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If you are not located in the United States, you'll have -to check the laws of the country where you are located before using this ebook. - - - -Title: Grundzüge der Perspektive nebst Anwendungen - -Author: Karl Doehlemann - -Release Date: October 22, 2017 [EBook #55791] - -Language: German - -Character set encoding: UTF-8 - -*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK GRUNDZÜGE DER PERSPEKTIVE *** - - - - -Produced by The Online Distributed Proofreading Team at -http://www.pgdp.net - - - - - - - - - - Anmerkungen zur Transkription. - - Das Original ist in Fraktur gesetzt. - - Im Orginal gesperrter Text ist +so ausgezeichnet+. Im Original in - Antiqua gesetzter Text ist ~so markiert~. Im Original kursiver - Text ist _so gekennzeichnet_. Im Original fetter Text ist =so - dargestellt=. - - Hochgestellte Sterne sind so dargestellt: _A^*_. - - Tiefgestellte Indizes sind so dargestellt: _F_{b}_. - - Weitere Anmerkungen zur Transkription finden sich am Ende des - Buches. - - - - -Die Sammlung - -»Aus Natur und Geisteswelt« - - -nunmehr schon über 500 Bändchen umfassend, will die Errungenschaften -von Wissenschaft, Kunst und Technik weiteren Kreisen zugänglich machen -und einem jeden die Möglichkeit bieten, auch auf ihm ferner liegenden -Gebieten deren Fortschritte zu verfolgen. - -Sie bietet wirkliche »+Einführungen+« in die Hauptwissensgebiete für -den Unterricht oder Selbstunterricht, wie sie den heutigen methodischen -Anforderungen entsprechen -- ein Bedürfnis erfüllend, dem Skizzen mit -dem Charakter von »+Auszügen+« aus großen Lehrbüchern nie entsprechen -können, da solche vielmehr eine Vertrautheit mit dem Stoffe schon -voraussetzen. - -Damit sie stets auf die Höhe der Forschung gebracht werden können, sind -die Bändchen nicht, wie die anderer Sammlungen, stereotypiert, sondern -werden -- was freilich die Aufwendungen sehr wesentlich erhöht -- bei -jeder Auflage durchaus neu bearbeitet und völlig neu gesetzt. So konnte -der Sammlung auch der Erfolg nicht fehlen. Über 200 Bändchen liegen -bereits in 2. bis 6. Auflage vor, insgesamt hat sie bis jetzt eine -Verbreitung von über 3 Millionen Exemplaren gefunden. - -In den Dienst dieser Aufgabe haben sich darum auch in dankenswerter -Weise von Anfang an die besten Namen gestellt, gern die Gelegenheit -benutzend, sich an weiteste Kreise zu wenden, der Gefahr der -»Spezialisierung« unserer Kultur entgegenzuarbeiten an ihrem Teil -bestrebt. - -So vermag die Sammlung dem Leser ein Verständnis dafür zu vermitteln, -wie die moderne Wissenschaft es erreicht hat, über wichtige Fragen von -allgemeinem Interesse Licht zu verbreiten, und ihn dadurch zu einem -+selbständigen+ Urteil zu befähigen. - -Alles in allem sind die schmücken, gehaltvollen Bände, denen von -Professor +Tiemann+ ein neues künstlerisches Gewand gegeben, durchaus -geeignet, die Freude am Buche zu wecken und daran zu gewöhnen, einen -kleinen Betrag, den man für Erfüllung körperlicher Bedürfnisse nicht -anzusehen pflegt, auch für die Befriedigung geistiger anzuwenden. Durch -den billigen Preis ermöglichen sie es tatsächlich jedem, auch dem -wenig Begüterten, sich eine Bibliothek zu schaffen, die das für ihn -Wertvollste »Aus Natur und Geisteswelt« vereinigt. - - Jedes der meist reich illustrierten Bändchen - ist in sich abgeschlossen und einzeln käuflich - -Jedes Bändchen geheftet Mark 1.--, in Leinwand gebunden Mark 1.25 -Werke, die mehrere Bändchen umfassen, auch in +einem+ Band gebunden - - Leipzig, 1. Januar 1915 - B. G. Teubner - - - - -Jedes Bändchen geheftet M. 1.--, in Leinwand gebunden M. 1.25 - -*) auf Wunsch auch in Halbpergamentbänden zu M. 2.-- - - -Zur bildenden Kunst, Musik und Schauspielkunst - -sind bisher erschienen: - - -[Allgemeine Kunstwissenschaft, Kunstpflege] - -=Bau und Leben der bildenden Kunst.= Von Direktor Professor ~Dr.~ +Th. -Volbehr+. 2. Auflage. Mit 44 Abbildungen. (Bd. 68.*) - -=Ästhetik.= Von Professor ~Dr.~ R. +Hamann+. (Bd. 345.*) - -=Kunstpflege in Haus und Heimat.= Von Superintendent +R. Bürkner+. 2. -Auflage. Mit 29 Abbildungen. (Bd. 77.) - - -[Kunstgewerbe] - -=Deutsche Kunst im täglichen Leben bis zum Schlusse des 18. -Jahrhunderts.= Von Professor ~Dr.~ +B. Haendcke+. Mit 63 Abbildungen. -(Bd. 198.) - -=Geschichte der Gartenkunst.= Von Regierungs-Baumeister +Chr. Ranck+. -Mit 41 Abbildungen. (Bd. 274.) - - -[Kunstgeschichte] - -=Die Entwicklungsgeschichte der Stile in der bildenden Kunst.= Von -~Dr.~ +E. Cohn-Wiener+. 2 Bände. Mit zahlreichen Abbildungen. (Auch in -1 Band gebunden.) - -Bd. I: Vom Altertum bis zur Gotik. Mit 57 Abbild. (Bd. 317.*) - -Bd. II: Von der Renaissance bis zur Gegenwart. Mit 31 Abbildungen. (Bd. -318.*) - - -[Alte Kunst] - -=Die Blütezeit der griechischen Kunst im Spiegel der Reliefsarkophage.= -Eine Einführung in die griechische Plastik. Von ~Dr.~ +H. Wachtler+. -Mit 8 Tafeln und 82 Abbild. (Bd. 272.*) - -=Die dekorative Kunst des Altertums.= Von ~Dr.~ +Fr. Poulsen+. Mit 112 -Abbildungen. (Bd. 454.*) - -=Pompeji, eine hellenistische Stadt in Italien.= Von Professor ~Dr.~ -+Fr. v. Duhn+. 2. Auflage. Mit 62 Abbildungen. (Bd. 114.) - -=Michelangelo.= Eine Einführung in das Verständnis seiner Werke. Von -Professor ~Dr.~ +E. Hildebrandt+. Mit 44 Abbildungen. (Bd. 392.*) - -=Die Renaissancearchitektur in Italien I.= Von ~Dr.~ +P. Frankl+. Mit -12 Tafeln und 27 Textabbildungen. (Bd. 381.*) - - -[Neuere Kunst] - -=Die altdeutschen Maler in Süddeutschland.= Von +H. Nemitz+. Mit einem -Bilderanhang (Bd. 464.*) - -=Albrecht Dürer.= Von ~Dr.~ +R. Wustmann+. Mit 33 Abbildungen. (Bd. -97.*) - -=Rembrandt.= Von Professor ~Dr.~ +P. Schubring+. Mit 50 Abbildungen. -(Bd. 158.*) - -=Niederländische Malerei im 17. Jahrhundert.= Von ~Dr.~ +H. Jantzen+. -Mit zahlreichen Abbildungen. (Bd. 373.*) - -=Deutsche Baukunst im Mittelalter.= Von Professor ~Dr.~ +A. Matthaei+. -3. Auflage. Mit 29 Abbildungen. (Bd. 8.*) - - -[Neuere Kunst] - -=Deutsche Baukunst seit dem Mittelalter bis zum Ausgang des 18. -Jahrhunderts.= Von Professor ~Dr.~ +A. Matthaei+. Mit 62 Abbildungen -und 3 Tafeln. (Bd. 326.*) - -=Deutsche Baukunst im 19. Jahrhundert.= Von Professor ~Dr.~ +A. -Matthaei+. Mit 35 Abbildungen. (Bd. 453.*) - - -[19. Jahrh.] - -=Die deutsche Malerei im 19. Jahrhundert.= Von Professor ~Dr.~ +R. -Hamann+. 2 Bände Text, 2 Bände mit 57 ganzseitigen und 200 halbseitigen -Abbildungen. (Bd. 448--451, in 2 Doppelbänden, auch in 1 Halbpergament -zu M. 6.--) - -=Die Maler des Impressionismus.= Von Professor ~Dr.~ +B. Lázàr+. Mit 32 -Abbildungen und 1 farbigen Tafel. (Bd. 395.*) - - -[Orient.] - -=Ostasiatische Kunst und ihr Einfluß auf Europa.= Von Direktor -Professor ~Dr.~ +R. Graul+. Mit 49 Abbildungen. (Bd. 87.) - - -[Neuere Musikgeschichte] - -=Haydn, Mozart, Beethoven.= Von Professor ~Dr.~ +C. Krebs+. 2. Auflage. -Mit 4 Bildnissen. (Bd. 92.) - -=Die Blütezeit der musikalischen Romantik in Deutschland.= Von ~Dr.~ -+E. Istel+. Mit 1 Silhouette. (Bd. 239.) - -=Das Kunstwerk Richard Wagners.= Von ~Dr.~ +E. Istel+. Mit 1 Bildnis -Richard Wagners. (Bd. 330.) - -=Die moderne Oper.= Von ~Dr.~ +E. Istel+ (Bd. 495.) - - -[Musiktheorie] - -=Die Grundlagen der Tonkunst.= Versuch einer genetischen Darstellung -der allgemeinen Musiklehre. Von Professor ~Dr.~ +H. Rietsch+. (Bd. 178.) - -=Musikalische Kompositionsformen.= Von +S. G. Kallenberg+. 2 Bände. -(Bd. 412, 413, auch in 1 Band gebunden.) - -Bd. I: Die elementaren Tonverbindungen als Grundlage der Harmonielehre. -(Bd. 412.) - -Bd. II: Kontrapunktik und Formenlehre. (Bd. 413.) - -=Die Instrumente des Orchesters.= Von Professor ~Dr.~ +Fr. Volbach+. -Mit 60 Abbildungen. (Bd. 384.) - -=Das moderne Orchester in seiner Entwicklung.= Von Prof. ~Dr.~ +Fr. -Volbach+. Mit Partiturbeispielen u. 3 Tafeln. (Bd. 308.) - -=Klavier, Orgel, Harmonium.= Das Wesen der Tasteninstrumente. Von -Professor ~Dr.~ +O. Bie+. (Bd. 325.) - - -[Schauspielkunst] - -=Das Theater.= Schauspielhaus und Schauspielkunst vom griechischen -Altertum bis auf die Gegenwart. Von ~Dr.~ +Chr. Gaehde+. 2. Auflage. -Mit 18 Abbildungen. (Bd. 230.) - - -+Weitere Bände befinden sich in Vorbereitung.+ - - - - - Aus Natur und Geisteswelt - - Sammlung wissenschaftlich-gemeinverständlicher Darstellungen - - 510. Bändchen - - Grundzüge der Perspektive - nebst Anwendungen - - Von - - ~Dr.~ Karl Doehlemann - - O. ö. Professor an der Kgl. Technischen Hochschule in - München - - Mit 91 Figuren und 11 Abbildungen - - [Illustration] - - Druck und Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin 1916 - - - - -Alle Rechte, einschließlich des Übersetzungsrechts, vorbehalten. - - - - -Vorwort. - - -Die Darstellung der Grundzüge der Perspektive und ihrer Anwendungen, -wie sie im folgenden gegeben wird, ist hervorgegangen aus öffentlichen -Vorträgen, die ich seit einer langen Reihe von Jahren in München im -Volkshochschulverein halte und die von einem Publikum besucht sind, das -sich aus allen Ständen und Berufsklassen zusammensetzt. - -Um eine schriftliche Bearbeitung dieses Gegenstandes weiteren Kreisen -zugänglich zu machen, schien es mir vor allem notwendig, das Buch -mit möglichst zahlreichen Figuren auszustatten. Fast jeder größeren -Aufgabe ist noch eine eigene Figur beigegeben, welche die Lage des -darzustellenden Gegenstandes gegen die Bildtafel wiedergibt und eine -genaue Vorstellung der räumlichen Anordnung und der vorzunehmenden -geometrischen Überlegungen ermöglichen soll. Bei der Wahl der -abzubildenden Gegenstände war die Klarheit und Übersichtlichkeit des -Bildes maßgebend. Es mußten deswegen einfache Formen gewählt werden und -diese konnten nicht immer auch in ästhetischer Hinsicht befriedigen. - -Was die Abgrenzung des Stoffes betrifft, so wurde in einem einleitenden -Abschnitt die Darstellung eines Gegenstandes in Grund- und Aufriß -erörtert. Ich wüßte nicht, wie man das umgehen könnte. Denn es ist für -den Anfänger doch unerläßlich, daß er sich einen Körper, den er in -Perspektive setzt, vorher seiner Größe und Lage nach genau bestimmt. - -In bezug auf Strenge der Entwicklung bin ich so weit gegangen, als -es bei einer für weitere Kreise bestimmten Darstellung angängig ist: -Das ist nötig, um eine sichere Grundlage zu gewinnen. Mit allgemeinen -und verschwommenen Redensarten ist demjenigen nicht gedient, der +zu -klaren+ Begriffen und Vorstellungen in dem hier behandelten Gebiete -gelangen will. - -Was viele von der Beschäftigung mit der Perspektive abhält, ist -der Umstand, daß diese Disziplin sich ohne Geometrie, also ohne -mathematische Betrachtungen, nicht behandeln läßt. In der Tat werden -wir im Laufe unserer Betrachtungen einige einfache Sätze aus der -Planimetrie und der Stereometrie voraussetzen müssen. Aber darin -liegen nicht die eigentlichen Schwierigkeiten. Diese Sätze werden die -Leser verhältnismäßig leicht verstehen oder als anschauliche Tatsachen -hinnehmen. Die Hauptschwierigkeit wird vielmehr die sein, daß mit all -den Figuren, die im folgenden zu zeichnen sind, gewisse räumliche -Vorstellungen und Überlegungen zu verbinden sind. Es wird nur durch -Nachdenken möglich sein, sich in diese Dinge hineinzuleben. Nur auf -diesem Wege wird man den Begriff des gesetzmäßigen, mathematischen -Bildes gewinnen. Das aber ist für viele Berufsarten nötig, namentlich -in der Gegenwart, in der neben dem geschriebenen und gedruckten Wort -das +Bild+ die Welt beherrscht. - - - - -Inhaltsübersicht. - - - Seite - - Vorwort III - - Einleitung: Zwei verschiedene Arten von geometrischen - Bildern 1 - - § 1. Das perspektivische Bild 1 - - § 2. Der gerade Riß 6 - - Der perspektivische Entwurf 13 - - § 3. Die Schnittmethode 13 - - § 4. Der Satz vom Fluchtpunkt 20 - - § 5. Andere Bestimmung eines perspektivischen Bildes 24 - - § 6. Darstellung eines möglichst einfach gelegenen - Quadrates der Grundebene. Anwendungen dieser - Konstruktion. Tiefenmaßstab 27 - - § 7. Darstellung beliebiger, geradliniger Figuren der - Grundebene 33 - - § 8. Darstellung einfacher Körper, die sich auf der - Grundebene erheben 41 - - § 9. Schiefe Linien im Raume 59 - - § 10. Der photographische Apparat 64 - - § 11. Die Wahl der Distanz 67 - - § 12. Unzugängliche Distanz und Fluchtpunkte 75 - - § 13. Gleichzeitige Anwendung der verschiedenen Methoden 86 - - § 14. Die Darstellung des Kreises 90 - - § 15. Einfache Schattenkonstruktionen 96 - - § 16. Künstlerische Freiheiten 99 - - Literaturverzeichnis 102 - - Sachregister 103 - - - - -Einleitung. - -Zwei verschiedene Arten von geometrischen Bildern. - - -§ 1. Das perspektivische Bild. - -=1. Zweck einer Abbildung.= Nehmen wir an, wir betrachten irgendein -Raumobjekt, mag es nun eine Maschine oder ein Apparat sein, ein Werk -der Plastik oder der Architektur oder auch eine Landschaft. Wenn wir -dann über die gegenseitige Lage der einzelnen Teile des Objektes, -über die relativen Größenverhältnisse und schließlich auch über die -wirklichen Maße des Gegenstandes zu einem gewissen Urteil gelangt -sind, so daß der Gegenstand uns klar zum Bewußtsein gekommen ist, so -sagen wir, daß wir eine Vorstellung von dem Objekte haben. Der bloße -Anblick von einer Stelle aus wird meistens gar nicht dazu ausreichen. -Denn jedes Objekt verdeckt sich, wenn es nicht durchsichtig ist, zum -Teil selbst: wir werden vielmehr im allgemeinen mehrere Ansichten -brauchen. Bei kleineren Gegenständen genügen zu diesem Zwecke etwa -schon Bewegungen des Kopfes oder Oberkörpers. Ausgedehnteren Objekten -gegenüber, wie zum Beispiel bei einem Gebirgsstock, sind unter -Umständen ganze Wanderungen nötig, um eine wirkliche Anschauung -derselben zu gewinnen. - -+Bildliche Darstellungen irgendwelcher Art dienen nun in erster Linie -dem Zwecke, dem Beschauer die Möglichkeit zu bieten, sich von den -betreffenden Objekten eine Vorstellung zu bilden, ohne daß er sie -wirklich vor Augen hat. Die Bilder ersetzen also bis zu einem gewissen -Grade die Objekte.+ - -Sicher muß unser Vorstellungsvermögen schon ziemlich ausgebildet sein, -wenn wir uns auf Grund einer Zeichnung ein Objekt vorstellen können. -Aber wir eignen uns diese Fähigkeit durch fortgesetzte Übung an, fast -ohne es zu merken. Schon dem Kinde geben wir ein Bilderbuch in die -Hand; es vergleicht die Gegenstände in der Natur mit denen im Bilde -und lernt dadurch allmählich +Sehen+. So kommt es, daß heutzutage bei -uns auch der Ungebildete und Ärmste imstande ist, sich ein Gebäude -oder eine Landschaft einigermaßen vorzustellen, wenn er davon eine -Abbildung, etwa eine Photographie, zu sehen bekommt. - -[Illustration: Abb. 1.] - -Aus alledem folgt nun, daß eine bildliche Darstellung die Gegenstände -so wiedergeben muß, wie wir sie sehen, und wir werden deswegen aus -dem Vorgang des Sehens eine Definition für den Begriff des »Bildes« -abzuleiten haben. - -=2. Mechanische Vorrichtung zur Herstellung eines Bildes.= Zunächst -wollen wir jetzt eine Vorrichtung kennen lernen, welche es uns -ermöglicht, das, was wir ein »Bild« eines Gegenstandes nennen, -mechanisch herzustellen. Eine durchsichtige Glasplatte sei in einem -Holzrahmen vertikal vor uns aufgestellt. Hinter der Glasplatte, von -unserem Standpunkte aus gerechnet, befindet sich der abzubildende -Gegenstand. Wir sehen denselben durch die Glasplatte hindurch. Um die -Betrachtung zu vereinfachen, wollen wir das eine Auge schließen, also -den Gegenstand nur mit einem Auge betrachten. Aber auch dann würden wir -noch bei jeder Bewegung des Körpers oder Kopfes das Objekt in einer -anderen Ansicht erblicken; deswegen ist es weiter nötig, unser Auge -im Raume zu fixieren: man erreicht dies, indem man noch ein Stativ -mit einer undurchsichtigen Platte anbringt, in welche eine kleine -Öffnung, ein Guckloch, geschnitten ist. Wir wollen nun den Gegenstand -betrachten, indem wir das Auge ganz nahe an dieses Guckloch bringen; -dadurch ist dem Auge eine feste Stelle im Raume angewiesen. Man -vergleiche dazu auch die Abbildung 1, welche dem Buche von Albrecht -Dürer: »Unterweisung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheit«, -Nürnberg 1525, entnommen ist. Rechts erkennt man den von uns -beschriebenen Apparat, als Objekt dient der links im Lehnstuhl sitzende -Mann. - -Wir nehmen ferner an, daß die Glasplatte auf der dem Auge zugewandten -Seite so präpariert sei, daß wir auf ihr zeichnen können, was etwa -durch Bestreichen mit Damarlack zu erreichen wäre. Nun endlich gehen -wir dazu über, die Linien des Körpers, wie wir sie von dem Guckloch -aus sehen, +auf der Glasplatte nachzuzeichnen+. Es decken sich also -für mein Auge die gezeichneten Linien und die wirklichen Konturen des -Gegenstandes. - -Nachdem die Zeichnung fertiggestellt ist, denken wir uns das Objekt -entfernt. Die Glasplatte bestreichen wir auf der Rückseite mit weißer -Deckfarbe, so daß sie undurchsichtig wird; im übrigen bleibt sie an der -gleichen Stelle. Die auf der anderen Seite befindliche Zeichnung wird -dann auf das an dem Sehloch befindliche Auge annähernd den gleichen -Eindruck machen wie der Gegenstand selbst; ich werde ihn immer noch -vor mir zu sehen glauben. Weil also diese Zeichnung eine Vorstellung -des Gegenstandes in uns wachzurufen imstande ist, nennen wir sie ein -»Bild« des Gegenstandes. Freilich enthält unser Bild nur +Linien+; von -den Unterschieden der Helligkeit, von Licht und Schatten, von der Farbe -des Objektes haben wir ganz abgesehen. Aber man kann nicht alles auf -einmal erreichen; es wäre eine zweite Aufgabe, auch diese Eigenschaften -im Bilde wiederzugeben. Die erste und wichtigste Aufgabe ist jedenfalls -die Herstellung einer +Linienzeichnung+, welche die Umrisse und -überhaupt die wichtigsten Linien des Gegenstandes wiedergibt. Ja, sie -genügt in vielen Fällen schon ganz allein. Denn gerade die Linie wirkt -mit einer ganz wunderbaren Kraft und Stärke auf unsere Vorstellung. - -=3. Definition des perspektivischen Bildes.= Wir müssen jetzt aber -dazu übergehen, für den Begriff des Bildes eine mathematisch strenge -Herleitung zu geben, indem wir aus dem Vorgange des Nachzeichnens auf -der Glastafel das rein Geometrische herausschälen. - -[Illustration: Fig. 1.] - -Statt der Glastafel denken wir uns eine ebene Fläche, also eine -mathematische Ebene Π, gewählt; sie ist gegeben durch das Blatt Papier, -das Reißbrett oder die Schultafel, auf der die Zeichnung hergestellt -wird. Wir nennen diese Ebene kurz die »Bildebene« oder auch die -»Tafel«. Der abzuzeichnende Körper sei ebenfalls ein mathematischer, -nämlich ein Würfel _abcdefgh_. In Fig. 1 geben wir zunächst eine -Darstellung des ganzen Vorganges. Statt der kleinen Öffnung, durch -welche wir hindurchsehen, denken wir uns einen Punkt _O_ im Raume -gegeben, den wir in Erinnerung an unseren Apparat immer noch das -»Auge« nennen. Wenn wir ferner an dem Gegenstand einzelne Linien ins -Auge faßten und sie auf der Glastafel nachzeichneten, so lösen wir -jetzt diese Linien in einzelne Punkte auf und betrachten zunächst -einen Punkt des Körpers, z. B. die Ecke _a_. Was heißt es nun, daß -wir auf der Glasplatte die verschiedenen Punkte des Gegenstandes -nachzeichneten? Offenbar befinden sich dann der betreffende Punkt -_a_, die Bleistiftspitze _a'_, welche ihn auf der Glastafel markiert, -und das Guckloch in einer +geraden+ Linie. Denn wenn sich zwei Punkte -im Raume für mein Auge decken, so liegen sie auf einer Geraden durch -das Auge. Darauf beruht ja alles Visieren. Mathematisch ausgedrückt -heißt das aber folgendes: wir ziehen durch den Punkt _O_ eine Gerade -nach dem Punkte _a_ und bringen diese zum Schnitt mit der Bildtafel. -Der Schnittpunkt ist eben _a'_. Wir nennen _a'_ das »Bild« oder den -»Riß« des Punktes _a_. Die durch _O_ gehenden Geraden oder Strahlen -bezeichnen wir als »Projektionsstrahlen« oder »Projizierende Strahlen« -oder »Sehstrahlen«, den ganzen Vorgang als »Zentralprojektion«. - -[Illustration: Fig. 2.] - -Denken wir uns nach allen Punkten der Linien des Gegenstandes diese -Strahlen gezogen und mit der Bildebene zum Schnitt gebracht, so bilden -alle diese Schnittpunkte das, was wir »ein perspektivisches Bild« des -Objektes oder auch eine »Perspektive« des Würfels heißen. - -In Fig. 2 ist ein solches Bild _a'b'c'd'e'f'g'h'_ in seiner wahren -Gestalt wiedergegeben. Die Bildebene Π ist hier die Ebene des -Zeichenblattes. Oft wird auch nicht nur der ganze geometrische Prozeß, -sondern das Bild selbst als eine Zentralprojektion bezeichnet. Wie sich -für unser Auge die Ansicht eines Körpers ändert und immer wieder anders -erscheint, wenn wir unseren Standpunkt dem Körper gegenüber verändern, -so ist dieses perspektivische Bild auf der Bildtafel von zwei Faktoren -abhängig: nämlich erstens davon, wie der Punkt _O_ gegenüber der -Bildtafel angenommen wird, und zweitens davon, welche Lage der Körper -zur Bildtafel einnimmt. Sind aber der Punkt _O_ und der Körper fest -angenommen, so ist auch das Bild vollständig bestimmt. Man kann also -sagen: - - =Satz 1.= +Sind die Bildebene Π, das Auge _O_ und der Körper - im Raume gegeben, so erhält man das perspektivische Bild des - Körpers als den+ =Schnitt= +der nach den Punkten des Körpers - gehenden Projektionsstrahlen mit der Bildebene+. - -Unter »Perspektive« versteht man weiter auch die Lehre, wie man solche -Bilder unmittelbar auf der Zeichenfläche mit Bleistift, Lineal und -Zirkel konstruiert, ohne den mühsamen Prozeß des Nachzeichnens auf -einer Glastafel durchführen zu müssen. Da es sich für uns bloß um die -Wiedergabe der Linien des Körpers handelt, so spricht man auch von -»Linearperspektive« oder »Linienperspektive«. - -Solche perspektivische Bilder hat jeder schon oft gesehen; denn -jede Photographie ist eines. Wir werden später zeigen, daß der -photographische Apparat rein mechanisch derartige Bilder herstellt. - -Den Begriff der Zentralprojektion gewannen wir als eine Vereinfachung -des Vorganges des Nachzeichnens: er ist eine mathematische Abstraktion -aus dem Sehprozeß. Wir werden nicht erwarten dürfen, daß sich diese -mathematische Operation mit dem Begriff des Sehens deckt. Denn der -physiologische Vorgang des Sehens ist ja tatsächlich auch ein äußerst -verwickelter. Wir sehen nicht mit +einem+ Auge, sondern mit beiden -Augen, und wir halten die Augen nicht ruhig, sondern bewegen sie nach -allen Seiten hin und her; wir tasten den Körper mit den Augen förmlich -ab. Trotzdem leistet uns der Vorgang der Zentralprojektion schon in -seiner rohen Annäherung wertvolle Dienste. Denn die perspektivischen -Bilder sind unter allen gesetzmäßig definierten Abbildungen weitaus die -anschaulichsten und naturgetreuesten. Bevor wir aber dazu übergehen, -die Gesetze und Herstellungsweisen dieser Bilder zu erörtern, müssen -wir davon handeln, wie man noch auf +andere+ Weise Bilder oder -Abbildungen von räumlichen Gegenständen erhalten kann. - - -§ 2. Der gerade (rechtwinklige) Riß. - -=4. Die Senkrechte von einem Punkte auf eine Ebene.= Hängen wir einen -schweren Körper, z. B. eine kleine Metallkugel oder ein Gewicht, -vermittels eines Fadens etwa an der Decke eines Zimmers auf, so -nimmt der Faden, nachdem der Körper zur Ruhe gelangt ist, unter dem -Einfluß der Anziehung der Erde eine ganz bestimmte Lage an, welche -nach dem Erdmittelpunkt hin gerichtet ist. Wir nennen diese Richtung -»lotrecht« oder »vertikal«. Denken wir uns weiter unter dem Faden ein -Gefäß mit einer Flüssigkeit, z. B. Wasser oder Quecksilber, so bildet -deren Oberfläche eine Ebene, die wir als »wagrecht« oder »horizontal« -bezeichnen. Wir sagen dann weiter, daß die Richtung des Fadens auf -der Oberfläche der Flüssigkeit senkrecht stehe oder lotrecht zu ihr -sei. Das an einem Faden befestigte Gewicht liefert ja auch den sog. -»Senkel«, und mittels dieses allbekannten Instrumentes werden beim Bau -eines Hauses die Steine in horizontalen Lagen angeordnet und die Mauern -lotrecht aufgeführt. - -[Illustration: Fig. 3.] - -Diese physikalische Tatsache erleichtert dann aber das Verständnis für -den folgenden mathematischen - - =Satz 2.= »+Ist eine Ebene Π_{1} gegeben und ein Punkt _p_ außerhalb - derselben (Fig. 3), so kann man von dem Punkte auf diese Ebene - immer eine Senkrechte oder ein Lot fällen. Diese Senkrechte - schneidet die Ebene in einem Punkte, den wir _p_{1}_ nennen - wollen. Er mag der Fußpunkt der Senkrechten heißen. Der Abstand - des gegebenen Punktes von der gegebenen Ebene ist gleich der - Entfernung, welche der gegebene Punkt _p_ und der Fußpunkt _p_{1}_ - bestimmen, also = der Strecke _pp_{1}_.+« - -Die Ebene Π_{1} kann ganz beliebig im Raume liegen. Ist sie im besondern -eine wagrechte Ebene, so fällt die senkrechte zu ihr mit der -»Vertikalen« zusammen. - -[Illustration: Fig. 4.] - -=5. Der gerade (rechtwinklige) Riß.= Den Fußpunkt _p_{1}_ der von einem -Punkte _p_ auf eine Ebene Π_{1} gefällten Senkrechten nennt man den -+geraden+ oder +rechtwinkligen+ oder +orthogonalen+ Riß des Punktes -_p_ auf die Ebene Π_{1}. Die Ebene Π_{1} heißt wieder die Bildtafel, -Bildebene oder kurz Tafel. Statt Riß wird auch das Wort Projektion -gebraucht, das allerdings gleichzeitig den ganzen Vorgang bezeichnet. -Man sagt auch: der Punkt _p_ ist orthogonal auf die Ebene Π_{1} -projiziert worden. - -Was wir für einen einzelnen Punkt durchgeführt haben, können wir jetzt -auch auf einen Körper und die an ihm auftretenden Linien anwenden. -Es sei z. B. ein Würfel _abcdefgh_ gegeben und die Ebene Π_{1}; wir -erläutern den ganzen Vorgang, wie er sich im Raume abspielt, durch -die Fig. 4. _a_ sei eine Ecke des Würfels. Wir denken uns durch _a_ -das Lot zur Ebene Π_{1} gezeichnet, welches in _a_{1}_ die Tafel -Π_{1} durchsetzt. _a_{1}_ ist der gerade Riß des Punktes _a_. Eine -zweite Ecke _b_ des Würfels liefert ebenso den Riß _b_{1}_. Dann wird -man leicht einsehen, daß alle Punkte auf der Verbindungsstrecke _ab_ -Risse haben, welche auf der Verbindungsstrecke _a_{1}b_{1}_ liegen, d. -h. _a_{1}b_{1}_ ist der Riß von _ab_. Führen wir die Projektion für -alle Ecken und Kanten des Würfels durch, so erhalten wir die Figur -_a_{1}b_{1}c_{1}d_{1}e_{1}f_{1}g_{1}h_{1}_, die den orthogonalen Riß -des Würfels in der Ebene Π_{1} gibt. In Fig. 5 ist weiter ein solcher -Riß in seiner wahren Gestalt wiedergegeben. Dabei wurde also die Ebene -des Papiers als Tafel Π_{1} gewählt. Der Würfel selbst schwebt im Raume -über der Buchseite. - -Die Figur kann auch dazu dienen, folgenden übrigens leicht zu -beweisenden Satz zu veranschaulichen: - - =Satz 3.= +Die geraden Risse paralleler Geraden sind selbst - wieder parallel.+ - -Beispielsweise sind _ab_ und _cd_ zwei im Raume parallele Gerade, und -ihre Risse _a_{1}b_{1}_ und _c_{1}d_{1}_ sind ebenfalls parallel. - -Wir wollen nun noch eine ganz selbstverständliche Eigenschaft einer -solchen Darstellung kennen lernen. - -[Illustration: Fig. 5.] - -_A_ sei eine Gerade, welche senkrecht auf der Tafel Π_{1} steht (Fig. -6). Wählen wir auf ihr beliebig einen Punkt _a_, so fällt das Lot, das -man von ihm aus auf die Tafel fällen kann, natürlich mit der Geraden -_A_ zusammen, und der rechtwinklige Riß des Punktes _a_ wird der Punkt -_a_{1}_, in dem die Gerade _A_ die Bildebene durchbohrt. Aber auch -jeder andere Punkt _b_, _c_ ... von _A_ hat einen Riß _b_{1}_, _c_{1}_ -..., der stets mit _a_{1}_ sich deckt. Mit anderen Worten: Die Gerade -_A_, welche auf der Bildtafel senkrecht steht, hat als Riß einen Punkt, -ihren Schnittpunkt mit der Tafel. - -Stellen wir uns ferner eine Ebene _efki_ vor (Fig. 6), welche auf der -Bildebene senkrecht steht, also z. B. eine lotrechte, vertikale Mauer, -wenn Π_{1} horizontal gedacht wird, und ist _ef_ die Schnittlinie dieser -Ebene mit der Tafel, so fallen die geraden Risse aller Punkte dieser -Ebene auf die Linie _ef_. Eine solche Ebene hat demnach als Riß eine -Gerade, nämlich die Schnittlinie der Ebene mit der Tafel. - -[Illustration: Fig. 6.] - -Gerade und Ebenen, welche auf der Bildebene senkrecht stehen, -verschwinden folglich gewissermaßen im geraden Riß; aus dem Riß kann -man die Ausdehnung solcher Geraden und Ebenen nicht beurteilen. Ist z. -B. in Fig. 6 _defghikl_ ein Würfel, der mit seiner einen Fläche _defg_ -in der Tafel liegt, so ist der gerade Riß des Würfels eben dieses -Quadrat _defg_. Die vier Kanten _dh_, _ei_, _fk_, _gl_ erscheinen als -Punkte, und die vier Ebenen _deih_, _efki_, _fglk_ und _gdhl_, welche -auf der Tafel senkrecht stehen, gehen durch die Projektion in die -Geraden _de_, _ef_, _fg_, _gd_ über. Setzen wir aber auf diesen ersten -Würfel einen zweiten Würfel _hiklmnop_, so hat dieser zweite Würfel den -gleichen Riß _defg_, und auch das aus den beiden Würfeln bestehende -Prisma +defgmnop+ hat den Riß +defg+. Fig. 7 gibt wieder die wahre -Gestalt der Risse. - -[Illustration: Fig. 7.] - -Auch solche rechtwinklige Risse hat ein jeder schon gesehen. Denn jeder -+Plan+ einer Stadt ist ein derartiger Riß; die Bildtafel ist dabei -eine horizontale Ebene. Wir wollen dieses Beispiel aber auch noch dazu -benutzen, um uns darüber klar zu werden, mit welchem Rechte man auch -diese rechtwinkligen Risse als +Bilder+ der betreffenden Gegenstände -bezeichnet. Wir fragen uns mithin: von wo aus betrachtet sieht eine -Stadt so aus wie ihr Plan? Besteigen wir einen der Türme der Stadt -und blicken von ihm aus, also aus einer Höhe von vielleicht 100 ~m~, -auf dieselbe herunter, so wird nur die nächste Umgebung des Turmes so -erscheinen wie auf dem Plane. Von den weiter entfernt gelegenen Häusern -dagegen sehen wir noch Fenster, Türen usf. Steigen wir aber in einem -Ballon bis zu einer Höhe von etwa 1000 ~m~ über der Stadt auf, so wird -schon ein größerer, unmittelbar unter dem Ballon gelegener Teil der -Stadt uns so erscheinen, wie er auf dem Plane wiedergegeben ist. Je -höher wir uns über die Stadt erheben, um so mehr sehen wir die Stadt -unter uns so wie auf dem Plane. Aber erst wenn wir das Auge auf einer -Senkrechten zur Bildebene über alle Maßen weit entfernt denken (Fig. -6), dann würde es die Gegenstände so sehen, wie sie im rechtwinkligen -Riß dargestellt sind. Alle Sehstrahlen sind jetzt parallel, da sie alle -senkrecht auf der Bildebene stehen. Wir erkennen demnach: - - =Satz 4.= +Der rechtwinklige Riß eines Gegenstandes ist das - Bild, wie es einem Beobachter erscheint, der sich unendlich - weit von der Bildebene entfernt befindet und senkrecht auf sie - herunterschaut.+ - -Weil alle zur Bildebene senkrechten Abmessungen im rechtwinkligen Riß -verschwinden, so können wir aus einem Plan keinen Aufschluß gewinnen -über die Höhe der einzelnen Häuser, der Mauern, Türme. - -=6. Bestimmung eines Gegenstandes durch zwei rechtwinklige Risse.= -Ist es nun aber nicht möglich, einen Gegenstand +vollständig+ durch -Risse zu bestimmen, so daß alle Abmessungen desselben, Länge, Breite, -Höhe usf., aus den Darstellungen entnommen werden können? Da +ein+ -Riß in einer Ebene nach dem Obigen nicht genügt, so geben wir uns -noch einen +zweiten+ Riß in einer zweiten Tafel. Wir wählen also -noch eine zweite Bildtafel Π_{2}, die der Einfachheit wegen auf -der ersten Bildtafel Π_{1} senkrecht stehe. Die in Fig. 8 gegebene -Ansicht möge wieder dazu dienen, sich die räumlichen Überlegungen -klar zu machen. Es ist nun natürlich nötig, beide Tafeln und die in -ihnen liegenden Risse zu unterscheiden. Die Ecke _a_ des Würfels -liefert in der ersten Tafel Π_{1} den Riß _a_{1}_. Außerdem hat der -Punkt _a_ aber auch einen Riß in der zweiten Tafel. Wir erhalten -denselben nach unserer Definition, indem wir uns von _a_ eine -Senkrechte zu Π_{2} konstruiert denken. Durchsetzt diese Senkrechte -in _a_{2}_ die zweite Tafel, so ist dieser Punkt der Riß von _a_ in -der Π_{2}. Wir nennen _a_{1}_ den ersten, _a_{2}_ den zweiten Riß -des Punktes _a_. Wie ferner der Würfel _abcdefgh_ in der Π_{1} den -Riß _a_{1}b_{1}c_{1}d_{1}e_{1}f_{1}g_{1}h_{1}_ liefert, so läßt sich -nun auch der zweite Riß _a_{2}b_{2}c_{2}d_{2}e_{2}f_{2}g_{2}h_{2}_ -des Würfels in der Π_{2} konstruieren. Die beiden Risse werden also -durch die rechts unten angebrachten Zahlen unterschieden. Die erste -Tafel Π_{1} können wir uns als eine horizontale Ebene denken, und -wir nennen den in ihr gelegenen ersten Riß auch den »Grundriß« oder -die »Horizontalprojektion«. Die zweite Tafel Π_{2} ist dann eine -Vertikalebene, und der in ihr gelegene zweite Riß heißt auch »Aufriß« -oder die »Vertikalprojektion«. Was für den ersten Riß erörtert wurde, -gilt natürlich ganz ebenso auch für den zweiten. In Sonderheit -erscheinen wieder +Gerade+, welche zur Aufrißebene Π_{2} senkrecht -stehen, in ihr als +Punkte+ und +Ebenen+, welche auf Π_{2} senkrecht -stehen, bilden sich als +Gerade+ in der Π_{2} ab. - -[Illustration: Fig. 8.] - -Denken wir uns jetzt die beiden Tafeln Π_{1} und Π_{2} etwa in Holz -gefertigt und miteinander fest verbunden. Weiter sei ein Würfel im -Raume gegeben und in seiner Lage gegen die beiden Tafeln fixiert (Fig. -8). Wir wollen von dem Würfel den Grundriß und den Aufriß zeichnen. -Nachdem dieses geschehen ist, entfernen wir den Würfel. Dann ist durch -die beiden auf den Tafeln gezeichneten Risse der Würfel immer noch -bestimmt. Denn wir können von jeder seiner Ecken die Lage im Raume -bestimmen. In der Tat sind z. B. _a_{1}_ und _a_{2}_ die beiden Risse -einer Ecke, so errichten wir im Punkt _a_{1}_ der Grundrißebene eine -Senkrechte zur Π_{1}, und ebenso konstruieren wir im Punkte _a_{2}_ -der Aufrißebene eine Senkrechte zu ihr. Dann werden sich diese beiden -Lote schneiden, und ihr Schnittpunkt gibt die Ecke _a_. In der gleichen -Weise können wir für alle anderen Ecken des Würfels ihre Lage im Raume -bestimmen. Also ist auch der ganze Würfel dadurch festgelegt: es wäre -möglich, z. B. durch Stäbchen und Glasperlen die Ecken des Würfels -wirklich im Raume anzugeben. Überhaupt kann man sagen: - - =Satz 5.= +Sind die beiden Tafeln im Raume gegeben und in ihnen - die Risse eines Gegenstandes, in der richtigen Zuordnung, - so daß also von jedem Punkte die beiden Risse unterschieden - werden, so ist dadurch der Gegenstand und seine Lage im Raume - bestimmt.+ - -[Illustration: Fig. 9.] - -=7. Das Zusammenlegen der Tafeln.= Es wäre recht unbequem, wollte man -sich stets der beiden senkrecht zueinander befestigten Tafeln bedienen, -wenn man sich auf Grund irgendwelcher Risse einen Körper vorstellen -soll. Was wir wollen, ist eine auf +einem+ Blatte befindliche -Zeichnung, die dann bequem überall zu benutzen ist. Zu einer solchen -gelangen wir, wenn wir die zweite Tafel sich mit der ersten vereinigen -lassen. Es sei _K_ die Schnittlinie der beiden Tafeln (Fig. 9), die -wir kurz die +Kante+ nennen. Wir drehen nun die Π_{2} um _K_ wie um ein -Scharnier so lange, bis Π_{2} mit Π_{1} zusammenfällt. - -Die Figur 9 veranschaulicht wieder zunächst den räumlichen Vorgang. -Der beliebige Punkt _a_ hat als ersten Riß den Punkt _a_{1}_, als -zweiten Riß den Punkt _a_{2}'_ Es fragt sich, wohin _a_{2}'_ gelangt, -wenn die Aufrißebene Π_{2} durch die Drehung mit der Grundrißebene zur -Deckung gebracht wird. Die beiden Senkrechten _aa_{1}_ und _aa_{2}'_ -bestimmen doch eine Ebene, welche auf der Kante _K_ senkrecht steht. -Der Schnittpunkt dieser in Fig. 9 schraffierten Ebene mit der Kante -_K_ sei a. Es ist also jetzt sowohl _a_{1}_a ⊥ _K_[1] als auch -_a_{2}'_a ⊥ _K_. Bei der Drehung der Aufrißebene beschreibt _a_{2}'_ -einen Kreis mit dem Mittelpunkt a und dem Radius _a_{2}'_a, der in -der schraffierten Ebene _a_{1}aa_{2}'_a liegt. Ist also _a_{2}_ die -Lage, welche _a_{2}'_ nach Ausführung der Drehung annimmt, so muß auch -_a_{2}_a ⊥ _K_ sein; demnach fällt _a_{2}_ auf die Verlängerung der -Linie _a_{1}_a, und es ist _a_{2}_a = _a_{2}'_a. - - [1] ⊥ ist das Zeichen für senkrecht auf. - -[Illustration: Fig. 10.] - -In Fig. 10 bilden wir nun das Zeichenblatt selbst ab; es ist -gewissermaßen doppelt zu nehmen, da es sowohl die Grund- als die -Aufrißebene vorstellt. Die Kante _K_ ist als eine horizontale Linie -darauf gezeichnet. Dann müssen die beiden Risse _a_{1}_ und _a_{2}_ -offenbar auf einem Lote zur Kante _K_ gelegen sein; der Schnittpunkt -des Lotes _a_{1}a_{2}_ mit _K_ ist der Punkt a. Es folgt also: - - =Satz 6.= +Nach der Umlegung der Aufrißebene in die Grundrißebene - liegen die beiden Risse eines Punktes stets auf einer - Senkrechten zur Kante oder kurz auf einem Kantenlote.+ - -Geben wir uns irgend zwei Punkte, jedoch so, daß sie auf einer -Senkrechten zu _K_ liegen, und ist der eine durch die Bezeichnung -_a_{1}_ als erster Riß, der andere durch die Bezeichnung _a_{2}_ als -zweiter Riß gekennzeichnet, so bestimmen diese beiden Risse einen -ganz bestimmten Punkt _a_ im Raume. Um uns denselben vorzustellen, -denken wir uns die eine Hälfte des Zeichenblattes, in der _a_{2}_ -liegt, um _K_ in die Höhe gedreht, bis sie auf der anderen Hälfte des -Blattes senkrecht steht. Dann sind die beiden Tafeln in ihre wahre -Lage gebracht, und wir finden den Punkt _a_ auf die Weise wie es in 6. -auseinandergesetzt wurde. - -[Illustration: Fig. 11.] - -Einfacher ist es übrigens zu beachten, daß in Fig. 9 - - _aa_{1}_ = _a_{2}'_a = _a_{2}_a. - -Es gibt also in Fig. 10 die Strecke _a_{2}_a den Abstand des Punktes von -der Zeichenebene. Wir haben uns demnach in _a_{1}_ eine Senkrechte zur -Fläche des Papiers errichtet zu denken. Auf dieser Senkrechten liegt -der Punkt in einem Abstande von der Zeichenfläche, der durch _a_{2}a_ -gegeben ist. - -Es ist sehr nützlich sich zu überlegen, wie die beiden Risse eines -Punktes gelegen sind, wenn der betreffende Punkt verschiedene Lagen im -Raume annimmt. In den Figuren 9 und 10 ist noch ein zweiter Punkt _b_ -eingetragen. - -In Fig. 11 sind ferner die beiden Risse eines Würfels wirklich -gezeichnet, von dem die Fig. 8 die Lage im Raume angab. Diese -hier nur ihrem Wesen nach kurz skizzierte Methode des Grund- und -Aufrisses wird in der darstellenden Geometrie weiter ausgeführt. -Außer den perspektivischen Bildern und den geraden Rissen gibt es -noch eine dritte Art von Bildern, die sog. »+Schräg+bilder« oder -»+Parallelprojektionen+«. Bei ihnen ist die Projektionsrichtung nicht -senkrecht zur Bildebene, sondern beliebig gegen sie geneigt. Die in -diesem Buche zur Erläuterung beigegebenen Figuren, z. B. 1, 4, 6, -8, sind solche Schrägbilder. Man vergleiche darüber das Bändchen -»Projektionslehre« in dieser Sammlung. - -Nach diesen einleitenden Betrachtungen wollen wir uns nun eingehender -mit den perspektivischen Bildern beschäftigen. - - - - -Der perspektivische Entwurf. - - -§ 3. Die Schnittmethode. - -=8. Konstruktion eines perspektivischen Bildes aus Grund- und Aufriß.= -Soll von einem Gegenstande ein perspektivisches Bild gezeichnet werden, -so muß der Gegenstand selbst bekannt sein und außerdem die Lage des -Projektionszentrums (Auges) gegen die Bildebene. Es ist zunächst am -einfachsten, sich alle diese Stücke je durch Grund- und Aufriß zu -geben, so daß wir also folgende Elemente erhalten: ~a~) die Bildtafel -(Zeichenebene); ~b~) das Auge _O_; ~c~) den Gegenstand. Wir behandeln -wieder ein einfaches Beispiel. - - =Aufgabe 1.= Ein Würfel ist gegeben in Grund- und Aufriß, ebenso - das Auge _O_; man zeichne ein perspektivisches Bild des - Würfels, wenn die Bildebene auf der Kante des Tafelsystems - senkrecht steht. - -Die Bildebene Π gehe durch den Punkt _Z_ der Kante (Fig. 12) und -enthalte die beiden Linien _ZX_ und _ZY_, welche in der Π_{1} und -in der Π_{2} je senkrecht zur Kante _K_ gezogen werden können. -Gleichzeitig ist _ZX_ der erste und _ZY_ der zweite Riß der Bildebene -Π. Das Auge _O_ habe die Risse _O_{1}_ und _O_{2}_. Der abzubildende -Würfel _abcdefgh_ liegt mit der Fläche _abcd_ auf der Grundrißebene. -Wir haben nun den in 2. beschriebenen Vorgang +wirklich+ durchzuführen, -also die einzelnen Ecken des Würfels in die Ebene Π zu projizieren. -Führen wir dies etwa für die Ecke _e_ durch.[2] Wir verbinden _O_ mit -_e_, dann ist _O_{1}e_{1}_ der erste Riß, _O_{2}e_{2}_ der zweite Riß -dieser Verbindungslinie. Der Schnittpunkt von _Oe_ mit Π sei _e'_; der -erste Riß von _e'_ kann nichts anderes sein als der Schnittpunkt von -_O_{1}e_{1}_ mit _ZX_. Diesen Punkt bezeichnen wir also mit _e_{1}'_. -Ebenso ist der zweite Riß des Punktes _e'_ der Schnittpunkt _e_{2}'_ -von _O_{2}e_{2}_ mit der Linie _ZY_. Natürlich fallen alle ersten Risse -unseres Bildes auf die Gerade _ZX_, alle zweiten auf _ZY_. - - [2] Wir raten dem Leser, alle Figuren stets nach den Angaben des - Textes +selbst+ herzustellen. Es erleichtert das Verständnis - ungemein, wenn man die Figur +allmählich+ entstehen sieht. - -[Illustration: Fig. 12.] - -Nun wollen wir aber doch das +Bild+ selbst in seiner wahrer Gestalt auf -unserem Zeichenblatte vor uns sehen. Um dieses zu erreichen, müssen -wir die Ebene Π herausheben und in die Zeichenebene legen. Das kann -man etwa in folgender Weise durchführen. Wir verschieben die Ebene Π -parallel zu sich selbst, bis sie durch den beliebigen Punkt (_Z_) der -Kante geht. Sie schneidet dann die Tafeln in den Loten (_Z_)(_X_) und -(_Z_)(_Y_). Nachdem dies geschehen, drehen wir die Ebene um die in der -Π_{2} gelegene Senkrechte _(Z)(Y)_ so lange, bis sie mit der Π_{2} sich -deckt. - -Verfolgen wir den Punkt _e'_ bei diesen verschiedenen Schritten. Bei -der Verschiebung der Ebene Π in die Lage (_Y_)(_Z_)(_X_) wird _e_{1}'_ -eine Parallele zur Kante beschreiben. Ziehen wir also durch _e_{1}'_ -eine Parallele zur Kante _K_, so schneidet diese die Linie (_Z_)(_X_) -in (_e_{1}'_). Bei der Drehung der Ebene beschreibt (_e_{1}'_) einen -Viertelskreis um (_Z_) und gelangt nach _e_{1}^*_. Dann liegt aber -der Punkt _e'_ auf der Senkrechten, welche in _e_{1}^*_ zur Kante -gezeichnet werden kann. Die Höhe, in welcher _e'_ über der Π_{1} liegt, -ist jedoch bei allen diesen Vorgängen die gleiche geblieben, und sie -ist durch _Ze_{2}'_ gegeben. Tragen wir also auf der in _e_{1}^*_ -errichteten Senkrechten diese Höhe an oder, was das gleiche ist, ziehen -wir durch _e_{2}'_ eine Parallele zur Kante, so schneidet diese auf der -Senkrechten in _e_{1}^*_ den Punkt _e'_ aus. - -Bequemer ist es, einfach (_Z_)_e_{1}^*_ = _Ze_{1}'_ mit dem Zirkel -auf der Kante anzutragen und auf der Senkrechten in _e_{1}^*_ dann -weiter _e_{1}^*e'_ = _Ze_{2}'_ abzuschneiden. Man kann dazu auch noch -Fig. 1 vergleichen. Dort ist die erste Tafel Π_{1} angegeben als eine -horizontale Ebene, die zweite Tafel ginge durch _K_ und _AY_. Vom -Punkte _e'_ sind die Risse _e_{1}_ und _e_{2}_ eingetragen. - -Ganz in entsprechender Weise konstruiert man die Bilder der übrigen -Ecken und erhält so das Bild _a'b'c'd'e'f'g'h'_ des Würfels. Um -die Bildwirkung zu erhöhen, denkt man sich den Würfel aus einem -undurchsichtigen Material (Holz, Gips) und zeichnet die Kanten, welche -man nicht sehen würde, bloß punktiert. In unserer Figur liegen dem -Auge zunächst die Kanten _bc_, _cg_, _gf_, _fb_ ferner _gh_, _he_, -_ef_. Diese müssen also ausgezogen werden. Die übrigen Kanten _cd_, -_da_, _ab_, _dh_, _he_, _ea_ werden dem in _O_ befindlichen Auge -durch den Würfel verdeckt; man hätte sie also streng genommen ganz -wegzulassen. Es ist aber nützlich, diese Kanten wenigstens punktiert -anzudeuten, um die mathematische Form besser zu übersehen. Man nennt -die Berücksichtigung dieser Verhältnisse die »Sichtbarkeit bzw. -Unsichtbarkeit«. - -Nun ist ein perspektivisches Bild für ein gewisses Projektionszentrum -konstruiert und muß von diesem aus betrachtet werden. Wir werden -deswegen verlangen, den Punkt im Raume anzugeben, von dem aus unser -Bild _b'c'g'h'e'f'_ zu betrachten ist. Zu diesem Zwecke fällen wir von -dem Zentrum _O_ aus auf die Bildebene Π die Senkrechte. Ihr erster -Riß ist eine Parallele durch _O_{1}_ zur Kante, ihr zweiter Riß eine -Parallele durch _O_{2}_ zur Kante. Der Fußpunkt dieser Senkrechten, -die auch in Fig. 1 eingetragen ist, heiße ~A~. Die Risse ~A_{1}~ und -~A_{2}~ desselben sind die Schnittpunkte der eben genannten Parallelen -mit _ZX_ bzw. _ZY_. Daraus finden wir die Lage von ~A~ wiederum, indem -wir zunächst die Parallele durch ~A_{1}~ und (_Z_)(_X_) zum Schnitt -bringen in (~A_{1}~), dann durch einen Viertelskreis (_Z_)~A_{1}^*~ = -(_Z_)(~A_{1}~) machen. Auf der in ~A_{1}^*~ errichteten Senkrechten -schneidet die Parallele durch ~A_{2}~ wieder den Punkt ~A~ aus. Jetzt -wissen wir also, daß unser Projektionszentrum auf der Senkrechten -liegt, die in ~A~ zur Zeichenebene gedacht werden kann. - -[Illustration: Fig. 13.] - -Weiter gibt nun aber die Strecke _O_{1}_~A_{1}~ oder auch -_O_{2}_~A_{2}~ die Entfernung, in der wir auf der genannten Senkrechten -in ~A~ zur Ebene des Blattes uns das Auge _O_ denken müssen. Bringen -wir unser Auge an die dadurch bestimmte Stelle im Raume, so wird das -Bild des Würfels den besten Eindruck machen. Allerdings hat man die -Figur viel größer, vielleicht drei- oder viermal so groß zu zeichnen, -da wir bei normalen Augen das Zeichenblatt wenigstens 25 ~cm~ von -unserem Auge entfernt halten müssen. - -Man nennt den Punkt ~A~ den »Haupt«- oder »Augpunkt«, und er ist wohl -zu unterscheiden von dem Projektionszentrum oder dem »Auge« _O_; die -Entfernung _O_~A~ des Projektionszentrums _O_ von der Bildebene, also -die Strecke _O_{1}_~A_{1}~ oder _O_{2}_~A_{2}~ heißt die »Distanz«. - -[Illustration: Abb. 2. - -Methode der mech. Konstruktion einer Perspektive mittels des Reileschen -Apparates.] - -=9. Apparat zur Konstruktion einer Perspektive.= Geht man vom Grundriß -des gegebenen Gegenstandes aus, so beruht das soeben durchgeführte -Verfahren wesentlich darauf, daß man die +Höhe+ ermittelt, in -der das Bild eines Punktes über der Grundrißebene lag. Statt der -Grundrißebene kann man auch die Ebene benutzen, welche man durch -das Auge _O_ parallel zur Grundrißebene legt. Diese Ebene heiße die -»+Horizontebene+« und sie schneidet die Bildebene Π in einer Geraden -_hh_, welche durch den Hauptpunkt ~A~ geht und der »+Horizont+« genannt -wird (Fig. 13). Es sei nun ein Punkt _a_ gegeben, der von _O_ aus -gerechnet +vor+ der Bildebene Π liegt, welch letztere die Grundrißebene -Π_{1} in der Geraden _gg_ schneidet. Dann können wir das Bild _a'_ -wieder in folgender Weise bestimmen. Die von _a_ auf Π_{1} gefällte -Senkrechte trifft Π_{1} im Risse _a_{1}_, die Horizontebene dagegen -im Punkte (_a_{1}_). Verbinden wir _O_{1}_ mit _a_{1}_, so ist dies -der Riß des Sehstrahles _Oa_. _O_{1}a_{1}_ trifft die Gerade (_gg_) in -_a_{1}'_, und auf der in _a_{1}'_ gelegenen Senkrechten liegt das Bild -_a'_. Schneidet diese Senkrechte den Horizont in (_a'_), so ist die -Linie _O_(_a'_) parallel zu _O_{1}a_{1}'_, und zur Berechnung der Höhe -_a'_(_a'_) kann die Proportion dienen: - - _a'_(_a'_)/_a_(_a_{1}_) = _O_(_a'_)/_O_(_a_{1}_). - -Das Verhältnis auf der rechten Seite darf zunächst durch _O_{1}a_{1}'_ -: _O_{1}a_{1}_ ersetzt werden. Zieht man ferner durch _a_{1}_ eine -Parallele zu _gg_, welche _O_{1}_~A_{1}~ in _X_ trifft, so wird dies -Verhältnis auch durch _O_{1}_~A_{1}~ : _O_{1}X_ gegeben, so daß man -schließlich erhält - - (1) _a'_(_a'_)/_a_(_a_{1}_) = _O_{1}_~A_{1}~/_O_{1}X_. - -Die Strecke _a_(_a_{1}_) kann aus dem Aufriß entnommen werden und ist -gleich der Höhe des Aufrisses über dem Horizont. - -Ist nun (Abbildung 2) der Grundriß in Fig. I, der Aufriß in Fig. II -gegeben und ist die Bildebene um _gg_ in die Grundrißebene umgeklappt, -so läßt sich aus der Proportion (1) in folgender Weise die Höhe -_a'_(_a'_) ermitteln. Man zieht durch den Riß _a_{1}_ eine Parallele -zu _hh_, welche auf _O_{1}_~A_{1}~ den Punkt _X_ liefert. Auf dieser -Parallelen trägt man ferner die Höhe ab, in der der Aufriß von _a_ über -dem +Horizont+ liegt, macht also _XY_ = _a_{2}a_{h}_, wo _a_{2}a_{h}_ -aus Fig. II zu entnehmen. Verbindet man diesen Punkt _Y_ mit _O_{1}_, -so schneidet diese Linie aus _gg_ den Punkt _B_{1}_ aus, und es gilt -nun die Proportion: - - (2) _B_{1}_~A_{1}~/_XY_ = _O_{1}_~A_{1}~/_O_{1}X_. - -Vergleicht man (1) und (2), so müssen also auch die linken Seiten -einander gleich sein, und da _XY_ = _a_{2}a_{h}_ = _a_(_a_{1}_), so ist -_B_{1}_~A_{1}~ = _a'_(_a'_). - -In _B_{1}_~A_{1}~ ist mithin die Höhe des Bildes von _a_ über dem -Horizont ermittelt. Verbindet man demnach noch _a_{1}_ mit _O_{1}_, so -liefert diese Linie auf _gg_ den Punkt _a_{1}'_. Auf dem in _a_{1}'_ -errichteten Lote liegt _a'_ und wird erhalten, wenn man vom Horizont -aus _B_{1}_~A_{1}~ anträgt, also (_a'_)_a'_ = _B_{1}_~A_{1}~ macht. - -Herr Kunstmaler Adolf +Reile+ in Stuttgart hat in der Zeitschrift -für gewerblichen Unterricht, Jahrg. XXX, 1915 Nr. 43 einen einfachen -Apparat angegeben, der diese von ihm abgeleitete Beziehung mechanisch -zu konstruieren gestattet. Zwei Reißschienen _L_ und _R_ sind durch ein -Gelenk miteinander verkuppelt. Der Gelenkmittelpunkt wird stets auf der -Geraden _gg_ geführt, indem die Reißschiene _R_ an der oberen Kante -_AD_ des Reißbrettes _ABCD_ hingleitet. Die Reißschiene _L_ geht immer -durch _O_{1}_ hindurch, was dadurch erreicht wird, daß eine Hülse durch -eine Stecknadel in _O_{1}_ festgehalten ist, während die Schiene _L_ -durch die Hülse hindurchgleitet. - -Um die obige Konstruktion auszuführen, legt man zunächst eine -gewöhnliche Reißschiene _R'_ durch _a_{1}_, bestimmt durch Abgreifen -mit dem Zirkel _Y_ und verschiebt sodann _L_ so lange, bis es durch _Y_ -geht. Die Kuppelung befindet sich nun in _B_{1}_, und die Schiene _R_ -bestimmt auf dem Horizont die gesuchte Strecke ~A~_B_ = ~A_{1}~_B_{1}_. -Legt man endlich _L_ durch _a_{1}_, so gibt die Schiene _R_ das Lot in -_a_{1}'_, und längs derselben kann ~A~_B_ angetragen werden. Da das -Objekt bei der in Abb. 2 gemachten Annahme +vor+ der Bildebene liegt, -so wird es durch die Perspektive vergrößert. - -Es gibt Vorrichtungen (sog. Perspektographen), welche überhaupt -Perspektiven mechanisch herstellen; so haben +G. Hauck+ und +E. Brauer+ -einen allerdings komplizierten und teueren Apparat konstruiert, bei dem -ein freier Stift die Perspektive beschreibt, wenn man mit zwei anderen -Stiften den Grund- und Aufriß nachfährt. Man vgl. Zeitschrift des -Vereins deutscher Ingenieure, Bd. 35, 1891 Nr. 28, S. 782. - -Wesentlich ist, daß das in 8. erörterte Verfahren, das man auch als -die »+Schnittmethode+« bezeichnet, uns zwar die Möglichkeit gibt, das -perspektivische Bild Punkt für Punkt zu zeichnen, daß es uns aber -keinen Einblick in die Natur dieser Bilder gewährt und uns keine -Eigenschaften solcher Bilder liefert. So gehen beispielsweise in -Fig. 12 die vier Linien _b'a'_, _c'd'_, _g'h'_, _f'e'_ hinreichend -verlängert durch +einen+ Punkt, nämlich durch ~A~, und es leuchtet ohne -weiteres ein, daß dies für die Zeichnung mit Vorteil verwendet werden -kann. Deswegen gehen wir jetzt dazu über, denjenigen Satz zu beweisen, -der die wichtigste Eigenschaft aller perspektivischen Bilder liefert. - - -§ 4. Der Satz vom Fluchtpunkt. - -=10. Der Fluchtpunkt einer Geraden.= Wir erinnern zunächst an -folgenden, auch der Anschauung leicht zugänglichen Satz: »Irgend zwei -parallele Gerade im Raume bestimmen eine Ebene, und jede Gerade, welche -diese beiden parallelen Geraden schneidet, liegt ebenfalls ganz in -dieser Ebene.« - -Dieser grundlegenden Behauptung der Geometrie kann man auch folgende -andere Fassung geben: - -»Ist eine Gerade _G_ gegeben und ein Punkt _O_ (Fig. 14) und verbindet -man den Punkt _O_ mit beliebigen Punkten _a_, _b_, ... von _G_, so -liegen alle diese Verbindungslinien in +einer+ Ebene, und dieser Ebene -gehört auch die Gerade _J_ an, welche durch _O_ parallel zu _G_ gezogen -werden kann.« - -Es sei nun weiter die Bildtafel Π gegeben sowie das Auge _O_; es soll -das perspektivische Bild der Geraden _G_ gezeichnet werden. Dieses -Bild _G'_ erhält man, wenn man die Bilder der einzelnen Punkte _a_, -_b_, _c_, ... von _G_ aufsucht. Man hat also die Projektionsstrahlen -_Oa_, _Ob_, _Oc_, ... mit Π zum Schnitt zu bringen. Alle diese Punkte -_a'_, _b'_, _c'_ ... liegen dann aber auf der Geraden _G'_, in welcher -die Ebene der Projektionsstrahlen _Oa_, _Ob_, _Oc_, ... die Tafel Π -durchsetzt. In der Ebene dieser Projektionsstrahlen liegt nun nach dem -obigen Satze auch der Strahl _J_, der durch _O_ parallel zu _G_ gezogen -werden kann. Trifft er in _f_ die Tafel, so muß also _G'_ auch durch -_f_ gehen. - -Die Gerade _G_ schneidet ferner die Tafel Π in einem Punkte _s_; er -heißt die »Spur« der Geraden, und er muß selbstverständlich auch auf -_G'_ gelegen sein. - -[Illustration: Fig. 14.] - -Der Punkt _f_ dagegen heißt der »+Fluchtpunkt+« oder die »+Flucht+« -oder auch der »+Verschwindungspunkt der Geraden _G_+«. Diese sehr -treffende Bezeichnung erklärt sich in folgender Weise. Lassen wir -einen Punkt sich auf der Geraden _G_ von der Spur _s_ aus nach links -immer weiter und weiter fortbewegen, so daß er die Lagen _a_, _b_, -_c_, ... annimmt, so werden sich die Bilder _a'_, _b'_, _c'_ ... dem -Fluchtpunkt _f_ mehr und mehr nähern. Ist der Punkt auf der Geraden _G_ -schon sehr weit hinausgerückt, so wird das Bild des Punktes ziemlich -nahe an _f_ liegen. Aber allerdings gibt es keinen erreichbaren -Punkt auf _G_, dessen Bild wirklich nach _f_ fiele. Denkt man sich -die Gerade _G_ als eine materiell hergestellte, sehr lange, dünne -Stange aus Draht oder Holz und Π wieder als Glastafel und visiert ein -in _O_ angebrachtes Auge die Stange ein, so wird ihr Ende nahezu in -_f_ erscheinen, die Gerade »verschwindet« in _f_. Das Bild G' läuft -verlängert durch den Fluchtpunkt, oder es »flieht« nach _f_. - -Wir geben nochmals an, wie der Fluchtpunkt einer Geraden zu -konstruieren ist: - - =Satz 7.= +Der Fluchtpunkt einer Geraden wird erhalten, wenn - man durch das Auge eine Parallele zu der Geraden zieht. Der - Schnittpunkt dieser Parallelen mit der Tafel (die Spur dieses - Parallelstrahles) ist der Fluchtpunkt der Geraden.+ - -Das Bild _G'_ wird man zeichnen können, wenn man 2 Punkte desselben -bestimmt hat. Als solche bieten sich ganz von selbst die Spur _s_ und -die Flucht _f_ dar. Man kann also sagen: - - =Satz 8.= +Das Bild einer Geraden ist die Verbindungslinie ihrer - Spur und ihres Fluchtpunktes.+ - -Um ein Beispiel zu haben, betrachten wir Fig. 12. Wählen wir die Kante -_ab_ des Würfels. Der Fluchtpunkt dieser Geraden ergibt sich, wenn wir -durch _O_ die Parallele zeichnen. Da die Kante auf der Tafel _ZXY_ -senkrecht steht, so ist diese Parallele die Linie _O_~A~ und ~A~ ist -der Fluchtpunkt. Es geht also in dem perspektivischen Bilde rechts oben -_a'b'_ verlängert durch ~A~. - -=11. Der Satz vom Fluchtpunkt.= Denken wir uns nun (Fig. 14) eine -zweite Gerade _H_ gegeben, welche zu _G_ parallel sein soll. Die Spur -von _H_ sei der Punkt _s'_. Dann weiß man, daß die Linie _J_ oder _Of_ -auch parallel zu _H_, und dies besagt doch nichts anderes, als daß _f_ -auch der Fluchtpunkt der Geraden _H_ sein muß. Das perspektivische -Bild _H'_ der Geraden _H_ läuft folglich durch _f_ und durch _s'_. -Ebenso wäre für jede andere Gerade, welche zu _G_ parallel ist, _f_ -der Fluchtpunkt. Die Bilder _G'_ und _H'_ der parallelen Geraden _G_ -und _H_ laufen also im gemeinsamen Fluchtpunkt _f_ zusammen. Damit -erhalten wir den die ganze Lehre von der perspektivischen Zeichnung -beherrschenden - - =Satz 9.= +Sind eine Anzahl paralleler Geraden im Raume gegeben, - so sind die perspektivischen Bilder dieser Geraden nicht - parallel, sondern sie laufen+, =hinreichend verlängert=, - +durch einen Punkt, den gemeinsamen Fluchtpunkt der parallelen - Geraden+. - -[Illustration: Fig. 15.] - -Man beachte, daß im Gegensatze dazu bei der orthogonalen Projektion -nach Satz 3 (S. 7) parallele Gerade im Raume auch stets Bilder haben, -die wieder +parallel+ sind. Die Figur 12 liefert uns auch sofort ein -Beispiel für die Anwendung dieses Fluchtpunktsatzes. Betrachten wir -an dem dort dargestellten Würfel die 4 Kanten _ba_, _cd_, _gh_, _fe_, -so erkennt man leicht, daß dieses 4 parallele Gerade sind. ~A~ ist -offenbar der gemeinsame Fluchtpunkt derselben, und die Bilder _b'a'_, -_c'd'_, _g'h'_, _f'e'_ laufen demnach verlängert durch ~A~. - -Eine aufmerksame Betrachtung der Fig. 12 kann uns übrigens darüber -belehren, daß es doch parallele Gerade gibt, deren Bilder auch wieder -parallel sind. So sind die vier Geraden _bc_, _ad_, _eh_, _fg_ offenbar -im Raume parallel, und ihre Bilder _b'c'_, _a'd'_, _e'h'_, _f'g'_ sind -ebenfalls parallel. Die gleiche Eigenschaft zeigen die vier Kanten -_ae_, _bf_, _cg_, _dh_. Betrachten wir nun, um dies klar zu übersehen, -eine Gerade _G_, welche zur Bildebene Π parallel ist (Fig. 15). Das -Bild _G'_ derselben ergibt sich wieder, wenn wir nach allen möglichen -Punkten von _G_ die Projektionsstrahlen legen und diese mit der Tafel -zum Schnitt bringen. Alle diese Strahlen bilden aber eine Ebene, und -diese projizierende Ebene schneidet aus Π das Bild _G'_ aus. Wenn wir -nun angenommen haben, daß die Gerade _G_ zur Bildtafel Π parallel ist, -so heißt das, daß sie die Bildtafel nicht schneidet. Die Gerade _G_ -kann also auch _G'_ nicht schneiden oder mit anderen Worten: es ist _G_ -parallel _G'_. - -Ist nun _H_ eine zweite zu _G_ parallele Gerade, so folgt ganz in -der gleichen Weise, daß auch _H_ parallel zu _H'_ ist, und daraus -folgert man sofort, daß auch _G'_ parallel _H'_ ist. Diese beiden -parallelen Geraden _G_ und _H_ haben also parallele Bilder _G'_ und -_H'_. Allgemein kann man diesen besonderen Fall des Fluchtpunktsatzes -aussprechen als - - =Satz 10.= »+Parallele Geraden, welche überdies zur Bildebene - parallel laufen, haben auch parallele, perspektivische - Bilder; die Bilder solcher Geraden sind zu den Geraden selbst - parallel.+« - -[Illustration: Fig. 16.] - -=12. Das Fluchtpunktgesetz in der Erscheinungswelt.= Der Begriff der -Zentralprojektion war abgeleitet aus dem Vorgang des Sehens, den wir -jetzt etwas genauer untersuchen müssen. Das menschliche Auge entwirft -von beleuchteten Gegenständen, die sich vor ihm befinden, auf der im -Hintergrunde des Auges befindlichen Netzhaut kleine Bildchen, die -dadurch entstehen, daß man die Punkte des Gegenstandes aus einem -bestimmten, im Auge gelegenen Punkte _o_ auf die Netzhaut projiziert. -In Fig. 16 ist das allerdings in ganz unrichtigen Größenverhältnissen -wiedergegeben. Als Objekte sind die beiden parallelen Pfeile _ab_ und -_cd_ gewählt. _o_ ist das Zentrum, und die von _o_ nach den Punkten -_a_, _b_, _c_, _d_ gehenden Strahlen schneiden die Netzhaut in den -Punkten _a'_, _b'_, _c'_, _d'_. So entstehen die Bildchen _a'b'_ und -_c'd'_. In zweierlei Hinsicht unterscheidet sich freilich die hier -zur Verwertung kommende Perspektive von der von uns betrachteten. -Erstens tritt an Stelle der ebenen Bildtafel die kugelförmig gewölbte -Netzhaut, und zweitens befinden sich Gegenstand und auffangende Fläche -auf verschiedenen Seiten des Zentrums _o_. Das letztere äußert sich -dadurch, daß die Bildchen auf der Netzhaut verkehrt sich ausbilden. -So sind z. B. die Pfeilspitzen _a'_, _c'_ unten gelegen. Mit dem -Augenspiegel kann man das direkt beobachten. Denkt man sich weiter -durch _o_ die Parallele zu _ab_ gezogen, so schneidet diese die -Netzhaut in einem Punkte _f_, den wir als den Fluchtpunkt aller zu -_ab_ parallelen Linien bezeichnen müssen. Je länger der Pfeil _ab_ -ist, desto mehr strebt das Bildchen _a'b'_ dem Punkte _f_ zu. Die -beiden Bilder _a'b'_ und _c'd'_ laufen verlängert durch _f_, und diese -Tatsache drückt sich auch in unserem Wahrnehmungsbild aus, indem -sich die beiden Pfeile zu nähern scheinen. In der Tat kann man das -auf Schritt und Tritt beobachten. Wenn eine Straße auf eine lange -Strecke geradlinig verläuft, so scheinen die Häuser am Ende derselben -zusammenzurücken, ebenso die Trambahnschienen und die Gesimslinien -ihrer Gebäude. Eine geradlinige Allee schließt sich scheinbar in der -Ferne, in gleicher Weise ein sehr langer Korridor. Am großartigsten -zeigt sich die Erscheinung, wenn die Sonnenstrahlen durch eine -Wolkenlücke brechen. Sie werden dann in ihrem geradlinigen Verlauf -sichtbar, indem sie die Wolken oder andere Teile der Landschaft -beleuchten. Die Strahlen, die durch die Lücke hindurchgehen, sind nun -parallel, da wir Strahlen, die von +einem+ Punkte der Sonne ausgehen, -als parallel betrachten müssen. Für unser Auge aber scheinen diese -Strahlen von einem Punkte auszugehen, eben dem Fluchtpunkte derselben. -So bringt uns unser Auge den Satz vom Fluchtpunkte fast in jedem Moment -zum Bewußtsein und wir können nicht über die Straße gehen, ohne ihn zu -erleben. Das ganze Weltbild, das wir beständig vor Augen haben, wird -durch dieses Gesetz wesentlich beeinflußt. - - -§ 5. Andere Bestimmung eines perspektivischen Bildes. - -[Illustration: Fig. 17.] - -=13. Die festen Elemente.= Wir wollen nun einen anderen Weg -einschlagen, um perspektivische Bilder von Körpern zu zeichnen, indem -wir den Satz vom Fluchtpunkt jetzt so viel als möglich heranziehen. Es -ist dann zunächst nötig, eine Anzahl fester Elemente einzuführen, auf -die wir die Darstellung beziehen. Die Bildebene oder Tafel denken wir -uns wieder als eine lotrechte Ebene. Die darzustellenden Gegenstände -werden sich nun in den meisten Fällen auf einer horizontalen -Bodenfläche befinden; wir führen dementsprechend eine zur Tafel -senkrechte, wagrechte Ebene ein, die wir kurz die »Grundebene« nennen. -Die Figuren 17 und 18 geben wieder eine Ansicht aller zu benutzenden -Gebilde. Die Grundebene Π_{1} wird die Tafel Π in einer Geraden _gg_ -schneiden, welche »Grundlinie« heißen soll. Von dem im Raume gegebenen -Auge _O_ fällen wir eine Senkrechte auf die Tafel, deren Fußpunkt der -schon erwähnte »Haupt«- oder »Aug«-Punkt ~A~ ist. Da die Linie _O_~A~ -demnach parallel zur Grundebene verläuft, so kann man durch _O_~A~ eine -Ebene legen, welche parallel zur Grundebene ist. Diese Parallelebene -schneidet aus der Tafel eine Linie _hh_ aus, welche parallel zur -Grundlinie _gg_ sein muß und bereits als der »Horizont« bezeichnet -wurde. Die Parallelebene selbst hieß die »Horizontebene«. Der Abstand -des Horizonts von der Grundlinie oder, was das gleiche ist, der Abstand -der Horizontebene von der Grundebene wird die »Augenhöhe« genannt. -Endlich tragen wir noch die Distanz _O_~A~ vom Augpunkt aus nach beiden -Seiten auf dem Horizont ab, wodurch wir die Punkte ~D_{1}~ und ~D_{2}~ -erhalten. Diese heißen die »Distanzpunkte«. Da also ~AD_{1}~ = ~A~_O_ -= ~AD_{2}~, so sind die Dreiecke ~D_{1}~_O_~A~ und ~D_{2}~_O_~A~ beide -gleichschenklig rechtwinklig, und es ist ∢ ~AD_{1}~_O_ = ∢ ~AD_{2}~_O_ -= 45°. - -In der Zeichenebene geben wir uns also (Fig. 19) zwei parallele Linien -_hh_ und _gg_ und auf der oberen den Punkt ~A~ sowie im gleichen -Abstande rechts und links die Punkte ~D_{1}~ und ~D_{2}~. Die Lage des -Auges im Raume ist damit festgelegt: es liegt auf der Senkrechten, die -wir uns im Punkte ~A~ zur Zeichenebene errichtet denken, und zwar in -einem Abstande von ~A~, der gleich ~AD_{1}~ oder ~AD_{2}~ ist. - -Durch die Annahme dieser Elemente ist nun bereits eine ganze Anzahl -von Richtungen bestimmt. Eine auf der Zeichenebene senkrechte Gerade -_T_ liefert uns die Ausdehnung des Gegenstandes nach der »Tiefe« zu, -wie wir ja auch von der Tiefe eines Kastens oder einer Bühne sprechen -und darunter die Abmessung verstehen, die lotrecht zur Vorderfläche -erfolgt. Wir nennen aus diesem Grunde jede auf der Bildebene senkrechte -Gerade _T_ eine »+Tiefenlinie+« (Fig. 18 oben). Die durch das Auge _O_ -zu einer solchen Tiefenlinie gelegte Parallele wird dann aber immer der -Strahl _O_~A~, und folglich ist nach Satz 7 ~A~ ihr Fluchtpunkt. Damit -haben wir aber bewiesen: - - =Satz 11.= »+Der Augpunkt A ist der Fluchtpunkt für alle - Tiefenlinien, d. h. die Bilder aller Tiefenlinien gehen - verlängert durch den Augpunkt+.« - -Der Augpunkt beherrscht deswegen die ganze Darstellung und legt die im -Bilde fehlende dritte Dimension fest. - -Um die Bedeutung des Horizontes zu erkennen, erinnern wir zunächst an -folgenden Satz aus der Stereometrie: »Ist eine Ebene Π_{1} gegeben und -außerhalb derselben ein Punkt _O_, so gibt es durch _O_ nur +eine+ -Ebene, welche zu Π_{1} parallel ist.« - -Diese Behauptung kann man auch durch folgende andere ersetzen: -»Zieht man in der Ebene Π_{1} +irgend+welche Gerade und zeichnet durch -_O_ die Parallelen zu derselben, so liegen alle diese Parallelen in -einer Ebene, eben in der Parallelebene durch _O_ zu Π_{1}.« Ist also -_G_ irgendeine Gerade der Grundebene (Fig. 17) und ziehen wir zu ihr -durch _O_ die Parallele, so liegt diese in der Horizontebene, der -Schnittpunkt _f_ der Parallelen mit der Tafel muß demnach auf _hh_ -gelegen sein; er ist aber der Fluchtpunkt der Geraden _G_; mit anderen -Worten: - - =Satz 12.= +Alle in der Grundebene gelegenen Geraden haben ihre - Fluchtpunkte auf dem Horizonte.+ - -~A~ ist im besonderen der Fluchtpunkt aller zur Grundlinie _gg_ -senkrechten Geraden der Grundebene, was wir ja schon wissen. Zeichnen -wir ferner in der Grundebene ein Quadrat _abcd_ (Fig. 18), das mit -einer Seite _ab_ in der Grundlinie liegt. Dann schließen die Linien -_ac_ und _bd_, die sog. Diagonalen des Quadrates, mit der Grundlinie -Winkel von 45° ein. Man vgl. auch Fig. 19, in welcher unten das Quadrat -(_a_)(_b_)(_c_)(_d_) in seiner wahren Gestalt zu sehen ist. Es ist aber -klar, daß die Linie _OD_{1}_ parallel zu _bd_ und _OD_{2}_ parallel -zu _ac_; _D_{1}_ und _D_{2}_ sind die Fluchtpunkte der Diagonalen des -Quadrates und aller zu diesen beiden Geraden parallelen Geraden der -Grundebene d. h. - - =Satz 13.= »+Alle Linien der Grundebene, welche mit der - Grundlinie den Winkel von 45° nach der einen oder anderen Seite - einschließen, haben die Distanzpunkte bzw. zu Fluchtpunkten.+« - -[Illustration: Fig. 18.] - -Endlich wollen wir noch eine andere Eigenschaft des Horizontes kennen -lernen. Ist _d_ ein Punkt in der Grundebene, _d'_ sein Bild, also der -Schnittpunkt des Sehstrahles _Od_ mit Π (Fig. 18), so wollen wir uns -vorstellen, daß der Punkt _d_ weiter und weiter nach links in der -Grundebene hinausrückt. Dann wird das Bild _d'_ offenbar immer höher -in der Bildtafel hinaufrücken, da sich der Strahl _Od_ mehr und mehr -aufrichtet. Ist _d_ sehr weit entfernt in der Grundebene angenommen, -so wird das Bild _d'_ dem Horizont _hh_ schon sehr nahe liegen. Wir -gewinnen daraus folgende Deutung für den Horizont: - - =Satz 14.= »+Punkte, die sehr weit entfernt in der Grundebene - liegen, haben Bilder, die nahezu in den Horizont fallen.+« - -Ein schönes Beispiel dafür liefert die Darstellung des offenen Meeres. -Denn seine Oberfläche müssen wir uns als eine weit ausgedehnte Ebene -denken. Ist also in einem Gemälde das freie Meer überhaupt oder eine -weit ausgedehnte Wasserfläche dargestellt, so gibt die Grenzlinie -gegen den Himmel praktisch hinreichend genau den Horizont des Bildes -(vgl. Fig. 50). Unsere Überlegung gibt auch die Erklärung dafür, warum -sich die Meeresfläche scheinbar so hoch erhebt, daß sie wie eine Mauer -sich aufzutürmen scheint. In der Tat muß das Bild jeder sehr weit -ausgedehnten horizontalen Ebene bis fast in Augenhöhe reichen. - - -§ 6. Darstellung eines möglichst einfach gelegenen Quadrates der -Grundebene. Anwendungen dieser Konstruktion. Tiefenmaßstab. - -=14. Die Umlegung und Verschiebung der Grundebene.= Unter Benutzung der -so definierten festen Elemente wollen wir jetzt Körper darstellen. Wir -beginnen aber mit dem Einfachsten, indem wir zunächst von Figuren, die -in der Grundebene gelegen sind, die Bilder zeichnen. Es ist dann aber -notwendig, daß wir uns diese Figuren auch selbst geben, sowohl ihrer -wahren Gestalt nach als in ihrer Lage in der Grundebene. Zu diesem -Zwecke müssen wir die Grundebene in unsere Zeichenebene irgendwie -hereinbringen. +Eine+ Möglichkeit, dies zu erreichen, ist folgende: -wir drehen die Grundebene um die Grundlinie nach aufwärts im Sinne der -beiden Pfeile (Fig. 17, 18) so lange, bis sie mit der Tafel sich deckt. -Dann liegt die Grundebene allerdings in unserem Zeichenblatt, aber wir -haben die Unannehmlichkeit, daß die Figuren der Grundebene sich dort -befinden, wo das Bild entworfen werden soll. Deswegen schieben wir die -(gedrehte) Grundebene in der Tafel parallel zu sich selbst noch um ein -beliebiges Stück herunter, bis die Grundlinie die neue Lage (_g_)(_g_) -annimmt (Fig. 19); irgendein Punkt _a_ der Grundlinie beschreibt -dabei die lotrechte Linie _a_(_a_), wenn wir mit (_a_) die Lage des -Punktes _a_ nach Ausführung der Verschiebung bezeichnen. Die Entfernung -_a_(_a_) zwischen _gg_ und (_g_)(_g_) ist ganz willkürlich und richtet -sich nach der Größe der in der Grundebene gegebenen Figur. - -[Illustration: Fig. 19.] - -Nach diesen Vorbereitungen behandeln wir folgende - - =Aufgabe 2.= In der Grundebene ist ein Quadrat gegeben, von dem - eine Seite _ab_ in der Grundlinie liegt. Das Bild des Quadrates - zu zeichnen. - -Die Lage des gegebenen Quadrates _abcd_ veranschaulicht Fig. 18. In der -wirklichen Ausführung (Fig. 19) geben wir uns den Horizont _hh_ mit -dem Augenpunkt ~A~ und den beiden Distanzpunkten, ~D_{1}~ und ~D_{2}~, -dazu parallel die Grundlinie _gg_ mit den beiden Ecken _a_ und _b_ des -Quadrates. - -Um auf Grund dieser Stücke das Bild des Quadrates zu zeichnen, -ziehen wir in beliebigem Abstand die Parallele (_g_)(_g_) und -bestimmen vermittels der Vertikalen durch _a_ und _b_ die Lage -(_a_)(_b_)(_c_)(_d_) des Quadrates nach der Verschiebung. Nun sind -die Quadratseiten _ad_ und _bd_ Tiefenlinien, ihre Bilder müssen also -nach Satz 11 durch ~A~ gehen; die Punkte _a_ und _b_ sind aber die -Spuren dieser Geraden. Folglich erhalten wir in _a_~A~ und _b_~A~ -die Bilder der beiden Geraden, auf denen die Quadratseiten _ad_ und -_bc_ liegen, und die Bilder _d'_ und _c'_ müssen bzw. auf _a_~A~ und -_b_~A~ gelegen sein. Denken wir uns aber noch die Diagonale _db_ -konstruiert, welche in unserer Verschiebung als (_d_)(_b_) zu zeichnen -ist, so ist das eine Linie, welche einen Winkel von 45° mit der -Grundlinie bildet. Nach Satz 13 ist also ~D_{1}~ der Fluchtpunkt dieser -Geraden, _b_ aber ist ihre Spur; mithin wird das Bild der Geraden _db_ -die Verbindungslinie _b_~D_{1}~. Das Bild _d'_ muß demnach sowohl auf -_a_~A~ als auch auf _b_~D_{1}~ liegen, kann also nur der Schnittpunkt -_d'_ dieser beiden Linien sein. Ebenso finden wir das Bild _c'_ der -Ecke _c_ als Schnittpunkt von _a_~D_{2}~ und _b_~A~. Das folgt sofort -aus der Betrachtung der anderen Diagonale _ac_. Eine Kontrolle für -die Zeichnung ergibt sich daraus, daß _c'd'_ von selbst parallel -_gg_ sein muß. Denn die Quadratseite _cd_ ist ja parallel zur Tafel, -also nach Satz 10 _cd_ ∥ _c'd'_.[3] Da aber _cd_ ∥ _ab_, so ist -auch _c'd'_ ∥ _ab_. Man erkennt ferner, daß es für die Konstruktion -des Bildes _abc'd'_ gar nicht nötig gewesen wäre, die Verschiebung -(_a_)(_b_)(_c_)(_d_) zu zeichnen. Im übrigen sei nochmals an die -Bemerkung auf S. 14 unten erinnert. - - [3] ∥ ist das Zeichen für parallel. - - =Aufgabe 3.= Einen in der Grundebene gelegenen quadratisch - getäfelten Fußboden zu zeichnen. - -Die Quadrate, welche den Fußboden liefern, sind in Fig. 19 in der -Verschiebung gezeichnet. An das Quadrat (_a_)(_b_)(_c_)(_d_) schließt -sich die erste Reihe, welche an die Grundlinie angrenzt, daran schließt -sich eine zweite Reihe von Quadraten usf. Die Konstruktion Fig. 19 -ergibt sich fast von selbst. Die Tiefenlinien, wie z. B. (_e_)(_f_), -fliehen im Bilde alle nach ~A~. Ferner erkennt man leicht, daß in dem -System der Quadrate alle Diagonalen der einen und anderen Richtung sich -zu zwei Scharen paralleler Geraden zusammensetzen. Das gilt also auch -für das Bild, nur mit dem Unterschied, daß die Bilder aller dieser -parallelen Geraden bzw. nach ~D_{1}~ und ~D_{2}~ laufen. In der Fig. -19 sind der Tiefe nach 5 Reihen von Quadraten gezeichnet, während in -der Verschiebung nur 3 Reihen angegeben wurden. Da alle Diagonalen der -Quadratbilder nach ~D_{1}~ oder ~D_{2}~ gehen, und außerdem je zwei -Seiten eines Quadrats parallel zur Grundlinie laufen, so bietet die -Figur zahllose Kontrollen. - -=15. Anwendungen dieser Aufgabe.= Man würde aber irren, wollte man -diese Figur bloß für eine mathematische Spielerei halten: wir können -vielmehr von derselben eine ganze Anzahl praktischer Anwendungen -machen. Zunächst ist es möglich, daß bei der bildlichen Wiedergabe -eines Interieurs, z. B. eines Zimmers, an und für sich ein solcher -Parkettboden zu zeichnen ist. Derselbe bietet dann aber auch weiter -die Möglichkeit, Figuren, Einrichtungsgegenstände usf. einigermaßen -richtig im Raume zu verteilen, indem man diesen Objekten eine durch die -Schätzung der Quadrate zu beurteilende Bodenfläche zuweist. Jedenfalls -kann man sich vor ganz groben Irrtümern dadurch schützen. Als Beispiel -geben wir in Abbildung 3 das Abendmahl des Altniederländers +Dirk -Bouts+ (1410(?)--1472) wieder, das sich in der Peterskirche in Löwen -befand und von den Deutschen im Kriege von 1914 gerettet wurde. Auf -gewisse Unrichtigkeiten der Konstruktion gehen wir hier nicht ein. Der -primitiven Kunst lag eine solche Rücksicht auf richtige Verteilung -der Objekte im Raume überhaupt gänzlich fern. Sie zeichnet die Köpfe -einer Anzahl von Menschen einfach neben- und übereinander, ohne -sich zu fragen, ob die zugehörigen Körper auch wirklich den ihnen -entsprechenden Platz im Raume haben. - -[Illustration: Abb. 3.] - -Unter Umständen kann es auch bequem sein, ein solches Quadratnetz -in die Figur einzuzeichnen, wenn z. B. ein ziemlich unregelmäßig -gestalteter Grundriß, ein ganzer Stadtplan oder eine Gartenanlage, -in Perspektive gesetzt werden soll (Fig. 20). Wir legen über die -Figur ein derartiges Netz und zeichnen dessen Bild. Nachdem dies -geschehen, übertragen wir nach dem Augenmaß Quadrat für Quadrat die -Linien in das Bild. Es wird die Genauigkeit erhöhen, wenn wir einzelne -charakteristische Punkte genau zeichnen, wobei die folgende Aufgabe zu -benutzen ist. - -[Illustration: Fig. 20.] - - =Aufgabe 4.= Ein Punkt _p_ in der Grundebene ist gegeben; sein - Bild zu zeichnen. - -Diese rein mathematische Aufgabe führen wir auf die Aufgabe 1 zurück, -indem wir uns ein Quadrat gezeichnet denken, von dem eine Ecke in _p_ -liegt, während eine Seite auf die Grundlinie fällt. Man kann sich in -Fig. 18 und 19 etwa die Ecke _d_ als den gegebenen Punkt denken. Wir -wollen jetzt die Zeichnung durchführen, ohne das ganze Quadrat zu -zeichnen. - -Der Punkt _p_ ist in Fig. 21 ~a~ in der Verschiebung (_p_) gegeben, Wir -zeichnen durch (_p_) die lotrechte Tiefenlinie (_T_), welche die durch -_p_ gehende Tiefenlinie gibt; ihre Spur ist _t_, ihr Fluchtpunkt ~A~, -so daß also ihr Bild _T'_ diese beiden Punkte verbindet; auf _T'_ muß -jedenfalls das gesuchte Bild _p'_ gelegen sein. - -[Illustration: Fig. 21 ~a~.] - -Um einen zweiten Ort für _p'_ zu erhalten, ziehen wir durch (_p_) -eine Linie (_D_) nach rechts, welche unter 45° gegen die Grundlinie -(_g_)(_g_) geneigt ist (Quadratdiagonale). Diese Linie (_D_) schneidet -(_g_)(_g_) in (_s_), und senkrecht über diesem Punkt erhalten wir in -_s_ die Spur der Hilfslinie _D_. Da ferner _D_{1}_ ihr Fluchtpunkt ist, -so wird _D'_ den Punkt _s_ mit _D_{1}_ verbinden. Das gesuchte Bild -_p'_ muß also auch auf _D'_ liegen, kann folglich nur der Schnittpunkt -von _T'_ und _D'_ sein. - -[Illustration: Fig. 21 ~b~.] - -Wir hätten durch (_p_) noch eine zweite Linie nach links ziehen -können, welche auch einen Winkel von 45° mit (_g_)(_g_) einschließt. -Dann hätten wir einfach den auf der rechten Seite von ~A~ gelegenen -Distanzpunkt ~D_{2}~ als Fluchtpunkt für diese Linie benutzen müssen -und wären zu dem gleichen Punkte _p'_ gelangt. Die Konstruktion ist -ebenfalls in Figur 21 ~a~ eingetragen. - -Wir können aber noch eine Vereinfachung in dieser Zeichnung anbringen. -Da - - (_p_)(_t_) = (_s_)(_t_) = _st_, - -so ergibt sich folgende einfache Konstruktion (Fig. 21 ~b~): Man trägt -von der Spur _t_ aus den Abstand des Punktes der Grundlinie etwa nach -+rechts+ als _ts_ auf der Grundlinie an und verbindet den Punkt _s_ mit -dem +linken+ Distanzpunkt. Dann schneidet diese Verbindungslinie auf -der Hauptlinie _T'_ den gesuchten Punkt _p'_ aus. - -Trägt man den Abstand nach links auf der Grundlinie auf, so ist der -rechte Distanzpunkt zu benutzen. Die vorliegende Aufgabe läßt sich dann -auch in folgender Weise formulieren: - -Es soll auf einer im Bilde gegebenen Tiefenlinie ein Punkt bestimmt -werden, der von der Grundlinie einen durch eine Strecke oder durch eine -Zahl gegebenen Abstand hat. - - =Aufgabe 5.= Auf einer gegebenen Tiefenlinie einen Maßstab zu - zeichnen, dessen Einheit gegeben ist. - -Denken wir uns in der Grundebene eine Tiefenlinie gegeben und auf -derselben die gleiche Strecke beliebig oft angetragen, wobei wir in der -Spur der Geraden beginnen. Diese gleich großen Strecken werden sich -selbstverständlich verschieden groß abbilden, eben um so kleiner, je -weiter sie sich vom Auge entfernen. Die in Fig. 21 ~b~ durchgeführte -Konstruktion gibt sofort die Lösung. Wir tragen (Fig. 22) die geg. -Teilung von der Spur _t_ der geg. Tiefenlinie _T_ aus nach +rechts+ -auf der Grundlinie ab, so daß also 0.1 = 1.2 = 2.3 = 3.4 je = der -geg. Maßeinheit. Verbinden wir diese Punkte dann mit dem linken -Distanzpunkt ~D_{1}~, so schneiden diese Linien auf _T'_ die gesuchten -Bilder 1', 2', 3' usf. aus. Wir haben damit die Konstruktion eines sog. -+Tiefenmaßstabes+ gewonnen. - -[Illustration: Fig. 22.] - -Das Verfahren bleibt ganz das nämliche, wenn nicht lauter gleiche -Strecken auf der Tiefenlinie angetragen werden sollen, sondern -verschiedene Strecken. Man trägt die Strecken in ihrer Reihenfolge -auf der Grundlinie an; dann liefern sie, aus ~D_{1}~ projiziert, die -richtigen Bilder. - - -§ 7. Darstellung beliebiger, geradliniger Figuren der Grundebene. - -=16. Bild einer beliebigen Geraden.= Um nun eine irgendwie aus Geraden -zusammengesetzte Figur der Grundebene abbilden zu können, müssen wir -uns zuerst damit beschäftigen, wie man das Bild einer beliebigen -Geraden zeichnen kann. Das führt uns unmittelbar zur - - =Aufgabe 6.= Eine beliebige Gerade A der Grundebene ist gegeben; - ihr Bild zu zeichnen. - -[Illustration: Fig. 23.] - -Die Flucht der Geraden ergibt sich nach Satz 7, indem wir durch das -Auge einen Parallelstrahl zur Geraden zeichnen und diesen mit der Tafel -zum Schnitt bringen. Ist _f_{a}_ dieser Schnittpunkt, so ist (Fig. -23) _Of_{a}_ ∥ _A_ und _f_{a}_ liegt natürlich auf dem Horizont _hh_. -Wir ziehen noch durch das Auge _O_ eine Parallele _ii_ zum Horizont. -Die Gerade _A_ wird mit der Grundlinie _gg_ einen gewissen Winkel α -einschließen. Leicht erkennt man dann, daß der Parallelstrahl _Of_{a}_ -mit der Linie _ii_ den gleichen Winkel α bildet. Um diese Eigenschaft -für wirkliche Konstruktion auszunutzen, klappen wir die Horizontebene -durch _O_ nach +unten+ in die Bildebene Π. Wir drehen also diese Ebene -um die Horizontlinie so lange nach abwärts, bis sie mit der Bildtafel -zusammenfällt. Der Pfeil in der Figur 23 deutet diese Drehung an. Die -Linie _O_~A~ bleibt bei dieser Drehung immer senkrecht zum Horizont; -sie hat also auch am Schlusse der Drehung noch diese Eigenschaft. -Zeichnen wir demnach in der Bildebene Π eine lotrechte Linie durch -~A~, so gibt diese die Lage, welche der Strahl _O_~A~ nach Ausführung -der Drehung annimmt. Der Punkt _O_ endlich geht nach Beendigung der -Drehung in einen Punkt ~D_{3}~ über, der auf dieser lotrechten Linie -durch ~A~ so liegt, daß die Strecke ~AD_{3}~ = _O_~A~ = der Distanz. -Die Parallele _ii_ geht über in die Linie _ll_, welche durch ~D_{3}~ -parallel zum Horizont gezogen werden kann. Die Linie ~D_{3}~_f_{a}_ -bildet mit der Linie _ll_ wieder den Winkel α. Das Weitere verfolgen -wir an Fig. 24, welche die wirkliche Ausführung gibt. Die Gerade _A_ -ist in der Verschiebung durch (_A_) gegeben. Im Augpunkte ~A~ errichten -wir die Senkrechte zum Horizont und schneiden auf ihr die Distanz ab, -wodurch wir ~D_{3}~ erhalten. Es ist also - - ~AD_{1}~ = ~AD_{2}~ = ~AD_{3}~. - -Durch ~D_{3}~ ziehen wir die Parallele _ll_ zum Horizont. Tragen wir an -diese Parallele den Winkel α an, so schneidet dessen 2. Schenkel den -Fluchtpunkt _f_{a}_ auf dem Horizont aus. Einfacher ist es aber, die -Eigenschaft der Figur zu benutzen, daß offenbar - - ~D_{3}~_f_{a}_ ∥ (_A_) - -ist. Denn dann haben wir nur nötig, durch ~D_{3}~ eine Parallele zu -(_A_) zu zeichnen, diese schneidet auf dem Horizont den Fluchtpunkt -_f_{a}_ von _A_ aus. Die Verbindungslinie der Spur _a_ mit _f_{a}_ gibt -das Bild _A'_ der Geraden _A_. - -[Illustration: Fig. 24.] - -Nennen wir ~D_{3}~ die Umlegung des Auges nach unten oder das nach unten -»umgelegte« Auge, so ergibt sich folgende einfache Regel: - -Ist eine Gerade in der Verschiebung gegeben, so bestimmt die durch das -umgelegte Auge ~D_{3}~ zu ihr gezogene Parallele auf den Horizont den -Fluchtpunkt der Geraden. - -[Illustration: Fig. 25.] - -Die Figur 24 liefert uns brauchbare Eigenschaften aber auch für den -Fall, daß die Gerade nicht in der Verschiebung, sondern auf andere -Weise bestimmt ist. Es handle sich etwa um folgende - - =Aufgabe 7.= Ein Punkt _p_ der Grundebene ist durch sein Bild - _p'_ gegeben; durch _p_ soll in der Grundebene eine Gerade - gezogen werden, welche unter einem Winkel von 60° gegen die - Grundlinie geneigt ist. Das Bild dieser Geraden zu zeichnen. - -Tragen wir (Fig. 25) an die Horizontale durch ~D_{3}~ einen Winkel von -60° an, so schneidet dessen zweiter Schenkel auf dem Horizont den -Fluchtpunkt _f_ der gesuchten Geraden aus. Verbinden wir den gegebenen -Punkt _p'_ mit _f_, so ist diese Linie das verlangte Bild. - -Selbstverständlich gibt es zwei solche Gerade, da man den Winkel -auch von der linken Seite der Parallelen _ll_ aus antragen kann. Zu -jedem Punkte des Horizontes gehört demgemäß eine gewisse Richtung von -Geraden; speziell entsprechen den Distanzpunkten, wie wir ja schon -wissen, die Geraden, welche unter 45° gegen die Grundlinie geneigt -wird. In der Figur sind auf der linken Seite noch bei einigen weiteren -Punkten des Horizontes die Winkel hinzugeschrieben, zu denen sie -gehören. - -=17. Winkel zweier Geraden.= Sind zwei Gerade _A_ und _B_ der -Grundebene gegeben, so zeichnen wir ihre Fluchtpunkte _f_{a}_ und -_f_{b}_, so daß also (Fig. 26) - - _Of_{a}_ ∥ _A_ und _Of_{b}_ ∥ _B_. - -Bezeichnen wir den Winkel, den _A_ und _B_ einschließen, mit γ, so -erkennt man sofort, daß auch ∢ _f_{a}Of_{b}_ = γ ist. - -Klappen wir wiederum die durch das Auge _O_ gehende Horizontebene nach -unten in die Bildebene Π herunter, wobei der Punkt _O_ nach ~D_{3}~ -kommt, so tritt der Winkel γ auch hier auf, indem - - ∢ _f_{a}_~D_{3}~_f_{b}_ = γ - -oder in Worten ausgedrückt: - - =Satz 15.= +Irgend zwei Gerade der Grundebene schließen den - gleichen Winkel ein wie die Sehstrahlen, die vom Auge nach - ihren Fluchtpunkten gehen, und auch wie die Strahlen, welche - von der »Umlegung« des Auges nach ihren Fluchtpunkten laufen.+ - -[Illustration: Fig. 26.] - -Dieser Satz gehört zu den allerwichtigsten in der Perspektive wegen der -vielen Anwendungen, die von ihm gemacht werden. Wir veranschaulichen -ihn noch durch die Fig. 27, welche die wirkliche Konstruktion gibt. -Hier sind die beiden Geraden _A_ und _B_ in der Verschiebung (_A_) und -(_B_) gegeben. Im Hauptpunkte ~A~ ist eine Senkrechte zum Horizont -angetragen und auf ihr die Umlegung ~D_{3}~ des Auges ermittelt, in dem - - ~AD_{3}~ = ~AD_{1}~ = ~A{D_{2}}~ - -gemacht werde. Dann folgt aus der unmittelbar vorhergehenden -Betrachtung, daß - - ~D_{3}~_f_{a}_ ∥ (_A_) - -und - - ~D_{3}~_f_{b}_ ∥ (_B_). - -Daraus ergibt sich wiederum, daß ∢ _f_{a}_~D_{3}~_f_{b}_ = γ. - -Die Praktiker drücken dies so aus: - -»Am Punkte ~D_{3}~ kann jeder Winkel in seiner wahren Größe angetragen -werden.« - -In der Figur wurden noch die Spuren _a_ und _b_ der beiden Geraden -konstruiert, so daß dann _A'_ und _B'_ sich je als die Verbindungslinie -von Flucht und Spur ergeben. Der Schnittpunkt von _A'_ und _B'_ ist das -Bild des Scheitels _p_. Man beachte, daß der schraffierte Teil zwischen -(_A_) und (_B_) sich in den schraffierten Teil zwischen _A'_ und _B'_ -abbildet. Eine zweite Anwendung gibt - - =Aufgabe 8.= Ein in der Grundebene liegendes Rechteck ist in - der Verschiebung (_p_)(_q_)(_r_)(_s_) gegeben; dessen Bild zu - zeichnen. - -Das Rechteck enthält zwei Paare paralleler Seiten (_A_) und (_A_{1}_), -sowie (_B_) und (_B_{1}_) (Fig. 28). Wir zeichnen zunächst die -Fluchtpunkte dieser beiden Richtungen Zu diesem Zwecke ziehen wir -durch die Umlegung ~D_{3}~ des Auges die Parallelen zu (_A_) und (_B_); -diese schneiden die Fluchtpunkte _f_{a}_ und _f_{b}_ auf dem Horizonte -aus. Es ist also - - ~D_{3}~_f_{a}_ ∥ (_A_) ∥ (_A_{1}_) - -und - - ~D_{3}~_f_{b}_ ∥ (_B_) ∥ (_B_{1}_). - -Jetzt zeichnen wir die Bilder _q'_ und _s'_ der beiden Ecken _q_ und -_s_ nach Aufgabe 4, indem wir je eine Tiefenlinie und eine unter 45° -geneigte Linie benutzen. _q'_ liefert mit _f_{a}_ und _f_{b}_ verbunden -die Bilder _A'_ und _B'_, _s'_ mit _f_{a}_ und _f_{b}_ verbunden -_A_{1}'_ und _B_{1}'_. Die letzten Ecken _r'_ und _p'_ ergeben sich als -die Schnittpunkte von _A_{1}'_ mit _B'_ und _A'_ mit _B_{1}'_. - -[Illustration: Fig. 27.] - -Das Bild _p'q'r's'_ hat die charakteristische Eigenschaft, daß sich -die gegenüberliegenden Seiten _A'_ und _A_{1}'_ sowie _B'_ und _B_{1}'_ -verlängert je in _f_{a}_ und _f_{b}_ auf dem Horizont schneiden. -Kontrollen bieten sich zahlreiche, wenn man die Tiefenlinien durch _r_ -und _p_ zieht oder die Spuren der Rechtecksseiten benutzt, wie das in -der Figur für die Seite _rq_ angegeben ist. - -[Illustration: Fig. 28.] - -=18. Umlegung der Horizontebene nach oben=. Unter Umständen kann es -bequem sein, die Horizontebene statt nach unten nach oben in die -Bildtafel Π hereinzuklappen (Fig. 26). Dann fällt der Punkt _O_ auf die -Verlängerung der Linie ~AD_{3}~ über ~A~ hinaus nach einem Punkte ~D₄~, -wenn wieder ~AD₄~ = der Distanz gemacht wird. In Fig. 27 ist auch diese -Umlegung oben gezeichnet. Natürlich gibt der Winkel _f_{a}D₄f_{b}_ auch -jetzt wieder den Winkel der beiden gegebenen Geraden _A_ und _B_, so daß - - ∢ _f_{a}_~D₄~_f_{b}_ = γ, - -und auch an dem Punkte ~D₄~ dürfen alle Winkel in wahrer Größe -angetragen werden. - -[Illustration: Fig. 29.] - -Ein Unterschied ist aber insofern vorhanden, als jetzt +nicht+ mehr -(_A_) ∥ ~D₄~_f_{a}_ und +nicht+ mehr (_B_) ∥ ~D₄~_f_{b}_. +Diese+ -Eigenschaft der parallelen Lage ist nur erfüllt bei der Drehung nach -unten. Das hängt damit zusammen, daß wir auch die Grundebene im -gleichen Sinne gedreht haben. - -Wenn aber z. B. die Verschiebung überhaupt nicht gezeichnet ist, so -kann man sehr wohl die Horizontebene auch nach oben drehen, zumal wenn -man oben in der Zeichnung mehr Raum zur Verfügung hat. Die folgende -Aufgabe gibt davon eine Anwendung. - - =Aufgabe 9.= Gegeben sind eine Gerade _A_ der Grundebene und ein - Punkt _p_ auf ihr durch ihre Bilder _A'_ und _p'_. Man zeichne - das Bild einer Geraden _B_ der Grundebene, welche in _p_ auf - _A_ senkrecht steht. - -Bringen wir das gegebene Bild _A'_ mit dem Horizont zum Schnitt (Fig. -29), so ist der Schnittpunkt _f_{a}_ der Fluchtpunkt der Geraden _A_. -Im Augpunkt ~A~ errichten wir eine Senkrechte zum Horizont _hh_ und -machen diese = der Distanz, so daß also - - ~AD₄~ = ~AD_{1}~ = ~AD_{2}~. - -~D₄~ ist die Umlegung des Auges nach oben. Verbinden wir ~D₄~ mit -_f_{a}_ und errichten in ~D₄~ zu _f_{a}_~D₄~ ein Lot, so schneidet -dieses aus dem Horizont einen Punkt _f_{b}_ aus, der der Fluchtpunkt -aller auf der Geraden _A_ senkrechten Geraden ist. Die gesuchte -Senkrechte soll aber durch _p_ gehen, ihr Bild _B'_ ist demnach die -Verbindungslinie von _p'_ mit _f_{b}_. _f_{a}p'f_{b}_ ist also das Bild -eines horizontalen rechten Winkels. - -=19. Getrennte Lage des Grundrisses.= Wir haben bisher immer -angenommen, daß die Grundebene mitsamt den abzubildenden Figuren in der -Verschiebung gegeben sei. Natürlich kann sie auch, getrennt von der -Bildtafel, gegeben und die Lage der Bildebene durch ihre Spur, d. h. -durch die Grundlinie, bestimmt sein. Beispielsweise sei in Fig. 30 ~a~ -ein Rechteck 1 2 3 4 gezeichnet, außerdem sind die Risse ~A_{1}~ und -_O_{1}_ von ~A~ und _O_ bekannt. In der zweiten Figur 30 ~b~ ist der -Horizont _hh_ mit ~A~ sowie die Grundlinie _gg_ gegeben. Verlangt wird -das Bild des Rechteckes zu zeichnen. - -Die für die Lösung in Betracht kommende geometrische Eigenschaft -liefert ein Blick auf Fig. 26. Der durch das Auge _O_ zur Geraden _A_ -der Grundebene gezogene Parallelstrahl, welcher den Fluchtpunkt _f_{a}_ -auf dem Horizont ausschneidet, hat in der Grundebene einen Riß, der -durch _O_{1}_ gehen muß, sowie durch die Projektion _f_{a_{1}}_ des -Fluchtpunktes _f_{a}_, und weiter muß dieser Riß parallel zu _A_ sein, -also _O_{1}f_{a_{1}}_ ∥ _A_. - -[Illustration: Fig. 30 ~a~.] - -Zieht man demnach umgekehrt durch _O_{1}_ Parallele zu den Seiten -des Rechteckes, so schneiden diese auf der Grundlinie _gg_ die -Projektionen _f_{a_{1}}_ und _f_{b_{1}}_ der Fluchtpunkte _f_{a}_ und -_f_{b}_ aus. Da nun die Grundlinie mit ihren Punkten in den beiden -Figuren vorkommt, so haben wir nur die Strecken ~A_{1}~_f_{a_{1}}_ und -~A_{1}~_f_{b_{1}}_ auch in Fig. 30 ~b~ anzutragen. Dann liefern die in -_f_{a_{1}}_ und _f_{b_{1}}_ errichteten Lote zu _gg_ auf dem Horizont -die Fluchtpunkte _f_{a}_ und _f_{b}_. Überträgt man noch weiter die -Spuren der Rechtecksseiten in die Fig. 30 ~b~, so ist das Bild 1'2'3'4' -des Rechtecks leicht fertig zu stellen. - -[Illustration: Fig. 30 ~b~.] - -=20. Horizontale Gerade.= Die bisherigen Ausführungen genügen -vollständig, um jede in der Grundebene gegebene Figur in Perspektive -zu setzen. Bevor wir aber dazu übergehen, Körper abzubilden, wollen -wir vorher noch eine sehr wesentliche Verallgemeinerung der oben -durchgeführten Betrachtungen besprechen. - -Ziehen wir zu irgendeiner Geraden der Grundebene im Raume eine -Parallele, so nennen wir diese neue Gerade eine +horizontale+ Gerade. -In genauer Fassung werden wir sagen: - -»Jede Gerade, welche zur Grundebene parallel läuft, soll eine -horizontale Gerade heißen.« Wollen wir nun den Fluchtpunkt einer -horizontalen Geraden bestimmen, so haben wir durch das Auge eine -Parallele zu der Geraden zu zeichnen. Diese Parallele ist dann aber -auch parallel zur Grundebene, liegt mithin in der Horizontebene, und -der Fluchtpunkt muß dem Horizont _hh_ angehören. - -[Illustration: Fig. 31.] - -Was die Lage einer horizontalen Geraden im Raume betrifft, so kann sie -entweder +oberhalb+ oder +unterhalb+ der Horizontebene liegen oder in -der Horizontebene. Der letztere Fall ist sofort erledigt. Denn jede -Gerade der Horizontebene bildet sich in den Horizont ab. - -Liegt eine horizontale Gerade oberhalb der Horizontebene, wie z. B. die -Gerade _A_ in Fig. 31, so muß ihre Spur _a_ oberhalb des Horizonts _hh_ -gelegen sein; eine horizontale Gerade _B_ dagegen, welche unter der -Horizontebene sich befindet, liefert eine Spur _b_ unter dem Horizont. - -Die Bilder zweier solchen Geraden verhalten sich nun verschieden. In -Fig. 31 ist noch speziell angenommen, daß die beiden Geraden _A_ und -_B_ in der gleichen Vertikalebene liegen, so daß der Riß _A_{1}_ von _A_ -mit dem Riß _B_{1}_ von _B_ sich deckt und die Spuren _a_ und _b_ auf -einer lotrechten Linie sich befinden. Durchläuft ein Punkt die Gerade -_A_, indem er von der Spur _a_ ausgeht, im Sinne des Pfeiles, also in -der Richtung von der Bildtafel weg, so bewegt sich sein Bild auf _A'_ -gegen den Fluchtpunkt _f_{a}_ hin. Die Linie _A'_ geht demnach, in der -Richtung von _a_ nach _f_{a}_ durchlaufen, abwärts, oder sie »fällt«. -Ebenso »steigt« die Linie _B'_, wenn sie in der Richtung gegen den -Fluchtpunkt hin durchlaufen wird. Damit haben wir eine sehr brauchbare -Malerregel abgeleitet, die sich wie folgt ausdrücken läßt: - - =Satz 16.= »+Horizontale Gerade haben ihre Fluchtpunkte auf dem - Horizont. Liegen die Geraden selbst oberhalb der Horizontebene, - so ›fallen‹ ihre Bilder, wenn sie in der Richtung nach dem - Fluchtpunkt hin durchlaufen werden; liegen sie unterhalb dieser - Ebene, so ›steigen‹ ihre Bilder, wenn man sie in der Richtung - nach dem Fluchtpunkt zu durchläuft.+« - -Die gleiche Eigenschaft zeigen natürlich auch die Bilder der -Tiefenlinien, da die letzteren ja auch nur horizontale Gerade von -besonderer Art sind. - -Die in 16 und 17 für Gerade der Grundebene durchgeführten Betrachtungen -gelten, wir wir jetzt einsehen, für jede +horizontale+ Gerade; speziell -gilt Satz 15 für zwei Gerade, die in irgendeiner zur Grundebene -parallelen Ebene liegen. - - -§ 8. Darstellung einfacher Körper, die sich auf der Grundebene erheben. - -=21. Darstellung einer Pfeilerreihe, die nach der Tiefe geht.= Wenn wir -jetzt dazu übergehen, Körper darzustellen, die sich auf der Grundebene -befinden, so tritt als neue Dimension die auf der Grundebene lotrechte -Richtung auf, also die Vertikale. Jede Ebene durch eine Vertikale heißt -eine Vertikalebene. Setzen wir die Begrenzungsflächen des Körpers in -Beziehung zur Bildtafel, so werden vor allem die Ebenen zu betrachten -sein, welche auf der Bildtafel senkrecht stehen. Wir nennen sie -»Tiefenebenen« und sehen, daß jede Ebene durch eine Tiefenlinie eine -Tiefenebene ist. Enthält eine Tiefenebene eine Vertikale, so nennen wir -sie eine vertikale oder auch eine lotrechte Tiefenebene. Es sei nun zu -behandeln - - =Aufgabe 10=. Eine Pfeilerreihe darzustellen, die sich in einer - lotrechten Tiefenebene befindet. - -Wir versinnlichen jeden Pfeiler durch eine schlichte Gerade und -nehmen an, daß der erste Pfeiler _ab_ +in der+ Bildebene gelegen -ist (Fig. 32). Ferner sollen die Pfeiler in +gleichen+ Abständen -aufeinanderfolgen, also _ac_ = _ce_ = _ei_ = _il_ = _ln_ = _np_ sein. -Die Punkte _a_, _c_ ... _p_ liegen auf einer Tiefenlinie _A_ und ebenso -die oberen Enden der Pfeiler _b_, _d_, _f_, _k_, _m_, _r_, _q_, auf -einer zweiten Tiefenlinie _B_. Die Ebene durch _A_ und _B_ ist die -lotrechte Tiefenebene, in der die Pfeilerreihe gelegen ist. - -[Illustration: Fig. 32.] - -In unserer zu zeichnenden Figur (Fig. 33) sind also gegeben der erste -in der Bildebene liegende Pfeiler _ab_ sowie der Abstand _y_ zweier -aufeinanderfolgender Pfeiler. Die Darstellung läßt sich nun leicht -bewerkstelligen. Der Punkt _a_ mit dem Augpunkt ~A~ verbunden liefert -das Bild _A'_ der Tiefenlinie _A_. Auf _A'_ ist nun ein Tiefenmaßstab -zu zeichnen mit der Einheit _y_. Nach Aufgabe 5 führen wir dies aus, -indem wir die gegebene Einheit _y_ von der Spur _a_ aus nach rechts auf -der Grundlinie als 0.1, 1.2, 2.3 ... antragen und diese Punkte mit dem -linken Distanzpunkt ~D_{1}~ verbinden. Die Schnittpunkte mit _A'_ geben -die Bilder _c'_, _e'_, _i'_ ... der Pfeilerenden. - -[Illustration: Fig. 33.] - -Verbinden wir weiter _b_ mit ~A~, so ist diese Linie das Bild _B'_ -der Tiefenlinie _B_, und auf _B'_ müssen die oberen Endpunkte der -Pfeiler angeordnet sein. Die Geraden _ab_, _cd_ ... sind aber parallel -zur Bildebene; nach Satz 10 sind also ihre Bilder auch parallel, und -überdies muß beispielsweise _c'd'_ ∥ _cd_ sein usf.; die Bilder der -Pfeiler sind also lotrechte Linien. Demnach haben wir lediglich durch -die Punkte _c'_, _e'_, _i'_ usf. die Vertikalen zu zeichnen und diese -durch die Schnittpunkte mit der Linie _B'_ zu begrenzen. So ergeben -sich die Bilder _c'd'_, _e'f'_ ... Wir können in unserer Figur auch die -Darstellung eines Staketenzaunes sehen oder einer Bretterwand, die aus -gleichbreiten Brettern zusammengesetzt ist. - -Wir machen von der eben durchgeführten Konstruktion eine Anwendung zur -Lösung folgender wichtiger - - =Aufgabe 11.= Ein Punkt _p_ der Grundebene ist durch sein - Bild _p'_ gegeben; man zeichne das Bild einer Linie _pq_ - von gegebener Länge, welche in _p_ senkrecht zur Grundebene - angetragen wird. - -Es soll also mit anderen Worten in einem Punkte der Grundebene eine -Senkrechte von gegebener Länge errichtet werden. Um zur Lösung zu -gelangen, denken wir uns (Fig. 32) durch die Senkrechte _pq_ eine -Tiefenebene gelegt und stellen uns eine Reihe von Pfeilern vor, -welche die Höhe _pq_ haben und sich in dieser Ebene befinden. Anders -ausgedrückt heißt das: wir ziehen durch _p_ und _q_ die Tiefenlinien -_A_ und _B_, welche in _a_ und _b_ die Bildebene treffen. _ab_ ist -der in der Tafel liegende Pfeiler. Daraus ergibt sich folgende durch -ihre Einfachheit überraschende Konstruktion: Den gegebenen Punkt _p'_ -verbinden wir mit ~A~ (Fig. 34) und erhalten dadurch das Bild _A'_, -welches die Grundlinie _gg_ in _a_ trifft. In _a_ tragen wir die -gegebene Höhe als _ab_ vertikal an. Der Endpunkt _b_ liefert mit ~A~ -verbunden das Bild _B'_ der Tiefenlinie _B_. Ziehen wir endlich durch -_p'_ die Vertikale, so schneidet sie auf _B'_ den Punkt _q'_ aus. -_p'q'_ ist das Bild der gesuchten Senkrechten. - -[Illustration: Fig. 34.] - -Da man jeden beliebigen Punkt des Raumes sich bestimmen kann durch -seinen rechtwinkligen Riß auf die Grundebene und durch den Abstand -von der Grundebene, so können wir damit das Bild eines beliebigen -Raumpunktes zeichnen und sind weiter imstande, jeden Körper, wenn -auch umständlich, abzubilden, indem wir die Bilder seiner einzelnen -Punkte ermitteln. Wir werden später Beispiele für die Anwendung dieser -Konstruktion geben, wollen aber zunächst noch einige Folgerungen aus -der Fig. 34 ziehen. - -Wir können dieselbe unmittelbar zur Lösung folgender neuen Aufgabe -benutzen: Gegeben ist das Bild _p'q'_ einer Strecke _pq_, die im Punkte -_p_ der Grundebene auf dieser senkrecht sich erhebt; man bestimme die -wahre Länge _pq_ dieser Strecke. - -Wir verbinden _p'_ mit ~A~ und bringen diese Linie in _a_ mit der -Grundlinie zum Schnitt; in _a_ errichten wir eine Vertikale und -schneiden diese in _b_ mit der Verbindungslinie von ~A~ nach _q'_. Dann -gibt _ab_ die wahre Länge der Strecke _pq_. - -Als eine weitere Anwendung behandeln wir - - =Aufgabe 12.= Auf einer lotrechten (vertikalen) Geraden einen - Maßstab zu zeichnen. Höhenmaßstab. - -[Illustration: Fig. 35.] - -Denken wir uns auf der Lotrechten _pq_ von Fig. 32 die Einheit des -Maßstabes wiederholt angetragen und ziehen wir durch die Teilpunkte -die Tiefenlinien, so übertragen diese den Maßstab auf die Gerade _ab_, -was in der Figur angedeutet ist. Die Bilder der Tiefenlinien sind aber -sofort zu zeichnen. Wir erhalten also folgende Ausführung (Fig. 35). - -Gegeben ist das Bild _p'q'_ der Vertikalen, auf der mit der gegebenen -Strecke _y_ als Einheit ein Maßstab gezeichnet werden soll, der in der -Spur der Vertikalen beginnt. Wir verbinden den Punkt _p'_ mit dem -Augpunkt ~A~ und erhalten dadurch den Punkt _a_ auf der Grundlinie. In -_a_ errichten wir zur Grundlinie _gg_ die Senkrechte; auf dieser tragen -wir von _a_ beginnend die Strecke _y_ ab, so daß also die Strecken 0.1, -1.2, 2.3 ... je = _y_. Verbinden wir die Punkte 1, 2, 3 ... mit ~A~, so -schneiden diese Tiefenlinien auf _p'q'_ die gesuchten Punkte 1', 2', 3' -... aus. Aus bekannten Sätzen der Planimetrie folgt sofort, daß auch - - 0.1' = 1'.2' = 2'.3' = 3'.4'. - -[Illustration: Fig. 36.] - -Daraus ergibt sich folgender - - =Satz 17.= »+Der Höhenmaßstab auf einer Vertikalen (und überhaupt - auf einer Parallelen zur Bildebene) zeigt keine Verkürzung, - sondern eine sich gleichbleibende Verjüngung.+« - -Gleichhohe Fenster einer Fassade, die auf einer lotrechten Linie -liegen, sind also beispielsweise gleich hoch zu zeichnen. - -Teilungen einer vertikalen Strecke übertragen sich demnach unmittelbar -auf das Bild. Wenn etwa die Strecke _pq_ (Fig. 32) in eine gewisse -Anzahl gleicher Teile geteilt werden soll, so können wir die Teilung -unmittelbar im Bilde _p'q'_ (Fig. 35) vornehmen. - -[Illustration: Fig. 37.] - -=22. Darstellung einer zur Bildebene parallelen Pfeilerreihe.= -Noch einfacher gestaltet sich die zeichnerische Wiedergabe einer -Pfeilerreihe oder überhaupt einer Reihe gleichgroßer, paralleler -Gegenstände, wenn dieselben parallel zur Bildebene angeordnet sind. -Dies sei der Gegenstand der - - =Aufgabe 13.= Eine Pfeilerreihe darzustellen, die sich in einer - zur Tafel parallelen Ebene befindet. - -Ist _pq_ der erste darzustellende Pfeiler (Fig. 36), so zeichnen wir -nach der Aufgabe 11 sein Bild _p'q'_. Unserer Voraussetzung nach liegen -die Endpunkte der Pfeiler auf zwei parallelen Linien _P_ und _Q_, die -überdies zur Tafel parallel sind. Es ist also wieder nach Satz 10 auch -_P'_ ∥ _P_ und _Q'_ ∥ _Q_ und da _P_ ∥ _Q_ ∥ zur Grundlinie _gg_, so -sind auch die Bilder _P'_ und _Q'_ parallel zur Grundlinie. Auf diesen -beiden Horizontalen liegen folglich die Bilder der Endpunkte, und sie -ergeben sich leicht, wenn man wiederum die Tiefenlinien durch die -Punkte selbst zu Hilfe nimmt. - -[Illustration: Fig. 38.] - -Die Ausführung der Konstruktion zeigt Fig. 37. Gegeben ist das Bild -_p'_ des Punktes _p_, die Höhe der Pfeiler und ihr Abstand _y_. Wir -verbinden _p'_ mit dem Hauptpunkt ~A~; diese Tiefenlinie _A'_ liefert -auf der Grundlinie _gg_ den Punkt _a_. In _a_ errichten wir eine -Vertikale _ab_ gleich der gegebenen Höhe der Pfeiler und erhalten durch -die Linie _b_~A~ den Punkt _q'_ auf der Lotrechten durch _p'_ und -damit das Bild des ersten Pfeilers _pq_. Auf den Horizontalen _P'_ und -_Q'_ durch _p'_ und _q'_ liegen die übrigen Endpunkte. Tragen wir den -gegebenen wahren Abstand _y_ zweier Pfeiler auf der Grundlinie als die -Strecke 0.1 ab, so gibt die Linie von 1 nach ~A~ das Bild _n'_ und die -Vertikale durch _n'_ auf _Q'_ das Bild _r'_. Analog verfährt man für -die weiteren Punkte 2, 3 ... Man erkennt, daß _p'n'_ = _n'l'_ usf., daß -also auch die Bilder der Pfeiler gleich weit voneinander abstehen. - -Obwohl die Pfeiler selbst ganz verschiedene Entfernungen vom Auge _O_ -haben, sind ihre Bilder doch gleich groß zu zeichnen. - -Hat man überhaupt in einer zur Bildtafel parallelen Ebene irgendeine -Figur, so ist ihr Bild eine dazu ähnliche Figur d. h. das Bild -ist eine Verkleinerung der gegebenen Figur; es ändern sich nur -die Größenverhältnisse der Figur, alle Winkel aber, und auch die -gegenseitigen Verhältnisse der Seiten bleiben ungeändert. - -Wir können also sagen: - - =Satz 18.= »+Befinden sich Gegenstände von der gleichen Größe - irgendwo in einer Parallelebene zur Tafel oder kürzer in der - gleichen Tiefe, so sind ihre Bilder stets gleich groß zu - zeichnen.+« - -[Illustration: Fig. 39.] - -[Illustration: Fig. 40.] - -Als Beispiel denken wir uns, am Fuße eines Turmes befinde sich eine -menschliche Figur (Fig. 38) und oben auf dem Turme, aber in der -gleichen Tiefe, stehe oder liege eine zweite ebenso große. Dann sind -die beiden Figuren gleich groß zu geben. Man kann häufig bemerken, daß -die Figur auf dem Turme kleiner gezeichnet ist, und als Grund dafür -wird angeführt, daß die Figur +auf+ dem Turme doch weiter vom Auge -entfernt sei als die Figur am Fuße des Turmes, also auch kleiner sein -müsse. Dabei verwechselt man die +Erscheinung+ eines Gegenstandes und -seine bildliche Wiedergabe. Die Größenverhältnisse der uns umgebenden -Körper beurteilen wir im allgemeinen nach den »Gesichtswinkeln«, unter -denen sie uns erscheinen. Wir +betrachten+ nun aber doch das Bild mit -den beiden Figuren, und dann ist in der Tat, wie Fig. 39 noch klarer -zeigt, der Gesichtswinkel δ, unter dem die obere Figur erscheint, -kleiner als der Gesichtswinkel α, der zu der unteren Figur gehört. -Hier mag noch eine andere Beobachtung erwähnt werden, die sich auf die -Darstellung hoher, sich in Wirklichkeit nicht verjüngender Objekte -bezieht. Denken wir uns z. B. einen Turm mit vertikalen Kanten. -Betrachten wir denselben mit geradgehaltenem Kopfe, so erscheinen -die Kanten des Turmes parallel. Legen wir uns aber auf den Rücken -und blicken an dem Turm in die Höhe, so zeigen seine Kanten einen -Fluchtpunkt. Zwischen diesen beiden äußersten Fällen gibt es viele -Übergänge. Wenn wir nicht weit genug von dem Turme zurücktreten können, -so neigen wir ebenfalls den Kopf zurück, um den Turm in seiner ganzen -Höhe zu überschauen. Dann tritt wieder die Fluchtpunkterscheinung auf. -Aus diesen Überlegungen heraus kann man die Abbildung 4 bis zu einem -gewissen Grade für berechtigt erklären. Wir befinden uns dabei in dem -Gebiet ästhetisch-psychologischer Vorgänge, und die Perspektive als -starre mathematische Schablone kann zugunsten einer besseren Wirkung -modifiziert werden. - -[Illustration: Abb. 4.] - -[Illustration: Fig. 41.] - -=23. Darstellung eines rechtwinklig begrenzten Raumes.= Wir wollen -jetzt die Fig. 32 erweitern, indem wir uns auch auf der anderen Seite -des Auges eine gleichgroße Pfeilerreihe ebenfalls in einer lotrechten -Tiefenebene angebracht denken. Verbinden wir dann (Fig. 40) den letzten -Pfeiler _pq_ der einen Reihe mit dem letzten Pfeiler _st_ der anderen -Reihe durch eine Ebene und legen weiter durch _qb_ und _tc_ ebenfalls -eine Ebene, so erhalten wir ein rechteckig begrenztes Raumstück, den -Quader _abcdpqts_. Die Pfeilerreihe auf der rechten Seite ist ebenso -zu zeichnen wie in Fig. 33, und es ergibt so das Bild _abcdp'q't's'_ -(Fig. 41). Stellen wir uns weiter vor, daß wir dadurch je zwei gleich -weit von der Tafel entfernte Pfeiler weitere Ebenen legen, so sind -diese alle parallel und schneiden die Grundebene in Parallelen zur -Grundlinie. Den dargestellten Raum teilen wir dadurch in eine Anzahl -gleicher Schichten, die ebenfalls in Fig. 41 wiedergegeben sind. -Endlich sind noch der Fußboden und die Wände mit einem Quadratnetz -überzogen, und zwar ist die Figur so eingerichtet, daß in der Breite, -also von _a_ nach _d_, 8 Quadrate, in der Tiefe von _a_ nach _p_ 5 -Quadrate und in der Höhe von _a_ nach _b_ ebenfalls 5 Quadrate liegen. -Der Horizont verläuft in einer Höhe, die zwei Quadratseiten entspricht. -Es ist leicht, diese Quadrate einzuzeichnen (man vgl. Fig. 19) und so -die Fig. 41 herzustellen. Man kann an ein mit quadratischen Kacheln -ausgelegtes Zimmer denken. Legt man aber weiter durch die sämtlichen -Tiefenlinien die horizontalen und vertikalen Ebenen, so wird der ganze -Raum in Würfel geteilt, und zwar in 5 ⋅ 5 ⋅ 8 = 200. Einer dieser -Würfel ist herausgezeichnet. Der Leser wird diese Figur nicht für -eine mathematische Spielerei halten, sondern sofort erkennen, daß wir -damit ein Mittel gewonnen haben, jeden Körper im Raume einigermaßen -richtig unterzubringen, indem wir ihn in eine Anzahl von Würfeln -einschließen. Fig. 41 leistet für den Raum das gleiche wie Fig. 19 für -die Bodenfläche. - -[Illustration: Abb. 5.] - -Nennen wir, wie es dem allgemeinen Gebrauch entspricht, die Abmessung -in der Richtung der Grundlinie, also von _a_ nach _d_, die Breite, so -gibt uns die Fig. 41 sowohl einen +Tiefen-+ und +Höhen-+ als auch einen -+Breitenmaßstab+. Denn wir können angeben, wie sich die angenommene -Quadratseite an jeder Stelle des Raumes der Tiefe, Höhe und Breite -nach verkürzt. An der Stelle _i'_ z. B. sind diese Verkürzungen durch -_i'm'_, _i'n'_ und _i'l'_ gegeben. Gleichzeitig ergibt sich noch, was -übrigens schon aus Satz 18 folgt: - - =Satz 19.= »+Der Breitenmaßstab ist in jeder Tiefe gleich dem - Höhenmaßstab.+« - -Endlich gibt Fig. 41 die einfachste Darstellung eines Innenraumes oder -eines Interieurs. Um einen geschlossenen Raum darzustellen, mag man -sich eine Begrenzungsfläche desselben entfernt denken. Diese Fläche -ist hier dann als Bildebene benutzt. Wir geben als Beispiel in Abb. -5 ein Fresko von +Ghirlandajo+ (1449--1494), das die Geburt Johannis -des Täufers vorstellt und sich im Chor der Kirche S. Maria Novella -in Florenz befindet. Durch einige punktierte Tiefenlinien sind der -Augpunkt und der Horizont ermittelt. Der Augpunkt ist aus der Mitte des -Bildes etwas nach rechts herausgerückt, wie in Fig. 41 ~A~ näher an -_cd_ als an _ab_ liegt. Wählt man den Augpunkt genau in der Mittellinie -des Bildes, so gestaltet sich die Architektur auf beiden Seiten ganz -gleichmäßig: sie ist symmetrisch zur Mittellinie. Die Symmetrie bedingt -eine größere Ruhe und eine gewisse Feierlichkeit im Bilde, wie Abb. 8 -zeigen mag. - -=24. Aufsicht, Untersicht, Seitenansicht.= Die gleiche Figur 41 gibt -uns auch Aufschluß, wie wir infolge der Festlegung unseres Standpunktes -durch das Auge _O_ horizontale Ebenen, die unter der Horizontebene -liegen, von oben sehen: wir haben auf sie »Aufsicht«, so z. B. auf die -Bodenfläche. Von horizontalen Ebenen, die oberhalb der Horizontebene -liegen, sehen wir dagegen die +untere+ Seite; sie befinden sich in -»+Unter+sicht«, wie z. B. die Decke in Figur 41. Die Horizontebene -selbst bildet den Übergang zwischen beiden Arten von Ebenen: sie -erscheint als Linie, nämlich als der Horizont. In der gleichen Weise -sehen wir vertikale Tiefenebenen entweder von rechts oder von links, -je nachdem sie links oder rechts von der durch das Auge _O_ gehenden -vertikalen Tiefenebene liegen. Diese letztere erscheint als die -durch den Augpunkt gehende Vertikale. Die Figuren 42 und 43 mögen -das noch weiter veranschaulichen. Sie stellen ein Notenpult oder ein -Büchergestell dar, das im ersten Fall lotrecht steht, im zweiten Falle -auf dem Boden liegt. - -[Illustration: Fig. 42.] - -Aus der Tatsache, daß die ganze Horizontebene sich in den Horizont -abbildet, läßt sich noch eine bemerkenswerte Folgerung ziehen. Ist _u'_ -das Bild eines Punktes _u_ der Grundebene (Fig. 41) und errichten wir -in _u'_ die Senkrechte, welche den Horizont im Punkte _v'_ schneiden -möge, so können wir _v'_ als Bild desjenigen Punktes _v_ ansehen, der -lotrecht über _v_ in der Horizontebene liegt. Die Strecke _uv_ ist -also gleich der Augenhöhe. Zu dem gleichen Resultat führt uns auch die -Betrachtung der Figur 34, indem sich zu dem Bilde _p'v'_ als zugehörige -Strecke _av_{0}_ ergibt, was wieder die Augenhöhe ist. Daraus folgt -demnach folgender vielfach verwendbare - - =Satz 20.= +Ist das Bild eines Punktes der Grundebene gegeben, so - stellt der Abstand dieses Bildes vom Horizont immer das Bild - der Augenhöhe vor.+ - -[Illustration: Fig. 43.] - -=25. Personen in verschiedenen Tiefen eines Bildes.= Die Darstellung -einer menschlichen Figur in einem Bilde gibt uns Veranlassung, über den -Maßstab eines Bildes zu sprechen und dieser hängt wieder davon ab, wie -wir uns das Zeichnen nach der Natur, also z. B. die Wiedergabe einer -Landschaft vorstellen. Bisher haben wir immer angenommen, daß das Bild -+direkt+ die Zentralprojektion des Gegenstandes ist, wie wir das bei -der Glastafelperspektive (in 2) erörterten. Man kann sich das aber -auch etwas anders denken. Nehmen wir z. B. an, ein Landschaftsmaler -habe das Motiv und einen günstigen Standpunkt gefunden. Dann mag er -sich, etwa in der Entfernung von einigen Metern von seinem Standpunkte, -die Bildtafel Π vertikal aufgestellt +denken+. Auf diese Ebene Π wird -von seinem Auge aus die Landschaft projiziert. Dieses Bild wird aber -nicht wirklich gezeichnet. In sein Skizzenbuch oder auf den vor ihm -stehenden Rahmen zeichnet der Maler vielmehr eine Verkleinerung oder -eine Verjüngung des auf Π gedachten Bildes. In diesem Falle ist also -die Zeichenfläche nicht die gleiche wie die Bildebene. Allerdings -könnte man eine neue, dem Standpunkt nähere, zu Π parallele Ebene -finden, welche aus dem Strahlenkegel des Auges _O_ gerade das Bild -ausschneiden würde, das auf dem Zeichenblatt gezeichnet wurde. - -Wie kann man nun bestimmen, in welchem Verhältnis das Bild in dem -Skizzenbuch gegenüber dem gedachten Bilde auf Π verkleinert ist? Zu dem -Zwecke denken wir uns einen Menschen, der ganz nahe hinter der Tafel Π -steht. Er wird dann auf der Tafel Π in wirklicher Größe erscheinen. Die -Skizze aber wird den gleichen Menschen in kleinerem Maßstabe zeigen, -z. B. nur in 1/10 der Lebensgröße. Dann sagen wir, die Verjüngung oder -Reduktion sei = 1/10. Wollen wir, was z. B. bei Architekturen nötig -ist, genaue Maße haben, so stellen wir uns vor, daß eine Meßlatte mit -Metermaßeinteilung in der Bildebene Π liege. Auf dem Skizzenblatt aber -wird z. B. +ein+ Meter durch einen Dezimeter wiedergegeben, wenn die -Verjüngung 1/10 beträgt. Wir behandeln nun folgende - - =Aufgabe 14.= Personen in verschiedenen Tiefen eines Bildes - darzustellen. - -In den 3 Fällen sei die Verjüngung stets 1/100, so daß also ein Meter -durch einen Zentimeter dargestellt wird. Ferner nehmen wir an, daß -alle im Bilde wiedergegebenen Personen 1,5 Meter groß seien, also eine -mittlere Größe haben. - - =1. Fall.= Die Augenhöhe sei 75 ~cm~ oder ¾ ~m~; es soll eine - Person gezeichnet werden, die sich in _c'_ auf der Grundebene - befindet. - -Auf der linken Seite gibt uns in Figur 44 die Strecke 0.1 die -Darstellung eines Meters; nehmen wir drei Viertel dieser Größe, so ist -damit der Horizont _hh_ gefunden, der bei dieser Annahme sehr niedrig -liegt. Eine direkt an der Bildtafel stehende Figur ist 1½ ~m~ hoch zu -zeichnen, sie ist in _ab_ angedeutet, und sie wird durch den Horizont -halbiert. Wir ziehen durch ~A~ nach _a_ und _b_ die Tiefenlinien. -Um die in _c'_ befindliche Person zu zeichnen, verschieben wir sie -parallel der Bildebene, also in der gleichen Tiefe; dabei bleibt nach -Satz 18 ihre Größe ungeändert. Demgemäß ziehen wir durch _c'_ die -Parallele zur Grundlinie, welche die Linie ~A~_a_ in _p'_ schneidet. -Die in _p'_ bis zum Schnitt mit der anderen Tiefenlinie ~A~_b_ -errichtete Senkrechte _p'q'_ gibt die Größe der Figur; ziehen wir durch -_q'_ eine Parallele zur Grundlinie, so schneidet sie die Vertikale -durch _c'_ in _d'_ und _c'd'_ ist die gesuchte Höhe der Figur in _c'_. - -[Illustration: Fig. 44.] - -Ist im Punkte _i'_ der Grundebene eine weitere Figur zu zeichnen, so -ziehen wir _c'i'_ und bringen diese Linie in _f_ zum Schnitt mit dem -Horizont; verbinden wir _f_ mit _d'_, so ergibt die in _i'_ errichtete -Senkrechte den Punkt _k'_, bis zu dem die Figur reicht. Denn die Linien -_ci_ und _dk_ sind parallele, horizontale Gerade, müssen also ihren -Fluchtpunkt auf dem Horizont haben. - -Man sieht leicht ein, daß alle Figuren durch den Horizont halbiert -werden, und daß man allgemein sagen kann: - - =Satz 21.= +Alle auf der Grundebene stehenden Figuren werden - durch den Horizont im gleichen Verhältnis geteilt.+ - - =2. Fall.= Die Augenhöhe sei 2½ ~m~; es ist eine Figur zu - zeichnen, welche sich in _c'_ auf einer Mauer befindet. - -[Illustration: Fig. 45.] - -Wir haben es unter dieser Voraussetzung mit einem hohen Horizont zu -tun, der in der Mitte zwischen den Ziffern 2 und 3 verläuft (Fig. 45). -Eine Person direkt im Vordergrund hat wieder eine Höhe _ab_, welche = -1½ ~m~ ist. Um die Größe der in _c'_ befindlichen Figur zu bestimmen, -verschaffen wir uns die durch _c_ gehende Parallelebene zur Tafel, da -in dieser ganzen Ebene die Figur gleichgroß ist. Wir ziehen also durch -_c'_ die Parallele zur Grundlinie, gehen dann an der Mauer senkrecht -herunter und wieder parallel zur Grundlinie weiter, bis wir nach _p'_ -gelangen. Die Vertikale in _p'_ schneidet aus der Linie _C_~A~ den -Punkt _q'_ aus. _p'q'_ ist wieder die Größe einer menschlichen Figur in -der Tiefe _p'_. Die Figur in _c'_ ist aber ebensogroß zu zeichnen, also -muß _c'd'_ = _p'q'_ sein. - -[Illustration: Fig. 46.] - -Bringen wir die Linien _ab_ und _p'q'_ in _t'_ und _r'_ mit dem -Horizont zum Schnitt, so ist - - _ab_ : _at'_ = _p'q'_ : _p'r'_ = 3 : 5. - -Es beträgt also die Höhe jeder +auf der Grundebene+ stehenden Figur ⅗ -der Höhe bis zum Horizont. Dies ist wiederum der vorige Satz 21. - -Weiß man umgekehrt nicht, wie hoch der Horizont ist, so kann man -die Augenhöhe ungefähr bestimmen, wenn eine menschliche Figur _ab_ -unmittelbar im Vordergrund gegeben ist. So könnte man in unserer Figur -45 durch Schätzung oder Abmessung finden, daß die Augenhöhe fünfmal so -groß ist als der dritte Teil von _ab_. Da für _ab_ mittlere Manneshöhe -1,50 ~m~ angenommen werden darf, so ist der dritte Teil davon 50 ~cm~, -und für die Augenhöhe _at'_ ergibt sich als Zahlenwert 5 × 50 ~cm~ = -2,50 ~m~. - - =3. Fall.= Die Augenhöhe sei 1,50 ~m~; man bestimme die Größe - einer menschlichen Figur, die sich in _c'_ auf einer Mauer - befindet. - -Eine unmittelbar im Vordergrund befindliche Person _ab_ reicht jetzt -gerade bis an den Horizont. (Fig. 46.) (Wollten wir uns noch genauer -ausdrücken, so könnten wir sagen, daß der Horizont die Augen aller auf -der Grundebene stehenden Personen enthalten müsse.) In der Figur sind -einige Meßlatten gezeichnet, die senkrecht auf der Grundebene stehen. -Dann schneidet der Horizont auf +jeder+ Latte 1,50 ~m~ ab. Sind die -Latten in halbe Meter geteilt, so geht er also immer durch das Ende -des dritten Abschnittes. Um die Figur in _c'_ zu zeichnen, legen wir -wieder durch _c_ die Parallelebene zur Tafel, also durch _c'_ die -Parallele zur Grundlinie, gehen an der Mauer senkrecht herunter und -parallel zu _gg_ weiter, so daß wir nach _p'_ gelangen. Die in _p'_ -errichtete Senkrechte schneidet den Horizont in _q'_. Die in _c'_ -befindliche Figur ist also = _p'q'_ zu machen, so daß ihre Größe _c'd'_ -= _p'q'_. Sie wird an den Füßen von der Mauerkante überschnitten. - -Wenn wir zu einer Architektur eine Figur als Staffage beifügen, so -ist damit die Größe der Architektur festgelegt. Zeichnen wir die -Staffagefigur klein, so nimmt die Architektur dadurch große Formen an -und umgekehrt wird sie durch eine große Figur verkleinert. - -=26.= Endlich wollen wir noch einen etwas komplizierteren einzelnen -Gegenstand darstellen in - - =Aufgabe 15.= Einen in Grund- und Aufriß gegebenen Pfeiler - darzustellen, wenn die Vorderfläche des Sockels in der - Bildebene liegt. - -Der Grundriß _P_{1}_ ist in der Verschiebung gegeben (Fig. 47), der -Aufriß _P_{2}_ befindet sich nicht senkrecht über dem Grundriß, sondern -er wurde nach links hinausgeschoben, um den Platz für die Zeichnung -frei zu lassen. - -Von dem Sockel liegt die Fläche 1 2 6 5 in der Bildtafel. Wir -übertragen zunächst den ganzen Grundriß in das Bild und bauen darüber -den Körper auf. - -Das Bild 1 2 3' 4' des Quadrates (1)(2)(3)(4) ist sofort zu zeichnen, -da 4' sowohl auf der Tiefenlinie 1.A als auch auf der Linie von 2 nach -dem Distanzpunkt ~D_{1}~ liegt. Wir zeichnen weiter die beiden inneren -Quadrate. Die Bilder 9' und 13' ergeben sich, wenn man durch (9) -und (13) die Tiefenlinien zieht. Außerdem liegen 9' und 13' auf der -Diagonale 1.3'. - -Der Sockel kann jetzt dargestellt werden; die Tiefenlinien durch 5 und -6 schneiden auf den Vertikalen durch 4' und 3' die Punkte 8' und 7' aus. - -Um den Schaft des Pfeilers zu zeichnen, haben wir im Punkte 9' eine -Senkrechte von gegebener Länge zu errichten: alle diese Höhen messen -wir von der Grundebene aus. Nach Aufgabe 11 verbinden wir also 9' mit -~A~ und erhalten auf der Grundlinie den Hilfspunkt 10; durch diesen -ziehen wir eine Vertikale und schneiden auf derselben durch die -Parallele im Aufriß die anzutragende Höhe 10.11 ab. Dann schneidet die -Linie von 11 nach ~A~ auf der Vertikalen durch 9' das Bild 12' der -oberen Ecke aus. Die drei übrigen Ecken des Quadrates ergeben sich -durch Parallele und Tiefenlinien, und ebenso leicht ist das auf der -oberen Fläche des Sockels befindliche Quadrat einzutragen; seine Ecken -liegen auf den Diagonalen 5.7' und 6.8'. - -[Illustration: Fig. 47.] - -Nun ist weiter im Punkte 13' die Senkrechte zu errichten. Die -Tiefenlinie liefert den Hilfspunkt 14 und 14.15 ist die auf der -Vertikalen anzutragende Strecke. So ergibt sich das Bild 16' des -vorletzten Quadrates. Der Punkt 17 endlich liefert in 18' eine Ecke der -Deckfläche. Beide Quadrate sind leicht zu vervollständigen. Der Punkt -12' gibt mit 16' verbunden das Bild des Gehrungsprofiles. Verschafft -man sich das Bild 19' des Punktes 19, so kann man die Kontrolle -benutzen, daß die vier Linien 16'.12' usf. durch 19' gehen. - - +Anmerkung.+ Statt die Bildebene durch die vordere Fläche des - Sockels zu legen, könnte man sie auch +parallel+ zu derselben - durch die Achse des Körpers legen. Die Schnittfigur der - Bildebene mit dem Pfeiler stimmt dann mit dem Aufriß _P_{2}_ - überein. Es läßt sich aus diesem Schnitt ebenfalls das Bild - des Pfeilers leicht herstellen, ohne daß man nötig hat, eine - Verschiebung zu benutzen. Wir empfehlen die Ausführung dem - Leser. - - =Aufgabe 16.= Einen in Grund- und Aufriß gegebenen Pfeiler - darzustellen, der beliebig auf der Grundebene steht, wenn eine - Kante des Sockels in der Bildtafel liegt. - -Der Grundriß _P_{1}_ sei wieder in der Verschiebung gegeben, Fig. 48, -der Aufriß _P_{2}_ ist links hinausgeschoben. Wie in Aufgabe 9, Fig. -28, zeichnen wir zunächst vermittels der Umlegung ~D_{3}~ des Auges die -Fluchtpunkte _f_{a}_ und _f_{b}_ der beiden Richtungen (_A_) und (_B_). -Ferner wollen wir noch den Fluchtpunkt der Diagonale 1.3 konstruieren, -d. h. wir ziehen durch ~D_{3}~ eine Parallele zur Verbindungslinie 1.3, -welche den Horizont in ~D~_{_g_} trifft. Dieser Fluchtpunkt ~D~_{_g_} -heißt auch der +Diagonalpunkt+ und es ist vielfach, z. B. bei -Gehrungen, nützlich, ihn einzuführen. - -Zunächst übertragen wir wieder den ganzen Grundriß in die Perspektive. -Die durch 1 gehende Kante des Sockels liegt in der Bildebene. Das -Bild des Vierecks 1 2 3 4 kann gezeichnet werden, sobald von einer -weiteren Ecke das Bild ermittelt ist. Wir benutzen etwa die Spur 5 der -Verbindungslinie 2.3. Verbinden wir 5 mit _f_{a}_, so schneidet diese -Linie auf der Linie 1._f_{b}_ das Bild 2' aus. Die Ecke 3' aber wird -erhalten als Schnittpunkt von 1.~D~_{_g_} mit der Linie 5._f_{a}_. -Endlich gibt die Linie _f_{b}_.3' in ihrem Schnitt mit _f_{a}_.1 den -Punkt 4'. In ähnlicher Weise kann man die Bilder der beiden inneren -Quadrate ermitteln. - -Um jetzt den Körper der Höhe nach aufzubauen, bestimmen wir auf der -Vertikalen durch 1 ohne weiteres die Ecke 6, da die Länge 1.6 im -Aufriß ja gegeben. Die drei anderen Ecken der Deckfläche des Sockels -sind auf den Vertikalen durch 2', 3' und 4' ohne Schwierigkeit zu -finden. Die übrigen Höhenabmessungen können wir unter Benutzung der -Vertikalen 1.6 und des Diagonalpunktes ~D~_{_g_} gewinnen, da doch -alle durch ~D~_{_g_} gehenden Linien die Bilder horizontaler Geraden -sind, welche zur Diagonale 1.3 parallel laufen. Infolgedessen liefern -die Hilfspunkte 7, 9, 11 aus ~D~_{_g_} projiziert auf den betreffenden -Vertikalen die Punkte 8', 10', 12'. Die fehlenden Ecken ergeben sich -durch Benutzung der Fluchtpunkte _f_{a}_ und _f_{b}_. Die vier schiefen -Linien der Gehrung gehen durch den Punkt 14', auf der Achse des -Körpers; zu diesem Punkt 14' gelangt man vom Hilfspunkt 13 aus. - -[Illustration: Fig. 48.] - -Auch in diesem Falle wäre es eine gute Übung, den Körper darzustellen -unter der Annahme, daß die Bildebene parallel zu der eben benutzten -durch die Achse des Pfeilers gelegt wird. - -Die Figuren 47 und 48 geben zwei charakteristische Formen -perspektivischer Bilder. In Fig. 47 steht der Körper so zur Bildtafel, -daß ein Teil seiner Kanten und Flächen zur Bildebene parallel, der -andere Teil der Kanten und Flächen zur Bildebene senkrecht verläuft. -Im Bilde selbst treten als wichtigste Linien die Horizontalen und die -Tiefenlinien auf. Man sagt, der Körper befinde sich in »Frontstellung« -oder »frontal« und nennt die Darstellung eine »Frontansicht« oder -(weniger gut) eine »gerade Ansicht«. Im zweiten Falle, der Fig. 48, -sind die Kanten und Flächen des Körpers gegen die Bildebene schräg -gestellt; der Körper befindet sich in »Übereckstellung«, und man nennt -das Bild eine »schräge Ansicht«. Die Bilder der ersten Art (Fig. 47) -zeigen wegen der auftretenden Parallelen eine gewisse Einförmigkeit, -während bei den Bildern der zweiten Art (Fig. 48) die zwei Fluchtpunkte -eine reichere Bewegung der Linien bewirken. - - -§ 9. Schiefe Linien im Raume. - -=27. Steigende und fallende Gerade im Raume.= Bisher haben wir nur -Gerade betrachtet, welche entweder parallel oder senkrecht zur -Grundebene waren, also horizontale oder vertikale Linien. Gelegentlich -kommen aber doch auch Gerade vor, die ganz beliebig im Raume verlaufen, -z. B. die Giebellinien eines Daches oder einer Fensterbedachung, die -Steigungslinien einer Treppe oder einer ansteigenden Straße. Solche -Linien wollen wir als +schiefe+ Gerade bezeichnen. - -Ist eine ganz beliebige Gerade _A_ gegeben, Fig. 49, so denken wir -uns durch _A_ die zur Grundebene lotrechte Ebene gelegt, welche aus -der Grundebene den rechtwinkligen Riß _A_{1}_ ausschneidet. Sie ist in -der Figur vertikal schraffiert. _s_ sei die Spur der Geraden _A_. -Durch _s_ ziehen wir in dieser schraffierten Ebene eine Parallele _X_ -zu _A_{1}_. Die Gerade _A_ bildet dann mit _X_ einen Winkel α, der sich -von _X_ nach aufwärts erstreckt. Von der Geraden _A_ sagen wir nun, -sie »steige« im Raume. Dabei betrachten wir denjenigen Abschnitt der -Geraden _A_, der vom Auge _O_ ausgerechnet +hinter+ der Bildtafel liegt -und durchlaufen ihn, indem wir in der Spur _s_ beginnen. - -[Illustration: Fig. 49.] - -Den Fluchtpunkt _f_{a}_ der Geraden _A_ finden wir dadurch, daß wir -durch das Auge _O_ eine Parallele zu _A_ ziehen und diese mit der -Tafel zum Schnitt bringen; es ist also _Of_{a}_ ∥ _A_. Wir legen auch -durch die Gerade _Of_{a}_ eine lotrechte Ebene, welche in der Figur -ebenfalls vertikal schraffiert ist. Aus einfachen Sätzen folgt, daß -diese beiden schraffierten Ebenen parallel sind. Die durch die Gerade -_Of_{a}_ gelegte Vertikalebene möge den Horizont in _f_, die Grundlinie -in _f_{1}_ schneiden, so daß die Punkte _f_{a}_, _f_, _f_{1}_ auf der -vertikalen Schnittlinie dieser Ebene mit der Tafel gelegen sind. Dann -tritt der Winkel α nochmals auf, in dem auch ∢ _fOf_{a}_ = α und man -erkennt, daß der Fluchtpunkt _f_{a}_ +oberhalb+ des Horizontes gelegen -ist. - -[Illustration: Fig. 50.] - -Nehmen wir jetzt eine zweite Gerade _B_ dazu, die aber in der -gleichen Vertikalebene liegen und außerdem auch durch _s_ gehen soll. -Dagegen möge diese zweite Gerade einen Winkel β mit _X_ bilden, der -nach abwärts geht. Diese Gerade _B_ »fällt« dann. Konstruieren wir -ihren Fluchtpunkt, so müssen wir durch _O_ eine Parallele zu _B_ -konstruieren. Diese Parallele liegt aber in der zweiten, schraffierten -Vertikalebene, d. h. _f_{b}_ muß auf der Linie _ff_{1}_ gelegen sein. Es -ist wieder - - ∢ _fOf_{b}_ = β - -und der Fluchtpunkt _f_{b}_ befindet sich unterhalb des Horizontes -_hh_. Diese einfachen Überlegungen geben uns den praktisch wertvollen - - =Satz 22.= »+Gerade, welche im Raume+ =steigen=, +haben einen - Fluchtpunkt+ =oberhalb= +des Horizontes+; =fällt= +eine Gerade - im Raume, so liegt ihr Fluchtpunkt+ =unter= +dem Horizont+.« - -[Illustration: Fig. 50 ~a~.] - -Man beachte, wie die horizontalen Geraden den Übergang von den -steigenden zu den fallenden Geraden bilden und deswegen ihre -Fluchtpunkte +auf+ dem Horizonte haben. - -Um das gleich an einem Beispiel zu veranschaulichen, ist in Fig. 50 -eine Brücke skizziert. Der mittlere Teil derselben läuft horizontal -entsprechend dem Fluchtpunkt _f_, der vordere Teil der Brücke steigt -gegen den Fluchtpunkt _f_{a}_ an, der rückwärtige fällt nach dem -Fluchtpunkt _f_{b}_. - -Aus der Figur 47 entnehmen wir noch weiter folgendes: die beiden -parallelen, schraffierten Ebenen werden von der Grundebene geschnitten, -also ist - - _O_{1}f_{1}_ ∥ _A_{1}_. - -Andererseits ist aber auch - - _O_{1}f_{1}_ ∥ _Of_. - -Daraus folgt, daß _Of_ ∥ _A_{1}_ oder mit anderen Worten: _f_ ist der -Fluchtpunkt für den Riß _A_{1}_ der Geraden _A_. Damit hat sich ergeben: - - =Satz 23.= »+Projiziert man den Fluchtpunkt einer schiefen - Geraden auf den Horizont, so ist dieser Punkt der Fluchtpunkt - für die Projektion der Geraden in die Grundebene.+« - -Das wurde in der Figur 50 auch berücksichtigt, indem die 3 Punkte -_f_{a}_, _f_{b}_, _f_ einer Vertikalen liegen. - -Im besonderen kann eine Gerade _C_ in einer Vertikalen Tiefenebene -liegen (Fig. 51). Dann wird die Lotebene, welche den Riß _C_{1}_ -liefert, eine Tiefenebene und der Riß _C_{1}_ eine Tiefenlinie. Unsere -Betrachtung zeigt ohne weiteres, daß der Fluchtpunkt _f_{c}_ einer -solchen schiefen Geraden _C_ auf der Vertikalen durch den Augpunkt -liegen muß. Die beiden parallelen Ebenen sind in der Fig. 51 wieder -schraffiert; man mag sich darunter Türen denken, die im vorliegenden -Falle unter 90° gegen die Wandfläche geneigt sind, während sie sich in -Fig. 49 weniger weit öffnen. Es folgt also - - =Satz 24.= »+Liegt eine schiefe Gerade in einer vertikalen - Tiefenebene, so muß ihr Fluchtpunkt auf einer Vertikalen durch - den Augpunkt gelegen sein.+« - -Fig. 50 gibt in dem Gebäude links ein Beispiel. Die Wand des Hauses, in -welcher sich die Türe befindet, ist eine Tiefenebene. Die Giebellinien -laufen deswegen nach den Fluchtpunkten _F_{a}_ und _F_{b}_, die auf -der Senkrechten im Augpunkt ~A~ liegen. Auch die Linien des Türgiebels -haben diese Eigenschaft. - -[Illustration: Fig. 51.] - -Aus der Fig. 49 ziehen wir endlich noch eine Folgerung. Wenn die -beiden Geraden _A_ und _B_ gleich geneigt sind gegen die Gerade _X_ -oder, was das gleiche ist, gegen die Grundebene, wenn also α = β, so -ergibt sich aus den Dreiecken _Off_{a}_ und _Off_{b}_ sofort, daß dann -auch - - _ff_{a}_ = _ff_{b}_ - -oder - - =Satz 25.= »+Sind schiefe Gerade im Raume gleich geneigt gegen - die Grundebene, so liegen ihre Fluchtpunkte gleich weit vom - Horizont entfernt.+« - -[Illustration: Fig. 52.] - -In Fig. 50 ist also - - ~A~_F_{a}_ = ~A~_F_{b}_, - -weil die beiden Seiten des Daches doch gleiche Winkel mit der -Grundebene einschließen, und da auch rechts - - _ff_{a}_ = _ff_{b}_, - -so hat die Brücke zu beiden Seiten der horizontalen Strecke die gleiche -Steigung. - -=Zusatz.= Wir fügen hier eine vielbenutzte Konstruktion an. Denken -wir uns die wahre Gestalt 1 2 3 4 5 der Seitenwand 1'2'3'4'5' in Fig. -50 ~a~ herausgezeichnet und konstruieren wir den Schnittpunkt 6 der -Diagonalen 2.4 und 1.3, so hat die Figur die Eigenschaften, daß die -Verbindungslinie 5.6 parallel zu 1.4 und 2.3 ist und daß sie die Seiten -1.2 und 3.4 in 7 und 8 halbiert. In der perspektivischen Zeichnung läßt -sich 6' sofort angeben; 5' liegt also auf der Vertikalen durch 6', was -eine Kontrolle gibt und diese Vertikale schneidet weiter die Bilder -8' und 7' der Mitten von 1.2 und 3.4 aus. Ist also z. B. die gegebene -Strecke 1'.2' zu halbieren, so hat man nur nötig, irgendein solches -vertikales Rechteck zu zeichnen. - - =Aufgabe 17.= Eine Freitreppe darzustellen, wenn die Wangen in - Tiefenebenen gelegen sind. - -Das Verhältnis der Höhe der Stufe zur Breite sei ½. Das Profil der -Treppe ist in Fig. 52 unten angegeben. Die Stärke der Treppenwange und -die Breite der Treppe werden beliebig angenommen. Die Begrenzungslinie -_A_ der Wange und die Linien _B_ und _C_, welche die Stufen bestimmen, -bilden drei parallele Linien. Ist _f_{c}_ der Fluchtpunkt für diese -Linien, so liegt nach Satz 24 _f_{c}_ auf einer Senkrechten durch ~A~ -und es muß auch (Fig. 51) - - ~A~_f_{c}_ = ½ _O_~A~ - -sein. Demgemäß machen wir in Fig. 52 die in ~A~ errichtete Senkrechte -~A~_f_{c}_ = der halben Distanz = ~AD_{1}~/2. Im Punkte 0 der Grundlinie -tragen wir die Vorderfläche der Wange an und ziehen durch die beiden -oberen Ecken die Linien nach _f_{c}_. Auf der Tiefenlinie von 0 -nach ~A~ hat man jetzt den Tiefenmaßstab anzutragen, der in dem -Treppenprofil gegeben ist. Wir tragen nach Aufg. 5 den Maßstab auf der -Grundlinie an und projizieren ihn aus ~D_{1}~ auf die Tiefenlinie. So -erhält man die Bilder 1', 2', 3', 4' usf. In diesen Punkten sind jetzt -nach Aufg. 11 Höhen zu errichten, die bzw. eine, zwei, drei Stufenhöhen -betragen. Wir tragen deswegen auf der durch 0 gehenden Vertikalen einen -Maßstab mit einer Einheit gleich einer Stufenhöhe ab; dann liefert die -Tiefenlinie 1.A auf der durch 1' gehenden Senkrechten den Punkt I', die -durch 2 gehende Tiefenlinie 2.~A~ schneidet auf der durch 2' gezogenen -Vertikalen den Punkt II' aus usf. Eine Kontrolle besteht darin, daß -alle Punkte I', II', III' ... auf einer Geraden _B'_ liegen müssen, -die durch _f_{c}_ geht. Gleichzeitig erhält man die auf _C'_ gelegenen -Eckpunkte der unteren Treppenkanten. Nun kann man ohne weiteres durch -diese Punkte die Horizontalen zeichnen bis zur rechten Treppenwange. -Man beachte, daß man auf diejenigen Treppenstufen, die +unter+ dem -Horizont liegen, Aufsicht hat, auf die +über+ dem Horizont befindlichen -Stufen dagegen Untersicht. In unserer Figur ist, um Raum zu sparen, die -Distanz etwas klein angenommen; man wähle sie größer, wodurch das Bild -gewinnen wird. - -[Illustration: Fig. 53.] - -Es ist auch nicht uninteressant zu bemerken, daß Linien, welche im -Raume steigen oder fallen, im Bilde durchaus nicht zu steigen oder zu -fallen brauchen. Das kann man an Fig. 53 beobachten. Die Fluchtpunkte -des Giebels sind _f_{a}_ und _f_{b}_, aber die Linie _x'y'_ +fällt+ im -Bilde, in der Richtung gegen den Fluchtpunkt durchlaufen, während die -Gerade _xy_ selbst im Raume offenbar steigt. - - -§ 10. Der photographische Apparat. - -=28. Die Entstehung des photographischen Bildes.= Wie allgemein -verbreitet die perspektivischen Bilder sind und welche Bedeutung ihnen -für die Versinnlichung der uns umgebenden Welt zukommt, kann durch -nichts stärker zum Bewußtsein gebracht werden als durch die Tatsache, -daß jede Photographie ein perspektivisches Bild ist. - -Indem wir hinsichtlich der Einrichtung eines photographischen Apparates -und der Wirkung des Objektives auf andere Darstellungen verweisen[4], -bemerken wir nur, daß wir uns die Entstehung des Bildes auf der -Mattscheibe für unsere Zwecke hinreichend genau in folgender Weise -denken können. - - [4] Otto Prelinger, Die Photographie (ANuG Bd. 414). 1914. Moritz - von Rohr, Die optischen Instrumente (ANuG Bd. 88). 1906. - -[Illustration: Fig. 54.] - -Die Begrenzungsflächen der Linsen des Objektives sind Ausschnitte aus -Kugelflächen und die Mittelpunkte aller dieser Kugeln liegen auf einer -Geraden, der optischen Achse des Linsensystems. Das photographische -Bild entsteht nun durch eine Zentralprojektion, die aus einem Punkte -_O_ erfolgt (Fig. 54), der auf der Achse des Linsensystems liegt, und -zwar angenähert in der Mitte zwischen den Punkten, in denen die Achse -die vorderste und hinterste Linsenfläche schneidet. Dieser Punkt heißt -wohl auch der »Mittelpunkt« des Objektives. - -[Illustration: Fig. 54 ~a~.] - -Wie verhält es sich aber weiter mit der Bildebene? Die Haupteigenschaft -des Linsensystems ist die, daß jede auf der optischen Achse senkrechte -Ebene wieder in eine auf der Achse senkrechte Ebene abgebildet wird. -Photographiert man also z. B. ein Gemälde oder eine Karte, so ist die -Mattscheibe an die Stelle der entsprechenden Ebene zu bringen. Alle -Punkte des Gemäldes sind dann scharf eingestellt. Weiter kann unser -Auge die Unschärfe erst von einem gewissen Grade an erkennen. Das hat -zur Folge, daß nicht nur Punkte der betreffenden Ebene, sondern eine -ganze Schicht vor und hinter ihr gelegener Punkte ebenfalls scharf -erscheinen. Es wird folglich ein ganzes Stück des Raumes brauchbar -abgebildet. Am wichtigsten wird diese Eigenschaft, wenn wir auf einen -weit entfernten Gegenstand, z. B. einen Kirchturm, einstellen. Dann hat -die Mattscheibe des Objektives eine gewisse Entfernung vom Mittelpunkt -des Objektives, die man die »Brennweite« nennt. Es erscheint nun aber -nicht nur der Kirchturm scharf auf der Mattscheibe, sondern ein großer -Teil des Raumes bis zu einer bestimmten Entfernung vom Objektiv liefert -ein scharfes Bild. Nimmt man also eine Landschaft oder eine Architektur -auf, so genügt diese Einstellung für das ganze Objekt. Man sagt, es -sei »auf Unendlich« eingestellt und bei manchen Apparaten ist die -Mattscheibe überhaupt in dieser Stellung fixiert. Sind beispielsweise -_ab_ und _cd_ zwei parallele, ziemlich entfernte vertikale Gerade (Fig. -54) und ist auf Unendlich eingestellt, so ergeben sich die Bilder von -_ab_ und _cd_, indem man durch den Mittelpunkt _O_ des Objektives die -Strahlen konstruiert und diese mit der Mattscheibe zum Schnitt bringt. -Es entstehen die Bilder _a'b'_ und _c'd'_. (Ein Unterschied gegenüber -unserer perspektivischen Abbildung besteht nur darin, daß wie beim -Vorgang des Sehens das Projektions-Zentrum zwischen Gegenstand und -Bildtafel gelegen ist. Deswegen erscheint das Bild auf der Mattscheibe -verkehrt: es ist oben und unten, rechts und links vertauscht. Man kann -sich übrigens eine Ebene denken, welche zwischen dem Mittelpunkt und -dem Gegenstand parallel zur Mattscheibe verläuft und ebenso weit vom -Mittelpunkt entfernt ist als die Mattscheibe. Diese Ebene würde aus dem -Bündel der projizierenden Strahlen das aufrechte Bild des Gegenstandes -ausschneiden. - -Demnach müssen Photographien alle Eigenschaften perspektivischer Bilder -zeigen und man mag an der Abb. 7 (S. 70) die Verkürzungen, den Verlauf -horizontaler Geraden und den Fluchtpunktsatz verfolgen. Speziell aus -dem letzteren wollen wir noch eine Folgerung ableiten. - -[Illustration: Abb. 6.] - -=29. Stürzende Linien.= Nehmen wir an, daß _ab_ und _cd_ zwei vertikale -Gerade (Fig. 54) und ist die Mattscheibe ebenfalls genau vertikal -gestellt, so sind _ab_ und _cd_ parallel zur Bildebene, also müssen -nach Satz 10 ihre Bilder _a'b'_ und _c'd'_ auch parallel sein (Fig. -54 rechts). In der Tat erscheinen in der Abb. 7 alle vertikalen -Geraden vertikal. Denken wir uns aber, daß _ab_ und _cd_ etwa zwei -in ziemlicher Höhe z. B. an einem Giebel befindliche Linien seien -und der Photograph würde, um sie auf die Mattscheibe zu bekommen, -den Apparat in die Höhe drehen, wie es Fig. 54 ~a~ andeutet. Jetzt -sind die parallelen Geraden _ab_ und _cd_ nicht mehr parallel zur -Bildebene. Ihre Bilder werden also auch nicht mehr parallel, sondern -sie konvergieren nach einem Fluchtpunkt _f_, der unterhalb in der -erweiterten Ebene der Mattscheibe liegt. Das Bild der Geraden zeigt -Fig. 54 ~a~ rechts. Das Siegestor in München wurde in dieser Weise -mit gestürztem Apparat photographiert (Abb. 6). Natürlich liegt der -Fluchtpunkt jetzt oben, da wir das Bild doch umkehren Aber auch aus -Versehen oder aus Unachtsamkeit können sich namentlich beim Gebrauch -einer Handkamera solche stürzende Linien einstellen. Würde man, um von -einem hohen Standpunkt in die Tiefe zu photographieren, den Apparat -nach unten neigen, so läge der Fluchtpunkt der Vertikalen im Bilde -unten und die Gebäude fielen auf den Beschauer zu. - -Man kann übrigens auch bei gestürztem Apparat vertikale Linien wieder -parallel und vertikal erhalten, wenn man die Mattscheibe um _m_ so -lange dreht (Fig. 54 ~a~), bis sie in der Stellung _mp_ wieder vertikal -steht. Dann muß man allerdings neu einstellen. Aus diesem Grunde -ist bei manchen, besseren Apparaten die Möglichkeit gegeben, die -Mattscheibe zu drehen. - -Endlich wird man noch die Frage stellen können: Aus welchem Punkte -muß denn eine Photographie, die doch ein perspektivisches Bild ist, -betrachtet werden? Wir wollen uns auf den Fall beschränken, daß ein -ziemlich entferntes Objekt, eine Landschaft oder eine Architektur, -mit der Einstellung auf Unendlich aufgenommen worden sei. Dann ist -eine solche Photographie offenbar aus einer Entfernung zu betrachten, -die gleich der +Brennweite+ ist. Es tritt also in diesem Falle als -+Distanz+ die Brennweite ein. - - -§ 11. Die Wahl der Distanz. - -=30. Größe der Distanz.= Ein Gegenstand sei in seiner Lage gegen die -Bildebene gegeben, ferner möge die Tafel durch den Bildausschnitt, etwa -durch ein Rechteck _abcd_ Fig. 55, begrenzt sein. Dann kann man noch -sehr verschiedene Bilder dieses Gegenstandes erhalten, indem man die -Distanz und die Augenhöhe verschieden wählt. Der Augpunkt soll dabei -immer in der Mittellinie des Bildes angenommen werden. Als Gegenstand -bilden wir einen rechtwinklig begrenzten Raum ab mit einem quadratisch -getäfelten Fußboden und einem Würfel, der sich über einem Quadrate des -Fußbodens erhebt. Wir wählen zunächst die Distanz ~AD_{1}~ klein, -nämlich noch kleiner als die kleinere Seite des Bildrechtecks, und -zeichnen die Darstellung in Fig. 55 für eine mittlere, in Fig. 56 für -eine große Augenhöhe. Man erkennt, daß in beiden Fällen, namentlich -aber bei dem hohen Horizont, die Bodenfläche so stark steigt, daß -darauf befindliche Figuren förmlich herunterzurutschen scheinen, und -daß sich unschöne Verkürzungen ergeben. Die Abb. 3 (S. 30) zeigt uns -ein solches Interieur mit sehr hohem Horizont, der etwa in 8/11 -der Bildhöhe verläuft. Dagegen kann für die Darstellung einer Stadt -oder eines ganzen Landes recht gut eine Perspektive mit sehr hohem -Horizont verwendet werden. Ein solches Bild nennt man dann eine -»Vogelperspektive«. - -[Illustration: Fig. 55.] - -[Illustration: Fig. 56.] - -[Illustration: Fig. 57.] - -In den Figuren 57 und 58 wurde die Distanz größer angenommen, nämlich -1½mal so groß als die größere Seite des Bildausschnittes. Endlich gibt -Fig. 59 eine Darstellung, in der die Distanz 3mal so groß gewählt ist -als die größere Seite _ab_ des Bildes. Man bemerkt, wie in diesem -Falle die Bodenfläche und die Wände schon sehr zusammenschrumpfen. Je -größer man die Distanz wählen würde, um so mehr würde sich das Bild -einer Orthogonalprojektion nähern. Es verwischen sich aber dann die -eigentlichen, perspektivischen Eigenschaften des Bildes mehr und mehr. -Vergleicht man die fünf Figuren, so ergibt sich, daß man Fig. 56 und -Fig. 58 wohl als die schönsten und ästhetisch brauchbarsten Bilder -bezeichnen muß. - -[Illustration: Fig. 58.] - -Wir bringen dies weiter in Zusammenhang mit folgender Tatsache: wenn -wir irgendein größeres Objekt, sei es nun ein räumlicher Gegenstand -oder ein Bild, als +Ganzes+ betrachten wollen, so treten wir so weit -von dem Objekt zurück, daß wir dasselbe ohne Bewegungen des Kopfes -übersehen können. Dann erst haben wir einen +Gesamteindruck+. Je -größer der Gegenstand ist, um so weiter entfernt wählen wir unseren -Standpunkt. Offenbar beherrscht unser Auge nur einen Kegel von ganz -bestimmter Öffnung und wir richten unsere Stellung dem Objekt gegenüber -so ein, daß das Objekt ganz in diesen Kegel hineinfällt. - -[Illustration: Fig. 59.] - -Auf diese Weise erkennt man, daß die Distanz nicht völlig willkürlich -gewählt werden darf. Ist sie zu groß, so verliert das Bild die -charakteristischen, perspektivischen Wirkungen; ist sie zu klein, so -ergeben sich übertriebene Verkürzungen. Aus der Praxis heraus hat sich -folgende Regel ausgebildet: - -Man wähle die Distanz 1½mal bis 2mal so groß als die größere Seite des -Bildrechteckes. - -In betreff der mit kleiner Distanz gezeichneten Bilder ist auch noch -daran zu erinnern, daß das normale, nicht kurzsichtige Auge auf -Gegenstände, die näher als etwa 25 ~cm~ am Auge liegen, nicht mehr -akkommodieren kann, das heißt es kann solche Objekte nicht mehr scharf -sehen. Auch aus diesem Grunde sind demnach allzu kleine Distanzen zu -vermeiden. - -[Illustration: Fig. 60.] - -[Illustration: Abb. 7.] - -=31. Wirkung einer zu kleinen Distanz, das Interieur.= Es liegt weiter -nahe, daß man eine für eine kleine Distanz angefertigte Zeichnung aus -einer Entfernung betrachtet, die größer ist als die Distanz. Dann -treten übertriebene Tiefenwirkungen auf. In der Tat denken wir uns -einen Würfel, der mit der Fläche in der Bildtafel liegt. Das Auge -befinde sich in der Erweiterung der unteren Würfelfläche. Fig. 60 -(links) stellt den Schnitt mit einer Ebene dar, die durch das Auge -senkrecht zur Bildebene geht. Das Bild des Würfels wird dann durch -_a_, _b_, _c'_ angedeutet. Ist nun umgekehrt das Bild _a_, _b_, _c'_ -gegeben, so ist vorauszuschicken, daß natürlich durch +ein+ Bild der -Körper nicht bestimmt sein kann. Wenn wir aber z. B. noch wissen oder -stillschweigend annehmen, daß es sich um einen rechtwinklig begrenzten -Körper handelt, so können wir aus dem einen Bild den Körper -rekonstruieren. - -[Illustration: Abb. 8.] - -Es möge nun das Bild _a_, _b_, _c'_ aus einem Punkte _O_{1}_ betrachtet -werden (Fig. 60 rechts), der weiter von der Bildebene entfernt -liegt als _O_. Der zum Punkte _c'_ gehörige Raumpunkt _c_ liegt -dann einerseits auf der Linie _O_{1}c'_, andererseits aber wegen der -rechtwinkligen Natur des Körpers auf der Senkrechten in _b_ zur -Bildebene. Statt des Würfels erhalten wir einen viel längeren, -rechteckigen Quader _abcd_. Es scheint also der Körper viel tiefer zu -sein, als er wirklich ist. - -[Illustration: Abb. 9.] - -Diese unnatürliche Vertiefung (Tunnelperspektive) kann man z. B. an -photographischen Bildern beobachten, die mit Objektiven von kleiner -Brennweite hergestellt werden, weil solche Darstellungen eben meistens -aus einer zu großen Entfernung betrachtet werden. So erscheint in Abb. -7 (S. 70) das Gebäude viel länger als in Wirklichkeit. Ein einfaches -Mittel, von solchen Photographien ein richtiges Bild zu bekommen, -besteht darin, daß man sie durch ein Vergrößerungsglas betrachtet. Dann -wird mit dem Bilde auch die Distanz vergrößert, und man gewinnt eher -die richtige Entfernung für das Auge. - -Eine ganz entsprechende +Verkürzung+ des Objektes der Tiefe nach tritt -ein, wenn man unter der gleichen Annahme wie oben ein perspektivisches -Bild aus einer zu kleinen Distanz betrachtet. - -Eine kleine Distanz bevorzugt man bei der Darstellung eines -Innenraumes, also beim Interieur, weil dadurch die Vorstellung erweckt -wird, daß der Beschauer sich noch im Innern des betreffenden Raumes -befindet. - -Prüft man beispielsweise in dem Fresko von +Raffael+ (1485--1520), die -»Schule von Athen« (Abb. 8, S. 71), das die eine Wand der ~camera -della segnatura~ im Vatikan in Rom einnimmt, auf Grund einer großen -Photographie die perspektivische Konstruktion, so stimmt diese -allerdings nicht vollständig genau. Als mittlerer Wert ergibt sich -aber für die Distanz, daß sie etwas größer ist als die Breite des -Bildes (ungefähr = 1⅐ der Bildbreite). Man beachte aber, welche -unvergleichlich großartige Raumwirkung der Künstler durch den -Kuppelraum mit den beiden Schiffen und die Vordergrundsszene erzielt. -Kleiner als die größere Seite des Bildausschnittes wird man aber die -Distanz nicht wählen. - -[Illustration: Fig. 61.] - -Auch bei manchen Holländern des 17. Jahrhunderts, z. B. bei +van -der Meer van Delft+ (1632--1675), finden wir Interieurs mit kleiner -Distanz.[5] So ist bei dem in Abb. 9 wiedergegebenen Bilde, das sich im -kgl. Schloß in Windsor befindet und eine Musikstunde darstellt, die -Distanz wenig größer als die Höhe des Bildes (etwa 1-1/17 derselben). -Man kann aber hier schon die unangenehme Folgeerscheinung beobachten, -daß bei solchen Bildern mit kurzer Distanz der Boden im Vordergrund -sich nach abwärts zu neigen, sich herunterzuklappen scheint. - - [5] Man vgl. dazu Hans Jantzen, Niederländische Malerei im 17. - Jahrhundert. S. 52. (ANuG Bd. 373.) 1912. - -[Illustration: Abb. 10.] - -=32. Das photographische Bild.= Was die Bilder des photographischen -Apparates betrifft, so liefern Objektive mit großer Brennweite -Darstellungen, die einer großen Distanz entsprechen, Objektive mit -kleiner Brennweite, sogenannte Weitwinkel, geben Bilder mit kleiner -Distanz. Die übertriebene Perspektive solcher Weitwinkel erklärt sich -abgesehen von der eben erwähnten Wahl eines falschen Standpunkts -direkt durch die Wirkung der kleinen Distanz. In der Tat sind _ab_ -und _cd_ etwa zwei gleichgroße Objekte, _O_ und _O'_ die Zentren der -Perspektive (Fig. 61) und _a'b'_, _c'd'_ ihre Bilder in der durch eine -Gerade dargestellten Tafel, so bemerkt man den Unterschied, je nachdem -die Distanz klein ist wie in der oberen Figur oder groß wie in der -unteren. In der oberen Figur ist _c'd'_ mehr als doppelt so groß wie -_a'b'_, in der unteren nicht ganz doppelt so groß. Dadurch daß das -fernere Objekt beim Weitwinkel so stark verkleinert wird, erscheint -das nähere gleichzeitig unverhältnismäßig groß. Die Abb. 10 gibt -uns die Aufnahme einer sitzenden Person, wobei sich der Apparat sehr -nahe an der Person befand. Die an und für sich richtige Perspektive -führt zu komischen Wirkungen. Doch lassen sich, wie Abb. 11 zeigt, -mit dem gleichen Objektiv etwas bessere Bilder erzielen, wenn man nur -einen größeren Abstand von dem Objekt wählt. Für Landschaftsaufnahmen -sind diese Überlegungen von großer Bedeutung. Ein Weitwinkel läßt -ferne, hohe Berge zu unbedeutenden Hügeln zusammenschrumpfen, er -treibt den Hintergrund zurück, wie die Photographen sagen, und betont -den Vordergrund. Ein Objektiv mit großer Brennweite dagegen gibt -ferne Berge groß, es »zieht den Hintergrund nach vorn« und läßt den -Vordergrund weniger in die Erscheinung treten. - -[Illustration: Abb. 11.] - - -§ 12. Unzugängliche Distanz- und Fluchtpunkte. - -=33. Unzugänglicher Distanzpunkt.= Den Augpunkt einer Darstellung -werden wir naturgemäß in der Mittellinie des Bildausschnittes annehmen, -da man bei Betrachtung eines Bildes doch ganz von selbst vor die Mitte -tritt. Dann folgt aber aus unseren Erörterungen und aus den Figuren -55 bis 59 ohne weiteres, daß die Distanzpunkte nicht mehr in dem -Bildausschnitt liegen, sondern weit darüber hinaus fallen. Verwendet -man also nicht eine viel größere Zeichenfläche, z. B. ein sehr großes -Reißbrett, so sind die Distanzpunkte nicht mehr zu erreichen. Das -gleiche gilt für Fluchtpunkte horizontaler Geraden, die, wie z. -B. schon die Fig. 48 erkennen läßt, häufig weit auf dem Horizont -hinausfallen, wenn die Figur nicht absichtlich darnach eingerichtet -wird. Es fragt sich nun, wie man +die Konstruktionen, die sich auf -solche über die Zeichenfläche hinausfallende Punkte beziehen, trotzdem -erledigen kann+. Das ist die wichtigste Aufgabe der praktischen -Perspektive. - -[Illustration: Fig. 62.] - -Wir wollen zunächst sehen, wie man die Aufgabe 5, also die Konstruktion -eines Tiefenmaßstabes, durchführen kann, wenn die Distanzpunkte nicht -mehr erreichbar sind. War auf einer gegebenen Tiefenlinie _T_ von ihrer -Spur _t_ aus eine Strecke anzutragen, so machten wir auf der Grundlinie -_ts_ = dieser Strecke (Fig. 62) und verbanden den Punkt _s_ mit einem -Distanzpunkt ~D_{1}~; die Verbindungslinie schnitt aus _T'_ den -gesuchten Punkt _p'_ aus (vgl. die frühere Fig. 21 ~b~). Halbieren wir -nun aber die Strecke ~AD_{1}~ und bezeichnen die Mitte mit ~D_{1}~/2. -Verbinden wir weiter diesen Punkt ~D_{1}~/2 mit _p'_, so möge diese -Linie die Grundlinie im Punkte _q_ treffen. Dann gilt die Proportion: - - _tq_ : _qs_ = ~A~ ~D_{1}~/2 : ~D~ ~D_{1}~/2 = 1 : 1. - -Es ist mithin auch _q_ die Mitte von _ts_ und - - _tq_ = _qs_ = _ts_/2. - -[Illustration: Fig. 63.] - -Wir können zum Punkte _p'_ also auch gelangen, wenn wir die +halbe+ -Strecke _tq_ auf der Grundlinie antragen, den Endpunkt _q_ mit dem -Punkte ~D_{1}~/2 verbinden und diese Linie mit _T'_ zum Schnitt -bringen. Soll demnach z. B. auf der Tiefenlinie _T'_ ein Maßstab -gezeichnet werden, dessen Einheit gegeben ist, und kann man ~D_{1}~/2 -noch erreichen (Fig. 63), so tragen wir die halbe Einheit auf der -Grundlinie wiederholt ab und projizieren diese Punkte aus ~D_{1}~/2 auf -_T'_. Dann erhält man den verlangten Tiefenmaßstab. - -[Illustration: Fig. 64 ~a~.] - -[Illustration: Fig. 64 ~b~.] - -Rückt die Teilung auf der Grundlinie zu weit hinaus, so kann man z. B. -durch 2' eine Parallele _l_ zur Grundlinie ziehen und die auf dieser -Parallelen ausgeschnittene kleinere Strecke 2'3'' auf _l_ wiederholt -antragen und aus ~D_{1}~/2 projizieren. - -Der Punkt ~D_{1}~/2 heißt ein »Teil-Distanzpunkt«. Selbstverständlich -könnte man die ganze Strecke ~AD_{1}~ auch in drei gleiche Teile -teilen und den ersten Teilpunkt von ~A~ aus mit ~D_{1}~/3 bezeichnen. -Dann hätte man statt der ganzen Strecke bloß den dritten Teil auf der -Grundlinie anzutragen. Mit ~D_{1}~/3 verbunden liefern diese Punkte -auch wieder den Tiefenmaßstab usf. - -=34. Unzugängliche Fluchtpunkte.= +Erstes Verfahren.+ Die Ermittlung -des Fluchtpunktes einer beliebigen, horizontalen Geraden beruhte -wesentlich auf den Überlegungen von (16), die zu der in der Fig. 24 -gegebenen Konstruktion führten. Ist nun in dieser Figur der Fluchtpunkt -_f_{a}_ nicht zugänglich, so kann man diese Schwierigkeit in folgender -Weise umgehen: wir verkleinern die ganze Figur, indem wir sie sich -gegen den Punkt ~A~ zusammenziehen lassen. - -Der aus der Geometrie hierbei anzuwendende Satz ist in den Fig. 64 ~a~ -und 64 ~b~ noch eigens veranschaulicht. Es ist hier zu dem Vieleck -_abcde_ in folgender Weise ein neues konstruiert worden. Ein Punkt _o_ -wird beliebig gewählt und mit allen Ecken _a_, _b_, _c_ ... verbunden. -Auf diesen Verbindungslinien werden die Punkte _a'_, _b'_, _c'_ ... -dadurch bestimmt, daß man alle Strecken _oa_, _ob_, _oc_ ... im -gleichen Verhältnis teilt, also beispielsweise immer - - _a'o_ = ⅔ _ao_, - _b'o_ = ⅔ _bo_, - _c'o_ = ⅔ _co_ ... - -macht. Das neue Vieleck _a'_, _b'_, _c'_ ... hat dann folgende -Eigenschaften: - -~a~) Entsprechende Seiten der beiden Vielecke sind stets parallel, d.h. -es ist - - _ab_ ∥ _a'b'_, _bc_ ∥ _b'c'_, _cd_ ∥ _c'd'_ usf. - -~b~) Alle Verhältnisse der Seiten sind die gleichen, d. h. es ist - - _ab_ : _bc_ = _a'b'_ : _b'c'_ usf. - -[Illustration: Fig. 65.] - -Wenn also z. B. die Seite _ab_ doppelt so groß ist wie _bc_, so ist -auch _a'b'_ doppelt so groß wie _b'c'_. Die Figuren _abcde_ und -_a'b'c'd'e'_ nennt man +ähnlich+ und +ähnlich liegend+ und _o_ den -+Ähnlichkeitspunkt+. - -Im vorliegenden Falle benutzen wir ~A~ als Ähnlichkeitspunkt. Zunächst -ist in Fig. 65 die frühere Konstruktion wiederholt. Auf der Linie von -~A~ nach ~D_{3}~ wählen wir nun einen Punkt ~D_{3}~/3 so, daß - - ~A~ ~D_{3}~/3 = ⅓ ~AD_{3}~ - -und verkleinern die ganze Figur auf ein Drittel. - -[Illustration: Fig. 66.] - -Wir verbinden also _a_ mit ~A~, teilen diese Linie in drei gleiche -Teile und bezeichnen den ersten Teilpunkt von ~A~ aus mit _a_/3, so daß - - ~A~ _a_/3 = ⅓ ~A~_a_. - -Ziehen wir dann durch den Punkt ~D_{3}~/3 eine Parallele zu -_f_{a}_~D_{3}~, so schneidet diese auf dem Horizont einen Punkt -_f_{a}_/3 aus, der die Eigenschaft hat, daß auch - - ~A~ _f_{a}_/3 = ⅓ ⋅ ~A~_f_{a}_ - -und es ist weiter dann auch - - _af_{a}_ ∥ _a_/3 _f_{a}_/3. - -Hat man die verkleinerte, punktierte Figur gezeichnet, so kann man _A'_ -finden, wenn ein Punkt, etwa die Spur _a_, bekannt ist, indem man durch -_a_ eine Parallele zu _a_/3 _f_{a}_/3 zieht. - -Dies ist in der Figur 66 ausgeführt. Vermittels des Punktes ~D_{3}~/3 -wurde zunächst _f_{a}_/3 ermittelt, in dem man zur Verschiebung (_A_) -der Geraden eine Parallele zog; verschafft man sich weiter die Spur -_a_ der Geraden und dazu den Hilfspunkt _a_/3 auf der Verbindungslinie -_aA_, so ist das Bild _A'_ parallel zur Linie _a_/3 _f_{a}_/3, kann -also als eine Parallele durch _a_ zu dieser Linie gezeichnet werden. - -Wie stark wir die Figur verjüngen wollen, steht natürlich in unserem -Belieben; statt auf ⅓ zu verkleinern, können wir auch die Verjüngung -auf ¼ wählen oder bloß auf ½. Nur darf die neue Figur nicht zu klein -werden. Wir geben eine praktische Anwendung in der folgenden - - =Aufgabe 18.= Eine Zimmerecke samt dem quadratisch getäfelten - Fußboden darzustellen, wenn der Teil-Distanzpunkt ~D_{1}~/4 noch - zugänglich ist. - -Auf der Senkrechten, die im Augpunkt ~A~ zum Horizont gezogen werden -kann, nehmen wir den Punkt ~D_{3}~/4 an (Fig. 67); außerdem soll gegeben -sein die Eckkante _p'q'_, also die Höhe des Zimmers und die eine -Bodenkante _A'_ durch _p'_. - -Zunächst haben wir eine Linie _B_ der Grundebene zu zeichnen, welche -im Punkte _p_ auf _A_ senkrecht steht, vgl. Aufgabe 9. Da ~D_{3}~/4 -gegeben und noch zugänglich, verjüngen wir die ganze Figur auf ¼. -Dementsprechend verbinden wir den Punkt _p'_ mit ~A~, teilen diese -Strecke in 4 gleiche Teile und bezeichnen den ersten an ~A~ gelegenen -Teilpunkt mit _p'_/4. Durch diesen Punkt _p'_/4 ziehen wir eine -Parallele zur gegebenen Geraden _A'_, welche in _f_{a}_/4 den Horizont -treffen möge. Es ist also - - _p'_/4 _f_{a}_/4 ∥ _A'_. - -Nun können wir den Punkt _f_{a}_/4 mit ~D_{3}~/4 verbinden und im Punkte -~D_{3}~/4 eine Senkrechte zu dieser Linie zeichnen, welche aus dem -Horizont den Punkt _f_{b}_/4 ausschneidet. Verbinden wir _p'_/4 mit -diesem Teilfluchtpunkt _f_{b}_/4, so gibt diese Linie die Richtung von -=B'=; es ist also: - - _B'_ ∥ _p'_/4 _f_{b}_/4, - -womit die zweite Bodenkante konstruiert ist. Die an der Decke laufenden -Kanten finden wir, wenn wir zum Punkte _q'_ den Hilfspunkt _q'_/4 -zeichnen. Eine Vertikale durch _p'_/4 liefert ihn sofort auf der -Verbindungslinie ~A~_q'_. Dadurch sind die Verbindungslinien _q'_/4 -_f_{a}_/4 und _q'_/4 _f_{b}_/4 bestimmt und zu ihnen laufen die -Deckenkanten durch _q'_ beziehungsweise parallel. - -[Illustration: Fig. 67.] - -Man beachte auch, wie sich ein solcher gegen den Beschauer -vorspringender rechter Winkel im Bilde darstellt: seine beiden Schenkel -laufen von den betreffenden Fluchtpunkten weg. Dagegen kommen bei -der Darstellung einer Gebäudeecke, wie in Fig. 53 oder 72, wo der -rechte Winkel von außen betrachtet wird, die Teile der Schenkel zur -Verwendung, welche die Fluchtpunkte tragen. - -[Illustration: Fig. 67 ~a~.] - -Nun sei weiter die Seite _p'_1' eines Quadrates des Fußbodens gegeben. -Um diese Teilung auf der Geraden _A'_ fortzusetzen, verfahren wir -wie folgt: wir denken uns durch die Punkte 1, 2, 3 ... der Kante _A_ -in irgendeiner Richtung parallele Gerade gelegt und bringen diese in -I, II, III ... zum Schnitt mit einer parallelen zur Grundlinie, wie -die Nebenfigur 67 ~a~ dies andeutet. Dann sind auch die Abschnitte -_p_I, I II, II III usf. gleich groß und umgekehrt werden gleich große -Abschnitte _p_ 1, 1 2, 2 3 ... auf _A_ erzeugt, wenn man durch gleich -große Strecken _p_I, I II, II III ... die Parallelen legt. Im Bilde -gehen diese Parallelen dann in Linien über, welche durch einen Punkt -des Horizonts laufen. - -Dementsprechend ziehen wir durch _p'_ eine Parallele zur Grundlinie und -wählen als Punkt des Horizontes etwa ~A~. Die Verbindungslinie von 1' -nach ~A~ schneidet auf der Parallelen den Punkt I aus und wir machen -_p'_I = I II = II III ... Dann liefern die Punkte II, III aus ~A~ -projiziert die Bilder 2', 3' ... 6'. - -Um die durch diese Punkte gehenden Fußbodenlinien zu finden, -verschaffen wir uns die zugehörigen Hilfspunkte. Verbinden wir z. -B. 6' mit ~A~, so erhalten wir auf der Linie _p'_/4 _f_{a}_/4 den -entsprechenden Hilfspunkt 6'/4. Die durch 6' gehende Linie des -Fußbodenmusters ist dann aber parallel zur Verbindungslinie des Punktes -6'/4 mit dem Punkte _f_{b}_/4. - -Die zweite Schar von Parallelen des Fußbodens wollen wir unter -Benutzung des Diagonalpunktes (vgl. S. 57) zeichnen. Halbieren wir -den Winkel bei ~D_{3}~/4, so schneidet diese Linie auf dem Horizont den -Teil-Diagonalpunkt ~D~_{_g_}/4 aus. Daraus erhalten wir demnach den -Diagonalpunkt ~D~_{_g_} selbst, wenn wir - - ~AD~_{_g_} = 4 ⋅ ~A~ ~D~_{_g_}/4 - -machen, also die Strecke ~A~ ~D~_{_g_}/4 noch dreimal von ~D~_{_g_}/4 -aus nach links antragen. Durch _D_{g}_ laufen dann aber alle Diagonalen -der einen Art in den Quadraten des Fußbodens, so daß dieser leicht -gezeichnet werden kann. Gleichzeitig ergeben sich viele Kontrollen. - -=35. Unzugängliche Fluchtpunkte.= Zweites Verfahren. Wir wollen für -die Aufgabe 9 noch eine Lösung geben, die auch wieder auf dem Gedanken -beruht, an Stelle der ursprünglichen Figur eine verkleinerte, ähnliche -zu benutzen. - -[Illustration: Fig. 68.] - -Ist _F_{a}_ der Fluchtpunkt der gegebenen Geraden _A'_, auf welcher im -Punkt _p'_ eine Senkrechte _B'_ errichtet werden soll, so konstruieren -wir z. B. den Punkt ~D_{4}~ (Fig. 68) und tragen im Punkte ~D₄~ einen -rechten Winkel von _F_{a}_~D_{4}~ aus an; dann schnitt der zweite -Schenkel dieses rechten Winkels den Fluchtpunkt _F_{b}_ aus, so daß die -gesuchte Gerade _B'_ den Punkt _p'_ mit _F_{b}_ verband. - -Fällt nun aber _F_{a}_ nicht mehr auf das Zeichenblatt, so führen wir -einen neuen Horizont hh ein, der parallel zu _hh_ so gewählt sei, daß -sich mit _A'_ ein erreichbarer Schnittpunkt _f_{a}_ ergibt. Die ganze -Figur lassen wir sich jetzt um +den Punkt+ _p'_ zusammenziehen, so -daß _hh_ in hh übergeht. Wir konstruieren also eine kleinere ähnliche -Figur mit _p'_ als Ähnlichkeitspunkt. Die Punkte dieser neuen Figur -bezeichnen wir mit den entsprechenden kleinen Buchstaben. Zunächst -liefern _D_{1}_, ~A~ und _F_{b}_ aus _p'_ auf hh projiziert die Punkte -_d_{1}_, _a_ und _f_{b}_. - -Ferner sind in ähnlichen und ähnlich liegenden Figuren entsprechende -Gerade stets parallel (S. 78). Ziehen wir also durch _a_ eine Parallele -zur Linie ~AD_{4}~, so schneidet diese auf der Verbindungsgeraden -_p'_~D_{4}~ den entsprechenden Punkt _d_{4}_ aus und es ist dann - - _f_{a}d_{4}_ ∥ _F_{a}_~D_{4}~ - -und - - _f_{b}d_{4}_ ∥ _F_{b}_~D_{4}~. - -Nun ist in der großen Figur ~AD_{1}~ = ~AD_{4}~, also ist auch in der -verkleinerten Figur _ad_{1}_ = _ad_{4}_. Wir wollen jetzt annehmen, daß -auch der Punkt ~D_{1}~ nicht mehr auf das Zeichenblatt fällt, wohl -aber der Teil-Distanzpunkt ~D_{1}~/2. Konstruieren wir auch zu ihm den -entsprechenden Punkt _d_{1}_/2, so ist - - _d_{1}_ _d_{1}_/2 = _a_ _d_{1}_/2 - -und weiter - - _ad_{4}_ = 2 ⋅ _a_ _d_{1}_/2. - -Daraus ergibt sich folgende Konstruktion (Fig. 69). - -[Illustration: Fig. 69.] - -Wir zeichnen den neuen Horizont hh, welcher die gegebene Gerade _A'_ in -_f_{a}_ und die Verbindungslinie von _p'_ nach ~A~ in _a_ trifft. Dann -errichten wir zu _a_ eine Senkrechte in hh und machen diese doppelt so -groß als die Strecke _a_ _d_{1}_/2. Ist _d_{4}_ der zweite Endpunkt -dieser Senkrechten, so ist also - - _ad_{4}_ = 2 _a_ _d_{1}_/2. - -An die Verbindungslinie _f_{a}d_{4}_ tragen wir einen rechten Winkel an, -dessen zweiter Schenkel den Horizont hh in _f_{b}_ schneidet. Das Bild -_B'_ der gesuchten Senkrechten verbindet nun den Punkt _p'_ mit _f_{b}_. - -Man kann diese Figur auch benutzen, um z. B. den Diagonalpunkt zu -ermitteln, wenn man sich den rechten Winkel zu einem Quadrat ergänzt -denkt. Wir dürfen ja nur den Winkel _f_{a}d_{4}f_{b}_ halbieren, so -liefert uns die Halbierungslinie auf hh den Hilfspunkt _d_{g}_ und -wenn wir diesen mit _p'_ verbinden, so schneidet diese Linie auf dem -Horizont den Diagonalpunkt ~D~_{_g_} selbst aus. Der Beweis ergibt sich -leicht aus der Figur 68, denn es ist - - _d_{4}d_{g}_ ∥ ~D_{4}D~_{_g_} - -und da ~D_{4}D~_{_g_} den Winkel _F_{a_}~D_{4}~_F_{b}_ halbiert, so muß -die Parallele den Winkel _f_{a}d_{4}f_{b}_ halbieren. - -=36. Unzugängliche Fluchtpunkte.= Drittes Verfahren. Das Wesentliche -an den eben durchgeführten Betrachtungen bestand darin, daß wir gelernt -haben, das Bild eines rechten Winkels zu zeichnen auch dann, wenn die -beiden Fluchtpunkte seiner Schenkel unzugänglich waren. Ist nun das -Bild eines solchen Winkels gegeben, so kommt es häufig vor, daß man -weitere Linien nach den unzugänglichen Fluchtpunkten zu ziehen hat. Wir -behandeln dementsprechend die - - =Aufgabe 19.= Ein Punkt ist gegeben als der nicht zugängliche - Schnittpunkt zweier Geraden _G'_ und _hh_ (Fig. 71); man - zeichne die Linie, welche diesen unzugänglichen Punkt mit einem - weiter gegebenen Punkte _p'_ verbindet. - -[Illustration: Fig. 70.] - -Die Lösung gelingt leicht, wenn wir uns an einen bekannten Satz der -Geometrie erinnern. Schneidet man drei durch einen Punkt _s_ gehende -Gerade _A_, _B_, _C_ mit irgend zwei parallelen Geraden, so werden die -beiden Parallelen in gleichem Verhältnis geteilt, d. h. es ist Fig. 70 - - _ab_ : _bc_ = _de_ : _ef_. - -Teilt man umgekehrt die zwei Parallelen im gleichen Verhältnis, so daß -also diese Gleichung erfüllt ist, so geht die Verbindungslinie _be_ -durch den Schnittpunkt _s_ der beiden Geraden hindurch. - -[Illustration: Fig. 71.] - -Man kann diese beiden Sätze auch in folgender Weise ausdrücken: - -Teilt man die Strecke _de_ beispielsweise in vier gleiche Teile und -verbindet die Teilpunkte 2, 3, 4 mit _s_, so wird auch die Strecke -_ab_ in vier gleiche Teile geteilt. Setzt man beide Teilungen auf den -Parallelen fort, so gehen die Verbindungslinien gleich numerierter -Punkte immer durch _s_. Daraus ergibt sich für die obige Aufgabe -folgende Lösung (Fig. 71). Wir ziehen durch den gegebenen Punkt _p'_ -irgendeine Linie _df_ und zu ihr in nicht zu geringer Entfernung eine -Parallele, welche in _a_ und _c_ die zwei Geraden trifft. Durch _p'_ -werde eine Parallele zu _hh_ gelegt, welche die Verbindungslinie -_cd_ in _g_ schneidet. Durch diesen Punkt _g_ ziehen wir eine -Parallele zu _G'_ und erhalten auf _ac_ den Punkt _b_. Dann geht die -Verbindungslinie _p'b_ durch den unzugänglichen Schnitt von _G'_ und -_hh_ hindurch, ist also die verlangte. - -Denn wir entnehmen unmittelbar aus der Figur: - - _ab_ : _bc_ = _dg_ : _gc_ - -und - - _dg_ : _gc_ = _dp'_ : _p'f_ - -folglich auch - - _ab_ : _bc_= _dp'_ : _p'f_. - -[Illustration: Fig. 72.] - -Ist eine größere Zahl von Linien nach einem unzugänglichen Punkte zu -zeichnen, so wäre das eben beschriebene Verfahren zu umständlich. Man -wird dann den zweiten oben angeführten Satz benutzen, um solche Linien -zu erhalten. Das folgende Beispiel mag dies erläutern. - - =Aufgabe 20.= Gegeben ist das Bild eines rechten Winkels bei _p'_ - (vordere Ecke eines Gebäudes); man zeichne Parallelen zu den - Schenkeln dieses Winkels. - -Wir verlängern die durch _p'_ gehende Vertikale, die Vorderkante des -Gebäudes, bis sie in _p_{0}_ den Horizont trifft (Fig. 72), ferner -wählen wir rechts und links am Rande die Punkte _q'_ und _r'_ auf den -Schenkeln des rechten Winkels und ziehen durch sie die Senkrechten -_r'r_{0}_ und _q'q_{0}_ bis zum Horizont. Teilen wir die drei Strecken -_p'p_{0}_, _q'q_{0}_, _r'r_{0}_ in eine gleiche Anzahl von Teilen, -z. B. jede in vier Teile, so gehen die Verbindungslinien gleich -numerierter Punkte bzw. durch die Fluchtpunkte des rechten Winkels. -Setzt man die Teilungen auf den Geraden _p'p_{0}_, _q'q_{0}_, _r'r_{0}_ -über den Horizont hinaus fort, so gehen auch die Verbindungslinien 6.6, -7.7 usf. wieder durch die unzugänglichen Fluchtpunkte. Die Linien 7.7 -mögen das Gebäude unten abschließen. - -Man erhält aber weiter auch Linien durch die Fluchtpunkte, wenn man -entsprechende Abschnitte wiederum in gleichviel Teile teilt, also -beispielsweise von den Strecken 1.2 je das an den Punkten 2 gelegene -Drittel nimmt. (Siehe Figur.) Hat man dann durch einen vorgegebenen -Punkt eine Linie nach einem der zugänglichen Fluchtpunkte zu zeichnen, -so kann man das nach dem +Augenmaß ausführen+, indem man das Lineal -so anlegt, daß es gleichnumerierte Strecken im gleichen Verhältnis -teilt. Die genaue Lösung dieser Aufgabe haben wir ja in der Aufgabe 19 -gegeben. - -Auf der linken Seite der Figur sind noch zwei Fensterreihen -eingezeichnet. Das erste an der Vorderkante _p'p_{0}_ gelegene Fenster -wurde willkürlich angenommen; die anderen Fenster sollen ebensogroß -sein und voneinander ebensoweit abstehen als das erste Fenster von -der Kante _p'p_{0}_ entfernt ist. Wir bringen die vertikalen Kanten der -Fenster mit der Linie 7.7 zum Schnitt und verfahren nun ebenso wie -in 34. (Fig. 67 ~a~.) Als beliebiger Punkt auf dem Horizont wurde 5 -gewählt. Dadurch erhalten wir auf der durch 7 gezogenen Parallele zum -Horizont zwei Strecken, die abwechselnd angetragen die Fenster liefern. -Auf der rechten Seite des Gebäudes ist ebenso eine Tür und ein Fenster -konstruiert. - -Endlich mag noch erwähnt werden, daß es auch eigene Apparate, -sogenannte »Fluchtpunkt-Lineale«, gibt, um Gerade nach unzugänglichen -Punkte damit zu zeichnen. - - -§ 13. Gleichzeitige Anwendung der verschiedenen Methoden. - -=37. Verbindung der Schnittmethode mit den Fluchtpunktmethoden.= Wir -können aber auch die früher behandelte Schnittmethode (vgl. 8) mit den -Konstruktionen, die sich aus der Benutzung der Fluchtpunkte ergeben -(17, 18 u. f.), verbinden und erhalten dadurch das für Darstellung -architektonischer Objekte brauchbarste Verfahren. Wir werden dasselbe -am besten an einem Beispiele kennen lernen: - - =Aufgabe 21.= Ein Postament ist durch Grund- und Aufriß gegeben - (Fig. 73); die neue Bildebene, in der eine Perspektive dieses - Objektes entworfen werden soll, steht auf der Grundrißebene - senkrecht, geht durch die Achse des Postaments und mag durch - die Linie _h_{1}h_{1}_ bestimmt sein. Außerdem sind der Augpunkt ~A~ - und der Horizont _hh_ je durch ihre Risse gegeben. Man zeichne - das Bild des Körpers, wenn die Distanz 12 ~cm~ beträgt. - -Wir wählen in der neuen Darstellung die Grundlinie _gg_ und darüber in -der durch den Aufriß gegebenen Höhe den Horizont _hh_ (Fig. 74) und auf -ihm den Augpunkt ~A~. Dann zeichnen wir den +Schnitt+ der Bildebene mit -dem Körper, was unter Benutzung der Schnittpunkte 1, 7, 13, 14, 8, 2 -von _h_{1}h_{1}_ mit dem Grundriß und unter Heranziehung des Aufrisses -leicht geschehen kann. Denn die durch ~A~ gelegte Vertikale ist die -Achse des Körpers. Schneidet sie die Grundlinie in _n_, so machen wir -_nx_ = ~A_{1}~1. - -In _x_ zeichnen wir wieder die Senkrechte und machen _xy_ gleich der -aus dem Aufriß zu entnehmenden Höhe des Sockels usf. Auf diese Art -erhält man die Schnittfigur der Bildebene mit dem Körper, die in Fig. -74 durch Schraffierung am Rande hervorgehoben ist. - -[Illustration: Fig. 73.] - -Um jetzt den Grundriß des Körpers in das Bild zu übertragen, verfahren -wir in folgender Weise: Wir führen eine Parallelebene zur Grundrißebene -ein, welche aus der Bildebene die Parallele _ll_ zum Horizont -ausschneiden möge. In diese neue Ebene projizieren wir den Grundriß. -Das kommt darauf hinaus, daß der Grundriß um das Stück _hl_ in die Höhe -geschoben wird. Wir zeichnen nun zunächst das Bild dieses verschobenen -Grundrisses. - -Der Grundriß besteht aus zwei Systemen paralleler Geraden und wir -werden die beiden Fluchtpunkte zu ermitteln haben, die zu diesen -Parallelen gehören. Wir errichten in Fig. 73 im Punkte ~A_{1}~ eine -Senkrechte zu _h_{1}h_{1}_ und tragen auf ihr etwa ein Viertel der -Distanz an, machen also - - ~A_{1}~ _O_{1}_/4 = 3 ~cm~. - -Ziehen wir sodann durch _O_{1}_/4 eine Parallele zu 5.6, so schneidet -diese auf dem Horizont den Riß des Teilfluchtpunktes _F_{a}_/4 aus. -Demnach erhalten wir in Fig. 74 den Fluchtpunkt _F_{a}_, indem wir -~A~_F_{a}_ = 4 ~A_{1}~ _F_{a}_/4 auf dem Horizont antragen. - -Der Fluchtpunkt _F_{b}_ der anderen Richtung 6.3, der weit über die -Zeichenebene hinausfällt, möge nach der in 35 erörterten Methode -bestimmt werden. Wir ziehen durch _F_{a}_ irgendeine Linie, wählen -auf ihr den Punkt _p'_ beliebig und zeichnen einen neuen Horizont, -der in _f_{a}_ die Linie von _F_{a}_ nach _p'_ trifft. Nun ermitteln -wir eine horizontale Linie, welche im Punkte _p_ auf der Linie -_F_{a}p_ senkrecht steht. (Aufgabe 9.) Zunächst zeichnen wir den -Teildistanzpunkt ~D_{1}~/4, indem wir aus Fig. 73 die Strecke ~A_{1}~ -_O_{1}_/4 entnehmen und ~A~ ~D_{1}~/4 = ~A_{1}~ _O_{1}_/4 antragen. -Dann mögen die Verbindungslinien von _p'_ nach ~A~ und ~D_{1}~/4 den -neuen Horizont in _a_ und _d_{1}_/4 treffen. Wir errichten gemäß der -früheren Ableitung in _a_ eine Senkrechte zum neuen Horizont und machen -dieselbe viermal so lang als die Strecke _a d_{1}_/4, so daß also - - _ad_{4}_ = 4 ⋅ _a d_{1}_/4. - -Verbinden wir _d_{4}_ mit _f_{a}_, so schneidet eine Senkrechte -zu dieser Linie im Punkte _d_{4}_ den Punkt _f_{b}_ aus und die -Verbindungslinie von _f_{b}_ mit _p'_ geht nach dem Fluchtpunkte -_F_{b}_. - -Weitere Linien nach _F_{b}_ können wir nach dem dritten in 36 -angegebenen Verfahren ermitteln. Zu diesem Zwecke sind in der Figur -rechts und links zwei Vertikale gezeichnet. Die Verbindungslinie -_p'f_{b}_ schneidet auf diesen die Punkte 0 aus; die Abschnitte bis -zum Horizont sind rechts und links je in zwölf gleiche Teile geteilt; -alle Linien nach _F_{b}_ teilen entsprechende Abschnitte der beiden -Vertikalen im gleichen Verhältnis. Es braucht wohl kaum bemerkt zu -werden, daß die Nummern auf den beiden Vertikalen bloß dem Zwecke -dienen, Linien nach dem Fluchtpunkt _F_{b}_ zu liefern, und daß diese -Nummern ganz unabhängig sind von den übrigen Ziffern der Figur. - -Die Konstruktion des Bildes des verschobenen Grundrisses kann nun -wie folgt erfolgen. Die Punkte 1, 7, 13, 14, 8, 2 auf der Linie _ll_ -ergeben sich sofort, indem man die entsprechenden Strecken von -_h_{1}h_{1}_ überträgt. Ist also _m_ der Schnittpunkt der Achse des -Körpers mit _ll_, so ist - - _m_1 = ~A_{1}~1, _m_7 = ~A_{1}~7 usf. - -[Illustration: Fig. 74.] - -Verbinden wir dann die Punkte 1 und 2 mit _F_{a}_, so sind dies zwei -Seiten des äußeren Viereckes. Die auf der Linie von 2 nach _F_{a}_ -gelegenen Ecken 3 und 4 bestimmen wir nun etwa durch Tiefenlinien. -Wir zeichnen zunächst im Grundriß (Fig. 73) die Senkrechte durch 3 zu -_h_{1}h_{1}_, welche in _s_{1}_ die Bildtafel trifft. Machen wir in -Fig. 74 _ms_ = ~A_{1}~_s_{1}_, so ist _s_ die Spur in der Parallelebene -und ~A~_s_ das Bild der Tiefenlinie. Diese Linie _As_ schneidet dann -auf der Linie 2._F_{a}_ den Punkt 3' aus. Ebenso mag man die übrigen -Ecken 4', 5', 6' ermitteln und es nun als Kontrolle benutzen, daß 4'.5' -und 3'.6' durch _F_{b}_ gehen müssen. - -Man kann auch die Spuren der Geraden, soweit sie bequem erreichbar -sind, hinzunehmen. Um das Bild des zweiten Vierecks 9, 10, 11, 12 zu -zeichnen, ist im Grundriß die Spur _t_{1}_ der Linie 9. 12 gezeichnet. -Machen wir in Fig. 74 _mt_ = ~A_{1}~_t_{1}_, so ist _t_ die Spur der -Linie 9. 12 und 9'. 12' geht verlängert durch _t_. - -Endlich können wir auch noch die Eigenschaft verwenden, daß die -Verbindungslinien 5'.3', 6'.4', 9'.11', 10'.12' usf. alle durch _m_ -gehen müssen. - -Ist auf diese Art das Bild des verschobenen Grundrisses oben -konstruiert, so liefern die Vertikalen durch die Ecken 3', 4', 5', 6' -usf. je einen ersten Ort, auf dem die Bilder des Grundrisses selbst -gelegen sein müssen. Unter Benutzung der Schnittfigur mit der Bildebene -ist das Bild des Körpers dann aber leicht fertigzustellen. So liefert -z. B. der Punkt _x_ mit _F_{a}_ verbunden die untere, linke Kante des -Sockels und die Senkrechten durch 5' und 6' schneiden auf ihr die -betreffenden Ecken aus. - -Wie wir bei dieser Aufgabe die Grundebene nach +oben+ verschoben -(Deckenriß), so kann man unter Umständen auch unterhalb der Grundebene -eine Parallelebene wählen, in diese den Grundriß projizieren (sog. -Kellergrundriß) und dessen Bild zur Konstruktion benutzen. - - -§ 14. Die Darstellung des Kreises. - -=38. Der Kreis in einer zur Tafel parallelen Ebene.= Bis jetzt haben -wir uns immer mit der Abbildung gerader Linien beschäftigt, wobei uns -die Eigenschaft zustatten kam, daß das Bild einer geraden Linie wieder -eine Gerade ist. Wir wollen nun auch das Bild einer krummen Linie -zeichnen, nämlich das des Kreises. Es ist dann allerdings nötig, daß -wir uns von einer Anzahl von Punkten, die auf dem Kreise angenommen -werden, die Bilder zeichnen und diese durch einen Linienzug verbinden. -Wir wollen mit dem einfachsten Falle beginnen, der sich ergibt, wenn -das Bild des gegebenen Kreises wieder ein Kreis ist. - -[Illustration: Fig. 75.] - -Der abzubildende Kreis liege in einer zur Tafel parallelen Ebene (Fig. -75). Die vom Auge nach den Punkten des Kreises gehenden Sehstrahlen -bilden einen Kegel, der die Tafel nach einer Figur schneiden muß, die -zu dem gegebenen Kreise ähnlich ist (S. 45); diese Schnittfigur ist -also selbst wieder ein Kreis. Der Mittelpunkt des gegebenen Kreises -bildet sich wieder in den Mittelpunkt des neuen Kreises ab, der Radius -des neuen Kreises wird je nach der Entfernung des gegebenen Kreises -verschieden verkürzt werden. Wir führen die Konstruktion durch an -folgender - - =Aufgabe 22=. Ein Punkt _m_ ist gegeben durch sein Bild _m'_ und - durch die Spur _a_ der durch ihn gehenden Tiefenlinie _A_ (Fig. - 76). Man zeichne das Bild des Kreises, der um _m_ mit gegebenem - Radius _r_ beschrieben wird und in einer zur Tafel parallelen - Ebene liegt. - -[Illustration: Fig. 76.] - -Auf dem Bilde _A'_ der Tiefenlinie _A_ ist die Spur _a_ von _A_ und -das Bild _m'_ des Mittelpunktes gegeben. Wir denken uns (Fig. 75) den -Durchmesser _np_ des Kreises gezogen, der zum Horizont parallel läuft, -und ziehen durch seine beiden Endpunkte _n_ und _p_ die Tiefenlinien -_B_ und _C_. Die Spuren _b_ und _c_ dieser beiden Tiefenlinien erhalten -wir in Fig. 76 ohne weiteres, wenn wir durch _a_ eine Parallele zum -Horizont ziehen und auf dieser Parallelen _ab_ und _ac_ je gleich dem -gegebenen Radius _r_ des Kreises antragen. Verbinden wir _b_ und _c_ -mit ~A~, so sind dies die Bilder _B'_ und _C'_ der Tiefenlinien _B_ und -_C_ und sie schneiden auf der Parallelen durch _m'_ zum Horizont die -Punkte _n'_ und _p'_ aus. _n'p'_ ist der Durchmesser des Bildes des -Kreises, das also daraus gezeichnet werden kann. - -Als Anwendung dieser Konstruktion geben wir in Fig. 77 das Bild einer -ringförmigen Platte, die mit ihrer vorderen Fläche in der Bildtafel -liegt, _m_ ist der Mittelpunkt für die beiden vorderen Kreise. Ziehen -wir durch _m_ die Parallele zum Horizont und tragen auf ihr eine -Strecke _mx_ ab, welche gleich der gegebenen Dicke der Platte ist, so -liefert _x_ mit D_{1} verbunden auf der Linie _m_A den Punkt _t'_, -welcher der Mittelpunkt für die beiden rückwärtigen Kreise ist; deren -Radien ergeben sich wie in Fig. 76. - -[Illustration: Fig. 77.] - -=39. Der Kreis in einer Horizontalebene.= Wir gehen nun zu dem Falle -über, daß der abzubildende Kreis in einer horizontalen Ebene gelegen -ist, z. B. in der Grundebene. Es sei zu behandeln folgende - - =Aufgabe 23.= Ein Kreis von gegebenem Radius liegt in der - Grundebene so, daß er die Grundlinie berührt. Das Bild des - Kreises zu zeichnen. - -[Illustration: Fig. 78.] - -Die Fig. 78 zeigt die Anordnung im Raume; in Fig. 79 ist der Kreis -in der Verschiebung gezeichnet. Es ist nun vorteilhaft, sich nicht -nur Punkte des Bildes zu verschaffen, sondern auch Linien, welche das -Bild berühren, sogenannte Berührungslinien oder »Tangenten«. Zu diesem -Zwecke umschreiben wir dem Kreise das Quadrat (1)(2)(3)(4), dessen -Seiten den Kreis in den Punkten (5), (6), (7) und (8) berühren. Das -Bild dieses Quadrates ist leicht zu zeichnen, (1)(4) und (2)(3) sind -Tiefenlinien; ihre Bilder laufen also nach A; die Linie (2)(4) aber -geht im Bilde nach dem linksseitigen Distanzpunkte D_{1} (vgl. 14). -Ferner ist auch (6)(8) eine Tiefenlinie und ihr Bild schneidet auf der -Linie 2.4' das Bild _m'_ des Punktes _m_ aus. Die Linie (5)(7) geht -in eine Parallele durch _m'_ über, welche auf den Linien 1.4' und 2.3' -die Punkte 5' und 7' liefert. Das Bild des Kreises wird in diesem Falle -eine Ellipse, welche dem Vierecke 1 2 3' 4' einbeschrieben ist und -dessen Seiten in den Punkten 6, 7', 8', 5' berührt. - -[Illustration: Fig. 79.] - -Ohne Beweis sei erwähnt, daß _m'_ nicht der »Mittelpunkt« der Ellipse -ist, daß dieser vielmehr in die Mitte der Strecke 6.8' fällt. - -Bringt man die Diagonalen (2)(4) und (1)(3) des Quadrates mit dem -Kreise zum Schnitt, so erhält man die Punkte 9, 10, 11, 12 und auch -deren Bilder 9', 10', 11', 12' lassen sich leicht ermitteln, da (9) und -(10) sowie (11) und (12) je auf einer Tiefenlinie liegen. Sich noch -weitere Punkte der Ellipse aus den Punkten des Kreises zu verschaffen -ist gar nicht nötig. - -Es wird nützlich sein, wenn der Leser sich auch das Bild eines Kreises -zeichnet, der auf der rechten Seite des Hauptpunktes gelegen ist. - -Die Figur ist dann weiter benutzt, um das Bild eines -Umdrehungs-Zylinders, also einer Walze, zu zeichnen. Ist die Höhe -des Zylinders durch die Strecke 6.6^* gegeben, so schneidet die -Deckfläche des Zylinders die Bildebene in der Linie _ll_, welche -durch 6^* parallel zur Grundlinie geht. Die Konstruktion des Bildes -des Deckkreises des Zylinders erfolgt genau in der gleichen Weise; -entsprechende Punkte z. B. 3' und 3'^* liegen übrigens immer auf -Vertikalen, was viele Kontrollen liefert. Endlich wird das Bild des -Zylinders vollendet, indem man auf beiden Seiten die berührenden -Vertikalen an beide Ellipsen zeichnet. - -=40. Der Kreis in einer vertikalen Tiefenebene.= In ganz ähnlicher -Weise wie ein horizontaler Kreis kann auch ein Kreis abgebildet -werden, der in einer lotrechten Tiefenebene liegt. Wir behandeln diesen -Fall in der folgenden - - =Aufgabe 24.= In einer lotrechten Tiefenebene, die durch ihre - Spur S gegeben ist, liegt ein Kreis von gegebenem Radius, der - die Grundebene und die Bildtafel berührt. Das Bild dieses - Kreises zu zeichnen. - -[Illustration: Fig. 80.] - -Die Figur 78 zeigt rückwärts den Kreis in seiner Lage gegen Grundebene -und Bildtafel. Wir umschreiben demselben wieder das Quadrat 1 2 3 4, -von dem die Seite 1.2 in der Spur _S_ der Ebene, 1.4 in der Grundebene -liegt. Um den Kreis auch in seiner wahren Gestalt vor uns haben, denken -wir uns seine Ebene wie eine Türe nach außen um die Spur _S_ in die -Bildebene hineingedreht, wie dies der Pfeil in Figur 78 andeutet. In -dieser Lage ist der Kreis, sowie das umschriebene Quadrat 1 2 (3) (4) -in Fig. 80 gezeichnet. Das Bild des Kreises ergibt sich dann wie folgt. -Die Tiefenlinien 1.4 und 2.3 haben als Bilder die Linien von 1 nach -A und von 2 nach A. Die letzte Quadratseite 3.4 kann ferner durch -folgende Überlegung gefunden werden. Ziehen wir die Diagonale 1.3, -welche durch den Mittelpunkt _m_ geht, so ist diese Linie unter 45° -gegen die Grundebene geneigt. Die Parallele durch _O_ zu dieser Linie -schneidet den Fluchtpunkt derselben aus und derselbe muß nach Satz -24 auf der Senkrechten durch ~A~ liegen und von ~A~ um die Distanz -abstehen. Der Fluchtpunkt ist also der schon früher gezeichnete Punkt -~D_{4}~. Ganz ebenso ergibt sich als Fluchtpunkt der anderen Diagonale -2.4 der Punkt ~D_{3}~, der in Fig. 80 eingezeichnet ist. Wenn wir also -in Fig. 80 die Linien 1.~D_{4}~ 2.~D_{3}~ ziehen, so schneiden diese auf -den Bildern 2.~A~ und 1.~A~ die Bilder 3' und 4' aus. Zur Probe dient, -daß 3'.4' lotrecht sein muß. Ferner ist der Schnittpunkt von 1.~D_{4}~ -und 2.~D_{3}~ das Bild _m'_. Die Vertikale durch _m'_ liefert auf den -Linien 2.~A~ und 1.~A~ die Berührungspunkte 5' und 7'; die Linie 6.~A~ -muß von selbst durch _m'_ gehen und gibt den Berührungspunkt 8'. - -[Illustration: Fig. 81.] - -In dem hier vorliegenden Falle ist das Bild des Kreises wieder eine -Ellipse; _m'_ ist nicht ihr Mittelpunkt; derselbe liegt vielmehr auf -der Linie 6.8' in der Mitte zwischen 6 und 8'. - -Die Bilder der Punkte 9, 10 usw. lassen sich wie im vorigen Falle -bestimmen. Auch die Tangente im Punkte 9' an die Ellipse ist leicht zu -zeichnen. Da nämlich die Tangente im Punkte 9 an den Kreis parallel -zur Linie 1.(3) verläuft, so muß das Bild dieser Tangente nach D_{4} -fliehen, also ist die Linie 9'.D_{4} diese Tangente. - -Als Anwendung dieser Aufgabe geben wir in Fig. 81 das Bild eines -Rundbogens, der in einer lotrechten Tiefenebene gelegen ist; _S_ sei -die Spur dieser Tiefenebene. Von dem Rundbogen ist links oben die -Hälfte in der Umlegung in die Tafel gegeben. Zur Konstruktion soll -der Teildistanzpunkt D_{1}/2 verwendet werden. Tragen wir die Hälfte -der Strecke 1(_m_) auf der Horizontalen durch 1 nach rechts ab und -verbinden den Endpunkt mit D_{1}/2, so erhalten wir (Aufg. 4) auf der -Tiefenlinie 1.A das Bild _m'_; in entsprechender Weise ergeben sich -für die weiteren Punkte (3) ... die Bilder. Die Parallele durch (2) -schneidet _S_ in einem Punkte, der mit A verbunden die Berührungslinie -im Scheitel 2' des Bogens liefert, wobei 2' auf der Vertikalen durch -_m'_ gelegen ist. Der ganze Rundbogen ist dann in 7 gleiche Teile -geteilt und es sind die Bilder der Fugen eingetragen. Diese Fugen -laufen alle durch _m'_. - -Schließlich sei noch erwähnt, daß das Bild eines Kreises nicht immer -eine Ellipse zu sein braucht, sondern auch eine sogenannte »+Hyperbel+« -oder eine »+Parabel+« sein kann, worauf wir aber nicht weiter eingehen -können. - - -§ 15. Einfache Schattenkonstruktionen. - -=41. Schatten bei parallelem Lichte.= Die undurchsichtigen Körper -haben die Eigenschaft, daß sie das auf sie fallende Licht irgendeiner -Lichtquelle nicht durchgehen lassen, sondern es aufhalten oder -verschlucken (absorbieren), so daß sich hinter dem Körper ein -lichtleerer Raum, der +Schatten+, ausbildet. Indem wir den Unterschied -von Licht und Schatten auch im Bilde etwa durch Schraffierung der -beschatteten Teile einigermaßen wiedergeben, erreichen wir eine größere -Naturtreue. - -[Illustration: Fig. 82.] - -Was die Lichtquelle betrifft, so wollen wir uns vorstellen, die Sonne -ziehe sich zu einem Punkte zusammen, etwa auf ihren Mittelpunkt, und -stehe außerdem fest am Himmel. Die dann entstehende Beleuchtung können -wir durch folgende Bestimmung ersetzen. Wir geben uns eine Gerade _s_ -beliebig im Raume (Fig. 82) und nehmen an, daß alle Lichtstrahlen zu -dieser Geraden s parallel sind. Der ganze Raum ist erfüllt von diesen -parallelen Lichtstrahlen. Wir nennen dies eine »Beleuchtung durch -parallele Lichtstrahlen«. - -Es sei jetzt eine Stange _pq_ gegeben, die auf der Grundebene senkrecht -steht (Fig. 82). Wie können wir den Schatten ermitteln, den sie in die -Grundebene wirft? Alle auf die Gerade _pq_ treffenden Lichtstrahlen -werden aufgehalten und bilden fortgesetzt eben den Schatten der -Geraden _pq_. Wir haben demnach durch die Punkte der Geraden _pq_ die -parallelen zur Geraden _s_ zu zeichnen. Alle diese Parallelen liegen -aber, wie man leicht erkennt, in einer Ebene und diese Ebene schneidet -aus der Grundebene den Schatten der Geraden _pq_ aus, der also eine -Gerade ist. Offenbar geht dieser Schatten durch den Fußpunkt _q_ der -Stange. Das Ende des Schattens aber erhalten wir, wenn wir durch den -Endpunkt _p_ den Lichtstrahl legen. Trifft dieser in _p_{*}_ die -Grundebene, so ist _p_{*}_ der Schatten des Punktes _p_ und _qp_{*}_ -wird der Schatten der Geraden _pq_. Im Gegensatz zu dem Schatten, den -die Gerade _pq_ unter Umständen auf andere Körper wirft, nennen wir -den Schatten _qp_{*}_ auf der Grundebene den »+Grundschatten+«. Eine -zweite, ebenfalls auf der Grundebene senkrechte Gerade _rt_ liefert -ganz in der gleichen Weise den Grundschatten _tr_{*}_ und man sieht -ohne Mühe ein, daß _tr_{*}_ ∥ _qp_{*}_. Allgemein kann man sagen: - - =Satz 26.= »+Parallele Gerade liefern parallele Grundschatten auf - der Grundebene.+« - -[Illustration: Fig. 83.] - -Weiter handelt es sich nun darum, die Bilder dieser Schatten zu -zeichnen. Wir beachten zu diesem Zwecke, daß die Lichtstrahlen -parallele, schiefe Gerade sind, wie wir sie im § 9 betrachtet haben. -Diese parallelen Geraden haben also einen Fluchtpunkt, den wir -erhalten, wenn wir durch das Auge _O_ eine Parallele zur Geraden -_s_ ziehen und den Schnittpunkt ~S~ dieser Parallelen mit der Tafel -ermitteln. Hat der in _O_ befindliche Beschauer die (punktförmige) -Lichtquelle im Rücken, so befindet sich der Fluchtpunkt ~S~ +unterhalb+ -des Horizonts. Fällen wir von ~S~ aus in der Bildebene eine Senkrechte -zum Horizont und nennen ~S~_{_h_} ihren Fußpunkt, so können wir die -Betrachtung von 27 ohne weiteres auch hier anwenden und sehen, daß -_OS_{h}_ ∥ _qp_{*}_ ∥ _tr_{*}_. - -[Illustration: Fig. 84.] - -Mit anderen Worten: - - =Satz 27.= »+Der Punkt ~S~_{_h_}, die Projektion des - Fluchtpunktes ~S~ der parallelen Lichtstrahlen auf den - Horizont, ist der Fluchtpunkt der Grundschatten.+« - -Die Bilder der Grundschatten fliehen also alle nach ~S_{h}~ (Satz 23). -Damit erledigt sich nun leicht folgende - - =Aufgabe 25.= Eine auf der Grundebene senkrechte Gerade _pq_ ist - im Bilde gegeben; man zeichne ihren Grundschatten, wenn das - parallele Licht durch den Punkt ~S~ gegeben ist. - -Durch die Annahme des Punktes ~S~ (Fig. 83) ist die Beleuchtung -vollständig gegeben, da damit die Richtung der Lichtstrahlen bestimmt -wird. Fällen wir von ~S~ ein Lot zum Horizont, so liefert dies den -Fluchtpunkt ~S_{h}~ der Grundschatten. Ist _p'q'_ das gegebene Bild -(wir nehmen an, es wäre bereits gefunden), so gibt die Verbindungslinie -von _q'_ nach ~S_{h}~ den Grundschatten. Der durch _p_ gehende -Lichtstrahl muß aber einerseits durch _p'_, andererseits durch den -Fluchtpunkt ~S~ gehen; demnach schneidet die Verbindungslinie von ~S~ -nach _p'_ auf der Linie von _q'_ nach ~S_{h}~ den Endpunkt _q_{*}'_ des -Grundschattens aus. Es ist _q'p_{*}'_ das Bild des Grundschattens. Die -einfache Regel lautet also: _p_{*}'_ ist der Schnittpunkt der Linien -_q'_~S_{h}~ und _p'_~S~. - -Damit ist aber auch die Aufgabe gelöst: den Schatten eines beliebigen -Punktes in der Grundebene zu zeichnen. Denn wir brauchen ja nur von -dem Punkte das Lot auf die Grundebene zu fällen und dessen Fußpunkt zu -ermitteln. Dann können wir nach der obigen Aufgabe den Schatten dieser -Senkrechten ermitteln. Wir wenden das an in folgender - - =Aufgabe 26.= Den Schatten zu zeichnen, den ein Obelisk in die - Grundebene wirft. - -Das Bild des Obelisken, der auf der Grundebene steht, ist nach dem -Früheren gezeichnet (Fig. 84). Um den Schatten in der Grundebene zu -ermitteln, geben wir uns den Punkt ~S~ und seine Projektion ~S_{h}~. -Zunächst zeichnen wir von der in der Tafel liegenden Kante 1.2 des -Sockels nach der oben abgeleiteten Regel den Schatten 1.2_{*}'; ebenso -finden wir den Schatten 4.3_{*}' der Kante 3.4. Die Verbindungslinie -2_{*}'.3_{*}' ist dann der Schatten der Kante 2.3 und sie flieht, wie -man leicht erkennt, nach ~A~. Nun sind die Schatten der 4 Kanten des -Obelisken zu zeichnen. Die durch 5 gehende Kante verlängern wir bis zu -ihrem Schnittpunkt 6 mit der Grundebene und erhalten in 6.5_{*}' ihren -Schatten. Ebenso wird 8.7_{*}' der Schatten der Kante 7.8. Die Schatten -der beiden anderen Kanten fallen, wie die Konstruktion zeigt, zwischen -diese beiden Schatten hinein, so daß also 6.5_{*}' und 8.7_{*}' den -Schatten in der Grundebene begrenzen. Zeichnen wir noch den Schatten -9_{*}' der Spitze 9, indem wir die Senkrechte 9.10 benutzen, so ist der -»Schlagschatten« des Obelisken in der Grundebene fertiggestellt, wenn -man 9_{*}' mit 5_{*}' und 7_{*}' verbindet. - -Es bildet sich aber auch auf dem Körper ein Gegensatz von Licht und -Schatten aus, in dem gewisse Teile des Körpers in Schatten gesetzt -werden (Eigenschatten). Schneidet die Linie 6.5_{*}' die Kante 1.4 -in 11, so geht die Begrenzung des Schattens auf dem Sockel senkrecht -in die Höhe nach 12. Auf der oberen Fläche des Sockels gibt dann die -Linie von 13 nach 12 die Grenze des Schattens und es kann zur Kontrolle -dienen, daß sie als ein Grundschatten nach ~S_{h}~ laufen muß. Ferner -befinden sich die durch die Kante 13.5 gehende Fläche des Obelisken und -die daran sich schließende durch 5.9 gehende Deckfläche im Schatten, -was durch Schraffierung angedeutet ist. - -Endlich mag noch bemerkt werden, daß man den Punkt ~S~ auch oberhalb -des Horizonts annehmen kann. Dann hat der Beschauer die Lichtquelle vor -sich und die Schatten bilden sich im Bilde nach vorne aus. - - -§ 16. Künstlerische Freiheiten. - -=42. Freiere Gestaltung des Bildes.= Am Schlusse unserer Betrachtungen -angelangt, wollen wir uns noch darüber klar werden, was die Lehre von -der Perspektive uns bietet, so daß wir uns von einer Überschätzung -dieser Wissenschaft in gleicher Weise fernhalten wie von einer -Unterschätzung. Die Aufgabe der Perspektive haben wir darin erkannt, -daß sie uns ein gesetzmäßig definiertes Bild eines Gegenstandes liefern -soll, das uns soweit als möglich den Gesichtseindruck ersetzt, den -wir von dem Gegenstand erhalten. Tatsächlich besteht nun aber das -Betrachten irgendeines Körpers darin, daß wir seine einzelnen Teile -der Reihe nach ins Auge fassen und unseren Blick von einer Stelle -zur anderen gleiten lassen. Was wir dabei zunächst beurteilen und -abschätzen, sind die Gesichtswinkel, welche die Blicklinien nach den -einzelnen Punkten des Körpers miteinander einschließen. Aus allen -diesen Beobachtungen und Eindrücken setzen wir dann das Bild des -Körpers im Auge zusammen. - -Da nun aber Winkel durch Kreisbögen gemessen werden, so gelangen wir -naturgemäß dazu, um das Auge _{O}_ eine Kugel mit einem beliebigen -Radius zu beschreiben und die nach den einzelnen Punkten des Objektes -gehenden Blicklinien mit dieser Kugel zum Schnitt zu bringen. Das heißt -dann aber nichts anderes, als daß wir das Objekt aus dem Mittelpunkt -auf die Kugelfläche projizieren. Ein solches auf der Innenseite -einer Kugelfläche gelegenes Bild, das aus dem Mittelpunkt der Kugel -betrachtet wird, genügt allen Ansprüchen. Es kann für beliebig große -Teile des Raumes hergestellt werden: ein Panorama könnte z. B. in -dieser Weise eingerichtet sein. Die geraden Linien des Raumes gehen -in größte Kreise auf der Kugel über. In den allermeisten Fällen aber -verlangen wir aus Bequemlichkeitsgründen, daß die Abbildung des -Gegenstandes auf einer +ebenen+ Fläche erfolgt; wir wollen das Bild in -einem Buche, in einer Mappe oder an der Wand haben und deswegen ist -das auf einer Kugel gelegene Bild für gewöhnlich nicht zu gebrauchen. -Dann liegt es aber nahe, die Kugelfläche durch eine Ebene zu ersetzen -in der Weise, daß wir eine Ebene einführen, welche im Punkte _a_ der -Kugel auf dem Radius _oa_ senkrecht steht (Fig. 85). Man nennt diese -Ebene eine Berührungsebene oder Tangentialebene der Kugel. Statt auf -die Kugel projizieren wir nun die Gegenstände auf diese Ebene und sind -damit zu der Abbildung gelangt, wie sie die Perspektive liefert. In -der Nachbarschaft des Punktes _a_ schmiegt sich die Berührungsebene -der Kugel an und beide Abbildungen, die auf der Kugel und die auf der -Ebene, stimmen so ziemlich überein. Je größer aber der Ausschnitt -des Raumes wird, den wir abbilden, um so stärker weichen die beiden -Abbildungen voneinander ab. - -[Illustration: Fig. 85.] - -Es ist aber wohl zu beachten, daß die Blickrichtung bei Betrachtung -des ebenen Bildes immer mit _Oa_ zusammenfallen muß. Drehen wir -den Kopf seitwärts, so daß wir z. B. in der Richtung _Ob_ sehen, -so müssen wir uns die in _b_ berührende Ebene als Tafel eingeführt -denken. Man könnte nun auf den Gedanken kommen, die Bilder, wie sie -den Blickrichtungen _oa_, _ob_, _oc_ ... und den in diesen Punkten -konstruierten Berührungsebenen entsprechen, einfach zu einem Gesamtbild -zu vereinigen. Aber auch dieser Versuch würde auf große Schwierigkeiten -stoßen. Nehmen wir etwa an, es wäre eine Reihe gleichgroßer vertikaler -Pfeiler (I, II, III ...) wie in Fig. 36, 37 darzustellen. Dann wäre das -Bild des mittleren Pfeilers III am größten und nach beiden Seiten zu -würden die Bilder kleiner werden. Die Verbindungslinien der oberen und -der unteren Endpunkte wären keine Geraden mehr, sondern krumme Linien, -die obere würde sich nach unten, die untere nach oben krümmen. Wir -müßten also dann den Grundsatz opfern, daß gerade Linien sich wieder in -gerade Linien abbilden und damit würde die Herstellung solcher Bilder -ungemein erschwert. - -Das schließt nun aber nicht aus, daß gewisse Einzelheiten in einem -perspektivischen Bilde, namentlich gegen den Rand zu, nicht so -gezeichnet werden dürfen, wie es mehr der direkten Blickrichtung -entspricht. Namentlich für menschliche Figuren ergeben sich unangenehm -wirkende Verzerrungen, indem die Köpfe und Körper zu breit werden und -zu allen Zeiten haben sich die Künstler dann einer freieren Darstellung -bedient. Eine Reihe gleichgroßer Säulen, die parallel zur Bildebene -angeordnet sind, werden im Bilde gleichgroß wiedergegeben, während die -äußeren breiter sein müßten, eine Kugel, die seitwärts im Bilde zu -sehen ist, wird durch einen Kreis wiedergegeben und nicht durch eine -Ellipse. In Raffaels Schule von Athen (Abb. 8, Seite 71) sind, um ein -Beispiel zu geben, rechts bei der Gruppe der Astronomen zwei Kugeln -dargestellt: die obere wird durch eine Ellipse, die untere wohl durch -einen Kreis wiedergegeben. - -Diese und ähnliche Milderungen der perspektivischen Schablone kann -man ruhig dem Geschmack des Künstlers überlassen. Wenn er sich nur -über die Hauptgesetze der Linienführung im klaren ist, wird er auch -die eine oder andere Abweichung als zweckdienlich erkennen. Denn die -perspektivische Zeichnung ist nicht Selbstzweck, sondern nur ein Mittel -zum Zweck. Es wird aber auch hier das Wort gelten: - - Und das Gesetz nur kann uns Freiheit geben. - - - - -Literaturverzeichnis. - - - +Schlotke, J.+, Lehrbuch der darstellenden Geometrie. III. Teil. - Perspektive. 2. Aufl. Dresden 1902. Mathematisch durchgeführter - Lehrgang, in elementarer Weise gut und anschaulich begründet. - - +Kleiber, M.+, Angewandte Perspektive. 5. Aufl. Webers - illustrierte Katechismen. Nr. 137. Leipzig 1912. Gute, - praktische und durch viele Beispiele erläuterte Darstellung. - - +Hauck, G.+, Malerische Perspektive und Schattenkonstruktionen. - Berlin 1910. - - +Niemann, G.+, Handbuch der Linear-Perspektive für bildende - Künstler. 2. Aufl. Stuttgart 1902. - - +Meisel, F.+, Lehrbuch der Perspektive. Leipzig 1908. - - +Dalwigk, v. F.+, Vorlesungen über darstellende Geometrie. 2. Bd. - Perspektive. Leipzig u. Berlin 1914. - - +Rohn+ u. +Papperitz+, Lehrbuch der darstellenden Geometrie. 3 - Bände. Die Perspektive enthält der 2. Bd. Leipzig 1906. - - - - -Sachregister. - -(Die beigefügten Zahlen geben die betreffende Seite des Buches an.) - - - Achse, optische eines Objektives 64 - - Ähnliche Figuren 45, 78 - - Ähnlichkeitspunkt 78 - - Apparat, photographischer 64 - - Aufriß 10 - - Aufsicht 50 - - Auge 4, 16 - - Augpunkt 16 - - Augenhöhe 25 - - - Beleuchtung durch paralleles Licht 96 - - Bildebene 4 - - Bild, perspektivisches 3 ff. - - --, photographisches 64, 74 - - -- eines Punktes 4 - - Breitenmaßstab 50 - - Brennweite eines Objektives 65 - - - Deckenriß 90 - - Diagonale eines Quadrates 26 - - Diagonalpunkt 57 - - Distanz 16 - - Distanzpunkt 25 - - - Eigenschatten 99 - - Einstellung auf Unendlich 65 - - Ellipse als Bild eines Kreises 93, 95 - - - Fallende Linien im Bilde 40 - - -- -- im Raum 59, 60 - - Flucht, Fluchtpunkt einer Geraden 20 - - Fluchtpunkt-Lineal 86 - - Freiheiten, künstlerische 99 - - - Gerade Ansicht 58 - - Gerader Riß 7 - - Gesichtswinkel 46 - - Gesamteindruck 69 - - Grundebene 24 - - Grundlinie 24 - - Grundriß 10 - - Grundschatten 97 - - - Hauptpunkt 16 - - Höhenmaßstab 43, 44, 50 - - Horizont 18 - - Horizontale Gerade 39 - - Horizontebene 16, 18 - - Horizontalprojektion 10 - - Hyperbel als Bild eines Kreises 95 - - - Innenraum 50, 73 - - Interieur 50, 73 - - - Kante 11 - - Kellergrundriß 90 - - Kreis in der Grundebene 92 - - -- in einer Horizontalebene 92 - - -- -- -- zur Tafel parallelen Ebene 90 - - -- -- -- Tiefenebene 93 - - - Linearperspektive 5 - - Linienperspektive 5 - - - Mittelpunkt eines Objektives 64 - - -- einer Ellipse 93, 95 - - - Orthogonaler Riß 7 - - Optische Achse eines Objektives 64 - - - Parabel als Bild eines Kreises 95 - - Parallelprojektion 13 - - Perspektive 5 - - Perspektograph 19 - - Perspektivisches Bild 3 ff. - - Projektion 7 - - Projektionsstrahlen 4 - - Projektionszentrum 16 - - Projizierende Strahlen 4 - - - Reduktion 52 - - Riß, gerader, rechtwinkliger 7 - - --, zentraler 4 - - - Satz vom Fluchtpunkt 22 - - Schiefe Gerade im Raum 59 - - Schlagschatten 99 - - Schnittmethode 13 - - Schrägbilder 13 - - Schräge Ansicht 58 - - Sehstrahlen 4 - - Seitenansicht 51 - - Spur einer Geraden 20 - - Steigende Linien im Bilde 40 - - -- -- -- Raum 59, 60 - - Stürzende Linien 66 - - - Tafel 4 - - Tiefenebene 41 - - Tiefenlinie 25 - - Tiefenmaßstab 33, 50 - - - Übereckstellung 58 - - Umgelegtes Auge 34, 37 - - Umlegung des Auges 34 - - -- der Grundebene 37 - - -- -- Horizontebene 35, 37 - - Untersicht 51 - - Unzugänglicher Distanzpunkt 75 - - -- Fluchtpunkt 77 ff. - - - Verjüngung 52 - - Verschiebung der Grundebene 27 - - Verschwindungspunkt einer Geraden 20 - - Vertikalprojektion 10 - - Vogelperspektive 68 - - - Weitwinkel 74 - - - Zentralprojektion 4 - - Zusammenlegen der Tafeln 11 - - - - -Geschichte der bildenden Künste - -Eine Einführung von ~Dr.~ +Ernst Cohn-Wiener+. Geb. ca. M. 4.-- - -Das Buch will kein historisch geordnetes Nachschlagebuch sein, -sondern möglichst viel vom Wesen der Kunst und des Kunstwerkes -geben. Es sucht neben dem bloßen Wissen die Freude am Kunstwerk zu -vermitteln, erkennen zu lassen, daß hinter dem Werk der Künstler als -schöpferische Persönlichkeit steht. Seine Aufgabe, der Selbstbelehrung -und als Lehrbuch zu dienen, sucht es nicht zu lösen, indem es durch -oberflächliche Behandlung eines verwirrenden Vielerei »mitzureden« -befähigt, sondern durch eingehende, Bildhaftigkeit und Anschaulichkeit -anstrebende Besprechung der behandelten Kunstwerke sucht es dem Leser -den inneren Gehalt der Kunstepochen so vor Augen zu stellen, daß -er auch die Werke, die das Büchlein selbst nicht erwähnen kann, zu -verstehen vermag. Eine reiche Zahl von Abbildungen -- darunter auch -farbige -- dient der Anschaulichkeit. Die neueste Zeit ist besonders -eingehend behandelt worden, weil hier das Bedürfnis am unmittelbarsten -ist. - - -Elementargesetze der bildenden Kunst - -Grundlagen einer praktischen Ästhetik von Prof. ~Dr.~ +Hans Cornelius+. -2. Auflage. Mit 245 Abb. und 13 Tafeln. Geh. M. 7.--, geb. M. 8.-- - -»Es gibt kein Buch, in dem die elementarsten Gesetze künstlerischer -Raumgestaltung so klar und anschaulich dargelegt, so überzeugend -abgeleitet wären. Wir haben hier zum ersten Male eine zusammenfassende, -an zahlreichen einfachen Beispielen erläuterte Darstellung der -wesentlichsten Bedingungen, von denen namentlich die plastische -Gestaltung in Architektur, Plastik und Kunstgewerbe abhängt.« - - (+Zeitschrift für Ästhetik+.) - - -Die bildenden Künste - -Ihre Eigenart und ihr Zusammenhang. Vorlesung von Professor ~Dr.~ +Karl -Doehlemann+. Geheftet M. --.80 - -»Eine tiefgründige Besprechung der bildenden Künste -- Malerei, Plastik -und Architektur umfassend -- in durchweg anregender Form. Die Fachwelt -wie die gebildeten Stände werden die Schrift mit hoher Befriedigung -aufnehmen.« - - (+Wiener Bauindustrie-Ztg.+) - - -Unser Verhältnis zu den bildenden Künsten - -Von Prof. ~Dr.~ +August Schmarsow+. Geh. M. 2.--, geb. M. 2.60 - -»Diese Vorträge bilden den wertvollsten Beitrag zur Literatur über die -Kunsterziehungsfrage. Schmarsow entwickelt seine Anschauung über das -Verhältnis der Künste zueinander, um zu zeigen, wie jede einzelne einer -besonderen Seite der menschlichen Organisation entspreche, wie darum -auch alle Künste eng miteinander verknüpft sind, da alle von einem -Organismus ausstrahlen.« - - (+Deutsche Literaturzeitung+.) - - -Psychologie der Kunst - -Darstellung ihrer Grundzüge. Von ~Dr.~ +R. Müller-Freienfels+. 2 Bde. -I: Die Psychologie d. Kunstgenießens u. d. Kunstschaffens. II: Die -Formen d. Kunstwerks u. d. Psychol. d. Bewertung. Je M. 4.40, in 1 Bd. -M. 10.-- - -»Was diesem Werke Beachtung und Anerkennung erworben hat, ist zum -Teil der Umstand, daß es zu den sehr seltenen wissenschaftlichen -deutschen Büchern gehört, die auch einen ästhetischen Wert besitzen, -aus denen eine Persönlichkeit spricht, die über eine gute Beherrschung -des gesamten psychologischen und ästhetischen Stoffes und über eine -ungewöhnliche Gabe der Synthese verfügt.« - - (+Zeitschrift für Ästhetik+.) - - -Die Natur in der Kunst - -Stud. eines Naturforschers z. Geschichte d. Malerei. Von Prof. ~Dr.~ -+F. Rosen+. M. 120 Abb. nach Zeichn. von +E. Süß+ u. Photographien d. -Verf. Geb. M. 12.-- - -»... Botanik und Kunstgeschichte -- zwei Disziplinen, die einander -fremd gegenüberzustehen scheinen! Und doch, wieviel neuen Stoff ergibt -dieses doppelte Studium. Mit wachsendem Interesse folgen wir dem Führer -und wandeln mit ihm von Stufe zu Stufe empor. Zum Genuß des anregenden -Buches tragen auch die vielen Abbildungen bei.« - - (+Kunstchronik+.) - - -Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin - - - +Mathematik und Malerei.+ Von Oberlehrer ~Dr.~ G. Wolff. Mit 25 - Abb. und 19 Fig. im Text. Kart. ca. M. 1.60 - -Die nahen historischen Beziehungen zwischen Malerei und mathematischer -Perspektive werden dazu benutzt, um aus formaler Darstellung eines -Bildes dessen künstlerischen Wert zu beurteilen. Der 1. Teil entwickelt -im engsten Anschluß an die Malerei die Grundlagen der malerischen -Perspektive. Der 2. Teil analysiert mit den so gewonnenen Mitteln -einzelne perspektivisch besonders lehrreiche Bilder. - - - +Die altdeutschen Maler in Süddeutschland.+ Von Helene Nemitz. - Mit Bilderanhang Geh. M. 1.--, geb. M. 1.25 - -Das Bändchen sucht das Verständnis für die Eigenart und Größe der -altdeutschen Malerei des 15. Jahrhunderts und so den Sinn für die in -ihren Werken sich offenbarende echt deutsche Schönheit zu wecken. Es -zeigt, wie das kraftvolle, tiefinnerliche Gefühlsleben jener Zeit kaum -irgendwo eine künstlerisch reinere Ausprägung und Verklärung gefunden -hat als in den Bildern der Meister Süddeutschlands. - - - +Albrecht Dürer.+ V. ~Dr.~ R. Wustmann. M. Titelbild u. 32 Abb. - Geh. M. 1.--, geb. M. 1.25 - -Eine schlichte und knappe Erzählung des gewaltigen menschlichen und -künstlerischen Entwicklungsganges Dürers und eine Darstellung seiner -Kunst, in der nacheinander Selbst- und Angehörigenbildnisse, die -Zeichnungen zur Apokalypse, die Darstellungen von Mann und Weib, das -Marienleben, die Stiftungsgemälde, die Radierungen v. Rittertum, Trauer -und Heiligkeit sowie die wichtigsten Werke aus der Zeit der Reife -behandelt werden. - - - +Niederländische Malerei im 17. Jahrhundert.+ Von ~Dr.~ H. - Jantzen. Mit 37 Abb. Geh. M. 1.--, in Lw. geb. M. 1.25 - -Gibt eine Einführung in das Verständnis dieser Blütezeit der Malerei, -indem es die zahlreichen, dort in immer neuen Stoffgebieten: -Historienmalerei, Porträt, Gruppenbild, Sittenbild, Interieur, -Landschaft, Seestück, Kirchenstück, Stilleben auftauchenden malerischen -Probleme sowie ihre gesetzmäßigen Zusammenhänge darlegt und die -einzelnen hervortretenden Künstlerpersönlichkeiten und -gruppen kurz -und treffend charakterisiert. - - - +Rembrandt.+ V. Prof. ~Dr.~ P. Schubring. Mit 1 Titelb. u. 219 - Abb. Geh. M. 1.--, geb. M. 1.25 - -Eine lebensvolle Schilderung des menschlichen u. künstl. -Entwicklungsganges R's. Zur Darstellung gelangen seine persönl. -Schicksale bis 1642, die Frühzeit, die Zeit bis zu Saskias Tode, die -Nachtwache, sein Verhältnis zur Bibel, die Radierungen, Urkundliches -über die Zeit nach 1642, die Periode des farbigen Helldunkels, die -Gemälde nach der Nachtwache und die Spätzeit. Beigefügt sind die beiden -ältesten Biographien Rembrandts. - - - +Die deutsche Malerei im 19. Jahrhundert.+ Von Prof. ~Dr.~ R. - Hamann. 1 Bd. Text, 1 Bd. Abb. Geh. je M. 2.--, in Lw. geb. je - M. 2.50, in Halbperg. geb. M. 6.-- - -»H. hat eine ausgezeichnete Darstellung des Entwicklungsganges der -Malerei im letzten Jahrhundert gegeben. Meines Wissens gibt es in -der ganzen modernen Kunstgeschichtschreibung keine annähernd so -vortreffliche Darstellung des Wesens der Malerei seit 1860 bis zum -Einbruch des Naturalismus, als sie H. im 6. Kap. seines Werkes gibt. Es -ist ein Genuß, sich der meisterhaften Behandlung dieser Epoche ruhig -hinzugeben.« - - (+Preuß. Jahrb.+) - - - +Der Impressionismus.+ V. Prof. B. Lazar. Mit 1 farb. Tafel u. 32 - Abb. auf Tafeln. Geh. M. 1.--, geb. M. 1.25 - -Betrachtet Werden und Wesen des Impressionismus bis in die jüngste -Zeit, mit besonderer Betonung der geschichtlichen Entwicklung u. mit -Charakterisierung aller großen impressionistischen Maler der Neuzeit. - - - +Die künstlerische Photographie.+ Entwicklung, Probleme, - Bedeutung. V. ~Dr.~ W. Warstat. M. Bilderanh. Geh. M. 1.--, - geb. M. 1.25 - - - +Deutsche Kunsterziehung.+ Im Auftrage des Deutschen - Landesausschusses für den III. Internat. Kongreß zur - Förderung des Zeichen- und Kunstunterrichts veröffentl. Mit - Schülerzeichn. aus Preußen, Bayern, Sachsen u. Hamburg auf 16 - Taf. Ausstattung des Buches v. Prof. P. Behrens. Geh. M. 2.-- - -+Inhalt+: +L. Pallat+: Zeichenunterricht. +G. Kerschensteiner+: Die -Entwicklg. d. zeichner. Begabung. +P. Jessen+: Handarbeit u. Kunst. -+G. Pauli+: Das deutsche Bilderbuch. +P. Hermann+: Das Wandbild in der -Schule. +C. Götze+: Junge Kräfte. +A. Lichtwark+: Die Entwicklung der -deutschen Kunstmuseen. - - - +Die Erziehung d. Anschauung.+ Von Prof. H. E. Timerding. Mit 164 - Fig. Geh. M. 4.80, in Leinw. geb. M. 5.60 - - - +Wandtafel und Kreide+ im Elementarunterricht. Gedächtniszeichn. - m. erläut. Text von Lehrer Othmer. 25 bunte Taf. mit - Erläuterungsheft. In Mappe M. 6.50 - - - +Die Technik des Tafelzeichnens.+ Von ~Dr.~ Ernst Weber. 3. - Aufl. 40 teils farb. in Kreidetechnik gezeichn. Taf. nebst 1 - Erläuterungsheft m. 6 Illustr. In Mappe M. 6.-- - - - +Das darstellende u. schmückende Zeichnen in der Volksschule+ auf - der Grundlage der Arbeitsidee. Eine Lehrplanskizze von Lehrer - P. Wendler. Mit 9 Taf. (1 farb.) und 4 Abbildungen. Geh. M. 2.-- - - - +Technisches Zeichnen.+ Von Prof. Horstmann, Regierungs- u. - Gewerbeschulrat Geh. M. 1.--, geb. M. 1.25 - - - +Lebendiges Papier.+ Erfindgn. u. Entdeckung. ein. Knaben. Der - eig. Jugenderinner. nacherz. v. ~Dr.~ E. Weber. Mit 24 Taf. M. - 2.50 - - - +Bau und Leben der bildenden Kunst.+ Von ~Dr.~ Theodor Volbehr. - Mit 44 Abb. Geh. M. 1.--, in Leinw. geb. M. 1.25 - -»Im Gegensatz zu den Kompendien und Leitfaden alten Stils, die, -die ›Stile‹ nach ihren äußeren Merkmalen klassifizieren, sucht der -Verfasser von einem neuen Standpunkte aus in das Verständnis des Wesens -der bildenden Kunst hineinzuführen. In durchaus allgemeinverständlicher -Darstellung führt uns das Buch in das Verständnis der -Künstlerpersönlichkeit als des für die Kunst entscheidenden Faktors -ein. Die Entwicklung eigener Ansichten verleiht dem feinsinnigen Buche -hohen Reiz, so daß es auch der Künstler u. der Kunstgelehrte nicht ohne -Anteilnahme lesen wird.« - - (+Zeitschrift f. d. gewerbl. Unterricht.+) - - - +Die Entwicklungsgeschichte der Stile in der bildenden Kunst.+ - Von ~Dr.~ Ernst Cohn-Wiener Bd. I: Vom Altertum bis zur Gotik. - Mit 57 Abb. Bd. II: Von der Renaissance bis zur Gegenwart. Mit - 31 Abb. Geh. je M. 1.--, in Lw. geb. je M. 1.25 - -»... Ein feinsinniges, in hohem Grade anregendes Werk von ersichtlich -starker Selbständigkeit seines geistigen Gehaltes. Wir empfehlen Cohns -Darlegungen mit ihrem klaren, angenehmen Fluß d. Darstellung der -nachdenklichen Kenntnisnahme.« - - (+St. Galler Bl.+) - - - +Zur Architektur u. Plastik des früheren Mittelalters.+ - Untersuchungen v. ~Dr.~ G. Weise. M. Abb. [U. d. Pr.] - -Die hier vereinigten Einzeluntersuchungen wollen als Vorarbeiten zu -einer umfassenden Geschichte der Architektur und Plastik des früheren -Mittelalters neue Ergebnisse für die wichtigste Voraussetzung zur -Erkenntnis ihres Entwicklungsganges durch eine möglichst genaue -Datierung der erhaltenen Werke gewinnen und so für die karolingische -und merowingische Zeit eine Vermehrung dieses Materials liefern. In -drei Aufsätzen sind die Ergebnisse der von dem Verfasser in jüngster -Zeit an verschiedenen karolingischen Denkmälern durchgeführten -Grabungen niedergelegt. Eine Reihe kleinerer Aufsätze bringen den -Versuch, das heute der Forschung zugängliche Material an karolingischen -Denkmälern durch Rekonstruktion einzelner verschwundener Bauten auf -Grund der Quellennachrichten zu bereichern. - - - +Michelangelo.+ Eine Einführung in das Verständnis seiner Werke. - Von Prof. Ed. Hildebrand. Mit 1 Titelbild u. 43 Abb. i. Text. - Geh. M. 1.--, geb. M. 1.25 - -»Dies Buch dürfte zu den besten populären Werken über M. gehören. -In überzeugenden, klaren Worten behandelt der Verfasser das -übermenschliche Werk dieses großen Meisters, sein Leben und sein -Wirken. Bücher wie diese sind dazu geschaffen, tieferes Interesse -an der Kunst zu erzeugen, zur Veredelung d. Masse im besten Sinne -beizutragen.« - - (+Der Architekt.+) - - - +Deutsche Baukunst+. Von Geh. Reg.-Rat Prof. ~Dr.~ Ad. Matthaei. - 3 Bände. Bd I: Deutsche Baukunst im Mittelalter. 3. Aufl. Mit - 29 Abb. Bd. II: Deutsche Baukunst seit dem Mittelalter bis zum - Ausgang des 18. Jahrhunderts. Mit 62 Abb. und 3 Tafeln. Bd. - III: Deutsche Baukunst im 19. Jahrhundert und in der Gegenwart. - Mit 35 Abb. Geh. je M. 1.--, geb. je M. 1.25, in 1 Bd. geb. M. - 3.75 - -»... In bündiger, überaus verständlicher Sprache entrollt der Verfasser -die Entwicklungsgeschichte der deutschen Baukunst. Das Buch ist so -recht geeignet, das zu erfüllen, was der Verfasser am Schlusse des -Buches als Zweck desselben ausspricht: ›Den Laien Klarheit schaffen -über die Fragen der Baukunst und die Künstler auf jene Zeit hinweisen, -in der die Baukunst der Ausdruck deutschen Wesens war, und in denen -noch manche entwicklungsfähigen Keime ruhen dürften‹.« - - (+Kunst und Handwerk.+) - - - +Die Entwicklungsphasen der neueren Baukunst.+ Von ~Dr.~ Paul - Frankl. Mit 50 Abb. im Text u. 24 Abb. auf Tafeln. Geh. M. - 6.--, geb. M. 7.50 - -+Inhalt+: Problem u. Methode. Die Entwicklungsphasen der Raumform --- der Körperform -- der Bildform -- der Zweckgesinnung. Das -Unterscheidende und das Gemeinsame der vier Phasen. - -Das Problem, die Architekturstile seit der Renaissance streng zu -definieren, wird hier von neuem aufgenommen. Die Methode ist die, daß -die vier Elemente der Architektur, Raumform, Körperform, Bildform und -Zweckgesinnung, für sich untersucht werden und die Stilmerkmale, die -für jede der Stilphasen, Renaissance, Barock, Rokoko und Klassizismus, -als die entscheidenden gelten sollen, auf die allgemeinste Formulierung -gebracht werden. Der gemeinsame Grundzug der ganzen Periode ist -die Beziehung zur Antike zunächst und daraus folgend zu einem die -Kunst verwissenschaftlichenden Begriff von Richtigkeit, der zuletzt -sich ausweitet zu einem Nebeneinander und Nacheinander anerkannter -Stilrichtigkeiten im 19. Jahrhundert. - - - +Die Begründung der modernen Ästhetik und Kunstwissenschaft durch - Leon Battista Alberti.+ Eine kritische Darstellung als Beitrag - zur Grundlegung der Kunstwissenschaft. Von ~Dr.~ W. Flemming. - [Unter der Presse.] - -Muß Galilei der Begründer der modernen Naturwissenschaft genannt -werden, so darf sein etwas älterer Zeitgenosse L. B. Alberti der -Vater der modernen Kunstwissenschaft heißen. Bedeutungsvoller noch -als seine Einzelergebnisse ist seine Methode. Diese herauszuarbeiten, -ihre Fruchtbarkeit zu erweisen und also den Weg des Florentiners -weiterzuschreiten, ist das Ziel dieser Darstellung. - - - +Planimetrie zum Selbstunterricht.+ Von Prof. P. Crantz. Mit 99 - Fig. Geh. M. 1.--, geb. M. 1.25 - -Macht, ohne auf wissenschaftliche Strenge zu verzichten, in einfacher -und allgemein verständlicher Darstellung, die durch historische -Bemerkungen belebt wird, mit den Grundlehren der ebenen Geometrie -vertraut, wobei besonders der Zusammenhang der einzelnen Sätze und ihr -Nutzen durch Angabe praktischer Anwendungen hervorgehoben wird und -reichliche Übungsaufgaben nebst Lösungen beigegeben sind. - - - +Arithmetik und Algebra zum Selbstunterricht.+ V. Prof. P. - Crantz. 2 Bde. I. Teil: Die Rechnungsarten. Gleichungen - ersten Grades mit einer u. mehreren Unbekannten. Gleichungen - zweiten Grades. Mit 9 Fig. 3. Aufl. II. Teil: Gleichungen. - Arithmetische u. geometrische Reihen. Zinseszins- u. - Rentenrechnung. Komplexe Zahlen. Binomischer Lehrsatz. Mit 21 - Fig. 2. Aufl. Jeder Bd. geh. M. 1.--, geb. M. 1.25 - -... Will in leicht faßlicher u. für das Selbststudium geeigneter -Darstellg. über d. Anfangsgründe der Arithmetik u. Algebra unterrichten. - - - +Ebene Trigonometrie z. Selbstunterricht.+ Von Prof. P. Crantz. - Mit 50 Fig. Geh. M. 1.--, geb. M. 1.25 - -Will wie die andern in der Sammlung »Aus Natur und Geisteswelt« -erschienenen Bändchen über Arithmetik und Algebra und die Planimetrie -in leicht verständlicher Weise mit den Grundlehren der Trigonometrie -bekannt machen. +Vollständig gelöste Aufgaben und praktische -Anwendungen+ sind zur Erläuterung eingefügt. - - - +Analytische Geometrie zum Selbstunterricht.+ V. Prof. P. Crantz. - Mit 55 Fig. Geh. M. 1.--, geb. M. 1.25 - -Die für den Selbstunterricht bestimmte leicht verständliche Darstellung -führt namentlich durch Beigabe zahlreicher ausführlich gelöster -Aufgaben rasch zu völliger Beherrschung des Stoffes. - - - +Einführung in die projektive Geometrie.+ Von Prof. ~Dr.~ M. - Zacharias. Mit 18 Fig. Kart. M. --.80 - -»Der Leser bekommt ein klares Bild von der Entstehung der projektiven -Geometrie, er kann verfolgen, wie sie sich allmählich zur ›Geometrie -der Lage‹ entwickelt hat. Mühelos lernt er eine Reihe der wichtigsten -Lehrsätze in diesem Gebiete kennen und sieht, welche Aufgaben mit -Hilfe dieser Sätze gelöst werden können. Gute, in den Text eingereihte -Figuren unterstützen im hohen Maße das Verständnis der theoretischen -Ausführungen. Wir können die Schrift bestens empfehlen.« - - (+Wochenschr. f. d. öffentl. Baudienst.+) - - - +Konstruktionen in begrenzter Ebene.+ Von Direktor P. Zühlke. Mit - 65 Fig. Kart. M. --.80 - -»Selbst erfahrene Fachmänner auf diesem Gebiete werden gewiß Neues -finden, so die Hinweise auf die ältesten, bei den Aufgaben in Frage -kommenden Fachschriften und einige Konstruktionen, die überhaupt -noch nicht veröffentlicht worden sind ... Druck und Ausstattung sind -tadellos. Es kann Interessenten wärmstens empfohlen werden.« - - (+Österr. Zeitschr. f. Vermessungswes.+) - - - +Schattenkonstruktionen+ für den Gebrauch an Baugewerkschulen, - Gewerbeschulen u. ähnl. Lehranstalten sowie zum Selbstunter. - von Baugewerkschullehrer J. Hempel. Mit 51 Fig. u. 20 Tafeln - praktischer Beispiele in Lichtdruck. In Leinw. geb. M. 5.-- - -Von d. Voraussetzung ausgehend, daß allein ein klares Erfassen des -Raumvorgangs den prakt. Zeichner zum sicheren Konstruieren befähigen -kann, gibt der Verfasser nach einem einleitenden Text mit zahlr. -Übungsbeispielen kurze Erläuterungen d. angewandten Lösungsverfahren. --- Den parallelprojektiven Schattenkonstruktionen ist noch eine -kleinere Gruppe perspektivischer Schattenkonstruktionen angefügt. - - - +Das Licht u. die Farben.+ 6 Vorles., geh. im - Volkshochschulverein München. Von Prof. ~Dr.~ L. Graetz. 3. - Aufl. Mit 117 Abb. Geh. M. 1.--, in Leinwand geb. M. 1.25 - -Führt, von den einfachsten optischen Erscheinungen ausgehend, zur -tieferen Einsicht in die Natur des Lichtes u. der Farben, behandelt, -ausgehend v. der scheinbar geradlinigen Ausbreitung, Zurückwerfung und -Brechung des Lichtes, das Wesen der Farben, die Beugungserscheinungen -und die Photographie. - - - +Die optischen Instrumente.+ Von ~Dr.~ M. von Rohr. 2., verm. u. - verb. Aufl. Mit 88 Abb. Geh. M. 1.--, geb. M. 1.25 - -»Wer die Schwierigkeiten u. den Umfang der Abbeschen Theorie der -optischen Instrumente kennt, wird der vortrefflichen allgemein -verständlichen Darstellung seine Anerkennung nicht versagen können. -Jedem, der sich über den jetzigen Stand oder irgendeine Frage der -Optotechnik rasch belehren will, kann das Buch wärmstens empfohlen -werden.« - - (+Streffleurs militär. Zeitschrift.+) - - - +Das Stereoskop und seine Anwendungen.+ Von Prof. Th. Hartwig. - Mit 40 Abb. im Text u. 19 stereoskop. Taf. Geh. M. 1.--, geb. - M. 1.25 - -Behandelt die verschiedenen Erscheinungen u. praktischen -Anwendungen der Stereoskopie, insbesondere die stereoskopischen -Himmelsphotographien, die stereoskopische Darstellung mikroskopischer -Objekte, das Stereoskop als Meßinstrument und Bedeutung und Anwendung -des Stereokomparators, insbesondere in bezug auf photogrammetrische -Messungen. - - -Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin - - - - - Weitere Anmerkungen zur Transkription - - - Der Katalog »Aus Natur und Geisteswelt« wurde entfernt, er - steht auf Project Gutenberg als Projekt 53614 zur Verfügung. - - Offensichtliche Fehler wurden stillschweigend korrigiert. - - Korrekturen: - - S. 36: D_{1} → D_{2} - ~AD_{3}~ = ~AD_{1}~ = ~A{D_{2}}~ - - S. 99: o → O - um das Auge _{O}_ eine Kugel - - - - - -End of the Project Gutenberg EBook of Grundzüge der Perspektive nebs - Anwendungen, by Karl Doehlemann - -*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK GRUNDZÜGE DER PERSPEKTIVE *** - -***** This file should be named 55791-0.txt or 55791-0.zip ***** -This and all associated files of various formats will be found in: - http://www.gutenberg.org/5/5/7/9/55791/ - -Produced by The Online Distributed Proofreading Team at -http://www.pgdp.net - - -Updated editions will replace the previous one--the old editions will -be renamed. - -Creating the works from print editions not protected by U.S. copyright -law means that no one owns a United States copyright in these works, -so the Foundation (and you!) can copy and distribute it in the United -States without permission and without paying copyright -royalties. 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