/3 zu machen von einem -Bruch (gebrochenen Teil). Wenn dir gesagt ist: Was ist 2/3 von 1/5, so -nimm seine Hälfte und seinen 6. Teil, das ist sein 2/3: Also ist es zu -machen in gleicher Weise für jeden gebrochenen Teil, welcher vorkommt. -Cantor hat den Schlusssatz missverstanden, er meint, er bezieht sich -darauf, dass 2/3 durch irgend einen andern Stammbruch ersetzt werden -könne, während die Verallgemeinerung sich auf 1/5 bezieht, C. sieht -hierin die allgemeine Vorschrift 2/u, wo u eine ungerade Zahl ist, -zu zerlegen in 1/(u/2 + 1/2) + 1/((u/2 + 1/2)u), die unzweifelhaft, -darin hat er recht, zur Zeit des Papyrus bekannt war. Aber es werden -auch andere Formeln für das an sich unbestimmte Problem benutzt, z. B. -wenn p und q ungerade Zahlen sind, also 1/2 (p + q) eine ganze Zahl n: -2/(p · q) = 1/(pn) + 1/(qn). Meist wird dafür gesorgt, dass der erste -Bruch einen geraden Nenner hat, weil dies die nötige Zusammenfassung -bei grösseren Dividenden als 2 erleichtert. Die Tabelle enthält nur -ungerade Zahlen, weil eben den Ägyptern die Reduktion völlig bekannt -war. - -[Sidenote: Zerlegung in Partialbrüche.] - -Ferner wird möglichst dafür gesorgt, dass die Zahl der Stammbrüche so -klein als möglich. Im Papyrus Ames werden als Anfangsnenner ausser 2 -und 3 nur teilbare Anfangsnenner der Reihe zugelassen, nur einmal kommt -5 vor. Im Papyrus von Achmin ist diese Beschränkung aufgehoben, um -die Zahl der Stammbrüche zu verkleinern. Jede Zerlegung ist von einer -Probe, smot -- der ¨Beweis¨ genannt, begleitet. Der Beweis, d. h. die -Probe, zeigt hier schon, wie völlig die Beherrschung der Bruchrechnung -war, z. B. 2/17 (Anfang der 2. Kolumne) nis son chent, d. h. mache -deutlich 2 durch, z. B. 17, hieroglyphisch: (nis son chent met sefech) - -[**symbols] - - Verdeutliche 2/17: 1/12 1/51 1/68 - - smot 1-1/3 1/12 1/3 1/4 (NB. 17/12 i. 1-1/3 + 1/12) - -Der Beweis -- smot [**symbols] genannt --, besteht darin, dass gezeigt -wird, dass 1/12 der 17te Teil von 1-1/3 1/12 oder 1-1/4 1/6 ist und von -dem was noch an 2 fehlt, nämlich 1/3 + 1/4, der 17te Teil 1/51 und 1/68 -ist. - -[Sidenote: Abschnitt 2: Zerlegung in Zehn-Teile.] - -Es folgen dann als 2. Abschnitt die Dezimalteilungen der Zahlen von -1-9, eingekleidet als Verteilung von Broten; die Dezimalteilung war -besonders für die Feldteilung wichtig, 1 3 6 7 8 9 werden geteilt, -da 2/10, 4/10 und 5/10 schon in der vorigen Tabelle vorkommen. Nur -das letzte der Beispiele ist vollständig erhalten: Geben Brote 9 an -Personen 10. Verfahre wie geschieht, vervielfältige 2/3 1/5 1/30 mit 10. - -Brot hot statt t [**symbol]. Um mit 10 zu multiplizieren wird mit -2 multipliziert, das zweifache mit 2, und das wieder mit 2 und das -zweifach und achtfache addiert. - - [**symbols] - /..| [**symbols] (1-2/3 1/10 1/30 als zweifaches von 2/3 1/5 1/30) - (4.) 3 1/2 1/10 - / (8.) 7 1/5 - -Zusammen 9 Brote, welche es sind; für zusammen [**symbol] - -M. H. es dauert eine ganze Weile bis wir die Zerfällungen in 2 und 4 -ausführen. Der Ägypter zerlegt 4/3 in 1-1/3 und 2/5 + 1/15 = 1/3 + 2/15 -und 2/15 = 1/10 + 1/30. - -Die Ägypter wussten in ihren Tabellen vorzüglich Bescheid, genau wie -wir mit unserm Einmaleins. Wenn man sich übt, findet man, dass der -Unterschied mit unsern Methoden keineswegs so gross ist. - -[Sidenote: 3: Sequem- oder Ergänzungsrechnung.] - -Die Tabelle verlangt nun vielfach Subtraktion einer Anzahl von Brüchen -und Division einer Zahl durch eine Summe von Brüchen. Dazu dient die -im 3. Abschnitt gegebene Sequemrechnung -- von quem = vollenden -- das -Causativ also: Vollende, ergänze; quem allein kommt auch vor in No. 21 -b, 22 b, 37 e 1. - -Ich greife die beiden letzten Beispiele heraus, No. 22: - - [** symbols] (30 ist m' b [** symbol]; - sequem mā neb ro sa em uā statt mā ist richtiger mi) - - Ergänze 2/3 1/30 zu 1. - - 20 1 - -(zu ergänzen ist der gemeinsame Nenner 30, die Ägypter beherrschten -die Bruchrechnung vollständig, samt Gleichnamigmachung, Kürzen etc.) -lege zu seinen Unterschied, nämlich 9; Zeichen des Unterschieds ist -[**symbol] gelesen chomt, vervielfältige die Zahl 30 zu vollenden 9. - - 30 - 1/10 3 - 1/5 6 - ------- - zusammen 9 - -Es sollen hier 2/3 und 1/30 zu 1 ergänzt werden; es sind auf den Nenner -30 gebracht 20 und 1 Dreissigstel; es fehlen also 9 und 9/30 sind dann -zerlegt in 1/10 und 1/5 womit das Resultat eben aussprechbar, d. h. -deutlich für den Ägypter gemacht ist. - -No. 23: - - [**symbols] - 1/4 1/8 1/10 1/30 1/45 sequem em neb - - [**symbols] - cher em uah hi--f ir neb - - und 1/9 1/40 im Hinzufügen zu ihm macht 2/3. - -Als Generalnenner wird 45 gewählt und die Zähler der Doppelbrüche -werden in Stammbruchform geschrieben, wobei noch 1/8 hinzugefügt wird. - - 1/4 1/8 1/9 1/10 1/30 1/40 1/45 1/3 [**symbol] 1 - 11-1/4 5-1/2 1/8 5 4-1/2 1-1/2 1-1/8 1 15 macht 1 - - -4. Abschnitt. - -[Sidenote: Abschnitt 4: Gleichung ersten Grades (Hau-Rechnung).] - -Die Haurechnung oder die Lösung von Gleichungen ersten Grades. No. -24-38. - -Die Nummern 24-34 sind Zahlengleichungen; die vier letzten Aufgaben -beziehen sich auf Teilung des Getreidemasses auit. Die Unbekannte -heisst hau, d. h. Haufen, also eine unbestimmte Menge, analog dem cosa -irgend ein Ding der italienischen Mathematiker der Renaissancezeit. -Über die Lösung der Gleichungen entstand ein Streit zwischen -¨J. Rodet¨, dem bekannten französischen Orientalisten, speziell -Sanskritisten und ¨M. Cantor¨, in dem, wie so häufig beide recht und -beide unrecht haben. Rodet meint, die Ägypter hatten die regula falsi -benutzt, Cantor sagt, sie hätten gerade so wie wir operiert. C. selbst -bemerkt ganz richtig, dass bei den Gleichungen ersten Grades beide -Methoden schwer zu unterscheiden sind. Ich nehme das erste Beispiel: - -Haufe, sein Siebentel, sein Ganzes, es macht 19; also x/7 + x = 19. -Es ist schwer zu sagen, rechnet der Ägypter x(1/7 + 1) = x 8/7 = 19; -x/7 = 19/8 · x = 19/8 · 7 oder setzt er probeweise für x 7, wonach er -als Summe 8 statt 19 bekommt und somit den Proportionalitätsfaktor 19/8 -erhält und damit seinen Probewert multipliziert. - -Die Rechnung sieht so aus: - - /. 7 . 8 / 1/4 2 /. 2-1/4 1/8 (n. b. 19/8 das ist der - / 1/7 1 /.. 16 / 1/8 1 /.. 4-1/2 1/4 Proport.-Faktor) - 1/2 4 / 4. 9-1/2 - -nun kommt die stehende Formel: - - [**symbols] ȧrt mȧ cheper, tue wie folgt: - Der Hau 16-1/2 1/8 (Probe) 1/7 : 2-1/4 1/8 [**symbol] (zusammen) 19. - -Vom Beispiel No. 28 an kann man aber nicht mehr gut von einem -unmittelbaren Probieren reden zum Beispiel No. 32: x/3 + x/4 + x = 2. -Es wird 1 1/3 1/4 multipliziert bis das Ergebnis 2 ist, d. h. es wird x -ausgeklammert und mit 1 1/3 1/4 in 2 dividiert. - -Unter den Beispielen sind einige recht komplizierte, z. B. No. 28 -und sie liefert zugleich ein Beispiel für die Schwierigkeit der -Entzifferung. Die Aufgabe lautet: - - [**symbols] - neb em iw ro chomt em ān met uta - 2/3 im hinzugehen 1/3 im weggehen 10 sind aufzubewahren. - -Gemeint ist: (x + 2/3x) - 1/3(x + 2/3x) = 10. - -Die Rechnung ist falsch, das Resultat 9 ist richtig; die Probe zeigt, -wie die Aufgabe gemeint ist. Noch komplizierter ist No. 29. Ein -wahres Muster von Kompliziertheit und nicht minder von ägyptischer -Bruchrechnung sind No. 31 und 33: Haufe sein 2/3, sein 1/2, sein 1/7, -sein Ganzes, es beträgt 37. Es wird die Division mit 1 2/3 1/2 1/7 ganz -direkt durchgeführt. - -Die Aufgabe 30 übersetze ich abweichend von Eisenlohr und Cantor: - -Wenn dir der Schreiber (id est Lehrer) sagt: 10 ist das Ergebnis von -2/3 und 1/10, lass mich den Grund hören. - -Um die Division von 10 durch 2/3 + 1/10 auszuführen, wird dies zunächst -mit 13 multipliziert, das gibt 9-29/30; man muss dann noch 1/30 -dividieren und findet zum Schluss 13-1/23 als sogenannten Hau. - -No. 35: Um die Masseinheit zu erreichen, bin ich dreimal genommen -und 1/3 von mir zu mir, dann bin ich zur Einheit vervollständigt. -Diese Aufgabe 3x + 1/3 x = 1 ist das textliche Vorbild zu einer -Menge von eingekleideten Gleichungen, die sich noch bis heute in -den Rechenbüchern finden. Die Einheit ist das Hequatmass. Die -Verteilungsaufgaben der Fruchtmasse bedurften sämtlich einer genauen -Revision, die durch ¨Erman¨ 1902 und ¨Schack-Schackenburg¨ 1904 -vollzogen ist. - -[Sidenote: Arithmetische Reihe (Tunnu-Rechnung).] - -Es folgen dann zwei Aufgaben, die als »Tunnu«-Rechnung bezeichnet -werden, zu denen sich sachlich noch Aufgaben aus einem späteren -Abschnitt gesellen, der eine Anzahl praktischer Beispiele enthält und -vielleicht einem ¨zweiten¨ Schülerheft entnommen ist. Von besonderer -Bedeutung ist No. 40: Brode 100 an Personen 5; 1/7 der 3 ersten an die -2 letzten Personen, was ist der Unterschied? Die Rechnung lautet: Tue, -wie folgt: (die stehende Formel) der Unterschied 5-1/2 / 23, 17-1/2, -12, 6-1/2, 1 [**symbol] zusammen 60. Vervielfältige diese Zahlen 23, -17-1/2 etc. mit 1-2/3, das gibt dann 38-1/3, 28-1/6 ... zusammen 100. - -Hier haben wir a) Gleichungen mit mehreren Unbekannten, b) die -arithmetische Reihe, c) unzweifelhaft regula falsi. Ist der Tunnus d -und der Anteil des letzten a, so bekommen die Personen 4d + a, 3d + a, -2d + a, d + a, a, und es ist: 9d + 3a = 7 (d + a); also 2d = 11a; d = -5-1/2 a. Es wird nun als falscher Ansatz a = 1 gesetzt, also d = 5-1/2 -und da 100 = 60 + 2/3 · 60 ist, mit dem Proportionalitätsfaktor 1-2/3 -multipliziert. - -Hierhin gehört No. 64, die darauf hinausläuft eine arithmetische Reihe -von 10 Gliedern zu bilden, deren Summe 10 und deren Differenz 1/8 ist. -Es wird wieder zuerst das höchste, das letzte Glied bestimmt. Wir haben -aus den bekannten Formeln: - - s = n/2(a + u) und u = a + (n-1)d; u = s/n + (n - 1)d/2, - -d. h. also um das letzte Glied zu bestimmen, muss man den -Durchschnittswert s/n bilden und dazu (n-1) · d/2 addieren, und ganz -genau so verfährt der ägyptische Rechner. - -Ich teile in der Mitte, gibt 1; ziehe 1 von 10 ab Rest 9, halbiere den -Unterschied: 1/16, nimm es 9 mal, gibt 1/2, 1/16, lege es hinzu zum -Durchschnittswert, gibt für u 1 1/2 1/16 etc. Ja, m. H. hier ist jeder -Zweifel an der Kenntnis der allgemeinen Formeln ausgeschlossen. - -[Sidenote: Geometrische Reihe.] - -Und das gleiche gilt von der geometrischen Reihe. Der fünfte und -zugleich letzte Teil enthält unter No. 62-84 eine Sammlung praktischer -Beispiele, welche sich auf Landwirtschaft beziehen, Aichung von -Bierkrügen, Futterverbrauch auf dem Geflügelhof und in Stallungen, -Mehlverbrauch beim Backen, Lohnzahlung etc. Solche Aufgaben kommen -auch in Tempelrechnungen sehr vielfach vor, denn die ägyptischen -Priesterschaften hatten wie die mittelalterlichen Klöster grosse -Ausgaben um das Volk an den Festtagen zu beköstigen. Mitten hinein -schneit dann die Aufgabe 19. Die Aufgabe war nach Eisenlohr völlig -rätselhaft. Es ist von einer Sutek (vielleicht Leiter? unsre Skala) die -Rede, deren Sprossen - - 7, 49, 343, 2401, 16807 - -sind, und bei diesen Zahlen stehen Worte, welche bedeuten: Person, -Katze, Maus, Gersten, Ähre, Mass. - -Eisenlohr meinte, dass dies die Namen der 5 ersten Potenzen seien, -während doch erst ganz vor kurzem bei Heron dynamo-dynamis für die 4. -Potenz konstatiert ist. - -Die Rechnung sieht so aus: - - 7 - /. 2801 49 - /.. 5602 343 - /... 11204 2402 - [**symbol] 19607 16807 - [**symbol] 19607 - -Das Rätsel hat ¨Rodet¨ in der schon erwähnten Abhandlung gelöst. -Er fand dieselbe Aufgabe bei ¨Leonardo Pisano¨ um 1200 in dem -epochemachenden Liber abaci, das aus Afrika stammt, aus Bugia, einer -Pisaner Handelsstation, der westlichsten von Nordafrika. - -Die Aufgabe heisst: 7 Personen haben je 7 Katzen, jede Katze frisst -7 Mäuse, jede Maus 7 Ähren Gerste, jede Ähre bringt 7 Mass ? ist die -Summe, und sie ist berechnet nach der richtigen Formel: - - (a^n - 1)/(a - 1) · a, da (7^5 - 1)/(7 - 1) = 16806 : 6 = 2801 ist - -wo also die Multiplikation mit 7 gut ägyptisch vollzogen ist und durch -Addition geprüft wird. Nicht vielleicht, wie Cantor meint, sondern -unzweifelhaft war die Summenformel der geometrischen Reihe um 2000 v. -Chr. bekannt. Wir sehen über 3000, wahrscheinlich über 4000 Jahre hat -sich die Aufgabe in den Schulen Afrikas gehalten, ein Seitenstück zur -Bruchrechnung. - -Aber die arithmetischen Kenntnisse der alten Ägypter gingen noch -weit darüber hinaus, was Cantor freilich auch bei der 2. Auflage -vom Dezember 1893 nicht wissen konnte. In den von ¨Griffith¨ 1897 -herausgegebenen mathematischen Papyri der Funde Petries in Kahun fand -sich das erste Beispiel einer quadratischen Gleichung. - - -Die quadratische Gleichung der Ägypter. - -Als Griffith die Petriepapyri 1897 herausgab, fand sich dort das erste -Beispiel einer quadratischen Gleichung auf Tafel 8 des Papyrus. 1900 -hat Schack im Berliner Papyrus 6619 ein zweites gefunden. Der Papyrus -ist vermutlich aus dem mittleren Reiche und lautet folgendermassen: Ein -ferneres | Beispiel der Verteilung einer gegebenen Fläche auf mehrere -Quadrate | wenn dir gesagt wird | 100 Quadratellen auf zwei unbekannte -Grössen zu verteilen und | 3/4 der Seite der | einen Grösse für die -andere | zu nehmen | bitte gib mir | jede der unbekannten Grössen an |. - -Die Ausrechnung geschieht mit der regula falsi, der Verfasser drückt -sie so aus: Mache ein Rechteck von immer 1 (d. h. also ein Quadrat) -und nimm 3/4 | der Seitenlänge | der einen für die andere | dies gibt -3/4 |. Multipliziere dies mit 3/4 das gibt 9/16. Wenn so die eine -Grösse zu 1 die andere mit 3/4 genommen ist, so vereinige diese beiden -Grössen, das gibt 25/16. Nimm die Quadratwurzel daraus, das gibt 5/4. -Nimm die Wurzel der gegebenen von 100 das gibt 10. Teile 10 durch 5/4, -der Quozient ist 8 (Zeichen: [**symbol] auch Zeichen der Differenz). -Der Rest ist zerstört, doch ist noch soviel zu erkennen: Nimm 3/4 von -diesen 8 das gibt 6. Hier haben wir also - - x^2 + y^2 = 100; x : y = 1 : 3/4. - -Das Beispiel des Kahun Papyrus bezieht sich darauf, 120 kubische -Ellen in 10 Körper von der Höhe einer Elle so zu zerlegen, dass die -Grundflächen Rechtecke sind, deren Seiten sich wie 1 : 3/4 verhalten. - -Hier würde die Anwendung der regula falsi auf die irrationale -Quadratwurzel aus 3/4 führen. Der Verfasser verfährt also ganz anders. -Er geht davon aus, dass der Inhalt des Rechtecks mit 4/3 multipliziert -das Quadrat der grossen Seite gibt. - -[Illustration] - -Die Rechnung lautet: Dividiere 1 : 3/4, das gibt 1-1/3, multipliziere -12 mit 1-1/3, das gibt 16, die √ ist 4, das ist die Länge der einen -Seite. Nimm 3/4, das ist 3. Hier haben wir also xy = 12-x/y = 1 : 3/4. -Man sieht, beide Male haben wir das Dreieck 3, 4, 5 bezw. 6, 8, 10, das -also schon um 2200 den Ägyptern bekannt war. - -Das dritte Beispiel hat Schack 1903 aus demselben Papyrusfragment -entziffert. - -Es handelt sich um: - - x : y = 2 : 1-1/2 und x^2 + y^2 = 400. - -Wird dann probeweise x = 2, y = 1-1/2 gesetzt, so gibt es 6-1/4, die √ -ist 2-1/2, dies ist 1/8 von 20, also ist x = 16, y = 12 - - [16, 12, 20 ～ 3, 4, 5 ～ 8, 6, 10] - -Das Zeichen der Quadratwurzel ist dem unsrigen nicht unähnlich -[**symbol] To-Erdreich, Grund, auf dem etwas ruht? - -In Mitteilungen zur Gesch. der Med. u. Naturw. vom 18. April 1908 p. -337 wird diese Hieroglyphe als ¨Gnomon¨ erklärt, und den alten Ägyptern -damit eine Kenntnis des Quadratwurzelausziehens nach der Formel -(a + b)^2 supponiert. Einem Sprachforscher von Fach wäre die äussere -Ähnlichkeit, ich verweise auf Max Müller, ein Grund das Zeichen nicht -vom Gnomon abzuleiten. Es ist bisher auch keine Spur einer Ausziehung -von Wurzeln aus Nicht-quadratzahlen bei den alten Ägyptern gefunden, so -wie die Babylonier haben sie die Quadratwurzeln (tabellarisch?) durch -Multiplikation von 1 × 1, 2 × 2 etc. gefunden. - -Es ist nicht unwahrscheinlich, dass der Pythagoras den Ägyptern schon -um jene frühe Zeit bekannt war. - - -Geometrie. - -[Sidenote: Geometrie der Ägypter.] - -Ich komme zur Geometrie, sie findet sich im Abschnitt 3 und 4 des -Papyrus Ahmes, daneben ist für uns die Schenkungsurkunde des Tempels -von Edfu von Wichtigkeit, die allerdings 1500 Jahre nach Ahmes zu -datieren ist; aber auch die 500 Jahre älteren Papyri von Kahun kommen -in Betracht. Vor allem muss ich die Quadratur des Zirkels erwähnen, -No. 41, No. 48 und No. 50. Sie setzen den Kreis, der bald teben, -bald paut, bald k d heisst gleich einem Quadrat, dessen Seite 8/9 -des Durchmessers, d. h. sie setzten π gleich 256/81 = 3,1605; eine -Übereinstimmung mit dem alten indischen √10 = 3,162, die zu denken -gibt. Die Frage, wie sie zu diesem erstaunlich genauen Näherungswert -gekommen sind, scheint mir unschwer zu beantworten. - -[Sidenote: Quadratur des Zirkels.] - -Sie nahmen einen Zylinder mit der Höhe h und dem Durchmesser d des -Grundkreises und gossen Wasser hinein und dieses Wasser in ein -balkenartiges Gefäss mit dem Grundquadrat a^2. Das Wasser stieg bis zur -Höhe η, dann hatten sie xd^2h = a^2η und x = a^2/d^2 · η/h, falls a = -d, x = η/h und fanden für das Verhältnis η/h, oder x den Wert 64/81. - -Wie selbstverständlich es war, dass man das Volumen eines Gefässes von -konstantem Querschnitt seiner Höhe proportional setzte, das kann man -bei Heron lesen. Der Begriff des (rationalen) Verhältnisses war ihnen, -wie schon die Rechenaufgaben des Ahmes zeigen, völlig geläufig. - -[Sidenote: Volumenbestimmung.] - -Die Geometrie beginnt mit der Bestimmung des Volumens von -Fruchtspeichern mit kreisförmiger, bezw. krummliniger und rechteckiger -Grundfläche, z. B.: Ein rundes Fruchthaus von 9 Ellen Höhe in der -grössten Ausdehnung und 6 Ellen Breite, wieviel Getreide geht hinein? -Es wird, wenn statt 9 l und statt 6 h gesetzt wird, gerechnet nach der -Formel - - (4/3 · 8/9 l)^2 · 2/3 h. - -[Sidenote: Halbkugel.] - -Es lässt sich mit diesen Beispielen nicht allzuviel anfangen, die -Abbildungen fehlen und alle näheren Angaben über die Beschaffenheit der -Haufen. Aber schon ¨Eisenlohr¨ bemerkt: sollte unserm Rechner die zur -Bestimmung der Halbkugel nötige Formel πr^2 2/3 r vorgeschwebt haben? - -Ich komme damit auf die Berechnung der Kugel, bezw. Halbkugel. - -Im ersten Hefte der Kahunpapyri auf Tafel 8 ist eine Figur gezeichnet, -die der Herausgeber der Petriepapyri Griffith richtig umschrieben und -gelesen hat, deren Deutung er aber nicht gefunden zu haben bekennt. Er -sagt, es scheint sich um den Inhalt eines kreisförmigen Fruchthaufen zu -handeln, dessen Höhe 12 und dessen Durchmesser 8 ist. Er hat sich durch -eine Zahl 12, welche über der Figur steht, und die zur Rechnung gehört, -täuschen lassen, sonst wäre er wohl selbst darauf gekommen, dass -wir hier die Zahlenrechnung zur Ermittelung eines halbkugelförmigen -Getreideschobers von 8 Ellen Durchmesser vor uns haben. Die Figur zeigt -einen Kreis, neben dem links 8, der Durchmesser in Ellen, steht, und in -dem 1365-1/3 der Inhalt zu lesen ist. - - 12 - - [**symbol] - - [1] 1365-1/3 / 1 . 256 In unserer Rechnung: - 8 2 .. 512 8 . 3/2 = 12 - 2/3 8 / 4 . 1024 12 . 4/3 = 16 - / 1/3 4 / 1/3. 85-1/3 16 . 16 = 256 - zusammen 16 [**symbol] 1365-1/3 256 . 5-1/3 = 1365-1/3 - / 1 16 - /10 160 - / 5 80 Heute d^3π/12 = 134,041 Kubikellen = 1340,41. - zusammen 256 - -Abgesehen von dem Fehler für π ist also der Inhalt in 1/10 Kubikellen -ausgedrückt. Was dieses Mass betrifft, so ist es eine ganz natürliche -Übereinheit. Das Haupthohlmass ist das Hin; die Kubikelle = 320 Hin, -die Elle = 0,526^m ergibt für das Hin 0,455 Liter, 32 Hin sind 14,61 -Liter, ungefähr 1/2 Scheffel. Das Hin wurde geteilt in 1/2 1/4 1/8 1/16 -1/32, es ist also 32 Hin als Übereinheit durchaus gerechtfertigt. - -Die Rechnung ist: - - (d-3/2 . 4/3)^2 . 2/3 d = 32d^3/12. - -[Sidenote: Ausmessung eines grossen Haufens durch kleines Mass.] - -Der Fehler bleibt unter 2%, für π ergibt sich 3,2. Dies ist ungenauer -als im Handbuch, wo π = 3,16 ist, aber ¨Borchardt¨, der Erklärer, -setzt ganz richtig hinzu: Dies Resultat ist durch häufiges wirkliches -Ausmessen solcher halbkugeligen Haufen gewonnen worden. Dabei waren -viele Beobachtungsfehler unvermeidlich. Die mathematische Form -der Haufen war kaum herzustellen, die Hohlmasse (32 Hin) waren -recht ungleich gefüllt und endlich lassen sich von einem grossen -Getreidehaufen infolge des grösseren Druckes und dadurch veranlassten -dichteren Lagerung in seinem Innern in praxi mehr kleinere Hohlmasse -füllen als man theoretisch rein nach der Volumenvergleichung erwarten -sollte, da sich im kleineren Masse die Körner naturgemäss loser lagern. - -Die Aufgabe zu ermitteln, wieviel kleine Masse sich aus einem gegebenen -grossen füllen lassen, gibt ¨so¨ gefasst noch unsern heutigen -Mathophysikern Rätsel auf. Davon können Sie sich überzeugen, wenn Sie -z. B. die Correspondence ¨Quetelet¨ nachlesen, wo das Problem öfter -behandelt wird. Daher ist es gar nicht zu verwundern, dass die Ägypter -sie nicht aufs Haar lösen konnten. Ich weise aber noch auf einen -Umstand hin, der mir ganz besonders wichtig scheint: der Näherungswert -3,2 für π passt vorzüglich für die Übereinheit 32 Hin. - -[Sidenote: Ausmessung der Dreiecke und Trapeze.] - -Der 3. Abschnitt des Ahmes, der eigentlich geometrische Teil, -handelt von der Ausmessung der Felder, kreisförmiger, dreieckiger, -trapezförmiger, und solcher, die in Dreiecke und Trapeze zerlegt -werden. ¨Eisenlohr¨ fasst auf Grund der Autorität M. Cantors und des -grossen Ägyptologen ¨Rich. Lepsius¨, was mir beinahe unfassbar ist, -die Dreiecke und Trapeze als gleichschenklige, und vindiziert den -Ägyptern den groben Fehler, das gleichschenklige Dreieck zu bestimmen -als halbes Produkt der Grundlinie und des ¨Schenkels¨, und das Trapez -als Produkt der Mittellinie mit dem Schenkel statt der Höhe, und diesen -Fehler sollten sie bis nach Christi, hunderte von Jahren nach Euklid -und Heron begangen haben, und ¨Cantor¨ hat mit dem Starrsinn des Alters -an seiner Auffassung festgehalten, trotz der Kritik ¨Revillout's¨ -in der Revue égyptologique von 1882 und der davon ganz unabhängigen -¨Borchardt's¨, die darauf hingewiesen haben, dass die Figuren ganz rohe -Handzeichnungen sind, wie Sie z. B. bei Nr. 48 (Figur) sich überzeugen -können, wo statt des Kreises ein rohes Achteck gezeichnet ist. Die -Dreiecke sind (Figur), wie Sie ebenfalls sehen, mindestens so gut -rechtwinklig wie gleichschenklig. - -[Illustration] - -M. H., es ist an sich unwahrscheinlich, dass die Ägypter solche groben -Fehler begangen haben. Aus den von ¨Wilke¨ mit unendlichem Fleiss -gesammelten Ostraka, d. s. im wesentlichen Steuerquittungen auf dem -billigsten Material, auf Tonscherben, wissen wir, dass es eine eigene -Steuer gab. περι γεομετριας. - -[Sidenote: Widerlegung der Lepsius-Cantor'schen Formel.] - -Die Ägypter besassen nachweislich im alten Reich eine Reichsbank, -sie hatten eine Plankammer, sie hatten statt des Tabakmonopol das -Ölmonopol. Jedes Fleckchen, wo ein Ölbaum stand, wurde vermessen, jedes -Stückchen Weizenland, von dem eine Naturalabgabe für die Ernährung -der Truppen erhoben wurde, desgleichen. Sie haben von den jährlichen -Nachmessungen unter Sesostris gehört; und dann sollen solche groben -Irrtümer begangen worden sein! Ich kann Ihnen für Revillouts und -Borchardts Auffassung einen schlagenden Beweis geben; hier sehen -Sie die Figur im Codex konstantinopolitanus, der 1903 von Schöne -edierten Metrica des Hero, da haben Sie zwei Figuren zur Ableitung -des sogenannten erweiterten Pythagoras. Die Höhen sind gefällt und -die Winkel der Figur weichen vom rechten Winkel weit erheblicher ab -als die des Ahmes. Man kann gegen die Ostraka einwenden, sie stammen -grösstenteils aus der Zeit der Ptolemäer; ja, m. H. wer den Charakter -der Ägypter kennt, und nicht nur den der Ägypter, dem wird klar sein, -dass die Steuergesetzgebung so wenig wie der Totenkult und das Erbrecht -geändert werden konnte. - -Wenn Alexander sich zum Sohn des Amon machen liess, so tat er es -wahrlich nicht aus Grössenwahn, sondern genau so wie vor ihm die -Hyksoskönige, weil das Volk seinen Pharao nur als Sohn des Gottes -anerkannte. - -Und was die Steuern betrifft, als wir 1870 die elsässische Verwaltung -einrichteten, sagte der Oberpräsident von ¨Möller¨ die Fenstersteuer, -das Enregistrement, das ganze Steuersystem ist miserabel, aber wir -rühren nicht daran, die Leute sind daran gewöhnt. - -Cantor stützte sich bei seinem Widerstand, ich möchte sagen -ausschliesslich, auf die Schenkungsurkunde des Tempels von Edfu, dessen -Grundlegung, wie ¨Dümichen¨ nachgewiesen am 23. Aug. 237 v. Chr. von -Ptolemäus XI, Alexander I, Philometor genau in der schon geschilderten -Weise vollzogen ist. Die Schenkungsurkunde nimmt einen grossen Teil der -Aussenwand der östlichen Umfassungsmauer des Tempels ein. Der gesamte -Text 164 Kolonnen ist auf 8 grössere Felder verteilt, von denen, -als ¨Cantor¨ seine erste Auflage schrieb, nur die drei ersten durch -¨Lepsius¨ publiziert waren. Es werden von den Feldern von 60 Kolonnen -die Masse angegeben, z. B. - - 22 + 23 4 + 4 oder 90 etc. - 15 + 15 3-1/2 + 2-1/2 1/4 1/16 1/32 oder 47-1/2 1/8 1/16. - -(nicht stimmend 47, 1/2 . 1/16 1/64) richtiger Wert 47,566425. - -[Sidenote: Lepsius-Cantor'sche Formel.] - -Lepsius hat nun gefunden, dass diese Vierecke nach der Formel -(a + b)/2 · (c + d)/2 berechnet wurden, wo a und b das eine Paar -Gegenseiten, c und d das andere Paar ist. Es kommen, wie es -scheint, ein ganzer Teil Rechtecke vor, ein anderer Teil sind -Trapeze, dazwischen Dreiecke, die als Vierecke, deren eine Seite 0 -ist, aufgefasst werden. In dieser Auffassung liegt soviel von der -Philosophie der Null, die hier als Grenzbegriff gefasst ist, dass ich -Cantor nicht zustimmen kann, wenn er sagt: an eine Zahl 0 ist in keiner -Weise zu denken. - -[Sidenote: 0 als Grenze.] - -Gewiss, eine Ziffer 0 hatten sie nicht, brauchten sie auch nicht; -aber dass sie mit 0 rechneten, dass ihnen der Zahlencharakter der -Null bekannt war, samt dem Grenzbegriff und dem sogen. Arbogast'schen -Prinzip, das geht doch zur Evidenz aus der Urkunde hervor. Als Cantor -aber seine zweite Auflage schrieb, da waren schon die übrigen 98 -Colonnen durch ¨Brugsch Pascha¨ publiziert, und da stellt sich die -Sache sehr anders; die Lepsius'sche Formel, welche übrigens schon für -das zweite Beispiel, das sich bei Lepsius findet, ¨nicht¨ passt, ist -häufig genug nicht angewandt. Sieht man näher zu, so bemerkt man, dass -es sich um ¨angenäherte Quadratwurzelausziehung¨ handelt. Ich habe fast -alle nachgerechnet, die Fehler sind sehr gering und alle Angaben etwas -zu gross z. B. auf Tafel 6: 2 + 1-1/2; 1 + 0 als Inhalt 7/8, während -der richtige Inhalt noch nicht 6/8 ist. Natürlich, der König hatte ja -ein Interesse daran dem Gott, oder was dasselbe ist, seinen Priestern -die Schenkung möglichst gross darzustellen. Ich bemerke, dass nach -meiner Erkundigung nicht nur die römischen Agrimensoren, wie Cantor -angibt, sondern auch unsere heutigen, und zwar gerade diejenigen, -welche über mathematische Bildung verfügen, sich das Wurzelziehen -tunlichst sparen, indem sie z. B. für: - - √(α^2 + ε) α + 1/2·ε/α setzen. - -Aus dem Text der ägyptischen Aufgabe hat ¨Revillout¨ die -Unwahrscheinlichkeit der Cantor'schen Auffassung nachgewiesen, die -mit allen Traditionen des Altertums in Widerspruch steht. Ägyptische -Baumeister wurden in der ganzen Welt des Mittelmeeres geholt, und als -Augustus das römische Reich vermessen liess, nahm er dazu ägyptische -Feldmesser. - -[Sidenote: Ägyptische Trigonometrie.] - -Ich komme nun zu dem Bedeutsamsten und zugleich zu dem Seltsamsten, was -sich im Papyrus Ahmes (2. Schülerheft) und, muss ich leider sagen, bei -Cantor-Eisenlohr findet. Der 4. Teil des Papyrus enthält die ägyptische -¨Trigonometrie¨: Aufgabe Nr. 56-60, Aufgabe 59 ist doppelt. In den fünf -ersten Aufgaben heisst die Pyramide, die stets quadratische Grundfläche -hat, mr (nicht smr) in der 6. Aufg. Nr. 60, die von einer viel -steileren Pyramide handelt -- ¨Borchardt¨ vermutet einen Monolithen -- -heisst sie in. Es kommen zwei Abmessungen in Betracht, in den Aufgaben -56-59; - - a) die Pir--m--s Pirems, woher vielleicht der Name Pyramide. - - b) die ucha--tebet. - -und in Nr. 60 a) k^3y --n--h r w. b) Snti: Das Verhältnis zwischen 1/2 -b : a heisst überall Sqd. - -Z. B. Nr. 56. Berechnung einer Pyramide. Die uchatebet ist 360, ihre -Pirems 250. Lass mich ihren Seqd wissen. Nimm die Hälfte von 360, macht -180, dividiere mit 250 in 180 macht 1/2 + 1/5 + 1/50 von einer Elle. -Eine Elle hat 7 Spannen, multipliziere mit 7: ihr Skd ist 5-1/5 Spannen. - -Nr. 57. Eine Pyramide, 140 ist die uchatebet, 5-1/4 Spannen ihr Skd,? -die Pirems. Antwort: 93-1/3. - -Nr. 58. Pirems 93-1/3, uchatebet 140,? Sqd. -- Antwort: 5-1/4 wiederum. -Die Rechnung enthält wieder einen groben Fehler des Schreibers. - -Nr. 59 a. Pirems ist 12, uchatebet 8? Sqd. Antwort wieder 5-1/4. - -und Nr. 59 b. Kontrollaufgabe, uchatebet gefragt, ganz verworren -abgeschrieben. Resultat 4 statt 8, wenn die eine Linie 12 und der Sqd -5-1/4. - -Nr. 60. Ein In von 15 Ellen an seinem Snti und 30 an seinem k^3y--n h r -w. Lass mich seine Skd. wissen. Multipliziere 15; 1/2 davon ist 7-1/2, -multipliziere 7-1/2 mit 4 um 30 zu erhalten. Sein Rhi ist 4.... Das ist -sein Skd. - -¨Eisenlohr¨ bemerkt Rhi ist unklar, was jedoch ohne Einfluss auf die -Rechnung ist. - -¨Eisenlohr¨ und ¨Cantor¨ erklären nun die Pir--m--us als die -Seitenkante und die ucha tebet als die Diagonale des Grundquadrates, -während sie durch das Koptische gezwungen sind die Kaienharu als die -Höhe und die snti als die Grundlinie aufzufassen; sie erklären also den -Sekt in den fünf ersten Aufgaben als den Cosinus des Neigungswinkels -der Kante und Grundfläche und in der letzten als die Cotangente des -Böschungswinkels! - -Dagegen wenden sich nun ganz unabhängig voneinander ¨Revillout¨ und -¨Borchardt¨ und schon ¨Weyr¨ trat ihnen bei, beide zunächst vom -Standpunkt des Steinhauers und Architekten; beide bemerken, dass der -Neigungswinkel für den Steinhauer ganz wertlos. - -[Illustration] - -Die Pyramide wurde in geraden Absätzen gebaut, die dann mit -mächtigen Steinplatten ausgefüllt wurden. Kannte der Arbeiter den -Böschungswinkel, der an allen Quadern derselbe, dann konnte er jedes -Stück richtig behauen; der Neigungswinkel ergab sich dann ganz von -selbst. (Figur.) - -Eisenlohr erklärt Piremus als die aus der Säge heraustretende und -seqet leitet er von qd -- ähnlich machen -- ab und übersetzt es mit -Ähnlichkeit, besser wäre wohl Verhältnis. Revillout sagt, piremus -bedeutet hinausgehen in die Breite oder aus der Breite und beides passt -für die Höhe der Pyramide, die Linie, welche die Spitze mit der Mitte -der Grundlinie verbindet; uchatebet ist die Basis, und beide Worte -sind Synonyma für Kainharu und senti. ¨Cantor¨ noch in dem Brief an -Weyr und in der 2. Auflage mutet den Ägyptern die Ungeheuerlichkeit zu -zwei verschiedene Funktionen mit demselben Namen bezeichnet zu haben. -¨Revillout¨ und ¨Borchardt¨ sagen, es sei stets die Cotangente des -Böschungswinkels und nun erinnern Sie sich daran, dass Ägypten aus -zwei verschiedenen Ländern mit verschiedener Sprache zusammengewachsen -ist. Synonyma sind häufig, wie wir aus analogen Gründen die ähnliche -Erscheinung im Englischen haben. Die Pyramide heisst smr und in, der -Kreis Deben und kd, der Vater heisst ¨if¨ und atef, der König bjty und -hk^3 usw. - -[Sidenote: Koordinaten.] - -Die Höhe ist als Summe der Schichtenhöhen, ev. auch aus der -Schattenlänge und die Seite des Grundquadrats ganz direkt messbar. Die -Diagonale muss aber berechnet werden, und zwar mit dem Pythagoras. - -Eisenlohr hat die Winkel der Pyramiden γ und β (siehe Figur S. 50) -berechnet aus - - cos β entweder 5-1/4 Sp oder 5-1/25 und damit - cos β = 3/4 oder = 126/175 = 18/25 - -und sie stimmen so ziemlich mit den Winkeln der erhaltenen Pyramiden, -was für den, der weiss, wie oft grobe Fehler der Schüler geringe Fehler -im Resultat geben, nicht wunderbar ist. - -Aber Borchardt hat die Neigungswinkel aus der Cotangente berechnet. Es -sind dies Winkel von 54° 14′ 16″; 53° 7′ 48″ (kommt 4 mal vor) und in -No. 60, 75° 57′ 50″. - -Von diesen Neigungswinkeln gleicht der erste ¨genau¨ bis auf die -Sekunde dem Winkel an der südlichen Steinpyramide von Daschur (untere -Hälfte), der zweite stimmt, ebenso haarscharf mit dem von Petrie an Ort -und Stelle gemessenen Winkel der zweiten Pyramide von Giseh überein und -der letzte ist ebenso ¨genau¨ der von Petrie 1892 nachgewiesene Winkel -aus der Mastaba von Meidum. Und dass die Werkleute wie die unsrigen -nach solchen Vorschriften, sogenannten Leeren, arbeiteten, das zeigen -die von Petrie aufgedeckten Winkelmauern an den Ecken der Mastaba No. -17 zu Meidum. - -Diese Eckwinkelmauern zeigen wie die Erbauer der Mastaba sich die -anzulegende Neigung der Winkel ¨genau¨ nach der in No. 60 gegebenen -Vorschrift aufgezeichnet haben. Damit ist die Seqtfrage entschieden. -Sekt ist die Cotangente, rhi vermutlich nichts anderes als die -¨Tangente¨, die also den Ägyptern auch schon bekannt war. - -Das Wort seqd aber leitet Revillout von kd -- bewegen ab und aus dem -hapt -- Richtscheit, das ein unentbehrliches Werkzeug war; seine -aufrechtstehende Kathete ist 1 Elle, die untere ist in 7 Spannen und -4 Finger geteilt, und eine Schnur wurde nach dem unteren beweglichen -Punkte geknüpft und gab dem Arbeiter damit durch den sekd unmittelbar -den Winkel, nach dem er seinen Stein zurichtete. - -Ein ganz entscheidendes Moment liegt aber in der Natur der Sache; der -königliche Bauherr der Pyramide der sagt einfach, meine Pyramide soll -so und so viel im Geviert haben und so und so hoch soll sie sein, die -Ausführung überlässt er seinem Architekten. - -Dass die Ägypter aber mit der Proportionalitäts- und Ähnlichkeitslehre -ganz vertraut waren, das zeigen ihre Abbildungen. Sie teilten die Wand -durch Linien in ein Netz von Quadraten, ganz wie unsere Ingenieure ihr -Zeichenpapier, und trugen in die einzelnen Quadrate die Figuren in -entsprechendem Massstab ein. In dem sogenannten Grabe Belzoni zu Biban -el Moluk ist ein solches Coordinatensystem erhalten in einer unfertig -gebliebenen Grabkammer König Sety I., des gewaltigsten der Bamessiden -nächst seinem Sohne Ramses II. - -[Sidenote: Darstellende Geometrie bei den Ägyptern.] - -Nun zeigen die Bilder und Inschriften, ähnlich wie die japanischen, -keine Perspektive, und man nahm an, dass den Ägyptern die Perspektive -unbekannt gewesen sei. Aber vor etwa 10 Jahren wurden in Fayum, vom -trockenen Wüstensand geschützt, eine grosse Anzahl Totenmasken, -Porträts der Verstorbenen, gefunden, allerdings aus hellenistischer -Zeit, die meisten Handwerksarbeiten, aber auch eine ganze Anzahl -Kunstwerke ersten Ranges, die unsern besten Porträts nicht nachstehen. -Und dazu noch eins, was ich Ihnen nicht vorenthalten darf, oben auf -dem Pylon des Isis-Tempels von Phile, den Ptolemeus IX. Euergetes II. -150 v. Chr. erneuert hat an der Stelle, von wo der Werkmeister seinen -Bau am besten übersehen konnte, sind in Stein geritzt zwei Zeichnungen -erhalten. - -M. H. Nicht Menge, nicht Lambert, nicht Dürer sind die Urheber der -darstellenden Geometrie, hier sehen sie eine Werkzeichnung in dem -Sandstein der Plattform des Pylon, welche Borchardt 1878 aufgenommen -hat, mit beigeschriebenen Massen, ¨Grundriss¨ und ¨Aufriss¨, und noch -steht die Säule, welche genau danach gearbeitet ist. - -[Sidenote: Résumé.] - -Resumieren wir die ägyptische Mathematik so weit wir jetzt davon wissen. - -In der Arithmetik hatten sie eine entwickelte Fingerrechnung und -Rechenbretter, auf denen sie mit Steinen rechneten, kannten alle vier -Spezies mit ganzen und gebrochenen Zahlen, wussten mit Gleichungen 1. -und 2. Grades, arithmetischen und geometrischen Reihen Bescheid und -hatten Näherungsmethoden für die Ausziehung der Quadratwurzeln. - -In der Geometrie war ihre Konstruktions- oder Reisskunst hoch -entwickelt. 420 v. Chr. rühmte sich der grosse Demokrit, dass ihn in -der Reisskunst nicht einmal die ägyptischen Harpedonapten überträfen; -sie hatten eine sehr achtenswerte Quadratur des Kreises, kannten -Symmetrie und Proportion, waren mit der Kreisteilung vertraut, hatten -Ähnlichkeitslehre und Anfänge der Trigonometrie und Elemente der -darstellenden Geometrie. - - - - -II. Kapitel. - -Babylonien -- Assyrien. - -Ich wende mich nun dem Zuge der semitischen Völkerwanderung folgend -nach dem uralten Kulturland, zwischen den grossen Strömen Euphrat -und Tigris, zum Zweistromland, dem mâtu Pur Pur, nach Mesopotamien, -Babylonien, Assyrien. Hier kam zu den schon für Ägypten fliessenden -Quellen noch ¨Berossos¨ hinzu, und die Bibel in weit reichlicherem -Masse. Berosus, ein Babylonischer Priester des Bel der im 3. Jahre v. -Chr. in griechischer Sprache schrieb, hat sich als mit den Traditionen -seines Volkes in Mythos und Geschichte sehr vertraut erwiesen, und es -ist zu bedauern, dass von seinem grossen Werke nur Fragmente durch -Alexander Polyhistor und danach von Josephus und Eusebios erhalten -sind. Verdanken wir doch Berossos die Kunde von dem Babylonischen -Weltschöpfungsmythus, die Sintflut eingeschlossen, der Quelle des -mosaischen, eine Kunde, welche durch die Funde von Kujundschik-Ninive -so glänzend bestätigt und erweitert wurde. Aber auch die Bibel hat sich -als eine nicht zu unterschätzende Geschichtsquelle erwiesen, und unter -dem Einfluss der Ausgrabungen in den letzten 30 Jahren ist »Babel und -Bibel« (¨P. Delitzsch¨) zu einem Schlagwort geworden. Aber erst im -letzten Drittel des 19. Jahrhunderts gelang es durch Entzifferung der -rätselhaften Keilschrift, die Geschichte Vorderasiens auf urkundliche -Grundlage zu stellen. So bedeutend aber die Leistungen der Schüler -¨Eberhard Schraders¨ im letzten Dezennium gewesen sind, so sagt doch -einer der berufensten unter ihnen ¨P. Jensen¨: »Ein jedes Werk von -Assyriologen auch der besten ist und wird auf lange noch vergleichbar -bleiben einem Feld mit Hopfenstangen, von denen sehr viele zwar -annähernd oder durchaus korrekt und gerade, viele aber, nach allen -Richtungen hin, schief stehen.« - -Im Gegensatz zu Ägypten, wo wir ein und dasselbe Volk bis zum heutigen -Tage vor uns haben, sind im Zweistromland zwei der Rasse nach -verschiedene Völker zu unterscheiden, die beide langsam kulturell -zusammengeschmolzen sind. Vom Nordosten her, möglicherweise vom Altai -und dem Pamirplateau kamen als Nomaden in einzelnen Schwärmen die -¨Sumerer¨, ein Volk, das bis dato für sich steht, die sich vorzugsweise -in Südbabylonien in Sumer ansiedelten, vielleicht vom Meere aus in -die Mündungen des Euphrat und Tigris eindringend. Vom Nordwesten her -in gleicher Weise die ¨Semiten¨, die sich, zugleich oder früher, -vorzugsweise in Nordbabylonien, Accad (Agade) festsetzten. Naturgemäss -mussten beide Völker zusammenstossen, und in hin und her schwankenden -Kämpfen drangen Sumerer in Accad und Accader in Sumer ein, bis seit -¨Chammurabi¨ die Sumerer endgültig den Semiten unterlagen, die an -den Beduinen Arabiens immer frischen Nachschub hatten. Gehörte doch -nach ¨Ed. Meyer¨, welcher sich dabei stützt auf ¨Ranke¨, Early -Babyl. personal names (p. 33, Band VI, 1 des grossen Hilprecht'schen -Sammelwerkes über die Amerik. Ausgrabungen in Nippur) und noch mehr -auf die Monumente, Chammurabi selbst einem solchen frischen Schwarm -Amoriter Beduinen an. - -[Sidenote: Sumerische Frage.] - -Die sogen. Sumerische Frage gehörte zu den dunkelsten; während -anfangs der Siebziger die Sumerer als die Kulturträger, die Semiten -als rohe Nomadenhorden hingestellt wurden, hat später ein so -bedeutender Semitologe, wie Halévy, die ganze Existenz der Sumerer -geleugnet und ihre Schrift und Sprache für eine Art Stenographie der -Semitisch-Babylonischen erklärt. Gestützt auf die genaue Untersuchung -der ihm zugänglichen plastischen Denkmäler, hat ¨Eduard Meyer¨ in -seiner Abhandlung »Sumerier und Semiten in Babylonien« [Abh. d. Kön. -Preuss. Akad. d. W. 1906 phil-hist.] die Frage aufgehellt. An der -Existenz der Sumerischen Sprache konnte, wie Meyer mit Fug bemerkt, -nach der Auffindung der griechischen Übersetzungen bilinguer Syllabare, -das sind Listen von Schriftzeichen mit Angabe ihrer Sumerischen und -Assyrischen Silben- und Wortwerte, nicht mehr gezweifelt werden. Man -vgl. die Abhandlung von ¨T. G. Pinches¨ in den Proc. Bib. Arch. 24, p. -108 und ¨A. H. Sayce¨ ibid. p. 120, in denen die Aspiration des p, k -und t durch die Griechische Übertragung konstatiert ist. - -[Sidenote: Sumerer und Semiten.] - -Die Rassenfrage wurde durch die bildlichen Darstellungen im -wesentlichen auf Grund der Ausgrabungen ¨de Sarzecs¨, die von -¨Heuzey¨ vortrefflich ediert sind, und denen von Nippur, die seit -20 Jahren ununterbrochen fortgesetzt sind, unzweifelhaft zugunsten -eines selbständigen Volks der Sumerer entschieden, wie es ¨Bezold¨, -¨Winkler¨, ¨Hilprecht¨ etc. angenommen hatten. Abgesehen von der -Kleidung, dem sumerischen Mantel und dem semitischen bunten Plaid, sind -scharfe und stereotype Unterschiede vorhanden. Zunächst zeichnen sich -die Semiten wie noch heute durch üppig wucherndes Bart- und Haupthaar -aus, während die Sumerischen Köpfe bis auf die Augenbrauen völlig ohne -Haar sind. Die Nase ist von der semitischen scharf verschieden, ebenso -Mund, Backe und Stirn. Auch die Frauenköpfe aus Tello sehen durchaus -nicht semitisch aus. »So lehren die Denkmäler mit unwiderleglicher -Evidenz, dass es zwei verschiedene Rassen in Babylonien gegeben hat, -eine semitische [vorzugsweise] im Norden, und eine nicht semitische -[vorzugsweise] im Süden, [die Sumerer]. Zu diesen beiden Rassen kamen -dann als drittes Element die Beduinischen Westsemiten Chammurabis, die -das Haupthaar kurz schneiden und die Lippen rasieren.« - -[Sidenote: Anteil der Sumerer und der Semiten an der Kultur.] - -Die dritte Frage, die von ¨Meyer¨ naturgemäss nicht so entscheidend, -wie die beiden ersten beantwortet wird, ist die Frage nach dem Anteil -der beiden Rassen an der Kultur. Da hat nun Meyer nachgewiesen, dass -die ¨Sumerer der Zeit Gudeas¨ (etwa um 2600), ¨ihre Götter nicht mit -ihrem eignen sumerischen Typus, sondern in Gesichtsbildung, Bart, Haar -und Gewandung als Semiten gebildet haben¨. Danach haben auf religiösem -Gebiete die Semiten entschieden die Führung gehabt, wenn naturgemäss -auch ihre Religion durch die der Sumerer beeinflusst ist, bis sich -eine einheitliche Religion heranbildete. Meyer glaubt die Sagen von -Gilgamesch, dem Herkules der Babylonier, der Sintflut etc. den Semiten -zuweisen zu können, während besonders die Verbindung der Götter mit den -Sternen, insbesondere die Astrologie, der Hexen- und Dämonenglauben -sumerisch seien, der sich ja von Babylon aus insbesondere durch das -spätere Judentum und das Christentum über die ganze Welt verbreitet hat. - -Die Semiten scheinen auch auf dem Gebiet der Kunst die Führenden -gewesen zu sein, und sehr früh haben sie eine hohe Stufe der Kunst -erreicht, wie die unübertroffene Siegesstele des Naramsin (s. u.) -beweist (vgl. Abbildung). - -[Illustration: Siegesstele des Naramsin.] - -Über einen Punkt aber herrscht unter den Assyriologen volle -Übereinstimmung, ¨die Erfindung der Babylonischen Schrift, der -Keilschrift, ist Eigentum der Sumerer¨. Zwar ist die von ¨Hilprecht¨ -als sumerisch angesprochene vorsargonische Periode Nippurs schriftlos, -und wir haben aus der Zeit wo in dieser Stadt, dem uralten -Stammesheiligtum der Babylonier, der Sumerische Sturmgott En-lil, -dessen Idiogramm später als Bel gelesen wird, seinen Kult hatte, keine -Tafeln mit Schriftzeichen gefunden, aber der Beweis liegt darin, dass -die semitischen Silbenzeichen ursprünglich sumerische Worte bedeuten. -Meyer weist mit Recht darauf hin, dass die Semiten als Erfinder der -Schrift, alle Konsonanten ihrer Sprache bezeichnet hätten, und weist -auf den entscheidenden Einfluss hin, den die sumerische Schrift und -Sprache auf das Semitische der Babylonier für Phonetik und Satzbau -geübt hat. - -[Sidenote: Gudea und die Fürstpriester von Telloh.] - -Durch die Ausgrabungen de Sarzecs wissen wir, dass nach dem Tode der -grossen Semitischen Fürsten Sargon und Naramsin die Sumerer auch in -Accad vorübergehend zur Macht gelangten in dem Königreich von Sumer -und Accad der Fürsten von Ur; wir kennen durch die so erfolgreichen -Ausgrabungen ¨E. de Sarzecs¨ aus wunderbaren Statuen, denen leider der -Kopf fehlte (vgl. Abbildung) und einer Reihe von Schriften, genauer -Vertonungen ihren König oder richtiger Fürstpriester, pateïssi, denn -nie nennt er sich König, ¨Gudea¨; nach ¨Winkler¨ war er Vasall des -¨Urengur¨ von Ur, König von Sumer und Accad, und Gudeas Vorgänger -Urnina, Entemena etc. Ihre Residenz war Schirpurla auch Lagasch, -heute Telloh geheissen; und die Urkunden aus jenen ältesten Zeiten -sind für die Entwicklung der Schrift ganz besonders wichtig. Der Plan -und der Massstab Gudeas (vgl. Abb. S. 62) ist für die Metrologie -beinahe unschätzbar; wie die p. 105 besprochene Arbeit ¨Borchardts¨ -beweist, ist er zirka 3000 Jahr in Gültigkeit geblieben, und stimmt -nach der ¨Borchardt¨'schen Messung mit ¨Lehmanns¨ Hypothesen (p. 106) -vortrefflich. - -[Illustration: Gudea mit Plan und Massstab.] - -[Illustration: Plan der Gudeastatue, 1/2 der nat. Grösse.] - -[Illustration: Massstab der Gudeastatue, 1/2 der nat. Grösse.] - -[Sidenote: Statuen des Gudea.] - -Durch einen merkwürdigen Zufall ist uns jetzt auch der ¨Kopf Gudeas¨ -bekannt geworden. Der Nachfolger de Sarzecs in den Ausgrabungen von -Tello (Sirpurla), der Kapitän ¨G. Cros¨, fand unweit der Stelle, -wo jener einen prächtig gearbeiteten Kopf aus Diorit ausgegraben -hatte, eine kleine ganz disproportionierte Statue ohne Kopf, die laut -Inschrift als die der Gudea bezeichnet wurde, von ihm seinem speziellen -Schutzgott, dem er auch den neuen Tempel in Tello gebaut hatte, dem -Ningiszida, dem Sohn des Nin-a-zu (nach Meyer ein anderer Name für -den Götterkönig Anu, den Himmelsgott) gewidmet. ¨Léon Heuzey¨, der -ausgezeichnete Leiter der Assyrischen Abteilung des Louvre, bemerkte, -dass die Brüche des Kopfes und des Torso zu einander passten, er -setzte den Kopf auf den Torso und ohne jeden Kitt sass er fest (vgl. -Rev. d'Assyr. Bd. VI, 1907 p. 19). Dadurch besitzen wir jetzt 4 Köpfe -des Gudea, darunter der von Hilprecht in seinem Vortrag über die -Ausgrabungen im Bêl-Tempel zu Nippur S. 52 wiedergegebene »Marmorkopf -von feinster Arbeit«. Die Köpfe tragen sämtlich die sogenannte Kappe -der Sumerischen Fürsten, die wir bei Chammurabi (s. u.) wiederfinden, -und drei davon den Turban, der also uralt sumerischen Ursprungs ist. -Die scheinbare Plumpheit und Disproportioniertheit der Körper der -Statuen aus Tello hat Heuzey m. E. sehr zutreffend erklärt. Der Körper -diente nur als Sockel für den Kopf, falls der schwer zu bearbeitende -Dioritblock für eine ganze Statue zu klein war, und ¨Heuzey¨ bemerkt -sehr richtig, dass unsere Büsten mit ihrer abgespalteten Brust den -Sumerern, so sonderbar vorgekommen waren, wie uns die ihren. - -[Illustration: Kopf des Gudea, Federzeichnung nach dem Funde des Cap. -Cros.] - -[Sidenote: Semitische Einwanderung in Vorderasien.] - -Und von der entgegengesetzten Seite her, wie heute ziemlich feststeht, -von Nordafrika her, drangen nomadische Semitenschwärme, in verschiedene -Volksstämme, richtiger Clane gespalten in das reiche Zweistromland, und -siedelten sich in der 13 Meridian breiten, paradiesisch fruchtbaren -Ebene an. ¨Delitzsch¨ versetzt geradezu das Paradies in die Gegend -von Babylon, den Euphrat und Tigris nennt die Bibel selbst und die -beiden andern Ströme erklärt er für Kanäle, was nicht unmöglich, da -die Babylonier für Kanal und Fluss dasselbe Wort nâru haben. An der -jetzigen grauenhaften Verödung dieses Paradieses erklärt Delitzsch -die Türken für unschuldig, und sicher haben Beduinen und Islam vor -den Türken die Versandung der Kanäle und damit die Verödung des -Landes auf dem Gewissen. Wir hegen die begründete Hoffnung, dass -die deutsche Bagdadbahn und das deutsche Kapital in wenig mehr als -einem Menschenalter die jetzige Wüste wieder zu einem grossen Garten -umgeschaffen haben wird. - -[Sidenote: Sargon und Naramsin.] - -Die Unterwerfung der Sumerer gelang um so leichter, als sie keinen -Grossstaat hatten, sondern nur einzelne grosse Städte, in denen -sich nach und nach die Semiten ansiedeln. Die Städte standen unter -sogenannten Fürstpriestern, Pateissi, die sich gegenseitig unter -einander befehdeten, wie wir aus den Inschriften ¨Gudeas¨ erfahren, und -aus dem von ¨Cros¨ vor kurzem ausgegrabenen Bericht über die Verwüstung -Tellos durch Lugalzaggissi, den Pateissi der Nachbarstadt Gishu, bis -sie unter die Oberherrschaft Semitischer »Grosskönige« gerieten, wie -Tello unter die des grossen Semitenfürsten ¨Sargon I.¨, Besitzer -von Argade (Accad), der von Nordbabylonien, dem Lande Accad aus, -auch Südbabylonien (Sumer) unterwarf. Sargons und seines ebenfalls -bedeutenden Sohnes ¨Naramsin¨ Existenz war lange sagenhaft, -- die -Moses-Mythe wird auch von Sargon erzählt -- bis Nabonahid und die Funde -der Amerikaner in ¨Nippur¨, dem Sitz eines uralten Tempels des Bêl, -ihre historische Existenz bewiesen. Dort ist sogar der Stempel des -Sargon (vgl. Abb.) mit seinen altertümlichen Schriftzeichen gefunden -worden. - -¨Nabonahid¨, der letzte König von Babylon, war das, was wir heute einen -Romantiker nennen würden, seine Interessen wurzelten in der Vorzeit, er -wollte den uralten Dienst des Schamasch, der Sonne, und des Sins, des -Mondes, wiederherstellen und geriet so in Konflikt mit der mächtigen -Priesterschaft des Marduk-Bel in Babylonien, deren Unterstützung Cyrus -mehr für seinen Erfolg verdankte als der Macht seiner Waffen. Im -Grundstein des Tempels von Sippar, den Nabonid erneuern wollte, fand -er die Urkunde Naramsins, des Sohnes des Sar-u-ukin. Die Gelehrten -des Königs berechneten nach den Königslisten die Regierungszeit des -Naramsin auf 3200 Jahre früher, wodurch Sargon auf 3800 v. Chr. gerückt -wurde, und mit ihm Gudea. Trotz mancher Bedenken, welche gegen dieses -hohe Alter geltend gemacht wurden, insbesondere von ¨H. Winkler¨ und -¨C. F. Lehmann¨, nahm doch noch ¨Bezold¨ 1903 diese Daten als richtig -an. Aber der Fund der neuen Königsliste von Nippur, aus dem Ende des -3. Jahrtausend der Schrift nach, durch ¨Hilprecht¨ 1906 im XX. Bd. -der Berichte publiziert und interpretiert, bewies, dass Lehmann mit -seiner Vermutung, dass die Gelehrten des Nabonid sich um etwa 800 Jahre -geirrt hatten, im Recht war und die neue Chronologie von ¨L. W. King¨ -(Chronicles conc. early Babyl. kings 2 vol 1907) setzt Sargon von Akkad -auf 2500 v. Chr. auf Grund der Arbeiten ¨H. Rankes¨. - -[Illustration] - -[Sidenote: Babylonisch-Assyrische Chronologie.] - -Über die Chronologie sei gleich hier bemerkt, dass der Hang der -Babylonier zum genauen Datieren, insbesondere auch die zahllosen -Geschäftsurkunden, die wir von Gudea bis Nabonid besitzen, uns über -die Chronologie der Assyrer weit besser als über die der Ägypter -unterrichtet haben. In Kürze werden uns die Ausgrabungen, besonders -die der Pennsylvania Universität in Nippur bis ins 4. Jahrtausend -hinein eine völlig gesicherte Zeitfolge der Geschichte gewähren, von -Chammurabi bis Kyros, von 2000 bis 539 steht sie schon jetzt auf -sicherem Boden. Vom 15. Jahrhundert bis zum Jahr 1000 können wir uns -auf die sogen. ¨synchronistische¨ Geschichte stützen. Nach ¨H. Winkler¨ -(die Keilinschr. u. das alte Test. 3. Aufl. 1903 p. 47) ist es ein -Dokument, in welchem ¨Adad-nirari¨ III. von Assyrien (812-783) die -Vereinigung Assyriens und Babyloniens als im Interesse beider Völker -hinstellt, nach ¨Bezold¨ ein Staatsvertrag beider Länder. Jedenfalls -wird darin in Kürze die Geschichte beider Länder chronologisch erzählt. -Die synchron. Geschichte ist immerhin nicht ganz einwandfrei, sie -enthält gewissermassen den persönlichen Fehler Adad-niraris. Von -diesen sind für Assyrien die ¨Eponymenkanones¨, für Babylonien die -¨Königslisten¨ frei. Das Jahr wurde von Adad-nirari II., etwa um 900 -an, zunächst nach dem die Regierung antretenden Herrscher und dann -der Reihe gemäss, nach den höchsten Beamten benannt, wie in Athen -nach den Archonten. Beide Listen sind Chroniken zum Zweck genauer -Datierung von Rechtshandlungen. Die Vergleichbarkeit des Kanons mit -unserer Zeitrechnung wurde möglich durch Erwähnung der Sonnenfinsternis -im Monat Sivan bei Gelegenheit eines Aufstands gegen Assur-daja. Die -Astronomische Berechnung ergab den 15. Juni 763. Eine weitere Kontrolle -ergab dann der völlig zuverlässige Kanon des grossen Astronomen -Ptolemaios (vgl. Hellas), der uns hilft bis zur ¨Seleuciden¨-Ära -(Berossos), deren Beginn zwischen 312 und 311 schwankt und die -Arsaciden-Ära von 248, welche neben der Seleucidenära hergeht. - -Die Semiten überschwemmten ganz Westasien, längs der Küste des -Mittelmeeres zogen die Phönizier, besser Kanaanäer, zu denen die -Chabiri, die wir jetzt als Hebräer bezeichnen, gehören, die, wie es -scheint, noch im Anfange der historischen Zeit nicht sesshaft waren, -und erst zur Zeit Chinatôns ihre Stammesgenossen angriffen. - -Arvat, Byblos und vor allem Sydon und Tyrus sind Städte der Phönizier. -Die zweite Sammelgruppe der Beduinenschwärme bilden die Aramäer, mit -dem Hauptzweig der Syrer, die südlich von den Kanaanäern hielten -und sich weit nach Norden und Osten vorschoben. Hier kam es nur in -Damaskus, der alt berühmten noch heute blühenden Handelsstadt zu einer -Staatenbildung. Am ausgedehntesten war die Wanderung des an Zahl -stärksten dritten Zweiges, der Babylonier und Assyrer, die sprachlich -und genealogisch nahe verwandt sind. Doch sind nach den Abbildungen die -Babylonier weit stärker mit den Sumerern blutgemischt als die Assyrer. - -[Sidenote: Geschichte der Babylonier und Assyrer.] - -Die Assyrer sind sprachlich und auch dem Rassentypus nach mit den -Babyloniern so nahe verwandt, dass die Annahme ihrer Abzweigung von -diesen, etwa um 1150, nach einem siegreichen Einfall der Elamiten, sehr -wahrscheinlich ist. Sie waren ein Krieger- und Herrenvolk, das den -Priestern einen weit geringeren Einfluss einräumte als die Babylonier. -Ihre Kämpfe, wie die der Babylonier, gelten, wie leicht begreiflich -ist, dem Bestreben, sich die grossen Handelsstrassen nach Indien und -nach dem Kulturzentrum, dem Mittelmeerbecken offen zu halten. Wird -ihnen, durch das Aufkommen einer nicht semitischen Grossmacht ein -Handelsweg im Westen verlegt, so erkämpfen sie sich einen neuen im -Osten. Sehr bald gingen sie gegen Babylonien aggressiv vor, und der -grausame aber tüchtige ¨Assurnassirpal¨ bringt Babylon völlig unter -seinen Einfluss. Der eigentliche Begründer der Assyrischen Weltmacht -¨Tiglat Pileser¨ III. besteigt dann 744 unter dem Namen Pulu (Phul -der Bibel) den Thron Babels und nennt sich König von Sumer und Accad. -Diese Glanzzeit Assyriens hält unter Sargon II. und seinem Sohn -¨Sanherib¨ an, aber kurz nachdem Sanherib Babylon zerstört hatte (689) -und nach der erfolgreichen Regierung ¨Assurbanipals¨ (Sardanapal) wird -auch Ninive, die Residenz seit Sanherib von den Medern unter Kyaxares -zerstört und zwar weit gründlicher als Babel. - -Bis an die Hochebene Mediens in Nordosten, Elams oder Susa in Südosten, -im Süden bis an die Sümpfe der Mündung des Euphrat und Tigris in -den persischen Busen drangen die Semiten, auch hier zunächst kein -Grossstaat, sondern Städte, die das Stammesheiligtum bargen als Zentren -des Kultus, des Marktverkehrs und Sitz der Fürsten. Nach Agade und -Sirpurla nenne ich Kis, Ur (deren Fürsten sich seit ¨Urengur¨ Könige -der vier Weltgegenden nannten und Nordbabylonien in Abhängigkeit -brachten), Nippur, Larsam und Babel, die mehr oder minder zentrale -Bedeutung gewannen bis Chammurabi (vielleicht der Amraphel der -Bibel) Babel zur Hauptstadt des Grossstaats Babylon machte, der nun -Nordbabylonien (Accad) und Südbabylonien (Sumer) durch Eroberung von -Larsam im Süden und Absetzung des dortigen Königs einte. - -Babel war eigentlich eine Doppelstadt, an einem Ufer Babel -- das -Tor Gottes, am andern Borsippa (Birs) -- die Stadt des Mondgottes -Sin, dessen Kult in Sumer, insbesondere in Ur blühte, während in -Nordbabylonien der Dienst der Sonne (Schamasch und Marduk) in den -Vordergrund trat. - -[Sidenote: Chammurabi.] - -[Illustration: Ḫammurabi empfängt von Schamasch seine Gesetze.] - -Wir kennen ¨Chammurabi¨ wie wenige Fürsten des Altertums, und wenige -Regenten dürften ihn in alter und neuer Zeit an Kraft und Weisheit, -und wenn wir seinen Gesichtszügen (s. Abb.) und den zahlreichen -Rechtsschriften Glauben schenken, auch an Gerechtigkeit und Milde -übertroffen haben. Was er für die Stadt Babel getan, berichtet er uns -selbst sumerisch und babylonisch: »Chammurabi, der mächtige König, der -König von Babylon, der König der vier Weltgegenden, der Begründer des -Landes, der König, dessen Taten dem Fleische des Gottes Schamasch und -des Gottes Marduk wohltun, bin ich. Die Spitze der Mauer von Sippar -habe ich mit Erdreich wie einen Berg erhöht, mit Rohrgeflecht habe ich -sie umgeben. Den Euphrat grub ich ab gen Sippar zu und liess einen -Damm dafür aufwerfen. Chammurabi, der Begründer des Landes, dessen -Taten etc. wohltun, bin ich. Sippar und Babel habe ich auf immerdar zu -behaglichen Wohnstätten gemacht. Chammurabi, der Günstling des Gottes -Schamasch, der Liebling des Gottes Marduk bin ich. Was seit uralten -Tagen kein König dem Herrn der Stadt (dem Schutzgott) gebaut hat, das -habe ich für Schamasch, meinen Herrn, grossartig ausgeführt.« - -[Illustration: Chammurabi.] - -[Sidenote: Codex des Ḫammurabi.] - -Hatte ¨C. Bezold¨ in Ninive und Babylon schon ¨Chammurabi¨ in der -eben zitierten Weise gewürdigt, so wurde die Gestalt dieses grossen -Fürsten in noch weit helleres Licht gerückt durch die Erfolge der -französischen Ausgrabung unter ¨G. de Morgan¨ in Susa, der Hauptstadt -von Elam. In drei Stücken wurde dort im Dezember 1901 und Januar 1902 -die Standsäule mit der Gesetzsammlung Ḫammurabis gefunden, welche -1903 von ¨V. Scheil¨ zum ersten Male ediert und in französischer -Sprache erklärt wurde und 1904 von ¨H. Winkler¨ deutsch und von -¨R. Harper¨ englisch ebenfalls 1904, und vom juristischen Standpunkt -von ¨J. Köhler¨ und ¨E. Peiser¨ 1904. Der Codex Hammurabis steht auf -einer ethischen Höhe, welche dem mosaischen vom Sinai nichts nachgibt, -und ist das erste uns erhaltene Corpus juris. Sie genoss, Winkler -zufolge, viele Jahrhunderte das höchste Ansehen -- wie die Gesetze des -Moses sind sie von Gott gegeben, das Bild der Säule zeigt, wie der -König die Gesetze von Schamasch empfängt, leider ist das Antlitz des -Königs, der Kappe und Stab trägt, verstümmelt, der Sonnengott ist mit -¨Turban¨ und Faltenrock bekleidet -- sie hat das griechische Recht, -dieses das römische und dieses das unsrige in hohem Grade beeinflusst. -Die Strafe ist natürlich wie bei den Hebräern und Römern Vergeltung, -bei Sittlichkeitsvergehen Abschreckung. Im Zivilprozess spielt der Eid, -grade wie bedauerlicherweise noch heute, eine hervorragende Rolle. Die -Sammlung weist der Frau eine rechtliche Stellung an, welche sie noch -heute in der Türkei nicht errungen hat, sie schränkt die väterliche -Gewalt, ich nenne nur § 168, die Ausweisung des Sohnes betreffend, -erheblich ein, und das Erbrecht ist in sehr zu billigender Weise -geregelt, denn auch hier ist die Frau und die Tochter geschützt. Das -Handelsrecht hat er wohl kaum modifizieren können, denn das war ja -zugleich international, aber das sogenannte Sumerische Familienrecht -zeigt, dass dieser Schutz der weiblichen Familienglieder so recht -dem eigenen Sinn des grossen Königs entsprungen ist. Und so können -wir den Worten, mit denen er auf der Säule sich seiner Taten nach -orientalischer Sitte rühmt -- Einleitung und Schluss -- wohl Glauben -schenken. Die Stele kam nach Susa als Trophäe zugleich mit anderen -wichtigen steinernen Urkunden im 12/11 Jahr v. Chr., als die Elamiten -unter Sutruk-Nahunte Sippar und Babylonien erobert hatten. Es sei hier -auch erwähnt, dass von dem Kampfe Abrahams zur Befreiung Lots auch eine -Urkunde Chammurabis berichten soll. Die Stele mit der Gesetzsammlung -zeigt am Anfang das Relief, welches die Übergabe des Codex an den König -durch Schamasch schildert, das Relief ist verstümmelt; (Abbild. S. 69) -die Legende ist um so deutlicher. - -[Sidenote: Babylonisch-Assyrische Kultur.] - -Die Geschichte Babyloniens und Assyriens kann ich hier nicht erzählen, -sie ist z. T. in der Bibel und bei Herodot und später bei Arrian, -Diodor, und vor allem bei Berossos etc. wenigstens von 2000 ab erzählt; -sie ist jetzt bis 4000 v. Chr. so ziemlich aufgehellt; sie wurde in -grossen Zügen durch die verschiedenen Schichten der einwandernden -nomadischen Semitenschwärme und durch die geographische Lage im -einzelnen bedingt. Nach Westen und Südosten Kämpfe mit den Aramäern -und weiter nördlich mit den Kanaanäern, Phöniziern und Hebräern, die -an dem nahen Ägypten Rückendeckung hatten. Im nördlichen Syrien auch -Kämpfe mit dem uralten vermutlich von Kappadocien her eingedrungenen -vielleicht indogermanischen Stamm der Cheti oder Hetiter, die sich -später mit den Hebräern vermischt haben und mit den Mitani, die noch -ziemlich rätselhaft sind. Im Norden, Osten oder Südosten ist es die -indogermanische Wanderung, die unausgesetzt das babylonisch-assyrische -Reich bedroht; im Norden zusammengefasst als Skythen, im Osten die -Meder, in Südosten die Elamiter mit der Hauptstadt Susa. Im Süden -wieder hemmten die Chaldäer, die im sogenannten neubabylonischen -Reiche nach jahrhundertelangen Kämpfen schliesslich die Herrschaft an -sich rissen. Und hinter den Medern und Elamitern wieder Indogermanen, -deren bedeutsamster Stamm, die Perser, das ganze babylonische Reich -zerstörten. - -[Sidenote: Grotefend und die Entzifferung der Keilschrift.] - -¨Die Erschliessung der babylonisch-assyrischen Kultur¨ verdanken wir -in erster Linie dem Lehrer am Gymnasium zu Göttingen: ¨Georg Friedrich -Grotefend¨. Aus den Ruinen von Persepolis, der von Alexander dem -Grossen in der Trunkenheit in Brand gesteckten Hauptstadt Persiens, -waren im Laufe der Zeit einige Inschriften in eigentümlichen -keilförmigen Zeichen bekannt geworden, und ¨Carsten Niebuhr¨, der -Vater des berühmten Historikers hatte 1770 äusserst sorgfältige und -ausführliche Kopien mitgebracht, welche die allgemeine Aufmerksamkeit -auf die Keilschrift lenkten; er hatte auch schon bemerkt, dass die -Inschriften drei verschiedenen Schriftsystemen angehörten und von -links nach rechts zu lesen waren. Zufällig wurde Grotefend auf einem -Spaziergang im Juli 1802 veranlasst, sich mit der Entzifferung zu -beschäftigen und schon am 4. September 1802 legte er die Resultate -seiner Forschung der Göttinger gelehrten Gesellschaft vor. Er ging -davon aus, dass die in drei verschiedenen Keilschriften und also -auch wohl in drei verschiedenen Sprachen verfassten Inschriften -von den Erbauern der Paläste, den persischen Achämeniden Darius, -Xerxes, Artaxerxes etc. herrührten; dass also vermutlich die erste -der drei Sprachen die persische, dass die Texte wahrscheinlich auch -die Namen der Könige enthielten, dass endlich die Schrift des ersten -Systems wegen der geringen Anzahl der Zeichen eine Buchstabenschrift -sein musste; danach verglich Grotefend die ihm aus der Bibel und -den Klassikern und aus der Zendsprache in den heiligen Büchern -Zarathustras bekannten Namen dieser Könige auf ihre Länge und die -Wiederkehr gewisser Zeichen und kam zu folgendem Schluss: Eine häufig -wiederkehrende Gruppe von Zeichen musste König oder verdoppelt König -der Könige bedeuten, und in den dieser Gruppe vorangehenden Zeichen -war der Name des Königs enthalten; so fand er Darius oder vielmehr -die altpersische Form Dārheūsch, und ein zweiter Name liess sich als -Xerxes-Khschêrsche, ein dritter als Hystaspes-Gôschtaspähe deuten -und ebenso bekam er das Wort Sohn heraus. Die Göttinger gelehrte -Gesellschaft verfuhr mit der Abhandlung Gr. ähnlich wie die dänische -mit der Kaspar Wessels über die geometrische Darstellung der Complexen -Zahlen und die Pariser Akademie mit ¨Abels¨ grösster Arbeit: sie -lehnte es ab, die Abhandlung zu veröffentlichen. »Erst neunzig Jahre -später (1893) ist seine Originalabhandlung von Prof. Wilhelm Meyer in -Göttingen wieder aufgefunden und in den »Gelehrten Nachrichten« der -Akademie veröffentlicht worden.« (¨H. V. Hilprecht¨, die Ausgrabungen -in Assyrien und Babylonien 1904). - -Aber die Entdeckungen Grotefends wurden vor dem Schicksal der -Wessel'schen und Abel'schen bewahrt, dadurch dass sie Aufnahme fanden -in das s. Z. epochemachende Werk von ¨A. Heeren¨, Ideen über Politik, -den Verkehr und den Handel der alten Welt 4. Aufl. I, 2 S. 345. So war -die Grundlage geschaffen, auf der dann die anderen, ich nenne ¨Benfey¨, -¨Hinks¨, ¨Oppert¨, ¨Spiegel¨ weitergebaut haben, so dass jetzt die -bisher bekannten derartigen Texte, mit voller Sicherheit gelesen werden. - -In der zweiten Schrift entdeckten ¨Norris¨ und ¨Oppert¨ eine aus -Silbenzeichen und einigen Wortzeichen konstruierte Schrift, in der, -wie heute feststeht, die susische oder elamitische Sprache ausgedrückt -wurde; sie enthält gegen 100 Zeichen. - -Weit grössere Schwierigkeit bot das dritte System, das über 300 -verschiedene Keilschriftzeichen enthielt. Die Entzifferung war schwer -möglich und sie gelang Grotefend nicht. Da entdeckte ¨James Rich¨, ein -geborener Franzose, aber Resident der ostindischen Kompagnie in Bagdad -im Jahre 1820-21 gegenüber der blühenden Handelsstadt Mossul (Musselin) -auf dem linken Tigrisufer die Ruinen von Ninive und fand zahlreiche -Inschriften des dritten Systems. Bemerkenswert ist es, dass schon im -12. Jahrhundert der spanische Rabbi ¨Benjamin von Tudela¨ den Ort von -Ninive bestimmt bezeichnete. - -Fast gleichzeitig wurde die sogenannte grosse Dariusinschrift, eine -sehr lange dreisprachige Inschrift am Felsen von Behistun, einer 100 -Meter steilen Felswand, an der Grenze des alten Mediens gefunden und -1835 von ¨Henry Rawlinson¨ vermittelst hoher Leitern auf ungeheueren -Papierabklatschen aufgenommen unter grosser Lebensgefahr --, man nennt -die Dariusschrift den Babylonischen Stein von Rosette --. Von nun ab -wuchs die Menge der ausgegrabenen Inschriften rapide, besonders durch -die Arbeiten von Sir ¨Henry Layard¨ und ¨Rassam¨, im Auftrage des -British Museum, in Nimrud, 25 Kilometer von Mossul, die alte Residenz -¨Kelach¨. - -[Sidenote: Die wichtigsten Ausgrabungen.] - -Im Jahre 1881 entdeckte ¨Hormuz Rassam¨ die Ruinen von Sippar. R. -hatte schon 1878 in Balawat, die für die assyrische Kunst- und -Kulturgeschichte gleich wichtigen Bronzetüren Salmanassars II. -gefunden. Von grösster Bedeutung sind die Ausgrabungen der Franzosen in -Tello gewesen, schon dadurch dass die wunderbaren Funde ¨E. de Sarzecs¨ -Franzosen, Engländer, Amerikaner, Deutsche, ja selbst die hohe Pforte -zu weiteren Arbeiten anspornte. Vor de Sarzec hatten schon im Auftrage -der französischen Regierung ¨Botta und Place¨ in Korsabad den Palast -Sargons II. gefunden und mit Glück gearbeitet, und den Grund zu der -grossen Sammlung im Louvre gelegt. - -¨De Sarzecs¨ »Découvertes en Chaldée« von ¨Léon Heuzey¨ 1868 auf Kosten -der Regierung herausgegeben, wie schon die Prachtwerke, welche über -Bottas und Places Arbeiten berichteten: Monument de Ninive découvert -et décrit par ¨E. Botta¨, mesuré et dessiné, par ¨E. Flandin¨, Paris -1846-50 und ¨V. Place¨, Ninive et l'Assyrie 1866-69, haben der modernen -Assyriologie den stärksten Impuls gegeben. Die Franzosen setzen die -Ausgrabungen von Tello bis heute fort, daneben hat die Expedition -nach Elam (Susa) unter ¨De Morgan¨, deren Resultate der hochverdiente -¨V. Scheil¨ mitgeteilt hat, u. a. den Kodex des Chammurabi aufgefunden. -Die Engländer ihrerseits haben fleissig unter Budge und King in -Kujundschik, das Layard seinerzeit den Franzosen weggenommen, -gearbeitet. Die ¨Deutsche Orientgesellschaft¨ arbeitet seit 1899 -unter ¨R. Koldwey¨ und ¨L. Borchardt¨ mit grossem Erfolg in Babylon -und besonders in Assur. Aber mit den Riesensummen, welche der Staat -Pennsylvanien und seine Universität Philadelphia auf die Ausgrabungen -in Nippur verwandt hat, ist keine Konkurrenz möglich. Von den Leitern -¨J. P. Peters¨, ¨H. V. Hilprecht¨, ¨J. H. Haynes¨ ist besonders der -Deutsche Hilprecht der eigentliche Assyriologe, unter dessen Leitung -die Excavations in Assyria and Babylonia die Resultate der seit 1879 -bis jetzt fortgesetzten Ausgrabungen der Mit- und Nachwelt zugänglich -machen. - -[Sidenote: Die Keilschrift.] - -Es gelang vier grossen Forschern ¨Rawlinson¨, ¨Oppert¨, ¨De Saulcy¨ -und dem scharfsinnigen Irländer ¨Hinks¨ die dritte Schrift und die -Sprache zu entziffern. Die Schrift war eine Verbindung von Wort und -Silbenzeichen, die Sprache eine der arabischen und hebräischen nahe -verwandte, es war die babylonisch-assyrische Sprache. Die Schrift war -ursprünglich eine ziemlich rohe Bilderschrift, zeigt aber schon in -ihren ältesten Formen das Bestreben, Bogen durch Striche zu ersetzen, -aus denen sich dann die Keilschrift entwickelte. So sind z. B. die -ältesten Formen für »Stern«, »Sonne«, »Rohrpflanze«: - - [**symbol] [**symbol] für [**symbol] [**symbol], später [**symbols] - -und weiterhin vereinfacht: - - [**symbols] - -und analog haben sich aus den Bildern [**symbols] für Fuss und Weib die -betreffenden Keilschriftzeichen entwickelt. - -Diese Keilschriftzeichen lassen sich im wesentlichen auf drei -Grundelemente: den horizontalen Keil [**symbol], den vertikalen Keil -[**symbol] und den schrägen Keil [**symbol] zurückführen, selten -sind die umgekehrten Keile, der Winkelhaken [**symbol] ist wohl aus -Vereinigung zweier Keile hervorgegangen. Die Keile konnten durch -Wiederholung, Neben- und Übereinanderstellung und Kreuzung zu den -mannigfachsten, oft äusserst komplizierten Gruppen vereinigt, sowohl -Worte als Silben im Assyrischen bezeichnen. Dabei zeigte sich aber eine -anfangs äusserst rätselhafte Erscheinung, die sogenannte Polyphonie. -Dasselbe Zeichen bedeutet sehr oft ein oder mehrere Worte und daneben -noch ein oder mehrere Silben. So bedeutet das Zeichen [**symbol] -nicht nur »Stern«, assyrisch Kakkabu, sondern auch Himmel schami und -Gott ilu und hatte die Silbenwerte an und il. Das Zeichen [**symbol] -hatte nicht nur die Wortbedeutungen »Land« (matu) »Berg« (schadu), -erreichen, erobern Kaschādu; aufgehen (von der Sonne, napāchu), sondern -konnte auch ausserdem als Silbenzeichen in seinen verschiedenen -Zusammenstellungen mit andern Zeichen noch kur, mad, mat, schad, schat, -lat, nad, nat, kin oder gin gelesen werden. - -Das Rätsel löste sich mit einem Schlage als ¨Rawlinson¨ aus einer -Anzahl sehr alter Keilschrifttexte eine neue Sprache in genau derselben -Schrift entdeckte, die Sprache der Sumerer. - -Die Beduinenhorden der Babylonier hatten sich mit dem Lande zugleich -der ¨Schrift¨ der Sumerer bemächtigt, [**symbol] der Himmel hiess -sumerisch an, hoch und wurde im Babylonischen Zeichen für den Begriff -Himmel und für die Lautsilbe an, Wortzeichen und Determinativ für Gott -und ebenso wurde [**symbol] Land; Berg, sumerisch kur als Wortzeichen -und Determinativ für Land und Berg und Silbenzeichen gebraucht. - -Diese Erklärung wurde später durch die Auffindung einer grossen -Menge zweisprachiger Texte, babylonisch und sumerisch, in derselben -Schrift bestätigt. (¨E. Bezold¨: Ninive und Babylon, Monographien zur -Weltgeschichte XVIII 1903.) - -[Sidenote: Entwicklung der Keilschrift nach Delitzsch.] - -Über die Entwicklung der Schrift oder den Ursprung der Keilinschriften -hat ¨Fr. Delitzsch¨, dem wir Wörterbuch und Grammatik des Assyrischen -verdanken, 1897 ein Werk veröffentlicht, das, mögen auch Einzelheiten -verbesserungsfähig sein, die Prinzipien völlig einleuchtend festlegt, -nach denen die Sumerischen Priesterfürsten die Schrift als Verbindung -von Wortzeichen -- Idiogrammen -- und Silbenzeichen geschaffen haben. -Und wenn die ¨Schrift¨ planmässig mittelst weniger aber wirksamer -Grundgedanken aus der Bilderschrift entstanden ist, so wird damit -auch meine Ansicht, dass das ¨Zahlsystem¨ eine planmässige und mit -Überlegung ausgeführte Schöpfung derselben Gelehrten ist, im höchsten -Grade wahrscheinlich. Gestützt auf die Formen der Schrift aus Telloh -und die noch älteren aus Nippur, die Geierstele, die Vase Entemenàs, -die Vase Lugat-šug-engur, welche sicher bis gegen 4000 (3700) -heraufreicht, und, anknüpfend an des grossen 1905 verstorbenen Jules -Oppert Expédition en Mésopotamie 1859 Kap. I, schied D. zunächst -37 Urzeichen aus, welche sich aus 21 Urbildern und 16 Urmotiven -zusammensetzen. Ich gebe hier die wichtigsten an: [**symbol] Stern -etc., [**symbol] Sonne, aufgehend, Tag, Licht, hell sein, [**symbol] -untergehende Sonne, schwach werden, niedergehen. [**symbol] Zunehmender -Mond (Horn), zunehmen, voll werden, [**symbol] schwinden, zurückkehren -(abnehmender Mond), [**symbol] penis = Mann, männlich, [**symbol] Mann, -Diener, [**symbol] (volva) = Weib, [**symbol] Auge aus [**symbol]; -[**symbol] Hand, [**symbol] (Fuss) gehen, stehen. [**symbol] Herz, -[**symbol] Ochse, [**symbol] Werkzeug zum Öffnen, daher öffnen, -auflösen, Tod, [**symbol] Netz, Geflecht, Gefüge, [**symbol] -Umschliessung, [**symbol] Raum, [**symbol] Kreis (aus [**symbol]), -[**symbol] das Richtungsmotiv, dessen Ecken die 4 Kardinalpunkte und -dessen Axe die Nord-Südlinie verbildlicht; [**symbol] oder [**symbol] -Spitze, daher [**symbol] Gebirge, [**symbol] Kopf, [**symbol] Bogen, -Kurve etc. - -Aus diesen Grundelementen werden dann durch Zusammensetzung gleicher -oder verschiedener Zeichen beliebig viele neue Wortzeichen abgeleitet, -welche sich häufig als Definitionen der dargestellten Begriffe erweisen -und auf die Psyche und die Kultur des Volkes der Sumerer ein so helles -Schlaglicht werfen, dass D. daraufhin den Versuch wagen konnte, ihren -Kulturzustand zur Zeit der Schrifterfindung zu rekonstruieren. - -Die Verdoppelung, im Altbabylonischen auch als Kreuzung sichtbar -gemacht, dient zunächst als Pluralzeichen und Iterativum wie das -hebräische Piël, dann aber auch zu Neubildungen. Aus [**symbol] geben -wird durch [**symbol] hinzugeben, addieren tab, dap; aus [**symbol] -gross (nun-rabû) wird [**symbol] Herr d. i. Grösster (Grossmann -der Hottentotten), mit doppelten Zeichen des Umschliessens wird -die Summe bezeichnet: [**symbol] entwickelt zu [**symbol]. Für die -Zusammensetzung ungleicher Zeichen greife ich aus den Beispielen von D. -die folgenden heraus: berufen, erwählen = Auge + werfen, König = gross -+ Mensch, Hirt, [**symbols] bei Gudea = Stab + Träger. Fügte man in -das Zeichen für Mund das Zeichen für Brot ein, so erhielt man: essen, -und das eingefügte [**symbol] (Wasser) ergab trinken und tränken. Die -»Schlacht« wird dargestellt als »Handwerk des Kriegers«, der Regen als -[**symbols] gleich Wasser des Himmels, die Tränen als Wasser des Auges -[**symbols]; Vater als Schützer des Hauses zu erklären unter Hinweis -auf das entsprechende lateinische pater familias scheint allerdings -zweifach fehlerhaft, insofern das Zeichen im Haus den Feind bedeutet -und das sanscrit paṭar schützen mit piter Vater gar nichts zu tun -hat. Die Verkürzung des a zu i in Jupiter und der Komposition (z. B. -suscipio) ist eine ganz spez. lateinische Eigentümlichkeit. Eins der -schlagendsten Beispiele ist Mond oder Monat, das durch Tag und 30 -bezeichnet wird; [**symbol] und [**symbol] also [**symbol]. - -[Sidenote: Die Gunierung.] - -Ein ebenso einfaches wie weittragendes Mittel der Weiterbildung ist die -von den Babylonisch-Assyrischen Grammatikern gunû, d. i. Beschwerung, -genannte Steigerung. Sie besteht in der Hinzufügung von 4 Strichen oder -Keilen, d. h. also Paare von Paaren, die aus Rücksicht auf den Raum -mitunter auf drei reduziert werden. So wird aus [**symbol] Wohnung, -Wohnraum durch Gunierung [**symbol] Palast, Residenz, Grossstadt, und -damit das Determinativ für die Sitze der Pateissi. Aus [**symbol] dem -Bilde des Unterschenkels mit Fuss, das zugleich gehen, stehen, stellen -etc. bedeutet, wird durch Gunierung [**symbol] »Fundament«. Zu den -von den Babylonischen Grammatikern, insbesondere von dem so äusserst -wichtigen Syllabar b der Bibliothek Sardanapals (s. u.) gegebenen hat -D. eine ganze Reihe neuer Gunû Idiogramme abgeleitet, von denen ich -erwähne das Schwert als grosser Dolch; der Vollmond ist der gunierte -Mond, d. h. der grosse, volle, Mond, die Monatsmitte, die vom Neulicht -(s. u.) gezählt wurde und dann Mitte schlechtweg, archaisch [**symbol], -und das Neulicht selbst wird als der ¨grosse¨ Eingang des Tages oder -als Anfang einer Tagesreihe guniert geschrieben. Es ist D. gelungen, -für einen sehr grossen Teil der Idiogramme meist recht einleuchtende -Ableitungen zu geben, auf Grund derer er es eben wagen konnte ein Bild -des Kulturzustandes der Sumerer nach Erfindung der Schrift zu geben. -Und selbst Erklärung wie die des Zeichen für Mensch [**symbol] als des -auf das Antlitz geworfenen Knechts oder »¨Hundes¨« der Götter sind in -Anbetracht, dass es Priester waren, welche die Schrift erfanden, nicht -unglaubwürdig, und recht einleuchtend ist die Erklärung für Ehemann -oder Frau als Verbindung von [**symbol] und [**symbol] durch das -Vereinigungszeichen [**symbol] p. 161 (vgl. Abb.). - -[Illustration] - -[Sidenote: Die Determinative und das phonetische Komplement.] - -Die Schwierigkeiten, welche die Vieldeutigkeit der Wort- und -Silbenzeichen boten, wurden durch zwei Mittel wesentlich vermindert, -erstens durch die Determinative, welche wie im Ägyptischen nicht -mitgelesen wurden, und zweitens durch das sogenannte Phonetische -Komplement (Delitzsch Grammatik 1907, § 33 a). Die gebräuchlichsten -Determinative sind [**symbol] ilu Gott sum. an, das nur vor An(u) -fehlt, dem Himmelsgott, der ja selbst mit an bezeichnet ist, [**symbol] -vor Ländern und Gebirgen, Fluss Kanal [**symbol] (Euphrat), Baum -[**symbol], Gerät altertümlich Holz [**symbol]. Mitunter wurden die -Determinative wie bei den Ägyptern nachgesetzt, so hinter Städten Ki -und hinter Fischen ḫa. - -Das phonetische Komplement besteht in der Hinzufügung einer oder auch -zwei Silben »um durch Bestimmung der Schlusssilbe (n) die richtige -Lesung zu sichern. Das sumerische Silbenzeichen [**symbol] für kur -bedeutet als Wortzeichen Berg šadu, Land mâtu, erobern kaṣadu etc. -Folgt auf kur, u, a, i, plur-e. -- Pluralzeichen nachgesetztes -[**symbol], vielleicht gunierte eins -- so sichert dies šadu -- a -- -i, etc., während Kur-ti, Kur plur-ti auf mâti, mâtati (Länder) und -Kur-ud auf aksud (ich eroberte) hinführt.« - -[Sidenote: Babylonisch-Assyrische Ausgrabungen.] - -In unerwarteter Weise haben wir über die Kultur, der diese Sprache -diente, Aufschluss erhalten durch die Ausgrabungen einer ganzen Anzahl -von Tempelbibliotheken. Im Jahre 1854 entdeckten ¨Rassam¨ und ¨Layard¨ -im Trümmerhügel von Kujundschik, einem Dorf gegenüber Mossul, die -Bibliothek Assurbanipals, das ist Sardanapal, in dem Nordpalast dieses -vielleicht grössten assyrischen Fürsten zu Ninive, dessen Regierung von -668-626 fällt. Über 22000 sorgfältig gebrannte Tontäfelchen oder Stücke -solcher Tafeln sind allein im British Museum geborgen. Es sind Tafeln, -deren Fläche von 37 × 22 und 2,4 × 2 variiert bei einer mittleren Dicke -von 2,4. Vorder- und Rückfläche, ja vielfach auch die Seitenwände sind -mit sorgfältiger Schrift beschrieben; die Tafeln enthalten Löcher -zur Aufnahme kleiner Holzpflöcke, mit denen die Tafeln zu Büchern -aufgereiht wurden. Die Zusammensetzung ist vielfach dadurch ermöglicht, -dass, ähnlich wie bei unsern Akten, das letzte, für sich stehende, Wort -einer Tafel das Anfangswort der folgenden ist. Eine Anzahl Tafeln ist -durch ein mit Adresse versehenes Kuvert, natürlich aus Ton, geschützt; -wir haben hier den Ursprung unserer Briefkuverts. Es ist die älteste -eigentliche Bibliothek, d. h. absichtliche Sammlung zur Bewahrung -der Literatur und zu wissenschaftlichen Zwecken. Sehr vielfach sind -sorgfältige Abdrücke älterer Schriften erhalten. - -[Sidenote: Die Ausgrabungen von Nippur.] - -1874 fanden Araber in Babylon mehr als 3000 beschriebene Tontafeln -geschäftlichen Inhalts, 1881 entdeckte ¨Rassam¨ die Ruinen von -Sepharwaim und fand bei Ausgrabungen des Sonnentempels das Archiv, das -aus Tonzylindern und über 50000 allerdings sehr schlecht gebrannten -Tontafeln bestand. Und die Ausgrabungen der Pennsylvania Universität -Philadelphia von 1889 an haben bereits zwei grosse Bibliotheken in -Nippur zutage gefördert, wo das älteste grosse Landes-Heiligtum des -Bel matâti, des Herrn der Länder, ¨ekur¨, das Haus des Berges, stand. -Die bedeutendere über 3 Jahrtausende v. Chr. alte, ist durch den -schon erwähnten Einfall der Elamiten gewaltsam zerstört, während die -jüngere auf schlecht gebrannten Tafeln, neubabylonisch, allmählich in -Verfall geraten ist. Über 23000 Tafeln sind geborgen und dabei sind -erst 80 Zimmer oder etwa 1/12 der Bibliothek ausgegraben worden. Aus -einer Reihe von Anzeichen im Boden schliesst ¨Hilprecht¨, der Leiter -der Ausgrabungen, dass in der untersten Schicht der Hügel noch eine -ältere vor Sargon, d. h. vor 3000 entstandene Bibliothek verborgen -liegt. Hilprecht bezeichnet die Bibliothek geradezu als Universität, -die sogar nach Fakultäten gegliedert war; eine Anzahl Säle enthielt die -philologische Abteilung, eine andere die astrologisch-astronomische, -wieder eine andere die technische etc. Im untersten Grund des -Tempelturmes fand Hilprecht vorzüglich erhalten aus dem 5. oder 4. -Jahrtausend v. Chr. eine Kanalisations-Einrichtung, die die unseren -beschämt. In mächtigen ¨Tonnengewölben¨, die noch den Römern unbekannt -waren, eingebettet in eine Art Zement, zwei Tonrohrleitungen mit Knie- -und T-Stücken, so dass jede Reparatur ohne Belästigung des Publikums -vorgenommen werden konnte. - -[Illustration: Turm zu Borsippa.] - -[Sidenote: Tempelanlage, Priesterausbildung.] - -Eine solche Tempelanlage bestand aus dem in Terrassen gelegentlich auch -mit Rampen in 7 Etagen aufgeführten hohen Turme; ich erinnere an den -Turm zu Borsippa (vgl. Abbildung), zu Babel, den Esagila, auf dessen -Höhe der Gott wohnt, in dessen Mitte die Menschen verkehrten und der -unten mit der Unterwelt zusammenhing. Daran schloss sich der Palast der -Priesterfürsten und die besonderen Gebäude der Unterrichtsanstalten, -das Archiv, die Verwaltungsgebäude. Ein solcher Tempel war nicht nur -Kultstätte, nationales Heiligtum, Sitz der Fürsten, sondern Landgut und -Fabrik, Bank, Archiv und Handelshaus. Die Tempel waren stets nach den 4 -Himmelsgegenden genau ausgerichtet, daher bedeutet das Richtungszeichen -(s. o.) auch Tempelfundament und das ¨gunierte¨ Zeichen [**symbol] -die Erde selbst als das grosse Fundament, da nach der Babylonischen -Weltschöpfungssage die Erde nach den 4 Kardinalpunkten ausgerichtet ist. - -[Illustration: Tonnengewölbe der Kanalisation von Nippur.] - -Wie sorgfältig der Unterricht war, und wie mühsam die Vorbereitung -eines jungen Priesters, davon können wir, die über Überbürdung -klagen bei unserm bisschen Unterricht, uns kaum eine Vorstellung -machen. Schrift und Sprache allein würden kaum von uns heutigen -bewältigt; hunderte von Schriftzeichen, die zusammen in mehr denn -12000 verschiedenen Anwendungen gebraucht wurden, die alle den -Adepten geläufig sein mussten; das Schreiben selbst schon so viel -umständlicher. -- Zu den wichtigsten Entdeckungen gehören auch die bei -Ägypten besprochenen Funde von Tell Amarna 1888. - -[Illustration: Hochrelief Urnina, König von Telloh und seine Familie.] - -[Sidenote: Babylonisch-Assyrische Kunst.] - -Die ¨Kunst¨ zeigt ganz analoge Entwicklung wie die ägyptische. -Von naturalistischen Anfängen wo die Kalamones, das Rohrgeflecht -der Euphrat- und Tigrismündung als Vorbild dienten, eine rasche -Entwicklung; dann ein Sinken, und wieder ein Emporblühen. Die erste -Blütezeit entwickelt sich etwa in 200 Jahren; altsumerisch bezeichnet -den Anfang etwa das Hochrelief ¨Urnina¨, König von Telloh etwas vor -3000, und seiner Familie; der verhältnismässig riesengrosse König, -links, trägt auf dem Kopf in einem Korbe Erde zum Bau seines Tempels -herbei (vgl. Abb.). Die genauere Erklärung bei E. Meyer l. c. p. 77 ff. -Die nächste Stufe wird verdeutlicht durch die berühmte ¨Geierstele¨ -(vgl. Abb.), welche den Sieg eines Vorgängers von Gudea, des Eannatum -über die feindlichen Nachbarn von Gishu darstellt, vgl. Meyer p. -82. ff. Es wird die Hilfe des Lokalgottes von Telloh, des Ningirsu, -verherrlicht, das Relief zeigt grosse Fortschritte, sowohl in der -Komposition als in der Technik des Hochrelief. Unter semitischem -Einfluss erhebt sich die Kunst zu der Höhe, welche sie unter Sargon -und Naramsin erreicht, wofür die herrliche Siegesstele des Naramsin, -von den Franzosen unter de Morgan in Susa gefunden, der vollgültige -Beweis ist, vgl. Meyer p. 10 ff. Diese Blüte semitischer Kunst -beeinflusst auch die sumerische, wofür die Fundstücke aus der Periode -Gudeas zeugen. Im Gegensatz zu dem Mangel an Proportionen bei den -Sumerern sind die Gestalten schlank und proportional, und die Technik -des Relief steht auf grösster künstlerischer Höhe. - -[Illustration: Rückseite der Geierstele.] - -[Illustration: Vorderseite der Geierstele.] - -[Illustration: Relief von den Bronzetüren aus Balawat.] - -Diese Blüte hält an bis auf ¨Chammurabi¨ und seine nächsten Nachfolger, -die Könige von Sumer und Accad. Aber mit dem Sinken der Macht dieses -altbabylonischen Reiches sinkt auch die Kunst, um dann unter der -Assyrischen Macht neu emporzublühen, etwa von Nebukadnezar I., von -1150 an, sie erreicht unter Sargon II. und Sanherib ihre Höhe, und -hält sich auf dieser bis Sardanapal bis etwa 600. Ich führe als -Beispiel hier die Bronzetüren Salmanassar II. aus Balawat (vgl. Abb.), -ferner den Urkundenstein ¨Kudurru¨, aus dem Berliner Museum, der die -Belehnung des Magnaten Bel-ache-irbâ seitens des Königs Mardukbaliddin -II. 715 darstellt (vgl. Abbildung). Meyer findet in diesem Stein den -semitischen Typus am reinsten ausgeprägt. Dazu die Dämonen (vgl. -Abbildung), Engel- und Tierkolosse, die wunderbaren Mosaiken der -Fussböden in den Palästen von Khorsabad (vgl. Abb.), und vor allem die -herrlichen Tiergestalten in bunter Mosaik aus der Zeit Nebukadnezar -II., Sargons etc. - -[Illustration: Mosaik aus dem Palaste Sargon II.] - -[Sidenote: Babylonisch-Assyrische Wissenschaft.] - -Wie es mit der Wissenschaft steht, bleibt noch zu untersuchen. Von -der Rechtswissenschaft wissen wir, dass sie sich bedeutend entwickelt -hatte, insbesondere das Handelsrecht stand auf einer Höhe, die dem -römischen nichts nachgibt. Wir kennen die Siegel und Namen grosser -Handelsfirmen wie Egibi und Söhne am Euphrat zur Zeit Nebukadnezars -und die Firma Maraschi Söhne zu Nippur zur Zeit Ezras und Nehemias. -Wir wissen, dass sie Filialen in allen Grossstädten hatten, und dass -der Schekverkehr, unsere neueste Errungenschaft, bei den babylonischen -Grossfirmen gang und gäbe war. - -[Illustration: Belehnung des Belacheirba durch König Mardukbaliddin II.] - -[Sidenote: Medizin, Mathematik.] - -Aus den Beiträgen zur Kenntnis der assyrisch-babylonischen Medizin -von ¨F. Küchler¨ (Assyrische Bibliothek von Delitzsch und Haupt XVIII -1904) sehen wir, dass die Priesterärzte, abgesehen von den üblichen -Beschwörungen, Omina etc. über eine sehr ausgedehnte Pharmazie -geboten. Es ist bekannt, dass die griechische Heilkunst stark von der -babylonischen beeinflusst ist, und auf Hippokrates geht unsere Medizin -zurück. Unser altes Apothekergewicht Gran, Skrupel geht auf Babylon -zurück (vgl. Küchler S. 84 ši'u). Geht doch auch Stab und Ring unserer -Bischöfe auf altbabylonische Götterdarstellungen zurück (Winkler, die -Gesetze Hammurabis 1904 p. VI). - -Eine neue Ausgabe des Theophrast ist in Vorbereitung und hoffentlich -wird man auf dem Umweg über die Griechische einigen Aufschluss über die -Babylonische Pharmakologie erhalten. - -Wenden wir uns nun zur Mathematik der Babylonier, so müssen wir -sagen, dass von reiner Mathematik bis jetzt verhältnismässig wenig -entziffert ist. Das wichtigste sind die sogenannten ¨Tafeln von -Senkereh¨ (Larsa) aus dem 3. Jahrhundert v. Chr., de facto eine in zwei -Stücke zerbrochene Tafel; die astronomischen Bücher aus der königlich -Sardanapalschen Bibliothek und die 1 × 1 Tabellen von Nippur. Hilprecht -sagt: »in geradezu staunenswerter Weise wurde das 1 × 1 geübt.« - -[Illustration: Dämon mit Flügeln.] - -M. H. In unserer Kulturgeschichte wird es als hohes wissenschaftliches -Verdienst des Petrus de Dacia, Rektors der Sorbonne vom Jahre -1328 gerühmt, das 1 × 1 bis zu 50 × 50 fortgesetzt zu haben, und -¨Hilprecht¨ versichert, dass er in der im 3. Jahrtausend zerstörten -Bibliothek Tafeln des 1 × 1 bis 1350 in der Hand gehabt hat. Das kleine -1 × 1 ging bis zur 60 (s. p. 113 ff.). - -[Illustration: Bruchstücke der Geierstele, Vorderseite.] - -[Sidenote: Münz-, Mass- und Gewichtssystem.] - -Uns sind zwei Zahlsysteme bekannt; das eine ist rein dekadisch, -das andere, ältere, ist sexagesimal und hängt auf das genaueste -mit dem babylonischen Gewichts-, Münz- und Masssystem zusammen, -dessen Einteilung uns in der Tafel von Senkereh und in zahlreichen -griechischen, römischen und jüdischen Quellen enthalten ist. Es ist -ja die Bibel erst nach der babylonischen Gefangenschaft redigiert und -zeigt in allen Namen der Masse und Gewichte babylonischen Einfluss. -Seit der grosse Philologe ¨August Boeckh¨ das Münz- und Gewichtssystem -der Römer erschlossen und in der vergleichenden Betrachtung der -Masse ein wichtiges Mittel erkannt hat um den Handels- und sonstigen -Verkehr der Völker zu erkennen, haben eine Reihe von Forschern, ich -nenne ¨Brandis¨, ¨Ginzel¨, ¨Lehmann¨ und vor allen ¨Boeckh¨ selbst -dargetan, dass die Wiege der Messkunst in Babylon steht, und die Masse -der Babylonier in ausgedehntester Weise bis zum Metersystem Gültigkeit -hatten, ja, zum Teil heute noch gelten. (cf. ¨C. F. Lehmann¨, das -altbabylonische Mass- und Gewichtssystem als Grundlagen des antiken -Gewichts-, Münz- und Masssystem. 8. intern. Orient. Kongress, -Bastiansche Zeitschrift für Ethnologie 1889. Verh. der Berl. anthrop. -Gesellschaft 1889. Als selbst. Schrift Leiden 1893.) - -[Illustration: Gewicht in Löwenform.] - -Die Babylonier hatten vor 5000 Jahren ein geschlossenes Masssystem, das -in seiner Anlage unserm metrischen System sehr ähnlich war. Wie bei uns -das Zehntel des Meters die Kante des Würfels bildet, der ein ¨Liter¨ -fasst und der mit destilliertem Wasser von 4° C. gefüllt bei der Wägung -das ¨Kilogramm¨ gibt, so ist das Zehntel der babylonischen Doppelelle -die Basis des Hohlmasses, dessen Wassergewicht die Mine gibt. Es sind -uns künstlerisch geformte Gewichte in Eisen- und Bronzearbeit mit -Entenform und Eberköpfen und besonders in Löwenform und ausserdem -einige justierte Gewichte erhalten. - -a) Früher Eigentum des Dr. Blau: Ein sehr harter dunkelgrüner -Stein sehr sorgfältig geglättet, oval, der in altbabylonischer -Keilschrift und in sumerischer Sprache (die ja auch idiographisch als -babylonisch-assyrisch gelesen werden kann) die Inschrift hat: - - 1/2 ma na gina -- gal (mulu) dingir igi ma na - Mensch Gott Auge Mine - -d. h. 1/2 Mine richtig, der Diener des Gottes, der das Auge auf der -Mine hat. - -[Sidenote: Metrologie.] - -Die Masse unterstanden göttlichem Schutz; in Athen waren die -Normalmasse auf der Akropolis; in Rom auf dem Kapitol und im Tempel der -Juno moneta verwahrt (Generalaichamt). - -[Illustration] - -b) In der Vorderasiatischen Abteilung des Berliner Museums aus -demselben Material 1/6 Mine, Inschrift unentzifferbar. - -c) Das Gewicht der amerikanischen Wolfe Expedition 1885 (Americ. -Orient. Soc. Proceedings at New York 1885), das die bei den sogenannten -Zylindern mit Bau- und Weihinschriften übliche Fässchenform hat, aus -gleichem Material, es wiegt fast genau doppelt soviel wie b, ist also -1/3 Mine und das bestätigt die Inschrift: - -[Illustration] - -1) 1/3 Ṭu gina, 2) e--kal^m Nabû -- sum -- esir (?), 3) abli^m Da--lat -(?), 4) .... pāte--is--si ili Marduk - -d. i. 1/3 [Mine in] Schekel [n] [ausgedrückt] Palast des Nab., Sohnes -des D., Fürstpriester des Marduk (Lehmann, Verh. der Berl. anthrop. -Gesellschaft 1891; J. Oppert, L'étalon des mesures assyr., Extrait du -journal asiat. Paris 1875). - -Die Gewichte in Entenform sind erheblich ungenauer, aber als -Durchschnittsgewicht ergibt sich 491,2 Gramm für die leichte Mine, -982,4 für die schwere. Indem man die Kubikwurzel aus 982,4 zieht, -ergibt sich für die 10fache Wurzel, das ist die Doppelelle 992,35 -mm. Nun ist die Länge des Sekundenpendels für den 31. Breitengrad -992,35 mm, und nach der Hypothese Lehmanns, welche Helmholtz plausibel -erschien, hatten die Babylonier zur Zeit Gudeas den Gedanken Huygens, -die Länge des Sekundenpendels als natürliches Längenmass zu verwerten, -schon vorweggenommen. Als Bestätigung der von Lehmann gegebenen -sogenannten »gemeinen Norm« dient dann eine Ende des Jahres 1893 in -Babylon zum Vorschein gekommene ganze Mine, die nach ihrer Legende -eine Kopie aus der Zeit Nebukadnezar II. 607-561 nach einer Mine aus -der Regierungszeit Dungis ist, des ältesten erreichbaren Königs eines -grossen Teils von Babylon etwa um 3200; die Mine, welche sich jetzt im -British Museum befindet, hat ein Gewicht von 979,2 Gramm. - -Die meisten und wichtigsten antiken Gewichte sind direkte Abkömmlinge -der babylonischen gemeinen Norm, bezw. der daraus gebildeten -Silbermine, welche 10/9 der Gewichtsmine ist. - - schwer leicht - Teilbetrag 60/60; Gewichtsmine 982,4 491,2 - " 50/60; Goldmine 818,6 409,3 - " 50/45; babyl. Silbermine 1091,5 545,8 - " 100/135; phöniz. Silbermine 727,6 363,8 - ägypt. Goldmine 409,31 - babyl. Silbermine = 6 ägypt. Pfund à 10 Lot. - -Die römisch-athenische Elle = 10/9 der babylonischen gemeinen Elle, -der Fuss = 2/3 Elle und der Schritt = 5 Fuss = 1-2/3 Elle = 1-1/2 -babylonischen Elle. - -Wir rechnen heute 114 Schritt in der Minute für die deutsche Armee, die -Babylonier 120 Schritt = 180 Ellen, ¨also auf die Doppelminute¨ $360 -Ellen$. - -¨J. Brandis¨: das Münz-, Mass- und Gewichtssystem in Vorderasien -bis auf Alexander den Grossen, Berlin 1866. Brandis setzt das -Wertverhältnis des Goldes zu Silber bei den Babyloniern wie 40:3 = -360:27 (wie Jahr:Monat). - -¨Die Tafel von Senkereh und das Zahlsystem.¨ - -[Sidenote: Die Tafel von Senkereh.] - -Im Jahre 1854 fand der Ingenieur ¨W. K. Loftus¨ in den Ruinen von -Larsam beim heutigen Senkereh eine leider stark verstümmelte Tafel, -die aber doch für die Kenntnis des Zahl- und Masssystems von grösster -Wichtigkeit geworden ist. - -Die Tafel von Senkereh enthält auf der Rückseite drei Kolonnen: a) -die Zahlen von 1-39 mit ihren Quadraten, b) die Zahlen der Quadrate -mit ihren Wurzeln 1-39, c) die Kubikzahlen von 1-39. Zu b ist in -Kujundschik, der Residenz Salmanassars eine Ergänzung gefunden, welche -die Quadrate der Zahlen von 44-60 enthält. -- Auf der Vorderseite ist, -stark verstümmelt in Kolonne I und II eine Tabelle, die nach Finger, -Ellen und deren Vielfachen bis zu 2 Kaspu fortschreitet; Kol. III und -IV enthält dann eine Tabelle, die zwei Masssysteme vergleicht, deren -erstes die gewöhnlichen Bezeichnungen des Längenmasses trägt, während -die zweite nur in unbenannten Zahlen fortschreitet. - -[Sidenote: Zahlsystem.] - -Ehe ich auf die Erklärung der Tabelle eingehe, muss ich über das -babylonische Zahlsystem sprechen. Es sind zwei Zahlsysteme in Gebrauch, -das eine dekadisch, das andere ältere sexagesimal, das bei Massen und -in der Astronomie sich erhalten hat. Es ist möglich, dass die dekadisch -Zählenden die Semiten, und die Sexagesimalen die Sumerer waren. -Nach Lehmanns Angaben über die sumerischen Zahlzeichen, die z. B. 7 -als 5 + 2 wiedergeben, kann ein Fünfer-System das ursprüngliche der -Sumerer gewesen sein, und das Sexagesimalsystem sich von den grossen -wissenschaftlichen Zentren aus als ursprünglich gelehrte Schöpfung -zunächst auf die Gebildeten und die Priester verbreitet haben, aus -denen sich die Schreiber (Staatsbeamten) und Handelsherren rekrutierten. - -Sie hatten nur zwei Ziffern, den einfachen Keil für eins, istan, isten -als Zahlwort ist, aus dessen Häufung die Einer gebildet werden, und -[**symbol] 10 esru, Plural esrit; dazu kommt später das gemeinsame -semitische (auch ägyptische) Zahlwort me 100 geschrieben [**symbol]. - -[**symbol] ist eins und die Einer werden durch den betreffenden Haufen -von Keilen gebildet; z. B. [**symbol] si-ba sibista, die Zehner durch -eben solche Haufen der Zahl 10 [**symbol] esru esertu, eserte esrit, -also 11 [**symbol] isten ésrit. - -1 isten, 2 sina, 5 hamsu, 100 mê [**symbol], 1000 für das wir bislang -kein Zahlwort haben als 10 · 100 [**symbol]. Dies ist aber zu einem -eignen Zahlzeichen geworden, [**symbol] ist nicht 2000 sondern -10 · 1000 = 10000 und [**symbol] würde 100000 sein. - -Das zweite System hat zur Einteilungszahl 60 und seine Übereinheiten -wie 60^2, 60^3, seine Untereinheit ist 1/60, deren Untereinheit -(1/60)^2, die Eins wird, wie sie bei uns als 10^0, so hier als -60^0 angesehen. Alle diese Zahlen drückt dasselbe Zeichen aus, der -einfache Keil, und die Bedeutung ergibt sich wie in unserm sogn. -indisch-arabischen System durch ¨Position¨. - -Die 60 heisst sussu (Schock), σωσσος der Hellenen, soss assyrisch, -[**symbol], die 60^2 heisst Sar, Saros der Hellenen [**symbol]. - -Daneben gibt es Einheiten II. Klasse, wie sie ¨Lehmann¨ nennt. - - 60^3| |60^2| |60| | |1/60| |(1/60)^2| - |36000|sar |600| |10|1/6| |1/360| |1/21600 - | | | | oder| | | | | - | | |ner| | 6| | | | | - - -für 600 ist ein eignes Zahlwort [**symbol] ner durchaus belegt und -volkstümlich gewesen; so ist - - [**symbol] = 672 = 11 · 60 + 12. - -[Sidenote: Das magische Quadrat.] - -Als interessantestes Beispiel altchaldäischer Rechnung gebe ich Ihnen -die Bildung des Quadrats von 653 nach einer von ¨J. Oppert¨ edierten -magischen Tafel, welche aus der gleichen Zeit stammt (Zeitschrift für -Assyriologie 1903 Bd. 17 pag. 60). Die Zahl 653 ist unter dem Namen -Sulbâr = Ewigkeit die magische Zahl κατ' εξοχήν; - -5 · 653 = 3265 ist die Phönixperiode; 653 ist gleich 292 + 361 -und 5 · 292 = 1460 ist die Sothisperiode; 5 · 361 = 1805 ist die -Lunarperiode. Ich bemerke, dass die hohe Wertung der Zahl 653 ein -Argument für ein ursprüngliches Fünfersystem (wie bei den Azteken) ist. - -Die Rechnung gestaltet sich wie folgt: - - 1) [**symbols] [**symbols] - - 6 Soss 40 idem (400^2) 44 Sar 26 Soss 40 = 160000 - - 2) [**symbols] [**symbols] - - 2 Soss 2 · 2 Soss 2 = 122^2 4 Sar 8 Soss 4 = 14884 - - 3) [**symbols] [**symbols] - - 30 30/60 · 30 27/60 15 Soss 29 = 929 - - 4) [**symbols] [**symbols] - - 1 Soss 54 · 14 Soss 24 27 Sar 21 Soss 36 = 98496 - - 5) [**symbols] [**symbols] - - 6 Soss 30 idem 42 Sar 15 Soss = 152100 - - 6) [**symbols] [**symbols] - - Summe 2 Soss minus 2 Sar 2 Ner 6 Soss 49 von welcher Zahl ist es - das Quadrat. - - Also: 118 · 60^2 + 2 · 600 · 6 · 60 + 49 = 426409. - - 7) [**symbols] [**symbols] - - (Von) 6 5 3 (ist es das) Quadrat. - -Also: 653^2= 426409 ist zerlegt in: - - 400^2 = 160000 - 122^2 = 14884 - 30-1/2 · 30-9/20 = 929 - 114 · 864 = 98496 - 390^2 = 152100 - -[Sidenote: Die Tafel von Senkereh.] - -Ehe ich diese Rechnung weiter bespreche, möchte ich Ihnen die Tafel -von Senkereh in 4facher Vergrösserung aus dem grossen und kostbaren -Rawlinson'schen Werke vorführen und Sie auf gewisse Eigentümlichkeiten -der Tafel aufmerksam machen. Leider steht mir nur die erste Auflage -und nicht die wesentlich veränderte zweite Auflage zur Verfügung. -Sie sehen in der Tabelle No. 2 die Tafel der Quadrate der Zahlen von -1-60 mit einer Lücke von 25-44, so dass das Quadrat voransteht, d. h. -also die Tabelle ist zum Wurzelziehen eingerichtet und daneben zum -Quadrieren. Die Tabelle, welche die Überschrift Reverse trägt, ist eine -Tafel der Kubikzahlen von 1-32. Die wichtigste Tafel, die (irrtümlich) -die Überschrift Obverse trägt, ist die rechte Tabelle, die für die -Metrologie von entscheidender Bedeutung geworden. - -Nun sehen Sie, bitte, mal hier [**symbol] (3) und dort [**symbol] -(121) und bedenken Sie die 4fache Vergrösserung, dann werden Sie -sehen, welche Übung und Schärfe nötig war um die, wie Sie schon an dem -Beispiel 653 gesehen haben und wie bei der Besprechung der Astronomie -noch deutlicher hervorgehen wird, recht komplizierten Rechnungen -auszuführen mit einem System von 2 Ziffern; es ist klar, dass sehr -ausgedehnte Tabellen diesen Rechnern völlig geläufig sein mussten. -Kritisch würde die Sache bei 61 sein, aber ich vermute, denn die Zahl -ist m. W. nicht gefunden, sie würden ebenso wie sie dort [**symbol] 120 -sehen, ganz ruhig geschrieben haben [**symbol] und es dem Scharfsinn -des Lesers überlassen haben darin 60 + 1 oder 1 + 1 zu sehen. - -[Sidenote: Die magische Rechnung.] - -Ich komme nun auf unsere magische Tafel und die Rechnung zurück. -Berossus und Eusebios von Cäsarea berichten uns, dass die Chaldäer -ihre heroische Zeit auf 60 · 653 geschätzt haben, die Bibel gibt -von Erschaffung der Welt bis auf Abraham 292 Jahre und von Abraham -bis zum Ende der Genesis 361, macht 653 Jahre. Gerade diese beiden -Bestandteile der Zahl sind das, was sie zur magischen Zahl gemacht -hat. 5 · 292 = 1460 ist die Sothisperiode, die Anzahl der Jahre, die -vergeht bis der Anfang des bürgerlichen Jahres zu 365 Tagen mit dem -heliakischen (heliakisch = Aufgang in der Morgendämmerung) Aufgang des -Sirius zusammenfällt und 1805 oder 5 · 361 Jahre ist die Lunarperiode, -die Zahl der Jahre, nach welcher der Mond immer wieder die gleiche -Stellung einnimmt sowohl im Vergleich zu den Jahreszeiten als auch in -seinem Abstand von der Sonne (Phasen), in bezug auf das Eintreten der -Finsternisse als auch in seiner Beziehung zu den Sternen. - -Nimmt man das tropische Jahr der Babylonier zu 365^d 2475, so sind: - - 1805^a = 659271^d ferner: - - 22325 synod. Monate = 659270^d (Neulicht zu Neulicht) - 24227 draconische Mon. = 659271^d (Rückkehr zum Knotenpunkt) - 24130 Siderische Mon. = 659271 (Rückkehr d. Mondes z. Fixstern). - -Ich will auf das Exempel noch weiter eingehen, es ist nach ¨Oppert¨ -ein klassisches Beispiel altchaldäischer Zahlenmystik, die unter -dem Namen der Kabbala bis in die neueste Zeit, ja noch heute unter -den Juden Galiziens im Schwange ist. Die Zahl und Rechnung spielten -im Kulturleben der Babylonier eine enorme Rolle, jeder Gott hat -seine eigene Zahl, z. B. Bel das Symbol [**symbol], d. h. Gott, dem -die 20 zukommt, Marduk als Stier des Tierkreises repräsentiert die -[**symbol], die Zahl der Zeichen die er anführt. Sin des Mondes Gott -hat die [**symbol] vielleicht weil er in ältester Zeit der Hauptgott, -wahrscheinlich wegen des Monats von 30 Tagen, die Engel-Brüche etc. Die -Horoskope, die ja auch babylonischen Ursprungs sind, sind ein Ausfluss -solcher Zahlenmystik, die sich von Babylon aus über die ganze Welt -verbreitet hat. Wer unter Ihnen bibelfest ist, wird sich an die Kabbala -im Daniel erinnern (s. u. Pythagoräer). - -Wir haben bereits eine grosse Anzahl solcher magischer Tafeln und -sehen, wie wir auch an unserm Beispiel nachweisen können, darin die -Anfänge der wissenschaftlichen Zahlentheorie, man vergleiche Astronomie -und Astrologie. - -Unter den wenigen aus Khorsabad geretteten Inschriften haben wir -glücklicherweise die Angabe des Sargon II. über die von ihm gegründete -Stadt Dar Sarkim- (Khorsabad von E. Botta 1842-45). Die Mauer war -rechteckig, sie hat 1647 auf 1750^m. Keine Halle, kein Zimmer, kein -Stadtplan durfte aus religiöser Scheu rein quadratisch sein; dies -scheint als eine Verletzung der Ehrfurcht gegen den Gott gegolten zu -haben, bei dem Allerheiligsten war eine sehr enge Annäherung an das -Quadrat gestattet. In der Inschrift von Khorsabad gibt Sarkin nun an, -dass der Umfang der Mauer die Zahl seines Namens sei; dieser Name ist -sar Fürst und kin das wir allenfalls mit mächtig wiedergeben können; -sar entsprach der Zahl 20 und kin 40; und misst man den Umfang aus, -so findet sich, dass er 20 · 3265 + 40 · 1460 Spannen, d. h. also die -Stadt sollte 20 Phönix- und 40 Sothisperioden überdauern. - -»In unserer Tafel haben wir es nun mit einem zyklischen Flächenraum zu -tun, 653^2, und dies ist in Quadrate zerlegt bis auf 99425, das in zwei -Rechtecke zerlegt ist, das ist auffallend, da doch - - 99425 = 311^2 + 52^2; 305^2 + 80^2; 292^2 + 119^2; 284^2 + 137^2; - 280^2 + 145^2; 247^2 + 196^2 - -und keine dieser Möglichkeiten den Chaldäern unbekannt sein konnte, -die mit der Zerlegung von Quadraten vollkommen vertraut waren.« Ich -halte es für äusserst wahrscheinlich, dass der Pythagoras bereits den -Chaldäern bekannt war und von ihnen nach Indien gekommen ist. Die -Ausschliessungen aller der Zerlegungen muss also ihren guten Grund -gehabt haben. - -[Sidenote: Die Zahlenmystik auf Tempel-Grundrisse angewandt.] - -Es handelt sich um ein schwieriges arithmetisches Problem: »Ein -heiliges Quadrat von 653 so zu zerlegen, dass der Umfang der Figur -eine Zahl von Phönix- und Sothisperioden und die Tiefe eine ganze -Lunarperiode darstellt.« Demgemäss würde der Tempel folgendermassen -angelegt (nach Oppert). Ein Vorhof von 400 Ellen im Geviert, mit -einer Öffnung von 16 Ellen, einer Vorhalle desgleichen von 122, eine -kleine heilige Stelle von 30-1/2 auf 30-9/20, danach ein langer Gang -von 869 auf 114, eine quadratische Endhalle von 390. Die Tiefe ergibt -1806, was unmerklich von 1805, der Lunarperiode, abweicht, den Umfang -findet Oppert, mittelst der Öffnung zu 5086 = 6 · 653 + 4 · 292. Meine -Berechnung ergibt aber nur 5071 und für das gesamte Mauerwerk 5429. -Die erste Zahl kann mit 2 Öffnungen hinten und vorn auf die Summe von -5 Phönix- und 6 Sothis-Perioden reduziert werden, wodurch die heilige -Zahl des Marduk ihre Ehrung findet, die letztere (unwahrscheinlichere) -auf 1 Phönix- und 3 Sothisperioden mit Zusatz von 8 Ellen für einen -Eingangsvorbau. - -[Illustration: Tempel-Grundriss des Sargon.] - -Als sehr interessantes Beispiel der Zahlenschreibung hebe ich Zeile -6 aus der von J. Oppert 1903 behandelten magischen Quadrattafel -hervor, wo sich vorne das von Oppert ergänzte Summenzeichen tab -[**symbol] findet, die 118 sar geschrieben werden als 120 - 2, -mit dem Minuszeichen lal, die beiden ner nicht [**symbol] sondern -[**symbol] wiedergegeben sind, und das Wortzeichen für ¨Ibdi¨, Quadrat, -[**symbol], welches selbst in seiner neuassyrischen Form deutlich die -Kombination von Zusammenfassung und Zwei bekundet, wie das Zeichen von -Kubus, Badie, sich durch drei innere Striche kennzeichnet. - -[Sidenote: Über das Vorkommen der 0; Entstehung des Sexagesimalsystems.] - -Es drängt sich hier die Frage auf nach der 0, denn das ist ja noch das -einzige, was für die Inder zu retten wäre, da der Gedanke die Potenzen -der Grundzahl durch den Stellenwert der Ziffer zu kennzeichnen, wie -Sie gesehen haben, altbabylonisch ist und auf die ältesten Zeiten der -Völker von Sumer und Accad zurückgeht. Da geben nun die Tafeln von -Senkereh keinen Aufschluss, denn weder unter den Quadratzahlen noch -unter den Kubikzahlen der Tafel kommt eine Zahl vor, welche die 0 -in der Mitte verlangte. Aber in den Stimmen von Maria Laach haben -die beiden Patres ¨S. J. Strassmaier¨ und ¨Epping¨ eine sehr schöne -Arbeit veröffentlicht »Astronomisches aus Babylon« oder »Das Wissen -der Chaldäer über den gestirnten Himmel«; hier kommt der Fall der 0 -des öfteren vor, da ist nun meist die 0 aus der Lücke zu erkennen wie -auch sonst, aber es kommt auch dafür das Zeichen [**symbol], genannt -der ¨Trenner¨, vor. Mit diesem Zeichen für die Null ist die Möglichkeit -näher gerückt, dass die 0 babylonisch ist. Es spricht allerdings -wieder manches dagegen, so schreibt der Babylonier 2 meist [**symbol] -und nicht [**symbol] und 61 wird durch (soss) d. h. [**symbol] -wiedergegeben und z. B. 120 kommt bis dato nicht in der Form [**symbol] -vor, statt [**symbol] oder [**symbol]. - -[Sidenote: Ursprung des Sexagesimalsystems.] - -Nun, meine Herren, lassen Sie uns die allerinteressanteste Frage -berühren: wie ist das Sexagesimalsystem entstanden? - -Da waren nun bis vor kurzem alle Autoritäten, vor allen ¨M. Cantor¨ -darin einig, dass es vom Himmel stamme, d. h. nicht bildlich sondern -physisch, und dass es auf das Engste mit der Teilung des Kreises in -360 Teile, die als altbabylonisch feststeht, zusammen hänge. Nach dem -Vorgang eines Italieners ¨Formaleoni¨ von 1788 nahm auch M. Cantor -100 Jahre später an, die Quelle der Kreisteilung in 360 sei ein -uralter grober Irrtum der Babylonier über das Sonnenjahr gewesen. -Diese schärfsten aller Himmelsbeobachter, deren ganzes Leben seit -uralter Zeit unter dem Einfluss der himmlischen Konstellationen stand, -deren ganzer Kult ein Kult der Sonne, des Mondes und der Sterne, der -Naturerscheinungen insgesamt war, die hätten einen Irrtum, der so grob -war, dass er in 8 Jahren 42 Tage betrug, nicht eher gemerkt, als bis -sie ihr ganzes Mass-, Münz- und Gewichtssystem darauf zugeschnitten. -Cantor meint nun, sie seien zur 60 gekommen von der Kreisteilung aus, -auf der Suche nach einer passenden Untereinheit hätten sie den Radius -als Sehne in den Kreis getragen und dabei gefunden, dass er 1/6 des -Kreises gleich 60 Grad spanne, und da hätten wir ja glücklich die 60! - -Wenn ¨Letronne¨, Journal des savants étrangers 1817 diese Hypothese -aufstellte, so konnte man diesen Versuch anerkennen. - -Bis etwa 1900 nahmen die Assyriologen diese Erklärung gedankenlos -hin; sie hatten so viele schwierige Probleme, dass sie das geringe -mathematische Material zunächst beiseite liessen. Wurde doch das -Sexagesimalsystem erst nach 1854 von ¨E. Hincks¨ entdeckt. In dem von -ihm behandelten Mondtäfelchen (Irish academy) handelt es sich um die in -15 auf den Neumond folgenden Tagen sichtbar werdenden Teile des Mondes. - -Es seien, heisst es, an diesen 15 Tagen der Reihe nach sichtbar: - - |5 |10 |20 |40 1|20 - 1|36 1|52 2|8 2|24 2|40 - 2|56 3|12 3|28 3|44 4| - -Hincks nahm an, dass die Mondscheibe in 240 Teile zerlegt gedacht sei -und die weiter nach links stehende Zahl 1.60 2.60 etc. bedeutete und -die Beobachtungszahlen in den ersten 5 Tagen einer geometrischen, in -den folgenden 10 Tagen einer arithmetischen Reihe folgen. Nebenbei -bemerkt ist es nicht unwichtig hier eine Kreisteilung in 4 Quadranten -und jeden Quadranten in 60 Teile geteilt zu finden, denn damit ist der -astronomische Ursprung des Grades verurteilt. Die Erklärung Hincks -wurde dann zuerst 1854 durch die Tafeln von Senkereh und dann immer -mehr bestätigt. Um 1900 wendeten sich gleichzeitig drei Assyriologen -¨Mahler¨, ¨Ginzel¨, ¨Lehmann¨ gegen den Ursprung des Systems aus der -Jahresbewegung. ¨Mahler¨ machte höchst zutreffend darauf aufmerksam, -dass das Jahr sich überhaupt nicht zum Massentnehmen eigene, die -Babylonier schon so lange die Denkmäler reichen mit der Zahl 365,2(4) -der Tage vertraut waren und wie auch die Ägypter ein eigenes Fest der 5 -Extratage feierten. Er wies darauf hin, dass die tägliche Bewegung den -Lichttag als Hälfte und Vor- und Nachmittag einen Vierteltag ergäbe. - -[Illustration] - -Noch ansprechender war die Hypothese ¨Lehmanns¨, dass die Babylonier -beobachtet hätten, dass der Sonnendurchmesser 1/720 der Ekliptik und -jedes Tierkreisbild 1/12 und damit das Verhältnis 1/60 gewonnen sei. -Leider stimmt die Sache nicht. Die Wasseruhr war den Babyloniern -bekannt und mit ihrer Hilfe wurde der Sonnendurchmesser zu 32′ 6″ -bestimmt. Nebenbei bemerkt, ist die genaue Bestimmung eines der -diffizilsten astronomischen Probleme, man vgl. die Arbeiten ¨Auwers¨ in -den Berliner Sitzungsberichten. - -Der Tierkreis ist allerdings unzweifelhaft babylonischen Ursprungs; -Sie sehen hier in der schon erwähnten Arbeit Eppings Abbildungen. -Die Gleichheit aber der 12 Zeichen ist nicht ursprünglich. Lehmann -fand auch in der Festsetzung der Gold- und Silberwährung 40 : 3 etwas -Himmlisches, nämlich das Verhältnis der Tage des Jahres 360 und deren -des Monats 27. Alles dies wäre sehr schön, wenn es nur richtig wäre. -Das Verhältnis des Sonnendurchmessers zum Vollkreis ist ungefähr -1/673, das des Jahres zum Monat keineswegs 40 : 3. Auch die 12 Monate -zu 30 Tagen stimmen nicht, denn nie hat ein Monat volle 30 Tage. Das -erlösende Wort hat 1904 wieder ein Lehrer der Mathematik, diesmal ein -pensionierter, gesprochen, ¨Kewitsch¨ in Freiburg. Er hat den, man -sollte meinen, selbstverständlichen Satz ausgesprochen: erst Zählen, -dann Messen; 6, 60, 360, 3600 waren runde Zahlen bei den Babyloniern -und sind von ihnen an den Himmel versetzt, in die Natur hineingelegt. - -Damit ist freilich die Frage wie die 6 und die 60 zu Grundzahlen -wurden, nicht gelöst. Kewitsch leitet sie von der Fingerrechnung -ab; er gibt zwei Wege an; den ersten hält er selbst für nicht sehr -wahrscheinlich; dem zweiten zufolge sollen sie, nachdem alle fünf -Finger benutzt, noch einmal die Hand mit weggestrecktem Daumen als 6 -gezählt haben und in Verbindung mit den 10 Fingern zu 6 · 10 = 60 als -Grundzahl gelangt sein. Kewitsch führt den Umstand, dass das Zeichen -für Hand ursprünglich 6 Striche gehabt hat, als Beweis an: Quat-Hand -[**symbol], später [**symbol]; andrerseits ist die natürliche Stellung -der ausgestreckten Hand doch die, dass der Daumen nicht angedrückt -wird. Ausserdem scheint mir Kewitsch einen Umstand nicht beachtet zu -haben, nämlich den, dass das Sexagesimalsystem der Sumerer ein durchaus -künstliches ist, das mit einer ausserordentlichen Übung im Rechnen mit -grossen Zahlen verknüpft ist und dass das Zählen an den Fingern bei -Entwicklung dieses Systems ein längst überwundener Standpunkt gewesen -ist. Ausserdem ist die älteste Form des Idiogrammes für Hand, (s. o.), -ein ganz deutliches Bild der 5 Finger mit der Handwurzel und zugleich -Name für fünf. - -Ich halte die Frage für nicht geklärt und wage nur Vermutungen wie -die, dass es sich um eine ganz bewusste von den Gelehrten, d. h. den -Priestern ausgehende Wahl der 6 als teilbar durch 2 und 3 gehandelt -haben kann. Diese Teilung war auch technisch leicht durchführbar, man -vergleiche die Elle des Gudea bei ¨Borchardt¨ (Berliner Berichte 1888, -I); diese Wahl kann sehr wohl astronomisch beeinflusst gewesen sein. -Die 60 empfahl sich als Grundzahl, weil sie durch die ersten 6 Zahlen -teilbar ist und sich sowohl ins Fünfer- als Zehner- als Zwölfer-System -einfügt. In den Mondtafeln von Hincks kommen so ziemlich alle Faktoren -von 60, sogar die Mandel vor. - -Die Beobachtung der Gestirne durchdrang das ganze Leben des Volkes, -denn vom Himmel holten sie die Omina, die Vorbedeutungen, nach denen -sie ihre Handlungen einrichteten. Ein Wechsel des Beobachters alle -4 Stunden, später alle 2 Stunden ist durchaus praktisch; (lösen wir -doch unsere Posten alle 2 Stunden ab) und wir wissen jetzt, man -vergleiche ¨Epping¨, dass vom Anbeginn an bis in die Seleuciden- und -Arsacidenzeit die Chaldäer den vollen Tag in 6 Teile oder Kas. pu -geteilt haben, und die eigentliche Bedeutung des Wortes Su-su (Schock) -ist 1/6. Die Unterteilung der Doppelstunden in 10 Teile ist dann zu -genauer Ortsbestimmung durchaus praktisch, und die Zehnteilung ist am -System unserer Finger vorgebildet. Erst später trat die Halbierung -der Doppelstunde und damit die Stunde als 24stel des Tages ein. Der -Tag, d. h. die Dauer der Rotation ist und bleibt die einzige wirklich -in der Natur gegebene Masseinheit, und selbst wenn die Achsendrehung -der Erde nicht völlig konstant ist, sind wir ausserstande die kleinen -Schwankungen zu konstatieren. Nachdem die 360-Teilung des Tages -durchgeführt, lag es nahe zur Erleichterung des Geschäftsverkehrs das -¨Geschäftsjahr¨, wie auch heute auf 360 Tage und den Monat auf 30 Tage -abzurunden. Sie wissen ja, dass noch heute unsere Soldaten für den 31. -keinen Sold bekommen. - -[Sidenote: Die Tafeln von Senkereh.] - -Ich komme nun auf die Tafel von Senkereh zurück, von der wir erst -seit 1870 durch ¨Georg Smiths¨ wissen, dass wir darin Zahlentabellen -haben, und die erst ¨Hincks¨, wohl des geistig bedeutendsten -Keilschriftentzifferers Entdeckung des Sexagesimalsystems bestätigte. -¨R. Lepsius¨, der grosse Ägyptologe, hat die Tafel 1877 in der Berliner -Akademie in einer längeren Arbeit behandelt. Abgesehen davon, dass ihm -die mathematische Bildung mangelte um einzusehen, dass eine Tabelle der -Quadratzahlen zugleich eine der Wurzeln ist, hat er in der Tabelle, -deren linke Kolonne benannte, deren rechte unbenannte Zahlen enthält, -einen Vergleich sumerischer und assyrischer Längenmasse gesehen. In -seiner Arbeit: Beiträge zur alten Geschichte, 1902, hat ¨C. F. Lehmann¨ -nachgewiesen, dass es sich hier um eine Vergleichung von Zeitmass -und Längenmass handelt und dass wir hier strikte Durchführung -des Sexagesimalsystems vor uns haben. Lehmann hat nachgewiesen, -dass während wir 114 Schritt auf die Minute rechnen, Römer und -Babylonier 120 Schritt à 1-1/2 Ellen, also 180 Ellen, und somit auf -die Doppelminute 360 Ellen und auf den Zeitgrad, auf 1/360 Tages, -360 Doppelellen gehen. Dass aber die Doppelelle das ursprüngliche -Längenmass ist, das zeigen uns die beiden Massstäbe der Gudea, von -denen ich hier Ihnen ein Exemplar vorführe. - -[Illustration: Massstab der Gudeastatue, 1/2 der nat. Grösse.] - -Ich gebe nun die Tafel von Senkereh in Umschreibung wieder: - - Kolonne III. - - Zeit | Zeit- | Grade |Zeiteinheit| Raum- - |Doppelelle| | |doppelelle - ------------------+----------+-------+-----------+---------- - 1 Zeit-Finger | 1/60 |1/21600| 1/90 Sek.| 1/60 - 5 | 1/12 | 1/4320| 1/18 " | 1/12 - 1 Elle | 1/2 | 1/720| 1/3 " | 1/2 - 1/2 Gar | 3 | 1/120| 2 " | 3 - 1 Gar | 6 | 1/60| 4 " | 6 - ------------------+----------+-------+-----------+---------- - 5 Gar | 30 | 1/12| 20 " | 30 - 1 Soss = 60 Gar | 360 | 1| 4 " | 360 - 1 Kas-pu = 30 Soss| 10800 | 30| 2 Std.| 10800 - 2 Kas-pu | 21600 | 60| 4 " | 21600 - -Darin scheint nun Lehmann recht zu haben, dass die Zeiteinteilung die -ursprüngliche gewesen und dass die experimentelle Beobachtung, dass -zirka 480 Schritt auf den Taggrad kommen, bezw. 120 auf die Minute, -dahin geführt hat, das Längenmass auf die Länge des Sekundenpendels zu -gründen. - -[Sidenote: Astrologie.] - -Welche ausserordentliche Rolle die Astrologie und die sich aus ihr -entwickelnde Astronomie für das religiöse und praktische Leben der -Babylonier spielte, darüber belehren uns schon die jetzt entzifferten -Denkmäler auf das genaueste. In dem schon erwähnten Werk Sargons I., -das nach seinen Anfangsworten genannt wird: »Wenn der Bel-Stern,« -sind bereits 66 ganze oder gebrochene Tafeln und teilweise in -mehreren Exemplaren bekannt. Wir haben ein anderes Werk: »Wenn der -Mond bei seinem Erscheinen;« hunderte von Tafeln mit astrologischen -Berichterstattungen meist an den König sind im British Museum. Ich gebe -ein paar Beispiele: - -1) Am 15. Tage des Nisan (März-April) halten sich Tag und Nacht die -Wage; sechs Doppelstunden war Tag, sechs Doppelstunden Nacht. Mögen -Nebo und Merodach meinem Herrn König gnädig sein. Nebo, Gott der -Weisheit, Sohn von Merodach, der als Gott der Frühlingssonne Sohn Bêls, -des Gottes der Luft gedacht wird. Merodach wurde zum Hauptgott in -Babylonien und verschmolz mit Bêl. - -2) An den König, meinen Herrn Ischtarnadinapal, der oberste der -Astronomen der Stadt Arbela; Friedensgruss dem König (Salem aleikon) -meinem Herrn. Ischtar (Astarte, Aphrodite) von Arbela sei dem Könige, -meinem Herrn gnädig; am 29. Tag machten wir eine Beobachtung, aber -die Sternwarte war umwölkt und wir sahen den Mond nicht. Am 1. Tag -des Monats Schebat (Januar-Februar) im Eponymat (s. u. S. 66) des -Bilcharranschadua. - -3) Der Mond ist sichtbar am 1. Tag wie am 28.: Unglück für das -Westland. Der Mond ist am 28. Tage sichtbar: Glück für das Land Akkad -(Babylonien), Unglück für das Westland; Bericht des Oberastronomen. - -[Sidenote: Babylonische Kosmologie.] - -Aus derselben Zeit etwa dem 8. Jahrhundert stammen auch mehrere -Fragmente von Festkalendern, welche für jeden einzelnen Tag des Monats -Angaben enthielten, welchem Gott der Tag geweiht und welche Opfer in -den Tempeln dargebracht werden sollten. Diese Fragmente lassen uns -erkennen, dass damals ein ausgebildeter Kalender in Assyrien bestand, -und wenn wir damit den Eponymenkanon in Verbindung bringen, so ist -der Schluss berechtigt, dass dieser Kalender bis zum Anfang dieses -Kanons heraufreicht, d. h. bis in das 10. Jahrhundert v. Chr. Aus der -Astrologie hat sich die Astronomie der Babylonier entwickelt, wie aus -der Kabbala, den magischen Rechnungen, die Anfänge der Zahlentheorie. -Der Hauptstern ist der Nordpol der Ekliptik, der dem Anu (Himmel) -geweiht war. Als Gegenpol ist der Ea-Stern (Ozean) = η Argus. (?) - -Die drei Regionen des Himmels, welche vom Nordpol ausgehen, sind die -Region des Anu: Stier, Zwillinge, Krebs und Löwe, und, beginnend mit -dem Aldebaran, die Regionen des Bel (Luft): Jungfrau, Wage, Skorpion, -Schütz; die Regionen des Ea (Ozean): Steinbock, Amphora (Wassermann), -Fische, Widder. - -Die Milchstrasse, mit ihren beiden Verzweigungen wird als Euphrat -und Tigris aufgefasst. Die Ekliptik ist die Furche des Himmels; die -Milchstrasse erscheint auch unter dem Begriff des Hirtenzeltes, woher -auch unser poetisches »Himmelszelt«. Entstanden ist der babylonische -Tierkreis zu einer Zeit als der Frühlingspunkt, der jährlich etwa -um 50″ zurückweicht, im Stier lag; also etwa 3000-4000 v. Chr., -der dann im Laufe der Zeit mannigfache Veränderung erlitt bis die -völlige Gleichteilung durchgeführt wurde. Besonders wichtig ist die -Untersuchung der alten Grenzsteine (Kudurru) geworden, von denen -Hommel 14 untersucht hat. Die Abbildung des Tierkreises auf diesen -Steinen geschah vielleicht zum Zweck Konstellationen zur Datierung -festzuhalten. Auf keinem der Steine fehlt die grosse Schlange als Bild -der Milchstrasse und schon auf dem ältesten, der auf 1070 datiert ist, -sind die 12 Zeichen. Die Bilder sind die bei den Griechen und zum Teil -noch heute üblichen. - -Das neueste Werk über diese Grenzsteine ist A new Boundary Stone -of Nebuchadnezzar I. von ¨W. M. J. Hinke¨, Bd. IV der Serie D des -grossen Hilprechtschen Sammelwerks the Babylonian Expedition of the -Univ. of Pennsylvania 1907. Hier ist auch der Zusammenhang mit dem -¨tibetanischen¨ und indischen Tierkreisen besprochen. - -[Sidenote: Astronomie.] - -Die Untersuchung der Namen etc. zeigt, dass der Tierkreis -babylonisch-sumerischen Ursprungs ist und sich von den Babyloniern zu -Ägyptern, Griechen, Indern, Chinesen und zu uns verbreitet hat. Das -gleiche gilt von den Mondstationen oder Häusern, ihre Zahl schwankte -zwischen 24-36, und sie haben sich ebenfalls nach China, Indien -(naxatra) und Arabien verbreitet. Die helleren Sterne waren ihnen in -sehr alter Zeit bekannt. Aus der Arsakidenzeit der Jahre 122 v. Chr. -und 110 sind uns vollständige Ephemeridentafeln, Bestimmungen der -Abstände der Sterne von festen Sternen der Ekliptik, erhalten. Sie -hatten ganz bestimmte Regeln für die Berechnung des Neumondes und -Neulichtes, die von ¨J. Epping¨, S. I. unter Beihilfe des Assyriologen -Strassmaier, S. I. 1889 in den Stimmen aus Maria Laach unter dem Titel: -Astronomisches aus Babylon mitgeteilt sind; es finden sich darin auch -Tabellen des heliakischen Auf- und Untergangs der Planeten und einer -Anzahl von Fixsternen, vor allem des Sothis, id est Sirius und des -»Kakkab mišre« des Orion. Sie kannten die Periodizität der Finsternisse -und konnten deren Sichtbarkeit für Babylon annähernd vorausbestimmen. -Sie hatten Instrumente, die unserem Astrolabium und Planetarium -entsprechen; sie kannten die mittlere Geschwindigkeit des Mondes, -d. h. den Bogen, den der Mond durchschnittlich während eines Tages -in der Ekliptik beschreibt, die grösste Geschwindigkeit des Mondes, -ebenso die der Sonne und das Gesetz, nach dem die Geschwindigkeit -der Sonne in der Ekliptik sich ändert, sie kannten die Jahresdauer, -die Durchschnittsdauer des Monats von Neumond zu Neumond, also des -sogenannten mittleren synodischen Monats, den sie nur um 0,4 ¨Sekunden¨ -länger als wir ansetzten, sowie die Durchschnittsdauer von einer -Erdnähe des Mondes zur andern, d. i. also den sogenannten mittleren -anomalistischen Monat, den sie nur um 3,6 ¨Sekunden¨ zu lang ansetzten. -Dabei ist erst ein kleiner Teil des aufgefundenen Materials entziffert -und dieser aufgefundene ein verschwindender Teil des vorhandenen. -Hilprecht berechnet die Zeit, die für Nippur nötig ist bei 400 -Arbeitern auf etwa 100 Jahre! - -Über die Instrumente, deren sich die Babylonier zu ihren Beobachtungen -bedienten, ist wenig bekannt; wir wissen, dass sie die Zeit durch die -Wasserwage massen und durch die Sonnenuhr, mittelst des Gnomon und aus -der Schattenlänge die Meridiane, bezw. den längsten und kürzesten Tag -bestimmten. Aus dem 3. Jahrhundert v. Chr. sind aber durch ¨Kugler¨ -eine ganze Reihe sehr feiner Positionsbestimmungen festgestellt worden, -die nur mit Hilfe von Instrumenten wie der sogenannten Armillarsphäre, -dem Diopter etc. möglich war. Der Diopter setzt dann allerdings die -Ähnlichkeitslehre für rechtwinklige Dreiecke, kurz eine Sehnenrechnung -voraus und damit wird es wahrscheinlich, dass die Sehnenrechnung, die -bis dato dem Bessel des Altertums, Hipparch von Rhodus zugeschrieben -wurde, babylonischen Ursprungs ist. Soviel steht fest, wenn auch -anfangs die Astrologie zur Himmelsbeobachtung insbesondere der Sonnen- -und Mondfinsternisse trieb, seit etwa 300 Jahren v. Chr. gab es an -den Sternwarten eine vollkommen wissenschaftliche Astronomie, und die -Beobachtungen der Babylonier sind oder werden für unsere Mondtafeln -noch wertvoll. - -¨Kugler¨ hat seiner »babylonischen Mondrechnung« von 1900, der -pietätvollen Vollendung des ¨Strassmeier-Epping¨schen Werkes, 1907 -den ersten Band seines grossen auf 4 Bände berechneten Werkes -»Sternkunde und Sterndienst in Babel« folgen lassen, unter dem Titel -»Entwicklung der Babylonischen Planetenkunde von ihren Anfängen bis -auf Christus.« Wenngleich, wie Oefele (Mitteilungen zur Gesch. d. -Med. u. Naturw. 29. Juni 1908) schon hervorgehoben hat, dieser Titel -nicht glücklich gewählt ist, so ist das Buch doch reich an wichtigen -Resultaten: Der unbezweifelbare Nachweis des Babylonischen Ursprungs -des Tierkreises und seiner 12 Zeichen, die Kenntnis der Namen für die -Planeten und die Masisterne, die hellen Sterne der Ekliptik, welche zur -Positionsbestimmung dienten, in Fortsetzung der Leistungen ¨P. Jensens¨ -aus seinem Hauptwerke, die Kosmologie der Babylonier 1890, die Kunde -der technischen Sprache der Babylonischen Astronomie, die Tatsache -der Ekliptikkoordinaten, die Feststellung des Bogenmasses und der -Richtungen, Festsetzung des Bogens von 22° 3′ zwischen dem festen -Koordinatenanfangspunkt 0° arietis der Babylonier und dem 0-Punkt, -dem Frühlingsäquinoktium von 1800 n. Chr., die Planetenephemeriden -infolge Auffinden von grossen und kleinen Perioden, z. B. für Mars 71 -und 41 Jahre, für Venus 8 Jahre (Fehler nur 3′ 13,3″) etc. Freilich -hebt Kugler hervor, dass im 2. Jahrh. v. Chr. die wissenschaftliche -Astronomie der Babylonier sehr grosse Fortschritte gegen die früheren -Zeiten aufweist, und wie weit dabei hellenischer Geist insbesondere der -grosse Hipparch in Betracht kommt, müsste erst noch untersucht werden. - -[Illustration] - -[Sidenote: Geometrie.] - -Über die Geometrie der Babylonier müssen wir uns zurzeit kurz fassen -bis grösseres Material vorliegt. Ein Bauplan, eine Tempelanlage -von so vorzüglicher Ausführung wie der von ¨L. Borchardt¨ l. c. -veröffentlichte, in dem die Türleibungen und die Mauerstärke -berücksichtigt ist (siehe Fig. auf S. 112), Beobachtungen, wie die -von ¨Kugler¨ mitgeteilten, sind nicht ohne bedeutende geometrische -Kenntnisse möglich, aber was uns direkt übermittelt ist, beschränkt -sich auf ganz wenige Zeichnungen wie die bei Cantor abgedruckten aus -¨A. H. Sayce¨ Abhandlung: Babylonian augury by means of geometrical -figures. In der hier beigegebenen Kopie scheinen mir mehrfach ¨alte -Idiogramme¨ wie N 15 etc. vorzuliegen. ¨Bezold¨ bemerkt (Z. A. XVII p. -95), dass ein grosser Teil z. B. der in Kujundschik gefundenen Figuren -analoge Bedeutung besitzen, wie die Oppert'sche Konstr. s. Fig. S. 100 -und sich auf kabbalistische Rechnung beziehen z. B. 10 und 3. - -[Illustration: Bruchstück des Bauplanes.] - -[Illustration: Borchardt'scher Bauplan.] - -[Sidenote: Babylonische Kreisteilung.] - -Feststeht aus ägyptischen und babylonischen Abbildungen, dass den -Babyloniern die Teilung des Kreises in 6 Teile bekannt gewesen sei, -d. h. de facto. Vom Hereintragen des Radius ist bisher keine Spur -gefunden. Wenn Cantor meint, die 6-Teilung ist ohne diese Kenntnis -nicht möglich, so irrt er sehr. Man braucht nichts zu wissen als die -Tatsache, dass das Rad, bezw. der Kreis in sich drehbar ist, also zu -gleichen Bogen gleiche Sehnen etc. gehören, u. v. v., dies reicht aus -den Kreis experimentell zu vierteln und zu sechsteln. Im höchsten Grade -wahrscheinlich ist allerdings, dass sie bei einem gesechsteilten Kreise -gesehen haben, dass die Sehne gleich dem Radius ist. Die im Buche -der Könige erwähnten fünfeckigen Pfosten, können genau so auf einer -experimentellen Teilung des Kreises in fünf gleiche Teile beruhen, wie -sie meine Quartaner ohne allen goldenen Schnitt sehr exakt ausführen. - -Es ist ausserdem eine Tafel bekannt geworden, aber leider zurzeit nicht -auffindbar, in der ein in drei gleiche Teile geteilter rechter Winkel -vorkommt, und das ist fast alles, was wir zurzeit von der babylonischen -Geometrie wirklich wissen; vermuten müssen wir sehr viel mehr; wäre -der Pythagoras, was nach den Beispielen der quadratischen Gleichungen -ganz gut möglich, den Ägyptern bekannt gewesen, so wäre er sicher den -Babyloniern nicht unbekannt geblieben, aber hier heisst es abwarten. - -[Sidenote: Babylonische Rechentabellen.] - -Von grosser Bedeutung für die Auffassung der Babylonischen Arithmetik -ist Band XX part. 1 Serie A des ¨Hilprecht¨schen Werkes The Babyl. -Expedition of the Univers. of Pennsylv. 1906 (mir erst vor kurzem -zugänglich geworden). Es sind hier, abgesehen von Wiederholungen, 31 -math. Tafeln veröffentlicht; Multiplikationstafeln, Divisionstafeln, -Tafeln von Quadratzahlen und -Wurzeln, eine geometrische Progression. -Auf Tafeln, welche dazu dienen, die Rechnungsresulate rasch in das -Sexagesimalsystem einzureihen, hat H. hingewiesen, deren eine (s. -Bild) er schon in seinem Vortrag von 1903 Bild 45 veröffentlicht hat. -Es hat nun Hilprecht bemerkt, dass ¨sämtliche bis jetzt bekannten 46 -Multiplikationstafeln sich auf Divisoren der Zahl 60^4 beziehen¨, inkl. -der 2 aus Sippar und Kujundschik, und zwar gehen sie bis 180000×1. -Dazu konstatierte er das Multiplikationszeichen A-R A z. B. 2×1 (=) -2: [**symbols], Plan 1, N. 1, das wie das unsrige, oft weggelassen -wird, das Divisionszeichen Igi-Gal, habend Auge gelegentlich mit -hinter dem Quotienten folgenden Distributivzeichen a-an»je«. Hilprecht -konstatierte, dass ¨alle diese Divisionstabellen sich wiederum auf 60^4 -beziehen¨, es sind Tafel N. 20, 21, 24, auf denen das Divisionszeichen -fehlt, und Tafel 22 obv., wo es gesetzt wird. Mit Hilfe der wichtigsten -Tafel 25 ergänzt H. Tafel 22: - -[Illustration] - - Igi-1-Gal-Bi = 8640000 - Igi-2-Gal-Bi = 6480000 - Igi-3-Gal-Bi = 4320000 - -etc., das »Bi« »dessen« bezeichnet den gemeinsamen Dividend 60^4. Ich -gebe hier als Beispiel die Multiplikationstabelle 15 (Obv. und Bev.), -das 1×1 mit 540, es ist zunächst eingerichtet wie die anderen, d. h. -es fehlt das Zeichen, und es enthält 1a bis 20a, und dann 30a, 40a, -50a, so dass also 23a berechnet wird als 20a + 3a, wofür es ja auch -Tabellen gab. Diese Tafel ist aber besonders interessant, weil sie -eine derjenigen ist, in denen die Zweideutigkeit durch die Zusatzlinie -am Schluss gehoben wird. Die Tafel lässt es zweifelhaft, ob man es mit -dem 1 × 9 oder 1 × 9.60 zu tun hat, die Schlusszeile (colophon) gibt -die nächstniedrige Tabelle der Serie an und lautet hier 8.60 + 20 mal 1 -ist 8.60 + 20 id est 500 × 1 = 500, somit ist die [**symbol] in unserer -Tafel 9.60. Sehr bedeutsam ist die Tabelle 25, welche in Hilprechts -Übertragung lautet: - - Linie 1: 125 720 - 2: Igi-Gal-Bi 103680 - 3: 250 360 - 4: Igi-Gal-Bi 51840 - 5: 500 180 - 6: Igi-Gal-Bi 25920 - 7: 1000 90 - 8: Igi-Gal-Bi 12960 - 9: 2000 18 - 10: Igi-Gal-Bi 6480 - 11: 4000 9 - 12: Igi-Gal-Bi 3240 - 13: 8000 18 - 14: Igi-Gal-Bi 1620 - 15: 16000 9 - 16: Igi-Gal-Bi 810 - -[Sidenote: Babylonische Divisionstafeln.] - -H. erkannte darin unschwer Divisionen von 60^4 durch eine aufsteigende -Reihe von Divisoren, für die Bedeutung der Zahlen 720; 360 etc. bis -9 wandte er sich an Mathematiker, diese brachten heraus dass, wenn -man die Divisoren in die Form a šar + b ner + r schreibt, dann 60^2/r -diese Zahlen ergibt. Hiernach erscheint es allerdings als im hohen -Grade wahrscheinlich, dass wir es hier mit einer kabbalistischen -Rechnung zu tun haben, und wir sehen dass hier wieder 60^4 seine -Rolle spielt. ¨Hilprecht¨ selbst zitiert aus dem Literaturverzeichnis -von ¨Bezold¨: »Die Mathematik stand bei den Babyloniern-Assyriern, -soviel wir bis jetzt wissen, vornehmlich im Dienste der Astronomie und -letztere wiederum in dem einer Pseudowissenschaft, der Astrologie, die -wahrscheinlich in Mesopotamien entstand, sich von dort aus verbreitete.« - -[Sidenote: Die goldene Zahl des Platon.] - -Ich möchte aber doch bemerken, dass wie der Mangel an beglaubigender -Unterschrift der Tafeln aus Nippur beweist, und nicht minder die -zahlreichen Fehler, dass wir es auch hier, ähnlich wie in Ägypten, -vielfach mit Schülerübungen zu tun haben. Ebenso sorgfältig wie das -Schreiben und Lesen, wurde auch die Elementarkunst des Rechnens -geübt, selbstverständlich vorzugsweise an »heiligen« Zahlen, von denen -60^4, wie es scheint, im Vordergrund stand. H. hat sicher mit Recht -auf die Abhängigkeit ¨Platons¨ von Babylon hingewiesen. In die Stelle -Republik VIII, 546 B-D hat zuerst der grosse, kürzlich verstorbene -Philologe ¨Fr. Hultsch¨, der Herausgeber des Pappos, Licht gebracht, -er hat, Schlömilch XXVII hist. lit. Abt. S. 41, in der sehr dunkel -beschriebenen Zahl des Platon die Zahl 60^4 erkannt und hervorgehoben, -dass ihre Teiler von glückbringendem Einfluss auf die Geburten und -Schicksale der Menschheit sein sollten, wie denn tatsächlich die nach -der kürzesten Fötalperiode von 216 Tagen geborenen 7 Monatskinder -bessere Lebenschance besitzen als die 8 Monatskinder. Wesentlich -ist hier der Nachweis des Einfluss Babylonischer Kultur auf die -Hellenische, den übrigens m. W. niemand mehr bestreitet. Gegenüber -¨Hommel¨ führe ich an, dass die Babylonische Phönixperiode 653 Jahre -und nicht 500 betrug, und gegenüber Hilprecht, dass nach ¨Censorinus¨, -wie Hultsch erwähnt, Plato das Alter der Menschen nicht auf 100, -sondern auf 81 setzte. Dass dabei 36000 eine Rolle gespielt hat, ist -nicht unwahrscheinlich, denn noch Ptolemäos gibt in der μεγαλη συνταξις -36000 als Cyclus der Präzession an, und Berosus dieselbe Zahl als -altbabylonische Präzessionszahl. - -Dass aber nicht nur die Inder, wie bekannt, in Riesenzahlen schwelgten, -sondern auch die alten Babylonier, beweist die von Hilprecht mit Glück -restaurierte Tafel ¨Bezold¨, Katalogue Kujundschik Vol. I N. 2069, -von denen Bezold l. c. die folgenden 4 Zeilen (2 bis 5 der Tablette) -veröffentlicht hat: - -[Illustration] - -[Sidenote: Babylonische Riesenzahlen; Quadratwurzeln.] - -H. hat überzeugend nachgewiesen, dass diese Tafel aus der Bibliothek -Asurbanipals mit ihren 28 Zeilen dieselbe Bedeutung hatte wie die -Tabellen No. 20, 21, 22, 24 Hilprecht's auf S. 21, es ist eine -Divisionstabelle, aber Divisoren und Quotienten beziehen sich -auf [**symbol] -- -- -- -- -- -- d. h. auf 60^8 + 10.60^7 id est -195,955,200,000000 also 195 Billionen 955200 Millionen! Zu dieser -Erkenntnis wurde H. in den Stand gesetzt durch die Bemerkung, dass -die längste Zahl links vorn Teilungsstrich vor [**symbol] drei -Ziffergruppen von je zwei Ziffern hat, also mit 60^3 zu multiplizieren -ist, und die längste Zahl rechts hat hinter ihrer Ziffergruppe vier -andere, ist also mit 60^4 zu multiplizieren. - -Tabellen von Quadratzahlen bezw. Wurzeln sind ziemlich zahlreich in -Nippur gefunden, die Quadrierung ist teils durch das A-Ra »mal«, teils -durch das Idiogramm für Ibdi das aber etwas von der Rawlinsonschen -Tafel IV, 40 abweichende Gestalt hat. Am leichtesten lesbar ist Pl. 16, -No. 28, Quadrate der Zahlen von 31-39, die dadurch interessant ist, -dass sie sich an die Tafel des Berliner Museums genau anschliesst. -H. hat aus ihr die Kenntnis der Formel für (a + b)^2 gefolgert, da -diese Formel in Indien bekannt war, vgl. S. 161, so ist sie höchst -wahrscheinlich auch den Babyloniern-Assyriern bekannt gewesen. Ein -irgendwie zwingender Beweis ist aber, da mir die Resultate gegeben -werden, ¨nicht¨ erbracht. - -Sehr dürftig ist wenigstens die bisherige Ausbeute für die Geometrie, -der Inhalt des geraden Prisma und des geraden Zylinders ist zu allen -Zeiten ohne weiteres als Grundfläche mal Höhe angenommen worden. Das -einzige was von Interesse, ist, dass nach einer Veröffentlichung von -¨Thureau-Dangin¨ schon unter der 2. Dynastie von Ur, also rund 3000 v. -Chr. man in Babylonien den Inhalt des Trapezes als Mittellinie mal Höhe -berechnen konnte. - -[Sidenote: Vase mit geometrischer Zeichnung.] - -Wie hoch entwickelt aber schon in unvordenklicher Zeit die -geometrische Zeichenkunst war, beweist die von ¨Kapitän Cros¨ 1903 in -Telloh gefundene Vase, mit deren Bild ich diesen Abschnitt schliesse. - -[Illustration] - - - - -Hellas - -Unser Werdegang müsste uns nun eigentlich nach Indien und China -führen, aber die Kultur der Inder und Chinesen ist so abhängig von -Babylon, oder, was richtiger ist, ganz Asien bildete von 4000 v. -Chr. bis etwa 100 n. Chr. ein einziges Kulturgebiet, Ägypten bis -zum Nil eingeschlossen, dass wir uns zunächst gleich nach ¨Hellas¨ -wenden. Die Hellenen sind das erste Volk, das die Wissenschaft um der -Wissenschaft willen getrieben hat, das Volk, von dem man wohl sagen -kann, dass ihm an Begabung für Kunst und Wissenschaft kein anderes je -gleichgekommen ist, und unter ihnen erwuchs im 6. Jahrh. v. Chr. aus -den Handwerksregeln ägyptischer und babylonischer Priester die reine -Mathematik als Wissenschaft. - -Wohl steht seit den Ausgrabungen ¨Heinrich Schliemanns¨ fest, dass -die Hellenische Kultur und Kunst sich unter starkem orientalischen -Einflusse, Ägypten eingeschlossen, entwickelt hat, aber schon für -¨Kreta¨, ja selbst für ¨Cypern¨ ist auch die selbständige Entfaltung -Hellenischen Geistes deutlich. Die Aufeinanderfolge ist wohl diese. -¨Cypern¨ fast völlig unterm Einfluss Babyloniens (Phöniziens); -¨Kreta¨: Ägypten und Babylon vereint. Für Kreta sind epochemachend -die Ausgrabungen von ¨Evans¨ zu ¨Knossos¨, Annalen der brit. Schule -in Athen 1899 ff. bes. 1902 (Bd. 8) u. ff. Daneben die der Italiener -in ¨Phaistos¨, Acad. dei Lincei Bd. XII (1902) ff. Das von Evans in -Knossos gefundene herrliche Kunstwerk des becherkredenzenden Epheben -(Jüngling, Page) geht über die Orientalischen Vorbilder schon hinaus, -auch Architektur und Kleinkunst, z. B. die ¨polychromen Vasen¨ (sogen. -Kamaris-Stil) ist selbständig. - -Es folgt dann die durch ¨Schliemanns¨ Ausgrabungen in Mykene, Tyrinz, -Troja zeitlich früher bekannte »¨Mykene-Periode¨«. Auch sie bekundet -starken Verkehr mit dem Orient durch kretische Vermittlung, aber sie -zeigt auch Kreta gegenüber eigenartige Entwicklung. Die Palastanlage -ist ganz verschieden, sie ist genau die von Homer beschriebene. Was -die Kleinkunst betrifft, so genügt es an die Becher von ¨Vaphio¨ zu -erinnern. Für die Mykeneperiode verweise ich auf ¨C. Schuchhardts¨ -Wertung der Schliemann'schen Funde (2. Aufl.). Die Beziehung zwischen -Mykene und Kreta ist zurzeit eine brennende Streitfrage. ¨Dörpfeld¨, -kret. u. hom. Paläste, Athen. Mitteilungen Bd. 30 (1905 p. 257), -unterscheidet für die kretischen Paläste zwei Perioden, a) eine -ältere genuin-kretische, b) eine jüngere, in der Mykenische Eroberer -ihre Paläste auf den zerstörten Resten der älteren erbaut hätten. -Gegen Dörpfeld hat ¨Mackenzie¨, Annals of brit. School XI u. XII -die Einheitlichkeit und Selbständigkeit der kretischen Paläste mit -triftigen Gründen behauptet. Dörpfeld hat 1907, Athen. Mitt. 32 p. 576 -erwidert. Die Herkunft der altkretischen Schrift ist zurzeit noch nicht -entschieden, möglicherweise ist sie hetitisch. - -Die politische Geschichte der Hellenen und die Geschichte der -Hellenischen Kunst zu schildern, muss ich den Historikern und -Archäologen von Fach überlassen. - -[Sidenote: Mathematikerverzeichnis des Proklos.] - -Die wichtigste Stelle für die Geschichte der hellenischen Mathematik -ist das sogenannte Mathematikerverzeichnis bei ¨Proklos¨. Es ist -vermutlich ein bei ¨Geminus¨, einem Schriftsteller des ersten Jahrh. v. -Chr. erhaltener Auszug aus der Geschichte der Mathematik des ¨Eudemos¨, -von der leider nur wenige Fragmente, z. B. in dem Kommentar des -¨Simplicius¨ zu Aristoteles uns erhalten sind. - -[Sidenote: Thales von Milet.] - -Beginnen wir also mit ¨Thales von Milet¨. Herodot sagt in seinem ersten -Buch, dass Thales von phönizischer Abkunft gewesen, unzweifelhaft -lebte er im 7. Jahrh. v. Chr. und war ein Zeitgenosse des Krösos und -Solon. Proklos gibt p. 250 der ¨Friedlein¨'schen Ausgabe an, dass -er den Satz von der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen -Dreieck gefunden habe und zwar habe er die Winkel nicht ἴσας sondern -ὁμοιας genannt; p. 299 Satz von der Gleichheit der Scheitelwinkel; -p. 157 Satz, dass die Durchmesser den Kreis halbieren, und p. 352 -sagt Proklos, nach Eudemos, dass Euclid I, 26 der sogenannte 2. -Kongruenzsatz von Thales herrühre, der sich seiner notwendig bedienen -musste bei seiner Methode die Entfernung der Schiffe im Meere zu -bestimmen. - -¨Marcus Junius Nipsus¨, ein römischer Agrimensor, gibt (¨M. Cantor¨) -folgende alte Methode, die so ziemlich die einzige sein kann, die mit -den geringen Kenntnissen, welche nach Proklos dem Thales zur Verfügung -standen und zugleich mit der Angabe des Eudemos stimmt: - -Die Dreiecke ASD und DCB (s. Fig.) sind nach den 2 Congr. congruent und -damit ist CB die gesuchte Entfernung. - -[Illustration] - -Ausser Proklos haben wir Angaben von ¨Plutarch¨ (100 n. Chr. -Neuplatoniker, ziemlich zuverlässig), in septem sapient. conviv., -wonach Thales die Höhe der Pyramide durch Messung ihres Schattens -bestimmt habe; aber die Quelle dieses Berichtes ist nach ¨Diogenes -Laertios¨ (Kompilator des 3. Jahrh. n. Chr.) Hieronymos von Rhodos, -welcher sagt, er mass die Pyramiden aus dem Schatten, wenn der Schatten -der Pyramidenhöhe gleich, d. h. bei einer Sonnenhöhe von 45°. Noch weit -unsicherer ist die Angabe bei Diogenes Laertius: ¨Pamphila¨ (Ende des -1. Jahrh. n. Chr.) erzählt uns, dass er als der erste, den Halbkreis -in den rechten Winkel einschrieb, und dass er bei dieser Gelegenheit -einen Ochsen opferte. Andere, z. B. ¨Apollodoros¨, der Rechenmeister, -schreiben diesen Zug den Pythagoräern zu. Da Proklos den Satz -ausdrücklich erst den Pythagoräern zuschreibt und eine bei Eutokios -erhaltene Stelle dies bestätigt, so verliert die Nachricht der Pamphila -ihren Wert. - -Auch als Astronom wird Thales gerühmt; im Theätet des ¨Platon¨ p. 174 -lesen wir die Anekdote, dass, als er, den Blick nach oben gerichtet -um den Himmel zu schauen, in den Brunnen fiel, eine thracische Magd -ihn verspottet habe: das was am Himmel vorginge, wäre ihm bekannt, -aber was vor seinen Füssen läge, das sähe er nicht. (¨Socrates¨ setzt -bekanntlich hinzu, dass man mit diesem Spott noch immer gegen die -ausreiche, die in der Philosophie leben.) Die von ihm vorausgesagte -Sonnenfinsternis ist, wie Herodot berichtet, die vom 28. Mai 585 -bei der Schlacht zwischen Medern und Lydern. Nach ¨Eudemos¨ hat er -auch die Ungleichheit der Jahreszeiten gekannt. Beides würde auf -babylonische Bildungsquellen deuten; und das wird ganz sicher durch -ein Missverständnis des ¨Diogenes Laertius¨, er habe die Sonne als -720 mal Mond angegeben, während der eigentliche Autor ¨Apulejus¨ -klar und deutlich sagt, er habe den Sonnendurchmesser als 1/720 der -Ekliptik gefunden. Soviel steht fest durch das einwandfreie Zeugnis -von ¨Herodot¨, ¨Platon¨, ¨Aristoteles¨, ¨Eudemos¨ und wohl auch -von ¨Xenophanes¨, des zeitlich ersten Eleaten: sein Ruhm war sehr -bedeutend, er steht stets an der Spitze der sieben Weisen, und nach -Aristoteles ist er der Begründer der ionischen oder physikalischen -Philosophenschule, des (fälschlich) sogenannten ¨Hylozoismus¨. -Aristoteles sagt, dass Thales im Wasser die eigentliche Urmaterie -gesehen habe und setzt hinzu, er vermute, dass er dazu durch die -Beobachtung geführt sei, dass die Nahrung aller Tiere feucht ist und -dass alles aus Samenfeuchtigkeit entstehe. - -[Sidenote: Thales von Milet, Anaximander.] - -¨Aristoteles¨ (περί Ψυχής, de anima) fügt hinzu, Thales habe vielleicht -angenommen, dass alles voll Götter sei; beispielsweise habe er gesagt, -dass der Magnet eine Seele habe. Noch müssen wir seinen Schüler oder -wohl richtiger jüngeren Stadtgenossen ¨Anaximander¨ erwähnen, obwohl -das Mathematikerverzeichnis ihn nicht nennt. Anaximander markiert -in der Geschichte des Erkenntnisproblems die Stelle, in der das -Mathematisch-Unendliche auftritt. Er lehrte, der Weltstoff müsse -unendlich sein, damit er sich nicht in der Erzeugung erschöpfe. Er darf -daher nicht unter den empirisch gegebenen Stoffen gesucht werden, und -es bleibt nur das Merkmal der zeitlichen und räumlichen Unendlichkeit -übrig. Daher sagte er αρχη εστι το απειρον. Anaximander erklärte also -die sinnliche Welt durch ein Gedachtes, er sagt: απειρον ist αιδιον, -und ist somit ein Vorläufer der Pythagoräer, und er hat auch eine -Vorstellung davon, dass gegen das Unendliche die Endliche Anzahl -verschwindet. - -[Sidenote: Pythagoras.] - -Die dem ¨Thales¨ zugeschriebenen Schriften sind alle Fälschungen; der -nach ihm von Proklos genannte Mamerkos samt seinem Bruder, dem Dichter -Stesichoros, sind spurlos verschollen, nicht aber der zu dritt genannte -¨Pythagoras¨, der einzige Mathematiker, der in den ganz und halb -gebildeten Schichten aller Kulturnationen populär geworden ist. Und -doch ist in dem Fabelmeer, in dem er geradezu ertrunken ist, sehr wenig -wirklich festes Land zu finden. - -¨E. Zeller¨ sagt: »Unter allen Philosophenschulen, welche wir kennen, -ist keine, deren Geschichte von Sagen und Dichtungen so vielfach -umsponnen und fast verhüllt, deren Lehre in der Überlieferung mit -einer solchen Masse späterer Bestandteile versetzt wäre wie die der -Pythagoräer.« - -[Sidenote: Pythagoräer.] - -Die Schriftsteller vor ¨Aristoteles¨ erwähnen des Pythagoras und seiner -Schüler nur selten. Aus dem 5. Jahrh. haben wir einzelne Angaben von -Xenophanes, Heraklit, Empedokles, Jon aus Chios, Herodot, Demokrit; aus -dem 4. Jahrh. von Platon, Isokrates, Anaximander II, Andron, Heraklid, -Eudoxos, Lyko, dem Pythagoräer. ¨Platon¨, der doch in die Schule der -Pythagoräer ging, ist sehr zurückhaltend mit historischen Nachrichten. -¨Aristoteles¨ hat zwar die pythagoräische Philosophie in eigenen -Schriften behandelt; was uns erhalten ist, ist wenig und besonders -was die Zahlenlehre betrifft, nicht frei von Unklarheiten. Pythagoras -selbst spielt dabei nur eine geringe Rolle. Unter den Schülern des -Aristoteles beginnt schon die Sage das Leben des Pythagoras zu -umspinnen, aber erst in der Zeit des Neupythagoreismus vom 1. Jahrh. -v. Chr. ab sind Romane wie die des ¨Apollonios von Thyana¨ und des -¨Porphyrios¨ und des ¨Jamblichos¨ entstanden. - -Feststeht durch das Zeugnis ¨Herodots¨, IV., 95, der ganz beiläufig -dort den ¨Pythagoras¨ erwähnt, dass er als Sohn des Mnesarchos in -Samos geboren, feststeht, dass er um die Mitte des Jahrhundert, etwa -von 580-500 gelebt hat, als reifer Mann 530 etwa nach Unteritalien -ausgewandert ist, in Kroton eine Kongregation, die etwa nach Art der -Freimaurer organisiert war, gegründet hat, und hochbetagt in Metapont -gestorben ist. Vorher soll er zu seiner Bildung lange Jahre Reisen in -so ziemlich alle Länder des orbis terrarum gemacht haben, und dies -scheint nicht unwahrscheinlich. Ganz besonders lange soll er in Ägypten -verweilt haben; aber dann wäre es im höchsten Grade auffallend, dass -¨Herodot¨, der etwa 100 Jahre nach ihm Ägypten bereist hat, und der den -Spuren des Hellenentums dort sehr sorgsam nachgegangen ist, kein Wort -davon erwähnt. - -Der Bund der Pythagoräer war ein religiös ethischer; er sollte eine -Pflanzschule der Mässigkeit, der Tapferkeit, der Ordnung, des Gehorsams -gegen Obrigkeit und Gesetz, der Freundestreue, überhaupt aller jener -Tugenden sein, die zum griechischen und insbesondere zum dorischen -(Spartaner) Begriff eines wackeren Mannes gehören. Neben den religiösen -Beweggründen, die sich aus dem Walten der Götter und vor allem aus -des Stifters Lehre von der Seelenwanderung für das sittliche Ideal -ergaben, wurde von ihm auch als Bildungsmittel in erster Linie auf die -Beschäftigung mit Mathematik, Musik, auch auf Diätetik und Beschwörung -mittelst Zahl und Musik zur Heilkunst hingewiesen. Da der Bund seiner -ganzen Natur nach sehr bald politisch oligarchisch wurde und die -Regierungsgewalt in den grossen unteritalienischen Kommunen Kroton, -Tarent, Metapont etc. an sich riss, so richtete sich die demokratische -Strömung gegen ihn und in den Kämpfen, die um die Wende des 5. Jahrh. -die Aristokratie der Städte stürzten, wurde der Bund gesprengt, ein -grosser Teil der Pythagoräer getötet, darunter vielleicht ¨Pythagoras¨ -selbst, die andern vertrieben. - -Diese Vertreibung hatte eine Wirkung, die wir mit der durch die -Eroberung von Constantinopel geweckten ¨Renaissance¨ vergleichen -können. Die mathematischen, philosophischen, naturwissenschaftlichen -Kenntnisse, die bisher auf einen kleinen Kreis beschränkt waren, wurden -nach Griechenland, Kleinasien, Sizilien verbreitet und bewirkten dort -das Aufblühen der mathematischen Wissenschaften. - -Von den Lehren der ¨Pythagoräer¨ ist am bekanntesten die Lehre von der -Seelenwanderung (Metempsychose) und die Anschauung, dass das Wesen -der Dinge die Zahl sei, dann ihre Kosmologie mit der Ordnung der -Sphären, dem Zentralfeuer, der Sphärenmusik, und dann die Harmonielehre -gestützt auf die Auffindung der Intervalle mittelst des Monochords. -Ihre ganz hervorragende Pflege der Mathematik ist unbestreitbar und -ebenso, dass sie zuerst das Bedürfnis nach Systematik und wirklichen -Beweisen empfanden und befriedigten. Wie weit aber die Kenntnisse -der Pythagoräer selbst reichten, ist ganz unmöglich zu bestimmen -und schwierig ist es auch den Stand des Wissens in der Schule der -Pythagoräer, die wir bis zu ¨Platon¨ und ¨Archytas¨ rechnen, zu -skizzieren. - -[Sidenote: Philolaos.] - -Die ersten wirklichen Nachrichten über die Lehre des Pythagoras rühren -von ¨Philolaos¨ her, einem älteren Zeitgenossen des Sokrates und -Demokrit, der nach der Vertreibung aus Unteritalien sich nach Theben -geflüchtet hatte. Es scheint, dass ¨Platon¨ seine Schrift von den Erben -in Sizilien gekauft und daraus seine Kunde des Pythagoreismus und auch -viele Anregung für seine eignen mathematischen und philosophischen -Gedanken geholt hat. Sein Neffe und Nachfolger in der Leitung der -Akademie, ¨Speusippos¨, hat die Schrift geerbt und dessen Bibliothek -hat ¨Aristoteles¨ gekauft, der das Werk veröffentlichte, d. h. -mehrfach abschreiben liess. Nicht unbedeutende Fragmente dieses -Glaubensbekenntnisses der Pythagoräer haben sich erhalten und ¨Aug. -Boeckh¨ hat ihre Echtheit dargetan. Ausserdem besitzen wir eine geringe -Anzahl echter Bruchstücke des Archytas und haben an guten Quellen die -Dialoge des ¨Platon¨: Philebos, Theätet, Timäos, der ganz besonders -wichtig ist, und die Physik und Metaphysik des absolut zuverlässigen -¨Aristoteles¨, sowie einige Stellen des ¨Eudemos¨, die uns besonders -durch Proklos erhalten sind. - -¨Philolaos¨ bezeichnet die Zahl als das Gesetz und den Zusammenhalt der -Welt, als herrschende Macht über Götter und Menschen, die Bedingung -aller Bestimmtheit und Erkenntnis. ¨Das Begrenzende aber und das -Unbegrenzte, diese zwei Bestandteile der Zahlen, sind die Dinge, aus -denen alles gebildet sei.¨ Die Zahl ist nicht bloss die Form, durch -welche der Zusammenhang der Dinge bestimmt wird, sondern auch die -Essenz, das Wesen, (nicht etwa die Materie), aus welcher sie bestehen, -oder vielleicht richtiger ¨das Gesetz¨, welches die Dinge erschafft. -In Fortbildung des auf Naturerkenntnis gerichteten Gedankengangs der -Ionier erkannten sie die Bedeutung der Zahl, insbesondere der relativen -Zahl, für eben diese Erkenntnis. Philolaos braucht die Ausdrücke ουσια, -Wesen, und αρχη, Grundlage. ¨Aristoteles¨ und ¨Philolaos¨ selbst geben -als Grund an, dass alle Erscheinungen nach Zahlen geordnet sind, dass -namentlich die Verhältnisse der Sphärenharmonie und der Töne, alle -ästhetischen, alle räumlichen Bestimmungen, von gewissen festen Zahlen -und Zahlenverhältnissen beherrscht sind. (Symbolische Rundzahlen -z. B. 40. Kabbala der Chaldäer), und dass unsre Erfahrung nur in der -Feststellung der Zahlenverhältnisse besteht (vgl. Diels, Fragmente der -Vorsokratiker p. 250). - -Die Zahlen zerfallen in gerade und ungerade und die gerad-ungeraden -2 (2n + 1). Eins, die unteilbare monas, steht ausser oder richtiger -über den Zahlen; in der reinen Eins, die geradezu mit der Gottheit -identifiziert wird, sind die Gegensätze vereinigt, und so wird auch -die Eins als gerad-ungerad bezeichnet. - -Zunächst möchte ich die scheinbaren Widersprüche, die sich bei -Aristoteles in seinem Bericht über die Grundlagen der Pythagoräischen -Philosophie finden, rechtfertigen. Zwischen der »phantastisch -orakelnden, grossartig erhabenen« Sprache des ¨Philolaos¨ und der -Darstellung bei ¨Archytas¨, dem grossen Mathematiker, sind sicher -nicht bloss zeitliche, sondern auch sachlich bedeutende Differenzen. -Ich zweifle gar nicht, dass Archytas der Pythagoräer gewesen, dessen -einfache Klarheit ¨Dionysios von Halikarnassos¨ rühmt (Boeckh l. c. p. -43). Und zwischen beiden gab es sicher zahlreiche Nuancen. Übrigens -interpretiere ich die Stelle Metaph. XIII, 8, 1083b so: »Die Körper -bestehen auf Grund von Zahlen (Verhältnissen).« Auf chemische Ideen der -Pythagoräer habe ich schon in meinem Aufsatz »Über Mathematik«, Bd. -II, Heft 1 der Cohen-Natorp'schen Hefte hingewiesen. Die Pythagoräer -haben die Tonempfindungen durch den Monochord in Zahlenverhältnisse -umgewandelt, und so sind sie es gewesen, welche zuerst den Schritt von -ungeheurer Tragweite getan, Qualitäten in Quantitäten umzusetzen und -so die Welt der äusseren Erscheinungen, die Physik, in die Welt der -inneren Verknüpfungen, die Mathematik, umzuwandeln. Und so kommen sie -naturgemäss darauf als ουσια, als Substanz, nicht als ὑλη, Materie, der -Dinge, das Bleibende in der Vergänglichkeit, die Zahl zu setzen, d. i. -das math. Gesetz. Als Belag für diese Auffassung genügt es auf die von -Boeckh p. 141 angeführte Stelle aus ¨Stobäos¨ zu verweisen; Boeckh hat -sie frei in dem eben angeführten Sinne übersetzt, und den Vergleich mit -dem Gnomon meisterhaft interpretiert: »Das Erkannte (die Dinge) wird -von dem Erkennbarmachenden (der Zahl) umfasst und ergriffen, wobei eine -ursprüngliche Übereinstimmung und Anpassung, wie des ¨Gnomon¨ um sein -Quadrat herum vorausgesetzt wird.« - -Das Gnomon ist die ungerade Zahl 2a + 1, welche durch ihr Hinzukommen -aus a^2 das Quadrat von (a + 1) liefert und zwar in der geometrischen -Form des Winkelhaken. - -[Illustration] - -Eine nähere Ausführung zeigt die Analogie mit den Chaldäern noch -deutlicher, die Zuordnung von Zahlen an die Planeten und an bestimmte -Begriffe. Die Gerechtigkeit z. B. entsprach dem ισακις ισος, dem -Gleichmal gleichen, d. h. der 4 oder der 9, als der ersten geraden, -bezw. ungeraden Quadratzahl; 5 als Verbindung der ersten männlichen mit -der ersten weiblichen Zahl gleich Ehe, die Einheit Vernunft, weil sie -unveränderlich, die 2 Meinung, weil sie veränderlich etc. - -Das Männliche und Weibliche bezieht sich auf die bekannten 10 -Gegensätze des ¨Philolaos¨: 1) Grenze und Unbegrenztes. 2) Ungerade und -Gerade. 3) Einheit und Vielheit. 4) Rechts und Links. 5) Männliches und -Weibliches. 6) Ruhendes und Bewegtes. 7) Gerades und Krummes. 8) Licht -und Finsternis. 9) Gutes und Böses. 10) Quadrat und Rechteck. - -¨Aristoteles¨ berichtet uns auch in der Metaphysik über das dekadische -System. Die Zahlen über 10 sind nur Wiederholungen der ersten 10. (Eine -¨Art arithm. Kongruenzidee¨.) Die Dekas umfasst alle Zahlen und alle -Kräfte der Zahlen; sie heisst daher bei ¨Philolaos¨ gross, gewaltig, -alles vollbringend, Anfang und Führerin des göttlichen wie des -irdischen Lebens, sie gilt ihm nach Aristoteles als das Vollkommene, -welches das ganze Wesen der Zahl einschliesst. Wir danken es nur ihr, -dass uns ein Wissen überhaupt möglich ist. - -Eine ähnliche Bedeutung hatte die 4heit nicht als 2^2, sondern -weil 1 + 2 + 3 + 4 = 10, so wird in der Tetractys, dem Schwur der -Pythagoräer, die Zehn, d. h. die Zahl selbst als Wurzel und Quelle der -ewigen Natur gefeiert. - -Auch von den anderen Zahlen hat jede ihre eigene Wesenheit, z. B. 3 ist -die erste vollkommene, denn sie hat nur Anfang, Mitte und Ende (||| -älteste Zahlenschreibung); 6 die zweite gleich der Summe ihrer Teiler -1 + 2 + 3; 3, 4, 5 sind die Zahlen des vollkommensten rechtwinkligen -Dreiecks. - -Sie sehen in dieser »Zahlenspielerei« den Ernst der Zahlentheorie, -und wenn Aristoteles uns erzählt, dass der Pythagoräer Eurytos die -Bedeutung der einzelnen Zahlen dadurch beweisen wollte, dass er -die Figuren der Dinge, denen sie äquivalent gesetzt wurden, aus -der entsprechenden Zahl von Steinchen (Kinderspiel: Pythagoras) -zusammensetzen wollte, so sehen Sie hier die Richtung gewiesen, welche -die griechische Arithmetik (nicht die Logistik, die Rechenkunst) -während der ganzen klassischen Epoche eingehalten hat; man vergleiche -die Kapitel des Hauptarithmetikers ¨Nikomachos von Gerasa¨ über die -figurierten Zahlen. - -Ich komme damit auf die Anwendung der Zahlenlehre auf die geometrischen -Figuren. ¨Aristoteles¨ sagt, sie haben die Linie durch die Zahl 2 -erklärt. ¨Philolaos¨ nennt 4 die Körperzahl, ¨Platon¨ scheint die 3- -und 4-Zahl als Flächen- und Körperzahl von ¨Philolaos¨ entnommen zu -haben. Die Pythagoräer setzten die Einheit den Punkten gleich, weil die -μόνας (Leibniz' Monade) unteilbar; die gerade Linie als 2, weil sie -durch 2 Punkte bestimmt sei, das Dreieck durch 3 Punkte, der einfachste -Körper durch 4 Punkte bestimmt seien. - -Der Körper ¨besteht¨ ihm zufolge auf Grund der ihn umschliessenden -Linien und Flächen, wie die Linien und Flächen durch Punkte und Linien -determiniert werden. Von den 4 Elementen weisen sie nach ¨Philolaos¨ -der Erde den Kubus, dem Feuer das Tetraëder (eine Ableitung von -Pyramide), der Luft den Oktaëder, dem Wasser den Ikosaëder zu, dem -fünften alles umfassenden Element, dem Äther, den Dodekaëder, d. h. sie -nahmen an, dass die kleinsten Teile dieser Elemente die betreffende -Form hätten. (Hier haben wir also schon den Grundgedanken der -Stereochemie, nur kommt der Tetraëder dem Feuer statt der Kohle zu.) -Daher heissen diese Körper oft die kosmischen, und, da sich ¨Platon¨ im -Timäus von ¨Philolaos¨ diese Zueignung angeeignet hat, so heissen sie -auch oft die platonischen. - -Es scheint nicht unglaubhaft, dass der fünfte Körper, der Dodekaëder, -eine Entdeckung der Pythagoräer gewesen und im Zusammenhang damit steht -die Konstruktion des regelmässigen Fünfecks und damit des goldenen -Schnittes. - -[Sidenote: Boeckh's Interpretation des Philolaos.] - -In der Geschichte des Erkenntnisproblems, das die eigentliche -Geschichte der Kultur ist, bezeichnen die Pythagoräer einen grossen -Fortschritt gegenüber den Ioniern, da sie zum ersten Mal nicht in -religiöser sondern in philosophischer Form die Erkenntnis haben, dass -die sinnliche Erscheinung der Welt nicht das letzte, sondern dass ein -geistiges Prinzip dahinterstehe. Sie fanden es in der Mathematik, die -ja auch Plato als zwischen den Dingen und den Ideen stehend auffasst; -und nicht weil sie sich mit Mathematik beschäftigten, sahen sie in der -Zahl die Substanz der Dinge, sondern umgekehrt, weil sie nach einem -die Erscheinungswelt beherrschenden Gesetz der Vernunft ¨suchten¨, -¨fanden¨ sie dies in Mass und Zahl. Das Hauptwerk für die Philosophie -der Pythagoräer ist neben ¨Brandis¨ und ¨Zeller¨, die Geschichte der -Phil. von ¨Ritter¨ 1828, wozu die Kritik von ¨Ernst Reinhold¨ (Jena) -im Jahrb. für wiss. Kritik 1828 p. 358 zu vergleichen ist. Am tiefsten -scheint mir der grosse Philologe ¨August Boeckh¨ in den Geist der -Pythagoräer eingedrungen zu sein in seiner Schrift: ¨Philolaos¨ des -Pythagoräers Lehren etc., Berlin 1819. Gegenüber Zeller, dem Klassiker -der griechischen Philosophie, der aber auch m. E. nach den Pythagoräern -nicht gerecht geworden ist, ist ¨W. Kinkel¨ in seiner Geschichte -der Philosophie als Einleitung in das System der Philosophie Bd. 1, -1906 neben eigenen Auffassungen vielfach auf ¨Ritter¨ und ¨Boeckh¨ -zurückgegangen. Bei dieser Sachlage sei mir ein näheres Eingehen auf -den Kern des Pythagoreismus gestattet. - -Auch über den dunkelsten Punkt der Lehre des Philolaos hat Boeckh -mit bewunderungswürdig genialem Instinkt Licht verbreitet: Es ist -die Stelle Metaphysik I, 5 des Aristoteles: Του δε αριθμού στοιχεια -το τ' αρτιον και το περιττόν, τούτων δε το μεν πεπερασμενον το δε -άπειρον, το δ' ἑν εξ αμφοτέρων ειναι τουτων [και γαρ αρτιον ειναι -και περιττον], τον δ' αριθμον εκ του ἑνος. »Grundlegungen der Zahlen -sind das Gerade und das Ungerade, das erste begrenzt, das andere -unbegrenzt. Die Eins besteht aus beiden. Die Zahl aber stammt aus -der Eins.« Was zunächst die Gegensätze begrenzt (bei Philolaos und -Platon richtiger begrenzend oder Grenze) und Unbegrenztes, und Gerade -und Ungerade, wie überhaupt die 10 Gegensatzpaare der Pythagoräer -betrifft, so stimme ich Ritter bei, dass sie den einen Heraklitischen -Gedanken verkörpern, der Streit (id est die Polarität) ist der Vater -der Dinge. Gerade in der Ausgleichung dieser Gegensätze besteht nach -Philolaos die pythagoräische ¨Harmonie¨. Dann aber hat Boeckh es -hervorgehoben, dass hier in andrer Form in der Bildung der Zahl aus -Grenze und Unbegrenztem, auch Unbestimmtem, eigentlich schon von den -Pythagoräern genau dasselbe ausgedrückt wird, was ich 1884 chemisch -rein von Kenntnis des Pythagoreismus auf S. 1 meiner »Elemente der -Arithmetik als Vorbereitung auf die Funktionentheorie«, sub 4, d gesagt -habe: »d) wird die erzählte Zahl als Anzahl des abgezählten Komplexes -erhalten durch eine eigne Tätigkeit, welche den Zählprozess abschliesst -(begrenzt).« Und 1906 fügte ich hinzu: Hierin haben wir die erste -Äusserung des so entscheidend wichtigen ¨Grenzbegriffs¨ (Meth. der -elem. Arithm. p. 9 u.). Und ganz analog dem was bei Boeckh S. 55 über 1 -und die unbestimmte Zweiheit, die erst durch Anwendung der begrenzenden -Eins zur zwei wird, gesagt wird, habe ich l. c. gesagt, dass zwei im -Grunde die einzige Zahl sei, und die Drei eine neue Zwei. In diesem -doppelten Zusammentreffen sehe ich wieder eine Bestätigung meines -Lieblingssatzes: Nie hat irgendwer irgendwas gefunden. - -Der Grund, weshalb in sekundärer Weise die ungeraden Zahlen dem -Begrenzenden zugeordnet werden und die geraden dem Unbegrenzten, -scheint mir darin zu liegen, dass aufgelöst in Einheiten die ungeraden -Anfang, Mitte und Ende haben, die geraden nur Anfang und Ende, und die -Mitte unbestimmt ist. Ausserdem hat Boeckh wohl auch darin recht, dass -im Volke eine Bevorzugung der ungeraden Zahl herrscht: (Aller guten -Dinge sind 3, 1001 Nacht etc.). - -Auch der Zusammenhang der Zahl mit der Zeit findet sich angedeutet. -Zeit und Raum verlegen sie an die Peripherie der Welt, von wo aus sie -in die Welt eintreten, und indem sie sich mit der schöpferischen Eins -verbinden die Erzeugung des Seienden bewirken. Hier liegt, wenn auch -bildlich verschleiert, die Ahnung von Zeit und Raum als Bedingung der -Erfahrung vor und zugleich davon, dass die Kategorie Zeit mittelst der -Kategorie Zahl die Welt der Erscheinungen realisiert d. h. begreiflich -macht. - -[Sidenote: Kosmogonie und Pantheismus der Pythagoräer.] - -Die Kosmogonie der Pythagoräer ist von ¨Boeckh¨ l. c. und in seinen -Arbeiten zum ¨Timäos des Platon¨ erschöpfend behandelt, sie ist voll -tiefer Gedanken und der des Aristoteles entschieden überlegen. Aber die -gewaltige Autorität des Aristoteles, dem sich ¨Poseidonios¨ anschloss, -hat die Entwicklung heliozentrischer Ideen wie sie sich schon bei -Philolaos und noch mehr bei ¨Hiketas¨ finden auf Jahrtausende gehemmt, -bis infolge der Renaissance ¨Kopernikus¨ auf die Pythagoräer zurückging. - -Nur noch ein paar Bemerkungen, welche für die Frage nach der Priorität -des Pythagoräischen Satzes wichtig sind. Der bei Philolaos (vgl. Boeckh -und Ritter) scharf ausgesprochene ¨Pantheismus¨ und die ¨Weltseele¨ -weisen deutlich auf Indien, wie die Zahlenmystik, das grosse Weltjahr -auf Babylon. Wie die Babylonier den einzelnen Göttern einzelne -Zahlen zuordnen, so werden hier den einzelnen Göttern, d. h. den -Personifikationen von Kräften des Einen einzelne Winkel zugeordnet. -Möglicherweise können auch die ¨Orphiker¨ mit ihrer Geheimlehre die -Vermittler zwischen dem Orient und den Pythagoräern gewesen sein. - -[Sidenote: Mathematische Kenntnisse der Pythagoräer.] - -Nach diesem Exkurs fahre ich in dem Bericht über die rein -mathematischen Kenntnisse der Pythagoräer fort. - -Es ist sehr glaubhaft, dass ihnen das Sternfünfeck, das Pentalpha oder -pentagramma bekannt gewesen und dass sie sich desselben als Symbol für -»sei gesund« bedienten, wofür die bekannte Stelle aus Lukianos (pro -lapsu in salut.) angeführt wird (s. Fig.). - -[Illustration] - -Das Θ statt des Diphtonges ει, die Figur als Anfang der Briefe statt -des sonst üblichen: »sei gegrüsst«. - -In Verbindung damit steht die Kenntnis von den Proportionen, der -arithmetischen a - b = c - d, der geometrischen a : b = c : d, und der -Spezialfälle a - b = b - c, a : b = b : c, d. h. des arithmetischen -und geometrischen Mittels, dem sie als drittes das harmonische Mittel -anreihten: (a - b)/(b - c) = a/c; (2/b = 1/a + 1/c); harmonisch, weil -die Seitenlängen des Grundtones c der Quinte g der Oktave C 1, 2/3, 1/2 -diese Proportion bilden, denn 1 - 2/3 : 2/3 - 1/2 = 1/(1/2). Dass sie -diese Verhältnisse kannten, bezeugt ¨Philolaos¨ ausdrücklich und ebenso -¨Eudemos¨, und sie fanden sie auch am Würfel anschaulich vor. - -In der Geometrie schuldet man ihnen nach dem Zeugnis des Eudemos bei -Proklos den Beweis des Satzes von der Winkelsumme im Dreieck durch -Ziehen der Parallele und den Satz von den Wechselwinkeln. - -Nach der durch Geminos, dem Eudemos vorlag, verbürgten Notiz im -Kommentar des ¨Eutokios¨ zu den Kegelschnitten des Apollonios bewiesen -»die Alten den Satz für jede besondere Form des Dreiecks einzeln, -zuerst für das gleichseitige aus der Sechsteilung des Kreises, dann für -das gleichschenklige und zuletzt für das ungleichseitige.« - -Diese Notiz ist für die ¨Geschichte des Parallelenaxioms¨ von grösster -Bedeutung, sie beweist, dass der vielleicht neueste Weg das Axiom zu -begründen, von der Sechsteilung des Kreises aus, zugleich der älteste -ist. - -Wir haben ferner das Zeugnis des Eudemos, Proklos I prop. 44, dafür -dass die Pythagoräer sich schon mit den drei Aufgaben beschäftigten, -welche die Grundlage der Kegelschnitte enthalten: An eine gegebene -Strecke einen gegebenen Flächenraum zu entwerfen (παραβαλειν) bezw. -die Aufgabe (Euclid 1, 44 Eucl. 3, 28, 29) so zu verallgemeinern, an -eine gegebene Strecke AB einen gegebenen Flächenraum als Rechteck -Ay so anzulegen, dass ein Quadrat By übrig bleibt (ελλειψις) oder -überschiesst υπερβολή. Man sieht in der Tat (s. Fig.), wir haben: ax = -y^2; ax - x = y^2; ax + x^2 = y^2. - -[Illustration] - -[Sidenote: Das Irrationale bei den Pythagoräern.] - -Nehmen wir dazu noch die Kenntnis der Pythagoräer von der -¨Irrationalität der √2¨ und damit die Entdeckung des Irrationalen, -oder, wie es zuerst weit passender genannt wurde, des ἄρρητον, so fehlt -uns nur noch der Pythagoräische Lehrsatz selbst. - -Von der ungeheueren Revolution, die diese Entdeckung des Irrationalen -in den Köpfen der griechischen Mathematiker hervorbrachte, haben wir -noch deutliche Spuren. Es wird uns erzählt, dass sie diese Kenntnis -als das Hauptgeheimnis behandelten und dass ein Pythagoräer, der es -unter die Leute gebracht, zur Strafe ertrunken sei. Man denke sich -nur den Eindruck! Die Zahl, die das Mass aller Dinge, die Grundlage -aller Ordnung und damit Erfahrung, hier versagte sie, und Grössen, -deren Verhältnis in der Potenz, έν δυνάμει, im Quadrat, das denkbar -Einfachste, haben in der Linie kein Verhältnis. Die ganze Grundlage des -Gebäudes wankte, alle Satze, wie z. B. die Streckenteilung, mussten neu -geprüft werden. ¨Aristoteles¨ hat uns den mutmasslich ältesten Beweis -erhalten: - -»Wenn eine √2 existierte, so müsste Gerades gleich Ungeradem sein.« - -Wir wissen aus dem Theätet, dass dann geometrische Beweise gegeben -sind; der für 2 ist im Euclid erhalten, der für ist vermutlich der, -den Bretschneider und ich selbst unabhängig von ihm gegeben, für 5 ist -er selbstverständlich. Theätet erzählt bei Plato, dass der Pythagoräer -Theodoros von Schritt zu Schritt bis zu 17 solche einzelnen Beweise -gegeben und dann den allgemeinen auf arithmetischer Grundlage, indem er -die Zahlen in Quadratzahlen und in Rechteckzahlen geteilt, d. h. in -solche die nicht in zwei gleiche Faktoren zerlegt werden können. Der -Beweis war also arithmetisch: - -n = p^2q, √n = λ, λ^2 = p^2q, λ = p√q, √q = ν, q = ν^2 gegen die -Voraussetzung. - -Resumieren wir, so waren den Pythagoräern im wesentlichen die -geometrischen Sätze bekannt, die auf Gleichungen ersten und zweiten -Grades führten; das erste und zweite Buch des Euclid, ein grosser -Teil des dritten und des zwölften; und ihre Ausläufer insbesondere -¨Archytas¨ und ¨Hippokrates¨ haben schon die Probleme dritten Grades in -Angriff genommen. - -[Sidenote: Der Pythagoräische Lehrsatz.] - -Ich wende mich nun zu dem Satz, der den Namen des Pythagoras seit über -2 Jahrtausenden trägt. - -Über diesen grossen Satz, den magister matheseos, auf den die -Flächenrechnung und die Trigonometrie sich stützen, drückt sich -¨Proklos¨ sehr vorsichtig so aus: »Wenn wir auf die, welche alles -erzählen wollen, hören, so finden wir, dass sie diesen Satz auf -Pythagoras zurückführen und sagen, bei der Auffindung habe er einen -Ochsen geopfert.« Der erste Schriftsteller, welcher ganz bestimmt -Pythagoras nennt, ist der römische Architekt ¨Vitruv¨, und nur -in Verbindung mit der Hekatombe wird die Sache erzählt. ¨Hankel¨ -sagt: »Doch möchte ich nicht so weit gehen, den Satz dem Pythagoras -abzusprechen, obwohl keine einzige nur einigermassen glaubwürdige -Nachricht darüber vorhanden ist.« ¨Cantor¨ plädiert für Pythagoras -selbst, und er hat darin wohl recht, dass die Schule durch den Meister -den Satz kennen gelernt; den Satz selbst aber hat Pythagoras aus Asien -und mit ausserordentlicher Wahrscheinlichkeit aus Indien. Auf Babylon -weist die Zahlenmystik, die Symbolisierung der Begriffe in Zahlen, und -auf Indien der Lehrsatz und die Lehre von der Seelenwanderung. - -[Sidenote: Die Geometrie der Inder.] - -¨M. Cantor¨ hat noch in der 2. Aufl. die indische Geometrie als nicht -original erklärt, er hat es wiederholt, dass wir die Geometrie nur -auf indischer Grundlage nicht begreifen können, ja, er hat sie von -Heron von Alexandria, dessen Blüte zwischen 100 v. Chr. und 100 n. -Chr. schwankt, abhängen lassen, und das, obwohl er die Existenz der -¨Sulba-sutras¨, d. i. der ¨Schnurregeln¨, der Zimmermannsregeln für -die Herstellung der Opferstätte aus ¨Thibauts¨ schöner Arbeit in -der Asiatic society of Bengal von 1875 kannte. Dabei hat 1884 der -Sanskritist ¨Leopold v. Schröder¨ ein Buch geschrieben: »Pythagoras und -die Inder,« in welchem er bereits ziemlich entscheidende Beweise für -die Beeinflussung der Pythagoräer durch die Inder beigetragen hat. - -Ich schiebe hier einiges aus meinem Vortrag im mathem. Kolloquium -vom 2. Febr. 1903 ein. -- Als ich für die Enzyklopädie den Artikel -Pythagoras abschliessen wollte, machte mich unser Indologe ¨Leumann¨ -auf die damals gerade erschienene Arbeit von ¨A. Bürk¨ über das -Apastamba Sulba-sutra (Zeitsch. d. Deut. Morgenl. Ges. Bd. 55, -1901, p. 543) aufmerksam. ¨Leumann¨ gab mir auch die Schrift -¨L. v. Schröders¨ »Pythagoras und die Inder« Dorpat 1884. Auf Grund -dieser Arbeiten inkl. Thibauts trat ich den Ansichten Schröders und -Bürks, dass der Pythagoras bei den Indern weit älter als bei den -Hellenen und vermutlich von den Indern her entlehnt sei, bei und -machte die Mathematiker auf die Arbeit ¨Bürks¨ aufmerksam, ¨Hoffm. -Ztsch.¨ 33, S. 183, 1902. Wie ¨Bürk¨ legte auch ich besonderen Wert -auf das Auftreten des Satzes vom ¨Gnomon¨, d. i. von der Gleichheit -der Ergänzungsparallelogramme, bei den Indern. Etwa ein Jahr später -erschien, auf Verlangen ¨Cantors¨ beschleunigt, im Archiv ein Artikel -desselben, in dem er ebenfalls von der Arbeit Bürks Notiz nahm. Aber -statt dass nun Cantor die Selbständigkeit oder wenigstens die relative -Selbständigkeit der Inder, d. h. die Unabhängigkeit ihrer Geometrie -von den Griechen zugegeben, drückt er sich äusserst gewunden aus, ja -selbst seine Heron-Hypothese gab er nicht auf, indem er sie hinter -der zweifelnden Frage am Schluss versteckt, ob nicht am Ende in -den Sulba-sutras verhältnismässig moderne Einschiebsel seien. Das -Auftreten von Stammbrüchen bei den erstaunlich genauen Näherungswerten -von √2 sollte auf Heron und Ägypten hinweisen; aber sieht man näher zu, -so liegt gerade hier ein entscheidender Unterschied. Während bei den -Ägyptern die gemeinen Brüche als Summe von Stammbrüchen erscheinen, -haben wir bei den Indern auch Differenzen oder genauer Aggregate; und -die Stammbruchform rechtfertigt sich als Bruchteilung der Massschnur. - -Kulturzusammenhänge bezweifle ich so wenig wie jeder der sich nicht -bloss mit der Kultur eines einzigen Volkes beschäftigt hat. Angesichts -der babylonischen Zahlenzerlegungen und der quadratischen Gleichungen -der Ägypter glaube ich persönlich, dass der Pythagoras Babyloniern wie -Ägyptern vielleicht schon vor 3000 v. Chr. bekannt war. ¨Aber Glauben -ist kein Beweis.¨ - -Und was den Einschub in das Sulba-sutra nach Apastamba betrifft, so -wäre der gleiche Einschub bei Taittirīya, Baudhāyana, Maitrāyana, -Katyāyana und Mānava, und im Satapatha-Brāhmana gemacht worden! - -Als ich Heft 9 des ¨Bühler¨'schen Grundrisses der Indo-Arischen -Philologie, Astronomie, Astrologie und Mathematik von ¨G. Thibaut¨ -las, wunderte ich mich, wie befangen sich dieser hervorragende Kenner -des indischen Wissens auf dem Gebiet der exakten Wissenschaften der -Autorität ¨Cantors¨ gegenüber zeigte. Derselbe Mann, der 1875 so -treffend geschrieben hatte: »Was nur immer fest mit altindischer -Religion verknüpft ist, muss betrachtet werden, als bei den Indern -selbst entsprungen, wenigstens so lange bis das Gegenteil erwiesen«, -der liess sich verblüffen durch Argumentationen von solcher -Ungeheuerlichkeit, wie die rhetorische Frage: »Kann unmittelbare -Anschauung zur Erfindung neuer Satze führen?« Ich sehe von ¨Jakob -Steiner¨ ganz ab, von dem es ja notorisch ist, wie viele seiner -Sätze, gelegentlich auch unrichtigen, er der unmittelbaren Anschauung -verdankt, sondern weise nur auf ¨E. E. Kummer¨ hin, gewiss ein reiner -Mathematiker wie nur einer, und doch der eigentliche Urheber der -Modellgeometrie für Flächen. Herr ¨Bürk¨ hat sich dann auch nicht -geniert, die Schwäche der Cantor'schen Argumente auch bezüglich der -Seilspannung beim Tempel von ¨Edfu¨ -- nebenbei bemerkt erst 237 v. -Chr. -- aufzudecken, und er wies mit Recht auf ¨H. Hankel¨ hin, dessen -dünnleibige Fragmente von einem fast prophetischen, wahrhaft genialen -Verständnis für die Seele der Völker zeugen. Angesichts einiger -Bemerkungen möchte ich hier sagen, dass ich von Bewunderung für die -beinahe übermenschliche Arbeitsleistung Cantors erfüllt bin, aber die -betreffenden Äusserungen in meiner Entwicklung der Elementargeometrie -aufrecht halte. Das Recht zur Kritik, das mir ¨Weierstrass¨ zugestand, -lasse ich mir von niemandem und niemand gegenüber rauben, und wenn an -irgend einer Stelle, so gilt für die Wertung der indischen Mathematik -durch Cantor das Horazische: - - Interdum bonus dormitat Homerus, - Nec semper arcum tendit Apollo. - -Übrigens ist die indische Verwandlung des Rechtecks in ein Quadrat -ohne eine schulgerechte Analyse unmöglich, und bei der Ausmessung der -Saumiki vedi findet sich derselbe Beweis, den wir heute noch für die -Flächenformel des Trapezes geben. - -Erklärlich wird das Verhalten Cantors durch sein Dogma, dass die -Hellenen speziell für Geometrie, die Inder für Arithmetik, insbesondere -für Rechnen begabt waren. Leider ist dies in dem Umfange, wie es -Cantor annimmt, falsch. Der leitende Gesichtspunkt der Entwicklung -der griechischen Mathematik war ein rein arithmetischer. Sie haben -erst die Gleichungen ersten Grades in Form der Proportion gelöst, dann -die der zweiten vermöge der Satzgruppe des Pythagoras und dann die -Gleichungen dritten Grades angegriffen, wie man absolut deutlich aus -den beiden sogenannten Delischen Problemen, der Verdoppelung, bezw. -Vervielfachung des Würfels und der Trisektion des Winkels erkennt, -an die sie sich unmittelbar nach der im zweiten Buch des Euclid -ausführlich behandelten Lösung der quadratischen Gleichungen machten. -Und die Inder, welche im Anfang ihrer Geschichte in der Astronomie und -damit in der Rechenkunst durchaus abhängig von Babylon waren, haben -höchst wahrscheinlich ihre Geometrie infolge ihres Kultus selbständig -entwickelt. - -[Sidenote: Abhängigkeit der Pythagoräer von den Indern.] - -Für die Abhängigkeit der Pythagoräer von den Indern hat ¨v. Schröder¨ -auf die Lehre von der Seelenwanderung hingewiesen; sie war ein -Hauptbestandteil der Pythagoräischen Lehre, unzweifelhaft, schon -Xenophanes berührt sie; Philolaos trägt sie vor; Aristoteles bezeichnet -sie als pythagoräisch; Plato hat seine poetische Darstellung von dem -Zustand nach dem Tode den Pythagoräern nachgebildet. Philolaos sagt, -die Seele sei an den Körper ¨zur Strafe¨ gefesselt und gleichsam im -Körper begraben. Diese Anschauung hat ¨Platon¨ in dem durch und durch -von Philolaos beeinflussten ¨Timäos¨ angenommen, im Gegensatz zu seiner -früher z. B. im Phädon aufgestellten Ansicht. - -¨Herodot¨, der die Seelenwanderung als durchaus unhellenisch -bezeichnet, schreibt sie den Ägyptern zu, aber die Denkmäler der -Ägypter, soviel sie sich auch mit dem Tode und dem Leben nach dem -Tode beschäftigen, weisen keine Spur der Metempsychose auf. Und was -für einen Zweck hätten dann die riesigen Opfer, welche die Ägypter -für die Behaglichkeit des Kha brachten, ihre Pyramidenbauten, ihre -Einbalsamierung gehabt? Ein einziges ägyptisches Märchen, das von den -drei Brüdern, könnte allenfalls herangezogen werden, doch das gehört -unzweifelhaft in den Kreis der Osirissage. - -[Sidenote: Altindischer Kulturzustand.] - -Aber in Indien da beherrschte und durchdrang gerade um diese Zeit -die Lehre von der Seelenwanderung das ganze Volk. Wir wissen mit -Bestimmtheit, dass gerade um diese Zeit der Buddhismus hereinbrach, -als dessen Ziel einzig und allein die Befreiung von dem Kreislauf -der Geburten, von der Wanderung der Seelen durch immer neue -Existenzen bezeichnet werden muss. Und nicht Buddha Gautama war der -erste (¨Oldenberg¨ 1881, Buddha, sein Leben, seine Lehre, seine -Gemeinde), sondern vor und mit ihm durchzogen schon Asceten, Mönche, -Wanderpriester teils einzeln, teils schon Orden und Kongregationen -bildend das Land, um in Busse das Ziel der Erlösung zu suchen. - -Buddhas Erfolg beruht gerade darauf, dass er den Zug nach Erlösung von -der sich immer wiederholenden Qual des ¨Sterbens¨ durch seine Lehre -befriedigte. - -[Sidenote: Der Rigveda und der Yajurveda.] - -Die Lehre von der Seelenwanderung entwickelte sich in Indien -naturgemäss im Zusammenhange mit der Lehre vom All-Einen, deren Wurzeln -schon in dem Rigveda, der Sammlung der uralten heiligen Lieder, die -die Inder zum Teil beim Einwandern aus Afghanistan mitbrachten, zu -finden sind. Wohl sind auch ein paar weltliche Lieder dabei, aber sie -finden sich erst im 10. Buch des anerkannten Textes, der Redaktion der -Çakalaschule, das erst etwa um 1000 v. Chr. den übrigen 9 Büchern oder -mandala zugefügt ist, wenngleich ihr Ursprung natürlich viel älter -ist. Wenn wir uns den Kulturzustand der Inder, der Arya zurzeit der -Entstehung des Rigveda vergegenwärtigen wollen, so brauchen wir nur die -Germania des Tacitus zu lesen, nicht einmal der Spieltrieb fehlt, wie -10, 34 bekundet: »Nach seinem Weibe greifen fremde Hände, indes mit -Würfeln er auf Beute ausgeht.« Auch hier ein freies Volk, der König -eigentlich nur Herzog, d. h. Heerführer im Kampfe, der Hausvater, -der Sippenälteste, Herr und König in seinem Hause und zugleich auch -Priester. Eine eigentliche Priesterkaste, ein Bramanentum gab es noch -nicht, überhaupt kein Kastenwesen, auch keine Witwenverbrennung. Das -alles hat sich erst in der folgenden Periode entwickelt und hängt mit -der Ausbildung des Opferrituals eng zusammen. Wohl spielt auch im -Rigveda das Opfer, insbesondere das des Agni und noch mehr des Soma -eine bedeutende Rolle, aber im Vordergrund steht doch der Hymnus. -Übrigens ist die Periode des Rigveda nicht mehr die altindogermanische, -wie aus dem Zurücktreten des indogermanischen Lichtgottes Djaus, Zeus, -des Tiu der Germanen, angerufen als Djaùs-pitar, Griech. Ζευ πατερ, -umbrisch Dispiter, Lat. Jupiter (vgl. A. Kaegi, der Rigveda Anm. 112), -des Lichtgottes, des Himmelsvaters, und der Gäa, der ¨Mutter¨ Erde, -Prithivi, hervorgeht. - -Auch die Götter des Rigveda müssen in der Brahmanen-Periode dem -Dreigestirn Brāhman, Vishnu, Çiva weichen. Der erstere eine -priesterliche Abstraktion der Weltseele, die beiden anderen, in den -Veden erwähnt, aber doch erst später hervortretend gegen ¨Varuna¨, den -Himmel, und ¨Indra¨, den Kriegsgott, den eigentlichen Nationalgott -des Rigveda. Namentlich der Kult des schrecklichen Zerstörers Çiva -entstammt so recht eigentlich dem Grund der einheimischen Volksseele, -welche die Gewalt der Naturmächte oder Götter als schwer versöhnliche -Feinde der Menschheit empfindet. Im übrigen sei für die altindische -Kultur zur Vedenzeit auf ¨H. Zimmers¨ klassisches Werk: Altindisches -Leben (1879) verwiesen. - -[Sidenote: Die Bedeutung des Opfers.] - -In der auf die Rigvedazeit folgenden Periode, der des Yajurveda, -der Lehre vom Opfer, und der Brāhmana-Texte, der Kommentare der -einzelnen hervorragenden Weisen, nimmt der Zug nach Erlösung von der -Qual des Wiedersterbens seinen Anfang. Und auf der andern Seite in -der Flucht der Erscheinungen bildet nur eins den ruhenden Pol, der -Kern aller Wesen, der Atman Brahman, der in allem ist, die heilige -Weltseele. Seelen, die in der Hölle der Existenz wandern, werden durch -Busse erlöst zu einem seligen Sein auf dem Monde, aber die gleiche -Vorstellung findet sich bei den Pythagoräern, nur dass an Stelle des -Mondes die Sonne tritt, wie im Satapatha Brāhmana die seligen Seelen -als Sonnenstäubchen erscheinen. - -Gemeinsam ist auch in der Buddha- und Pythagorassage die Erinnerung an -den früheren Seelenzustand. - -¨v. Schröder¨ sagt in Pythagoras und die Inder: - -»Wer nun mit dieser durch mehrere Jahrhunderte sich erstreckenden -Epoche der indischen Kulturgeschichte vertraut ist, der nur eigentlich -vermag es ganz zu ermessen, welch eine Rolle zu jener Zeit das Opfer -mit seinen unzähligen Details im Geistesleben der Inder spielte. -Das gesamte Sinnen und Trachten des hochbegabten Volkes ist in -diesem Jahrhundert auf das Opfer, seine Vorbereitung und Ausführung -gerichtet. Die umfangreiche Literatur, die als Zeuge jener Zeiten -zu uns redet, handelt vom Opfer und immer nur vom Opfer. Dem Opfer -in allen seinen Einzelheiten wird die höchste Bedeutung beigelegt, -die Kraft Götter und Welten zu zwingen, Natur und Menschen zu -beherrschen. Wunderbar übernatürliche Macht wohnt ihm inne und selbst -die Kosmogonie geht auf das Opfer zurück. Aus Opfern sind alle Welten -und Wesen, alle Götter und Menschen, Tiere und Pflanzen entstanden. -Das Zeremoniell des Opfers, wie schon die Yajurveden zeigen, ist ein -ungeheuer kompliziertes und die kleinste Äusserlichkeit wird mit -einem Nimbus von Wichtigkeit umgeben, der für uns nicht selten das -Lächerliche streift. Die Vorbereitung zum Opfer, die Fertigstellung -des Opferplatzes etc. spielt hier eine hervorragende Rolle. Dabei -ist natürlich die ¨Konstruktion der Altäre¨ von allerhöchster -Bedeutung. Jede Linie, jeder Punkt, jedes Formverhältnis war hier von -entscheidender Wichtigkeit und konnte nach dem indischen Glauben jener -Zeit, je nachdem es ausgeführt war, Segen oder Unheil bringen. Über -die ¨Gestalt¨ und ¨Grösse¨ der ¨Altäre¨, ihr Verhältnis zueinander und -zu ihren einzelnen Teilen, zu den mannigfachsten abstrakten Begriffen, -ihre symbolische Bedeutung und die richtige, nicht bloss gottgefällige, -sondern selbst Götter ¨zwingende¨ Art ihrer Herstellung haben -Generationen eines hochbegabten, für Spekulation und Abstraktion und -namentlich für rechnerische Leistung sehr beanlagten Volkes gegrübelt -und immer wieder gegrübelt.« - -Und ¨Bürk¨ und ¨Leumann¨ stimmen dem zu. - -Es mussten daher die Inder schon in jener sehr frühen Zeit gezwungen -werden, wenigstens auf dem Opferplatze eine Feldmesskunst auszubilden. -¨Cantors¨ Ansicht ist um so unbegreiflicher als er selbst sagt, dass -die Sulba-sutras Schriften von geometrisch-theologischem Charakter -sind; wie sie abgesehen von einigen ägyptischen Inschriften in keiner -Literatur sich wiederfinden. - -[Sidenote: Konstruktion der Opferstätten und Altäre.] - -Wenn nun ¨Pythagoras¨ in Indien war, so konnte er nicht nur, so musste -er von dort den Satz über das Quadrat der Hypotenuse mitbringen. Selbst -¨Cantor¨ hat sich dem, wie erwähnt, nicht ganz verschliessen können. - -Das Apastamba-Sulbasutra, die Lehre von der Messschnur nach Apastamba, -gehört in den Ausgang der Brāhmana-Literatur, der Zeit, die auf die -Veden folgt. - -Die Veden, von Veda (Lehre, Wissenschaft), enthalten die ältesten -religiösen Satzungen: den Rigveda, soweit sie sich in Liedern -formulieren, und den (schwarzen und weissen) Yajurveda, der vom Opfer, -seiner Zurüstung, den Zeremonien etc. handelt. Die Veden sind kurz und -dunkel. Die riesige Brāhmana-Literatur bestand in Kommentaren zu den -Veden, die die Veden selbst als bekannt voraussetzen. Gehören die Veden -der Zeit von 1200-1000 an, so gehen die Brāhmanas bis etwa 600, der -Zeit vor dem Auftreten Buddhas. - -Die Sulba-sutras bilden in den verschiedenen Lehrbüchern der Schulen -ein Kapitel der Kalpa-Sutras oder Çrauta-Sutras, deren Aufgabe es ist -das Opferritual übersichtlich darzustellen, und ihr Sulba-Sutra gibt -die Regeln für die genaue Abmessung des Opferplatzes, der verschiedenen -Altäre etc. - -Diese Schulen entsprechen den Babylonischen Tempelhochschulen, und wie -die Fürstpriester Babylons stehen die altindischen Weisen, die rishi, -an genialer Begabung für religiöse und philosophische Spekulation -keinem Platon und Aristoteles nach. - -Die Anfänge des indischen Opferwesens reichen bis in die Zeit des -Rigveda zurück; schon in ihm werden die Altar-Stätten (vedi) und der -dreifache »tri-schadhastha« Sitz des Agni, des Feuers (= lat. igni-s), -des sozusagen irdischen Gottes im Rigveda, die drei geschichteten -Altäre erwähnt: der Altar des Hausherrn, der garhapatya -- der -ahavanīya -- Opferaltar -- und der daksinagni -- Südaltar. Nach den -Angaben des Yajurveda handelte es sich bei dieser Dreiteilung um -Quadrate, Kreise und Halbkreise, die von gleicher Fläche sein mussten. - -[Sidenote: Altindische Geometrie.] - -Das Verfahren wird selbstverständlich in dem Rigveda, den wir auf -1200 v. Chr. setzen, nicht erwähnt, doch heisst es: »kundige Männer -massen den Sitz des Agni aus.« Die eigentliche Blütezeit des indischen -Opferwesens war die Periode der Brahmanas, welche nach ¨Leumann¨ sich -bis ins 7. Jahrhundert vor Chr. erstreckt. ¨L. v. Schröder¨ sagt in -»Pythagoras und die Inder«, was ¨Bürk¨ und ¨Leumann¨ akzeptieren: »Auf -Grund dieser Sulba-Sutras und unter Berufung auf noch bedeutend ältere -Werke wie die Taittirīya-Samhita (Sammlung) und das so hochbedeutende -Satapatha-Brāhmana (die hundertpfadige Lehre) lassen sich nun die -geometrischen Kenntnisse bestimmen, welche die Konstruktion der Altäre -erforderte,« und ich werde hier also Gelegenheit nehmen auf die -altindische Geometrie näher einzugehen. - -Bei den Altären unterscheidet man die vedi, d. h. das Altarbett, und -den Agni, d. h. den beim Agni-Opfer und beim Soma- (dem heiligen -Trank-) Opfer aus meist quadratischen Backsteinen geschichteten -Feueraltar. Das Somafest wurde zu Ehren Indras, des Kriegsgottes, -gefeiert. Der Gott und die Krieger sollten sich berauschen an dem -Somatrank, der aus einer stark milchsafthaltigen Pflanze bereitet -wurde. Es hatte so hohe Bedeutung, dass der Somatrank selbst zum Gott -gemacht wurde. - -I. ¨Vedi.¨ Die Inder legten grossen Wert auf genaue rechtwinklige -Herstellung ihrer Altäre, und Apastamba lehrt zu diesem Zwecke bei -der Vedi für das Somafest mehrere $ganzzahlig$ rechtwinklige Dreiecke -anzuwenden, deren Masse zum Teil schon im Taittirīya- Text und im -Satapatha-Brāhmana vorkommen. Und auf diese bei der Saumiki vedi -gelehrte Methode der Ausmessung weist er bei einer Reihe andrer Vedis -zurück. Unter diesen ist erstens noch die Vedi der Sautramani-Zeremonie -hervorzuheben, welche nach einer alten Vorschrift 1/3 der Saumiki vedi -messen soll (¨Thibaut¨). Es handelt sich dabei um das Opfer für Indra -Su-trāman (Ζευς σωτηρ). Ihre Konstruktion geschah entweder mit Hilfe -der tri-karani oder trtīya-karani (der drei oder 1/3 machenden), d. h. -entweder mittelst der geometrischen Konstruktion von √3 oder √1/3, -und das geht nicht ohne Pythagoras (denn √1/3 = 1/3√3). Apastamba -Kap. II, 2 steht die Figur (s. S. 158), natürlich ohne Buchstaben. -Ferner die vedi beim asvamedha (Rossopfer); da diese doppelt so gross -als die Saumiki vedi sein soll, wird sie mit der dvi-karani; der √2, -ausgemessen. - -[Sidenote: Grundriss des Normalaltar.] - -Damit ist auch die trtīya-karani erklärt: das Quadrat über der -tri-karani ist in 9 Teile zu teilen (Fig. S. 158). - -Nur wenn die Vedi genau den Vorschriften entsprach, war das Opfer Gott -wohlgefällig, im andern Fall eine Beleidigung. Die genannten Arten der -Vedi und die meisten andern hatten die Form eines Achsentrapez; dies -musste zuerst in ein Rechteck verwandelt werden (Ap. V, 7), dessen -Berechnung, z. B. Ap. S. V 7 und 9 gelehrt wird. - -II. ¨Agni -- geschichteter Feueraltar.¨ Alle in den Brāhmanas und -Sutras vorkommenden Vorschriften beziehen sich, wenn nicht anders -angegeben wird, auf den catur-asra syena-cit, auf den viereckig -falkenförmigen. Der atman (Wesen, Seele, Körper) des Altars, der die -Gestalt eines Falken in rohen Umrissen nachahmte, bestand aus vier -Quadraten über dem purusa (Menschenlänge) und der Schwanz und jeder -Flügel aus einem Quadrat-purusa; um der Gestalt des Vogels noch näher -zu kommen wird jeder Flügel um 1 aratni (Elle = 1/5 purusa) und der -Schwanz um 1 pradesa (= 1/10 purusa) verlängert (s. Fig.). Gemäss -seiner Zusammensetzung heisst dieser Altar auch agni saratni-pradesa -saptavidha (z. B. Ap. Sulb. s. XV, 3.). - -[Illustration] - -[Sidenote: Altindische Geometrie zur Konstruktion der Altäre.] - -Bei der Anlage der Grundfläche handelt es sich nun um die Konstruktion -von Quadraten, wofür Apastamba zwei Methoden überliefert. Die erste -Ap. VIII, 8 bis IX, 2 beschrieben, ist höchst altertümlich und -primitiv (Fig. 2), sie ist älter als die bei Thibaut beschriebene von -Baudhāyana zum caturasra-karana. Für alle vier Quadrate sieht sie aus -wie Fig. 3, aus der sich dann die von Baudhāyana beschriebene Fig. 4 -entwickelt hat. - -[Illustration] - -Die zweite jüngere ist die mittelst des visesa, d. h. mit einem Rest, -d. h. der Näherungswert 17/12 (Thibaut) für die √2, also 1,417, Fehler -< 0,003; sie setzt den Pythagoras voraus für den Spezialfall. (Ap. -Sulba sutra IX, 3), bei Apastamba 577/408 = 1,4142156; der Bruch ist -auf 5 Dezimalen richtig - - 1 + 1/3 + 1/(3·4) - 1/(3·4·34); √2 = 1,414213; Fehler < 3/10^6. - -Wenn der Inder durch das Opfer besondere Wünsche erzielen wollte, so -traten an die Stelle der Normalform die Kamyas, d. h. es gibt besondere -agnis für solche Zwecke. Dahin gehört der agni in Gestalt eines Falken -mit eingebogenen Flügeln und ausgebreitetem Schwanze, der in Form eines -gleichschenkligen Dreiecks praüga-cit, vordere ochsenjochförmig, eines -Doppeldreiecks, eines Wagenrads, rathacakra-cit, eines Troges etc. Aber -so mannigfach die Gestalten der Kamyas waren, so musste die Grundfläche -¨genau so gross¨ sein wie bei der Normalform. Man musste also schon zur -Zeit der Taittirīya Samhita verstehen, eine geometrische Figur in eine -andere ihr flächengleiche zu verwandeln. - -Die Aufgabe zu diesem Zwecke war: - -1. Beim kreisförmigen hatte man zunächst ein Quadrat = der 7-1/2 -Quadrat-purusa messenden Grundfläche des caturasra syena-cit zu -zeichnen, was ohne Pythagoras nicht möglich, und ¨das Quadrat in einen -Kreis zu verwandeln¨. - -2. Beim praüga-cit musste man das Quadrat 7-1/2 verdoppeln, also die -dvi-karani konstruieren; die Hälfte des Quadrats über der √2 gab dann -das gesuchte gleichschenklige Dreieck. Nun kommt das für die Geometrie -eigentlich Wesentlichste: Nach Satapatha-Brāhmana, Baudhāyana Sulb. -Sutra; Ap. S. und Ap. Sulba S. war der agni, wenn er das zweite Mal -konstruiert wurde, um einen Quadrat-purusa grösser als beim ersten Mal, -ebenso beim dritten um einen Quadrat-purusa grösser als das zweite Mal -und so fort. Also mussten die Inder spätestens schon zur Zeit der Sat. -Brāh. verstehen eine Figur zu konstruieren, die einer gegebenen ähnlich -ist und zu derselben in bestimmtem Verhältnis steht. - -a) War nun der erstmals konstruierte agni der »einfache« (eka-vidha) -gleich ein Quadrat-purusa -- was Apastamba nebenbei noch zulässt, -während Satapatha Brāhmana es verbietet -- so hatte man den zweiten -ebenfalls quadratischen doppelt so gross herzustellen, den dritten -dreimal und Apastamba geht bis zum sechsfachen, d. h. der Reihe nach -√2 √3 bis √6 zu konstruieren, d. h. die Summe zweier Quadrate zu -¨addieren¨, also Pythagoras. - -b) War aber der erste agni der sapta-vidha wie meist, so konnte man bei -den folgenden Malen entweder, wie Baudhāyana vorschreibt, alle Teile -der Normalform proportional vergrössern und dann das, was hinzukam -zunächst in 15 gleiche Teile teilen, oder, wie Apastamba nach älterer -Tradition lehrt, nur die 7 purusas, nicht aber auch die beiden aratnis -und den pradesa des caturasra syena-cit zunehmen lassen und dann -den Zuwachs in 7 gleiche Teile teilen. Ein solches Siebentel musste -dann, wenn es zunächst als Rechteck gezeichnet war, in ein Quadrat -verwandelt werden (Apast. S. S. II. 7) und hierbei tritt bei Apastamba -die ¨Subtraktion¨ von ¨Quadraten¨ als Hilfskonstruktion auf, und -dieses Quadrat musste dann mit jedem der sieben zu einem neuen Quadrat -vereinigt werden. - -3. Beim asva-medha musste der sapta-vidha von vornherein mit 3 oder -21 multipliziert werden, und beide Vorschriften sind nach Angabe des -Baudhāyana Sulba Sutra durch Brāhmana-Stellen belegt. - -[Sidenote: Pythagoras bei den Indern.] - -Wir sehen also, dass der Pythagoras und seine Satzgruppe eine geradezu -prominente Rolle beim indischen Opferkult spielt. - -Wir kommen nun zu der Frage, wie alt ist der Pythagoras? - -Ausgesprochen ist der Satz bei Baudhāyana, Katyāyana, Apastamba, -z. B. Ap. Sulba S. I, 7: Die Diagonale eines Rechtecks bringt beides -hervor, was die längere und die kürzere Seite desselben jede für sich -hervorbringen, und I, 5: Die Diagonale eines Quadrates bringt eine -doppelt so grosse Fläche des Quadrates hervor samasya dvi-karani (die -das Doppelte hervorbringende). Der Satz ist also jedenfalls so alt als -die genannten Sulba Sutras. Die des Apastamba bildeten den 24. Prasna -(Buch) des Srauta Sutra, und dieses kann nach der Untersuchung der -Sanskritisten nicht nach dem Anfang des 4. Jahrh. v. Chr. entstanden -sein. Damit ist die Heron-Hypothese Cantors ohne weiteres beseitigt. - -Aber der Pythagoras ist den Indern, musste den Indern viel länger -bekannt sein. Zunächst ist das Baudhāyana S. S. wahrscheinlich -mindestens 200 Jahre vor dem Apastamba Sulba Sutra redigiert; und -dann ist klar, dass die Vorschriften selbst weit älter sind als ihre -schriftliche Fixierung. Insbesondere scheint das Apast. Sulba Sutra -durchaus die ältere Tradition festgehalten zu haben. Dann aber finden -sich Vorschriften über die Vergrösserung z. B. des Asvamedha- und -Sutrāmani-Altars und über die Konstruktion der Kamyas in der Taittirīya -Samhita und über die Vergrösserung des falkenförmigen Normalaltars im -Satapatha-Brāhmana, die ohne Pythagoras unmöglich sind. Nun ist die -Taittirīya S. noch etwas älter als das Satapatha, und beide gehören zu -einer Klasse von Werken, von denen Oldenberg (Buddha 3. Aufl. S. 19) -sagt: »Wir werden schwerlich fehlgehen, wenn wir ihre Entstehung vom -10.-8. Jahrh. setzen.« Übrigens wird dieses Minimal-Alter durch Bürk -l. c. nachgewiesen mittelst zweier Stellen, je eine aus der Taitt. -Samh. und aus dem Sat. Brāh. Taitt. Samh. 6. 2, 4, 5 heisst es von der -Vedi für das Somaopfer: Die westliche Seite ist 30 padas lang, die -¨praci¨ 36; die östliche Seite 24, und genau dasselbe sagt die Stelle -im Satapatha-Brāhm. 10, 2, 3, 4. - -[Illustration] - -Bei Baudhāyana erscheint der allgemeine Pythagoras an zweiter Stelle, -und er setzt hinzu: diesen zweiten Fall erkennt man aus den Rechtecken -mit den Seiten 3 und 4, aus 12 und 5, aus 15 und 8, aus 7 und 24, aus -12 und 35, aus 15 und 36, und Cantor selbst sagt 2. Aufl. S. 398: -»Das ist nun offenbar der Pythagoräische Lehrsatz, erläutert an -Zahlenbeispielen.« Das Fehlen der Hypotenuse darf nicht auffallen. -Die Taittirīya- und die anderen Srauta-sutras sind die Yajurveden in -der Redaktion der betreffenden Schule und diese enthalten »diejenigen -Sprüche oder Verse, welche der die eigentliche Opferhandlung -verrichtende Priester, der Adhvaryu, zu sprechen oder zu murmeln hatte.« - -Auch die Brāhmanas bieten keine fortlaufende Darstellung des Opfers, -sondern vielmehr Erläuterungen zu demselben. Im Sulba Sutra bei -Apastamba, da wird die wirkliche Konstruktion gegeben und da tritt denn -auch z. B. beim Dreieck 30 : 15 die ganzzahlige Hypotenuse 39 auf. - -[Sidenote: Das Alter des Pythagoras bei den Indern.] - -Somit ist der ¨Pythagoras bei den Indern aus dem 8. Jahrh. sicher -konstatiert¨, aber höchst wahrscheinlich den Indern schon viele -Jahrhunderte vorher bekannt gewesen. (¨H. Hankel.¨) -- »Was nun -das Alter der Sulba-Sutras betrifft, so weiss jeder, der sich mit -indischer Literatur beschäftigt hat, dass jedes Erzeugnis nach seinem -Zusammenhange mit der ganzen Literaturgruppe, zu der es gehört, -beurteilt werden muss.« (¨E. Leumann.¨) Da kann nun kein Zweifel -darüber sein, dass die Sulbas, sie mögen niedergeschrieben sein wann -sie wollen, zur Yajurveden-Literatur gehören, d. h. zum Opferkult, -sie bilden ein durchaus nötiges Kapitel des Srauta Sutra, der bis -aufs i-Pünktchen detaillierten Lehre vom Opferzeremoniell und damit -ist entschieden, dass ihr Inhalt bis etwa 900 v. Chr., vielleicht -sogar noch höher hinaufreicht, und insbesondere zeichnen sich die -Apastamba- wie die Taittirīya-Schule durch Bewahrung alter Tradition -aus. Nun sind noch zwei Punkte zu besprechen. Indische Manuskripte sind -verhältnismässig jung. Baumrinde kann sich an Dauerhaftigkeit nicht -mit Papyrus, noch weniger mit gebrannten Tontafeln messen, zudem tritt -die Schrift im eigentlichen Sinne bei den Indern verhältnismässig spät -auf und ist nicht original. Dasselbe würde ja auch für das gewaltig -umfangreiche Heldengedicht des ¨Mahabharata¨ gelten. Aber abgesehen -davon, dass Zeichen analog den Runen der Germanen vermutlich auch bei -den Indern uralt waren, so war das Gedächtnis eben durch den Mangel -an Schrift enorm entwickelt. Leute, die täglich ein Kapitel auswendig -lernten, etwa wie die arabischen Geistlichen die Suren des Koran, -die kannten bald ganze Werke auswendig, und auch heute sind solche -Gedächtniskünstler nicht selten unter den Brahmanen. - -Ein zweiter Einwand klingt einleuchtender. Die erstaunlich -verklausulierten Vorschriften der Kalpasutras sollen Zeichen der -Erstarrung und des Verfalls sein. Ganz abgesehen davon, dass die -Indologen von Fach die Blüte des detaillierten Opferkults zwischen -1000 und 800 setzen, ist darauf folgendes zu erwidern: Das richtig -vollbrachte Opfer hat die Macht, die Götter unter den Willen des -Opferers zu beugen; ich habe ja schon bei Babylon darauf hingewiesen, -dass die Arier sich der Gottheit nicht annähernd so knechtisch -gegenüberstellten wie die Semiten. Ein durch Germanen, Hellenen und -Inder, kurz durch die ganze Arische Welt hindurchgehender Zug ist -das Misstrauen gegen die Götter, die Furcht vor ihrem Neide, die -Teufelslehre knüpft hier an, und der Stammbegriff des Wortes Teufel ist -das Sanskritische Wort für Gott. Grade aus der ältesten Zeit tiefster -Religiosität stammt dies Gefühl und jene Genauigkeit ist grade ein -Zeichen der naiven Periode, es darf dem Gott auch nicht die leiseste -Handhabe geboten werden, seinem Unwillen über den auf ihn ausgeübten -Zwang Ausdruck zu verleihen. - -Ich glaube nicht, dass irgend ein heutiger Indologe bezweifeln wird, -dass das Alter der Sulba-Sutras dem Inhalt nach bis mindestens 1000 -heraufgeht, und dass sich die indische Geometrie auf dem Boden der -Opferlehre, des Aufbaues der Altäre entwickelt hat. - -[Sidenote: Der Satz vom Gnomon.] - -Was aber die Entlehnung des Pythagoras von den Indern seitens des -Pythagoras noch viel sicherer macht, das ist das Auftreten des -sogenannten Gnomon, des Satzes von dem Ergänzungsparallelogramm. Schon -¨Bretschneider¨ sagt, dass die Kenntnis dieses Satzes dem Pythagoras -mutmasslich zur Auffindung des Satzes gedient hat, und Hankel sagt -l. c. mit ahnungsvollem Scharfblick, diese Herleitung erscheine -wahrscheinlich. Aber eben dieser Gnomon war den Indern auch bekannt. -¨Baudhāyana¨ geht mittelst desselben vom Quadrat mit der Seite 16 zu -dem mit der Seite 17; er sagt z. B.: Wenn man aus 256 quadratischen -Backsteinen ein Quadrat gebildet habe, so soll man nun 33 Backsteine -hinzufügen. Und ¨Apastamba¨ sagt II, 7, es folgt nun eine allgemeine -Regel: Man fügt: 1. das [Rechteck], welches man mit der jedesmaligen -Verlängerung (und mit den Seiten des gegebenen Quadrates) umzieht -[d. h. herstellt], an den zwei Seiten des Quadrates, nämlich an der -östlichen und an der nördlichen hinzu, und 2. an der nördlichen Ecke -das Quadrat, welches durch die Verlängerung hervorgebracht wird; dazu -die Figur und das ist klipp und klar - - (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. - -Der Satz konnte ihnen, da sie meist mit Backsteinen arbeiteten, gar -nicht entgehen. - -[Illustration] - -[Illustration] - -[Sidenote: Die Pythagoräischen Dreiecke bei den Indern.] - -Dass die Inder den Satz gefunden haben, ist natürlich nicht bewiesen, -aber so lange babylonische und ägyptische ältere Quellen uns nicht zur -Verfügung stehen, sind sie diejenigen, die am frühesten nachweisbar den -Satz besessen haben und die Auffindung kann ganz gut so wie ¨Bürk¨ es -angibt, geschehen sein; sie kann aber auch ganz leicht direkt erfolgt -sein, zunächst für das Dreieck 3, 4, 5 durch Drehen der Schnur, was -ja eine ihnen ganz geläufige Operation war. Es kommen im Apastamba -Sulba-Sutra 5 »erkennbare«, d. h. ganzzahlige rechtwinklige Dreiecke -vor, die Inder sagen: Rechtecke. - - 3 4 5 - 5 12 13 - 7 24 25 - 8 15 17 - 12 35 37 - 15 36 39, letzteres - -das wichtigste für die Vedi. Davon fallen die ersten 3 auch unter -die von Proklos ausdrücklich dem Pythagoras, bezw. seinen Schülern -zugeschriebenen Formeln 2a + 1; 2a^2 + 2a; 2a^2 + 2a + 1; die beiden -folgenden sind platonisch 2a; a^2 - 1; a^2 + 1. - -[Illustration] - -Das letztere ist dem zweiten ähnlich; aus Apastamba V, 4 folgt, dass -diese Ähnlichkeit ihm völlig klar war. Angesichts von ¨Thibauts¨ -Darstellung in ¨Bühlers¨ Grundr. ist es nicht uninteressant an der -Hand der Sulba-Sutras nachzusehen, was den Indern jedenfalls um 800 v. -Chr. an geom. Kenntnissen zur Verfügung stand. Ich benutze ¨Thibauts¨ -Übersetzung des Baudhāyana und ¨Bürks¨ Übers. des Ap. S. S. im 56. -Bande der Zeitschrift der D. Morgenländischen Gesellschaft. Das -Werkzeug, dessen sie sich für ihre Konstruktionen bedienten, war die -Schnur (sulba oder rajju), und gelegentlich auch ein Bambusstab. Ich -beginne mit der Konstruktion des einfachen Quadrats, Ap. Kap. VIII, -5-10, IX, 1. - -[Illustration] - -»Man schneide an einem Bambusrohr in einer Entfernung gleich der Höhe -des Opferers mit emporgehobenen Armen (der purusa, Menschenlänge, -später war das Mass die babylonische Doppelelle) zwei Zeichen (A -und B) ein, und in der Mitte ein drittes (die Mitte wird durch die -zusammengelegte Schnur bestimmt). Man lege das Bambusrohr westlich -von der Grube des Opferpfostens längs der prsthya (d. i. Rückenlinie, -die schon zuvor ein für allemal von Westen nach Osten prak gezogen -war, daher sie auch oft praci heisst). Schlage an den Einschnitten -Pflöcke ein (D, E, F), mache (das Rohr) von den beiden westlichen -(Pflöcken E und F) los und beschreibe (von F aus) in der Richtung nach -Südosten einen Kreisbogen bis zu dem (östlichen) Ende (des zu konstr. -Quadrats).« Entsprechend verfährt man von F aus, legt das Rohr von -E über G nach H, schlage in H einen Pflock ein, befestige in H das -mittlere Zeichen des Rohrs, lege die beiden andern an die Enden der -beiden Linien und schlage in die beiden Zeichen zwei Pflöcke. - -[Sidenote: Altindische Geometrie.] - -Hier haben wir die Konstruktion des Lotes mittelst der -¨Symmetrieachse¨, und die gemeinsame Tangente zweier Kreise im -speziellen Falle und die Quadratkonstruktion, die wir mit 4 Kreisen -ausführen, zugleich eine Art mechanischer Konstruktion, die bei den -Hellenen Neusis heisst (s. unter Apollonius). - -Diese Methode gilt als die älteste für die »Quadratmachung«, das -Catur-asra-karana, älter als die des Baudhāyana, welche die Figur auf -S. 148 zeigt. Von der einfachen Quadratform war dann der Agni vom -einfachen bis zum 6fachen des Grundquadrats, es musste also mittels -Pythagoras das Quadrat mit 2, 3, 4, 5, 6 multipliziert werden. Dann kam -der Saratni-pradesa saptavidha, d. h. also der caturasra syena-cit, -der viereckig falkenförmige, und dann die Vorschrift: Was beim 8fachen -und den folgenden von den 7 verschieden ist, teile man in 7 Teile, und -lasse in jedes purusa einen Teil eingehen, weil die Veränderung der -Gestalt nicht schriftgemäss wäre. Auch hier hat Apastamba weitaus die -ältere Methode, während B., wie oben gesagt, die Zunahme auf alle 10 -Flächen gleichmässig verteilt, da auch paksa und puccha, Flügel und -Schwanz, berücksichtigt werden, was schon recht komplizierte Teilungs- -und Messungsoperationen voraussetzt. A. geht bis zum 101fachen des -Quadratpurusa. - -I, 2 Konstruktion der Achsentrapez-förmigen Opfergrube, Vedi, mittelst -des rechtwinkligen Dreiecks 36, 15, 39. - -[Illustration] - -Man nimmt eine Massschnur (pramāna, A^1B^1 = 36, Fig. 1), verlängert -sie um ihre Hälfte (bis G), macht dann am westlichen Drittel (d. h. -also von G aus) weniger 1/6 desselben ein Zeichen (H). Man befestigt -die beiden Enden (der verlängerten Schnur) an den Enden der prsthya, -zieht an dem Zeichen nach Süden (daksina), ebenso verfährt man im -Norden (uttara), und nachdem man vertauscht hat, nämlich die in A -und G befestigten Enden, nach beiden Seiten (im Osten). Denn die -Fertigstellung durch diese wird eine Verkürzung oder eine Verlängerung -(12, 17) herbeiführen. - -[Illustration] - -I, 3 wird dann zur Konstr. des rechten Winkels das Dreieck 3, 4, 5 -analog benutzt (Fig. 2). - -I, 4 und 5 ¨der Pythagoras¨. - -Bei Apastamba zuerst in 4 der allgemeine: - -Die Querschnur (aksnaya-rajju, Diagonale) eines Rechtecks, was die -längere und kürzere jede für sich hervorbringt, das bringt sie zusammen -hervor. Mittelst dieser und zwar solcher, die »erkennbar« sind, ist die -Konstruktion (in § 2 u. 3) gelehrt worden. (jneya würde wohl besser mit -»feststellbar« d. h. als ganzzahlige rechtw. Dreiecke wiedergegeben.) - -5. Die Diagonale des Vierecks erzeugt die zweifache Fläche -(ausdrücklich das Wort bhumi Fläche, dvis-tāvati bhumi), sie des -Quadrats Doppeltes hervorbringende (dvi-karani). Viereck, schlechtweg -catur-asra, ist wie das griechische τετραγωνον das Quadrat, um aber -ganz deutlich zu sein, wird es im Nachsatz sama »das mit gleichen -Seiten« genannt. Katyāyana unterscheidet sogar die beiden Arten -gleichseitiger Vierecke. - -[Sidenote: Wurzel aus 2.] - -6. ¨Konstruktion des besseren Näherungswertes der √2.¨ - -[Illustration] - -Man verlängere das Mass A B um seinen dritten Teil und diesen wieder -um seinen vierten Teil weniger einem 34stel dieses vierten Teils (Fig. -3). Die √2, die dvi-karani von karana »machen«, heisst (sa-visesa) -d. h. ¨die Zahl mit dem Rest¨. Die Verlängerung ist der visesa; √2 ist -also 1 + 1/3 + 1/(3·4) - 1/(3·4·34) = 577/408 = 1,4142156; da √2 = -1,414213, so ist der Fehler kleiner als 3 Einheiten der 6. Dezimale. -Der Näherungswert des Baudhāyana ist 17/12 = 1,417, also genau bis -auf 0,003. ¨G. Thibaut¨ hat ganz richtig (bis auf einen kleinen -Rechnungsfehler) angegeben, wie sie zu beiden Näherungswerten gekommen -sind. Sie suchten zunächst nach einem Quadrat, das doppelt so gross wie -ein anderes sei, und fanden, dass 2·12^2 annähernd gleich 17^2, und -setzten daher √2 = 17/12, wodurch der Gott ja nicht zu wenig erhielt. -Da sie aber genauer verfahren wollten, so setzten sie (17 - x)^2 = -288. Dass ihnen der Satz vom Gnomon bekannt, wird gleich aus dem -Text nachgewiesen werden. Das ergab 34x - x^2 = 1, und indem sie das -ersichtlich sehr kleine x^2 vernachlässigten, setzten sie 34x = 1, also -x = 1/34 und somit die Dvi-karani (rajju) gleich 17/12 - 1/12 · 1/34, -was ja immer noch eine Zugabe enthielt. - -Hervorzuheben ist hier zunächst die ¨intuitive Erfassung¨ der -Ähnlichkeit. Sodann setzt die Konstruktion die Teilung der Strecke im -vollen Umfang voraus, aber auch Ansatz und Lösung einer Gleichung. -Ausserdem geht aus der Bezeichnung der √2 als der Zahl mit dem Rest -hervor, dass sie sich bewusst waren, die √2 zwar ¨geometrisch¨, aber -nicht arithmetisch genau konstruieren zu können, d. h. also, dass sie -bis zu einem gewissen Grade in diesem einen Falle die Erkenntnis der -¨Irrationalen¨ hatten. Ob sie den ¨Begriff¨ des Areton, des Alogon -gehabt haben, bleibt freilich durchaus zweifelhaft; aber, und darauf -ist der Hauptwert zu legen, ¨diese Näherungskonstruktion kann keine -Frucht des Zufalls sein, sondern sie musste eine Folge zielbewusster -Tätigkeit sein¨. - -Kap. II, 1 wird dann die eben konstruierte Savisesa-Grösse -zur Konstruktion des Quadrats benutzt. Sehr hübsch ist das -Sama-caturasra-karana in I, 7, wo gleich alle 4 Quadrate des Atman des -Falkenförmigen konstruiert werden mittelst der Raute, die aus zwei -gleichseitigen Dreiecken besteht. (Euklid I, prop. 1. Die Figur wird -wohl genügen.) - -[Illustration] - -II, 2 wird dann, wie schon oben S. 156 beschrieben, die dvi-karani und -mit ihr nach I, 4 die tri-karani und mittelst ihrer in II, 3 die √(1/3) -als 1/3√3 konstruiert. - -[Sidenote: Anwendungen des Pythagoras.] - -II, 4 wird der Pythagoras zur Addition zweier Quadrate verwandt, II, -5 dann zur Subtraktion; es wird ein ¨regelrechter Beweis¨ in N 6 -¨mittelst des Pythagoras gegeben¨. Wir sehen, dass die Bedeutung des -Pythagoras für die Flächenrechnung vollkommen klar erkannt ist; es wird -systematisch multipliziert, addiert, subtrahiert und dann dividiert, -wozu es erforderlich ist, ein Rechteck in ein Quadrat zu verwandeln; -dies lehrt I, 7. Das Rechteck heisst dirgha-caturasra, directum -quadrangulum, die Aufgabe das sama-caturasra-cikirsana. Wünscht man das -Rechteck in ein Quadrat zu verwandeln, so schneide man mit der kürzeren -Seite ab, teile den Rest, füge an beiden Seiten hinzu, fülle den leeren -Platz mit einem zugefügten Stück, dessen Subtraktion gelehrt worden ist. - -[Illustration: Addition zweier Quadrate.] - -[Illustration: Subtraktion zweier Quadrate.] - -[Illustration] - -M. H. Diese Verwandlung ¨setzt notwendig die Analysis¨ voraus a(a + b) -= a^2 + ab = a^2 + 2(ab)/2 = a^2 + 2(ab)/2 + (b/2)^2 - (b/2)^2 = -(a + b/2)^2 - (b/2)^2. - -¨Sie kommt m. W. bei den Hellenen nicht vor.¨ - -III, 1. Will man ein Quadrat in ein Rechteck verwandeln, so mache -man eine Seite so lang als man das Rechteck wünscht. (Es ist ganz -klar, dass hier die Rechnung xy = a^2 die Analyse gibt, und dass sie -wissen, dass eine Seite unbestimmt bleibt, also »so lang sein kann als -man wünscht«.) Darauf füge man den Rest zu dem Rechteck hinzu wie es -passt. Die Methode wird dann von dem Kommentator Sundara des Baudh. -an dem Beispiel des Quadrats mit der Seite 6 erläutert (s. Fig.), das -in ein Rechteck mit der Seite 4 verwandelt werden soll 36 = 4 . 6 + -4 . 2 + 4 . 1 = 4(6 + 2 + 1) = 4 . 9. - -[Illustration] - -Hochinteressant ist es, dass hier die ¨Inhaltsgleichheit¨ wie bei -¨Wolfgang Bolyai¨ aufgefasst wird. Der Kommentator des Baudh., -¨G. Thibaut¨ 1875 l. c. 247, gibt dann unsere auf den Satz von den -Ergänzungsparallelogrammen gegründete Kegel, doch kommt dies für die -altindische Geometrie nicht in Betracht. - -[Sidenote: Verwandlung des Quadrats in den Kreis und v. v.] - -III, 2. ¨Verwandlung eines Quadrats in einen Kreis¨ (nötig für den -Aufbau des rathacakra-cit, s. Fig.), denn »so viel als verloren geht, -kommt hinzu«. Der Kreis hat den Radius MN = MG + 1/3 GE und wenn MG = -1 gesetzt wird, so ist MN = 1 + 1/3 des visesa = 1 + 0,414213 : 3 = -1,138071, also 1,138071^2π = 4, also π = 3,0883 = 18(3 - 2√2) = 105/34. -Die Regel scheint durch Probieren gewonnen, die halbe Seite ist zu -klein, und die halbe Diagonale zu gross. - -[Illustration] - -III, 3. ¨Kreis-Quadratur¨, nötig für Vervielfältigung des -»Wagenradförmigen«. Als Seite wird 13/15 des Durchmessers genommen, -also π = 169 . 4/225 = 3,004. Baudhāyana hat genau den vorhin -ermittelten Wert für π nämlich 105/34 und gibt als Regel an -7/8 + 1/(8 . 29) - 1/(8 . 29 . 6) + 1/(8 . 29 . 6 . 8) vom Durchmesser. -Dies setzt erstens eine ¨sehr bedeutende Gewandtheit in der -Bruchrechnung¨ voraus, zweitens die Auflösung einer reinquadratischen -Gleichung, d. h. die Ausziehung der Quadratwurzel, da der Wert λ = -√(π/4) = √(105/136) = √0,77205882353 = 0,878668[8=] mit seiner Zahl -9785/11136 = 0,878682 übereinstimmt bis auf 13 Einheiten der 6 Dezimale! - -III, 7. Eine Schnur bringt jedesmal soviel Reihen hervor als sie Masse -enthält, d. h. ein Quadrat über a Längeneinheiten enthält a Reihen von -Flächeneinheiten zu a; also die Inhaltsformel des Quadrates, die in § -4, 6, 8, 10 spezialisiert ist. - -[Illustration] - -[Sidenote: Der Satz vom Gnomon.] - -III, 9. ¨Der Satz vom Gnomon¨: Es folgt nun eine allgemeine Weise -(nämlich ein Quadrat zu vergrössern, s. Fig.). Man fügt das (Rechteck), -welches man mit der jedesmaligen Verlängerung umzieht, an zwei Seiten -(Norden und Osten) hinzu und an der (nordöstlichen) Ecke das Quadrat, -welches durch die betreffende Verlängerung hervorgebracht wird. -- -D. h. also nichts anderes als (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. - -Der Satz vom Gnomon konnte ihnen, da sie ihre Quadrate vergrösserten -und meist mit quadratischen Backsteinplatten arbeiteten, nicht -entgehen, und dass in ihm die Quelle des Pythagoras liegt, haben -Bretschneider und Hankel gesehen. Der durch die punktierte Linie -angedeutete Beweis, der sich bei Bhaskara findet, heisst noch heute der -indische und beruht vermutlich auf uralter Tradition. - -[Sidenote: Dreieck und Trapez.] - -Kap. IV, 4 wird gelegentlich der Anlage der drei Feueraltäre (S. 145) -die Konstruktion des Dreiecks aus den drei Seiten gelehrt. - -Man teilt eine Schnur gleich dem Abstand zwischen garhapatya und -ahavanīya (der, falls der Opferpriester ein brāhmana war, 8 Schritt -betrug) in 5 oder 6 Teile, fügt einen 6. bezw. 7. Teil hinzu, teilt -das Ganze in 3 Teile und macht am westlichen Drittel ein Zeichen, dann -befestigt man die beiden Enden am garh. und ahav., zieht die Schnur -an dem Zeichen nach Süden und macht ein Zeichen; das ist, gemäss der -Schrift, die Stätte des daksinagni. - -Sie wissen, wie man sieht, dass 2 Seiten eines Dreiecks zusammen -grösser sind als die dritte. - -[Illustration] - -Kap. V ist von besonderer Bedeutung. Zuerst § 1 die Konstruktion der -grossen Vedi für das Somaopfer aus I, 2, nur dass statt des Rechtecks -das Achsentrapez gezeichnet wird; das rechtw. Dreieck oder nach -indischem Sprachgebrauch das Rechteck ist das mit den Seiten 36 und 15 -und der Diagonale (Hypotenuse) 39. Ganz besonders ist § 3 interessant. -Es heisst da: [Sind] die beiden Seiten eines Rechtecks 3 und 4, so -ist die Diagonale 5. Mit diesen legt man die beiden amsa (Schultern), -nachdem man sie je um ihr Dreifaches verlängert hat, fest, und nachdem -sie um ihr Vierfaches verlängert worden sind, die beiden sroni (die -Schenkel). - -[Sidenote: Ähnlichkeit.] - -Hier leuchtet ein, dass sie mit dem Begriff der Ähnlichkeit vertraut -gewesen sind. Das gleiche gilt bei No. 4. Die beiden Seiten 12 und 5, -die Diagonale 13. Mit diesen die beiden Amsa und nachdem sie um ihr -Doppeltes verlängert sind, die sroni. - -[Illustration] - -[Illustration] - -V, 5. Das Dreieck 15, 8, 17 gibt die sroni; sind die Seiten 35 und 12, -so ist die Diagonale 37, mit diesen die amsa. - -So viele »(als rational) feststellbare« Konstruktionen der vedi gibt es. - -[Illustration] - -V, 7. Die grosse Vedi (d. h. die sub 2-5 konstruierte Saumiki -Vedi) misst 972 (Quadrat) pada (Fuss). Man ziehe vom südlichen -Amsa zur südlichen sroni hin zu 12 (s. Fig.). Darauf drehe man das -abgeschnittene Stück um und füge es auf der Nordseite hinzu. ¨So erhält -die Vedi die Gestalt eines Rechtecks.¨ In dieser Form berechne man den -Inhalt 27 . 36 = 972. - -Hier haben wir einen vollgültigen Beweis, denselben, den wir heute noch -geben, - -V, 8. Für die Sautrāmani-Zeremonie wird gelehrt: Man opfere in dem 3. -Teil der vedi des Soma-Opfers; hier tritt die trtīya-karanī an Stelle -des pramana (des Grundmasses). Oder man konstruiere mit der tri-karani -(√3). ¨Hierbei sind die kürzeren Seiten 8 und 10 und die prsthya¨ (¨die -Rückenlinie¨) das 12fache desselben. (Ich vermute, dass die Vedis den -Querschnitt durch einen menschlichen Rumpf darstellen sollten.) Hier -ist die Ähnlichkeit sogar erfasst als ¨Abänderung des Massstabs¨! - -Und das wird durch die Vorschriften in V, 10 und VI, 1 bestätigt. In -V, 10 heisst es: Die Vedi des asva-medha, des Rossopfers, soll das -Doppelte der saumiki vedi sein und in VI, 1 heisst es: Es tritt die -dvi-karani des Masses an Stelle desselben! - -Es folgen nun in den Sulba-Sutras die detaillierten Vorschriften für -den Aufbau der verschiedenen Kamyas; sie sind alle in Beziehung auf -die speziellen Wünsche gedacht, der falkenförmige Agni z. B. für den, -der die himmlische Welt zu erlangen wünscht, weil der Falke sich dem -Himmel am nächsten aufschwingt. Die Vorschriften für die Anfertigung -der Ziegel offenbaren ein ganzes Teil mathematischer Kenntnisse, -insbesondere der Flächenteilung, wie beim Anblick der Figur das -vakra-paksa-syena-cit des Falken mit den krummen Flügeln klar wird. - -[Illustration: vakra-paksa-syena-cit.] - -Aber das hier Mitgeteilte genügt, um den Standpunkt der indischen -Weisen etwa um 900 v. Chr. zu beurteilen. Zunächst ist es Ehrenpflicht, -des Mannes zu gedenken, der zuerst auf die Sulba-Sutras als Schlüssel -zur Geometrie der Inder hingewiesen. Es war ¨A. C. Burnell¨, der in -seinem »Catalogue of a Collection of Sanscrit Manuscripts« 1869 p. 29 -gesagt hat: »Wir müssen die Sulba-Teile der Kalpa-sutras ansehen als -die ersten Anfänge der Geometrie unter den Brahmanas.« Die Kenntnisse -selber sind achtbar genug; sie umfassen so ziemlich das ganze erste -Buch des Euklid inkl. I, 47 (der Pythagoras), Streckenteilung, -Flächenberechnung, Ähnlichkeit und die Kenntnis einer Anzahl -ganzzahliger rechtwinkliger Dreiecke. - -[Sidenote: Altindische Arithmetik.] - -[Sidenote: Die Null bei den Indern.] - -Auch die arithmetischen Kenntnisse der Sulba-sutras sind keineswegs -unbedeutend; sie kennen Quadratwurzelausziehung, auch Auflösung -von Gleichungen, sind mit der Bruchrechnung vertraut. Gegen die -Rigveda-Zeit zeigen die Yajur-veden sehr erhebliche Fortschritte. -H. Zimmer l. c. p. 348 gibt an, dass die höchste bestimmte Zahl im -Rig-veda 100000 sata sahasra ist; aber schon in der Yajurveden-Zeit, -wie z. B. in der Taitt. Samh. und im Satapatha-Brahmana finden sich -Zahlworte bis zu 10 Billionen, und im Mahabhārata Zahlworte für -die Potenzen von 10 bis 10^{17}. Im Rig-veda kommen nur wenig Brüche -vor; ardha halb, auch sami, pada ein Viertel (der Fuss des Rindes), -tri-pad drei Viertel, sapha ein Achtel (Halbhuf der Kuh), kala ein -Sechzehntel. Als eine Grosstat, wozu sich zwei gewaltige Götter, -Indra und Vishnu, vereinigen müssen, gilt die Teilung von 1000 durch -3. Dagegen finden sich schon im Satapatha-Br. eigene Namen bis zu -15^{-4}30^{-1} als Zeitmass, und die Sulbas, insbesondere Baudh., -haben hoch entwickelte Bruchrechnung. Was das indische Positionssystem -betrifft, kann höchstens noch, vgl. Babylonien, die Einführung der -Null in Frage kommen. Nun kommt die Null vor in dem Manuskript von -¨Bakhshali¨. In Bakhshali (im nordwestlichen Indien) wurden 1881 -Bruchstücke eines Manuskripts auf Birkenrinde ausgegraben. Da die -Indologen das Alter dieses Manuskriptes oder seines Inhaltes jetzt auf -den Beginn unserer Ära setzen, so müssen wir es hier besprechen. Es -enthält Textgleichungen, auch diophantische, und die Kuttaka- d. h. -Zerstäubungs- id est ¨Kettenbruch¨methode; diese würde damit vermutlich -schon 500 Jahre vor ¨Aryabhata¨ indischer Besitz gewesen sein; ferner -Summation arithmetischer Reihen, ein eigenes Subtraktionszeichen; -und was für uns das Bedeutsamste ist, es enthält die Null in Form -eines Punktes . als Zeichen für das leere Feld und als Bezeichnung -der Unbekannten, die ja auch vorläufig leer ist. Die erste sonstige -Erwähnung der Null, auch in Form eines Punktes, findet sich in -Subandhu's Vasavadatta, wo die Sterne mit Nullen verglichen werden, die -der Schöpfer bei der Berechnung des Wertes des Alls wegen der absoluten -Wertlosigkeit des Samsara (Weltgetriebe) mit seiner Kreide -- der -Mondsichel -- überall auf das Firmament einzeichnete. (¨G. Bühler¨, -Grundriss der Indo-Arischen Philol. u. Altertumskunde II, 11 p. 78.) -Die Null in Kreisform kommt zuerst in den Cicavole Kupferplatten vor. -Ihr Name ist eigentlich sunya-bindu und wird abgekürzt zu sunya oder -bindu. Über die verschiedene Bezeichnung der Zahlen und Ziffern vgl. -Bühler l. c. Kap. VI, die Zahlenbezeichnung. - -[Sidenote: Eleaten: Xenophanes, Parmenides.] - -Wenden wir uns nun aus Indien nach Hellas zurück und zunächst zu den -Eleaten. - -¨Xenophanes¨ aus Kolophon, ein jüngerer Zeitgenosse des Pythagoras, ist -ihr Stifter. Das Weltganze als unvergängliches, ewig unveränderliches, -ewig gleichartiges Sein ist sein Gott, er ist der erste wirkliche -Pantheist. Wenige Fragmente seiner Lehrgedichte sind erhalten, aus -denen ich die Stellen anführe: - - ἑις θεος εν τε θεοισι και ανθρωποισι μεγιστος, - ουτε δεμας θνητοισιν ὁμοιιος ουτε νοημα. - -Ein Gott unter den Göttern und unter den Menschen der Grösste, nicht an -Gestalt den Menschen vergleichbar noch auch an Denkkraft. - -Und an einer andern Stelle sagt er, nachdem er gegen den -Anthropomorphismus geeifert: »Wenn die Pferde und Ochsen ihre Götter -malen könnten, so würden sie dieselben ohne Zweifel als Pferde und -Ochsen darstellen.« Xenophanes ist der Urheber der Lehre vom ἑν -και παν, von der Einheit aller Dinge, wie Platon und Aristoteles, -Theophrast und Timon übereinstimmend bezeugen. Ob der Pantheismus des -Xenophanes von den ¨Pythagoräern¨ beeinflusst ist, ob beide von den -¨Orphikern¨, und diese wieder von den ¨Indern¨ hierin beeinflusst sind, -wage ich nicht zu entscheiden. - -¨Xenophanes¨, der sich in Elea in Lukanien niedergelassen hatte, ist -für uns besonders wichtig, als Lehrer des ¨Parmenides¨ aus Elea, des -eigentlichen Hauptes der ¨Eleaten¨, welche noch weit schärfer als -die Pythagoräer, ja bis zum Extrem, die Priorität der Begriffe vor -den Erscheinungen gelehrt haben. Geboren etwa um 515 aus vornehmer -Familie, fällt seine ακμή, seine Blütezeit, etwa um 480. Die Lehre -der Pythagoräer war ihm vertraut; ohne der Schule anzugehören, hat -er sich die Sittenlehre der Pythagoräer zur Richtschnur genommen, -während er als Philosoph die Lehre des Xenophanes, welche hauptsächlich -theologischen Charakter hatte, weiterbildete. Er hat seine Ansichten -in seinem Lehrgedicht περί φύσεως niedergelegt, von dem uns nicht -unbedeutende Bruchstücke erhalten sind, welche zuletzt von ¨Diels¨ -mit dem ganzen Rüstzeug philologischer Schärfe herausgegeben sind. -(H. Diels, P. Lehrgedicht, griech. und deutsch, Berl. 1891.) - -[Sidenote: Eleaten: Parmenides, Zenon.] - -¨Parmenides¨ ging weit über Xenophanes hinaus. Es gibt, ihm zufolge, -nur ein einziges unteilbares lückenloses Kontinuum des Seienden, -unveränderlich, nicht werdend, nicht geworden, unbeweglich, zeitlos. -Es ist klar, dass die Eleaten mit der Veränderung auch das Zeitproblem -ausschalteten. Die Zeit, mitsamt der Vielheit der Dinge, ihr Werden -und Vergehen, wird uns durch die Sinne vorgetäuscht (die ¨Maja¨ der -Inder!), als Bleibendes, als einziges Sein erkannten sie nur das des -Begriffes, und das enthält die Zeit nicht mehr. Indem Parmenides -aussprach, dass wahres bleibendes Sein nur dem Begriffe zukommt, -identifizierte er Denken und Substanz. Das für uns interessanteste ist, -was Parmenides über den Raum sagt. Da zitiere ich l. c. Vers 42 ff. die -Stelle: - - αυταρ επει πειρας πυματον, τετελεσμενον εστι - παντοθεν, ευκυκλου σφαιρης εναλιγκιον ογκωι - μεσσοθεν ισοπαλες παντηι· το γαρ ουτε τι μειζον - ουτε τι βαιοτερον πελεναι χρεον εστι τηι η τηι. - -»Aber da es eine letzte Grenze gibt, so ist er von allen Seiten aus -abgeschlossen, der wohlgerundeten Kugel ähnlich an Gestalt, von der -Mitte aus an Kräften gleich überall, denn da darf es kein Mehr oder -Weniger, Hier oder Dorten geben.« Hier also bei Parmenides treffen -wir Jahrtausende vor ¨Riemann¨ die Hypothese von der Endlichkeit des -Raumes an und zugleich das Axiom von der Gleichförmigkeit des Raumes. -Parmenides hat auch das Verdienst, auf das ¨Problem¨ der ¨Kontinuität¨ -weit deutlicher hingewiesen zu haben als die Pythagoräer, die das -Problem allerdings auch in ihrer geometrischen Veranschaulichung der -Zahlenbeziehungen gestreift haben. Und ¨Zeno¨, der dritte grosse Eleat, -hat grade durch diese Frage seine bleibende Stelle in der Geschichte -der Mathematik: - -[Sidenote: Die Paradoxien des Zenon.] - -¨Zenon¨ (Ζηνων) aus Elea, der Sohn des Teleutagoras, ist ungefähr -500 geboren und seine Reife fällt um 450. Es ist sein Verdienst, die -Schwierigkeiten und Widersprüche, welche der Begriff der Bewegung, -wie überhaupt der der Veränderung enthält, aufgedeckt zu haben, -Widersprüche, welche zu ihrer Auflösung den ¨Grenzbegriff¨, diesen -wichtigsten aller mathematischen Begriffe erfordern. Eine Geschichte -der ¨Differentialrechnung¨ wird stets von Zeno und seinen berühmten -¨Paradoxien¨ auszugehen haben. Von Zeno aufgestellt, um einerseits -die Einheit und Unveränderlichkeit des Seins und andrerseits die -Unbeweglichkeit des Seienden zu beweisen, sind sie uns in der Fassung -des ¨Aristoteles¨, Physik 202a, 210b erhalten und die Beweise -insbesondere durch den Kommentar des ¨Simplicius¨ zur Physik des -Aristoteles. - -A) Beweise gegen die Vielheit des Seienden. - -1. Wenn das Seiende Vieles wäre, so müsste es zugleich unendlich klein -und unendlich gross sein. Unendlich klein, denn jede Vielheit ist Summe -von Einheiten, diese selbst aber unteilbar (Pythagoräer), also hat sie -keine Grösse, ist nichts, also ihre Summe desgleichen. Andrerseits muss -jede solche Vielheit, um zu sein, Grösse haben, ihre Teile voneinander -entfernt sein, die Teile der Teile desgleichen und so fort, also müssen -sie unendlich gross sein. - -2. Zeigt Zeno, dass das Viele auch der Anzahl nach begrenzt und -unbegrenzt zugleich sein müsste. ¨Begrenzt¨, denn es ist so Vieles als -es ist, nicht mehr und nicht weniger. ¨Unbegrenzt¨, denn zwei Dinge -sind nur dann zwei, wenn sie voneinander getrennt sind; damit sie -getrennt sein, muss etwas zwischen ihnen sein usw. - -Als konsequenter Denker und ausgezeichneter Dialektiker ¨leugnet¨ Zeno -in Numero 3 den ¨Raum¨. - -3. Die Dinge scheinen sich im Raum zu befinden, aber das ist nicht -wahr, es gibt gar keinen Raum. Denn jedes Ding ist in einem andern; ist -nun der Raum wirklich, so ist auch er in einem andern Dinge, und muss -doch wohl in einem andern Raume sein; von diesem gilt nun dasselbe wie -vom ersten, es ist also kein letzter Raum denkbar, mithin auch kein -erster und überhaupt keiner. (Dies ist wörtlich Kants Antinomie.) - -4. Ein fallendes Korn macht kein Geräusch, aber der Scheffel, also auch -das Korn, denn 0 + 0 wäre 0; also täuscht uns das Gesicht, wenn es uns -eine Vielheit von Körnern vorspiegelt. - -B) ¨Beweise gegen die Bewegung.¨ - -1. Der sich bewegende Körper, der durch unzählig viele Punkte -hindurchgehen müsste, was nicht möglich. - -2. Der ¨Achilleus¨; Achilleus, der 100mal schneller als die Schildkröte -ist, kann diese, wenn sie einen Vorsprung von einem Stadion hat, nicht -einholen, denn während er das Stadion zurücklegt, kommt die Schildkröte -um 0,01 vorwärts, und so fort in inf. - -3. Der fliegende Pfeil müsste in einem bestimmten Augenblick an einem -bestimmten Orte sein und nicht sein. - -Ein vierter Beweis bezieht sich auf die Relativität der Bewegung. -(Einem ruhenden Körper gegenüber scheint die relative Bewegung zweier -sich mit gleicher aber entgegengesetzter Geschwindigkeit bewegender -Körper verdoppelt.) Sie sehen, wie bei Zeno der Begriff der unendlichen -Reihe nach Gestaltung ringt; den infinitären Prozess hat er erfasst, -aber noch nicht seinen Abschluss, den ¨Grenzbegriff¨, auf dem die -¨Konvergenz¨ der Reihe beruht, und der zugleich das ¨Differential¨ -liefert. Den hat erst ein grösserer als Zeno, den hat ¨Demokrit¨ -erkannt. Aber Sie sehen auch, dass die ganze Lehre von der Bewegung, -von der Veränderung überhaupt, von der Stetigkeit, von der Grenze -ihre Quelle bei ¨Zeno¨ hat, der seinerseits in der Erfassung des -Widerspruchs an die Pythagoräer anknüpft. - -Die Bearbeitung der Paradoxien des Zeno hat sehr viel Gedankenarbeit -hervorgerufen, ist doch nach ¨Hegel¨ die Auflösung des Widerspruchs -die Hauptarbeit des menschlichen Geistes. Die Paradoxien des Zeno -kehren in anderer Form immer wieder. Es genügt, an ¨Berkeley¨ zu -erinnern und seine Kritik des infiniment petit. Aber sie haben noch -heutigen Tages ihre Geltung für nicht hinlänglich philosophisch -durchgebildete Mathematiker, erst vor wenigen Wochen las ich in einer -mir zur Durchsicht gegebenen pädagogischen Arbeit so ziemlich dieselben -Einwände. - -Insbesondere haben sich, wie in der Natur der Sache liegt, die -Scholastiker mit Zenon beschäftigt, und namentlich der grösste der -Scholastiker und einer der grössten Denker überhaupt, ¨Thomas von -Aquino¨, hat die Paradoxien mit grossem Scharfsinn kritisiert. -Die völlige Überwindung der Schwierigkeiten danken wir ¨Galilei¨, -¨Leibniz¨, ¨Bolzano¨, an den ¨Kerry¨ in Versuch eines Systems der -Grenzbegriffe anknüpft. Aber vor allen diesen, insbesondere auch -vor ¨G. Cantor¨, hat ¨Aristoteles¨ das schwierigste Paradoxon, B 1, -aufgeklärt. Die einzelnen Punkte der Raum- und Zeitstrecke zwischen -Anfang und Ende der Bewegung lassen sich gegenseitig eindeutig einander -zuordnen, d. h. in der Sprache ¨G. Cantors¨: die Raum- und Zeitstrecke -sind von gleicher ¨Mächtigkeit¨, und dieser so hochmoderne Begriff hat -seine Quelle bei ¨Aristoteles¨, der Zeno gradezu als den ¨Erfinder der -Dialektik¨ bezeichnet. - -Was den Achilleus betrifft, so bildet er heutzutage eins der typischen -Beispiele der Grenze, indem die Differenzen zwischen den Reihenzahlen -1,[=01] und [1-1/9] eine ¨Nullreihe¨ bilden. - -Mit den Paradoxien des Zeno haben sich auch ¨Bayle¨, ¨Descartes¨ -und ¨Leibniz¨ beschäftigt, von Neueren nenne ich ¨Ch. L. Gerling¨ -(Marburg). ¨Ed. Wellmann¨, Prgr. Frankf. a. O. 1870, ¨P. Tannery¨, -Rev. philos. B. X, 1885. ¨Tannery¨ behauptet, dass Zeno nur habe -beweisen wollen, dass der Raum nicht aus Punkten, die Zeit nicht -aus Augenblicken bestehe, aber ohne Beweise für seine Behauptung -beizubringen. Diese Sätze selbst sind von ¨Aristoteles¨ Phys. VI, 1, -231 a 24 bewiesen. Ich erwähne noch ¨J. H. Loewe¨, Böhm. Gesellsch. d. -Wiss. VI. Folge 1. Bd. 1867, und ¨Überweg¨, System d. Logik 5. Aufl. -1882 S. 245 ff. - -[Sidenote: Paradoxien des Zenon; Anaxagoras, Oinopides.] - -Das Mathematikerverzeichnis des ¨Proklos¨ erwähnt den Zeno -nicht, es wertet die »Begriffsmathematiker« nicht, sondern grade -so wie noch heute, zählt es nur die doch gegen jene sekundären -»Problemmathematiker«, die geschickten Handwerker der Mathematik, zu -den wirklichen Mathematikern. Zunächst wird ¨Anaxagoras¨ erwähnt, aber -nicht als Philosoph, nicht wegen des monotheistischen Prinzipes, der -Vernunft, des νους, der die Welt geordnet hat, sondern weil er sich -im Gefängnis mit der Quadratur des Zirkels beschäftigt hat. Danach -wird ¨Oinopides¨ genannt, der die Konstruktion des zu fällenden Lotes -aus Ägypten importiert haben soll, und es fährt dann mit Hippokrates -aus Chios fort, den man nicht mit Hippokrates aus Kos, dem Vater -der Medizin, verwechseln darf. Proklos sagt: »Nach diesen wurden -¨Hippokrates der Chier¨, der die Quadratur der Möndchen fand, und -¨Theodoros¨ aus Kyrene in der Mathematik berühmt.« - -[Sidenote: Hippokrates von Chios und seine Möndchen.] - -¨Hippokrates¨ gehörte dem Pythagoräischen Kreise an, ¨Aristoteles¨ -erwähnt seiner als eines Menschen, der im gewöhnlichen Leben unbeholfen -und stumpfsinnig gewesen, »βλαξ και άφρων,« und doch ein tüchtiger -Mathematiker. (Übrigens auch heute noch nichts Seltenes.) Nach Verlust -seines Vermögens soll er in Athen von mathematischem Unterricht gelebt -haben. Ob er wirklich Mitglied des Bundes war, ist nicht sicher, -jedenfalls knüpft seine Beschäftigung mit der Quadratur und der -Winkelteilung an den Gedankenkreis der Pythagoräer an. Seine Blütezeit -fällt etwa um 430 v. Chr. - -[Sidenote: Lunulae Hippocratis.] - -Ihnen allen sind ja die Lunulae Hippocratis bekannt. Sie haben den Satz -gelernt in der Form: die beiden Halbmonde, begrenzt von den Halbkreisen -über den Katheten nach aussen und dem über der Hypotenuse nach innen -sind gleich dem rechtwinkligen Dreieck. Und dieser Satz steht als -Satz des Hippokrates selbst in der 6. Aufl. des einzigen in bezug auf -historische Angaben zuverlässigen Elementarbuches, das ich kenne, »die -Elemente der Mathematik« von ¨R. Baltzer¨, ja selbst im ¨Rouché¨ von -1900. - -¨Hippokrates¨ hat nur einen Mond (Meniskos, lunula) quadriert und -zwar zuerst den, dessen äusserer Bogen der Halbkreis, dessen innerer -der Quadrant ist. Den allgemeinen Satz von den Lunulae gleich dem -rechtwinkligen Dreieck fand ich weder bei ¨Heron¨, noch ¨Pappos¨, noch -bei Cardano, Vieta, Clavius, Gregorius a. St. Vincentio, und Sturm, -wohl aber in der Ausgabe des ¨Taquet¨ von ¨Whiston¨ und zwar schräg -gedruckt, also nicht von Taquet herrührend, und noch früher in der 4. -Ausgabe der Elemente der Geometrie von 1683 bei ¨Pardies¨, Soc. Jesu. -Der Satz ist aber zweifelsohne erheblich älter. -- Die Arbeit des -Hippokrates ist durch einen Glücksfall erhalten. - -¨Simplicius¨ aus Kilikien, der Neuplatoniker, der zu den von Justinian -529 vertriebenen Professoren der Hochschule Athen gehörte, hat einen -umfangreichen Kommentar zur Physik des Aristoteles verfasst und uns -darin ein Bruchstück aus des ¨Eudemos¨ Geschichte der Mathematik -aufbewahrt. Es ist zuerst von ¨Bretschneider¨ griechisch und deutsch -1870 publiziert nach der lateinischen Ausgabe ¨L. Spengel's¨: »Eudemi -Rhodii Peripatetici Fragmenta quae supersunt.« Berlin 1865, 2. Aufl. -1870, während der Kommentar des Simplicius schon 1526 bei Aldus -Manutius in Venedig gedruckt ist und 1882 in dem grossen Kommentar der -Aristoteles-Ausgabe der Berliner Akademie von ¨H. Diels¨. - -Die wichtigste neuere Arbeit zur Simpliciusfrage ist die von ¨Rudio¨ -1902 in der Bibliotheca mathematica von Eneström: »Der Bericht des -Simplicius über die Quadraturen des Antiphon und des Hippokrates.« - -Aristoteles bekämpft in seiner Physik im 1. Buch an einer Stelle die -eleatische Weltanschauung, die das Seiende als eins und unwandelbar -auffasste, und erklärt dabei, dass man nicht alle falschen Sätze -widerlegen müsse, sondern nur solche, die nicht schon von vornherein -gegen die Prinzipien verstossen, und als Beispiel gibt er an: So ist -zum Beispiel der Geometer verpflichtet, die Quadratur (sc. des Zirkels) -mittelst der Segmente zu widerlegen, die des Antiphon aber nicht. Und -hierzu gibt Simplicius einen Bericht über die genannten Quadraturen, -der für uns vorn historischen Standpunkt aus gradezu unschätzbar ist. - -Es ist ¨Rudio¨ gelungen, nach Vorarbeiten von ¨P. Tannery¨, dem -vor kurzem gestorbenen grossen Kenner hellenischer Mathematik und -hellenischer Wissenschaft, und ¨Allman¨, seinem englischen Nebenbuhler, -den Text des Eudemos wohl so ziemlich endgültig festgestellt zu haben. -Rudio hat durch eine einzige, ganz nahe liegende, schlagend einfache -Konjunktur Licht und Klarheit in den ganzen Bericht und zugleich in den -Gedankengang des Hippokrates gebracht und zugleich sein Urteil über -Simplicius als eines durchaus tüchtigen Mathematikers, wie dies ja -von Simplicius dem Philosophen schon feststand, begründet. Es handelt -sich um das Wort τμήμα, das von τεμνω schneiden herkommt und allgemein -irgend einen Abschnitt, im speziellen Kreissegment, bezeichnet, aber -auch, wie Rudio bemerkt, den Sektor und an der entscheidenden Stelle -kann es nur Sektor heissen; dann lautet die Stelle nach Rudio: - -»Aber auch die Quadraturen der Möndchen, die als solche von nicht -gewöhnlichen Figuren erschienen wegen der Verwandtschaft mit dem -Kreise, wurden zuerst von Hippokrates beschrieben und schienen nach -rechter Art auseinandergesetzt zu sein, deshalb wollen wir uns -ausführlicher mit ihnen befassen und sie durchnehmen. Er bereitete sich -nun eine Grundlage und stellte als ersten der hierzu dienenden Sätze -den auf, dass die ähnlichen Segmente der Kreise dasselbe Verhältnis -haben wie ihre Grundlinien in der Potenz (δύναμις), d. h. im Quadrat. -Dies bewies er aber dadurch, dass er zeigte, dass die Durchmesser in -der Potenz dasselbe Verhältnis haben wie die Kreise. Wie sich nämlich -die Kreise verhalten, so verhalten sich auch die ähnlichen Sektoren -(τμήματα). Ähnliche Sektoren nämlich sind die, die denselben Teil des -Kreises ausmachen wie z. B. Halbkreis und Halbkreis und Drittelkreis -und Drittelkreis; deswegen nehmen die ähnlichen Segmente auch gleiche -Winkel auf. Und zwar sind die aller Halbkreise rechte und die der -grösseren kleiner als rechte, und zwar um so viel, um wie viel die -Segmente grösser als Halbkreise sind, und die der kleineren grösser und -zwar um so viel, um wie viel die Segmente kleiner sind.« - -Sie sehen, Hippokrates kannte die Sätze vom Peripheriewinkel -ganz genau; er hat den wichtigen Satz Euklid, Elem. XII, 2; -k : k´ = d^2 : d´^2 bewiesen, vermutlich wie Euklid, ihm war -die Ähnlichkeitslehre völlig vertraut wie allerdings schon den -Pythagoräern, er kannte, wie aus dem folgenden hervorgeht, auch den -sogenannten ¨erweiterten¨ Pythagoras. - -Was nun die Quadratur der Halbmonde betrifft, so kann es keinem Zweifel -unterliegen, dass Hippokrates von folgender von Tannery, aber auch -schon einige Jahrhunderte früher von ¨Vieta¨, angegebenen Erwägung -ausgegangen ist: - - ε : i = p : q z. B. 5 : 3; ε/5 = i/3 und ε/p = i/q - -Dann sind die Segmente e_{1} und i_{1}, welche von den kleinen -Sehnen abgeschnitten werden, ähnlich und es ist e_{1} : i_{1} = -r_{e}^2 : r_{i}^2. Wenn nun r_{e}^2 : r_{i}^2 gleich q : p gemacht -wäre, so wäre e_{1} : i_{1} = q : p (hier 3 : 5) und damit pe_{1} = -qi_{1}, d. h. aber ¨der Sehnenzug im äusseren Bogen schneidet so viel -an Fläche ab, als der des inneren hinzubringt¨ und das Möndchen ist -gleich der von des beiden Sehnenzügen begrenzten geradlinigen Figur. -Damit aber der Halbmond quadrierbar sei, ist nötig, dass die Figur mit -Zirkel und Lineal konstruiert werden könne, und dies tritt ein für p/q -= 2/1; 3/1; 3/2; 5/1; 5/3. - -Sie sehen aus der Gleichung Winkel ε/i = p/q = r_{i}^2/r_{e}^2 oder -r_{e}^2 . ε = r_{i}^{2}i, dass die Sektoren AEB und AJB flächengleich -sein müssen, dazu ist AB = AB, also r_{e} sin ε/2 = r_{i} sin i/2, also -haben wir die entscheidende Gleichung: √p . sin i/2 = √q . sin ε/2. - -[Illustration] - -Die elementare Behandlung findet sich bei ¨Vieta¨ (Variorum de rebus -mathem. responsorum liber VIII 1593). ¨Hippokrates¨ hat die Fälle 2/1, -3/1, 3/2 erledigt; die Fälle 5/1 und 5/3 von ¨Th. Clausen¨, Crelle 21 -(1840). Sämtliche 5 quadrierbare Möndchen finden sich aber schon in -der Dissertation von M. ¨J. Wallenius¨ (Abveae 1766). Vgl. den Artikel -6 bei ¨M. Simon¨, Über die Entwicklung der El. Geom. im 19. Jh. p. 73 -(1906). Der Fall 2/1 ist der bekannteste, er sichert Hippokrates das -Verdienst, die erste krummlinige Figur quadriert zu haben. Den Fall -3/2 findet man ausführlich bei ¨F. Enriques¨ Questioni riguardanti -la Geom. elem. (1900) p. 518, er bietet, trigonometrisch behandelt, -keinerlei Schwierigkeit. Den Fall 4/1 behandelt ¨Vieta¨. Er führt auf -eine reine Gleichung 3. Grades und damit auf die ¨Verdoppelung des -Würfels¨, und dass Hippokrates diesen Weg gegangen, das geht klar -daraus hervor, dass er nach dem Zeugnis des ¨Proklos-Geminos¨ und -dem wichtigeren des ¨Eratosthenes¨ das Problem auf die Einschiebung -zweier mittleren Proportionalen zwischen a und 2a zurückgeführt hat, -a : x = x : y = y : 2a und so Proklos zufolge das erste Beispiel einer -απαγωγή, einer Zurückführung eines Problems auf ein anderes, noch -dazu in einem über das Elementare hinausgehenden Fall geliefert hat. -¨Hippokrates¨ ist auch der erste Grieche, der »¨Elemente¨« geschrieben -hat, wie Proklos im Mathematikerverzeichnis angibt, und sie können nach -dem Muster von Hippokrates Darstellung aus des Simplicius Kommentar in -der Form nicht sehr wesentlich vom Euklid verschieden gewesen sein, -wenn nicht Eudemos (oder Simplicius) redigiert haben. Hippokrates hat -dann auch noch, wie wir bei Simplicius lesen, die Summe eines Mondes -und eines Kreises quadriert, den Zirkel selbst natürlich nicht, obwohl -er höchstwahrscheinlich bei der Suche nach dieser Quadratur auf seine -Monde gekommen ist. - -[Sidenote: Antiphon.] - -[Sidenote: Bryson.] - -Der gleichzeitig erwähnte ¨Antiphon¨, ein Sophist, Zeitgenosse des -Sokrates, glaubte die Quadratur des Zirkels dadurch gefunden zu -haben, dass er in den Kreis ein reguläres Polygon, z. B. ein Quadrat -einschrieb, dann über die Seiten gleichschenklige Dreiecke u. s. f., -und annahm, dass eines dieser Polygone dem Kreise gleich sein müsste. -Wenn nun auch Aristoteles die Annahme des Antiphon als gegen die -Prinzipien der Logik verstossend scharf getadelt hat, so hat doch -¨Hankel¨ vollständig recht, wenn er sagt: er verdient einen ehrenvollen -Platz in der Geschichte der Geometrie, denn er hat, als der erste, den -völlig richtigen Weg betreten, um den Flächeninhalt eines krummlinigen -Raumes zu ermitteln, indem er ihn durch Vielecke von immer wachsender -Seitenzahl zu erschöpfen (exhaurire) suchte. Der gleichzeitig mit ihm -genannte ¨Bryson¨ hat dann das umgeschriebene Polygon hinzugefügt; -lächeln wir auch heute über seinen Schluss, »weil der Kreis zwischen -dem ein- und umgeschriebenen Quadrate 2r^2 und 4r^2 so schön in der -Mitte liege, wie 3 zwischen 2 und 4, so müsste der Kreis gleich 3r^2 -sein,« so haben doch Antiphon und Bryson den Weg gewiesen, auf dem dann -¨Archimedes¨ gegangen und der das Riesenproblem beherrscht hat, bis er -schliesslich Vieta zu dem unendlichen Produkt für π/2 führte. - -Auf Hippokrates und seine Elemente folgt bei Proklos unmittelbar -¨Platon¨, aber eine Geschichte der Mathematik, welche zugleich auf die -Begriffsbildung Wert legt, darf an den beiden ihm an Tiefe ebenbürtigen -Vorgängern ¨Heraklit¨ und ¨Demokrit¨ nicht vorübergehen. - -[Sidenote: Heraklit.] - -¨Heraklit¨, Ηράκλειτος, aus Ephesos in Kleinasien, aus der angesehenen -Familie des Gründers von Ephesos, des Kodriden Androklos, war ein -Zeitgenosse des Xenophanes, er hat seine Blütezeit um 500. Wir haben -als Hauptquellen für seine Lehre die Fragmente seiner einzigen Schrift -περι φύσεως (Von der Natur, ed. von ¨H. Diels¨ 1901) und Platons -Dialog ¨Kratylos¨, ferner ¨Aristoteles¨ und seine Kommentatoren. -Daneben kommen ¨Plutarch¨ und ¨Diogenes Laertios¨ in Betracht. Eine -für ihre Zeit ausgezeichnete Darstellung gab der bekannte ¨Ferdinand -Lassalle¨ in seiner Schrift »Die Philosophie Herakleitos des Dunkeln,« -Bd. 2, Berlin 1858, aus neuester Zeit nenne ich ¨W. Kinkel¨, l. c. -1906. ¨H. Diels¨, Her. von Eph., Berl. 1901, ¨P. Natorp¨, Neue -Heraklitforschung, Ph. Monatsh. 24. Heraklit, der Dunkle, ὁ σκοτεινός, -war kein Systematiker, aber vor seinen tiefsinnigen, orakelhaften -Weisheitssprüchen stand das ganze Altertum voll staunender Ehrfurcht. -Er erinnert an ¨Nietzsche¨, der formaliter und materialiter sehr viel -von Heraklit entlehnt hat. Am bekanntesten ist das πάντα ῥεῖ, alles -fliesst; πάντα χωρεῖ καὶ οὐδὲν μένει, alles weicht und nichts bleibt; --- πόλεμος πατήρ πάντων, der Streit ist der Vater der Dinge. In der -Kosmologie knüpft Heraklit zunächst an seine Ionischen Landsleute, an -Anaximander und besonders an dessen schwächeren Nachfolger Anaximenes -an, der die Luft als Grundstoff (ὑλη) ansah. Heraklit nimmt das Feuer -als Substanz aller Dinge an, aber ein ideales Feuer, das zugleich die -Weltvernunft, der ¨Logos¨, die Weltseele ist. Im bewussten Gegensatz -zu den Eleaten, insbesondere zu Xenophanes, denn Parmenides ist -jünger, leugnet er alles Sein, und erfasst die Welt als in beständiger -Veränderung, in ewigem Wechsel befindlich. »Wir steigen nicht zweimal -in denselben Strom.« Ein Schein des Beharrens wird nur dadurch erzeugt, -dass Abfluss und Zufluss des Feuers annähernd gleich ist. Er ist in -noch höherem Masse und mit voller Klarheit Pantheist als Xenophanes. -Das Urfeuer oder die Gottheit, ist, in beständiger Umwandlung -begriffen, in allem, soweit es überhaupt ist. »Dieses Weltganze -(Kosmos) hat keiner von allen Göttern und keiner von allen Menschen -geschaffen, sondern es war, ist und wird sein ein ewig lebendiges -Feuer, das sich entzündet und verlöscht nach bestimmter Ordnung.« Man -sieht, es ist die ¨Kategorie Bewegung¨, die er, etwa wie seinerzeit -¨Ad. Trendelenburg¨, als das Bleibende im Wechsel setzt, während die -Eleaten grade die Bewegung leugneten. Und indem ihm der Widerspruch im -Begriff des Werdens, das zugleich ein Sein und Nicht-sein ist, nicht -entging, fasste er eben diesen Widerspruch als »Vater der Dinge«. -¨Hegel¨ hat in seiner Logik an Heraklit angeknüpft, der Widerspruch, -überall vorhanden und doch für uns undenkbar, erfordert seine Auflösung -und Versöhnung als unsere geistige Arbeit. Die späteren Stoiker -schliessen sich direkt an Heraklit an wie auch ¨Philon¨ von Alexandria -in seiner Logos-Lehre. Für uns kommt vom Standpunkt der exakten -Wissenschaft besonders in Betracht, dass sich bei ihm der erste Gedanke -eines ¨physikalischen Kreisprozesses¨ findet. »In dieselben Ströme und -aus denselben steigen wir.« - -Rein mathematisch ist von Bedeutung die grosse Betonung der -Veränderlichkeit aller Werte und Grössen; auffallend ist es, dass er, -der kein Entstehen und Vergehen der Materie, sondern eine beständige -Bewegung gelehrt hat, das Zeitproblem, wie es scheint, nie gestreift -hat. - -Die Dunkelheit des Heraklit erklärt sich zum Teil daraus, dass er für -seine tiefe Lehre vom Logos keine termini technici vorfand, welche -begriffliches Denken mitteilsam machen, immerhin ist er der erste -Philosoph, welcher das Problem der Erkenntnis als solches empfunden -hat, »εδιζησαμην εμαυτον« (ich suchte mir mich selbst zu verschaffen). - -[Sidenote: Empedokles, Sophisten.] - -Ich übergehe ¨Empedokles¨ aus Agrigent, so wichtig er auch für die -Physiker und Chemiker ist, denn er hat zuerst die 4 Elemente, Feuer, -Wasser, Luft und Erde, als qualitativ und quantitativ unveränderliche -Urstoffe aufgestellt, um mich zu den sogen. Atomikern zu wenden zum -Leukipp und seinem grossen Schüler ¨Demokrit¨. Vorher aber noch -ein paar Worte über die so übel berüchtigten »¨Sophisten¨«, deren -Bekämpfung das Leben des Sokrates galt, und zugleich der Tod. Denn -dadurch, dass er jene mit ihrer eignen Waffe, der Dialektik, bekämpfte, -hielt ihn das Volk für den Hauptsophisten, und er fiel dem Aufbäumen -des Volksgeistes gegen die unsittliche Lehre der Sophisten zum Opfer. - -Das geistige Haupt der Sophisten ist ¨Protagoras¨ aus Abdera, von -480-410; von Zeno, Heraklit und Leukipp beeinflusst, war er an sich von -durchaus ernster, wissenschaftlich nicht unbedeutender Beschaffenheit, -so schildert ihn auch der gleichnamige Dialog des Platon, ein Kunstwerk -ersten Ranges. - -Indem Protagoras ganz wie ¨Kant¨ empfand, dass wir das Ding an -sich nicht erkennen, sondern nur unsere Wahrnehmung, kam er zu dem -Faustischen: »Seh ein, dass wir nichts wissen können,« wenigstens -nichts von allgemeiner, sondern nur etwas von subjektiver Wahrheit. Und -indem er ausspricht, dass ¨unsere¨ Wahrnehmung, für ¨uns¨ wahr ist, -formulierte er den Satz: »¨Der Mensch ist das Mass der Dinge.¨« Von -diesem Standpunkt aus kamen seine Nachfolger Gorgias, Hippias etc. zu -einer Verwerfung aller sittlichen Normen und von allen Wissenschaften -blieb nur die Dialektik übrig oder die Rhetorik, die Kunst, den eignen -Willen, das eigene Mass, den anderen aufzuzwingen. Zeitlich traf ihre -Blüte mit dem grossen Aufschwung des öffentlichen Lebens in Hellas -nach den Perserkriegen zusammen, wodurch eine zweckmässige Vorbildung -der Staatsmänner nötig wurde. Die Sophisten fanden daher als Lehrer -der Redekunst gewinnreiche Tätigkeit, Protagoras selbst war ein sehr -geschätzter Wanderlehrer. So haben die Sophisten, die prinzipiellen -Gegner des Wissens, dennoch die Wissenschaft der Satzbildung, der -Grammatik, des Wohlklangs gradezu geschaffen, und was sie für uns -Mathematiker wichtig macht, sie haben die Lehre vom Beweis mächtig -gefördert. - -Ich komme zu den Atomikern. Vom ¨Leukipp¨ wissen wir so wenig, dass -¨Epikur¨ meinen konnte, er habe gar nicht existiert. Das Zeugnis des -¨Aristoteles¨ ist aber unanfechtbar. Leukipp ist wohl der Urheber des -Grundgedankens, aber in der überragenden Persönlichkeit seines Schülers -¨Demokrit¨ ist er verschwunden. Zeller fasst beide zusammen als -Atomiker. - -[Sidenote: Demokrit.] - -¨Demokrit¨ ist in ¨Abdera¨ etwa um 470 geboren, und ist zwischen 90 -und 100 Jahre alt geworden. An umfassender Bildung nur dem Aristoteles -vergleichbar, hat er das Wissen, das er auf vielen Reisen, insbesondere -nach Ägypten und Babylonien, erworben, in einer Reihe von Schriften -niedergelegt, von denen leider zurzeit nur wenige Bruchstücke, -meist ethischen Inhalts, erhalten sind. Glücklicherweise hat sich -¨Aristoteles¨ sehr viel mit Demokrit beschäftigt, während Platon in -auffallender Weise über ihn schweigt. Platon neigt überhaupt nicht -zu literarischen Angaben in seinen Dialogen, und wird wohl in seinen -Vorlesungen sich genügend mit Demokrit beschäftigt haben, auch konnte -er die Lehre des Demokrit zu seiner Zeit als bekannt voraussetzen. -Jedenfalls ist beim Charakter Platons irgendwelche böswillige -Absichtlichkeit zurückzuweisen. Soviel steht fest, je tiefer die -Quellenforschung ging, um so höher ist die Gestalt des Demokrit -emporgewachsen, den wir jetzt neben Platon und Aristoteles als den -dritten grossen Hellenischen Philosophen werten. Trotz des geringen -Umfangs der erhaltenen Fragmente können wir uns von der Fülle und -Kühnheit seiner Gedanken ein ziemlich deutliches Bild machen. - -Mit den ¨Eleaten¨ hat er die Ewigkeit und Unveränderlichkeit des -Seienden gemeinsam, die Überzeugung von der Unzerstörbarkeit der -Materie. Aber ¨Heraklit¨ missverstehend, fassten jene sein »Werden« -als ein Vergehen und Entstehen der Materie und nicht als einen Wechsel -der Form im Kreisprozess, und da sie den Unterschied zwischen »Werden« -und »Veränderung« verfehlten, leugneten sie schlankweg die Bewegung -und damit die ganze erkenntnistheoretische Physik der Erscheinung, -welche ja in der reinen Bewegungslehre besteht. Hier setzen Leukipp -und ¨Demokrit¨ ein, sie müssen den Begriff der Materie umarbeiten, um -die Bewegung begreiflich zu machen. Das Seiende ist ihnen nicht, wie -dem ¨Parmenides¨, die kugelförmig gedachte, lückenlose Masse alles -reell Existierenden, sondern es sind die unteilbaren, αδιαιρητα, -Atome, ὁι ατομοι, die er hochmodern als der ουσια, dem Wesen nach, -ganz gleich denkt, nur mathematisch, d. h. in bezug auf Figur, Grösse -und Zahl verschieden. Leukipp und Demokrit haben den Begriff des Atoms -geschaffen, diesen Hilfsbegriff, den Physik und Chemie bis auf den -heutigen Tag und in alle Zukunft nicht entbehren können; ein sehr -bekannter Chemiker sagte mir: »Was ¨Demokrit¨ über die Atome gesagt, -bildet die beste Einleitung zu einem modernen Lehrbuch der Chemie.« - -Und von ¨Heraklit¨ entnahm er den Gedanken der beständigen Bewegung -und Veränderung in der Zusammensetzung der Atome zu Molekülen. Die -Atome bewegen sich ewig und anfangslos, weil das in ihrem Wesen liegt, -nach einem Grund dieser Bewegung zu fragen, erklärt er für töricht, -wie etwa die Frage, warum ein Löwe Fleisch frisst. Dass aber die Atome -sich ¨bewegen können¨, das liegt daran, dass sie voneinander durch den -¨leeren Raum¨ getrennt werden, und auch dieser für die Mathematik so -entscheidend wichtige Grenzbegriff des leeren Raumes und der Porosität -hat bei Demokrit seine Formulierung gefunden, denn »das Leere« (το -κενόν) der Pythagoräer ist wohl nur ein Synonym für Raum überhaupt, -obwohl selbstverständlich Keime für Demokritische Gedanken bei den -Pythagoräern liegen. - -Dieser leere Raum, von dem er mit ironischer Anpassung an des -Parmenides »ἔστι γὰρ εἶναι, μηδὲν δ΄ οὐκ ἔστι« (Es gibt ein Sein, ein -Nichtsein gibt es nicht) sagt, dass er das Nichts ist, ermöglicht alles -wirkliche Sein der Aussenwelt. ¨Aristoteles¨, Metaph. I, 4, 985b: -Λευκιππος δε και ὁ ἑταιρος αυτου Δημοκριτος στοιχεια μεν το πληρες και -το κενον ειναι φασι, λεγοντες τι μεν ον το δε μη ον, το 'των δε τι μεν -πληδες και στερεον το ον, το δε κενον γε και μανον το μη ον, αιτια δε -των οντων ταιτα ως ὑλην. Leukipp und Demokrit, sein Genosse, erklären -das Volle und das Leere als die Elemente und nennen jenes das Seiende, -dieses das Nichtseiende, und diese beiden sind die Ursache, der Stoff, -alles Wahrnehmbaren. Ja mit bewundernswerter Kühnheit der Spekulation -sagt Demokrit: »το δεν ον μαλλον εστι η το μηδέν.« Das Nichts ist -ebenso existenzberechtigt als das »Ichts«. - -Wie das Atom nichts anderes ist als das ¨Differential, der Ursprung der -Masse¨, so ist dieses »μηδέν« nichts anderes, als das ¨Differential, -der Ursprung des Raumes¨. Dass dies keine leere Vermutung ist, dass -¨Demokrit¨ als der erste erreichbare Urheber der ¨Differentialrechnung¨ -anzusehen ist, dafür haben wir jetzt einen Beweis in dem 1907 von -¨Heiberg¨ aus dem Palimpsest entzifferten »εφόδιον« (so viel wie -Methode) des ¨Archimedes¨, welche ¨H. Zeuthen¨ übersetzt hat. Die -Formel für das Volumen der Pyramide und des Kegels, die nach der Angabe -des Archimedes von ¨Eudoxos¨ streng d. h. euklidisch bewiesen, die -habe, steht im Ephodion, ¨Demokrit¨ gefunden aber nicht bewiesen d. h. -nicht streng, grade so wie Archimedes seine mit Differentialrechnung -gefundenen Formeln nur für wahrscheinlich aber nicht für streng -bewiesen erachtet. Das Verfahren des Demokrit kann kein anderes gewesen -sein als das des ¨Cavalieri¨, das Volumen ist das Integral, die Summe -der unzählig vielen unendlich kleinen Prismen, deren Grundflächen -die veränderlichen Querschnitte sind. Man vergleiche dazu die Angabe -Plutarchs, Diels Fragmente 155 (auch Anmerkung S. 723): »Es machte ihm -nämlich die Frage Schwierigkeiten, ob, wenn man einen Kegel parallel -der Basis durchschnitte, die so entstehenden Schnittflächen einander -gleich seien oder nicht. Schon ¨Aristoteles¨ hat darauf hingewiesen, -wie stark mathematisch durchtränkt die Lehre des Demokrit gewesen, der -sich, Plutarch zufolge, rühmte, selbst die Ägyptischen Harpedonapten -in der Reisskunst zu übertreffen. Bisher schwebte diese Angabe in -der Luft, jetzt ist sie durch den Palimpsest bestätigt worden. Ich -mache auch auf den uns erhaltenen Titel der Schrift: περι διαφορης -γνωμης η περι ψαυσεως κυκλου και σφαιρας und auf seinen Einfluss auf -¨Archimedes¨ und dadurch auf ¨Galilei¨ aufmerksam. Dass sich Demokrit -eingehend mit dem Problem der Kontinuität beschäftigt hat geht aus dem -erhaltenen Titel der verlorenen Schrift: περι αλογων γραμμων και ναστων -(über irrationale Strecken und das Kontinuum) hervor. - -¨Demokrit¨ ist von Grund aus Naturforscher im Gegensatz zu ¨Platon¨, -dem Dichter und Metaphysiker, er hat zum ersten Male versucht ernsthaft -eine mechanische Welttheorie durchzuführen. Seine Wirbelbewegung -treffen wir bei ¨Descartes¨ wieder, wie auch seine Unterscheidung -der primären Qualitäten (Schwere, Härte, mathematische Gestalt -etc.), der Eigenschaften der Atome, von den sekundären, wie Farbe, -Geschmack etc. Die Zahl und die Figur der Atome ist es, welche die -wesentliche Verschiedenheit der Dinge bewirkt, mit der Trias, Atom, -leerer Raum, Bewegung haben Leukipp und ¨Demokrit¨ die mathematische -Naturerkenntnis geschaffen. Das Atom sowohl wie der leere Raum sind -¨Ideen¨, das Wort rührt von Demokrit her, und an Demokrit knüpft die -Platonische Ideenlehre an. ¨H. Cohen¨ zählt in seinem vorzüglichen -Marburger Programm Demokrit mit vollem Recht zu den Idealisten und -zum recht eigentlichen Vorgänger von Platon. Wie dieser bezeichnet -er die Sinneswahrnehmung als dunkele, die logische als klare -Erkenntnis; ¨W. Kinkel¨ sagt, es ist schwer begreiflich wie man ihn -hat zum Materialisten stempeln können. Ich möchte aber bemerken, dass -der Idealismus sowohl des Demokrit als der übrigen idealistischen -Philosophen im Grunde eine Doppelnatur besitzt, eine ¨skeptische¨, -insofern er die Realität der Sinneswahrnehmung leugnet, und eine -supranaturalistische, insofern er die Realität des Geistigen lehrt. -Daher ist es ganz begreiflich, dass von Demokrit eine Schule der -Materialisten ausgehen konnte, wie von Platon Skeptizismus und -insbesondere Mystizismus (Plotin, Augustin). Jedenfalls ist die -»tyche« D.'s nicht der blinde Zufall, sondern das Schicksal als eine -durchaus vernünftige Gesetzmässigkeit des in Erscheinung tretenden -(der Phänomena). Nicht bloss auf metaphysischem Gebiet ist Demokrit -ein Vorläufer des Platon, sondern auch auf ethischem Gebiet, in der -Auffassung des Menschen als μικρόκοσμος -- das Wort ist demokritisch --- in der Wertung der Erziehung berührt er sich mit Platon. Ich -nenne hier ausser Zeller und Kinkel noch ¨P. Natorp¨, Forsch. z. -Gesch. des Erkenntnisproblems im Altertum; ¨G. Hart¨, Zur Seelen- -und Erkenntnislehre des Dem., Progr. Mühlhausen (im Elsass) 1886; -¨P. Natorp¨, Die Ethik des Dem., Marburg 1893. - -[Sidenote: Platon.] - -¨Platon¨, der Göttliche, wie ihn Schopenhauer bezeichnet, ist im -Todesjahre des Perikles 429 aus vornehmster Familie geboren, mit ihm -erreicht die Hellenische Philosophie ihren Höhepunkt. Wie in einem -Brennpunkt fasst er alle bedeutenden Gedanken seiner Vorgänger, der -Pythagoräer, der Eleaten, des Heraklit und vor allem des Demokrit -zusammen, um sie als Bausteine seiner Theorie des Erkennens zu -verwenden. Es ist das Kennzeichen der Allergrössten, dass sie über -den Parteien stehen, oder richtiger, wie ¨Lange¨ in der Geschichte -des Materialismus sagt, dass sie die Gegensätze ihrer Epoche in sich -zur Versöhnung bringen. Er ist mit ¨Kant¨ der grösste Idealist aller -Zeiten, und keiner hat auf Kant solchen Einfluss geübt, nicht einmal -Hume, wie Platon. - -Ich verstehe aber unter ¨Idealismus¨ in der Philosophie diejenige -Weltanschauung, welche die Welt der Dinge nur insofern als seiend -auffasst, als sie Gegenstand oder Objekt der Erkenntnis eines -erkennenden Subjektes ist. Sagt doch ¨Platon¨ oft gradezu (z. B. Rep. -529, Phaed. 833, Tim. 513) das Seiende ist das Unsichtbare, das von -uns nicht Wahrnehmbare, sondern nur Gedachte, das was das Bewusstsein -selbst bei sich selbst sieht. Unter ¨Realität¨ der Erscheinung -versteht man im idealistischen Sinne diejenige Eigenschaft derselben, -vermöge derer sie zu in Zeit und Raum geordneten Gegenständen der -Erfahrung werden. Es ist Platons ewiges Verdienst, dass er das Problem -des Erkennens als das eigentliche Grundproblem der Philosophie in diese -Wissenschaft eingeführt hat, die er mit der Frage τι εστι επιστήμη, was -ist Wissen, eigentlich erst als Wissenschaft geschaffen hat. - -¨Kant¨ trifft auch darin mit ¨Platon¨ zusammen, dass beide für ihre -Erkenntnistheorie von der Frage nach dem Erkenntniswert der Mathematik -ausgingen. Ich nehme hier Gelegenheit den Dank auszusprechen, den -ich für das Verständnis des Philosophen Platon der trefflichen -Jugendschrift ¨H. Cohens¨, Plato und die Mathematik, Marburg 1878 -schulde. Platon den Dichter und Gottsucher schildert eine Broschüre -¨Windelbands¨ in hervorragender Weise. - -Viel schuldete er seinem Lehrer ¨Sokrates¨, sowohl in bezug auf das -Interesse an der Ethik, an den sittlichen Gesetzen und Idealen der -Menschheit, als besonders hinsichtlich des Bestrebens die einzelnen -Begriffe scharf zu definieren. Nach dem Tode des Sokrates floh er aus -Athen, und brachte etwa 10 Jahre auf Reisen zu, überall den Verkehr -mit den geistigen Grössen suchend. In Cyrene hat er beim Pythagoräer -¨Theodoros¨, dessen wir schon bei Gelegenheit des Theätet gedacht -haben, sich das mathematische Wissen der Pythagoräer angeeignet, in -Unteritalien den grossen ¨Archytas¨ von Tarent kennen gelernt, und in -Sizilien ebenfalls viel mit Pythagoräern verkehrt; dass er von Sizilien -aus Ägypten besucht hat, ist sehr wahrscheinlich. - -Nach Athen zurückgekehrt, gründete er dort den Freund- und Schülerbund -der ¨Akademie¨, ein Gymnasium bei Athen, nach dem attischen Heros -Ακάδημος benannt, wo Platon ein Landgut besass. Ein glücklicher Zufall -hat uns das Testament des Platon erhalten, es findet sich bei ¨Diogenes -Laertios¨ und ist von ¨U. v. Wilamowitz¨ und Kiessling Phil. Unters. -IV. ediert. - -Schon 2000 Jahre vor den Amerikanischen Multimillionären hat hier -ein Privatmann aus seinen Mitteln eine Universität gegründet, die -Universität Athen, die bedeutendste des Altertums, an der Euklid und -Cicero studierten, welche etwa 900 Jahre blühte, bis sie Justinian -529 n. Chr. aufhob, teils um sich ihren Besitz anzueignen, teils weil -die Professoren auf Seiten der Gemahlin des Kaisers, der ¨Theodora¨, -standen, und das Heidentum oder richtiger den Neuplatonischen -Mystizismus unterstützten, während der Kaiser das Christentum oder das -Gottesgnadentum des Monarchen als Staatsreligion durchführen wollte. - -Eine zweite Reise nach Sizilien 367 ist wohl von Dion, dem Freunde -des Platon und Schwager des Dionys I., der s. Z. Platon seiner -Freimütigkeit wegen als Sklaven verkaufen liess, veranlasst. -Platon sollte den jungen Dionysios II. nach den in der »Republik« -niedergelegten ethischen und politischen Prinzipien erziehen. - -Aber wie fast alle Theoretiker der Pädagogik war er kein glücklicher -Praktiker. Noch einmal 361 unterbrach eine zugunsten des Dion -unternommene Reise seine im höchsten Grade erfolgreiche akademische -Lehrtätigkeit, die bis zu seinem 347 im 80. Jahre eingetretenen Tode -angehalten haben soll. - -Was nun Platon als Mathematiker von Fach betrifft, so ist die Legende -von Platons Leistungen in der speziellen Problemmathematik schon von -¨C. Blass¨ in seiner Dissertation »de Platone mathematico«, Bonn 1861, -zerstört worden; als reinen Mathematiker haben ihn seine Zeitgenossen -¨Archytas¨, ¨Theätet¨ und besonders der grosse ¨Eudoxos¨ von ¨Knidos¨ -sicher weit übertroffen, er ist von der Philosophie zur Mathematik -gekommen und nicht umgekehrt. Platon hat nicht die Philosophie der -Mathematik geschaffen, wie M. Cantor sagt, -- das würde weit eher -auf Demokrit und Eudoxos passen --, aber was eben so wertvoll ist, -er hat die Bedeutung der Mathematik für die Philosophie erfasst, und -es bedarf nicht des seit ¨Melanchthon¨ immer wieder zitierten μηδεις -αγεωμετρητος εισιτω μου την στεγην, »Kein der Mathematik Unkundiger -betrete meine Schwelle«, aus der zweifelhaften Quelle des ¨Tzetzes¨, um -uns darüber zu belehren. Platon erkannte, dass die Mathematik für die -Philosophie dieselbe Bedeutung als Hilfswissenschaft hat, welche der -Physik für die Mathematik zukommt. Einerseits liefert sie für die Logik -die einfachsten und schlagendsten Beispiele, wie uns denn Aristoteles -den Beweis der Pythagoräer für die Irrationalität der Wurzel aus 2 als -Beispiel eines indirekten Beweises erhalten hat, andrerseits liefert -sie für die Erkenntnistheorie die Probleme, an deren Lösung sich die -Philosophie entwickelt hat. Und Platon gab mit der Betonung dieser -Bedeutung der Mathematik den mächtigen Impuls, der die Blütezeit der -Hellenischen Mathematik im 3. Jahrhundert herbeiführte. Ganz besonders -sind die erkenntnistheoretischen Probleme, welche die inkommensurabeln -Streckenbrüche geben, von Platon und seinen Schülern und Mitarbeitern, -von ¨Theätet¨ und insbesondere von ¨Eudoxos¨ bearbeitet worden. - -[Sidenote: Platon und die Mathematik.] - -Und noch in einer zweiten Richtung sind wir Platon den grössten Dank -schuldig; ohne ihn und die scharfen Worte, mit denen er den gewaltigen -Wert der Mathematik für die Bildung der Jugend dargelegt hat, würde -wahrscheinlich die Mathematik ihre Stellung als Hauptfach in unseren -Gymnasien weder erhalten noch behauptet haben. In seiner Schrift vom -Staate, der »πολιτεια«, der bedeutsamsten Utopie, die je geschrieben, -in der er als der Erste den grossen Plan einer idealen staatlichen -Erziehung der Jugend ¨ins Einzelne¨ durchgeführt, entwirft, sogar -bis auf die Schulzimmer, vergleicht er die Bedeutung, welche die -Mathematik in seiner Zeit hat, mit der, welche sie haben sollte. Er -geht in seiner Wertung der Mathematik als Bildungsmittel von dem -Fundamentalsatz aus: die Wahrnehmungen zerfallen in zwei Klassen, die -einen finden eine Ergänzung durch das reine Denken, die andern nicht. -Politeia 523 heisst es: »Ich zeige dir also, wenn du es (ein)siehst, -einiges was gar nicht die Vernunft herbeiruft, es wird schon durch die -Wahrnehmung hinlänglich beurteilt, andres hingegen, was auf alle Weise -die Wahrnehmung zu untersuchen auffordert. (Ähnlich Timäos § 46.) Und -diese Untersuchung der Wahrnehmung, welche sie umprägt in Erfahrung -im Kantischen Sinne, bewirkt in erster Linie die Mathematik. Sie ist -ihm der »Paraklet«, der Wecker der reinen, vernünftigen, der wahren -Erkenntnis. - -Zunächst die Arithmetik, d. h. nicht die praktische Rechenkunst, die -Logistik, sondern die wissenschaftliche Zahlenlehre, deren Hauptteil -die Lehre von der relativen Zahl, von den Verhältnissen, bildet, die -»θεά«, die innere Schau, der Zahlenverhältnisse. Und dasjenige in der -Wahrnehmung, was solche Verhältnisse liefert, das ist dadurch, das -es uns veranlasst, über die Gründe dieser Verhältnisse nachzudenken, -der Herbeirufer, der Paraklet, der reinen Vernunft. Die Betonung der -dritten Quelle, aus der unser Zahlbegriff fliesst, der Kategorie oder -Konstituente des Bewusstseins Relation, bildet ein grosses Verdienst -Platons um die Begriffsbildung in der Mathematik. Aus zahlreichen -Stellen (man vgl. auch Theon Smyrneus trad. du Grec en Français p. -J. Dupuis 1892) geht hervor, dass ihm die Zahl vorzugsweise relative -Zahl oder Masszahl ist, auf der alle Erweiterungen des Zahlbegriffs -beruhen, da die Cardinalzahl, die Vieleinheit, und die Ordinalzahl, die -Reihungszahl, eine Begriffserweiterung nicht zulassen. - -Die gleiche Bedeutung wie der Arithmetik erkennt er der ¨Geometrie¨ -zu. Er weiss sehr wohl, dass ihr Ursprung, der Veranlassung nach, -die Wahrnehmung, d. h. der sinnliche Eindruck ist, und spricht dies -nicht nur in der Republik, sondern auch im Timäos ganz unumwunden -aus. Aber, sagt er, der Begriff des Gleichen, die ¨Idee¨ Gleichheit, -steckt nicht in der Wahrnehmung gleicher Steine, obwohl wir ihn ohne -diese Wahrnehmung nicht hätten. [Die gleichen Steine dienten als -Rechenpfennige, daher ψηφιζειν lat. calculare für »rechnen«.] Und er -warnt nachdrücklich davor, die Wertung der Geometrie von ihrem Nutzen -für die Praxis abhängig zu machen, sondern sie lehrt und erleichtert -uns die Erkenntnis »του οντως οντος« des Wahrhaft-Seienden, der Idee, -ja sie bewirkt, dass die höchste Idee, die Idee des Guten leichter -geschaut werde. - -[Sidenote: Platonische Ideen.] - -Da es Platon ist, der zuerst die Bedeutung der Idealisierung für die -reine Geometrie erkannt hat, wird es nötig auf die so viel umstrittene -Platonische Ideenlehre näher einzugehen. Sie ist der Grundstein -seiner Philosophie, und zugleich von Anfang an grade durch seinen -bedeutendsten Schüler, durch ¨Aristoteles¨ missverstanden, verspottet -und entwertet worden. Nur aus dem Verständnis der Platonischen Idee -lässt sich einsehen wie viel Kant für seine transzendentale Ästhetik -des Raumes aus Platon entnommen hat. Über die Beziehung zwischen Kant -und Platon verweise ich auf einen kleinen Aufsatz in den Philos. -Arbeiten, her. von ¨H. Cohen¨ und ¨P. Natorp¨ Bd. 2 Heft 1 1908 »Über -Mathematik«. - -Vom Sokrates nahm er die Betrachtung, dass dem allgemeinen (Gattungs) -Begriff jeder einzelne Gegenstand, von dem er abstrahiert wird, -zukommt. Von den Pythagoräern das Interesse für die geistigen -Prozesse der Mathematik, von den Eleaten den Grundgedanken, dass nur -dem durch die Vernunft erkannten bleibendes Sein zukommt, von den -Atomikern die Erkenntnis, dass die Zahl- und Raumbegriffe, grade weil -sie vom sinnlichen Standpunkt aus Nichts sind, das wirkliche Sein -repräsentieren und schmolz alles zusammen in seiner Idee. Durch eine -wahrhaft göttliche Eigenschaft der Vernunft wird dieselbe, und zwar -am leichtesten durch Vermittlung der Mathematik, angeregt, in den -einzelnen Erfahrungen, die das Daseiende (τὰ όντα) liefert, das dauernd -Seiende (το οντως ον), die Urbilder, die Ideen zu erschauen, Hypothesen -oder Grundlegungen der reinen Vernunft. Von ihnen als dem ewig -Seienden, obwohl in keiner einzelnen Erscheinung verkörpert, empfängt -das Daseiende sein Sein, seine Essenz, seine Substanz. - -Sind die Ideen wie die des Gleichen, des Schönen, des Wahren, und -die höchste Idee, welche alle andern trägt, die des Guten erschaut, -denn Idee, ἰδέα, kommt von ιδείν (schauen), so werden ihnen die -Erscheinungen untergeordnet, und nun wird im einzelnen die Idee -geschaut, im breiten Strich die Gerade, im Ball die Kugel etc. Beim -reifen Menschen geht die Idee der sinnlichen Erscheinung voraus. »Ehe -wir also anhuben zu sehen und zu hören und die Aussenwelt wahrzunehmen, -mussten wir in uns, irgend woher genommen, die Erkenntnis des -Gleichen angetroffen haben, das, worauf wir die aus den Wahrnehmungen -stammenden Gleichheiten beziehen können« (Phaedon p. 758, Theätet p. -186 c). Die Platonische Idee nähert sich, wie aus dieser Darstellung -hervorgeht, der (idealistisch aufgefassten) Kategorie der ¨Substanz¨ -einerseits, und berührt sich andererseits mit dem Begriff der ¨Kraft¨, -denn z. B. die Idee des Guten ist die Ursache aller Vollkommenheit, -sie ist gradezu die göttliche schöpferische Vernunft. Die Idee, wie -z. B. Sophist 248 A beweist, hat Bewegung, Leben, Seele, wie die -¨Leibniz¨sche Monade, sie wird öfters gradezu ἑνας oder μόνας, Einheit -genannt. - -Die Stellung, welche Platon der Mathematik anweist, erinnert -unwillkürlich an Kant, auch bei Platon hat die Mathematik eine -Zwischenstellung zwischen Sinnlichkeit und Logik, auch bei ihm ist -sie »reine Sinnlichkeit a priori«, die in das Objekt der sinnlichen -Wahrnehmung, Zahl und Gestalt hineinsieht und als Ewig-Seiendes, die -»im barbarischen Schlamme der Sinnlichkeit« steckende Seele hinleitet, -im Abbilde das Urbild das wahrhaft Seiende zu sehen. In der Republ. -529 D, 520 C, im Timäos 28 heisst es: Das, was ihr Wirklichkeit -nennt, die bunten Gestalten am Himmel und auf Erden, sind nur die -Abbilder von den Urbildern in der Erkenntnis und dem Bewusstsein. -In seiner Lehrtätigkeit, welche der Hauptfaktor seines Einflusses -auf seine Zeitgenossen war, unterschied er Empfindung; Anschauung; -Hinzuziehung von Mass und Zahl -- διάνοια; und Hinzuziehung der Idee, -die transzendentale Erkenntnis, die νόησις. - -[Sidenote: Raum bei Platon.] - -Platon hat das Kategorische des Raumbegriffes oder besser die Idealität -des Raumes, die ja schon die »richi« der Inder empfunden haben, -scharf hervorgehoben, während er Zeit und Bewegung nicht hinlänglich -geschieden hat. Die bekannteste Stelle findet sich 50-52 des Timäos, -des schwierigsten Dialogs, welcher beweist, wie völlig Platon im Alter -unter den Bann pythagoräischer Gedankenkreise geraten war (vgl. den -zitierten Aufsatz von 1908). Es heisst da: Der Raum ist die aufnehmende -¨Mutter¨, die Idee, das reine Erzeugnis der Vernunft, der ¨Vater¨ der -Gegenstände der Wahrnehmung der Natur (50 D). Er bildet die 3. Art -der Erkenntnis, der ewige unvergängliche Raum (52 B), der uns durch -nichtsinnliche Wahrnehmung (μεθ' αναισθησιας) durch eine Art von -unechter Vernunfttätigkeit mühsam klar wird, den wir ¨mit offenen Augen -träumen¨. Das ist nichts anderes als der ideale Raum Kants, die reine -Form des äusseren Seins für das erkennende Bewusstsein als solches, -losgelöst von aller Individualität. - -Seit Aristoteles und durch Aristoteles ist die Meinung verbreitet, -dass Platon Raum und Materie identifiziert hat, und ¨Fr. Ast¨ hat -dies 1816, Plat. Leben und Schriften Note p. 362 in feiner Weise -aus dem Gedankengang Platons abzuleiten versucht. Dass ich anderer -Meinung bin, habe ich schon in dem erwähnten Aufsatz der Marburger -philosophischen Arbeiten von 1908 gesagt, es handelt sich bei der -Ableitung der Körperwelt im Timäos im wesentlichen um eine Kombination -Pythagoräischer und Demokritischer Gedanken. Auf Demokrit weist auch -die so wichtige Auffassung des Punktes als ¨Streckendifferential¨, -als »αρχή γραμμής«, Ursprung der Linie. ¨Proklos¨ (Friedlein S. 88) -sagt, »aber es liegt in ihm verborgen eine unbegrenzte Macht Längen zu -erzeugen.« - -So hoch das Verdienst Platons um die erkenntniskritische Untersuchung -des Raumbegriffs zu veranschlagen ist, so muss doch auch die Sage -von Platon als dem Erfinder stereometrischer Sätze als unbegründet -zurückgewiesen werden. Er hat dies selbst, so drastisch als man es nur -wünschen kann, getan. In der bekannten Stelle der Republik heisst es: -»Ausserdem aber legen sie (die Griechen) hinsichtlich der Messung von -allem was Länge, Breite, Tiefe hat eine bei allen Menschen vorhandene, -eben so lächerliche als schmähliche Unwissenheit an den Tag.« - -Kleinias fragt: Welche und wie beschaffene meinst du? - -¨Sokrates-Platon¨: Mein lieber Kleinias, habe ich doch selbst ¨erst -spät¨ davon gehört, wie es mit uns in dieser Hinsicht bestellt ist, -nämlich meiner Ansicht nach, nicht wie es sich für Menschen gehört, -sondern für ¨Schweine¨. - -Wie es mit den Griechen in dieser Hinsicht bestellt war, erfahren wir -aus Thukydides, wo die Griechen den Inhalt einer Insel dem Umfang -proportional setzen. Platon ist sicher kein Erfinder stereometrischer -Sätze gewesen, sein Verdienst ist auch hier ein methodisches. Durch -seinen Umgang mit ¨Archytas¨ und ¨Eudoxos¨ hat er die Bedeutung der -Stereometrie erkannt, und die ihm zuteil gewordene Anregung auf seine -Schüler übertragen, die denn auch nicht ermangelten die Stereometrie zu -fördern. - -[Sidenote: Platon als Mathematiker.] - -Eben so falsch ist es, dass Platon die sogen. ¨Analysis¨ zur Lösung -der Konstruktionsaufgaben erfunden habe. Dass Platon die analytische -Methode gekannt hat, geht unwiderleglich aus ¨Menon¨ S. 87 bei der -Frage, ob ein gegebenes Dreieck in einen gegebenen Kreis eingetragen -werden könne, hervor. ¨Proklos¨ p. 58: Sie überlieferten die -trefflichste Methode, und zwar die, welche durch die Analyse das -Gesuchte auf ein anerkanntes Prinzip zurückführt, welche auch ¨Platon, -wie sie sagen¨, dem Laodamas hinterliess, mit der dieser vieles in der -Geometrie gefunden haben soll, dann aber auch jene, die auf genauer -Einteilung beruht, welche Platon ebenfalls stark betonte. (Für letztere -Methode denke man an die Untersuchungen über die Beziehungen zwischen -Gerade und Gerade, Gerade und Kreis etc.) Bei ¨Diogenes Laertios¨ III, -25 heisst es: - - Πρωτος ὁ Πλατων τον κατα την αναλυσιν της ζητησεως τροπον εισηγησατο - Λεωδαμαντι τω Θασιω - -Aber Pappos, der im Buch VII seiner Kollektaneen, diesem Inventar -Hellenischen Könnens, sehr ausführlich über die Analysis gehandelt -hat, erwähnt mit keinem Wort des Platon. Die Sage liebt es eben, alle -Heldentaten auf das Haupt des Haupthelden zu häufen. - -Aber die Sache ist an sich klar, in dem oben erwähnten Überrest der -Arbeit des ¨Hippokrates¨ ist die analytische Methode angewandt, -und jede Gleichung ist ein Beispiel derselben, die Verwandlung des -Rechtecks in ein Quadrat bei den Indern (S. 159) ist ohne Analyse -unmöglich, und im Grunde verfährt jeder Künstler analytisch. Erst muss -das Kunstwerk, der Plan des Architekten, im Kopfe fix und fertig sein, -ehe der erste Pinselstrich, der erste Spatenstich erfolgen kann. Die -Definition von Analysis findet sich Euklid XIII, 5 und sie rührt, wie -¨Bretschneider¨, Geometrie und Geometer vor Euklides, bemerkt hat, von -¨Eudoxos¨ her: Analysis ist die Annahme des Gesuchten als zugestanden -durch die Folgerung hindurch bis zu einem als wahr Bekannten. - -¨Platon¨ hat als ¨Philosoph¨ auf die Bedeutung der analytischen Methode -für die Konstruktion und als Beweismittel in jeder Wissenschaft -aufmerksam gemacht und grade an der angeführten Stelle Menon S. 87 -wird die mathematische Anwendung als Beispiel gebraucht, weil sie -besonders einfach ist und Plato sagt selbst: Ich brauche den Ausdruck -»Aus der Voraussetzung« so, wie oft die Geometer argumentieren. Ebenso -apokryph ist die unter Platons Namen gehende Lösung des ¨Problems der -Würfelverdoppelung¨. In meinem Urteil über Platon den Mathematiker -schliesse ich mich völlig ¨Blass¨ an, der seine Dissertation de Platone -Mathematico also beendet: nam si amicus Plato, amicior tamen veritas: -et is quoque, qui scientiae amorem aliis iniecit, de scientia bene est -meritus. - - -Die Würfelverdoppelung. - -[Sidenote: Würfelverdoppelung (Delisches Problem).] - -Dies Problem, das sogen. erste Delische Problem, ist eins der drei -grossen Probleme: Würfelverdoppelung, Winkel- oder Bogenteilung -(Kreisteilung), Quadratur des Zirkels, an deren Bewältigung sich die -Hellenische Mathematik zu ihrer bewundernswerten Höhe entwickelt -hat. Die beiden ersten Probleme sind von den Pythagoräern und ihren -Ausläufern, unmittelbar nachdem sie durch die nach Pythagoras genannte -Satzgruppe die Probleme, welche auf Gleichungen zweiten Grades führen, -bewältigt hatten, in Angriff genommen worden. Diese Tatsache liefert -einen klaren Beweis, dass der eigentlich leitende Gesichtspunkt der -Hellenen der arithmetische war und dass die Griechen schon zu jener -Zeit klar den Satz des ¨Vieta¨ erkannten, dass mit der Vervielfältigung -des Würfels und der Trisektion des Winkels die Gleichung dritten (und -vierten) Grades allgemein gelöst sei. - -In drei aufeinanderfolgenden Programmen von Linz hat ¨Ambros Sturm¨ -1895, 96, 97 eine vortreffliche Geschichte »des Delischen Problems« -geliefert, im Anschluss an ¨Montuclas¨ Quadrature du cercle. Über -den Ursprung unseres Problems berichtet ein Brief das ¨Eratosthenes¨ -(s. u.), den ¨Eutokios¨, Bischof von Askalon, geb. 480 n. Chr., in -seinem Kommentar zu Archimedes Kugel und Zylinder überliefert hat. - -»¨Eratosthenes¨ wünscht, dass es dem Könige Ptolemaios wohlergehe. -Es wird erzählt, dass ein alter Tragiker, den Minos eingeführt habe, -der dem Glaukos ein Grabmal erbauen lassen wollte, und als er dabei -bemerkte, dass es nach allen drei Dimensionen 100 Fuss mass, soll er -gesagt haben: - - Zu klein hast du des Königs Grab mir angelegt, - Drum dopple es, doch nicht vergiss der schönen Form, - Verdopple jede Kante schnell des Grabs. - -Er schien aber sich geirrt zu haben, denn durch Verdopplung der Seiten -wird das ebene Feld vervierfacht, der Raum verachtfacht. Seitens der -Geometer wurde nun geforscht, wie man einen Körper unter Beibehaltung -seiner Gestalt verdoppeln könne und man nannte dies Problem die -Würfelverdopplung (κυβου διπλασιασμός), denn vom Würfel ausgehend -suchten sie diesen zu verdoppeln. Während aber alle lange Zeit nicht -aus noch ein wussten, wurde es zuerst dem ¨Hippokrates von Chios¨ klar, -dass der Würfel verdoppelt werden würde, wenn zwischen zwei Strecken, -von denen die grössere das Doppelte der kleineren ist, zwei mittlere -Proportionalen in stetiger Proportion gefunden wären. So verwandelte er -diese Schwierigkeit in eine andere nicht geringere. - -Nach einiger Zeit sollen einige Delier, welche durch einen Orakelspruch -zur Verdoppelung eines Altars gedrängt wurden, in dieselbe Verlegenheit -geraten sein. Und sie sollen die Geometer aus der Umgebung des ¨Platon¨ -in der Akademie gebeten haben das Gesuchte zu finden. -- Die letztere -Version war im ganzen Altertum verbreitet, z. B. ¨Theon von Smyrna¨ -(aus einer andern nicht weiter bekannten Schrift des Eratosthenes -»Πλατωνικός« (Ambros Sturm), Plutarch an 2 Stellen »De genio Socratis« -VII; De ει apud. Delphos VI, Joh. Philopömos, (Commentator des -Aristoteles; Προλεγόμενα της πλάτωνος φιλοσοφίας), Vitruv, Valerius -Maximus. Wir sehen hier einen der deutlichsten Beweise für ¨den -Zusammenhang der hellenischen Mathematik mit der indischen¨, nur dass -die Inder, entsprechend der früheren Entwicklungsstufe die Fläche -verdoppeln, d. h. sich mit der quadratischen Gleichung begnügen, -während die Pythagoräer, das kulturelle Problem von den Indern -aufnehmend, das Volumen verdoppeln, d. h. zur Gleichung 3. Grades -fortschreiten. - -[Sidenote: Archytas.] - -Die älteste Lösung zufolge Eutokios Bericht aus Eudemos (nach -¨P. Tannery¨ aus ¨Sporus¨, der etwa um 300 n. Chr. Eudemos benutzt -hat) ist die des ¨Archytas¨ aus Tarent, den ¨Horaz¨ in der Ode 28 des -Buch I erwähnt »te maris et terrae numeroque carentis arenae mensorem -cohibent, Archyta«, der etwa 430 bis 365 zu setzen ist, wo er durch -Schiffbruch am Kap Matinum den Tod fand. ¨Platon¨ hatte bei seiner -ersten Reise nach Sizilien die Bekanntschaft des als Staatsmann, -Philosoph und Mathematikers gleich ausgezeichneten Pythagoräers -gemacht, und stand mit ihm in Briefwechsel. Archytas soll seinerseits -den Platon in Athen wiederbesucht haben. Von den Schriften, die unter -seinen Namen auf uns gekommen sind, ist fast alles als unecht erwiesen. -Seine Lösung des Delischen Problems, die bedeutendste von allen, zeigt -ihn als erstklassigen Mathematiker. Ich gebe den Wortlaut (s. Figur). - -[Illustration] - -ΑΛ und Γ mögen die beiden gegebenen Strecken darstellen, verlangt -zwischen ΑΛ und Γ zwei mittlere Proportionalen zu finden. -- Um die -grössere, nämlich ΑΛ, möge der Kreis ΑΒΛΖ beschrieben werden und ihm -werde die Γ gleiche [Sehne] ΑΒ eingefügt, und ausgezogen soll diese -mit der in Λ berührenden [Linie] des Kreises in Η zusammentreffen. -Neben [παρά d. h. parallel] ΗΛΟ möge ΒΕΖ geführt werden, auch ein -Halbcylinder ersonnen werden senkrecht auf den Halbkreis ΑΒΛ und ein -senkrechter Halbkreis auf ΑΛ, welcher in dem Parallelogramm (dem -Achsenschnitt) des Cylinders liegt. - -Wird nun der Halbkreis herumgeführt in der Richtung von Λ nach Β, -während der Endpunkt Α des Durchmessers fest bleibt, so wird er die -cylindrische Fläche schneiden und in ihr eine Linie einzeichnen. Und -wenn wiederum herumgedreht wurde [und zwar] bei beharrender [Linie] ΑΛ -das Dreieck ΑΒΛ, in dem Halbkreis entgegengesetzter Bewegung, wird es -für die Strecke ΑΗ eine Kegelfläche erzeugen. Und diese wird bei der -Drehung die Linie auf dem Cylinder in einem gewissen Punkte treffen, -und zugleich wird auch [Punkt] Β einen Halbkreis in der Kegelfläche -beschreiben. An dem Orte des Zusammentreffens der Linien habe nun der -bewegte Halbkreis eine Lage wie etwa Λ′ΚΑ, das entgegengesetzt gedrehte -Dreieck die von ΑΗ′Λ, und der Punkt des besagten Zusammentreffens sei -Κ. Und der von Β beschriebene Halbkreis sei ΒΜΖ und sein Schnitt mit -ΒΛΖΑ sei die [Sehne] ΒΖ. Und es werde von Κ auf die Ebene des Halbkreis -ΒΛΑ das Lot gezogen, so wird es auf die Peripherie des Kreises fallen -wegen des Senkrechtstehens des Cylinders. Es falle also und sei ΚΙ und -die von Ι an Α geknüpfte Linie treffe ΒΖ in Θ, und ΑΗ′ den Halbkreis -ΒΜΖ in Μ. Es möge auch ΚΛ′, ΜΙ, ΜΘ gezogen werden. Da nun jeder der -Halbkreise ΛΚΑ und ΒΜΖ senkrecht steht zur Grundebene, so steht auch -ihr gemeinsamer Schnitt senkrecht zur Ebene des Kreises, daher steht -auch ΜΘ senkrecht auf ΒΖ, das heisst das Rechteck aus ΘΑ und ΘΙ ist -gleich dem Quadrat über ΜΘ. Folglich ist das Dreieck ΑΜΙ jedem der -Dreiecke ΜΙΘ, ΜΑΘ ähnlich, und ist rechtwinklig. Aber auch das Dreieck -Λ′ΚΑ ist rechtwinklig; folglich sind die [Linien] ΚΛ′ und ΜΙ parallel, -und es wird das Verhältnis bestehen wie ΛΑ zu ΚΑ, ebenso ist ΚΑ zu ΑΙ -und so auch ΙΑ zu ΑΜ wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke, also sind die -4 (Strecken) ΛΑ, ΑΚ, ΑΙ, ΑΜ der Reihe nach in Proportion und ΑΜ ist -gleich Γ, da sie gleich ΑΒ ist. Zu den beiden gegebenen ΑΛ und Γ sind -also die beiden mittleren Proportionalen gefunden worden ΑΚ u. ΑΙ. - -Analytisch geometrisch ist diese Konstruktion, welche ein glänzendes -Zeugnis von dem Können des Archytas ablegt, sehr leicht zu -verifizieren. Wählt man ΑΛ als Abscissenaxe, Α als Anfangspunkt, und -die Tangente in Α an den Kreis ΑΒΛ als Ordinatenaxe, so ist, wenn Κ { -x, y, z; ΑΛ = a und Γ = ΑΒ = b gesetzt wird, da Κ auf Zylinder, Kegel -und Wulst liegt: - -1) x^2 + y^2 = ax (Gleichung des Cylinders); 2) x^2 + y^2 + z^2 = -(a^2/b^2)x^2 (Gleichung des Kegels durch doppelten Ausdruck des Cosinus -des konstanten Öffnungswinkels) 3) x^2 + y^2 + z^2 = ắ√(x^2 + y^2) -(Gleichung des Wulstes). Daraus für Punkt Κ: ắ√(ax) = a^2x^2 : b^2 und -a^3x = a^4x^4 : b^4; x^3 = b^4 : a; x = b∛(b : a), √(x^2 + y^2) = ΑΙ = -∛(ab^2) und √(x^2 + y^2 + z^2) = ΑΚ = ∛(a^2b), also ΑΛ : ΑΚ = ΑΚ : ΑΙ = -ΛΙ: ΑΒ. - -Dass ¨Archytas¨ seine Konstruktion analytisch d. h. von der gelösten -Aufgabe aus rückwärts gehend gefunden, unterliegt keinem Zweifel und -ebensowenig die Ansicht ¨Bretschneiders¨, dass er vom rechtwinkligen -Dreieck ΑΚΛ′ ausging und ΑΙ auf ΑΚ projizierte. - -Die Lösung des Archytas wird bestätigt durch den oben besprochenen -Brief des Eratosthenes, durch Vitruv und Diogenes Laërtios (200 -n. Chr.). Wir sehen hier wie hoch etwa um 400 die Kenntnisse der -Pythagoräer stehen; der Potenzsatz (der zweite Hauptsatz vom -Kreise), die Sätze vom rechtwinkligen Dreieck und ihre Umkehr, die -Ähnlichkeitslehre, die Anwendung der Bewegung zur Konstruktion, -allerdings nach dem Vorgang des ¨Hippias¨ von ¨Elis¨ und seiner -Quadratrix (s. u.) - -Der Satz: »Stehen 2 Ebenen auf einer dritten senkrecht, so steht ihre -Schnittgerade auch auf dieser senkrecht«, die Kenntnis und Benutzung -der geometrischen Orte; Schnitt eines Cylinders und eines Kegels, und -damit die erste ¨Raumkurve¨, der Wulst und sein Schnitt, die erste -von Proklos »¨spirische¨« benannte Linie, und überhaupt so grosse -stereometrische Kenntnisse, dass es klar wird, dass die Pythagoräer, -vor allem ¨Archytas¨ die Lehrer des Platon gewesen sind, und ¨nicht¨ -umgekehrt, wie das ja die oben zitierte Stelle der Gesetze bestätigt. - -[Sidenote: Eudoxos.] - -Die nächste Lösung führt uns auf den grössten Mathematiker und Astronom -zur Zeit des Platon, auf ¨Eudoxos¨ von ¨Knidos¨, dessen Ruhm durch -den des Platon lange verdunkelt ist und den die zusammenfassende -Geschichte der Mathematik bisher zu stiefmütterlich behandelt hat. Die -Programme von ¨H. Künssberg¨, Dinkelsbühl 1888-90, der Astron., Math. -und Geograph E. v. Knidos, werden ihm gerecht. ¨Eudoxos¨ auf allen -drei Gebieten und auch auf dem der Gesetzgebung gleich bedeutend, -ist etwa um 410 zu Knidos, einer dorischen Stadt in Karien, an der -Küste von Kleinasien, aus armer Familie hervorgegangen, früh kam er -in das ebenfalls dorische Tarent und genoss dort in Mathematik und -Astronomie den Unterricht des grössten Pythagoräers, des ¨Archytas¨. -Etwa 23 Jahre alt ging er nach kurzem Aufenthalt in Athen, wo er -Platon gehört haben soll, nach Ägypten, vermutlich als Begleiter eines -Arztes Chrysippos, mit Empfehlung des Sparterkönigs ¨Agesilaos¨ an -Nektanebos (Necht-Harebhēt). Die Reise fällt gegen 380, da etwa von -394-380 Nektanebos den Aufruhr seiner Ägypter bekämpfen musste. Dort -verkehrte er in Heliopolis mit den Priestern insbesondere mit dem -Priester Chonuphis und indem er völlig ihre Sitten annahm (ξυρομενος τε -ιβην και οφρυς, geschoren am Scham und Augenbrauen) bekam er Einblick -in das riesige astronomische Beobachtungsmaterial und dort schrieb er -seine Octaëteris etwa um 375, vergl. ¨A. Boeckh¨: Über die vierjährigen -Sonnenkreise der Alten 1863. Die Octaëteris ist eine 8jährige Periode -zum Ausgleich des Mond- und Sonnenjahres. 8 · 354 + 3 · 30 = 2922 = -8 · 365-1/4. - -Etwa um 370 in der Akme gründete er in Kyzikos in Mysien (Panorma am -Marmorameer) eine Hochschule, die rasch zu grosser Blüte gelangte, -aber schon nach wenigen Jahren trieb ihn sein rastloser Bildungseifer -in die Weite. Zunächst zog er nach Athen und führte eine grosse Anzahl -seiner Schüler dem Platon zu, darunter die bedeutendsten Mathematiker -der Akademie, wie ¨Menaichmos¨, den eigentlichen Entdecker der -¨Kegelschnitte¨, ¨Dinostratos¨, der den Nutzen der Kurve des Hippias -von Elis für die Quadratur des Zirkels erkannte und ihr den Namen -Quadratrix, τετραγωνίζουσα, verschaffte, Athenaios, Helikon etc. Von -Athen zog er nach Sizilien und studierte dort unter dem italischen -Lokrer ¨Philistion¨, vermutlich auch ein Pythagoräer, Medizin. Dann -kehrte er von Knidos zurück, mit grossen Ehren empfangen, und schuf für -die Stadt neue Gesetze. - -Unsere fast einzige Quelle über Eudoxos ist Diogenes Laertios, die -sich aber auf gute Autoritäten wie Kallimachos, Sotios, Nikomachos, -Eratosthenes stützt. Sonst haben wir nur eine kurze Notiz in der -Ethik des Aristoteles 172, b. 15, wonach er Hedoniker etwa im Sinne -Demokrits war und in dem bekannten Lexikon des Suidas, der zwar die -drei sehr gelehrten Töchter des Eudoxos mit Namen nennt, aber über ihn -selbst so gut wie nichts sagt. Doch gibt Aristoteles seinem Charakter -ein günstiges Zeugnis. Aber über die wissenschaftliche Bedeutung des -Mannes war das ganze Altertum einig, und ich kann dafür auf ¨Cicero¨ -verweisen, den ich, wie sehr Sie auch sein Cato major, sein Lälius, -seine Officien gelangweilt haben mögen, als ¨Historiker¨ nicht zu -unterschätzen bitte. Diogenes Laertios berichtet, dass er in Knidos -statt »Eudoxos« in »Endoxos« umgetauft wurde, d. h. der Anerkannte -und Eratosthenes nennt ihn, den Astronomen, Mathematiker, Geographen, -Philosophen, Mediziner, Staatsmann, der an die »Allmenschen« des -Cinquecento an Leonardo da Vinci und Michelangelo erinnert, den -»Göttergleichen« in dem Epigramm: »θεουδεος Ευδοξοιο καμπυλον εν -γραμμαις ειδος.« - -Auch Platon hatte die höchste Achtung vor Eudoxos als Mathematiker, wie -aus seiner 13. Epistel hervorgeht und aus der Angabe bei Plutarch, dass -er die Delier an den Eudoxos verwiesen habe. Er starb 53 Jahre alt um -356. - -[Sidenote: Lösung des Delischen Problems von Eudoxos.] - -Seine Lösung des Delischen Problems übergeht Eutokios, die kurze -Andeutung bei Eratosthenes war ihm unverständlich, und die ihm -vorliegende Lösung fehlerhaft überliefert. Eratosthenes sagt in dem -zitierten Briefe: »Während nun diese (die Geometer der Akademie) -sich arbeitsfreudig drangaben und zu zwei gegebenen zwei mittlere -zu fassen suchten, soll sie Archytas der Tarentiner mittelst des -Halbcylinders gefunden haben und Eudoxos von Knidos mittelst der -bogenförmig (καμπύλον) genannten Linien. Das Wort Kampylos bedeutet -»gekrümmt« insbesondere gekrümmt nach Art des Kriegsbogens der Griechen -[**symbol], den ¨Homer¨ stets mit diesem epitheton ornans bezeichnet. - -Es ist ¨P. Tannery¨ gelungen (Sur les solutions du problème de Delos -par Archytas et par Eudoxe, Mém. de Bordeaux Ser. 2, T. II Paris -1878 p. 277), die naturgemäss eng an Archytas anschliessende Lösung -des Eudoxos wiederherzustellen, dadurch dass er erkannte die Kurve -müsse ein dem griechischen Kriegsbogen ähnliches Aussehen haben und -daraufhin, nicht wie V. Flauti, Geom. di sit. Napol. 1842, 3. Aufl. -die Projektion der Schnittkurve des Wulstes und des Kegels auf die zx -Ebene, sondern auf den Grundkreis, auf die xy Ebene, untersuchte. - -[Illustration] - -Eudoxos betrachtete die Schnittkurve des Wulstes und des Kegels, d. h. -also er sah zunächst davon ab, dass Punkt Ι der Figur[*] auf der -Peripherie des Grundkreises liegt, immer ist: ΑΘ^2/(ΑΜ^2) = ΑΙ^2/(ΑΚ^2) -= ΑΙ/ΕΔ oder I: ΑΘ^2 = b^2/aΑΙ. - -[*] In der Figur ist Θ durch Q, ξ durch ζ, und Ι durch S ersetzt. - -Dadurch ist die Projektion eines Punktes Κ der Schnittkurve und -damit ihre Projektion auf die xy Ebene, die Ebene des Grundkreises, -definiert. Sowohl ihre Gleichung wie ihre Konstruktion ist nun ohne -weiteres klar, sobald man noch nachgewiesen, dass Αξ = ΑΘ, wo Αξ die -Abscisse x von Ι (und Κ). - -Es ist: ΑΘ/ΑΕ = ΑΙ/Αξ oder ΑΘ . x = ΑΕ . ΑΙ = b^2/a . ΑΙ also nach -Ι x = ΑΘ also die Gleichung der Kurve ΑΙ^2 = x^2 + y^2 = a^2x^4/b^4 -d. h. also eine durch die Substitution ξ = x^2, η = y^2 transformierte -Parabel, welche Tannery analytisch untersucht hat. Ihre geometrische -Konstruktion ist äusserst einfach vergl. die Fig. 1 und das richtige Ι -der Punkt wo diese Kurve den Halbkreis schneidet. - -Es ist nach Konstruktion: ΑΘ^1 = Αξ^1 und ΑΙ^1/(Αξ^1) = ΑΘ^1/ΑΕ, oder -ΑΘ′^2 = ΑΙ′ . ΑΕ und da ΑΒ^2 = a . ΑΕ so ist ΑΘ′^2 = ΑΙ′b^2/a somit Ι′ -ein Punkt des Ortes. - -[Sidenote: Mechanische Lösung von Eudoxos (Platon).] - -Vom Eudoxos rührt m. E. auch die Konstruktion her, welche Eutokios dem -Platon zuschreibt. ΑΒ und ΒΓ, s. Fig., seien die gegebenen Strecken; -man verlängere sie nach Δ und Ε, so dass ΑΕΔ und ΓΔΕ rechte Winkel -sind, dann ist nach der Satzgruppe des Pythagoras ΓΒ : ΒΔ = ΒΔ : ΒΕ = -ΒΕ : ΑΒ. - -[Illustration] - -[Illustration] - -Die Punkte Δ und Ε lassen sich auf mechanischem Wege leicht -finden mittelst zweier aufeinander verschiebbarer rechten Winkel -(Winkelhaken); es wurde ein eigenes Hilfsinstrument (siehe Figur) -angefertigt, durch einen beilförmigen Einschnitt β in die Lineale -(κανών, Kanon) wurde dafür gesorgt, dass sich ΚΔ nur parallel zu -ΗΘ bewegen konnte, die nähere Beschreibung siehe man bei A. Sturm -l. c. p. 50. Die ganze Konstruktion ist so unplatonisch wie möglich, -wir wissen dass gerade auf Platon die strenge Beschränkung der -geometrischen Hilfsmittel auf Zirkel und Lineal zurückgeht, dass er die -sogenannte Neusis, die Einschiebung von Strecken auf mechanischem Wege -verpönte. Ausserdem berichtet Plutarch ganz ausdrücklich Quaest, conv. -VIII p. c. 1: Platon ¨tadelte¨ Eudoxos, Archytas und Menaichmos, weil -sie die Verdoppelung eines Körpers auf instrumentale und mechanische -Apparate zurückführten. Dagegen passt sowohl die Anwendung des -Satzes von der Höhe im rechtwinkligen Dreieck, den auch ¨Archytas¨ -anwandte und die Lösung mittelst eines Instrumentes sehr gut auf -Eudoxos, der als leidenschaftlicher Astronom mit Apparaten durchaus -vertraut war. Ich schliesse hier gleich den Bericht über ¨Eudoxos¨ -Gesamtleistungen an. Von Eudoxos rührt fast sicher das ganze 5. Buch -der Elemente des Euklid her, die so diffizile Lehre vom Streckenbuch, -und zwar wörtlich; man vergl. ¨Proklos¨, ed. Friedlein p. 68 und s. u. -Euklid. Und ein Scholion der lat. Ausgabe der 6 ersten Bücher Basel -1550 zum 5. Buch des »Adelos« und im prächtigen Codex des Euklid aus -der Sammlung Mazarin ist von ¨Knoche¨ als von ¨Proklos¨ herrührend -erkannt, es heisst da: Einige sagen dass dieses Buch die Erfindung des -Eudoxos sei, -- und das wird direkt bestätigt durch weitere Scholien -(¨Knoche¨ 1865) und indirekt dadurch, dass Buch 7 der Elemente die -Lehre von den Proportionen für ganze Zahlen noch einmal aufnimmt, -ohne irgend eine Rücksicht auf das 5. Buch. Von Eudoxos rühren die -fünf ersten Sätze des XIII. Buchs samt der Definition von Analysis -und Synthesis her, vermutlich auch ein ganzer Teil der weiteren Sätze -über die 5 Platonischen Körper. Eudoxos, der als grosser Astronom auf -das genaueste mit der Sphärik vertraut war, ist wohl der eigentliche -Schöpfer der später von Theodosios bearbeiteten Sphärik. - -Für eine Anzahl wichtigster Sätze der Stereometrie haben wir das -schwerwiegende Zeugnis des ¨Archimedes¨, der in seiner Quadratur der -Parabel, der ersten grossen Leistung der Integralrechnung, das nach -ihm benannte jetzt so viel besprochene Prinzip älteren Geometern -vindiziert, welche damit bewiesen, dass Kreise sich wie die Quadrate, -Kugeln wie die Kuben ihrer Durchmesser verhalten, ferner dass jede -Pyramide der dritte Teil des Prisma von gleicher Grundfläche und Höhe, -jeder Kegel der dritte Teil des Cylinders von gleicher Basis und -Höhe sei. Alles das haben sie durch Annahme des aufgestellten Lemma -bewiesen. Hier wurde Eudoxos Name nicht genannt. Aber in der Einleitung -zum ersten Buch seiner Schrift: περι σφαιρας και κυλινδρου. heisst -es: »Ebenso verhält es sich mit vielen von ¨Eudoxos¨ über die Körper -aufgefundenen Sätzen, die Beifall erhalten haben z. B. dass jede -Pyramide etc., jeder Kegel etc. Denn obgleich diese Sätze über diese -Gebilde schon früher experimentell bekannt waren, so traf es sich doch, -obgleich es vor Eudoxos viele erwähnenswerte Geometer gab, dass sie von -keinem begrifflich erkannt und auch von keinem folgerichtig bewiesen -wurden.« - -Demnach hat Eudoxos auch einen bedeutenden Anteil am XII. Buch der -Elemente. Im besonderen sind die wertvollen Beweise XII, 2 -- XII, 10 -Eigentum des Eudoxos, und indem sie sich eng an die Definitionen und -Sätze des 5. Buches anschliessen, geben sie wie ¨L. Ofterdinger¨ -bemerkt hat, zugleich einen Beweis für das Eigentumsrecht des Eudoxos -auf Buch V. Freilich müssen wir das mathophilosophische Verdienst des -Eudoxos jetzt nach dem Ephodion erheblich einschränken. Das Prinzip -der Exhaustionsmethode des Euklid ist im Grunde nichts weiter als das -unendlich kleine des ¨Demokrit¨, das Eudoxos den Hellenen mundgerecht -gemacht hatte, welche vor der rücksichtslosen Kühnheit, mit der -Demokrit seine Differentiale der Masse und des Raumes einführte, -scheuten. Es ist so ziemlich derselbe Vorgang, welcher sich in der -Neuzeit abspielte, als die Fluxion, das Moment des ¨Newton¨, das -»infiniment petit« des Leibniz von Lagrange durch die Ableitung ersetzt -wurde. - -[Sidenote: Das Weltsystem des Eudoxos.] - -So gross die Leistungen des Eudoxos auf mathematischem Gebiete waren, -so bedeutend er als Geograph war durch seine »γης περιοδος«, eine -umfassende Länder- und Völkerkunde, am grössten steht er doch als -Astronom da. So leidenschaftlich war seine Liebe zur Sternkunde, -dass er wie Plutarch erzählt, geäussert hat »Ich wünschte auf die -Sonne zu kommen um die Gestalt und Grösse des Gestirnes kennen zu -lernen und wäre es auch um den Preis, wie Phaëton zu verbrennen«. -An den verschiedensten Punkten des Orbis terrarum hat er die Sterne -beobachtet, noch ¨Strabo¨ wurde seine Warte bei Heliopolis gezeigt, -auch eine eigentümliche Sonnenuhr αραχνη (Spinne, wohl von der -Ähnlichkeit mit dem Netze einer Spinne) hat er konstruiert. Wir -verdanken die Kunde seines Weltsystems, ¨des ersten¨, das ¨streng -mathematisch¨ die Bewegungen der Gestirne zu erklären suchte, -Aristoteles in der Metaphysik und besonders dem so wichtigen -Commentar des Simplicius zu Aristoteles de coelo, auf den gestützt -¨I. K. Schaubach¨ in seiner klassischen Geschichte der griech. -Astron. bis auf Eratosthenes Gött. 1802 und der grosse Chronologe -¨Chr. L. Ideler¨ 1806 und besonders 1828, 29 Eudoxos als Astronom -würdigen konnten. Die völlige Aufklärung gab der hervorragende -italienische Astronom ¨G. V. Schiaparelli¨ in Le sfere omocentriche -di Eudosso, di Calippo e di Aristotele (Mil. 1875), gelesen bei -Gelegenheit des 400. Geburtstags des Copernicus zu Mailand 20. Febr. -1875, deutsch von W. Horn im Supplementband des Schlömilch von 1877. -Er konnte dabei schon einen von ¨Brunet de Presle¨ aus dem Nachlass -des bedeutenden Historikers der Mathematik ¨Letronne¨ in den Not. -et extraits des Manscr. de la bibl. imp. T. 18, p. I Par. 1865 -veröffentlichten Papyrus des Louvre benutzen, der vermutlich ein aus -190 v. Chr. stammendes Kollegienheft einer alexandrinischen Vorlesung -über Astronomie ist. Ich folge hier im Wesentlichen Schiaparelli und -¨Künssberg¨ Th. I 1889. - -Das Prinzip von dem Eudoxos ausging, war dasselbe, dem wir ¨Kepler's¨ -harmonice mundi verdanken und das bewusst oder unbewusst jeder annimmt, -das Prinzip: der Kosmos ist nach einem einzigen allgemeinen Gesetze -geordnet. Schiaparelli sagt: »den griechischen Astronomen fehlte das -physikalische Gesetz der allgemeinen Schwere, sie mussten sich daher -an geometrische Gesetze halten«. Nun aber bot der tägliche Umschwung -des Fixsternhimmels eine gleichförmige Kreisbewegung dar und ebenso -schienen die monatlichen und jährlichen Bewegungen des Mondes und der -Sonne gleichförmig in Kreisbahnen vor sich zu gehen. Die Planeten, -besonders die oberen, zeigten zwar grosse Unregelmässigkeiten, sie -beschrieben ja ganz verwickelte Schleifenlinien, aber man entnahm aus -dem obigen Prinzip das Axiom, es müssten sich alle diese Abweichungen -aus dem Zusammenwirken von mehreren gleichförmigen Kreisbewegungen -erklären lassen. Dies Axiom soll nach Gemīnos (Géminus), isagoge -eis phaenomena Cap. I, von den ¨Pythagoräern¨ herrühren und hat die -theoretische Astronomie bis Galilei und Newton beherrscht. - -¨Schiaparelli¨ sagt: »Eine andere Bedingung, der sich die, welche -zuerst über den Bau des Universums nachdachten, fügen mussten, war -diese, für denselben die grösste Einfachheit und Symmetrie anzunehmen. -Da bildeten im System des Philolaos (s. Pythagoräer) die Bahnen der -Himmelskörper ein System von Kreisen, die um ein gemeinsames Zentrum -beschrieben wurden, und dieselbe Regel oder wenigstens eine ähnliche -ist in den verschiedenen Systemen des Platon beobachtet. [Timaios 11]. -An dieser Grundanschauung hielt auch Eudoxos fest und stellte sich -vor, dass alle seine Sphären konzentrisch um die Erde gleichmässig -beschrieben seien, weshalb ihnen später der Name homozentrische -Sphären beigelegt wurde. Durch diese Anschauung wurde das Problem viel -schwieriger, weil dadurch diesen Sphären jede fortschreitende Bewegung -genommen wurde und dem Geometer zur Erklärung ihrer Bewegung nichts -anderes übrig blieb als die Kombination ihrer Rotationsbewegung, aber -dem Bau der Welt wurde dadurch eine Eleganz bewahrt, von welcher die -Konstruktionen des Hipparch [von Rhodos], des Ptolemaios und alle -andern, selbst des Copernicus weit entfernt blieben und die bis Kepler -ihresgleichen nicht wiederfand.« -- - -¨Eudoxos¨ dachte sich ungefähr wie Platon, dass jeder Himmelskörper -von einer um zwei Pole in gleichförmiger Rotation drehbaren Sphäre -in kreisförmige Bewegung versetzt würde. Er nahm ausserdem an, dass -derselbe in einem Punkt des Äquators dieser Sphäre befestigt sei. -Zur Erklärung der Planetenbewegung genügte diese Hypothese nicht, -Eudoxos setzte deshalb fest, dass die Pole der den Planeten tragenden -Sphäre nicht unbeweglich bleiben, sondern von einer grösseren, der -ersten konzentrischen getragen würden, welche gleichförmig und mit -einer ihr eigentümlichen Geschwindigkeit um zwei von den vorigen -verschiedene Pole rotiere. Da auch dies noch nicht genügte, so liess -er die Pole der zweiten auf einer dritten konzentrischen grösseren -Kugel fest sein; welche wieder ihre besonderen Pole und ihre besondere -Geschwindigkeit besass. Und wo drei Sphären nicht ausreichten, nahm -er noch eine vierte hinzu, welche die drei ersten umschloss und die -zwei Pole der dritten enthielt, und mit eigener Geschwindigkeit um -ihre Pole rotierte. Für Sonne und Mond fand er 3 Sphären bei passender -Wahl der Geschwindigkeiten, der Pole und der Neigungswinkel genügend, -für die 5 anderen Planeten fand er 4 Sphären nötig. Die bewegende -Sphäre eines jeden Planeten machte er völlig unabhängig von denen der -anderen. Für die Fixsterne genügte eine einzige Sphäre um die tägliche -Bewegung hervorzubringen. Für die Sonne hätte er mit zwei Sphären -auskommen können, da er die sogen. Anomalie, die ungleiche Dauer der -Jahreszeiten, d. h. die Ungleichförmigkeit der Geschwindigkeit nicht -berücksichtigte, aber er glaubte an eine geringfügige Veränderung der -Sonnenbreite in bezug auf die Ekliptik. Somit hatte er 27 Sphären nötig. - -[Illustration] - -Hier die Figur, das Abbild eines von Künssberg nach Eudoxos -konstruierten Planetolabium ist durchaus geeignet das System klar zu -machen. Kreis I dient dazu die tägliche, Kreis II die Bewegung in der -Ekliptik, Kreis III die Abweichung von der Ekliptik, Kreis IV die -Ungleichförmigkeit des Planeten in Bezug auf Geschwindigkeit und -Richtung zu erklären. Ich hebe hervor, dass Eudoxos den Neigungswinkel -von etwa 5° der Mondbahn gegen die Ekliptik kannte und damit dem -¨Babylonischen Saros¨ von 6585-1/8 Tagen und dass auch die Reihenfolge -der Planeten die ¨Babylonische¨ ist. Ich muss für weiteres auf -¨Schiaparelli¨ und ¨O. Tannery¨ [Note s. le syst. astron. d'Eudoxe, -Mém. de Bordeaux, Ser. II T. 1 (1876) und T. 5 (1883)] verweisen, -welche beide erklären, dass das System nach der Verbesserung durch -Kallippos ebenso gut die Bewegung von Sonne und Mond darstelle, -sowie die hauptsächlichen Unregelmässigkeiten der Planetenbahnen wie -die Epicykeln des Ptolemaios. Nur noch einige Bemerkungen über die -eigentliche Bahn der Planeten, welche durch die beiden innersten Kugeln -3 und 4 hervorgebracht wird, die sogen. ¨Hippopede¨ (Pferdefessel) -des Eudoxos, die erste sphärische Raumkurve, welche Schiaparelli sehr -richtig als ¨Lemniskate¨ bezeichnet. - -Eudoxos hat nur auf die Elementargeometrie gestützt das folgende -schwierige Problem gelöst: um zwei feste Pole dreht sich eine Kugel -gleichförmig, um zwei Pole auf dieser dreht sich ebenso eine zweite -mit derselben aber entgegengesetzt gerichteten Geschwindigkeit, -welche Bahn beschreibt ein Punkt des Äquators. Die Kurve ist dadurch -ausgezeichnet, dass ihre Bogenlänge wie die der ebenen Lemniskate -durch ein elliptisches Integral 2. Gattung dargestellt wird. Die -elementargeometrische Behandlung der Kurve wäre eine vorzügliche -Übungsaufgabe. - -Die grossen Verdienste des Eudoxos um Geographie und Kalender sind -neben Schaubach auch von ¨A. Boeckh¨ in der cit. Schrift 1863 voll -gewürdigt. - -[Sidenote: Lösung des Delischen Problems durch Menaichmos.] - -Ich verlasse Eudoxos, den grössten Mathematiker seiner Zeit, der -vermutlich ebenso nüchtern war wie Platon phantastisch war, berichtet -doch Cicero in De Divinatione, dass er die Astrologie der Babylonier -für Unsinn hielt und dies, obwohl er unzweifelhaft von Babylonischer -Astronomie beeinflusst war, wie schon aus seiner Festsetzung des -Verhältnisses von Sonnen- und Monddurchmesser hervorgeht und wende -mich zum Delischen Problem zurück. Knüpfte Eudoxos an seinen Lehrer -Archytas an, so folgte ihm wieder sein Schüler ¨Menaichmos¨, den er -seinerzeit dem Platon zugeführt hatte. Menaichmos, der um die Mitte -des 4. Jahrh. lebte, wird von den Alten einstimmig als der Erfinder -der Kegelschnitte bezeichnet. Eratosthenes nennt sie in dem Briefe, -die Menächmischen Triaden »man braucht nicht die Men. Triaden aus dem -Kegel zu schneiden«. ¨Proklos¨ (oder Gemīnos) beziehen sich auf diese -Stelle (Friedl. p. 111). Und aus des Eutoxios Excerpt aus Eudemos oder -Geminos sehen wir dass die Delische Aufgabe und der Weg des Archytas -und Eudoxos den Menaichmos geleitet haben. Es heisst bei Eutokios: - -[Illustration] - -»So wie Menaichmos: Es seien die gegebenen Geraden (die Alten kannten -den Ausdruck »Strecke« nicht) Α und Ε, gefordert zwischen Α und Ε zwei -mittlere Proportionalen zu finden. Es sei geschehen und sie sollen -Β und Γ sein, uns möge die im Punkte Λ begrenzte Grade (d. h. der -Strahl) ΛΗ gezeichnet vorliegen [εκκεισθω θεσει.] und bei Λ liege [auf -ihr] die Γ gleiche Strecke ΛΖ, und senkrecht [dazu] werde ΘΖ gezogen -(als Strahl) und ΘΖ [als Strecke] (s. Figur) gleich Β gemacht. Da nun -die drei Geraden Η, Β, Γ, proportional so ist das Rechteck aus Α und -Γ gleich dem Quadrat über Β.« Es ist also ΑΓ = Β^2 = ΘΖ^2 = Α . ΛΖ, -folglich liegt Θ auf der Parabel mit dem Scheitel Λ, der Axe ΛΗ und dem -Parameter A/2. Da auch das Rechteck ΓΒ oder ΛΖ . ΖΘ gegeben ist, weil -es gleich Α . Ε ist, so liegt Θ auch auf der gleichseitigen Hyperbel -mit den Asymptoten ΛΚ und ΛΗ, also ist Θ gefunden. Es folgt dann bei -Eutokios nach dieser Analyse auch die Synthese, ausdrücklich als solche -bezeichnet, und darauf eine zweite Lösung des Menaichmos; von der ich -auch nur die Analysis (s. Figur) gebe. - -Es seien die auf einander senkrechten Strecken ΑΒ und ΒΓ die gegebenen, -ΒΛ und ΒΕ die gesuchten, so dass ΓΒ : ΒΛ = ΒΛ : ΒΕ = ΒΕ : ΒΑ. Man ziehe -die Normalen ΛΖ, ΕΖ, so ist ΓΒ . ΒΕ = ΒΛ^2 = ΕΖ^2, also Ζ auf eine -Parabel, deren Achse ΒΕ, deren Parameter 1/2 ΓΒ. Da aber auch ΒΑ . ΒΛ = -ΒΕ^2 = ΛΖ^2 ist, so liegt Ζ auch auf der Parabel, deren Axe ΒΛ, deren -Parameter 1/2ΑΒ ist. - -[Illustration] - -Die Darstellung ist jedenfalls von Eutokios oder schon von Geminos -redigiert, denn die Namen Parabel, Ellipse, Hyperbel sind erst von -¨Apollonios¨ von ¨Pergae¨ (s. u.) im 3. Jahrh. eingeführt, ebenso wie -das Wort Asymptote. - -[Sidenote: Menaichmos, Kegelschnitte.] - -Den Gedankengang des Menaichmos hat Bretschneider, Geom. und Geometer -vor Euklides 1870 p. 156 ff., wiederhergestellt. Derselbe Eutokios -erzählt in seinem Kommentar zu des Apollonius Kōnika, dass die Alten -den Kegel nur erzeugten durch Rotation eines rechtwinkligen Dreiecks um -eine seiner Katheten. Je nachdem nun der Öffnungswinkel spitz, recht -oder stumpf war, erhielt Menaichmos Ellipse, Parabel, Hyperbel, wenn -er den Kegel durch eine Ebene, welche auf einer Seitenkante senkrecht -stand, durchschnitt. Die Ellipse war übrigens als Cylinderschnitt -schon den Ägyptern (vergl. die Säulen des Tempels von Luxor) und auch -den Hellenen vor Menaichmos bekannt, ihr alter Name war ἡ (γραμμή) -του θυρεού. [vielleicht die Schildförmige Linie, das Oval, obwohl das -ovale Schild gew. ἀσπίς und nicht θυρεός heisst]. Die Erzeugung des -Menaichmos gab sofort die Hauptachsen des Kegelschnitts. Men. erkannte -die ¨Verwandtschaft¨ seiner Kurven mit dem Kreise, da er sah dass -dieselben ¨Projektionen¨ des Kreises waren, und suchte daher nach -einem Analogon zum Potenzsatz, im Anschluss an Archytas und Eudoxos, -und fand es auch. Der ¨Begriff¨ der ¨Verwandtschaft¨ gehört zu denen, -welche sich den Geometern von selbst aufdrängen, man vergleiche die -Ähnlichkeitslehre bei Ägyptern und Indern, wenn auch Theorien der -Verwandtschaften als solcher modernen Ursprungs sind. Als Beispiel -nehme ich die Parabel, den »Schnitt des rechtwinkligen Kegels« wie sie -noch bei ¨Archimedes¨ heisst und sogar noch bei Proklos. Es ist ¯LAD¯, -s. Fig. rechtwinklig bei ¯A¯, der Schnitt ¯MIDKN¯ normal gegen die -Kante ¯AC¯ geführt, also ¯ID¯ || ¯AB¯. Es ist ¯IG¯/¯LD¯ = ¯DI¯/¯AL¯ -also gleich ¯IG¯ . ¯HI¯ : ¯LD¯^2 = ¯IK¯^2 : ¯DL¯^2 (Potenzsatz des -Kreises). Ferner wenn ¯LM¯ ⟘ ¯LD¯, ist ¯MD¯ : ¯LD¯ = ¯LD¯ : ¯AL¯, -¯LD¯^2 = ¯MD¯ . ¯AL¯ oder ¯IK¯^2 : ¯MD¯ . ¯AL¯ = ¯DI¯ : ¯AL¯, also -¯IK¯^2 = ¯MD¯ . ¯DI¯, dies ist die Grundeigenschaft (Gleichung) der -¨Parabel¨. Analog ist die Herleitung für Ellipse und Hyperbel. - -[Illustration] - -[Sidenote: Parabel; Trisektion (Dinostratos).] - -Da die nächste Lösung, die des Eratosthenes selbst ist, so unterbreche -ich hier die Geschichte des Delischen Problems um mit ¨Dinostratos¨, -den Bruder des Menaichmos der ebenfalls Schüler des Eudoxos und Platon -ist, auf die beiden andern grossen Probleme, welche die Pythagoräer -in die Hellenische Wissenschaft einführten, überzugehen. Zunächst die -Trisektion, die Dreiteilung des Winkels. Das Problem ist unzweifelhaft -von den Pythagoräern gestellt worden, und geradezu im Zusammenhange mit -dem Delischen Problem. Wie die mittlere Proportionale der Natur nach -zusammenhing mit der Halbierung des Bogens, so glaubte man würden die -beiden Medianen mit der Dreiteilung zusammenhängen und indem man die -reinkubische Gleichung lösen wollte, kam man auf die gemischte, es ist -also kein Zufall, dass dies Problem das zweite Delische genannt wurde. -Dass die Kenntnisse der Pythagoräer zu der Aufstellung der Gleichung -ausreichten, ist leicht zu zeigen vergl. Figur. Man muss nur sehen, -dass ¯ABC¯ ≅ αβγ ist. Es werde bezeichnet: αβ = ¯AB¯ = z, ¯A¯α = 2αγ -= y, ¯AD¯ = s, ¯AF¯ = σ, ¯MF¯ = p, ¯BC¯ = u = βγ, dann ist 1) s/y = -(y + z)/z, 2) u^2 + 1/4y^2 = z^2, 3) weil ¯MFB¯ ～ ¯ABC¯, 2up = y(σ - z) -4) σ^2 + p^2 = r^2. - -[Illustration] - -Setzt man u = zτ, so ist nach 2) y^2/4 = z^2(1 - τ^2) und nach 3) -gleich z^2τ^2p^2/(σ - z)^2 also 5) 1 - τ^2 = τ^2p^2/(σ - z)^2 aus 1) -und 3) folgt 6) s(σ - z)/(2τpz) = 2τp/(σ - z) + 1. - -Aus 5) folgt σ - z = τp : μ wo μ = √(1 - τ^2) ist, also z = -σ - τp : μ, also geht 6) über in 7) s = (2μ + 1)2μ(σ - τp : μ); s = -(2μ + 1)(μs - 2τp) woraus nach leichter Rechnung 4τ^3 - 3τ + ps : r^2 = -0 und da ps = ηr, wenn die Höhe des Dreiecks ¨AMD¨ von D aus η genannt -wird, 8) 4τ^3 - 3τ + η/r = 0. - -Das ist die bekannte Gleichung für sin φ/3 da η : r = sin φ ist. - -Es gewannen also die beiden Delischen Probleme die Bedeutung der -Auflösung der kubischen Gleichung, [da sich für y die Gleichung 4. -Grades y^4 + sy^3 - 3y^2r^2 - 2ysr^2 + s^2r^2 = 0 ergibt, so ist damit -zugleich die Lösung der Gleichung des 4. Grades angebahnt]. - -[Sidenote: Hippias von Elis, Dinostratos (Quadratrix).] - -Das arithmetische Problem vermochten die Pythagoräer nicht zu lösen, -und das geometrische nicht mittelst Zirkel und Lineal, d. h. elementar, -doch scheuten sie sich wie wir bei Archytas gesehen haben, keineswegs -vor Bewegungsgeometrie und so erfand denn der seiner Zeit ziemlich -übel berüchtigte Sophist ¨Hippias¨ von ¨Elis¨ im letzten Drittel des -5. Jahrh. eine mechanische Lösung und damit die erste uns bekannte vom -Kreise verschiedene nach bestimmten Gesetz erzeugte Kurve, die später -vermutlich durch oder doch ¨nach¨ Archimedes, nachdem ¨Dinostratos¨ -ihren Gebrauch zur Rektifikation (Streckung) und damit auch zur -Quadratur des Zirkels gelehrt hatte, den Namen τετραγωνίζουσα lat. -Quadratrix erhielt. Es sind sogar gegen die Autorschaft des Hippias von -Elis Bedenken erhoben (Blass, Friedlein) und ¨H. Hankel¨ der genialste -Historiker der Mathematik hat sich sehr scharf gegen die Autorschaft -des Hippias von Elis ausgesprochen, aber Gründe hat er nicht angegeben -und ich muss ¨Cantor¨ beipflichten, der aus der ständigen Gewohnheit -des Proklos nur bei der ersten Erwähnung die Herkunft anzugeben und -sie später als schon genannt wegzulassen, mit grösster Energie sich -für den Hippias von ¨Elis¨ aussprach. Proklos kann nur diesen Hippias -meinen und wenn auch der Hippias major des Platon vermutlich unecht, so -genügt doch der Hippias minor um zu beweisen, dass Hippias seinerzeit -für einen hervorragend tüchtigen Mathematiker galt. Pappos, dem wir -die Kenntnis der Kurve verdanken, erwähnt den Namen des Hippias nicht. -Die Kurve und ihre Konstruktion finden sich Buch IV prop. 25 p. 253 -der ¨Hultschen¨ Ausgabe. Während der Radius αβ, vergl. die Fig., sich -gleichförmig um α bis αδ dreht, verschiebt sich ebenfalls gleichförmig -βγ bis αδ, unsere Kurve ist der Ort des Schnittpunktes ζ der beiden -sich bewegenden Strecken. Die Grundeigenschaft ist: βκ/αβ = (Bogen -βε)/(Bogen βεδ) = Θ/(π/2). Damit ist nicht nur die ¨Trisektion¨ sondern -sogar die ¨Multisection¨ vollzogen, denn nichts hindert αβ oder irgend -ein Stück von αβ in beliebig viele gleiche Teile zu teilen. Es folgt: -(αβ - βκ)/αβ = (π/2 - Θ)/(π/2) oder 1) y . π/2 = [**arc]εδ, daraus -y_{1} : y_{2} = [**arc]ε_{1}δ : [**arc]ε_{2}δ und als Gleichung der -Kurve 2) x = y cot yπ/2. Die Proportion 1, kann auch heissen Quadrant/r -= [**arc]εδ/ζυ. Dinostratos, der mit Demokritischen Gedanken vertraut -war, bemerkte nun, dass der Bruch rechts auf der Grenze, wenn αε -unendlich nahe bei αδ ist, weil der Sektor dann in ein Dreieck übergeht -gleich δε′ : ηη′ = αδ : αη gleich r : x_{0} ist, womit zwar nicht -die Quadratur aber doch die Rektifikation des Kreises mittelst der -gezeichnet vorliegenden Kurve vollzogen ist. Der Beweis des Dinostratos -den Pappos l. c. mitteilt, rechnet selbstverständlich nicht mit dem -Unendlich kleinen, sondern ersetzt die Differentialrechnung durch -die Grenzmethode, wie das auch Archimedes selbst noch getan, obwohl -wir aus dem Ephodion sehen, wie genau er sich der Tragweite der -Infinitesimalrechnung bewusst war. Man braucht ja nur an des Cavalieri -»geometria indivisibilium« zu denken, die er umarbeiten musste, weil -seine Zeitgenossen an dem nackten Unendlich kleinen und grossen, am -Differential und Integral des Volumens, Anstoss nahmen. ¨Newton¨ der -Urheber des selbständigen Differentialkalküls hat in den Prinzipien -und in seinen geometrischen Werken ängstlich die Methode verschleiert -und noch heute gibt es Mathematiker genug, welche vor dem »infiniment -petit« scheuen, wie etwa Pferde vor einem Automobil. - -[Illustration] - -[Sidenote: Theaítetos und Theudios.] - -Sind Menaichmos und Dinostratos die produktivsten Mitglieder des -Platonischen Kreises, »derer um Platon,« so sind Theaítetos der -Athener und Theudios der Magnesier, (wohl in Karien) diejenigen, -welche die methodische Seite der Akademie am energischsten vertreten. -Von Θεαίτητος, dem schon oft genannten, rührt ein grosser Teil der -selbst für uns Heutige nicht leichten Sätze des X. Buchs der Elemente -des Eukleides her, das selbst ein Petrus Ramus, obwohl ein genauer -Kenner von Proklos' Kommentar zum I. Buch, nicht verstand, und -Θευδιος ὁ Μαγνης hat das Lehrbuch der Akademie verfasst. Von ihm sagt -Proklos: Er brachte gute Ordnung in die Elemente und verallgemeinerte -vieles in den einzelnen Abschnitten (Friedl. p. 67, wenn ὁρικων, was -Friedlein bezweifelt, richtig ist, so kann es auch vielleicht besser -als »begrenzt« d. h. »zu eng gefasst« übersetzt werden, »er machte die -Begrenzungen weiter«). - -[Sidenote: Aristoteles.] - -Die Elemente des Theudios gehen denen des Euklid unmittelbar voran, und -auf sie beziehen sich die mathematischen Angaben bei ¨Aristoteles¨. - -[Sidenote: Zeit bei Platon.] - -Dieser weltumfassendste Geist nicht bloss des Altertums, der -Wissenschaft und Kunst fast 2000 Jahre lang beherrscht hat und die -formale Logik sogar bis auf ¨Sigwart¨, d. h. bis zum letzten Drittel -des 19. Jahrhunderts, hat noch weit mehr als Platon die Mathematik -nur als Hilfswissenschaft der Philosophie insbesondere für die Lehre -vom Schluss und von den Beweisen betrachtet, und allenfalls für die -Astronomie, in der er wie ¨Kant¨ den stärksten Beweis des für sein -System ganz unentbehrlichen Gottesbegriffes sah. Es steht nicht einmal -fest, ob Aristoteles auf der vollen Höhe der mathematischen Bildung -seiner Zeit gestanden hat, von höheren Problemen streift er eigentlich -nur einmal ganz gelegentlich in de coelo die Quadratur des Zirkels. -Dass er die Kegelschnitte nicht beachtet hat, versteht sich von selbst, -da sie ja gerade zu seiner Zeit von seinem Mitschüler ¨Menaichmos¨ -gefunden wurden. Aber um so grösser ist seine Bedeutung für die -Grundbegriffe der Mathematik. Während ¨J. L. Heiberg¨ (Teubner Abh. -z. Gesch. der Math. Wiss. Heft 18, 1904) das spez. Mathematische bei -Aristoteles gesammelt hat, ähnlich wie Theon Smyrneus die Mathematik -bei Platon, ist ¨A. Görland¨ in seiner Dissertation und besonders -in dem Werke: Aristoteles und die Mathematik, Marburg 1899 auch der -begrifflichen Seite gerechter geworden. Aristoteles ist auch der -erste der Hellenen der sich genauer mit dem Begriff Zeit beschäftigt -hat. ¨Platon¨, wie er den Aristoteles an schöpferischer Kraft der -Phantasie weit überragt, übertrifft ihn auch in der Erkenntnis gerade -der tiefsten Quellen unserer Erkenntnis, aber dass die Zeit auch eine -Idee sei, wie das Gute, ist dem Idealisten κατ ἐξοχήν entgangen. Die -Hauptstelle findet sich Timäos 366-370. Gott schuf die Welt als Abbild -der ewigen Ideen (personifiziert durch die einzelnen Götter), und in -der Freude über seine Schöpfung beschloss er sie dem Urbilde noch -ähnlicher zu machen und schuf dazu die Zeit als ¨bewegliches¨, nach -Zahlenverhältnissen fortschreitendes, ewiges Abbild. Denn Tage und -Nächte und Monate und Jahre gab es nicht, bevor der Himmel geschaffen, -sondern damals als dieser zusammengesetzt wurde, bewirkte er zugleich -auch ihre Entstehung. Alle diese (die Tage etc.) sind Teile der Zeit, -und das »¨Es war¨« und das »¨Es wird sein¨« sind entstandene Formen -der Zeit, die wir ¨unvermerkt¨ auf das ewige Wesen übertragen, und -mit ¨Unrecht¨. Denn wir sprechen von einem »es war, es ist, es wird -sein« jener aber kommt in Wahrheit nur das »Es ist« zu, das »war« -und das »wird sein« aber ziemt es sich von der in der Zeit sich -bewegenden Entstehung auszusagen. Wenn hier auch die transzendentale -Idealität der Zeit gestreift ist, so sind doch Zeit und Bewegung nicht -scharf geschieden, und insbesondere scheint die Zeit selbst als Dauer -aufgefasst zu sein, was schon eine Anwendung der Kategorie Raum auf die -Zeit einschliesst. - -[Sidenote: Aristoteles über Zeit.] - -¨Aristoteles¨ hat sich besonders in der Physik mit der Zeit -beschäftigt, er hat den Zusammenhang der Zeit mit der Zahl erkannt und -im direkten Gegensatz zu Kant die Zeit auf die Zahl zurückgeführt. Im -Buch IV der Physik heisst es: die Zeit ¨scheint¨ die Bewegung einer -Kugel zu sein, weil durch sie die übrigen Bewegungen (Rotationen) -¨gemessen¨ werden. -- Ganz ähnlich heisst es in der Naturphilosophie -¨Lorenz Oken's¨, des Vorgängers von Darwin, die Zeit ist gleichsam -eine fortrollende Kugel, die immer in sich selbst wiederkehrt. -- An -anderer Stelle nennt er die Zeit die ¨Zahl des Kontinuums¨, und die -Zahl der Bewegung in bezug auf ¨vorher¨ und ¨nachher¨, Mass der Ruhe -und Bewegung. Wichtig ist, dass er Phys. 10 auseinandersetzt, dass die -Zeit nicht aus Momenten bestehe und ganz des Aristoteles würdig ist die -Stelle Phys. IV Kap. 10: Ob das Jetzt, das Vergangenheit und Zukunft -trennt, immer ein und dasselbe sei, oder anderes und anderes, das ist -nicht leicht zu entscheiden. - -[Sidenote: Aristoteles (vita).] - -¨Aristoteles¨, der ¨Stagirite¨, wie er oft genannt wird, ist 384 in -Stageira einer Stadt der athenischen Landschaft Chalcidice geboren. -Sein Vater Nikomachos war Leibarzt des Königs Amyntas von Macedonien, -des Vaters Philipps der die entzweiten Hellenen unter das Macedonische -Joch einte. Im 18. Jahre kam er nach dem Tode beider Eltern als ein -wohlhabender und wohlerzogener Hellene nach Athen vermutlich um -Platons willen, dessen Schule er bis zum Tod Platons, zwanzig Jahre -lang angehörte. Daneben muss der Sohn des Arztes mit dem Fleiss und -der ungeheuren Arbeitskraft eines grossen Genius geschafft haben um -sich auf naturwissenschaftlichem und politisch-historischem Gebiete -das Riesenmaterial von Kenntnissen anzueignen, das in seinen Schriften -verarbeitet ist. Zwei Strömungen von ganz ungewöhnlicher Stärke sind in -Aristoteles vereinigt, einerseits ist er der erste grosse ¨Biologe¨, -der mit gleicher Sorgfalt das grösste wie das kleinste Lebewesen -beobachtet, er hat es ja selbst ausgesprochen, dass es für den -Forscher nichts Grosses und nichts Kleines gebe, -- andererseits ein -Systematiker von extremer Nüchternheit und Klarheit. - -Dass der über dreissigjährige Mann in den letzten Jahren seines Lehrers -dem Platonismus schon mit kritischem Geiste gegenüberstand, ist an sich -im höchsten Grade wahrscheinlich, auch wenn es nicht durch den Klatsch -der Schule bezeugt wäre. Insbesondere richtete sich seine Kritik wohl -damals schon gegen die Ideenlehre. Aristoteles hat hier wohl von -Anfang an dem Schwunge des Dichters nicht folgen können, vermöge einer -Schwäche seiner Begabung gerade auf dem Gebiete der Phantasie. Und -dann muss gesagt werden, dass Platon selbst seine eigene grossartige -Auffassung der Idee, des reinen ewigen Urbilds, die über den Dingen -stehend, die Kraft ist, welche die Dinge schafft, mit zunehmendem -Alter mehr und mehr verdunkelt und abgeschwächt hat, man vergleiche -die »νόμοι«, die Gesetze, auch den Zusatz, die επινομις. So erklärt es -sich, dass in der Darstellung des Aristoteles die Ideenlehre in die -Zahlenmystik der Pythagoräer überging. - -Doch war und blieb er Platoniker, wie schon daraus hervorgeht, dass er -unmittelbar nach dem Tode des Meisters Athen für lange Zeit verliess, -und zwar in Gemeinschaft mit dem leidenschaftlichsten Verehrer Platons, -dem ¨Xenokrates¨, der nach dem Tode von Platons Neffen Speusippos -der Leiter der Akademie war. Aristoteles brachte die nächsten drei -Jahre bei seinem Bundesbruder Hermias, dem Fürsten von Atarneos und -Assos zu, und heiratete nach dessen Tode die Schwester oder Nichte -desselben. Im Jahre 343 (oder 342) übernahm er die Ausbildung des -damals dreizehnjährigen ¨Alexander¨, und diese Verbindung, obwohl sie -nur 3 Jahre dauerte, da Alexander schon mit 16 Jahren die Vertretung -seines Vaters Philipp in Macedonien übernahm, wurde für beide grosse -Männer von höchster Bedeutung. -- Aristoteles ging zunächst in seine -Heimatstadt Stageira, er blieb aber bis kurz vor Alexanders Tode, bis -er durch die Torheit seines Neffen Kallisthenes jenem entfremdet wurde, -in innigster Verbindung mit dem Könige. Mit königlicher Freigebigkeit -gewährte Alexander die Mittel, welche er zu seinen Arbeiten brauchte, -alle fremden Tiere und Pflanzen wurden ihm zugesandt, und die Summen, -derer er zu seiner grossen Bibliothek bedurfte, verdankte er wohl auch -zum grossen Teil dem Könige. Aristoteles ist der erste Gelehrte, von -dem wir wissen, dass er sich eine grosse Büchersammlung angelegt hat, -und das war damals ein noch weit kostspieligeres Vergnügen als heute, -um so mehr als er auch dafür sorgte, dass die wichtigsten Werke durch -Abschriften weiteren Kreisen zugänglich gemacht wurden. Die Sammlung -hat er seinem bedeutendsten Schüler, dem ¨Theophrast¨ hinterlassen. - -Dreizehn Jahre nach dem Tode Platons kehrte er nach Athen zurück, nahm -den Unterricht in der Rhetorik, den er schon bei Lebzeiten Platons sehr -erfolgreich geführt hatte, wieder auf, und eröffnete jetzt ebenfalls -bei einem Gymnasium, dem Lyceum, eine eigene Philosophenschule und -begründete den dazu gehörigen Freundschaftsbund. In den Parkanlagen des -Lyceums auf- und abgehend, disputierte er mit seinen Schülern und von -dieser Gewohnheit erhielten die Jünger den Namen der »Peripatetiker.« -Übermenschliches hat er in den 12 Jahren seiner Lehrtätigkeit -geleistet. Abgesehen von einzelnen Dialogen, welche schon zu -Platons Zeiten veröffentlicht waren, sind fast alle seine grossen -Lehrschriften, die ja im wesentlichen Vorlesungshefte für seinen und -seine Schüler Gebrauch waren, hier entweder entstanden oder doch wenn -nicht konzipiert, so doch redigiert. Aristoteles starb 332 zu Chalcis -auf Euboea, wo er ein Landgut besass, an einem Magenleiden. - -[Sidenote: Aristoteles, Werke.] - -Ich erwähne zuerst seine grossartigen naturwissenschaftlichen Werke, -als Systematiker beginnt er mit der unorganischen Natur. Zunächst die -¨Physik¨, φυσικη ακροασις, 8 Bücher, zu denen uns der sehr wichtige -Kommentar des Simplicius erhalten ist. Dies Werk hat bis an das 18. -Jahrh. heran den Stoff für die Vorlesungen über Physik gegeben. Dann -die Astronomie, περι ουρανου de coelo, 4 Bücher (dazu Kommentar des -Simplicius). Er kritisiert die Pythagoräer, den Hiketas, den Aristarch -von Samos, welche die zentrale Stellung der Erde im Weltsystem -aufgegeben; und seine Autorität hat bis auf Kopernikus den Weg zum -Fortschritt versperrt. In de coelo β 13, 293 lesen wir: δειν τη γη του -μεσου χωραν αποδιδοναι. Man muss der Erde die Stelle des Mittelpunktes -wiedergeben: denn χώρα Raum steht bei Aristoteles häufig für τόπος -Ort. Weiter nenne ich die Schrift über Entstehen und Vergehen, περὶ -γενέσεως καὶ φθορᾶς 2 Bücher, die Meteorologie 4 Bücher, woran sich -auch ein Werk über Mathematik im engeren Sinne angeschlossen haben -soll, was aber nicht gerade wahrscheinlich ist. Es schliessen sich dann -die Werke über die lebenden Wesen an, beschreibende und untersuchende. -Zunächst die grossartige ¨Zoologie¨, περὶ τα ζῷα ἱστορια. 9 Bücher, -dann 7 Bücher ¨Anatomie¨, dann die (physiologische) ¨Psychologie¨, -περὶ ψυχής, Wahrnehmen und Wahrgenommenes, Gedächtnis und Erinnerung, -Traum und Wachen. -- Ferner über Kurz- und Langlebigkeit, Leben -und Tod, und damit verbunden, über das Atmen. Über die Teile der -Tiere, die Erzeugung und den Gang der Tiere (wahrscheinlich unecht). --- Die 2 Bücher über die Pflanzen sind verloren, weil sie von der -reichhaltigeren Schrift des ¨Theophrast¨ aufgesaugt und verdrängt -sind, eine im Altertum häufige Erscheinung. -- An die Zoologie, welche -mit dem Menschen endet, reihen sich dann folgerichtig die grossen -Werke über das sittliche Handeln des einzelnen Menschen, und über -sein Leben im Staate an, Ethik und Politik. Von den drei Ethiken ist -die grosse sog. ¨Nikomachische Ethik¨ unbezweifelt das echte Werk -des Aristoteles, während die andere die Eudemische ein Kollegienheft -des Eudemos ist, und die dritte, die sog. grosse Moral ein Auszug -aus dem Eudemos ist. Die Ethik handelt von dem höchsten Gut, von der -Tugend, von der Freundschaft etc. Das höchste Gut sieht sie in der -reinen Denktätigkeit; die wissenschaftliche Arbeit um ihrer selbst -willen, diese ist göttlich. Ihr zunächst steht im Werte die Tugend, die -ethische Tugend ist auf den ¨Willen¨ gerichtet, der lernen muss, um es -kurz auszudrücken, die richtige Mitte zwischen zwei Lastern zu halten. -Tief empfunden und wahrhaft beredt ist, was Aristoteles über die -¨Freundschaft¨ sagt, ohne die ihm zufolge keine Gemeinschaft bestehen -kann. - -Von den ¨staatswissenschaftlichen¨ Werken ist uns die Politik -erhalten, 8 Bücher, unvollendet, aber wie ¨Zeller¨ sagt, eins von -den reifsten und bewundernswertesten Erzeugnissen seines Geistes. -Verloren sind bis auf wenige Bruchstücke, die sog. πολιτείαι, eine -wahrscheinlich lexikalisch geordnete Sammlung der Verfassung von 158 -Staaten oder Städten, anfangend mit Athen. Vor wenigen Jahren ist -gerade die Verfassung Athens in der Leichenbinde einer ägyptischen -Mumie gefunden und von ¨Keibel¨ und ¨Kiessling¨ meisterhaft -übersetzt worden. Sie zeigt uns was wir verloren haben und ist -unschätzbar für die Beurteilung des Aristoteles. Während dieser in -den exakt-wissenschaftlichen und philosophischen Schriften in Sprache -und Form meist trocken, nüchtern und knapp ist, -- er hat ja die -philosophische Fachsprache, ich möchte sagen, den Jargon geschaffen, -der die meisten philosophischen Werke so ungeniessbar macht, -- -begreifen wir hier wie ¨Cicero¨ sagen konnte, Aristoteles habe die -alten Rhetoren »suavitate et brevitate dicendi,« durch Anmut und -treffende Kürze der Sprache, weit hinter sich gelassen. - -Zugleich aber bekommen wir auch zum ersten Male ein genaues Bild vom -alten Athen und sind imstande die Anziehungskraft zu begreifen, welche -Athen auf die Hellenen ausübte. Wir sehen hier eine Verfassung von -solchem echten Liberalismus und von solcher Humanität, wie sie noch nie -zum zweiten Male existiert hat. Selbst die Staatssklaven der Athener -erfreuten sich einer Freiheit, die in vieler Hinsicht grösser war als -die der heutigen Staatssklaven, der Beamten. Interessant ist auch die -Rolle, welche die Erbtochter schon damals spielte. - -Die Anschauung des Aristoteles über ¨Kunst¨ kann ich hier nur flüchtig -streifen, erhalten ist nur die ¨Poëtik¨, und auch sie nur als -Fragment, aber Sie wissen, welchen langdauernden Einfluss die sog. -drei Einheiten, welche Aristoteles für das Drama forderte, die Einheit -des Orts, der Zeit und der Handlung, gerade weil die Forderungen -missverstanden wurden, insbesondere auf das klassische Drama der -Franzosen gehabt haben. - -Nun zu den eigentlichen philosophischen Schriften des Aristoteles. -Zuerst bereitet er sich den Boden für das Verständnis seiner Gedanken -dadurch, dass er die Gesetze, denen unser Denken unterworfen ist, -die Lehre vom Schluss und vom Beweise, die formale Logik, als der -Erste genau formulierte. Die Logik des Aristoteles zerfällt in 2 -grosse Abteilungen, die ¨Topik¨ und die Analytik, zusammengefasst -als ¨Organon¨ id est Werkzeug. Ich nenne hier ¨F. Kampe¨, die -Erkenntnistheorie des Aristoteles Leipz. 1870, ¨R. Eucken¨, die -Methode der arist. Forschung Berl. 1872. Von neuen Ausgaben seien die -der Berliner Akademie von 1831-70 in 5 Bänden und die auf 35 Bände -berechnete der griech. Kommentare hervorgehoben, darunter die ¨Physik -des Simplicius¨ von ¨H. Diels¨ 1882 und eben desselben Astronomie von -¨J. L. Heiberg¨ 1894. - -Die Grundlagen jeder wissenschaftlichen Arbeit sind im Organon für ewig -gelegt. Die Logik wird als wissenschaftliche Technik aufgefasst, er -will keine vollständige Erkenntnistheorie geben, etwa wie ¨H. Cohen¨'s -Logik der reinen Erkenntnis, sondern zunächst eine Untersuchung über -die Formen und Gesetze der wissenschaftlichen Beweisführung. Die Topik -beschäftigt sich mit der Dialektik, der Lehre vom Beweisbaren und -dem Wahrscheinlichen; von den Analytiken beschäftigt sich die erste -mit dem Schlusse, die andere mit der Beweisführung gestützt auf den -Syllogismus. Die Syllogistik hat es mit der Erkenntnis derjenigen -Denkformen zu tun, denen zufolge mit Hilfe eines Zwischenbegriffs, -der im einen Urteil Prädikat, im anderen Subjekt ist, entschieden -werden soll, ob ein Begriff unter einem andern subsumiert werden soll, -ganz oder teilweise, oder nicht. Aristoteles hat die Urteile nach -Quantität und Qualität eingeteilt, und zwar nach Quantität: generelle, -partikuläre, singuläre, (allgemeine, besondere, einzelne) und nach -Qualität: affirmative und negative (bejahende und verneinende). - -Ein Punkt der für Mathematiker besonders wichtig ist muss betont -werden. Nicht ¨Schopenhauer¨ hat zuerst die Forderung erhoben: der -wahre Beweis muss nicht nur dass etwas ist, sondern warum es ist, -aufdecken, sondern ¨Aristoteles¨ hat περι ψυχής II, 2 mit grösster -Schärfe das nämliche gefordert. - -[Sidenote: Aristoteles Philosophie.] - -An die Logik, die Wissenschaftslehre, schliesst sich die ¨Metaphysik¨ -an. Aristoteles setzt die Platonische Philosophie voraus, und indem -er sie umbildet, verbildet und fortbildet, ist er der Vollender der -Begriffsphilosophie. Die Metaphysik beginnt mit der berühmten Tafel -der ¨Kategorien¨, der irreduzibeln Stammbegriffe der Vernunft, die -Grundformen aller Aussagen. Sie sind bei ihm nicht völlig das was ich -¨Konstituenten¨ des Intellekts nenne, Methoden grosse Gruppen von -Erkenntnissen zusammenzufassen und zu ordnen. - -[Sidenote: Aristoteles über Grösse.] - -Er unterscheidet: 1) Substanz (ουσία, Wesenheit) 2) Grösse, Quantität, -ποσόν., 3) Beschaffenheit, Qualität, ποιόν, 4) Beziehung, Relation, -πρός τι., 5) Worin, Raum, χώρα., 6) Wann, Zeit, πότε., 7) Lage, θέσις, -8) Haben, ἕξις, 9) Wirken, ποιεῖν, 10) Leiden, πάσχειν. Lage und -Haben scheinen nur aufgestellt, um die Zehnzahl der Pythagoräer voll -zu machen, er lässt sie im Laufe der Untersuchung fallen. Doch wird -die θέσις die Lage von ihm als Grundeigenschaft des Raumes erkannt. -Uns interessiert am meisten was er über Grösse sagt. Alles was sich in -substantielle Teile teilen lässt, ist eine Grösse (dieselbe Definition -gab ¨Weierstrass¨ im Colleg.). Sind die Teile zusammenhängend, so ist -die Grösse ¨stetig¨ (συνεχές), die Lehre von der kontinuierlichen -Grösse geht wie beinahe jede scharfe begriffliche Untersuchung auf -Aristoteles zurück, der auch die recht eigentlichen mathematischen -Probleme, die Zusammensetzung und Trennung des Kontinuums erfasst -hat. Ausführlicher spricht er sich über Kontinuität in der Physik c. -3, 227 und 10 aus: Es sei etwas stetig, wenn die Grenze eines jeden -zweier aufeinander folgenden Teile, in der dieselben sich berühren, -¨ein und dieselbe ist¨, und sie, wie es auch das Wort bedeutet, (συν -zusammen, έχω halten) zusammengehalten werden. Sind die Teile in einer -bestimmten ¨Lage¨, so sind die Grössen extensive oder Raumgrössen, -das ¨Ungeteilte¨ oder die ¨Einheit¨, mit der sie gemessen wird, und -die ¨Messbarkeit¨, dass sie ein Mass hat, ist das unterscheidende -Merkmal der Grössen. Auch die für die Ausbildung des Integralbegriffs -grundlegenden Probleme der Zusammensetzung und Trennung des Kontinuums -sind von ihm gestellt. Und wenn auch περι ατομων γραμμων vielleicht -wie Tannery meint, nur ein Schülerheft, so ist doch περι φύσεως -unbestritten. Das Argument mit dem Aristoteles bewies, dass Raum und -Zeit nicht aus Punkten bestehen (es hätten sonst z. B. Seite und -Diagonale des Quadrats gleichviel Punkte und wären gleich) haben die -Arabischen Aristoteliker, (wie Averroës), gegen die Mutakallimun -(Logiker) gebraucht. - -Für die Qualitäten werden zwei Hauptarten unterschieden, diejenigen, -welche sich auf einen substantiellen Unterschied und diejenigen, welche -sich auf Bewegung und Tätigkeit beziehen. Als ein charakteristisches -Merkmal der Qualität wird der Gegensatz des Ähnlichen und Unähnlichen -betrachtet; zu bemerken ist hier, dass Kategorien der Anschauung von -Aristoteles nicht aufgestellt werden, wie z. B. Abstand, Richtung. - -Der wichtigste Stammbegriff ist der der Substanz, der der Träger der -Übrigen ist, und so ist es die Untersuchung über das Seiende als -Seiendes von der die Philosophie, welche den Zweck hat die Erfahrung -zur Einheit zusammenzufassen, ausgehen muss. Ich führe hier als den -wichtigsten Satz an das berühmte: το δ' ειναι ουσια ουδενι., der -widerspruchsfreie Begriff begründet keine Existenz des Definierten, mit -dem z. B. der ontologische Beweis des Daseins Gottes und die Grundlage -¨Spinozas¨ zusammenbricht. Die erste und höchste Philosophie hat die -Aufgabe die letzten (A. sagt richtiger die ersten) und allgemeinsten -Gründe der Dinge zu erforschen, sie gewährt das umfassendste Wissen, -dasjenige, welches am schwersten zu erlangen ist, da die allgemeinsten -Prinzipien von der sinnlichen Erfahrung am weitesten abliegen, das -sicherste, weil sie es mit den irreduziblen Begriffen und Axiomen zu -tun hat, das was am meisten Selbstzweck ist, weil es die Zwecke, denen -alles dient, feststellt. Sie muss alles Wirkliche schlechthin umfassen, -denn die letzten (πρώτας) Gründe sind nur die, welche alles Seiende als -Solches erklären. Andere Wissenschaften, wie Medizin und Mathematik, -beschränken sich auf ihr Gebiet, das sie nicht weiter definieren, die -Wissenschaft von den letzten Gründen muss die Gesamtheit der Dinge -auf ihre ewigen Ursachen und in letzter Instanz auf das Unbewegte und -Unkörperliche, d. h. auf ¨Gott¨ zurückführen, von dem alle Bewegung -und Gestaltung des Körperlichen ausgeht. Er nennt diese Wissenschaft, -die Metaphysik, erste Philosophie auch Theologie. Angesichts des -Schwungs der Sprache und der Wucht der Gründe mit denen Aristoteles -den Gottesbegriff stützt, wird es begreiflich, wie die Scholastik, wie -ein Thomas von Aquino im Gegensatz zu Platon, mehr und mehr sich auf -Aristoteles stützen musste, der fast zu einem Heiligen der katholischen -Kirche geworden ist. Verbot doch im Jahr 1624 das französische -Parlament jeden Angriff gegen seine Autorität bei Todesstrafe. - -[Sidenote: Aristoteles und die Ideenlehre.] - -Indem er nun näher auf dasjenige eingeht, was allen Seienden als -solchem zukommt, untersucht er den Satz vom Widerspruch, der ja in der -Mathematik eine so entscheidende Stelle im indirekten Beweis einnimmt, -denken Sie nur an die grosse Menge stereometrischer Sätze, welche sich -auf den Widerspruch gegen das Parallelenaxiom zurückführen lassen. Er -knüpft an seine Untersuchung den Satz vom »ausgeschlossenen Dritten« -(aut est, aut non est, tertium non datur). Ich muss für Aristoteles' -Metaphysik auf Bonitz, Windelband, Zeller etc. verweisen, nur seine -Gestaltung der Ideenlehre muss ich besprechen, denn in ihr besteht -ja seine Emanzipation von ¨Platon¨. Aristoteles hat die Idee Platons -missverstanden, vielleicht weil Platon sich nicht mit Konsequenz dahin -ausgesprochen, dass seine Idee auf der Ausschaltung des Zufälligen -beruht. Letzteres ist für uns unbefriedigend und indem wir es auffassen -als etwas, was sein oder nicht sein kann, verstösst es gegen den Satz -vom Widerspruch. Die Platonische Idee, als zeitlose Norm aus wenigen -Erfahrungen vermöge eines Grundtriebs unseres Intellekts geschaffen, -steht ¨über¨ den Dingen, Aristoteles und vermöge seiner Autorität fast -alle Nachfolger fassen sie als ¨neben¨ den Dingen, ἑν παρα τα πολλα., -als ausserhalb der wirklichen Welt und in keinem Zusammenhange mit -ihr stehend, wie die ¨praestabilierte Harmonie des Leibniz¨, wo ihre -Wirkung dann allerdings unerklärlich ist. Aristoteles fasst die Idee -als ἑν κατα πολλα, als in jedem Dinge, jedes Ding existiert eigentlich -nur insoweit, als es seine Idee ausdrückt. Man sieht, dass er Platon -missversteht, um im Grunde auf ihn zurückzugreifen. Aristoteles -unterscheidet die ὑλη, den Stoff, die Materie, die gestaltlos, nur die -Möglichkeit, die δύναμις, zum Wirklichen, zur ενεργεια hat, das ihnen -allein durch die Idee εἶδος, die Form zugeführt wird. Die Idee ist -zugleich die ¨Zweckursache¨, der gemäss die Wesen sich entwickeln, sie -ist die Seele jedes einzelnen Dinges. - -[Sidenote: Aristoteles, Stoff und Form.] - -Man darf den aristotelischen Begriff der Form nicht mit unserm Wort -verwechseln, ein toter Mensch ist der Idee nach kein Mensch, noch ein -gefällter Baum ein Baum. Stoff und Form wechseln, Bauholz ist in Bezug -auf den lebenden Baum Stoff, in Bezug auf den unbehauenen Stamm Form, -Erz für den Bildhauer Stoff, für den Erzgiesser Form etc. So stellt -sich die Gesamtheit alles Seienden als eine Stufenleiter dar, deren -unterste Stufe, die erste Materie oder πρωτη ὑλη, unterschiedslos, -unbestimmt und formlos, deren oberste eine letzte Idee, der mit gar -keinen Stoff behaftete absolute göttliche Geist. Der Gottesbegriff des -Aristoteles hat etwas Überwältigendes. Er hat den ontologischen, den -kosmologischen, den teleologischen, den moralischen Beweis für das -Dasein Gottes geschaffen, er beherrscht die katholische Theologie nicht -nur durch das ganze Mittelalter, sondern noch heute und Metaphysik -XII finden Sie in einen bei Aristoteles ganz ungewöhnlichen fast -dichterischem Schwung die Schilderung des Wesens der Gottheit. - -In dem Verhältnis des Stoffs zur Form hat nun Aristoteles die beiden -für sein System und für die ¨Mathematik¨ gleich wichtigen Begriffe -des Potentiellen und Aktuellen, der δυναμις und ενεργεια (auch -εντελεχεια Vollendung), Möglichkeit und Wirksamkeit geschaffen, denken -Sie nur an die potentielle und aktuelle (kinetische) Energie der -heutigen Mechanik. In der Auffassung der Bewegung als Übergang des -Potentiell-Seienden zum Aktuell-Seienden hat er die Schwierigkeit die -der Begriff des Werdens seinen Vorgängern machte überwunden; es ist -ein und dasselbe Sein, um das es sich handelt, nur auf verschiedener -Entwicklungsstufe. Potentiell, κατα δυναμιν ist das Samenkorn ein Baum, -der ausgewachsene Baum ist es aktuell, κατ' ενεργειαν. Potentieller -Philosoph ist Aristoteles, wenn er schläft, der bessere Feldherr Sieger -vor der Schlacht, potentiell ist der Raum ins Unendliche teilbar, die -Zahl ins Unendliche zählbar, potentiell ist Alles, was sich gemäss der -in ihm liegenden Idee entwickeln kann, wenn möglich zur Vollendung, zur -Entelechie, zur vollendeten Darstellung seiner Idee. - -[Sidenote: Aristoteles, das Unendliche.] - -Diese beiden fundamentalen Unterschiede des Seins, das Potentielle -und das Aktuelle, hat Aristoteles auch im Begriff des Unendlichen -hervorgehoben; von ihm rührt die bis auf den heutigen Tag, ich nenne -¨Georg Cantor¨, herrschende Unterscheidung des infinitum potentia -et actu, des Unendlichen im Werden und des Unendlichen im Sein. Es -ist unmöglich die Scholastiker oder Cusanus zu verstehen, ohne diese -Unterscheidung zu kennen. Aristoteles hat zuerst und bis auf ¨Galilei¨ -als der Einzige wissenschaftlich den Begriff Unendlich untersucht. Wohl -hat Zeno den Integralbegriff gestreift, Demokrit diesen ganz bewusst -benutzt, aber hier handelt es sich um eine logische Untersuchung, -denn Unendlichkeitsbetrachtungen sind an sich so alt wie der Mensch. -Schon in den Veden kommt die Göttin des Unendlichen, ¨Aditi¨, vor -und Max Müller sagt in seiner ersten Strassburger Vorlesung »alle -Religion entspringt aus dem Druck, den das Unendliche auf das Endliche -ausübt«. Ich habe l. c. auf den Ursprung des Unendlichkeitsbegriffs -aus dem Werkzeug unseres Intellekts: Zeit hingewiesen, bezw, darauf, -dass wir uns ein Ende unserer Erlebnisse nicht denken können. Wenn -¨Frege¨ in seinen Grundlagen der Arithmetik von 1884 den Versuch macht -die Existenz von (n + 1) mittelst des Schlusses von n auf n + 1 zu -beweisen, so halte ich dagegen die Unendlichkeit der Anzahlenreihe für -das Prius, das unmittelbar durch den Zusammenhang der Ordinalzahl mit -der Zeit gegeben ist. Mit jedem neuen Erlebnis ist eben auch eine neue -Einheitssetzung und damit eine neue Ordinal- und Kardinalzahl gegeben. -Aristoteles kommt wie ¨Gauss¨ zu dem Schluss, dass das Unendliche im -Sein, das infinitum actu oder κατ' ενέργειαν, das ἄπειρον, das wovon -es kein Jenseits gibt, in der Natur nicht existiert, ἡ φυσις φευγει -το απερον, also als sinnlich wahrnehmbar existiert keine unendliche -Grösse. Nur in Gott als der unendlichen Kraft, welche die unendliche -Bewegung der Welt hervorbringt, existiert das infinitum actu. Wohl -aber gibt er zu, dass es ein infinitum potentia (κατά δύναμιν) gibt. -Die Raumgrösse ist unbegrenzt teilbar, aber ein unendlich kleines gibt -es nicht, sondern das ἄπειρον ist nur im Entstehen und Vergehen. Und -die Zeit und mit ihr die Zahl ist unendlich gross im Werden, aber auch -hier ist die Zunahme endlich, die grosse Zahl entsteht und vergeht, und -macht der grösseren Zahl Platz, eine unendlich grosse Zahl existiert -nicht. Aber dieser grosse Denker streift doch schon die Lösung, er -sagt in der Physik Cap. 5, 204: »Vielleicht ist die Untersuchung ob -das Unendliche auch in der Mathematik und in dem Denkbaren und in -demjenigen was keine Grösse hat, existiere, eine weit allgemeinere.« -Die Lösung liegt eben darin, dass das mathematisch Unendliche -überhaupt keine Grösse besitzt. Es genüge hier auf ¨B. Bolzano¨'s -klassische »Paradoxien des Unendlichen« zu verweisen. Bolzano, auf -den ¨Weierstrass¨ und ¨G. Cantor¨ ganz unmittelbar fussen, hat den -Hauptanstoss hinweggeräumt, allerdings wörtlich nach ¨Galilei¨, als -er hervorhob, dass der Begriff des Ganzen keineswegs durch alle seine -Teile hindurchzugehen braucht. Ich verweise hier auf einen Vortrag im -internationalen Kongress zu Rom. - -[Sidenote: Raum und Zeit.] - -Mit dem was Aristoteles über das ἄπειρον sagt, hängen seine -Betrachtungen über Raum und Zeit und Bewegung eng zusammen. Der Raum -kann wohl unbegrenzt verkleinert, aber nicht unbegrenzt vergrössert -werden, auch gegen den Demokritischen Begriff des leeren Raumes (und -des Atoms) polemisiert er, dagegen nähert er sich der Auffassung -¨Kants¨ und noch mehr der von ¨H. Cohen¨ beträchtlich und führt die -Zeit auf die Bewegung des Jetzt (το νύν) zurück und bemerkt, dass -sie ohne das erkennende Subjekt nicht existiere. Sehr wichtig ist -das, was er vom Zeit- und Raumpunkt sagt: das zeitlich und räumlich -nicht mehr Teilbare ist niemals an und für sich (actu) gegeben, -sondern nur potentiell in der ¨stetigen¨ Grösse enthalten, und wird -nur durch ¨Verneinung¨ d. h. durch negative Prädikate (limitierende -Urteil Cohens) erkannt. Und einigermassen erstaunt war ich, als ich -die Auffassung der Ruhe als Grenze der sich stetig verlangsamenden -Bewegung, welche ich mir vor 30 Jahren ohne noch ¨Leibniz¨ zu kennen -gebildet hatte, dem Wesen nach bei ¨Aristoteles¨ fand, der sagt, dass -es in einem Zeitpunkt weder Ruhe noch Bewegung gibt, sondern nur einen -Übergang und der Körper, wenn er von der Bewegung zur Ruhe übergeht, -noch in Bewegung ist. - -¨Aristoteles¨ der heute nach mehr als 2000 Jahren noch lebendig -fortwirkt, der auf Christentum, Judentum, ja selbst auf den Islam -auf das tiefste eingewirkt hat, -- ist doch Moses ben Maimon, -der auf Thomas von Aquino so bedeutenden Einfluss übte, durch -seine Schule gegangen -- der abstrakteste Denker und zugleich der -exakteste Beobachter, der grösste Empiriker und zugleich einer der -grössten Idealisten, hat eigentlich erst die einzelnen Disziplinen -geschaffen. Bis zu ihm gibt es eine Gesamtwissenschaft τα μαθήματα, -von ihm ab und durch ihn existieren die einzelnen Disziplinen. Sein -Schüler Medon schrieb nach seinem Plan die Medizin »Ιατρικα.«, seine -Physik, Astronomie, Zoologie, Psychologie bilden den Inhalt der -Universitätsvorlesungen bis in die Neuzeit, Botanik, Meteorologie, -ja selbst Chemie wie Rhetorik, Poetik etc. werden selbständig, wie -Mathematik und die Philosophie selbst, der er die besondere Aufgabe -zuwies, die Erfahrung zur Einheit zusammenzufassen. Und nicht minder -die Geschichte, das erste Buch seiner Metaphysik ist die erste und -zugleich mit die beste Geschichte der Philosophie und überall hat -er Geschichte und ¨Kritik¨ hineingewoben. Von ihm an beginnt eine -500 Jahre andauernde Periode der Einzelforschung, die erst bei den -Neuplatonikern zur Zusammenfassung führt. - -[Sidenote: Aristoteles: Theophrast, Eudemos.] - -Die beiden bedeutendsten Peripatetiker, ¨Theophrast¨, der Freund und -Schüler des Aristoteles, der die Botanik seiner Zeit kodifiziert hat, -und ¨Eudemos¨ der Rhodier haben beide eine Geschichte der Mathematik -geschrieben. Die des Theophrast ist spurlos verschwunden, von der -des Eudemos sind spärliche Fragmente durch Proklos, Eutokios und -Simplicius erhalten, sowie eine Notiz aus dem Buch über den Winkel, -περί γωνίας, bei Proklos. Das wichtigste ist das oft erwähnte -Mathematikerverzeichnis bei Proklos. Friedl. Prolog II p. 65 ff., das -aber ¨Tannery¨ zufolge nicht direkt aus Eudemos stammt, sondern aus -einer Verarbeitung des Eudemos durch ¨Geminos¨ im 1. Jahrh. n. Chr. Es -endigt unmittelbar vor ¨Euklid¨. - -[Sidenote: Euklid, vita.] - -Von dem Verfasser der »Elemente«, des Werkes, das unter allen -mathematischen Werken für die Bildung der Menschheit weitaus das -wichtigste gewesen ist, kennt man weder Ort noch Zeit der Geburt -und des Todes, γενέσεως και φθοράς. Seinen Zeitgenossen und der -nächstfolgenden Generation war Euklid einfach der »στοιχειοτης«, -der Verfasser der Elemente und bald ging die Kenntnis seiner Person -verloren. Viele Jahrhunderte ist er mit dem Philosophen Euklid von -Megara verwechselt worden, der nach dem Tode des Sokrates die Schule -zusammenhielt, und dieser Irrtum findet sich schon bei Valerius -Maximus um 30 v. Chr. und ist dort aus einer falschen Auffassung einer -Stelle bei Geminos (Prokl. p. 60) entstanden. -- Das Wenige, was wir -von ihm wissen, verdanken wir zumeist ¨Proklos¨, einem Neuplatoniker -und Nachfolger (Diadochos) des Plato in der Leitung der Akademie, -d. h. also Rektor der Universität Athen, der um 450 n. Chr. einen -Kommentar zum Euklid verfasst hat, von dem uns die beiden Prologe und -der Kommentar des ersten Buchs der Elemente erhalten sind. Die Stelle -(Friedl. S. 68) lautet: »Nicht viel jünger als diese (Hermotimos, der -Kolophoner und Philippos, der Schüler Platons) ist Eukleídēs, der die -Elemente [τα στοιχεία] verfasste, wobei er vieles was vom ¨Eudoxos¨ -herrührte, in zusammenhängende Ordnung brachte, vieles was Theaitet -begonnen, vollendete und ausserdem so manches was früher ohne rechte -Strenge bewiesen war, auf unantastbare Beweise zurückführte. Und -dieser Mann lebte unter Ptolemaios dem ersten, denn ¨Archimedes¨, -dessen Lebenszeit sich an die des ersten Ptolemaios anschliesst, -erwähnt des Euklid [in περί σφαίρας και κυλίνδρου, Heib. I, 2, p. 14] -und zwar erzählt er: Ptolemaios frug einmal den Euklid, ob es nicht -zur Geometrie einen bequemeren Weg gebe als die Elemente. Jener aber -antwortete: Zur Geometrie gibt es für Könige keinen Privatweg [ουκ εστι -βασιλικη ατροπος επι γεωμετριαν]. Er ist also jünger als die [direkten] -Schüler des Platon und älter als Eratosthenes und Archimedes, denn -diese waren Zeitgenossen, wie Eratosthenes irgendwo sagt. Aus Grundsatz -war er Platoniker und in der Platonischen Philosophie zu Hause.« - -Danach ergibt sich für Euklid etwa 300 v. Chr. als Zeit seines -Mannesalters (der ακμή, der Zeit blühendster Körper- und Geisteskraft, -welche die Hellenen in das vierzigste Jahr verlegten), und dass er -in Athen an der Akademie gehört hatte und dem engeren Kreise der -Akademiker angehörte. - -Zur Charakterisierung des Euklid haben wir noch eine Stelle bei -Stobaios. »Ein Mensch, der bei Euklid Unterricht in der Geometrie zu -nehmen begonnen hatte, frug, nachdem er den ersten Satz der Elemente -kennen gelernt hatte, was habe ich nun davon, dass ich das weiss? -Euklid rief seinen Sklaven und sagte: Gib dem Manne drei Obolen, da er -studiert um Profit zu machen.« Und schliesslich schildert ihn ¨Pappos¨ -in der Vorrede zum 7. Buch der Kollektaneen wie folgt: Erat ingenio -mitissimus et erga omnes, ut par erat, benignus qui vel tantillum -mathematicas disciplinas promovere poterant, aliisque nullo modo -infensus, sed summe accuratus. »Er war von mildester Gesinnung und wie -es sich geziemt wohlwollend gegen jeden, der und wär's noch so wenig, -die mathematischen Disziplinen zu fördern vermochte, in keiner Weise -anderen gehässig, sondern im höchsten Grade rücksichtsvoll.« Sie sehen, -dass Euklid in der Tradition seines Volkes als hochgesinnter, reiner -wissenschaftlicher Tätigkeit hingegebener Mann fortlebte. - -Gelehrt hat er für reife Leute, ganz in der Weise unserer -Universitätsprofessoren, an der Universität (Museum) ¨Alexandria¨, -wie uns l. c. Pappos berichtet. Unter der den Wissenschaften überaus -ergebenen Diadochen-Dynastie der Ptolemäer entwickelte sich des grossen -Alexander Stadt zur Zentrale des Hellenischen Geisteslebens. Man nennt -diese Periode die ¨Hellenistische¨. Es ist lange Zeit Mode gewesen die -Alexandriner zu verspotten als Pedanten, wegen ihrer grammatischen, -auf die einzelnen Worte gerichteten Untersuchungen, haben sie doch -z. B. die Akzente eingeführt. Aber auf dem Gebiete der exakten -Wissenschaften ist die Hellenistische Periode erstklassig. Euklid grade -hat den Schwerpunkt von Athen nach Alexandrien verlegt, ¨Archimedes¨, -¨Apollonios¨, ¨Eratosthenes¨ sind aus der Alexandrinischen Schule -hervorgegangen. -- - -[Sidenote: Euklid, Schriften: die Data.] - -Die Euklidischen Schriften kennen wir durch die Angaben der Proklos -p. 68 f. und Pappos l. c. Von den Elementen abgesehen sind im -griechischen Urtext erhalten a) die Data, δεδομενα, »Gegebenes,« mit -einer Vorrede des ¨Marinos¨ von Neapolis in Palästina, einem Schüler -des Proklos. Die Echtheit des Textes wird durch die Inhaltsangabe -bei Pappos (300 n. Chr.) bestätigt, welche im Wesentlichen mit dem -Text der Codices übereinstimmt. Die Schrift enthält 95 Sätze (Pappos -90) welche aussagen, dass wenn gewisse geometrische Gebilde gegeben -sind, andere dadurch mit bestimmt sind, also eine Art ¨geometrischer -Funktionentheorie¨. Beispiele: Satz 2: Wenn eine gegebene Grösse zu -einer zweiten Grösse ein gegebenes Verhältnis hat, so ist die zweite -ebenfalls gegeben. Satz 33: In einem gegebenen Streifen ist durch die -¨Winkel¨, welche eine Querstrecke mit den Grenzen bildet, die ¨Länge¨ -der Querstrecke bestimmt. Dem Inhalt nach gehen die »Data« nicht über -die »Elemente« hinaus, doch war und ist eine solche Zusammenstellung -praktisch im hohen Grade wertvoll für die Anwendung der seit und durch -Platon sich immer mehr ausbreitenden analytischen Methode, deren Wesen -gerade darin besteht, die durch die gegebenen Stücke mit bestimmten -Punkte, Linien, Figuren aufzusuchen, bis man zu einer konstruierbaren -Nebenfigur gelangt. Die Data sind daher eine sich eng an die Elemente -anschliessende Anleitung zum Konstruieren nach der analytischen -Methode, etwa entsprechend ¨Petersen's¨ bekannten »Methoden und -Theorien«. - -[Sidenote: Astronomie.] - -Erhalten ist unter dem Titel »Phaenomena« eine Schrift über Astronomie -(lectio sphaerica) mit den Anfangsgründen der Sphärik. Die Schrift -geht bedeutend über die kurz vorhergehende des ¨Autolykos¨ hinaus. Ich -bemerke beiläufig, das die lectio sphaerica bis in die Neuzeit hinein -der Schrittmacher für die Geometrie gewesen, die sich im Lehrplan der -Gymnasien erst aus ihr entwickelt hat. Die Schrift beginnt mit dem -Satz: »Die Erde liegt in der Mitte der Welt und vertritt in bezug auf -dieselbe die Stelle des Mittelpunkts« (Aristoteles) und schliesst mit -dem Satz: »Von zwei gleichen Bogen des Halbkreises zwischen dem Äquator -und dem Sommerwendekreis durchwandelt der eine, beliebig genommen in -längerer Zeit die sichtbare Halbkugel als der andere die unsichtbare.« -Das Wort »¨Horizont¨« stammt aus der Schrift, welche von Pappos im -6. Buch seiner Kollektaneen erläutert und ergänzt wurde. (¨A. Nokk¨, -deutsche Übersetzung Prgr. Freiburg i. Brg. 1850). ¨Heiberg¨ hat -nach einer Bemerkung Nokks bewiesen, dass diese Schrift des Euklid -einen sehr wesentlichen Bestandteil der für unsere elementare Sphärik -grundlegenden Schrift des ¨Theodosios von Tripolis¨ (etwa 100 v. Chr.) -gebildet hat (siehe ¨M. Simon¨, ¨Euklid¨ und die sechs planim. Bücher, -Leipzig 1901). - -[Sidenote: Optik.] - -Echt Euklidisch sind auch die »Optica«, deren Text Heiberg restituiert -hat. Der sonst gebräuchliche Text geht vermutlich auf ein Kollegienheft -nach ¨Theon¨ von Alexandrien, dem Vater der ¨Hypatia¨, der ersten uns -bekannten ordentlichen Professorin. Sie ist mutmasslich der Autor -unserer Quadratwurzelausziehung und bekannt durch ihre Schönheit -und ihr unglückliches Schicksal. Von dem bestialischen christlichen -Mönchspöbel Alexandriens zerrissen, wurde sie nach ihrem Tode zu -Professorenromanen ausgeschlachtet. Die Schrift Euklids gehörte zu der -Sammlung, welche unter dem Titel »μικρος αστρονουμενος,« der kleine -Astronom, neben den »Elementen« das Rüstzeug des Astronomen bildete, -ehe er an das grosse Lehrbuch des Ptolemaios, die μεγαλη συνταξις -(der Almagest) gehen konnte. Die Schrift gibt die Anfangsgründe der -Perspektive. - -Dagegen ist die andere Schrift über Optik, welche unter Euklids Namen -ging, die ¨Katoptrik¨ unecht. ¨Heiberg¨ macht es sehr wahrscheinlich, -dass die von Proklos unter diesem Titel erwähnte Schrift des Euklid -rasch durch das inhaltreiche Werk des ¨Archimedes¨ über den gleichen -Gegenstand verdrängt wurde. - -[Sidenote: Euklid, Schriften: Musik.] - -Noch über einen anderen Zweig der angewandten Mathematik haben -wir eine Schrift des Euklid, die καταιομη κανονος, die Lehre von -den musikalischen Intervallen, 20 Sätze, wissenschaftlich auf dem -Standpunkt der Pythagoräer. Eine zweite musikalische Schrift, die -Harmonielehre, εισαγωγή ἁρμονική, rührt wie schon ¨Hugo Grotius¨ -1599 erkannte von dem Aristoxenianer Kleonides her. [¨Aristoxenos¨, -direkter Schüler des Aristoteles als Philosoph, setzte der auf die -arithmetischen Intervalle gegründete Harmonielehre der Pythagoräer die -Lehre von den harmonischen Sinneseindrücken entgegen]. - -[Sidenote: Über Teilung.] - -Aus ¨Arabischen Quellen¨ besitzen wir durch ¨Dee¨ 1563 eine Bearbeitung -und durch ¨Woepcke¨ 1851 eine Übersetzung der von ¨Proklos¨ zweimal -erwähnten Schrift περὶ διαιρέσεων, über Teilungen, welche wertvolle -Aufgaben über Flächenteilung enthielt. Dort findet sich die noch -heute im Schulunterricht stets vorkommende Aufgabe: ein Dreieck durch -Gerade von gegebener Richtung in Teile zu teilen, welche ein gegebenes -Verhältnis haben; ferner Teilung von Vierecken, von Kreisen, von -Figuren die von Kreisbogen und Geraden begrenzt sind. Euklid zeigt sich -hier als sehr gewandter Konstrukteur, er benutzt ausser den Sätzen der -Elemente nur solche, welche sich mühelos aus ihnen ergeben. - -[Sidenote: Euklid, Verlorene Schriften.] - -¨Verloren¨ sind die Schriften, welche sich auf die eigentliche höhere -Mathese seiner Zeit beziehen. Zunächst die zwei wichtigen Bücher τόποι -πρὸς ἐπιϕάνειαν, Oberflächen als geometrische Orte, welche Proklos und -Pappos erwähnen. Der Begriff des geometrischen Ortes wird schon von -Pappos gerade so wie heute definiert als die Gesamtheit aller Punkte, -denen ein und dieselbe bestimmte Eigenschaft (Symptoma) zukommt, und je -nachdem diese Gesamtheit eine Linie oder eine Fläche bildete, heissen -die Orte Linien- oder Flächenorte. Davon verschieden sind »körperliche -Orte« (στερεοι), dies sind Linien, welche durch den Schnitt von -Körpern entstehen, wie die ¨Kegelschnitte¨. Die Schrift des Euklid -hat nach Pappos vermutlich Ortseigenschaften der Kugel-, Kegel- und -Zylinderflächen behandelt und scheint in der bedeutenderen Arbeit des -¨Archimedes¨ über Konoide und Sphäroide aufgegangen zu sein. - -[Sidenote: Porismata.] - -[Sidenote: Elemente.] - -Mehr wissen wir von den 3 Büchern »Porismata«, da Pappos den Inhalt -so ausführlich angegeben hat, dass ¨Michael Chasles¨ danach eine -Rekonstruktion versucht hat, nach Vorarbeiten von ¨R. Simson¨, dessen -Euklidbearbeitung von 1756 noch heute für England massgebend ist. -Allerdings hat ¨P. Breton de Champ¨ zuerst erkannt, dass die 29 -Sätze in der Vorrede des VII. Buches bei ¨Pappos¨ ein Résumé der 171 -Sätze des Euklid enthalten. Das Wort Porisma selbst bildet noch eine -Streitfrage. Es hat 2 Bedeutungen, erstens Zusatz, so kommt es vielfach -in den Handschriften der Elemente vor, zweitens bedeutet es ein -Mittelding zwischen einem gewöhnlichen Lehrsatz und einem sogenannten -Ortssatz, d. h. einem Satz der ausspricht, dass eine bestimmte Kurve -eine bestimmte Eigenschaft hat. Als Beispiel diene der Satz: Der -Ort der Punkte, deren Abstände von zwei festen Punkten ein festes -Verhältnis haben ist der Kreis (des ¨Apollonios¨) dessen Durchmesser -die Strecke zwischen den beiden in diesem Verhältnis zu den gegebenen -Punkten harmonischen auf der gegebenen Graden ist. Ein Porisma wäre -demzufolge in der Geometrie etwa das, was man in der Arithmetik -einen Existenzbeweis nennt, es spräche aus, dass ein bestimmter Ort -existiert, ohne ihn direkt zu konstruieren. Die Porismata bildeten -vermutlich für die synthetische oder direkte Konstruktionsmethode -ein Seitenstück zu den »Data« als Hilfsmittel für die analytische -Methode. Nach dem Résumé bei Pappos gingen sie weit über die Elemente -hinaus und mit ¨Chasles¨ und ¨H. Zeuthen¨ müssen wir annehmen, dass -sie die Grundlagen für die ¨projektive¨ Behandlung der ¨Kegelschnitte¨ -enthalten. - -Auch über diese zu seiner Zeit höchste Mathematik hat Euklid -geschrieben, vier Bücher Konika. Ebenso wie Euklid die Arbeiten seiner -Vorgänger insbesondere des Theudios für seine Elemente benutzte und -verdrängte, wurden seine Konika nach dem Zeugnis des Pappos von dem -grossartigen Werk der 8 Bücher Konika des ¨Apollonios¨ verdrängt, in -dessen erste 4 Bücher sie vermutlich vollständig Aufnahme gefunden -haben. Sie werden daher auch schwerlich aus arabischen Quellen je -wieder zum Vorschein kommen, wenn sie nicht zufällig als Leichenbinde -einer Mumie gefunden werden. - -Verloren ist auch eine Schrift mathophilosophischen Charakters -ψευδαρια, »Trugschlüsse« genannt und zwar sind absichtliche -Falschschlüsse gemeint. Proklos nennt die Schrift »καθαρκεικον και -γυμναστικον«, reinigend und übend durch Anstrengung d. h. die Schrift -war zur Geistesgymnastik der Schüler bestimmt. - -Und nun zu dem Werke das den Namen des Euklid unsterblich gemacht hat, -zu den Elementen, die »στοιχεία«, wozu ich meine Schrift Euklid etc. -von 1901 heranzuziehen bitte. - - -Die Elemente des Euklid. - -[Sidenote: Die Elemente des Euklid.] - -Den 13 Büchern der Elemente des Euklid wurden schon früh zwei Bücher -angehängt. Das 14. Buch ist eine tüchtige Arbeit des in Alexandrien -etwa 150 v. Chr. lebenden Mathematikers und Astronomen ¨Hypsiklēs¨, -über die fünf regulären (platonischen) Körper; das 15. Buch ist -eine weit schwächere Arbeit und hat nach ¨Tannery¨ und ¨Heiberg¨, -beides grosse Kenner der hellenischen Mathematik, einen Schüler des -¨Isidoros¨, des Erbauers der Sophienkirche um 530 n. Chr. zum Verfasser. - -Den Zweck der Elemente gibt Proklos S. 72 an: Elemente nennt man -das, dessen Theorie hinreicht zum Verständnis von allem anderen, und -mittelst dessen man im Stande ist die Schwierigkeiten, welche das -andere bietet, aus dem Wege zu räumen. Stoicheion bedeutet eigentlich -Buchstabe und l. c. sagt Proklos gradezu: die Elemente enthalten -die Sätze, welche als Bestandteile aller folgenden auftreten, wie -die Buchstaben im Wort. Die Grundbedeutung von Stoichos ist eine -militärische es bedeutet das, was wir einen Zug nennen, also auch die -Grundlage der Formation. - -Der Zweck und die Notwendigkeit der Euklid'schen Elemente folgt aus der -Entwicklung der hellenischen Mathematik. Die Pythagoräer (s. d.) waren -bei den Problemen zweiten Grades auf die √2, die Savisescha gestossen -oder gestossen worden und damit auf die Irrationalzahl und die -Inkommensurabilität. Damit wurden alle früheren Beweise über Teilung, -Ähnlichkeit, Flächenmessung hinfällig. Das 4. Jahrhundert, ¨Platon¨, -Theaitet, Eudoxos und die Schüler des Platon und Eudoxos, widmeten -sich der methodischen Arbeit die neuen Grundlagen festzustellen. Boten -doch die mathematischen Definitionen Platon vortreffliche Beispiele -seinem sokratischen Hang zur Definition der Begriffe zu folgen. Von -¨Eudoxos¨ rührt das ganze fünfte Buch der Elemente, die Lehre von -den Proportionen in, ich möchte sagen, Weierstrass'scher Strenge, -her, er ist der eigentliche Schöpfer der Exhaustionsmethode, die -vermutlich durch ihn schon bei ¨Aristoteles¨ erwähnt ist, und die -sich später, befruchtet mit dem Demokritischen Differentialbegriff, -bei Archimedes und Apollonios zur Infinitesimalrechnung auswuchs. Von -¨Theaitet¨ wissen wir, dass er die Einteilung der Irrationalzahlen oder -genauer die Lösung von Gleichungen 4. Grades, welche auf quadratische -Gleichungen reduzierbar sind, jedenfalls begonnen hat. Wahrscheinlich -von ¨Platon¨ selbst, jedenfalls aus seiner Schule, rühren die Fassungen -vieler Definitionen und Axiome bei Euklid her, welche Aristoteles (vgl. -¨Heiberg¨, Teubnersche Abh. z. Gesch. etc. Heft 18, 1904) nach den -Elementen des Magnesiers Theudios zitiert. Nach einem Jahrhundert waren -die methodischen Arbeiten zum Abschluss reif und den gab Euklid, bei -dem das methodische Gefühl bereits in so eminenten Grade ausgebildet -ist, dass er mit dem Beweise schliesst: ¨Mehr als fünf regelmässige -Körper kann es nicht geben.¨ - -Die Aufgabe die er sich setzte auf Grund der notwendigsten -Voraussetzungen die Geometrie und in geometrischer Einkleidung auch die -Arithmetik als ein zusammenhängendes Ganzes unantastbar darzustellen, -hat er in einer Weise gelöst, die alle Vorgänger spurlos verschwinden -liess und die, niemals übertroffen, die Bewunderung aller Zeiten und -aller Völker erregt hat. - -Daran schliesst sich die Frage, inwieweit Euklid in den Elementen -Eigenes gegeben. Die Frage ist nur summarisch zu beantworten. -¨M. Cantor¨ sagt: »Ein grosser Mathematiker wird auch da, wo er -anderen folgt, seine Eigentümlichkeit nicht verleugnen, und so war -es sicherlich auch bei Euklid.« Gewiss, denn so ist es ja bei jedem -Schullehrer, der seine Elemente gedruckt oder ungedruckt traktiert. -Aber ebenso klar ist es auch, dass ein Werk wie die Elemente die Kräfte -eines einzelnen übersteigt, und eine ganze Reihe von Vorarbeiten -erfordert, von Hippokrates, Leōn, der die Fülle der Sätze und Strenge -der Beweise erhöhte (Proklos 66 unten) bis auf Theudios, der sich auch -in den anderen Wissenschaften auszeichnete. Die von ¨Heiberg¨ l. c. -gesammelten Zitate aus seinen Elementen zeigen vielfach wörtliche -Übereinstimmung. Ebenso sicher ist die Form des Vortrags die zum Teil -schon von den Ägyptern überkommene gewesen, samt den so berühmten -Schlussformeln »quod erat demonstrandum«, was zu beweisen war, ὅπερ -ἔδει δεῖξαι, und quod erat faciendum, was zu machen war, ὅπερ ἔδει -ποιῆσαι. Euklid gehört wohl vor allem die Auswahl der Definitionen an, -die Forderungen (Erfahrungstatsachen) sind sein Eigentum, wie Heiberg -l. c. festgestellt hat, oder wenigstens ihre Trennung von den Axiomen, -und dann die strenge Durchführung des Prinzips keinen früheren Satz -mittelst eines späteren zu beweisen, kein Gebilde zu benutzen, dessen -Existenz nicht vorher durch geforderte oder gegebene Konstruktion -gesichert ist. - -Ferner gehört ihm ein grosser Teil des zehnten Buches, die Vollendung -der Einteilung der Irrationalitäten durch Theaetet. Dem Euklid -gehört der elementare Beweis (ohne Integralrechnung) des Satzes, -dass die Pyramide gleich dem dritten Teil des Prisma ist, dass mit -ihr gleiche Grundfläche und Höhe hat; sodann viele Sätze des 13. -Buches über die Bestimmung von Stücken der regulären Körper und mit -grösster Wahrscheinlichkeit der schon erwähnte Schlusssatz. Etwa 420 -war das Dodekaëder den Hellenen bekannt geworden, wenig früher war -überhaupt erst das logische Element in der Geometrie, die Forderung -nach dem Beweise, zur Geltung gekommen. Die Ausbildung des logischen -Sinnes bis zum Bedürfnis eines solchen Existenzbeweises erforderte -sicher ein Jahrhundert. Der einzige, der noch in Frage kommen konnte -wäre ¨Eudoxos¨, doch überwog bei ihm auf der Höhe seiner Kraft das -astronomische Interesse. - -[Sidenote: Parallelentheorie.] - -Wenn ich aber trotz der verhältnismässig geringen »Produktivität« -Euklids doch ¨M. Cantor¨ beipflichte, der ihn zu den drei Heroen der -griechischen Mathematik im 3. Jahrh. zählt, so tue ich es mit Rücksicht -auf Euklids Behandlung des Parallelenproblemes, dass er so recht -eigentlich in die Welt geworfen hat und das bis auf den heutigen Tag, -ja heute noch mehr als je im Zentrum des Interesses steht. Der gesamte -Aufbau des grundlegenden ersten Buches wird vom Parallelenproblem -beherrscht. Euklid hat rund 2000 Jahre vor ¨Saccheri¨ und ¨Legendre¨ -den Zusammenhang des Problems mit dem Satz über die Winkelsumme -im Dreieck erkannt. Schon Proklos hat bemerkt, dass das berühmte -und berüchtigte sogen. »11. Axiom«, richtiger die 5. Forderung, -hervorgegangen ist aus dem vergeblichen Bemühen den Satz: »In jedem -Dreieck sind zwei Winkel zusammen kleiner als 2 Rechte« umzukehren; und -so kam er zu der Forderung in der Fassung: »Und wenn eine, zwei Geraden -schneidende, Gerade mit ihnen innere an derselben Seite liegende Winkel -bildet, die zusammen kleiner sind als 2 Rechte, so schneiden sich jene -beiden Geraden bei unbegrenzter Verlängerung an der Seite, auf der -diese beiden Winkel liegen.« - -[Sidenote: Die Elemente des Euklid, Ausgaben.] - -Von der Bibel abgesehen, ist niemals ein Werk in so vielen Auflagen und -Bearbeitungen verbreitet gewesen, als die 13 »βιβλία« des Eukleídes, -dessen Namen geradezu mit der Geometrie identifiziert wird. Eine -sehr vollständige Zusammenstellung findet sich in Mem. d. R. Acad. -d. Sc. d. Ist. di Bologna Serie IX, T. VIII und X 1887 und 1890 von -¨P. Riccardi¨; ¨R. Bonola¨, Bull. d. ¨Loria¨ und Festschr. f. Joh. -Bolyai 1902 zählt gegen 1700 Ausgaben. Im Mittelalter und bis in die -Neuzeit wird die Professur für Geometrie häufig als die des Euklid -bezeichnet, die Studenten lasen den Text, sei es ganz, sei es im -Auszug, und der Professor kommentierte, wobei selten mehr als das -erste Buch erledigt wurde. ¨Savile¨, der die noch heute in ¨Oxford¨ -bestehende Professur des Euklid stiftete, kam bis zum 8. Satz des -ersten Buches, nur ¨Petrus Ramus¨, dessen Bedeutung in erster Linie auf -seiner Lehrtätigkeit und seiner grossen literarischen Bildung beruht, -rühmte sich die ganzen Elemente in einer Vorlesung erledigt zu haben. -Es war selbstverständlich, dass der Text im Laufe der Jahrhunderte -entstellt, verdorben, erweitert wurde. Letzteres gilt besonders für die -schwierigen Teile des zehnten bis letzten Buches. - -[Sidenote: Euklid, Übersetzungen der Elemente.] - -Ich verweise auch für die Bibliographie der Elemente auf meine Schrift -von 1901, hervorzuheben ist die Bearbeitung des ¨Theon v. Alexandria¨, -der etwa 350 n. Chr. lebte und lehrte, sie muss die früheren fast -völlig im Buchhandel verdrängt haben, obwohl sie keinen Fortschritt -bedeutete. Alle bis 1808 bekannte Codices, deren Zahl sehr gross ist, -alle Drucke und Übersetzungen sind, wenn man von ¨arabischen Quellen¨ -absieht, aus dieser Ausgabe hervorgegangen. Erst 1808 fand ¨F. Peyrard¨ -in einer durch ¨Napoleon¨ dem Vatikan geraubten Handschrift (Vatic. -190, 1814 zurückgegeben) die bis jetzt einzige vollständige -Handschrift, welche auf eine ältere und bessere Ausgabe zurückgeht. Aus -diesem Codex konnte man die Änderungen des Theon feststellen und die -Codices kritisieren, eine Arbeit, welche von ¨E. F. August¨ 1826-29 in -seiner griechischen und noch gründlicher von ¨J. L. Heiberg¨ in der -griech.-lat. Ausgabe von 1882-88 geleistet ist. Ausser dem Vat. 190 -geht auch der Palimpsest Bologna M. 1721 (¨Heiberg¨, Cant.-Schlöm. 29) -auf ältere Quellen als Theon zurück. - -Neben dürftigen Auszügen die, von oder nach ¨Boëtius¨ (etwa 500 n. -Chr.) verfasst, sich in den Klöstern und Klosterschulen hielten und -besonders durch ¨Gerbert¨ den nachmaligen Papst Sylvester II. von -Wichtigkeit wurden, verdankt Europa die Kenntnis der Elemente den -arabischen Übersetzungen und Bearbeitungen. Auf sie geht die erste -gedruckte Ausgabe zurück, die dem ¨Giovanni Campano¨ aus Novara -zugeschrieben wird, der um die Mitte des 13. Jahrh. gelebt hat, und -1482 bei ¨Erhard Ratdolt¨ in Venedig erschienen ist. Die Ausgabe -ist sehr selten, sie ist von ¨A. G. Kästner¨ Gesch. der Math. Bd. I -S. 289 f. genau beschrieben. - -Als der hellenische Geist zum zweiten Male für die europäische Kultur -fruchtbar wurde in jener Glanzepoche, die man die ¨Renaissance¨ nennt, -erschienen zunächst lateinische Ausgaben gestützt auf griechische -Codices. Die erste Originalausgabe ist die des Simon Grynaeus des -älteren, sie erschien 1533 bei ¨Herwagen¨, der auch in Strassburg eine -Druckerei besass, leider verarbeitet diese Ausgabe zwei sehr schlechte -Handschriften. - -[Sidenote: Euklid-Commentatoren.] - -Indem ich wieder auf meine zitierte Schrift verweise, erwähne ich -nur noch die beiden wichtigsten lateinischen Ausgaben, die des -¨Commandinus¨ Pisa 1572, der zuerst unseren Euklid von dem Megarenser -schied, und die des ¨Clavius¨ von 1574. Die Arbeit dieses für seine -Zeit hoch bedeutenden Jesuiten ist von allen Historikern der Mathematik -von ¨Montucla¨ und ¨Kästner¨ bis auf ¨M. Cantor¨ gleich hoch gewertet -worden; Kästner nennt sie die Pandekten der Mathematik, sie soll 22 -Auflagen gefunden haben. - -¨Die Commentatoren des Euklid¨, vergl. Euklid 1901 p. 16 ff. - -Der festgefügte Bau der Elemente hat, wie er seinerseits die höchste -Bewunderung erregte, andererseits die Versuchung erweckt die -Geometrie auf andere Weise ebenfalls zu begründen. Dazu kommt, dass -der Euklid in seinem ersten Buch einen mathophilosophischen Teil -enthält, der die Grundbegriffe der Geometrie und die nötigen und -hinreichenden Voraussetzungen angibt, von denen die ersteren ihrer -Natur nach unauflöslich, die anderen variabel sind. So haben die -Elemente des Euklid, und das ist vielleicht sein grösstes Verdienst, -eine staunenswerte Geistesarbeit hervorgerufen, die besonders in der -Geschichte des Parallelenaxioms zutage tritt. Hier will ich nur (Euklid -1901) einen Überblick über die hervorragendsten Interpretationen geben, -welche zeigen, wie Recht ¨Gino Loria¨ hat, wenn er als Prinzip seiner -schönen Arbeit »Della varia fortuna di Euclide, Roma 1893« das ¨Gesetz -der Kontinuität¨ ausspricht. Es geht ein ununterbrochener Zusammenhang -von Archimedes und Apollonios bis Veronese und Hilbert. - -Von ¨Apollonios¨ sind Spuren eigener »Elemente« erhalten; darunter eine -ganz allgemeine Definition des Winkels (Heiberg V S. 88). - -¨Archimedes¨ gab eine von Euklid abweichende mechanische -Grundeigenschaft der Geraden (ebenfalls auch der Ebene) an und neue -Prinzipien, darunter das nach ihm benannte, obwohl von ¨Eudoxos¨ -oder vielleicht ¨Demokrit¨ stammende für die Exhaustionsmethode, die -er zur Integralrechnung umbildete. Ihm schliesst sich ¨Heron¨ von -Alexandrien, der grösste Mechaniker des 1. Jahrh. an; von seinem -Kommentar sind uns Fragmente durch Proklos und ¨An-Narizi¨ (s. u. bei -Heron) überliefert. - -Aus der Zusammenstellung der Euklidstellen bei ¨Heron¨ durch Heiberg -geht klar hervor, dass die Definitionen des Euklid schon zu Herons -Zeit die uns überlieferte Form hatten, Euklid also damals schon, wie -¨Tannery¨ sagt, der unantastbare Klassiker der Elemente war. - -Es ist das Parallelenaxiom und die Definitionen, überhaupt die ganze -Anordnung der ersten Bücher, dann gewisse Inkongruenzen zwischen dem -sechsten und den beiden letzten Büchern, der sonderbare Umstand, -dass Euklid die Lehre von den Proportionen ganz allgemein im fünften -Buch begründet, und dann die elementare Lehre von den Verhältnissen -ganzer Zahlen noch einmal im siebenten Buche gibt, was von jeher die -Kommentatoren in Tätigkeit gesetzt hat. - -Die Inkongruenz bezieht sich besonders auf die Bewegung. In den -sechs planimetrischen Büchern wird sie ängstlich vermieden; nur zum -Beweis des 4. Satzes (ersten Kongruenzsatz) und seiner Umkehrung wird -sie herangezogen, dagegen scheut sich Euklid im 11. und 12., den -stereometrischen Büchern, absolut nicht die Definition der Körper auf -die Bewegung zu stützen. - -Man hat daraus schliessen wollen, »einen Homeros gab es nie, sondern -acht bis zehn«, aber Euklid war Platoniker, und nach Platon und -Aristoteles setzt der Begriff der Bewegung einen körperlichen Raum -voraus. - -Auf Heron folgt Gemīnos, bezw. Géminus, von dem Proclus berichtet, -er habe die Verschiebbarkeit in sich der Schraubenlinie auf dem -Rotationscylinder, wenn nicht gefunden, so doch gekannt. Es folgt -eine Ära, in der die zusammenfassende eigentlich philosophische -Geistesrichtung unter dem Einfluss des Aristoteles gegen die Ausbildung -der einzelnen Spezialwissenschaften zurücktritt. Aus dieser Zeit, in -der sich von mathematischen Disziplinen die Trigonometrie (ebene und -sphärische) im Anschluss an die Astronomie entwickelt, wissen wir von -besonderen Kommentaren nichts, aber von den Elementen, dass sie für -unentbehrlich zur Ausbildung der angewandten Mathematiker galten. - -Als gleichzeitig mit dem Christentum gegen diese nüchterne Periode -in Anlehnung an den Theosophen Platon zunächst der Neupythagoreismus -sich erhob, war es anfangs die arithmetische Seite des Euklid, die -Bücher 7, 8, 9, die in Nikomachos von Gerasa um 100 n. Chr. dem -»Elementenschreiber der Arithmetik« (¨M. Cantor¨) und in Theon von -Smyrna ihre Kommentatoren fand. Um 300 lehrte dann zu Alexandria -¨Pappos¨, dessen Kollektaneen von unschätzbarer Bedeutung sind. Pappos -hat sicher einen Kommentar zum zehnten Buch geschrieben, von dem Reste -im Vaticanus erhalten sind und der uns nach Heiberg wahrscheinlich ganz -in einem noch unedierten Leydener Manuskripte erhalten ist. - -Mit dem ¨Neuplatonismus¨, jener seltsamen Mischung christlicher und -platonischer Mystik, nimmt auch die Mathematik die platonische Richtung -auf die Probleme, welche die geometrischen Grundbegriffe und die -Methodik bieten energisch auf. Ich nenne ¨Jamblichos¨, ¨Porphyrios¨, -von denen uns Spuren ihrer Scholien erhalten sind, ¨Theon¨ und -¨Proklos¨, dessen Kommentar zum ersten Buch uns fast ganz erhalten ist. -Der Kommentar, der bis 1873 nur in der Ausgabe von ¨Simon Grynäus¨ -1533 bei Herwagen gedruckt war, ist für die Geschichte der Mathematik -bei den Hellenen einzig; Tannery, der zuverlässigste Detailforscher -hellenischer Mathematik, nennt sein Verständnis geradezu das Problem -der Geschichte der Mathematik. - -Die Ausgabe von ¨Friedlein¨ 1873 ist philologisch sehr bedeutend, wenn -auch nach ¨Heiberg¨ noch nicht das letzte Wort über Proklos, aber -griechisch; es existiert nur die lateinische Übersetzung des ¨Barocci¨ -von 1560, welche oft nur eine Wortübersetzung ist und von Taylor -ebenso wörtlich ins Englische übertragen ist. - -Als ¨Justinian¨ 529 die Schule von Athen, mit der die hellenische -Kultur begann und schloss, aufhob und die Lehrer vertrieb, kam ¨Euklid¨ -mit ihnen nach Persien und so an die Araber, wo er, wie schon gesagt, -im 8. und 9. Jahrh. an Haggag und Ishaq Übersetzer fand. Sehr bald -darauf muss es auch arabische Kommentare gegeben haben, wie aus -der Ausgabe des Campanus hervorgeht; der schon erwähnte ¨Nasir ed -Din¨ im 13. Jahrh. ist keineswegs unbedeutend, der auch zuerst die -Trigonometrie als eigenen Zweig behandelt hat. - -Die Renaissance macht Proklos bekannt, an ihn schliesst sich -¨Commandinus¨ und ¨Clavius¨ an. Der erstere wirkte besonders auf -die Engländer, auf ¨Savile¨, der die Professur des Euklid in Oxford -begründete, wodurch ¨Wallis¨ und wohl auch ¨Barrow¨ (erste Ausgabe -1652) und durch diese Newton auf Euklid und die Beschäftigung mit den -Grundlagen hingewiesen wurden. - -Vor allem haben wir ¨Robert Simson¨ zu nennen, der direkt Commandinus -zugrunde legt und der besonders auf die englische Schulmathematik vorn -allerwesentlichsten Einfluss gewesen ist. Der Kommentar erschien 1756, -Titel: die sechs ersten Bücher des Euklid mit Verbesserung der Fehler, -wodurch Theon und Andere sie entstellt haben etc. mit erklärenden -Anmerkungen (aus dem Englischen übersetzt von Rieder. Herausg. von -Niesert, Paderborn 1806). - -¨Clavius¨ kennt den Proklos ganz genau; auch er harrt noch der -deutschen Herausgabe, der er in hohem Grade wert ist; er hat neben -¨Borelli¨ (Euklides restitutus 1658) sicher auf seinen Ordensbruder -¨Saccheri¨ gewirkt, von dessen: Euklides ab omni naevo vindicatus -(Mediol. in 4. 1733), die heutige sogenannte nicht-Euklidische -Geometrie gezählt wird. Es ist wahrscheinlich, dass ¨Lambert¨ in -Chur den Saccheri kennen lernte und fast sicher, dass ¨Gauss¨ wieder -Lamberts Abhandlung im Hindenburg'schen Archiv von 1786 gelesen. -Gauss wirkte dann auf seinen Jugendfreund ¨Wolfgang Bolyai¨ und durch -ihn auf seinen Sohn ¨Johann¨ und durch Vermittelung von Bartels auf -¨Lobatscheffski¨. - -Für Frankreich ist ausser Clavius noch ¨Petrus Ramus¨, der -sogenannte »Besieger der Scholastik«, von Bedeutung. Ramus, dem es -an philosophischer Tiefe fehlte, war nicht imstande den Euklid zu -würdigen wie ganz besonders seine Kritik des zehnten Buches beweist, -aber seine revolutionäre Anfechtung der Autorität kommt in Frankreich -im 18. Jahrh. zur Geltung. Hier geht der Weg von Clavius über Tacquet -1659 und Arnauld durch Zurückgreifen auf Ramus zu ¨Clairaut¨ 1741 und -¨Legendre¨ 1794 und ¨Bertrand¨ 1810. ¨Clairaut¨, dessen wahrhaft kühne -Elemente der Geometrie vom Rechteck als der unmittelbar anschaulichen -Figur ausgeht, hat sich auch auf die deutschen Ritterakademien, z. B. -Ilfeld verbreitet. Es scheint, als ob auch ¨Lambert¨ ihn gekannt hat; -doch ist der Ausgangspunkt vom Rechteck ein so natürlicher, dass ich -selbst um 1880 ohne eine Ahnung von Clairaut oder Lambert zu haben, im -Unterricht einen ganz ähnlichen Weg einschlug. Der ausserordentliche -Erfolg und die grosse Verbreitung der »¨Elements¨« ¨Legendres¨ (1794) -ist bekannt und berechtigt; noch heute beeinflussen sie den Unterricht -auf den Mittelschulen nicht nur Frankreichs sondern Spaniens, Hollands -und Deutschlands. - -[Sidenote: Euklid-Gegner.] - -Was die deutschen Schulen betrifft, so möchte ich auf eine Schrift -¨Hubert Müller's¨ aus Metz aufmerksam machen: »Besitzt die heutige -Schulgeometrie noch die Vorzüge des Euklid-Originals?« Ich kann meine -Kritik in der deutschen Literaturz. 1887 No. 37 nur dahin ergänzen: die -deutsche Schulgeometrie hat sie nie besessen. Weder Johannes Vogelin, -bekannt durch die Vorrede Melanchthons in der Ausgabe von 1536, noch -des Conrad Dasypodius Volumen I und II, noch die Mathesis juvenilis -Sturms oder Wolffs oder Kästners Anfangsgründe oder Thibauts Grundriss, -von Kambly, Mehler, Henrici und Treutlein ganz zu schweigen, sind -jemals dem Gange Euklids gefolgt. Dagegen waren die Studenten und die -Lehrer bis etwa um 1860, wie die rasch auf einander folgenden Ausgaben -beweisen, völlig mit dem Euklid vertraut. Von da an ändert sich die -Sache, und ich bin sicher, dass es nur eine minimale Anzahl von Lehrern -gibt, die den Euklid gelesen haben. - -Einen Teil der Schuld an dem Sinken der Autorität Euklids tragen -auch die Angriffe ¨Schopenhauers¨ gegen die »Mausefallenbeweise des -Euklid«. Schopenhauer hatte als Künstler, der er war, für die intuitive -Erkenntnis vollstes Verständnis, aber bar aller mathematischen Bildung, -fehlte ihm jedes Verständnis für die logische Erkenntnis, die oft -ebenso unmittelbar wie jene ist. Nun ist aber die euklidische Geometrie -als Wissenschaft eine chemische Verbindung von Anschauung und Logik, -und darum musste der Versuch, den z. B. ¨Kosak¨ in dem Nordhäuser -Programm anstellte die Geometrie nur auf Anschauung zu begründen, -gerade so scheitern wie der noch berühmtere ¨Bolzanos¨ von 1804 die -Geometrie rein logisch zu begründen. ¨Bolzano¨ hat übrigens viel mehr -von Leibniz entlehnt als bekannt ist. Der grosse »aemulus« Newtons -zeigt sich auch in der Auffassung der Grundlagen als Widerpart. - -Während Newton in der Vorrede der Principia phil. nat. ausdrücklich -auf den Ursprung der mathematischen Grundgebilde aus der Mechanik -hinweist: »Gerade Linien und Kreise zu beschreiben sind Probleme, aber -keine geometrischen,« ist Leibniz bemüht der Anschauung so wenig als -möglich einzuräumen. Es scheint wenig oder gar nicht bekannt, dass -schon bei Lebzeiten Leibniz' Ansichten desselben über die Grundlagen -der Geometrie veröffentlicht sind bei ¨La Montre¨ 1691: Les 47 propos. -du I livre des Elém. d'Euclide avec des remarques de G. G. Leibniz. - -Ähnlich wie in Deutschland liegt die Sache in Frankreich und Italien, -nur in England folgt Ausgabe auf Ausgabe und noch ist der sogenannte -Syllabus nicht zustande gekommen, der den Euklid verdrängen sollte, -doch ist das Festhalten an Euklid mehr Schein als Wirklichkeit s. mein -Referat von 1906, No. 4 p. 26. Auch in Schweden und Norwegen scheint -sich Interesse für Euklid dauernd erhalten zu haben. Für Deutschland -und Italien ist mit dem Ende des 19. Jahrh. ein Umschwung eingetreten, -man kann geradezu sagen, dass die Kenntnis des Euklid durch die neueste -Richtung, deren Haupt in Deutschland ¨Hilbert¨, in Italien ¨Veronese¨ -ist, wieder unentbehrlich wird. - -[Sidenote: Euklid's Elemente: Definitionen.] - -Über den Inhalt des Euklid muss ich sehr kurz sein, von meinen Hörern -kann ich erwarten, dass sie den Euklid selbst lesen. Nur wenige Worte -über das Wichtigste des Wichtigsten, die ὁροι, αιτηματα, κοιναι -εννοιαι, die Definitionen, Postulate und Axiome des ersten Buches. Eine -Bibliothek ist gleich über die ersten Worte geschrieben: σημειον εστι -ὁυ μερος ουθεν (oft auch οὐδὲν). - -Punkt ist das, dessen Teil nichts ist oder das keinen Teil hat. In -beiden Fällen ist klar, dass Euklid, der seinen Platon und Aristoteles -kannte, hiermit ausdrücklich gesagt hat, dass der Punkt nicht unter die -Kategorie Grösse fällt; so klar dies ist, ist es doch niemals gedruckt -worden, ausser bei Kant (Kritik d. reinen Vernunft p. 169), wo es frei -nach ¨Aristoteles¨ heisst: Punkte und Augenblicke sind nur Grenzen, der -Raum besteht nur aus Räumen, die Zeit aus Zeiten. - -Die Definition ist sicher platonisch; Aristoteles sagt der Punkt ist -μονας θεσιν εχουσα eine Einheit, welche Lage hat. Definition 4: ευθεια -γραμμη εστιν, ἡτις εξ ισου τοις εφ' ἁυτης σημειοις κειται. Die Gerade -ist diejenige Linie, welche gleichmässig durch ihre Punkte gesetzt -ist. Auch über diese Definition existiert eine ganze Literatur. Man -hat nicht berücksichtigt, dass Euklid die gerade Linie erst völlig -definiert durch die Forderungen 1 und 2. Es soll gefordert werden -1) dass sich von jedem Punkte bis zu jedem Punkte eine und nur eine -Strecke führen lasse, 2) und diese Strecke sich kontinuierlich auf -ihrer Geraden (vielleicht richtiger bis zur Vollendung der Geraden) -ausziehen lasse. Mit Definition 4 zusammen definiert sie die Gerade -völlig, natürlich nicht anschaulich, denn die Anschauung der Geraden, -die psychologisch ist und experimentell gewonnen wird, setzt Euklid bei -seinen Hörern voraus. Euklid sagt, die Gerade ist eine unterschiedslose -und unendliche Linie, die durch zwei ihrer Punkte völlig bestimmt ist. - -Def. 7) Ein ebener Winkel entsteht, wenn zwei Linien der Ebene -zusammentreffen, welche nicht in derselben Geraden liegen, durch die -Biegung von der einen Linie zur andern. Die Definition des Winkels -ist oft und mit Recht getadelt worden. In Schottens vergleichender -Planimetrie füllen die Abänderungen 40 Seiten aus; die von mir -herrührende »der Winkel ist die Grenze des Kreissektors bei über jedes -Mass wachsendem Radius«, ist für den Unterricht ungemein zweckmässig, -aber ich fand sie nachträglich schon 70 Jahre vor mir bei ¨Stein¨ in -Gergonnes Annales Bd. XV (1824) p. 77. -- - -Das Wort κλισις. »Neigung« kann Richtungsänderung bedeuten, kann -Drehung bedeuten etc. Proklos (Eudemos) setzt daher κλασις in περί -γωνίας. d. h. Brechung. Apollonius definiert: der Winkel ist die -Verengerung der Ebene oder des Raumes an einem Punkte infolge der -Biegung von Linien oder Flächen. - -Dass Euklid den gradlinigen Winkel ¨abc¨ im Wesentlichen als eine -Flächengrösse auffasst, das folgt aus der Definition 9 des gradlinigen -Winkels, wo περιεχουσαι »enthaltend« gebraucht wird, und aus der -ständigen Anwendung der Winkel ὑπὸ αβγ d. h. περιεχομενη, der von dem -gebrochenen Linienzug αβγ umschlossene und besonders da er unmittelbar -vom Winkel als der nicht völlig begrenzten Fläche auf die ¨Figur¨ -»οχημα« übergeht als der völlig begrenzten. - -[Sidenote: Euklid's Elemente: Forderungen.] - -Nun zu den fünf Forderungen: - -¨Proklos¨ sagt, dass die Forderungen von den Grundsätzen sich -unterscheiden wie die Aufgaben von den Lehrsätzen. Die ersteren -verlangen Konstruktionen, die jeder leicht ausführen kann, die andern -Sätze, die jeder leicht zugibt. - -¨Aristoteles¨ sagt: die Forderung ermangelt des Beweises, den man gern -geben möchte, wenn man nur könnte, während der Grundsatz von jedem ohne -Weiteres als richtig anerkannt wird. - -Die Unterscheidung des Proklos passt aber nur auf das schon genannte -1. Petitum und das 3. »Und um jedes Zentrum und mit jedem Abstand -sich ein und nur ein Kreis zeichnen lasse«, d. h. dass vom gegebenen -Zentrum aus durch jeden Punkt der Ebene ein und nur ein Kreis geht. Es -enthalten aber No. 1 und 3 Forderungen, die, ich erinnere an Newton, -von der angewandten Mechanik ihre Lösungen empfangen haben. Es darf -daher nicht überraschen, wenn in den Handschriften eine ziemliche -Verwirrung herrscht und sich z. B. in sehr vielen No. 5, das schon -erwähnte Parallelenaxiom, als 11. Grundsatz findet und das schon vor -Theon rezipierte unechte »zwei Gerade schliessen keinen Raum ein« sich -im Vaticanus als Forderung 6 und in andern Codices als Grundsatz 9 -findet. Der richtige Unterschied ist der: die Forderungen enthalten -Grundtatsachen der Anschauungen und die Axiome Grundtatsachen der Logik. - -Forderung 4: »Und alle rechte Winkel einander gleich seien«. - -Sie ist nach Proklos von Geminos und anderen angegriffen als beweisbar. -Ich gebe hier den Beweis des Geminos: Wäre αβγ < δεζ und ¨legte¨ man -δεζ auf αβγ, so dass δε u. αβ zusammenfallen, so fiele εζ als βη -innerhalb und dann wäre κβα das nach Definition des rechten Winkels -= αβη ist > θβα > αβγ, also δεζ zugleich kleiner und grösser als αβγ -(Fig.). - -[Illustration] - -Der Beweis setzt voraus, dass die Verlängerung von ηβ sich nicht mit -θβ deckt, d. h. also, dass eine Strecke sich nur auf ¨eine¨ Weise zu -einer Geraden verlängern lasse. Darin hat ¨H. Zeuthen¨ recht, aber -dies zu sagen wäre die Forderung eine seltsame Form und Euklid hat -eine ganze Reihe stillschweigender Voraussetzungen ohne die keine -geometrische, d. h. anschauliche Geometrie existieren kann, und die -genannte Forderung hat er in No. 1 und 2 ausgesprochen. - -Dem Geminos und den andern, vermutlich den Mechanikern Heron und -Archimedes ist die strenge Aristotelische Auffassung der Bewegung -verloren gegangen; der Beweis verlangt ja auch die Verschiebbarkeit und -Drehung der Ebene in sich selbst, bezw. die dritte Dimension und die -will und kann Euklid von seinem Standpunkte aus hier nicht zu Hilfe -nehmen; so bleibt ihm nur übrig zur Forderung seine Zuflucht zu nehmen. - -[Sidenote: Euklid's Elemente: Grundsätze.] - -Über die 5. und letzte Forderung, das Parallelenaxiom, und dem was drum -und dran hängt, kann ich auf ¨F. Engel¨ und ¨P. Stäckel¨, Theorie d. -Parallellinien (1895) und auf meine früheren Schriften verweisen. So -gehe ich zu den Grundsätzen. Von Proklos sind als echt bezeichnet: - -1) Was demselben (zu ergänzen: dritten) gleich ist, ist unter sich -gleich. - -2) Und wird Gleiches zu Gleichem hinzugesetzt, so sind die Ganzen -gleich. - -3) Und wird von Gleichem hinweggenommen, so sind die Reste gleich. - -8) Und das Ganze ist grösser als sein Teil. - -7) Und einander Deckendes ist gleich. - -Euklid sagt: χοιναι εννοιαι. Allen Vernünftigen gemeinsame Einsicht. - -Proklos sagt: Axiome eigentlich »Meinungen«, aber nach dem -Sprachgebrauch des Aristoteles allgemein angenommene logische Sätze, -die man nicht beweisen kann, weil sie die logischen Grundlagen des -Beweises sind. Proklos hat nur die 5 angeführt, richtig 8 vor 7, da -7 nicht rein logisch ist, sondern von dem Zusammenfallen in der -Anschauung ausgeht um daraus den logischen Schluss der Gleichheit zu -ziehen. - -Das Axiom 7 ist von ¨Schopenhauer¨ »die Welt als Wille und Vorstellung« -T. 2 S. 144 angegriffen, weil es entweder eine Tautologie ist oder eine -Bewegung voraussetzt. Es ist von ¨Bolzano¨ und ¨Grassmann¨ (¨Leibniz¨) -durch das Prinzip ersetzt worden: »Dinge, deren bestimmende Stücke -gleich sind, sind gleich« (eine andere Fassung für »gleiche Ursachen -gleiche Wirkungen«). - -Schopenhauer hat Euklid gar nicht verstanden; Euklid braucht -Axiom 7 zuerst beim Beweis des ersten Theorems, Satz 4, der -erste Kongruenzsatz, und dort im Grunde nur als Axiom von der -Gleichförmigkeit des Raumes, bezw. in dem Sinne Bolzanos und -Grassmanns. Ich halte es für einen Fehler, dass Euklid nicht den 1. und -3. Kongruenzsatz in die Forderungen aufgenommen hat. - -[Sidenote: Technologie der Elemente.] - -Es folgen nun die 48 »Protasis« (Propositionen d. i. Sätze) des ersten -Buches. Die Sätze zerfallen in »Probleme«, Aufgaben, die zur Erzeugung -eines Gebildes führen und »Theoreme« Lehrsätze. Den Unterschied -definiert Proklos S. 201, wo er, um mit P. Tannery (Géométrie -grecque S. 87) zu sprechen, von der Technologie der Elemente handelt -wie folgt: Bei den Problemen handelt es sich darum sich Fehlendes -zu beschaffen, anschaulich hinzustellen und mit den Kunstmitteln -(Lineal und Zirkel) zu erzeugen. Im »Theorem« nimmt man sich vor das -Vorhandensein einer Eigenschaft bezw. das Nichtvorhandensein zu sehen, -zu erkennen, zu beweisen. Jedes Problem aber und jedes Theorem, das -aus seinen vollständigen Teilen zusammengesetzt ist, muss folgendes -in sich enthalten: 1) ¨Vorlage¨ (προτασις). 2) Feststellung des -Gegebenen (εκθεσις.) Voraussetzung. 3) ¨Feststellung des Geforderten¨ -(διορισμός.) Behauptung. 4) Konstruktion (κατασκευη.). 5) Beweis -(απόδειξις.) 6) Schluss (συμπέρασμα). - -Die Protasis sagt aus, was gegeben und was gefordert wird; denn die -vollständige Protasis besteht aus beiden. - -Die Ekthesis setzt das Gegebene an und für sich, (d. h. ohne Rücksicht -auf das Geforderte) genau auseinander und arbeitet dadurch der -Untersuchung vor. - -Der Diorismos aber macht das Gesuchte, es sei, was es sei, an und -für sich deutlich. Der Ausdruck Diorismos wird hier bei Proklos -anders gebraucht als bei Pappos; Peyrard hat Prodiorismos: Bei Pappos -bezeichnet Diorismos genau das, was wir heute Determination nennen, -d. h. die Angabe derjenigen Einschränkungen in bezug auf die gegebenen -Stücke, welche zur Ausführbarkeit der Konstruktion nötig sind. - -Die Kataskeuē fügt das hinzu, was dem Gegebenen zur Erlangung des -Gesuchten mangelt. Proklos sagt zur »Jagd« θηραν und braucht das Bild -wiederholt, so alt ist das Bewusstsein des Kampfes des Mathematikers -mit seinem Problem. - -Die Apodeixis leitet das Vorliegende logisch von dem, was bereits -feststeht, ab. - -Das Symperasma aber kehrt wieder zur Vorlage zurück, indem es den -bewiesenen Satz klar und deutlich ausspricht. Und dies sind alle Teile -sowohl der Probleme als der Theoreme. - - -1) πρότασις. - -[Sidenote: Technologie, Beispiel.] - -Ich gebe ein Beispiel (S. 5): Im gleichschenkligen Dreieck sind die -Winkel an der Basis einander gleich, und werden die gleichen Schenkel -verlängert, so sind die Winkel unterhalb der Basis einander gleich. - -[Illustration] - - -2) εκθεσις. - -ΑΒΓ sei das gleichschenklige Dreieck mit ΑΒ gleich ΑΓ und es mögen auf -ihrer Geraden ΑΒ und ΑΓ verlängert werden um ΒΔ und ΓΕ. - - -3) διορισμός. - -Ich behaupte etc. - - -4) κατασκευή. - -Man nehme auf ΒΔ einen beliebigen Punkt Ζ an, von ΑΕ nehme man ΑΗ -gleich ΑΖ weg und ziehe ΖΓ und ΗΒ. (Fig.) - - -5) αποδειξις. - -Dann ist ◁ΑΖΓ ≅ ΑΗΒ (Satz 4), folglich ◁ΑΓΖ = ΑΒΗ und ∢ΑΖΓ = ΑΗΒ, -und da ΑΖ = ΑΗ und ihr Teil ΑΒ und ΑΓ auch gleich, so ist (Ax. 3) ΒΖ -= ΓΗ; und, da bereits bewiesen, dass ΖΓ = ΒΗ und ∢ΒΖΓ = ΒΗΓ, so ist -(4) Dreieck ΒΖΓ ≅ ΒΗΓ, folglich ∢ΖΒΓ = ΗΓΒ, und ΒΓΖ = ΓΒΗ. Da nun -der ganze Winkel ΑΒΗ = dem ganzen Winkel ΑΓΖ erwiesen wurde, und die -Teile ΓΒΗ und ΒΓΖ gleich, so ist (Ax. 3) ∢ΑΒΓ = ΑΓΒ und dies sind die -Basiswinkel. Die Gleichheit aber von ΖΒΓ und ΗΓΒ wurde schon gezeigt -und sie liegen unterhalb der Basis. - - -6) συμπέρασμα. - -Also sind im gleichschenkligen Dreieck etc. - -M. H.! ich habe dies Beispiel absichtlich gewählt, weil es zeigt, wie -turmhoch Euklid über den Beweisen unserer geometrischen Lehrbücher -steht, und weil aus Heibergs zitierter Arbeit über die Mathematik -bei Aristoteles folgt, dass hier ein bedeutender Fortschritt des -¨Eukleides¨ über den ¨Theudios¨ vorliegt. Es fällt Euklid gar nicht -ein den Satz zu benutzen: wenn die Winkel gleich sind, so sind ihre -Nebenwinkel gleich. - -¨Proklos¨ fährt fort: Am notwendigsten aber und in allem vorhanden -sind die Vorlage, der Beweis und der Schluss. Denn man muss a) -vorher wissen, was zu suchen ist und b) es durch eine Kette von -Schlüssen beweisen und c) das Resultat einsammeln. Die andern Teile -fehlen mitunter wie Diorismos und Ekthesis bei dem Problem: Ein -gleichschenkliges Dreieck zu konstruieren, worin jeder Basiswinkel -das Doppelte des Winkels an der Spitze. Dies Fehlen tritt ein, sagt -Proklos, wenn die Vorlage kein Gegebenes enthält (d. h. wenn es -ausgelassen ist) wie in dem zitierten Beispiel die Basis des Dreiecks -wie in B. X S. 20 eine 4. Wurzel zu konstruieren (nämlich bei gegebener -aber nicht erwähnter Einheitsstrecke). - -[Sidenote: Technologie der Elemente, Lemma, Porisma.] - -Die Konstruktion aber fehlt in weitaus den meisten Theoremen, da -die Ekthesis hinreicht um ohne einen Zusatz (nämlich von Zeichnung) -das Vorgesetzte (d. i. die Figur, um die es sich handelt) sichtbar -zu machen. Hin und wieder findet sich ein Hilfssatz, Lemma, (von -λαμβάνω) und Zugaben, Porisma. Lemma ist eigentlich in der Geometrie -ein Satz, der noch des Beweises bedarf, den wir für eine Konstruktion -oder einen Beweis einstweilen annehmen vorbehaltlich des Beweises, -und der sich durch diesen Vorbehalt von den Axiomen und Forderungen -unterscheidet, welche wir ohne dass sie bewiesen, zur Rechtfertigung -anderer Sätze herbeiziehen. Porisma ist ein Zusatz, der sich beim -Beweis eines anderen als eine »Gottesgabe« ungewollt von selbst ergibt, -im wesentlichen also eine andere Fassung des bewiesenen Satzes. -Übrigens sind die meisten, ich möchte sagen alle Lemmata und vielleicht -auch die Porismata verdächtig, so fehlt z. B. das Porisma zu I, 15: -(Scheitelwinkel sind gleich) »Wenn zwei Gerade einander schneiden, so -sind die vier Winkel vier Rechten gleich«, obwohl es sich bei Proklos -findet in den besten Handschriften. - -Zu bemerken ist, dass in den guten Handschriften sich weder -Überschriften noch Bezeichnungen der einzelnen Teile finden. Die -Sätze sind numeriert und dies ist sicher nicht original, da Euklid -nicht auf die betreffende Nummer verweist, sondern den einschlagenden -Satz vollständig angibt. Dies Schleppende der Darstellung veranlasste -vermutlich die Bezifferung und zwang zu Abkürzungen. Übrigens erklärt -sich die Breite, wenn man sich vergegenwärtigt, dass das Original zu -mündlichem Vortrag im Kolleg vor Studenten der Universität Alexandria -bestimmt war. Und dies ist ein Umstand, der bei der Klage über Euklid -und Euklids Methode viel zu wenig berücksichtigt ist; das Buch war für -reife Männer bestimmt nur die Torheit der Scholarchen hat aus einem der -tiefsinnigsten Werke aller Zeiten ein Buch für Schulknaben gemacht. - -[Sidenote: Euklids Elemente, Buch 1 bis 5.] - -Die Inhaltsangabe sei ganz kurz als Schluss angefügt. Buch 1, das -bedeutendste, zerfällt in drei der Ausdehnung nach sehr ungleiche -Teile. Satz 1-26 die wichtigsten Sätze über Dreiecke und Winkel mit -den drei Kongruenzsätzen und unabhängig vom Parallelenaxiom; Satz -27-33 Parallelentheorie mit Satz 32 Winkelsumme; Satz 34-48 die -Flächenvergleichung, (47 Pythagoras, 48 seine Umkehrung). - -Das 2. Buch ist längst als geometrische Algebra erkannt, in -Ausführung des Pythagoras wird das Rechnen mit Flächen gelehrt, z. B. -√(a^2 + b^2), √(a^2 - b^2), dann die Multiplikation von Aggregaten, -es geht bis zur Auflösung quadratischer Gleichungen in geometrischer -Einkleidung, zunächst nur im speziellen Fall und endet mit dem -geometrischen Existenzbeweis der Quadratwurzel durch die Verwandlung -des Rechtecks in ein Quadrat. - -Das 3. Buch handelt vom Kreis, aber die Kreisberechnung wird nicht -gelehrt. - -Buch 4 handelt von den dem Kreis ein- und umgeschriebenen Figuren, -speziell von der Kreisteilung; es geht bis zur Konstruktion des -regulären 15Ecks (ebenso wie wir: 2/15 = 1/3 - 1/5) S. 16; der dadurch -merkwürdig ist, dass sogar die Analyse in die Konstruktion verwebt ist. -Das 4. Buch hat seine Fortsetzung im Anfang des 12. Buches, wo in Satz -2: »Kreise verhalten sich wie die Quadrate ihrer Durchmesser«, alles -steht, was bei Euklid über die Quadratur des Zirkels vorkommt. - -[Sidenote: Euklids Elemente, Buch 5 und 6.] - -Das 5. Buch enthält die Lehre vom Verhältnis und der Gleichheit der -Verhältnisse (Proportionen) gleichartigen Grössen in vollständiger -Allgemeinheit. Es ist mit grösster Wahrscheinlichkeit ein Werk des -¨Eudoxos¨ und scheint nur wenig von Euklid überarbeitet zu sein, da -wo statt λέγεται steht καλεισθω. Auf sein höheres Alter deutet noch -das Ringen mit dem Ausdruck und die oft schwer verständliche Fassung -der Sätze hin. Es fehlt die Definition des Begriffes »kontinuierliche -Grösse«, sie war aber durch ¨Aristoteles¨ gegeben, vermutlich auch -von Eudoxos. Clavius (Ausgabe von 1607 p. 436) hebt wie Campanus -S. 3 hervor, dass dem 5. Buch ein Axiom zugrunde liegt, welches -Clavius formuliert: Quam proportionem habet magnitudo aliqua ad aliam, -eandem habet quaevis magnitudo proposita ad aliquam aliam, et eandem -habebit quaepiam alia magnitudo ad quamvis magnitudinem propositam. --- »Das Verhältnis, das irgend eine Grösse zu einer andern hat, das -wird jede beliebige ¨gegebene¨ Grösse zu irgend einer andern haben -und eben dasselbe wird irgend eine Grösse zu jeder gegebenen Grösse -haben«. Es ist das Axiom im Grunde nichts anderes als die Umkehrung -des Weierstrass'schen Axioms: Zu jedem Punkt in der Zahlenreihe gibt -es eine Zahl. ¨Es wird zwar immer behauptet, die Hellenen hätten in -der Irrationalzahl keine Zahl gesehen, aber aus dem 5. Buch geht -unwiderleglich hervor, dass sie den Zahlbegriff in voller, fast -wörtlich mit der Weierstrass'schen Auffassung sich deckender Schärfe -besassen und dass Euklid wie Eudoxos im Verhältnis zweier gleichartiger -Grössen nichts anderes sahen als eine Zahl.¨ Und das erhellt schon aus -dem Kunstausdruck »λόγος« für Verhältnis; denn Logik ist die Rechnung, -Logistik die Rechenkunst und Logos heisst im Grunde nichts anderes als -Masszahl einer Grösse in bezug auf eine andere. - -6. Buch: Ähnlichkeitslehre. Mit dem 6. Buch schliessen die eigentlichen -planimetrischen Bücher; wohl kommen noch einzelne planimetrische -Sätze in den stereometrischen Büchern vor, wie z. B. die auf die -stetige Teilung bezüglichen Sätze XIII, 1-12 und besonders der Satz -XII, 1 und 2, aber sie werden doch nur zum Zweck ihrer Verwendung für -stereometrische Konstruktionen und Satze gegeben. - -Nachdem so die Planimetrie zu einem gewissen Abschluss gekommen war, -sind die Bücher 7, 8, 9 der Arithmetik oder eigentlich besser der -Zahlentheorie gewidmet. - -Das 7. Buch knüpft geistig an die Lehre von den Verhältnissen an und -lehrt den Algorithmus des Aufsuchens des grössten gemeinsamen Teilers, -auf dem unsere ganze Zahlentheorie ruht, gerade so wie wir noch heute, -durch die Kette von Teilungen. - -[Sidenote: Euklid, Elemente, Buch 8 bis 12.] - -Buch 8 behandelt die Proportionen noch ausführlicher, d. h. die Lehre -von den Gleichungen ersten Grades. - -Das 9. Buch beschäftigt sich besonders mit den Primzahlen und -enthält den Satz, der der ganzen Entwicklung nach für Eigentum -des Euklid gehalten werden muss, den einfachen Beweis, dass die -Menge der Primzahlen unendlich: Entweder 1 · 2 · 3 · ... p + 1 -ist keine Primzahl, dann ist sie durch eine Primzahl > p teilbar -oder sie ist prim. Die erste Zahl die keine Primzahl ist, gibt -2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 + 1 = 30031, die zweite das Produkt der -Primzahlen von 2 bis 17 + 1, welche schon durch 19 teilbar ist. - -Das 10. Buch zum Teil von Theätet herrührend, handelt ausführlich -von den Irrationalzahlen, welche mit Zirkel und Lineal konstruierbar -sind, d. h. im Grunde von den Gleichungen 4. Grades, welche sich auf -quadratische reduzieren, dabei kommt auch die allgemeine Lösung des -Pythagoras gleichzeitig vor durch die Formeln: αβγ; (αβ^2 - αγ^2)/2; -(αβ^2 + αγ^2)/2. Der letzte Satz gibt dann den geometrischen Beweis von -der Inkommensurabilität von Seite und Diagonale des Quadrats. - -Das 11., 12., 13. Buch sind dann die stereometrischen Bücher. 11. Buch -die Anfangsgründe, der granitne Satz vom Lote auf der Ebene, dann die -dreiseitige Ecke, das Parallelepipedon, das Prisma. - -Das 12. Buch enthält im wesentlichen Körperberechnung, d. h. es gibt -nicht die wirklichen Formeln, sondern beweist nur, dass Pyramide bezw. -Kegel 1/3 vom Prisma bezw. Cylinder sind, beweist als Lemma mittelst -des Exhaustionsbeweis, den er Buch 10 formuliert hat: »Sind zwei -ungleiche Grössen gegeben und nimmt man von der grösseren die Hälfte -weg und so fort, so kommt man zu einem Reste, welcher kleiner ist als -die gegebene kleinere Grösse« dass Kreise sich wie die Quadrate ihrer -Durchmesser verhalten und damit dass Kugeln sich wie die Kuben ihrer -Durchmesser verhalten. - -[Sidenote: Euklid, Elemente Buch 13.] - -Buch 13 behandelt die platonischen Körper und gibt einleitend 12 Sätze, -die das Thema von Buch 6, die Kreisteilung oder die Konstruktion -regulärer Polygone, noch einmal aufnehmen und geht dann auf die -regulären Körper ein; es schliesst mit dem schon hervorgehobenen Beweis -der Nichtexistenz eines sechsten regulären Körpers. Wir könnten auf -Euklid denselben Schlusssatz wie bei Platon anwenden, Euklid hat das -unscheinbare aber unerschütterliche Fundament geschaffen, auf dem -sich der stolze Bau des Archimedes erheben konnte, dem wir uns jetzt -zuwenden. - -[Sidenote: Archimedes (vita).] - -An Euklid, dem »Stoicheiotes«, schliesst sich ¨Archimedes¨ an, der -Erzdenker, wie ich seinen Namen übersetze, der princeps matheseos des -Altertums und vielleicht aller Zeiten, der nur an Galilei, Gauss, -Newton und Fermat seines Gleichen hat. Gleich gross als Mathematiker, -Physiker, Mechaniker und Astronom. Auch von ¨seinem¨ Leben wissen wir -wenig, eine Biographie seines Zeitgenossen Herakleides, welche dem -Eutokios noch vorlag, ist völlig verloren. Das Todesjahr steht fest, er -fiel bei der Einnahme seiner Vaterstadt Syrakus durch. Marcellus der -Roheit eines Soldaten zum Opfer; also 212, und zwar hochbetagt; zum -Schmerz des Marcellus, der ausdrücklich befohlen hatte des Archimedes -zu schonen. ¨Tzetzes¨ sagt, (chiliad. II, 36, 105) im Alter von 75 -Jahren, dann war er 287 geboren, jedenfalls hochbetagt. Sein Vater soll -der Astronom Pheidias gewesen sein und dann wäre auch Archimedes gleich -wie Aristoteles auf die exakten Wissenschaften erblich hingewiesen. -¨Plutarch¨ erzählt im Leben des Marcellus, dass er dem Könige Hiero II. -dem trefflichsten Regenten, den Syrakus besessen, nahe verwandt gewesen -und jedenfalls war er ihm und seinem Sohne Gelon eng befreundet. Eine -andere Version lässt ihn durch Missverständnis einer Stelle bei Cicero -in den Tusculanen V, 23 aus armer Familie und von niedriger Geburt -sein. Der »humilis homunculus« bezieht sich nur auf das traurige Ende -des Archimedes. Diese andere Version ist so gut wie ausgeschlossen, wir -wissen, dass er jede gewinnbringende Tätigkeit geringschätzte, ja sogar -jede praktische, und nur auf Bitten des Hiero und schliesslich bei -der Verteidigung seiner Vaterstadt sein technisches Genie betätigte. -In den tiefsten rein wissenschaftlichen Spekulationen fand er seine -Befriedigung und im ganzen späteren Altertum wurde ein schwieriges -Problem Archimedeon problema genannt vergl. ¨Cicero¨ ep. ad Atticum 12, -4; 13, 28 etc. (¨Bunte¨, Progr. Leer 1877, ¨Heiberg¨, Quaest. Archim. -1879). Und auch sein Tod soll nach mehrfach beglaubigter Angabe eine -Folge seiner Vertiefung in die Wissenschaft gewesen sein. Jedenfalls -war er nach dem schmucklosen und glaubhaften Bericht des ¨Livius¨ so -tief in Gedanken versunken, dass er die Einnahme von Syrakus nicht -bemerkt hat. Das »Noli turbare circulos meos« (Störe ja nicht meine -Kreise) geht auf Tzetzes zurück oder richtiger auf Diodor., die andere -Version, die G. Valla nach Zonaras berichtet, lautet: παρα ταν κεφαλάν -και μα παρα ταν γραμμάν (Verletze den Kopf, aber nicht meine Linie). - -Niemals ist das Wesen des Archimedes treffender verkündet worden, als -es Schiller, Dichter und Prophet im Horazischen Sinne, mit dem Epigramm -»Archimedes und der Schüler« vermocht hat. - - Zu Archimedes kam ein wissbegieriger Jüngling, - Weihe mich, sprach er zu ihm, ein in die göttliche Kunst - Die so herrliche Frucht dem Vaterlande getragen - Und die Mauern der Stadt vor der Sambuca beschützt. - Göttlich nennst du die Kunst? Sie ist's, versetzte der Weise, - Aber das war sie, mein Sohn, eh' sie dem Staat noch gedient. - Willst du nur Früchte von ihr, die kann auch die Sterbliche zeugen, - Wer um die Göttin freit, suche in ihr nicht das Weib. - -Die Sambuca war eine von Marcellus mit grossen Kosten erbaute gewaltige -Maschine, durch welche die Mauern der Achradina, der Seefestung von -Syrakus, in der vermutlich Archimedes selbst wohnte, zertrümmert werden -sollte. Archimedes zerstörte die Sambuca durch drei hintereinander -folgende Würfe. Seine Maschinen (organa), Wurfmaschinen -- Katapulte -und Ballisten --, und eiserne Krane, die mit ihrem Arm die Schiffe der -Römer ergriffen, hochhoben und mit furchtbarer Gewalt fallen liessen, -wirkten derart, dass die Römer, sobald nur ein Seil sichtbar wurde, -davonliefen. Plutarch lässt Marcellus sagen: Sollten wir nicht aufhören -gegen den mathematischen Briareus, den hundertarmigen Giganten zu -kämpfen. Und er hob tatsächlich die Belagerung auf und schloss die -Stadt nur ein, welche erst durch Verrat und Überrumpelung in seine -Hände fiel. - -Aus dem Leben des Archimedes steht soviel fest, dass er, vermutlich -im Mannesalter, in Alexandria war, und dort wenn auch nicht unter -Euklid selbst aber unter Schülern des Euklid studierte. Es ist nicht -unwahrscheinlich, dass er bei dem ausgezeichneten Mathematiker und -Astronom ¨Konon¨ aus Samos hörte, mit dem er befreundet war und dem -er später seine Entdeckungen zusandte, wie er selbst berichtet. Nach -Pappos (Collect. I p. 234) ist ¨Konon¨, von dessen Schriften nichts -erhalten ist, der Entdecker der ¨Archimedischen Spirale¨ gewesen -(s. u.). Auch mit ¨Eratosthenes¨ muss Archimedes dort verkehrt haben, -das berühmte »Rinderproblem« ist an jenen gerichtet, und wenn auch die -Verse des Epigramm nicht echt sein mögen, das Problem selbst und die -Sendung an den Alexandriner zu bezweifeln liegt kein Grund vor. Seit -Sommer 1906 ist der Verkehr zwischen beiden Mathematikern durch das -von ¨J. L. Heiberg¨ entdeckte »Ephodion« (s. u.), erwiesen. Dort in -Alexandria hat er die berühmte Schraube erfunden, die κοχλιας, nach -der Schnecke mit gewundenem Gehäuse, der Purpurschnecke Kochlos, aber -auch Helix genannt wurde, mit der das Wasser aus dem Nil auf die Felder -gehoben wurde. - -Zurückgekehrt beschäftigte er sich mit den subtilsten mathematischen -Untersuchungen, insbesondere mit Ausbildung der infinitesimalen -Methoden und nur zu seiner Erholung mit praktischer Mechanik. Berühmt -sind die von Cicero in de republica beschriebenen Globen, von denen -namentlich die Hohlkugel, ein gewaltiges, mit Wasserkraft getriebenes -Planetarium für ein Wunderwerk galt. Es war das einzige Beutestück, das -Marcellus aus Syrakus für sich nahm. Auch die einzige Schrift, welche -Archimedes über Technik verfasst hat, ist nach dem Zeugnis des Plutarch -die Schrift über Anfertigung von Globen, περι σφαιροποιαν. - -Von Archimedes werden zwei Züge autoritär berichtet und besonders der -erste so gut beglaubigt, dass er wahr erscheint. König Hiero liess -unter Leitung des Archimedes ein prächtig ausgerüstetes Riesenschiff -bauen, etwa unsern Salondampfern vergleichbar, das Athenaios (2 Jahrh. -nach Chr., Alexandriner, der uns Auszüge aus sehr vielen verlorenen -Werken in seinen Deipnosophistae-Gastmahle Gelehrter -- erhalten -hat; siehe Details über das Schiff bei ¨Bunte¨ l. c.) ausführlich -beschreibt. Hiero bezweifelte ob man das Riesenschiff vom Stapel lassen -könne, da zog Archimedes mit dem von ihm erfundenen ¨Flaschenzug¨ -allein ein beladenes Schiff, Proklos sagt sogar ¨das¨ Schiff, ans Ufer -indem er sagte: δός μοι πᾷ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινήσω. (Gib mir einen -festen Punkt, und ich will die Erde bewegen.) Proklos (Friedlein p. 63) -berichtet weiter: »Απο ταυτης, εφη, της ἡμερας περι παντος Αρχιμηδει -λεγοντι πιστευτεον«. Und der erstaunte Hiero sagte: Von heute ab mag -Archimedes behaupten was es sei, man muss ihm Glauben schenken. Das -¨Hebelgesetz¨, die Grundlagen der Statik hat unbezweifelt Archimedes -bewiesen vergl. Pappos VIII, 19. - -Die andere Anekdote knüpft an seine Auffindung des Hydrostatischen -Grundgesetzes von der gleichmässigen Fortpflanzung des Druckes in -Flüssigkeiten an, des Archimedischen Prinzip: »Der Auftrieb ist gleich -dem Gewicht der verdrängten Wassermasse«. Sie wird uns von ¨Vitruv¨, -dem bedeutendsten Römischen Baumeister, dem Lehrmeister unserer -Architekten und Ingenieure, in de Architectura IX mitgeteilt. Es ist -die bekannte in jeder Aufgabensammlung stehende Gleichung von der Krone -des Hiero, Proklos nennt l. c. ¨Gelon¨, doch hat ¨H. Heiberg¨ höchst -wahrscheinlich recht, dass richtiger Hieron zu lesen ist, da Proklos zu -Gelon nichts hinzusetzt. Der König glaubte sich von seinem Goldschmied -betrogen, der Silber unter das Gold gemischt, und stellte die Aufgabe, -ohne die Krone aufzulösen, herauszubringen, wieviel Gold und wie viel -Silber die Krone enthalte. Archimedes habe sich im Bade mit dem Problem -beschäftigt und als er das Steigen des Wassers in der Wanne beobachtet, -sei er mit dem Ausruf, εύρηκα, εύρηκα, ich hab's (gefunden) ich hab's, -nackt aus dem Bade gesprungen. Die ganze Badegeschichte fehlt bei -Proklos, der nur angibt, dass jener die ihm gestellte Aufgabe gelöst -habe. - -Sicher steht dagegen die Tatsache, dass Archimedes den Wunsch -ausgesprochen, man möge ihm auf sein Grab eine von einem Cylinder -umschlossene Kugel setzen, mit der Angabe des Verhältnis der Volumina -2 : 3, denn auf diese Entdeckung legte er den grössten Wert, (man -denke an ¨Newton¨ und den Binom). Marcellus hat den Wunsch erfüllt, -Cicero berichtet l. c. dass er, der 75 v. Chr. als Quästor auf Sicilien -seines Amtes waltete, an dieser Inschrift das verfallene Grabmal des -Archimedes erkannt und das Grab wieder in Stand gesetzt habe. - -[Sidenote: Archimedes' Werke.] - -Und nun zu dem, was unsterblich an Archimedes ist, seine Leistungen -und Schriften. Die grosse Bedeutung seiner Entdeckungen für die reine -und angewandte Mathematik haben bewirkt, dass nur ein verhältnismässig -kleiner Bruchteil wirklich verloren gegangen ist, wenn uns auch die -Originalfassungen vielfach fehlen. Archimedes sprach und schrieb im -dorischen Dialekt und seine Schriften sind erst später attisiert. Einen -Teil kennen wir aus arabischen Quellen und lateinischen Übersetzungen. - -Archimedes verdankte seine Leistungen der so seltenen Verbindung -des höchsten experimentellen mit höchstem spekulativen Scharfsinn. -Schon in der Einleitung habe ich das Citat aus ¨Herons¨ Metrika -angeführt und die Auffindung des Kugelvolums, und ebenso ruht, wenn -nicht die Einführung, doch sicher die Benutzung des Schwerpunktes -auf experimenteller Grundlage. Aber was er auf dem Wege des -Experimentes gefunden, das vermochte er zu beweisen mit Hilfe von -Infinitesimalbetrachtungen, die er sehr früh mit vorbildlicher Klarheit -und Schärfe ausgebildet haben muss. Es scheint mir ganz sicher zu -sein, dass sein erster rein mathematischer Vorwurf das Problem der -Bogenteilung und Quadratur des Zirkels, welche ja schon ¨Dinostratos¨ -zusammengezogen hatte, gewesen ist, wenn auch die Kreismessung später -redigiert ist. Dies geht daraus hervor, dass die an ¨Konon¨ gesandten -Sätze über die »Archimedische Spirale« zeitlich so ziemlich das Erste -sind, was er veröffentlicht hat. Die Spirale selbst soll ja Pappos -zufolge Konon und nicht Archimedes gefunden haben, die Benutzung -derselben zur Winkelteilung und Kreismessung und die Auffindung -ihrer Eigenschaften sind sein Eigentum. Die Beweise der Sätze fand -er mit Hilfe des Infinitesimalen, auf Differentialrechnung beruht -seine Konstruktion der Tangente an die Spirale, die nichts anderes -ist als die ¨Roberval-Torricelli¨'sche Methode, auf Integration die -Flächen- und Volumenbestimmung. Freilich sah auch er sich durch die -Rücksicht auf seine Leser genötigt, die Differentialrechnung hinter dem -sogenannten ¨Archimedischen Prinzipe¨ (s. u.) zu verstecken, wie wir -das schon bei ¨Eudoxos¨ konstatierten, sind doch m. E. die Schriften -des ¨Demokrit¨ nur deswegen verloren gegangen, weil sie mangels -Konzessionen an die Beschränktheit nicht verstanden wurden. Eine -der frühesten Anwendung muss der Hauptsatz der κύκλου μέτρησις, der -Kreismessung, gewesen sein, und die Auffassung des Kreises als Grenze -der regulären Polygone. - -[Sidenote: Archimedes' Werke (Ephodion).] - -Wie klar sich Archimedes über die Tragweite der Infinitesimalrechnung -gewesen und wie scharf er den Grenzbegriff erfasst hat, ist jetzt -durch die Wiederauffindung des bis 1907 verloren geglaubten Ephodion -(εφοδιον) erwiesen. ¨J. L. Heiberg¨ hat durch die Entzifferung -des Palimpsest [publiziert in deutscher Übersetzung Eneström Folge -III, 7, 1907 S. 31 ff. und griechisch ¨Hermes¨ 42 Heft 2] auf den -ihn ¨H. Schoene¨, der Auffinder der Metrika des Heron hingewiesen -hatte, seinen ohnehin schon überreichen Verdiensten um die Geschichte -Hellenischer Wissenschaft die Krone aufgesetzt. Er hatte dabei die -Freude die Vermutung die er in dem Quaestiones Archimedeae über den -Inhalt des εφοδιον.εφοδιον 1879 ausgesprochen hatte, 1907 vollbestätigt -zu sehen. Es heisst da: Potius crediderim, εφοδιον esse librum methodi -mathematicae scientiam complectentem ...; εφοδος enim post Aristotelem -significat methodum. - -Die Schrift mag »druckfertig« gemacht sein wann sie will, ihr -wesentlicher Inhalt fällt nicht nur vor Kugel und Cylinder, sondern -bildete mit dem Begriffe des ¨statischen Moments¨ den Ausgangspunkt, -gewissermassen das Leitmotiv seiner ganzen wissenschaftlichen -Tätigkeit, wenigstens soweit Mechanik und Geometrie in Betracht kommen. -In einem Vortrag zu Frankfurt auf der Naturforscherversammlung 1893 -sagte ich schon, dass ¨Galilei¨ so genau an Archimedes anknüpfe, als -habe er bei ihm gehört. Das Ephodion zeigt, dass selbst die Form -Galileis und noch mehr ¨Cavalieris¨, seines Schülers, merkwürdig mit -Archimedes übereinstimmt. Die Renaissance besass gewiss ein ganz -Teil Originaltexte die inzwischen verloren gingen, wie das von der -Sammlung ¨Regiomontans¨ feststeht und von des Archimedes-Schrift -περι οχουμενων., von der übrigens ein grosses Stück sich im selben -Palimpsest vorgefunden hat und es scheint mir wahrscheinlich, dass -ein Exemplar des εφοδιον Galilei und Cavalieri vorgelegen hat. So -ist der Kunstausdruck für das Integral, den auch Leibniz zuerst von -Cavalieri entnommen, »omnia«, eine Übersetzung des »παντα« aus dem -Ephodion, so die Stelle Hermes S. 250 Z. 15-19 von και bis τμημα. und -254, 21 von συμπληχθεντος bis κώνου., welche den Archimedes, der doch -seinen Aristoteles genau genug kannte, wie seiner Zeit Cavalieri dem -Verdacht aussetzten die Fläche als Summe von Linien, den Körper als -Summe von Flächen anzusehen. Die Identität der Exhaustionsmethode -mit der Differentialrechnung hat kein Geringerer als Wallis zuerst -hervorgehoben; ich verweise hierfür auf die 2. Auflage meiner Didaktik -und Methodik, Baumeisters Handbuch IX pg. 168 (1907). - -[Sidenote: Archimedes' Werke (Ausgabe).] - -Archimedes' gesammelte Werke sind griechisch und lateinisch zuerst -1544 bei Herwagen in Basel, der auch in Strassburg eine Druckerei -besass, gedruckt worden, der Herausgeber Thomas Grechauff nennt sich -auf dem Titelblatt nicht. Der lateinische Text ist weit besser als -der griechische, Heiberg macht es wahrscheinlich, dass wir es hier -mit den Verbesserungen Regiomontans zu tun haben und ausserdem hat -noch der von Nürnberg aus 1529 nach Strassburg berufene ¨Christian -Herlin¨ wesentlichen Anteil. Das Exemplar, welches nach mannigfachen -Schicksalen jetzt die Bibliothek des Lyceums ziert, kann sehr wohl -Herlins eigenes Exemplar gewesen sein, der ursprünglich als Städtischer -Rechenmeister, dann als erster Mathematiker des ¨Sturmschen¨ (jetzigen -Protestantischen) Gymnasium bis 1562 in Strassburg wirkte. Die nächste -Gesamtausgabe griechisch und lateinisch ist die Oxforder Ausgabe in -Riesenformat des Giuseppe Torelli von 1792, sie wäre ein Meisterstück -geworden, wenn nicht der 1781 im 61. Lebensjahr erfolgte Tod des -hervorragenden Gelehrten die endgültige Ausgabe in die Hand des -Engländers Abraham Robertson gelegt hätte, der sie vergl. ¨Heiberg¨, -Quaest. Arch. p. 110 und ¨E. Nizze¨ p. IX verdorben hat. Heiberg -erwähnt noch wenig rühmend die Ausgabe des Rivaltus Paris 1615 fol., -sie ist aber durch gute Figuren bemerkenswert. ¨Torelli¨ hat das -Verdienst, durch Benutzung der ¨Begleitbriefe¨ mit denen Archimedes die -meisten Werke in die Welt gesandt, und der eignen Zitate die Schriften -in chronologisch richtigere Reihenfolge gebracht zu haben, als sie -der ¨Codex Florentinus¨, der wichtigste aller, da der »Archetyp« der -Codex des ¨Georg Valla¨ (Heib. Praef.) seit 1544 noch nicht wieder zum -Vorschein gekommen ist, und mit ihm die andern enthalten. - -Es folgt als letzte und beste die Ausgabe von ¨I. L. Heiberg¨ Teubner -1880-81, ebenfalls mit dem Kommentar des Eutokios, griechisch und -lateinisch, Heiberg bereitet auf Grund des von ihm entzifferten -Palimpsest (s. o.) eine zweite Auflage vor. - -[Sidenote: Archimedes' Werke (Übersetzungen, Kommentare).] - -Von Übersetzungen hebe ich hervor die lateinische des Federico -Commandino Venedig 15., der schon als Euklidübersetzer gerühmt werden -musste; die deutsche des Altdorfer Professor ¨Chr. Sturm¨, den ich in -der Didaktik und Methodik so vielfach erwähnen musste, den Verfasser -der Mathesis juvenilis, die ¨französische¨ von ¨F. Peyrard¨ 1807 mit -einem Anhang ¨Delambres¨ über griechisches Zahlenrechnen (Logistik) und -die vortreffliche des Stralsunder ¨Ernst Nizze¨ von 1824 mit wichtigen -kritischen Anmerkungen, in denen auch der Kommentar des Eutokios -»des einzigen, der aus dem Altertum selbst rührt« (Nizze p. VII) -berücksichtigt ist. Über ihn sagt die Florentinus (Heiberg, Quaest. p. -113): - - Ευτοκιου πινυτου γλυκερος πονος, ὁν ποτ' εκεινος - γραψεν, τοις φθονεροις πολλακι μεμψαμενος. - - Treffliche Arbeit des weisen Eutokios, einstens geschrieben, - Welche die Neider des Manns öfter [mit Unrecht] geschmäht. - -Ich wage es übrigens zu sagen, dass die einleitenden Worte Heib. B. 3, -p. 2 zu frei übersetzt sind, ich würde »η δια την δυσκολιαν οκνησας« -wiedergeben: »obwohl die Schwierigkeit mich zaudern liess«, den -Superlativ »verisimillimum« als Übersetzung von πανυ εικος mit »nicht -unwahrscheinlich« und das reizende »ει τι και παρα μελος δια νεοτητα -φθενξομαι.« »und wenn ich auch meiner Jugend wegen ab und an falsch -singen würde« etc. Leider hat ¨Eutokios¨ nur No. 1, 3, 4 der Schriften -kommentiert. - -[Sidenote: Archimedes' Werke (Reihenfolge).] - -Die jetzt festgehaltene Reihenfolge der Schriften ist: - -1) επιπεδων ισορῥοπιων α, Buch I vom Gleichgewicht der Ebenen -(Flächen). - -2) τετραγωνισμος τας ορθογονιου τομας, Quadratur der Parabel. - -Über die Dorischen Eigenarten s. Heibergs Quaest. Arch. Cap. V. - -3) επιπεδων ισορροπιων β, Buch II vom Gleichgewicht der Ebenen -(Flächen) oder vom ¨Schwerpunkt¨ derselben. - -4) περι σφαιρας και κυλινδρου αβ, 2 Bücher von der Kugel und dem -Cylinder. - -5) περι ἑλικων, über die Schneckenlinien (Archimedische Spirale). - -6) Über Konoide und Sphäroide (Über Rotationsflächen 2. Grades). - -7) κυκλου μετρησις, die Kreismessung. - -8) ψαμμιτης, der Sandzähler, lateinisch arenarius. - -9) περι οχουμενων, über schwimmende Körper. 2 Bücher, bis vor kurzem -nur lateinisch erhalten. - -10) προβλημα βοων, das Rinderproblem, bis vor kurzem (bis vor -Entdeckung des Pariser Codex) bezweifelt. - -11) εφοδιον, Methodik, das oben besprochene, jetzt erst wieder zum -Vorschein gekommene Werk, welches ¨H. Zeuthen¨ l. c. vor No. 4 ansetzt, -ich vermute, dass Heiberg in seiner neuen Ausgabe mit dem εφοδιον -beginnen wird, da er jetzt schon die Schriften nach ihrem sachlichen -Zusammenhang geordnet hat, ohne sich weiter über seine Gründe in der -Vorrede zu äussern. - -Aus dem arabischen Manuskript des ¨Thabit ibn Qurrah¨, der die -Euklidübersetzung des Ishaq ibn Hunein wesentlich verbessert hat, ist -von ¨S. Foster¨ 1659 eine angeblich von Archimedes herrührende Sammlung -von 13 Sätzen herausgegeben unter dem Titel liber assumptorum Λημματα, -Wahlsätze. Dass ein Teil sicher auf ihn zurückgeht, wird durch Pappos -bezeugt. - -Dass der grosse Mann auch ein Kinderspiel »loculus Archimedis« unter -dem Namen στομαχιον., von ¨Drachmann¨ mit Neckspiel (¨Heiberg¨, -Hermes 42, 240) wiedergegeben, ersonnen hatte, wird von ¨Heiberg¨ auf -Grund des Palimpsest von 1906 bestätigt, es bestand (Quaest. Archim. -43, 2) aus 14 teils quadratischen teils dreieckigen Plättchen aus -Elfenbein und hat sich bis heute als das »¨Pythagoras¨« genannte -Zusammensetzspiel erhalten. - -Aus einer verlorenen Schrift hat uns Pappos, Buch V, Kap. 33-36 die -13 sogen. »Archimedischen Körper« erhalten, das sind halbreguläre -Polyëder, begrenzt von abwechselnden regelmässigen Polygonen zweier -Gattungen, worüber man ¨R. Baltzers¨ klassische Elemente nachsehen -möge. Aus dem Umstand, dass Archimedes diese Körper, abgesehen von den -Prismaten, vollständig aufgestellt hat, geht klar hervor, dass er den -sogen. ¨Euler'schen¨ Satz e + f = k + 2 kannte, wie es ja auch ziemlich -sicher ist, dass er die bei Pappos gegebene sogen. ¨Guldinsche¨ Regel -vom Volumen der Rotationskörper kannte. - -Bis auf minimale Spuren verloren sind περι ζυγων, über Wāgen, -κεντροβαρικα. κατοπτρικα περι σφαιροποιας, welche von Pappos, Theon und -Proklos erwähnt werden. - - -Analyse der Schriften des Archimedes. - -[Sidenote: Analyse der Schriften des Archimedes.] - -Dieselbe wird dadurch erleichtert, dass sie Archimedes selbst gleich in -der Einleitung gibt. - -Ich beginne mit der Quadratur der Parabel von Archimedes (s. o.) -»Schnitt des rechtwinkligen Kegels« genannt. Aus Euklids Konika -schickt er 3 Sätze als bekannt voraus. I. Wenn ¯ABC¯ eine Parabel, -die Gerade ¯BD¯ entweder der Axe (Durchmesser) parallel oder die Axe -selbst ist, und wenn ¯ADC¯ der berührenden an dem Punkte Β der Parabel -(Scheiteltangente des Durchmessers) parallel ist, so wird ¯AD¯ = ¯DC¯ -sein, und wenn ¯AD¯ = ¯DC¯ ist, so werden ¯ADC¯ und die berührende an -dem Punkt Β der Parabel parallel sein. - -II. Die Tangente im Endpunkt einer Sehne schneidet den konjugierten -Durchmesser so weit hinter dem Scheitel wie die Sehne vor. - -III. Die Quadrate zweier paralleler Sehnen verhalten sich wie ihre -Abstände vom Scheitel des konjugierten Durchmessers. - -Es folgt dann die Quadratur mittelst der Sätze der Statik aus dem 1. -Buch des »Gleichgewicht der Ebenen« ¨unter Bildung des statischen -Moments¨ und dann von Satz 18 bis 24 die Quadratur in bekannter Weise -als: Σ 1/4^n wobei der strenge Beweis durch das Archimedische Prinzip -gegeben wird. Das Interessanteste ist wohl die Vorrede: - -Archimedes wünscht dem Dositheos Wohlergehen. Mit der Nachricht von -dem Tode des ¨Konon¨, der mir aus dem Freundeskreise noch übrig -geblieben war, verband sich die, dass du sein Vertrauter gewesen und -ein geschickter Geometer bist. In der Trauer über den Verstorbenen, -der mir lieb war und ein bewunderungswürdiger Mathematiker, fasste ich -den Entschluss, wie sonst mit ihm, so jetzt mit dir in schriftliche -Verbindung zu treten und dir ein bisher nicht aufgestelltes -geometrisches Theorem zu senden, das jetzt von mir bewiesen ist und -zwar wurde es zuerst statisch gefunden, dann aber auch geometrisch -bewiesen. - -[Sidenote: Quadratur der Parabel.] - -Einige von denen, welche sich früher mit Geometrie beschäftigten, -unterfingen sich zu schreiben es sei möglich eine geradlinige Figur zu -finden, welche einem gegebenen Kreise oder Kreisabschnitt gleich sei. -Danach versuchten sie auch die Ellipse zu quadrieren [Ellipse gleich -ολα τομα του κωνου., die beiden andern ατελής d. h. unvollendbar] -unter Annahme von Sätzen, die man ihnen nicht wohl zugestehen konnte. -Doch hat meines Wissens keiner von den früheren versucht den von -dem Schnitt des rechtwinkligen Kegels [= Parabel] und einer Geraden -umschlossenen Raum zu quadrieren, was jetzt von uns aufgefunden ist. -Denn es wird gezeigt, dass jedes Parabelsegment 4/3 des Dreiecks ist, -das mit ihm gleiche Grundlinie und Höhe hat, unter Annahme folgenden -Hilfssatzes: ¨Der Unterschied zweier Flächen einer grösseren und einer -kleineren kann durch Vervielfältigung jede vorgelegte begrenzte Fläche -übertreffen.¨ -- - -[Sidenote: Archimedes' Werke (Prinzip; Kugel und Cylinder).] - -Dies ist also das ¨Archimedische Prinzip¨ in Originalfassung. - -Es kommt noch einmal vor am Schluss der Einleitung zu der Spirale Heib. -II, 14, wörtlich wie hier, nur dass es auch noch auf lineare Grössen -ausgedehnt ist; in Kugel und Cylinder Heib. 1, 10, ε ist es auch auf -Körper ausgedehnt, vergl. darüber Eudoxos. - -II. Kugel und Cylinder. - -»Archimedes grüsst den Dositheos. Früher habe ich dir brieflich das -damals mehrfach behandelte Theorem, dass jedes Parabelsegment 4/3 des -Dreiecks ist, das mit ihm gleiche Grundlinie und Höhe hat, mit den -Beweisen zugesandt. Danach bin ich auf einige noch nicht bewiesene -Sätze gestossen und habe die Beweise ausgearbeitet. Es sind folgende: -Erstens, dass die Oberfläche der Kugel das Vierfache ihres grössten -Kreises ist, sodann, dass der Fläche jedes Kugelsegments ein Kreis -gleichkommt, dessen Radius[1] gleich der Verbindungslinie des Scheitels -mit einen Punkt des Grundkreises ist; dazu kommt der Satz, dass jeder -Cylinder der den grössten Kreis zur Basis und den Kugeldurchmesser zur -Höhe hat, das anderthalbfache der Kugel ist, wie seine Oberfläche von -der der Kugel«. - -[1] Der Radius heisst ἡ ἐκ τοῦ κέντρου; zu ergänzen ist γραμμή die -Linie aus dem Zentrum, das Wort Radius ακτις kommt, vergl. ¨Simon¨ -Euklid 1901, p. 80 Anmerk. 1 zuerst bei Cicero. Timaeus cap. VI vor. - -Es folgt dann die schon bei Eudoxos erwähnte Stelle über die Sätze mit -denen dieser die Demokritische Formel über die Volumina der Pyramiden -und Kegel bewiesen hatte. Wichtig sind die Annahmen, die sich an die 6 -Axiome der Einleitung anschliessen. - -1) Von den Linien, welche dieselben Endpunkte haben, ist am kürzesten -die Gerade. - -¨Archimedes hat auch nicht im mindesten die Absicht mit dieser -Forderung eine Definition der Geraden zu geben.¨ - -2) Von zwei nach denselben Seiten hohlen (gekrümmten) Verbindungslinien -zweier Punkte ist die umschlossene die kleinere. - -3) Ebenso ist von den Flächen, welche dieselben Grenzen haben, falls -diese Grenzen in einer Ebene liegen, die Ebene die kleinste. - -4) Von zwei solchen Flächen, welche nach derselben Seite hohl sind, ist -die umschlossene die kleinere. - -5) Auch ist bei ungleichen Linien, Flächen oder Körpern der Unterschied -so beschaffen, dass es durch Vervielfältigung desselben möglich ist -jede Grösse derselben Art zu übertreffen. - -¨No. 5 ist das Archimedische Prinzip in allgemeinster Fassung.¨ - -Es folgt dann die Integration oder Quadratur der Kugelfläche in der -auch in unsern Elementarbüchern leider noch oft gegebenen Weise als -Grenze einer Summe von Kegelmänteln und die des Kugelvolumens durch -den Satz eine von Kegelflächen begrenzte Figur die in eine Kugel -eingeschrieben ist, ist gleich einem Kegel, dessen Grundfläche die -Fläche der eingeschriebenen Figur ist, und dessen Höhe gleich dem Lot -vom Zentrum auf die Kante eines der Kegel ist; also als Grenzfall: -Kugel = Kegel dessen Grundfläche die Kugel, dessen Höhe der Radius ist. - -[Sidenote: Archimedes' Kreismessung.] - -Im Ephodion II hat Archimedes dann uns verraten, dass er erst das -Kugelvolumen mittelst Integration (durch geschickte Benutzung des -Hebelsatzes, die heute überflüssig ist) gefunden hat und dann die -Kugelfläche wie wir, durch den Satz, dass die Kugel eine Pyramide ist, -welche die Fläche zur Grundfläche und den Radius zur Höhe hat, der -heute jedem mit Grenzbetrachtung vertrauten Primaner einleuchtet. -Zugleich berichtet er uns in der Anmerkung, dass die ¨Kreisberechnung¨ -ihn auf diesen Gang geführt und man sieht, dass die Kreisberechnung -faktisch der Kugelberechnung voranging, was ich schon in der Vorlesung -von 1903 gesagt hatte. - -Archimedes hat wohl mit Fug und Recht das Buch I der Sphaira als -seine bedeutendste Leistung angesehen, obwohl er u. a. im zweiten -Teil unter No. 5 die Aufgabe löste von einer Kugel durch einen ebenen -Schnitt einen gegebenen Bruchteil abzuschneiden, die auf eine Gleichung -dritten Grades und zwar auf den casus irreducibilis führt und in enger -Beziehung zur Winkelteilung steht. - -Das Eindringen in die Prinzipien der Integralrechnung und seine -Kenntnis der Integrale rationaler Integranden tritt am deutlichsten -in der Abhandlung No. 4 über Konoide und Sphäroide hervor, d. h. -über Rotations-Paraboloide und -Hyperboloide (Konoide) und -Rotations-Ellipsoide (Sphäroide). Hier quadriert er auch die Ellipse, -den Schnitt des spitzwinkligen Kegels, und zeigt, dass er die Gleichung -der auf ihre konjugierten Axen bezogenen Ellipse und Hyperbel kennt. - -Ich komme zur κυκλου μετρησις, sie ist dem Wesen nach schon vor der -sphaera entstanden, aber später redigiert. (Vorlesung 1903.) Sie -beginnt mit dem wieder auf das Prinzip gestützten Nachweis, dass der -Kreis gleich einem Dreieck, dessen Grundlinie die Peripherie und dessen -Höhe der Radius ist. Es wird wohl niemand mehr bezweifeln, dass er das -gleichschenklige Dreieck, dessen Grundlinie das Bogenelement ist, als -Differential und die Kreisfläche selbst als Integral ansah, wodurch -es sich auch erklärt, dass er die Existenz eines solchen Dreiecks bei -seiner Verkleidung der Infinitesimalrechnung stillschweigend annahm. -Durch diesen Satz I hat Archimedes die Probleme der Quadratur und -Rektifikation des Kreises vereinigt. Die beiden Sätze, welche gestatten -die Kette der ein- und umgeschriebenen regulären 2^k n Ecke beliebig -weit fortzusetzen, sind heute Inventar unserer Schulgeometrie. Die -Arbeit gipfelt in dem berühmten Satz III, den ¨Ulrich v. Wilamowitz¨ in -sein Übungsbuch aufgenommen hat: - -Παντος κικλου ἡ περιμετρος της διαμετρου τριπλασιων εστι, και ετι -ὑπερεχει ελασσονι μεν η ἑβδομω μερει της διαμετρου, μειζονι δε η δεκα -ἑβδομηκοστομονοις., wo dann in den griechischen Zahlwörtern und den -Dativen ελασσονι etc. jedes Philologenherz schwelgen kann. »Jedes -Kreises Umfang ist des Durchmessers Dreifaches und geht darüber hinaus -durch einen Teil des Durchmessers der geringer ist als ein Siebentel -und grosser als 10 Einundsiebzigstel.« Ausgegangen wird vom 6 Eck, -als Grenze dient das ein- und umgeschriebene 96 Eck. Wie er die -Quadratwurzeln mit solcher Genauigkeit gezogen, steht noch nicht fest, -doch hat er sich vermutlich eines Kettenbruch ähnlichen Algorithmus -bedient und vermutlich auch die Formel gekannt - - a ± b/(2a) > √(a^2 ± b) > a + b/(2a ± 1) - -[Sidenote: Spirale.] - -Für Kreismessung und Kugel-Cylinder sind die Handschriften am -verdorbensten. Eng an die Kreismessung schliesst sich die Schrift περι -ἡλικων, ¨über die Archimedische Spirale¨, erzeugt durch einen Punkt -Μ, der sich gleichförmig auf einem sich gleichförmig drehenden Radius -bewegt. Da die Gleichung der Kurve in Polarkoordinaten r = a . Θ, wo -a2π gleich der Strecke ΑΘ ist, welche Μ auf dem Radius während eines -vollen Umlaufs zurücklegt, so gibt die Kurve sowohl den Kreisumfang als -auch jede beliebige Bogen- oder Winkelteilung. Sie wird mit den denkbar -einfachsten geometrischen Mitteln behandelt, noch elementarer als in -der kleinen analytischen Geometrie, Sammlung ¨Göschen¨ No. 65, auch der -Flächeninhalt durch Integration des Polarflächenelements 1/2 r^2 dΘ -ermittelt. Die Einleitung ist für die Datierung der Werke wichtig, sie -wiederholt die vor langen Jahren an Konon gesandten Sätze, darunter -zwei Vexiersätze, es heisst: Es trifft sich, dass darunter zwei Platz -gefunden haben, welche eine Erfüllung (nämlich der Forderung sie zu -beweisen) vermissen lassen, damit die Leute, welche behaupten, sie -könnten alles finden, während sie doch keinen Beweis herausbringen, -überführt werden, dass sie hier mal eingestanden haben, das Unmögliche -zu finden. - -[Sidenote: Archimedes: Ephodion.] - -Über das ἐφόδιον habe ich schon Einiges gesagt. Es führt im Palimpsest -¨Heiberg¨, Hermes 42 p 243 den Titel Archimedous peri tōn mechanikōn -Theōrematōn pros Eratosthenen ephodos; seine Existenz war bis 1903 nur -durch eine Stelle des Lexikographen ¨Suidas¨ bekannt, und 1903 durch -ein Zitat in dem von Schoene herausgegebenen Codex Constantinopolitanus -der Metrika des Heron von Alexandria. Die beiden von Heron angeführten -Sätze über die kubierbaren Körper, den Cylinderhuf und den Schnitt -zweier im selben Würfel eingeschriebener Cylinder mit aufeinander -senkrechten Achsen werden gleich in der Einleitung als Hauptleistungen -des έφοδος, der Methode, angeführt. Den ersten Satz habe ich als -Primaner unter ¨Bertram¨, der ihn wohl durch ¨Schellbach¨ kannte, -selbst bewiesen, und seit 1873 meinen Primanern fast regelmässig -vorgesetzt. Wer ihn wieder aufgefunden weiss ich nicht, vielleicht -¨Luca Valerio¨ »der zweite Archimedes«. Als Beispiel der Methode gebe -ich die Kugelberechnung, aus der sowohl die Kunst des Archimedes als -auch die eigenartige Verquickung von Statik und Differentialrechnung in -der Methode auf das deutlichste hervorgeht. - -[Sidenote: Archimedes: Ephodion, daraus Kugelberechnung.] - -[Illustration] - -II. Dies (die Parabelquadratur) ist zwar durch das jetzt Gesagte nicht -voll bewiesen, aber es gibt doch gewissermassen den Nachweis, dass die -Schlussfolge richtig sei etc. Dass aber jede Kugel das vierfache (im -Text fehlt der Doppellängsstrich über das δ von διπλασια) des Kegels -ist, der zur Basis den grössten Kugelkreis und zur Höhe den Kugelradius -hat und von dem Cylinder, der den grössten Kugelkreis zur Basis und -eine Höhe gleich dem Kugeldurchmesser hat, das anderthalbfache ist, -wird folgendermassen nach dieser Methode erschaut. Gegeben eine -Kugel, in welcher ein grösster Kreis αβγδ (s. Fig.) αγ u. βδ seine -zwei aufeinander senkrechte Durchmesser, und um den Durchmesser βδ -sei der auf den Kreis αβγδ senkrechte Kreis gezogen und von diesem -senkrechten (Kreis) aus, sei ein Kegel beschrieben der seinen Scheitel -im Punkte α habe und nachdem seien Oberfläche ausgezogen soll der -Kegel geschnitten worden sein von einer Ebene durch γ parallel zur -Basis. [Sie wird aber einen Kreis schaffen senkrecht auf] αγ, und -sein Durchmesser [ist ζε]. Und von diesem Kreis aus soll ein Cylinder -angeschrieben worden sein, der eine Achse hat (άξονα) welche αγ -gleich ist, und Kanten des Cylinders solle ελ und ζη sei. Und γα ist -verlängert worden (eig. weiter geworfen, vom Seil mit dem die Gerade -ursprünglich konstruiert wurde) und es wurde ihr gleich gesetzt αθ -(κειμαι ist hier nicht liegen, sondern wie häufig Passiv von τιθημι -setzen), und es werde γθ als Wagebalken gedacht dessen Mitte Punkt α, -und es sollte irgend eine Parallele gezogen werden zu βδ, die Linie μν -(wörtlich die für βδ vorhanden seiende), und sie soll den Kreis αβγδ -schneiden in den Punkten ξ und ο [Punkt wird durch den Strich über ξ -und ο angedeutet] und den Durchmesser αγ in σ und die Gerade αε in π, -und αρ in ρ und von der Geraden μν aus soll eine Ebene senkrecht zu -αγ gestellt worden sein. Diese wird nun in dem Cylinder als Schnitt -bewirken [den Kreis dessen Durchmesser μν sein wird und in der Kugel -αβγδ] den Kreis dessen Durchmesser ξο sein wird und in dem Kegel αερ -den Kreis dessen Durchmesser πρ sein wird. Weil nun das Rechteck aus μσ -und σπ -- denn αγ ist gleich σμ und ασ gleich πσ -- und das Rechteck -aus γα und ασ gleich ist den Quadrat über αξ, das heisst ξσ^2 plus -σπ^2, so ist folglich das Rechteck aus μσ und σπ gleich ξσ^2 + σπ^2. -[Ich bemerke dass Zeile 22 am Schluss statt α gelesen werden muss -ὑ.] Und weil γα : ασ wie μσ : σπ und γα gleich αθ, folglich θα : ασ = -μσ : σπ, d. h. gleich μσ^2 : μσ . σπ. Das Rechteck aus μσ und σπ wurde -gleich erwiesen ξσ^2 + σπ^2; also αθ : ασ wie μσ^2 : (ξσ^2 + σπ^2) -wie μν^2 : ξο^2 + πρ^2. Sowie μν^2 : ξο^2 + πρ^2 so verhält sich der -Kreis im Cylinder mit dem Durchmesser μν zu der Summe der Kreise, des -im Kegel mit Durchmesser πρ und des in der Kugel dessen Durchmesser -ξο. Also θα : ασ so wie der Kreis im Cylinder zu den (beiden) Kreisen -(zusammen) dem in der Kugel und dem im Kegel. ¨Wegen dieses Verhältnis -von θα : ασ wird der Cylinderkreis in bezug auf Punkt α den beiden -Kreisen zusammen mit den Durchmessern ξο und πρ, fortgetragen und so -zu θ gesetzt, dass θ der Schwerpunkt jedes der beiden Kreise ist, -das Gleichgewicht halten¨ etc. ... »Nachdem nun der Cylinder von dem -angenommenen Kreise ¨ausgefüllt¨ ist«. Wegen dieser selbstverständigen -Abkürzung, die auch heute noch wohl jeder, der den Satz und Beweis in -der Prima vorträgt, gebrauchen wird, ist ¨ein Archimedes beschuldigt¨ -worden, den Körper gleich der Summe von Flächen, wie aus gleichem -Grunde bei Satz I, der Parabelquadrierung, die Fläche als Summe von -Linien angesehen zu haben, hundert Jahre nach Aristoteles und noch dazu -wohl kurz nach seinem Weggang aus Alexandrien, wo doch wahrlich ein -strenger Dogmatismus herrschte! Heranzuziehen ist aus der Einleitung -des Arenarius die Stelle 63. 2, επει γάρ το τάς σφαιρας κέντρον -ουδέν έχει μέγεθος etc.) wird der Cylinder im Punkte α der Kugel und -dem Kegel zusammen das Gleichgewicht halten. Da der Schwerpunkt des -Cylinders im Punkte κ liegt und der der beiden andern Körper in θ, -so wird nach dem Hebelgesetz, das in ἑπιπεδων ἱσορροπιων I bewiesen -ist, der Cylinder doppelt so gross sein, als die beiden andern Körper -zusammen. Mit diesem Nachweis ist das Theorem, da der Kegel nach -¨Demokrit¨ und ¨Eudoxos¨ 1/3 des Cylinders ist, der mit ihm gleiche -Grundlinie und Höhe hat, im wesentlichen bewiesen. Man sieht auch, -dass das Buch I vom Schwerpunkt ebener Flächen der Ausgangspunkt für -Archimedes gewesen und dass er um Buch II schreiben zu können seine -Differentialrechnung ausbilden musste, ich setze daher das Ephodion -gleich hinter Buch I der Konzeption nach. -- - -[Sidenote: Archimedes: Die zwei Bücher vom Schwerpunkt.] - -¨Buch I der Schrift über den Schwerpunkt¨ ist die erste von Archimedes -veröffentlichte Schrift, ¨Nizze¨ vermutet wohl richtig, dass sie dem -¨Konon¨ gewidmet gewesen, sie ist auch inhaltlich wohl die erste -gewesen. Sie ist vermutlich kurz nach des Archimedes Rückkehr in die -Heimat verfasst worden, denn er war unter dem Einfluss der stark auf -angewandte Mathematik gerichteten Alexandrinischen Schule, wie auch aus -der Erfindung der κοχλιας hervorgeht, viel mit Mechanik beschäftigt. -Es ist vom Standpunkt der reinen Mathematik zu bedauern, dass er seine -Differentialrechnung von vornherein mit statischen Ideen belastet hat. -Der Inhalt dieses ersten Buches fehlt in keinem elementaren Schulbuch -der Physik, das Hebelgesetz selbst ist in Satz 6 und 7 auseinander -gezogen, da es für kommensurable und inkommensurable Massen gesondert -bewiesen wird, es wird Buch II, 1 noch einmal bewiesen, mit Hilfe der -einfachsten Sätze über den Schwerpunkt des Parallelogramms I, 9 und 10. -Den Begriff Schwerpunkt definiert er nicht, da er ihn als dem Konon -bekannt voraussetzt. - -[Sidenote: Schwerpunkt II.] - -Buch II beschäftigt sich im wesentlichen mit parabolischen Flächen, -es zeigt vor allem eine ausserordentliche Vertrautheit mit dem -Proportionenkalkül, sicher ein Rüstzeug aus der Alexandrinischen -Schule, doch ist es von geringerer Wichtigkeit wie Buch I. Die beiden -Bücher über ¨schwimmende Körper¨ gehören zu seinen grössten Leistungen, -sie enthalten die unverrückbare Grundlage der Hydrodynamik, auch ¨ihr¨ -Inhalt ist uns in succum et sanguinem übergegangen. Annahme I, Satz -6 und 7 enthalten die eigentlichen Prinzipien und werden heute als -¨Archimedisches¨ Prinzip bezeichnet. Unter Gewicht ist, wie Nizze -bemerkt, immer das spezifische Gewicht zu verstehen. Buch II wiederholt -das Prinzip und geht dann auf die speziellen Fälle in Flüssigkeiten -eingetauchter Umdrehungsparaboloide ein. Die Annahme 11 von Buch I -ist keine genügend klare Fassung des Prinzips von der gleichmässigen -Fortpflanzung des Druckes in Flüssigkeiten. Buch II ist für die -Beurteilung der vis mathematica des Archimedes von hohem Wert und seine -Theorie der Hydrostatik ist auch für beliebige Körper anwendbar. - -Das Werk hat ein eigentümliches Schicksal gehabt. Der Dominikanermönch -Wilhelmus de Morbeca hat es um die Mitte des 13. Jahrh. aus -griechischem Text lateinisch übersetzt; ob dem Verfasser des general -trattato, Nik. Tartaglia, ein griechischer Codex vorgelegen, ist -nicht sicher, er gab Buch I lat. 1543 (Venedig) heraus und aus seinem -Nachlass veröffentlichte Trojanus Curtius 1565 das zweite Buch. Jetzt -berichtet ¨Heiberg¨ dass der Palimpsest den Text von περι οχουμενων -fast vollständig enthält und konnte daraufhin schon die Unechtheit des -von ¨A. Mai¨ aus Vatikanischen Codices edierten Fragments, Forderung 1 -und die 8 ersten Sätze, feststellen. - -[Sidenote: Wahlsätze.] - -Von den ¨Wahlsätzen¨, dem liber assumptorum sind als echt erwiesen -die Sätze über den Arbēlos, das Schustermesser und über die -fälschlich Wogenfläche, richtiger Eppigblatt genannte Fläche σέλινον. -Meine Didaktik und Methodik weist die Lehrer auf diese bei der -Kreisberechnung in Secunda so erwünschten Aufgaben hin. Für den Arbēlos -verweise ich auf meine Entwicklung der Elementar-Geometrie (1906) No. -9 p. 87 f. Die 15 Sätze sind aber alle miteinander für den Unterricht -sehr verwendbar, sie machen übrigens durchaus nicht den Eindruck, als -ob sie von verschiedenen Autoren herrühren und können ganz wohl aus -einem Buch des Archimedes über Kreisberührungen stammen. - -[Sidenote: Archimedes: Arenarius (Sandzähler).] - -Von arithmetischen Werken ist unzweifelhaft in der Fassung des -Archimedes nur ein einziges erhalten, der ψαμμίτης, ¨arenarius, der -Sandzähler¨. Die Einleitung der an den König Gēlon, den Sohn des Hiero -gerichteten Schrift lautet: - -»Es glauben manche, König Gēlon, des Sandes Zahl sei unendlich der -Menge nach, ich spreche aber nicht nur von dem um Syrakus und das -übrige Sizilien, sondern auch von dem auf jedem Raum, bewohnten wie -unbewohnten. - -Es gibt aber auch Leute, welche zwar nicht annehmen, dass derselbe -unendlich sei, aber doch, dass keine aussprechbare Zahl existiere, -welche die Menge des Sandes überträfe. Wenn diejenigen, welche solche -Ansicht haben eine aus Sand zusammengesetzte Kugel sich denken würden, -so gross im übrigen wie die Erdkugel, aber so, dass auf dieser alle -Meere und Höhlungen bis zur Höhe der höchsten Berge ausgefüllt würden, -so würden sie noch viel mehr der Meinung sein, dass keine Zahl genannt -werden könne, welche die Menge des Sandes ihrer Kugel überträfe. -Ich aber will versuchen dir durch mathematische Beweise, welchen du -beipflichten wirst, zu zeigen, dass unter den von mir benannten Zahlen, -welche sich in meiner Schrift an den Zeúxippos finden, einige nicht -nur die Zahl des Sandes übertreffen, der die Grösse der Erde hat, -ausgefüllt so wie wir gesagt haben, sondern auch dessen, der die Grösse -des Weltalls hat. - -Du weisst ja, dass die meisten Astronomen unter Kosmos eine Kugel -verstehen, deren Zentrum das Zentrum der Erde ist und deren Radius -vom Zentrum der Erde bis zum Zentrum der Sonne reicht. Denn dies wird -gewöhnlich geschrieben, wie du von den Astronomen erfahren hast. -¨Aristarch von Samos¨ dagegen gab schriftlich einige Hypothesen -heraus, aus denen, nach dem Vorliegenden hervorgeht, dass die Welt -vielmal grösser sei als die eben genannte. Er nimmt nämlich an, dass -die Fixsterne und die Sonne unbeweglich seien, die Erde aber sich -in einer Kreislinie um die Sonne, welche mitten in der Bahn steht, -herumbewege. Die Kugel der Fixsterne nun, mit der Sonne um dasselbe -Zentrum liegend, habe eine solche Grösse, dass der Kreis, in welchem -nach seiner Annahme die Erde sich bewegt, zur Entfernung der Fixsterne -ein solches Verhältnis hat wie das Zentrum der Kugel zur Oberfläche. -Dies ist nun in seiner Unmöglichkeit ganz offenkundig [Archimedes setzt -nun auseinander, dass Aristarchos das Verhältnis der Erde zur Welt -dem der Kuben der Radien des Erd- und Fixsternkreises gleich erachte, -ein wie Nizze mit Recht hervorhebt absichtliches Missverstehen der -eigentlichen Meinung, dass die Erde gegen die Welt als verschwindend zu -betrachten sei]. Der Schluss lautet: Ich behaupte nun, dass wenn auch -eine Kugel aus Sandkörnern existieren sollte von der Grösse welche nach -der Annahme des Aristarch die Fixsternsphäre hat, auch dennoch von den -in den »Anfangsgründen« (Αρχαι) benannten Zahlen sich einige aufweisen -lassen würden, welche an Fülle die Zahl des Sandes überträfen, der -eine Grösse hat gleich der besagten Kugel, und zwar auf folgenden -Grundlagen.« - -Kulturhistorisch wichtig ist besonders Paragraph 3 und 4, sie zeigen, -wie grundlos das Vorurteil ist, dass die Alten nicht experimentiert -hätten, was z. B. noch ¨Ch. Thurot¨ in den Recherches hist. sur le -princ. d'Arch., Rev. d'Archéol. 1868 B. 18 etc. ausspricht; es ist -dies Vorurteil ebenso unausrottbar wie die Anschauung, dass sie die -Brüche etc. nicht als Zahlen angesehen, oder die Bewegung nicht als -Hilfsmittel für die Konstruktion zugelassen. - -Die »Archai« sind eine verlorene Schrift an den Ζεύξιππος, der wohl zum -Freundeskreis aus der Studierzeit gehörte, sie handelte vermutlich von -der Zahl und dem Zählen. - - -Exkurs über das elementare Rechnen der Griechen. - -[Sidenote: Exkurs über das elementare Rechnen der Griechen (Logistik).] - -Hier ist nun die Stelle, wo ich gezwungen werde auf die griechischen -Zahlzeichen und die praktische Rechenkunst, die Logistik, einzugehen. -Als Quellen führe ich Ihnen an: ¨J. B. J. Delambre¨, Arithm. d. Grecs, -Anhang zu Peyrards Übersetzung des Archimedes von 1807 und noch in -Hist. de l'astron. anc. Par. 1817, ¨Nesselmanns¨ treffliche Algebra der -Griechen nach den Quellen bearbeitet Berl. 1842, leider nur ein Band, -¨G. Friedlein¨ die Zahlzeichen und das elementare Rechnen der Griechen -und Römer, Erl. 1869; ¨F. Hultsch¨ script. Graec. metrol. 1864, -¨S. Günther¨ Gesch. der Math. und Naturw. im Iwan Müller, und dann die -Geschichtswerke. - -Anfänglich sind wie überall Striche die Zahlzeichen, dann zur Zeit -des ¨Solon¨ etwa, bezeichnete man die Zahl mit den Anfangsbuchstaben -des Zahlworts: Π war πεντε (τα) fünf, Δ war δεκα zehn, Η war 100, sie -heissen Herodianisch nach einem späteren Alexandrinischen Grammatiker, -so findet sich z. B. auf der Tafel von Salamis ΗΗΗΔΔΔΔΠΙΙΙΙ = 349. Von -hier aus war zur Annahme des Semitischen Gedankens die Zahlen mit den -Buchstaben des Alphabets zu bezeichnen, nur ein kleiner Schritt, und -diese Methode verbreitet sich von 500 ab. Dabei nahmen sie 3 Buchstaben -des phönicischen Alphabets die Lautabstufung bezeichneten, die -Hellenischer Zunge oder Kehle unaussprechbar waren als sogen. επισημα -(Zusatzzeichen) auf; es sind das ϛ Bau oder Wau für 6, ϙ Koppa für 90 -und sampi ein liegendes ϡ für 900. Sie schreiben also: - - 1 2 3 4 5 6 7 8 9 - α β γ δ ε ϛ ζ η Θ - ι κ λ μ ν ξ ο π ϟ - ρ σ τ υ φ χ ψ ω ϡ - -Die untereinander stehenden Zahlen unterscheiden sich durch den Faktor -10 also 349 gleich τμΘ. - -Sollten die Buchstaben Zahlen bedeuten, so bekamen sie meistens einen -wagerechten Strich oberhalb z, B. ᾱ (die jetzigen Grammatiken ἁ). Die -9 Tausender werden durch die betreffenden Einer mit einem kleinen -Strich darunter dargestellt, also ᾳ...Θι. Das Zeichen für 10000 war M -oder Μυ von Μυριοι Myrioi) 10000 z. B. ϛ/M für 60000. Häufig wird nur -ein Punkt gesetzt z. B. δ.γιυνη ¨gleich¨ 43458. So konnte man bis 9999 -Μυ + 9999 also 10^8 - 1 kommen, griech. ΘιϡϟΘ.ΘιϡϟΘ. Die Brüche wurden -meist nach ägyptischem Vorbild in Stammbrüche zerlegt und dann nur der -Nenner mit einem Akzent geschrieben, also ἡ = 1/8, besondere Zeichen -gab es (Ägypten) für 1/2: ϙ und 2/3: Κ. Wurde der Bruch unzerlegt -hingeschrieben, so deutete man den Zähler durch einen Akzent an und -schrieb den Nenner doppelt mit 2 Akzenten also λδ′ ωπη″ ωπη″ = 34/888. -¨Addition¨ und ¨Subtraktion¨ waren von der unsrigen nicht verschieden, -man schrieb die gleich benannten Zahlen unter einander, addierte sie -und behielt die überschiessenden Einheiten im Kopf, und entsprechend -verfuhr man bei der Subtraktion, wofür das Beispiel aus Eutokios -Kommentar zur κυκλου μετρησις entnommen ist. - - Θ.γιχλϛ 93636 - β.γιυ Θ 23409 - ------- ----- - ζ. σκζ 70227 - -Auch die Multiplikation vollzog sich unschwer, nach dem Schema des -Eutokischen Beispiels. - - φοα 571 - φοα 571 - --------- ------- - κεγ.εφ 25.... - ΜΜ ' 35... - 5.. - γεδϡο 35... - Μ'' 49.. - 7. - φοα 571 - --------- ------- - λβ.ϛμα 32^m6041 - Μ ' - - - αθϛ' 1009-1/6 - ' - αθϛ' 1009-1/6 - ' - ρθρξϛϙϛ' 1009166½ + 1/6 - Μ' - θπααϙ 9081 - ' 1½ - ρξϛϙϛ'ακλϛ' 166½ + 1/6 - 1½ + 1/36 - --------------- -------------------- - ραηυιζγλϛ' 1018417-1/3 + 1/36 - Μ' - -¨Delambre¨ sagt mit Recht sie ist leichter als unsere, weniger Fehlern -ausgesetzt, nur etwas länger. Für die Division haben wir bei Eutokios -kein ausgeführtes Beispiel, aber in ¨Theon¨ des Alexandriners Kommentar -zum Almagest findet sich eine Anleitung zum Rechnen mit Astronomischen -Brüchen d. h. mit Sexagesimalzahlen (s. Babylon) welche genau unsern -Dezimalbrüchen entsprechen, der Algorithmus der Division bei Theon -ist nur etwas zeitraubender, während das Quadratwurzelausziehen vom -unsrigen nicht verschieden ist. - -[Sidenote: Archimedes, Arenarius.] - -Im ¨Sandzähler¨ nimmt ¨Archimedes¨ das einzelne Sandkorn so klein an, -dass 10^4 auf ein Mohnkorn gehen. - -Dann weist er nach, dass 64000 Mohnkörner ein Volumen liefern, grösser -als eine Kugel von 1 Zoll (Finger) Durchmesser, also ist die Zahl der -Sandkörner, welche diese Kugel fassen kann < 64 . 10^7 also < 10^9, -also die Sandzahl der Kugel von 100 Zoll kleiner als 10^6 . 10^9 oder -10^{15} und die der Kugel von 10^4 Zoll Durchmesser < 10^{21}. Aber -ein ¨Stadion¨ zu 600 Fuss hat nur 9600 Zoll, also ist die Sandzahl -der Kugel vom Durchmesser eines Stadion kleiner als die Zahl 10^{21}, -und die von 100 Stadien kleiner als 10^{27} und die von 10000 Stadien -kleiner als 10^{33} und die Sandzahl der Kugel vom Durchmesser 10000 -Millionen Stadien kleiner als 10^{51}. - -Nun hat auf Grund der experimentellen Untersuchung des Gesichtswinkels, -in § 3 und § 4 erzählt, Archimedes festgestellt, dass der -Sonnendurchmesser grösser sei als die Seite eines reg. Tausendecks, das -in einen grössten Kreis der Weltkugel eingeschrieben ist, also ist der -Umfang dieses Tausendecks kleiner als 1000 Sonnendurchmesser. Setzt -man nun den Sonnendurchmesser nicht grösser als 30 Monddurchmesser -und den Monddurchmesser kleiner als den des Erddurchmessers, so ist -der Umfang des Tausendecks kleiner als 30000 Erddurchmesser, also der -Durchmesser des Welthauptkreis kleiner als 10000 dieser. Archimedes -setzt nun, was für seinen Zweck möglichst hohe Zahlen abzählbar -zu machen, ein Vorteil, den Erdumfang auf weniger als 3 Millionen -Stadien, (eine gegen die fast gleichzeitige Eratosthenessche Messung -auffallende Überschätzung) und kommt so für den Weltdurchmesser zu der -oberen Grenze von 10000 Millionen Stadien, deren Sandzahl kleiner als -10^{51} war. -- ¨Archimedes¨ zählt nun zunächst in gewöhnlicher Weise -bis zur oberen Grenze, d. h. also Myrio Myriaden -- 1. ΘιϡϟΘ.ΘιϡϟΘ = -99,999,999. Diese Zahlen nennt er ¨erste¨, d. h. ¨erster Ordnung¨, -und macht nun 10^8 zu einer neuen Einheit, die er ¨zweite¨ nennt, und -kann nun bis Myrio Myrioi Myriaden d. h. 10^{16} - 1 zählen, dann -kommen die Zahlen dritter Ordnung von 10^16 bis 10^24 - 1, und so -fort, d. h. also er teilt die Zahlen ab nach ¨Oktaden¨. Aber auch -die Ordinalzahlen, die er zur Abzählung der Oktaden braucht, werden -mit der 100 Millionsten weniger Eins erschöpft, er fasst also die -bisher benannten Zahlen zusammen als Zahlen der ¨ersten Periode¨, er -gelangt so zu einer Zahl welche wir mit 799,999,999 Neunen schreiben -würden, die Zahl 99,999,999 der 99,999,999sten Ordnung, er macht nun -(10^8)^{(10^8-1)} oder (10000^2)^{(10000^2-1)} zu einer neuen Einheit -und zur zweiten Periode und gelangt so schliesslich zur Zahl 10^8, der -Ordnung 10^8 der Periode 10^8 welche wir mit 1 und 80000 Billionen -Nullen schreiben würden. - -Der Paragraph 9 der Nizzeschen Übersetzung (Heiberg 268 f.) zeigt -dass Archimedes keineswegs wie Nesselmann meint, nur neue Zahlworte -geschaffen hat, sondern tatsächlich das Positionssystem gefunden und -ebenso zeigt § 10 wie dicht er an ¨Potenz¨ und ¨Logarithmenrechnung¨ -gestreift hat. Er führt darin den Begriff des Abstands ein, und nur -dadurch, dass er der Einer-Ziffer den Exponent 1 statt 0 gibt, wird -seine Regel 10^{n+1} . 10^{m+1} = 10^{n+m+1} von unsern Fundamentalsatz -10^a . 10^b = 10^{a+b} abweichend. - -Die gefundene Zahl 10^{51} ist die 3. Stelle der 7. Oktade, steht also -ziemlich am Anfang der ersten Periode, welche 100 Millionen Oktaden -weniger einer enthält, aber selbst wenn er statt der Weltkugel die -Fixsternkugel wie er sie dem Aristarch zuschreibt, annimmt, deren -Durchmesser kleiner ist als 10^4 Weltdurchmesser, so wird die Sandzahl -kleiner als 10^{63} d. h. als die 8. Stelle der 8. Oktade. - -[Sidenote: Archimedes: Rinderproblem, Eratosthenes.] - -An den Psammites schliesst sich das Rinderproblem, προβλημα βοων an, es -ist in Distichen abgefasst und an Eratosthenes gesandt; gefunden wurde -es von ¨Gotthold Ephraim Lessing¨ als Bibliothekar in Wolfenbüttel -und 1773 ediert. Wenn auch die Echtheit der Verse zweifelhaft sein -mag, so ist es jedenfalls ein »Archimedisches Problem« und Heiberg -sagt, dass kein Grund vorliegt, es Archimedes selbst abzusprechen. -Die Einkleidung des Problems schliesst an Odyssee V. 7 an: νηπιοι οἱ -κατα βους Ὑπεριονος Ἡελιοιο ἡσθιον, es soll die Zahl der Rinder des -Sonnengotts auf Trinakria (Sizilien, nach seiner dreieckigen Gestalt -genannt), berechnet werden. Es handelt sich um weisse (w), blaue -(b), gelbbraune (g) und scheckige (s); Stiere und Kühe durch Striche -unterschieden. Zur Bestimmung der 8 Unbekannten hat man 7 Gleichungen -ersten Grades, es handelt sich also um eine sogen. Diophantische -Aufgabe. Dazu kommen noch zwei Bedingungen w + b soll eine Quadratzahl, -g + s eine Dreieckszahl, d. h. von der Form (n [**ueber] 2) sein. M. E. -hat Nesselmann und nach ihm Struve etc. den Text ganz missverstanden, -nach meiner Auffassung lauten die sieben Gleichungen: - - w = 5/6 b + g + g′ w′ = 7/12 (b + b′) und: w + b = n^2 - b = 9/20 s + g + g′ b′ = 9/20 (s + s′) g+s = n(n-1)/(1·2) - 11/20 s = 13/42 w + g + g′ s′ = 11/30 (g + g′)[4] - g′ = 13/42 (w + w′) - -Heiberg ist mit Fug und Recht der Ansicht, dass die Behandlung eines -solchen Systems die Kräfte eines Archimedes nicht überstieg, dessen -im Sinne ¨H. Webers¨ spezifische mathematische Begabung ihresgleichen -nicht gefunden hat. Übrigens ist die Weglassung des Faktors [4] -(τετραχη) bei der Gleichung für s′ unberechtigt. Zur Durchführung fehlt -es mir an Zeit. - -Der zweite der Heroen des 3. Jahrhunderts, wenn auch in weitem Abstand -von Archimedes ist ¨Eratosthenes¨. Quellen: ¨F. Susemihl¨, Geschichte -der griechischen Literatur in der Alexandrinerzeit; ¨Bernhardy¨, -Artikel Eratosthenes im Ersch und Gruber; ¨Berger¨, Die geographischen -Fragmente des Eratosthenes, Leipzig 1880; Quellen über sein Leben; -¨Suidas¨ und ¨Strabon¨. - -[Sidenote: Eratosthenes (vita).] - -Eratosthenes wurde 276 in Kyrene geboren, zuerst in seiner Heimat durch -den Grammatiker Lysanias unterrichtet, studierte dann in Alexandria -unter ¨Kallimachos¨, dem berühmten Dichter und Leiter der Ptolemäischen -Bibliothek, ging dann nach Athen, wo er bei den der stoischen Richtung -angehörigen Philosophen ¨Ariston¨ und ¨Arkesilaos¨ sich philosophisch -aber auch besonders mathematisch bildete und eigene bedeutende -Schriften verfasste. Er folgte etwa um 235 einem Rufe des Ptolemäos -Euergetes als Nachfolger des Kallimachos und blieb bis zu seinem Tode -Leiter der Bibliothek. Da er infolge seiner angestrengten Arbeit -zu erblinden fürchtete, so tötete er, der Stoiker war, sich durch -Nahrungsverweigerung im 80. oder 82. Lebensjahre etwa um 196 v. Chr. - -Ein hervorragender Zug des Eratosthenes ist seine Freiheit von -nationalen Vorurteilen; im Gegensatz zu ¨Aristoteles¨ hat er Alexanders -grossartige Idee Orient und Okzident zu verschmelzen, voll gewürdigt, -und ist so ziemlich der erste, wenn nicht einzige Hellene, der fremde -Kultur objektiv zu beurteilen vermochte. - -Wie erzählt wird, ward er β genannt nach einer Version, weil er es -in allen Künsten und Wissenschaften zum Rang des zweiten gebracht, -nach andern als zweiter Platon; auch πενταθλος wird er genannt, der -Fünfkämpfer, denn er war in der Tat einer der vielseitigsten Gelehrten -aller Zeiten. Am bedeutendsten war er wohl als Geograph und Astronom, -wenn ihn auch auf letzterem Gebiet Hipparch von Nicaea (Bithynien) der -auch nach Rhodos genannt wird, übertroffen hat. Wir haben von seinen -drei Büchern Γεωγραφικα bedeutende Fragmente, und ihr Inhalt ist uns -durch Strabon und durch die Kritik Hipparchs erhalten. - -[Sidenote: Eratosthenes: Geographie.] - -Eratosthenes hat besonders die sogenannte mathematische und -physikalische Geographie als Wissenschaft im heutigen Sinne geschaffen, -allerdings Vorarbeiten des Dikaiarchos benutzend. Im 1. Buch gibt -Eratosthenes eine kritische Geschichte der geographischen Kenntnisse -der Hellenen bei Homer und Hesiod, wobei er sich nicht im geringsten -scheute die Unwissenheit des homerischen Zeitalters zu betonen, dann -wandte er sich zu der Geographie, beginnend mit ¨Anaximander¨, dem -Schüler und Freunde des Thales. - -Das 2. Buch enthält sodann die mathematische und physikalische -Geographie nebst dem Bedeutendsten der eigenen Leistungen; die -Grundlage bildet seine Gradmessung. Eratosthenes hatte bemerkt, dass -am längsten Tage in Syēne die Sonne um Mittag den Boden eines Brunnens -bescheint, d. h. im Zenith steht, also Syēne unterm Wendekreis des -Krebses liegt, und glaubte, dass Alexandria und Syēne auf demselben -Meridiane lägen. Er mass nun am längsten Tage in Alexandria die -Kulminationshöhe der Sonne, bezw. die Zenithdistanz mittelst eines -¨Skaphion¨, einer hohlen Halbkugel, und bestimmte dadurch im Gradmass -die Distanz Siene-Alexandria, dann mass er, allerdings auf Grund der -ägyptischen nomen oder der Gaueinteilung, die direkte Entfernung und -bestimmte so die Länge des Grades. - -Die Methode ist im Prinzip die noch heute angewandte, nur irrte sich -Eratosthenes darin, dass Alexandria und Syēne auf demselben Meridian -lägen. Weil aber auch die alten nomen ziemlich fehlerhaft waren, so -glichen sich die Fehler so ziemlich aus und die Angabe des Eratosthenes -auf 109 kil. statt 111 ist merkwürdig genau. Die Gradmessung scheint -er nach Makrobios schon vorher in einer eignen Schrift mitgeteilt -zu haben. Den Umfang der Erde bestimmte er auf rund 250000 Stadien, -genauer 252000. - -Der 3. Teil enthält eine kurz gefasste Einteilung und Beschreibung der -bewohnten Erde. Er teilte die bewohnte Erde durch einen Parallelkreis -von Gibraltar bis China in nördliche und südliche Hälfte und jede -Hälfte durch Striche zwischen je zwei Meridiane in »σφραγιδες« d. h. -wörtlich: Siegelabdrücke, die er dann topographisch und ethnographisch -beschrieb und kartographisch aufnahm. - -[Sidenote: Chronographie.] - -Nicht minder bedeutend waren seine zwei andern Hauptwerke: - -1) περι χρονογραφιων vermutlich eine Kritik der bisherigen -Zeitbestimmungen und eine Anweisung einen chronologisch richtigen -Abriss der Geschichte inkl. der Literaturgeschichte zu schreiben. -Wahrscheinlich ist Eratosthenes der Urheber der Einführung des -Schalttages bei den Ägyptern durch das Edikt von Kanopus, das bei -Ägypten erwähnt ist. - -Er beschränkte sich nicht auf die politische Geschichte, er bevorzugte -die Kulturgeschichte, Philosophen, Dichter etc. und hat ein eigenes -Werk: »Ολυμπιονικαι« geschrieben. In der Schrift περι της αρχαίας -κωμωδιας. zeigte er sich als feinster Kritiker und wissenschaftlich -recht bedeutender Philologe und als Kenner alles dessen, was zur -Bühnentechnik gehört, auch gibt er eine Menge geschichtlicher -Notizen z. B. über Einrichtung bei den Olympischen und anderen -Spielen. Übrigens war er auch selbst kein unbedeutender Dichter, vide -¨E. Hiller¨, Er. carminum reliquiae Leipzig 1872. - -[Sidenote: Würfelverdopplung.] - -Von seinen mathematischen Werken ist nur wenig erhalten, das -meiste in dem schon erwähnten Brief an den Ptolemaios III über die -Würfelverdoppelung im Kommentar des Eutokios zu περι σφαιρας etc. -¨Heiberg¨, Arch. p. III S. 102-114. - -Nach dem historischen Bericht gibt Eratosthenes seine eigene Lösung -mittelst eines Instruments das nach Pappos und Vitruv »Mesolabos« (von -den mittleren Proportionalen) hiess. Es bestand aus drei massiven -kongruenten Rechtecken, welche zwischen zwei mit je drei Nuten -versehenen Linealen übereinander geschoben werden konnten. - -[Illustration] - -Die Anfangslage ist bei Eutokios die der Figur. War nun ΑΕ die grössere -ΔΘ die kleinere Strecke, so musste man die Rechtecke so verschieben, -dass das erste einen Teil des zweiten, dieses einen Teil des dritten -verbarg, und zwar so, dass die Linie ΑΔ durch die Punkte Β und Γ ging, -an denen die Diagonalen sichtbar wurden; siehe Figur. ΒΖ und ΓΗ sind -dann die mittleren Proportionalen, da ΑΖ, ΒΗ, ΓΘ einander parallel sind. - -[Illustration] - -Der Brief ist von ¨E. Hiller¨ angezweifelt, insbesondere erklärt er -das Epigramm am Schluss für zweifelsohne unecht. Aber Proklos hat -p. 111 Z. 23 den Vers von den Menächmischen Triaden zitiert und das -Missverständnis des »ολιγου« im ersten Vers wirft auf den Scharfsinn -des Herausgebers kein günstiges Licht. Die von ¨Ambros Sturm¨ l. c. -angeführte Begründung Hillers ist sehr schwach, noch dazu gegenüber -Eutokios und Proklos und ¨Heiberg¨ fertigt sie mit den Worten »nulla -idonea causa adlata« ab. - -Auf diesem allerdings mechanischen Wege »¨organica¨ mesolabi ratione« -(Vitruv) konnte man wie Eratosthenes selbst angab, beliebig viele -Mittlere erhalten, d. h. durch n + 1 Täfelchen die n-Wurzel ziehen. - -Verloren ist eine Schrift »über Mittelgrössen« περι μεσοτητων auch -»Orte in bezug auf Mittelgrössen, τόποι προς μεσοτητας« genannt, -von der wir durch Pappos Kunde haben. ¨Zeuthen¨ vermutet in seinem -ausgezeichneten Werke: ¨die Lehre¨ von den Kegelschnitten im Altertum, -deutsche Ausgabe 1886, dass es sich, in Ergänzung der harmonischen -Polare eines Punktes als Pol für einen gegebenen Kegelschnitt, um die -Orte des arithmetischen und geometrischen Mittels der Sehnenschaar des -Pols gehandelt habe. Es ist leicht zu zeigen, dass die beiden Orte -Kegelschnitte sind, welche dem gegebenen ähnlich sind. - -Vielleicht aus einer verlorenen grösseren arithmetischen Schrift -ist uns in der Arithmetik des Nikomachos (s. u.) die noch heute -gebräuchliche Methode erhalten die Primzahlen unter p »herauszusieben«, -die noch heute Sieb (κοσκινον, cribrum) des Eratosthenes heisst. Völlig -verloren sind die rein philosophischen Schriften, deren bedeutendste -die von ¨Strabon¨ genannte über Gutes und Böses, περι αγαθων και -κακων gewesen sein soll, darunter bedauerlicherweise auch die Schrift -Πλατωνικός, ein Kommentar zu der Pythagoräischen Kosmologie in -¨Platons¨ Timaeos. - -[Sidenote: Apollonios von Pergae (vita).] - -[Sidenote: Konika (Kegelschnitte).] - -Der eigentliche »Aemulus«, der Nebenbuhler des Archimedes im Ruhme der -Alten, ¨Apollonios von Pergae¨ in Pamphylien war erheblich jünger als -jener, er ist frühestens um 265 unter Ptolemaios Euergetes geboren -und hatte seine Blütezeit unter Ptolemaios Philopator. Gestorben ist -er gegen 190. Er studierte in Alexandria bei den Schülern des Euklid -Mathematik, Hultsch P. III S. 678 oder nach Hultsch ein Scholiar des -Pappos sagt: συσχολασας τοις ὑπο Ευκλειδου μαθηταις εν Αλεξανδρεια -πλειστον χρονον ὁθεν εσχε και την τοιαυτην ἑξιν ουκ αμαθη. Die ganze -nicht gerade geschmackvolle Stelle lautet eigentlich wörtlich: Da er -die Schule teilte mit den Schülern des Euklid in Alexandrien sehr -lange Zeit, woher er auch ein solches nicht unmathematisches Verhalten -hatte. (!) Demnach würde Apollonios ein direkter Schüler des Euklid -gewesen sein von mässiger mathematischer Begabung! Aber im eigentlichen -Hauptkodex steht nur σχολασας und das heisst mit dem Dativ bei jemanden -in die Schule ging, und so ist die lateinische Übersetzung von Hultsch -zutreffend, die Konjektur dagegen scheint mir nicht glücklich. Dann -lebte er in Pergamon und in Ephesos befreundet mit einem Eudemos, dem -er sein grosses Werk über die Kegelschnitte, die »κωνικα« widmete. -Eudemos starb aber vor der Vollendung des Werkes und daher gab -Apollonios dem vierten Buch einen Widmungsbrief an den König Attalos -I. von Pergamon mit, in welchem er den Tod des Eudemos beklagte. Dem -Attalos sind dann auch die folgenden Bücher gewidmet. Von dem Werke, -das dem Verfasser nach dem Zeugnis des Geminos (¨Eutokios¨, Heiberg -S. 170) den Beinamen des grossen Mathematikers μεγας γεωμετρης eintrug, -sind nur die vier ersten Bücher mit dem Kommentar des ¨Eutokios¨ -erhalten, die drei folgenden in arabischer Übersetzung. Das letzte -Buch ist verloren, doch haben wir eine Inhaltsangabe bei Pappos, auf -Grund derer der durch seinen Komet noch heute viel genannte ¨Halley¨ -1710 eine Rekonstruktion versuchte. Die vier ersten Bücher wurden -zuerst von Joh. Baptist Memus schlecht ins ¨Lateinische¨ übersetzt -und von seinem Sohn 1537 ediert. Weit besser ist die Übersetzung von -¨Federico Commandino¨, dessen wir schon bei Euklid und Archimed rühmend -gedenken mussten, sie enthielt auch den Kommentar des Eutokios und -die Lemmata des Pappos. Ins ¨Arabische¨ wurden die 7 ersten Bücher -schon unter Al Mamun, 830 übertragen, aber diese Übersetzung ist -bisher nicht aufgefunden. Dagegen kam eine zweite von ¨Abulphat¨ von -¨Ispahan¨ 994 verfasste, im 17. Jh. durch den Leydener Orientalisten -und Mathematiker Golius nach Europa, der das Exemplar dem Grossherzog -von Toskana verkaufte. Es wurde von dem Orientalisten Abraham v. -Echelles in Gemeinschaft mit dem bedeutenden Mathematiker ¨Borelli¨ -(s. Euklid) 1671 Lateinisch ediert, und bestätigte glänzend die kurz -vorher von ¨Viviani¨ (einer der bedeutendsten Schüler Galileis, der -Urheber des »Florentiner« Problems der Quadrierung einer durchbrochenen -Kugelkappe) versuchte Restitution des 5. Buches. Der Anfang des 5. -Buches, wohl das bedeutendste, ist nach dem Arabischen des mehrfach -genannten ¨Thabit ibn Qurrah¨ 1899 von Nix in Leipzig herausgegeben. -Die einzigen Griechischen Ausgaben sind die von ¨Halley¨, Oxford -1710 Folio mit Eutokios und der Divinatio libri octavi und die von -¨Heiberg¨ mit Eutokios Kommentar und Fragmentensammlung Teubner -1890-93. Von besonderer Bedeutung für Apollonios Wertung ist das oben -genannte Werk von ¨Zeuthen¨. Eine freie Bearbeitung der Konika gab -¨H. Balsam¨, Berlin 1861. Die Kegelschnitte des Apollonios haben die -Eigenschaften der Kurven in solcher Vollständigkeit aufgedeckt, dass -eigentlich nichts Neues im Laufe der Jahrtausende gefunden ist. Selbst -der Satz von ¨Desargues¨ und seine selbstverständliche Anwendung, der -Satz von ¨Pascal¨, sind eigentlich schon bei Apollonios. Involution, -Brennpunktseigenschaften, Erzeugung durch projektive Punktreihen, -Asymptoten, konjugierte Hyperbel etc., alles findet sich bei ihm. -Dass er nun seine Vorgänger, insbesondere Archimedes und Euklid und -Aristaios benutzt hat, das ist selbstverständlich, aber es bleibt doch -ein gewaltiges Quantum selbständiger Arbeit, und Pappos selbst sagt, -dass er die 4 Bücher κωνικα des Euklid stark vermehrt habe (αναπληρωσας -και προσθεις) und dann noch die 4 weitem Bücher hinzugefügt habe. Vor -allem hat Apollonios zuerst bewiesen, dass die Triaden des Menaichmos -aus jedem beliebigen Kegel 2. Grades herausgeschnitten werden können. -Er hat die vollständige Hyperbel d. h. beide Äste in welche sie -zerfällt betrachtet, er hat die Kurven aus den Bestimmungsstücken -konstruiert, nachdem schon Euklid die ebene Konstruktion aus Leitlinien -und Brennpunkten gekannt hatte. Für Genaueres, insbesondere auch die -Werke des Aristaios, verweise ich auf ¨Zeuthens¨ mehrfach zitiertes -Werk über die Kegelschnitte im Altertum; nur die Vorrede mochte ich -Ihnen nicht vorenthalten. - -Apollonios sendet dem Eudemos Grüsse. Es wäre schön wenn es dir -körperlich gut ginge und alles übrige nach Wunsch stände. Mir selbst -geht es ja auch ziemlich. Als wir seinerzeit in Pergamos beisammen -waren, bemerkte ich, dass du dich lebhaft für meine Arbeiten über die -Kegelschnitte interessiertest. Ich schicke dir nun das völlig richtig -gestellte erste Buch; das übrige werde ich senden, sobald es mich -befriedigt haben wird. Ich glaube aber du erinnerst dich noch wohl von -mir gehört zu haben, weshalb ich diese Arbeit unternahm. Naukrates -der Geometer hatte mich dazu aufgefordert, als er bei mir während -seines Aufenthalts in Alexandria weilte und deswegen gab ich sie ihm, -in 8 Büchern behandelt, von dort aus mit, und weil er im Einschiffen -begriffen war, konnte ich sie nicht sorgfältig bereinigen, sondern -schrieb alles gerade so hin wie es mir unterlief, indem ich mir eine -letzte Durcharbeitung vorbehielt. Und da ich jetzt dazu Zeit gefunden, -so gebe ich was eben ganz richtig gestellt ist, heraus. Da es sich -aber traf, dass auch einige andere meiner Genossen vom ersten und -zweiten Buch vor der Verbesserung Kenntnis gewonnen haben, so wundere -dich, bitte, nicht, wenn dir abweichende Fassungen begegnen. - -Von den 8 Büchern fiel den vier ersten die Einführung in die -Elemente zu. Es enthält aber das erste Buch die Erzeugung der 3 -Schnitte und der gegenüberliegenden sowie deren Grundeigenschaften -vollständiger und umfassender ausgearbeitet im Vergleich mit den -früheren Bearbeitungen. Und das zweite enthält die Eigenschaften der -Durchmesser, Axen, Asymptoten und anderes, was zum Gebrauch für die -Konstruktionsbedingungen nötig und hinreichend ist. Was ich unter -Durchmesser und Axe verstehe, wirst du aus diesem Buche ersehen. - -Das dritte Buch enthält viele und auffallende Sätze, welche brauchbar -sind für die Konstruktionen der körperlichen Orte und für die -Existenzbedingungen, von denen die meisten und schönsten neu sind. -Und nachdem ich sie ersonnen hatte, sah ich ein, dass von Euklid der -Ort zu drei und vier geraden Linien nicht aufgestellt sei, sondern -nur ein zufälliger Teil desselben und auch dieser nicht gerade gut -getroffen. Es ist auch gar nicht möglich ohne die von mir gefundenen -Sätze die Synthesis durchzuführen. Das 4. Buch gibt an, auf wie -vielerlei Art die Kegelschnitte mit einander und der Peripherie des -Kreises zusammentreffen, und anderes darüber hinaus, worüber von meinen -Vorgängern nichts geschrieben worden ist, z. B. in wieviel Punkten ein -Kegelschnitt und eine Kreislinie zusammentreffen. Der Rest geht noch -weit darüber hinaus. Da handelt ein Buch ausführlich über Minima und -Maxima, ein anderes über gleiche und ähnliche Kegelschnitte, noch ein -anderes über Satze, welche Existenzbedingungen angeben, und das letzte -bringt Probleme über Bestimmungen von Kegelschnitten. Und fürwahr, dann -erst wenn alles herausgegeben ist, ist es denen die darauf stossen -erlaubt es zu beurteilen wie es wohl jeder von ihnen für richtig hält. -Gehab dich wohl. - -Was zunächst des Aristaios τοποι στερεοι betrifft, so ist nach -Zeuthen diese Schrift noch vor des Euklids 4 Bücher κωνικα erschienen, -sie behandelte zweifelsohne Aufgaben über geometrische Orte, welche -sich als Kegelschnitte herausstellten. Die Alten unterschieden die -körperlichen Orte, das sind die Kegelschnitte, von den ebenen Orten, -das sind Gerade und Kreis, und später noch die linearen Orte, zu denen -alle andern und auch die Raumkurven gehörten. Hiervon verschieden sind -die 2 verlorenen Bücher des Euklid die τοποι προς επιφανειαν, das sind -Flächen als geometrische Orte. - -[Sidenote: Apollonios, Ort zu 3 und 4 Geraden.] - -Sodann der Ort zu 3 und 4 Geraden. Man nennt ihn gewöhnlich nach Pappos -die Pappos'sche Aufgabe. Es handelt sich im allgemeinen Falle um den -Ort der Punkte, deren Abstände in gegebener Richtung gemessen von vier -gegebenen Geraden der Gleichung genügen xy/zu = c. Dabei werden die -Linien x = 0, z = 0, und y = 0, u = 0 als gegenüberliegend bezeichnet. -Apollonios hat die Aufgabe vollständig gelöst und den Nachweis, dass -der Ort ein Kegelschnitt ist, direkt geführt. Für das Nähere, den -Zusammenhang mit der projektiven Geometrie, Newtons Wiederherstellung -der Apollonischen Lösung etc. verweise ich auf Zeuthen bezw. auf meine -analytische Geometrie in der Sammlung Schubert. Soviel steht fest, so -unberechtigt es ist, von einer Erfindung der Differentialrechnung durch -einen der Neueren, es sei nun Galilei, Fermat, Leibniz oder Newton -zu sprechen, angesichts der Werke des Archimedes, so unberechtigt -ist es auch, den Alten angesichts der Werke des ¨Archimedes¨ und des -¨Apollonios¨ die analytische Geometrie abzusprechen. Apollonios hat -nicht nur Koordinaten, sondern auch Koordinatentransformation und -Archimedes analytische Geometrie dreier Dimensionen. - -[Sidenote: Apollonios, Verhältnisschnitt.] - -Auch die andern geometrischen Schriften des Apollonios hängen eng -mit der Theorie der Kegelschnitte zusammen. Da kommen zunächst die -beiden Schriften: De sectione rationis, die αποτομη του λογου, der -Verhältnisschnitt, und De sectione spatii die αποτομη του χωριου, -der Flächenschnitt. Die 2 Bücher der ersten Schrift sind nach einer -arabischen Handschrift, welche der Prof. ¨Bernard¨ in Oxford gefunden, -1706 von ¨E. Halley¨ herausgegeben. Die Aufgabe besteht darin, durch -einen Punkt P (s. Fig.) eine Linie so zu ziehen, dass sie auf zwei -gegebenen Linien ¯L¯ und ¯L¯_{1} von zwei gegebenen Punkten ¯A¯ und -¯A¯_{1} aus Strecken ¯AM¯ und ¯A¯_{1}¯M¯_{1} abschneidet, welche in -einem gegebenen Verhältnis stehen. Die Aufgabe wird im zweiten Buch auf -den im ersten behandelten speziellen Fall zurückgeführt, wo ¯A¯_{1} -mit dem Schnittpunkt ¯A¯_{1}^1 der beiden Geraden zusammenfällt. Diese -Aufgabe wird gelöst durch Ziehen der Parallelen ¯PB¯ zu ¯A¯_{1}¯M¯_{1} -und desgleichen durch den Schnittpunkt ¯A¯_{1}^1 von ¯L¯ und ¯PA¯_{1}, -welche ¯PMM¯_{1} in ¯M¯_{1}^1 schneidet und Annahme eines Hilfspunktes -¯C¯ auf ¯L¯, der so gelegen, dass ¯BP¯/¯AC¯ = ¯A¯_{1}^1¯M¯_{1}^1/¯AM¯ -= λ, dann folgt durch Umstellung ¯AM¯/¯AC¯ = ¯A¯_{1}^1¯M¯_{1}^1/¯BP¯ -= ¯A¯_{1}^1¯M¯/¯BM¯ -- und durch Subtraktion: ¯BM¯ · ¯MC¯ = -¯BA¯_{1}^1 · ¯AC¯ = gegebener Fläche. - -[Illustration] - -[Sidenote: Sectio spatii und determinata (Involution).] - -Die Aufgabe ist, wie man leicht sieht, identisch mit der Aufgabe: -von einem gegebenen Punkt aus an eine durch zwei Tangenten und deren -Berührungspunkte gegebene Parabel die Tangenten zu ziehen (Simon, -Parabel 1878). Das 3. Buch Satz 41 handelt von der Parabeltangente, -Satz 42 und 43 von den entsprechenden Aufgaben: Von einem gegebenen -Punkte aus an eine durch konjugierte Durchmesser gegebene Ellipse oder -Hyperbel die Tangenten zu ziehen und zeigt, dass dies spezielle Fälle -der Aufgabe sind von einem gegebenen Punkt P eine Gerade zu ziehen, -welche auf 2 gegebenen Geraden von gegebenen Punkten aus Strecken -abschneidet, deren Rechteck gegeben ist. Diese Aufgabe hat Apollonios -in den beiden Büchern der Schrift de sectione spatii behandelt, welche -¨Halley¨ nach der Inhaltsangabe bei Pappos und der Angabe ihrer -Übereinstimmung mit der ersten Schrift in der Form gleichzeitig -rekonstruiert hat. Zu diesen beiden Schriften gesellt sich als dritte -die von ¨Rob. Simson¨ nach Pappos wiederhergestellte de sectione -determinata, της διωρισμενης τομης βιβλια β, über den involutorischen -Schnitt. Wenn ¯ABCD¯ gegebene Punkte einer Geraden ¯l¯ sind, soll ein -Punkt ¯P¯ auf ¯l¯ so bestimmt werden, dass ¯AP¯ . ¯CP¯/(¯BP¯ . ¯DP¯) = -λ ist d. h. also die Theorie der Involution, welche er wie wir mittelst -der Theorie des Kreisbüschels und der Zentrale des Büschels gelöst -hat; und er hat sie benutzt um den Schnitt einer Geraden mit einem -durch 5 Punkte gegebenen Kegelschnitt zu bestimmen. Die Halley'schen -und die Simson'sche Bearbeitungen sind frei wiedergegeben von ¨Ad. -Diesterweg¨, ganz besonders lesenswert ist das Programm des um die -Elementarmathematik hochverdienten ¨v. Lühmann¨, weiland Subrektor zu -Königsberg in der Neumark, von 1882: die Sectio rationis, sectio spatii -und sectio determinata des Apollonios. - -[Sidenote: Taktionsproblem.] - -Es geht aus diesen Schriften hervor, dass Apollonios die Erzeugung der -Kegelschnitte als Enveloppe der Verbindungsgeraden zweier projektiven -Punktreihen kannte, die sich erst wieder findet in ¨Newtons¨ principien -lib. I L. 25. Die Brennpunktseigenschaften und die Konstruktionen bei -gegebenem Brennpunkt haben dann, wie Zeuthen hervorhebt, Apollonios auf -die Beschäftigung mit dem nach ihm genannten Taktionsproblem geführt. -Ist doch schon die Aufgabe, den Schnitt einer Geraden mit einer durch -Leitlinie und Brennpunkt gegebenen Parabel zu bestimmen identisch mit -der Aufgabe, einen Kreis zu konstruieren, der durch zwei gegebene -Punkte geht und eine gegebene Gerade berührt, also zwei 0-Kreise und -einen unendlich grossen. Nach ¨Pappos¨, Hultsch S. 848 hat Apollonios -die Lösung auf den Spezialfall des ¨Castillon'schen¨ Problemes -zurückgeführt, in dem alle 3 gegebenen Punkte auf derselben Graden -liegen. Die Geschichte des Taktionsproblems siehe ¨Simon¨, Entwicklung -der Elem. Geom. Das Problem selbst gehört heute zur eisernen Ration -der Gymnasiasten, mit den Lösungen aus ¨Fr. Vietas¨ Apollonius Gallus, -und zugleich hat Apollonios sich in der Schrift περι πυριου über -Brennspiegel, der Brennpunktseigenschaften der Umdrehungsflächen 2. -Grades bedient. Zeuthen vermutet, und ich glaube mit Recht, dass der -Parabolische Spiegel, der praktisch wichtigste, schon von ¨Archimedes¨ -erfunden sei und dass die Sage, er habe mit Brennspiegeln die Römische -Flotte verbrannt, hier ihren Ursprung habe. - -Ausserdem hat Apollonios auch eine Schrift geschrieben περι νευσεων. -»Über Einschiebungen auf mechanischem Wege«, dadurch dass ein Lineal -oder ein Streifen meist von gegebener Strecke so bewegt wird -- häufig -durch Drehung der zu ihr gehörigen Geraden um einen festen Punkt -- -dass sie zwischen zwei gegebene Linien fällt. Die Neusis galt sowohl -den ältern Mathematikern als auch dem Archimedes, der sich ihrer -bei der Arbeit über die Spirale wie überhaupt zur Winkeldrittelung -bedient hat, als auch dem Apollonios und überhaupt den angewandten -Mathematikern für ein durchaus erlaubtes Hilfsmittel, wie sie ja auch -¨Newton¨ gebilligt hat, erst die Neuplatoniker strikter Observanz -wie Pappos missbilligten sie und ersetzten sie durch Kegelschnitte, -was stets möglich, sobald die gegebenen Linien den zweiten Grad -nicht übersteigen. Die Schrift des Apollonios ist nach Pappos -wiederhergestellt von dem Ragusischen Patrizier Marino Ghetaldi 1607. - -[Sidenote: Würfelverdoppelung.] - -Sie enthielt vielleicht die von ¨Eutokios¨ l. c. mitgeteilte -Würfelverdoppelung auf welche Pappus I p. 56 hingewiesen hat -(Heiberg 3, p. 78.) Es sei aus den beiden gegebenen Strecken ΑΒ und -ΑΓ das Rechteck ΑΒΘΓ konstruiert, dann ist die Gleichung des ihm -umgeschriebenen Kreises wenn ΑΓ = a und ΑΒ = b gesetzt wird x^2 - -ax + y^2 - by = 0, oder (x - a) : (b - y) = y : x. Die Gleichung -einer Hyperbel, welche durch Θ geht und ΑΒ und ΑΓ zu Asymptoten -hat, ist aber xy = ab also haben wir für den zweiten Schnittpunkt M -nach leichter Rechnung a : x = x : y = y : b. Zur Konstruktion des -Schnittpunkts M benutzt Apollonios den Umstand, dass die Abschnitte -einer Hyperbelsehne zwischen Asymptote und Kurve gleich sind, und dass -die Kreissehne vom Mittelpunktslote halbiert wird. Es braucht also nur -ein Lineal so um Θ gedreht werden, dass die Punkte Δ und Ε in denen es -die Axen schneidet vom Zentrum des Rechtecks gleich weit entfernt sind. -S. Fig. unten. - -In einer verlorenen Schrift περι κοχλιου hat Apollonios sich mit der -Schraubenlinie auf dem Cylinder beschäftigt. - -Der »grosse Geometer« hat sich aber auch mit den einfachsten Elementen -der Geometrie beschäftigt, wie wir schon bei Euklid erwähnt haben, -u. a. danken wir ihm die Halbierung der Strecke mit den beiden gleichen -Kreisen um die Endpunkte, Proklos Friedl. S. 276: »Απολλωνιος δε ὁ -Περγαιος τεμνει την δοθεισαν ευθειαν πεπερασμενην διχα τουτον τον -τροπον.« - -[Illustration] - -[Sidenote: Apollonios, Arithmetische Schriften.] - -Auch auf arithmetischem Gebiete hat der Pergaier Grosses geleistet. -Eutokios erzählt Heib. 3 S. 300: Man soll auch wissen, dass Apollonios -der Pergaier in seinem Okytokion (Schnellgeburt, Schnellrechner) -dasselbe durch andere Zahlen gezeigt hat, die einander noch näher -kommen, d. h. er hat die Zahl π in noch engere Grenzen als Archimedes -eingeschlossen. Ob der Okytokion dieselbe Schrift war, von der Pappos -im 2. Buch grosse Stücke uns aufbewahrt hat, wird von den besten -Kennern, von Nesselmann und Hultsch stark bezweifelt, doch spricht der -Titel eigentlich dafür. Auch jene zweite Schrift hat im wesentlichen -die Abkürzung des Algorithmus insbesondere der Multiplikation zum -Gegenstande. Die Schrift schloss an den Sandzähler des Archimedes an, -nur dass Apollonios statt der Oktaden die den Griechen geläufigen -Tetraden, die Myriaden, setzte, die er als erste, zweite, dritte -u. s. w. bezeichnete, die er durch Μβ, Μγ etc. bezeichnet und deren -Ordnungsziffer er durch Division mit 4 bestimmte. So ist z. B, -4444444444444 = 4 . 10^{12} + 4 . 10^{11} + .. = Μγ υμδ και Μβδ_{1} -υμδ και Μαδ_{1} υμδ. Auf Grund seiner Ordnungszahlen lieferte er dann -ein Verfahren zur Multiplikation, das im Grunde das unsrige ist; -die Ordnungszahlen werden addiert und die Πυθμενες, d. h. unsere -Einerziffer, die aber hier aus dem Tableau von α bis ϡ genommen werden -konnten, multipliziert. Auch Apollonios, und er fast noch mehr als -Archimedes, hat die Grundgedanken des Positionssystemes, und wie -¨R. Baltzer¨ in seinem Brief an ¨Hultsch¨ auf den ich noch zurückkommen -werde, sehr richtig bemerkt, sind beide an Buchstabenrechnung und -Dezimalrechnung nur dadurch gehindert worden, dass die Hellenen von -den Kanaanäern die Buchstaben als Zahlzeichen übernommen hatten. Die -aller Wahrscheinlichkeit nach bedeutendste Leistung des Apollonios auf -arithmetischem Gebiete ist leider bis dato nur ganz fragmentarisch -erhalten, sie war vermutlich Pappos entweder selbst zu schwierig oder -schien ihm auf einen zu geringen Interessenkreis rechnen zu können. Die -Schrift war eine Weiterführung der Theorie der Irrationalzahlen, wie -sie für quadratische und biquadratische durch das X. Buch des Euklid -gegeben war. Aus einem Kommentar zum X. Buch, von dem ¨F. Woepcke¨ -eine Arabische Übersetzung durch Abu Ottmân den Damascener aufgefunden -hat und von dem er die auf Apollonios bezüglichen Stellen Arabisch und -Französisch herausgegeben hat, geht hervor, dass dieser in die Theorie -der algebraischen Zahlen, soweit sie durch Radicale darstellbar sind, -sehr tief eingedrungen war. Den Kommentar selbst vindiziert Woepcke dem -Griechisch schreibenden Römer ¨Vettius Valens¨ (5. Jh. n. Chr.) und die -Übersetzung würde etwa ins 9. Jh. fallen. - -[Sidenote: Apollonios als Astronom.] - -Ob Apollonius mit dem unter dem Namen Epsilon berühmten -zeitgenössischen Astronomen, der sich besonders mit der Mondtheorie -beschäftigt hat, identisch ist, ist nicht unwahrscheinlich, aber steht -nicht fest. Dass der grosse Geometer ein hervorragender Astronom war, -wissen wir aus Ptolemaios megale syntaxis XII, 1, wo er den Stillstand -und die Rückläufigkeit der Planeten mit der Theorie der Epizyklen -mathematisch ableitet und dabei eine Maximumsaufgabe löst, welche den -grossen Leistungen des 5. Buches der Konika nicht nachsteht. - -[Sidenote: Elementarmathematik.] - -Noch ist für seine Leistungen auf dem Gebiete der Elementarmathematik -nachzuholen, dass der Satz X des sogen. 14. Buches der Elemente des -Euklid: »Die Volumina des derselben Kugel eingeschriebenen regulären -Ikosaëders und Dodekaëders verhalten sich wie die Oberflächen,« von -ihm herrührt, laut der Vorrede des Verfassers des 14. Buches, des -¨Hypsikles¨. Hypsikles knüpfte daran die Folgerung, dass die Umkreise -der Seitenflächen beider Körper gleich sind. - -Mit Eudoxos, Archimedes und Apollonios hat die reine Mathematik der -Griechen ihren Höhepunkt erreicht, die Theorie des Irrationalen und des -Kontinuums, die Prinzipien der Infinitesimalrechnung, die analytische -Geometrie, die rechnende und projektive Geometrie, sind geschaffen -und neue Methoden, die auf allgemeine Problemklassen anwendbar sind, -treten nicht mehr auf. Der eben erwähnte ¨Hypsikles¨ schliesst sich -wohl unmittelbar an Apollonios an, M. Cantor setzt das 14. Buch um 180 -an, er war ein tüchtiger Mathematiker, der auch noch eine uns erhaltene -Schrift über die Aufgänge der Gestirne, im Anschluss an ¨Autolykos¨ -und ¨Euklid¨ geschrieben hat. Sie ist vergl. ¨M. Cantor¨ I p. 344 -dadurch merkwürdig, dass sich in ihr zum ¨ersten¨ Male auf Hellenischem -Boden die ¨babylonische Teilung des Kreises in dreihundertsechzig -Grade¨ findet. Auch auf arithmetischem Gebiete haben wir Hypsikles als -Vorgänger des ¨Nikomachos¨ (s. u.) für die Theorie der figurierten -Zahlen zu erwähnen. - -Die theoretische Mathematik sinkt nun im 2. Jahrh. langsam von ihrer -Höhe oder richtiger das Interesse der bedeutenden Geister wendet sich -den angewandten Disziplinen zu; Astronomie und in ihrem Gefolge die -Trigonometrie, Mechanik, Medizin etc. nehmen ihre Stelle ein. Dazu kam -für Hellas das Anwachsen der bildungsfeindlichen römischen Macht und -für Alexandrien das mörderische Regiment des Ptolemaios VII. Physcōn -(Schmerbauch, auch Euergetes II.) 141-116, der nach Ermordung seines -Neffen Eupator sich des Thrones bemächtigt hatte und die bedeutendsten -Gelehrten und Künstler von Alexandria vertrieb. Da nun der Unterricht -im wesentlichen auf dem Vortrag im Kolleg beruhte -- Archimedes und -Apollonios hatten gewissermassen nur zufällig an ihre auswärtigen -Freunde Schriftstücke gerichtet -- so machte sich jetzt der Mangel -an Büchern und damit an einer festen Formelsprache geltend und man -kann annehmen, dass schon im Laufe des Jahrhunderts manches von den -Leistungen der Heroen verloren ging. Das Entscheidende sind wohl die -Brände der Alexandrinischen Bibliothek unter Cäsar und vor allem in -den wüsten Emeuten des fanatischen Mönchpöbels und seiner würdigen -Patriarchen. Die Sage von der Vernichtung der grossen Bibliothek durch -¨Omar¨ gehört zu den böswilligsten Fälschungen der Weltgeschichte. Auch -die grosse Bibliothek von ¨Pergamon¨, das sich zur Konkurrenzstadt -Alexandriens unter Attalos und Eumenes entwickelt hatte, ging verloren, -nachdem sie Antonius an Kleopatra geschenkt hatte. - -[Sidenote: Nikomedes.] - -[Sidenote: Die Konchoide.] - -Dort in Pergamon war vermutlich wenn nicht die Wiege, so doch das -¨Domizil¨ des Nikomedes, den M. Cantor vorsichtig ins 2. Jahrh. -verweist, während P. Tannery ihn nicht ohne triftigen Grund zwischen -Eratosthenes und Apollonios einschiebt. Dass er der Erfinder der -¨Konchoide¨, der Muschellinie gewesen, unterliegt keinem Zweifel, -¨Proklos¨ sagt Friedlein S. 272 im Anschluss an die Winkelhalbierung -bei Euklid: ¨Nikomedes¨ drittelte mit der Konchoide, deren Erzeugung, -Gestalt und Eigenschaften er überlieferte, jeden geradlinigen Winkel, -und er selbst war es der ihre Eigenart gefunden hat. ¨Pappos¨ und -¨Eutokios¨ haben ihre Anwendung zur Lösung des (ersten) Delischen -Problemes durch Nikomedes ausdrücklich bezeugt, und da sie genau -übereinstimmen, so ist es sicher, dass die Lösung sowohl wie ihr Beweis -ganz auf das Konto des Nikomedes zu setzen ist. In der Stelle Hultsch -246 oben nimmt Pappos die Winkeldrittelung durch die Konchoide nicht -für sich in Anspruch, er sagt nur, dass er die Kurve dabei gebraucht -habe, dagegen sagt er 246 unten (§ 42) ganz bestimmt er habe zur -Konstruktion des Nikomedes für die Würfelverdoppelung den Beweis -geliefert, was der Angabe des Eutokios widerspricht. Dass Nikomedes -sich des Zusammenhangs beider Probleme, die er mit der einen Kurve -löste, klar bewusst war, scheint mir völlig sicher, es entspricht das -dem ganzen historischen Gange der Griechischen Mathematik. Nikomedes -kannte die Winkeldrittelung des Archimedes durch die Neusis, die -Einschiebung, und wie dem Archimedes der Zusammenhang zwischen der -Kugeldrittelung und der Winkeldrittelung nicht hat entgehen können, so -hat auch Nikomedes gesehen, dass es sich bei Würfelverdoppelung und -Trisektion um Probleme 3. Grades handelte. - -[Illustration] - -[Sidenote: Trisektion.] - -Die Kurve selbst ist eine ebene Kurve, sie wird erzeugt durch Drehung -einer Geraden um einen festen Punkt, so dass sie eine gegebene -Leitlinie schneidet und beschrieben durch einen Punkt Κ der sich -drehenden Geraden, der von dem Schnittpunkt Ε einen unveränderlichen -Abstand hat. Nikomedes hat das ¨abgebildete¨ einfache Instrument zur -mechanischen Erzeugung angegeben, es besteht aus einem Richtscheit, in -dessen horizontalem Lineal ein Schlitz in der Mitte ist, während das -vertikale den Pol durch einen Nagel angibt. Ein drittes Lineal ist fest -mit den beiden verbunden und hat in Ε einen Zapfen der in dem Schlitz -des zweiten Lineals gleitet, während ΕΚ der gegebene Abstand ist. Legt -man die x-Axe durch den Pol Δ nennt den Abstand b und den Abstand des -Pols vom horizontalen Lineal a so ist die Gleichung der Kurve r : b -= y : (y - a), also quadriert und multipliziert (x^2 + y^2)(y - a)^2 -= b^2y^2. Die Kurve ist also vom 4. Grade, geht durch die imaginären -Kreispunkte im Unendlichen, und hat in Δ einen Doppelpunkt. Die -vollständige Kurve, welche Nikomedes auch betrachtet zu haben scheint, -da er die hier konstruierte als erste Konchoide bezeichnete, besteht -aus der oberhalb der Axe und der unterhalb der Axe beschriebenen. -Ausser den in ¨Wölffings¨ so höchst dankenswerter Bibliographie -angegebenen Monographien verweise ich auf ¨G. de Longchamps¨ cours de -Math. spec. und auf das Journal von ¨Bourget¨. - -Nikomedes hat gezeigt, dass ΑΒ eine Asymptote ist, und dass jede Gerade -zwischen ΑΒ und der Kurve diese schneidet, ¨Eutokios¨, Heiberg Archim. -3 S. 118 und 120 findet sich der Beweis, während Pappos l. c. nur die -Tatsache angibt. - -[Illustration] - -[Sidenote: Trisektionen bei Montucla.] - -Die Anwendung zur Winkeldrittelung ist uns von Pappos p. 275 -überliefert, sie ist, wie ¨Montucla¨ in der noch heute lesenswerten -Histoire des recherches sur la quadrature du cercle Nouv. Edition (par -¨Lacroix¨) 1831 p. 240 sagt, fast selbstverständlich, und stimmt im -Prinzip mit der des Archimedes überein. - -Ist αβγ (s. Figur) der gegebene Winkel, so ist nur nötig, von β -als Pol aus eine Strecke δε zwischen αγ und der verlängerte ζα so -einzuschieben, dass δε gleich 2αβ ist, dann ist εβγ = 1/3αβγ. Man -findet also ε durch den Schnitt von ζα mit der Konchoide, deren Pol β, -deren Axe αγ und deren Abstand 2αβ ist. - -¨Montucla¨ gibt l. c. 243 an, dass auch die Konstruktion des Archimedes -mittelst der Konchoide gelöst werden kann, nur muss ihr Zweig unter -der Axe benutzt werden. Ist ¯ABC¯ der gegebene Winkel, (Figur) so -beschreibt man mit ¯C¯ als Pol, ¯BA¯ als Axe und ¯BC¯ als Abstand die 2 -(untere) Konchoide, welche den Kreis um ¯B¯ mit ¯BC¯ in ¯D¯ schneidet, -so ist ¯DBE¯ = 1/3 ¯CBA¯. - -[Illustration] - -Montucla gibt auch den Hinweis auf den Appendix ¨Newtons¨ zur -Arithmetica universalis, der so recht deutlich zeigt, wie innig Newton -mit der hellenischen Geometrie vertraut war. Nachdem ¨Vieta¨ (Oper. ed. -van Schooten 1615) gezeigt hatte, dass die Gleichung dritten Grades -sich auf die Würfelvervielfältigung und die Trisektionsgleichung -zurückführen lasse, hat Newton l. c. für alle Arten gemischter -kubischer Gleichungen den zu trisezierenden Winkel und die Lage -des Pols und die Grösse des Abstands angegeben (berechnet). Er hat -ausgesprochen, dass zur Lösung von Gleichungen dritten Grades die -Konchoide des Nikomedes das bequemste Mittel ist; dass dieser sich des -Vorzugs seiner leicht konstruierbaren Kurve vor der Probiermethode des -Eratosthenes voll bewusst war, kann man bei Eutokios nachlesen. - -[Sidenote: Würfelverdopplung nach Nikomedes.] - -Schwieriger gestaltet sich die Anwendung der Kurve für die -Würfelverdoppelung, die Lösung der reinen kubischen Gleichung oder die -Auffindung der beiden Mittleren. Eutokios beginnt den Bericht also: - -Nachdem dies bewiesen (nämlich dass ΑΒ Asymptote, das Wort fehlt, -was auch für höheres Alter als Apollonios spricht, etc.) seien die -gegebenen Strecken ΑΔ und ΓΛ senkrecht aufeinander, zu denen es den -beiden kontinuierlich proportionalen (δυο μεσας αναλογον κατα το -συνεχες) zu finden gilt. Mache das Rechteck ΑΒΓΔ fertig, halbiere ΑΒ -in Δ und ΒΓ in Ε. Verlängere ΛΔ und ΓΒ bis sie sich in Η schneiden, -errichte in Ε auf ΒΓ die senkrechte ΕΖ, mache ΓΖ gleich ΑΔ und verbinde -Ζ mit Η und ziehe zu ihr parallel ΓΘ. Und nun konstruiere man die -Konchoide von Ζ als Pol, ΓΘ als Leitlinie und ΔΑ = ΓΖ als Abstand, -welche ΗΓ in Κ schneidet, ziehe ΚΛ, schneidet ΒΑ in Μ so behaupte ich, -dass ΓΛ : ΚΓ = ΚΓ : ΜΑ = ΜΑ : ΑΛ ist. - -[Illustration] - -Die Pointe ist, dass ΘΖ gleich ΜΑ ist. Sei ΜΑ = x und ΚΓ = y, ΑΛ = a -und ΓΛ = b so ist x : a = b : y, und ΖΘ : (1/2 b) = 2a : y also ΖΘ : a -= b : y also ΖΘ = x, ferner weil ΖΕΓ und ΖΕΚ rechtwinklige Dreiecke -mit der gemeinsamen Kathete ΕΖ, so ist (x + 1/2 b)^2 - (y + 1/2 a)^2 -= (b/2)^2 - (a/2)^2 oder x(x + b) = y(y + a), x/y = (y + a)/(x + b) = -ΒΚ/ΜΒ = ΓΚ/ΓΔ. Die Lösung des Nikomedes ist von Newton l. c. wesentlich -vereinfacht worden. Die Konchoide auf zirkulärer Basis ist von -¨Roberval¨ Limaçon de Pascal, Pascalsche Schnecke, genannt worden, sie -ist vielfach im Journ. élém. (v. ¨Bourget¨) behandelt worden. - -[Sidenote: Diokles: Kissoide.] - -[Sidenote: Würfelverdopplung mit Kissoide.] - -Mit Nikomedes wird stets, infolge des Kommentars des Eutokios, -¨Diokles¨ genannt, von dessen Lebensführung uns zwar so gut wie nichts -bekannt ist, der aber nach seiner Kugelteilung welche Eutokios, -Heib. 3, S. 188 ff. mitteilt, und ebenfalls nach seiner Lösung der -Würfelverdoppelung, ib. S. 78, ein sehr achtbarer Geometer gewesen -ist. Nach dem gedanklichen Inhalt der beiden Fragmente aus seiner -Schrift περι πυρ(ε)ιων halte ich ihn für ziemlich gleichzeitig mit -Nikomedes und für nur wenig jünger als Apollonios. Das Fragment über -die Kugelteilung enthält zwar schon die Apollonischen Benennungen -Ellipse, Hyperbel, Asymptote, aber es ist sicher von ¨Eutokios¨ -überarbeitet, der wie ¨Heiberg¨ S. 207 anmerkt, die Konstruktion der -Hyperbel, wenn die Asymptoten und ein Punkt gegeben worden sind »de -suo« hinzufügte. Das Problem der Würfelverdoppelung löste Diokles -mittelst der ¨Kissoide¨, die er wie folgt konstruierte. Man zeichne -einen Kreis um ¯M¯, den Leitkreis, mit Radius ¯r¯, ziehe darin den -Durchmesser ¯SS′¯ gleich ¯d¯. Ziehe ¯BC¯ und ¯B′C′¯ senkrecht zu ¯SS′¯ -und symmetrisch zu ¯M¯. Ziehe ¯SB′¯ welche ¯BC¯ in ¯P¯ schneidet, -so ist die Kurve der Ort des Punktes ¯P¯ wenn ¯B′C′¯ sich von ¯S′¯ -nach ¯S¯ bewegt (die allgemeine Kurve entsteht: wenn man ¯A′B′¯ sich -unbegrenzt in der Richtung ¯S′S¯ und daher ¯AB¯ von ¯S¯ nach ¯S′¯ -zu bewegen lässt). Nimmt man als 0-Punkt ¯S¯ und als + x-Axe den -Strahl [**vector](¯SS′¯), zieht ¯AC¯ und nennt es z, so ergeben die -elementarsten Sätze die Proportion (d - x) : z = z : x = x : y d. h. x -und z sind zwischen d - x und y die Mesoteten. Will man nun zwischen -a und b die mittleren einschalten, so braucht man der Symmetrie wegen -nur auf dem zu ¯SS′¯ senkrechten Durchmesser einen Punkt ¯K¯ so zu -bestimmen, dass ¯S′M¯ : ¯MK¯ = a : b ist und ¯S′K¯ auszuziehen, bis es -die Kissoide in ¯P¯ schneidet, so ist nur noch d - x und y proportional -in a und b zu verwandeln. - -[Illustration] - -Da aus dem grundlegenden Streifensatz folgt, dass ¯SP¯ = ¯B′D′¯ ist -(entsprechende Querstrecken), so lässt sich die Kurve auch bequemer so -erzeugen, dass man von ¯S¯ aus nach allen Punkten des Leitkreises die -Strahlen zieht und das Stück zwischen der festen Tangente in ¯S′¯ und -dem Kreise von ¯S¯ aus auf den Leitstrahlen bis ¯P¯ abträgt. - -[Illustration] - -[Sidenote: Newton'sche Erzeugung.] - -Aus der ersten Erzeugung durch Diokles lässt sich ebenso elementar -(vgl. a. Samml. Göschen 65 p. 148) die mechanische Herstellung der -Kurve von Newton (l. c.) ableiten, welche Montucla l. c. S. 139 -beschreibt. Er bedarf dazu nur noch eines Richtscheites, dessen einer -Schenkel d ist, Endpunkt ¯B″¯, und der in der Mitte einen Stift ¯P¯ -hat. Dreht man das Richtscheit um den Pol ¯M′¯, so auf ¯SS′¯ gewählt, -dass ¯M′S¯ = r ist, so dass ¯B″¯ auf dem konjugierten Durchmesser zu -¯SS′¯ gleitet, so beschreibt ¯P¯ die Kissoide. - -[Sidenote: Diokles.] - -[Sidenote: Zenodoros.] - -[Sidenote: Isoperimetrie.] - -Die Kurve hat die Gleichung (x^2 + y^2)x = dy^2, ist also eine Kurve -3. Grades, geht auch durch die beiden unendlich fernen imaginären -Kreispunkte, hat die Kreistangenten ¯S′¯ zur Asymptote, ist -Fusspunktenkurve, Rollkurve, durch reciproke Radien transformierte -der Parabel. Sie ist elementar behandelt l. c., auch vielfach im -Journal de Math. spec. Dass die Kurve in ¯S¯ eine Spitze hat wusste -schon Proklos, der die Kurve viel erwähnt, Friedl. S. 126 sagt: »ὁταν -δε αι κισσοειδεις γραμμαι συννευουσαι προς ἑν σημειον, ὡσπερ τα -του κισσου φυλλα -- και γαρ την επωνυμιαν εκειθεν εσχον -- ποιωσιν -γωνιαν«. Wenn die Kissoidenlinien sich nach einem Punkt zu neigen, -wie die Blätter des ¨Efeu¨ -- und sie hat ja davon ihren Namen -- so -bilden sie einen Winkel. Sehr auffallend ist, dass Proklos trotz der -häufigen Erwähnung der Kurve den ¨Diokles¨ nicht nennt, so wenig wie -Pappos, der ihrer zweimal gedenkt. Aber wenigstens bei Proklos ist im -Zusammenhang des Textes die Auslassung des Autornamens ganz sachgemäss, -S. 111, 6 z. B. wird von der Einteilung der Kurven durch Gemīnos -geredet, wobei die Kissoide (Kittoide) nur als Beispiel einer Figur -bildenden Kurve erwähnt wird, woraus übrigens hervorgeht, dass Gemīnos -schon die Asymptote der Kurve kannte. So liegt kein Grund vor, dass -zuverlässige Zeugnis des Eutokios zu bezweifeln. Und dies um so weniger -als Pappos auch den Namen des dritten hervorragenden Mathematikers -verschweigt, der um 200 anzusetzen ist, den des ¨Zēnodoros¨, von -dessen Lebensumständen nichts weiter feststeht, als dass er nach -Archimedes und vor Quintilian gelebt hat, also ein Spielraum von fast -400 Jahren. Aber ¨Hultsch¨ und ¨Cantor¨ setzen ihn auf Grund seiner -Sprache und seines engen Anschluss an den Gedankenkreis des Euklid und -Archimedes gewiss mit Recht in die Nähe des Archimedes, vergl. dazu -noch ¨W. Schmidt¨ Enestr. 1901 S. 8. Und man kann wohl hinzusetzen, -dass der Gegenstand, den er sich zum Vorwurf nahm, auch auf Vorangang -des Apollonios schliessen lässt. Mit dem Namen des ¨Zenodoros¨ sind -die Probleme, welche wir heute als pars pro toto, isoperimetrische -nennen, für immer verknüpft. Er selbst hat zwar seine Schrift, wie -¨Hultsch¨, Papp. III, 1189 hervorgehoben über Inhalte von gleichen -Massen, περι ισομετρων σχηματων genannt, aber man versteht heute -unter Isoperimetrie sowohl Untersuchungen über Konfigurationen, die -bei gleichen Massen der Begrenzung den grössten Inhalt haben, als -diejenigen, welche bei gleichem Inhalte grösste Begrenzung bieten. Es -ist jene hochwichtige Problemklasse aus der sich im 18. Jahrh. die -¨Variationsrechnung¨ entwickelte. Die Notiz des ¨Simplicius¨ welche -W. Schmidt, Eneström 1901 S. 5 anführt, bezieht sich m. E. nur auf die -Kreis- und Kugelmessung durch ¨Archimedes¨, welcher ja de facto in -sehr vielen Fällen den Beweis für die Isoperimetrie des Kreises und -der Kugel liefert. Die Schrift selbst ist uns inhaltlich auf dreierlei -Art erhalten, a) sowie es scheint, wörtlich, durch den Kommentar des -¨Theon¨ von Alexandrien zum Almagest (Pariser Ausgabe 1821 ¨Halma¨, -33 ff.), b) freier aber völlig zu a) stimmend durch Pappos, Buch V, -S. 308 ff.) c) Abhandlung eines Anonymos über die isoperimetrischen -Figuren, welche ¨Hultsch¨, Papp. III 1138-1165 herausgegeben hat, -ebenfalls vielfach wörtlich zu Theons Mitteilung stimmend. - -Die Arbeit zerfällt in einen planimetrischen und einen stereometrischen -Teil, sie gipfelt in den Sätzen, dass unter allen ebenen Figuren von -gleichem Umfange der Kreis den grössten Inhalt hat und unter allen -räumlichen Gebilden von gleicher Oberfläche die Kugel das grösste -Volumen hat. Dass beide Sätze nicht streng bewiesen sind, braucht -kaum bemerkt zu werden, hat doch ¨Jacob Steiner¨ nicht vermocht, -den planimetrischen Satz streng zu beweisen, und der Satz über die -Isoperimetrie der Kugel ist erst 1884 von ¨H. A. Schwarz¨ mit den -Mitteln der höchsten Analysis bewiesen worden. - -[Illustration] - -Der ebene Teil des Werkes ist deutsch bearbeitet von ¨A. Nokk¨, -Programm Freiburg 1860. Nokk hat dort Zenodoros, der bis dahin als -Zeitgenosse des Oinopides also auf 500 v. Chr. geschätzt war, als -Epigonen des Archimedes erwiesen, auch auf die Bestätigung der -Authentizität von ¨Theons¨ Wiedergabe durch ¨Proklos¨ hingewiesen; -Friedlein S. 165 Z. 24: εστι γαρ τριγονα τετραπλευρα, καλουμενα -παρ' αυτοις ακιδοειδη παρα δε τω Ζηνοδωρω κοιλογωνια. »Es gibt eine -dreiwinklige (Figur) mit vier Seiten, von Jenen (Theudios und Euklid?) -[Lanzen] spitzenförmig geheissen, vom Zenodoros aber ¨hohlwinklig¨. Und -dieser Ausdruck kommt bei Theon vor. Zu bemerken ist, dass die Winkel -auf solche, welche kleiner als der gestreckte, beschränkt waren, d. h. -auf solche die im Dreiseit vorkommen konnten und dies noch bei Proklos, -der allerdings wie die Neuplatoniker überhaupt, archaistisch ist. Die -Figur galt also dem Euklid und Proklos als dreiwinklig, trotz ihrer 4 -Ecken und 4 Seiten. Der Ausdruck ¨hohlwinklig¨ ist sehr auffallend, es -scheint aus ihm hervorzugehen, dass ¨Zenodoros¨ die Figur schon für -vierwinklig ansah und seine Lebenszeit würde dadurch noch herabgedrückt -werden, wenn es nicht wahrscheinlicher wäre, dass ein literarisch so -gebildeter Autor wie Proklos den Ausdruck eben aus ¨Theons¨ Kommentar -entlehnt hat; wodurch dann wieder sein Zeugnis für die Echtheit von -Theons Wiedergabe entkräftet würde. - -[Sidenote: Zenodoros' Satz: Der Kreis ist grösser als das -isoperimetrische regelmässige Vieleck.] - -Als Probe gebe ich Ihnen den Beweis des zweiten Satzes nach ¨Nokk¨. -Wenn ein reguläres Polygon mit einem Kreise gleichen Umfang hat, so hat -der Kreis den grösseren Flächeninhalt. - -[Illustration] - -Der Kreis sei ¯ABG¯, das reguläre Polygon von gleichem Umfange ¯DEZ¯. -Das Zentrum des Kreises sei ¯H¯, das des Polygons sei ¯T¯, man -beschreibe um den Kreis ¯H¯ das dem Polygon ¯DEZ¯ ähnliche, (Fig.). -Verbinde ¯H¯ mit ¯B¯, fälle von ¯T¯ auf ¯EZ¯ das Lot ¯TN¯ und ziehe -¯HL¯ und ¯TE¯. »Da nun der Umfang des Vielecks ¯KLM¯ grösser ist als -der Umfang des Kreises ¯ABG¯, ¨wie es vom Archimedes in seiner Schrift -über Kugel und Cylinder unterstellt wird¨, der Umfang des Kreises -¯ABG¯ aber, dem des Vielecks ¯DEZ¯ gleich ist, so ist auch der Umfang -des Vielecks ¯KLM¯ grösser als der von ¯DEZ¯. Allein die Vielecke -sind ähnlich, mithin ¯BL¯ grösser als ¯NE¯ und ¯HB¯ > ¯NT¯. Also -das Rechteck aus dem Umfang des Kreises und ¯HB¯ > als das Rechteck -aus dem Umfang des Vielecks und ¯NT¯. Allein das erste Rechteck ist -»¨wie Archimedes¨ gezeigt hat« das doppelte der Kreisfläche und das -zweite das doppelte der Fläche des Polygon und somit der Satz bewiesen -(allerdings mit Hilfe des Axiom: Archimedes Kugel und Cylinder Annahme -2). - -[Sidenote: Hipparch von Rhodos.] - -In diese Epoche der durch Archimedes, Eratosthenes und Apollonios -herbeigeführten Erweiterung des mathematisch-physikalischen -Gesichtskreises der Hellenen, fällt auch der grösste Beobachter des -Himmels unter den Hellenen, ¨Hipparch¨ von ¨Nicaea¨ oder auch von -¨Rhodos¨. Hipparch ist allerdings beim geozentrischen Weltsystem -stehen geblieben, obwohl kurz vorher ¨Seleukos¨, der Kopernikus des -Altertums wie ihn ¨Susemihl¨ nennt, das Weltsystem des ¨Aristarch¨ von -¨Samos¨, dessen wir beim Psammites gedachten, auf wirkliche Beweise -stützte. ¨Seleukos¨ hat auch als der erste auf den Einfluss des -Mondes für Ebbe und Flut hingewiesen und als Grund für die Annahme -der Rotation der Erde darauf, dass die Flut am Äquator am stärksten -ist. ¨Hipparchos¨ muss etwa um 190 geboren sein, seine Beobachtungen -von 161 bis 126 sind uns durch Ptolemaios erhalten, seine letzten -Beobachtungen, Mondbestimmungen, sind vom Juni 126 aus Rhodos. -Ptolemaios nennt ihn Almagest III, 2 p. 140, einen Mann von Arbeits- -und Wissenstrieb. Von seinen Schriften ist uns nur eine einzige -erhalten, eine Exegese zu den Phainomena des Eudoxos (und Aratos) in -3 Büchern, von ¨Vettori¨, Florenz 1567 Folio, herausgegeben, kritisch -und mit deutscher Übersetzung 1894 Leipz. von ¨Manutius¨. Es war -vermutlich eine Jugendarbeit, weil er darin noch nicht die vielen -Abweichungen der Beobachtungen des Eudoxos von den seinen auf die -Präzession zurückgeführt hat, die er später genau feststellte und damit -die Dauer des Jahres von 365,25 Tagen um 5′ reduzierte. Er berechnete -ferner die Exzentrizität der Sonnenbahn, wenn auch etwas zu gross, -desgleichen die der Mondbahn, legte sowohl die Sonnenbahn als die -Mondbahn durch Beobachtung der Fixsterne, welche ihre obere Kulmination -hatten wenn jene ihre untere, genau fest, gab die Entfernungen der -Sonne und des Mondes weit genauer, (namentlich letztere) an, als seine -Vorgänger, kritisierte die bisherigen Planetentheorien, und erklärte -die Ungleichheit der Jahreszeiten durch die Annahme der ¨exzentrischen -Kreisbahn¨, welche ¨Kepler¨ vielleicht die Anregung zur Auffindung -seines ersten Gesetzes gab. Hipparchs Methode die Sonnendistanz -(Parallaxe, d. h. der Winkel unter dem der Erdradius von der Sonne -aus gesehen erscheint) mittelst der Mondparallaxe zu bestimmen durch -den von ihm gegebenen Satz: »Die Summe der Parallaxen von Sonne und -Mond ist gleich der Summe der scheinbaren Halbmesser der Sonne und des -Schattenkegels der Erde«, ist theoretisch richtig. -- Das Auftreten -eines neuen Fixsternes im Jahre 134 brachte ihn auf den Gedanken einer -möglichen Eigenbewegung derselben, und er soll (vgl. ¨Gartz¨ und -¨Schaubach¨) mittelst von ihm erfundener Instrumente, Astrolabien, und -verbessertem Visierrohr oder ¨Diopter¨ (Archimedes im Psammites) die -Position und scheinbare Grösse des Sternes genau festgestellt haben. -Jedenfalls nahm er hier Veranlassung einen ¨Sternkatalog¨ anzulegen und -verzeichnete Ptolemaios zufolge selbst 1080 Fixsterne. Aus der Arbeit -von ¨Frz. Boll¨ 1901 in München entnehme ich, dass der Sternkatalog -des Hipparch zufolge des Fundes von A. Olivieris 1898 höchstens 850 -Sterne umfasste, so dass die Meinung ¨Tannerys¨ und ¨Delambres¨ der -Ptolomäische Katalog sei der des Hipparch gewesen, hinfällig wird. - -Sein Beweggrund war, späteren Astronomen die Erkenntnis zu ermöglichen, -nicht nur ob Sterne verschwänden und neue entständen, sondern auch, ob -sich die Lage der Fixsterne gegen einander nicht ändere und ob ihre -scheinbare Grösse nicht zu- oder abnähme. Diese Beobachtungen führten -ihn eben zur Auffindung der Präzession; denn als er die seinigen -mit etwa 100 Jahre älteren verglich, fand er, dass sich zwar die -Breiten, die sphärischen Abstände von der Ekliptik oder Sonnenbahn, -nicht geändert, wohl aber die Längen um den konstanten Betrag von -1-1/3° vergrössert hatten, d. h. also, dass die Äquinoktialpunkte -auf der Ekliptik gegen die Bewegung der Sonne hin fortrückten. Wir -verdanken auch diese Kunde dem Almagest, die theoretische Erklärung der -Präzession durch die Rotation der Erdaxe um die Axe der Ekliptik aus -der Anziehung von Sonne, Mond, Jupiter etc. auf dem Wulst des Äquators -gab erst D'Alembert. - -[Sidenote: Heron von Alexandria.] - -¨Hipparch¨ wird aber auch als der Begründer der ¨Trigonometrie¨ -angesehen, wenn überhaupt von einem solchen (vgl. Ägypten) die Rede -sein kann. ¨Theon¨ teilt uns in dem schon erwähnten Kommentar zum -Almagest mit, dass jener in einem grösseren Werke περι της πραγματειας -των εν τω κυκλω ευθειων eine Sehnentafel gegeben. Siehe hierzu die -Bestätigung bei ¨Heron¨ in der Metrik S. 58, 3. 19, wo der Titel (s. u. -Heron) angegeben ist. Es steht jetzt so ziemlich fest, dass die ganze -Sexagesimalbruchrechnung inkl. Wurzelausziehung Eigentum des ¨Hipparch¨ -war (cf. ¨Hultsch¨, die Sexagesimalrechnungen in den Scholien zu -Euklids Elementen, Biblioth. Math. 5, 1904, 225). - -Nach arabischen Nachrichten hat er auch über quadratische Gleichungen -geschrieben und durch Strabon sind wir über seine Schrift προς -Ερατοσθενην gut unterrichtet. In den beiden ersten Büchern gab er -eine scharfe und nicht immer gerechte Kritik, denn genaue Längen- und -Breitebestimmungen waren dem Eratosthenes nicht möglich, im dritten -die Begründung seines eigenen Systems und die Tabellen der Breiten von -12 Städten und Bestimmung der Finsternisse. Wenn man von Eratosthenes -Sphragides absieht, ist Hipparch auch als Begründer des ¨sphärischen -Koordinatensystems¨ anzusehen. - -An Hipparch, den Astronomen, schliessen wir Heron, den Mechaniker an; ὁ -μηχανικος nennt ihn ¨Proklos¨, Fried. 305, 24; 346, 13, und in der Tat -ist er in Mechanik und Technik geradeso der Lehrer der Welt gewesen wie -Euklid für Geometrie. Ob Heron Nachfolger oder Vorläufer des Hipparch -gewesen ist, steht nicht einmal absolut fest. Doch wird in der Metrik -die von Theon erwähnte Schrift unter dem Titel περι των εν κυκλω -ευθειωνπερι των εν κυκλω ευθειων als vollkommen bekannt zitiert. - -[Sidenote: Lebenszeit.] - -Die sogen. ¨Heronische Frage¨ ist eine der diffizilsten, die Ansichten -der berühmtesten Historiker schwanken zwischen dem 3. Jahrh. v. Chr. -und dem zweiten Jahrh. n. Chr. Ein Forscher von dem Range ¨Diels¨ -setzt ihn um 100 n. Chr., ¨De Vaux¨ und ¨Paul Tannery¨ sogar um 200, -der Herausgeber der neuesten Gesamtausgabe ¨W. Schmidt¨ setzt ihn etwa -auf 56 v. Chr. Dem gegenüber stehen ¨Susemihl¨, der genaue Kenner der -Hellenistik, der ihn um 200 v. Chr. ansetzt und ¨M. Cantor¨, der ihn -um 100 v. Chr. setzt. Ich glaube, dass Cantor im ganzen das Richtige -getroffen und neige dazu Herons Geburt etwa um 150 zu setzen und -stimme der Beweisführung ¨Edmund Hoppes¨ im Programm des Hamburger -Wilhelm-Gymnasiums von 1902 bei, welche ich noch bekräftigt finde durch -die von ¨H. Schoene¨ 1903 zum ersten Mal herausgegebene »Metrika«, -deren Handschrift ¨R. Schoene¨ 1896 im Codex Constantinopolitanus -aufgefunden hatte. Da Programme bekanntermassen wenig bekannt zu werden -pflegen, so setze ich den Schluss der ¨Hoppe¨'schen Arbeit hierher, und -um so lieber, als ich bedauerlicherweise vergessen habe, diese tüchtige -Arbeit in der 2. Aufl. meiner Methodik von 1907 unter den historischen -Programmen anzuführen, obwohl sie mir seit 1903 bekannt war. Hoppe -schliesst: Wenn er den älteren Poseidōnios zitiert hat, rückt Heron -gänzlich in das zweite Sec. v. Chr. »Dahin passt er auch seinem ganzen -Inhalte nach durchaus. Heron steht ausschliesslich auf den Schultern -des Archimedes und Ktesibios in seiner Mechanik und Pneumatik, in der -Philosophie und Mathematik ist er abhängig von Aristoteles, Platon, -Pythagoras und Euklid, welche er alle zitiert. Alles Spätere ist -für Heron nicht vorhanden. Heron aber geht über seine Quellen weit -hinaus. Die physikalischen Anschauungen, welche er in der Einleitung -zur Pneumatik darlegt, hat vor ihm keiner und auch nach ihm keiner. -Wohl in Einzelheiten finden sich bei früheren Anklänge, aber ein solch -umfassendes Wissen von der Mechanik der Gase, von der Elastizität etc. -hat keiner seiner Vorgänger. Nach ihm hat man dies alles nicht mehr -verstanden, die römischen Epigonen griechischer Kulturwelt konnten -wohl Automaten und Wasserorgeln nachmachen, aber seine physikalischen -Gedanken begriffen sie nicht. Das charakterisiert Heron als den letzten -einer untergehenden Schule. Darum muss man Heron ansetzen zu einer -Zeit, wo Ägypten vor einer Katastrophe stand, nach einer Periode der -Blüte. Diese Blüte war unter den Ptolemäern, die Katastrophe war das -Einsetzen der Römerherrschaft. Somit spricht alles für den Ausgang des -zweiten sec. a. Chr. Macht man, wie Schmidt es will, Philon von Byzanz -und Ktesibios zu Zeitgenossen des Archimedes, so wäre möglich für Heron -die Zeit am Anfang des zweiten sec. anzunehmen. Setzt man Ktesibios -an das Ende des zweiten sec., so bleibt für Heron die Zeit um 100 n. -Chr., wie Cantor annimmt, bestehen; ein weiterer Spielraum scheint -ausgeschlossen.« - -Zu den von Heron benutzten Autoren kommt nach Metrik S. 58 Z. 19 noch -¨Hipparch¨ hinzu und ¨Apollonios¨ de sectione spatii (ἡ του χωριου -αποτομη) Schöne S. 162, sowie ¨Dionysodoros¨ dessen Kugelteilung -Eutokios gegeben. Auch die Heronische Würfelverdoppelung zeigt den -Einfluss des Apollonios. Ungelöst ist auch noch die Frage inwiefern -Heron für seine Geschützlehre und seine Lehre vom Luftdruck aus -¨Philon¨ von ¨Byzanz¨ (Φιλων ὁ βυζαντιος.) geschöpft hat. Die -Vorstellung, dass schwere Körper schneller fallen müssen als leichte -findet sich z. B. bei Beiden. Die Zuverlässigkeit der Literaturangaben -des ¨Eutokios¨ ist durch die Auffindung der Mechanik wieder bestätigt -worden, Eutokios überschreibt die Lösung mit den Worten »wie ¨Heron¨ -in der Einführung in die Mechanik und in den Belopoiika (Anfertigung -von Geschützen)« und sie hat sich auch in der Mechanik, Ausgabe von Nix -S. 24 gefunden. - -Ich möchte zu den Datierungsfragen allgemein bemerken, dass was für -Indien gilt mutatis mutandis auch für alle diese Streitfragen gilt. -Der gedankliche Zusammenhang, die Darstellung, die Hilfsmittel sind -der wichtigste Anhaltepunkt, und der spricht für Heron entschieden für -engen Anschluss an Archimedes, wie es insbesondere die Metrika zeigen -und für die ¨Cantorsche¨ Auffassung, welche auch von ¨Hultsch¨ geteilt -wurde. Auch die sehr sorgfältige Dissertation von ¨R. Meier¨ de Herone -aetatis, Leipz. 1905 kommt zum gleichen Resultat. Wie die Heronische -Frage hat entstehen können, darüber spricht sich ¨Cantor¨ völlig -zutreffend aus. Für 1-1/2 Jahrtausend ist wie Euklid für Mathematik so -Heron Lehrer für Geodäsie und angewandte Mechanik. Überaus zahlreich, -griechisch, lateinisch, arabisch, sind die Codices, Excerpte, -Bearbeitungen und ebenso zahlreich sind die Entstellungen und Zusätze, -Verschlimmbesserung der Abschreiber und Ausschreiber. - -[Sidenote: Heron, Werke.] - -Während die physikalischen Schriften Herons ab und an ediert sind, -ist die erste kritische Ausgabe der unter seinem Namen gehenden -mathematischen Schriften von ¨Fr. Hultsch¨, der bei seiner grossen -Arbeit über die Schriftsteller der Alten, welche sich mit Messkunst -beschäftigten, sich mit Heron beschäftigen musste. Die Hultsche Ausgabe -von 1864, für ihre Zeit mustergiltig, gibt uns den griechischen -Text möglichst bereinigt, sie enthält die Heronischen Definitionen, -die jetzt noch oder wieder für teilweise echt gelten, die Geometria -und als Anhängsel einige an sich wichtige Tafeln der Masse, die -aber grösstenteils unecht sind, dann die Stereometrie, ein Buch -über Flächen- und Raummessung, dann das liber geoponicus, das ein -ziemlich dürftiges Excerpt ist, wie der 8. Abschnitt ein ungenaues -Excerpt aus der unten zu besprechenden Dioptra, und dann vergleichende -Zusätze. Aber nach etwa einem Menschenalter machten grossartige neue -Funde (s. u.) eine neue Ausgabe nötig. Sie ist von ¨W. Schmidt¨, -einem Hultsch ebenbürtigen Kenner der antiken math. Schriftsteller, -unternommen, als Gesamtausgabe Herons und mit ¨deutscher Übersetzung¨. -Erschienen sind: Band 1, 1899 von ¨W. Schmidt¨, die »Druckwerke« und -»das Automatentheater«, mit einem Supplementheft: die Geschichte der -Textüberlieferung und Griech. Wortregister. - -Bd. II, 1900 die Mechanik und Katoptrik, erstere von ¨L. Nix¨ aus -dem Arabischen, letztere von ¨W. Schmidt¨; -- B. III 1903, die -Messungslehre (Metrika) und die Dioptra »Vermessungslehre« von -¨H. Schöne¨. Leider ist der verhältnismässig jugendliche ¨W. Schmidt¨ -Hultsch im Tode vorausgegangen. Aber schon das jetzige genügt um sich -von Herons wirklicher Bedeutung ein Bild zu machen, und zeigt, dass der -grösste Teil der von Hultsch edierten Schriften höchstens inhaltlich -auf Heron zurückgeht. ¨W. Schmidt¨ konnte die Ansicht Hultschs -bestätigen, wonach sich Herons Schriften vermutlich auf drei grosse -Werke verteilten: 1. Über Feldmesskunst, von denen die grosse Arbeit -über die Dioptra die wichtigste ist. 2. Über Mechanik. 3. Über Metrik, -d. h. die Lehre vom Inhalt der Flächen und Körper. - -[Sidenote: Heron, Leben.] - -Von den Lebensumständen Herons scheint noch festzustehen, dass er in -Alexandrien ähnlich wie Pappos einen zahlreichen Schülerkreis um sich -gesammelt hatte, sodass seine Werke als Lehrbücher für seine Schüler -vielleicht im Auftrage der Regierung entstanden sind. Es ist nicht -unwahrscheinlich, dass Heron selbst ägyptischer Nationalität war, was -auch seinen Stil erklären würde. Jedenfalls hat er auf ägyptische -Feldmesser als Leser und Hörer gerechnet, und war mit den ägyptischen -Methoden völlig vertraut. Rätselhaft war lange Zeit die Methode mit -der Heron besonders in Metrik und Dioptra die auffallend genauen -Quadratwurzeln gezogen und in der Metrik sogar die Kubikwurzel aus 100 -(S. 78). ¨G. Wertheim¨ einer der tüchtigsten Schüler ¨M. Cantors¨ hat -das Rätsel gelöst. Die kurze Notiz steht Cantor-Schlömilch Hist. litt. -Abt. Band 44, 1899 S. 1, es ist so ziemlich das letzte Vermächtnis des -Diophantherausgebers. - -[Sidenote: Herons Wurzelausziehung.] - -Heron will ∛100 bestimmen. Die Kuben zwischen denen 100 liegt sind 64 -und 125, die erstere ist um 36 zu klein, die letztere um 25 zu gross. -Die ∛ sind bezw. 4 und 5. Daher wird ∛100 gleich 4 + einem Bruche sein. -Um den Zähler zu finden multipliziert er 36 mit 5, gibt 180. Der Nenner -ist 100 + 180. Der Bruch ist also 9/14 und so ergibt sich ihm der -Näherungswert 4-9/14. - -Wertheim nimmt nun nicht wie ¨M. Curtze¨, der Freund und Genosse -¨M. Cantors¨, die 5 als √25 sondern als ∛125 und 100 sieht er nicht wie -¨Curtze¨ als den gegebenen Radikand an, sondern als das Produkt von 4 -als ∛64 mit 5^3 - 100. - -»¨Auf diese Weise stellt sich Herons Verfahren als ein dem doppelten -falschen Ansatz analoges dar.¨« - -Ich erinnere, dass schon die ältesten Ägypter die Regula falsi -benutzten. Wertheim zeigt, dass die ebenso rätselhaften Näherungswerte -des ¨Archimedes¨ für die Quadratwurzeln mit der gleichen Methode -gefunden werden können und weist dies an den Grenzwerten des der √3 aus -der Kreismessung 265/153 und 1351/780 nach. Dieser Nachweis macht die -Erklärung Wertheims wahrscheinlicher als die sachlich einfachere der -am selben Ort mitgeteilten von ¨A. Kerber¨ sub. 9. Nov. 1897 an Curtze -gesandt. - -Sei die zu kleine Wurzel a, und die um 1 grössere schon zu grosse a^1, -so ist (x^3 - a^3) = f = (x - a)(x^2 + ax + a^2) annähernd gleich -(Zeichen ～): (x - a)3ax. Ebenso ist -f^1 ～ 3a^1x, und durch Division -erhält man f/-f^1 ～ (x - a)a/((x - a^1)a^1), wenn man x - a = z setzt, -so ist x - a^1 = z - 1 und z = (fa^1)/(a^1f + af^1) und dies ist die -Korrektion des Heron. - -Die Methode würde für die Quadratwurzel ergeben z = f/(a + a^1) also -für √63; z = 14/15 aber Heron setzt sie gleich 7-1/2, 1/4, 1/8, 1/16, -(gut ägyptisch), das ist 7-15/16, welches genauer ist als 7-14/15 und -für √67500 statt 259 den Wert 259-419/515, was bedeutend genauer als -Herons Wert, der auffallend ungenau; es ist seltsam, dass Heron nicht -260 gewählt hat. Aber auch der vierfache falsche Ansatz passt für √63 -nicht. Denkt man aber an die alte ägyptische Unterteilung und bedenkt, -dass die Näherungsformel √(a^2 + ε) ～ a + ε/(2a + 1) zunächst 7-14/15 -gab, so liegt es nahe, dass probeweise 7-15/16 gesetzt wurde. Übrigens -findet sich bei ¨Theon¨ von Smyrna ein Kettenbruchverfahren für √2, und -dieses oder ein sehr ähnlicher Algorithmus ist vermutlich Archimedes -und Heron auch bekannt gewesen. - -[Sidenote: Heron als Schüler des Ktesibios.] - -Dass ¨Heron¨ nicht nach ¨Caesar¨ gelebt haben kann, das geht schon -aus der Abhängigkeit ¨Vitruvs¨ von Heron hervor, die ich schon um -deswegen nicht bezweifle, weil Vitruv den Heron nicht erwähnt. Als -sein Lehrer gilt ¨Ktesibios¨, weil ein Werk des Heron die βελοποιικα, -Geschützverfertigung, in einigen Handschriften darunter die beste, -überschrieben ist Ἡρωνος Κτησιβιου βελοποιικα. ¨Wilhelm Schmidt¨, der -verdienstvolle Neubearbeiter des Heron, verwirft diese Begründung, und -mit Recht, spricht sich aber über die Tatsache selbst nicht weiter -aus. Mir scheint das Faktum richtig. Dass auch Heron ein Alexandriner, -Αλεξανδρευς, gewesen wie Ktesibios steht fest, und dass Ktesibios der -ältere war, ebenfalls, und gerade in den »Pneumatika« der Lehre von -der mechanischen Anwendung des Luftdrucks, schliesst sich Heron eng an -Ktesibios an. Und sehr spricht für das Schülerverhältnis die Stelle -bei ¨Proklos¨, Friedl. S. 41: και ἡ θαυματοποιικη τα μεν δια πνων -φιλοτεχνουσα, ὡσπερ και Κτησιβιος και Ἡρων πραγματευονται. - -[Sidenote: Der Dampf als Motor.] - -Nach ¨Susemihl¨ lebte Ktesibios unter Ptolemaios Philadelphos und -Euergetes I in Alexandrien und zeichnete sich durch Erfindung -schwerer Geschütze, die er mit komprimierter Luft trieb, aus. Wohl -war die Triebkraft der gepressten Luft schon dem ¨Aristoteles¨ -bekannt, aber die Windbüchse hat jener konstruiert, der nicht mit dem -anderen Ktesibios, der eine Wasserorgel konstruiert hat »dem Sohn -des Bartscherers« zu verwechseln ist. Ktesibios konstruierte auch -einen Apparat zur Mauerersteigung, sowie Automaten und schrieb eine -theoretische Mechanik. An ihn schliesst sich Heron als praktischer -Mechaniker zunächst an, in der Schrift »πνευματικα,« Druckwerke, in -2 Büchern, welche besonders den Luftdruck verwertet, allerdings ohne -die heutige Theorie. Die in der Einleitung erwähnte Schrift über die -Wasseruhren (wörtlich Stundenzeiger mittelst Wassers) in 4 Büchern ist -bis auf ein ganz winziges Fragment verloren. Neben vielen ergötzlichen -Spielereien findet sich darin der Heber (Philon) der Heronsbrunnen, der -Heronsball, das Gesetz der kommunizierenden Röhren, die Druckpumpe, -die Feuerspritze, ¨die nachweislich erste Anwendung des Dampfes als -Triebkraft¨, ein Dampfkessel mit Innenfeuerung und Schlangenrohr als -Badeofen etc. Unter den Automaten ist die sich selbst regulierende -Lampe, das automatische Restaurant etc. - -[Illustration] - -[Sidenote: Anwendungen des Dampfes.] - -Ich gebe hier II, VI die erste konstatierte Anwendung des Dampfes -als Motor, nach ¨W. Schmidts¨ neuer Ausgabe wieder. »Ferner Kugeln, -welche sich auf Luft bewegen. Ein Kessel mit Wasser, der an der Mündung -verstopft ist, wird unterfeuert, s. Fig. Von der Verstopfung aus -erstreckt sich eine Röhre, mit welcher oben eine hohle Halbkugel durch -Bohrung in Verbindung gesetzt worden ist. Werfen wir nun ein leichtes -Kügelchen in die Halbkugel, so wird es sich ergeben, dass der aus dem -Kessel durch die Röhre getriebene Dampf das Kügelchen in die Luft -emporhebt, so dass es darauf getragen wird.« - -Ist hier der Dampf nur zur Spielerei benutzt, so leistet in II 34 in -dem Badeofen, nach seiner Form die einem römischen Meilenstein ähnelt, -Miliarion genannt, der Dampf nützliche Dienste. Die Figur bedarf keiner -Erläuterung. Wir haben hier einen ¨Dampfkessel mit Innenfeuerung¨ und -den Anfang des kupfernen Schlangenrohres, welches etwas später daraus -hervorging. Der Dampf steigt durch eine Röhre, welche in das den Deckel -durchsetzende Rohr eingeschlossen und darin drehbar ist, in den Mund -des kleinen Genius, der nur als Blasebalg für die Kohlenfeuerung dient. -Hier wird man wohl wieder sagen müssen, dass es nichts Neues unter der -Sonne gibt. - -[Illustration] - -[Sidenote: Automatentheater.] - -An die Pneumatika schliesst sich das »Automatentheater« wie -¨W. Schmidt¨ sinngemäss den eigentlichen Titel Περι αυτοματοποιητικης -übersetzt; auch hier wie Heron selbst angibt, in der Einleitung zu -den stehenden Automaten, Schmidt I, S. 404, Z. 12, stützt er sich auf -¨Philon¨. Die Automaten, die heute bei uns nur noch auf den Jahrmärkten -und zu Reklamezwecken in den Schaufenstern dienen, abgesehen von den -grässlichen Musikautomaten, spielten im 17. und 18. Jahrh. eine sehr -grosse Rolle in den Belustigungen auch der Hochgestellten, -- ganz wie -zur Zeit des Philon und Heron. Ich gebe hier den Bericht des Heron über -die Aufführung der Pantomime Nauplios (durch Philon). Der Sage nach war -Nauplios der Vater des Palamedes, der den Tod seines Sohnes Palamedes, -an den Argivern rächte, den Odysseus um seinen Konkurrenten in der -Klugheit zu beseitigen, verursacht hatte. Athene stand ihm bei, sie -zürnte besonders Ajax dem Lokrer, der ihr Palladion geschändet hatte. -Also: auf der Bühne war das auf Nauplios bezügliche Stück vorbereitet -(das Stück selbst: μύθος, vermutlich von Sophokles), das Einzelne -verhielt sich so: Zu Anfang öffnete sich die Bühne, dann erschienen -zwölf Figuren im Bilde, diese waren auf drei Reihen verteilt. Sie -waren als Danaer dargestellt, welche die Schiffe ausbessern und -Vorbereitungen treffen um sie ins Meer zu ziehen. Diese Figuren -bewegten sich, indem die einen sägten, die andern mit Beilen zimmerten, -andere hämmerten, wieder andere mit grossen und kleinen Bohrern -arbeiteten. Sie verursachten ein der Wirklichkeit entsprechendes, -lautes Geräusch. Nach geraumer Zeit wurden aber die Türen geschlossen -und wieder geöffnet, und es gab ein anderes Bild. Man konnte nämlich -sehen, wie die Schiffe von den Achäern ins Meer gezogen wurden. -Nachdem die Türen geschlossen und wieder geöffnet waren, sah man -nichts auf der Bühne als gemalte Luft und Meer. Bald darauf segelten -die Schiffe in Kiellinie vorbei. Während die einen verschwanden, kamen -andere zum Vorschein. Oft schwammen auch Delphine daneben, die bald -im Meere untertauchten, bald sichtbar wurden, wie in Wirklichkeit. -Allmählich wurde das Meer stürmisch und die Schiffe segelten dicht -zusammengedrängt. Machte man wieder zu und auf, war von den Segelnden -nichts zu sehen, sondern man bemerkte Nauplios mit erhobener Fackel -und Athene, welche neben ihm stand. Dann wurde über der Bühne Feuer -angezündet, wie wenn oben die Fackel mit ihrer Flamme leuchtete. Machte -man wieder zu und auf, sah man den Schiffbruch und wie Ajax schwamm. -Athene wurde auf einer Schwebemaschine und zwar oberhalb der Bühne -emporgehoben, Donner krachte, ein Blitzstrahl traf unmittelbar auf der -Bühne den Ajax und seine Figur verschwand. So hatte das Stück, nachdem -geschlossen war, ein Ende. - -[Sidenote: Heron, Euthytonos (Geradspanner).] - -[Illustration] - -Es folgen dann die genauen Vorschriften zur Anfertigung der Automaten. - -Die Pneumatik zeigt zugleich, wie falsch die Vorstellung ist, dass das -Experimentieren erst etwa durch Bacon erfunden sei, z. B. Pneum. 28, -29, aber nicht nur Heron war ein tüchtiger Experimentator, sondern -schon ¨Demokrit¨ hat seine physikalischen Theorien auf Experimente -gestützt, indem er z. B. Versuche über Filtrierung von Meerwasser -angestellt hat. - -[Sidenote: Geschützverfertigung.] - -Es folgt die βελοποιικά, den Titel hat H. Degering nicht ohne Geist -erklärt als Herons Bearbeitung von Ktesibios Geschützverfertigung; -die Frage nach den antiken Geschützen, für die bisher das grosse -Werk von ¨Köchly¨ und ¨Major Rüstow¨ ausschlaggebend war, ist durch -die Versuche von ¨E. Schramm¨ in Metz in ein neues aber noch nicht -abgeschlossenes Stadium getreten. Dass Griechen und Römer über ein -sehr hochentwickeltes Geschützwesen verfügten und eigene kaiserliche -Waffentechniker, armamentarii imperatoris, besassen ist bekannt; soll -doch nach Athenodoros der Winkelspanner des Archimedes einen 12elligen -Balken auf die Weite eines ¨Stadions¨ geworfen haben. - -Die Figur S. 323 stellt den ¨Geradspanner¨ (Euthytonos) des Heron dar. - -[Illustration] - -[Sidenote: Das Delische Problem.] - -Der Schluss des Werkes enthält die von Eutokios mitgeteilte -Konstruktion für das Delische Problem, welche mit der des Apollonios -im Prinzip und mit der des ¨Philon¨, der als 4. Buch seiner Mechanik -ebenfalls über Geschützbau ausführlich gehandelt hat, übereinstimmt. -Sollte die Kraft der Geschosse verdreifacht werden, so musste der -Cylinder, der den Spanner aufnahm, verdreifacht werden und damit war -das Delische Problem gegeben, dessen Lösung sich von der des Apollonios -und besonders der des Philon nur sehr wenig, und im Prinzip gar nicht -unterscheidet. - -Der Bericht des Eutokios ist überarbeitet, der des Pappos III p. 62 -scheint fast genau mit dem Original zu stimmen, bis auf geringfügige -Zusätze, wie z. B. gleichen Umfang παραλληλογραμμον. Das Original -ist zum Schluss vollständig verworren, und ich folge der von Köchly -jedenfalls mit Benutzung von Pappos gegebenen Sanierung und nicht der -in der Mechanik S. 24 aus dem Arabischen übertragenen. Die Konstruktion -des Philon die bei Eutokios sich anschliesst findet sich Köchly S. 238 -skizziert. - -[Illustration] - -Heron: Es seien αβ, βγ die gegebenen Strecken, senkrecht zu einander, -es soll das Rechteck αβγδ vollendet und δγ, δα verlängert worden sein. -Du sollst an Punkt β ein Lineal anlegen, das die verlängerten Strecken -schneidet und das besagte Lineal bewegen bis die zwei ε mit den -Schnitten verbindenden einander gleich sind. Es habe nun das Lineal die -Lage der Geraden ζβη und die beiden andern Geraden seien εζ und εη, so -behaupte ich, dass αζ, ηγ die mittleren Proportionalen der Strecken αβ, -βγ sind. - -Der Beweis mittelst (a + b)(a - b) gleich a^2 - b^2 (oder auch mit dem -Potenzsatz) ist ohne weiteres klar. - -Die Konstruktion des Philon führt die Gleichheit von ζε und ηε auf die -von ζβ und ηθ zurück, was mittelst geteilten Drehlineals praktisch -vorteilhaft ist. - -[Sidenote: Katoptrik.] - -Ebenfalls experimenteller Physik gehört Herons ¨Katoptrik¨, die Lehre -vom reflektierten Licht an, die Lehre vom Spiegel, Winkelspiegel, -Vexierhohlspiegel, Spiegel zu Geistererscheinungen etc. Sie ist jetzt -unter den Werken Herons von W. Schmidt 1901 (Bd. II) herausgegeben, -nach einem lat. Manuskript des Wilhelm von Mörbeck, den wir schon bei -Archimedes als Übersetzer erwähnten. Das griech. Original wird sich -vermutlich im Vatikan finden, jedenfalls hat es sich dort befunden. Die -Schrift war unter dem Titel Claudii Ptolemei de Speculis 1518 gedruckt -worden. Als die weit über Heron hinausgehende Optik des ¨Ptolemaios¨ -in einer aus dem Arabischen übersetzten Optik des Admirals Eugenius -Siculus (vgl. die Einleitung W. Schmidts S. 303) erkannt war, bewiesen -¨H. Martin¨, ¨Rose¨ und ¨Schmidt¨ dass jene frühere Schrift eine -verkürzte und verstümmelte Wiedergabe der Katoptrik des Heron sei, von -der Kunde existierte. - -[Sidenote: Reflexionsgesetz.] - -Heron legt die Emissionstheorie zugrunde, die Sehstrahlen sind eine Art -Äthermoleküle, die vom Auge aus mit unendlicher Geschwindigkeit gesandt -werden. Seine mathematischen Ableitungen beruhen auf dem Satz: das -Licht bewegt sich auf kürzestem Wege (wie s. Z. ¨Fresnel¨). Ich gebe -die Einleitung wörtlich und die Ableitung des Reflexionsgesetzes aus -Kp. IV und V dem Sinne nach. Einleitung: - -»Da es zwei Sinne gibt, durch welche man nach Platon zur Weisheit -gelangt, nämlich das Gehör und das Gesicht, so hat man sein Augenmerk -auf beide zu richten. Von dem, was in das Gebiet des Gehörs fällt, -beruht die Musik auf der Kenntnis der wohlklingenden Tonbildung und -ist, um es kurz zu sagen, die Theorie von dem Wesen der Melodie und -den Gesetzen der Tonlehre. Was die Möglichkeit betrifft, dass die -Welt entsprechend der musikalischen Harmonie geordnet sei, so stellt -die Theorie viele verschiedenartige Behauptungen darüber auf. Wenn -man nämlich den ganzen Himmel der Zahl nach in acht Sphären einteilt, -nämlich in die der 7 Planeten und in diejenige, welche alle (sieben) -umfasst und welche nur die Fixsterne tragt, so ist die Folge, dass bei -den Planeten das Vorrücken der Gestirne melodiös und harmonisch wird -wegen der gleichmässig starken Bewegungen unter ihnen, wie auch auf dem -Instrumente der Leier die Saiten melodisch erklingen. Denn wie man -sich vorstellen muss, vernimmt man infolge des Vorrückens der Gestirne -durch die Luft gewisse Töne und zwar bald tiefere, bald hellere, je -nachdem die einen sich langsamer, die andern sich schneller bewegen. -Wie wir also nach dem Anschlagen der Saite die Luftschwingungen -erkennen, so gewährt, wie man sich denken muss, uns die Luft dadurch, -dass sie infolge der Bewegung der Gestirne durch den Tierkreis -ununterbrochen sich verändert und verwandelt (in Schwingungen versetzt -wird) einen Akkord.« (Die Sphärenmusik der Pythagoräer.) - - -Ableitung des Reflexionsgesetzes. - -Für den Planspiegel genügt die Figur hier. Es sei ¨ab¨ ein ebener -Spiegel, g der Augenpunkt, d das Gesehene. Es ist da g_{1} symmetrisch -zu g, klar, dass der Weg ¨gad¨ da er gleich der Geraden ¨g_{1}ad¨ -kürzer ist als ¨gbd¨, welcher gleich der gebrochenen Linie ¨g_{1}bd¨ -ist. - -[Illustration] - -[Illustration] - -Man denke sich dann einen gekrümmten (Convex) Spiegel, bei dem ¨ab¨ -die Peripherie, g das Auge, d das Gesehene sei. Und es sollen ¨ga¨ und -¨ad¨ unter gleichen Winkeln einfallen, ¨gb¨ und ¨bd¨ unter ungleichen. -Dann ist nach vorigen Beweis ¨ga¨ + ¨ad¨ < ¨gz¨ + ¨zd¨ und dies < -¨gz¨ + ¨zb¨ + ¨bd¨ < ¨gb¨ + ¨bd¨ (2 Seiten zusammen länger als die -dritte). - -[Illustration] - -[Sidenote: Dioptrik (Feldmessung).] - -Heron selbst berichtet in der Katoptrik, dass er ihr die ¨Dioptrik¨, -sein Hauptwerk über Feldmesskunst, vorausgeschickt habe; sie ist, -in der Schmidtschen Ausgabe von ¨H. Schöne¨ mit der Metrik zusammen -nach dem Codex Constp. herausgegeben. Zuerst wird die von Heron -sehr wesentlich verbesserte Dioptra beschrieben und dann die grosse -Anzahl mittelst ihrer vorgenommenen Vermessungsaufgaben. Die Dioptra -hatte ¨Hipparch¨ nach einer Anregung die er der Bestimmung des -Sonnendurchmessers im Psammites des Archimedes verdankte, eingeführt. -Sie bestand, vgl. ¨Hultsch¨, Winkelmessung durch die Hipparchische -Dioptra Festschrift f. M. Cantor 1899 aus einem soliden Richtscheit, -auf dessen Oberfläche senkrecht zu derselben ein kleines Plättchen -verschiebbar war, dessen Ränder von einer kleinen Öffnung an einem -Plättchen, das fest mit dem oberen Ende des Richtscheits verbunden war, -abvisiert werden können. Hipparch hat mit diesem primitiven Instrument -die scheinbaren Monddurchmesser bewunderungswürdig genau gemessen. Die -Dioptra des Heron, s. Abbild., ist ein sehr vollkommenes Instrument, -ihr fehlte wie man sieht zu unserm Theodoliten nichts als die Linsen, -und zugleich diente sie als Kanalwage, als Nivellierinstrument, wozu -die Plinthe ¯KL¯ abgehoben und das Nivellierlineal, s. Abbildung, -aufgesetzt wurde. Ebenso sind die zum Gebrauch des Visierinstruments -nötigen Schiebelatten mit allem Raffinement ausgeführt. ¨W. Schmidt¨ -und ¨H. Schöne¨ haben die Einrichtung festgestellt, ersterer Eneström -1903, 7-12, Schöne, Jahrb. arch. Instit. 14, 1899, S. 91-103. Unter -den Messungen erwähne ich den Bau der Mole und den Tunnelbau, sowie -die allerdings von der Dioptra unabhängige Bestimmung der Entfernung -von Rom und Alexandria. Die Methode für diese Messung ist noch heute -giltig, es wird aus der Zeitdifferenz, die durch Eintreten der -Mondfinsternis festgelegt ist, der Längenunterschied zwischen beiden -Orten bestimmt und dadurch die Entfernung, wenn der Erdradius bekannt -ist. Dabei hat ¨Hoppe¨ schon darauf hingewiesen, dass die Annahme des -Erdumfanges von 252000 Stadien, also des Wertes von Eratosthenes und -nicht die von 240000, welche Ptolemaios nach Poseidonios dem Rhodier -gibt, zeigt, dass Heron älter ist als jener. - -[Illustration] - -[Sidenote: Tunnelbau.] - -Ich gebe hier den Tunnelbau wieder, Herodot hat III, 60 (W. Schmidt -l. c.) schon den Tunnel von Samos des Eupalinos zu den Wunderwerken -der Hellenischen Baukunst gerechnet. Die Tunnelbauten dienten -den Wasserleitungen. Dioptra XV, »Einen Berg in gerader Linie zu -durchgraben, wenn die Mündungen des Grabens im Berg gegeben sind. Man -denke sich als des Berges Grundriss (ἑδρα nicht βασις, die Fläche, auf -der der Berg ruht) die Linie ΑΒΓΔ s. Fig. S. 330, und als die Mündungen -durch welche gegraben werden muss Β und Δ. Ich zog (weil er eine -wirklich ausgeführte Arbeit beschreibt) von Β aus auf dem Boden die -[Strecke] ΒΕ nach Belieben, und mit der Dioptra von Ε aus rechtwinklig -ΕΖ, und dazu von dem beliebigen Ζ mit der Dioptra zu ΖΕ rechtwinklig -ΖΗ. Ferner vom beliebigen Η zu ΖΗ rechtwinklig ΗΘ; schliesslich vom -beliebigen Θ zu ΘΗ rechtwinklig ΘΚ, und zu ΘΚ rechtwinklig ΚΛ. Nun -führte ich die Dioptra längs der Graden ΚΛ bis durch Einstellung -des Visierlineals im rechten Winkel der Punkt Δ erschien, er möge -erschienen sein als die Dioptra in Μ war. Nun denke man sich ΕΒ -verlängert bis Ν und bis zu ihr hin ΔΝ als Lot.« -- Da jetzt ΔΝ als -ΕΖ + ΗΘ + ΜΚ und ΒΝ als ΒΕ + ΖΗ - (ΘΚ + ΜΔ) bestimmt sind, so ist auch -ihr Verhältnis und damit die Richtung des Grabens bestimmt. - -[Illustration] - -»Entsteht der Graben auf diese Weise, werden die Arbeiter einander -begegnen.« (Was bei dem Tunnel auf Salamis nicht der Fall war.) Heron -braucht rechtwinklige Coordinaten nicht nur hier, sondern vielfach -z. B. No. 24 und No. 25, auch hier im Grunde altägyptischer Tradition -folgend. Die Dioptra enthält jetzt auch die berühmte Heronische -Dreiecksberechnung aus den 3 Seiten unverstümmelt und übereinstimmend -mit der Metrik, von der Hultsch noch 1864 berichtete: Infinitum paene -laborem mihi attulit gravissimum illud theorema, quo areae triangularis -mensura ex tribus lateribus efficitur. Hultsch hielt sie für in die -Dioptra eingeschoben, jetzt sieht man, dass sie ganz naturgemäss dort -hingehört im Anschluss an Flächenteilungen; dem Feldmesser ist es -durchaus bequem die Seiten zu messen und wenn er geübt ist, sie auch so -abzustecken, dass die Differenzen konstant sind. - -[Sidenote: Mechanik.] - -Ich komme nun zu dem theoretischen Hauptwerk ¨Herons¨ »des -Mechanikers«, die Mechanik. Lange Zeit galten die bei Pappos im 8. -Buch als Heronisch angegebenen Fragmente aus dem sogen. βαρουλκος, dem -Lastenzieher und der Mechanik für Teile zweier verschiedenen Schriften. -Da wurde von ¨Carra de Vaux¨ 1893 in Leyden eine arabische Handschrift -gefunden und im Journal Asiatique Ser. 9, 1 und 2 herausgegeben, welche -bewies, dass die Fragmente bei Pappos zu einem Werke, der Mechanik, -gehören. Da in kurzer Zeit noch drei andere zum selben Archetyp -wie die Leydener gehörenden Handschriften gefunden wurden, und die -Handschriften sich gegenseitig ergänzten, so nahm Schmidt die arabisch -und deutsche Ausgabe der Mechanik von ¨L. Nix¨ als Band 2 in die -neue Edition der Heronischen Werke auf. Die Übersetzung ist laut den -Handschriften von ¨Kosta ben Luka¨ auf Befehl des Chalifen Abul Abbâs -(862-866), Nachfolger Harun al Raschids, angefertigt, gehört also zu -den frühen Aneignungen Hellenischen Wissens seitens der Araber. Das -Leydener Manuskript ist durch den schon bei Apollonios erwähnten Golius -dorthin gebracht worden. - -Die Schrift zeigt, dass Heron keineswegs der blosse Praktiker war, -sondern die theoretische Mechanik im Anschluss an ¨Aristoteles¨ und -Archimedes vollständig beherrschte. Er hat das statische Moment scharf -hervorgehoben, das Grundgesetz formuliert: was an Kraft gewonnen wird, -geht an Zeit verloren. Er gibt die vollständige Theorie der 5 einfachen -Maschinen; Wellrad, Rolle, Flaschenzug, Keil, Schraube, alle auf den -Hebel zurückgeführt, (für die Rolle mit einem Fehler in bezug auf feste -und lose Rolle), er streift auch die schiefe Ebene. Das dritte Buch ist -wieder vorzugsweise praktisch, es handelt von den Mitteln zur Bewegung -von Lasten auf Ebenen, und finden wir auf S. 267 den Vorläufer unserer -Drahtseilbahnen: die Bergseilbahn zum Transport von Steinblöcken, und -daran schliessend die Fruchtpressen, über deren Zusammenhang bezw. -Abweichung von den bei Vitruv beschriebenen ¨Hoppe¨ l. c. ausführlich -gehandelt hat. Die Schrift enthält in den beiden ersten Büchern auch -ein ganzes Teil mathematisch Interessantes, so bei Gelegenheit der -Aufgabe zu einem gegebenen Körper einen ähnlichen zu konstruieren, -die schon mitgeteilte Lösung der Würfelvervielfältigung auf S. 24, so -auf S. 28 die Einführung des ¨Ähnlichkeitspunktes¨, so auf S. 32 den -¨Proportionalzirkel¨, auf S. 188 den geom. Beweis, dass die Medianen -des Dreiecks sich im Verhältnis 2:1 schneiden und auf S. 196 die -Bestimmung eines Punktes aus seinen ¨baryzentrischen Koordinaten¨. - -Die physikalischen Kenntnisse Herons sind in einer vortrefflich -übersichtlichen Weise zusammengestellt von ¨Franz Knauff¨, Progr. des -Sophien G. zu Berlin Ostern 1900, für die Druckwerke konnte er schon -¨W. Schmidts¨ Arbeit verwerten. - -[Illustration] - -[Sidenote: Heron, reine Mathematik.] - -Ich komme nun zu den eigentlich mathematischen Schriften und beginne -mit den Horoi, den Definitionen. Es scheinen überarbeitete Reste seines -Euklidkommentars zu sein. Dass sich Heron mit den Elementen stark -beschäftigte, geht aus Proklos unzweifelhaft hervor. Ich gebe hier -den hübschen direkten Beweis des Satzes: Stimmen 2 Dreiecke in zwei -Seiten überein und sind die dritten Seiten ungleich, so sind die ihnen -gegenüberliegenden Winkel in derselben Weise ungleich. Die Dreiecke -seien αβγ und δεζ und βγ > εζ. Man schneide auf εζ die Strecke βγ ab -bis η und schlage um δ mit δζ einen Kreis der εδ in θ trifft und um -ε mit εη. Dieser Kreis muss den ersten schneiden und zwar zwischen ζ -und θ, da η ausserhalb liegt und εθ > εη. (Summe zweier Seiten.) Der -Schnitt sei κ. Man ziehe δκ und εκ, so ist εδκ ≅ βαγ und Winkel εδκ -> εδζ d. h. α > δ. Die Schlussformel lautet nicht q. e. d. sondern -wiederholt die Behauptung. Hinweisen will ich auf den Ausdruck εν -ῥυσει. und auf das öfter gebrauchte Wort »fliessen«. Es unterliegt wohl -keinem Zweifel, dass Cavalieri seinen Ausdruck fliessen (fluere), aus -Heron entnommen hat, der vielleicht auf Demokrit zurückgeht. Seltsam -hat es mich berührt, als ich mein Beispiel für den Begriff Fläche aus -den Elem. der Geom. von 1891 bei ¨Heron¨ fand in »Περι επιφανειας.« -Hultsch S. 10 Z. 19 »η το ὑδωρ ποτηριω«, nur dass Heron wie es scheint -abstinenter war. Der Satz lautet vollständig: der Begriff (Fläche) -wird erfasst da wo sich Luft mit Erde oder einem andern festen Körper -mischt, oder Luft mit Wasser, oder Wasser mit einem Trinkgefäss oder -irgend einem andern Behälter. - -Eine deutsche Übersetzung des planimetrischen Teils ist 1861 von Prof. -Val. Mayring als Programm von Neuburg a. d. D(onau) verfasst, leider -noch vor der Hultschen Sanierung des Textes. - -[Sidenote: Euklid-Kommentar (An-Nairizi).] - -In der lateinischen Übersetzung des Kommentars An-Nairîzî (Al-Neirizi) -zu den 10 ersten Büchern von Gherardus Cremonensis aus dem 12. Jh. -welche M. Curtze 1896 in Krakau auffand, ist der Kommentar des Heron -wie es scheint fast vollständig erhalten, und demnach hat Heron nur die -acht ersten Bücher kommentiert, und besonders ausführlich das erste -und zweite Buch. Auch der Kommentar zeigt, dass Heron ein tüchtiger -Geometer ist, unter den vielen Sätzen, die Heron hinzufügt, ist wohl -der interessanteste der ohne Ähnlichkeitslehre mit drei Hilfslinien -gegebene Beweis des Satzes, dass die drei Hilfslinien, welche der -Euklidische Beweis des Pythagoras erfordert, sich in einem Punkte -schneiden. - -[Illustration] - -[Sidenote: Metrik.] - -[Sidenote: Beweis der Heronischen Formel.] - -Das Hauptwerk Herons für reine Mathematik sind die »Metrika«. In einem -schon lange bekannten Codex in Konstantinopel aus dem XII. Jh., fand -R. Schöne neben der Dioptra auch eine vollständige Handschrift der -Metrika, die sein Sohn H. Schöne als Band III des Schmidtschen Werkes -1903 herausgab. Das Werk zerfällt in 3 Bücher, Buch I Flächenmessung, -Buch II Körpermessung, Buch III Teilung von Flächen und Körpern. Es -zeigt, dass die von Hultsch herausgegebene Geometrie, Stereometrie, -liber geoponicus, stark überarbeitete Teile dieses Werks sind. Das -Buch »Geoponicus« (über Erdarbeit) erinnert sehr stark an den Papyrus -Aames und spricht am stärksten für das Wurzeln Herons in ägyptischer -Tradition. Buch I findet sich auf S. 20 ff der Beweis der Heronischen -Formel wie in der Dioptra: s = √(s(s - a)(s - b)(s - c)) und zwar -sehr elegant und zunächst an dem sog. Heronischen Dreieck 13, 14, -15 exemplifiziert, das aus den beiden ganzzahligen (Pythagoräischen) -rechtwinkligen Dreiecken 15, 12, 9 und 13, 12, 5 zusammengesetzt ist; -und dann an dem nicht rationalen Dreieck 8, 10, 12. Es wird gefordert -sich dann den Inhalt zu verschaffen, ausser der Höhe. Das gegebene -Dreieck sei ΑΒΓ und jede der (Strecken) ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ sei gegeben: den -Inhalt zu finden. Es soll in das Dreieck der Kreis ΔΕΖ eingeschrieben -sein, dessen Zentrum Η ist, und in die Verbindungslinie ΑΗ, ΒΗ, ΓΗ, -gezogen werden ... Es ist also das Rechteck aus dem Umfang des Dreiecks -ΑΒΓ und ΕΗ, dem Radius des Kreises ΔΕΖ, das Doppelte des Dreiecks. -ΓΒ werde ausgezogen und ΒΘ dem ΑΔ gleichgesetzt. Es ist also ΓΘ die -Hälfte des Umfangs des Dreiecks ... Folglich ist das Rechteck aus ΓΘ -und ΕΗ gleich dem Dreieck ΑΒΓ. Das Produkt aus ΓΘ und ΕΗ ist die Wurzel -(Pleura d. h. Seite) des Quadrats von ΓΘ und ΕΗ Quadrat; also ist das -mit sich selbst multiplierte Dreieck ΑΒΓ gleich Γθ^2 mal ΕΗ^2. Es soll -einerseits zu ΓΗ rechtwinklig ΗΛ, andrerseits zu ΓΒ rechtwinklig ΒΛ -gezogen worden sein, und Γ mit Λ verbunden. Da nun ein Rechter jeder -der Winkel ΓΗΑ und ΓΒΛ so ist ΓΗΒΛ ein Viereck im Kreise [Satz vom -Peripherienzirkel auf dem Halbkreis]. Es sind folglich ΓΗΒ (+) ΓΛΒ -zweien Rechten gleich. Es ist aber auch ΓΗΒ + ΑΗΔ gleich 2 Rechten -... Also ist ΑΗΔ gleich ΓΛΒ. ... Also ist das Dreieck ΑΗΔ ähnlich dem -Dreieck ΓΒΛ, folglich ΒΓ zu ΒΛ wie ΑΔ zu ΔΗ d. h. wie ΒΘ zu ΕΗ und -umgekehrt ΓΒ : ΒΘ wie ΒΛ : ΕΗ wie ΒΚ : ΕΚ ... Und durch Zusammensetzung -ΓΘ : ΒΘ wie ΒΕ : ΕΚ so dass auch ΓΘ^2 : ΓΘ . ΘΒ = ΒΕ . ΓΕ : ΓΕ . ΕΚ -= ΒΕ . ΓΕ : ΕΗ^2. Denn im rechtwinkligen Dreieck wurde vom rechten -das Lot ΕΗ gezogen. Daher wird ΓΘ^2 . ΕΗ^2, dessen Wurzel der Inhalt -des Dreiecks ΑΒΓ war, gleich ΓΘ . ΘΒ . ΕΒ . ΓΕ sein [d. h. also J^2 = -s(s - a)(s - b)(s - c)]. - -Die Form des Beweises ist von der Euklids und Archimedes nicht -verschieden. Der Beweis selbst sollte von allen Lehrern gekannt sein. - -Der Inhalt des Dreiecks 8; 10; 12 ist √1575, Heron bestimmt sie zu -39-1/2 1/8 1/16 d. h. 39-11/16 und das Quadrat weicht von 1575 um noch -nicht 0,1 ab. - -Es folgt die Ausmessung des Trapezes, das von ¨Heron¨ vielfach zu -Aufgaben verwertet wird und neuerdings wieder als Quelle hübscher -Elementaraufgaben erkannt ist. Es werden dann die regelmässigen -Polygone bis zum 12Eck inklusive einzeln ausgemessen, im Grunde -mit den Cotangenten von 180/n, die aber ¨geometrisch¨ und nicht -¨trigonometrisch¨ abgeleitet werden, was einerseits wieder an den Skd -der Ägypter erinnert, andererseits für das Alter Herons spricht. - -Heron geht dann zur Kreismessung und erwähnt, dass Archimedes in einer -(bis dato) verlorenen Schrift: περι πλινθιδων και κυλινδρων zwischen -die Grenzen 211875 : 67441 und 197888 : 62351 eingeschlossen habe, -d. h. π bis etwa 1/14000 bestimmt hat. Es folgen dann Formeln für die -Kreissegmente, Näherungsformeln für Bogen und Flächen. Paul Tannery -hat sie mit Hilfe der Integralrechnung, Mem. de Bordeaux 2 V. S. 347, -geprüft und sie teilweise von erstaunlicher Genauigkeit gefunden. Er -behandelt auch, als Vorläufer von ¨Diophant¨ (s. u.) Quadratische -Gleichungen rein arithmetisch, er scheut sich nicht Kreisfläche und -Peripherie zu addieren und hat bereits für die 4 Potenz den terminus -technicus δυναμοδυναμις d. h. biquadratisch. Zylinder- und Kegelmantel -berechnet er wie wir, durch Aufrollen, und für die Kugelfläche hält er -sich an Archimedes. Wenn man die Metrik liest, hat man den Eindruck, -dass Archimedes zur Zeit des Heron in voller, alles andre überragenden -Bedeutung gewesen sei und wird geneigt, Heron nicht mehr als zwei -Menschenalter nach ihm anzusetzen. - -Das 2. Buch ist der Körpermessung gewidmet, hier kommen die bei -Archimedes erwähnten Zitate aus dem »εφοδικον« vor, leider ohne die -Beweise. - -Den Schluss dieses zweiten Buches habe ich einleitend bei Ägypten auf -S. XV angeführt. Der 3. Teil enthält Flächen- und Körperteilungen, es -sind Aufgaben die uns meist noch heute als Schüleraufgaben geläufig -sind. Ich erwähne die Aufgabe 18: Einen Kreis annähernd in drei gleiche -Teile zu teilen. Es wird die Seite des regulären Dreiecks eingetragen, -durch das Zentrum die Parallele gezogen, so ist das Segment ΓΔΖΒ ~ -1/3. »Da das Stück, um welches das Segment ΔΓΒ grösser ist als dieses, -(¨nämlich das Drittel¨, und nicht wie Schöne versehentlich übersetzt, -als sie), unerheblich ist im Verhältnis zum ganzen Kreis«. Der -Schlusssatz bestätigt, dass ¨Archimedes¨ im 2. Buch περι σφαιρας και -κυλινδρου die Kugel im gegebenen Verhältnis geteilt hat. - -Wenn ich bei ¨Heron¨ langer verweilt habe, als Ihnen vielleicht -wünschenswert erscheint, so tat ich es einerseits weil Heron häufig -unterschätzt wurde und andrerseits weil er für die Geschichte der -Kultur als Techniker sich würdig Euklid dem reinen Geometer an die -Seite stellt, und unter anderen einer der Riesen der Renaissance -¨Leonardo da Vinci¨ die deutlichsten Spuren seines Wirkens zeigt. - -[Sidenote: Theodosios, Sphärik.] - -Ich erwähne kurz einige historisch wichtige Namen. Ich nenne -¨Theodosios¨, möglicherweise aus einem Tripolis, wahrscheinlich aus -Bithynien, den Cantor als Zeitgenossen des Geminos ansetzt, während -Tannery in seiner Untersuchung über antike Astronomie ihn als -Zeitgenossen des Hipparch und als Bithynier ansieht. Seine Sphärik -in 3 Büchern ist eine reine ¨Geometrie¨ auf der Kugel, und hat erst -im 18. und 19. Jahrh. Nachfolger gefunden, sie hat den Inhalt von -Euklids Phänomenen aufgenommen. ¨E. Nizze¨ hat sie 1826 in Stralsund -ins Deutsche übertragen mit Erläuterungen und Zusätzen. Sie ist -interessant insbesondere auch für die Geometrie des ¨Riemann¨schen -endlichen Raumes. Nizze hat die Sphärik dann 1852 in Berlin griechisch -und lateinisch ediert, nachdem ¨A. Nokk¨ darüber ein Programm 1847 in -Bruchsal geschrieben. Das griechische Originalwerk ist zuerst 1558 -von ¨Joh. Pena¨ mit lateinischer Übersetzung ediert. Schon im 11. -Jahrh. wurde durch Platon von Tivoli (nächst Gherard von Cremona der -fleissigste Übersetzer) eine arabische Bearbeitung der Sphairika, der -Kugelschnitte durch Ebenen, ins Lateinische übersetzt, und 1558 von -Maurolycus desgleichen. Aus den vielen Zusätzen des oder der Araber -erwähne ich: wenn die gerade Linie aus dem Pole eines Kugelkreises -nach dessen Umfange gleich ist der Seite des in diesen Kreis -eingeschriebenen Quadrats, so ist der Kreis selbst ein grösster Kreis. -Es ist dies die Umkehr des von Theodosios I, 16 gegebenen Satzes. -- -Eine tüchtige, kritische und sachliche Arbeit über die Sphärik ist -das Programm von ¨A. Nokk¨. Die Arbeit des Theodosios lässt sich noch -heute ganz vortrefflich für den Unterricht in der Prima eines Real- -oder humanistischen Gymnasiums verwerten. Nokk zeigt wie sich die -Kenntnis der Geometrie auf der Kugel ¨kontinuierlich¨ von ¨Autolykos¨ -über ¨Euklid¨ zu Theodosios und von da zu ¨Ptolemaios¨ entwickelt. Da -neben und vielleicht auch vor der Feldmessung die Astronomie die Quelle -der Mathematik ist, so war die Geometrie auf der Kugel schon früh eine -Notwendigkeit. Und mit Nokk und Nizze muss man Theodosios, wenn auch -als keinen Geometer ersten Ranges, so doch als einen sehr tüchtigen -Geometer zweiten Ranges ansehen, dessen Schrift nach Inhalt und Form -auf die Zeit des Hipparch oder die nächstfolgende Generation hinweist. - -[Sidenote: Geminos.] - -In gleiche Zeit mit Theodosios setzt Cantor Geminus oder Geminos -(Γεμινος). Mit ihm beginnt ¨Loria¨ das »¨silberne Zeitalter¨« der -griechischen Geometrie, das Zeitalter der »Commentatoren«. Von dem -grossen Werk ¨Gino Lorias¨ »Le science esatte nell' antica Grecia« -standen mir leider nur die drei letzten Bände von 1902 zur Verfügung, -und auch diese nur italienisch, da bedauerlicherweise eine deutsche -Übersetzung von dem Werke dieses als Mathematiker wie als Historiker -der Mathematik gleich hervorragenden Gelehrten noch nicht erschienen -ist. Proklos erwähnt den Geminos 18mal, (den Platon 39mal). Besonders -wichtig ist 38 das grössere Zitat und 112, 24; 113, 26. - -Demnach hat Geminos ähnlich wie in unseren Tagen ¨Papperitz¨ eine -Einteilung der mathematischen Disziplinen gegeben, ebenso eine -Einteilung der Kurven. - -[Sidenote: Poseidonios.] - -[Sidenote: Stoa.] - -[Sidenote: Zenon.] - -[Sidenote: Chrysippos.] - -[Sidenote: Stoiker.] - -[Sidenote: Epikuräer.] - -Das Citat 112 vindiziert dem Geminos den Nachweis der Verschiebbarkeit -des Kreises, der Geraden, und der Schraubenlinie auf dem geraden -Kreiszylinder und den Satz: wenn von einem Punkt aus an zwei in sich -verschiebbare (ὁμοιομερεις) Linien zwei Geraden unter gleichen Winkeln -gezogen werden, so sind sie gleich lang. Ich vermute aber, dass diese -Betrachtungen aus dem Werke des ¨Apollonios¨ über die Schraubenlinie -auf dem Zylinder herrühren. In derselben Schrift hat Geminos auch -nach Proklos, Friedl. 113, Z. 4 und 5 die Erzeugung der Spirischen -Linien (Schneckenlinien und Wulstschnitte) und der Konchoïden und -Kissoïden gelehrt. Besonderen Wert lege ich auf die Stelle S. 176 -f., dort erwähnt Proklos, dass Poseidónios, gemeint kann nur der -Rhodier sein, die Euklidische Definition: Parallelen sind Asymptoten, -dahin umgeändert, dass es Abstandslinien sind, und Geminos hat diese -¨Auffassung¨ akzeptiert. Dies scheint mir für die Datierung des -Geminus entscheidend, Poseidónios war der Lehrer des Cicero, um 75 und -vermutlich auch des Geminus, so kann dieser nicht gut vor 70 angesetzt -werden, was Cantor auch tut. Die Persönlichkeit des ¨Poseidónios¨, -der, obwohl aus Apamea in Syrien nach seinem Wirkungsort meist der -Rhodier genannt wird, tritt im Laufe des letzten Dezenniums immer -mehr hervor; auch die Philosophie der Mathematik bei Geminus stammt -vermutlich ihrem gedanklichen Inhalt nach von ihm vergl. Proklos 80, -20 f., 143, 8 f., 199 und 200. Und dass er auch mit Unterscheidungen -und Einteilungen sich beschäftigte, zeigt Proklos S. 170. Aus 200 -und besonders aus dem Exkurs zur Konstruktion der Symmetrieaxe geht -hervor, dass sich Poseidónios sehr eingehend gerade mit den Elementen -der Geometrie beschäftigt hat. Dass Poseidónios als Stoiker sich -besonders gegen Epikur richtet ist erklärlich. Die Stoa ist für das -Verständnis des römischen Lebens der letzten Zeit der Republik und des -Kaiserreichs von grösster Bedeutung, da sie aber für die Geschichte der -Naturerkenntnis nur von geringem Wert ist, so will ich mich auf ganz -kurze Notizen beschränken. Der Gründer war Zēnon der in der bekannten -»bunten Halle« Stoa Poikile lehrte, etwa um 340-325. In engem Anschluss -an die Cyniker, an Antisthenes und an seinen Lehrer Krates hielt auch -Zēnon Bedürfnislosigkeit für die erste Bedingung zur Glückseligkeit, -aber er enthielt sich alles Cynismus. Auch er stellte die Forderung -auf, der ¨Natur¨ zu gehorchen, aber diese Natur ist ihm das von der -Vernunft gegebene Gesetz. Als das einzige Gut gilt den Stoikern die -Tugend und als diese die Herrschaft der Vernunft über die Erregung der -Seele. Nie darf der Weise sich hinreissen lassen Lust oder Schmerz zu -empfinden, sein Ideal ist etwa der Zustand einer völligen Apathie. -Fühlt die Vernunft, dass sie der Affekte nicht Herr werden kann, so -hat sie das Mittel durch Selbstmord die Niederlage zu vermeiden. So -soll Zenon selbst in hohem Alter durch Selbstmord geendet haben. Der -Gegensatz zu Platon und Aristoteles in der älteren Stoischen Schule -liegt hauptsächlich in der Ausbildung des Egoismus, zu der die Lehre -notwendig führen musste; eine enthusiastische Hingabe an den Staat, an -die Gottheit, an die reine Erkenntnis verstiess gegen die Forderung -der Affektlosigkeit. Das geistige Haupt der älteren Stoa ¨Chrysippos¨ -aus Soloi in Kilikien, der etwa um 240 blühte, hat die Lehren des -Zenon, die er schon wesentlich in ihrer praktischen Seite mässigte, -streng wissenschaftlich verteidigt. Von seiner ausserordentlichen -schriftstellerischen Tätigkeit, durch die er der Stoa erst ihre -Verbreitung gegeben nicht nur nach Rom, sondern auch nach Alexandrien, -wo er selbst einen ¨Eratosthenes¨ gewann, sind uns nur wenige -Bruchstücke durch Plutarch erhalten. Die Hauptquellen über die Stoiker -sind ¨Diogenes Laertios¨ und ¨Cicero¨ (De Officiis, Timaeus und vor -allem de finibus). Ihre Hauptbedeutung liegt in ihrer Ethik, die sie -als praktische Wissenschaft systematisch erfassten. Die Lehre des -Chrysipp von den Affekten war von der des Spinoza in der Ethik nicht -wesentlich verschieden. Wenn Chrysipp, das Haupt der älteren Stoa, sich -stark polemisch gegen den Idealismus wandte, so suchten die Häupter der -mittleren Stoa, ¨Panaitios¨ und ¨Poseidónios¨ um so mehr zu vermitteln, -sie sind die Begründer des besonders von Cicero, aber auch sonst -von der späteren römischen Zeit vertretenen ¨Eklekticismus¨ der ein -mixtum compositum so ziemlich aller Schulen, vielleicht mit Ausnahme -der Skeptiker (vergl. oben die Sophisten) war. Panaitios aus Rhodos -der mit den vornehmsten Römern seiner Zeit insbesondere mit Lälius -und dem jüngeren Scipio befreundet war, trägt durch sein Werk περι -του καθηκοντος »über das Geziemende« die moralische Schuld an Ciceros -Officien. Panaitios und Poseidónios, der bei ihm gehört hat, erhoben -schon die Forderung »die Waffen nieder«, indem sie in dem (Römischen) -Weltreich eine moralische Forderung erblickten. Übrigens sehen wir aus -Proklos, dass Poseidónios scharf genug gegen die Epikuräer geschrieben -hat. Über ¨Epikur¨ und die ¨Epikuräer¨ will ich mich kurz fassen, sie -waren besser als ihr Ruf, wenn sie es auch nicht liebten sich über die -schwierigen Probleme der Erkenntnistheorie die Köpfe zu zerbrechen. -Wenn sie auch im Prinzip an die Lustlehre des Aristippos anknüpften, -so war das Ideal der Lust des Epikur und seiner Genossenschaft nicht -die rohe Sinnenlust, sondern jene althellenische Tugend der Σωφροσυνη, -der temperantia, des Masshaltens. Freilich müssen sie sich in praxi von -dieser temperantia ziemlich entfernt haben, ich verweise auf ¨Horaz¨ -Epist. I, s. u. besonders I, IV an den Dichter ¨Tibull¨: - - Me pinguem et nitidum bene curata cute vises, - Cum videre voles ¨Epicuri de grege porcum¨. - - »Wenn du fettglänzend mich mit wohlgepflegetem Bäuchlein - Sehen wirst, willst du beschaun ein Schwein Epicurischer Herde.« - -[Sidenote: Stoiker.] - -Die Stoiker knüpfen in ihrer Physik ganz direkt an ¨Heraklit¨ und -sein Urfeuer an; die neuere Stoa, deren Hauptvertreter ¨Epiktet¨, -¨Seneca¨ und der treffliche Kaiser Marc Aurel waren, knüpften auch -in ihrer Ethik an ¨Heraklit¨ und seine Lehre von der Vergänglichkeit -der Dinge und an seinen Pantheismus an, für die praktische Moral und -die Weisheitslehre im engeren Sinne gehen sie auf Chrysipp zurück und -verwerfen den Eklekticismus des Panaitios und Poseidónios, welche -die Lehren der Stoa stark mit platonisch-aristotelischen Gedanken -durchsetzt hatten. Poseidónios muss übrigens dem stoischen Ideal -des Weisen, der vermöge der Hegemonie der Vernunft alles weiss, -fast vollständig entsprochen haben, er wusste so ziemlich alles, -was seinerzeit zu wissen war. Dass er nicht nur als Philosoph der -Mathematik bedeutend war, sondern auch als Astronom wissen wir aus -Ptolemaios, der durch seinen Einfluss beim geozentrischen System stehen -blieb, er berechnete die Entfernung der Erde von der Sonne richtiger -als ¨Newton¨. Dass er auch als Meteorologe bedeutend war, wissen wir -durch eine Anzahl bei späteren Schriftstellern mitgeteilter Fragmente. -Da ich für Poseidónios nicht über Studien der Originale verfüge, so -verweise ich auf ¨W. Chapelle¨, die »Schrift von der Welt« περι κοσμου, -Neue Jahrb. für das klass. Altertum etc. B. XV, 1905 p. 529 ff. und -zitiere daraus: - -[Sidenote: Poseidonios.] - -»Von der umfassenden Schriftstellerei des Poseidonios ist uns kein Werk -erhalten. Aber seine Nachwirkung in der griechischen und römischen, -auch der altchristlichen Literatur ist einzig in ihrer Art, seine -überragende Bedeutung in ihrem Einfluss auf die Folgezeit nur der des -Aristoteles vergleichbar.« - -[Sidenote: Jüngere Stoa, Marc Aurel.] - -Wie die Stoiker an Heraklit und sein Feuer für ihre Physik, oder -wie es Aristoteles richtiger nennt, für ihre Physiologie anknüpfen, -so tun sie das auch in ihrer Metaphysik. Der ¨Logos¨ des Heraklit -ist die Weltvernunft, das dem Feuer als Träger des Geschehens, der -Veränderung, gegenüberstehende gemeinsame ewige ¨Gesetz¨, das besonders -auf ethischem Gebiet das Werden bestimmt, und eben dieselbe Rolle hat -der Logos bei den Stoikern. Ist Heraklit kurz, aphoristisch dunkel, so -verweilen die Stoiker sehr ausführlich bei dem Logosbegriff, der dann -später, wenn auch stark modifiziert, eine so grosse Rolle bei ¨Philon¨ -(s. u.), den Neuplatonikern und den christlichen Gnostikern spielt. -Freilich wird, gemäss eines stark materialistischen Zuges der Stoa, -auch der Logos materialisiert, verkörperlicht, und die weltgestaltende -Kraft wird zum Logos spermatikos, zum Weltsamen, aus dem das -Welt-Lebewesen (Zoon) hervorwächst. Ganz an ¨Giordano Bruno¨ erinnert -die Stelle bei Marc Aurel, dem philosophischen Kaiser: Der Kosmos ist -vorzustellen, wie ¨ein¨ Lebewesen, das im ununterbrochenen Zusammenhang -¨ein Sein¨ und ¨eine¨ Seele hat. -- - -Um auf Geminos zurückzukommen, so ist von ihm noch ein astronomisches -Lehrbuch εισαγωγή εις τα φαινόμενα erhalten, ich werte es höher wie -Cantor, schon deswegen, weil darin eine sehr klare Schilderung des -Sonnensystems des ¨Hipparch¨ erhalten ist. - -[Illustration] - -[Sidenote: Menelaos.] - -[Sidenote: Ptolemaios.] - -In die Zeit des Trajan, also vielleicht noch vor Geminos, fällt -¨Menelaos¨, Mathematiker und Astronom; auch er, wie Heron, aus -Alexandria, aber durch Ptolemaios steht fest, dass er auch in -Rom im Jahre 98 observiert hat. Denn Ptolemaios hat zwei seiner -Fixsternbeobachtungen aufgenommen, während es sehr wahrscheinlich ist, -dass er sehr viele und gewissenhafte Beobachtungen von Fixsternen -ausgeführt hat, welche Ptolemaios für seinen Katalog zurechtgemacht -hat, vgl. A. A. Björnbo, Eneström 1901, S. 196. Proklos teilt uns -S. 345 den einfachen Beweis des Satzes mit: der grösseren Seite -liegt der grössere Winkel gegenüber, s. ¨Heron¨, welchen: Μενελαος -ὁ Αλεξανδρευς ανευρεν και παρεδωκεν. Menelaos muss also auch über -die Stoicheia der Geometrie geschrieben haben. Wenn αβγ und δεζ die -Dreiecke sind und αβ = δε, αγ = δζ und βγ > εζ, so trage man εζ auf βγ -auf bis η und Winkel δεζ an βη und mache βθ gleich δε, so ist (nach bc, -α) βθη ≅ δεζ, und θη gleich δζ gleich αγ, somit im Dreieck θακ Seite -θκ > ακ also θακ > αθκ, somit da αβθ gleichschenklig ∢ βαγ > als ∢ βθη -also auch als εδζ. - -Das Werk des Menelaos über die Geraden im Kreise, d. h. über -Sehnenberechnung oder doppelte Sinustafeln, in 6 Büchern, ist als -selbständiges Werk verloren gegangen, weil es vermutlich Aufnahme in -die Tafel des ¨Ptolemaios¨ gefunden hat. Dagegen sind seine 3 Bücher -¨Sphärik¨ in arabischer und hebräischer Übersetzung erhalten, sie -stellen die älteste uns erhaltene sphärische Trigonometrie dar. Die -Sphärik enthielt die meisten elementaren Sätze über das sphärische -Dreieck, und darunter auch den noch heute nach Menelaos genannten Satz -über die Transversale im planen und sphärischen Dreieck, wonach die -Produkte der Wechselabschnitte bezw. deren Sinus einander gleich sind. -Chasles hat es als wahrscheinlich hingestellt, dass der Satz (für das -plane Dreieck) schon in den Porismaten des Euklid gestanden habe. -Ptolemaios hat aus diesem Satz die sphärische Trigonometrie mühelos -abgeleitet. - -[Sidenote: Almagest.] - -Der Zeit nach müssten wir an Menelaos den Arithmetiker Nikomachos -anschliessen, aber sachlich fügt sich an ihn der weitaus bekannteste -und lange Zeit für den bedeutendsten gehaltene Astronom ¨Klaudios -Ptolemaios¨ an. Nach einer aus Arabischer Quelle stammenden Nachricht -des zuverlässigen Gherard von Cremona stammt auch er aus Alexandrien. -Sein Hauptwerk ist die μεγαλη συνταξις, die grosse Zusammenstellung, -die Kodifikation der antiken Astronomie, inkl. der Babylonischen, das -wie heute etwa die Theoria motus von Gauss das wesentliche Rüstzeug -des Astronomen bildete, von den Arabern schon unter Harun al Raschid -und dann gut unter Al-Mamûn von Haggag (siehe Euklid) übersetzt, und -gewöhnlich mit latinisierter arabischer Bezeichnung Almagest genannt. -Mehr und mehr wird es klar, dass das Werk, so bedeutsam es für die -Kulturgeschichte ist, doch im grossen und ganzen tatsächlich nur eine -grosse Zusammenstellung gewesen ist. Das Ptolemäische Weltsystem hat -sich eigentlich bis Kepler gehalten. Denn ¨Kopernikus¨ sah sich noch -wegen der Annahme der Kreisbahnen gezwungen vielfach auf Ptolemaios -zurückzugreifen. Freilich ist das was Ptolemaios selbst ersonnen hat, -gewiss nicht sehr viel gewesen. ¨Die Exzentrische Sonnenbahn¨ rührt von -¨Hipparch¨, der ¨Epizykel¨ von Apollonios her, der damit Stillstand -und Rückläufigkeit der Planeten (s. o.) befriedigend erklärte. -Ptolemaios kombinierte zur Planetenbewegungstheorie die Epizykel des -Apollonios mit dem Exzenter des Hipparch und liess die Planeten sich -gleichförmig bewegen auf einem Kreise, der in einem Deferenzkreise -rollte, dessen Zentrum sich in einem zur Erde exzentrischen Kreise -bewegte. Der Almagest ist im höchsten Grade wertvoll, einerseits durch -die systematische Durchführung der mathematischen Theorie für die -Himmelsbewegungen, andrerseits durch die Nachrichten über die Arbeiten -des Hipparch, durch die vollständige ebene Trigonometrie und die fast -vollständige Sphärische Trigonometrie des rechtwinkligen Dreiecks, -- -es fehlt nur die Formel des Djabir (¨Geber¨) 11. Jahrh.: cos α = cos a -sin γ und cot α cot γ = cos b. Die Ableitung des Additionstheorems für -den (doppelten) Sinus, das Verhältnis der Sehne zum Radius, gründete er -auf den nach ihm benannten Satz vom Kreisviereck für den Spezialfall, -dass die eine Seite der Durchmesser ist. Von meinem subjektiven -Standpunkt aus genügt mir schon die Tatsache, dass der Satz (Halma -113) nach Ptolemaios heisst, um dessen Autorschaft zu verwerfen. Er -wird vermutlich in des Hipparchs Geraden im Kreise gestanden haben. -Auch als Beobachter ist die Wertung des Ptolemaios in jüngster Zeit -stark herabgegangen, vgl. den zit. Aufsatz von ¨Björnbo¨ über die -fehlerhafte Beobachtung der Präzession und die tadelnswerte Korrektion -der älteren Beobachtungen. Doch ist seine Entdeckung der Präzession -des Mondes, der Evektion, nicht bestritten. Für sein Geographisches -Werk war er jedenfalls auch dem Poseidonios verschuldet, dagegen ist -seine ¨Katoptrik¨ das bedeutendste was das Altertum auf diesem Gebiet -aufzuweisen hat. - -[Sidenote: Parallelentheorie.] - -Durch Proklos p. 191 wissen wir, dass Ptolemaios ein Werk über -Parallelentheorie geschrieben hat, es ist, wenn nicht das erste, so -doch eins der ersten aus der Bibliothek, welche die 5. Forderung ins -Leben gerufen hat. Der Beweis des Parallelenaxioms, den Proklos Friedl. -S. 365-66 gibt, ist von Proklos fehlerhaft kritisiert. Er ist nur in -der Form mangelhaft, man muss bedenken, dass Ptolemaios wie Poseidónios -die Parallelen als Abstandslinien auffasst, womit der zweite -Kongruenzsatz (a, b, c) die Gleichheit des Wechselwinkel ohne weiteres -gibt. Sein Beweis S. 362 des vom Parallelenaxiom unabhängigen Satzes: -»wenn ein Paar innerer Winkel zwei Rechte beträgt, so sind die Linien -parallel« ist leider noch immer in den deutschen Lehrbüchern üblich, -während von Euklid I, 27 so schlagend einfach mit I, 16 bewiesen wird. - -[Sidenote: Nikomachos von Gerasa.] - -Wir kehren jetzt zur Zeit des Menelaos zurück und wenden uns zu -¨Nikomachos von Gerasa¨, vermutlich nahe bei der im alten Testament -erwähnten Stadt Bozra. Wir sehen hier recht deutlich, wie genau die -Entwicklung der Mathematik mit den allgemeinen die Zeit beherrschenden -Geistesströmungen zusammenhängt. - -Um die Zeit des Beginns der christlichen Ära waren die tiefer -angelegten Naturen der Nüchternheit der Stoischen und Epikureischen -Lehren satt, die sich im Skeptizismus bis zum unvernünftigen Extrem -überschlagen hatten. Schon ¨Aristoteles¨ hat verglichen mit Platon, -den ich meiner Auffassung des Grenzbegriffs gemäss, als die Vollendung -des Pythagoreismus definieren könnte, einen rationalistischen -Einschlag, auf den sich die Entwicklung der Naturwissenschaften und der -angewandten Mathematik aufbaute, und in den genannten Philosophischen -Schulen trat das ideale Element im Geistesleben der Menschheit immer -mehr in den Hintergrund, bis es von den Skeptikern geradezu geleugnet -wurde. Gegen diese Verflachung des Seelenlebens erhub sich nun in -mächtiger Reaktion der neubelebte Idealismus. Während die trostlosen -realen, die wirtschaftlichen und sozialen Zustände -- man denke nur -an den zum Ding im römischen Recht gewordenen Sklaven -- die grossen -Massen des römischen, von Prätoren und Prätorianern ausgesogenen -Weltreichs für die Essäischen Lehren empfänglich machte und sich -das Juden-Christentum infolge seines Sozialismus rapide unter ihnen -verbreitete, suchten die Gebildeten in der Rückkehr zum Idealismus -der alten Schulen, der Pythagoräer und des Platons, die Befriedigung, -welche sie im wirklichen Leben und in der Philosophie, die sich den -faktischen Zuständen angepasst hatte, nicht fanden. - -Mit dem Pythagoreismus lebt zugleich das Interesse für Zahlentheorie, -für Arithmetik und für Zahlenmystik, Zahlentheologie -- Θεολογουμενα -της αριθμητικης. -- genannt, wieder auf, und findet in ¨Nikomachos¨ -seinen wichtigsten Vertreter. - -[Sidenote: Nikomachos, Introductio.] - -Die Theologoumenen sind in dem fälschlich Nikomachos zugeschriebenen -Sammelwerke nur fragmentarisch erhalten, das 1543 in Paris gedruckt -ist. Weil das Werk von äusserster Seltenheit, ich glaube nur in -einem Exemplar vorhanden, und doch von höchster Bedeutung für den -Pythagoreismus und die Philosophie oder richtiger Theologie der -Neupythagoräer ist, hat Fr. ¨Ast¨, der verdienstliche Platoforscher, -es 1817 zugleich mit dem Hauptwerk des Nikomachos, der Einführung in -die Arithmetik, εισαγωγη αριθμητικη. 1817 herausgegeben, die 1538 in -Paris vom selben Verlag ediert war und ebenfalls sehr selten geworden. -Gestützt auf einen neuen Codex aus Zeitz hat dann 1866 ¨R. Hoche¨ die -Eisagoge ediert, höchst bedauerlicher- und schwer begreiflicherweise -ohne deutsche oder lateinische Übersetzung. - -Das Verdienst, die jetzigen Mathematiker auf Nikomachos hingewiesen -zu haben, hat sich ¨G. F. H. Nesselmann¨ in seiner trefflichen -»Algebra der Griechen« Berl. 1842 erworben, der ihm 34 Seiten des -knapp gehaltenen Buches widmete. Er hat mit Recht hervorgehoben, dass -die »Einführung in die Arithmetik« eine neue Epoche der Mathematik -bezeichnet, es ist eine wirkliche »Arithmetisierung der griechischen -Mathematik« welche nach Nesselmann vom 2. Jahrh. n. Chr. bis zum 14. -[Maximus Planudes] gedauert hat. Wie bedeutend das Werk des Nikomachos -den Zeitgenossen erschien, erhellt daraus, dass es schon im 2. Jahrh. -ins Lateinische von ¨Apulejus¨ aus Madaura übersetzt ist, eine Schrift -die fast spurlos verloren gegangen ist, vermutlich weil sie durch die -Bearbeitung des Boëtius aus dem 6. Jahrh. verdrängt ist. Apulejus -ist für uns insofern von Wert, als er uns die reizende Erzählung -von Amor und Psyche, ein Märchen auf orientalisch-mythologischer -Grundlage erhalten hat. Ob Boëtius wirklich nach dem Original oder -nach der Bearbeitung des Apulejus gearbeitet, scheint mir trotz der -an den Patrizier Symmachos, seinen Erzieher, gerichteten Einleitung -zweifelhaft. Boëtius hat auch die Musikalische Theorie der Pythagoräer -ebenfalls nach ¨Nikomachos¨ der die Tonleiter bis zur zweiten -Oktave ausgedehnt hatte, gegeben; vergl. ¨G. Friedleins¨ Ausgabe -der Arithmetik, der »Institutio musica« nebst der sogen. Geometrie -des Boëtius, dessen Abacus (Rechentisch) mit den »Apices«, den -»Staubziffern« der Westaraber so viel Staub aufgewirbelt hat. - -Die vom Mathematischen Standpunkt aus minderwertige Arbeit des Boëtius -ist schulgeschichtlich von höchster Bedeutung, denn sie ist es gewesen, -welche dem arithmetischen Unterricht der Klosterschulen zugrunde lag. - -Schon ¨M. Cantor¨ hat sich der Ansicht des Isidorus von Sevilla, der -600 Bischof von Hispalis war und 636 gestorben ist, angeschlossen, dass -wir in der Isagoge im wesentlichen das Wissen der Pythagoräer und zwar -der Alt- und Neupythagoräer kodifiziert und systematisiert vor uns -haben, und in diesem Sinne wird ¨Nikomachos¨ richtig als der ¨Euklid¨ -der ¨Arithmetik¨ gekennzeichnet. Der Vergleich mit Philolaos und dem -oben zit. Werk des Theon von Smyrna zeigt, dass es der Gedankenkreis -der Pythagoräer ist, der uns hier übermittelt wird, wenn auch das -Material durch einen an Archimedes und den anderen Grossen gebildeten -Mathematiker vermehrt ist. - -[Sidenote: Nikomachos, Einleitung der Introductio.] - -Die Einleitung ist sowohl von ¨Nesselmann¨, als von ¨Cantor¨ und -¨Loria¨ übergangen und doch ist sie vielleicht das interessanteste. -Ich werde sie an anderer Stelle ganz geben, hier hebe ich aus ihr -hervor: Cap. IV, Hoche p. 9; die Arithmetik, ist dies [die Mutter der -anderen Wissenschaften] nicht allein, weil wir sagten, dass sie in dem -Intellekt des göttlichen Künstlers den übrigen vorangegangen sei, wie -ein die Welt ordnender und vorbildlicher Plan, auf den gestützt der -Werkmeister das Ganze etwa wie auf eine Vorlage und ein erstgeprägtes -Vorbild das aus Materie Geschaffene in schöne Ordnung brachte und -bewirkte, dass es den richtigen Zweck erreichte, sondern auch weil sie -von Natur den anderen vorangeht, insofern sie die andern aufhebt, aber -nicht von ihnen aufgehoben wird. (¨Archytas.¨) - -Also eine in Zahlen gegebene ¨Praestabilierte Harmonie¨. -- Ferner: -Nikomachos unterscheidet Grössen und Mengen, Cap. II. Grössen sind -in einer Vorstellung zusammengefasst (ἡνωμένα) und ¨kontinuierlich¨ -(αλληλουχουμενα ein Synonym für συνεχη), Mengen sind ¨diskret¨ -(διηρημενα) und in Nebeneinanderstellung (παραθεσει.) wie ein Haufen. -Dann fährt er fort: da die Menge, (Anzahl) und die Grösse ihrer Natur -nach notwendigerweise unendlich ist, (die Menge von einer bestimmten -Wurzel [der Eins] ausgehend, lässt sich ins Unendliche fortsetzen, die -Grösse von einer bestimmten Ganzheit aus geteilt, hat keinen letzten -Teil und erstreckt sich dadurch ins Unendliche) die Wissenschaften aber -durchaus Wissen vom Endlichen und niemals vom Unendlichen sind, so -ist wohl klar, dass es von der Grösse und der Menge schlechthin keine -Wissenschaft geben würde (denn unbestimmt sind beide, die Menge in -bezug auf Vermehrung, die Grösse in bezug auf Verminderung) sondern nur -in bezug auf etwas von beiden Abgegrenztes, und zwar von der Menge als -begrenzter Vielheit und von der Grösse als begrenzter Grösse. - -Hier sieht man, wie klar das Kontinuitätsproblem erfasst ist. - -Noch bemerke ich, dass der so berühmte Ausdruck: Quadrivium, für die 4 -Wissenschaften Arithmetik, Musik, Geometrie, Astronomie (σφαιρικη ist -nicht, wie Nesselmann sagt, Trigonometrie, sondern Astronomie), der -von Boëtius aus das Ideal höherer Bildung bezeichnete, eine wörtliche -Übersetzung von Kap. IV, Hoche 9 των τεσσαρων μεθοδων ist. [¨Archytas¨, -Harmonik.] - -Es schliesst sich an die Einleitung die Definition der Zahl an, welche -wiederum zeigt, dass die Dreiteilung des Zahlbegriffs alt pythagoreisch -(platonisch) ist. Die Zahl ist entweder Anzahl (Kardinalzahl, πληθος -ὡρισμενον) oder Ordnungszahl (μοναδων συστημα) oder Masszahl (relative -Zahl, ποσοτητος χυμα εκ μοναδων συγκειμενον der aus Einheiten -zusammengesetzte Strom der Wievielheit). - -[Sidenote: Nikomachos, Introd. Buch 1.] - -Das 1. Buch wiederholt nur von Philolaos, Euklid und Eratosthenes -gegebenes, Kap. XIII wird das Sieb des Eratosthenes beschrieben. Das -Diagramm im Codex von Zeitz ist nicht nur eine Primzahlen- sondern -zugleich eine Faktorentabelle, Kap. XIX, Hoche p. 51, findet sich dann -das erste Diagramm des kleinen Einmaleins in der uns geläufigen Form: - - μήκος - +----+----+----+----+----+----+----+----+---------+ - | α | β | γ | δ | ε | ϛ | ζ | η | θ | ι | - +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ - | β | δ | ϛ | η | ι | ιβ | ιδ | ιϛ | ιη | κ | - +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ - | γ | ϛ | θ | ιβ | ιε | ιη | κα | κδ | κζ | λ | - +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ - | δ | η | ιβ | ιϛ | κ | κδ | κη | λβ | λϛ | μ | - +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ - | ε | ι | ιε | κ | κε | λ | λε | μ | με | ν | - βάθος +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ - | ϛ | ιβ | ιη | κδ | λ | λϛ | μβ | μη | νδ | ξ | - +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ - | ζ | ιδ | κα | κη | λε | μβ | μθ | νϛ | ξγ | ο | - +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ - | η | ιϛ | κδ | λβ | μ | μη | νϛ | ξδ | οβ | π | - +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ - | θ | ιη | κζ | λϛ | με | νδ | ξγ | οβ | πα | ϟ | - +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ - | ι | κ | λ | μ | ν | ξ | ο | π | ϟ | ρ | - +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ - - -[Sidenote: Nikomachos, Introd. Buch 2.] - -Weit bedeutender ist das zweite Buch, es enthält eine ganz achtbare -Zahlentheorie auf altpythagoreischer Grundlage, wie sich Nikomachos, -man vgl. ¨A. Boeckhs¨ Philolaos, durchaus auch in seiner Philosophie -ganz eng an Philolaos anschliesst. Zunächst kommen Betrachtungen über -gewisse, schon den Altpythagoräern geläufige Beziehungen zwischen -Ketten von geometrischen Reihen desselben Exponenten, die im Kap. 4 -aber nichts Geringeres enthalten als den ¨Binomischen Satz¨, und zwar -im Grunde nach demselben Bildungsgesetz, welches im sog. Pascalschen -Dreieck angewandt wird. - -Es folgt dann die Lehre von den figurierten Zahlen, von denen die -Dreieckszahlen (n [**ueber] 2) und die Viereckszahlen, die Quadrate, -sowie die Tetraederzahlen (n [**ueber] 3) und Würfelzahlen, Kuben, -jedenfalls allbekannt waren. Aber die Lehre von den figurierten Zahlen -(σχηματιζοντες) ist bei Nikomachos, der an ¨Hypsikles¨ einen Vorgänger -hatte, sehr ausführlich behandelt, und sie spielte, man sehe das so -wichtige Werk ¨R. Baltzers¨, Elem. d. Math., von da ab bis ¨in die -Mitte des 19. Jahrh¨. eine grosse Rolle auch im Elementarunterricht. -Die p-te Polygonalzahl ist von der Form n + (p - 2)(n [**ueber] 2) und -der Gnomon im Heronschen Sinne der von n auf (n + 1) überführt ist -1 + (p - 2)n; die Figur zeigt die 5-Ecke der Seiten 1, 2, 3, 4, 5. - - x-----x-----x-----x-----x - / \ - / \ - / \ - x x - / \ - / x-----x-----x-----x \ - / / \ \ - x / \ x - / / \ \ - / x x \ - / / \ \ - x / x-----x-----x \ x - / / / \ \ \ - / x / \ x \ - / / / \ \ \ - x / x x \ x - / / \ \ - x / x-----x \ x - / / \ \ - x / \ x - / \ - x x - - x - -Die n-te (p + 1)-Eckzahl ist gleich der n-ten p-Eckzahl vermehrt -um die (n - 1)te Dreieckszahl. Es handelt sich, wie man sieht, um -Summation arithmetischer Reihen erster Ordnung. Interessant ist der -Satz Kap. 20: n^3 = Σn(n - 1) + 2k - 1 wo k von 1 bis n geht. Nicht -minder interessant ist Kap. 7, wo die Definitionen des ¨Platon¨ und -¨Aristoteles¨ über Punkt, Linie, Fläche, zwar vereinigt werden, aber -die Platonische benutzt wird, um aus dem ¨Ursprung¨ der vorhergehenden -die folgenden Zahlen zu definieren; die Flächenzahl ist Summe der -(vorhergehenden) Linienzahlen, bezw. Reihe von ihnen, die Körperzahl -wiederum von Flächenzahlen. - -[Sidenote: Proportionenlehre.] - -Mit Kapitel 21 beginnt dann die ganz ausführliche Lehre von den -Proportionen, neu ist vielleicht die Lehre von der vollkommensten, der -musikalischen a : (a + b)/2 = 2ab/(a + b) : b z. B. 6/9 = 8/12 welche -Pythagoras, wie ¨Jamblichos¨ sagt, aus ¨Babylon¨ nach Griechenland -gebracht hat. Mit Unrecht tadelt Nesselmann die Definition des -Verhältnis bei Nikomachos; sie heisst: Verhältnis (λογος, ratio) ist -das gegenseitige Enthaltensein zweier bestimmter Grössen, denn σχεσις -ist bei Nikomachos und allgemein der technische Ausdruck für die σχεσις -κατα πηκλικοτητα für die Messung der einen durch die andere. - -Aus dem Résumé Nesselmanns hebe ich No. 1 hervor: »Bei Nikomachos -erscheint die Arithmetik zum ersten Mal frei von den Fesseln -geometrischer Vorstellungen, mit denen sie bei Euklides noch behaftet -ist.« (Aber kaum mehr bei ¨Heron¨.) - -[Sidenote: Theon.] - -Auch Nikomachos teilt die altpythagoräische Ansicht, dass die -unzerlegbare Eins keine Zahl sei. Diese Ansicht hat sich von Boëtius -bis in die Rechenbücher des 18. Jahrh. gehalten, wenn Nikomachos sie -auch nicht so klar ausgesprochen hat, wie der vielleicht etwas ältere -Astronom ¨Theon¨ von Smyrna in seinem schon mehrfach erwähnten Werk -»των κατα το μαθηματικον χρησιμων εις την του Πλατωνος αναγνωσιν; -was man an Mathematischem wissen muss, um Platon zu verstehen. -Erhalten sind grosse Fragmente der Arithmetik, der Musik, d. h. der -theoretischen Lehre von den Intervallen und dem Kontrapunkt, sowie der -Astronomie, 1892 von ¨J. Dupuis¨ Griechisch und ¨Französisch¨ ediert. -In der Astronomie hängt er von dem Peripatetiker Adrastos ab, der u. a. -einen Kommentar zum Timaios verfasst hat. Erwähnung verdient Theon nur, -weil sich bei ihm die ¨Kettenbruchentwicklung¨ der √2 findet, die sich -auch mit einer Nikomachischen Formel berührt, die selbst wieder seltsam -an f(x + 2dx) = f(x) + 2f′(x)dx + f″(x)dx^2 erinnert, die ihrerseits -wieder den Keim zu einer elementaren, wenn auch nicht strengen -Ableitung der Taylorschen Reihe birgt. Einen Weg der weder für Theon -noch einen andern Pythagoräer gangbar war, der aber geistvoll ist, hat -der Norweger ¨T. Bergh¨, Schlöm-Cantor 31, S. 135 angegeben. Geht man -von einem gleichschenklig rechtwinkligen Dreieck aus, dessen Katheten -α_{n-1} und δ_{n-1} sind und verlängert beide Katheten um δ_{n-1} und -verbindet die freien Endpunkte, so ist α_{n} = α_{n-1} + δ_{n-1} und -d_{n} = 2α_{n-1} + δ_{n-1} und dies sind die Präkursionsformeln für die -Näherungswerte des Kettenbruchs √2 = (1|2), wenn man α_{1} = δ_{1} = 1 -setzen könnte wie Theon tut. Viel wahrscheinlicher ist es, dass wir es -hier mit altem Gut der Pythagoräer zu tun haben, bezw. der Platoniker -und dass sie nach Auflösung der Diophantischen Gleichung x^2 + y^2 = -z^2 sich an die Gleichung x^2 - 2y^2 = ±1 gemacht haben. - -[Sidenote: Jamblichos, Thymaridas.] - -Ich schliesse hier gleich ¨Jamblichos¨ geboren etwa 330 in Chalkis in -Coelesyrien an, der als Philosoph der Stifter der sogen. Syrischen -Abart des Neupythagoreismus oder Neuplatonismus ist, und der ein -grosses Werk in 10 Büchern συναγωγή των πυθαγορείων δογμάτων, Sammlung -der Pythagoräischen Lehren, geschrieben, deren erstes Buch der Roman: -das Leben des Pythagoras, ist und deren 4. Buch die Erläuterungen -zu Nikomachos Arithmetik wichtig ist, erstens für das Verständnis -des Nikomachos und zweitens weil darin beiläufig das »Epanthema« -d. h. Blüte des ¨Thymaridas¨ überliefert wird, möglicherweise eines -Altpythagoräers, obwohl der Name »Blüte« ¨indische¨ Reminiscenzen -weckt, wo poetische und phantastische Bezeichnungen gang und gäbe -waren, und ferner das gänzliche Fehlen jeder geometrischen Einkleidung -auf eine erheblich d. h. mindestens 3 bis 4 Jahrhunderte spätere Zeit -weisen. Die Regel selbst ist von ¨Nesselmann¨, trotz des schlechten -Textes und der schlechten Übersetzung des Tenulius der 1668 den -Kommentar ediert hat, völlig richtig gestellt »Sind x y^I y^{II} -y^{III} y^{IV} etc. eine Anzahl ¨unbestimmter¨ (Grössen), αοριστων -und ist x + Σ y_{k} = a d. h. bestimmt (ωρισμενος), und x + y_{k} = -b_{k}, so ist x = (Σ (b_{k} - a_{k}))/(n - 1). Das von mir mehrfach als -Gesetz für Datierungen angeführte Prinzip auf den ganzen gedanklichen -Zusammenhang zu sehen, bestimmt mich auch den Thymaridas in die Zeit -der Arithmetisierung der Mathematik zu setzen. Von eigener Mathematik -des Jamblichos wären etwa die Sätze n^2 = n + 2(1 + 2 + ... n - 1) -zu erwähnen. Eine moderne, philologische Ausgabe des Kommentars ist -1894 von ¨I. Pistelli¨ gemacht worden, den als arithmetisches Werk -Nesselmann sehr ausführlich S. 236-242 behandelt hat. - -[Sidenote: Plotin.] - -Auch die Philosophie des Jamblichos, obwohl ihn Proklos im Kommentar -zum Timaios den Göttlichen nennt und obwohl der Kaiser Julianus -Apostata für ihn schwärmte, ist nur eine phantastische und vielleicht -absichtlich unklar gehaltene Ausführung der Lehren des Porphyrios oder -vielmehr des Plotin, interessant wäre es allerdings, den babylonischen -und besonders den ¨indischen¨ Einflüssen bei Jamblichos nachzugehen, -z. B. für die Rolle, welche Opfer und Gebet in seiner Lehre spielen. -¨Plotin¨ den man vielleicht statt Neuplatoniker den neuen Platon -nennen könnte, ist das geistige Haupt der Schule und durch seinen -Einfluss auf ¨Augustinus¨, den grossen kirchlichen Neuplatoniker, den -Plotins Lehre vom Sünder zum Heiligen wandelte, kulturgeschichtlich -von grösster Bedeutung, und ich bedaure aufrichtig m. H., dass ich für -Plotin zur Zeit nicht über Quellenstudien verfüge. Plotin war aber auch -mathematisch gebildet und gab in Rom mathematischen Unterricht, und -Augustins ungeheurem Einfluss auf die Abendländische Kirche wenigstens -von 400-1200 danken wir die Berücksichtigung der Arithmetik als -Wissenschaft in den Kathedralschulen. - -¨Plotin¨ ist 202 oder 205 in Lykopolis in Ägypten (Siwet = Assiut) -geboren, seine philosophische Bildung hat er in Alexandrien erhalten, -dem Brennpunkt des wissenschaftlichen Lebens in der Schlussperiode der -antiken Welt. Dort weilte er vom 18. bis 28. Lebensjahre als Schüler -des Neuplatonikers Ammonios, Saccas, d. h. der Lastträger genannt. -Dieser hat wie es scheint nichts geschrieben, aber wie bedeutend er -war, zeigen seine Schüler, Longin, Origenes und Plotin, der von allen -anderen Lehrern unbefriedigt, zehn Jahre in seiner Schule blieb. - -[Sidenote: Philon von Alexandria.] - -Mehr noch als dem Ammonios verdankte Plotin den Schriften ¨Philons¨. -Philon, etwa von 28 v. Chr. bis 50 n. Chr. war zwar äusserlich strenger -Israelit, aber er hatte in die heiligen Schriften des Judentums eine -Symbolik hineininterpretiert, welche seiner eigenen Philosophie -oder richtiger Religion entsprach. Unter dem Einfluss stoischer -(Heraklitischer) essäischer und christlicher Lehren, kann man die seine -als eine Lehre von der Zweieinigkeit Gottes und des Logos, der zugleich -Heiliger Geist und Gottes Sohn, bezeichnen. Die Symbolische Deutung -der heiligen Schriften, welche sich im gewissen Sinne schon bei Platon -und Aristoteles und ihren Schülern findet, die den Konflikt mit der -Volksreligion vermeiden wollten, hat sich von Philon ab bis heute in -der Theologie erhalten. Von ¨Philon¨ hat ¨Plotin¨ die Askese und die -Ekstase, d. i. die Vereinigung mit Gott oder Erfassung (αφή) Gottes. -Dieses Gottwerden der Menschen durch Kasteiung, Gebet und Busse, weist -wiederum nach Indien, wo solche gottgewordene Menschen noch heute -verehrt werden. Und auch in der Allgemeinheit und damit Leerheit des -eigentlichen Gottesbegriffs wurzelt Plotin in Philon. - -[Sidenote: Plotin.] - -Um 243 nahm ¨Plotin¨ an dem Feldzug Gordian III. gegen die Parther -teil, wozu ihn das Interesse an der persischen Religion, an dem was -Zarathustra sprach, antrieb. In der Askese und Ekstase und auch in dem -Dualismus zwischen Ormuz und Ahriman fanden sich enge Beziehungen zu -seinen eigenen Gedanken. Nach dem unglücklichen Ausgang des Feldzugs -ging er nach Rom, und er muss schon damals berühmt gewesen sein, da er -in der Weltstadt zahlreichen Zulauf fand und den Kaiser Galienus selbst -zu seinen Schülern zählte. In Rom lehrte er von 244-268, dann zog er -sich schwer leidend auf ein Landgut bei Minturnae in Campanien zurück, -wo sich seine Seele aus ihrem Körper befreite. Die Vorlesungsnotizen, -welche Plotin etwa mit 60 Jahren niedergeschrieben, wurden in seinem -Auftrag von seinem Lieblingsschüler ¨Porphyrios¨ redigiert und in 6 -Enneaden d. h. in 6 Büchern zu 9 Abschnitten herausgegeben. - -Der wesentliche Unterschied zwischen Plotin und Platon liegt in der -Ideenlehre. Die Ideen, die bei Platon aus der Erfahrung der Einzelnen -abstrahierte grundlegende Konzeptionen der gesamten Vernunft der -Menschheit sind, welche als solche ewige Dauer und regulative Kraft -besitzen, werden zu Ideen oder Gedanken a priori der von der Gottheit -ausstrahlenden Vernunft, des Logos bei Philo, des Noūs (νοῦς) bei -Plotin. Die Emanation stellt sich Plotin etwa vor, wie wir die -Radiumemanationen. - -Die Gottheit selbst bleibt unbewegt und ohne Teilnahme, an dem was sie -ausstrahlt, sie ist das Eine schlechtweg, das $το εν$ der Pythagoräer -und steht so hoch über uns, dass wir eigentlich gar nichts von ihr -aussagen können als jene Ausstrahlung. Bei den späteren Neuplatonikern, -insbesondere bei Proklos ist der Begriff der Gottheit so leer geworden, -dass er besser als mit der Eins mit der Null verglichen werden könnte. -Der Noūs selbst aber zeigt schon eine Entzweiung, eine Trennung in -Denkkraft und Gedanken. Abbild und Erzeugung des Noūs, der von Gott -emanierenden Weltvernunft, ist die Psyche und sie, die Seele, erzeugt, -mittelst des Substrats der Materie, der Hyle, die sie durchdringt -wie etwa das Licht ein Medium, die Körperwelt, an deren Leiden oder -richtiger Reizungen die wahrnehmende Empfindung eigentlich keinen -Anteil hat. Da die Psyche Funktion der Vernunft und diese wieder -Funktion Gottes ist, so ist es dem Menschen gegeben nach Ähnlichkeit -mit Gott zu streben und darin liegt die ¨Tugend¨. Ja durch Abtöten des -Sinnlichen und völliges Versenken in die religiöse Betrachtung des -Einen kann es gelingen zur Ekstase, d. h. zur Vereinigung mit Gott zu -kommen und in diesem Zustand war ¨Plotin¨ nach Angabe des Porphyrios -viermal. Die späteren Neuplatoniker, wie Apollonios von Thyana und -Jamblichos, knüpften an diesen Zustand, der etwa dem entspricht, -was die heutigen Mystiker »Trans« nennen an, um die Möglichkeit des -Prophezeiens und der Wundertaten zu begründen. - -Ich möchte noch hervorheben, dass die Quelle der ¨Schopenhauerschen¨ -Ästhetik eigentlich bei ¨Plotin¨ liegt. Nach jenem liegt das Wesen -der Kunst in der intuitiven Erfassung der im Objekt zur Erscheinung -kommenden Idee, d. h. der bestimmten Abstufung des Willens an sich, -losgelöst von jeder Beziehung auf das individuelle erkennende Subjekt, -und der Wert der künstlerischen Betrachtung darin, dass »das Ixionsrad« -des eigenen Wollens stille steht und wir vor dem Schönen und durch -das Schöne zum ¨reinen¨ willenlosen Subjekte der Erkenntnis werden. -¨Plotin¨ sagt, Enneade V, 81: Nicht in der blossen Symmetrie, sondern -in der Herrschaft des Hohen über das Niedere, der ¨Ideen¨ über den -Stoff, der Seele über den Leib, der Vernunft und des Guten über die -Seele, liegt das Wesen der Schönheit. - -[Sidenote: Porphyrios.] - -¨Porphyrios¨ hat bei Plotin auch Mathematik gelernt, er wird von -Proklos des öfteren erwähnt, ich führe S. 311 den Beweis von I 18 -an: Der grösseren Seite liegt der grössere Winkel gegenüber, den ich -unsern Schulen wieder gewinnen möchte: Wenn αβγ das Dreieck und αβ < -αγ, so mache man αβ mit βε gleich βγ, dann ist αεγ gleichschenklig und -Winkel ε = εγβ + γ und ε noch kleiner als β nach I, 16, dem Satz vom -Aussenwinkel. - -[Sidenote: Diophant.] - -Den Schluss und zugleich den Gipfel der Hellenistischen -Arithmetisierung der Mathematik bildet ¨Diophantos¨ von Alexandrien. - -Seine αριθμητικά bedeuten den durch eine weite Kluft von allem anderen -getrennten Höhepunkt dessen, was die Griechen auf arithmetischem Gebiet -geleistet haben. Sein Werk ist so einzigartig, dass es keineswegs -ausgeschlossen ist, dass Indische und Babylonische Einflüsse wirksam -gewesen sind. Seine Lebenszeit ist wahrscheinlich das Ende des 4. -Jahrhunderts nach Christi, wie ¨Nesselmann¨ l. c. festgestellt hat. -Dass Pappos ihn nicht erwähnt, kann ich mir nur dadurch erklären, dass -er nach Pappos geschrieben. Alles was wir von ihm wissen, steht im -Epigramm 19 der von ¨Maximus Planudes¨, einem byzantinischen Mönch, aus -älteren Exzerpten gesammelten Anthologie: - - Hier das Grabmal deckt Diophant, ein Wunder zu schauen, - Durch arithmetische Kunst lehrt sein Alter der Stein. - Knabe zu sein gewährte ein Gott ihm ein Sechstel des Lebens; - Noch ein Zwölftel dazu, spross auf der Wange der Bart. - Und ein Siebentel mehr, sieh Hymens Fackel entbrannte, - Fünf der Jahre darnach, teilt er ein Söhnlein ihm zu. - Ach unglückliches Kind! Halb hatte das Alter des Vaters - Es erreicht, da nahm's Hades der Schaurige auf. - Noch vier Jahre ertrug er den Schmerz, der Wissenschaft lebend, - Und nun künde das Ziel, welches er selber erreicht. - -Also mit 33 Jahren verheiratet und mit 84 gestorben. - -[Sidenote: Fermatsche Satz.] - -So berühmt Diophant als Arithmetiker heute ist, so wenig wurde sein -Werk von den Griechen der folgenden Zeit verstanden, nur ganz wenige -und verstümmelte Handschriften seines Werkes sind erhalten, alle, -auch die jüngst gefundenen vom selben Archetyp stammend. Ein einziger -Grieche, der schon genannte ¨Maximus Planudes¨, der in der ersten -Hälfte des XIV. Jahrh. lebte, hat Scholien zu den beiden ersten -Büchern geschrieben. Dagegen haben sich die Araber verhältnismässig -früh des Diophant bemächtigt und kein geringerer als ¨Abul Wafa¨, der -die Mondvariation festgestellt hat, übersetzte die Schrift gegen Ende -des 10. Jahrh. Das bisher noch nicht aufgefundene Werk findet sich -vielleicht auch noch in Leyden. In Europa hat zuerst ¨Regiomontan¨, -decus Germaniae, wie ihn Petrus Ramus nennt, 1464 zu Venedig einen -Diophant-Codex gesehen. Die erste zwar mangelhafte, aber vollständige -Übersetzung ins Lateinische veröffentlichte 1575 ¨Wilhelm Xylander¨ -oder Holzmann zu Augsburg, sie ist eine bibliographische Rarität. Die -erste Textausgabe mit lateinischer Version und vielen Zusätzen und -Erläuterungen rührt von ¨Gaspard Bachet¨, sieur de ¨Méziriac¨ her, --- Paris 1622, der durch seine »Problèmes plaisants et délectables« -(1612) so bekannt ist. Eine zweite Ausgabe von Bachets Arbeit -veranstaltete S. Fermat; die Ausgabe ist an sich sehr mangelhaft, -aber sie enthält die berühmten Randbemerkungen seines Vaters ¨Pierre -Fermat¨, Frankreichs grössten Mathematikers, darunter den berühmten -¨Fermatschen Satz¨: Die Gleichung x^n + y^n = z^n ist wenn n > 2 -nicht in ganzen (rationalen) Zahlen lösbar. Diese Anmerkungen haben -die moderne Zahlentheorie, die Arithmetica sublimior wie ¨Gauss¨ sie -nannte, geschaffen. Eine neue sehr sorgfältig redigierte Ausgabe -ist von ¨P. Tannery¨ 1893 geschaffen. ¨G. Wertheim¨ hat 1890 eine -tadellose deutsche Übersetzung der Arithmetik und der Schrift über -Polygonalzahlen des Diophant und der Anmerkungen Fermats gegeben. - -Von den 13 Büchern, welche Diophant selbst in dem Einleitungsschreiben -an einen gewissen Dionysios erwähnt, sind uns in den Handschriften -nur 6 erhalten, aber die allgemeine Ansicht geht dahin, dass das -Verlorene sich im wesentlichen nur auf die Behandlung der gemischt -quadratischen Gleichungen bezogen habe und wissenschaftlich der -Verlust zu verschmerzen. Dagegen scheint der Verlust eines andern -Werkes der »Porismata« (vergl. Euklid) schwerer zu wiegen, wenigstens -nach dem Satz zu urteilen, den Diophant selbst zitiert: die Differenz -zweier (rat.) Kubikzahlen (a und b) ist stets die Summe zweier (rat.) -Kubikzahlen. Von ¨Vieta¨ gelöst: x = a(a^3 - 2b^3)/(a^3 + b^3); y = -b(2a^3 - b^3)/(a^3 + b^3). - -Das erste was wir aus den Arithmetica hervorheben, ist dass bis auf -eine einzige vermutlich eingeschobene Aufgabe V, 13, Wertheim S. 209 -niemals die Zahlen seiner Aufgaben durch Linien oder sonst geometrisch -versinnlicht sind. Er spricht zwar oft von rechtwinkligen Dreiecken, -aber er meint stets drei Zahlen a, b, c, welche der Gleichung a^2 + b^2 -= c^2 genügen. Zweitens gehen auf ¨Diophant¨ die nach ihm genannten -Aufgaben der unbestimmten Analytik zurück, obwohl eine diophantische -Gleichung in unserem Sinne bei ihm nicht vorkommt. Erst ¨Bachet¨ -hat die Gleichung ax + by = c allgemein in ganzen Zahlen aufgelöst. -Diophant begnügt sich mit rationalen Zahlen und was die Hauptsache, -er gibt immer nur eine Lösung. Das was speziell an indischen Einfluss -denken lässt, liegt erstens in der Systemlosigkeit und zweitens darin, -dass eigentlich, wenn man vom ersten Buch absieht, der Lehre von den -gewöhnlichen Gleichungen ersten Grades, nirgends allgemeine Methoden -vorkommen, sondern jede Aufgabe durch eigene oft sehr merkwürdige -Kunstgriffe gelöst wird. Oft ist die Aufgabe allgemein gefasst und wird -durch willkürliche Annahmen eingeschränkt. - -Ganz eigenartig ist auch die Bezeichnung bei Diophant; vergl. -¨Nesselmann¨ l. c. Kap. 7. Für die Unbekannte die bei ihm αριθμός »die -Zahl« heisst, hat er ein Zeichen ϛ oder auch ϛο, das man früher für das -Schlusssigma hielt. ¨T. L. Heath¨, Diophantos of Alex. Cambr. 1885 hat -mit guten Gründen behauptet, dass es die Abbreviatur von αριθμός ist. -Das Quadrat der Unbekannten, unser x^2 heisst wie gewöhnlich δύναμις, -Zeichen δ^ῡ; x^3 desgleichen κύβος, Zeichen κ^ῡ, x^4 bei ihm wie -durch die Metrika nachgewiesen bei ¨Heron¨: δυναμοδύναμιν [Biquadrat] -δδ^ῡδ, x^5 δυναμοκυβος δκ^ῡ, x^6 κυβοκυβος, κκ^ῡ. Bestimmte Zahlen -(ὡριζομενοι) heissen μοναδες, Zeichen μ^ο, zum Unterschiede von den -αοριστοι den zunächst unbestimmten, also wie bei Jamblichos, 1/x heisst -αριθμοστον; 1/x^2 δυναμοστον u. s. f. - -Kein Zeichen bedeutet die ¨Addition¨, welche damals also noch als -die Hauptoperation galt, sie heisst ὑπαρξις; die Subtraktion heisst -λειψις, Zeichen ein umgekehrtes ψ also [**symbol] oder ⬆. Bei -(x - a)(x - b) findet sich die Regel: Minus × Minus ist plus (λ.λ ist -ὑπαρξις), doch schliesst Diophant negative Zahlen wie auch irrationale -Zahlen prinzipiell aus. Cantor sagt mit Recht, dass sich bei Diophant -schon eine hoch entwickelte Buchstabenrechnung findet. Immerhin ist ihr -die ¨Vieta'sche¨ sehr überlegen. - -Ich gebe nach Cantor die Gleichung 10x + 30 = 11x + 15. - -ςς^{οι} αρα ῑ μ^ο λ ἱσοι εισιν ςς^{οις} ῑᾱ μονασι ῑε (Unbekannte -nun zehn und Einheiten 30 sind gleich Unbekannten 11 und Einheiten -15.) M. H. Cantor hat wiederum recht, wenn er sagt dies ist eine -Stenographie aber noch keine Symbolik. - -Die Gleichheit wird übrigens oft nur durch ἱ ausgedrückt. - -[Sidenote: Diophant, Beispiele.] - -Als Beispiel N. 1 gebe ich Ihnen I, 9 Werth. 15. Von zwei gegebenen -Zahlen eine und dieselbe Zahl zu subtrahieren, so dass die erhaltenen -Reste in einem gegebenen Verhältnis stehen. - -Es muss jedoch dieses Verhältnis ¨grösser sein¨ als das in welchem die -grössere der beiden gegebenen Zahlen zur kleineren steht. - -Die Bedingung ist nötig damit x > 0 wird. - -Es soll [z. B.] von 20 und 100 dieselbe Zahl abgezogen werden und so -gewählt werden, dass der grössere Rest das 6fache des kleineren ist. - -100 - x, 20 - x die Reste, 120 - 6x = 100 - x die Gleichung. - -Wird die abzuziehende Grösse auf beiden Seiten addiert und sodann -Gleiches vom Gleichen subtrahiert, so erhält man 5x = 20, x = 4. - -Es folgt die Probe, man kann wohl sagen bedauerlicherweise. - -Beispiel 2: I, 32, W. 37. Zwei so beschaffene Zahlen zu finden, dass -ihre Summe 20 und die Differenz ihrer Quadrate 80, (auch diese Aufgabe -ist allgemein gestellt und wird am Beispiel allgemein gelöst). - -Wir setzen die Differenz beider Zahlen 2x, so wird die grössere x + 10, -die kleinere 10 - x betragen. Nun ist noch zu bewirken, dass die -Differenz ihrer Quadrate 80 ist, sie ist aber 40x, also die grössere -12, die kleinere 8. - -II, 9. W. 52. Zweite Lösung der Aufgabe eine gegebene Quadratzahl (16), -in zwei Quadrate zu zerlegen. - -x sei die eine Seite, die andere gleich einem um die Seite des -gegebenen Quadrats verminderten ¨beliebigen¨ Vielfachen von x, etwa -2x - 4, x = 16/5, y = 12/5. - -Zu dieser Aufgabe bemerkt ¨Fermat¨ am Rand: - -Dagegen ist es ganz unmöglich, einen Kubus in zwei Kuben, ein Biquadrat -in 2 Biquadrate und ¨allgemein irgend eine Potenz ausser dem Quadrat -in zwei Potenzen von demselben Exponenten¨ zu zerfällen. Hierfür habe -ich einen ¨wahrhaft wunderbaren Beweis¨ entdeckt, aber der Rand ist zu -klein ihn zu fassen. -- - -M. H. es gibt seit 200 Jahren wohl keinen wirklichen Mathematiker, der -nicht versucht hatte, den ¨Fermatschen Satz¨ zu beweisen, aber es ist -selbst ¨Euler¨, ¨Dirichlet¨ und ¨Kummer¨ nicht gelungen. Kummer hat -mit der ad hoc geschaffenen Theorie der idealen Primzahlen den Satz -bewiesen, mit Ausnahme der sogn. ¨Bernoullischen¨ Zahlen. Aber dass -Fermat sich getäuscht habe, ist beinahe ausgeschlossen. - -III, 22. Vier Zahlen der Beschaffenheit zu finden, dass das Quadrat -ihrer Summe ein Quadrat bleibt, wenn jede der vier Zahlen zu ihm -addiert oder von ihm subtrahiert wird. - -D. h. also s^2 ± x; s^2 ± y; s^2 ± z; s^2 ± u sollen Quadrate sein. - -Ich gebe die Lösung dieser wahrlich nicht leichten Aufgabe, die sich -zu stellen schon Mut erfordert, nach Wertheim 110 ff., sie hat wie der -Zusatz Fermats beweist sein Interesse in hohem Grade erregt und ihn -u. a. zu dem Satz geführt: eine Primzahl von der Form 4n + 1 ist nur -einmal Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, ihr Quadrat ist es -zweimal, ihr Kubus dreimal, ihr Biquadrat viermal usw. in inf. Lösung: -In jedem rechtwinkligen Dreieck bleibt das Quadrat über der Hypotenuse -ein Quadrat, wenn man das doppelte Produkt beider Katheten zu demselben -addiert oder subtrahiert. Daher suche ich zunächst vier rechtwinklige -Dreiecke mit gleichen Hypotenusen; das ist aber dasselbe wie die -Aufgabe: ein beliebiges Quadrat viermal in je 2 Quadrate zu teilen und -wir haben schon (II, 10) gelernt, ein gegebenes Quadrat auf unzählig -viele Arten in zwei Quadrate zu zerlegen. - -Wir nehmen also zwei rechtwinklige Dreiecke, deren Seiten in den -kleinsten Zahlen ausgedrückt sind, wie etwa 3, 4, 5 und 5, 12, 13. -Multiplizieren wir jetzt alle Seiten eines jeden mit der Hypotenuse des -andern, so wird das erstere die Seiten 39, 52, 65 haben und das zweite -die Seiten 25, 60, 65, und wir erhalten zwei rechtwinklige Dreiecke mit -gleichen Hypotenusen. - -Ihrer Natur nach lässt sich ferner die Zahl 65 in je 2 Quadrate zweimal -zerfällen, nämlich in 16 und 49 sowie in 64 und 1. ¨Dies rührt daher, -dass 65 durch Multiplikation von 13 und 5 entsteht von denen jede sich -in 2 Quadrate zerlegen lässt.¨ [: (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 -+ (ad - bc)^2 = (ad + bc)^2 + (ac - bd)^2, diese Formel aus der -Theorie der quadratischen Formen, das ist die Quelle der Aufgabe]. Ich -nehme nun die Seiten der Quadrate 49 und 16 nämlich 7 und 4 und bilde -vermittelst dieser das rechtwinklige Dreieck, dasselbe hat die Seiten -33, 56, 65 [a^2 - b^2; 2ab; a^2 + b^2]. Ebenso nehme ich die Seiten -der Quadrate 64 und 1 nämlich 8 und 1, das rechtwinklige Dreieck hat -die Seiten 16, 63, 65. Nun habe ich vier rechtwinklige Dreiecke mit -gleichen Hypotenusen. - -Indem ich jetzt zu der ursprünglich gestellten Aufgabe schreite, -setze ich die Summe der 4 gesuchten Zahlen gleich 65x, jede einzelne -derselben aber gleich x^2 mit einem Koefficienten, der das Vierfache -der Fläche eines der 4 Dreiecke ist [2ab], also die erste Zahl gleich -4056 x^2, die zweite gleich 3000 x^2, die dritte gleich 3696 x^2, die -vierte gleich 2016 x^2. Es ist dann die Summe der vier Zahlen 12768 -x^2 = 65 x, und daraus ergibt sich x = 65/12678. Daher werden die vier -Zahlen Brüche mit dem gemeinschaftlichen Nenner 163021824 sein und zwar -hat die erste Zahl den Zähler 17136600, die zweite 12675000, die dritte -15615600, die vierte 8517600. - -Diese Aufgabe gehört mit zu denen, welche es am begreiflichsten -erscheinen lassen, dass ein Mathematiker solchen Ranges von einem -Zeitalter des Verfalles nicht mehr begriffen wurde. - -IV, 11. x^3 + y^3 = x + y. Diophant findet durch ein Verfahren, dass -nur zu begreifen ist, wenn man annimmt, dass er die allgemeine Lösung x -= ±(1 - k^2)/((1 + k)^2 - k); y = ±(1 + 2k)/((1 + k)^2 - k) kannte, x = -5/7; y = 8/7, er setzte k = 1/4 in der ersten (+) Lösung und nicht wie -Wertheim S. 129 angibt k = 1/2; (auch k = -3/2 in der zweiten negativen -Lösung ist richtig), merkwürdig ist, dass auch x = 3/7 und y = 8/7 -eine richtige Lösung ist, da 4 - 4p + 2r = o ist. V 34, W. 233: Drei -Quadratzahlen zu finden, so dass das Produkt derselben, wenn es um jede -der Zahlen vermehrt wird, ein Quadrat bildet. - -Wir setzen u^2v^2w^2 = x^2 und suchen dann drei Quadrate, von denen -jedes, wenn es um 1 vermehrt wird, wieder ein Quadrat gibt. Das kann -vermittels jedes rechtwinkligen Dreiecks geschehen. Ich wähle also drei -rechtwinklige Dreiecke 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17; so wird das eine -Quadrat 9/16 x^2, das zweite 25/144 x^2, das dritte 64/225 x^2 sein, -und jedes derselben bleibt ein Quadrat, wenn es um eins vermehrt wird. -Nun soll noch das Produkt der drei Zahlen gleich x^2 sein. Das Produkt -ist aber 14400/518400 x^6. Das soll gleich x^2 sein. Wird alles durch -x^2 dividiert so folgt 14400/518400 x^4 = 1, also 120/720 x^2 = 1. -Nun ist die Einheit eine Quadratzahl. Wenn daher auch 120/720 x^2 ein -Quadrat wäre, so würde die Aufgabe gelöst sein. Dem ist aber nicht so. - -Diophant führt die Aufgabe nicht durch, seine Lösung ist 25/4; -256/81; 9/16. Die Aufgabe ist von ¨Fermat¨ wieder hergestellt. -Diophant nimmt drei rechtwinklige Dreiecke a_{1} b_{1} c_{1}; -a_{2} b_{2} c_{2}; a_{3} b_{3} c_{3} und setzt u = a_{1}/b_{1} -x; v = a_{2}/b_{2} x; w = a_{3}/b_{3} x. Dann hat man nur noch -zu sorgen, dass (a_{1}a_{2}a_{3})/(b_{1}b_{2}b_{3}) oder auch -a_{1}a_{2}a_{3}b_{1}b_{2}b_{3} gleich a_{1}b_{1}a_{2}b_{2}a_{3}b_{3} -eine Quadratzahl ist, was keine Schwierigkeit macht. - -VI 3. Ein rechtwinkliges Dreieck zu finden, so dass die Zahl, welche -den Flächeninhalt ausdrückt, eine Quadratzahl wird, wenn sie um eine -gegebene Zahl vermehrt wird. - -Diese recht schwierige Aufgabe ist in Wertheim S. 256 und 257 allgemein -und ihre Erweiterung durch ¨Vieta¨ (Zetetica V, 9) angegeben. - -VI 26. Die letzte Aufgabe Diophants: Ein rechtwinkliges Dreieck von der -Beschaffenheit zu finden, dass die eine seiner Katheten ein Kubus, die -andere die Differenz zwischen einem Kubus und seiner Seite, und die -Hypotenuse die Summe eines Kubus und seiner Seite sei. - -Hypotenuse x^3 + x, Kathete x^3 - x, die andere ist dann 2x^2 und soll -gleich einen Kubus sein. Es sei 2x^2 = x^3, so ist x = 2, also ist 6, -8, 10 eine Lösung. - -An die Weiterführung dieser Aufgabe durch ¨Bachet¨ hat ¨Fermat¨ eine -Reihe wichtiger zahlentheoretischer Sätze geknüpft, wie z. B. x^4 ± y^4 -ist niemals ein Quadrat, und n(n + 1)/2 nur wenn n gleich 2 ist gleich -p^2, welche beide von Euler bewiesen sind. (Werth. S. 294.) - -Die Schrift über die Polygonalzahlen, so interessant sie an sich ist, -steht doch an Bedeutung der Arithmetik unvergleichlich nach, so dass -ich auf sie nicht näher eingehe, wertvoller als sie sind ¨Fermats¨ -Anmerkungen. - -Die Beispiele aus der Arithmetik genügen, um zu zeigen, wie gross -Diophant als Arithmetiker dasteht, dabei ist er, soweit unsre Kenntnis -bis jetzt reicht, fast ohne Vorläufer, von dem einzigen Heron etwa -abgesehen. Nikomachos verschwindet gegen Diophant vollständig, und -sein Ruhm beruht nur darauf, dass sein Verständnis verglichen mit -Diophant nur die geringe Bildung erforderte, welche sich in den Stürmen -der Völkerwanderung mit ihren politischen und religiösen Umwälzungen -erhalten konnte. - -[Sidenote: Pappos aus Alexandria.] - -Von dem letzten und grössten Arithmetiker der Hellenen gehen wir -zu ihrem letzten grossen Geometer zurück, zu ¨Pappos¨, auch er -Alexandreus. Auch von seinen Lebensverhältnissen wissen wir so gut -wie nichts, doch macht die Äusserung des Proklos ὁι περι Ἡρωνα και -Παππον es wahrscheinlich, dass er als Lehrer in Alexandrien tätig war -und das wird noch mehr als durch diese immerhin der Auslegung fähige -Stelle, durch den Inhalt und Zweck seines Hauptwerkes gesichert, -das ganz und gar in der Absicht geschrieben ist, Studierenden eine -richtige und tüchtige Ausbildung für reine und angewandte Mathematik -zu sichern. Auseinandersetzungen wie die über Analysis und Synthesis, -Kritiken, wie die allerdings nicht ganz gerechtfertigte, über das -Näherungsverfahren zur Lösung des Delischen Problems (III, Anfang), -die Auswahl der Schriften, an die er seine eigenen Lemmata anknüpft, -zeigen hohes pädagogisches Interesse und Erfahrung. ¨Hultsch¨ und -¨Cantor¨ setzen seine Lebenszeit auf das Ende des dritten Jahrhunderts, -gestützt auf eine Notiz, auf welche der bekannte Philologe ¨Usener¨ -hingewiesen hat, dass er unter Diokletian gelebt habe. Für diese -Datierung spricht der ganze Inhalt seiner Werke, insbesondere zeigt -das höchst lebhafte Interesse, das er für Sphärik und Astronomie, -speziell für Klaudios Ptolemaios bekundet, dass er nicht mehr als etwa -100 Jahre nach diesem anzusetzen ist. Zur Syntaxis und zwar höchst -wahrscheinlich zur ganzen und nicht nur zu den vier ersten Büchern hat -er einen Kommentar (Scholion) geschrieben, von dem ein Teil, der sich -auf das 5. und 6. Buch bezieht, in der an Schätzen reichen Laurentiana -zu Florenz gefunden und eine Einleitung, welche die Dimensionen der -Erde, Umfang und Inhalt behandelt und eine Definition der Astronomie -gibt im Vaticanus 184. Hultsch macht es im hohen Grade wahrscheinlich, -dass der Ptolemaios-Kommentar des von nur öfter erwähnten ¨Theon¨ von -Alexandrien, etwa 100 Jahre später, wesentlich aus dem des Pappos -geschöpft sei. - -¨Pappos¨ hat auch Kommentare zu den Daten und den Elementen des -Euklid geschrieben, von denen Fragmente bei ¨Eutokios¨ und ¨Proklos¨ -erhalten sind, und die auch von ¨Marinos¨ aus ¨Neapolis¨ (Sichem in -Palästina), einem Schüler und Nachfolger des Proklos im Rektorat der -Akademie, dem wir die Erhaltung von Euklids Daten verdanken, erwähnt -werden. Ich nenne hier Friedl. S. 249-50 den Beweis der Gleichheit der -Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck, weil der auf die Symmetrie -des gleichschenkligen Dreiecks begründete Beweis meist ¨Bolzano¨ -(Betrachtungen etc. p. 17 § 25) zugeschrieben wird, der Quellenangaben -noch nicht für erforderlich hielt. Der Beweis bei Proklos zeigt -allerdings, dass auch ¨Pappos¨ den leitenden Grundsatz des Euklid, die -dritte Dimension in der Planimetrie zu vermeiden, nicht recht erfasst -hat. - -[Sidenote: Pappos, Collectiones.] - -Erhalten ist uns, obwohl nirgends von den späteren hellenistischen -oder römischen Autoren erwähnt, sein Hauptwerk die Synagoge (συναγωγή, -nicht συναγωγαι) in 8 Büchern, von denen das erste und ein grosser -Teil des zweiten verloren ist. Die Reste des zweiten Buches hat -1688 ¨Wallis¨ herausgegeben. Unter dem Titel: Pappi Alexandrini -mathematicae collectiones hat ¨Federico Commandino¨ 1588 die Bücher -3-8 lateinisch herausgegeben, wie alle Arbeiten dieses Mannes für -ihre Zeit ausgezeichnet. Die einzige Gesamtausgabe Griech. und Lat. -hat ¨Fr. Hultsch¨ 1876-78 geschaffen, sie ist geradezu vorbildlich -geworden, ¨Cantor¨ sagte in der Besprechung des letzten Bandes -(Cantor-Schlömilch 1873): Hultsch hat uns mit einer klassischen -Ausgabe eines klassischen Schriftstellers beschenkt. An dem index -graecitatis, der 125 enggedruckte Seiten umfasst, hat er ein ganzes -Jahr lang gearbeitet, nachdem er viele Jahre auf die Collation der -Codices verwandt hat und im Vaticanus graecus 218 aus dem 12. Jahrh. -den Archetyp sämtlicher anderen festgestellt hatte. Rudio nennt den -Index geradezu ein Lehrbuch der griechischen mathematisch-technischen -Sprache. Die Verdienste des am 6. April 1906 verstorbenen Philologen -um die Geschichte der Mathematik hat ¨F. Rudio¨, Eneström Ser. III, -Bd. VIII meisterlich geschildert, und in diesem Nachruf findet sich -auch eine Analyse der Synagoge (= Sammlung), welche an Klarheit nichts -zu wünschen übrig lässt, und die einfach abzuschreiben vielleicht -das zweckmässigste wäre. Trotz dessen halte ich es angezeigt, was -ich 1903 gesagt, hier zu wiederholen. Die Sammlung des ¨Pappos¨ -ist für uns die Hauptquelle der griechischen Geometrie, sie zeigt, -dass Pappos einerseits im höchsten Grade literarisch gebildet war -und vielleicht noch vor oder zur Zeit ¨Caracallas¨ anzusetzen wäre, -andererseits aber selbst ein produktiver Geometer von hohem Range -war, wie z. B. seine Quadrierung des von der sphärischen Spirale -abgeschnittenen Stück der Halbkugel (Hultsch S. 682) und seine Lösung -der Proprosition 43 des IV. Buches zeigen. Insbesondere ist schon so -ziemlich die ganze ¨Steinersche¨ Geometrie, die Arbeiten Steiners über -Isoperimetrie eingeschlossen, in nuce bei Pappos zu finden, vor allem -der grundlegende Satz von der Constanz des anharmonischen Verhältnisses -und die vollständige Theorie der Involution. Die im Altertum so viel -umworbene Lehre von den Proportionen id est die Auflösung der Gleichung -ersten Grades hat er unter einem einzigen einfachen Gesichtspunkt -dargestellt. Er gibt den Inhalt fast aller bedeutenden mathematischen -Werke bis auf seine Zeit mit grosser Gewissenhaftigkeit und unter -Angabe der Namen und hat uns so, wie wir ja gesehen haben, in Stand -gesetzt, eine ganze Anzahl verlorener Werke der Heroen entweder ganz -oder teilweise zu rekonstruieren. Ich nenne nur die Porismata und die -Topoi pros Epiphaneian des Euklid, das 8. Buch der Konika und das -Taktionsproblem des Apollonios, die Schrift des Zenodoros über die -Isoperimetrischen Figuren, die Archimedischen halbregulären Körper -etc. Höchst wichtig ist auch, dass wir durch ihn in Stand gesetzt -sind, die Arabischen Quellen auf ihre Zuverlässigkeit zu prüfen, wobei -sich die ersten islamitischen Jahrhunderte als durchaus zuverlässig -erwiesen haben, z. B. für die Mechanik des Heron, die Wahlsätze des -Archimedes. Dabei begleitet er diese Schriften überall mit wertvollen -eigenen Bereicherungen. Im VI. Buch sehen wir, wie tief die Griechen -auch in die Theorie der krummen Flächen eingedrungen waren, bei der -stereometrischen Erzeugung der Quadratrix, die an ¨Archytas¨ erinnert -aber weit über ihn hinausgeht. Buch IV, Prop. 30 Hultsch p. 264 findet -sich die Quadrierung der Spiralfläche, worauf ich schon in einem -Frankfurter Vortrag hingewiesen habe. - -[Sidenote: Kugelspirale.] - -Wie man einsieht, dass in der Ebene eine Spirale erzeugt (γινομένη -ist durch existere nicht sinngemäss wiedergegeben) wird wenn ein -Punkt sich auf einem, einen Kreis beschreibenden Strahl bewegt und -in der Stereometrie [z. B. auf den Cylinder- oder Kegelflächen ist -unnötige Konjektur von H.] wenn ein Punkt sich auf einer die Oberfläche -beschreibenden Kante bewegt, so lässt sich auch eine auf der Kugel sich -ergebende Spirale begreifen, beschrieben auf folgende Weise. - -Auf einer Kugel gehöre zum Pol Θ der grösste Kreis ΚΛΜ und von Θ aus -soll der Viertelkreis eines Hauptkreises ΘΝΚ beschrieben worden sein -und der Kreis ΘΝΚ, um den ruhenden [Punkt] Θ auf der Oberfläche [der -Kugel] gedreht, möge in sich selbst wieder zurückversetzt worden sein -und irgend ein Punkt auf demselben von Θ aus in Bewegung gesetzt, möge -nach Κ gelangt sein; er beschreibt nun auf der Oberfläche eine gewisse -Schneckenlinie wie es ΘΟΙΚ ist, und welchen Umfang eines grössten -Kreises man auch von Θ aus beschreiben möge, so hat er zum Bogen ΚΔ -das Verhältnis, welches ΘΔ [siehe Figur] zu ΘΟ hat. Ich behaupte nun, -dass wenn ausserhalb [nämlich als Nebenfigur] der Quadrant ΔΒΓ eines -Hauptkreises auf der Kugel gelegt wird um das Zentrum Δ und [die -Sehne] ΓΔ gezogen wird, so geht daraus hervor [der Satz]: wie die -Halbkugel [sich] zu [dem] zwischen der Spirale ΘΟΙΚ und dem Bogen ΚΝΘ -abgeschnittenen [Stück der Kugel]fläche [verhält], so der Sektor ΑΒΓΔ -zu dem Segment ΑΒΓ. - -[Illustration] - -[Illustration] - -[Sidenote: Pappos'sche Aufgabe.] - -Der Beweis, dass die Fläche (2π - 4)r^2 ist, kann mit Integralrechnung -ohne weiteres geführt werden, aber der Beweis des Pappos, obwohl -an Archimedes gebildet, ist doch ein beredtes Zeugnis für seine -Veranlagung. Das IV. Buch und die im VII. Buch gegebene »¨Guldin¨sche« -Regel: das Volumen des Rotationskörpers ist gleich dem Produkt der -Meridianfläche in den Weg ihres Schwerpunktes zeigt uns, dass die -Griechen in der Theorie der krummen Oberfläche ungefähr so weit -gekommen sind, wie wir durch Euler und Gauss; vermutlich infolge -verlorener Werke insbesondere von Archimedes und Apollonios (περι -κοχλιου). Ebenfalls im VII. Buch, dem bedeutsamsten für die Wertung -des Pappos als Geometer, löst er die sogen. ¨Castillon¨sche Aufgabe, -ein Dreieck zu konstruieren, dessen Seiten durch je einen festen Punkt -gehen und das einem gegebenen Kreise einbeschrieben ist, die später von -¨Giordano da Ottajano¨ auf ein beliebiges n-Eck erweitert wurde, in -dem speziellen Falle, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. -Hier im VII. Buch kommt er bei Besprechung des Ortes zu drei und vier -Geraden (Apollonios) auf die noch heute nach ¨Pappos¨ benannte Aufgabe: -wenn eine Anzahl Geraden gegeben sind, den Ort des Punktes zu bestimmen -der so beschaffen ist, dass die von ihm nach den Geraden unter -gegebenen Winkeln gezogenen Strecken in zwei Gruppen eingeteilt werden -können, so dass die Produkte der Gruppen ev. mit Wiederholung oder mit -gegebenen Hilfsfaktoren, zu einander ein bestimmtes Verhältnis haben. -Dabei ist die Bemerkung wesentlich, dass wenn die Zahl der Linien 6 -übersteigt, eins oder beide Produkte keinen geometrischen Sinn haben, -aber »οι βραχύ προ ημών«, die kurz vor ihm lebenden Mathematiker, -interpretierten ihn. Die Aufgabe wird dann für beliebig viele Geraden -von Pappos völlig als geometrisch klare aufgestellt. Und nun fügt er -hinzu: weil er sich (der ungenauen Arbeiten) seiner Vorgänger schäme -und selbst sehr viel Wertvolleres und Nützliches bewiesen habe, und -um zu zeigen, dass wenn er dieses von sich »ausposaune« (φθεγξάμενος) -er kein leerer Prahler sei, gibt er die »¨Guldin¨sche Regel«. Die -Buchstabenrechnung im Rest des zweiten Buches ist schon bei Apollonios -erwähnt; wir können den Eindruck der Synagoge des ¨Pappos¨ dahin -zusammenfassen, dass wir jedenfalls in der Geometrie nicht wesentlich -über die Griechen hinausgelangt sind, selbst die Konstruktionen mit -¨einer¨ Zirkelöffnung, die sogen. ¨Mascheroni¨-Konstruktionen finden -sich bei Pappos. - -[Sidenote: Niedergang der Hellenischen Kultur.] - -Mit Pappos und Diophant endet die Entwicklung der Hellenischen -Mathematik jäh und in den folgenden Jahrhunderten sind es nur einige -wenige Kommentatoren, deren ich schon im Laufe der Vorlesung wiederholt -gedacht habe, welche noch ein Verständnis für die Leistungen der -Vorfahren besassen und übermittelten. Da war aus dem 4. Jahrh. -¨Theon¨ von ¨Alexandrien¨ und seine Tochter ¨Hypatia¨ zu nennen, aus -dem fünften ¨Proklos¨, dessen produktive Befähigung nach dem Beweis -des Parallelenaxioms und der wirren Kosmologie in keinem günstigen -Lichte erscheint. Im 6. Jahrh. sammelte sich um den Baumeister der -Sophienkirche in Konstantinopel ¨Isidoros von Milet¨ eine Schar -eifriger Freunde der Mathematik, aus der ¨Eutokios¨ von ¨Askalon¨, -der Kommentator des Archimedes und Apollonios auch als Mathematiker -hervorragt. Ebenfalls im 6. Jahrh. lebte ¨Simplikios¨, der wichtigste -Kommentator des Aristoteles, dessen wir bei den Lunulae Hippocratis -gedachten. Er gehörte zu den Lehrern der Akademie Athen, welche mit -dem Rektor ¨Damaskios¨ nach Persien zu Kosroë wanderten und Euklid -zu den Persern und damit zu den Arabern brachten. Nicht unbedeutende -Spuren einer Eukliderklärung des Simplikios hat uns ¨Al-Neirizi¨ -aufbewahrt. Von da ab sank das Hellenentum rapide; hatten schon vom 4. -Jahrhundert ab Christentum, Völkerwanderung, das im Gegensatz zu dem -auf freie Individualität der Gebildeten gegründeten Hellenismus, mit -einen starken Tropfen demokratischen Öles gesalbte Cäsarentum höchst -ungünstig eingewirkt, so wurden von nun ab die Hellenen in Asien -geistig von den Moslimen und in Europa geistig und körperlich von den -Slaven aufgerieben. Aber meine Aufgabe ist es nicht den Untergang der -Götter Griechenlands zu schildern. - -[Sidenote: Römer.] - -Ich müsste mich nun zu den Römern wenden, aber Rom hat eine Kultur im -hellenischen Sinne nie besessen. Ihre Verdienste um die praktischen -Wissenschaften, um das bürgerliche Recht und das Verwaltungsrecht, -sind gewiss nicht zu unterschätzen. Ist doch das Napoleonische Préfet -und Souspréfet noch heute nichts anderes als der römische Prätor und -Proprätor. Als Wegebauer haben die Römer ihresgleichen nicht gehabt, -und gross stehen sie in Kriegs-Kunst und -Wissenschaft da. Aber auf -geistigem Gebiet besteht ihr Verdienst darin den konzentrierten -griechischen Geistesextrakt so verwässert zu haben, dass Germanen und -Kelten ihn in dieser Form vertragen und assimilieren konnten, und so in -jener grossen Epoche, die wir ¨Renaissance¨ nennen, für das wirkliche -Hellenentum empfänglich wurden. - -Das einzige Gebiet der Mathematik, auf dem die Römer eine gewisse, wenn -auch stark von Ägypten beeinflusste Selbständigkeit zeigten, war die -Feldmesskunst, aber die römischen Agrimensoren oder wie sie nach ihrem -ziemlich rohen Massinstrument hiessen, ¨die Gromatiker¨ hat ¨M. Cantor¨ -in seinen Agrimensoren und daraus in seinen Vorlesungen erschöpfend -behandelt. - -[Sidenote: Schluss.] - -Ich ziehe es vor, hier am Schluss noch einmal auszusprechen, dass über -die Hellenen hinaus nur der eine ¨Galilei¨ einen wahrhaft weittragenden -neuen Gedanken in die mathematische und philosophische Erkenntnis -der Natur hineingetragen hat, als er durch schärfere Erfassung des -Kontinuitätsproblems zur Geschwindigkeit die Beschleunigung, zur Statik -die Dynamik hinzufügte. - -Zur Stütze meiner Ansicht zitiere ich aus dem Briefe ¨R. Baltzers¨ an -¨F. Hultsch¨ (Hultsch Pap. p. 1231-32) die Stelle: »Sie werden staunen -über diese Leistung der Griechen: ich bin auch nicht wenig erstaunt, -als ich diese Wahrnehmung machte, um so mehr als dies wirkliche -»analytische« Geometrie ist. Aber die Griechen dürfen dieselbe -doch nicht gehabt haben, sonst hätte Descartes die Erfindung der -analytischen Geometrie nicht machen können!« - -(Heute nach Auffindung des Ephodion kann man diesen Satz noch einmal -hinschreiben, und statt »analytische Geometrie« Differentialrechnung -setzen und für »Descartes« Newton oder wen man sonst will.) - -Und damit m. H. glaube ich meine Aufgabe gelöst zu haben. - - - - -Nachwort. - - -Um die starke Betonung der Hellenischen Philosophie zu motivieren, -möchte ich hier nachträglich noch den folgenden Eröffnungsvortrag -hinzufügen. - -Meine Herren! Wenn ich Hellenische Philosophie und Mathematik -gewissermassen in ¨einen¨ Begriff zusammengezogen habe, analog -dem Mittelalterlichen Musica et Arithmetica, so rechtfertigt -sich dies dadurch, dass gerade in der schöpferischen Periode der -griechischen Philosophie und Mathematik, von Thales an bis Aristoteles -eingeschlossen, die beiden Wissenschaften nicht getrennt werden -können und grade für die Elementare Mathematik, -- ich möchte sie die -¨bildende¨ Mathematik nennen -- meines Erachtens nach bis auf den -heutigen Tag nicht getrennt werden dürfen. - -Wenn ich nun systematischer Philosoph wäre, so müsste ich damit -beginnen Ihnen des längeren und breiteren auseinanderzusetzen, -was Philosophie ist, aber m. H., in Scheffels Ekkehard sagt der -Hunnenführer auf die Frage was Philosophie sei: es ist auf hunnisch -schwer zu erklären. So will auch ich mich kurz fassen und nur sagen, -dass ich in der Philosophie die Methode sehe die Welt der äusseren -und inneren Erfahrung in ihrer ¨Notwendigkeit¨ zu begreifen, oder wie -Spinoza sagt, diese Welt zu erfassen sub specie aeterni. ¨H. Cohen¨ -bezeichnet in seiner grossartigen Ethik des reinen Willens von 1901, -welche in 5 Jahren die zweite Auflage erlebt hat, die Aufgabe der -Philosophie dahin: die Wissenschaft selbst und die Kultur überhaupt -zum Verständnis ihrer Voraussetzung zu bringen. Dabei ist unter Kultur -allerdings etwas anderes zu verstehen als die »Bezwingung der rohen -Energie der Natur für die Nutzbarmachung unserer Kräfte«. Kultur ist -viel mehr; alle drahtlose Telegraphie, Röntgenstrahlen und Luftballons, -geben noch keine Gesittung, welche im wesentlichen in der Freimachung -der ethischen Werte besteht, darin, dass im einzelnen, und gerade -über je mehr Kräfte er verfügt um so stärker, das Bewusstsein seiner -Verantwortlichkeit der Allgemeinheit gegenüber, gegenüber dem Staate -und der Menschheit geweckt und ausgebildet wird. - -Der von mir betonte Gesichtspunkt der Notwendigkeit, das Streben -nach zwingender Folgerichtigkeit, ist es gerade was Mathematik und -Philosophie verbindet, und von Anfang bis Ende die Mathematik zum -Hauptgegenstand philosophischer Betrachtung gemacht hat, wenigstens -soweit es sich um den ältesten ihrer Hauptzweige, die Erkenntnistheorie -handelt. Erst viel später hat sich die Methode, das heisst die -Zusammenfassung grosser Gruppen von Erkenntnissen unter einen -Gesichtspunkt, den Trieben und Gesetzen des menschlichen Handelns -zugewandt, es musste erst die Theorie der Unsittlichkeit, wie sie -von den Sophisten ausgebildet war, praktisch in dem Regiment der 30 -Tyrannen und theoretisch durch Sokrates zerstört werden, es musste und -zwar zumeist bei den Römern eine juristische Wissenschaft erwachsen, -ehe eine systematische Philosophische Ethik, insbesondere bei den -Stoikern möglich wurde. Freilich findet sich eine wissenschaftliche -Behandlung der Ethik, die sich aber nur auf einzelne Fragen, wie -Tugend, Gerechtigkeit, Freundschaft bezieht, schon bei Platon und -nicht minder bei Aristoteles und vor beiden schon bei Demokrit. Was -uns von den sogenannten 7 Weisen -- es sind ihrer beiläufig gesagt, -wenn man nachzählt 22 -- überliefert ist, sind meistens sprichwörtliche -oder besser »geflügelte« Worte, welche sich auf vernunftgemässes -praktisches Handeln beziehen, wie das bekannte des Chilon oder Solon -»μηδέν άγαν, Alles mit Mass«; und »Ηρεμια χρω, Nutze die Zeit;« das -Delphische »γνωθι σαυτον, Erkenne dich selbst.« »Mit der Notwendigkeit -kämpfen auch die Götter vergebens.« (Schiller hat die Anagke durch die -»Dummheit« ersetzt, die ja auch Zwangsvorstellungen liefert). Periander -und Hesiod haben beide den Spruch geliefert: das Halbe ist mehr als das -Ganze, was besonders für Festreden zu beherzigen wäre. Aber auch die -grossen Dichter der Hellenen wie Homer und besonders Hesiod erkannten -es an, dass der Mensch zum Unterschied vom Tier sittlichen Gesetzen -untertan sei. Ich zitiere nach der Übersetzung von ¨F. Blass¨ aus -Hesiod die Stelle: - - Also hat ja den Menschen bestimmt der Kronide die Satzung: Zwar den - Fischen und Tieren des Felds und geflügelten Vögeln Setzt er einander - zu fressen, denn Recht ist nicht unter ihnen. Aber den Menschen - verlieh er das Recht. - -Der dritte Zweig der Philosophie ist ganz modern, die Philosophie -der Kunst, welche die allgemeinen und notwendigen Gesetze des -Ästhetisch-Wirksamen aufzustellen hat. Die Poëtik des Aristoteles -ist eigentlich mehr eine Technologie für den Dichter, der Laokoon -Lessings legt praktisch den Unterschied zwischen der bildenden und -beschreibenden Kunst fest. Erst bei Kant, Schiller, der gerade hier -seine selbständige Stellung als Philosoph, Vischer und vor allem bei -Schopenhauer haben wir eine reine Ästhetik. - -Hängen Mathematik und Philosophie in und durch den Trieb ihren -Gegenstand unter dem Gesichtspunkt der Notwendigkeit zu fassen, also -so recht in der Wurzel zusammen, so sehen wir beide in ihren Anfängen -mit der Theologie auf das innigste verwachsen. Bei den Indern ist wie -im europäischen Mittelalter, die Philosophie aus dieser Verbindung -eigentlich nie gelöst worden, so tiefsinnig auch die philosophischen -Gedanken gerade der indischen Theologen sind, da man den Buddhismus in -seiner reinen Form eigentlich geradezu als ein philosophisches System -bezeichnen könnte. Der Druck, den das Unendliche auf das Endliche -ausübt, die Übermacht der kosmischen Erscheinungen, denen der Mensch -hilflos, machtlos, gefesselt, religatus gegenübersteht, erzeugen -das religere, die ehrfurchtsvolle Achtung, die Religion, und die -Welt bevölkert sich mit Personifikationen der Naturkräfte, wie denn -Zeus, der Nationalgott der Hellenen, wie ursprünglich aller Arier, -die Personifikation des Tageslichtes ist. Bei den rohen Naturvölkern -wie z. B. auch ursprünglich bei den Ägyptern entwickelt sich der -Fetischdienst, dann bei den begabteren eine Mythologie und im Laufe -der Zeit eine Theologie, welche nichts anders ist als eine untrennbare -Verbindung der Religion mit der Philosophie. Ich wage zu sagen, dass -die Religion bis auf den heutigen Tag die einzige Form ist, in der die -ethischen Errungenschaften der Philosophie dem Volke nutzbar gemacht -werden können, von den 10 Geboten der Israeliten, dem tat twam asi, -dieses [Andere] bist du, der Inder, bis zu dem »Liebe deinen Nächsten -wie dich selbst« des Christentums. Und auch für die Mathematik, die -angewandte wie die reine, ist der mit der Ausbildung der Theologie -sich entwickelnde Gottesdienst von höchster Bedeutung gewesen, Kultus -und Kultur sind nicht nur wortverwandt. Der Dienst der die Welt -regierenden Gottheit, die Formen in denen der Mensch seine Unterwerfung -unter die Götter zum Ausdruck bringt, ihre Gunst zu erringen, ihren -Zorn abzuwenden sucht, Opfer und Gebet, sind hervorgerufen durch -die unbewusste Erkenntnis, dass der einzelne und wäre er der König -der Allheit untersteht, und in eben dieser Erkenntnis sahen wir das -Wesen des Sittlichen. Der Tempel der Gottheit muss orientiert werden, -das Eigentum das sie schützt, wenn es im Schweisse des Angesichts -erworben (Gesetze des Manu), muss abgegrenzt, vermessen werden. Die -Astronomie der Babylonier steht in engster Beziehung zur religiösen -Verehrung der Gestirne, die wichtigen Probleme der Flächenmessung und -Vervielfältigung und der Würfelverdoppelung knüpfen bei Indern und -Griechen unmittelbar an das Opfer an, ebenso wie das arithmetische -Problem der Zahlenzerlegung in Quadrate ein uralt chaldäisches ist, -das mit der Zahlenmystik, selbst ein Ausfluss astrologischen Kultus, -gesetzt ist. - -Eine weitere Verbindung zwischen Philosophie, Mathematik und Theologie -besteht in ihrer gemeinsamen Beziehung zu Poesie und Kunst. Die älteste -Poesie ist die religiöse, die Veden, die Edda, die Hymnen Homers, die -Psalmen der Hebräer. Andrerseits haben Homer und Hesiod den Griechen -zwar nicht ihre Götter aber doch ihren Olymp gegeben. Und an die -religiösen Gedichte knüpfen die Lehrgedichte der Philosophen an, die -schwungvolle Einleitung des Parmenideischen Lehrgedichts ist die -Quelle von Goethes Zueignung. Ein grosser Dichter ist ohne eine grosse -einheitliche Weltanschauung überhaupt nicht denkbar, und wie es Dichter -gab welche Philosophen waren, ich nenne Schiller und Shakespeare, hat -es auch Philosophen gegeben, welche Dichter waren, wie Platon und -Schopenhauer. - -Ihrerseits steht auch die Mathematik, die reine wie die angewandte, -in ganz direkter Beziehung zur dichterischen Phantasie und zur -ästhetischen Schönheit. Ich sehe ganz von der grossen Bedeutung ab, -welche Symmetrie und Eleganz für die Gebilde der Algebra und Geometrie -haben, sondern verweise auf die Rolle, welche die schöpferische -Phantasie für die Produktion der grossen Mathematiker gehabt und -bemerke dass Perspektive und darstellende Geometrie von Künstlern -wie ¨Alberti¨, ¨Leonardo¨, ¨Dürer¨, für die Kunst geschaffen sind. -Ich erinnere auch an ¨Schiaparellis¨ Ausspruch: Das Grundprinzip -aller Astronomischen Systeme von Pythagoras bis Kopernikus ist die -Überzeugung von der Schönheit und Einfachheit des Kosmos gewesen. - -Und in der einzig dastehenden Befähigung für das Schöne liegt der -Grund, warum gerade die Hellenische Philosophie und Mathematik der -Träger der Bildung gewesen ist und sein wird. Wie die Hellenen -politisch besiegt, das Barbarentum der Römer niedergezwungen, so -hat in der Renaissance das erneute Hervorsprudeln der hellenischen -Quellen das Mittelalter hinweggespült, und drei Jahrhunderte später ist -es wieder das Hellenentum gewesen, welches verbunden mit dem tiefen -sittlichen Ernst der Germanen im Neuhumanismus die seichte Periode, -welche wir Aufklärungszeit nennen, überwunden hat, und ohne dass -Kant und Goethe nicht zu verstehen sind. Denn auch die Schönheit der -Wahrheit ist weder vorher noch nachher, je so tief empfunden worden, -wie von dem Volke, für das das καλον καγαθον καλεθες, das Schöne, -Gute, Wahre, ein einziger Begriff gewesen. Gerade in der Jetztzeit, -in der die sich häufenden Entdeckungen auf physikalischem und -chemischem Gebiete die Macht des Menschen und sein Selbstbewusstsein -ins Ungemessene steigernd, eine rohe Anbetung des materiellen Genusses -grossgezogen haben, da hat sich wieder der Hellenische Geist mächtig -erhoben, der mit Platon, Aristoteles, Lessing das Streben nach der -Wahrheit um der Wahrheit willen als das höchste als das befriedigendste -Gut empfindet. - -M. H.! Das Gesetz der Kontinuität, wie es nicht nur die griechische -sondern jede Wissenschaft beherrscht, gilt auch für die Hellenische -Kultur. Von Anfang an durch die grosse Küstenentwicklung und die vielen -Häfen ihres Landes auf das völkerverbindende Meer hingewiesen, haben -sie regsamsten Geistes von den Ägyptern und durch Vermittlung der -Phönizier von den Babyloniern gelernt und den Einfluss des Orients -auf allen Gebieten des Wissens und der Kunst erlitten, aber ebenso -sicher ist es, dass sie diese Einflüsse von Anfang an selbständig -verarbeiteten, »dass sie,« um mit Ostwald zu reden, »diese fremden -Kulturen nicht kopierten«, wohl aber verwerteten. Insbesondere gilt -diese Selbständigkeit für die Hellenische Philosophie und Mathematik. -Die Philosophie anfänglich auf Naturerklärung gerichtet, nimmt -schon mit ¨Anaximander¨ scharf den Weg zur Naturerkenntnis, die bei -¨Demokrit¨ ihren Höhepunkt erreicht, um mit ¨Platon¨ und ¨Aristoteles¨ -die Erkenntnistheorie und Wissenschaftslehre überhaupt zu bemeistern. -Aus Ägypten und Babylonien haben wir bisher keine Spur davon gefunden, -dass der Menschengeist selbständig der Natur gegenübergetreten, die -Semiten begnügen sich ihrer eminent religiösen Veranlagung nach mit der -Tatsache: »Im Anfang schuf Gott Himmel und Erde.« In Betracht könnten -nur die Inder kommen, besonders die Vaisesikaphilosophie; aber m. E. -liegt die Sache gerade umgekehrt, und sowohl der Atomismus derselben -als z. B. die Einführung des Äther als fünftes Element, das die -Schallwellen fortlenkt, sind Hellenischem Einfluss zuzuschreiben. - -Die wichtigste Quelle für die Geschichte der Hellenischen -Philosophie ist das erste Buch der Metaphysik des Aristoteles und -für Mathematik der Kommentar des Proklos, besonders das sogenannte -Mathematikerverzeichnis. Beide beginnen mit Thales dem Milesier, so -beginnt denn die Geschichte der Philosophie wie der Mathematik mit -Thales dem Jonier. - - -Ergänzung zur Lehre der Pythagoreer. - -Da mir bis vor kurzen die gründliche Dissertation von ¨W. Bauer¨, -der ältere Pythagoreismus, Bern 1897, entgangen war, so sehe ich -mich veranlasst, den Abschnitt über die Pythagoreer zu ergänzen. Zu -diesem Zwecke muss ich etwas näher auf ¨Anaximander¨ den Jonischen -»Physiologen« eingehen, sowie auf die ¨Orphiker¨. Anaximander hat -sicher eine Schrift peri physeos geschrieben, welche noch dem -Theophrast vorlag. Ob er sein Apeiron als Stoff oder als Kraft -gedacht hat oder was das wahrscheinlichste, als beides zugleich, -ist zweifelhaft. In der sehr merkwürdigen Stelle Aristoteles -Phys. 14. 203^b 6 (Diels Frag. S. 14) werden fünf Quellen seines -Unendlichkeitsbegriffs angegeben: die Zeit, die Auflösung des -Continuums, der Fortgang in der Begrenzung des Begrenzten (die -Compositio continui), die Zahl, der Raum (»das ausserhalb des -Himmels«). Nicht minder interessant ist die Stelle bei Simplicius -(Diels 13 oben): Anaximander nennt das Unendliche ¨Prinzip und -Element¨ der Dinge. Nicht das Wasser oder ein anderes der sogenannten -(vier) Elemente, sondern ein anderes Wesen, das Apeiron, sei das -Prinzip, aus dem alles entstanden sei, die ¨Welten¨ und ihre -¨Ordnungen¨. Woraus aber den Dingen die Entstehung stammt, eben -dahin geht auch ihr Untergang nach Notwendigkeit; ¨denn sie zahlen -einander Strafe und Busse¨ der Zeitfolge gemäss. In diesem Satz ist -a) die Unveränderlichkeit des Unendlichen dem Endlichen gegenüber -ausgesprochen, b) in dem Nebeneinanderstellen von Prinzip und Element, -arche und stoicheion, wird gesagt, dass etwas vom Unendlichen -Bestandteil der Dinge sei und c) in dem letzten Satz, der bei Diels -gesperrt gedruckt ist, liegt eine Ahnung von dem Gesetz der Erhaltung -der Energie. Jedes Entstehende entsteht auf Kosten anderer und büsst -dafür durch seinen Untergang. - -Wie aus dem Urstoff, dem Unendlichen, die vier Elemente hervorgegangen, -darüber fehlen bestimmte Angaben. Nach Aristoteles und Theophrast -scheint das Apeiron qualitätslos gedacht und die Elemente sind durch -Bewegung ausgeschieden. Zuerst trennten sich das Warme und Kalte, wie -etwa Glas- und Harz-Elektrizität durch Reibung. Zum Unterschiede von -Thales hat Anaximander den ernsthaften Versuch gemacht den Kosmos und -die Naturerscheinungen wissenschaftlich zu erklären, dabei bekunden -die Angaben, dass er die Schiefe der Ekliptik gekannt habe und die -Gestirne als Götter betrachtet, Babylonischen Einfluss. -- Die Erde -selbst dachte er sich in Form eines Cylinders, dessen Höhe 1/3 des -Durchmessers, im Mittelpunkte des Kosmos ruhend, vermutlich infolge -einer Ahnung der sich gegenseitig aufhebenden Wirkungen, denn der -Kosmos ist bei ihm vielleicht zuerst als Kugel gedacht. Geworden ist -die Erde infolge der fortgesetzten Austrocknung durch das umgebende -Feuer, insbesondere die Sonne, weshalb auch die Meere allmählich -austrocknen. (Aristoteles Meteorol. II, 1, 353^b 6). Aus dem Urschlamm -sind dann durch die belebende Wirkung der Sonne die Organismen -entstanden, und hier ist also diese Wandlung der Sonnenenergie zuerst -verwertet. Mit das interessanteste ist, dass, wie ¨Zeller¨ zuerst -hervorgehoben, Anaximander als Vorläufer Darwins angesehen werden kann. -Er wies darauf hin, dass ein so hilfloses Wesen wie das Menschenkind -sofort hätte zugrunde gehen müssen und so meinte er, dass die Menschen -sich aus alligatorähnlichen Tieren entwickelt hätten (was ja so manchen -Zug in der Menschennatur erklären würde) bis ihre Entwicklung soweit -gediehen, dass sie ihre Panzer abwerfen und am Lande leben konnten. - -Aristoteles erwähnt in der historischen Übersicht in der Metaphysik den -grössten der Physiologen nicht, sein Apeiron passt eben in keine der -vier Archai des Kapitel III, obwohl das Wort von ihm herrührt, aber -der ausserordentliche Fortschritt gegen Thales ist dem Aristoteles -nicht entgangen. Die grossen Probleme der Materie und der Substanz sind -hier in voller Deutlichkeit erfasst, um nie wieder aus der Philosophie -zu verschwinden, und in seinem Apeiron ist noch vor den Pythagoreern -der Versuch gemacht vom unmittelbar gegebenen Stoff zu abstrahieren -und ihn durch eine gedankliche Hypothese zu ersetzen. Das Apeiron des -Anaximander ist eine der Quellen der Pythagoreischen Kosmogonie. Nicht -minder wichtig ist die eigentümliche theologisch-poetische Bewegung -welche man als ¨Orphische¨ bezeichnet, für deren Verständnis ich -¨Erwin Rohdes¨ klassischer »Psyche« (1894) den meisten Dank schulde. -Das Jahrhundert von 620 etwa bis 520 kann man als die griechische -Sturm- und Drangperiode bezeichnen. Neben jonischen Denkern ein -nicht minder stürmischer Drang nach religiöser Vertiefung. Die -eleusynischen Mysterien, deren Inhalt der Unsterblichkeitsgedanke oder -richtiger das Fortleben der Seele nach dem Tode bildete, gewannen -zahlreiche Teilnehmer aus dem ganzen Hellas und es entwickelte -sich eine philosophisch-theologische Spekulation welche zu einem -abgeschlosseneren systematischeren Kultus führte, als ihn die vielfach -lokalisierte Volksreligion darbot, eben die Orphik. - -Die ¨Orphiker¨, nach dem durch die Sage von Orpheus in der Unterwelt -bekannten Thrakischen Sänger benannt, verehrten auch Thrakiens Gott -den Bakchos oder Dionysos. Das älteste Zeugnis über sie gibt Herodot -(2, 81) der die Übereinstimmung ägyptischer Priester-Vorschriften mit -den »orphischen und bakchischen« Geheimdiensten hervorhebt, die in -Wahrheit ägyptisch und pythagoreisch seien, d. h. nach ägyptischem -Vorbilde von Pythagoras eingeführt seien, etwa um die Mitte des 6. -Jahrhunderts. Orphische Gemeinden bildeten sich in Griechenland -und Gross-Griechenland (Unteritalien) mit ganz festen heiligen -Schriften und festem Kult. ¨Rohde¨ sagt: »Die Verbindung von Religion -und einer halbphilosophischen Spekulation war eine kennzeichnende -Eigentümlichkeit der Orphiker und ihrer Schriftsteller,« von denen ich -als den wichtigsten ¨Pherekydes¨ von der Insel Syros erwähne, bekannt -durch seine Theologia, einem Seitenstück zu der ¨Hesiod¨ Theogonie. Die -ganze Lehre trägt einen allegorischen Charakter, ich erwähne nur den -Abschluss. - -Am Ende der sich in Geschlechterfolge entwickelnden Götterreihe steht -der Sohn des Zeus und der Persephone, Dionysos, der als Unterweltgott -Zagreus genannt ist. Der Name bedeutet »starker Jäger«, -- das ζα -ist eine Nebenform von δια welches in der Komposition gleich dem -lateinischen per die Bedeutung des Simplex tunlichst verstärkt -- -und bezieht sich auf den Tod, den Hades. Dem Zagreus hat Zeus (Zas) -schon als Kind die Herrschaft über die Welt anvertraut, ihn überfallen -die Feinde des Zeus und der sittlichen Ordnung, die Titanen und -nach heftigen Kampfe wird er zerrissen. Nur das Herz rettet Athene, -überbringt es dem Zeus, der es verschlingt. Aus ihm entspringt der neue -Dionysos, des Zeus und der Semele Sohn, in dem Zagreus wieder auflebt. -Die Titanen stellen die Urkraft der Bösen dar, sie zerrissen den Einen -in viele Teile, durch ¨Frevel¨ breitet sich das Eine, die Gottheit, -in die Vielheit der Dinge dieser Welt aus (Anaximander!). Aber die -Gottheit entsteht wieder als Einheit im Dionysos. Zeus zerschmettert -die Titanen durch seinen Blitzstrahl, aus ihrer Asche entsteht das -Geschlecht der Menschen, die also ihrem Ursprung nach eine Spottgeburt -von Dreck und Feuer sind, von Gutem aus Zagreus, von Bösem aus dem -Titanischen Elemente. Damit ist dem Menschen sein Weg vorgezeichnet, -er soll sich von dem titanischen Elemente befreien und zurückkehren -zu Gott von dem ein Teil in ihm lebendig ist. Oder was dasselbe, der -Mensch soll sich frei machen von den Banden des Körpers in dem die -Seele gefesselt ist wie in einem Kerker. Aber der Weg ist lang, der -Tod trennt zwar Seele und Körper, aber die Seele, die beim Austritt -aus ihrem Leibe frei in der Luft schwebt, wird in einen neuen Körper -eingeatmet und so durchwandelt sie den weiten Kreis der Notwendigkeit. -Ja sie kann sogar wie ein periodischer Dezimalbruch immer dieselben -Zustände in derselben Reihenfolge durchlaufen. Nur eine Hilfe gibt es, -die Askese in der gänzlichen Versenkung in die Gottheit. - -Wie man sieht sind zeitlich und inhaltlich die indischen buddhistischen -Einflüsse unverkennbar. ¨Pythagoras¨ nun trat, Rohde zufolge, dem -ich völlig beipflichte, in die orphische Gemeinde von Kroton, die er -reformierte. Und zwar ist der Modus der stets befolgte und einzig -Erfolg verheissende, die Sitten, Gebräuche, den Kult liess er -unangetastet, die Dogmatik änderte er; Askese, Seelenwanderung, ja -Musik und Heilkunst übernahm er von den Orphikern. - -Die ursprüngliche Lehre selbst zu erkennen, wird dadurch erschwert, -dass wir den Pythagoreismus zuerst in der verhältnismässig späten -Darstellung des ¨Philolaos¨ besitzen. Philolaos aber zeigt nicht nur -den Einfluss des ¨Anaximander¨ und zwar positiv im Apeiron und negativ -in der Betonung der Einzigheit des Kosmos, sondern auch den des -Heraklit für die Rolle die das Feuer im Kosmos, einem pythagoreischen -Ausdruck, spielt. Dass Heraklit in Unteritalien schon kurz nach -500 bekannt war, ist ja erwiesen. Aber auch die vier Elemente des -¨Empedokles¨ und Momente aus der Weltschöpfung des ¨Anaxagoras¨ nahm -Philolaos auf. Ob das formgebende Prinzip oder der ordnende Nous von -einem Zentralpunkt dynamisch wirken, ist dasselbe. Allerdings lagen -dem ¨Aristoteles¨ vermutlich auch noch ältere Quellen als Philolaos -vor. Was nun die sehr dankenswerte Dissertation von ¨W. Bauer¨ -(1897) betrifft, so scheint mir die Argumentation etwas durch die -vorgefasste Meinung des Verfassers beeinflusst, der die Quellen je -nach dieser wertet, um z. B. gegen Zeller einen eignen pythagoreischen -Gott zu konstruieren, der dann von dem Nous des Anaxagoras nicht -wesentlich verschieden wäre. Von Aristoteles nimmt er weg, Syrion -und Stobaios legt er zu, das umfassende Feuer ist keineswegs als ein -zusammenfassendes gekennzeichnet, periecho ist nicht synecho, und die -»Lauterkeit der Elemente« selbst bezieht sich nicht auf Materie und -Form sondern auf die vier Elemente selbst. Das umgebende Feuer erklärt -sich einerseits durch die Auszeichnung die Anfang und Ende besitzen und -»Anfang und Ende reichen einander die Hände«. Das von der zentralen -Hestia zur Erhaltung des Kosmos verbrauchte Feuer wird von da aus -ersetzt, durch den »Atemzug des Weltalls«. - -Darin pflichte ich Herrn Bauer bei, dass die Betonung der Gegensätze, -die orphisch ist, vielleicht das ursprüngliche ist. Man muss aber -unterscheiden zwischen dem Apeiron, dem Peras und dem Perainon, d. h. -zwischen Stoff und Form und Formgebung und das formgebende Prinzip, die -Seele wie des Menschen so der Welt, ist, wenn man das Wort brauchen -will, der eigentliche »Gott« der Pythagoreer, nämlich die ¨Harmonie¨, -welche die Gegensätze zur Vereinigung zwang und darin erhält. Auch für -sie lagen orphische vielleicht auch Heraklitische Anregungen vor. - -Von der Harmonie zur ¨Zahlenlehre¨ der Aristotelischen Darstellung -ist aber nur ein kleiner Sprung, denn wenn die Ordinalzahl, wie ich -an anderer Stelle gesagt habe, der major domus der Zeit ist, so ist -es die relative, die Verhältniszahl, für die Harmonie, die eben nur -in Verhältniszahlen zum Ausdruck kommt. Die Erfindung des Monochords -ist von diesem Prinzip geleitet worden; jedes Kind, das an einer Saite -klimpert, weiss, dass die kürzere den helleren Ton gibt, aber nur wer -den Gedanken erfasst hat, dass die Harmonie in Zahlenverhältnissen -ihre Objektivierung finden muss, wird versuchen messend einfache -Verhältnisse herzustellen. So sind es die Pythagoreer, die sicher noch -vor ¨Platon¨ die Bedeutung der relativen Zahl erkannt haben, und hier -liegt vielleicht ihr grösstes Verdienst um die Mathematik. Hiermit -hängt auch die ihnen eigentümliche Auffassung der Einheit zusammen, die -keine Zahl ist, wie wir das ja noch in den Rechenbüchern des 18. Jahrh. -nach Chr. lesen können, sondern eine Grösse, und ich weise hier auf den -Zusammenhang mit ¨Galilei¨ hin und auf die Stelle Aristoteles Metaph. -XIII 6, 1080, 6, 16. - -Zum Schluss noch ein paar Worte über das »Kenon,« das Leere, der -Pythagoreer, denn hier liegt die Grundlage für den wichtigen Begriff -des »μή ὄν« des Nichtseienden, das schliesslich bei Demokrit und Platon -geradezu positiven oder besser konstruktiven Inhalt empfängt. - -Dieses Leere scheint mir nichts anderes zu sein als eine Vermischung -von Zeit und Raum, die im »Kenon« zwar noch ungeschieden, aber doch -schon als Sonderungsprinzipien (principia individuationis nach -Schopenhauer) erkannt sind. Sie werden aus dem Apeiron jenseits -der zehnten Sphäre, der des umgebenden Feuers, eingesogen um die -im Kosmos zur ordnungsgemässen Trennung und Bewegung der Sphären -verbrauchte Zeit und Raum zu ersetzen. Die Polemik des ¨Parmenides¨ -gegen das Nichtseiende ist also noch mehr gegen die Pythagoreer -als gegen Heraklit gerichtet, denn sie ist gegen Zeit und Raum -und Bewegung gerichtet. Aber dieses Kenon, dieses me on ist dann -von ¨Demokrit¨ aufgenommen, der in dem Leeren der Pythagoreer, -den Poren des ¨Empedokles¨ und den unzählig vielen unendlich -kleinen Elementen des ¨Anaxagoras¨ die Bausteine fand, aus denen er -mittelst der Differentiale der Masse, des Raumes und der Bewegung, -die unerschütterlichen Grundlagen der physikalisch-chemischen oder -richtiger der mathematischen Naturbeschreibung geschaffen hat. - - - - -Autoren-Register - - -Die Römischen Zahlen bedeuten die Kapitel, Vorwort = V, Einleitung -= E, Nachwort = N. Namenfehler im Buche bitte nach dem Register zu -verbessern. - - - Aahmes(-Ames)-Jamesu I 27 Z 7, 16, 27; 33 Z 5, 7, 32; 43 Z 2, 26; 47 - Z 5; 49 Z 6. - - Abel N. H. II 73 Z 15, 23. - - Abulphat v. Ispahan III 291 Z 12. - - Abul Wafa III 358 Z 32. - - Adrastos III 353 Z 3. - - Ahmes s. Aahmes. - - D'Alembert J. III 313 Z 15. - - Alexander Polyhistor II 57 Z 11. - - Allman G. J. III 172 Z 17. - - Ammonios III 355 Z 8. - - Anaxagoras III 170 Z 15 N 386 Z 3 12; 388 Z 1. - - Anaximander III 124 Z 32 f; 125 Z 5, 27; 176 Z 24; 278 Z 2; N 380 Z - 30; 381 Z 24; 382 Z 1, 22; 383 Z 3, 20; 384 Z 34; 385 Z 30. - - Anaximenes III 176 Z 25. - - Andron III 125 Z 27. - - Anthiphon III 172 Z 1, 10; 175 Z 12, 18. - - Antisthenes III 340 Z 6. - - Apastamba III 139 Z 16; 145 Z 6; 147 Z 32; 148 Z 15; 149 Z 4, 24, 29; - 150 Z 8, 14, 21; 151 Z 19; 153 Z 18; 154 Z 2; 155 Z 30; 156 Z 24. - - Apollodoros III 123 Z 31. - - Apollonios von Pergae III 209 Z 10, 15; 231 Z 11; 234 Z 30; 235 Z 14; - 236 Z 31; 241 Z 27; 248 Z 19, $290-300$; 301 Z 1; 306 Z 9; 311 Z - 16; 315 Z 27, 30; 324 Z 24; 339 Z 10; 343 Z 5; 369 Z 4; 370 Z 28; - 371 Z 21; 372 Z 6. - - Apollonios von Thyana III 126 Z 3; 135 Z 23; 357 Z 8. - - Apulejus III 124 Z 15; 348 Z 5 f. - - Aratos III 311 Z 33. - - Archimedes E X Z 9; XIV Z 21; XV Z 7; III S. 175 Z. 30; 181 Z 18, 20, - 23; 182 Z 6; 202 Z 28; 210 Z 1; 211 Z 29; 213 Z 3; 229 Z 34; 230 Z - 6; 231 Z 11, 233 Z 10; 234 Z 13; 236 Z 31; 241 Z 25, 30; 250 Z 9, - 258-285; 290 Z 5; 291 Z 8; 292 Z 4; 294 Z 27; 297 Z 6, 15; 298 Z - 23, 30; 299 Z 6; 300 Z 12; 301 Z 6; 302 Z 10; 303 Z 34; 304 Z 7; - 308 Z 21; 309 Z 4; 311 Z 3, 11, 15; 312 Z 26; 315 Z 1, 22; 316 Z - 12; 319 Z 18; 326 Z 2; 328 Z 7; 331 Z 27; 335 Z 33; 336 Z 13, 25, - 31; 337 Z 9; 348 Z 33. - - Archytas III 128 Z 4; 129 Z 7, 10; 137 Z 10; 184 Z 26; 185 Z 26; 191 - Z 16; 194 Z 29; 195 Z 2; 197 Z 5, 24; 198 Z 5; 199 Z 29; 200 Z 3; - 202 Z 1, 5; 208 Z 2, 11; 209 Z 29; 211 Z 24; 369 Z 14. - - Aristaios III 292 Z 5, 16; 293 Z 34. - - Aristarch (von Samos) III 218 Z 12; 279 Z 26; 280 Z 3; 284 Z 25; 311 - Z 22. - - Aristippos III 341 Z 22. - - Ariston III 286 Z 4. - - Aristoteles III 124 Z 18, 28; 125 Z 23, 30; 127 Z 33; 128 Z 7, 22; - 129 Z 4; 130 Z 17; 131 Z 12; 132 Z 32; 134 Z 14; 136 Z 24; 141 Z - 10; 167 Z 18; 169 Z 28; 170 Z 6, 27; 171 Z 24; 172 Z 3; 175 Z 17; - 176 Z 9; 179 Z 5, 16, 24; 181 Z 1, 33; 186 Z 6; 188 Z 8; 190 Z 18; - 199 Z 8; 204 Z 9; 213 Z 31, $214-228$; 232 Z 13; 236 Z 30; 242 Z - 26, 33; 247 Z 17, 20, 23; 249 Z 1; 250 Z 9; 253 Z 19; 255 Z 33; 258 - Z 28; 286 Z 13; 315 Z 3; 320 Z 6; 331 Z 27; 340 Z 18; 342 Z 26; 346 - Z 29; 352 Z 4; 355 Z 23; 372 Z 8. N 375 Z 9; 376 Z 29; 377 Z 19; - 380 Z 15, 30; 381 Z 12, 29; 382 Z 17, 33; 383 Z 10, 14; 386 Z 12; - 387 Z 15. - - Aristoxenos III 233 Z 18. - - Arkesilaos III 286 Z 4. - - Arnauld A. III 245 Z 12. - - Arrian II 71 Z 26. - - Ast Fr. III 190 Z 20; 347 Z 21. - - Athenodoros III 324 Z 18. - - August E. F. III 240 Z 8. - - Augustinus III 183 Z 3; 354 Z 29. - - Autolykos III 232 Z 8; 300 Z 22; 338 Z 14. - - Auwers Ar. II 103 Z 22. - - Averroës III 222 Z 28. - - - Bachet G. III 359 Z 8; 360 Z 10; 365 Z 28. - - Bacon III 324 Z 4. - - Balsam H. III 291 Z 30. - - Baltzer R. III 171 Z 8; 268 Z 10; 299 Z 8; 351 Z 16; 373 Z 18. - - Baudhāyana III 139 Z 17; 148 Z 1; 149 Z 4; 150 Z 7, 20; 151 Z 5; 153 - Z 14; 154 Z 20; 155 Z 20; 157 Z 18; 159 Z 26; 160 Z 15. - - Barocci Fr. III 243 Z 34. - - Barrow Ph. Soc. J. III 244 Z 16. - - Bartels J. M. C. III 245 Z 4. - - Bauer W. N 381 Z 21; 386 Z 7, 23. - - Bayle P. III 169 Z 33. - - Becker C. K. E XII Z 17. - - Benfey Th. II 73 Z 27. - - Berger Hg. III 285 Z 30. - - Bergh T. III 352 Z 11. - - Berkeley G. III 169 Z 9. - - Bernardy Gtf. III 235 Z 2. - - Bernhardy III 285 Z 29. - - Bernoulli J. E XI Z 23. - - Berossos II 57 Z 6; 71 Z 26; 97 Z 29; 116 Z 20. - - Bertram H. III 274 Z 18. - - Bertrand L. III 245 Z 13. - - Bezold W. V VII Z 26; II 59 Z 13; 65 Z 25; 66 Z 14; 70 Z 3; 77 Z 7; - 112 Z 4; 115 Z 25; 116 Z 25. - - Birch S. I 26 Z 25. - - Björnbo A. A. III 343 Z 23; 345 Z 28. - - Blass Fr. III 185 Z 24; 192 Z 27; 211 Z 34. N 377 Z 11. - - Boeckh A. II 90 Z 13; 91 Z 4; III 128 Z 2; 129 Z 11, 26; 132 Z 20, - 27, 31; 133 Z 11, 22, 34; 134 Z 12, 22; 198 Z 16; 207 Z 27; 351 Z - 1. - - Boëtius III 240 Z 14; 348 Z 7 f; 350 Z 3; 352 Z 27. - - Boll F. III 312 Z 30. - - Bolyai J. III 159 Z 32; 245 Z 3. - - Bolyai W. III 245 Z 2. - - Bolzano B. E X Z 16; III 169 Z 20; 227 Z 15; 246 Z 18; 251 Z 5, 13; - 367 Z 20. - - Bonitz H. III 224 Z 12. - - Bonola R. III 239 Z 15. - - Borchardt L. I 3 Z 4; 4 Z 14; 6 Z 28; 26 Z 19; 27 Z 24, 30; 45 Z 9; - 46 Z 10, 34; 49 Z 12; 50 Z 16; 51 Z 11, 30; 53 Z 17; II 61 Z 23, - 26; 75 Z 12; 105 Z 1; 111 Z 22; 112 Z 34. - - Borelli J. III 244 Z 29; 291 Z 16. - - Botta E. II 74 Z 29; 75 Z 2; 99 Z 5. - - Brandis J. II 91 Z 3; 93 Z 28; III 132 Z 16. - - Bretschneider C. A. III 136 Z 30; 153 Z 9; 171 Z 26; 192 Z 13; 197 Z - 7; 209 Z 12. - - Brugsch H. K, I 48 Z 15. - - Brunet de Presle III 204 Z 20. - - Bruno G. III 343 Z 8. - - Bryson III 175 Z 25. - - Budge E. A. W. II 75 Z 10. - - Bühler G. III 154 Z 16; 164 Z 34; 165 Z 5. - - Bunte Brh. III 259 Z 11; 261 Z 17. - - Bürk A. III 138 Z 14, 19, 22; 140 Z 2; 144 Z 28; 146 Z 7; 150 Z 34; - 153 Z 33; 154 Z 20. - - Burnell A. C. III 163 Z 24. - - - Campano G. III 240 Z 20; 244 Z 9; 256 Z 1. - - Cantor G. III 169 Z 22, 26; 226 Z7; 227 Z 17. - - Cantor M. E XII Z 33; I S. 26 Z 29; 27 Z 18; 33 Z 15; 36 Z 26, 28; 37 - Z 32; 40 Z 12; 45 Z 33; 46 Z 7; 47 Z 20, 27; 48 Z 14; 49 Z 7; 50 Z - 7; 51 Z 8; II 101 Z 20, 24, 33; 113 Z 2; III 123 Z 11; 137 Z 25, - 32; 138 Z 25, 28; 139 Z 24; 140 Z 3 f; 144 Z 31; 145 Z 3; 151 Z 11; - 185 Z 30; 212 Z 4; 237 Z 19; 238 Z 24; 241 Z 5; 243 Z 11; 300 Z 19, - 22; 301 Z 21; 308 Z 20; 314 Z 20; 316 Z 13, 17; 318 Z 2, 14; 337 Z - 21; 338 Z 24; 339 Z 27; 343 Z 14; 348 Z 24; 349 Z 2; 361 Z 4, 11; - 366 Z 27; 368 Z 1; 373 Z 7. - - Cardano H. III 171 Z 14. - - Cassirer E. V Z 31; E X Z 31. - - Castillon E. III 296 Z 31. - - Cavalieri B. III 181 Z 26; 213 Z 6; 264 Z 21, 28, 34; 333 Z 11. - - Censorinus II 116 Z 17. - - Champollion J. F. I 18 Z 5, 6, 14; 19 Z 15, 22; 20 Z 1, 10; 21 Z 14. - - Chapelle W. III 342 Z 19. - - Chasles M. III 234 Z 16; 235 Z 7; 344 Z 15. - - Christoffel Br. E XII Z 4. - - Chrysippos III 340 Z 23; 341 Z 1; 342 Z 5. - - Cicero III 199 Z 10; 207 Z 31; 258 Z 34; 259 Z 10; 263 Z 20; 270 Anm. - 1; 340 Z 32; 341 Z 6, 13. - - Clairaut A. C. III 245 Z 12, 19. - - Clausen Th. III 174 Z 18. - - Clavius Ch. III 171 Z 15; 241 Z 2; 244 Z 13, 27; 245 Z 5, 11; 255 Z - 34; 256 Z 2. - - Clemens Alexandrinus I 18 Z 16. - - Cohen H. III 182 Z 24; 184 Z 13; 188 Z 14; 221 Z 1; 227 Z 28; 228 Z - 1. N 375 Z 22. - - Commandino F. III 241 Z 1; 244 Z 13, 20; 266 Z 6; 291 Z 7; 367 Z 32. - - Copernicus N. III 205 Z 31. - - Cros G. II 61 Z 34; 64 Z 28; 118 Z 10. - - Curtius T. III 278 Z 16. - - Curtze M. III 318 Z 14, 30; 333 Z 27. - - Cusanus N. III 226 Z 10. - - - Darwin G. III 215 Z 18. N 383 Z 3. - - Dasypodius K. III 245 Z 32. - - Dee J. III 233 Z 21. - - Degering H. III 324 Z 9. - - Delambre J. B. J. III 266 Z 11; 280 Z 32; 282 Z 26; 312 Z 33. - - Delitzsch Fr. II 57 Z 19; 64 Z 11; 77 Z 9 f; 78 Z 9; 80 Z 20. - - Demokrit I 26 Z 12; III 127 Z 26; 168 Z 34; 176 Z 2; 178 Z 4; [88 ,?] - $179-183$; 185 Z 31; 199 Z 5; 203 Z 22; 212 Z 28; 226 Z 13; 236 Z - 31; 263 Z 25; 270 Z 32; 241 Z 33; 276 Z 34; 324 Z 6; 333 Z 12. N - 376 Z 30; 380 Z 31; 387 Z 20, 33. - - Desargues G. III 291 Z 33. - - Descartes R. III 169 Z 34; 182 Z 14; 373 Z 23, 28. - - Diels H. E X Z 16; III 128 Z 29; 166 Z 9; 171 Z 32; 176 Z 9, 16; 181 - Z 29; 220 Z 30; 314 Z 14. N 381 Z 30, 34; 382 Z 13. - - Diesterweg A. III 296 Z 13. - - Dikaiarchos III 286 Z 31. - - Dinostratos III 138 Z 27; $210-211$; 212 Z 28, 34; 213 Z 14; 263 Z 9. - - Diodor I 17 Z 2; II 71 Z 26; III 259 Z 18. - - Diokles III 306 Z 1, 20; 307 Z 15; 308 Z 6. - - Dionysios von Halikarnassos III 129 Z 11. - - Dionysodoros III 315 Z 28. - - Diophant III 336 Z 20; $358-366$; 371 Z 27. - - Dirichlet P. G. E XI Z 37; III 362 Z 22. - - Dörpfeld W. III 122 Z 11. - - Drachmann III 267 Z 34. - - Dümichen J. I 24 Z 21; 47 Z 22. - - Dupuis J. III 187 Z 19; 353 Z 1. - - - Echelles Abraham v. III 291 Z 16. - - Eisenlohr A. I 26 Z 26; 27 Z 18; 37 Z 31; 39 Z 19, 25; 44 Z 2; 45 Z - 32; 49 Z 7; 50 Z 5, 7; 51 Z 1, 22. - - Eisenlohr Fr. I 26 Z 29. - - Empedokles III 125 Z 25; 177 Z 33. N 386 Z 2; 387 Z 34. - - Engel E. III 250 Z 16. - - Enriques F. III 174 Z 24. - - Epicur III 179 Z 4; 339 Z 33; 341 Z 18. - - Epiktet III 342 Z 1. - - Epping Js. II 101 Z 3; 105 Z 12; 109 Z 20; 110 Z 29. - - Eratosthenes III 174 Z 31; 193 Z 19; 194 Z 16; 197 Z 11; 199 Z 3, - 15, 25; 208 Z 6; 210 Z 15; 230 Z 7; 231 Z 11; 260 Z 22; 284 Z 30; - $285-289$; 301 Z 23; 304 Z 29; 311 Z 15; 313 Z 29, 32, 34; 329 Z - 19; 340 Z 29; 350 Z 13. - - Erman Ad. V Z 29; E XVII Z 24 I 10 Z 4, 6; 22 Z 5; 38 Z 11. - - Eudemos E IX Z 20; III 122 Z 28; 123 Z 6, 15; 124 Z 10, 18; 128 Z 7; - 135 Z 16, 21, 31; 171 Z 24; 175 Z 7; 208 Z 10; 219 Z 6 u. 7; 228 Z - 33; 229 Z 1, 6; 248 Z 18. - - Eudoxos E IX Z 22; I 26 Z 9; III 125 Z 27; 181 Z 20; 185 Z 27, 31; - 186 Z 16; 191 Z 17; 192 Z 15; 197 Z 28, 33; $199-210$; 229 Z 30; - 236 Z 21, 26; 238 Z 21; 241 Z 33; 255 Z 28, 34; 256 Z 17; 263 Z 24; - 270 Z 11, 27; 276 Z 34; 300 Z 12; 311 Z 33; 312 Z 3. - - Eucken R. III 220 Z 26. - - Euklid E X 9; I 26 Z 7; 46 Z 6; III 123 Z 6; 136 Z 1, 29; 137 Z 8; - 141 Z 1; 173 Z 16, 17; 175 Z 6; 185 Z 4; 192 Z 13; 202 Z 10 u. 12; - 203 Z 21; 213 Z 20, 29; $229-258$; 260 Z 15; 268 Z 27; 290 Z 19; - 291 Z 7; 292 Z 4, 7; 293 Z 17; 294 Z 1, 8; 299 Z 19; 300 Z 6, 27; - 301 Z 26; 308 Z 21; 309 Z 33; 310 Z 5; 313 Z 26; 314 Z 6; 315 Z 4; - 316 Z 18; 335 Z 33; 337 Z 15, 26; 338 Z 15; 339 Z 16; 344 Z 16, 30; - 346 Z 13; 348 Z 29; 350 Z 13; 352 Z 24; 359 Z 30; 367 Z 12, 23; 369 - Z 3. - - Euler L. E XIV Z 24; III 362 Z 22; 365 Z 32; 370 Z 27. - - Eurytos III 131 Z 3. - - Eusebios I 17 Z 1; II 57 Z 11; 97 Z 29. - - Eutokios III 123 Z 33; 135 Z 22; 193 Z 19; 194 Z 28; 199 Z 24; 201 Z - 12; 208 Z 10, 13; 209 Z 8, 14; 229 Z 2; 258 Z 20; 266 Z 2, 13, 29; - 282 Z 11, 29; 288 Z 19, 27; 289 Z 11; 290 Z 31, 34; 291 Z 9, 27; - 297 Z 25; 298 Z 17; 301 Z 30; 302 Z 5; 303 Z 24; 304 Z 29, 32; 306 - Z 1, 14; 308 Z 14; 315 Z 29; 316 Z 24; 324 Z 13; 325 Z 3, 10; 367 Z - 13; 372 Z 5. - - Evans III 121 Z 27. - - - Fermat P. E XIV Z 24; III 258 Z 17; 294 Z 23; 359 Z 13, 22; 362 Z 12, - 25, 33; 365 Z 7, 29; 366 Z 3. - - Fermat S. III 359 Z 11. - - Flandin E. II 75 Z 3. - - Flauti V. III 200 Z 7. - - Flinders Petrie I Z 15; 40 Z 2; 52 Z 2, 4, 7. - - Formaleoni V. A. II 101 Z 24. - - Foster S. III 267 Z 29. - - Frege G. III 226 Z 23. - - Fresnel A. J. III 326 Z 17. - - Friedlein G. III 123 Z 1; 190 Z 28; 202 Z 11; 208 Z 9; 212 Z 1; 213 Z - 25; 229 Z 5, 26; 243 Z 31; 261 Z 23; 281 Z 2; 298 Z 13; 301 Z 25; - 307 Z 34; 309 Z 29; 314 Z 4; 319 Z 34; 339 Z 12; 346 Z 5; 348 Z 16; - 367 Z 17. - - - Galilei III 169 Z 22; 182 Z 7; 205 Z 11; 226 Z 11; 227 Z 18; 258 Z - 17; 264 Z 19, 29; 291 Z 19; 294 Z 23; 373 Z 12. N 387 Z 15. - - Gartz III 312 Z 24. - - Gauss E X Z 16; XIV Z 24; III 226 Z 30; 244 Z 34; 245 Z 1; 258 Z 17; - 344 Z 27; 359 Z 18; 370 Z 27. - - Geber, (Dschâbir) III 345 Z 18. - - Gebhart M. E X Z 27. - - Geminos III 122 Z 26; 135 Z 21; 174 Z 30; 205 Z 9; 209 Z 9; 229 Z - 7, 20; 242 Z 28; 249 Z 23; 250 Z 8; 290 Z 31; 308 Z 10; 337 Z 21; - $388-339$; 343 Z 11. - - Gerling Ch. L. III 170 Z 1. - - Gherardus von Cremona III 338 Z 1; 344 Z 24. - - Ghetaldi Marino III 297 Z 24. - - Ginzel F. K. II 91 Z 3; 102 Z 28. - - Golius Jb. III 291 Z 13; 331 Z 24. - - Gorgias III 178 Z 23. - - Görland A. III 214 Z 17. - - Grassmann H. G. III 251 Z 6, 13. - - Grechauff Th. III 265 Z 9. - - Gregorius a. St. Vincentio III 171 Z 15. - - Griffith J. I 27 Z 15; 32 Z 25; 40 Z 21; 41 Z 1; 44 Z 8. - - Grotefend G. F. II 72 Z 15, 24; 73 Z 2f; 74 Z 2. - - Grotius H. III 233 Z 17. - - Grynäus Simon III 240 Z 29; 243 Z 25. - - Günther S. III 281 Z 4. - - - Haggag III 244 Z 6; 344 Z 30. - - Halévy J. II 58 Z 26. - - Halley Edm. III 291 Z 3 u. 25; 295 Z 2, 33; 296 Z 12. - - Halma N. B. III 309 Z 9. - - Hankel H. III 137 Z 22; 140 Z 6; 151 Z 26; 153 Z 11; 175 Z 19; 212 Z - 1. - - Harper R. II 70 Z 15. - - Hart G. III 183 Z 11. - - Hartleben H. I 18 Z 9; 19 Z 5. - - Haynes J. H. II 75 Z 17. - - Heath T. L. III 360 Z 23. - - Heeren A. II 73 Z 24. - - Hegel G. W. F. III 169 Z 6; 177 Z 13. - - Heiberg J. L. E X Z 7 III 181 Z 17; 214 Z 14; 220 Z 31; 232 Z 20, 26; - 233 Z 7; 236 Z 1; 237 Z 4, 29; 238 Z 3; 240 Z 9; 241 Z 29; 242 Z 6; - 243 Z 15, 32; 253 Z 18; 259 Z 11; 260 Z 27; 262 Z 3; 264 Z 1; 265 - Z 10, 24, 33; 266 Z 1, 16, 23; 267 Z 3, 22; 268 Z 1; 270 Z 9, 11; - 274 Z 8; 278 Z 16; 284 Z 13, 34; 285 Z 19; 288 Z 20; 289 Z 12; 290 - Z 31; 291 Z 27; 297 Z 27; 298 Z 17; 303 Z 24; 306 Z 15. - - Helmholtz H. II 92 Z 33. - - Henrici J. III 245 Z 34. - - Heraklit III 125 Z 25, 27; 133 Z 8; $176-177$; 178 Z 13; 179 Z 31; - 180 Z 17; 183 Z 20; 258 Z 20; 341 Z 33; 342 Z 2, 28, 31. N 385 Z - 34; 387 Z 30. - - Herlin Ch. III 265 Z 13. - - Hermann G. E X Z 5. - - Hermotimos III 229 Z 27. - - Herodot E XVI Z 10; I 15 Z 13; 17 Z 1; 22 Z 13; 28 Z 28; II 71 Z 25; - III 122 Z 30; 124 Z 9, 17; 125 Z 26; 126 Z 5, 16; 329 Z 22. N 384 Z - 4. - - Heron E X Z 9; XIV Z 33; XV Z 12; I 26 Z 8; 43 Z 24; 47 Z 2; III 138 - Z 1, 32; 139 Z 2; 171 Z 14; 242 Z 1, 5, 28; 250 Z 9; 263 Z 34; 264 - Z 4; 274 Z 13; 313 Z 22; $314-337$; 343 Z 26; 351 Z 19; 352 Z 24; - 360 Z 28; 366 Z 7; 369 Z 10. - - Hesiod N 377 Z 8, 11; 379 Z 8; 384 Z 15. - - Heuzey L. 59 Z 10; 62 Z 7; 64 Z 1, 4; 74 Z 33. - - Hieronymos v. Rhodos III 123 Z 24. - - Hiketas III 134 Z 18; 218 Z 13. - - Hilbert D. E XIV Z 28; III 241 Z 26; 247 Z 7. - - Hiller E. III 288 Z 15; 289 Z 4, 10. - - Hilprecht H. V. II 58 Z 20; 59 Z 13; 60 Z 28; 62 Z 12; 65 Z 27; 73 Z - 20; 75 Z 17; 82 Z 8; 90 Z 1; 110 Z 8; 113 Z 23 f; 114 Z 6, 24; 115 - Z 8, 24; 116 Z 17, 24; 117 Z 1 f. - - Hinke W. M. J. II 109 Z 4. - - Hinks E. II 73 Z 27; 75 Z 23; 102 Z 9, 18, 25; 105 Z 31 f. - - Hipparch v. Rhodos II 110 Z 21; 205 Z 30; 286 Z 24; $311-314$; 315 Z - 27; 328 Z 6, 17; 337 Z 23; 338 Z 22; 343 Z 15; 345 Z 6, 16. - - Hippias III 178 Z 23; 197 Z 17; 198 Z 28; 211 Z 27, 34. - - Hippokrates aus Chios III 137 Z 10; $170-175$; 192 Z 6; 194 Z 3; 237 - Z 26. - - Hippokrates aus Kos III 170 Z 21. - - Hoche R. III 347 Z 26; 349 Z 4. - - Hommel E. II 116 Z 15. - - Hoppe E. III 314 Z 22, 28; 329 Z 17; 332 Z 5. - - Horapollo I 17 Z 2. - - Horn W. III 204 Z 19. - - Hultsch Fr. E X Z 7; I 32 Z 9; 33 Z 6; II 116 Z 6, 17; 212 Z 15; 281 - Z 3; 290 Z 11, 22; 296 Z 30; 298 Z 26; 299 Z 8; 301 Z 34; 308 Z 19, - 28; 309 Z 12; 313 Z 25; 316 Z 13, 25; 317 Z 17, 19; 328 Z 8; 330 Z - 32; 333 Z 15, 23; 334 Z 10; 366 Z 27; 367 Z 7, 34; 368 Z 2; 373 Z - 18. - - Hume D. III 183 Z 27. - - Huygens Ch. II 92 Z 34. - - Hypatia III 232 Z 29; 371 Z 33. - - Hypsikles III 235 Z 33; 300 Z 9, 18; 351 Z 14. - - - Ideler Ch. L. III 204 Z 13. - - Jon von Chios III 125 Z 26. - - Ishaq ibn Hunein III 244 Z 7; 267 Z 29. - - Isidorus von Sevilla III 348 Z 24. - - Isidoros von Milet III 372 Z 3. - - Isokrates III 125 Z 27. - - Jamblichos III 126 Z 4; 243 Z 22; 352 Z 14; $353-354$; 357 Z 8. - - Jensen P. II 57 Z 25; 111 Z 7. - - Jordan C. E XII Z 17. - - Josephus II 57 Z 11. - - - Kaegi A. III 142 Z 34. - - Kaibel G. III 219 Z 25. - - Kallimachos III 199 Z 2; 286 Z 1, 7. - - Kambly L. III 245 Z 34. - - Kampe F. III 220 Z 25. - - Kant E X Z 14; III 168 Z 11; 178 Z 16; 183 Z 25, 26; 184 Z 3; 187 Z - 4; 188 Z 11; 189 Z 20; 190 Z 15; 214 Z 5; 215 Z 13; 227 Z 27; 247 Z - 19. N 380 Z 5. - - Kästner A. G. III 240 Z 23; 241 Z 5; 245 Z 33. - - Katyayana III 139 Z 18; 150 Z 7; 157 Z 5. - - Kepler J. III 204 Z 29; 205 Z 31; 312 Z 15; 345 Z 1. - - Kerber A. III 318 Z 29. - - Kerry B. III 169 Z 20. - - Kewitsch G. II 104 Z 4 f. - - Kiessling Ad. III 184 Z 34; 219 Z 25. - - King L. W. E IX Z 19; II 65 Z 31; 75 Z 10. - - Kinkel W. III 132 Z 24; 176 Z 14; 183 Z 10. - - Kircher A. I 16 Z 2, 25. - - Kleonides III 233 Z 17. - - Knauff F. III 332 Z 18. - - Knoche J. H. III 202 Z 15. - - Köchly H. III 324 Z 12; 325 Z 7, 11. - - Köhler J. II 70 Z 17. - - Koldwey R. II 75 Z 12. - - Konon III 260 Z 17, 20; 263 Z 12, 14; 269 Z 12; 273 Z 34; 277 Z 9. - - Kopernikus III 134 Z 19; 218 Z 14; 345 Z 1. N 379 Z 27. - - Kosak R. III 246 Z 15. - - Krates III 340 Z 6. - - Ktesibios III 315 Z 2, 21; 319 Z 23, 30; 320 Z 10; 324 Z 10. - - Küchler F. II 88 Z 9. - - Kugler Fz. X. II 110 Z 15, 28; 111 Z 15, 25. - - Kummer E. E X Z 16; E XIV Z 22; III 362 Z 22. - - Künssberg H. III 197 Z 32; 204 Z 26; 206 Z 27. - - - Laertius Diogenes III 123 Z 23, 27; 124 Z 13; 176 Z 12; 184 Z 33; 191 - Z 32; 197 Z 11; 199 Z 1, 13; 340 Z 32. - - Lagrange J. L. III 203 Z 28. - - Lambert J. H. III 244 Z 33; 245 Z 17. - - Lange F. A. III 183 Z 23. - - Lassalle F. III 176 Z 13. - - Layard H. II 74 Z 18; 81 Z 7. - - Legendre A. M. III 138 Z 32; 245 Z 13, 22. - - Lehmann C. F. II 61 Z 27; 65 Z 24, 29; 91 Z 3, 7; 92 Z 33; 94 Z 20; - 95 Z 21; 102 Z 28; 103 Z 4, 30; 106 Z 7; 107 Z 1. - - Leibniz G. W. E IX Z 25; E XI Z 23; III 131 Z 16; 169 Z 20, 34; 189 Z - 16; 203 Z 27; 224 Z 26; 228 Z 4; 246 Z 19, 25; 251 Z 6; 264 Z 29; - 294 Z 23. - - Leon III 237 Z 26. - - Leonardo da Vinci III 337 Z 17. - - Lepsius R. I 21 Z 27; 45 Z 34; 47 Z 28; II 105 Z 33. - - Lessing G. E. III 284 Z 31. N 380 Z 15. - - Letronne J. A. II 102 Z 4; III 204 Z 22. - - Leukipp III 178 Z 3, 13; 179 Z 3, 5; 180 Z 4, 11; 181 Z 5; 182 Z 20. - - Leumann E. V Z 19; III 138 Z 14, 16; 144 Z 28; 146 Z 5, 7; 151 Z 30. - - Listing J. B. E XII Z 20. - - Livius III 259 Z 15. - - Lobatscheffsky N. III 245 Z 4. - - Loftus w. K. II 93 Z 33. - - Longchamps G. de III 303 Z 20. - - Longin III 355 Z 11. - - Loria Gino. III 241 Z 22; 338 Z 25, 27; 349 Z 2. - - Löwe J. H. III 170 Z 7. - - Lühmann F. v. III 296 Z 15. - - Luka Kosta ben III 331 Z 20. - - Lukianos III 135 Z 2. - - Lyko III 125 Z 27. - - - Mahler G. II 102 Z 28 f. - - Mai A. III 278 Z 19. - - Maitrayana III 139 Z 18. - - Makrobios III 287 Z 22. - - Mamercos III 125 Z 11. - - Manava III 139 Z 18. - - Manutius III 312 Z 1. - - Marinos v. Neapolis III 231 Z 16; 367 Z 13. - - Mark Aurel III 342 Z 1. - - Martin H. III 326 Z 9. - - Maurolycus III 338 Z 4. - - Mayring V. III 333 Z 22. - - Medon III 228 Z 18. - - Mehler F. G. III 245 Z 34. - - Melanchthon Ph. III 245 Z 31. - - Memus J. B. III 291 Z 5. - - Menaichmos III 198 Z 26; 202 Z 1; $208 Z 3 f$; $209 Z 19 f$; 213 Z - 14; 214 Z 12; 292 Z 11. - - Menelaos III 343 Z 17, 28; 344 Z 4, 12; 346 Z 15. - - Meier R. III 316 Z 14. - - Meyer E. E XVII Z 21; I 3 Z 8, 17; 4 Z 15; II 58 Z 18, 30, 34; 59 Z - 28; 60 Z 4, 34; 62 Z 6; 85 Z 2, 7; 86 Z 3; 87 Z 19. - - Meyer W. II 73 Z 18. - - Möbius A. E XII Z 21. - - La Montre? III 246 Z 29. - - Montucla J. E. E IX Z 11, 28; E XIII Z 6; III 193 Z 17; 241 Z 4; 303 - Z 28; 304 Z 6; 307 Z 17. - - Morbeca Wilhelmus de III 278 Z 11; 326 Z 2. - - Morgan G. de II 70 Z 6; 75 Z 7. - - Müller H. III 245 Z 26. - - Müller M. II 42 Z 25; III 226 Z 17. - - - Nasir ed Din III 244 Z 9. - - Natorp P. III 176 Z 15; 183 Z 10, 13; 188 Z 14. - - Naukrates III 292 Z 27. - - Nesselmann G. F. H. III 280 Z 34; 284 Z 14; 285 Z 12; 298 Z 26; 347 Z - 30; 348 Z 2; 349 Z 1; 350 Z 2; 352 Z 15, 21; 354 Z 4, 17; 358 Z 9; - 360 Z 21. - - Newberry Percy E. I 7 Z 6. - - Newton III 203 Z 27; 205 Z 11; 213 Z 9; 244 Z 16; 246 Z 22; 249 Z 10; - 258 Z 17; 262 Z 19; 294 Z 19, 23; 296 Z 21; 297 Z 19; 304 Z 17; 307 - Z 17; 342 Z 16; 373 Z 28. - - Niebuhr K. I 17 Z 9; II 72 Z 19. - - Nietzsche F. III 176 Z 19. - - Nikomachos v. Gerasa III 131 Z 10; 199 Z 3; 219 Z 4; 243 Z 9; 289 Z - 30; 300 Z 27; 344 Z 20; 346 Z 16; $347-352$; 353 Z 29; 366 Z 7. - - Nikomedes III 301-305. - - Nipsus III 123 Z 10. - - Nix L. III 291 Z 23; 316 Z 6; 317 Z 11; 331 Z 18. - - Nizze E. III 265 Z 25; 266 Z 12; 277 Z 8; 280 Z 5; 284 Z 13; 337 Z - 32; 338 Z 19. - - Nokk A. III 232 Z 19; 309 Z 25; 310 Z 16; 337 Z 31; 338 Z 10, 19. - - Norris Ed. II 73 Z 30. - - Northampton Marquis of I 7 Z 5. - - - Ofterdinger L. F. III 203 Z 17. - - Oinopides I 26 Z 9; III 170 Z 18. - - Oldenberg H. III 150 Z 31. - - Olivieri A. III 312 Z 32. - - Onken L. III 215 Z 17. - - Oppert J. II 73 Z 27, 30; 75 Z 22; 92 Z 25; 95 Z 33; 98 Z 17; 99 Z - 34; 100 Z 17; 112 Z 10. - - Origines III 355 Z 11. - - Ottajano G. da III 370 Z 33. - - Ottmân Abu III 299 Z 21. - - - Panaitios III 341 Z 5, 10; 342 Z 6. - - Pamphila III 123 Z 27, 34. - - Papperitz E. III 339 Z 1. - - Pappos E X Z 9; III 171 Z 14; 192 Z 1; 212 Z 11; 213 Z 1; 230 Z 27; - 231 Z 1, 14; 232 Z 18; 234 Z 2, 10, 15, 21; 235 Z 13; 243 Z 12; 252 - Z 6; 260 Z 19; 261 Z 28; 263 Z 14; 267 Z 32; 268 Z 7, 19; 243 Z 12; - 252 Z 6; 288 Z 22; 289 Z 20; 290 Z 12; 291 Z 2, 9; 292 Z 8; 294 Z - 11; 295 Z 34; 296 Z 3, 30; 297 Z 20, 26; 298 Z 24; 299 Z 15; 301 Z - 30; 302 Z 1; 303 Z 27; 308 Z 7, 15; 309 Z 10; 317 Z 25; 325 Z 3, 8; - 331 Z 8; 358 Z 9; $366-371$. - - Pardies J. G. III 171 Z 17. - - Parmenides III $165 Z 30 ff$; $166 Z 11 f$; 176 Z 9; 180 Z 6, 32. N. - 387 Z 29. - - Pascal Bl. III 291 Z 34. - - Peiser F. E. II 70 Z 18. - - Pena J. III 337 Z 33. - - Peters J. P. II 75 Z 17. - - Petersen J. III 232 Z 3. - - Peyrard F. III 240 Z 3; 253 Z 6; 266 Z 10; 280 Z 39. - - Pheidias III 258 Z 27. - - Pherekydes N. 384 Z 14. - - Philippos III 229 Z 28. - - Philolaos III 127 Z 25; 128 Z 9, 22; 129 Z 6; 130 Z 12, 21; 131 Z 13, - 23, 30; 132 Z 21, 30; 133 Z 4, 10; 134 Z 17, 22; 135 Z 15; 141 Z 9, - 12, 15; 205 Z 16; 348 Z 30; 350 Z 13; 351 Z 1. N. 385 Z 29; 386 Z - 3, 6. - - Philon v. Alexandria III 177 Z 18; 343 Z 3; $355 Z 14 f$; 356 Z 19. - - Philon von Byzanz III 315 Z 20, 32; 321 Z 31; 322 Z 1; 324 Z 26; 325 - Z 1. - - Philopömos J. III 194 Z 17. - - Pinches T. G. II 59 Z 5. - - Pisano L. I 40 Z 2. - - Pistelli L. III 354 Z 16. - - Place V. II 74 Z 29; 75 Z 3. - - Planudes M. III 358 Z 12, 29. - - Platon I 26 Z 11; II 116 Z 4, 18; III 124 Z 2, 17; 125 Z 26, 28; 127 - Z 22; 128 Z 5; 131 Z 14; 132 Z 10; 133 Z 5; 134 Z 13; 136 Z 32; 141 - Z 10, 14; 175 Z 34; 176 Z 9; 178 Z 16; 179 Z 17, 21, 24; 182 Z 12, - 26; 183 Z 2, 7, 15 f; 184 Z 4 ff; 185 Z 14 f; $186-192$; 194 Z 33; - 195 Z 3; 197 Z 25, 29; 199 Z 20; 201 Z 13, 31; 202 Z 1; 205 Z 19, - 32; 207 Z 30; 208 Z 4; 210 Z 18; 212 Z 9; 214 Z 2, 17, 21; 215 Z - 34; 216 Z 21; 224 Z 15; 231 Z 31; 236 Z 21; 237 Z 2; 242 Z 26; 243 - Z 7; 258 Z 10; 290 Z 3; 315 Z 3; 326 Z 20; 338 Z 33; 340 Z 18; 346 - Z 25; 347 Z 7; 352 Z 4, 32; 355 Z 23; 356 Z 13. N. 376 Z 29; 379 Z - 16; 380 Z 15, 30; 387 Z 9, 20. - - Platon v. Tivoli III 338 Z 1. - - Plotin III 183 Z 2; $354-357$. - - Plutarch I 17 Z 2; 22 Z 3; III 123 Z 20; 176 Z 10; 181 Z 29; 182 Z 1; - 194 Z 16; 199 Z 22; 201 Z 34; 203 Z 33; 258 Z 29; 260 Z 8; 261 Z 8; - 340 Z 31. - - Porphyrios III 126 Z 3; 243 Z 22; 354 Z 23; 356 Z 11; 357 Z 37, 26. - - Poseidonios III 134 Z 16, 314 Z 32; 329 Z 20; 339 Z 15 f; 341 Z 5, - 14, 17; 342 Z 6, 8; 345 Z 33; 346 Z 7. - - Proklos E XIII Z 25; E XIV Z 34; I 25 Z 30; III 122 Z 26, 34; 123 Z 6 - f; 125 Z 11; 128 Z 8; 135 Z 31; 137 Z 16; 170 Z 10, 22; 174 Z 30, - 33; 175 Z 3, 33; 190 Z 28; 191 Z 23; 197 Z 22; 202 Z 11, 15; 208 Z - 8; 210 Z 2; 212 Z 5, 8; 213 Z 22, 24; 229 Z 2, 5, 21; 231 Z 14; 233 - Z 8, 23; 234 Z 2; 235 Z 22; 236 Z 5; 237 Z 27; 238 Z 33; 242 Z 3, - 28; 243 Z 23, 33; 244 Z 12, 27; 248 Z 18, 31; 249 Z 5, 24; 250 Z - 19, 30; 251 Z 19; 252 Z 6, 12; 253 Z 23; 261 Z 20; 262 Z 3, 13; 268 - Z 19; 389 Z 6, 11; 298 Z 13; 301 Z 25; 307 Z 33; 308 Z 6; 309 Z 29; - 310 Z 4, 11; 314 Z 4; 319 Z 34; 338 Z 33; 339 Z 12, 15, 27; 341 Z - 17; 343 Z 24; 346 Z 1, 5; 354 Z 19; 356 Z 26; 357 Z 27; 366 Z 16; - 367 Z 13, 22; 371 Z 34. N. 381 Z 13. - - Protagoras III 178 Z 12 f. - - Ptolemäus E X Z 9; II 116 Z 19; III 205 Z 29; 207 Z 11; 299 Z 33; 311 - Z 28, 30; 312 Z 30; 326 Z 8; 329 Z 20; 338 Z 15; 342 Z 13; 343 Z - 18; 344 Z 7, 17, 22; 345 Z 3, 21; 346 Z 1,7; 366 Z 33; 367 Z 8. - - Pythagoras I 26 Z 3; III 125 Z 13, 23, 33; 126 Z 1, 6 f; 127 Z 2, 25; - 137 Z 12 f; 138 Z 7; $145 Z 1$; $153 Z 7$; 315 Z 4; 352 Z 14; 353 Z - 29. N. 379 Z 27; 384 Z 8; 385 Z 20. - - - Ramus Petrus III 213 Z 21; 239 Z 22; 245 Z 5; 359 Z 3. - - Ranke H. II 58 Z 19; 65 Z 33. - - Rassam H. II 74 Z 18, 21; 81 Z 7, 28. - - Rawlinson H. II 74 Z 13; 75 Z 22; 76 Z 27; 117 Z 26. - - Regiomontan III 264 Z 24; 265 Z 12; 359 Z 2. - - Reinhold E. III 132 Z 18. - - Revillout E. I 27 Z 21; 28 Z 14; 29 Z 4; 46 Z 8, 33; 48 Z 33; 50 Z - 16; 51 Z 11; 52 Z 15. - - Rhode E. N 383 Z 24; 384 Z 11; 385 Z 21. - - Riccardi p. III 239 Z 14. - - Riche J. II 74 Z 3. - - Rieder gleich Reder J. M. III 244 Z 25. - - Riemann B. III 166 Z 32. - - Ritter H. III 132 Z 17, 27; 133 Z 7; 134 Z 22. - - Rivaltus III 265 Z 27. - - Robertson Abr. III 265 Z 24. - - Roberval G. P. de III 263 Z 20; 305 Z 32. - - Rodet J. I 36 Z 25, 28; 40 Z 1. - - Rose Val. III 326 Z 9. - - Rouché E III 171 Z 9. - - Rudio F. E XI Z 11; III 171 Z 34; 172 Z 15, 29; 368 Z 8, 11. - - Rüstow (Major) W. III 324 Z 12. - - - Saccheri Gir. III 238 Z 31; 244 Z 30, 33. - - Sarzec E. de II 59 Z 9; 61 Z 5, 9, 32; 74 Z 26, 33. - - Saulcy F. C. de II 75 Z 23. - - Savile H. III 239 Z 20; 244 Z 14. - - Sayce A. H. II 59 Z 5; 111 Z 28. - - Schack-Schackenburg I 38 Z 12; 41 Z 3; 42 Z 11. - - Schaubach J. K. III 204 Z 11; 207 Z 27; 312 Z 24. - - Scheil V. II 70 Z 11; 75 Z 8. - - Schellbach K. H. III 274 Z 19. - - Schiaparelli G. V. III 204 Z 16, 26, 31; 205 Z 12; 207 Z 5. N. 379 Z - 26. - - Schliemann H. III 121 Z 19; 122 Z 1, 9. - - Schmidt W. III 308 Z 23; 309 Z 2; 314 Z 16; 315 Z 20; 317 Z 5 f; 319 - Z 26; 320 Z 29; 321 Z 23; 326 Z 1, 9; 328 Z 33; 329 Z 23; 331 Z 17; - 332 Z 19. - - Schöne H. E XV Z 3; I 47 Z 2; III 264 Z 3; 274 Z 12; 314 Z 24; 315 Z - 28; 317 Z 14; 328 Z 2, 33; 337 Z 7. - - Schöne R. III 314 Z 25; 334 Z 5. - - Schopenhauer A. III 221 Z 17; 246 Z 8; 251 Z 3, 9; 357 Z 12. N 379 Z - 16; 387 Z 25. - - Schotten H. III 248 Z 11. - - Schrader E. II 57 Z 23. - - Schramm E. III 324 Z 13. - - Schröder L. v. III 138 Z 7, 17; 141 Z 7; 143 Z 29; 146 Z 6. - - Schuchhardt C. III 122 Z 8. - - Schwarz H. A. III 309 Z 22. - - Seleukos III 311 Z 21, 24. - - Seneca III 342 Z 1. - - Siculus E. III 326 Z 8. - - Sigwart C. W. III 213 Z 34. - - Simon M. III 174 Z 21; 232 Z 24; 270 Anm. 1; 273 Z 31; 294 Z 20; 295 - Z 24; 296 Z 33. - - Simplicius III 122 Z 29; 167 Z 19; 171 Z 21; 172 Z 1 f; 175 Z 5, 7; - 204 Z 10; 218 Z 6, 11; 220 Z 30; 229 Z 2; 309 Z 2; 372 Z 7. N 381 Z - 34. - - Simson R. III 234 Z 18; 244 Z 19; 296 Z 3. - - Smiths G. II 105 Z 30. - - Smiths P. I 24 Z 11. - - Socrates III 124 Z 6; 127 Z 26; 178 Z 6; 184 Z 17, 21; 188 Z 16; 191 - Z 7. N 376 Z 23. - - Sotios III 199 Z 2. - - Spengel L. III 171 Z 27. - - Speusippos III 127 Z 32. - - Spiegel F. (v.) II 73 Z 28. - - Spiegelberg W. V Z 17; I 3 Z 9; 4 Z 8; 7 Z 6; 22 Z 30; 29 Z 4. - - Spinoza III 223 Z 11; 341 Z 1. N 375 Z 21. - - Sporos III 194 Z 28. - - Stäckel P. III 250 Z 17. - - Stein J. P. W. III 248 Z 15. - - Steiner J. III 309 Z 20; 368 Z 25. - - Stesichoros III 125 Z 12. - - Stobäos III 129 Z 27; 230 Z 17. N 386 Z 12. - - Strabo E XVI Z 18; III 204 Z 4; 285 Z 32; 286 Z 27; 289 Z 34; 313 Z - 28. - - Strassmaier J. N. II 101 Z 3; 109 Z 21; 110 Z 29. - - Struve J. u. K. L. III 285 Z 13. - - Sturm Ambros III 193 Z 15; 194 Z 16; 201 Z 28; 289 Z 10. - - Sturm Ch. III 171 Z 15; 245 Z 33; 266 Z 8. - - Subandhu III 164 Z 29. - - Suidas III 274 Z 11; 285 Z 31. - - Sundara III 159 Z 27. - - Susemihl F. III 285 Z 28; 311 Z 21; 314 Z 18; 320 Z 3. - - Syrion N 386 Z 12. - - - Tâbit ibn Quorrah III 267 Z 28; 291 Z 23. - - Tacitus III 142 Z 18. - - Tacquet A. III 171 Z 15; 245 Z 11. - - Tannery P. III 170 Z 2; 172 Z 15; 173 Z 23; 194 Z 28; 200 Z 1; 201 Z - 3; 207 Z 5; 222 Z 23; 229 Z 5; 236 Z 1; 242 Z 8; 243 Z 27; 251 Z - 20; 301 Z 22; 312 Z 33; 314 Z 15; 336 Z 17; 337 Z 22; 359 Z 19. - - Tartaglia N. III 278 Z 13. - - Taylor Th. III 244 Z 1. - - Teleutagoras III 167 Z 7. - - Tenulius III 353 Z 5. - - Thales I 25 Z 30; III 122 Z 30; 123 Z 7, 14, 21; 124 Z 1, 23; 125 Z - 10; 187 Z 3. N 375 Z 8; 381 Z 15; 382 Z 21; 383 Z 14. - - Theätet III 136 Z 28, 31; 185 Z 26; 186 Z 16; 213 Z 16, 18; 229 Z 31; - 236 Z 21, 32; 238 Z 9; 257 Z 15. - - Theodoros III 136 Z 32; 170 Z 24; 184 Z 23. - - Theodosios III 202 Z 25; 232 Z 23; 337 Z 20; 338 Z 8 f. - - Theon v. Alexandria III 232 Z 28; 239 Z 31; 240 Z 7; 268 Z 19; 282 Z - 30; 309 Z 8, 13, 28; 310 Z 1, 12; 313 Z 18; 314 Z 9; 367 Z 9; 371 Z - 33. - - Theon Smyrneus III 187 Z 18; 194 Z 15; 214 Z 16; 243 Z 11, 23; 244 Z - 24; 249 Z 15; 319 Z 17; 348 Z 31; 352 Z 29; 353 Z 4, 10. - - Theophrast III 217 Z 22; 218 Z 32; 228 Z 31. N 381 Z 26; 382 Z 17. - - Theudios III 213 Z 16, 22; 235 Z 12; 237 Z 27; 253 Z 20; 309 Z 32. - - Thibaut G. III 138 Z 5, 19; 139 Z 22; 146 Z 32; 148 Z 1, 13; 154 Z - 17, 19; 157 Z 18; 159 Z 33; 245 Z 34. - - Thomas v. Aquino III 169 Z 18; 223 Z 31; 228 Z 12. - - Thureau-Dangin Frc. II 118 Z 5. - - Thurot Ch. III 280 Z 17. - - Thymaridas III 353 Z 32; 354 Z 12. - - Torelli G. III 265 Z 21, 28. - - Torricelli Ev. III 263 Z 20. - - Trendelenburg F. A. III 177 Z 8. - - Treutlein P. III 245 Z 34. - - Tudela B. v. II 74 Z 8. - - Tzetzes III 186 Z 2; 258 Z 25; 259 Z 17. - - - Überweg Fr. III 170 Z 8. - - Usener H. III 366 Z 29. - - - Valens Vettius III 299 Z 27. - - Valerio Luca III 274 Z 21. - - Valerius Maximus III 229 Z 18. - - Valla G. III 259 Z 19; 265 Z 33. - - Vaux Carra de III 314 Z 15; 331 Z 10. - - Veronese G. E XIV Z 28; III 241 Z 26; 247 Z 7. - - Vettori P. III 311 Z 33. - - Vieta Fr. III 171 Z 14; 173 Z 34; 174 Z 14, 26; 175 Z 32; 297 Z 1; - 304 Z 20; 359 Z 34; 361 Z 6; 365 Z 18. - - Vitruv E X Z 9; III 137 Z 21; 194 Z 19; 197 Z 11; 261 Z 33; 288 Z 22; - 289 Z 15; 315 Z 21; 332 Z 5. - - Viviani V. III 291 Z 19. - - Vogelin J. III 245 Z 30. - - - Wafa s. Abul Wafa. - - Wallenius M. J. III 174 Z 21. - - Wallis J. III 244 Z 15; 265 Z 3; 367 Z 29. - - Weber H. III 285 Z 21. - - Weierstrass C. E X Z 17; III 223 Z 6; 227 Z 17; 256 Z 10. - - Wellmann E. III 170 Z 1. - - Wertheim G. III 318 Z 1 f; 359 Z 20; 360 Z 3; 362 Z 32; 365 Z 17. - - Wessel K. II 73 Z 14, 23. - - Weyr E. E XVI Z 28; XVII Z 2; I 27 Z 29; 50 Z 16; 51 Z 8. - - Whiston W. III 171 Z 15. - - Wilke = Wilcken Ul. I 46 Z 21. - - Wilamowitz U. v. III 184 Z 34; 273 Z 2. - - Windelband W. III 184 Z 15; 224 Z 12. - - Winkel W. III 182 Z 28. - - Winckelmann J. J. I 18 Z 25. - - Winkler H. II 59 Z 13; 61 Z 13; 65 Z 24; 66 Z 10; 70 Z 14, 23. - - Wolf F. A. E X Z 5. - - Wolff Chr. (v.) III 245 Z 33. - - Wölffing E. III 303 Z 18. - - Wöpcke F. III 233 Z 22; 299 Z 20, 26. - - - Xenokrates III 216 Z 32. - - Xenophanes III 124 Z 18; 125 Z 25; 141 Z 9; $164-166$; 176 Z 29; 177 - Z 1. - - Xylander W. (Holtzmann) III 359 Z 5. - - - Young Th. I 18 Z 2, 14; 19 Z 22. - - - Zeller E. III 125 Z 18; 132 Z 16; 179 Z 8; 183 Z 10; 219 Z 18; 224 Z - 12. N 383 Z 2; 386 Z 10. - - Zenodoros III 308 Z 17, 26; 309 Z 25, 33; 310 Z 8; 369 Z 4. - - Zenon von Elea III 167-170; 178 Z 12; 226 Z 13. - - Zenon von Kittion 340 Z 4 f. - - Zeuthen H. III 181 Z 18; 235 Z 7; 250 Z 3; 267 Z 21; 289 Z 21; 291 Z - 29; 292 Z 17; 294 Z 1, 20; 296 Z 23; 297 Z 4. - - Zeúxippos III 279 Z 19. - - Zimmer H. III 143 Z 13; 164 Z 2. - - Zoëga G. I 18 Z 18. - - Zonaras III 259 Z 19. - - -Buchdruckerei Roitzsch, Albert Schulze, Roitzsch. - - - - - +----------------------------------------------------------------+ - | Anmerkungen zur Transkription | - | | - | Inkonsistenzen wurden beibehalten, wenn beide Schreibweisen | - | gebräuchlich waren, wie: | - | | - | Aahmesu -- Aahmes -- Ahmes -- Ames | - | Abel'schen -- Abelschen | - | Achse -- Axe | - | Al Mamun -- Al-Mamûn | - | anderen -- andern -- andren | - | Anonymos -- Anonymus | - | Apollonios -- Apollonius | - | Arsacidenzeit -- Arsakidenzeit | - | asva-medha -- asvamedha | - | Bêl -- Bel | - | Bel-ache-irbâ -- Belacheirba | - | Berossos -- Berossus -- Berosus | - | catur-asra -- caturasra | - | Chammurabi -- Hammurabi -- Ḫammurabi | - | Commentar -- Kommentar | - | Coordinaten -- Koordinaten | - | Copernicus -- Kopernikus | - | Cylinder -- Zylinder | - | eigene -- eigne | - | Einer-Ziffer -- Einerziffer | - | Elementar-Geometrie -- Elementargeometrie | - | Epicykeln -- Epizyklen | - | Eukleídēs -- Euklides | - | Euklid-Kommentar -- Euklidkommentar | - | Fajum -- Fayum | - | Fünfer-System -- Fünfersystem | - | Giseh -- Gizeh | - | gerade -- grade | - | geradlinigen -- gradlinigen | - | Grynaeus -- Grynäus | - | Holtzmann -- Holzmann | - | irreduzibeln -- irreduziblen | - | Kaienharu -- Kainharu | - | Kalpa-Sutras -- Kalpa-sutras -- Kalpasutras | - | Laërtios -- Laertios -- Laertius | - | Larsa -- Larsam | - | Lobatscheffski -- Lobatscheffsky | - | Mamerkos -- Mamercos | - | Metrica -- Metrika | - | Mönchpöbel -- Mönchspöbel | - | Mykene-Periode -- Mykeneperiode | - | Nabonahid -- Nabonid | - | Orient-Gesellschaft -- Orientgesellschaft | - | Pappos -- Pappus | - | Papyros -- Papyrus | - | Phaenomena -- Phänomena | - | Proklos -- Proklus | - | Ptolemaios -- Ptolemäos -- Ptolemäus -- Ptolemeus | - | pythagoräisch -- pythagoreisch | - | Quadrat-purusa -- Quadratpurusa | - | Rê -- Re | - | Rig-veda -- Rigveda | - | Seleucidenära -- Seleuciden-Ära | - | Seqd -- Sqd | - | Sphaira -- sphaera | - | Soma-Opfer -- Somaopfer | - | Sothis-Perioden -- Sothisperioden | - | Sporos -- Sporus | - | Stobaios -- Stobäos | - | Sulba-sutra -- Sulba-Sutra | - | Tello -- Telloh | - | Theaetet -- Theätet -- Theaitet | - | unseren -- unsern | - | Verdoppelung -- Verdopplung | - | vermittels -- vermittelst | - | Vermittelung -- Vermittlung | - | Woepcke -- Wöpcke | - | | - | Interpunktion wurde ohne Erwähnung korrigiert. | - | Im Text wurden folgende Änderungen vorgenommen: | - | | - | S. VII »Methotik« in »Methodik« geändert. | - | S. X »ungeahnten Erfolge« in »ungeahntem Erfolge« geändert. | - | S. XI »Anderung« in »Änderung« geändert. | - | S. XII »Christophel« in »Christoffel« geändert. | - | S. XII »X_{K}« in »x_{K}« geändert. | - | S. XVII »Babylonias« in »Babylonian« geändert. | - | S. 4 »folgenden Tabelle« in »folgende Tabelle« geändert. | - | S. 4 »Newesserrê« in »Neweserrê« geändert. | - | S. 7 »Bibanelmoluk« in »Biban el Moluk« geändert. | - | S. 9 »Dschingiskans« in »Dschingis Khans« geändert. | - | S. 9 »Lybien« in »Libyen« geändert. | - | S. 9 »libysche« in »libysche« geändert. | - | S. 10 »Ammon« in »Amon« geändert. | - | S. 10 »Ermann« in »Erman« geändert. | - | S. 11 »libyschen« in »libyschen« geändert. | - | S. 14 »Diocletian« in »Diokletian« geändert. | - | S. 16 »Jaques« in »Jacques« geändert. | - | S. 16 »ägyptiaca« in »aegyptiaca« geändert. | - | S. 18 »Winkelmann« in »Winckelmann« geändert. | - | S. 19 »dem man« in »den man« geändert. | - | S. 26 »dem 2. Kongruenzsatz« in »den 2. Kongruenzsatz« | - | geändert. | - | S. 27 »Eugen Revillout« in »Eugène Revillout« geändert. | - | S. 27 »Flynders Petrie« in »Flinders Petrie« geändert. | - | S. 27 »Revue Egyptologique« in »Revue égyptologique« | - | geändert. | - | S. 27 »Griffiths« in »Griffith« geändert. | - | S. 27 »Uberschwemmungszeit« in »Überschwemmungszeit« | - | geändert. | - | S. 32 »F. Hultzsch« in »F. Hultsch« geändert. | - | S. 32 »Griffiths« in »Griffith« geändert. | - | S. 32 »Substraktion« in »Subtraktion« geändert. | - | S. 38 »Schack von Schackburg« in »Schack-Schackenburg« | - | geändert. | - | S. 38 »29-1/6« in »28-1/6« geändert. | - | S. 40 »Griffiths« in »Griffith« geändert. | - | S. 40 »papiri« in »Papyri« geändert. | - | S. 41 »Griffiths« in »Griffith« geändert. | - | S. 42 »Qadratwurzeln« in »Quadratwurzeln« geändert. | - | S. 42 »Phythagoras« in »Pythagoras« geändert. | - | S. 44 »Petripapyri« in »Petriepapyri« geändert. | - | S. 44 »Griffiths« in »Griffith« geändert. | - | S. 44 »8-3/2« in »8 . 3/2« geändert. | - | S. 46 »περι γεομετςιας« in »περι γεομετριας« geändert. | - | S. 52 »Biban el Moleck« in »Biban el Moluk« geändert. | - | S. 59 »Ubersetzungen« in »Übersetzungen« geändert. | - | S. 59 »Bilinguer« in »bilinguer« geändert. | - | S. 59 »Sumerier« in »Sumerer« geändert. | - | S. 60 »Ubereinstimmung« in »Übereinstimmung« geändert. | - | S. 64 »Sumeriern« in »Sumerern« geändert. | - | S. 64 »festeht« in »feststeht« geändert. | - | S. 64 »paradisisch« in »paradiesisch« geändert. | - | S. 64 »Grosstaat« in »Grossstaat« geändert. | - | S. 65 »Adadniranis« in »Adad-niraris« geändert. | - | S. 67 »Assyrier« in »Assyrer« geändert. | - | S. 67 »Kanaanern« in »Kanaanäern« geändert. | - | S. 68 »Chamurabi« in »Chammurabi« geändert. | - | S. 70 »C. Betzold« in »C. Bezold« geändert. | - | S. 70f »bedauerlicher Weise« in »bedauerlicherweise« | - | geändert. | - | S. 71 »Chamurabis« in »Chammurabis« geändert. | - | S. 71 »Kananäern« in »Kanaanäern« geändert. | - | S. 75 »Assyrilogie« in »Assyriologie« geändert. | - | S. 75 »Chamurabi« in »Chammurabi« geändert. | - | S. 75 »Exkavations« in »Excavations« geändert. | - | S. 75 »Pensylvanien« in »Pennsylvanien« geändert. | - | S. 76 »Ubereinanderstellung« in »Übereinanderstellung« | - | geändert. | - | S. 77 »der Assyrischen« in »des Assyrischen« geändert. | - | S. 77 »niedergehn« in »niedergehen« geändert. | - | S. 78 »Alt-Babylonischen« in »Altbabylonischen« geändert. | - | S. 79 »Determiniativ« in »Determinativ« geändert. | - | S. 79 »Juppiter« in »Jupiter« geändert. | - | S. 80 »in Ägyptischen« in »im Ägyptischen« geändert. | - | S. 81 »Kujundschick« in »Kujundschik« geändert. | - | S. 81 »Pensylvania« in »Pennsylvania« geändert. | - | S. 82 »T-stücken« in »T-Stücken« geändert. | - | S. 83 »bischen« in »bisschen« geändert. | - | S. 87 »Chamurabi« in »Chammurabi« geändert. | - | S. 88 »Schekverkehr« in »Scheckverkehr« geändert. | - | S. 89 »astromonischen« in »astronomischen« geändert. | - | S. 91 »Gewichtsystem« in »Gewichtssystem« geändert. | - | S. 93 »Gewichtsystem« in »Gewichtssystem« geändert. | - | S. 94 »Kujundschick« in »Kujundschik« geändert. | - | S. 94 »der Quadraten« in »der Quadrate« geändert. | - | S. 96 »396^2 = 152100« in »390^2 = 152100« geändert. | - | S. 99 »Khorsabat« in »Khorsabad« geändert. | - | S. 99 »98425 =« in »99425 =« geändert. | - | S. 100 »Offnung« in »Öffnung« geändert. | - | S. 100 »Offnungen« in »Öffnungen« geändert. | - | S. 102 »E. Hinks« in »E. Hincks« geändert. | - | S. 104 »keinesweges« in »keineswegs« geändert. | - | S. 104 »Gudeah« in »Gudea« geändert. | - | S. 104 »Kewitzsch« in »Kewitsch« geändert. | - | S. 105 »Sexagisimalsystems« in »Sexagesimalsystems« geändert. | - | S. 106 »Gudeah« in »Gudea« geändert. | - | S. 107 »8)« in »3)« geändert. | - | S. 108 »Eponymen Kanon« in »Eponymenkanon« geändert. | - | S. 108 »mit den Aldebaran« in »mit dem Aldebaran« geändert. | - | S. 108 »Fischer« in »Fische« geändert. | - | S. 109 »thibetanischen« in »tibetanischen« geändert. | - | S. 109 »univ.« in »Univ.« geändert. | - | S. 109 »Nebuckadnezzar« in »Nebuchadnezzar« geändert. | - | S. 115 »Mesepotamien« in »Mesopotamien« geändert. | - | S. 117 »Kenntniss« in »Kenntnis« geändert. | - | S. 122 »zn« in »zu« geändert. | - | S. 124 »Diagones Laertius« in »Diogenes Laertius« geändert. | - | S. 125 »gegebnen« in »gegebenen« geändert. | - | S. 126 »Neupythagorismus« in »Neupythagoreismus« geändert. | - | S. 126 »Pythagorismus« in »Pythagoreismus« geändert. | - | S. 128 »Aug. Boekh« in »Aug. Boeckh« geändert. | - | S. 131 »Nikomachus von Gerasa« in »Nikomachos von Gerasa« | - | geändert. | - | S. 132 »Pythagorismus« in »Pythagoreismus« geändert. | - | S. 133 »Heraclitischen« in »Heraklitischen« geändert. | - | S. 133 »Pythagoräismus« in »Pythagoreismus« geändert. | - | S. 133 »Lieblingsatzes« in »Lieblingssatzes« geändert. | - | S. 134 »Kopernicus« in »Kopernikus« geändert. | - | S. 139 »Indo-Arischen-Philologie« in | - | »Indo-Arischen Philologie« geändert. | - | S. 139 »Maassschnur« in »Massschnur« geändert. | - | S. 140 »Ubrigens« in »Übrigens« geändert. | - | S. 142 »Juppiter« in »Jupiter« geändert. | - | S. 142 »Afganistan« in »Afghanistan« geändert. | - | S. 145 »Meßschnur« in »Messschnur« geändert. | - | S. 146 »Maasse« in »Masse« geändert. | - | S. 148 »+ 1/3 . 4 - 1/3 : 4 . 34« in »+ 1/(3·4) - 1/(3·4·34)« | - | geändert. | - | S. 151 »Sulvas« in »Sulbas« geändert. | - | S. 156 »rechwinkligen« in »rechtwinkligen« geändert. | - | S. 166 »γας« in »γαρ« geändert. | - | S. 171 »Lunulae Hippokratis« in »Lunulae Hippocratis« | - | geändert. | - | S. 171 »Pardis« in »Pardies« geändert. | - | S. 171 »Hypothenuse« in »Hypotenuse« geändert. | - | S. 171 »Kilicien« in »Kilikien« geändert. | - | S. 171 »Fragmente« in »Fragmenta« geändert. | - | S. 171 »super sunt« in »supersunt« geändert. | - | S. 173 »ε_{1}« in »e_{1}« geändert. | - | S. 175 »Brison« in »Bryson« geändert. | - | S. 180 »ἁι ατομοι« in »ὁι ατομοι« geändert. | - | S. 184 »U. v. Willamowitz« in »U. v. Wilamowitz« geändert. | - | S. 189 »transcendentale« in »transzendentale« geändert. | - | S. 189 »transscendentale« in »transzendentale« geändert. | - | S. 190 »aus den Gedankengang« in »aus dem Gedankengang« | - | geändert. | - | S. 191 »gegebnen« in »gegebenen« geändert. | - | S. 191 »gegebnes« in »gegebenes« geändert. | - | S. 192 »amicicior« in »amicior« geändert. | - | S. 192 »injecit« in »iniecit« geändert. | - | S. 194 »διαπλασιασμός« in »διπλασιασμός« geändert. | - | S. 194 »numero« in »numeroque« geändert. | - | S. 195 »gegebnen« in »gegebenen« geändert. | - | S. 196 »Abscrissenaxe« in »Abscissenaxe« geändert. | - | S. 196 »verificieren« in »verifizieren« geändert. | - | S. 197 »Daß« in »Dass« geändert. | - | S. 198 »Nektanabos« in »Nektanebos« geändert. | - | S. 198 »8 · 357« in »8 · 354« geändert. | - | S. 200 »ΗΔ« in »ΕΔ« geändert. | - | S. 202 »15 50« in »1550« geändert. | - | S. 202 »ganz Teil« in »ganzer Teil« geändert. | - | S. 204 »klassisischen« in »klassischen« geändert. | - | S. 206 »Eudoxes« in »Eudoxos« geändert. | - | S. 208 »Méneichmos« in »Menaichmos« geändert. | - | S. 208 »Eutoxios« in »Eutokios« geändert. | - | S. 209 »deren Ache« in »deren Axe« geändert. | - | S. 211 »= o« in »= 0« geändert. | - | S. 213 »Unendlich-kleinen und -grossen« in | - | »Unendlich kleinen und grossen« geändert. | - | S. 216 »naturwissenschaftlichen« in »naturwissenschaftlichem« | - | geändert. | - | S. 217 »auf und abgehend« in »auf- und abgehend« geändert. | - | S. 218 »Znnächst« in »Zunächst« geändert. | - | S. 219 »bewunderswertesten« in »bewundernswertesten« geändert. | - | S. 223 »wiederspruchsfreie« in »widerspruchsfreie« geändert. | - | S. 224 »praestabilitierte Harmonie« in | - | »praestabilierte Harmonie« geändert. | - | S. 226 »unserer Intellekts« in »unseres Intellekts« geändert. | - | S. 226 »uud« in »und« geändert. | - | S. 227 »τονύν« in »το νύν« geändert. | - | S. 228 »auf die Islam« in »auf den Islam« geändert. | - | S. 228 »Metereologie« in »Meteorologie« geändert. | - | S. 228 »500 Jahr« in »500 Jahre« geändert. | - | S. 231 »Alexandrischen Schule« in »Alexandrinischen Schule« | - | geändert. | - | S. 231 »gegebenene« in »gegebene« geändert. | - | S. 232 »lectio sphärica« in »lectio sphaerica« geändert. | - | S. 233 »Katoptik« in »Katoptrik« geändert. | - | S. 234 »bedeuterenden« in »bedeutenderen« geändert. | - | S. 234f »Resumé« in »Résumé« geändert. | - | S. 235 »Appollonios« in »Apollonios« geändert. | - | S. 238 »Dodecaëder« in »Dodekaëder« geändert. | - | S. 240 »festellen« in »feststellen« geändert. | - | S. 242 »Anarizi« in »An-Narizi« geändert. | - | S. 243 »Neupythagoräismus« in »Neupythagoreismus« geändert. | - | S. 244 »Ishak« in »Ishaq« geändert. | - | S. 245 »Konrad Dasypodios« in »Conrad Dasypodius« geändert. | - | S. 245 »Mathesis juvenalis« in »Mathesis juvenilis« geändert. | - | S. 245 »Melanchtons« in »Melanchthons« geändert. | - | S. 245 »Rechtek« in »Rechteck« geändert. | - | S. 246 »ententlehnt« in »entlehnt« geändert. | - | S. 246 »garnicht« in »gar nicht« geändert. | - | S. 249 »Vatikanus« in »Vaticanus« geändert. | - | S. 257 »2 · 3 · 5 · 7 · 9 · 11 · 13 + 1 = 30031« in | - | »2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 + 1 = 30031« geändert. | - | S. 257 »Königo« in »Könige« geändert. | - | S. 261 »δός μοι πᾷ βῶ καὶ τὰν γᾶν κινῶ« in | - | »δός μοι πᾷ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινήσω« geändert. | - | S. 262 »Gélon« in »Gelon« geändert. | - | S. 264 »complectantem« in »complectentem« geändert. | - | S. 265 »Prostestantischen« in »Protestantischen« geändert. | - | S. 265 »Archityp« in »Archetyp« geändert. | - | S. 266 »Federigo Commandino« in »Federico Commandino« | - | geändert. | - | S. 267 »Thâbit ibn Quorra« in »Thabit ibn Qurrah« geändert. | - | S. 272 »sphära« in »sphaera« geändert. | - | S. 273 »√(a^2 ± b) < a ± b/(2a + 1)« in | - | »√(a^2 ± b) > a ± b/(2a ± 1)« geändert. | - | S. 378 »Kopernicus« in »Kopernikus« geändert. | - | S. 282 »κυκλου μετρησις« in »κυκλου μετρησις« geändert. | - | S. 282 »γεδϡοϛι« in »γεδϡο« geändert. | - | S. 282 »76.« in »7.« geändert. | - | S. 282 »1009116½« in »1009166½« geändert. | - | S. 283 »ΘιϡϛΘ.ΘιϡϛΘ« in »ΘιϡϟΘ.ΘιϡϟΘ« geändert. | - | S. 283 »dis er« in »die er« geändert. | - | S. 284 »Eratosthemes« in »Eratosthenes« geändert. | - | S. 285 »Erathostenes« in »Eratosthenes« geändert. | - | S. 286 »Kalimachos« in »Kallimachos« geändert. | - | S. 286 »Helene« in »Hellene« geändert. | - | S. 287 »Erathostenes« in »Eratosthenes« geändert. | - | S. 287 »etnographisch« in »ethnographisch« geändert. | - | S. 288 »αρχειας« in »αρχαίας« geändert. | - | S. 289 »Es ist ist« in »Es ist« geändert. | - | S. 290 »frühstens« in »frühestens« geändert. | - | S. 291 »Federigo Commandino« in »Federico Commandino« | - | geändert. | - | S. 291 »Tabit ibn Quorrah« in »Thabit ibn Qurrah« geändert. | - | S. 293 »Mimina« in »Minima« geändert. | - | S. 293 »x = o, z = o, und y = o, u = o« in | - | »x = 0, z = 0, und y = 0, u = 0« geändert. | - | S. 295 »Hyberbel« in »Hyperbel« geändert. | - | S. 296 »¯O¯-Kreise« in »0-Kreise« geändert. | - | S. 297 »Hyberbel« in »Hyperbel« geändert. | - | S. 297 »Patricier« in »Patrizier« geändert. | - | S. 299 »υμδκαι« in »υμδ και« geändert. | - | S. 299 »Woepke« in »Woepcke« geändert. | - | S. 299 »Appollonios« in »Apollonios« geändert. | - | S. 299 »vindiciert« in »vindiziert« geändert. | - | S. 300 »Problemenklassen« in »Problemklassen« geändert. | - | S. 303 »Irisektion« in »Trisektion« geändert. | - | S. 303 »x Axe« in »x-Axe« geändert. | - | S. 303 »Wölfings« in »Wölffings« geändert. | - | S. 303 »angegebnen« in »angegebenen« geändert. | - | S. 306 »von von« in »von« geändert. | - | S. 306 »¯O¯-Punkt« in »0-Punkt« geändert. | - | S. 307 »Querstecken« in »Querstrecken« geändert. | - | S. 309 »Autentizität« in »Authentizität« geändert. | - | S. 310 »regelmäßige« in »regelmässige« geändert. | - | S. 311 »des erste« in »das erste« geändert. | - | S. 314 »schliesen« in »schliessen« geändert. | - | S. 316 »Exerpte« in »Excerpte« geändert. | - | S. 334 »liber geoponikus« in »liber geoponicus« geändert. | - | S. 318 »69 und 125« in »64 und 125« geändert. | - | S. 318 »Verfahfahren« in »Verfahren« geändert. | - | S. 318 »Näherungwerte« in »Näherungswerte« geändert. | - | S. 318 »265/133« in »265/153« geändert. | - | S. 318 »1351/180« in »1351/780« geändert. | - | S. 320 »Ktesebios« in »Ktesibios« geändert. | - | S. 326 »Katatoptrik« in »Katoptrik« geändert. | - | S. 339 »grader« in »gerader« geändert. | - | S. 331 »Appollonios« in »Apollonios« geändert. | - | S. 334 »liber geoponikus« in »liber geoponicus« geändert. | - | S. 335 »wie ΑΔ zu ΑΗ« in »wie ΑΔ zu ΔΗ« geändert. | - | S. 335 »ΓΒ : ΒΓ wie ΒΛ : ΕΗ« in »ΓΒ : ΒΘ wie ΒΛ : ΕΗ« | - | geändert. | - | S. 336 »terminus technikus« in »terminus technicus« geändert. | - | S. 336 »271875 : 67441« in »211875 : 67441« geändert. | - | S. 336 »Kotangenten« in »Cotangenten« geändert. | - | S. 337 »Spärik« in »Sphärik« geändert. | - | S. 338 »Ubersetzer« in »Übersetzer« geändert. | - | S. 338 »science« in »scienze« geändert. | - | S. 339 »graden« in »geraden« geändert. | - | S. 341 »nitidam« in »nitidum« geändert. | - | S. 342 »Seneka« in »Seneca« geändert. | - | S. 342 »Eklecticismus« in »Eklekticismus« geändert. | - | S. 342 »geocentrischen« in »geozentrischen« geändert. | - | S. 342 »Metereologe« in »Meteorologe« geändert. | - | S. 343 »vg.« in »vgl.« geändert. | - | S. 346 »Parellelentheorie« in »Parallelentheorie« geändert. | - | S. 348 »Isidoros von Sevilla« in »Isidorus von Sevilla« | - | geändert. | - | S. 348 »594« in »600« geändert. | - | S. 350 »δ« in »κδ« geändert (1-mal-1 Tabelle). | - | S. 351 »A. Boecks« in »A. Boeckhs« geändert. | - | S. 351 »R. Balzers« in »R. Baltzers« geändert. | - | S. 353 »Fransösisch« in »Französisch« geändert. | - | S. 353 »πυθαγορικων« in »πυθαγορείων« geändert. | - | S. 355 »Philosopie« in »Philosophie« geändert. | - | S. 355 »Zarathusthra« in »Zarathustra« geändert. | - | S. 360 »δυναμοκιβος« in »δυναμοκυβος« geändert. | - | S. 360 »heist« in »heisst« geändert. | - | S. 362 »giebt« in »gibt« geändert. | - | S. 363 »rechtwinklingen« in »rechtwinkligen« geändert. | - | S. 367f »Vatikanus« in »Vaticanus« geändert. | - | S. 367 »Federigo Commandino« in »Federico Commandino« | - | geändert. | - | S. 372 »Moslemin« in »Moslimen« geändert. | - | S. 373 »Geschwindigheit« in »Geschwindigkeit« geändert. | - | S. 377 »Aryer« in »Arier« geändert. | - | S. 379 »Hellenentnm« in »Hellenentum« geändert. | - | S. 379 »befriedigenste« in »befriedigendste« geändert. | - | S. 380 »den Milesier« in »dem Milesier« geändert. | - | S. 381 »Metereol.« in »Meteorol.« geändert. | - | S. 382 »abgeschlossneren« in »abgeschlosseneren« geändert. | - | S. 384 »vom Bösem« in »von Bösem« geändert. | - | S. 388 »Amonios« in »Ammonios« geändert. | - | S. 388 »Appolodoros« in »Apollodoros« geändert. | - | S. 389 »Baudhayana« in »Baudhāyana« geändert. | - | S. 389 »Berosos« in »Berossos« geändert. | - | S. 390 »Boetius« in »Boëtius« geändert. | - | S. 391 »Copernikus« in »Copernicus« geändert. | - | S. 391 »Dupnis« in »Dupuis« geändert. | - | S. 391 »Erathosthenes« in »Eratosthenes« geändert. | - | S. 391 »Ermann« in »Erman« geändert. | - | S. 392 »Euken« in »Eucken« geändert. | - | S. 392 »Flynders Petrie« in »Flinders Petrie« geändert. | - | S. 393 »Griffiths« in »Griffith« geändert. | - | S. 393 »Halevy« in »Halévy« geändert. | - | S. 393 »Hieronymus« in »Hieronymos« geändert. | - | S. 394 »Isidorus von Milet« in »Isidoros von Milet« geändert. | - | S. 395 »Kopernicus« in »Kopernikus« geändert. | - | S. 396 »Northhampton« in »Northampton« geändert. | - | S. 396 »Ottojano« in »Ottajano« geändert. | - | S. 398 »Revillont« in »Revillout« geändert. | - | S. 398 »Schack v. Schackburg« in »Schack-Schackenburg« | - | geändert. | - | S. 398 »Schelbach« in »Schellbach« geändert. | - | S. 399 »Tâbit ibn Quorrah« in »Thabit ibn Qurrah« geändert. | - | S. 400 »Vaux Cara de« in »Vaux Carra de« geändert. | - | S. 400 »Willamowitz« in »Wilamowitz« geändert. | - | S. 400 »Wöpke« in »Wöpcke« geändert. | - +----------------------------------------------------------------+ - - - - - -End of Project Gutenberg's Geschichte der Mathematik im Altertum, by Max Simon - -*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK GESCHICHTE DER MATHEMATIK IM ALTERTUM *** - -***** This file should be named 62131-0.txt or 62131-0.zip ***** -This and all associated files of various formats will be found in: - http://www.gutenberg.org/6/2/1/3/62131/ - -Produced by Peter Becker and the Online Distributed -Proofreading Team at https://www.pgdp.net - -Updated editions will replace the previous one--the old editions will -be renamed. - -Creating the works from print editions not protected by U.S. copyright -law means that no one owns a United States copyright in these works, -so the Foundation (and you!) can copy and distribute it in the United -States without permission and without paying copyright -royalties. 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You may copy it, give it away or re-use it under the terms of -the Project Gutenberg License included with this eBook or online at -www.gutenberg.org. If you are not located in the United States, you'll have -to check the laws of the country where you are located before using this ebook. - -Title: Geschichte der Mathematik im Altertum - In Verbindung mit antiker Kulturgeschichte - -Author: Max Simon - -Release Date: May 14, 2020 [EBook #62131] - -Language: German - -Character set encoding: UTF-8 - -*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK GESCHICHTE DER MATHEMATIK IM ALTERTUM *** - - - - -Produced by Peter Becker and the Online Distributed -Proofreading Team at https://www.pgdp.net - - - - - - -</pre> - - - - - -<h1>GESCHICHTE<br /> -<small>DER</small><br /> -MATHEMATIK IM ALTERTUM</h1> - -<p class="center p2">IN VERBINDUNG MIT<br /> -<big>ANTIKER KULTURGESCHICHTE</big></p> - -<p class="center p2">VON</p> - -<p class="center p2">D<sup>R.</sup> MAX SIMON</p> - -<p class="center w6"><small>HONORARPROFESSOR DER UNIVERSITÄT STRASSBURG</small></p> - -<div class="figcenter" style="width: 90px;"> -<img src="images/signet.png" width="90" height="138" alt="" /> -</div> - -<p class="center p4"><big>VERLAG VON BRUNO CASSIRER<br /> -BERLIN 1909</big> -</p> - - - - -<p class="center pagebreak p6"> -<span class="smcap"><big><big>Theodor Reye</big></big></span><br /> -<br /> -<small>IN</small><br /> -<br /> -DANKBARKEIT UND VEREHRUNG<br /> -<br /> -GEWIDMET<br /> -</p> - - - - - -<h2 class="pagebreak"><a name="Seite_a005" id="Seite_a005"></a>Vorwort</h2> - - -<p>Diese Schrift ist im wesentlichen eine Drucklegung der -Vorlesung, welche ich 1903 in Strassburg gehalten habe, nur der -Abschnitt über Babylon musste infolge der raschen Arbeit des -Spatens in Mesopotamien stark erweitert werden. Die Vorlesung -sollte der Ausführung des Satzes aus meiner Didaktik und Methodik -in <span class="gesperrt">Baumeisters</span> Handbuch der Erziehungs- und Unterrichtslehre -dienen, dass, wie jeder Oberlehrer, so besonders der -Mathematiker möglichst allgemein gebildet sein müsse.</p> - -<p>Für Ägypten hatte ich an <span class="gesperrt">Wilhelm Spiegelberg</span> einen -stets bereiten Führer und Helfer, für Indien konnte ich mich -auf meinen langjährigen Freund <span class="gesperrt">Ernst Leumann</span> stützen. -Beiden Herren hier meinen herzlichen Dank auszusprechen, möge -mir erlaubt sein.</p> - -<p>Leider hat die Universitas litterarum Argentoratensis eine -empfindliche und schwer begreifliche Lücke, <span class="gesperrt">es fehlt der -Assyriologe</span>, und so war ich hier auf mich selbst angewiesen, -da die Hoffnung sich zerschlug einen Kritiker in <span class="gesperrt">W. -Bezold</span> zu finden, dessen höchst anziehende Monographie »<span class="gesperrt">Babylon -und Ninive</span>« mich in dies Gebiet eingeführt hatte, -wie <span class="gesperrt">Ermans</span> klassisches »Ägypten« in jenes.</p> - -<p>Bei der Korrektur hat mich der Dozent der Philosophie -an der Universität Berlin <span class="gesperrt">Dr. E. Cassirer</span>, der Verfasser -des Werkes »das Erkenntnisproblem in der Philosophie und -Wissenschaft der neueren Zeit« freiwillig unterstützt, wofür ich -um so dankbarer bin als meine Augen nicht mehr die besten sind.</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_a006" id="Seite_a006">[S. VIII]</a></span> - -Meinem Schüler und jüngeren Freund Herrn Diplomingenieur -<span class="gesperrt">Ernst Frank</span> bin ich für die mühsame und schöne -Federzeichnung <span class="gesperrt">Gudeas</span> und eine ganze Anzahl Photographien -verpflichtet, aber die meisten Photographien hat mein langjähriger -Kollege der Maler und Zeichenlehrer Herr <span class="gesperrt">Chr. Kneer</span> -in liebenswürdigster Weise mir geliefert.</p> - -<p>Zum Schluss ist es mir Bedürfnis, der Verlagshandlung -<span class="gesperrt">Bruno Cassirer</span>, für welche die Drucklegung dieses Werkes -mit ausserordentlicher Mühe verknüpft war, für ihre Sorgfalt -und Opferwilligkeit meinen Dank auszusprechen.</p> - -<p> -Strassburg i. E., Nov. 1908.<br /> -</p> -<p class="right"> -<span class="gesperrt">Max Simon</span><br /> -</p> - -<p class="pagebreak"><span class="pagenum"><a name="Seite_a007" id="Seite_a007">[S. IX]</a></span></p> - - - - -<p class="i6"> -Meine Herren!<br /> -</p> - - -<p>Die zusammenhängende Geschichte der Mathematik auf -strenger Grundlage ist einer der jüngsten Zweige unserer Wissenschaft; -sie datiert eigentlich erst seit dem grossen Werke <span class="gesperrt">Jean -Etienne Montucla</span>'s: Histoire des Mathématiques von 1758 -oder richtiger vom 7. August 1799, an welchem Tage die beiden -ersten Bände der zweiten Auflage erschienen. Es liegt dies in -der Natur der Sache, eine Geschichtsschreibung setzt immer -einen gewissen Abschluss voraus, es müssen die ihrer Zeit treibenden -Gedanken — damals die Prinzipien der Infinitesimalrechnung -— ausgebeutet sein, sie müssen ihre treibende Kraft verloren -haben, um einer objektiven Darstellung Raum zu gewähren. -Ganz analog schrieb der Aristoteliker <span class="gesperrt">Eudemos</span> sein leider -grösstenteils verlornes Geschichtswerk, als die Mathematik der -Pythagoreer und Platoniker ihre Kodifikation durch <span class="gesperrt">Eudoxos</span> -und andere gefunden hatte. Man darf auch nicht vergessen, -dass die Weltgeschichte selbst erst Wissenschaft geworden ist, -seitdem am Ende des 17. Jahrhunderts <span class="gesperrt">Leibniz</span> auf die Urkunde, -auf die Forschung in den Archiven als ihre Grundlage -hingewiesen hat.</p> - -<p>So grossartig die Leistung Montuclas war, so hat doch nur -ein geringer Teil seiner Darbietungen die Kritik bestanden. -Einerseits war sein Plan zu gross für einen einzelnen Menschen -angelegt, er sollte nicht bloss Geometrie, Algebra, Infinitesimalrechnung -umfassen, sondern auch Astronomie, Mechanik und die bis -zur französischen Revolution zur Mathematik gezählten Disziplinen, -Optik, Nautik, Chronologie und Gnomonik. Dann aber sind erst<span class="pagenum"><a name="Seite_a008" id="Seite_a008">[S. X]</a></span> -im 19. Jahrhundert die Quellen für die ägyptische, babylonische, -arabische und indische Mathematik erschlossen worden, und selbst -die Mathematik der Griechen und Römer erscheint uns heut in -ganz anderem Lichte. Der Neuhumanismus von den grossen -Philologen Friedrich August Wolf und Gottfried Hermann ausgehend, -schuf eine Schule von Philologen, ich nenne nur Diels, -Heiberg und Hultsch, welche mit einer vorher unbekannten Schärfe -und ungeahntem Erfolge die mathematischen Werke der Alten, -Euklid, Ptolemeus, Pappus, Heron, Archimedes, Vitruv etc. -edierten.</p> - -<p>Der grosse Aufschwung, den das Interesse für Geschichte -der Mathematik im 19. Jahrhundert, besonders seit der Mitte -desselben, genommen, erklärt sich aber auch allgemeiner. Mit -Kants Kritik der reinen Vernunft setzt die kritische Strömung -ein, die in erster Linie das Geistesleben des 19. Jahrhunderts -beherrscht hat. Sie unterwarf sich durch Bolzano, Gauss, Kummer, -Weierstrass, auch die Mathematik und drängte dazu, alles -Überlieferte auf seine Wahrheit und seinen inneren Zusammenhang -zu prüfen.</p> - -<p>Dazu kam dann die stärkere Betonung des geschichtlichen -Elements für die Ausbildung der Methode des mathematischen -Unterrichts. Er hat seine Geschichte und seine Koryphäen für -sich. Ich verweise auf die 2. Auflage meiner Didaktik und -Methodik des Rechnens und der Mathematik (München 1908). -Aber die Lehrer begriffen doch allmählich, wie die zahlreichen -l. c. erwähnten Programme, denen ich als neuestes das Programm -von Dr. <span class="gesperrt">M. Gebhart</span> Ostern 1908 hinzufüge, beweisen, dass für -den Unterrichtserfolg der Einblick in das historische Werden -durchaus nötig sei. Denn der Einblick in das historische Werden -der Erkenntnis vermittelt zugleich das beste Verständnis für die -gewordene. Es sei hingewiesen auf <span class="gesperrt">E. Cassirer</span>, das Erkenntnisproblem -in der Philosophie und Wissenschaft der neueren Zeit -Bd. I 1906, Bd. II 1908.</p> - -<p>Für den Lehrer ist dieser Einblick ganz besonders wichtig,<span class="pagenum"><a name="Seite_a009" id="Seite_a009">[S. XI]</a></span> -weil nur die Geschichte Aufklärung gibt über die Schwierigkeiten, -welche der Geist bei der Bewältigung der einzelnen -Probleme zu überwinden hat. Dazu kommt noch ein anderer -Umstand, der für die Schule ganz besonders zu betonen ist, der -Hinweis nämlich auf den Zusammenhang aller Kulturarbeit, das -ist kurz auf die Einheit des menschlichen Geistes. Logarithmen -und Wahrscheinlichkeitsrechnung haben die Statistik und die -Sozialgesetzgebung geschaffen. »Die stille Arbeit des grossen -Regiomontan in seiner Kammer zu Nürnberg berechnete die -Ephemeriden, welche Kolumbus die Entdeckung Amerikas ermöglichten.« -(<span class="gesperrt">F. Rudio.</span>)</p> - -<p>Der kritische Geist des Jahrhunderts zeitigte noch eine -Blüte, die der historischen Forschung zugute kam, so wenig erfreulich -sie sonst ist. — Ich meine die Prioritätsstreitigkeiten, -wobei allerdings die historische Wahrheit nicht selten durch die -ebenfalls ganz moderne Ausbildung des Nationalitätsgefühls getrübt -wird.</p> - -<p>Dazu kommt noch ein weiteres wichtiges und treibendes -Moment der historischen Forschung, das ist die nur historisch -zu begreifende Wandlung, welche die Begriffe im Laufe der Zeit -durchmachen, die Umwertung aller Werte, um mit Nietzsche zu -reden. Nehmen Sie z. B. den Funktionsbegriff, den wichtigsten -und weittragendsten von allen; <span class="gesperrt">Leibniz</span> und die <span class="gesperrt">Bernoulli</span>, -die diesen Begriff zuerst als einen selbständigen ausgeprägt haben, -nahmen das Wort von der gemeinsamen Bezeichnung der verschiedenen -Potenzen von x her und bezeichneten y als Funktion -von x, wenn ein analytischer Ausdruck, eine Gleichung vorlag, -durch welche die Änderung des y an die des x gebunden -wurde. Die Fourierschen Reihen, d. h. die nach dem sinus -oder cosinus der multiplen eines Argumentes x fortschreitenden -Reihen, welche eine einzige Darstellung für eine ganz willkürliche -Veränderliche lieferten, zwangen dann Dirichlet den Begriff -umzuprägen. Heute fasst man z. B. √<span class="sqrt">x</span> nicht als Funktion von -x auf, wohl aber einen Dezimalbruch, dessen x-Stellen in x<span class="pagenum"><a name="Seite_a010" id="Seite_a010">[S. XII]</a></span>-Würfen -ausgewürfelt werden. Hierher gehört die ganze Lehre -vom Flächen- und Körperinhalt, sowohl die Flächenvergleichung -als die Inhaltsbestimmung krummlinig begrenzter Flächen, überhaupt -die ganze räumliche Messung. Noch <span class="gesperrt">Christoffel</span> -stützte in seinen Vorlesungen die Lehre vom bestimmten Integral -darauf, dass das Integral den Flächeninhalt angibt. Er versprach -zwar an dieser Stelle immer den arithmetischen Beweis dafür, -dass Σ(y<sub>K∓1</sub> y<sub>K</sub>) (x<sub>K∓1</sub> x<sub>K</sub>) eine bestimmte Grenze habe gelegentlich -zu liefern, aber die Gelegenheit fand er nicht. Jahrhunderte -hindurch wurde die Integralrechnung Quadratur genannt, -heute wird umgekehrt der Flächeninhalt durch das bestimmte -Integral definiert. Der naive Mensch verbindet mit der Strecke -sofort ihre Länge, aber 1892 wurde diese Länge definiert als -die bestimmte transfinite Anzahl der Linienelemente. Und die -Lehre von den Polyedern und dem Eulerschen Satze! Welche -Wandlung hat da schon der Begriff Polyeder durchgemacht bis -<span class="gesperrt">C. Jordan</span> und <span class="gesperrt">C. K. Becker</span> den Zusammenhang mit der -Riemannschen Zahl p, dem Geschlecht der Abelschen Funktionen, -der Ordnung des Zusammenhanges erkannten. Und der Begriff -der Fläche, — man denke an die einseitigen Flächen <span class="gesperrt">Listings</span> -und <span class="gesperrt">Möbius'</span>, ferner an die stetigen aber nicht differenzierbaren -Funktionen, ja an den Begriff der Geometrie selber, der sich in -den letzten 50 Jahren vollkommen verschoben hat. All diese -Entwicklungen können nur historisch oder gar nicht erfasst -werden.</p> - -<p>Allmählich aber hat sich auch in weiteren Kreisen ein -reines Interesse an der historischen Forschung als solcher entwickelt. -Es gewährt eine hohe Befriedigung, das grosse Gesetz -der Kontinuität, das sich wie ein roter Faden durch alle menschliche -Geistesarbeit hindurchzieht und alle menschlichen Generationen -verknüpft, auch in der Mathematik blosszulegen und gewissermassen -diesen Faden aufzurollen.</p> - -<p>Das Standardwerk des Säkulums ist das Riesenwerk <span class="gesperrt">Moritz -Cantors</span> in Heidelberg, die Vorlesung über Geschichte der<span class="pagenum"><a name="Seite_a011" id="Seite_a011">[S. XIII]</a></span> -Mathematik in 3 Bänden. Band 1 erschien 1880, Band 3 wurde -1899 fertig und noch ehe das Werk vollendet war, 1894, erschien -die 2. Auflage des 1. Bandes, 1901 schon die des 3. Diese -rasche Folge ist wohl der sprechendste Beweis dafür, wie sehr -das historische Interesse unter den Mathematikern erstarkt ist. -Das Werk Cantors ist eine staunenswerte Leistung und wird es -bleiben, auch wenn es ihm ergangen sein wird, wie seinem Vorgänger, -dem Montucla; die von diesem grossen Werke ausgehende -Einzelforschung wird vieles, ja sehr vieles was im Cantor -steht, berichtigen. Für indische, ägyptische, babylonische, hellenische -Mathematik ist diese verdienstliche Maulwurfsarbeit bereits -stark im Gange.</p> - -<p>Wenn ich mich nun zu meinem Gegenstande wende, so ist -es klar, dass ich nicht mit der Erfindung der Mathematik beginnen -kann. Die Mathematik ist nie und nirgends erfunden -worden und wenn die Ägypter die Erfindung ihrem Gott Thot -zuschrieben, so ist damit auch nichts anderes gesagt. Mathematische -Vorstellungen sind ja keineswegs auf den Menschen -beschränkt; die Henne, die all ihre Küchlein, der Hirtenhund, -der alle Tiere seiner Herde kennt, haben Zahlvorstellungen. Die -Spinne, wenn sie ihr Netz anlegt, bedient sich ihres eigentümlich -gebauten Fusses, wie eines Masszirkels, die Bienen haben beim -Bau ihrer sechseckigen Zellen eine schwierige Maximumsaufgabe -gelöst. Ja selbst der Regenwurm dreht den Grashalm um und -schleppt ihn mit der Spitze voran in seine Röhre, und Proklus -erzählt uns, dass auch der Esel in gerader Linie auf sein Futter -ziele. Es ist eine lange durch ungezählte Jahrtausende fortgesetzte -und durch Vererbung erhaltene Arbeit, welche von den -dunkelsten Reaktionen auf Kontaktreiz etwa in den verschiedenen -Wimpern der Aktinien bis zur bewussten dreidimensionalen -Reaktion auf Tast- und Hautreiz führt und unsere Geometrie -geschaffen hat und fortwährend an ihr schafft.</p> - -<p>Wie überall, so geht auch der geschichtlichen Mathematik -eine schier unendlich lange prähistorische Zeit voraus, in der die<span class="pagenum"><a name="Seite_a012" id="Seite_a012">[S. XIV]</a></span> -wichtigsten Begriffe geschaffen werden: der des Masses, der Zahl, -der geraden Linie, des Abstands, der Richtung, des Winkels, -des Punkts, der Fläche, des Körpers etc.; in dieses Dunkel kann -höchstens die Sprachforschung einiges Licht bringen. Wir sehen, -dass die Masse überall vom eigenen Körper hergenommen werden, -von der Puruscha, der Menschenlänge der Inder, der Elle Mah -und Handbreite der Ägypter bis zum Fusse der Griechen, Römer -und Germanen. Die Finger, gelegentlich auch die Zehen bilden -die natürlichen Komplexe für die Zählung; 20, 10, 5 bilden die -Abschnitte. Wenn die Griechen die Ebene επιπεδον nennen, d. h. -das, worauf der Fuss steht, so können wir schliessen, wie sich -ihnen der mathematische Begriff Ebene aus dem der Ebenheit -entwickelt hat und ευθεια, was ich als die ohne Zeitverlust darauflosgehende -interpretiere und mit θυνω zusammenbringe, bezieht -sich auf die Gerade als kürzeste Verbindung, wie das lateinische -recta mit Richtung zusammenhängt. Sinnesreize, Sinneswahrnehmungen -sind es, aus denen sich die mathematischen Vorstellungen -entwickelten und man kann sich den Ursprung und -die Anfangsepoche der Mathematik gar nicht grobsinnlich genug -vorstellen. Die Mathematik, die Arithmetik wie die Geometrie -ist eine Experimentalwissenschaft bis Archimedes gewesen. Ja -sie ist es noch heute, man denke an die Seifenblasen und die -Gelatineflächen, die sich Kummer herstellte, an viele zahlentheoretische -Sätze Fermats und Eulers, an Gauss' Zahleninduktion; -und wenn man die Mathematik rubrizieren will, so gehört sie -historisch zu den Naturwissenschaften, wenn sie auch allmählich -mehr und mehr den Übergang zur reinen Geisteswissenschaft vollführt, -und grade die gegenwärtige, durch <span class="gesperrt">Veronese</span> und <span class="gesperrt">Hilbert</span> -gekennzeichnete Phase einen rein logischen Charakter trägt.</p> - -<p>Wenn aber irgendwo der experimentelle Charakter der -Mathematik hervortritt, so ist es bei den Ägyptern, deren Mathematik -ganz und gar auf dem Wege des Experimentes zustande -gekommen ist. <span class="gesperrt">Heron</span> aus Alexandrien, der Mechanikus, wie -ihn <span class="gesperrt">Proklus</span> nennt, der grosse Feldmesser und Ingenieur, der<span class="pagenum"><a name="Seite_a013" id="Seite_a013">[S. XV]</a></span> -wahrscheinlich 100 v. Chr. gelebt hat, ist in Form und Inhalt -stark von altägyptischer Mathematik beeinflusst. In seinen 1903 -von <span class="gesperrt">Schöne</span> edierten Metrika sagt er: Nachdem die Körper, -welche ein bestimmtes Gesetz befolgen, gemessen sind, ist es -folgerichtig, auch die regellosen wie Baumstümpfe und Felsblöcke -zu besprechen, da einige berichten, dass sich <span class="gesperrt">Archimedes</span> -dafür eine Methode ausgedacht hat. Falls nämlich jener -Körper leicht transportabel wäre, sollte man eine hinlänglich -grosse, vollkommen rechtwinklige Wanne machen, sie mit -Wasser füllen und den unregelmässigen Körper hineintauchen. -Es ist nun klar, dass soviel Wasser überfliessen wird, als jener -Körper enthält. Soweit Archimedes, und nun schlägt Heron vor, -den betr. schwer transportablen Körper mit Wachs oder Lehm -zu bestreichen und zwar so, dass er mit der Umhüllung zu einem -balkenförmigen Körper wird, dann den Lehm abzukratzen und -gleichfalls in Balkenform zu kneten.</p> - -<p>Man sieht, wie äusserst wahrscheinlich es ist, dass Archimedes, -der in Alexandrien studiert hat, seine Formel über den -Inhalt der Kugel auf physikalischem Wege gefunden hat.</p> - -<p>Diesen experimentellen Charakter hat nun die gesamte -Mathematik der Ägypter besessen, die ein Bauernvolk waren und -sind, deren ganze Natur eine durch und durch realistische war, -wie der Totenkultus und die Kunst bezeugen; waren doch ihre -Säulen Nachbildungen der Lotos und Papyrosstauden, ihr Fussboden -Nachahmung der Erde; ihr Leben nach dem Tode ganz -nach dem Diesseits gemodelt, von allem andern zu schweigen.</p> - -<p><span class="gesperrt">Handel und Verwaltung</span> zwangen zur Ausbildung -der Rechenkunst. Der Handel wurde schon vor unvordenklicher -Zeit von Staats wegen getrieben; grosse Handelsexpeditionen nach -Punt (Somaliküste) und Kusch (Nubien) ausgesandt. Die Verwaltung -war bis aufs kleinste organisiert. Ein Heer von Hofbeamten, -ein Heer von Beamten der Lehnsbarone, sie ist in -China und in Deutschland nicht bureaukratischer gewesen. Wir -haben genug Denkmäler von dem Hochmut der Beamten und<span class="pagenum"><a name="Seite_a014" id="Seite_a014">[S. XVI]</a></span> -dem selbstverständlich noch grösseren ihrer Schreiber. Die <span class="gesperrt">Feldmessung</span> -aber und die Baukunst entwickelten die Geometrie. -Die <span class="gesperrt">Baukunst</span>, die jene Denkmäler geschaffen, vor denen der -grosse Napoleon seinen <span class="gesperrt">Soldaten</span> zurief: Songez que du haut -de ces monuments quarante siècles vous contemplent; und die -gewaltigen Kanäle, Stau- und Schleusenwerke und Nildämme, -die sich bis heute erhalten haben. Die <span class="gesperrt">Feldmessung</span> aber -musste in hohem Ansehen stehen bei dem komplizierten auf den -Landbesitz gegründeten Steuersystem und dem hohen Werte des -schmalen Kulturstreifens längs des Niles. <span class="gesperrt">Herodot</span>, dem wir die -erste Kunde von Ägypten verdanken, berichtet, dass Sesostris — -in dieser sagenhaften Figur hat sich die Erinnerung an 2 Pharaonen, -den mächtigen Pharao Sen-wos ret der XII. Dynastie etwa um -2200 und Ramses II erhalten — das Land in Quadrate geteilt -und wenn der Nil in seiner Überschwemmung Land ab- oder -angespült hatte, Nachmessungen der staatlichen Feldmesser stattfanden, -zum Zwecke der richtigen Steuerveranlagung. Daraus -ist dann schliesslich bei <span class="gesperrt">Strabo</span> die Erzählung geworden, dass -das ganze Land, weil der Nil die Grenzzeichen jährlich fortgerissen -hätte, jährlich neu vermessen wurde.</p> - -<p>Die historische, d. h. die auf Urkunden gestützte Zeit beginnt -mit den Ägyptern und Babyloniern. Wenn wir mit den -Ägyptern beginnen, so geschieht es nicht deswegen, weil wir heute -noch die Vorstellung haben, wie sie von den Griechen ausgehend -bis weit über die Mitte des 19. Jahrhunderts geherrscht hat, dass -die Mathematik sich von Ägypten aus auf die übrigen Völker -etwa wie eine Art Infektionskrankheit verbreitet habe. In seiner -Festrede von 1884 sagt <span class="gesperrt">Emil Weyr</span>, der vor wenigen Jahren -verstorbene Wiener Mathematiker: »Es muss als feststehend angenommen -werden, dass <span class="gesperrt">jedes</span> Volk in seinem Entwicklungsgange -schon durch praktische Bedürfnisse gezwungen war, sich -geometrische Kenntnisse anzueignen. Die Höhe dieser Kenntnisse -richten sich nach der Grösse der praktischen Bedürfnisse, -zu denen auch die religiösen gezählt werden müssen.«</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_a015" id="Seite_a015">[S. XVII]</a></span> - -Wie wesentlich, wie entscheidend diese letzteren z. B. für -die indische Mathematik gewesen sind, wusste Weyr selbst nicht, -als er die Worte aussprach.</p> - -<p>Die Originalität der Ägypter ist gerade seit den letzten -30 Jahren keineswegs mehr unbestritten, in den letzten 30 Jahren -ist auf den uralten Kulturzusammenhang zwischen Ägyptern und -Babyloniern mehrfach hingewiesen worden, doch ist hier im einzelnen -noch alles unklar. Für die Wägekunst und die Messkunst -hängen die Ägypter direkt von Babylon ab. Die wunderbaren -Funde von Tel Amarna zeigten uns kürzlich, dass um die Zeit -des mittleren Reiches syrische Kleinkönige, die unter ägypt. -Oberhoheit standen, in Asien an ihren Hof babylonisch berichteten, -so etwa wie im 18. Jahrhundert unsere Gesandten französisch -berichteten. Und was das Alter betrifft, so ist das -ägyptische Papier, ja selbst das Leder nicht älter als die Ziegelsteine -Babylons. (Die neuesten Forschungen <span class="gesperrt">L. W. Kings</span> für -Babylon [Chronicles Concerning early Babylonian Kings, 2. voll. -1907] und <span class="gesperrt">Eduard Meyers</span> [Ägypten zur Zeit der Pyramidenerbauer, -Leipzig 1908] geben allerdings dem ägyptischen Staate -ein um mehrere Jahrhunderte höheres Alter.) Aber es gibt bis -jetzt kein anderes Volk, für das die historische Überlieferung -so wenig Lücken bietet wie das ägyptische. Erman in Berlin, -der durch seine und seiner Schule Arbeit eigentlich erst die -Ägyptologie auf wissenschaftliche Grundlage gestellt hat, sagt: -Von der Zeit des Königs Snofru bis Alexander dem Grossen -und von der griechischen Epoche her bis zum Einbruch der -Araber und von diesem wieder bis auf unsere Tage liegt eine -ununterbrochene Kette von Denkmälern und Schriftwerken vor, -die uns die Verhältnisse dieses Landes kennen lehren.</p> - -<p>Über 6000 Jahre können wir die Geschichte dieses Volkes -und nur dieses verfolgen. Darum und nur darum beginne ich -mit den Ägyptern.</p> - -<hr class="chap" /> - - - - -<h2 class="pagebreak"><small>I. Kapitel.</small><br /> - -Ägypten.</h2> - -<p class="pagebreak"><span class="pagenum"><a name="Seite_p003" id="Seite_p003">[S. 3]</a></span></p> - - -<h3>Ägyptische Geschichte.</h3> - - -<p>Eine genaue ägyptische Chronologie existiert zurzeit nicht, -obwohl im letzten Dezennium, insbesondere durch die Ausgrabungen -der deutschen Orient-Gesellschaft unter Leitung von -<span class="gesperrt">Borchardt</span>, wichtige Ansätze gewonnen sind. Nach dem Vorgange -des ägyptischen Priesters Manetho, der in griechischer -Sprache eine Königstafel gab, von der einiges erhalten ist, hat -man die Geschichte bis auf Alexander in 30 Dynastien geteilt. -Ich gebe hier die Epochen nach <span class="gesperrt">Ed. Meyer</span> (Ägypt. Chronologie -1904, Nachträge 1907) und <span class="gesperrt">W. Spiegelberg</span>, und zugleich -nach diesem die der Kunstgeschichte. Der ursprüngliche -Zustand in einer Zeit, die sich unserer Berechnung entzieht, ist -wohl der einer Besiedlung des Landes durch einzelne selbständige -Gaue gewesen; diese Gauverbände haben sich während des ganzen -Altertums erhalten. Aber sehr früh muss der Riesenstrom, der -nur durch vereinte Kräfte nutzbar zu machen war, namentlich -in Unterägypten ein straff zentralisiertes Reich geschaffen haben, -das bereits vor 4000 ein Kulturland war. Nach Meyer hat es -das ägyptische Kalenderjahr geschaffen, »das vom 19. Juli 4241 -an 4000 Jahr unverändert in Ägypten bestanden hat, — das -älteste feste Datum, welches die Geschichte der Menschheit kennt.« -Der Tag ist durch den Heliakischen Aufgang des Sothis (Sirius) -festgelegt, denn das ägyptische Jahr mit 365 Tagen sollte mit -diesem Aufgang beginnen, und der verschob sich alle 4 Jahre -um einen Tag. Es folgten dann zwei politisch getrennte, religiös -und kulturell gleichartige Reiche, Unter- und Oberägypten, von -denen jenes die Fischer und Schiffer des Delta, dieses die Ackerbauer<span class="pagenum"><a name="Seite_p004" id="Seite_p004">[S. 4]</a></span> -des oberen Stromlaufs umfasste, bis etwa um 3400 Menes -von Thinis, mit Königsname vielleicht <span class="gesperrt">Namarê</span>, Wahrheit eignet -dem Re, Unterägypten unterwarf und die beiden Reiche vereinigte. -Diese Vereinigung war eine wirtschaftliche Notwendigkeit; -die Ackerbauer Oberägyptens mussten sich die freie Ausfuhr -ihres Kornüberschusses in die Länder des Mittelmeerbeckens -sichern.</p> - -<p>Die folgende Tabelle hat <span class="gesperrt">W. Spiegelberg</span> seiner Vorlesung -über die ägyptische Kunstgeschichte vom Winter 1906|7 -zugrunde gelegt und mir die Publikation gestattet. Als Zentren -der Frühzeit kamen neben Hierakonpolis (äg. Nechen) noch Buto -(äg. Pe) in Betracht sowie Abydos. Als Könige der Kunstblüte -des alten Stils sind Sahurê und Neweserrê zu nennen (Ausgrabungen -der deutschen Orient-Gesellschaft <span class="gesperrt">L. Borchardt</span>; vergl. -<span class="gesperrt">Ed. Meyers</span>, des um die ägypt. Chronologie hochverdienten -Forschers Vortrag: Ägypten zur Zeit der Pyramidenerbauer, -Leipzig, J. C. Hinrichs, 1908.) (Siehe Abb.)</p> - - -<p>Die Epochen der ägyptischen Geschichte und Kunst.</p> - -<div class="center"> -<table border="0" cellpadding="4" cellspacing="0" summary="Die Epochen der ägyptischen Geschichte und Kunst."> -<tr> -<td class="tdrt"><p class="right">I.</p></td> -<td class="tdl"><p class="hang1"><span class="gesperrt">Prähistorische Zeit</span>.</p></td> -</tr> - - -<tr><td class="tdrt"><p class="right">II.</p></td> -<td class="tdl"><p class="hang1"><span class="gesperrt">Frühzeit</span> — Archaische Kunst. Etwa 3400–2900 -v. Chr. Dynastie I–III.</p></td> -</tr> - - -<tr><td class="tdrt"><p class="right">III.</p></td> - -<td class="tdl hang1"><p class="hang1"><span class="gesperrt">Altes Reich</span> — Pyramidenzeit. Etwa 2900–2500 -v. Chr.</p> - - -<p class="hang1">1. Dynastie IV — Die Pyramidenerbauer Cheops, -Chephren und Mykerinos — Entwicklung des neuen -Stils.</p> - -<p class="hang1">2. Dynastie V — Blütezeit des neuen Stils. Kunstzentrum: -<span class="gesperrt">Memphis</span>.</p> - -<p class="hang1">Erste Übergangsperiode — Dynastie VI–XI — Etwa -2500–2000 v. Chr. — Zerfall des Reiches in Gaustaaten.</p></td> -</tr> - -<tr><td class="tdrt"><p class="right">IV.</p></td> - -<td class="tdh"><p class="hang1"><span class="gesperrt">Mittleres Reich</span> — Der klassische Stil — Dynastie XII. -Um 2000–1800 v. Chr. — Sen-wosret (das Urbild<span class="pagenum"><a name="Seite_p005" id="Seite_p005">[S. 5]</a></span> -des Sesostris) und der Labyrintherbauer Amenemhet-Labares -(Moeris). Kunstzentrum: <span class="gesperrt">Fajum</span>.</p> - -<p class="hang1">Zweite Übergangsperiode — Dynastie XIII–XVII. Um -1800–1580 v. Chr. — Hyksosherrschaft.</p></td> -</tr> - -<tr><td class="tdrt"><p class="right">V.</p></td> - -<td class="tdh"><p class="hang1"><span class="gesperrt">Neues Reich</span> — 1580–1100 v. Chr. Dynastie XVIII -bis XX.</p> - -<p class="hang1">1. Wiederbelebung des klassischen Stils — König Thutmosis -III. und Königin Hatschepsowet. Um 1560 bis -1470 v. Chr.</p> - -<p class="hang1">2. Blütezeit — Der freiere Stil. Beziehungen zu der -mesopotamischen und mykenischen Kunst. — Amenophis -II. III. Thutmosis IV. — Um 1470–1370 -v. Chr.</p> - -<p class="hang1">3. Sonderkunst des Ketzerkönigs Chinatôn (= Amenophis -IV.) — Ausartung des freieren Stils. — Um -1375–1350 v. Chr.</p> - -<p class="hang1">4. Die Restauration — (Haremheb, Sethos I.). Um -1313–1292 v. Chr.</p> - -<p class="hang1">5. Ramessidenkunst — (Ramses II.). Impressionistische -Richtung in der Architektur. — Um 1292–1100 v. Chr.</p> - -<p class="hang1">Dritte Übergangsperiode — Dynastie XXI–XXV. Um -1100–663 v. Chr.</p> - -<p class="hang1">Niedergang der Kunst und Beginn des Archaismus -unter der libyschen und äthiopischen Fremdherrschaft. -— Schischak. Kunstzentrum ist im ganzen neuen Reich -<span class="gesperrt">Theben</span>, mit Ausnahme der Regierung des Chinatôn, -wo es <span class="gesperrt">El-Amarna</span> ist.</p></td> -</tr> - -<tr><td class="tdrt"><p class="right">VI.</p></td> - -<td class="tdh"><p class="hang1"><span class="gesperrt">Die Spätzeit</span> — Um 663–532 v. Chr.</p> - -<p class="hang1">1. Saitenzeit — Dynastie XXVI. Psammetich, Amasis, -Archaismus und Renaissance. Blütezeit der Porträtkunst. -— Um 663–525 v. Chr.</p> - -<p class="hang1">2. Perserzeit — Verfall der Kunst während der persischen -Fremdherrschaft (Herodot). Kunstzentrum ist -<span class="gesperrt">Sais</span>.</p> - -<span class="pagenum"><a name="Seite_p006" id="Seite_p006">[S. 6]</a></span> - -<p class="hang1">3. Letzte Blüte unter den letzten einheimischen Dynastien -— (XXVIII–XXX — Nektanebos) — 525–332 -v. Chr. Kunstzentrum: <span class="gesperrt">Philä</span>.</p></td> -</tr> - -<tr><td class="tdrt"><p class="right">VII.</p></td> - -<td class="tdh"><p class="hang1"><span class="gesperrt">Hellenistische Zeit</span> — Ausleben und Erstarren -der ägyptischen Kunst — 332 v. Chr.–395 n. Chr.</p> - -<p class="hang1">1. Ptolemäerzeit — 332–30 v. Chr.</p> - -<p class="hang1">2. Römische Kaiserzeit — 30 v. Chr.–395 n. Chr. -Zentrum der Kunst und Wissenschaft ist <span class="gesperrt">Alexandria</span>.</p></td> -</tr> - -</table></div> - - -<p>Die ersten 6 Dynastien bilden das alte Reich, etwa von -3400–2500. Die Hauptstadt ist Memphis, gegründet vom Könige -<span class="gesperrt">Menes</span>, dem Men Herodots, der lange völlig sagenhaft war, bis -vor kurzem sein Grab bei Negade in Oberägypten mit der Leiche -gefunden wurde. Das Grab, eine gewaltige Kammer aus Ziegelsteinen, -ist eine sogenannte <span class="gesperrt">Mastaba</span>, ein arabisches Wort, -das eine grosse Bank bezeichnet. Das Grab, eine Nachbildung -des Palastes, ist vorbildlich geworden, aus ihm sind die Gräber -der Grossen und die Pyramiden, die Gräber der Könige, zunächst -die der dritten und vierten Dynastie, hervorgegangen. Die -Stufenpyramide von <span class="gesperrt">Sakkara</span> (siehe Abb.) zeigt, wie sich die -Pyramide aus aufeinandergesetzten Mastabas entwickelt hat. Nur -durch ihre Höhe und Masse konnten die Gräber vor der Verwehung -durch den Wüstensand geschützt werden.</p> - -<p>Vor der Scheintür in der westlichen Mitte, aus der der Tote -oder vielmehr seine Seele, der Ka, mit der Welt verkehren sollte, -waren die Opfersteine und später die Opfertempel, wo die Angehörigen -dem Ka ihre Gaben darbringen konnten. Die vollständige -Anlage des Königsgrabes zeigten die Funde <span class="gesperrt">Borchardts</span> bei -Abusîr, der aus ihnen die Gräber der Könige der V. Dynastie, des -Sahurê und des Neweserrê rekonstruiert hat. Zuerst der Empfangsraum, -in den die Königsleiche aus dem Kahn getragen wird, dann -ein sehr langer gedeckter Gang, mit vielen Reliefs geziert, der zum -Totentempel führt, in dessen Hintergrund sich der Eingang in -die Pyramide, die Scheintür der Mastaba, befand. Die Pyramide<span class="pagenum"><a name="Seite_p007" id="Seite_p007">[S. 7]</a></span> -enthält viele Kammern und viele Kostbarkeiten, aber Statuen, -wie in den Mastabas, sind dort nicht gefunden worden. Die -vielen Kostbarkeiten entwickelten eine eigene Zunft der Gräberdiebe, -uns sind die Akten eines grossen Prozesses unter Ramses IX. -erhalten, und durch einen sonderbaren Zufall haben Northampton, -Spiegelberg und Newberry bei ihren Ausgrabungen in der Gräberstadt -(Nekropole) von Theben diese Akten verifizieren können -(excavations in the Theben necropolis, London 1908).</p> - -<p>Aus Furcht vor den Dieben sind die Königsgräber später -in die schwer zugänglichen Felsentäler von Biban el Moluk gelegt, -deren Zugänge polizeilich überwacht wurden, trotzdem sind sie -geplündert worden.</p> - -<p><span class="gesperrt">Menes</span> hat nach der Tradition die beiden Reiche Ober- -und Unterägypten vereinigt, aber die Verwaltung war noch lange -getrennt, es gibt zwei Silberkammern (Reichsbank), zwei Oberrichter -oder Vorsteher des Südens und des Nordens. Der König -trägt die beiden Kronen von Ober- und Unterägypten. Der König -ist zugleich Oberpriester, geniesst göttliches Ansehen, er ist Sohn -des Amon oder des Re, des Sonnengottes, ist Horus, d. h. Frühlingsgott.</p> - -<p>Die Verwaltung ist aufs genaueste organisiert, das Land -ist in Gaue verteilt, denen Gaufürsten mit eigenem Hofstaat -vorstehen. Es ist die Zeit jugendlicher Kraft, des Erblühens -von Kunst und Wissenschaft, die Glanzzeit ist die der V. Dynastie; -riesige Tempelbauten, Mastabas, Steinkammern, dann die -Riesenpyramiden des Cheops, des Chephre und des Mykerinos; -sie fallen in die IV. Dynastie. Die Bautätigkeit tritt so in den -Vordergrund, dass die Prinzen den Titel eines Vorstehers der -Arbeiten des Königs tragen. Um den Syenit, das vorzügliche -Baumaterial, zu gewinnen, hat sich das Reich bis an die Katarakten, -bis nach Syene ausgedehnt. Aber nach der VI. Dynastie, -nach Pepi III. geriet die Königsmacht in Verfall. Die Gaugrafen -werden selbständig und erblich, im östlichen Delta um -Tanis setzen sich libysche Stämme fest. Schon zur Zeit Pepis<span class="pagenum"><a name="Seite_p008" id="Seite_p008">[S. 8]</a></span> -treten neben der Totenstadt, der Nekropole, von Memphis andere -Nekropolen auf, die Gaufürsten lassen sich in ihrer Heimat -begraben und viele Vornehme auch auf dem heiligen Boden von -Abydos neben der Grabstätte des Osiris. Es bildet sich dann -in Theben eine neue Dynastie heran, die in der XI. Dynastie -das Land vereinigt und es beginnt mit der XII. Dynastie das -mittlere Reich, dessen erster König <span class="gesperrt">Amenemhet</span> I. gründlich -Ordnung stiftet. Es muss wirr genug in Ägypten ausgesehen -haben als Amenemhet das Land mit seinem Heere durchzog. -In der uns erhaltenen Inschrift des Chnemhôtep eines sehr hohen -Beamten heisst es: Damit er die Sünde vernichte, er, der wie der -Gott <span class="gesperrt">Atum</span> glänzte, da musste er auch wieder herstellen, was er -zerstört fand. Er trennte eine Stadt von der anderen; er lehrte -jede Stadt ihre Grenze gegen die andere kennen und stellte ihre -Grenzsteine fest wie den Himmel auf. Er unterrichtete sich -über die Wassergebiete der einzelnen Städte aus dem was in -den Büchern stand und verzeichnete sie nach dem was in alten -Schriften stand, weil er die Wahrheit so sehr liebte.</p> - -<p>Das mittlere Reich geht bis etwa 1800. Gewaltige Bauten an -Tempeln und Gräbern besonders in Theben, daneben auch nützliche -Arbeiten wie Nildämme und besonders das grosse Staubecken des -Mörissee, von <span class="gesperrt">Amenemhet III. Labares</span>, dem Erbauer des -Labyrinths angelegt, das sich bis auf den heutigen Tag erhalten -hat und die Landschaft Fajum erst fruchtbar machte. Zum -ersten Mal wirkliche Eroberungskriege; Nubien, »Das elende -Kusch«, wird der Goldminen in seiner Wüste halber nach langem -Kampfe endgültig von Sen-wosret erobert, der im Herzen des -Landes bei Semneh die Grenzfestung anlegt; auch mit Syrien -und Arabien tritt Ägypten in Verbindung. Doch nach den -200 Jahren Blütezeit unter der XII. Dynastie zerrütten Thronstreitigkeiten, -dieser Krebsschaden aller orientalischen Länder, -ausgehend von den mächtigen Gaufürsten, das Land. Es erliegt -dem Ansturm semitischer Nomadenstämme, den Hirtenfürsten, -den Hyksos der Griechen, die von Nordosten her, von Suez<span class="pagenum"><a name="Seite_p009" id="Seite_p009">[S. 9]</a></span> -eindringen und zweifelsohne von den Gaufürsten unterstützt -werden.</p> - -<p>Ihre Herrschaft nahm den Verlauf, den der Einbruch der -Mongolen in das Kalifenreich und den der Germanen in das -Römerreich genommen hat. Mit unwiderstehlicher Gewalt werfen -die Barbaren das zerrüttete Reich über den Haufen, schaffen -Ruhe und sehen dann, dass sie einen solchen Grossstaat zwar -erobern aber nicht verwalten können. Die alte Regierungsmaschine -arbeitet weiter und nur Garnisonen in den Grossstädten -erinnern an die Fremdherrschaft. Nach einigen Generationen -nivellieren sich die Fürsten und Vornehmen, und die -späteren Hyksoskönige sind so gut Ägypter wie die Nachkommen -Dschingis Khans gute Moslems wurden. Aber mit der Zivilisation, -die sie gewinnen, verlieren die Barbarenfürsten ihre Kraft und -so wurden die Hyksos allerdings nicht ohne Kampf nach etwa -300 Jahren von Theben aus durch Amose I. vertrieben.</p> - -<p>Es beginnt das neue Reich, 1580–1100. Die Zeit der -Thutmosen und Ramessiden, Ägypten wird Weltmacht. Noch -der Urenkel des grossen Eroberers Thutmose III., Amenhôtep III. -herrschte über Nubien, Libyen, Ägypten, Arabien, Palästina und -Syrien, bis an den Euphrat und die Ramessiden behaupteten -dieses Reich noch gegen die mächtige semitische Grossmacht der -Chetafürsten. Aber das neue Reich ist ganz vom alten verschieden. -Der Feudaladel wird systematisch vernichtet, etwa wie -der französische durch Richelieu; es ist ein Militär- und Priesterstaat. -Libysche und semitische und hellenische Söldner schlagen -die Kriege; denn der ägyptische Bauer, tapfer wie jeder Bauer, -wenn er sein Eigentum schützt, ist für Eroberungskriege nicht -zu brauchen. Der König ernährt die Heere und die Priester, -alles Land, soweit es nicht den Göttern gehört, d. h. den Priestern, -die durch immer grössere Geschenke gewonnen werden, gehört -dem König, der es den Bauern gegen eine Abgabe von 20 % -des Ertrages vermietet. Aber in Wahrheit sind die Söldnerführer -und der Hohepriester mächtiger als der König. Es ist die bekannte<span class="pagenum"><a name="Seite_p010" id="Seite_p010">[S. 10]</a></span> -Verbindung von Thron und Altar, wobei gewöhnlich dem -Altar der Löwenanteil zufällt.</p> - -<p>Sehr lehrreich ist hierfür der grosse Papyrus <span class="gesperrt">Harris</span>, -über den uns <span class="gesperrt">Erman</span>, Berl. Ber. XXI, 1903, aufgeklärt hat. -Man glaubte vorher, dass es sich um ins Ungeheuerliche gehende -Schenkungen Ramses III. an die Tempel handle, E. hat gezeigt, -dass es sich um eine für die Begräbnisfeier dieses Königs in -grösster Eile zusammengestellte Lobschrift handle, und dass die -sogen. Geschenke die Bestätigung des Tempelbesitzes durch den -König bedeuten. Aber wir erfahren auch, dass dieser Besitz -mässig geschätzt ein Zehntel des ganzen Landes umfasste. Insbesondere -war der Besitz und damit die Macht der Priester des -Amon zu Theben ins Riesenhafte angeschwollen, daneben Heliopolis, -äg. On, mit dem Tempel des Atum, der Abendsonne, und -Memphis mit dem Tempel des Weltschöpfers Ptah.</p> - -<p>Ich füge hier gleich einiges über die Religion und den -Kultus an. Das ursprüngliche Negervolk hatte Fetischdienst, -jeder Ort und Gau seinen Lokalgott, wie z. B. das Seenland -Fajum den in Krokodilsgestalt verehrten Sokk. Mit dem Eindringen -der sehr stark religiös veranlagten Semiten wurden aus -den Fetischen im wesentlichen Lichtgötter, insbesondere wird die -Sonne Gegenstand der Verehrung, bald als Abendsonne Atum, -als Frühlingssonne Horus, als Mittagssonne Rê, als sich stetig -erneuerndes Gestirn Osiris, als Lebenspenderin Amon. Mit der -straffen Zentralisation des Reiches zentralisierte sich auch der -Olymp, die Hausgötter der Dynastien wurden Herrscher in der -Götterwelt, und werden mehr und mehr zu einer Gottheit, im -wesentlichen die Sonne. Am frühesten sind Amon und Rê zum -Amon-Rê verschmolzen. Längst musste die Geheimlehre der -Priester monotheistisch gewesen sein, als Amenophis IV. sich -entschloss, alle Machtmittel des Königs daran zu setzen, den -Monotheismus zur Volksreligion zu machen. Zweifelsohne haben -politische Motive mitgewirkt, der König erkannte die Gefahr, -welche die Macht der Amonspriester zu Theben für die Dynastie<span class="pagenum"><a name="Seite_p011" id="Seite_p011">[S. 11]</a></span> -barg, und versuchte sie zu brechen. Mit wahrhaft fanatischem -Eifer bekämpfte er den Dienst des Amon, aus allen Denkmälern -tilgte er den verhassten Namen, seinen eignen Namen, der Amon -enthielt, änderte er in <span class="gesperrt">Chinatôn</span>, »Verkörperung der Sonnenscheibe«, -und seine Residenz verlegte er aus Theben nach El-Amarna. -Ebendort wurde 1888 von Arabern seine Korrespondenz -mit den asiatischen Tributfürsten in Keilschrift auf Tontäfelchen -gefunden, sie bewies, dass er es vorzog, Jerusalem -dem Ansturm der Chabiri (Hebräer) preiszugeben und das Anwachsen -der Chetamacht zu dulden als seine Truppenmacht -für die Durchführung der religiös-politischen Revolution zu -schwächen.</p> - -<p>Die Macht des Chetareiches ist es wohl auch gewesen, -welche bald nach Chinatôns Tode den energischen <span class="gesperrt">Haremheb</span> -bewog, seinen Frieden mit den Priestern zu machen und den -alten Zustand rücksichtslos wieder herzustellen. Er ermöglichte -es so seinen Nachfolgern Sethos I. und Ramses II. den Kampf -mit den Cheta mit Erfolg aufzunehmen. Der Kult der Götter -war ein Herzensbedürfnis des Volkes, im Opferzeremoniell steht -der König, der der eigentliche Hohepriester ist, obenan, wie es -denn überhaupt anfänglich ein Laienpriestertum der hohen Beamten -gab, neben dem aber auch eine eigene Priesterkaste -stand, die später den Kult ausschliesslich leitete. Der Gott bewirtet -das Volk und ein grosser Teil der Einkünfte der Priesterschaft -ging für Brot und Bier zur Speisung des Volkes an den -Festen auf, wie uns die zahlreich erhaltenen, sehr detaillierten -Tempelrechnungen beweisen. Bei Erman findet man S. 388 die -Beschreibung und S. 389 die Abbildung des grossartigen Tempels -der Sonnenscheibe von Tell el Amarna.</p> - -<p>Etwa ein Jahrhundert nach der Zeit Ramses III., der als -der letzte das Weltreich im vollen Umfang besass, nahm der -Hohepriester von Theben den Thron ein, um 100 Jahre später -dem gewaltigen Scheschonk (Schischak), dem Führer der libyschen -Söldner Platz zu machen. In den Kämpfen, die das Reich zerrütten,<span class="pagenum"><a name="Seite_p012" id="Seite_p012">[S. 12]</a></span> -beginnt der Vorstoss oder Rückstoss der Assyrer, nur -noch einmal von 625–525 bis auf Kambyses gelingt es der -libyschen Dynastie, Psammetich, Nekao, Amasis, aus Herodot uns -wohlbekannt, eine kurze Blüte ägyptischer Kultur, die absichtlich -an das alte Reich anknüpft, herbeizuführen. Dann wird Ägypten -persisch und wird mit Persien von Alexander dem Grossen erbeutet. -Nach dessen Tode regiert 300 Jahre lang die Diadochenfamilie -der Ptolemäer. Die hellenistische Kultur dringt ein, berührt -aber nur die Vornehmen, unter Kleopatra wird 30 v. Chr. -Ägypten römische Provinz. Die Kultur dieser Zeit verwächst -mit der griechisch-römischen als hellenistische.</p> - -<p class="pagebreak"><span class="pagenum"><a name="Seite_p013" id="Seite_p013">[S. 13]</a></span></p> - - -<h3>Ägyptische Sprache und Schrift.</h3> - - -<p>Die ägyptische Sprache gilt heute als verwandt mit dem -Semitischen, dem Arabischen, Babylonischen und Hebräischen. -Wir können sie verfolgen von 4000 v. Chr. bis 1650 n. Chr. -Wir unterscheiden:</p> - - -<p class="h23">1. Das Altägyptische, die Sprache der Pyramidentexte, die -als gelehrte Literatursprache bis in die römische Zeit -unter Kaiser Decius fortlebt.</p> - -<p class="h23">2. Die Volkssprache des mittleren und neueren Reiches, -das Neuägyptische.</p> - -<p class="h23">3. Das Demotische, die Volkssprache der griechischen Zeit.</p> - -<p class="h23">4. Das Koptische, die Sprache der christlichen Ägypter.</p> - -<p>Das Demotische knüpft unmittelbar an das Altägyptische -an. Das Koptische zeigt zwar grosse lautliche Veränderungen -durch den Einfluss des Griechischen, gewährt aber generaliter -die beste Hilfe für die Entzifferung des Altägyptischen, denn -die ersten drei Sprachen wurden ohne Vokale geschrieben.</p> - -<p>Hinsichtlich der Schrift sind 4 Epochen zu konstatieren.</p> - -<p class="h23">1. Die Periode der Hieroglyphen, welche von 4000 v. Chr. -bis 250 n. Chr. reicht, obwohl in den letzten 1000 Jahren -nur noch zu dekorativen Zwecken, wie Tempelinschriften -und feierlichen Urkunden.</p> - -<p class="h23">2. Die Periode der hieratischen Schrift, welche die Periode -der Hieroglyphen von 2500, von der XI. Dynastie an, -begleitet bis zu Psammetich. Sie hat sich aus Abkürzung -der Hieroglyphen entwickelt. Sie ist die Geschäftssprache -und Schrift und aus ihr entwickelt sich:</p> - -<p class="h23"><span class="pagenum"><a name="Seite_p014" id="Seite_p014">[S. 14]</a></span> - -3. Die demotische Sprache und Schrift, welche dann aber, -als nach Diokletian die ägyptische Religion dem Christentum -erlag, durch</p> - -<p class="h23">4. die koptische Schrift verdrängt wurde, die griechisch ist, -bis auf einige Zeichen, die demotisch blieben, weil sie -Laute bezeichnen, die das Griechische nicht hat. Das -Koptische ist eine tote Sprache, es erlag dem Arabischen. -Um die Mitte des 17. Jahrhunderts, genauer noch 1673 -starb der nachweislich letzte Mann der Koptisch sprach, -der 80jährige Muallim Athanasios. Nur noch im koptischen -Kultus hat es sich als Sprache der koptischen -Bibel gehalten, wie etwa das Latein in der katholischen -Kirchensprache.</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p015" id="Seite_p015">[S. 15]</a></span></p> - - -<h3>Ägyptische Kultur.</h3> - - -<p>Meine Herren! Mit der Schätzung der ägyptischen Kultur -ist es seltsam gegangen. Im ganzen Kulturgebiet des Mittelmeeres -stand ägyptische Weisheit seit der Zeit der Hellenen bis -in die Mitte des 19. Jahrhunderts im höchsten Ansehen, während -ihre Kunst als seltsam und barbarisch gering geschätzt wurde. -Die geheimnisvolle Weisheit der Priester, die vielen Inschriften -in der wunderbaren Bilderschrift der Hieroglyphen — vielleicht -ein griechisches Wort, das Einmeisselung in den heiligen Stätten -bedeutet —, die unentzifferbaren Papyrosrollen, der einzig dastehende -Totenkult, alles das trug dazu bei, den Gedanken an -tief verborgene geheimnisvolle Weisheit zu erwecken. Welchen -Eindruck Ägypten auf die Hellenen gemacht, erfahren wir aus -Herodot, der ersten und der besten alten Quelle. Er, der -Ägypten etwa um die Mitte des 5. Jahrhunderts bereiste, schreibt: -Wie der Himmel bei ihnen von sonderlicher Art, wie ihr Strom -eine andere Natur hat, als die übrigen Flüsse, so sind auch fast -alle Sitten und Gebräuche der Ägypter entgegengesetzt der Weise -der anderen Menschen. Bei ihnen sitzen die Weiber auf dem -Markt und handeln, die Männer bleiben zu Hause. Lasten tragen -die Männer auf dem Kopf, die Frauen auf den Schultern. Ihre -Notdurft verrichten sie in den Häusern, die Speisen aber nehmen -sie auf der Strasse zu sich und sagen dazu: Im Verborgenen -müsse man tun, was unziemlich sei, aber notwendig, öffentlich -aber, was nicht unziemlich sei etc.</p> - -<p>In jeder Hieroglyphe sah man ein Bild oder Symbol irgend -eines tiefen Gedankens und suchte sie wie einen Rebus zu erraten.<span class="pagenum"><a name="Seite_p016" id="Seite_p016">[S. 16]</a></span> -So las der bekannte viel wissende Jesuit <span class="gesperrt">Athanasius -Kircher</span>, der von 1601–1680 lebte und die Laterna magica -u. a. erfunden hat, die sieben Zeichen:</p> - -<div class="figcenter" style="width: 400px;"> -<img src="images/pg016_1.png" width="400" height="129" alt="" /> -</div> - -<p>welche in Wahrheit autkrtr heissen und den Titel αυτοκρατως, Selbstherrscher, -bezeichnen, der den Titel Imperator des römischen -Kaisers wiedergibt, in folgender Weise: Osiris (<img class="big" src="images/pg016_2.png" alt="Symbol" /> = a) ist Urheber -der Fruchtbarkeit und aller Vegetation, (<img src="images/pg016_3.png" alt="Symbol" /> = u). Seine -Zeugungskraft (<img src="images/pg016_4.png" alt="Symbol" /> = tk) zieht aus dem Himmel (<img src="images/pg016_5.png" alt="Symbol" /> = r) -der heilige Mophta (<img src="images/pg016_6.png" alt="Symbol" /> = tr<a name="FNAnker_ast_1" id="FNAnker_ast_1"></a><a href="#Fussnote_ast_1" class="fnanchor">[*]</a>) in sein Reich, und in einem -andren Falle las Kircher die 17 Buchstaben kasrs Tmitins sbsts -d. h. Kaiser Domitianus Sebastos so: Der wohltätige Vorsteher -der Zeugung der im Himmel vierfach mächtige übergibt durch -den wohltätigen Mophta die luftige Feuchtigkeit an den Amon, -der in der Unterwelt mächtig ist und durch seine Statue und -geeignete Zeremonien veranlasst wird, seine Macht auszuüben. -<span class="gesperrt">Kircher</span> hat übrigens um die Kenntnis des Koptischen wirkliche -Verdienste. Er hat zuerst das Koptische als die altägyptische -Volkssprache bezeichnet (lingua aegyptiaca restituta 1645). -Während Kircher metaphysische und theosophische Spekulationen -in die Hieroglyphen hineinlas, fand der Abbé Pluche meteorologische -Beobachtungen in ihnen und ein Anonymus sogar Davidische -Psalmen.</p> - -<div class="footnote"> - -<p class="noindent"><a name="Fussnote_ast_1" id="Fussnote_ast_1"></a><a href="#FNAnker_ast_1"><span class="label">[*]</span></a> Der Löwe ist ein spätes Zeichen, das eigentlich dazu dient, r und l, -die in alter Zeit das gleiche Zeichen haben, zu unterscheiden.</p></div> - -<p>Meine Herren! Sie können sich denken, dass durch solche -Spielereien die ganze Beschäftigung mit Hieroglyphen in Verruf -kam und wir blieben für die wirkliche Kunde von Ägypten auf<span class="pagenum"><a name="Seite_p017" id="Seite_p017">[S. 17]</a></span> -die griechischen Quellen, insbesondere auf Herodot, Eusebios, -Horapollo, Plutarch, Diodor und die jüdischen Erzählungen in -der Bibel angewiesen. Das wurde mit einem Schlage anders, als -<span class="gesperrt">Napoleon</span> im Jahre 1798 seinen Zug nach Ägypten unternahm, -um von da aus die Engländer in Indien zu bedrohen. Grossartig -wie der Plan und der Mann nahm er einen ganzen Stab -hervorragender Gelehrten unter Vorsitz von <span class="gesperrt">Fourier</span> mit, die -mit der Erforschung des Landes beauftragt wurden, für welche -Napoleon durch des Mathematikers <span class="gesperrt">Karsten Niebuhrs</span> Reise -in Arabien (voyage en Arabie) 1761–67 angeregt worden war. -Sie haben ihre Aufgabe glänzend gelöst und ihr grosses Material -in der description de l'Egypte, dem Fundament der Ägyptologie, -niedergelegt. Statt der wenigen nach Rom und Byzanz verschleppten -Inschriften lag jetzt eine Fülle von Texten vor und -die Entzifferung wäre, wenn auch langsam, gelungen, wie die -der Keilschriften Assyriens gelungen ist, auch ohne den glücklichen -Zufall des Fundes von Rosette.</p> - -<p>»Im August 1799, als die Lage des französischen Heeres -schon recht misslich war, fand man beim Ausheben von Schanzen -im Port St. Julien (Raschêd), 7,5 km N. W. von <span class="gesperrt">Rosette</span> in -der Nähe der westlichen Nilmündung eine schwarze Granittafel, -deren Vorderseite mit drei Inschriften bedeckt war. Die oberste -in Hieroglyphen, die mittlere in der ägyptischen Volksschrift -zur Zeit der Ptolemäer, dem Demotischen, und die unterste in -griechischer Schrift und Sprache. Im griechischen Text stand: -Man solle dieses Dekret der Priester von Memphis zu Ehren des -Königs (Ptolemäus Epiphanes, 196) in heiliger Schrift, in Volksschrift -und in griechischer schreiben. Es war also kein Zweifel, -dass die beiden ägyptischen Texte des Steines von Rosette die -Übersetzung des Griechischen enthielten. In dem Dekret war -mehrfach von König Ptolemäus die Rede, es war unwahrscheinlich, -dass für diesen fremden Namen die Hieroglyphen als Symbolik -dienen sollten. Die Vermutung lag nahe, dass die Hieroglyphen -eine Lautschrift seien.«</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p018" id="Seite_p018">[S. 18]</a></span> - -Sie wurde 1816 von dem grossen englischen Physiker -<span class="gesperrt">Thomas Young</span> ausgesprochen, welcher an der durch die -Kapitulation von Alexandria 1801 nach England gesandten Tafel -i, n, p, t, f entzifferte und unabhängig von ihm kam der junge -französische Gelehrte <span class="gesperrt">Jean François Champollion-le -Jeune</span> auf den gleichen Gedanken. Champollion muss als der -eigentliche Entzifferer der Hieroglyphen angesehen werden. Wer -sich genau für ihn und seine Taten interessiert, findet alles denkbare -Material in dem höchst fesselnden Werke von <span class="gesperrt">H. Hartleben</span>: -Champollion, sein Leben und sein Werk 1906, in dem -mit der ganzen liebevollen Sorgfalt, deren nur eine Frau fähig -ist, und mit glänzendem Erfolg in vieljähriger unermüdlicher -Arbeit alle überhaupt beschaffbaren Urkunden verwertet sind. -Dass Young und Champollion Vorläufer hatten, ist selbstverständlich, -so erwiesen sich z. B. die Angaben des Kirchenvaters -<span class="gesperrt">Clemens Alexandrinus</span> über das altägyptische Schriftsystem -bedeutend zuverlässiger als die des Herodot und Diodor. -Ganz bedeutend muss der Däne <span class="gesperrt">Georg Zoëga</span> hervorgehoben -werden, der sich von 1783 an mit Hieroglyphik beschäftigte. -Zoëga, geschulter Philologe, — er war der Lieblingsschüler des -berühmten Göttinger Philologen <span class="gesperrt">Ch. G. Heyne</span> —, hat den -Lautcharakter der Hieroglyphen erkannt. Er hat vermutet, dass -der Ring: <img src="images/pg018_1.png" alt="Symbol" />, die alphabetisch geschriebenen Namen des -Königs und der Königin umschlösse und was die Hauptsache -war, er hat die ägyptische Kunst richtig beurteilt. <span class="gesperrt">Winckelmann</span> -hatte die ägyptische Kunst als völlig stabil hingestellt. -Demgegenüber zeigte Zoëga, dass es in ihr Entwicklung, Blüte -und Verfall gibt, kurz Bewegung. Heute wissen wir, dass das -alte Reich eine Zeit der Entwicklung durchmachte von kühner, -aber technisch unvollkommener Nachahmung der Natur aufsteigend -bis zu Meisterwerken wie: »der Dorfschulze, der Schreiber«, -und der gewaltigen Sphinx', das Abbild der vollen Majestät -des Königs (siehe Abbild.). Auf diese Zeit folgte ein Beharren -und ein Stabilwerden im mittleren Reich, ein Verfall in der<span class="pagenum"><a name="Seite_p019" id="Seite_p019">[S. 19]</a></span> -Hyksosperiode, bis dann im neuen Reiche die neue grossartige -Kunstepoche herbeigeführt wurde dadurch, dass die aus dem -Verkehr mit Syrien und Babylonien gewonnenen neuen Motive -der Eigenart des ägyptischen Volkes gemäss entwickelt wurden. -In dem Werke von H. Hartleben finden Sie, meine Herren, wie -Champollion von frühester Jugend an die Entzifferung des ägyptischen -Geheimnisses als sein Lebensziel erkannte und wie unentwegt -er diesem Ziel trotz Krankheit und Not nachgestrebt. -Von besonderem Einfluss ist das Interesse, das <span class="gesperrt">Fourier</span>, der Verfasser -der Théorie de la Chaleur, dem genialen Knaben entgegenbrachte, -der 12jährig im Herbst 1802 dem Präfekten von Grenoble -durch den älteren Bruder, den ebenfalls bedeutenden Gelehrten -Jacques vorgestellt wurde. Aber wir sehen aus dem Buche -auch, wie gross die Arbeit, wie mannigfaltig die Schwankungen -und Irrtümer waren, bis es 1822 Champollion gelang, die grundlegenden -Sätze auszusprechen:</p> - - -<p class="h23">1. Die drei altägyptischen Schriftformen, Hieroglyphen, -Hieratisch, Demotisch, stellen im Grunde dasselbe einheitliche -System dar.</p> - -<p class="h23">2. Das System besteht aus einem Gemisch von etwa 19 teils -»figurativer«, teils »symbolischer« Zeichen.</p> - -<p>Champollion ging wie Young vom Stein von Rosette aus. -Dort kam an der Stelle, wo der griechische Text von Ptolemäus -spricht, derselbe Ring vor, den man von den Bildern der Tempel -neben dem Haupt des durch die Doppelkrone bezeichneten Königs -her kannte und in diesem Ring <img src="images/pg019_1.png" alt="Symbol" /> finden sich die Zeichen:</p> - -<div class="figcenter" style="width: 510px;"> -<img src="images/pg019_2.png" width="510" height="175" alt="" /> -</div> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p020" id="Seite_p020">[S. 20]</a></span></p> - -<div class="figcenter" style="width: 510px;"> -<img src="images/pg020_1.png" width="510" height="125" alt="" /> -</div> - -<p class="noindent">Champollion hatte bemerkt, dass auf einem Obelisken aus Philä, -der wichtigen Grenzstadt in Unterägypten, neben demselben -Königsring ein anderer stand, der 5 von den Zeichen des ersten -Ringes enthielt. Aus der griechischen Inschrift an der Basis des -Obelisken liess sich entnehmen, dass es der Name Kleopatra sei -und er musste es sein, denn von den drei in der Königsfamilie -üblichen Frauennamen: Arsinoe, Berenike, Kleopatra enthält nur -der letzte 5 Buchstaben, die auch in Ptolemäus vorkommen. So -wurden die Zeichen für die Laute a, e, l, m, o, p, r, s, t gefunden -und bald fand Champollion Bestätigungen, die ihn weiter -führten, so an dem Königsnamen Aleksentros, id est Alexander. -Dazu kam dann bald als der schlagendste Beweis, dass, wenn -man nach dieser Deutung Worte las, die phonetisch geschrieben, -hinter denen aber, was sehr häufig ist, ein Deutungszeichen stand, -wie z. B.</p> - -<p class="center"><img class="big60" src="images/pg020_2l.png" alt="Symbol" /> Eh und: <img class="big60" src="images/pg020_2r.png" alt="Symbol" /></p> - -<p class="noindent">erp, man auf wohl bekannte koptische Worte ehe der Ochse und -erp, der Wein stiess.</p> - -<p>Diese Determinative oder Deutungszeichen waren unentbehrlich -und wurden immer zahlreicher. Dieselben beiden Zeichen -<img class="big" src="images/pg020_3.png" alt="Symbol" /> konnten noch bedeuten: Weinen, dann war ein tränendes<span class="pagenum"><a name="Seite_p021" id="Seite_p021">[S. 21]</a></span> -Auge dahinter <img class="big" src="images/pg021_1.png" alt="Symbol" />; Feld, dann war ein Markstein dahinter, -wenn es Strick bedeutete <img src="images/pg021_2.png" alt="Symbol" />. Wenn es Loben, Preisen, -Rufen, kurz einen Ausruf bedeutete, ein sitzender Mann, wenn -es Bedrohen, Bedrängen bedeutet, ein bewaffneter Arm: <img src="images/pg021_3.png" alt="Symbol" />, -der überall vorkommt, wo Energie ihren Ausdruck findet. Es -sind diese Determinative Überreste der ältesten Zeit, wo die -Hieroglyphen wirklich Bilderschrift war, wie es die chinesische -Schrift noch heute ist. — Ich nehme als Beispiel die Hieroglyphe -<img src="images/pg021_4.png" alt="Symbol" /> per das Haus, der rohe Grundriss eines Hauses, -wie es noch heute der ägyptische Bauer bewohnt. Aber das -Zeichen für Haus der ältesten Zeit wurde im Laufe der Zeit -zum <span class="gesperrt">Zeichen</span> der Silbe per. Dies kann dann sehr verschiedenes -bedeuten: <img src="images/pg021_5.png" alt="Symbol" /> hinausgehen, <img src="images/pg021_6.png" alt="Symbol" /> hineingehen.</p> - -<p>Als Champollion 1832 schon 10 Jahre nach seiner Entdeckung -starb, war es ihm gelungen, das ganze Schriftsystem -der Hieroglyphen zu entziffern. Dieser eine Mann hatte in einem -Jahrzehnt das grosse Rätsel gelöst und ein ganzes Volk wieder -in die Weltgeschichte eingeführt.</p> - -<p>Nach den Hieroglyphen wurde die hieratische Schrift entziffert, -die Priesterschrift, in der die meisten Papyri geschrieben -sind, und die aus Zusammenziehung der Hieroglyphen, sogenannten -Ligaturen, entstanden, sich zu jener verhält, wie unsere -Schreibschrift zur Druckschrift und nach dieser von Brugsch das -Demotische. Es konnte eine ägyptische Grammatik geschrieben -werden, ägyptische Literatur gelesen werden und eine glänzende -Bestätigung erhielten die Arbeiten der Ägyptologen als <span class="gesperrt">Lepsius</span>, -der 1842 die berühmte, so erfolgreiche, sogenannte preussische -Expedition geleitet hatte und die Gräber des alten Reiches aufgedeckt -hatte, 1867 auf dem Trümmerfelde der alten Stadt Tanis -eine andere Trilingue fand, von sehr bedeutender Länge und -ganz vollkommen erhalten: Das Dekret von Canopus, das sich -auf eine Kalenderverbesserung bezog.</p> - -<p>Aber als nun die ägyptische Literatur entziffert war, machte<span class="pagenum"><a name="Seite_p022" id="Seite_p022">[S. 22]</a></span> -sich zunächst eine grosse Enttäuschung geltend. An Stelle der -erwarteten tiefsinnigen Weisheit fand man eine wirre Mythologie, -aus der nur die schon durch Plutarch, de Iside, bekannten Gestalten -des Osiris, der Isis, des Seth oder Typhon, und des Horus -oder besser Hor deutlicher sich abhoben. Man lese Erman -S. 365 ff. Daneben Haarspaltereien, wie etwa die rabbinischen -Untersuchungen über die Jakobsleiter, Zaubersprüche und eine -tolle Dämonologie. Die Papyri entpuppten sich meist als Schülerhefte -oder als Briefe, die zum Unterricht geschrieben waren und -etwas mehr Inhalt boten eigentlich nur die Totenbücher, buchstäblich -Reisehandbücher für den Ka, die Seele des Verstorbenen, -auf seiner Reise in das Reich des Osiris, in die Totenwelt.</p> - -<p>Die Medizin, die Herodot solchen Respekt einflösste, lernten -wir aus dem grossen Papyrus Ebers kennen, eine ausserordentliche, -reiche Sammlung von Rezepten, deren vornehmster Bestandteil -Kot der verschiedenartigsten Tiere, überhaupt die ekelerregendsten -Elemente sind. Beiläufig gesagt ist auch für die -mathematische Tradition die Bemerkung nicht unwichtig, dass -ein Teil dieser Rezepte noch heute unverändert einen Bestandteil -der Volksapotheke in Europa bildet. — So schlug denn die Ehrfurcht -in ihr Gegenteil um. Man unterschätzte die ägyptische -Wissenschaft, wie man sie überschätzt hatte. Aber etwa seit -1880 trat eine Wandlung ein, die genaue Detailforschung, gefundene -Briefe, Rechnungen, Steuerquittungen, Prozessakten -zeigten, dass man es mit einer seit 4000 v. Chr. grossartig -organisierten Verwaltung und mit einem ausserordentlich klaren -und verständigen Volke zu tun hatte. In die Geschichte, in die -Mythologie kam Licht, Lyrik, ein reicher Märchenschatz, wie ihn -noch heute die Fellah lieben; auch die Kunst zeigte sich zum -Teil auf erstaunlicher Höhe. Vergl. die kurze Kunstgeschichte -von <span class="gesperrt">W. Spiegelberg</span>. Man denke an die Statuen des Pepi -und Ramses II., die herrlichen Statuen von Gizeh im Louvre etc. -Ferner an Architekturwerke, Meisterwerke, wie die Tempel von -Karnak und Luxor. Papyri, wie die älteren, auf Leder geschriebenen,<span class="pagenum"><a name="Seite_p023" id="Seite_p023">[S. 23]</a></span> -z. B. der Papyrus Prisse, zeigten wirklich hohe -Weisheit auf ethischem Gebiet 2500 v. Chr. Ausserordentlich -früh war das Barbarentum, wie Menschenopfer, Tötung der Frauen -und Sklaven, die es bei den Griechen noch im Homerischen -Zeitalter gab, abgeschafft. Auch die Stellung der Frau zeigt -die ethische Reife, sie war weit höher als bei irgend einem -orientalischen Volke, vielleicht die Hebräer ausgenommen, selbst -der Adel der Herkunft richtet sich nach der Mutter. Wir haben -Kunde von der bedeutenden Rolle, welche z. B. Tye, die Mutter -des Chinatôn, spielte, deren wundervoller Goldschmuck vor kurzem -gefunden wurde, wir wissen von der zwanzigjährigen kraftvollen -Regierung der Hatschepsowet, der Mutter des grossen Thutmosis -III., welche u. a. eine grosse und erfolgreiche Expedition -nach Punt sandte und dort ihre Statue aufstellen liess. Die -Ehe war sehr früh im wesentlichen monogamisch, und das Familienleben -ausserordentlich innig. Vielleicht hat die Schwesterehe -der Ägypter zu dieser Wertung der Frau beigetragen. Anfänglich -Sitte der Vornehmsten, wohl um Erbteilungen zu vermeiden, -verbreitete sie sich rasch über das ganze Land, und die -Ägypter haben für Schwester und Geliebte das gleiche Wort. — -Die Rechtspflege war sehr früh geordnet, Richter von Fach -führten die Untersuchung, die Strafen bestimmte der König, sie -waren nicht grausamer, als sie bei uns bis ins 19. Jahrhundert -hinein gebräuchlich waren.</p> - -<p class="pagebreak"><span class="pagenum"><a name="Seite_p024" id="Seite_p024">[S. 24]</a></span></p> - - -<h3>Ägyptische Mathematik.</h3> - - -<p>Was nun die Mathematik der alten Ägypter betrifft, so -waren wir bis 1868 auf sehr dürftige Quellen angewiesen. Dass -die Ägypter schon früh im Besitze nicht geringer mathematischer -Kenntnisse gewesen, geht schon aus den gewaltigen Bauten hervor. -Die Gräber der Grossen waren genau orientiert. Stets stand -die Statue des Toten, die dem Ka, der Seele, Gelegenheit geben -sollte in seinen Leib zurückzukehren, so dass sie genau nach -Westen schaute. Die grossen Pyramiden waren auf das Genaueste -orientiert, so dass die wunderbarsten Vermutungen, und zwar vor -noch nicht langer Zeit, über ihre eigentliche Bedeutung gemacht -wurden. Ich nenne nur die des Ingenieurs Price Smith über -die Pyramide des Cheops. Im allgemeinen standen die Tempel -im Meridian. Diese Orientierung war Aufgabe einer besonderen -Priestergruppe, der Harpedonapten id est der Seilspanner. Der -König selbst beteiligte sich dabei. Man vergleiche die von dem -früheren Strassburger Ägyptologen <span class="gesperrt">Dümichen</span> veröffentlichte -Baugeschichte des Tempels von Denderah; der Tempel wird -genau nach dem Eintritt der Plejaden in den Meridian orientiert. -Dort ist der König abgebildet an einem Pflock stehend, und -diesem gegenüber steht Să̇fchet, die Göttin der Wissenschaft und -der Bibliotheken; beide schlagen gleichlange Pflöcke mit einer -Keule in den Erdgrund und halten gemeinsam ein Seil. Die -Inschrift sagt: Ich habe gefasst die Holzpflöcke und den Stiel -des Schlegels, ich halte das Seil gemeinsam mit der Göttin Să̇fchet. -Mein Blick folgt dem Gange der Gestirne; wenn mein Auge an -dem Sternbilde des Siebengestirns angekommen ist und erfüllt ist<span class="pagenum"><a name="Seite_p025" id="Seite_p025">[S. 25]</a></span> -der mir bestimmte Abschnitt der Zahl der Uhr, stelle ich die -Pflöcke auf die Eckpunkte deines Gotteshauses. Die Stelle: -wenn mein Auge usw. wird dadurch verständlich, dass die Himmelskarte -so angelegt wurde, dass unter der Mitte des Himmels -ein Mensch aufrecht sitzt und nun wird der Gang der Sterne -angegeben. Uns sind mehrere solcher Listen erhalten. Da heisst -es z. B.: Am 16. Phaopi steht in der 8. Stunde die Fingerspitze -des Sternbildes Sa'h id est Orion über dem linken Auge etc. -Ich will hier nur kurz bemerken, dass auch unser Kalender im -wesentlichen auf die Ägypter bezw. Babylonier zurückgeht.</p> - -<p>An Werkzeugen war ihnen schon in ältester Zeit der -rechte Winkel, das Richtscheit, bekannt, das man u. a. in einer -Tischlerwerkstatt gefunden hat; die Orientierung im Felde geschah -durch das Spannen des Seiles mit den Knoten 3, 7, 12. -Dass danach das pythagoreische Dreieck mit den Seiten 3, 4, -5 den Ägyptern bekannt war, steht unzweifelhaft fest. Auch -Zirkel verschiedener Art können nicht gefehlt haben. Ein eigentümliches -Instrument zum Ebenmachen, unserem Hobel entsprechend, -ist ebenfalls gefunden worden. An Massstäben etc. -hat es auch nicht gefehlt. Das Richtscheit kommt des öfteren -auf Bildern in der Hand des Königs vor, wie etwa der Pflug in -der des Kaisers von China. In der Ornamentik findet sich eine -Reihe geometrischer Figuren, ihre Wagenräder verlangen die -Kreisteilung, anfangs sind sie viergeteilt, später nach Zusammenstoss -mit den Chaldäern oder Babyloniern sind sie sechsgeteilt. -In der grossen Schenkungsurkunde des Tempels von Edfu haben -wir eine ganze Reihe von Flächenberechnungen; einzelne Rechenexempel -finden sich in den Papyri, aber im grossen und ganzen -waren wir auf sehr dürftige Nachrichten der Klassiker, in erster -Linie auf Proklus angewiesen.</p> - -<p>Fest steht, dass <span class="gesperrt">Thales</span>, der Milesier, etwa um 600 einige -Kenntnisse, die ihm ägyptische Priester vielleicht wegen ihrer -Geringfügigkeit mitgeteilt hatten, nach Jonien brachte, darunter -den Satz von den Basiswinkeln im gleichschenkligen Dreieck,<span class="pagenum"><a name="Seite_p026" id="Seite_p026">[S. 26]</a></span> -den 2. Kongruenzsatz und die Konstruktion des gleichseitigen -Dreiecks. Weit länger und fruchtbarer scheint der Aufenthalt -des <span class="gesperrt">Pythagoras</span>, dem es allem Anscheine nach gelang in die -schwierige Sprache und in das noch schwierigere Vertrauen der -ägyptischen Priester einzudringen, gewesen zu sein. Pythagoras -brachte vermutlich auch die Form, in welche die Ägypter Sätze -und Aufgaben kleideten, nach Europa, die sich bei Euklid und -Heron erhalten hat. Sicher bezeugt ist der Aufenthalt des Mathophilosophen -<span class="gesperrt">Eudoxos</span> und der des Oinopides, der die Konstruktion -des Lotes aus Ägypten importierte. Wahrscheinlich der des -Platon von Sizilien aus, sicher wiederum der des Eudemos, wahrscheinlich -der des <span class="gesperrt">Demokrit</span>, der sich rühmte, dass ihn im Konstruieren -nicht einmal die Ägypter überträfen. Die ägyptische -Reisskunst hatte den höchsten Ruf. Ägyptische Feldmesser und -Baumeister waren in der ganzen Welt des Mittelmeeres bis tief -in die römische Kaiserzeit die gesuchtesten. Einen hohen Ruf -hatten ihre astronomischen Kenntnisse und Beobachtungen, die -sehr lange fortgesetzt waren. Man muss freilich sagen, dass die -eigentümlichen, ganz neuerdings von <span class="gesperrt">L. Borchardt</span> erklärten -Instrumente mit unseren astronomischen Präzisionsinstrumenten -keinen Vergleich zulassen, ja nicht einmal mit denen der Babylonier.</p> - -<p>Eine direkte altägyptische Urkunde sprach zum ersten Male -zu uns im Papyrus Rhind, über welchen 1868 der Engländer -<span class="gesperrt">Birch</span> im Lepsius einen kurzen Bericht gab. 1872 erhielt -<span class="gesperrt">August Eisenlohr</span> in Heidelberg eine lithographische Abschrift -des Textes und in fünfjähriger mühevoller Arbeit entzifferte -er denselben, unterstützt von seinem Bruder, dem Mathematiker -<span class="gesperrt">Friedrich Eisenlohr</span> und vor allem von <span class="gesperrt">Moritz -Cantor</span>. Die Ausgabe ist jetzt veraltet, besonders die Namen, -aber auch die Zahlworte und Masse sind falsch gelesen. So ist -z. B. psd 9 mit paut Kreis verwechselt und eine neue Ausgabe -vom Standpunkte der heutigen Ägyptologie wäre sehr zu -wünschen.</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p027" id="Seite_p027">[S. 27]</a></span> - -Der Papyrus beginnt mit den Worten: »Vorschrift zu gelangen -zur Kenntnis aller dunklen Dinge, aller Geheimnisse, -welche sind in den Dingen. Verfasst wurde diese Schrift im -Jahre 33, im vierten Monat (Mesori) der Überschwemmungszeit -unter König Raa-us lebenspendend nach dem Muster alter -Schriften in der Zeit des Königs .......at vom Schreiber -Aahmesu.« Der König heisst nicht Raa-us, sondern mit seinem -Horusnamen Apophis, wie die furchtbare Schlange des Typhon. -Es ist der Hyksoskönig mit seinem Königsnamen A-vose-re, gross -ist die Macht des Re. Re, nicht Ra, ist die heisse Mittagssonne, -deren Gewalt nirgends sich fühlbarer machte als in Ägypten, -und deren Kult im alten und im mittleren Reich alle übrigen -überbot. Der König des Musters ist Amenemhet III., etwa um -2200. Die Muster sind, wie es scheint, gefunden worden von -Flinders Petrie in Kahun im Jahre 1889, die Papyri hat Griffith -1897 herausgegeben, wenigstens stimmt Papyrus Ames mit denen -von Kahun genau überein.</p> - -<p><span class="gesperrt">Eisenlohr</span> und mit ihm <span class="gesperrt">Cantor</span> bezeichnen den Papyrus -als ein mathematisches Handbuch der alten Ägypter, Cantor nennt -es gelegentlich sogar »Vademecum eines ägyptischen Feldmessers«, -dem gegenüber erklärte <span class="gesperrt">Eugène Revillout</span>, der Herausgeber -der Revue égyptologique, in einer Note, die Cantor, wie es scheint, -entgangen ist, ist sie doch dem so rührigen und so viel jüngeren -<span class="gesperrt">L. Borchardt</span> entgangen, das Heft ganz kurz und klar für -das Heft eines mässigen Schülers, das einige Jahrhunderte später -von einem Schreiber ohne alle mathematische Bildung, und solcher -gab es schon im alten Ägypten, dem Jamesu, Sohn des Mondes, -abgeschrieben und an einen schlichten Landmann verkauft ist. -Dieser Ansicht Revillouts schloss sich Weyr in seinem Festvortrag -in der Wiener Akademie an; <span class="gesperrt">Borchardt</span>, dessen Autorität sehr -schwer ins Gewicht fällt, teilte gleichfalls diese Ansicht und auch -ich kann ihr nur beipflichten. Das Heft wimmelt geradezu von -groben Rechenfehlern, die oft vom Lehrer mit roter Tinte tout -comme chez nous korrigiert, öfter nur generaliter bemerkt sind. So<span class="pagenum"><a name="Seite_p028" id="Seite_p028">[S. 28]</a></span> -kommt z. B. ein Exempel vor, wo der Schüler durchgehend 14 -mit 9 verwechselt hat, das war leicht möglich, die Schrift ist althieratisch, -ganz ähnlich wie beim Papyrus Ebers, unserer Hauptquelle -für die Geschichte der ägyptischen Medizin. Das Hieratische -verhält sich, wie schon gesagt, zu den Hieroglyphen, die -nur in prähistorischer Zeit wirkliche Bilderschrift waren, wie -unsere Schreibschrift zur Druckschrift, es entsteht durch Ligaturen. -Der Lehrer schreibt nur eine 14 an den Rand; er lässt, -wenn die Exempel falsch sind, Proben machen, gibt auch gelegentlich -dasselbe Exempel mit anderen Zahlen, manchmal gibt -er selbst die Lösung an, die mitunter ganz anderen Gebieten der -Mathematik angehörte. Daneben kommen auch Fehler genug auf -Rechnung des Schreibers Jamesu.</p> - -<p>Die Ansicht <span class="gesperrt">Revillouts</span> ist schon an und für sich wahrscheinlich, -da die grosse Mehrzahl der auf uns gekommenen -Papyri Schülerhefte waren. Es gab schon im alten Reiche ein -ausgebildetes Schulwesen. Die Schulen a-sbo waren teils staatliche, -teils private. Sie waren ganz und gar realistisch. Ihr -Zweck war nicht die formale Geistesbildung, an toten Sprachen -abgezogen, sie übersetzten nicht ihren Julius Cäsar Shakespeares -ins Lateinische, um denselben den Römern zugänglich zu machen, -sondern sie hatten Fachschulen, Schulen für Ackersleute, für -Baumeister, für Feldmesser, für Intendanten, für Kaufleute etc. -Unser Heft entstammt einer landwirtschaftlichen Schule. Der -Schreiber schliesst es mit den Worten: Fange das Ungeziefer -und die Mäuse, vertilge das Unkraut aller Art. Bitte Gott Re -um Wärme, Wind und hohes Wasser.</p> - -<p>Das letzte war die Hauptsache. Ägypten, sagt Herodot, -ist ein Geschenk des Niles, wurde doch die ganze straffe Zusammenfassung -des Volkes unter <em class="gesperrt">einen</em> König durch die Notwendigkeit -dem gewaltigen Strom mit vereinten Kräften zu wehren, -unabweisbar; damit das Jahr gut war, musste die Nilhöhe am -Pegel von Memphis 16 Ellen, à 0,538 m, betragen. Bei 18 Ellen -war es ein gesegnetes, was darüber war, war schädlich. Aber<span class="pagenum"><a name="Seite_p029" id="Seite_p029">[S. 29]</a></span> -auch abgesehen von dem Spruche, bezeugt es der Inhalt des -Heftes; die Beispiele sind zum weitaus grössten Teil direkt für -den Gebrauch des Landmanns bestimmt. Ein nicht unwichtiges -Argument für Revillouts Ansicht gab mir Herr <span class="gesperrt">Spiegelberg</span> -an. Der Papyrus soll nämlich vorzüglich erhalten sein, was -äusserst unwahrscheinlich ist bei einem viel gebrauchten Handbuch.</p> - -<p class="pagebreak"><span class="pagenum"><a name="Seite_p030" id="Seite_p030">[S. 30]</a></span></p> - - -<h3>Ägyptische Arithmetik.</h3> - - -<p>Das Zahlensystem der Ägypter ist dekadisch. Die Ziffern -sind für die Einer Striche <img src="images/pg030_1.png" alt="Symbol" />, für die Zehner <img src="images/pg030_2.png" alt="Symbol" />, für die Hunderter -<img src="images/pg030_3.png" alt="Symbol" />, für die Tausender <img class="big" src="images/pg030_4.png" alt="Symbol" />, für die Zehntausender <img class="big" src="images/pg030_5.png" alt="Symbol" />, für die -Hunderttausender <img src="images/pg030_6.png" alt="Symbol" />. Die grössere Zahl geht der kleineren -vor, z. B.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 300px;"> -<img src="images/pg030_7.png" width="300" height="74" alt="" /> -</div> - -<p class="center">gleich 212,635.</p> - -<p>In den Stundenangaben und Datierungen werden -die Einer auch noch durch horizontale Striche -bezeichnet.</p> - -<div class="figright" style="width: 110px;"> -<img src="images/pg030_8.png" width="110" height="450" alt="" /> -</div> - -<p>In monumentalen Einmeisselungen stehen die -Zahlen auch vertikal, wie z. B. die Zahl 7551, die -in der Schenkungsurkunde auf der Tempelmauer -von Edfu vorkommt. Für 5 kommt auch in hieroglyphischen -Ziffern <img src="images/pg030_9.png" alt="Symbol" /> vor.</p> - -<p>Die lautliche Bezeichnung, soweit sie feststeht, -ist für 1 wa, für zwei meist die Dualform vom -Stamme sen Bruder, nämlich der eins. Die 5, dua, -heisst Hand, wie im Indischen und Mexikanischen -und wird auch meist durch eine Hand determiniert. -Umgekehrt wird z. B. Handwerker dargestellt durch -fünf Striche, dahinter Mann und Frau. Die 10 (met)<span class="pagenum"><a name="Seite_p031" id="Seite_p031">[S. 31]</a></span> -wird durch den Phallus <img src="images/pg031_1.png" alt="Symbol" /> geschrieben, der denselben Lautwert -met hat. Das Zeichen für 100 (vielleicht schent), eine Schlinge, -ist vom zusammengerollten Seil von 100 Ellen hergenommen, -1000 (cha) ist die so häufige Lotosblume, deba, d. i. 10000, ist -Finger, Zeichen und Wort für 100000 ist die Kaulquappe hafen, -welche nach der Überschwemmung im Nilschlamme in ungeheuren -Mengen vorkommt. Als der Handel im Delta ausserordentlich -entwickelt war, im neuen Reiche gab es auch Zeichen für Millionen -und Zehnmillionen. Die Zeichen kommen schon früher vor, -sie werden dann aber meist, wie das griechische Myrioi, für unendlich -gebraucht. Der Gott verspricht dem Könige nicht Millionen -Jahre, sondern ewiges Leben.</p> - -<p>Es gab seit der ältesten Zeit ein Zeichen für 0 nen, nichts.</p> - -<p>Nen ist zugleich die grammatische Negation, die Hieroglyphen -<img src="images/pg031_2.png" alt="Symbol" /> stellen vielleicht eine im Gleichgewicht befindliche -Wage, vielleicht zwei gleichmässig ausgestreckte Arme, -<img src="images/pg031_3.png" alt="Symbol" /> auch Schulter, Arme und abwinkende Hände. Determiniert -wird nen durch das Zeichen des Bösen, richtiger des -Ungemütlichen, ein Vogel, der unserem Spatz ähnelt <img src="images/pg031_4.png" alt="Symbol" />. Ob -die 0 vor der Ptolemäer Zeit als Zahl angesehen wurde, steht -nicht fest, als Ziffer war sie überflüssig, und als Zahl der Zahlenreihe, -wie wir gleich hervorheben, nicht möglich.</p> - -<p><span class="gesperrt">Die Ordinalzahlen</span> werden gebildet durch Anhängen -der Silbe nu <img src="images/pg031_5.png" alt="Symbol" /> an die Kardinalzahl und später durch Vorsetzen -von mh vollmachen, also der die 5 vollmacht, d. i. eben der -fünfte; im Koptischen die ausschliessliche Ableitung.</p> - -<p>Zu der aufsteigenden Zahlenreihe bildeten die Ägypter auch -die absteigende <sup>1</sup>/<sub>2</sub>, <sup>1</sup>/<sub>3</sub>, <sup>1</sup>/<sub>4</sub> usw., indem sie über die Kardinalzahl -die Partikel ro <img src="images/pg031_6.png" alt="Symbol" /> setzten. (Eine Ausnahme bildet <sup>1</sup>/<sub>2</sub>, -welches mit Hälfte <img src="images/pg031_7.png" alt="Symbol" /> geschrieben wird.) Ro ist das Zeichen -für Mund, das zur Präposition geworden ist und in etwas hinein -etc. bedeutet, auch distributiv pro Tag etc. bedeutet. Im -Hieratischen ist es zu einem einfachen Punkt verkürzt worden, -es sind ganz ähnliche Gedanken, und wunderbarerweise auch im<span class="pagenum"><a name="Seite_p032" id="Seite_p032">[S. 32]</a></span> -Hieratischen dieselbe Bezeichnung wie bei den Indern, die die -absteigende Reihe als Reihe der negativen Zahlen gebildet haben. -Der Ägypter fasst 3 auf als 3 × 1 und dem entspricht die Zahl, -welche dreimal genommen 1 gibt. Mit dieser Auffassung der -Zahlenreihe hängt die so eigentümliche und gänzlich missverstandene -ägyptische Bruchrechnung, mit der der Papyrus Ames -beginnt, aufs innigste zusammen. Da heisst es z. B. noch in einer -grossen Abhandlung von 1895 eines um die Geschichte der Mathematik -sehr verdienten Philologen, nämlich bei <span class="gesperrt">F. Hultsch</span>: -die Ägypter kannten keine gemeine Bruchrechnung, sondern nur -eine Teilung in der Einheitsreihe. Die Rechnung war für die -Ägypter erst zu Ende geführt, wenn sie den Quotienten in Zahlen -ihrer Zahlenreihe, d. h. in ganze Zahlen oder Stammbrüche aufgelöst -hatten. Ihre Zahlenreihe war ihnen so geläufig, wie uns -die unsrige und wie wir scheinbar immer mit Brüchen, mit konstantem -Nenner 10 rechnen und die Resultate nur übersehen, -wenn sie uns in Dezimalbruchform vorliegen, so rechneten die -Ägypter scheinbar nur mit Brüchen, mit dem konstanten Zähler 1. -Dass aber dem Ägypter gemeine Bruchrechnung samt Generalnenner, -reduzieren, erweitern etc., völlig vertraut war, geht aus -den Papyri Ames, denen vom Kahun, von Achmin aufs klarste -hervor. Sie scheuten nicht einmal vor Doppelbrüchen. — Eine -Ausnahme bildet der Bruch 2/3, der auch bei den Griechen sein -eigenes Zeichen hat. Er heisst neb <img class="big" src="images/pg032_1.png" alt="Symbol" /> oder <img class="big" src="images/pg032_2.png" alt="Symbol" />. Griffith -fasst ihn als 1/1½. Hier war die Zusammensetzung aus ½ und -1/6 eben jedem ägyptischem Kinde geläufig. Aber ich bin hier -schon bei der Division. Die Addition wird bezeichnet durch -vorwärtsschreitende Beine <img src="images/pg032_3.png" alt="Symbol" />, die Subtraktion durch 2 rückwärtsschreitende -Beine <img src="images/pg032_4.png" alt="Symbol" />, es werden auch verba gebraucht, -die addieren, hinzulegen, hinzufügen bezw. zurückkehren, ausgehen -bedeuten; bei mehreren Summanden wird die Summe durch eine -eigene Hieroglyphe bezeichnet: <img src="images/pg032_5.png" alt="Symbol" />, eine Papyrusrolle, das -Determinativ für alles Abstrakte.</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p033" id="Seite_p033">[S. 33]</a></span></p> - -<div class="sidenote">Arithmetik der Ägypter, Abschnitt 1 des Papyrus Ames.</div> - -<p>Die Multiplikation wird durch das Wort uah = vervielfältigen, -eingeleitet; die Division durch nis = teilen, richtiger -künden, klarmachen. Die Division war wie die unsrige ein Einschliessen -in Grenzen und wird durch Multiplikation und Kenntnis -des 1 × 1 erleichtert. Die 1 × 1-Tabelle kommt im Ames nicht -vor, sie wird als bekannt vorausgesetzt. <span class="gesperrt">Hultsch</span> hat das kleine -1 × 1 nach den Andeutungen des Ames rekonstruiert. Der Papyrus -lehrt zunächst die Bruchrechnung und beginnt mit der Zerlegung -der Brüche von <span class="fraction"><span>2</span><span>3</span></span> bis <span class="fraction"><span>2</span><span>99</span></span> in Stammbrüche inklusiv <span class="fraction"><span>2</span><span>3</span></span>.</p> - -<p>Regeln werden weder hier noch sonst irgendwo im Buche -angegeben; eine Ausnahme macht nur die eine Regel in N. 61a: -<span class="fraction"><span>2</span><span>3</span></span> zu machen von einem Bruch (gebrochenen Teil). Wenn dir -gesagt ist: Was ist <span class="fraction"><span>2</span><span>3</span></span> von <span class="fraction"><span>1</span><span>5</span></span>, so nimm seine Hälfte und seinen -6. Teil, das ist sein <span class="fraction"><span>2</span><span>3</span></span>: Also ist es zu machen in gleicher Weise -für jeden gebrochenen Teil, welcher vorkommt. Cantor hat den -Schlusssatz missverstanden, er meint, er bezieht sich darauf, -dass <span class="fraction"><span>2</span><span>3</span></span> durch irgend einen andern Stammbruch ersetzt werden -könne, während die Verallgemeinerung sich auf <span class="fraction"><span>1</span><span>5</span></span> bezieht, C. -sieht hierin die allgemeine Vorschrift <span class="fraction"><span>2</span><span>u</span></span>, wo u eine ungerade -Zahl ist, zu zerlegen in <span class="fractionbig"><span>1</span><span>(<sup>u</sup>/<sub>2</sub> + <sup>1</sup>/<sub>2</sub>)</span></span> + <span class="fractionbig"><span>1</span><span>(<sup>u</sup>/<sub>2</sub> + <sup>1</sup>/<sub>2</sub>)u</span></span>, die unzweifelhaft, -darin hat er recht, zur Zeit des Papyrus bekannt war. Aber -es werden auch andere Formeln für das an sich unbestimmte -Problem benutzt, z. B. wenn p und q ungerade Zahlen sind, also -<span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span>(p + q) eine ganze Zahl n: <span class="fraction"><span>2</span><span>p·q</span></span> = <span class="fraction"><span>1</span><span>pn</span></span> + <span class="fraction"><span>1</span><span>qn</span></span>. Meist wird -dafür gesorgt, dass der erste Bruch einen geraden Nenner hat, -weil dies die nötige Zusammenfassung bei grösseren Dividenden -als 2 erleichtert. Die Tabelle enthält nur ungerade Zahlen, weil -eben den Ägyptern die Reduktion völlig bekannt war.</p> - -<div class="sidenote">Zerlegung in Partialbrüche.</div> - -<p>Ferner wird möglichst dafür gesorgt, dass die Zahl der -Stammbrüche so klein als möglich. Im Papyrus Ames werden -als Anfangsnenner ausser 2 und 3 nur teilbare Anfangsnenner -der Reihe zugelassen, nur einmal kommt 5 vor. Im Papyrus<span class="pagenum"><a name="Seite_p034" id="Seite_p034">[S. 34]</a></span> -von Achmin ist diese Beschränkung aufgehoben, um die Zahl der -Stammbrüche zu verkleinern. Jede Zerlegung ist von einer Probe, -smot — der <span class="gesperrt">Beweis</span> genannt, begleitet. Der Beweis, d. h. die -Probe, zeigt hier schon, wie völlig die Beherrschung der Bruchrechnung -war, z. B. <span class="fraction"><span>2</span><span>17</span></span> (Anfang der 2. Kolumne) nis son chent, -d. h. mache deutlich 2 durch, z. B. 17, hieroglyphisch: (nis son -chent met sefech)</p> - -<div class="figcenter" style="width: 300px;"> -<img src="images/pg034_1.png" width="300" height="68" alt="" /> -</div> - -<p class="center"> -Verdeutliche <span class="fraction"><span>2</span><span>17</span></span>: <span class="fraction"><span>1</span><span>12</span></span> <span class="fraction"><span>1</span><span>51</span></span> <span class="fraction"><span>1</span><span>68</span></span><br /> -<br /> -smot 1<span class="fraction"><span>1</span><span>3</span></span> <span class="fraction"><span>1</span><span>12</span></span> <span class="fraction"><span>1</span><span>3</span></span> <span class="fraction"><span>1</span><span>4</span></span> (NB. <span class="fraction"><span>17</span><span>12</span></span> i. 1<span class="fraction"><span>1</span><span>3</span></span> + <span class="fraction"><span>1</span><span>12</span></span>)<br /> -</p> - -<p>Der Beweis — smot <img class="big" src="images/pg034_2.png" alt="Symbol" /> genannt —, besteht darin, -dass gezeigt wird, dass <span class="fraction"><span>1</span><span>12</span></span> der 17te Teil von 1<span class="fraction"><span>1</span><span>3</span></span> <span class="fraction"><span>1</span><span>12</span></span> oder 1<span class="fraction"><span>1</span><span>4</span></span> <span class="fraction"><span>1</span><span>6</span></span> -ist und von dem was noch an 2 fehlt, nämlich <span class="fraction"><span>1</span><span>3</span></span> + <span class="fraction"><span>1</span><span>4</span></span>, der 17te -Teil <span class="fraction"><span>1</span><span>51</span></span> und <span class="fraction"><span>1</span><span>68</span></span> ist.</p> - -<div class="sidenote">Abschnitt 2: Zerlegung in Zehn-Teile.</div> - -<p>Es folgen dann als 2. Abschnitt die Dezimalteilungen der -Zahlen von 1–9, eingekleidet als Verteilung von Broten; die -Dezimalteilung war besonders für die Feldteilung wichtig, 1 3 6 -7 8 9 werden geteilt, da <span class="fraction"><span>2</span><span>10</span></span>, <span class="fraction"><span>4</span><span>10</span></span> und <span class="fraction"><span>5</span><span>10</span></span> schon in der vorigen Tabelle -vorkommen. Nur das letzte der Beispiele ist vollständig -erhalten: Geben Brote 9 an Personen 10. Verfahre wie geschieht, -vervielfältige <span class="fraction"><span>2</span><span>3</span></span> <span class="fraction"><span>1</span><span>5</span></span> <span class="fraction"><span>1</span><span>30</span></span> mit 10.</p> - -<p>Brot hot statt t <img src="images/pg034_4.png" alt="Symbol" />. Um mit 10 zu multiplizieren wird mit -2 multipliziert, das zweifache mit 2, und das wieder mit 2 und -das zweifach und achtfache addiert.</p> - - -<div class="center"> -<table border="0" cellpadding="4" cellspacing="0" summary="Berechnung"> -<tr><td align="right" valign="bottom">/..</td><td align="left" style="width:30%; height:4em;"><img src="images/pg034_3.png" alt="Symbol" /></td><td align="left" valign="bottom">(1<span class="fraction"><span>2</span><span>3</span></span> <span class="fraction"><span>1</span><span>10</span></span> <span class="fraction"><span>1</span><span>30</span></span> als zweifaches von <span class="fraction"><span>2</span><span>3</span></span> <span class="fraction"><span>1</span><span>5</span></span> <span class="fraction"><span>1</span><span>30</span></span>)</td></tr> -<tr><td></td><td align="left">(4.) 3 <span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span> <span class="fraction"><span>1</span><span>10</span></span></td></tr> -<tr><td align="right">/</td><td align="left">(8.) 7 <span class="fraction"><span>1</span><span>5</span></span></td></tr> -<tr><td></td><td align="left" colspan="2" style="height:1em;">Zusammen 9 Brote, welche es sind; für zusammen <img src="images/pg034_5.png" alt="Symbol" /></td></tr> -</table></div> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p035" id="Seite_p035">[S. 35]</a></span> - -M. H. es dauert eine ganze Weile bis wir die Zerfällungen -in 2 und 4 ausführen. Der Ägypter zerlegt <span class="fraction"><span>4</span><span>3</span></span> in 1<span class="fraction"><span>1</span><span>3</span></span> und -<span class="fraction"><span>2</span><span>5</span></span> + <span class="fraction"><span>1</span><span>15</span></span> = <span class="fraction"><span>1</span><span>3</span></span> + <span class="fraction"><span>2</span><span>15</span></span> und <span class="fraction"><span>2</span><span>15</span></span> = <span class="fraction"><span>1</span><span>10</span></span> + <span class="fraction"><span>1</span><span>30</span></span>.</p> - -<p>Die Ägypter wussten in ihren Tabellen vorzüglich Bescheid, -genau wie wir mit unserm Einmaleins. Wenn man sich übt, -findet man, dass der Unterschied mit unsern Methoden keineswegs -so gross ist.</p> - -<div class="sidenote">3: Sequem- oder Ergänzungsrechnung.</div> - -<p>Die Tabelle verlangt nun vielfach Subtraktion einer Anzahl -von Brüchen und Division einer Zahl durch eine Summe von -Brüchen. Dazu dient die im 3. Abschnitt gegebene Sequemrechnung -— von quem = vollenden — das Causativ also: Vollende, -ergänze; quem allein kommt auch vor in No. 21 b, 22 b, -37 e 1.</p> - -<p>Ich greife die beiden letzten Beispiele heraus, No. 22:</p> - -<div class="figcenter" style="width: 320px;"> -<img src="images/pg035_1.png" width="320" height="50" alt="" /> -</div> -<p class="center">sequem mā neb ro sa em uā</p> -<p class="center">(30 ist m' b <img src="images/pg034_4.png" alt="Symbol" />;<br /> -statt mā ist richtiger mi)</p> - - -<div> -<table style="margin-right:auto;margin-left:0px" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" summary="Berechnung"> -<tr><td align="left">Ergänze</td><td align="center"><span class="fraction"><span>2</span><span>3</span></span></td><td align="center"><span class="fraction"><span>1</span><span>30</span></span></td><td align="left">zu 1.</td></tr> -<tr><td align="left"></td><td align="center">20</td><td align="center">1</td></tr> -</table></div> - -<p class="noindent">(zu ergänzen ist der gemeinsame Nenner 30, die Ägypter beherrschten -die Bruchrechnung vollständig, samt Gleichnamigmachung, -Kürzen etc.) lege zu seinen Unterschied, nämlich 9; -Zeichen des Unterschieds ist <img class="big" src="images/pg035_2.png" alt="Symbol" /> gelesen chomt, vervielfältige -die Zahl 30 zu vollenden 9.</p> - - - -<div class="center"> -<table border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" summary="Berechnung"> -<tr><td /><td align="right">30</td></tr> -<tr><td /><td align="right"><span class="fraction"><span>1</span><span>10</span></span> 3</td></tr> -<tr><td /><td align="right"><span class="fraction"><span>1</span><span>5</span></span> 6</td></tr> -<tr><td /><td align="right">———</td></tr> -<tr><td align="right">zusammen</td><td align="right">9</td></tr> -</table></div> - - -<p>Es sollen hier <span class="fraction"><span>2</span><span>3</span></span> und <span class="fraction"><span>1</span><span>30</span></span> zu 1 ergänzt werden; es sind auf -den Nenner 30 gebracht 20 und 1 Dreissigstel; es fehlen also -9 und <span class="fraction"><span>9</span><span>30</span></span> sind dann zerlegt in <span class="fraction"><span>1</span><span>10</span></span> und <span class="fraction"><span>1</span><span>5</span></span> womit das Resultat eben -aussprechbar, d. h. deutlich für den Ägypter gemacht ist.</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p036" id="Seite_p036">[S. 36]</a></span></p> - -<p>No. 23:</p> - -<div class="figcenter" style="width: 584px;"> -<img src="images/pg036_1.png" width="584" height="112" alt="1/4 1/8 1/10 1/30 1/45 sequem em neb" /> -</div> - -<div class="figcenter" style="width: 541px;"> -<img src="images/pg036_2.png" width="541" height="74" alt="cher em uah hi—f ir neb" /> -</div> - - - - -<p> -und <span class="fraction"><span>1</span><span>9</span></span> <span class="fraction"><span>1</span><span>40</span></span> im Hinzufügen zu ihm macht <span class="fraction"><span>2</span><span>3</span></span>.<br /> -</p> - -<p>Als Generalnenner wird 45 gewählt und die Zähler der -Doppelbrüche werden in Stammbruchform geschrieben, wobei noch -<span class="fraction"><span>1</span><span>8</span></span> hinzugefügt wird.</p> - - -<div class="center"> -<table border="0" cellpadding="4" cellspacing="0" summary="Berechnung"> -<tr><td align="center"><span class="fraction"><span>1</span><span>4</span></span></td> <td align="center"><span class="fraction"><span>1</span><span>8</span></span></td> <td /><td align="center"><span class="fraction"><span>1</span><span>9</span></span></td><td align="center"><span class="fraction"><span>1</span><span>10</span></span></td><td align="center"><span class="fraction"><span>1</span><span>30</span></span></td><td align="center"><span class="fraction"><span>1</span><span>40</span></span></td><td align="center"><span class="fraction"><span>1</span><span>45</span></span></td><td align="center"><span class="fraction"><span>1</span><span>3</span></span></td><td align="center" style="height:1em;"><img src="images/pg036_3.png" alt="Symbol" /></td><td align="center">1</td></tr> -<tr><td align="center">11<span class="fraction"><span>1</span><span>4</span></span></td><td align="center">5<span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span></td><td align="center"><span class="fraction"><span>1</span><span>8</span></span></td><td align="center">5</td><td align="center">4<span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span></td><td align="center">1<span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span></td><td align="center">1<span class="fraction"><span>1</span><span>8</span></span></td><td align="center">1</td><td align="center">15</td><td align="center">macht</td><td align="center">1</td></tr> -</table></div> - - -<h3>4. Abschnitt.</h3> - -<div class="sidenote">Abschnitt 4: Gleichung ersten Grades (Hau-Rechnung).</div> - -<p>Die Haurechnung oder die Lösung von Gleichungen ersten -Grades. No. 24–38.</p> - -<p>Die Nummern 24–34 sind Zahlengleichungen; die vier -letzten Aufgaben beziehen sich auf Teilung des Getreidemasses -auit. Die Unbekannte heisst hau, d. h. Haufen, also eine unbestimmte -Menge, analog dem cosa irgend ein Ding der italienischen -Mathematiker der Renaissancezeit. Über die Lösung der -Gleichungen entstand ein Streit zwischen <span class="gesperrt">J. Rodet</span>, dem bekannten -französischen Orientalisten, speziell Sanskritisten und <span class="gesperrt">M. Cantor</span>, -in dem, wie so häufig beide recht und beide unrecht haben. -Rodet meint, die Ägypter hatten die regula falsi benutzt, Cantor -sagt, sie hätten gerade so wie wir operiert. C. selbst bemerkt -ganz richtig, dass bei den Gleichungen ersten Grades beide Methoden -schwer zu unterscheiden sind. Ich nehme das erste Beispiel:</p> - -<p>Haufe, sein Siebentel, sein Ganzes, es macht 19; also -<span class="fraction"><span>x</span><span>7</span></span> + x = 19. -Es ist schwer zu sagen, rechnet der Ägypter -x(<span class="fraction"><span>1</span><span>7</span></span> + 1) = x <span class="fraction"><span>8</span><span>7</span></span> = 19; <span class="fraction"><span>x</span><span>7</span></span> = <span class="fraction"><span>19</span><span>8</span></span> · x = <span class="fraction"><span>19</span><span>8</span></span> · 7 oder setzt er probeweise<span class="pagenum"><a name="Seite_p037" id="Seite_p037">[S. 37]</a></span> -für x 7, wonach er als Summe 8 statt 19 bekommt und -somit den Proportionalitätsfaktor <span class="fraction"><span>19</span><span>8</span></span> erhält und damit seinen Probewert -multipliziert.</p> - -<p>Die Rechnung sieht so aus:</p> - - -<div class="center"> -<table border="0" cellpadding="1" cellspacing="0" summary="Berechnung"> -<tr><td align="right">/</td><td align="right">. 7</td><td align="right">.</td><td align="right">8</td><td align="right">/</td><td align="right"><span class="fraction"><span>1</span><span>4</span></span> 2</td><td align="right">/.</td><td align="right">2<span class="fraction"><span>1</span><span>4</span></span> <span class="fraction"><span>1</span><span>8</span></span></td><td align="center">(n. b. <span class="fraction"><span>19</span><span>8</span></span> das ist der Proport.-Faktor)</td></tr> -<tr><td align="right">/</td><td align="right"><span class="fraction"><span>1</span><span>7</span></span> 1</td><td align="right">/..</td><td align="right">16</td><td align="right">/</td><td align="right"><span class="fraction"><span>1</span><span>8</span></span> 1</td><td align="right">/..</td><td align="right">4<span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span> <span class="fraction"><span>1</span><span>4</span></span></td></tr> -<tr><td /><td /><td /><td align="right"><span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span> 4</td><td /><td /><td align="right">/</td><td align="right">4. 9<span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span></td></tr> -</table></div> - -<p>nun kommt die stehende Formel:</p> - -<p class="center"> -<img class="big20" src="images/pg037_1.png" alt="Symbol" /> ȧrt mȧ cheper, tue wie folgt:<br /> -Der Hau 16<span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span> <span class="fraction"><span>1</span><span>8</span></span> (Probe) <span class="fraction"><span>1</span><span>7</span></span> : 2<span class="fraction"><span>1</span><span>4</span></span> <span class="fraction"><span>1</span><span>8</span></span> <img src="images/pg032_5.png" alt="Symbol" /> (zusammen) 19.<br /> -</p> - -<p>Vom Beispiel No. 28 an kann man aber nicht mehr gut -von einem unmittelbaren Probieren reden zum Beispiel No. 32: -Es wird 1 <span class="fraction"><span>1</span><span>3</span></span> <span class="fraction"><span>1</span><span>4</span></span> multipliziert bis das Ergebnis 2 -ist, d. h. es wird x ausgeklammert und mit 1 <span class="fraction"><span>1</span><span>3</span></span> <span class="fraction"><span>1</span><span>4</span></span> in 2 dividiert.</p> - -<p>Unter den Beispielen sind einige recht komplizierte, z. B. -No. 28 und sie liefert zugleich ein Beispiel für die Schwierigkeit -der Entzifferung. Die Aufgabe lautet:</p> - - -<div class="figcenter" style="width: 600px;"> -<img src="images/pg037_2.png" width="600" height="92" alt="neb em iw ro chomt em ān met uta" /> -</div> - - -<p class="center"><span class="fraction"><span>2</span><span>3</span></span> im hinzugehen <span class="fraction"><span>1</span><span>3</span></span> im weggehen 10 sind aufzubewahren.<br /> -</p> - -<p>Gemeint ist: (x + <span class="fraction"><span>2</span><span>3</span></span>x) - <span class="fraction"><span>1</span><span>3</span></span>(x + <span class="fraction"><span>2</span><span>3</span></span>x) = 10.</p> - -<p>Die Rechnung ist falsch, das Resultat 9 ist richtig; die -Probe zeigt, wie die Aufgabe gemeint ist. Noch komplizierter -ist No. 29. Ein wahres Muster von Kompliziertheit und nicht -minder von ägyptischer Bruchrechnung sind No. 31 und 33: -Haufe sein <span class="fraction"><span>2</span><span>3</span></span>, sein <span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span>, sein <span class="fraction"><span>1</span><span>7</span></span>, sein Ganzes, es beträgt 37. Es -wird die Division mit 1 <span class="fraction"><span>2</span><span>3</span></span> <span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span> <span class="fraction"><span>1</span><span>7</span></span> ganz direkt durchgeführt.</p> - -<p>Die Aufgabe 30 übersetze ich abweichend von Eisenlohr -und Cantor:</p> - -<p>Wenn dir der Schreiber (id est Lehrer) sagt: 10 ist das -Ergebnis von <span class="fraction"><span>2</span><span>3</span></span> und <span class="fraction"><span>1</span><span>10</span></span>, lass mich den Grund hören.</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p038" id="Seite_p038">[S. 38]</a></span></p> - -<p>Um die Division von 10 durch <span class="fraction"><span>2</span><span>3</span></span> + <span class="fraction"><span>1</span><span>10</span></span> auszuführen, wird -dies zunächst mit 13 multipliziert, das gibt 9<span class="fraction"><span>29</span><span>30</span></span>; man muss dann -noch <span class="fraction"><span>1</span><span>30</span></span> dividieren und findet zum Schluss 13<span class="fraction"><span>1</span><span>23</span></span> als sogenannten -Hau.</p> - -<p>No. 35: Um die Masseinheit zu erreichen, bin ich dreimal -genommen und <span class="fraction"><span>1</span><span>3</span></span> von mir zu mir, dann bin ich zur Einheit vervollständigt. -Diese Aufgabe 3x + <span class="fraction"><span>1</span><span>3</span></span> x = 1 ist das textliche Vorbild -zu einer Menge von eingekleideten Gleichungen, die sich -noch bis heute in den Rechenbüchern finden. Die Einheit ist -das Hequatmass. Die Verteilungsaufgaben der Fruchtmasse bedurften -sämtlich einer genauen Revision, die durch <span class="gesperrt">Erman</span> 1902 -und <span class="gesperrt">Schack-Schackenburg</span> 1904 vollzogen ist.</p> - -<div class="sidenote">Arithmetische Reihe (Tunnu-Rechnung).</div> - -<p>Es folgen dann zwei Aufgaben, die als »Tunnu«-Rechnung -bezeichnet werden, zu denen sich sachlich noch Aufgaben aus -einem späteren Abschnitt gesellen, der eine Anzahl praktischer -Beispiele enthält und vielleicht einem <span class="gesperrt">zweiten</span> Schülerheft -entnommen ist. Von besonderer Bedeutung ist No. 40: -Brode 100 an Personen 5; <span class="fraction"><span>1</span><span>7</span></span> der 3 ersten an die 2 letzten Personen, -was ist der Unterschied? Die Rechnung lautet: Tue, wie -folgt: (die stehende Formel) der Unterschied 5<span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span> / 23, 17<span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span>, 12, -6<span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span>, 1 <img src="images/pg039.png" alt="Symbol" /> zusammen 60. Vervielfältige diese Zahlen 23, 17<span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span> -etc. mit 1<span class="fraction"><span>2</span><span>3</span></span>, das gibt dann 38<span class="fraction"><span>1</span><span>3</span></span>, 28<span class="fraction"><span>1</span><span>6</span></span> ... zusammen 100.</p> - -<p>Hier haben wir a) Gleichungen mit mehreren Unbekannten, -b) die arithmetische Reihe, c) unzweifelhaft regula falsi. Ist der -Tunnus d und der Anteil des letzten a, so bekommen die Personen -4d + a, 3d + a, 2d + a, d + a, a, und es ist: 9d + 3a = 7 -(d + a); also 2d = 11a; d = 5<span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span> a. Es wird nun als falscher -Ansatz a = 1 gesetzt, also d = 5<span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span> und da 100 = 60 + <span class="fraction"><span>2</span><span>3</span></span> · 60 -ist, mit dem Proportionalitätsfaktor 1<span class="fraction"><span>2</span><span>3</span></span> multipliziert.</p> - -<p>Hierhin gehört No. 64, die darauf hinausläuft eine arithmetische -Reihe von 10 Gliedern zu bilden, deren Summe 10 und -deren Differenz <span class="fraction"><span>1</span><span>8</span></span> ist. Es wird wieder zuerst das höchste, das -letzte Glied bestimmt. Wir haben aus den bekannten Formeln:</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p039" id="Seite_p039">[S. 39]</a></span></p> - -<p> -s = <span class="fraction"><span>n</span><span>2</span></span>(a + u) und u = a + (n-1)d; u = <span class="fraction"><span>s</span><span>n</span></span> + (n - 1)<span class="fraction"><span>d</span><span>2</span></span>,<br /> -</p> - -<p>d. h. also um das letzte Glied zu bestimmen, muss man den -Durchschnittswert <span class="fraction"><span>s</span><span>n</span></span> bilden und dazu (n-1) · <span class="fraction"><span>d</span><span>2</span></span> addieren, und -ganz genau so verfährt der ägyptische Rechner.</p> - -<p>Ich teile in der Mitte, gibt 1; ziehe 1 von 10 ab Rest 9, -halbiere den Unterschied: <span class="fraction"><span>1</span><span>16</span></span>, nimm es 9 mal, gibt <span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span>, <span class="fraction"><span>1</span><span>16</span></span>, lege es -hinzu zum Durchschnittswert, gibt für u 1 <span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span> <span class="fraction"><span>1</span><span>16</span></span> etc. Ja, m. H. hier -ist jeder Zweifel an der Kenntnis der allgemeinen Formeln ausgeschlossen.</p> - -<div class="sidenote">Geometrische Reihe.</div> - -<p>Und das gleiche gilt von der geometrischen Reihe. Der -fünfte und zugleich letzte Teil enthält unter No. 62–84 eine -Sammlung praktischer Beispiele, welche sich auf Landwirtschaft -beziehen, Aichung von Bierkrügen, Futterverbrauch auf dem Geflügelhof -und in Stallungen, Mehlverbrauch beim Backen, Lohnzahlung -etc. Solche Aufgaben kommen auch in Tempelrechnungen -sehr vielfach vor, denn die ägyptischen Priesterschaften -hatten wie die mittelalterlichen Klöster grosse Ausgaben um das -Volk an den Festtagen zu beköstigen. Mitten hinein schneit -dann die Aufgabe 19. Die Aufgabe war nach Eisenlohr völlig -rätselhaft. Es ist von einer Sutek (vielleicht Leiter? unsre Skala) -die Rede, deren Sprossen</p> - -<p class="center"> -7, 49, 343, 2401, 16807<br /> -</p> - -<p>sind, und bei diesen Zahlen stehen Worte, welche bedeuten: -Person, Katze, Maus, Gersten, Ähre, Mass.</p> - -<p>Eisenlohr meinte, dass dies die Namen der 5 ersten Potenzen -seien, während doch erst ganz vor kurzem bei Heron dynamo-dynamis -für die 4. Potenz konstatiert ist.</p> - -<p>Die Rechnung sieht so aus:</p> - - -<div class="center"> -<table border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" summary="Rechnung"> -<tr><td /><td /><td /><td align="right">7</td></tr> -<tr><td align="left">/.</td><td align="right">2801</td><td /><td align="right">49</td></tr> -<tr><td align="left">/..</td><td align="right">5602</td><td /><td align="right">343</td></tr> -<tr><td align="left">/...</td><td align="right">11204</td><td /><td align="right">2402</td></tr> -<tr><td align="left" style="height:1em;"><img src="images/pg039.png" alt="Symbol" /></td><td align="right">19607</td><td /><td align="right">16807</td></tr> -<tr><td /><td /><td align="right" style="height:1em;"> <img src="images/pg039.png" alt="Symbol" /></td><td align="right">19607</td></tr> -</table></div> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p040" id="Seite_p040">[S. 40]</a></span></p> - -<p>Das Rätsel hat <span class="gesperrt">Rodet</span> in der schon erwähnten Abhandlung -gelöst. Er fand dieselbe Aufgabe bei <span class="gesperrt">Leonardo Pisano</span> -um 1200 in dem epochemachenden Liber abaci, das aus Afrika -stammt, aus Bugia, einer Pisaner Handelsstation, der westlichsten -von Nordafrika.</p> - -<p>Die Aufgabe heisst: 7 Personen haben je 7 Katzen, jede -Katze frisst 7 Mäuse, jede Maus 7 Ähren Gerste, jede Ähre -bringt 7 Mass ? ist die Summe, und sie ist berechnet nach der -richtigen Formel:</p> - -<p class="center"> -<span class="fractionbig"><span>a<sup>n</sup> - 1</span><span>a - 1</span></span> - · a, da -<span class="fractionbig"><span>7<sup>5</sup> - 1</span><span>7 - 1</span></span> - = 16806 : 6 = 2801 ist<br /> -</p> - -<p class="noindent">wo also die Multiplikation mit 7 gut ägyptisch vollzogen ist und -durch Addition geprüft wird. Nicht vielleicht, wie Cantor meint, -sondern unzweifelhaft war die Summenformel der geometrischen -Reihe um 2000 v. Chr. bekannt. Wir sehen über 3000, wahrscheinlich -über 4000 Jahre hat sich die Aufgabe in den Schulen -Afrikas gehalten, ein Seitenstück zur Bruchrechnung.</p> - -<p>Aber die arithmetischen Kenntnisse der alten Ägypter -gingen noch weit darüber hinaus, was Cantor freilich auch bei -der 2. Auflage vom Dezember 1893 nicht wissen konnte. In -den von <span class="gesperrt">Griffith</span> 1897 herausgegebenen mathematischen Papyri -der Funde Petries in Kahun fand sich das erste Beispiel einer -quadratischen Gleichung.</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p041" id="Seite_p041">[S. 41]</a></span></p> - - -<h3>Die quadratische Gleichung der Ägypter.</h3> - -<p>Als Griffith die Petriepapyri 1897 herausgab, fand sich dort -das erste Beispiel einer quadratischen Gleichung auf Tafel 8 des -Papyrus. 1900 hat Schack im Berliner Papyrus 6619 ein zweites -gefunden. Der Papyrus ist vermutlich aus dem mittleren Reiche -und lautet folgendermassen: Ein ferneres | Beispiel der Verteilung -einer gegebenen Fläche auf mehrere Quadrate | wenn dir gesagt -wird | 100 Quadratellen auf zwei unbekannte Grössen zu verteilen -und | <span class="fraction"><span>3</span><span>4</span></span> der Seite der | einen Grösse für die andere | zu nehmen | -bitte gib mir | jede der unbekannten Grössen an |.</p> - -<p>Die Ausrechnung geschieht mit der regula falsi, der Verfasser -drückt sie so aus: Mache ein Rechteck von immer 1 -(d. h. also ein Quadrat) und nimm <span class="fraction"><span>3</span><span>4</span></span> | der Seitenlänge | der -einen für die andere | dies gibt <span class="fraction"><span>3</span><span>4</span></span> |. Multipliziere dies mit <span class="fraction"><span>3</span><span>4</span></span> das -gibt <span class="fraction"><span>9</span><span>16</span></span>. Wenn so die eine Grösse zu 1 die andere mit <span class="fraction"><span>3</span><span>4</span></span> genommen -ist, so vereinige diese beiden Grössen, das gibt <span class="fraction"><span>25</span><span>16</span></span>. -Nimm die Quadratwurzel daraus, das gibt <span class="fraction"><span>5</span><span>4</span></span>. Nimm die Wurzel -der gegebenen von 100 das gibt 10. Teile 10 durch <span class="fraction"><span>5</span><span>4</span></span>, der -Quozient ist 8 (Zeichen: <img class="big" src="images/pg041.png" alt="Symbol" /> auch Zeichen der Differenz). Der -Rest ist zerstört, doch ist noch soviel zu erkennen: Nimm <span class="fraction"><span>3</span><span>4</span></span> von -diesen 8 das gibt 6. Hier haben wir also</p> - -<p class="center"> -x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = 100; x : y = 1 : <span class="fraction"><span>3</span><span>4</span></span>.<br /> -</p> - -<p>Das Beispiel des Kahun Papyrus bezieht sich darauf, 120 -kubische Ellen in 10 Körper von der Höhe einer Elle so zu -zerlegen, dass die Grundflächen Rechtecke sind, deren Seiten -sich wie 1 : <span class="fraction"><span>3</span><span>4</span></span> verhalten.</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p042" id="Seite_p042">[S. 42]</a></span> - -Hier würde die Anwendung der regula falsi auf die irrationale -Quadratwurzel aus <span class="fraction"><span>3</span><span>4</span></span> führen. Der Verfasser verfährt also -ganz anders. Er geht davon aus, dass der Inhalt des Rechtecks -mit <span class="fraction"><span>4</span><span>3</span></span> multipliziert das Quadrat der grossen Seite gibt.</p> - -<div class="figleft" style="width: 140px;"> -<img src="images/pg042_1.png" width="140" height="142" alt="" /> -</div> - -<p>Die Rechnung lautet: Dividiere 1 : <span class="fraction"><span>3</span><span>4</span></span>, das gibt 1<span class="fraction"><span>1</span><span>3</span></span>, -multipliziere 12 mit 1<span class="fraction"><span>1</span><span>3</span></span>, das gibt 16, die √ ist -4, das ist die Länge der einen Seite. Nimm <span class="fraction"><span>3</span><span>4</span></span>, das -ist 3. Hier haben wir also xy = 12<span class="fraction"><span>x</span><span>y</span></span> = 1 : <span class="fraction"><span>3</span><span>4</span></span>. Man -sieht, beide Male haben wir das Dreieck 3, 4, 5 bezw. 6, 8, 10, -das also schon um 2200 den Ägyptern bekannt war.</p> - -<p>Das dritte Beispiel hat Schack 1903 aus demselben Papyrusfragment -entziffert.</p> - -<p>Es handelt sich um:</p> - -<p class="center"> -x : y = 2 : 1<span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span> und x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = 400.<br /> -</p> - -<p class="noindent">Wird dann probeweise x = 2, y = 1<span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span> gesetzt, so gibt es 6<span class="fraction"><span>1</span><span>4</span></span>, die -√ ist 2<span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span>, dies ist <span class="fraction"><span>1</span><span>8</span></span> von 20, also ist x = 16, y = 12</p> - -<p class="center"> -[16, 12, 20 ～ 3, 4, 5 ～ 8, 6, 10]<br /> -</p> - -<p class="noindent">Das Zeichen der Quadratwurzel ist dem unsrigen nicht unähnlich -<img src="images/pg042_2.png" alt="Symbol" /> To-Erdreich, Grund, auf dem etwas ruht?</p> - -<p>In Mitteilungen zur Gesch. der Med. u. Naturw. vom 18. -April 1908 p. 337 wird diese Hieroglyphe als <span class="gesperrt">Gnomon</span> erklärt, -und den alten Ägyptern damit eine Kenntnis des Quadratwurzelausziehens -nach der Formel (a + b)<sup>2</sup> supponiert. Einem -Sprachforscher von Fach wäre die äussere Ähnlichkeit, ich verweise -auf Max Müller, ein Grund das Zeichen nicht vom Gnomon -abzuleiten. Es ist bisher auch keine Spur einer Ausziehung -von Wurzeln aus Nicht-quadratzahlen bei den alten Ägyptern gefunden, -so wie die Babylonier haben sie die Quadratwurzeln (tabellarisch?) -durch Multiplikation von 1 × 1, 2 × 2 etc. gefunden.</p> - -<p>Es ist nicht unwahrscheinlich, dass der Pythagoras den -Ägyptern schon um jene frühe Zeit bekannt war.</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p043" id="Seite_p043">[S. 43]</a></span></p> - - -<h3>Geometrie.</h3> - -<div class="sidenote">Geometrie der Ägypter.</div> - -<p>Ich komme zur Geometrie, sie findet sich im Abschnitt -3 und 4 des Papyrus Ahmes, daneben ist für uns die Schenkungsurkunde -des Tempels von Edfu von Wichtigkeit, die allerdings -1500 Jahre nach Ahmes zu datieren ist; aber auch die 500 Jahre -älteren Papyri von Kahun kommen in Betracht. Vor allem -muss ich die Quadratur des Zirkels erwähnen, No. 41, No. 48 -und No. 50. Sie setzen den Kreis, der bald teben, bald paut, -bald k d heisst gleich einem Quadrat, dessen Seite <span class="fraction"><span>8</span><span>9</span></span> des Durchmessers, -d. h. sie setzten π gleich <span class="fraction"><span>256</span><span>81</span></span> = 3,1605; eine Übereinstimmung -mit dem alten indischen √10 = 3,162, die zu denken -gibt. Die Frage, wie sie zu diesem erstaunlich genauen Näherungswert -gekommen sind, scheint mir unschwer zu beantworten.</p> - -<div class="sidenote">Quadratur des Zirkels.</div> - -<p>Sie nahmen einen Zylinder mit der Höhe h und dem Durchmesser -d des Grundkreises und gossen Wasser hinein und dieses -Wasser in ein balkenartiges Gefäss mit dem Grundquadrat a<sup>2</sup>. -Das Wasser stieg bis zur Höhe η, dann hatten sie xd<sup>2</sup>h = a<sup>2</sup>η -und x = <span class="fractionbig"><span>a<sup>2</sup></span><span>d<sup>2</sup></span></span> · <span class="fractionbig"><span>η</span><span>h</span></span>, falls a = d, x = <span class="fractionbig"><span>η</span><span>h</span></span> und fanden für das Verhältnis -<span class="fractionbig"><span>η</span><span>h</span></span>, oder x den Wert <span class="fraction"><span>64</span><span>81</span></span>.</p> - -<p>Wie selbstverständlich es war, dass man das Volumen eines -Gefässes von konstantem Querschnitt seiner Höhe proportional -setzte, das kann man bei Heron lesen. Der Begriff des (rationalen) -Verhältnisses war ihnen, wie schon die Rechenaufgaben -des Ahmes zeigen, völlig geläufig.</p> - -<div class="sidenote">Volumenbestimmung.</div> - -<p>Die Geometrie beginnt mit der Bestimmung des Volumens -von Fruchtspeichern mit kreisförmiger, bezw. krummliniger und -rechteckiger Grundfläche, z. B.: Ein rundes Fruchthaus von 9 -Ellen Höhe in der grössten Ausdehnung und 6 Ellen Breite, -wieviel Getreide geht hinein? Es wird, wenn statt 9 l und statt -6 h gesetzt wird, gerechnet nach der Formel</p> - -<p class="center"> -(<span class="fraction"><span>4</span><span>3</span></span> · <span class="fraction"><span>8</span><span>9</span></span> l)<sup>2</sup> · <span class="fraction"><span>2</span><span>3</span></span> h.<br /> -</p> - -<div class="sidenote">Halbkugel.</div> - -<p>Es lässt sich mit diesen Beispielen nicht allzuviel anfangen, die<span class="pagenum"><a name="Seite_p044" id="Seite_p044">[S. 44]</a></span> -Abbildungen fehlen und alle näheren Angaben über die Beschaffenheit -der Haufen. Aber schon <span class="gesperrt">Eisenlohr</span> bemerkt: -sollte unserm Rechner die zur Bestimmung der Halbkugel nötige -Formel πr<sup>2</sup> <span class="fraction"><span>2</span><span>3</span></span> r vorgeschwebt haben?</p> - -<p>Ich komme damit auf die Berechnung der Kugel, bezw. -Halbkugel.</p> - -<p>Im ersten Hefte der Kahunpapyri auf Tafel 8 ist eine -Figur gezeichnet, die der Herausgeber der Petriepapyri Griffith -richtig umschrieben und gelesen hat, deren Deutung er aber -nicht gefunden zu haben bekennt. Er sagt, es scheint sich um -den Inhalt eines kreisförmigen Fruchthaufen zu handeln, dessen -Höhe 12 und dessen Durchmesser 8 ist. Er hat sich durch eine -Zahl 12, welche über der Figur steht, und die zur Rechnung -gehört, täuschen lassen, sonst wäre er wohl selbst darauf gekommen, -dass wir hier die Zahlenrechnung zur Ermittelung eines -halbkugelförmigen Getreideschobers von 8 Ellen Durchmesser vor -uns haben. Die Figur zeigt einen Kreis, neben dem links 8, -der Durchmesser in Ellen, steht, und in dem 1365<span class="fraction"><span>1</span><span>3</span></span> der Inhalt -zu lesen ist.</p> - - -<div class="center"> -<table border="0" cellpadding="1" cellspacing="0" summary="Berechnung"> -<tr><td colspan="3" /><td align="right">12</td></tr> -<tr><td /><td align="right">[1]</td><td /><td align="right">1365</td><td align="left"><span class="fraction"><span>1</span><span>3</span></span></td><td align="right">/</td><td align="right">1 .</td><td align="right">256</td><td colspan="3">In unserer Rechnung:</td></tr> -<tr><td /><td align="right">8</td><td /><td /><td /><td /><td align="right">2 ..</td><td align="right">512</td><td align="right">8 . <span class="fraction"><span>3</span><span>2</span></span></td><td align="right">=</td><td align="right">12</td></tr> -<tr><td /><td align="right"><span class="fraction"><span>2</span><span>3</span></span></td><td /><td align="right">8</td><td /><td align="right">/</td><td align="right">4 .</td><td align="right">1024</td><td align="right">12 . <span class="fraction"><span>4</span><span>3</span></span></td><td align="right">=</td><td align="right">16</td></tr> -<tr><td>/</td><td align="right"><span class="fraction"><span>1</span><span>3</span></span></td><td /><td align="right">4</td><td /><td align="right">/</td><td align="right"><span class="fraction"><span>1</span><span>3</span></span> .</td><td align="right">85<span class="fraction"><span>1</span><span>3</span></span></td><td align="right">16 . 16</td><td align="right">=</td><td align="right">256</td></tr> -<tr><td colspan="3">zusammen</td><td align="right">16</td><td /><td colspan="2" style="height:1em;"><img src="images/pg044.png" alt="Symbol" /></td><td align="right">1365<span class="fraction"><span>1</span><span>3</span></span></td><td align="right">256 . 5<span class="fraction"><span>1</span><span>3</span></span></td><td align="right">=</td><td align="right">1365<span class="fraction"><span>1</span><span>3</span></span></td></tr> -<tr><td>/</td><td align="right">1</td><td /><td align="right">16</td></tr> -<tr><td>/</td><td align="right">10</td><td /><td align="right">160</td><td /><td colspan="6" rowspan="2">Heute <span class="fractionbig"><span>d<sup>3</sup>π</span><span>12</span></span> = 134,041 Kubikellen = 1340,41.</td></tr> -<tr><td>/</td><td align="right">5</td><td /><td align="right">80</td></tr> -<tr><td colspan="3">zusammen</td><td align="right">256</td></tr> -</table></div> - -<p>Abgesehen von dem Fehler für π ist also der Inhalt in <span class="fraction"><span>1</span><span>10</span></span> -Kubikellen ausgedrückt. Was dieses Mass betrifft, so ist es eine -ganz natürliche Übereinheit. Das Haupthohlmass ist das Hin;<span class="pagenum"><a name="Seite_p045" id="Seite_p045">[S. 45]</a></span> -die Kubikelle = 320 Hin, die Elle = 0,526<sup>m</sup> ergibt für das Hin -0,455 Liter, 32 Hin sind 14,61 Liter, ungefähr <span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span> Scheffel. Das -Hin wurde geteilt in <span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span> <span class="fraction"><span>1</span><span>4</span></span> <span class="fraction"><span>1</span><span>8</span></span> <span class="fraction"><span>1</span><span>16</span></span> <span class="fraction"><span>1</span><span>32</span></span>, es ist also 32 Hin als Übereinheit -durchaus gerechtfertigt.</p> - -<p>Die Rechnung ist:</p> - -<p class="center"> -(d <span class="fraction"><span>3</span><span>2</span></span> . <span class="fraction"><span>4</span><span>3</span></span>)<sup>2</sup> . <span class="fraction"><span>2</span><span>3</span></span> d = <span class="fractionbig"><span>32d<sup>3</sup></span><span>12</span></span>.<br /> -</p> - -<div class="sidenote">Ausmessung eines grossen Haufens durch kleines Mass.</div> - -<p>Der Fehler bleibt unter 2%, für π ergibt sich 3,2. Dies ist -ungenauer als im Handbuch, wo π = 3,16 ist, aber <span class="gesperrt">Borchardt</span>, -der Erklärer, setzt ganz richtig hinzu: Dies Resultat ist durch -häufiges wirkliches Ausmessen solcher halbkugeligen Haufen gewonnen -worden. Dabei waren viele Beobachtungsfehler unvermeidlich. -Die mathematische Form der Haufen war kaum herzustellen, -die Hohlmasse (32 Hin) waren recht ungleich gefüllt -und endlich lassen sich von einem grossen Getreidehaufen infolge -des grösseren Druckes und dadurch veranlassten dichteren Lagerung -in seinem Innern in praxi mehr kleinere Hohlmasse füllen -als man theoretisch rein nach der Volumenvergleichung erwarten -sollte, da sich im kleineren Masse die Körner naturgemäss loser -lagern.</p> - -<p>Die Aufgabe zu ermitteln, wieviel kleine Masse sich aus -einem gegebenen grossen füllen lassen, gibt <span class="gesperrt">so</span> gefasst noch unsern -heutigen Mathophysikern Rätsel auf. Davon können Sie sich -überzeugen, wenn Sie z. B. die Correspondence <span class="gesperrt">Quetelet</span> nachlesen, -wo das Problem öfter behandelt wird. Daher ist es gar -nicht zu verwundern, dass die Ägypter sie nicht aufs Haar lösen -konnten. Ich weise aber noch auf einen Umstand hin, der mir -ganz besonders wichtig scheint: der Näherungswert 3,2 für π -passt vorzüglich für die Übereinheit 32 Hin.</p> - -<div class="sidenote">Ausmessung der Dreiecke und Trapeze.</div> - -<p>Der 3. Abschnitt des Ahmes, der eigentlich geometrische -Teil, handelt von der Ausmessung der Felder, kreisförmiger, dreieckiger, -trapezförmiger, und solcher, die in Dreiecke und Trapeze -zerlegt werden. <span class="gesperrt">Eisenlohr</span> fasst auf Grund der Autorität M. Cantors -und des grossen Ägyptologen <span class="gesperrt">Rich. Lepsius</span>, was mir<span class="pagenum"><a name="Seite_p046" id="Seite_p046">[S. 46]</a></span> -beinahe unfassbar ist, die Dreiecke und Trapeze als gleichschenklige, -und vindiziert den Ägyptern den groben Fehler, das gleichschenklige -Dreieck zu bestimmen als halbes Produkt der Grundlinie -und des <span class="gesperrt">Schenkels</span>, und das Trapez als Produkt der -Mittellinie mit dem Schenkel statt der Höhe, und diesen Fehler -sollten sie bis nach Christi, hunderte von Jahren nach Euklid -und Heron begangen haben, und <span class="gesperrt">Cantor</span> hat mit dem Starrsinn -des Alters an seiner Auffassung festgehalten, trotz der Kritik <span class="gesperrt">Revillout's</span> -in der Revue égyptologique von 1882 und der davon -ganz unabhängigen <span class="gesperrt">Borchardt's</span>, die darauf hingewiesen haben, -dass die Figuren ganz rohe Handzeichnungen sind, wie Sie z. B. -bei Nr. 48 (Figur) sich überzeugen können, wo statt des Kreises -ein rohes Achteck gezeichnet ist. Die Dreiecke sind (Figur), -wie Sie ebenfalls sehen, mindestens so gut rechtwinklig wie -gleichschenklig.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 420px;"> -<img src="images/pg046.png" width="420" height="111" alt="" /> -</div> - -<p>M. H., es ist an sich unwahrscheinlich, dass die Ägypter -solche groben Fehler begangen haben. Aus den von <span class="gesperrt">Wilke</span> -mit unendlichem Fleiss gesammelten Ostraka, d. s. im wesentlichen -Steuerquittungen auf dem billigsten Material, auf Tonscherben, -wissen wir, dass es eine eigene Steuer gab. περι γεομετριας.</p> - -<div class="sidenote">Widerlegung der Lepsius-Cantor'schen Formel.</div> - -<p>Die Ägypter besassen nachweislich im alten Reich eine -Reichsbank, sie hatten eine Plankammer, sie hatten statt des -Tabakmonopol das Ölmonopol. Jedes Fleckchen, wo ein Ölbaum -stand, wurde vermessen, jedes Stückchen Weizenland, von dem -eine Naturalabgabe für die Ernährung der Truppen erhoben -wurde, desgleichen. Sie haben von den jährlichen Nachmessungen -unter Sesostris gehört; und dann sollen solche groben -Irrtümer begangen worden sein! Ich kann Ihnen für Revillouts -und Borchardts Auffassung einen schlagenden Beweis geben;<span class="pagenum"><a name="Seite_p047" id="Seite_p047">[S. 47]</a></span> -hier sehen Sie die Figur im Codex konstantinopolitanus, der -1903 von Schöne edierten Metrica des Hero, da haben Sie zwei -Figuren zur Ableitung des sogenannten erweiterten Pythagoras. -Die Höhen sind gefällt und die Winkel der Figur weichen vom -rechten Winkel weit erheblicher ab als die des Ahmes. Man -kann gegen die Ostraka einwenden, sie stammen grösstenteils -aus der Zeit der Ptolemäer; ja, m. H. wer den Charakter der -Ägypter kennt, und nicht nur den der Ägypter, dem wird klar -sein, dass die Steuergesetzgebung so wenig wie der Totenkult -und das Erbrecht geändert werden konnte.</p> - -<p>Wenn Alexander sich zum Sohn des Amon machen liess, -so tat er es wahrlich nicht aus Grössenwahn, sondern genau so -wie vor ihm die Hyksoskönige, weil das Volk seinen Pharao nur -als Sohn des Gottes anerkannte.</p> - -<p>Und was die Steuern betrifft, als wir 1870 die elsässische -Verwaltung einrichteten, sagte der Oberpräsident von <span class="gesperrt">Möller</span> -die Fenstersteuer, das Enregistrement, das ganze Steuersystem -ist miserabel, aber wir rühren nicht daran, die Leute sind daran -gewöhnt.</p> - -<p>Cantor stützte sich bei seinem Widerstand, ich möchte sagen -ausschliesslich, auf die Schenkungsurkunde des Tempels von Edfu, -dessen Grundlegung, wie <span class="gesperrt">Dümichen</span> nachgewiesen am 23. Aug. -237 v. Chr. von Ptolemäus XI, Alexander I, Philometor genau -in der schon geschilderten Weise vollzogen ist. Die Schenkungsurkunde -nimmt einen grossen Teil der Aussenwand der östlichen -Umfassungsmauer des Tempels ein. Der gesamte Text 164 -Kolonnen ist auf 8 grössere Felder verteilt, von denen, als <span class="gesperrt">Cantor</span> -seine erste Auflage schrieb, nur die drei ersten durch <span class="gesperrt">Lepsius</span> -publiziert waren. Es werden von den Feldern von 60 Kolonnen -die Masse angegeben, z. B.</p> - - -<div class="center"> -<table border="0" cellpadding="4" cellspacing="0" summary="Rechnung"> -<tr><td align="left">22 + 23</td><td /><td align="left">4 + 4 oder 90 etc.</td></tr> -<tr><td align="left">15 + 15</td><td /><td align="left">3<span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span> + 2<span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span> <span class="fraction"><span>1</span><span>4</span></span> <span class="fraction"><span>1</span><span>16</span></span> <span class="fraction"><span>1</span><span>32</span></span> oder 47<span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span> <span class="fraction"><span>1</span><span>8</span></span> <span class="fraction"><span>1</span><span>16</span></span>.</td></tr> -</table></div> - -<p class="noindent">(nicht stimmend 47, <span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span> . <span class="fraction"><span>1</span><span>16</span></span> <span class="fraction"><span>1</span><span>64</span></span>) richtiger Wert 47,566425.</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p048" id="Seite_p048">[S. 48]</a></span></p> - -<div class="sidenote">Lepsius-Cantor'sche Formel.</div> - -<p>Lepsius hat nun gefunden, dass diese Vierecke nach der -Formel <span class="fraction"><span>a + b</span><span>2</span></span> · <span class="fraction"><span>c + d</span><span>2</span></span> berechnet wurden, wo a und b das eine Paar -Gegenseiten, c und d das andere Paar ist. Es kommen, wie es -scheint, ein ganzer Teil Rechtecke vor, ein anderer Teil sind -Trapeze, dazwischen Dreiecke, die als Vierecke, deren eine Seite 0 -ist, aufgefasst werden. In dieser Auffassung liegt soviel von -der Philosophie der Null, die hier als Grenzbegriff gefasst ist, -dass ich Cantor nicht zustimmen kann, wenn er sagt: an eine -Zahl 0 ist in keiner Weise zu denken.</p> - -<div class="sidenote">0 als Grenze.</div> - -<p>Gewiss, eine Ziffer 0 hatten sie nicht, brauchten sie auch -nicht; aber dass sie mit 0 rechneten, dass ihnen der Zahlencharakter -der Null bekannt war, samt dem Grenzbegriff und dem -sogen. Arbogast'schen Prinzip, das geht doch zur Evidenz aus -der Urkunde hervor. Als Cantor aber seine zweite Auflage -schrieb, da waren schon die übrigen 98 Colonnen durch <span class="gesperrt">Brugsch -Pascha</span> publiziert, und da stellt sich die Sache sehr anders; die -Lepsius'sche Formel, welche übrigens schon für das zweite Beispiel, -das sich bei Lepsius findet, <span class="gesperrt">nicht</span> passt, ist häufig genug nicht -angewandt. Sieht man näher zu, so bemerkt man, dass es sich -um <span class="gesperrt">angenäherte Quadratwurzelausziehung</span> handelt. -Ich habe fast alle nachgerechnet, die Fehler sind sehr gering -und alle Angaben etwas zu gross z. B. auf Tafel 6: 2 + 1<span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span>; -1 + 0 als Inhalt <span class="fraction"><span>7</span><span>8</span></span>, während der richtige Inhalt noch nicht <span class="fraction"><span>6</span><span>8</span></span> ist. -Natürlich, der König hatte ja ein Interesse daran dem Gott, oder -was dasselbe ist, seinen Priestern die Schenkung möglichst gross -darzustellen. Ich bemerke, dass nach meiner Erkundigung nicht -nur die römischen Agrimensoren, wie Cantor angibt, sondern auch -unsere heutigen, und zwar gerade diejenigen, welche über mathematische -Bildung verfügen, sich das Wurzelziehen tunlichst sparen, -indem sie z. B. für:</p> - -<p class="center"> -√<span class="sqrt">α<sup>2</sup> + ε</span> α + <span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span>·<span class="fraction"><span>ε</span><span>α</span></span> setzen.<br /> -</p> - -<p>Aus dem Text der ägyptischen Aufgabe hat <span class="gesperrt">Revillout</span> die -Unwahrscheinlichkeit der Cantor'schen Auffassung nachgewiesen,<span class="pagenum"><a name="Seite_p049" id="Seite_p049">[S. 49]</a></span> -die mit allen Traditionen des Altertums in Widerspruch steht. -Ägyptische Baumeister wurden in der ganzen Welt des Mittelmeeres -geholt, und als Augustus das römische Reich vermessen -liess, nahm er dazu ägyptische Feldmesser.</p> - -<div class="sidenote">Ägyptische Trigonometrie.</div> - -<p>Ich komme nun zu dem Bedeutsamsten und zugleich zu -dem Seltsamsten, was sich im Papyrus Ahmes (2. Schülerheft) -und, muss ich leider sagen, bei Cantor-Eisenlohr findet. Der -4. Teil des Papyrus enthält die ägyptische <span class="gesperrt">Trigonometrie</span>: -Aufgabe Nr. 56–60, Aufgabe 59 ist doppelt. In den fünf ersten -Aufgaben heisst die Pyramide, die stets quadratische Grundfläche -hat, mr (nicht smr) in der 6. Aufg. Nr. 60, die von einer viel -steileren Pyramide handelt — <span class="gesperrt">Borchardt</span> vermutet einen -Monolithen — heisst sie in. Es kommen zwei Abmessungen in -Betracht, in den Aufgaben 56–59;</p> - - -<p class="hang4">a) die Pir—m—s Pirems, woher vielleicht der Name -Pyramide.</p> - -<p class="hang4">b) die ucha—tebet.</p> - -<p class="noindent">und in Nr. 60 a) k<sup>3</sup>y —n—h r w. b) Snti: Das Verhältnis -zwischen <span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span> b : a heisst überall Sqd.</p> - -<p>Z. B. Nr. 56. Berechnung einer Pyramide. Die uchatebet -ist 360, ihre Pirems 250. Lass mich ihren Seqd wissen. Nimm -die Hälfte von 360, macht 180, dividiere mit 250 in 180 macht -<span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span> + <span class="fraction"><span>1</span><span>5</span></span> + <span class="fraction"><span>1</span><span>50</span></span> von einer Elle. Eine Elle hat 7 Spannen, multipliziere -mit 7: ihr Skd ist 5<span class="fraction"><span>1</span><span>5</span></span> Spannen.</p> - -<p>Nr. 57. Eine Pyramide, 140 ist die uchatebet, 5<span class="fraction"><span>1</span><span>4</span></span> Spannen -ihr Skd,? die Pirems. Antwort: 93<span class="fraction"><span>1</span><span>3</span></span>.</p> - -<p>Nr. 58. Pirems 93<span class="fraction"><span>1</span><span>3</span></span>, uchatebet 140,? Sqd. — Antwort: 5<span class="fraction"><span>1</span><span>4</span></span> -wiederum. Die Rechnung enthält wieder einen groben Fehler -des Schreibers.</p> - -<p>Nr. 59 a. Pirems ist 12, uchatebet 8? Sqd. Antwort -wieder 5<span class="fraction"><span>1</span><span>4</span></span>.</p> - -<p>und Nr. 59 b. Kontrollaufgabe, uchatebet gefragt, ganz verworren -abgeschrieben. Resultat 4 statt 8, wenn die eine Linie 12 -und der Sqd 5<span class="fraction"><span>1</span><span>4</span></span>.</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p050" id="Seite_p050">[S. 50]</a></span></p> - -<p>Nr. 60. Ein In von 15 Ellen an seinem Snti und 30 an -seinem k<sup>3</sup>y—n h r w. Lass mich seine Skd. wissen. Multipliziere -15; <span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span> davon ist 7<span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span>, multipliziere 7<span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span> mit 4 um 30 zu -erhalten. Sein Rhi ist 4.... Das ist sein Skd.</p> - -<p><span class="gesperrt">Eisenlohr</span> bemerkt Rhi ist unklar, was jedoch ohne Einfluss -auf die Rechnung ist.</p> - -<p><span class="gesperrt">Eisenlohr</span> und <span class="gesperrt">Cantor</span> erklären nun die Pir—m—us -als die Seitenkante und die ucha tebet als die Diagonale des -Grundquadrates, während sie durch das Koptische gezwungen -sind die Kaienharu als die Höhe und die snti als die Grundlinie -aufzufassen; sie erklären also den Sekt in den fünf ersten Aufgaben -als den Cosinus des Neigungswinkels der Kante und Grundfläche -und in der letzten als die Cotangente des Böschungswinkels!</p> - -<p>Dagegen wenden sich nun ganz unabhängig voneinander -<span class="gesperrt">Revillout</span> und <span class="gesperrt">Borchardt</span> und schon <span class="gesperrt">Weyr</span> trat ihnen bei, -beide zunächst vom Standpunkt des Steinhauers und Architekten; -beide bemerken, dass der Neigungswinkel für den Steinhauer ganz -wertlos.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 400px;"> -<img src="images/pg050.png" width="400" height="238" alt="" /> -</div> - -<p>Die Pyramide wurde in geraden Absätzen gebaut, die dann -mit mächtigen Steinplatten ausgefüllt wurden. Kannte der Arbeiter -den Böschungswinkel, der an allen Quadern derselbe, dann -konnte er jedes Stück richtig behauen; der Neigungswinkel ergab -sich dann ganz von selbst. (Figur.)</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p051" id="Seite_p051">[S. 51]</a></span> - -Eisenlohr erklärt Piremus als die aus der Säge heraustretende -und seqet leitet er von qd — ähnlich machen — ab -und übersetzt es mit Ähnlichkeit, besser wäre wohl Verhältnis. -Revillout sagt, piremus bedeutet hinausgehen in die Breite oder -aus der Breite und beides passt für die Höhe der Pyramide, -die Linie, welche die Spitze mit der Mitte der Grundlinie verbindet; -uchatebet ist die Basis, und beide Worte sind Synonyma -für Kainharu und senti. <span class="gesperrt">Cantor</span> noch in dem Brief an Weyr -und in der 2. Auflage mutet den Ägyptern die Ungeheuerlichkeit -zu zwei verschiedene Funktionen mit demselben Namen bezeichnet -zu haben. <span class="gesperrt">Revillout</span> und <span class="gesperrt">Borchardt</span> sagen, es sei stets die -Cotangente des Böschungswinkels und nun erinnern Sie sich daran, -dass Ägypten aus zwei verschiedenen Ländern mit verschiedener -Sprache zusammengewachsen ist. Synonyma sind häufig, wie wir -aus analogen Gründen die ähnliche Erscheinung im Englischen -haben. Die Pyramide heisst smr und in, der Kreis Deben und -kd, der Vater heisst <span class="gesperrt">if</span> und atef, der König bjty und hk<sup>3</sup> usw.</p> - -<div class="sidenote">Koordinaten.</div> - -<p>Die Höhe ist als Summe der Schichtenhöhen, ev. auch aus -der Schattenlänge und die Seite des Grundquadrats ganz direkt -messbar. Die Diagonale muss aber berechnet werden, und zwar -mit dem Pythagoras.</p> - -<p>Eisenlohr hat die Winkel der Pyramiden γ und β (siehe -Figur S. 50) berechnet aus</p> - - -<div class="center"> -<table border="0" cellpadding="4" cellspacing="0" summary="Berechnung"> -<tr><td>cos β</td><td align="center">entweder</td><td align="right">5<span class="fraction"><span>1</span><span>4</span></span></td><td align="left">Sp oder 5<span class="fraction"><span>1</span><span>25</span></span> und damit</td></tr> -<tr><td>cos β</td><td align="center">=</td><td align="right"><span class="fraction"><span>3</span><span>4</span></span></td><td align="left">oder = <span class="fraction"><span>126</span><span>175</span></span> = <span class="fraction"><span>18</span><span>25</span></span></td></tr> -</table></div> - -<p class="noindent">und sie stimmen so ziemlich mit den Winkeln der erhaltenen -Pyramiden, was für den, der weiss, wie oft grobe Fehler der -Schüler geringe Fehler im Resultat geben, nicht wunderbar ist.</p> - -<p>Aber Borchardt hat die Neigungswinkel aus der Cotangente -berechnet. Es sind dies Winkel von 54° 14′ 16″; 53° 7′ 48″ -(kommt 4 mal vor) und in No. 60, 75° 57′ 50″.</p> - -<p>Von diesen Neigungswinkeln gleicht der erste <span class="gesperrt">genau</span> bis -auf die Sekunde dem Winkel an der südlichen Steinpyramide<span class="pagenum"><a name="Seite_p052" id="Seite_p052">[S. 52]</a></span> -von Daschur (untere Hälfte), der zweite stimmt, ebenso haarscharf -mit dem von Petrie an Ort und Stelle gemessenen Winkel -der zweiten Pyramide von Giseh überein und der letzte ist ebenso -<span class="gesperrt">genau</span> der von Petrie 1892 nachgewiesene Winkel aus der -Mastaba von Meidum. Und dass die Werkleute wie die unsrigen -nach solchen Vorschriften, sogenannten Leeren, arbeiteten, das -zeigen die von Petrie aufgedeckten Winkelmauern an den Ecken -der Mastaba No. 17 zu Meidum.</p> - -<p>Diese Eckwinkelmauern zeigen wie die Erbauer der Mastaba -sich die anzulegende Neigung der Winkel <span class="gesperrt">genau</span> nach der in -No. 60 gegebenen Vorschrift aufgezeichnet haben. Damit ist die -Seqtfrage entschieden. Sekt ist die Cotangente, rhi vermutlich -nichts anderes als die <span class="gesperrt">Tangente</span>, die also den Ägyptern auch -schon bekannt war.</p> - -<p>Das Wort seqd aber leitet Revillout von kd — bewegen -ab und aus dem hapt — Richtscheit, das ein unentbehrliches -Werkzeug war; seine aufrechtstehende Kathete ist 1 Elle, die -untere ist in 7 Spannen und 4 Finger geteilt, und eine Schnur -wurde nach dem unteren beweglichen Punkte geknüpft und gab -dem Arbeiter damit durch den sekd unmittelbar den Winkel, -nach dem er seinen Stein zurichtete.</p> - -<p>Ein ganz entscheidendes Moment liegt aber in der Natur -der Sache; der königliche Bauherr der Pyramide der sagt einfach, -meine Pyramide soll so und so viel im Geviert haben und so und so -hoch soll sie sein, die Ausführung überlässt er seinem Architekten.</p> - -<p>Dass die Ägypter aber mit der Proportionalitäts- und Ähnlichkeitslehre -ganz vertraut waren, das zeigen ihre Abbildungen. -Sie teilten die Wand durch Linien in ein Netz von Quadraten, -ganz wie unsere Ingenieure ihr Zeichenpapier, und trugen in -die einzelnen Quadrate die Figuren in entsprechendem Massstab -ein. In dem sogenannten Grabe Belzoni zu Biban el Moluk -ist ein solches Coordinatensystem erhalten in einer unfertig gebliebenen -Grabkammer König Sety I., des gewaltigsten der Bamessiden -nächst seinem Sohne Ramses II.</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p053" id="Seite_p053">[S. 53]</a></span></p> - -<div class="sidenote">Darstellende Geometrie bei den Ägyptern.</div> - -<p>Nun zeigen die Bilder und Inschriften, ähnlich wie die -japanischen, keine Perspektive, und man nahm an, dass den -Ägyptern die Perspektive unbekannt gewesen sei. Aber vor -etwa 10 Jahren wurden in Fayum, vom trockenen Wüstensand -geschützt, eine grosse Anzahl Totenmasken, Porträts der Verstorbenen, -gefunden, allerdings aus hellenistischer Zeit, die meisten -Handwerksarbeiten, aber auch eine ganze Anzahl Kunstwerke -ersten Ranges, die unsern besten Porträts nicht nachstehen. Und -dazu noch eins, was ich Ihnen nicht vorenthalten darf, oben -auf dem Pylon des Isis-Tempels von Phile, den Ptolemeus IX. -Euergetes II. 150 v. Chr. erneuert hat an der Stelle, von wo der -Werkmeister seinen Bau am besten übersehen konnte, sind in -Stein geritzt zwei Zeichnungen erhalten.</p> - -<p>M. H. Nicht Menge, nicht Lambert, nicht Dürer sind die -Urheber der darstellenden Geometrie, hier sehen sie eine Werkzeichnung -in dem Sandstein der Plattform des Pylon, welche -Borchardt 1878 aufgenommen hat, mit beigeschriebenen Massen, -<span class="gesperrt">Grundriss</span> und <span class="gesperrt">Aufriss</span>, und noch steht die Säule, welche -genau danach gearbeitet ist.</p> - -<div class="sidenote">Résumé.</div> - -<p>Resumieren wir die ägyptische Mathematik so weit wir jetzt -davon wissen.</p> - -<p>In der Arithmetik hatten sie eine entwickelte Fingerrechnung -und Rechenbretter, auf denen sie mit Steinen rechneten, kannten -alle vier Spezies mit ganzen und gebrochenen Zahlen, wussten -mit Gleichungen 1. und 2. Grades, arithmetischen und geometrischen -Reihen Bescheid und hatten Näherungsmethoden für die -Ausziehung der Quadratwurzeln.</p> - -<p>In der Geometrie war ihre Konstruktions- oder Reisskunst -hoch entwickelt. 420 v. Chr. rühmte sich der grosse Demokrit, -dass ihn in der Reisskunst nicht einmal die ägyptischen Harpedonapten -überträfen; sie hatten eine sehr achtenswerte Quadratur -des Kreises, kannten Symmetrie und Proportion, waren mit der -Kreisteilung vertraut, hatten Ähnlichkeitslehre und Anfänge der -Trigonometrie und Elemente der darstellenden Geometrie.</p> - -<hr class="chap" /> - - - - -<h2 class="pagebreak"><small>II. Kapitel.</small><br /> -Babylonien — Assyrien.</h2> - -<p class="pagebreak"><span class="pagenum"><a name="Seite_p057" id="Seite_p057">[S. 57]</a></span> - -Ich wende mich nun dem Zuge der semitischen Völkerwanderung -folgend nach dem uralten Kulturland, zwischen den -grossen Strömen Euphrat und Tigris, zum Zweistromland, dem -mâtu Pur Pur, nach Mesopotamien, Babylonien, Assyrien. Hier -kam zu den schon für Ägypten fliessenden Quellen noch <span class="gesperrt">Berossos</span> -hinzu, und die Bibel in weit reichlicherem Masse. Berosus, ein -Babylonischer Priester des Bel der im 3. Jahre v. Chr. in -griechischer Sprache schrieb, hat sich als mit den Traditionen -seines Volkes in Mythos und Geschichte sehr vertraut erwiesen, -und es ist zu bedauern, dass von seinem grossen Werke nur -Fragmente durch Alexander Polyhistor und danach von Josephus -und Eusebios erhalten sind. Verdanken wir doch Berossos die -Kunde von dem Babylonischen Weltschöpfungsmythus, die Sintflut -eingeschlossen, der Quelle des mosaischen, eine Kunde, -welche durch die Funde von Kujundschik-Ninive so glänzend -bestätigt und erweitert wurde. Aber auch die Bibel hat sich -als eine nicht zu unterschätzende Geschichtsquelle erwiesen, und -unter dem Einfluss der Ausgrabungen in den letzten 30 Jahren ist -»Babel und Bibel« (<span class="gesperrt">P. Delitzsch</span>) zu einem Schlagwort geworden. -Aber erst im letzten Drittel des 19. Jahrhunderts gelang es durch -Entzifferung der rätselhaften Keilschrift, die Geschichte Vorderasiens -auf urkundliche Grundlage zu stellen. So bedeutend aber -die Leistungen der Schüler <span class="gesperrt">Eberhard Schraders</span> im letzten -Dezennium gewesen sind, so sagt doch einer der berufensten -unter ihnen <span class="gesperrt">P. Jensen</span>: »Ein jedes Werk von Assyriologen -auch der besten ist und wird auf lange noch vergleichbar bleiben -einem Feld mit Hopfenstangen, von denen sehr viele zwar annähernd<span class="pagenum"><a name="Seite_p058" id="Seite_p058">[S. 58]</a></span> -oder durchaus korrekt und gerade, viele aber, nach allen -Richtungen hin, schief stehen.«</p> - -<p>Im Gegensatz zu Ägypten, wo wir ein und dasselbe Volk -bis zum heutigen Tage vor uns haben, sind im Zweistromland -zwei der Rasse nach verschiedene Völker zu unterscheiden, die -beide langsam kulturell zusammengeschmolzen sind. Vom Nordosten -her, möglicherweise vom Altai und dem Pamirplateau kamen -als Nomaden in einzelnen Schwärmen die <span class="gesperrt">Sumerer</span>, ein Volk, -das bis dato für sich steht, die sich vorzugsweise in Südbabylonien -in Sumer ansiedelten, vielleicht vom Meere aus in die Mündungen -des Euphrat und Tigris eindringend. Vom Nordwesten her in -gleicher Weise die <span class="gesperrt">Semiten</span>, die sich, zugleich oder früher, -vorzugsweise in Nordbabylonien, Accad (Agade) festsetzten. -Naturgemäss mussten beide Völker zusammenstossen, und in -hin und her schwankenden Kämpfen drangen Sumerer in Accad -und Accader in Sumer ein, bis seit <span class="gesperrt">Chammurabi</span> die Sumerer -endgültig den Semiten unterlagen, die an den Beduinen Arabiens -immer frischen Nachschub hatten. Gehörte doch nach <span class="gesperrt">Ed. Meyer</span>, -welcher sich dabei stützt auf <span class="gesperrt">Ranke</span>, Early Babyl. personal names -(p. 33, Band VI, 1 des grossen Hilprecht'schen Sammelwerkes -über die Amerik. Ausgrabungen in Nippur) und noch mehr auf -die Monumente, Chammurabi selbst einem solchen frischen Schwarm -Amoriter Beduinen an.</p> - -<div class="sidenote">Sumerische Frage.</div> - -<p>Die sogen. Sumerische Frage gehörte zu den dunkelsten; -während anfangs der Siebziger die Sumerer als die Kulturträger, -die Semiten als rohe Nomadenhorden hingestellt wurden, hat -später ein so bedeutender Semitologe, wie Halévy, die ganze -Existenz der Sumerer geleugnet und ihre Schrift und Sprache -für eine Art Stenographie der Semitisch-Babylonischen erklärt. -Gestützt auf die genaue Untersuchung der ihm zugänglichen -plastischen Denkmäler, hat <span class="gesperrt">Eduard Meyer</span> in seiner Abhandlung -»Sumerier und Semiten in Babylonien« [Abh. d. Kön. Preuss. -Akad. d. W. 1906 phil-hist.] die Frage aufgehellt. An der -Existenz der Sumerischen Sprache konnte, wie Meyer mit Fug<span class="pagenum"><a name="Seite_p059" id="Seite_p059">[S. 59]</a></span> -bemerkt, nach der Auffindung der griechischen Übersetzungen -bilinguer Syllabare, das sind Listen von Schriftzeichen mit Angabe -ihrer Sumerischen und Assyrischen Silben- und Wortwerte, nicht -mehr gezweifelt werden. Man vgl. die Abhandlung von <span class="gesperrt">T. G. Pinches</span> -in den Proc. Bib. Arch. 24, p. 108 und <span class="gesperrt">A. H. Sayce</span> -ibid. p. 120, in denen die Aspiration des p, k und t durch die -Griechische Übertragung konstatiert ist.</p> - -<div class="sidenote">Sumerer und Semiten.</div> - -<p>Die Rassenfrage wurde durch die bildlichen Darstellungen -im wesentlichen auf Grund der Ausgrabungen <span class="gesperrt">de Sarzecs</span>, die -von <span class="gesperrt">Heuzey</span> vortrefflich ediert sind, und denen von Nippur, die -seit 20 Jahren ununterbrochen fortgesetzt sind, unzweifelhaft zugunsten -eines selbständigen Volks der Sumerer entschieden, wie -es <span class="gesperrt">Bezold</span>, <span class="gesperrt">Winkler</span>, <span class="gesperrt">Hilprecht</span> etc. angenommen hatten. -Abgesehen von der Kleidung, dem sumerischen Mantel und dem -semitischen bunten Plaid, sind scharfe und stereotype Unterschiede -vorhanden. Zunächst zeichnen sich die Semiten wie noch heute -durch üppig wucherndes Bart- und Haupthaar aus, während die -Sumerischen Köpfe bis auf die Augenbrauen völlig ohne Haar -sind. Die Nase ist von der semitischen scharf verschieden, ebenso -Mund, Backe und Stirn. Auch die Frauenköpfe aus Tello sehen -durchaus nicht semitisch aus. »So lehren die Denkmäler mit unwiderleglicher -Evidenz, dass es zwei verschiedene Rassen in -Babylonien gegeben hat, eine semitische [vorzugsweise] im Norden, -und eine nicht semitische [vorzugsweise] im Süden, [die Sumerer]. -Zu diesen beiden Rassen kamen dann als drittes Element die -Beduinischen Westsemiten Chammurabis, die das Haupthaar kurz -schneiden und die Lippen rasieren.«</p> - -<div class="sidenote">Anteil der Sumerer und der Semiten an der Kultur.</div> - -<p>Die dritte Frage, die von <span class="gesperrt">Meyer</span> naturgemäss nicht so -entscheidend, wie die beiden ersten beantwortet wird, ist die Frage -nach dem Anteil der beiden Rassen an der Kultur. Da hat nun -Meyer nachgewiesen, dass die <span class="gesperrt">Sumerer der Zeit Gudeas</span> -(etwa um 2600), <span class="gesperrt">ihre Götter nicht mit ihrem eignen -sumerischen Typus, sondern in Gesichtsbildung, -Bart, Haar und Gewandung als Semiten gebildet<span class="pagenum"><a name="Seite_p060" id="Seite_p060">[S. 60]</a></span> -haben</span>. Danach haben auf religiösem Gebiete die Semiten -entschieden die Führung gehabt, wenn naturgemäss auch ihre -Religion durch die der Sumerer beeinflusst ist, bis sich eine einheitliche -Religion heranbildete. Meyer glaubt die Sagen von -Gilgamesch, dem Herkules der Babylonier, der Sintflut etc. den -Semiten zuweisen zu können, während besonders die Verbindung -der Götter mit den Sternen, insbesondere die Astrologie, der -Hexen- und Dämonenglauben -sumerisch seien, der sich ja -von Babylon aus insbesondere -durch das spätere Judentum -und das Christentum über die -ganze Welt verbreitet hat.</p> - -<p>Die Semiten scheinen -auch auf dem Gebiet der Kunst -die Führenden gewesen zu sein, -und sehr früh haben sie eine -hohe Stufe der Kunst erreicht, -wie die unübertroffene Siegesstele -des Naramsin (s. u.) beweist -(vgl. Abbildung).</p> - -<div class="figcenter" style="width: 330px;"> -<img src="images/pg060.jpg" width="330" height="481" alt="" /> -<div class="caption">Siegesstele des Naramsin.</div> -</div> - -<p>Über einen Punkt aber -herrscht unter den Assyriologen -volle Übereinstimmung, -<span class="gesperrt">die Erfindung der Babylonischen -Schrift, der -Keilschrift, ist Eigentum der Sumerer</span>. Zwar ist die von -<span class="gesperrt">Hilprecht</span> als sumerisch angesprochene vorsargonische Periode -Nippurs schriftlos, und wir haben aus der Zeit wo in dieser Stadt, -dem uralten Stammesheiligtum der Babylonier, der Sumerische -Sturmgott En-lil, dessen Idiogramm später als Bel gelesen wird, -seinen Kult hatte, keine Tafeln mit Schriftzeichen gefunden, aber -der Beweis liegt darin, dass die semitischen Silbenzeichen ursprünglich -sumerische Worte bedeuten. Meyer weist mit Recht darauf<span class="pagenum"><a name="Seite_p061" id="Seite_p061">[S. 61]</a></span> -hin, dass die Semiten als Erfinder der Schrift, alle Konsonanten -ihrer Sprache bezeichnet hätten, und weist auf den entscheidenden -Einfluss hin, den die sumerische Schrift und Sprache auf das -Semitische der Babylonier für Phonetik und Satzbau geübt hat.</p> - -<div class="sidenote">Gudea und die Fürstpriester von Telloh.</div> - -<p>Durch die Ausgrabungen de Sarzecs wissen wir, dass nach -dem Tode der grossen Semitischen Fürsten Sargon und Naramsin -die Sumerer auch in Accad vorübergehend zur Macht gelangten -in dem Königreich von Sumer und Accad der Fürsten von Ur; -wir kennen durch die so erfolgreichen Ausgrabungen <span class="gesperrt">E. de Sarzecs</span> -aus wunderbaren Statuen, denen leider der Kopf fehlte (vgl. Abbildung) -und einer Reihe von Schriften, genauer Vertonungen -ihren König oder richtiger Fürstpriester, pateïssi, denn nie nennt -er sich König, <span class="gesperrt">Gudea</span>; nach <span class="gesperrt">Winkler</span> war er Vasall des -<span class="gesperrt">Urengur</span> von Ur, König von Sumer und Accad, und Gudeas -Vorgänger Urnina, Entemena etc. Ihre Residenz war Schirpurla -auch Lagasch, heute Telloh geheissen; und die Urkunden aus jenen -ältesten Zeiten sind für die Entwicklung -der Schrift ganz besonders -wichtig. Der Plan und -der Massstab Gudeas (vgl. Abb. -S. 62) ist für die Metrologie beinahe -unschätzbar; wie die p. 105 -besprochene Arbeit <span class="gesperrt">Borchardts</span> -beweist, ist er zirka 3000 Jahr in -Gültigkeit geblieben, und stimmt -nach der <span class="gesperrt">Borchardt</span>'schen Messung -mit <span class="gesperrt">Lehmanns</span> Hypothesen -(p. 106) vortrefflich.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 270px;"> -<img src="images/pg061.jpg" width="270" height="422" alt="" /> -<div class="caption">Gudea mit Plan und Massstab.</div> -</div> - -<div class="figcenter" style="width: 450px;"> -<img src="images/pg062_1.png" width="450" height="305" alt="" /> -<div class="caption">Plan der Gudeastatue, <sup>1</sup>/<sub>2</sub> der nat. Grösse.</div> -</div> - -<div class="figcenter" style="width: 420px;"> -<img src="images/pg062_2.png" width="420" height="45" alt="" /> -<div class="caption">Massstab der Gudeastatue, <sup>1</sup>/<sub>2</sub> der nat. Grösse.</div> -</div> - -<div class="sidenote">Statuen des Gudea.</div> - -<p>Durch einen merkwürdigen -Zufall ist uns jetzt auch der -<span class="gesperrt">Kopf Gudeas</span> bekannt geworden. -Der Nachfolger de Sarzecs -in den Ausgrabungen von Tello -(Sirpurla), der Kapitän <span class="gesperrt">G. Cros</span>,<span class="pagenum"><a name="Seite_p062" id="Seite_p062">[S. 62]</a></span> -fand unweit der Stelle, wo jener einen prächtig gearbeiteten Kopf -aus Diorit ausgegraben hatte, eine kleine ganz disproportionierte -Statue ohne Kopf, die laut Inschrift als die der Gudea bezeichnet -wurde, von ihm seinem speziellen Schutzgott, dem er auch den -neuen Tempel in Tello gebaut hatte, dem Ningiszida, dem Sohn -des Nin-a-zu (nach Meyer ein anderer Name für den Götterkönig -Anu, den Himmelsgott) gewidmet. <span class="gesperrt">Léon Heuzey</span>, der ausgezeichnete -Leiter der Assyrischen Abteilung des Louvre, bemerkte, -dass die Brüche des Kopfes und des Torso zu einander passten, -er setzte den Kopf auf den Torso und ohne jeden Kitt sass er -fest (vgl. Rev. d'Assyr. Bd. VI, 1907 p. 19). Dadurch besitzen -wir jetzt 4 Köpfe des Gudea, darunter der von Hilprecht in -seinem Vortrag über die Ausgrabungen im Bêl-Tempel zu Nippur -S. 52 wiedergegebene »Marmorkopf von feinster Arbeit«. Die -Köpfe tragen sämtlich die sogenannte Kappe der Sumerischen -Fürsten, die wir bei Chammurabi (s. u.) wiederfinden, und drei -davon den Turban, der also uralt sumerischen Ursprungs ist. -Die scheinbare Plumpheit und Disproportioniertheit der Körper<span class="pagenum"><a name="Seite_p064" id="Seite_p064">[S. 64]</a></span> -der Statuen aus Tello hat Heuzey m. E. sehr zutreffend erklärt. -Der Körper diente nur als Sockel für den Kopf, falls der schwer -zu bearbeitende Dioritblock für eine ganze Statue zu klein war, -und <span class="gesperrt">Heuzey</span> bemerkt sehr richtig, dass unsere Büsten mit ihrer -abgespalteten Brust den Sumerern, so sonderbar vorgekommen -waren, wie uns die ihren.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 378px;"> -<img src="images/pg063.png" width="378" height="600" alt="" /> -<div class="caption">Kopf des Gudea, Federzeichnung nach dem Funde des Cap. Cros.</div> -</div> - -<div class="sidenote">Semitische Einwanderung in Vorderasien.</div> - -<p>Und von der entgegengesetzten Seite her, wie heute ziemlich -feststeht, von Nordafrika her, drangen nomadische Semitenschwärme, -in verschiedene Volksstämme, richtiger Clane gespalten -in das reiche Zweistromland, und siedelten sich in der 13 Meridian -breiten, paradiesisch fruchtbaren Ebene an. <span class="gesperrt">Delitzsch</span> versetzt -geradezu das Paradies in die Gegend von Babylon, den Euphrat -und Tigris nennt die Bibel selbst und die beiden andern Ströme -erklärt er für Kanäle, was nicht unmöglich, da die Babylonier -für Kanal und Fluss dasselbe Wort nâru haben. An der jetzigen -grauenhaften Verödung dieses Paradieses erklärt Delitzsch die -Türken für unschuldig, und sicher haben Beduinen und Islam vor -den Türken die Versandung der Kanäle und damit die Verödung -des Landes auf dem Gewissen. Wir hegen die begründete -Hoffnung, dass die deutsche Bagdadbahn und das deutsche -Kapital in wenig mehr als einem Menschenalter die jetzige Wüste -wieder zu einem grossen Garten umgeschaffen haben wird.</p> - -<div class="sidenote">Sargon und Naramsin.</div> - -<p>Die Unterwerfung der Sumerer gelang um so leichter, als -sie keinen Grossstaat hatten, sondern nur einzelne grosse Städte, -in denen sich nach und nach die Semiten ansiedeln. Die Städte -standen unter sogenannten Fürstpriestern, Pateissi, die sich gegenseitig -unter einander befehdeten, wie wir aus den Inschriften -<span class="gesperrt">Gudeas</span> erfahren, und aus dem von <span class="gesperrt">Cros</span> vor kurzem ausgegrabenen -Bericht über die Verwüstung Tellos durch Lugalzaggissi, -den Pateissi der Nachbarstadt Gishu, bis sie unter die Oberherrschaft -Semitischer »Grosskönige« gerieten, wie Tello unter die -des grossen Semitenfürsten <span class="gesperrt">Sargon I.</span>, Besitzer von Argade -(Accad), der von Nordbabylonien, dem Lande Accad aus, auch -Südbabylonien (Sumer) unterwarf. Sargons und seines ebenfalls<span class="pagenum"><a name="Seite_p065" id="Seite_p065">[S. 65]</a></span> -bedeutenden Sohnes <span class="gesperrt">Naramsin</span> Existenz war lange sagenhaft, -— die Moses-Mythe wird auch von Sargon erzählt — bis Nabonahid -und die Funde der Amerikaner in <span class="gesperrt">Nippur</span>, dem Sitz -eines uralten Tempels des Bêl, ihre historische Existenz bewiesen. -Dort ist sogar der Stempel des Sargon (vgl. Abb.) mit seinen -altertümlichen Schriftzeichen gefunden worden.</p> - -<div class="figright" style="width: 240px;"> -<img src="images/pg065.png" width="240" height="336" alt="" /> -</div> - -<p><span class="gesperrt">Nabonahid</span>, der letzte König von Babylon, war das, was -wir heute einen Romantiker nennen würden, seine Interessen -wurzelten in der Vorzeit, er wollte den uralten Dienst des Schamasch, -der Sonne, und des Sins, des Mondes, wiederherstellen -und geriet so in Konflikt mit der mächtigen Priesterschaft des -Marduk-Bel in Babylonien, deren Unterstützung -Cyrus mehr für seinen Erfolg verdankte -als der Macht seiner Waffen. Im -Grundstein des Tempels von Sippar, den -Nabonid erneuern wollte, fand er die Urkunde -Naramsins, des Sohnes des Sar-u-ukin. -Die Gelehrten des Königs berechneten nach -den Königslisten die Regierungszeit des -Naramsin auf 3200 Jahre früher, wodurch -Sargon auf 3800 v. Chr. gerückt wurde, und -mit ihm Gudea. Trotz mancher Bedenken, -welche gegen dieses hohe Alter geltend -gemacht wurden, insbesondere von <span class="gesperrt">H. Winkler</span> und <span class="gesperrt">C. F. Lehmann</span>, -nahm doch noch <span class="gesperrt">Bezold</span> 1903 diese Daten als richtig -an. Aber der Fund der neuen Königsliste von Nippur, aus dem -Ende des 3. Jahrtausend der Schrift nach, durch <span class="gesperrt">Hilprecht</span> -1906 im XX. Bd. der Berichte publiziert und interpretiert, bewies, -dass Lehmann mit seiner Vermutung, dass die Gelehrten des -Nabonid sich um etwa 800 Jahre geirrt hatten, im Recht war -und die neue Chronologie von <span class="gesperrt">L. W. King</span> (Chronicles conc. -early Babyl. kings 2 vol 1907) setzt Sargon von Akkad auf -2500 v. Chr. auf Grund der Arbeiten <span class="gesperrt">H. Rankes</span>.</p> - -<div class="sidenote">Babylonisch-Assyrische Chronologie.</div> - -<p>Über die Chronologie sei gleich hier bemerkt, dass der Hang<span class="pagenum"><a name="Seite_p066" id="Seite_p066">[S. 66]</a></span> -der Babylonier zum genauen Datieren, insbesondere auch die zahllosen -Geschäftsurkunden, die wir von Gudea bis Nabonid besitzen, -uns über die Chronologie der Assyrer weit besser als über die -der Ägypter unterrichtet haben. In Kürze werden uns die Ausgrabungen, -besonders die der Pennsylvania Universität in Nippur -bis ins 4. Jahrtausend hinein eine völlig gesicherte Zeitfolge der -Geschichte gewähren, von Chammurabi bis Kyros, von 2000 bis -539 steht sie schon jetzt auf sicherem Boden. Vom 15. Jahrhundert -bis zum Jahr 1000 können wir uns auf die sogen. <span class="gesperrt">synchronistische</span> -Geschichte stützen. Nach <span class="gesperrt">H. Winkler</span> (die -Keilinschr. u. das alte Test. 3. Aufl. 1903 p. 47) ist es ein Dokument, -in welchem <span class="gesperrt">Adad-nirari</span> III. von Assyrien (812–783) die -Vereinigung Assyriens und Babyloniens als im Interesse beider -Völker hinstellt, nach <span class="gesperrt">Bezold</span> ein Staatsvertrag beider Länder. -Jedenfalls wird darin in Kürze die Geschichte beider Länder -chronologisch erzählt. Die synchron. Geschichte ist immerhin -nicht ganz einwandfrei, sie enthält gewissermassen den persönlichen -Fehler Adad-niraris. Von diesen sind für Assyrien die -<span class="gesperrt">Eponymenkanones</span>, für Babylonien die <span class="gesperrt">Königslisten</span> -frei. Das Jahr wurde von Adad-nirari II., etwa um 900 an, zunächst -nach dem die Regierung antretenden Herrscher und dann -der Reihe gemäss, nach den höchsten Beamten benannt, wie in -Athen nach den Archonten. Beide Listen sind Chroniken zum -Zweck genauer Datierung von Rechtshandlungen. Die Vergleichbarkeit -des Kanons mit unserer Zeitrechnung wurde möglich -durch Erwähnung der Sonnenfinsternis im Monat Sivan bei Gelegenheit -eines Aufstands gegen Assur-daja. Die Astronomische -Berechnung ergab den 15. Juni 763. Eine weitere Kontrolle -ergab dann der völlig zuverlässige Kanon des grossen Astronomen -Ptolemaios (vgl. Hellas), der uns hilft bis zur <span class="gesperrt">Seleuciden</span>-Ära -(Berossos), deren Beginn zwischen 312 und 311 schwankt -und die Arsaciden-Ära von 248, welche neben der Seleucidenära -hergeht.</p> - -<p>Die Semiten überschwemmten ganz Westasien, längs der<span class="pagenum"><a name="Seite_p067" id="Seite_p067">[S. 67]</a></span> -Küste des Mittelmeeres zogen die Phönizier, besser Kanaanäer, -zu denen die Chabiri, die wir jetzt als Hebräer bezeichnen, gehören, -die, wie es scheint, noch im Anfange der historischen -Zeit nicht sesshaft waren, und erst zur Zeit Chinatôns ihre -Stammesgenossen angriffen.</p> - -<p>Arvat, Byblos und vor allem Sydon und Tyrus sind Städte -der Phönizier. Die zweite Sammelgruppe der Beduinenschwärme -bilden die Aramäer, mit dem Hauptzweig der Syrer, die südlich -von den Kanaanäern hielten und sich weit nach Norden und Osten -vorschoben. Hier kam es nur in Damaskus, der alt berühmten -noch heute blühenden Handelsstadt zu einer Staatenbildung. Am -ausgedehntesten war die Wanderung des an Zahl stärksten dritten -Zweiges, der Babylonier und Assyrer, die sprachlich und genealogisch -nahe verwandt sind. Doch sind nach den Abbildungen die -Babylonier weit stärker mit den Sumerern blutgemischt als die -Assyrer.</p> - -<div class="sidenote">Geschichte der Babylonier und Assyrer.</div> - -<p>Die Assyrer sind sprachlich und auch dem Rassentypus -nach mit den Babyloniern so nahe verwandt, dass die Annahme -ihrer Abzweigung von diesen, etwa um 1150, nach einem siegreichen -Einfall der Elamiten, sehr wahrscheinlich ist. Sie waren -ein Krieger- und Herrenvolk, das den Priestern einen weit geringeren -Einfluss einräumte als die Babylonier. Ihre Kämpfe, -wie die der Babylonier, gelten, wie leicht begreiflich ist, dem -Bestreben, sich die grossen Handelsstrassen nach Indien und -nach dem Kulturzentrum, dem Mittelmeerbecken offen zu halten. -Wird ihnen, durch das Aufkommen einer nicht semitischen -Grossmacht ein Handelsweg im Westen verlegt, so erkämpfen sie -sich einen neuen im Osten. Sehr bald gingen sie gegen Babylonien -aggressiv vor, und der grausame aber tüchtige <span class="gesperrt">Assurnassirpal</span> -bringt Babylon völlig unter seinen Einfluss. Der eigentliche Begründer -der Assyrischen Weltmacht <span class="gesperrt">Tiglat Pileser</span> III. besteigt -dann 744 unter dem Namen Pulu (Phul der Bibel) den -Thron Babels und nennt sich König von Sumer und Accad. -Diese Glanzzeit Assyriens hält unter Sargon II. und seinem<span class="pagenum"><a name="Seite_p068" id="Seite_p068">[S. 68]</a></span> -Sohn <span class="gesperrt">Sanherib</span> an, aber kurz nachdem Sanherib Babylon -zerstört hatte (689) und nach der erfolgreichen Regierung <span class="gesperrt">Assurbanipals</span> -(Sardanapal) wird auch Ninive, die Residenz seit -Sanherib von den Medern unter Kyaxares zerstört und zwar -weit gründlicher als Babel.</p> - -<p>Bis an die Hochebene Mediens in Nordosten, Elams oder -Susa in Südosten, im Süden bis an die Sümpfe der Mündung -des Euphrat und Tigris in den persischen Busen drangen die -Semiten, auch hier zunächst kein Grossstaat, sondern Städte, die -das Stammesheiligtum bargen als Zentren des Kultus, des Marktverkehrs -und Sitz der Fürsten. Nach Agade und Sirpurla nenne -ich Kis, Ur (deren Fürsten sich seit <span class="gesperrt">Urengur</span> Könige der vier -Weltgegenden nannten und Nordbabylonien in Abhängigkeit -brachten), Nippur, Larsam und Babel, die mehr oder minder -zentrale Bedeutung gewannen bis Chammurabi (vielleicht der Amraphel -der Bibel) Babel zur Hauptstadt des Grossstaats Babylon -machte, der nun Nordbabylonien (Accad) und Südbabylonien -(Sumer) durch Eroberung von Larsam im Süden und Absetzung -des dortigen Königs einte.</p> - -<p>Babel war eigentlich eine Doppelstadt, an einem Ufer Babel -— das Tor Gottes, am andern Borsippa (Birs) — die Stadt -des Mondgottes Sin, dessen Kult in Sumer, insbesondere in Ur -blühte, während in Nordbabylonien der Dienst der Sonne (Schamasch -und Marduk) in den Vordergrund trat.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 471px;"> -<img src="images/pg069.jpg" width="471" height="600" alt="" /> -<div class="caption">Ḫammurabi empfängt von Schamasch seine Gesetze.</div> -</div> - -<div class="sidenote">Chammurabi.</div> - -<p>Wir kennen <span class="gesperrt">Chammurabi</span> wie wenige Fürsten des Altertums, -und wenige Regenten dürften ihn in alter und neuer Zeit an -Kraft und Weisheit, und wenn wir seinen Gesichtszügen (s. Abb.) -und den zahlreichen Rechtsschriften Glauben schenken, auch an -Gerechtigkeit und Milde übertroffen haben. Was er für die Stadt -Babel getan, berichtet er uns selbst sumerisch und babylonisch: -»Chammurabi, der mächtige König, der König von Babylon, der -König der vier Weltgegenden, der Begründer des Landes, der -König, dessen Taten dem Fleische des Gottes Schamasch und -des Gottes Marduk wohltun, bin ich. Die Spitze der Mauer von<span class="pagenum"><a name="Seite_p069" id="Seite_p069">[S. 69]</a></span> -Sippar habe ich mit Erdreich wie einen Berg erhöht, mit Rohrgeflecht -habe ich sie umgeben. Den Euphrat grub ich ab gen -Sippar zu und liess einen Damm dafür aufwerfen. Chammurabi, -der Begründer des Landes, dessen Taten etc. wohltun, bin ich. -Sippar und Babel habe ich auf immerdar zu behaglichen Wohnstätten -gemacht. Chammurabi, der Günstling des Gottes Schamasch, -der Liebling des Gottes Marduk bin ich. Was seit uralten -Tagen kein König dem Herrn der Stadt (dem Schutzgott)<span class="pagenum"><a name="Seite_p070" id="Seite_p070">[S. 70]</a></span> -gebaut hat, das habe ich für Schamasch, meinen Herrn, grossartig -ausgeführt.«</p> - -<div class="figcenter" style="width: 281px;"> -<img src="images/pg070.jpg" width="281" height="420" alt="" /> -<div class="caption">Chammurabi.</div> -</div> - -<div class="sidenote">Codex des Ḫammurabi.</div> - -<p>Hatte <span class="gesperrt">C. Bezold</span> in Ninive und Babylon schon <span class="gesperrt">Chammurabi</span> -in der eben zitierten Weise gewürdigt, so wurde die Gestalt -dieses grossen Fürsten in noch weit helleres Licht gerückt -durch die Erfolge der französischen Ausgrabung unter <span class="gesperrt">G. de -Morgan</span> in Susa, der Hauptstadt von Elam. In drei Stücken -wurde dort im Dezember 1901 und Januar 1902 die Standsäule -mit der Gesetzsammlung Ḫammurabis -gefunden, welche 1903 -von <span class="gesperrt">V. Scheil</span> zum ersten Male -ediert und in französischer Sprache -erklärt wurde und 1904 von -<span class="gesperrt">H. Winkler</span> deutsch und von -<span class="gesperrt">R. Harper</span> englisch ebenfalls -1904, und vom juristischen Standpunkt -von <span class="gesperrt">J. Köhler</span> und <span class="gesperrt">E. Peiser</span> -1904. Der Codex Hammurabis -steht auf einer ethischen -Höhe, welche dem mosaischen -vom Sinai nichts nachgibt, und -ist das erste uns erhaltene Corpus -juris. Sie genoss, Winkler -zufolge, viele Jahrhunderte das -höchste Ansehen — wie die Gesetze -des Moses sind sie von Gott -gegeben, das Bild der Säule zeigt, -wie der König die Gesetze von Schamasch empfängt, leider ist das -Antlitz des Königs, der Kappe und Stab trägt, verstümmelt, der -Sonnengott ist mit <span class="gesperrt">Turban</span> und Faltenrock bekleidet — sie hat -das griechische Recht, dieses das römische und dieses das unsrige -in hohem Grade beeinflusst. Die Strafe ist natürlich wie bei -den Hebräern und Römern Vergeltung, bei Sittlichkeitsvergehen -Abschreckung. Im Zivilprozess spielt der Eid, grade wie bedauerlicherweise<span class="pagenum"><a name="Seite_p071" id="Seite_p071">[S. 71]</a></span> -noch heute, eine hervorragende Rolle. Die -Sammlung weist der Frau eine rechtliche Stellung an, welche -sie noch heute in der Türkei nicht errungen hat, sie schränkt -die väterliche Gewalt, ich nenne nur § 168, die Ausweisung des -Sohnes betreffend, erheblich ein, und das Erbrecht ist in sehr zu -billigender Weise geregelt, denn auch hier ist die Frau und die -Tochter geschützt. Das Handelsrecht hat er wohl kaum modifizieren -können, denn das war ja zugleich international, aber -das sogenannte Sumerische Familienrecht zeigt, dass dieser -Schutz der weiblichen Familienglieder so recht dem eigenen -Sinn des grossen Königs entsprungen ist. Und so können -wir den Worten, mit denen er auf der Säule sich seiner -Taten nach orientalischer Sitte rühmt — Einleitung und -Schluss — wohl Glauben schenken. Die Stele kam nach Susa -als Trophäe zugleich mit anderen wichtigen steinernen Urkunden -im 12/11 Jahr v. Chr., als die Elamiten unter Sutruk-Nahunte -Sippar und Babylonien erobert hatten. Es sei hier auch erwähnt, -dass von dem Kampfe Abrahams zur Befreiung Lots -auch eine Urkunde Chammurabis berichten soll. Die Stele mit -der Gesetzsammlung zeigt am Anfang das Relief, welches die Übergabe -des Codex an den König durch Schamasch schildert, das -Relief ist verstümmelt; (Abbild. S. 69) die Legende ist um so -deutlicher.</p> - -<div class="sidenote">Babylonisch-Assyrische Kultur.</div> - -<p>Die Geschichte Babyloniens und Assyriens kann ich hier -nicht erzählen, sie ist z. T. in der Bibel und bei Herodot und später -bei Arrian, Diodor, und vor allem bei Berossos etc. wenigstens -von 2000 ab erzählt; sie ist jetzt bis 4000 v. Chr. so ziemlich -aufgehellt; sie wurde in grossen Zügen durch die verschiedenen -Schichten der einwandernden nomadischen Semitenschwärme und -durch die geographische Lage im einzelnen bedingt. Nach Westen -und Südosten Kämpfe mit den Aramäern und weiter nördlich -mit den Kanaanäern, Phöniziern und Hebräern, die an dem nahen -Ägypten Rückendeckung hatten. Im nördlichen Syrien auch -Kämpfe mit dem uralten vermutlich von Kappadocien her eingedrungenen<span class="pagenum"><a name="Seite_p072" id="Seite_p072">[S. 72]</a></span> -vielleicht indogermanischen Stamm der Cheti oder -Hetiter, die sich später mit den Hebräern vermischt haben und -mit den Mitani, die noch ziemlich rätselhaft sind. Im Norden, -Osten oder Südosten ist es die indogermanische Wanderung, die -unausgesetzt das babylonisch-assyrische Reich bedroht; im Norden -zusammengefasst als Skythen, im Osten die Meder, in Südosten -die Elamiter mit der Hauptstadt Susa. Im Süden wieder -hemmten die Chaldäer, die im sogenannten neubabylonischen -Reiche nach jahrhundertelangen Kämpfen schliesslich die Herrschaft -an sich rissen. Und hinter den Medern und Elamitern -wieder Indogermanen, deren bedeutsamster Stamm, die Perser, -das ganze babylonische Reich zerstörten.</p> - -<div class="sidenote">Grotefend und die Entzifferung der Keilschrift.</div> - -<p><span class="gesperrt">Die Erschliessung der babylonisch-assyrischen -Kultur</span> verdanken wir in erster Linie dem Lehrer am Gymnasium -zu Göttingen: <span class="gesperrt">Georg Friedrich Grotefend</span>. Aus den Ruinen -von Persepolis, der von Alexander dem Grossen in der Trunkenheit -in Brand gesteckten Hauptstadt Persiens, waren im Laufe der -Zeit einige Inschriften in eigentümlichen keilförmigen Zeichen bekannt -geworden, und <span class="gesperrt">Carsten Niebuhr</span>, der Vater des berühmten -Historikers hatte 1770 äusserst sorgfältige und ausführliche Kopien -mitgebracht, welche die allgemeine Aufmerksamkeit auf die Keilschrift -lenkten; er hatte auch schon bemerkt, dass die Inschriften -drei verschiedenen Schriftsystemen angehörten und von links nach -rechts zu lesen waren. Zufällig wurde Grotefend auf einem -Spaziergang im Juli 1802 veranlasst, sich mit der Entzifferung zu -beschäftigen und schon am 4. September 1802 legte er die Resultate -seiner Forschung der Göttinger gelehrten Gesellschaft vor. Er -ging davon aus, dass die in drei verschiedenen Keilschriften und -also auch wohl in drei verschiedenen Sprachen verfassten Inschriften -von den Erbauern der Paläste, den persischen Achämeniden -Darius, Xerxes, Artaxerxes etc. herrührten; dass also -vermutlich die erste der drei Sprachen die persische, dass die -Texte wahrscheinlich auch die Namen der Könige enthielten, -dass endlich die Schrift des ersten Systems wegen der geringen<span class="pagenum"><a name="Seite_p073" id="Seite_p073">[S. 73]</a></span> -Anzahl der Zeichen eine Buchstabenschrift sein musste; danach -verglich Grotefend die ihm aus der Bibel und den Klassikern -und aus der Zendsprache in den heiligen Büchern Zarathustras -bekannten Namen dieser Könige auf ihre Länge und die Wiederkehr -gewisser Zeichen und kam zu folgendem Schluss: Eine -häufig wiederkehrende Gruppe von Zeichen musste König oder -verdoppelt König der Könige bedeuten, und in den dieser Gruppe -vorangehenden Zeichen war der Name des Königs enthalten; so -fand er Darius oder vielmehr die altpersische Form Dārheūsch, -und ein zweiter Name liess sich als Xerxes-Khschêrsche, ein -dritter als Hystaspes-Gôschtaspähe deuten und ebenso bekam er -das Wort Sohn heraus. Die Göttinger gelehrte Gesellschaft -verfuhr mit der Abhandlung Gr. ähnlich wie die dänische mit -der Kaspar Wessels über die geometrische Darstellung der -Complexen Zahlen und die Pariser Akademie mit <span class="gesperrt">Abels</span> grösster -Arbeit: sie lehnte es ab, die Abhandlung zu veröffentlichen. -»Erst neunzig Jahre später (1893) ist seine Originalabhandlung -von Prof. Wilhelm Meyer in Göttingen wieder aufgefunden und -in den »Gelehrten Nachrichten« der Akademie veröffentlicht -worden.« (<span class="gesperrt">H. V. Hilprecht</span>, die Ausgrabungen in Assyrien und -Babylonien 1904).</p> - -<p>Aber die Entdeckungen Grotefends wurden vor dem Schicksal -der Wessel'schen und Abel'schen bewahrt, dadurch dass sie Aufnahme -fanden in das s. Z. epochemachende Werk von <span class="gesperrt">A. Heeren</span>, -Ideen über Politik, den Verkehr und den Handel der alten -Welt 4. Aufl. I, 2 S. 345. So war die Grundlage geschaffen, -auf der dann die anderen, ich nenne <span class="gesperrt">Benfey</span>, <span class="gesperrt">Hinks</span>, <span class="gesperrt">Oppert</span>, -<span class="gesperrt">Spiegel</span> weitergebaut haben, so dass jetzt die bisher bekannten -derartigen Texte, mit voller Sicherheit gelesen werden.</p> - -<p>In der zweiten Schrift entdeckten <span class="gesperrt">Norris</span> und <span class="gesperrt">Oppert</span> -eine aus Silbenzeichen und einigen Wortzeichen konstruierte Schrift, -in der, wie heute feststeht, die susische oder elamitische Sprache -ausgedrückt wurde; sie enthält gegen 100 Zeichen.</p> - -<p>Weit grössere Schwierigkeit bot das dritte System, das über<span class="pagenum"><a name="Seite_p074" id="Seite_p074">[S. 74]</a></span> -300 verschiedene Keilschriftzeichen enthielt. Die Entzifferung -war schwer möglich und sie gelang Grotefend nicht. Da entdeckte -<span class="gesperrt">James Rich</span>, ein geborener Franzose, aber Resident der ostindischen -Kompagnie in Bagdad im Jahre 1820–21 gegenüber -der blühenden Handelsstadt Mossul (Musselin) auf dem linken -Tigrisufer die Ruinen von Ninive und fand zahlreiche Inschriften -des dritten Systems. Bemerkenswert ist es, dass schon im 12. -Jahrhundert der spanische Rabbi <span class="gesperrt">Benjamin von Tudela</span> -den Ort von Ninive bestimmt bezeichnete.</p> - -<p>Fast gleichzeitig wurde die sogenannte grosse Dariusinschrift, -eine sehr lange dreisprachige Inschrift am Felsen von Behistun, -einer 100 Meter steilen Felswand, an der Grenze des alten Mediens -gefunden und 1835 von <span class="gesperrt">Henry Rawlinson</span> vermittelst -hoher Leitern auf ungeheueren Papierabklatschen aufgenommen -unter grosser Lebensgefahr —, man nennt die Dariusschrift den -Babylonischen Stein von Rosette —. Von nun ab wuchs die Menge -der ausgegrabenen Inschriften rapide, besonders durch die Arbeiten -von Sir <span class="gesperrt">Henry Layard</span> und <span class="gesperrt">Rassam</span>, im Auftrage -des British Museum, in Nimrud, 25 Kilometer von Mossul, die -alte Residenz <span class="gesperrt">Kelach</span>.</p> - -<div class="sidenote">Die wichtigsten Ausgrabungen.</div> - -<p>Im Jahre 1881 entdeckte <span class="gesperrt">Hormuz Rassam</span> die Ruinen -von Sippar. R. hatte schon 1878 in Balawat, die für die assyrische -Kunst- und Kulturgeschichte gleich wichtigen Bronzetüren -Salmanassars II. gefunden. Von grösster Bedeutung sind -die Ausgrabungen der Franzosen in Tello gewesen, schon dadurch -dass die wunderbaren Funde <span class="gesperrt">E. de Sarzecs</span> Franzosen, Engländer, -Amerikaner, Deutsche, ja selbst die hohe Pforte zu -weiteren Arbeiten anspornte. Vor de Sarzec hatten schon im -Auftrage der französischen Regierung <span class="gesperrt">Botta und Place</span> in -Korsabad den Palast Sargons II. gefunden und mit Glück gearbeitet, -und den Grund zu der grossen Sammlung im Louvre -gelegt.</p> - -<p><span class="gesperrt">De Sarzecs</span> »Découvertes en Chaldée« von <span class="gesperrt">Léon -Heuzey</span> 1868 auf Kosten der Regierung herausgegeben, wie<span class="pagenum"><a name="Seite_p075" id="Seite_p075">[S. 75]</a></span> -schon die Prachtwerke, welche über Bottas und Places Arbeiten -berichteten: Monument de Ninive découvert et décrit par <span class="gesperrt">E. Botta</span>, -mesuré et dessiné, par <span class="gesperrt">E. Flandin</span>, Paris 1846–50 und <span class="gesperrt">V. -Place</span>, Ninive et l'Assyrie 1866–69, haben der modernen Assyriologie -den stärksten Impuls gegeben. Die Franzosen setzen die Ausgrabungen -von Tello bis heute fort, daneben hat die Expedition nach -Elam (Susa) unter <span class="gesperrt">De Morgan</span>, deren Resultate der hochverdiente -<span class="gesperrt">V. Scheil</span> mitgeteilt hat, u. a. den Kodex des Chammurabi -aufgefunden. Die Engländer ihrerseits haben fleissig unter -Budge und King in Kujundschik, das Layard seinerzeit den -Franzosen weggenommen, gearbeitet. Die <span class="gesperrt">Deutsche Orientgesellschaft</span> -arbeitet seit 1899 unter <span class="gesperrt">R. Koldwey</span> und <span class="gesperrt">L. Borchardt</span> -mit grossem Erfolg in Babylon und besonders in -Assur. Aber mit den Riesensummen, welche der Staat Pennsylvanien -und seine Universität Philadelphia auf die Ausgrabungen -in Nippur verwandt hat, ist keine Konkurrenz möglich. Von den -Leitern <span class="gesperrt">J. P. Peters</span>, <span class="gesperrt">H. V. Hilprecht</span>, <span class="gesperrt">J. H. Haynes</span> ist -besonders der Deutsche Hilprecht der eigentliche Assyriologe, -unter dessen Leitung die Excavations in Assyria and Babylonia -die Resultate der seit 1879 bis jetzt fortgesetzten Ausgrabungen -der Mit- und Nachwelt zugänglich machen.</p> - -<div class="sidenote">Die Keilschrift.</div> - -<p>Es gelang vier grossen Forschern <span class="gesperrt">Rawlinson</span>, <span class="gesperrt">Oppert</span>, -<span class="gesperrt">De Saulcy</span> und dem scharfsinnigen Irländer <span class="gesperrt">Hinks</span> die -dritte Schrift und die Sprache zu entziffern. Die Schrift war -eine Verbindung von Wort und Silbenzeichen, die Sprache eine -der arabischen und hebräischen nahe verwandte, es war die -babylonisch-assyrische Sprache. Die Schrift war ursprünglich -eine ziemlich rohe Bilderschrift, zeigt aber schon in ihren ältesten -Formen das Bestreben, Bogen durch Striche zu ersetzen, aus -denen sich dann die Keilschrift entwickelte. So sind z. B. die -ältesten Formen für »Stern«, »Sonne«, »Rohrpflanze«:</p> - -<p class="center"> -<img class="big" src="images/pg075_1.png" alt="Symbol" /> für <img class="big" src="images/pg075_2.png" alt="Symbol" />, später <img class="big" src="images/pg075_3.png" alt="Symbol" /> -</p> - -<p class="noindent"><span class="pagenum"><a name="Seite_p076" id="Seite_p076">[S. 76]</a></span> - -und weiterhin vereinfacht:</p> - -<p class="center"> -<img class="big" src="images/pg076_1.png" alt="Symbol" /> -</p> - -<p class="noindent">und analog haben sich aus den Bildern <img class="big" src="images/pg076_2.png" alt="Symbol" /> für Fuss und -Weib die betreffenden Keilschriftzeichen entwickelt.</p> - -<p>Diese Keilschriftzeichen lassen sich im wesentlichen auf drei -Grundelemente: den horizontalen Keil <img class="big" src="images/pg076_3.png" alt="Symbol" />, den vertikalen Keil <img class="big" src="images/pg076_4.png" alt="Symbol" /> -und den schrägen Keil <img class="big" src="images/pg076_5.png" alt="Symbol" /> zurückführen, selten sind die umgekehrten -Keile, der Winkelhaken <img class="big" src="images/pg076_6.png" alt="Symbol" /> ist wohl aus Vereinigung zweier Keile -hervorgegangen. Die Keile konnten durch Wiederholung, Neben- -und Übereinanderstellung und Kreuzung zu den mannigfachsten, -oft äusserst komplizierten Gruppen vereinigt, sowohl Worte als -Silben im Assyrischen bezeichnen. Dabei zeigte sich aber eine -anfangs äusserst rätselhafte Erscheinung, die sogenannte Polyphonie. -Dasselbe Zeichen bedeutet sehr oft ein oder mehrere -Worte und daneben noch ein oder mehrere Silben. So bedeutet -das Zeichen <img class="big" src="images/pg076_7.png" alt="Symbol" /> nicht nur »Stern«, assyrisch Kakkabu, sondern -auch Himmel schami und Gott ilu und hatte die Silbenwerte -an und il. Das Zeichen <img class="big" src="images/pg076_8.png" alt="Symbol" /> hatte nicht nur die Wortbedeutungen -»Land« (matu) »Berg« (schadu), erreichen, erobern -Kaschādu; aufgehen (von der Sonne, napāchu), sondern konnte -auch ausserdem als Silbenzeichen in seinen verschiedenen Zusammenstellungen -mit andern Zeichen noch kur, mad, mat, schad, -schat, lat, nad, nat, kin oder gin gelesen werden.</p> - -<p>Das Rätsel löste sich mit einem Schlage als <span class="gesperrt">Rawlinson</span> -aus einer Anzahl sehr alter Keilschrifttexte eine neue Sprache -in genau derselben Schrift entdeckte, die Sprache der Sumerer.</p> - -<p>Die Beduinenhorden der Babylonier hatten sich mit dem -Lande zugleich der <span class="gesperrt">Schrift</span> der Sumerer bemächtigt, <img class="big" src="images/pg076_9.png" alt="Symbol" /> -der Himmel hiess sumerisch an, hoch und wurde im Babylonischen -Zeichen für den Begriff Himmel und für die Lautsilbe an, Wortzeichen<span class="pagenum"><a name="Seite_p077" id="Seite_p077">[S. 77]</a></span> -und Determinativ für Gott und ebenso wurde <img class="big" src="images/pg077_1.png" alt="Symbol" /> Land; -Berg, sumerisch kur als Wortzeichen und Determinativ für Land -und Berg und Silbenzeichen gebraucht.</p> - -<p>Diese Erklärung wurde später durch die Auffindung einer -grossen Menge zweisprachiger Texte, babylonisch und sumerisch, -in derselben Schrift bestätigt. (<span class="gesperrt">E. Bezold</span>: Ninive und Babylon, -Monographien zur Weltgeschichte XVIII 1903.)</p> - -<div class="sidenote">Entwicklung der Keilschrift nach Delitzsch.</div> - -<p>Über die Entwicklung der Schrift oder den Ursprung der -Keilinschriften hat <span class="gesperrt">Fr. Delitzsch</span>, dem wir Wörterbuch und -Grammatik des Assyrischen verdanken, 1897 ein Werk veröffentlicht, -das, mögen auch Einzelheiten verbesserungsfähig sein, die -Prinzipien völlig einleuchtend festlegt, nach denen die Sumerischen -Priesterfürsten die Schrift als Verbindung von Wortzeichen — -Idiogrammen — und Silbenzeichen geschaffen haben. Und wenn -die <span class="gesperrt">Schrift</span> planmässig mittelst weniger aber wirksamer Grundgedanken -aus der Bilderschrift entstanden ist, so wird damit auch -meine Ansicht, dass das <span class="gesperrt">Zahlsystem</span> eine planmässige und mit -Überlegung ausgeführte Schöpfung derselben Gelehrten ist, im -höchsten Grade wahrscheinlich. Gestützt auf die Formen der -Schrift aus Telloh und die noch älteren aus Nippur, die Geierstele, -die Vase Entemenàs, die Vase Lugat-šug-engur, welche -sicher bis gegen 4000 (3700) heraufreicht, und, anknüpfend an -des grossen 1905 verstorbenen Jules Oppert Expédition en Mésopotamie -1859 Kap. I, schied D. zunächst 37 Urzeichen aus, -welche sich aus 21 Urbildern und 16 Urmotiven zusammensetzen. -Ich gebe hier die wichtigsten an: <img src="images/pg077_2.png" alt="Symbol" /> Stern etc., <img src="images/pg077_3.png" alt="Symbol" /> Sonne, aufgehend, -Tag, Licht, hell sein, <img src="images/pg077_4.png" alt="Symbol" /> untergehende Sonne, schwach -werden, niedergehen. <img src="images/pg077_5.png" alt="Symbol" /> Zunehmender Mond (Horn), zunehmen, -voll werden, <img src="images/pg077_6.png" alt="Symbol" /> schwinden, zurückkehren (abnehmender Mond), -<img src="images/pg077_7.png" alt="Symbol" /> penis = Mann, männlich, <img src="images/pg077_8.png" alt="Symbol" /> Mann, Diener, <img src="images/pg077_9.png" alt="Symbol" /> (volva) -= Weib, <img src="images/pg077_10.png" alt="Symbol" /> Auge aus <img src="images/pg077_11.png" alt="Symbol" />; <img src="images/pg077_12.png" alt="Symbol" /> Hand, <img src="images/pg077_13.png" alt="Symbol" /> (Fuss) gehen, stehen. -<img src="images/pg077_14.png" alt="Symbol" /> Herz, <img src="images/pg077_15.png" alt="Symbol" /> Ochse, <img src="images/pg077_16.png" alt="Symbol" /> Werkzeug zum Öffnen, daher öffnen, -auflösen, Tod, <img src="images/pg077_17.png" alt="Symbol" /> Netz, Geflecht, Gefüge, <img src="images/pg077_18.png" alt="Symbol" /> Umschliessung,<span class="pagenum"><a name="Seite_p078" id="Seite_p078">[S. 78]</a></span> -<img src="images/pg078_1.png" alt="Symbol" /> Raum, <img src="images/pg078_2.png" alt="Symbol" /> Kreis (aus <img src="images/pg078_3.png" alt="Symbol" />), <img src="images/pg078_4.png" alt="Symbol" /> das Richtungsmotiv, dessen -Ecken die 4 Kardinalpunkte und dessen Axe die Nord-Südlinie -verbildlicht; <img src="images/pg078_5.png" alt="Symbol" /> oder <img src="images/pg078_6.png" alt="Symbol" /> Spitze, daher <img src="images/pg078_7.png" alt="Symbol" /> Gebirge, <img src="images/pg078_8.png" alt="Symbol" /> Kopf, -<img src="images/pg078_9.png" alt="Symbol" /> Bogen, Kurve etc.</p> - -<p>Aus diesen Grundelementen werden dann durch Zusammensetzung -gleicher oder verschiedener Zeichen beliebig viele neue -Wortzeichen abgeleitet, welche sich häufig als Definitionen der -dargestellten Begriffe erweisen und auf die Psyche und die Kultur -des Volkes der Sumerer ein so helles Schlaglicht werfen, dass D. -daraufhin den Versuch wagen konnte, ihren Kulturzustand zur -Zeit der Schrifterfindung zu rekonstruieren.</p> - -<p>Die Verdoppelung, im Altbabylonischen auch als Kreuzung -sichtbar gemacht, dient zunächst als Pluralzeichen und Iterativum -wie das hebräische Piël, dann aber auch zu Neubildungen. Aus -<img src="images/pg078_10.png" alt="Symbol" /> geben wird durch <img src="images/pg078_11.png" alt="Symbol" /> hinzugeben, addieren tab, dap; aus -<img class="big" src="images/pg078_12.png" alt="Symbol" /> gross (nun-rabû) wird <img class="big" src="images/pg078_13.png" alt="Symbol" /> Herr d. i. Grösster (Grossmann -der Hottentotten), mit doppelten Zeichen des Umschliessens -wird die Summe bezeichnet: <img src="images/pg078_14.png" alt="Symbol" /> entwickelt zu <img class="big" src="images/pg078_15.png" alt="Symbol" />. Für die -Zusammensetzung ungleicher Zeichen greife ich aus den Beispielen -von D. die folgenden heraus: berufen, erwählen = Auge -+ werfen, König = gross + Mensch, Hirt, <img class="big" src="images/pg078_16.png" alt="Symbol" /> bei Gudea -= Stab + Träger. Fügte man in das Zeichen für Mund das -Zeichen für Brot ein, so erhielt man: essen, und das eingefügte -<img class="big" src="images/pg078_17.png" alt="Symbol" /> (Wasser) ergab trinken und tränken. Die »Schlacht« wird -dargestellt als »Handwerk des Kriegers«, der Regen als <img class="big" src="images/pg078_18.png" alt="Symbol" /> -gleich Wasser des Himmels, die Tränen als Wasser des Auges -<img class="big" src="images/pg078_19.png" alt="Symbol" />; Vater als Schützer des Hauses zu erklären unter Hinweis -auf das entsprechende lateinische pater familias scheint -allerdings zweifach fehlerhaft, insofern das Zeichen im Haus<span class="pagenum"><a name="Seite_p079" id="Seite_p079">[S. 79]</a></span> -den Feind bedeutet und das sanscrit paṭar schützen mit piter -Vater gar nichts zu tun hat. Die Verkürzung des a zu i in -Jupiter und der Komposition (z. B. suscipio) ist eine ganz -spez. lateinische Eigentümlichkeit. Eins der schlagendsten Beispiele -ist Mond oder Monat, das durch Tag und 30 bezeichnet -wird; <img class="big" src="images/pg079_1.png" alt="Symbol" /> und <img class="big" src="images/pg079_2.png" alt="Symbol" /> also <img class="big" src="images/pg079_3.png" alt="Symbol" />.</p> - -<div class="sidenote">Die Gunierung.</div> - -<p>Ein ebenso einfaches wie weittragendes Mittel der Weiterbildung -ist die von den Babylonisch-Assyrischen Grammatikern -gunû, d. i. Beschwerung, genannte Steigerung. Sie besteht in -der Hinzufügung von 4 Strichen oder Keilen, d. h. also Paare -von Paaren, die aus Rücksicht auf den Raum mitunter auf drei -reduziert werden. So wird aus <img src="images/pg079_4.png" alt="Symbol" /> Wohnung, Wohnraum durch -Gunierung <img src="images/pg079_5.png" alt="Symbol" /> Palast, Residenz, Grossstadt, und damit das Determinativ -für die Sitze der Pateissi. Aus <img src="images/pg079_6.png" alt="Symbol" /> dem Bilde des -Unterschenkels mit Fuss, das zugleich gehen, stehen, stellen etc. -bedeutet, wird durch Gunierung <img src="images/pg079_7.png" alt="Symbol" /> »Fundament«. Zu den -von den Babylonischen Grammatikern, insbesondere von dem so -äusserst wichtigen Syllabar b der Bibliothek Sardanapals (s. u.) -gegebenen hat D. eine ganze Reihe neuer Gunû Idiogramme -abgeleitet, von denen ich erwähne das Schwert als grosser Dolch; -der Vollmond ist der gunierte Mond, d. h. der grosse, volle, -Mond, die Monatsmitte, die vom Neulicht (s. u.) gezählt wurde -und dann Mitte schlechtweg, archaisch <img src="images/pg079_8.png" alt="Symbol" />, und das Neulicht -selbst wird als der <span class="gesperrt">grosse</span> Eingang des Tages oder als Anfang -einer Tagesreihe guniert geschrieben. Es ist D. gelungen, für einen -sehr grossen Teil der Idiogramme meist recht einleuchtende Ableitungen -zu geben, auf Grund derer er es eben wagen konnte ein -Bild des Kulturzustandes der Sumerer nach Erfindung der Schrift -zu geben. Und selbst Erklärung wie die des Zeichen für Mensch -<img src="images/pg079_9.png" alt="Symbol" /> als des auf das Antlitz geworfenen Knechts oder »<span class="gesperrt">Hundes</span>« -der Götter sind in Anbetracht, dass es Priester waren, -welche die Schrift erfanden, nicht unglaubwürdig, und recht einleuchtend -ist die Erklärung für Ehemann oder Frau als Verbindung<span class="pagenum"><a name="Seite_p080" id="Seite_p080">[S. 80]</a></span> -von <img class="big" src="images/pg080_1.png" alt="Symbol" /> und <img class="big" src="images/pg080_2.png" alt="Symbol" /> durch das Vereinigungszeichen <img class="big" src="images/pg080_3.png" alt="Symbol" /> -p. 161 (vgl. Abb.).</p> - -<div class="figcenter" style="width: 330px;"> -<img src="images/pg080_ill.png" width="330" height="332" alt="" /> -</div> - -<div class="sidenote">Die Determinative und das phonetische Komplement.</div> - -<p>Die Schwierigkeiten, welche die Vieldeutigkeit der Wort- -und Silbenzeichen boten, wurden durch zwei Mittel wesentlich -vermindert, erstens durch die Determinative, welche wie im -Ägyptischen nicht mitgelesen wurden, und zweitens durch das -sogenannte Phonetische Komplement (Delitzsch Grammatik 1907, -§ 33 a). Die gebräuchlichsten Determinative sind <img class="big" src="images/pg080_4.png" alt="Symbol" /> ilu Gott -sum. an, das nur vor An(u) fehlt, dem Himmelsgott, der ja selbst -mit an bezeichnet ist, <img class="big" src="images/pg080_5.png" alt="Symbol" /> vor Ländern und Gebirgen, Fluss -Kanal <img class="big" src="images/pg080_6.png" alt="Symbol" /> (Euphrat), Baum <img class="big" src="images/pg080_7.png" alt="Symbol" />, Gerät altertümlich Holz <img src="images/pg080_8.png" alt="Symbol" />. -Mitunter wurden die Determinative wie bei den Ägyptern nachgesetzt, -so hinter Städten Ki und hinter Fischen ḫa.</p> - -<p>Das phonetische Komplement besteht in der Hinzufügung -einer oder auch zwei Silben »um durch Bestimmung der -Schlusssilbe (n) die richtige Lesung zu sichern. Das sumerische -Silbenzeichen <img class="big" src="images/pg080_9.png" alt="Symbol" /> für kur bedeutet als Wortzeichen Berg šadu, -Land mâtu, erobern kaṣadu etc. Folgt auf kur, u, a, i, plur-e. -— Pluralzeichen nachgesetztes <img class="big" src="images/pg080_10.png" alt="Symbol" />, vielleicht gunierte eins —<span class="pagenum"><a name="Seite_p081" id="Seite_p081">[S. 81]</a></span> -so sichert dies šadu — a — i, etc., während Kur-ti, Kur plur-ti -auf mâti, mâtati (Länder) und Kur-ud auf aksud (ich eroberte) -hinführt.«</p> - -<div class="sidenote">Babylonisch-Assyrische Ausgrabungen.</div> - -<p>In unerwarteter Weise haben wir über die Kultur, der -diese Sprache diente, Aufschluss erhalten durch die Ausgrabungen -einer ganzen Anzahl von Tempelbibliotheken. Im Jahre 1854 entdeckten -<span class="gesperrt">Rassam</span> und <span class="gesperrt">Layard</span> im Trümmerhügel von Kujundschik, -einem Dorf gegenüber Mossul, die Bibliothek Assurbanipals, -das ist Sardanapal, in dem Nordpalast dieses vielleicht grössten -assyrischen Fürsten zu Ninive, dessen Regierung von 668–626 -fällt. Über 22000 sorgfältig gebrannte Tontäfelchen oder Stücke -solcher Tafeln sind allein im British Museum geborgen. Es sind -Tafeln, deren Fläche von 37 × 22 und 2,4 × 2 variiert bei einer -mittleren Dicke von 2,4. Vorder- und Rückfläche, ja vielfach -auch die Seitenwände sind mit sorgfältiger Schrift beschrieben; -die Tafeln enthalten Löcher zur Aufnahme kleiner Holzpflöcke, -mit denen die Tafeln zu Büchern aufgereiht wurden. Die Zusammensetzung -ist vielfach dadurch ermöglicht, dass, ähnlich wie -bei unsern Akten, das letzte, für sich stehende, Wort einer Tafel -das Anfangswort der folgenden ist. Eine Anzahl Tafeln ist durch -ein mit Adresse versehenes Kuvert, natürlich aus Ton, geschützt; -wir haben hier den Ursprung unserer Briefkuverts. Es ist die -älteste eigentliche Bibliothek, d. h. absichtliche Sammlung zur -Bewahrung der Literatur und zu wissenschaftlichen Zwecken. -Sehr vielfach sind sorgfältige Abdrücke älterer Schriften erhalten.</p> - -<div class="sidenote">Die Ausgrabungen von Nippur.</div> - -<p>1874 fanden Araber in Babylon mehr als 3000 beschriebene -Tontafeln geschäftlichen Inhalts, 1881 entdeckte <span class="gesperrt">Rassam</span> die -Ruinen von Sepharwaim und fand bei Ausgrabungen des Sonnentempels -das Archiv, das aus Tonzylindern und über 50000 allerdings -sehr schlecht gebrannten Tontafeln bestand. Und die Ausgrabungen -der Pennsylvania Universität Philadelphia von 1889 -an haben bereits zwei grosse Bibliotheken in Nippur zutage -gefördert, wo das älteste grosse Landes-Heiligtum des Bel matâti,<span class="pagenum"><a name="Seite_p082" id="Seite_p082">[S. 82]</a></span> -des Herrn der Länder, <span class="gesperrt">ekur</span>, das Haus des Berges, stand. Die -bedeutendere über 3 Jahrtausende v. Chr. alte, ist durch den -schon erwähnten Einfall der Elamiten gewaltsam zerstört, während -die jüngere auf schlecht gebrannten Tafeln, neubabylonisch, allmählich -in Verfall geraten ist. Über 23000 Tafeln sind geborgen -und dabei sind erst 80 Zimmer oder etwa <sup>1</sup>/<sub>12</sub> der Bibliothek ausgegraben -worden. Aus einer Reihe von Anzeichen im Boden -schliesst <span class="gesperrt">Hilprecht</span>, der Leiter der Ausgrabungen, dass in der -untersten Schicht der Hügel noch eine ältere vor Sargon, d. h. -vor 3000 entstandene Bibliothek verborgen liegt. Hilprecht bezeichnet -die Bibliothek geradezu als Universität, die sogar nach -Fakultäten gegliedert war; eine Anzahl Säle enthielt die philologische -Abteilung, eine andere die astrologisch-astronomische, -wieder eine andere die technische etc. Im untersten Grund des -Tempelturmes fand Hilprecht vorzüglich erhalten aus dem 5. oder -4. Jahrtausend v. Chr. eine Kanalisations-Einrichtung, die die -unseren beschämt. In mächtigen <span class="gesperrt">Tonnengewölben</span>, die noch -den Römern unbekannt waren, eingebettet in eine Art Zement, -zwei Tonrohrleitungen mit Knie- und T-Stücken, so dass jede<span class="pagenum"><a name="Seite_p083" id="Seite_p083">[S. 83]</a></span> -Reparatur ohne Belästigung des Publikums vorgenommen werden -konnte.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 480px;"> -<img src="images/pg082_ill.jpg" width="480" height="303" alt="" /> -<div class="caption">Turm zu Borsippa.</div> -</div> - -<div class="sidenote">Tempelanlage, Priesterausbildung.</div> - -<p>Eine solche Tempelanlage bestand aus dem in Terrassen -gelegentlich auch mit Rampen in 7 Etagen aufgeführten hohen -Turme; ich erinnere an den Turm zu Borsippa (vgl. Abbildung), -zu Babel, den Esagila, auf dessen Höhe der Gott wohnt, in -dessen Mitte die Menschen verkehrten und der unten mit der -Unterwelt zusammenhing. Daran schloss sich der Palast der -Priesterfürsten und die besonderen Gebäude der Unterrichtsanstalten, -das Archiv, die Verwaltungsgebäude. Ein solcher -Tempel war nicht nur Kultstätte, nationales Heiligtum, Sitz der -Fürsten, sondern Landgut und Fabrik, Bank, Archiv und Handelshaus. -Die Tempel waren stets nach den 4 Himmelsgegenden -genau ausgerichtet, daher -bedeutet das Richtungszeichen -(s. o.) auch -Tempelfundament und -das <span class="gesperrt">gunierte</span> Zeichen -<img src="images/pg083_1.png" alt="Symbol" /> die Erde selbst als -das grosse Fundament, -da nach der Babylonischen -Weltschöpfungssage -die Erde nach den -4 Kardinalpunkten ausgerichtet -ist.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 300px;"> -<img src="images/pg083_ill.jpg" width="300" height="411" alt="" /> -<div class="caption">Tonnengewölbe der Kanalisation von Nippur.</div> -</div> - -<p>Wie sorgfältig der -Unterricht war, und wie -mühsam die Vorbereitung -eines jungen Priesters, -davon können wir, -die über Überbürdung -klagen bei unserm bisschen -Unterricht, uns kaum -eine Vorstellung machen.<span class="pagenum"><a name="Seite_p084" id="Seite_p084">[S. 84]</a></span> -Schrift und Sprache allein würden kaum von uns heutigen bewältigt; -hunderte von Schriftzeichen, die zusammen in mehr denn -12000 verschiedenen Anwendungen gebraucht wurden, die alle -den Adepten geläufig sein mussten; das Schreiben selbst schon -so viel umständlicher. — Zu den wichtigsten Entdeckungen gehören -auch die bei Ägypten besprochenen Funde von Tell Amarna 1888.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 600px;"> -<img src="images/pg084_ill.png" width="600" height="504" alt="" /> -<div class="caption">Hochrelief Urnina, König von Telloh und seine Familie.</div> -</div> - -<div class="sidenote">Babylonisch-Assyrische Kunst.</div> - -<p>Die <span class="gesperrt">Kunst</span> zeigt ganz analoge Entwicklung wie die ägyptische. -Von naturalistischen Anfängen wo die Kalamones, das -Rohrgeflecht der Euphrat- und Tigrismündung als Vorbild dienten, -eine rasche Entwicklung; dann ein Sinken, und wieder ein Emporblühen. -Die erste Blütezeit entwickelt sich etwa in 200 Jahren; -altsumerisch bezeichnet den Anfang etwa das Hochrelief -<span class="gesperrt">Urnina</span>, König von Telloh etwas vor 3000, und seiner Familie; -der verhältnismässig riesengrosse König, links, trägt auf dem<span class="pagenum"><a name="Seite_p085" id="Seite_p085">[S. 85]</a></span> -Kopf in einem Korbe Erde zum Bau seines Tempels herbei (vgl. -Abb.). Die genauere Erklärung bei E. Meyer l. c. p. 77 ff. Die -nächste Stufe wird verdeutlicht durch die berühmte <span class="gesperrt">Geierstele</span> -(vgl. Abb.), welche den Sieg eines Vorgängers von Gudea, des -Eannatum über die feindlichen Nachbarn von Gishu darstellt, -vgl. Meyer p. 82. ff. Es wird die Hilfe des Lokalgottes von Telloh, -des Ningirsu, verherrlicht, das Relief zeigt grosse Fortschritte, -sowohl in der Komposition als in der Technik des Hochrelief. -Unter semitischem Einfluss erhebt sich die Kunst zu der Höhe,<span class="pagenum"><a name="Seite_p086" id="Seite_p086">[S. 86]</a></span> -welche sie unter Sargon und Naramsin erreicht, wofür die herrliche -Siegesstele des Naramsin, von den Franzosen unter de Morgan -in Susa gefunden, der vollgültige Beweis ist, vgl. Meyer p. 10 ff. -Diese Blüte semitischer Kunst beeinflusst auch die sumerische, -wofür die Fundstücke aus der Periode Gudeas zeugen. Im -Gegensatz zu dem Mangel an Proportionen bei den Sumerern -sind die Gestalten schlank und proportional, und die Technik<span class="pagenum"><a name="Seite_p087" id="Seite_p087">[S. 87]</a></span> -des Relief steht auf grösster -künstlerischer Höhe.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 600px;"> -<img src="images/pg085_ill.jpg" width="600" height="594" alt="" /> -<div class="caption">Rückseite der Geierstele.</div> -</div> - -<div class="figcenter" style="width: 556px;"> -<img src="images/pg086_ill.jpg" width="556" height="600" alt="" /> -<div class="caption">Vorderseite der Geierstele.</div> -</div> - -<div class="figcenter" style="width: 360px;"> -<img src="images/pg087_ill1.jpg" width="360" height="259" alt="" /> -<div class="caption">Relief von den Bronzetüren aus Balawat.</div> -</div> - -<p>Diese Blüte hält an -bis auf <span class="gesperrt">Chammurabi</span> -und seine nächsten Nachfolger, -die Könige von -Sumer und Accad. Aber -mit dem Sinken der Macht -dieses altbabylonischen -Reiches sinkt auch die -Kunst, um dann unter der -Assyrischen Macht neu -emporzublühen, etwa von Nebukadnezar I., von 1150 an, sie erreicht -unter Sargon II. und Sanherib ihre Höhe, und hält sich auf -dieser bis Sardanapal bis etwa 600. Ich führe als Beispiel hier die -Bronzetüren Salmanassar II. aus Balawat (vgl. Abb.), ferner den -Urkundenstein <span class="gesperrt">Kudurru</span>, aus dem Berliner Museum, der die -Belehnung des Magnaten Bel-ache-irbâ seitens des Königs Mardukbaliddin -II. 715 darstellt (vgl. Abbildung). Meyer findet in -diesem Stein den semitischen Typus am reinsten ausgeprägt. -Dazu die Dämonen (vgl. Abbildung), Engel- und Tierkolosse, -die wunderbaren Mosaiken der Fussböden in den Palästen von -Khorsabad (vgl. Abb.), und vor allem die herrlichen Tiergestalten -in bunter Mosaik aus der -Zeit Nebukadnezar II., Sargons -etc.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 360px;"> -<img src="images/pg087_ill2.jpg" width="360" height="253" alt="" /> -<div class="caption">Mosaik aus dem Palaste Sargon II.</div> -</div> - -<div class="sidenote">Babylonisch-Assyrische Wissenschaft.</div> - -<p>Wie es mit der Wissenschaft -steht, bleibt noch -zu untersuchen. Von der -Rechtswissenschaft wissen -wir, dass sie sich bedeutend -entwickelt hatte, insbesondere -das Handelsrecht stand -auf einer Höhe, die dem<span class="pagenum"><a name="Seite_p088" id="Seite_p088">[S. 88]</a></span> -römischen nichts nachgibt. Wir kennen die Siegel und Namen -grosser Handelsfirmen wie Egibi und Söhne am Euphrat zur -Zeit Nebukadnezars und die Firma Maraschi Söhne zu Nippur -zur Zeit Ezras und Nehemias. Wir wissen, dass sie Filialen in -allen Grossstädten hatten, und dass der Schekverkehr, unsere -neueste Errungenschaft, bei den babylonischen Grossfirmen gang -und gäbe war.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 333px;"> -<img src="images/pg088_ill.jpg" width="333" height="480" alt="" /> -<div class="caption">Belehnung des Belacheirba durch König Mardukbaliddin II.</div> -</div> - -<div class="sidenote">Medizin, Mathematik.</div> - -<p>Aus den Beiträgen zur Kenntnis der assyrisch-babylonischen -Medizin von <span class="gesperrt">F. Küchler</span> (Assyrische Bibliothek von Delitzsch -und Haupt XVIII 1904) sehen wir, dass die Priesterärzte, abgesehen -von den üblichen Beschwörungen, Omina etc. über eine -sehr ausgedehnte Pharmazie geboten. Es ist bekannt, dass<span class="pagenum"><a name="Seite_p089" id="Seite_p089">[S. 89]</a></span> -die griechische Heilkunst -stark von der babylonischen -beeinflusst ist, und -auf Hippokrates geht unsere -Medizin zurück. Unser -altes Apothekergewicht -Gran, Skrupel geht -auf Babylon zurück (vgl. -Küchler S. 84 ši'u). Geht -doch auch Stab und Ring -unserer Bischöfe auf altbabylonische -Götterdarstellungen -zurück (Winkler, -die Gesetze Hammurabis -1904 p. VI).</p> - -<p>Eine neue Ausgabe -des Theophrast ist in Vorbereitung -und hoffentlich -wird man auf dem Umweg -über die Griechische -einigen Aufschluss über -die Babylonische Pharmakologie -erhalten.</p> - -<p>Wenden wir uns nun zur Mathematik der Babylonier, so -müssen wir sagen, dass von reiner Mathematik bis jetzt verhältnismässig -wenig entziffert ist. Das wichtigste sind die sogenannten -<span class="gesperrt">Tafeln von Senkereh</span> (Larsa) aus dem 3. Jahrhundert -v. Chr., de facto eine in zwei Stücke zerbrochene Tafel; die -astronomischen Bücher aus der königlich Sardanapalschen Bibliothek -und die 1 × 1 Tabellen von Nippur. Hilprecht sagt: »in -geradezu staunenswerter Weise wurde das 1 × 1 geübt.«</p> - -<div class="figcenter" style="width: 340px;"> -<img src="images/pg089_ill.jpg" width="340" height="510" alt="" /> -<div class="caption">Dämon mit Flügeln.</div> -</div> - -<p>M. H. In unserer Kulturgeschichte wird es als hohes -wissenschaftliches Verdienst des Petrus de Dacia, Rektors der -Sorbonne vom Jahre 1328 gerühmt, das 1 × 1 bis zu 50 × 50<span class="pagenum"><a name="Seite_p090" id="Seite_p090">[S. 90]</a></span> -fortgesetzt zu haben, und <span class="gesperrt">Hilprecht</span> versichert, dass er in der -im 3. Jahrtausend zerstörten Bibliothek Tafeln des 1 × 1 bis -1350 in der Hand gehabt hat. Das kleine 1 × 1 ging bis zur -60 (s. p. 113 ff.).</p> - -<div class="figcenter" style="width: 600px;"> -<img src="images/pg090_ill.jpg" width="600" height="452" alt="" /> -<div class="caption">Bruchstücke der Geierstele, Vorderseite.</div> -</div> - -<div class="sidenote">Münz-, Mass- und Gewichtssystem.</div> - -<p>Uns sind zwei Zahlsysteme bekannt; das eine ist rein -dekadisch, das andere, ältere, ist sexagesimal und hängt auf das -genaueste mit dem babylonischen Gewichts-, Münz- und Masssystem -zusammen, dessen Einteilung uns in der Tafel von Senkereh -und in zahlreichen griechischen, römischen und jüdischen -Quellen enthalten ist. Es ist ja die Bibel erst nach der babylonischen -Gefangenschaft redigiert und zeigt in allen Namen der -Masse und Gewichte babylonischen Einfluss. Seit der grosse -Philologe <span class="gesperrt">August Boeckh</span> das Münz- und Gewichtssystem der -Römer erschlossen und in der vergleichenden Betrachtung der<span class="pagenum"><a name="Seite_p091" id="Seite_p091">[S. 91]</a></span> -Masse ein wichtiges Mittel erkannt hat um den Handels- und -sonstigen Verkehr der Völker zu erkennen, haben eine Reihe -von Forschern, ich nenne <span class="gesperrt">Brandis</span>, <span class="gesperrt">Ginzel</span>, <span class="gesperrt">Lehmann</span> -und vor allen <span class="gesperrt">Boeckh</span> selbst dargetan, dass die Wiege der -Messkunst in Babylon steht, und die Masse der Babylonier in -ausgedehntester Weise bis zum Metersystem Gültigkeit hatten, -ja, zum Teil heute noch gelten. (cf. <span class="gesperrt">C. F. Lehmann</span>, das -altbabylonische Mass- und Gewichtssystem als Grundlagen des -antiken Gewichts-, Münz- und Masssystem. 8. intern. Orient. -Kongress, Bastiansche Zeitschrift für Ethnologie 1889. Verh. der -Berl. anthrop. Gesellschaft 1889. Als selbst. Schrift Leiden 1893.)</p> - -<div class="figcenter" style="width: 300px;"> -<img src="images/pg091_ill.jpg" width="300" height="171" alt="" /> -<div class="caption">Gewicht in Löwenform.</div> -</div> - -<p>Die Babylonier hatten vor -5000 Jahren ein geschlossenes -Masssystem, das in seiner Anlage -unserm metrischen System -sehr ähnlich war. Wie bei uns das -Zehntel des Meters die Kante -des Würfels bildet, der ein <span class="gesperrt">Liter</span> -fasst und der mit destilliertem -Wasser von 4° C. gefüllt -bei der Wägung das <span class="gesperrt">Kilogramm</span> gibt, so ist das Zehntel der -babylonischen Doppelelle die Basis des Hohlmasses, dessen Wassergewicht -die Mine gibt. Es sind uns künstlerisch geformte -Gewichte in Eisen- und Bronzearbeit mit Entenform und Eberköpfen -und besonders in Löwenform und ausserdem einige justierte -Gewichte erhalten.</p> - -<p>a) Früher Eigentum des Dr. Blau: Ein sehr harter dunkelgrüner -Stein sehr sorgfältig geglättet, oval, der in altbabylonischer -Keilschrift und in sumerischer Sprache (die ja auch idiographisch -als babylonisch-assyrisch gelesen werden kann) die Inschrift hat:</p> - - -<div class="center"> -<table border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" summary="Inschrift"> -<tr><td align="center"><span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span> ma na gina</td><td align="center">— gal (mulu)</td><td align="center">dingir</td><td align="center">igi</td><td align="center">ma na</td></tr> -<tr><td /><td align="center">Mensch</td><td align="center">Gott</td><td align="center">Auge</td><td align="center">Mine</td></tr> -</table></div> - -<p class="noindent">d. h. <span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span> Mine richtig, der Diener des Gottes, der das Auge auf -der Mine hat.</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p092" id="Seite_p092">[S. 92]</a></span></p> - -<div class="sidenote">Metrologie.</div> - -<p>Die Masse unterstanden göttlichem Schutz; in Athen waren -die Normalmasse auf der Akropolis; in Rom auf dem Kapitol -und im Tempel der Juno -moneta verwahrt (Generalaichamt).</p> - -<div class="figcenter" style="width: 330px;"> -<img src="images/pg092_ill1.png" width="330" height="129" alt="" /> -</div> - -<p>b) In der Vorderasiatischen -Abteilung des Berliner -Museums aus demselben Material <span class="fraction"><span>1</span><span>6</span></span> Mine, Inschrift unentzifferbar.</p> - -<p>c) Das Gewicht der amerikanischen Wolfe Expedition 1885 -(Americ. Orient. Soc. Proceedings at New York 1885), das die -bei den sogenannten Zylindern mit Bau- und Weihinschriften -übliche Fässchenform hat, aus gleichem Material, es wiegt fast -genau doppelt soviel wie b, ist also <span class="fraction"><span>1</span><span>3</span></span> Mine und das bestätigt -die Inschrift:</p> - -<div class="figcenter" style="width: 420px;"> -<img src="images/pg092_ill2.png" width="420" height="126" alt="" /> -</div> - -<p>1) <span class="fraction"><span>1</span><span>3</span></span> Ṭu gina, 2) e—kal<sup>m</sup> Nabû — sum — esir (?), 3) abli<sup>m</sup> -Da—lat (?), 4) .... pāte—is—si ili Marduk</p> - -<p class="noindent">d. i. <span class="fraction"><span>1</span><span>3</span></span> [Mine in] Schekel [n] [ausgedrückt] Palast des Nab., -Sohnes des D., Fürstpriester des Marduk (Lehmann, Verh. der -Berl. anthrop. Gesellschaft 1891; J. Oppert, L'étalon des mesures -assyr., Extrait du journal asiat. Paris 1875).</p> - -<p>Die Gewichte in Entenform sind erheblich ungenauer, aber -als Durchschnittsgewicht ergibt sich 491,2 Gramm für die leichte -Mine, 982,4 für die schwere. Indem man die Kubikwurzel aus -982,4 zieht, ergibt sich für die 10fache Wurzel, das ist die -Doppelelle 992,35 mm. Nun ist die Länge des Sekundenpendels -für den 31. Breitengrad 992,35 mm, und nach der -Hypothese Lehmanns, welche Helmholtz plausibel erschien, -hatten die Babylonier zur Zeit Gudeas den Gedanken Huygens,<span class="pagenum"><a name="Seite_p093" id="Seite_p093">[S. 93]</a></span> -die Länge des Sekundenpendels als natürliches Längenmass -zu verwerten, schon vorweggenommen. Als Bestätigung der -von Lehmann gegebenen sogenannten »gemeinen Norm« dient -dann eine Ende des Jahres 1893 in Babylon zum Vorschein gekommene -ganze Mine, die nach ihrer Legende eine Kopie aus -der Zeit Nebukadnezar II. 607–561 nach einer Mine aus der -Regierungszeit Dungis ist, des ältesten erreichbaren Königs eines -grossen Teils von Babylon etwa um 3200; die Mine, welche sich -jetzt im British Museum befindet, hat ein Gewicht von 979,2 -Gramm.</p> - -<p>Die meisten und wichtigsten antiken Gewichte sind direkte -Abkömmlinge der babylonischen gemeinen Norm, bezw. der daraus -gebildeten Silbermine, welche <span class="fraction"><span>10</span><span>9</span></span> der Gewichtsmine ist.</p> - - -<div class="center"> -<table border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" summary="Gewichte"> -<tr><td colspan="3" /><td align="left">schwer</td><td align="left">leicht</td></tr> -<tr><td align="left">Teilbetrag</td><td align="left"><span class="fraction"><span>60</span><span>60</span></span>;</td><td align="left">Gewichtsmine</td><td align="right">982,4</td><td align="left">491,2</td></tr> -<tr><td align="center">"</td><td align="left"><span class="fraction"><span>50</span><span>60</span></span>;</td><td align="left">Goldmine</td><td align="right">818,6</td><td align="left">409,3</td></tr> -<tr><td align="center">"</td><td align="left"><span class="fraction"><span>50</span><span>45</span></span>;</td><td align="left">babyl. Silbermine</td><td align="right">1091,5</td><td align="left">545,8</td></tr> -<tr><td align="center">"</td><td align="left"><span class="fraction"><span>100</span><span>135</span></span>;</td><td align="left">phöniz. Silbermine</td><td align="right">727,6</td><td align="left">363,8</td></tr> -<tr><td colspan="2" /><td align="left">ägypt. Goldmine</td><td /><td align="left">409,31</td></tr> -<tr><td colspan="2" /><td colspan="4">babyl. Silbermine = 6 ägypt. Pfund à 10 Lot.</td></tr> -</table></div> -<p>Die römisch-athenische Elle = <span class="fraction"><span>10</span><span>9</span></span> der babylonischen gemeinen -Elle, der Fuss = <span class="fraction"><span>2</span><span>3</span></span> Elle und der Schritt = 5 Fuss = 1<span class="fraction"><span>2</span><span>3</span></span> -Elle = 1<span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span> babylonischen Elle.</p> - -<p>Wir rechnen heute 114 Schritt in der Minute für die -deutsche Armee, die Babylonier 120 Schritt = 180 Ellen, <span class="gesperrt">also -auf die Doppelminute</span> <b>360 Ellen</b>.</p> - -<p><span class="gesperrt">J. Brandis</span>: das Münz-, Mass- und Gewichtssystem in -Vorderasien bis auf Alexander den Grossen, Berlin 1866. Brandis -setzt das Wertverhältnis des Goldes zu Silber bei den Babyloniern -wie 40:3 = 360:27 (wie Jahr:Monat).</p> - -<p><span class="gesperrt">Die Tafel von Senkereh und das Zahlsystem.</span></p> - -<div class="sidenote">Die Tafel von Senkereh.</div> - -<p>Im Jahre 1854 fand der Ingenieur <span class="gesperrt">W. K. Loftus</span> in den -Ruinen von Larsam beim heutigen Senkereh eine leider stark<span class="pagenum"><a name="Seite_p094" id="Seite_p094">[S. 94]</a></span> -verstümmelte Tafel, die aber doch für die Kenntnis des Zahl- -und Masssystems von grösster Wichtigkeit geworden ist.</p> - -<p>Die Tafel von Senkereh enthält auf der Rückseite drei -Kolonnen: a) die Zahlen von 1–39 mit ihren Quadraten, b) die -Zahlen der Quadrate mit ihren Wurzeln 1–39, c) die Kubikzahlen -von 1–39. Zu b ist in Kujundschik, der Residenz -Salmanassars eine Ergänzung gefunden, welche die Quadrate der -Zahlen von 44–60 enthält. — Auf der Vorderseite ist, stark verstümmelt -in Kolonne I und II eine Tabelle, die nach Finger, -Ellen und deren Vielfachen bis zu 2 Kaspu fortschreitet; Kol. -III und IV enthält dann eine Tabelle, die zwei Masssysteme -vergleicht, deren erstes die gewöhnlichen Bezeichnungen des -Längenmasses trägt, während die zweite nur in unbenannten -Zahlen fortschreitet.</p> - -<div class="sidenote">Zahlsystem.</div> - -<p>Ehe ich auf die Erklärung der Tabelle eingehe, muss ich -über das babylonische Zahlsystem sprechen. Es sind zwei Zahlsysteme -in Gebrauch, das eine dekadisch, das andere ältere -sexagesimal, das bei Massen und in der Astronomie sich erhalten -hat. Es ist möglich, dass die dekadisch Zählenden die Semiten, -und die Sexagesimalen die Sumerer waren. Nach Lehmanns -Angaben über die sumerischen Zahlzeichen, die z. B. 7 als 5 + 2 -wiedergeben, kann ein Fünfer-System das ursprüngliche der -Sumerer gewesen sein, und das Sexagesimalsystem sich von den -grossen wissenschaftlichen Zentren aus als ursprünglich gelehrte -Schöpfung zunächst auf die Gebildeten und die Priester verbreitet -haben, aus denen sich die Schreiber (Staatsbeamten) und Handelsherren -rekrutierten.</p> - -<p>Sie hatten nur zwei Ziffern, den einfachen Keil für eins, -istan, isten als Zahlwort ist, aus dessen Häufung die Einer gebildet -werden, und <img class="big" src="images/pg094_1.png" alt="Symbol" /> 10 esru, Plural esrit; dazu kommt später -das gemeinsame semitische (auch ägyptische) Zahlwort me 100 -geschrieben <img class="big" src="images/pg094_2.png" alt="Symbol" />.</p> - -<p><img class="big" src="images/pg094_3.png" alt="Symbol" /> ist eins und die Einer werden durch den betreffenden<span class="pagenum"><a name="Seite_p095" id="Seite_p095">[S. 95]</a></span> -Haufen von Keilen gebildet; z. B. <img class="big" src="images/pg095_1.png" alt="Symbol" /> si-ba sibista, die Zehner -durch eben solche Haufen der Zahl 10 <img class="big" src="images/pg095_2.png" alt="Symbol" /> esru esertu, eserte -esrit, also 11 <img class="big" src="images/pg095_3.png" alt="Symbol" /> isten ésrit.</p> - -<p>1 isten, 2 sina, 5 hamsu, 100 mê <img class="big" src="images/pg095_4.png" alt="Symbol" />, 1000 für das wir -bislang kein Zahlwort haben als 10 · 100 <img class="big" src="images/pg095_5.png" alt="Symbol" />. Dies ist aber -zu einem eignen Zahlzeichen geworden, <img class="big" src="images/pg095_6.png" alt="Symbol" /> ist nicht 2000 -sondern 10 · 1000 = 10000 und <img class="big" src="images/pg095_7.png" alt="Symbol" /> würde 100000 sein.</p> - -<p>Das zweite System hat zur Einteilungszahl 60 und seine -Übereinheiten wie 60<sup>2</sup>, 60<sup>3</sup>, seine Untereinheit ist <span class="fraction"><span>1</span><span>60</span></span>, deren Untereinheit -<span class="fraction"><span>1</span><span>60</span></span><sup>2</sup>, die Eins wird, wie sie bei uns als 10<sup>0</sup>, so hier als -60<sup>0</sup> angesehen. Alle diese Zahlen drückt dasselbe Zeichen aus, -der einfache Keil, und die Bedeutung ergibt sich wie in unserm -sogn. indisch-arabischen System durch <span class="gesperrt">Position</span>.</p> - -<p>Die 60 heisst sussu (Schock), σωσσος der Hellenen, soss -assyrisch, <img class="big" src="images/pg095_8.png" alt="Symbol" />, die 60<sup>2</sup> heisst Sar, Saros der Hellenen <img class="big" src="images/pg095_9.png" alt="Symbol" />.</p> - -<p>Daneben gibt es Einheiten II. Klasse, wie sie <span class="gesperrt">Lehmann</span> -nennt.</p> - - -<div class="center"> -<table class="verticol" border="0" cellpadding="4" cellspacing="0" summary="Einheiten II. Klasse"> -<tr><td align="center">60<sup>3</sup></td><td /><td align="center">60<sup>2</sup></td><td /><td align="center">60</td><td /><td /><td align="center"><span class="fraction"><span>1</span><span>60</span></span></td><td /><td align="center"><span class="fraction"><span>1</span><span>60</span></span><sup>2</sup></td><td class="tdnobr"/></tr> -<tr><td /><td align="center">36000</td><td align="center">sar</td><td align="center">600</td><td /><td align="center">10</td><td align="center"><span class="fraction"><span>1</span><span>6</span></span></td><td /><td align="center"><span class="fraction"><span>1</span><span>360</span></span></td><td /><td align="center" class="tdnobr"><span class="fraction"><span>1</span><span>21600</span></span></td></tr> -<tr><td /><td /><td /><td /><td align="center" colspan="2">oder</td><td /><td /><td /><td /><td class="tdnobr"/></tr> -<tr><td /><td /><td /><td align="center">ner</td><td /><td align="center">6</td><td /><td /><td /><td /><td class="tdnobr"/></tr> -</table></div> - -<p class="noindent">für 600 ist ein eignes Zahlwort <img class="big" src="images/pg095_10.png" alt="Symbol" /> ner durchaus belegt und -volkstümlich gewesen; so ist</p> - -<p class="center"> -<img class="big" src="images/pg095_11.png" alt="Symbol" /> = 672 = 11 · 60 + 12.<br /> -</p> - -<div class="sidenote">Das magische Quadrat.</div> - -<p>Als interessantestes Beispiel altchaldäischer Rechnung gebe -ich Ihnen die Bildung des Quadrats von 653 nach einer von -<span class="gesperrt">J. Oppert</span> edierten magischen Tafel, welche aus der gleichen -Zeit stammt (Zeitschrift für Assyriologie 1903 Bd. 17 pag. 60).<span class="pagenum"><a name="Seite_p096" id="Seite_p096">[S. 96]</a></span> -Die Zahl 653 ist unter dem Namen Sulbâr = Ewigkeit die magische -Zahl κατ' εξοχήν;</p> - -<p>5 · 653 = 3265 ist die Phönixperiode; 653 ist gleich -292 + 361 und 5 · 292 = 1460 ist die Sothisperiode; 5 · 361 = -1805 ist die Lunarperiode. Ich bemerke, dass die hohe Wertung -der Zahl 653 ein Argument für ein ursprüngliches Fünfersystem -(wie bei den Azteken) ist.</p> - -<p>Die Rechnung gestaltet sich wie folgt:</p> - - -<div class="center"> -<table border="0" cellpadding="4" cellspacing="0" summary="Rechnung"> -<colgroup> - <col width="4%" /> - <col width="52%" /> - <col width="44%" /> -</colgroup> -<tr><td align="left">1)</td><td class="tdldh"><img class="big" src="images/pg096_1l.png" alt="Symbol" /></td><td class="tdldh"><img class="big" src="images/pg096_1r.png" alt="Symbol" /></td></tr> -<tr><td /><td class="tdlsmall">6 Soss 40 idem (400<sup>2</sup>)</td><td class="tdlsmall">44 Sar 26 Soss 40 = 160000</td></tr> -<tr><td align="left">2)</td><td class="tdldh"><img class="big" src="images/pg096_2l.png" alt="Symbol" /></td><td class="tdldh"><img class="big" src="images/pg096_2r.png" alt="Symbol" /></td></tr> -<tr><td /><td class="tdlsmall">2 Soss 2 · 2 Soss 2 = 122<sup>2</sup></td><td class="tdlsmall">4 Sar 8 Soss 4 = 14884</td></tr> -<tr><td align="left">3)</td><td class="tdldh"><img class="big" src="images/pg096_3l.png" alt="Symbol" /></td><td class="tdldh"><img class="big" src="images/pg096_3r.png" alt="Symbol" /></td></tr> -<tr><td /><td class="tdcsmall">30 <sup>30</sup>/<sub>60</sub> · 30 <sup>27</sup>/<sub>60</sub></td><td class="tdlsmall">15 Soss 29 = 929</td></tr> -<tr><td align="left">4)</td><td class="tdldh"><img class="big" src="images/pg096_4l.png" alt="Symbol" /></td><td class="tdldh"><img class="big" src="images/pg096_4r.png" alt="Symbol" /></td></tr> -<tr><td /><td class="tdlsmall">1 Soss 54 · 14 Soss 24</td><td class="tdlsmall">27 Sar 21 Soss 36 = 98496</td></tr> -<tr><td align="left">5)</td><td class="tdldh"><img class="big" src="images/pg096_5l.png" alt="Symbol" /></td><td class="tdldh"><img class="big" src="images/pg096_5r.png" alt="Symbol" /></td></tr> -<tr><td /><td class="tdlsmall"> 6 Soss 30 idem</td><td class="tdlsmall">42 Sar 15 Soss = 152100</td></tr> -<tr><td align="left">6)</td><td class="tdldh"><img class="big" src="images/pg096_6l.png" alt="Symbol" /></td><td class="tdldh"><img class="big" src="images/pg096_6r.png" alt="Symbol" /></td></tr> -<tr><td /><td class="tdlsmall">Summe 2 Soss minus 2 Sar 2 Ner 6 Soss 49</td><td class="tdlsmall">von welcher Zahl ist es das Quadrat.</td></tr> -<tr><td align="center" colspan="3"> Also: 118 · 60<sup>2</sup> + 2 · 600 · 6 · 60 + 49 = 426409.</td></tr> -<tr><td align="left">7)</td><td class="tdldh"><img class="big" src="images/pg096_7l.png" alt="Symbol" /></td><td class="tdldh"><img class="big" src="images/pg096_7r.png" alt="Symbol" /></td></tr> -<tr><td /><td class="tdlsmall">(Von) 6 5 3</td><td class="tdlsmall">(ist es das) Quadrat.</td></tr> -</table></div> - -<p>Also: 653<sup>2</sup> = 426409 ist zerlegt in:</p> - - -<div class="center"> -<table border="0" cellpadding="4" cellspacing="0" summary="Zerlegung von 426409"> -<tr><td align="right">400<sup>2</sup></td><td align="right">=</td><td align="right">160000</td></tr> -<tr><td align="right">122<sup>2</sup></td><td align="right">=</td><td align="right">14884</td></tr> -<tr><td align="right">30<span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span> · 30<span class="fraction"><span>9</span><span>20</span></span></td><td align="right">=</td><td align="right">929</td></tr> -<tr><td align="right">114 · 864</td><td align="right">=</td><td align="right">98496</td></tr> -<tr><td align="right">390<sup>2</sup></td><td align="right">=</td><td align="right">152100</td></tr> -</table></div> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p097" id="Seite_p097">[S. 97]</a></span></p> - -<div class="sidenote">Die Tafel von Senkereh.</div> - -<p>Ehe ich diese Rechnung weiter bespreche, möchte ich Ihnen -die Tafel von Senkereh in 4facher Vergrösserung aus dem -grossen und kostbaren Rawlinson'schen Werke vorführen und -Sie auf gewisse Eigentümlichkeiten der Tafel aufmerksam machen. -Leider steht mir nur die erste Auflage und nicht die wesentlich -veränderte zweite Auflage zur Verfügung. Sie sehen in der -Tabelle No. 2 die Tafel der Quadrate der Zahlen von 1–60 -mit einer Lücke von 25–44, so dass das Quadrat voransteht, -d. h. also die Tabelle ist zum Wurzelziehen eingerichtet und daneben -zum Quadrieren. Die Tabelle, welche die Überschrift Reverse -trägt, ist eine Tafel der Kubikzahlen von 1–32. Die wichtigste -Tafel, die (irrtümlich) die Überschrift Obverse trägt, ist -die rechte Tabelle, die für die Metrologie von entscheidender -Bedeutung geworden.</p> - -<p>Nun sehen Sie, bitte, mal hier <img class="big" src="images/pg097_1.png" alt="Symbol" /> (3) und dort <img class="big" src="images/pg097_2.png" alt="Symbol" /> -(121) und bedenken Sie die 4fache Vergrösserung, dann werden -Sie sehen, welche Übung und Schärfe nötig war um die, wie -Sie schon an dem Beispiel 653 gesehen haben und wie bei der -Besprechung der Astronomie noch deutlicher hervorgehen wird, -recht komplizierten Rechnungen auszuführen mit einem System -von 2 Ziffern; es ist klar, dass sehr ausgedehnte Tabellen diesen -Rechnern völlig geläufig sein mussten. Kritisch würde die Sache -bei 61 sein, aber ich vermute, denn die Zahl ist m. W. nicht -gefunden, sie würden ebenso wie sie dort <img class="big" src="images/pg097_3.png" alt="Symbol" /> 120 sehen, ganz -ruhig geschrieben haben <img class="big" src="images/pg097_4.png" alt="Symbol" /> und es dem Scharfsinn des Lesers -überlassen haben darin 60 + 1 oder 1 + 1 zu sehen.</p> - -<div class="sidenote">Die magische Rechnung.</div> - -<p>Ich komme nun auf unsere magische Tafel und die Rechnung -zurück. Berossus und Eusebios von Cäsarea berichten uns, -dass die Chaldäer ihre heroische Zeit auf 60 · 653 geschätzt -haben, die Bibel gibt von Erschaffung der Welt bis auf Abraham -292 Jahre und von Abraham bis zum Ende der Genesis 361, -macht 653 Jahre. Gerade diese beiden Bestandteile der Zahl -sind das, was sie zur magischen Zahl gemacht hat. 5 · 292 =<span class="pagenum"><a name="Seite_p098" id="Seite_p098">[S. 98]</a></span> -1460 ist die Sothisperiode, die Anzahl der Jahre, die vergeht -bis der Anfang des bürgerlichen Jahres zu 365 Tagen mit dem -heliakischen (heliakisch = Aufgang in der Morgendämmerung) Aufgang -des Sirius zusammenfällt und 1805 oder 5 · 361 Jahre ist -die Lunarperiode, die Zahl der Jahre, nach welcher der Mond -immer wieder die gleiche Stellung einnimmt sowohl im Vergleich -zu den Jahreszeiten als auch in seinem Abstand von der Sonne -(Phasen), in bezug auf das Eintreten der Finsternisse als auch -in seiner Beziehung zu den Sternen.</p> - -<p>Nimmt man das tropische Jahr der Babylonier zu 365<sup>d</sup> -2475, so sind:</p> - -<p> -1805<sup>a</sup> = 659271<sup>d</sup> ferner:<br /> -</p> - -<p class="noindent"> -22325 synod. Monate = 659270<sup>d</sup> (Neulicht zu Neulicht)<br /> -24227 draconische Mon. = 659271<sup>d</sup> (Rückkehr zum Knotenpunkt)<br /> -24130 Siderische Mon. = 659271 (Rückkehr d. Mondes z. Fixstern).<br /> -</p> - -<p>Ich will auf das Exempel noch weiter eingehen, es ist nach -<span class="gesperrt">Oppert</span> ein klassisches Beispiel altchaldäischer Zahlenmystik, -die unter dem Namen der Kabbala bis in die neueste Zeit, ja -noch heute unter den Juden Galiziens im Schwange ist. Die -Zahl und Rechnung spielten im Kulturleben der Babylonier eine -enorme Rolle, jeder Gott hat seine eigene Zahl, z. B. Bel das -Symbol <img class="big" src="images/pg098_1.png" alt="Symbol" />, d. h. Gott, dem die 20 zukommt, Marduk -als Stier des Tierkreises repräsentiert die <img class="big" src="images/pg098_2.png" alt="Symbol" />, die Zahl der Zeichen -die er anführt. Sin des Mondes Gott hat die <img class="big" src="images/pg098_3.png" alt="Symbol" /> vielleicht -weil er in ältester Zeit der Hauptgott, wahrscheinlich wegen des -Monats von 30 Tagen, die Engel-Brüche etc. Die Horoskope, -die ja auch babylonischen Ursprungs sind, sind ein Ausfluss -solcher Zahlenmystik, die sich von Babylon aus über die ganze -Welt verbreitet hat. Wer unter Ihnen bibelfest ist, wird sich -an die Kabbala im Daniel erinnern (s. u. Pythagoräer).</p> - -<p>Wir haben bereits eine grosse Anzahl solcher magischer -Tafeln und sehen, wie wir auch an unserm Beispiel nachweisen<span class="pagenum"><a name="Seite_p099" id="Seite_p099">[S. 99]</a></span> -können, darin die Anfänge der wissenschaftlichen Zahlentheorie, -man vergleiche Astronomie und Astrologie.</p> - -<p>Unter den wenigen aus Khorsabad geretteten Inschriften -haben wir glücklicherweise die Angabe des Sargon II. über die -von ihm gegründete Stadt Dar Sarkim- (Khorsabad von E. Botta -1842–45). Die Mauer war rechteckig, sie hat 1647 auf 1750<sup>m</sup>. -Keine Halle, kein Zimmer, kein Stadtplan durfte aus religiöser -Scheu rein quadratisch sein; dies scheint als eine Verletzung -der Ehrfurcht gegen den Gott gegolten zu haben, bei dem -Allerheiligsten war eine sehr enge Annäherung an das Quadrat -gestattet. In der Inschrift von Khorsabad gibt Sarkin nun an, -dass der Umfang der Mauer die Zahl seines Namens sei; dieser -Name ist sar Fürst und kin das wir allenfalls mit mächtig wiedergeben -können; sar entsprach der Zahl 20 und kin 40; und -misst man den Umfang aus, so findet sich, dass er 20 · 3265 <big>+</big> -40 · 1460 Spannen, d. h. also die Stadt sollte 20 Phönix- und -40 Sothisperioden überdauern.</p> - -<p>»In unserer Tafel haben wir es nun mit einem zyklischen -Flächenraum zu tun, 653<sup>2</sup>, und dies ist in Quadrate zerlegt bis -auf 99425, das in zwei Rechtecke zerlegt ist, das ist auffallend, -da doch</p> - -<p> -99425 = 311<sup>2</sup> + 52<sup>2</sup>; 305<sup>2</sup> + 80<sup>2</sup>; 292<sup>2</sup> + 119<sup>2</sup>; 284<sup>2</sup> + 137<sup>2</sup>; -280<sup>2</sup> + 145<sup>2</sup>; 247<sup>2</sup> + 196<sup>2</sup><br /> -</p> - -<p>und keine dieser Möglichkeiten den Chaldäern unbekannt sein -konnte, die mit der Zerlegung von Quadraten vollkommen vertraut -waren.« Ich halte es für äusserst wahrscheinlich, dass der -Pythagoras bereits den Chaldäern bekannt war und von ihnen -nach Indien gekommen ist. Die Ausschliessungen aller der Zerlegungen -muss also ihren guten Grund gehabt haben.</p> - -<div class="sidenote">Die Zahlenmystik auf Tempel-Grundrisse angewandt.</div> - -<p>Es handelt sich um ein schwieriges arithmetisches Problem: -»Ein heiliges Quadrat von 653 so zu zerlegen, dass der -Umfang der Figur eine Zahl von Phönix- und Sothisperioden -und die Tiefe eine ganze Lunarperiode darstellt.« Demgemäss -würde der Tempel folgendermassen angelegt (nach Oppert). Ein<span class="pagenum"><a name="Seite_p100" id="Seite_p100">[S. 100]</a></span> -Vorhof von 400 Ellen im Geviert, mit einer Öffnung von 16 -Ellen, einer Vorhalle desgleichen von 122, eine kleine heilige -Stelle von 30<span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span> auf 30<span class="fraction"><span>9</span><span>20</span></span>, danach ein langer Gang von -869 auf 114, eine quadratische Endhalle von 390. Die -Tiefe ergibt 1806, was unmerklich von 1805, der -Lunarperiode, abweicht, den Umfang findet Oppert, -mittelst der Öffnung zu 5086 = 6 · 653 + 4 · 292. Meine -Berechnung ergibt aber nur 5071 und für das gesamte -Mauerwerk 5429. Die erste Zahl kann mit -2 Öffnungen hinten und vorn auf die Summe von -5 Phönix- und 6 Sothis-Perioden reduziert werden, -wodurch die heilige Zahl des Marduk ihre Ehrung -findet, die letztere (unwahrscheinlichere) auf 1 Phönix- -und 3 Sothisperioden mit Zusatz von 8 Ellen für -einen Eingangsvorbau.</p> - -<div class="figleft" style="width: 100px;"> -<img src="images/pg100_ill.png" width="100" height="378" alt="" /> -<div class="caption">Tempel-Grundriss -des Sargon.</div> -</div> - -<p>Als sehr interessantes Beispiel der Zahlenschreibung -hebe ich Zeile 6 aus der von J. Oppert 1903 -behandelten magischen Quadrattafel hervor, wo sich -vorne das von Oppert ergänzte Summenzeichen tab <img class="big" src="images/pg100_1.png" alt="Symbol" /> findet, -die 118 sar geschrieben werden als 120 - 2, mit dem Minuszeichen -lal, die beiden ner nicht <img class="big" src="images/pg100_2.png" alt="Symbol" /> sondern <img class="big" src="images/pg100_3.png" alt="Symbol" /> wiedergegeben sind, -und das Wortzeichen für <span class="gesperrt">Ibdi</span>, Quadrat, <img class="big" src="images/pg100_4.png" alt="Symbol" />, welches selbst -in seiner neuassyrischen Form deutlich die Kombination von Zusammenfassung -und Zwei bekundet, wie das Zeichen von Kubus, -Badie, sich durch drei innere Striche kennzeichnet.</p> - -<div class="sidenote">Über das Vorkommen der 0; Entstehung des Sexagesimalsystems.</div> - -<p>Es drängt sich hier die Frage auf nach der 0, denn das -ist ja noch das einzige, was für die Inder zu retten wäre, da der -Gedanke die Potenzen der Grundzahl durch den Stellenwert der -Ziffer zu kennzeichnen, wie Sie gesehen haben, altbabylonisch ist -und auf die ältesten Zeiten der Völker von Sumer und Accad -zurückgeht. Da geben nun die Tafeln von Senkereh keinen -Aufschluss, denn weder unter den Quadratzahlen noch unter den<span class="pagenum"><a name="Seite_p101" id="Seite_p101">[S. 101]</a></span> -Kubikzahlen der Tafel kommt eine Zahl vor, welche die 0 in -der Mitte verlangte. Aber in den Stimmen von Maria Laach -haben die beiden Patres <span class="gesperrt">S. J. Strassmaier</span> und <span class="gesperrt">Epping</span> -eine sehr schöne Arbeit veröffentlicht »Astronomisches aus Babylon« -oder »Das Wissen der Chaldäer über den gestirnten -Himmel«; hier kommt der Fall der 0 des öfteren vor, da ist nun -meist die 0 aus der Lücke zu erkennen wie auch sonst, aber es -kommt auch dafür das Zeichen <img class="big" src="images/pg101_0.png" alt="Symbol" />, genannt der <span class="gesperrt">Trenner</span>, vor. -Mit diesem Zeichen für die Null ist die Möglichkeit näher gerückt, -dass die 0 babylonisch ist. Es spricht allerdings wieder -manches dagegen, so schreibt der Babylonier 2 meist <img class="big" src="images/pg101_1.png" alt="Symbol" /> und nicht -<img class="big" src="images/pg101_2.png" alt="Symbol" /> und 61 wird durch (soss) d. h. <img class="big" src="images/pg101_3.png" alt="Symbol" /> wiedergegeben und z. B. -120 kommt bis dato nicht in der Form <img class="big" src="images/pg101_4.png" alt="Symbol" /> vor, statt <img class="big" src="images/pg101_5.png" alt="Symbol" /> oder -<img class="big" src="images/pg101_6.png" alt="Symbol" />.</p> - -<div class="sidenote">Ursprung des Sexagesimalsystems.</div> - -<p>Nun, meine Herren, lassen Sie uns die allerinteressanteste -Frage berühren: wie ist das Sexagesimalsystem entstanden?</p> - -<p>Da waren nun bis vor kurzem alle Autoritäten, vor allen -<span class="gesperrt">M. Cantor</span> darin einig, dass es vom Himmel stamme, d. h. -nicht bildlich sondern physisch, und dass es auf das Engste mit -der Teilung des Kreises in 360 Teile, die als altbabylonisch feststeht, -zusammen hänge. Nach dem Vorgang eines Italieners -<span class="gesperrt">Formaleoni</span> von 1788 nahm auch M. Cantor 100 Jahre später -an, die Quelle der Kreisteilung in 360 sei ein uralter grober -Irrtum der Babylonier über das Sonnenjahr gewesen. Diese -schärfsten aller Himmelsbeobachter, deren ganzes Leben seit -uralter Zeit unter dem Einfluss der himmlischen Konstellationen -stand, deren ganzer Kult ein Kult der Sonne, des Mondes und -der Sterne, der Naturerscheinungen insgesamt war, die hätten einen -Irrtum, der so grob war, dass er in 8 Jahren 42 Tage betrug, nicht -eher gemerkt, als bis sie ihr ganzes Mass-, Münz- und Gewichtssystem -darauf zugeschnitten. Cantor meint nun, sie seien zur 60 -gekommen von der Kreisteilung aus, auf der Suche nach einer<span class="pagenum"><a name="Seite_p102" id="Seite_p102">[S. 102]</a></span> -passenden Untereinheit hätten sie den Radius als Sehne in den -Kreis getragen und dabei gefunden, dass er <sup>1</sup>/<sub>6</sub> des Kreises gleich -60 Grad spanne, und da hätten wir ja glücklich die 60!</p> - -<p>Wenn <span class="gesperrt">Letronne</span>, Journal des savants étrangers 1817 diese -Hypothese aufstellte, so konnte man diesen Versuch anerkennen.</p> - -<p>Bis etwa 1900 nahmen die Assyriologen diese Erklärung -gedankenlos hin; sie hatten so viele schwierige Probleme, dass -sie das geringe mathematische Material zunächst beiseite liessen. -Wurde doch das Sexagesimalsystem erst nach 1854 von <span class="gesperrt">E. Hincks</span> -entdeckt. In dem von ihm behandelten Mondtäfelchen (Irish -academy) handelt es sich um die in 15 auf den Neumond folgenden -Tagen sichtbar werdenden Teile des Mondes.</p> - -<p>Es seien, heisst es, an diesen 15 Tagen der Reihe nach -sichtbar:</p> - - -<div class="center"> -<table border="0" cellpadding="4" cellspacing="0" summary="Sichtbarkeit des Mondes"> -<tr><td class="tdrcol"></td><td align="right">5</td><td align="right"> </td><td class="tdrcol"></td><td align="right">10</td><td align="right"> </td><td class="tdrcol"></td><td align="right">20</td><td align="right"> </td><td class="tdrcol"></td><td align="right">40</td><td align="right"> </td><td class="tdrcol">1</td><td align="right">20</td></tr> -<tr><td class="tdrcol">1</td><td align="right">36</td><td align="right"> </td><td class="tdrcol">1</td><td align="right">52</td><td align="right"> </td><td class="tdrcol">2</td><td align="right">8</td><td align="right"> </td><td class="tdrcol">2</td><td align="right">24</td><td align="right"> </td><td class="tdrcol">2</td><td align="right">40</td></tr> -<tr><td class="tdrcol">2</td><td align="right">56</td><td align="right"> </td><td class="tdrcol">3</td><td align="right">12</td><td align="right"> </td><td class="tdrcol">3</td><td align="right">28</td><td align="right"> </td><td class="tdrcol">3</td><td align="right">44</td><td align="right"> </td><td class="tdrcol">4</td></tr> -</table></div> - -<p>Hincks nahm an, dass die Mondscheibe in 240 Teile zerlegt -gedacht sei und die weiter nach links stehende Zahl 1.60 2.60 -etc. bedeutete und die Beobachtungszahlen in den ersten 5 Tagen -einer geometrischen, in den folgenden 10 Tagen einer arithmetischen -Reihe folgen. Nebenbei bemerkt ist es nicht unwichtig hier -eine Kreisteilung in 4 Quadranten und jeden Quadranten in 60 -Teile geteilt zu finden, denn damit ist der astronomische Ursprung -des Grades verurteilt. Die Erklärung Hincks wurde dann -zuerst 1854 durch die Tafeln von Senkereh und dann immer -mehr bestätigt. Um 1900 wendeten sich gleichzeitig drei Assyriologen -<span class="gesperrt">Mahler</span>, <span class="gesperrt">Ginzel</span>, <span class="gesperrt">Lehmann</span> gegen den Ursprung -des Systems aus der Jahresbewegung. <span class="gesperrt">Mahler</span> machte höchst -zutreffend darauf aufmerksam, dass das Jahr sich überhaupt nicht -zum Massentnehmen eigene, die Babylonier schon so lange die -Denkmäler reichen mit der Zahl 365,2(4) der Tage vertraut -waren und wie auch die Ägypter ein eigenes Fest der 5 Extratage -feierten. Er wies darauf hin, dass die tägliche Bewegung<span class="pagenum"><a name="Seite_p103" id="Seite_p103">[S. 103]</a></span> -den Lichttag als Hälfte und Vor- und Nachmittag einen Vierteltag -ergäbe.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 325px;"> -<img src="images/pg103_ill.jpg" width="325" height="600" alt="" /> -</div> - -<p>Noch ansprechender -war die Hypothese <span class="gesperrt">Lehmanns</span>, -dass die Babylonier -beobachtet hätten, -dass der Sonnendurchmesser -<span class="fraction"><span>1</span><span>720</span></span> der Ekliptik und -jedes Tierkreisbild <span class="fraction"><span>1</span><span>12</span></span> und -damit das Verhältnis <span class="fraction"><span>1</span><span>60</span></span> -gewonnen sei. Leider -stimmt die Sache nicht. -Die Wasseruhr war den -Babyloniern bekannt und -mit ihrer Hilfe wurde der -Sonnendurchmesser zu 32′ -6″ bestimmt. Nebenbei -bemerkt, ist die genaue -Bestimmung eines der diffizilsten -astronomischen -Probleme, man vgl. die -Arbeiten <span class="gesperrt">Auwers</span> in den -Berliner Sitzungsberichten.</p> - -<p>Der Tierkreis ist allerdings -unzweifelhaft babylonischen -Ursprungs; Sie -sehen hier in der schon -erwähnten Arbeit Eppings -Abbildungen. Die Gleichheit aber der 12 Zeichen ist nicht ursprünglich. -Lehmann fand auch in der Festsetzung der Gold- und -Silberwährung 40 : 3 etwas Himmlisches, nämlich das Verhältnis -der Tage des Jahres 360 und deren des Monats 27. Alles dies -wäre sehr schön, wenn es nur richtig wäre. Das Verhältnis des -Sonnendurchmessers zum Vollkreis ist ungefähr <span class="fraction"><span>1</span><span>673</span></span>, das des Jahres<span class="pagenum"><a name="Seite_p104" id="Seite_p104">[S. 104]</a></span> -zum Monat keineswegs 40 : 3. Auch die 12 Monate zu 30 Tagen -stimmen nicht, denn nie hat ein Monat volle 30 Tage. Das erlösende -Wort hat 1904 wieder ein Lehrer der Mathematik, diesmal -ein pensionierter, gesprochen, <span class="gesperrt">Kewitsch</span> in Freiburg. Er -hat den, man sollte meinen, selbstverständlichen Satz ausgesprochen: -erst Zählen, dann Messen; 6, 60, 360, 3600 waren runde Zahlen -bei den Babyloniern und sind von ihnen an den Himmel versetzt, -in die Natur hineingelegt.</p> - -<p>Damit ist freilich die Frage wie die 6 und die 60 zu Grundzahlen -wurden, nicht gelöst. Kewitsch leitet sie von der Fingerrechnung -ab; er gibt zwei Wege an; den ersten hält er selbst -für nicht sehr wahrscheinlich; dem zweiten zufolge sollen sie, -nachdem alle fünf Finger benutzt, noch einmal die Hand mit -weggestrecktem Daumen als 6 gezählt haben und in Verbindung -mit den 10 Fingern zu 6 · 10 = 60 als Grundzahl gelangt sein. -Kewitsch führt den Umstand, dass das Zeichen für Hand ursprünglich -6 Striche gehabt hat, als Beweis an: Quat-Hand <img class="big" src="images/pg104_1.png" alt="Symbol" />, -später <img class="big" src="images/pg104_2.png" alt="Symbol" />; andrerseits ist die natürliche Stellung der ausgestreckten -Hand doch die, dass der Daumen nicht angedrückt -wird. Ausserdem scheint mir Kewitsch einen Umstand nicht -beachtet zu haben, nämlich den, dass das Sexagesimalsystem der -Sumerer ein durchaus künstliches ist, das mit einer ausserordentlichen -Übung im Rechnen mit grossen Zahlen verknüpft ist und -dass das Zählen an den Fingern bei Entwicklung dieses Systems -ein längst überwundener Standpunkt gewesen ist. Ausserdem ist -die älteste Form des Idiogrammes für Hand, (s. o.), ein ganz -deutliches Bild der 5 Finger mit der Handwurzel und zugleich -Name für fünf.</p> - -<p>Ich halte die Frage für nicht geklärt und wage nur Vermutungen -wie die, dass es sich um eine ganz bewusste von den -Gelehrten, d. h. den Priestern ausgehende Wahl der 6 als teilbar -durch 2 und 3 gehandelt haben kann. Diese Teilung war auch -technisch leicht durchführbar, man vergleiche die Elle des Gudea<span class="pagenum"><a name="Seite_p105" id="Seite_p105">[S. 105]</a></span> -bei <span class="gesperrt">Borchardt</span> (Berliner Berichte 1888, I); diese Wahl kann -sehr wohl astronomisch beeinflusst gewesen sein. Die 60 empfahl -sich als Grundzahl, weil sie durch die ersten 6 Zahlen teilbar -ist und sich sowohl ins Fünfer- als Zehner- als Zwölfer-System -einfügt. In den Mondtafeln von Hincks kommen so ziemlich alle -Faktoren von 60, sogar die Mandel vor.</p> - -<p>Die Beobachtung der Gestirne durchdrang das ganze Leben -des Volkes, denn vom Himmel holten sie die Omina, die Vorbedeutungen, -nach denen sie ihre Handlungen einrichteten. Ein -Wechsel des Beobachters alle 4 Stunden, später alle 2 Stunden -ist durchaus praktisch; (lösen wir doch unsere Posten alle 2 -Stunden ab) und wir wissen jetzt, man vergleiche <span class="gesperrt">Epping</span>, dass -vom Anbeginn an bis in die Seleuciden- und Arsacidenzeit die -Chaldäer den vollen Tag in 6 Teile oder Kas. pu geteilt haben, -und die eigentliche Bedeutung des Wortes Su-su (Schock) ist <span class="fraction"><span>1</span><span>6</span></span>. -Die Unterteilung der Doppelstunden in 10 Teile ist dann zu -genauer Ortsbestimmung durchaus praktisch, und die Zehnteilung -ist am System unserer Finger vorgebildet. Erst später trat die -Halbierung der Doppelstunde und damit die Stunde als 24stel -des Tages ein. Der Tag, d. h. die Dauer der Rotation ist und -bleibt die einzige wirklich in der Natur gegebene Masseinheit, -und selbst wenn die Achsendrehung der Erde nicht völlig konstant -ist, sind wir ausserstande die kleinen Schwankungen zu konstatieren. -Nachdem die 360-Teilung des Tages durchgeführt, -lag es nahe zur Erleichterung des Geschäftsverkehrs das <span class="gesperrt">Geschäftsjahr</span>, -wie auch heute auf 360 Tage und den Monat auf -30 Tage abzurunden. Sie wissen ja, dass noch heute unsere -Soldaten für den 31. keinen Sold bekommen.</p> - -<div class="sidenote">Die Tafeln von Senkereh.</div> - -<p>Ich komme nun auf die Tafel von Senkereh zurück, von der -wir erst seit 1870 durch <span class="gesperrt">Georg Smiths</span> wissen, dass wir darin -Zahlentabellen haben, und die erst <span class="gesperrt">Hincks</span>, wohl des geistig bedeutendsten -Keilschriftentzifferers Entdeckung des Sexagesimalsystems -bestätigte. <span class="gesperrt">R. Lepsius</span>, der grosse Ägyptologe, hat die -Tafel 1877 in der Berliner Akademie in einer längeren Arbeit<span class="pagenum"><a name="Seite_p106" id="Seite_p106">[S. 106]</a></span> -behandelt. Abgesehen davon, dass ihm die mathematische Bildung -mangelte um einzusehen, dass eine Tabelle der Quadratzahlen -zugleich eine der Wurzeln ist, hat er in der Tabelle, deren linke -Kolonne benannte, deren rechte unbenannte Zahlen enthält, einen -Vergleich sumerischer und assyrischer Längenmasse gesehen. In -seiner Arbeit: Beiträge zur alten Geschichte, 1902, hat <span class="gesperrt">C. F. Lehmann</span> -nachgewiesen, dass es sich hier um eine Vergleichung -von Zeitmass und Längenmass handelt und dass wir hier strikte -Durchführung des Sexagesimalsystems vor uns haben. Lehmann -hat nachgewiesen, dass während wir 114 Schritt auf die Minute -rechnen, Römer und Babylonier 120 Schritt à 1<span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span> Ellen, also -180 Ellen, und somit auf die Doppelminute 360 Ellen und auf -den Zeitgrad, auf <span class="fraction"><span>1</span><span>360</span></span> Tages, 360 Doppelellen gehen. Dass aber -die Doppelelle das ursprüngliche Längenmass ist, das zeigen uns -die beiden Massstäbe der Gudea, von denen ich hier Ihnen ein -Exemplar vorführe.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 377px;"> -<img src="images/pg106.png" width="377" height="44" alt="" /> -<div class="caption">Massstab der Gudeastatue, <sup>1</sup>/<sub>2</sub> der nat. Grösse.</div> -</div> - -<p>Ich gebe nun die Tafel von Senkereh in Umschreibung -wieder:</p> - -<p class="center"> -<span class="gesperrt">Kolonne</span> III. -</p> - - - -<div class="center"> -<table border="0" cellpadding="4" cellspacing="0" summary="Tafel von Senkereh"> -<tr><td align="center">Zeit</td><td class="tdrbcol">Zeit-Doppelelle</td><td align="left">Grade</td><td class="tdrbcol" colspan="2">Zeiteinheit</td><td align="left">Raumdoppelelle</td></tr> -<tr><td class="hrule" colspan="6" /></tr> -<tr><td align="left">1 Zeit-Finger</td><td class="tdrbcol"><span class="fraction"><span>1</span><span>60</span></span></td><td class="tdrcol"><span class="fraction"><span>1</span><span>21600</span></span></td><td align="left"><span class="fraction"><span>1</span><span>90</span></span></td><td align="center">Sek.</td><td class="tdrlcol"><span class="fraction"><span>1</span><span>60</span></span></td></tr> -<tr><td align="left">5</td><td class="tdrbcol"><span class="fraction"><span>1</span><span>12</span></span></td><td class="tdrcol"><span class="fraction"><span>1</span><span>4320</span></span></td><td align="left"><span class="fraction"><span>1</span><span>18</span></span></td><td align="center">"</td><td class="tdrlcol"><span class="fraction"><span>1</span><span>12</span></span></td></tr> -<tr><td align="left">1 Elle</td><td class="tdrbcol"><span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span></td><td class="tdrcol"><span class="fraction"><span>1</span><span>720</span></span></td><td align="left"><span class="fraction"><span>1</span><span>3</span></span></td><td align="center">"</td><td class="tdrlcol"><span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span></td></tr> -<tr><td align="left"><span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span> Gar</td><td class="tdrbcol">3</td><td class="tdrcol"><span class="fraction"><span>1</span><span>120</span></span></td><td align="left">2</td><td align="center">"</td><td class="tdrlcol">3</td></tr> -<tr><td align="left">1 Gar</td><td class="tdrbcol">6</td><td class="tdrcol"><span class="fraction"><span>1</span><span>60</span></span></td><td align="left">4</td><td align="center">"</td><td class="tdrlcol">6</td></tr> -<tr><td class="hrule" colspan="6" /></tr> -<tr><td align="left">5 Gar</td><td class="tdrbcol">30</td><td class="tdrcol"><span class="fraction"><span>1</span><span>12</span></span></td><td align="left">20</td><td align="center">"</td><td class="tdrlcol">30</td></tr> -<tr><td align="left">1 Soss = 60 Gar</td><td class="tdrbcol">360</td><td class="tdrcol">1</td><td align="left">4</td><td align="center">"</td><td class="tdrlcol">360</td></tr> -<tr><td align="left">1 Kas-pu = 30 Soss</td><td class="tdrbcol">10800</td><td class="tdrcol">30</td><td align="left">2</td><td align="center">Std.</td><td class="tdrlcol">10800</td></tr> -<tr><td align="left">2 Kas-pu</td><td class="tdrbcol">21600</td><td class="tdrcol">60</td><td align="left">4</td><td align="center">"</td><td class="tdrlcol">21600</td></tr> -</table></div> -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p107" id="Seite_p107">[S. 107]</a></span></p> - -<p>Darin scheint nun Lehmann recht zu haben, dass die Zeiteinteilung -die ursprüngliche gewesen und dass die experimentelle -Beobachtung, dass zirka 480 Schritt auf den Taggrad kommen, -bezw. 120 auf die Minute, dahin geführt hat, das Längenmass -auf die Länge des Sekundenpendels zu gründen.</p> - -<div class="sidenote">Astrologie.</div> - -<p>Welche ausserordentliche Rolle die Astrologie und die sich -aus ihr entwickelnde Astronomie für das religiöse und praktische -Leben der Babylonier spielte, darüber belehren uns schon die jetzt -entzifferten Denkmäler auf das genaueste. In dem schon erwähnten -Werk Sargons I., das nach seinen Anfangsworten genannt -wird: »Wenn der Bel-Stern,« sind bereits 66 ganze oder -gebrochene Tafeln und teilweise in mehreren Exemplaren bekannt. -Wir haben ein anderes Werk: »Wenn der Mond bei -seinem Erscheinen;« hunderte von Tafeln mit astrologischen -Berichterstattungen meist an den König sind im British Museum. -Ich gebe ein paar Beispiele:</p> - -<p>1) Am 15. Tage des Nisan (März-April) halten sich Tag -und Nacht die Wage; sechs Doppelstunden war Tag, sechs Doppelstunden -Nacht. Mögen Nebo und Merodach meinem Herrn -König gnädig sein. Nebo, Gott der Weisheit, Sohn von Merodach, -der als Gott der Frühlingssonne Sohn Bêls, des Gottes der -Luft gedacht wird. Merodach wurde zum Hauptgott in Babylonien -und verschmolz mit Bêl.</p> - -<p>2) An den König, meinen Herrn Ischtarnadinapal, der -oberste der Astronomen der Stadt Arbela; Friedensgruss dem -König (Salem aleikon) meinem Herrn. Ischtar (Astarte, Aphrodite) -von Arbela sei dem Könige, meinem Herrn gnädig; am 29. Tag -machten wir eine Beobachtung, aber die Sternwarte war umwölkt -und wir sahen den Mond nicht. Am 1. Tag des Monats Schebat -(Januar-Februar) im Eponymat (s. u. S. 66) des Bilcharranschadua.</p> - -<p>3) Der Mond ist sichtbar am 1. Tag wie am 28.: Unglück -für das Westland. Der Mond ist am 28. Tage sichtbar: Glück -für das Land Akkad (Babylonien), Unglück für das Westland; -Bericht des Oberastronomen.</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p108" id="Seite_p108">[S. 108]</a></span></p> - -<div class="sidenote">Babylonische Kosmologie.</div> - -<p>Aus derselben Zeit etwa dem 8. Jahrhundert stammen auch -mehrere Fragmente von Festkalendern, welche für jeden einzelnen -Tag des Monats Angaben enthielten, welchem Gott der Tag -geweiht und welche Opfer in den Tempeln dargebracht werden -sollten. Diese Fragmente lassen uns erkennen, dass damals ein -ausgebildeter Kalender in Assyrien bestand, und wenn wir damit -den Eponymenkanon in Verbindung bringen, so ist der Schluss -berechtigt, dass dieser Kalender bis zum Anfang dieses Kanons -heraufreicht, d. h. bis in das 10. Jahrhundert v. Chr. Aus der -Astrologie hat sich die Astronomie der Babylonier entwickelt, -wie aus der Kabbala, den magischen Rechnungen, die Anfänge -der Zahlentheorie. Der Hauptstern ist der Nordpol der Ekliptik, -der dem Anu (Himmel) geweiht war. Als Gegenpol ist der Ea-Stern -(Ozean) = η Argus. (?)</p> - -<p>Die drei Regionen des Himmels, welche vom Nordpol ausgehen, -sind die Region des Anu: Stier, Zwillinge, Krebs und -Löwe, und, beginnend mit dem Aldebaran, die Regionen des -Bel (Luft): Jungfrau, Wage, Skorpion, Schütz; die Regionen -des Ea (Ozean): Steinbock, Amphora (Wassermann), Fische, -Widder.</p> - -<p>Die Milchstrasse, mit ihren beiden Verzweigungen wird als -Euphrat und Tigris aufgefasst. Die Ekliptik ist die Furche des -Himmels; die Milchstrasse erscheint auch unter dem Begriff des -Hirtenzeltes, woher auch unser poetisches »Himmelszelt«. Entstanden -ist der babylonische Tierkreis zu einer Zeit als der Frühlingspunkt, -der jährlich etwa um 50″ zurückweicht, im Stier lag; -also etwa 3000–4000 v. Chr., der dann im Laufe der Zeit -mannigfache Veränderung erlitt bis die völlige Gleichteilung -durchgeführt wurde. Besonders wichtig ist die Untersuchung der -alten Grenzsteine (Kudurru) geworden, von denen Hommel 14 -untersucht hat. Die Abbildung des Tierkreises auf diesen Steinen -geschah vielleicht zum Zweck Konstellationen zur Datierung -festzuhalten. Auf keinem der Steine fehlt die grosse Schlange -als Bild der Milchstrasse und schon auf dem ältesten, der auf<span class="pagenum"><a name="Seite_p109" id="Seite_p109">[S. 109]</a></span> -1070 datiert ist, sind die 12 Zeichen. Die Bilder sind die bei den -Griechen und zum Teil noch heute üblichen.</p> - -<p>Das neueste Werk über diese Grenzsteine ist A new Boundary -Stone of Nebuchadnezzar I. von <span class="gesperrt">W. M. J. Hinke</span>, Bd. IV -der Serie D des grossen Hilprechtschen Sammelwerks the Babylonian -Expedition of the Univ. of Pennsylvania 1907. Hier ist auch -der Zusammenhang mit dem <span class="gesperrt">tibetanischen</span> und indischen -Tierkreisen besprochen.</p> - -<div class="sidenote">Astronomie.</div> - -<p>Die Untersuchung der Namen etc. zeigt, dass der Tierkreis -babylonisch-sumerischen Ursprungs ist und sich von den Babyloniern -zu Ägyptern, Griechen, Indern, Chinesen und zu uns verbreitet -hat. Das gleiche gilt von den Mondstationen oder Häusern, -ihre Zahl schwankte zwischen 24–36, und sie haben sich -ebenfalls nach China, Indien (naxatra) und Arabien verbreitet. -Die helleren Sterne waren ihnen in sehr alter Zeit bekannt. -Aus der Arsakidenzeit der Jahre 122 v. Chr. und 110 sind uns -vollständige Ephemeridentafeln, Bestimmungen der Abstände der -Sterne von festen Sternen der Ekliptik, erhalten. Sie hatten ganz -bestimmte Regeln für die Berechnung des Neumondes und Neulichtes, -die von <span class="gesperrt">J. Epping</span>, S. I. unter Beihilfe des Assyriologen -Strassmaier, S. I. 1889 in den Stimmen aus Maria Laach unter -dem Titel: Astronomisches aus Babylon mitgeteilt sind; es finden -sich darin auch Tabellen des heliakischen Auf- und Untergangs -der Planeten und einer Anzahl von Fixsternen, vor allem des -Sothis, id est Sirius und des »Kakkab mišre« des Orion. Sie -kannten die Periodizität der Finsternisse und konnten deren -Sichtbarkeit für Babylon annähernd vorausbestimmen. Sie hatten -Instrumente, die unserem Astrolabium und Planetarium entsprechen; -sie kannten die mittlere Geschwindigkeit des Mondes, d. h. -den Bogen, den der Mond durchschnittlich während eines Tages -in der Ekliptik beschreibt, die grösste Geschwindigkeit des Mondes, -ebenso die der Sonne und das Gesetz, nach dem die Geschwindigkeit -der Sonne in der Ekliptik sich ändert, sie kannten -die Jahresdauer, die Durchschnittsdauer des Monats von Neumond<span class="pagenum"><a name="Seite_p110" id="Seite_p110">[S. 110]</a></span> -zu Neumond, also des sogenannten mittleren synodischen Monats, -den sie nur um 0,4 <span class="gesperrt">Sekunden</span> länger als wir ansetzten, sowie -die Durchschnittsdauer von einer Erdnähe des Mondes zur andern, -d. i. also den sogenannten mittleren anomalistischen Monat, den -sie nur um 3,6 <span class="gesperrt">Sekunden</span> zu lang ansetzten. Dabei ist erst -ein kleiner Teil des aufgefundenen Materials entziffert und dieser -aufgefundene ein verschwindender Teil des vorhandenen. Hilprecht -berechnet die Zeit, die für Nippur nötig ist bei 400 Arbeitern -auf etwa 100 Jahre!</p> - -<p>Über die Instrumente, deren sich die Babylonier zu ihren -Beobachtungen bedienten, ist wenig bekannt; wir wissen, dass sie -die Zeit durch die Wasserwage massen und durch die Sonnenuhr, -mittelst des Gnomon und aus der Schattenlänge die Meridiane, -bezw. den längsten und kürzesten Tag bestimmten. Aus dem 3. -Jahrhundert v. Chr. sind aber durch <span class="gesperrt">Kugler</span> eine ganze Reihe -sehr feiner Positionsbestimmungen festgestellt worden, die nur -mit Hilfe von Instrumenten wie der sogenannten Armillarsphäre, -dem Diopter etc. möglich war. Der Diopter setzt dann allerdings -die Ähnlichkeitslehre für rechtwinklige Dreiecke, kurz eine Sehnenrechnung -voraus und damit wird es wahrscheinlich, dass die -Sehnenrechnung, die bis dato dem Bessel des Altertums, Hipparch -von Rhodus zugeschrieben wurde, babylonischen Ursprungs ist. -Soviel steht fest, wenn auch anfangs die Astrologie zur Himmelsbeobachtung -insbesondere der Sonnen- und Mondfinsternisse trieb, -seit etwa 300 Jahren v. Chr. gab es an den Sternwarten eine vollkommen -wissenschaftliche Astronomie, und die Beobachtungen der -Babylonier sind oder werden für unsere Mondtafeln noch wertvoll.</p> - -<p><span class="gesperrt">Kugler</span> hat seiner »babylonischen Mondrechnung« von -1900, der pietätvollen Vollendung des <span class="gesperrt">Strassmeier-Epping</span>schen -Werkes, 1907 den ersten Band seines grossen auf 4 Bände -berechneten Werkes »Sternkunde und Sterndienst in Babel« folgen -lassen, unter dem Titel »Entwicklung der Babylonischen Planetenkunde -von ihren Anfängen bis auf Christus.« Wenngleich, wie -Oefele (Mitteilungen zur Gesch. d. Med. u. Naturw. 29. Juni 1908)<span class="pagenum"><a name="Seite_p111" id="Seite_p111">[S. 111]</a></span> -schon hervorgehoben hat, dieser Titel nicht glücklich gewählt ist, -so ist das Buch doch reich an wichtigen Resultaten: Der unbezweifelbare -Nachweis des Babylonischen Ursprungs des Tierkreises -und seiner 12 Zeichen, die Kenntnis der Namen für die Planeten -und die Masisterne, die hellen Sterne der Ekliptik, welche zur -Positionsbestimmung dienten, in Fortsetzung der Leistungen -<span class="gesperrt">P. Jensens</span> aus seinem Hauptwerke, die Kosmologie der Babylonier -1890, die Kunde der technischen Sprache der Babylonischen -Astronomie, die Tatsache der Ekliptikkoordinaten, die Feststellung -des Bogenmasses und der Richtungen, Festsetzung des Bogens -von 22° 3′ zwischen dem festen Koordinatenanfangspunkt 0° -arietis der Babylonier und dem 0-Punkt, dem Frühlingsäquinoktium -von 1800 n. Chr., die Planetenephemeriden infolge Auffinden von -grossen und kleinen Perioden, z. B. für Mars 71 und 41 Jahre, für -Venus 8 Jahre (Fehler nur 3′ 13,3″) etc. Freilich hebt Kugler hervor, -dass im 2. Jahrh. v. Chr. die wissenschaftliche Astronomie der -Babylonier sehr grosse Fortschritte gegen die früheren Zeiten aufweist, -und wie weit dabei hellenischer Geist insbesondere der grosse -Hipparch in Betracht kommt, müsste erst noch untersucht werden.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 412px;"> -<img src="images/pg111_ill.png" width="412" height="112" alt="" /> -</div> - -<div class="sidenote">Geometrie.</div> - -<p>Über die Geometrie der Babylonier müssen wir uns zurzeit -kurz fassen bis grösseres Material vorliegt. Ein Bauplan, eine Tempelanlage -von so vorzüglicher Ausführung wie der von <span class="gesperrt">L. Borchardt</span> -l. c. veröffentlichte, in dem die Türleibungen und die Mauerstärke -berücksichtigt ist (siehe Fig. auf S. 112), Beobachtungen, wie die -von <span class="gesperrt">Kugler</span> mitgeteilten, sind nicht ohne bedeutende geometrische -Kenntnisse möglich, aber was uns direkt übermittelt ist, beschränkt -sich auf ganz wenige Zeichnungen wie die bei Cantor abgedruckten -aus <span class="gesperrt">A. H. Sayce</span> Abhandlung: Babylonian augury by means of -geometrical figures. In der hier beigegebenen Kopie scheinen<span class="pagenum"><a name="Seite_p112" id="Seite_p112">[S. 112]</a></span> -mir mehrfach <span class="gesperrt">alte -Idiogramme</span> wie -N 15 etc. vorzuliegen. -<span class="gesperrt">Bezold</span> bemerkt (Z. -A. XVII p. 95), dass -ein grosser Teil z. B. -der in Kujundschik -gefundenen Figuren -analoge Bedeutung besitzen, -wie die Oppert'sche Konstr. s. Fig. S. 100 und sich auf -kabbalistische Rechnung beziehen z. B. 10 und 3.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 400px;"> -<img src="images/pg112_ill1.png" width="400" height="203" alt="" /> -<div class="caption">Bruchstück des Bauplanes.</div> -</div> - -<div class="figcenter" style="width: 600px;"> -<img src="images/pg112_ill2.png" width="600" height="525" alt="" /> -<div class="caption">Borchardt'scher Bauplan.</div> -</div> - -<div class="sidenote">Babylonische Kreisteilung.</div> - -<p>Feststeht aus ägyptischen und babylonischen Abbildungen, -dass den Babyloniern die Teilung des Kreises in 6 Teile bekannt<span class="pagenum"><a name="Seite_p113" id="Seite_p113">[S. 113]</a></span> -gewesen sei, d. h. de facto. Vom Hereintragen des Radius ist -bisher keine Spur gefunden. Wenn Cantor meint, die 6-Teilung -ist ohne diese Kenntnis nicht möglich, so irrt er sehr. Man -braucht nichts zu wissen als die Tatsache, dass das Rad, bezw. -der Kreis in sich drehbar ist, also zu gleichen Bogen gleiche -Sehnen etc. gehören, u. v. v., dies reicht aus den Kreis experimentell -zu vierteln und zu sechsteln. Im höchsten Grade wahrscheinlich -ist allerdings, dass sie bei einem gesechsteilten Kreise -gesehen haben, dass die Sehne gleich dem Radius ist. Die im -Buche der Könige erwähnten fünfeckigen Pfosten, können genau -so auf einer experimentellen Teilung des Kreises in fünf gleiche -Teile beruhen, wie sie meine Quartaner ohne allen goldenen -Schnitt sehr exakt ausführen.</p> - -<p>Es ist ausserdem eine Tafel bekannt geworden, aber leider -zurzeit nicht auffindbar, in der ein in drei gleiche Teile geteilter -rechter Winkel vorkommt, und das ist fast alles, was wir zurzeit -von der babylonischen Geometrie wirklich wissen; vermuten -müssen wir sehr viel mehr; wäre der Pythagoras, was nach den -Beispielen der quadratischen Gleichungen ganz gut möglich, den -Ägyptern bekannt gewesen, so wäre er sicher den Babyloniern -nicht unbekannt geblieben, aber hier heisst es abwarten.</p> - -<div class="sidenote">Babylonische Rechentabellen.</div> - -<p>Von grosser Bedeutung für die Auffassung der Babylonischen -Arithmetik ist Band XX part. 1 Serie A des <span class="gesperrt">Hilprecht</span>schen -Werkes The Babyl. Expedition of the Univers. of Pennsylv. -1906 (mir erst vor kurzem zugänglich geworden). Es sind -hier, abgesehen von Wiederholungen, 31 math. Tafeln veröffentlicht; -Multiplikationstafeln, Divisionstafeln, Tafeln von Quadratzahlen -und -Wurzeln, eine geometrische Progression. Auf Tafeln, -welche dazu dienen, die Rechnungsresulate rasch in das Sexagesimalsystem -einzureihen, hat H. hingewiesen, deren eine (s. Bild) -er schon in seinem Vortrag von 1903 Bild 45 veröffentlicht hat. -Es hat nun Hilprecht bemerkt, dass <span class="gesperrt">sämtliche bis jetzt -bekannten 46 Multiplikationstafeln sich auf Divisoren -<span class="pagenum"><a name="Seite_p114" id="Seite_p114">[S. 114]</a></span>der Zahl 60<sup>4</sup> beziehen</span>, inkl. der 2 aus Sippar -und Kujundschik, und zwar gehen sie bis 180000×1. Dazu -konstatierte er das Multiplikationszeichen A-R A z. B. 2×1 (=) 2: -<img class="big" src="images/pg114_1.png" alt="Symbol" />, Plan 1, N. 1, das wie das unsrige, oft weggelassen -wird, das Divisionszeichen Igi-Gal, habend Auge gelegentlich -mit hinter dem Quotienten folgenden Distributivzeichen a-an»je«. -Hilprecht konstatierte, dass <span class="gesperrt">alle diese Divisionstabellen -sich wiederum auf 60<sup>4</sup> beziehen</span>, es sind Tafel N. 20, 21, -24, auf denen das Divisionszeichen fehlt, und Tafel 22 obv., wo -es gesetzt wird. Mit Hilfe der wichtigsten Tafel 25 ergänzt H. -Tafel 22:</p> - -<div class="figcenter" style="width: 448px;"> -<img src="images/pg114_ill.png" width="448" height="315" alt="" /> -</div> - - -<div class="center"> -<table border="0" cellpadding="4" cellspacing="0" summary="Divisionstabelle"> -<tr><td align="center">Igi-1-Gal-Bi = 8640000</td></tr> -<tr><td align="center">Igi-2-Gal-Bi = 6480000</td></tr> -<tr><td align="center">Igi-3-Gal-Bi = 4320000</td></tr> -</table></div> - -<p class="noindent">etc., das »Bi« »dessen« bezeichnet den gemeinsamen Dividend 60<sup>4</sup>. -Ich gebe hier als Beispiel die Multiplikationstabelle 15 (Obv. und -Bev.), das 1×1 mit 540, es ist zunächst eingerichtet wie die -anderen, d. h. es fehlt das Zeichen, und es enthält 1a bis 20a, -und dann 30a, 40a, 50a, so dass also 23a berechnet wird als -20a + 3a, wofür es ja auch Tabellen gab. Diese Tafel ist aber<span class="pagenum"><a name="Seite_p115" id="Seite_p115">[S. 115]</a></span> -besonders interessant, weil sie eine derjenigen ist, in denen die -Zweideutigkeit durch die Zusatzlinie am Schluss gehoben wird. -Die Tafel lässt es zweifelhaft, ob man es mit dem 1 × 9 oder -1 × 9.60 zu tun hat, die Schlusszeile (colophon) gibt die nächstniedrige -Tabelle der Serie an und lautet hier 8.60 + 20 mal 1 ist -8.60 + 20 id est 500 × 1 = 500, somit ist die <img class="big" src="images/pg115_1.png" alt="Symbol" /> in unserer -Tafel 9.60. Sehr bedeutsam ist die Tabelle 25, welche in Hilprechts -Übertragung lautet:</p> - - -<div class="center"> -<table border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" summary="Hilprechts Übertragung"> -<tr><td align="left">Linie</td><td align="right">1:</td><td align="left">125</td><td align="right">720</td></tr> -<tr><td /><td align="right">2:</td><td align="left">Igi-Gal-Bi</td><td align="right">103680</td></tr> -<tr><td /><td align="right">3:</td><td align="left">250</td><td align="right">360</td></tr> -<tr><td /><td align="right">4:</td><td align="left">Igi-Gal-Bi</td><td align="right">51840</td></tr> -<tr><td /><td align="right">5:</td><td align="left">500</td><td align="right">180</td></tr> -<tr><td /><td align="right">6:</td><td align="left">Igi-Gal-Bi</td><td align="right">25920</td></tr> -<tr><td /><td align="right">7:</td><td align="left">1000</td><td align="right">90</td></tr> -<tr><td /><td align="right">8:</td><td align="left">Igi-Gal-Bi</td><td align="right">12960</td></tr> -<tr><td /><td align="right">9:</td><td align="left">2000</td><td align="right">18</td></tr> -<tr><td /><td align="right">10:</td><td align="left">Igi-Gal-Bi</td><td align="right">6480</td></tr> -<tr><td /><td align="right">11:</td><td align="left">4000</td><td align="right">9</td></tr> -<tr><td /><td align="right">12:</td><td align="left">Igi-Gal-Bi</td><td align="right">3240</td></tr> -<tr><td /><td align="right">13:</td><td align="left">8000</td><td align="right">18</td></tr> -<tr><td /><td align="right">14:</td><td align="left">Igi-Gal-Bi</td><td align="right">1620</td></tr> -<tr><td /><td align="right">15:</td><td align="left">16000</td><td align="right">9</td></tr> -<tr><td /><td align="right">16:</td><td align="left">Igi-Gal-Bi</td><td align="right">810</td></tr> -</table></div> - -<div class="sidenote">Babylonische Divisionstafeln.</div> - -<p>H. erkannte darin unschwer Divisionen von 60<sup>4</sup> durch eine -aufsteigende Reihe von Divisoren, für die Bedeutung der Zahlen -720; 360 etc. bis 9 wandte er sich an Mathematiker, diese -brachten heraus dass, wenn man die Divisoren in die Form -a šar + b ner + r schreibt, dann <span class="fraction"><span>60<sup>2</sup></span><span>r</span></span> diese Zahlen ergibt. Hiernach -erscheint es allerdings als im hohen Grade wahrscheinlich, dass wir -es hier mit einer kabbalistischen Rechnung zu tun haben, und wir -sehen dass hier wieder 60<sup>4</sup> seine Rolle spielt. <span class="gesperrt">Hilprecht</span> selbst -zitiert aus dem Literaturverzeichnis von <span class="gesperrt">Bezold</span>: »Die Mathematik -stand bei den Babyloniern-Assyriern, soviel wir bis jetzt -wissen, vornehmlich im Dienste der Astronomie und letztere wiederum -in dem einer Pseudowissenschaft, der Astrologie, die wahrscheinlich -in Mesopotamien entstand, sich von dort aus verbreitete.«</p> - -<div class="sidenote">Die goldene Zahl des Platon.</div> - -<p>Ich möchte aber doch bemerken, dass wie der Mangel an -beglaubigender Unterschrift der Tafeln aus Nippur beweist, und -nicht minder die zahlreichen Fehler, dass wir es auch hier, ähnlich -wie in Ägypten, vielfach mit Schülerübungen zu tun haben. Ebenso -sorgfältig wie das Schreiben und Lesen, wurde auch die Elementarkunst<span class="pagenum"><a name="Seite_p116" id="Seite_p116">[S. 116]</a></span> -des Rechnens geübt, selbstverständlich vorzugsweise -an »heiligen« Zahlen, von denen 60<sup>4</sup>, wie es scheint, im Vordergrund -stand. H. hat sicher mit Recht auf die Abhängigkeit -<span class="gesperrt">Platons</span> von Babylon hingewiesen. In die Stelle Republik VIII, -546 B-D hat zuerst der grosse, kürzlich verstorbene Philologe -<span class="gesperrt">Fr. Hultsch</span>, der Herausgeber des Pappos, Licht gebracht, -er hat, Schlömilch XXVII hist. lit. Abt. S. 41, in der sehr dunkel -beschriebenen Zahl des Platon die Zahl 60<sup>4</sup> erkannt und hervorgehoben, -dass ihre Teiler von glückbringendem Einfluss auf die Geburten -und Schicksale der Menschheit sein sollten, wie denn tatsächlich -die nach der kürzesten Fötalperiode von 216 Tagen geborenen -7 Monatskinder bessere Lebenschance besitzen als die -8 Monatskinder. Wesentlich ist hier der Nachweis des Einfluss -Babylonischer Kultur auf die Hellenische, den übrigens m. W. niemand -mehr bestreitet. Gegenüber <span class="gesperrt">Hommel</span> führe ich an, dass die -Babylonische Phönixperiode 653 Jahre und nicht 500 betrug, -und gegenüber Hilprecht, dass nach <span class="gesperrt">Censorinus</span>, wie Hultsch -erwähnt, Plato das Alter der Menschen nicht auf 100, sondern -auf 81 setzte. Dass dabei 36000 eine Rolle gespielt hat, ist -nicht unwahrscheinlich, denn noch Ptolemäos gibt in der μεγαλη -συνταξις 36000 als Cyclus der Präzession an, und Berosus dieselbe -Zahl als altbabylonische Präzessionszahl.</p> - -<p>Dass aber nicht nur die Inder, wie bekannt, in Riesenzahlen -schwelgten, sondern auch die alten Babylonier, beweist -die von Hilprecht mit Glück restaurierte Tafel <span class="gesperrt">Bezold</span>, Katalogue -Kujundschik Vol. I N. 2069, von denen Bezold l. c. die folgenden -4 Zeilen (2 bis 5 der Tablette) veröffentlicht hat:</p> - -<div class="figcenter" style="width: 300px;"> -<img src="images/pg116.png" width="300" height="167" alt="" /> -</div> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p117" id="Seite_p117">[S. 117]</a></span></p> - -<div class="sidenote">Babylonische Riesenzahlen; Quadratwurzeln.</div> - -<p>H. hat überzeugend nachgewiesen, dass diese Tafel aus der -Bibliothek Asurbanipals mit ihren 28 Zeilen dieselbe Bedeutung -hatte wie die Tabellen No. 20, 21, 22, 24 Hilprecht's auf S. 21, es -ist eine Divisionstabelle, aber Divisoren und Quotienten beziehen -sich auf <img class="big" src="images/pg117_1.png" alt="Symbol" /> — — — — — — d. h. auf 60<sup>8</sup> + 10.60<sup>7</sup> id est -195,955,200,000000 also 195 Billionen 955200 Millionen! Zu -dieser Erkenntnis wurde H. in den Stand gesetzt durch die -Bemerkung, dass die längste Zahl links vorn Teilungsstrich vor -<img class="big" src="images/pg117_2.png" alt="Symbol" /> drei Ziffergruppen von je zwei Ziffern hat, also mit 60<sup>3</sup> -zu multiplizieren ist, und die längste Zahl rechts hat hinter -ihrer Ziffergruppe vier andere, ist also mit 60<sup>4</sup> zu multiplizieren.</p> - -<p>Tabellen von Quadratzahlen bezw. Wurzeln sind ziemlich -zahlreich in Nippur gefunden, die Quadrierung ist teils durch -das A-Ra »mal«, teils durch das Idiogramm für Ibdi das aber -etwas von der Rawlinsonschen Tafel IV, 40 abweichende Gestalt -hat. Am leichtesten lesbar ist Pl. 16, No. 28, Quadrate der -Zahlen von 31–39, die dadurch interessant ist, dass sie sich an -die Tafel des Berliner Museums genau anschliesst. H. hat aus -ihr die Kenntnis der Formel für (a + b)<sup>2</sup> gefolgert, da diese -Formel in Indien bekannt war, vgl. S. 161, so ist sie höchst wahrscheinlich -auch den Babyloniern-Assyriern bekannt gewesen. Ein -irgendwie zwingender Beweis ist aber, da mir die Resultate gegeben -werden, <span class="gesperrt">nicht</span> erbracht.</p> - -<p>Sehr dürftig ist wenigstens die bisherige Ausbeute für die -Geometrie, der Inhalt des geraden Prisma und des geraden -Zylinders ist zu allen Zeiten ohne weiteres als Grundfläche mal -Höhe angenommen worden. Das einzige was von Interesse, ist, -dass nach einer Veröffentlichung von <span class="gesperrt">Thureau-Dangin</span> schon -unter der 2. Dynastie von Ur, also rund 3000 v. Chr. man in -Babylonien den Inhalt des Trapezes als Mittellinie mal Höhe -berechnen konnte.</p> - -<div class="sidenote">Vase mit geometrischer Zeichnung.</div> - -<p>Wie hoch entwickelt aber schon in unvordenklicher Zeit<span class="pagenum"><a name="Seite_p118" id="Seite_p118">[S. 118]</a></span> -die geometrische Zeichenkunst war, beweist die von <span class="gesperrt">Kapitän -Cros</span> 1903 in Telloh gefundene Vase, mit deren Bild ich diesen -Abschnitt schliesse.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 480px;"> -<img src="images/pg118_ill.jpg" width="480" height="205" alt="" /> -</div> - - - - -<h2 class="pagebreak">Hellas</h2> - -<p class="pagebreak"><span class="pagenum"><a name="Seite_p121" id="Seite_p121">[S. 121]</a></span> -Unser Werdegang müsste uns nun eigentlich nach Indien -und China führen, aber die Kultur der Inder und Chinesen ist -so abhängig von Babylon, oder, was richtiger ist, ganz Asien -bildete von 4000 v. Chr. bis etwa 100 n. Chr. ein einziges Kulturgebiet, -Ägypten bis zum Nil eingeschlossen, dass wir uns zunächst -gleich nach <span class="gesperrt">Hellas</span> wenden. Die Hellenen sind das erste -Volk, das die Wissenschaft um der Wissenschaft willen getrieben -hat, das Volk, von dem man wohl sagen kann, dass ihm an -Begabung für Kunst und Wissenschaft kein anderes je gleichgekommen -ist, und unter ihnen erwuchs im 6. Jahrh. v. Chr. -aus den Handwerksregeln ägyptischer und babylonischer Priester -die reine Mathematik als Wissenschaft.</p> - -<p>Wohl steht seit den Ausgrabungen <span class="gesperrt">Heinrich Schliemanns</span> -fest, dass die Hellenische Kultur und Kunst sich unter -starkem orientalischen Einflusse, Ägypten eingeschlossen, entwickelt -hat, aber schon für <span class="gesperrt">Kreta</span>, ja selbst für <span class="gesperrt">Cypern</span> ist -auch die selbständige Entfaltung Hellenischen Geistes deutlich. -Die Aufeinanderfolge ist wohl diese. <span class="gesperrt">Cypern</span> fast völlig unterm -Einfluss Babyloniens (Phöniziens); <span class="gesperrt">Kreta</span>: Ägypten und Babylon -vereint. Für Kreta sind epochemachend die Ausgrabungen -von <span class="gesperrt">Evans</span> zu <span class="gesperrt">Knossos</span>, Annalen der brit. Schule -in Athen 1899 ff. bes. 1902 (Bd. 8) u. ff. Daneben die der -Italiener in <span class="gesperrt">Phaistos</span>, Acad. dei Lincei Bd. XII (1902) ff. -Das von Evans in Knossos gefundene herrliche Kunstwerk des -becherkredenzenden Epheben (Jüngling, Page) geht über die -Orientalischen Vorbilder schon hinaus, auch Architektur und -Kleinkunst, z. B. die <span class="gesperrt">polychromen Vasen</span> (sogen. Kamaris-Stil) -ist selbständig.</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p122" id="Seite_p122">[S. 122]</a></span></p> - -<p>Es folgt dann die durch <span class="gesperrt">Schliemanns</span> Ausgrabungen in -Mykene, Tyrinz, Troja zeitlich früher bekannte »<span class="gesperrt">Mykene-Periode</span>«. -Auch sie bekundet starken Verkehr mit dem Orient durch -kretische Vermittlung, aber sie zeigt auch Kreta gegenüber eigenartige -Entwicklung. Die Palastanlage ist ganz verschieden, sie -ist genau die von Homer beschriebene. Was die Kleinkunst -betrifft, so genügt es an die Becher von <span class="gesperrt">Vaphio</span> zu erinnern. -Für die Mykeneperiode verweise ich auf <span class="gesperrt">C. Schuchhardts</span> -Wertung der Schliemann'schen Funde (2. Aufl.). Die Beziehung -zwischen Mykene und Kreta ist zurzeit eine brennende Streitfrage. -<span class="gesperrt">Dörpfeld</span>, kret. u. hom. Paläste, Athen. Mitteilungen -Bd. 30 (1905 p. 257), unterscheidet für die kretischen Paläste -zwei Perioden, a) eine ältere genuin-kretische, b) eine jüngere, in -der Mykenische Eroberer ihre Paläste auf den zerstörten Resten -der älteren erbaut hätten. Gegen Dörpfeld hat <span class="gesperrt">Mackenzie</span>, -Annals of brit. School XI u. XII die Einheitlichkeit und Selbständigkeit -der kretischen Paläste mit triftigen Gründen behauptet. -Dörpfeld hat 1907, Athen. Mitt. 32 p. 576 erwidert. -Die Herkunft der altkretischen Schrift ist zurzeit noch nicht -entschieden, möglicherweise ist sie hetitisch.</p> - -<p>Die politische Geschichte der Hellenen und die Geschichte -der Hellenischen Kunst zu schildern, muss ich den Historikern -und Archäologen von Fach überlassen.</p> - -<div class="sidenote">Mathematikerverzeichnis des Proklos.</div> - -<p>Die wichtigste Stelle für die Geschichte der hellenischen -Mathematik ist das sogenannte Mathematikerverzeichnis bei -<span class="gesperrt">Proklos</span>. Es ist vermutlich ein bei <span class="gesperrt">Geminus</span>, einem Schriftsteller -des ersten Jahrh. v. Chr. erhaltener Auszug aus der Geschichte -der Mathematik des <span class="gesperrt">Eudemos</span>, von der leider nur -wenige Fragmente, z. B. in dem Kommentar des <span class="gesperrt">Simplicius</span> -zu Aristoteles uns erhalten sind.</p> - -<div class="sidenote">Thales von Milet.</div> - -<p>Beginnen wir also mit <span class="gesperrt">Thales von Milet</span>. Herodot -sagt in seinem ersten Buch, dass Thales von phönizischer Abkunft -gewesen, unzweifelhaft lebte er im 7. Jahrh. v. Chr. und -war ein Zeitgenosse des Krösos und Solon. Proklos gibt p. 250<span class="pagenum"><a name="Seite_p123" id="Seite_p123">[S. 123]</a></span> -der <span class="gesperrt">Friedlein</span>'schen Ausgabe an, dass er den Satz von der -Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck gefunden -habe und zwar habe er die Winkel nicht ἴσας sondern ὁμοιας genannt; -p. 299 Satz von der Gleichheit der Scheitelwinkel; p. 157 -Satz, dass die Durchmesser den Kreis halbieren, und p. 352 sagt -Proklos, nach Eudemos, dass Euclid I, 26 der sogenannte 2. Kongruenzsatz -von Thales herrühre, der sich seiner notwendig bedienen -musste bei seiner Methode die Entfernung der Schiffe im -Meere zu bestimmen.</p> - -<p><span class="gesperrt">Marcus Junius Nipsus</span>, ein römischer Agrimensor, -gibt (<span class="gesperrt">M. Cantor</span>) folgende alte Methode, die -so ziemlich die einzige sein kann, die mit den -geringen Kenntnissen, welche nach Proklos dem -Thales zur Verfügung standen und zugleich mit -der Angabe des Eudemos stimmt:</p> - -<p>Die Dreiecke ASD und DCB (s. Fig.) sind -nach den 2 Congr. congruent und damit ist CB -die gesuchte Entfernung.</p> - -<div class="figleft" style="width: 150px;"> -<img src="images/pg123.png" width="150" height="243" alt="" /> -</div> - -<p>Ausser Proklos haben wir Angaben von -<span class="gesperrt">Plutarch</span> (100 n. Chr. Neuplatoniker, ziemlich zuverlässig), in -septem sapient. conviv., wonach Thales die Höhe der Pyramide -durch Messung ihres Schattens bestimmt habe; aber die Quelle -dieses Berichtes ist nach <span class="gesperrt">Diogenes Laertios</span> (Kompilator des -3. Jahrh. n. Chr.) Hieronymos von Rhodos, welcher sagt, er mass die -Pyramiden aus dem Schatten, wenn der Schatten der Pyramidenhöhe -gleich, d. h. bei einer Sonnenhöhe von 45°. Noch weit -unsicherer ist die Angabe bei Diogenes Laertius: <span class="gesperrt">Pamphila</span> -(Ende des 1. Jahrh. n. Chr.) erzählt uns, dass er als der erste, -den Halbkreis in den rechten Winkel einschrieb, und dass er -bei dieser Gelegenheit einen Ochsen opferte. Andere, z. B. -<span class="gesperrt">Apollodoros</span>, der Rechenmeister, schreiben diesen Zug den -Pythagoräern zu. Da Proklos den Satz ausdrücklich erst den -Pythagoräern zuschreibt und eine bei Eutokios erhaltene Stelle -dies bestätigt, so verliert die Nachricht der Pamphila ihren Wert.</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p124" id="Seite_p124">[S. 124]</a></span></p> - -<p>Auch als Astronom wird Thales gerühmt; im Theätet des -<span class="gesperrt">Platon</span> p. 174 lesen wir die Anekdote, dass, als er, den Blick -nach oben gerichtet um den Himmel zu schauen, in den Brunnen -fiel, eine thracische Magd ihn verspottet habe: das was am Himmel -vorginge, wäre ihm bekannt, aber was vor seinen Füssen -läge, das sähe er nicht. (<span class="gesperrt">Socrates</span> setzt bekanntlich hinzu, -dass man mit diesem Spott noch immer gegen die ausreiche, die -in der Philosophie leben.) Die von ihm vorausgesagte Sonnenfinsternis -ist, wie Herodot berichtet, die vom 28. Mai 585 bei -der Schlacht zwischen Medern und Lydern. Nach <span class="gesperrt">Eudemos</span> -hat er auch die Ungleichheit der Jahreszeiten gekannt. Beides -würde auf babylonische Bildungsquellen deuten; und das wird -ganz sicher durch ein Missverständnis des <span class="gesperrt">Diogenes Laertius</span>, -er habe die Sonne als 720 mal Mond angegeben, während der -eigentliche Autor <span class="gesperrt">Apulejus</span> klar und deutlich sagt, er habe -den Sonnendurchmesser als <span class="fraction"><span>1</span><span>720</span></span> der Ekliptik gefunden. Soviel -steht fest durch das einwandfreie Zeugnis von <span class="gesperrt">Herodot</span>, <span class="gesperrt">Platon</span>, -<span class="gesperrt">Aristoteles</span>, <span class="gesperrt">Eudemos</span> und wohl auch von <span class="gesperrt">Xenophanes</span>, -des zeitlich ersten Eleaten: sein Ruhm war sehr bedeutend, -er steht stets an der Spitze der sieben Weisen, und -nach Aristoteles ist er der Begründer der ionischen oder physikalischen -Philosophenschule, des (fälschlich) sogenannten <span class="gesperrt">Hylozoismus</span>. -Aristoteles sagt, dass Thales im Wasser die eigentliche -Urmaterie gesehen habe und setzt hinzu, er vermute, dass -er dazu durch die Beobachtung geführt sei, dass die Nahrung -aller Tiere feucht ist und dass alles aus Samenfeuchtigkeit entstehe.</p> - -<div class="sidenote">Thales von Milet, Anaximander.</div> - -<p><span class="gesperrt">Aristoteles</span> (περί Ψυχής, de anima) fügt hinzu, Thales habe -vielleicht angenommen, dass alles voll Götter sei; beispielsweise -habe er gesagt, dass der Magnet eine Seele habe. Noch müssen -wir seinen Schüler oder wohl richtiger jüngeren Stadtgenossen -<span class="gesperrt">Anaximander</span> erwähnen, obwohl das Mathematikerverzeichnis -ihn nicht nennt. Anaximander markiert in der Geschichte des -Erkenntnisproblems die Stelle, in der das Mathematisch-Unendliche<span class="pagenum"><a name="Seite_p125" id="Seite_p125">[S. 125]</a></span> -auftritt. Er lehrte, der Weltstoff müsse unendlich sein, damit -er sich nicht in der Erzeugung erschöpfe. Er darf daher -nicht unter den empirisch gegebenen Stoffen gesucht werden, und -es bleibt nur das Merkmal der zeitlichen und räumlichen Unendlichkeit -übrig. Daher sagte er αρχη εστι το απειρον. Anaximander -erklärte also die sinnliche Welt durch ein Gedachtes, er -sagt: απειρον ist αιδιον, und ist somit ein Vorläufer der Pythagoräer, -und er hat auch eine Vorstellung davon, dass gegen das -Unendliche die Endliche Anzahl verschwindet.</p> - -<div class="sidenote">Pythagoras.</div> - -<p>Die dem <span class="gesperrt">Thales</span> zugeschriebenen Schriften sind alle -Fälschungen; der nach ihm von Proklos genannte Mamerkos samt -seinem Bruder, dem Dichter Stesichoros, sind spurlos verschollen, -nicht aber der zu dritt genannte <span class="gesperrt">Pythagoras</span>, der einzige -Mathematiker, der in den ganz und halb gebildeten Schichten -aller Kulturnationen populär geworden ist. Und doch ist in dem -Fabelmeer, in dem er geradezu ertrunken ist, sehr wenig wirklich -festes Land zu finden.</p> - -<p><span class="gesperrt">E. Zeller</span> sagt: »Unter allen Philosophenschulen, welche -wir kennen, ist keine, deren Geschichte von Sagen und Dichtungen -so vielfach umsponnen und fast verhüllt, deren Lehre in -der Überlieferung mit einer solchen Masse späterer Bestandteile -versetzt wäre wie die der Pythagoräer.«</p> - -<div class="sidenote">Pythagoräer.</div> - -<p>Die Schriftsteller vor <span class="gesperrt">Aristoteles</span> erwähnen des Pythagoras -und seiner Schüler nur selten. Aus dem 5. Jahrh. haben -wir einzelne Angaben von Xenophanes, Heraklit, Empedokles, -Jon aus Chios, Herodot, Demokrit; aus dem 4. Jahrh. von Platon, -Isokrates, Anaximander II, Andron, Heraklid, Eudoxos, Lyko, -dem Pythagoräer. <span class="gesperrt">Platon</span>, der doch in die Schule der Pythagoräer -ging, ist sehr zurückhaltend mit historischen Nachrichten. -<span class="gesperrt">Aristoteles</span> hat zwar die pythagoräische Philosophie in eigenen -Schriften behandelt; was uns erhalten ist, ist wenig und besonders -was die Zahlenlehre betrifft, nicht frei von Unklarheiten. -Pythagoras selbst spielt dabei nur eine geringe Rolle. Unter den -Schülern des Aristoteles beginnt schon die Sage das Leben des<span class="pagenum"><a name="Seite_p126" id="Seite_p126">[S. 126]</a></span> -Pythagoras zu umspinnen, aber erst in der Zeit des Neupythagoreismus -vom 1. Jahrh. v. Chr. ab sind Romane wie die des <span class="gesperrt">Apollonios -von Thyana</span> und des <span class="gesperrt">Porphyrios</span> und des <span class="gesperrt">Jamblichos</span> -entstanden.</p> - -<p>Feststeht durch das Zeugnis <span class="gesperrt">Herodots</span>, IV., 95, der ganz -beiläufig dort den <span class="gesperrt">Pythagoras</span> erwähnt, dass er als Sohn des -Mnesarchos in Samos geboren, feststeht, dass er um die Mitte -des Jahrhundert, etwa von 580–500 gelebt hat, als reifer Mann -530 etwa nach Unteritalien ausgewandert ist, in Kroton eine -Kongregation, die etwa nach Art der Freimaurer organisiert war, -gegründet hat, und hochbetagt in Metapont gestorben ist. Vorher -soll er zu seiner Bildung lange Jahre Reisen in so ziemlich alle -Länder des orbis terrarum gemacht haben, und dies scheint nicht -unwahrscheinlich. Ganz besonders lange soll er in Ägypten verweilt -haben; aber dann wäre es im höchsten Grade auffallend, -dass <span class="gesperrt">Herodot</span>, der etwa 100 Jahre nach ihm Ägypten bereist -hat, und der den Spuren des Hellenentums dort sehr sorgsam -nachgegangen ist, kein Wort davon erwähnt.</p> - -<p>Der Bund der Pythagoräer war ein religiös ethischer; er -sollte eine Pflanzschule der Mässigkeit, der Tapferkeit, der Ordnung, -des Gehorsams gegen Obrigkeit und Gesetz, der Freundestreue, -überhaupt aller jener Tugenden sein, die zum griechischen -und insbesondere zum dorischen (Spartaner) Begriff eines wackeren -Mannes gehören. Neben den religiösen Beweggründen, die sich -aus dem Walten der Götter und vor allem aus des Stifters Lehre -von der Seelenwanderung für das sittliche Ideal ergaben, wurde -von ihm auch als Bildungsmittel in erster Linie auf die Beschäftigung -mit Mathematik, Musik, auch auf Diätetik und Beschwörung -mittelst Zahl und Musik zur Heilkunst hingewiesen. -Da der Bund seiner ganzen Natur nach sehr bald politisch -oligarchisch wurde und die Regierungsgewalt in den grossen -unteritalienischen Kommunen Kroton, Tarent, Metapont etc. an -sich riss, so richtete sich die demokratische Strömung gegen ihn -und in den Kämpfen, die um die Wende des 5. Jahrh. die<span class="pagenum"><a name="Seite_p127" id="Seite_p127">[S. 127]</a></span> -Aristokratie der Städte stürzten, wurde der Bund gesprengt, ein -grosser Teil der Pythagoräer getötet, darunter vielleicht <span class="gesperrt">Pythagoras</span> -selbst, die andern vertrieben.</p> - -<p>Diese Vertreibung hatte eine Wirkung, die wir mit der -durch die Eroberung von Constantinopel geweckten <span class="gesperrt">Renaissance</span> -vergleichen können. Die mathematischen, philosophischen, -naturwissenschaftlichen Kenntnisse, die bisher auf einen kleinen -Kreis beschränkt waren, wurden nach Griechenland, Kleinasien, -Sizilien verbreitet und bewirkten dort das Aufblühen der mathematischen -Wissenschaften.</p> - -<p>Von den Lehren der <span class="gesperrt">Pythagoräer</span> ist am bekanntesten -die Lehre von der Seelenwanderung (Metempsychose) und die -Anschauung, dass das Wesen der Dinge die Zahl sei, dann ihre -Kosmologie mit der Ordnung der Sphären, dem Zentralfeuer, -der Sphärenmusik, und dann die Harmonielehre gestützt auf die -Auffindung der Intervalle mittelst des Monochords. Ihre ganz -hervorragende Pflege der Mathematik ist unbestreitbar und ebenso, -dass sie zuerst das Bedürfnis nach Systematik und wirklichen -Beweisen empfanden und befriedigten. Wie weit aber die Kenntnisse -der Pythagoräer selbst reichten, ist ganz unmöglich zu bestimmen -und schwierig ist es auch den Stand des Wissens in -der Schule der Pythagoräer, die wir bis zu <span class="gesperrt">Platon</span> und <span class="gesperrt">Archytas</span> -rechnen, zu skizzieren.</p> - -<div class="sidenote">Philolaos.</div> - -<p>Die ersten wirklichen Nachrichten über die Lehre des -Pythagoras rühren von <span class="gesperrt">Philolaos</span> her, einem älteren Zeitgenossen -des Sokrates und Demokrit, der nach der Vertreibung -aus Unteritalien sich nach Theben geflüchtet hatte. Es scheint, -dass <span class="gesperrt">Platon</span> seine Schrift von den Erben in Sizilien gekauft -und daraus seine Kunde des Pythagoreismus und auch viele Anregung -für seine eignen mathematischen und philosophischen Gedanken -geholt hat. Sein Neffe und Nachfolger in der Leitung -der Akademie, <span class="gesperrt">Speusippos</span>, hat die Schrift geerbt und dessen -Bibliothek hat <span class="gesperrt">Aristoteles</span> gekauft, der das Werk veröffentlichte, -d. h. mehrfach abschreiben liess. Nicht unbedeutende<span class="pagenum"><a name="Seite_p128" id="Seite_p128">[S. 128]</a></span> -Fragmente dieses Glaubensbekenntnisses der Pythagoräer haben -sich erhalten und <span class="gesperrt">Aug. Boeckh</span> hat ihre Echtheit dargetan. -Ausserdem besitzen wir eine geringe Anzahl echter Bruchstücke -des Archytas und haben an guten Quellen die Dialoge des -<span class="gesperrt">Platon</span>: Philebos, Theätet, Timäos, der ganz besonders wichtig -ist, und die Physik und Metaphysik des absolut zuverlässigen -<span class="gesperrt">Aristoteles</span>, sowie einige Stellen des <span class="gesperrt">Eudemos</span>, die uns -besonders durch Proklos erhalten sind.</p> - -<p><span class="gesperrt">Philolaos</span> bezeichnet die Zahl als das Gesetz und den -Zusammenhalt der Welt, als herrschende Macht über Götter und -Menschen, die Bedingung aller Bestimmtheit und Erkenntnis. -<span class="gesperrt">Das Begrenzende aber und das Unbegrenzte, diese -zwei Bestandteile der Zahlen, sind die Dinge, aus -denen alles gebildet sei.</span> Die Zahl ist nicht bloss die -Form, durch welche der Zusammenhang der Dinge bestimmt wird, -sondern auch die Essenz, das Wesen, (nicht etwa die Materie), -aus welcher sie bestehen, oder vielleicht richtiger <span class="gesperrt">das Gesetz</span>, -welches die Dinge erschafft. In Fortbildung des auf Naturerkenntnis -gerichteten Gedankengangs der Ionier erkannten sie die -Bedeutung der Zahl, insbesondere der relativen Zahl, für eben -diese Erkenntnis. Philolaos braucht die Ausdrücke ουσια, Wesen, -und αρχη, Grundlage. <span class="gesperrt">Aristoteles</span> und <span class="gesperrt">Philolaos</span> selbst -geben als Grund an, dass alle Erscheinungen nach Zahlen geordnet -sind, dass namentlich die Verhältnisse der Sphärenharmonie -und der Töne, alle ästhetischen, alle räumlichen Bestimmungen, -von gewissen festen Zahlen und Zahlenverhältnissen beherrscht -sind. (Symbolische Rundzahlen z. B. 40. Kabbala der Chaldäer), -und dass unsre Erfahrung nur in der Feststellung der Zahlenverhältnisse -besteht (vgl. Diels, Fragmente der Vorsokratiker p. -250).</p> - -<p>Die Zahlen zerfallen in gerade und ungerade und die gerad-ungeraden -2 (2n + 1). Eins, die unteilbare monas, steht -ausser oder richtiger über den Zahlen; in der reinen Eins, die -geradezu mit der Gottheit identifiziert wird, sind die Gegensätze<span class="pagenum"><a name="Seite_p129" id="Seite_p129">[S. 129]</a></span> -vereinigt, und so wird auch die Eins als gerad-ungerad -bezeichnet.</p> - -<p>Zunächst möchte ich die scheinbaren Widersprüche, die -sich bei Aristoteles in seinem Bericht über die Grundlagen der -Pythagoräischen Philosophie finden, rechtfertigen. Zwischen der -»phantastisch orakelnden, grossartig erhabenen« Sprache des <span class="gesperrt">Philolaos</span> -und der Darstellung bei <span class="gesperrt">Archytas</span>, dem grossen -Mathematiker, sind sicher nicht bloss zeitliche, sondern auch -sachlich bedeutende Differenzen. Ich zweifle gar nicht, dass -Archytas der Pythagoräer gewesen, dessen einfache Klarheit -<span class="gesperrt">Dionysios von Halikarnassos</span> rühmt (Boeckh l. c. p. 43). Und -zwischen beiden gab es sicher zahlreiche Nuancen. Übrigens interpretiere -ich die Stelle Metaph. XIII, 8, 1083b so: »Die Körper -bestehen auf Grund von Zahlen (Verhältnissen).« Auf chemische -Ideen der Pythagoräer habe ich schon in meinem Aufsatz »Über -Mathematik«, Bd. II, Heft 1 der Cohen-Natorp'schen Hefte hingewiesen. -Die Pythagoräer haben die Tonempfindungen durch -den Monochord in Zahlenverhältnisse umgewandelt, und so sind -sie es gewesen, welche zuerst den Schritt von ungeheurer Tragweite -getan, Qualitäten in Quantitäten umzusetzen und so die -Welt der äusseren Erscheinungen, die Physik, in die Welt der -inneren Verknüpfungen, die Mathematik, umzuwandeln. Und so -kommen sie naturgemäss darauf als ουσια, als Substanz, nicht als -ὑλη, Materie, der Dinge, das Bleibende in der Vergänglichkeit, die -Zahl zu setzen, d. i. das math. Gesetz. Als Belag für diese -Auffassung genügt es auf die von Boeckh p. 141 angeführte -Stelle aus <span class="gesperrt">Stobäos</span> zu verweisen; Boeckh hat sie frei in dem -eben angeführten Sinne übersetzt, und den Vergleich mit dem -Gnomon meisterhaft interpretiert: »Das Erkannte (die Dinge) -wird von dem Erkennbarmachenden (der Zahl) umfasst und ergriffen, -wobei eine ursprüngliche Übereinstimmung und Anpassung, -wie des <span class="gesperrt">Gnomon</span> um sein Quadrat herum vorausgesetzt -wird.«</p> - -<p>Das Gnomon ist die ungerade Zahl 2a + 1, welche durch<span class="pagenum"><a name="Seite_p130" id="Seite_p130">[S. 130]</a></span> -ihr Hinzukommen aus a<sup>2</sup> das Quadrat von (a + 1) liefert und -zwar in der geometrischen Form des Winkelhaken.</p> - -<div class="figright" style="width: 82px;"> -<img src="images/pg130_ill.png" width="82" height="80" alt="" /> -</div> - -<p>Eine nähere Ausführung zeigt die Analogie mit den -Chaldäern noch deutlicher, die Zuordnung von Zahlen an die Planeten -und an bestimmte Begriffe. Die Gerechtigkeit z. B. entsprach -dem ισακις ισος, dem Gleichmal gleichen, d. h. der 4 oder -der 9, als der ersten geraden, bezw. ungeraden Quadratzahl; 5 -als Verbindung der ersten männlichen mit der ersten weiblichen -Zahl gleich Ehe, die Einheit Vernunft, weil sie unveränderlich, -die 2 Meinung, weil sie veränderlich etc.</p> - -<p>Das Männliche und Weibliche bezieht sich auf die bekannten -10 Gegensätze des <span class="gesperrt">Philolaos</span>: 1) Grenze und Unbegrenztes. -2) Ungerade und Gerade. 3) Einheit und Vielheit. -4) Rechts und Links. 5) Männliches und Weibliches. 6) Ruhendes -und Bewegtes. 7) Gerades und Krummes. 8) Licht und -Finsternis. 9) Gutes und Böses. 10) Quadrat und Rechteck.</p> - -<p><span class="gesperrt">Aristoteles</span> berichtet uns auch in der Metaphysik über -das dekadische System. Die Zahlen über 10 sind nur Wiederholungen -der ersten 10. (Eine <span class="gesperrt">Art arithm. Kongruenzidee</span>.) -Die Dekas umfasst alle Zahlen und alle Kräfte der -Zahlen; sie heisst daher bei <span class="gesperrt">Philolaos</span> gross, gewaltig, alles -vollbringend, Anfang und Führerin des göttlichen wie des irdischen -Lebens, sie gilt ihm nach Aristoteles als das Vollkommene, -welches das ganze Wesen der Zahl einschliesst. Wir danken -es nur ihr, dass uns ein Wissen überhaupt möglich ist.</p> - -<p>Eine ähnliche Bedeutung hatte die 4heit nicht als 2<sup>2</sup>, sondern -weil 1 + 2 + 3 + 4 = 10, so wird in der Tetractys, dem -Schwur der Pythagoräer, die Zehn, d. h. die Zahl selbst als -Wurzel und Quelle der ewigen Natur gefeiert.</p> - -<p>Auch von den anderen Zahlen hat jede ihre eigene Wesenheit, -z. B. 3 ist die erste vollkommene, denn sie hat nur Anfang, -Mitte und Ende (||| älteste Zahlenschreibung); 6 die zweite gleich -der Summe ihrer Teiler 1 + 2 + 3; 3, 4, 5 sind die Zahlen des -vollkommensten rechtwinkligen Dreiecks.</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p131" id="Seite_p131">[S. 131]</a></span></p> - -<p>Sie sehen in dieser »Zahlenspielerei« den Ernst der Zahlentheorie, -und wenn Aristoteles uns erzählt, dass der Pythagoräer -Eurytos die Bedeutung der einzelnen Zahlen dadurch beweisen -wollte, dass er die Figuren der Dinge, denen sie äquivalent gesetzt -wurden, aus der entsprechenden Zahl von Steinchen (Kinderspiel: -Pythagoras) zusammensetzen wollte, so sehen Sie hier die -Richtung gewiesen, welche die griechische Arithmetik (nicht die -Logistik, die Rechenkunst) während der ganzen klassischen Epoche -eingehalten hat; man vergleiche die Kapitel des Hauptarithmetikers -<span class="gesperrt">Nikomachos von Gerasa</span> über die figurierten Zahlen.</p> - -<p>Ich komme damit auf die Anwendung der Zahlenlehre auf -die geometrischen Figuren. <span class="gesperrt">Aristoteles</span> sagt, sie haben die -Linie durch die Zahl 2 erklärt. <span class="gesperrt">Philolaos</span> nennt 4 die Körperzahl, -<span class="gesperrt">Platon</span> scheint die 3- und 4-Zahl als Flächen- und Körperzahl -von <span class="gesperrt">Philolaos</span> entnommen zu haben. Die Pythagoräer -setzten die Einheit den Punkten gleich, weil die μόνας (Leibniz' -Monade) unteilbar; die gerade Linie als 2, weil sie durch 2 Punkte -bestimmt sei, das Dreieck durch 3 Punkte, der einfachste Körper -durch 4 Punkte bestimmt seien.</p> - -<p>Der Körper <span class="gesperrt">besteht</span> ihm zufolge auf Grund der ihn umschliessenden -Linien und Flächen, wie die Linien und Flächen -durch Punkte und Linien determiniert werden. Von den 4 -Elementen weisen sie nach <span class="gesperrt">Philolaos</span> der Erde den Kubus, -dem Feuer das Tetraëder (eine Ableitung von Pyramide), der -Luft den Oktaëder, dem Wasser den Ikosaëder zu, dem fünften -alles umfassenden Element, dem Äther, den Dodekaëder, d. h. -sie nahmen an, dass die kleinsten Teile dieser Elemente die betreffende -Form hätten. (Hier haben wir also schon den Grundgedanken -der Stereochemie, nur kommt der Tetraëder dem Feuer -statt der Kohle zu.) Daher heissen diese Körper oft die kosmischen, -und, da sich <span class="gesperrt">Platon</span> im Timäus von <span class="gesperrt">Philolaos</span> -diese Zueignung angeeignet hat, so heissen sie auch oft die -platonischen.</p> - -<p>Es scheint nicht unglaubhaft, dass der fünfte Körper, der<span class="pagenum"><a name="Seite_p132" id="Seite_p132">[S. 132]</a></span> -Dodekaëder, eine Entdeckung der Pythagoräer gewesen und im -Zusammenhang damit steht die Konstruktion des regelmässigen -Fünfecks und damit des goldenen Schnittes.</p> - -<div class="sidenote">Boeckh's Interpretation des Philolaos.</div> - -<p>In der Geschichte des Erkenntnisproblems, das die eigentliche -Geschichte der Kultur ist, bezeichnen die Pythagoräer einen -grossen Fortschritt gegenüber den Ioniern, da sie zum ersten -Mal nicht in religiöser sondern in philosophischer Form die Erkenntnis -haben, dass die sinnliche Erscheinung der Welt nicht -das letzte, sondern dass ein geistiges Prinzip dahinterstehe. Sie -fanden es in der Mathematik, die ja auch Plato als zwischen den -Dingen und den Ideen stehend auffasst; und nicht weil sie sich -mit Mathematik beschäftigten, sahen sie in der Zahl die Substanz -der Dinge, sondern umgekehrt, weil sie nach einem die Erscheinungswelt -beherrschenden Gesetz der Vernunft <span class="gesperrt">suchten</span>, -<span class="gesperrt">fanden</span> sie dies in Mass und Zahl. Das Hauptwerk für die -Philosophie der Pythagoräer ist neben <span class="gesperrt">Brandis</span> und <span class="gesperrt">Zeller</span>, -die Geschichte der Phil. von <span class="gesperrt">Ritter</span> 1828, wozu die Kritik von -<span class="gesperrt">Ernst Reinhold</span> (Jena) im Jahrb. für wiss. Kritik 1828 p. -358 zu vergleichen ist. Am tiefsten scheint mir der grosse Philologe -<span class="gesperrt">August Boeckh</span> in den Geist der Pythagoräer eingedrungen -zu sein in seiner Schrift: <span class="gesperrt">Philolaos</span> des Pythagoräers -Lehren etc., Berlin 1819. Gegenüber Zeller, dem Klassiker der -griechischen Philosophie, der aber auch m. E. nach den Pythagoräern -nicht gerecht geworden ist, ist <span class="gesperrt">W. Kinkel</span> in seiner -Geschichte der Philosophie als Einleitung in das System der -Philosophie Bd. 1, 1906 neben eigenen Auffassungen vielfach auf -<span class="gesperrt">Ritter</span> und <span class="gesperrt">Boeckh</span> zurückgegangen. Bei dieser Sachlage -sei mir ein näheres Eingehen auf den Kern des Pythagoreismus -gestattet.</p> - -<p>Auch über den dunkelsten Punkt der Lehre des Philolaos -hat Boeckh mit bewunderungswürdig genialem Instinkt Licht verbreitet: -Es ist die Stelle Metaphysik I, 5 des Aristoteles: Του δε -αριθμού στοιχεια το τ' αρτιον και το περιττόν, τούτων δε το μεν πεπερασμενον -το δε άπειρον, το δ' ἑν εξ αμφοτέρων ειναι τουτων [και γαρ αρτιον ειναι και<span class="pagenum"><a name="Seite_p133" id="Seite_p133">[S. 133]</a></span> -περιττον], τον δ' αριθμον εκ του ἑνος. »Grundlegungen der Zahlen sind -das Gerade und das Ungerade, das erste begrenzt, das andere unbegrenzt. -Die Eins besteht aus beiden. Die Zahl aber stammt aus -der Eins.« Was zunächst die Gegensätze begrenzt (bei Philolaos -und Platon richtiger begrenzend oder Grenze) und Unbegrenztes, -und Gerade und Ungerade, wie überhaupt die 10 Gegensatzpaare -der Pythagoräer betrifft, so stimme ich Ritter bei, dass sie den -einen Heraklitischen Gedanken verkörpern, der Streit (id est die -Polarität) ist der Vater der Dinge. Gerade in der Ausgleichung -dieser Gegensätze besteht nach Philolaos die pythagoräische <span class="gesperrt">Harmonie</span>. -Dann aber hat Boeckh es hervorgehoben, dass hier -in andrer Form in der Bildung der Zahl aus Grenze und Unbegrenztem, -auch Unbestimmtem, eigentlich schon von den Pythagoräern -genau dasselbe ausgedrückt wird, was ich 1884 chemisch -rein von Kenntnis des Pythagoreismus auf S. 1 meiner »Elemente -der Arithmetik als Vorbereitung auf die Funktionentheorie«, sub -4, d gesagt habe: »d) wird die erzählte Zahl als Anzahl des abgezählten -Komplexes erhalten durch eine eigne Tätigkeit, welche -den Zählprozess abschliesst (begrenzt).« Und 1906 fügte ich -hinzu: Hierin haben wir die erste Äusserung des so entscheidend -wichtigen <span class="gesperrt">Grenzbegriffs</span> (Meth. der elem. Arithm. p. 9 u.). -Und ganz analog dem was bei Boeckh S. 55 über 1 und die -unbestimmte Zweiheit, die erst durch Anwendung der begrenzenden -Eins zur zwei wird, gesagt wird, habe ich l. c. gesagt, dass -zwei im Grunde die einzige Zahl sei, und die Drei eine neue -Zwei. In diesem doppelten Zusammentreffen sehe ich wieder -eine Bestätigung meines Lieblingssatzes: Nie hat irgendwer irgendwas -gefunden.</p> - -<p>Der Grund, weshalb in sekundärer Weise die ungeraden -Zahlen dem Begrenzenden zugeordnet werden und die geraden dem -Unbegrenzten, scheint mir darin zu liegen, dass aufgelöst in Einheiten -die ungeraden Anfang, Mitte und Ende haben, die geraden -nur Anfang und Ende, und die Mitte unbestimmt ist. -Ausserdem hat Boeckh wohl auch darin recht, dass im Volke<span class="pagenum"><a name="Seite_p134" id="Seite_p134">[S. 134]</a></span> -eine Bevorzugung der ungeraden Zahl herrscht: (Aller guten Dinge -sind 3, 1001 Nacht etc.).</p> - -<p>Auch der Zusammenhang der Zahl mit der Zeit findet sich -angedeutet. Zeit und Raum verlegen sie an die Peripherie der -Welt, von wo aus sie in die Welt eintreten, und indem sie -sich mit der schöpferischen Eins verbinden die Erzeugung des -Seienden bewirken. Hier liegt, wenn auch bildlich verschleiert, -die Ahnung von Zeit und Raum als Bedingung der Erfahrung -vor und zugleich davon, dass die Kategorie Zeit mittelst der -Kategorie Zahl die Welt der Erscheinungen realisiert d. h. begreiflich -macht.</p> - -<div class="sidenote">Kosmogonie und Pantheismus der Pythagoräer.</div> - -<p>Die Kosmogonie der Pythagoräer ist von <span class="gesperrt">Boeckh</span> l. c. -und in seinen Arbeiten zum <span class="gesperrt">Timäos des Platon</span> erschöpfend -behandelt, sie ist voll tiefer Gedanken und der des Aristoteles entschieden -überlegen. Aber die gewaltige Autorität des Aristoteles, -dem sich <span class="gesperrt">Poseidonios</span> anschloss, hat die Entwicklung heliozentrischer -Ideen wie sie sich schon bei Philolaos und noch mehr -bei <span class="gesperrt">Hiketas</span> finden auf Jahrtausende gehemmt, bis infolge der -Renaissance <span class="gesperrt">Kopernikus</span> auf die Pythagoräer zurückging.</p> - -<p>Nur noch ein paar Bemerkungen, welche für die Frage -nach der Priorität des Pythagoräischen Satzes wichtig sind. Der -bei Philolaos (vgl. Boeckh und Ritter) scharf ausgesprochene -<span class="gesperrt">Pantheismus</span> und die <span class="gesperrt">Weltseele</span> weisen deutlich auf Indien, -wie die Zahlenmystik, das grosse Weltjahr auf Babylon. Wie -die Babylonier den einzelnen Göttern einzelne Zahlen zuordnen, -so werden hier den einzelnen Göttern, d. h. den Personifikationen -von Kräften des Einen einzelne Winkel zugeordnet. Möglicherweise -können auch die <span class="gesperrt">Orphiker</span> mit ihrer Geheimlehre die -Vermittler zwischen dem Orient und den Pythagoräern gewesen -sein.</p> - -<div class="sidenote">Mathematische Kenntnisse der Pythagoräer.</div> - -<p>Nach diesem Exkurs fahre ich in dem Bericht über die -rein mathematischen Kenntnisse der Pythagoräer fort.</p> - -<p>Es ist sehr glaubhaft, dass ihnen das Sternfünfeck, das -Pentalpha oder pentagramma bekannt gewesen und dass sie sich<span class="pagenum"><a name="Seite_p135" id="Seite_p135">[S. 135]</a></span> -desselben als Symbol für »sei gesund« bedienten, wofür die bekannte -Stelle aus Lukianos (pro lapsu in salut.) angeführt wird -(s. Fig.).</p> - -<div class="figright" style="width: 128px;"> -<img src="images/pg135_ill.png" width="128" height="120" alt="" /> -</div> - -<p>Das Θ statt des Diphtonges ει, die Figur als Anfang -der Briefe statt des sonst üblichen: »sei gegrüsst«.</p> - -<p>In Verbindung damit steht die Kenntnis von den Proportionen, -der arithmetischen a - b = c - d, der geometrischen -a : b = c : d, und der Spezialfälle a - b = b - c, a : b = b : c, d. h. -des arithmetischen und geometrischen Mittels, dem sie als drittes -das harmonische Mittel anreihten: <span class="fraction"><span>a - b</span><span>b - c</span></span> = <span class="fraction"><span>a</span><span>c</span></span>; (<span class="fraction"><span>2</span><span>b</span></span> = <span class="fraction"><span>1</span><span>a</span></span> + <span class="fraction"><span>1</span><span>c</span></span>); harmonisch, -weil die Seitenlängen des Grundtones c der Quinte g der -Oktave C 1, <span class="fraction"><span>2</span><span>3</span></span>, <span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span> diese Proportion bilden, denn 1 - <span class="fraction"><span>2</span><span>3</span></span> : <span class="fraction"><span>2</span><span>3</span></span> - <span class="fraction"><span>1</span><span>2</span></span> = <span class="fraction"><span>1</span><span><sup>1</sup>/<sub>2</sub></span></span>. -Dass sie diese Verhältnisse kannten, bezeugt <span class="gesperrt">Philolaos</span> ausdrücklich -und ebenso <span class="gesperrt">Eudemos</span>, und sie fanden sie auch am -Würfel anschaulich vor.</p> - -<p>In der Geometrie schuldet man ihnen nach dem Zeugnis -des Eudemos bei Proklos den Beweis des Satzes von der Winkelsumme -im Dreieck durch Ziehen der Parallele und den Satz von -den Wechselwinkeln.</p> - -<p>Nach der durch Geminos, dem Eudemos vorlag, verbürgten -Notiz im Kommentar des <span class="gesperrt">Eutokios</span> zu den Kegelschnitten des -Apollonios bewiesen »die Alten den Satz für jede besondere -Form des Dreiecks einzeln, zuerst für das gleichseitige aus der -Sechsteilung des Kreises, dann für das gleichschenklige und zuletzt -für das ungleichseitige.«</p> - -<p>Diese Notiz ist für die <span class="gesperrt">Geschichte des Parallelenaxioms</span> -von grösster Bedeutung, sie beweist, dass der vielleicht -neueste Weg das Axiom zu begründen, von der Sechsteilung des -Kreises aus, zugleich der älteste ist.</p> - -<p>Wir haben ferner das Zeugnis des Eudemos, Proklos I -prop. 44, dafür dass die Pythagoräer sich schon mit den drei -Aufgaben beschäftigten, welche die Grundlage der Kegelschnitte -enthalten: An eine gegebene Strecke einen gegebenen Flächenraum<span class="pagenum"><a name="Seite_p136" id="Seite_p136">[S. 136]</a></span> -zu entwerfen (παραβαλειν) bezw. die Aufgabe (Euclid 1, 44 -Eucl. 3, 28, 29) so zu verallgemeinern, an eine gegebene Strecke -AB einen gegebenen Flächenraum als Rechteck Ay so anzulegen, -dass ein Quadrat By übrig bleibt (ελλειψις) oder überschiesst -υπερβολή. Man sieht in der Tat (s. Fig.), wir haben: -ax = y<sup>2</sup>; ax - x = y<sup>2</sup>; ax + x<sup>2</sup> = y<sup>2</sup>.</p> - -<div class="figleft" style="width: 131px;"> -<img src="images/pg136_ill.png" width="131" height="172" alt="" /> -</div> - -<div class="sidenote">Das Irrationale bei den Pythagoräern.</div> - -<p>Nehmen wir dazu noch die Kenntnis der -Pythagoräer von der <span class="gesperrt">Irrationalität der √<span class="sqrt">2</span></span> -und damit die Entdeckung des Irrationalen, oder, -wie es zuerst weit passender genannt wurde, des -ἄρρητον, so fehlt uns nur noch der Pythagoräische -Lehrsatz selbst.</p> - -<p>Von der ungeheueren Revolution, die diese Entdeckung des -Irrationalen in den Köpfen der griechischen Mathematiker hervorbrachte, -haben wir noch deutliche Spuren. Es wird uns erzählt, -dass sie diese Kenntnis als das Hauptgeheimnis behandelten -und dass ein Pythagoräer, der es unter die Leute gebracht, zur -Strafe ertrunken sei. Man denke sich nur den Eindruck! Die -Zahl, die das Mass aller Dinge, die Grundlage aller Ordnung -und damit Erfahrung, hier versagte sie, und Grössen, deren Verhältnis -in der Potenz, έν δυνάμει, im Quadrat, das denkbar Einfachste, -haben in der Linie kein Verhältnis. Die ganze Grundlage -des Gebäudes wankte, alle Satze, wie z. B. die Streckenteilung, -mussten neu geprüft werden. <span class="gesperrt">Aristoteles</span> hat uns -den mutmasslich ältesten Beweis erhalten:</p> - -<p>»Wenn eine √<span class="sqrt">2</span> existierte, so müsste Gerades gleich Ungeradem -sein.«</p> - -<p>Wir wissen aus dem Theätet, dass dann geometrische Beweise -gegeben sind; der für 2 ist im Euclid erhalten, der für -ist vermutlich der, den Bretschneider und ich selbst unabhängig -von ihm gegeben, für 5 ist er selbstverständlich. Theätet erzählt -bei Plato, dass der Pythagoräer Theodoros von Schritt zu -Schritt bis zu 17 solche einzelnen Beweise gegeben und dann -den allgemeinen auf arithmetischer Grundlage, indem er die Zahlen<span class="pagenum"><a name="Seite_p137" id="Seite_p137">[S. 137]</a></span> -in Quadratzahlen und in Rechteckzahlen geteilt, d. h. in solche -die nicht in zwei gleiche Faktoren zerlegt werden können. Der -Beweis war also arithmetisch:</p> - -<p>n = p<sup>2</sup>q, √<span class="sqrt">n</span> = λ, λ<sup>2</sup> = p<sup>2</sup>q, λ = p√<span class="sqrt">q</span>, √<span class="sqrt">q</span> = ν, q = ν<sup>2</sup> -gegen die Voraussetzung.</p> - -<p>Resumieren wir, so waren den Pythagoräern im wesentlichen -die geometrischen Sätze bekannt, die auf Gleichungen ersten und -zweiten Grades führten; das erste und zweite Buch des Euclid, -ein grosser Teil des dritten und des zwölften; und ihre Ausläufer -insbesondere <span class="gesperrt">Archytas</span> und <span class="gesperrt">Hippokrates</span> haben schon -die Probleme dritten Grades in Angriff genommen.</p> - -<div class="sidenote">Der Pythagoräische Lehrsatz.</div> - -<p>Ich wende mich nun zu dem Satz, der den Namen des -Pythagoras seit über 2 Jahrtausenden trägt.</p> - -<p>Über diesen grossen Satz, den magister matheseos, auf den -die Flächenrechnung und die Trigonometrie sich stützen, drückt -sich <span class="gesperrt">Proklos</span> sehr vorsichtig so aus: »Wenn wir auf die, -welche alles erzählen wollen, hören, so finden wir, dass sie diesen -Satz auf Pythagoras zurückführen und sagen, bei der Auffindung -habe er einen Ochsen geopfert.« Der erste Schriftsteller, welcher -ganz bestimmt Pythagoras nennt, ist der römische Architekt -<span class="gesperrt">Vitruv</span>, und nur in Verbindung mit der Hekatombe wird die -Sache erzählt. <span class="gesperrt">Hankel</span> sagt: »Doch möchte ich nicht so weit -gehen, den Satz dem Pythagoras abzusprechen, obwohl keine -einzige nur einigermassen glaubwürdige Nachricht darüber vorhanden -ist.« <span class="gesperrt">Cantor</span> plädiert für Pythagoras selbst, und er -hat darin wohl recht, dass die Schule durch den Meister den -Satz kennen gelernt; den Satz selbst aber hat Pythagoras aus -Asien und mit ausserordentlicher Wahrscheinlichkeit aus Indien. -Auf Babylon weist die Zahlenmystik, die Symbolisierung der -Begriffe in Zahlen, und auf Indien der Lehrsatz und die Lehre -von der Seelenwanderung.</p> - -<div class="sidenote">Die Geometrie der Inder.</div> - -<p><span class="gesperrt">M. Cantor</span> hat noch in der 2. Aufl. die indische Geometrie -als nicht original erklärt, er hat es wiederholt, dass wir die -Geometrie nur auf indischer Grundlage nicht begreifen können,<span class="pagenum"><a name="Seite_p138" id="Seite_p138">[S. 138]</a></span> -ja, er hat sie von Heron von Alexandria, dessen Blüte zwischen -100 v. Chr. und 100 n. Chr. schwankt, abhängen lassen, und -das, obwohl er die Existenz der <span class="gesperrt">Sulba-sutras</span>, d. i. der <span class="gesperrt">Schnurregeln</span>, -der Zimmermannsregeln für die Herstellung der Opferstätte -aus <span class="gesperrt">Thibauts</span> schöner Arbeit in der Asiatic society -of Bengal von 1875 kannte. Dabei hat 1884 der Sanskritist -<span class="gesperrt">Leopold v. Schröder</span> ein Buch geschrieben: »Pythagoras -und die Inder,« in welchem er bereits ziemlich entscheidende Beweise -für die Beeinflussung der Pythagoräer durch die Inder beigetragen -hat.</p> - -<p>Ich schiebe hier einiges aus meinem Vortrag im mathem. -Kolloquium vom 2. Febr. 1903 ein. — Als ich für die Enzyklopädie -den Artikel Pythagoras abschliessen wollte, machte mich -unser Indologe <span class="gesperrt">Leumann</span> auf die damals gerade erschienene -Arbeit von <span class="gesperrt">A. Bürk</span> über das Apastamba Sulba-sutra (Zeitsch. -d. Deut. Morgenl. Ges. Bd. 55, 1901, p. 543) aufmerksam. <span class="gesperrt">Leumann</span> -gab mir auch die Schrift <span class="gesperrt">L. v. Schröders</span> »Pythagoras -und die Inder« Dorpat 1884. Auf Grund dieser Arbeiten inkl. -Thibauts trat ich den Ansichten Schröders und Bürks, dass der -Pythagoras bei den Indern weit älter als bei den Hellenen und -vermutlich von den Indern her entlehnt sei, bei und machte -die Mathematiker auf die Arbeit <span class="gesperrt">Bürks</span> aufmerksam, <span class="gesperrt">Hoffm. -Ztsch.</span> 33, S. 183, 1902. Wie <span class="gesperrt">Bürk</span> legte auch ich besonderen -Wert auf das Auftreten des Satzes vom <span class="gesperrt">Gnomon</span>, d. i. -von der Gleichheit der Ergänzungsparallelogramme, bei den Indern. -Etwa ein Jahr später erschien, auf Verlangen <span class="gesperrt">Cantors</span> beschleunigt, -im Archiv ein Artikel desselben, in dem er ebenfalls -von der Arbeit Bürks Notiz nahm. Aber statt dass nun -Cantor die Selbständigkeit oder wenigstens die relative Selbständigkeit -der Inder, d. h. die Unabhängigkeit ihrer Geometrie -von den Griechen zugegeben, drückt er sich äusserst gewunden -aus, ja selbst seine Heron-Hypothese gab er nicht auf, indem -er sie hinter der zweifelnden Frage am Schluss versteckt, ob -nicht am Ende in den Sulba-sutras verhältnismässig moderne<span class="pagenum"><a name="Seite_p139" id="Seite_p139">[S. 139]</a></span> -Einschiebsel seien. Das Auftreten von Stammbrüchen bei den -erstaunlich genauen Näherungswerten von √<span class="sqrt">2</span> sollte auf Heron -und Ägypten hinweisen; aber sieht man näher zu, so liegt gerade -hier ein entscheidender Unterschied. Während bei den -Ägyptern die gemeinen Brüche als Summe von Stammbrüchen -erscheinen, haben wir bei den Indern auch Differenzen oder genauer -Aggregate; und die Stammbruchform rechtfertigt sich als -Bruchteilung der Massschnur.</p> - -<p>Kulturzusammenhänge bezweifle ich so wenig wie jeder der -sich nicht bloss mit der Kultur eines einzigen Volkes beschäftigt -hat. Angesichts der babylonischen Zahlenzerlegungen und der -quadratischen Gleichungen der Ägypter glaube ich persönlich, -dass der Pythagoras Babyloniern wie Ägyptern vielleicht schon -vor 3000 v. Chr. bekannt war. <span class="gesperrt">Aber Glauben ist kein -Beweis.</span></p> - -<p>Und was den Einschub in das Sulba-sutra nach Apastamba -betrifft, so wäre der gleiche Einschub bei Taittirīya, Baudhāyana, -Maitrāyana, Katyāyana und Mānava, und im Satapatha-Brāhmana -gemacht worden!</p> - -<p>Als ich Heft 9 des <span class="gesperrt">Bühler</span>'schen Grundrisses der Indo-Arischen Philologie, -Astronomie, Astrologie und Mathematik von -<span class="gesperrt">G. Thibaut</span> las, wunderte ich mich, wie befangen sich dieser -hervorragende Kenner des indischen Wissens auf dem Gebiet der -exakten Wissenschaften der Autorität <span class="gesperrt">Cantors</span> gegenüber zeigte. -Derselbe Mann, der 1875 so treffend geschrieben hatte: »Was -nur immer fest mit altindischer Religion verknüpft ist, muss betrachtet -werden, als bei den Indern selbst entsprungen, wenigstens -so lange bis das Gegenteil erwiesen«, der liess sich verblüffen -durch Argumentationen von solcher Ungeheuerlichkeit, wie die -rhetorische Frage: »Kann unmittelbare Anschauung zur Erfindung -neuer Satze führen?« Ich sehe von <span class="gesperrt">Jakob Steiner</span> ganz ab, -von dem es ja notorisch ist, wie viele seiner Sätze, gelegentlich -auch unrichtigen, er der unmittelbaren Anschauung verdankt, -sondern weise nur auf <span class="gesperrt">E. E. Kummer</span> hin, gewiss ein reiner<span class="pagenum"><a name="Seite_p140" id="Seite_p140">[S. 140]</a></span> -Mathematiker wie nur einer, und doch der eigentliche Urheber -der Modellgeometrie für Flächen. Herr <span class="gesperrt">Bürk</span> hat sich dann -auch nicht geniert, die Schwäche der Cantor'schen Argumente -auch bezüglich der Seilspannung beim Tempel von <span class="gesperrt">Edfu</span> — -nebenbei bemerkt erst 237 v. Chr. — aufzudecken, und er wies -mit Recht auf <span class="gesperrt">H. Hankel</span> hin, dessen dünnleibige Fragmente -von einem fast prophetischen, wahrhaft genialen Verständnis für -die Seele der Völker zeugen. Angesichts einiger Bemerkungen -möchte ich hier sagen, dass ich von Bewunderung für die beinahe -übermenschliche Arbeitsleistung Cantors erfüllt bin, aber -die betreffenden Äusserungen in meiner Entwicklung der Elementargeometrie -aufrecht halte. Das Recht zur Kritik, das mir -<span class="gesperrt">Weierstrass</span> zugestand, lasse ich mir von niemandem und -niemand gegenüber rauben, und wenn an irgend einer Stelle, so -gilt für die Wertung der indischen Mathematik durch Cantor -das Horazische:</p> - -<div class="poem"><div class="stanza"> -<span class="i0">Interdum bonus dormitat Homerus,<br /></span> -<span class="i0">Nec semper arcum tendit Apollo.<br /></span> -</div></div> - -<p class="noindent">Übrigens ist die indische Verwandlung des Rechtecks in ein -Quadrat ohne eine schulgerechte Analyse unmöglich, und bei der -Ausmessung der Saumiki vedi findet sich derselbe Beweis, den -wir heute noch für die Flächenformel des Trapezes geben.</p> - -<p>Erklärlich wird das Verhalten Cantors durch sein Dogma, -dass die Hellenen speziell für Geometrie, die Inder für Arithmetik, -insbesondere für Rechnen begabt waren. Leider ist dies -in dem Umfange, wie es Cantor annimmt, falsch. Der leitende -Gesichtspunkt der Entwicklung der griechischen Mathematik war -ein rein arithmetischer. Sie haben erst die Gleichungen ersten -Grades in Form der Proportion gelöst, dann die der zweiten -vermöge der Satzgruppe des Pythagoras und dann die Gleichungen -dritten Grades angegriffen, wie man absolut deutlich aus den -beiden sogenannten Delischen Problemen, der Verdoppelung, -bezw. Vervielfachung des Würfels und der Trisektion des Winkels -erkennt, an die sie sich unmittelbar nach der im zweiten Buch<span class="pagenum"><a name="Seite_p141" id="Seite_p141">[S. 141]</a></span> -des Euclid ausführlich behandelten Lösung der quadratischen -Gleichungen machten. Und die Inder, welche im Anfang ihrer -Geschichte in der Astronomie und damit in der Rechenkunst -durchaus abhängig von Babylon waren, haben höchst wahrscheinlich -ihre Geometrie infolge ihres Kultus selbständig entwickelt.</p> - -<div class="sidenote">Abhängigkeit der Pythagoräer von den Indern.</div> - -<p>Für die Abhängigkeit der Pythagoräer von den Indern hat -<span class="gesperrt">v. Schröder</span> auf die Lehre von der Seelenwanderung hingewiesen; -sie war ein Hauptbestandteil der Pythagoräischen Lehre, -unzweifelhaft, schon Xenophanes berührt sie; Philolaos trägt sie -vor; Aristoteles bezeichnet sie als pythagoräisch; Plato hat seine -poetische Darstellung von dem Zustand nach dem Tode den -Pythagoräern nachgebildet. Philolaos sagt, die Seele sei an den -Körper <span class="gesperrt">zur Strafe</span> gefesselt und gleichsam im Körper begraben. -Diese Anschauung hat <span class="gesperrt">Platon</span> in dem durch und durch von -Philolaos beeinflussten <span class="gesperrt">Timäos</span> angenommen, im Gegensatz zu -seiner früher z. B. im Phädon aufgestellten Ansicht.</p> - -<p><span class="gesperrt">Herodot</span>, der die Seelenwanderung als durchaus unhellenisch -bezeichnet, schreibt sie den Ägyptern zu, aber die Denkmäler -der Ägypter, soviel sie sich auch mit dem Tode und dem -Leben nach dem Tode beschäftigen, weisen keine Spur der Metempsychose -auf. Und was für einen Zweck hätten dann die -riesigen Opfer, welche die Ägypter für die Behaglichkeit des Kha -brachten, ihre Pyramidenbauten, ihre Einbalsamierung gehabt? -Ein einziges ägyptisches Märchen, das von den drei Brüdern, -könnte allenfalls herangezogen werden, doch das gehört unzweifelhaft -in den Kreis der Osirissage.</p> - -<div class="sidenote">Altindischer Kulturzustand.</div> - -<p>Aber in Indien da beherrschte und durchdrang gerade um -diese Zeit die Lehre von der Seelenwanderung das ganze Volk. -Wir wissen mit Bestimmtheit, dass gerade um diese Zeit der -Buddhismus hereinbrach, als dessen Ziel einzig und allein die -Befreiung von dem Kreislauf der Geburten, von der Wanderung -der Seelen durch immer neue Existenzen bezeichnet werden muss. -Und nicht Buddha Gautama war der erste (<span class="gesperrt">Oldenberg</span> 1881, -Buddha, sein Leben, seine Lehre, seine Gemeinde), sondern vor<span class="pagenum"><a name="Seite_p142" id="Seite_p142">[S. 142]</a></span> -und mit ihm durchzogen schon Asceten, Mönche, Wanderpriester -teils einzeln, teils schon Orden und Kongregationen bildend das -Land, um in Busse das Ziel der Erlösung zu suchen.</p> - -<p>Buddhas Erfolg beruht gerade darauf, dass er den Zug nach -Erlösung von der sich immer wiederholenden Qual des <span class="gesperrt">Sterbens</span> -durch seine Lehre befriedigte.</p> - -<div class="sidenote">Der Rigveda und der Yajurveda.</div> - -<p>Die Lehre von der Seelenwanderung entwickelte sich in -Indien naturgemäss im Zusammenhange mit der Lehre vom All-Einen, -deren Wurzeln schon in dem Rigveda, der Sammlung der -uralten heiligen Lieder, die die Inder zum Teil beim Einwandern -aus Afghanistan mitbrachten, zu finden sind. Wohl sind -auch ein paar weltliche Lieder dabei, aber sie finden sich erst -im 10. Buch des anerkannten Textes, der Redaktion der Çakalaschule, -das erst etwa um 1000 v. Chr. den übrigen 9 Büchern oder -mandala zugefügt ist, wenngleich ihr Ursprung natürlich viel -älter ist. Wenn wir uns den Kulturzustand der Inder, der Arya -zurzeit der Entstehung des Rigveda vergegenwärtigen wollen, so -brauchen wir nur die Germania des Tacitus zu lesen, nicht einmal -der Spieltrieb fehlt, wie 10, 34 bekundet: »Nach seinem -Weibe greifen fremde Hände, indes mit Würfeln er auf Beute -ausgeht.« Auch hier ein freies Volk, der König eigentlich nur -Herzog, d. h. Heerführer im Kampfe, der Hausvater, der Sippenälteste, -Herr und König in seinem Hause und zugleich auch -Priester. Eine eigentliche Priesterkaste, ein Bramanentum gab -es noch nicht, überhaupt kein Kastenwesen, auch keine Witwenverbrennung. -Das alles hat sich erst in der folgenden Periode -entwickelt und hängt mit der Ausbildung des Opferrituals eng -zusammen. Wohl spielt auch im Rigveda das Opfer, insbesondere -das des Agni und noch mehr des Soma eine bedeutende Rolle, -aber im Vordergrund steht doch der Hymnus. Übrigens ist die -Periode des Rigveda nicht mehr die altindogermanische, wie aus -dem Zurücktreten des indogermanischen Lichtgottes Djaus, Zeus, -des Tiu der Germanen, angerufen als Djaùs-pitar, Griech. Ζευ -πατερ, umbrisch Dispiter, Lat. Jupiter (vgl. A. Kaegi, der Rigveda<span class="pagenum"><a name="Seite_p143" id="Seite_p143">[S. 143]</a></span> -Anm. 112), des Lichtgottes, des Himmelsvaters, und der -Gäa, der <span class="gesperrt">Mutter</span> Erde, Prithivi, hervorgeht.</p> - -<p>Auch die Götter des Rigveda müssen in der Brahmanen-Periode -dem Dreigestirn Brāhman, Vishnu, Çiva weichen. Der -erstere eine priesterliche Abstraktion der Weltseele, die beiden -anderen, in den Veden erwähnt, aber doch erst später hervortretend -gegen <span class="gesperrt">Varuna</span>, den Himmel, und <span class="gesperrt">Indra</span>, den Kriegsgott, -den eigentlichen Nationalgott des Rigveda. Namentlich der -Kult des schrecklichen Zerstörers Çiva entstammt so recht eigentlich -dem Grund der einheimischen Volksseele, welche die Gewalt -der Naturmächte oder Götter als schwer versöhnliche Feinde der -Menschheit empfindet. Im übrigen sei für die altindische Kultur -zur Vedenzeit auf <span class="gesperrt">H. Zimmers</span> klassisches Werk: Altindisches -Leben (1879) verwiesen.</p> - -<div class="sidenote">Die Bedeutung des Opfers.</div> - -<p>In der auf die Rigvedazeit folgenden Periode, der des -Yajurveda, der Lehre vom Opfer, und der Brāhmana-Texte, -der Kommentare der einzelnen hervorragenden Weisen, nimmt -der Zug nach Erlösung von der Qual des Wiedersterbens seinen -Anfang. Und auf der andern Seite in der Flucht der Erscheinungen -bildet nur eins den ruhenden Pol, der Kern aller -Wesen, der Atman Brahman, der in allem ist, die heilige Weltseele. -Seelen, die in der Hölle der Existenz wandern, werden -durch Busse erlöst zu einem seligen Sein auf dem Monde, aber -die gleiche Vorstellung findet sich bei den Pythagoräern, nur -dass an Stelle des Mondes die Sonne tritt, wie im Satapatha -Brāhmana die seligen Seelen als Sonnenstäubchen erscheinen.</p> - -<p>Gemeinsam ist auch in der Buddha- und Pythagorassage -die Erinnerung an den früheren Seelenzustand.</p> - -<p><span class="gesperrt">v. Schröder</span> sagt in Pythagoras und die Inder:</p> - -<p>»Wer nun mit dieser durch mehrere Jahrhunderte sich erstreckenden -Epoche der indischen Kulturgeschichte vertraut ist, -der nur eigentlich vermag es ganz zu ermessen, welch eine Rolle -zu jener Zeit das Opfer mit seinen unzähligen Details im Geistesleben -der Inder spielte. Das gesamte Sinnen und Trachten des<span class="pagenum"><a name="Seite_p144" id="Seite_p144">[S. 144]</a></span> -hochbegabten Volkes ist in diesem Jahrhundert auf das Opfer, -seine Vorbereitung und Ausführung gerichtet. Die umfangreiche -Literatur, die als Zeuge jener Zeiten zu uns redet, handelt vom -Opfer und immer nur vom Opfer. Dem Opfer in allen seinen -Einzelheiten wird die höchste Bedeutung beigelegt, die Kraft -Götter und Welten zu zwingen, Natur und Menschen zu beherrschen. -Wunderbar übernatürliche Macht wohnt ihm inne -und selbst die Kosmogonie geht auf das Opfer zurück. Aus -Opfern sind alle Welten und Wesen, alle Götter und Menschen, -Tiere und Pflanzen entstanden. Das Zeremoniell des Opfers, wie -schon die Yajurveden zeigen, ist ein ungeheuer kompliziertes und -die kleinste Äusserlichkeit wird mit einem Nimbus von Wichtigkeit -umgeben, der für uns nicht selten das Lächerliche streift. -Die Vorbereitung zum Opfer, die Fertigstellung des Opferplatzes -etc. spielt hier eine hervorragende Rolle. Dabei ist -natürlich die <span class="gesperrt">Konstruktion der Altäre</span> von allerhöchster -Bedeutung. Jede Linie, jeder Punkt, jedes Formverhältnis war -hier von entscheidender Wichtigkeit und konnte nach dem indischen -Glauben jener Zeit, je nachdem es ausgeführt war, Segen -oder Unheil bringen. Über die <span class="gesperrt">Gestalt</span> und <span class="gesperrt">Grösse</span> der -<span class="gesperrt">Altäre</span>, ihr Verhältnis zueinander und zu ihren einzelnen Teilen, -zu den mannigfachsten abstrakten Begriffen, ihre symbolische -Bedeutung und die richtige, nicht bloss gottgefällige, sondern -selbst Götter <span class="gesperrt">zwingende</span> Art ihrer Herstellung haben Generationen -eines hochbegabten, für Spekulation und Abstraktion -und namentlich für rechnerische Leistung sehr beanlagten Volkes -gegrübelt und immer wieder gegrübelt.«</p> - -<p>Und <span class="gesperrt">Bürk</span> und <span class="gesperrt">Leumann</span> stimmen dem zu.</p> - -<p>Es mussten daher die Inder schon in jener sehr frühen -Zeit gezwungen werden, wenigstens auf dem Opferplatze eine -Feldmesskunst auszubilden. <span class="gesperrt">Cantors</span> Ansicht ist um so unbegreiflicher -als er selbst sagt, dass die Sulba-sutras Schriften von -geometrisch-theologischem Charakter sind; wie sie abgesehen von -einigen ägyptischen Inschriften in keiner Literatur sich wiederfinden.</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p145" id="Seite_p145">[S. 145]</a></span></p> - -<div class="sidenote">Konstruktion der Opferstätten und Altäre.</div> - -<p>Wenn nun <span class="gesperrt">Pythagoras</span> in Indien war, so konnte er nicht -nur, so musste er von dort den Satz über das Quadrat der Hypotenuse -mitbringen. Selbst <span class="gesperrt">Cantor</span> hat sich dem, wie erwähnt, -nicht ganz verschliessen können.</p> - -<p>Das Apastamba-Sulbasutra, die Lehre von der Messschnur -nach Apastamba, gehört in den Ausgang der Brāhmana-Literatur, -der Zeit, die auf die Veden folgt.</p> - -<p>Die Veden, von Veda (Lehre, Wissenschaft), enthalten die -ältesten religiösen Satzungen: den Rigveda, soweit sie sich in -Liedern formulieren, und den (schwarzen und weissen) Yajurveda, -der vom Opfer, seiner Zurüstung, den Zeremonien etc. -handelt. Die Veden sind kurz und dunkel. Die riesige Brāhmana-Literatur -bestand in Kommentaren zu den Veden, die die Veden -selbst als bekannt voraussetzen. Gehören die Veden der Zeit -von 1200–1000 an, so gehen die Brāhmanas bis etwa 600, der -Zeit vor dem Auftreten Buddhas.</p> - -<p>Die Sulba-sutras bilden in den verschiedenen Lehrbüchern -der Schulen ein Kapitel der Kalpa-Sutras oder Çrauta-Sutras, -deren Aufgabe es ist das Opferritual übersichtlich darzustellen, -und ihr Sulba-Sutra gibt die Regeln für die genaue Abmessung -des Opferplatzes, der verschiedenen Altäre etc.</p> - -<p>Diese Schulen entsprechen den Babylonischen Tempelhochschulen, -und wie die Fürstpriester Babylons stehen die altindischen -Weisen, die rishi, an genialer Begabung für religiöse und -philosophische Spekulation keinem Platon und Aristoteles nach.</p> - -<p>Die Anfänge des indischen Opferwesens reichen bis in die -Zeit des Rigveda zurück; schon in ihm werden die Altar-Stätten -(vedi) und der dreifache »tri-schadhastha« Sitz des Agni, des -Feuers (= lat. igni-s), des sozusagen irdischen Gottes im Rigveda, -die drei geschichteten Altäre erwähnt: der Altar des Hausherrn, der -garhapatya — der ahavanīya — Opferaltar — und der daksinagni -— Südaltar. Nach den Angaben des Yajurveda handelte es sich -bei dieser Dreiteilung um Quadrate, Kreise und Halbkreise, die -von gleicher Fläche sein mussten.</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p146" id="Seite_p146">[S. 146]</a></span></p> - -<div class="sidenote">Altindische Geometrie.</div> - -<p>Das Verfahren wird selbstverständlich in dem Rigveda, den -wir auf 1200 v. Chr. setzen, nicht erwähnt, doch heisst es: -»kundige Männer massen den Sitz des Agni aus.« Die eigentliche -Blütezeit des indischen Opferwesens war die Periode der -Brahmanas, welche nach <span class="gesperrt">Leumann</span> sich bis ins 7. Jahrhundert -vor Chr. erstreckt. <span class="gesperrt">L. v. Schröder</span> sagt in »Pythagoras -und die Inder«, was <span class="gesperrt">Bürk</span> und <span class="gesperrt">Leumann</span> akzeptieren: »Auf -Grund dieser Sulba-Sutras und unter Berufung auf noch bedeutend -ältere Werke wie die Taittirīya-Samhita (Sammlung) und das so -hochbedeutende Satapatha-Brāhmana (die hundertpfadige Lehre) -lassen sich nun die geometrischen Kenntnisse bestimmen, welche -die Konstruktion der Altäre erforderte,« und ich werde hier also -Gelegenheit nehmen auf die altindische Geometrie näher einzugehen.</p> - -<p>Bei den Altären unterscheidet man die vedi, d. h. das Altarbett, -und den Agni, d. h. den beim Agni-Opfer und beim Soma- -(dem heiligen Trank-) Opfer aus meist quadratischen Backsteinen -geschichteten Feueraltar. Das Somafest wurde zu Ehren Indras, -des Kriegsgottes, gefeiert. Der Gott und die Krieger sollten sich -berauschen an dem Somatrank, der aus einer stark milchsafthaltigen -Pflanze bereitet wurde. Es hatte so hohe Bedeutung, -dass der Somatrank selbst zum Gott gemacht wurde.</p> - -<p>I. <span class="gesperrt">Vedi.</span> Die Inder legten grossen Wert auf genaue rechtwinklige -Herstellung ihrer Altäre, und Apastamba lehrt zu diesem -Zwecke bei der Vedi für das Somafest mehrere <b>ganzzahlig</b> rechtwinklige -Dreiecke anzuwenden, deren Masse zum Teil schon im -Taittirīya- Text und im Satapatha-Brāhmana vorkommen. Und -auf diese bei der Saumiki vedi gelehrte Methode der Ausmessung -weist er bei einer Reihe andrer Vedis zurück. Unter -diesen ist erstens noch die Vedi der Sautramani-Zeremonie hervorzuheben, -welche nach einer alten Vorschrift <span class="fraction"><span>1</span><span>3</span></span> der Saumiki -vedi messen soll (<span class="gesperrt">Thibaut</span>). Es handelt sich dabei um das -Opfer für Indra Su-trāman (Ζευς σωτηρ). Ihre Konstruktion geschah -entweder mit Hilfe der tri-karani oder trtīya-karani (der<span class="pagenum"><a name="Seite_p147" id="Seite_p147">[S. 147]</a></span> -drei oder <span class="fraction"><span>1</span><span>3</span></span> machenden), d. h. entweder mittelst der geometrischen -Konstruktion von √<span class="sqrt">3</span> oder √<span class="sqrt"><sup>1</sup>/<sub>3</sub></span>, und das geht nicht ohne -Pythagoras (denn √<span class="sqrt"><sup>1</sup>/<sub>3</sub></span> = <sup>1</sup>/<sub>3</sub>√<span class="sqrt">3</span>). Apastamba Kap. II, 2 steht -die Figur (s. S. 158), natürlich ohne Buchstaben. Ferner die -vedi beim asvamedha (Rossopfer); da diese doppelt so gross als -die Saumiki vedi sein soll, wird sie mit der dvi-karani; der √<span class="sqrt">2</span>, -ausgemessen.</p> - -<div class="sidenote">Grundriss des Normalaltar.</div> - -<p>Damit ist auch die trtīya-karani erklärt: das Quadrat über -der tri-karani ist in 9 Teile zu teilen (Fig. S. 158).</p> - -<p>Nur wenn die Vedi genau den Vorschriften entsprach, war -das Opfer Gott wohlgefällig, im andern Fall eine Beleidigung. Die -genannten Arten der Vedi und die meisten andern hatten die -Form eines Achsentrapez; dies musste zuerst in ein Rechteck verwandelt -werden (Ap. V, 7), dessen Berechnung, z. B. Ap. S. V 7 -und 9 gelehrt wird.</p> - -<p>II. <span class="gesperrt">Agni — geschichteter Feueraltar.</span> Alle in -den Brāhmanas und Sutras vorkommenden Vorschriften beziehen -sich, wenn nicht anders angegeben wird, auf den catur-asra -syena-cit, auf den viereckig falkenförmigen. Der atman (Wesen, -Seele, Körper) des Altars, der die Gestalt eines Falken in rohen -Umrissen nachahmte, bestand aus vier Quadraten über dem purusa -(Menschenlänge) und der Schwanz -und jeder Flügel aus einem Quadrat-purusa; -um der Gestalt des Vogels -noch näher zu kommen wird jeder -Flügel um 1 aratni (Elle = <span class="fraction"><span>1</span><span>5</span></span> purusa) -und der Schwanz um 1 pradesa (= -<span class="fraction"><span>1</span><span>10</span></span> purusa) verlängert (s. Fig.). Gemäss -seiner Zusammensetzung heisst dieser Altar auch agni saratni-pradesa -saptavidha (z. B. Ap. Sulb. s. XV, 3.).</p> - -<div class="figcenter" style="width: 240px;"> -<img src="images/pg147_ill.png" width="240" height="176" alt="" /> -</div> - -<div class="sidenote">Altindische Geometrie zur Konstruktion der Altäre.</div> - -<p>Bei der Anlage der Grundfläche handelt es sich nun um -die Konstruktion von Quadraten, wofür Apastamba zwei Methoden -überliefert. Die erste Ap. VIII, 8 bis IX, 2 beschrieben, -ist höchst altertümlich und primitiv (Fig. 2), sie ist älter als die<span class="pagenum"><a name="Seite_p148" id="Seite_p148">[S. 148]</a></span> -bei Thibaut beschriebene von Baudhāyana zum caturasra-karana. -Für alle vier Quadrate sieht sie aus wie Fig. 3, aus der sich -dann die von Baudhāyana beschriebene Fig. 4 entwickelt hat.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 420px;"> -<img src="images/pg148_ill.png" width="420" height="146" alt="" /> -</div> - -<p>Die zweite jüngere ist die mittelst des visesa, d. h. mit einem -Rest, d. h. der Näherungswert <sup>17</sup>/<sub>12</sub> (Thibaut) für die √<span class="sqrt">2</span>, also 1,417, -Fehler < 0,003; sie setzt den Pythagoras voraus für den Spezialfall. -(Ap. Sulba sutra IX, 3), bei Apastamba <span class="fraction"><span>577</span><span>408</span></span> = 1,4142156; -der Bruch ist auf 5 Dezimalen richtig</p> - -<p class="center"> -1 + <sup>1</sup>/<sub>3</sub> + <sup>1</sup>/<sub>3·4</sub> - <sup>1</sup>/<sub>3·4·34</sub>; √<span class="sqrt">2</span> = 1,414213; Fehler < <sup>3</sup>/<sub>10<sup>6</sup></sub>.<br /> -</p> - -<p>Wenn der Inder durch das Opfer besondere Wünsche erzielen -wollte, so traten an die Stelle der Normalform die Kamyas, -d. h. es gibt besondere agnis für solche Zwecke. Dahin gehört der -agni in Gestalt eines Falken mit eingebogenen Flügeln und ausgebreitetem -Schwanze, der in Form eines gleichschenkligen Dreiecks -praüga-cit, vordere ochsenjochförmig, eines Doppeldreiecks, -eines Wagenrads, rathacakra-cit, eines Troges etc. Aber so -mannigfach die Gestalten der Kamyas waren, so musste die Grundfläche -<span class="gesperrt">genau so gross</span> sein wie bei der Normalform. Man -musste also schon zur Zeit der Taittirīya Samhita verstehen, eine -geometrische Figur in eine andere ihr flächengleiche zu verwandeln.</p> - -<p>Die Aufgabe zu diesem Zwecke war:</p> - -<p>1. Beim kreisförmigen hatte man zunächst ein Quadrat -= der 7<sup>1</sup>/<sub>2</sub> Quadrat-purusa messenden Grundfläche des caturasra -syena-cit zu zeichnen, was ohne Pythagoras nicht möglich, -und <span class="gesperrt">das Quadrat in einen Kreis zu verwandeln</span>.</p> - -<p>2. Beim praüga-cit musste man das Quadrat 7<sup>1</sup>/<sub>2</sub> verdoppeln,<span class="pagenum"><a name="Seite_p149" id="Seite_p149">[S. 149]</a></span> -also die dvi-karani konstruieren; die Hälfte des Quadrats über -der √<span class="sqrt">2</span> gab dann das gesuchte gleichschenklige Dreieck. Nun -kommt das für die Geometrie eigentlich Wesentlichste: Nach -Satapatha-Brāhmana, Baudhāyana Sulb. Sutra; Ap. S. und -Ap. Sulba S. war der agni, wenn er das zweite Mal konstruiert -wurde, um einen Quadrat-purusa grösser als beim ersten Mal, -ebenso beim dritten um einen Quadrat-purusa grösser als das -zweite Mal und so fort. Also mussten die Inder spätestens schon -zur Zeit der Sat. Brāh. verstehen eine Figur zu konstruieren, -die einer gegebenen ähnlich ist und zu derselben in bestimmtem -Verhältnis steht.</p> - -<p>a) War nun der erstmals konstruierte agni der »einfache« -(eka-vidha) gleich ein Quadrat-purusa — was Apastamba nebenbei -noch zulässt, während Satapatha Brāhmana es verbietet — -so hatte man den zweiten ebenfalls quadratischen doppelt so -gross herzustellen, den dritten dreimal und Apastamba geht bis -zum sechsfachen, d. h. der Reihe nach √<span class="sqrt">2</span> √<span class="sqrt">3</span> bis √<span class="sqrt">6</span> zu konstruieren, -d. h. die Summe zweier Quadrate zu <span class="gesperrt">addieren</span>, also -Pythagoras.</p> - -<p>b) War aber der erste agni der sapta-vidha wie meist, so -konnte man bei den folgenden Malen entweder, wie Baudhāyana -vorschreibt, alle Teile der Normalform proportional vergrössern -und dann das, was hinzukam zunächst in 15 gleiche Teile teilen, -oder, wie Apastamba nach älterer Tradition lehrt, nur die 7 -purusas, nicht aber auch die beiden aratnis und den pradesa des -caturasra syena-cit zunehmen lassen und dann den Zuwachs in -7 gleiche Teile teilen. Ein solches Siebentel musste dann, wenn -es zunächst als Rechteck gezeichnet war, in ein Quadrat verwandelt -werden (Apast. S. S. II. 7) und hierbei tritt bei Apastamba -die <span class="gesperrt">Subtraktion</span> von <span class="gesperrt">Quadraten</span> als Hilfskonstruktion -auf, und dieses Quadrat musste dann mit jedem der sieben -zu einem neuen Quadrat vereinigt werden.</p> - -<p>3. Beim asva-medha musste der sapta-vidha von vornherein -mit 3 oder 21 multipliziert werden, und beide Vorschriften sind<span class="pagenum"><a name="Seite_p150" id="Seite_p150">[S. 150]</a></span> -nach Angabe des Baudhāyana Sulba Sutra durch Brāhmana-Stellen -belegt.</p> - -<div class="sidenote">Pythagoras bei den Indern.</div> - -<p>Wir sehen also, dass der Pythagoras und seine Satzgruppe -eine geradezu prominente Rolle beim indischen Opferkult spielt.</p> - -<p>Wir kommen nun zu der Frage, wie alt ist der Pythagoras?</p> - -<p>Ausgesprochen ist der Satz bei Baudhāyana, Katyāyana, -Apastamba, z. B. Ap. Sulba S. I, 7: Die Diagonale eines -Rechtecks bringt beides hervor, was die längere und die kürzere -Seite desselben jede für sich hervorbringen, und I, 5: Die Diagonale -eines Quadrates bringt eine doppelt so grosse Fläche -des Quadrates hervor samasya dvi-karani (die das Doppelte hervorbringende). -Der Satz ist also jedenfalls so alt als die genannten -Sulba Sutras. Die des Apastamba bildeten den 24. Prasna (Buch) -des Srauta Sutra, und dieses kann nach der Untersuchung der -Sanskritisten nicht nach dem Anfang des 4. Jahrh. v. Chr. entstanden -sein. Damit ist die Heron-Hypothese Cantors ohne -weiteres beseitigt.</p> - -<p>Aber der Pythagoras ist den Indern, musste den Indern -viel länger bekannt sein. Zunächst ist das Baudhāyana S. S. -wahrscheinlich mindestens 200 Jahre vor dem Apastamba Sulba -Sutra redigiert; und dann ist klar, dass die Vorschriften selbst -weit älter sind als ihre schriftliche Fixierung. Insbesondere -scheint das Apast. Sulba Sutra durchaus die ältere Tradition festgehalten -zu haben. Dann aber finden sich Vorschriften über die -Vergrösserung z. B. des Asvamedha- und Sutrāmani-Altars und -über die Konstruktion der Kamyas in der Taittirīya Samhita -und über die Vergrösserung des falkenförmigen Normalaltars im -Satapatha-Brāhmana, die ohne Pythagoras unmöglich sind. Nun -ist die Taittirīya S. noch etwas älter als das Satapatha, und beide -gehören zu einer Klasse von Werken, von denen Oldenberg -(Buddha 3. Aufl. S. 19) sagt: »Wir werden schwerlich fehlgehen, -wenn wir ihre Entstehung vom 10.-8. Jahrh. setzen.« Übrigens -wird dieses Minimal-Alter durch Bürk l. c. nachgewiesen mittelst<span class="pagenum"><a name="Seite_p151" id="Seite_p151">[S. 151]</a></span> -zweier Stellen, je eine aus der Taitt. Samh. und aus dem Sat. Brāh. -Taitt. Samh. 6. 2, 4, 5 heisst es von der Vedi für das Somaopfer: -Die westliche Seite ist 30 padas lang, die -<span class="gesperrt">praci</span> 36; die östliche Seite 24, und genau dasselbe -sagt die Stelle im Satapatha-Brāhm. 10, 2, 3, 4.</p> - -<div class="figright" style="width: 146px;"> -<img src="images/pg151_ill.png" width="146" height="201" alt="" /> -</div> - -<p>Bei Baudhāyana erscheint der allgemeine -Pythagoras an zweiter Stelle, und er setzt hinzu: -diesen zweiten Fall erkennt man aus den Rechtecken -mit den Seiten 3 und 4, aus 12 und 5, aus -15 und 8, aus 7 und 24, aus 12 und 35, aus 15 und 36, und -Cantor selbst sagt 2. Aufl. S. 398: »Das ist nun offenbar der -Pythagoräische Lehrsatz, erläutert an Zahlenbeispielen.« Das -Fehlen der Hypotenuse darf nicht auffallen. Die Taittirīya- und -die anderen Srauta-sutras sind die Yajurveden in der Redaktion -der betreffenden Schule und diese enthalten »diejenigen Sprüche -oder Verse, welche der die eigentliche Opferhandlung verrichtende -Priester, der Adhvaryu, zu sprechen oder zu murmeln hatte.«</p> - -<p>Auch die Brāhmanas bieten keine fortlaufende Darstellung -des Opfers, sondern vielmehr Erläuterungen zu demselben. Im -Sulba Sutra bei Apastamba, da wird die wirkliche Konstruktion -gegeben und da tritt denn auch z. B. beim Dreieck 30 : 15 die -ganzzahlige Hypotenuse 39 auf.</p> - -<div class="sidenote">Das Alter des Pythagoras bei den Indern.</div> - -<p>Somit ist der <span class="gesperrt">Pythagoras bei den Indern aus dem -8. Jahrh. sicher konstatiert</span>, aber höchst wahrscheinlich -den Indern schon viele Jahrhunderte vorher bekannt gewesen. -(<span class="gesperrt">H. Hankel.</span>) — »Was nun das Alter der Sulba-Sutras betrifft, -so weiss jeder, der sich mit indischer Literatur beschäftigt hat, -dass jedes Erzeugnis nach seinem Zusammenhange mit der ganzen -Literaturgruppe, zu der es gehört, beurteilt werden muss.« (<span class="gesperrt">E. -Leumann.</span>) Da kann nun kein Zweifel darüber sein, dass die -Sulbas, sie mögen niedergeschrieben sein wann sie wollen, zur -Yajurveden-Literatur gehören, d. h. zum Opferkult, sie bilden ein -durchaus nötiges Kapitel des Srauta Sutra, der bis aufs i-Pünktchen -detaillierten Lehre vom Opferzeremoniell und damit ist entschieden,<span class="pagenum"><a name="Seite_p152" id="Seite_p152">[S. 152]</a></span> -dass ihr Inhalt bis etwa 900 v. Chr., vielleicht sogar noch -höher hinaufreicht, und insbesondere zeichnen sich die Apastamba- -wie die Taittirīya-Schule durch Bewahrung alter Tradition aus. -Nun sind noch zwei Punkte zu besprechen. Indische Manuskripte -sind verhältnismässig jung. Baumrinde kann sich an Dauerhaftigkeit -nicht mit Papyrus, noch weniger mit gebrannten Tontafeln -messen, zudem tritt die Schrift im eigentlichen Sinne bei den -Indern verhältnismässig spät auf und ist nicht original. Dasselbe -würde ja auch für das gewaltig umfangreiche Heldengedicht -des <span class="gesperrt">Mahabharata</span> gelten. Aber abgesehen davon, dass Zeichen -analog den Runen der Germanen vermutlich auch bei den Indern -uralt waren, so war das Gedächtnis eben durch den Mangel an -Schrift enorm entwickelt. Leute, die täglich ein Kapitel auswendig -lernten, etwa wie die arabischen Geistlichen die Suren des -Koran, die kannten bald ganze Werke auswendig, und auch heute -sind solche Gedächtniskünstler nicht selten unter den Brahmanen.</p> - -<p>Ein zweiter Einwand klingt einleuchtender. Die erstaunlich -verklausulierten Vorschriften der Kalpasutras sollen Zeichen der -Erstarrung und des Verfalls sein. Ganz abgesehen davon, dass -die Indologen von Fach die Blüte des detaillierten Opferkults -zwischen 1000 und 800 setzen, ist darauf folgendes zu erwidern: -Das richtig vollbrachte Opfer hat die Macht, die Götter unter -den Willen des Opferers zu beugen; ich habe ja schon bei Babylon -darauf hingewiesen, dass die Arier sich der Gottheit nicht annähernd -so knechtisch gegenüberstellten wie die Semiten. Ein -durch Germanen, Hellenen und Inder, kurz durch die ganze -Arische Welt hindurchgehender Zug ist das Misstrauen gegen -die Götter, die Furcht vor ihrem Neide, die Teufelslehre knüpft -hier an, und der Stammbegriff des Wortes Teufel ist das Sanskritische -Wort für Gott. Grade aus der ältesten Zeit tiefster -Religiosität stammt dies Gefühl und jene Genauigkeit ist grade -ein Zeichen der naiven Periode, es darf dem Gott auch nicht -die leiseste Handhabe geboten werden, seinem Unwillen über den -auf ihn ausgeübten Zwang Ausdruck zu verleihen.</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p153" id="Seite_p153">[S. 153]</a></span> - -Ich glaube nicht, dass irgend ein heutiger Indologe bezweifeln -wird, dass das Alter der Sulba-Sutras dem Inhalt nach -bis mindestens 1000 heraufgeht, und dass sich die indische Geometrie -auf dem Boden der Opferlehre, des Aufbaues der Altäre -entwickelt hat.</p> - -<div class="sidenote">Der Satz vom Gnomon.</div> - -<p>Was aber die Entlehnung des Pythagoras von den Indern -seitens des Pythagoras noch viel sicherer macht, das ist das Auftreten -des sogenannten Gnomon, des Satzes von dem Ergänzungsparallelogramm. -Schon <span class="gesperrt">Bretschneider</span> sagt, dass die Kenntnis -dieses Satzes dem Pythagoras mutmasslich zur Auffindung -des Satzes gedient hat, und Hankel sagt l. c. mit ahnungsvollem -Scharfblick, diese Herleitung erscheine wahrscheinlich. Aber -eben dieser Gnomon war den Indern auch bekannt. -<span class="gesperrt">Baudhāyana</span> geht mittelst desselben vom Quadrat -mit der Seite 16 zu dem mit der Seite 17; er sagt -z. B.: Wenn man aus 256 quadratischen Backsteinen -ein Quadrat gebildet habe, so soll man nun 33 Backsteine hinzufügen. -Und <span class="gesperrt">Apastamba</span> sagt II, 7, es folgt nun eine allgemeine -Regel: Man fügt: 1. das [Rechteck], welches man mit der -jedesmaligen Verlängerung (und mit den Seiten des gegebenen -Quadrates) umzieht [d. h. herstellt], an den zwei Seiten des Quadrates, -nämlich an der östlichen und an der nördlichen hinzu, und -2. an der nördlichen Ecke das Quadrat, welches durch die Verlängerung -hervorgebracht wird; dazu die Figur und -das ist klipp und klar</p> - -<p class="center"> -(a + b)<sup>2</sup> = a<sup>2</sup> + 2ab + b<sup>2</sup>.<br /> -</p> - -<p>Der Satz konnte ihnen, da sie meist mit Backsteinen -arbeiteten, gar nicht entgehen.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 100px;"> -<img src="images/pg153_ill1.png" width="100" height="98" alt="" /> -</div> - -<div class="figcenter" style="width: 125px;"> -<img src="images/pg153_ill2.png" width="125" height="125" alt="" /> -</div> - -<div class="sidenote">Die Pythagoräischen Dreiecke bei den Indern.</div> - -<p>Dass die Inder den Satz gefunden haben, ist natürlich nicht -bewiesen, aber so lange babylonische und ägyptische ältere Quellen -uns nicht zur Verfügung stehen, sind sie diejenigen, die am -frühesten nachweisbar den Satz besessen haben und die Auffindung -kann ganz gut so wie <span class="gesperrt">Bürk</span> es angibt, geschehen sein; -sie kann aber auch ganz leicht direkt erfolgt sein, zunächst für<span class="pagenum"><a name="Seite_p154" id="Seite_p154">[S. 154]</a></span> -das Dreieck 3, 4, 5 durch Drehen der Schnur, was ja eine ihnen -ganz geläufige Operation war. Es kommen im Apastamba Sulba-Sutra -5 »erkennbare«, d. h. ganzzahlige rechtwinklige Dreiecke -vor, die Inder sagen: Rechtecke.</p> - - -<div class="center"> -<table border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" summary="Seitenlängen Pythagoräischer Dreiecke"> -<tr><td align="center" rowspan="6"><img src="images/pg154_ill1.png" alt="Zeichnung Pythagoräisches Dreieck" /></td><td align="right">3</td><td align="right">4</td><td align="right">5</td></tr> -<tr><td align="right">5</td><td align="right">12</td><td align="right">13</td></tr> -<tr><td align="right">7</td><td align="right">24</td><td align="right">25</td></tr> -<tr><td align="right">8</td><td align="right">15</td><td align="right">17</td></tr> -<tr><td align="right">12</td><td align="right">35</td><td align="right">37</td></tr> -<tr><td align="right">15</td><td align="right">36</td><td align="right">39</td><td align="left">, letzteres</td></tr> -</table></div> - -<p class="noindent">das wichtigste für die Vedi. Davon fallen die ersten 3 auch -unter die von Proklos ausdrücklich dem Pythagoras, bezw. seinen -Schülern zugeschriebenen Formeln 2a + 1; 2a<sup>2</sup> + 2a; 2a<sup>2</sup> + -2a + 1; die beiden folgenden sind platonisch 2a; a<sup>2</sup> - 1; a<sup>2</sup> + 1.</p> - -<p>Das letztere ist dem zweiten ähnlich; aus Apastamba V, 4 -folgt, dass diese Ähnlichkeit ihm völlig klar war. Angesichts -von <span class="gesperrt">Thibauts</span> Darstellung in <span class="gesperrt">Bühlers</span> Grundr. ist es nicht uninteressant -an der Hand der Sulba-Sutras nachzusehen, was den -Indern jedenfalls um 800 v. Chr. an geom. Kenntnissen zur Verfügung -stand. Ich benutze <span class="gesperrt">Thibauts</span> Übersetzung des Baudhāyana -und <span class="gesperrt">Bürks</span> Übers. des Ap. S. S. im 56. Bande der Zeitschrift -der D. Morgenländischen Gesellschaft. Das Werkzeug, -dessen sie sich für ihre Konstruktionen bedienten, war die Schnur -(sulba oder rajju), und gelegentlich -auch ein Bambusstab. Ich beginne -mit der Konstruktion des -einfachen Quadrats, Ap. Kap. VIII, -5–10, IX, 1.</p> - -<div class="figleft" style="width: 280px;"> -<img src="images/pg154_ill2.png" width="280" height="224" alt="" /> -</div> - -<p>»Man schneide an einem Bambusrohr -in einer Entfernung gleich -der Höhe des Opferers mit emporgehobenen -Armen (der purusa, Menschenlänge, später war das -Mass die babylonische Doppelelle) zwei Zeichen (A und B) ein, -und in der Mitte ein drittes (die Mitte wird durch die zusammengelegte<span class="pagenum"><a name="Seite_p155" id="Seite_p155">[S. 155]</a></span> -Schnur bestimmt). Man lege das Bambusrohr westlich -von der Grube des Opferpfostens längs der prsthya (d. i. Rückenlinie, -die schon zuvor ein für allemal von Westen nach Osten -prak gezogen war, daher sie auch oft praci heisst). Schlage -an den Einschnitten Pflöcke ein (D, E, F), mache (das Rohr) -von den beiden westlichen (Pflöcken E und F) los und beschreibe -(von F aus) in der Richtung nach Südosten einen Kreisbogen -bis zu dem (östlichen) Ende (des zu konstr. Quadrats).« Entsprechend -verfährt man von F aus, legt das Rohr von E über -G nach H, schlage in H einen Pflock ein, befestige in H das -mittlere Zeichen des Rohrs, lege die beiden andern an die Enden -der beiden Linien und schlage in die beiden Zeichen zwei -Pflöcke.</p> - -<div class="sidenote">Altindische Geometrie.</div> - -<p>Hier haben wir die Konstruktion des Lotes mittelst der -<span class="gesperrt">Symmetrieachse</span>, und die gemeinsame Tangente zweier -Kreise im speziellen Falle und die Quadratkonstruktion, die wir -mit 4 Kreisen ausführen, zugleich eine Art mechanischer Konstruktion, -die bei den Hellenen Neusis heisst (s. unter Apollonius).</p> - -<p>Diese Methode gilt als die älteste für die »Quadratmachung«, -das Catur-asra-karana, älter als die des Baudhāyana, welche die -Figur auf S. 148 zeigt. Von der einfachen Quadratform war dann -der Agni vom einfachen bis zum 6fachen des Grundquadrats, es -musste also mittels Pythagoras das Quadrat mit 2, 3, 4, 5, 6 multipliziert -werden. Dann kam der Saratni-pradesa saptavidha, d. h. -also der caturasra syena-cit, der viereckig falkenförmige, und dann -die Vorschrift: Was beim 8fachen und den folgenden von den 7 -verschieden ist, teile man in 7 Teile, und lasse in jedes purusa -einen Teil eingehen, weil die Veränderung der Gestalt nicht -schriftgemäss wäre. Auch hier hat Apastamba weitaus die ältere -Methode, während B., wie oben gesagt, die Zunahme auf alle 10 -Flächen gleichmässig verteilt, da auch paksa und puccha, Flügel -und Schwanz, berücksichtigt werden, was schon recht komplizierte -Teilungs- und Messungsoperationen voraussetzt. A. geht bis zum -101fachen des Quadratpurusa.</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p156" id="Seite_p156">[S. 156]</a></span></p> - -<p>I, 2 Konstruktion der Achsentrapez-förmigen Opfergrube, -Vedi, mittelst des rechtwinkligen Dreiecks 36, 15, 39.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 347px;"> -<img src="images/pg156_ill1.png" width="347" height="355" alt="" /> -</div> - -<p>Man nimmt eine Massschnur (pramāna, A<sup>1</sup>B<sup>1</sup> = 36, Fig. 1), -verlängert sie um ihre Hälfte -(bis G), macht dann am westlichen -Drittel (d. h. also von -G aus) weniger <sup>1</sup>/<sub>6</sub> desselben -ein Zeichen (H). Man befestigt -die beiden Enden (der -verlängerten Schnur) an den -Enden der prsthya, zieht an -dem Zeichen nach Süden (daksina), -ebenso verfährt man im -Norden (uttara), und nachdem -man vertauscht hat, nämlich -die in A und G befestigten -Enden, nach beiden Seiten (im Osten). Denn die Fertigstellung -durch diese wird eine Verkürzung oder eine Verlängerung (12, -17) herbeiführen.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 283px;"> -<img src="images/pg156_ill2.png" width="283" height="306" alt="" /> -</div> - -<p>I, 3 wird dann zur Konstr. des -rechten Winkels das Dreieck 3, 4, 5 -analog benutzt (Fig. 2).</p> - -<p>I, 4 und 5 <span class="gesperrt">der Pythagoras</span>.</p> - -<p>Bei Apastamba zuerst in 4 der -allgemeine:</p> - -<p>Die Querschnur (aksnaya-rajju, -Diagonale) eines Rechtecks, was die -längere und kürzere jede für sich -hervorbringt, das bringt sie zusammen -hervor. Mittelst dieser und zwar -solcher, die »erkennbar« sind, ist die Konstruktion (in § 2 u. 3) -gelehrt worden. (jneya würde wohl besser mit »feststellbar« -d. h. als ganzzahlige rechtw. Dreiecke wiedergegeben.)</p> - -<p>5. Die Diagonale des Vierecks erzeugt die zweifache Fläche<span class="pagenum"><a name="Seite_p157" id="Seite_p157">[S. 157]</a></span> -(ausdrücklich das Wort bhumi Fläche, dvis-tāvati bhumi), sie -des Quadrats Doppeltes hervorbringende (dvi-karani). Viereck, -schlechtweg catur-asra, ist wie das griechische τετραγωνον das -Quadrat, um aber ganz deutlich zu sein, wird es im Nachsatz -sama »das mit gleichen Seiten« genannt. Katyāyana unterscheidet -sogar die beiden Arten gleichseitiger Vierecke.</p> - -<div class="sidenote">Wurzel aus 2.</div> - -<p>6. <span class="gesperrt">Konstruktion des besseren Näherungswertes -der √<span class="sqrt">2</span>.</span></p> - -<div class="figleft" style="width: 270px;"> -<img src="images/pg157_ill.png" width="270" height="88" alt="" /> -</div> - -<p>Man verlängere das Mass A B um seinen dritten Teil und -diesen wieder um seinen vierten -Teil weniger einem 34stel dieses -vierten Teils (Fig. 3). Die √<span class="sqrt">2</span>, -die dvi-karani von karana »machen«, -heisst (sa-visesa) d. h. <span class="gesperrt">die Zahl mit dem Rest</span>. -Die Verlängerung ist der visesa; √<span class="sqrt">2</span> ist also 1 + <span class="fraction"><span>1</span><span>3</span></span> + <span class="fraction"><span>1</span><span>3·4</span></span> - -<span class="fraction"><span>1</span><span>3·4·34</span></span> = <span class="fraction"><span>577</span><span>408</span></span> = 1,4142156; da √<span class="sqrt">2</span> = 1,414213, so ist der Fehler -kleiner als 3 Einheiten der 6. Dezimale. Der Näherungswert des -Baudhāyana ist <span class="fraction"><span>17</span><span>12</span></span> = 1,417, also genau bis auf 0,003. <span class="gesperrt">G. Thibaut</span> -hat ganz richtig (bis auf einen kleinen Rechnungsfehler) -angegeben, wie sie zu beiden Näherungswerten gekommen sind. -Sie suchten zunächst nach einem Quadrat, das doppelt so gross -wie ein anderes sei, und fanden, dass 2·12<sup>2</sup> annähernd gleich -17<sup>2</sup>, und setzten daher √<span class="sqrt">2</span> = <span class="fraction"><span>17</span><span>12</span></span>, wodurch der Gott ja nicht -zu wenig erhielt. Da sie aber genauer verfahren wollten, so -setzten sie (17 - x)<sup>2</sup> = 288. Dass ihnen der Satz vom Gnomon -bekannt, wird gleich aus dem Text nachgewiesen werden. Das -ergab 34x - x<sup>2</sup> = 1, und indem sie das ersichtlich sehr kleine -x<sup>2</sup> vernachlässigten, setzten sie 34x = 1, also x = <span class="fraction"><span>1</span><span>34</span></span> und somit -die Dvi-karani (rajju) gleich <span class="fraction"><span>17</span><span>12</span></span> - <span class="fraction"><span>1</span><span>12</span></span> · <span class="fraction"><span>1</span><span>34</span></span>, was ja immer noch -eine Zugabe enthielt.</p> - -<p>Hervorzuheben ist hier zunächst die <span class="gesperrt">intuitive Erfassung</span> -der Ähnlichkeit. Sodann setzt die Konstruktion die Teilung der -Strecke im vollen Umfang voraus, aber auch Ansatz und Lösung -einer Gleichung. Ausserdem geht aus der Bezeichnung der √<span class="sqrt">2</span><span class="pagenum"><a name="Seite_p158" id="Seite_p158">[S. 158]</a></span> -als der Zahl mit dem Rest hervor, dass sie sich bewusst waren, -die √<span class="sqrt">2</span> zwar <span class="gesperrt">geometrisch</span>, aber nicht arithmetisch genau konstruieren -zu können, d. h. also, dass sie bis zu einem gewissen -Grade in diesem einen Falle die Erkenntnis der <span class="gesperrt">Irrationalen</span> -hatten. Ob sie den <span class="gesperrt">Begriff</span> des Areton, des Alogon gehabt haben, -bleibt freilich durchaus zweifelhaft; aber, und darauf ist der -Hauptwert zu legen, <span class="gesperrt">diese Näherungskonstruktion kann -keine Frucht des Zufalls sein, sondern sie musste -eine Folge zielbewusster Tätigkeit sein</span>.</p> - -<p>Kap. II, 1 wird dann die eben konstruierte Savisesa-Grösse -zur Konstruktion des Quadrats benutzt. Sehr hübsch ist das Sama-caturasra-karana -in I, 7, wo gleich alle 4 Quadrate des Atman -des Falkenförmigen konstruiert werden mittelst der Raute, die -aus zwei gleichseitigen Dreiecken besteht. (Euklid I, prop. 1. -Die Figur wird wohl genügen.)</p> - -<div class="figcenter" style="width: 600px;"> -<img src="images/pg158_ill.png" width="600" height="243" alt="" /> -</div> - -<p>II, 2 wird dann, wie schon oben S. 156 beschrieben, die -dvi-karani und mit ihr nach I, 4 die tri-karani und mittelst -ihrer in II, 3 die √<span class="sqrt"><sup>1</sup>/<sub>3</sub></span> als <sup>1</sup>/<sub>3</sub>√<span class="sqrt">3</span> konstruiert.</p> - -<div class="sidenote">Anwendungen des Pythagoras.</div> - -<p>II, 4 wird der Pythagoras zur Addition zweier Quadrate -verwandt, II, 5 dann zur Subtraktion; es wird ein <span class="gesperrt">regelrechter -Beweis</span> in N 6 <span class="gesperrt">mittelst des Pythagoras gegeben</span>. -Wir sehen, dass die Bedeutung des Pythagoras für die -Flächenrechnung vollkommen klar erkannt ist; es wird systematisch -multipliziert, addiert, subtrahiert und dann dividiert, wozu es -erforderlich ist, ein Rechteck in ein Quadrat zu verwandeln;<span class="pagenum"><a name="Seite_p159" id="Seite_p159">[S. 159]</a></span> -dies lehrt I, 7. Das Rechteck heisst dirgha-caturasra, directum -quadrangulum, die Aufgabe das sama-caturasra-cikirsana. Wünscht -man das Rechteck in ein Quadrat zu verwandeln, so schneide -man mit der kürzeren Seite ab, teile den Rest, füge an beiden -Seiten hinzu, fülle den leeren Platz mit einem zugefügten Stück, -dessen Subtraktion gelehrt worden ist.</p> - -<div class="figcontainer"> -<div class="figsub" style="width: 213px;"> -<img src="images/pg159_ill1.png" width="213" height="133" alt="" /> -<div class="caption">Addition zweier Quadrate.</div> -</div> - -<div class="figsub" style="width: 192px;"> -<img src="images/pg159_ill2.png" width="192" height="130" alt="" /> -<div class="caption">Subtraktion zweier Quadrate.</div> -</div> -</div> - -<div class="figleft" style="width: 130px;"> -<img src="images/pg159_ill3.png" width="130" height="150" alt="" /> -</div> - -<p>M. H. Diese Verwandlung <span class="gesperrt">setzt notwendig -die Analysis</span> voraus a(a + b) = a<sup>2</sup> + ab -= a<sup>2</sup> + 2 <span class="fraction"><span>ab</span><span>2</span></span> = a<sup>2</sup> + 2 <span class="fraction"><span>ab</span><span>2</span></span> + (<span class="fraction"><span>b</span><span>2</span></span>)<sup>2</sup> - (<span class="fraction"><span>b</span><span>2</span></span>)<sup>2</sup> = (a + <span class="fraction"><span>b</span><span>2</span></span>)<sup>2</sup> -- (<span class="fraction"><span>b</span><span>2</span></span>)<sup>2</sup>.</p> - -<p><span class="gesperrt">Sie kommt m. W. bei den Hellenen -nicht vor.</span></p> - -<p>III, 1. Will man ein Quadrat in ein Rechteck verwandeln, -so mache man eine Seite so lang als man das Rechteck -wünscht. (Es ist ganz klar, dass hier die Rechnung xy = a<sup>2</sup> die -Analyse gibt, und dass sie wissen, dass eine Seite unbestimmt -bleibt, also »so lang sein kann als man wünscht«.) Darauf füge -man den Rest zu dem Rechteck hinzu wie es passt. Die Methode -wird dann von dem Kommentator Sundara des Baudh. an dem -Beispiel des Quadrats mit der Seite 6 erläutert (s. Fig.), das in -ein Rechteck mit der Seite 4 verwandelt werden soll 36 = 4 . 6 -+ 4 . 2 + 4 . 1 = 4(6 + 2 + 1) = 4 . 9.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 137px;"> -<img src="images/pg159_ill4.png" width="137" height="150" alt="" /> -</div> - -<p>Hochinteressant ist es, dass hier die <span class="gesperrt">Inhaltsgleichheit</span> -wie bei <span class="gesperrt">Wolfgang Bolyai</span> -aufgefasst wird. Der Kommentator des Baudh., -<span class="gesperrt">G. Thibaut</span> 1875 l. c. 247, gibt dann unsere -auf den Satz von den Ergänzungsparallelogrammen<span class="pagenum"><a name="Seite_p160" id="Seite_p160">[S. 160]</a></span> -gegründete Kegel, doch kommt dies für die altindische Geometrie -nicht in Betracht.</p> - -<div class="sidenote">Verwandlung des Quadrats in den Kreis und v. v.</div> - -<p>III, 2. <span class="gesperrt">Verwandlung eines Quadrats in einen -Kreis</span> (nötig für den Aufbau des rathacakra-cit, s. Fig.), denn -»so viel als verloren geht, kommt hinzu«. Der Kreis hat den -Radius MN = MG + <span class="fraction"><span>1</span><span>3</span></span> GE und wenn MG = 1 -gesetzt wird, so ist MN = 1 + <span class="fraction"><span>1</span><span>3</span></span> des visesa = -1 + 0,414213 : 3 = 1,138071, also 1,138071<sup>2</sup>π = 4, -also π = 3,0883 = 18(3 - 2√<span class="sqrt">2</span>) = 105/34. -Die Regel scheint durch Probieren gewonnen, die -halbe Seite ist zu klein, und die halbe Diagonale -zu gross.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 150px;"> -<img src="images/pg160_ill1.png" width="150" height="169" alt="" /> -</div> - -<p>III, 3. <span class="gesperrt">Kreis-Quadratur</span>, nötig für Vervielfältigung des -»Wagenradförmigen«. Als Seite wird 13/15 des Durchmessers genommen, -also π = 169 . 4/225 = 3,004. Baudhāyana hat genau den -vorhin ermittelten Wert für π nämlich 105/34 und gibt als Regel an -<span class="fraction"><span>7</span><span>8</span></span> + <span class="fraction"><span>1</span><span>8 . 29</span></span> - <span class="fraction"><span>1</span><span>8 . 29 . 6</span></span> + <span class="fraction"><span>1</span><span>8 . 29 . 6 . 8</span></span> vom Durchmesser. Dies setzt erstens -eine <span class="gesperrt">sehr bedeutende Gewandtheit in der Bruchrechnung</span> -voraus, zweitens die Auflösung einer reinquadratischen -Gleichung, d. h. die Ausziehung der Quadratwurzel, da der Wert -λ = <big>√</big><span class="sqrt"><span class="fraction"><span>π</span><span>4</span></span></span> = <big>√</big><span class="sqrt"><span class="fraction"><span>105</span><span>136</span></span></span> = √<span class="sqrt">0,77205882353</span> = 0,878668<span class="u">8</span> mit seiner -Zahl 9785/11136 = 0,878682 übereinstimmt bis auf 13 Einheiten -der 6 Dezimale!</p> - -<p>III, 7. Eine Schnur bringt jedesmal soviel Reihen hervor -als sie Masse enthält, d. h. ein Quadrat über a Längeneinheiten -enthält a Reihen von Flächeneinheiten zu a; -also die Inhaltsformel des Quadrates, die in -§ 4, 6, 8, 10 spezialisiert ist.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 150px;"> -<img src="images/pg160_ill2.png" width="150" height="152" alt="" /> -</div> - -<div class="sidenote">Der Satz vom Gnomon.</div> - -<p>III, 9. <span class="gesperrt">Der Satz vom Gnomon</span>: -Es folgt nun eine allgemeine Weise (nämlich -ein Quadrat zu vergrössern, s. Fig.). Man fügt -das (Rechteck), welches man mit der jedesmaligen -Verlängerung umzieht, an zwei Seiten (Norden und Osten)<span class="pagenum"><a name="Seite_p161" id="Seite_p161">[S. 161]</a></span> -hinzu und an der (nordöstlichen) Ecke das Quadrat, welches -durch die betreffende Verlängerung hervorgebracht wird. — D. h. -also nichts anderes als (a + b)<sup>2</sup> = a<sup>2</sup> + 2ab + b<sup>2</sup>.</p> - -<p>Der Satz vom Gnomon konnte ihnen, da sie ihre Quadrate -vergrösserten und meist mit quadratischen Backsteinplatten arbeiteten, -nicht entgehen, und dass in ihm die Quelle des Pythagoras -liegt, haben Bretschneider und Hankel gesehen. Der durch -die punktierte Linie angedeutete Beweis, der sich bei Bhaskara -findet, heisst noch heute der indische und beruht vermutlich -auf uralter Tradition.</p> - -<div class="sidenote">Dreieck und Trapez.</div> - -<p>Kap. IV, 4 wird gelegentlich der Anlage der drei Feueraltäre -(S. 145) die Konstruktion des Dreiecks aus den drei Seiten gelehrt.</p> - -<p>Man teilt eine Schnur gleich dem Abstand zwischen garhapatya -und ahavanīya (der, falls der Opferpriester ein brāhmana -war, 8 Schritt betrug) in 5 oder 6 Teile, fügt einen 6. bezw. -7. Teil hinzu, teilt das Ganze in 3 Teile und macht am westlichen -Drittel ein Zeichen, dann befestigt man die beiden Enden -am garh. und ahav., zieht die Schnur an dem Zeichen nach -Süden und macht ein Zeichen; das ist, gemäss der Schrift, die -Stätte des daksinagni.</p> - -<p>Sie wissen, wie man sieht, dass 2 Seiten eines Dreiecks -zusammen grösser sind als die dritte.</p> - -<div class="figleft" style="width: 159px;"> -<img src="images/pg161_ill.png" width="159" height="200" alt="" /> -</div> - -<p>Kap. V ist von besonderer Bedeutung. -Zuerst § 1 die Konstruktion der grossen Vedi -für das Somaopfer aus I, 2, nur dass statt des -Rechtecks das Achsentrapez gezeichnet wird; -das rechtw. Dreieck oder nach indischem Sprachgebrauch -das Rechteck ist das mit den Seiten -36 und 15 und der Diagonale (Hypotenuse) 39. -Ganz besonders ist § 3 interessant. Es heisst -da: [Sind] die beiden Seiten eines Rechtecks 3 und 4, so ist die -Diagonale 5. Mit diesen legt man die beiden amsa (Schultern), -nachdem man sie je um ihr Dreifaches verlängert hat, fest, und<span class="pagenum"><a name="Seite_p162" id="Seite_p162">[S. 162]</a></span> -nachdem sie um ihr Vierfaches verlängert worden sind, die beiden -sroni (die Schenkel).</p> - -<div class="sidenote">Ähnlichkeit.</div> - -<p>Hier leuchtet ein, dass sie -mit dem Begriff der Ähnlichkeit -vertraut gewesen sind. Das gleiche -gilt bei No. 4. Die beiden Seiten -12 und 5, die Diagonale 13. Mit -diesen die beiden Amsa und nachdem -sie um ihr Doppeltes verlängert -sind, die sroni.</p> - -<div class="figcontainer"> -<div class="figsub" style="width: 131px;"> -<img src="images/pg162_ill1.png" width="131" height="180" alt="" /> -</div> - -<div class="figsub" style="width: 150px;"> -<img src="images/pg162_ill2.png" width="150" height="190" alt="" /> -</div> -</div> - -<p>V, 5. Das Dreieck 15, 8, 17 gibt die sroni; sind die Seiten -35 und 12, so ist die Diagonale 37, mit diesen -die amsa.</p> - -<p>So viele »(als rational) feststellbare« Konstruktionen -der vedi gibt es.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 150px;"> -<img src="images/pg162_ill3.png" width="150" height="201" alt="" /> -</div> - -<p>V, 7. Die grosse Vedi (d. h. die sub 2–5 -konstruierte Saumiki Vedi) misst 972 (Quadrat) -pada (Fuss). Man ziehe vom südlichen Amsa -zur südlichen sroni hin zu 12 (s. Fig.). Darauf -drehe man das abgeschnittene Stück um und füge es auf -der Nordseite hinzu. <span class="gesperrt">So erhält die Vedi die Gestalt -eines Rechtecks.</span> In dieser Form berechne man den Inhalt -27 . 36 = 972.</p> - -<p>Hier haben wir einen vollgültigen Beweis, denselben, den -wir heute noch geben,</p> - -<p>V, 8. Für die Sautrāmani-Zeremonie wird gelehrt: Man -opfere in dem 3. Teil der vedi des Soma-Opfers; hier tritt die -trtīya-karanī an Stelle des pramana (des Grundmasses). Oder man -konstruiere mit der tri-karani (√<span class="sqrt">3</span>). <span class="gesperrt">Hierbei sind die kürzeren -Seiten 8 und 10 und die prsthya</span> (<span class="gesperrt">die Rückenlinie</span>) -das 12fache desselben. (Ich vermute, dass die Vedis den -Querschnitt durch einen menschlichen Rumpf darstellen sollten.) -Hier ist die Ähnlichkeit sogar erfasst als <span class="gesperrt">Abänderung des -Massstabs</span>!</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p163" id="Seite_p163">[S. 163]</a></span></p> - -<p>Und das wird durch die Vorschriften in V, 10 und VI, 1 -bestätigt. In V, 10 heisst es: Die Vedi des asva-medha, des -Rossopfers, soll das Doppelte der saumiki vedi sein und in VI, 1 -heisst es: Es tritt die dvi-karani des Masses an Stelle desselben!</p> - -<p>Es folgen nun in den Sulba-Sutras die detaillierten Vorschriften -für den Aufbau der verschiedenen Kamyas; sie sind -alle in Beziehung auf die speziellen Wünsche gedacht, der falkenförmige -Agni z. B. für den, der die himmlische Welt zu erlangen -wünscht, weil der Falke sich -dem Himmel am nächsten -aufschwingt. Die Vorschriften -für die Anfertigung der -Ziegel offenbaren ein ganzes -Teil mathematischer Kenntnisse, -insbesondere der Flächenteilung, -wie beim Anblick -der Figur das vakra-paksa-syena-cit -des Falken mit den krummen Flügeln klar wird.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 300px;"> -<img src="images/pg163_ill.png" width="300" height="180" alt="" /> -<div class="caption">vakra-paksa-syena-cit.</div> -</div> - -<p>Aber das hier Mitgeteilte genügt, um den Standpunkt der -indischen Weisen etwa um 900 v. Chr. zu beurteilen. Zunächst -ist es Ehrenpflicht, des Mannes zu gedenken, der zuerst auf die -Sulba-Sutras als Schlüssel zur Geometrie der Inder hingewiesen. -Es war <span class="gesperrt">A. C. Burnell</span>, der in seinem »Catalogue of a Collection -of Sanscrit Manuscripts« 1869 p. 29 gesagt hat: »Wir müssen die -Sulba-Teile der Kalpa-sutras ansehen als die ersten Anfänge der -Geometrie unter den Brahmanas.« Die Kenntnisse selber sind -achtbar genug; sie umfassen so ziemlich das ganze erste Buch -des Euklid inkl. I, 47 (der Pythagoras), Streckenteilung, Flächenberechnung, -Ähnlichkeit und die Kenntnis einer Anzahl ganzzahliger -rechtwinkliger Dreiecke.</p> - -<div class="sidenote">Altindische Arithmetik.<br /> - -<hr /> - -Die Null bei den Indern.</div> - -<p>Auch die arithmetischen Kenntnisse der Sulba-sutras sind -keineswegs unbedeutend; sie kennen Quadratwurzelausziehung, -auch Auflösung von Gleichungen, sind mit der Bruchrechnung<span class="pagenum"><a name="Seite_p164" id="Seite_p164">[S. 164]</a></span> -vertraut. Gegen die Rigveda-Zeit zeigen die Yajur-veden sehr -erhebliche Fortschritte. H. Zimmer l. c. p. 348 gibt an, dass die -höchste bestimmte Zahl im Rig-veda 100000 sata sahasra ist; aber -schon in der Yajurveden-Zeit, wie z. B. in der Taitt. Samh. und -im Satapatha-Brahmana finden sich Zahlworte bis zu 10 Billionen, -und im Mahabhārata Zahlworte für die Potenzen von 10 bis -10<sup>17</sup>. Im Rig-veda kommen nur wenig Brüche vor; ardha halb, -auch sami, pada ein Viertel (der Fuss des Rindes), tri-pad drei -Viertel, sapha ein Achtel (Halbhuf der Kuh), kala ein Sechzehntel. -Als eine Grosstat, wozu sich zwei gewaltige Götter, Indra und Vishnu, -vereinigen müssen, gilt die Teilung von 1000 durch 3. Dagegen -finden sich schon im Satapatha-Br. eigene Namen bis zu 15<sup>-4</sup>30<sup>-1</sup> -als Zeitmass, und die Sulbas, insbesondere Baudh., haben hoch -entwickelte Bruchrechnung. Was das indische Positionssystem -betrifft, kann höchstens noch, vgl. Babylonien, die Einführung -der Null in Frage kommen. Nun kommt die Null vor in dem -Manuskript von <span class="gesperrt">Bakhshali</span>. In Bakhshali (im nordwestlichen -Indien) wurden 1881 Bruchstücke eines Manuskripts auf Birkenrinde -ausgegraben. Da die Indologen das Alter dieses Manuskriptes -oder seines Inhaltes jetzt auf den Beginn unserer Ära -setzen, so müssen wir es hier besprechen. Es enthält Textgleichungen, -auch diophantische, und die Kuttaka- d. h. Zerstäubungs- -id est <span class="gesperrt">Kettenbruch</span>methode; diese würde damit vermutlich -schon 500 Jahre vor <span class="gesperrt">Aryabhata</span> indischer Besitz gewesen sein; -ferner Summation arithmetischer Reihen, ein eigenes Subtraktionszeichen; -und was für uns das Bedeutsamste ist, es enthält die -Null in Form eines Punktes . als Zeichen für das leere Feld -und als Bezeichnung der Unbekannten, die ja auch vorläufig leer -ist. Die erste sonstige Erwähnung der Null, auch in Form eines -Punktes, findet sich in Subandhu's Vasavadatta, wo die Sterne -mit Nullen verglichen werden, die der Schöpfer bei der Berechnung -des Wertes des Alls wegen der absoluten Wertlosigkeit -des Samsara (Weltgetriebe) mit seiner Kreide — der Mondsichel — -überall auf das Firmament einzeichnete. (<span class="gesperrt">G. Bühler</span>, Grundriss<span class="pagenum"><a name="Seite_p165" id="Seite_p165">[S. 165]</a></span> -der Indo-Arischen Philol. u. Altertumskunde II, 11 p. 78.) -Die Null in Kreisform kommt zuerst in den Cicavole Kupferplatten -vor. Ihr Name ist eigentlich sunya-bindu und wird abgekürzt -zu sunya oder bindu. Über die verschiedene Bezeichnung -der Zahlen und Ziffern vgl. Bühler l. c. Kap. VI, die Zahlenbezeichnung.</p> - -<div class="sidenote">Eleaten: Xenophanes, Parmenides.</div> - -<p>Wenden wir uns nun aus Indien nach Hellas zurück und -zunächst zu den Eleaten.</p> - -<p><span class="gesperrt">Xenophanes</span> aus Kolophon, ein jüngerer Zeitgenosse des -Pythagoras, ist ihr Stifter. Das Weltganze als unvergängliches, -ewig unveränderliches, ewig gleichartiges Sein ist sein Gott, er -ist der erste wirkliche Pantheist. Wenige Fragmente seiner Lehrgedichte -sind erhalten, aus denen ich die Stellen anführe:</p> - -<div class="poem"><div class="stanza"> -<span class="i0">ἑις θεος εν τε θεοισι και ανθρωποισι μεγιστος,<br /></span> -<span class="i0">ουτε δεμας θνητοισιν ὁμοιιος ουτε νοημα.<br /></span> -</div></div> - -<p>Ein Gott unter den Göttern und unter den Menschen der Grösste, -nicht an Gestalt den Menschen vergleichbar noch auch an Denkkraft.</p> - -<p>Und an einer andern Stelle sagt er, nachdem er gegen den -Anthropomorphismus geeifert: »Wenn die Pferde und Ochsen -ihre Götter malen könnten, so würden sie dieselben ohne Zweifel -als Pferde und Ochsen darstellen.« Xenophanes ist der Urheber -der Lehre vom ἑν και παν, von der Einheit aller Dinge, wie Platon -und Aristoteles, Theophrast und Timon übereinstimmend bezeugen. -Ob der Pantheismus des Xenophanes von den <span class="gesperrt">Pythagoräern</span> -beeinflusst ist, ob beide von den <span class="gesperrt">Orphikern</span>, und -diese wieder von den <span class="gesperrt">Indern</span> hierin beeinflusst sind, wage ich -nicht zu entscheiden.</p> - -<p><span class="gesperrt">Xenophanes</span>, der sich in Elea in Lukanien niedergelassen -hatte, ist für uns besonders wichtig, als Lehrer des <span class="gesperrt">Parmenides</span> -aus Elea, des eigentlichen Hauptes der <span class="gesperrt">Eleaten</span>, -welche noch weit schärfer als die Pythagoräer, ja bis zum Extrem, -die Priorität der Begriffe vor den Erscheinungen gelehrt haben. -Geboren etwa um 515 aus vornehmer Familie, fällt seine ακμή,<span class="pagenum"><a name="Seite_p166" id="Seite_p166">[S. 166]</a></span> -seine Blütezeit, etwa um 480. Die Lehre der Pythagoräer war -ihm vertraut; ohne der Schule anzugehören, hat er sich die -Sittenlehre der Pythagoräer zur Richtschnur genommen, während -er als Philosoph die Lehre des Xenophanes, welche hauptsächlich -theologischen Charakter hatte, weiterbildete. Er hat seine -Ansichten in seinem Lehrgedicht περί φύσεως niedergelegt, von -dem uns nicht unbedeutende Bruchstücke erhalten sind, welche -zuletzt von <span class="gesperrt">Diels</span> mit dem ganzen Rüstzeug philologischer -Schärfe herausgegeben sind. (H. Diels, P. Lehrgedicht, griech. -und deutsch, Berl. 1891.)</p> - -<div class="sidenote">Eleaten: Parmenides, Zenon.</div> - -<p><span class="gesperrt">Parmenides</span> ging weit über Xenophanes hinaus. Es -gibt, ihm zufolge, nur ein einziges unteilbares lückenloses Kontinuum -des Seienden, unveränderlich, nicht werdend, nicht geworden, -unbeweglich, zeitlos. Es ist klar, dass die Eleaten mit -der Veränderung auch das Zeitproblem ausschalteten. Die Zeit, -mitsamt der Vielheit der Dinge, ihr Werden und Vergehen, -wird uns durch die Sinne vorgetäuscht (die <span class="gesperrt">Maja</span> der Inder!), -als Bleibendes, als einziges Sein erkannten sie nur das des Begriffes, -und das enthält die Zeit nicht mehr. Indem Parmenides -aussprach, dass wahres bleibendes Sein nur dem Begriffe zukommt, -identifizierte er Denken und Substanz. Das für uns -interessanteste ist, was Parmenides über den Raum sagt. Da -zitiere ich l. c. Vers 42 ff. die Stelle:</p> - -<div class="poem"><div class="stanza"> -<span class="i0">αυταρ επει πειρας πυματον, τετελεσμενον εστι<br /></span> -<span class="i0">παντοθεν, ευκυκλου σφαιρης εναλιγκιον ογκωι<br /></span> -<span class="i0">μεσσοθεν ισοπαλες παντηι· το γαρ ουτε τι μειζον<br /></span> -<span class="i0">ουτε τι βαιοτερον πελεναι χρεον εστι τηι η τηι.<br /></span> -</div></div> - -<p>»Aber da es eine letzte Grenze gibt, so ist er von allen -Seiten aus abgeschlossen, der wohlgerundeten Kugel ähnlich an -Gestalt, von der Mitte aus an Kräften gleich überall, denn da -darf es kein Mehr oder Weniger, Hier oder Dorten geben.« -Hier also bei Parmenides treffen wir Jahrtausende vor <span class="gesperrt">Riemann</span> -die Hypothese von der Endlichkeit des Raumes an und zugleich -das Axiom von der Gleichförmigkeit des Raumes. Parmenides<span class="pagenum"><a name="Seite_p167" id="Seite_p167">[S. 167]</a></span> -hat auch das Verdienst, auf das <span class="gesperrt">Problem</span> der <span class="gesperrt">Kontinuität</span> -weit deutlicher hingewiesen zu haben als die Pythagoräer, die -das Problem allerdings auch in ihrer geometrischen Veranschaulichung -der Zahlenbeziehungen gestreift haben. Und <span class="gesperrt">Zeno</span>, der -dritte grosse Eleat, hat grade durch diese Frage seine bleibende -Stelle in der Geschichte der Mathematik:</p> - -<div class="sidenote">Die Paradoxien des Zenon.</div> - -<p><span class="gesperrt">Zenon</span> (Ζηνων) aus Elea, der Sohn des Teleutagoras, ist ungefähr -500 geboren und seine Reife fällt um 450. Es ist sein -Verdienst, die Schwierigkeiten und Widersprüche, welche der Begriff -der Bewegung, wie überhaupt der der Veränderung enthält, -aufgedeckt zu haben, Widersprüche, welche zu ihrer Auflösung -den <span class="gesperrt">Grenzbegriff</span>, diesen wichtigsten aller mathematischen -Begriffe erfordern. Eine Geschichte der <span class="gesperrt">Differentialrechnung</span> -wird stets von Zeno und seinen berühmten <span class="gesperrt">Paradoxien</span> -auszugehen haben. Von Zeno aufgestellt, um einerseits die Einheit -und Unveränderlichkeit des Seins und andrerseits die Unbeweglichkeit -des Seienden zu beweisen, sind sie uns in der -Fassung des <span class="gesperrt">Aristoteles</span>, Physik 202a, 210b erhalten und -die Beweise insbesondere durch den Kommentar des <span class="gesperrt">Simplicius</span> -zur Physik des Aristoteles.</p> - -<p>A) Beweise gegen die Vielheit des Seienden.</p> - -<p>1. Wenn das Seiende Vieles wäre, so müsste es zugleich -unendlich klein und unendlich gross sein. Unendlich klein, denn -jede Vielheit ist Summe von Einheiten, diese selbst aber unteilbar -(Pythagoräer), also hat sie keine Grösse, ist nichts, also -ihre Summe desgleichen. Andrerseits muss jede solche Vielheit, -um zu sein, Grösse haben, ihre Teile voneinander entfernt sein, -die Teile der Teile desgleichen und so fort, also müssen sie unendlich -gross sein.</p> - -<p>2. Zeigt Zeno, dass das Viele auch der Anzahl nach begrenzt -und unbegrenzt zugleich sein müsste. <span class="gesperrt">Begrenzt</span>, denn -es ist so Vieles als es ist, nicht mehr und nicht weniger. <span class="gesperrt">Unbegrenzt</span>, -denn zwei Dinge sind nur dann zwei, wenn sie voneinander<span class="pagenum"><a name="Seite_p168" id="Seite_p168">[S. 168]</a></span> -getrennt sind; damit sie getrennt sein, muss etwas -zwischen ihnen sein usw.</p> - -<p>Als konsequenter Denker und ausgezeichneter Dialektiker -<span class="gesperrt">leugnet</span> Zeno in Numero 3 den <span class="gesperrt">Raum</span>.</p> - -<p>3. Die Dinge scheinen sich im Raum zu befinden, aber das -ist nicht wahr, es gibt gar keinen Raum. Denn jedes Ding ist -in einem andern; ist nun der Raum wirklich, so ist auch er in -einem andern Dinge, und muss doch wohl in einem andern Raume -sein; von diesem gilt nun dasselbe wie vom ersten, es ist also -kein letzter Raum denkbar, mithin auch kein erster und überhaupt -keiner. (Dies ist wörtlich Kants Antinomie.)</p> - -<p>4. Ein fallendes Korn macht kein Geräusch, aber der -Scheffel, also auch das Korn, denn 0 + 0 wäre 0; also täuscht -uns das Gesicht, wenn es uns eine Vielheit von Körnern vorspiegelt.</p> - -<p>B) <span class="gesperrt">Beweise gegen die Bewegung.</span></p> - -<p>1. Der sich bewegende Körper, der durch unzählig viele -Punkte hindurchgehen müsste, was nicht möglich.</p> - -<p>2. Der <span class="gesperrt">Achilleus</span>; Achilleus, der 100mal schneller als -die Schildkröte ist, kann diese, wenn sie einen Vorsprung von -einem Stadion hat, nicht einholen, denn während er das Stadion -zurücklegt, kommt die Schildkröte um 0,01 vorwärts, und so fort -in inf.</p> - -<p>3. Der fliegende Pfeil müsste in einem bestimmten Augenblick -an einem bestimmten Orte sein und nicht sein.</p> - -<p>Ein vierter Beweis bezieht sich auf die Relativität der -Bewegung. (Einem ruhenden Körper gegenüber scheint die -relative Bewegung zweier sich mit gleicher aber entgegengesetzter -Geschwindigkeit bewegender Körper verdoppelt.) Sie sehen, wie -bei Zeno der Begriff der unendlichen Reihe nach Gestaltung -ringt; den infinitären Prozess hat er erfasst, aber noch nicht -seinen Abschluss, den <span class="gesperrt">Grenzbegriff</span>, auf dem die <span class="gesperrt">Konvergenz</span> -der Reihe beruht, und der zugleich das <span class="gesperrt">Differential</span> -liefert. Den hat erst ein grösserer als Zeno, den hat <span class="gesperrt">Demokrit</span><span class="pagenum"><a name="Seite_p169" id="Seite_p169">[S. 169]</a></span> -erkannt. Aber Sie sehen auch, dass die ganze Lehre von der -Bewegung, von der Veränderung überhaupt, von der Stetigkeit, -von der Grenze ihre Quelle bei <span class="gesperrt">Zeno</span> hat, der seinerseits in der -Erfassung des Widerspruchs an die Pythagoräer anknüpft.</p> - -<p>Die Bearbeitung der Paradoxien des Zeno hat sehr viel -Gedankenarbeit hervorgerufen, ist doch nach <span class="gesperrt">Hegel</span> die Auflösung -des Widerspruchs die Hauptarbeit des menschlichen -Geistes. Die Paradoxien des Zeno kehren in anderer Form -immer wieder. Es genügt, an <span class="gesperrt">Berkeley</span> zu erinnern und seine -Kritik des infiniment petit. Aber sie haben noch heutigen Tages -ihre Geltung für nicht hinlänglich philosophisch durchgebildete -Mathematiker, erst vor wenigen Wochen las ich in einer mir zur -Durchsicht gegebenen pädagogischen Arbeit so ziemlich dieselben -Einwände.</p> - -<p>Insbesondere haben sich, wie in der Natur der Sache liegt, -die Scholastiker mit Zenon beschäftigt, und namentlich der grösste -der Scholastiker und einer der grössten Denker überhaupt, <span class="gesperrt">Thomas -von Aquino</span>, hat die Paradoxien mit grossem Scharfsinn -kritisiert. Die völlige Überwindung der Schwierigkeiten -danken wir <span class="gesperrt">Galilei</span>, <span class="gesperrt">Leibniz</span>, <span class="gesperrt">Bolzano</span>, an den <span class="gesperrt">Kerry</span> -in Versuch eines Systems der Grenzbegriffe anknüpft. Aber vor -allen diesen, insbesondere auch vor <span class="gesperrt">G. Cantor</span>, hat <span class="gesperrt">Aristoteles</span> -das schwierigste Paradoxon, B 1, aufgeklärt. Die einzelnen -Punkte der Raum- und Zeitstrecke zwischen Anfang und -Ende der Bewegung lassen sich gegenseitig eindeutig einander zuordnen, -d. h. in der Sprache <span class="gesperrt">G. Cantors</span>: die Raum- und -Zeitstrecke sind von gleicher <span class="gesperrt">Mächtigkeit</span>, und dieser so -hochmoderne Begriff hat seine Quelle bei <span class="gesperrt">Aristoteles</span>, der -Zeno gradezu als den <span class="gesperrt">Erfinder der Dialektik</span> bezeichnet.</p> - -<p>Was den Achilleus betrifft, so bildet er heutzutage eins -der typischen Beispiele der Grenze, indem die Differenzen zwischen -den Reihenzahlen 1,<span class="vector">01</span> und [1<sup>1</sup>/<sub>9</sub>] eine <span class="gesperrt">Nullreihe</span> bilden.</p> - -<p>Mit den Paradoxien des Zeno haben sich auch <span class="gesperrt">Bayle</span>, -<span class="gesperrt">Descartes</span> und <span class="gesperrt">Leibniz</span> beschäftigt, von Neueren nenne ich<span class="pagenum"><a name="Seite_p170" id="Seite_p170">[S. 170]</a></span> -<span class="gesperrt">Ch. L. Gerling</span> (Marburg). <span class="gesperrt">Ed. Wellmann</span>, Prgr. Frankf. -a. O. 1870, <span class="gesperrt">P. Tannery</span>, Rev. philos. B. X, 1885. <span class="gesperrt">Tannery</span> -behauptet, dass Zeno nur habe beweisen wollen, dass der Raum -nicht aus Punkten, die Zeit nicht aus Augenblicken bestehe, aber -ohne Beweise für seine Behauptung beizubringen. Diese Sätze -selbst sind von <span class="gesperrt">Aristoteles</span> Phys. VI, 1, 231 a 24 bewiesen. -Ich erwähne noch <span class="gesperrt">J. H. Loewe</span>, Böhm. Gesellsch. d. Wiss. -VI. Folge 1. Bd. 1867, und <span class="gesperrt">Überweg</span>, System d. Logik 5. Aufl. -1882 S. 245 ff.</p> - -<div class="sidenote">Paradoxien des Zenon; Anaxagoras, Oinopides.</div> - -<p>Das Mathematikerverzeichnis des <span class="gesperrt">Proklos</span> erwähnt den -Zeno nicht, es wertet die »Begriffsmathematiker« nicht, sondern -grade so wie noch heute, zählt es nur die doch gegen jene -sekundären »Problemmathematiker«, die geschickten Handwerker -der Mathematik, zu den wirklichen Mathematikern. Zunächst wird -<span class="gesperrt">Anaxagoras</span> erwähnt, aber nicht als Philosoph, nicht wegen -des monotheistischen Prinzipes, der Vernunft, des νους, der die -Welt geordnet hat, sondern weil er sich im Gefängnis mit der -Quadratur des Zirkels beschäftigt hat. Danach wird <span class="gesperrt">Oinopides</span> -genannt, der die Konstruktion des zu fällenden Lotes aus Ägypten -importiert haben soll, und es fährt dann mit Hippokrates aus -Chios fort, den man nicht mit Hippokrates aus Kos, dem Vater -der Medizin, verwechseln darf. Proklos sagt: »Nach diesen wurden -<span class="gesperrt">Hippokrates der Chier</span>, der die Quadratur der Möndchen -fand, und <span class="gesperrt">Theodoros</span> aus Kyrene in der Mathematik berühmt.«</p> - -<div class="sidenote">Hippokrates von Chios und seine Möndchen.</div> - -<p><span class="gesperrt">Hippokrates</span> gehörte dem Pythagoräischen Kreise an, -<span class="gesperrt">Aristoteles</span> erwähnt seiner als eines Menschen, der im gewöhnlichen -Leben unbeholfen und stumpfsinnig gewesen, »βλαξ -και άφρων,« und doch ein tüchtiger Mathematiker. (Übrigens -auch heute noch nichts Seltenes.) Nach Verlust seines Vermögens -soll er in Athen von mathematischem Unterricht gelebt -haben. Ob er wirklich Mitglied des Bundes war, ist nicht sicher, -jedenfalls knüpft seine Beschäftigung mit der Quadratur und der -Winkelteilung an den Gedankenkreis der Pythagoräer an. Seine -Blütezeit fällt etwa um 430 v. Chr.</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p171" id="Seite_p171">[S. 171]</a></span></p> - -<div class="sidenote">Lunulae Hippocratis.</div> - -<p>Ihnen allen sind ja die Lunulae Hippocratis bekannt. Sie -haben den Satz gelernt in der Form: die beiden Halbmonde, -begrenzt von den Halbkreisen über den Katheten nach aussen -und dem über der Hypotenuse nach innen sind gleich dem -rechtwinkligen Dreieck. Und dieser Satz steht als Satz des -Hippokrates selbst in der 6. Aufl. des einzigen in bezug auf -historische Angaben zuverlässigen Elementarbuches, das ich kenne, -»die Elemente der Mathematik« von <span class="gesperrt">R. Baltzer</span>, ja selbst im -<span class="gesperrt">Rouché</span> von 1900.</p> - -<p><span class="gesperrt">Hippokrates</span> hat nur einen Mond (Meniskos, lunula) -quadriert und zwar zuerst den, dessen äusserer Bogen der Halbkreis, -dessen innerer der Quadrant ist. Den allgemeinen Satz -von den Lunulae gleich dem rechtwinkligen Dreieck fand ich -weder bei <span class="gesperrt">Heron</span>, noch <span class="gesperrt">Pappos</span>, noch bei Cardano, Vieta, -Clavius, Gregorius a. St. Vincentio, und Sturm, wohl aber in der -Ausgabe des <span class="gesperrt">Taquet</span> von <span class="gesperrt">Whiston</span> und zwar schräg gedruckt, -also nicht von Taquet herrührend, und noch früher in der 4. Ausgabe -der Elemente der Geometrie von 1683 bei <span class="gesperrt">Pardies</span>, Soc. -Jesu. Der Satz ist aber zweifelsohne erheblich älter. — Die Arbeit -des Hippokrates ist durch einen Glücksfall erhalten.</p> - -<p><span class="gesperrt">Simplicius</span> aus Kilikien, der Neuplatoniker, der zu den -von Justinian 529 vertriebenen Professoren der Hochschule Athen -gehörte, hat einen umfangreichen Kommentar zur Physik des -Aristoteles verfasst und uns darin ein Bruchstück aus des <span class="gesperrt">Eudemos</span> -Geschichte der Mathematik aufbewahrt. Es ist zuerst von -<span class="gesperrt">Bretschneider</span> griechisch und deutsch 1870 publiziert nach -der lateinischen Ausgabe <span class="gesperrt">L. Spengel's</span>: »Eudemi Rhodii Peripatetici -Fragmenta quae supersunt.« Berlin 1865, 2. Aufl. 1870, -während der Kommentar des Simplicius schon 1526 bei Aldus -Manutius in Venedig gedruckt ist und 1882 in dem grossen -Kommentar der Aristoteles-Ausgabe der Berliner Akademie von -<span class="gesperrt">H. Diels</span>.</p> - -<p>Die wichtigste neuere Arbeit zur Simpliciusfrage ist die -von <span class="gesperrt">Rudio</span> 1902 in der Bibliotheca mathematica von Eneström:<span class="pagenum"><a name="Seite_p172" id="Seite_p172">[S. 172]</a></span> -»Der Bericht des Simplicius über die Quadraturen des Antiphon -und des Hippokrates.«</p> - -<p>Aristoteles bekämpft in seiner Physik im 1. Buch an einer -Stelle die eleatische Weltanschauung, die das Seiende als eins -und unwandelbar auffasste, und erklärt dabei, dass man nicht -alle falschen Sätze widerlegen müsse, sondern nur solche, die -nicht schon von vornherein gegen die Prinzipien verstossen, und -als Beispiel gibt er an: So ist zum Beispiel der Geometer verpflichtet, -die Quadratur (sc. des Zirkels) mittelst der Segmente -zu widerlegen, die des Antiphon aber nicht. Und hierzu gibt -Simplicius einen Bericht über die genannten Quadraturen, der -für uns vorn historischen Standpunkt aus gradezu unschätzbar -ist.</p> - -<p>Es ist <span class="gesperrt">Rudio</span> gelungen, nach Vorarbeiten von <span class="gesperrt">P. Tannery</span>, -dem vor kurzem gestorbenen grossen Kenner hellenischer Mathematik -und hellenischer Wissenschaft, und <span class="gesperrt">Allman</span>, seinem -englischen Nebenbuhler, den Text des Eudemos wohl so ziemlich -endgültig festgestellt zu haben. Rudio hat durch eine einzige, -ganz nahe liegende, schlagend einfache Konjunktur Licht und -Klarheit in den ganzen Bericht und zugleich in den Gedankengang -des Hippokrates gebracht und zugleich sein Urteil über -Simplicius als eines durchaus tüchtigen Mathematikers, wie dies -ja von Simplicius dem Philosophen schon feststand, begründet. -Es handelt sich um das Wort τμήμα, das von τεμνω schneiden -herkommt und allgemein irgend einen Abschnitt, im speziellen -Kreissegment, bezeichnet, aber auch, wie Rudio bemerkt, den -Sektor und an der entscheidenden Stelle kann es nur Sektor -heissen; dann lautet die Stelle nach Rudio:</p> - -<p>»Aber auch die Quadraturen der Möndchen, die als solche -von nicht gewöhnlichen Figuren erschienen wegen der Verwandtschaft -mit dem Kreise, wurden zuerst von Hippokrates beschrieben -und schienen nach rechter Art auseinandergesetzt zu -sein, deshalb wollen wir uns ausführlicher mit ihnen befassen -und sie durchnehmen. Er bereitete sich nun eine Grundlage und<span class="pagenum"><a name="Seite_p173" id="Seite_p173">[S. 173]</a></span> -stellte als ersten der hierzu dienenden Sätze den auf, dass die -ähnlichen Segmente der Kreise dasselbe Verhältnis haben wie -ihre Grundlinien in der Potenz (δύναμις), d. h. im Quadrat. Dies -bewies er aber dadurch, dass er zeigte, dass die Durchmesser in -der Potenz dasselbe Verhältnis haben wie die Kreise. Wie sich -nämlich die Kreise verhalten, so verhalten sich auch die ähnlichen -Sektoren (τμήματα). Ähnliche Sektoren nämlich sind die, -die denselben Teil des Kreises ausmachen wie z. B. Halbkreis -und Halbkreis und Drittelkreis und Drittelkreis; deswegen nehmen -die ähnlichen Segmente auch gleiche Winkel auf. Und zwar -sind die aller Halbkreise rechte und die der grösseren kleiner -als rechte, und zwar um so viel, um wie viel die Segmente -grösser als Halbkreise sind, und die der kleineren grösser und -zwar um so viel, um wie viel die Segmente kleiner sind.«</p> - -<p>Sie sehen, Hippokrates kannte die Sätze vom Peripheriewinkel -ganz genau; er hat den wichtigen Satz Euklid, Elem. -XII, 2; k : k´ = d<sup>2</sup> : d´<sup>2</sup> bewiesen, vermutlich wie Euklid, ihm -war die Ähnlichkeitslehre völlig vertraut wie allerdings schon den -Pythagoräern, er kannte, wie aus dem folgenden hervorgeht, auch -den sogenannten <span class="gesperrt">erweiterten</span> Pythagoras.</p> - -<p>Was nun die Quadratur der Halbmonde betrifft, so kann -es keinem Zweifel unterliegen, dass Hippokrates von folgender -von Tannery, aber auch schon einige Jahrhunderte früher von -<span class="gesperrt">Vieta</span>, angegebenen Erwägung ausgegangen ist:</p> - -<p class="center"> -ε : i = p : q z. B. 5 : 3; <span class="fraction"><span>ε</span><span>5</span></span> = <span class="fraction"><span>i</span><span>3</span></span> und <span class="fraction"><span>ε</span><span>p</span></span> = <span class="fraction"><span>i</span><span>q</span></span><br /> -</p> - -<p>Dann sind die Segmente e<sub>1</sub> und i<sub>1</sub>, welche von den kleinen -Sehnen abgeschnitten werden, ähnlich und es ist e<sub>1</sub> : i<sub>1</sub> = r<sub>e</sub><sup>2</sup> : r<sub>i</sub><sup>2</sup>. -Wenn nun r<sub>e</sub><sup>2</sup> : r<sub>i</sub><sup>2</sup> gleich q : p gemacht wäre, so wäre e<sub>1</sub> : i<sub>1</sub> = -q : p (hier 3 : 5) und damit pe<sub>1</sub> = qi<sub>1</sub>, d. h. aber <span class="gesperrt">der -Sehnenzug im äusseren Bogen schneidet so viel an -Fläche ab, als der des inneren hinzubringt</span> und das -Möndchen ist gleich der von des beiden Sehnenzügen begrenzten -geradlinigen Figur. Damit aber der Halbmond quadrierbar sei, ist<span class="pagenum"><a name="Seite_p174" id="Seite_p174">[S. 174]</a></span> -nötig, dass die Figur mit Zirkel und Lineal konstruiert werden -könne, und dies tritt ein für <span class="fraction"><span>p</span><span>q</span></span> = <span class="fraction"><span>2</span><span>1</span></span>; <span class="fraction"><span>3</span><span>1</span></span>; <span class="fraction"><span>3</span><span>2</span></span>; <span class="fraction"><span>5</span><span>1</span></span>; <span class="fraction"><span>5</span><span>3</span></span>.</p> - -<p>Sie sehen aus der Gleichung -Winkel <span class="fraction"><span>ε</span><span>i</span></span> = <span class="fraction"><span>p</span><span>q</span></span> = r<sub>i</sub><sup>2</sup>/r<sub>e</sub><sup>2</sup> -oder r<sub>e</sub><sup>2</sup> . ε = r<sub>i</sub><sup>2</sup>i, dass die -Sektoren AEB und AJB flächengleich -sein müssen, dazu -ist AB = AB, also r<sub>e</sub> sin <sup>ε</sup>/<sub>2</sub> -= r<sub>i</sub> sin <sup>i</sup>/<sub>2</sub>, also haben wir -die entscheidende Gleichung: -√<span class="sqrt">p</span> . sin <sup>i</sup>/<sub>2</sub> = √<span class="sqrt">q</span> . sin <sup>ε</sup>/<sub>2</sub>.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 326px;"> -<img src="images/pg174_ill.png" width="326" height="355" alt="" /> -</div> - -<p>Die elementare Behandlung -findet sich bei <span class="gesperrt">Vieta</span> (Variorum -de rebus mathem. responsorum -liber VIII 1593). -<span class="gesperrt">Hippokrates</span> hat die Fälle 2/1, 3/1, 3/2 erledigt; die Fälle 5/1 und -5/3 von <span class="gesperrt">Th. Clausen</span>, Crelle 21 (1840). Sämtliche 5 quadrierbare -Möndchen finden sich aber schon in der Dissertation von M. -<span class="gesperrt">J. Wallenius</span> (Abveae 1766). Vgl. den Artikel 6 bei <span class="gesperrt">M. -Simon</span>, Über die Entwicklung der El. Geom. im 19. Jh. p. 73 -(1906). Der Fall 2/1 ist der bekannteste, er sichert Hippokrates -das Verdienst, die erste krummlinige Figur quadriert zu haben. -Den Fall 3/2 findet man ausführlich bei <span class="gesperrt">F. Enriques</span> Questioni -riguardanti la Geom. elem. (1900) p. 518, er bietet, trigonometrisch -behandelt, keinerlei Schwierigkeit. Den Fall 4/1 behandelt <span class="gesperrt">Vieta</span>. -Er führt auf eine reine Gleichung 3. Grades und damit auf die -<span class="gesperrt">Verdoppelung des Würfels</span>, und dass Hippokrates diesen -Weg gegangen, das geht klar daraus hervor, dass er nach dem -Zeugnis des <span class="gesperrt">Proklos-Geminos</span> und dem wichtigeren des -<span class="gesperrt">Eratosthenes</span> das Problem auf die Einschiebung zweier -mittleren Proportionalen zwischen a und 2a zurückgeführt hat, -a : x = x : y = y : 2a und so Proklos zufolge das erste Beispiel -einer απαγωγή, einer Zurückführung eines Problems auf ein anderes,<span class="pagenum"><a name="Seite_p175" id="Seite_p175">[S. 175]</a></span> -noch dazu in einem über das Elementare hinausgehenden -Fall geliefert hat. <span class="gesperrt">Hippokrates</span> ist auch der erste Grieche, -der »<span class="gesperrt">Elemente</span>« geschrieben hat, wie Proklos im Mathematikerverzeichnis -angibt, und sie können nach dem Muster von Hippokrates -Darstellung aus des Simplicius Kommentar in der Form -nicht sehr wesentlich vom Euklid verschieden gewesen sein, wenn -nicht Eudemos (oder Simplicius) redigiert haben. Hippokrates -hat dann auch noch, wie wir bei Simplicius lesen, die Summe -eines Mondes und eines Kreises quadriert, den Zirkel selbst natürlich -nicht, obwohl er höchstwahrscheinlich bei der Suche nach -dieser Quadratur auf seine Monde gekommen ist.</p> - -<div class="sidenote">Antiphon.<br /> - -<hr /> - -Bryson.</div> - -<p>Der gleichzeitig erwähnte <span class="gesperrt">Antiphon</span>, ein Sophist, Zeitgenosse -des Sokrates, glaubte die Quadratur des Zirkels dadurch gefunden -zu haben, dass er in den Kreis ein reguläres Polygon, z. B. -ein Quadrat einschrieb, dann über die Seiten gleichschenklige Dreiecke -u. s. f., und annahm, dass eines dieser Polygone dem Kreise -gleich sein müsste. Wenn nun auch Aristoteles die Annahme -des Antiphon als gegen die Prinzipien der Logik verstossend -scharf getadelt hat, so hat doch <span class="gesperrt">Hankel</span> vollständig recht, wenn -er sagt: er verdient einen ehrenvollen Platz in der Geschichte -der Geometrie, denn er hat, als der erste, den völlig richtigen -Weg betreten, um den Flächeninhalt eines krummlinigen Raumes -zu ermitteln, indem er ihn durch Vielecke von immer wachsender -Seitenzahl zu erschöpfen (exhaurire) suchte. Der gleichzeitig -mit ihm genannte <span class="gesperrt">Bryson</span> hat dann das umgeschriebene Polygon -hinzugefügt; lächeln wir auch heute über seinen Schluss, »weil -der Kreis zwischen dem ein- und umgeschriebenen Quadrate 2r<sup>2</sup> -und 4r<sup>2</sup> so schön in der Mitte liege, wie 3 zwischen 2 und 4, -so müsste der Kreis gleich 3r<sup>2</sup> sein,« so haben doch Antiphon -und Bryson den Weg gewiesen, auf dem dann <span class="gesperrt">Archimedes</span> -gegangen und der das Riesenproblem beherrscht hat, bis er -schliesslich Vieta zu dem unendlichen Produkt für π/2 führte.</p> - -<p>Auf Hippokrates und seine Elemente folgt bei Proklos unmittelbar -<span class="gesperrt">Platon</span>, aber eine Geschichte der Mathematik, welche<span class="pagenum"><a name="Seite_p176" id="Seite_p176">[S. 176]</a></span> -zugleich auf die Begriffsbildung Wert legt, darf an den beiden -ihm an Tiefe ebenbürtigen Vorgängern <span class="gesperrt">Heraklit</span> und <span class="gesperrt">Demokrit</span> -nicht vorübergehen.</p> - -<div class="sidenote">Heraklit.</div> - -<p><span class="gesperrt">Heraklit</span>, Ηράκλειτος, aus Ephesos in Kleinasien, aus der -angesehenen Familie des Gründers von Ephesos, des Kodriden Androklos, -war ein Zeitgenosse des Xenophanes, er hat seine Blütezeit -um 500. Wir haben als Hauptquellen für seine Lehre die Fragmente -seiner einzigen Schrift περι φύσεως (Von der Natur, ed. von <span class="gesperrt">H. -Diels</span> 1901) und Platons Dialog <span class="gesperrt">Kratylos</span>, ferner <span class="gesperrt">Aristoteles</span> -und seine Kommentatoren. Daneben kommen <span class="gesperrt">Plutarch</span> -und <span class="gesperrt">Diogenes Laertios</span> in Betracht. Eine für ihre Zeit ausgezeichnete -Darstellung gab der bekannte <span class="gesperrt">Ferdinand Lassalle</span> -in seiner Schrift »Die Philosophie Herakleitos des Dunkeln,« -Bd. 2, Berlin 1858, aus neuester Zeit nenne ich <span class="gesperrt">W. Kinkel</span>, -l. c. 1906. <span class="gesperrt">H. Diels</span>, Her. von Eph., Berl. 1901, <span class="gesperrt">P. Natorp</span>, -Neue Heraklitforschung, Ph. Monatsh. 24. Heraklit, der Dunkle, -ὁ σκοτεινός, war kein Systematiker, aber vor seinen tiefsinnigen, -orakelhaften Weisheitssprüchen stand das ganze Altertum voll -staunender Ehrfurcht. Er erinnert an <span class="gesperrt">Nietzsche</span>, der formaliter -und materialiter sehr viel von Heraklit entlehnt hat. Am bekanntesten -ist das πάντα ῥεῖ, alles fliesst; πάντα χωρεῖ καὶ οὐδὲν -μένει, alles weicht und nichts bleibt; — πόλεμος πατήρ πάντων, der -Streit ist der Vater der Dinge. In der Kosmologie knüpft -Heraklit zunächst an seine Ionischen Landsleute, an Anaximander -und besonders an dessen schwächeren Nachfolger Anaximenes -an, der die Luft als Grundstoff (ὑλη) ansah. Heraklit nimmt das -Feuer als Substanz aller Dinge an, aber ein ideales Feuer, das -zugleich die Weltvernunft, der <span class="gesperrt">Logos</span>, die Weltseele ist. Im -bewussten Gegensatz zu den Eleaten, insbesondere zu Xenophanes, -denn Parmenides ist jünger, leugnet er alles Sein, und erfasst -die Welt als in beständiger Veränderung, in ewigem Wechsel -befindlich. »Wir steigen nicht zweimal in denselben Strom.« -Ein Schein des Beharrens wird nur dadurch erzeugt, dass Abfluss -und Zufluss des Feuers annähernd gleich ist. Er ist in<span class="pagenum"><a name="Seite_p177" id="Seite_p177">[S. 177]</a></span> -noch höherem Masse und mit voller Klarheit Pantheist als Xenophanes. -Das Urfeuer oder die Gottheit, ist, in beständiger -Umwandlung begriffen, in allem, soweit es überhaupt ist. »Dieses -Weltganze (Kosmos) hat keiner von allen Göttern und keiner -von allen Menschen geschaffen, sondern es war, ist und wird sein -ein ewig lebendiges Feuer, das sich entzündet und verlöscht nach -bestimmter Ordnung.« Man sieht, es ist die <span class="gesperrt">Kategorie Bewegung</span>, -die er, etwa wie seinerzeit <span class="gesperrt">Ad. Trendelenburg</span>, -als das Bleibende im Wechsel setzt, während die Eleaten grade -die Bewegung leugneten. Und indem ihm der Widerspruch im -Begriff des Werdens, das zugleich ein Sein und Nicht-sein ist, -nicht entging, fasste er eben diesen Widerspruch als »Vater der -Dinge«. <span class="gesperrt">Hegel</span> hat in seiner Logik an Heraklit angeknüpft, -der Widerspruch, überall vorhanden und doch für uns undenkbar, -erfordert seine Auflösung und Versöhnung als unsere geistige -Arbeit. Die späteren Stoiker schliessen sich direkt an Heraklit -an wie auch <span class="gesperrt">Philon</span> von Alexandria in seiner Logos-Lehre. Für -uns kommt vom Standpunkt der exakten Wissenschaft besonders -in Betracht, dass sich bei ihm der erste Gedanke eines <span class="gesperrt">physikalischen -Kreisprozesses</span> findet. »In dieselben Ströme -und aus denselben steigen wir.«</p> - -<p>Rein mathematisch ist von Bedeutung die grosse Betonung -der Veränderlichkeit aller Werte und Grössen; auffallend ist es, -dass er, der kein Entstehen und Vergehen der Materie, sondern -eine beständige Bewegung gelehrt hat, das Zeitproblem, wie es -scheint, nie gestreift hat.</p> - -<p>Die Dunkelheit des Heraklit erklärt sich zum Teil daraus, -dass er für seine tiefe Lehre vom Logos keine termini technici -vorfand, welche begriffliches Denken mitteilsam machen, immerhin -ist er der erste Philosoph, welcher das Problem der Erkenntnis -als solches empfunden hat, »εδιζησαμην εμαυτον« (ich suchte -mir mich selbst zu verschaffen).</p> - -<div class="sidenote">Empedokles, Sophisten.</div> - -<p>Ich übergehe <span class="gesperrt">Empedokles</span> aus Agrigent, so wichtig er -auch für die Physiker und Chemiker ist, denn er hat zuerst die<span class="pagenum"><a name="Seite_p178" id="Seite_p178">[S. 178]</a></span> -4 Elemente, Feuer, Wasser, Luft und Erde, als qualitativ und -quantitativ unveränderliche Urstoffe aufgestellt, um mich zu den -sogen. Atomikern zu wenden zum Leukipp und seinem grossen -Schüler <span class="gesperrt">Demokrit</span>. Vorher aber noch ein paar Worte über die -so übel berüchtigten »<span class="gesperrt">Sophisten</span>«, deren Bekämpfung das -Leben des Sokrates galt, und zugleich der Tod. Denn dadurch, -dass er jene mit ihrer eignen Waffe, der Dialektik, bekämpfte, -hielt ihn das Volk für den Hauptsophisten, und er fiel dem Aufbäumen -des Volksgeistes gegen die unsittliche Lehre der Sophisten -zum Opfer.</p> - -<p>Das geistige Haupt der Sophisten ist <span class="gesperrt">Protagoras</span> aus -Abdera, von 480–410; von Zeno, Heraklit und Leukipp beeinflusst, -war er an sich von durchaus ernster, wissenschaftlich -nicht unbedeutender Beschaffenheit, so schildert ihn auch der -gleichnamige Dialog des Platon, ein Kunstwerk ersten Ranges.</p> - -<p>Indem Protagoras ganz wie <span class="gesperrt">Kant</span> empfand, dass wir das -Ding an sich nicht erkennen, sondern nur unsere Wahrnehmung, -kam er zu dem Faustischen: »Seh ein, dass wir nichts wissen -können,« wenigstens nichts von allgemeiner, sondern nur etwas -von subjektiver Wahrheit. Und indem er ausspricht, dass <span class="gesperrt">unsere</span> -Wahrnehmung, für <span class="gesperrt">uns</span> wahr ist, formulierte er den Satz: »<span class="gesperrt">Der -Mensch ist das Mass der Dinge.</span>« Von diesem Standpunkt -aus kamen seine Nachfolger Gorgias, Hippias etc. zu einer -Verwerfung aller sittlichen Normen und von allen Wissenschaften -blieb nur die Dialektik übrig oder die Rhetorik, die Kunst, den -eignen Willen, das eigene Mass, den anderen aufzuzwingen. Zeitlich -traf ihre Blüte mit dem grossen Aufschwung des öffentlichen -Lebens in Hellas nach den Perserkriegen zusammen, wodurch -eine zweckmässige Vorbildung der Staatsmänner nötig wurde. -Die Sophisten fanden daher als Lehrer der Redekunst gewinnreiche -Tätigkeit, Protagoras selbst war ein sehr geschätzter Wanderlehrer. -So haben die Sophisten, die prinzipiellen Gegner des -Wissens, dennoch die Wissenschaft der Satzbildung, der Grammatik, -des Wohlklangs gradezu geschaffen, und was sie für uns<span class="pagenum"><a name="Seite_p179" id="Seite_p179">[S. 179]</a></span> -Mathematiker wichtig macht, sie haben die Lehre vom Beweis -mächtig gefördert.</p> - -<p>Ich komme zu den Atomikern. Vom <span class="gesperrt">Leukipp</span> wissen -wir so wenig, dass <span class="gesperrt">Epikur</span> meinen konnte, er habe gar nicht -existiert. Das Zeugnis des <span class="gesperrt">Aristoteles</span> ist aber unanfechtbar. -Leukipp ist wohl der Urheber des Grundgedankens, aber in der -überragenden Persönlichkeit seines Schülers <span class="gesperrt">Demokrit</span> ist er -verschwunden. Zeller fasst beide zusammen als Atomiker.</p> - -<div class="sidenote">Demokrit.</div> - -<p><span class="gesperrt">Demokrit</span> ist in <span class="gesperrt">Abdera</span> etwa um 470 geboren, und ist -zwischen 90 und 100 Jahre alt geworden. An umfassender -Bildung nur dem Aristoteles vergleichbar, hat er das Wissen, -das er auf vielen Reisen, insbesondere nach Ägypten und Babylonien, -erworben, in einer Reihe von Schriften niedergelegt, -von denen leider zurzeit nur wenige Bruchstücke, meist ethischen -Inhalts, erhalten sind. Glücklicherweise hat sich <span class="gesperrt">Aristoteles</span> -sehr viel mit Demokrit beschäftigt, während Platon in auffallender -Weise über ihn schweigt. Platon neigt überhaupt nicht zu literarischen -Angaben in seinen Dialogen, und wird wohl in seinen -Vorlesungen sich genügend mit Demokrit beschäftigt haben, auch -konnte er die Lehre des Demokrit zu seiner Zeit als bekannt -voraussetzen. Jedenfalls ist beim Charakter Platons irgendwelche -böswillige Absichtlichkeit zurückzuweisen. Soviel steht fest, je -tiefer die Quellenforschung ging, um so höher ist die Gestalt des -Demokrit emporgewachsen, den wir jetzt neben Platon und Aristoteles -als den dritten grossen Hellenischen Philosophen werten. -Trotz des geringen Umfangs der erhaltenen Fragmente können -wir uns von der Fülle und Kühnheit seiner Gedanken ein ziemlich -deutliches Bild machen.</p> - -<p>Mit den <span class="gesperrt">Eleaten</span> hat er die Ewigkeit und Unveränderlichkeit -des Seienden gemeinsam, die Überzeugung von der Unzerstörbarkeit -der Materie. Aber <span class="gesperrt">Heraklit</span> missverstehend, -fassten jene sein »Werden« als ein Vergehen und Entstehen der -Materie und nicht als einen Wechsel der Form im Kreisprozess, -und da sie den Unterschied zwischen »Werden« und »Veränderung«<span class="pagenum"><a name="Seite_p180" id="Seite_p180">[S. 180]</a></span> -verfehlten, leugneten sie schlankweg die Bewegung und -damit die ganze erkenntnistheoretische Physik der Erscheinung, -welche ja in der reinen Bewegungslehre besteht. Hier setzen -Leukipp und <span class="gesperrt">Demokrit</span> ein, sie müssen den Begriff der Materie -umarbeiten, um die Bewegung begreiflich zu machen. Das Seiende -ist ihnen nicht, wie dem <span class="gesperrt">Parmenides</span>, die kugelförmig gedachte, -lückenlose Masse alles reell Existierenden, sondern es sind -die unteilbaren, αδιαιρητα, Atome, ὁι ατομοι, die er hochmodern als -der ουσια, dem Wesen nach, ganz gleich denkt, nur mathematisch, -d. h. in bezug auf Figur, Grösse und Zahl verschieden. Leukipp -und Demokrit haben den Begriff des Atoms geschaffen, diesen -Hilfsbegriff, den Physik und Chemie bis auf den heutigen Tag -und in alle Zukunft nicht entbehren können; ein sehr bekannter -Chemiker sagte mir: »Was <span class="gesperrt">Demokrit</span> über die Atome gesagt, -bildet die beste Einleitung zu einem modernen Lehrbuch der -Chemie.«</p> - -<p>Und von <span class="gesperrt">Heraklit</span> entnahm er den Gedanken der beständigen -Bewegung und Veränderung in der Zusammensetzung -der Atome zu Molekülen. Die Atome bewegen sich ewig und -anfangslos, weil das in ihrem Wesen liegt, nach einem Grund -dieser Bewegung zu fragen, erklärt er für töricht, wie etwa die -Frage, warum ein Löwe Fleisch frisst. Dass aber die Atome -sich <span class="gesperrt">bewegen können</span>, das liegt daran, dass sie voneinander -durch den <span class="gesperrt">leeren Raum</span> getrennt werden, und auch dieser -für die Mathematik so entscheidend wichtige Grenzbegriff des -leeren Raumes und der Porosität hat bei Demokrit seine Formulierung -gefunden, denn »das Leere« (το κενόν) der Pythagoräer -ist wohl nur ein Synonym für Raum überhaupt, obwohl selbstverständlich -Keime für Demokritische Gedanken bei den Pythagoräern -liegen.</p> - -<p>Dieser leere Raum, von dem er mit ironischer Anpassung -an des Parmenides »ἔστι γὰρ εἶναι, μηδὲν δ΄ οὐκ ἔστι« (Es gibt ein -Sein, ein Nichtsein gibt es nicht) sagt, dass er das Nichts ist, -ermöglicht alles wirkliche Sein der Aussenwelt.<span class="pagenum"><a name="Seite_p181" id="Seite_p181">[S. 181]</a></span> -<span class="gesperrt">Aristoteles</span>, Metaph. I, 4, 985b: Λευκιππος δε και ὁ -ἑταιρος αυτου Δημοκριτος στοιχεια μεν το πληρες και το κενον ειναι φασι, -λεγοντες τι μεν ον το δε μη ον, το 'των δε τι μεν πληδες και στερεον το -ον, το δε κενον γε και μανον το μη ον, αιτια δε των οντων ταιτα ως ὑλην. -Leukipp und Demokrit, sein Genosse, erklären das Volle und -das Leere als die Elemente und nennen jenes das Seiende, dieses -das Nichtseiende, und diese beiden sind die Ursache, der Stoff, -alles Wahrnehmbaren. Ja mit bewundernswerter Kühnheit der -Spekulation sagt Demokrit: »το δεν ον μαλλον εστι η το μηδέν.« Das -Nichts ist ebenso existenzberechtigt als das »Ichts«.</p> - -<p>Wie das Atom nichts anderes ist als das <span class="gesperrt">Differential, -der Ursprung der Masse</span>, so ist dieses »μηδέν« nichts anderes, -als das <span class="gesperrt">Differential, der Ursprung des Raumes</span>. -Dass dies keine leere Vermutung ist, dass <span class="gesperrt">Demokrit</span> -als der erste erreichbare Urheber der <span class="gesperrt">Differentialrechnung</span> -anzusehen ist, dafür haben wir jetzt einen Beweis in dem 1907 -von <span class="gesperrt">Heiberg</span> aus dem Palimpsest entzifferten »εφόδιον« (so viel -wie Methode) des <span class="gesperrt">Archimedes</span>, welche <span class="gesperrt">H. Zeuthen</span> übersetzt -hat. Die Formel für das Volumen der Pyramide und des -Kegels, die nach der Angabe des Archimedes von <span class="gesperrt">Eudoxos</span> -streng d. h. euklidisch bewiesen, die habe, steht im Ephodion, -<span class="gesperrt">Demokrit</span> gefunden aber nicht bewiesen d. h. nicht streng, -grade so wie Archimedes seine mit Differentialrechnung gefundenen -Formeln nur für wahrscheinlich aber nicht für streng bewiesen -erachtet. Das Verfahren des Demokrit kann kein anderes -gewesen sein als das des <span class="gesperrt">Cavalieri</span>, das Volumen ist das -Integral, die Summe der unzählig vielen unendlich kleinen Prismen, -deren Grundflächen die veränderlichen Querschnitte sind. -Man vergleiche dazu die Angabe Plutarchs, Diels Fragmente 155 -(auch Anmerkung S. 723): »Es machte ihm nämlich die Frage -Schwierigkeiten, ob, wenn man einen Kegel parallel der Basis -durchschnitte, die so entstehenden Schnittflächen einander gleich -seien oder nicht. Schon <span class="gesperrt">Aristoteles</span> hat darauf hingewiesen, -wie stark mathematisch durchtränkt die Lehre des Demokrit gewesen,<span class="pagenum"><a name="Seite_p182" id="Seite_p182">[S. 182]</a></span> -der sich, Plutarch zufolge, rühmte, selbst die Ägyptischen -Harpedonapten in der Reisskunst zu übertreffen. Bisher schwebte -diese Angabe in der Luft, jetzt ist sie durch den Palimpsest bestätigt -worden. Ich mache auch auf den uns erhaltenen Titel -der Schrift: περι διαφορης γνωμης η περι ψαυσεως κυκλου και σφαιρας -und auf seinen Einfluss auf <span class="gesperrt">Archimedes</span> und dadurch auf -<span class="gesperrt">Galilei</span> aufmerksam. Dass sich Demokrit eingehend mit dem -Problem der Kontinuität beschäftigt hat geht aus dem erhaltenen -Titel der verlorenen Schrift: περι αλογων γραμμων και ναστων (über -irrationale Strecken und das Kontinuum) hervor.</p> - -<p><span class="gesperrt">Demokrit</span> ist von Grund aus Naturforscher im Gegensatz -zu <span class="gesperrt">Platon</span>, dem Dichter und Metaphysiker, er hat zum -ersten Male versucht ernsthaft eine mechanische Welttheorie -durchzuführen. Seine Wirbelbewegung treffen wir bei <span class="gesperrt">Descartes</span> -wieder, wie auch seine Unterscheidung der primären Qualitäten -(Schwere, Härte, mathematische Gestalt etc.), der Eigenschaften -der Atome, von den sekundären, wie Farbe, Geschmack etc. -Die Zahl und die Figur der Atome ist es, welche die wesentliche -Verschiedenheit der Dinge bewirkt, mit der Trias, Atom, -leerer Raum, Bewegung haben Leukipp und <span class="gesperrt">Demokrit</span> die -mathematische Naturerkenntnis geschaffen. Das Atom sowohl -wie der leere Raum sind <span class="gesperrt">Ideen</span>, das Wort rührt von Demokrit -her, und an Demokrit knüpft die Platonische Ideenlehre an. -<span class="gesperrt">H. Cohen</span> zählt in seinem vorzüglichen Marburger Programm -Demokrit mit vollem Recht zu den Idealisten und zum recht -eigentlichen Vorgänger von Platon. Wie dieser bezeichnet er -die Sinneswahrnehmung als dunkele, die logische als klare Erkenntnis; -<span class="gesperrt">W. Kinkel</span> sagt, es ist schwer begreiflich wie man -ihn hat zum Materialisten stempeln können. Ich möchte aber -bemerken, dass der Idealismus sowohl des Demokrit als der -übrigen idealistischen Philosophen im Grunde eine Doppelnatur -besitzt, eine <span class="gesperrt">skeptische</span>, insofern er die Realität der Sinneswahrnehmung -leugnet, und eine supranaturalistische, insofern er -die Realität des Geistigen lehrt. Daher ist es ganz begreiflich,<span class="pagenum"><a name="Seite_p183" id="Seite_p183">[S. 183]</a></span> -dass von Demokrit eine Schule der Materialisten ausgehen konnte, -wie von Platon Skeptizismus und insbesondere Mystizismus (Plotin, -Augustin). Jedenfalls ist die »tyche« D.'s nicht der blinde Zufall, -sondern das Schicksal als eine durchaus vernünftige Gesetzmässigkeit -des in Erscheinung tretenden (der Phänomena). Nicht -bloss auf metaphysischem Gebiet ist Demokrit ein Vorläufer des -Platon, sondern auch auf ethischem Gebiet, in der Auffassung -des Menschen als μικρόκοσμος — das Wort ist demokritisch — -in der Wertung der Erziehung berührt er sich mit Platon. Ich -nenne hier ausser Zeller und Kinkel noch <span class="gesperrt">P. Natorp</span>, Forsch. -z. Gesch. des Erkenntnisproblems im Altertum; <span class="gesperrt">G. Hart</span>, Zur -Seelen- und Erkenntnislehre des Dem., Progr. Mühlhausen (im -Elsass) 1886; <span class="gesperrt">P. Natorp</span>, Die Ethik des Dem., Marburg 1893.</p> - -<div class="sidenote">Platon.</div> - -<p><span class="gesperrt">Platon</span>, der Göttliche, wie ihn Schopenhauer bezeichnet, -ist im Todesjahre des Perikles 429 aus vornehmster Familie geboren, -mit ihm erreicht die Hellenische Philosophie ihren Höhepunkt. -Wie in einem Brennpunkt fasst er alle bedeutenden Gedanken -seiner Vorgänger, der Pythagoräer, der Eleaten, des -Heraklit und vor allem des Demokrit zusammen, um sie als -Bausteine seiner Theorie des Erkennens zu verwenden. Es ist -das Kennzeichen der Allergrössten, dass sie über den Parteien -stehen, oder richtiger, wie <span class="gesperrt">Lange</span> in der Geschichte des Materialismus -sagt, dass sie die Gegensätze ihrer Epoche in sich zur -Versöhnung bringen. Er ist mit <span class="gesperrt">Kant</span> der grösste Idealist aller -Zeiten, und keiner hat auf Kant solchen Einfluss geübt, nicht -einmal Hume, wie Platon.</p> - -<p>Ich verstehe aber unter <span class="gesperrt">Idealismus</span> in der Philosophie -diejenige Weltanschauung, welche die Welt der Dinge nur insofern -als seiend auffasst, als sie Gegenstand oder Objekt der Erkenntnis -eines erkennenden Subjektes ist. Sagt doch <span class="gesperrt">Platon</span> -oft gradezu (z. B. Rep. 529, Phaed. 833, Tim. 513) das Seiende -ist das Unsichtbare, das von uns nicht Wahrnehmbare, sondern -nur Gedachte, das was das Bewusstsein selbst bei sich selbst<span class="pagenum"><a name="Seite_p184" id="Seite_p184">[S. 184]</a></span> -sieht. Unter <span class="gesperrt">Realität</span> der Erscheinung versteht man im idealistischen -Sinne diejenige Eigenschaft derselben, vermöge derer -sie zu in Zeit und Raum geordneten Gegenständen der Erfahrung -werden. Es ist Platons ewiges Verdienst, dass er das -Problem des Erkennens als das eigentliche Grundproblem der -Philosophie in diese Wissenschaft eingeführt hat, die er mit der -Frage τι εστι επιστήμη, was ist Wissen, eigentlich erst als Wissenschaft -geschaffen hat.</p> - -<p><span class="gesperrt">Kant</span> trifft auch darin mit <span class="gesperrt">Platon</span> zusammen, dass beide -für ihre Erkenntnistheorie von der Frage nach dem Erkenntniswert -der Mathematik ausgingen. Ich nehme hier Gelegenheit -den Dank auszusprechen, den ich für das Verständnis des Philosophen -Platon der trefflichen Jugendschrift <span class="gesperrt">H. Cohens</span>, Plato -und die Mathematik, Marburg 1878 schulde. Platon den Dichter -und Gottsucher schildert eine Broschüre <span class="gesperrt">Windelbands</span> in -hervorragender Weise.</p> - -<p>Viel schuldete er seinem Lehrer <span class="gesperrt">Sokrates</span>, sowohl in -bezug auf das Interesse an der Ethik, an den sittlichen Gesetzen -und Idealen der Menschheit, als besonders hinsichtlich des Bestrebens -die einzelnen Begriffe scharf zu definieren. Nach dem -Tode des Sokrates floh er aus Athen, und brachte etwa 10 Jahre -auf Reisen zu, überall den Verkehr mit den geistigen Grössen -suchend. In Cyrene hat er beim Pythagoräer <span class="gesperrt">Theodoros</span>, -dessen wir schon bei Gelegenheit des Theätet gedacht haben, sich -das mathematische Wissen der Pythagoräer angeeignet, in Unteritalien -den grossen <span class="gesperrt">Archytas</span> von Tarent kennen gelernt, und -in Sizilien ebenfalls viel mit Pythagoräern verkehrt; dass er von -Sizilien aus Ägypten besucht hat, ist sehr wahrscheinlich.</p> - -<p>Nach Athen zurückgekehrt, gründete er dort den Freund- -und Schülerbund der <span class="gesperrt">Akademie</span>, ein Gymnasium bei Athen, -nach dem attischen Heros Ακάδημος benannt, wo Platon ein Landgut -besass. Ein glücklicher Zufall hat uns das Testament des -Platon erhalten, es findet sich bei <span class="gesperrt">Diogenes Laertios</span> und ist -von <span class="gesperrt">U. v. Wilamowitz</span> und Kiessling Phil. Unters. IV. ediert.</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p185" id="Seite_p185">[S. 185]</a></span></p> - -<p>Schon 2000 Jahre vor den Amerikanischen Multimillionären -hat hier ein Privatmann aus seinen Mitteln eine Universität gegründet, -die Universität Athen, die bedeutendste des Altertums, -an der Euklid und Cicero studierten, welche etwa 900 Jahre -blühte, bis sie Justinian 529 n. Chr. aufhob, teils um sich ihren -Besitz anzueignen, teils weil die Professoren auf Seiten der Gemahlin -des Kaisers, der <span class="gesperrt">Theodora</span>, standen, und das Heidentum -oder richtiger den Neuplatonischen Mystizismus unterstützten, -während der Kaiser das Christentum oder das Gottesgnadentum -des Monarchen als Staatsreligion durchführen wollte.</p> - -<p>Eine zweite Reise nach Sizilien 367 ist wohl von Dion, -dem Freunde des Platon und Schwager des Dionys I., der s. Z. -Platon seiner Freimütigkeit wegen als Sklaven verkaufen liess, -veranlasst. Platon sollte den jungen Dionysios II. nach den in -der »Republik« niedergelegten ethischen und politischen Prinzipien -erziehen.</p> - -<p>Aber wie fast alle Theoretiker der Pädagogik war er kein -glücklicher Praktiker. Noch einmal 361 unterbrach eine zugunsten -des Dion unternommene Reise seine im höchsten Grade -erfolgreiche akademische Lehrtätigkeit, die bis zu seinem 347 im -80. Jahre eingetretenen Tode angehalten haben soll.</p> - -<p>Was nun Platon als Mathematiker von Fach betrifft, so -ist die Legende von Platons Leistungen in der speziellen Problemmathematik -schon von <span class="gesperrt">C. Blass</span> in seiner Dissertation »de -Platone mathematico«, Bonn 1861, zerstört worden; als reinen -Mathematiker haben ihn seine Zeitgenossen <span class="gesperrt">Archytas</span>, <span class="gesperrt">Theätet</span> -und besonders der grosse <span class="gesperrt">Eudoxos</span> von <span class="gesperrt">Knidos</span> sicher weit -übertroffen, er ist von der Philosophie zur Mathematik gekommen -und nicht umgekehrt. Platon hat nicht die Philosophie der -Mathematik geschaffen, wie M. Cantor sagt, — das würde weit -eher auf Demokrit und Eudoxos passen —, aber was eben so -wertvoll ist, er hat die Bedeutung der Mathematik für die Philosophie -erfasst, und es bedarf nicht des seit <span class="gesperrt">Melanchthon</span> -immer wieder zitierten μηδεις αγεωμετρητος εισιτω μου την στεγην,<span class="pagenum"><a name="Seite_p186" id="Seite_p186">[S. 186]</a></span> -»Kein der Mathematik Unkundiger betrete meine Schwelle«, aus -der zweifelhaften Quelle des <span class="gesperrt">Tzetzes</span>, um uns darüber zu belehren. -Platon erkannte, dass die Mathematik für die Philosophie -dieselbe Bedeutung als Hilfswissenschaft hat, welche der Physik -für die Mathematik zukommt. Einerseits liefert sie für die Logik -die einfachsten und schlagendsten Beispiele, wie uns denn Aristoteles -den Beweis der Pythagoräer für die Irrationalität der Wurzel -aus 2 als Beispiel eines indirekten Beweises erhalten hat, andrerseits -liefert sie für die Erkenntnistheorie die Probleme, an -deren Lösung sich die Philosophie entwickelt hat. Und Platon -gab mit der Betonung dieser Bedeutung der Mathematik den -mächtigen Impuls, der die Blütezeit der Hellenischen Mathematik -im 3. Jahrhundert herbeiführte. Ganz besonders sind die erkenntnistheoretischen -Probleme, welche die inkommensurabeln -Streckenbrüche geben, von Platon und seinen Schülern und Mitarbeitern, -von <span class="gesperrt">Theätet</span> und insbesondere von <span class="gesperrt">Eudoxos</span> bearbeitet -worden.</p> - -<div class="sidenote">Platon und die Mathematik.</div> - -<p>Und noch in einer zweiten Richtung sind wir Platon den -grössten Dank schuldig; ohne ihn und die scharfen Worte, mit -denen er den gewaltigen Wert der Mathematik für die Bildung -der Jugend dargelegt hat, würde wahrscheinlich die Mathematik -ihre Stellung als Hauptfach in unseren Gymnasien weder erhalten -noch behauptet haben. In seiner Schrift vom Staate, der »πολιτεια«, -der bedeutsamsten Utopie, die je geschrieben, in der er als der -Erste den grossen Plan einer idealen staatlichen Erziehung der -Jugend <span class="gesperrt">ins Einzelne</span> durchgeführt, entwirft, sogar bis auf die -Schulzimmer, vergleicht er die Bedeutung, welche die Mathematik -in seiner Zeit hat, mit der, welche sie haben sollte. Er geht in -seiner Wertung der Mathematik als Bildungsmittel von dem -Fundamentalsatz aus: die Wahrnehmungen zerfallen in zwei -Klassen, die einen finden eine Ergänzung durch das reine Denken, -die andern nicht. Politeia 523 heisst es: »Ich zeige dir -also, wenn du es (ein)siehst, einiges was gar nicht die Vernunft -herbeiruft, es wird schon durch die Wahrnehmung hinlänglich<span class="pagenum"><a name="Seite_p187" id="Seite_p187">[S. 187]</a></span> -beurteilt, andres hingegen, was auf alle Weise die Wahrnehmung -zu untersuchen auffordert. (Ähnlich Timäos § 46.) Und diese -Untersuchung der Wahrnehmung, welche sie umprägt in Erfahrung -im Kantischen Sinne, bewirkt in erster Linie die Mathematik. -Sie ist ihm der »Paraklet«, der Wecker der reinen, vernünftigen, -der wahren Erkenntnis.</p> - -<p>Zunächst die Arithmetik, d. h. nicht die praktische Rechenkunst, -die Logistik, sondern die wissenschaftliche Zahlenlehre, -deren Hauptteil die Lehre von der relativen Zahl, von den Verhältnissen, -bildet, die »θεά«, die innere Schau, der Zahlenverhältnisse. -Und dasjenige in der Wahrnehmung, was solche Verhältnisse -liefert, das ist dadurch, das es uns veranlasst, über die -Gründe dieser Verhältnisse nachzudenken, der Herbeirufer, der -Paraklet, der reinen Vernunft. Die Betonung der dritten Quelle, -aus der unser Zahlbegriff fliesst, der Kategorie oder Konstituente -des Bewusstseins Relation, bildet ein grosses Verdienst Platons -um die Begriffsbildung in der Mathematik. Aus zahlreichen -Stellen (man vgl. auch Theon Smyrneus trad. du Grec en Français -p. J. Dupuis 1892) geht hervor, dass ihm die Zahl vorzugsweise -relative Zahl oder Masszahl ist, auf der alle Erweiterungen des -Zahlbegriffs beruhen, da die Cardinalzahl, die Vieleinheit, und -die Ordinalzahl, die Reihungszahl, eine Begriffserweiterung nicht -zulassen.</p> - -<p>Die gleiche Bedeutung wie der Arithmetik erkennt er der -<span class="gesperrt">Geometrie</span> zu. Er weiss sehr wohl, dass ihr Ursprung, der -Veranlassung nach, die Wahrnehmung, d. h. der sinnliche Eindruck -ist, und spricht dies nicht nur in der Republik, sondern -auch im Timäos ganz unumwunden aus. Aber, sagt er, der Begriff -des Gleichen, die <span class="gesperrt">Idee</span> Gleichheit, steckt nicht in der Wahrnehmung -gleicher Steine, obwohl wir ihn ohne diese Wahrnehmung -nicht hätten. [Die gleichen Steine dienten als Rechenpfennige, -daher ψηφιζειν lat. calculare für »rechnen«.] Und er warnt -nachdrücklich davor, die Wertung der Geometrie von ihrem -Nutzen für die Praxis abhängig zu machen, sondern sie lehrt<span class="pagenum"><a name="Seite_p188" id="Seite_p188">[S. 188]</a></span> -und erleichtert uns die Erkenntnis »του οντως οντος« des Wahrhaft-Seienden, -der Idee, ja sie bewirkt, dass die höchste Idee, -die Idee des Guten leichter geschaut werde.</p> - -<div class="sidenote">Platonische Ideen.</div> - -<p>Da es Platon ist, der zuerst die Bedeutung der Idealisierung -für die reine Geometrie erkannt hat, wird es nötig auf die so -viel umstrittene Platonische Ideenlehre näher einzugehen. Sie -ist der Grundstein seiner Philosophie, und zugleich von Anfang -an grade durch seinen bedeutendsten Schüler, durch <span class="gesperrt">Aristoteles</span> -missverstanden, verspottet und entwertet worden. Nur -aus dem Verständnis der Platonischen Idee lässt sich einsehen -wie viel Kant für seine transzendentale Ästhetik des Raumes -aus Platon entnommen hat. Über die Beziehung zwischen Kant -und Platon verweise ich auf einen kleinen Aufsatz in den Philos. -Arbeiten, her. von <span class="gesperrt">H. Cohen</span> und <span class="gesperrt">P. Natorp</span> Bd. 2 Heft 1 -1908 »Über Mathematik«.</p> - -<p>Vom Sokrates nahm er die Betrachtung, dass dem allgemeinen -(Gattungs) Begriff jeder einzelne Gegenstand, von dem -er abstrahiert wird, zukommt. Von den Pythagoräern das Interesse -für die geistigen Prozesse der Mathematik, von den -Eleaten den Grundgedanken, dass nur dem durch die Vernunft -erkannten bleibendes Sein zukommt, von den Atomikern die Erkenntnis, -dass die Zahl- und Raumbegriffe, grade weil sie vom -sinnlichen Standpunkt aus Nichts sind, das wirkliche Sein repräsentieren -und schmolz alles zusammen in seiner Idee. Durch -eine wahrhaft göttliche Eigenschaft der Vernunft wird dieselbe, -und zwar am leichtesten durch Vermittlung der Mathematik, angeregt, -in den einzelnen Erfahrungen, die das Daseiende (τὰ όντα) -liefert, das dauernd Seiende (το οντως ον), die Urbilder, die -Ideen zu erschauen, Hypothesen oder Grundlegungen der reinen -Vernunft. Von ihnen als dem ewig Seienden, obwohl in keiner -einzelnen Erscheinung verkörpert, empfängt das Daseiende sein -Sein, seine Essenz, seine Substanz.</p> - -<p>Sind die Ideen wie die des Gleichen, des Schönen, des -Wahren, und die höchste Idee, welche alle andern trägt, die des<span class="pagenum"><a name="Seite_p189" id="Seite_p189">[S. 189]</a></span> -Guten erschaut, denn Idee, ἰδέα, kommt von ιδείν (schauen), so -werden ihnen die Erscheinungen untergeordnet, und nun wird im -einzelnen die Idee geschaut, im breiten Strich die Gerade, im -Ball die Kugel etc. Beim reifen Menschen geht die Idee der -sinnlichen Erscheinung voraus. »Ehe wir also anhuben zu sehen -und zu hören und die Aussenwelt wahrzunehmen, mussten wir -in uns, irgend woher genommen, die Erkenntnis des Gleichen -angetroffen haben, das, worauf wir die aus den Wahrnehmungen -stammenden Gleichheiten beziehen können« (Phaedon p. 758, -Theätet p. 186 c). Die Platonische Idee nähert sich, wie aus -dieser Darstellung hervorgeht, der (idealistisch aufgefassten) Kategorie -der <span class="gesperrt">Substanz</span> einerseits, und berührt sich andererseits -mit dem Begriff der <span class="gesperrt">Kraft</span>, denn z. B. die Idee des Guten ist -die Ursache aller Vollkommenheit, sie ist gradezu die göttliche -schöpferische Vernunft. Die Idee, wie z. B. Sophist 248 A beweist, -hat Bewegung, Leben, Seele, wie die <span class="gesperrt">Leibniz</span>sche -Monade, sie wird öfters gradezu ἑνας oder μόνας, Einheit genannt.</p> - -<p>Die Stellung, welche Platon der Mathematik anweist, erinnert -unwillkürlich an Kant, auch bei Platon hat die Mathematik -eine Zwischenstellung zwischen Sinnlichkeit und Logik, -auch bei ihm ist sie »reine Sinnlichkeit a priori«, die in das -Objekt der sinnlichen Wahrnehmung, Zahl und Gestalt hineinsieht -und als Ewig-Seiendes, die »im barbarischen Schlamme der -Sinnlichkeit« steckende Seele hinleitet, im Abbilde das Urbild -das wahrhaft Seiende zu sehen. In der Republ. 529 D, 520 C, -im Timäos 28 heisst es: Das, was ihr Wirklichkeit nennt, die -bunten Gestalten am Himmel und auf Erden, sind nur die Abbilder -von den Urbildern in der Erkenntnis und dem Bewusstsein. -In seiner Lehrtätigkeit, welche der Hauptfaktor seines Einflusses -auf seine Zeitgenossen war, unterschied er Empfindung; -Anschauung; Hinzuziehung von Mass und Zahl — διάνοια; und -Hinzuziehung der Idee, die transzendentale Erkenntnis, die -νόησις.</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p190" id="Seite_p190">[S. 190]</a></span></p> - -<div class="sidenote">Raum bei Platon.</div> - -<p>Platon hat das Kategorische des Raumbegriffes oder besser -die Idealität des Raumes, die ja schon die »richi« der Inder -empfunden haben, scharf hervorgehoben, während er Zeit und -Bewegung nicht hinlänglich geschieden hat. Die bekannteste -Stelle findet sich 50–52 des Timäos, des schwierigsten Dialogs, -welcher beweist, wie völlig Platon im Alter unter den Bann -pythagoräischer Gedankenkreise geraten war (vgl. den zitierten -Aufsatz von 1908). Es heisst da: Der Raum ist die aufnehmende -<span class="gesperrt">Mutter</span>, die Idee, das reine Erzeugnis der Vernunft, der <span class="gesperrt">Vater</span> -der Gegenstände der Wahrnehmung der Natur (50 D). Er bildet -die 3. Art der Erkenntnis, der ewige unvergängliche Raum (52 B), -der uns durch nichtsinnliche Wahrnehmung (μεθ' αναισθησιας) -durch eine Art von unechter Vernunfttätigkeit mühsam klar wird, -den wir <span class="gesperrt">mit offenen Augen träumen</span>. Das ist nichts anderes -als der ideale Raum Kants, die reine Form des äusseren -Seins für das erkennende Bewusstsein als solches, losgelöst von -aller Individualität.</p> - -<p>Seit Aristoteles und durch Aristoteles ist die Meinung verbreitet, -dass Platon Raum und Materie identifiziert hat, und -<span class="gesperrt">Fr. Ast</span> hat dies 1816, Plat. Leben und Schriften Note p. 362 -in feiner Weise aus dem Gedankengang Platons abzuleiten versucht. -Dass ich anderer Meinung bin, habe ich schon in dem -erwähnten Aufsatz der Marburger philosophischen Arbeiten von -1908 gesagt, es handelt sich bei der Ableitung der Körperwelt -im Timäos im wesentlichen um eine Kombination Pythagoräischer -und Demokritischer Gedanken. Auf Demokrit weist auch die so -wichtige Auffassung des Punktes als <span class="gesperrt">Streckendifferential</span>, -als »αρχή γραμμής«, Ursprung der Linie. <span class="gesperrt">Proklos</span> (Friedlein -S. 88) sagt, »aber es liegt in ihm verborgen eine unbegrenzte -Macht Längen zu erzeugen.«</p> - -<p>So hoch das Verdienst Platons um die erkenntniskritische -Untersuchung des Raumbegriffs zu veranschlagen ist, so muss -doch auch die Sage von Platon als dem Erfinder stereometrischer -Sätze als unbegründet zurückgewiesen werden. Er hat dies selbst,<span class="pagenum"><a name="Seite_p191" id="Seite_p191">[S. 191]</a></span> -so drastisch als man es nur wünschen kann, getan. In der -bekannten Stelle der Republik heisst es: »Ausserdem aber -legen sie (die Griechen) hinsichtlich der Messung von allem was -Länge, Breite, Tiefe hat eine bei allen Menschen vorhandene, -eben so lächerliche als schmähliche Unwissenheit an den Tag.«</p> - -<p>Kleinias fragt: Welche und wie beschaffene meinst du?</p> - -<p><span class="gesperrt">Sokrates-Platon</span>: Mein lieber Kleinias, habe ich doch -selbst <span class="gesperrt">erst spät</span> davon gehört, wie es mit uns in dieser Hinsicht -bestellt ist, nämlich meiner Ansicht nach, nicht wie es sich -für Menschen gehört, sondern für <span class="gesperrt">Schweine</span>.</p> - -<p>Wie es mit den Griechen in dieser Hinsicht bestellt war, -erfahren wir aus Thukydides, wo die Griechen den Inhalt einer -Insel dem Umfang proportional setzen. Platon ist sicher kein -Erfinder stereometrischer Sätze gewesen, sein Verdienst ist auch -hier ein methodisches. Durch seinen Umgang mit <span class="gesperrt">Archytas</span> -und <span class="gesperrt">Eudoxos</span> hat er die Bedeutung der Stereometrie erkannt, -und die ihm zuteil gewordene Anregung auf seine Schüler übertragen, -die denn auch nicht ermangelten die Stereometrie zu fördern.</p> - -<div class="sidenote">Platon als Mathematiker.</div> - -<p>Eben so falsch ist es, dass Platon die sogen. <span class="gesperrt">Analysis</span> -zur Lösung der Konstruktionsaufgaben erfunden habe. Dass -Platon die analytische Methode gekannt hat, geht unwiderleglich -aus <span class="gesperrt">Menon</span> S. 87 bei der Frage, ob ein gegebenes Dreieck in -einen gegebenen Kreis eingetragen werden könne, hervor. <span class="gesperrt">Proklos</span> -p. 58: Sie überlieferten die trefflichste Methode, und zwar -die, welche durch die Analyse das Gesuchte auf ein anerkanntes -Prinzip zurückführt, welche auch <span class="gesperrt">Platon, wie sie sagen</span>, -dem Laodamas hinterliess, mit der dieser vieles in der Geometrie -gefunden haben soll, dann aber auch jene, die auf genauer -Einteilung beruht, welche Platon ebenfalls stark betonte. -(Für letztere Methode denke man an die Untersuchungen über -die Beziehungen zwischen Gerade und Gerade, Gerade und -Kreis etc.) Bei <span class="gesperrt">Diogenes Laertios</span> III, 25 heisst es:</p> - -<div class="blockquot"> - -<p class="noindent">Πρωτος ὁ Πλατων τον κατα την αναλυσιν της ζητησεως τροπον -εισηγησατο Λεωδαμαντι τω Θασιω</p></div> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p192" id="Seite_p192">[S. 192]</a></span></p> - -<p>Aber Pappos, der im Buch VII seiner Kollektaneen, diesem -Inventar Hellenischen Könnens, sehr ausführlich über die Analysis -gehandelt hat, erwähnt mit keinem Wort des Platon. Die Sage liebt -es eben, alle Heldentaten auf das Haupt des Haupthelden zu häufen.</p> - -<p>Aber die Sache ist an sich klar, in dem oben erwähnten -Überrest der Arbeit des <span class="gesperrt">Hippokrates</span> ist die analytische -Methode angewandt, und jede Gleichung ist ein Beispiel derselben, -die Verwandlung des Rechtecks in ein Quadrat bei den -Indern (S. 159) ist ohne Analyse unmöglich, und im Grunde verfährt -jeder Künstler analytisch. Erst muss das Kunstwerk, der -Plan des Architekten, im Kopfe fix und fertig sein, ehe der erste -Pinselstrich, der erste Spatenstich erfolgen kann. Die Definition -von Analysis findet sich Euklid XIII, 5 und sie rührt, wie <span class="gesperrt">Bretschneider</span>, -Geometrie und Geometer vor Euklides, bemerkt -hat, von <span class="gesperrt">Eudoxos</span> her: Analysis ist die Annahme des Gesuchten -als zugestanden durch die Folgerung hindurch bis zu -einem als wahr Bekannten.</p> - -<p><span class="gesperrt">Platon</span> hat als <span class="gesperrt">Philosoph</span> auf die Bedeutung der analytischen -Methode für die Konstruktion und als Beweismittel in -jeder Wissenschaft aufmerksam gemacht und grade an der angeführten -Stelle Menon S. 87 wird die mathematische Anwendung -als Beispiel gebraucht, weil sie besonders einfach ist und Plato -sagt selbst: Ich brauche den Ausdruck »Aus der Voraussetzung« -so, wie oft die Geometer argumentieren. Ebenso apokryph ist -die unter Platons Namen gehende Lösung des <span class="gesperrt">Problems der -Würfelverdoppelung</span>. In meinem Urteil über Platon den -Mathematiker schliesse ich mich völlig <span class="gesperrt">Blass</span> an, der seine -Dissertation de Platone Mathematico also beendet: nam si amicus -Plato, amicior tamen veritas: et is quoque, qui scientiae amorem -aliis iniecit, de scientia bene est meritus.</p> - - -<h3>Die Würfelverdoppelung.</h3> - -<div class="sidenote">Würfelverdoppelung (Delisches Problem).</div> - -<p>Dies Problem, das sogen. erste Delische Problem, ist eins -der drei grossen Probleme: Würfelverdoppelung, Winkel- oder<span class="pagenum"><a name="Seite_p193" id="Seite_p193">[S. 193]</a></span> -Bogenteilung (Kreisteilung), Quadratur des Zirkels, an deren Bewältigung -sich die Hellenische Mathematik zu ihrer bewundernswerten -Höhe entwickelt hat. Die beiden ersten Probleme sind -von den Pythagoräern und ihren Ausläufern, unmittelbar nachdem -sie durch die nach Pythagoras genannte Satzgruppe die -Probleme, welche auf Gleichungen zweiten Grades führen, bewältigt -hatten, in Angriff genommen worden. Diese Tatsache -liefert einen klaren Beweis, dass der eigentlich leitende Gesichtspunkt -der Hellenen der arithmetische war und dass die Griechen -schon zu jener Zeit klar den Satz des <span class="gesperrt">Vieta</span> erkannten, dass -mit der Vervielfältigung des Würfels und der Trisektion des -Winkels die Gleichung dritten (und vierten) Grades allgemein -gelöst sei.</p> - -<p>In drei aufeinanderfolgenden Programmen von Linz hat -<span class="gesperrt">Ambros Sturm</span> 1895, 96, 97 eine vortreffliche Geschichte »des -Delischen Problems« geliefert, im Anschluss an <span class="gesperrt">Montuclas</span> -Quadrature du cercle. Über den Ursprung unseres Problems -berichtet ein Brief das <span class="gesperrt">Eratosthenes</span> (s. u.), den <span class="gesperrt">Eutokios</span>, -Bischof von Askalon, geb. 480 n. Chr., in seinem Kommentar -zu Archimedes Kugel und Zylinder überliefert hat.</p> - -<p>»<span class="gesperrt">Eratosthenes</span> wünscht, dass es dem Könige Ptolemaios -wohlergehe. Es wird erzählt, dass ein alter Tragiker, den Minos -eingeführt habe, der dem Glaukos ein Grabmal erbauen lassen -wollte, und als er dabei bemerkte, dass es nach allen drei Dimensionen -100 Fuss mass, soll er gesagt haben:</p> - -<div class="blockquot"> - -<p class="noindent"> -Zu klein hast du des Königs Grab mir angelegt,<br /> -Drum dopple es, doch nicht vergiss der schönen Form,<br /> -Verdopple jede Kante schnell des Grabs.<br /> -</p> -</div> - -<p>Er schien aber sich geirrt zu haben, denn durch Verdopplung -der Seiten wird das ebene Feld vervierfacht, der Raum -verachtfacht. Seitens der Geometer wurde nun geforscht, wie -man einen Körper unter Beibehaltung seiner Gestalt verdoppeln -könne und man nannte dies Problem die Würfelverdopplung<span class="pagenum"><a name="Seite_p194" id="Seite_p194">[S. 194]</a></span> -(κυβου διπλασιασμός), denn vom Würfel ausgehend suchten sie -diesen zu verdoppeln. Während aber alle lange Zeit nicht aus -noch ein wussten, wurde es zuerst dem <span class="gesperrt">Hippokrates von -Chios</span> klar, dass der Würfel verdoppelt werden würde, wenn -zwischen zwei Strecken, von denen die grössere das Doppelte -der kleineren ist, zwei mittlere Proportionalen in stetiger Proportion -gefunden wären. So verwandelte er diese Schwierigkeit -in eine andere nicht geringere.</p> - -<p>Nach einiger Zeit sollen einige Delier, welche durch einen -Orakelspruch zur Verdoppelung eines Altars gedrängt wurden, -in dieselbe Verlegenheit geraten sein. Und sie sollen die Geometer -aus der Umgebung des <span class="gesperrt">Platon</span> in der Akademie gebeten -haben das Gesuchte zu finden. — Die letztere Version war -im ganzen Altertum verbreitet, z. B. <span class="gesperrt">Theon von Smyrna</span> -(aus einer andern nicht weiter bekannten Schrift des Eratosthenes -»Πλατωνικός« (Ambros Sturm), Plutarch an 2 Stellen »De genio -Socratis« VII; De ει apud. Delphos VI, Joh. Philopömos, (Commentator -des Aristoteles; Προλεγόμενα της πλάτωνος φιλοσοφίας), -Vitruv, Valerius Maximus. Wir sehen hier einen der deutlichsten -Beweise für <span class="gesperrt">den Zusammenhang der hellenischen -Mathematik mit der indischen</span>, nur dass die Inder, -entsprechend der früheren Entwicklungsstufe die Fläche verdoppeln, -d. h. sich mit der quadratischen Gleichung begnügen, -während die Pythagoräer, das kulturelle Problem von den Indern -aufnehmend, das Volumen verdoppeln, d. h. zur Gleichung 3. Grades -fortschreiten.</p> - -<div class="sidenote">Archytas.</div> - -<p>Die älteste Lösung zufolge Eutokios Bericht aus Eudemos -(nach <span class="gesperrt">P. Tannery</span> aus <span class="gesperrt">Sporus</span>, der etwa um 300 n. Chr. -Eudemos benutzt hat) ist die des <span class="gesperrt">Archytas</span> aus Tarent, den -<span class="gesperrt">Horaz</span> in der Ode 28 des Buch I erwähnt »te maris et terrae -numeroque carentis arenae mensorem cohibent, Archyta«, der etwa -430 bis 365 zu setzen ist, wo er durch Schiffbruch am Kap -Matinum den Tod fand. <span class="gesperrt">Platon</span> hatte bei seiner ersten Reise -nach Sizilien die Bekanntschaft des als Staatsmann, Philosoph<span class="pagenum"><a name="Seite_p195" id="Seite_p195">[S. 195]</a></span> -und Mathematikers gleich ausgezeichneten Pythagoräers gemacht, -und stand mit ihm in Briefwechsel. Archytas soll seinerseits den -Platon in Athen wiederbesucht haben. Von den Schriften, die -unter seinen Namen auf uns -gekommen sind, ist fast alles -als unecht erwiesen. Seine -Lösung des Delischen Problems, -die bedeutendste von -allen, zeigt ihn als erstklassigen -Mathematiker. Ich gebe -den Wortlaut (s. Figur).</p> - -<div class="figcenter" style="width: 390px;"> -<img src="images/pg195_ill.png" width="390" height="340" alt="" /> -</div> - -<p>ΑΛ und Γ mögen die -beiden gegebenen Strecken -darstellen, verlangt zwischen -ΑΛ und Γ zwei mittlere -Proportionalen zu finden. — -Um die grössere, nämlich -ΑΛ, möge der Kreis ΑΒΛΖ beschrieben werden und ihm werde -die Γ gleiche [Sehne] ΑΒ eingefügt, und ausgezogen soll diese -mit der in Λ berührenden [Linie] des Kreises in Η zusammentreffen. -Neben [παρά d. h. parallel] ΗΛΟ möge ΒΕΖ geführt -werden, auch ein Halbcylinder ersonnen werden senkrecht auf -den Halbkreis ΑΒΛ und ein senkrechter Halbkreis auf ΑΛ, -welcher in dem Parallelogramm (dem Achsenschnitt) des Cylinders -liegt.</p> - -<p>Wird nun der Halbkreis herumgeführt in der Richtung von -Λ nach Β, während der Endpunkt Α des Durchmessers fest bleibt, -so wird er die cylindrische Fläche schneiden und in ihr eine -Linie einzeichnen. Und wenn wiederum herumgedreht wurde -[und zwar] bei beharrender [Linie] ΑΛ das Dreieck ΑΒΛ, in dem -Halbkreis entgegengesetzter Bewegung, wird es für die Strecke -ΑΗ eine Kegelfläche erzeugen. Und diese wird bei der Drehung -die Linie auf dem Cylinder in einem gewissen Punkte -treffen, und zugleich wird auch [Punkt] Β einen Halbkreis in der<span class="pagenum"><a name="Seite_p196" id="Seite_p196">[S. 196]</a></span> -Kegelfläche beschreiben. An dem Orte des Zusammentreffens -der Linien habe nun der bewegte Halbkreis eine Lage wie etwa -Λ'ΚΑ, das entgegengesetzt gedrehte Dreieck die von ΑΗ'Λ, und -der Punkt des besagten Zusammentreffens sei Κ. Und der von -Β beschriebene Halbkreis sei ΒΜΖ und sein Schnitt mit ΒΛΖΑ -sei die [Sehne] ΒΖ. Und es werde von Κ auf die Ebene des -Halbkreis ΒΛΑ das Lot gezogen, so wird es auf die Peripherie -des Kreises fallen wegen des Senkrechtstehens des Cylinders. -Es falle also und sei ΚΙ und die von Ι an Α geknüpfte Linie -treffe ΒΖ in Θ, und ΑΗ' den Halbkreis ΒΜΖ in Μ. Es möge -auch ΚΛ', ΜΙ, ΜΘ gezogen werden. Da nun jeder der Halbkreise -ΛΚΑ und ΒΜΖ senkrecht steht zur Grundebene, so steht -auch ihr gemeinsamer Schnitt senkrecht zur Ebene des Kreises, -daher steht auch ΜΘ senkrecht auf ΒΖ, das heisst das Rechteck -aus ΘΑ und ΘΙ ist gleich dem Quadrat über ΜΘ. Folglich ist -das Dreieck ΑΜΙ jedem der Dreiecke ΜΙΘ, ΜΑΘ ähnlich, und -ist rechtwinklig. Aber auch das Dreieck Λ'ΚΑ ist rechtwinklig; -folglich sind die [Linien] ΚΛ' und ΜΙ parallel, und es wird das -Verhältnis bestehen wie ΛΑ zu ΚΑ, ebenso ist ΚΑ zu ΑΙ und -so auch ΙΑ zu ΑΜ wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke, also -sind die 4 (Strecken) ΛΑ, ΑΚ, ΑΙ, ΑΜ der Reihe nach in -Proportion und ΑΜ ist gleich Γ, da sie gleich ΑΒ ist. Zu den -beiden gegebenen ΑΛ und Γ sind also die beiden mittleren Proportionalen -gefunden worden ΑΚ u. ΑΙ.</p> - -<p>Analytisch geometrisch ist diese Konstruktion, welche ein -glänzendes Zeugnis von dem Können des Archytas ablegt, sehr -leicht zu verifizieren. Wählt man ΑΛ als Abscissenaxe, Α als -Anfangspunkt, und die Tangente in Α an den Kreis ΑΒΛ als -Ordinatenaxe, so ist, wenn Κ { x, y, z; ΑΛ = a und Γ = ΑΒ = b -gesetzt wird, da Κ auf Zylinder, Kegel und Wulst liegt:</p> - -<p>1) x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = ax (Gleichung des Cylinders); 2) x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> + z<sup>2</sup> = -<span class="fraction"><span>a<sup>2</sup></span><span>b<sup>2</sup></span></span>x<sup>2</sup> (Gleichung des Kegels durch doppelten Ausdruck des Cosinus -des konstanten Öffnungswinkels) 3) x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> + z<sup>2</sup> = ắ√<span class="sqrt">x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup></span> -(Gleichung des Wulstes). Daraus für Punkt Κ: ắ√<span class="sqrt">ax</span><span class="pagenum"><a name="Seite_p197" id="Seite_p197">[S. 197]</a></span> -= a<sup>2</sup>x<sup>2</sup> : b<sup>2</sup> und a<sup>3</sup>x = a<sup>4</sup>x<sup>4</sup> : b<sup>4</sup>; x<sup>3</sup> = b<sup>4</sup> : a; x = b ·<sup>3</sup>√<span class="sqrt">b : a</span>, -√<span class="sqrt">x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup></span> = ΑΙ = <sup>3</sup>√<span class="sqrt">ab<sup>2</sup></span> und √<span class="sqrt">x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> + z<sup>2</sup></span> = ΑΚ = <sup>3</sup>√<span class="sqrt">a<sup>2</sup>b</span>, also -ΑΛ : ΑΚ = ΑΚ : ΑΙ = ΛΙ: ΑΒ.</p> - -<p>Dass <span class="gesperrt">Archytas</span> seine Konstruktion analytisch d. h. von -der gelösten Aufgabe aus rückwärts gehend gefunden, unterliegt -keinem Zweifel und ebensowenig die Ansicht <span class="gesperrt">Bretschneiders</span>, -dass er vom rechtwinkligen Dreieck ΑΚΛ' ausging und ΑΙ auf -ΑΚ projizierte.</p> - -<p>Die Lösung des Archytas wird bestätigt durch den oben -besprochenen Brief des Eratosthenes, durch Vitruv und Diogenes -Laërtios (200 n. Chr.). Wir sehen hier wie hoch etwa -um 400 die Kenntnisse der Pythagoräer stehen; der Potenzsatz -(der zweite Hauptsatz vom Kreise), die Sätze vom rechtwinkligen -Dreieck und ihre Umkehr, die Ähnlichkeitslehre, die Anwendung -der Bewegung zur Konstruktion, allerdings nach dem Vorgang -des <span class="gesperrt">Hippias</span> von <span class="gesperrt">Elis</span> und seiner Quadratrix (s. u.)</p> - -<p>Der Satz: »Stehen 2 Ebenen auf einer dritten senkrecht, -so steht ihre Schnittgerade auch auf dieser senkrecht«, die Kenntnis -und Benutzung der geometrischen Orte; Schnitt eines Cylinders -und eines Kegels, und damit die erste <span class="gesperrt">Raumkurve</span>, -der Wulst und sein Schnitt, die erste von Proklos »<span class="gesperrt">spirische</span>« -benannte Linie, und überhaupt so grosse stereometrische Kenntnisse, -dass es klar wird, dass die Pythagoräer, vor allem <span class="gesperrt">Archytas</span> -die Lehrer des Platon gewesen sind, und <span class="gesperrt">nicht</span> umgekehrt, -wie das ja die oben zitierte Stelle der Gesetze bestätigt.</p> - -<div class="sidenote">Eudoxos.</div> - -<p>Die nächste Lösung führt uns auf den grössten Mathematiker -und Astronom zur Zeit des Platon, auf <span class="gesperrt">Eudoxos</span> von -<span class="gesperrt">Knidos</span>, dessen Ruhm durch den des Platon lange verdunkelt -ist und den die zusammenfassende Geschichte der Mathematik -bisher zu stiefmütterlich behandelt hat. Die Programme von -<span class="gesperrt">H. Künssberg</span>, Dinkelsbühl 1888–90, der Astron., Math. und Geograph -E. v. Knidos, werden ihm gerecht. <span class="gesperrt">Eudoxos</span> auf allen -drei Gebieten und auch auf dem der Gesetzgebung gleich bedeutend,<span class="pagenum"><a name="Seite_p198" id="Seite_p198">[S. 198]</a></span> -ist etwa um 410 zu Knidos, einer dorischen Stadt in -Karien, an der Küste von Kleinasien, aus armer Familie hervorgegangen, -früh kam er in das ebenfalls dorische Tarent und genoss -dort in Mathematik und Astronomie den Unterricht des -grössten Pythagoräers, des <span class="gesperrt">Archytas</span>. Etwa 23 Jahre alt ging -er nach kurzem Aufenthalt in Athen, wo er Platon gehört haben -soll, nach Ägypten, vermutlich als Begleiter eines Arztes Chrysippos, -mit Empfehlung des Sparterkönigs <span class="gesperrt">Agesilaos</span> an Nektanebos -(Necht-Harebhēt). Die Reise fällt gegen 380, da etwa -von 394–380 Nektanebos den Aufruhr seiner Ägypter bekämpfen -musste. Dort verkehrte er in Heliopolis mit den Priestern insbesondere -mit dem Priester Chonuphis und indem er völlig ihre -Sitten annahm (ξυρομενος τε ιβην και οφρυς, geschoren am Scham -und Augenbrauen) bekam er Einblick in das riesige astronomische -Beobachtungsmaterial und dort schrieb er seine Octaëteris -etwa um 375, vergl. <span class="gesperrt">A. Boeckh</span>: Über die vierjährigen Sonnenkreise -der Alten 1863. Die Octaëteris ist eine 8jährige Periode -zum Ausgleich des Mond- und Sonnenjahres. 8 · 354 -+ 3 · 30 = 2922 = 8 · 365<sup>1</sup>/<sub>4</sub>.</p> - -<p>Etwa um 370 in der Akme gründete er in Kyzikos in -Mysien (Panorma am Marmorameer) eine Hochschule, die rasch -zu grosser Blüte gelangte, aber schon nach wenigen Jahren trieb -ihn sein rastloser Bildungseifer in die Weite. Zunächst zog er -nach Athen und führte eine grosse Anzahl seiner Schüler dem -Platon zu, darunter die bedeutendsten Mathematiker der Akademie, -wie <span class="gesperrt">Menaichmos</span>, den eigentlichen Entdecker der <span class="gesperrt">Kegelschnitte</span>, -<span class="gesperrt">Dinostratos</span>, der den Nutzen der Kurve des -Hippias von Elis für die Quadratur des Zirkels erkannte und -ihr den Namen Quadratrix, τετραγωνίζουσα, verschaffte, Athenaios, -Helikon etc. Von Athen zog er nach Sizilien und studierte -dort unter dem italischen Lokrer <span class="gesperrt">Philistion</span>, vermutlich -auch ein Pythagoräer, Medizin. Dann kehrte er von Knidos -zurück, mit grossen Ehren empfangen, und schuf für die Stadt -neue Gesetze.</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p199" id="Seite_p199">[S. 199]</a></span></p> - -<p>Unsere fast einzige Quelle über Eudoxos ist Diogenes Laertios, -die sich aber auf gute Autoritäten wie Kallimachos, Sotios, -Nikomachos, Eratosthenes stützt. Sonst haben wir nur eine -kurze Notiz in der Ethik des Aristoteles 172, b. 15, wonach er -Hedoniker etwa im Sinne Demokrits war und in dem bekannten -Lexikon des Suidas, der zwar die drei sehr gelehrten Töchter -des Eudoxos mit Namen nennt, aber über ihn selbst so gut wie -nichts sagt. Doch gibt Aristoteles seinem Charakter ein günstiges -Zeugnis. Aber über die wissenschaftliche Bedeutung des Mannes -war das ganze Altertum einig, und ich kann dafür auf <span class="gesperrt">Cicero</span> -verweisen, den ich, wie sehr Sie auch sein Cato major, sein Lälius, -seine Officien gelangweilt haben mögen, als <span class="gesperrt">Historiker</span> -nicht zu unterschätzen bitte. Diogenes Laertios berichtet, dass -er in Knidos statt »Eudoxos« in »Endoxos« umgetauft wurde, d. h. -der Anerkannte und Eratosthenes nennt ihn, den Astronomen, -Mathematiker, Geographen, Philosophen, Mediziner, Staatsmann, -der an die »Allmenschen« des Cinquecento an Leonardo da Vinci -und Michelangelo erinnert, den »Göttergleichen« in dem Epigramm: -»θεουδεος Ευδοξοιο καμπυλον εν γραμμαις ειδος.«</p> - -<p>Auch Platon hatte die höchste Achtung vor Eudoxos als -Mathematiker, wie aus seiner 13. Epistel hervorgeht und aus der -Angabe bei Plutarch, dass er die Delier an den Eudoxos verwiesen -habe. Er starb 53 Jahre alt um 356.</p> - -<div class="sidenote">Lösung des Delischen Problems von Eudoxos.</div> - -<p>Seine Lösung des Delischen Problems übergeht Eutokios, -die kurze Andeutung bei Eratosthenes war ihm unverständlich, -und die ihm vorliegende Lösung fehlerhaft überliefert. Eratosthenes -sagt in dem zitierten Briefe: »Während nun diese (die Geometer -der Akademie) sich arbeitsfreudig drangaben und zu -zwei gegebenen zwei mittlere zu fassen suchten, soll sie Archytas -der Tarentiner mittelst des Halbcylinders gefunden haben und -Eudoxos von Knidos mittelst der bogenförmig (καμπύλον) genannten -Linien. Das Wort Kampylos bedeutet »gekrümmt« -insbesondere gekrümmt nach Art des Kriegsbogens der Griechen -<img src="images/pg199_1.png" alt="Symbol" />, den <span class="gesperrt">Homer</span> stets mit diesem epitheton ornans bezeichnet.</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p200" id="Seite_p200">[S. 200]</a></span> - -Es ist <span class="gesperrt">P. Tannery</span> gelungen (Sur les solutions du problème -de Delos par Archytas et par Eudoxe, Mém. de Bordeaux -Ser. 2, T. II Paris 1878 p. 277), die naturgemäss eng an Archytas -anschliessende Lösung des Eudoxos wiederherzustellen, dadurch -dass er erkannte die Kurve müsse ein dem griechischen -Kriegsbogen ähnliches Aussehen haben und daraufhin, nicht wie -V. Flauti, Geom. di sit. Napol. 1842, 3. Aufl. die Projektion -der Schnittkurve des Wulstes und des Kegels auf die zx Ebene, -sondern auf den Grundkreis, auf die xy Ebene, untersuchte.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 372px;"> -<img src="images/pg200_ill.png" width="372" height="510" alt="" /> -</div> - -<p>Eudoxos betrachtete -die Schnittkurve des Wulstes -und des Kegels, d. h. -also er sah zunächst davon -ab, dass Punkt Ι der -Figur<a name="FNAnker_ast_2" id="FNAnker_ast_2"></a><a href="#Fussnote_ast_2" class="fnanchor">[*]</a> auf der Peripherie -des Grundkreises liegt, -immer ist: <span class="fraction"><span>ΑΘ<sup>2</sup></span><span>ΑΜ<sup>2</sup></span></span> = <span class="fraction"><span>ΑΙ<sup>2</sup></span><span>ΑΚ<sup>2</sup></span></span> -= <span class="fraction"><span>ΑΙ</span><span>ΕΔ</span></span> oder I: ΑΘ<sup>2</sup> = <span class="fraction"><span>b<sup>2</sup></span><span>a</span></span>ΑΙ.</p> - -<div class="footnote"> - -<p class="noindent"><a name="Fussnote_ast_2" id="Fussnote_ast_2"></a><a href="#FNAnker_ast_2"><span class="label">[*]</span></a> In der Figur ist Θ durch Q, ξ durch ζ, und Ι durch S ersetzt.</p></div> - -<p>Dadurch ist die Projektion -eines Punktes Κ -der Schnittkurve und damit -ihre Projektion auf -die xy Ebene, die Ebene -des Grundkreises, definiert. -Sowohl ihre Gleichung wie -ihre Konstruktion ist nun -ohne weiteres klar, sobald -man noch nachgewiesen, dass Αξ = ΑΘ, wo Αξ die Abscisse x -von Ι (und Κ).</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p201" id="Seite_p201">[S. 201]</a></span></p> - -<p>Es ist: <span class="fraction"><span>ΑΘ</span><span>ΑΕ</span></span> = <span class="fraction"><span>ΑΙ</span><span>Αξ</span></span> oder ΑΘ . x = ΑΕ . ΑΙ = <span class="fraction"><span>b<sup>2</sup></span><span>a</span></span> . ΑΙ also nach Ι -x = ΑΘ also die Gleichung der Kurve ΑΙ<sup>2</sup> = x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = <span class="fraction"><span>a<sup>2</sup>x<sup>4</sup></span><span>b<sup>4</sup></span></span> -d. h. also eine durch die Substitution ξ = x<sup>2</sup>, η = y<sup>2</sup> transformierte -Parabel, welche Tannery analytisch untersucht hat. -Ihre geometrische Konstruktion ist äusserst einfach vergl. die -Fig. 1 und das richtige Ι der Punkt wo diese Kurve den Halbkreis -schneidet.</p> - -<p>Es ist nach Konstruktion: ΑΘ<sup>1</sup> = Αξ<sup>1</sup> und <span class="fraction"><span>ΑΙ<sup>1</sup></span><span>Αξ<sup>1</sup></span></span> = <span class="fraction"><span>ΑΘ<sup>1</sup></span><span>ΑΕ</span></span>, -oder ΑΘ'<sup>2</sup> = ΑΙ' . ΑΕ und da ΑΒ<sup>2</sup> = a . ΑΕ so ist ΑΘ'<sup>2</sup> = ΑΙ' <span class="fraction"><span>b<sup>2</sup></span><span>a</span></span> -somit Ι' ein Punkt des Ortes.</p> - -<div class="sidenote">Mechanische Lösung von Eudoxos (Platon).</div> - -<p>Vom Eudoxos rührt m. E. auch -die Konstruktion her, welche Eutokios -dem Platon zuschreibt. ΑΒ und ΒΓ, -s. Fig., seien die gegebenen Strecken; -man verlängere sie nach Δ und Ε, so -dass ΑΕΔ und ΓΔΕ rechte Winkel -sind, dann ist nach der Satzgruppe -des Pythagoras ΓΒ : ΒΔ = ΒΔ : ΒΕ = -ΒΕ : ΑΒ.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 240px;"> -<img src="images/pg201_ill1.png" width="240" height="200" alt="" /> -</div> - -<div class="figleft" style="width: 200px;"> -<img src="images/pg201_ill2.png" width="200" height="160" alt="" /> -</div> - -<p>Die Punkte Δ und Ε lassen sich auf mechanischem Wege -leicht finden mittelst zweier aufeinander verschiebbarer rechten -Winkel (Winkelhaken); es wurde ein eigenes Hilfsinstrument -(siehe Figur) angefertigt, durch einen -beilförmigen Einschnitt β in die Lineale -(κανών, Kanon) wurde dafür gesorgt, dass -sich ΚΔ nur parallel zu ΗΘ bewegen -konnte, die nähere Beschreibung siehe -man bei A. Sturm l. c. p. 50. Die ganze -Konstruktion ist so unplatonisch wie -möglich, wir wissen dass gerade auf -Platon die strenge Beschränkung der geometrischen Hilfsmittel -auf Zirkel und Lineal zurückgeht, dass er die sogenannte Neusis, -die Einschiebung von Strecken auf mechanischem Wege verpönte. -Ausserdem berichtet Plutarch ganz ausdrücklich Quaest,<span class="pagenum"><a name="Seite_p202" id="Seite_p202">[S. 202]</a></span> -conv. VIII p. c. 1: Platon <span class="gesperrt">tadelte</span> Eudoxos, Archytas und Menaichmos, -weil sie die Verdoppelung eines Körpers auf instrumentale -und mechanische Apparate zurückführten. Dagegen passt -sowohl die Anwendung des Satzes von der Höhe im rechtwinkligen -Dreieck, den auch <span class="gesperrt">Archytas</span> anwandte und die Lösung -mittelst eines Instrumentes sehr gut auf Eudoxos, der als leidenschaftlicher -Astronom mit Apparaten durchaus vertraut war. -Ich schliesse hier gleich den Bericht über <span class="gesperrt">Eudoxos</span> Gesamtleistungen -an. Von Eudoxos rührt fast sicher das ganze 5. Buch -der Elemente des Euklid her, die so diffizile Lehre vom Streckenbuch, -und zwar wörtlich; man vergl. <span class="gesperrt">Proklos</span>, ed. Friedlein -p. 68 und s. u. Euklid. Und ein Scholion der lat. Ausgabe der -6 ersten Bücher Basel 1550 zum 5. Buch des »Adelos« und -im prächtigen Codex des Euklid aus der Sammlung Mazarin ist -von <span class="gesperrt">Knoche</span> als von <span class="gesperrt">Proklos</span> herrührend erkannt, es heisst da: -Einige sagen dass dieses Buch die Erfindung des Eudoxos sei, — -und das wird direkt bestätigt durch weitere Scholien (<span class="gesperrt">Knoche</span> -1865) und indirekt dadurch, dass Buch 7 der Elemente die Lehre -von den Proportionen für ganze Zahlen noch einmal aufnimmt, ohne -irgend eine Rücksicht auf das 5. Buch. Von Eudoxos rühren -die fünf ersten Sätze des XIII. Buchs samt der Definition von -Analysis und Synthesis her, vermutlich auch ein ganzer Teil der -weiteren Sätze über die 5 Platonischen Körper. Eudoxos, der -als grosser Astronom auf das genaueste mit der Sphärik vertraut -war, ist wohl der eigentliche Schöpfer der später von Theodosios -bearbeiteten Sphärik.</p> - -<p>Für eine Anzahl wichtigster Sätze der Stereometrie haben -wir das schwerwiegende Zeugnis des <span class="gesperrt">Archimedes</span>, der in seiner -Quadratur der Parabel, der ersten grossen Leistung der Integralrechnung, -das nach ihm benannte jetzt so viel besprochene -Prinzip älteren Geometern vindiziert, welche damit bewiesen, -dass Kreise sich wie die Quadrate, Kugeln wie die Kuben ihrer -Durchmesser verhalten, ferner dass jede Pyramide der dritte Teil -des Prisma von gleicher Grundfläche und Höhe, jeder Kegel der<span class="pagenum"><a name="Seite_p203" id="Seite_p203">[S. 203]</a></span> -dritte Teil des Cylinders von gleicher Basis und Höhe sei. -Alles das haben sie durch Annahme des aufgestellten Lemma -bewiesen. Hier wurde Eudoxos Name nicht genannt. Aber in -der Einleitung zum ersten Buch seiner Schrift: περι σφαιρας και -κυλινδρου. heisst es: »Ebenso verhält es sich mit vielen von <span class="gesperrt">Eudoxos</span> -über die Körper aufgefundenen Sätzen, die Beifall erhalten -haben z. B. dass jede Pyramide etc., jeder Kegel etc. -Denn obgleich diese Sätze über diese Gebilde schon früher experimentell -bekannt waren, so traf es sich doch, obgleich es vor -Eudoxos viele erwähnenswerte Geometer gab, dass sie von keinem -begrifflich erkannt und auch von keinem folgerichtig bewiesen -wurden.«</p> - -<p>Demnach hat Eudoxos auch einen bedeutenden Anteil am -XII. Buch der Elemente. Im besonderen sind die wertvollen -Beweise XII, 2 — XII, 10 Eigentum des Eudoxos, und indem -sie sich eng an die Definitionen und Sätze des 5. Buches anschliessen, -geben sie wie <span class="gesperrt">L. Ofterdinger</span> bemerkt hat, zugleich -einen Beweis für das Eigentumsrecht des Eudoxos auf Buch V. -Freilich müssen wir das mathophilosophische Verdienst des Eudoxos -jetzt nach dem Ephodion erheblich einschränken. Das -Prinzip der Exhaustionsmethode des Euklid ist im Grunde nichts -weiter als das unendlich kleine des <span class="gesperrt">Demokrit</span>, das Eudoxos den -Hellenen mundgerecht gemacht hatte, welche vor der rücksichtslosen -Kühnheit, mit der Demokrit seine Differentiale der Masse und des -Raumes einführte, scheuten. Es ist so ziemlich derselbe Vorgang, -welcher sich in der Neuzeit abspielte, als die Fluxion, das -Moment des <span class="gesperrt">Newton</span>, das »infiniment petit« des Leibniz von -Lagrange durch die Ableitung ersetzt wurde.</p> - -<div class="sidenote">Das Weltsystem des Eudoxos.</div> - -<p>So gross die Leistungen des Eudoxos auf mathematischem -Gebiete waren, so bedeutend er als Geograph war durch seine -»γης περιοδος«, eine umfassende Länder- und Völkerkunde, am -grössten steht er doch als Astronom da. So leidenschaftlich war -seine Liebe zur Sternkunde, dass er wie Plutarch erzählt, geäussert -hat »Ich wünschte auf die Sonne zu kommen um die<span class="pagenum"><a name="Seite_p204" id="Seite_p204">[S. 204]</a></span> -Gestalt und Grösse des Gestirnes kennen zu lernen und wäre es -auch um den Preis, wie Phaëton zu verbrennen«. An den verschiedensten -Punkten des Orbis terrarum hat er die Sterne -beobachtet, noch <span class="gesperrt">Strabo</span> wurde seine Warte bei Heliopolis gezeigt, -auch eine eigentümliche Sonnenuhr αραχνη (Spinne, wohl -von der Ähnlichkeit mit dem Netze einer Spinne) hat er konstruiert. -Wir verdanken die Kunde seines Weltsystems, <span class="gesperrt">des -ersten</span>, das <span class="gesperrt">streng mathematisch</span> die Bewegungen der Gestirne -zu erklären suchte, Aristoteles in der Metaphysik und besonders -dem so wichtigen Commentar des Simplicius zu Aristoteles -de coelo, auf den gestützt <span class="gesperrt">I. K. Schaubach</span> in seiner klassischen -Geschichte der griech. Astron. bis auf Eratosthenes Gött. -1802 und der grosse Chronologe <span class="gesperrt">Chr. L. Ideler</span> 1806 und besonders -1828, 29 Eudoxos als Astronom würdigen konnten. -Die völlige Aufklärung gab der hervorragende italienische Astronom -<span class="gesperrt">G. V. Schiaparelli</span> in Le sfere omocentriche di Eudosso, -di Calippo e di Aristotele (Mil. 1875), gelesen bei Gelegenheit -des 400. Geburtstags des Copernicus zu Mailand 20. Febr. 1875, -deutsch von W. Horn im Supplementband des Schlömilch von -1877. Er konnte dabei schon einen von <span class="gesperrt">Brunet de Presle</span> -aus dem Nachlass des bedeutenden Historikers der Mathematik -<span class="gesperrt">Letronne</span> in den Not. et extraits des Manscr. de la bibl. imp. -T. 18, p. I Par. 1865 veröffentlichten Papyrus des Louvre benutzen, -der vermutlich ein aus 190 v. Chr. stammendes Kollegienheft -einer alexandrinischen Vorlesung über Astronomie ist. Ich -folge hier im Wesentlichen Schiaparelli und <span class="gesperrt">Künssberg</span> -Th. I 1889.</p> - -<p>Das Prinzip von dem Eudoxos ausging, war dasselbe, dem -wir <span class="gesperrt">Kepler's</span> harmonice mundi verdanken und das bewusst oder -unbewusst jeder annimmt, das Prinzip: der Kosmos ist nach -einem einzigen allgemeinen Gesetze geordnet. Schiaparelli sagt: -»den griechischen Astronomen fehlte das physikalische Gesetz -der allgemeinen Schwere, sie mussten sich daher an geometrische -Gesetze halten«. Nun aber bot der tägliche Umschwung des<span class="pagenum"><a name="Seite_p205" id="Seite_p205">[S. 205]</a></span> -Fixsternhimmels eine gleichförmige Kreisbewegung dar und ebenso -schienen die monatlichen und jährlichen Bewegungen des Mondes -und der Sonne gleichförmig in Kreisbahnen vor sich zu gehen. -Die Planeten, besonders die oberen, zeigten zwar grosse Unregelmässigkeiten, -sie beschrieben ja ganz verwickelte Schleifenlinien, -aber man entnahm aus dem obigen Prinzip das Axiom, es -müssten sich alle diese Abweichungen aus dem Zusammenwirken -von mehreren gleichförmigen Kreisbewegungen erklären lassen. -Dies Axiom soll nach Gemīnos (Géminus), isagoge eis phaenomena -Cap. I, von den <span class="gesperrt">Pythagoräern</span> herrühren und hat die -theoretische Astronomie bis Galilei und Newton beherrscht.</p> - -<p><span class="gesperrt">Schiaparelli</span> sagt: »Eine andere Bedingung, der sich die, -welche zuerst über den Bau des Universums nachdachten, fügen -mussten, war diese, für denselben die grösste Einfachheit und -Symmetrie anzunehmen. Da bildeten im System des Philolaos -(s. Pythagoräer) die Bahnen der Himmelskörper ein System von -Kreisen, die um ein gemeinsames Zentrum beschrieben wurden, -und dieselbe Regel oder wenigstens eine ähnliche ist in den verschiedenen -Systemen des Platon beobachtet. [Timaios 11]. An -dieser Grundanschauung hielt auch Eudoxos fest und stellte sich -vor, dass alle seine Sphären konzentrisch um die Erde gleichmässig -beschrieben seien, weshalb ihnen später der Name -homozentrische Sphären beigelegt wurde. Durch diese Anschauung -wurde das Problem viel schwieriger, weil dadurch diesen Sphären -jede fortschreitende Bewegung genommen wurde und dem Geometer -zur Erklärung ihrer Bewegung nichts anderes übrig blieb -als die Kombination ihrer Rotationsbewegung, aber dem Bau der -Welt wurde dadurch eine Eleganz bewahrt, von welcher die -Konstruktionen des Hipparch [von Rhodos], des Ptolemaios und -alle andern, selbst des Copernicus weit entfernt blieben und die -bis Kepler ihresgleichen nicht wiederfand.« —</p> - -<p><span class="gesperrt">Eudoxos</span> dachte sich ungefähr wie Platon, dass jeder -Himmelskörper von einer um zwei Pole in gleichförmiger Rotation -drehbaren Sphäre in kreisförmige Bewegung versetzt würde.<span class="pagenum"><a name="Seite_p206" id="Seite_p206">[S. 206]</a></span> -Er nahm ausserdem an, dass derselbe in einem Punkt des -Äquators dieser Sphäre befestigt sei. Zur Erklärung der Planetenbewegung -genügte diese Hypothese nicht, Eudoxos setzte -deshalb fest, dass die Pole der den Planeten tragenden Sphäre -nicht unbeweglich bleiben, sondern von einer grösseren, der ersten -konzentrischen getragen würden, welche gleichförmig und mit -einer ihr eigentümlichen Geschwindigkeit um zwei von den vorigen -verschiedene Pole rotiere. Da auch dies noch nicht genügte, so -liess er die Pole der zweiten auf einer dritten konzentrischen -grösseren Kugel fest sein; welche wieder ihre besonderen Pole -und ihre besondere Geschwindigkeit besass. Und wo drei Sphären -nicht ausreichten, nahm er noch eine vierte hinzu, welche die -drei ersten umschloss und die zwei Pole der dritten enthielt, und -mit eigener Geschwindigkeit um ihre Pole rotierte. Für Sonne -und Mond fand er 3 Sphären bei passender Wahl der Geschwindigkeiten, -der Pole und der Neigungswinkel genügend, für die 5 -anderen Planeten fand er 4 Sphären nötig. Die bewegende -Sphäre eines jeden Planeten machte er völlig unabhängig von -denen der anderen. Für die Fixsterne genügte eine einzige Sphäre -um die tägliche Bewegung hervorzubringen. Für die Sonne hätte -er mit zwei Sphären auskommen können, da er die sogen. Anomalie, -die ungleiche Dauer der Jahreszeiten, d. h. die Ungleichförmigkeit -der Geschwindigkeit nicht berücksichtigte, aber er -glaubte an eine geringfügige Veränderung der Sonnenbreite in -bezug auf die Ekliptik. Somit hatte er 27 Sphären nötig.</p> - -<div class="figleft" style="width: 265px;"> -<img src="images/pg206_ill.png" width="265" height="250" alt="" /> -</div> - -<p>Hier die Figur, das Abbild eines -von Künssberg nach Eudoxos konstruierten -Planetolabium ist durchaus -geeignet das System klar zu machen. -Kreis I dient dazu die tägliche, Kreis II -die Bewegung in der Ekliptik, Kreis III -die Abweichung von der Ekliptik, -Kreis IV die Ungleichförmigkeit des -Planeten in Bezug auf Geschwindigkeit<span class="pagenum"><a name="Seite_p207" id="Seite_p207">[S. 207]</a></span> -und Richtung zu erklären. Ich hebe hervor, dass Eudoxos -den Neigungswinkel von etwa 5° der Mondbahn gegen die Ekliptik -kannte und damit dem <span class="gesperrt">Babylonischen Saros</span> von 6585<sup>1</sup>/<sub>8</sub> -Tagen und dass auch die Reihenfolge der Planeten die <span class="gesperrt">Babylonische</span> -ist. Ich muss für weiteres auf <span class="gesperrt">Schiaparelli</span> und -<span class="gesperrt">O. Tannery</span> [Note s. le syst. astron. d'Eudoxe, Mém. de Bordeaux, -Ser. II T. 1 (1876) und T. 5 (1883)] verweisen, welche -beide erklären, dass das System nach der Verbesserung durch -Kallippos ebenso gut die Bewegung von Sonne und Mond darstelle, -sowie die hauptsächlichen Unregelmässigkeiten der Planetenbahnen -wie die Epicykeln des Ptolemaios. Nur noch einige -Bemerkungen über die eigentliche Bahn der Planeten, -welche durch die beiden innersten Kugeln 3 und 4 hervorgebracht -wird, die sogen. <span class="gesperrt">Hippopede</span> (Pferdefessel) des Eudoxos, -die erste sphärische Raumkurve, welche Schiaparelli sehr richtig -als <span class="gesperrt">Lemniskate</span> bezeichnet.</p> - -<p>Eudoxos hat nur auf die Elementargeometrie gestützt das -folgende schwierige Problem gelöst: um zwei feste Pole dreht -sich eine Kugel gleichförmig, um zwei Pole auf dieser dreht sich -ebenso eine zweite mit derselben aber entgegengesetzt gerichteten -Geschwindigkeit, welche Bahn beschreibt ein Punkt des -Äquators. Die Kurve ist dadurch ausgezeichnet, dass ihre Bogenlänge -wie die der ebenen Lemniskate durch ein elliptisches Integral -2. Gattung dargestellt wird. Die elementargeometrische Behandlung -der Kurve wäre eine vorzügliche Übungsaufgabe.</p> - -<p>Die grossen Verdienste des Eudoxos um Geographie und -Kalender sind neben Schaubach auch von <span class="gesperrt">A. Boeckh</span> in der -cit. Schrift 1863 voll gewürdigt.</p> - -<div class="sidenote">Lösung des Delischen Problems durch Menaichmos.</div> - -<p>Ich verlasse Eudoxos, den grössten Mathematiker seiner -Zeit, der vermutlich ebenso nüchtern war wie Platon phantastisch -war, berichtet doch Cicero in De Divinatione, dass er die -Astrologie der Babylonier für Unsinn hielt und dies, obwohl er -unzweifelhaft von Babylonischer Astronomie beeinflusst war, wie -schon aus seiner Festsetzung des Verhältnisses von Sonnen- und<span class="pagenum"><a name="Seite_p208" id="Seite_p208">[S. 208]</a></span> -Monddurchmesser hervorgeht und wende mich zum Delischen -Problem zurück. Knüpfte Eudoxos an seinen Lehrer Archytas -an, so folgte ihm wieder sein Schüler <span class="gesperrt">Menaichmos</span>, den er -seinerzeit dem Platon zugeführt hatte. Menaichmos, der um die -Mitte des 4. Jahrh. lebte, wird von den Alten einstimmig als der -Erfinder der Kegelschnitte bezeichnet. Eratosthenes nennt sie -in dem Briefe, die Menächmischen Triaden »man braucht nicht -die Men. Triaden aus dem Kegel zu schneiden«. <span class="gesperrt">Proklos</span> (oder -Gemīnos) beziehen sich auf diese Stelle (Friedl. p. 111). Und aus -des Eutoxios Excerpt aus Eudemos oder Geminos sehen wir dass -die Delische Aufgabe und der Weg des Archytas und Eudoxos -den Menaichmos geleitet haben. Es heisst bei Eutokios:</p> - -<div class="figleft" style="width: 227px;"> -<img src="images/pg208_ill.png" width="227" height="270" alt="" /> -</div> - -<p>»So wie Menaichmos: Es seien die gegebenen Geraden -(die Alten kannten den Ausdruck »Strecke« nicht) Α und Ε, gefordert -zwischen Α und Ε zwei mittlere Proportionalen zu finden. -Es sei geschehen und sie sollen Β und Γ sein, uns möge die im -Punkte Λ begrenzte Grade (d. h. der Strahl) ΛΗ gezeichnet vorliegen -[εκκεισθω θεσει.] und bei Λ liege [auf ihr] die Γ gleiche Strecke -ΛΖ, und senkrecht [dazu] werde ΘΖ gezogen (als Strahl) und -ΘΖ [als Strecke] (s. Figur) gleich Β gemacht. -Da nun die drei Geraden Η, -Β, Γ, proportional so ist das Rechteck -aus Α und Γ gleich dem Quadrat über Β.« -Es ist also ΑΓ = Β<sup>2</sup> = ΘΖ<sup>2</sup> = Α . ΛΖ, folglich -liegt Θ auf der Parabel mit dem -Scheitel Λ, der Axe ΛΗ und dem Parameter -A/2. Da auch das Rechteck ΓΒ -oder ΛΖ . ΖΘ gegeben ist, weil es gleich -Α . Ε ist, so liegt Θ auch auf der gleichseitigen -Hyperbel mit den Asymptoten -ΛΚ und ΛΗ, also ist Θ gefunden. Es folgt dann bei Eutokios -nach dieser Analyse auch die Synthese, ausdrücklich als solche -bezeichnet, und darauf eine zweite Lösung des Menaichmos; von -der ich auch nur die Analysis (s. Figur) gebe.</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p209" id="Seite_p209">[S. 209]</a></span></p> - -<div class="figright" style="width: 240px;"> -<img src="images/pg209_ill.png" width="240" height="247" alt="" /> -</div> - -<p>Es seien die auf einander senkrechten -Strecken ΑΒ und ΒΓ die gegebenen, ΒΛ und -ΒΕ die gesuchten, so dass ΓΒ : ΒΛ = ΒΛ : ΒΕ -= ΒΕ : ΒΑ. Man ziehe die Normalen ΛΖ, ΕΖ, -so ist ΓΒ . ΒΕ = ΒΛ<sup>2</sup> = ΕΖ<sup>2</sup>, also Ζ auf eine -Parabel, deren Achse ΒΕ, deren Parameter -<sup>1</sup>/<sub>2</sub>ΓΒ. Da aber auch ΒΑ . ΒΛ = ΒΕ<sup>2</sup> = -ΛΖ<sup>2</sup> ist, so liegt Ζ auch auf der Parabel, -deren Axe ΒΛ, deren Parameter <sup>1</sup>/<sub>2</sub>ΑΒ ist.</p> - -<p>Die Darstellung ist jedenfalls von Eutokios oder schon von -Geminos redigiert, denn die Namen Parabel, Ellipse, Hyperbel -sind erst von <span class="gesperrt">Apollonios</span> von <span class="gesperrt">Pergae</span> (s. u.) im 3. Jahrh. -eingeführt, ebenso wie das Wort Asymptote.</p> - -<div class="sidenote">Menaichmos, Kegelschnitte.</div> - -<p>Den Gedankengang des Menaichmos hat Bretschneider, -Geom. und Geometer vor Euklides 1870 p. 156 ff., wiederhergestellt. -Derselbe Eutokios erzählt in seinem Kommentar zu des -Apollonius Kōnika, dass die Alten den Kegel nur erzeugten -durch Rotation eines rechtwinkligen Dreiecks um eine seiner Katheten. -Je nachdem nun der Öffnungswinkel spitz, recht oder stumpf -war, erhielt Menaichmos Ellipse, Parabel, Hyperbel, wenn er den -Kegel durch eine Ebene, welche auf einer Seitenkante senkrecht -stand, durchschnitt. Die Ellipse war übrigens als Cylinderschnitt -schon den Ägyptern (vergl. die Säulen des Tempels von Luxor) -und auch den Hellenen vor Menaichmos bekannt, ihr alter Name -war ἡ (γραμμή) του θυρεού. [vielleicht die Schildförmige Linie, -das Oval, obwohl das ovale Schild gew. ἀσπίς und nicht θυρεός -heisst]. Die Erzeugung des Menaichmos gab sofort die Hauptachsen -des Kegelschnitts. Men. erkannte die <span class="gesperrt">Verwandtschaft</span> -seiner Kurven mit dem Kreise, da er sah dass dieselben <span class="gesperrt">Projektionen</span> -des Kreises waren, und suchte daher nach einem -Analogon zum Potenzsatz, im Anschluss an Archytas und Eudoxos, -und fand es auch. Der <span class="gesperrt">Begriff</span> der <span class="gesperrt">Verwandtschaft</span> -gehört zu denen, welche sich den Geometern von selbst aufdrängen, -man vergleiche die Ähnlichkeitslehre bei Ägyptern und<span class="pagenum"><a name="Seite_p210" id="Seite_p210">[S. 210]</a></span> -Indern, wenn auch Theorien der Verwandtschaften als solcher -modernen Ursprungs sind. Als Beispiel nehme ich die Parabel, -den »Schnitt des rechtwinkligen Kegels« wie sie noch bei <span class="gesperrt">Archimedes</span> -heisst und sogar noch bei Proklos. Es ist <i>LAD</i>, s. -Fig. rechtwinklig bei <i>A</i>, der Schnitt <i>MIDKN</i> normal gegen die -Kante <i>AC</i> geführt, also -<i>ID</i> || <i>AB</i>. Es ist <span class="fractionbig"><span><i>IG</i></span><span><i>LD</i></span></span> = -<span class="fractionbig"><span><i>DI</i></span><span><i>AL</i></span></span> also gleich <i>IG</i> . <i>HI</i> : -<i>LD</i><sup>2</sup> = <i>IK</i><sup>2</sup> : <i>DL</i><sup>2</sup> (Potenzsatz -des Kreises). Ferner wenn -<i>LM</i> ⟘ <i>LD</i>, ist <i>MD</i> : <i>LD</i> = -<i>LD</i> : <i>AL</i>, <i>LD</i><sup>2</sup> = <i>MD</i> . <i>AL</i> oder -<i>IK</i><sup>2</sup> : <i>MD</i> . <i>AL</i> = <i>DI</i> : <i>AL</i>, also -<i>IK</i><sup>2</sup> = <i>MD</i> . <i>DI</i>, dies ist die Grundeigenschaft (Gleichung) der -<span class="gesperrt">Parabel</span>. Analog ist die Herleitung für Ellipse und Hyperbel.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 300px;"> -<img src="images/pg210_ill.png" width="300" height="206" alt="" /> -</div> - -<div class="sidenote">Parabel; Trisektion (Dinostratos).</div> - -<p>Da die nächste Lösung, die des Eratosthenes selbst ist, so -unterbreche ich hier die Geschichte des Delischen Problems um -mit <span class="gesperrt">Dinostratos</span>, den Bruder des Menaichmos der ebenfalls -Schüler des Eudoxos und Platon ist, auf die beiden andern -grossen Probleme, welche die Pythagoräer in die Hellenische -Wissenschaft einführten, überzugehen. Zunächst die Trisektion, -die Dreiteilung des Winkels. Das Problem ist unzweifelhaft von -den Pythagoräern gestellt worden, und geradezu im Zusammenhange -mit dem Delischen Problem. Wie die mittlere Proportionale -der Natur nach zusammenhing mit der Halbierung des -Bogens, so glaubte man würden die beiden Medianen mit der -Dreiteilung zusammenhängen und indem man die reinkubische -Gleichung lösen wollte, kam man auf die gemischte, es ist also -kein Zufall, dass dies Problem das zweite Delische genannt -wurde. Dass die Kenntnisse der Pythagoräer zu der Aufstellung -der Gleichung ausreichten, ist leicht zu zeigen vergl. Figur. -Man muss nur sehen, dass <i>ABC</i> ≅ αβγ ist. Es werde bezeichnet: -αβ = <i>AB</i> = z, <i>A</i>α = 2αγ = y, <i>AD</i> = s, <i>AF</i> = σ, <i>MF</i> = p, <i>BC</i> = u =<span class="pagenum"><a name="Seite_p211" id="Seite_p211">[S. 211]</a></span> -βγ, dann ist 1) s/y = (y + z)/z, 2) u<sup>2</sup> + <sup>1</sup>/<sub>4</sub>y<sup>2</sup> = z<sup>2</sup>, 3) weil -<i>MFB</i> ～ <i>ABC</i>, 2up = y(σ - z) 4) σ<sup>2</sup> + p<sup>2</sup> = r<sup>2</sup>.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 300px;"> -<img src="images/pg211_ill.png" width="300" height="274" alt="" /> -</div> - -<p>Setzt man u = zτ, so ist -nach 2) <span class="fraction"><span>y<sup>2</sup></span><span>4</span></span> = z<sup>2</sup>(1 - τ<sup>2</sup>) und -nach 3) gleich <span class="fraction"><span>z<sup>2</sup>τ<sup>2</sup>p<sup>2</sup></span><span>(σ - z)<sup>2</sup></span></span> also 5) -1 - τ<sup>2</sup> = <span class="fraction"><span>τ<sup>2</sup>p<sup>2</sup></span><span>(σ - z)<sup>2</sup></span></span> aus 1) und 3) -folgt 6) <span class="fractionbig"><span>s(σ - z)</span><span>2τpz</span></span> = <span class="fractionbig"><span>2τp</span><span>σ - z</span></span> + 1.</p> - -<p>Aus 5) folgt σ - z = τp : -μ wo μ = √<span class="sqrt">1 - τ<sup>2</sup></span> ist, also z = -σ - τp : μ, also geht 6) über in -7) s = (2μ + 1)2μ(σ - τp : μ); s = (2μ + 1)(μs - 2τp) woraus -nach leichter Rechnung 4τ<sup>3</sup> - 3τ + ps : r<sup>2</sup> = 0 und da ps = ηr, -wenn die Höhe des Dreiecks <span class="gesperrt">AMD</span> von D aus η genannt wird, -8) 4τ<sup>3</sup> - 3τ + η/r = 0.</p> - -<p>Das ist die bekannte Gleichung für sin <sup>φ</sup>/<sub>3</sub> da η : r = sin φ ist.</p> - -<p>Es gewannen also die beiden Delischen Probleme die Bedeutung -der Auflösung der kubischen Gleichung, [da sich für -y die Gleichung 4. Grades y<sup>4</sup> + sy<sup>3</sup> - 3y<sup>2</sup>r<sup>2</sup> - 2ysr<sup>2</sup> + s<sup>2</sup>r<sup>2</sup> -= 0 ergibt, so ist damit zugleich die Lösung der Gleichung -des 4. Grades angebahnt].</p> - -<div class="sidenote">Hippias von Elis, Dinostratos (Quadratrix).</div> - -<p>Das arithmetische Problem vermochten die Pythagoräer -nicht zu lösen, und das geometrische nicht mittelst Zirkel und -Lineal, d. h. elementar, doch scheuten sie sich wie wir bei Archytas -gesehen haben, keineswegs vor Bewegungsgeometrie und -so erfand denn der seiner Zeit ziemlich übel berüchtigte Sophist -<span class="gesperrt">Hippias</span> von <span class="gesperrt">Elis</span> im letzten Drittel des 5. Jahrh. eine mechanische -Lösung und damit die erste uns bekannte vom Kreise -verschiedene nach bestimmten Gesetz erzeugte Kurve, die später -vermutlich durch oder doch <span class="gesperrt">nach</span> Archimedes, nachdem <span class="gesperrt">Dinostratos</span> -ihren Gebrauch zur Rektifikation (Streckung) und -damit auch zur Quadratur des Zirkels gelehrt hatte, den Namen<span class="pagenum"><a name="Seite_p212" id="Seite_p212">[S. 212]</a></span> -τετραγωνίζουσα lat. Quadratrix erhielt. Es sind sogar gegen die -Autorschaft des Hippias von Elis Bedenken erhoben (Blass, -Friedlein) und <span class="gesperrt">H. Hankel</span> der genialste Historiker der Mathematik -hat sich sehr scharf gegen die Autorschaft des Hippias -von Elis ausgesprochen, aber Gründe hat er nicht angegeben -und ich muss <span class="gesperrt">Cantor</span> beipflichten, der aus der ständigen Gewohnheit -des Proklos nur bei der ersten Erwähnung die Herkunft -anzugeben und sie später als schon genannt wegzulassen, mit -grösster Energie sich für den Hippias von <span class="gesperrt">Elis</span> aussprach. -Proklos kann nur diesen Hippias meinen und wenn auch der -Hippias major des Platon vermutlich unecht, so genügt doch -der Hippias minor um zu beweisen, dass Hippias seinerzeit für -einen hervorragend tüchtigen Mathematiker galt. Pappos, dem -wir die Kenntnis der Kurve verdanken, -erwähnt den Namen des Hippias nicht. -Die Kurve und ihre Konstruktion finden -sich Buch IV prop. 25 p. 253 der -<span class="gesperrt">Hultschen</span> Ausgabe. Während -der Radius αβ, vergl. die Fig., sich -gleichförmig um α bis αδ dreht, verschiebt -sich ebenfalls gleichförmig βγ -bis αδ, unsere Kurve ist der Ort des -Schnittpunktes ζ der beiden sich bewegenden -Strecken. Die Grundeigenschaft ist: <span class="fraction"><span>βκ</span><span>αβ</span></span> = <span class="fraction"><span>Bogen βε</span><span>Bogen βεδ</span></span> = <span class="fraction"><span>Θ</span><span>π/2</span></span>. -Damit ist nicht nur die <span class="gesperrt">Trisektion</span> sondern sogar die <span class="gesperrt">Multisection</span> -vollzogen, denn nichts hindert αβ oder irgend ein Stück -von αβ in beliebig viele gleiche Teile zu teilen. Es folgt: -<span class="fraction"><span>αβ - βκ</span><span>αβ</span></span> = <span class="fraction"><span>π/2 - Θ</span><span>π/2</span></span> oder 1) y . π/2 = <span class="arc"><span>⌒</span><span>εδ</span></span>, daraus y<sub>1</sub> : y<sub>2</sub> = <span class="arc"><span>⌒</span><span>ε<sub>1</sub>δ</span></span> : <span class="arc"><span>⌒</span><span>ε<sub>2</sub>δ</span></span> -und als Gleichung der Kurve 2) x = y cot y<sup>π</sup>/<sub>2</sub>. Die Proportion 1, -kann auch heissen <span class="fraction"><span>Quadrant</span><span>r</span></span> = <span class="fraction"><span><span class="arc"><span>⌒</span><span>εδ</span></span></span><span>ζυ</span></span>. Dinostratos, der mit Demokritischen -Gedanken vertraut war, bemerkte nun, dass der -Bruch rechts auf der Grenze, wenn αε unendlich nahe bei αδ -ist, weil der Sektor dann in ein Dreieck übergeht gleich δε' :<span class="pagenum"><a name="Seite_p213" id="Seite_p213">[S. 213]</a></span> -ηη' = αδ : αη gleich r : x<sub>0</sub> ist, womit zwar nicht die Quadratur -aber doch die Rektifikation des Kreises mittelst der gezeichnet -vorliegenden Kurve vollzogen ist. Der Beweis des Dinostratos den -Pappos l. c. mitteilt, rechnet selbstverständlich nicht mit dem -Unendlich kleinen, sondern ersetzt die Differentialrechnung durch -die Grenzmethode, wie das auch Archimedes selbst noch getan, -obwohl wir aus dem Ephodion sehen, wie genau er sich der -Tragweite der Infinitesimalrechnung bewusst war. Man braucht -ja nur an des Cavalieri »geometria indivisibilium« zu denken, -die er umarbeiten musste, weil seine Zeitgenossen an dem nackten -Unendlich kleinen und grossen, am Differential und Integral des -Volumens, Anstoss nahmen. <span class="gesperrt">Newton</span> der Urheber des selbständigen -Differentialkalküls hat in den Prinzipien und in seinen -geometrischen Werken ängstlich die Methode verschleiert und -noch heute gibt es Mathematiker genug, welche vor dem »infiniment -petit« scheuen, wie etwa Pferde vor einem Automobil.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 200px;"> -<img src="images/pg212_ill.png" width="200" height="187" alt="" /> -</div> - -<div class="sidenote">Theaítetos und Theudios.</div> - -<p>Sind Menaichmos und Dinostratos die produktivsten Mitglieder -des Platonischen Kreises, »derer um Platon,« so sind -Theaítetos der Athener und Theudios der Magnesier, (wohl in -Karien) diejenigen, welche die methodische Seite der Akademie -am energischsten vertreten. Von Θεαίτητος, dem schon oft genannten, -rührt ein grosser Teil der selbst für uns Heutige nicht -leichten Sätze des X. Buchs der Elemente des Eukleides her, -das selbst ein Petrus Ramus, obwohl ein genauer Kenner von -Proklos' Kommentar zum I. Buch, nicht verstand, und Θευδιος -ὁ Μαγνης hat das Lehrbuch der Akademie verfasst. Von ihm -sagt Proklos: Er brachte gute Ordnung in die Elemente und -verallgemeinerte vieles in den einzelnen Abschnitten (Friedl. p. 67, -wenn ὁρικων, was Friedlein bezweifelt, richtig ist, so kann es auch -vielleicht besser als »begrenzt« d. h. »zu eng gefasst« übersetzt -werden, »er machte die Begrenzungen weiter«).</p> - -<div class="sidenote">Aristoteles.</div> - -<p>Die Elemente des Theudios gehen denen des Euklid unmittelbar -voran, und auf sie beziehen sich die mathematischen -Angaben bei <span class="gesperrt">Aristoteles</span>.</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p214" id="Seite_p214">[S. 214]</a></span></p> - -<div class="sidenote">Zeit bei Platon.</div> - -<p>Dieser weltumfassendste Geist nicht bloss des Altertums, der -Wissenschaft und Kunst fast 2000 Jahre lang beherrscht hat -und die formale Logik sogar bis auf <span class="gesperrt">Sigwart</span>, d. h. bis zum -letzten Drittel des 19. Jahrhunderts, hat noch weit mehr als -Platon die Mathematik nur als Hilfswissenschaft der Philosophie -insbesondere für die Lehre vom Schluss und von den Beweisen -betrachtet, und allenfalls für die Astronomie, in der er wie -<span class="gesperrt">Kant</span> den stärksten Beweis des für sein System ganz unentbehrlichen -Gottesbegriffes sah. Es steht nicht einmal fest, ob -Aristoteles auf der vollen Höhe der mathematischen Bildung -seiner Zeit gestanden hat, von höheren Problemen streift er -eigentlich nur einmal ganz gelegentlich in de coelo die Quadratur -des Zirkels. Dass er die Kegelschnitte nicht beachtet hat, versteht -sich von selbst, da sie ja gerade zu seiner Zeit von seinem -Mitschüler <span class="gesperrt">Menaichmos</span> gefunden wurden. Aber um so grösser -ist seine Bedeutung für die Grundbegriffe der Mathematik. -Während <span class="gesperrt">J. L. Heiberg</span> (Teubner Abh. z. Gesch. der Math. Wiss. -Heft 18, 1904) das spez. Mathematische bei Aristoteles gesammelt -hat, ähnlich wie Theon Smyrneus die Mathematik bei -Platon, ist <span class="gesperrt">A. Görland</span> in seiner Dissertation und besonders -in dem Werke: Aristoteles und die Mathematik, Marburg 1899 -auch der begrifflichen Seite gerechter geworden. Aristoteles ist auch -der erste der Hellenen der sich genauer mit dem Begriff Zeit -beschäftigt hat. <span class="gesperrt">Platon</span>, wie er den Aristoteles an schöpferischer -Kraft der Phantasie weit überragt, übertrifft ihn auch in der -Erkenntnis gerade der tiefsten Quellen unserer Erkenntnis, aber -dass die Zeit auch eine Idee sei, wie das Gute, ist dem Idealisten -κατ ἐξοχήν entgangen. Die Hauptstelle findet sich Timäos 366–370. -Gott schuf die Welt als Abbild der ewigen Ideen (personifiziert -durch die einzelnen Götter), und in der Freude über seine -Schöpfung beschloss er sie dem Urbilde noch ähnlicher zu machen -und schuf dazu die Zeit als <span class="gesperrt">bewegliches</span>, nach Zahlenverhältnissen -fortschreitendes, ewiges Abbild. Denn Tage und -Nächte und Monate und Jahre gab es nicht, bevor der Himmel<span class="pagenum"><a name="Seite_p215" id="Seite_p215">[S. 215]</a></span> -geschaffen, sondern damals als dieser zusammengesetzt wurde, -bewirkte er zugleich auch ihre Entstehung. Alle diese (die Tage -etc.) sind Teile der Zeit, und das »<span class="gesperrt">Es war</span>« und das »<span class="gesperrt">Es wird -sein</span>« sind entstandene Formen der Zeit, die wir <span class="gesperrt">unvermerkt</span> -auf das ewige Wesen übertragen, und mit <span class="gesperrt">Unrecht</span>. Denn wir -sprechen von einem »es war, es ist, es wird sein« jener aber -kommt in Wahrheit nur das »Es ist« zu, das »war« und das -»wird sein« aber ziemt es sich von der in der Zeit sich bewegenden -Entstehung auszusagen. Wenn hier auch die transzendentale -Idealität der Zeit gestreift ist, so sind doch Zeit und -Bewegung nicht scharf geschieden, und insbesondere scheint die -Zeit selbst als Dauer aufgefasst zu sein, was schon eine Anwendung -der Kategorie Raum auf die Zeit einschliesst.</p> - -<div class="sidenote">Aristoteles über Zeit.</div> - -<p><span class="gesperrt">Aristoteles</span> hat sich besonders in der Physik mit der -Zeit beschäftigt, er hat den Zusammenhang der Zeit mit der -Zahl erkannt und im direkten Gegensatz zu Kant die Zeit auf -die Zahl zurückgeführt. Im Buch IV der Physik heisst es: die -Zeit <span class="gesperrt">scheint</span> die Bewegung einer Kugel zu sein, weil durch sie -die übrigen Bewegungen (Rotationen) <span class="gesperrt">gemessen</span> werden. — -Ganz ähnlich heisst es in der Naturphilosophie <span class="gesperrt">Lorenz -Oken's</span>, des Vorgängers von Darwin, die Zeit ist gleichsam -eine fortrollende Kugel, die immer in sich selbst wiederkehrt. — -An anderer Stelle nennt er die Zeit die <span class="gesperrt">Zahl des Kontinuums</span>, -und die Zahl der Bewegung in bezug auf <span class="gesperrt">vorher</span> und -<span class="gesperrt">nachher</span>, Mass der Ruhe und Bewegung. Wichtig ist, dass -er Phys. 10 auseinandersetzt, dass die Zeit nicht aus Momenten -bestehe und ganz des Aristoteles würdig ist die Stelle Phys. IV -Kap. 10: Ob das Jetzt, das Vergangenheit und Zukunft trennt, -immer ein und dasselbe sei, oder anderes und anderes, das ist -nicht leicht zu entscheiden.</p> - -<div class="sidenote">Aristoteles (vita).</div> - -<p><span class="gesperrt">Aristoteles</span>, der <span class="gesperrt">Stagirite</span>, wie er oft genannt wird, ist -384 in Stageira einer Stadt der athenischen Landschaft Chalcidice -geboren. Sein Vater Nikomachos war Leibarzt des Königs -Amyntas von Macedonien, des Vaters Philipps der die entzweiten<span class="pagenum"><a name="Seite_p216" id="Seite_p216">[S. 216]</a></span> -Hellenen unter das Macedonische Joch einte. Im 18. Jahre -kam er nach dem Tode beider Eltern als ein wohlhabender und -wohlerzogener Hellene nach Athen vermutlich um Platons willen, -dessen Schule er bis zum Tod Platons, zwanzig Jahre lang angehörte. -Daneben muss der Sohn des Arztes mit dem Fleiss -und der ungeheuren Arbeitskraft eines grossen Genius geschafft -haben um sich auf naturwissenschaftlichem und politisch-historischem -Gebiete das Riesenmaterial von Kenntnissen anzueignen, -das in seinen Schriften verarbeitet ist. Zwei Strömungen von -ganz ungewöhnlicher Stärke sind in Aristoteles vereinigt, einerseits -ist er der erste grosse <span class="gesperrt">Biologe</span>, der mit gleicher Sorgfalt -das grösste wie das kleinste Lebewesen beobachtet, er hat es -ja selbst ausgesprochen, dass es für den Forscher nichts Grosses -und nichts Kleines gebe, — andererseits ein Systematiker von -extremer Nüchternheit und Klarheit.</p> - -<p>Dass der über dreissigjährige Mann in den letzten Jahren -seines Lehrers dem Platonismus schon mit kritischem Geiste -gegenüberstand, ist an sich im höchsten Grade wahrscheinlich, -auch wenn es nicht durch den Klatsch der Schule bezeugt wäre. -Insbesondere richtete sich seine Kritik wohl damals schon gegen -die Ideenlehre. Aristoteles hat hier wohl von Anfang an dem -Schwunge des Dichters nicht folgen können, vermöge einer -Schwäche seiner Begabung gerade auf dem Gebiete der Phantasie. -Und dann muss gesagt werden, dass Platon selbst seine eigene -grossartige Auffassung der Idee, des reinen ewigen Urbilds, die über -den Dingen stehend, die Kraft ist, welche die Dinge schafft, mit -zunehmendem Alter mehr und mehr verdunkelt und abgeschwächt -hat, man vergleiche die »νόμοι«, die Gesetze, auch den Zusatz, die -επινομις. So erklärt es sich, dass in der Darstellung des Aristoteles -die Ideenlehre in die Zahlenmystik der Pythagoräer überging.</p> - -<p>Doch war und blieb er Platoniker, wie schon daraus hervorgeht, -dass er unmittelbar nach dem Tode des Meisters Athen -für lange Zeit verliess, und zwar in Gemeinschaft mit dem leidenschaftlichsten -Verehrer Platons, dem <span class="gesperrt">Xenokrates</span>, der nach dem<span class="pagenum"><a name="Seite_p217" id="Seite_p217">[S. 217]</a></span> -Tode von Platons Neffen Speusippos der Leiter der Akademie -war. Aristoteles brachte die nächsten drei Jahre bei seinem -Bundesbruder Hermias, dem Fürsten von Atarneos und Assos -zu, und heiratete nach dessen Tode die Schwester oder Nichte -desselben. Im Jahre 343 (oder 342) übernahm er die Ausbildung -des damals dreizehnjährigen <span class="gesperrt">Alexander</span>, und diese -Verbindung, obwohl sie nur 3 Jahre dauerte, da Alexander schon -mit 16 Jahren die Vertretung seines Vaters Philipp in Macedonien -übernahm, wurde für beide grosse Männer von höchster -Bedeutung. — Aristoteles ging zunächst in seine Heimatstadt -Stageira, er blieb aber bis kurz vor Alexanders Tode, bis er -durch die Torheit seines Neffen Kallisthenes jenem entfremdet -wurde, in innigster Verbindung mit dem Könige. Mit königlicher -Freigebigkeit gewährte Alexander die Mittel, welche er -zu seinen Arbeiten brauchte, alle fremden Tiere und Pflanzen -wurden ihm zugesandt, und die Summen, derer er zu seiner -grossen Bibliothek bedurfte, verdankte er wohl auch zum grossen -Teil dem Könige. Aristoteles ist der erste Gelehrte, von dem -wir wissen, dass er sich eine grosse Büchersammlung angelegt -hat, und das war damals ein noch weit kostspieligeres Vergnügen -als heute, um so mehr als er auch dafür sorgte, dass die -wichtigsten Werke durch Abschriften weiteren Kreisen zugänglich -gemacht wurden. Die Sammlung hat er seinem bedeutendsten -Schüler, dem <span class="gesperrt">Theophrast</span> hinterlassen.</p> - -<p>Dreizehn Jahre nach dem Tode Platons kehrte er nach -Athen zurück, nahm den Unterricht in der Rhetorik, den er -schon bei Lebzeiten Platons sehr erfolgreich geführt hatte, wieder -auf, und eröffnete jetzt ebenfalls bei einem Gymnasium, dem -Lyceum, eine eigene Philosophenschule und begründete den dazu -gehörigen Freundschaftsbund. In den Parkanlagen des Lyceums -auf- und abgehend, disputierte er mit seinen Schülern und von -dieser Gewohnheit erhielten die Jünger den Namen der »Peripatetiker.« -Übermenschliches hat er in den 12 Jahren seiner -Lehrtätigkeit geleistet. Abgesehen von einzelnen Dialogen,<span class="pagenum"><a name="Seite_p218" id="Seite_p218">[S. 218]</a></span> -welche schon zu Platons Zeiten veröffentlicht waren, sind fast -alle seine grossen Lehrschriften, die ja im wesentlichen Vorlesungshefte -für seinen und seine Schüler Gebrauch waren, hier -entweder entstanden oder doch wenn nicht konzipiert, so doch -redigiert. Aristoteles starb 332 zu Chalcis auf Euboea, wo er -ein Landgut besass, an einem Magenleiden.</p> - -<div class="sidenote">Aristoteles, Werke.</div> - -<p>Ich erwähne zuerst seine grossartigen naturwissenschaftlichen -Werke, als Systematiker beginnt er mit der unorganischen -Natur. Zunächst die <span class="gesperrt">Physik</span>, φυσικη ακροασις, 8 Bücher, zu -denen uns der sehr wichtige Kommentar des Simplicius erhalten -ist. Dies Werk hat bis an das 18. Jahrh. heran den Stoff für die -Vorlesungen über Physik gegeben. Dann die Astronomie, -περι ουρανου de coelo, 4 Bücher (dazu Kommentar des Simplicius). -Er kritisiert die Pythagoräer, den Hiketas, den Aristarch -von Samos, welche die zentrale Stellung der Erde im Weltsystem -aufgegeben; und seine Autorität hat bis auf Kopernikus den -Weg zum Fortschritt versperrt. In de coelo β 13, 293 lesen -wir: δειν τη γη του μεσου χωραν αποδιδοναι. Man muss der Erde die -Stelle des Mittelpunktes wiedergeben: denn χώρα Raum -steht bei Aristoteles häufig für τόπος Ort. Weiter nenne ich die -Schrift über Entstehen und Vergehen, περὶ γενέσεως καὶ φθορᾶς -2 Bücher, die Meteorologie 4 Bücher, woran sich auch ein Werk -über Mathematik im engeren Sinne angeschlossen haben soll, -was aber nicht gerade wahrscheinlich ist. Es schliessen sich -dann die Werke über die lebenden Wesen an, beschreibende und -untersuchende. Zunächst die grossartige <span class="gesperrt">Zoologie</span>, περὶ -τα ζῷα ἱστορια. 9 Bücher, dann 7 Bücher <span class="gesperrt">Anatomie</span>, dann die -(physiologische) <span class="gesperrt">Psychologie</span>, περὶ ψυχής, Wahrnehmen und -Wahrgenommenes, Gedächtnis und Erinnerung, Traum und -Wachen. — Ferner über Kurz- und Langlebigkeit, Leben und -Tod, und damit verbunden, über das Atmen. Über die Teile -der Tiere, die Erzeugung und den Gang der Tiere (wahrscheinlich -unecht). — Die 2 Bücher über die Pflanzen sind verloren, -weil sie von der reichhaltigeren Schrift des <span class="gesperrt">Theophrast</span><span class="pagenum"><a name="Seite_p219" id="Seite_p219">[S. 219]</a></span> -aufgesaugt und verdrängt sind, eine im Altertum häufige Erscheinung. -— An die Zoologie, welche mit dem Menschen endet, -reihen sich dann folgerichtig die grossen Werke über das sittliche -Handeln des einzelnen Menschen, und über sein Leben im -Staate an, Ethik und Politik. Von den drei Ethiken ist die -grosse sog. <span class="gesperrt">Nikomachische Ethik</span> unbezweifelt das echte -Werk des Aristoteles, während die andere die Eudemische ein -Kollegienheft des Eudemos ist, und die dritte, die sog. grosse -Moral ein Auszug aus dem Eudemos ist. Die Ethik handelt von -dem höchsten Gut, von der Tugend, von der Freundschaft etc. -Das höchste Gut sieht sie in der reinen Denktätigkeit; die -wissenschaftliche Arbeit um ihrer selbst willen, diese ist göttlich. -Ihr zunächst steht im Werte die Tugend, die ethische Tugend -ist auf den <span class="gesperrt">Willen</span> gerichtet, der lernen muss, um es kurz auszudrücken, -die richtige Mitte zwischen zwei Lastern zu halten. -Tief empfunden und wahrhaft beredt ist, was Aristoteles über -die <span class="gesperrt">Freundschaft</span> sagt, ohne die ihm zufolge keine Gemeinschaft -bestehen kann.</p> - -<p>Von den <span class="gesperrt">staatswissenschaftlichen</span> Werken ist uns -die Politik erhalten, 8 Bücher, unvollendet, aber wie <span class="gesperrt">Zeller</span> -sagt, eins von den reifsten und bewundernswertesten Erzeugnissen -seines Geistes. Verloren sind bis auf wenige Bruchstücke, die -sog. πολιτείαι, eine wahrscheinlich lexikalisch geordnete Sammlung -der Verfassung von 158 Staaten oder Städten, anfangend -mit Athen. Vor wenigen Jahren ist gerade die Verfassung -Athens in der Leichenbinde einer ägyptischen Mumie gefunden -und von <span class="gesperrt">Keibel</span> und <span class="gesperrt">Kiessling</span> meisterhaft übersetzt worden. -Sie zeigt uns was wir verloren haben und ist unschätzbar für -die Beurteilung des Aristoteles. Während dieser in den exakt-wissenschaftlichen -und philosophischen Schriften in Sprache und -Form meist trocken, nüchtern und knapp ist, — er hat ja die -philosophische Fachsprache, ich möchte sagen, den Jargon geschaffen, -der die meisten philosophischen Werke so ungeniessbar -macht, — begreifen wir hier wie <span class="gesperrt">Cicero</span> sagen konnte, Aristoteles<span class="pagenum"><a name="Seite_p220" id="Seite_p220">[S. 220]</a></span> -habe die alten Rhetoren »suavitate et brevitate dicendi,« durch -Anmut und treffende Kürze der Sprache, weit hinter sich gelassen.</p> - -<p>Zugleich aber bekommen wir auch zum ersten Male ein -genaues Bild vom alten Athen und sind imstande die Anziehungskraft -zu begreifen, welche Athen auf die Hellenen ausübte. -Wir sehen hier eine Verfassung von solchem echten -Liberalismus und von solcher Humanität, wie sie noch nie zum -zweiten Male existiert hat. Selbst die Staatssklaven der Athener -erfreuten sich einer Freiheit, die in vieler Hinsicht grösser -war als die der heutigen Staatssklaven, der Beamten. Interessant -ist auch die Rolle, welche die Erbtochter schon damals spielte.</p> - -<p>Die Anschauung des Aristoteles über <span class="gesperrt">Kunst</span> kann ich -hier nur flüchtig streifen, erhalten ist nur die <span class="gesperrt">Poëtik</span>, und auch -sie nur als Fragment, aber Sie wissen, welchen langdauernden -Einfluss die sog. drei Einheiten, welche Aristoteles für das Drama -forderte, die Einheit des Orts, der Zeit und der Handlung, gerade -weil die Forderungen missverstanden wurden, insbesondere -auf das klassische Drama der Franzosen gehabt haben.</p> - -<p>Nun zu den eigentlichen philosophischen Schriften des -Aristoteles. Zuerst bereitet er sich den Boden für das Verständnis -seiner Gedanken dadurch, dass er die Gesetze, denen -unser Denken unterworfen ist, die Lehre vom Schluss und vom -Beweise, die formale Logik, als der Erste genau formulierte. Die -Logik des Aristoteles zerfällt in 2 grosse Abteilungen, die <span class="gesperrt">Topik</span> -und die Analytik, zusammengefasst als <span class="gesperrt">Organon</span> id est Werkzeug. -Ich nenne hier <span class="gesperrt">F. Kampe</span>, die Erkenntnistheorie des -Aristoteles Leipz. 1870, <span class="gesperrt">R. Eucken</span>, die Methode der arist. -Forschung Berl. 1872. Von neuen Ausgaben seien die der -Berliner Akademie von 1831–70 in 5 Bänden und die auf -35 Bände berechnete der griech. Kommentare hervorgehoben, darunter -die <span class="gesperrt">Physik des Simplicius</span> von <span class="gesperrt">H. Diels</span> 1882 und -eben desselben Astronomie von <span class="gesperrt">J. L. Heiberg</span> 1894.</p> - -<p>Die Grundlagen jeder wissenschaftlichen Arbeit sind im -Organon für ewig gelegt. Die Logik wird als wissenschaftliche<span class="pagenum"><a name="Seite_p221" id="Seite_p221">[S. 221]</a></span> -Technik aufgefasst, er will keine vollständige Erkenntnistheorie -geben, etwa wie <span class="gesperrt">H. Cohen</span>'s Logik der reinen Erkenntnis, -sondern zunächst eine Untersuchung über die Formen und Gesetze -der wissenschaftlichen Beweisführung. Die Topik beschäftigt -sich mit der Dialektik, der Lehre vom Beweisbaren und dem -Wahrscheinlichen; von den Analytiken beschäftigt sich die erste -mit dem Schlusse, die andere mit der Beweisführung gestützt -auf den Syllogismus. Die Syllogistik hat es mit der Erkenntnis -derjenigen Denkformen zu tun, denen zufolge mit Hilfe eines -Zwischenbegriffs, der im einen Urteil Prädikat, im anderen Subjekt -ist, entschieden werden soll, ob ein Begriff unter einem -andern subsumiert werden soll, ganz oder teilweise, oder nicht. -Aristoteles hat die Urteile nach Quantität und Qualität eingeteilt, -und zwar nach Quantität: generelle, partikuläre, singuläre, -(allgemeine, besondere, einzelne) und nach Qualität: affirmative -und negative (bejahende und verneinende).</p> - -<p>Ein Punkt der für Mathematiker besonders wichtig ist -muss betont werden. Nicht <span class="gesperrt">Schopenhauer</span> hat zuerst die -Forderung erhoben: der wahre Beweis muss nicht nur dass etwas -ist, sondern warum es ist, aufdecken, sondern <span class="gesperrt">Aristoteles</span> -hat περι ψυχής II, 2 mit grösster Schärfe das nämliche gefordert.</p> - -<div class="sidenote">Aristoteles Philosophie.</div> - -<p>An die Logik, die Wissenschaftslehre, schliesst sich die -<span class="gesperrt">Metaphysik</span> an. Aristoteles setzt die Platonische Philosophie -voraus, und indem er sie umbildet, verbildet und fortbildet, ist -er der Vollender der Begriffsphilosophie. Die Metaphysik beginnt -mit der berühmten Tafel der <span class="gesperrt">Kategorien</span>, der irreduzibeln -Stammbegriffe der Vernunft, die Grundformen aller Aussagen. -Sie sind bei ihm nicht völlig das was ich <span class="gesperrt">Konstituenten</span> -des Intellekts nenne, Methoden grosse Gruppen von -Erkenntnissen zusammenzufassen und zu ordnen.</p> - -<div class="sidenote">Aristoteles über Grösse.</div> - -<p>Er unterscheidet: 1) Substanz (ουσία, Wesenheit) 2) Grösse, -Quantität, ποσόν., 3) Beschaffenheit, Qualität, ποιόν, 4) Beziehung, -Relation, πρός τι., 5) Worin, Raum, χώρα., 6) Wann, -Zeit, πότε., 7) Lage, θέσις, 8) Haben, ἕξις, 9) Wirken, ποιεῖν,<span class="pagenum"><a name="Seite_p222" id="Seite_p222">[S. 222]</a></span> -10) Leiden, πάσχειν. Lage und Haben scheinen nur aufgestellt, -um die Zehnzahl der Pythagoräer voll zu machen, er lässt sie -im Laufe der Untersuchung fallen. Doch wird die θέσις die -Lage von ihm als Grundeigenschaft des Raumes erkannt. Uns -interessiert am meisten was er über Grösse sagt. Alles was -sich in substantielle Teile teilen lässt, ist eine Grösse (dieselbe -Definition gab <span class="gesperrt">Weierstrass</span> im Colleg.). Sind die Teile zusammenhängend, -so ist die Grösse <span class="gesperrt">stetig</span> (συνεχές), die Lehre von -der kontinuierlichen Grösse geht wie beinahe jede scharfe begriffliche -Untersuchung auf Aristoteles zurück, der auch die -recht eigentlichen mathematischen Probleme, die Zusammensetzung -und Trennung des Kontinuums erfasst hat. Ausführlicher -spricht er sich über Kontinuität in der Physik c. 3, 227 und 10 -aus: Es sei etwas stetig, wenn die Grenze eines jeden zweier aufeinander -folgenden Teile, in der dieselben sich berühren, <span class="gesperrt">ein und -dieselbe ist</span>, und sie, wie es auch das Wort bedeutet, (συν zusammen, -έχω halten) zusammengehalten werden. Sind die Teile in einer -bestimmten <span class="gesperrt">Lage</span>, so sind die Grössen extensive oder Raumgrössen, -das <span class="gesperrt">Ungeteilte</span> oder die <span class="gesperrt">Einheit</span>, mit der sie gemessen -wird, und die <span class="gesperrt">Messbarkeit</span>, dass sie ein Mass hat, ist -das unterscheidende Merkmal der Grössen. Auch die für die -Ausbildung des Integralbegriffs grundlegenden Probleme der -Zusammensetzung und Trennung des Kontinuums sind von ihm gestellt. -Und wenn auch περι ατομων γραμμων vielleicht wie Tannery -meint, nur ein Schülerheft, so ist doch περι φύσεως unbestritten. -Das Argument mit dem Aristoteles bewies, dass Raum -und Zeit nicht aus Punkten bestehen (es hätten sonst z. B. Seite -und Diagonale des Quadrats gleichviel Punkte und wären gleich) -haben die Arabischen Aristoteliker, (wie Averroës), gegen die -Mutakallimun (Logiker) gebraucht.</p> - -<p>Für die Qualitäten werden zwei Hauptarten unterschieden, -diejenigen, welche sich auf einen substantiellen Unterschied und -diejenigen, welche sich auf Bewegung und Tätigkeit beziehen. -Als ein charakteristisches Merkmal der Qualität wird der Gegensatz<span class="pagenum"><a name="Seite_p223" id="Seite_p223">[S. 223]</a></span> -des Ähnlichen und Unähnlichen betrachtet; zu bemerken -ist hier, dass Kategorien der Anschauung von Aristoteles nicht -aufgestellt werden, wie z. B. Abstand, Richtung.</p> - -<p>Der wichtigste Stammbegriff ist der der Substanz, der der -Träger der Übrigen ist, und so ist es die Untersuchung über -das Seiende als Seiendes von der die Philosophie, welche den -Zweck hat die Erfahrung zur Einheit zusammenzufassen, ausgehen -muss. Ich führe hier als den wichtigsten Satz an das -berühmte: το δ' ειναι ουσια ουδενι., der widerspruchsfreie Begriff -begründet keine Existenz des Definierten, mit dem z. B. -der ontologische Beweis des Daseins Gottes und die Grundlage -<span class="gesperrt">Spinozas</span> zusammenbricht. Die erste und höchste Philosophie -hat die Aufgabe die letzten (A. sagt richtiger die ersten) und -allgemeinsten Gründe der Dinge zu erforschen, sie gewährt das -umfassendste Wissen, dasjenige, welches am schwersten zu erlangen -ist, da die allgemeinsten Prinzipien von der sinnlichen -Erfahrung am weitesten abliegen, das sicherste, weil sie es mit -den irreduziblen Begriffen und Axiomen zu tun hat, das was -am meisten Selbstzweck ist, weil es die Zwecke, denen alles -dient, feststellt. Sie muss alles Wirkliche schlechthin umfassen, -denn die letzten (πρώτας) Gründe sind nur die, welche alles -Seiende als Solches erklären. Andere Wissenschaften, wie -Medizin und Mathematik, beschränken sich auf ihr Gebiet, das -sie nicht weiter definieren, die Wissenschaft von den letzten -Gründen muss die Gesamtheit der Dinge auf ihre ewigen Ursachen -und in letzter Instanz auf das Unbewegte und Unkörperliche, -d. h. auf <span class="gesperrt">Gott</span> zurückführen, von dem alle Bewegung -und Gestaltung des Körperlichen ausgeht. Er nennt diese -Wissenschaft, die Metaphysik, erste Philosophie auch Theologie. -Angesichts des Schwungs der Sprache und der Wucht der -Gründe mit denen Aristoteles den Gottesbegriff stützt, wird es -begreiflich, wie die Scholastik, wie ein Thomas von Aquino im -Gegensatz zu Platon, mehr und mehr sich auf Aristoteles stützen -musste, der fast zu einem Heiligen der katholischen Kirche<span class="pagenum"><a name="Seite_p224" id="Seite_p224">[S. 224]</a></span> -geworden ist. Verbot doch im Jahr 1624 das französische -Parlament jeden Angriff gegen seine Autorität bei Todesstrafe.</p> - -<div class="sidenote">Aristoteles und die Ideenlehre.</div> - -<p>Indem er nun näher auf dasjenige eingeht, was allen -Seienden als solchem zukommt, untersucht er den Satz vom -Widerspruch, der ja in der Mathematik eine so entscheidende -Stelle im indirekten Beweis einnimmt, denken Sie nur an die -grosse Menge stereometrischer Sätze, welche sich auf den Widerspruch -gegen das Parallelenaxiom zurückführen lassen. Er -knüpft an seine Untersuchung den Satz vom »ausgeschlossenen -Dritten« (aut est, aut non est, tertium non datur). Ich muss -für Aristoteles' Metaphysik auf Bonitz, Windelband, Zeller etc. -verweisen, nur seine Gestaltung der Ideenlehre muss ich besprechen, -denn in ihr besteht ja seine Emanzipation von <span class="gesperrt">Platon</span>. -Aristoteles hat die Idee Platons missverstanden, vielleicht weil -Platon sich nicht mit Konsequenz dahin ausgesprochen, dass seine -Idee auf der Ausschaltung des Zufälligen beruht. Letzteres ist -für uns unbefriedigend und indem wir es auffassen als etwas, -was sein oder nicht sein kann, verstösst es gegen den Satz vom -Widerspruch. Die Platonische Idee, als zeitlose Norm aus -wenigen Erfahrungen vermöge eines Grundtriebs unseres Intellekts -geschaffen, steht <span class="gesperrt">über</span> den Dingen, Aristoteles und vermöge -seiner Autorität fast alle Nachfolger fassen sie als <span class="gesperrt">neben</span> den -Dingen, ἑν παρα τα πολλα., als ausserhalb der wirklichen Welt -und in keinem Zusammenhange mit ihr stehend, wie die <span class="gesperrt">praestabilierte -Harmonie des Leibniz</span>, wo ihre Wirkung -dann allerdings unerklärlich ist. Aristoteles fasst die Idee als -ἑν κατα πολλα, als in jedem Dinge, jedes Ding existiert eigentlich -nur insoweit, als es seine Idee ausdrückt. Man sieht, dass er -Platon missversteht, um im Grunde auf ihn zurückzugreifen. -Aristoteles unterscheidet die ὑλη, den Stoff, die Materie, die -gestaltlos, nur die Möglichkeit, die δύναμις, zum Wirklichen, -zur ενεργεια hat, das ihnen allein durch die Idee εἶδος, die -Form zugeführt wird. Die Idee ist zugleich die <span class="gesperrt">Zweckursache</span>,<span class="pagenum"><a name="Seite_p225" id="Seite_p225">[S. 225]</a></span> -der gemäss die Wesen sich entwickeln, sie ist die -Seele jedes einzelnen Dinges.</p> - -<div class="sidenote">Aristoteles, Stoff und Form.</div> - -<p>Man darf den aristotelischen Begriff der Form nicht mit -unserm Wort verwechseln, ein toter Mensch ist der Idee nach -kein Mensch, noch ein gefällter Baum ein Baum. Stoff und Form -wechseln, Bauholz ist in Bezug auf den lebenden Baum Stoff, -in Bezug auf den unbehauenen Stamm Form, Erz für den Bildhauer -Stoff, für den Erzgiesser Form etc. So stellt sich die -Gesamtheit alles Seienden als eine Stufenleiter dar, deren unterste -Stufe, die erste Materie oder πρωτη ὑλη, unterschiedslos, unbestimmt -und formlos, deren oberste eine letzte Idee, der mit -gar keinen Stoff behaftete absolute göttliche Geist. Der Gottesbegriff -des Aristoteles hat etwas Überwältigendes. Er hat den -ontologischen, den kosmologischen, den teleologischen, den moralischen -Beweis für das Dasein Gottes geschaffen, er beherrscht -die katholische Theologie nicht nur durch das ganze Mittelalter, -sondern noch heute und Metaphysik XII finden Sie in einen bei -Aristoteles ganz ungewöhnlichen fast dichterischem Schwung die -Schilderung des Wesens der Gottheit.</p> - -<p>In dem Verhältnis des Stoffs zur Form hat nun Aristoteles -die beiden für sein System und für die <span class="gesperrt">Mathematik</span> gleich -wichtigen Begriffe des Potentiellen und Aktuellen, der δυναμις -und ενεργεια (auch εντελεχεια Vollendung), Möglichkeit und Wirksamkeit -geschaffen, denken Sie nur an die potentielle und aktuelle -(kinetische) Energie der heutigen Mechanik. In der Auffassung -der Bewegung als Übergang des Potentiell-Seienden -zum Aktuell-Seienden hat er die Schwierigkeit die der Begriff -des Werdens seinen Vorgängern machte überwunden; es ist ein -und dasselbe Sein, um das es sich handelt, nur auf verschiedener -Entwicklungsstufe. Potentiell, κατα δυναμιν ist das Samenkorn -ein Baum, der ausgewachsene Baum ist es aktuell, κατ' ενεργειαν. -Potentieller Philosoph ist Aristoteles, wenn er schläft, der bessere -Feldherr Sieger vor der Schlacht, potentiell ist der Raum ins -Unendliche teilbar, die Zahl ins Unendliche zählbar, potentiell<span class="pagenum"><a name="Seite_p226" id="Seite_p226">[S. 226]</a></span> -ist Alles, was sich gemäss der in ihm liegenden Idee entwickeln -kann, wenn möglich zur Vollendung, zur Entelechie, zur vollendeten -Darstellung seiner Idee.</p> - -<div class="sidenote">Aristoteles, das Unendliche.</div> - -<p>Diese beiden fundamentalen Unterschiede des Seins, das -Potentielle und das Aktuelle, hat Aristoteles auch im Begriff -des Unendlichen hervorgehoben; von ihm rührt die bis auf den -heutigen Tag, ich nenne <span class="gesperrt">Georg Cantor</span>, herrschende Unterscheidung -des infinitum potentia et actu, des Unendlichen im -Werden und des Unendlichen im Sein. Es ist unmöglich die -Scholastiker oder Cusanus zu verstehen, ohne diese Unterscheidung -zu kennen. Aristoteles hat zuerst und bis auf <span class="gesperrt">Galilei</span> -als der Einzige wissenschaftlich den Begriff Unendlich untersucht. -Wohl hat Zeno den Integralbegriff gestreift, Demokrit -diesen ganz bewusst benutzt, aber hier handelt es sich um eine -logische Untersuchung, denn Unendlichkeitsbetrachtungen sind an -sich so alt wie der Mensch. Schon in den Veden kommt die Göttin -des Unendlichen, <span class="gesperrt">Aditi</span>, vor und Max Müller sagt in seiner -ersten Strassburger Vorlesung »alle Religion entspringt aus dem -Druck, den das Unendliche auf das Endliche ausübt«. Ich habe -l. c. auf den Ursprung des Unendlichkeitsbegriffs aus dem Werkzeug -unseres Intellekts: Zeit hingewiesen, bezw, darauf, dass wir -uns ein Ende unserer Erlebnisse nicht denken können. Wenn -<span class="gesperrt">Frege</span> in seinen Grundlagen der Arithmetik von 1884 den Versuch -macht die Existenz von (n + 1) mittelst des Schlusses von -n auf n + 1 zu beweisen, so halte ich dagegen die Unendlichkeit -der Anzahlenreihe für das Prius, das unmittelbar durch den -Zusammenhang der Ordinalzahl mit der Zeit gegeben ist. Mit -jedem neuen Erlebnis ist eben auch eine neue Einheitssetzung -und damit eine neue Ordinal- und Kardinalzahl gegeben. Aristoteles -kommt wie <span class="gesperrt">Gauss</span> zu dem Schluss, dass das Unendliche im -Sein, das infinitum actu oder κατ' ενέργειαν, das ἄπειρον, das wovon -es kein Jenseits gibt, in der Natur nicht existiert, ἡ φυσις -φευγει το απερον, also als sinnlich wahrnehmbar existiert keine -unendliche Grösse. Nur in Gott als der unendlichen Kraft,<span class="pagenum"><a name="Seite_p227" id="Seite_p227">[S. 227]</a></span> -welche die unendliche Bewegung der Welt hervorbringt, existiert -das infinitum actu. Wohl aber gibt er zu, dass es ein infinitum -potentia (κατά δύναμιν) gibt. Die Raumgrösse ist unbegrenzt teilbar, -aber ein unendlich kleines gibt es nicht, sondern das -ἄπειρον ist nur im Entstehen und Vergehen. Und die Zeit und -mit ihr die Zahl ist unendlich gross im Werden, aber auch hier -ist die Zunahme endlich, die grosse Zahl entsteht und vergeht, -und macht der grösseren Zahl Platz, eine unendlich grosse Zahl -existiert nicht. Aber dieser grosse Denker streift doch schon -die Lösung, er sagt in der Physik Cap. 5, 204: »Vielleicht ist -die Untersuchung ob das Unendliche auch in der Mathematik -und in dem Denkbaren und in demjenigen was keine Grösse -hat, existiere, eine weit allgemeinere.« Die Lösung liegt eben -darin, dass das mathematisch Unendliche überhaupt keine Grösse -besitzt. Es genüge hier auf <span class="gesperrt">B. Bolzano</span>'s klassische »Paradoxien -des Unendlichen« zu verweisen. Bolzano, auf den -<span class="gesperrt">Weierstrass</span> und <span class="gesperrt">G. Cantor</span> ganz unmittelbar fussen, hat -den Hauptanstoss hinweggeräumt, allerdings wörtlich nach <span class="gesperrt">Galilei</span>, -als er hervorhob, dass der Begriff des Ganzen keineswegs -durch alle seine Teile hindurchzugehen braucht. Ich verweise -hier auf einen Vortrag im internationalen Kongress zu Rom.</p> - -<div class="sidenote">Raum und Zeit.</div> - -<p>Mit dem was Aristoteles über das ἄπειρον sagt, hängen seine -Betrachtungen über Raum und Zeit und Bewegung eng zusammen. -Der Raum kann wohl unbegrenzt verkleinert, aber -nicht unbegrenzt vergrössert werden, auch gegen den Demokritischen -Begriff des leeren Raumes (und des Atoms) polemisiert -er, dagegen nähert er sich der Auffassung <span class="gesperrt">Kants</span> und noch -mehr der von <span class="gesperrt">H. Cohen</span> beträchtlich und führt die Zeit auf die -Bewegung des Jetzt (το νύν) zurück und bemerkt, dass sie ohne -das erkennende Subjekt nicht existiere. Sehr wichtig ist das, -was er vom Zeit- und Raumpunkt sagt: das zeitlich und räumlich -nicht mehr Teilbare ist niemals an und für sich (actu) gegeben, -sondern nur potentiell in der <span class="gesperrt">stetigen</span> Grösse enthalten, -und wird nur durch <span class="gesperrt">Verneinung</span> d. h. durch negative Prädikate<span class="pagenum"><a name="Seite_p228" id="Seite_p228">[S. 228]</a></span> -(limitierende Urteil Cohens) erkannt. Und einigermassen -erstaunt war ich, als ich die Auffassung der Ruhe als Grenze -der sich stetig verlangsamenden Bewegung, welche ich mir vor -30 Jahren ohne noch <span class="gesperrt">Leibniz</span> zu kennen gebildet hatte, dem -Wesen nach bei <span class="gesperrt">Aristoteles</span> fand, der sagt, dass es in einem -Zeitpunkt weder Ruhe noch Bewegung gibt, sondern nur einen -Übergang und der Körper, wenn er von der Bewegung zur Ruhe -übergeht, noch in Bewegung ist.</p> - -<p><span class="gesperrt">Aristoteles</span> der heute nach mehr als 2000 Jahren noch -lebendig fortwirkt, der auf Christentum, Judentum, ja selbst auf -den Islam auf das tiefste eingewirkt hat, — ist doch Moses ben -Maimon, der auf Thomas von Aquino so bedeutenden Einfluss -übte, durch seine Schule gegangen — der abstrakteste Denker -und zugleich der exakteste Beobachter, der grösste Empiriker -und zugleich einer der grössten Idealisten, hat eigentlich erst die -einzelnen Disziplinen geschaffen. Bis zu ihm gibt es eine Gesamtwissenschaft -τα μαθήματα, von ihm ab und durch ihn existieren -die einzelnen Disziplinen. Sein Schüler Medon schrieb -nach seinem Plan die Medizin »Ιατρικα.«, seine Physik, Astronomie, -Zoologie, Psychologie bilden den Inhalt der Universitätsvorlesungen -bis in die Neuzeit, Botanik, Meteorologie, ja selbst -Chemie wie Rhetorik, Poetik etc. werden selbständig, wie Mathematik -und die Philosophie selbst, der er die besondere Aufgabe -zuwies, die Erfahrung zur Einheit zusammenzufassen. Und nicht -minder die Geschichte, das erste Buch seiner Metaphysik ist die -erste und zugleich mit die beste Geschichte der Philosophie und -überall hat er Geschichte und <span class="gesperrt">Kritik</span> hineingewoben. Von -ihm an beginnt eine 500 Jahre andauernde Periode der Einzelforschung, -die erst bei den Neuplatonikern zur Zusammenfassung -führt.</p> - -<div class="sidenote">Aristoteles: Theophrast, Eudemos.</div> - -<p>Die beiden bedeutendsten Peripatetiker, <span class="gesperrt">Theophrast</span>, der -Freund und Schüler des Aristoteles, der die Botanik seiner Zeit -kodifiziert hat, und <span class="gesperrt">Eudemos</span> der Rhodier haben beide eine Geschichte -der Mathematik geschrieben. Die des Theophrast ist<span class="pagenum"><a name="Seite_p229" id="Seite_p229">[S. 229]</a></span> -spurlos verschwunden, von der des Eudemos sind spärliche Fragmente -durch Proklos, Eutokios und Simplicius erhalten, sowie -eine Notiz aus dem Buch über den Winkel, περί γωνίας, bei -Proklos. Das wichtigste ist das oft erwähnte Mathematikerverzeichnis -bei Proklos. Friedl. Prolog II p. 65 ff., das aber <span class="gesperrt">Tannery</span> -zufolge nicht direkt aus Eudemos stammt, sondern aus -einer Verarbeitung des Eudemos durch <span class="gesperrt">Geminos</span> im 1. Jahrh. -n. Chr. Es endigt unmittelbar vor <span class="gesperrt">Euklid</span>.</p> - -<div class="sidenote">Euklid, vita.</div> - -<p>Von dem Verfasser der »Elemente«, des Werkes, das unter -allen mathematischen Werken für die Bildung der Menschheit -weitaus das wichtigste gewesen ist, kennt man weder Ort noch -Zeit der Geburt und des Todes, γενέσεως και φθοράς. Seinen -Zeitgenossen und der nächstfolgenden Generation war Euklid -einfach der »στοιχειοτης«, der Verfasser der Elemente und bald -ging die Kenntnis seiner Person verloren. Viele Jahrhunderte -ist er mit dem Philosophen Euklid von Megara verwechselt -worden, der nach dem Tode des Sokrates die Schule zusammenhielt, -und dieser Irrtum findet sich schon bei Valerius Maximus -um 30 v. Chr. und ist dort aus einer falschen Auffassung einer -Stelle bei Geminos (Prokl. p. 60) entstanden. — Das Wenige, -was wir von ihm wissen, verdanken wir zumeist <span class="gesperrt">Proklos</span>, einem -Neuplatoniker und Nachfolger (Diadochos) des Plato in der Leitung -der Akademie, d. h. also Rektor der Universität Athen, -der um 450 n. Chr. einen Kommentar zum Euklid verfasst hat, -von dem uns die beiden Prologe und der Kommentar des ersten -Buchs der Elemente erhalten sind. Die Stelle (Friedl. S. 68) -lautet: »Nicht viel jünger als diese (Hermotimos, der Kolophoner -und Philippos, der Schüler Platons) ist Eukleídēs, der die Elemente -[τα στοιχεία] verfasste, wobei er vieles was vom <span class="gesperrt">Eudoxos</span> -herrührte, in zusammenhängende Ordnung brachte, vieles was -Theaitet begonnen, vollendete und ausserdem so manches was -früher ohne rechte Strenge bewiesen war, auf unantastbare Beweise -zurückführte. Und dieser Mann lebte unter Ptolemaios -dem ersten, denn <span class="gesperrt">Archimedes</span>, dessen Lebenszeit sich an<span class="pagenum"><a name="Seite_p230" id="Seite_p230">[S. 230]</a></span> -die des ersten Ptolemaios anschliesst, erwähnt des Euklid [in -περί σφαίρας και κυλίνδρου, Heib. I, 2, p. 14] und zwar erzählt -er: Ptolemaios frug einmal den Euklid, ob es nicht zur -Geometrie einen bequemeren Weg gebe als die Elemente. Jener -aber antwortete: Zur Geometrie gibt es für Könige keinen Privatweg -[ουκ εστι βασιλικη ατροπος επι γεωμετριαν]. Er ist also jünger -als die [direkten] Schüler des Platon und älter als Eratosthenes -und Archimedes, denn diese waren Zeitgenossen, wie Eratosthenes -irgendwo sagt. Aus Grundsatz war er Platoniker und in -der Platonischen Philosophie zu Hause.«</p> - -<p>Danach ergibt sich für Euklid etwa 300 v. Chr. als Zeit -seines Mannesalters (der ακμή, der Zeit blühendster Körper- und -Geisteskraft, welche die Hellenen in das vierzigste Jahr verlegten), -und dass er in Athen an der Akademie gehört hatte -und dem engeren Kreise der Akademiker angehörte.</p> - -<p>Zur Charakterisierung des Euklid haben wir noch eine -Stelle bei Stobaios. »Ein Mensch, der bei Euklid Unterricht -in der Geometrie zu nehmen begonnen hatte, frug, nachdem er -den ersten Satz der Elemente kennen gelernt hatte, was habe -ich nun davon, dass ich das weiss? Euklid rief seinen Sklaven -und sagte: Gib dem Manne drei Obolen, da er studiert um Profit -zu machen.« Und schliesslich schildert ihn <span class="gesperrt">Pappos</span> in der Vorrede -zum 7. Buch der Kollektaneen wie folgt: Erat ingenio mitissimus -et erga omnes, ut par erat, benignus qui vel tantillum mathematicas -disciplinas promovere poterant, aliisque nullo modo infensus, -sed summe accuratus. »Er war von mildester Gesinnung und -wie es sich geziemt wohlwollend gegen jeden, der und wär's -noch so wenig, die mathematischen Disziplinen zu fördern vermochte, -in keiner Weise anderen gehässig, sondern im höchsten -Grade rücksichtsvoll.« Sie sehen, dass Euklid in der Tradition -seines Volkes als hochgesinnter, reiner wissenschaftlicher Tätigkeit -hingegebener Mann fortlebte.</p> - -<p>Gelehrt hat er für reife Leute, ganz in der Weise unserer -Universitätsprofessoren, an der Universität (Museum) <span class="gesperrt">Alexandria</span>,<span class="pagenum"><a name="Seite_p231" id="Seite_p231">[S. 231]</a></span> -wie uns l. c. Pappos berichtet. Unter der den Wissenschaften -überaus ergebenen Diadochen-Dynastie der Ptolemäer -entwickelte sich des grossen Alexander Stadt zur Zentrale des -Hellenischen Geisteslebens. Man nennt diese Periode die <span class="gesperrt">Hellenistische</span>. -Es ist lange Zeit Mode gewesen die Alexandriner zu -verspotten als Pedanten, wegen ihrer grammatischen, auf die -einzelnen Worte gerichteten Untersuchungen, haben sie doch z. B. -die Akzente eingeführt. Aber auf dem Gebiete der exakten Wissenschaften -ist die Hellenistische Periode erstklassig. Euklid grade -hat den Schwerpunkt von Athen nach Alexandrien verlegt, -<span class="gesperrt">Archimedes</span>, <span class="gesperrt">Apollonios</span>, <span class="gesperrt">Eratosthenes</span> sind aus der -Alexandrinischen Schule hervorgegangen. —</p> - -<div class="sidenote">Euklid, Schriften: die Data.</div> - -<p>Die Euklidischen Schriften kennen wir durch die Angaben -der Proklos p. 68 f. und Pappos l. c. Von den Elementen abgesehen -sind im griechischen Urtext erhalten a) die Data, -δεδομενα, »Gegebenes,« mit einer Vorrede des <span class="gesperrt">Marinos</span> von -Neapolis in Palästina, einem Schüler des Proklos. Die Echtheit -des Textes wird durch die Inhaltsangabe bei Pappos (300 n. Chr.) -bestätigt, welche im Wesentlichen mit dem Text der Codices -übereinstimmt. Die Schrift enthält 95 Sätze (Pappos 90) welche -aussagen, dass wenn gewisse geometrische Gebilde gegeben sind, -andere dadurch mit bestimmt sind, also eine Art <span class="gesperrt">geometrischer -Funktionentheorie</span>. Beispiele: Satz 2: Wenn eine gegebene -Grösse zu einer zweiten Grösse ein gegebenes Verhältnis -hat, so ist die zweite ebenfalls gegeben. Satz 33: In einem -gegebenen Streifen ist durch die <span class="gesperrt">Winkel</span>, welche eine Querstrecke -mit den Grenzen bildet, die <span class="gesperrt">Länge</span> der Querstrecke -bestimmt. Dem Inhalt nach gehen die »Data« nicht über die -»Elemente« hinaus, doch war und ist eine solche Zusammenstellung -praktisch im hohen Grade wertvoll für die Anwendung -der seit und durch Platon sich immer mehr ausbreitenden analytischen -Methode, deren Wesen gerade darin besteht, die durch -die gegebenen Stücke mit bestimmten Punkte, Linien, Figuren -aufzusuchen, bis man zu einer konstruierbaren Nebenfigur gelangt.<span class="pagenum"><a name="Seite_p232" id="Seite_p232">[S. 232]</a></span> -Die Data sind daher eine sich eng an die Elemente anschliessende -Anleitung zum Konstruieren nach der analytischen -Methode, etwa entsprechend <span class="gesperrt">Petersen's</span> bekannten »Methoden -und Theorien«.</p> - -<div class="sidenote">Astronomie.</div> - -<p>Erhalten ist unter dem Titel »Phaenomena« eine Schrift -über Astronomie (lectio sphaerica) mit den Anfangsgründen der -Sphärik. Die Schrift geht bedeutend über die kurz vorhergehende -des <span class="gesperrt">Autolykos</span> hinaus. Ich bemerke beiläufig, das die lectio -sphaerica bis in die Neuzeit hinein der Schrittmacher für die -Geometrie gewesen, die sich im Lehrplan der Gymnasien erst -aus ihr entwickelt hat. Die Schrift beginnt mit dem Satz: »Die -Erde liegt in der Mitte der Welt und vertritt in bezug auf -dieselbe die Stelle des Mittelpunkts« (Aristoteles) und schliesst -mit dem Satz: »Von zwei gleichen Bogen des Halbkreises -zwischen dem Äquator und dem Sommerwendekreis durchwandelt -der eine, beliebig genommen in längerer Zeit die sichtbare Halbkugel -als der andere die unsichtbare.« Das Wort »<span class="gesperrt">Horizont</span>« -stammt aus der Schrift, welche von Pappos im 6. Buch seiner -Kollektaneen erläutert und ergänzt wurde. (<span class="gesperrt">A. Nokk</span>, deutsche -Übersetzung Prgr. Freiburg i. Brg. 1850). <span class="gesperrt">Heiberg</span> hat nach -einer Bemerkung Nokks bewiesen, dass diese Schrift des Euklid -einen sehr wesentlichen Bestandteil der für unsere elementare -Sphärik grundlegenden Schrift des <span class="gesperrt">Theodosios von Tripolis</span> -(etwa 100 v. Chr.) gebildet hat (siehe <span class="gesperrt">M. Simon</span>, <span class="gesperrt">Euklid</span> -und die sechs planim. Bücher, Leipzig 1901).</p> - -<div class="sidenote">Optik.</div> - -<p>Echt Euklidisch sind auch die »Optica«, deren Text Heiberg -restituiert hat. Der sonst gebräuchliche Text geht vermutlich -auf ein Kollegienheft nach <span class="gesperrt">Theon</span> von Alexandrien, -dem Vater der <span class="gesperrt">Hypatia</span>, der ersten uns bekannten ordentlichen -Professorin. Sie ist mutmasslich der Autor unserer Quadratwurzelausziehung -und bekannt durch ihre Schönheit und ihr unglückliches -Schicksal. Von dem bestialischen christlichen Mönchspöbel -Alexandriens zerrissen, wurde sie nach ihrem Tode zu -Professorenromanen ausgeschlachtet. Die Schrift Euklids gehörte<span class="pagenum"><a name="Seite_p233" id="Seite_p233">[S. 233]</a></span> -zu der Sammlung, welche unter dem Titel »μικρος αστρονουμενος,« -der kleine Astronom, neben den »Elementen« das Rüstzeug -des Astronomen bildete, ehe er an das grosse Lehrbuch des Ptolemaios, -die μεγαλη συνταξις (der Almagest) gehen konnte. Die -Schrift gibt die Anfangsgründe der Perspektive.</p> - -<p>Dagegen ist die andere Schrift über Optik, welche unter -Euklids Namen ging, die <span class="gesperrt">Katoptrik</span> unecht. <span class="gesperrt">Heiberg</span> macht -es sehr wahrscheinlich, dass die von Proklos unter diesem Titel -erwähnte Schrift des Euklid rasch durch das inhaltreiche Werk -des <span class="gesperrt">Archimedes</span> über den gleichen Gegenstand verdrängt wurde.</p> - -<div class="sidenote">Euklid, Schriften: Musik.</div> - -<p>Noch über einen anderen Zweig der angewandten Mathematik -haben wir eine Schrift des Euklid, die καταιομη κανονος, -die Lehre von den musikalischen Intervallen, 20 Sätze, wissenschaftlich -auf dem Standpunkt der Pythagoräer. Eine zweite -musikalische Schrift, die Harmonielehre, εισαγωγή ἁρμονική, rührt -wie schon <span class="gesperrt">Hugo Grotius</span> 1599 erkannte von dem Aristoxenianer -Kleonides her. [<span class="gesperrt">Aristoxenos</span>, direkter Schüler des -Aristoteles als Philosoph, setzte der auf die arithmetischen Intervalle -gegründete Harmonielehre der Pythagoräer die Lehre von -den harmonischen Sinneseindrücken entgegen].</p> - -<div class="sidenote">Über Teilung.</div> - -<p>Aus <span class="gesperrt">Arabischen Quellen</span> besitzen wir durch <span class="gesperrt">Dee</span> -1563 eine Bearbeitung und durch <span class="gesperrt">Woepcke</span> 1851 eine Übersetzung -der von <span class="gesperrt">Proklos</span> zweimal erwähnten Schrift περὶ -διαιρέσεων, über Teilungen, welche wertvolle Aufgaben über Flächenteilung -enthielt. Dort findet sich die noch heute im Schulunterricht -stets vorkommende Aufgabe: ein Dreieck durch Gerade -von gegebener Richtung in Teile zu teilen, welche ein gegebenes -Verhältnis haben; ferner Teilung von Vierecken, von -Kreisen, von Figuren die von Kreisbogen und Geraden begrenzt -sind. Euklid zeigt sich hier als sehr gewandter Konstrukteur, -er benutzt ausser den Sätzen der Elemente nur solche, welche -sich mühelos aus ihnen ergeben.</p> - -<div class="sidenote">Euklid, Verlorene Schriften.</div> - -<p><span class="gesperrt">Verloren</span> sind die Schriften, welche sich auf die eigentliche -höhere Mathese seiner Zeit beziehen. Zunächst die zwei<span class="pagenum"><a name="Seite_p234" id="Seite_p234">[S. 234]</a></span> -wichtigen Bücher τόποι πρὸς ἐπιϕάνειαν, Oberflächen als geometrische -Orte, welche Proklos und Pappos erwähnen. Der -Begriff des geometrischen Ortes wird schon von Pappos gerade -so wie heute definiert als die Gesamtheit aller Punkte, denen ein -und dieselbe bestimmte Eigenschaft (Symptoma) zukommt, und -je nachdem diese Gesamtheit eine Linie oder eine Fläche -bildete, heissen die Orte Linien- oder Flächenorte. Davon verschieden -sind »körperliche Orte« (στερεοι), dies sind Linien, -welche durch den Schnitt von Körpern entstehen, wie die -<span class="gesperrt">Kegelschnitte</span>. Die Schrift des Euklid hat nach Pappos -vermutlich Ortseigenschaften der Kugel-, Kegel- und Zylinderflächen -behandelt und scheint in der bedeutenderen Arbeit des -<span class="gesperrt">Archimedes</span> über Konoide und Sphäroide aufgegangen -zu sein.</p> - -<div class="sidenote">Porismata.<br /> - -<hr /> - -Elemente.</div> - -<p>Mehr wissen wir von den 3 Büchern »Porismata«, da Pappos -den Inhalt so ausführlich angegeben hat, dass <span class="gesperrt">Michael -Chasles</span> danach eine Rekonstruktion versucht hat, nach Vorarbeiten -von <span class="gesperrt">R. Simson</span>, dessen Euklidbearbeitung von 1756 -noch heute für England massgebend ist. Allerdings hat -<span class="gesperrt">P. Breton de Champ</span> zuerst erkannt, dass die 29 Sätze in -der Vorrede des VII. Buches bei <span class="gesperrt">Pappos</span> ein Résumé der -171 Sätze des Euklid enthalten. Das Wort Porisma selbst -bildet noch eine Streitfrage. Es hat 2 Bedeutungen, erstens -Zusatz, so kommt es vielfach in den Handschriften der Elemente -vor, zweitens bedeutet es ein Mittelding zwischen einem gewöhnlichen -Lehrsatz und einem sogenannten Ortssatz, d. h. einem -Satz der ausspricht, dass eine bestimmte Kurve eine bestimmte -Eigenschaft hat. Als Beispiel diene der Satz: Der Ort der -Punkte, deren Abstände von zwei festen Punkten ein festes -Verhältnis haben ist der Kreis (des <span class="gesperrt">Apollonios</span>) dessen -Durchmesser die Strecke zwischen den beiden in diesem Verhältnis -zu den gegebenen Punkten harmonischen auf der gegebenen -Graden ist. Ein Porisma wäre demzufolge in der Geometrie -etwa das, was man in der Arithmetik einen Existenzbeweis<span class="pagenum"><a name="Seite_p235" id="Seite_p235">[S. 235]</a></span> -nennt, es spräche aus, dass ein bestimmter Ort existiert, ohne -ihn direkt zu konstruieren. Die Porismata bildeten vermutlich -für die synthetische oder direkte Konstruktionsmethode ein -Seitenstück zu den »Data« als Hilfsmittel für die analytische -Methode. Nach dem Résumé bei Pappos gingen sie weit über -die Elemente hinaus und mit <span class="gesperrt">Chasles</span> und <span class="gesperrt">H. Zeuthen</span> -müssen wir annehmen, dass sie die Grundlagen für die <span class="gesperrt">projektive</span> -Behandlung der <span class="gesperrt">Kegelschnitte</span> enthalten.</p> - -<p>Auch über diese zu seiner Zeit höchste Mathematik hat -Euklid geschrieben, vier Bücher Konika. Ebenso wie Euklid -die Arbeiten seiner Vorgänger insbesondere des Theudios für -seine Elemente benutzte und verdrängte, wurden seine Konika -nach dem Zeugnis des Pappos von dem grossartigen Werk der -8 Bücher Konika des <span class="gesperrt">Apollonios</span> verdrängt, in dessen erste -4 Bücher sie vermutlich vollständig Aufnahme gefunden haben. -Sie werden daher auch schwerlich aus arabischen Quellen je -wieder zum Vorschein kommen, wenn sie nicht zufällig als -Leichenbinde einer Mumie gefunden werden.</p> - -<p>Verloren ist auch eine Schrift mathophilosophischen Charakters -ψευδαρια, »Trugschlüsse« genannt und zwar sind absichtliche -Falschschlüsse gemeint. Proklos nennt die Schrift -»καθαρκεικον και γυμναστικον«, reinigend und übend durch Anstrengung -d. h. die Schrift war zur Geistesgymnastik der Schüler -bestimmt.</p> - -<p>Und nun zu dem Werke das den Namen des Euklid unsterblich -gemacht hat, zu den Elementen, die »στοιχεία«, wozu ich -meine Schrift Euklid etc. von 1901 heranzuziehen bitte.</p> - - -<h3>Die Elemente des Euklid.</h3> - -<div class="sidenote">Die Elemente des Euklid.</div> - -<p>Den 13 Büchern der Elemente des Euklid wurden schon -früh zwei Bücher angehängt. Das 14. Buch ist eine tüchtige -Arbeit des in Alexandrien etwa 150 v. Chr. lebenden Mathematikers -und Astronomen <span class="gesperrt">Hypsiklēs</span>, über die fünf regulären -(platonischen) Körper; das 15. Buch ist eine weit schwächere<span class="pagenum"><a name="Seite_p236" id="Seite_p236">[S. 236]</a></span> -Arbeit und hat nach <span class="gesperrt">Tannery</span> und <span class="gesperrt">Heiberg</span>, beides grosse -Kenner der hellenischen Mathematik, einen Schüler des <span class="gesperrt">Isidoros</span>, -des Erbauers der Sophienkirche um 530 n. Chr. zum -Verfasser.</p> - -<p>Den Zweck der Elemente gibt Proklos S. 72 an: Elemente -nennt man das, dessen Theorie hinreicht zum Verständnis von -allem anderen, und mittelst dessen man im Stande ist die -Schwierigkeiten, welche das andere bietet, aus dem Wege zu -räumen. Stoicheion bedeutet eigentlich Buchstabe und l. c. sagt -Proklos gradezu: die Elemente enthalten die Sätze, welche als -Bestandteile aller folgenden auftreten, wie die Buchstaben im -Wort. Die Grundbedeutung von Stoichos ist eine militärische -es bedeutet das, was wir einen Zug nennen, also auch die Grundlage -der Formation.</p> - -<p>Der Zweck und die Notwendigkeit der Euklid'schen Elemente -folgt aus der Entwicklung der hellenischen Mathematik. Die -Pythagoräer (s. d.) waren bei den Problemen zweiten Grades -auf die √<span class="sqrt">2</span>, die Savisescha gestossen oder gestossen worden und -damit auf die Irrationalzahl und die Inkommensurabilität. Damit -wurden alle früheren Beweise über Teilung, Ähnlichkeit, -Flächenmessung hinfällig. Das 4. Jahrhundert, <span class="gesperrt">Platon</span>, Theaitet, -Eudoxos und die Schüler des Platon und Eudoxos, widmeten -sich der methodischen Arbeit die neuen Grundlagen festzustellen. -Boten doch die mathematischen Definitionen Platon vortreffliche -Beispiele seinem sokratischen Hang zur Definition der -Begriffe zu folgen. Von <span class="gesperrt">Eudoxos</span> rührt das ganze fünfte Buch der -Elemente, die Lehre von den Proportionen in, ich möchte sagen, -Weierstrass'scher Strenge, her, er ist der eigentliche Schöpfer -der Exhaustionsmethode, die vermutlich durch ihn schon bei -<span class="gesperrt">Aristoteles</span> erwähnt ist, und die sich später, befruchtet mit -dem Demokritischen Differentialbegriff, bei Archimedes und Apollonios -zur Infinitesimalrechnung auswuchs. Von <span class="gesperrt">Theaitet</span> wissen -wir, dass er die Einteilung der Irrationalzahlen oder genauer die -Lösung von Gleichungen 4. Grades, welche auf quadratische Gleichungen<span class="pagenum"><a name="Seite_p237" id="Seite_p237">[S. 237]</a></span> -reduzierbar sind, jedenfalls begonnen hat. Wahrscheinlich -von <span class="gesperrt">Platon</span> selbst, jedenfalls aus seiner Schule, rühren die -Fassungen vieler Definitionen und Axiome bei Euklid her, welche -Aristoteles (vgl. <span class="gesperrt">Heiberg</span>, Teubnersche Abh. z. Gesch. etc. -Heft 18, 1904) nach den Elementen des Magnesiers Theudios -zitiert. Nach einem Jahrhundert waren die methodischen Arbeiten -zum Abschluss reif und den gab Euklid, bei dem das -methodische Gefühl bereits in so eminenten Grade ausgebildet -ist, dass er mit dem Beweise schliesst: <span class="gesperrt">Mehr als fünf regelmässige -Körper kann es nicht geben.</span></p> - -<p>Die Aufgabe die er sich setzte auf Grund der notwendigsten -Voraussetzungen die Geometrie und in geometrischer Einkleidung -auch die Arithmetik als ein zusammenhängendes Ganzes -unantastbar darzustellen, hat er in einer Weise gelöst, die alle -Vorgänger spurlos verschwinden liess und die, niemals übertroffen, -die Bewunderung aller Zeiten und aller Völker erregt hat.</p> - -<p>Daran schliesst sich die Frage, inwieweit Euklid in den -Elementen Eigenes gegeben. Die Frage ist nur summarisch zu -beantworten. <span class="gesperrt">M. Cantor</span> sagt: »Ein grosser Mathematiker wird -auch da, wo er anderen folgt, seine Eigentümlichkeit nicht verleugnen, -und so war es sicherlich auch bei Euklid.« Gewiss, -denn so ist es ja bei jedem Schullehrer, der seine Elemente gedruckt -oder ungedruckt traktiert. Aber ebenso klar ist es auch, -dass ein Werk wie die Elemente die Kräfte eines einzelnen -übersteigt, und eine ganze Reihe von Vorarbeiten erfordert, von -Hippokrates, Leōn, der die Fülle der Sätze und Strenge der -Beweise erhöhte (Proklos 66 unten) bis auf Theudios, der sich -auch in den anderen Wissenschaften auszeichnete. Die von -<span class="gesperrt">Heiberg</span> l. c. gesammelten Zitate aus seinen Elementen zeigen -vielfach wörtliche Übereinstimmung. Ebenso sicher ist die Form -des Vortrags die zum Teil schon von den Ägyptern überkommene -gewesen, samt den so berühmten Schlussformeln »quod erat -demonstrandum«, was zu beweisen war, ὅπερ ἔδει δεῖξαι, und -quod erat faciendum, was zu machen war, ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.<span class="pagenum"><a name="Seite_p238" id="Seite_p238">[S. 238]</a></span> -Euklid gehört wohl vor allem die Auswahl der Definitionen -an, die Forderungen (Erfahrungstatsachen) sind sein Eigentum, -wie Heiberg l. c. festgestellt hat, oder wenigstens ihre Trennung -von den Axiomen, und dann die strenge Durchführung des -Prinzips keinen früheren Satz mittelst eines späteren zu beweisen, -kein Gebilde zu benutzen, dessen Existenz nicht vorher -durch geforderte oder gegebene Konstruktion gesichert ist.</p> - -<p>Ferner gehört ihm ein grosser Teil des zehnten Buches, -die Vollendung der Einteilung der Irrationalitäten durch Theaetet. -Dem Euklid gehört der elementare Beweis (ohne Integralrechnung) -des Satzes, dass die Pyramide gleich dem dritten Teil des -Prisma ist, dass mit ihr gleiche Grundfläche und Höhe hat; sodann -viele Sätze des 13. Buches über die Bestimmung von -Stücken der regulären Körper und mit grösster Wahrscheinlichkeit -der schon erwähnte Schlusssatz. Etwa 420 war das Dodekaëder -den Hellenen bekannt geworden, wenig früher war überhaupt -erst das logische Element in der Geometrie, die Forderung -nach dem Beweise, zur Geltung gekommen. Die Ausbildung des -logischen Sinnes bis zum Bedürfnis eines solchen Existenzbeweises -erforderte sicher ein Jahrhundert. Der einzige, der noch -in Frage kommen konnte wäre <span class="gesperrt">Eudoxos</span>, doch überwog bei -ihm auf der Höhe seiner Kraft das astronomische Interesse.</p> - -<div class="sidenote">Parallelentheorie.</div> - -<p>Wenn ich aber trotz der verhältnismässig geringen »Produktivität« -Euklids doch <span class="gesperrt">M. Cantor</span> beipflichte, der ihn zu den -drei Heroen der griechischen Mathematik im 3. Jahrh. zählt, so -tue ich es mit Rücksicht auf Euklids Behandlung des Parallelenproblemes, -dass er so recht eigentlich in die Welt geworfen hat -und das bis auf den heutigen Tag, ja heute noch mehr als je -im Zentrum des Interesses steht. Der gesamte Aufbau des -grundlegenden ersten Buches wird vom Parallelenproblem beherrscht. -Euklid hat rund 2000 Jahre vor <span class="gesperrt">Saccheri</span> und -<span class="gesperrt">Legendre</span> den Zusammenhang des Problems mit dem Satz -über die Winkelsumme im Dreieck erkannt. Schon Proklos hat -bemerkt, dass das berühmte und berüchtigte sogen. »11. Axiom«,<span class="pagenum"><a name="Seite_p239" id="Seite_p239">[S. 239]</a></span> -richtiger die 5. Forderung, hervorgegangen ist aus dem vergeblichen -Bemühen den Satz: »In jedem Dreieck sind zwei Winkel -zusammen kleiner als 2 Rechte« umzukehren; und so kam er -zu der Forderung in der Fassung: »Und wenn eine, zwei Geraden -schneidende, Gerade mit ihnen innere an derselben Seite -liegende Winkel bildet, die zusammen kleiner sind als 2 Rechte, -so schneiden sich jene beiden Geraden bei unbegrenzter Verlängerung -an der Seite, auf der diese beiden Winkel liegen.«</p> - -<div class="sidenote">Die Elemente des Euklid, Ausgaben.</div> - -<p>Von der Bibel abgesehen, ist niemals ein Werk in so -vielen Auflagen und Bearbeitungen verbreitet gewesen, als die -13 »βιβλία« des Eukleídes, dessen Namen geradezu mit der -Geometrie identifiziert wird. Eine sehr vollständige Zusammenstellung -findet sich in Mem. d. R. Acad. d. Sc. d. Ist. di Bologna -Serie IX, T. VIII und X 1887 und 1890 von <span class="gesperrt">P. Riccardi</span>; -<span class="gesperrt">R. Bonola</span>, Bull. d. <span class="gesperrt">Loria</span> und Festschr. f. Joh. Bolyai -1902 zählt gegen 1700 Ausgaben. Im Mittelalter und bis in -die Neuzeit wird die Professur für Geometrie häufig als die des -Euklid bezeichnet, die Studenten lasen den Text, sei es ganz, -sei es im Auszug, und der Professor kommentierte, wobei selten -mehr als das erste Buch erledigt wurde. <span class="gesperrt">Savile</span>, der die noch -heute in <span class="gesperrt">Oxford</span> bestehende Professur des Euklid stiftete, kam -bis zum 8. Satz des ersten Buches, nur <span class="gesperrt">Petrus Ramus</span>, -dessen Bedeutung in erster Linie auf seiner Lehrtätigkeit und -seiner grossen literarischen Bildung beruht, rühmte sich die -ganzen Elemente in einer Vorlesung erledigt zu haben. Es war -selbstverständlich, dass der Text im Laufe der Jahrhunderte entstellt, -verdorben, erweitert wurde. Letzteres gilt besonders für -die schwierigen Teile des zehnten bis letzten Buches.</p> - -<div class="sidenote">Euklid, Übersetzungen der Elemente.</div> - -<p>Ich verweise auch für die Bibliographie der Elemente auf -meine Schrift von 1901, hervorzuheben ist die Bearbeitung des -<span class="gesperrt">Theon v. Alexandria</span>, der etwa 350 n. Chr. lebte und -lehrte, sie muss die früheren fast völlig im Buchhandel verdrängt -haben, obwohl sie keinen Fortschritt bedeutete. Alle bis -1808 bekannte Codices, deren Zahl sehr gross ist, alle Drucke<span class="pagenum"><a name="Seite_p240" id="Seite_p240">[S. 240]</a></span> -und Übersetzungen sind, wenn man von <span class="gesperrt">arabischen Quellen</span> -absieht, aus dieser Ausgabe hervorgegangen. Erst 1808 fand -<span class="gesperrt">F. Peyrard</span> in einer durch <span class="gesperrt">Napoleon</span> dem Vatikan geraubten -Handschrift (Vatic. 190, 1814 zurückgegeben) die bis -jetzt einzige vollständige Handschrift, welche auf eine ältere -und bessere Ausgabe zurückgeht. Aus diesem Codex konnte -man die Änderungen des Theon feststellen und die Codices kritisieren, -eine Arbeit, welche von <span class="gesperrt">E. F. August</span> 1826–29 in -seiner griechischen und noch gründlicher von <span class="gesperrt">J. L. Heiberg</span> -in der griech.-lat. Ausgabe von 1882–88 geleistet ist. Ausser -dem Vat. 190 geht auch der Palimpsest Bologna M. 1721 -(<span class="gesperrt">Heiberg</span>, Cant.-Schlöm. 29) auf ältere Quellen als Theon -zurück.</p> - -<p>Neben dürftigen Auszügen die, von oder nach <span class="gesperrt">Boëtius</span> -(etwa 500 n. Chr.) verfasst, sich in den Klöstern und Klosterschulen -hielten und besonders durch <span class="gesperrt">Gerbert</span> den nachmaligen -Papst Sylvester II. von Wichtigkeit wurden, verdankt Europa -die Kenntnis der Elemente den arabischen Übersetzungen und -Bearbeitungen. Auf sie geht die erste gedruckte Ausgabe zurück, -die dem <span class="gesperrt">Giovanni Campano</span> aus Novara zugeschrieben -wird, der um die Mitte des 13. Jahrh. gelebt hat, und 1482 bei -<span class="gesperrt">Erhard Ratdolt</span> in Venedig erschienen ist. Die Ausgabe -ist sehr selten, sie ist von <span class="gesperrt">A. G. Kästner</span> Gesch. der Math. -Bd. I S. 289 f. genau beschrieben.</p> - -<p>Als der hellenische Geist zum zweiten Male für die europäische -Kultur fruchtbar wurde in jener Glanzepoche, die man -die <span class="gesperrt">Renaissance</span> nennt, erschienen zunächst lateinische -Ausgaben gestützt auf griechische Codices. Die erste Originalausgabe -ist die des Simon Grynaeus des älteren, sie erschien -1533 bei <span class="gesperrt">Herwagen</span>, der auch in Strassburg eine Druckerei -besass, leider verarbeitet diese Ausgabe zwei sehr schlechte -Handschriften.</p> - -<div class="sidenote">Euklid-Commentatoren.</div> - -<p>Indem ich wieder auf meine zitierte Schrift verweise, erwähne -ich nur noch die beiden wichtigsten lateinischen Ausgaben,<span class="pagenum"><a name="Seite_p241" id="Seite_p241">[S. 241]</a></span> -die des <span class="gesperrt">Commandinus</span> Pisa 1572, der zuerst unseren -Euklid von dem Megarenser schied, und die des <span class="gesperrt">Clavius</span> von -1574. Die Arbeit dieses für seine Zeit hoch bedeutenden Jesuiten -ist von allen Historikern der Mathematik von <span class="gesperrt">Montucla</span> -und <span class="gesperrt">Kästner</span> bis auf <span class="gesperrt">M. Cantor</span> gleich hoch gewertet worden; -Kästner nennt sie die Pandekten der Mathematik, sie soll -22 Auflagen gefunden haben.</p> - -<p><span class="gesperrt">Die Commentatoren des Euklid</span>, vergl. Euklid -1901 p. 16 ff.</p> - -<p>Der festgefügte Bau der Elemente hat, wie er seinerseits -die höchste Bewunderung erregte, andererseits die Versuchung -erweckt die Geometrie auf andere Weise ebenfalls zu begründen. -Dazu kommt, dass der Euklid in seinem ersten Buch einen -mathophilosophischen Teil enthält, der die Grundbegriffe der -Geometrie und die nötigen und hinreichenden Voraussetzungen -angibt, von denen die ersteren ihrer Natur nach unauflöslich, -die anderen variabel sind. So haben die Elemente des Euklid, -und das ist vielleicht sein grösstes Verdienst, eine staunenswerte -Geistesarbeit hervorgerufen, die besonders in der Geschichte des -Parallelenaxioms zutage tritt. Hier will ich nur (Euklid 1901) -einen Überblick über die hervorragendsten Interpretationen geben, -welche zeigen, wie Recht <span class="gesperrt">Gino Loria</span> hat, wenn er als Prinzip -seiner schönen Arbeit »Della varia fortuna di Euclide, Roma -1893« das <span class="gesperrt">Gesetz der Kontinuität</span> ausspricht. Es -geht ein ununterbrochener Zusammenhang von Archimedes und -Apollonios bis Veronese und Hilbert.</p> - -<p>Von <span class="gesperrt">Apollonios</span> sind Spuren eigener »Elemente« erhalten; -darunter eine ganz allgemeine Definition des Winkels -(Heiberg V S. 88).</p> - -<p><span class="gesperrt">Archimedes</span> gab eine von Euklid abweichende mechanische -Grundeigenschaft der Geraden (ebenfalls auch der Ebene) -an und neue Prinzipien, darunter das nach ihm benannte, obwohl -von <span class="gesperrt">Eudoxos</span> oder vielleicht <span class="gesperrt">Demokrit</span> stammende -für die Exhaustionsmethode, die er zur Integralrechnung umbildete.<span class="pagenum"><a name="Seite_p242" id="Seite_p242">[S. 242]</a></span> -Ihm schliesst sich <span class="gesperrt">Heron</span> von Alexandrien, der grösste -Mechaniker des 1. Jahrh. an; von seinem Kommentar sind uns -Fragmente durch Proklos und <span class="gesperrt">An-Narizi</span> (s. u. bei Heron) überliefert.</p> - -<p>Aus der Zusammenstellung der Euklidstellen bei <span class="gesperrt">Heron</span> -durch Heiberg geht klar hervor, dass die Definitionen des Euklid -schon zu Herons Zeit die uns überlieferte Form hatten, -Euklid also damals schon, wie <span class="gesperrt">Tannery</span> sagt, der unantastbare -Klassiker der Elemente war.</p> - -<p>Es ist das Parallelenaxiom und die Definitionen, überhaupt -die ganze Anordnung der ersten Bücher, dann gewisse Inkongruenzen -zwischen dem sechsten und den beiden letzten Büchern, -der sonderbare Umstand, dass Euklid die Lehre von den Proportionen -ganz allgemein im fünften Buch begründet, und dann -die elementare Lehre von den Verhältnissen ganzer Zahlen noch -einmal im siebenten Buche gibt, was von jeher die Kommentatoren -in Tätigkeit gesetzt hat.</p> - -<p>Die Inkongruenz bezieht sich besonders auf die Bewegung. -In den sechs planimetrischen Büchern wird sie ängstlich vermieden; -nur zum Beweis des 4. Satzes (ersten Kongruenzsatz) -und seiner Umkehrung wird sie herangezogen, dagegen scheut -sich Euklid im 11. und 12., den stereometrischen Büchern, absolut -nicht die Definition der Körper auf die Bewegung zu stützen.</p> - -<p>Man hat daraus schliessen wollen, »einen Homeros gab es -nie, sondern acht bis zehn«, aber Euklid war Platoniker, und -nach Platon und Aristoteles setzt der Begriff der Bewegung einen -körperlichen Raum voraus.</p> - -<p>Auf Heron folgt Gemīnos, bezw. Géminus, von dem Proclus -berichtet, er habe die Verschiebbarkeit in sich der Schraubenlinie -auf dem Rotationscylinder, wenn nicht gefunden, so doch -gekannt. Es folgt eine Ära, in der die zusammenfassende -eigentlich philosophische Geistesrichtung unter dem Einfluss des -Aristoteles gegen die Ausbildung der einzelnen Spezialwissenschaften -zurücktritt. Aus dieser Zeit, in der sich von mathematischen<span class="pagenum"><a name="Seite_p243" id="Seite_p243">[S. 243]</a></span> -Disziplinen die Trigonometrie (ebene und sphärische) -im Anschluss an die Astronomie entwickelt, wissen wir von besonderen -Kommentaren nichts, aber von den Elementen, dass -sie für unentbehrlich zur Ausbildung der angewandten Mathematiker -galten.</p> - -<p>Als gleichzeitig mit dem Christentum gegen diese nüchterne -Periode in Anlehnung an den Theosophen Platon zunächst der -Neupythagoreismus sich erhob, war es anfangs die arithmetische -Seite des Euklid, die Bücher 7, 8, 9, die in Nikomachos von -Gerasa um 100 n. Chr. dem »Elementenschreiber der Arithmetik« -(<span class="gesperrt">M. Cantor</span>) und in Theon von Smyrna ihre Kommentatoren -fand. Um 300 lehrte dann zu Alexandria <span class="gesperrt">Pappos</span>, dessen -Kollektaneen von unschätzbarer Bedeutung sind. Pappos hat -sicher einen Kommentar zum zehnten Buch geschrieben, von -dem Reste im Vaticanus erhalten sind und der uns nach Heiberg -wahrscheinlich ganz in einem noch unedierten Leydener -Manuskripte erhalten ist.</p> - -<p>Mit dem <span class="gesperrt">Neuplatonismus</span>, jener seltsamen Mischung -christlicher und platonischer Mystik, nimmt auch die Mathematik -die platonische Richtung auf die Probleme, welche die geometrischen -Grundbegriffe und die Methodik bieten energisch auf. -Ich nenne <span class="gesperrt">Jamblichos</span>, <span class="gesperrt">Porphyrios</span>, von denen uns Spuren -ihrer Scholien erhalten sind, <span class="gesperrt">Theon</span> und <span class="gesperrt">Proklos</span>, dessen -Kommentar zum ersten Buch uns fast ganz erhalten ist. Der -Kommentar, der bis 1873 nur in der Ausgabe von <span class="gesperrt">Simon -Grynäus</span> 1533 bei Herwagen gedruckt war, ist für die Geschichte -der Mathematik bei den Hellenen einzig; Tannery, der -zuverlässigste Detailforscher hellenischer Mathematik, nennt sein -Verständnis geradezu das Problem der Geschichte der Mathematik.</p> - -<p>Die Ausgabe von <span class="gesperrt">Friedlein</span> 1873 ist philologisch sehr -bedeutend, wenn auch nach <span class="gesperrt">Heiberg</span> noch nicht das letzte -Wort über Proklos, aber griechisch; es existiert nur die lateinische -Übersetzung des <span class="gesperrt">Barocci</span> von 1560, welche oft nur eine<span class="pagenum"><a name="Seite_p244" id="Seite_p244">[S. 244]</a></span> -Wortübersetzung ist und von Taylor ebenso wörtlich ins Englische -übertragen ist.</p> - -<p>Als <span class="gesperrt">Justinian</span> 529 die Schule von Athen, mit der die -hellenische Kultur begann und schloss, aufhob und die Lehrer -vertrieb, kam <span class="gesperrt">Euklid</span> mit ihnen nach Persien und so an die -Araber, wo er, wie schon gesagt, im 8. und 9. Jahrh. an Haggag -und Ishaq Übersetzer fand. Sehr bald darauf muss es auch -arabische Kommentare gegeben haben, wie aus der Ausgabe des -Campanus hervorgeht; der schon erwähnte <span class="gesperrt">Nasir ed Din</span> im -13. Jahrh. ist keineswegs unbedeutend, der auch zuerst die Trigonometrie -als eigenen Zweig behandelt hat.</p> - -<p>Die Renaissance macht Proklos bekannt, an ihn schliesst -sich <span class="gesperrt">Commandinus</span> und <span class="gesperrt">Clavius</span> an. Der erstere wirkte besonders -auf die Engländer, auf <span class="gesperrt">Savile</span>, der die Professur des -Euklid in Oxford begründete, wodurch <span class="gesperrt">Wallis</span> und wohl auch -<span class="gesperrt">Barrow</span> (erste Ausgabe 1652) und durch diese Newton auf -Euklid und die Beschäftigung mit den Grundlagen hingewiesen -wurden.</p> - -<p>Vor allem haben wir <span class="gesperrt">Robert Simson</span> zu nennen, der -direkt Commandinus zugrunde legt und der besonders auf die -englische Schulmathematik vorn allerwesentlichsten Einfluss gewesen -ist. Der Kommentar erschien 1756, Titel: die sechs -ersten Bücher des Euklid mit Verbesserung der Fehler, wodurch -Theon und Andere sie entstellt haben etc. mit erklärenden Anmerkungen -(aus dem Englischen übersetzt von Rieder. Herausg. -von Niesert, Paderborn 1806).</p> - -<p><span class="gesperrt">Clavius</span> kennt den Proklos ganz genau; auch er harrt -noch der deutschen Herausgabe, der er in hohem Grade wert -ist; er hat neben <span class="gesperrt">Borelli</span> (Euklides restitutus 1658) sicher auf -seinen Ordensbruder <span class="gesperrt">Saccheri</span> gewirkt, von dessen: Euklides -ab omni naevo vindicatus (Mediol. in 4. 1733), die heutige sogenannte -nicht-Euklidische Geometrie gezählt wird. Es ist -wahrscheinlich, dass <span class="gesperrt">Lambert</span> in Chur den Saccheri kennen -lernte und fast sicher, dass <span class="gesperrt">Gauss</span> wieder Lamberts Abhandlung<span class="pagenum"><a name="Seite_p245" id="Seite_p245">[S. 245]</a></span> -im Hindenburg'schen Archiv von 1786 gelesen. Gauss -wirkte dann auf seinen Jugendfreund <span class="gesperrt">Wolfgang Bolyai</span> und -durch ihn auf seinen Sohn <span class="gesperrt">Johann</span> und durch Vermittelung -von Bartels auf <span class="gesperrt">Lobatscheffski</span>.</p> - -<p>Für Frankreich ist ausser Clavius noch <span class="gesperrt">Petrus Ramus</span>, -der sogenannte »Besieger der Scholastik«, von Bedeutung. Ramus, -dem es an philosophischer Tiefe fehlte, war nicht imstande -den Euklid zu würdigen wie ganz besonders seine Kritik des -zehnten Buches beweist, aber seine revolutionäre Anfechtung -der Autorität kommt in Frankreich im 18. Jahrh. zur Geltung. -Hier geht der Weg von Clavius über Tacquet 1659 und Arnauld -durch Zurückgreifen auf Ramus zu <span class="gesperrt">Clairaut</span> 1741 und -<span class="gesperrt">Legendre</span> 1794 und <span class="gesperrt">Bertrand</span> 1810. <span class="gesperrt">Clairaut</span>, dessen -wahrhaft kühne Elemente der Geometrie vom Rechteck als der -unmittelbar anschaulichen Figur ausgeht, hat sich auch auf die -deutschen Ritterakademien, z. B. Ilfeld verbreitet. Es scheint, -als ob auch <span class="gesperrt">Lambert</span> ihn gekannt hat; doch ist der Ausgangspunkt -vom Rechteck ein so natürlicher, dass ich selbst um 1880 -ohne eine Ahnung von Clairaut oder Lambert zu haben, im -Unterricht einen ganz ähnlichen Weg einschlug. Der ausserordentliche -Erfolg und die grosse Verbreitung der »<span class="gesperrt">Elements</span>« -<span class="gesperrt">Legendres</span> (1794) ist bekannt und berechtigt; noch heute -beeinflussen sie den Unterricht auf den Mittelschulen nicht nur -Frankreichs sondern Spaniens, Hollands und Deutschlands.</p> - -<div class="sidenote">Euklid-Gegner.</div> - -<p>Was die deutschen Schulen betrifft, so möchte ich auf eine -Schrift <span class="gesperrt">Hubert Müller's</span> aus Metz aufmerksam machen: »Besitzt -die heutige Schulgeometrie noch die Vorzüge des Euklid-Originals?« -Ich kann meine Kritik in der deutschen Literaturz. -1887 No. 37 nur dahin ergänzen: die deutsche Schulgeometrie -hat sie nie besessen. Weder Johannes Vogelin, bekannt durch -die Vorrede Melanchthons in der Ausgabe von 1536, noch des -Conrad Dasypodius Volumen I und II, noch die Mathesis juvenilis -Sturms oder Wolffs oder Kästners Anfangsgründe oder -Thibauts Grundriss, von Kambly, Mehler, Henrici und Treutlein<span class="pagenum"><a name="Seite_p246" id="Seite_p246">[S. 246]</a></span> -ganz zu schweigen, sind jemals dem Gange Euklids gefolgt. -Dagegen waren die Studenten und die Lehrer bis etwa um 1860, -wie die rasch auf einander folgenden Ausgaben beweisen, völlig -mit dem Euklid vertraut. Von da an ändert sich die Sache, -und ich bin sicher, dass es nur eine minimale Anzahl von -Lehrern gibt, die den Euklid gelesen haben.</p> - -<p>Einen Teil der Schuld an dem Sinken der Autorität Euklids -tragen auch die Angriffe <span class="gesperrt">Schopenhauers</span> gegen die »Mausefallenbeweise -des Euklid«. Schopenhauer hatte als Künstler, -der er war, für die intuitive Erkenntnis vollstes Verständnis, -aber bar aller mathematischen Bildung, fehlte ihm jedes Verständnis -für die logische Erkenntnis, die oft ebenso unmittelbar -wie jene ist. Nun ist aber die euklidische Geometrie als -Wissenschaft eine chemische Verbindung von Anschauung und -Logik, und darum musste der Versuch, den z. B. <span class="gesperrt">Kosak</span> in -dem Nordhäuser Programm anstellte die Geometrie nur auf Anschauung -zu begründen, gerade so scheitern wie der noch berühmtere -<span class="gesperrt">Bolzanos</span> von 1804 die Geometrie rein logisch zu -begründen. <span class="gesperrt">Bolzano</span> hat übrigens viel mehr von Leibniz entlehnt -als bekannt ist. Der grosse »aemulus« Newtons zeigt -sich auch in der Auffassung der Grundlagen als Widerpart.</p> - -<p>Während Newton in der Vorrede der Principia phil. nat. -ausdrücklich auf den Ursprung der mathematischen Grundgebilde -aus der Mechanik hinweist: »Gerade Linien und Kreise zu beschreiben -sind Probleme, aber keine geometrischen,« ist Leibniz -bemüht der Anschauung so wenig als möglich einzuräumen. Es -scheint wenig oder gar nicht bekannt, dass schon bei Lebzeiten -Leibniz' Ansichten desselben über die Grundlagen der Geometrie -veröffentlicht sind bei <span class="gesperrt">La Montre</span> 1691: Les 47 propos. du -I livre des Elém. d'Euclide avec des remarques de G. G. Leibniz.</p> - -<p>Ähnlich wie in Deutschland liegt die Sache in Frankreich -und Italien, nur in England folgt Ausgabe auf Ausgabe und -noch ist der sogenannte Syllabus nicht zustande gekommen, der -den Euklid verdrängen sollte, doch ist das Festhalten an Euklid<span class="pagenum"><a name="Seite_p247" id="Seite_p247">[S. 247]</a></span> -mehr Schein als Wirklichkeit s. mein Referat von 1906, No. 4 -p. 26. Auch in Schweden und Norwegen scheint sich Interesse -für Euklid dauernd erhalten zu haben. Für Deutschland und -Italien ist mit dem Ende des 19. Jahrh. ein Umschwung eingetreten, -man kann geradezu sagen, dass die Kenntnis des Euklid -durch die neueste Richtung, deren Haupt in Deutschland -<span class="gesperrt">Hilbert</span>, in Italien <span class="gesperrt">Veronese</span> ist, wieder unentbehrlich wird.</p> - -<div class="sidenote">Euklid's Elemente: Definitionen.</div> - -<p>Über den Inhalt des Euklid muss ich sehr kurz sein, von -meinen Hörern kann ich erwarten, dass sie den Euklid selbst -lesen. Nur wenige Worte über das Wichtigste des Wichtigsten, -die ὁροι, αιτηματα, κοιναι εννοιαι, die Definitionen, Postulate und -Axiome des ersten Buches. Eine Bibliothek ist gleich über die -ersten Worte geschrieben: σημειον εστι ὁυ μερος ουθεν (oft auch -οὐδὲν).</p> - -<p>Punkt ist das, dessen Teil nichts ist oder das keinen Teil -hat. In beiden Fällen ist klar, dass Euklid, der seinen Platon -und Aristoteles kannte, hiermit ausdrücklich gesagt hat, dass der -Punkt nicht unter die Kategorie Grösse fällt; so klar dies ist, -ist es doch niemals gedruckt worden, ausser bei Kant (Kritik -d. reinen Vernunft p. 169), wo es frei nach <span class="gesperrt">Aristoteles</span> heisst: -Punkte und Augenblicke sind nur Grenzen, der Raum besteht -nur aus Räumen, die Zeit aus Zeiten.</p> - -<p>Die Definition ist sicher platonisch; Aristoteles sagt -der Punkt ist μονας θεσιν εχουσα eine Einheit, welche Lage -hat. Definition 4: ευθεια γραμμη εστιν, ἡτις εξ ισου τοις εφ' ἁυτης -σημειοις κειται. Die Gerade ist diejenige Linie, welche gleichmässig -durch ihre Punkte gesetzt ist. Auch über diese Definition existiert -eine ganze Literatur. Man hat nicht berücksichtigt, dass -Euklid die gerade Linie erst völlig definiert durch die Forderungen -1 und 2. Es soll gefordert werden 1) dass sich von -jedem Punkte bis zu jedem Punkte eine und nur eine Strecke -führen lasse, 2) und diese Strecke sich kontinuierlich auf ihrer -Geraden (vielleicht richtiger bis zur Vollendung der Geraden)<span class="pagenum"><a name="Seite_p248" id="Seite_p248">[S. 248]</a></span> -ausziehen lasse. Mit Definition 4 zusammen definiert sie die -Gerade völlig, natürlich nicht anschaulich, denn die Anschauung -der Geraden, die psychologisch ist und experimentell gewonnen -wird, setzt Euklid bei seinen Hörern voraus. Euklid sagt, die -Gerade ist eine unterschiedslose und unendliche Linie, die durch -zwei ihrer Punkte völlig bestimmt ist.</p> - -<p>Def. 7) Ein ebener Winkel entsteht, wenn zwei Linien der -Ebene zusammentreffen, welche nicht in derselben Geraden -liegen, durch die Biegung von der einen Linie zur andern. Die -Definition des Winkels ist oft und mit Recht getadelt worden. -In Schottens vergleichender Planimetrie füllen die Abänderungen -40 Seiten aus; die von mir herrührende »der Winkel ist die -Grenze des Kreissektors bei über jedes Mass wachsendem Radius«, -ist für den Unterricht ungemein zweckmässig, aber ich -fand sie nachträglich schon 70 Jahre vor mir bei <span class="gesperrt">Stein</span> in -Gergonnes Annales Bd. XV (1824) p. 77. —</p> - -<p>Das Wort κλισις. »Neigung« kann Richtungsänderung bedeuten, -kann Drehung bedeuten etc. Proklos (Eudemos) setzt -daher κλασις in περί γωνίας. d. h. Brechung. Apollonius definiert: -der Winkel ist die Verengerung der Ebene oder des Raumes -an einem Punkte infolge der Biegung von Linien oder Flächen.</p> - -<p>Dass Euklid den gradlinigen Winkel <span class="gesperrt">abc</span> im Wesentlichen -als eine Flächengrösse auffasst, das folgt aus der Definition 9 -des gradlinigen Winkels, wo περιεχουσαι »enthaltend« gebraucht -wird, und aus der ständigen Anwendung der Winkel ὑπὸ αβγ -d. h. περιεχομενη, der von dem gebrochenen Linienzug αβγ umschlossene -und besonders da er unmittelbar vom Winkel als der -nicht völlig begrenzten Fläche auf die <span class="gesperrt">Figur</span> »οχημα« übergeht -als der völlig begrenzten.</p> - -<div class="sidenote">Euklid's Elemente: Forderungen.</div> - -<p>Nun zu den fünf Forderungen:</p> - -<p><span class="gesperrt">Proklos</span> sagt, dass die Forderungen von den Grundsätzen -sich unterscheiden wie die Aufgaben von den Lehrsätzen. -Die ersteren verlangen Konstruktionen, die jeder leicht ausführen -kann, die andern Sätze, die jeder leicht zugibt.</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p249" id="Seite_p249">[S. 249]</a></span></p> - -<p><span class="gesperrt">Aristoteles</span> sagt: die Forderung ermangelt des Beweises, -den man gern geben möchte, wenn man nur könnte, während -der Grundsatz von jedem ohne Weiteres als richtig anerkannt -wird.</p> - -<p>Die Unterscheidung des Proklos passt aber nur auf das -schon genannte 1. Petitum und das 3. »Und um jedes Zentrum -und mit jedem Abstand sich ein und nur ein Kreis zeichnen -lasse«, d. h. dass vom gegebenen Zentrum aus durch jeden Punkt -der Ebene ein und nur ein Kreis geht. Es enthalten aber -No. 1 und 3 Forderungen, die, ich erinnere an Newton, von -der angewandten Mechanik ihre Lösungen empfangen haben. -Es darf daher nicht überraschen, wenn in den Handschriften -eine ziemliche Verwirrung herrscht und sich z. B. in sehr vielen -No. 5, das schon erwähnte Parallelenaxiom, als 11. Grundsatz -findet und das schon vor Theon rezipierte unechte »zwei Gerade -schliessen keinen Raum ein« sich im Vaticanus als Forderung -6 und in andern Codices als Grundsatz 9 findet. Der -richtige Unterschied ist der: die Forderungen enthalten Grundtatsachen -der Anschauungen und die Axiome Grundtatsachen -der Logik.</p> - -<p>Forderung 4: »Und alle rechte Winkel einander gleich -seien«.</p> - -<p>Sie ist nach Proklos von Geminos und anderen angegriffen -als beweisbar. Ich gebe hier den -Beweis des Geminos: Wäre αβγ -< δεζ und <span class="gesperrt">legte</span> man δεζ auf -αβγ, so dass δε u. αβ zusammenfallen, -so fiele εζ als βη innerhalb -und dann wäre κβα das -nach Definition des rechten Winkels -= αβη ist > θβα > αβγ, also -δεζ zugleich kleiner und grösser als αβγ (Fig.).</p> - -<div class="figcenter" style="width: 300px;"> -<img src="images/pg249_ill.png" width="300" height="183" alt="" /> -</div> - -<p>Der Beweis setzt voraus, dass die Verlängerung von ηβ -sich nicht mit θβ deckt, d. h. also, dass eine Strecke sich nur<span class="pagenum"><a name="Seite_p250" id="Seite_p250">[S. 250]</a></span> -auf <span class="gesperrt">eine</span> Weise zu einer Geraden verlängern lasse. Darin -hat <span class="gesperrt">H. Zeuthen</span> recht, aber dies zu sagen wäre die Forderung -eine seltsame Form und Euklid hat eine ganze Reihe stillschweigender -Voraussetzungen ohne die keine geometrische, d. h. -anschauliche Geometrie existieren kann, und die genannte Forderung -hat er in No. 1 und 2 ausgesprochen.</p> - -<p>Dem Geminos und den andern, vermutlich den Mechanikern -Heron und Archimedes ist die strenge Aristotelische Auffassung -der Bewegung verloren gegangen; der Beweis verlangt ja auch -die Verschiebbarkeit und Drehung der Ebene in sich selbst, -bezw. die dritte Dimension und die will und kann Euklid von -seinem Standpunkte aus hier nicht zu Hilfe nehmen; so bleibt -ihm nur übrig zur Forderung seine Zuflucht zu nehmen.</p> - -<div class="sidenote">Euklid's Elemente: Grundsätze.</div> - -<p>Über die 5. und letzte Forderung, das Parallelenaxiom, und -dem was drum und dran hängt, kann ich auf <span class="gesperrt">F. Engel</span> und -<span class="gesperrt">P. Stäckel</span>, Theorie d. Parallellinien (1895) und auf meine -früheren Schriften verweisen. So gehe ich zu den Grundsätzen. -Von Proklos sind als echt bezeichnet:</p> - -<p>1) Was demselben (zu ergänzen: dritten) gleich ist, ist -unter sich gleich.</p> - -<p>2) Und wird Gleiches zu Gleichem hinzugesetzt, so sind -die Ganzen gleich.</p> - -<p>3) Und wird von Gleichem hinweggenommen, so sind die -Reste gleich.</p> - -<p>8) Und das Ganze ist grösser als sein Teil.</p> - -<p>7) Und einander Deckendes ist gleich.</p> - -<p>Euklid sagt: χοιναι εννοιαι. Allen Vernünftigen gemeinsame -Einsicht.</p> - -<p>Proklos sagt: Axiome eigentlich »Meinungen«, aber nach -dem Sprachgebrauch des Aristoteles allgemein angenommene logische -Sätze, die man nicht beweisen kann, weil sie die logischen -Grundlagen des Beweises sind. Proklos hat nur die 5 angeführt, -richtig 8 vor 7, da 7 nicht rein logisch ist, sondern von dem<span class="pagenum"><a name="Seite_p251" id="Seite_p251">[S. 251]</a></span> -Zusammenfallen in der Anschauung ausgeht um daraus den logischen -Schluss der Gleichheit zu ziehen.</p> - -<p>Das Axiom 7 ist von <span class="gesperrt">Schopenhauer</span> »die Welt als Wille und -Vorstellung« T. 2 S. 144 angegriffen, weil es entweder eine Tautologie -ist oder eine Bewegung voraussetzt. Es ist von <span class="gesperrt">Bolzano</span> -und <span class="gesperrt">Grassmann</span> (<span class="gesperrt">Leibniz</span>) durch das Prinzip ersetzt worden: -»Dinge, deren bestimmende Stücke gleich sind, sind gleich« -(eine andere Fassung für »gleiche Ursachen gleiche Wirkungen«).</p> - -<p>Schopenhauer hat Euklid gar nicht verstanden; Euklid -braucht Axiom 7 zuerst beim Beweis des ersten Theorems, -Satz 4, der erste Kongruenzsatz, und dort im Grunde nur als -Axiom von der Gleichförmigkeit des Raumes, bezw. in dem -Sinne Bolzanos und Grassmanns. Ich halte es für einen Fehler, -dass Euklid nicht den 1. und 3. Kongruenzsatz in die Forderungen -aufgenommen hat.</p> - -<div class="sidenote">Technologie der Elemente.</div> - -<p>Es folgen nun die 48 »Protasis« (Propositionen d. i. Sätze) -des ersten Buches. Die Sätze zerfallen in »Probleme«, Aufgaben, -die zur Erzeugung eines Gebildes führen und »Theoreme« Lehrsätze. -Den Unterschied definiert Proklos S. 201, wo er, um mit -P. Tannery (Géométrie grecque S. 87) zu sprechen, von der Technologie -der Elemente handelt wie folgt: Bei den Problemen -handelt es sich darum sich Fehlendes zu beschaffen, anschaulich -hinzustellen und mit den Kunstmitteln (Lineal und Zirkel) zu -erzeugen. Im »Theorem« nimmt man sich vor das Vorhandensein -einer Eigenschaft bezw. das Nichtvorhandensein zu sehen, -zu erkennen, zu beweisen. Jedes Problem aber und jedes Theorem, -das aus seinen vollständigen Teilen zusammengesetzt ist, -muss folgendes in sich enthalten: 1) <span class="gesperrt">Vorlage</span> (προτασις). -2) Feststellung des Gegebenen (εκθεσις.) Voraussetzung. 3) <span class="gesperrt">Feststellung -des Geforderten</span> (διορισμός.) Behauptung. -4) Konstruktion (κατασκευη.). 5) Beweis (απόδειξις.) 6) Schluss -(συμπέρασμα).</p> - -<p>Die Protasis sagt aus, was gegeben und was gefordert wird; -denn die vollständige Protasis besteht aus beiden.</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p252" id="Seite_p252">[S. 252]</a></span></p> - -<p>Die Ekthesis setzt das Gegebene an und für sich, (d. h. -ohne Rücksicht auf das Geforderte) genau auseinander und arbeitet -dadurch der Untersuchung vor.</p> - -<p>Der Diorismos aber macht das Gesuchte, es sei, was es sei, -an und für sich deutlich. Der Ausdruck Diorismos wird hier -bei Proklos anders gebraucht als bei Pappos; Peyrard hat Prodiorismos: -Bei Pappos bezeichnet Diorismos genau das, was wir -heute Determination nennen, d. h. die Angabe derjenigen Einschränkungen -in bezug auf die gegebenen Stücke, welche zur -Ausführbarkeit der Konstruktion nötig sind.</p> - -<p>Die Kataskeuē fügt das hinzu, was dem Gegebenen zur -Erlangung des Gesuchten mangelt. Proklos sagt zur »Jagd« -θηραν und braucht das Bild wiederholt, so alt ist das Bewusstsein -des Kampfes des Mathematikers mit seinem Problem.</p> - -<p>Die Apodeixis leitet das Vorliegende logisch von dem, -was bereits feststeht, ab.</p> - -<p>Das Symperasma aber kehrt wieder zur Vorlage zurück, -indem es den bewiesenen Satz klar und deutlich ausspricht. -Und dies sind alle Teile sowohl der Probleme als der Theoreme.</p> - - -<p class="center">1) πρότασις.</p> - -<div class="sidenote">Technologie, Beispiel.</div> - -<p>Ich gebe ein Beispiel (S. 5): Im gleichschenkligen Dreieck -sind die Winkel an der Basis einander gleich, und werden die -gleichen Schenkel verlängert, so sind die Winkel unterhalb der -Basis einander gleich.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 250px;"> -<img src="images/pg252_ill.png" width="250" height="238" alt="" /> -</div> - - -<p class="center">2) εκθεσις.</p> - -<p>ΑΒΓ sei das gleichschenklige Dreieck -mit ΑΒ gleich ΑΓ und es mögen -auf ihrer Geraden ΑΒ und ΑΓ verlängert -werden um ΒΔ und ΓΕ.</p> - - -<p class="center">3) διορισμός.</p> - -<p>Ich behaupte etc.</p> - - -<p class="center">4) κατασκευή.</p> - -<p>Man nehme auf ΒΔ einen beliebigen<span class="pagenum"><a name="Seite_p253" id="Seite_p253">[S. 253]</a></span> -Punkt Ζ an, von ΑΕ nehme man ΑΗ gleich ΑΖ weg und ziehe -ΖΓ und ΗΒ. (Fig.)</p> - - -<p class="center">5) αποδειξις.</p> - -<p>Dann ist ◁ΑΖΓ ≅ ΑΗΒ (Satz 4), folglich ◁ΑΓΖ = ΑΒΗ -und ∢ΑΖΓ = ΑΗΒ, und da ΑΖ = ΑΗ und ihr Teil ΑΒ und ΑΓ -auch gleich, so ist (Ax. 3) ΒΖ = ΓΗ; und, da bereits bewiesen, -dass ΖΓ = ΒΗ und ∢ΒΖΓ = ΒΗΓ, so ist (4) Dreieck ΒΖΓ ≅ -ΒΗΓ, folglich ∢ΖΒΓ = ΗΓΒ, und ΒΓΖ = ΓΒΗ. Da nun der -ganze Winkel ΑΒΗ = dem ganzen Winkel ΑΓΖ erwiesen wurde, -und die Teile ΓΒΗ und ΒΓΖ gleich, so ist (Ax. 3) ∢ΑΒΓ = -ΑΓΒ und dies sind die Basiswinkel. Die Gleichheit aber von -ΖΒΓ und ΗΓΒ wurde schon gezeigt und sie liegen unterhalb -der Basis.</p> - - -<p class="center">6) συμπέρασμα.</p> - -<p>Also sind im gleichschenkligen Dreieck etc.</p> - -<p>M. H.! ich habe dies Beispiel absichtlich gewählt, weil es -zeigt, wie turmhoch Euklid über den Beweisen unserer geometrischen -Lehrbücher steht, und weil aus Heibergs zitierter Arbeit -über die Mathematik bei Aristoteles folgt, dass hier ein bedeutender -Fortschritt des <span class="gesperrt">Eukleides</span> über den <span class="gesperrt">Theudios</span> -vorliegt. Es fällt Euklid gar nicht ein den Satz zu benutzen: wenn -die Winkel gleich sind, so sind ihre Nebenwinkel gleich.</p> - -<p><span class="gesperrt">Proklos</span> fährt fort: Am notwendigsten aber und in allem -vorhanden sind die Vorlage, der Beweis und der Schluss. Denn -man muss a) vorher wissen, was zu suchen ist und b) es durch -eine Kette von Schlüssen beweisen und c) das Resultat einsammeln. -Die andern Teile fehlen mitunter wie Diorismos und -Ekthesis bei dem Problem: Ein gleichschenkliges Dreieck zu -konstruieren, worin jeder Basiswinkel das Doppelte des Winkels -an der Spitze. Dies Fehlen tritt ein, sagt Proklos, wenn die -Vorlage kein Gegebenes enthält (d. h. wenn es ausgelassen ist) -wie in dem zitierten Beispiel die Basis des Dreiecks wie in -B. X S. 20 eine 4. Wurzel zu konstruieren (nämlich bei gegebener -aber nicht erwähnter Einheitsstrecke).</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p254" id="Seite_p254">[S. 254]</a></span></p> - -<div class="sidenote">Technologie der Elemente, Lemma, Porisma.</div> - -<p>Die Konstruktion aber fehlt in weitaus den meisten Theoremen, -da die Ekthesis hinreicht um ohne einen Zusatz (nämlich -von Zeichnung) das Vorgesetzte (d. i. die Figur, um die -es sich handelt) sichtbar zu machen. Hin und wieder findet -sich ein Hilfssatz, Lemma, (von λαμβάνω) und Zugaben, Porisma. -Lemma ist eigentlich in der Geometrie ein Satz, der noch des -Beweises bedarf, den wir für eine Konstruktion oder einen -Beweis einstweilen annehmen vorbehaltlich des Beweises, und -der sich durch diesen Vorbehalt von den Axiomen und Forderungen -unterscheidet, welche wir ohne dass sie bewiesen, zur -Rechtfertigung anderer Sätze herbeiziehen. Porisma ist ein Zusatz, -der sich beim Beweis eines anderen als eine »Gottesgabe« -ungewollt von selbst ergibt, im wesentlichen also eine andere -Fassung des bewiesenen Satzes. Übrigens sind die meisten, ich -möchte sagen alle Lemmata und vielleicht auch die Porismata -verdächtig, so fehlt z. B. das Porisma zu I, 15: (Scheitelwinkel -sind gleich) »Wenn zwei Gerade einander schneiden, so sind die -vier Winkel vier Rechten gleich«, obwohl es sich bei Proklos -findet in den besten Handschriften.</p> - -<p>Zu bemerken ist, dass in den guten Handschriften sich -weder Überschriften noch Bezeichnungen der einzelnen Teile -finden. Die Sätze sind numeriert und dies ist sicher nicht -original, da Euklid nicht auf die betreffende Nummer verweist, -sondern den einschlagenden Satz vollständig angibt. Dies -Schleppende der Darstellung veranlasste vermutlich die Bezifferung -und zwang zu Abkürzungen. Übrigens erklärt sich die -Breite, wenn man sich vergegenwärtigt, dass das Original zu -mündlichem Vortrag im Kolleg vor Studenten der Universität -Alexandria bestimmt war. Und dies ist ein Umstand, der bei -der Klage über Euklid und Euklids Methode viel zu wenig berücksichtigt -ist; das Buch war für reife Männer bestimmt nur -die Torheit der Scholarchen hat aus einem der tiefsinnigsten -Werke aller Zeiten ein Buch für Schulknaben gemacht.</p> - -<div class="sidenote">Euklids Elemente, Buch 1 bis 5.</div> - -<p>Die Inhaltsangabe sei ganz kurz als Schluss angefügt.<span class="pagenum"><a name="Seite_p255" id="Seite_p255">[S. 255]</a></span> -Buch 1, das bedeutendste, zerfällt in drei der Ausdehnung nach -sehr ungleiche Teile. Satz 1–26 die wichtigsten Sätze über -Dreiecke und Winkel mit den drei Kongruenzsätzen und unabhängig -vom Parallelenaxiom; Satz 27–33 Parallelentheorie mit -Satz 32 Winkelsumme; Satz 34–48 die Flächenvergleichung, -(47 Pythagoras, 48 seine Umkehrung).</p> - -<p>Das 2. Buch ist längst als geometrische Algebra erkannt, -in Ausführung des Pythagoras wird das Rechnen mit Flächen -gelehrt, z. B. √<span class="sqrt">a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup></span>, √<span class="sqrt">a<sup>2</sup> - b<sup>2</sup></span>, dann die Multiplikation von -Aggregaten, es geht bis zur Auflösung quadratischer Gleichungen -in geometrischer Einkleidung, zunächst nur im speziellen Fall -und endet mit dem geometrischen Existenzbeweis der Quadratwurzel -durch die Verwandlung des Rechtecks in ein Quadrat.</p> - -<p>Das 3. Buch handelt vom Kreis, aber die Kreisberechnung -wird nicht gelehrt.</p> - -<p>Buch 4 handelt von den dem Kreis ein- und umgeschriebenen -Figuren, speziell von der Kreisteilung; es geht bis zur -Konstruktion des regulären 15Ecks (ebenso wie wir: <span class="fraction"><span>2</span><span>15</span></span> = <span class="fraction"><span>1</span><span>3</span></span> - <span class="fraction"><span>1</span><span>5</span></span>) -S. 16; der dadurch merkwürdig ist, dass sogar die Analyse in -die Konstruktion verwebt ist. Das 4. Buch hat seine Fortsetzung -im Anfang des 12. Buches, wo in Satz 2: »Kreise verhalten -sich wie die Quadrate ihrer Durchmesser«, alles steht, was bei -Euklid über die Quadratur des Zirkels vorkommt.</p> - -<div class="sidenote">Euklids Elemente, Buch 5 und 6.</div> - -<p>Das 5. Buch enthält die Lehre vom Verhältnis und der -Gleichheit der Verhältnisse (Proportionen) gleichartigen Grössen -in vollständiger Allgemeinheit. Es ist mit grösster Wahrscheinlichkeit -ein Werk des <span class="gesperrt">Eudoxos</span> und scheint nur wenig von -Euklid überarbeitet zu sein, da wo statt λέγεται steht καλεισθω. -Auf sein höheres Alter deutet noch das Ringen mit dem Ausdruck -und die oft schwer verständliche Fassung der Sätze hin. -Es fehlt die Definition des Begriffes »kontinuierliche Grösse«, -sie war aber durch <span class="gesperrt">Aristoteles</span> gegeben, vermutlich auch von -Eudoxos. Clavius (Ausgabe von 1607 p. 436) hebt wie Campanus<span class="pagenum"><a name="Seite_p256" id="Seite_p256">[S. 256]</a></span> -S. 3 hervor, dass dem 5. Buch ein Axiom zugrunde -liegt, welches Clavius formuliert: Quam proportionem habet magnitudo -aliqua ad aliam, eandem habet quaevis magnitudo proposita -ad aliquam aliam, et eandem habebit quaepiam alia magnitudo -ad quamvis magnitudinem propositam. — »Das Verhältnis, -das irgend eine Grösse zu einer andern hat, das wird -jede beliebige <span class="gesperrt">gegebene</span> Grösse zu irgend einer andern haben -und eben dasselbe wird irgend eine Grösse zu jeder gegebenen -Grösse haben«. Es ist das Axiom im Grunde nichts anderes -als die Umkehrung des Weierstrass'schen Axioms: Zu jedem -Punkt in der Zahlenreihe gibt es eine Zahl. <span class="gesperrt">Es wird zwar -immer behauptet, die Hellenen hätten in der -Irrationalzahl keine Zahl gesehen, aber aus dem -5. Buch geht unwiderleglich hervor, dass sie den -Zahlbegriff in voller, fast wörtlich mit der -Weierstrass'schen Auffassung sich deckender -Schärfe besassen und dass Euklid wie Eudoxos im -Verhältnis zweier gleichartiger Grössen nichts -anderes sahen als eine Zahl.</span> Und das erhellt schon -aus dem Kunstausdruck »λόγος« für Verhältnis; denn Logik ist -die Rechnung, Logistik die Rechenkunst und Logos heisst im -Grunde nichts anderes als Masszahl einer Grösse in bezug auf -eine andere.</p> - -<p>6. Buch: Ähnlichkeitslehre. Mit dem 6. Buch schliessen -die eigentlichen planimetrischen Bücher; wohl kommen noch einzelne -planimetrische Sätze in den stereometrischen Büchern vor, -wie z. B. die auf die stetige Teilung bezüglichen Sätze XIII, -1–12 und besonders der Satz XII, 1 und 2, aber sie werden -doch nur zum Zweck ihrer Verwendung für stereometrische -Konstruktionen und Satze gegeben.</p> - -<p>Nachdem so die Planimetrie zu einem gewissen Abschluss -gekommen war, sind die Bücher 7, 8, 9 der Arithmetik oder -eigentlich besser der Zahlentheorie gewidmet.</p> - -<p>Das 7. Buch knüpft geistig an die Lehre von den Verhältnissen<span class="pagenum"><a name="Seite_p257" id="Seite_p257">[S. 257]</a></span> -an und lehrt den Algorithmus des Aufsuchens des grössten -gemeinsamen Teilers, auf dem unsere ganze Zahlentheorie ruht, -gerade so wie wir noch heute, durch die Kette von Teilungen.</p> - -<div class="sidenote">Euklid, Elemente, Buch 8 bis 12.</div> - -<p>Buch 8 behandelt die Proportionen noch ausführlicher, -d. h. die Lehre von den Gleichungen ersten Grades.</p> - -<p>Das 9. Buch beschäftigt sich besonders mit den Primzahlen -und enthält den Satz, der der ganzen Entwicklung nach -für Eigentum des Euklid gehalten werden muss, den einfachen -Beweis, dass die Menge der Primzahlen unendlich: Entweder -1 · 2 · 3 · ... p + 1 ist keine Primzahl, dann ist sie durch eine -Primzahl > p teilbar oder sie ist prim. Die erste Zahl die keine -Primzahl ist, gibt 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 + 1 = 30031, die zweite -das Produkt der Primzahlen von 2 bis 17 + 1, welche schon -durch 19 teilbar ist.</p> - -<p>Das 10. Buch zum Teil von Theätet herrührend, handelt ausführlich -von den Irrationalzahlen, welche mit Zirkel und Lineal -konstruierbar sind, d. h. im Grunde von den Gleichungen -4. Grades, welche sich auf quadratische reduzieren, dabei kommt -auch die allgemeine Lösung des Pythagoras gleichzeitig vor durch -die Formeln: αβγ; <span class="fraction"><span>αβ<sup>2</sup> - αγ<sup>2</sup></span><span>2</span></span>; <span class="fraction"><span>αβ<sup>2</sup> + αγ<sup>2</sup></span><span>2</span></span>. Der letzte Satz gibt -dann den geometrischen Beweis von der Inkommensurabilität -von Seite und Diagonale des Quadrats.</p> - -<p>Das 11., 12., 13. Buch sind dann die stereometrischen -Bücher. 11. Buch die Anfangsgründe, der granitne Satz vom -Lote auf der Ebene, dann die dreiseitige Ecke, das Parallelepipedon, -das Prisma.</p> - -<p>Das 12. Buch enthält im wesentlichen Körperberechnung, -d. h. es gibt nicht die wirklichen Formeln, sondern beweist nur, -dass Pyramide bezw. Kegel <sup>1</sup>/<sub>3</sub> vom Prisma bezw. Cylinder sind, -beweist als Lemma mittelst des Exhaustionsbeweis, den er -Buch 10 formuliert hat: »Sind zwei ungleiche Grössen gegeben -und nimmt man von der grösseren die Hälfte weg und so fort, -so kommt man zu einem Reste, welcher kleiner ist als die gegebene<span class="pagenum"><a name="Seite_p258" id="Seite_p258">[S. 258]</a></span> -kleinere Grösse« dass Kreise sich wie die Quadrate ihrer -Durchmesser verhalten und damit dass Kugeln sich wie die Kuben -ihrer Durchmesser verhalten.</p> - -<div class="sidenote">Euklid, Elemente Buch 13.</div> - -<p>Buch 13 behandelt die platonischen Körper und gibt einleitend -12 Sätze, die das Thema von Buch 6, die Kreisteilung -oder die Konstruktion regulärer Polygone, noch einmal aufnehmen -und geht dann auf die regulären Körper ein; es schliesst mit -dem schon hervorgehobenen Beweis der Nichtexistenz eines -sechsten regulären Körpers. Wir könnten auf Euklid denselben -Schlusssatz wie bei Platon anwenden, Euklid hat das unscheinbare -aber unerschütterliche Fundament geschaffen, auf dem sich der -stolze Bau des Archimedes erheben konnte, dem wir uns jetzt -zuwenden.</p> - -<div class="sidenote">Archimedes (vita).</div> - -<p>An Euklid, dem »Stoicheiotes«, schliesst sich <span class="gesperrt">Archimedes</span> -an, der Erzdenker, wie ich seinen Namen übersetze, der princeps -matheseos des Altertums und vielleicht aller Zeiten, der nur an -Galilei, Gauss, Newton und Fermat seines Gleichen hat. Gleich -gross als Mathematiker, Physiker, Mechaniker und Astronom. -Auch von <span class="gesperrt">seinem</span> Leben wissen wir wenig, eine Biographie -seines Zeitgenossen Herakleides, welche dem Eutokios noch vorlag, -ist völlig verloren. Das Todesjahr steht fest, er fiel bei der -Einnahme seiner Vaterstadt Syrakus durch. Marcellus der Roheit -eines Soldaten zum Opfer; also 212, und zwar hochbetagt; zum -Schmerz des Marcellus, der ausdrücklich befohlen hatte des Archimedes -zu schonen. <span class="gesperrt">Tzetzes</span> sagt, (chiliad. II, 36, 105) -im Alter von 75 Jahren, dann war er 287 geboren, jedenfalls -hochbetagt. Sein Vater soll der Astronom Pheidias gewesen -sein und dann wäre auch Archimedes gleich wie Aristoteles auf -die exakten Wissenschaften erblich hingewiesen. <span class="gesperrt">Plutarch</span> -erzählt im Leben des Marcellus, dass er dem Könige Hiero II. -dem trefflichsten Regenten, den Syrakus besessen, nahe verwandt -gewesen und jedenfalls war er ihm und seinem Sohne -Gelon eng befreundet. Eine andere Version lässt ihn durch -Missverständnis einer Stelle bei Cicero in den Tusculanen V, 23<span class="pagenum"><a name="Seite_p259" id="Seite_p259">[S. 259]</a></span> -aus armer Familie und von niedriger Geburt sein. Der »humilis -homunculus« bezieht sich nur auf das traurige Ende des Archimedes. -Diese andere Version ist so gut wie ausgeschlossen, wir -wissen, dass er jede gewinnbringende Tätigkeit geringschätzte, ja -sogar jede praktische, und nur auf Bitten des Hiero und schliesslich -bei der Verteidigung seiner Vaterstadt sein technisches -Genie betätigte. In den tiefsten rein wissenschaftlichen Spekulationen -fand er seine Befriedigung und im ganzen späteren -Altertum wurde ein schwieriges Problem Archimedeon problema -genannt vergl. <span class="gesperrt">Cicero</span> ep. ad Atticum 12, 4; 13, 28 etc. -(<span class="gesperrt">Bunte</span>, Progr. Leer 1877, <span class="gesperrt">Heiberg</span>, Quaest. Archim. 1879). -Und auch sein Tod soll nach mehrfach beglaubigter Angabe -eine Folge seiner Vertiefung in die Wissenschaft gewesen sein. -Jedenfalls war er nach dem schmucklosen und glaubhaften Bericht -des <span class="gesperrt">Livius</span> so tief in Gedanken versunken, dass er die -Einnahme von Syrakus nicht bemerkt hat. Das »Noli turbare -circulos meos« (Störe ja nicht meine Kreise) geht auf Tzetzes -zurück oder richtiger auf Diodor., die andere Version, die G. -Valla nach Zonaras berichtet, lautet: παρα ταν κεφαλάν και μα -παρα ταν γραμμάν (Verletze den Kopf, aber nicht meine Linie).</p> - -<p>Niemals ist das Wesen des Archimedes treffender verkündet -worden, als es Schiller, Dichter und Prophet im Horazischen -Sinne, mit dem Epigramm »Archimedes und der Schüler« -vermocht hat.</p> - -<div class="poem"><div class="stanza"> -<span class="i0">Zu Archimedes kam ein wissbegieriger Jüngling,<br /></span> -<span class="i0">Weihe mich, sprach er zu ihm, ein in die göttliche Kunst<br /></span> -<span class="i0">Die so herrliche Frucht dem Vaterlande getragen<br /></span> -<span class="i0">Und die Mauern der Stadt vor der Sambuca beschützt.<br /></span> -<span class="i0">Göttlich nennst du die Kunst? Sie ist's, versetzte der Weise,<br /></span> -<span class="i0">Aber das war sie, mein Sohn, eh' sie dem Staat noch gedient.<br /></span> -<span class="i0">Willst du nur Früchte von ihr, die kann auch die Sterbliche zeugen,<br /></span> -<span class="i0">Wer um die Göttin freit, suche in ihr nicht das Weib.<br /></span> -</div></div> - -<p>Die Sambuca war eine von Marcellus mit grossen Kosten -erbaute gewaltige Maschine, durch welche die Mauern der Achradina,<span class="pagenum"><a name="Seite_p260" id="Seite_p260">[S. 260]</a></span> -der Seefestung von Syrakus, in der vermutlich Archimedes -selbst wohnte, zertrümmert werden sollte. Archimedes zerstörte -die Sambuca durch drei hintereinander folgende Würfe. Seine -Maschinen (organa), Wurfmaschinen — Katapulte und Ballisten —, -und eiserne Krane, die mit ihrem Arm die Schiffe der Römer -ergriffen, hochhoben und mit furchtbarer Gewalt fallen liessen, -wirkten derart, dass die Römer, sobald nur ein Seil sichtbar -wurde, davonliefen. Plutarch lässt Marcellus sagen: Sollten wir -nicht aufhören gegen den mathematischen Briareus, den hundertarmigen -Giganten zu kämpfen. Und er hob tatsächlich die Belagerung -auf und schloss die Stadt nur ein, welche erst durch -Verrat und Überrumpelung in seine Hände fiel.</p> - -<p>Aus dem Leben des Archimedes steht soviel fest, dass er, -vermutlich im Mannesalter, in Alexandria war, und dort wenn -auch nicht unter Euklid selbst aber unter Schülern des Euklid -studierte. Es ist nicht unwahrscheinlich, dass er bei dem ausgezeichneten -Mathematiker und Astronom <span class="gesperrt">Konon</span> aus Samos -hörte, mit dem er befreundet war und dem er später seine Entdeckungen -zusandte, wie er selbst berichtet. Nach Pappos (Collect. I -p. 234) ist <span class="gesperrt">Konon</span>, von dessen Schriften nichts erhalten ist, der -Entdecker der <span class="gesperrt">Archimedischen Spirale</span> gewesen (s. u.). -Auch mit <span class="gesperrt">Eratosthenes</span> muss Archimedes dort verkehrt -haben, das berühmte »Rinderproblem« ist an jenen gerichtet, -und wenn auch die Verse des Epigramm nicht echt sein mögen, -das Problem selbst und die Sendung an den Alexandriner zu -bezweifeln liegt kein Grund vor. Seit Sommer 1906 ist der -Verkehr zwischen beiden Mathematikern durch das von <span class="gesperrt">J. L. Heiberg</span> -entdeckte »Ephodion« (s. u.), erwiesen. Dort in Alexandria -hat er die berühmte Schraube erfunden, die κοχλιας, nach -der Schnecke mit gewundenem Gehäuse, der Purpurschnecke -Kochlos, aber auch Helix genannt wurde, mit der das Wasser -aus dem Nil auf die Felder gehoben wurde.</p> - -<p>Zurückgekehrt beschäftigte er sich mit den subtilsten mathematischen -Untersuchungen, insbesondere mit Ausbildung der infinitesimalen<span class="pagenum"><a name="Seite_p261" id="Seite_p261">[S. 261]</a></span> -Methoden und nur zu seiner Erholung mit praktischer -Mechanik. Berühmt sind die von Cicero in de republica -beschriebenen Globen, von denen namentlich die Hohlkugel, -ein gewaltiges, mit Wasserkraft getriebenes Planetarium -für ein Wunderwerk galt. Es war das einzige Beutestück, das -Marcellus aus Syrakus für sich nahm. Auch die einzige Schrift, -welche Archimedes über Technik verfasst hat, ist nach dem -Zeugnis des Plutarch die Schrift über Anfertigung von Globen, -περι σφαιροποιαν.</p> - -<p>Von Archimedes werden zwei Züge autoritär berichtet und -besonders der erste so gut beglaubigt, dass er wahr erscheint. -König Hiero liess unter Leitung des Archimedes ein prächtig -ausgerüstetes Riesenschiff bauen, etwa unsern Salondampfern vergleichbar, -das Athenaios (2 Jahrh. nach Chr., Alexandriner, der -uns Auszüge aus sehr vielen verlorenen Werken in seinen Deipnosophistae-Gastmahle -Gelehrter — erhalten hat; siehe Details -über das Schiff bei <span class="gesperrt">Bunte</span> l. c.) ausführlich beschreibt. Hiero -bezweifelte ob man das Riesenschiff vom Stapel lassen könne, -da zog Archimedes mit dem von ihm erfundenen <span class="gesperrt">Flaschenzug</span> -allein ein beladenes Schiff, Proklos sagt sogar <span class="gesperrt">das</span> Schiff, -ans Ufer indem er sagte: δός μοι πᾷ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινήσω. -(Gib mir einen festen Punkt, und ich will die Erde bewegen.) -Proklos (Friedlein p. 63) berichtet weiter: »Απο ταυτης, εφη, -της ἡμερας περι παντος Αρχιμηδει λεγοντι πιστευτεον«. Und der -erstaunte Hiero sagte: Von heute ab mag Archimedes behaupten -was es sei, man muss ihm Glauben schenken. Das <span class="gesperrt">Hebelgesetz</span>, -die Grundlagen der Statik hat unbezweifelt Archimedes -bewiesen vergl. Pappos VIII, 19.</p> - -<p>Die andere Anekdote knüpft an seine Auffindung des Hydrostatischen -Grundgesetzes von der gleichmässigen Fortpflanzung -des Druckes in Flüssigkeiten an, des Archimedischen Prinzip: -»Der Auftrieb ist gleich dem Gewicht der verdrängten Wassermasse«. -Sie wird uns von <span class="gesperrt">Vitruv</span>, dem bedeutendsten Römischen -Baumeister, dem Lehrmeister unserer Architekten und<span class="pagenum"><a name="Seite_p262" id="Seite_p262">[S. 262]</a></span> -Ingenieure, in de Architectura IX mitgeteilt. Es ist die bekannte -in jeder Aufgabensammlung stehende Gleichung von der -Krone des Hiero, Proklos nennt l. c. <span class="gesperrt">Gelon</span>, doch hat <span class="gesperrt">H. Heiberg</span> -höchst wahrscheinlich recht, dass richtiger Hieron zu lesen -ist, da Proklos zu Gelon nichts hinzusetzt. Der König glaubte -sich von seinem Goldschmied betrogen, der Silber unter das Gold -gemischt, und stellte die Aufgabe, ohne die Krone aufzulösen, -herauszubringen, wieviel Gold und wie viel Silber die Krone -enthalte. Archimedes habe sich im Bade mit dem Problem beschäftigt -und als er das Steigen des Wassers in der Wanne -beobachtet, sei er mit dem Ausruf, εύρηκα, εύρηκα, ich hab's -(gefunden) ich hab's, nackt aus dem Bade gesprungen. Die -ganze Badegeschichte fehlt bei Proklos, der nur angibt, dass -jener die ihm gestellte Aufgabe gelöst habe.</p> - -<p>Sicher steht dagegen die Tatsache, dass Archimedes den -Wunsch ausgesprochen, man möge ihm auf sein Grab eine von -einem Cylinder umschlossene Kugel setzen, mit der Angabe des -Verhältnis der Volumina 2 : 3, denn auf diese Entdeckung legte -er den grössten Wert, (man denke an <span class="gesperrt">Newton</span> und den Binom). -Marcellus hat den Wunsch erfüllt, Cicero berichtet l. c. dass er, -der 75 v. Chr. als Quästor auf Sicilien seines Amtes waltete, -an dieser Inschrift das verfallene Grabmal des Archimedes erkannt -und das Grab wieder in Stand gesetzt habe.</p> - -<div class="sidenote">Archimedes' Werke.</div> - -<p>Und nun zu dem, was unsterblich an Archimedes ist, seine -Leistungen und Schriften. Die grosse Bedeutung seiner Entdeckungen -für die reine und angewandte Mathematik haben bewirkt, -dass nur ein verhältnismässig kleiner Bruchteil wirklich -verloren gegangen ist, wenn uns auch die Originalfassungen vielfach -fehlen. Archimedes sprach und schrieb im dorischen Dialekt -und seine Schriften sind erst später attisiert. Einen Teil kennen -wir aus arabischen Quellen und lateinischen Übersetzungen.</p> - -<p>Archimedes verdankte seine Leistungen der so seltenen Verbindung -des höchsten experimentellen mit höchstem spekulativen -Scharfsinn. Schon in der Einleitung habe ich das Citat aus <span class="gesperrt">Herons</span><span class="pagenum"><a name="Seite_p263" id="Seite_p263">[S. 263]</a></span> -Metrika angeführt und die Auffindung des Kugelvolums, und ebenso -ruht, wenn nicht die Einführung, doch sicher die Benutzung des -Schwerpunktes auf experimenteller Grundlage. Aber was er -auf dem Wege des Experimentes gefunden, das vermochte er zu -beweisen mit Hilfe von Infinitesimalbetrachtungen, die er sehr -früh mit vorbildlicher Klarheit und Schärfe ausgebildet haben -muss. Es scheint mir ganz sicher zu sein, dass sein erster rein -mathematischer Vorwurf das Problem der Bogenteilung und -Quadratur des Zirkels, welche ja schon <span class="gesperrt">Dinostratos</span> zusammengezogen -hatte, gewesen ist, wenn auch die Kreismessung -später redigiert ist. Dies geht daraus hervor, dass die an -<span class="gesperrt">Konon</span> gesandten Sätze über die »Archimedische Spirale« -zeitlich so ziemlich das Erste sind, was er veröffentlicht hat. -Die Spirale selbst soll ja Pappos zufolge Konon und nicht -Archimedes gefunden haben, die Benutzung derselben zur Winkelteilung -und Kreismessung und die Auffindung ihrer Eigenschaften -sind sein Eigentum. Die Beweise der Sätze fand er mit Hilfe -des Infinitesimalen, auf Differentialrechnung beruht seine Konstruktion -der Tangente an die Spirale, die nichts anderes ist als -die <span class="gesperrt">Roberval-Torricelli</span>'sche Methode, auf Integration -die Flächen- und Volumenbestimmung. Freilich sah auch er -sich durch die Rücksicht auf seine Leser genötigt, die Differentialrechnung -hinter dem sogenannten <span class="gesperrt">Archimedischen -Prinzipe</span> (s. u.) zu verstecken, wie wir das schon bei <span class="gesperrt">Eudoxos</span> -konstatierten, sind doch m. E. die Schriften des <span class="gesperrt">Demokrit</span> -nur deswegen verloren gegangen, weil sie mangels -Konzessionen an die Beschränktheit nicht verstanden wurden. -Eine der frühesten Anwendung muss der Hauptsatz der -κύκλου μέτρησις, der Kreismessung, gewesen sein, und die Auffassung -des Kreises als Grenze der regulären Polygone.</p> - -<div class="sidenote">Archimedes' Werke (Ephodion).</div> - -<p>Wie klar sich Archimedes über die Tragweite der Infinitesimalrechnung -gewesen und wie scharf er den Grenzbegriff erfasst -hat, ist jetzt durch die Wiederauffindung des bis 1907 -verloren geglaubten Ephodion (εφοδιον) erwiesen. <span class="gesperrt">J. L. Heiberg</span><span class="pagenum"><a name="Seite_p264" id="Seite_p264">[S. 264]</a></span> -hat durch die Entzifferung des Palimpsest [publiziert in -deutscher Übersetzung Eneström Folge III, 7, 1907 S. 31 ff. -und griechisch <span class="gesperrt">Hermes</span> 42 Heft 2] auf den ihn <span class="gesperrt">H. Schoene</span>, -der Auffinder der Metrika des Heron hingewiesen hatte, seinen -ohnehin schon überreichen Verdiensten um die Geschichte Hellenischer -Wissenschaft die Krone aufgesetzt. Er hatte dabei die -Freude die Vermutung die er in dem Quaestiones Archimedeae -über den Inhalt des εφοδιον.εφοδιον 1879 ausgesprochen hatte, 1907 -vollbestätigt zu sehen. Es heisst da: Potius crediderim, εφοδιον -esse librum methodi mathematicae scientiam complectentem ...; -εφοδος enim post Aristotelem significat methodum.</p> - -<p>Die Schrift mag »druckfertig« gemacht sein wann sie will, -ihr wesentlicher Inhalt fällt nicht nur vor Kugel und Cylinder, -sondern bildete mit dem Begriffe des <span class="gesperrt">statischen Moments</span> -den Ausgangspunkt, gewissermassen das Leitmotiv seiner ganzen -wissenschaftlichen Tätigkeit, wenigstens soweit Mechanik und -Geometrie in Betracht kommen. In einem Vortrag zu Frankfurt -auf der Naturforscherversammlung 1893 sagte ich schon, -dass <span class="gesperrt">Galilei</span> so genau an Archimedes anknüpfe, als habe er -bei ihm gehört. Das Ephodion zeigt, dass selbst die Form -Galileis und noch mehr <span class="gesperrt">Cavalieris</span>, seines Schülers, merkwürdig -mit Archimedes übereinstimmt. Die Renaissance besass -gewiss ein ganz Teil Originaltexte die inzwischen verloren gingen, -wie das von der Sammlung <span class="gesperrt">Regiomontans</span> feststeht und von -des Archimedes-Schrift περι οχουμενων., von der übrigens ein -grosses Stück sich im selben Palimpsest vorgefunden hat und -es scheint mir wahrscheinlich, dass ein Exemplar des εφοδιον -Galilei und Cavalieri vorgelegen hat. So ist der Kunstausdruck -für das Integral, den auch Leibniz zuerst von Cavalieri entnommen, -»omnia«, eine Übersetzung des »παντα« aus dem Ephodion, -so die Stelle Hermes S. 250 Z. 15–19 von και bis τμημα. und -254, 21 von συμπληχθεντος bis κώνου., welche den Archimedes, -der doch seinen Aristoteles genau genug kannte, wie seiner Zeit -Cavalieri dem Verdacht aussetzten die Fläche als Summe von Linien,<span class="pagenum"><a name="Seite_p265" id="Seite_p265">[S. 265]</a></span> -den Körper als Summe von Flächen anzusehen. Die Identität -der Exhaustionsmethode mit der Differentialrechnung hat kein -Geringerer als Wallis zuerst hervorgehoben; ich verweise hierfür -auf die 2. Auflage meiner Didaktik und Methodik, Baumeisters -Handbuch IX pg. 168 (1907).</p> - -<div class="sidenote">Archimedes' Werke (Ausgabe).</div> - -<p>Archimedes' gesammelte Werke sind griechisch und lateinisch -zuerst 1544 bei Herwagen in Basel, der auch in Strassburg -eine Druckerei besass, gedruckt worden, der Herausgeber -Thomas Grechauff nennt sich auf dem Titelblatt nicht. Der -lateinische Text ist weit besser als der griechische, Heiberg -macht es wahrscheinlich, dass wir es hier mit den Verbesserungen -Regiomontans zu tun haben und ausserdem hat noch der von -Nürnberg aus 1529 nach Strassburg berufene <span class="gesperrt">Christian Herlin</span> -wesentlichen Anteil. Das Exemplar, welches nach mannigfachen -Schicksalen jetzt die Bibliothek des Lyceums ziert, kann sehr -wohl Herlins eigenes Exemplar gewesen sein, der ursprünglich -als Städtischer Rechenmeister, dann als erster Mathematiker des -<span class="gesperrt">Sturmschen</span> (jetzigen Protestantischen) Gymnasium bis 1562 -in Strassburg wirkte. Die nächste Gesamtausgabe griechisch und -lateinisch ist die Oxforder Ausgabe in Riesenformat des Giuseppe -Torelli von 1792, sie wäre ein Meisterstück geworden, wenn -nicht der 1781 im 61. Lebensjahr erfolgte Tod des hervorragenden -Gelehrten die endgültige Ausgabe in die Hand des -Engländers Abraham Robertson gelegt hätte, der sie vergl. <span class="gesperrt">Heiberg</span>, -Quaest. Arch. p. 110 und <span class="gesperrt">E. Nizze</span> p. IX verdorben -hat. Heiberg erwähnt noch wenig rühmend die Ausgabe des -Rivaltus Paris 1615 fol., sie ist aber durch gute Figuren bemerkenswert. -<span class="gesperrt">Torelli</span> hat das Verdienst, durch Benutzung der -<span class="gesperrt">Begleitbriefe</span> mit denen Archimedes die meisten Werke in -die Welt gesandt, und der eignen Zitate die Schriften in chronologisch -richtigere Reihenfolge gebracht zu haben, als sie der <span class="gesperrt">Codex -Florentinus</span>, der wichtigste aller, da der »Archetyp« der Codex -des <span class="gesperrt">Georg Valla</span> (Heib. Praef.) seit 1544 noch nicht wieder -zum Vorschein gekommen ist, und mit ihm die andern enthalten.</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p266" id="Seite_p266">[S. 266]</a></span></p> - -<p>Es folgt als letzte und beste die Ausgabe von <span class="gesperrt">I. L. Heiberg</span> -Teubner 1880–81, ebenfalls mit dem Kommentar des Eutokios, -griechisch und lateinisch, Heiberg bereitet auf Grund des -von ihm entzifferten Palimpsest (s. o.) eine zweite Auflage vor.</p> - -<div class="sidenote">Archimedes' Werke (Übersetzungen, Kommentare).</div> - -<p>Von Übersetzungen hebe ich hervor die lateinische des -Federico Commandino Venedig 15., der schon als Euklidübersetzer -gerühmt werden musste; die deutsche des Altdorfer -Professor <span class="gesperrt">Chr. Sturm</span>, den ich in der Didaktik und Methodik -so vielfach erwähnen musste, den Verfasser der Mathesis juvenilis, -die <span class="gesperrt">französische</span> von <span class="gesperrt">F. Peyrard</span> 1807 mit einem -Anhang <span class="gesperrt">Delambres</span> über griechisches Zahlenrechnen (Logistik) -und die vortreffliche des Stralsunder <span class="gesperrt">Ernst Nizze</span> von 1824 -mit wichtigen kritischen Anmerkungen, in denen auch der -Kommentar des Eutokios »des einzigen, der aus dem Altertum -selbst rührt« (Nizze p. VII) berücksichtigt ist. Über ihn sagt -die Florentinus (Heiberg, Quaest. p. 113):</p> - -<div class="poem"><div class="stanza"> -<span class="i0">Ευτοκιου πινυτου γλυκερος πονος, ὁν ποτ' εκεινος<br /></span> -<span class="i0">γραψεν, τοις φθονεροις πολλακι μεμψαμενος.<br /></span> -<br /> -<span class="i0">Treffliche Arbeit des weisen Eutokios, einstens geschrieben,<br /></span> -<span class="i0">Welche die Neider des Manns öfter [mit Unrecht] geschmäht.<br /></span> -</div></div> - -<p>Ich wage es übrigens zu sagen, dass die einleitenden -Worte Heib. B. 3, p. 2 zu frei übersetzt sind, ich würde -»η δια την δυσκολιαν οκνησας« wiedergeben: »obwohl die Schwierigkeit -mich zaudern liess«, den Superlativ »verisimillimum« als -Übersetzung von πανυ εικος mit »nicht unwahrscheinlich« und -das reizende »ει τι και παρα μελος δια νεοτητα φθενξομαι.« »und -wenn ich auch meiner Jugend wegen ab und an falsch singen -würde« etc. Leider hat <span class="gesperrt">Eutokios</span> nur No. 1, 3, 4 der -Schriften kommentiert.</p> - -<div class="sidenote">Archimedes' Werke (Reihenfolge).</div> - -<p>Die jetzt festgehaltene Reihenfolge der Schriften ist:</p> - -<p>1) επιπεδων ισορῥοπιων α, Buch I vom Gleichgewicht der -Ebenen (Flächen).</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p267" id="Seite_p267">[S. 267]</a></span></p> - -<p>2) τετραγωνισμος τας ορθογονιου τομας, Quadratur der Parabel.</p> - -<p>Über die Dorischen Eigenarten s. Heibergs Quaest. Arch. -Cap. V.</p> - -<p>3) επιπεδων ισορροπιων β, Buch II vom Gleichgewicht der -Ebenen (Flächen) oder vom <span class="gesperrt">Schwerpunkt</span> derselben.</p> - -<p>4) περι σφαιρας και κυλινδρου αβ, 2 Bücher von der Kugel -und dem Cylinder.</p> - -<p>5) περι ἑλικων, über die Schneckenlinien (Archimedische -Spirale).</p> - -<p>6) Über Konoide und Sphäroide (Über Rotationsflächen -2. Grades).</p> - -<p>7) κυκλου μετρησις, die Kreismessung.</p> - -<p>8) ψαμμιτης, der Sandzähler, lateinisch arenarius.</p> - -<p>9) περι οχουμενων, über schwimmende Körper. 2 Bücher, -bis vor kurzem nur lateinisch erhalten.</p> - -<p>10) προβλημα βοων, das Rinderproblem, bis vor kurzem (bis -vor Entdeckung des Pariser Codex) bezweifelt.</p> - -<p>11) εφοδιον, Methodik, das oben besprochene, jetzt erst -wieder zum Vorschein gekommene Werk, welches <span class="gesperrt">H. Zeuthen</span> -l. c. vor No. 4 ansetzt, ich vermute, dass Heiberg in -seiner neuen Ausgabe mit dem εφοδιον beginnen wird, da er -jetzt schon die Schriften nach ihrem sachlichen Zusammenhang -geordnet hat, ohne sich weiter über seine Gründe in der Vorrede -zu äussern.</p> - -<p>Aus dem arabischen Manuskript des <span class="gesperrt">Thabit ibn Qurrah</span>, -der die Euklidübersetzung des Ishaq ibn Hunein wesentlich verbessert -hat, ist von <span class="gesperrt">S. Foster</span> 1659 eine angeblich von Archimedes -herrührende Sammlung von 13 Sätzen herausgegeben -unter dem Titel liber assumptorum Λημματα, Wahlsätze. Dass -ein Teil sicher auf ihn zurückgeht, wird durch Pappos bezeugt.</p> - -<p>Dass der grosse Mann auch ein Kinderspiel »loculus -Archimedis« unter dem Namen στομαχιον., von <span class="gesperrt">Drachmann</span><span class="pagenum"><a name="Seite_p268" id="Seite_p268">[S. 268]</a></span> -mit Neckspiel (<span class="gesperrt">Heiberg</span>, Hermes 42, 240) wiedergegeben, ersonnen -hatte, wird von <span class="gesperrt">Heiberg</span> auf Grund des Palimpsest -von 1906 bestätigt, es bestand (Quaest. Archim. 43, 2) aus 14 -teils quadratischen teils dreieckigen Plättchen aus Elfenbein und -hat sich bis heute als das »<span class="gesperrt">Pythagoras</span>« genannte Zusammensetzspiel -erhalten.</p> - -<p>Aus einer verlorenen Schrift hat uns Pappos, Buch V, -Kap. 33–36 die 13 sogen. »Archimedischen Körper« erhalten, -das sind halbreguläre Polyëder, begrenzt von abwechselnden regelmässigen -Polygonen zweier Gattungen, worüber man <span class="gesperrt">R. Baltzers</span> -klassische Elemente nachsehen möge. Aus dem Umstand, dass -Archimedes diese Körper, abgesehen von den Prismaten, vollständig -aufgestellt hat, geht klar hervor, dass er den sogen. -<span class="gesperrt">Euler'schen</span> Satz e + f = k + 2 kannte, wie es ja auch ziemlich -sicher ist, dass er die bei Pappos gegebene sogen. <span class="gesperrt">Guldinsche</span> -Regel vom Volumen der Rotationskörper kannte.</p> - -<p>Bis auf minimale Spuren verloren sind περι ζυγων, über -Wāgen, κεντροβαρικα. κατοπτρικα περι σφαιροποιας, welche von -Pappos, Theon und Proklos erwähnt werden.</p> - - -<h3>Analyse der Schriften des Archimedes.</h3> - -<div class="sidenote">Analyse der Schriften des Archimedes.</div> - -<p>Dieselbe wird dadurch erleichtert, dass sie Archimedes -selbst gleich in der Einleitung gibt.</p> - -<p>Ich beginne mit der Quadratur der Parabel von Archimedes -(s. o.) »Schnitt des rechtwinkligen Kegels« genannt. Aus -Euklids Konika schickt er 3 Sätze als bekannt voraus. I. Wenn -<i>ABC</i> eine Parabel, die Gerade <i>BD</i> entweder der Axe (Durchmesser) -parallel oder die Axe selbst ist, und wenn <i>ADC</i> der -berührenden an dem Punkte Β der Parabel (Scheiteltangente -des Durchmessers) parallel ist, so wird <i>AD</i> = <i>DC</i> sein, und wenn -<i>AD</i> = <i>DC</i> ist, so werden <i>ADC</i> und die berührende an dem -Punkt Β der Parabel parallel sein.</p> - -<p>II. Die Tangente im Endpunkt einer Sehne schneidet den<span class="pagenum"><a name="Seite_p269" id="Seite_p269">[S. 269]</a></span> -konjugierten Durchmesser so weit hinter dem Scheitel wie die -Sehne vor.</p> - -<p>III. Die Quadrate zweier paralleler Sehnen verhalten sich -wie ihre Abstände vom Scheitel des konjugierten Durchmessers.</p> - -<p>Es folgt dann die Quadratur mittelst der Sätze der Statik aus -dem 1. Buch des »Gleichgewicht der Ebenen« <span class="gesperrt">unter Bildung -des statischen Moments</span> und dann von Satz 18 bis 24 -die Quadratur in bekannter Weise als: Σ <span class="fraction"><span>1</span><span>4<sup>n</sup></span></span> wobei der strenge -Beweis durch das Archimedische Prinzip gegeben wird. Das -Interessanteste ist wohl die Vorrede:</p> - -<p>Archimedes wünscht dem Dositheos Wohlergehen. Mit der -Nachricht von dem Tode des <span class="gesperrt">Konon</span>, der mir aus dem -Freundeskreise noch übrig geblieben war, verband sich die, dass du -sein Vertrauter gewesen und ein geschickter Geometer bist. In -der Trauer über den Verstorbenen, der mir lieb war und ein -bewunderungswürdiger Mathematiker, fasste ich den Entschluss, -wie sonst mit ihm, so jetzt mit dir in schriftliche Verbindung -zu treten und dir ein bisher nicht aufgestelltes geometrisches -Theorem zu senden, das jetzt von mir bewiesen ist und zwar -wurde es zuerst statisch gefunden, dann aber auch geometrisch -bewiesen.</p> - -<div class="sidenote">Quadratur der Parabel.</div> - -<p>Einige von denen, welche sich früher mit Geometrie beschäftigten, -unterfingen sich zu schreiben es sei möglich eine -geradlinige Figur zu finden, welche einem gegebenen Kreise oder -Kreisabschnitt gleich sei. Danach versuchten sie auch die Ellipse -zu quadrieren [Ellipse gleich ολα τομα του κωνου., die beiden -andern ατελής d. h. unvollendbar] unter Annahme von Sätzen, -die man ihnen nicht wohl zugestehen konnte. Doch hat meines -Wissens keiner von den früheren versucht den von dem Schnitt -des rechtwinkligen Kegels [= Parabel] und einer Geraden umschlossenen -Raum zu quadrieren, was jetzt von uns aufgefunden -ist. Denn es wird gezeigt, dass jedes Parabelsegment <sup>4</sup>/<sub>3</sub> des -Dreiecks ist, das mit ihm gleiche Grundlinie und Höhe hat,<span class="pagenum"><a name="Seite_p270" id="Seite_p270">[S. 270]</a></span> -unter Annahme folgenden Hilfssatzes: <span class="gesperrt">Der Unterschied -zweier Flächen einer grösseren und einer kleineren -kann durch Vervielfältigung jede vorgelegte begrenzte -Fläche übertreffen.</span> —</p> - -<div class="sidenote">Archimedes' Werke (Prinzip; Kugel und Cylinder).</div> - -<p>Dies ist also das <span class="gesperrt">Archimedische Prinzip</span> in Originalfassung.</p> - -<p>Es kommt noch einmal vor am Schluss der Einleitung -zu der Spirale Heib. II, 14, wörtlich wie hier, nur dass es -auch noch auf lineare Grössen ausgedehnt ist; in Kugel und -Cylinder Heib. 1, 10, ε ist es auch auf Körper ausgedehnt, -vergl. darüber Eudoxos.</p> - -<p>II. Kugel und Cylinder.</p> - -<p>»Archimedes grüsst den Dositheos. Früher habe ich dir -brieflich das damals mehrfach behandelte Theorem, dass jedes -Parabelsegment 4/3 des Dreiecks ist, das mit ihm gleiche Grundlinie -und Höhe hat, mit den Beweisen zugesandt. Danach bin -ich auf einige noch nicht bewiesene Sätze gestossen und habe -die Beweise ausgearbeitet. Es sind folgende: Erstens, dass die -Oberfläche der Kugel das Vierfache ihres grössten Kreises ist, -sodann, dass der Fläche jedes Kugelsegments ein Kreis gleichkommt, -dessen Radius<a name="FNAnker_1_3" id="FNAnker_1_3"></a><a href="#Fussnote_1_3" class="fnanchor">[1]</a> gleich der Verbindungslinie des Scheitels -mit einen Punkt des Grundkreises ist; dazu kommt der Satz, -dass jeder Cylinder der den grössten Kreis zur Basis und den -Kugeldurchmesser zur Höhe hat, das anderthalbfache der Kugel -ist, wie seine Oberfläche von der der Kugel«.</p> - -<div class="footnote"> - -<p class="noindent"><a name="Fussnote_1_3" id="Fussnote_1_3"></a><a href="#FNAnker_1_3"><span class="label">[1]</span></a> Der Radius heisst ἡ ἐκ τοῦ κέντρου; zu ergänzen ist γραμμή -die Linie aus dem Zentrum, das Wort Radius ακτις kommt, vergl. <span class="gesperrt">Simon</span> -Euklid 1901, p. 80 Anmerk. 1 zuerst bei Cicero. Timaeus cap. VI vor.</p></div> - -<p>Es folgt dann die schon bei Eudoxos erwähnte Stelle über -die Sätze mit denen dieser die Demokritische Formel über die -Volumina der Pyramiden und Kegel bewiesen hatte. Wichtig -sind die Annahmen, die sich an die 6 Axiome der Einleitung -anschliessen.</p> -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p271" id="Seite_p271">[S. 271]</a></span></p> -<p>1) Von den Linien, welche dieselben Endpunkte haben, ist -am kürzesten die Gerade.</p> - -<p><span class="gesperrt">Archimedes hat auch nicht im mindesten die -Absicht mit dieser Forderung eine Definition -der Geraden zu geben.</span></p> - -<p>2) Von zwei nach denselben Seiten hohlen (gekrümmten) -Verbindungslinien zweier Punkte ist die umschlossene die -kleinere.</p> - -<p>3) Ebenso ist von den Flächen, welche dieselben Grenzen -haben, falls diese Grenzen in einer Ebene liegen, die Ebene die -kleinste.</p> - -<p>4) Von zwei solchen Flächen, welche nach derselben Seite -hohl sind, ist die umschlossene die kleinere.</p> - -<p>5) Auch ist bei ungleichen Linien, Flächen oder Körpern -der Unterschied so beschaffen, dass es durch Vervielfältigung -desselben möglich ist jede Grösse derselben Art zu übertreffen.</p> - -<p><span class="gesperrt">No. 5 ist das Archimedische Prinzip in allgemeinster -Fassung.</span></p> - -<p>Es folgt dann die Integration oder Quadratur der Kugelfläche -in der auch in unsern Elementarbüchern leider noch oft -gegebenen Weise als Grenze einer Summe von Kegelmänteln und -die des Kugelvolumens durch den Satz eine von Kegelflächen -begrenzte Figur die in eine Kugel eingeschrieben ist, ist gleich -einem Kegel, dessen Grundfläche die Fläche der eingeschriebenen -Figur ist, und dessen Höhe gleich dem Lot vom Zentrum -auf die Kante eines der Kegel ist; also als Grenzfall: Kugel = -Kegel dessen Grundfläche die Kugel, dessen Höhe der Radius -ist.</p> - -<div class="sidenote">Archimedes' Kreismessung.</div> - -<p>Im Ephodion II hat Archimedes dann uns verraten, dass -er erst das Kugelvolumen mittelst Integration (durch geschickte Benutzung -des Hebelsatzes, die heute überflüssig ist) gefunden hat -und dann die Kugelfläche wie wir, durch den Satz, dass die Kugel -eine Pyramide ist, welche die Fläche zur Grundfläche und den -Radius zur Höhe hat, der heute jedem mit Grenzbetrachtung<span class="pagenum"><a name="Seite_p272" id="Seite_p272">[S. 272]</a></span> -vertrauten Primaner einleuchtet. Zugleich berichtet er uns in -der Anmerkung, dass die <span class="gesperrt">Kreisberechnung</span> ihn auf diesen -Gang geführt und man sieht, dass die Kreisberechnung faktisch -der Kugelberechnung voranging, was ich schon in der Vorlesung -von 1903 gesagt hatte.</p> - -<p>Archimedes hat wohl mit Fug und Recht das Buch I der -Sphaira als seine bedeutendste Leistung angesehen, obwohl er u. a. -im zweiten Teil unter No. 5 die Aufgabe löste von einer Kugel -durch einen ebenen Schnitt einen gegebenen Bruchteil abzuschneiden, -die auf eine Gleichung dritten Grades und zwar auf -den casus irreducibilis führt und in enger Beziehung zur Winkelteilung -steht.</p> - -<p>Das Eindringen in die Prinzipien der Integralrechnung und -seine Kenntnis der Integrale rationaler Integranden tritt am -deutlichsten in der Abhandlung No. 4 über Konoide und Sphäroide -hervor, d. h. über Rotations-Paraboloide und -Hyperboloide -(Konoide) und Rotations-Ellipsoide (Sphäroide). Hier quadriert -er auch die Ellipse, den Schnitt des spitzwinkligen Kegels, und -zeigt, dass er die Gleichung der auf ihre konjugierten Axen bezogenen -Ellipse und Hyperbel kennt.</p> - -<p>Ich komme zur κυκλου μετρησις, sie ist dem Wesen nach -schon vor der sphaera entstanden, aber später redigiert. (Vorlesung -1903.) Sie beginnt mit dem wieder auf das Prinzip gestützten -Nachweis, dass der Kreis gleich einem Dreieck, dessen -Grundlinie die Peripherie und dessen Höhe der Radius ist. Es -wird wohl niemand mehr bezweifeln, dass er das gleichschenklige -Dreieck, dessen Grundlinie das Bogenelement ist, als Differential -und die Kreisfläche selbst als Integral ansah, wodurch -es sich auch erklärt, dass er die Existenz eines solchen Dreiecks -bei seiner Verkleidung der Infinitesimalrechnung stillschweigend -annahm. Durch diesen Satz I hat Archimedes die Probleme -der Quadratur und Rektifikation des Kreises vereinigt. Die -beiden Sätze, welche gestatten die Kette der ein- und umgeschriebenen -<span class="pagenum"><a name="Seite_p273" id="Seite_p273">[S. 273]</a></span>regulären 2<sup>k</sup> n Ecke beliebig weit fortzusetzen, -sind heute Inventar unserer Schulgeometrie. Die Arbeit gipfelt -in dem berühmten Satz III, den <span class="gesperrt">Ulrich v. Wilamowitz</span> -in sein Übungsbuch aufgenommen hat:</p> - -<p>Παντος κικλου ἡ περιμετρος της διαμετρου τριπλασιων εστι, -και ετι ὑπερεχει ελασσονι μεν η ἑβδομω μερει της διαμετρου, -μειζονι δε η δεκα ἑβδομηκοστομονοις., wo dann in den griechischen -Zahlwörtern und den Dativen ελασσονι etc. jedes Philologenherz -schwelgen kann. »Jedes Kreises Umfang ist des Durchmessers -Dreifaches und geht darüber hinaus durch einen Teil des -Durchmessers der geringer ist als ein Siebentel und grosser als -10 Einundsiebzigstel.« Ausgegangen wird vom 6 Eck, als Grenze -dient das ein- und umgeschriebene 96 Eck. Wie er die Quadratwurzeln -mit solcher Genauigkeit gezogen, steht noch nicht fest, -doch hat er sich vermutlich eines Kettenbruch ähnlichen Algorithmus -bedient und vermutlich auch die Formel gekannt</p> - -<p class="center"> -a ± <span class="fractionbig"><span>b</span><span>2a</span></span> > √<span class="sqrt">a<sup>2</sup> ± b</span> > a ± <span class="fractionbig"><span>b</span><span>2a ± 1</span></span> -</p> - -<div class="sidenote">Spirale.</div> - -<p>Für Kreismessung und Kugel-Cylinder sind die Handschriften -am verdorbensten. Eng an die Kreismessung schliesst -sich die Schrift περι ἡλικων, <span class="gesperrt">über die Archimedische Spirale</span>, -erzeugt durch einen Punkt Μ, der sich gleichförmig auf -einem sich gleichförmig drehenden Radius bewegt. Da die -Gleichung der Kurve in Polarkoordinaten r = a . Θ, wo a2π gleich -der Strecke ΑΘ ist, welche Μ auf dem Radius während eines -vollen Umlaufs zurücklegt, so gibt die Kurve sowohl den Kreisumfang -als auch jede beliebige Bogen- oder Winkelteilung. Sie -wird mit den denkbar einfachsten geometrischen Mitteln behandelt, -noch elementarer als in der kleinen analytischen Geometrie, -Sammlung <span class="gesperrt">Göschen</span> No. 65, auch der Flächeninhalt -durch Integration des Polarflächenelements <sup>1</sup>/<sub>2</sub> r<sup>2</sup> dΘ ermittelt. -Die Einleitung ist für die Datierung der Werke wichtig, sie -wiederholt die vor langen Jahren an Konon gesandten Sätze,<span class="pagenum"><a name="Seite_p274" id="Seite_p274">[S. 274]</a></span> -darunter zwei Vexiersätze, es heisst: Es trifft sich, dass darunter -zwei Platz gefunden haben, welche eine Erfüllung (nämlich der -Forderung sie zu beweisen) vermissen lassen, damit die Leute, -welche behaupten, sie könnten alles finden, während sie doch -keinen Beweis herausbringen, überführt werden, dass sie hier mal -eingestanden haben, das Unmögliche zu finden.</p> - -<div class="sidenote">Archimedes: Ephodion.</div> - -<p>Über das ἐφόδιον habe ich schon Einiges gesagt. Es führt im -Palimpsest <span class="gesperrt">Heiberg</span>, Hermes 42 p 243 den Titel Archimedous -peri tōn mechanikōn Theōrematōn pros Eratosthenen ephodos; -seine Existenz war bis 1903 nur durch eine Stelle des Lexikographen -<span class="gesperrt">Suidas</span> bekannt, und 1903 durch ein Zitat in dem -von Schoene herausgegebenen Codex Constantinopolitanus der -Metrika des Heron von Alexandria. Die beiden von Heron angeführten -Sätze über die kubierbaren Körper, den Cylinderhuf -und den Schnitt zweier im selben Würfel eingeschriebener Cylinder -mit aufeinander senkrechten Achsen werden gleich in der -Einleitung als Hauptleistungen des έφοδος, der Methode, angeführt. -Den ersten Satz habe ich als Primaner unter <span class="gesperrt">Bertram</span>, -der ihn wohl durch <span class="gesperrt">Schellbach</span> kannte, selbst bewiesen, und -seit 1873 meinen Primanern fast regelmässig vorgesetzt. Wer -ihn wieder aufgefunden weiss ich nicht, vielleicht <span class="gesperrt">Luca Valerio</span> -»der zweite Archimedes«. Als Beispiel der Methode gebe -ich die Kugelberechnung, aus der sowohl die Kunst des Archimedes -als auch die eigenartige Verquickung von Statik und -Differentialrechnung in der Methode auf das deutlichste hervorgeht.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 270px;"> -<img src="images/pg275_ill.png" width="270" height="249" alt="" /> -</div> - -<div class="sidenote">Archimedes: Ephodion, daraus Kugelberechnung.</div> - -<p>II. Dies (die Parabelquadratur) ist zwar durch das jetzt -Gesagte nicht voll bewiesen, aber es gibt doch gewissermassen -den Nachweis, dass die Schlussfolge richtig sei etc. Dass aber -jede Kugel das vierfache (im Text fehlt der Doppellängsstrich -über das δ von διπλασια) des Kegels ist, der zur Basis den grössten -Kugelkreis und zur Höhe den Kugelradius hat und von dem -Cylinder, der den grössten Kugelkreis zur Basis und eine Höhe -gleich dem Kugeldurchmesser hat, das anderthalbfache ist, wird<span class="pagenum"><a name="Seite_p275" id="Seite_p275">[S. 275]</a></span> -folgendermassen nach dieser Methode erschaut. Gegeben eine -Kugel, in welcher ein grösster Kreis αβγδ (s. Fig.) αγ u. βδ -seine zwei aufeinander senkrechte -Durchmesser, und um den Durchmesser -βδ sei der auf den Kreis -αβγδ senkrechte Kreis gezogen und -von diesem senkrechten (Kreis) aus, -sei ein Kegel beschrieben der seinen -Scheitel im Punkte α habe und nachdem -seien Oberfläche ausgezogen soll -der Kegel geschnitten worden sein -von einer Ebene durch γ parallel zur -Basis. [Sie wird aber einen Kreis schaffen senkrecht auf] αγ, und sein -Durchmesser [ist ζε]. Und von diesem Kreis aus soll ein Cylinder angeschrieben -worden sein, der eine Achse hat (άξονα) welche αγ -gleich ist, und Kanten des Cylinders solle ελ und ζη sei. Und γα -ist verlängert worden (eig. weiter geworfen, vom Seil mit dem -die Gerade ursprünglich konstruiert wurde) und es wurde ihr -gleich gesetzt αθ (κειμαι ist hier nicht liegen, sondern wie häufig -Passiv von τιθημι setzen), und es werde γθ als Wagebalken -gedacht dessen Mitte Punkt α, und es sollte irgend eine -Parallele gezogen werden zu βδ, die Linie μν (wörtlich die für -βδ vorhanden seiende), und sie soll den Kreis αβγδ schneiden in -den Punkten ξ und ο [Punkt wird durch den Strich über ξ und -ο angedeutet] und den Durchmesser αγ in σ und die Gerade αε -in π, und αρ in ρ und von der Geraden μν aus soll eine Ebene -senkrecht zu αγ gestellt worden sein. Diese wird nun in dem -Cylinder als Schnitt bewirken [den Kreis dessen Durchmesser -μν sein wird und in der Kugel αβγδ] den Kreis dessen Durchmesser -ξο sein wird und in dem Kegel αερ den Kreis dessen Durchmesser -πρ sein wird. Weil nun das Rechteck aus μσ und σπ — denn -αγ ist gleich σμ und ασ gleich πσ — und das Rechteck aus γα -und ασ gleich ist den Quadrat über αξ, das heisst ξσ<sup>2</sup> plus σπ<sup>2</sup>, -<span class="pagenum"><a name="Seite_p276" id="Seite_p276">[S. 276]</a></span>so ist folglich das Rechteck aus μσ und σπ gleich ξσ<sup>2</sup> + σπ<sup>2</sup>. [Ich -bemerke dass Zeile 22 am Schluss statt α gelesen werden muss ὑ.] -Und weil γα : ασ wie μσ : σπ und γα gleich αθ, folglich θα : ασ = -μσ : σπ, d. h. gleich μσ<sup>2</sup> : μσ . σπ. Das Rechteck aus μσ und σπ -wurde gleich erwiesen ξσ<sup>2</sup> + σπ<sup>2</sup>; also αθ : ασ wie μσ<sup>2</sup> : (ξσ<sup>2</sup> -+ σπ<sup>2</sup>) wie μν<sup>2</sup> : ξο<sup>2</sup> + πρ<sup>2</sup>. Sowie μν<sup>2</sup> : ξο<sup>2</sup> + πρ<sup>2</sup> so verhält sich -der Kreis im Cylinder mit dem Durchmesser μν zu der -Summe der Kreise, des im Kegel mit Durchmesser πρ und des -in der Kugel dessen Durchmesser ξο. Also θα : ασ so wie der -Kreis im Cylinder zu den (beiden) Kreisen (zusammen) dem in -der Kugel und dem im Kegel. <span class="gesperrt">Wegen dieses Verhältnis -von θα : ασ wird der Cylinderkreis in bezug auf -Punkt α den beiden Kreisen zusammen mit den -Durchmessern ξο und πρ, fortgetragen und so zu θ -gesetzt, dass θ der Schwerpunkt jedes der -beiden Kreise ist, das Gleichgewicht halten</span> etc. -... »Nachdem nun der Cylinder von dem angenommenen -Kreise <span class="gesperrt">ausgefüllt</span> ist«. Wegen dieser selbstverständigen -Abkürzung, die auch heute noch wohl jeder, der -den Satz und Beweis in der Prima vorträgt, gebrauchen wird, -ist <span class="gesperrt">ein Archimedes beschuldigt</span> worden, den Körper -gleich der Summe von Flächen, wie aus gleichem Grunde bei -Satz I, der Parabelquadrierung, die Fläche als Summe von -Linien angesehen zu haben, hundert Jahre nach Aristoteles und -noch dazu wohl kurz nach seinem Weggang aus Alexandrien, -wo doch wahrlich ein strenger Dogmatismus herrschte! Heranzuziehen -ist aus der Einleitung des Arenarius die Stelle 63. 2, -επει γάρ το τάς σφαιρας κέντρον ουδέν έχει μέγεθος etc.) wird der -Cylinder im Punkte α der Kugel und dem Kegel zusammen das -Gleichgewicht halten. Da der Schwerpunkt des Cylinders im -Punkte κ liegt und der der beiden andern Körper in θ, so -wird nach dem Hebelgesetz, das in ἑπιπεδων ἱσορροπιων I bewiesen -ist, der Cylinder doppelt so gross sein, als die beiden -andern Körper zusammen. Mit diesem Nachweis ist das Theorem, -da der Kegel nach <span class="gesperrt">Demokrit</span> und <span class="gesperrt">Eudoxos</span> <sup>1</sup>/<sub>3</sub> des<span class="pagenum"><a name="Seite_p277" id="Seite_p277">[S. 277]</a></span> -Cylinders ist, der mit ihm gleiche Grundlinie und Höhe hat, im -wesentlichen bewiesen. Man sieht auch, dass das Buch I vom -Schwerpunkt ebener Flächen der Ausgangspunkt für Archimedes -gewesen und dass er um Buch II schreiben zu können seine -Differentialrechnung ausbilden musste, ich setze daher das Ephodion -gleich hinter Buch I der Konzeption nach. —</p> - -<div class="sidenote">Archimedes: Die zwei Bücher vom Schwerpunkt.</div> - -<p><span class="gesperrt">Buch I der Schrift über den Schwerpunkt</span> ist -die erste von Archimedes veröffentlichte Schrift, <span class="gesperrt">Nizze</span> vermutet -wohl richtig, dass sie dem <span class="gesperrt">Konon</span> gewidmet gewesen, sie ist auch -inhaltlich wohl die erste gewesen. Sie ist vermutlich kurz nach -des Archimedes Rückkehr in die Heimat verfasst worden, denn -er war unter dem Einfluss der stark auf angewandte Mathematik -gerichteten Alexandrinischen Schule, wie auch aus der Erfindung -der κοχλιας hervorgeht, viel mit Mechanik beschäftigt. Es ist vom -Standpunkt der reinen Mathematik zu bedauern, dass er seine -Differentialrechnung von vornherein mit statischen Ideen belastet -hat. Der Inhalt dieses ersten Buches fehlt in keinem -elementaren Schulbuch der Physik, das Hebelgesetz selbst ist in -Satz 6 und 7 auseinander gezogen, da es für kommensurable -und inkommensurable Massen gesondert bewiesen wird, es wird -Buch II, 1 noch einmal bewiesen, mit Hilfe der einfachsten -Sätze über den Schwerpunkt des Parallelogramms I, 9 und 10. -Den Begriff Schwerpunkt definiert er nicht, da er ihn als dem -Konon bekannt voraussetzt.</p> - -<div class="sidenote">Schwerpunkt II.</div> - -<p>Buch II beschäftigt sich im wesentlichen mit parabolischen -Flächen, es zeigt vor allem eine ausserordentliche Vertrautheit -mit dem Proportionenkalkül, sicher ein Rüstzeug aus der Alexandrinischen -Schule, doch ist es von geringerer Wichtigkeit wie -Buch I. Die beiden Bücher über <span class="gesperrt">schwimmende Körper</span> -gehören zu seinen grössten Leistungen, sie enthalten die unverrückbare -Grundlage der Hydrodynamik, auch <span class="gesperrt">ihr</span> Inhalt ist uns -in succum et sanguinem übergegangen. Annahme I, Satz 6 und -7 enthalten die eigentlichen Prinzipien und werden heute als -<span class="gesperrt">Archimedisches</span> Prinzip bezeichnet. Unter Gewicht ist,<span class="pagenum"><a name="Seite_p278" id="Seite_p278">[S. 278]</a></span> -wie Nizze bemerkt, immer das spezifische Gewicht zu verstehen. -Buch II wiederholt das Prinzip und geht dann auf die speziellen -Fälle in Flüssigkeiten eingetauchter Umdrehungsparaboloide ein. -Die Annahme 11 von Buch I ist keine genügend klare Fassung -des Prinzips von der gleichmässigen Fortpflanzung des Druckes -in Flüssigkeiten. Buch II ist für die Beurteilung der vis -mathematica des Archimedes von hohem Wert und seine -Theorie der Hydrostatik ist auch für beliebige Körper anwendbar.</p> - -<p>Das Werk hat ein eigentümliches Schicksal gehabt. Der -Dominikanermönch Wilhelmus de Morbeca hat es um die Mitte -des 13. Jahrh. aus griechischem Text lateinisch übersetzt; ob dem -Verfasser des general trattato, Nik. Tartaglia, ein griechischer -Codex vorgelegen, ist nicht sicher, er gab Buch I lat. 1543 -(Venedig) heraus und aus seinem Nachlass veröffentlichte Trojanus -Curtius 1565 das zweite Buch. Jetzt berichtet <span class="gesperrt">Heiberg</span> -dass der Palimpsest den Text von περι οχουμενων fast vollständig -enthält und konnte daraufhin schon die Unechtheit des von -<span class="gesperrt">A. Mai</span> aus Vatikanischen Codices edierten Fragments, Forderung -1 und die 8 ersten Sätze, feststellen.</p> - -<div class="sidenote">Wahlsätze.</div> - -<p>Von den <span class="gesperrt">Wahlsätzen</span>, dem liber assumptorum sind als -echt erwiesen die Sätze über den Arbēlos, das Schustermesser -und über die fälschlich Wogenfläche, richtiger Eppigblatt genannte -Fläche σέλινον. Meine Didaktik und Methodik weist -die Lehrer auf diese bei der Kreisberechnung in Secunda -so erwünschten Aufgaben hin. Für den Arbēlos verweise ich -auf meine Entwicklung der Elementar-Geometrie (1906) No. 9 -p. 87 f. Die 15 Sätze sind aber alle miteinander für den Unterricht -sehr verwendbar, sie machen übrigens durchaus nicht den -Eindruck, als ob sie von verschiedenen Autoren herrühren und -können ganz wohl aus einem Buch des Archimedes über Kreisberührungen -stammen.</p> - -<div class="sidenote">Archimedes: Arenarius (Sandzähler).</div> - -<p>Von arithmetischen Werken ist unzweifelhaft in der Fassung -des Archimedes nur ein einziges erhalten, der ψαμμίτης, <span class="gesperrt">arenarius,<span class="pagenum"><a name="Seite_p279" id="Seite_p279">[S. 279]</a></span> -der Sandzähler</span>. Die Einleitung der an den -König Gēlon, den Sohn des Hiero gerichteten Schrift lautet:</p> - -<p>»Es glauben manche, König Gēlon, des Sandes Zahl sei -unendlich der Menge nach, ich spreche aber nicht nur von dem -um Syrakus und das übrige Sizilien, sondern auch von dem auf -jedem Raum, bewohnten wie unbewohnten.</p> - -<p>Es gibt aber auch Leute, welche zwar nicht annehmen, dass -derselbe unendlich sei, aber doch, dass keine aussprechbare Zahl -existiere, welche die Menge des Sandes überträfe. Wenn diejenigen, -welche solche Ansicht haben eine aus Sand zusammengesetzte -Kugel sich denken würden, so gross im übrigen wie die -Erdkugel, aber so, dass auf dieser alle Meere und Höhlungen bis -zur Höhe der höchsten Berge ausgefüllt würden, so würden sie -noch viel mehr der Meinung sein, dass keine Zahl genannt -werden könne, welche die Menge des Sandes ihrer Kugel überträfe. -Ich aber will versuchen dir durch mathematische Beweise, -welchen du beipflichten wirst, zu zeigen, dass unter den -von mir benannten Zahlen, welche sich in meiner Schrift an den -Zeúxippos finden, einige nicht nur die Zahl des Sandes übertreffen, -der die Grösse der Erde hat, ausgefüllt so wie wir gesagt -haben, sondern auch dessen, der die Grösse des Weltalls hat.</p> - -<p>Du weisst ja, dass die meisten Astronomen unter Kosmos -eine Kugel verstehen, deren Zentrum das Zentrum der Erde ist -und deren Radius vom Zentrum der Erde bis zum Zentrum der -Sonne reicht. Denn dies wird gewöhnlich geschrieben, wie du -von den Astronomen erfahren hast. <span class="gesperrt">Aristarch von Samos</span> -dagegen gab schriftlich einige Hypothesen heraus, aus denen, -nach dem Vorliegenden hervorgeht, dass die Welt vielmal grösser -sei als die eben genannte. Er nimmt nämlich an, dass die Fixsterne -und die Sonne unbeweglich seien, die Erde aber sich in einer Kreislinie -um die Sonne, welche mitten in der Bahn steht, herumbewege. -Die Kugel der Fixsterne nun, mit der Sonne um dasselbe Zentrum -liegend, habe eine solche Grösse, dass der Kreis, in welchem -nach seiner Annahme die Erde sich bewegt, zur Entfernung der<span class="pagenum"><a name="Seite_p280" id="Seite_p280">[S. 280]</a></span> -Fixsterne ein solches Verhältnis hat wie das Zentrum der Kugel -zur Oberfläche. Dies ist nun in seiner Unmöglichkeit ganz offenkundig -[Archimedes setzt nun auseinander, dass Aristarchos das -Verhältnis der Erde zur Welt dem der Kuben der Radien des -Erd- und Fixsternkreises gleich erachte, ein wie Nizze mit -Recht hervorhebt absichtliches Missverstehen der eigentlichen -Meinung, dass die Erde gegen die Welt als verschwindend zu -betrachten sei]. Der Schluss lautet: Ich behaupte nun, dass wenn -auch eine Kugel aus Sandkörnern existieren sollte von der Grösse -welche nach der Annahme des Aristarch die Fixsternsphäre -hat, auch dennoch von den in den »Anfangsgründen« (Αρχαι) benannten -Zahlen sich einige aufweisen lassen würden, welche an -Fülle die Zahl des Sandes überträfen, der eine Grösse hat gleich -der besagten Kugel, und zwar auf folgenden Grundlagen.«</p> - -<p>Kulturhistorisch wichtig ist besonders Paragraph 3 und 4, -sie zeigen, wie grundlos das Vorurteil ist, dass die Alten nicht -experimentiert hätten, was z. B. noch <span class="gesperrt">Ch. Thurot</span> in den Recherches -hist. sur le princ. d'Arch., Rev. d'Archéol. 1868 B. 18 -etc. ausspricht; es ist dies Vorurteil ebenso unausrottbar wie die -Anschauung, dass sie die Brüche etc. nicht als Zahlen angesehen, -oder die Bewegung nicht als Hilfsmittel für die Konstruktion -zugelassen.</p> - -<p>Die »Archai« sind eine verlorene Schrift an den Ζεύξιππος, -der wohl zum Freundeskreis aus der Studierzeit gehörte, sie -handelte vermutlich von der Zahl und dem Zählen.</p> - - -<h3>Exkurs über das elementare Rechnen der -Griechen.</h3> - -<div class="sidenote">Exkurs über -das elementare Rechnen der Griechen (Logistik).</div> - -<p>Hier ist nun die Stelle, wo ich gezwungen werde auf die -griechischen Zahlzeichen und die praktische Rechenkunst, die -Logistik, einzugehen. Als Quellen führe ich Ihnen an: <span class="gesperrt">J. B. J. Delambre</span>, -Arithm. d. Grecs, Anhang zu Peyrards Übersetzung -des Archimedes von 1807 und noch in Hist. de l'astron. -anc. Par. 1817, <span class="gesperrt">Nesselmanns</span> treffliche Algebra der Griechen<span class="pagenum"><a name="Seite_p281" id="Seite_p281">[S. 281]</a></span> -nach den Quellen bearbeitet Berl. 1842, leider nur ein -Band, <span class="gesperrt">G. Friedlein</span> die Zahlzeichen und das elementare -Rechnen der Griechen und Römer, Erl. 1869; <span class="gesperrt">F. Hultsch</span> -script. Graec. metrol. 1864, <span class="gesperrt">S. Günther</span> Gesch. der Math. und -Naturw. im Iwan Müller, und dann die Geschichtswerke.</p> - -<p>Anfänglich sind wie überall Striche die Zahlzeichen, dann -zur Zeit des <span class="gesperrt">Solon</span> etwa, bezeichnete man die Zahl mit den -Anfangsbuchstaben des Zahlworts: Π war πεντε (τα) fünf, Δ war -δεκα zehn, Η war 100, sie heissen Herodianisch nach einem späteren -Alexandrinischen Grammatiker, so findet sich z. B. auf der -Tafel von Salamis ΗΗΗΔΔΔΔΠΙΙΙΙ = 349. Von hier aus -war zur Annahme des Semitischen Gedankens die Zahlen mit -den Buchstaben des Alphabets zu bezeichnen, nur ein kleiner -Schritt, und diese Methode verbreitet sich von 500 ab. Dabei -nahmen sie 3 Buchstaben des phönicischen Alphabets die Lautabstufung -bezeichneten, die Hellenischer Zunge oder Kehle unaussprechbar -waren als sogen. επισημα (Zusatzzeichen) auf; es -sind das ϛ Bau oder Wau für 6, ϙ Koppa für 90 und sampi -ein liegendes ϡ für 900. Sie schreiben also:</p> - - -<div class="center"> -<table border="0" cellpadding="4" cellspacing="0" summary="Zahlen der Griechen"> -<tr><td align="center">1</td><td align="center">2</td><td align="center">3</td><td align="center">4</td><td align="center">5</td><td align="center">6</td><td align="center">7</td><td align="center">8</td><td align="center">9</td></tr> -<tr><td align="center">α</td><td align="center">β</td><td align="center">γ</td><td align="center">δ</td><td align="center">ε</td><td align="center">ϛ</td><td align="center">ζ</td><td align="center">η</td><td align="center">Θ</td></tr> -<tr><td align="center">ι</td><td align="center">κ</td><td align="center">λ</td><td align="center">μ</td><td align="center">ν</td><td align="center">ξ</td><td align="center">ο</td><td align="center">π</td><td align="center">ϟ</td></tr> -<tr><td align="center">ρ</td><td align="center">σ</td><td align="center">τ</td><td align="center">υ</td><td align="center">φ</td><td align="center">χ</td><td align="center">ψ</td><td align="center">ω</td><td align="center">ϡ</td></tr> -</table></div> - - -<p>Die untereinander stehenden Zahlen unterscheiden sich -durch den Faktor 10 also 349 gleich τμΘ.</p> - -<p>Sollten die Buchstaben Zahlen bedeuten, so bekamen sie -meistens einen wagerechten Strich oberhalb z, B. ᾱ (die jetzigen -Grammatiken ἁ). Die 9 Tausender werden durch die betreffenden -Einer mit einem kleinen Strich darunter dargestellt, also -<span class="unterstrich"><span>α</span><span>'</span></span>...<span class="unterstrich"><span>Θ</span><span>'</span></span>. Das Zeichen für 10000 war M oder Μυ von Μυριοι -Myrioi) 10000 z. B. <span class="fraction"><span>ϛ</span><span>M</span></span> für 60000. Häufig wird nur ein Punkt -gesetzt z. B. δ.<span class="unterstrich"><span>γ</span><span>'</span></span>υνη <span class="gesperrt">gleich</span> 43458. So konnte man bis 9999 -Μυ + 9999 also 10<sup>8</sup> - 1 kommen, griech. <span class="unterstrich"><span>Θ</span><span>'</span></span>ϡϟΘ.<span class="unterstrich"><span>Θ</span><span>'</span></span>ϡϟΘ. Die -<span class="pagenum"><a name="Seite_p282" id="Seite_p282">[S. 282]</a></span> -Brüche wurden meist nach ägyptischem Vorbild in Stammbrüche -zerlegt und dann nur der Nenner mit einem Akzent geschrieben, -also ἡ = <sup>1</sup>/<sub>8</sub>, besondere Zeichen gab es (Ägypten) für <sup>1</sup>/<sub>2</sub>: ϙ und -<sup>2</sup>/<sub>3</sub>: Κ. Wurde der Bruch unzerlegt hingeschrieben, so deutete -man den Zähler durch einen Akzent an und schrieb den Nenner -doppelt mit 2 Akzenten also λδ′ ωπη″ ωπη″ = 34/888. <span class="gesperrt">Addition</span> -und <span class="gesperrt">Subtraktion</span> waren von der unsrigen nicht verschieden, man -schrieb die gleich benannten Zahlen unter einander, addierte sie -und behielt die überschiessenden Einheiten im Kopf, und entsprechend -verfuhr man bei der Subtraktion, wofür das Beispiel -aus Eutokios Kommentar zur κυκλου μετρησις entnommen ist.</p> - - -<div class="center"> -<table border="0" cellpadding="4" cellspacing="0" summary="Subtraktion"> -<tr><td align="center">Θ.<span class="unterstrich"><span>γ</span><span>'</span></span>χλϛ </td><td /><td align="center">93636</td></tr> -<tr><td align="center">β.<span class="unterstrich"><span>γ</span><span>'</span></span>υ Θ </td><td /><td align="center">23409</td></tr> -<tr><td class="hrule"></td><td /><td class="hrule"></td></tr> -<tr><td align="center">ζ. σκζ </td><td /><td align="center">70227</td></tr> -</table></div> - -<p>Auch die Multiplikation vollzog sich unschwer, nach dem -Schema des Eutokischen Beispiels.</p> - - -<div class="center"> -<table border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" summary="Rechnung 571 · 571"> -<tr><td align="center">φοα</td><td /><td align="center">571</td></tr> -<tr><td align="center">φοα</td><td /><td align="center">571</td></tr> -<tr><td class="hrule"></td><td /><td class="hrule"></td></tr> -<tr><td align="center"><span class="unterstrich"><span>κε</span><span>Μ</span></span><span class="unterstrich"><span>γ</span><span>Μ</span></span>.<span class="unterstrich"><span>ε</span><span>'</span></span>φ</td><td /><td align="center">25....</td></tr> -<tr><td /><td /><td align="center"> 35...</td></tr> -<tr><td /><td /><td align="center"> 5..</td></tr> -<tr><td align="center"><span class="unterstrich"><span>γ</span><span>Μ</span></span><span class="unterstrich"><span>ε</span><span>'</span></span><span class="unterstrich"><span>δ</span><span>'</span></span>ϡο</td><td /><td align="center"> 35...</td></tr> -<tr><td /><td /><td align="center"> 49..</td></tr> -<tr><td /><td /><td align="center"> 7.</td></tr> -<tr><td align="center">φοα</td><td /><td align="center"> 571</td></tr> -<tr><td class="hrule"></td><td /><td class="hrule"></td></tr> -<tr><td align="center"><span class="unterstrich"><span>λβ</span><span>Μ</span></span>.<span class="unterstrich"><span>ϛ</span><span>'</span></span>μα</td><td /><td align="center">32<small>m</small>6041</td></tr> -</table></div> - - - - -<div class="center"> -<table border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" summary="Rechnung 1009-1/6 · 1009-1/6"> -<tr><td> </td></tr> -<tr><td align="center"><span class="unterstrich"><span>α</span><span>'</span></span>θϛ'</td><td /><td align="center">1009 <sup>1</sup>/<sub>6</sub></td></tr> -<tr><td align="center"><span class="unterstrich"><span>α</span><span>'</span></span>θϛ'</td><td /><td align="center">1009 <sup>1</sup>/<sub>6</sub></td></tr> -<tr><td class="hrule"></td><td /><td class="hrule"></td></tr> -<tr><td align="center"><span class="unterstrich"><span>ρ</span><span>Μ</span></span><span class="unterstrich"><span>θ</span><span>'</span></span>ρξϛϙϛ'</td><td /><td align="center">1009166½ + <sup>1</sup>/<sub>6</sub></td></tr> -<tr><td align="center"><span class="unterstrich"><span>θ</span><span>'</span></span>πααϙ</td><td /><td align="center">9081</td></tr> -<tr><td /><td /><td align="center">1½</td></tr> -<tr><td align="center">ρξϛϙϛ'ακλϛ'</td><td /><td align="center">166½ + <sup>1</sup>/<sub>6</sub></td></tr> -<tr><td /><td /><td align="center">1½ + <sup>1</sup>/<sub>36</sub></td></tr> -<tr><td class="hrule"></td><td /><td class="hrule"></td></tr> -<tr><td align="center"><span class="unterstrich"><span>ρα</span><span>Μ</span></span><span class="unterstrich"><span>η</span><span>'</span></span>υιζγλϛ'</td><td /><td align="center">1018417 <sup>1</sup>/<sub>3</sub> + <sup>1</sup>/<sub>36</sub></td></tr> -</table></div> - -<p><span class="gesperrt">Delambre</span> sagt mit Recht sie ist leichter als unsere, -weniger Fehlern ausgesetzt, nur etwas länger. Für die Division -haben wir bei Eutokios kein ausgeführtes Beispiel, aber in -<span class="gesperrt">Theon</span> des Alexandriners Kommentar zum Almagest findet sich eine -Anleitung zum Rechnen mit Astronomischen Brüchen d. h. mit -Sexagesimalzahlen (s. Babylon) welche genau unsern Dezimalbrüchen -entsprechen, der Algorithmus der Division bei Theon ist nur etwas -zeitraubender, während das Quadratwurzelausziehen vom unsrigen -nicht verschieden ist.</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p283" id="Seite_p283">[S. 283]</a></span></p> - -<div class="sidenote">Archimedes, Arenarius.</div> - -<p>Im <span class="gesperrt">Sandzähler</span> nimmt <span class="gesperrt">Archimedes</span> das einzelne -Sandkorn so klein an, dass 10<sup>4</sup> auf ein Mohnkorn gehen.</p> - -<p>Dann weist er nach, dass 64000 Mohnkörner ein Volumen -liefern, grösser als eine Kugel von 1 Zoll (Finger) Durchmesser, -also ist die Zahl der Sandkörner, welche diese Kugel fassen kann -< 64 . 10<sup>7</sup> also < 10<sup>9</sup>, also die Sandzahl der Kugel von 100 Zoll -kleiner als 10<sup>6</sup> . 10<sup>9</sup> oder 10<sup>15</sup> und die der Kugel von 10<sup>4</sup> -Zoll Durchmesser < 10<sup>21</sup>. Aber ein <span class="gesperrt">Stadion</span> zu 600 Fuss hat -nur 9600 Zoll, also ist die Sandzahl der Kugel vom Durchmesser -eines Stadion kleiner als die Zahl 10<sup>21</sup>, und die von 100 -Stadien kleiner als 10<sup>27</sup> und die von 10000 Stadien kleiner als -10<sup>33</sup> und die Sandzahl der Kugel vom Durchmesser 10000 Millionen -Stadien kleiner als 10<sup>51</sup>.</p> - -<p>Nun hat auf Grund der experimentellen Untersuchung des -Gesichtswinkels, in § 3 und § 4 erzählt, Archimedes festgestellt, dass -der Sonnendurchmesser grösser sei als die Seite eines reg. Tausendecks, -das in einen grössten Kreis der Weltkugel eingeschrieben -ist, also ist der Umfang dieses Tausendecks kleiner als 1000 -Sonnendurchmesser. Setzt man nun den Sonnendurchmesser -nicht grösser als 30 Monddurchmesser und den Monddurchmesser -kleiner als den des Erddurchmessers, so ist der Umfang des Tausendecks -kleiner als 30000 Erddurchmesser, also der Durchmesser des -Welthauptkreis kleiner als 10000 dieser. Archimedes setzt nun, -was für seinen Zweck möglichst hohe Zahlen abzählbar zu -machen, ein Vorteil, den Erdumfang auf weniger als 3 Millionen -Stadien, (eine gegen die fast gleichzeitige Eratosthenessche Messung -auffallende Überschätzung) und kommt so für den Weltdurchmesser -zu der oberen Grenze von 10000 Millionen Stadien, deren Sandzahl -kleiner als 10<sup>51</sup> war. — <span class="gesperrt">Archimedes</span> zählt nun zunächst in gewöhnlicher -Weise bis zur oberen Grenze, d. h. also Myrio Myriaden -– 1. <span class="unterstrich"><span>Θ</span><span>'</span></span>ϡϟΘ.<span class="unterstrich"><span>Θ</span><span>'</span></span>ϡϟΘ = 99,999,999. Diese Zahlen nennt -er <span class="gesperrt">erste</span>, d. h. <span class="gesperrt">erster Ordnung</span>, und macht nun 10<sup>8</sup> zu -einer neuen Einheit, die er <span class="gesperrt">zweite</span> nennt, und kann nun bis -<span class="pagenum"><a name="Seite_p284" id="Seite_p284">[S. 284]</a></span>Myrio Myrioi Myriaden d. h. 10<sup>16</sup> - 1 zählen, dann kommen -die Zahlen dritter Ordnung von 10<sup>1</sup>6 bis 10<sup>2</sup>4 - 1, und so fort, -d. h. also er teilt die Zahlen ab nach <span class="gesperrt">Oktaden</span>. Aber auch die -Ordinalzahlen, die er zur Abzählung der Oktaden braucht, werden -mit der 100 Millionsten weniger Eins erschöpft, er fasst also -die bisher benannten Zahlen zusammen als Zahlen der <span class="gesperrt">ersten -Periode</span>, er gelangt so zu einer Zahl welche wir mit -799,999,999 Neunen schreiben würden, die Zahl 99,999,999 -der 99,999,999sten Ordnung, er macht nun (10<sup>8</sup>)<sup>(10<sup>8</sup>-1)</sup> oder -(10000<sup>2</sup>)<sup>(10000<sup>2</sup>-1)</sup> zu einer neuen Einheit und zur zweiten Periode -und gelangt so schliesslich zur Zahl 10<sup>8</sup>, der Ordnung -10<sup>8</sup> der Periode 10<sup>8</sup> welche wir mit 1 und 80000 Billionen Nullen -schreiben würden.</p> - -<p>Der Paragraph 9 der Nizzeschen Übersetzung (Heiberg -268 f.) zeigt dass Archimedes keineswegs wie Nesselmann meint, -nur neue Zahlworte geschaffen hat, sondern tatsächlich das Positionssystem -gefunden und ebenso zeigt § 10 wie dicht er an <span class="gesperrt">Potenz</span> -und <span class="gesperrt">Logarithmenrechnung</span> gestreift hat. Er führt -darin den Begriff des Abstands ein, und nur dadurch, dass er -der Einer-Ziffer den Exponent 1 statt 0 gibt, wird seine Regel -10<sup>n+1</sup> . 10<sup>m+1</sup> = 10<sup>n+m+1</sup> von unsern Fundamentalsatz 10<sup>a</sup> . 10<sup>b</sup> -= 10<sup>a+b</sup> abweichend.</p> - -<p>Die gefundene Zahl 10<sup>51</sup> ist die 3. Stelle der 7. Oktade, -steht also ziemlich am Anfang der ersten Periode, welche 100 -Millionen Oktaden weniger einer enthält, aber selbst wenn er -statt der Weltkugel die Fixsternkugel wie er sie dem Aristarch -zuschreibt, annimmt, deren Durchmesser kleiner ist als 10<sup>4</sup> Weltdurchmesser, -so wird die Sandzahl kleiner als 10<sup>63</sup> d. h. als die -8. Stelle der 8. Oktade.</p> - -<div class="sidenote">Archimedes: Rinderproblem, Eratosthenes.</div> - -<p>An den Psammites schliesst sich das Rinderproblem, προβλημα -βοων an, es ist in Distichen abgefasst und an Eratosthenes -gesandt; gefunden wurde es von <span class="gesperrt">Gotthold Ephraim Lessing</span> -als Bibliothekar in Wolfenbüttel und 1773 ediert. Wenn -auch die Echtheit der Verse zweifelhaft sein mag, so ist es jedenfalls -ein »Archimedisches Problem« und Heiberg sagt, dass kein<span class="pagenum"><a name="Seite_p285" id="Seite_p285">[S. 285]</a></span> -Grund vorliegt, es Archimedes selbst abzusprechen. Die Einkleidung -des Problems schliesst an Odyssee V. 7 an: νηπιοι οἱ -κατα βους Ὑπεριονος Ἡελιοιο ἡσθιον, es soll die Zahl der Rinder -des Sonnengotts auf Trinakria (Sizilien, nach seiner dreieckigen -Gestalt genannt), berechnet werden. Es handelt sich um -weisse (w), blaue (b), gelbbraune (g) und scheckige (s); Stiere -und Kühe durch Striche unterschieden. Zur Bestimmung der 8 -Unbekannten hat man 7 Gleichungen ersten Grades, es handelt -sich also um eine sogen. Diophantische Aufgabe. Dazu kommen -noch zwei Bedingungen w + b soll eine Quadratzahl, g + s eine -Dreieckszahl, d. h. von der Form <big>(</big><span class="binomial"><span>n</span><span>2</span></span><big>)</big> sein. M. E. hat Nesselmann -und nach ihm Struve etc. den Text ganz missverstanden, -nach meiner Auffassung lauten die sieben Gleichungen:</p> - - -<div class="center"> -<table border="0" cellpadding="4" cellspacing="0" summary="7 Gleichungen"> -<tr><td align="center">w = <sup>5</sup>/<sub>6</sub> b + g + g'</td><td align="center">w' = <sup>7</sup>/<sub>12</sub> (b + b')</td><td align="center">und:</td><td align="center">w + b = n<sup>2</sup></td></tr> -<tr><td align="center">b = <sup>9</sup>/<sub>20</sub> s + g + g'</td><td align="center">b' = <sup>9</sup>/<sub>20</sub> (s + s')</td><td /><td align="center">g + s = <span class="fractionbig"><span>n(n - 1)</span><span>1 · 2</span></span></td></tr> -<tr><td align="center"><sup>11</sup>/<sub>20</sub> s = <sup>13</sup>/<sub>42</sub> w + g + g'</td><td align="center">s' = <sup>11</sup>/<sub>30</sub> (g + g')[4]</td></tr> -<tr><td align="center"></td><td align="center">g' = <sup>13</sup>/<sub>42</sub> (w + w')</td></tr> -</table></div> - - -<p>Heiberg ist mit Fug und Recht der Ansicht, dass die -Behandlung eines solchen Systems die Kräfte eines Archimedes -nicht überstieg, dessen im Sinne <span class="gesperrt">H. Webers</span> spezifische mathematische -Begabung ihresgleichen nicht gefunden hat. Übrigens -ist die Weglassung des Faktors [4] (τετραχη) bei der -Gleichung für s' unberechtigt. Zur Durchführung fehlt es mir -an Zeit.</p> - -<p>Der zweite der Heroen des 3. Jahrhunderts, wenn auch -in weitem Abstand von Archimedes ist <span class="gesperrt">Eratosthenes</span>. Quellen: -<span class="gesperrt">F. Susemihl</span>, Geschichte der griechischen Literatur in der -Alexandrinerzeit; <span class="gesperrt">Bernhardy</span>, Artikel Eratosthenes im Ersch -und Gruber; <span class="gesperrt">Berger</span>, Die geographischen Fragmente des Eratosthenes, -Leipzig 1880; Quellen über sein Leben; <span class="gesperrt">Suidas</span> und -<span class="gesperrt">Strabon</span>.</p> - -<div class="sidenote">Eratosthenes (vita).</div> - -<p>Eratosthenes wurde 276 in Kyrene geboren, zuerst in -seiner Heimat durch den Grammatiker Lysanias unterrichtet,<span class="pagenum"><a name="Seite_p286" id="Seite_p286">[S. 286]</a></span> -studierte dann in Alexandria unter <span class="gesperrt">Kallimachos</span>, dem berühmten -Dichter und Leiter der Ptolemäischen Bibliothek, ging dann -nach Athen, wo er bei den der stoischen Richtung angehörigen -Philosophen <span class="gesperrt">Ariston</span> und <span class="gesperrt">Arkesilaos</span> sich philosophisch -aber auch besonders mathematisch bildete und eigene bedeutende -Schriften verfasste. Er folgte etwa um 235 einem Rufe des -Ptolemäos Euergetes als Nachfolger des Kallimachos und blieb -bis zu seinem Tode Leiter der Bibliothek. Da er infolge seiner -angestrengten Arbeit zu erblinden fürchtete, so tötete er, der -Stoiker war, sich durch Nahrungsverweigerung im 80. oder 82. -Lebensjahre etwa um 196 v. Chr.</p> - -<p>Ein hervorragender Zug des Eratosthenes ist seine Freiheit -von nationalen Vorurteilen; im Gegensatz zu <span class="gesperrt">Aristoteles</span> hat -er Alexanders grossartige Idee Orient und Okzident zu verschmelzen, -voll gewürdigt, und ist so ziemlich der erste, wenn -nicht einzige Hellene, der fremde Kultur objektiv zu beurteilen -vermochte.</p> - -<p>Wie erzählt wird, ward er β genannt nach einer Version, -weil er es in allen Künsten und Wissenschaften zum Rang -des zweiten gebracht, nach andern als zweiter Platon; auch -πενταθλος wird er genannt, der Fünfkämpfer, denn er war in -der Tat einer der vielseitigsten Gelehrten aller Zeiten. Am bedeutendsten -war er wohl als Geograph und Astronom, wenn ihn -auch auf letzterem Gebiet Hipparch von Nicaea (Bithynien) der -auch nach Rhodos genannt wird, übertroffen hat. Wir haben -von seinen drei Büchern Γεωγραφικα bedeutende Fragmente, und -ihr Inhalt ist uns durch Strabon und durch die Kritik Hipparchs -erhalten.</p> - -<div class="sidenote">Eratosthenes: Geographie.</div> - -<p>Eratosthenes hat besonders die sogenannte mathematische -und physikalische Geographie als Wissenschaft im heutigen Sinne -geschaffen, allerdings Vorarbeiten des Dikaiarchos benutzend. -Im 1. Buch gibt Eratosthenes eine kritische Geschichte der geographischen -Kenntnisse der Hellenen bei Homer und Hesiod, -wobei er sich nicht im geringsten scheute die Unwissenheit des<span class="pagenum"><a name="Seite_p287" id="Seite_p287">[S. 287]</a></span> -homerischen Zeitalters zu betonen, dann wandte er sich zu der -Geographie, beginnend mit <span class="gesperrt">Anaximander</span>, dem Schüler und -Freunde des Thales.</p> - -<p>Das 2. Buch enthält sodann die mathematische und physikalische -Geographie nebst dem Bedeutendsten der eigenen Leistungen; -die Grundlage bildet seine Gradmessung. Eratosthenes -hatte bemerkt, dass am längsten Tage in Syēne die Sonne um -Mittag den Boden eines Brunnens bescheint, d. h. im Zenith -steht, also Syēne unterm Wendekreis des Krebses liegt, und -glaubte, dass Alexandria und Syēne auf demselben Meridiane -lägen. Er mass nun am längsten Tage in Alexandria die Kulminationshöhe -der Sonne, bezw. die Zenithdistanz mittelst eines -<span class="gesperrt">Skaphion</span>, einer hohlen Halbkugel, und bestimmte dadurch -im Gradmass die Distanz Siene-Alexandria, dann mass er, allerdings -auf Grund der ägyptischen nomen oder der Gaueinteilung, -die direkte Entfernung und bestimmte so die Länge des Grades.</p> - -<p>Die Methode ist im Prinzip die noch heute angewandte, -nur irrte sich Eratosthenes darin, dass Alexandria und Syēne -auf demselben Meridian lägen. Weil aber auch die alten nomen -ziemlich fehlerhaft waren, so glichen sich die Fehler so ziemlich -aus und die Angabe des Eratosthenes auf 109 kil. statt 111 ist -merkwürdig genau. Die Gradmessung scheint er nach Makrobios -schon vorher in einer eignen Schrift mitgeteilt zu haben. Den -Umfang der Erde bestimmte er auf rund 250000 Stadien, genauer -252000.</p> - -<p>Der 3. Teil enthält eine kurz gefasste Einteilung und Beschreibung -der bewohnten Erde. Er teilte die bewohnte Erde -durch einen Parallelkreis von Gibraltar bis China in nördliche -und südliche Hälfte und jede Hälfte durch Striche zwischen je -zwei Meridiane in »σφραγιδες« d. h. wörtlich: Siegelabdrücke, die -er dann topographisch und ethnographisch beschrieb und kartographisch -aufnahm.</p> - -<div class="sidenote">Chronographie.</div> - -<p>Nicht minder bedeutend waren seine zwei andern Hauptwerke:</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p288" id="Seite_p288">[S. 288]</a></span></p> - -<p>1) περι χρονογραφιων vermutlich eine Kritik der bisherigen -Zeitbestimmungen und eine Anweisung einen chronologisch richtigen -Abriss der Geschichte inkl. der Literaturgeschichte zu schreiben. -Wahrscheinlich ist Eratosthenes der Urheber der Einführung des -Schalttages bei den Ägyptern durch das Edikt von Kanopus, -das bei Ägypten erwähnt ist.</p> - -<p>Er beschränkte sich nicht auf die politische Geschichte, er -bevorzugte die Kulturgeschichte, Philosophen, Dichter etc. und -hat ein eigenes Werk: »Ολυμπιονικαι« geschrieben. In der -Schrift περι της αρχαίας κωμωδιας. zeigte er sich als feinster Kritiker -und wissenschaftlich recht bedeutender Philologe und als -Kenner alles dessen, was zur Bühnentechnik gehört, auch gibt -er eine Menge geschichtlicher Notizen z. B. über Einrichtung bei -den Olympischen und anderen Spielen. Übrigens war er auch -selbst kein unbedeutender Dichter, vide <span class="gesperrt">E. Hiller</span>, Er. carminum -reliquiae Leipzig 1872.</p> - -<div class="sidenote">Würfelverdopplung.</div> - -<p>Von seinen mathematischen Werken ist nur wenig erhalten, -das meiste in dem schon erwähnten Brief an den Ptolemaios III -über die Würfelverdoppelung im Kommentar des Eutokios zu -περι σφαιρας etc. <span class="gesperrt">Heiberg</span>, Arch. p. III S. 102–114.</p> - -<p>Nach dem historischen Bericht gibt Eratosthenes seine eigene -Lösung mittelst eines Instruments das nach Pappos und Vitruv -»Mesolabos« (von den mittleren Proportionalen) hiess. Es bestand -aus drei massiven kongruenten Rechtecken, welche zwischen -zwei mit je drei Nuten versehenen Linealen übereinander geschoben -werden konnten.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 250px;"> -<img src="images/pg288_ill.png" width="250" height="152" alt="" /> -</div> - -<p>Die Anfangslage ist bei Eutokios -die der Figur. War nun ΑΕ -die grössere ΔΘ die kleinere Strecke, -so musste man die Rechtecke so -verschieben, dass das erste einen Teil -des zweiten, dieses einen Teil des -dritten verbarg, und zwar so, dass die Linie ΑΔ durch die -Punkte Β und Γ ging, an denen die Diagonalen sichtbar wurden;<span class="pagenum"><a name="Seite_p289" id="Seite_p289">[S. 289]</a></span> -siehe Figur. ΒΖ und ΓΗ sind dann -die mittleren Proportionalen, da ΑΖ, -ΒΗ, ΓΘ einander parallel sind.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 240px;"> -<img src="images/pg289_ill.png" width="240" height="101" alt="" /> -</div> - -<p>Der Brief ist von <span class="gesperrt">E. Hiller</span> -angezweifelt, insbesondere erklärt er -das Epigramm am Schluss für zweifelsohne unecht. Aber Proklos -hat p. 111 Z. 23 den Vers von den Menächmischen Triaden -zitiert und das Missverständnis des »ολιγου« im ersten Vers -wirft auf den Scharfsinn des Herausgebers kein günstiges Licht. -Die von <span class="gesperrt">Ambros Sturm</span> l. c. angeführte Begründung Hillers -ist sehr schwach, noch dazu gegenüber Eutokios und Proklos -und <span class="gesperrt">Heiberg</span> fertigt sie mit den Worten »nulla idonea causa -adlata« ab.</p> - -<p>Auf diesem allerdings mechanischen Wege »<span class="gesperrt">organica</span> -mesolabi ratione« (Vitruv) konnte man wie Eratosthenes selbst -angab, beliebig viele Mittlere erhalten, d. h. durch n + 1 Täfelchen -die n-Wurzel ziehen.</p> - -<p>Verloren ist eine Schrift »über Mittelgrössen« περι -μεσοτητων auch »Orte in bezug auf Mittelgrössen, τόποι προς -μεσοτητας« genannt, von der wir durch Pappos Kunde haben. -<span class="gesperrt">Zeuthen</span> vermutet in seinem ausgezeichneten Werke: <span class="gesperrt">die -Lehre</span> von den Kegelschnitten im Altertum, deutsche Ausgabe -1886, dass es sich, in Ergänzung der harmonischen Polare -eines Punktes als Pol für einen gegebenen Kegelschnitt, um die -Orte des arithmetischen und geometrischen Mittels der Sehnenschaar -des Pols gehandelt habe. Es ist leicht zu zeigen, -dass die beiden Orte Kegelschnitte sind, welche dem gegebenen -ähnlich sind.</p> - -<p>Vielleicht aus einer verlorenen grösseren arithmetischen -Schrift ist uns in der Arithmetik des Nikomachos (s. u.) die -noch heute gebräuchliche Methode erhalten die Primzahlen unter -p »herauszusieben«, die noch heute Sieb (κοσκινον, cribrum) des -Eratosthenes heisst. Völlig verloren sind die rein philosophischen -Schriften, deren bedeutendste die von <span class="gesperrt">Strabon</span> genannte über<span class="pagenum"><a name="Seite_p290" id="Seite_p290">[S. 290]</a></span> -Gutes und Böses, περι αγαθων και κακων gewesen sein soll, -darunter bedauerlicherweise auch die Schrift Πλατωνικός, ein -Kommentar zu der Pythagoräischen Kosmologie in <span class="gesperrt">Platons</span> -Timaeos.</p> - -<div class="sidenote">Apollonios von Pergae (vita).<br /> - -<hr /> - -Konika (Kegelschnitte).</div> - -<p>Der eigentliche »Aemulus«, der Nebenbuhler des Archimedes -im Ruhme der Alten, <span class="gesperrt">Apollonios von Pergae</span> -in Pamphylien war erheblich jünger als jener, er ist frühestens -um 265 unter Ptolemaios Euergetes geboren und hatte seine -Blütezeit unter Ptolemaios Philopator. Gestorben ist er gegen -190. Er studierte in Alexandria bei den Schülern des Euklid -Mathematik, Hultsch P. III S. 678 oder nach Hultsch ein -Scholiar des Pappos sagt: συσχολασας τοις ὑπο Ευκλειδου -μαθηταις εν Αλεξανδρεια πλειστον χρονον ὁθεν εσχε και την -τοιαυτην ἑξιν ουκ αμαθη. Die ganze nicht gerade geschmackvolle -Stelle lautet eigentlich wörtlich: Da er die Schule teilte -mit den Schülern des Euklid in Alexandrien sehr lange Zeit, -woher er auch ein solches nicht unmathematisches Verhalten -hatte. (!) Demnach würde Apollonios ein direkter Schüler des -Euklid gewesen sein von mässiger mathematischer Begabung! -Aber im eigentlichen Hauptkodex steht nur σχολασας und das -heisst mit dem Dativ bei jemanden in die Schule ging, und so -ist die lateinische Übersetzung von Hultsch zutreffend, die Konjektur -dagegen scheint mir nicht glücklich. Dann lebte er in -Pergamon und in Ephesos befreundet mit einem Eudemos, -dem er sein grosses Werk über die Kegelschnitte, die »κωνικα« -widmete. Eudemos starb aber vor der Vollendung des Werkes -und daher gab Apollonios dem vierten Buch einen Widmungsbrief -an den König Attalos I. von Pergamon mit, in welchem -er den Tod des Eudemos beklagte. Dem Attalos sind dann -auch die folgenden Bücher gewidmet. Von dem Werke, das -dem Verfasser nach dem Zeugnis des Geminos (<span class="gesperrt">Eutokios</span>, Heiberg -S. 170) den Beinamen des grossen Mathematikers μεγας -γεωμετρης eintrug, sind nur die vier ersten Bücher mit dem -Kommentar des <span class="gesperrt">Eutokios</span> erhalten, die drei folgenden in arabischer<span class="pagenum"><a name="Seite_p291" id="Seite_p291">[S. 291]</a></span> -Übersetzung. Das letzte Buch ist verloren, doch haben -wir eine Inhaltsangabe bei Pappos, auf Grund derer der durch -seinen Komet noch heute viel genannte <span class="gesperrt">Halley</span> 1710 eine Rekonstruktion -versuchte. Die vier ersten Bücher wurden zuerst -von Joh. Baptist Memus schlecht ins <span class="gesperrt">Lateinische</span> übersetzt -und von seinem Sohn 1537 ediert. Weit besser ist die Übersetzung -von <span class="gesperrt">Federico Commandino</span>, dessen wir schon bei Euklid -und Archimed rühmend gedenken mussten, sie enthielt auch den -Kommentar des Eutokios und die Lemmata des Pappos. Ins -<span class="gesperrt">Arabische</span> wurden die 7 ersten Bücher schon unter Al Mamun, -830 übertragen, aber diese Übersetzung ist bisher nicht -aufgefunden. Dagegen kam eine zweite von <span class="gesperrt">Abulphat</span> von -<span class="gesperrt">Ispahan</span> 994 verfasste, im 17. Jh. durch den Leydener -Orientalisten und Mathematiker Golius nach Europa, der das -Exemplar dem Grossherzog von Toskana verkaufte. Es wurde -von dem Orientalisten Abraham v. Echelles in Gemeinschaft mit -dem bedeutenden Mathematiker <span class="gesperrt">Borelli</span> (s. Euklid) 1671 Lateinisch -ediert, und bestätigte glänzend die kurz vorher von -<span class="gesperrt">Viviani</span> (einer der bedeutendsten Schüler Galileis, der Urheber -des »Florentiner« Problems der Quadrierung einer durchbrochenen -Kugelkappe) versuchte Restitution des 5. Buches. Der Anfang -des 5. Buches, wohl das bedeutendste, ist nach dem Arabischen -des mehrfach genannten <span class="gesperrt">Thabit ibn Qurrah</span> 1899 von Nix -in Leipzig herausgegeben. Die einzigen Griechischen Ausgaben -sind die von <span class="gesperrt">Halley</span>, Oxford 1710 Folio mit Eutokios und der -Divinatio libri octavi und die von <span class="gesperrt">Heiberg</span> mit Eutokios Kommentar -und Fragmentensammlung Teubner 1890–93. Von besonderer -Bedeutung für Apollonios Wertung ist das oben genannte -Werk von <span class="gesperrt">Zeuthen</span>. Eine freie Bearbeitung der Konika gab -<span class="gesperrt">H. Balsam</span>, Berlin 1861. Die Kegelschnitte des Apollonios -haben die Eigenschaften der Kurven in solcher Vollständigkeit -aufgedeckt, dass eigentlich nichts Neues im Laufe der Jahrtausende -gefunden ist. Selbst der Satz von <span class="gesperrt">Desargues</span> und -seine selbstverständliche Anwendung, der Satz von <span class="gesperrt">Pascal</span>,<span class="pagenum"><a name="Seite_p292" id="Seite_p292">[S. 292]</a></span> -sind eigentlich schon bei Apollonios. Involution, Brennpunktseigenschaften, -Erzeugung durch projektive Punktreihen, Asymptoten, -konjugierte Hyperbel etc., alles findet sich bei ihm. Dass -er nun seine Vorgänger, insbesondere Archimedes und Euklid -und Aristaios benutzt hat, das ist selbstverständlich, aber es -bleibt doch ein gewaltiges Quantum selbständiger Arbeit, und -Pappos selbst sagt, dass er die 4 Bücher κωνικα des Euklid -stark vermehrt habe (αναπληρωσας και προσθεις) und dann noch -die 4 weitem Bücher hinzugefügt habe. Vor allem hat Apollonios -zuerst bewiesen, dass die Triaden des Menaichmos aus jedem beliebigen -Kegel 2. Grades herausgeschnitten werden können. Er hat die -vollständige Hyperbel d. h. beide Äste in welche sie zerfällt betrachtet, -er hat die Kurven aus den Bestimmungsstücken konstruiert, -nachdem schon Euklid die ebene Konstruktion aus Leitlinien -und Brennpunkten gekannt hatte. Für Genaueres, insbesondere -auch die Werke des Aristaios, verweise ich auf <span class="gesperrt">Zeuthens</span> -mehrfach zitiertes Werk über die Kegelschnitte im -Altertum; nur die Vorrede mochte ich Ihnen nicht vorenthalten.</p> - -<p>Apollonios sendet dem Eudemos Grüsse. Es wäre schön -wenn es dir körperlich gut ginge und alles übrige nach Wunsch -stände. Mir selbst geht es ja auch ziemlich. Als wir seinerzeit -in Pergamos beisammen waren, bemerkte ich, dass du dich lebhaft -für meine Arbeiten über die Kegelschnitte interessiertest. -Ich schicke dir nun das völlig richtig gestellte erste Buch; das -übrige werde ich senden, sobald es mich befriedigt haben wird. -Ich glaube aber du erinnerst dich noch wohl von mir gehört zu -haben, weshalb ich diese Arbeit unternahm. Naukrates der -Geometer hatte mich dazu aufgefordert, als er bei mir während -seines Aufenthalts in Alexandria weilte und deswegen gab ich -sie ihm, in 8 Büchern behandelt, von dort aus mit, und weil er -im Einschiffen begriffen war, konnte ich sie nicht sorgfältig bereinigen, -sondern schrieb alles gerade so hin wie es mir unterlief, -indem ich mir eine letzte Durcharbeitung vorbehielt. Und -da ich jetzt dazu Zeit gefunden, so gebe ich was eben ganz<span class="pagenum"><a name="Seite_p293" id="Seite_p293">[S. 293]</a></span> -richtig gestellt ist, heraus. Da es sich aber traf, dass auch einige -andere meiner Genossen vom ersten und zweiten Buch vor -der Verbesserung Kenntnis gewonnen haben, so wundere dich, -bitte, nicht, wenn dir abweichende Fassungen begegnen.</p> - -<p>Von den 8 Büchern fiel den vier ersten die Einführung in -die Elemente zu. Es enthält aber das erste Buch die Erzeugung -der 3 Schnitte und der gegenüberliegenden sowie deren Grundeigenschaften -vollständiger und umfassender ausgearbeitet im -Vergleich mit den früheren Bearbeitungen. Und das zweite enthält -die Eigenschaften der Durchmesser, Axen, Asymptoten und -anderes, was zum Gebrauch für die Konstruktionsbedingungen -nötig und hinreichend ist. Was ich unter Durchmesser und Axe -verstehe, wirst du aus diesem Buche ersehen.</p> - -<p>Das dritte Buch enthält viele und auffallende Sätze, welche -brauchbar sind für die Konstruktionen der körperlichen Orte und -für die Existenzbedingungen, von denen die meisten und schönsten -neu sind. Und nachdem ich sie ersonnen hatte, sah ich ein, -dass von Euklid der Ort zu drei und vier geraden Linien nicht -aufgestellt sei, sondern nur ein zufälliger Teil desselben und auch -dieser nicht gerade gut getroffen. Es ist auch gar nicht möglich -ohne die von mir gefundenen Sätze die Synthesis durchzuführen. -Das 4. Buch gibt an, auf wie vielerlei Art die Kegelschnitte -mit einander und der Peripherie des Kreises zusammentreffen, -und anderes darüber hinaus, worüber von meinen Vorgängern nichts -geschrieben worden ist, z. B. in wieviel Punkten ein Kegelschnitt -und eine Kreislinie zusammentreffen. Der Rest geht noch weit -darüber hinaus. Da handelt ein Buch ausführlich über Minima -und Maxima, ein anderes über gleiche und ähnliche Kegelschnitte, -noch ein anderes über Satze, welche Existenzbedingungen -angeben, und das letzte bringt Probleme über Bestimmungen von -Kegelschnitten. Und fürwahr, dann erst wenn alles herausgegeben -ist, ist es denen die darauf stossen erlaubt es zu beurteilen -wie es wohl jeder von ihnen für richtig hält. Gehab dich wohl.</p> - -<p>Was zunächst des Aristaios τοποι στερεοι betrifft, so ist<span class="pagenum"><a name="Seite_p294" id="Seite_p294">[S. 294]</a></span> -nach Zeuthen diese Schrift noch vor des Euklids 4 Bücher -κωνικα erschienen, sie behandelte zweifelsohne Aufgaben über -geometrische Orte, welche sich als Kegelschnitte herausstellten. -Die Alten unterschieden die körperlichen Orte, das sind die Kegelschnitte, -von den ebenen Orten, das sind Gerade und Kreis, -und später noch die linearen Orte, zu denen alle andern und -auch die Raumkurven gehörten. Hiervon verschieden sind die -2 verlorenen Bücher des Euklid die τοποι προς επιφανειαν, das -sind Flächen als geometrische Orte.</p> - -<div class="sidenote">Apollonios, Ort zu 3 und 4 Geraden.</div> - -<p>Sodann der Ort zu 3 und 4 Geraden. Man nennt ihn gewöhnlich -nach Pappos die Pappos'sche Aufgabe. Es handelt -sich im allgemeinen Falle um den Ort der Punkte, deren Abstände -in gegebener Richtung gemessen von vier gegebenen Geraden -der Gleichung genügen xy/zu = c. Dabei werden die -Linien x = 0, z = 0, und y = 0, u = 0 als gegenüberliegend bezeichnet. -Apollonios hat die Aufgabe vollständig gelöst und den -Nachweis, dass der Ort ein Kegelschnitt ist, direkt geführt. Für -das Nähere, den Zusammenhang mit der projektiven Geometrie, -Newtons Wiederherstellung der Apollonischen Lösung etc. verweise -ich auf Zeuthen bezw. auf meine analytische Geometrie in -der Sammlung Schubert. Soviel steht fest, so unberechtigt es -ist, von einer Erfindung der Differentialrechnung durch einen der -Neueren, es sei nun Galilei, Fermat, Leibniz oder Newton zu -sprechen, angesichts der Werke des Archimedes, so unberechtigt -ist es auch, den Alten angesichts der Werke des <span class="gesperrt">Archimedes</span> -und des <span class="gesperrt">Apollonios</span> die analytische Geometrie abzusprechen. -Apollonios hat nicht nur Koordinaten, sondern auch -Koordinatentransformation und Archimedes analytische Geometrie -dreier Dimensionen.</p> - -<div class="sidenote">Apollonios, Verhältnisschnitt.</div> - -<p>Auch die andern geometrischen Schriften des Apollonios -hängen eng mit der Theorie der Kegelschnitte zusammen. Da -kommen zunächst die beiden Schriften: De sectione rationis, die -αποτομη του λογου, der Verhältnisschnitt, und De sectione spatii -die αποτομη του χωριου, der Flächenschnitt. Die 2 Bücher der<span class="pagenum"><a name="Seite_p295" id="Seite_p295">[S. 295]</a></span> -ersten Schrift sind nach einer arabischen Handschrift, welche -der Prof. <span class="gesperrt">Bernard</span> in Oxford gefunden, 1706 von <span class="gesperrt">E. Halley</span> -herausgegeben. Die Aufgabe besteht darin, durch einen Punkt P -(s. Fig.) eine Linie so zu ziehen, dass sie auf zwei gegebenen Linien -<i>L</i> und <i>L</i><sub>1</sub> von zwei gegebenen Punkten <i>A</i> und <i>A</i><sub>1</sub> aus Strecken -<i>AM</i> und <i>A</i><sub>1</sub><i>M</i><sub>1</sub> abschneidet, welche in einem gegebenen Verhältnis -stehen. Die Aufgabe wird -im zweiten Buch auf den im -ersten behandelten speziellen -Fall zurückgeführt, wo <i>A</i><sub>1</sub> mit -dem Schnittpunkt <i>A</i><sub>1</sub><sup>1</sup> der beiden -Geraden zusammenfällt. Diese -Aufgabe wird gelöst durch Ziehen der Parallelen <i>PB</i> zu <i>A</i><sub>1</sub><i>M</i><sub>1</sub> und -desgleichen durch den Schnittpunkt <i>A</i><sub>1</sub><sup>1</sup> von <i>L</i> und <i>PA</i><sub>1</sub>, welche -<i>PMM</i><sub>1</sub> in <i>M</i><sub>1</sub><sup>1</sup> schneidet und Annahme eines Hilfspunktes <i>C</i> auf -<i>L</i>, der so gelegen, dass <span class="fractionbig"><span><i>BP</i></span><span><i>AC</i></span></span> = <span class="fractionbig"><span><i>A</i><sub>1</sub><sup>1</sup><i>M</i><sub>1</sub><sup>1</sup></span><span><i>AM</i></span></span> = λ, dann folgt durch Umstellung -<span class="fractionbig"><span><i>AM</i></span><span><i>AC</i></span></span> = <span class="fractionbig"><span><i>A</i><sub>1</sub><sup>1</sup><i>M</i><sub>1</sub><sup>1</sup></span><span><i>BP</i></span></span> = <span class="fractionbig"><span><i>A</i><sub>1</sub><sup>1</sup><i>M</i></span><span><i>BM</i></span></span> — und durch Subtraktion: <i>BM</i> · -<i>MC</i> = <i>BA</i><sub>1</sub><sup>1</sup> · <i>AC</i> = gegebener Fläche.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 210px;"> -<img src="images/pg295_ill.png" width="210" height="82" alt="" /> -</div> - -<div class="sidenote">Sectio spatii und determinata (Involution).</div> - -<p>Die Aufgabe ist, wie man leicht sieht, identisch mit der -Aufgabe: von einem gegebenen Punkt aus an eine durch zwei -Tangenten und deren Berührungspunkte gegebene Parabel die Tangenten -zu ziehen (Simon, Parabel 1878). Das 3. Buch Satz 41 -handelt von der Parabeltangente, Satz 42 und 43 von den entsprechenden -Aufgaben: Von einem gegebenen Punkte aus an -eine durch konjugierte Durchmesser gegebene Ellipse oder Hyperbel -die Tangenten zu ziehen und zeigt, dass dies spezielle -Fälle der Aufgabe sind von einem gegebenen Punkt P eine -Gerade zu ziehen, welche auf 2 gegebenen Geraden von gegebenen -Punkten aus Strecken abschneidet, deren Rechteck gegeben -ist. Diese Aufgabe hat Apollonios in den beiden Büchern der -Schrift de sectione spatii behandelt, welche <span class="gesperrt">Halley</span> nach der -Inhaltsangabe bei Pappos und der Angabe ihrer Übereinstimmung<span class="pagenum"><a name="Seite_p296" id="Seite_p296">[S. 296]</a></span> -mit der ersten Schrift in der Form gleichzeitig rekonstruiert hat. -Zu diesen beiden Schriften gesellt sich als dritte die von <span class="gesperrt">Rob. -Simson</span> nach Pappos wiederhergestellte de sectione determinata, -της διωρισμενης τομης βιβλια β, über den involutorischen Schnitt. -Wenn <i>ABCD</i> gegebene Punkte einer Geraden <i>l</i> sind, soll ein -Punkt <i>P</i> auf <i>l</i> so bestimmt werden, dass <span class="fractionbig"><span><i>AP</i> . <i>CP</i></span><span><i>BP</i> . <i>DP</i></span></span> = λ ist -d. h. also die Theorie der Involution, welche er wie wir mittelst -der Theorie des Kreisbüschels und der Zentrale des Büschels -gelöst hat; und er hat sie benutzt um den Schnitt einer Geraden -mit einem durch 5 Punkte gegebenen Kegelschnitt zu bestimmen. -Die Halley'schen und die Simson'sche Bearbeitungen -sind frei wiedergegeben von <span class="gesperrt">Ad. Diesterweg</span>, ganz besonders -lesenswert ist das Programm des um die Elementarmathematik -hochverdienten <span class="gesperrt">v. Lühmann</span>, weiland Subrektor zu Königsberg -in der Neumark, von 1882: die Sectio rationis, sectio spatii und -sectio determinata des Apollonios.</p> - -<div class="sidenote">Taktionsproblem.</div> - -<p>Es geht aus diesen Schriften hervor, dass Apollonios die Erzeugung -der Kegelschnitte als Enveloppe der Verbindungsgeraden -zweier projektiven Punktreihen kannte, die sich erst wieder findet -in <span class="gesperrt">Newtons</span> principien lib. I L. 25. Die Brennpunktseigenschaften -und die Konstruktionen bei gegebenem Brennpunkt -haben dann, wie Zeuthen hervorhebt, Apollonios auf die Beschäftigung -mit dem nach ihm genannten Taktionsproblem geführt. -Ist doch schon die Aufgabe, den Schnitt einer Geraden mit einer -durch Leitlinie und Brennpunkt gegebenen Parabel zu bestimmen -identisch mit der Aufgabe, einen Kreis zu konstruieren, der -durch zwei gegebene Punkte geht und eine gegebene Gerade berührt, -also zwei 0-Kreise und einen unendlich grossen. Nach -<span class="gesperrt">Pappos</span>, Hultsch S. 848 hat Apollonios die Lösung auf den Spezialfall -des <span class="gesperrt">Castillon'schen</span> Problemes zurückgeführt, in dem -alle 3 gegebenen Punkte auf derselben Graden liegen. Die Geschichte -des Taktionsproblems siehe <span class="gesperrt">Simon</span>, Entwicklung der -Elem. Geom. Das Problem selbst gehört heute zur eisernen Ration<span class="pagenum"><a name="Seite_p297" id="Seite_p297">[S. 297]</a></span> -der Gymnasiasten, mit den Lösungen aus <span class="gesperrt">Fr. Vietas</span> Apollonius -Gallus, und zugleich hat Apollonios sich in der Schrift περι πυριου -über Brennspiegel, der Brennpunktseigenschaften der Umdrehungsflächen -2. Grades bedient. Zeuthen vermutet, und ich glaube -mit Recht, dass der Parabolische Spiegel, der praktisch wichtigste, -schon von <span class="gesperrt">Archimedes</span> erfunden sei und dass die -Sage, er habe mit Brennspiegeln die Römische Flotte verbrannt, -hier ihren Ursprung habe.</p> - -<p>Ausserdem hat Apollonios auch eine Schrift geschrieben -περι νευσεων. »Über Einschiebungen auf mechanischem Wege«, -dadurch dass ein Lineal oder ein Streifen meist von gegebener -Strecke so bewegt wird — häufig durch Drehung der zu ihr -gehörigen Geraden um einen festen Punkt — dass sie zwischen -zwei gegebene Linien fällt. Die Neusis galt sowohl den ältern -Mathematikern als auch dem Archimedes, der sich ihrer bei der -Arbeit über die Spirale wie überhaupt zur Winkeldrittelung bedient -hat, als auch dem Apollonios und überhaupt den angewandten -Mathematikern für ein durchaus erlaubtes Hilfsmittel, wie sie ja -auch <span class="gesperrt">Newton</span> gebilligt hat, erst die Neuplatoniker strikter Observanz -wie Pappos missbilligten sie und ersetzten sie durch -Kegelschnitte, was stets möglich, sobald die gegebenen Linien -den zweiten Grad nicht übersteigen. Die Schrift des Apollonios -ist nach Pappos wiederhergestellt von dem Ragusischen Patrizier -Marino Ghetaldi 1607.</p> - -<div class="sidenote">Würfelverdoppelung.</div> - -<p>Sie enthielt vielleicht die von <span class="gesperrt">Eutokios</span> l. c. mitgeteilte -Würfelverdoppelung auf welche Pappus I p. 56 hingewiesen hat -(Heiberg 3, p. 78.) Es sei aus den beiden gegebenen Strecken -ΑΒ und ΑΓ das Rechteck ΑΒΘΓ konstruiert, dann ist die Gleichung -des ihm umgeschriebenen Kreises wenn ΑΓ = a und ΑΒ = b -gesetzt wird x<sup>2</sup> - ax + y<sup>2</sup> - by = 0, oder (x - a) : (b - y) = y : x. -Die Gleichung einer Hyperbel, welche durch Θ geht und ΑΒ und -ΑΓ zu Asymptoten hat, ist aber xy = ab also haben wir für den -zweiten Schnittpunkt M nach leichter Rechnung a : x = x : y = y : b. -Zur Konstruktion des Schnittpunkts M benutzt Apollonios den Umstand,<span class="pagenum"><a name="Seite_p298" id="Seite_p298">[S. 298]</a></span> -dass die Abschnitte einer Hyperbelsehne zwischen Asymptote -und Kurve gleich sind, und dass die Kreissehne vom Mittelpunktslote -halbiert wird. Es braucht also nur ein Lineal so um -Θ gedreht werden, dass die Punkte Δ und Ε in denen es die -Axen schneidet vom Zentrum des Rechtecks gleich weit entfernt -sind. S. Fig. unten.</p> - -<p>In einer verlorenen Schrift περι κοχλιου hat Apollonios -sich mit der Schraubenlinie auf dem Cylinder beschäftigt.</p> - -<p>Der »grosse Geometer« hat sich aber auch mit den einfachsten -Elementen der Geometrie beschäftigt, wie wir schon bei -Euklid erwähnt haben, u. a. danken wir ihm die Halbierung der -Strecke mit den beiden gleichen Kreisen um die Endpunkte, -Proklos Friedl. S. 276: »Απολλωνιος δε ὁ Περγαιος τεμνει την δοθεισαν -ευθειαν πεπερασμενην διχα τουτον τον τροπον.«</p> - -<div class="figcenter" style="width: 175px;"> -<img src="images/pg298_ill.png" width="175" height="144" alt="" /> -</div> - -<div class="sidenote">Apollonios, Arithmetische Schriften.</div> - -<p>Auch auf arithmetischem Gebiete -hat der Pergaier Grosses geleistet. -Eutokios erzählt Heib. 3 S. 300: Man -soll auch wissen, dass Apollonios der -Pergaier in seinem Okytokion (Schnellgeburt, -Schnellrechner) dasselbe durch -andere Zahlen gezeigt hat, die einander -noch näher kommen, d. h. er hat die -Zahl π in noch engere Grenzen als Archimedes eingeschlossen. -Ob der Okytokion dieselbe Schrift war, von der Pappos im -2. Buch grosse Stücke uns aufbewahrt hat, wird von den besten -Kennern, von Nesselmann und Hultsch stark bezweifelt, doch -spricht der Titel eigentlich dafür. Auch jene zweite Schrift hat -im wesentlichen die Abkürzung des Algorithmus insbesondere -der Multiplikation zum Gegenstande. Die Schrift schloss an den -Sandzähler des Archimedes an, nur dass Apollonios statt der Oktaden -die den Griechen geläufigen Tetraden, die Myriaden, setzte, -die er als erste, zweite, dritte u. s. w. bezeichnete, die er durch -Μβ, Μγ etc. bezeichnet und deren Ordnungsziffer er durch Division -<span class="pagenum"><a name="Seite_p299" id="Seite_p299">[S. 299]</a></span>mit 4 bestimmte. So ist z. B, 4444444444444 = 4 . 10<sup>12</sup> + -4 . 10<sup>11</sup> + .. = Μγ υμδ και Μβδ<sub>1</sub> υμδ και Μαδ<sub>1</sub> υμδ. Auf Grund seiner -Ordnungszahlen lieferte er dann ein Verfahren zur Multiplikation, -das im Grunde das unsrige ist; die Ordnungszahlen werden addiert -und die Πυθμενες, d. h. unsere Einerziffer, die aber hier -aus dem Tableau von α bis ϡ genommen werden konnten, multipliziert. -Auch Apollonios, und er fast noch mehr als Archimedes, -hat die Grundgedanken des Positionssystemes, und wie -<span class="gesperrt">R. Baltzer</span> in seinem Brief an <span class="gesperrt">Hultsch</span> auf den ich noch -zurückkommen werde, sehr richtig bemerkt, sind beide an Buchstabenrechnung -und Dezimalrechnung nur dadurch gehindert -worden, dass die Hellenen von den Kanaanäern die Buchstaben -als Zahlzeichen übernommen hatten. Die aller Wahrscheinlichkeit -nach bedeutendste Leistung des Apollonios auf arithmetischem -Gebiete ist leider bis dato nur ganz fragmentarisch erhalten, sie -war vermutlich Pappos entweder selbst zu schwierig oder schien -ihm auf einen zu geringen Interessenkreis rechnen zu können. -Die Schrift war eine Weiterführung der Theorie der Irrationalzahlen, -wie sie für quadratische und biquadratische durch das -X. Buch des Euklid gegeben war. Aus einem Kommentar zum -X. Buch, von dem <span class="gesperrt">F. Woepcke</span> eine Arabische Übersetzung -durch Abu Ottmân den Damascener aufgefunden hat und von -dem er die auf Apollonios bezüglichen Stellen Arabisch und -Französisch herausgegeben hat, geht hervor, dass dieser in die -Theorie der algebraischen Zahlen, soweit sie durch Radicale -darstellbar sind, sehr tief eingedrungen war. Den Kommentar -selbst vindiziert Woepcke dem Griechisch schreibenden Römer -<span class="gesperrt">Vettius Valens</span> (5. Jh. n. Chr.) und die Übersetzung würde -etwa ins 9. Jh. fallen.</p> - -<div class="sidenote">Apollonios als Astronom.</div> - -<p>Ob Apollonius mit dem unter dem Namen Epsilon berühmten -zeitgenössischen Astronomen, der sich besonders mit der Mondtheorie -beschäftigt hat, identisch ist, ist nicht unwahrscheinlich, -aber steht nicht fest. Dass der grosse Geometer ein hervorragender -Astronom war, wissen wir aus Ptolemaios megale syntaxis XII, -1, wo er den Stillstand und die Rückläufigkeit der Planeten mit<span class="pagenum"><a name="Seite_p300" id="Seite_p300">[S. 300]</a></span> -der Theorie der Epizyklen mathematisch ableitet und dabei eine -Maximumsaufgabe löst, welche den grossen Leistungen des 5. Buches -der Konika nicht nachsteht.</p> - -<div class="sidenote">Elementarmathematik.</div> - -<p>Noch ist für seine Leistungen auf dem Gebiete der Elementarmathematik -nachzuholen, dass der Satz X des sogen. 14. -Buches der Elemente des Euklid: »Die Volumina des derselben -Kugel eingeschriebenen regulären Ikosaëders und Dodekaëders verhalten -sich wie die Oberflächen,« von ihm herrührt, laut der Vorrede -des Verfassers des 14. Buches, des <span class="gesperrt">Hypsikles</span>. Hypsikles -knüpfte daran die Folgerung, dass die Umkreise der Seitenflächen -beider Körper gleich sind.</p> - -<p>Mit Eudoxos, Archimedes und Apollonios hat die reine -Mathematik der Griechen ihren Höhepunkt erreicht, die Theorie -des Irrationalen und des Kontinuums, die Prinzipien der Infinitesimalrechnung, -die analytische Geometrie, die rechnende und -projektive Geometrie, sind geschaffen und neue Methoden, die -auf allgemeine Problemklassen anwendbar sind, treten nicht -mehr auf. Der eben erwähnte <span class="gesperrt">Hypsikles</span> schliesst sich wohl -unmittelbar an Apollonios an, M. Cantor setzt das 14. Buch um -180 an, er war ein tüchtiger Mathematiker, der auch noch eine -uns erhaltene Schrift über die Aufgänge der Gestirne, im Anschluss -an <span class="gesperrt">Autolykos</span> und <span class="gesperrt">Euklid</span> geschrieben hat. Sie ist -vergl. <span class="gesperrt">M. Cantor</span> I p. 344 dadurch merkwürdig, dass sich in -ihr zum <span class="gesperrt">ersten</span> Male auf Hellenischem Boden die <span class="gesperrt">babylonische -Teilung des Kreises in dreihundertsechzig -Grade</span> findet. Auch auf arithmetischem Gebiete haben wir -Hypsikles als Vorgänger des <span class="gesperrt">Nikomachos</span> (s. u.) für die -Theorie der figurierten Zahlen zu erwähnen.</p> - -<p>Die theoretische Mathematik sinkt nun im 2. Jahrh. langsam -von ihrer Höhe oder richtiger das Interesse der bedeutenden -Geister wendet sich den angewandten Disziplinen zu; Astronomie -und in ihrem Gefolge die Trigonometrie, Mechanik, Medizin -etc. nehmen ihre Stelle ein. Dazu kam für Hellas das Anwachsen -der bildungsfeindlichen römischen Macht und für<span class="pagenum"><a name="Seite_p301" id="Seite_p301">[S. 301]</a></span> -Alexandrien das mörderische Regiment des Ptolemaios VII. Physcōn -(Schmerbauch, auch Euergetes II.) 141–116, der nach Ermordung -seines Neffen Eupator sich des Thrones bemächtigt -hatte und die bedeutendsten Gelehrten und Künstler von Alexandria -vertrieb. Da nun der Unterricht im wesentlichen auf dem -Vortrag im Kolleg beruhte — Archimedes und Apollonios hatten -gewissermassen nur zufällig an ihre auswärtigen Freunde Schriftstücke -gerichtet — so machte sich jetzt der Mangel an Büchern -und damit an einer festen Formelsprache geltend und man kann -annehmen, dass schon im Laufe des Jahrhunderts manches von den -Leistungen der Heroen verloren ging. Das Entscheidende sind -wohl die Brände der Alexandrinischen Bibliothek unter Cäsar -und vor allem in den wüsten Emeuten des fanatischen Mönchpöbels -und seiner würdigen Patriarchen. Die Sage von der -Vernichtung der grossen Bibliothek durch <span class="gesperrt">Omar</span> gehört zu den -böswilligsten Fälschungen der Weltgeschichte. Auch die grosse -Bibliothek von <span class="gesperrt">Pergamon</span>, das sich zur Konkurrenzstadt -Alexandriens unter Attalos und Eumenes entwickelt hatte, ging -verloren, nachdem sie Antonius an Kleopatra geschenkt hatte.</p> - -<div class="sidenote">Nikomedes.<br /> - -<hr /> - -Die Konchoide.</div> - -<p>Dort in Pergamon war vermutlich wenn nicht die Wiege, -so doch das <span class="gesperrt">Domizil</span> des Nikomedes, den M. Cantor vorsichtig -ins 2. Jahrh. verweist, während P. Tannery ihn nicht -ohne triftigen Grund zwischen Eratosthenes und Apollonios einschiebt. -Dass er der Erfinder der <span class="gesperrt">Konchoide</span>, der Muschellinie -gewesen, unterliegt keinem Zweifel, <span class="gesperrt">Proklos</span> sagt Friedlein -S. 272 im Anschluss an die Winkelhalbierung bei Euklid: -<span class="gesperrt">Nikomedes</span> drittelte mit der Konchoide, deren Erzeugung, -Gestalt und Eigenschaften er überlieferte, jeden geradlinigen -Winkel, und er selbst war es der ihre Eigenart gefunden hat. -<span class="gesperrt">Pappos</span> und <span class="gesperrt">Eutokios</span> haben ihre Anwendung zur Lösung -des (ersten) Delischen Problemes durch Nikomedes ausdrücklich -bezeugt, und da sie genau übereinstimmen, so ist es sicher, dass -die Lösung sowohl wie ihr Beweis ganz auf das Konto des -Nikomedes zu setzen ist. In der Stelle Hultsch 246 oben nimmt<span class="pagenum"><a name="Seite_p302" id="Seite_p302">[S. 302]</a></span> -Pappos die Winkeldrittelung durch die Konchoide nicht für sich -in Anspruch, er sagt nur, dass er die Kurve dabei gebraucht -habe, dagegen sagt er 246 unten (§ 42) ganz bestimmt er habe -zur Konstruktion des Nikomedes für die Würfelverdoppelung -den Beweis geliefert, was der Angabe des Eutokios widerspricht. -Dass Nikomedes sich des Zusammenhangs beider Probleme, die -er mit der einen Kurve löste, klar bewusst war, scheint mir -völlig sicher, es entspricht das dem ganzen historischen Gange -der Griechischen Mathematik. Nikomedes kannte die Winkeldrittelung -des Archimedes durch die Neusis, die Einschiebung, -und wie dem Archimedes der Zusammenhang zwischen der -Kugeldrittelung und der Winkeldrittelung nicht hat entgehen -können, so hat auch Nikomedes gesehen, dass es sich bei Würfelverdoppelung -und Trisektion um Probleme 3. Grades handelte.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 480px;"> -<img src="images/pg302_ill.png" width="480" height="395" alt="" /> -</div> - -<div class="sidenote">Trisektion.</div> - -<p>Die Kurve selbst ist eine ebene Kurve, sie wird erzeugt -durch Drehung einer Geraden um einen festen Punkt, so dass -sie eine gegebene Leitlinie schneidet und beschrieben durch einen -Punkt Κ der sich drehenden Geraden, der von dem Schnittpunkt<span class="pagenum"><a name="Seite_p303" id="Seite_p303">[S. 303]</a></span> -Ε einen unveränderlichen Abstand hat. Nikomedes hat -das <span class="gesperrt">abgebildete</span> einfache Instrument zur mechanischen Erzeugung -angegeben, es besteht aus einem Richtscheit, in dessen -horizontalem Lineal ein Schlitz in der Mitte ist, während das -vertikale den Pol durch einen Nagel angibt. Ein drittes Lineal -ist fest mit den beiden verbunden und hat in Ε einen Zapfen -der in dem Schlitz des zweiten Lineals gleitet, während ΕΚ der -gegebene Abstand ist. Legt man die x-Axe durch den Pol Δ -nennt den Abstand b und den Abstand des Pols vom horizontalen -Lineal a so ist die Gleichung der Kurve r : b = y : (y - a), -also quadriert und multipliziert (x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup>)(y - a)<sup>2</sup> = b<sup>2</sup>y<sup>2</sup>. Die -Kurve ist also vom 4. Grade, geht durch die imaginären Kreispunkte -im Unendlichen, und hat in Δ einen Doppelpunkt. Die -vollständige Kurve, welche Nikomedes auch betrachtet zu haben -scheint, da er die hier konstruierte als erste Konchoide bezeichnete, -besteht aus der oberhalb der Axe und der unterhalb -der Axe beschriebenen. Ausser den in <span class="gesperrt">Wölffings</span> so höchst -dankenswerter Bibliographie angegebenen Monographien verweise -ich auf <span class="gesperrt">G. de Longchamps</span> cours de Math. spec. und auf -das Journal von <span class="gesperrt">Bourget</span>.</p> - -<p>Nikomedes hat gezeigt, dass ΑΒ eine Asymptote ist, und -dass jede Gerade zwischen ΑΒ und der Kurve diese schneidet, -<span class="gesperrt">Eutokios</span>, Heiberg Archim. 3 S. 118 und 120 findet sich der -Beweis, während Pappos l. c. nur -die Tatsache angibt.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 266px;"> -<img src="images/pg303_ill.png" width="266" height="300" alt="" /> -</div> - -<div class="sidenote">Trisektionen bei Montucla.</div> - -<p>Die Anwendung zur Winkeldrittelung -ist uns von Pappos p. 275 -überliefert, sie ist, wie <span class="gesperrt">Montucla</span> -in der noch heute lesenswerten Histoire -des recherches sur la quadrature -du cercle Nouv. Edition (par <span class="gesperrt">Lacroix</span>) -1831 p. 240 sagt, fast selbstverständlich, -und stimmt im Prinzip -mit der des Archimedes überein.</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p304" id="Seite_p304">[S. 304]</a></span></p> - -<p>Ist αβγ (s. Figur) der gegebene Winkel, so ist nur nötig, -von β als Pol aus eine Strecke δε zwischen αγ und der verlängerte -ζα so einzuschieben, dass δε gleich 2αβ ist, dann ist -εβγ = <sup>1</sup>/<sub>3</sub>αβγ. Man findet also ε durch den Schnitt von ζα mit der -Konchoide, deren Pol β, deren Axe αγ und deren Abstand 2αβ ist.</p> - -<p><span class="gesperrt">Montucla</span> gibt l. c. 243 an, dass auch die Konstruktion -des Archimedes mittelst der Konchoide gelöst werden kann, nur -muss ihr Zweig unter der Axe benutzt werden. Ist <i>ABC</i> der gegebene -Winkel, (Figur) -so beschreibt man mit -<i>C</i> als Pol, <i>BA</i> als Axe -und <i>BC</i> als Abstand -die 2 (untere) Konchoide, -welche den Kreis -um <i>B</i> mit <i>BC</i> in <i>D</i> -schneidet, so ist <i>DBE</i> = <sup>1</sup>/<sub>3</sub> <i>CBA</i>.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 400px;"> -<img src="images/pg304_ill.png" width="400" height="164" alt="" /> -</div> - -<p>Montucla gibt auch den Hinweis auf den Appendix <span class="gesperrt">Newtons</span> -zur Arithmetica universalis, der so recht deutlich zeigt, wie innig -Newton mit der hellenischen Geometrie vertraut war. Nachdem -<span class="gesperrt">Vieta</span> (Oper. ed. van Schooten 1615) gezeigt hatte, dass -die Gleichung dritten Grades sich auf die Würfelvervielfältigung -und die Trisektionsgleichung zurückführen lasse, hat Newton l. c. -für alle Arten gemischter kubischer Gleichungen den zu trisezierenden -Winkel und die Lage des Pols und die Grösse des Abstands -angegeben (berechnet). Er hat ausgesprochen, dass zur -Lösung von Gleichungen dritten Grades die Konchoide des Nikomedes -das bequemste Mittel ist; dass dieser sich des Vorzugs -seiner leicht konstruierbaren Kurve vor der Probiermethode des -Eratosthenes voll bewusst war, kann man bei Eutokios nachlesen.</p> - -<div class="sidenote">Würfelverdopplung nach Nikomedes.</div> - -<p>Schwieriger gestaltet sich die Anwendung der Kurve für die -Würfelverdoppelung, die Lösung der reinen kubischen Gleichung -oder die Auffindung der beiden Mittleren. Eutokios beginnt -den Bericht also:</p> - -<p>Nachdem dies bewiesen (nämlich dass ΑΒ Asymptote,<span class="pagenum"><a name="Seite_p305" id="Seite_p305">[S. 305]</a></span> -das Wort fehlt, was auch für höheres Alter als Apollonios -spricht, etc.) seien die gegebenen Strecken ΑΔ und ΓΛ senkrecht -aufeinander, zu denen es den beiden kontinuierlich proportionalen -(δυο μεσας αναλογον κατα το συνεχες) zu finden gilt. Mache das -Rechteck ΑΒΓΔ fertig, halbiere -ΑΒ in Δ und ΒΓ in Ε. Verlängere -ΛΔ und ΓΒ bis sie sich -in Η schneiden, errichte in Ε -auf ΒΓ die senkrechte ΕΖ, -mache ΓΖ gleich ΑΔ und verbinde -Ζ mit Η und ziehe zu -ihr parallel ΓΘ. Und nun konstruiere -man die Konchoide von -Ζ als Pol, ΓΘ als Leitlinie und -ΔΑ = ΓΖ als Abstand, welche -ΗΓ in Κ schneidet, ziehe ΚΛ, -schneidet ΒΑ in Μ so behaupte -ich, dass ΓΛ : ΚΓ = ΚΓ : ΜΑ = -ΜΑ : ΑΛ ist.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 316px;"> -<img src="images/pg305_ill.png" width="316" height="481" alt="" /> -</div> - -<p>Die Pointe ist, dass ΘΖ -gleich ΜΑ ist. Sei ΜΑ = x und -ΚΓ = y, ΑΛ = a und ΓΛ = b so -ist x : a = b : y, und ΖΘ : (<sup>1</sup>/<sub>2</sub> b) = 2a : y -also ΖΘ : a = b : y also ΖΘ = x, -ferner weil ΖΕΓ und ΖΕΚ rechtwinklige -Dreiecke mit der gemeinsamen Kathete ΕΖ, so ist -(x + <sup>1</sup>/<sub>2</sub> b)<sup>2</sup> - (y + <sup>1</sup>/<sub>2</sub> a)<sup>2</sup> = (<span class="fraction"><span>b</span><span>2</span></span>)<sup>2</sup> - (<span class="fraction"><span>a</span><span>2</span></span>)<sup>2</sup> oder x(x + b) = y(y + a), -<span class="fraction"><span>x</span><span>y</span></span> = <span class="fraction"><span>y + a</span><span>x + b</span></span> = -<span class="fraction"><span>ΒΚ</span><span>ΜΒ</span></span> = <span class="fraction"><span>ΓΚ</span><span>ΓΔ</span></span>. Die Lösung des Nikomedes ist von -Newton l. c. wesentlich vereinfacht worden. Die Konchoide auf -zirkulärer Basis ist von <span class="gesperrt">Roberval</span> Limaçon de Pascal, Pascalsche -Schnecke, genannt worden, sie ist vielfach im Journ. -élém. (v. <span class="gesperrt">Bourget</span>) behandelt worden.</p> - -<div class="sidenote">Diokles: Kissoide.<br /> - -<hr /> - -Würfelverdopplung mit Kissoide.</div> - -<p>Mit Nikomedes wird stets, infolge des Kommentars des<span class="pagenum"><a name="Seite_p306" id="Seite_p306">[S. 306]</a></span> -Eutokios, <span class="gesperrt">Diokles</span> genannt, von dessen Lebensführung uns -zwar so gut wie nichts bekannt ist, der aber nach seiner Kugelteilung -welche Eutokios, Heib. 3, S. 188 ff. mitteilt, und ebenfalls -nach seiner Lösung der Würfelverdoppelung, ib. S. 78, -ein sehr achtbarer Geometer gewesen ist. Nach dem gedanklichen -Inhalt der beiden Fragmente aus seiner Schrift περι πυρ(ε)ιων -halte ich ihn für ziemlich gleichzeitig -mit Nikomedes und für nur -wenig jünger als Apollonios. Das -Fragment über die Kugelteilung -enthält zwar schon die Apollonischen -Benennungen Ellipse, Hyperbel, -Asymptote, aber es ist -sicher von <span class="gesperrt">Eutokios</span> überarbeitet, -der wie <span class="gesperrt">Heiberg</span> S. 207 anmerkt, -die Konstruktion der Hyperbel, -wenn die Asymptoten und -ein Punkt gegeben worden sind -»de suo« hinzufügte. Das Problem -der Würfelverdoppelung löste Diokles -mittelst der <span class="gesperrt">Kissoide</span>, die -er wie folgt konstruierte. Man -zeichne einen Kreis um <i>M</i>, den -Leitkreis, mit Radius <i>r</i>, ziehe darin -den Durchmesser <i>SS'</i> gleich -<i>d</i>. Ziehe <i>BC</i> und <i>B'C'</i> senkrecht -zu <i>SS'</i> und symmetrisch zu <i>M</i>. -Ziehe <i>SB'</i> welche <i>BC</i> in <i>P</i> schneidet, -so ist die Kurve der Ort des -Punktes <i>P</i> wenn <i>B'C'</i> sich -von <i>S'</i> nach <i>S</i> bewegt (die allgemeine -Kurve entsteht: wenn man <i>A'B'</i> sich unbegrenzt in -der Richtung <i>S'S</i> und daher <i>AB</i> von <i>S</i> nach <i>S'</i> zu bewegen -lässt). Nimmt man als 0-Punkt <i>S</i> und als + x-Axe den Strahl<span class="pagenum"><a name="Seite_p307" id="Seite_p307">[S. 307]</a></span> -<span class="vector"><i>SS'</i></span>, zieht <i>AC</i> und nennt es z, so ergeben die elementarsten -Sätze die Proportion (d - x) : z = z : x = x : y d. h. x und z -sind zwischen d - x und y die Mesoteten. Will man nun zwischen -a und b die mittleren einschalten, so braucht man der Symmetrie -wegen nur auf dem zu <i>SS'</i> senkrechten Durchmesser einen Punkt -<i>K</i> so zu bestimmen, dass <i>S'M</i> : <i>MK</i> = a : b ist und <i>S'K</i> auszuziehen, -bis es die Kissoide in <i>P</i> schneidet, so ist nur noch -d - x und y proportional in a und b zu verwandeln.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 253px;"> -<img src="images/pg306_ill.png" width="253" height="598" alt="" /> -</div> - -<p>Da aus dem grundlegenden Streifensatz folgt, dass <i>SP</i> = -<i>B'D'</i> ist (entsprechende Querstrecken), so lässt sich die Kurve -auch bequemer so erzeugen, dass man von <i>S</i> aus nach allen Punkten -des Leitkreises die Strahlen zieht und das Stück zwischen der -festen Tangente in <i>S'</i> und dem Kreise von <i>S</i> aus auf den Leitstrahlen -bis <i>P</i> abträgt.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 400px;"> -<img src="images/pg307_ill.png" width="400" height="186" alt="" /> -</div> - -<div class="sidenote">Newton'sche Erzeugung.</div> - -<p>Aus der ersten Erzeugung durch Diokles lässt sich ebenso -elementar (vgl. a. Samml. Göschen 65 p. 148) die mechanische -Herstellung der Kurve von Newton (l. c.) ableiten, welche Montucla -l. c. S. 139 beschreibt. Er bedarf dazu nur noch eines -Richtscheites, dessen einer Schenkel d ist, Endpunkt <i>B″</i>, und -der in der Mitte einen Stift <i>P</i> -hat. Dreht man das Richtscheit -um den Pol <i>M'</i>, so auf <i>SS'</i> gewählt, -dass <i>M'S</i> = r ist, so -dass <i>B″</i> auf dem konjugierten -Durchmesser zu <i>SS'</i> gleitet, -so beschreibt <i>P</i> die Kissoide.</p> - -<div class="sidenote">Diokles.<br /> - -<hr /> - -Zenodoros.<br /> - -<hr /> - -Isoperimetrie.</div> - -<p>Die Kurve hat die Gleichung (x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup>)x = dy<sup>2</sup>, ist also -eine Kurve 3. Grades, geht auch durch die beiden unendlich -fernen imaginären Kreispunkte, hat die Kreistangenten <i>S'</i> zur -Asymptote, ist Fusspunktenkurve, Rollkurve, durch reciproke -Radien transformierte der Parabel. Sie ist elementar behandelt -l. c., auch vielfach im Journal de Math. spec. Dass die Kurve -in <i>S</i> eine Spitze hat wusste schon Proklos, der die Kurve viel -erwähnt, Friedl. S. 126 sagt: »ὁταν δε αι κισσοειδεις γραμμαι<span class="pagenum"><a name="Seite_p308" id="Seite_p308">[S. 308]</a></span> -συννευουσαι προς ἑν σημειον, ὡσπερ τα του κισσου φυλλα — και -γαρ την επωνυμιαν εκειθεν εσχον — ποιωσιν γωνιαν«. Wenn die -Kissoidenlinien sich nach einem Punkt zu neigen, wie die Blätter -des <span class="gesperrt">Efeu</span> — und sie hat ja davon ihren Namen — so bilden -sie einen Winkel. Sehr auffallend ist, dass Proklos trotz der -häufigen Erwähnung der Kurve den <span class="gesperrt">Diokles</span> nicht nennt, so -wenig wie Pappos, der ihrer zweimal gedenkt. Aber wenigstens -bei Proklos ist im Zusammenhang des Textes die Auslassung -des Autornamens ganz sachgemäss, S. 111, 6 z. B. wird von der Einteilung -der Kurven durch Gemīnos geredet, wobei die Kissoide -(Kittoide) nur als Beispiel einer Figur bildenden Kurve erwähnt -wird, woraus übrigens hervorgeht, dass Gemīnos schon die Asymptote -der Kurve kannte. So liegt kein Grund vor, dass zuverlässige -Zeugnis des Eutokios zu bezweifeln. Und dies um so -weniger als Pappos auch den Namen des dritten hervorragenden -Mathematikers verschweigt, der um 200 anzusetzen ist, den des -<span class="gesperrt">Zēnodoros</span>, von dessen Lebensumständen nichts weiter feststeht, -als dass er nach Archimedes und vor Quintilian gelebt -hat, also ein Spielraum von fast 400 Jahren. Aber <span class="gesperrt">Hultsch</span> -und <span class="gesperrt">Cantor</span> setzen ihn auf Grund seiner Sprache und seines -engen Anschluss an den Gedankenkreis des Euklid und Archimedes -gewiss mit Recht in die Nähe des Archimedes, vergl. -dazu noch <span class="gesperrt">W. Schmidt</span> Enestr. 1901 S. 8. Und man kann -wohl hinzusetzen, dass der Gegenstand, den er sich zum Vorwurf -nahm, auch auf Vorangang des Apollonios schliessen lässt. -Mit dem Namen des <span class="gesperrt">Zenodoros</span> sind die Probleme, welche -wir heute als pars pro toto, isoperimetrische nennen, für immer -verknüpft. Er selbst hat zwar seine Schrift, wie <span class="gesperrt">Hultsch</span>, -Papp. III, 1189 hervorgehoben über Inhalte von gleichen -Massen, περι ισομετρων σχηματων genannt, aber man versteht -heute unter Isoperimetrie sowohl Untersuchungen über Konfigurationen, -die bei gleichen Massen der Begrenzung den grössten -Inhalt haben, als diejenigen, welche bei gleichem Inhalte grösste -Begrenzung bieten. Es ist jene hochwichtige Problemklasse<span class="pagenum"><a name="Seite_p309" id="Seite_p309">[S. 309]</a></span> -aus der sich im 18. Jahrh. die <span class="gesperrt">Variationsrechnung</span> -entwickelte. Die Notiz des <span class="gesperrt">Simplicius</span> welche W. Schmidt, -Eneström 1901 S. 5 anführt, bezieht sich m. E. nur auf die -Kreis- und Kugelmessung durch <span class="gesperrt">Archimedes</span>, welcher ja de -facto in sehr vielen Fällen den Beweis für die Isoperimetrie des -Kreises und der Kugel liefert. Die Schrift selbst ist uns inhaltlich -auf dreierlei Art erhalten, a) sowie es scheint, wörtlich, -durch den Kommentar des <span class="gesperrt">Theon</span> von Alexandrien zum Almagest -(Pariser Ausgabe 1821 <span class="gesperrt">Halma</span>, 33 ff.), b) freier aber völlig zu a) -stimmend durch Pappos, Buch V, S. 308 ff.) c) Abhandlung -eines Anonymos über die isoperimetrischen Figuren, welche -<span class="gesperrt">Hultsch</span>, Papp. III 1138–1165 herausgegeben hat, ebenfalls -vielfach wörtlich zu Theons Mitteilung stimmend.</p> - -<p>Die Arbeit zerfällt in einen planimetrischen und einen -stereometrischen Teil, sie gipfelt in den Sätzen, dass unter allen -ebenen Figuren von gleichem Umfange der Kreis den grössten -Inhalt hat und unter allen räumlichen Gebilden von gleicher -Oberfläche die Kugel das grösste Volumen hat. Dass beide -Sätze nicht streng bewiesen sind, braucht kaum bemerkt zu -werden, hat doch <span class="gesperrt">Jacob Steiner</span> nicht vermocht, den planimetrischen -Satz streng zu beweisen, und der Satz über die Isoperimetrie -der Kugel ist erst 1884 von <span class="gesperrt">H. A. Schwarz</span> mit -den Mitteln der höchsten Analysis bewiesen worden.</p> - -<div class="figright" style="width: 70px;"> -<img src="images/pg309_ill.png" width="70" height="88" alt="" /> -</div> - -<p>Der ebene Teil des Werkes ist deutsch bearbeitet von -<span class="gesperrt">A. Nokk</span>, Programm Freiburg 1860. Nokk hat dort Zenodoros, -der bis dahin als Zeitgenosse des Oinopides also auf 500 v. Chr. -geschätzt war, als Epigonen des Archimedes erwiesen, auch auf -die Bestätigung der Authentizität von <span class="gesperrt">Theons</span> Wiedergabe -durch <span class="gesperrt">Proklos</span> hingewiesen; Friedlein S. 165 Z. 24: -εστι γαρ τριγονα τετραπλευρα, καλουμενα παρ' αυτοις ακιδοειδη -παρα δε τω Ζηνοδωρω κοιλογωνια. »Es gibt eine dreiwinklige -(Figur) mit vier Seiten, von Jenen (Theudios und -Euklid?) [Lanzen] spitzenförmig geheissen, vom Zenodoros -aber <span class="gesperrt">hohlwinklig</span>. Und dieser Ausdruck<span class="pagenum"><a name="Seite_p310" id="Seite_p310">[S. 310]</a></span> -kommt bei Theon vor. Zu bemerken ist, dass die Winkel -auf solche, welche kleiner als der gestreckte, beschränkt waren, -d. h. auf solche die im Dreiseit vorkommen konnten -und dies noch bei Proklos, der allerdings wie die Neuplatoniker -überhaupt, archaistisch ist. Die Figur galt also dem Euklid -und Proklos als dreiwinklig, trotz ihrer 4 Ecken und -4 Seiten. Der Ausdruck <span class="gesperrt">hohlwinklig</span> ist sehr auffallend, es -scheint aus ihm hervorzugehen, dass <span class="gesperrt">Zenodoros</span> die Figur -schon für vierwinklig ansah und seine Lebenszeit würde dadurch -noch herabgedrückt werden, wenn es nicht wahrscheinlicher -wäre, dass ein literarisch so gebildeter Autor wie Proklos -den Ausdruck eben aus <span class="gesperrt">Theons</span> Kommentar entlehnt hat; wodurch -dann wieder sein Zeugnis für die Echtheit von Theons -Wiedergabe entkräftet würde.</p> - -<div class="sidenote">Zenodoros' Satz: Der Kreis ist grösser als das isoperimetrische regelmässige Vieleck.</div> - -<p>Als Probe gebe ich Ihnen den Beweis des zweiten Satzes -nach <span class="gesperrt">Nokk</span>. Wenn ein reguläres Polygon mit einem Kreise -gleichen Umfang hat, so hat der Kreis den grösseren Flächeninhalt.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 400px;"> -<img src="images/pg310_ill.png" width="400" height="371" alt="" /> -</div> - -<div class="figcenter" style="width: 358px;"> -<img src="images/pg310_ill2.png" width="358" height="337" alt="" /> -</div> - -<p>Der Kreis sei <i>ABG</i>, das reguläre Polygon von gleichem -Umfange <i>DEZ</i>. Das Zentrum des Kreises sei <i>H</i>, das des -Polygons sei <i>T</i>, man beschreibe um den Kreis <i>H</i> das dem -Polygon <i>DEZ</i> ähnliche, (Fig.). Verbinde <i>H</i> mit <i>B</i>, fälle von<span class="pagenum"><a name="Seite_p311" id="Seite_p311">[S. 311]</a></span> -<i>T</i> auf <i>EZ</i> das Lot <i>TN</i> und ziehe <i>HL</i> und <i>TE</i>. »Da nun der -Umfang des Vielecks <i>KLM</i> grösser ist als der Umfang des -Kreises <i>ABG</i>, <span class="gesperrt">wie es vom Archimedes in seiner -Schrift über Kugel und Cylinder unterstellt -wird</span>, der Umfang des Kreises <i>ABG</i> aber, dem des Vielecks -<i>DEZ</i> gleich ist, so ist auch der Umfang des Vielecks <i>KLM</i> -grösser als der von <i>DEZ</i>. Allein die Vielecke sind ähnlich, -mithin <i>BL</i> grösser als <i>NE</i> und <i>HB</i> > <i>NT</i>. Also das Rechteck -aus dem Umfang des Kreises und <i>HB</i> > als das Rechteck -aus dem Umfang des Vielecks und <i>NT</i>. Allein das erste Rechteck -ist »<span class="gesperrt">wie Archimedes</span> gezeigt hat« das doppelte der -Kreisfläche und das zweite das doppelte der Fläche des Polygon -und somit der Satz bewiesen (allerdings mit Hilfe des Axiom: -Archimedes Kugel und Cylinder Annahme 2).</p> - -<div class="sidenote">Hipparch von Rhodos.</div> - -<p>In diese Epoche der durch Archimedes, Eratosthenes und -Apollonios herbeigeführten Erweiterung des mathematisch-physikalischen -Gesichtskreises der Hellenen, fällt auch der grösste -Beobachter des Himmels unter den Hellenen, <span class="gesperrt">Hipparch</span> von -<span class="gesperrt">Nicaea</span> oder auch von <span class="gesperrt">Rhodos</span>. Hipparch ist allerdings beim -geozentrischen Weltsystem stehen geblieben, obwohl kurz vorher -<span class="gesperrt">Seleukos</span>, der Kopernikus des Altertums wie ihn <span class="gesperrt">Susemihl</span> -nennt, das Weltsystem des <span class="gesperrt">Aristarch</span> von <span class="gesperrt">Samos</span>, dessen -wir beim Psammites gedachten, auf wirkliche Beweise stützte. -<span class="gesperrt">Seleukos</span> hat auch als der erste auf den Einfluss des Mondes -für Ebbe und Flut hingewiesen und als Grund für die Annahme -der Rotation der Erde darauf, dass die Flut am Äquator am -stärksten ist. <span class="gesperrt">Hipparchos</span> muss etwa um 190 geboren sein, -seine Beobachtungen von 161 bis 126 sind uns durch Ptolemaios -erhalten, seine letzten Beobachtungen, Mondbestimmungen, sind -vom Juni 126 aus Rhodos. Ptolemaios nennt ihn Almagest III, -2 p. 140, einen Mann von Arbeits- und Wissenstrieb. Von seinen -Schriften ist uns nur eine einzige erhalten, eine Exegese zu den -Phainomena des Eudoxos (und Aratos) in 3 Büchern, von <span class="gesperrt">Vettori</span>, -Florenz 1567 Folio, herausgegeben, kritisch und mit deutscher<span class="pagenum"><a name="Seite_p312" id="Seite_p312">[S. 312]</a></span> -Übersetzung 1894 Leipz. von <span class="gesperrt">Manutius</span>. Es war vermutlich -eine Jugendarbeit, weil er darin noch nicht die vielen -Abweichungen der Beobachtungen des Eudoxos von den seinen -auf die Präzession zurückgeführt hat, die er später genau feststellte -und damit die Dauer des Jahres von 365,25 Tagen um -5′ reduzierte. Er berechnete ferner die Exzentrizität der Sonnenbahn, -wenn auch etwas zu gross, desgleichen die der Mondbahn, -legte sowohl die Sonnenbahn als die Mondbahn durch Beobachtung -der Fixsterne, welche ihre obere Kulmination hatten wenn jene -ihre untere, genau fest, gab die Entfernungen der Sonne und -des Mondes weit genauer, (namentlich letztere) an, als seine Vorgänger, -kritisierte die bisherigen Planetentheorien, und erklärte -die Ungleichheit der Jahreszeiten durch die Annahme der -<span class="gesperrt">exzentrischen Kreisbahn</span>, welche <span class="gesperrt">Kepler</span> vielleicht -die Anregung zur Auffindung seines ersten Gesetzes gab. Hipparchs -Methode die Sonnendistanz (Parallaxe, d. h. der Winkel -unter dem der Erdradius von der Sonne aus gesehen erscheint) -mittelst der Mondparallaxe zu bestimmen durch den von ihm -gegebenen Satz: »Die Summe der Parallaxen von Sonne und -Mond ist gleich der Summe der scheinbaren Halbmesser der -Sonne und des Schattenkegels der Erde«, ist theoretisch richtig. -— Das Auftreten eines neuen Fixsternes im Jahre 134 brachte -ihn auf den Gedanken einer möglichen Eigenbewegung derselben, -und er soll (vgl. <span class="gesperrt">Gartz</span> und <span class="gesperrt">Schaubach</span>) mittelst von ihm erfundener -Instrumente, Astrolabien, und verbessertem Visierrohr -oder <span class="gesperrt">Diopter</span> (Archimedes im Psammites) die Position und -scheinbare Grösse des Sternes genau festgestellt haben. Jedenfalls -nahm er hier Veranlassung einen <span class="gesperrt">Sternkatalog</span> anzulegen -und verzeichnete Ptolemaios zufolge selbst 1080 Fixsterne. -Aus der Arbeit von <span class="gesperrt">Frz. Boll</span> 1901 in München entnehme -ich, dass der Sternkatalog des Hipparch zufolge des Fundes von -A. Olivieris 1898 höchstens 850 Sterne umfasste, so dass die -Meinung <span class="gesperrt">Tannerys</span> und <span class="gesperrt">Delambres</span> der Ptolomäische -Katalog sei der des Hipparch gewesen, hinfällig wird.</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p313" id="Seite_p313">[S. 313]</a></span></p> - -<p>Sein Beweggrund war, späteren Astronomen die Erkenntnis -zu ermöglichen, nicht nur ob Sterne verschwänden und neue entständen, -sondern auch, ob sich die Lage der Fixsterne gegen -einander nicht ändere und ob ihre scheinbare Grösse nicht zu- -oder abnähme. Diese Beobachtungen führten ihn eben zur Auffindung -der Präzession; denn als er die seinigen mit etwa 100 -Jahre älteren verglich, fand er, dass sich zwar die Breiten, die -sphärischen Abstände von der Ekliptik oder Sonnenbahn, nicht -geändert, wohl aber die Längen um den konstanten Betrag von -1<sup>1</sup>/<sub>3</sub>° vergrössert hatten, d. h. also, dass die Äquinoktialpunkte -auf der Ekliptik gegen die Bewegung der Sonne hin fortrückten. -Wir verdanken auch diese Kunde dem Almagest, die theoretische -Erklärung der Präzession durch die Rotation der Erdaxe -um die Axe der Ekliptik aus der Anziehung von Sonne, Mond, -Jupiter etc. auf dem Wulst des Äquators gab erst D'Alembert.</p> - -<div class="sidenote">Heron von Alexandria.</div> - -<p><span class="gesperrt">Hipparch</span> wird aber auch als der Begründer der <span class="gesperrt">Trigonometrie</span> -angesehen, wenn überhaupt von einem solchen (vgl. -Ägypten) die Rede sein kann. <span class="gesperrt">Theon</span> teilt uns in dem -schon erwähnten Kommentar zum Almagest mit, dass jener in -einem grösseren Werke περι της πραγματειας των εν τω κυκλω ευθειων -eine Sehnentafel gegeben. Siehe hierzu die Bestätigung bei -<span class="gesperrt">Heron</span> in der Metrik S. 58, 3. 19, wo der Titel (s. u. Heron) -angegeben ist. Es steht jetzt so ziemlich fest, dass die ganze -Sexagesimalbruchrechnung inkl. Wurzelausziehung Eigentum des -<span class="gesperrt">Hipparch</span> war (cf. <span class="gesperrt">Hultsch</span>, die Sexagesimalrechnungen in -den Scholien zu Euklids Elementen, Biblioth. Math. 5, 1904, 225).</p> - -<p>Nach arabischen Nachrichten hat er auch über quadratische -Gleichungen geschrieben und durch Strabon sind wir über seine -Schrift προς Ερατοσθενην gut unterrichtet. In den beiden ersten -Büchern gab er eine scharfe und nicht immer gerechte Kritik, -denn genaue Längen- und Breitebestimmungen waren dem Eratosthenes -nicht möglich, im dritten die Begründung seines eigenen -Systems und die Tabellen der Breiten von 12 Städten und Bestimmung -der Finsternisse. Wenn man von Eratosthenes Sphragides<span class="pagenum"><a name="Seite_p314" id="Seite_p314">[S. 314]</a></span> -absieht, ist Hipparch auch als Begründer des <span class="gesperrt">sphärischen -Koordinatensystems</span> anzusehen.</p> - -<p>An Hipparch, den Astronomen, schliessen wir Heron, den -Mechaniker an; ὁ μηχανικος nennt ihn <span class="gesperrt">Proklos</span>, Fried. 305, -24; 346, 13, und in der Tat ist er in Mechanik und Technik -geradeso der Lehrer der Welt gewesen wie Euklid für Geometrie. -Ob Heron Nachfolger oder Vorläufer des Hipparch gewesen ist, -steht nicht einmal absolut fest. Doch wird in der Metrik die -von Theon erwähnte Schrift unter dem Titel περι των εν κυκλω -ευθειωνπερι των εν κυκλω -ευθειων als vollkommen bekannt zitiert.</p> - -<div class="sidenote">Lebenszeit.</div> - -<p>Die sogen. <span class="gesperrt">Heronische Frage</span> ist eine der diffizilsten, -die Ansichten der berühmtesten Historiker schwanken zwischen -dem 3. Jahrh. v. Chr. und dem zweiten Jahrh. n. Chr. Ein -Forscher von dem Range <span class="gesperrt">Diels</span> setzt ihn um 100 n. Chr., -<span class="gesperrt">De Vaux</span> und <span class="gesperrt">Paul Tannery</span> sogar um 200, der Herausgeber -der neuesten Gesamtausgabe <span class="gesperrt">W. Schmidt</span> setzt ihn etwa -auf 56 v. Chr. Dem gegenüber stehen <span class="gesperrt">Susemihl</span>, der genaue -Kenner der Hellenistik, der ihn um 200 v. Chr. ansetzt -und <span class="gesperrt">M. Cantor</span>, der ihn um 100 v. Chr. setzt. Ich glaube, -dass Cantor im ganzen das Richtige getroffen und neige dazu -Herons Geburt etwa um 150 zu setzen und stimme der Beweisführung -<span class="gesperrt">Edmund Hoppes</span> im Programm des Hamburger -Wilhelm-Gymnasiums von 1902 bei, welche ich noch bekräftigt -finde durch die von <span class="gesperrt">H. Schoene</span> 1903 zum ersten Mal herausgegebene -»Metrika«, deren Handschrift <span class="gesperrt">R. Schoene</span> 1896 im -Codex Constantinopolitanus aufgefunden hatte. Da Programme -bekanntermassen wenig bekannt zu werden pflegen, so setze ich -den Schluss der <span class="gesperrt">Hoppe</span>'schen Arbeit hierher, und um so lieber, -als ich bedauerlicherweise vergessen habe, diese tüchtige Arbeit -in der 2. Aufl. meiner Methodik von 1907 unter den historischen -Programmen anzuführen, obwohl sie mir seit 1903 bekannt -war. Hoppe schliesst: Wenn er den älteren Poseidōnios -zitiert hat, rückt Heron gänzlich in das zweite Sec. v. Chr. -»Dahin passt er auch seinem ganzen Inhalte nach durchaus.<span class="pagenum"><a name="Seite_p315" id="Seite_p315">[S. 315]</a></span> -Heron steht ausschliesslich auf den Schultern des Archimedes -und Ktesibios in seiner Mechanik und Pneumatik, in der Philosophie -und Mathematik ist er abhängig von Aristoteles, Platon, -Pythagoras und Euklid, welche er alle zitiert. Alles Spätere ist -für Heron nicht vorhanden. Heron aber geht über seine Quellen -weit hinaus. Die physikalischen Anschauungen, welche er in -der Einleitung zur Pneumatik darlegt, hat vor ihm keiner und -auch nach ihm keiner. Wohl in Einzelheiten finden sich bei -früheren Anklänge, aber ein solch umfassendes Wissen von der -Mechanik der Gase, von der Elastizität etc. hat keiner seiner -Vorgänger. Nach ihm hat man dies alles nicht mehr verstanden, -die römischen Epigonen griechischer Kulturwelt konnten wohl -Automaten und Wasserorgeln nachmachen, aber seine physikalischen -Gedanken begriffen sie nicht. Das charakterisiert -Heron als den letzten einer untergehenden Schule. Darum muss -man Heron ansetzen zu einer Zeit, wo Ägypten vor einer Katastrophe -stand, nach einer Periode der Blüte. Diese Blüte war -unter den Ptolemäern, die Katastrophe war das Einsetzen der -Römerherrschaft. Somit spricht alles für den Ausgang des -zweiten sec. a. Chr. Macht man, wie Schmidt es will, Philon von -Byzanz und Ktesibios zu Zeitgenossen des Archimedes, so wäre -möglich für Heron die Zeit am Anfang des zweiten sec. anzunehmen. -Setzt man Ktesibios an das Ende des zweiten sec., -so bleibt für Heron die Zeit um 100 n. Chr., wie Cantor annimmt, -bestehen; ein weiterer Spielraum scheint ausgeschlossen.«</p> - -<p>Zu den von Heron benutzten Autoren kommt nach Metrik -S. 58 Z. 19 noch <span class="gesperrt">Hipparch</span> hinzu und <span class="gesperrt">Apollonios</span> de sectione -spatii (ἡ του χωριου αποτομη) Schöne S. 162, sowie <span class="gesperrt">Dionysodoros</span> -dessen Kugelteilung Eutokios gegeben. Auch die -Heronische Würfelverdoppelung zeigt den Einfluss des Apollonios. -Ungelöst ist auch noch die Frage inwiefern Heron für seine -Geschützlehre und seine Lehre vom Luftdruck aus <span class="gesperrt">Philon</span> von -<span class="gesperrt">Byzanz</span> (Φιλων ὁ βυζαντιος.) geschöpft hat. Die Vorstellung, -dass schwere Körper schneller fallen müssen als leichte findet<span class="pagenum"><a name="Seite_p316" id="Seite_p316">[S. 316]</a></span> -sich z. B. bei Beiden. Die Zuverlässigkeit der Literaturangaben -des <span class="gesperrt">Eutokios</span> ist durch die Auffindung der Mechanik wieder -bestätigt worden, Eutokios überschreibt die Lösung mit den -Worten »wie <span class="gesperrt">Heron</span> in der Einführung in die Mechanik und -in den Belopoiika (Anfertigung von Geschützen)« und sie hat -sich auch in der Mechanik, Ausgabe von Nix S. 24 gefunden.</p> - -<p>Ich möchte zu den Datierungsfragen allgemein bemerken, -dass was für Indien gilt mutatis mutandis auch für alle diese -Streitfragen gilt. Der gedankliche Zusammenhang, die Darstellung, -die Hilfsmittel sind der wichtigste Anhaltepunkt, und -der spricht für Heron entschieden für engen Anschluss an Archimedes, -wie es insbesondere die Metrika zeigen und für die -<span class="gesperrt">Cantorsche</span> Auffassung, welche auch von <span class="gesperrt">Hultsch</span> geteilt -wurde. Auch die sehr sorgfältige Dissertation von <span class="gesperrt">R. Meier</span> -de Herone aetatis, Leipz. 1905 kommt zum gleichen Resultat. -Wie die Heronische Frage hat entstehen können, darüber spricht -sich <span class="gesperrt">Cantor</span> völlig zutreffend aus. Für 1<sup>1</sup>/<sub>2</sub> Jahrtausend ist -wie Euklid für Mathematik so Heron Lehrer für Geodäsie und -angewandte Mechanik. Überaus zahlreich, griechisch, lateinisch, -arabisch, sind die Codices, Excerpte, Bearbeitungen und ebenso -zahlreich sind die Entstellungen und Zusätze, Verschlimmbesserung -der Abschreiber und Ausschreiber.</p> - -<div class="sidenote">Heron, Werke.</div> - -<p>Während die physikalischen Schriften Herons ab und an -ediert sind, ist die erste kritische Ausgabe der unter seinem -Namen gehenden mathematischen Schriften von <span class="gesperrt">Fr. Hultsch</span>, -der bei seiner grossen Arbeit über die Schriftsteller der Alten, -welche sich mit Messkunst beschäftigten, sich mit Heron beschäftigen -musste. Die Hultsche Ausgabe von 1864, für ihre Zeit -mustergiltig, gibt uns den griechischen Text möglichst bereinigt, -sie enthält die Heronischen Definitionen, die jetzt noch -oder wieder für teilweise echt gelten, die Geometria und als -Anhängsel einige an sich wichtige Tafeln der Masse, die aber -grösstenteils unecht sind, dann die Stereometrie, ein Buch über -Flächen- und Raummessung, dann das liber geoponicus, das ein<span class="pagenum"><a name="Seite_p317" id="Seite_p317">[S. 317]</a></span> -ziemlich dürftiges Excerpt ist, wie der 8. Abschnitt ein ungenaues -Excerpt aus der unten zu besprechenden Dioptra, und -dann vergleichende Zusätze. Aber nach etwa einem Menschenalter -machten grossartige neue Funde (s. u.) eine neue Ausgabe nötig. -Sie ist von <span class="gesperrt">W. Schmidt</span>, einem Hultsch ebenbürtigen Kenner -der antiken math. Schriftsteller, unternommen, als Gesamtausgabe -Herons und mit <span class="gesperrt">deutscher Übersetzung</span>. Erschienen -sind: Band 1, 1899 von <span class="gesperrt">W. Schmidt</span>, die »Druckwerke« -und »das Automatentheater«, mit einem Supplementheft: -die Geschichte der Textüberlieferung und Griech. Wortregister.</p> - -<p>Bd. II, 1900 die Mechanik und Katoptrik, erstere von <span class="gesperrt">L. Nix</span> -aus dem Arabischen, letztere von <span class="gesperrt">W. Schmidt</span>; — B. III 1903, -die Messungslehre (Metrika) und die Dioptra »Vermessungslehre« -von <span class="gesperrt">H. Schöne</span>. Leider ist der verhältnismässig jugendliche <span class="gesperrt">W. -Schmidt</span> Hultsch im Tode vorausgegangen. Aber schon das -jetzige genügt um sich von Herons wirklicher Bedeutung ein -Bild zu machen, und zeigt, dass der grösste Teil der von Hultsch -edierten Schriften höchstens inhaltlich auf Heron zurückgeht. -<span class="gesperrt">W. Schmidt</span> konnte die Ansicht Hultschs bestätigen, wonach -sich Herons Schriften vermutlich auf drei grosse Werke verteilten: -1. Über Feldmesskunst, von denen die grosse Arbeit -über die Dioptra die wichtigste ist. 2. Über Mechanik. 3. Über -Metrik, d. h. die Lehre vom Inhalt der Flächen und Körper.</p> - -<div class="sidenote">Heron, Leben.</div> - -<p>Von den Lebensumständen Herons scheint noch festzustehen, -dass er in Alexandrien ähnlich wie Pappos einen zahlreichen -Schülerkreis um sich gesammelt hatte, sodass seine Werke als -Lehrbücher für seine Schüler vielleicht im Auftrage der Regierung -entstanden sind. Es ist nicht unwahrscheinlich, dass Heron -selbst ägyptischer Nationalität war, was auch seinen Stil erklären -würde. Jedenfalls hat er auf ägyptische Feldmesser als Leser -und Hörer gerechnet, und war mit den ägyptischen Methoden völlig -vertraut. Rätselhaft war lange Zeit die Methode mit der Heron -besonders in Metrik und Dioptra die auffallend genauen Quadratwurzeln -gezogen und in der Metrik sogar die Kubikwurzel<span class="pagenum"><a name="Seite_p318" id="Seite_p318">[S. 318]</a></span> -aus 100 (S. 78). <span class="gesperrt">G. Wertheim</span> einer der tüchtigsten Schüler -<span class="gesperrt">M. Cantors</span> hat das Rätsel gelöst. Die kurze Notiz steht -Cantor-Schlömilch Hist. litt. Abt. Band 44, 1899 S. 1, es ist so -ziemlich das letzte Vermächtnis des Diophantherausgebers.</p> - -<div class="sidenote">Herons Wurzelausziehung.</div> - -<p>Heron will <sup>3</sup>√<span class="sqrt">100</span> bestimmen. Die Kuben zwischen denen -100 liegt sind 64 und 125, die erstere ist um 36 zu klein, die -letztere um 25 zu gross. Die <sup>3</sup>√<span class="sqrt"> </span> sind bezw. 4 und 5. Daher -wird <sup>3</sup>√<span class="sqrt">100</span> gleich 4 + einem Bruche sein. Um den Zähler zu -finden multipliziert er 36 mit 5, gibt 180. Der Nenner ist 100 -+ 180. Der Bruch ist also <sup>9</sup>/<sub>14</sub> und so ergibt sich ihm der -Näherungswert 4<sup>9</sup>/<sub>14</sub>.</p> - -<p>Wertheim nimmt nun nicht wie <span class="gesperrt">M. Curtze</span>, der Freund -und Genosse <span class="gesperrt">M. Cantors</span>, die 5 als √<span class="sqrt">25</span> sondern als <sup>3</sup>√<span class="sqrt">125</span> und -100 sieht er nicht wie <span class="gesperrt">Curtze</span> als den gegebenen Radikand an, -sondern als das Produkt von 4 als <sup>3</sup>√<span class="sqrt">64</span> mit 5<sup>3</sup> - 100.</p> - -<p>»<span class="gesperrt">Auf diese Weise stellt sich Herons Verfahren -als ein dem doppelten falschen Ansatz analoges -dar.</span>«</p> - -<p>Ich erinnere, dass schon die ältesten Ägypter die Regula -falsi benutzten. Wertheim zeigt, dass die ebenso rätselhaften -Näherungswerte des <span class="gesperrt">Archimedes</span> für die Quadratwurzeln mit -der gleichen Methode gefunden werden können und weist dies -an den Grenzwerten des der √<span class="sqrt">3</span> aus der Kreismessung <span class="fraction"><span>265</span><span>153</span></span> und -<span class="fraction"><span>1351</span><span>780</span></span> nach. Dieser Nachweis macht die Erklärung Wertheims wahrscheinlicher -als die sachlich einfachere der am selben Ort mitgeteilten -von <span class="gesperrt">A. Kerber</span> sub. 9. Nov. 1897 an Curtze gesandt.</p> - -<p>Sei die zu kleine Wurzel a, und die um 1 grössere -schon zu grosse a<sup>1</sup>, so ist (x<sup>3</sup> - a<sup>3</sup>) = f = (x - a)(x<sup>2</sup> + ax + a<sup>2</sup>) -annähernd gleich (Zeichen ～): (x - a)3ax. Ebenso ist -f<sup>1</sup> ～ -<span class="pagenum"><a name="Seite_p319" id="Seite_p319">[S. 319]</a></span>3a<sup>1</sup>x, und durch Division erhält man -<span class="fraction"><span>f</span><span>-f<sup>1</sup></span></span> ～ <span class="fraction"><span>(x - a)a</span><span>(x - a<sup>1</sup>)a<sup>1</sup></span></span>, wenn -man x - a = z setzt, so ist x - a<sup>1</sup> = z - 1 und -z = <span class="fraction"><span>fa<sup>1</sup></span><span>a<sup>1</sup>f + af<sup>1</sup></span></span> -und dies ist die Korrektion des Heron.</p> - -<p>Die Methode würde für die Quadratwurzel ergeben z = -<span class="fraction"><span>f</span><span>a + a<sup>1</sup></span></span> also für √<span class="sqrt">63</span>; z = <span class="fraction"><span>14</span><span>15</span></span> aber Heron setzt sie gleich 7<sup>1</sup>/<sub>2</sub>, <sup>1</sup>/<sub>4</sub>, -<sup>1</sup>/<sub>8</sub>, <sup>1</sup>/<sub>16</sub>, (gut ägyptisch), das ist 7<span class="fraction"><span>15</span><span>16</span></span>, welches genauer ist als -7<span class="fraction"><span>14</span><span>15</span></span> und für √<span class="sqrt">67500</span> statt 259 den Wert 259<span class="fraction"><span>419</span><span>515</span></span>, was bedeutend -genauer als Herons Wert, der auffallend ungenau; es -ist seltsam, dass Heron nicht 260 gewählt hat. Aber auch der -vierfache falsche Ansatz passt für √<span class="sqrt">63</span> nicht. Denkt man aber -an die alte ägyptische Unterteilung und bedenkt, dass die Näherungsformel -√<span class="sqrt">a<sup>2</sup> + ε</span> ～ a + <span class="fraction"><span>ε</span><span>2a + 1</span></span> zunächst 7<span class="fraction"><span>14</span><span>15</span></span> gab, so liegt es -nahe, dass probeweise 7<span class="fraction"><span>15</span><span>16</span></span> gesetzt wurde. Übrigens findet sich -bei <span class="gesperrt">Theon</span> von Smyrna ein Kettenbruchverfahren für √<span class="sqrt">2</span>, und -dieses oder ein sehr ähnlicher Algorithmus ist vermutlich Archimedes -und Heron auch bekannt gewesen.</p> - -<div class="sidenote">Heron als Schüler des Ktesibios.</div> - -<p>Dass <span class="gesperrt">Heron</span> nicht nach <span class="gesperrt">Caesar</span> gelebt haben kann, das -geht schon aus der Abhängigkeit <span class="gesperrt">Vitruvs</span> von Heron hervor, -die ich schon um deswegen nicht bezweifle, weil Vitruv den -Heron nicht erwähnt. Als sein Lehrer gilt <span class="gesperrt">Ktesibios</span>, weil -ein Werk des Heron die βελοποιικα, Geschützverfertigung, in einigen -Handschriften darunter die beste, überschrieben ist Ἡρωνος Κτησιβιου -βελοποιικα. <span class="gesperrt">Wilhelm Schmidt</span>, der verdienstvolle Neubearbeiter -des Heron, verwirft diese Begründung, und mit Recht, -spricht sich aber über die Tatsache selbst nicht weiter aus. Mir -scheint das Faktum richtig. Dass auch Heron ein Alexandriner, -Αλεξανδρευς, gewesen wie Ktesibios steht fest, und dass Ktesibios -der ältere war, ebenfalls, und gerade in den »Pneumatika« -der Lehre von der mechanischen Anwendung des Luftdrucks, -schliesst sich Heron eng an Ktesibios an. Und sehr spricht für -das Schülerverhältnis die Stelle bei <span class="gesperrt">Proklos</span>, Friedl. S. 41:<span class="pagenum"><a name="Seite_p320" id="Seite_p320">[S. 320]</a></span> -και ἡ θαυματοποιικη τα μεν δια πνων φιλοτεχνουσα, ὡσπερ και Κτησιβιος -και Ἡρων πραγματευονται.</p> - -<div class="sidenote">Der Dampf als Motor.</div> - -<p>Nach <span class="gesperrt">Susemihl</span> lebte Ktesibios unter Ptolemaios Philadelphos -und Euergetes I in Alexandrien und zeichnete sich durch -Erfindung schwerer Geschütze, die er mit komprimierter Luft trieb, -aus. Wohl war die Triebkraft der gepressten Luft schon dem <span class="gesperrt">Aristoteles</span> -bekannt, aber die Windbüchse hat jener konstruiert, -der nicht mit dem anderen Ktesibios, der eine Wasserorgel konstruiert -hat »dem Sohn des Bartscherers« zu verwechseln ist. -Ktesibios konstruierte auch einen Apparat zur Mauerersteigung, -sowie Automaten und schrieb eine theoretische Mechanik. An -ihn schliesst sich Heron als praktischer Mechaniker zunächst an, -in der Schrift »πνευματικα,« Druckwerke, in 2 Büchern, welche -besonders den Luftdruck verwertet, allerdings ohne die heutige -Theorie. Die in der Einleitung erwähnte Schrift über die -Wasseruhren (wörtlich Stundenzeiger mittelst Wassers) in 4 -Büchern ist bis auf ein ganz winziges Fragment verloren. Neben -vielen ergötzlichen Spielereien findet sich darin der Heber (Philon) -der Heronsbrunnen, der Heronsball, das Gesetz der kommunizierenden -Röhren, die Druckpumpe, die Feuerspritze, <span class="gesperrt">die nachweislich -erste Anwendung des Dampfes -als Triebkraft</span>, ein Dampfkessel -mit Innenfeuerung und Schlangenrohr als -Badeofen etc. Unter den Automaten ist die -sich selbst regulierende Lampe, das automatische -Restaurant etc.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 160px;"> -<img src="images/pg320_ill.png" width="160" height="330" alt="" /> -</div> - -<div class="sidenote">Anwendungen des Dampfes.</div> - -<p>Ich gebe hier II, VI die erste konstatierte -Anwendung des Dampfes als Motor, nach -<span class="gesperrt">W. Schmidts</span> neuer Ausgabe wieder. »Ferner -Kugeln, welche sich auf Luft bewegen. -Ein Kessel mit Wasser, der an der Mündung -verstopft ist, wird unterfeuert, s. Fig. -Von der Verstopfung aus erstreckt sich eine -Röhre, mit welcher oben eine hohle Halbkugel<span class="pagenum"><a name="Seite_p321" id="Seite_p321">[S. 321]</a></span> -durch Bohrung in Verbindung gesetzt worden ist. Werfen -wir nun ein leichtes Kügelchen in die Halbkugel, so wird es sich -ergeben, dass der aus dem Kessel durch die Röhre getriebene -Dampf das Kügelchen in die Luft emporhebt, so dass es darauf -getragen wird.«</p> - -<p>Ist hier der Dampf nur -zur Spielerei benutzt, so leistet -in II 34 in dem Badeofen, nach -seiner Form die einem römischen -Meilenstein ähnelt, Miliarion -genannt, der Dampf nützliche -Dienste. Die Figur bedarf -keiner Erläuterung. Wir -haben hier einen <span class="gesperrt">Dampfkessel -mit Innenfeuerung</span> -und den Anfang des -kupfernen Schlangenrohres, welches -etwas später daraus hervorging. -Der Dampf steigt durch -eine Röhre, welche in das den -Deckel durchsetzende Rohr eingeschlossen -und darin drehbar -ist, in den Mund des kleinen Genius, der nur als Blasebalg für die -Kohlenfeuerung dient. Hier wird man wohl wieder sagen müssen, -dass es nichts Neues unter der Sonne gibt.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 297px;"> -<img src="images/pg321_ill.png" width="297" height="420" alt="" /> -</div> - -<div class="sidenote">Automatentheater.</div> - -<p>An die Pneumatika schliesst sich das »Automatentheater« -wie <span class="gesperrt">W. Schmidt</span> sinngemäss den eigentlichen Titel Περι -αυτοματοποιητικης übersetzt; auch hier wie Heron selbst angibt, -in der Einleitung zu den stehenden Automaten, Schmidt I, -S. 404, Z. 12, stützt er sich auf <span class="gesperrt">Philon</span>. Die Automaten, die -heute bei uns nur noch auf den Jahrmärkten und zu Reklamezwecken -in den Schaufenstern dienen, abgesehen von den grässlichen -Musikautomaten, spielten im 17. und 18. Jahrh. eine sehr -grosse Rolle in den Belustigungen auch der Hochgestellten, —<span class="pagenum"><a name="Seite_p322" id="Seite_p322">[S. 322]</a></span> -ganz wie zur Zeit des Philon und Heron. Ich gebe hier den Bericht -des Heron über die Aufführung der Pantomime Nauplios -(durch Philon). Der Sage nach war Nauplios der Vater des -Palamedes, der den Tod seines Sohnes Palamedes, an den Argivern -rächte, den Odysseus um seinen Konkurrenten in der Klugheit -zu beseitigen, verursacht hatte. Athene stand ihm bei, sie -zürnte besonders Ajax dem Lokrer, der ihr Palladion geschändet -hatte. Also: auf der Bühne war das auf Nauplios bezügliche -Stück vorbereitet (das Stück selbst: μύθος, vermutlich von Sophokles), -das Einzelne verhielt sich so: Zu Anfang öffnete sich -die Bühne, dann erschienen zwölf Figuren im Bilde, diese waren -auf drei Reihen verteilt. Sie waren als Danaer dargestellt, -welche die Schiffe ausbessern und Vorbereitungen treffen um sie -ins Meer zu ziehen. Diese Figuren bewegten sich, indem die -einen sägten, die andern mit Beilen zimmerten, andere hämmerten, -wieder andere mit grossen und kleinen Bohrern arbeiteten. Sie -verursachten ein der Wirklichkeit entsprechendes, lautes Geräusch. -Nach geraumer Zeit wurden aber die Türen geschlossen -und wieder geöffnet, und es gab ein anderes Bild. Man konnte -nämlich sehen, wie die Schiffe von den Achäern ins Meer gezogen -wurden. Nachdem die Türen geschlossen und wieder geöffnet -waren, sah man nichts auf der Bühne als gemalte Luft -und Meer. Bald darauf segelten die Schiffe in Kiellinie vorbei. -Während die einen verschwanden, kamen andere zum Vorschein. -Oft schwammen auch Delphine daneben, die bald im Meere -untertauchten, bald sichtbar wurden, wie in Wirklichkeit. Allmählich -wurde das Meer stürmisch und die Schiffe segelten dicht -zusammengedrängt. Machte man wieder zu und auf, war von -den Segelnden nichts zu sehen, sondern man bemerkte Nauplios -mit erhobener Fackel und Athene, welche neben ihm stand. -Dann wurde über der Bühne Feuer angezündet, wie wenn oben -die Fackel mit ihrer Flamme leuchtete. Machte man wieder zu -und auf, sah man den Schiffbruch und wie Ajax schwamm. -Athene wurde auf einer Schwebemaschine und zwar oberhalb<span class="pagenum"><a name="Seite_p323" id="Seite_p323">[S. 323]</a></span> -der Bühne emporgehoben, Donner krachte, ein Blitzstrahl traf -unmittelbar auf der Bühne den Ajax und seine Figur verschwand. -So hatte das Stück, nachdem geschlossen war, ein Ende.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 354px;"> -<img src="images/pg323_ill.png" width="354" height="600" alt="" /> -</div> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p324" id="Seite_p324">[S. 324]</a></span></p> - -<div class="sidenote">Heron, Euthytonos (Geradspanner).</div> - -<p>Es folgen dann die genauen Vorschriften zur Anfertigung -der Automaten.</p> - -<p>Die Pneumatik zeigt zugleich, wie falsch die Vorstellung -ist, dass das Experimentieren erst etwa durch Bacon erfunden -sei, z. B. Pneum. 28, 29, aber nicht nur Heron war ein tüchtiger -Experimentator, sondern schon <span class="gesperrt">Demokrit</span> hat seine physikalischen -Theorien auf Experimente gestützt, indem er z. B. Versuche -über Filtrierung von Meerwasser angestellt hat.</p> - -<div class="sidenote">Geschützverfertigung.</div> - -<p>Es folgt die βελοποιικά, den Titel hat H. Degering nicht -ohne Geist erklärt als Herons Bearbeitung von Ktesibios Geschützverfertigung; -die Frage nach den antiken Geschützen, für -die bisher das grosse Werk von <span class="gesperrt">Köchly</span> und <span class="gesperrt">Major Rüstow</span> -ausschlaggebend war, ist durch die Versuche von <span class="gesperrt">E. Schramm</span> -in Metz in ein neues aber noch nicht abgeschlossenes Stadium -getreten. Dass Griechen und Römer über ein sehr hochentwickeltes -Geschützwesen verfügten und eigene kaiserliche Waffentechniker, -armamentarii imperatoris, besassen ist bekannt; soll doch -nach Athenodoros der Winkelspanner des Archimedes einen -12elligen Balken auf die Weite eines <span class="gesperrt">Stadions</span> geworfen haben.</p> - -<p>Die Figur S. 323 stellt den <span class="gesperrt">Geradspanner</span> (Euthytonos) -des Heron dar.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 174px;"> -<img src="images/pg324_ill.png" width="174" height="300" alt="" /> -</div> - -<div class="sidenote">Das Delische Problem.</div> - -<p>Der Schluss des Werkes enthält die von -Eutokios mitgeteilte Konstruktion für das -Delische Problem, welche mit der des Apollonios -im Prinzip und mit der des <span class="gesperrt">Philon</span>, -der als 4. Buch seiner Mechanik ebenfalls -über Geschützbau ausführlich gehandelt -hat, übereinstimmt. Sollte die Kraft der Geschosse -verdreifacht werden, so musste der -Cylinder, der den Spanner aufnahm, verdreifacht -werden und damit war das Delische -Problem gegeben, dessen Lösung sich -von der des Apollonios und besonders der<span class="pagenum"><a name="Seite_p325" id="Seite_p325">[S. 325]</a></span> -des Philon nur sehr wenig, und im Prinzip gar nicht unterscheidet.</p> - -<p>Der Bericht des Eutokios ist überarbeitet, der des Pappos -III p. 62 scheint fast genau mit dem Original zu stimmen, -bis auf geringfügige Zusätze, wie z. B. gleichen Umfang -παραλληλογραμμον. Das Original ist zum Schluss vollständig -verworren, und ich folge der von Köchly jedenfalls mit Benutzung -von Pappos gegebenen Sanierung und nicht der in der -Mechanik S. 24 aus dem Arabischen übertragenen. Die Konstruktion -des Philon die bei Eutokios sich anschliesst findet sich -Köchly S. 238 skizziert.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 291px;"> -<img src="images/pg325_ill.png" width="291" height="300" alt="" /> -</div> - -<p>Heron: Es seien αβ, βγ die gegebenen Strecken, senkrecht -zu einander, es soll das Rechteck -αβγδ vollendet und δγ, δα verlängert -worden sein. Du sollst an -Punkt β ein Lineal anlegen, das -die verlängerten Strecken schneidet -und das besagte Lineal bewegen -bis die zwei ε mit den -Schnitten verbindenden einander -gleich sind. Es habe nun das -Lineal die Lage der Geraden -ζβη und die beiden andern Geraden -seien εζ und εη, so behaupte ich, dass αζ, ηγ die mittleren -Proportionalen der Strecken αβ, βγ sind.</p> - -<p>Der Beweis mittelst (a + b)(a - b) gleich a<sup>2</sup> - b<sup>2</sup> (oder auch -mit dem Potenzsatz) ist ohne weiteres klar.</p> - -<p>Die Konstruktion des Philon führt die Gleichheit von ζε und -ηε auf die von ζβ und ηθ zurück, was mittelst geteilten Drehlineals -praktisch vorteilhaft ist.</p> - -<div class="sidenote">Katoptrik.</div> - -<p>Ebenfalls experimenteller Physik gehört Herons <span class="gesperrt">Katoptrik</span>, -die Lehre vom reflektierten Licht an, die Lehre vom Spiegel, -Winkelspiegel, Vexierhohlspiegel, Spiegel zu Geistererscheinungen -etc. Sie ist jetzt unter den Werken Herons von W.<span class="pagenum"><a name="Seite_p326" id="Seite_p326">[S. 326]</a></span> -Schmidt 1901 (Bd. II) herausgegeben, nach einem lat. Manuskript -des Wilhelm von Mörbeck, den wir schon bei Archimedes -als Übersetzer erwähnten. Das griech. Original wird sich vermutlich -im Vatikan finden, jedenfalls hat es sich dort befunden. -Die Schrift war unter dem Titel Claudii Ptolemei de Speculis -1518 gedruckt worden. Als die weit über Heron hinausgehende -Optik des <span class="gesperrt">Ptolemaios</span> in einer aus dem Arabischen übersetzten -Optik des Admirals Eugenius Siculus (vgl. die Einleitung -W. Schmidts S. 303) erkannt war, bewiesen <span class="gesperrt">H. Martin</span>, <span class="gesperrt">Rose</span> -und <span class="gesperrt">Schmidt</span> dass jene frühere Schrift eine verkürzte und verstümmelte -Wiedergabe der Katoptrik des Heron sei, von der -Kunde existierte.</p> - -<div class="sidenote">Reflexionsgesetz.</div> - -<p>Heron legt die Emissionstheorie zugrunde, die Sehstrahlen -sind eine Art Äthermoleküle, die vom Auge aus mit unendlicher -Geschwindigkeit gesandt werden. Seine mathematischen Ableitungen -beruhen auf dem Satz: das Licht bewegt sich auf kürzestem -Wege (wie s. Z. <span class="gesperrt">Fresnel</span>). Ich gebe die Einleitung -wörtlich und die Ableitung des Reflexionsgesetzes aus Kp. IV -und V dem Sinne nach. Einleitung:</p> - -<p>»Da es zwei Sinne gibt, durch welche man nach Platon -zur Weisheit gelangt, nämlich das Gehör und das Gesicht, so -hat man sein Augenmerk auf beide zu richten. Von dem, was -in das Gebiet des Gehörs fällt, beruht die Musik auf der Kenntnis -der wohlklingenden Tonbildung und ist, um es kurz zu sagen, -die Theorie von dem Wesen der Melodie und den Gesetzen der -Tonlehre. Was die Möglichkeit betrifft, dass die Welt entsprechend -der musikalischen Harmonie geordnet sei, so stellt die -Theorie viele verschiedenartige Behauptungen darüber auf. Wenn -man nämlich den ganzen Himmel der Zahl nach in acht Sphären -einteilt, nämlich in die der 7 Planeten und in diejenige, welche -alle (sieben) umfasst und welche nur die Fixsterne tragt, so ist -die Folge, dass bei den Planeten das Vorrücken der Gestirne -melodiös und harmonisch wird wegen der gleichmässig starken -Bewegungen unter ihnen, wie auch auf dem Instrumente der<span class="pagenum"><a name="Seite_p327" id="Seite_p327">[S. 327]</a></span> -Leier die Saiten melodisch erklingen. Denn wie man sich vorstellen -muss, vernimmt man infolge des Vorrückens der Gestirne -durch die Luft gewisse Töne und zwar bald tiefere, bald hellere, -je nachdem die einen sich langsamer, die andern sich schneller -bewegen. Wie wir also nach dem Anschlagen der Saite die -Luftschwingungen erkennen, so gewährt, wie man sich denken -muss, uns die Luft dadurch, dass sie infolge der Bewegung -der Gestirne durch den Tierkreis ununterbrochen sich verändert -und verwandelt (in Schwingungen versetzt wird) einen Akkord.« -(Die Sphärenmusik der Pythagoräer.)</p> - - -<h3>Ableitung des Reflexionsgesetzes.</h3> - -<p>Für den Planspiegel -genügt die Figur -hier. Es sei <span class="gesperrt">ab</span> ein -ebener Spiegel, g der -Augenpunkt, d das -Gesehene. Es ist da -g<sub>1</sub> symmetrisch zu g, -klar, dass der Weg -<span class="gesperrt">gad</span> da er gleich der -Geraden <span class="gesperrt">g<sub>1</sub>ad</span> kürzer -ist als <span class="gesperrt">gbd</span>, welcher gleich der gebrochenen Linie <span class="gesperrt">g<sub>1</sub>bd</span> ist.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 388px;"> -<img src="images/pg327_ill1.png" width="388" height="250" alt="" /> -</div> - -<div class="figcenter" style="width: 250px;"> -<img src="images/pg327_ill2.png" width="250" height="279" alt="" /> -</div> - -<p>Man denke sich dann einen gekrümmten (Convex) Spiegel, -bei dem <span class="gesperrt">ab</span> die Peripherie, g das Auge, -d das Gesehene sei. Und es sollen <span class="gesperrt">ga</span> -und <span class="gesperrt">ad</span> unter gleichen Winkeln einfallen, -<span class="gesperrt">gb</span> und <span class="gesperrt">bd</span> unter ungleichen. -Dann ist nach vorigen Beweis <span class="gesperrt">ga</span> + -<span class="gesperrt">ad</span> < <span class="gesperrt">gz</span> + <span class="gesperrt">zd</span> und dies < <span class="gesperrt">gz</span> + <span class="gesperrt">zb</span> -+ <span class="gesperrt">bd</span> < <span class="gesperrt">gb</span> + <span class="gesperrt">bd</span> (2 Seiten zusammen -länger als die dritte).</p> - -<div class="figcenter" style="width: 264px;"> -<img src="images/pg328_ill.png" width="264" height="511" alt="" /> -</div> - -<div class="sidenote">Dioptrik (Feldmessung).</div> - -<p>Heron selbst berichtet in der Katoptrik, -dass er ihr die <span class="gesperrt">Dioptrik</span>, sein -Hauptwerk über Feldmesskunst, vorausgeschickt<span class="pagenum"><a name="Seite_p328" id="Seite_p328">[S. 328]</a></span> -habe; sie ist, in der Schmidtschen Ausgabe von <span class="gesperrt">H. -Schöne</span> mit der Metrik zusammen nach dem Codex Constp. -herausgegeben. Zuerst wird die von Heron sehr wesentlich verbesserte -Dioptra beschrieben und dann die grosse Anzahl mittelst -ihrer vorgenommenen Vermessungsaufgaben. Die Dioptra -hatte <span class="gesperrt">Hipparch</span> nach einer Anregung die er der Bestimmung des -Sonnendurchmessers im Psammites des Archimedes verdankte, -eingeführt. Sie bestand, vgl. <span class="gesperrt">Hultsch</span>, Winkelmessung durch die -Hipparchische Dioptra Festschrift f. M. Cantor 1899 aus einem -soliden Richtscheit, auf dessen Oberfläche senkrecht zu derselben -ein kleines Plättchen verschiebbar -war, dessen Ränder von einer -kleinen Öffnung an einem Plättchen, -das fest mit dem oberen -Ende des Richtscheits verbunden -war, abvisiert werden können. -Hipparch hat mit diesem primitiven -Instrument die scheinbaren -Monddurchmesser bewunderungswürdig -genau gemessen. Die Dioptra -des Heron, s. Abbild., ist -ein sehr vollkommenes Instrument, -ihr fehlte wie man sieht zu unserm -Theodoliten nichts als die Linsen, -und zugleich diente sie als Kanalwage, -als Nivellierinstrument, wozu -die Plinthe <i>KL</i> abgehoben und das -Nivellierlineal, s. Abbildung, aufgesetzt -wurde. Ebenso sind die -zum Gebrauch des Visierinstruments -nötigen Schiebelatten mit -allem Raffinement ausgeführt. <span class="gesperrt">W. -Schmidt</span> und <span class="gesperrt">H. Schöne</span> haben die Einrichtung festgestellt, -ersterer Eneström 1903, 7–12, Schöne, Jahrb. arch. Instit. 14,<span class="pagenum"><a name="Seite_p329" id="Seite_p329">[S. 329]</a></span> -1899, S. 91–103. -Unter den Messungen -erwähne ich den Bau -der Mole und den -Tunnelbau, sowie die -allerdings von der -Dioptra unabhängige -Bestimmung der Entfernung -von Rom und -Alexandria. Die Methode -für diese Messung -ist noch heute -giltig, es wird aus -der Zeitdifferenz, die -durch Eintreten der Mondfinsternis festgelegt ist, der Längenunterschied -zwischen beiden Orten bestimmt und dadurch die -Entfernung, wenn der Erdradius bekannt ist. Dabei hat <span class="gesperrt">Hoppe</span> -schon darauf hingewiesen, dass die Annahme des Erdumfanges -von 252000 Stadien, also des Wertes von Eratosthenes und -nicht die von 240000, welche Ptolemaios nach Poseidonios dem -Rhodier gibt, zeigt, dass Heron älter ist als jener.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 382px;"> -<img src="images/pg329_ill.png" width="382" height="330" alt="" /> -</div> - -<div class="sidenote">Tunnelbau.</div> - -<p>Ich gebe hier den Tunnelbau wieder, Herodot hat III, 60 -(W. Schmidt l. c.) schon den Tunnel von Samos des Eupalinos -zu den Wunderwerken der Hellenischen Baukunst gerechnet. -Die Tunnelbauten dienten den Wasserleitungen. Dioptra XV, -»Einen Berg in gerader Linie zu durchgraben, wenn die Mündungen -des Grabens im Berg gegeben sind. Man denke sich als des -Berges Grundriss (ἑδρα nicht βασις, die Fläche, auf der der -Berg ruht) die Linie ΑΒΓΔ s. Fig. S. 330, und als die Mündungen -durch welche gegraben werden muss Β und Δ. Ich zog (weil er -eine wirklich ausgeführte Arbeit beschreibt) von Β aus auf dem -Boden die [Strecke] ΒΕ nach Belieben, und mit der Dioptra -von Ε aus rechtwinklig ΕΖ, und dazu von dem beliebigen Ζ mit -der Dioptra zu ΖΕ rechtwinklig ΖΗ. Ferner vom beliebigen Η<span class="pagenum"><a name="Seite_p330" id="Seite_p330">[S. 330]</a></span> -zu ΖΗ rechtwinklig ΗΘ; schliesslich vom beliebigen Θ zu ΘΗ -rechtwinklig ΘΚ, und zu ΘΚ rechtwinklig ΚΛ. Nun führte ich -die Dioptra längs der Graden ΚΛ bis durch Einstellung des -Visierlineals im rechten Winkel der Punkt Δ erschien, er möge -erschienen sein als die Dioptra in Μ war. Nun denke man -sich ΕΒ verlängert bis Ν und bis zu ihr hin ΔΝ als Lot.« — -Da jetzt ΔΝ als ΕΖ + ΗΘ + ΜΚ und ΒΝ als ΒΕ + ΖΗ - (ΘΚ + -ΜΔ) bestimmt sind, so ist auch ihr Verhältnis und damit die -Richtung des Grabens bestimmt.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 510px;"> -<img src="images/pg330_ill.png" width="510" height="395" alt="" /> -</div> - -<p>»Entsteht der Graben auf diese Weise, werden die Arbeiter -einander begegnen.« (Was bei dem Tunnel auf Salamis nicht -der Fall war.) Heron braucht rechtwinklige Coordinaten nicht -nur hier, sondern vielfach z. B. No. 24 und No. 25, auch hier im -Grunde altägyptischer Tradition folgend. Die Dioptra enthält -jetzt auch die berühmte Heronische Dreiecksberechnung aus den -3 Seiten unverstümmelt und übereinstimmend mit der Metrik, -von der Hultsch noch 1864 berichtete: Infinitum paene laborem -mihi attulit gravissimum illud theorema, quo areae triangularis -mensura ex tribus lateribus efficitur. Hultsch hielt sie für in die<span class="pagenum"><a name="Seite_p331" id="Seite_p331">[S. 331]</a></span> -Dioptra eingeschoben, jetzt sieht man, dass sie ganz naturgemäss -dort hingehört im Anschluss an Flächenteilungen; dem Feldmesser -ist es durchaus bequem die Seiten zu messen und wenn -er geübt ist, sie auch so abzustecken, dass die Differenzen konstant -sind.</p> - -<div class="sidenote">Mechanik.</div> - -<p>Ich komme nun zu dem theoretischen Hauptwerk <span class="gesperrt">Herons</span> -»des Mechanikers«, die Mechanik. Lange Zeit galten die -bei Pappos im 8. Buch als Heronisch angegebenen Fragmente -aus dem sogen. βαρουλκος, dem Lastenzieher und der Mechanik -für Teile zweier verschiedenen Schriften. Da wurde von <span class="gesperrt">Carra -de Vaux</span> 1893 in Leyden eine arabische Handschrift gefunden -und im Journal Asiatique Ser. 9, 1 und 2 herausgegeben, welche -bewies, dass die Fragmente bei Pappos zu einem Werke, der -Mechanik, gehören. Da in kurzer Zeit noch drei andere zum -selben Archetyp wie die Leydener gehörenden Handschriften gefunden -wurden, und die Handschriften sich gegenseitig ergänzten, -so nahm Schmidt die arabisch und deutsche Ausgabe der Mechanik -von <span class="gesperrt">L. Nix</span> als Band 2 in die neue Edition der Heronischen -Werke auf. Die Übersetzung ist laut den Handschriften -von <span class="gesperrt">Kosta ben Luka</span> auf Befehl des Chalifen Abul Abbâs -(862–866), Nachfolger Harun al Raschids, angefertigt, gehört -also zu den frühen Aneignungen Hellenischen Wissens seitens -der Araber. Das Leydener Manuskript ist durch den schon -bei Apollonios erwähnten Golius dorthin gebracht worden.</p> - -<p>Die Schrift zeigt, dass Heron keineswegs der blosse Praktiker -war, sondern die theoretische Mechanik im Anschluss an -<span class="gesperrt">Aristoteles</span> und Archimedes vollständig beherrschte. Er hat -das statische Moment scharf hervorgehoben, das Grundgesetz formuliert: -was an Kraft gewonnen wird, geht an Zeit verloren. -Er gibt die vollständige Theorie der 5 einfachen Maschinen; -Wellrad, Rolle, Flaschenzug, Keil, Schraube, alle auf den Hebel -zurückgeführt, (für die Rolle mit einem Fehler in bezug auf -feste und lose Rolle), er streift auch die schiefe Ebene. -Das dritte Buch ist wieder vorzugsweise praktisch, es handelt<span class="pagenum"><a name="Seite_p332" id="Seite_p332">[S. 332]</a></span> -von den Mitteln zur Bewegung von Lasten auf Ebenen, und -finden wir auf S. 267 den Vorläufer unserer Drahtseilbahnen: -die Bergseilbahn zum Transport von Steinblöcken, und daran -schliessend die Fruchtpressen, über deren Zusammenhang bezw. -Abweichung von den bei Vitruv beschriebenen <span class="gesperrt">Hoppe</span> l. c. -ausführlich gehandelt hat. Die Schrift enthält in den beiden -ersten Büchern auch ein ganzes Teil mathematisch Interessantes, -so bei Gelegenheit der Aufgabe zu einem gegebenen Körper -einen ähnlichen zu konstruieren, die schon mitgeteilte Lösung -der Würfelvervielfältigung auf S. 24, so auf S. 28 die Einführung -des <span class="gesperrt">Ähnlichkeitspunktes</span>, so auf S. 32 den <span class="gesperrt">Proportionalzirkel</span>, -auf S. 188 den geom. Beweis, dass die Medianen -des Dreiecks sich im Verhältnis 2:1 schneiden und auf -S. 196 die Bestimmung eines Punktes aus seinen <span class="gesperrt">baryzentrischen -Koordinaten</span>.</p> - -<p>Die physikalischen Kenntnisse Herons sind in einer vortrefflich -übersichtlichen Weise zusammengestellt von <span class="gesperrt">Franz -Knauff</span>, Progr. des Sophien G. zu Berlin Ostern 1900, für -die Druckwerke konnte er schon <span class="gesperrt">W. Schmidts</span> Arbeit verwerten.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 360px;"> -<img src="images/pg332_ill.png" width="360" height="245" alt="" /> -</div> - -<div class="sidenote">Heron, reine Mathematik.</div> - -<p>Ich komme nun zu den eigentlich mathematischen Schriften -und beginne mit den Horoi, den Definitionen. Es scheinen -überarbeitete Reste seines -Euklidkommentars -zu sein. Dass sich Heron -mit den Elementen -stark beschäftigte, -geht aus Proklos unzweifelhaft -hervor. Ich -gebe hier den hübschen -direkten Beweis des -Satzes: Stimmen 2 Dreiecke -in zwei Seiten überein und sind die dritten Seiten ungleich, -so sind die ihnen gegenüberliegenden Winkel in derselben<span class="pagenum"><a name="Seite_p333" id="Seite_p333">[S. 333]</a></span> -Weise ungleich. Die Dreiecke seien αβγ und δεζ und -βγ > εζ. Man schneide auf εζ die Strecke βγ ab bis η und -schlage um δ mit δζ einen Kreis der εδ in θ trifft und um ε mit -εη. Dieser Kreis muss den ersten schneiden und zwar zwischen -ζ und θ, da η ausserhalb liegt und εθ > εη. (Summe zweier -Seiten.) Der Schnitt sei κ. Man ziehe δκ und εκ, so ist -εδκ ≅ βαγ und Winkel εδκ > εδζ d. h. α > δ. Die Schlussformel -lautet nicht q. e. d. sondern wiederholt die Behauptung. Hinweisen -will ich auf den Ausdruck εν ῥυσει. und auf das öfter -gebrauchte Wort »fliessen«. Es unterliegt wohl keinem Zweifel, -dass Cavalieri seinen Ausdruck fliessen (fluere), aus Heron entnommen -hat, der vielleicht auf Demokrit zurückgeht. Seltsam -hat es mich berührt, als ich mein Beispiel für den Begriff Fläche -aus den Elem. der Geom. von 1891 bei <span class="gesperrt">Heron</span> fand in -»Περι επιφανειας.« Hultsch S. 10 Z. 19 »η το ὑδωρ ποτηριω«, -nur dass Heron wie es scheint abstinenter war. Der Satz lautet -vollständig: der Begriff (Fläche) wird erfasst da wo sich Luft mit -Erde oder einem andern festen Körper mischt, oder Luft mit -Wasser, oder Wasser mit einem Trinkgefäss oder irgend einem -andern Behälter.</p> - -<p>Eine deutsche Übersetzung des planimetrischen Teils ist -1861 von Prof. Val. Mayring als Programm von Neuburg a. d. -D(onau) verfasst, leider noch vor der Hultschen Sanierung des -Textes.</p> - -<div class="sidenote">Euklid-Kommentar (An-Nairizi).</div> - -<p>In der lateinischen Übersetzung des Kommentars An-Nairîzî -(Al-Neirizi) zu den 10 ersten Büchern von Gherardus Cremonensis -aus dem 12. Jh. welche M. Curtze 1896 in Krakau -auffand, ist der Kommentar des Heron wie es scheint fast vollständig -erhalten, und demnach hat Heron nur die acht ersten -Bücher kommentiert, und besonders ausführlich das erste und -zweite Buch. Auch der Kommentar zeigt, dass Heron ein tüchtiger -Geometer ist, unter den vielen Sätzen, die Heron hinzufügt, -ist wohl der interessanteste der ohne Ähnlichkeitslehre mit -drei Hilfslinien gegebene Beweis des Satzes, dass die drei Hilfslinien,<span class="pagenum"><a name="Seite_p334" id="Seite_p334">[S. 334]</a></span> -welche der Euklidische Beweis des Pythagoras erfordert, -sich in einem Punkte schneiden.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 510px;"> -<img src="images/pg334_ill.png" width="510" height="429" alt="" /> -</div> - -<div class="sidenote">Metrik.<br /> - -<hr /> - -Beweis der Heronischen Formel.</div> - -<p>Das Hauptwerk Herons für reine Mathematik sind die -»Metrika«. In einem schon lange bekannten Codex in Konstantinopel -aus dem XII. Jh., fand R. Schöne neben der Dioptra -auch eine vollständige Handschrift der Metrika, die sein -Sohn H. Schöne als Band III des Schmidtschen Werkes 1903 -herausgab. Das Werk zerfällt in 3 Bücher, Buch I Flächenmessung, -Buch II Körpermessung, Buch III Teilung von Flächen -und Körpern. Es zeigt, dass die von Hultsch herausgegebene -Geometrie, Stereometrie, liber geoponicus, stark überarbeitete -Teile dieses Werks sind. Das Buch »Geoponicus« (über Erdarbeit) -erinnert sehr stark an den Papyrus Aames und spricht -am stärksten für das Wurzeln Herons in ägyptischer Tradition. -Buch I findet sich auf S. 20 ff der Beweis der Heronischen -Formel wie in der Dioptra: s = √<span class="sqrt">s(s - a)(s - b)(s - c)</span> und zwar -sehr elegant und zunächst an dem sog. Heronischen Dreieck 13,<span class="pagenum"><a name="Seite_p335" id="Seite_p335">[S. 335]</a></span> -14, 15 exemplifiziert, das aus den beiden ganzzahligen (Pythagoräischen) -rechtwinkligen Dreiecken 15, 12, 9 und 13, 12, 5 zusammengesetzt -ist; und dann an dem nicht rationalen Dreieck 8, -10, 12. Es wird gefordert sich dann den Inhalt zu verschaffen, -ausser der Höhe. Das gegebene Dreieck sei ΑΒΓ und jede -der (Strecken) ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ sei gegeben: den Inhalt zu finden. -Es soll in das Dreieck der Kreis ΔΕΖ eingeschrieben sein, dessen -Zentrum Η ist, und in die Verbindungslinie ΑΗ, ΒΗ, ΓΗ, gezogen -werden ... Es ist also das Rechteck aus dem Umfang des -Dreiecks ΑΒΓ und ΕΗ, dem Radius des Kreises ΔΕΖ, das -Doppelte des Dreiecks. ΓΒ werde ausgezogen und ΒΘ dem ΑΔ -gleichgesetzt. Es ist also ΓΘ die Hälfte des Umfangs des Dreiecks -... Folglich ist das Rechteck aus ΓΘ und ΕΗ gleich dem -Dreieck ΑΒΓ. Das Produkt aus ΓΘ und ΕΗ ist die Wurzel -(Pleura d. h. Seite) des Quadrats von ΓΘ und ΕΗ Quadrat; -also ist das mit sich selbst multiplierte Dreieck ΑΒΓ gleich -Γθ<sup>2</sup> mal ΕΗ<sup>2</sup>. Es soll einerseits zu ΓΗ rechtwinklig ΗΛ, andrerseits -zu ΓΒ rechtwinklig ΒΛ gezogen worden sein, und Γ mit -Λ verbunden. Da nun ein Rechter jeder der Winkel ΓΗΑ und -ΓΒΛ so ist ΓΗΒΛ ein Viereck im Kreise [Satz vom Peripherienzirkel -auf dem Halbkreis]. Es sind folglich ΓΗΒ (+) ΓΛΒ -zweien Rechten gleich. Es ist aber auch ΓΗΒ + ΑΗΔ gleich -2 Rechten ... Also ist ΑΗΔ gleich ΓΛΒ. ... Also ist das Dreieck -ΑΗΔ ähnlich dem Dreieck ΓΒΛ, folglich ΒΓ zu ΒΛ wie ΑΔ zu -ΔΗ d. h. wie ΒΘ zu ΕΗ und umgekehrt ΓΒ : ΒΘ wie ΒΛ : ΕΗ -wie ΒΚ : ΕΚ ... Und durch Zusammensetzung ΓΘ : ΒΘ wie -ΒΕ : ΕΚ so dass auch ΓΘ<sup>2</sup> : ΓΘ . ΘΒ = ΒΕ . ΓΕ : ΓΕ . ΕΚ = ΒΕ . -ΓΕ : ΕΗ<sup>2</sup>. Denn im rechtwinkligen Dreieck wurde vom rechten -das Lot ΕΗ gezogen. Daher wird ΓΘ<sup>2</sup> . ΕΗ<sup>2</sup>, dessen Wurzel der -Inhalt des Dreiecks ΑΒΓ war, gleich ΓΘ . ΘΒ . ΕΒ . ΓΕ sein [d. h. -also J<sup>2</sup> = s(s - a)(s - b)(s - c)].</p> - -<p>Die Form des Beweises ist von der Euklids und Archimedes -nicht verschieden. Der Beweis selbst sollte von allen Lehrern -gekannt sein.</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p336" id="Seite_p336">[S. 336]</a></span></p> - -<p>Der Inhalt des Dreiecks 8; 10; 12 ist √<span class="sqrt">1575</span>, Heron bestimmt -sie zu 39<sup>1</sup>/<sub>2</sub> <sup>1</sup>/<sub>8</sub> <sup>1</sup>/<sub>16</sub> d. h. 39<sup>11</sup>/<sub>16</sub> und das Quadrat weicht von -1575 um noch nicht 0,1 ab.</p> - -<p>Es folgt die Ausmessung des Trapezes, das von <span class="gesperrt">Heron</span> -vielfach zu Aufgaben verwertet wird und neuerdings wieder als -Quelle hübscher Elementaraufgaben erkannt ist. Es werden dann -die regelmässigen Polygone bis zum 12Eck inklusive einzeln ausgemessen, -im Grunde mit den Cotangenten von 180/n, die aber -<span class="gesperrt">geometrisch</span> und nicht <span class="gesperrt">trigonometrisch</span> abgeleitet werden, -was einerseits wieder an den Skd der Ägypter erinnert, -andererseits für das Alter Herons spricht.</p> - -<p>Heron geht dann zur Kreismessung und erwähnt, dass -Archimedes in einer (bis dato) verlorenen Schrift: περι πλινθιδων -και κυλινδρων zwischen die Grenzen 211875 : 67441 und 197888 : -62351 eingeschlossen habe, d. h. π bis etwa <sup>1</sup>/<sub>14000</sub> bestimmt -hat. Es folgen dann Formeln für die Kreissegmente, Näherungsformeln -für Bogen und Flächen. Paul Tannery hat sie mit Hilfe -der Integralrechnung, Mem. de Bordeaux 2 V. S. 347, geprüft -und sie teilweise von erstaunlicher Genauigkeit gefunden. Er -behandelt auch, als Vorläufer von <span class="gesperrt">Diophant</span> (s. u.) Quadratische -Gleichungen rein arithmetisch, er scheut sich nicht Kreisfläche -und Peripherie zu addieren und hat bereits für die 4 Potenz -den terminus technicus δυναμοδυναμις d. h. biquadratisch. -Zylinder- und Kegelmantel berechnet er wie wir, durch Aufrollen, -und für die Kugelfläche hält er sich an Archimedes. Wenn -man die Metrik liest, hat man den Eindruck, dass Archimedes -zur Zeit des Heron in voller, alles andre überragenden Bedeutung -gewesen sei und wird geneigt, Heron nicht mehr als zwei -Menschenalter nach ihm anzusetzen.</p> - -<p>Das 2. Buch ist der Körpermessung gewidmet, hier kommen -die bei Archimedes erwähnten Zitate aus dem »εφοδικον« vor, -leider ohne die Beweise.</p> - -<p>Den Schluss dieses zweiten Buches habe ich einleitend bei -Ägypten auf S. XV angeführt. Der 3. Teil enthält Flächen- und<span class="pagenum"><a name="Seite_p337" id="Seite_p337">[S. 337]</a></span> -Körperteilungen, es sind Aufgaben die uns meist noch heute als -Schüleraufgaben geläufig sind. Ich erwähne die Aufgabe 18: -Einen Kreis annähernd in drei gleiche Teile zu teilen. Es wird -die Seite des regulären Dreiecks eingetragen, durch das Zentrum -die Parallele gezogen, so ist das Segment ΓΔΖΒ ~ <sup>1</sup>/<sub>3</sub>. »Da das -Stück, um welches das Segment ΔΓΒ grösser ist als dieses, (<span class="gesperrt">nämlich -das Drittel</span>, und nicht wie Schöne versehentlich übersetzt, -als sie), unerheblich ist im Verhältnis zum ganzen Kreis«. -Der Schlusssatz bestätigt, dass <span class="gesperrt">Archimedes</span> im 2. Buch -περι σφαιρας και κυλινδρου die Kugel im gegebenen Verhältnis geteilt -hat.</p> - -<p>Wenn ich bei <span class="gesperrt">Heron</span> langer verweilt habe, als Ihnen vielleicht -wünschenswert erscheint, so tat ich es einerseits weil -Heron häufig unterschätzt wurde und andrerseits weil er für die -Geschichte der Kultur als Techniker sich würdig Euklid dem -reinen Geometer an die Seite stellt, und unter anderen einer -der Riesen der Renaissance <span class="gesperrt">Leonardo da Vinci</span> die deutlichsten -Spuren seines Wirkens zeigt.</p> - -<div class="sidenote">Theodosios, Sphärik.</div> - -<p>Ich erwähne kurz einige historisch wichtige Namen. Ich -nenne <span class="gesperrt">Theodosios</span>, möglicherweise aus einem Tripolis, wahrscheinlich -aus Bithynien, den Cantor als Zeitgenossen des Geminos -ansetzt, während Tannery in seiner Untersuchung über -antike Astronomie ihn als Zeitgenossen des Hipparch und als -Bithynier ansieht. Seine Sphärik in 3 Büchern ist eine reine -<span class="gesperrt">Geometrie</span> auf der Kugel, und hat erst im 18. und 19. Jahrh. -Nachfolger gefunden, sie hat den Inhalt von Euklids Phänomenen -aufgenommen. <span class="gesperrt">E. Nizze</span> hat sie 1826 in Stralsund ins -Deutsche übertragen mit Erläuterungen und Zusätzen. Sie ist -interessant insbesondere auch für die Geometrie des <span class="gesperrt">Riemann</span>schen -endlichen Raumes. Nizze hat die Sphärik dann 1852 in -Berlin griechisch und lateinisch ediert, nachdem <span class="gesperrt">A. Nokk</span> darüber -ein Programm 1847 in Bruchsal geschrieben. Das griechische -Originalwerk ist zuerst 1558 von <span class="gesperrt">Joh. Pena</span> mit lateinischer -Übersetzung ediert. Schon im 11. Jahrh. wurde durch<span class="pagenum"><a name="Seite_p338" id="Seite_p338">[S. 338]</a></span> -Platon von Tivoli (nächst Gherard von Cremona der fleissigste -Übersetzer) eine arabische Bearbeitung der Sphairika, der Kugelschnitte -durch Ebenen, ins Lateinische übersetzt, und 1558 von -Maurolycus desgleichen. Aus den vielen Zusätzen des oder der -Araber erwähne ich: wenn die gerade Linie aus dem Pole eines -Kugelkreises nach dessen Umfange gleich ist der Seite des in -diesen Kreis eingeschriebenen Quadrats, so ist der Kreis selbst -ein grösster Kreis. Es ist dies die Umkehr des von Theodosios -I, 16 gegebenen Satzes. — Eine tüchtige, kritische und sachliche -Arbeit über die Sphärik ist das Programm von <span class="gesperrt">A. Nokk</span>. Die -Arbeit des Theodosios lässt sich noch heute ganz vortrefflich für -den Unterricht in der Prima eines Real- oder humanistischen -Gymnasiums verwerten. Nokk zeigt wie sich die Kenntnis der -Geometrie auf der Kugel <span class="gesperrt">kontinuierlich</span> von <span class="gesperrt">Autolykos</span> -über <span class="gesperrt">Euklid</span> zu Theodosios und von da zu <span class="gesperrt">Ptolemaios</span> -entwickelt. Da neben und vielleicht auch vor der Feldmessung -die Astronomie die Quelle der Mathematik ist, so war die Geometrie -auf der Kugel schon früh eine Notwendigkeit. Und mit -Nokk und Nizze muss man Theodosios, wenn auch als keinen -Geometer ersten Ranges, so doch als einen sehr tüchtigen Geometer -zweiten Ranges ansehen, dessen Schrift nach Inhalt und -Form auf die Zeit des Hipparch oder die nächstfolgende Generation -hinweist.</p> - -<div class="sidenote">Geminos.</div> - -<p>In gleiche Zeit mit Theodosios setzt Cantor Geminus oder -Geminos (Γεμινος). Mit ihm beginnt <span class="gesperrt">Loria</span> das »<span class="gesperrt">silberne -Zeitalter</span>« der griechischen Geometrie, das Zeitalter der -»Commentatoren«. Von dem grossen Werk <span class="gesperrt">Gino Lorias</span> -»Le science esatte nell' antica Grecia« standen mir leider nur die -drei letzten Bände von 1902 zur Verfügung, und auch diese nur -italienisch, da bedauerlicherweise eine deutsche Übersetzung von -dem Werke dieses als Mathematiker wie als Historiker der -Mathematik gleich hervorragenden Gelehrten noch nicht erschienen -ist. Proklos erwähnt den Geminos 18mal, (den Platon 39mal). -Besonders wichtig ist 38 das grössere Zitat und 112, 24; 113, 26.</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p339" id="Seite_p339">[S. 339]</a></span></p> - -<p>Demnach hat Geminos ähnlich wie in unseren Tagen <span class="gesperrt">Papperitz</span> -eine Einteilung der mathematischen Disziplinen gegeben, -ebenso eine Einteilung der Kurven.</p> - -<div class="sidenote">Poseidonios.<br /> - -<hr /> - -Stoa.<br /> - -<hr /> - -Zenon.<br /> - -<hr /> - -Chrysippos.<br /> - -<hr /> - -Stoiker.<br /> - -<hr /> - -Epikuräer.</div> - -<p>Das Citat 112 vindiziert dem Geminos den Nachweis der -Verschiebbarkeit des Kreises, der Geraden, und der Schraubenlinie -auf dem geraden Kreiszylinder und den Satz: wenn von -einem Punkt aus an zwei in sich verschiebbare (ὁμοιομερεις) -Linien zwei Geraden unter gleichen Winkeln gezogen werden, -so sind sie gleich lang. Ich vermute aber, dass diese Betrachtungen -aus dem Werke des <span class="gesperrt">Apollonios</span> über die Schraubenlinie -auf dem Zylinder herrühren. In derselben Schrift hat Geminos -auch nach Proklos, Friedl. 113, Z. 4 und 5 die Erzeugung der -Spirischen Linien (Schneckenlinien und Wulstschnitte) und der -Konchoïden und Kissoïden gelehrt. Besonderen Wert lege ich -auf die Stelle S. 176 f., dort erwähnt Proklos, dass Poseidónios, -gemeint kann nur der Rhodier sein, die Euklidische Definition: -Parallelen sind Asymptoten, dahin umgeändert, dass es Abstandslinien -sind, und Geminos hat diese <span class="gesperrt">Auffassung</span> akzeptiert. -Dies scheint mir für die Datierung des Geminus entscheidend, -Poseidónios war der Lehrer des Cicero, um 75 und vermutlich -auch des Geminus, so kann dieser nicht gut vor 70 angesetzt -werden, was Cantor auch tut. Die Persönlichkeit des <span class="gesperrt">Poseidónios</span>, -der, obwohl aus Apamea in Syrien nach seinem -Wirkungsort meist der Rhodier genannt wird, tritt im Laufe des -letzten Dezenniums immer mehr hervor; auch die Philosophie der -Mathematik bei Geminus stammt vermutlich ihrem gedanklichen -Inhalt nach von ihm vergl. Proklos 80, 20 f., 143, 8 f., 199 und -200. Und dass er auch mit Unterscheidungen und Einteilungen -sich beschäftigte, zeigt Proklos S. 170. Aus 200 und besonders -aus dem Exkurs zur Konstruktion der Symmetrieaxe geht hervor, -dass sich Poseidónios sehr eingehend gerade mit den Elementen -der Geometrie beschäftigt hat. Dass Poseidónios als Stoiker sich -besonders gegen Epikur richtet ist erklärlich. Die Stoa ist für -das Verständnis des römischen Lebens der letzten Zeit der Republik<span class="pagenum"><a name="Seite_p340" id="Seite_p340">[S. 340]</a></span> -und des Kaiserreichs von grösster Bedeutung, da sie aber -für die Geschichte der Naturerkenntnis nur von geringem Wert -ist, so will ich mich auf ganz kurze Notizen beschränken. Der -Gründer war Zēnon der in der bekannten »bunten Halle« Stoa -Poikile lehrte, etwa um 340–325. In engem Anschluss an die -Cyniker, an Antisthenes und an seinen Lehrer Krates hielt auch -Zēnon Bedürfnislosigkeit für die erste Bedingung zur Glückseligkeit, -aber er enthielt sich alles Cynismus. Auch er stellte -die Forderung auf, der <span class="gesperrt">Natur</span> zu gehorchen, aber diese Natur -ist ihm das von der Vernunft gegebene Gesetz. Als das einzige -Gut gilt den Stoikern die Tugend und als diese die Herrschaft der -Vernunft über die Erregung der Seele. Nie darf der Weise -sich hinreissen lassen Lust oder Schmerz zu empfinden, sein -Ideal ist etwa der Zustand einer völligen Apathie. Fühlt die -Vernunft, dass sie der Affekte nicht Herr werden kann, so hat -sie das Mittel durch Selbstmord die Niederlage zu vermeiden. -So soll Zenon selbst in hohem Alter durch Selbstmord geendet -haben. Der Gegensatz zu Platon und Aristoteles in der -älteren Stoischen Schule liegt hauptsächlich in der Ausbildung -des Egoismus, zu der die Lehre notwendig führen musste; eine -enthusiastische Hingabe an den Staat, an die Gottheit, an die -reine Erkenntnis verstiess gegen die Forderung der Affektlosigkeit. -Das geistige Haupt der älteren Stoa <span class="gesperrt">Chrysippos</span> aus -Soloi in Kilikien, der etwa um 240 blühte, hat die Lehren des -Zenon, die er schon wesentlich in ihrer praktischen Seite -mässigte, streng wissenschaftlich verteidigt. Von seiner ausserordentlichen -schriftstellerischen Tätigkeit, durch die er der Stoa -erst ihre Verbreitung gegeben nicht nur nach Rom, sondern -auch nach Alexandrien, wo er selbst einen <span class="gesperrt">Eratosthenes</span> -gewann, sind uns nur wenige Bruchstücke durch -Plutarch erhalten. Die Hauptquellen über die Stoiker sind -<span class="gesperrt">Diogenes Laertios</span> und <span class="gesperrt">Cicero</span> (De Officiis, Timaeus -und vor allem de finibus). Ihre Hauptbedeutung liegt in ihrer -Ethik, die sie als praktische Wissenschaft systematisch erfassten.<span class="pagenum"><a name="Seite_p341" id="Seite_p341">[S. 341]</a></span> -Die Lehre des Chrysipp von den Affekten war von der des Spinoza -in der Ethik nicht wesentlich verschieden. Wenn Chrysipp, -das Haupt der älteren Stoa, sich stark polemisch gegen den -Idealismus wandte, so suchten die Häupter der mittleren Stoa, -<span class="gesperrt">Panaitios</span> und <span class="gesperrt">Poseidónios</span> um so mehr zu vermitteln, -sie sind die Begründer des besonders von Cicero, aber auch -sonst von der späteren römischen Zeit vertretenen <span class="gesperrt">Eklekticismus</span> -der ein mixtum compositum so ziemlich aller Schulen, -vielleicht mit Ausnahme der Skeptiker (vergl. oben die Sophisten) -war. Panaitios aus Rhodos der mit den vornehmsten Römern -seiner Zeit insbesondere mit Lälius und dem jüngeren Scipio -befreundet war, trägt durch sein Werk περι του καθηκοντος -»über das Geziemende« die moralische Schuld an Ciceros Officien. -Panaitios und Poseidónios, der bei ihm gehört hat, erhoben -schon die Forderung »die Waffen nieder«, indem sie in dem -(Römischen) Weltreich eine moralische Forderung erblickten. -Übrigens sehen wir aus Proklos, dass Poseidónios scharf genug -gegen die Epikuräer geschrieben hat. Über <span class="gesperrt">Epikur</span> und die <span class="gesperrt">Epikuräer</span> -will ich mich kurz fassen, sie waren besser als ihr -Ruf, wenn sie es auch nicht liebten sich über die schwierigen -Probleme der Erkenntnistheorie die Köpfe zu zerbrechen. Wenn -sie auch im Prinzip an die Lustlehre des Aristippos anknüpften, -so war das Ideal der Lust des Epikur und seiner Genossenschaft -nicht die rohe Sinnenlust, sondern jene althellenische Tugend -der Σωφροσυνη, der temperantia, des Masshaltens. Freilich müssen -sie sich in praxi von dieser temperantia ziemlich entfernt haben, -ich verweise auf <span class="gesperrt">Horaz</span> Epist. I, s. u. besonders I, IV an den -Dichter <span class="gesperrt">Tibull</span>:</p> - -<div class="poem"><div class="stanza"> -<span class="i0">Me pinguem et nitidum bene curata cute vises,<br /></span> -<span class="i0">Cum videre voles <span class="gesperrt">Epicuri de grege porcum</span>.<br /></span> -</div></div> - -<div class="poem"><div class="stanza"> -<span class="i0">»Wenn du fettglänzend mich mit wohlgepflegetem Bäuchlein<br /></span> -<span class="i0">Sehen wirst, willst du beschaun ein Schwein Epicurischer Herde.«<br /></span> -</div></div> - -<div class="sidenote">Stoiker.</div> - -<p>Die Stoiker knüpfen in ihrer Physik ganz direkt an <span class="gesperrt">Heraklit</span> -und sein Urfeuer an; die neuere Stoa, deren Hauptvertreter<span class="pagenum"><a name="Seite_p342" id="Seite_p342">[S. 342]</a></span> -<span class="gesperrt">Epiktet</span>, <span class="gesperrt">Seneca</span> und der treffliche Kaiser Marc Aurel -waren, knüpften auch in ihrer Ethik an <span class="gesperrt">Heraklit</span> und seine -Lehre von der Vergänglichkeit der Dinge und an seinen Pantheismus -an, für die praktische Moral und die Weisheitslehre -im engeren Sinne gehen sie auf Chrysipp zurück und verwerfen -den Eklekticismus des Panaitios und Poseidónios, welche die -Lehren der Stoa stark mit platonisch-aristotelischen Gedanken -durchsetzt hatten. Poseidónios muss übrigens dem stoischen -Ideal des Weisen, der vermöge der Hegemonie der Vernunft -alles weiss, fast vollständig entsprochen haben, er wusste so -ziemlich alles, was seinerzeit zu wissen war. Dass er nicht nur -als Philosoph der Mathematik bedeutend war, sondern auch als -Astronom wissen wir aus Ptolemaios, der durch seinen Einfluss -beim geozentrischen System stehen blieb, er berechnete die Entfernung -der Erde von der Sonne richtiger als <span class="gesperrt">Newton</span>. Dass -er auch als Meteorologe bedeutend war, wissen wir durch eine -Anzahl bei späteren Schriftstellern mitgeteilter Fragmente. Da -ich für Poseidónios nicht über Studien der Originale verfüge, -so verweise ich auf <span class="gesperrt">W. Chapelle</span>, die »Schrift von der Welt« -περι κοσμου, Neue Jahrb. für das klass. Altertum etc. B. XV, -1905 p. 529 ff. und zitiere daraus:</p> - -<div class="sidenote">Poseidonios.</div> - -<p>»Von der umfassenden Schriftstellerei des Poseidonios ist -uns kein Werk erhalten. Aber seine Nachwirkung in der griechischen -und römischen, auch der altchristlichen Literatur ist -einzig in ihrer Art, seine überragende Bedeutung in ihrem Einfluss -auf die Folgezeit nur der des Aristoteles vergleichbar.«</p> - -<div class="sidenote">Jüngere Stoa, Marc Aurel.</div> - -<p>Wie die Stoiker an Heraklit und sein Feuer für ihre -Physik, oder wie es Aristoteles richtiger nennt, für ihre Physiologie -anknüpfen, so tun sie das auch in ihrer Metaphysik. Der -<span class="gesperrt">Logos</span> des Heraklit ist die Weltvernunft, das dem Feuer als -Träger des Geschehens, der Veränderung, gegenüberstehende gemeinsame -ewige <span class="gesperrt">Gesetz</span>, das besonders auf ethischem Gebiet -das Werden bestimmt, und eben dieselbe Rolle hat der Logos -bei den Stoikern. Ist Heraklit kurz, aphoristisch dunkel, so verweilen<span class="pagenum"><a name="Seite_p343" id="Seite_p343">[S. 343]</a></span> -die Stoiker sehr ausführlich bei dem Logosbegriff, der dann -später, wenn auch stark modifiziert, eine so grosse Rolle bei -<span class="gesperrt">Philon</span> (s. u.), den Neuplatonikern und den christlichen Gnostikern -spielt. Freilich wird, gemäss eines stark materialistischen -Zuges der Stoa, auch der Logos materialisiert, verkörperlicht, und -die weltgestaltende Kraft wird zum Logos spermatikos, zum Weltsamen, -aus dem das Welt-Lebewesen (Zoon) hervorwächst. Ganz -an <span class="gesperrt">Giordano Bruno</span> erinnert die Stelle bei Marc Aurel, dem -philosophischen Kaiser: Der Kosmos ist vorzustellen, wie <span class="gesperrt">ein</span> -Lebewesen, das im ununterbrochenen Zusammenhang <span class="gesperrt">ein Sein</span> -und <span class="gesperrt">eine</span> Seele hat. —</p> - -<p>Um auf Geminos zurückzukommen, so ist von ihm noch ein -astronomisches Lehrbuch εισαγωγή εις τα φαινόμενα erhalten, ich -werte es höher wie Cantor, schon deswegen, weil darin eine sehr -klare Schilderung des Sonnensystems des <span class="gesperrt">Hipparch</span> erhalten ist.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 300px;"> -<img src="images/pg343_ill.png" width="300" height="182" alt="" /> -</div> - -<div class="sidenote">Menelaos.<br /> - -<hr /> - -Ptolemaios.</div> - -<p>In die Zeit des Trajan, also vielleicht noch vor Geminos, -fällt <span class="gesperrt">Menelaos</span>, Mathematiker und Astronom; auch er, wie Heron, -aus Alexandria, aber durch Ptolemaios steht fest, dass er auch -in Rom im Jahre 98 observiert hat. Denn Ptolemaios hat zwei -seiner Fixsternbeobachtungen aufgenommen, während es sehr wahrscheinlich -ist, dass er sehr viele und gewissenhafte Beobachtungen -von Fixsternen ausgeführt hat, welche Ptolemaios für -seinen Katalog zurechtgemacht hat, vgl. A. A. Björnbo, Eneström -1901, S. 196. Proklos teilt uns S. 345 den einfachen Beweis -des Satzes mit: der grösseren Seite liegt der grössere Winkel -gegenüber, s. <span class="gesperrt">Heron</span>, welchen: Μενελαος ὁ Αλεξανδρευς ανευρεν και -παρεδωκεν. Menelaos muss also auch über die Stoicheia der Geometrie -geschrieben haben. Wenn -αβγ und δεζ die Dreiecke sind -und αβ = δε, αγ = δζ und -βγ > εζ, so trage man εζ auf βγ -auf bis η und Winkel δεζ an -βη und mache βθ gleich δε, so -ist (nach bc, α) βθη ≅ δεζ, und<span class="pagenum"><a name="Seite_p344" id="Seite_p344">[S. 344]</a></span> -θη gleich δζ gleich αγ, somit im Dreieck θακ Seite θκ > ακ -also θακ > αθκ, somit da αβθ gleichschenklig ∢ βαγ > als -∢ βθη also auch als εδζ.</p> - -<p>Das Werk des Menelaos über die Geraden im Kreise, d. h. -über Sehnenberechnung oder doppelte Sinustafeln, in 6 Büchern, -ist als selbständiges Werk verloren gegangen, weil es vermutlich -Aufnahme in die Tafel des <span class="gesperrt">Ptolemaios</span> gefunden hat. Dagegen -sind seine 3 Bücher <span class="gesperrt">Sphärik</span> in arabischer und hebräischer -Übersetzung erhalten, sie stellen die älteste uns erhaltene sphärische -Trigonometrie dar. Die Sphärik enthielt die meisten elementaren -Sätze über das sphärische Dreieck, und darunter auch -den noch heute nach Menelaos genannten Satz über die Transversale -im planen und sphärischen Dreieck, wonach die Produkte der -Wechselabschnitte bezw. deren Sinus einander gleich sind. -Chasles hat es als wahrscheinlich hingestellt, dass der Satz (für -das plane Dreieck) schon in den Porismaten des Euklid gestanden -habe. Ptolemaios hat aus diesem Satz die sphärische Trigonometrie -mühelos abgeleitet.</p> - -<div class="sidenote">Almagest.</div> - -<p>Der Zeit nach müssten wir an Menelaos den Arithmetiker -Nikomachos anschliessen, aber sachlich fügt sich an ihn der -weitaus bekannteste und lange Zeit für den bedeutendsten gehaltene -Astronom <span class="gesperrt">Klaudios Ptolemaios</span> an. Nach einer -aus Arabischer Quelle stammenden Nachricht des zuverlässigen -Gherard von Cremona stammt auch er aus Alexandrien. Sein -Hauptwerk ist die μεγαλη συνταξις, die grosse Zusammenstellung, -die Kodifikation der antiken Astronomie, inkl. der Babylonischen, -das wie heute etwa die Theoria motus von Gauss das wesentliche -Rüstzeug des Astronomen bildete, von den Arabern schon -unter Harun al Raschid und dann gut unter Al-Mamûn von -Haggag (siehe Euklid) übersetzt, und gewöhnlich mit latinisierter -arabischer Bezeichnung Almagest genannt. Mehr und -mehr wird es klar, dass das Werk, so bedeutsam es für die -Kulturgeschichte ist, doch im grossen und ganzen tatsächlich -nur eine grosse Zusammenstellung gewesen ist. Das Ptolemäische<span class="pagenum"><a name="Seite_p345" id="Seite_p345">[S. 345]</a></span> -Weltsystem hat sich eigentlich bis Kepler gehalten. Denn <span class="gesperrt">Kopernikus</span> -sah sich noch wegen der Annahme der Kreisbahnen -gezwungen vielfach auf Ptolemaios zurückzugreifen. Freilich ist -das was Ptolemaios selbst ersonnen hat, gewiss nicht sehr viel -gewesen. <span class="gesperrt">Die Exzentrische Sonnenbahn</span> rührt von -<span class="gesperrt">Hipparch</span>, der <span class="gesperrt">Epizykel</span> von Apollonios her, der damit -Stillstand und Rückläufigkeit der Planeten (s. o.) befriedigend -erklärte. Ptolemaios kombinierte zur Planetenbewegungstheorie -die Epizykel des Apollonios mit dem Exzenter des Hipparch -und liess die Planeten sich gleichförmig bewegen auf einem -Kreise, der in einem Deferenzkreise rollte, dessen Zentrum sich in -einem zur Erde exzentrischen Kreise bewegte. Der Almagest -ist im höchsten Grade wertvoll, einerseits durch die systematische -Durchführung der mathematischen Theorie für die Himmelsbewegungen, -andrerseits durch die Nachrichten über die Arbeiten -des Hipparch, durch die vollständige ebene Trigonometrie und die -fast vollständige Sphärische Trigonometrie des rechtwinkligen Dreiecks, -— es fehlt nur die Formel des Djabir (<span class="gesperrt">Geber</span>) 11. Jahrh.: cos α -= cos a sin γ und cot α cot γ = cos b. Die Ableitung des Additionstheorems -für den (doppelten) Sinus, das Verhältnis der Sehne zum Radius, -gründete er auf den nach ihm benannten Satz vom Kreisviereck -für den Spezialfall, dass die eine Seite der Durchmesser ist. -Von meinem subjektiven Standpunkt aus genügt mir schon die -Tatsache, dass der Satz (Halma 113) nach Ptolemaios heisst, -um dessen Autorschaft zu verwerfen. Er wird vermutlich -in des Hipparchs Geraden im Kreise gestanden haben. Auch -als Beobachter ist die Wertung des Ptolemaios in jüngster Zeit -stark herabgegangen, vgl. den zit. Aufsatz von <span class="gesperrt">Björnbo</span> über -die fehlerhafte Beobachtung der Präzession und die tadelnswerte -Korrektion der älteren Beobachtungen. Doch ist seine -Entdeckung der Präzession des Mondes, der Evektion, nicht bestritten. -Für sein Geographisches Werk war er jedenfalls auch -dem Poseidonios verschuldet, dagegen ist seine <span class="gesperrt">Katoptrik</span> das -bedeutendste was das Altertum auf diesem Gebiet aufzuweisen hat.</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p346" id="Seite_p346">[S. 346]</a></span></p> - -<div class="sidenote">Parallelentheorie.</div> - -<p>Durch Proklos p. 191 wissen wir, dass Ptolemaios ein Werk -über Parallelentheorie geschrieben hat, es ist, wenn nicht das -erste, so doch eins der ersten aus der Bibliothek, welche die -5. Forderung ins Leben gerufen hat. Der Beweis des Parallelenaxioms, -den Proklos Friedl. S. 365–66 gibt, ist von Proklos -fehlerhaft kritisiert. Er ist nur in der Form mangelhaft, man -muss bedenken, dass Ptolemaios wie Poseidónios die Parallelen -als Abstandslinien auffasst, womit der zweite Kongruenzsatz (a, -b, c) die Gleichheit des Wechselwinkel ohne weiteres gibt. Sein -Beweis S. 362 des vom Parallelenaxiom unabhängigen Satzes: -»wenn ein Paar innerer Winkel zwei Rechte beträgt, so sind die -Linien parallel« ist leider noch immer in den deutschen Lehrbüchern -üblich, während von Euklid I, 27 so schlagend einfach -mit I, 16 bewiesen wird.</p> - -<div class="sidenote">Nikomachos von Gerasa.</div> - -<p>Wir kehren jetzt zur Zeit des Menelaos zurück und wenden -uns zu <span class="gesperrt">Nikomachos von Gerasa</span>, vermutlich nahe bei der -im alten Testament erwähnten Stadt Bozra. Wir sehen hier -recht deutlich, wie genau die Entwicklung der Mathematik mit -den allgemeinen die Zeit beherrschenden Geistesströmungen zusammenhängt.</p> - -<p>Um die Zeit des Beginns der christlichen Ära waren die -tiefer angelegten Naturen der Nüchternheit der Stoischen und -Epikureischen Lehren satt, die sich im Skeptizismus bis zum -unvernünftigen Extrem überschlagen hatten. Schon <span class="gesperrt">Aristoteles</span> -hat verglichen mit Platon, den ich meiner Auffassung des Grenzbegriffs -gemäss, als die Vollendung des Pythagoreismus definieren -könnte, einen rationalistischen Einschlag, auf den sich die Entwicklung -der Naturwissenschaften und der angewandten Mathematik -aufbaute, und in den genannten Philosophischen Schulen -trat das ideale Element im Geistesleben der Menschheit immer -mehr in den Hintergrund, bis es von den Skeptikern geradezu -geleugnet wurde. Gegen diese Verflachung des Seelenlebens erhub -sich nun in mächtiger Reaktion der neubelebte Idealismus. -Während die trostlosen realen, die wirtschaftlichen und sozialen<span class="pagenum"><a name="Seite_p347" id="Seite_p347">[S. 347]</a></span> -Zustände — man denke nur an den zum Ding im römischen -Recht gewordenen Sklaven — die grossen Massen des römischen, -von Prätoren und Prätorianern ausgesogenen Weltreichs für die -Essäischen Lehren empfänglich machte und sich das Juden-Christentum -infolge seines Sozialismus rapide unter ihnen verbreitete, -suchten die Gebildeten in der Rückkehr zum Idealismus -der alten Schulen, der Pythagoräer und des Platons, die Befriedigung, -welche sie im wirklichen Leben und in der Philosophie, -die sich den faktischen Zuständen angepasst hatte, nicht -fanden.</p> - -<p>Mit dem Pythagoreismus lebt zugleich das Interesse für -Zahlentheorie, für Arithmetik und für Zahlenmystik, Zahlentheologie -— Θεολογουμενα της αριθμητικης. — genannt, wieder -auf, und findet in <span class="gesperrt">Nikomachos</span> seinen wichtigsten Vertreter.</p> - -<div class="sidenote">Nikomachos, Introductio.</div> - -<p>Die Theologoumenen sind in dem fälschlich Nikomachos -zugeschriebenen Sammelwerke nur fragmentarisch erhalten, das -1543 in Paris gedruckt ist. Weil das Werk von äusserster -Seltenheit, ich glaube nur in einem Exemplar vorhanden, und -doch von höchster Bedeutung für den Pythagoreismus und die -Philosophie oder richtiger Theologie der Neupythagoräer ist, hat -Fr. <span class="gesperrt">Ast</span>, der verdienstliche Platoforscher, es 1817 zugleich mit -dem Hauptwerk des Nikomachos, der Einführung in die Arithmetik, -εισαγωγη αριθμητικη. 1817 herausgegeben, die 1538 in -Paris vom selben Verlag ediert war und ebenfalls sehr selten -geworden. Gestützt auf einen neuen Codex aus Zeitz hat dann -1866 <span class="gesperrt">R. Hoche</span> die Eisagoge ediert, höchst bedauerlicher- und -schwer begreiflicherweise ohne deutsche oder lateinische Übersetzung.</p> - -<p>Das Verdienst, die jetzigen Mathematiker auf Nikomachos -hingewiesen zu haben, hat sich <span class="gesperrt">G. F. H. Nesselmann</span> in seiner -trefflichen »Algebra der Griechen« Berl. 1842 erworben, der -ihm 34 Seiten des knapp gehaltenen Buches widmete. Er hat -mit Recht hervorgehoben, dass die »Einführung in die Arithmetik« -eine neue Epoche der Mathematik bezeichnet, es ist eine wirkliche<span class="pagenum"><a name="Seite_p348" id="Seite_p348">[S. 348]</a></span> -»Arithmetisierung der griechischen Mathematik« welche nach -Nesselmann vom 2. Jahrh. n. Chr. bis zum 14. [Maximus Planudes] -gedauert hat. Wie bedeutend das Werk des Nikomachos den -Zeitgenossen erschien, erhellt daraus, dass es schon im 2. Jahrh. -ins Lateinische von <span class="gesperrt">Apulejus</span> aus Madaura übersetzt ist, eine -Schrift die fast spurlos verloren gegangen ist, vermutlich weil -sie durch die Bearbeitung des Boëtius aus dem 6. Jahrh. verdrängt -ist. Apulejus ist für uns insofern von Wert, als er uns -die reizende Erzählung von Amor und Psyche, ein Märchen -auf orientalisch-mythologischer Grundlage erhalten hat. Ob Boëtius -wirklich nach dem Original oder nach der Bearbeitung des -Apulejus gearbeitet, scheint mir trotz der an den Patrizier Symmachos, -seinen Erzieher, gerichteten Einleitung zweifelhaft. Boëtius -hat auch die Musikalische Theorie der Pythagoräer ebenfalls -nach <span class="gesperrt">Nikomachos</span> der die Tonleiter bis zur zweiten Oktave -ausgedehnt hatte, gegeben; vergl. <span class="gesperrt">G. Friedleins</span> Ausgabe der -Arithmetik, der »Institutio musica« nebst der sogen. Geometrie -des Boëtius, dessen Abacus (Rechentisch) mit den »Apices«, -den »Staubziffern« der Westaraber so viel Staub aufgewirbelt hat.</p> - -<p>Die vom Mathematischen Standpunkt aus minderwertige -Arbeit des Boëtius ist schulgeschichtlich von höchster Bedeutung, -denn sie ist es gewesen, welche dem arithmetischen Unterricht -der Klosterschulen zugrunde lag.</p> - -<p>Schon <span class="gesperrt">M. Cantor</span> hat sich der Ansicht des Isidorus von -Sevilla, der 600 Bischof von Hispalis war und 636 gestorben -ist, angeschlossen, dass wir in der Isagoge im wesentlichen -das Wissen der Pythagoräer und zwar der Alt- und Neupythagoräer -kodifiziert und systematisiert vor uns haben, und in diesem -Sinne wird <span class="gesperrt">Nikomachos</span> richtig als der <span class="gesperrt">Euklid</span> der <span class="gesperrt">Arithmetik</span> -gekennzeichnet. Der Vergleich mit Philolaos und dem -oben zit. Werk des Theon von Smyrna zeigt, dass es der Gedankenkreis -der Pythagoräer ist, der uns hier übermittelt wird, -wenn auch das Material durch einen an Archimedes und den -anderen Grossen gebildeten Mathematiker vermehrt ist.</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p349" id="Seite_p349">[S. 349]</a></span></p> - -<div class="sidenote">Nikomachos, Einleitung der Introductio.</div> - -<p>Die Einleitung ist sowohl von <span class="gesperrt">Nesselmann</span>, als von -<span class="gesperrt">Cantor</span> und <span class="gesperrt">Loria</span> übergangen und doch ist sie vielleicht das -interessanteste. Ich werde sie an anderer Stelle ganz geben, -hier hebe ich aus ihr hervor: Cap. IV, Hoche p. 9; die Arithmetik, -ist dies [die Mutter der anderen Wissenschaften] nicht -allein, weil wir sagten, dass sie in dem Intellekt des göttlichen -Künstlers den übrigen vorangegangen sei, wie ein die Welt ordnender -und vorbildlicher Plan, auf den gestützt der Werkmeister -das Ganze etwa wie auf eine Vorlage und ein erstgeprägtes -Vorbild das aus Materie Geschaffene in schöne Ordnung brachte -und bewirkte, dass es den richtigen Zweck erreichte, sondern auch -weil sie von Natur den anderen vorangeht, insofern sie die andern -aufhebt, aber nicht von ihnen aufgehoben wird. (<span class="gesperrt">Archytas.</span>)</p> - -<p>Also eine in Zahlen gegebene <span class="gesperrt">Praestabilierte Harmonie</span>. -— Ferner: Nikomachos unterscheidet Grössen und Mengen, -Cap. II. Grössen sind in einer Vorstellung zusammengefasst -(ἡνωμένα) und <span class="gesperrt">kontinuierlich</span> (αλληλουχουμενα ein Synonym -für συνεχη), Mengen sind <span class="gesperrt">diskret</span> (διηρημενα) und in Nebeneinanderstellung -(παραθεσει.) wie ein Haufen. Dann fährt er -fort: da die Menge, (Anzahl) und die Grösse ihrer Natur nach -notwendigerweise unendlich ist, (die Menge von einer bestimmten -Wurzel [der Eins] ausgehend, lässt sich ins Unendliche fortsetzen, -die Grösse von einer bestimmten Ganzheit aus geteilt, hat -keinen letzten Teil und erstreckt sich dadurch ins Unendliche) -die Wissenschaften aber durchaus Wissen vom Endlichen und -niemals vom Unendlichen sind, so ist wohl klar, dass es von der -Grösse und der Menge schlechthin keine Wissenschaft geben -würde (denn unbestimmt sind beide, die Menge in bezug auf -Vermehrung, die Grösse in bezug auf Verminderung) sondern -nur in bezug auf etwas von beiden Abgegrenztes, und zwar von -der Menge als begrenzter Vielheit und von der Grösse als begrenzter -Grösse.</p> - -<p>Hier sieht man, wie klar das Kontinuitätsproblem erfasst ist.</p> - -<p>Noch bemerke ich, dass der so berühmte Ausdruck: Quadrivium,<span class="pagenum"><a name="Seite_p350" id="Seite_p350">[S. 350]</a></span> -für die 4 Wissenschaften Arithmetik, Musik, Geometrie, -Astronomie (σφαιρικη ist nicht, wie Nesselmann sagt, Trigonometrie, -sondern Astronomie), der von Boëtius aus das Ideal höherer -Bildung bezeichnete, eine wörtliche Übersetzung von Kap. IV, -Hoche 9 των τεσσαρων μεθοδων ist. [<span class="gesperrt">Archytas</span>, Harmonik.]</p> - -<p>Es schliesst sich an die Einleitung die Definition der Zahl -an, welche wiederum zeigt, dass die Dreiteilung des Zahlbegriffs -alt pythagoreisch (platonisch) ist. Die Zahl ist entweder Anzahl -(Kardinalzahl, πληθος ὡρισμενον) oder Ordnungszahl (μοναδων -συστημα) oder Masszahl (relative Zahl, ποσοτητος χυμα εκ μοναδων -συγκειμενον der aus Einheiten zusammengesetzte Strom der Wievielheit).</p> - -<div class="sidenote">Nikomachos, Introd. Buch 1.</div> - -<p>Das 1. Buch wiederholt nur von Philolaos, Euklid und -Eratosthenes gegebenes, Kap. XIII wird das Sieb des Eratosthenes -beschrieben. Das Diagramm im Codex von Zeitz ist nicht nur -eine Primzahlen- sondern zugleich eine Faktorentabelle, Kap. XIX, -Hoche p. 51, findet sich dann das erste Diagramm des kleinen -Einmaleins in der uns geläufigen Form:</p> - - -<div class="center"> -<table class="widecell" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" summary="Einmaleins"> -<tr><td rowspan="11">βάθος</td><td colspan="10">μήκος</td></tr> -<tr><td align="center"></td><td align="center">α</td><td align="center">β</td><td align="center">γ</td><td align="center">δ</td><td align="center">ε</td><td align="center">ϛ</td><td align="center">ζ</td><td align="center">η</td><td align="center">θ</td><td align="center">ι</td></tr> -<tr><td align="center"></td><td align="center">β</td><td align="center">δ</td><td align="center">ϛ</td><td align="center">η</td><td align="center">ι</td><td align="center">ιβ</td><td align="center">ιδ</td><td align="center">ιϛ</td><td align="center">ιη</td><td align="center">κ</td></tr> -<tr><td align="center"></td><td align="center">γ</td><td align="center">ϛ</td><td align="center">θ</td><td align="center">ιβ</td><td align="center">ιε</td><td align="center">ιη</td><td align="center">κα</td><td align="center">κδ</td><td align="center">κζ</td><td align="center">λ</td></tr> -<tr><td align="center"></td><td align="center">δ</td><td align="center">η</td><td align="center">ιβ</td><td align="center">ιϛ</td><td align="center">κ</td><td align="center">κδ</td><td align="center">κη</td><td align="center">λβ</td><td align="center">λϛ</td><td align="center">μ</td></tr> -<tr><td align="center"></td><td align="center">ε</td><td align="center">ι</td><td align="center">ιε</td><td align="center">κ</td><td align="center">κε</td><td align="center">λ</td><td align="center">λε</td><td align="center">μ</td><td align="center">με</td><td align="center">ν</td></tr> -<tr><td align="center"></td><td align="center">ϛ</td><td align="center">ιβ</td><td align="center">ιη</td><td align="center">κδ</td><td align="center">λ</td><td align="center">λϛ</td><td align="center">μβ</td><td align="center">μη</td><td align="center">νδ</td><td align="center">ξ</td></tr> -<tr><td align="center"></td><td align="center">ζ</td><td align="center">ιδ</td><td align="center">κα</td><td align="center">κη</td><td align="center">λε</td><td align="center">μβ</td><td align="center">μθ</td><td align="center">νϛ</td><td align="center">ξγ</td><td align="center">ο</td></tr> -<tr><td align="center"></td><td align="center">η</td><td align="center">ιϛ</td><td align="center">κδ</td><td align="center">λβ</td><td align="center">μ</td><td align="center">μη</td><td align="center">νϛ</td><td align="center">ξδ</td><td align="center">οβ</td><td align="center">π</td></tr> -<tr><td align="center"></td><td align="center">θ</td><td align="center">ιη</td><td align="center">κζ</td><td align="center">λϛ</td><td align="center">με</td><td align="center">νδ</td><td align="center">ξγ</td><td align="center">οβ</td><td align="center">πα</td><td align="center">ϟ</td></tr> -<tr><td align="center"></td><td align="center">ι</td><td align="center">κ</td><td align="center">λ</td><td align="center">μ</td><td align="center">ν</td><td align="center">ξ</td><td align="center">ο</td><td align="center">π</td><td align="center">ϟ</td><td align="center">ρ</td></tr> -</table></div> - -<div class="sidenote">Nikomachos, Introd. Buch 2.</div> - -<p>Weit bedeutender ist das zweite Buch, es enthält eine ganz -achtbare Zahlentheorie auf altpythagoreischer Grundlage, wie sich<span class="pagenum"><a name="Seite_p351" id="Seite_p351">[S. 351]</a></span> -Nikomachos, man vgl. <span class="gesperrt">A. Boeckhs</span> Philolaos, durchaus auch in -seiner Philosophie ganz eng an Philolaos anschliesst. Zunächst -kommen Betrachtungen über gewisse, schon den Altpythagoräern -geläufige Beziehungen zwischen Ketten von geometrischen Reihen -desselben Exponenten, die im Kap. 4 aber nichts Geringeres enthalten -als den <span class="gesperrt">Binomischen Satz</span>, und zwar im Grunde nach -demselben Bildungsgesetz, welches im sog. Pascalschen Dreieck -angewandt wird.</p> - -<p>Es folgt dann die Lehre von den figurierten Zahlen, von -denen die Dreieckszahlen (<span class="binomial"><span>n</span><span>2</span></span>) und die Viereckszahlen, die Quadrate, -sowie die Tetraederzahlen (<span class="binomial"><span>n</span><span>3</span></span>) und Würfelzahlen, Kuben, -jedenfalls allbekannt waren. Aber die Lehre von den figurierten -Zahlen (σχηματιζοντες) ist bei Nikomachos, der an <span class="gesperrt">Hypsikles</span> -einen Vorgänger hatte, sehr ausführlich behandelt, und sie spielte, -man sehe das so wichtige Werk <span class="gesperrt">R. Baltzers</span>, Elem. d. Math., -von da ab bis <span class="gesperrt">in die Mitte des 19. Jahrh</span>. eine grosse Rolle -auch im Elementarunterricht. Die p-te Polygonalzahl ist von -der Form n + (p - 2)(<span class="binomial"><span>n</span><span>2</span></span>) und der Gnomon im Heronschen -Sinne der von n auf (n + 1) überführt ist 1 + (p - 2)n; die -Figur zeigt die 5-Ecke der Seiten 1, 2, 3, 4, 5.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 250px;"> -<img src="images/pg351_ill.png" width="250" height="240" alt="" /> -</div> - - -<p>Die n-te (p + 1)-Eckzahl ist gleich der n-ten p-Eckzahl -vermehrt um die (n - 1)te Dreieckszahl. Es handelt sich, wie<span class="pagenum"><a name="Seite_p352" id="Seite_p352">[S. 352]</a></span> -man sieht, um Summation arithmetischer Reihen erster Ordnung. -Interessant ist der Satz Kap. 20: n<sup>3</sup> = Σn(n - 1) + 2k - 1 -wo k von 1 bis n geht. Nicht minder interessant ist Kap. 7, wo -die Definitionen des <span class="gesperrt">Platon</span> und <span class="gesperrt">Aristoteles</span> über Punkt, -Linie, Fläche, zwar vereinigt werden, aber die Platonische benutzt -wird, um aus dem <span class="gesperrt">Ursprung</span> der vorhergehenden die -folgenden Zahlen zu definieren; die Flächenzahl ist Summe der -(vorhergehenden) Linienzahlen, bezw. Reihe von ihnen, die Körperzahl -wiederum von Flächenzahlen.</p> - -<div class="sidenote">Proportionenlehre.</div> - -<p>Mit Kapitel 21 beginnt dann die ganz ausführliche Lehre -von den Proportionen, neu ist vielleicht die Lehre von der vollkommensten, -der musikalischen a : <span class="fraction"><span>a + b</span><span>2</span></span> = <span class="fraction"><span>2ab</span><span>a + b</span></span> : b z. B. <sup>6</sup>/<sub>9</sub> = -<sup>8</sup>/<sub>12</sub> welche Pythagoras, wie <span class="gesperrt">Jamblichos</span> sagt, aus <span class="gesperrt">Babylon</span> -nach Griechenland gebracht hat. Mit Unrecht tadelt Nesselmann -die Definition des Verhältnis bei Nikomachos; sie heisst: -Verhältnis (λογος, ratio) ist das gegenseitige Enthaltensein zweier -bestimmter Grössen, denn σχεσις ist bei Nikomachos und allgemein -der technische Ausdruck für die σχεσις κατα πηκλικοτητα -für die Messung der einen durch die andere.</p> - -<p>Aus dem Résumé Nesselmanns hebe ich No. 1 hervor: -»Bei Nikomachos erscheint die Arithmetik zum ersten Mal frei -von den Fesseln geometrischer Vorstellungen, mit denen sie bei -Euklides noch behaftet ist.« (Aber kaum mehr bei <span class="gesperrt">Heron</span>.)</p> - -<div class="sidenote">Theon.</div> - -<p>Auch Nikomachos teilt die altpythagoräische Ansicht, dass -die unzerlegbare Eins keine Zahl sei. Diese Ansicht hat sich von -Boëtius bis in die Rechenbücher des 18. Jahrh. gehalten, wenn Nikomachos -sie auch nicht so klar ausgesprochen hat, wie der vielleicht -etwas ältere Astronom <span class="gesperrt">Theon</span> von Smyrna in seinem schon mehrfach -erwähnten Werk »των κατα το μαθηματικον χρησιμων -εις την του Πλατωνος αναγνωσιν; was man an Mathematischem -wissen muss, um Platon zu verstehen. Erhalten sind -grosse Fragmente der Arithmetik, der Musik, d. h. der theoretischen -Lehre von den Intervallen und dem Kontrapunkt, sowie<span class="pagenum"><a name="Seite_p353" id="Seite_p353">[S. 353]</a></span> -der Astronomie, 1892 von <span class="gesperrt">J. Dupuis</span> Griechisch und <span class="gesperrt">Französisch</span> -ediert. In der Astronomie hängt er von dem Peripatetiker -Adrastos ab, der u. a. einen Kommentar zum Timaios -verfasst hat. Erwähnung verdient Theon nur, weil sich bei ihm -die <span class="gesperrt">Kettenbruchentwicklung</span> der √<span class="sqrt">2</span> findet, die sich -auch mit einer Nikomachischen Formel berührt, die selbst wieder -seltsam an f(x + 2dx) = f(x) + 2f′(x)dx + f″(x)dx<sup>2</sup> erinnert, -die ihrerseits wieder den Keim zu einer elementaren, wenn auch -nicht strengen Ableitung der Taylorschen Reihe birgt. Einen -Weg der weder für Theon noch einen andern Pythagoräer gangbar -war, der aber geistvoll ist, hat der Norweger <span class="gesperrt">T. Bergh</span>, -Schlöm-Cantor 31, S. 135 angegeben. Geht man von einem -gleichschenklig rechtwinkligen Dreieck aus, dessen Katheten -α<sub>n-1</sub> und δ<sub>n-1</sub> sind und verlängert beide Katheten um δ<sub>n-1</sub> -und verbindet die freien Endpunkte, so ist α<sub>n</sub> = α<sub>n-1</sub> + δ<sub>n-1</sub> -und d<sub>n</sub> = 2α<sub>n-1</sub> + δ<sub>n-1</sub> und dies sind die Präkursionsformeln für -die Näherungswerte des Kettenbruchs √<span class="sqrt">2</span> = (1|2), wenn man -α<sub>1</sub> = δ<sub>1</sub> = 1 setzen könnte wie Theon tut. Viel wahrscheinlicher -ist es, dass wir es hier mit altem Gut der Pythagoräer zu tun -haben, bezw. der Platoniker und dass sie nach Auflösung der -Diophantischen Gleichung x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = z<sup>2</sup> sich an die Gleichung -x<sup>2</sup> - 2y<sup>2</sup> = ±1 gemacht haben.</p> - -<div class="sidenote">Jamblichos, Thymaridas.</div> - -<p>Ich schliesse hier gleich <span class="gesperrt">Jamblichos</span> geboren etwa 330 -in Chalkis in Coelesyrien an, der als Philosoph der Stifter der -sogen. Syrischen Abart des Neupythagoreismus oder Neuplatonismus -ist, und der ein grosses Werk in 10 Büchern συναγωγή -των πυθαγορείων δογμάτων, Sammlung der Pythagoräischen Lehren, -geschrieben, deren erstes Buch der Roman: das Leben des -Pythagoras, ist und deren 4. Buch die Erläuterungen zu Nikomachos -Arithmetik wichtig ist, erstens für das Verständnis des -Nikomachos und zweitens weil darin beiläufig das »Epanthema« d. h. -Blüte des <span class="gesperrt">Thymaridas</span> überliefert wird, möglicherweise eines -Altpythagoräers, obwohl der Name »Blüte« <span class="gesperrt">indische</span> Reminiscenzen -weckt, wo poetische und phantastische Bezeichnungen<span class="pagenum"><a name="Seite_p354" id="Seite_p354">[S. 354]</a></span> -gang und gäbe waren, und ferner das gänzliche Fehlen jeder geometrischen -Einkleidung auf eine erheblich d. h. mindestens 3 bis -4 Jahrhunderte spätere Zeit weisen. Die Regel selbst ist von -<span class="gesperrt">Nesselmann</span>, trotz des schlechten Textes und der schlechten -Übersetzung des Tenulius der 1668 den Kommentar ediert hat, -völlig richtig gestellt »Sind x y<sup>I</sup> y<sup>II</sup> y<sup>III</sup> y<sup>IV</sup> etc. eine Anzahl -<span class="gesperrt">unbestimmter</span> (Grössen), αοριστων und ist x + Σ y<sub>k</sub> = a d. h. -bestimmt (ωρισμενος), und x + y<sub>k</sub> = b<sub>k</sub>, so ist x = <span class="fractionbig"><span>Σ b<sub>k</sub> - a<sub>k</sub></span><span>n - 1</span></span>. -Das von mir mehrfach als Gesetz für Datierungen angeführte -Prinzip auf den ganzen gedanklichen Zusammenhang zu sehen, -bestimmt mich auch den Thymaridas in die Zeit der Arithmetisierung -der Mathematik zu setzen. Von eigener Mathematik des -Jamblichos wären etwa die Sätze n<sup>2</sup> = n + 2(1 + 2 + ... n - 1) -zu erwähnen. Eine moderne, philologische Ausgabe des Kommentars -ist 1894 von <span class="gesperrt">I. Pistelli</span> gemacht worden, den als arithmetisches -Werk Nesselmann sehr ausführlich S. 236–242 behandelt -hat.</p> - -<div class="sidenote">Plotin.</div> - -<p>Auch die Philosophie des Jamblichos, obwohl ihn Proklos -im Kommentar zum Timaios den Göttlichen nennt und obwohl -der Kaiser Julianus Apostata für ihn schwärmte, ist nur eine -phantastische und vielleicht absichtlich unklar gehaltene Ausführung -der Lehren des Porphyrios oder vielmehr des Plotin, -interessant wäre es allerdings, den babylonischen und besonders -den <span class="gesperrt">indischen</span> Einflüssen bei Jamblichos nachzugehen, z. B. für -die Rolle, welche Opfer und Gebet in seiner Lehre spielen. <span class="gesperrt">Plotin</span> -den man vielleicht statt Neuplatoniker den neuen Platon nennen -könnte, ist das geistige Haupt der Schule und durch seinen -Einfluss auf <span class="gesperrt">Augustinus</span>, den grossen kirchlichen Neuplatoniker, -den Plotins Lehre vom Sünder zum Heiligen wandelte, kulturgeschichtlich -von grösster Bedeutung, und ich bedaure aufrichtig -m. H., dass ich für Plotin zur Zeit nicht über Quellenstudien -verfüge. Plotin war aber auch mathematisch gebildet und gab in -Rom mathematischen Unterricht, und Augustins ungeheurem Einfluss<span class="pagenum"><a name="Seite_p355" id="Seite_p355">[S. 355]</a></span> -auf die Abendländische Kirche wenigstens von 400–1200 danken -wir die Berücksichtigung der Arithmetik als Wissenschaft in -den Kathedralschulen.</p> - -<p><span class="gesperrt">Plotin</span> ist 202 oder 205 in Lykopolis in Ägypten (Siwet = -Assiut) geboren, seine philosophische Bildung hat er in Alexandrien -erhalten, dem Brennpunkt des wissenschaftlichen Lebens -in der Schlussperiode der antiken Welt. Dort weilte er vom -18. bis 28. Lebensjahre als Schüler des Neuplatonikers Ammonios, -Saccas, d. h. der Lastträger genannt. Dieser hat wie -es scheint nichts geschrieben, aber wie bedeutend er war, zeigen -seine Schüler, Longin, Origenes und Plotin, der von allen anderen -Lehrern unbefriedigt, zehn Jahre in seiner Schule blieb.</p> - -<div class="sidenote">Philon von Alexandria.</div> - -<p>Mehr noch als dem Ammonios verdankte Plotin den Schriften -<span class="gesperrt">Philons</span>. Philon, etwa von 28 v. Chr. bis 50 n. Chr. -war zwar äusserlich strenger Israelit, aber er hatte in die heiligen -Schriften des Judentums eine Symbolik hineininterpretiert, -welche seiner eigenen Philosophie oder richtiger Religion entsprach. -Unter dem Einfluss stoischer (Heraklitischer) essäischer -und christlicher Lehren, kann man die seine als eine Lehre von -der Zweieinigkeit Gottes und des Logos, der zugleich Heiliger -Geist und Gottes Sohn, bezeichnen. Die Symbolische Deutung -der heiligen Schriften, welche sich im gewissen Sinne schon -bei Platon und Aristoteles und ihren Schülern findet, die -den Konflikt mit der Volksreligion vermeiden wollten, hat sich -von Philon ab bis heute in der Theologie erhalten. Von <span class="gesperrt">Philon</span> -hat <span class="gesperrt">Plotin</span> die Askese und die Ekstase, d. i. die Vereinigung -mit Gott oder Erfassung (αφή) Gottes. Dieses Gottwerden -der Menschen durch Kasteiung, Gebet und Busse, weist wiederum -nach Indien, wo solche gottgewordene Menschen noch heute -verehrt werden. Und auch in der Allgemeinheit und damit Leerheit -des eigentlichen Gottesbegriffs wurzelt Plotin in Philon.</p> - -<div class="sidenote">Plotin.</div> - -<p>Um 243 nahm <span class="gesperrt">Plotin</span> an dem Feldzug Gordian III. gegen -die Parther teil, wozu ihn das Interesse an der persischen Religion, -an dem was Zarathustra sprach, antrieb. In der Askese und<span class="pagenum"><a name="Seite_p356" id="Seite_p356">[S. 356]</a></span> -Ekstase und auch in dem Dualismus zwischen Ormuz und Ahriman -fanden sich enge Beziehungen zu seinen eigenen Gedanken. -Nach dem unglücklichen Ausgang des Feldzugs ging er nach -Rom, und er muss schon damals berühmt gewesen sein, da er -in der Weltstadt zahlreichen Zulauf fand und den Kaiser Galienus -selbst zu seinen Schülern zählte. In Rom lehrte er von -244–268, dann zog er sich schwer leidend auf ein Landgut bei -Minturnae in Campanien zurück, wo sich seine Seele aus ihrem -Körper befreite. Die Vorlesungsnotizen, welche Plotin etwa mit -60 Jahren niedergeschrieben, wurden in seinem Auftrag von seinem -Lieblingsschüler <span class="gesperrt">Porphyrios</span> redigiert und in 6 Enneaden d. h. -in 6 Büchern zu 9 Abschnitten herausgegeben.</p> - -<p>Der wesentliche Unterschied zwischen Plotin und Platon -liegt in der Ideenlehre. Die Ideen, die bei Platon aus der Erfahrung -der Einzelnen abstrahierte grundlegende Konzeptionen -der gesamten Vernunft der Menschheit sind, welche als solche -ewige Dauer und regulative Kraft besitzen, werden zu Ideen oder -Gedanken a priori der von der Gottheit ausstrahlenden Vernunft, -des Logos bei Philo, des Noūs (νοῦς) bei Plotin. Die Emanation -stellt sich Plotin etwa vor, wie wir die Radiumemanationen.</p> - -<p>Die Gottheit selbst bleibt unbewegt und ohne Teilnahme, -an dem was sie ausstrahlt, sie ist das Eine schlechtweg, das -<b>το εν</b> der Pythagoräer und steht so hoch über uns, dass wir -eigentlich gar nichts von ihr aussagen können als jene Ausstrahlung. -Bei den späteren Neuplatonikern, insbesondere bei -Proklos ist der Begriff der Gottheit so leer geworden, dass er -besser als mit der Eins mit der Null verglichen werden könnte. -Der Noūs selbst aber zeigt schon eine Entzweiung, eine Trennung -in Denkkraft und Gedanken. Abbild und Erzeugung des -Noūs, der von Gott emanierenden Weltvernunft, ist die Psyche -und sie, die Seele, erzeugt, mittelst des Substrats der Materie, -der Hyle, die sie durchdringt wie etwa das Licht ein Medium, -die Körperwelt, an deren Leiden oder richtiger Reizungen -die wahrnehmende Empfindung eigentlich keinen Anteil<span class="pagenum"><a name="Seite_p357" id="Seite_p357">[S. 357]</a></span> -hat. Da die Psyche Funktion der Vernunft und diese wieder -Funktion Gottes ist, so ist es dem Menschen gegeben nach Ähnlichkeit -mit Gott zu streben und darin liegt die <span class="gesperrt">Tugend</span>. Ja -durch Abtöten des Sinnlichen und völliges Versenken in die -religiöse Betrachtung des Einen kann es gelingen zur Ekstase, -d. h. zur Vereinigung mit Gott zu kommen und in diesem Zustand -war <span class="gesperrt">Plotin</span> nach Angabe des Porphyrios viermal. Die -späteren Neuplatoniker, wie Apollonios von Thyana und Jamblichos, -knüpften an diesen Zustand, der etwa dem entspricht, -was die heutigen Mystiker »Trans« nennen an, um die Möglichkeit -des Prophezeiens und der Wundertaten zu begründen.</p> - -<p>Ich möchte noch hervorheben, dass die Quelle der <span class="gesperrt">Schopenhauerschen</span> -Ästhetik eigentlich bei <span class="gesperrt">Plotin</span> liegt. Nach -jenem liegt das Wesen der Kunst in der intuitiven Erfassung der -im Objekt zur Erscheinung kommenden Idee, d. h. der bestimmten -Abstufung des Willens an sich, losgelöst von jeder Beziehung auf -das individuelle erkennende Subjekt, und der Wert der künstlerischen -Betrachtung darin, dass »das Ixionsrad« des eigenen -Wollens stille steht und wir vor dem Schönen und durch das -Schöne zum <span class="gesperrt">reinen</span> willenlosen Subjekte der Erkenntnis werden. -<span class="gesperrt">Plotin</span> sagt, Enneade V, 81: Nicht in der blossen Symmetrie, -sondern in der Herrschaft des Hohen über das Niedere, -der <span class="gesperrt">Ideen</span> über den Stoff, der Seele über den Leib, der Vernunft -und des Guten über die Seele, liegt das Wesen der -Schönheit.</p> - -<div class="sidenote">Porphyrios.</div> - -<p><span class="gesperrt">Porphyrios</span> hat bei Plotin auch Mathematik gelernt, -er wird von Proklos des öfteren erwähnt, ich führe S. 311 den -Beweis von I 18 an: Der grösseren Seite liegt der grössere -Winkel gegenüber, den ich unsern Schulen wieder gewinnen -möchte: Wenn αβγ das Dreieck und αβ < αγ, so mache man αβ -mit βε gleich βγ, dann ist αεγ gleichschenklig und Winkel -ε = εγβ + γ und ε noch kleiner als β nach I, 16, dem Satz -vom Aussenwinkel.</p> - -<div class="sidenote">Diophant.</div> - -<p>Den Schluss und zugleich den Gipfel der Hellenistischen<span class="pagenum"><a name="Seite_p358" id="Seite_p358">[S. 358]</a></span> -Arithmetisierung der Mathematik bildet <span class="gesperrt">Diophantos</span> von -Alexandrien.</p> - -<p>Seine αριθμητικά bedeuten den durch eine weite Kluft von -allem anderen getrennten Höhepunkt dessen, was die Griechen -auf arithmetischem Gebiet geleistet haben. Sein Werk ist so -einzigartig, dass es keineswegs ausgeschlossen ist, dass Indische -und Babylonische Einflüsse wirksam gewesen sind. Seine Lebenszeit -ist wahrscheinlich das Ende des 4. Jahrhunderts nach -Christi, wie <span class="gesperrt">Nesselmann</span> l. c. festgestellt hat. Dass Pappos -ihn nicht erwähnt, kann ich mir nur dadurch erklären, dass er -nach Pappos geschrieben. Alles was wir von ihm wissen, steht -im Epigramm 19 der von <span class="gesperrt">Maximus Planudes</span>, einem byzantinischen -Mönch, aus älteren Exzerpten gesammelten Anthologie:</p> - -<div class="poem"><div class="stanza"> -<span class="i0">Hier das Grabmal deckt Diophant, ein Wunder zu schauen,<br /></span> -<span class="i0">Durch arithmetische Kunst lehrt sein Alter der Stein.<br /></span> -<span class="i0">Knabe zu sein gewährte ein Gott ihm ein Sechstel des Lebens;<br /></span> -<span class="i0">Noch ein Zwölftel dazu, spross auf der Wange der Bart.<br /></span> -<span class="i0">Und ein Siebentel mehr, sieh Hymens Fackel entbrannte,<br /></span> -<span class="i0">Fünf der Jahre darnach, teilt er ein Söhnlein ihm zu.<br /></span> -<span class="i0">Ach unglückliches Kind! Halb hatte das Alter des Vaters<br /></span> -<span class="i0">Es erreicht, da nahm's Hades der Schaurige auf.<br /></span> -<span class="i0">Noch vier Jahre ertrug er den Schmerz, der Wissenschaft lebend,<br /></span> -<span class="i0">Und nun künde das Ziel, welches er selber erreicht.<br /></span> -</div></div> - -<p>Also mit 33 Jahren verheiratet und mit 84 gestorben.</p> - -<div class="sidenote">Fermatsche Satz.</div> - -<p>So berühmt Diophant als Arithmetiker heute ist, so wenig -wurde sein Werk von den Griechen der folgenden Zeit verstanden, -nur ganz wenige und verstümmelte Handschriften seines -Werkes sind erhalten, alle, auch die jüngst gefundenen vom -selben Archetyp stammend. Ein einziger Grieche, der schon -genannte <span class="gesperrt">Maximus Planudes</span>, der in der ersten Hälfte des -XIV. Jahrh. lebte, hat Scholien zu den beiden ersten Büchern -geschrieben. Dagegen haben sich die Araber verhältnismässig -früh des Diophant bemächtigt und kein geringerer als <span class="gesperrt">Abul -Wafa</span>, der die Mondvariation festgestellt hat, übersetzte die -Schrift gegen Ende des 10. Jahrh. Das bisher noch nicht aufgefundene<span class="pagenum"><a name="Seite_p359" id="Seite_p359">[S. 359]</a></span> -Werk findet sich vielleicht auch noch in Leyden. -In Europa hat zuerst <span class="gesperrt">Regiomontan</span>, decus Germaniae, wie -ihn Petrus Ramus nennt, 1464 zu Venedig einen Diophant-Codex -gesehen. Die erste zwar mangelhafte, aber vollständige Übersetzung -ins Lateinische veröffentlichte 1575 <span class="gesperrt">Wilhelm Xylander</span> -oder Holzmann zu Augsburg, sie ist eine bibliographische -Rarität. Die erste Textausgabe mit lateinischer Version und vielen -Zusätzen und Erläuterungen rührt von <span class="gesperrt">Gaspard Bachet</span>, -sieur de <span class="gesperrt">Méziriac</span> her, — Paris 1622, der durch seine »Problèmes -plaisants et délectables« (1612) so bekannt ist. Eine zweite Ausgabe -von Bachets Arbeit veranstaltete S. Fermat; die Ausgabe -ist an sich sehr mangelhaft, aber sie enthält die berühmten Randbemerkungen -seines Vaters <span class="gesperrt">Pierre Fermat</span>, Frankreichs -grössten Mathematikers, darunter den berühmten <span class="gesperrt">Fermatschen -Satz</span>: Die Gleichung x<sup>n</sup> + y<sup>n</sup> = z<sup>n</sup> ist wenn n > 2 nicht in -ganzen (rationalen) Zahlen lösbar. Diese Anmerkungen haben -die moderne Zahlentheorie, die Arithmetica sublimior wie -<span class="gesperrt">Gauss</span> sie nannte, geschaffen. Eine neue sehr sorgfältig redigierte -Ausgabe ist von <span class="gesperrt">P. Tannery</span> 1893 geschaffen. <span class="gesperrt">G. Wertheim</span> -hat 1890 eine tadellose deutsche Übersetzung der Arithmetik -und der Schrift über Polygonalzahlen des Diophant und -der Anmerkungen Fermats gegeben.</p> - -<p>Von den 13 Büchern, welche Diophant selbst in dem Einleitungsschreiben -an einen gewissen Dionysios erwähnt, sind uns -in den Handschriften nur 6 erhalten, aber die allgemeine Ansicht -geht dahin, dass das Verlorene sich im wesentlichen nur -auf die Behandlung der gemischt quadratischen Gleichungen bezogen -habe und wissenschaftlich der Verlust zu verschmerzen. -Dagegen scheint der Verlust eines andern Werkes der »Porismata« -(vergl. Euklid) schwerer zu wiegen, wenigstens nach dem -Satz zu urteilen, den Diophant selbst zitiert: die Differenz zweier -(rat.) Kubikzahlen (a und b) ist stets die Summe zweier (rat.) -Kubikzahlen. Von <span class="gesperrt">Vieta</span> gelöst: -x = <span class="fractionbig"><span>a(a<sup>3</sup> - 2b<sup>3</sup>)</span><span>a<sup>3</sup> + b<sup>3</sup></span></span>; -y = <span class="fractionbig"><span>b(2a<sup>3</sup> - b<sup>3</sup>)</span><span>a<sup>3</sup> + b<sup>3</sup></span></span>.</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p360" id="Seite_p360">[S. 360]</a></span> -Das erste was wir aus den Arithmetica hervorheben, ist -dass bis auf eine einzige vermutlich eingeschobene Aufgabe V, -13, Wertheim S. 209 niemals die Zahlen seiner Aufgaben durch -Linien oder sonst geometrisch versinnlicht sind. Er spricht -zwar oft von rechtwinkligen Dreiecken, aber er meint stets drei -Zahlen a, b, c, welche der Gleichung a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> = c<sup>2</sup> genügen. -Zweitens gehen auf <span class="gesperrt">Diophant</span> die nach ihm genannten Aufgaben -der unbestimmten Analytik zurück, obwohl eine diophantische -Gleichung in unserem Sinne bei ihm nicht vorkommt. -Erst <span class="gesperrt">Bachet</span> hat die Gleichung ax + by = c allgemein in -ganzen Zahlen aufgelöst. Diophant begnügt sich mit rationalen -Zahlen und was die Hauptsache, er gibt immer nur eine Lösung. -Das was speziell an indischen Einfluss denken lässt, liegt erstens -in der Systemlosigkeit und zweitens darin, dass eigentlich, wenn -man vom ersten Buch absieht, der Lehre von den gewöhnlichen -Gleichungen ersten Grades, nirgends allgemeine Methoden vorkommen, -sondern jede Aufgabe durch eigene oft sehr merkwürdige -Kunstgriffe gelöst wird. Oft ist die Aufgabe allgemein gefasst -und wird durch willkürliche Annahmen eingeschränkt.</p> - -<p>Ganz eigenartig ist auch die Bezeichnung bei Diophant; -vergl. <span class="gesperrt">Nesselmann</span> l. c. Kap. 7. Für die Unbekannte die bei -ihm αριθμός »die Zahl« heisst, hat er ein Zeichen ϛ oder auch -ϛο, das man früher für das Schlusssigma hielt. <span class="gesperrt">T. L. Heath</span>, -Diophantos of Alex. Cambr. 1885 hat mit guten Gründen behauptet, -dass es die Abbreviatur von αριθμός ist. Das Quadrat -der Unbekannten, unser x<sup>2</sup> heisst wie gewöhnlich δύναμις, Zeichen -δ<sup>ῡ</sup>; x<sup>3</sup> desgleichen κύβος, Zeichen κ<sup>ῡ</sup>, x<sup>4</sup> bei ihm wie durch die -Metrika nachgewiesen bei <span class="gesperrt">Heron</span>: δυναμοδύναμιν [Biquadrat] δδ<sup>ῡ</sup>δ, -x<sup>5</sup> δυναμοκυβος δκ<sup>ῡ</sup>, x<sup>6</sup> κυβοκυβος, κκ<sup>ῡ</sup>. Bestimmte Zahlen -(ὡριζομενοι) heissen μοναδες, Zeichen μ<sup>ο</sup>, zum Unterschiede von -den αοριστοι den zunächst unbestimmten, also wie bei Jamblichos, -<sup>1</sup>/<sub>x</sub> heisst αριθμοστον; <sup>1</sup>/<sub>x<sup>2</sup></sub> δυναμοστον u. s. f.</p> - -<p>Kein Zeichen bedeutet die <span class="gesperrt">Addition</span>, welche damals -also noch als die Hauptoperation galt, sie heisst ὑπαρξις; die<span class="pagenum"><a name="Seite_p361" id="Seite_p361">[S. 361]</a></span> -Subtraktion heisst λειψις, Zeichen ein umgekehrtes ψ also <img src="images/pg361_1.png" alt="Symbol" /> oder -⬆. Bei (x - a)(x - b) findet sich die Regel: Minus × Minus -ist plus (λ.λ ist ὑπαρξις), doch schliesst Diophant negative Zahlen -wie auch irrationale Zahlen prinzipiell aus. Cantor sagt mit Recht, -dass sich bei Diophant schon eine hoch entwickelte Buchstabenrechnung -findet. Immerhin ist ihr die <span class="gesperrt">Vieta'sche</span> sehr überlegen.</p> - -<p>Ich gebe nach Cantor die Gleichung 10x + 30 = 11x + 15.</p> - -<p>ςς<sup>οι</sup> αρα ῑ μ<sup>ο</sup> λ ἱσοι εισιν ςς<sup>οις</sup> ῑᾱ μονασι ῑε (Unbekannte nun -zehn und Einheiten 30 sind gleich Unbekannten 11 und Einheiten -15.) M. H. Cantor hat wiederum recht, wenn er sagt -dies ist eine Stenographie aber noch keine Symbolik.</p> - -<p>Die Gleichheit wird übrigens oft nur durch ἱ ausgedrückt.</p> - -<div class="sidenote">Diophant, Beispiele.</div> - -<p>Als Beispiel N. 1 gebe ich Ihnen I, 9 Werth. 15. Von -zwei gegebenen Zahlen eine und dieselbe Zahl zu subtrahieren, -so dass die erhaltenen Reste in einem gegebenen Verhältnis -stehen.</p> - -<p>Es muss jedoch dieses Verhältnis <span class="gesperrt">grösser sein</span> als das -in welchem die grössere der beiden gegebenen Zahlen zur kleineren -steht.</p> - -<p>Die Bedingung ist nötig damit x > 0 wird.</p> - -<p>Es soll [z. B.] von 20 und 100 dieselbe Zahl abgezogen -werden und so gewählt werden, dass der grössere Rest das 6fache -des kleineren ist.</p> - -<p>100 - x, 20 - x die Reste, 120 - 6x = 100 - x die -Gleichung.</p> - -<p>Wird die abzuziehende Grösse auf beiden Seiten addiert -und sodann Gleiches vom Gleichen subtrahiert, so erhält man -5x = 20, x = 4.</p> - -<p>Es folgt die Probe, man kann wohl sagen bedauerlicherweise.</p> - -<p>Beispiel 2: I, 32, W. 37. Zwei so beschaffene Zahlen zu -finden, dass ihre Summe 20 und die Differenz ihrer Quadrate<span class="pagenum"><a name="Seite_p362" id="Seite_p362">[S. 362]</a></span> -80, (auch diese Aufgabe ist allgemein gestellt und wird am Beispiel -allgemein gelöst).</p> - -<p>Wir setzen die Differenz beider Zahlen 2x, so wird die -grössere x + 10, die kleinere 10 - x betragen. Nun ist noch zu -bewirken, dass die Differenz ihrer Quadrate 80 ist, sie ist aber -40x, also die grössere 12, die kleinere 8.</p> - -<p>II, 9. W. 52. Zweite Lösung der Aufgabe eine gegebene -Quadratzahl (16), in zwei Quadrate zu zerlegen.</p> - -<p>x sei die eine Seite, die andere gleich einem um die Seite -des gegebenen Quadrats verminderten <span class="gesperrt">beliebigen</span> Vielfachen -von x, etwa 2x - 4, x = <span class="fraction"><span>16</span><span>5</span></span>, y = <span class="fraction"><span>12</span><span>5</span></span>.</p> - -<p>Zu dieser Aufgabe bemerkt <span class="gesperrt">Fermat</span> am Rand:</p> - -<p>Dagegen ist es ganz unmöglich, einen Kubus in zwei Kuben, -ein Biquadrat in 2 Biquadrate und <span class="gesperrt">allgemein irgend eine -Potenz ausser dem Quadrat in zwei Potenzen von -demselben Exponenten</span> zu zerfällen. Hierfür habe ich -einen <span class="gesperrt">wahrhaft wunderbaren Beweis</span> entdeckt, aber der -Rand ist zu klein ihn zu fassen. —</p> - -<p>M. H. es gibt seit 200 Jahren wohl keinen wirklichen Mathematiker, -der nicht versucht hatte, den <span class="gesperrt">Fermatschen Satz</span> -zu beweisen, aber es ist selbst <span class="gesperrt">Euler</span>, <span class="gesperrt">Dirichlet</span> und <span class="gesperrt">Kummer</span> -nicht gelungen. Kummer hat mit der ad hoc geschaffenen -Theorie der idealen Primzahlen den Satz bewiesen, mit Ausnahme -der sogn. <span class="gesperrt">Bernoullischen</span> Zahlen. Aber dass Fermat sich -getäuscht habe, ist beinahe ausgeschlossen.</p> - -<p>III, 22. Vier Zahlen der Beschaffenheit zu finden, dass das -Quadrat ihrer Summe ein Quadrat bleibt, wenn jede der vier -Zahlen zu ihm addiert oder von ihm subtrahiert wird.</p> - -<p>D. h. also s<sup>2</sup> ± x; s<sup>2</sup> ± y; s<sup>2</sup> ± z; s<sup>2</sup> ± u sollen Quadrate sein.</p> - -<p>Ich gebe die Lösung dieser wahrlich nicht leichten Aufgabe, -die sich zu stellen schon Mut erfordert, nach Wertheim -110 ff., sie hat wie der Zusatz Fermats beweist sein Interesse -in hohem Grade erregt und ihn u. a. zu dem Satz geführt: eine<span class="pagenum"><a name="Seite_p363" id="Seite_p363">[S. 363]</a></span> -Primzahl von der Form 4n + 1 ist nur einmal Hypotenuse eines -rechtwinkligen Dreiecks, ihr Quadrat ist es zweimal, ihr Kubus -dreimal, ihr Biquadrat viermal usw. in inf. Lösung: In jedem -rechtwinkligen Dreieck bleibt das Quadrat über der Hypotenuse -ein Quadrat, wenn man das doppelte Produkt beider Katheten -zu demselben addiert oder subtrahiert. Daher suche ich zunächst -vier rechtwinklige Dreiecke mit gleichen Hypotenusen; -das ist aber dasselbe wie die Aufgabe: ein beliebiges Quadrat -viermal in je 2 Quadrate zu teilen und wir haben schon (II, 10) -gelernt, ein gegebenes Quadrat auf unzählig viele Arten in zwei -Quadrate zu zerlegen.</p> - -<p>Wir nehmen also zwei rechtwinklige Dreiecke, deren Seiten -in den kleinsten Zahlen ausgedrückt sind, wie etwa 3, 4, 5 und -5, 12, 13. Multiplizieren wir jetzt alle Seiten eines jeden mit -der Hypotenuse des andern, so wird das erstere die Seiten 39, -52, 65 haben und das zweite die Seiten 25, 60, 65, und wir erhalten -zwei rechtwinklige Dreiecke mit gleichen Hypotenusen.</p> - -<p>Ihrer Natur nach lässt sich ferner die Zahl 65 in je -2 Quadrate zweimal zerfällen, nämlich in 16 und 49 sowie in -64 und 1. <span class="gesperrt">Dies rührt daher, dass 65 durch Multiplikation -von 13 und 5 entsteht von denen jede -sich in 2 Quadrate zerlegen lässt.</span> [: (a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup>)(c<sup>2</sup> + -d<sup>2</sup>) = (ac + bd)<sup>2</sup> + (ad - bc)<sup>2</sup> = (ad + bc)<sup>2</sup> + (ac - bd)<sup>2</sup>, -diese Formel aus der Theorie der quadratischen Formen, das ist -die Quelle der Aufgabe]. Ich nehme nun die Seiten der Quadrate -49 und 16 nämlich 7 und 4 und bilde vermittelst dieser das rechtwinklige -Dreieck, dasselbe hat die Seiten 33, 56, 65 [a<sup>2</sup> - b<sup>2</sup>; -2ab; a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup>]. Ebenso nehme ich die Seiten der Quadrate 64 -und 1 nämlich 8 und 1, das rechtwinklige Dreieck hat die Seiten -16, 63, 65. Nun habe ich vier rechtwinklige Dreiecke mit gleichen -Hypotenusen.</p> - -<p>Indem ich jetzt zu der ursprünglich gestellten Aufgabe -schreite, setze ich die Summe der 4 gesuchten Zahlen gleich -<span class="pagenum"><a name="Seite_p364" id="Seite_p364">[S. 364]</a></span>65x, jede einzelne derselben aber gleich x<sup>2</sup> mit einem Koefficienten, -der das Vierfache der Fläche eines der 4 Dreiecke ist -[2ab], also die erste Zahl gleich 4056 x<sup>2</sup>, die zweite gleich -3000 x<sup>2</sup>, die dritte gleich 3696 x<sup>2</sup>, die vierte gleich 2016 x<sup>2</sup>. -Es ist dann die Summe der vier Zahlen 12768 x<sup>2</sup> = 65 x, und -daraus ergibt sich x = <span class="fraction"><span>65</span><span>12678</span></span>. Daher werden die vier Zahlen -Brüche mit dem gemeinschaftlichen Nenner 163021824 sein und -zwar hat die erste Zahl den Zähler 17136600, die zweite -12675000, die dritte 15615600, die vierte 8517600.</p> - -<p>Diese Aufgabe gehört mit zu denen, welche es am begreiflichsten -erscheinen lassen, dass ein Mathematiker solchen Ranges -von einem Zeitalter des Verfalles nicht mehr begriffen wurde.</p> - -<p>IV, 11. x<sup>3</sup> + y<sup>3</sup> = x + y. Diophant findet durch ein Verfahren, -dass nur zu begreifen ist, wenn man annimmt, dass er die allgemeine -Lösung x = ±<span class="fractionbig"><span>1 - k<sup>2</sup></span><span>(1 + k)<sup>2</sup> - k</span></span>; y = ±<span class="fractionbig"><span>1 + 2k</span><span>(1 + k)<sup>2</sup> - k</span></span> kannte, x = 5/7; -y = 8/7, er setzte k = 1/4 in der ersten (+) Lösung und nicht -wie Wertheim S. 129 angibt k = 1/2; (auch k = -3/2 in der -zweiten negativen Lösung ist richtig), merkwürdig ist, dass auch -x = 3/7 und y = 8/7 eine richtige Lösung ist, da 4 - 4p + 2r = o ist. -V 34, W. 233: Drei Quadratzahlen zu finden, so dass das Produkt -derselben, wenn es um jede der Zahlen vermehrt wird, ein -Quadrat bildet.</p> - -<p>Wir setzen u<sup>2</sup>v<sup>2</sup>w<sup>2</sup> = x<sup>2</sup> und suchen dann drei Quadrate, von -denen jedes, wenn es um 1 vermehrt wird, wieder ein Quadrat -gibt. Das kann vermittels jedes rechtwinkligen Dreiecks geschehen. -Ich wähle also drei rechtwinklige Dreiecke 3, 4, 5; 5, 12, 13; -8, 15, 17; so wird das eine Quadrat <span class="fraction"><span>9</span><span>16</span></span> x<sup>2</sup>, das zweite <span class="fraction"><span>25</span><span>144</span></span> x<sup>2</sup>, das -dritte <span class="fraction"><span>64</span><span>225</span></span> x<sup>2</sup> sein, und jedes derselben bleibt ein Quadrat, wenn -es um eins vermehrt wird. Nun soll noch das Produkt der -drei Zahlen gleich x<sup>2</sup> sein. Das Produkt ist aber <span class="fraction"><span>14400</span><span>518400</span></span> x<sup>6</sup>. Das -<span class="pagenum"><a name="Seite_p365" id="Seite_p365">[S. 365]</a></span>soll gleich x<sup>2</sup> sein. Wird alles durch x<sup>2</sup> dividiert so folgt <span class="fraction"><span>14400</span><span>518400</span></span> x<sup>4</sup> -= 1, also <span class="fraction"><span>120</span><span>720</span></span> x<sup>2</sup> = 1. Nun ist die Einheit eine Quadratzahl. -Wenn daher auch <span class="fraction"><span>120</span><span>720</span></span> x<sup>2</sup> ein Quadrat wäre, so würde die Aufgabe -gelöst sein. Dem ist aber nicht so.</p> - -<p>Diophant führt die Aufgabe nicht durch, seine Lösung ist <span class="fraction"><span>25</span><span>4</span></span>; -<span class="fraction"><span>256</span><span>81</span></span>; <span class="fraction"><span>9</span><span>16</span></span>. Die Aufgabe ist von <span class="gesperrt">Fermat</span> wieder hergestellt. -Diophant nimmt drei rechtwinklige Dreiecke a<sub>1</sub> b<sub>1</sub> c<sub>1</sub>; a<sub>2</sub> b<sub>2</sub> c<sub>2</sub>; a<sub>3</sub> -b<sub>3</sub> c<sub>3</sub> und setzt u = <span class="fraction"><span>a<sub>1</sub></span><span>b<sub>1</sub></span></span> x; v = <span class="fraction"><span>a<sub>2</sub></span><span>b<sub>2</sub></span></span> x; w = <span class="fraction"><span>a<sub>3</sub></span><span>b<sub>3</sub></span></span> x. Dann hat man -nur noch zu sorgen, dass <span class="fraction"><span>a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>a<sub>3</sub></span><span>b<sub>1</sub>b<sub>2</sub>b<sub>3</sub></span></span> oder auch a<sub>1</sub> a<sub>2</sub> a<sub>3</sub> b<sub>1</sub> b<sub>2</sub> b<sub>3</sub> -gleich a<sub>1</sub> b<sub>1</sub> a<sub>2</sub> b<sub>2</sub> a<sub>3</sub> b<sub>3</sub> eine Quadratzahl ist, was keine Schwierigkeit -macht.</p> - -<p>VI 3. Ein rechtwinkliges Dreieck zu finden, so dass die -Zahl, welche den Flächeninhalt ausdrückt, eine Quadratzahl wird, -wenn sie um eine gegebene Zahl vermehrt wird.</p> - -<p>Diese recht schwierige Aufgabe ist in Wertheim S. 256 -und 257 allgemein und ihre Erweiterung durch <span class="gesperrt">Vieta</span> (Zetetica -V, 9) angegeben.</p> - -<p>VI 26. Die letzte Aufgabe Diophants: Ein rechtwinkliges -Dreieck von der Beschaffenheit zu finden, dass die eine -seiner Katheten ein Kubus, die andere die Differenz zwischen -einem Kubus und seiner Seite, und die Hypotenuse die Summe -eines Kubus und seiner Seite sei.</p> - -<p>Hypotenuse x<sup>3</sup> + x, Kathete x<sup>3</sup> - x, die andere ist dann -2x<sup>2</sup> und soll gleich einen Kubus sein. Es sei 2x<sup>2</sup> = x<sup>3</sup>, so ist -x = 2, also ist 6, 8, 10 eine Lösung.</p> - -<p>An die Weiterführung dieser Aufgabe durch <span class="gesperrt">Bachet</span> hat -<span class="gesperrt">Fermat</span> eine Reihe wichtiger zahlentheoretischer Sätze geknüpft, -wie z. B. x<sup>4</sup> ± y<sup>4</sup> ist niemals ein Quadrat, und <span class="fraction"><span>n(n + 1)</span><span>2</span></span> -nur wenn n gleich 2 ist gleich p<sup>2</sup>, welche beide von Euler bewiesen -sind. (Werth. S. 294.)</p> - -<p>Die Schrift über die Polygonalzahlen, so interessant sie<span class="pagenum"><a name="Seite_p366" id="Seite_p366">[S. 366]</a></span> -an sich ist, steht doch an Bedeutung der Arithmetik unvergleichlich -nach, so dass ich auf sie nicht näher eingehe, wertvoller als -sie sind <span class="gesperrt">Fermats</span> Anmerkungen.</p> - -<p>Die Beispiele aus der Arithmetik genügen, um zu zeigen, -wie gross Diophant als Arithmetiker dasteht, dabei ist er, soweit -unsre Kenntnis bis jetzt reicht, fast ohne Vorläufer, von dem -einzigen Heron etwa abgesehen. Nikomachos verschwindet gegen -Diophant vollständig, und sein Ruhm beruht nur darauf, dass -sein Verständnis verglichen mit Diophant nur die geringe Bildung -erforderte, welche sich in den Stürmen der Völkerwanderung -mit ihren politischen und religiösen Umwälzungen erhalten konnte.</p> - -<div class="sidenote">Pappos aus Alexandria.</div> - -<p>Von dem letzten und grössten Arithmetiker der Hellenen -gehen wir zu ihrem letzten grossen Geometer zurück, zu <span class="gesperrt">Pappos</span>, -auch er Alexandreus. Auch von seinen Lebensverhältnissen -wissen wir so gut wie nichts, doch macht die Äusserung des -Proklos ὁι περι Ἡρωνα και Παππον es wahrscheinlich, dass er -als Lehrer in Alexandrien tätig war und das wird noch mehr -als durch diese immerhin der Auslegung fähige Stelle, durch den -Inhalt und Zweck seines Hauptwerkes gesichert, das ganz und -gar in der Absicht geschrieben ist, Studierenden eine richtige und -tüchtige Ausbildung für reine und angewandte Mathematik zu -sichern. Auseinandersetzungen wie die über Analysis und Synthesis, -Kritiken, wie die allerdings nicht ganz gerechtfertigte, über -das Näherungsverfahren zur Lösung des Delischen Problems (III, -Anfang), die Auswahl der Schriften, an die er seine eigenen Lemmata -anknüpft, zeigen hohes pädagogisches Interesse und Erfahrung. -<span class="gesperrt">Hultsch</span> und <span class="gesperrt">Cantor</span> setzen seine Lebenszeit auf -das Ende des dritten Jahrhunderts, gestützt auf eine Notiz, auf -welche der bekannte Philologe <span class="gesperrt">Usener</span> hingewiesen hat, dass -er unter Diokletian gelebt habe. Für diese Datierung spricht -der ganze Inhalt seiner Werke, insbesondere zeigt das höchst -lebhafte Interesse, das er für Sphärik und Astronomie, speziell -für Klaudios Ptolemaios bekundet, dass er nicht mehr als etwa -100 Jahre nach diesem anzusetzen ist. Zur Syntaxis und zwar<span class="pagenum"><a name="Seite_p367" id="Seite_p367">[S. 367]</a></span> -höchst wahrscheinlich zur ganzen und nicht nur zu den vier -ersten Büchern hat er einen Kommentar (Scholion) geschrieben, -von dem ein Teil, der sich auf das 5. und 6. Buch bezieht, in -der an Schätzen reichen Laurentiana zu Florenz gefunden und -eine Einleitung, welche die Dimensionen der Erde, Umfang und -Inhalt behandelt und eine Definition der Astronomie gibt im -Vaticanus 184. Hultsch macht es im hohen Grade wahrscheinlich, -dass der Ptolemaios-Kommentar des von nur öfter erwähnten -<span class="gesperrt">Theon</span> von Alexandrien, etwa 100 Jahre später, wesentlich aus -dem des Pappos geschöpft sei.</p> - -<p><span class="gesperrt">Pappos</span> hat auch Kommentare zu den Daten und den -Elementen des Euklid geschrieben, von denen Fragmente bei -<span class="gesperrt">Eutokios</span> und <span class="gesperrt">Proklos</span> erhalten sind, und die auch von <span class="gesperrt">Marinos</span> -aus <span class="gesperrt">Neapolis</span> (Sichem in Palästina), einem Schüler und -Nachfolger des Proklos im Rektorat der Akademie, dem wir die -Erhaltung von Euklids Daten verdanken, erwähnt werden. Ich -nenne hier Friedl. S. 249–50 den Beweis der Gleichheit der -Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck, weil der auf die Symmetrie -des gleichschenkligen Dreiecks begründete Beweis meist -<span class="gesperrt">Bolzano</span> (Betrachtungen etc. p. 17 § 25) zugeschrieben wird, -der Quellenangaben noch nicht für erforderlich hielt. Der Beweis -bei Proklos zeigt allerdings, dass auch <span class="gesperrt">Pappos</span> den leitenden -Grundsatz des Euklid, die dritte Dimension in der Planimetrie -zu vermeiden, nicht recht erfasst hat.</p> - -<div class="sidenote">Pappos, Collectiones.</div> - -<p>Erhalten ist uns, obwohl nirgends von den späteren hellenistischen -oder römischen Autoren erwähnt, sein Hauptwerk -die Synagoge (συναγωγή, nicht συναγωγαι) in 8 Büchern, von -denen das erste und ein grosser Teil des zweiten verloren ist. -Die Reste des zweiten Buches hat 1688 <span class="gesperrt">Wallis</span> herausgegeben. -Unter dem Titel: Pappi Alexandrini mathematicae collectiones -hat <span class="gesperrt">Federico Commandino</span> 1588 die Bücher 3–8 lateinisch -herausgegeben, wie alle Arbeiten dieses Mannes für ihre Zeit -ausgezeichnet. Die einzige Gesamtausgabe Griech. und Lat. hat -<span class="gesperrt">Fr. Hultsch</span> 1876–78 geschaffen, sie ist geradezu vorbildlich<span class="pagenum"><a name="Seite_p368" id="Seite_p368">[S. 368]</a></span> -geworden, <span class="gesperrt">Cantor</span> sagte in der Besprechung des letzten -Bandes (Cantor-Schlömilch 1873): Hultsch hat uns mit einer -klassischen Ausgabe eines klassischen Schriftstellers beschenkt. -An dem index graecitatis, der 125 enggedruckte Seiten umfasst, -hat er ein ganzes Jahr lang gearbeitet, nachdem er viele Jahre -auf die Collation der Codices verwandt hat und im Vaticanus -graecus 218 aus dem 12. Jahrh. den Archetyp sämtlicher anderen -festgestellt hatte. Rudio nennt den Index geradezu ein Lehrbuch -der griechischen mathematisch-technischen Sprache. Die Verdienste -des am 6. April 1906 verstorbenen Philologen um die Geschichte -der Mathematik hat <span class="gesperrt">F. Rudio</span>, Eneström Ser. III, Bd. VIII -meisterlich geschildert, und in diesem Nachruf findet sich auch -eine Analyse der Synagoge (= Sammlung), welche an Klarheit nichts -zu wünschen übrig lässt, und die einfach abzuschreiben vielleicht -das zweckmässigste wäre. Trotz dessen halte ich es angezeigt, -was ich 1903 gesagt, hier zu wiederholen. Die Sammlung des -<span class="gesperrt">Pappos</span> ist für uns die Hauptquelle der griechischen Geometrie, -sie zeigt, dass Pappos einerseits im höchsten Grade literarisch -gebildet war und vielleicht noch vor oder zur Zeit <span class="gesperrt">Caracallas</span> -anzusetzen wäre, andererseits aber selbst ein produktiver Geometer -von hohem Range war, wie z. B. seine Quadrierung des -von der sphärischen Spirale abgeschnittenen Stück der Halbkugel -(Hultsch S. 682) und seine Lösung der Proprosition 43 des -IV. Buches zeigen. Insbesondere ist schon so ziemlich die ganze -<span class="gesperrt">Steinersche</span> Geometrie, die Arbeiten Steiners über Isoperimetrie -eingeschlossen, in nuce bei Pappos zu finden, vor allem -der grundlegende Satz von der Constanz des anharmonischen Verhältnisses -und die vollständige Theorie der Involution. Die im -Altertum so viel umworbene Lehre von den Proportionen id est die -Auflösung der Gleichung ersten Grades hat er unter einem einzigen -einfachen Gesichtspunkt dargestellt. Er gibt den Inhalt -fast aller bedeutenden mathematischen Werke bis auf seine Zeit -mit grosser Gewissenhaftigkeit und unter Angabe der Namen -und hat uns so, wie wir ja gesehen haben, in Stand gesetzt, eine<span class="pagenum"><a name="Seite_p369" id="Seite_p369">[S. 369]</a></span> -ganze Anzahl verlorener Werke der Heroen entweder ganz oder -teilweise zu rekonstruieren. Ich nenne nur die Porismata und -die Topoi pros Epiphaneian des Euklid, das 8. Buch der Konika -und das Taktionsproblem des Apollonios, die Schrift des Zenodoros -über die Isoperimetrischen Figuren, die Archimedischen -halbregulären Körper etc. Höchst wichtig ist auch, dass wir -durch ihn in Stand gesetzt sind, die Arabischen Quellen auf -ihre Zuverlässigkeit zu prüfen, wobei sich die ersten islamitischen -Jahrhunderte als durchaus zuverlässig erwiesen haben, z. B. für -die Mechanik des Heron, die Wahlsätze des Archimedes. Dabei -begleitet er diese Schriften überall mit wertvollen eigenen -Bereicherungen. Im VI. Buch sehen wir, wie tief die Griechen -auch in die Theorie der krummen Flächen eingedrungen waren, -bei der stereometrischen Erzeugung der Quadratrix, die an <span class="gesperrt">Archytas</span> -erinnert aber weit über ihn hinausgeht. Buch IV, Prop. -30 Hultsch p. 264 findet sich die Quadrierung der Spiralfläche, -worauf ich schon in einem Frankfurter Vortrag hingewiesen -habe.</p> - -<div class="sidenote">Kugelspirale.</div> - -<p>Wie man einsieht, dass in der Ebene eine Spirale erzeugt -(γινομένη ist durch existere nicht sinngemäss wiedergegeben) -wird wenn ein Punkt sich auf einem, einen Kreis beschreibenden -Strahl bewegt und in der Stereometrie [z. B. auf den Cylinder- -oder Kegelflächen ist unnötige Konjektur von H.] wenn ein Punkt -sich auf einer die Oberfläche beschreibenden Kante bewegt, so -lässt sich auch eine auf der Kugel sich ergebende Spirale begreifen, -beschrieben auf folgende Weise.</p> - -<p>Auf einer Kugel gehöre zum Pol Θ der grösste Kreis ΚΛΜ -und von Θ aus soll der Viertelkreis eines Hauptkreises ΘΝΚ -beschrieben worden sein und der Kreis ΘΝΚ, um den ruhenden -[Punkt] Θ auf der Oberfläche [der Kugel] gedreht, möge in sich -selbst wieder zurückversetzt worden sein und irgend ein Punkt -auf demselben von Θ aus in Bewegung gesetzt, möge nach Κ -gelangt sein; er beschreibt nun auf der Oberfläche eine gewisse -Schneckenlinie wie es ΘΟΙΚ ist, und welchen Umfang eines<span class="pagenum"><a name="Seite_p370" id="Seite_p370">[S. 370]</a></span> -grössten Kreises man auch von Θ aus beschreiben möge, so hat -er zum Bogen ΚΔ das Verhältnis, welches ΘΔ [siehe Figur] zu -ΘΟ hat. Ich behaupte nun, dass wenn ausserhalb [nämlich als -Nebenfigur] der Quadrant ΔΒΓ eines Hauptkreises auf der Kugel -gelegt wird um das Zentrum Δ und [die Sehne] ΓΔ gezogen -wird, so geht daraus hervor [der Satz]: wie die Halbkugel [sich] -zu [dem] zwischen der Spirale ΘΟΙΚ und dem Bogen ΚΝΘ -abgeschnittenen [Stück der Kugel]fläche [verhält], so der Sektor -ΑΒΓΔ zu dem Segment ΑΒΓ.</p> - -<div class="figcenter" style="width: 600px;"> -<img src="images/pg370_ill.png" width="600" height="224" alt="" /> -</div> - - -<div class="sidenote">Pappos'sche Aufgabe.</div> - -<p>Der Beweis, dass die Fläche (2π - 4)r<sup>2</sup> ist, kann mit -Integralrechnung ohne weiteres geführt werden, aber der Beweis -des Pappos, obwohl an Archimedes gebildet, ist doch ein -beredtes Zeugnis für seine Veranlagung. Das IV. Buch und die -im VII. Buch gegebene »<span class="gesperrt">Guldin</span>sche« Regel: das Volumen -des Rotationskörpers ist gleich dem Produkt der Meridianfläche -in den Weg ihres Schwerpunktes zeigt uns, dass die Griechen -in der Theorie der krummen Oberfläche ungefähr so weit gekommen -sind, wie wir durch Euler und Gauss; vermutlich infolge -verlorener Werke insbesondere von Archimedes und Apollonios -(περι κοχλιου). Ebenfalls im VII. Buch, dem bedeutsamsten -für die Wertung des Pappos als Geometer, löst er die sogen. -<span class="gesperrt">Castillon</span>sche Aufgabe, ein Dreieck zu konstruieren, dessen -Seiten durch je einen festen Punkt gehen und das einem gegebenen -Kreise einbeschrieben ist, die später von <span class="gesperrt">Giordano -da Ottajano</span> auf ein beliebiges n-Eck erweitert wurde, in dem<span class="pagenum"><a name="Seite_p371" id="Seite_p371">[S. 371]</a></span> -speziellen Falle, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. -Hier im VII. Buch kommt er bei Besprechung des Ortes zu -drei und vier Geraden (Apollonios) auf die noch heute nach <span class="gesperrt">Pappos</span> -benannte Aufgabe: wenn eine Anzahl Geraden gegeben -sind, den Ort des Punktes zu bestimmen der so beschaffen ist, -dass die von ihm nach den Geraden unter gegebenen Winkeln -gezogenen Strecken in zwei Gruppen eingeteilt werden können, -so dass die Produkte der Gruppen ev. mit Wiederholung oder -mit gegebenen Hilfsfaktoren, zu einander ein bestimmtes Verhältnis -haben. Dabei ist die Bemerkung wesentlich, dass wenn -die Zahl der Linien 6 übersteigt, eins oder beide Produkte -keinen geometrischen Sinn haben, aber »οι βραχύ προ ημών«, -die kurz vor ihm lebenden Mathematiker, interpretierten ihn. -Die Aufgabe wird dann für beliebig viele Geraden von Pappos -völlig als geometrisch klare aufgestellt. Und nun fügt er hinzu: -weil er sich (der ungenauen Arbeiten) seiner Vorgänger schäme -und selbst sehr viel Wertvolleres und Nützliches bewiesen habe, -und um zu zeigen, dass wenn er dieses von sich »ausposaune« -(φθεγξάμενος) er kein leerer Prahler sei, gibt er die »<span class="gesperrt">Guldin</span>sche -Regel«. Die Buchstabenrechnung im Rest des zweiten -Buches ist schon bei Apollonios erwähnt; wir können den Eindruck -der Synagoge des <span class="gesperrt">Pappos</span> dahin zusammenfassen, dass -wir jedenfalls in der Geometrie nicht wesentlich über die -Griechen hinausgelangt sind, selbst die Konstruktionen mit <span class="gesperrt">einer</span> -Zirkelöffnung, die sogen. <span class="gesperrt">Mascheroni</span>-Konstruktionen finden -sich bei Pappos.</p> - -<div class="sidenote">Niedergang der Hellenischen Kultur.</div> - -<p>Mit Pappos und Diophant endet die Entwicklung der -Hellenischen Mathematik jäh und in den folgenden Jahrhunderten -sind es nur einige wenige Kommentatoren, deren ich schon im -Laufe der Vorlesung wiederholt gedacht habe, welche noch ein -Verständnis für die Leistungen der Vorfahren besassen und übermittelten. -Da war aus dem 4. Jahrh. <span class="gesperrt">Theon</span> von <span class="gesperrt">Alexandrien</span> -und seine Tochter <span class="gesperrt">Hypatia</span> zu nennen, aus dem fünften -<span class="gesperrt">Proklos</span>, dessen produktive Befähigung nach dem Beweis des<span class="pagenum"><a name="Seite_p372" id="Seite_p372">[S. 372]</a></span> -Parallelenaxioms und der wirren Kosmologie in keinem günstigen -Lichte erscheint. Im 6. Jahrh. sammelte sich um den Baumeister -der Sophienkirche in Konstantinopel <span class="gesperrt">Isidoros von -Milet</span> eine Schar eifriger Freunde der Mathematik, aus der -<span class="gesperrt">Eutokios</span> von <span class="gesperrt">Askalon</span>, der Kommentator des Archimedes -und Apollonios auch als Mathematiker hervorragt. Ebenfalls im -6. Jahrh. lebte <span class="gesperrt">Simplikios</span>, der wichtigste Kommentator des -Aristoteles, dessen wir bei den Lunulae Hippocratis gedachten. -Er gehörte zu den Lehrern der Akademie Athen, welche mit -dem Rektor <span class="gesperrt">Damaskios</span> nach Persien zu Kosroë wanderten -und Euklid zu den Persern und damit zu den Arabern brachten. -Nicht unbedeutende Spuren einer Eukliderklärung des Simplikios -hat uns <span class="gesperrt">Al-Neirizi</span> aufbewahrt. Von da ab sank das -Hellenentum rapide; hatten schon vom 4. Jahrhundert ab Christentum, -Völkerwanderung, das im Gegensatz zu dem auf freie Individualität -der Gebildeten gegründeten Hellenismus, mit einen -starken Tropfen demokratischen Öles gesalbte Cäsarentum höchst -ungünstig eingewirkt, so wurden von nun ab die Hellenen in -Asien geistig von den Moslimen und in Europa geistig und -körperlich von den Slaven aufgerieben. Aber meine Aufgabe -ist es nicht den Untergang der Götter Griechenlands zu schildern.</p> - -<div class="sidenote">Römer.</div> - -<p>Ich müsste mich nun zu den Römern wenden, aber Rom -hat eine Kultur im hellenischen Sinne nie besessen. Ihre Verdienste -um die praktischen Wissenschaften, um das bürgerliche -Recht und das Verwaltungsrecht, sind gewiss nicht zu unterschätzen. -Ist doch das Napoleonische Préfet und Souspréfet -noch heute nichts anderes als der römische Prätor und Proprätor. -Als Wegebauer haben die Römer ihresgleichen nicht gehabt, -und gross stehen sie in Kriegs-Kunst und -Wissenschaft da. Aber -auf geistigem Gebiet besteht ihr Verdienst darin den konzentrierten -griechischen Geistesextrakt so verwässert zu haben, dass -Germanen und Kelten ihn in dieser Form vertragen und assimilieren -konnten, und so in jener grossen Epoche, die wir <span class="gesperrt">Renaissance</span><span class="pagenum"><a name="Seite_p373" id="Seite_p373">[S. 373]</a></span> -nennen, für das wirkliche Hellenentum empfänglich -wurden.</p> - -<p>Das einzige Gebiet der Mathematik, auf dem die Römer -eine gewisse, wenn auch stark von Ägypten beeinflusste Selbständigkeit -zeigten, war die Feldmesskunst, aber die römischen -Agrimensoren oder wie sie nach ihrem ziemlich rohen Massinstrument -hiessen, <span class="gesperrt">die Gromatiker</span> hat <span class="gesperrt">M. Cantor</span> in seinen -Agrimensoren und daraus in seinen Vorlesungen erschöpfend -behandelt.</p> - -<div class="sidenote">Schluss.</div> - -<p>Ich ziehe es vor, hier am Schluss noch einmal auszusprechen, -dass über die Hellenen hinaus nur der eine <span class="gesperrt">Galilei</span> -einen wahrhaft weittragenden neuen Gedanken in die mathematische -und philosophische Erkenntnis der Natur hineingetragen -hat, als er durch schärfere Erfassung des Kontinuitätsproblems -zur Geschwindigkeit die Beschleunigung, zur Statik die Dynamik -hinzufügte.</p> - -<p>Zur Stütze meiner Ansicht zitiere ich aus dem Briefe -<span class="gesperrt">R. Baltzers</span> an <span class="gesperrt">F. Hultsch</span> (Hultsch Pap. p. 1231–32) die -Stelle: »Sie werden staunen über diese Leistung der Griechen: -ich bin auch nicht wenig erstaunt, als ich diese Wahrnehmung -machte, um so mehr als dies wirkliche »analytische« Geometrie -ist. Aber die Griechen dürfen dieselbe doch nicht gehabt -haben, sonst hätte Descartes die Erfindung der analytischen -Geometrie nicht machen können!«</p> - -<p>(Heute nach Auffindung des Ephodion kann man diesen -Satz noch einmal hinschreiben, und statt »analytische Geometrie« -Differentialrechnung setzen und für »Descartes« Newton -oder wen man sonst will.)</p> - -<p>Und damit m. H. glaube ich meine Aufgabe gelöst zu -haben.</p> - -<hr class="chap" /> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p374" id="Seite_p374">[S. 374]</a></span></p> - - - - -<h2>Nachwort.</h2> - - -<p>Um die starke Betonung der Hellenischen Philosophie zu -motivieren, möchte ich hier nachträglich noch den folgenden -Eröffnungsvortrag hinzufügen.</p> - -<p>Meine Herren! Wenn ich Hellenische Philosophie und -Mathematik gewissermassen in <span class="gesperrt">einen</span> Begriff zusammengezogen -habe, analog dem Mittelalterlichen Musica et Arithmetica, so -rechtfertigt sich dies dadurch, dass gerade in der schöpferischen -Periode der griechischen Philosophie und Mathematik, von Thales -an bis Aristoteles eingeschlossen, die beiden Wissenschaften -nicht getrennt werden können und grade für die Elementare -Mathematik, — ich möchte sie die <span class="gesperrt">bildende</span> Mathematik -nennen — meines Erachtens nach bis auf den heutigen Tag -nicht getrennt werden dürfen.</p> - -<p>Wenn ich nun systematischer Philosoph wäre, so müsste -ich damit beginnen Ihnen des längeren und breiteren auseinanderzusetzen, -was Philosophie ist, aber m. H., in Scheffels Ekkehard -sagt der Hunnenführer auf die Frage was Philosophie sei: es -ist auf hunnisch schwer zu erklären. So will auch ich mich -kurz fassen und nur sagen, dass ich in der Philosophie die -Methode sehe die Welt der äusseren und inneren Erfahrung in -ihrer <span class="gesperrt">Notwendigkeit</span> zu begreifen, oder wie Spinoza sagt, -diese Welt zu erfassen sub specie aeterni. <span class="gesperrt">H. Cohen</span> bezeichnet -in seiner grossartigen Ethik des reinen Willens von -1901, welche in 5 Jahren die zweite Auflage erlebt hat, die -Aufgabe der Philosophie dahin: die Wissenschaft selbst und die<span class="pagenum"><a name="Seite_p375" id="Seite_p375">[S. 375]</a></span> -Kultur überhaupt zum Verständnis ihrer Voraussetzung zu -bringen. Dabei ist unter Kultur allerdings etwas anderes zu -verstehen als die »Bezwingung der rohen Energie der Natur für -die Nutzbarmachung unserer Kräfte«. Kultur ist viel mehr; alle -drahtlose Telegraphie, Röntgenstrahlen und Luftballons, geben -noch keine Gesittung, welche im wesentlichen in der Freimachung -der ethischen Werte besteht, darin, dass im einzelnen, und gerade -über je mehr Kräfte er verfügt um so stärker, das Bewusstsein -seiner Verantwortlichkeit der Allgemeinheit gegenüber, gegenüber -dem Staate und der Menschheit geweckt und ausgebildet -wird.</p> - -<p>Der von mir betonte Gesichtspunkt der Notwendigkeit, das -Streben nach zwingender Folgerichtigkeit, ist es gerade was -Mathematik und Philosophie verbindet, und von Anfang bis -Ende die Mathematik zum Hauptgegenstand philosophischer Betrachtung -gemacht hat, wenigstens soweit es sich um den ältesten -ihrer Hauptzweige, die Erkenntnistheorie handelt. Erst viel -später hat sich die Methode, das heisst die Zusammenfassung -grosser Gruppen von Erkenntnissen unter einen Gesichtspunkt, -den Trieben und Gesetzen des menschlichen Handelns zugewandt, -es musste erst die Theorie der Unsittlichkeit, wie sie von den -Sophisten ausgebildet war, praktisch in dem Regiment der 30 -Tyrannen und theoretisch durch Sokrates zerstört werden, es -musste und zwar zumeist bei den Römern eine juristische Wissenschaft -erwachsen, ehe eine systematische Philosophische Ethik, -insbesondere bei den Stoikern möglich wurde. Freilich findet -sich eine wissenschaftliche Behandlung der Ethik, die sich aber -nur auf einzelne Fragen, wie Tugend, Gerechtigkeit, Freundschaft -bezieht, schon bei Platon und nicht minder bei Aristoteles -und vor beiden schon bei Demokrit. Was uns von den sogenannten -7 Weisen — es sind ihrer beiläufig gesagt, wenn man -nachzählt 22 — überliefert ist, sind meistens sprichwörtliche -oder besser »geflügelte« Worte, welche sich auf vernunftgemässes -praktisches Handeln beziehen, wie das bekannte des Chilon oder<span class="pagenum"><a name="Seite_p376" id="Seite_p376">[S. 376]</a></span> -Solon »μηδέν άγαν, Alles mit Mass«; und »Ηρεμια χρω, Nutze die -Zeit;« das Delphische »γνωθι σαυτον, Erkenne dich selbst.« »Mit -der Notwendigkeit kämpfen auch die Götter vergebens.« (Schiller -hat die Anagke durch die »Dummheit« ersetzt, die ja auch -Zwangsvorstellungen liefert). Periander und Hesiod haben beide -den Spruch geliefert: das Halbe ist mehr als das Ganze, was -besonders für Festreden zu beherzigen wäre. Aber auch die -grossen Dichter der Hellenen wie Homer und besonders Hesiod -erkannten es an, dass der Mensch zum Unterschied vom Tier -sittlichen Gesetzen untertan sei. Ich zitiere nach der Übersetzung -von <span class="gesperrt">F. Blass</span> aus Hesiod die Stelle:</p> - -<div class="blockquot"> - -<p class="noindent">Also hat ja den Menschen bestimmt der Kronide die Satzung: -Zwar den Fischen und Tieren des Felds und geflügelten Vögeln -Setzt er einander zu fressen, denn Recht ist nicht unter ihnen. -Aber den Menschen verlieh er das Recht.</p></div> - -<p>Der dritte Zweig der Philosophie ist ganz modern, die -Philosophie der Kunst, welche die allgemeinen und notwendigen -Gesetze des Ästhetisch-Wirksamen aufzustellen hat. Die Poëtik -des Aristoteles ist eigentlich mehr eine Technologie für den -Dichter, der Laokoon Lessings legt praktisch den Unterschied -zwischen der bildenden und beschreibenden Kunst fest. Erst -bei Kant, Schiller, der gerade hier seine selbständige Stellung -als Philosoph, Vischer und vor allem bei Schopenhauer haben -wir eine reine Ästhetik.</p> - -<p>Hängen Mathematik und Philosophie in und durch den -Trieb ihren Gegenstand unter dem Gesichtspunkt der Notwendigkeit -zu fassen, also so recht in der Wurzel zusammen, so -sehen wir beide in ihren Anfängen mit der Theologie auf das -innigste verwachsen. Bei den Indern ist wie im europäischen -Mittelalter, die Philosophie aus dieser Verbindung eigentlich nie -gelöst worden, so tiefsinnig auch die philosophischen Gedanken -gerade der indischen Theologen sind, da man den Buddhismus -in seiner reinen Form eigentlich geradezu als ein philosophisches -System bezeichnen könnte. Der Druck, den das Unendliche auf<span class="pagenum"><a name="Seite_p377" id="Seite_p377">[S. 377]</a></span> -das Endliche ausübt, die Übermacht der kosmischen Erscheinungen, -denen der Mensch hilflos, machtlos, gefesselt, religatus -gegenübersteht, erzeugen das religere, die ehrfurchtsvolle Achtung, -die Religion, und die Welt bevölkert sich mit Personifikationen -der Naturkräfte, wie denn Zeus, der Nationalgott der -Hellenen, wie ursprünglich aller Arier, die Personifikation des -Tageslichtes ist. Bei den rohen Naturvölkern wie z. B. auch -ursprünglich bei den Ägyptern entwickelt sich der Fetischdienst, -dann bei den begabteren eine Mythologie und im Laufe der -Zeit eine Theologie, welche nichts anders ist als eine untrennbare -Verbindung der Religion mit der Philosophie. Ich wage zu -sagen, dass die Religion bis auf den heutigen Tag die einzige -Form ist, in der die ethischen Errungenschaften der Philosophie -dem Volke nutzbar gemacht werden können, von den 10 Geboten -der Israeliten, dem tat twam asi, dieses [Andere] bist -du, der Inder, bis zu dem »Liebe deinen Nächsten wie dich -selbst« des Christentums. Und auch für die Mathematik, die -angewandte wie die reine, ist der mit der Ausbildung der Theologie -sich entwickelnde Gottesdienst von höchster Bedeutung -gewesen, Kultus und Kultur sind nicht nur wortverwandt. Der -Dienst der die Welt regierenden Gottheit, die Formen in denen -der Mensch seine Unterwerfung unter die Götter zum Ausdruck -bringt, ihre Gunst zu erringen, ihren Zorn abzuwenden sucht, -Opfer und Gebet, sind hervorgerufen durch die unbewusste Erkenntnis, -dass der einzelne und wäre er der König der Allheit -untersteht, und in eben dieser Erkenntnis sahen wir das Wesen -des Sittlichen. Der Tempel der Gottheit muss orientiert werden, -das Eigentum das sie schützt, wenn es im Schweisse des Angesichts -erworben (Gesetze des Manu), muss abgegrenzt, vermessen -werden. Die Astronomie der Babylonier steht in engster Beziehung -zur religiösen Verehrung der Gestirne, die wichtigen -Probleme der Flächenmessung und Vervielfältigung und der -Würfelverdoppelung knüpfen bei Indern und Griechen unmittelbar -an das Opfer an, ebenso wie das arithmetische Problem der<span class="pagenum"><a name="Seite_p378" id="Seite_p378">[S. 378]</a></span> -Zahlenzerlegung in Quadrate ein uralt chaldäisches ist, das mit -der Zahlenmystik, selbst ein Ausfluss astrologischen Kultus, gesetzt -ist.</p> - -<p>Eine weitere Verbindung zwischen Philosophie, Mathematik -und Theologie besteht in ihrer gemeinsamen Beziehung zu Poesie -und Kunst. Die älteste Poesie ist die religiöse, die Veden, die -Edda, die Hymnen Homers, die Psalmen der Hebräer. Andrerseits -haben Homer und Hesiod den Griechen zwar nicht ihre -Götter aber doch ihren Olymp gegeben. Und an die religiösen -Gedichte knüpfen die Lehrgedichte der Philosophen an, die -schwungvolle Einleitung des Parmenideischen Lehrgedichts ist die -Quelle von Goethes Zueignung. Ein grosser Dichter ist ohne -eine grosse einheitliche Weltanschauung überhaupt nicht denkbar, -und wie es Dichter gab welche Philosophen waren, ich -nenne Schiller und Shakespeare, hat es auch Philosophen gegeben, -welche Dichter waren, wie Platon und Schopenhauer.</p> - -<p>Ihrerseits steht auch die Mathematik, die reine wie die -angewandte, in ganz direkter Beziehung zur dichterischen Phantasie -und zur ästhetischen Schönheit. Ich sehe ganz von der -grossen Bedeutung ab, welche Symmetrie und Eleganz für die -Gebilde der Algebra und Geometrie haben, sondern verweise -auf die Rolle, welche die schöpferische Phantasie für die Produktion -der grossen Mathematiker gehabt und bemerke dass Perspektive -und darstellende Geometrie von Künstlern wie <span class="gesperrt">Alberti</span>, -<span class="gesperrt">Leonardo</span>, <span class="gesperrt">Dürer</span>, für die Kunst geschaffen sind. Ich erinnere -auch an <span class="gesperrt">Schiaparellis</span> Ausspruch: Das Grundprinzip aller -Astronomischen Systeme von Pythagoras bis Kopernikus ist die -Überzeugung von der Schönheit und Einfachheit des Kosmos -gewesen.</p> - -<p>Und in der einzig dastehenden Befähigung für das Schöne -liegt der Grund, warum gerade die Hellenische Philosophie und -Mathematik der Träger der Bildung gewesen ist und sein wird. -Wie die Hellenen politisch besiegt, das Barbarentum der Römer -niedergezwungen, so hat in der Renaissance das erneute Hervorsprudeln<span class="pagenum"><a name="Seite_p379" id="Seite_p379">[S. 379]</a></span> -der hellenischen Quellen das Mittelalter hinweggespült, -und drei Jahrhunderte später ist es wieder das Hellenentum gewesen, -welches verbunden mit dem tiefen sittlichen Ernst der -Germanen im Neuhumanismus die seichte Periode, welche wir Aufklärungszeit -nennen, überwunden hat, und ohne dass Kant und -Goethe nicht zu verstehen sind. Denn auch die Schönheit der -Wahrheit ist weder vorher noch nachher, je so tief empfunden -worden, wie von dem Volke, für das das καλον καγαθον καλεθες, -das Schöne, Gute, Wahre, ein einziger Begriff gewesen. Gerade -in der Jetztzeit, in der die sich häufenden Entdeckungen auf -physikalischem und chemischem Gebiete die Macht des Menschen -und sein Selbstbewusstsein ins Ungemessene steigernd, eine rohe -Anbetung des materiellen Genusses grossgezogen haben, da hat -sich wieder der Hellenische Geist mächtig erhoben, der mit -Platon, Aristoteles, Lessing das Streben nach der Wahrheit um -der Wahrheit willen als das höchste als das befriedigendste Gut -empfindet.</p> - -<p>M. H.! Das Gesetz der Kontinuität, wie es nicht nur die -griechische sondern jede Wissenschaft beherrscht, gilt auch für -die Hellenische Kultur. Von Anfang an durch die grosse -Küstenentwicklung und die vielen Häfen ihres Landes auf -das völkerverbindende Meer hingewiesen, haben sie regsamsten -Geistes von den Ägyptern und durch Vermittlung der Phönizier -von den Babyloniern gelernt und den Einfluss des Orients -auf allen Gebieten des Wissens und der Kunst erlitten, aber -ebenso sicher ist es, dass sie diese Einflüsse von Anfang an -selbständig verarbeiteten, »dass sie,« um mit Ostwald zu reden, -»diese fremden Kulturen nicht kopierten«, wohl aber verwerteten. -Insbesondere gilt diese Selbständigkeit für die Hellenische Philosophie -und Mathematik. Die Philosophie anfänglich auf Naturerklärung -gerichtet, nimmt schon mit <span class="gesperrt">Anaximander</span> scharf -den Weg zur Naturerkenntnis, die bei <span class="gesperrt">Demokrit</span> ihren Höhepunkt -erreicht, um mit <span class="gesperrt">Platon</span> und <span class="gesperrt">Aristoteles</span> die Erkenntnistheorie -und Wissenschaftslehre überhaupt zu bemeistern.<span class="pagenum"><a name="Seite_p380" id="Seite_p380">[S. 380]</a></span> -Aus Ägypten und Babylonien haben wir bisher keine Spur davon -gefunden, dass der Menschengeist selbständig der Natur -gegenübergetreten, die Semiten begnügen sich ihrer eminent -religiösen Veranlagung nach mit der Tatsache: »Im Anfang -schuf Gott Himmel und Erde.« In Betracht könnten nur die -Inder kommen, besonders die Vaisesikaphilosophie; aber m. E. -liegt die Sache gerade umgekehrt, und sowohl der Atomismus -derselben als z. B. die Einführung des Äther als fünftes Element, -das die Schallwellen fortlenkt, sind Hellenischem Einfluss -zuzuschreiben.</p> - -<p>Die wichtigste Quelle für die Geschichte der Hellenischen -Philosophie ist das erste Buch der Metaphysik des Aristoteles -und für Mathematik der Kommentar des Proklos, besonders das -sogenannte Mathematikerverzeichnis. Beide beginnen mit Thales -dem Milesier, so beginnt denn die Geschichte der Philosophie -wie der Mathematik mit Thales dem Jonier.</p> - - -<h3>Ergänzung zur Lehre der Pythagoreer.</h3> - -<p>Da mir bis vor kurzen die gründliche Dissertation von -<span class="gesperrt">W. Bauer</span>, der ältere Pythagoreismus, Bern 1897, entgangen -war, so sehe ich mich veranlasst, den Abschnitt über die Pythagoreer -zu ergänzen. Zu diesem Zwecke muss ich etwas näher -auf <span class="gesperrt">Anaximander</span> den Jonischen »Physiologen« eingehen, -sowie auf die <span class="gesperrt">Orphiker</span>. Anaximander hat sicher eine Schrift -peri physeos geschrieben, welche noch dem Theophrast vorlag. -Ob er sein Apeiron als Stoff oder als Kraft gedacht hat oder -was das wahrscheinlichste, als beides zugleich, ist zweifelhaft. -In der sehr merkwürdigen Stelle Aristoteles Phys. 14. 203<sup>b</sup> 6 -(Diels Frag. S. 14) werden fünf Quellen seines Unendlichkeitsbegriffs -angegeben: die Zeit, die Auflösung des Continuums, der -Fortgang in der Begrenzung des Begrenzten (die Compositio -continui), die Zahl, der Raum (»das ausserhalb des Himmels«). -Nicht minder interessant ist die Stelle bei Simplicius (Diels 13<span class="pagenum"><a name="Seite_p381" id="Seite_p381">[S. 381]</a></span> -oben): Anaximander nennt das Unendliche <span class="gesperrt">Prinzip und -Element</span> der Dinge. Nicht das Wasser oder ein anderes der -sogenannten (vier) Elemente, sondern ein anderes Wesen, das -Apeiron, sei das Prinzip, aus dem alles entstanden sei, die -<span class="gesperrt">Welten</span> und ihre <span class="gesperrt">Ordnungen</span>. Woraus aber den Dingen -die Entstehung stammt, eben dahin geht auch ihr Untergang -nach Notwendigkeit; <span class="gesperrt">denn sie zahlen einander Strafe -und Busse</span> der Zeitfolge gemäss. In diesem Satz ist a) die -Unveränderlichkeit des Unendlichen dem Endlichen gegenüber -ausgesprochen, b) in dem Nebeneinanderstellen von Prinzip und -Element, arche und stoicheion, wird gesagt, dass etwas vom Unendlichen -Bestandteil der Dinge sei und c) in dem letzten Satz, -der bei Diels gesperrt gedruckt ist, liegt eine Ahnung von dem -Gesetz der Erhaltung der Energie. Jedes Entstehende entsteht -auf Kosten anderer und büsst dafür durch seinen Untergang.</p> - -<p>Wie aus dem Urstoff, dem Unendlichen, die vier Elemente -hervorgegangen, darüber fehlen bestimmte Angaben. Nach Aristoteles -und Theophrast scheint das Apeiron qualitätslos gedacht -und die Elemente sind durch Bewegung ausgeschieden. Zuerst -trennten sich das Warme und Kalte, wie etwa Glas- und Harz-Elektrizität -durch Reibung. Zum Unterschiede von Thales hat -Anaximander den ernsthaften Versuch gemacht den Kosmos und -die Naturerscheinungen wissenschaftlich zu erklären, dabei bekunden -die Angaben, dass er die Schiefe der Ekliptik gekannt habe und -die Gestirne als Götter betrachtet, Babylonischen Einfluss. — -Die Erde selbst dachte er sich in Form eines Cylinders, dessen -Höhe <sup>1</sup>/<sub>3</sub> des Durchmessers, im Mittelpunkte des Kosmos ruhend, -vermutlich infolge einer Ahnung der sich gegenseitig aufhebenden -Wirkungen, denn der Kosmos ist bei ihm vielleicht zuerst -als Kugel gedacht. Geworden ist die Erde infolge der fortgesetzten -Austrocknung durch das umgebende Feuer, insbesondere -die Sonne, weshalb auch die Meere allmählich austrocknen. -(Aristoteles Meteorol. II, 1, 353<sup>b</sup> 6). Aus dem Urschlamm sind -dann durch die belebende Wirkung der Sonne die Organismen<span class="pagenum"><a name="Seite_p382" id="Seite_p382">[S. 382]</a></span> -entstanden, und hier ist also diese Wandlung der Sonnenenergie -zuerst verwertet. Mit das interessanteste ist, dass, wie <span class="gesperrt">Zeller</span> -zuerst hervorgehoben, Anaximander als Vorläufer Darwins angesehen -werden kann. Er wies darauf hin, dass ein so hilfloses -Wesen wie das Menschenkind sofort hätte zugrunde gehen -müssen und so meinte er, dass die Menschen sich aus alligatorähnlichen -Tieren entwickelt hätten (was ja so manchen Zug in der -Menschennatur erklären würde) bis ihre Entwicklung soweit gediehen, -dass sie ihre Panzer abwerfen und am Lande leben konnten.</p> - -<p>Aristoteles erwähnt in der historischen Übersicht in der -Metaphysik den grössten der Physiologen nicht, sein Apeiron -passt eben in keine der vier Archai des Kapitel III, obwohl das -Wort von ihm herrührt, aber der ausserordentliche Fortschritt -gegen Thales ist dem Aristoteles nicht entgangen. Die grossen -Probleme der Materie und der Substanz sind hier in voller -Deutlichkeit erfasst, um nie wieder aus der Philosophie zu verschwinden, -und in seinem Apeiron ist noch vor den Pythagoreern -der Versuch gemacht vom unmittelbar gegebenen Stoff -zu abstrahieren und ihn durch eine gedankliche Hypothese zu -ersetzen. Das Apeiron des Anaximander ist eine der Quellen -der Pythagoreischen Kosmogonie. Nicht minder wichtig ist die -eigentümliche theologisch-poetische Bewegung welche man als -<span class="gesperrt">Orphische</span> bezeichnet, für deren Verständnis ich <span class="gesperrt">Erwin -Rohdes</span> klassischer »Psyche« (1894) den meisten Dank schulde. -Das Jahrhundert von 620 etwa bis 520 kann man als die -griechische Sturm- und Drangperiode bezeichnen. Neben jonischen -Denkern ein nicht minder stürmischer Drang nach religiöser -Vertiefung. Die eleusynischen Mysterien, deren Inhalt -der Unsterblichkeitsgedanke oder richtiger das Fortleben der -Seele nach dem Tode bildete, gewannen zahlreiche Teilnehmer aus -dem ganzen Hellas und es entwickelte sich eine philosophisch-theologische -Spekulation welche zu einem abgeschlosseneren systematischeren -Kultus führte, als ihn die vielfach lokalisierte Volksreligion -darbot, eben die Orphik.</p> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p383" id="Seite_p383">[S. 383]</a></span></p> - -<p>Die <span class="gesperrt">Orphiker</span>, nach dem durch die Sage von Orpheus -in der Unterwelt bekannten Thrakischen Sänger benannt, verehrten -auch Thrakiens Gott den Bakchos oder Dionysos. Das -älteste Zeugnis über sie gibt Herodot (2, 81) der die Übereinstimmung -ägyptischer Priester-Vorschriften mit den »orphischen -und bakchischen« Geheimdiensten hervorhebt, die in Wahrheit -ägyptisch und pythagoreisch seien, d. h. nach ägyptischem Vorbilde -von Pythagoras eingeführt seien, etwa um die Mitte des -6. Jahrhunderts. Orphische Gemeinden bildeten sich in Griechenland -und Gross-Griechenland (Unteritalien) mit ganz festen heiligen -Schriften und festem Kult. <span class="gesperrt">Rohde</span> sagt: »Die Verbindung -von Religion und einer halbphilosophischen Spekulation -war eine kennzeichnende Eigentümlichkeit der Orphiker und -ihrer Schriftsteller,« von denen ich als den wichtigsten <span class="gesperrt">Pherekydes</span> -von der Insel Syros erwähne, bekannt durch seine Theologia, -einem Seitenstück zu der <span class="gesperrt">Hesiod</span> Theogonie. Die ganze -Lehre trägt einen allegorischen Charakter, ich erwähne nur den -Abschluss.</p> - -<p>Am Ende der sich in Geschlechterfolge entwickelnden -Götterreihe steht der Sohn des Zeus und der Persephone, Dionysos, -der als Unterweltgott Zagreus genannt ist. Der Name bedeutet -»starker Jäger«, — das ζα ist eine Nebenform von δια -welches in der Komposition gleich dem lateinischen per die Bedeutung -des Simplex tunlichst verstärkt — und bezieht sich auf -den Tod, den Hades. Dem Zagreus hat Zeus (Zas) schon als -Kind die Herrschaft über die Welt anvertraut, ihn überfallen -die Feinde des Zeus und der sittlichen Ordnung, die Titanen -und nach heftigen Kampfe wird er zerrissen. Nur das Herz -rettet Athene, überbringt es dem Zeus, der es verschlingt. -Aus ihm entspringt der neue Dionysos, des Zeus und der Semele -Sohn, in dem Zagreus wieder auflebt. Die Titanen stellen die -Urkraft der Bösen dar, sie zerrissen den Einen in viele Teile, -durch <span class="gesperrt">Frevel</span> breitet sich das Eine, die Gottheit, in die Vielheit -der Dinge dieser Welt aus (Anaximander!). Aber die<span class="pagenum"><a name="Seite_p384" id="Seite_p384">[S. 384]</a></span> -Gottheit entsteht wieder als Einheit im Dionysos. Zeus zerschmettert -die Titanen durch seinen Blitzstrahl, aus ihrer Asche -entsteht das Geschlecht der Menschen, die also ihrem Ursprung -nach eine Spottgeburt von Dreck und Feuer sind, von Gutem -aus Zagreus, von Bösem aus dem Titanischen Elemente. Damit -ist dem Menschen sein Weg vorgezeichnet, er soll sich von -dem titanischen Elemente befreien und zurückkehren zu Gott -von dem ein Teil in ihm lebendig ist. Oder was dasselbe, der -Mensch soll sich frei machen von den Banden des Körpers in -dem die Seele gefesselt ist wie in einem Kerker. Aber der -Weg ist lang, der Tod trennt zwar Seele und Körper, aber die -Seele, die beim Austritt aus ihrem Leibe frei in der Luft -schwebt, wird in einen neuen Körper eingeatmet und so durchwandelt -sie den weiten Kreis der Notwendigkeit. Ja sie kann -sogar wie ein periodischer Dezimalbruch immer dieselben -Zustände in derselben Reihenfolge durchlaufen. Nur eine -Hilfe gibt es, die Askese in der gänzlichen Versenkung in die -Gottheit.</p> - -<p>Wie man sieht sind zeitlich und inhaltlich die indischen -buddhistischen Einflüsse unverkennbar. <span class="gesperrt">Pythagoras</span> nun trat, -Rohde zufolge, dem ich völlig beipflichte, in die orphische Gemeinde -von Kroton, die er reformierte. Und zwar ist der Modus -der stets befolgte und einzig Erfolg verheissende, die Sitten, -Gebräuche, den Kult liess er unangetastet, die Dogmatik änderte -er; Askese, Seelenwanderung, ja Musik und Heilkunst übernahm -er von den Orphikern.</p> - -<p>Die ursprüngliche Lehre selbst zu erkennen, wird dadurch -erschwert, dass wir den Pythagoreismus zuerst in der verhältnismässig -späten Darstellung des <span class="gesperrt">Philolaos</span> besitzen. Philolaos -aber zeigt nicht nur den Einfluss des <span class="gesperrt">Anaximander</span> und -zwar positiv im Apeiron und negativ in der Betonung der Einzigheit -des Kosmos, sondern auch den des Heraklit für die Rolle -die das Feuer im Kosmos, einem pythagoreischen Ausdruck, -spielt. Dass Heraklit in Unteritalien schon kurz nach 500 bekannt<span class="pagenum"><a name="Seite_p385" id="Seite_p385">[S. 385]</a></span> -war, ist ja erwiesen. Aber auch die vier Elemente des -<span class="gesperrt">Empedokles</span> und Momente aus der Weltschöpfung des <span class="gesperrt">Anaxagoras</span> -nahm Philolaos auf. Ob das formgebende Prinzip -oder der ordnende Nous von einem Zentralpunkt dynamisch -wirken, ist dasselbe. Allerdings lagen dem <span class="gesperrt">Aristoteles</span> vermutlich -auch noch ältere Quellen als Philolaos vor. Was nun -die sehr dankenswerte Dissertation von <span class="gesperrt">W. Bauer</span> (1897) betrifft, -so scheint mir die Argumentation etwas durch die vorgefasste -Meinung des Verfassers beeinflusst, der die Quellen -je nach dieser wertet, um z. B. gegen Zeller einen eignen pythagoreischen -Gott zu konstruieren, der dann von dem Nous des -Anaxagoras nicht wesentlich verschieden wäre. Von Aristoteles -nimmt er weg, Syrion und Stobaios legt er zu, das umfassende -Feuer ist keineswegs als ein zusammenfassendes gekennzeichnet, -periecho ist nicht synecho, und die »Lauterkeit der Elemente« -selbst bezieht sich nicht auf Materie und Form sondern auf die -vier Elemente selbst. Das umgebende Feuer erklärt sich einerseits -durch die Auszeichnung die Anfang und Ende besitzen -und »Anfang und Ende reichen einander die Hände«. Das von -der zentralen Hestia zur Erhaltung des Kosmos verbrauchte -Feuer wird von da aus ersetzt, durch den »Atemzug des Weltalls«.</p> - -<p>Darin pflichte ich Herrn Bauer bei, dass die Betonung der -Gegensätze, die orphisch ist, vielleicht das ursprüngliche ist. Man -muss aber unterscheiden zwischen dem Apeiron, dem Peras und -dem Perainon, d. h. zwischen Stoff und Form und Formgebung -und das formgebende Prinzip, die Seele wie des Menschen so -der Welt, ist, wenn man das Wort brauchen will, der eigentliche -»Gott« der Pythagoreer, nämlich die <span class="gesperrt">Harmonie</span>, welche die -Gegensätze zur Vereinigung zwang und darin erhält. Auch für -sie lagen orphische vielleicht auch Heraklitische Anregungen vor.</p> - -<p>Von der Harmonie zur <span class="gesperrt">Zahlenlehre</span> der Aristotelischen -Darstellung ist aber nur ein kleiner Sprung, denn wenn die -Ordinalzahl, wie ich an anderer Stelle gesagt habe, der major<span class="pagenum"><a name="Seite_p386" id="Seite_p386">[S. 386]</a></span> -domus der Zeit ist, so ist es die relative, die Verhältniszahl, -für die Harmonie, die eben nur in Verhältniszahlen zum Ausdruck -kommt. Die Erfindung des Monochords ist von diesem -Prinzip geleitet worden; jedes Kind, das an einer Saite klimpert, -weiss, dass die kürzere den helleren Ton gibt, aber nur wer den -Gedanken erfasst hat, dass die Harmonie in Zahlenverhältnissen -ihre Objektivierung finden muss, wird versuchen messend einfache -Verhältnisse herzustellen. So sind es die Pythagoreer, die sicher -noch vor <span class="gesperrt">Platon</span> die Bedeutung der relativen Zahl erkannt haben, -und hier liegt vielleicht ihr grösstes Verdienst um die Mathematik. -Hiermit hängt auch die ihnen eigentümliche Auffassung -der Einheit zusammen, die keine Zahl ist, wie wir das ja noch -in den Rechenbüchern des 18. Jahrh. nach Chr. lesen können, -sondern eine Grösse, und ich weise hier auf den Zusammenhang -mit <span class="gesperrt">Galilei</span> hin und auf die Stelle Aristoteles Metaph. XIII -6, 1080, 6, 16.</p> - -<p>Zum Schluss noch ein paar Worte über das »Kenon,« das -Leere, der Pythagoreer, denn hier liegt die Grundlage für den -wichtigen Begriff des »μή ὄν« des Nichtseienden, das schliesslich -bei Demokrit und Platon geradezu positiven oder besser konstruktiven -Inhalt empfängt.</p> - -<p>Dieses Leere scheint mir nichts anderes zu sein als eine -Vermischung von Zeit und Raum, die im »Kenon« zwar noch -ungeschieden, aber doch schon als Sonderungsprinzipien (principia -individuationis nach Schopenhauer) erkannt sind. Sie werden -aus dem Apeiron jenseits der zehnten Sphäre, der des umgebenden -Feuers, eingesogen um die im Kosmos zur ordnungsgemässen -Trennung und Bewegung der Sphären verbrauchte -Zeit und Raum zu ersetzen. Die Polemik des <span class="gesperrt">Parmenides</span> -gegen das Nichtseiende ist also noch mehr gegen die Pythagoreer -als gegen Heraklit gerichtet, denn sie ist gegen Zeit und -Raum und Bewegung gerichtet. Aber dieses Kenon, dieses me -on ist dann von <span class="gesperrt">Demokrit</span> aufgenommen, der in dem Leeren -der Pythagoreer, den Poren des <span class="gesperrt">Empedokles</span> und den unzählig<span class="pagenum"><a name="Seite_p387" id="Seite_p387">[S. 387]</a></span> -vielen unendlich kleinen Elementen des <span class="gesperrt">Anaxagoras</span> -die Bausteine fand, aus denen er mittelst der Differentiale der -Masse, des Raumes und der Bewegung, die unerschütterlichen -Grundlagen der physikalisch-chemischen oder richtiger der mathematischen -Naturbeschreibung geschaffen hat.</p> - -<hr class="chap" /> - -<p><span class="pagenum"><a name="Seite_p388" id="Seite_p388">[S. 388]</a></span></p> - - - - -<h2>Autoren-Register</h2> - - -<p class="small">Die Römischen Zahlen bedeuten die Kapitel, Vorwort = V, Einleitung -= E, Nachwort = N. Namenfehler im Buche bitte nach dem Register -zu verbessern.</p> - - -<p class="idx p2"> -Aahmes(-Ames)-Jamesu I <a href="#Seite_p027">27</a> Z 7, 16, 27; <a href="#Seite_p033">33</a> Z 5, 7, 32; <a href="#Seite_p043">43</a> Z 2, 26; <a href="#Seite_p047">47</a> Z 5; <a href="#Seite_p049">49</a> Z 6.</p><p class="idx"> -Abel N. H. II <a href="#Seite_p073">73</a> Z 15, 23.</p><p class="idx"> -Abulphat v. Ispahan III <a href="#Seite_p291">291</a> Z 12.</p><p class="idx"> -Abul Wafa III <a href="#Seite_p358">358</a> Z 32.</p><p class="idx"> -Adrastos III <a href="#Seite_p353">353</a> Z 3.</p><p class="idx"> -Ahmes s. Aahmes.</p><p class="idx"> -D'Alembert J. III <a href="#Seite_p313">313</a> Z 15.</p><p class="idx"> -Alexander Polyhistor II <a href="#Seite_p057">57</a> Z 11.</p><p class="idx"> -Allman G. J. III <a href="#Seite_p172">172</a> Z 17.</p><p class="idx"> -Ammonios III <a href="#Seite_p355">355</a> Z 8.</p><p class="idx"> -Anaxagoras III <a href="#Seite_p170">170</a> Z 15 N <a href="#Seite_p386">386</a> Z 3 12; <a href="#Seite_p388">388</a> Z 1.</p><p class="idx"> -Anaximander III <a href="#Seite_p124">124</a> Z 32 f; <a href="#Seite_p125">125</a> Z 5, 27; <a href="#Seite_p176">176</a> Z 24; <a href="#Seite_p278">278</a> Z 2; N <a href="#Seite_p380">380</a> Z 30; <a href="#Seite_p381">381</a> Z 24; <a href="#Seite_p382">382</a> Z 1, 22; <a href="#Seite_p383">383</a> Z 3, 20; <a href="#Seite_p384">384</a> Z 34; <a href="#Seite_p385">385</a> Z 30.</p><p class="idx"> -Anaximenes III <a href="#Seite_p176">176</a> Z 25.</p><p class="idx"> -Andron III <a href="#Seite_p125">125</a> Z 27.</p><p class="idx"> -Anthiphon III <a href="#Seite_p172">172</a> Z 1, 10; <a href="#Seite_p175">175</a> Z 12, 18.</p><p class="idx"> -Antisthenes III <a href="#Seite_p340">340</a> Z 6.</p><p class="idx"> -Apastamba III <a href="#Seite_p139">139</a> Z 16; <a href="#Seite_p145">145</a> Z 6; <a href="#Seite_p147">147</a> Z 32; <a href="#Seite_p148">148</a> Z 15; <a href="#Seite_p149">149</a> Z 4, 24, 29; <a href="#Seite_p150">150</a> Z 8, 14, 21; <a href="#Seite_p151">151</a> Z 19; <a href="#Seite_p153">153</a> Z 18; <a href="#Seite_p154">154</a> Z 2; <a href="#Seite_p155">155</a> Z 30; <a href="#Seite_p156">156</a> Z 24.</p><p class="idx"> -Apollodoros III <a href="#Seite_p123">123</a> Z 31.</p><p class="idx"> -Apollonios von Pergae III <a href="#Seite_p209">209</a> Z 10, 15; <a href="#Seite_p231">231</a> Z 11; <a href="#Seite_p234">234</a> Z 30; <a href="#Seite_p235">235</a> Z 14; <a href="#Seite_p236">236</a> Z 31; <a href="#Seite_p241">241</a> Z 27; <a href="#Seite_p248">248</a> Z 19, <b><a href="#Seite_p290">290</a>-300</b>; <a href="#Seite_p301">301</a> Z 1; <a href="#Seite_p306">306</a> Z 9; <a href="#Seite_p311">311</a> Z 16; <a href="#Seite_p315">315</a> Z 27, 30; <a href="#Seite_p324">324</a> Z 24; <a href="#Seite_p339">339</a> Z 10; <a href="#Seite_p343">343</a> Z 5; <a href="#Seite_p369">369</a> Z 4; <a href="#Seite_p370">370</a> Z 28; <a href="#Seite_p371">371</a> Z 21; <a href="#Seite_p372">372</a> Z 6.</p><p class="idx"> -Apollonios von Thyana III <a href="#Seite_p126">126</a> Z 3; <a href="#Seite_p135">135</a> Z 23; <a href="#Seite_p357">357</a> Z 8.</p><p class="idx"> -Apulejus III <a href="#Seite_p124">124</a> Z 15; <a href="#Seite_p348">348</a> Z 5 f.</p><p class="idx"> -Aratos III <a href="#Seite_p311">311</a> Z 33.</p><p class="idx"> -<span class="pagenum"><a name="Seite_p389" id="Seite_p389">[S. 389]</a></span>Archimedes E X Z 9; XIV Z 21; XV Z 7; III S. <a href="#Seite_p175">175</a> Z. 30; <a href="#Seite_p181">181</a> Z 18, 20, 23; <a href="#Seite_p182">182</a> Z 6; <a href="#Seite_p202">202</a> Z 28; <a href="#Seite_p210">210</a> Z 1; <a href="#Seite_p211">211</a> Z 29; <a href="#Seite_p213">213</a> Z 3; <a href="#Seite_p229">229</a> Z 34; <a href="#Seite_p230">230</a> Z 6; <a href="#Seite_p231">231</a> Z 11, <a href="#Seite_p233">233</a> Z 10; <a href="#Seite_p234">234</a> Z 13; <a href="#Seite_p236">236</a> Z 31; <a href="#Seite_p241">241</a> Z 25, 30; <a href="#Seite_p250">250</a> Z 9, 258–285; <a href="#Seite_p290">290</a> Z 5; <a href="#Seite_p291">291</a> Z 8; <a href="#Seite_p292">292</a> Z 4; <a href="#Seite_p294">294</a> Z 27; <a href="#Seite_p297">297</a> Z 6, 15; <a href="#Seite_p298">298</a> Z 23, 30; <a href="#Seite_p299">299</a> Z 6; <a href="#Seite_p300">300</a> Z 12; <a href="#Seite_p301">301</a> Z 6; <a href="#Seite_p302">302</a> Z 10; <a href="#Seite_p303">303</a> Z 34; <a href="#Seite_p304">304</a> Z 7; <a href="#Seite_p308">308</a> Z 21; <a href="#Seite_p309">309</a> Z 4; <a href="#Seite_p311">311</a> Z 3, 11, 15; <a href="#Seite_p312">312</a> Z 26; <a href="#Seite_p315">315</a> Z 1, 22; <a href="#Seite_p316">316</a> Z 12; <a href="#Seite_p319">319</a> Z 18; <a href="#Seite_p326">326</a> Z 2; <a href="#Seite_p328">328</a> Z 7; <a href="#Seite_p331">331</a> Z 27; <a href="#Seite_p335">335</a> Z 33; <a href="#Seite_p336">336</a> Z 13, 25, 31; <a href="#Seite_p337">337</a> Z 9; <a href="#Seite_p348">348</a> Z 33.</p><p class="idx"> -Archytas III <a href="#Seite_p128">128</a> Z 4; <a href="#Seite_p129">129</a> Z 7, 10; <a href="#Seite_p137">137</a> Z 10; <a href="#Seite_p184">184</a> Z 26; <a href="#Seite_p185">185</a> Z 26; <a href="#Seite_p191">191</a> Z 16; <a href="#Seite_p194">194</a> Z 29; <a href="#Seite_p195">195</a> Z 2; <a href="#Seite_p197">197</a> Z 5, 24; <a href="#Seite_p198">198</a> Z 5; <a href="#Seite_p199">199</a> Z 29; <a href="#Seite_p200">200</a> Z 3; <a href="#Seite_p202">202</a> Z 1, 5; <a href="#Seite_p208">208</a> Z 2, 11; <a href="#Seite_p209">209</a> Z 29; <a href="#Seite_p211">211</a> Z 24; <a href="#Seite_p369">369</a> Z 14.</p><p class="idx"> -Aristaios III <a href="#Seite_p292">292</a> Z 5, 16; <a href="#Seite_p293">293</a> Z 34.</p><p class="idx"> -Aristarch (von Samos) III <a href="#Seite_p218">218</a> Z 12; <a href="#Seite_p279">279</a> Z 26; <a href="#Seite_p280">280</a> Z 3; <a href="#Seite_p284">284</a> Z 25; <a href="#Seite_p311">311</a> Z 22.</p><p class="idx"> -Aristippos III <a href="#Seite_p341">341</a> Z 22.</p><p class="idx"> -Ariston III <a href="#Seite_p286">286</a> Z 4.</p><p class="idx"> -Aristoteles III <a href="#Seite_p124">124</a> Z 18, 28; <a href="#Seite_p125">125</a> Z 23, 30; <a href="#Seite_p127">127</a> Z 33; <a href="#Seite_p128">128</a> Z 7, 22; <a href="#Seite_p129">129</a> Z 4; <a href="#Seite_p130">130</a> Z 17; <a href="#Seite_p131">131</a> Z 12; <a href="#Seite_p132">132</a> Z 32; <a href="#Seite_p134">134</a> Z 14; <a href="#Seite_p136">136</a> Z 24; <a href="#Seite_p141">141</a> Z 10; <a href="#Seite_p167">167</a> Z 18; <a href="#Seite_p169">169</a> Z 28; <a href="#Seite_p170">170</a> Z 6, 27; <a href="#Seite_p171">171</a> Z 24; <a href="#Seite_p172">172</a> Z 3; <a href="#Seite_p175">175</a> Z 17; <a href="#Seite_p176">176</a> Z 9; <a href="#Seite_p179">179</a> Z 5, 16, 24; <a href="#Seite_p181">181</a> Z 1, 33; <a href="#Seite_p186">186</a> Z 6; <a href="#Seite_p188">188</a> Z 8; <a href="#Seite_p190">190</a> Z 18; <a href="#Seite_p199">199</a> Z 8; <a href="#Seite_p204">204</a> Z 9; <a href="#Seite_p213">213</a> Z 31, <b><a href="#Seite_p214">214</a>-228</b>; <a href="#Seite_p232">232</a> Z 13; <a href="#Seite_p236">236</a> Z 30; <a href="#Seite_p242">242</a> Z 26, 33; <a href="#Seite_p247">247</a> Z 17, 20, 23; <a href="#Seite_p249">249</a> Z 1; <a href="#Seite_p250">250</a> Z 9; <a href="#Seite_p253">253</a> Z 19; <a href="#Seite_p255">255</a> Z 33; <a href="#Seite_p258">258</a> Z 28; <a href="#Seite_p286">286</a> Z 13; <a href="#Seite_p315">315</a> Z 3; <a href="#Seite_p320">320</a> Z 6; <a href="#Seite_p331">331</a> Z 27; <a href="#Seite_p340">340</a> Z 18; <a href="#Seite_p342">342</a> Z 26; <a href="#Seite_p346">346</a> Z 29; <a href="#Seite_p352">352</a> Z 4; <a href="#Seite_p355">355</a> Z 23; <a href="#Seite_p372">372</a> Z 8. N <a href="#Seite_p375">375</a> Z 9; <a href="#Seite_p376">376</a> Z 29; <a href="#Seite_p377">377</a> Z 19; <a href="#Seite_p380">380</a> Z 15, 30; <a href="#Seite_p381">381</a> Z 12, 29; <a href="#Seite_p382">382</a> Z 17, 33; <a href="#Seite_p383">383</a> Z 10, 14; <a href="#Seite_p386">386</a> Z 12; <a href="#Seite_p387">387</a> Z 15.</p><p class="idx"> -Aristoxenos III <a href="#Seite_p233">233</a> Z 18.</p><p class="idx"> -Arkesilaos III <a href="#Seite_p286">286</a> Z 4.</p><p class="idx"> -Arnauld A. III <a href="#Seite_p245">245</a> Z 12.</p><p class="idx"> -Arrian II <a href="#Seite_p071">71</a> Z 26.</p><p class="idx"> -Ast Fr. III <a href="#Seite_p190">190</a> Z 20; <a href="#Seite_p347">347</a> Z 21.</p><p class="idx"> -Athenodoros III <a href="#Seite_p324">324</a> Z 18.</p><p class="idx"> -August E. F. III <a href="#Seite_p240">240</a> Z 8.</p><p class="idx"> -Augustinus III <a href="#Seite_p183">183</a> Z 3; <a href="#Seite_p354">354</a> Z 29.</p><p class="idx"> -Autolykos III <a href="#Seite_p232">232</a> Z 8; <a href="#Seite_p300">300</a> Z 22; <a href="#Seite_p338">338</a> Z 14.</p><p class="idx"> -Auwers Ar. II <a href="#Seite_p103">103</a> Z 22.</p><p class="idx"> -Averroës III <a href="#Seite_p222">222</a> Z 28.<br /></p><p class="idx"> - -Bachet G. III <a href="#Seite_p359">359</a> Z 8; <a href="#Seite_p360">360</a> Z 10; <a href="#Seite_p365">365</a> Z 28.</p><p class="idx"> -Bacon III <a href="#Seite_p324">324</a> Z 4.</p><p class="idx"> -Balsam H. III <a href="#Seite_p291">291</a> Z 30.</p><p class="idx"> -Baltzer R. III <a href="#Seite_p171">171</a> Z 8; <a href="#Seite_p268">268</a> Z 10; <a href="#Seite_p299">299</a> Z 8; <a href="#Seite_p351">351</a> Z 16; <a href="#Seite_p373">373</a> Z 18.</p><p class="idx"> -Baudhāyana III <a href="#Seite_p139">139</a> Z 17; <a href="#Seite_p148">148</a> Z 1; <a href="#Seite_p149">149</a> Z 4; <a href="#Seite_p150">150</a> Z 7, 20; <a href="#Seite_p151">151</a> Z 5; <a href="#Seite_p153">153</a> Z 14; <a href="#Seite_p154">154</a> Z 20; <a href="#Seite_p155">155</a> Z 20; <a href="#Seite_p157">157</a> Z 18; <a href="#Seite_p159">159</a> Z 26; <a href="#Seite_p160">160</a> Z 15.</p><p class="idx"> -Barocci Fr. III <a href="#Seite_p243">243</a> Z 34.</p><p class="idx"> -Barrow Ph. Soc. J. III <a href="#Seite_p244">244</a> Z 16.</p><p class="idx"> -Bartels J. M. C. III <a href="#Seite_p245">245</a> Z 4.</p><p class="idx"> -Bauer W. N <a href="#Seite_p381">381</a> Z 21; <a href="#Seite_p386">386</a> Z 7, 23.</p><p class="idx"> -Bayle P. III <a href="#Seite_p169">169</a> Z 33.</p><p class="idx"> -Becker C. K. E XII Z 17.</p><p class="idx"> -Benfey Th. II <a href="#Seite_p073">73</a> Z 27.</p><p class="idx"> -Berger Hg. III <a href="#Seite_p285">285</a> Z 30.</p><p class="idx"> -Bergh T. III <a href="#Seite_p352">352</a> Z 11.</p><p class="idx"> -Berkeley G. III <a href="#Seite_p169">169</a> Z 9.</p><p class="idx"> -Bernardy Gtf. III <a href="#Seite_p235">235</a> Z 2.</p><p class="idx"> -Bernhardy III <a href="#Seite_p285">285</a> Z 29.</p><p class="idx"> -Bernoulli J. E XI Z 23.</p><p class="idx"> -Berossos II <a href="#Seite_p057">57</a> Z 6; <a href="#Seite_p071">71</a> Z 26; <a href="#Seite_p097">97</a> Z 29; <a href="#Seite_p116">116</a> Z 20.</p><p class="idx"> -Bertram H. III <a href="#Seite_p274">274</a> Z 18.</p><p class="idx"> -Bertrand L. III <a href="#Seite_p245">245</a> Z 13.</p><p class="idx"> -Bezold W. V VII Z 26; II <a href="#Seite_p059">59</a> Z 13; <a href="#Seite_p065">65</a> Z 25; <a href="#Seite_p066">66</a> Z 14; <a href="#Seite_p070">70</a> Z 3; <a href="#Seite_p077">77</a> Z 7; <a href="#Seite_p112">112</a> Z 4; <a href="#Seite_p115">115</a> Z 25; <a href="#Seite_p116">116</a> Z 25.</p><p class="idx"> -Birch S. I <a href="#Seite_p026">26</a> Z 25.</p><p class="idx"> -Björnbo A. A. III <a href="#Seite_p343">343</a> Z 23; <a href="#Seite_p345">345</a> Z 28.</p><p class="idx"> -Blass Fr. III <a href="#Seite_p185">185</a> Z 24; <a href="#Seite_p192">192</a> Z 27; <a href="#Seite_p211">211</a> Z 34. N <a href="#Seite_p377">377</a> Z 11.</p><p class="idx"> -<span class="pagenum"><a name="Seite_p390" id="Seite_p390">[S. 390]</a></span>Boeckh A. II <a href="#Seite_p090">90</a> Z 13; <a href="#Seite_p091">91</a> Z 4; III <a href="#Seite_p128">128</a> Z 2; <a href="#Seite_p129">129</a> Z 11, 26; <a href="#Seite_p132">132</a> Z 20, 27, 31; <a href="#Seite_p133">133</a> Z 11, 22, 34; <a href="#Seite_p134">134</a> Z 12, 22; <a href="#Seite_p198">198</a> Z 16; <a href="#Seite_p207">207</a> Z 27; <a href="#Seite_p351">351</a> Z 1.</p><p class="idx"> -Boëtius III <a href="#Seite_p240">240</a> Z 14; <a href="#Seite_p348">348</a> Z 7 f; <a href="#Seite_p350">350</a> Z 3; <a href="#Seite_p352">352</a> Z 27.</p><p class="idx"> -Boll F. III <a href="#Seite_p312">312</a> Z 30.</p><p class="idx"> -Bolyai J. III <a href="#Seite_p159">159</a> Z 32; <a href="#Seite_p245">245</a> Z 3.</p><p class="idx"> -Bolyai W. III <a href="#Seite_p245">245</a> Z 2.</p><p class="idx"> -Bolzano B. E X Z 16; III <a href="#Seite_p169">169</a> Z 20; <a href="#Seite_p227">227</a> Z 15; <a href="#Seite_p246">246</a> Z 18; <a href="#Seite_p251">251</a> Z 5, 13; <a href="#Seite_p367">367</a> Z 20.</p><p class="idx"> -Bonitz H. III <a href="#Seite_p224">224</a> Z 12.</p><p class="idx"> -Bonola R. III <a href="#Seite_p239">239</a> Z 15.</p><p class="idx"> -Borchardt L. I 3 Z 4; 4 Z 14; 6 Z 28; <a href="#Seite_p026">26</a> Z 19; <a href="#Seite_p027">27</a> Z 24, 30; <a href="#Seite_p045">45</a> Z 9; <a href="#Seite_p046">46</a> Z 10, 34; <a href="#Seite_p049">49</a> Z 12; <a href="#Seite_p050">50</a> Z 16; <a href="#Seite_p051">51</a> Z 11, 30; <a href="#Seite_p053">53</a> Z 17; II <a href="#Seite_p061">61</a> Z 23, 26; <a href="#Seite_p075">75</a> Z 12; <a href="#Seite_p105">105</a> Z 1; <a href="#Seite_p111">111</a> Z 22; <a href="#Seite_p112">112</a> Z 34.</p><p class="idx"> -Borelli J. III <a href="#Seite_p244">244</a> Z 29; <a href="#Seite_p291">291</a> Z 16.</p><p class="idx"> -Botta E. II <a href="#Seite_p074">74</a> Z 29; <a href="#Seite_p075">75</a> Z 2; <a href="#Seite_p099">99</a> Z 5.</p><p class="idx"> -Brandis J. II <a href="#Seite_p091">91</a> Z 3; <a href="#Seite_p093">93</a> Z 28; III <a href="#Seite_p132">132</a> Z 16.</p><p class="idx"> -Bretschneider C. A. III <a href="#Seite_p136">136</a> Z 30; <a href="#Seite_p153">153</a> Z 9; <a href="#Seite_p171">171</a> Z 26; <a href="#Seite_p192">192</a> Z 13; <a href="#Seite_p197">197</a> Z 7; <a href="#Seite_p209">209</a> Z 12.</p><p class="idx"> -Brugsch H. K, I <a href="#Seite_p048">48</a> Z 15.</p><p class="idx"> -Brunet de Presle III <a href="#Seite_p204">204</a> Z 20.</p><p class="idx"> -Bruno G. III <a href="#Seite_p343">343</a> Z 8.</p><p class="idx"> -Bryson III <a href="#Seite_p175">175</a> Z 25.</p><p class="idx"> -Budge E. A. W. II <a href="#Seite_p075">75</a> Z 10.</p><p class="idx"> -Bühler G. III <a href="#Seite_p154">154</a> Z 16; <a href="#Seite_p164">164</a> Z 34; <a href="#Seite_p165">165</a> Z 5.</p><p class="idx"> -Bunte Brh. III <a href="#Seite_p259">259</a> Z 11; <a href="#Seite_p261">261</a> Z 17.</p><p class="idx"> -Bürk A. III <a href="#Seite_p138">138</a> Z 14, 19, 22; <a href="#Seite_p140">140</a> Z 2; <a href="#Seite_p144">144</a> Z 28; <a href="#Seite_p146">146</a> Z 7; <a href="#Seite_p150">150</a> Z 34; <a href="#Seite_p153">153</a> Z 33; <a href="#Seite_p154">154</a> Z 20.</p><p class="idx"> -Burnell A. C. III <a href="#Seite_p163">163</a> Z 24.<br /></p><p class="idx"> - -Campano G. III <a href="#Seite_p240">240</a> Z 20; <a href="#Seite_p244">244</a> Z 9; <a href="#Seite_p256">256</a> Z 1.</p><p class="idx"> -Cantor G. III <a href="#Seite_p169">169</a> Z 22, 26; <a href="#Seite_p226">226</a> Z7; <a href="#Seite_p227">227</a> Z 17.</p><p class="idx"> -Cantor M. E XII Z 33; I S. <a href="#Seite_p026">26</a> Z 29; <a href="#Seite_p027">27</a> Z 18; <a href="#Seite_p033">33</a> Z 15; <a href="#Seite_p036">36</a> Z 26, 28; <a href="#Seite_p037">37</a> Z 32; <a href="#Seite_p040">40</a> Z 12; <a href="#Seite_p045">45</a> Z 33; <a href="#Seite_p046">46</a> Z 7; <a href="#Seite_p047">47</a> Z 20, 27; <a href="#Seite_p048">48</a> Z 14; <a href="#Seite_p049">49</a> Z 7; <a href="#Seite_p050">50</a> Z 7; <a href="#Seite_p051">51</a> Z 8; II <a href="#Seite_p101">101</a> Z 20, 24, 33; <a href="#Seite_p113">113</a> Z 2; III <a href="#Seite_p123">123</a> Z 11; <a href="#Seite_p137">137</a> Z 25, 32; <a href="#Seite_p138">138</a> Z 25, 28; <a href="#Seite_p139">139</a> Z 24; <a href="#Seite_p140">140</a> Z 3 f; <a href="#Seite_p144">144</a> Z 31; <a href="#Seite_p145">145</a> Z 3; <a href="#Seite_p151">151</a> Z 11; <a href="#Seite_p185">185</a> Z 30; <a href="#Seite_p212">212</a> Z 4; <a href="#Seite_p237">237</a> Z 19; <a href="#Seite_p238">238</a> Z 24; <a href="#Seite_p241">241</a> Z 5; <a href="#Seite_p243">243</a> Z 11; <a href="#Seite_p300">300</a> Z 19, 22; <a href="#Seite_p301">301</a> Z 21; <a href="#Seite_p308">308</a> Z 20; <a href="#Seite_p314">314</a> Z 20; <a href="#Seite_p316">316</a> Z 13, 17; <a href="#Seite_p318">318</a> Z 2, 14; <a href="#Seite_p337">337</a> Z 21; <a href="#Seite_p338">338</a> Z 24; <a href="#Seite_p339">339</a> Z 27; <a href="#Seite_p343">343</a> Z 14; <a href="#Seite_p348">348</a> Z 24; <a href="#Seite_p349">349</a> Z 2; <a href="#Seite_p361">361</a> Z 4, 11; <a href="#Seite_p366">366</a> Z 27; <a href="#Seite_p368">368</a> Z 1; <a href="#Seite_p373">373</a> Z 7.</p><p class="idx"> -Cardano H. III <a href="#Seite_p171">171</a> Z 14.</p><p class="idx"> -Cassirer E. V Z 31; E X Z 31.</p><p class="idx"> -Castillon E. III <a href="#Seite_p296">296</a> Z 31.</p><p class="idx"> -Cavalieri B. III <a href="#Seite_p181">181</a> Z 26; <a href="#Seite_p213">213</a> Z 6; <a href="#Seite_p264">264</a> Z 21, 28, 34; <a href="#Seite_p333">333</a> Z 11.</p><p class="idx"> -Censorinus II <a href="#Seite_p116">116</a> Z 17.</p><p class="idx"> -Champollion J. F. I <a href="#Seite_p018">18</a> Z 5, 6, 14; <a href="#Seite_p019">19</a> Z 15, 22; <a href="#Seite_p020">20</a> Z 1, 10; <a href="#Seite_p021">21</a> Z 14.</p><p class="idx"> -Chapelle W. III <a href="#Seite_p342">342</a> Z 19.</p><p class="idx"> -Chasles M. III <a href="#Seite_p234">234</a> Z 16; <a href="#Seite_p235">235</a> Z 7; <a href="#Seite_p344">344</a> Z 15.</p><p class="idx"> -Christoffel Br. E XII Z 4.</p><p class="idx"> -Chrysippos III <a href="#Seite_p340">340</a> Z 23; <a href="#Seite_p341">341</a> Z 1; <a href="#Seite_p342">342</a> Z 5.</p><p class="idx"> -Cicero III <a href="#Seite_p199">199</a> Z 10; <a href="#Seite_p207">207</a> Z 31; <a href="#Seite_p258">258</a> Z 34; <a href="#Seite_p259">259</a> Z 10; <a href="#Seite_p263">263</a> Z 20; 270 Anm. 1; <a href="#Seite_p340">340</a> Z 32; <a href="#Seite_p341">341</a> Z 6, 13.</p><p class="idx"> -Clairaut A. C. III <a href="#Seite_p245">245</a> Z 12, 19.</p><p class="idx"> -Clausen Th. III <a href="#Seite_p174">174</a> Z 18.</p><p class="idx"> -Clavius Ch. III <a href="#Seite_p171">171</a> Z 15; <a href="#Seite_p241">241</a> Z 2; <a href="#Seite_p244">244</a> Z 13, 27; <a href="#Seite_p245">245</a> Z 5, 11; <a href="#Seite_p255">255</a> Z 34; <a href="#Seite_p256">256</a> Z 2.</p><p class="idx"> -<span class="pagenum"><a name="Seite_p391" id="Seite_p391">[S. 391]</a></span>Clemens Alexandrinus I <a href="#Seite_p018">18</a> Z 16.</p><p class="idx"> -Cohen H. III <a href="#Seite_p182">182</a> Z 24; <a href="#Seite_p184">184</a> Z 13; <a href="#Seite_p188">188</a> Z 14; <a href="#Seite_p221">221</a> Z 1; <a href="#Seite_p227">227</a> Z 28; <a href="#Seite_p228">228</a> Z 1. N <a href="#Seite_p375">375</a> Z 22.</p><p class="idx"> -Commandino F. III <a href="#Seite_p241">241</a> Z 1; <a href="#Seite_p244">244</a> Z 13, 20; <a href="#Seite_p266">266</a> Z 6; <a href="#Seite_p291">291</a> Z 7; <a href="#Seite_p367">367</a> Z 32.</p><p class="idx"> -Copernicus N. III <a href="#Seite_p205">205</a> Z 31.</p><p class="idx"> -Cros G. II <a href="#Seite_p061">61</a> Z 34; <a href="#Seite_p064">64</a> Z 28; <a href="#Seite_p118">118</a> Z 10.</p><p class="idx"> -Curtius T. III <a href="#Seite_p278">278</a> Z 16.</p><p class="idx"> -Curtze M. III <a href="#Seite_p318">318</a> Z 14, 30; <a href="#Seite_p333">333</a> Z 27.</p><p class="idx"> -Cusanus N. III <a href="#Seite_p226">226</a> Z 10.</p><p class="idx"> - -Darwin G. III <a href="#Seite_p215">215</a> Z 18. N <a href="#Seite_p383">383</a> Z 3.</p><p class="idx"> -Dasypodius K. III <a href="#Seite_p245">245</a> Z 32.</p><p class="idx"> -Dee J. III <a href="#Seite_p233">233</a> Z 21.</p><p class="idx"> -Degering H. III <a href="#Seite_p324">324</a> Z 9.</p><p class="idx"> -Delambre J. B. J. III <a href="#Seite_p266">266</a> Z 11; <a href="#Seite_p280">280</a> Z 32; <a href="#Seite_p282">282</a> Z 26; <a href="#Seite_p312">312</a> Z 33.</p><p class="idx"> -Delitzsch Fr. II <a href="#Seite_p057">57</a> Z 19; <a href="#Seite_p064">64</a> Z 11; <a href="#Seite_p077">77</a> Z 9 f; <a href="#Seite_p078">78</a> Z 9; <a href="#Seite_p080">80</a> Z 20.</p><p class="idx"> -Demokrit I <a href="#Seite_p026">26</a> Z 12; III <a href="#Seite_p127">127</a> Z 26; <a href="#Seite_p168">168</a> Z 34; <a href="#Seite_p176">176</a> Z 2; <a href="#Seite_p178">178</a> Z 4; [88 ,?] <b><a href="#Seite_p179">179</a>-183</b>; <a href="#Seite_p185">185</a> Z 31; <a href="#Seite_p199">199</a> Z 5; <a href="#Seite_p203">203</a> Z 22; <a href="#Seite_p212">212</a> Z 28; <a href="#Seite_p226">226</a> Z 13; <a href="#Seite_p236">236</a> Z 31; <a href="#Seite_p263">263</a> Z 25; <a href="#Seite_p270">270</a> Z 32; <a href="#Seite_p241">241</a> Z 33; <a href="#Seite_p276">276</a> Z 34; <a href="#Seite_p324">324</a> Z 6; <a href="#Seite_p333">333</a> Z 12. N <a href="#Seite_p376">376</a> Z 30; <a href="#Seite_p380">380</a> Z 31; <a href="#Seite_p387">387</a> Z 20, 33.</p><p class="idx"> -Desargues G. III <a href="#Seite_p291">291</a> Z 33.</p><p class="idx"> -Descartes R. III <a href="#Seite_p169">169</a> Z 34; <a href="#Seite_p182">182</a> Z 14; <a href="#Seite_p373">373</a> Z 23, 28.</p><p class="idx"> -Diels H. E X Z 16; III <a href="#Seite_p128">128</a> Z 29; <a href="#Seite_p166">166</a> Z 9; <a href="#Seite_p171">171</a> Z 32; <a href="#Seite_p176">176</a> Z 9, 16; <a href="#Seite_p181">181</a> Z 29; <a href="#Seite_p220">220</a> Z 30; <a href="#Seite_p314">314</a> Z 14. N <a href="#Seite_p381">381</a> Z 30, 34; <a href="#Seite_p382">382</a> Z 13.</p><p class="idx"> -Diesterweg A. III <a href="#Seite_p296">296</a> Z 13.</p><p class="idx"> -Dikaiarchos III <a href="#Seite_p286">286</a> Z 31.</p><p class="idx"> -Dinostratos III <a href="#Seite_p138">138</a> Z 27; <b><a href="#Seite_p210">210</a>-211</b>; <a href="#Seite_p212">212</a> Z 28, 34; <a href="#Seite_p213">213</a> Z 14; <a href="#Seite_p263">263</a> Z 9.</p><p class="idx"> -Diodor I <a href="#Seite_p017">17</a> Z 2; II <a href="#Seite_p071">71</a> Z 26; III <a href="#Seite_p259">259</a> Z 18.</p><p class="idx"> -Diokles III <a href="#Seite_p306">306</a> Z 1, 20; <a href="#Seite_p307">307</a> Z 15; <a href="#Seite_p308">308</a> Z 6.</p><p class="idx"> -Dionysios von Halikarnassos III <a href="#Seite_p129">129</a> Z 11.</p><p class="idx"> -Dionysodoros III <a href="#Seite_p315">315</a> Z 28.</p><p class="idx"> -Diophant III <a href="#Seite_p336">336</a> Z 20; <b><a href="#Seite_p358">358</a>-366</b>; <a href="#Seite_p371">371</a> Z 27.</p><p class="idx"> -Dirichlet P. G. E XI Z 37; III <a href="#Seite_p362">362</a> Z 22.</p><p class="idx"> -Dörpfeld W. III <a href="#Seite_p122">122</a> Z 11.</p><p class="idx"> -Drachmann III <a href="#Seite_p267">267</a> Z 34.</p><p class="idx"> -Dümichen J. I <a href="#Seite_p024">24</a> Z 21; <a href="#Seite_p047">47</a> Z 22.</p><p class="idx"> -Dupuis J. III <a href="#Seite_p187">187</a> Z 19; <a href="#Seite_p353">353</a> Z 1.</p><p class="idx"> - -Echelles Abraham v. III <a href="#Seite_p291">291</a> Z 16.</p><p class="idx"> -Eisenlohr A. I <a href="#Seite_p026">26</a> Z 26; <a href="#Seite_p027">27</a> Z 18; <a href="#Seite_p037">37</a> Z 31; <a href="#Seite_p039">39</a> Z 19, 25; <a href="#Seite_p044">44</a> Z 2; <a href="#Seite_p045">45</a> Z 32; <a href="#Seite_p049">49</a> Z 7; <a href="#Seite_p050">50</a> Z 5, 7; <a href="#Seite_p051">51</a> Z 1, 22.</p><p class="idx"> -Eisenlohr Fr. I <a href="#Seite_p026">26</a> Z 29.</p><p class="idx"> -Empedokles III <a href="#Seite_p125">125</a> Z 25; <a href="#Seite_p177">177</a> Z 33. N <a href="#Seite_p386">386</a> Z 2; <a href="#Seite_p387">387</a> Z 34.</p><p class="idx"> -Engel E. III <a href="#Seite_p250">250</a> Z 16.</p><p class="idx"> -Enriques F. III <a href="#Seite_p174">174</a> Z 24.</p><p class="idx"> -Epicur III <a href="#Seite_p179">179</a> Z 4; <a href="#Seite_p339">339</a> Z 33; <a href="#Seite_p341">341</a> Z 18.</p><p class="idx"> -Epiktet III <a href="#Seite_p342">342</a> Z 1.</p><p class="idx"> -Epping Js. II <a href="#Seite_p101">101</a> Z 3; <a href="#Seite_p105">105</a> Z 12; <a href="#Seite_p109">109</a> Z 20; <a href="#Seite_p110">110</a> Z 29.</p><p class="idx"> -Eratosthenes III <a href="#Seite_p174">174</a> Z 31; <a href="#Seite_p193">193</a> Z 19; <a href="#Seite_p194">194</a> Z 16; <a href="#Seite_p197">197</a> Z 11; <a href="#Seite_p199">199</a> Z 3, 15, 25; <a href="#Seite_p208">208</a> Z 6; <a href="#Seite_p210">210</a> Z 15; <a href="#Seite_p230">230</a> Z 7; <a href="#Seite_p231">231</a> Z 11; <a href="#Seite_p260">260</a> Z 22; <a href="#Seite_p284">284</a> Z 30; <b><a href="#Seite_p285">285</a>-289</b>; <a href="#Seite_p301">301</a> Z 23; <a href="#Seite_p304">304</a> Z 29; <a href="#Seite_p311">311</a> Z 15; <a href="#Seite_p313">313</a> Z 29, 32, 34; <a href="#Seite_p329">329</a> Z 19; <a href="#Seite_p340">340</a> Z 29; <a href="#Seite_p350">350</a> Z 13.</p><p class="idx"> -Erman Ad. V Z 29; E XVII Z 24 I <a href="#Seite_p010">10</a> Z 4, 6; <a href="#Seite_p022">22</a> Z 5; <a href="#Seite_p038">38</a> Z 11.</p><p class="idx"> -<span class="pagenum"><a name="Seite_p392" id="Seite_p392">[S. 392]</a></span>Eudemos E IX Z 20; III <a href="#Seite_p122">122</a> Z 28; <a href="#Seite_p123">123</a> Z 6, 15; <a href="#Seite_p124">124</a> Z 10, 18; <a href="#Seite_p128">128</a> Z 7; <a href="#Seite_p135">135</a> Z 16, 21, 31; <a href="#Seite_p171">171</a> Z 24; <a href="#Seite_p175">175</a> Z 7; <a href="#Seite_p208">208</a> Z 10; <a href="#Seite_p219">219</a> Z 6 u. 7; <a href="#Seite_p228">228</a> Z 33; <a href="#Seite_p229">229</a> Z 1, 6; <a href="#Seite_p248">248</a> Z 18.</p><p class="idx"> -Eudoxos E IX Z 22; I <a href="#Seite_p026">26</a> Z 9; III <a href="#Seite_p125">125</a> Z 27; <a href="#Seite_p181">181</a> Z 20; <a href="#Seite_p185">185</a> Z 27, 31; <a href="#Seite_p186">186</a> Z 16; <a href="#Seite_p191">191</a> Z 17; <a href="#Seite_p192">192</a> Z 15; <a href="#Seite_p197">197</a> Z 28, 33; <b><a href="#Seite_p199">199</a>-210</b>; <a href="#Seite_p229">229</a> Z 30; <a href="#Seite_p236">236</a> Z 21, 26; <a href="#Seite_p238">238</a> Z 21; <a href="#Seite_p241">241</a> Z 33; <a href="#Seite_p255">255</a> Z 28, 34; <a href="#Seite_p256">256</a> Z 17; <a href="#Seite_p263">263</a> Z 24; <a href="#Seite_p270">270</a> Z 11, 27; <a href="#Seite_p276">276</a> Z 34; <a href="#Seite_p300">300</a> Z 12; <a href="#Seite_p311">311</a> Z 33; <a href="#Seite_p312">312</a> Z 3.</p><p class="idx"> -Eucken R. III <a href="#Seite_p220">220</a> Z 26.</p><p class="idx"> -Euklid E X 9; I <a href="#Seite_p026">26</a> Z 7; <a href="#Seite_p046">46</a> Z 6; III <a href="#Seite_p123">123</a> Z 6; <a href="#Seite_p136">136</a> Z 1, 29; <a href="#Seite_p137">137</a> Z 8; <a href="#Seite_p141">141</a> Z 1; <a href="#Seite_p173">173</a> Z 16, 17; <a href="#Seite_p175">175</a> Z 6; <a href="#Seite_p185">185</a> Z 4; <a href="#Seite_p192">192</a> Z 13; <a href="#Seite_p202">202</a> Z 10 u. 12; <a href="#Seite_p203">203</a> Z 21; <a href="#Seite_p213">213</a> Z 20, 29; <b><a href="#Seite_p229">229</a>-258</b>; <a href="#Seite_p260">260</a> Z 15; <a href="#Seite_p268">268</a> Z 27; <a href="#Seite_p290">290</a> Z 19; <a href="#Seite_p291">291</a> Z 7; <a href="#Seite_p292">292</a> Z 4, 7; <a href="#Seite_p293">293</a> Z 17; <a href="#Seite_p294">294</a> Z 1, 8; <a href="#Seite_p299">299</a> Z 19; <a href="#Seite_p300">300</a> Z 6, 27; <a href="#Seite_p301">301</a> Z 26; <a href="#Seite_p308">308</a> Z 21; <a href="#Seite_p309">309</a> Z 33; <a href="#Seite_p310">310</a> Z 5; <a href="#Seite_p313">313</a> Z 26; <a href="#Seite_p314">314</a> Z 6; <a href="#Seite_p315">315</a> Z 4; <a href="#Seite_p316">316</a> Z 18; <a href="#Seite_p335">335</a> Z 33; <a href="#Seite_p337">337</a> Z 15, 26; <a href="#Seite_p338">338</a> Z 15; <a href="#Seite_p339">339</a> Z 16; <a href="#Seite_p344">344</a> Z 16, 30; <a href="#Seite_p346">346</a> Z 13; <a href="#Seite_p348">348</a> Z 29; <a href="#Seite_p350">350</a> Z 13; <a href="#Seite_p352">352</a> Z 24; <a href="#Seite_p359">359</a> Z 30; <a href="#Seite_p367">367</a> Z 12, 23; <a href="#Seite_p369">369</a> Z 3.</p><p class="idx"> -Euler L. E XIV Z 24; III <a href="#Seite_p362">362</a> Z 22; <a href="#Seite_p365">365</a> Z 32; <a href="#Seite_p370">370</a> Z 27.</p><p class="idx"> -Eurytos III <a href="#Seite_p131">131</a> Z 3.</p><p class="idx"> -Eusebios I <a href="#Seite_p017">17</a> Z 1; II <a href="#Seite_p057">57</a> Z 11; <a href="#Seite_p097">97</a> Z 29.</p><p class="idx"> -Eutokios III <a href="#Seite_p123">123</a> Z 33; <a href="#Seite_p135">135</a> Z 22; <a href="#Seite_p193">193</a> Z 19; <a href="#Seite_p194">194</a> Z 28; <a href="#Seite_p199">199</a> Z 24; <a href="#Seite_p201">201</a> Z 12; <a href="#Seite_p208">208</a> Z 10, 13; <a href="#Seite_p209">209</a> Z 8, 14; <a href="#Seite_p229">229</a> Z 2; <a href="#Seite_p258">258</a> Z 20; <a href="#Seite_p266">266</a> Z 2, 13, 29; <a href="#Seite_p282">282</a> Z 11, 29; <a href="#Seite_p288">288</a> Z 19, 27; <a href="#Seite_p289">289</a> Z 11; <a href="#Seite_p290">290</a> Z 31, 34; <a href="#Seite_p291">291</a> Z 9, 27; <a href="#Seite_p297">297</a> Z 25; <a href="#Seite_p298">298</a> Z 17; <a href="#Seite_p301">301</a> Z 30; <a href="#Seite_p302">302</a> Z 5; <a href="#Seite_p303">303</a> Z 24; <a href="#Seite_p304">304</a> Z 29, 32; <a href="#Seite_p306">306</a> Z 1, 14; <a href="#Seite_p308">308</a> Z 14; <a href="#Seite_p315">315</a> Z 29; <a href="#Seite_p316">316</a> Z 24; <a href="#Seite_p324">324</a> Z 13; <a href="#Seite_p325">325</a> Z 3, 10; <a href="#Seite_p367">367</a> Z 13; <a href="#Seite_p372">372</a> Z 5.</p><p class="idx"> -Evans III <a href="#Seite_p121">121</a> Z 27.</p><p class="idx"> - -Fermat P. E XIV Z 24; III <a href="#Seite_p258">258</a> Z 17; <a href="#Seite_p294">294</a> Z 23; <a href="#Seite_p359">359</a> Z 13, 22; <a href="#Seite_p362">362</a> Z 12, 25, 33; <a href="#Seite_p365">365</a> Z 7, 29; <a href="#Seite_p366">366</a> Z 3.</p><p class="idx"> -Fermat S. III <a href="#Seite_p359">359</a> Z 11.</p><p class="idx"> -Flandin E. II <a href="#Seite_p075">75</a> Z 3.</p><p class="idx"> -Flauti V. III <a href="#Seite_p200">200</a> Z 7.</p><p class="idx"> -Flinders Petrie I Z 15; <a href="#Seite_p040">40</a> Z 2; <a href="#Seite_p052">52</a> Z 2, 4, 7.</p><p class="idx"> -Formaleoni V. A. II <a href="#Seite_p101">101</a> Z 24.</p><p class="idx"> -Foster S. III <a href="#Seite_p267">267</a> Z 29.</p><p class="idx"> -Frege G. III <a href="#Seite_p226">226</a> Z 23.</p><p class="idx"> -Fresnel A. J. III <a href="#Seite_p326">326</a> Z 17.</p><p class="idx"> -Friedlein G. III <a href="#Seite_p123">123</a> Z 1; <a href="#Seite_p190">190</a> Z 28; <a href="#Seite_p202">202</a> Z 11; <a href="#Seite_p208">208</a> Z 9; <a href="#Seite_p212">212</a> Z 1; <a href="#Seite_p213">213</a> Z 25; <a href="#Seite_p229">229</a> Z 5, 26; <a href="#Seite_p243">243</a> Z 31; <a href="#Seite_p261">261</a> Z 23; <a href="#Seite_p281">281</a> Z 2; <a href="#Seite_p298">298</a> Z 13; <a href="#Seite_p301">301</a> Z 25; <a href="#Seite_p307">307</a> Z 34; <a href="#Seite_p309">309</a> Z 29; <a href="#Seite_p314">314</a> Z 4; <a href="#Seite_p319">319</a> Z 34; <a href="#Seite_p339">339</a> Z 12; <a href="#Seite_p346">346</a> Z 5; <a href="#Seite_p348">348</a> Z 16; <a href="#Seite_p367">367</a> Z 17.</p><p class="idx"> - -Galilei III <a href="#Seite_p169">169</a> Z 22; <a href="#Seite_p182">182</a> Z 7; <a href="#Seite_p205">205</a> Z 11; <a href="#Seite_p226">226</a> Z 11; <a href="#Seite_p227">227</a> Z 18; <a href="#Seite_p258">258</a> Z 17; <a href="#Seite_p264">264</a> Z 19, 29; <a href="#Seite_p291">291</a> Z 19; <a href="#Seite_p294">294</a> Z 23; <a href="#Seite_p373">373</a> Z 12. N <a href="#Seite_p387">387</a> Z 15.</p><p class="idx"> -Gartz III <a href="#Seite_p312">312</a> Z 24.</p><p class="idx"> -Gauss E X Z 16; XIV Z 24; III <a href="#Seite_p226">226</a> Z 30; <a href="#Seite_p244">244</a> Z 34; <a href="#Seite_p245">245</a> Z 1; <a href="#Seite_p258">258</a> Z 17; <a href="#Seite_p344">344</a> Z 27; <a href="#Seite_p359">359</a> Z 18; <a href="#Seite_p370">370</a> Z 27.</p><p class="idx"> -Geber, (Dschâbir) III <a href="#Seite_p345">345</a> Z 18.</p><p class="idx"> -Gebhart M. E X Z 27.</p><p class="idx"> -<span class="pagenum"><a name="Seite_p393" id="Seite_p393">[S. 393]</a></span>Geminos III <a href="#Seite_p122">122</a> Z 26; <a href="#Seite_p135">135</a> Z 21; <a href="#Seite_p174">174</a> Z 30; <a href="#Seite_p205">205</a> Z 9; <a href="#Seite_p209">209</a> Z 9; <a href="#Seite_p229">229</a> Z 7, 20; <a href="#Seite_p242">242</a> Z 28; <a href="#Seite_p249">249</a> Z 23; <a href="#Seite_p250">250</a> Z 8; <a href="#Seite_p290">290</a> Z 31; <a href="#Seite_p308">308</a> Z 10; <a href="#Seite_p337">337</a> Z 21; <b><a href="#Seite_p388">388</a>-339</b>; <a href="#Seite_p343">343</a> Z 11.</p><p class="idx"> -Gerling Ch. L. III <a href="#Seite_p170">170</a> Z 1.</p><p class="idx"> -Gherardus von Cremona III <a href="#Seite_p338">338</a> Z 1; <a href="#Seite_p344">344</a> Z 24.</p><p class="idx"> -Ghetaldi Marino III <a href="#Seite_p297">297</a> Z 24.</p><p class="idx"> -Ginzel F. K. II <a href="#Seite_p091">91</a> Z 3; <a href="#Seite_p102">102</a> Z 28.</p><p class="idx"> -Golius Jb. III <a href="#Seite_p291">291</a> Z 13; <a href="#Seite_p331">331</a> Z 24.</p><p class="idx"> -Gorgias III <a href="#Seite_p178">178</a> Z 23.</p><p class="idx"> -Görland A. III <a href="#Seite_p214">214</a> Z 17.</p><p class="idx"> -Grassmann H. G. III <a href="#Seite_p251">251</a> Z 6, 13.</p><p class="idx"> -Grechauff Th. III <a href="#Seite_p265">265</a> Z 9.</p><p class="idx"> -Gregorius a. St. Vincentio III <a href="#Seite_p171">171</a> Z 15.</p><p class="idx"> -Griffith J. I <a href="#Seite_p027">27</a> Z 15; <a href="#Seite_p032">32</a> Z 25; <a href="#Seite_p040">40</a> Z 21; <a href="#Seite_p041">41</a> Z 1; <a href="#Seite_p044">44</a> Z 8.</p><p class="idx"> -Grotefend G. F. II <a href="#Seite_p072">72</a> Z 15, 24; <a href="#Seite_p073">73</a> Z 2f; <a href="#Seite_p074">74</a> Z 2.</p><p class="idx"> -Grotius H. III <a href="#Seite_p233">233</a> Z 17.</p><p class="idx"> -Grynäus Simon III <a href="#Seite_p240">240</a> Z 29; <a href="#Seite_p243">243</a> Z 25.</p><p class="idx"> -Günther S. III <a href="#Seite_p281">281</a> Z 4.</p><p class="idx"> - -Haggag III <a href="#Seite_p244">244</a> Z 6; <a href="#Seite_p344">344</a> Z 30.</p><p class="idx"> -Halévy J. II <a href="#Seite_p058">58</a> Z 26.</p><p class="idx"> -Halley Edm. III <a href="#Seite_p291">291</a> Z 3 u. 25; <a href="#Seite_p295">295</a> Z 2, 33; <a href="#Seite_p296">296</a> Z 12.</p><p class="idx"> -Halma N. B. III <a href="#Seite_p309">309</a> Z 9.</p><p class="idx"> -Hankel H. III <a href="#Seite_p137">137</a> Z 22; <a href="#Seite_p140">140</a> Z 6; <a href="#Seite_p151">151</a> Z 26; <a href="#Seite_p153">153</a> Z 11; <a href="#Seite_p175">175</a> Z 19; <a href="#Seite_p212">212</a> Z 1.</p><p class="idx"> -Harper R. II <a href="#Seite_p070">70</a> Z 15.</p><p class="idx"> -Hart G. III <a href="#Seite_p183">183</a> Z 11.</p><p class="idx"> -Hartleben H. I <a href="#Seite_p018">18</a> Z 9; <a href="#Seite_p019">19</a> Z 5.</p><p class="idx"> -Haynes J. H. II <a href="#Seite_p075">75</a> Z 17.</p><p class="idx"> -Heath T. L. III <a href="#Seite_p360">360</a> Z 23.</p><p class="idx"> -Heeren A. II <a href="#Seite_p073">73</a> Z 24.</p><p class="idx"> -Hegel G. W. F. III <a href="#Seite_p169">169</a> Z 6; <a href="#Seite_p177">177</a> Z 13.</p><p class="idx"> -Heiberg J. L. E X Z 7 III <a href="#Seite_p181">181</a> Z 17; <a href="#Seite_p214">214</a> Z 14; <a href="#Seite_p220">220</a> Z 31; <a href="#Seite_p232">232</a> Z 20, 26; <a href="#Seite_p233">233</a> Z 7; <a href="#Seite_p236">236</a> Z 1; <a href="#Seite_p237">237</a> Z 4, 29; <a href="#Seite_p238">238</a> Z 3; <a href="#Seite_p240">240</a> Z 9; <a href="#Seite_p241">241</a> Z 29; <a href="#Seite_p242">242</a> Z 6; <a href="#Seite_p243">243</a> Z 15, 32; <a href="#Seite_p253">253</a> Z 18; <a href="#Seite_p259">259</a> Z 11; <a href="#Seite_p260">260</a> Z 27; <a href="#Seite_p262">262</a> Z 3; <a href="#Seite_p264">264</a> Z 1; <a href="#Seite_p265">265</a> Z 10, 24, 33; <a href="#Seite_p266">266</a> Z 1, 16, 23; <a href="#Seite_p267">267</a> Z 3, 22; <a href="#Seite_p268">268</a> Z 1; <a href="#Seite_p270">270</a> Z 9, 11; <a href="#Seite_p274">274</a> Z 8; <a href="#Seite_p278">278</a> Z 16; <a href="#Seite_p284">284</a> Z 13, 34; <a href="#Seite_p285">285</a> Z 19; <a href="#Seite_p288">288</a> Z 20; <a href="#Seite_p289">289</a> Z 12; <a href="#Seite_p290">290</a> Z 31; <a href="#Seite_p291">291</a> Z 27; <a href="#Seite_p297">297</a> Z 27; <a href="#Seite_p298">298</a> Z 17; <a href="#Seite_p303">303</a> Z 24; <a href="#Seite_p306">306</a> Z 15.</p><p class="idx"> -Helmholtz H. II <a href="#Seite_p092">92</a> Z 33.</p><p class="idx"> -Henrici J. III <a href="#Seite_p245">245</a> Z 34.</p><p class="idx"> -Heraklit III <a href="#Seite_p125">125</a> Z 25, 27; <a href="#Seite_p133">133</a> Z 8; <b><a href="#Seite_p176">176</a>-177</b>; <a href="#Seite_p178">178</a> Z 13; <a href="#Seite_p179">179</a> Z 31; <a href="#Seite_p180">180</a> Z 17; <a href="#Seite_p183">183</a> Z 20; <a href="#Seite_p258">258</a> Z 20; <a href="#Seite_p341">341</a> Z 33; <a href="#Seite_p342">342</a> Z 2, 28, 31. N <a href="#Seite_p385">385</a> Z 34; <a href="#Seite_p387">387</a> Z 30.</p><p class="idx"> -Herlin Ch. III <a href="#Seite_p265">265</a> Z 13.</p><p class="idx"> -Hermann G. E X Z 5.</p><p class="idx"> -Hermotimos III <a href="#Seite_p229">229</a> Z 27.</p><p class="idx"> -Herodot E XVI Z 10; I <a href="#Seite_p015">15</a> Z 13; <a href="#Seite_p017">17</a> Z 1; <a href="#Seite_p022">22</a> Z 13; <a href="#Seite_p028">28</a> Z 28; II <a href="#Seite_p071">71</a> Z 25; III <a href="#Seite_p122">122</a> Z 30; <a href="#Seite_p124">124</a> Z 9, 17; <a href="#Seite_p125">125</a> Z 26; <a href="#Seite_p126">126</a> Z 5, 16; <a href="#Seite_p329">329</a> Z 22. N <a href="#Seite_p384">384</a> Z 4.</p><p class="idx"> -Heron E X Z 9; XIV Z 33; XV Z 12; I <a href="#Seite_p026">26</a> Z 8; <a href="#Seite_p043">43</a> Z 24; <a href="#Seite_p047">47</a> Z 2; III <a href="#Seite_p138">138</a> Z 1, 32; <a href="#Seite_p139">139</a> Z 2; <a href="#Seite_p171">171</a> Z 14; <a href="#Seite_p242">242</a> Z 1, 5, 28; <a href="#Seite_p250">250</a> Z 9; <a href="#Seite_p263">263</a> Z 34; <a href="#Seite_p264">264</a> Z 4; <a href="#Seite_p274">274</a> Z 13; <a href="#Seite_p313">313</a> Z 22; <b><a href="#Seite_p314">314</a>-337</b>; <a href="#Seite_p343">343</a> Z 26; <a href="#Seite_p351">351</a> Z 19; <a href="#Seite_p352">352</a> Z 24; <a href="#Seite_p360">360</a> Z 28; <a href="#Seite_p366">366</a> Z 7; <a href="#Seite_p369">369</a> Z 10.</p><p class="idx"> -Hesiod N <a href="#Seite_p377">377</a> Z 8, 11; <a href="#Seite_p379">379</a> Z 8; <a href="#Seite_p384">384</a> Z 15.</p><p class="idx"> -Heuzey L. <a href="#Seite_p059">59</a> Z 10; <a href="#Seite_p062">62</a> Z 7; <a href="#Seite_p064">64</a> Z 1, 4; <a href="#Seite_p074">74</a> Z 33.</p><p class="idx"> -Hieronymos v. Rhodos III <a href="#Seite_p123">123</a> Z 24.</p><p class="idx"> -Hiketas III <a href="#Seite_p134">134</a> Z 18; <a href="#Seite_p218">218</a> Z 13.</p><p class="idx"> -<span class="pagenum"><a name="Seite_p394" id="Seite_p394">[S. 394]</a></span>Hilbert D. E XIV Z 28; III <a href="#Seite_p241">241</a> Z 26; <a href="#Seite_p247">247</a> Z 7.</p><p class="idx"> -Hiller E. III <a href="#Seite_p288">288</a> Z 15; <a href="#Seite_p289">289</a> Z 4, 10.</p><p class="idx"> -Hilprecht H. V. II <a href="#Seite_p058">58</a> Z 20; <a href="#Seite_p059">59</a> Z 13; <a href="#Seite_p060">60</a> Z 28; <a href="#Seite_p062">62</a> Z 12; <a href="#Seite_p065">65</a> Z 27; <a href="#Seite_p073">73</a> Z 20; <a href="#Seite_p075">75</a> Z 17; <a href="#Seite_p082">82</a> Z 8; <a href="#Seite_p090">90</a> Z 1; <a href="#Seite_p110">110</a> Z 8; <a href="#Seite_p113">113</a> Z 23 f; <a href="#Seite_p114">114</a> Z 6, 24; <a href="#Seite_p115">115</a> Z 8, 24; <a href="#Seite_p116">116</a> Z 17, 24; <a href="#Seite_p117">117</a> Z 1 f.</p><p class="idx"> -Hinke W. M. J. II <a href="#Seite_p109">109</a> Z 4.</p><p class="idx"> -Hinks E. II <a href="#Seite_p073">73</a> Z 27; <a href="#Seite_p075">75</a> Z 23; <a href="#Seite_p102">102</a> Z 9, 18, 25; <a href="#Seite_p105">105</a> Z 31 f.</p><p class="idx"> -Hipparch v. Rhodos II <a href="#Seite_p110">110</a> Z 21; <a href="#Seite_p205">205</a> Z 30; <a href="#Seite_p286">286</a> Z 24; <b><a href="#Seite_p311">311</a>-314</b>; <a href="#Seite_p315">315</a> Z 27; <a href="#Seite_p328">328</a> Z 6, 17; <a href="#Seite_p337">337</a> Z 23; <a href="#Seite_p338">338</a> Z 22; <a href="#Seite_p343">343</a> Z 15; <a href="#Seite_p345">345</a> Z 6, 16.</p><p class="idx"> -Hippias III <a href="#Seite_p178">178</a> Z 23; <a href="#Seite_p197">197</a> Z 17; <a href="#Seite_p198">198</a> Z 28; <a href="#Seite_p211">211</a> Z 27, 34.</p><p class="idx"> -Hippokrates aus Chios III <a href="#Seite_p137">137</a> Z 10; <b><a href="#Seite_p170">170</a>-175</b>; <a href="#Seite_p192">192</a> Z 6; <a href="#Seite_p194">194</a> Z 3; <a href="#Seite_p237">237</a> Z 26.</p><p class="idx"> -Hippokrates aus Kos III <a href="#Seite_p170">170</a> Z 21.</p><p class="idx"> -Hoche R. III <a href="#Seite_p347">347</a> Z 26; <a href="#Seite_p349">349</a> Z 4.</p><p class="idx"> -Hommel E. II <a href="#Seite_p116">116</a> Z 15.</p><p class="idx"> -Hoppe E. III <a href="#Seite_p314">314</a> Z 22, 28; <a href="#Seite_p329">329</a> Z 17; <a href="#Seite_p332">332</a> Z 5.</p><p class="idx"> -Horapollo I <a href="#Seite_p017">17</a> Z 2.</p><p class="idx"> -Horn W. III <a href="#Seite_p204">204</a> Z 19.</p><p class="idx"> -Hultsch Fr. E X Z 7; I <a href="#Seite_p032">32</a> Z 9; <a href="#Seite_p033">33</a> Z 6; II <a href="#Seite_p116">116</a> Z 6, 17; <a href="#Seite_p212">212</a> Z 15; <a href="#Seite_p281">281</a> Z 3; <a href="#Seite_p290">290</a> Z 11, 22; <a href="#Seite_p296">296</a> Z 30; <a href="#Seite_p298">298</a> Z 26; <a href="#Seite_p299">299</a> Z 8; <a href="#Seite_p301">301</a> Z 34; <a href="#Seite_p308">308</a> Z 19, 28; <a href="#Seite_p309">309</a> Z 12; <a href="#Seite_p313">313</a> Z 25; <a href="#Seite_p316">316</a> Z 13, 25; <a href="#Seite_p317">317</a> Z 17, 19; <a href="#Seite_p328">328</a> Z 8; <a href="#Seite_p330">330</a> Z 32; <a href="#Seite_p333">333</a> Z 15, 23; <a href="#Seite_p334">334</a> Z 10; <a href="#Seite_p366">366</a> Z 27; <a href="#Seite_p367">367</a> Z 7, 34; <a href="#Seite_p368">368</a> Z 2; <a href="#Seite_p373">373</a> Z 18.</p><p class="idx"> -Hume D. III <a href="#Seite_p183">183</a> Z 27.</p><p class="idx"> -Huygens Ch. II <a href="#Seite_p092">92</a> Z 34.</p><p class="idx"> -Hypatia III <a href="#Seite_p232">232</a> Z 29; <a href="#Seite_p371">371</a> Z 33.</p><p class="idx"> -Hypsikles III <a href="#Seite_p235">235</a> Z 33; <a href="#Seite_p300">300</a> Z 9, 18; <a href="#Seite_p351">351</a> Z 14.</p><p class="idx"> - -Ideler Ch. L. III <a href="#Seite_p204">204</a> Z 13.</p><p class="idx"> -Jon von Chios III <a href="#Seite_p125">125</a> Z 26.</p><p class="idx"> -Ishaq ibn Hunein III <a href="#Seite_p244">244</a> Z 7; <a href="#Seite_p267">267</a> Z 29.</p><p class="idx"> -Isidorus von Sevilla III <a href="#Seite_p348">348</a> Z 24.</p><p class="idx"> -Isidoros von Milet III <a href="#Seite_p372">372</a> Z 3.</p><p class="idx"> -Isokrates III <a href="#Seite_p125">125</a> Z 27.</p><p class="idx"> -Jamblichos III <a href="#Seite_p126">126</a> Z 4; <a href="#Seite_p243">243</a> Z 22; <a href="#Seite_p352">352</a> Z 14; <b><a href="#Seite_p353">353</a>-354</b>; <a href="#Seite_p357">357</a> Z 8.</p><p class="idx"> -Jensen P. II <a href="#Seite_p057">57</a> Z 25; <a href="#Seite_p111">111</a> Z 7.</p><p class="idx"> -Jordan C. E XII Z 17.</p><p class="idx"> -Josephus II <a href="#Seite_p057">57</a> Z 11.</p><p class="idx"> - -Kaegi A. III <a href="#Seite_p142">142</a> Z 34.</p><p class="idx"> -Kaibel G. III <a href="#Seite_p219">219</a> Z 25.</p><p class="idx"> -Kallimachos III <a href="#Seite_p199">199</a> Z 2; <a href="#Seite_p286">286</a> Z 1, 7.</p><p class="idx"> -Kambly L. III <a href="#Seite_p245">245</a> Z 34.</p><p class="idx"> -Kampe F. III <a href="#Seite_p220">220</a> Z 25.</p><p class="idx"> -Kant E X Z 14; III <a href="#Seite_p168">168</a> Z 11; <a href="#Seite_p178">178</a> Z 16; <a href="#Seite_p183">183</a> Z 25, 26; <a href="#Seite_p184">184</a> Z 3; <a href="#Seite_p187">187</a> Z 4; <a href="#Seite_p188">188</a> Z 11; <a href="#Seite_p189">189</a> Z 20; <a href="#Seite_p190">190</a> Z 15; <a href="#Seite_p214">214</a> Z 5; <a href="#Seite_p215">215</a> Z 13; <a href="#Seite_p227">227</a> Z 27; <a href="#Seite_p247">247</a> Z 19. N <a href="#Seite_p380">380</a> Z 5.</p><p class="idx"> -Kästner A. G. III <a href="#Seite_p240">240</a> Z 23; <a href="#Seite_p241">241</a> Z 5; <a href="#Seite_p245">245</a> Z 33.</p><p class="idx"> -Katyayana III <a href="#Seite_p139">139</a> Z 18; <a href="#Seite_p150">150</a> Z 7; <a href="#Seite_p157">157</a> Z 5.</p><p class="idx"> -Kepler J. III <a href="#Seite_p204">204</a> Z 29; <a href="#Seite_p205">205</a> Z 31; <a href="#Seite_p312">312</a> Z 15; <a href="#Seite_p345">345</a> Z 1.</p><p class="idx"> -Kerber A. III <a href="#Seite_p318">318</a> Z 29.</p><p class="idx"> -Kerry B. III <a href="#Seite_p169">169</a> Z 20.</p><p class="idx"> -Kewitsch G. II <a href="#Seite_p104">104</a> Z 4 f.</p><p class="idx"> -Kiessling Ad. III <a href="#Seite_p184">184</a> Z 34; <a href="#Seite_p219">219</a> Z 25.</p><p class="idx"> -King L. W. E IX Z 19; II <a href="#Seite_p065">65</a> Z 31; <a href="#Seite_p075">75</a> Z 10.</p><p class="idx"> -Kinkel W. III <a href="#Seite_p132">132</a> Z 24; <a href="#Seite_p176">176</a> Z 14; <a href="#Seite_p183">183</a> Z 10.</p><p class="idx"> -Kircher A. I <a href="#Seite_p016">16</a> Z 2, 25.</p><p class="idx"> -Kleonides III <a href="#Seite_p233">233</a> Z 17.</p><p class="idx"> -Knauff F. III <a href="#Seite_p332">332</a> Z 18.</p><p class="idx"> -Knoche J. H. III <a href="#Seite_p202">202</a> Z 15.</p><p class="idx"> -<span class="pagenum"><a name="Seite_p395" id="Seite_p395">[S. 395]</a></span>Köchly H. III <a href="#Seite_p324">324</a> Z 12; <a href="#Seite_p325">325</a> Z 7, 11.</p><p class="idx"> -Köhler J. II <a href="#Seite_p070">70</a> Z 17.</p><p class="idx"> -Koldwey R. II <a href="#Seite_p075">75</a> Z 12.</p><p class="idx"> -Konon III <a href="#Seite_p260">260</a> Z 17, 20; <a href="#Seite_p263">263</a> Z 12, 14; <a href="#Seite_p269">269</a> Z 12; <a href="#Seite_p273">273</a> Z 34; <a href="#Seite_p277">277</a> Z 9.</p><p class="idx"> -Kopernikus III <a href="#Seite_p134">134</a> Z 19; <a href="#Seite_p218">218</a> Z 14; <a href="#Seite_p345">345</a> Z 1. N <a href="#Seite_p379">379</a> Z 27.</p><p class="idx"> -Kosak R. III <a href="#Seite_p246">246</a> Z 15.</p><p class="idx"> -Krates III <a href="#Seite_p340">340</a> Z 6.</p><p class="idx"> -Ktesibios III <a href="#Seite_p315">315</a> Z 2, 21; <a href="#Seite_p319">319</a> Z 23, 30; <a href="#Seite_p320">320</a> Z 10; <a href="#Seite_p324">324</a> Z 10.</p><p class="idx"> -Küchler F. II <a href="#Seite_p088">88</a> Z 9.</p><p class="idx"> -Kugler Fz. X. II <a href="#Seite_p110">110</a> Z 15, 28; <a href="#Seite_p111">111</a> Z 15, 25.</p><p class="idx"> -Kummer E. E X Z 16; E XIV Z 22; III <a href="#Seite_p362">362</a> Z 22.</p><p class="idx"> -Künssberg H. III <a href="#Seite_p197">197</a> Z 32; <a href="#Seite_p204">204</a> Z 26; <a href="#Seite_p206">206</a> Z 27.</p><p class="idx"> - -Laertius Diogenes III <a href="#Seite_p123">123</a> Z 23, 27; <a href="#Seite_p124">124</a> Z 13; <a href="#Seite_p176">176</a> Z 12; <a href="#Seite_p184">184</a> Z 33; <a href="#Seite_p191">191</a> Z 32; <a href="#Seite_p197">197</a> Z 11; <a href="#Seite_p199">199</a> Z 1, 13; <a href="#Seite_p340">340</a> Z 32.</p><p class="idx"> -Lagrange J. L. III <a href="#Seite_p203">203</a> Z 28.</p><p class="idx"> -Lambert J. H. III <a href="#Seite_p244">244</a> Z 33; <a href="#Seite_p245">245</a> Z 17.</p><p class="idx"> -Lange F. A. III <a href="#Seite_p183">183</a> Z 23.</p><p class="idx"> -Lassalle F. III <a href="#Seite_p176">176</a> Z 13.</p><p class="idx"> -Layard H. II <a href="#Seite_p074">74</a> Z 18; <a href="#Seite_p081">81</a> Z 7.</p><p class="idx"> -Legendre A. M. III <a href="#Seite_p138">138</a> Z 32; <a href="#Seite_p245">245</a> Z 13, 22.</p><p class="idx"> -Lehmann C. F. II <a href="#Seite_p061">61</a> Z 27; <a href="#Seite_p065">65</a> Z 24, 29; <a href="#Seite_p091">91</a> Z 3, 7; <a href="#Seite_p092">92</a> Z 33; <a href="#Seite_p094">94</a> Z 20; <a href="#Seite_p095">95</a> Z 21; <a href="#Seite_p102">102</a> Z 28; <a href="#Seite_p103">103</a> Z 4, 30; <a href="#Seite_p106">106</a> Z 7; <a href="#Seite_p107">107</a> Z 1.</p><p class="idx"> -Leibniz G. W. E IX Z 25; E XI Z 23; III <a href="#Seite_p131">131</a> Z 16; <a href="#Seite_p169">169</a> Z 20, 34; <a href="#Seite_p189">189</a> Z 16; <a href="#Seite_p203">203</a> Z 27; <a href="#Seite_p224">224</a> Z 26; <a href="#Seite_p228">228</a> Z 4; <a href="#Seite_p246">246</a> Z 19, 25; <a href="#Seite_p251">251</a> Z 6; <a href="#Seite_p264">264</a> Z 29; <a href="#Seite_p294">294</a> Z 23.</p><p class="idx"> -Leon III <a href="#Seite_p237">237</a> Z 26.</p><p class="idx"> -Leonardo da Vinci III <a href="#Seite_p337">337</a> Z 17.</p><p class="idx"> -Lepsius R. I <a href="#Seite_p021">21</a> Z 27; <a href="#Seite_p045">45</a> Z 34; <a href="#Seite_p047">47</a> Z 28; II <a href="#Seite_p105">105</a> Z 33.</p><p class="idx"> -Lessing G. E. III <a href="#Seite_p284">284</a> Z 31. N <a href="#Seite_p380">380</a> Z 15.</p><p class="idx"> -Letronne J. A. II <a href="#Seite_p102">102</a> Z 4; III <a href="#Seite_p204">204</a> Z 22.</p><p class="idx"> -Leukipp III <a href="#Seite_p178">178</a> Z 3, 13; <a href="#Seite_p179">179</a> Z 3, 5; <a href="#Seite_p180">180</a> Z 4, 11; <a href="#Seite_p181">181</a> Z 5; <a href="#Seite_p182">182</a> Z 20.</p><p class="idx"> -Leumann E. V Z 19; III <a href="#Seite_p138">138</a> Z 14, 16; <a href="#Seite_p144">144</a> Z 28; <a href="#Seite_p146">146</a> Z 5, 7; <a href="#Seite_p151">151</a> Z 30.</p><p class="idx"> -Listing J. B. E XII Z 20.</p><p class="idx"> -Livius III <a href="#Seite_p259">259</a> Z 15.</p><p class="idx"> -Lobatscheffsky N. III <a href="#Seite_p245">245</a> Z 4.</p><p class="idx"> -Loftus w. K. II <a href="#Seite_p093">93</a> Z 33.</p><p class="idx"> -Longchamps G. de III <a href="#Seite_p303">303</a> Z 20.</p><p class="idx"> -Longin III <a href="#Seite_p355">355</a> Z 11.</p><p class="idx"> -Loria Gino. III <a href="#Seite_p241">241</a> Z 22; <a href="#Seite_p338">338</a> Z 25, 27; <a href="#Seite_p349">349</a> Z 2.</p><p class="idx"> -Löwe J. H. III <a href="#Seite_p170">170</a> Z 7.</p><p class="idx"> -Lühmann F. v. III <a href="#Seite_p296">296</a> Z 15.</p><p class="idx"> -Luka Kosta ben III <a href="#Seite_p331">331</a> Z 20.</p><p class="idx"> -Lukianos III <a href="#Seite_p135">135</a> Z 2.</p><p class="idx"> -Lyko III <a href="#Seite_p125">125</a> Z 27.</p><p class="idx"> - -Mahler G. II <a href="#Seite_p102">102</a> Z 28 f.</p><p class="idx"> -Mai A. III <a href="#Seite_p278">278</a> Z 19.</p><p class="idx"> -Maitrayana III <a href="#Seite_p139">139</a> Z 18.</p><p class="idx"> -Makrobios III <a href="#Seite_p287">287</a> Z 22.</p><p class="idx"> -Mamercos III <a href="#Seite_p125">125</a> Z 11.</p><p class="idx"> -Manava III <a href="#Seite_p139">139</a> Z 18.</p><p class="idx"> -Manutius III <a href="#Seite_p312">312</a> Z 1.</p><p class="idx"> -Marinos v. Neapolis III <a href="#Seite_p231">231</a> Z 16; <a href="#Seite_p367">367</a> Z 13.</p><p class="idx"> -Mark Aurel III <a href="#Seite_p342">342</a> Z 1.</p><p class="idx"> -Martin H. III <a href="#Seite_p326">326</a> Z 9.</p><p class="idx"> -Maurolycus III <a href="#Seite_p338">338</a> Z 4.</p><p class="idx"> -Mayring V. III <a href="#Seite_p333">333</a> Z 22.</p><p class="idx"> -Medon III <a href="#Seite_p228">228</a> Z 18.</p><p class="idx"> -Mehler F. G. III <a href="#Seite_p245">245</a> Z 34.</p><p class="idx"> -<span class="pagenum"><a name="Seite_p396" id="Seite_p396">[S. 396]</a></span>Melanchthon Ph. III <a href="#Seite_p245">245</a> Z 31.</p><p class="idx"> -Memus J. B. III <a href="#Seite_p291">291</a> Z 5.</p><p class="idx"> -Menaichmos III <a href="#Seite_p198">198</a> Z 26; <a href="#Seite_p202">202</a> Z 1; <b><a href="#Seite_p208">208</a> Z 3 f</b>; <b><a href="#Seite_p209">209</a> Z 19 f</b>; <a href="#Seite_p213">213</a> Z 14; <a href="#Seite_p214">214</a> Z 12; <a href="#Seite_p292">292</a> Z 11.</p><p class="idx"> -Menelaos III <a href="#Seite_p343">343</a> Z 17, 28; <a href="#Seite_p344">344</a> Z 4, 12; <a href="#Seite_p346">346</a> Z 15.</p><p class="idx"> -Meier R. III <a href="#Seite_p316">316</a> Z 14.</p><p class="idx"> -Meyer E. E XVII Z 21; I 3 Z 8, 17; 4 Z 15; II <a href="#Seite_p058">58</a> Z 18, 30, 34; <a href="#Seite_p059">59</a> Z 28; <a href="#Seite_p060">60</a> Z 4, 34; <a href="#Seite_p062">62</a> Z 6; <a href="#Seite_p085">85</a> Z 2, 7; <a href="#Seite_p086">86</a> Z 3; <a href="#Seite_p087">87</a> Z 19.</p><p class="idx"> -Meyer W. II <a href="#Seite_p073">73</a> Z 18.</p><p class="idx"> -Möbius A. E XII Z 21.</p><p class="idx"> -La Montre? III <a href="#Seite_p246">246</a> Z 29.</p><p class="idx"> -Montucla J. E. E IX Z 11, 28; E XIII Z 6; III <a href="#Seite_p193">193</a> Z 17; <a href="#Seite_p241">241</a> Z 4; <a href="#Seite_p303">303</a> Z 28; <a href="#Seite_p304">304</a> Z 6; <a href="#Seite_p307">307</a> Z 17.</p><p class="idx"> -Morbeca Wilhelmus de III <a href="#Seite_p278">278</a> Z 11; <a href="#Seite_p326">326</a> Z 2.</p><p class="idx"> -Morgan G. de II <a href="#Seite_p070">70</a> Z 6; <a href="#Seite_p075">75</a> Z 7.</p><p class="idx"> -Müller H. III <a href="#Seite_p245">245</a> Z 26.</p><p class="idx"> -Müller M. II <a href="#Seite_p042">42</a> Z 25; III <a href="#Seite_p226">226</a> Z 17.</p><p class="idx"> - -Nasir ed Din III <a href="#Seite_p244">244</a> Z 9.</p><p class="idx"> -Natorp P. III <a href="#Seite_p176">176</a> Z 15; <a href="#Seite_p183">183</a> Z 10, 13; <a href="#Seite_p188">188</a> Z 14.</p><p class="idx"> -Naukrates III <a href="#Seite_p292">292</a> Z 27.</p><p class="idx"> -Nesselmann G. F. H. III <a href="#Seite_p280">280</a> Z 34; <a href="#Seite_p284">284</a> Z 14; <a href="#Seite_p285">285</a> Z 12; <a href="#Seite_p298">298</a> Z 26; <a href="#Seite_p347">347</a> Z 30; <a href="#Seite_p348">348</a> Z 2; <a href="#Seite_p349">349</a> Z 1; <a href="#Seite_p350">350</a> Z 2; <a href="#Seite_p352">352</a> Z 15, 21; <a href="#Seite_p354">354</a> Z 4, 17; <a href="#Seite_p358">358</a> Z 9; <a href="#Seite_p360">360</a> Z 21.</p><p class="idx"> -Newberry Percy E. I 7 Z 6.</p><p class="idx"> -Newton III <a href="#Seite_p203">203</a> Z 27; <a href="#Seite_p205">205</a> Z 11; <a href="#Seite_p213">213</a> Z 9; <a href="#Seite_p244">244</a> Z 16; <a href="#Seite_p246">246</a> Z 22; <a href="#Seite_p249">249</a> Z 10; <a href="#Seite_p258">258</a> Z 17; <a href="#Seite_p262">262</a> Z 19; <a href="#Seite_p294">294</a> Z 19, 23; <a href="#Seite_p296">296</a> Z 21; <a href="#Seite_p297">297</a> Z 19; <a href="#Seite_p304">304</a> Z 17; <a href="#Seite_p307">307</a> Z 17; <a href="#Seite_p342">342</a> Z 16; <a href="#Seite_p373">373</a> Z 28.</p><p class="idx"> -Niebuhr K. I <a href="#Seite_p017">17</a> Z 9; II <a href="#Seite_p072">72</a> Z 19.</p><p class="idx"> -Nietzsche F. III <a href="#Seite_p176">176</a> Z 19.</p><p class="idx"> -Nikomachos v. Gerasa III <a href="#Seite_p131">131</a> Z 10; <a href="#Seite_p199">199</a> Z 3; <a href="#Seite_p219">219</a> Z 4; <a href="#Seite_p243">243</a> Z 9; <a href="#Seite_p289">289</a> Z 30; <a href="#Seite_p300">300</a> Z 27; <a href="#Seite_p344">344</a> Z 20; <a href="#Seite_p346">346</a> Z 16; <b><a href="#Seite_p347">347</a>-352</b>; <a href="#Seite_p353">353</a> Z 29; <a href="#Seite_p366">366</a> Z 7.</p><p class="idx"> -Nikomedes III 301–305.</p><p class="idx"> -Nipsus III <a href="#Seite_p123">123</a> Z 10.</p><p class="idx"> -Nix L. III <a href="#Seite_p291">291</a> Z 23; <a href="#Seite_p316">316</a> Z 6; <a href="#Seite_p317">317</a> Z 11; <a href="#Seite_p331">331</a> Z 18.</p><p class="idx"> -Nizze E. III <a href="#Seite_p265">265</a> Z 25; <a href="#Seite_p266">266</a> Z 12; <a href="#Seite_p277">277</a> Z 8; <a href="#Seite_p280">280</a> Z 5; <a href="#Seite_p284">284</a> Z 13; <a href="#Seite_p337">337</a> Z 32; <a href="#Seite_p338">338</a> Z 19.</p><p class="idx"> -Nokk A. III <a href="#Seite_p232">232</a> Z 19; <a href="#Seite_p309">309</a> Z 25; <a href="#Seite_p310">310</a> Z 16; <a href="#Seite_p337">337</a> Z 31; <a href="#Seite_p338">338</a> Z 10, 19.</p><p class="idx"> -Norris Ed. II <a href="#Seite_p073">73</a> Z 30.</p><p class="idx"> -Northampton Marquis of I 7 Z 5.</p><p class="idx"> - -Ofterdinger L. F. III <a href="#Seite_p203">203</a> Z 17.</p><p class="idx"> -Oinopides I <a href="#Seite_p026">26</a> Z 9; III <a href="#Seite_p170">170</a> Z 18.</p><p class="idx"> -Oldenberg H. III <a href="#Seite_p150">150</a> Z 31.</p><p class="idx"> -Olivieri A. III <a href="#Seite_p312">312</a> Z 32.</p><p class="idx"> -Onken L. III <a href="#Seite_p215">215</a> Z 17.</p><p class="idx"> -Oppert J. II <a href="#Seite_p073">73</a> Z 27, 30; <a href="#Seite_p075">75</a> Z 22; <a href="#Seite_p092">92</a> Z 25; <a href="#Seite_p095">95</a> Z 33; <a href="#Seite_p098">98</a> Z 17; <a href="#Seite_p099">99</a> Z 34; <a href="#Seite_p100">100</a> Z 17; <a href="#Seite_p112">112</a> Z 10.</p><p class="idx"> -Origines III <a href="#Seite_p355">355</a> Z 11.</p><p class="idx"> -Ottajano G. da III <a href="#Seite_p370">370</a> Z 33.</p><p class="idx"> -Ottmân Abu III <a href="#Seite_p299">299</a> Z 21.</p><p class="idx"> - -Panaitios III <a href="#Seite_p341">341</a> Z 5, 10; <a href="#Seite_p342">342</a> Z 6.</p><p class="idx"> -Pamphila III <a href="#Seite_p123">123</a> Z 27, 34.</p><p class="idx"> -Papperitz E. III <a href="#Seite_p339">339</a> Z 1.</p><p class="idx"> -<span class="pagenum"><a name="Seite_p397" id="Seite_p397">[S. 397]</a></span>Pappos E X Z 9; III <a href="#Seite_p171">171</a> Z 14; <a href="#Seite_p192">192</a> Z 1; <a href="#Seite_p212">212</a> Z 11; <a href="#Seite_p213">213</a> Z 1; <a href="#Seite_p230">230</a> Z 27; <a href="#Seite_p231">231</a> Z 1, 14; <a href="#Seite_p232">232</a> Z 18; <a href="#Seite_p234">234</a> Z 2, 10, 15, 21; <a href="#Seite_p235">235</a> Z 13; <a href="#Seite_p243">243</a> Z 12; <a href="#Seite_p252">252</a> Z 6; <a href="#Seite_p260">260</a> Z 19; <a href="#Seite_p261">261</a> Z 28; <a href="#Seite_p263">263</a> Z 14; <a href="#Seite_p267">267</a> Z 32; <a href="#Seite_p268">268</a> Z 7, 19; <a href="#Seite_p243">243</a> Z 12; <a href="#Seite_p252">252</a> Z 6; <a href="#Seite_p288">288</a> Z 22; <a href="#Seite_p289">289</a> Z 20; <a href="#Seite_p290">290</a> Z 12; <a href="#Seite_p291">291</a> Z 2, 9; <a href="#Seite_p292">292</a> Z 8; <a href="#Seite_p294">294</a> Z 11; <a href="#Seite_p295">295</a> Z 34; <a href="#Seite_p296">296</a> Z 3, 30; <a href="#Seite_p297">297</a> Z 20, 26; <a href="#Seite_p298">298</a> Z 24; <a href="#Seite_p299">299</a> Z 15; <a href="#Seite_p301">301</a> Z 30; <a href="#Seite_p302">302</a> Z 1; <a href="#Seite_p303">303</a> Z 27; <a href="#Seite_p308">308</a> Z 7, 15; <a href="#Seite_p309">309</a> Z 10; <a href="#Seite_p317">317</a> Z 25; <a href="#Seite_p325">325</a> Z 3, 8; <a href="#Seite_p331">331</a> Z 8; <a href="#Seite_p358">358</a> Z 9; <b><a href="#Seite_p366">366</a>-371</b>.</p><p class="idx"> -Pardies J. G. III <a href="#Seite_p171">171</a> Z 17.</p><p class="idx"> -Parmenides III <b><a href="#Seite_p165">165</a> Z 30 ff</b>; <b><a href="#Seite_p166">166</a> Z 11 f</b>; <a href="#Seite_p176">176</a> Z 9; <a href="#Seite_p180">180</a> Z 6, 32. N. <a href="#Seite_p387">387</a> Z 29.</p><p class="idx"> -Pascal Bl. III <a href="#Seite_p291">291</a> Z 34.</p><p class="idx"> -Peiser F. E. II <a href="#Seite_p070">70</a> Z 18.</p><p class="idx"> -Pena J. III <a href="#Seite_p337">337</a> Z 33.</p><p class="idx"> -Peters J. P. II <a href="#Seite_p075">75</a> Z 17.</p><p class="idx"> -Petersen J. III <a href="#Seite_p232">232</a> Z 3.</p><p class="idx"> -Peyrard F. III <a href="#Seite_p240">240</a> Z 3; <a href="#Seite_p253">253</a> Z 6; <a href="#Seite_p266">266</a> Z 10; <a href="#Seite_p280">280</a> Z 39.</p><p class="idx"> -Pheidias III <a href="#Seite_p258">258</a> Z 27.</p><p class="idx"> -Pherekydes N. <a href="#Seite_p384">384</a> Z 14.</p><p class="idx"> -Philippos III <a href="#Seite_p229">229</a> Z 28.</p><p class="idx"> -Philolaos III <a href="#Seite_p127">127</a> Z 25; <a href="#Seite_p128">128</a> Z 9, 22; <a href="#Seite_p129">129</a> Z 6; <a href="#Seite_p130">130</a> Z 12, 21; <a href="#Seite_p131">131</a> Z 13, 23, 30; <a href="#Seite_p132">132</a> Z 21, 30; <a href="#Seite_p133">133</a> Z 4, 10; <a href="#Seite_p134">134</a> Z 17, 22; <a href="#Seite_p135">135</a> Z 15; <a href="#Seite_p141">141</a> Z 9, 12, 15; <a href="#Seite_p205">205</a> Z 16; <a href="#Seite_p348">348</a> Z 30; <a href="#Seite_p350">350</a> Z 13; <a href="#Seite_p351">351</a> Z 1. N. <a href="#Seite_p385">385</a> Z 29; <a href="#Seite_p386">386</a> Z 3, 6.</p><p class="idx"> -Philon v. Alexandria III <a href="#Seite_p177">177</a> Z 18; <a href="#Seite_p343">343</a> Z 3; <b><a href="#Seite_p355">355</a> Z 14 f</b>; <a href="#Seite_p356">356</a> Z 19.</p><p class="idx"> -Philon von Byzanz III <a href="#Seite_p315">315</a> Z 20, 32; <a href="#Seite_p321">321</a> Z 31; <a href="#Seite_p322">322</a> Z 1; <a href="#Seite_p324">324</a> Z 26; <a href="#Seite_p325">325</a> Z 1.</p><p class="idx"> -Philopömos J. III <a href="#Seite_p194">194</a> Z 17.</p><p class="idx"> -Pinches T. G. II <a href="#Seite_p059">59</a> Z 5.</p><p class="idx"> -Pisano L. I <a href="#Seite_p040">40</a> Z 2.</p><p class="idx"> -Pistelli L. III <a href="#Seite_p354">354</a> Z 16.</p><p class="idx"> -Place V. II <a href="#Seite_p074">74</a> Z 29; <a href="#Seite_p075">75</a> Z 3.</p><p class="idx"> -Planudes M. III <a href="#Seite_p358">358</a> Z 12, 29.</p><p class="idx"> -Platon I <a href="#Seite_p026">26</a> Z 11; II <a href="#Seite_p116">116</a> Z 4, 18; III <a href="#Seite_p124">124</a> Z 2, 17; <a href="#Seite_p125">125</a> Z 26, 28; <a href="#Seite_p127">127</a> Z 22; <a href="#Seite_p128">128</a> Z 5; <a href="#Seite_p131">131</a> Z 14; <a href="#Seite_p132">132</a> Z 10; <a href="#Seite_p133">133</a> Z 5; <a href="#Seite_p134">134</a> Z 13; <a href="#Seite_p136">136</a> Z 32; <a href="#Seite_p141">141</a> Z 10, 14; <a href="#Seite_p175">175</a> Z 34; <a href="#Seite_p176">176</a> Z 9; <a href="#Seite_p178">178</a> Z 16; <a href="#Seite_p179">179</a> Z 17, 21, 24; <a href="#Seite_p182">182</a> Z 12, 26; <a href="#Seite_p183">183</a> Z 2, 7, 15 f; <a href="#Seite_p184">184</a> Z 4 ff; <a href="#Seite_p185">185</a> Z 14 f; <b><a href="#Seite_p186">186</a>-192</b>; <a href="#Seite_p194">194</a> Z 33; <a href="#Seite_p195">195</a> Z 3; <a href="#Seite_p197">197</a> Z 25, 29; <a href="#Seite_p199">199</a> Z 20; <a href="#Seite_p201">201</a> Z 13, 31; <a href="#Seite_p202">202</a> Z 1; <a href="#Seite_p205">205</a> Z 19, 32; <a href="#Seite_p207">207</a> Z 30; <a href="#Seite_p208">208</a> Z 4; <a href="#Seite_p210">210</a> Z 18; <a href="#Seite_p212">212</a> Z 9; <a href="#Seite_p214">214</a> Z 2, 17, 21; <a href="#Seite_p215">215</a> Z 34; <a href="#Seite_p216">216</a> Z 21; <a href="#Seite_p224">224</a> Z 15; <a href="#Seite_p231">231</a> Z 31; <a href="#Seite_p236">236</a> Z 21; <a href="#Seite_p237">237</a> Z 2; <a href="#Seite_p242">242</a> Z 26; <a href="#Seite_p243">243</a> Z 7; <a href="#Seite_p258">258</a> Z 10; <a href="#Seite_p290">290</a> Z 3; <a href="#Seite_p315">315</a> Z 3; <a href="#Seite_p326">326</a> Z 20; <a href="#Seite_p338">338</a> Z 33; <a href="#Seite_p340">340</a> Z 18; <a href="#Seite_p346">346</a> Z 25; <a href="#Seite_p347">347</a> Z 7; <a href="#Seite_p352">352</a> Z 4, 32; <a href="#Seite_p355">355</a> Z 23; <a href="#Seite_p356">356</a> Z 13. N. <a href="#Seite_p376">376</a> Z 29; <a href="#Seite_p379">379</a> Z 16; <a href="#Seite_p380">380</a> Z 15, 30; <a href="#Seite_p387">387</a> Z 9, 20.</p><p class="idx"> -Platon v. Tivoli III <a href="#Seite_p338">338</a> Z 1.</p><p class="idx"> -Plotin III <a href="#Seite_p183">183</a> Z 2; <b><a href="#Seite_p354">354</a>-357</b>.</p><p class="idx"> -Plutarch I <a href="#Seite_p017">17</a> Z 2; <a href="#Seite_p022">22</a> Z 3; III <a href="#Seite_p123">123</a> Z 20; <a href="#Seite_p176">176</a> Z 10; <a href="#Seite_p181">181</a> Z 29; <a href="#Seite_p182">182</a> Z 1; <a href="#Seite_p194">194</a> Z 16; <a href="#Seite_p199">199</a> Z 22; <a href="#Seite_p201">201</a> Z 34; <a href="#Seite_p203">203</a> Z 33; <a href="#Seite_p258">258</a> Z 29; <a href="#Seite_p260">260</a> Z 8; <a href="#Seite_p261">261</a> Z 8; <a href="#Seite_p340">340</a> Z 31.</p><p class="idx"> -Porphyrios III <a href="#Seite_p126">126</a> Z 3; <a href="#Seite_p243">243</a> Z 22; <a href="#Seite_p354">354</a> Z 23; <a href="#Seite_p356">356</a> Z 11; <a href="#Seite_p357">357</a> Z 37, 26.</p><p class="idx"> -Poseidonios III <a href="#Seite_p134">134</a> Z 16, <a href="#Seite_p314">314</a> Z 32; <a href="#Seite_p329">329</a> Z 20; <a href="#Seite_p339">339</a> Z 15 f; <a href="#Seite_p341">341</a> Z 5, 14, 17; <a href="#Seite_p342">342</a> Z 6, 8; <a href="#Seite_p345">345</a> Z 33; <a href="#Seite_p346">346</a> Z 7.</p><p class="idx"> -<span class="pagenum"><a name="Seite_p398" id="Seite_p398">[S. 398]</a></span>Proklos E XIII Z 25; E XIV Z 34; I <a href="#Seite_p025">25</a> Z 30; III <a href="#Seite_p122">122</a> Z 26, 34; <a href="#Seite_p123">123</a> Z 6 f; <a href="#Seite_p125">125</a> Z 11; <a href="#Seite_p128">128</a> Z 8; <a href="#Seite_p135">135</a> Z 31; <a href="#Seite_p137">137</a> Z 16; <a href="#Seite_p170">170</a> Z 10, 22; <a href="#Seite_p174">174</a> Z 30, 33; <a href="#Seite_p175">175</a> Z 3, 33; <a href="#Seite_p190">190</a> Z 28; <a href="#Seite_p191">191</a> Z 23; <a href="#Seite_p197">197</a> Z 22; <a href="#Seite_p202">202</a> Z 11, 15; <a href="#Seite_p208">208</a> Z 8; <a href="#Seite_p210">210</a> Z 2; <a href="#Seite_p212">212</a> Z 5, 8; <a href="#Seite_p213">213</a> Z 22, 24; <a href="#Seite_p229">229</a> Z 2, 5, 21; <a href="#Seite_p231">231</a> Z 14; <a href="#Seite_p233">233</a> Z 8, 23; <a href="#Seite_p234">234</a> Z 2; <a href="#Seite_p235">235</a> Z 22; <a href="#Seite_p236">236</a> Z 5; <a href="#Seite_p237">237</a> Z 27; <a href="#Seite_p238">238</a> Z 33; <a href="#Seite_p242">242</a> Z 3, 28; <a href="#Seite_p243">243</a> Z 23, 33; <a href="#Seite_p244">244</a> Z 12, 27; <a href="#Seite_p248">248</a> Z 18, 31; <a href="#Seite_p249">249</a> Z 5, 24; <a href="#Seite_p250">250</a> Z 19, 30; <a href="#Seite_p251">251</a> Z 19; <a href="#Seite_p252">252</a> Z 6, 12; <a href="#Seite_p253">253</a> Z 23; <a href="#Seite_p261">261</a> Z 20; <a href="#Seite_p262">262</a> Z 3, 13; <a href="#Seite_p268">268</a> Z 19; <a href="#Seite_p389">389</a> Z 6, 11; <a href="#Seite_p298">298</a> Z 13; <a href="#Seite_p301">301</a> Z 25; <a href="#Seite_p307">307</a> Z 33; <a href="#Seite_p308">308</a> Z 6; <a href="#Seite_p309">309</a> Z 29; <a href="#Seite_p310">310</a> Z 4, 11; <a href="#Seite_p314">314</a> Z 4; <a href="#Seite_p319">319</a> Z 34; <a href="#Seite_p338">338</a> Z 33; <a href="#Seite_p339">339</a> Z 12, 15, 27; <a href="#Seite_p341">341</a> Z 17; <a href="#Seite_p343">343</a> Z 24; <a href="#Seite_p346">346</a> Z 1, 5; <a href="#Seite_p354">354</a> Z 19; <a href="#Seite_p356">356</a> Z 26; <a href="#Seite_p357">357</a> Z 27; <a href="#Seite_p366">366</a> Z 16; <a href="#Seite_p367">367</a> Z 13, 22; <a href="#Seite_p371">371</a> Z 34. N. <a href="#Seite_p381">381</a> Z 13.</p><p class="idx"> -Protagoras III <a href="#Seite_p178">178</a> Z 12 f.</p><p class="idx"> -Ptolemäus E X Z 9; II <a href="#Seite_p116">116</a> Z 19; III <a href="#Seite_p205">205</a> Z 29; <a href="#Seite_p207">207</a> Z 11; <a href="#Seite_p299">299</a> Z 33; <a href="#Seite_p311">311</a> Z 28, 30; <a href="#Seite_p312">312</a> Z 30; <a href="#Seite_p326">326</a> Z 8; <a href="#Seite_p329">329</a> Z 20; <a href="#Seite_p338">338</a> Z 15; <a href="#Seite_p342">342</a> Z 13; <a href="#Seite_p343">343</a> Z 18; <a href="#Seite_p344">344</a> Z 7, 17, 22; <a href="#Seite_p345">345</a> Z 3, 21; <a href="#Seite_p346">346</a> Z 1,7; <a href="#Seite_p366">366</a> Z 33; <a href="#Seite_p367">367</a> Z 8.</p><p class="idx"> -Pythagoras I <a href="#Seite_p026">26</a> Z 3; III <a href="#Seite_p125">125</a> Z 13, 23, 33; <a href="#Seite_p126">126</a> Z 1, 6 f; <a href="#Seite_p127">127</a> Z 2, 25; <a href="#Seite_p137">137</a> Z 12 f; <a href="#Seite_p138">138</a> Z 7; <b><a href="#Seite_p145">145</a> Z 1</b>; <b><a href="#Seite_p153">153</a> Z 7</b>; <a href="#Seite_p315">315</a> Z 4; <a href="#Seite_p352">352</a> Z 14; <a href="#Seite_p353">353</a> Z 29. N. <a href="#Seite_p379">379</a> Z 27; <a href="#Seite_p384">384</a> Z 8; <a href="#Seite_p385">385</a> Z 20.</p><p class="idx"> - -Ramus Petrus III <a href="#Seite_p213">213</a> Z 21; <a href="#Seite_p239">239</a> Z 22; <a href="#Seite_p245">245</a> Z 5; <a href="#Seite_p359">359</a> Z 3.</p><p class="idx"> -Ranke H. II <a href="#Seite_p058">58</a> Z 19; <a href="#Seite_p065">65</a> Z 33.</p><p class="idx"> -Rassam H. II <a href="#Seite_p074">74</a> Z 18, 21; <a href="#Seite_p081">81</a> Z 7, 28.</p><p class="idx"> -Rawlinson H. II <a href="#Seite_p074">74</a> Z 13; <a href="#Seite_p075">75</a> Z 22; <a href="#Seite_p076">76</a> Z 27; <a href="#Seite_p117">117</a> Z 26.</p><p class="idx"> -Regiomontan III <a href="#Seite_p264">264</a> Z 24; <a href="#Seite_p265">265</a> Z 12; <a href="#Seite_p359">359</a> Z 2.</p><p class="idx"> -Reinhold E. III <a href="#Seite_p132">132</a> Z 18.</p><p class="idx"> -Revillout E. I <a href="#Seite_p027">27</a> Z 21; <a href="#Seite_p028">28</a> Z 14; <a href="#Seite_p029">29</a> Z 4; <a href="#Seite_p046">46</a> Z 8, 33; <a href="#Seite_p048">48</a> Z 33; <a href="#Seite_p050">50</a> Z 16; <a href="#Seite_p051">51</a> Z 11; <a href="#Seite_p052">52</a> Z 15.</p><p class="idx"> -Rhode E. N <a href="#Seite_p383">383</a> Z 24; <a href="#Seite_p384">384</a> Z 11; <a href="#Seite_p385">385</a> Z 21.</p><p class="idx"> -Riccardi p. III <a href="#Seite_p239">239</a> Z 14.</p><p class="idx"> -Riche J. II <a href="#Seite_p074">74</a> Z 3.</p><p class="idx"> -Rieder gleich Reder J. M. III <a href="#Seite_p244">244</a> Z 25.</p><p class="idx"> -Riemann B. III <a href="#Seite_p166">166</a> Z 32.</p><p class="idx"> -Ritter H. III <a href="#Seite_p132">132</a> Z 17, 27; <a href="#Seite_p133">133</a> Z 7; <a href="#Seite_p134">134</a> Z 22.</p><p class="idx"> -Rivaltus III <a href="#Seite_p265">265</a> Z 27.</p><p class="idx"> -Robertson Abr. III <a href="#Seite_p265">265</a> Z 24.</p><p class="idx"> -Roberval G. P. de III <a href="#Seite_p263">263</a> Z 20; <a href="#Seite_p305">305</a> Z 32.</p><p class="idx"> -Rodet J. I <a href="#Seite_p036">36</a> Z 25, 28; <a href="#Seite_p040">40</a> Z 1.</p><p class="idx"> -Rose Val. III <a href="#Seite_p326">326</a> Z 9.</p><p class="idx"> -Rouché E III <a href="#Seite_p171">171</a> Z 9.</p><p class="idx"> -Rudio F. E XI Z 11; III <a href="#Seite_p171">171</a> Z 34; <a href="#Seite_p172">172</a> Z 15, 29; <a href="#Seite_p368">368</a> Z 8, 11.</p><p class="idx"> -Rüstow (Major) W. III <a href="#Seite_p324">324</a> Z 12.</p><p class="idx"> - -Saccheri Gir. III <a href="#Seite_p238">238</a> Z 31; <a href="#Seite_p244">244</a> Z 30, 33.</p><p class="idx"> -Sarzec E. de II <a href="#Seite_p059">59</a> Z 9; <a href="#Seite_p061">61</a> Z 5, 9, 32; <a href="#Seite_p074">74</a> Z 26, 33.</p><p class="idx"> -Saulcy F. C. de II <a href="#Seite_p075">75</a> Z 23.</p><p class="idx"> -Savile H. III <a href="#Seite_p239">239</a> Z 20; <a href="#Seite_p244">244</a> Z 14.</p><p class="idx"> -Sayce A. H. II <a href="#Seite_p059">59</a> Z 5; <a href="#Seite_p111">111</a> Z 28.</p><p class="idx"> -Schack-Schackenburg I <a href="#Seite_p038">38</a> Z 12; <a href="#Seite_p041">41</a> Z 3; <a href="#Seite_p042">42</a> Z 11.</p><p class="idx"> -Schaubach J. K. III <a href="#Seite_p204">204</a> Z 11; <a href="#Seite_p207">207</a> Z 27; <a href="#Seite_p312">312</a> Z 24.</p><p class="idx"> -Scheil V. II <a href="#Seite_p070">70</a> Z 11; <a href="#Seite_p075">75</a> Z 8.</p><p class="idx"> -Schellbach K. H. III <a href="#Seite_p274">274</a> Z 19.</p><p class="idx"> -Schiaparelli G. V. III <a href="#Seite_p204">204</a> Z 16, 26, 31; <a href="#Seite_p205">205</a> Z 12; <a href="#Seite_p207">207</a> Z 5. N. <a href="#Seite_p379">379</a> Z 26.</p><p class="idx"> -Schliemann H. III <a href="#Seite_p121">121</a> Z 19; <a href="#Seite_p122">122</a> Z 1, 9.</p><p class="idx"> -Schmidt W. III <a href="#Seite_p308">308</a> Z 23; <a href="#Seite_p309">309</a> Z 2; <a href="#Seite_p314">314</a> Z 16; <a href="#Seite_p315">315</a> Z 20; <a href="#Seite_p317">317</a> Z 5 f; <a href="#Seite_p319">319</a> Z 26; <a href="#Seite_p320">320</a> Z 29; <a href="#Seite_p321">321</a> Z 23; <a href="#Seite_p326">326</a> Z 1, 9; <a href="#Seite_p328">328</a> Z 33; <a href="#Seite_p329">329</a> Z 23; <a href="#Seite_p331">331</a> Z 17; <a href="#Seite_p332">332</a> Z 19.</p><p class="idx"> -<span class="pagenum"><a name="Seite_p399" id="Seite_p399">[S. 399]</a></span>Schöne H. E XV Z 3; I <a href="#Seite_p047">47</a> Z 2; III <a href="#Seite_p264">264</a> Z 3; <a href="#Seite_p274">274</a> Z 12; <a href="#Seite_p314">314</a> Z 24; <a href="#Seite_p315">315</a> Z 28; <a href="#Seite_p317">317</a> Z 14; <a href="#Seite_p328">328</a> Z 2, 33; <a href="#Seite_p337">337</a> Z 7.</p><p class="idx"> -Schöne R. III <a href="#Seite_p314">314</a> Z 25; <a href="#Seite_p334">334</a> Z 5.</p><p class="idx"> -Schopenhauer A. III <a href="#Seite_p221">221</a> Z 17; <a href="#Seite_p246">246</a> Z 8; <a href="#Seite_p251">251</a> Z 3, 9; <a href="#Seite_p357">357</a> Z 12. N <a href="#Seite_p379">379</a> Z 16; <a href="#Seite_p387">387</a> Z 25.</p><p class="idx"> -Schotten H. III <a href="#Seite_p248">248</a> Z 11.</p><p class="idx"> -Schrader E. II <a href="#Seite_p057">57</a> Z 23.</p><p class="idx"> -Schramm E. III <a href="#Seite_p324">324</a> Z 13.</p><p class="idx"> -Schröder L. v. III <a href="#Seite_p138">138</a> Z 7, 17; <a href="#Seite_p141">141</a> Z 7; <a href="#Seite_p143">143</a> Z 29; <a href="#Seite_p146">146</a> Z 6.</p><p class="idx"> -Schuchhardt C. III <a href="#Seite_p122">122</a> Z 8.</p><p class="idx"> -Schwarz H. A. III <a href="#Seite_p309">309</a> Z 22.</p><p class="idx"> -Seleukos III <a href="#Seite_p311">311</a> Z 21, 24.</p><p class="idx"> -Seneca III <a href="#Seite_p342">342</a> Z 1.</p><p class="idx"> -Siculus E. III <a href="#Seite_p326">326</a> Z 8.</p><p class="idx"> -Sigwart C. W. III <a href="#Seite_p213">213</a> Z 34.</p><p class="idx"> -Simon M. III <a href="#Seite_p174">174</a> Z 21; <a href="#Seite_p232">232</a> Z 24; 270 Anm. 1; <a href="#Seite_p273">273</a> Z 31; <a href="#Seite_p294">294</a> Z 20; <a href="#Seite_p295">295</a> Z 24; <a href="#Seite_p296">296</a> Z 33.</p><p class="idx"> -Simplicius III <a href="#Seite_p122">122</a> Z 29; <a href="#Seite_p167">167</a> Z 19; <a href="#Seite_p171">171</a> Z 21; <a href="#Seite_p172">172</a> Z 1 f; <a href="#Seite_p175">175</a> Z 5, 7; <a href="#Seite_p204">204</a> Z 10; <a href="#Seite_p218">218</a> Z 6, 11; <a href="#Seite_p220">220</a> Z 30; <a href="#Seite_p229">229</a> Z 2; <a href="#Seite_p309">309</a> Z 2; <a href="#Seite_p372">372</a> Z 7. N <a href="#Seite_p381">381</a> Z 34.</p><p class="idx"> -Simson R. III <a href="#Seite_p234">234</a> Z 18; <a href="#Seite_p244">244</a> Z 19; <a href="#Seite_p296">296</a> Z 3.</p><p class="idx"> -Smiths G. II <a href="#Seite_p105">105</a> Z 30.</p><p class="idx"> -Smiths P. I <a href="#Seite_p024">24</a> Z 11.</p><p class="idx"> -Socrates III <a href="#Seite_p124">124</a> Z 6; <a href="#Seite_p127">127</a> Z 26; <a href="#Seite_p178">178</a> Z 6; <a href="#Seite_p184">184</a> Z 17, 21; <a href="#Seite_p188">188</a> Z 16; <a href="#Seite_p191">191</a> Z 7. N <a href="#Seite_p376">376</a> Z 23.</p><p class="idx"> -Sotios III <a href="#Seite_p199">199</a> Z 2.</p><p class="idx"> -Spengel L. III <a href="#Seite_p171">171</a> Z 27.</p><p class="idx"> -Speusippos III <a href="#Seite_p127">127</a> Z 32.</p><p class="idx"> -Spiegel F. (v.) II <a href="#Seite_p073">73</a> Z 28.</p><p class="idx"> -Spiegelberg W. V Z 17; I 3 Z 9; 4 Z 8; 7 Z 6; <a href="#Seite_p022">22</a> Z 30; <a href="#Seite_p029">29</a> Z 4.</p><p class="idx"> -Spinoza III <a href="#Seite_p223">223</a> Z 11; <a href="#Seite_p341">341</a> Z 1. N <a href="#Seite_p375">375</a> Z 21.</p><p class="idx"> -Sporos III <a href="#Seite_p194">194</a> Z 28.</p><p class="idx"> -Stäckel P. III <a href="#Seite_p250">250</a> Z 17.</p><p class="idx"> -Stein J. P. W. III <a href="#Seite_p248">248</a> Z 15.</p><p class="idx"> -Steiner J. III <a href="#Seite_p309">309</a> Z 20; <a href="#Seite_p368">368</a> Z 25.</p><p class="idx"> -Stesichoros III <a href="#Seite_p125">125</a> Z 12.</p><p class="idx"> -Stobäos III <a href="#Seite_p129">129</a> Z 27; <a href="#Seite_p230">230</a> Z 17. N <a href="#Seite_p386">386</a> Z 12.</p><p class="idx"> -Strabo E XVI Z 18; III <a href="#Seite_p204">204</a> Z 4; <a href="#Seite_p285">285</a> Z 32; <a href="#Seite_p286">286</a> Z 27; <a href="#Seite_p289">289</a> Z 34; <a href="#Seite_p313">313</a> Z 28.</p><p class="idx"> -Strassmaier J. N. II <a href="#Seite_p101">101</a> Z 3; <a href="#Seite_p109">109</a> Z 21; <a href="#Seite_p110">110</a> Z 29.</p><p class="idx"> -Struve J. u. K. L. III <a href="#Seite_p285">285</a> Z 13.</p><p class="idx"> -Sturm Ambros III <a href="#Seite_p193">193</a> Z 15; <a href="#Seite_p194">194</a> Z 16; <a href="#Seite_p201">201</a> Z 28; <a href="#Seite_p289">289</a> Z 10.</p><p class="idx"> -Sturm Ch. III <a href="#Seite_p171">171</a> Z 15; <a href="#Seite_p245">245</a> Z 33; <a href="#Seite_p266">266</a> Z 8.</p><p class="idx"> -Subandhu III <a href="#Seite_p164">164</a> Z 29.</p><p class="idx"> -Suidas III <a href="#Seite_p274">274</a> Z 11; <a href="#Seite_p285">285</a> Z 31.</p><p class="idx"> -Sundara III <a href="#Seite_p159">159</a> Z 27.</p><p class="idx"> -Susemihl F. III <a href="#Seite_p285">285</a> Z 28; <a href="#Seite_p311">311</a> Z 21; <a href="#Seite_p314">314</a> Z 18; <a href="#Seite_p320">320</a> Z 3.</p><p class="idx"> -Syrion N <a href="#Seite_p386">386</a> Z 12.</p><p class="idx"> - -Tâbit ibn Quorrah III <a href="#Seite_p267">267</a> Z 28; <a href="#Seite_p291">291</a> Z 23.</p><p class="idx"> -Tacitus III <a href="#Seite_p142">142</a> Z 18.</p><p class="idx"> -Tacquet A. III <a href="#Seite_p171">171</a> Z 15; <a href="#Seite_p245">245</a> Z 11.</p><p class="idx"> -Tannery P. III <a href="#Seite_p170">170</a> Z 2; <a href="#Seite_p172">172</a> Z 15; <a href="#Seite_p173">173</a> Z 23; <a href="#Seite_p194">194</a> Z 28; <a href="#Seite_p200">200</a> Z 1; <a href="#Seite_p201">201</a> Z 3; <a href="#Seite_p207">207</a> Z 5; <a href="#Seite_p222">222</a> Z 23; <a href="#Seite_p229">229</a> Z 5; <a href="#Seite_p236">236</a> Z 1; <a href="#Seite_p242">242</a> Z 8; <a href="#Seite_p243">243</a> Z 27; <a href="#Seite_p251">251</a> Z 20; <a href="#Seite_p301">301</a> Z 22; <a href="#Seite_p312">312</a> Z 33; <a href="#Seite_p314">314</a> Z 15; <a href="#Seite_p336">336</a> Z 17; <a href="#Seite_p337">337</a> Z 22; <a href="#Seite_p359">359</a> Z 19.</p><p class="idx"> -Tartaglia N. III <a href="#Seite_p278">278</a> Z 13.</p><p class="idx"> -Taylor Th. III <a href="#Seite_p244">244</a> Z 1.</p><p class="idx"> -Teleutagoras III <a href="#Seite_p167">167</a> Z 7.</p><p class="idx"> -Tenulius III <a href="#Seite_p353">353</a> Z 5.</p><p class="idx"> -Thales I <a href="#Seite_p025">25</a> Z 30; III <a href="#Seite_p122">122</a> Z 30; <a href="#Seite_p123">123</a> Z 7, 14, 21; <a href="#Seite_p124">124</a> Z 1, 23; <a href="#Seite_p125">125</a> Z 10; <a href="#Seite_p187">187</a> Z 3. N <a href="#Seite_p375">375</a> Z 8; <a href="#Seite_p381">381</a> Z 15; <a href="#Seite_p382">382</a> Z 21; <a href="#Seite_p383">383</a> Z 14.</p><p class="idx"> -<span class="pagenum"><a name="Seite_p400" id="Seite_p400">[S. 400]</a></span>Theätet III <a href="#Seite_p136">136</a> Z 28, 31; <a href="#Seite_p185">185</a> Z 26; <a href="#Seite_p186">186</a> Z 16; <a href="#Seite_p213">213</a> Z 16, 18; <a href="#Seite_p229">229</a> Z 31; <a href="#Seite_p236">236</a> Z 21, 32; <a href="#Seite_p238">238</a> Z 9; <a href="#Seite_p257">257</a> Z 15.</p><p class="idx"> -Theodoros III <a href="#Seite_p136">136</a> Z 32; <a href="#Seite_p170">170</a> Z 24; <a href="#Seite_p184">184</a> Z 23.</p><p class="idx"> -Theodosios III <a href="#Seite_p202">202</a> Z 25; <a href="#Seite_p232">232</a> Z 23; <a href="#Seite_p337">337</a> Z 20; <a href="#Seite_p338">338</a> Z 8 f.</p><p class="idx"> -Theon v. Alexandria III <a href="#Seite_p232">232</a> Z 28; <a href="#Seite_p239">239</a> Z 31; <a href="#Seite_p240">240</a> Z 7; <a href="#Seite_p268">268</a> Z 19; <a href="#Seite_p282">282</a> Z 30; <a href="#Seite_p309">309</a> Z 8, 13, 28; <a href="#Seite_p310">310</a> Z 1, 12; <a href="#Seite_p313">313</a> Z 18; <a href="#Seite_p314">314</a> Z 9; <a href="#Seite_p367">367</a> Z 9; <a href="#Seite_p371">371</a> Z 33.</p><p class="idx"> -Theon Smyrneus III <a href="#Seite_p187">187</a> Z 18; <a href="#Seite_p194">194</a> Z 15; <a href="#Seite_p214">214</a> Z 16; <a href="#Seite_p243">243</a> Z 11, 23; <a href="#Seite_p244">244</a> Z 24; <a href="#Seite_p249">249</a> Z 15; <a href="#Seite_p319">319</a> Z 17; <a href="#Seite_p348">348</a> Z 31; <a href="#Seite_p352">352</a> Z 29; <a href="#Seite_p353">353</a> Z 4, 10.</p><p class="idx"> -Theophrast III <a href="#Seite_p217">217</a> Z 22; <a href="#Seite_p218">218</a> Z 32; <a href="#Seite_p228">228</a> Z 31. N <a href="#Seite_p381">381</a> Z 26; <a href="#Seite_p382">382</a> Z 17.</p><p class="idx"> -Theudios III <a href="#Seite_p213">213</a> Z 16, 22; <a href="#Seite_p235">235</a> Z 12; <a href="#Seite_p237">237</a> Z 27; <a href="#Seite_p253">253</a> Z 20; <a href="#Seite_p309">309</a> Z 32.</p><p class="idx"> -Thibaut G. III <a href="#Seite_p138">138</a> Z 5, 19; <a href="#Seite_p139">139</a> Z 22; <a href="#Seite_p146">146</a> Z 32; <a href="#Seite_p148">148</a> Z 1, 13; <a href="#Seite_p154">154</a> Z 17, 19; <a href="#Seite_p157">157</a> Z 18; <a href="#Seite_p159">159</a> Z 33; <a href="#Seite_p245">245</a> Z 34.</p><p class="idx"> -Thomas v. Aquino III <a href="#Seite_p169">169</a> Z 18; <a href="#Seite_p223">223</a> Z 31; <a href="#Seite_p228">228</a> Z 12.</p><p class="idx"> -Thureau-Dangin Frc. II <a href="#Seite_p118">118</a> Z 5.</p><p class="idx"> -Thurot Ch. III <a href="#Seite_p280">280</a> Z 17.</p><p class="idx"> -Thymaridas III <a href="#Seite_p353">353</a> Z 32; <a href="#Seite_p354">354</a> Z 12.</p><p class="idx"> -Torelli G. III <a href="#Seite_p265">265</a> Z 21, 28.</p><p class="idx"> -Torricelli Ev. III <a href="#Seite_p263">263</a> Z 20.</p><p class="idx"> -Trendelenburg F. A. III <a href="#Seite_p177">177</a> Z 8.</p><p class="idx"> -Treutlein P. III <a href="#Seite_p245">245</a> Z 34.</p><p class="idx"> -Tudela B. v. II <a href="#Seite_p074">74</a> Z 8.</p><p class="idx"> -Tzetzes III <a href="#Seite_p186">186</a> Z 2; <a href="#Seite_p258">258</a> Z 25; <a href="#Seite_p259">259</a> Z 17.</p><p class="idx"> - -Überweg Fr. III <a href="#Seite_p170">170</a> Z 8.</p><p class="idx"> -Usener H. III <a href="#Seite_p366">366</a> Z 29.</p><p class="idx"> - -Valens Vettius III <a href="#Seite_p299">299</a> Z 27.</p><p class="idx"> -Valerio Luca III <a href="#Seite_p274">274</a> Z 21.</p><p class="idx"> -Valerius Maximus III <a href="#Seite_p229">229</a> Z 18.</p><p class="idx"> -Valla G. III <a href="#Seite_p259">259</a> Z 19; <a href="#Seite_p265">265</a> Z 33.</p><p class="idx"> -Vaux Carra de III <a href="#Seite_p314">314</a> Z 15; <a href="#Seite_p331">331</a> Z 10.</p><p class="idx"> -Veronese G. E XIV Z 28; III <a href="#Seite_p241">241</a> Z 26; <a href="#Seite_p247">247</a> Z 7.</p><p class="idx"> -Vettori P. III <a href="#Seite_p311">311</a> Z 33.</p><p class="idx"> -Vieta Fr. III <a href="#Seite_p171">171</a> Z 14; <a href="#Seite_p173">173</a> Z 34; <a href="#Seite_p174">174</a> Z 14, 26; <a href="#Seite_p175">175</a> Z 32; <a href="#Seite_p297">297</a> Z 1; <a href="#Seite_p304">304</a> Z 20; <a href="#Seite_p359">359</a> Z 34; <a href="#Seite_p361">361</a> Z 6; <a href="#Seite_p365">365</a> Z 18.</p><p class="idx"> -Vitruv E X Z 9; III <a href="#Seite_p137">137</a> Z 21; <a href="#Seite_p194">194</a> Z 19; <a href="#Seite_p197">197</a> Z 11; <a href="#Seite_p261">261</a> Z 33; <a href="#Seite_p288">288</a> Z 22; <a href="#Seite_p289">289</a> Z 15; <a href="#Seite_p315">315</a> Z 21; <a href="#Seite_p332">332</a> Z 5.</p><p class="idx"> -Viviani V. III <a href="#Seite_p291">291</a> Z 19.</p><p class="idx"> -Vogelin J. III <a href="#Seite_p245">245</a> Z 30.</p><p class="idx"> - -Wafa s. Abul Wafa.</p><p class="idx"> -Wallenius M. J. III <a href="#Seite_p174">174</a> Z 21.</p><p class="idx"> -Wallis J. III <a href="#Seite_p244">244</a> Z 15; <a href="#Seite_p265">265</a> Z 3; <a href="#Seite_p367">367</a> Z 29.</p><p class="idx"> -Weber H. III <a href="#Seite_p285">285</a> Z 21.</p><p class="idx"> -Weierstrass C. E X Z 17; III <a href="#Seite_p223">223</a> Z 6; <a href="#Seite_p227">227</a> Z 17; <a href="#Seite_p256">256</a> Z 10.</p><p class="idx"> -Wellmann E. III <a href="#Seite_p170">170</a> Z 1.</p><p class="idx"> -Wertheim G. III <a href="#Seite_p318">318</a> Z 1 f; <a href="#Seite_p359">359</a> Z 20; <a href="#Seite_p360">360</a> Z 3; <a href="#Seite_p362">362</a> Z 32; <a href="#Seite_p365">365</a> Z 17.</p><p class="idx"> -Wessel K. II <a href="#Seite_p073">73</a> Z 14, 23.</p><p class="idx"> -Weyr E. E XVI Z 28; XVII Z 2; I <a href="#Seite_p027">27</a> Z 29; <a href="#Seite_p050">50</a> Z 16; <a href="#Seite_p051">51</a> Z 8.</p><p class="idx"> -Whiston W. III <a href="#Seite_p171">171</a> Z 15.</p><p class="idx"> -Wilke = Wilcken Ul. I <a href="#Seite_p046">46</a> Z 21.</p><p class="idx"> -Wilamowitz U. v. III <a href="#Seite_p184">184</a> Z 34; <a href="#Seite_p273">273</a> Z 2.</p><p class="idx"> -Windelband W. III <a href="#Seite_p184">184</a> Z 15; <a href="#Seite_p224">224</a> Z 12.</p><p class="idx"> -Winkel W. III <a href="#Seite_p182">182</a> Z 28.</p><p class="idx"> -Winckelmann J. J. I <a href="#Seite_p018">18</a> Z 25.</p><p class="idx"> -Winkler H. II <a href="#Seite_p059">59</a> Z 13; <a href="#Seite_p061">61</a> Z 13; <a href="#Seite_p065">65</a> Z 24; <a href="#Seite_p066">66</a> Z 10; <a href="#Seite_p070">70</a> Z 14, 23.</p><p class="idx"> -Wolf F. A. E X Z 5.</p><p class="idx"> -Wolff Chr. (v.) III <a href="#Seite_p245">245</a> Z 33.</p><p class="idx"> -Wölffing E. III <a href="#Seite_p303">303</a> Z 18.</p><p class="idx"> -<span class="pagenum"><a name="Seite_p401" id="Seite_p401">[S. 401]</a></span>Wöpcke F. III <a href="#Seite_p233">233</a> Z 22; <a href="#Seite_p299">299</a> Z 20, 26.</p><p class="idx"> - -Xenokrates III <a href="#Seite_p216">216</a> Z 32.</p><p class="idx"> -Xenophanes III <a href="#Seite_p124">124</a> Z 18; <a href="#Seite_p125">125</a> Z 25; <a href="#Seite_p141">141</a> Z 9; <b><a href="#Seite_p164">164</a>-166</b>; <a href="#Seite_p176">176</a> Z 29; <a href="#Seite_p177">177</a> Z 1.</p><p class="idx"> -Xylander W. (Holtzmann) III <a href="#Seite_p359">359</a> Z 5.</p><p class="idx"> - -Young Th. I <a href="#Seite_p018">18</a> Z 2, 14; <a href="#Seite_p019">19</a> Z 22.</p><p class="idx"> - -Zeller E. III <a href="#Seite_p125">125</a> Z 18; <a href="#Seite_p132">132</a> Z 16; <a href="#Seite_p179">179</a> Z 8; <a href="#Seite_p183">183</a> Z 10; <a href="#Seite_p219">219</a> Z 18; <a href="#Seite_p224">224</a> Z 12. N <a href="#Seite_p383">383</a> Z 2; <a href="#Seite_p386">386</a> Z 10.</p><p class="idx"> -Zenodoros III <a href="#Seite_p308">308</a> Z 17, 26; <a href="#Seite_p309">309</a> Z 25, 33; <a href="#Seite_p310">310</a> Z 8; <a href="#Seite_p369">369</a> Z 4.</p><p class="idx"> -Zenon von Elea III 167–170; <a href="#Seite_p178">178</a> Z 12; <a href="#Seite_p226">226</a> Z 13.</p><p class="idx"> -Zenon von Kittion <a href="#Seite_p340">340</a> Z 4 f.</p><p class="idx"> -Zeuthen H. III <a href="#Seite_p181">181</a> Z 18; <a href="#Seite_p235">235</a> Z 7; <a href="#Seite_p250">250</a> Z 3; <a href="#Seite_p267">267</a> Z 21; <a href="#Seite_p289">289</a> Z 21; <a href="#Seite_p291">291</a> Z 29; <a href="#Seite_p292">292</a> Z 17; <a href="#Seite_p294">294</a> Z 1, 20; <a href="#Seite_p296">296</a> Z 23; <a href="#Seite_p297">297</a> Z 4.</p><p class="idx"> -Zeúxippos III <a href="#Seite_p279">279</a> Z 19.</p><p class="idx"> -Zimmer H. III <a href="#Seite_p143">143</a> Z 13; <a href="#Seite_p164">164</a> Z 2.</p><p class="idx"> -Zoëga G. I <a href="#Seite_p018">18</a> Z 18.</p><p class="idx"> -Zonaras III <a href="#Seite_p259">259</a> Z 19. -</p> - - - -<p class="p6 center pagebreak small">Buchdruckerei Roitzsch, Albert Schulze, Roitzsch.</p> - - -<div class="transnote pagebreak p4"> -<h2>Anmerkungen zur Transkription</h2> - -Inkonsistenzen wurden beibehalten, wenn beide Schreibweisen -gebräuchlich waren, wie: - -<ul class="index"> -<li>Aahmesu — Aahmes — Ahmes — Ames</li> -<li>Abel'schen — Abelschen</li> -<li>Achse — Axe</li> -<li>Al Mamun — Al-Mamûn</li> -<li>anderen — andern — andren</li> -<li>Anonymos — Anonymus</li> -<li>Apollonios — Apollonius</li> -<li>Arsacidenzeit — Arsakidenzeit</li> -<li>asva-medha — asvamedha</li> -<li>Bêl — Bel</li> -<li>Bel-ache-irbâ — Belacheirba</li> -<li>Berossos — Berossus — Berosus</li> -<li>catur-asra — caturasra</li> -<li>Chammurabi — Hammurabi — Ḫammurabi</li> -<li>Commentar — Kommentar</li> -<li>Coordinaten — Koordinaten</li> -<li>Copernicus — Kopernikus</li> -<li>Cylinder — Zylinder</li> -<li>eigene — eigne</li> -<li>Einer-Ziffer — Einerziffer</li> -<li>Elementar-Geometrie — Elementargeometrie</li> -<li>Epicykeln — Epizyklen</li> -<li>Eukleídēs — Euklides</li> -<li>Euklid-Kommentar — Euklidkommentar</li> -<li>Fajum — Fayum</li> -<li>Fünfer-System — Fünfersystem</li> -<li>Giseh — Gizeh</li> -<li>gerade — grade</li> -<li>geradlinigen — gradlinigen</li> -<li>Grynaeus — Grynäus</li> -<li>Holtzmann — Holzmann</li> -<li>irreduzibeln — irreduziblen</li> -<li>Kaienharu — Kainharu</li> -<li>Kalpa-Sutras — Kalpa-sutras — Kalpasutras</li> -<li>Laërtios — Laertios — Laertius</li> -<li>Larsa — Larsam</li> -<li>Lobatscheffski — Lobatscheffsky</li> -<li>Mamerkos — Mamercos</li> -<li>Metrica — Metrika</li> -<li>Mönchpöbel — Mönchspöbel</li> -<li>Mykene-Periode — Mykeneperiode</li> -<li>Nabonahid — Nabonid</li> -<li>Orient-Gesellschaft — Orientgesellschaft</li> -<li>Pappos — Pappus</li> -<li>Papyros — Papyrus</li> -<li>Phaenomena — Phänomena</li> -<li>Proklos — Proklus</li> -<li>Ptolemaios — Ptolemäos — Ptolemäus — Ptolemeus</li> -<li>pythagoräisch — pythagoreisch</li> -<li>Quadrat-purusa — Quadratpurusa</li> -<li>Rê — Re</li> -<li>Rig-veda — Rigveda</li> -<li>Seleucidenära — Seleuciden-Ära</li> -<li>Seqd — Sqd</li> -<li>Sphaira — sphaera</li> -<li>Soma-Opfer — Somaopfer</li> -<li>Sothis-Perioden — Sothisperioden</li> -<li>Sporos — Sporus</li> -<li>Stobaios — Stobäos</li> -<li>Sulba-sutra — Sulba-Sutra</li> -<li>Tello — Telloh</li> -<li>Theaetet — Theätet — Theaitet</li> -<li>unseren — unsern</li> -<li>Verdoppelung — Verdopplung</li> -<li>vermittels — vermittelst</li> -<li>Vermittelung — Vermittlung</li> -<li>Woepcke — Wöpcke</li> -</ul> - - -Interpunktion wurde ohne Erwähnung korrigiert. -Im Text wurden folgende Änderungen vorgenommen: - -<ul class="index"> -<li><a href="#Seite_a005">S. VII</a> »Methotik« in »Methodik« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_a008">S. X</a> »ungeahnten Erfolge« in »ungeahntem Erfolge« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_a009">S. XI</a> »Anderung« in »Änderung« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_a010">S. XII</a> »Christophel« in »Christoffel« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_a010">S. XII</a> »X<sub>K</sub>« in »x<sub>K</sub>« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_a015">S. XVII</a> »Babylonias« in »Babylonian« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p004">S. 4</a> »folgenden Tabelle« in »folgende Tabelle« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p004">S. 4</a> »Newesserrê« in »Neweserrê« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p007">S. 7</a> »Bibanelmoluk« in »Biban el Moluk« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p009">S. 9</a> »Dschingiskans« in »Dschingis Khans« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p009">S. 9</a> »Lybien« in »Libyen« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p009">S. 9</a> »libysche« in »libysche« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p010">S. 10</a> »Ammon« in »Amon« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p010">S. 10</a> »Ermann« in »Erman« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p011">S. 11</a> »libyschen« in »libyschen« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p014">S. 14</a> »Diocletian« in »Diokletian« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p016">S. 16</a> »Jaques« in »Jacques« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p016">S. 16</a> »ägyptiaca« in »aegyptiaca« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p018">S. 18</a> »Winkelmann« in »Winckelmann« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p019">S. 19</a> »dem man« in »den man« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p026">S. 26</a> »dem 2. Kongruenzsatz« in »den 2. Kongruenzsatz« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p027">S. 27</a> »Eugen Revillout« in »Eugène Revillout« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p027">S. 27</a> »Flynders Petrie« in »Flinders Petrie« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p027">S. 27</a> »Revue Egyptologique« in »Revue égyptologique« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p027">S. 27</a> »Griffiths« in »Griffith« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p027">S. 27</a> »Uberschwemmungszeit« in »Überschwemmungszeit« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p032">S. 32</a> »F. Hultzsch« in »F. Hultsch« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p032">S. 32</a> »Griffiths« in »Griffith« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p032">S. 32</a> »Substraktion« in »Subtraktion« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p038">S. 38</a> »Schack von Schackburg« in »Schack-Schackenburg« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p038">S. 38</a> »29<sup>1</sup>/<sub>6</sub>« in »28<sup>1</sup>/<sub>6</sub>« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p040">S. 40</a> »Griffiths« in »Griffith« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p040">S. 40</a> »papiri« in »Papyri« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p041">S. 41</a> »Griffiths« in »Griffith« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p042">S. 42</a> »Qadratwurzeln« in »Quadratwurzeln« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p042">S. 42</a> »Phythagoras« in »Pythagoras« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p044">S. 44</a> »Petripapyri« in »Petriepapyri« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p044">S. 44</a> »Griffiths« in »Griffith« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p044">S. 44</a> »8<sup>3</sup>/<sub>2</sub>« in »8 . <sup>3</sup>/<sub>2</sub>« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p046">S. 46</a> »περι γεομετςιας« in »περι γεομετριας« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p052">S. 52</a> »Biban el Moleck« in »Biban el Moluk« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p059">S. 59</a> »Ubersetzungen« in »Übersetzungen« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p059">S. 59</a> »Bilinguer« in »bilinguer« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p059">S. 59</a> »Sumerier« in »Sumerer« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p060">S. 60</a> »Ubereinstimmung« in »Übereinstimmung« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p064">S. 64</a> »Sumeriern« in »Sumerern« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p064">S. 64</a> »festeht« in »feststeht« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p064">S. 64</a> »paradisisch« in »paradiesisch« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p064">S. 64</a> »Grosstaat« in »Grossstaat« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p065">S. 65</a> »Adadniranis« in »Adad-niraris« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p067">S. 67</a> »Assyrier« in »Assyrer« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p067">S. 67</a> »Kanaanern« in »Kanaanäern« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p068">S. 68</a> »Chamurabi« in »Chammurabi« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p070">S. 70</a> »C. Betzold« in »C. Bezold« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p070">S. 70</a>f »bedauerlicher Weise« in »bedauerlicherweise« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p071">S. 71</a> »Chamurabis« in »Chammurabis« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p071">S. 71</a> »Kananäern« in »Kanaanäern« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p075">S. 75</a> »Assyrilogie« in »Assyriologie« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p075">S. 75</a> »Chamurabi« in »Chammurabi« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p075">S. 75</a> »Exkavations« in »Excavations« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p075">S. 75</a> »Pensylvanien« in »Pennsylvanien« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p076">S. 76</a> »Ubereinanderstellung« in »Übereinanderstellung« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p077">S. 77</a> »der Assyrischen« in »des Assyrischen« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p077">S. 77</a> »niedergehn« in »niedergehen« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p078">S. 78</a> »Alt-Babylonischen« in »Altbabylonischen« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p079">S. 79</a> »Determiniativ« in »Determinativ« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p079">S. 79</a> »Juppiter« in »Jupiter« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p080">S. 80</a> »in Ägyptischen« in »im Ägyptischen« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p081">S. 81</a> »Kujundschick« in »Kujundschik« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p081">S. 81</a> »Pensylvania« in »Pennsylvania« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p082">S. 82</a> »T-stücken« in »T-Stücken« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p083">S. 83</a> »bischen« in »bisschen« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p087">S. 87</a> »Chamurabi« in »Chammurabi« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p088">S. 88</a> »Schekverkehr« in »Scheckverkehr« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p089">S. 89</a> »astromonischen« in »astronomischen« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p091">S. 91</a> »Gewichtsystem« in »Gewichtssystem« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p093">S. 93</a> »Gewichtsystem« in »Gewichtssystem« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p094">S. 94</a> »Kujundschick« in »Kujundschik« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p094">S. 94</a> »der Quadraten« in »der Quadrate« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p096">S. 96</a> »396^2 = 152100« in »390^2 = 152100« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p099">S. 99</a> »Khorsabat« in »Khorsabad« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p099">S. 99</a> »98425 =« in »99425 =« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p100">S. 100</a> »Offnung« in »Öffnung« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p100">S. 100</a> »Offnungen« in »Öffnungen« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p102">S. 102</a> »E. Hinks« in »E. Hincks« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p104">S. 104</a> »keinesweges« in »keineswegs« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p104">S. 104</a> »Gudeah« in »Gudea« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p104">S. 104</a> »Kewitzsch« in »Kewitsch« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p105">S. 105</a> »Sexagisimalsystems« in »Sexagesimalsystems« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p106">S. 106</a> »Gudeah« in »Gudea« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p107">S. 107</a> »8)« in »3)« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p108">S. 108</a> »Eponymen Kanon« in »Eponymenkanon« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p108">S. 108</a> »mit den Aldebaran« in »mit dem Aldebaran« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p108">S. 108</a> »Fischer« in »Fische« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p109">S. 109</a> »thibetanischen« in »tibetanischen« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p109">S. 109</a> »univ.« in »Univ.« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p109">S. 109</a> »Nebuckadnezzar« in »Nebuchadnezzar« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p115">S. 115</a> »Mesepotamien« in »Mesopotamien« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p117">S. 117</a> »Kenntniss« in »Kenntnis« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p122">S. 122</a> »zn« in »zu« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p124">S. 124</a> »Diagones Laertius« in »Diogenes Laertius« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p125">S. 125</a> »gegebnen« in »gegebenen« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p126">S. 126</a> »Neupythagorismus« in »Neupythagoreismus« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p126">S. 126</a> »Pythagorismus« in »Pythagoreismus« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p128">S. 128</a> »Aug. Boekh« in »Aug. Boeckh« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p131">S. 131</a> »Nikomachus von Gerasa« in »Nikomachos von Gerasa« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p132">S. 132</a> »Pythagorismus« in »Pythagoreismus« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p133">S. 133</a> »Heraclitischen« in »Heraklitischen« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p133">S. 133</a> »Pythagoräismus« in »Pythagoreismus« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p133">S. 133</a> »Lieblingsatzes« in »Lieblingssatzes« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p134">S. 134</a> »Kopernicus« in »Kopernikus« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p139">S. 139</a> »Indo-Arischen-Philologie« in »Indo-Arischen Philologie« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p139">S. 139</a> »Maassschnur« in »Massschnur« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p140">S. 140</a> »Ubrigens« in »Übrigens« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p142">S. 142</a> »Juppiter« in »Jupiter« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p142">S. 142</a> »Afganistan« in »Afghanistan« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p145">S. 145</a> »Meßschnur« in »Messschnur« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p146">S. 146</a> »Maasse« in »Masse« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p148">S. 148</a> »+ 1/3 . 4 - 1/3 : 4 . 34« in »+ 1/(3·4) - 1/(3·4·34)« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p151">S. 151</a> »Sulvas« in »Sulbas« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p156">S. 156</a> »rechwinkligen« in »rechtwinkligen« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p166">S. 166</a> »γας« in »γαρ« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p171">S. 171</a> »Lunulae Hippokratis« in »Lunulae Hippocratis« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p171">S. 171</a> »Pardis« in »Pardies« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p171">S. 171</a> »Hypothenuse« in »Hypotenuse« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p171">S. 171</a> »Kilicien« in »Kilikien« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p171">S. 171</a> »Fragmente« in »Fragmenta« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p171">S. 171</a> »super sunt« in »supersunt« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p173">S. 173</a> »ε_{1}« in »e_{1}« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p175">S. 175</a> »Brison« in »Bryson« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p180">S. 180</a> »ἁι ατομοι« in »ὁι ατομοι« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p184">S. 184</a> »U. v. Willamowitz« in »U. v. Wilamowitz« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p189">S. 189</a> »transcendentale« in »transzendentale« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p189">S. 189</a> »transscendentale« in »transzendentale« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p190">S. 190</a> »aus den Gedankengang« in »aus dem Gedankengang« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p191">S. 191</a> »gegebnen« in »gegebenen« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p191">S. 191</a> »gegebnes« in »gegebenes« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p192">S. 192</a> »amicicior« in »amicior« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p192">S. 192</a> »injecit« in »iniecit« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p194">S. 194</a> »διαπλασιασμός« in »διπλασιασμός« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p194">S. 194</a> »numero« in »numeroque« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p195">S. 195</a> »gegebnen« in »gegebenen« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p196">S. 196</a> »Abscrissenaxe« in »Abscissenaxe« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p196">S. 196</a> »verificieren« in »verifizieren« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p197">S. 197</a> »Daß« in »Dass« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p198">S. 198</a> »Nektanabos« in »Nektanebos« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p198">S. 198</a> »8 · 357« in »8 · 354« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p200">S. 200</a> »ΗΔ« in »ΕΔ« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p202">S. 202</a> »15 50« in »1550« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p202">S. 202</a> »ganz Teil« in »ganzer Teil« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p204">S. 204</a> »klassisischen« in »klassischen« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p206">S. 206</a> »Eudoxes« in »Eudoxos« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p208">S. 208</a> »Méneichmos« in »Menaichmos« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p208">S. 208</a> »Eutoxios« in »Eutokios« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p209">S. 209</a> »deren Ache« in »deren Axe« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p211">S. 211</a> »= o« in »= 0« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p213">S. 213</a> »Unendlich-kleinen und -grossen« in »Unendlich kleinen und grossen« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p216">S. 216</a> »naturwissenschaftlichen« in »naturwissenschaftlichem« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p217">S. 217</a> »auf und abgehend« in »auf- und abgehend« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p218">S. 218</a> »Znnächst« in »Zunächst« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p219">S. 219</a> »bewunderswertesten« in »bewundernswertesten« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p223">S. 223</a> »wiederspruchsfreie« in »widerspruchsfreie« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p224">S. 224</a> »praestabilitierte Harmonie« in »praestabilierte Harmonie« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p226">S. 226</a> »unserer Intellekts« in »unseres Intellekts« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p226">S. 226</a> »uud« in »und« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p227">S. 227</a> »τονύν« in »το νύν« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p228">S. 228</a> »auf die Islam« in »auf den Islam« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p228">S. 228</a> »Metereologie« in »Meteorologie« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p228">S. 228</a> »500 Jahr« in »500 Jahre« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p231">S. 231</a> »Alexandrischen Schule« in »Alexandrinischen Schule« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p231">S. 231</a> »gegebenene« in »gegebene« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p232">S. 232</a> »lectio sphärica« in »lectio sphaerica« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p233">S. 233</a> »Katoptik« in »Katoptrik« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p234">S. 234</a> »bedeuterenden« in »bedeutenderen« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p234">S. 234</a>f »Resumé« in »Résumé« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p235">S. 235</a> »Appollonios« in »Apollonios« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p238">S. 238</a> »Dodecaëder« in »Dodekaëder« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p240">S. 240</a> »festellen« in »feststellen« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p242">S. 242</a> »Anarizi« in »An-Narizi« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p243">S. 243</a> »Neupythagoräismus« in »Neupythagoreismus« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p244">S. 244</a> »Ishak« in »Ishaq« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p245">S. 245</a> »Konrad Dasypodios« in »Conrad Dasypodius« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p245">S. 245</a> »Mathesis juvenalis« in »Mathesis juvenilis« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p245">S. 245</a> »Melanchtons« in »Melanchthons« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p245">S. 245</a> »Rechtek« in »Rechteck« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p246">S. 246</a> »ententlehnt« in »entlehnt« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p246">S. 246</a> »garnicht« in »gar nicht« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p249">S. 249</a> »Vatikanus« in »Vaticanus« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p257">S. 257</a> »2 · 3 · 5 · 7 · 9 · 11 · 13 + 1 = 30031« in »2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 + 1 = 30031« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p257">S. 257</a> »Königo« in »Könige« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p261">S. 261</a> »δός μοι πᾷ βῶ καὶ τὰν γᾶν κινῶ« in »δός μοι πᾷ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινήσω« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p262">S. 262</a> »Gélon« in »Gelon« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p264">S. 264</a> »complectantem« in »complectentem« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p265">S. 265</a> »Prostestantischen« in »Protestantischen« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p265">S. 265</a> »Archityp« in »Archetyp« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p266">S. 266</a> »Federigo Commandino« in »Federico Commandino« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p267">S. 267</a> »Thâbit ibn Quorra« in »Thabit ibn Qurrah« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p272">S. 272</a> »sphära« in »sphaera« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p273">S. 273</a> »√(a^2 ± b) < a ± b/(2a + 1)« in »√(a^2 ± b) > a ± b/(2a ± 1)« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p378">S. 378</a> »Kopernicus« in »Kopernikus« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p282">S. 282</a> »κυκλου μετρησις« in »κυκλου μετρησις« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p282">S. 282</a> »γεδϡοϛι« in »γεδϡο« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p282">S. 282</a> »76.« in »7.« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p282">S. 282</a> »1009116½« in »1009166½« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p283">S. 283</a> »ΘιϡϛΘ.ΘιϡϛΘ« in »ΘιϡϟΘ.ΘιϡϟΘ« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p283">S. 283</a> »dis er« in »die er« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p284">S. 284</a> »Eratosthemes« in »Eratosthenes« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p285">S. 285</a> »Erathostenes« in »Eratosthenes« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p286">S. 286</a> »Kalimachos« in »Kallimachos« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p286">S. 286</a> »Helene« in »Hellene« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p287">S. 287</a> »Erathostenes« in »Eratosthenes« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p287">S. 287</a> »etnographisch« in »ethnographisch« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p288">S. 288</a> »αρχειας« in »αρχαίας« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p289">S. 289</a> »Es ist ist« in »Es ist« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p290">S. 290</a> »frühstens« in »frühestens« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p291">S. 291</a> »Federigo Commandino« in »Federico Commandino« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p291">S. 291</a> »Tabit ibn Quorrah« in »Thabit ibn Qurrah« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p293">S. 293</a> »Mimina« in »Minima« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p293">S. 293</a> »x = o, z = o, und y = o, u = o« in »x = 0, z = 0, und y = 0, u = 0« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p295">S. 295</a> »Hyberbel« in »Hyperbel« geändert. </li> -<li><a href="#Seite_p296">S. 296</a> »<i>O</i>-Kreise« in »0-Kreise« geändert. </li> -<li><a href="#Seite_p297">S. 297</a> »Hyberbel« in »Hyperbel« geändert. </li> -<li><a href="#Seite_p297">S. 297</a> »Patricier« in »Patrizier« geändert. </li> -<li><a href="#Seite_p299">S. 299</a> »υμδκαι« in »υμδ και« geändert. </li> -<li><a href="#Seite_p299">S. 299</a> »Woepke« in »Woepcke« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p299">S. 299</a> »Appollonios« in »Apollonios« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p299">S. 299</a> »vindiciert« in »vindiziert« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p300">S. 300</a> »Problemenklassen« in »Problemklassen« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p303">S. 303</a> »Irisektion« in »Trisektion« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p303">S. 303</a> »x Axe« in »x-Axe« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p303">S. 303</a> »Wölfings« in »Wölffings« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p303">S. 303</a> »angegebnen« in »angegebenen« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p306">S. 306</a> »von von« in »von« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p306">S. 306</a> »<i>O</i>-Punkt« in »0-Punkt« geändert. </li> -<li><a href="#Seite_p307">S. 307</a> »Querstecken« in »Querstrecken« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p309">S. 309</a> »Autentizität« in »Authentizität« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p310">S. 310</a> »regelmäßige« in »regelmässige« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p311">S. 311</a> »des erste« in »das erste« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p314">S. 314</a> »schliesen« in »schliessen« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p316">S. 316</a> »Exerpte« in »Excerpte« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p334">S. 334</a> »liber geoponikus« in »liber geoponicus« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p318">S. 318</a> »69 und 125« in »64 und 125« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p318">S. 318</a> »Verfahfahren« in »Verfahren« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p318">S. 318</a> »Näherungwerte« in »Näherungswerte« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p318">S. 318</a> »265/133« in »265/153« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p318">S. 318</a> »1351/180« in »1351/780« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p320">S. 320</a> »Ktesebios« in »Ktesibios« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p326">S. 326</a> »Katatoptrik« in »Katoptrik« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p339">S. 339</a> »grader« in »gerader« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p331">S. 331</a> »Appollonios« in »Apollonios« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p334">S. 334</a> »liber geoponikus« in »liber geoponicus« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p335">S. 335</a> »wie ΑΔ zu ΑΗ« in »wie ΑΔ zu ΔΗ« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p335">S. 335</a> »ΓΒ : ΒΓ wie ΒΛ : ΕΗ« in »ΓΒ : ΒΘ wie ΒΛ : ΕΗ« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p336">S. 336</a> »terminus technikus« in »terminus technicus« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p336">S. 336</a> »271875 : 67441« in »211875 : 67441« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p336">S. 336</a> »Kotangenten« in »Cotangenten« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p337">S. 337</a> »Spärik« in »Sphärik« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p338">S. 338</a> »Ubersetzer« in »Übersetzer« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p338">S. 338</a> »science« in »scienze« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p339">S. 339</a> »graden« in »geraden« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p341">S. 341</a> »nitidam« in »nitidum« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p342">S. 342</a> »Seneka« in »Seneca« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p342">S. 342</a> »Eklecticismus« in »Eklekticismus« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p342">S. 342</a> »geocentrischen« in »geozentrischen« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p342">S. 342</a> »Metereologe« in »Meteorologe« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p343">S. 343</a> »vg.« in »vgl.« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p346">S. 346</a> »Parellelentheorie« in »Parallelentheorie« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p348">S. 348</a> »Isidoros von Sevilla« in »Isidorus von Sevilla« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p348">S. 348</a> »594« in »600« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p350">S. 350</a> »δ« in »κδ« geändert (1-mal-1 Tabelle).</li> -<li><a href="#Seite_p351">S. 351</a> »A. Boecks« in »A. Boeckhs« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p351">S. 351</a> »R. Balzers« in »R. Baltzers« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p353">S. 353</a> »Fransösisch« in »Französisch« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p353">S. 353</a> »πυθαγορικων« in »πυθαγορείων« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p355">S. 355</a> »Philosopie« in »Philosophie« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p355">S. 355</a> »Zarathusthra« in »Zarathustra« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p360">S. 360</a> »δυναμοκιβος« in »δυναμοκυβος« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p360">S. 360</a> »heist« in »heisst« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p362">S. 362</a> »giebt« in »gibt« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p363">S. 363</a> »rechtwinklingen« in »rechtwinkligen« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p367">S. 367</a>f »Vatikanus« in »Vaticanus« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p367">S. 367</a> »Federigo Commandino« in »Federico Commandino« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p372">S. 372</a> »Moslemin« in »Moslimen« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p373">S. 373</a> »Geschwindigheit« in »Geschwindigkeit« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p377">S. 377</a> »Aryer« in »Arier« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p379">S. 379</a> »Hellenentnm« in »Hellenentum« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p379">S. 379</a> »befriedigenste« in »befriedigendste« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p380">S. 380</a> »den Milesier« in »dem Milesier« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p381">S. 381</a> »Metereol.« in »Meteorol.« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p382">S. 382</a> »abgeschlossneren« in »abgeschlosseneren« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p384">S. 384</a> »vom Bösem« in »von Bösem« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p388">S. 388</a> »Amonios« in »Ammonios« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p388">S. 388</a> »Appolodoros« in »Apollodoros« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p389">S. 389</a> »Baudhayana« in »Baudhāyana« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p389">S. 389</a> »Berosos« in »Berossos« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p390">S. 390</a> »Boetius« in »Boëtius« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p391">S. 391</a> »Copernikus« in »Copernicus« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p391">S. 391</a> »Dupnis« in »Dupuis« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p391">S. 391</a> »Erathosthenes« in »Eratosthenes« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p391">S. 391</a> »Ermann« in »Erman« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p392">S. 392</a> »Euken« in »Eucken« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p392">S. 392</a> »Flynders Petrie« in »Flinders Petrie« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p393">S. 393</a> »Griffiths« in »Griffith« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p393">S. 393</a> »Halevy« in »Halévy« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p393">S. 393</a> »Hieronymus« in »Hieronymos« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p394">S. 394</a> »Isidorus von Milet« in »Isidoros von Milet« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p395">S. 395</a> »Kopernicus« in »Kopernikus« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p396">S. 396</a> »Northhampton« in »Northampton« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p396">S. 396</a> »Ottojano« in »Ottajano« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p398">S. 398</a> »Revillont« in »Revillout« geändert.</li> -<li><a href="#Seite_p398">S. 398</a> »Schack v. 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Redistribution is subject to the -trademark license, especially commercial redistribution. - -START: FULL LICENSE - -THE FULL PROJECT GUTENBERG LICENSE -PLEASE READ THIS BEFORE YOU DISTRIBUTE OR USE THIS WORK - -To protect the Project Gutenberg-tm mission of promoting the free -distribution of electronic works, by using or distributing this work -(or any other work associated in any way with the phrase "Project -Gutenberg"), you agree to comply with all the terms of the Full -Project Gutenberg-tm License available with this file or online at -www.gutenberg.org/license. - -Section 1. General Terms of Use and Redistributing Project -Gutenberg-tm electronic works - -1.A. By reading or using any part of this Project Gutenberg-tm -electronic work, you indicate that you have read, understand, agree to -and accept all the terms of this license and intellectual property -(trademark/copyright) agreement. 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INDEMNITY - You agree to indemnify and hold the Foundation, the -trademark owner, any agent or employee of the Foundation, anyone -providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works in -accordance with this agreement, and any volunteers associated with the -production, promotion and distribution of Project Gutenberg-tm -electronic works, harmless from all liability, costs and expenses, -including legal fees, that arise directly or indirectly from any of -the following which you do or cause to occur: (a) distribution of this -or any Project Gutenberg-tm work, (b) alteration, modification, or -additions or deletions to any Project Gutenberg-tm work, and (c) any -Defect you cause. - -Section 2. Information about the Mission of Project Gutenberg-tm - -Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of -electronic works in formats readable by the widest variety of -computers including obsolete, old, middle-aged and new computers. It -exists because of the efforts of hundreds of volunteers and donations -from people in all walks of life. - -Volunteers and financial support to provide volunteers with the -assistance they need are critical to reaching Project Gutenberg-tm's -goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will -remain freely available for generations to come. In 2001, the Project -Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure -and permanent future for Project Gutenberg-tm and future -generations. To learn more about the Project Gutenberg Literary -Archive Foundation and how your efforts and donations can help, see -Sections 3 and 4 and the Foundation information page at -www.gutenberg.org - - - -Section 3. Information about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation - -The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit -501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the -state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal -Revenue Service. The Foundation's EIN or federal tax identification -number is 64-6221541. Contributions to the Project Gutenberg Literary -Archive Foundation are tax deductible to the full extent permitted by -U.S. federal laws and your state's laws. - -The Foundation's principal office is in Fairbanks, Alaska, with the -mailing address: PO Box 750175, Fairbanks, AK 99775, but its -volunteers and employees are scattered throughout numerous -locations. Its business office is located at 809 North 1500 West, Salt -Lake City, UT 84116, (801) 596-1887. Email contact links and up to -date contact information can be found at the Foundation's web site and -official page at www.gutenberg.org/contact - -For additional contact information: - - Dr. Gregory B. Newby - Chief Executive and Director - gbnewby@pglaf.org - -Section 4. Information about Donations to the Project Gutenberg -Literary Archive Foundation - -Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide -spread public support and donations to carry out its mission of -increasing the number of public domain and licensed works that can be -freely distributed in machine readable form accessible by the widest -array of equipment including outdated equipment. Many small donations -($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt -status with the IRS. - -The Foundation is committed to complying with the laws regulating -charities and charitable donations in all 50 states of the United -States. 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Donations are accepted in a number of other -ways including checks, online payments and credit card donations. To -donate, please visit: www.gutenberg.org/donate - -Section 5. General Information About Project Gutenberg-tm electronic works. - -Professor Michael S. Hart was the originator of the Project -Gutenberg-tm concept of a library of electronic works that could be -freely shared with anyone. For forty years, he produced and -distributed Project Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of -volunteer support. - -Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed -editions, all of which are confirmed as not protected by copyright in -the U.S. unless a copyright notice is included. Thus, we do not -necessarily keep eBooks in compliance with any particular paper -edition. - -Most people start at our Web site which has the main PG search -facility: www.gutenberg.org - -This Web site includes information about Project Gutenberg-tm, -including how to make donations to the Project Gutenberg Literary -Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to -subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks. - - - -</pre> - -</body> -</html> diff --git a/old/62131-h/images/cover.jpg b/old/62131-h/images/cover.jpg Binary files differdeleted file mode 100644 index 45ed991..0000000 --- a/old/62131-h/images/cover.jpg +++ /dev/null diff --git a/old/62131-h/images/pg016_1.png b/old/62131-h/images/pg016_1.png Binary files differdeleted file mode 100644 index 5743b48..0000000 --- a/old/62131-h/images/pg016_1.png +++ /dev/null diff --git a/old/62131-h/images/pg016_2.png b/old/62131-h/images/pg016_2.png Binary files differdeleted file mode 100644 index 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