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| author | Roger Frank <rfrank@pglaf.org> | 2025-10-14 20:11:38 -0700 |
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You may copy it, give it away or % +% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included % +% with this eBook or online at www.gutenberg.net % +% % +% % +% Title: Zahlentheorie % +% % +% Author: Kurt Hensel % +% % +% Release Date: February 26, 2012 [EBook #38986] % +% Most recently updated: June 11, 2021 % +% % +% Language: German % +% % +% Character set encoding: UTF-8 % +% % +% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ZAHLENTHEORIE *** % +% % +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % + +\def\ebook{38986} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%% %% +%% Packages and substitutions: %% +%% %% +%% book: Required. %% +%% inputenc: Standard DP encoding. Required. %% +%% fontenc: T1 Font encoding. Required. %% +%% babel: German language features. Required. %% +%% %% +%% ifthen: Logical conditionals. Required. %% +%% %% +%% amsmath: AMS mathematics enhancements. 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Alle Änderungen sind in der + \LaTeX-Sourcedatei aufgeführt, die heruntergeladen werden kann von + \begin{center} + \texttt{www.gutenberg.org/ebooks/\ebook}. + \end{center} + + Seitenzahlen im Text können um Eins zu niedrig sein. + \bigskip +} + +\newcommand{\TransNoteText}{% + \TransNoteCommon + + Diese PDF-Datei wurde für die Anzeige auf einem Bildschirm + optimiert, kann bei Bedarf aber leicht für den Druck angepasst + werden. Anweisungen dazu finden Sie am Anfang des + \LaTeX-Quelltextes. +} +%% Re-set if ForPrinting=true +\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{% + \renewcommand{\ChapterSpace}{\vspace*{1in}} + \renewcommand{\Margins}{hmarginratio=2:3} % Asymmetric margins + \renewcommand{\HLinkColor}{black} % Hyperlink color + \renewcommand{\PDFPageLayout}{TwoPageRight} + \renewcommand{\TransNoteText}{% + \TransNoteCommon + + Diese PDF-Datei wurde für den Druck optimiert, kann bei Bedarf + aber leicht für den Bildschirm angepasst werden. Anweisungen dazu + finden Sie am Anfang des \LaTeX-Quelltextes. + } +}{% If ForPrinting=false, don't skip to recto + \renewcommand{\cleardoublepage}{\clearpage} +} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%%%% End of PRINTING/SCREEN VIEWING code; back to packages %%%% +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{% + \setlength{\paperwidth}{8.5in}% + \setlength{\paperheight}{11in}% + \usepackage[body={5in,9in},\Margins]{geometry}[2002/07/08] +}{% + \setlength{\paperwidth}{5.25in}% + \setlength{\paperheight}{7in}% + \usepackage[body={5in,6in},\Margins,includeheadfoot]{geometry}[2002/07/08] +} + +\providecommand{\ebook}{00000} +\usepackage[pdftex, + hyperfootnotes=false, + pdftitle={The Project Gutenberg eBook \#\ebook: Zahlentheorie}, + pdfauthor={Kurt Hensel}, + pdfkeywords={Andrew D. Hwang, R. Stefan, Joshua Hutchinson, + Project Gutenberg Online Distributed Proofreading Team, + Cornell University Library: Historical Mathematics + Monographs collection}, + pdfstartview=Fit, % default value + pdfstartpage=1, % default value + pdfpagemode=UseNone, % default value + bookmarks=true, % default value + linktocpage=false, % default value + pdfpagelayout=\PDFPageLayout, + pdfdisplaydoctitle, + pdfpagelabels=true, + bookmarksopen=true, + bookmarksopenlevel=1, + colorlinks=true, + linkcolor=\HLinkColor]{hyperref}[2007/02/07] + +%%%% Fixed-width environment to format PG boilerplate %%%% +\newenvironment{PGtext}{% +\begin{alltt} +\fontsize{9.2}{10.5}\ttfamily\selectfont}% +{\end{alltt}} + +%%%% Global style parameters %%%% +\newlength{\ParIndent} +\setlength{\ParIndent}{2em} %** Should not be changed. Affects ToC. +\setlength{\parindent}{\ParIndent} + +% No hrule in page header +\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} +\setlength{\headheight}{15pt} + +\renewcommand{\arraycolsep}{0pt} +\widowpenalty=3000 + +% Loosen horizontal spacing +\setlength{\emergencystretch}{1.5em} + +% Local spacing coercion +\newcommand{\Loosen}{\spaceskip 0.375em plus 0.75em minus 0.25em} + +% Add parenthesis to footnote marker +\makeatletter +\renewcommand\@makefnmark% + {\mbox{\,\upshape\@textsuperscript{\normalfont\@thefnmark})}} + +\renewcommand\@makefntext[1]% + {\noindent\makebox[2.4em][r]{\@makefnmark\,}#1} +\makeatother + +% "Scratch pad" for length calculations +\newlength{\TmpLen} + +%% Parametrized vertical space %% +\newcommand{\Strut}[1][12pt]{\rule{0pt}{#1}} + +%%%% Corrections, modernizations, and in-line transcriber's notes %%%% +% Errors in the book's "Druckfehler" +\newcommand{\Errata}[2]{#2} + +% Corrections found during digitization +\newcommand{\DPtypo}[2]{#2} + +% Shorthand for missing punctuation, etc. +\newcommand{\Add}[1]{\DPchg{}{#1}} + +\ifthenelse{\boolean{Modernize}}{% + % Stylistic changes + \newcommand{\DPchg}[2]{#2} + + \newcommand{\Ord}[2]{#1\textsuperscript{#2}} + \newcommand{\Ordsup}[2]{#1\textsuperscript{#2}} +}{% Else Modernize = false + \newcommand{\DPchg}[2]{#1}% Discard changes made for stylistic uniformity + + \newcommand{\Ord}[2]{#1#2}% Ordinals not uniformly superscripted in the orig. + \newcommand{\Ordsup}[2]{#1\textsuperscript{#2}} +} + +%%%% Running heads %%%% +\newcommand{\FlushRunningHeads}{% + \clearpage + \fancyhf{} + \cleardoublepage + \thispagestyle{empty} + + \ifthenelse{\boolean{ForPrinting}} + {\fancyhead[RO,LE]{\thepage}} + {\fancyhead[R]{\thepage}} +} + +\newcommand{\SetCenterHeads}[1]{\fancyhead[C]{{#1}}} + +\newcommand{\BookMark}[2]{\phantomsection\pdfbookmark[#1]{#2}{#2}} + +%%%% Major document divisions %%%% +\newcommand{\FrontMatter}{% + \cleardoublepage + \frontmatter + \BookMark{-1}{Anfang.} +} +\newcommand{\PGBoilerPlate}{% 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\renewcommand{\ToCAnchor}{\pageref{toc:#1}}% + \parbox{\textwidth}{\scriptsize\hfill Seite}\\% + }{}% +} + +%% ToC formatting +\AtBeginDocument{% + \renewcommand{\contentsname}{% + \protect\thispagestyle{empty}% + \protect\TitleHead{Inhaltsverzeichnis.} + \protect\SetCenterHeads{Inhaltsverzeichnis.} + \protect\vspace{-1.5\baselineskip} + \protect\BookMark{0}{Inhaltsverzeichnis.} + } +} + +%\ToCChap{1}{Erstes Kapitel.}{Die elementaren...} +\newcommand{\ToCChap}[3]{% + \subsection*{\centering\normalfont\small \so{#2}} + \SeiteLine{#1}% + \noindent\parbox[b]{\textwidth-\ParIndent}{\Strut\small\hangindent3em% + \bfseries#3\dotfill}\ToCPage[\textbf]{chap:#1}% +} + +% \ToCSect{chap.sect}{\S 1.}{Gogenstand...} +\newcommand{\ToCSect}[3]{% + \SeiteLine{#1}% + \settowidth{\TmpLen}{\qquad#2\ }% + \parbox[b]{\textwidth-\ParIndent}{\Strut\small\hangindent\TmpLen% + \makebox[\TmpLen][l]{\qquad#2}#3\dotfill}\ToCPage{sect:#1}% +} + +% \ToCMisc{anchorname}{Title} +\newcommand{\ToCMisc}[2]{% + \SeiteLine{#1}% + \noindent\parbox[b]{\textwidth-\ParIndent}{\Strut\small\hangindent3em% + \bfseries#2\dotfill}\ToCPage{#1}% +} + +% Page numbers +\newcommand{\ToCPage}[2][]{\makebox[\ParIndent][r]{\small#1{\pageref{#2}}}} + +%% Index formatting +\makeindex +\makeatletter +\renewcommand{\@idxitem}{\par\hangindent 30\p@\global\let\idxbrk\nobreak} +\renewcommand\subitem{\idxbrk\@idxitem \hspace*{12\p@}\let\idxbrk\relax} +\renewcommand{\indexspace}{\par\penalty-3000 \vskip 10pt plus5pt minus3pt\relax} + +\renewenvironment{theindex}{% + \setlength\columnseprule{0.5pt}\setlength\columnsep{18pt}% + \PageLabel[]{sachregister} + \addtocontents{toc}{\protect\medskip} + \addtocontents{toc}{\protect\ToCMisc{sachregister}{Sachregister.}} + \FlushRunningHeads + \SetCenterHeads{Sachregister.} + \BookMark{0}{Sachregister.} + \begin{multicols}{2}[\TitleHead{Sachregister.}\small]% ** N.B. font size + \setlength\parindent{0pt}\setlength\parskip{0pt plus 0.3pt}% + \thispagestyle{empty}\let\item\@idxitem\raggedright% + }{% + \end{multicols}\FlushRunningHeads +} +\makeatother + +%%%% Document Sectioning %%%% +% Used by Vorrede, Inhalsverzeichnis, Sachregister +\newcommand{\TitleHead}[1]{\subsection*{\Large\centering #1}} + +\newcommand{\Vorrede}{% + \FlushRunningHeads + \pagestyle{fancy} + \PageLabel[]{vorrede}% + \addtocontents{toc}{\protect\ToCMisc{vorrede}{Vorrede.}} + \BookMark{0}{Vorrede.} + \SetCenterHeads{Vorrede.} + \ChapterSpace + \TitleHead{\centering Vorrede.} +} + +% \Chapter{Number}{Heading title} +\newcommand{\Chapter}[2]{% + \FlushRunningHeads + \stepcounter{ChapNo}% + \PageLabel[chap]{\theChapNo} + \addtocontents{toc}{\protect\ToCChap{\theChapNo}{#1}{#2}}% + \BookMark{0}{#1}% + \thispagestyle{empty} + \SetCenterHeads{#1} + \ChapterSpace + \section*{\centering\normalfont\large #1} + \subsection*{\centering\Large #2} +} + +\newcommand{\Section}[2]{% + \subsection*{\centering\normalsize #1\quad #2} + \stepcounter{SectNo}% + \PageLabel[sect]{\theChapNo.\theSectNo} + \addtocontents{toc}{\protect\ToCSect{\theChapNo.\theSectNo}{#1}{#2}}% +} + +\newcommand{\Axiom}[2]{\medskip\Item{#1} \normalfont\textit{#2}} + +%%%% Other semantic units %%%% +\newboolean{InEnv} +% Template for definitions, theorems, examples +\newenvironment{MyEnvt}[2]{% + \begin{list}{}{% + \setlength{\leftmargin}{#2}% + \setlength{\itemindent}{\ParIndent}% + \setlength{\listparindent}{\ParIndent}% + \setlength{\topsep}{4pt plus 8pt}% + \setboolean{InEnv}{true}}\item#1\ignorespaces% + }{% + \setboolean{InEnv}{false}\end{list}} + +% Document-level environments +\newenvironment{Definition}[1][]{\begin{MyEnvt}{#1}{\ParIndent}}{\end{MyEnvt}} +\newenvironment{Theorem}[1][]{\begin{MyEnvt}{#1}{\ParIndent}}{\end{MyEnvt}} + +\newenvironment{Examples}{\begin{MyEnvt}{}{0pt}}{\end{MyEnvt}} + +\newenvironment{Enum}{% + \begin{list}{}{% + \setlength{\leftmargin}{2\ParIndent}% + \setlength{\itemindent}{-\ParIndent}% + \setlength{\labelsep}{\ParIndent}% + \setlength{\listparindent}{\ParIndent}% + \setlength{\topsep}{4pt plus 8pt}% + \setboolean{InEnv}{true}\Reitemize}\ignorespaces% + }{% + \setboolean{InEnv}{false}\Deitemize\end{list}} + +\newcommand{\Signature}[2]{% + \medskip + \hspace*{0.5\ParIndent}#1 \\ + \null\hfill\textbf{#2}\hspace*{0.5\ParIndent} +} + +% \Item behaves different inside an Enum environment than outside +\newcommand{\Reitemize}{\let\OldItem=\Item\let\Item=\item} +\newcommand{\Deitemize}{\let\Item=\OldItem} + +\newcommand{\Item}[1]{\ensuremath{\mathrm{#1}}} +\newcommand{\Iref}[1]{\ensuremath{\mathrm{#1}}} + +% Authors' names +\newcommand{\Name}[1]{\textit{#1}} + +%%%% Cross-referencing %%%% +% Original page separators +\newcommand{\PageSep}[2]{% + \ifthenelse{\not\equal{#2}{}}{\PageLabel{#2}}{}\ignorespaces% +} + +%% Anchors +\newcommand{\PageLabel}[2][page]{\phantomsection% + \ifthenelse{\equal{#1}{}}{\label{#2}}{\label{#1:#2}}% +} + +% Code stub; cross-referencing eqn numbers not feasible +\newcommand{\Tag}[1]{% + \ifthenelse{\boolean{InEnv}}{% + \tag*{\ensuremath{\mathrm{#1}}}% + }{% + \tag*{\hspace*{\ParIndent}\ensuremath{\mathrm{#1}}}% + }% +} + +\newcommand{\MarginTag}[2][0pt]{% + \llap{\raisebox{#1}{\ensuremath{\mathrm{#2}}}} +} + +\newenvironment{Conditions}{\scriptstyle\fontsize{8}{8}\selectfont}{} + +%% Links +\newcommand{\Seite}[2][S.]{\hyperref[page:#2]{#1~\pageref*{page:#2}}} +\newcommand{\aSeite}[1]{\hyperref[page:#1]{a.\;S.~\pageref*{page:#1}}} + +% Code stub; no hyperlinking +\newcommand{\Eq}[1]{\ensuremath{\mathrm{#1}}} + +%%%% Typographical conveniences %%%% +\newcommand{\aaO}{a.\;a.\;O.} +\renewcommand{\dh}{d.\;h.} +\newcommand{\ndV}{n.\;d.\;V.} +\newcommand{\sg}{s.\;g.} +\newcommand{\ua}{u.\;a.} + +\newcommand{\wzbw}[1]{% + \ifthenelse{\equal{#1}{.}}{% + w.\;z.\;b.\;w.% + }{% + w.\;z.\;b.\;w.#1% + } +} + +\newcommand{\dbrk}{\displaybreak[1] \\} + +\newcommand{\zB}{z.\;B.} +\newcommand{\ZB}{Z.\;B.} +\newcommand{\zT}{z.\;T.} + +\DeclareMathOperator{\ilg}{\mathit{lg}} +\DeclareMathOperator{\Ind}{Ind.\,} +\renewcommand{\mod}{\text{mod}} +\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn} + +% Mathematical redefinitions +\renewcommand{\bar}[2][D]{\kern1pt\overline{\vphantom{#1}\kern-1pt#2}\kern2pt} +\newcommand{\ubar}[2][D]{\kern1pt\underline{\vphantom{#1}\kern-1pt#2}\kern2pt} + +\let\oldprod=\prod +\renewcommand{\prod}{\mathop{\textstyle\oldprod}\limits} +\let\oldsum=\sum +\renewcommand{\sum}{\mathop{\textstyle\oldsum}\limits} + +\newcommand{\MathOrd}[1]{#1} +\newcommand{\efrac}[2]{\tfrac{#1}{#2}} + +\newcommand{\frakc}{\mathfrak{c}} +\newcommand{\frakf}{\mathfrak{f}} +\newcommand{\frakx}{\mathfrak{x}} + +\newcommand{\frakA}{\mathfrak{A}} +\newcommand{\frakB}{\mathfrak{B}} +\newcommand{\frakC}{\mathfrak{C}} +\newcommand{\frakE}{\mathfrak{E}} +\newcommand{\frakL}{\mathfrak{L}} +\newcommand{\frakP}{\mathfrak{P}} + +\newcommand{\Congr}[2]{\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{#1}{#2}} + +% \PadTo[#1]{#2}{#3} sets #3 in a box of width #2, aligned at #1 (default [c]) +\newcommand{\PadTxt}[3][c]{% + \settowidth{\TmpLen}{\text{#2}}% + \makebox[\TmpLen][#1]{#3}% +} +\newcommand{\PadTo}[3][c]{% + \settowidth{\TmpLen}{\ensuremath{#2}}% + \makebox[\TmpLen][#1]{\ensuremath{#3}}% +} + +\newcommand{\Ditto}[1]{\PadTxt{#1}{,,}} + +\newcommand{\ColHead}[1]{\multicolumn{1}{c}{\text{#1}\Strut}} +\newcommand{\ColHeadB}[1]{\multicolumn{1}{c|}{\text{#1}\Strut}} + +\newcommand{\DotRow}[1]{\multispan{#1}{\dotfill}} + +\newcommand{\Z}{\phantom{0}} +\newcommand{\SmDigit}[1]{\PadTo{0}{\scriptstyle #1}} + +\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} +\renewcommand{\kappa}{\varkappa} +\renewcommand{\phi}{\varphi} +\renewcommand{\rho}{\varrho} + +\DeclareUnicodeCharacter{00A3}{\pounds} +\DeclareInputText{183}{\ensuremath{\cdot}} + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% START OF DOCUMENT %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\begin{document} +\FrontMatter +%%%% PG BOILERPLATE %%%% +\PGBoilerPlate +\begin{center} +\begin{minipage}{\textwidth} +\small +\begin{PGtext} +The Project Gutenberg EBook of Zahlentheorie, by Kurt Hensel + +This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with +almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or +re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included +with this eBook or online at www.gutenberg.net + + +Title: Zahlentheorie + +Author: Kurt Hensel + +Release Date: February 26, 2012 [EBook #38986] +Most recently updated: June 11, 2021 + +Language: German + +Character set encoding: UTF-8 + +*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ZAHLENTHEORIE *** +\end{PGtext} +\end{minipage} +\end{center} +\clearpage + +%%%% Credits and transcriber's note %%%% +\begin{center} +\begin{minipage}{\textwidth} +\begin{PGtext} +Produced by Andrew D. Hwang, R. S., Joshua Hutchinson, and +the Online Distributed Proofreading Team at +http://www.pgdp.net (This file was produced from images +from the Cornell University Library: Historical Mathematics +Monographs collection.) +\end{PGtext} +\end{minipage} +\vfill +\TranscribersNote{\TransNoteText} +\end{center} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FRONT MATTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\PageSep{001}{} +\iffalse +Production Note + +Cornell University Library +produced this volume to replace +the irreparably deteriorated +original. It was scanned using +Xerox Software and equipment at +600 dots per inch resolution +and compressed prior to storage +using CCITT Group 4 +compression. The digital data +were used to create Cornell's +replacement volume on paper +that meets the ANSI Standard +Z39.48-1984. The production of +this volume was supported in +part by the Commission on +Preservation and Access and the +Xerox Corporation. 1991. +\fi +\PageSep{002}{} +% [Blank Page] +\PageSep{003}{} +% [Library stamp] +\iffalse +Cornell University Library +BOUGHT WITH THE INCOME +FROM THE +SAGE ENDOWMENT FUND +THE GIFT OF +Henry W. Sage +1891 +\fi +\PageSep{004}{} +% [Blank Page] +\PageSep{005}{I} +\cleardoublepage +\pagenumbering{Roman} +\null\vfill +\begin{center} +\textbf{\Large Meiner lieben Frau gewidmet} +\end{center} +\vfill +\PageSep{006}{II} +% [Blank Page] +\PageSep{007}{III} +\cleardoublepage +\begin{center} +\textbf{\MyHuge Zahlentheorie} +\vfil\vfil +\Large Von +\vfil +\textbf{\Huge Dr.\ Kurt Hensel} \\ +\footnotesize o. ö. Professor der Mathematik an \\ +der Universität Marburg +\vfil\vfil\vfil +% [Illustration: Publisher's device: GJG 1785] +\vfil +\Large Berlin und Leipzig \\ +\normalsize G.~J. Göschen'sche Verlagshandlung G.m.b.H. \\ +1913 +\end{center} +\PageSep{008}{IV} +% [Blank Page] +\PageSep{009}{V} + + +\Vorrede + +%[** TN: Drop-cap] +Als die Aufgabe der elementaren Zahlentheorie kann die Aufsuchung +der Beziehungen bezeichnet werden, welche zwischen allen +rationalen ganzen oder gebrochenen Zahlen~$m$ einerseits und einer +beliebig angenommenen festen Grundzahl~$g$ andererseits bestehen. +Man kann dieser Aufgabe in ihrem weitesten Umfange dadurch +genügen, daß man alle diese Zahlen~$m$ in unendliche Reihen +\[ +m = a_{0} + a_{1} g + a_{2} g^{2} + \dots +\] +entwickelt, welche nach ganzen Potenzen dieser Grundzahl fortschreiten. +Nur durch die Betrachtung dieser vollständigen Reihen +erhält man eine vollkommene Lösung unserer Aufgabe; beschränkt +man sich dagegen auf gewisse Anfangsglieder derselben, wie dies +gewöhnlich in der Zahlentheorie geschieht, so erhält man angenäherte +Resultate, welche für bestimmte Zwecke natürlich von großem Werte +sein werden. Niemals aber können durch solche Annäherungen die +Beziehungen der zu untersuchenden Zahlen~$m$ zu der Grundzahl~$g$ +vollständig und genau ergründet werden. + +Aus diesem Grunde habe ich in dem vorliegenden Werke die +Untersuchung der Zahlgrößen +\[ +A = a_{0} + a_{1} g + a_{2} g^{2} + \dots, +\] +welche ich \so{$g$-adische Zahlen} nenne, mit Vorbedacht in den Vordergrund +der Betrachtung gestellt. Für sie kann der Begriff der Gleichheit +so definiert werden, daß jede rationale Zahl~$m$ einer einzigen +$g$-adischen Zahl gleich ist, welche stets beliebig genau berechnet +werden kann, \dh\ so weit, als es der Zweck der betreffenden Untersuchung +erfordert. Ebenso läßt sich die Addition und die Multiplikation +der $g$-adischen Zahlen so definieren, daß die Summe oder +\PageSep{010}{VI} +das Produkt beliebiger rationaler Zahlen der Summe oder dem +Produkte der ihnen gleichen $g$-adischen Zahlen gleich wird. + +Man erkennt dann leicht, daß diejenigen unter diesen $g$-adischen +Zahlen, welche rationalen Zahlen gleich sind, nur einen Teilbereich +von allen $g$-adischen Zahlen bilden. Und zwar steht das größere +Reich aller $g$-adischen Zahlen zu demjenigen aller rationalen Zahlen +in genau derselben Beziehung, wie bei der Untersuchung der reellen +Zahlen nach ihrer Größe der Bereich aller rationalen und irrationalen +Zahlen zu demjenigen der rationalen Zahlen. Auch hier können +nämlich die allgemeinen $g$-adischen Zahlen als Größen definiert werden, +welche zwar nicht selbst rationalen Zahlen gleich zu sein brauchen, +welche aber mit jeder vorgegebenen Genauigkeit durch rationale +Zahlen approximiert werden können. Und ebenso, wie die eingehende +Untersuchung aller rationalen Zahlen nach ihrer Größe erst bei +Hinzunahme der irrationalen Zahlen begrifflich und tatsächlich einfach +wird, so ergibt die Betrachtung aller rationalen Zahlen in +bezug auf eine Grundzahl~$g$ erst bei der Adjunktion aller $g$-adischen +Zahlen einheitliche und allgemeine Resultate. + +Die Durchführung dieser Untersuchung ergibt nun höchst einfach +das interessante Resultat, daß alle $g$-adischen Zahlen einen +sog.\ \so{Zahlenring} bilden, daß ihr Bereich nämlich so ausgedehnt +und dabei so in sich abgeschlossen ist, daß in ihm die Operationen +der Addition, Subtraktion und Multiplikation unbeschränkt und eindeutig +in der Weise ausführbar sind, daß sie immer wieder zu +$g$-adischen Zahlen führen. Dagegen ist die vierte elementare Rechenoperation, +die Division, nur in dem einfachsten Falle ebenfalls immer +eindeutig ausführbar, wenn die Grundzahl~$g$ eine Primzahl~$p$ ist; +nur dann bilden also alle $p$-adischen Zahlen +\[ +a_{0} + a_{1} p + a_{2} p^{2} + \dots +\] +zusammengenommen einen sog.\ \so{Zahlkörper}, in welchem alle vier +elementaren Rechenoperationen stets ausgeführt werden können. + +In jedem Körper sind nun die elementaren Rechengesetze +genau ebenso anwendbar und richtig wie \zB\ in dem speziellen +Körper aller rationalen Brüche oder in demjenigen aller reellen +rationalen und irrationalen Zahlen. In einem Ringe dagegen gelten +wichtige Sätze nicht, besonders der Satz, daß ein Produkt nur dann +\PageSep{011}{VII} +Null sein kann, wenn einer seiner Faktoren gleich Null ist. Es ist +deshalb ein Resultat von fundamentaler Bedeutung für die hier auseinandergesetzte +Zahlentheorie, daß sich jeder Ring von $g$-adischen +Zahlen auf die einfachste Weise aus denjenigen Körpern der $p$-adischen, +$q$-adischen,~\dots\ $r$-adischen Zahlen zusammensetzen läßt, deren +Grundzahlen $p$,~$q$, \dots\ $r$ die sämtlichen Primteiler von~$g$ sind. Damit +sind alle Fragen der Zahlenlehre, welche sich auf zusammengesetzte +Grundzahlen beziehen, vollständig und wunderbar einfach auf dieselben +Fragen für Primzahlen zurückgeführt, und die ganze Zahlentheorie +reduziert sich jetzt auf die Untersuchung eines beliebigen Körpers +von $p$-adischen Zahlen. + +Es verdient hervorgehoben zu werden, daß die Untersuchung +dieser Zahlringe und ihre Reduktion auf die zugehörigen Zahlkörper +die einzige Aufgabe ist, welche die gesamte Zahlentheorie, sowohl +die hier behandelte elementare, als auch die höhere Theorie der +algebraischen Zahlen darbietet. In der Tat sind auch in dieser +letzten Theorie nur genau so wie hier gebildete Ringe $g$-adischer +Zahlen zu untersuchen, und die sonst einzuführende Theorie der +idealen Primfaktoren wird hier ersetzt durch die Zerlegung eines +solchen Ringes in die ihn zusammensetzenden Körper, eine Aufgabe, +welche schon in diesem Buche vollständig gelöst wird. Bei dieser +Auffassung treten also in der höheren Theorie der algebraischen +Zahlen absolut keine neuen prinzipiellen Schwierigkeiten auf. + +Die Untersuchung der Körper $p$-adischer Zahlen, auf die sich +alles reduziert, wird nun dadurch prinzipiell besonders einfach, daß +man alle $p$-adischen Zahlen genau ebenso wie die ihrer Größe nach +untersuchten reellen Zahlen als Exponenten einer und derselben +Basis darstellen kann. Hierdurch reduzieren sich alle Fragen der +Multiplikation und Division, welche ja in der Zahlentheorie fast +allein behandelt werden und behandelt werden können, auf Fragen +der Addition und Subtraktion der zugehörigen Logarithmen, deren +Lösung dann völlig selbstverständlich ist. Diese wesentliche Vereinfachung +der Arithmetik beruht auf der Möglichkeit, die $p$-adischen +Zahlen in bestimmter Weise ihrer "`Größe"' nach so anzuordnen, daß +für sie die wesentlichsten Grundgesetze der Analysis in Geltung +bleiben, und daß so die Exponentialfunktion und ihre Umkehrung, +der Logarithmus, auch in die Arithmetik eingeführt werden können. +\PageSep{012}{VIII} + +Von den Fragen, welche nach der vollständigen Theorie der +linearen Gleichungen und Kongruenzen mit diesen neuen Methoden +behandelt werden, bezieht sich die erste auf die Auflösung der reinen +Gleichungen und der reinen Kongruenzen im Ringe der $g$-adischen +Zahlen; diese findet bei der speziellen Behandlung der quadratischen +Gleichungen im Reziprozitätsgesetze ihren natürlichen Abschluß. Mit +den hier gewonnenen Hilfsmitteln kann dann zweitens in kurzen +Zügen eine Darstellung der wichtigsten in diesen Rahmen gehörigen +Ergebnisse der Theorie der binären und ternären quadratischen Formen +gegeben werden; hier ergeben sich zuletzt die Sätze über die Darstellung +der rationalen Zahlen durch binäre Formen für den Bereich +einer jeden Primzahl und die auf dieser Grundlage beruhende Einteilung +dieser Formen in Geschlechter. + +Die in diesem Buche gegebene Darstellung setzt keine Vorkenntnisse +voraus und ist so ausführlich gehalten, daß Studierende +der Mathematik dasselbe mit vollem Verständnis lesen können. +Möchte es mir darüber hinaus gelungen sein, dem Leser auch etwas +von der großen Freude an diesem reinsten und, ich möchte sagen, +mathematischsten Gebiete der Mathematik zu geben, welche ich +selbst bei der mehrjährigen Beschäftigung mit diesen Fragen +empfunden habe. + +Bei der Redaktion dieses Werkes hat mir Herr stud.\ phil.\ +\DPchg{\so{A.~Fraenkel}}{\Name{A.~Fraenkel}} in unermüdlicher Arbeit sehr dankenswerte und wertvolle +Unterstützung gegeben; bei der Herstellung des Sachregisters +hat mir Herr stud.\ phil.\ \DPchg{\so{Ostrowski}}{\Name{Ostrowski}} geholfen. Endlich gilt mein +Dank den Leitern des G.~J. Göschen'schen Verlages, die mir meine +Aufgabe durch verständnisvolles Eingehen auf meine Wünsche und +durch ihre bekannte Sorgfalt im Druck und in der Ausstattung +wesentlich erleichtert und verschönt haben. + +\Signature{\so{Marburg}, den 7.~Juni 1913.}{K. Hensel.} +\PageSep{013}{IX} +\tableofcontents +\iffalse +Inhaltsverzeichnis. + + Seite + +Vorrede V-VIII + +Erstes Kapitel. + +Die elementaren Rechenoperationen und die Zahlbereiche 1-16 + +§ 1. Gegenstand der Arithmetik. Der Bereich der rationalen +Zahlen. Die sieben Grundgesetze des Rechnens 1 + +§ 2. Die Körper 6 + +§ 3. Die Moduln 8 + +§ 4. Die Gruppen oder Strahlen 10 + +§ 5. Die Ringe 13 + +Zweites Kapitel. + +Der Körper der rationalen Zahlen. Die Primzahlen 17-35 + +§ 1. Die Teilbarkeit der Zahlen. Der größte gemeinsame Teiler 17 + +§ 2. Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers. Das kleinste +gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen 20 + +§ 3. Die Primzahlen. Die eindeutige Zerlegung der rationalen +Zahlen in Primzahlen 28 + +Drittes Kapitel. + +Die Beziehungen aller rationalen Zahlen zu einer Grundzahl g. +Die g-adische Darstellung der rationalen Zahlen 36-56 + +§ 1. Die modulo g ganzen und gebrochenen rationalen Zahlen 36 + +§ 2. Einteilung der modulo g ganzen Zahlen in Kongruenzklassen +und das Rechnen mit diesen Klassen 40 + +§ 3. Die g-adischen Entwicklungen der rationalen Zahlen. Ihre +Näherungswerte 49 + +Viertes Kapitel. + +Der Ring R(g) der allgemeinen g-adischen Zahlen für eine +beliebige Grundzahl g 57-69 + +§ 1. Definition der allgemeinen g-adischen Zahlen 57 +\fi +\PageSep{014}{X} +\iffalse Seite + +§ 2. Die Addition und Multiplikation im Bereich der g-adischen +Zahlen 63 + +Fünftes Kapitel. + +Die Zerlegung des Ringes aller g-adischen Zahlen in seine einfachsten +Bestandteile 70-106 + +§ 1. Inhalt und Ziel der Untersuchung 70 + +§ 2. Die Beziehungen zwischen g-adischen Zahlen mit verschiedener +Grundzahl 72 + +§ 3. Die Zerlegung des Ringes R(G) in die beiden Ringe R(P) +und R(Q) 78 + +§ 4. Die Zerlegung des Ringes R(g) in die Ringe R(p), R(q), ..., +deren Grundzahlen Primzahlen sind. Die Darstellung der +g-adischen Zahlen in der additiven und in der multiplikativen +Normalform 86 + +§ 5. Die Einteilung der ganzen g-adischen Zahlen in Zahlklassen +modulo g 92 + +§ 6. Die Einheiten und die Einheitsklassen. Der Fermatsche +Satz für endliche Gruppen 99 + +Sechstes Kapitel. + +Der Körper K(p) der p-adischen Zahlen, deren Grundzahl +eine beliebige Primzahl ist 107-128 + +§ 1. Die elementaren Rechenoperationen im Körper K(p) der +p-adischen Zahlen 107 + +§ 2. Die Anordnung der p-adischen Zahlen nach ihrer Größe 112 + +§ 3. Grenzwerte von Reihen p-adischer Zahlen 114 + +§ 4. Die unendlichen Reihen mit p-adischen Gliedern und das +Kriterium für ihre Konvergenz 116 + +§ 5. Die Potenzreihen im Bereich der p-adischen Zahlen 118 + +§ 6. Der Körper der Potenzreihen mit endlichem Konvergenzbereiche 122 + +§ 7. Die unendlichen Produkte 127 + +Siebentes Kapitel. + +Die Elemente der Analysis und Algebra im Gebiete der p-adischen +Zahlen 129-152 + +§ 1. Die veränderlichen Größen. Die Funktionen, Stetigkeit und +Differenzierbarkeit. Die p-adischen Potenzreihen sind in +ihrem Konvergenzbereiche stetige und differenzierbare +Funktionen ihres Argumentes 129 + +§ 2. Die Exponentialfunktion im Bereiche der p-adischen +Zahlen 131 +\fi +\PageSep{015}{XI} +\iffalse + Seite +§ 3. Der Logarithmus im Bereiche der p-adischen Zahlen 139 + +§ 4. Die algebraischen Gleichungen in einem Körper, speziell +im Körper der p-adischen Zahlen 145 + +Achtes Kapitel. + +Die Elemente der Zahlentheorie im Körper der p-adischen +Zahlen 153-187 + +§ 1. Die Einheitswurzeln im Körper der p-adischen Zahlen 153 + +§ 2. Die Einheitswurzeln sind die Invarianten der Kongruenzklassen +modulo p 159 + +§ 3. Die Logarithmen der p-adischen Zahlen 161 + +§ 4. Untersuchung der p-adischen Zahlen für eine Primzahlpotenz +p^{k} als Modul 168 + +§ 5. Die primitiven Wurzeln modulo p^{k}. Die Theorie der Indizes +für eine Primzahlpotenz als Modul 173 + +§ 6. Anwendungen: Der Wilsonsche Satz für eine beliebige +Primzahlpotenz. Lineare Kongruenzen im p-adischen Zahlkörper 181 + +Neuntes Kapitel. + +Die Elemente der Zahlentheorie im Ringe der g-adischen Zahlen 188-227 + +§ 1. Die elementaren Rechenoperationen im Ringe der g-adischen +Zahlen 188 + +§ 2. Der absolute Betrag, die Einheitswurzel und die Haupteinheit +einer g-adischen Zahl 196 + +§ 3. Die Ordnungszahlen der g-adischen Zahlen 199 + +§ 4. Die Anordnung der g-adischen Zahlen nach ihrer Größe. +Die unendlichen Reihen, speziell die Potenzreihen. Die +Exponentialfunktion und der Logarithmus. Der Hauptlogarithmus +der g-adischen Zahlen 202 + +§ 5. Die Elemente der Algebra im Ringe der g-adischen +Zahlen. Die g-adischen Einheitswurzeln 208 + +§ 6. Die Logarithmen der g-adischen Zahlen 215 + +§ 7. Untersuchung der g-adischen Zahlen für einen beliebigen +zusammengesetzten Modul 217 + +§ 8. Der Wilsonsche Satz für einen beliebigen Modul g. -- Die +Auflösung der allgemeinen linearen Kongruenz modulo g 223 + +Zehntes Kapitel. + +Die Auflösung der reinen Gleichungen und der reinen Kongruenzen. +Die quadratischen Gleichungen und Kongruenzen 228-258 + +§ 1. Die Auflösung der reinen Gleichungen im Ringe der g-adischen +Zahlen 228 +\fi +\PageSep{016}{XII} +\iffalse + Seite +§ 2. Die Auflösung der reinen Gleichungen im Körper der +p-adischen Zahlen 234 + +§ 3. Die reinen Kongruenzen für einen beliebigen Modul g 236 + +§ 4. Die Auflösung der reinen quadratischen Gleichungen 247 + +§ 5. Die Auflösung der reinen quadratischen Kongruenzen 253 + +Elftes Kapitel. + +Das Reziprozitätsgesetz für die quadratischen Reste 259-291 + +§ 1. Die quadratischen Reste für einen Primzahlmodul. Das +Eulersche Kriterium und das Gausssche Lemma 259 + +§ 2. Die beiden Ergänzungssätze und das quadratische Reziprozitätsgesetz 269 + +§ 3. Erster Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes 273 + +§ 4. Zweiter Beweis für das Reziprozitätsgesetz 277 + +§ 5. Das Jacobi-Legendresche Symbol (Q/P) 281 + +§ 6. Der Algorithmus zur Bestimmung von $$E (p) 289 + +Zwölftes Kapitel. + +Die quadratischen Formen 292-352 + +§ 1. Der Körper K(p_$$) aller reellen Zahlen 292 + +§ 2. Die quadratischen Formen und ihre Teiler 294 + +§ 3. Die binären, quadratischen Formen und ihre Teiler 300 + +§ 4. Die ternären quadratischen Formen und ihre Teiler 307 + +§ 5. Die Darstellung der p-adischen Zahlen durch die binären +Hauptformen. Das Hilbertsche Symbol. Der allgemeine +Dekompositionssatz 314 + +§ 6. Ein Fundamentalsatz für die Theorie der ternären quadratischen +Formen 321 + +§ 7. Ãœber die Darstellung der rationalen Zahlen durch binäre +Formen 326 + +§ 8. Einteilung der binären quadratischen Formen in Geschlechter 339 + +§ 9. Beispiele 346 + +Sachregister 353-356 +\fi +\PageSep{017}{1} +\MainMatter + +\Chapter{Erstes Kapitel.} +{Die elementaren Rechenoperationen und +die Zahlbereiche.} + +\Section{§ 1.}{Gegenstand der Arithmetik. Der Bereich der rationalen +Zahlen. Die sieben Grundgesetze des Rechnens.} + +Die Arithmetik stellt sich die Aufgabe, die Eigenschaften der +rationalen ganzen und gebrochenen Zahlen zu ergründen. Ich will +diese Zahlen selbst sowie auch die vier elementaren Rechenoperationen +der \so{Addition}, \so{Subtraktion}, \so{Multiplikation} und +\index{Grundgesetze für Addition und Multiplikation (nach E.~Steinitz)}% +\so{Division}, durch die sie miteinander verknüpft werden, als bekannt +voraussetzen. + +Ich muß aber gleich hier die \so{sieben Grundgesetze} hervorheben, +welche für die Addition und die Multiplikation und damit +von selbst für die beiden inversen Operationen, die Subtraktion und +die Division, gelten und aus denen alle übrigen die Addition und +Multiplikation betreffenden Rechengesetze für die rationalen Zahlen +als rein \emph{logische} Folgerungen hergeleitet werden können. + +%[** TN: Colon not italic in original, but italic on subsequent pages] +\Axiom{I)}{Das assoziative Gesetz der Addition:} Es gilt für jede Summe +\index{Assoziatives!Gesetz der Addition}% +von beliebig vielen, \zB\ drei Summanden $a$,~$b$,~$c$: +\[ +(a + b) + c = a + (b + c). +\] + +Die Klammern können daher bei der Addition als bedeutungslos +für das Ergebnis weggelassen werden; es ist $(a + b) + c = a + (b + c) += a + b + c$. \ZB~ist +\[ +(3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5) = 3 + 4 + 5, +\] +\PageSep{018}{2} +\dh\ +\[ +7 + 5 = 3 + 9. +\] + +\Axiom{II)}{Das assoziative Gesetz der Multiplikation:} Es gilt für jedes +\index{Assoziatives!Gesetz der Multiplikation}% +\index{Grundgesetze für Addition und Multiplikation (nach E.~Steinitz)}% +Produkt von beliebig vielen, \zB\ drei Faktoren $a$,~$b$,~$c$: +\[ +(ab)c = a(bc). +\] + +Auch hier sind daher Klammern überflüssig; es ist $(ab)c = a(bc) += abc$. \ZB~ist +\[ +(3·4)·5 = 3·(4·5) = 3·4·5, +\] +\dh\ +\[ +12·5 = 3·20. +\] + +\Axiom{III)}{Das kommutative Gesetz der Addition:} Es gilt für beliebig +\index{Kommutatives!Gesetz d.\ Addition}% +viele Summanden: +\begin{gather*} +a + b = b + a, \\ +a + b + c = c + b + a = \dots. +\end{gather*} + +\Axiom{IV)}{Das kommutative Gesetz der Multiplikation:} Es gilt für +\index{Kommutatives!Gesetz d.\ Multiplikation}% +beliebig viele Faktoren: +\begin{gather*} +ab = ba, \\ +abc = cba = \dots. +\end{gather*} + +Nach dem dritten und dem vierten Gesetz kann also in jeder +Summe bzw.\ in jedem Produkt die Reihenfolge der Summanden +bzw.\ Faktoren beliebig vertauscht werden. So ist \zB\ +\begin{gather*} +3 + 4 + 5 = 5 + 4 + 3 = 3 + 5 + 4 = \dots = 12\DPtypo{}{,} \\ +3·4·5 = 5·4·3 = 3·5·4 = \dots = 60. +\end{gather*} + +\Axiom{V)}{Das distributive Gesetz der Addition und Multiplikation:} +\index{Distributives Gesetz}% +\[ +a(b + c) = ab + ac. +\] +\ZB~ist +\[ +4(3 + 5) = 4·3 + 4·5, \quad\text{\dh}\quad 4·8 = 12 + 20. +\] + +\Axiom{VI)}{Das Gesetz der unbeschränkten und eindeutigen Subtraktion:} +\index{Subtraktion!Gesetz d.\ unbeschränkten u.\ eindeutigen}% +Sind $a$~und~$b$ beliebige rationale Zahlen, so gibt es stets eine +einzige rationale Zahl~$x$, für die +\[ +a + x= b +\] +\PageSep{019}{3} +ist. Diese Zahl~$x$ wird mit $b - a$ bezeichnet und die \so{Differenz} +von $b$~und~$a$ genannt; $b$~heißt der \so{Minuendus}, $a$~der \so{Subtrahendus}. +\index{Minuendus}% +\index{Subtrahendus}% +Nach dieser Definition ist also allgemein: +\[ +a + (b - a) = b. +\] + +\ZB~folgt aus +\begin{gather*} +5 + x = 8, \quad\text{bzw.}\quad 8 + y = 5 \\ +x = 8 - 5 = 3, \quad\text{bzw.}\quad y = 5 - 8 = -3; +\end{gather*} +ebenso folgt aus +\[ +\frac{3}{4} + z = \frac{1}{3},\quad +z = \frac{1}{3} - \frac{3}{4} = -\frac{5}{12}. +\] + +\Axiom{VII)}{Das Gesetz der unbeschränkten und eindeutigen Division:} +\index{Division, Gesetz d.\ unbeschränkten eindeutigen}% +Ist $a$ irgendeine von Null verschiedene, $b$~eine ganz beliebige rationale +Zahl, so gibt es stets eine einzige rationale Zahl~$x$, für die +\[ +ax = b +\] +wird. Diese Zahl~$x$ wird mit $\dfrac{b}{a}$ oder $b:a$ bezeichnet und der \so{Quotient} +\index{Quotient}% +von $b$~und~$a$ genannt; $b$~heißt der \so{Zähler} oder \so{Dividendus}, +$a$~der \so{Nenner} oder \so{Divisor}. Nach dieser Definition +ist also allgemein, sobald $a$~von Null verschieden ist: +\[ +a·\frac{b}{a} = b. +\] + +\ZB\ folgt aus +\begin{gather*} +2x = 6, \quad\text{bzw.}\quad \frac{2}{3} y = \frac{7}{12} \\ +x = \frac{6}{2} = 3, \quad\text{bzw.}\quad y = \frac{7}{12} : \frac{2}{3} = \frac{7}{8}. +\end{gather*} + +Die Zahl Null, welche in dem siebenten Gesetz vorkommt, +kann in eindeutiger Weise als diejenige rationale Zahl charakterisiert +werden, für die bei \emph{jeder} rationalen Zahl~$a$ +\[ +\Tag{(1)} +a + 0 = a +\] +gilt, deren Addition zu einer beliebigen rationalen Zahl also diese +ungeändert läßt. Man kann daher die Zahl Null als das \so{Einheitselement +für die Addition} bezeichnen, wenn man +\index{Einheitselement für die Addition}% +\index{Grundgesetze für Addition und Multiplikation (nach E.~Steinitz)}% +allgemein für eine beliebige Verknüpfungsoperation eine Zahl des +\PageSep{020}{4} +Bereichs, deren Verknüpfung mit jeder beliebigen Zahl desselben +diese ungeändert läßt, ein \so{Einheitselement} für die betreffende +Operation nennt. Bei dieser Definition \emph{ergibt sich die Existenz der +rationalen Zahl~$0$ folgendermaßen allein aus den Grundgesetzen} +und zwar \emph{ohne Benutzung des siebenten}: + +Zunächst gibt es wegen \Iref{VI)} eine einzige rationale Zahl~$0_{a}$, welche +zu einer beliebigen, aber fest gegebenen rationalen Zahl~$a$ hinzugefügt +diese ungeändert läßt, für welche also die Gleichung: +\[ +\Tag{(1^{a})} +a + 0_{a} = a +\] +gilt, sodaß $0_{a} = a - a$ ist. Für eine andere rationale Zahl~$b$ folgt +ebenso die Existenz einer einzigen rationalen Zahl~$0_{b}$, für welche +\[ +\Tag{(2)} +b = 0_{b} = b, +\] +also $0_{b} = b - b$ ist. Nun muß stets $0_{a} = 0_{b}$ sein. Wird nämlich +eine dritte Zahl~$c$ so gewählt, daß +\[ +\Tag{(3)} +a + c = b +\] +ist, was wiederum wegen \Iref{VI)} stets und auf eine einzige Weise möglich +ist, so folgt aus~\Eq{(1^{a})} durch Addition von~$c$ auf beiden Seiten und +unter Verwendung von \Iref{I)}~und~\Iref{III)}: +\[ +(a + c) + 0_{a} = a + c, \quad\text{\dh\ nach~\Eq{(3)}:}\quad b + 0_{a} = b, +\] +also wegen \Eq{(2)}~und~\Iref{VI)}: +\[ +0_{a} = 0_{b}, +\] +womit die Behauptung bewiesen ist. Man kann daher den gemeinsamen +Wert $a - a = b - b = \dots = 0$ setzen. + +Ersetzt man ferner in der unter dem fünften Grundgesetz stehenden +Gleichung~$c$ durch~$0$, so folgt nach der Definition von~$0$: +\[ +a(b + 0) = ab = a·b + a·0, +\] +\dh\ \emph{es muß für jede rationale Zahl~$a$ stets $a·0 = 0$ sein}. Aus +diesem Grunde muß im siebenten Grundgesetz~$a$ als von Null verschieden +vorausgesetzt werden, da für $a = 0$, wie auch $x$ gewählt +werde, stets $0·x = x·0 = 0$ ist, also der in~\Iref{VII)} vorkommende Wert +$b$ dann nicht beliebig angenommen werden darf. +\PageSep{021}{5} + +Ähnlich wie vorher die Null kann jetzt die Zahl~$1$ als diejenige eindeutig +bestimmte rationale Zahl definiert werden, deren Multiplikation +\emph{jede} rationale Zahl~$a$ ungeändert läßt, für die also stets +\[ +a·1 = a +\] +ist. Hiernach kann~$1$ in dem oben angegebenen Sinn als \so{das +Einheitselement für die Multiplikation} bezeichnet +\index{Einheitselement für die Addition!für die Multiplikation}% +werden. Nach dieser Definition \emph{ergibt sich die Existenz von~$1$ direkt +aus den Grundgesetzen (hier unter Benutzung des siebenten)} ganz +entsprechend dem vorhin für die Existenz der Null geführten Beweise +folgendermaßen: Sind $a$ und $b$ beide von $0$ verschieden, so folgt aus +\Iref{VII)} die Existenz je einer eindeutig bestimmten rationalen Zahl $1_{a}$ +und~$1_{b}$, für welche +\[ +\Tag{(4)} +a·1_{a} = a, \quad +b·1_{b} = b +\] +wird. Ist wieder $c$ so gewählt, daß $ac = b$ ist, so folgt aus der +ersten Gleichung~\Eq{(4)} nach Multiplikation beider Seiten mit~$c$ wegen +\Iref{II)} und~\Iref{IV)}: +\[ +(ac)·1_{a} = ac \quad\text{oder}\quad b·1_{a} = b; +\] +es muß also notwendig für beliebige von $0$ verschiedene rationale +Zahlen $a$,~$b$,~\dots\ stets $1_{a} = 1_{b} = \dots = 1$ sein. Aber auch für $a = 0$ ist +$0·1 = 0$ nach dem Ergebnis des letzten Absatzes; also ist in der Tat +für jedes~$a$\; $a·1 = a$, \wzbw. + +Es ist eine sehr reizvolle Aufgabe, die elementaren Rechengesetze +direkt als Folgerungen aus den soeben aufgestellten sieben Grundgesetzen +herzuleiten. Diese Aufgabe mag dem Leser überlassen +bleiben. Es werde hier nur auf den folgenden Satz aufmerksam gemacht, +welcher eine unmittelbare Folge jener Gesetze, insbesondere +des siebenten, ist. + +\begin{Theorem}[\itshape] +Ein Produkt ist dann und nur dann Null, wenn mindestens +einer seiner Faktoren Null ist. +\end{Theorem} + +Sind nämlich $a$ und $b$ zwei von Null verschiedene rationale Zahlen, +so ist $ab$ von $a·0 = 0$ verschieden, weil nach \Iref{VII)} nur eine einzige +Zahl~$x$ existiert, für welche $ax = 0$ ist. Daß für jedes rationale~$a$ +stets $a·0 = 0·a = 0$ ist, wurde bereits bewiesen. +\PageSep{022}{6} + +Endlich soll hier noch die folgende wichtige Bemerkung angeschlossen +werden: Für den Bereich der rationalen Zahlen sind die Addition +und die Multiplikation die gewöhnlich so bezeichneten bekannten +Operationen, und das Gleiche gilt von den inversen Operationen, +der Subtraktion und der Division. Da sich aber alle Gesetze +des elementaren Rechnens allein aus den sieben oben angegebenen +Grundgesetzen als rein logische Folgerungen ergeben, so bleiben diese +Rechengesetze unverändert bestehen, wenn man statt des Bereiches +der rationalen Zahlen irgendeinen anderen Bereich betrachtet und +Addition und Multiplikation irgendwie anders definiert, vorausgesetzt +nur, daß auch für diese anders definierten Operationen jene sieben +Grundgesetze gültig bleiben. Von dieser Tatsache wird im folgenden +sehr häufig Gebrauch gemacht werden. + + +\Section{§ 2.}{Die Körper.} + +Der soeben betrachtete Bereich der rationalen Zahlen bietet das +\index{Korpor@{Körper}!Ka@{$K(a, b, \dots c)$}}% +erste Beispiel für einen sog.\ \so{Körper}. Wir werden diesem Begriff +in der Folge so häufig begegnen, daß es sich empfiehlt, gleich hier +eine ganz allgemeine Definition desselben zu geben. Es sei uns ein +Bereich +\[ +K(a, b, c, \dots) +\] +von irgendwelchen Elementen gegeben (\zB~der vorher betrachtete +Bereich aller rationalen Zahlen oder der Bereich aller reellen Zahlen); +ferner seien für diese Elemente zwei Verknüpfungsoperationen definiert, +die wie vorher Addition und Multiplikation genannt werden sollen und +mittels derer aus je zwei beliebigen Elementen des Bereichs~$K$ stets +eindeutig abermals ein Element \emph{desselben Bereiches~$K$} gewonnen wird. +Gelten dann für diese beiden Operationen die sieben vorher angegebenen +Grundgesetze, so soll der Bereich~$K$ ein Körper genannt +werden. So bilden die rationalen Zahlen, wenn sie durch die gewöhnlichen +elementaren Rechenoperationen, die vier Spezies, miteinander +verknüpft werden, den sog.\ \so{Körper der rationalen +Zahlen}, dessen Elemente sämtlich offenbar aus dem Einheitselement~$1$ +durch sukzessive Anwendung dieser Rechenoperationen erhalten +werden können. Aus diesem Grunde soll der Körper der rationalen +\PageSep{023}{7} +Zahlen auch kurz durch~$K(1)$ bezeichnet werden; die am Anfang +angegebene Aufgabe der elementaren Arithmetik kann daher als +die Untersuchung der Eigenschaften der Elemente von~$K(1)$ definiert +werden. Es gibt aber außer~$K(1)$ noch unendlich viele andere Körper, +und gerade die Erforschung der Eigenschaften verschiedener solcher +Zahlkörper wird später eine unserer Hauptaufgaben bilden. + +Der einfachste Körper ist derjenige, welcher aus dem einzigen +Elemente Null bei Verwendung der gewöhnlichen Addition und Multiplikation +besteht; denn man erkennt leicht, daß für diesen Bereich alle +sieben Grundgesetze erfüllt sind, da $0 + 0 = 0$ und $0·0 = 0$ ist. Dieser +Körper werde \so{Nullkörper} genannt und durch $K(0)$ bezeichnet. +\index{Nullkörper~$K(0)$}% +Andere bekannte Körper sind \zB\ der Körper aller reellen Zahlen +oder der Körper aller reellen und komplexen Zahlen, beidemal bei +Erklärung der Addition und der Multiplikation im gewöhnlichen Sinn. +Es ist nicht nötig, daß ein Körper immer aus einer unendlichen +Anzahl von Elementen besteht; später werden wir vielmehr auch +Körper kennen lernen, welche nur eine endliche Anzahl von Elementen +besitzen. + +Jeder Körper enthält, wie im §~1 allgemein bewiesen wurde, ein +Element Null und, falls er nicht der Nullkörper ist, auch ein von Null +verschiedenes Element Eins, also je ein Einheitselement für die Addition +und die Multiplikation; ferner gilt nach dem Beweise \aSeite{5} +für jeden Körper der Satz, daß ein Produkt~$ab$ stets und nur dann +Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Beim Beweis +dieses letzten Satzes wurde insbesondere von der Gültigkeit des +siebenten Grundgesetzes Gebrauch gemacht. + +Der hier definierte und an die Spitze der ganzen Betrachtung +gestellte Begriff des Körpers ist nur einer von denjenigen allgemeinen +Begriffen, deren Einführung in die Arithmetik so fruchtbar geworden +ist; allerdings ist er für die Arithmetik wohl auch der wichtigste +unter ihnen. Man kann als eine Eigentümlichkeit der Zahlenlehre +das Bestreben bezeichnen, die einzelnen Zahlen als Elemente größerer +Zahlbereiche zu betrachten, welche, wie die Körper, durch bestimmte +Eigenschaften charakterisiert sind, und die Betrachtung der einzelnen +Zahlen durch die genaue Ergründung der Eigenschaften jener Bereiche +zu ersetzen. +\PageSep{024}{8} + +Bei dieser Auffassung kann jeder Zahlkörper als ein Bereich +charakterisiert werden, in welchem alle vier elementaren Rechenoperationen, +\dh\ die Addition, Subtraktion, Multiplikation und die +Division, unbeschränkt und eindeutig ausführbar sind. Ihnen nahe +stehen nun solche Bereiche, innerhalb deren nur gewisse von diesen +vier Grundoperationen immer ausführbar sind, andere aber nicht. +Ich will gleich hier diejenigen unter diesen Bereichen hervorheben, +welche für die Arithmetik besonders wichtig geworden sind. + + +\Section{§ 3.}{Die Moduln.} + +Es sei $M(a, b, c, \dots)$ wieder ein Bereich von Elementen, und es +sei für sie nur eine einzige Verknüpfungsoperation definiert, welche +\so{Addition} genannt werde und mittels derer aus je zwei Elementen +$a$~und~$b$ von~$M$ wieder ein Element $c = a + b$ \emph{desselben Bereiches} $M$ +hervorgeht. Für diese Addition mögen wieder die drei Grundgesetze +gelten, welche für sie unter \Iref{I)},~\Iref{III)} und~\Iref{VI)} im §~1 aufgestellt waren, +nämlich: + +\Axiom{I')}{Das assoziative Gesetz der Addition:} +\[ +(a + b) + c = a + (b + c). +\] + +\Axiom{II')}{Das kommutative Gesetz der Addition:} $a + b = b + a$. + +%[** TN: Hanging indented, and body italicized, in the original] +\Axiom{III')}{Das Gesetz der unbeschränkten und eindeutigen Subtraktion:} +Sind $a$~und~$b$ beliebige Elemente aus~$M$, so gibt +es stets in~$M$ ein einziges Element $x = b - a$, für das +$a + x = b$ wird. + +Jeder solche Zahlbereich~$M$ wird nach \Name{Dedekind} ein \so{Modul} +\index{Modul!$M(a, b, c, \dots)$}% +genannt. Aus \Iref{III')} folgt, daß jeder Modul notwendig das Element +$a - a = b - b = \dots = 0$ enthält. Jeder Körper ist natürlich ein +Modul, aber nicht umgekehrt jeder Modul ein Körper. + +Sind \zB\ $a$~und~$b$ zwei beliebige ganze Zahlen, so bilden alle diejenigen +ganzen Zahlen einen Modul, welche aus $a$~und~$b$ durch beliebig +oft angewandte Addition und Subtraktion entstehen, also die Zahlen +$(0, ±a, ±2a, \dots, ±b, ±2b, \dots, ±a ± b, ±a ± 2b,~\dots)$, allgemein +also alle Zahlen +\[ +(ma + nb), +\] +\PageSep{025}{9} +wo $m$~und~$n$ unabhängig voneinander alle positiven und negativen +ganzzahligen Werte durchlaufen. Ist \zB\ $a = 6$, $b = 10$, so erkennt +man leicht, daß in dem Modul $M = (6, 10) = (6m + 10n)$ alle und +nur die durch $2$ teilbaren ganzen Zahlen, also alle geraden Zahlen +enthalten sind. Ebenso enthält der Modul $(6l + 9m + 15n)$ alle +und nur die durch $3$ teilbaren Zahlen, wie man sich leicht überzeugt. + +Der einfachste Modul ist auch hier der sog.\ Nullmodul~$M(0)$, +\index{Nullmodul~$M(0)$}% +welcher aus dem einzigen Elemente~$0$ besteht, denn für ihn sind ja +offenbar die Gesetze \Iref{I'\Add{)}},~\Iref{II'\Add{)}},~\Iref{III'\Add{)}} gültig. Jeder andere Modul +$M(a, b, \dots)$ muß das Element~$0$ enthalten, da in ihm sicher die +Größe $a - a = b - b = \dots = 0$ vorkommt. + +Andere spezielle Moduln sind \zB\ der Bereich aller ganzen +Zahlen $(0, ±1, ±2, \dots)$, der Bereich aller reellen sowie derjenige +aller reellen und komplexen Zahlen, wobei jedesmal die Addition im +gewöhnlichen Sinn verstanden wird. + +Ist allgemein $M$ ein beliebiger Modul, welcher von dem nur das +einzige Element Null enthaltenden \so{Nullmodul} verschieden ist, also +außer $0$ noch ein anderes Element~$a$ enthält, so enthält er außer $a$ nach +seiner Definition auch alle Elemente +\[ +a + a,\quad +a + a + a,\ \dots,\quad +a + a + \dots + a,\ \dots +\] +welche abgekürzt durch die Symbole $2a$,~$3a$,~\dots, $ma$,~\dots\ bezeichnet +werden mögen. Enthält $M$ auch die gewöhnlichen positiven Zahlen +$1$,~$2$, $3$,~\dots, und darf man die Elemente von~$M$ speziell mit ihnen +multiplizieren, so sind jene Summen direkt gleich den Produkten~$m·a$; +anderenfalls sind die Symbole~$ma$ nur abgekürzte Bezeichnungen +für die in~$M$ vorhandenen Summen $a + a$, $a + a + a$,~\dots\ mit zwei, +drei,~\dots\ gleichen Summanden~$a$. Ferner werde das Nullelement, +welches nach der soeben gemachten Bemerkung ebenfalls in $M$ vorkommt, +durch $0·a$ bezeichnet. Ebenso enthält $M$ nach \Iref{III'\Add{)}} auch das +zu $a$ komplementäre Element~$\bar{a}$, für das $a + \bar{a} = 0$ ist und welches +wieder durch $-a$ bezeichnet werden möge. Endlich kommen in $M$ +auch die aus $-a$ durch wiederholte Addition zu sich selbst erzeugten +Elemente +\[ +(-a) + (-a),\quad +(-a) + (-a) + (-a),\ \dots +\] +\PageSep{026}{10} +vor, die kurz durch $-2a$,~$-3a$,~\dots\ bezeichnet werden sollen. Alle +diese Elemente~$ma$, wo $m$~eine positive oder negative ganze Zahl +oder~$0$ bedeutet, heißen die \so{ganzzahligen Vielfachen +von}~$a$. Da ferner nach den soeben gegebenen Definitionen offenbar +stets $ma + na = (m + n)a$ ist, so erkennt man auf diese Weise, +daß nächst dem Nullmodul die einfachsten Moduln diejenigen~$M(a)$ +sind, welche aus allen und nur den ganzzahligen Vielfachen eines +einzigen Elementes bestehen, und daß ein Modul, der ein von Null +verschiedenes Element~$a$ enthält, notwendig alle ganzzahligen Vielfachen +desselben, \dh\ den ganzen Modul~$M(a)$ enthalten muß. + +Kommt in $M$ außer allen Elementen~$ma$ noch ein anderes Element~$b$ +vor, so enthält $M$ auch alle ganzzahligen Vielfachen~$nb$ von~$b$ +und also auch alle Elemente $ma + nb$, welche aus jenen additiv +zusammengesetzt werden können; alle diese Elemente $ma + nb$ +bilden für sich einen Modul, welcher durch $M(a, b)$ bezeichnet +werde. Die Elemente $a$~und~$b$ sollen eine \so{Basis} für diesen Modul +\index{Basis eines Moduls}% +$M(a, b)$ genannt werden. Ist $c$ ein weiteres, nicht unter den Elementen +$ma + nb$ vorkommendes Element aus~$M$, so enthält $M$ auch +alle Elemente $ma + nb + rc$, wo $m$,~$n$,~$r$ unabhängig voneinander +alle ganzen Zahlen durchlaufen, \dh\ $M$ enthält den ganzen Modul +$M(a, b, c)$, dessen Basis die drei Elemente $a$,~$b$,~$c$ sind. Allgemein +bilden alle Elemente von~$M$ +\[ +e = ma + nb + rc + \dots + sd, +\] +in denen $m$,~$n$, $r$,~\dots~$s$ alle möglichen positiven oder negativen ganzen +Zahlen bedeuten und für welche die Produkte $ma$,~\dots\ wie oben +definiert sind, einen Modul $M(a, b, c, \dots d)$, und die Elemente +$(a, b, \dots d)$ heißen eine Basis für denselben. Jedes Element~$e$ dieses +Moduls wird eine \so{homogene lineare Funktion der Elemente} +$a$,~$b$,~$c$,~\dots\ \so{mit ganzzahligen Koeffizienten} +genannt; also ist \zB\ $4a - 3b - c + 9d$ eine homogene lineare +Funktion der Elemente $a$,~$b$,~$c$,~$d$ mit ganzzahligen Koeffizienten. + + +\Section{§ 4.}{Die Gruppen oder Strahlen.} +\index{Gruppen}% +\index{Strahlen}% + +Es sei $G(a, b, c, \dots)$ ein System von Elementen, für die wiederum +nur eine einzige Verknüpfunsgoperation definiert ist, welche aber diesmal +\PageSep{027}{11} +\so{Multiplikation} genannt werden soll, und vermittelst derer +aus je zwei Elementen $a$~und~$b$ von~$G$ stets wieder ein eindeutig bestimmtes +Element $c = ab$ \emph{desselben Bereiches}~$G$ hervorgehen möge. +Für diese Multiplikation sollen wieder die drei Grundgesetze gelten, +welche für sie unter \Iref{II)},~\Iref{IV)} und~\Iref{VII)} im §~1 aufgestellt waren +(doch soll letzteres Gesetz hier \emph{ausnahmslos} \dh\ für jeden Divisor +gelten), nämlich: + +\Axiom{I'')}{Das assoziative Gesetz der Multiplikation:} $(ab)c = a(bc)$. + +\Axiom{II'')}{Das kommutative Gesetz der Multiplikation:} $ab = ba$. + +%[** TN: Hanging indented, and body italicized, in the original] +\Axiom{III'')}{Das Gesetz der unbeschränkten und eindeutigen Division:} +Sind $a$~und~$b$ beliebige Elemente aus~$G$, so gibt es in~$G$ +stets ein einziges Element $x = \dfrac{b}{a}$, für das $ax = b$ ist. + +Jedes solche System~$G$ wird nach \Name{Weber} eine \so{Gruppe}, nach +\Name{Fueter} ein \so{Strahl} genannt. Da die hier gemachten Voraussetzungen, +abgesehen von der Bezeichnung der Operation (Multiplikation +statt Addition), Wort für Wort mit den für den Modul gemachten +übereinstimmen, so folgt sofort, daß für die Gruppen genau +die nämlichen Sätze gelten müssen wie für die Moduln. Wir würden +daher keine Veranlassung haben, jene Sätze getrennt aufzuführen, +wenn wir sie nicht auch auf die Untersuchung der rationalen Zahlen +anwenden und hierbei von diesen beiden Operationen die eine mit +der gewöhnlichen Addition, die andere mit der gewöhnlichen Multiplikation +identifizieren wollten. Zunächst sollen daher die für die +Moduln schon gefundenen Sätze jetzt für die Gruppen oder Strahlen +noch einmal ausgesprochen werden. Bemerkt sei vorher noch, daß +jeder Körper bei Ausscheidung seines Nullelements eine Gruppe +darstellt, daß aber keineswegs die Umkehrung gilt. + +Auch hier würde das einzige Element~$0$ für sich eine Gruppe +bilden, da für dieses offenbar die drei Gesetze \Iref{I'\Add{)}},~\Iref{II''\Add{)}},~\Iref{III''\Add{)}} erfüllt +sind. Enthält aber eine Gruppe~$G$ auch nur ein von Null verschiedenes +Element~$a$, so kann sie niemals die Null enthalten, da ja +anderenfalls keine Größe $x$ in~$G$ vorkommen kann, für welche $0·x = a$ +ist; das Grundgesetz~\Iref{III''\Add{)}} wäre somit nicht ausnahmslos erfüllt. +Aus diesem Grunde wollen wir im folgenden die uneigentliche "`Nullgruppe"' +\PageSep{028}{12} +von der Betrachtung ausschließen. Dann enthält also jede +eigentliche Gruppe nur von Null verschiedene Elemente. + +Jede Gruppe~$G$ enthält notwendig das Element~$1$, da die Gleichung +$ax = a$ eine Lösung $x = \dfrac{a}{a}$ in~$G$ besitzen muß. Das Element~$1$ bildet +für sich eine und zwar die einfachste Gruppe. Enthält $G$ außer $1$ +noch wenigstens ein anderes Element~$a$, so enthält $G$ auch alle +Elemente $aa$,~$aaa$,~\dots, welche hier kürzer durch die Symbole +$a^{2}$,~$a^{3}$,~\dots\ bezeichnet werden mögen; ebenso enthält $G$ auch das zu +$a$ komplementäre Element~$\bar{a}$, welches durch die Gleichung $a\bar{a} = 1$ +eindeutig bestimmt ist und welches einfacher durch $a^{-1}$ oder~$\dfrac{1}{a}$ bezeichnet +werde. Außerdem kommen in~$G$ die Produkte $(a^{-1})(a^{-1})$, +$(a^{-1})(a^{-1})(a^{-1})$,~\dots\ vor, welche durch $a^{-2}$,~$a^{-3}$,~\dots\ bezeichnet +werden sollen. Enthält also $G$ ein von $1$ verschiedenes Element~$a$, +so enthält $G$ alle in der Reihe~$(a^{m})$ vorkommenden Elemente, +wobei $m$~alle positiven und negativen ganzzahligen Werte einschließlich~$0$ +durchläuft und speziell $a^{0} = 1$ angenommen wird. Da +bei dieser Definition wiederum offenbar $a^{m}·a^{n} = a^{m+n}$ ist, so bilden +diese Elemente auch schon für sich eine Gruppe, welche die \so{zu} $a$ +\so{gehörige Untergruppe} $G(a) = (\dots a^{m} \dots)$ heißen soll. +\index{Untergruppen}% + +Kommt in $G$ außer den Elementen der Untergruppe~$G(a)$ noch +ein anderes Element~$b$ vor, so enthält $G$ auch sämtliche Elemente +der ganzen Untergruppe $G(b) = (\dots b^{m} \dots)$ und auch das aus $G(a)$ +und~$G(b)$ zusammengesetzte System +\[ +G(a, b) =(\dots a^{m}b^{n} \dots), +\] +welches ebenfalls eine Gruppe bildet, da $(a^{m} b^{n}) (a^{m'} b^{n'}) = a^{m+m'} b^{n+n'}$ +ist. Hat $G$ allgemeiner die Elemente $a$,~$b$,~\dots~$c$, so enthält $G$ auch +die zu diesen Elementen gehörige Untergruppe +\[ +G(a, b, \dots c)=(\dots, a^{m}b^{n} \dots c^{r}, \dots), +\] +welche aus allen Potenzprodukten $a^{m}b^{n}\dots c^{r}$ mit positiven oder +negativen ganzzahligen oder auch verschwindenden Exponenten besteht. + +Beispiele spezieller Gruppen sind das System~$(1, -1)$, ferner das +System aller positiven rationalen Zahlen, endlich das System aller +\PageSep{029}{13} +positiven reellen Zahlen, wenn jedesmal die Multiplikation im gewöhnlichen +Sinn verstanden wird. + + +\Section{§ 5.}{Die Ringe.} + +Es sei $R(a, b, c, \dots)$ ein Bereich von Elementen, für die zwei +Verknüpfungsoperationen definiert sind, welche Addition und Multiplikation +heißen mögen und vermittelst derer wieder aus irgendwelchen +zwei Elementen von $R$ je ein eindeutig bestimmtes Element \emph{desselben +Bereiches}~$R$ hervorgeht. Für diese Operationen sollen \emph{alle im +§~1 angegebenen Grundgesetze mit Ausnahme des siebenten} gelten, +\dh\ die Elemente mögen sich durch die Operationen der Addition, +der Subtraktion und der Multiplikation, nicht aber notwendig durch die +Division reproduzieren. Jedes solche System wird nach \Name{Hilbert} ein +\so{Ring} genannt. Ein Ring enthält notwendig das Element Null, braucht +\index{Ring}% +aber nicht das Element Eins zu enthalten, da das siebente Grundgesetz +nicht gelten muß. Jeder Körper ist zugleich ein Ring, jeder +Ring auch ein Modul, da in ihm ja die Addition und Subtraktion +unbeschränkt und eindeutig ausführbar sind; die Umkehrungen gelten +aber natürlich nicht. + +\ZB~bildet das System aller ganzen Zahlen offenbar einen Ring, +weil die Summe, die Differenz und das Produkt von ganzen Zahlen +wieder eine ganze Zahl ist. Aber auch das System aller geraden +Zahlen oder überhaupt jedes System $(\dots ma \dots)$ aller ganzzahligen +Vielfachen einer \emph{ganzen} Zahl~$a$ bildet einen Zahlring; dies ist aber +nicht mehr der Fall, wenn $a$~eine gebrochene Zahl darstellt. \ZB\ +kommt das Element $\frac{1}{3}·\frac{1}{3} = \frac{1}{9}$ nicht in dem Bereich $(\dots m\frac{1}{3} \dots)$ vor, +der daher nur einen Modul bildet. + +Auf die folgende Art kann man aus zwei beliebig gegebenen +Körpern einen Ring bilden: Es seien +\[ +K(a, b, c, \dots) \quad\text{und}\quad K'(a', b', c', \dots) +\] +zwei beliebige Körper; $0$~und~$1$ bzw.\ $0'$~und~$1'$ mögen für sie das +Null- und das Einselement bezeichnen. Sind dann $a$,~$b$ bzw.\ $a'$,~$b'$ je +zwei beliebige Elemente von $K$~und~$K'$, so sind +\[ +a + b,\quad a - b,\quad ab,\quad \frac{a}{b} \quad\text{bzw.}\quad +\DPtypo{a}{a'} + b',\quad a' - b',\quad a'b',\quad \frac{a'}{b'}, +\] +\PageSep{030}{14} +eindeutig bestimmte Elemente innerhalb $K$ bzw.\ $K'$, mit der Maßgabe, +daß bei der Division der Nenner $b$ bzw.\ $b'$ nicht Null sein darf. + +Ich bilde nun einen neuen Bereich: +\[ +R(A, B, C, \dots) = R(K, K'), +\] +dessen Elemente +\[ +A = (a, a'),\quad +B = (b, b'),\ \dots\quad +D = (d, d') +\] +aus allen und nur den Systemen $(d, d')$ bestehen sollen, deren erster +und zweiter Bestandteil $d$,~$d'$ je ein beliebiges Element von $K$ bzw.\ +$K'$ ist. Zwei Elemente $A = (a, a')$ und $B = (b, b')$ sollen dann und +nur dann gleich heißen, wenn sie identisch sind, wenn also +\[ +a = b, \quad a' = b' +\] +ist. + +Für diesen Bereich definiere ich nun zwei Verknüpfungsoperationen, +die Addition und die Multiplikation, durch die beiden folgenden +Gleichungen: +\begin{gather*} +A + B = (a + b, a' + b'), \\ +AB = (ab, a'b'). +\end{gather*} +Dann erkennt man ohne weiteres, daß für diesen Bereich und die +so definierten Verknüpfungsoperationen die fünf ersten im §~1 aufgestellten +Grundgesetze bestehen, weil sie \ndV~für die Körper +$K$~und~$K'$ erfüllt sind. So ist \zB\ +\begin{align*} +&A + B = (a + b, a' + b') = (b + a, b' + a') = B + A, \\ +&(AB)C = ((ab)c, (a'b')c') = (a(bc), a'(b'c')) = A(BC), \\ +&A(B + C) = (a(b + c), a'(b' + c')) = (ab + ac, a'b' + a'c') = AB + AC +\end{align*} +usw. Aber auch das sechste Gesetz ist für $R$ erfüllt. Sind nämlich +$A$~und~$B$ beliebige Elemente von~$R$, so gibt es ein einziges Element +$X = (x, x')$, für welches: +\[ +A + X = B +\] +ist, welches also mit $B - A$ bezeichnet werden kann, nämlich das Element +\[ +X = (b - a, b' - a'). +\] +Endlich besitzt $R$ je ein Element Null und Eins, nämlich die Systeme +\PageSep{031}{15} +\[ +O = (0,0') \quad\text{und}\quad I = (1,1'), +\] +denn allein für sie ist ja bzw.: +\[ +A + O = A \quad\text{und}\quad AI = A. +\] +Hieraus folgt also, daß der Bereich $R(K, K')$ wirklich ein Ring ist, +\index{Ring!aus zwei Körpern komponierter}% +da für ihn die sechs ersten Grundgesetze bestehen. Wir wollen ihn +\so{den aus den Körpern $K$~und~$K'$ komponierten +Ring} nennen. + +Man erkennt aber sofort, daß $R$ sicher kein Körper ist, daß also +für seine Elemente nicht auch das siebente Grundgesetz, das der unbeschränkten +und eindeutigen Division, besteht. Sind nämlich +\[ +A = (a, a'), \quad B = (b, b') +\] +zwei beliebige Elemente von~$R$, so besitzt die Gleichung +\[ +\Tag{(1)} +AX = B +\] +dann und nur dann eine Lösung $X = (x, x')$, wenn man zwei Elemente $x$ +und $x'$ von $K$ und $K'$ so bestimmen kann, daß: +\[ +\Tag{(2)} +(ax, a'x') = (b, b') +\] +ist, daß also die beiden Gleichungen: +\[ +\Tag{(2^{a})} +ax = b, \quad a'x' = b' +\] +in $K$ und $K'$ eine Lösung besitzen. Dies ist stets und zwar nur auf +eine Weise möglich, wenn weder $a = 0$, noch auch $a' = 0'$ ist; +denn dann sind, wie auch $b$ und $b'$ gewählt seien, $x = \dfrac{b}{a}$, $x' = \dfrac{b'}{a'}$ +die eindeutig bestimmten Lösungen der beiden Gleichungen~\Eq{(2^{a})}. Die +Gleichung~\Eq{(2)} besitzt dann also stets die eindeutig bestimmte Lösung: +\[ +\Tag{(2^{b})} +X = \left(\frac{b}{a}, \frac{b'}{a'}\right), +\] +welche wir durch $\dfrac{B}{A}$ bezeichnen, und den \so{Quotienten von +$B$~und~$A$} nennen können. +\index{Quotient}% + +Ist dagegen nur einer der Bestandteile von~$A$, etwa der erste, +\PageSep{032}{16} +gleich Null, der andere $a'$ aber von Null verschieden, so ist $A = (0, a')$ +nicht gleich Null, aber trotzdem hat die Gleichung: +\[ +AX = B, \quad\text{\dh}\quad (0\Add{·}x, a'x') = (0, a'x') = (b, b') +\] +nur dann eine Lösung, wenn auch in $B = (0, b')$ der erste Bestandteil +gleich Null ist, und in diesem Falle hat jene Gleichung nicht eine, +sondern unendlich viele Lösungen, da die beiden Gleichungen: +\[ +0·x = 0,\quad a'x' = b' +\] +offenbar durch jedes Wertsystem $X = \left(x, \dfrac{b'}{a'}\right)$ befriedigt wird, dessen +erster Bestandteil~$x$ innerhalb $K$ ganz beliebig angenommen werden +kann. + +\begin{Theorem} +Der Bereich $R(K, K')$ stellt also in der Tat stets einen Ring +dar, da in ihm dann und nur dann die Division einer Zahl~$B$ +durch eine andere $A$ unbeschränkt und eindeutig ausführbar ist, +wenn in dem Divisor $A = (a, a')$ keiner der beiden Bestandteile +$a$~und~$a'$ gleich Null ist. +\end{Theorem} + +Ich bin absichtlich schon an dieser Stelle etwas ausführlicher auf +diese Art der Ringbildung aus zwei beliebigen Zahlkörpern $K$~und~$K'$ +eingegangen, weil sich zeigen wird, daß alle in der Zahlentheorie +zu betrachtenden Zahlenringe sich im wesentlichen in dieser Weise +aus zwei oder mehr Zahlkörpern zusammensetzen lassen, so daß +sich die kompliziertere Untersuchung dieser Ringe vollständig und +höchst einfach auf die Betrachtung der sie zusammensetzenden Zahlkörper +zurückführen lassen wird. +\PageSep{033}{17} + + +\Chapter{Zweites Kapitel.} +{Der Körper der rationalen Zahlen. +Die Primzahlen.} + +\Section{§ 1.}{Die Teilbarkeit der Zahlen. +Der größte gemeinsame Teiler.} + +%[** TN: Upright K in the original; elsewhere italic] +Ich wende mich nun zuerst der Untersuchung der rationalen +Zahlen oder der Zahlen des Körpers~$K(1)$ zu und betrachte hier +besonders ihre Eigenschaften in bezug auf ihre \emph{multiplikative} +Zusammensetzung aus einfachen Elementen. Eigentlich sollte man +diese Untersuchung für jede der beiden elementaren Rechenoperationen, +also sowohl für die additive wie auch für die multiplikative +Komposition und Dekomposition führen. Aber die bei der additiven +Zerlegung auftretenden Fragen sind entweder zu trivial oder zu +schwierig; wir besitzen noch keine eigentlich wissenschaftliche und +systematisch aufgebaute additive Zahlentheorie. Dagegen ist die +multiplikative Arithmetik von \Name{Gauß} in seinen \textit{Disquisitiones arithmeticae}, +die er bereits als 19jähriger Jüngling im wesentlichen +vollendet hatte, wundervoll einfach und systematisch entwickelt +worden. Mit dieser multiplikativen Zahlentheorie werden wir uns +in der Folge beschäftigen. Dabei wollen wir uns vorläufig auf den +Bereich $(0, ±1, ±2, \dots)$ der ganzen positiven und negativen Zahlen +einschließlich Null beschränken, da ja jede gegebene rationale Zahl +als Quotient von zwei ganzen Zahlen auf multiplikativem Wege dargestellt +werden kann. + +Wie schon oben erwähnt wurde, bilden die ganzen rationalen +Zahlen einen Zahlring~$R(1)$, da in ihrem Bereiche die Addition, die +\PageSep{034}{18} +Subtraktion und die Multiplikation unbeschränkt und eindeutig +ausführbar ist. + +Wir wollen uns die ganzen Zahlen in der üblichen Weise \emph{ihrer +Größe nach geordnet} denken und für ihre Vergleichung nach der +Größe die Bezeichnungen $a > b$ und $b < a$ im gewöhnlichen Sinn +verwenden. Unter dem \so{absoluten Wert} einer Zahl~$a$ verstehen +\index{Absoluter Wert einer Zahl}% +wir die Zahl~$a$ selbst oder die Zahl~$-a$, je nachdem $a$~positiv oder +negativ ist; der absolute Wert einer beliebigen positiven oder negativen +Zahl ist also stets positiv. Der absolute Wert von~$a$ soll durch +$|a|$ bezeichnet werden. So ist \zB\ $|-6| = 6$, $|7| = 7$. Ferner +sei $|0| = 0$. + +Sind $a$ und $b$ zwei beliebige ganze Zahlen, von denen nur $b$ von +Null verschieden sein muß, so kann man $a$ durch $b$ dividieren und +erhält dabei neben einem ganzzahligen Quotienten~$m$ einen Divisionsrest~$c$; +man kann diesem Rest die Bedingung auferlegen, entweder +daß er positiv oder negativ, aber seinem absoluten Werte nach +möglichst klein sein, oder daß er einen möglichst kleinen nicht +negativen Wert haben soll; doch mag zunächst von einer solchen +speziellen Vorschrift abgesehen und nur verlangt werden, daß der +Rest~$c$ seinem absoluten Wert nach kleiner als der absolute Wert +des Divisors~$b$ sei, wodurch $c$ im allgemeinen zweideutig bestimmt +ist. Es besteht also stets eine Gleichung +\[ +a = mb + c, \quad\text{wo } |c| < |b| +\] +ist. So ist \zB: für $a = 212$, $b = 13$ +\[ +212 = 16·13 + 4 = 17·13 - 9, +\] +und beide Male sind die Divisionsreste $c = 4$, $c' = -9$ absolut genommen +kleiner als~$13$. + +Ist der Divisionsrest $c = 0$, also $a = mb$, so heißt $a$ ein \so{Vielfaches} +oder \so{Multiplum} von~$b$, $b$~ein \so{Teiler} von~$a$. Nur +dann ist $\dfrac{a}{b} = m$ eine ganze Zahl. Allein in diesem Falle ist die +Division im Ringe~$R(1)$ der ganzen Zahlen ausführbar. Es gilt +der Satz: + +Ist $a$ teilbar durch~$b$, $b$~teilbar durch~$c$, so ist $a$ teilbar durch~$c$. +\PageSep{035}{19} +Denn aus den beiden Beziehungen $a = mb$, $b = nc$ folgt ja +$a = (mn)c$. + +Ist eine Zahl~$\delta$ in mehreren Zahlen $a$,~$b$,~\dots~$c$ enthalten, so heißt +$\delta$~ein \so{gemeinsamer Teiler} von $a$,~$b$,~\dots~$c$. Da zugleich mit $\delta$ +auch $-\delta$ gemeinsamer Teiler von $a$ und $b$ ist, so wollen und können +wir uns im folgenden immer auf die Betrachtung der positiven Teiler +beschränken. + +\begin{Examples} +Beispiele: \Item{1)} $24$ und $36$ haben die gemeinsamen Teiler $\delta = 1$, $2$, +$3$, $4$, $6$, $12$ und keine anderen. + +\Item{2)} $30$, $45$ und $75$ haben die gemeinsamen Teiler $\delta = 1$, $3$, $5$,~$15$. + +\Item{3)} $120$, $180$ und $300$ haben die gemeinsamen Teiler $\delta = 1$, $2$, +$3$, $4$, $5$, $6$, $10$, $12$, $15$, $20$, $30$,~$60$. +\end{Examples} + +Die wichtigste Aufgabe dieses Kapitels ist nun folgende: +\begin{Theorem} +Es sollen alle gemeinsamen Teiler~$\delta$ von beliebig vielen gegebenen +ganzen Zahlen $a$,~$b$,~\dots~$c$ gefunden werden. +\end{Theorem} + +Ist $\delta$ irgend ein gemeinsamer Teiler von $a$,~$b$,~\dots~$c$, ist also +$a = a_{0}\delta$, $b = b_{0}\delta$,~\dots $c = c_{0}\delta$, so ist auch jede Zahl, welche aus +$a$,~$b$,~\dots~$c$ durch Addition oder Subtraktion hervorgeht, also jede Zahl +\[ +ra + sb + \dots + tc = (ra_{0} + sb_{0} + \dots + tc_{0})\delta +\] +des durch die Basis $a$,~$b$,~\dots~$c$ bestimmten Moduls $M(a, b, \dots c)$ durch +$\delta$~teilbar. Wir können also die obige Aufgabe auch so aussprechen: +\begin{Theorem} +Es sollen alle gemeinsamen Teiler~$\delta$ sämtlicher Elemente +eines durch die ganzen Zahlen $a$,~$b$,~\dots~$c$ bestimmten Moduls +$M(a, b, \dots c)$ gefunden werden. +\end{Theorem} + +Jeder solche durch eine beliebige Basis bestimmte ganzzahlige +Modul $M(a, b, \dots c)$ ist nun gleich einem eingliedrigen Modul~$M(d)$. +Ist nämlich $d$ die kleinste positive Zahl, welche in $M(a, b, \dots c)$ +vorkommt, so beweise ich, daß dieser Modul gleich dem eingliedrigen +Modul~$M(d)$ ist, welcher aus allen und nur den Vielfachen +von $d$ besteht. Einmal nämlich enthält ja $M(a, b, \dots c)$ +nach der Definition des Moduls sicher alle Vielfachen von~$d$, da er +dieses Element selbst enthält. Zweitens aber kann dieser Modul +auch nicht ein einziges Element enthalten, das kein Vielfaches von $d$ +\PageSep{036}{20} +ist; denn ist \zB\ $a$ nicht durch $d$ teilbar, also $a = md + d_{0}$, wo +$d_{0}$ positiv und kleiner als $d$ angenommen werden darf, so kann $a$ +nicht dem Modul $M(a, b, \dots c, d)$ angehören, weil sonst auch +$d_{0} = a - md < d$ ihm angehören müßte, während doch nach Voraussetzung +$d$ die kleinste positive Zahl des Moduls ist. Es besteht +also der Satz: +\begin{Theorem} +Jeder ganzzahlige Modul $M(a, b, \dots c)$ ist gleich einem eingliedrigen +Modul~$M(d)$, dessen Grundelement die kleinste positive +Zahl ist, welche in $M(a, b, \dots c)$ vorkommt. +\end{Theorem} + +Hiernach sind alle gemeinsamen Teiler~$\delta$ der Zahlen $a$,~$b$,~\dots~$c$ +identisch mit den gemeinsamen Teilern aller Zahlen $(0, ±d, ±2d, \dots)$ +des eingliedrigen Moduls~$M(d)$, diese aber sind offenbar einfach die +sämtlichen Divisoren der einen Zahl~$d$, diese selbst eingeschlossen. +$d$~ist demnach der \so{größte gemeinsame Teiler} jener +\index{Gemeinsamer Teiler, größter}% +Zahlen. Wir können somit den folgenden Fundamentalsatz +aussprechen, der die vollständige Lösung des oben gestellten +Problemes ergibt: +\begin{Theorem} +Alle gemeinsamen Teiler von beliebig vielen ganzen Zahlen +$a$,~$b$,~\dots~$c$ sind die sämtlichen Divisoren des größten unter ihnen; +dieser größte gemeinsame Teiler ist die kleinste positive Zahl, die +in dem Modul $M(a, b, \dots c)$ vorkommt. Der größte gemeinsame +Teiler~$d$ der Zahlen $a$,~$b$,~\dots~$c$ soll kurz mit $d = (a, b, \dots c)$ bezeichnet +werden. +\end{Theorem} + +So ist \zB\ +\[ +12 = (24, 36);\quad +15 = (30, 45, 75);\quad +60 = (120, 180, 300); +\] +man sieht aus den \aSeite{19} gegebenen Beispielen, daß wirklich alle +gemeinsamen Teiler \zB\ von $120$, $180$ und $300$ in der Zahl~$60$, +ihrem größten gemeinsamen Teiler, enthalten sind und zwar sämtliche +Teiler dieses größten gemeinsamen Divisors darstellen. + + +\Section{§ 2.}{Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers. Das +kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen.} + +Es gibt ein einfaches Verfahren, um die kleinste in einem Modul +$M(a, b, \dots c)$ vorkommende positive Zahl~$d$, also den größten gemeinsamen +\PageSep{037}{21} +Teiler von $a$,~$b$,~\dots~$c$ zu bestimmen. Hierzu sei nur noch +der folgende, auch sonst in diesem Paragraphen öfters benutzte +Satz vorausgeschickt: +\begin{Theorem} +Ein Modul $M(a, b, \dots c)$ bleibt ungeändert, wenn von einem +Elemente seiner Basis ein \DPtypo{ganzahliges}{ganzzahliges} Vielfaches eines anderen +abgezogen oder zu ihm hinzugefügt wird. Es ist also: +\[ +M(a, b, \dots c) = M(a', b, \dots c), \quad\text{wenn $a' = a - tb$} +\] +ist. +\end{Theorem} + +Da nämlich $a' = a - tb$ dem Modul $M(a, b, \dots c)$ und $a = a' + tb$ +dem Modul $M(a', b, \dots c)$ angehört, so stimmt offenbar die Gesamtheit +aller durch die Basis $(a, b, \dots c)$ und der durch die Basis $(a', b, \dots c)$ +homogen und linear darstellbaren Zahlen überein. + +Ist speziell $a = tb$ ein Vielfaches von~$b$, so ist $M(a, b, \dots c) += M(a - tb, b, \dots c) = M(0, b, \dots c)$, und da in jeder Basis das +Element~$0$ offenbar fortgelassen werden kann, so ist in diesem Falle: +\[ +M(a, b, \dots c) = M(b, \dots c). +\] +\begin{Theorem} +In einem Modul kann also jedes Element seiner Basis einfach +fortgelassen werden, welches ein Multiplum eines anderen +Basiselementes ist. +\end{Theorem} + +Wir denken uns nun die Basiselemente $a$,~$b$, $c$,~\dots~$e$ des Moduls~$M$, +die alle positiv angenommen werden können, ihrer Größe nach geordnet, +so daß $a < b < c < \dots < e$ ist. Dann kann man zunächst +ein geeignetes Vielfaches~$ta$ von $a$~derart finden, daß die Differenz +$b' = b - ta$ nicht negativ und kleiner als $a$ wird; in dem nach dem +letzten Satz mit dem ursprünglichen übereinstimmenden Modul +$M(a, b', c, \dots e)$ ordne man die Elemente $a$,~$b'$,~\dots\ wieder ihrer +Größe nach an, wozu nur $b'$ mit $a$ zu vertauschen ist. In dieser +Weise fahre man sukzessive fort; ergibt sich einmal die Differenz +Null, so kann man diese einfach fortlassen. Da das jeweils kleinste +der betrachteten Elemente bei jedem Schritt verkleinert wird, so +kann dieses Verfahren nicht ins Unendliche fortgesetzt werden; +man muß also nach einer endlichen Zahl von Schritten zu einem +dem ursprünglichen Modul äquivalenten System mit nur einem +einzigen Element~$d$ gelangen. Dieses Element ist daher der größte +gemeinsame Teiler der Zahlen $a$,~$b$, $c$,~\dots~$e$. +\PageSep{038}{22} + +Die Anwendung dieser Methode auf die Bestimmung des größten +gemeinsamen Teilers $d = (a, b)$ von nur \emph{zwei} positiven ganzen Zahlen +führt auf das altberühmte \so{Euklidische Verfahren} (\Name{Euklid's} +Elemente Buch~VII Satz~2). Ist etwa $a > b$, so bilden wir durch +\index{Euklidisches Teilerverfahren}% +sukzessive Division die folgenden Gleichungen: +\[ +\Tag{(1)} +\begin{alignedat}{2} +a &= mb &&+ c\\ +b &= nc &&+ d\\ +c &= pd &&+ e\\ +\PadTo{c}{\vdots} & \\ +f &= sg &&+ h\\ +g &= th; +\end{alignedat} +\] +dann bilden die Zahlen $a$,~$b$ zusammen mit den ganzen positiven +Divisionsresten $c$,~$d$,~\dots~$h$ eine abnehmende Reihe positiver Zahlen, +welche notwendig abbricht, so daß sich zuletzt der Divisionsrest +Null ergibt. Der letzte \emph{positive} Divisionsrest~$h$ ist dann die +gesuchte kleinste Zahl des Moduls~$(a, b)$. In der Tat ist, da +$c = a - mb$, $d = b - nc$,~\dots $h = f - sg$ alle dem Modul~$(a, b)$ angehören, +\[ +M(a, b) = M(a, b, c) = \dots = M(a, b, c, \dots g, h) = M(h); +\] +die letzte Beziehung folgt daraus, daß man aus dem Gleichungssystem~\Eq{(1)} +von der letzten Gleichung ausgehend sukzessive erschließen +kann, daß $g$,~$f$,~\dots $c$,~$b$,~$a$ Multipla von~$h$ sind. + +Ist $d$ der größte gemeinsame Teiler von $a$,~$b$,~\dots~$c$, so läßt +sich diese Zahl, da sie dem Modul $M(a, b, \dots c)$ angehört, als +homogene lineare Funktion von $a$,~$b$,~\dots~$c$ mit ganzzahligen Koeffizienten +darstellen, wobei sich diese Koeffizienten für den besonderen +Fall des größten gemeinsamen Teilers von nur zwei Zahlen leicht +aus den Gleichungen~\Eq{(1)} des Euklidischen Verfahrens ergeben. Es +gilt also der Satz: +\begin{Theorem} +Ist $d$ der größte gemeinsame Teiler von $a$,~$b$,~\dots~$c$, so kann +man stets ganze Zahlen $m$,~$n$,~\dots~$r$ so bestimmen, daß die Beziehung +\[ +ma + nb + \dots + rc = d +\] +\PageSep{039}{23} +besteht. Offenbar können diese Multiplikatoren auf unendlich +viele verschiedene Arten bestimmt werden. +\end{Theorem} + +Da auch jedes Multiplum von~$d$ dem Modul~$M(d)$ angehört, so +kann \emph{jede} durch $d$ teilbare Zahl in dieser Form dargestellt werden. +Aber auch \emph{nur} die Multipla von~$d$ lassen eine solche Darstellung +zu, da ja eine Gleichung von der Form +\[ +Ma + Nb + \dots + Rc = D +\] +dann und nur dann besteht, wenn $D$ dem Modul $M(a, b, \dots c)$ +angehört; und da dieser Modul gleich dem Modul~$M(d)$ ist, so +muß $D$~ein Multiplum von~$d$ sein. + +\begin{Examples}%[** Colon outside italics in the original] +\emph{Beispiel:} Es sei der größte gemeinsame Teiler der Zahlen $1551$ +und $984$ gesucht. Das Euklidische Verfahren gestaltet sich folgendermaßen: +\begin{align*} +1551 &= 1·984 + 567\\ +984 &= 1·567 + 417\\ +567 &= 1·417 + 150\\ +417 &= 2·150 + 117\\ +150 &= 1·117 + 33\\ +117 &= 3·33 + 18\\ +33 &= 1·18 + 15\\ +18 &= 1·15 + 3\\ +15 &= 5·3. +\end{align*} +Daher ist $(1551, 984) = 3$. Kürzer ergibt sich übrigens dieses +Resultat, wenn man stets die ihrem absoluten Wert nach kleinsten +positiven oder negativen Reste aufsucht. Man erhält dann: +\begin{align*} +1551 &= 2·984 - 417\\ +984 &= 2·417 + 150\\ +417 &= 3·150 - 33\\ +150 &= 5·33 - 15\\ +33 &= 2·15 + 3\\ +15 &= 5·3. +\end{align*} +Der erhaltene größte gemeinsame Teiler~$3$ läßt sich \zB\ der letzten +Gleichungsreihe gemäß in der Form $3 = 93·984 - 59·1551 = 91512 - 91509$ +\PageSep{040}{24} +durch $984$ und $1551$ homogen und linear mit den +Koeffizienten $93$ und $-59$ darstellen. +\end{Examples} + +Besonders wichtig ist der Fall, daß der größte gemeinsame Teiler +\index{Teilerfremde Zahlen}% +der Zahlen $a$,~$b$,~\dots~$c$ den kleinsten möglichen Wert~$1$ hat, daß also +der zugehörige Modul $M(a, b, \dots c)$ aus \emph{allen} ganzen Zahlen besteht. +Alsdann nennt man jene Zahlen \so{teilerfremd} oder \so{relativ prim}. +In diesem Fall allein kann man demnach ganzzahlige Multiplikatoren +$m$,~$n$,~\dots~$r$ so bestimmen, daß +\[ +\Tag{(2)} +ma + nb + \dots + rc = 1 +\] +wird. \ZB\ ist $(12, 15, 10) = 1$, und es besteht die Gleichung +$-12·12 + 9·15 + 1·10 = 1$. Da jede ganze Zahl ein Vielfaches +von~$1$ ist, so kann man überhaupt jede ganze Zahl als homogene +lineare Funktion teilerfremder Zahlen $a$,~$b$,~\dots~$c$ mit ganzzahligen +Koeffizienten darstellen. + +Ist $(a, b, \dots c) = d$, so daß die Elemente +\[ +a = da_{0},\quad +b = db_{0},\ \dots\quad +c = dc_{0} +\] +sämtlich Multipla von $d$ sind, so sind die komplementären Zahlen +$a_{0}$,~$b_{0}$~\dots~$c_{0}$ zueinander teilerfremd; denn hätten diese Zahlen noch +einen gemeinsamen Teiler~$d'$, so wäre ja $dd'$ gemeinsamer Teiler +von $a$,~$b$,~\dots~$c$ gegen die Voraussetzung, daß $d$ der größte gemeinsame +Teiler dieser Zahlen ist. + +Wir beweisen nun leicht einige wichtige Folgerungen der gefundenen +Sätze über den größten gemeinsamen Teiler. +\begin{Theorem} +Ist $(a, b, \dots c) = d$ und $r$~eine zu $b$,~\dots~$c$ teilerfremde, sonst +völlig beliebige ganze Zahl, so ist auch $(ra, b, \dots c) = d$. +\end{Theorem} + +Sicher ist zunächst $\bar{d} = (ra, b, \dots c)$ ein Vielfaches von~$d$, da ja +wegen der Voraussetzung die Zahlen $ra$,~$b$,~\dots~$c$ sämtlich $d$ enthalten. +Da aber $(r, b, \dots c) = 1$ ist, so kann man wie in~\Eq{(2)} eine Reihe +ganzer Zahlen $\rho$,~$\beta$,~\dots~$\gamma$ so bestimmen, daß +\[ +\rho r + \beta b + \dots + \gamma c = 1 +\] +wird, woraus durch Multiplikation mit~$a$ folgt: +\[ +\rho (ra) + (\beta a) b + \dots + (\gamma a) c = a. +\] +\PageSep{041}{25} +Substituiert man diesen Wert in $d = (a, b, \dots c)$, so ergibt sich: +\[ +d = (\rho ra + (\beta a)b + \dots + (\gamma a)c, b, \dots c) = (\rho ra, b, \dots c), +\] +weil nach dem auf \Seite{21} oben bewiesenen Satz aus dem ersten Glied +die Vielfachen von $b$,~\dots~$c$ fortgelassen werden dürfen. Da schließlich +$\bar{d} = (ra, b, \dots c)$ ein Teiler von $(\rho ra, b, \dots c) = d$ sein muß, +während dieselbe Zahl sich vorher als Vielfaches von~$d$ erwies, so ist +notwendig wirklich $d = \bar{d}$, \wzbw. + +Speziell \emph{ist stets $(ra, b) = (a, b)$, sobald $(r, b) = 1$ ist}. Man +kann daher bei der Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers +von zwei ganzen Zahlen aus der einen jeden Faktor fortlassen, der +zur andern teilerfremd ist. So ist \zB\ $(840, 256) = (3·5·7·8, 256) += (8, 256) = 8$, weil die Zahlen $3$,~$5$,~$7$ sämtlich zu $256$ relativ prim +sind. + +Aus diesem Hauptsatz ergeben sich sofort drei wichtige Folgerungen: +\begin{Theorem} +\Item{I)} Das Produkt von zwei zu $c$ teilerfremden Zahlen $a$~und~$b$ +ist selbst zu $c$ teilerfremd. +\end{Theorem} + +Denn nach dem letzten Satz folgt ja aus $(b, c) = (a, c) = 1$ stets +$(ab, c) = (a, c) = 1$. \ZB~ergibt sich aus $(5, 6) = 1$, $(7, 6) = 1$: +$(35, 6) = 1$. + +\begin{Theorem} +\Item{II)} Ist $r$ teilerfremd zu~$b$, aber $ar$ durch $b$ teilbar, so ist +notwendig $a$ durch $b$ teilbar. +\end{Theorem} + +Denn nach der Voraussetzung $(ar, b) = b$ folgt aus dem obigen +Satze: $b = (ar, b) = (a, b)$. \ZB~ergibt sich aus der Voraussetzung, +daß $48 = 3·16$ durch $8$ teilbar ist, daß $8$ in $16$ enthalten +sein muß, weil $(3, 8) = 1$ ist. + +Durch wiederholte Anwendung des Satzes~\Iref{I)} folgt: +\begin{Theorem} +\Item{III)} Ist von den Zahlen +\[ +a, b, c, d, \dots \quad\text{und}\quad a', b', c', d', \dots +\] +jede ungestrichene zu jeder gestrichenen teilerfremd, so sind auch +die Produkte +\[ +abcd\dots \quad\text{und}\quad a'b'c'd'\dots +\] +\PageSep{042}{26} +zueinander teilerfremd. +\end{Theorem} + +Nimmt man in diesem Satz sämtliche Elemente jeder Zahlenreihe +als gleich an, so ergibt sich: +\begin{Theorem} +\Item{IV)} Sind $a$ und $a'$ \DPtypo{relativprim}{relativ prim}, $m$~und~$m'$ beliebige ganze +positive Zahlen, so sind auch stets die Potenzen $a^{m}$~und~$a'^{m'}$ +relativ prim. +\end{Theorem} +\ZB~folgt aus $(3, 5) = 1$: $(3^{6}, 5^{4}) = 1$ oder $(729, 625) = 1$. + +Aus dem letzten Satz läßt sich noch eine interessante Folgerung +ziehen: +\begin{Theorem} +\Item{V)} Die \Ord{$m$}{-te}~Wurzel aus einer ganzen Zahl~$A$ kann niemals +eine gebrochene Zahl sein; diese ist also entweder ebenfalls ganz +oder irrational. +\end{Theorem} + +Wäre nämlich $\sqrt[m]{A} = \dfrac{a}{b}$ eine gebrochene Zahl, so könnten wir +Zähler und Nenner als teilerfremd voraussetzen, da anderenfalls +$d = (a, b)$ durch das Euklidische Verfahren bestimmt und aus Zähler +und Nenner weggehoben werden könnte. Aus der Voraussetzung +$\sqrt[m]{A} = \dfrac{a}{b}$ würde sich aber $A = \dfrac{a^{m}}{b^{m}}$ ergeben, so daß $a^{m}$ durch $b^{m}$ teilbar +wäre, während doch nach~\Iref{(IV)} $a^{m}$ zu $b^{m}$ teilerfremd sein muß. + +In engem Anschluß an die soeben behandelte Frage nach den +gemeinsamen Teilern mehrerer Zahlen betrachten wir nun diejenige +nach ihren gemeinsamen Vielfachen. Eine Zahl~$\mu$ heißt ein \so{gemeinsames +Vielfaches} mehrerer Zahlen $a$,~$b$,~\dots~$c$, wenn sie +\index{Gemeinsames Vielfaches, kleinstes}% +durch jede von ihnen teilbar, wenn also +\[ +\mu = \alpha a = \beta b = \dots = \gamma c +\] +ist. Der Bereich aller gemeinsamen Vielfachen von $a$,~$b$,~\dots~$c$ bildet +offenbar einen Modul $M(\mu, \mu', \dots)$; denn sind $\mu$~und~$\mu'$ beide durch +jede der Zahlen $a$,~$b$,~\dots~$c$ teilbar, so gilt ja dasselbe von ihrer Summe +und ihrer Differenz. Ist aber~$m$ die kleinste positive Zahl dieses +Moduls, \dh\ das \so{kleinste gemeinsame Vielfache} von +$a$,~$b$,~\dots~$c$, so folgt aus dem auf \Seite{20} oben bewiesenen Satze, daß jedes +andere gemeinsame Vielfache ein Multiplum von~$m$ ist. Es besteht +also der Satz: +\PageSep{043}{27} +\begin{Theorem} +Alle gemeinsamen Vielfachen beliebig vieler Zahlen $a$,~$b$,~\dots~$c$ +sind die sämtlichen Multipla des kleinsten unter ihnen. Dieses +kleinste gemeinsame Vielfache soll durch +\[ +m = [a, b, \dots c] +\] +bezeichnet werden. +\end{Theorem} + +Nur dieses kleinste gemeinsame Multiplum braucht man also zu +bestimmen, und zwar genügt es ersichtlich, dies für den Fall von +nur zwei Zahlen $a$,~$b$ zu tun. Diese Frage wird durch den folgenden +Satz völlig gelöst: +\begin{Theorem} +Ist $d = (a, b)$ der größte gemeinsame Teiler der Zahlen $a$,~$b$, +so gilt für ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches $m$ die Gleichung: +\[ +m = \frac{ab}{(a, b)} \quad\text{oder}\quad md = ab. +\] +\end{Theorem} + +Ist nämlich $a = a_{0}d$, $b = b_{0}d$, wo $(a_{0}, b_{0}) = 1$ ist, so ist eine +Zahl~$\mu$ dann und nur dann gemeinsames Multiplum von $a$~und~$b$, +wenn $\dfrac{\mu}{a_{0}d}$ und $\dfrac{\mu}{b_{0}d}$ ganze Zahlen sind. Zunächst muß also +$\mu$ ein Vielfaches von~$d$ sein: $\mu = \mu_{0}d$, und auch die beiden Quotienten +$\dfrac{\mu_{0}}{a_{0}}$ und $\dfrac{\mu_{0}}{b_{0}}$ müssen ganz sein. Da aber $a_{0}$~und~$b_{0}$ teilerfremd +sind, so folgt aus $\mu_{0} = ka_{0}$ nach Satz~\Iref{II)} auf \Seite{25}: $k = lb_{0}$, +also $\mu_{0} = l(a_{0}b_{0})$ \dh\ $\mu = l(a_{0}b_{0}d) = l\dfrac{ab}{d}$. Das \emph{kleinste} gemeinsame +Vielfache folgt hieraus für $l = 1$: $m = \dfrac{ab}{d}$. + +\ZB\ ist $(12, 15) = 3$, $[12, 15] = 60$, und es ist wirklich $60·3 += 12·15$. + +Sind speziell $a$~und~$b$ teilerfremd, also $d = 1$, so ist das kleinste +gemeinsame Vielfache gleich~$ab$. Allgemein sieht man leicht die +Richtigkeit des folgenden Satzes ein, dessen einfacher Beweis dem +Leser überlassen bleibe: +\begin{Theorem} +Sind $a$,~$b$, $c$,~\dots~$d$ beliebig viele Zahlen, von denen je zwei +stets zueinander teilerfremd sind, so ist ihr kleinstes gemeinsames +Vielfaches gleich ihrem Produkt. +\end{Theorem} +\PageSep{044}{28} + + +\Section{§ 3.}{Die Primzahlen. Die eindeutige Zerlegung der +rationalen Zahlen in Primzahlen.} + +Der Begriff der Teilbarkeit ermöglicht uns die wichtigsten Zahlen +der Zahlentheorie, die sog.\ \so{Primzahlen}, zu definieren: +\index{Primzahlen}% +\begin{Definition} +Eine ganze Zahl~$p$, welche außer den selbstverständlichen +(uneigentlichen) Teilern $p$~und~$1$ keinen Divisor besitzt, heißt eine +Primzahl. Jede andere ganze Zahl, die also mindestens einen +\emph{eigentlichen} Teiler hat, wird eine \so{zusammengesetzte +Zahl} genannt. +\end{Definition} + +Man kann offenbar stets durch eine endliche Zahl von Versuchen +feststellen, ob eine vorgelegte Zahl~$a$ eine Primzahl ist oder nicht. +Da nämlich ein eigentlicher Teiler von $a$ kleiner als $a$ sein muß, so +braucht man höchstens zu probieren, ob $a$ durch eine der Zahlen +$2$,~$3$,~\dots~$a - 1$ teilbar ist. Man braucht mit diesen Versuchen sogar +nur bis $\sqrt{a}$ bzw.\ bis zur nächst kleineren ganzen Zahl zu gehen; ist +nämlich $d$ ein eigentlicher Teiler von~$a$, also $a = dd'$, so kann hier +ohne Beschränkung der Allgemeinheit $d \leqq d'$ angenommen werden, +da man andernfalls $d$ mit $d'$ vertauschen könnte; aus $d \leqq d'$ folgt +aber $a = dd' \geqq d^{2}$, also wirklich $d \leqq \sqrt{a}$. Hat also $a$ keinen +zwischen $1$~und~$\sqrt{a}$ (dieses ev.\ eingeschlossen) liegenden Teiler, so +ist $a$ eine Primzahl. Um \zB\ zu entscheiden, ob $131$ eine Primzahl +ist, hat man nur die Teilbarkeit von~$131$ durch $2$,~$3$,~\dots~$11$ +zu prüfen. + +Auf dieser Tatsache kann man ein einfaches Verfahren begründen, +um aus der Reihe aller ungeraden Zahlen (die geraden Zahlen sind ja +mit Ausnahme der Primzahl~$2$ alle zusammengesetzt) alle Primzahlen +auszusondern. Es ist dies das sog.\ \emph{Sieb des Eratosthenes} (276--194 +\index{Sieb d.\ Eratosthenes}% +v.~Chr.). Um nämlich zu entscheiden, welche positiven ungeraden +Zahlen Primzahlen sind, schreibe man alle ungeraden Zahlen der +Reihe nach hin und durchstreiche zunächst, von $3^{2} = 9$ ausgehend, +jede dritte Zahl, dann von $5^{2} = 25$ ausgehend jede fünfte Zahl usw., +allgemein vom Quadrat der nächsten noch nicht durchstrichenen +Zahl~$p$ ausgehend jede \Ord{$p$}{-te}~Zahl, wobei allemal die bereits durchstrichenen +Zahlen beim Weiterzählen mitzurechnen sind. Hat man +\PageSep{045}{29} +dieses Verfahren bis zu einer Zahl~$b$ durchgeführt, so stellen die +undurchstrichen gebliebenen Zahlen alle Primzahlen unter $b^{2}$ dar, +wenn man noch die einzige gerade Primzahl~$2$ ihnen hinzufügt. +Die Begründung dieses Verfahrens ist so einfach, daß es hierüber +keiner Ausführung mehr bedarf. + +Im ersten Hundert ergeben sich so die $25$~Primzahlen: +\begin{gather*} +2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47,\ 53,\ 59,\ 61,\ 67,\\ +71,\ 73,\ 79\DPtypo{}{,}\ 83\DPtypo{}{,}\ 89\DPtypo{}{,}\ 97; +\end{gather*} +im zweiten Hundert findet man $21$~Primzahlen: +\begin{gather*} +101,\ 103,\ 107,\ 109,\ 113,\ 127,\ 131,\ 137,\ 139,\ 149,\ 151,\ 157,\ 163,\ 167,\\ +173,\ 179,\ 181,\ 191,\ 193,\ 197,\ 199. +\end{gather*} +Außer den Zahlen $3$,~$5$,~$7$ existieren offenbar keine \emph{drei} benachbarten +Primzahlen, da ja von drei aufeinander folgenden ungeraden Zahlen +stets eine durch drei teilbar sein muß. + +Das Gesetz, nach welchem die so einfach bestimmbaren Primzahlen +aufeinander folgen, kennen wir nicht. Sicherlich weist die +Reihe aller Primzahlen beliebig große Lücken auf, sobald man sie +nur genügend weit verfolgt; denn ist $n$ eine noch so große gegebene +Zahl, so ist von den $n - 1$ aufeinander folgenden Zahlen +\[ +n! + 2,\quad +n! + 3,\quad +n! + 4,\ \dots \quad +n! + n, +\] +wo $n! = 1·2·3 \dots n$ ist, keine einzige eine Primzahl, da für jedes +$i = 2$, $3$,~\dots~$n$ offenbar \zB\ $n! + i$ durch $i$ teilbar ist. + +Man hat bei den Primzahlen gewisse merkwürdige Tatsachen +beobachtet, deren Beweis mit den heutigen Mitteln unserer Wissenschaft +noch nicht gelungen ist, obgleich sie wohl sicher richtig sind. +Hier seien nur zwei derartige Sätze erwähnt: +\begin{Theorem} +Jede gerade Zahl kann als Summe zweier Primzahlen dargestellt +werden. +\end{Theorem} + +Dieses Theorem wurde zuerst von \Name{Goldbach}, dann von \Name{Waring} +\index{Goldbachs Theorem}% +aufgestellt, aber nicht bewiesen. Die Prüfung der ersten geraden +Zahlen, etwa bis~$1000$, lehrt sogar, daß die Anzahl der Darstellungen +von~$2n$ in dieser Form, abgesehen von kleineren Schwankungen, +\PageSep{046}{30} +mit wachsendem $n$ beständig zunimmt, wodurch die Wahrscheinlichkeit, +daß dieser Satz zutrifft, erhöht wird. + +\begin{Theorem} +Jede gerade Zahl kann auf unendlich viele verschiedene +Arten als Differenz zweier Primzahlen dargestellt werden. Insbesondere +müssen sich daher in der Reihe aller Primzahlen, wie +weit man auch in ihr fortschreiten mag, stets noch Paare von +Primzahlen finden, wie \zB\ die Paare $(3, 5)$, $(11, 13)$, $(29, 31)$, +$(71, 73)$, $(137, 139)$,~\dots, deren Differenz gleich zwei ist, die sich +also nur um zwei Einheiten unterscheiden. +\end{Theorem} + +Natürlich nimmt aber die Häufigkeit solcher Paare benachbarter +Primzahlen um so mehr ab, je weiter man in der Reihe aller +Primzahlen fortgeht. So finden sich \zB\ im ersten Hundert neun, +im zweiten nur sieben solche Paare, wie sich aus der Tabelle auf +\Seite{29} ergibt. + +Besonders merkwürdig ist auch, daß bei mehreren Sätzen über +die Primzahlen und ihre Verteilung, deren allgemeiner Nachweis +schließlich gelungen ist, doch ein höchst auffallendes Mißverhältnis +zwischen der Einfachheit und Verständlichkeit der Theoreme und +dem mühsamen Wege und den schwierigen Hilfsmitteln besteht, +deren man zu ihrer Herleitung bedurfte. + +Daß \emph{die Anzahl aller Primzahlen nicht endlich sein kann}, +hat bereits \Name{Euklid} auf die folgende wunderbar einfache und scharfsinnige +Art bewiesen: Angenommen, es gäbe nur eine endliche Anzahl +von Primzahlen, $2$,~$3$, $5$,~\dots~$p$, so daß $p$ die größte existierende +Primzahl wäre, so gibt die Zahl +\[ +m = 2·3·5 \dots p + 1 +\] +bei der Division durch jede einzelne Primzahl $2$,~$3$,~\dots~$p$ den Rest~$1$; +da $m$ demnach durch keine dieser Primzahlen teilbar ist, so muß +$m$ entweder selbst eine neue Primzahl sein oder lauter neue Primzahlen +enthalten. Dieser Euklidische Beweis ist auch deshalb besonders +schön und wertvoll, weil er gleich ein endliches Intervall ergibt, +in welchem eine neue Primzahl liegen muß; in der Tat folgt +ja unmittelbar aus dem Euklidischen Beweise: +\begin{Theorem} +Ist $p$ eine beliebig gegebene Primzahl, so muß in dem +\PageSep{047}{31} +Intervall von~$p + 1$ bis $2·3·5 \dots p + 1$ (inkl.)\ mindestens \emph{eine} +neue Primzahl vorhanden sein. +\end{Theorem} + +Es sei hier nur erwähnt, daß es den Bemühungen der Mathematiker +gelungen ist, anstatt dieser großen Intervalle wesentlich +kleinere aufzufinden. Am schönsten und einfachsten ist wohl in +dieser Beziehung der folgende von \Name{Tschebyscheff} herrührende Satz, +\index{Tschebyscheffs Primzahlsatz}% +dessen Beweis aber wesentlich höhere Hilfsmittel erfordert: +\begin{Theorem} +Ist $a$ irgend eine oberhalb von $3$,~$5$ gelegene reelle Zahl, so +liegt stets zwischen den Grenzen $a$ und $2a - 2$ mindestens eine +Primzahl. +\end{Theorem} + +\ZB\ muß also zwischen $4$~und~$6$, $5$~und~$8$, $6$~und~$10$, $12$~und~$22$ +usw.\ jeweils mindestens eine Primzahl liegen. + +Da es nur die einzige gerade Primzahl~$2$ gibt, so besagt der +Euklidische Satz über die unendliche Anzahl der Primzahlen, daß insbesondere +die Reihe +\[ +1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11,\ \dots +\] +aller ungeraden Zahlen unendlich viele Primzahlen enthält. Teilt +man diese Reihe dadurch in zwei Partialreihen, daß man in ihr von +$1$ bzw.\ $3$ ausgehend immer je eine Zahl überspringt, so erhält man +die Reihen +\[ +1,\ 5,\ 9,\ 13,\ \dots \quad\text{und}\quad 3,\ 7,\ 11,\ 15,\ \dots +\] +aller derjenigen Zahlen, welche durch $4$ geteilt den kleinsten positiven +Rest $1$ bzw.\ $3$ lassen, \dh\ alle Zahlen von der Form $4n + 1$ bzw.\ +$4n + 3$. Ãœberspringt man in der obigen Reihe aller ungeraden +Zahlen in gleicher Weise von $1$,~$3$,~$5$ oder~$7$ ausgehend immer je vier +Zahlen unserer Reihe, so erhält man die vier Partialreihen +\[ +1,\ 9,\ 17,\ \dots;\quad +3,\ 11,\ 19,\ \dots;\quad +5,\ 13,\ 21,\ \dots;\quad +7,\ 15,\ 23,\ \dots +\] +der Zahlen von den Formen $8n + 1$, $8n + 3$, $8n + 5$, $8n + 7$. In +gleicher Weise kann man die Reihe der ungeraden Zahlen in andere +Partialreihen zerlegen. Es liegt nun nahe, zu fragen, ob jede dieser +Partialreihen ebenso wie die ganze Reihe der ungeraden Zahlen unendlich +viele Primzahlen enthält, oder ob dies nur für gewisse unter +ihnen gilt. +\PageSep{048}{32} + +So werden wir darauf geführt, zu untersuchen, unter welchen Bedingungen +eine arithmetische Reihe +\[ +r,\ r + m,\ r + 2m,\ \dots +\] +unendlich viele Primzahlen enthält. Hierüber verbreitet der folgende, +von \Name{Dirichlet} zuerst streng bewiesene Satz volle Klarheit: +\index{Arithmetische Reihe, Primzahlen in einer}% +\begin{Theorem} +Alle und nur die arithmetischen Reihen $r + km$, für die +das Anfangsglied~$r$ und die Differenz~$m$ teilerfremd sind, enthalten +unendlich viele Primzahlen. +\end{Theorem} + +Daß dies sicher nicht der Fall sein kann, wenn $(r, m) = d > 1$ +ist, ist unmittelbar klar, da ja dann jede Zahl der arithmetischen +Reihe durch $d$ teilbar ist. Den schwierigen Beweis der positiven Behauptung +für den Fall $(r, m) = 1$ hingegen konnte \Name{Dirichlet} nur mit +Benützung der Mittel der höheren Analysis führen; sein Ziel ist dabei +der Nachweis, daß, wenn $p_{1}$,~$p_{2}$, $p_{3}$,~\dots\ alle Primzahlen der zu +untersuchenden arithmetischen Reihe sind, die Summe der Reihe +\[ +\frac{1}{p_{1}} + \frac{1}{p_{2}} + \frac{1}{p_{3}} + \dots +\] +ins Unendliche wächst, woraus sich ergibt, daß diese Reihe gewiß +unendlich viele Glieder besitzt. + +Die wichtigste Eigenschaft der Primzahlen ist aber die, daß sie +gewissermaßen die Elemente sind, aus denen sich jede ganze Zahl +in eindeutiger Weise multiplikativ zusammensetzen läßt. Daß zunächst +jede ganze positive Zahl~$a$ (für die negativen Zahlen kommt +ja nur noch die Multiplikation mit~$-1$ dazu) überhaupt in Primzahlen +dekomponiert werden kann, sieht man leicht ein: Entweder +ist nämlich $a$ eine Primzahl, dann ist der gewünschte Beweis schon +geführt; oder aber $a$ hat mindestens einen eigentlichen Teiler~$d$, +\dh\ es ist $a = dd'$, dann ist die ursprüngliche Aufgabe auf die andere +der Zerlegung der Zahlen $d$~und~$d'$, die beide kleiner als $a$ sind, zurückgeführt. +Verfährt man ebenso mit $d$~und~$d'$ usw., so muß man, da +bei jedem Schritt jede der vorkommenden Zahlen verkleinert wird, +schließlich zu einer Dekomposition von~$a$ in lauter Primzahlen gelangen; +für jede zusammengesetzte ganze Zahl kann demnach eine +Zerlegung in lauter Primzahlen durch eine endliche Anzahl von +\PageSep{049}{33} +Versuchen gefunden werden. Es wäre aber sehr wohl denkbar, daß +man für die nämliche Zahl~$a$ auf andere Weise eine Zerlegung in +\index{Zerlegung, eindeutige, d.\ Zahlen in Primfaktoren}% +ganz andere Primzahlen erhalten könnte; wirklich ist dies zwar +nicht im Körper der rationalen Zahlen, wohl aber in anderen +Körpern der Fall. + +Der fundamentale Beweis für die in~$K(1)$ herrschende Eindeutigkeit +der Zerlegung läßt sich leicht mit Hilfe der zwei folgenden +Sätze führen: +\begin{Theorem} +Eine Primzahl~$p$ ist in einer beliebigen ganzen Zahl~$a$ entweder +als Teiler enthalten oder zu ihr teilerfremd. +\end{Theorem} + +In der Tat ist ja der größte gemeinsame Teiler $d = (p, a)$ ein +Teiler der Primzahl~$p$, es muß also entweder $d = p$ oder $d = 1$ sein. +Im ersten Fall ist $p$ in $a$ enthalten, im zweiten zu $a$ teilerfremd. + +\begin{Theorem} +Ein Produkt ist dann und nur dann durch eine Primzahl~$p$ +teilbar, wenn diese in mindestens einem der Faktoren enthalten ist. +\end{Theorem} + +Wäre nämlich $p$ in keiner der Zahlen $a$,~$b$,~\dots~$c$ enthalten, also +nach dem letzten Satz $(a, p) = (b, p) = \dots = (c, p) = 1$, so folgte +nach Satz~\Iref{III)} auf \Seite{25} $(a·b \dots c, p) = 1$ in Widerspruch mit der +Voraussetzung, daß $a·b \dots c$ durch $p$ teilbar ist. + +Wir zeigen jetzt, daß eine ganze positive Zahl~$a$ nicht auf zwei +verschiedene Arten (abgesehen von multiplikativer Hinzufügung von +Einsen) als Produkt von Primzahlen dargestellt werden kann. Wären +nämlich einmal zwei verschiedene Primzahlprodukte einander gleich, +bestünde also eine Beziehung +\[ +pp' \dots p^{(k)} = qq' \dots q^{(l)}, +\] +wo nicht alle Primzahlen~$p$ mit allen Primzahlen~$q$ übereinstimmten, +so könnte man offenbar voraussetzen, daß kein Faktor~$p$ einem +Faktor~$q$ gleich ist; denn solche gleiche Primzahlen könnten ja durch +Heben auf beiden Seiten fortgeschafft werden, wobei nach der +Voraussetzung noch wenigstens auf einer Seite, etwa der linken, +mindestens ein Faktor~$p$ übrig bliebe. Da demnach $p$ in dem rechts +übrig gebliebenen Produkt enthalten wäre, so müßte nach dem zuletzt +bewiesenen Satze rechts mindestens eine durch $p$ teilbare Zahl~$q$ +stehen geblieben sein, welche, da sie selbst als Primzahl keinen +\PageSep{050}{34} +eigentlichen Teiler enthalten könnte, notwendig mit $p$ identisch wäre. +Diese Folgerung widerspricht aber der Voraussetzung, nach der alle +gleichen Primzahlen bereits ursprünglich auf beiden Seiten fortgeschafft +waren; daher war die Annahme, es sei hierbei mindestens +ein Faktor auf einer Seite stehen geblieben, notwendig falsch. Bedenkt +man noch, daß gleiche Primzahlen bei der Zerlegung einer +zusammengesetzten Zahl miteinander vereinigt werden können, so +hat man den folgenden, \emph{für die ganze multiplikative Zahlenlehre +grundlegenden} +\begin{Theorem} +\textit{Fundamentalsatz:} Jede ganze positive Zahl~$m$ läßt sich +stets und nur auf eine einzige Weise als Produkt von Primzahlpotenzen, +\dh\ in der Form +\[ +m = p^{a} q^{b} \dots r^{c} +\] +darstellen. +\end{Theorem} + +Hierbei sind die Exponenten $a$,~$b$,~\dots~$c$ auf ganzzahlige positive +Werte beschränkt, ausgenommen den trivialen Fall $m = 1$. Da jede +negative Zahl aus einer positiven durch Multiplikation mit~$-1$ entsteht +und sich jede gebrochene Zahl eindeutig als Quotient von zwei teilerfremden +ganzen Zahlen darstellen läßt, von denen jede in ihre Primfaktoren +zerlegt werden kann, so bleibt der soeben bewiesene Fundamentalsatz +\emph{für jede positive oder negative rationale Zahl} gültig, +sobald man die Exponenten $a$,~$b$,~\dots~$c$ auch ganzzahlige negative +Werte annehmen läßt und die eventuelle Hinzufügung von~$-1$ gestattet. +So ist~\zB: +\[ +1400 = 2^{3}5^{2}7, \quad +-\frac{189}{220} = (-1)·2^{-2}3^{3}5^{-1}7 · 11^{-1}. +\] + +Benutzt man die Tatsache, daß sich jede ganze Zahl eindeutig +als Produkt von Primzahlpotenzen darstellen läßt, so ergeben sich die +im vorigen Paragraphen bewiesenen Sätze über den größten gemeinsamen +Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen +höchst einfach. Hier sollen nur noch zwei Sätze über die Teiler +einer Zahl bewiesen werden. + +\begin{Theorem} +Ist $m = p^{a}q^{b} \dots r^{c}$ die Zerlegung einer beliebigen ganzen +positiven Zahl~$m$ in ihre Primfaktoren, so ist die Anzahl aller +Teiler von~$m$ ($1$~und~$m$ eingeschlossen) gleich +\PageSep{051}{35} +\[ +(a + 1)(b + 1) \dots (c + 1). +\] +\end{Theorem} + +Denn soll $\delta$ ein Teiler von $m$ sein, so muß $\dfrac{m}{\delta}$ ganz sein, \dh\ $\delta$ +kann keinen Primteiler von~$m$ in höherer Potenz als $m$ selbst enthalten; +$\delta$~muß daher stets die Form besitzen: +\[ +\delta = p^{\alpha} q^{\beta} \dots r^{\gamma} \qquad +\begin{Conditions} +\left( +\begin{aligned} +\alpha &= 0,\ 1,\ \dots\ a\\ +\beta &= 0,\ 1,\ \dots\ b\\ +\PadTo{\beta}{\vdots} \\ +\gamma &= 0,\ 1,\ \dots\ c +\end{aligned} +\right) +\end{Conditions}. +\] +Die Anzahl aller dieser Teiler ist aber in der Tat +\index{Anzahl der Divisoren einer Zahl}% +\[ +(a + 1)(b + 1) \dots (c + 1). +\] +\ZB~besitzt $1080 = 2^{3}·3^{3}·5$ genau $32 = 4·4·2$ verschiedene Teiler. + +Auch die Summe $S_{d}(m)$ aller Teiler von~$m$ läßt sich leicht bestimmen. +\index{Summe!der Divisoren e.\ Zahl}% +Es ergibt sich nämlich durch eine einfache Ãœberlegung: +\begin{align*}%[** TN: Not aligned in the original] +S_{d}(m) + &= \sum \delta + = \sum_{\alpha=0}^{a} \sum_{\beta=0}^{b} \dots \sum_{\gamma=0}^{c} (p^{\alpha}q^{\beta} \dots r^{\gamma})\\ + &= (1 + p + p^{2} + \dots + p^{a}) + (1 + q + \dots + q^{b}) \dots + (1 + r + \dots + r^{c})\\ + &= \frac{p^{a+1} - 1}{p - 1} + · \frac{q^{b+1} - 1}{q - 1} \dots + \frac{r^{c+1} - 1}{r - 1}. +\end{align*} + +Wir haben also gefunden: +\begin{Theorem} +Ist $m = p^{a}q^{b} \dots r^{c}$ die Zerlegung einer beliebigen ganzen +positiven Zahl~$m$ in ihre Primfaktoren, so ist die Summe aller +Teiler von~$m$ +\[ +S_{d}(m) + = \frac{p^{a+1} - 1}{p - 1} + · \frac{q^{b+1} - 1}{q - 1} \dots + \frac{r^{c+1} - 1}{r - 1}. +\] +\end{Theorem} + +\ZB\ ist für $1080 = 2^{3}·3^{3}·5$ +\[ +S_{d}(1080) + = \frac{2^{4} - 1}{1} + · \frac{3^{4} - 1}{2} + · \frac{5^{2} - 1}{4} + = 15·40·6 = 3600. +\] + +In ähnlicher Weise läßt sich die Summe von beliebig hohen Potenzen +sämtlicher Teiler einer gegebenen Zahl sehr leicht berechnen. +\PageSep{052}{36} + + +\Chapter{Drittes Kapitel.} +{Die Beziehungen aller rationalen Zahlen +zu einer Grundzahl~$g$. Die $g$-adische +Darstellung der rationalen Zahlen.} + +\Section{§ 1.}{Die modulo~$g$ ganzen und gebrochenen rationalen Zahlen.} + +Nachdem wir im vorigen Kapitel die Hauptsätze über die multiplikative +\index{Ganze und gebrochene rationale Zahlen modulo~$g$}% +Zerlegung rationaler Zahlen kennen gelernt haben, sollen +jetzt die Beziehungen zwischen allen rationalen Zahlen und einer +willkürlich aber fest angenommenen ganzen positiven Zahl $g > 1$, der +sog.\ \so{Grundzahl} oder dem \so{Modul},\footnote + {Diese Bedeutung des Wortes, das hier eine spezielle \emph{Zahl} bezeichnet, + ist zu unterscheiden von der anderen, in §~3 des I.~Kap.\ eingeführten, + wo unter Modul ein besonderer \emph{Zahlbereich} verstanden wurde; beide Bedeutungen + haben nichts miteinander zu tun.} %[** TN: Moved comma before footnote mark] +genauer untersucht werden. +Analog der früher gemachten Unterscheidung zwischen ganzen und +gebrochenen Zahlen teilen wir auch jetzt die rationalen Zahlen ein +in die modulo~$g$ ganzen und gebrochenen Zahlen, definieren aber +jetzt wesentlich anders als vorher: +\begin{Definition} +Eine rationale Zahl $A = \dfrac{m}{n}$, die wir uns in der Folge stets in +der reduzierten Form (\dh~nach Wegschaffung etwaiger gemeinsamer +Teiler in Zähler und Nenner) gegeben denken, heißt +\so{modulo~$g$ ganz} oder \so{für den Bereich von~$g$ +ganz}, wenn ihr Nenner~$n$ zu $g$ teilerfremd ist, also mit~$g$ +keinen einzigen Primteiler gemeinsam hat. Dabei ist natürlich +auch die Zahl Null als modulo~$g$ ganz zu betrachten. Jede +\PageSep{053}{37} +\index{Ring!aller modulo~$g$ ganzen Zahlen}% +andere Zahl~$A$, deren Nenner also mindestens einen der Primteiler +von $g$ enthält heißt eine \so{modulo~$g$ gebrochene} Zahl. +\end{Definition} + +Ist speziell die Grundzahl~$g$ eine Primzahl~$p$ oder eine Primzahlpotenz~$p^{k}$, +so sind alle und nur die reduzierten Brüche modulo~$g$ +ganz, deren Nenner nicht $p$ enthält. + +Bei dieser Definition der modulo~$g$ ganzen und gebrochenen +Zahlen abstrahiert man also von allen Primteilern des Nenners mit +alleiniger Ausnahme derjenigen, die in $g$ enthalten sind. Zum +Unterschied sollen die bisher betrachteten gewöhnlichen ganzen +Zahlen $0$,~$±1$,~$±2$,~\dots\ auch als \so{absolut ganz} bezeichnet +werden. + +In diesem Kapitel werden die absolut ganzen Zahlen durch +kleine, die modulo~$g$ ganzen und gebrochenen Zahlen durch große +lateinische Buchstaben bezeichnet werden. Unter einer ganzen Zahl +schlechthin soll jetzt immer eine modulo~$g$ ganze Zahl $A = \dfrac{m}{n}$ verstanden +werden. Alle absolut ganzen Zahlen sind natürlich auch +für \emph{jeden} Modul~$g$ ganz, aber für den Bereich von $g$ kommen zu +ihnen eben noch alle unendlich vielen Brüche $A = \dfrac{m}{n}$ hinzu, für +welche $(n, g) = 1$ ist. + +\ZB~sind die beiden Zahlen $\dfrac{7}{5}$ und $-\dfrac{12}{17}$ modulo~$12$ ganz, weil +ihre Nenner weder durch $2$ noch durch $3$ teilbar sind. + +\begin{Theorem} +Alle modulo~$g$ ganzen Zahlen bilden ebenso wie alle absolut +ganzen Zahlen einen Zahlenring, dessen Elemente sich durch Addition, +Subtraktion und Multiplikation wieder erzeugen. +\end{Theorem} + +In der Tat, sind $A = \dfrac{m}{n}$ und $A' = \dfrac{m'}{n'}$ modulo~$g$ ganz, so gilt das +gleiche für $A + A'$, $A - A'$ und~$AA'$; denn die Nenner der (eventuell +noch nicht reduzierten) Brüche +\[ +\frac{m}{n} ± \frac{m'}{n'} = \frac{mn' ± nm' }{ nn'} \quad\text{und}\quad +\frac{m}{n}·\frac{m'}{n'} = \frac{mm'}{nn'} +\] +sind ja zu $g$ teilerfremd, wenn dies für $n$~und~$n'$ gilt, um so mehr +also die Nenner der hieraus entstehenden reduzierten Brüche. +\PageSep{054}{38} + +\ZB~sind die Zahlen +\[ +\frac{7}{5} + \frac{12}{17} = \frac{179}{85}, \quad +\frac{7}{5} - \frac{12}{17} = \frac{59}{85} \quad\text{und}\quad +\frac{7}{5} · \frac{12}{17} = \frac{84}{85} +\] +modulo~$12$ ganz, weil dies von $\dfrac{7}{5}$ und $\dfrac{12}{17}$ gilt. + +\begin{Theorem} +Jede modulo~$g$ gebrochene Zahl kann als Quotient von zwei +modulo~$g$ ganzen Zahlen dargestellt werden, und zwar kann +\index{Normierte Darstellung e.\ rationalen Zahl}% +man es (bei Verzicht auf reduzierte Darstellung) immer so +einrichten, daß der Nenner gerade eine Potenz der Grundzahl~$g$ +wird. +\end{Theorem} + +Schreibt man nämlich eine beliebige gebrochene Zahl~$A$ in der +Form $A = \dfrac{m}{\gamma·n}$, wo $\gamma$~das Produkt aller derjenigen Primfaktoren +des Nenners darstellt, die auch in $g$ enthalten sind, so daß also +$n$ zu $g$ teilerfremd ist, so sei $g^{\nu}$~die niedrigste Potenz von~$g$, welche +durch $\gamma$ teilbar ist, und es sei $g^{\nu} = \gamma·\gamma'$. Da man nunmehr~$A$ in +der Form +\[ +\Tag{(1)} +A = \frac{\;\dfrac{m\gamma'}{n}\;}{g^{\nu}} + = \frac{G}{g^{\nu}} +\] +schreiben kann, wo $G = \dfrac{m\gamma'}{n}$ modulo~$g$ ganz ist, so ist unsere Behauptung +erwiesen. Die Form~\Eq{(1)}, in der jede modulo~$g$ gebrochene +Zahl~$A$ dargestellt werden kann, soll die \so{normierte Darstellung +von~$A$} heißen. + +\ZB~hat $\dfrac{4}{9}$ modulo~$6$ die normierte Darstellung~$\dfrac{16}{6^{2}}$. + +\begin{Definition} +Definition: Eine Zahl $E = \dfrac{m}{n}$, die selbst modulo~$g$ ganz +ist und deren reziproker Wert $\dfrac{1}{E} = \dfrac{n}{m}$ ebenfalls modulo~$g$ ganz +ist, soll eine \so{Einheit für den Bereich von~$g$} genannt +\index{Einheit modulo~$g$!rationale für d.\ Bereich von~$g$}% +werden. +\end{Definition} + +Dies entspricht genau der Definition der absoluten Einheiten~$±1$; +denn diese und nur sie sind ja zugleich mit ihren Reziproken +\PageSep{055}{39} +\index{Zahlstrahl d.\ rationalen Einheiten}% +absolut ganz. Ein reduzierter Bruch ist hiernach offenbar stets +und nur dann eine Einheit modulo~$g$, wenn sowohl sein Zähler als +auch sein Nenner zu $g$ teilerfremd ist. Für eine Primzahl $g = p$ +als Grundzahl sind also alle und nur die reduzierten Brüche Einheiten +modulo~$p$, deren Zähler und Nenner~$p$ nicht enthalten. + +\begin{Theorem} +Alle Einheiten modulo~$g$ bilden einen Zahlstrahl oder eine +Zahlgruppe, weil das Produkt und der Quotient zweier Einheiten +ersichtlich wieder Einheiten sind. +\end{Theorem} + +\ZB~sind für den Modul~$12$ die Zahlen $\dfrac{5}{7}$ und $\dfrac{55}{49}$ Einheiten, +weil jede der vier Zahlen $5$,~$7$, $55$,~$49$ zu $12$ relativ prim ist. Infolgedessen +müssen auch ihr Produkt $\dfrac{275}{343}$ und ihr Quotient $\dfrac{7}{11}$ Einheiten +für den Bereich von~$12$ sein; in der Tat enthält auch keiner +dieser Zähler und Nenner $2$ oder $3$ als Faktor. Dagegen ist \zB\ +$\dfrac{10}{7}$ modulo~$12$ zwar ganz, aber keine Einheit, weil der Zähler mit +$12$ den Primfaktor~$2$ gemeinsam hat, der reziproke Wert $\dfrac{7}{10}$ also +modulo~$12$ gebrochen ist. + +\begin{Definition} +Definition: Von zwei modulo~$g$ ganzen Zahlen $A$~und~$B$ heißt +$A$ durch $B$ \so{modulo~$g$ teilbar}, wenn der Quotient $G = \dfrac{A}{B}$ +modulo~$g$ ganz ist, wenn also $A = B·G$ ist, wo $G$~eine ganze +Zahl darstellt. Dann nennen wir auch $A$ ein \so{Vielfaches} +oder \so{Multiplum von~$B$ für den Bereich von~$g$}. +\end{Definition} + +Wir werden besonders die Teilbarkeit einer modulo~$g$ ganzen Zahl +\index{Teilbarkeit d.\ rationalen Zahlen modulo~$g$}% +$A = \dfrac{m}{n}$ durch eine Potenz~$g^{\nu}$ des Moduls zu untersuchen haben. +Soll $\dfrac{m}{ng^{\nu}}$ modulo~$g$ ganz sein, wobei nach Voraussetzung $(n, g) = 1$ +ist, so muß $m$ durch $g^{\nu}$ teilbar sein. Es ergibt sich also: +\begin{Theorem} +Eine modulo~$g$ ganze Zahl $A = \dfrac{m}{n}$ ist stets und nur dann +durch $g^{\nu}$ teilbar, wenn ihr Zähler~$m$ ein Vielfaches von $g^{\nu}$ ist. +Ferner ist offenbar jede ganze Zahl~$A$ durch jede Einheit~$E$ modulo~$g$ +teilbar. +\end{Theorem} +\PageSep{056}{40} + +Denn ist $A$ ganz, so ist auch $\dfrac{A}{E} = A·\dfrac{1}{E}$ ganz, da $\dfrac{1}{E}$ ganz ist. + +So ist \zB\ $\dfrac{4}{7}$ durch $\dfrac{2}{5}$ modulo~$12$ teilbar, nicht aber durch~$\dfrac{3}{5}$, +weil $\dfrac{4}{7} : \dfrac{3}{5} = \dfrac{20}{21}$ modulo~$12$ gebrochen ist, da der Nenner~$21$ mit +$12$ den Primteiler~$3$ gemeinsam hat; $\dfrac{4}{7} = \dfrac{2}{5}·\dfrac{10}{7}$ ist modulo~$12$ ein +Vielfaches von~$\dfrac{2}{5}$. Dagegen ist $\dfrac{11}{7}$ durch $\dfrac{2}{5}$ modulo~$12$ nicht teilbar, +wohl aber durch~$\dfrac{1}{5}$, weil $\dfrac{1}{5}$ eine Einheit modulo~$12$ ist. + + +\Section{§ 2.}{Einteilung der modulo~$g$ ganzen Zahlen in Kongruenzklassen +und das Rechnen mit diesen Klassen.} + +Wir wollen nunmehr die modulo~$g$ ganzen Zahlen nach eben +\index{Einsklasse modulo~$g$}% +\index{Kongruente!Zahlen modulo~$g$}% +\index{Kongruenzklassen ganzer Zahlen modulo~$g$}% +\index{Korpor@{Körper}!Ko@{$K(1)$ d.\ rationalen Zahlen}}% +\index{Nullklasse modulo~$g$}% +diesem Modul in Klassen, die sog.\ \so{Kongruenzklassen}, +\index{Modul!einer Kongruenz}% +einteilen, indem wir \emph{in eine und dieselbe Klasse alle und nur die +ganzen Zahlen rechnen, welche sich von einander additiv um ein Vielfaches +von $g$ unterscheiden}. So gehören alle Multipla von~$g$ selbst +in die nämliche Klasse~$C_{0}$, die sog.\ \so{Nullklasse}; ebenso befinden +sich alle Zahlen von der Form $gN + 1$ in derselben Klasse~$C_{1}$, die +wir die \so{Einsklasse} nennen wollen, und allgemein gilt: +\begin{Theorem} +In eine und dieselbe Klasse~$C_{A}$ gehören alle und nur die +Zahlen von der Form~$gN + A$, wenn $A$~eine beliebige Zahl +dieser Klasse bezeichnet, $N$~aber alle modulo~$g$ ganzen Zahlen +durchläuft. +\end{Theorem} + +Wir wollen nun festsetzen: +\begin{Definition} +Definition: Irgend zwei Zahlen $A$~und~$A'$ der nämlichen +Klasse sollen \so{kongruent für den Modul~$g$} heißen, +wofür wir schreiben: +\[ +\Tag{(1)} +A' \equiv A\ (\mod.~g)\quad +\text{(gelesen: $A'$ ist kongruent $A$ modulo~$g$).} +\] +\end{Definition} + +Diese Kongruenz vertritt also lediglich eine Gleichung +\[ +\Tag{(1^{a})} +A' = A + Ng, +\] +\PageSep{057}{41} +in der $N$ eine ganze Zahl ist; oder, was dasselbe ist, sie besagt, +daß die Differenz $A' - A$ durch $g$ teilbar ist. + +So ist \zB\ +\[ +7 \equiv 31 \ (\mod.~12), +\] +weil $31 - 7 = 24$ durch $12$ teilbar ist, also $7 = 31 + (-2)·12$ sich +in der nämlichen Klasse wie $31$ befindet. Ebenso ist: +\[ + 9 \equiv 23 \ (\mod.~7);\quad +-11 \equiv 7 \ (\mod.~9);\quad +-13 \equiv -25 \ (\mod.~6). +\] +Aber auch für die modulo~$12$ ganzen Zahlen $\dfrac{7}{5}$ und $\dfrac{169}{35}$ besteht +die Kongruenz +\[ +\frac{7}{5} \equiv \frac{169}{35} \ (\mod.~12), +\] +weil ihre Differenz $\dfrac{169}{35} - \dfrac{7}{5} = \dfrac{24}{7} = 12·\dfrac{2}{7}$ ein Multiplum des +Moduls~$12$ ist. Ferner ist \zB\ +\[ +\frac{1}{7} \equiv -2 \ (\mod.~5); \quad +\frac{2}{3} \equiv \frac{12}{13} \ (\mod.~10), +\] +weil $\dfrac{1}{7} + 2 = \dfrac{15}{7}$ durch~$5$, $\dfrac{2}{3} - \dfrac{12}{13} =-\dfrac{10}{39}$ durch $10$ teilbar ist. + +\begin{Theorem} +Jede zu einer Einheit kongruente Zahl ist wieder eine +\index{Einheitsklassen modulo~$g$}% +Einheit. Eine Klasse~$C_{A}$, welche auch nur eine Einheit enthält, +besteht also aus lauter Einheiten. Eine solche Klasse soll +\so{eine Einheitsklasse} genannt werden. +\end{Theorem} + +In der Tat, ist $A = \dfrac{m}{n}$ eine Einheit, so gilt auch für jede zu $A$ +kongruente Zahl +\[ +A' = A + Ng = \frac{m}{n} + g·\frac{m'}{n'} = \frac{mn' + gm'n}{nn'} +\] +dasselbe; denn da nach Voraussetzung $(m, g) = (n, g) = (n'\DPtypo{}{,} g) = 1$ ist, +so ist sowohl $(nn', g) = 1$ als auch $(mn' + g·m'n, g) = (mn', g) = 1$, +\wzbw. + +Beschränken wir uns für den Augenblick auf den Bereich der +\emph{absolut} ganzen Zahlen $(0, ±1, ±2, \dots)$, so sind zwei solche +\PageSep{058}{42} +$a$~und~$a'$ nach unserer Definition offenbar stets und nur dann kongruent +modulo~$g$, wenn $a' = a + gn$ ist, wo $n$~eine absolut ganze +Zahl bedeutet. Da jede absolut ganze Zahl~$a$ auf eine einzige Weise +in der Form +\[ +a = a_{0} + gn +\] +geschrieben werden kann, wenn $a_{0}$~eine der Zahlen $0$,~$1$, $2$,~\dots~$g - 1$ +ist, so folgt, daß jede absolut ganze Zahl einer und nur einer unter +diesen $g$ Zahlen kongruent ist. Die absolut ganzen Zahlen zerfallen +also modulo~$g$ in genau $g$ Klassen inkongruenter Zahlen, welche jetzt +nach den eindeutig bestimmten kleinsten nicht negativen Resten +ihrer Elemente durch +\[ +\Tag{(2)} +C_{0},\ C_{1},\ C_{2},\ \dots\ C_{g-1} +\] +bezeichnet werden sollen. + +Man erkennt aber leicht, daß sich auch alle \emph{modulo~$g$} ganzen +Zahlen $A = \dfrac{m}{n}$ vollständig auf diese $g$~Klassen verteilen, daß also +\emph{jede solche Zahl~$A$ einer und nur einer Zahl der Reihe +$0$,~$1$, $2$,~\dots~$g - 1$ modulo~$g$ kongruent ist}. Da nämlich nach Voraussetzung +$(n, g) = 1$ ist, so enthält nach \Seite{24} oben der Modul $M(n, g)$ +alle absolut ganzen Zahlen, also sicher auch den Zähler~$m$ von~$A$. +Man kann also zwei absolut ganzzahlige Multiplikatoren $\bar{a}_{0}$~und~$m_{0}$ +so bestimmen, daß +\[ +m = n\bar{a}_{0} + gm_{0}, +\] +also +\[ +\Tag{(3)} +A = \frac{m}{n} = \bar{a}_{0} + g \frac{m_{0}}{n} = \bar{a}_{0} + gN +\] +ist, wo $N = \dfrac{m_{0}}{n}$ wieder eine modulo~$g$ ganze Zahl ist. Demnach +besteht die Kongruenz +\[ +\Tag{(3^{a})} +A \equiv \bar{a}_{0} \ (\mod.~g), +\] +\dh\ jede modulo~$g$ ganze Zahl~$A$ ist sicher einer absolut ganzen +Zahl~$\bar{a}_{0}$ modulo~$g$ kongruent und zugleich hiermit auch allen und +nur den absolut ganzen Zahlen $\bar{a}_{0} + gn$ derjenigen Zahlklasse, +\PageSep{059}{43} +welcher $\bar{a}_{0}$ angehört. Ist $a_{0}$ unter diesen Zahlen die kleinste nicht +negative, so ist also auch +\[ +\Tag{(3^{b})} +A \equiv a_{0} \ (\mod.~g), \quad\text{\dh}\quad A = a_{0} + N'g, +\] +wo $a_{0}$ der Reihe $0$,~$1$, $2$,~\dots~$g - 1$ angehört. Diese kleinste ganze +Zahl~$a_{0}$, der $A$~kongruent ist, ist eindeutig bestimmt, da ja die +Zahlen $0$,~$1$,~\dots~$g - 1$ modulo~$g$ inkongruent sind; hiermit ist unsere +Behauptung vollständig bewiesen. + +So bestehen \zB, wie eine leichte Rechnung lehrt, die Kongruenzen +\begin{alignat*}{2} +\frac{2}{3} &\equiv 4 \ (\mod.~10), \quad&-\frac{1}{3} &\equiv 3 \ (\mod.~10). \\ +\frac{3}{8} &\equiv 1 \ (\mod.~5), &-\frac{1}{8} &\equiv 3 \ (\mod.~5). +\end{alignat*} + +Aus dem soeben bewiesenen folgt unmittelbar, daß man die +Klassen $C_{0}$, $C_{1}$,~\dots\ $C_{g-1}$ statt durch die kleinsten nicht negativen +absolut ganzen Zahlen, die in ihnen vorkommen, auch durch je ein +beliebiges ihrer modulo~$g$ ganzen Elemente $r_{0}$, $r_{1}$,~\dots\ $r_{g-1}$ vollständig +charakterisieren kann. Auch diese bilden dann ein vollständiges +System modulo~$g$ inkongruenter Zahlen oder ein \so{vollständiges +Restsystem modulo~$g$}, \dh\ jede modulo~$g$ ganze +\index{Restsystem, vollständiges, modulo~$g$}% +Zahl ist einer und nur einer dieser Zahlen kongruent. + +So bilden \zB\ für den Modul $g = 10$ nicht nur die Zahlen +$(0, 1, 2, \dots 9)$, sondern ebensowohl etwa auch die Zahlen +\[ +\left(20, 11, 2, -\frac{1}{3}, 4, 75, \frac{12}{7}, -3, -\frac{2}{11}, 99\right) +\] +ein vollständiges Restsystem, da sie modulo~$10$ den Zahlen +$(0, 1, 2, \dots 9)$ der Reihe nach kongruent sind. + +Das Rechnen mit Kongruenzen gestaltet sich fast ebenso einfach, +wie das Rechnen mit Gleichungen. Es bestehen nämlich auch +hier die Sätze: +\begin{Theorem} +Kongruentes zu Kongruentem addiert oder von Kongruentem +subtrahiert oder mit Kongruentem multipliziert gibt Kongruentes. +\end{Theorem} +\PageSep{060}{44} + +In der Tat, ist +\[ +A' \equiv A \quad\text{und}\quad +B' \equiv B \quad\text{für denselben Modul~$g$,} +\] +so daß die Differenzen $A' - A$ und $B' - B$ beide durch $g$ teilbar +sind, so sind auch die drei Differenzen +\[ +\Tag{(4)} +%[** TN: Explicit space to center contents better] +\hspace*{-2em} +\begin{gathered}[t] +(A' ± B') - (A ± B) = (A' - A) ± (B' - B)\\ +A'B' - AB = A'(B' - B) + B(A' - A) +\end{gathered} +\] +Multipla von $g$, \dh\ es gelten für den Modul~$g$ wirklich die Kongruenzen: +\[ +A' ± B' \equiv A ± B,\quad +A'B' \equiv AB, \ (\mod.~g) +\] +\wzbw\ Dagegen ist man, was den Quotienten anlangt, nur dann +sicher, bei der Division von Kongruentem durch Kongruentes wieder +Kongruentes zu erhalten, wenn die Divisoren \emph{Einheiten} modulo~$g$ +sind. Ist nämlich modulo~$g$\; $A' \equiv A$ und $B' \equiv B$, wobei~$B$, also +auch die kongruente Zahl~$B'$ eine Einheit ist, so ergibt sich wirklich +\[ +\Tag{(5)} +\frac{A'}{B'} \equiv \frac{A}{B} \ (\mod.~g), +\] +weil die Differenz +\[ +\Tag{(5^{a})} +\frac{A'}{B'} - \frac{A}{B} = \frac{A'B - AB'}{BB'} + = \frac{1}{B'} (A' - A) - \frac{A}{BB'} (B' - B) +\] +ersichtlich ein Vielfaches von $g$ ist; denn der Voraussetzung wegen +sind ja $\dfrac{1}{B'}$ und $\dfrac{A}{BB'}$ modulo~$g$ ganze Zahlen. + +\ZB~folgt aus den modulo~$10$ bestehenden Kongruenzen $\dfrac{2}{3} \equiv 34$ +und $-2 \equiv 8$ durch Addition, Subtraktion und Multiplikation: +\[ +-\frac{4}{3} \equiv 42,\quad + \frac{8}{3} \equiv 26,\quad +-\frac{4}{3} \equiv 272 \ (\mod.~10), +\] +während die Quotienten $\dfrac{\dfrac{2}{3}}{\;-2\;} = -\dfrac{1}{3}$ und $\dfrac{34}{8} = \dfrac{17}{4}$, von denen der +zweite ja modulo~$10$ gebrochen, der erste aber ganz ist, natürlich +nicht kongruent sind. Hingegen folgt aus +\PageSep{061}{45} +\[ +\frac{2}{3} \equiv 34 \quad\text{und}\quad +-1 \equiv 9 \ (\mod.~10), +\] +wo $-1$ und also auch $9$ Einheiten sind, die Kongruenz der +Quotienten $-\dfrac{2}{3}$ und~$\dfrac{34}{9}$. + +Durchläuft $A$ alle Zahlen einer beliebigen, aber fest angenommenen +Klasse~$C_{A}$, $B$~alle Zahlen einer anderen festen Kongruenzklasse~$C_{B}$, +so sind alle zweifach unendlich vielen Summen $A + B$ +nach dem soeben bewiesenen Satz untereinander modulo~$g$ kongruent; +alle diese Summen gehören demnach einer und derselben +Klasse~$C_{s}$ an, die wir auch als $C_{A+B}$ bezeichnen wollen. Umgekehrt +läßt sich auch jedes Element~$S$ der Klasse~$C_{s}$ als Summe von je +einer Zahl~$\bar{A}$ aus~$C_{A}$ und $\bar{B}$ aus~$C_{B}$ darstellen; denn ist $A_{0}$ ein beliebiges +Element aus~$C_{A}$, $B_{0}$~ein beliebiges Element aus~$C_{B}$, so ist ja +nach der Definition von $C_{A+B} = C_{s}$: +\[ +S \equiv A_{0} + B_{0}, \quad\text{also}\quad +S = A_{0} + B_{0} + Ng = (A_{0} + Ng) + B_{0} = \bar{A} + \bar{B}, +\] +wenn etwa $\bar{A} = A_{0} + Ng$, $\bar{B} = B_{0}$ angenommen wird; es ist also $S$ +in der verlangten Weise dargestellt. Auf genau entsprechende Weise +ergibt sich, daß auch alle Differenzen $A - B$ und ebenso alle Produkte~$AB$ +untereinander modulo~$g$ kongruent sind, also gleichfalls +alle einer Klasse~$C_{A-B}$ bzw.\ einer Klasse~$C_{AB}$ angehören, deren sämtliche +Elemente auch als Differenzen bzw.\ als Produkte je einer Zahl +aus $C_{A}$~und~$C_{B}$ dargestellt werden können. + +Ich betrachte jetzt diese $g$~Klassen $C_{0}$, $C_{1}$,~\dots~$C_{g-1}$ selbst als +die Elemente eines \emph{Bereiches} $R(C_{0}, C_{1}, \dots C_{g-1})$ und definiere für +sie zwei Verknüpfungsoperationen, die ich wieder \so{Addition} und +\so{Multiplikation} nennen will: +\begin{Definition} +\Item{1)} Unter der Summe $C_{a} + C_{b}$ zweier Klassen $C_{a}$~und~$C_{b}$ verstehe +ich die eindeutig bestimmte Klasse, welche durch alle +Summen $A + B$ je einer Zahl~$A$ aus~$C_{a}$ und $B$ aus~$C_{b}$ gebildet +wird. + +\Item{2)} Unter dem Produkt $C_{a}C_{b}$ zweier Klassen $C_{a}$~und~$C_{b}$ +verstehe ich die eindeutig bestimmte Klasse, welche durch alle +Produkte~$AB$ je einer Zahl~$A$ aus~$C_{a}$ und $B$ aus~$C_{b}$ gebildet +wird. +\end{Definition} +\PageSep{062}{46} + +Diese Definitionen ergeben sofort den folgenden wichtigen Satz: +\begin{Theorem} +Bezeichnet der Index einer Klasse ein beliebiges ihrer Elemente, +so gilt: +\[ +C_{A} + C_{B} = C_{A+B}, \quad +C_{A}C_{B} = C_{AB}; +\] +die hierdurch für den Bereich aller Kongruenzklassen modulo~$g$ +festgelegten Operationen der Addition und Multiplikation sind +innerhalb dieses Bereiches unbeschränkt und eindeutig ausführbar +und genügen den sechs Grundgesetzen \Iref{I)}--\Iref{VI)} in Kap.~I, §~1. +\end{Theorem} + +Die ersten Behauptungen dieses Satzes fließen unmittelbar aus +den gegebenen Definitionen und den ihnen vorausgegangenen Bemerkungen; +aus diesen folgt aber auch die Gültigkeit der Grundgesetze +\Iref{I)}--\Iref{VI)}, weil ja denselben Gesetzen die jene Klassen +bestimmenden ganzen Zahlen genügen. Hervorgehoben sei nur noch, +daß bei Bezeichnung der Klassen durch beliebige ihrer Elemente +als Indizes \emph{jede Gleichung zwischen Klassen durch die entsprechende +Kongruenz zwischen ihren Indizes ersetzt werden kann und umgekehrt}; +dies folgt aus der alsdann allgemein gültigen Beziehung +$C_{A} = C_{A+Ng}$ in Verbindung mit den für Addition und Multiplikation +getroffenen Definitionen. Insbesondere ergibt sich aus der Gültigkeit +des VI.~Grundgesetzes für die Klassenaddition: +\begin{Theorem} +Die Kongruenz +\[ +A + X \equiv B \ (\mod.~g) +\] +besitzt immer eine Lösung $X \equiv B - A$ (und also auch unendlich +viele modulo~$g$ kongruente Lösungen). +\end{Theorem} + +Das siebente \DPtypo{Grundgsetz}{Grundgesetz} der unbeschränkten und eindeutigen +Division (mit Ausnahme der Division durch das Nullelement) ist +hingegen nicht immer erfüllt; denn die Gleichung +\[ +C_{A}C_{X} = C_{B} +\] +oder, was dasselbe ist, die Kongruenz $AX \equiv B \ (\mod.~g)$ besitzt ja +nach \Seite{44}~\Eq{(5)} nur dann für jedes $C_{B}$ sicher eine Lösung $X \equiv \dfrac{B}{A} \ +(\mod.~g)$ oder $C_{X} = C_{B}·\dfrac{1}{C_{A}}$, wenn $A$~eine Einheit modulo~$g$, \dh\ +$C_{A}$~eine Einheitsklasse ist. +\PageSep{063}{47} + +\begin{Theorem} +Nur dann besitzt also die Gleichung $C_{A}C_{X} = C_{B}$ für jedes~$C_{B}$ +sicher eine eindeutig bestimmte Lösung $C_{X} = \dfrac{C_{B}}{C_{A}}$, also auch +die Kongruenz $AX \equiv B \ (\mod.~g)$ eine Lösung $X \equiv \dfrac{B}{A}$, +wenn $A$~eine Einheit, \dh\ $C_{A}$ eine Einheitsklasse ist. +\end{Theorem} + +Es sollen denn auch stets nur solche Klassenquotienten als +definiert zu betrachten sein, deren Nenner Einheitsklassen sind. + +Man erkennt leicht, daß für den Fall eines Primzahlmoduls~$p$ +sämtliche Klassen mit einziger Ausnahme der Nullklasse Einheitsklassen +sind; denn der Nenner einer modulo~$p$ gebrochenen Zahl +ist ja notwendig durch $p$ teilbar, \dh\ jede nicht durch $p$ teilbare +absolut ganze Zahl, also \zB\ jede der Zahlen $1$,~$2$,~\dots~$p - 1$, ist +eine Einheit modulo~$p$. Demnach ist in diesem Fall die Division +durch jede Klasse außer der Nullklasse gestattet. + +Ist aber $g$ eine zusammengesetzte Zahl, etwa $g = g_{1}·g_{2}$, so sind +\zB\ die beiden in der Reihe $1$,~$2$,~\dots~$g - 1$ vorkommenden Zahlen $g_{1}$ +und $g_{2}$ keine Einheiten, weil $\dfrac{1}{g_{1}}$ und $\dfrac{1}{g_{2}}$ modulo~$g$ gebrochen sind. +Es gibt in diesem Fall also sicher noch außer der Nullklasse +Klassen, die keine Einheitsklassen sind. Man erkennt daher, wenn +man sich die Definitionen des Körpers und des Rings ins Gedächtnis +zurückruft, die Richtigkeit des folgenden Satzes: +\begin{Theorem} +Ist der Modul $g = p$ eine Primzahl, so bildet bei der angegebenen +\index{Korpor@{Körper der Kongruenzklassen modulo~$p$}}% +Definition von Addition und Multiplikation der Bereich +$R(C_{0}, C_{1}, \dots C_{p-1})$ aller Kongruenzklassen einen Körper, da in +ihm die Division mit Ausnahme der Division durch die Nullklasse +unbeschränkt und eindeutig ausführbar ist. Daher ist insbesondere +das Produkt von zwei modulo~$p$ ganzen Zahlen dann und +nur dann nach diesem Modul kongruent Null, wenn dasselbe +schon von einem der Faktoren gilt. + +Ist der Modul~$g$ hingegen eine zusammengesetzte Zahl, so +\index{Ring der Kongruenzklassen modulo~$g$}% +bildet der Bereich aller Kongruenzklassen nur einen Ring, +nicht auch einen Körper. In diesem Fall kann man nur +durch die Einheitsklassen unbeschränkt und eindeutig dividieren. +Für eine zusammengesetzte Zahl als Modul kann sehr wohl +\PageSep{064}{48} +ein Produkt $g_{1}g_{2}$ von Faktoren, deren keiner durch $g$ teilbar +ist, kongruent Null sein. + +In beiden Fällen ist die Nullklasse das Nullelement, die +Einsklasse das Einheitselement. + +Bei beliebigem $g$ bilden die sämtlichen Einheitsklassen eine +Gruppe oder einen Strahl in bezug auf die definierte Multiplikation. +\end{Theorem} + +Die letzte Behauptung folgt daraus, daß das Produkt und +der Quotient zweier Einheiten wieder Einheiten sind. + +Hiermit haben wir zum erstenmal Körper, Ringe und Gruppen +kennen gelernt, die nur eine \emph{endliche} Zahl von Elementen enthalten. + +\begin{Examples} +\emph{Beispiel: Die Kongruenzklassen $C_{0}$, $C_{1}$, $C_{2}$,~\dots\ $C_{11}$ modulo~$12$:} +Die Nullklasse~$C_{0}$ enthält alle Vielfachen von~$12$, die Einsklasse~$C_{1}$ +alle Zahlen von der Form $12·N + 1$, wo $N$~alle modulo~$12$ ganzen +Zahlen durchläuft, also \zB\ auch die Zahl $-\dfrac{5}{7} = 1 + 12·\left(-\dfrac{1}{7}\right)$. +Beispiele für die Addition, Subtraktion und Multiplikation der +Klassen sind: +\begin{gather*} +C_{3} + C_{5} = C_{8}, \quad +C_{9} + C_{6} = C_{3}; \quad +C_{7} - C_{10} = C_{9};\\ +C_{3}C_{4} = C_{0},\quad +C_{5}C_{8} = C_{4}. +\end{gather*} + +In Kongruenzform lauten diese Beziehungen: +\[ +3 + 5 \equiv 8,\quad +9 + 6 \equiv 3,\quad +7 - 10 \equiv 9,\quad +3·4 \equiv 0,\quad +5·8 \equiv 4 \ (\mod.~12); +\] +$x \equiv 6$ ist also die Lösung der Kongruenz $9 + x \equiv 3 \ (\mod.~12)$. + +Einheitsklassen sind $C_{1}$,~$C_{5}$, $C_{7}$,~$C_{11}$ daher hat \zB\ die Kongruenz +$5x \equiv 7 \ (\mod.~12)$ bzw.\ die Gleichung $C_{5}C_{x} = C_{7}$ die +Lösung +\[ +x \equiv \frac{7}{5} \equiv 11 \quad\text{bzw.}\quad +C_{x} = \frac{C_{7}}{C_{5}} = C_{11}, +\] +während es keine Klasse~$C_{x}$ gibt, die der Gleichung $C_{x}·C_{9} = C_{2}$ +genügt. Dagegen bilden die Klassen $C_{1}$,~$C_{5}$, $C_{7}$,~$C_{11}$ eine Gruppe, +weil das Produkt zweier Einheitsklassen wieder eine solche ist. +\PageSep{065}{49} + +Im Gegensatz hierzu bilden die Kongruenzklassen für den +Primzahlmodul~$5$: $C_{0}'$,~$C_{1}'$, $C_{2}'$, $C_{3}'$,~$C_{4}'$ einen Körper; \zB\ ist +$\dfrac{C_{2}'}{C_{4}'} = {C_{3}'}$, weil $\dfrac{2}{4} \equiv 3 \ (\mod.~5)$ ist. +\end{Examples} + + +\Section{§ 3.}{Die $g$-adischen Entwicklungen der rationalen Zahlen. +Ihre Näherungswerte.} + +Die im letzten Paragraphen durchgeführten Betrachtungen geben +\index{g-adische@{$g$-adische Darstellung d.\ rationalen Zahlen}}% +uns die Möglichkeit, für gewisse Untersuchungen eine modulo~$g$ ganze +Zahl~$A$ durch ihren kleinsten ganzzahligen nicht negativen Rest~$a_{0}$ +für diesen Modul zu ersetzen. Für weitergehende Betrachtungen +über die Beziehungen von~$A$ zu $g$ würde aber diese Reduktion noch +nicht ausreichen; man müßte vielleicht den kleinsten Rest von~$A$ +modulo~$g^{2}$ oder~$g^{3}$ oder für eine noch höhere Potenz von~$g$ als +Modul kennen. Die allgemeinste Frage dieser Art kann nun +durch die folgende Darstellung von~$A$ für den Bereich von~$g$ beantwortet +werden: + +Es sei $a_{0}$ der kleinste nicht negative ganzzahlige Rest von~$A$ +modulo~$g$; dann besteht, wie wir in~\Eq{(3^{b})} auf \Seite{43} sahen, die +folgende eindeutig bestimmte Gleichung: +\[ +\Tag{(1)} +A = a_{0} + gA_{1}, +\] +wo $A_{1}$ wieder modulo~$g$ ganz ist. Daher gilt für $A_{1}$ eine genau +ebenso gebildete Gleichung. Schreitet man in derselben Weise fort, +so erhält man eine Reihe von Gleichungen: +\[ +\Tag{(1^{a})} +\begin{alignedat}{2} +A_{1} &= a_{1} &&+ gA_{2}\\ +A_{2} &= a_{2} &&+ gA_{3}\\ +\PadTo{A_{\rho}}{\vdots}\\ +A_{\rho} &= a_{\rho} &&+ gA_{\rho+1} +\end{alignedat}. +\] +Multipliziert man die Gleichungen \Eq{(1)}~und~\Eq{(1^{a})} bzw.\ mit $1$,~$g$, $g^{2}$,~\dots~$g^{\rho}$ +und addiert sie, so heben sich die Produkte $A_{1}g$, $A_{2}g^{2}$,~\dots~$A_{\rho} g^{\rho}$ +auf beiden Seiten fort, und man erhält die folgende Darstellung +jeder beliebigen modulo~$g$ ganzen Zahl: +\[ +\Tag{(2)} +A = a_{0} + a_{1}g + a_{2}g^{2} + \dots + a_{\rho}g^{\rho} + A_{\rho+1}g^{\rho+1}, +\] +\PageSep{066}{50} +wo die Koeffizienten~$a_{i}$ eindeutig bestimmte Zahlen der Reihe +$0$,~$1$, $2$,~\dots~$g - 1$ sind, und $A_{\rho+1}$~eine modulo~$g$ ganze Zahl bedeutet. +Also: +\begin{Theorem} +Jede modulo~$g$ ganze Zahl läßt sich für den Bereich von +$g$ in eindeutiger Weise nach positiven ganzen Potenzen von $g$ +mit modulo~$g$ reduzierten Koeffizienten entwickeln und zwar +mit einem Reste, der bei genügend weiter Fortsetzung der +Reihe durch eine beliebig hohe Potenz von~$g$ teilbar ist. +\end{Theorem} + +Es erübrigt noch, die Eindeutigkeit dieser Darstellung nachzuweisen. +Gäbe es zwei verschiedene Darstellungen +\[ +A = a_{0} + a_{1}g + a_{2}g^{2} + \dots + a_{\rho}g^{\rho} + A_{\rho+1}g^{\rho+1} +\] +und +\[ +A = a'_{0} + a'_{1}g + a'_{2}g^{2} + \dots + a'_{\rho}g^{\rho} + A'_{\rho+1}g^{\rho+1} +\] +derselben Zahl~$A$, so folgte durch Subtraktion +\begin{gather*} +0 = (a_{0} - a'_{0}) + + (a_{1} - a'_{1})g + + (a_{2} - a'_{2})g^{2} + \dots + + (a_{\rho} - a'_{\rho})g^{\rho}\\ + + (A_{\rho+1} - A'_{\rho+1})g^{\rho+1}; +\end{gather*} +wäre hier $a_{k} - a'_{k}$ der erste von Null verschiedene Koeffizient, +so müßte $(a_{k} - a'_{k})g^{k}$ durch $g^{k+1}$ teilbar sein, woraus sich gegen +die Voraussetzung $a_{k} = a'_{k}$ ergäbe, da ja alle Koeffizienten $a_{i}$ und +$a'_{i}$ der Reihe $0$,~$1$,~\dots~$g - 1$ angehören. Es kann also nicht zwei +verschiedene derartige Darstellungen für die nämliche Zahl geben. + +\begin{Theorem} +Auch die modulo~$g$ gebrochenen Zahlen können in entsprechender +Weise nach Potenzen von $g$ entwickelt werden, nur +daß dann jede Reihe mit einer endlichen Anzahl von Gliedern +beginnt, die negative ganzzahlige Potenzen von $g$ enthalten: +\begin{align*}%[** Not aligned in the orignal] +\Tag{(3)} +B &= \frac{b_{-\nu}}{g^{\nu}} + + \frac{b_{-(\nu-1)}}{g^{\nu-1}} + \dots + + \frac{b_{-1}}{g}\\ + &+ b_{0} + b_{1}g + \dots + + b_{\rho} g^{\rho} + + B_{\rho+1}g^{\rho+1}. +\end{align*} +\end{Theorem} + +Ist nämlich $B = \dfrac{A}{g^{\nu}}$ die normierte Darstellung einer modulo~$g$ +gebrochenen Zahl (vgl.\ \Seite{38} unten), und entwickelt man die modulo~$g$ +ganze Zahl~$A$ für sich bis zu einem Restglied genügend +\PageSep{067}{51} +hoher Ordnung, so erhält man nach Division durch $g^{\nu}$ die obige Entwicklung, +welche ebenso wie diejenige von $A$ eindeutig ist. + +Wir wollen nunmehr die Kongruenz zweier Zahlen für eine +\index{Kongruenz!modulo $g^{\rho}$}% +\emph{beliebige auch negative} Potenz von $g$ als Modul genau so definieren, +wie dies auf \Seite{40} unten für die beliebig gewählte Zahl~$g$ geschah: +\begin{Theorem} +Zwei Zahlen $A$~und~$B$ heißen \so{kongruent für den Modul~$g^{\rho}$}, +oder es besteht für sie die Kongruenz: +\[ +\Tag{(3)} +A \equiv B \ (\mod.~g^{\rho}), +\] +wo $\rho$~eine absolut ganze positive oder auch negative Zahl bedeutet, +wenn die Differenz~$A - B$ durch $g^{\rho}$ teilbar ist, wenn also +\[ +\Tag{(3^{a})} +A = B + Ng^{\rho} +\] +gilt, wo $N$~eine modulo~$g$ ganze Zahl bezeichnet. +\end{Theorem} + +In der Folge wollen wir, um nicht immer bei der Entwicklung +einer Zahl~$A$ in eine nach Potenzen der Grundzahl fortschreitende +Reihe an ein Restglied bestimmter Ordnung gebunden +zu sein, statt der abbrechenden Reihe mit ihrem Restglied die +\emph{beliebig verlängerte Reihe ohne Restglied} betrachten und diese +\so{die $g$-adische Entwicklung der Zahl~$A$} oder die +\so{$g$-adische Reihe für~$A$} nennen. Wir können daher folgenden +Satz aussprechen: +\begin{Theorem} +Jede rationale Zahl~$A$ läßt sich auf eine einzige Weise in +eine $g$-adische Reihe +\[ +\Tag{(4)} +A = a_{n}g^{n} + a_{n+1}g^{n+1} + a_{n+2}g^{n+2} + \dots + + a_{n+\rho}g^{n+\rho} + \dots +\] +mit modulo~$g$ reduzierten Koeffizienten entwickeln. +\end{Theorem} + +Diese zwischen der Zahl~$A$ und ihrer $g$-adischen Entwicklung +definierte Gleichung ist so aufzufassen, daß $A$ sich von dem Aggregate +der $\rho + 1$~ersten Glieder obiger Reihe um ein Restglied +$A_{n+\rho+1}g^{n+\rho+1}$ unterscheidet, welches für genügend groß gewähltes +$\rho$ durch eine beliebig hohe gegebene Potenz von $g$ teilbar ist; für +jede noch so hohe positiv ganzzahlige Potenz~$g^{r+1}$ von~$g$ gilt +danach eine Kongruenz: +\[ +\Tag{(5)} +A \equiv a_{n}g^{n} + a_{n+1}g^{n+1} + \dots + a_{r}g^{r} \ (\mod.~g^{r+1}). +\] +\PageSep{068}{52} + +Ist $A = a$ eine positive absolut ganze Zahl, so bricht ihre +$g$-adische Entwicklung nach einer endlichen Zahl von Gliedern +ab, \dh\ die Koeffizienten~$a_{k}$ werden von einem bestimmten ab +alle Null. Dies folgt unmittelbar aus der Reduktionsgleichung~\Eq{(1)}, +welche hier die Form erhält: +\[ +a = a_{0} + ga_{1}^{(1)}, +\] +weil hier ersichtlich $a_{1}^{(1)}$ wieder eine positive absolut ganze Zahl bedeutet, +die \emph{kleiner als} $a$ ist, und das Entsprechende für alle weiteren +Gleichungen~\Eq{(1^{a})} gilt. Ebenso haben offenbar alle diejenigen +modulo~$g$ gebrochenen Zahlen~$\dfrac{a}{g^{r}}$, deren Zähler in der normierten +Form positiv und absolut ganz sind, abbrechende Entwicklungen. +Die $g$-adischen Reihen für alle anderen Zahlen hingegen, insbesondere +also für diejenigen modulo~$g$ ganzen Zahlen, die negativ oder gebrochen +sind, können niemals abbrechen, da ja die abbrechenden +$g$-adischen Reihen bestimmte positive ganze Zahlen darstellen. + +Wir werden eine $g$-adische Reihe oft auch abgekürzt folgendermaßen +bezeichnen: +\[ +\Tag{(6)} +A = a_{0} + a_{1}g + a_{2}g^{2} + \dots + = a_{0}\MathOrd{,}a_{1}\,a_{2}\,a_{3} \dots\ (g) +\] +oder, falls eine modulo~$g$ gebrochene Zahl dargestellt wird: +\begin{gather*} +\Tag{(6^{a})} +B = \frac{b_{-\nu}}{g^{\nu}} + \frac{b_{-(\nu-1)}}{g^{\nu-1}} + \dots + + \frac{b_{-1}}{g} + b_{0} + b_{1}g + \dots \\ + = b_{-\nu}\,b_{-(\nu-1)} \dots b_{-1}\,b_{0}\MathOrd{,}b_{1}\,b_{2} \dots\ (g), +\end{gather*} +sodaß also das Komma immer hinter dem von $g$ freien Gliede~$b_{0}$ +steht. + +\begin{Examples} +\emph{Beispiele:} Es ist: +\begin{gather*} +5673 = 3 + 7·10 + 6·10^{2} + 5·10^{3} + = 3\MathOrd{,}7650\dots + = 3\MathOrd{,}765\ (10).\\ +523\,000 = 0\MathOrd{,}00325\ (10); +\end{gather*} +ferner ist +\[ +-3 = 7\MathOrd{,}9999 \dots\ (10), +\] +wie sich aus den Identitäten +\[ +-3 = 7 + 10·(-1),\ +-1 = 9 + 10·(-1),\ \dots\ +-1 = 9 + 10·(-1) +\] +\PageSep{069}{53} +ergibt, aus denen folgt: +\[ +-3 = 7 + 10·9 + 10^{2}·9 + \dots + 10^{\rho}·9 + 10^{\rho+1}·(-1). +\] +Ebenso bestätigt man leicht die Richtigkeit der folgenden Gleichungen: +\begin{align*} +\tfrac{2}{3} &= 4\MathOrd{,}333\dots \ (10).\\ +\tfrac{172}{5} &= \tfrac{344}{10} = 44\MathOrd{,}3 \ (10).\\ +-\tfrac{7}{5} &= -\tfrac{14}{10} = 68\MathOrd{,}999\dots \ (10).\\ +-\tfrac{5}{12} &= -\tfrac{15}{36} = 335\MathOrd{,}555\dots \ (6).\\ +\tfrac{3}{8} &= 1\MathOrd{,}\overline{30}\,30\,30\dots \ (5).\\ +216 &= 1\MathOrd{,}331 \ (5).\\ +-\tfrac{4}{7} &= \overline{3,02\,142}\,302\,142\dots \ (5); +\end{align*} +die letzte Gleichung folgt \zB\ aus den Relationen: +\begin{gather*} +-\tfrac{4}{7} = 3 + 5·(-\tfrac{5}{7}),\quad +-\tfrac{5}{7} = 0 + 5·(-\tfrac{1}{7}),\quad +-\tfrac{1}{7} = 2 + 5\Add{·}(-\tfrac{3}{7}),\\ +% +-\tfrac{3}{7} = 1 + 5\Add{·}(-\tfrac{2}{7}),\quad +-\tfrac{2}{7} = 4 + 5\Add{·}(-\tfrac{6}{7}),\quad +-\tfrac{6}{7} = 2 + 5\Add{·}(-\tfrac{4}{7}),\\ +-\tfrac{4}{7} = 3 + 5\Add{·}(-\tfrac{5}{7}) \quad\text{usw.} +\end{gather*} +\end{Examples} + +Die nämliche Zahl wird in bezug auf verschiedene Grundzahlen +gänzlich verschiedene Entwicklungen besitzen, wie folgende Beispiele +im Vergleich zu den beiden zuletzt gegebenen lehren: +\begin{align*} +216 &= 0\MathOrd{,}0011011 \ (2).\\ +-\tfrac{4}{7} &= \overline{2\MathOrd{,}01021}\,201021\dots \ (3). +\end{align*} + +Bei der pentadischen Entwicklung von $\dfrac{3}{8}$ und der pentadischen +sowie der triadischen Entwicklung von $-\dfrac{4}{7}$ soll der wagerechte +Strich andeuten, daß die aus den betreffenden Ziffern gebildete +Periode sich immer wiederholt. + +Ich habe schon auf \Seite{42} bei der Ableitung der Gleichung~\Eq{(3)} +darauf aufmerksam gemacht, daß man bei der Division von $A$ +durch $g$ statt des kleinsten nicht negativen absolut ganzen +Restes~$a_{0}$, welchem $A$ modulo~$g$ kongruent ist, auch irgendeine zu +$a_{0}$ kongruente Zahl~$\bar{a}_{0}$ als Divisionsrest wählen kann. Tut man +dies, so ergeben sich statt der Gleichungen \Eq{(1)}~und~\Eq{(1^{a})} \aSeite{49} +die allgemeineren +\PageSep{070}{54} +\[ +A = \bar{a}_{0} + g\bar{A}_{1},\quad +\bar{A}_{1} = \bar{a}_{1} + g\bar{A}_{2},\ \dots, +\] +und durch dieselben Schlüsse wie \aaO\ erhält man eine +\emph{allgemeinere $g$-adische Darstellung von~$A$}, die sich, falls $A$ modulo~$g$ +ganz ist, folgendermaßen schreiben läßt: +\[ +\Tag{(7)} +A = \bar{a}_{0} + \bar{a}_{1}g + \bar{a}_{2}g^{2} + \dots + \bar{a}_{\rho}g^{\rho} + \bar{A}_{\rho+1} g^{\rho+1}, +\] +wo auch jetzt die Koeffizienten~$\bar{a}_{i}$ modulo~$g$ ganz sind, aber +nicht der Reihe $0$,~$1$,~\dots~$g - 1$ anzugehören brauchen. Auch jetzt +besteht für jede noch so hohe Potenz von $g$ eine Kongruenz: +\[ +\Tag{(7^{a})} +A \equiv \bar{a}_{0} + \bar{a}_{1}g + \dots + \bar{a}_{\rho} g^{\rho} \ (\mod.~g^{\rho+1}). +\] +Wir wollen daher hier ebenfalls $A$ der ins Unendliche verlängert +gedachten $g$-adischen Reihe gleichsetzen; die Gleichung +\[ +A = \bar{a}_{0} + \bar{a}_{1} g + \bar{a}_{2} g^{2} + \dots \ (g) +\] +soll also wieder besagen, daß sich $A$ von dem Aggregat der $\rho + 1$ +ersten Glieder der rechtsstehenden Reihe um ein Restglied $\bar{A}_{\rho+1} g^{\rho+1}$ +unterscheidet, welches für genügend großes $\rho$ durch eine vorgegebene +beliebig hohe Potenz von $g$ stets noch teilbar ist. Eine solche +Reihe, die wir auch hier in der abgekürzten Form +\[ +\Tag{(7^{b})} +A = \bar{a}_{0}\MathOrd{,}\bar{a}_{1}\,\bar{a}_{2} \dots \ (g) +\] +schreiben, wollen wir eine \so{nicht reduzierte $g$-adische +Reihe für~$A$} oder eine \so{nicht reduzierte $g$-adische +Entwicklung von~$A$} nennen, während die bisher behandelte +\index{Reduzierte u.\ nicht reduzierte $g$-adische Zahlen}% +Reihendarstellung, bei der alle Koeffizienten modulo~$g$ reduziert +sind, die \so{reduzierte} Darstellung von $A$ heißen soll. + +Die zuletzt gegebenen Entwicklungen übertragen sich ersichtlich +sofort auch auf die modulo~$g$ gebrochenen Zahlen. + +\begin{Definition} +% [** TN: Heading gesperrt in the original, but not elsewhere] +Definition: Ist +\[ +A = a_{0} + a_{1}g + \dots + a_{k}g^{k} + \dots +\] +die Darstellung einer beliebigen modulo~$g$ ganzen rationalen Zahl +für den Bereich von $g$ in der reduzierten oder auch in einer +nicht reduzierten Form, so sollen die rationalen Zahlen +\[ +\Tag{(8)}%[** TN: Set on one line in the original] +\begin{gathered} +A^{(0)} = a_{0},\quad +A^{(1)} = a_{0} + a_{1}g,\ \dots \\ +A^{(k)} = a_{0} + a_{1}g + \dots + a_{k}g^{k},\ \dots +\end{gathered} +\] +\PageSep{071}{55} +die \so{Näherungswerte nullter, erster},~\dots\ \Ord{$k$}{-ter} +\so{Ordnung} oder kürzer \so{der nullte, erste},~\dots \Ord{$k$}{-te} +\so{Näherungswert dieser Entwicklung von~$A$} +\index{Näherungswerte $g$-adischer Zahlen}% +genannt werden. Daher besteht für jeden \Ord{$k$}{-ten}~Näherungswert +$A^{(k)}$ von $A$ die Kongruenz: +\[ +\Tag{(9)} +A \equiv A^{(k)} \ (\mod.~g^{k+1}). +\] +Eben diese Näherungswerte sollen auch für jede modulo~$g$ gebrochene +Zahl +\[ +A = \frac{a_{-\rho}}{g^{\rho}} + \frac{a_{(\rho-1)}}{g^{\rho-1}} + \dots + + \frac{a_{-1}}{g} + a_{0} + a_{1}g + \dots +\] +definiert sein; der einzige Unterschied ist der, daß in diesem Fall +auch Näherungswerte negativer Ordnung: +\[ +\Tag{(10)} +\begin{gathered} +A^{(-\rho)} = \frac{a_{-\rho}}{g^{\rho}},\quad +A^{(-\rho+1)} = \frac{a_{-\rho}}{g^{\rho}} + \frac{a_{-(\rho-1)}}{g^{\rho-1}},\ \dots \\ +A^{(-1)} = \frac{a_{-\rho}}{g^{\rho}} + \frac{a_{-(\rho-1)}}{g^{\rho-1}} + \dots + \frac{a_{-1}}{g} +\end{gathered} +\] +zu denjenigen nicht negativer Ordnung +\[ +\Tag{(10^{a})} +A^{(0)} + = \frac{a_{-\rho}}{g^{\rho}} + + \frac{a_{-(\rho-1)}}{g^{\rho-1}} + \dots + + \frac{a_{-1}}{g} + a_{0} \quad\text{usw.} +\] +hinzutreten. Die Kongruenz~\Eq{(9)} bleibt dann auch für die Werte +$k = -\rho$, $k = -(\rho - 1)$,~\dots\ $k = -1$ richtig. +\end{Definition} + +\ZB~hat die Zahl $A = 216 = 0\MathOrd{,}0011011\ (2)$ die Näherungswerte +\begin{gather*} +A^{(0)} = A^{(1)} = A^{(2)} =0,\quad +A^{(3)} = 2^{3} = 8,\quad +A^{(4)} = A^{(5)} = 8 + 16 = 24,\\ +A^{(6)} = 88, +\end{gather*} +während $A^{(7)}$ und alle weiteren Näherungswerte mit der Zahl +$A = 216$ selbst identisch sind. Die Zahl $A = -\dfrac{7}{5} = 68\MathOrd{,}999\dots\ (10)$ +besitzt die Näherungswerte +\[ +A^{(-1)} = \tfrac{6}{10} = \tfrac{3}{5},\quad +A^{(0)} = \tfrac{3}{5} + 8 = 8\tfrac{3}{5},\quad +A^{(1)} = 98\tfrac{3}{5} \quad\text{usw.;} +\] +wirklich ist~\zB +\PageSep{072}{56} +\[ +98\tfrac{3}{5} \equiv -\tfrac{7}{5} \ (\mod.~10^{2}) +\] +weil $98\frac{3}{5} + \frac{7}{5} = 100$ durch $10^{2}$ teilbar ist. Schließlich hat beispielsweise +die nichtreduzierte pentadische Darstellung der Null: +$A = 0 = 5\MathOrd{,}444\dots\ (5)$ die Näherungswerte +\[ +A^{(0)} = 5,\quad +A^{(1)} = 25,\quad +A^{(2)} = 125,\quad +A^{(3)} = 625,\ \dots, +\] +die offenbar durch beliebig hohe Potenzen von $5$ teilbar werden. +\PageSep{073}{57} + + +\Chapter{Viertes Kapitel.} +{Der Ring $R(g)$ der allgemeinen $g$-adischen +Zahlen für eine beliebige Grundzahl~$g$.} + +\Section{§ 1.}{Definition der allgemeinen $g$-adischen Zahlen.} + +Die bisher durchgeführten Betrachtungen haben gezeigt, daß man +\index{g-adische@{$g$-adische}!Zahlen, allgemeine}% +jeder rationalen Zahl $A =\dfrac{m}{n}$ eine und bei Verzicht auf ausschließlich +reduzierte Darstellungen auch beliebig viele untereinander gleichwertige +Reihen $a_{n}g^{n} + a_{n+1}g^{n+1} + \dots$ zuordnen kann, deren Koeffizienten +wohldefiniert sind und, soweit man will, berechnet werden +können. Diese unendlichen Reihen oder, genauer gesagt, ihre Näherungswerte +entsprechend hoher Ordnung geben uns die Möglichkeit, +alle Eigenschaften, welche $A$ in bezug auf die Grundzahl~$g$ besitzt, +mit jeder gewünschten Genauigkeit zu erkennen. Nun werden wir +später sehen, daß wir auch die nicht rationalen, insbesondere die +sog.\ algebraischen Zahlen in ihren Beziehungen zur Grundzahl~$g$ in +gleicher Weise durch die Näherungswerte jeweils eindeutig bestimmter +$g$-adischer Reihen charakterisieren können. Wir wollen +daher sogleich an dieser Stelle die \emph{allgemeine Definition der +$g$-adischen Zahlen} aufstellen und gleichzeitig nachweisen, daß und +wie man mit ihnen, genau wie mit den gewöhnlichen Zahlen +rechnen kann, sobald einmal auch für sie die elementaren +Rechenoperationen definiert sind. + +\begin{Definition} +Definition: Wir wollen von jetzt an jede Reihe +\[ +\Tag{(1)} +A = a_{\rho} g^{\rho} + a_{\rho+1}g^{\rho+1} + \dots +\] +\PageSep{074}{58} +mit beliebigen modulo~$g$ ganzen rationalen Koeffizienten +$a_{\rho}$,~$a_{\rho+1}$,~\dots\ eine \so{$g$-adische Zahl} nennen, sobald eine Vorschrift +\index{g-adische@{$g$-adische}!Zahlen, ganze und gebrochene}% +\index{Näherungswerte $g$-adischer Zahlen}% +gegeben ist, nach der diese Koeffizienten, soweit man +will, berechnet werden können. Auch jetzt wollen wir die abgekürzte +Schreibweise +\[ +\Tag{(1^{a})} +A = 0\MathOrd{,}0 \dots 0\,a_{\rho}\,a_{\rho+1} \dots +\] +benutzen. +\end{Definition} + +So sind die Reihen, die wir jeder rationalen Zahl~$\dfrac{m}{n}$ zuordnen +konnten, $g$-adische Zahlen. + +Ich unterscheide die \so{reduzierten $g$-adischen Zahlen} +von den \so{nicht reduzierten}. Bei den ersteren sollen die +\index{Reduzierte u.\ nicht reduzierte $g$-adische Zahlen}% +Koeffizienten~$a_{i}$ stets modulo~$g$ reduzierte Zahlen sein, also der Reihe +$0$,~$1$,~\dots~$g - 1$ angehören, während sie bei den letzteren durch beliebige +modulo~$g$ ganze rationale Zahlen gebildet werden können. Eine +reduzierte Zahl: +\[ +A = a_{\rho} g^{\rho} + a_{\rho+1} g^{\rho+1} + \dots +\] +soll \so{ganz} oder \so{gebrochen} heißen, je nachdem sie mit einer +nicht negativen oder einer negativen Potenz von $g$ beginnt, je +nachdem also $\rho \geqq 0$ oder $\rho < 0$ ist. Die einer rationalen Zahl~$\dfrac{m}{n}$ +zugeordnete $g$-adische Zahl ist also ganz oder gebrochen, je +nachdem $\dfrac{m}{n}$ selbst modulo~$g$ ganz oder gebrochen ist. + +Bricht man die Entwicklung einer ganzen $g$-adischen Zahl +$A = a_{0}\MathOrd{,}a_{1}\,a_{2} \dots$ hinter dem ersten, zweiten,~\dots\ $(k + 1)$-ten Gliede +ab, so erhält man auch hier eine gesetzmäßige Folge von modulo~$g$ +ganzen rationalen Zahlen +\[ +\Tag{(2)}%[** TN: Set on one line in the original] +\begin{gathered} +A^{(0)} = a_{0},\quad +A^{(1)} = a_{0} + a_{1}g,\ \dots \\ +A^{(k)} = a_{0} + a_{1}g + \dots + a_{k}g^{k},\ \dots, +\end{gathered} +\] +die wir wieder den \so{nullten}, \so{ersten},~\dots \Ord{$k$}{-ten}~\so{Näherungswert +der $g$-adischen Zahl~$A$} nennen wollen. +Beginnt +\[ +A = \frac{a_{-\rho}}{g^{\rho}} + \frac{a_{-(\rho-1)}}{g^{\rho-1}} + \dots +\] +\PageSep{075}{59} +mit negativen Potenzen von~$g$, so beginnt auch die Reihe der Näherungswerte +$A^{(-\rho)}$,~$A^{(-\rho+1)}$,~\dots\ mit solchen von negativer Ordnung, +und alle Näherungswerte +\[ +A^{(k)} = \frac{a_{-\rho}}{g^{\rho}} + \dots + a_{k} g^{k} +\] +sind modulo~$g$ gebrochene rationale Zahlen, deren Nenner in der +normierten Darstellung $g^{\rho}$ ist. Im folgenden werde ich der Einfachheit +wegen öfter ganze $g$-adische Zahlen der Betrachtung zugrunde +legen, bemerke aber, daß die abgeleiteten Sätze und ihre +Beweise für alle $g$-adischen Zahlen gültig sind. + +\begin{Definition} +Definition: Zwei $g$-adische Zahlen +\[ +A = a_{0}\MathOrd{,}a_{1}\,a_{2} \dots a_{k} \dots \quad\text{und}\quad +A' = a_{0}'\MathOrd{,}a_{1}'\,a_{2}' \dots a_{k}' \dots +\] +heißen \so{kongruent modulo~$g^{k+1}$}, wenn ihre \Ord{$k$}{-ten}~Näherungswerte +nach der \aSeite{51} gegebenen Definition modulo~$g^{k+1}$ +kongruent sind, wenn also gilt: +\[ +A^{(k)} \equiv A'^{(k)} \ (\mod.~g^{k+1}), +\] +oder ausgeschrieben +\[ +a_{0} + a_{1}g + \dots + a_{k}g^{k} + \equiv a_{0}' + a_{1}'g + \dots + a_{k}'g^{k} \ (\mod.~g^{k+1}). +\] +\end{Definition} + +Aus dieser Kongruenz folgt sofort, daß sicher dann $A \equiv A' \ +\DPtypo{}{(}\mod.~g^{k+1})$ ist, wenn $A$~und~$A'$ in ihren $k + 1$~ersten Ziffern übereinstimmen. +\index{Kongruenz!g-adischer@{$g$-adischer Zahlen}}% +Ferner erkennt man aus der nämlichen Kongruenz +unmittelbar, daß sie, falls sie modulo~$g^{k+1}$ erfüllt ist, auch für +jede niedrigere Potenz von $g$ als Modul besteht. Endlich sieht man +leicht, daß zwei reduzierte $g$-adische Zahlen auch \emph{nur} dann +modulo~$g^{k+1}$ kongruent sein können, wenn ihre $k + 1$~ersten Ziffern +bezüglich gleich sind. In der Tat, besteht jene Kongruenz, und sind +etwa in den beiden Reihen der $k + 1$ Anfangskoeffizienten $a_{i}$ und +$a_{i}'$ die beiden ersten voneinander verschiedenen, so kann man zunächst +auf beiden Seiten die $i$~ersten Glieder fortlassen; betrachtet man die +sich so ergebende Kongruenz nur modulo~$g^{i+1}$ statt modulo~$g^{k+1}$, +so erhält man +\[ +a_{i}g^{i} \equiv a_{i}' g^{i} \ (\mod.~g^{i+1}), +\] +\dh\ die Differenz $a_{i}' - a_{i}$ muß durch $g$ teilbar sein. Da nach +\PageSep{076}{60} +Voraussetzung $a_{i}$~und~$a_{i}'$ beide modulo~$g$ reduziert sind, so muß +dazu wirklich $a_{i} = a_{i}'$ sein. + +Auf diese Betrachtungen gründe ich nun die fundamentale +\emph{Definition der Gleichheit zweier $g$-adischen Zahlen:} +\index{Gleichheit!g-adischer@{$g$-adischer Zahlen}}% +\begin{Definition} +Zwei $g$-adische Zahlen sollen dann und nur dann \so{gleich} +heißen, wenn sie für jede noch so hohe Potenz der Grundzahl~$g$ +kongruent sind. +\end{Definition} +Diese Definition erfüllt ersichtlich die an jede Definition einer +Gleichheit zu stellenden Anforderungen, da nach ihre jede Zahl sich +selbst gleich ist, ferner aus $A = B$ stets $B = A$ folgt und schließlich +die erklärte Gleichheit auch, wie man sagt, \so{transitiv} ist, insofern +sich aus $A = B$ und $B = C$ stets $A = C$ ergibt. + +Insbesondere sind hiernach zwei \emph{reduzierte} $g$-adische Zahlen +dann und nur dann gleich, wenn sie identisch sind; denn für +jedes noch so große $k$ müssen ja nach dem zuletzt Bewiesenen +ihre $k$~ersten Koeffizienten bezüglich gleich sein, damit die Zahlen +selbst gleich seien. + +Es besteht nun der wichtige Satz: +\begin{Theorem} +Jede $g$-adische Zahl ist einer eindeutig bestimmten reduzierten +Zahl gleich. +\end{Theorem} + +Sei nämlich +\[ +\bar{A} = a_{0} + a_{1}g + \dots + a_{k-1}g^{k-1} + + \bar{a}_{k}g^{k} + \bar{a}_{k+1}g^{k+1} + \dots +\] +beliebig gegeben; $\bar{a}_{k}$~sei die erste Ziffer, die noch nicht reduziert ist. +Dann ist nach \Seite{42} Mitte $\bar{a}_{k}$ einer eindeutig bestimmten Zahl~$a_{k}$ +aus der Reihe $0$,~$1$,~\dots~$g - 1$ modulo~$g$ kongruent, \dh\ es besteht +eine Gleichung +\[ +\bar{a}_{k} = a_{k} + \epsilon_{k+1} g, +\] +wo $\epsilon_{k+1}$ rational und modulo~$g$ ganz ist. Setzt man diesen Wert in +die Reihe für $\bar{A}$ ein und vereinigt dabei das Produkt~$\epsilon_{k+1}g^{k+1}$ +mit dem Glied $\bar{a}_{k+1}g^{k+1}$, so erhält man die neue $g$-adische Zahl +\[ +\bar{A}' = a_{0} + a_{1}g + \dots + a_{k}g^{k} + + (\bar{a}_{k+1} + \epsilon_{k+1}) g^{k+1} + \dots, +\] +die nach unserer Definition gleich $\bar{A}$ ist, weil alle ihre Näherungswerte +\PageSep{077}{61} +bezüglich denen von $\bar{A}$ kongruent sind. Da aber $A'$ ein reduziertes +Glied mehr als $A$ besitzt, so ergibt sich, da das Verfahren in gleicher +Weise beliebig weit fortgesetzt werden kann, in der Tat die Existenz +einer reduzierten Zahl, die gleich $\bar{A}$ ist. Mehr als \emph{einer} reduzierten +Zahl kann $A$ aber nicht gleich sein; denn zwei solche +reduzierte Zahlen müßten ja auch untereinander gleich sein, und +dies ist, wie wir wissen, nur dann möglich, wenn sie in allen +ihren Ziffern einzeln übereinstimmen. + +Das angegebene Verfahren, durch welches eine nicht reduzierte +Zahl in die ihr gleiche reduzierte übergeführt wird, ist praktisch +außerordentlich einfach durchzuführen; man erhält der Reihe nach +die Gleichungen +\[ +\Tag{(3)} +\begin{alignedat}{2} + \bar{a}_{k} &= a_{k} &&+ \epsilon_{k+1}g \\ +\epsilon_{k+1} + \bar{a}_{k+1} &= a_{k+1} &&+ \epsilon_{k+2}g \\ +\epsilon_{k+2} + \bar{a}_{k+2} &= a_{k+2} &&+ \epsilon_{k+3}g \quad\text{usw.,} +\end{alignedat} +\] +aus denen sich sukzessive die Koeffizienten $a_{k+1}$,~$a_{k+2}$,~\dots\ der reduzierten +Zahl bestimmen, für welche die Gleichung besteht: +\[ +a_{0}\MathOrd{,}a_{1}\,a_{2} \dots a_{k-1}\,\bar{a}_{k}\,\bar{a}_{k+1}\,\bar{a}_{k+2} \dots = +a_{0}\MathOrd{,}a_{1}\,a_{2} \dots a_{k-1}\,a_{k}\,a_{k+1}\,a_{k+2} \dots. +\] + +Auf Grund der soeben gewonnenen Ergebnisse wollen wir die +\index{g-adische@{$g$-adische}!Zahlen, ganze und gebrochene}% +Definition der ganzen und der gebrochenen $g$-adischen Zahlen so +erweitern, daß sie auch für die nicht reduzierten Zahlen gilt: +\begin{Definition} +Eine $g$-adische Zahl heißt \so{ganz} oder \so{gebrochen}, je nachdem +die ihr gleiche reduzierte ganz oder gebrochen ist. +\end{Definition} + +Jede nicht reduzierte $g$-adische Zahl~$A$ kann durch das soeben +angegebene Verfahren so umgeformt werden, daß ihr Anfangsglied +eine modulo~$g$ reduzierte Zahl ist. Da sich dieses bei der +weiteren Reduktion nicht mehr ändert, so entscheidet dieses allein +darüber, ob $A$ ganz oder gebrochen ist. Wir können also auch +die nicht reduzierten Zahlen~$A$ von vornherein so gegeben denken, +daß ihr Anfangsglied modulo $g$ reduziert ist. + +\begin{Examples} +\emph{Beispiele} für die Verwandlung von beliebigen $g$-adischen +Zahlen in reduzierte: +\PageSep{078}{62} +\begin{gather*} +8\MathOrd{,}30976 + = 3\MathOrd{,}40976 + = 3\MathOrd{,}40486 + = 3\MathOrd{,}40437 + = 3\MathOrd{,}404321 \ (5). \\ +75\MathOrd{,}8295 = 10\MathOrd{,}33301 \ (6). \\ +1\MathOrd{,}\,2\,3\,4\,5\,6\,7\,8\,9\,10\,11\,12\,13 \dots + = 1\MathOrd{,}\overline{2\,3\,4\,0}\,2\,3\,4\,0\,2\,3\,4\,0 \dots \ (5). \\ +g\MathOrd{,}g{-}1\ g{-}1\ g{-}1 \dots + = 0\MathOrd{,}00 \dots 0\,g\,g{-}1\ g{-}1 \dots + = 0 \ (g). \\ +g\MathOrd{,}2g{-}1\ 3g{-}2\ 4g{-}3 \dots = 0 \ (g). \\ +g^{2}\MathOrd{,}2g^{2}{-}2g\ 3g^{2}{-}4g{+}1\ 4g^{2}{-}6g{+}2 \dots = 0 \ (g). +\end{gather*} +\end{Examples} +Gleich an dieser Stelle möchte ich darauf hinweisen, wie wichtig es +ist, die wenigen einfachen Regeln für das Rechnen mit $g$-adischen +Zahlen an möglichst vielen selbstgewählten Beispielen einzuüben. +Besonders mag noch einmal die für jede Zahl bestehende Gleichung +ausdrücklich hervorgehoben werden: +\[ +a_{0}\MathOrd{,}\dots a_{i}\,a_{i+1} \dots + = a_{0}\MathOrd{,}\dots a_{i}{+}g\ a_{i+1}{-}1 \dots, +\] +welche bei anderer Bezeichnung der Koeffizienten auch so geschrieben +werden kann: +\[ +b_{0}\MathOrd{,}\dots b_{i}{-}g\ b_{i+1}{+}1 \dots + = b_{0}\MathOrd{,}\dots b_{i}\,b_{i+1} \dots. +\] +Aus diesen zwei Identitäten können die beiden folgenden, bei allen Reduktionen +immer wieder angewandten Sätze abgelesen werden: +\begin{Theorem} +Jede $g$-adische Zahl bleibt ungeändert, wenn man von +irgendeiner ihrer Ziffern eine Einheit borgt und dafür die nächstvorhergehende +Ziffer um $g$~Einheiten vermehrt. Jede $g$-adische +Zahl bleibt ungeändert, wenn man eine ihrer Ziffern um $g$~Einheiten +vermindert und dafür die nächstfolgende um eine Einheit +vermehrt. +\end{Theorem} + +Auch nach der hier gegebenen Definition der Gleichheit zweier +$g$-adischen Zahlen ist jede \so{rationale} Zahl~$A$ der ihr in~\Eq{(4)} +\aSeite{51} zugeordneten Reihe $a_{n} g^{n} + a_{n+1} g^{n+1} + \dots$ gleich; denn ihre +Näherungswerte genügend hoher Ordnung sind den Näherungswerten +von~$A$, die ja alle gleich $A$ selbst sind, für jede noch so hohe +Potenz von $g$ als Modul kongruent. + +Wir wollen endlich noch die vorher gegebene Definition der +$g$-adischen Zahlen in der Weise erweitern, daß wir von jetzt an auch +jede unendliche Reihe: +\[ +A = A_{0} + A_{1}g + A_{2}g^{2} + \dots +\] +\PageSep{079}{63} +\index{Addition der Logarithmen!$g$-adischer Zahlen}% +eine \so{$g$-adische Zahl} nennen wollen, deren Koeffizienten $A_{0}$,~$A_{1}$,~\dots\ +selber ganze \emph{$g$-adische Zahlen} sind, wenn nur wieder eine Vorschrift +gegeben ist, nach der diese Koeffizienten~$A_{i}$, soweit man will, berechnet +werden können. Auch für diese Zahlen, können wir die +Definition ihrer Näherungswerte +\[ +A^{(0)} = A_{0},\quad +A^{(1)} = A_{0} + A_{1}g,\ \dots +\] +ungeändert beibehalten und auch wieder zwei solche Zahlen $A$~und~$A'$ +\index{g-adische@{$g$-adische}!Zahlen, allgemeine}% +\index{Gleichheit!g-adhischer@{$g$-adischer Zahlen}}% +\index{Kongruenz!g-adischer@{$g$-adischer Zahlen}}% +\index{Multiplikation $g$-adischer Zahlen}% +\so{modulo~$p^{k+1}$ kongruent} nennen, wenn ihre \Ord{$k$}{-ten}~Näherungswerte +modulo~$p^{k+1}$ kongruent sind. Nennen wir also auch jetzt zwei solche +Zahlen \so{für den Bereich von $g$ gleich}, wenn sie für jede noch +so hohe Potenz von $g$ als Modul kongruent sind, so erkennt man, +daß durch diese Erweiterung der Definition einer $g$-adischen Zahl +der Bereich dieser Zahlen nicht vergrößert worden ist, daß nämlich +auch jede von diesen allgemeineren $g$-adischen Zahlen einer einzigen +reduzierten Zahl $a_{0}$,~$a_{1}$, $a_{2}$~\dots\ für den Bereich von $g$ gleich ist. In +der Tat gilt ja auch für jede $g$-adische Zahl $A_{0}$,~$A_{1}$, $A_{2}$,~\dots, welche +in den Koeffizienten von $A$ auftritt, \zB\ für~$A_{0}$, stets eine +Gleichung von der Form: +\[ +A_{0} = a_{0} + g\epsilon_{1}, +\] +wo $a_{0}$ eine Zahl der Reihe $0$,~$1$,~\dots~$g - 1$ bedeutet, und wo $\epsilon_{1}$~wieder +eine ganze $g$-adische Zahl ist. Wendet man also genau das auf +\Seite{60} auseinandergesetzte Verfahren auf diese Zahlen an, so erhält +man auch hier eine Reihe von Gleichungen: +\[ +A = A_{0}\MathOrd{,}A_{1}\, A_{2} \dots + = a_{0}\MathOrd{,}A_{1}{+}\epsilon_{1}\ A_{2} \dots + = a_{0}\MathOrd{,}a_{1}\,A_{2}{+}\epsilon_{2} \dots, +\] +durch welche $A$ sukzessive in eine eindeutig bestimmte reduzierte Zahl +übergeführt wird. Alle bisher über die $g$-adischen Zahlen bewiesenen +Sätze bleiben hiernach auch für diese allgemeineren Zahlen gültig. + + +\Section{§ 2.}{Die Addition und Multiplikation im Bereich der +$g$-adischen Zahlen.} + +Wir definieren die beiden Verknüpfungsoperationen der Addition +und der Multiplikation für die $g$-adischen Zahlen folgendermaßen: +\begin{Theorem} +Sind $A$~und~$B$ zwei beliebige $g$-adische Zahlen, so wollen +wir unter ihrer \so{Summe} $A + B$ bzw.\ unter ihrem \so{Produkt}~$AB$ +\PageSep{080}{64} +eine Zahl~$C$ bzw.\ $D$ verstehen, deren Näherungswerte +genügend hoher Ordnung für jede noch so hohe Potenz der +Grundzahl als Modul der Summe bzw.\ dem Produkt der Näherungswerte +von $A$~und~$B$ kongruent sind. Es soll also, eine +wie große Zahl~$k'$ immer vorgegeben sein mag, möglich sein, +die Zahl~$k$ so groß zu bestimmen, daß für die \Ord{$k$}{-ten} und +alle späteren Näherungswerte die folgenden Kongruenzen gelten: +\[ +\Tag{(1)} +\begin{alignedat}{2} +C^{(k)} &= (A+B)^{(k)} \equiv A^{(k)} + B^{(k)}\quad &&(\mod.~g^{k'}) \\ +D^{(k)} &= (A B)^{(k)} \equiv A^{(k)} B^{(k)} &&(\mod.~g^{k'}). +\end{alignedat} +\] +\end{Theorem} + +Man erkennt hiernach leicht die Richtigkeit des folgenden +Fundamentalsatzes: +\begin{Theorem} +Im Bereich der $g$-adischen Zahlen ist die Addition und die +Multiplikation unbeschränkt und eindeutig ausführbar. +\end{Theorem} + +Zunächst sieht man sehr leicht, daß sich \emph{eine} den Definitionsbedingungen +genügende und unbeschränkt ausführbare Art der +Addition und Multiplikation für die $g$-adischen Zahlen sofort angeben +läßt: Sind nämlich +\[ +A = a_{0}\MathOrd{,}a_{1}\,a_{2} \dots \quad\text{und}\quad +B = b_{0}\MathOrd{,}b_{1}\,b_{2} \dots +\] +irgend zwei ganze $g$-adische Zahlen, so bestehen für die Zahlen +\[ +\Tag{(2)} +\begin{aligned} +C &= (a_{0} + b_{0}) + (a_{1} + b_{1})g + (a_{2} + b_{2})g^{2} + \dots \\ +D &= a_{0}b_{0} + (a_{0}b_{1} + a_{1}b_{0})g + (a_{0}b_{2} + a_{1}b_{1} + a_{2}b_{0})g^{2} + \dots +\end{aligned} +\] +für jeden noch so hohen Wert von $k$ offenbar die Beziehungen: +\[ +\MarginTag[0.5\baselineskip]{(3)}%[** TN: Not aligned in the original] +\begin{aligned} +C^{(k)} &= (a_{0} + b_{0}) + (a_{1} + b_{1})g + \dots + (a_{k} + b_{k})g^{k} \\ + &= (a_{0} + a_{1}g + \dots + a_{k}g^{k}) + + (b_{0} + b_{1}g + \dots + b_{k}g^{k}) \\ + &= A^{(k)} + B^{(k)} \\ +D^{(k)} &= a_{0}b_{0} + (a_{0}b_{1} + a_{1}b_{0})g + \dots + + (a_{0}b_{k} + a_{1}b_{k-1} + \dots + a_{k}b_{0})g^{k} \\ + &\equiv (a_{0} + a_{1}g + \dots + a_{k}g^{k}) + (b_{0} + b_{1}g + \dots + b_{k}g^{k}) \\ + &= A^{(k)}B^{(k)} \ (\mod.~g^{k+1}). +\end{aligned} +\] +$C$ und $D$ genügen also sicher den an die Summe und das Produkt +gestellten Anforderungen, \dh\ es ist: +\[ +\Tag{(4)} +C = A + B, \quad D = AB \ (g). +\] + +Durch die Kongruenzen~\Eq{(1)} sind ferner die Näherungswerte $C^{(k)}$ +und $D^{(k)}$ von $A + B$ und~$AB$ für genügend große Werte von $k$ für +\PageSep{081}{65} +jede noch so hohe Potenz von $g$ als Modul bestimmt, und hieraus +allein folgt, daß die soeben definierten Operationen der Addition +und Multiplikation nicht bloß unbeschränkt, sondern auch eindeutig +sind. In der Tat muß nämlich jede Zahl~$C'$ bzw.\ $D'$, +welche nach dieser Definition ebenfalls gleich $A + B$ oder $AB$ ist, +gleich $C$ bzw.\ $D$ sein, da ja ihre Näherungswerte genügend hoher +Ordnung für jede noch so hohe Potenz von $g$ als Modul denen +von $C$ bzw.\ von $D$ kongruent sind. Ebenso folgt aus derselben +Ãœberlegung, daß die beiden Fundamentalsätze "`Gleiches zu +Gleichem addiert (bzw.\ mit Gleichem multipliziert) gibt Gleiches"' im +Bereiche der $g$-adischen Zahlen gültig bleiben. + +Sind $A$~und~$B$ gebrochene $g$-adische Zahlen, ist also \zB\ +\[ +\Tag{(5)} +\begin{alignedat}{4} +A &= \frac{a_{-2}}{g^{2}} &&+ \frac{a_{-1}}{g} &&+ a_{0} &&+ \dots\ (g), \\ +B &= \frac{b_{-2}}{g^{2}} &&+ \frac{b_{-1}}{g} &&+ b_{0} &&+ \dots\ (g), +\end{alignedat} +\] +so gelten für die entsprechend wie vorhin gebildeten Zahlen +\[ +\MarginTag[0.5\baselineskip]{(6)} +\begin{gathered} +C = \frac{a_{-2} + b_{-2}}{g^{2}} + + \frac{a_{-1} + b_{-1}}{g} + + (a_{0} + b_{0}) + (a_{1} + b_{1})g + \dots \\ +% +D = \frac{a_{-2}b_{-2}}{g^{4}} + + \frac{a_{-2}b_{-1} + a_{-1}b_{-2}}{g^{3}} + + \frac{a_{-2}b_{0} + a_{-1}b_{-1} + a_{0}b_{-2}}{g^{2}} + \dots +\end{gathered} +\] +offenbar bei jedem noch so hohen Werte von $k$ die Kongruenzen bzw.\ +Gleichungen: +\[ +\MarginTag[-0.5\baselineskip]{(7)} +\begin{gathered} +C^{(k)} = A^{(k)} + B^{(k)} \\ +D^{(k)} = \frac{a_{-2}b_{-2}}{g^{4}} + \dots + + (a_{-2}b_{k+2} + a_{-1}b_{k+1} + a_{0}b_{k} + \dots + a_{k+2}b_{-2})g^{k} \\ + \equiv \left(\frac{a_{-2}}{g^{2}} + \dots + a_{k}g^{k}\right) + \left(\frac{b_{-2}}{g^{2}} + \dots + b_{k}g^{k}\right) + = A^{(k)}B^{(k)} \ (\mod.~g^{k-1}); +\end{gathered} +\] +denn in der letzten Relation sind offenbar diejenigen Glieder, +welche mit Potenzen~$g^{l}$ von $g$ multipliziert sind, deren Exponent~$l$ +kleiner als $k - 1$ ist, auf beiden Seiten identisch, während die +höheren Potenzen von $g$ modulo~$g^{k-1}$ fortgelassen werden können. +Da aber auch im letzten Fall der Exponent $k' = k - 1$ mit $k$ unbegrenzt +wächst, so ist auch hier $C = A + B$, $D = A·B$. +\PageSep{082}{66} + +Man erkennt, daß die Addition und die Multiplikation zweier +$g$-adischen Zahlen völlig der Ausführung derselben Operationen für +zwei Dezimalbrüche (und übrigens auch für zwei systematische Brüche +mit einer von $10$ verschiedenen Grundzahl) entspricht; denn ist +\[ +\Tag{(8)} +\begin{alignedat}{4} +\alpha &= a_{0} &&+ a_{1} · 10^{-1} &&+ a_{2} · 10^{-2} &&+ \dots, \\ +\beta &= b_{0} &&+ b_{1} · 10^{-1} &&+ b_{2} · 10^{-2} &&+ \dots, +\end{alignedat} +\] +so ist ja +\[ +\Tag{(9)}%[** TN: Re-broken] +\begin{aligned} +\alpha + \beta + &= (a_{0} + b_{0}) + (a_{1} + b_{1})·10^{-1} + (a_{2} + b_{2})·10^{-2} + \dots, \\ +\alpha·\beta + &= \begin{aligned}[t] + a_{0}b_{0} &+ (a_{0}b_{1} + b_{1}a_{0})·10^{-1} \\ + &+ (a_{0}b_{2} + a_{1}b_{1} + a_{2}b_{0})10^{-2} + \dots. + \end{aligned} +\end{aligned} +\] + +Will man aber die Summe oder das Produkt, nachdem man eine +solche nicht reduzierte Darstellung gewonnen hat, auf die \emph{reduzierte} +Form bringen, so muß man bei den $g$-adischen Zahlen von dem ersten +Gliede \emph{links} anfangen und nach~\Eq{(3)} auf \Seite{61} sukzessive dieses, dann +das zweite, das dritte usw.\ reduzieren, während bekanntlich bei den +Dezimalbrüchen die Reduktion gerade umgekehrt bei dem äußersten +noch berücksichtigten Gliede \emph{rechts} begonnen und in der Richtung +von rechts nach links fortgeführt wird. + +\begin{Examples} +\emph{Beispiele:} +\begin{gather*} +\begin{gathered} +\begin{array}{c@{\,}l} + & 2\MathOrd{,}3102114 \\ ++ & 3\MathOrd{,}141202132 \\ +\cline{2-2}\Strut + & 5\MathOrd{,}451413532\\ += & 0\MathOrd{,}012413042 +\end{array} +\quad(5) +\end{gathered} +\qquad\qquad +\begin{gathered} +\begin{array}{c@{\,}l} + &35\MathOrd{,}213024 \\ ++ &\Z0\MathOrd{,}0251535 \\ + &\PadTo{00\MathOrd{,}025}{}\SmDigit{1}\Z\SmDigit{1}\SmDigit{1}\SmDigit{1} \\ +\cline{2-2}\Strut + &35\MathOrd{,}23221201 +\end{array} +\quad(6) +\end{gathered} \\ +\begin{array}{l} +1\MathOrd{,}314 · 0\MathOrd{,}2103 \\ +\hline\Strut +\PadTo{1\MathOrd{,}{}}{}2628 \\ +\PadTo{1\MathOrd{,}3}{}1314 \\ +\PadTo{1\MathOrd{,}314}{}393\,12 \\ +\PadTo{1\MathOrd{,}31}{} + \SmDigit{1}\SmDigit{1}\SmDigit{2}\SmDigit{3}\,\Z\SmDigit{1}\SmDigit{2} \\ +\hline\Strut 0\MathOrd{,}221301\,\Z32 +\end{array} +\quad (5). +\end{gather*} +\end{Examples} + +Im ersten Beispiel wurde die Summe zuerst in der nicht +reduzierten Form hingeschrieben und dann erst in die reduzierte +übergeführt; im zweiten wurde sie ganz analog der Addition von +Dezimalbrüchen gleich in der reduzierten Form geschrieben, indem +die bei der Addition der Kolonnen sich ergebenden Multipla von $g$ +\PageSep{083}{67} +gleich auf die nach rechts benachbarten Stellen übergeführt wurden. +Ebenso wurde im dritten Beispiele bei Ausführung der Multiplikation +verfahren. + +Sind speziell $A$~und~$B$\; $g$-adische Darstellungen von zwei \emph{rationalen} +Zahlen $\bar{A}$~und~$\bar{B}$, so sind die hier definierten $g$-adischen Zahlen $A + B$ +und~$AB$ für den Bereich von $g$ gleich der Summe und dem Produkt +jener rationalen Zahlen, da ihre Näherungswerte genügend hoher +Ordnung~$k$ für jede noch so hohe Potenz von $g$ als Modul zu +$\bar{A}^{(k)} + \bar{B}^{(k)}$ und $\bar{A}^{(k)}\bar{B}^{(k)}$ kongruent sind. \ZB~hatten wir auf \Seite{53} +\[ +-3 = 7\MathOrd{,}999\dots\ (10) \quad\text{und}\quad +\tfrac{2}{3} = 4\MathOrd{,}333\dots\ (10), +\] +woraus man erhält: +\[ +\begin{gathered} + \begin{gathered} + \begin{array}{c@{\,}l@{\,}l} + &7\MathOrd{,}999&\dots \\ + + &4\MathOrd{,}333&\dots \\ + \cline{2-2}\Strut + &1\MathOrd{,}333&\dots + \end{array} + \ (10) + \end{gathered} + \quad\text{und}\quad + \\ + \rule{0pt}{3\baselineskip}%[** TN: Coax vertical alignment] +\end{gathered} +\begin{gathered} +\begin{array}{r@{\,}l} +(7\MathOrd{,}999\dots) & \!\rlap{${}·(4\MathOrd{,}333\dots)$} \\ +\hline\Strut +28\MathOrd{,}36\,36\,36&\dots\quad\null \\ + 21\,27\,27&\dots \\ + 21\,27&\dots \\ + 21&\dots \\ +\SmDigit{2}\,\Z\SmDigit{5}\,\Z\SmDigit{8}& \\ +\cline{1-1}\Strut +8\MathOrd{,}\Z\,9\Z\,9\Z\,9&\dots +\end{array} +\quad (10); +\end{gathered} +\] +wirklich ist, wie man sich leicht überzeugt, $1\MathOrd{,}333\dots$ die reduzierte +dekadische Entwicklung von $-3 + \frac{2}{3} = -\frac{7}{3}$, $8\MathOrd{,}999\dots$ diejenige von +$(-3)·\frac{2}{3} = -2$. + +Wir können nun leicht beweisen, daß der Bereich der $g$-adischen +Zahlen im Sinne des Kap.~1 §~5 einen Zahlenring bildet, da +in ihm die Addition, Subtraktion und Multiplikation unbeschränkt +und eindeutig ausführbar ist. + +Man bemerkt zunächst, daß der Bereich der $g$-adischen Zahlen +in den Elementen $0$~und~$1$ je ein Einheitselement für die Addition +und die Multiplikation besitzt; in der Tat ist für jede $g$-adische +Zahl~$A$ +\[ +A + 0 = A \ (g), \quad A·1 = A \ (g). +\] + +Nunmehr folgt leicht: +\begin{Theorem} +Für die innerhalb des Bereichs der $g$-adischen Zahlen definierte +\PageSep{084}{68} +Addition und Multiplikation gelten die ersten sechs der +zu Beginn des ersten Kapitels aufgestellten Grundgesetze. +\end{Theorem} + +Daß für beide Operationen das kommutative und das assoziative +Gesetz gilt, und daß auch das distributive Gesetz +\[ +A(B + C) = AB + AC +\] +erfüllt ist, folgt ja unmittelbar aus der Definition der Addition +und der Multiplikation in Verbindung mit der Tatsache, daß die +Kongruenzen für eine beliebige Potenz von $g$ als Modul jene Gesetze +befriedigen. + +Aber auch die Gültigkeit des sechsten Gesetzes von der unbeschränkten +und eindeutigen Subtraktion im Bereich der $g$-adischen +\index{Subtraktion!$g$-adischer Zahlen}% +Zahlen kann jetzt leicht bewiesen werden. Sind nämlich +\[ +A = a_{0}\MathOrd{,}a_{1}\,a_{2} \dots \quad\text{und}\quad +B = b_{0}\MathOrd{,}b_{1}\,b_{2} \dots +\] +zwei beliebige, der Kürze halber als ganz angenommene $g$-adische +Zahlen, so gibt es zunächst sicher stets überhaupt eine Zahl +\[ +\Tag{(10)} +X = (b_{0} - a_{0}) + (b_{1} - a_{1})g + (b_{2} - a_{2})g^{2} + \dots, +\] +welche der Bedingung +\[ +\Tag{(11)} +A + X = B +\] +genügt und die daher durch $B - A$ bezeichnet und die \so{Differenz} +von $B$~und~$A$ genannt werde. Speziell ist für $B = 0$: +\[ +X = -A = -a_{0} - a_{1}g - a_{2}g^{2} - \dots +\] +eine $g$-adische Zahl, für die $A + (-A) = 0$ ist. Hieraus schließt +man aber leicht, daß die durch~\Eq{(11)} definierte Zahl~$X$ eindeutig bestimmt +ist. Genügen nämlich $X$~und~$X'$ beide der Gleichung~\Eq{(11)}, +so folgt +\[ +A + X = A + X' +\] +oder nach Addition von $A' = -A$ auf beiden Seiten: +\begin{gather*} +(A' + A) + X = (A' + A) + X', \quad\text{\dh}\\ +X = X', \quad\text{\wzbw.} +\end{gather*} +\PageSep{085}{69} + +Für die rechnerische Ausführung der Subtraktion sei bemerkt, daß +oft die Hinzufügung einer nichtreduzierten Darstellung der Null, \zB\ +$0\MathOrd{,}00\dots 0\,g\,g{-}1\ g{-}1 \dots\ (g)$, zum Minuendus nützlich oder nötig +ist. \ZB~ist +\[ +\begin{gathered} + \begin{gathered} + \begin{array}{c@{\,}l} + &4\MathOrd{,}35452 \\ + - &0\MathOrd{,}2531 \\ + \cline{2-2}\Strut + &4\MathOrd{,}10142 + \end{array} + \quad(6) + \end{gathered} + \\ + \rule{0pt}{\baselineskip} +\end{gathered} +\qquad\qquad +\begin{gathered} +\begin{array}{c@{\,}ll} + &\SmDigit{0}\MathOrd{,}\SmDigit{0}\SmDigit{5}\SmDigit{4} + \SmDigit{4}\SmDigit{4}\SmDigit{4} + \SmDigit{4}\SmDigit{4}\SmDigit{4} + \SmDigit{4}\SmDigit{4}&\SmDigit{4}\dots \\ + &2\MathOrd{,}123102114 \\ +- &0\MathOrd{,}03141202132 \\ +\cline{2-2} += &2\MathOrd{,}14613453712&44 \dots\Strut \\ += &2\MathOrd{,}14123404222&44 \dots +\end{array} +\quad(5). +\end{gathered} +\] + +Bei der ersten Aufgabe kann die von links nach rechts auszuführende +Subtraktion der einzelnen entsprechenden Ziffern direkt +ausgeführt werden; bei der zweiten ist dies schon bei der dritten +Ziffer nicht möglich. Wir addieren daher vorher zum Minuendus +die darüber geschriebene Zahl $0\MathOrd{,}0544\dots$, welche ja gleich Null ist, +und können nun für jede Ziffer die Subtraktion ausführen; der so +sich ergebende Ausdruck für die Differenz erscheint aber im allgemeinen +in nicht reduzierter Form und ist dann erst in die reduzierte +Form überzuführen. +\PageSep{086}{70} + + +\Chapter{Fünftes Kapitel.} +{Die Zerlegung des Ringes aller $g$-adischen +Zahlen in seine einfachsten Bestandteile.} + +\Section{§ 1.}{Inhalt und Ziel der Untersuchung.} + +Bis jetzt wurde die beliebig angenommene Grundzahl~$g$ bei der +\index{Wert e.\ $g$-adischen Zahl f.\;d.\ Bereich e.\ Teilers v.~$g$}% +ganzen Untersuchung festgehalten. Wir werden aber sehen, daß sich +die systematische Untersuchung der Eigenschaften aller $g$-adischen +Zahlen wesentlich vereinfacht, wenn wir dieselben Zahlen in einem alsbald +näher zu definierenden Sinn für den Bereich gewisser Grundzahlen, +die Teiler von $g$ sind, untersuchen. + +Ist nämlich +\[ +g = PQ +\] +irgend eine Zerlegung der Grundzahl~$g$ in zwei Faktoren, so können +wir jeder $g$-adischen Zahl, \dh\ jeder Zahl des Ringes~$R(g)$ +\[ +A_{g} = a_{0} + a_{1}g + a_{2}g^{2} + \dots + = a_{0} + a_{1}(PQ) + a_{2}(PQ)^{2} + \dots +\] +je eine eindeutig bestimmte Zahl +\begin{alignat*}{3} +\bar{A}_{P} &= a_{0} + (a_{1}Q)P &&+ (a_{2}Q^{2})P^{2} &&+ \dots \ (P)\\ +\bar{A}_{Q} &= a_{0} + (a_{1}P)Q &&+ (a_{2}P^{2})Q^{2} &&+ \dots \ (Q) +\end{alignat*} +der beiden Ringe $R(P)$ und $R(Q)$ zuordnen, welche wir als \so{die +Werte von $A_{g}$ für den Bereich von $P$ und für den +Bereich von~$Q$} bezeichnen wollen. Sind ferner die beiden Faktoren +$P$~und~$Q$ teilerfremd, so werden wir in diesem Kapitel zeigen, +daß auch umgekehrt zu jedem System $(\bar{A}_{P}, \bar{A}_{Q})$ von zwei beliebig +\PageSep{087}{71} +angenommenen $P$-adischen und $Q$-adischen Zahlen eine einzige $g$-adische +Zahl~$A_{g}$ gehört, deren Werte für den Bereich von~$P$ und von~$Q$ +bzw.\ gleich $\bar{A}_{P}$ und $\bar{A}_{Q}$ sind. Aus diesem Grunde können wir jede +Zahl~$A_{g}$ folgendermaßen bezeichnen: +\[ +A_{g} = (\bar{A}_{P} \bar{A}_{Q}). +\] + +Sind dann +\[ +A_{g} = (\bar{A}_{P}, \bar{A}_{Q}), \quad +B_{g} = (\bar{B}_{P}, \bar{B}_{Q}) +\] +irgendwelche in dieser Form bezeichnete $g$-adische Zahlen, so können +und werden wir ohne jede Rechnung zeigen, daß für ihre Summen +und ihr Produkt die beiden Gleichungen bestehen: +\begin{align*} +A_{g} + B_{g} &= (\bar{A}_{P} + \bar{B}_{P}, \bar{A}_{Q} + \bar{B}_{Q})\\ +A_{g} B_{g} &= (\bar{A}_{P} \bar{B}_{P}, \bar{A}_{Q} \bar{B}_{Q}). +\end{align*} + +Also ist der Ring~$R(g)$ in genau derselben Weise aus den +beiden Ringen $R(P)$ und $R(Q)$ komponiert, wie dies für den aus +den Körpern $K$~und~$K'$ komponierten Ring~$R(K, K')$ \aSeite{14} flgde.\ +der Fall war. Hieraus folgt, daß man, anstatt den Ring~$R(g)$ zu +untersuchen, die beiden einfacheren Ringe $R(P)$ und $R(Q)$ betrachten +kann, deren Grundzahlen komplementäre teilerfremde Divisoren von $g$ +sind. Dieselbe Zerlegung kann man weiter auf die neuen Zahlringe +$R(P)$ und $R(Q)$ anwenden und damit so lange fortfahren, +bis die Grundzahlen aller so sich ergebenden Zahlringe Primzahlpotenzen~$p^{s}$ +geworden sind. Von diesen einfachsten Zahlringen +$R(p^{s})$ werde ich endlich zeigen, daß in ihnen nicht bloß die +Addition, Subtraktion und Multiplikation, sondern auch die Division +unbeschränkt und eindeutig ausführbar ist; diese sind also +Zahlkörper, in welchen alle vier elementaren Rechenoperationen +ausgeführt werden können; und so läßt sich die Frage nach den +Eigenschaften aller Zahlringe von $g$-adischen Zahlen vollständig +ersetzen durch die Betrachtung gewisser Zahlkörper, welche keine +prinzipiellen Schwierigkeiten darbietet. So reduziert sich \zB\ die +Theorie der hexadischen Zahlen +\[ +A_{6} = a_{0} + a_{1}·6 + a_{2}·6^{2} + \dots +\] +auf diejenige der dyadischen und der triadischen Zahlen +\PageSep{088}{72} +\begin{align*} +\bar{B}_{2} &= b_{0} + b_{1}·2 + b_{2}·2^{2} + \dots +\intertext{und} +\bar{C}_{3} &= c_{0} + c_{1}·3 + c_{2}·3^{2} + \dots\DPtypo{}{.} +\end{align*} + +So ist \zB\ die hexadische Zahl $1\MathOrd{,}50321$ eindeutig bestimmt +durch ihren dyadischen Wert $1\MathOrd{,}1100100110101$ und ihren triadischen +Wert $1\MathOrd{,}10110021$, was wir durch die Gleichung ausdrücken: +\[ +1\MathOrd{,}50321_{6} + = (1\MathOrd{,}1100100110101_{2},\ 1\MathOrd{,}10110021_{3}). +\] + +Ebenso bestehen für die beiden dekadischen Zahlen +\[ +5\MathOrd{,}213023\dots_{10} \quad\text{und}\quad 2\MathOrd{,}110100\dots_{10} +\] +die beiden Gleichungen +\begin{align*} +5\MathOrd{,}213023\dots_{10} + &= (1\MathOrd{,}010110\dots_{2},\ 0\MathOrd{,}000000\dots_{5})\\ +2\MathOrd{,}110100\dots_{10} + &= (0\MathOrd{,}000000\dots_{2},\ 2\MathOrd{,}240130\dots_{5}). +\end{align*} + + +\Section{§ 2.}{Die Beziehungen zwischen $g$-adischen Zahlen mit verschiedener +Grundzahl.} + +Der soeben angedeuteten Reduktion unserer Aufgabe schicke ich +zunächst einige fast selbstverständliche Bemerkungen über die Beziehungen +$g$-adischer Zahlen mit verschiedener Grundzahl voraus. + +Ist +\[ +A = a_{0} + a_{1}g + a_{2}g^{2} + \dots +\] +eine beliebige, nur der Einfachheit wegen als ganz angenommene +$g$-adische Zahl, und sind +\[ +A^{(0)} = a_{0},\quad +A^{(1)} = a_{0} + a_{1}g,\ \dots +\] +ihre sukzessiven Näherungswerte, so ist allgemein +\[ +A^{(i)} - A^{(i-1)} = a_{i}g^{i} \quad(i = 1, 2, \dots), +\] +so daß man folgende Darstellung der Zahl~$A$ durch ihre Näherungswerte +erhält: +\[ +A = A^{(0)} + (A^{(1)} - A^{(0)}) + (A^{(2)} - A^{(1)}) + \dots\DPtypo{}{.} +\] +Ebensogut kann man $A$ \zB\ auch durch die Näherungswerte +\PageSep{089}{73} +\[ +A^{(2)},\quad A^{(5)},\quad A^{(8)},\quad A^{(11)},\ \dots +\] +in der Form +\begin{gather*} +A = A^{(2)} + (A^{(5)} - A^{(2)}) + (A^{(8)} - A^{(5)}) + \dots \\ + = (a_{0} + a_{1}g + a_{2}g^{2}) + + (a_{3} + a_{4}g + a_{5}g^{2})g^{3} + + (a_{6} + a_{7}g + a_{8}g^{2})g^{6} + \dots, +\end{gather*} +\dh\ als eine Zahl mit der Grundzahl~$g^{3}$ darstellen, wie aus der Definition +der Gleichheit unmittelbar folgt. Allgemeiner findet man in +dieser Weise eine Darstellung von $A$ durch die Näherungswerte +\[ +A^{(k-1)},\quad A^{(2k-1)},\quad A^{(3k-1)},\ \dots, +\] +wo $k$ irgendeine ganze positive Zahl bezeichnet, in der Form +\begin{gather*} +A = A^{(k-1)} + (A^{(2k-1)} - A^{(k-1)}) + (A^{(3k-1)} - A^{(2k-1)}) + \dots \\ + = (a_{0} + a_{1}g + \dots + a_{k-1}g^{k-1}) + + (a_{k} + a_{k+1}g + \dots + a_{2k-1}g^{k-1})g^{k} \\ + + (a_{2k} + a_{2k+1}g + \dots + a_{3k-1}g^{k-1})g^{2k} + \dots; +\end{gather*} +hierdurch ist also die $g$-adische Zahl~$A$ als eine nach Potenzen der +Grundzahl~$g^{k}$ fortschreitende Reihe dargestellt. + +Umgekehrt kann selbstverständlich jede $g^{k}$-adische Zahl +\[ +A = a^{(0)} + a^{(1)}g^{k} + a^{(2)}g^{2k} + \dots +\] +als eine nach Potenzen von $g$ fortschreitende Reihe mit nicht reduzierten +Koeffizienten angesehen werden, in der insbesondere die Koeffizienten +von $g$,~$g^{2}$,~\dots~$g^{k-1}$, $g^{k+1}$,~\dots\ sämtlich Null sind, und diese kann dann +in ihre reduzierte Form übergeführt werden. Es folgt daher +speziell: +\begin{Theorem} +Ist die Grundzahl $g = p^{k}$ eine Primzahlpotenz, so können +alle Zahlen mit der Grundzahl~$p^{k}$ +\[ +A = a_{0} + a_{1}p^{k} + a_{2}p^{2k} + \dots +\] +auch als $p$-adische Zahlen, \dh\ in der Form +\[ +A = a^{(0)} + a^{(1)}p + a^{(2)}p^{2} + \dots +\] +dargestellt werden. +\end{Theorem} + +\ZB~kann man die Zahl +\[ +800 = 8 + 7·9 + 0\DPtypo{}{·}9^{2} + 1·9^{3} = 8,701 \ (9) +\] +\PageSep{090}{74} +auch schreiben als +\[ +800 = (2 + 2·3) + (1 + 2·3)3^{2} + (0 + 0·3)3^{4} + 1·3^{6} = 2\MathOrd{,}212001 \ (3); +\] +ebenso folgt aus der Darstellung von $-\frac{1}{15}$ für die Grundzahl~$25$ +\[ +-\tfrac{1}{15} + = \tfrac{15}{25} + 16 + 16·25 + 16·25^{2} + \dots + = 15\,16\MathOrd{,}16\,16\,16\dots\ (25) +\] +die pentadische Darstellung von~$-\frac{1}{15}$: +\begin{gather*} +-\tfrac{1}{15} + = (0 + 3·5)·5^{-2} + (1+ 3·5) + (1 + 3·5)5^{2} + \dots \\ + = 31\MathOrd{,}3131 \dots\ (5). +\end{gather*} + +Sind ferner $g$~und~$g'$ zwei Grundzahlen, welche beide die nämlichen +Primfaktoren $p$,~$q$,~\dots~$r$, nur in verschiedenen Potenzen enthalten, +so gibt es sicher eine niedrigste Potenz~$g^{k}$ von~$g$, die durch $g'$ +teilbar ist, und ebenso eine niedrigste Potenz~$g'^{k'}$ von~$g'$, die ein Vielfaches +von $g$ ist. Dann erkennt man sofort, daß jede $g$-adische +Zahl~$A$ auch als $g'$-adische Zahl und umgekehrt jede $g'$-adische als +$g$-adische Zahl dargestellt werden kann; denn es ist ja +\begin{gather*} +A = A^{(k-1)} + (A^{(2k-1)} - A^{(k-1)}) + (A^{(3k-1)} - A^{(2k-1)}) + \dots \\ + = a_{0}' + a_{1}'g + a_{2}'g'^{2} + \dots, +\end{gather*} +weil jede der oben stehenden Differenzen +\[ +(A^{(2k-1)} - A^{(k-1)}),\quad +(A^{(3k-1)} - A^{(2k-1)}),\ \dots, +\] +bzw.\ durch $g^{k}$,~$g^{2k}$,~\dots, also durch $g'$,~$g'^{2}$~\dots\ teilbar ist; umgekehrt +ist ebenso für eine $g'$-adische Zahl~$A'$: +\begin{gather*} +A' = A'^{(k'-1)} + (A'^{(2k'-1)} - A'^{(k'-1)}) + + (A'^{(3k'-1)} - A'^{(2k'-1)}) + \dots \\ + = a_{0} + a_{1}g + a_{2}g^{2} + \dots, +\end{gather*} +\dh\ $A'$ ist auch als $g$-adische Zahl darstellbar. Hieraus ziehen wir +die praktisch wichtige Folgerung: +\begin{Theorem} +Bei der Untersuchung beliebiger $g$-adischer Zahlen kann man +statt der Grundzahl $g = p^{h}q^{k} \dots r^{l}$ diejenige reduzierte Grundzahl +$g_{0} = pq \dots r$ nehmen, welche dieselben Primfaktoren wie~$g$, +aber jeden nur in der ersten Potenz enthält. +\end{Theorem} + +\ZB~ist zu $12 = 2^{2}·3$ die in diesem Sinn zugehörige reduzierte +Zahl $2·3 = 6$; es ist $12^{1}$ teilbar durch~$6$, also $k = 1$. Daher ist \zB\ +\PageSep{091}{75} +\begin{align*}%[** Re-broken] +-\tfrac{5}{12} + &= 7·12^{-1} + 11 + 11·12 + 11·12^{2} + \dots \\ + &= 21·6^{-2} + 11 + 22·6 + 44·6^{2} + \dots \\ + &= \begin{aligned}[t] + (3 + 3·6)\Add{·} 6^{-2} + (5 + 1·6) &+ (4 + 3·6)·6 \\ + &\quad+ (2 + 1·6 + 1·6^{2})\Add{·} 6^{2} + \dots + \end{aligned} \\ + &= 3·6^{-2} + 3·6^{-1} + 5 + 5·6 + 5·6^{2} + \dots; +\end{align*} +man kann also an Stelle der Zahl $7\,11\MathOrd{,}\,11\,11\dots\ (12)$ ebensogut die +hexadische Zahl $3\,3\,5\MathOrd{,}\,5\,5\dots\ (6)$ untersuchen. + +Auf Grund dieser Betrachtungen wollen wir die folgende \emph{erweiterte +Definition der Gleichheit zweier Zahlen} +\index{Gleichheit!für den Bereich von~$g$}% +\[ +A = a_{0} + a_{1}g + \dots\ (g),\quad +A' = a_{0}' + a_{1}'g' + \dots\ (g') +\] +aufstellen, \emph{deren Grundzahlen $g$~und~$g'$ von einander verschieden +sind}. Wir betrachten auch hier die beiden Reihen von Näherungswerten +\begin{alignat*}{3} +A^{(0)} &= a_{0}, &A^{(1)} &= a_{0} + a_{1}g,\quad && \dots \ (g) \\ +A'^{(0)} &= a_{0}',\quad &A'^{(1)} &= a_{0}' + a_{1}'g', && \dots \ (g') +\end{alignat*} +und nennen $A$ und $A'$ \so{gleich für den Bereich von~$g'$}, +wenn ihre Näherungswerte genügend hoher Ordnung einander für jede +noch so hohe Potenz von $g'$ als Modul kongruent sind. Ebenso sollen +$A$~und~$A'$ \so{gleich für den Bereich von~$g$} heißen, wenn +die entsprechenden Kongruenzen für jede noch so hohe Potenz von $g$ +erfüllt sind. + +So sind \zB\ die beiden vorher betrachteten Zahlen +\begin{align*} +A &= A^{(0)} + (A^{(1)} - A^{(0)}) + (A^{\DPtypo{(0)}{(2)}} - A^{(1)}) + \dots \ (g) \\ +A' &= A^{(2)} + (A^{(5)} - A^{(2)}) + (A^{(8)} - A^{(5)}) + \dots \ (g^{3}), +\end{align*} +von denen die erste eine Zahl von der Grundzahl~$g$, die zweite eine +solche von der Grundzahl~$g^{3}$ darstellt, nach dieser neuen Definition +einander gleich sowohl für den Bereich von $g$ als auch für den von~$g^{3}$; +denn ihre Näherungswerte sind bzw.\ +\[ +A^{(0)},\ A^{(1)},\ A^{(2)},\ A^{(3)},\ \dots \quad\text{und}\quad +A^{(2)},\ A^{(5)},\ A^{(8)},\ A^{(11)},\ \dots +\] +und für eine beliebig hohe Potenz von $g$ sowohl als von $g^{3}$ als Modul +werden diese schließlich zueinander kongruent. Ist allgemeiner $g^{k}$ +durch $g'$ teilbar, so sind die beiden Zahlen +\PageSep{092}{76} +\begin{gather*} +A = a_{0} + a_{1}g + a_{2}g^{2} + \dots \ (g) \\ +A' = A^{(k-1)} + (A^{(2k-1)} - A^{(k-1)}) + (A^{(3k-1)} - A^{(2k-1)}) + \dots \ (g'), +\end{gather*} +von denen die zweite nach dem letzten Resultat für den Bereich von +\index{Gleichheit!zweier Ringe m.\ verschiedener Grundzahl}% +$g'$ einer $g'$-adischen Zahl gleich ist, für diesen Bereich einander gleich, +weil die Näherungswerte von $A$~und~$A'$ +\begin{gather*} +A^{(0)},\ A^{(1)},\ A^{(2)},\ \dots \\ +A^{(k-1)},\ A^{(2k-1)},\ A^{(3k-1)},\ \dots +\end{gather*} +für genügend große Indizes einander für jede noch so hohe Potenz +von $g'$ als Modul kongruent werden. + +Ein Ring~$R(g)$ von $g$-adischen Zahlen soll ein \so{Teilbereich} +eines andern Ringes~$R(g')$ von $g'$-adischen Zahlen heißen, wenn zu jeder +Zahl~$A$ aus $R(g)$ eine ihr für den Bereich von $g'$ gleiche $A'$ innerhalb +$R(g')$ gehört. Sind dann $A$~und~$B$ zwei beliebige Zahlen in~$R(g)$ +und sind $A'$~und~$B'$ diejenigen Zahlen im Teilbereich~$R(g')$, welche +ihnen gleich sind, so sind den Zahlen $A + B$, $A - B$,~$AB$ offenbar +die Zahlen $A' + B'$, $A' - B'$,~$A'B'$ in dem Teilbereich beziehlich +gleich. + +\begin{Theorem} +Ist $R(g)$ ein Teilbereich von $R(g')$ und auch umgekehrt $R(g')$ +\index{Teilbereich e.\ Ringes}% +ein Teilbereich von~$R(g)$, so sollen beide Ringe als \so{gleich} bezeichnet +werden; ich schreibe diese Beziehung in der Form: +\[ +R(g) = R(g'). +\] +\end{Theorem} + +Nach dem soeben Dargelegten ist $R(g) = R(g')$, wenn die beiden +Grundzahlen $g$~und~$g'$ dieselben Primfaktoren enthalten, wenn also $g^{k}$ +durch $g'$ und $g'^{k'}$ durch $g$ teilbar ist. Speziell ist \zB: +\[ +R(p^{k}) = R(p),\quad +R(p^{k}q^{l} \dots r^{m}) = R(pq \dots r). +\] + +Dagegen ist $R(P)$ ein \emph{eigentlicher} Teilbereich von~$R(g)$, wenn +die Grundzahl~$P$ ein Teiler von $g$ ist, der mindestens einen Primfaktor +von $g$ nicht enthält. Dann gehört nämlich zu jeder $g$-adischen Zahl~$A$ +eine eindeutig bestimmte $P$-adische Zahl~$\alpha$, die jener für den Bereich +von $P$ gleich ist. Ist nämlich +\[ +g = PQ, +\] +so ist ja: +\PageSep{093}{77} +\begin{gather*} +A = a_{0} + a_{1}g + a_{2}g^{2} + \dots + = a_{0} + (a_{1} Q) P +(a_{2} Q^{2}) P^{2} + \dots \\ + = \alpha_{0} + \alpha_{1} P + \alpha_{2} P^{2} + \dots + = \alpha\ (P), +\end{gather*} +wo allgemein $\alpha_{i} = a_{i} Q^{i}$ ist. $\alpha$~ist dann eine eindeutig bestimmte +$P$-adische Zahl; denn je zwei zu $A$ für den Bereich von $P$ gleiche Zahlen +$\alpha$~und~$\alpha'$ sind ja für diesen Bereich einander gleich, eben weil sie für +diesen Bereich beide gleich $A$ sind. Wir wollen~$\alpha$, wie bereits erwähnt +wurde, den \so{Wert von $A$ für den Bereich von~$P$} nennen. +\index{Wert e.\ $g$-adischen Zahl f.\;d.\ Bereich e.\ Teilers v.~$g$}% + +Während also zu jeder Zahl~$A$ von $R(g)$ eine ihr gleiche~$\alpha$ aus +$R(P)$ gehört, ist das Umgekehrte nicht der Fall; denn eine $P$-adische +Zahl +\[ +\alpha = \alpha_{0} + \alpha_{1} P + \alpha_{2} P^{2} + \dots +\] +besitzt überhaupt nur dann Näherungswerte, die sich als Näherungswerte +einer $g$-adischen Zahl betrachten lassen, wenn mit wachsendem +Index~$i$ jedes Glied~$\alpha_{i} P^{i}$ von genügend hoher Ordnung durch jede noch +so hohe Potenz von $g = PQ$ teilbar ist; dies ist aber im allgemeinen nicht +der Fall, sobald $Q$ auch nur einen nicht in $P$ auftretenden Primfaktor +enthält. In diesem Fall ist also wirklich $R(P)$ ein eigentlicher Teilbereich +von~$R(g)$. So gehört \zB\ zu der triadischen Zahl +\[ +\alpha = 3 + (5·2)·3 + + (3·2^{2})\Add{·}3^{2} + + (5·2^{3})\Add{·}3^{3} + + (3·2^{4})\Add{·}3^{4} + \dots +\] +zwar die ihr gleiche hexadische Zahl +\[ +A = 3 + 5·6 + 3·6^{2} + 5·6^{3} + 3·6^{4} + \dots, +\] +dagegen existiert zu der triadischen Zahl +\[ +\bar{\alpha} = 3 + 5·3 + 3·3^{2} + 5·3^{3} + \dots +\] +keine ihr gleiche hexadische Zahl. + +Ebenso gibt es offenbar auch einen eindeutig bestimmten $Q$-adischen +Wert der oben angegebenen $g$-adischen Zahl~$A$, nämlich die Zahl +\[ +\beta = \beta_{0} + \beta_{1} Q + \beta_{2} Q^{2} + \dots + = a_{0} + (a_{1} P)Q + (a_{2} P^{2})Q^{2} + \dots, +\] +wo, also allgemein $\beta_{i} = a_{i} P^{i}$ ist; dagegen gilt auch hier das Umgekehrte +nicht; auch $R(Q)$ ist also ein eigentlicher Teilbereich von~$R(g)$. +\PageSep{094}{78} + + +\Section{§ 3.}{Die Zerlegung des Ringes~$R(g)$ in die beiden Ringe +$R(P)$ und $R(Q)$.} + +Ich will jetzt untersuchen, in welcher Beziehung die Zahlen eines +Ringes~$R(g)$ zu den Zahlen eines eigentlichen Teilbereichs $R(P)$ stehen, +dessen Grundzahl~$P$ ein Teiler von $g = PQ$ ist. Hierbei kann ich, ohne +die Allgemeinheit der Resultate zu beeinträchtigen, die Annahme +machen, daß die beiden komplementären Faktoren $P$~und~$Q$ teilerfremd +sind, also keinen Primfaktor gemeinsam haben. Besitzt nämlich~$g$, +was wir ja voraussetzen konnten, nur einfache Primfaktoren, so ist +jene Annahme für \emph{jede} Zerlegung $g = PQ$ von $g$ erfüllt. Nach dem +oben Bewiesenen gehört dann zu jeder Zahl~$A$ aus $R(g)$ eine eindeutig +bestimmte $P$-adische Zahl~$\alpha$, welche ihr für den Bereich von $P$ gleich +ist, nämlich der Wert von $A$ für den Bereich von~$P$. + +Ist umgekehrt im Ring~$R(P)$ eine $P$-adische Zahl +\[ +\alpha = \alpha_{0} + \alpha_{1}P + \alpha_{2}P^{2} + \dots +\] +ganz beliebig gegeben, so gibt es, wie wir jetzt beweisen wollen, mindestens +eine solche $g$-adische Zahl +\[ +X = x_{0} + x_{1}g + x_{2}g^{2} + \dots, +\] +daß $X = \alpha\ (P)$ wird, daß also gerade diese Zahl~$\alpha$ der $P$-adische Wert +von $X$ ist. In der Tat, soll +\[ +x_{0} + x_{1}PQ + x_{2}P^{2}Q^{2} + \dots + = \alpha_{0} + \alpha_{1}P + \alpha_{2}P^{2} + \dots \ (P) +\] +sein, so können wir zunächst $x_{0} = \alpha_{0}$ annehmen. Lassen wir dann die +beiden gleichen Zahlen $\alpha_{0}$~und~$x_{0}$ fort und dividieren auf beiden Seiten +durch~$PQ$, so schreibt sich die obige Gleichung so: +\[ +x_{1} + x_{2}PQ + \dots = Q^{-1} (\alpha_{1} + \alpha_{2}P + \dots) \ (P). +\] +Da $(P, Q) = 1$ ist, so ist $Q^{-1}$ eine modulo~$P$ ganze Zahl, kann also als +reduzierte ganze $P$-adische Zahl geschrieben werden; multipliziert man +dann auf der rechten Seite aus, so erhält man eine $P$-adische Zahl: +\[ +\beta_{1} + \beta_{2}P + \dots. +\] +In der sich so ergebenden Gleichung +\PageSep{095}{79} +\[ +x_{1} + x_{2}PQ + \dots = \beta_{1} + \beta_{2}P + \dots \ (P) +\] +kann man wieder $x_{1} = \beta_{1}$ setzen, worauf man durch genau dasselbe +Verfahren wie vorher zur Bestimmung der übrigen $x_{i}$ eine neue Gleichung +\[ +x_{2} + x_{3}PQ + \dots = \gamma_{2} + \gamma_{3}P + \dots \ (P) +\] +erhält. Fährt man in derselben Weise fort, so kann man die unbekannten +Koeffizienten $x_{0}$,~$x_{1}$, $x_{2}$,~\dots, soweit man will, bestimmen, \dh\ man +erhält eine wohldefinierte $g$-adische Zahl~$X$, deren $P$-adischer Wert +gleich der beliebig angenommenen $P$-adischen Zahl~$\alpha$ ist. + +Ebenso kann man natürlich auch eine $g$-adische Zahl~$Y$ finden, +deren $Q$-adischer Wert gleich einer beliebig angenommenen $Q$-adischen +Zahl $\beta = \beta_{0} + \beta_{1}Q + \dots$ ist. + +In beiden Fällen ist aber durch je eine von diesen Forderungen +die $g$-adische Zahl~$X$ bzw.\ $Y$~noch keineswegs eindeutig bestimmt; im +Gegenteil, ich zeige jetzt, daß man stets eine $g$-adische Zahl~$A$ so wählen +kann, daß ihr Wert für den Bereich von $P$ gleich einer ganz beliebig +gewählten $P$-adischen Zahl~$\alpha$, ihr Wert für den Bereich von $Q$ gleich +einer beliebig gegebenen $Q$-adischen Zahl $\beta$ ist. Erst durch diese beiden +Festsetzungen zusammen ist $A$ eindeutig bestimmt. Ich beweise also +den merkwürdigen und wichtigen Satz: +\begin{Theorem} +Im Ringe~$R(g)$ der $g$-adischen Zahlen gibt es eine einzige Zahl~$A$, +deren Werte für die Teilbereiche $R(P)$ und $R(Q)$ je eine beliebig +vorgegebene $P$-adische und $Q$-adische Zahl sind. +\end{Theorem} +Der vollständige Beweis dieses Fundamentalsatzes kann auf denjenigen +des folgenden Spezialfalles desselben zurückgeführt werden: +\begin{Theorem} +Im Ringe der $g$-adischen Zahlen gibt es eine Zahl, die für den +Bereich von $P$ den Wert~$1$, für den Bereich von $Q$ den Wert~$0$ besitzt. +Diese Zahl soll in der Folge durch $1_{P}$ bezeichnet werden. +\end{Theorem} + +Eine solche $g$-adische Zahl kann folgendermaßen gebildet werden: +Da $(P, Q) = 1$ ist, so kann man nach \Seite{24}~\Eq{(2)} zwei ganzzahlige Multiplikatoren +$\lambda$~und~$\mu$ so bestimmen, daß +\[ +\mu Q - \lambda P = 1 +\] +ist; dann hat man also in +\PageSep{096}{80} +\[ +\xi = 1 + \lambda P = \mu Q +\] +eine Zahl, die den beiden Kongruenzen +\[ +\Tag{(1)} +\xi \equiv 1 \ (\mod.~P),\quad +\xi \equiv 0 \ (\mod.~Q) +\] +genügt. Hieraus folgt aber sofort, daß die Zahlen der Reihe +\[ +\xi,\ \xi^{g},\ \xi^{g^{2}},\ \xi^{g^{3}},\ \dots +\] +die Eigenschaft haben, daß allgemein die Beziehungen gelten: +\[ +\Tag{(2)} +\xi^{g^{i}} \equiv 1 \ (\mod.~P^{i+1}),\quad +\xi^{g^{i}} \equiv 0 \ (\mod.~Q^{i+1}). +\] +Die Richtigkeit der zweiten Serie von Kongruenzen zunächst ist evident, +da ja wegen der zweiten Kongruenz~\Eq{(1)} $\xi^{g^{i}}$~sogar durch die viel +höhere Potenz $Q^{g^{i}}$ von $Q$ teilbar ist. Den Beweis für das Bestehen +der ersten Kongruenzenserie~\Eq{(2)} führen wir induktiv, ausgehend von +der bereits bewiesenen ersten Behauptung~\Eq{(1)} für $i = 0$. Es sei also +für einen bestimmten Wert $i = k$ schon bewiesen, daß +\[ +\Tag{(3)} +\xi^{g^{k-1}} \equiv 1 \ (\mod.~P^{k}) +\] +ist, was sich auch in der Form +\[ +\xi^{g^{k-1}} = 1 + h P^{k} +\] +schreiben läßt. Erhebt man diese Gleichung in die \Ordsup{$g$}{-te}${}={}$\Ordsup{$(PQ)$}{-te} Potenz +und entwickelt die rechte Seite nach dem binomischen Lehrsatz, +so ergibt sich: +\[ +\xi^{g^{k}} = (1 + h P^{k})^{PQ} + = 1 + PQh P^{k} + \frac{PQ(PQ - 1)}{1·2}h^{2}P^{2k} + \dots, +\] +wo rechts alle auf das zweite Glied folgenden Summanden mindestens +durch die \Ordsup{$(2k)$}{-te}~Potenz von $P$ teilbar sind. Da aber das zweite Glied +rechts durch $P^{k+1}$ teilbar ist und für $k \geqq 1$ stets $2k \geqq k + 1$ gilt, +so zieht die Kongruenz~\Eq{(3)} die andere +\[ +\xi^{g^{k}} \equiv 1 \ (\mod.~P^{k+1}) +\] +nach sich; da vermöge der ersten Kongruenz~\Eq{(1)} die Beziehung~\Eq{(3)} für +$k = 1$ richtig ist, so ist in der Tat die Allgemeingültigkeit auch der +ersten Kongruenzenserie~\Eq{(2)} nachgewiesen. +\PageSep{097}{81} + +Aus den Potenzen $\xi$,~$\xi^{g}$,~$\xi^{g^{2}}$,~\dots\ von $\xi$ kann man leicht eine $g$-adische +Zahl bilden, die für den Bereich von $P$ den Wert Eins, für den +Bereich von $Q$ den Wert Null hat, nämlich die Zahl +\[ +\Tag{(4)} +1_{P} = \xi + (\xi^{g} - \xi) + (\xi^{g^{2}} - \xi^{g}) + (\xi^{g^{3}} - \xi^{g^{2}}) + \dots. +\] +Daß diese Reihe zunächst überhaupt eine $g$-adische Zahl darstellt, +wird nachgewiesen sein, sobald gezeigt ist, daß +\[ +\xi^{g} - \xi = g\xi_{1},\quad +\xi^{g^{2}} - \xi^{g} = g^{2}\xi_{2},\ \dots +\] +ist, wo $\xi_{1}$,~$\xi_{2}$,~\dots\ ganze Zahlen bedeuten. Dies ist wirklich der Fall; +denn da wegen~\Eq{(2)} für jedes $i \geqq 1$\; $\xi^{g^{i}}$ und $\xi^{g^{i-1}}$ modulo~$P^{i}$ kongruent +Eins, modulo~$Q^{i}$ kongruent Null, also jedesmal auch untereinander +kongruent sind, so ist ihre Differenz $\xi^{g^{i}} - \xi^{g^{i-1}}$ sowohl durch $P^{i}$ wie +durch~$Q^{i}$, also auch durch $P^{i}Q^{i} = g^{i}$ teilbar, \wzbw\ $1_{P}$ läßt sich +also in der Form +\[ +1_{P} = \xi_{0} + \xi_{1}g + \xi_{2}g^{2} + \dots, +\] +\dh\ als reduzierte oder nicht reduzierte $g$-adische Zahl schreiben. +Ferner ist der \Ordsup{$i$}{-te}~Näherungswert von~$1_{P}$ +\[ +1_{P}^{(i)} = \xi_{0} + \xi_{1} g + \dots + \xi_{i} g^{i} + = \xi + (\xi^{g} - \xi) + \dots + (\xi^{g^{i}} - \xi^{g^{i-1}}) = \xi^{g^{i}} +\] +nach \Eq{(2)} modulo~$P^{i+1}$ kongruent~$1$, modulo~$Q^{i+1}$ kongruent Null, \dh\ +es ist gemäß der Definition der Gleichheit wirklich: +\[ +\Tag{(5)} +1_{P} = 1\ (P),\quad +1_{P} = 0\ (Q). +\] + +Ganz ebenso läßt sich natürlich eine $g$-adische Zahl~$1_{Q}$ derart bestimmen, +daß +\[ +\Tag{(5^{a})} +1_{Q} = 0\ (P),\quad +1_{Q} = 1\ (Q) +\] +ist. + +Endlich kann man nun auch eine $g$-adische Zahl~$X_{P}$ finden, deren +Wert für den Bereich von $P$ gleich einer beliebig gegebenen $P$-adischen +Zahl~$\alpha$ ist, während sie für den Bereich von $Q$ den Wert Null hat. Bestimmen +wir nämlich nach dem auf \Seite{78}~ff.\ auseinandergesetzten Verfahren +eine $g$-adische Zahl~$X$ so, daß $X = \alpha\ (P)$ ist, während über den +$Q$-adischen Wert von $X$ nichts festgesetzt wird, so hat die $g$-adische Zahl +\[ +X_{P} = X·1_{P} +\] +\PageSep{098}{82} +die beiden verlangten Eigenschaften; denn es ist ja: +\[ +X_{P} = X·1_{P} = \alpha·1 = \alpha\ (P),\quad +X_{P} = X·1_{P} = X·0 = 0\ (Q). +\] + +Genau ebenso kann man eine $g$-adische Zahl~$X_{Q}$ bestimmen, die +für den Bereich von $P$ gleich Null, für den von $Q$ gleich einer beliebig +vorgegebenen $Q$-adischen Zahl $\beta = \beta_{0} + \beta_{1}Q + \dots$ wird. + +Die aus diesen beiden $g$-adischen Zahlen additiv zusammengesetzte +Zahl $X = X_{P} + X_{Q}$ hat nun offenbar die Eigenschaft, daß ihre Werte +für den Bereich von $P$~und~$Q$ bzw.\ gleich $\alpha$~und~$\beta$ sind. In der Tat +ist ja: +\[ +X = X_{P} + X_{Q} = \alpha + 0 = \alpha\ (P),\quad +X = X_{P} + X_{Q} = 0 + \beta\ (Q). +\] + +Es gibt also wirklich stets eine solche $g$-adische Zahl. Mehr +als \emph{eine} Zahl, welche diesen beiden Anforderungen genügt, kann es +aber nicht geben. Denn wäre $X'$ eine zweite derartige Zahl, so würde +ja die Differenz $Y = X - X'$ eine $g$-adische Zahl sein, die für den +Bereich von $P$ gleich $\alpha - \alpha = 0$, für den Bereich von $Q$ gleich +$\beta - \beta$, also ebenfalls gleich Null wäre. Eine solche Zahl~$Y$ muß +aber auch für den Bereich von $g$ gleich Null sein; denn ihre Näherungswerte +genügend hoher Ordnung müssen ja für jede noch so hohe +Potenz von $P$ sowohl wie von~$Q$, also auch von $PQ = g$, kongruent +Null sein, \dh\ es ist wirklich $Y = 0$, also $X = X'\ (g)$, \wzbw\ +Speziell sind also die vorher gebildeten $g$-adischen Zahlen $1_{P}$~und~$1_{Q}$ +sowie die Zahlen $X_{P}$~und~$X_{Q}$ durch die ihnen auferlegten Bedingungen +\emph{eindeutig} bestimmt. + +Ist also $A_{g}$ eine beliebige $g$-adische Zahl, und sind $A_{P}$~und~$A_{Q}$ +diejenigen eindeutig bestimmten $g$-adischen Zahlen, für welche +\begin{alignat*}{4} +A_{P} &= A_{g}\ &&(P),\quad &A_{P} &= 0 &&(Q) \\ +A_{Q} &= 0 &&(P), &A_{Q} &= A_{g}\ &&(Q) +\end{alignat*} +ist, so ist~$A_{g}$, wie dies schon im §~1 dieses Kapitels ausgeführt wurde, +in der Tat folgendermaßen darstellbar +\[ +A_{g} = (A_{P}, A_{Q}), +\] +weil $A_{P}$ und $A_{Q}$ gleich den Werten von $A$ für den Bereich von $P$ bzw.\ +$Q$ sind. Da aber diese Werte $A_{P}$ und $A_{Q}$ außerdem so gewählt sind, +\PageSep{099}{83} +daß sie für den Bereich von $Q$ bzw.\ von $P$ gleich Null sind, +so besteht nach dem soeben geführten Beweise die sehr viel einfachere +Gleichung: +\[ +A_{g} = A_{P} + A_{Q}. +\] +Sind umgekehrt +\[ +\alpha_{P} = a_{0} + a_{1} P + \dots \ (P),\quad +\alpha_{Q} = a'_{0} + a'_{1} Q + \dots \ (Q) +\] +zwei ganz beliebige Zahlen der Ringe $R(P)$ und $R(Q)$, so gibt es +ein einziges System $(A_{P}, A_{Q})$ von zwei $g$-adischen Zahlen, für welche +\begin{alignat*}{4} +A_{P} &= \alpha_{P}\ &&(P),\quad &A_{P} &= 0 &&(Q) \\ +A_{Q} &= 0 &&(P), &A_{Q} &= \alpha_{Q}\ &&(Q) +\end{alignat*} +ist, und die aus ihnen durch gewöhnliche Addition gebildete Zahl +\[ +A = A_{P} + A_{Q} +\] +ist diejenige eindeutig bestimmte Zahl, deren Werte für den Bereich +von $P$ und von $Q$ bzw.\ gleich $\alpha_{P}$ und $\alpha_{Q}$ sind. + +Sind endlich +\[ +A = A_{P} + A_{Q}, \quad +B = B_{P} + B_{Q} +\] +zwei beliebige $g$-adische Zahlen in dieser Komponentendarstellung, so +ergeben sich nach den allgemeinen Rechenregeln im Ringe~$R(g)$ für die +Summe, die Differenz und das Produkt dieser beiden Zahlen die Gleichungen: +\[ +\Tag{(6)} +\begin{aligned} +A + B &= (A_{P} + B_{P}) + (A_{Q} + B_{Q}) \\ +A - B &= (A_{P} - B_{P}) + (A_{Q} - B_{Q}) \\ +AB &= (A_{P}B_{P}) + (A_{Q}B_{Q}). +\end{aligned} +\] +Hier ist noch zu bemerken, daß in der letzten Gleichung die beiden +Produkte $A_{P}B_{Q}$ und $A_{Q}B_{P}$, welche eigentlich noch auftreten, beide +für den Bereich von $g$ Null sind, weil~\zB\ +\[ +A_{P}B_{Q} = A_{P}·0 = 0\ (P),\quad +A_{P}B_{Q} = 0·B_{Q} = 0\ (Q) +\] +ist. + +Ferner erkennt man aber sofort, daß die in~\Eq{(6)} rechts in den Klammern +stehenden Zahlen die $P$-~und $Q$-Komponenten bzw.\ von $A + B$, +$A - B$ und $AB$ sind, \dh\ daß~\zB\ +\PageSep{100}{84} +\[ +\Tag{(6^{a})} +\begin{aligned} +(A + B)_{P} &= A_{P} + B_{P}, \\ +(A - B)_{P} &= A_{P} - B_{P}, \\ + (AB)_{P} &= A_{P} B_{P} +\end{aligned} +\rlap{\quad (g)} +\] +ist, und die entsprechenden Gleichungen für die $Q$-Komponenten +gelten. In der Tat ist~\zB: +\begin{alignat*}{2} +A_{P} + B_{P} &= &A + B\ &(P) \\ +A_{P} + B_{P} &= & 0\ &(Q), +\end{alignat*} +und durch diese beiden Gleichungen ist ja die $P$-Komponente $(A + B)_{P}$ +eindeutig bestimmt. Aus der Eindeutigkeit der Darstellung der +$g$-adischen Zahlen in der Normalform folgt, daß eine Zahl $A = A_{P} + A_{Q}$ +dann und nur dann Null ist, wenn beide Komponenten für sich Null +sind; und hieraus ergibt sich, daß zwei Zahlen $A = A_{P} + A_{Q}$ und +$A' = A'_{P} + A'_{Q}$ nur dann gleich sind, wenn $A_{P} = A'_{P}$, $A_{Q} = A'_{Q}$ ist. + +Die Berechnung der $g$-adischen Zahlen $1_{P}$~und~$1_{Q}$ auf mehrere +Stellen würde nach der \aSeite{80}~ff.\ angegebenen Methode wegen der hohen +Potenzen von $\xi$ schwierig sein. Praktisch viel einfacher erhält man +Näherungswerte beliebig hoher Ordnung von $1_{P}$~und~$1_{Q}$ auf folgende +Weise: Da die beiden Zahlen $P^{k+1}$ und $Q^{k+1}$ für ein beliebiges $k$ +teilerfremd sind, so kann man durch das Euklidische Verfahren zwei +ganzzahlige Multiplikatoren $\lambda_{k}$~und~$\mu_{k}$ so bestimmen, daß +\[ +\Tag{(7)} +\lambda_{k} P^{k+1} + \mu_{k} Q^{k+1} = 1 +\] +ist. Also sind die beiden ganzen Zahlen: +\[ +\Tag{(7^{a})} +\begin{alignedat}{4} +1^{(k)}_{P} &= 1 - \lambda_{k} &&P^{k+1} &&= \mu_{k} &&Q^{k+1} \\ +1^{(k)}_{Q} &= 1 - \mu_{k} &&Q^{k+1} &&= \lambda_{k} &&P^{k+1} +\end{alignedat} +\] +bzw.\ gleich den \Ordsup{$k$}{-ten}~Näherungswerten von $1_{P}$~und~$1_{Q}$; denn aus der +obigen Gleichung ergeben sich ja die Kongruenzen: +\begin{alignat*}{4} +1^{(k)}_{P} &\equiv 1\ &&(\mod.~P^{k+1}),\quad &1^{(k)}_{P} &\equiv 0\ &&(\mod.~Q^{k+1}) \\ +1^{(k)}_{Q} &\equiv 0\ &&(\mod.~P^{k+1}), &1^{(k)}_{Q} &\equiv 1\ &&(\mod.~Q^{k+1}). +\end{alignat*} + +Ist \zB +\[ +g = 10 = 2·5, +\] +\PageSep{101}{85} +also $P = 2$, $Q = 5$, so ergibt das Euklidische Verfahren für $(2^{5}, 5^{5}) += (32, 3125)$ leicht die Gleichung: +\[ +293·2^{5} - 3·5^{5} = 1. +\] +Also bestimmen sich die \Ordsup{$4$}{-ten}~Näherungswerte von $1_{2}$~und~$1_{5}$ aus den +Gleichungen: +\begin{alignat*}{2} +1_{2}^{(4)} &= 1 -{}& 293·2^{5} &= -9375 \\ +1_{5}^{(4)} &= 1 +{}& 3·5^{5} &= +9376. +\end{alignat*} +Schreibt man also $1_{2}$ und $1_{5}$ als dekadische Zahlen, also in umgekehrter +Folge der Ziffern, so erhält man: +\[ +\begin{aligned} +1_{2} &= -5\MathOrd{,}7390\dots = +5\MathOrd{,}2609\dots \\ +1_{5} &= +6\MathOrd{,}7390\dots = +6\MathOrd{,}7390\dots. +\end{aligned} +\quad(10) +\] + +Es sei zweitens +\[ +g = 6 = 2·3, \quad\text{also}\quad P = 2,\ Q = 3; +\] +dann ergibt das Euklidische Verfahren angewandt auf die Zahlen +$(2^{7}, 3^{7}) = (128, 2187)$ sofort die Gleichung: +\[ +35·3^{7} - 598·2^{7} = 1. +\] + +Also erhält man als sechsten Näherungswert von~$1_{2}$ +\[ +1_{2}^{(6)} = 1 + 598·2^{7} = 76545, +\] +und wenn man diese als hexadische Zahl nach der \aSeite{49} gegebenen +Methode schreibt: +\[ +\Tag{(8)} +1_{2} = 3\MathOrd{,}\,1\,2\,0\,5\,3\,1\dots\ (6). +\] +Die zweite Einskomponente~$1_{3}$ braucht nicht besonders berechnet zu +werden, da ja allgemein immer +\[ +1 = 1_{P} + 1_{Q}, \quad\text{also}\quad +1_{Q} = 1 - 1_{P},\ (g) +\] +ist. Also ist in diesem Falle +\[ +\Tag{(8^{a})} +1_{3} = 1 - 1_{2} = 4\MathOrd{,}\,4\,3\,5\,0\,2\,4\dots\ (6). +\] + +Kennt man die Darstellung +\[ +\Tag{(9)} +1 = 1_{P} + 1_{Q}\ (g) +\] +\PageSep{102}{86} +der Eins in der Normalform, so folgt aus ihr sofort die entsprechende +Darstellung jeder anderen $g$-adischen Zahl~$A$ einfach dadurch, daß +man die obige Gleichung~\Eq{(9)} mit $A$ multipliziert. Denn in der Gleichung: +\[ +A = A·1_{P} + A·1_{Q} \ (g) +\] +ist ja \zB\ $A·1_{P}$ in der Tat gleich~$A_{P}$, weil für dieses Produkt +\[ +A·1_{P} = A·1 = A\ (P),\quad +A·1_{P} = A·0 = 0\ (Q) +\] +gilt und durch diese beiden Gleichungen~$A_{P}$ eindeutig bestimmt ist. + +So erhält man \zB\ durch einfache Multiplikation der aus \Eq{(8)} +und~\Eq{(8^{a})} sich ergebenden Gleichung +\[ +1 = 3\MathOrd{,}\,1\,2\,0\,5\,3\,1\dots + 4\MathOrd{,}\,4\,3\,5\,0\,2\,4\dots\ (6) +\] +die folgende Darstellung der Zahl $44 = 2\MathOrd{,}11\ (6)$ in der Normalform: +\[ +2\MathOrd{,}11 = 0\MathOrd{,}\,0\,3\,4\,0\,1\,0\dots + 2\MathOrd{,}\,1\,4\,1\,5\,4\,5\dots\DPtypo{}{.}\ (6) +\] + + +\Section{§ 4.}{Die Zerlegung des Ringes $R(g)$ in die Ringe~$R(p)$, +$R(q)$,~\dots, deren Grundzahlen Primzahlen sind. Die Darstellung +der $g$-adischen Zahlen in der additiven und in der multiplikativen +Normalform.} + +In genau derselben Weise, wie dies im vorigen Abschnitt gezeigt +wurde, kann nun eine beliebige $g$-adische Zahl entsprechend jeder Zerlegung +von $g$ in mehr als zwei teilerfremde Faktoren als Summe von +mehr als zwei Komponenten dargestellt werden. Ich gebe diese Dekomposition +gleich für die letzte Zerlegung, welche $g$ zuläßt. Wir +können nach \Seite{74} unten ohne Beeinträchtigung der Allgemeinheit +annehmen, daß $g$ nur einfache Primteiler besitzt; es sei +\[ +\Tag{(1)} +g = p·q \dots r +\] +die Zerlegung von $g$ in seine Primfaktoren. Ist dann $P = q \dots r$ der +zu $p$ komplementäre Faktor von~$g$, so ist $g = pP$ eine der im vorigen +Paragraphen betrachteten Zerlegungen; also können wir nach der dort +gegebenen Methode eine $g$-adische Zahl~$1_{P}$ bilden, welche für den Bereich +von $p$ gleich~$1$, für den Bereich von $P = q \dots r$, mithin also +\PageSep{103}{87} +auch für den Bereich jeder der von $p$ verschiedenen Primzahlen +$q$,~\dots~$r$ gleich Null ist. + +Ist dann $\alpha = \alpha_{0} + \alpha_{1} p + \dots$ eine beliebige $p$-adische Zahl, so +können wir, wie schon bewiesen, eine $g$-adische Zahl~$X$ bilden, die für +den Bereich von $p$ gleich $\alpha$ ist; dann ist +\[ +X_{p} = X·1_{p} +\] +die eindeutig bestimmte $g$-adische Zahl, welche für den Bereich von $p$ +gleich~$\alpha$, für den Bereich aller anderen Primzahlen $q$,~\dots~$r$ aber +jedesmal gleich Null ist. Ebenso können wir entsprechend der +Zerlegung $g = q\ (p \dots r) = qQ$ eine $g$-adische Zahl~$X_{q}$ bilden, welche +für den Bereich von $q$ gleich einer beliebig vorgegebenen $q$-adischen +Zahl $\beta = \beta_{0} + \beta_{1} q + \dots$ ist, während sie für den Bereich aller +übrigen Primzahlen $p$,~\dots~$r$ Null ist, usw. Haben dann die $g$-adischen +Zahlen $X_{q}$,~\dots~$X_{r}$ die entsprechende Bedeutung für die Primzahlen +$q$,~\dots~$r$, wie $X_{p}$ für~$p$, so ist +\[ +\Tag{(2)} +X = X_{p} + X_{q} + \dots + X_{r} +\] +eine $g$-adische Zahl, die für die Bereiche von~$p$, von $q$,~\dots\ von~$r$ bzw.\ +die beliebig vorgegebenen Werte $\alpha$,~$\beta$,~\dots~$\gamma$ besitzt, und umgekehrt +läßt sich jede $g$-adische Zahl~$A$ als eine derartige Summe +\[ +\Tag{(2^{a})} +A = A_{p} + A_{q} + \dots + A_{r} +\] +darstellen, in der \zB\ die erste Komponente durch die Gleichungen +\[ +\Tag{(2^{b})} +A_{p} = A\ (p),\quad +A_{p} = 0\ (q),\ \dots\quad +A_{p} = 0\ (r) +\] +bestimmt ist. Auch in diesem allgemeinen Falle ist jene Darstellung +einer $g$-adischen Zahl nur auf eine Weise möglich. Wären nämlich +\[ +\begin{aligned} +A &= A_{p} + A_{q} + \dots + A_{r} \\ + &= A'_{p} + A'_{q} + \dots + A'_{r} +\end{aligned} +\quad(g) +\] +solche Darstellungen derselben Zahl~$A$ auf zwei verschiedene Weisen, +so ergäbe sich durch Subtraktion +\begin{alignat*}{3} +0 &= (A_{p} - A'_{p}) &&+ (A_{q} - A'_{q}) &&+ \dots + (A_{r} - A'_{r}) \\ + &= B_{p} &&+ B_{q} &&+ \dots + B_{r}, +\end{alignat*} +\PageSep{104}{88} +wo die $g$-adischen Zahlen $B_{p} = A_{p} - A'_{p}$,~\dots\ nicht alle Null wären, +während \zB\ für $B_{p}$ die Gleichungen +\[ +B_{p} = A - A = 0\ (p),\quad +B_{p} = 0\ (q),\ \dots\quad +B_{p} = 0\ (r) +\] +erfüllt sein müßten. Aus ihnen folgt aber, daß $B_{p} = 0\ (g)$, \dh\ daß +$A_{p} = A'_{p}$ sein muß, und dasselbe gilt für alle anderen Zahlen +$A_{q}$,~\dots~$A_{r}$. + +\begin{Theorem} +Ist also $g$ eine beliebige Grundzahl, und sind $p$,~$q$,~\dots~$r$ alle +in $g$ enthaltenen voneinander verschiedenen Primfaktoren, so ist +jede $g$-adische Zahl~$A$ auf eine einzige Weise in der Form +\[ +\Tag{(3)} +A = A_{p} + A_{q} + \dots + A_{r}\ (g) +\] +darstellbar, in welcher die $g$-adischen Zahlen $A_{p}$,~\dots\ durch die +Gleichungen: +\[ +\Tag{(3^{a})} +A_{p} = A\ (p),\quad +A_{p} = 0\ (q),\ \dots\quad +A_{p} = 0\ (r) +\] +usw.\ eindeutig bestimmt sind. Sind umgekehrt $\alpha_{p}$,~$\alpha_{q}$,~\dots~$\alpha_{r}$ je eine +beliebige $p$-adische, $q$-adische,~\dots\ $r$-adische Zahl, so gibt es im +Ringe~$R(g)$ eine einzige Zahl~$A$, deren Wert für den Bereich +von $p$,~$q$,~\dots~$r$ bzw.\ gleich $\alpha_{p}$,~$\alpha_{q}$,~\dots~$\alpha_{r}$ ist. + +Die eindeutig bestimmten Zahlen $A_{p}$,~$A_{q}$,~\dots~$A_{r}$ in der obigen +Gleichung sollen kurz als die \so{$p$-Komponente}, \so{$q$-Komponente},~\dots\ +\so{$r$-Komponente} von $A$ bezeichnet werden. +\index{Komponente, $p$-adische e.\ $g$-adischen Zahl}% +\index{Normalform, additive e.\ $g$-adischen Zahl}% +Die Darstellung~\Eq{(3)} einer Zahl~$A$ als Summe ihrer Komponenten +soll ihre \so{additive Normalform} heißen. +\end{Theorem} + +Ist dann +\[ +\Tag{(4)} +\begin{aligned} +A &= A_{p} + A_{q} + \dots + A_{r} \\ +B &= B_{p} + B_{q} + \dots + B_{r} +\end{aligned} +\] +die Darstellung von zwei beliebigen $g$-adischen Zahlen in der Normalform, +so ergeben die Gleichungen +\[ +\Tag{(4^{a})} +\begin{aligned} +A ± B &= (A_{p} ± B_{p}) + (A_{q} ± B_{q}) + \dots + (A_{r} ± B_{r}) \\ + AB &= A_{p}B_{p} + A_{q}B_{q} + \dots +A_{r}B_{r} +\end{aligned} +\] +die Summe, die Differenz und das Produkt von $A$~und~$B$ in derselben +Form; denn $A_{p} ± B_{p}$ \zB\ ist eine $g$-adische Zahl, die für den Bereich +\PageSep{105}{89} +von $p$ gleich dem $p$-adischen Wert von $A ± B$, für den Bereich jedes +anderen Primteilers von $g$ aber gleich Null ist. Für die zweite Gleichung +hat man noch zu bedenken, daß die Produkte ungleichnamiger Komponenten, +\zB~$A_{p}B_{q}$, verschwinden, weil sie für den Bereich eines +\emph{jeden} Teilers von $g$ gleich Null sind. + +Sind daher +\[ +(\alpha_{p}, \alpha_{q}, \dots \alpha_{r}) \quad\text{und}\quad +(\beta_{p}, \beta_{q}, \dots \beta_{r}) +\] +zwei Systeme von beliebigen Zahlen der Ringe $R(p)$,~$R(q)$,~\dots~$R(r)$, +\index{Normalform, multiplikative e.\ $g$-adischen Zahl}% +und $A$~und~$B$ die eindeutig bestimmten $g$-adischen Zahlen, deren Werte +für jene Teilbereiche bzw.\ gleich $(\alpha_{p}, \alpha_{q}, \dots \alpha_{r})$ und $(\beta_{p}, \beta_{q}, \dots \beta_{r})$ +sind, so gehören zu den Wertsystemen +\[ +(\alpha_{p} ± \beta_{p}, \alpha_{q} ± \beta_{q}, \dots \alpha_{r} ± \beta_{r}) \quad\text{und}\quad +(\alpha_{p}\beta_{p}, \alpha_{q}\beta_{q}, \dots \alpha_{r}\beta_{r}) +\] +die eindeutig bestimmten $g$-adischen Zahlen +\[ +A ± B \quad\text{und}\quad AB. +\] + +Neben der soeben eingeführten Darstellung aller $g$-adischen Zahlen +in der additiven Normalform führe ich jetzt noch eine \so{multiplikative +Normalform} für diese Zahlen ein, welche später von +großer Bedeutung sein wird. Sie ergibt sich aus der additiven Zerlegung +der $g$-adischen Zahlen unmittelbar mit Hilfe des folgenden einfachen +Satzes: +\begin{Theorem} +Ist +\[ +\Tag{(5)} +B = B_{p} + B_{q} + \dots + B_{r}\ (g) +\] +die Darstellung einer beliebigen $g$-adischen Zahl in der additiven +Normalform, so besteht immer die Gleichung: +\[ +\Tag{(5^{a})} +1 + B = (1 + B_{p}) (1 + B_{q}) \dots (1 + B_{r})\quad (g). +\] +\end{Theorem} + +Die Richtigkeit dieser Gleichung folgt unmittelbar, wenn man +ihre rechte Seite ausmultipliziert und beachtet, daß jedes Produkt~$B_{p}B_{q}$,~\dots\ +von zwei oder mehreren Komponenten immer gleich Null ist. + +Setzt man in dieser Gleichung: +\[ +1 + B = A;\quad +1 + B_{p} = \frakA_{p},\ \dots\quad +1 + B_{r} = \frakA_{r}, +\] +wodurch sich also ergibt: +\PageSep{106}{90} +\[ +B = A - 1;\quad +\frakA_{p} = 1 + (A - 1)_{p} = A_{p} + 1 - 1_{p},\ \dots, +\] +so erhält man die folgende multiplikative Zerlegung einer beliebigen +$g$-adischen Zahl~$A$ +\[ +\Tag{(6)} +A = \frakA_{p} \frakA_{q} \dots \frakA_{r}\ (g), +\] +und die Komponenten $\frakA_{p}$,~\dots~$\frakA_{r}$ sind die durch die folgenden Gleichungen +eindeutig bestimmten $g$-adischen Zahlen +\[ +\Tag{(6^{a})} +\begin{alignedat}{6} +\frakA_{p} &= A\ &&(p),\quad &\frakA_{p} &= 1 &&(q),\ \dots\quad &\frakA_{p} &= 1 &&(r) \\ +\frakA_{q} &= 1 &&(p), &\frakA_{q} &= A\ &&(q),\ \dots\quad &\frakA_{q} &= 1 &&(r) \\ + & \vdots \\ +\frakA_{r} &= 1 &&(p), &\frakA_{r} &= 1 &&(q),\ \dots\quad &\frakA_{r} &= A\ &&(r). +\end{alignedat} +\] +Die Richtigkeit dieser Gleichungen folgt \zB\ für $\frakA_{p}$ unmittelbar, +wenn man die Gleichung: +\[ +\frakA_{p} = A_{p} + 1 - 1_{p}\ (g) +\] +der Reihe nach für die Bereiche von $p$,~$q$,~\dots~$r$ betrachtet. + +So ergibt sich \zB\ aus den auf \Seite{85}~ff.\ für den Bereich der +hexadischen Zahlen hergeleiteten Gleichungen: +\begin{align*} + 1 &= \PadTo{A_{2}}{1_{2}} + \PadTo{A_{3}}{1_{3}} + = 3\MathOrd{,}\,1\,2\,0\,5\,3\,1\dots + + 4\MathOrd{,}\,4\,3\,5\,0\,2\,4\dots\ (6) \\ + A = 2\MathOrd{,}11 + &= A_{2} + A_{3} + = 0\MathOrd{,}\,0\,3\,4\,0\,1\,0\dots + + 2\MathOrd{,}\,1\,4\,1\,5\,4\,5\dots\ (6): \\ + \frakA_{2} &= A_{2} + 1 - 1_{2} = 4\MathOrd{,}\,4\,0\,4\,1\,3\,4 \dots \\ + \frakA_{3} &= A_{3} + 1 - 1_{3} = 5\MathOrd{,}\,2\,0\,2\,4\,2\,1 \dots\ + \smash{\raisebox{0.5\baselineskip}{(6),}} %[** TN: Vertical alignment hack] +\end{align*} +und man erhält somit die folgende multiplikative Darstellung der hexadischen +Zahl~$2\MathOrd{,}11$ +\[ +2\MathOrd{,}11 = (4\MathOrd{,}\,4\,0\,4\,1\,3\,4\dots)\ + (5\MathOrd{,}\,2\,0\,2\,4\,2\,1\dots)\quad (6), +\] +deren Richtigkeit durch Ausmultiplizieren unmittelbar bestätigt werden +kann. + +Sind umgekehrt +\[ +\alpha_{p},\ \alpha_{q},\ \dots\ \alpha_{r} +\] +je eine beliebig gegebene $p$-adische, $q$-adische,~\dots\ $r$-adische Zahl, so +können wir die eindeutig bestimmte $g$-adische Zahl~$A$, welche für den +\PageSep{107}{91} +Bereich von $p$,~$q$,~\dots~$r$ bzw.\ gleich $\alpha_{p}$,~$\alpha_{q}$,\dots $\alpha_{r}$ ist, nun auch in +der multiplikativen Normalform eindeutig darstellen. In der Tat ist +\[ +\Tag{(7)} +A = \frakA_{p} \frakA_{q} \dots \frakA_{r}, +\] +wo \zB\ $\frakA_{p}$ die $g$-adische Zahl ist, welche durch die Gleichungen: +\[ +\Tag{(7^{a})} +\frakA_{p} = \alpha_{p}\ (p),\quad +\frakA_{p} = 1\ (q),\ \dots\quad +\frakA_{p} = 1\ (r) +\] +eindeutig bestimmt ist. + +Ich will im folgenden die Komponente $\frakA_{p}$,~$\frakA_{q}$,~\dots~$\frakA_{r}$, von $A$ in +dieser multiplikativen Normalform~\Eq{(6)} \emph{den zu $p$,~$q$,~\dots~$r$ gehörigen +Faktor von~$A$} nennen. Jeder von ihnen ist durch die Gleichungen~\Eq{(6^{a})} +eindeutig bestimmt. + +Ist +\[ +\Tag{(8)} +A = \frakA_{p} \frakA_{q} \dots \frakA_{r},\quad +B = \frakB_{p} \frakB_{q} \dots \frakB_{r}\ (g) +\] +die Darstellung von zwei $g$-adischen Zahlen in der multiplikativen +Normalform, so ist +\[ +\Tag{(8^{a})} +AB = (\frakA_{p} \frakB_{p}) + (\frakA_{q} \frakB_{q}) \dots + (\frakA_{r} \frakB_{r})\ (g), +\] +und man erkennt sofort, daß die rechts in Klammern stehenden Produkte +die zu $p$,~$q$,~\dots~$r$ gehörigen Faktoren von $AB$ sind, daß also~\zB: +\[ +(AB)_{p} = \frakA_{p} \frakB_{p} +\] +ist. In der Tat bestehen für dieses erste Produkt \zB\ die Gleichungen: +\[ +\frakA_{p} \frakB_{p} = AB\ (p),\quad +\frakA_{p} \frakB_{p} = 1\ (q),\ \dots\quad +\frakA_{p} \frakB_{p} = 1\ (r), +\] +durch welche der zu $p$ gehörige Faktor von~$AB$ eindeutig bestimmt ist. + +Aus der Eindeutigkeit der Darstellung einer Zahl in der multiplikativen +Normalform folgt analog wie vorher auf \Seite{87} unten bei der +additiven Normalform, daß zwei Zahlen +\[ +A = \frakA_{p} \frakA_{q} \dots \frakA_{r},\quad +A'= \frakA'_{p}\frakA'_{q}\dots \frakA'_{r}\ (g) +\] +dann und nur dann einander gleich sind, wenn +\[ +\frakA_{p} = \frakA'_{p},\quad +\frakA_{q} = \frakA'_{q},\ \dots\quad +\frakA_{r} = \frakA'_{r}\ (g) +\] +ist. +\PageSep{108}{92} + +Speziell zerfällt die Zahl Null multiplikativ folgendermaßen: +\[ +\Tag{(9)} +0 = O_{p} O_{p} \dots O_{r}\ (g), +\] +wo \zB\ die $g$-adische Zahl~$O_{p}$ durch die Gleichungen: +\[ +\Tag{(9^{a})} +O_{p} = 0\ (p),\quad +O_{p} = 1\ (q),\ \dots\quad +O_{p} = 1\ (r) +\] +eindeutig bestimmt ist. Jede dieser Zahlen $O_{p}$,~$O_{q}$,~\dots~$O_{r}$ nenne ich +\so{den zu $p$,~$q$,~\dots~$r$ gehörigen Faktor} oder \so{Divisor der +Null}. +\index{Divisoren der Null}% + +Eine Zahl~$A$ soll ein \so{Teiler der Null} heißen, wenn sie +\index{Teiler!der Null}% +wenigstens einen von diesen Faktoren der Null enthält, wenn also~\zB: +\[ +A = O_{p} \frakA_{q} \dots \frakA_{r}\ (g) +\] +ist. Dies ist dann und nur dann der Fall, wenn \zB\ bei der obigen +Gleichung +\[ +A = O_{p} = 0\ (p) +\] +ist. Stets und nur dann ist also $A$ ein Teiler der Null, wenn +wenigstens einer der Werte von $A$ für den Bereich von $p$,~$q$,~\dots~$r$ +gleich Null ist. Allein in diesem Falle ist also auch bei der additiven +Darstellung: +\[ +A = A_{p} + A_{q} + \dots + A_{r} +\] +wenigstens eine der Komponenten Null. Jeder einzelne von diesen +Faktoren~$O_{p}$,~\dots\ soll \so{ein Primteiler der Null} genannt werden. +\index{Primteiler der Null}% +Diese Bezeichnung wird durch den folgenden offenbar richtigen Satz +gerechtfertigt. + +\begin{Theorem} +Ein Produkt zweier $g$-adischen Zahlen enthält stets und +nur dann einen Primteiler der Null, wenn mindestens einer der +Faktoren durch denselben Divisor teilbar ist. +\end{Theorem} + + +\Section{§ 5.}{Die Einteilung der ganzen $g$-adischen Zahlen in Zahlklassen +modulo~$g$.} + +Ich benutze die im vorigen Abschnitt gefundene Darstellung der +ganzen $g$-adischen Zahlen in der additiven Normalform zunächst dazu, +\PageSep{109}{93} +um auch sie ebenso wie vorher die modulo~$g$ ganzen \emph{rationalen} +Zahlen für diesen Modul in Klassen einzuteilen. + +Es sei +\[ +\Tag{(1)} +g = p^{k} q^{l} \dots r^{m} +\] +die Zerlegung der Grundzahl~$g$, und +\[ +\Tag{(2)} +A = A_{p} + A_{q} + \dots + A_{r} +\] +die Darstellung einer beliebigen $g$-adischen Zahl in der additiven +Normalform. Ich denke mir jede der Komponenten in ihrer reduzierten +Form dargestellt, und es seien +\[ +\Tag{(2^{a})} +\begin{aligned} +A_{p} &= a_{p}^{(0)} + a_{p}^{(1)}g + a_{p}^{(2)}g^{2} + \dots \\ +A_{q} &= a_{q}^{(0)} + a_{q}^{(1)}g + a_{q}^{(2)}g^{2} + \dots \\ +\DotRow{2} \\ +A_{r} &= a_{r}^{(0)} + a_{r}^{(1)}g + a_{r}^{(2)}g^{2} + \dots +\end{aligned}\quad (g) +\] +diese Reihen, wo wenigstens eines der Anfangsglieder nicht Null sein +soll. Der Einfachheit wegen sind jene Reihen von der nullten Ordnung +angenommen. Sollten sie mit $g^{\alpha}$ beginnen, so kann dieselbe +Ãœberlegung auf die Zahl~$\dfrac{A}{g^{\alpha}}$ angewendet werden, deren Entwicklungen +dann mit $g^{0}$ anfangen. + +Dann ist +\begin{align*}% [** TN: Re-broken, aligned] +A &= a_{0} + a_{1} g + a_{2} g^{2} + \dots \\ + &= (a^{(0)}_{p} + a^{(0)}_{q} + \dots + a^{(0)}_{r}) + + (a^{(1)}_{p} + \dots + a^{(1)}_{r}) g + \dots, +\end{align*} +\dh\ für den Anfangskoeffizienten von $A$ besteht die Kongruenz: +\[ +\Tag{(3)} +a_{0} \equiv a^{(0)}_{p} + a^{(0)}_{q} + \dots + a^{(0)}_{r}\ (\mod.~g). +\] + +Ist nun $P = q^{l} \dots r^{m}$ der zu $p^{k}$ komplementäre Divisor von +$g = p^{k}P$, so ist +\[ +a^{(0)}_{p} = \alpha_{p}·P +\] +durch \DPtypo{$P$-teilbar}{$P$ teilbar}; denn aus der für die $p$-Komponente von $A$ nach \Eq{(2^{a})} +bestehenden Gleichung: +\[ +A_{p} = a^{(0)}_{p} + a^{(1)}_{pg} + \dots = 0\ (P) +\] +folgt ja, wenn man sie als Kongruenz modulo~$P$ betrachtet, $a^{(0)}_{p}\equiv 0\ (\mod.~P)$. +\PageSep{110}{94} +Da ferner $a_{p}^{(0)} = \alpha_{p} P$ modulo $g = p^{k} P$ reduziert ist, so muß +$\alpha_{p}$ einen der Werte $0$,~$1$,~\dots~$(p^{k} - 1)$ besitzen. Sind entsprechend +$Q$,~\dots~$R$ die zu $q^{l}$,~\dots~$r^{m}$ komplementären Teiler von~$g$, so daß also: +\[ +\Tag{(4)} +g = p^{k} P = q^{l} Q = \dots = r^{m} R +\] +ist, so zeigt man ebenso, daß die Anfangsglieder $a_{q}^{(0)}$,~\dots~$a_{r}^{(0)}$ bzw.\ +durch $Q$,~\dots~$R$ teilbar sind. Die Kongruenz~\Eq{(3)} läßt sich also +folgendermaßen schreiben: +\[ +\Tag{(5)} +a_{0} \equiv \alpha_{p} P + \alpha_{q} Q + \dots + \alpha_{r} R \ (\mod.~g), +\] +wo $\alpha_{p}$,~$\alpha_{q}$,~\dots~$\alpha_{r}$ ganze Zahlen der Reihen +\[ +0,\ 1,\ \dots\ (p^{k} - 1);\ \dots\quad +0,\ 1,\ \dots\ (r^{m} - 1) +\] +sein müssen. Je zwei in dieser Form dargestellte Zahlen sind nur +dann modulo~$g$ kongruent, wenn sie identisch sind. Denn wäre die +obige Zahl~$a_{0}$ kongruent einer anderen +\[ +\bar{a}_{0} \equiv \bar{\alpha}_{p}P + \bar{\alpha}_{q}Q + \dots + \bar{\alpha}_{r}R \ (\mod.~g), +\] +so müßte ihre Differenz: +\[ +a_{0} - \bar{a}_{0} + \equiv (\alpha_{p} - \bar{\alpha}_{p})P + \dots + + (\alpha_{r} - \bar{\alpha}_{r})R + \equiv 0\ (\mod.~g), +\] +sein. Betrachtet man aber diese Kongruenz als eine solche für den +Modul~$p^{k}$ und beachtet dabei, daß derselbe in $Q$,~\dots~$R$ enthalten, +aber zu $P$ teilerfremd ist, so folgt aus ihr: +\[ +\alpha_{p} \equiv \bar{\alpha}_{p}\ (\mod.~p^{k}), +\] +und diese Kongruenz ist, da jene beiden Koeffizienten modulo~$p^{k}$ reduziert +sind, nur dann erfüllt, wenn $\alpha_{p} = \bar{\alpha}_{p}$ ist. Da man genau ebenso +die Identität der übrigen Koeffizienten beweist, so ist die Richtigkeit +unseres Satzes dargetan. + +Alle $g$-adischen Zahlen $A = a_{\alpha} g^{\alpha} + a_{\alpha+1} g^{\alpha+1} + \dots$, welche in +ihrer reduzierten Form mit der \Ordsup{$\alpha$}{-ten}~Potenz von $g$ beginnen, sind +also in der Form +\[ +A = (\alpha_{p} P + \alpha_{q} Q + \dots + \alpha_{r} R) g^{\alpha} + \dots +\] +darstellbar, wo mindestens einer der Koeffizienten $\alpha_{p}$,~$\alpha_{q}$,~\dots~$\alpha_{r}$ nicht +\PageSep{111}{95} +Null ist. Für jede ganze $g$-adische Zahl $A = a_{0} + a_{1} g + \dots$ besteht +demnach eine Kongruenz +\[ +\Tag{(5^{a})} +A \equiv \alpha_{p}P + \alpha_{q}Q + \dots + \alpha_{r}R\ (\mod.~g). +\] + +Ich will nun die ganzen \emph{$g$-adischen} Zahlen für den Modul~$g$ ebenso +in Kongruenzklassen einteilen, wie dies auf \Seite{40}~ff.\ für die modulo~$g$ +ganzen \emph{rationalen} Zahlen geschah. Wir rechnen also in eine und dieselbe +Klasse alle und nur die ganzen $g$-adischen Zahlen +\[ +A = a + a'g + a''g^{2} + \dots, +\] +welche zueinander modulo~$g$ kongruent sind, die mithin in ihrer reduzierten +Darstellung dasselbe Anfangsglied $a$ besitzen. Ich bezeichne +diese Klasse durch~$C_{a}$, setze aber ebenso wie \aaO\ gleich fest, daß +statt des Index~$a$ auch jede zu $a$ kongruente Zahl $\bar{a} = a + gt$ genommen +werden darf, so daß also $C_{a} = C_{a±g} = C_{a±2g} = \dots$ ist. +Dann zerfallen also alle ganzen Zahlen~$A$ modulo~$g$ in genau $g$ Klassen: +\[ +\Tag{(6)} +C_{0},\ C_{1},\ \dots\ C_{g-1}. +\] + +Wir betrachten diese Klassen als die Elemente eines Systemes +$S = (C_{0}, C_{1}, \dots C_{g-1})$ und definieren für sie wieder die Operationen +der Addition, Subtraktion und Multiplikation eindeutig auf die folgende +Weise: + +Durchlaufen $A$ und $B$ alle Zahlen der beiden Klassen $C_{a}$~und~$C_{b}$, +so ist für sie alle: +\[ +\Tag{(7)} +A \equiv a,\quad +B \equiv b \ (\mod.~g). +\] +Dann folgt, daß ihre Summen, ihre Differenzen und ihre Produkte alle +bzw.\ den drei eindeutig bestimmten Klassen +\[ +C_{a+b},\quad +C_{a-b},\quad +C_{ab} +\] +angehören, da aus \Eq{(7)} die Kongruenzen: +\[ +A ± B \equiv a ± b,\quad +AB \equiv ab \ (\mod.~g) +\] +folgen. Aus diesem Grunde definieren wir die Summe, die Differenz +und das Produkt zweier Klassen $C_{a}$~und~$C_{b}$ durch die Gleichungen: +\[ +\Tag{(8)} +C_{a} + C_{b} = C_{a+b},\quad +C_{a} - C_{b} = C_{a-b},\quad +C_{a} C_{b} = C_{ab}. +\] +\PageSep{112}{96} +Bei dieser Erklärung der elementaren Rechenoperationen für jene +Klassen sieht man, daß das System $S = (C_{0}, C_{1}, \dots C_{g-1})$ dieser +$g$~Zahlklassen einen Ring bildet, da in ihm die Addition, die Subtraktion +und die Multiplikation unbeschränkt und eindeutig ausführbar ist. + +Alle Zahlen einer und derselben Klasse~$C_{a}$ sind in der Form: +\[ +A = a + gN +\] +enthalten, wo $N$ jede ganze $g$-adische Zahl bedeutet. Unter ihnen sind +auch alle ganzen \so{rationalen} Zahlen enthalten, welche modulo~$g$ +zu $a$ kongruent sind; beschränkt man sich also auf den Bereich dieser +Zahlen, so fällt diese Klasseneinteilung mit der auf \Seite{42} gegebenen +vollständig zusammen. Alle \emph{rationalen} Zahlen einer und derselben +Klasse~$C_{a}$ besitzen einen größten gemeinsamen Teiler~$d_{a}$. Dieser +\index{Teiler!e.\ Kongruenzklasse modulo~$g$}% +muß also ein gemeinsamer Teiler der beiden in $C_{a}$ vorkommenden +rationalen Zahlen $a$~und~$a + g$ sein, also ist $d_{a}$ sicher ein Teiler von +$(a, a + g) = (a, g)$. Da aber jede Zahl $a + gn$ durch $(a, g)$ teilbar +ist, so ist $d_{a} = (a, g)$ selbst. Diese Zahl~$d_{a}$ soll \so{der Teiler +der Klasse~$C_{a}$} genannt werden. + +Ist +\[ +a \equiv a_{p} P + a_{q} Q + \dots + a_{r} R \ (\mod.~g) +\] +die Darstellung von $a$ in der Form~\Eq{(5)} modulo~$g$, so ist +\[ +d_{a} = (a, g) = p^{k_{0}} q^{l_{0}} \dots r^{m_{0}}, +\] +wenn $p^{k_{0}}$,~$q^{l_{0}}$,~\dots~$r^{m_{0}}$ die höchsten Potenzen von $p$,~$q$,~\dots~$r$ sind, +welche bzw.\ in $\alpha_{p}$,~$\alpha_{q}$,~\dots~$\alpha_{r}$ enthalten sind; offenbar ist dann nämlich~$a$ +\zB\ genau durch $p^{k_{0}}$ teilbar. + +Ist speziell $d_{a} = (a, g) = 1$, also jede rationale Zahl von $C_{a}$ zu $g$ +teilerfremd, so soll $C_{a}$ \so{eine Einheitsklasse}, jede Zahl~$A$ von +\index{Einheitsklassen modulo~$g$}% +$C_{a}$ \so{eine Einheit modulo~$g$} genannt werden. Aus der soeben +\index{Einheit modulo~$g$}% +durchgeführten Betrachtung für einen beliebigen Divisor~$d_{a}$ +ergibt sich also für $d = 1$ der Satz: +\begin{Theorem} +Eine Zahl +\[ +e \equiv \epsilon_{p}P + \epsilon_{q}Q + \dots + \epsilon_{r}R\ (\mod.~g) +\] +\PageSep{113}{97} +ist dann und nur dann eine Einheit modulo~$g$ oder also zu $g$ teilerfremd, +wenn keine der Zahlen $\epsilon_{p}$,~$\epsilon_{q}$,~\dots~$\epsilon_{r}$ durch die ihr zugeordnete +Primzahl $p$,~$q$,~\dots~$r$ teilbar ist, wenn also $\epsilon_{p}$,~\dots~$\epsilon_{r}$ bzw.\ zu +$p$,~\dots~$r$ teilerfremd sind. +\end{Theorem} + +Nach dem Vorgange von \so{Gauss} (Disq.\ Arithm.\ art.~38) bezeichnen +\index{Gausssche Funktion~$\phi(g)$}% +wir die Anzahl der Einheitsklassen modulo~$g$ oder, was dasselbe ist, +die Anzahl der modulo~$g$ inkongruenten zu $g$ teilerfremden ganzen +Zahlen durch~$\phi(g)$. Nach den soeben abgeleiteten Resultaten ist es +leicht, diese Anzahl für ein beliebiges $g$ zu finden. + +Ist zunächst speziell $g = p^{k}$ eine beliebige Primzahlpotenz, so ist +$P = 1$, und eine modulo $g = p^{k}$ reduzierte ganze Zahl: +\[ +a_{0} = a^{(0)} + a^{(1)}p + a^{(2)}p^{2} + a^{(k-1)}p^{k-1}\quad +(a^{(i)} = 0, 1, \dots p - 1) +\] +ist dann und nur dann eine Einheit modulo~$p^{k}$, wenn sie nicht durch +$p$ teilbar, wenn also $a^{(0)}$ nicht Null ist. Da nun alle durch $p$ teilbaren +Zahlen dieser Reihe in der Form +\[ +a^{(1)}p + a^{(2)}p^{2} + \dots + a^{(k-1)}p^{k-1}\quad +(a^{(i)} = 0, 1, \dots p - 1) +\] +enthalten sind, ihre Anzahl also offenbar gleich $p^{k-1}$ ist, so ergibt +sich die Anzahl aller inkongruenten Einheiten modulo~$p^{k}$ +\[ +\Tag{(9)} +\phi(p^{k}) = p^{k} - p^{k-1} = p^{k} \left(1 - \frac{1}{p}\right). +\] + +Ist nun allgemein wie vorher $g = p^{k} q^{l} \dots r^{m}$ eine beliebig zusammengesetzte +Zahl, so ist nach dem oben Bewiesenen: +\[ +e = \epsilon_{p} P + \epsilon_{q} Q + \dots + \epsilon_{r} R +\] +dann und nur dann eine der $\phi(g)$ modulo~$g$ inkongruenten Einheiten, +wenn $\epsilon_{p}$ eine der $\phi(p^{k})$ modulo~$p^{k}$ inkongruenten Einheiten, $\epsilon_{q}$~eine +der $\phi(q^{b})$ modulo~$q^{b}$ inkongruenten Einheiten ist usw. Somit ergibt +sich für die gesuchte Anzahl der Einheitsklassen modulo~$g$ die einfache +Gleichung: +\begin{gather*} +\Tag{(9^{a})} +\phi(g) = \phi(p^{k}) \phi(q^{l}) \dots \phi(r^{m}) \\ + = p^{k} q^{l} \dots r^{m} + \left(1 - \frac{1}{p}\right) + \left(1 - \frac{1}{q}\right) \DPtypo{-}{\dots} + \left(1 - \frac{1}{r}\right) + = g \prod \left(1 - \frac{1}{p}\right), +\end{gather*} +\PageSep{114}{98} +wo das Produkt auf alle in $g$ enthaltenen verschiedenen Primfaktoren +zu erstrecken ist. Aus dieser Gleichung kann sofort der weitere Satz +abgelesen werden: +\begin{Theorem} +Ist $g = g_{1} g_{2}$ irgendeine Zerlegung von $g$ in zwei \emph{teilerfremde} +Faktoren, so ist stets: +\[ +\Tag{(9^{b})} +\phi(g) = \phi(g_{1}) \phi(g_{2}). +\] +\end{Theorem} + +Hiernach ist es sehr leicht, für die ersten ganzen Zahlen~$g$ die Anzahlen~$\phi(g)$ +zu berechnen. So ist~\zB: +\[ +\Tag{(10)} +\begin{aligned} +\phi(1) = 1,\quad \phi(2) &= 1,\quad \phi(3) = 2,\quad \phi(4) = 2,\quad \phi(5) = 4, \\ + \phi(6) &= \phi(2) \phi(3) = 2, \\ +\phi(7) = 6,\quad \phi(8) &= 4,\quad \phi(9) = 6,\quad \phi(10) = 4,\quad \phi(11) = 10, \\ + \phi(12) &= \phi(3) \phi(4) = 4. +\end{aligned} +\] + +Die Anzahl~$\phi(g)$ aller modulo~$g$ inkongruenten Einheiten ist stets +gerade, sobald $g > 2$ ist; denn zu jeder Einheit~$e$ gehört eine andere +Einheit~$-e$, und es ist allein dann $e \equiv -e\ (\mod.~g)$ wenn~$2e$, also +auch $2$ durch $g$ teilbar, wenn also $g$ gleich $1$ oder gleich $2$ ist. + +Ganz ebenso einfach kann man jetzt die allgemeinere Frage entscheiden, +wie groß die Anzahl der Kongruenzklassen modulo~$g$ ist, +welche genau den Divisor~$d$ enthalten, wo +\[ +d = p^{k_{0}} \DPtypo{p}{q}^{l_{0}} \dots r^{m_{0}} +\] +ein beliebiger Teiler von $g$ ist. Eine Zahl $A = a_{0}\MathOrd{,}a_{1}a_{2} \dots$ besitzt nämlich +genau den Teiler~$d$ mit~$g$, wenn in ihrem Anfangsgliede: +\[ +a_{0} = \alpha_{p}P + \alpha_{q}Q + \dots + \alpha_{r}R +\] +$\alpha_{p}$~genau durch~$p^{k_{0}}$, $\alpha_{q}$~genau durch $q^{l_{0}}$,~\dots\ teilbar ist. Es muß also~\zB: +\[ +\alpha_{p} = p^{k_{0}} (\alpha_{0} + \alpha_{1}p + \dots + \alpha_{k-k_{0}-1} p^{k-k_{0}-1}) +\] +sein, wo $\alpha_{0} > 0$ ist, während $\alpha_{1}$,~\dots~$\alpha_{k-k_{0}-1}$ beliebige Zahlen der Reihe +$0$,~$1$,~\dots~$p - 1$ sein können. Die Anzahl aller modulo~$p^{k}$ inkongruenten +Zahlen dieser Art bestimmt sich also genau wie in~\Eq{(9)} auf der vorigen +Seite gleich: +\[ +\phi(p^{k-k_{0}}) = p^{k-k_{0}} - p^{k-k_{0}-1}. +\] +\PageSep{115}{99} +Also ist die Anzahl aller zum Divisor~$d_{0}$ gehörigen Klassen oder die +Anzahl aller modulo~$g$ inkongruenten Zahlen, welche mit $g$ den größten +gemeinsamen Teiler~$d$ haben, gleich: +\[ +\Tag{(11)} +\phi(p^{k-k_{0}}) \phi(q^{l-l_{0}}) \dots \phi(r^{m-m_{0}}) = \phi(\delta) +\] +wenn +\[ +\Tag{(11^{a})} +\delta = p^{k-k_{0}} q^{l-l_{0}} \dots r^{m-m_{0}} +\] +der zu $d = p^{k_{0}} q^{l_{0}} \dots r^{m_{0}}$ komplementäre Teiler von $g = d\delta$ ist. + +\begin{Theorem} +Die Anzahl aller Kongruenzklassen, welche einen bestimmten +Teiler~$d$ von $g = d\delta$ besitzen, ist also stets gleich~$\phi(\delta)$. +\end{Theorem} + +Da nun jede der $g$ Kongruenzklassen $C_{0}$,~$C_{1}$,~\dots~$C_{g-1}$ einen der Teiler~$d$ +von $g$ besitzt, so muß die Summe der Anzahlen~$\phi(\delta)$ erstreckt über +alle Teiler~$d$ oder, was dasselbe ist, erstreckt über alle Teiler~$\delta$ von $g$ +gleich $g$ sein. Es ergibt sich also der Satz: +\begin{Theorem} +Ist $g$ eine beliebige ganze Zahl, so ist +\[ +\Tag{(12)} +\sum_{\delta/g} \phi(\delta) = g, +\] +wenn die Summe über alle Teiler von $g$ einschließlich $1$ und $g$ +erstreckt wird. +\end{Theorem} + +%[** TN: Theorem indentation in the original] +So ist \zB\ nach der Tabelle~\Eq{(10)}: +\begin{align*} + 9 &= \phi(1) + \phi(3) + \phi(9) = 1 + 2 + 6 \\ +12 &= \phi(1) + \phi(2) + \phi(3) + \phi(4) + \phi(6) + \phi(12) \\ + &= 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 4. +\end{align*} + + +\Section{§ 6.}{Die Einheiten und die Einheitsklassen. Der Fermatsche +Satz für endliche Gruppen.} + +Ich betrachte jetzt genauer die $g$-adischen Einheiten und die aus +ihnen gebildeten Einheitsklassen. Sind +\[ +E = e_{0} + e_{1}g + \dots,\quad +E' = e'_{0} + e'_{1}g + \dots +\] +zwei beliebige Einheiten, deren Anfangsglieder $e_{0}$~und~$e'_{0}$ also zu $g$ +teilerfremd sind, so ist ihr Produkt +\[ +EE' = e_{0}e'_{0} + (e_{0}e'_{1} + e_{1}e'_{0})g + \dots +\] +\PageSep{116}{100} +offenbar wieder eine Einheit. Sind also $C_{e_{0}}$~und~$C_{e'_{0}}$ die beiden zugehörigen +Einheitsklassen, so ist ihr Produkt $C_{e_{0}} C_{e'_{0}} = C_{e_{0}e'_{0}}$ wieder +eine solche: +\begin{Theorem} +Das Produkt beliebig vieler Einheitsklassen ist also wieder +eine Einheitsklasse. Die $\phi(g)$ Einheitsklassen bilden demnach +einen Bereich, in dem die Multiplikation unbeschränkt und eindeutig +ausführbar ist. +\end{Theorem} + +Ich zeige jetzt weiter, daß auch die Division durch eine Einheit~$E$ +im Ringe~$R(g)$ unbeschränkt und eindeutig ausführbar ist, daß nämlich +die Gleichung: +\[ +\Tag{(1)} +EY = B +\] +stets eine eindeutig bestimmte Lösung besitzt, wenn $E$~eine Einheit, +$B$~eine beliebige Zahl bedeutet. Diese Lösung soll dann durch $Y = \dfrac{B}{E}$ +bezeichnet und der \so{Quotient von $B$~und~$E$} genannt werden. +\index{Quotient von Einheitsklassen modulo~$g$}% +Dazu beweise ich den folgenden speziellen Satz: +\begin{Theorem} +Ist $E$ eine beliebige Einheit, so gibt es stets eine einzige Zahl~$X$, +welche der Gleichung +\[ +\Tag{(2)} +EX = 1 +\] +genügt; diese Zahl~$X$ soll dann durch $E^{-1}$ oder durch $\dfrac{1}{E}$ +bezeichnet und \so{die zu $E$ reziproke Zahl} genannt +\index{Reziproke Einheit}% +werden. +\end{Theorem} + +Daß zunächst \emph{eine} Lösung $X = x_{0} + x_{1}g + \dots$ dieser Gleichung +existiert, erkennt man leicht: Die Gleichung: +\begin{align*}%[** TN: Not aligned in the orignal] +\Tag{(2^{a})} +EX &= e_{0}x_{0} + (e_{1}x_{0} + e_{0}x_{1})g + + (e_{2}x_{0} + e_{1}x_{1} + e_{0}\DPtypo{x_{1}}{x_{2}})\DPtypo{g}{g^{2}} + \dots \\ + &= 1 + 0·g + 0·g^{2} + \dots +\end{align*} +wird nämlich sicher erfüllt, wenn $x_{0}$,~$x_{1}$,~\dots\ so gewählt werden, daß +sie die Gleichungen: +\[ +\Tag{(2^{b})} +\begin{alignedat}{2} +&e_{0}x_{0} &&= 1 \\ +&e_{1}x_{0} + e_{0}x_{1} &&= 0 \\ +&e_{2}x_{0} + e_{1}x_{1} + e_{0}x_{2} &&= 0 \\ +\DotRow{4} +\end{alignedat} +\] +\PageSep{117}{101} +befriedigen. Aus ihnen bestimmen sich diese Zahlen $x_{0}$,~$x_{1}$,~$x_{2}$~\dots\ sukzessive +folgendermaßen: +\[ +\Tag{(2^{c})} +x_{0} = \frac{1}{e_{0}},\quad +x_{1} = -\frac{e_{1}}{e_{0}^{2}},\quad +x_{2} = \frac{e_{1}^{2} - e_{0}e_{2}}{e_{0}^{3}},\ \dots, +\] +oder übersichtlicher mit Benutzung der Determinanten: +\[ +\Tag{(2^{d})} +x_{0} = \frac{1}{e_{0}},\quad +x_{1} = -\frac{e_{1}}{e_{0}^{2}},\quad +x_{2} = +\frac{\begin{vmatrix}e_{1}&e_{0}\\e_{2}&e_{1}\end{vmatrix}}{e_{0}^{3}},\quad +x_{3} = -\frac{\begin{vmatrix}e_{1}&e_{0}&0\\ + e_{2}&e_{1}&e_{0}\\ + e_{3}&e_{2}&e_{1}\end{vmatrix}}{e_{0}^{4}},\ \dots\DPtypo{}{.} +\] + +Alle Koeffizienten stellen sich also als Brüche dar, deren Zähler +ganze ganzzahlige Funktionen der~$e_{i}$, also gewöhnliche ganze Zahlen +sind, während die Nenner Potenzen der Zahl~$e_{0}$ sind, welche selbst eine +Einheit modulo~$g$ ist. Mithin sind alle $x_{i}$ modulo~$g$ ganze Zahlen, also +ist die zugehörige Zahl +\[ +\Tag{(3)} +X = \frac{1}{E} = E^{-1} + = \frac{1}{e_{0}} - \frac{e_{1}}{e_{0}^{2}} g + + \frac{e_{1}^{2} - e_{0}e_{2}}{e_{0}^{3}} g^{2} + \dots +\] +eine \emph{ganze} $g$-adische Zahl. Sie ist auch eine Einheit, da ihr +Anfangsglied $\dfrac{1}{e_{0}}$ ebenso wie $e_{0}$ eine Einheit modulo~$g$ ist. + +Außer dieser Zahl besitzt die Gleichung $EX = 1$ keine andere +Lösung~$X'$; denn aus der Gleichung: +\[ +EX' = 1 +\] +folgt ja durch Multiplikation mit der soeben bestimmten Zahl~$X$: +\[ +(EX)X' = 1·X' = X. +\] + +Endlich erkennt man ebenso, daß sich aus~\Eq{(1)} für $Y$ der eindeutig +bestimmte Wert: +\[ +\Tag{(4)} +Y = BX = B·E^{-1} = \frac{B}{E} +\] +ergibt. Ist speziell auch $B = E' = e'_{0} + e'_{1} g + \dots$ eine Einheit, so +ist auch $\dfrac{E'}{E} = E'·\dfrac{1}{E} = \dfrac{e'_{0}}{e_{0}} + \dots$ eine Einheit, weil ihr Anfangsglied +$\dfrac{e'_{0} }{ e_{0}}$ zu $g$ teilerfremd ist. +\PageSep{118}{102} + +\begin{Theorem} +Der Quotient zweier Einheiten ist also stets wieder eine +Einheit. +\end{Theorem} + +Man erkennt so, daß im Gebiete der $g$-adischen Zahlen auch die +Division durch Einheiten unbeschränkt und eindeutig ausführbar ist. +Wir werden später sehen, daß man nicht durch jede $g$-adische Zahl~$A$ +unbeschränkt dividieren kann. Hier werde nur noch erwähnt, daß +man auch durch eine Zahl $A = g^{\alpha} E$ eindeutig dividieren kann, wenn +$\alpha$~eine positive oder negative ganze Zahl und $E$~eine Einheit ist, denn +die Gleichung: +\[ +AX = B +\] +hat dann die offenbar eindeutig bestimmte Lösung $X = B\dfrac{1}{A}$, wo +$\dfrac{1}{A} = \dfrac{1}{g^{\alpha}}·\dfrac{1}{E}$, und $\dfrac{1}{E}$ die in~\Eq{(3)} angegebene $g$-adische Einheit ist. + +Ich übertrage jetzt die soeben für die Einheiten gefundenen Resultate +auf die zugehörigen Einheitsklassen. Sind $C_{e_{0}}$~und~$C_{e'_{0}}$ zwei +beliebige Einheitsklassen und +\[ +E = e_{0} + e_{1}g + \dots,\quad +E' = e'_{0} + e'_{1}g + \dots +\] +zwei Einheiten derselben, so gehört ihr Produkt und ihr Quotient: +\begin{align*} +EE' &= e_{0}e'_{0} + (e_{0}e'_{1} + e_{1}e'_{0})g + \dots \\ +\frac{E'}{E} &= \frac{e'_{0}}{e_{0}} + + \frac{e'_{1}e_{0} - e'_{0}e_{1}}{e_{0}^{2}}g + \dots +\end{align*} +bzw.\ zu den beiden eindeutig bestimmten Einheitsklassen: +\[ +C_{e_{0}e'_{0}} \quad\text{und}\quad C_{\efrac{e'_{0}}{e_{0}}}. +\] +Dann sind also für die $\phi(g)$ Einheitsklassen die Rechenoperationen +der Multiplikation und der Division durch die Gleichungen: +\[ +C_{e}C_{e'} = C_{ee'} \quad\text{und}\quad +\frac{C_{e'}}{C_{e}} = C_{\efrac{e'}{e}} +\] +definiert, und man erkennt die Richtigkeit des Satzes: +\begin{Theorem} +Die $\phi(g)$ Einheitsklassen~$C_{e}$ bilden bei der oben gegebenen +Definition der Multiplikation und der Division eine endliche +Gruppe oder einen endlichen Strahl, da in ihrem Gebiete die Multiplikation +\PageSep{119}{103} +und die Division unbeschränkt und eindeutig ausführbar +ist. +\end{Theorem} + +Diese Gruppe muß wie jede Gruppe ein Einheitselement enthalten; +dieses ist offenbar die Klasse~$C_{1}$, welche aus allen Einheiten +\[ +1\MathOrd{,}\,e_{1}\,e_{2} \dots = 1 + e_{1}g + e_{2}g + \dots +\] +besteht, deren Anfangsglied in der reduzierten Form gleich Eins ist. +Jede solche Einheit soll \so{eine Haupteinheit modulo~$g$} +\index{Haupteinheit modulo~$g$}% +genannt werden; die Klasse~$C_{1}$ der Haupteinheiten nennen wir kürzer +\so{die Hauptklasse} und wollen sie, wenn wir mit den Einheitsklassen +\index{Hauptklasse modulo~$g$}% +rechnen, mitunter auch kurz durch $1$ bezeichnen. + +Für \emph{jede} endliche Gruppe besteht nun ein Fundamentalsatz, +welcher \so{der kleine Fermatsche Satz} genannt zu werden +pflegt, weil ein ganz spezieller Teil desselben zuerst von \Name{Fermat} bewiesen +\index{Fermatscher Satz (kleiner)}% +worden ist. + +\begin{Theorem} +Ist +\[ +G = (1, E_{1}, E_{2}, \dots E_{\nu-1}) +\] +eine endliche Gruppe von $\nu$ Elementen (in der also Multiplikation +und Division unbeschränkt und eindeutig ausführbar sind), so +besteht für jedes ihrer Elemente die Gleichung: +\[ +\Tag{(5)} +E^{\nu} = 1, +\] +wenn $1$ das Einheitselement von $G$ bedeutet. +\end{Theorem} + +Bildet man nämlich die $\nu$~Produkte: +\[ +\Tag{(6)} +E·1,\ +EE_{1},\ +EE_{2},\ \dots\ +EE_{\nu-1}, +\] +so sind sie zunächst wieder sämtlich Elemente von~$G$, ferner sind sie +wegen der Eindeutigkeit der Division alle voneinander verschieden, +da aus $EE_{i} = EE_{k}$ durch Division mit $E$ notwendig $E_{i} = E_{k}$ folgt. +Daher sind diese Produkte, abgesehen von ihrer Reihenfolge, mit den +$\nu$~Elementen $1$,~$E_{1}$,~\dots~$E_{\nu-1}$ von $G$ identisch. Also sind die beiden +Produkte: +\[ +(E·1)(EE_{1}) \dots (EE_{\nu-1}) = E^{\nu} (1\,E_{1} \dots E_{\nu-1}) +\] +\PageSep{120}{104} +und $(1·E_{1} \dots E_{\nu-1})$ einander gleich, und aus der so sich ergebenden +Gleichung: +\[ +E^{\nu} (1·E_{1} \dots E_{\nu-1}) = (1·E_{1} \dots E_{\nu-1}) +\] +folgt durch Division mit $(1·E_{1} \dots E_{\nu-1})$ wirklich +\[ +E^{\nu} = 1. +\] + +Verstehen wir jetzt unter $G = (1, E_{1}, \dots E_{\nu-1})$, speziell die Gruppe +der Einheitsklassen, für welche also $\nu = \phi(g)$ ist, so lehrt der soeben +bewiesene Fermatsche Satz, daß die \Ordsup{$\phi(g)$}{-te}~Potenz jeder Einheitsklasse +gleich der Hauptklasse ist. Ãœberträgt man diese Aussage von den +Klassen auf ihre Elemente, so ist ihr Inhalt folgender: Das Produkt +von irgendwelchen $\nu$~Zahlen einer und derselben Einheitsklasse~$C_{e}$, +insbesondere also auch die \Ordsup{$\nu$}{-te}~Potenz jeder beliebigen Einheit +$E = e\MathOrd{,}e_{1} e_{2} \dots$ ist stets eine Haupteinheit $1$,~$e'_{1}$,~$e'_{2}$~\dots\DPtypo{}{.} Betrachtet man +diese Beziehung als eine Kongruenz modulo~$g$, so ergibt sich der Satz: +\begin{Theorem} +Ist $g$ eine beliebige ganze Zahl, $\phi(g)$~die Anzahl aller modulo~$g$ +inkongruenten Zahlen, welche zu $g$ teilerfremd sind, und ist $e$ +irgendeine dieser Zahlen, so besteht immer die Kongruenz: +\[ +\Tag{(7)} +e^{\phi(g)} \equiv 1 \ (\mod.~g). +\] +\end{Theorem} + +Ist speziell $g = p^{k}$ eine Primzahlpotenz, so ist $\phi(p^{k}) = p^{k} - p^{k-1}$, +so daß hier für jede durch $p$ nicht teilbare Zahl stets die Kongruenz: +\[ +\Tag{(8)} +e^{p^{k} - p^{k-1}} \equiv 1 \ (\mod.~p^{k}) +\] +erfüllt ist. Insbesondere ist also für $k = 1$ +\[ +\Tag{(8^{a})} +e^{p-1} \equiv 1 \ (\mod.~p); +\] +dies ist der zuerst von Fermat bewiesene Satz. + +Für den Modul $9 = 3^{2}$ ist \zB\ $\phi(9) = 6$, und die sechs Zahlen +$(1, 2, 4, 5, 7, 8)$ bilden ein vollständiges System aller modulo~$9$ inkongruenten +Einheiten; wirklich ist hier, wie man sich durch Ausrechnung +(wobei Vielfache von $9$ immer fortgelassen werden können) +leicht überzeugt: +\[ +1^{6} \equiv 2^{6} \equiv 4^{6} \equiv 5^{6} \equiv 7^{6} \equiv 8^{6} \equiv 1 \ (\mod.~9). +\] +\PageSep{121}{105} + +Ich beweise jetzt einen zweiten Fundamentalsatz für endliche +Gruppen $G = (1, E_{1}, \dots E_{\nu-1})$, welcher in der ganzen Zahlentheorie +immer wieder zur Anwendung kommt. + +Ist $E$ irgend ein Element einer endlichen Gruppe~$G$ von $\nu$~Elementen, +so bilden, wie bereits \aSeite{12} erwähnt wurde, alle Potenzen +\[ +(\dots E^{r} \dots) = (\dots E^{-2}, E^{-1}, 1, E, E^{2}, \dots) +\] +von $E$, bei denen allgemein $E^{-r}$ das zu $E^{r}$ reziproke Element bedeutet, +\index{Exponent eines Elementes in einer Gruppe}% +für sich eine Untergruppe von~$G$, welche \aaO\ die zu $E$ gehörige +Untergruppe von $G$ genannt wurde. Da somit auch diese Gruppe +endlich ist, so müssen in der unendlichen Reihe dieser Potenzen von +$E$ gewisse einander gleich sein. Es seien in dieser Gruppe~$E^{r}$ und +$E^{r+d}$ die beiden ersten Elemente mit nicht negativen Exponenten, +welche einander gleich sind; dann muß $r = \DPtypo{o}{0}$ sein, da anderenfalls aus +der Gleichung $E^{r} = E^{r+d}$ sofort $1 = E^{d}$ folgen würde. Ist $E^{d}$ die +kleinste positive Potenz von~$E$, welche gleich Eins ist, so sagen wir +$E$ \so{gehört zum Exponenten~$d$}; alsdann sind die Elemente +\[ +1,\ E,\ E^{2},\ \dots\ E^{d-1} +\] +alle voneinander verschieden. Ist dagegen $k' = k + rd$ irgendeine +positive Zahl, welche größer oder gleich $d$ ist, so folgt aus der Gleichung: +\[ +E^{k'} = E^{k+rd} = E^{k}(E^{d})^{r} = E^{k}, +\] +daß $E^{k'}$ derjenigen Potenz~$E^{k}$ in jener Reihe gleich ist, deren Exponent +kongruent~$k'$ modulo~$d$ ist. Endlich folgt aus der Gleichung +$E^{k}E^{d-k} = 1$, welche für jedes $k \leqq d$ besteht, daß allgemein +\[ +E^{-k} = E^{d-k} +\] +ist, daß also die Reihe $(E^{-d}, E^{-(d-1)}, \dots E^{-1})$ der $d$ ersten negativen +Potenzen mit der Reihe $(1, E, E^{2}, \dots E^{d-1})$ übereinstimmt. Aus diesen +beiden Betrachtungen zusammengenommen folgt also, daß die ganze +zu $E$ gehörige Untergruppe $(\dots E^{r} \dots)$ aller positiven und negativen +Potenzen von $E$ aus der sich immer wiederholenden Periode +\[ +(\dots 1, E, E^{2}, \dots E^{d-1}, 1, E, E^{2}, \dots E^{d-1}, \dots) +\] +der $d$ voneinander verschiedenen Potenzen von $E$ besteht. Zwei +Potenzen $E^{k}$~und~$E^{k'}$ mit positiven oder negativen Exponenten sind +\PageSep{122}{106} +einander stets und nur dann gleich, wenn ihre Exponenten modulo~$d$ +kongruent sind. Speziell sind allein die Potenzen von $E$ gleich Eins, +deren Exponent ein Multiplum von $d$ ist. Da nun nach dem Fermatschen +Satze $E^{\nu} = 1$ ist, so ist auch $\nu$ ein Vielfaches von~$d$. +Somit ergibt sich der folgende wichtige Satz: +\begin{Theorem} +Jedes Element einer endlichen Gruppe \Ordsup{$\nu$}{-ter}~Ordnung gehört +zu einem Exponenten~$d$, welcher ein Teiler von $\nu$ ist. +\end{Theorem} +So gehören \zB\ für den Modul~$9$ von den $\phi(9) = 6$ inkongruenten +Einheiten $(1, 2, 4, 5, 7, 8)$\; $1$~zum Exponenten~$1$, $8 \equiv -1$, zu $2$,~$7$ +und~$4$ zum Exponenten~$3$, und $2$~und~$5$ zu~$6$. Ebenso gehören von +den $\phi(20) = 8$ Einheiten $(±1, ±3, ±7, ±9)$ drei, nämlich $±9$~und~$-1$ +zum Exponenten~$2$, und $4$, nämlich $±3$,~$±7$, zum Exponenten~$4$. + +%[** TN: Extra vertical space in the original] +Durch die Darstellung der $g$-adischen Zahlen in der additiven und +der multiplikativen Normalform wird die Ausführung der elementaren +Rechenoperationen im Ringe~$R(g)$ der allgemeinen $g$-adischen +Zahlen vollständig und eindeutig reduziert auf die Ausführung derselben +Operationen in den Ringen $R(p)$,~$R(q)$,~\dots~$R(r)$, deren Grundzahlen +alle diejenigen verschiedenen Primzahlen $p$,~$q$,~\dots~$r$ sind, welche +in $g$ enthalten sind. + +Daher wollen wir uns in den nächsten Kapiteln zunächst mit der +genauen Untersuchung der $p$-adischen Zahlen beschäftigen, deren +Grundzahl~$p$ eine beliebige Primzahl ist, und nachher die hier gefundenen +Resultate auf die $g$-adischen Zahlen ausdehnen. +\PageSep{123}{107} + + +\Chapter{Sechstes Kapitel.} +{Der Körper~$K(p)$ der $p$-adischen Zahlen, +deren Grundzahl eine beliebige +Primzahl~ist.} + +\Section{§ 1.}{Die elementaren Rechenoperationen im Körper~$K(p)$ +der $p$-adischen Zahlen.} + +Es sei jetzt $p$ eine beliebige Primzahl; wir betrachten den Bereich +\index{Korpor@{Körper}!Kp@{$K(p)$ d.\ $p$-adischen Zahlen}}% +aller $p$-adischen Zahlen +\[ +A = a_{\alpha}p^{\alpha} + a_{\alpha+1}p^{\alpha+1} + \dots \ (p), +\] +deren Koeffizienten modulo~$p$ ganze rationale oder auch ganze $p$-adische +Zahlen sein können. Wir setzen, falls $A \neq 0$ ist, diese Darstellung +bereits so umgeformt voraus, daß der Anfangskoeffizient~$a_{\alpha}$ durch $p$ +nicht teilbar ist. Jeder solchen Zahl~$A$ ordnen wir dann eine \so{Ordnungszahl} +\index{Ordnungszahl!für d.\ Bereich v.~$p$}% +zu, nämlich den Exponenten~$\alpha$ ihres Anfangsgliedes. +Der einen Zahl +\[ +0 = 0 + 0·p + 0·p^{2} + \dots +\] +müssen wir konsequenterweise die Ordnungszahl $\alpha = +\infty$ zuordnen. +Dann besitzt jede Zahl~$A$ eine eindeutig bestimmte positive, verschwindende +oder negative Ordnungszahl~$\alpha$, und umgekehrt gehören zu jeder +gewöhnlichen ganzen Zahl~$\alpha$, die auch gleich $+\infty$ sein kann, $p$-adische +Zahlen, welche gerade diese Ordnungszahl haben. Dagegen enthält +$R(p)$ keine Zahl, welche die Ordnungszahl~$-\infty$ hat, da jede Zahl~$A$ +höchstens mit einer \emph{endlichen} Anzahl negativer Potenzen von $p$ +beginnt. +\PageSep{124}{108} + +Wir nennen $A$~eine \so{ganze} oder eine \so{gebrochene $p$-adische +Zahl}, je nachdem ihre Ordnungszahl~$\alpha$ nicht negativ oder +\index{p-adischen@{$p$-adische Zahlen, ganze u.\ gebrochene}}% +negativ ist. Ist $A$ speziell die $p$-adische Entwicklung einer rationalen +Zahl, so ist sie nach dieser Definition ganz oder gebrochen, je nachdem +die zugehörige rationale Zahl modulo~$p$ ganz oder gebrochen ist. + +Nach der auf \Seite{96} unten gegebenen Definition ist eine ganze +$p$-adische Zahl $E = e_{0} + e_{1}p + \dots$ eine Einheit, wenn $(e_{0}, p) = 1$, +wenn also $e_{0}$ nicht durch $p$ teilbar ist; es gilt also der Satz: +\begin{Theorem} +Eine Zahl +\[ +E = e_{0} + e_{0} + e_{1} p + e_{2} p^{2} + \dots +\] +ist stets und nur dann eine Einheit, wenn ihre Ordnungszahl +Null ist. +\end{Theorem} + +Jede ganze oder gebrochene Zahl außer Null läßt sich auf eine +einzige Weise in der Form +\[ +A = p^{\alpha}(a_{\alpha} + a_{\alpha+1}p + \dots) = p^{\alpha} E +\] +darstellen, wo $E$~eine Einheit und $\alpha$~die Ordnungszahl von $A$ ist. Diese +höchste in $A$ enthaltene Potenz~$p^{\alpha}$ von $p$ soll der \so{absolute Betrag +von~$A$} genannt und durch +\index{Absoluter Betrag einer $p$-adischen Zahl}% +\[ +|A| = p^{\alpha} +\] +bezeichnet werden. + +Im vorigen Kapitel ist bereits bewiesen worden, daß der Bereich +$R(g)$ aller $g$-adischen Zahlen einen Zahlenring bildet, da in ihm die +ersten sechs Grundgesetze des ersten Kapitels gelten, also speziell die +Addition, Subtraktion und Multiplikation unbeschränkt und eindeutig +ausführbar sind. Ich zeige jetzt, daß, falls die Grundzahl eine +Primzahl~$p$ ist, allerdings auch nur unter dieser Voraussetzung, auch +das siebente Grundgesetz von der unbeschränkten und eindeutigen +Division erfüllt ist, daß also der Bereich $R(p)$ aller $p$-adischen Zahlen +einen Körper~$K(p)$ darstellt, in dem alle vier elementaren Rechenoperationen +unbeschränkt und eindeutig ausführbar sind. Ich beweise +also folgenden Satz: +\begin{Theorem} +Ist $A$ eine von Null verschiedene, $B$~eine ganz beliebige +$p$-adische Zahl, so gibt es stets eine einzige $p$-adische Zahl~$X$, +für welche +\PageSep{125}{109} +\[ +\Tag{(1)} +AX = B \ (p) +\] +ist. Diese Zahl~$X$ wird durch $\dfrac{B}{A}$ bezeichnet und \so{der Quotient +von $B$ und~$A$} genannt. +\index{Quotient!$p$-adischer Zahlen}% +\end{Theorem} + +Die Richtigkeit dieses wichtigen Satzes folgt einfach aus der Tatsache, +daß im Bereiche $R(p)$ jede Zahl~$A$ in der Form~$p^{\alpha}E$ darstellbar +ist, wo $E$~eine $p$-adische Einheit bedeutet. Nach dem auf \Seite{102} +oben bewiesenen Satze besitzt nämlich dann die Gleichung~\Eq{(1)} die +eindeutig bestimmte Lösung: +\[ +\DPtypo{\Tag{(1a)}}{\Tag{(1^{a})}} +X = \frac{B}{A} = p^{-\alpha}·B·E^{-1}, +\] +wo $E^{-1}$ die zu $E$ reziproke Einheit bedeutet. + +Damit ist also die Gültigkeit des siebenten Grundgesetzes vollständig +bewiesen. Da somit der Ring~$R(p)$ der $p$-adischen Zahlen +ein Körper ist, so wollen wir ihn von nun an stets durch $K(p)$ bezeichnen. + +Die Division einer $p$-adischen Einheit $B = b_{0}\MathOrd{,}\,b_{1}\,b_{2} \dots$ durch eine +andere $A = a_{0}\MathOrd{,}\,a_{1}\,a_{2}\dots$, deren unbeschränkte und eindeutige Ausführbarkeit +wir soeben nachgewiesen haben, läßt sich praktisch genau +so ausführen, wie die eines Dezimalbruches durch einen andern; nur +muß auch hier genau wie bei der Ausführung der Multiplikation die +Operation bei den Anfangsgliedern $b_{0}$~und~$a_{0}$ begonnen und dann +sukzessive von links nach rechts fortgeführt werden. Um die Division +einer reduzierten Einheit $b_{0}\MathOrd{,}\,b_{1}\,b_{2} \dots$ durch eine andere $a_{0}\MathOrd{,}\,a_{1}\,a_{2} \dots$ +durchzuführen, dividiere man also zunächst $b_{0}$ durch~$a_{0}$, \dh\ man +bestimme, am leichtesten durch Probieren, die reduzierte Zahl~$x_{0}$, für +welche $a_{0} x_{0} \equiv b_{0}\ (\mod.~p)$ ist, bilde dann die Differenz $B - Ax_{0}$, +oder ausgeführt +\[ +\begin{array}{c@{\,}r@{\,}r@{\,}r@{\,}l} + & b_{0}, & b_{1} & b_{2} & \dots \\ +-&x_{0}a_{0}, & x_{0}a_{1} & x_{0}a_{2} & \dots \\ +\cline{2-5}\Strut + & 0, & b_{1}' & b_{2}' & \dots\rlap{,} +\end{array} +\] +und behandle diese Differenz dann genau in derselben Weise weiter. +So ist \zB\ für die Grundzahl $p = 5$: +\PageSep{126}{110} +\[ +%[** TN: Not duplicating widths of subtraction bars] +\begin{array}{l@{\,}*{6}{l}} +\multicolumn{7}{l}{% + \rlap{$3\MathOrd{,}12 : 4\MathOrd{,}21 + = 2\MathOrd{,}\,\overline{4220}\,\overline{4220} \dots\ (5)$,}} \\ +3\MathOrd{,} &0&3 \\ +\cline{1-7}\Strut + &1&4&4&4& \rlap{\,\dots} \\ + &1&1&1&1& \\ +\cline{2-7}\Strut + & &3&3&3&4&4 \rlap{\,\dots} \\ + & &3&0&3 \\ +\cline{3-7}\Strut + & & &3&0&4&4 \rlap{\,\dots} \\ + & & &3&0&3& \\ +\cline{4-7}\Strut + & & & &0&1&444 \rlap{\,\dots} \\ + & & & & &1&111 \\ +\cline{6-7}\Strut + & & & & & &33344 \rlap{\,\dots} \\ + & & & & & &\Z\Z\vdots +\end{array} +\] +und man sieht, wie beiläufig bemerkt werden mag, daß dieser Quotient +periodisch ist. + +Sind +\[ +E = e_{0}\MathOrd{,}e_{1}\,e_{2}\dots \quad\text{und}\quad +E' = e'_{0}\MathOrd{,}e'_{1}\,e'_{2} \dots +\] +zwei beliebige Einheiten, so sind, wie auf \Seite{100} und 102 allgemein +bewiesen wurde, ihr Produkt und ihr Quotient +\begin{gather*} +EE' = e_{0}e'_{0} + p (e_{0}e'_{1} + e_{1}e'_{0}) + \dots \\ +\frac{E}{E'} = \frac{e_{0}}{e'_{0}} + p\frac{e_{1}e'_{0} - e_{0}e'_{1}}{{e'_{0}}^{2}} + \dots +\end{gather*} +gleichfalls Einheiten. Hieraus folgt sofort der allgemeine Satz: +\begin{Theorem} +Die Ordnungszahl eines Produktes ist gleich der Summe der +Ordnungszahlen seiner Faktoren; die Ordnungszahl eines Quotienten +ist die Differenz der Ordnungszahlen von Zähler und +Nenner. +\end{Theorem} + +Denn aus den Gleichungen $A = p^{\alpha} E_{1}$, $B = p^{\beta} E_{2}$ folgt ja: +\[ +AB = p^{\alpha+\beta} E_{1}E_{2},\quad +\frac{A}{B} = p^{\alpha-\beta} \frac{E_{1}}{E_{2}}, +\] +und $E_{1} E_{2}$ sowohl als $\dfrac{E_{1}}{E_{2}}$ sind wieder Einheiten. +\PageSep{127}{111} + +Als eine einfache Anwendung dieser Betrachtungen löse ich die +für die Folge wichtige Aufgabe, die Ordnungszahl~$\mu_{m}$ des Produktes: +\[ +m! = 1·2\dots m +\] +der $m$ ersten Zahlen für den Bereich von $p$ zu bestimmen, wenn $m$ +beliebig gegeben ist. + +Hierzu führt wohl am einfachsten der folgende leicht zu beweisende +Satz: +\begin{Theorem} +Die Ordnungszahl~$\nu$ einer beliebigen ganzen rationalen Zahl~$n$ +ist gleich +\[ +\Tag{(2)} +\nu = \frac{s_{n-1} - s_{n} + 1}{p - 1}, +\] +wenn allgemein $s_{r}$ die $p$-adische Ziffersumme der ganzen Zahl~$r$ +bei ihrer Darstellung in der reduzierten Form bedeutet. +\end{Theorem} + +Ist nämlich +\[ +n = 0\MathOrd{,}0\,0\dots 0\,a_{\nu}\,a_{\nu+1} \dots a_{r}\ (p) +\] +die Darstellung dieser Zahl~$n$ in der reduzierten Form, so ist +\[ +n - 1 = p{-}1\MathOrd{,}\ p{-}1 \dots p{-}1\ a_{\nu}{-}1\ a_{\nu+1} \dots a_{r} \ (p), +\] +und aus den beiden Ziffernsummen: +\begin{alignat*}{2} +&s_{n} &&= a_{\nu} + a_{\nu+1} + \dots + a_{r} \\ +&s_{n-1} &&= \nu(p - 1) + (a_{\nu} - 1) + a_{\nu+1} + \dots + a_{r} +\end{alignat*} +folgt in der Tat durch Subtraktion die obige Gleichung für die Ordnungszahl~$\nu$, +welche auch für $n = 1$ gilt, da ja die Ziffernsumme~$s_{0}$ +von Null gleich Null ist. + +Aus dieser Formel folgt sofort für die Ordnungszahl~$\mu_{m}$ des Produktes +$1·2·3\dots m = m!$ die Gleichung: +\[ +\Tag{(3)} +\mu_{m} = \frac{1}{p - 1} \sum_{n=1}^{m} (s_{n-1} - s_{n} + 1) = \frac{m - s_{m}}{p - 1} +\] +\dh\ es gilt der Satz: +\begin{Theorem} +Ist $m = a_{0}\MathOrd{,}a_{1} \dots a_{r}$ die Darstellung einer beliebigen gewöhnlichen +ganzen Zahl in der reduzierten Form, so ist das Produkt~$m!$ +\PageSep{128}{112} +genau durch $p^{\efrac{m-s_{m}}{p-1}}$ teilbar, wenn $s_{m} = a_{0} + a_{1} + \dots +a_{r}$ +die $p$-adische Ziffernsumme von~$m$ bedeutet. +\end{Theorem} + + +\Section{§ 2.}{Die Anordnung der $p$-adischen Zahlen nach ihrer Größe.} +\index{Größe!d.\ $p$-adischen Zahlen}% + +Der im Anfang des vorigen Paragraphen eingeführte Begriff der +\index{Anordnung $p$-adischer Zahlen nach ihrer Größe}% +Ordnungszahl der $p$-adischen Zahlen gibt uns die Möglichkeit, diese +Zahlen nach ihrer Größe für den Bereich von $p$ so einzuteilen, daß +viele Sätze über die Größenordnung der gewöhnlichen rationalen oder +irrationalen Zahlen auch für die $p$-adischen Zahlen gültig bleiben; +während sie aber dort \zT~schwierig zu beweisen sind, ist ihre Richtigkeit +für unsere $p$-adischen Zahlen meistens fast evident. + +\begin{Theorem} +Von zwei Zahlen $\gamma$~und~$\delta$ soll $\gamma$ für den Bereich von $p$ +\so{kleiner} als $\delta$ heißen ($\gamma < \delta\ (p)$), wenn die Ordnungszahl von $\gamma$ +größer als die von $\delta$ ist, wenn also \zB\ für den Fall, daß $\gamma$ und +$\delta$ ganz sind, für ihre $p$-adischen Darstellungen +\[ +\gamma = 0\MathOrd{,}0\dots 0\,c_{r}\,c_{r+1}\dots, \quad +\delta = 0\MathOrd{,}0\dots 0\,d_{s}\,d_{s+1}\dots +\] +$r$ größer als $s$ ist, mithin $\gamma$ mehr Nullen hinter dem Komma hat +als~$\delta$. Die beiden Zahlen sollen für den Bereich von $p$ \so{äquivalent} +oder \so{von gleicher Größe} heißen ($\gamma \sim \delta\ (p)$), +wenn $r$ gleich $s$ ist, wenn sie also die gleiche Ordnungszahl haben. +\end{Theorem} + +So ist \zB\ +\[ +36 < 12\ (3),\quad +6 \sim 15\ (3), +\] +weil $36 = 0\MathOrd{,}0\,1\,1\ (3)$ die Ordnungszahl~$2$ hat, während $12 = 0\MathOrd{,}1\,1\ (3)$ +von der ersten Ordnung ist; $6$~und~$15$ sind aber beide von der ersten +Ordnung, also wirklich äquivalent. + +Ist $\gamma \lesssim \delta$, so besteht eine Gleichung +\[ +\gamma = \delta g, +\] +wo $g$ eine \emph{ganze} $p$-adische Zahl bedeutet, \dh\ allein unter dieser Voraussetzung +ist $\gamma$ durch $\delta$ teilbar. Eine Zahl~$\gamma$ ist also durch jede äquivalente +und durch jede größere Zahl teilbar, aber durch keine kleinere +Zahl. +\PageSep{129}{113} + +Bekanntlich werden die gewöhnlichen komplexen Zahlen $a + bi$ +vom gleichen absoluten Betrag $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ geometrisch als Punkte +eines und desselben um den Anfangspunkt als Mittelpunkt mit dem +Radius~$r$ beschriebenen Kreises in der komplexen Zahlenebene repräsentiert. +Ähnlich wollen wir, wenn es einmal im Interesse der Anschaulichkeit +erwünscht sein sollte, alle äquivalenten $p$-adischen Zahlen +$A$,~$A'$,~$A''$,~\dots, deren absoluter Betrag $|A| = p^{\alpha} = |A'| = |A''| = \dots$ +derselbe ist, in irgendeiner Anordnung durch Punkte eines um den +Anfangspunkt als Mittelpunkt mit dem Radius $\dfrac{1}{p^{\alpha}} = \dfrac{1}{|A|}$ beschriebenen +Kreises repräsentieren, ohne daß jedoch hier auch umgekehrt jedem +Punkt dieses Kreises eine $p$-adische Zahl zu entsprechen braucht, wie +dies bei den komplexen Zahlen der Fall ist. Dann entsprechen also +allen $p$-adischen Zahlen der Ordnungszahlen \dots~$-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$,~\dots\ +Punkte der konzentrischen Kreise mit den Radien \dots~$p^{2}$, $p$, $1$, $\dfrac{1}{p}$, $\dfrac{1}{p^{2}}$~\dots; +dem Anfangspunkt selbst entspricht die Zahl Null, deren Ordnung ja +gleich $+\infty$ ist, und von zwei Zahlen $\gamma$~und~$\delta$ ist $\gamma$ die kleinere, wenn +der ihr zugeordnete Punkt näher am Nullpunkt liegt als der zu $\delta$ +gehörige. Man könnte auch allen Zahlen mit derselben Ordnungszahl~$\alpha$ +den einen Punkt~$P_{\alpha}$ zuordnen, welcher auf einer Achse die Abszisse +$p^{-\alpha}$ besitzt. + +In der Theorie der algebraischen Zahlen muß der Bereich der +rationalen $p$-adischen Zahlen in der Weise erweitert werden, daß zu +ihnen auch solche Zahlen +\[ +\alpha = a_{r} p^{\efrac{r}{n}} + a_{r+1} p^{\efrac{r+1}{n}} + \dots +\] +hinzutreten, welche nach gebrochenen Potenzen von $p$ mit modulo~$p$ +ganzen Koeffizienten fortschreiten; eine solche Zahl~$\alpha$ besitzt, falls ihr +Anfangskoeffizient wieder als Einheit modulo~$p$ vorausgesetzt wird, +die gebrochene Ordnungszahl $d = \dfrac{r}{n}$. Auch in diesem allgemeinen Falle +können wir den Zahlen~$\alpha$ einer bestimmten gebrochenen Ordnungszahl~$d$ +Peripheriepunkte des um den Nullpunkt mit dem Radius~$p^{-d}$ +beschriebenen Kreises zuordnen. Die im folgenden ausgesprochenen +Sätze über die Größenverhältnisse der rationalen Zahlen gelten dann, +\PageSep{130}{114} +wie hier nur erwähnt werde, genau ebenso für diese algebraischen +Zahlen mit gebrochenen Ordnungszahlen. + +Sind $\gamma_{1}$,~$\gamma_{2}$,~\dots~$\gamma_{\nu}$ sämtlich nicht größer als~$\delta$, sind also alle diese +Zahlen durch $\delta$ teilbar, so gilt offenbar dasselbe von ihrer Summe: +\[ +\gamma_{1} + \gamma_{2} + \dots + \gamma_{\nu}. +\] +Ist also speziell $\gamma \lesssim \delta$, so ist auch für jede natürliche Zahl~$\nu$: +$\nu\gamma \lesssim \delta$, was auch an sich klar ist, da ja jede ganze Zahl $\nu \lesssim 1\ (p)$ ist. + +Wir haben hier also eine Größenanordnung der $p$-adischen Zahlen, +welche insofern ganz wesentlich von der der gewöhnlichen Zahlen abweicht, +als das sog.\ \emph{Axiom des Messens} oder das \emph{Archimedische +Axiom} für sie nicht gilt, nach welchem ein genügend hohes +\index{Archimedisches Axiom}% +Multiplum~$\nu\gamma$ einer jeden, wenn auch noch so kleinen Zahl~$\gamma$ größer +ist als jede beliebig große vorgegebene Zahl. Um so merkwürdiger ist +es, daß bei dieser vollständig anderen Größenanordnung der $p$-adischen +Zahlen, wie wir zeigen werden, die Fundamentalsätze der Algebra, +der Reihentheorie, der Differentialrechnung und der Funktionentheorie +gültig bleiben, aber allerdings völlig andere Eigenschaften der untersuchten +Zahlen und Funktionen enthüllen. + + +\Section{§ 3.}{Grenzwerte von Reihen $p$-adischer Zahlen.} + +Es sei +\[ +\Tag{(1)} +s_{0},\ s_{1},\ s_{2},\ \dots +\] +eine unendliche Reihe von gesetzmäßig gebildeten $p$-adischen Zahlen, +welche, soweit man will, berechnet werden können. Gibt es dann eine +$p$-adische Zahl~$s$ von der Beschaffenheit, daß, wie klein auch $\delta$ gewählt +werde, für ein genügend großes~$n$ +\[ +\Tag{(2)} +s - s_{\nu} < \delta\ (p) +\] +wird, sobald $\nu > n$ ist, so sagt man, die Reihe~\Eq{(1)} \so{besitzt den +Grenzwert~$s$}, oder sie \so{konvergiert gegen~$s$}, und man +\index{Grenzwert}% +\index{Konvergenz}% +drückt diese Beziehung durch die Gleichung +\[ +\Tag{(3)} +\lim_{\nu=\infty} s_{\nu} = s\ (p) +\] +aus. +\PageSep{131}{115} + +So konvergiert \zB\ die Reihe der $p$-adischen Zahlen: +\begin{align*} +&s_{1} = 1\MathOrd{,}1\,1\,1\,1 \dots,\quad + s_{2} = 1\MathOrd{,}2\,2\,2\,2 \dots,\quad + s_{3} = 1\MathOrd{,}2\,3\,3\,3 \dots,\\ +&s_{4} = 1\MathOrd{,}2\,3\,4\,4 \dots,\ \dots +\end{align*} +offenbar gegen die $p$-adische Zahl +\[ +s = 1\MathOrd{,}2\,3\,4\,5\,6 \dots, +\] +weil +\[ +s - s_{\nu} = 0\MathOrd{,}0\,0 \dots 1\,2\,3 \dots + = p^{\nu} + 2p^{\nu+1} + \dots < p^{n} +\] +ist, sobald $\nu > n$ gewählt ist. + +Ist ferner \zB\ +\[ +A = a_{0} + a_{1} p + a_{2} p^{2} + \dots\ (p) +\] +eine beliebige $p$-adische Zahl, so konvergiert die Reihe ihrer Näherungswerte +\[ +A^{(0)} = a_{0},\quad +A^{(1)} = a_{0} + a_{1} p,\quad +A^{(2)} = a_{0} + a_{1} p + a_{2} p^{2},\ \dots +\] +eben gegen die Grenze~$A$, weil für ein beliebig kleines $\delta = p^{n}$ alle Differenzen +\[ +A - A^{(\nu)} = a_{\nu+1} p^{\nu+1} + a_{\nu+2} p^{\nu+2} + \dots + < \delta = p^{n} +\] +sind, sobald $\nu \geqq n$ angenommen wird. + +Besitzt eine Reihe~\Eq{(1)} den Grenzwert~$s$, so folgt für ein genügend +großes $n$ und ein beliebiges positives~$k$ aus den beiden Gleichungen: +\[ +s - s_{r+k} < \delta,\quad +s - s_{\nu} < \delta\ (p), +\] +daß stets: +\[ +\Tag{(4)} +s_{\nu+k} - s_{\nu} < \delta\ (p) +\] +sein muß, sobald nur $\nu$ größer als $n$ ist. + +Speziell ergibt sich für $k = 1$, daß die Reihe~\Eq{(1)} nur dann einen +Grenzwert haben kann, wenn für ein beliebig kleines $\delta$ von einem +genügend hoch gewählten $n$ ab +\[ +\Tag{(5)} +s_{\nu+1} - s_{\nu} < \delta\ (p)\quad (\nu > n) +\] +ist. Ist diese notwendige Bedingung erfüllt, so folgt weiter, daß dann +auch der allgemeinen Bedingung~\Eq{(4)} genügt wird, da ja dann für ein +beliebiges~$k$ +\PageSep{132}{116} +\[ +s_{\nu+k} - s_{\nu} + = (s_{\nu+1} - s_{\nu}) + + (s_{\nu+2} - s_{\nu+1}) + \dots + + (s_{\nu+k} - s_{\nu+k-1}) < \delta +\] +ist. + +Endlich ergibt sich jetzt leicht, daß die notwendige Bedingung~\Eq{(5)} +dafür, daß die Reihe~\Eq{(1)} einen Grenzwert hat, auch hinreichend ist. +Ist sie nämlich erfüllt, so stellt die Reihe +\[ +s = s_{0} + (s_{1} - s_{0}) + (s_{2} - s_{1}) + \dots + (s_{\nu} - s_{\nu-1}) + \dots\ (p) +\] +eine $p$-adische Zahl dar, welche mit jeder vorgegebenen Genauigkeit +berechnet werden kann, weil ihre Glieder $(s_{\nu+1} - s_{\nu})$ für ein genügend +großes $\nu$ durch jede noch so hohe Potenz von $p$ teilbar sind; und da +diese Reihe für jedes $\nu$ auch offenbar in der Form +\[ +s = s_{\nu} + (s_{\nu+1} - s_{\nu}) + (s_{\nu+2} - s_{\nu+1}) + \dots\ (p) +\] +geschrieben werden kann, so folgt in der Tat, daß für diese Zahl~$s$ +\[ +s - s_{\nu} = (s_{\nu+1} - s_{\nu}) + (s_{\nu+2} - s_{\nu+1}) + \dots < \delta\ (p) +\] +ist, sobald $\nu$ größer als ein genügend großes $n$ gewählt wird. + + +\Section{§ 4.}{Die unendlichen Reihen mit $p$-adischen Gliedern +und das Kriterium für ihre Konvergenz.} + +Die soeben durchgeführten Betrachtungen wende ich jetzt an auf die +Untersuchung der unendlichen Reihen von $p$-adischen Zahlen und +auf die Ableitung des einen Kriteriums, welches hier die Frage nach +ihrer Konvergenz vollständig und in wunderbar einfacher Weise löst. + +Ich führe jetzt auch unendliche Reihen +\[ +\Tag{(1)} +A_{0} + A_{1} + A_{2} + \dots +\] +in die Betrachtung ein, deren Glieder beliebige $p$-adische Zahlen sind, +und bezeichne die aus ihnen gebildeten endlichen Partialsummen: +\[ +\Tag{(2)} +\begin{aligned} +s_{0} &= A_{0} \\ +s_{1} &= A_{0} + A_{1} \\ +\PadTo{s_{\nu}}{\vdots} & \\ +s_{\nu} &= A_{0} + A_{1} + \dots + A_{\nu} \\ +\DotRow{2} +\end{aligned} +\] +\PageSep{133}{117} +als \so{den nullten}, \so{ersten},~\dots\ \Ordsup{$\nu$}{-ten},~\dots\ \so{Näherungswert +jener Reihe}. Vorausgesetzt nun, daß die Reihe +\[ +s_{0},\ s_{1},\ s_{2},\ \dots +\] +dieser Näherungswerte gegen einen bestimmten Grenzwert konvergiert +\index{Näherungswerte unendlicher Reihen}% +so soll dieser \so{die Summe der Reihe} genannt, und diese +\index{Summe!e.\ $p$-adischen Reihe}% +als \so{eine konvergente $p$-adische Reihe} bezeichnet +werden. Die Summe~$s$ einer konvergenten Reihe wird dann mit +jeder vorgegebenen Genauigkeit durch einen ihrer Näherungswerte~$s_{\nu}$ +von genügend hoher Ordnung dargestellt. + +Nach dem im vorigen Paragraphen gefundenen Resultate konvergiert +nun die Reihe der Näherungswerte~$s_{\nu}$ stets und nur dann gegen +einen bestimmten Grenzwert, wenn ihre Differenzen $s_{\nu+1} - s_{\nu}$ mit +wachsendem Index unendlich klein werden, oder also gegen die Grenze +Null konvergieren; und da aus \Eq{(2)} offenbar allgemein +\[ +s_{\nu+1} - s_{\nu} = A_{\nu+1} +\] +folgt, so ergibt sich das folgende ebenso einfache wie umfassende +Konvergenzgesetz für alle $p$-adischen Reihen: +\index{Konvergente $p$-adische Reihen}% +\begin{Theorem} +Eine $p$-adische Reihe $A_{0} + A_{1} + A_{2} + \dots$ ist stets und nur +dann konvergent, wenn ihre Glieder mit wachsendem Index gegen +Null konvergieren. Die Gleichung +\[ +\Tag{(3)} +\lim_{\nu=\infty} A_{\nu} = 0 +\] +enthält also die notwendige und hinreichende Bedingung für die +Konvergenz einer beliebigen $p$-adischen Reihe. +\end{Theorem} + +Summiert man die Glieder einer konvergenten $p$-adischen Reihe +in einer beliebigen anderen Reihenfolge, bei welcher natürlich jedes +Glied derselben wirklich einmal zur Summation gelangen muß, so +erhält man stets dieselbe Summe~$s$. Sind nämlich für ein beliebig klein +gewähltes $\delta$ alle Glieder $A_{n+1}$,~$A_{n+2}$,~\dots\ kleiner als~$\delta$, so wird ja bei +jeder Summationsordnung die Reihe mit der Genauigkeit~$\delta$ durch +die endliche Summe: +\[ +s_{n} = A_{0} + A_{1} + \dots + A_{n} +\] +dargestellt, da ja die Summe: +\PageSep{134}{118} +\[ +A_{\nu_{1}} + A_{\nu_{2}} + \dots + A_{\nu_{k}} +\] +beliebiger und beliebig vieler Elemente, deren Indizes größer sind als~$n$, +für den Bereich von $p$ stets kleiner als $\delta$ ist. Auch hierdurch unterscheiden +sich die $p$-adischen Reihen ganz wesentlich von den unendlichen +Reihen natürlicher Zahlen, denn unter diesen gibt es sowohl +\so{unbedingt konvergente} Reihen, welche unabhängig von +der Summationsordnung stets dieselbe Summe haben, als auch +\so{bedingt konvergente}, welche bei geeigneter Ordnung der +\index{Bedingt konvergente Reihen}% +\index{Unbedingt konvergente Reihen}% +Summation gegen jeden Grenzwert konvergieren können. Es gilt also +hier der Satz: +\begin{Theorem} +Jede konvergente $p$-adische Reihe ist unbedingt konvergent. +\end{Theorem} + +Speziell konvergiert eine sogen.\ \so{Doppelreihe} +\index{Doppelreihe}% +\[ +\sum_{i=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} A_{ik} + = A_{00} + A_{10} + A_{01} + A_{20} + A_{11} + A_{02} + \dots +\] +stets und nur dann, wenn ihre Glieder für den Bereich von $p$ beliebig +klein werden, sobald auch nur einer der Indizes entsprechend wächst; +alsdann ist die Reihenfolge der Summationen gleichgültig, auch die +Doppelreihe konvergiert also unbedingt, falls sie überhaupt konvergiert. + + +\Section{§ 5.}{Die Potenzreihen im Bereich der $p$-adischen Zahlen.} + +Ich wende diese Betrachtungen auf die Untersuchung der \emph{Potenzreihen} +mit $p$-adischen Koeffizienten an und bemerke gleich, daß die +sich hier ergebenden Konvergenzkriterien mit denjenigen genau übereinstimmen, +welche die Betrachtung der Potenzreihen mit natürlichen +Zahlkoeffizienten liefert. + +\begin{Theorem} +Es sei: +\[ +\frakP(x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots +\] +eine Potenzreihe mit beliebigen ganzen oder gebrochenen $p$-adischen +Koeffizienten~$a_{k}$. Ist dann $\xi$~eine $p$-adische Zahl, für welche +jedes Glied $a_{k} \xi^{k}$ jener Reihe unterhalb einer endlichen Grenze~$g$ +bleibt, so konvergiert die Reihe unbedingt für alle $x < \xi\ (p)$. +\end{Theorem} +\PageSep{135}{119} + +Ist nämlich für jedes~$k$ +\[ +\Tag{(1)} +a_{k} \xi^{k} < g\ (p), +\] +und ist $x < \xi$, also $\dfrac{x}{\xi} \sim p^{\rho}$ von positiver Ordnung, also $< 1\ (p)$, so +wird +\[ +a_{k} x^{k} = a_{k} \xi^{k} \left(\frac{x}{\xi}\right)^{k} + < g\left(\frac{x}{\xi}\right)^{k} + \sim gp^{k\rho} +\] +mit wachsendem Index~$k$ von beliebig hoher positiver Ordnung, \dh\ +es ist in der Tat: +\[ +\lim a_{k} x^{k} = 0\ (p). +\] + +Ich nenne auch hier, wie auf \Seite{117}, die ganzen Funktionen \Ordsup{$0$}{-ten}, +\Ordsup{$1$}{-ten}, \Ordsup{$2$}{-ten}~\dots\ Grades von~$x$: +\[ +\frakP_{0}(x) = a_{0},\quad +\frakP_{1}(x) = a_{0} + a_{1} x,\quad +\frakP_{2}(x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2},\ \dots +\] +\so{den nullten}, \so{ersten}, \so{zweiten},~\dots\ \so{Näherungswert +der Potenzreihe~$\frakP(x)$}. Hat dann wieder $\xi$ die oben in \Eq{(1)} +\index{Näherungswerte der Potenzreihen}% +angegebene Bedeutung, so sei $x$~eine bestimmte $p$-adische Zahl, welche +für den Bereich von $p$ kleiner als $\xi$ ist, so daß also: +\[ +\frac{x}{\xi} \sim p^{\rho} < 1\ (p) +\] +wird, wo $\rho$ positiv ist. Wird dann für eine bestimmte Genauigkeit~$\delta$ +$n$~so groß gewählt, daß für alle $\nu > n$ +\[ +g p^{\nu\rho} < \delta\ (p) +\] +ist, so ist für alle hinter $a_{n} x^{n}$ auftretenden Summanden: +\[ +a_{\nu} x^{\nu} = (a_{\nu} \xi^{\nu})·\left(\frac{x}{\xi}\right)^{\nu} + < g p^{\nu\rho} < \delta\ (p), +\] +und dasselbe gilt für die Summen von beliebig vielen von diesen +Gliedern. Also wird der Wert $\frakP(x)$ der Potenzreihe für dieses $x$ +durch ihren \Ordsup{$n$}{-ten}~Näherungswert +\[ +\frakP_{n}(x) = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{n} x^{n} +\] +mit der Genauigkeit~$\delta$ dargestellt, und das gleiche gilt für alle Zahlen +$x_{0} \lesssim x$, da für sie: +\PageSep{136}{120} +\[ +a_{\nu} x_{0}^{\nu} = a_{\nu} x^{\nu} \left(\frac{x_{0}}{x}\right)^{\nu} + \lesssim a_{\nu} x^{\nu} +\] +ist. + +Eine Reihe $\frakP(x)$ heißt innerhalb eines gewissen Bereiches von $x$ +\so{gleichmäßig konvergent}, wenn sie für alle Werte, welche +$x$ innerhalb dieses Bereiches annehmen kann, durch einen und denselben +Näherungswert $\frakP_{n}(x)$ dieser Reihe mit der \emph{gleichen} Genauigkeit~$\delta$ +dargestellt wird. Wir können also das soeben erlangte +Resultat in dem folgenden Satz aussprechen: +\begin{Theorem} +Konvergiert eine Potenzreihe für einen bestimmten Wert $x$ +der Veränderlichen, so konvergiert sie unbedingt und gleichmäßig +für alle $x_{0} \lesssim x\ (p)$; konvergiert dagegen die Reihe für einen +Wert von x nicht, so konvergiert sie auch nicht für alle $x' \gtrsim x\ (p)$; +denn sie müßte ja nach dem soeben bewiesenen Satze für $x$ konvergieren, +wenn sie für $x'$ konvergent wäre. +\end{Theorem} + +Die entsprechenden Sätze gelten auch für Potenzreihen mit +mehreren Variablen und werden ganz ebenso bewiesen. Hieraus folgt +speziell, daß eine Potenzreihe +\[ +\frakP(x, y) = \sum a_{ik} x^{i}y^{k}, +\] +in welcher für ein Wertsystem $(\xi, \eta)$ alle Glieder $a_{ik}\xi^{i}\eta^{k}$ kleiner sind +als eine endliche Grenze~$g$, für alle $x < \xi$, $y < \eta\ (p)$ unbedingt und +gleichmäßig konvergiert; ihre Glieder können somit in beliebiger Anordnung +summiert werden. Speziell ist also: +\begin{alignat*}{4} +\frakP(x, y) + &= \frakP_{0}(x) &&+ \frakP_{1}(x)y &&+ \frakP_{2}(x)y^{2} &&+ \dots \\ + &= \bar{\frakP}_{0}(y) &&+ \bar{\frakP}_{1}(y)x &&+ \bar{\frakP}_{2}(y)x^{2} &&+ \dots +\end{alignat*} +wo allgemein: +\[ +\frakP_{k}(x) = \sum_{i=0}^{\infty} a_{ik}x^{i}, \quad +\bar{\frakP}_{i}(y) = \sum_{k=0}^{\infty} a_{ik}y^{k} +\] +ist. + +Spricht man die bisher gefundenen Resultate unter Benutzung +der auf \Seite{113} gegebenen geometrischen Repräsentation der $p$-adischen +Zahlen aus, so erhält man den Satz: +\begin{Theorem} +Konvergiert die Reihe~$\frakP(x)$ in einem Punkte~$x$, so konvergiert +sie im Inneren und auf der Peripherie des Kreises mit dem +\PageSep{137}{121} +Mittelpunkte~$0$, welcher durch $x$ geht. Konvergiert sie in einem +Punkte~$\bar{x}$ nicht, so gilt das gleiche von allen Punkten außerhalb +und auf der Peripherie eines durch diesen Punkt gehenden Kreises +mit dem Mittelpunkte~$0$. +\end{Theorem} + +Hieraus folgt, daß für jede Potenzreihe~$\frakP(x)$, welche überhaupt +\index{Konvergenzkreis e.\ Potenzreihe}% +\index{Radius d.\ Konvergenzkreises e.\ Potenzreihe}% +für von Null verschiedene Werte von $x$ konvergiert, ein solcher Kreis~$K$ +um den Nullpunkt existiert, daß sie für alle innerhalb von $K$ liegenden +Punkte konvergiert, für alle außerhalb von $K$ befindlichen +Punkte divergiert, während sie für keinen einzigen auf der Kreisperipherie +liegenden Punkt konvergieren kann. Dieser eindeutig bestimmte +Kreis möge der \so{Konvergenzkreis von~$\frakP(x)$} genannt +werden. Ist $r = p^{\rho}$ der absolute Betrag der Zahlen, welche den +Peripheriepunkten von $K$ entsprechen, so konvergiert $\frakP(x)$ für +alle und nur die Zahlen $x < p^{\rho}\ (p)$. Die Zahl $r = p^{\rho}$ heißt \so{der +Radius des Konvergenzkreises von~$\frakP(x)$}. + +Man kann um den Nullpunkt einer Potenzreihe mit von Null +verschiedenem Konvergenzradius stets einen endlichen Bereich so abgrenzen, +daß sich in ihm eventuell mit Ausnahme der Stelle $x = 0$ +keine weitere Nullstelle der Reihe befindet. Ist nämlich etwa $a_{m} x^{m}$ der +erste Term mit einem von Null verschiedenen Koeffizienten, und +schreibt man die Reihe in der Form: +\[ +\frakP(x) = a_{m} x^{m} + a_{m+1} x^{m+1} + \dots = a_{m} x^{m} (1 + \phi(x)), +\] +wo die Potenzreihe: +\[ +\phi(x) = \frac{a_{m+1}}{a_{m}}x + \frac{a_{m+2}}{a_{m}}x^{2} + \dots +\] +innerhalb desselben Bereiches gleichmäßig konvergiert, wie die ursprüngliche +Reihe, so kann man $x = \xi$ so klein wählen, daß alle +Glieder von~$\phi(x)$, also auch $\phi(x)$ selbst, kleiner als Eins, \dh\ durch +$p$ teilbar sind. Liegen nämlich für ein bestimmtes $x_{0}$ alle Glieder $\dfrac{a_{i}}{a_{m}}·x_{0}^{i}$ +unterhalb einer endlichen Grenze~$g$, und setzt man $|\xi| = |x_{0}|p^{\rho}$, so ist +für jedes Glied der Reihe~$\phi(\xi)$ +\[ +\left|\frac{a_{i}}{a_{m}}\xi^{i}\right| + = \left|\frac{a_{i}}{a_{m}}x_{0}^{i}\right| · \left|\frac{\xi}{x_{0}}\right|^{i} + < gp^{i\rho}\ (p); +\] +\PageSep{138}{122} +wählt man also $\rho$ positiv und so groß, daß $gp^{\rho} < 1\ (p)$ wird, so gilt +dasselbe a~fortiori für jedes der Glieder von~$\phi(\xi)$, mithin auch von +$\phi(\xi)$ selbst; es wird also auch für alle $x \lesssim \xi$ +\[ +\frakP(x) = a_{m} x^{m} (1 + \phi(x)) \sim a_{m}x^{m} > 0\ (p), +\] +und damit ist unsere Behauptung bewiesen. + +Hieraus folgt der weitere Satz: +\begin{Theorem} +Eine Potenzreihe mit endlichem (\dh\ von Null verschiedenem) +Konvergenzbereich ist innerhalb dieses Bereiches dann und nur +dann stets Null, wenn alle ihre Koeffizienten Null sind. +\end{Theorem} + +Wäre nämlich bei der vorher betrachteten Reihe wieder $a_{m}$ der +erste von Null verschiedene Koeffizient, so könnte man ja $x < \xi$ stets +so klein wählen, daß gegen unsere Voraussetzung: +\[ +\frakP(x) \sim a_{m} x^{m} > 0 +\] +wäre. Hieraus folgt ohne weiteres: +\begin{Theorem}[\noindent] +Zwei Potenzreihen mit endlichem Konvergenzbereiche sind einander +dann und nur dann innerhalb dieses Bereiches gleich, wenn +sie identisch sind; +\end{Theorem} +denn nur dann kann ja ihre Differenz innerhalb des gemeinsamen Konvergenzbereiches +Null sein. + + +\Section{§ 6.}{Der Körper der Potenzreihen mit endlichem Konvergenzbereiche.} + +Sind +\[ +\Tag{(1)} +A(x) = \sum a_{i} x^{i},\quad +B(x) = \sum b_{k} x^{k} +\] +zwei Potenzreihen mit endlichem Konvergenzbereiche, so konvergieren +die aus ihnen gebildeten Potenzreihen +\[ +\Tag{(2)} +\begin{aligned} +S(x) &= \sum (a_{i} + b_{i})x^{i} \\ +D(x) &= \sum (a_{i} - b_{i})x^{i} \\ +P(x) &= \sum\sum a_{i} b_{k} x^{i+k} +\end{aligned} +\] +in dem ihnen gemeinsamen Konvergenzbereiche ebenfalls unbedingt +\PageSep{139}{123} +und gleichmäßig und sie stellen für jedes in diesem Bereiche liegende +$x$ die Werte $A(x) + B(x)$, $A(x) - B(x)$, $A(x)B(x)$ dar; endlich sind +jene Reihen durch diese drei Forderungen eindeutig bestimmt. In +der Tat, liegt $x$ im Konvergenzbereiche von $A(x)$~und~$B(x)$, so ist +\[ +\lim_{i=\infty} (a_{i} x^{i}) = 0,\quad +\lim_{k=\infty} (b_{k} x^{k}) = 0, +\] +und ferner ist für jedes Glied beider Reihen +\[ +a_{i} x^{i} < g,\quad +b_{k} x^{k} < g, +\] +wo $g$ eine endliche Zahl bedeutet; also ist auch für jede der drei obigen +Reihen +\begin{gather*} +\lim (a_{i} ± b_{i}) = 0 \\ +\lim (a_{i} b_{k} x^{i+k}) + = \PadTo{\lim}{\lim\limits_{\Strut[8pt]i\text{ od.\ }k=\infty}} + (a_{i} x^{i})(b_{k} x^{k}) = 0, +\end{gather*} +da im letzten Falle einer der beiden Faktoren sicher unterhalb $g$ bleibt, +während der andere für einen genügend großen Index beliebig klein +ist. Alle drei Reihen konvergieren also für dasselbe $x$ unbedingt und +gleichmäßig und können in beliebiger Ordnung summiert werden. + +Sind ferner $A_{n}(x)$ und $B_{n}(x)$ die \Ord{$n$}{-ten} Näherungswerte von $A(x)$ +und $B(x)$, ferner $S_{n}(x)$, $D_{n}(x)$, $P_{n}(x)$ die entsprechenden Näherungswerte +der drei abgeleiteten Reihen~\Eq{(2)}, und beachtet man, daß für ein +genügend großes $n$ jedes Glied $a_{\nu} x^{\nu}$ bezw.\ $b_{\nu} x^{\nu}$, wo $\nu > n$, durch jede +noch so kleine Zahl~$\delta$ teilbar ist, so ergibt sich, daß für jedes noch so +kleine~$\delta$ und ein genügend großes~$n$ +\[ +\left. +\begin{aligned} +S_{n} &\equiv A_{n} + B_{n} \\ +D_{n} &\equiv A_{n} - B_{n} \\ +P_{n} &\equiv A_{n} B_{n} +\end{aligned} +\right\}\ (\mod.~\delta) +\] +ist, \dh\ die Reihen $S(x)$,~$D(x)$ und~$P(x)$ stellen in der Tat die Werte +$A(x) ± B(x)$ und $A(x)B(x)$ mit jeder vorgegebenen Genauigkeit~$\delta$ +dar. Durch diese Forderung sind jene Reihen aber auch eindeutig +bestimmt, denn \zB\ eine zweite Reihe~$\bar{S}(x)$, welche ebenso wie $S(x)$ +für alle Werte von $x$ im gemeinsamen Konvergenzbereiche von $A(x)$ +und $B(x)$ gleich $A(x) + B(x)$ wäre, müßte ja notwendig mit $S(x)$ +identisch sein. +\PageSep{140}{124} + +Wir wollen die so gewonnenen Reihen also \so{die Summe}, \so{die +Differenz} und \so{das Produkt von $A(x)$ und $B(x)$} +\index{Differenz zweier Potenzreihen}% +\index{Produkt zweier Potenzreihen}% +\index{Summe!zweier Potenzreihen}% +nennen und durch $A(x) ± B(x)$ bzw.\ $A(x) B(x)$ bezeichnen. + +Ähnlich kann man zeigen, daß im Bereiche der konvergenten +Potenzreihen zu jeder von Null verschiedenen Reihe~$A(x)$ eine eindeutig +bestimmte reziproke Reihe~$\bar{A}(x)$ existiert, welche ebenfalls +einen endlichen Konvergenzbereich besitzt und dort gleich $\dfrac{1}{A(x)}$ ist. + +Es sei: +\[ +A(x) = a_{m} x^{m} (1 + \alpha_{1} x + \alpha_{2} x^{2} + \dots); +\] +wir setzen $\bar{A}(x)$ in der Form +\[ +\bar{A}(x) = \frac{1}{\alpha_{m} x^{m}}(1 + \bar{\alpha}_{1} x + \bar{\alpha}_{2} x^{2} + \dots) +\] +an. Dann sind die unbekannten Koeffizienten~$\bar{\alpha}_{i}$ so zu bestimmen, +daß: +\[ +(1 + \alpha_{1} x + \alpha_{2} x^{2} + \dots) +(1 + \bar{\alpha}_{1} x + \bar{\alpha}_{2} x^{2} + \dots) + = 1 + 0x + 0x^{2} + \dots +\] +wird, und das ergibt für die unbekannten Koeffizienten $\bar{\alpha}_{1}$,~$\bar{\alpha}_{2}$,~\dots\ die +Gleichungen: +\[ +\Tag{(3)} +\begin{gathered} +\bar{\alpha}_{1} + \alpha_{1} = 0 \\ +\bar{\alpha}_{2} + \bar{\alpha}_{1} \alpha_{1} + \alpha_{2} = 0 \\ +\vdots \\ %[** TN: Ad hoc dots in the original] +\bar{\alpha}_{i} + \bar{\alpha}_{i-1} \alpha_{1} + \bar{\alpha}_{i-2} \alpha_{2} + \dots + \alpha_{i} = 0 \\ +\DotRow{1}, +\end{gathered} +\] +aus denen sich, wie bereits auf \Seite{101} allgemein nachgewiesen wurde, +dieselben eindeutig bestimmen. + +Ich zeige jetzt, daß die so bestimmte Reihe +\[ +1 + \bar{\alpha}_{1} x + \bar{\alpha}_{2} x^{2} + \dots +\] +in einem endlichen Bereiche konvergiert und dort dem reziproken +Werte der Reihe +\[ +1 + \alpha_{1} x + \alpha_{2} x^{2} + \dots +\] +gleich ist. Da diese letztere \ndV\ einen endlichen Konvergenzbereich +besitzt, für welchen $\lim (a_{i} x^{i}) = 0$ ist, so kann man erstens in diesem Bereiche +\PageSep{141}{125} +auch für $x$ einen kleineren Bereich so abgrenzen, daß für alle +Werte von $x$ in demselben und für jedes~$i$\; $\alpha_{i} x^{i}$~mindestens durch $p^{i}$ +teilbar ist. + +In der Tat, ist für ein endliches $x_{0}$ allgemein: +\[ +\alpha_{i} x_{0}^{i} < g\ (p), +\] +wo $g$~eine endliche Zahl bedeutet, und wählt man dann $\xi < x_{0}$, so daß +\[ +\frac{\xi}{x_{0}} \sim p^{\nu}\ (p) +\] +ist, wo $\nu$~eine gleich zu bestimmende positive Zahl bedeutet, so ist ja: +\[ +\alpha_{i} \xi^{i} = (\alpha_{i} x_{0}^{i}) \left(\frac{\xi}{x_{0}}\right)^{i} + < gp^{\nu i}, +\] +und wie auch $g$ gegeben sei, immer kann man $\nu$ so groß wählen, daß +für jedes $i = 1$, $2$,~\dots\ stets $gp^{\nu i} \lesssim p^{i}\ (p)$ ist; dann ist wirklich für +alle $x \lesssim \xi$ +\[ +\alpha_{i} x^{i} < p^{i} +\] +\wzbw. + +Ich behaupte nun zweitens, daß für alle diese Werte von $x$ auch +jedes Glied $\bar{a}^{i} x^{i}$ mindestens durch $p^{i}$ teilbar ist, und da dann sicher +$\lim(\bar{a}^{i} x^{i}) = 0$ ist, so ist damit bewiesen, daß die zweite Reihe +mindestens in diesem Bereiche $x \lesssim \xi\ (p)$ konvergent ist. + +Um diesen Beweis zu führen, nehme ich an, es sei bereits gezeigt, +daß für alle Indizes $k = 1$, $2$,~\dots~$i - 1$\; $\bar{a}_{k} x^{k}$~mindestens durch $p^{k}$ teilbar +ist. Multipliziert man dann die \Ordsup{$i$}{-te}~Gleichung~\Eq{(3)} mit~$x^{i}$, schreibt sie +in der Form: +\[ +(\bar{a}_{i} x^{i})·1 + + (\bar{a}_{i-1} x^{i-1})(\alpha_{1} x) + + (\bar{a}_{i-2} x^{i-2})(\alpha_{2} x^{2}) + \dots + + (\alpha_{i} x^{i}) = 0 +\] +und beachtet, daß in ihr alle Produkte mit Ausnahme des ersten \ndV\ +durch $p^{i}$ teilbar sind, so folgt, daß für $\bar{\alpha}_{i} x^{2}$ das gleiche gelten +muß. Da nun nach der ersten Gleichung in~\Eq{(3)} $\bar{\alpha}_{1} x = -\alpha_{1} x$ mindestens +$p^{1}$ enthält, so ist die Behauptung vollständig bewiesen. + +Da somit die beiden Reihen $\sum \alpha_{i} x^{i}$ und $\sum \bar{\alpha}_{i} x^{i}$ einen endlichen +Konvergenzbereich haben, und da ihr Produkt in diesem gleich Eins +ist, so ist nach dem oben für das Produkt bewiesenen Satze in diesem +\PageSep{142}{126} +Bereiche die zweite Reihe dem reziproken Wert der ersten gleich und +sie ist durch diese Eigenschaft eindeutig bestimmt. + +Hieraus folgt, daß der Bereich aller konvergenten Potenzreihen +einen Körper bildet, da in ihm die vier elementaren Rechenoperationen +so definiert sind, daß sie unbeschränkt und eindeutig ausführbar +sind; denn ist $A(x)$ nicht identisch Null, so besitzt ja jede Gleichung +\[ +A·X = B +\] +die eindeutig bestimmte Lösung +\[ +X = B·A^{-1} = \frac{B}{A}. +\] + +Ich knüpfe hier die für das folgende wichtige Bemerkung an, daß +im Körper der konvergenten Potenzreihen auch die sogen. \so{Differentiation} +\index{Differentiation}% +unbeschränkt und eindeutig ausführbar ist. + +Ist nämlich +\[ +A(x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots +\] +eine beliebige Reihe, so bezeichnet man als \so{abgeleitete Reihe} +\index{Abgeleitete Reihe}% +oder als \so{Ableitung} $A'(x)$ von $A(x)$ die Potenzreihe: +\index{Ableitung einer Funktion!einer Potenzreihe}% +\[ +A'(x) = a_{1} + 2a_{2} x + 3a_{3} x^{2} + \dots. +\] +Ist nun für ein bestimmtes~$x$\; $A(x)$~konvergent, also +\[ +\lim_{i=\infty} (a_{i} x^{i}) = 0, +\] +so gilt für das gleiche $x$ dasselbe von~$A'(x)$, denn es ist ja: +\[ +\lim_{i=\infty} (ia_{i} x^{i-1}) = \frac{1}{x} \lim_{i=\infty} (a_{i} x^{i}) = 0, +\] +da jede ganze Zahl $i \lesssim 1$ ist. Dasselbe gilt natürlich auch von der +Ableitung von~$A'(x)$ +\[ +A''(x) = 1·2a_{2} + 2·3a_{2} x + \dots, +\] +welche \so{die zweite Ableitung von~$A(x)$} heißt, und überhaupt +von allen Ableitungen $A'''(x)$, $A''''(x)$,~\dots\ beliebig hoher +Ordnung von~$A(x)$. +\PageSep{143}{127} + + +\Section{§ 7.}{Die unendlichen Produkte.} + +In ganz gleicher Weise wie die unendlichen Summen können, wie +hier nur kurz erwähnt werden mag, auch die unendlichen Produkte +\[ +\Tag{(1)} +P = B_{0} B_{1} B_{2} \dots +\] +$p$-adischer Zahlen arithmetisch untersucht werden, vorausgesetzt, daß +ein solches Produkt konvergiert, \dh\ sich mit wachsender Anzahl +der Faktoren einer eindeutig bestimmten $p$-adischen Zahl annähert, +so daß diese durch das Produkt von einer Anzahl unter diesen Faktoren, +deren Indizes unter einer genügend groß gewählten Grenze +liegen, mit jeder vorgegebenen Genauigkeit dargestellt wird. Wir +schließen hierbei den trivialen Fall aus, daß einer (oder mehrere) unter +diesen Faktoren gleich Null ist. + +Ein solches Produkt konvergiert stets und nur dann gegen einen +bestimmten Grenzwert, wenn man nach Annahme einer beliebig hohen +Potenz~$p^{k}$ von $p$ als Modul eine Grenze~$n$ so angeben kann, daß das +Produkt +\[ +B_{\nu_{1}} B_{\nu_{2}} \dots B_{\nu_{r}} +\] +beliebig vieler Faktoren von~$P$, deren Indizes~$\nu_{i}$ größer als $n$ sind, +modulo~$p^{k}$ kongruent Eins ist, wenn sich also das Produkt beliebig +vieler genügend weit entfernter Glieder beliebig wenig von Eins unterscheidet; +dann konvergiert nämlich $P$ gegen die eindeutig bestimmte +$p$-adische Zahl~$P$, deren \Ord{$k$}{-ter} Näherungswert +\[ +P^{(k)} = B_{1} B_{2} \dots B_{n} +\] +ist, \dh\ gegen die Zahl +\[ +\Tag{(2)} +P = P^{(0)} + (P^{(1)} - P^{(0)}) + (P^{(2)} - P^{(1)}) + \dots\ (p). +\] + +Hierzu ist zunächst notwendig, daß jeder einzelne Faktor~$B_{\nu}$, +dessen Index größer als $n$ ist, für sich modulo~$p^{k}$ kongruent Eins ist. +Setzt man also allgemein: +\[ +B_{\nu} = 1 + A_{\nu} +\] +so muß für ein genügend großes~$\nu$\; $A_{\nu}$~durch jede noch so hohe Potenz +von $p$ teilbar, oder also +\PageSep{144}{128} +\[ +\lim A_{\nu} = 0\ (p) +\] +sein. Diese notwendige Bedingung ist aber auch hinreichend; denn +ist sie erfüllt, so ist ja offenbar auch jedes Produkt +\begin{align*}%[** TN: Unaligned in the original] +B_{\nu_{1}} B_{\nu_{2}} \dots B_{\nu_{r}} + &= (1 + A_{\nu_{1}}) (1 + A_{\nu_{2}}) \dots (1 + A_{\nu_{r}}) \\ + &= 1 + A_{\nu_{1}} + \dots + A_{\nu_{r}} + + A_{\nu_{1}} A_{\nu_{2}} + \dots +\end{align*} +von beliebig vielen solchen Faktoren ebenfalls modulo~$p^{k}$ kongruent +Eins, weil jedes der Produkte $A_{\nu_{1}} A_{\nu_{2}} \dots$ durch $p^{k}$ teilbar ist. Wir erhalten +also folgendes einfache Resultat: +\begin{Theorem} +Ein unendliches Produkt +\[ +P = B_{1} B_{2} B_{3} \dots = (1 +A_{1}) (1 + A_{2}) (1 + A_{3}) \dots +\] +stellt stets und nur dann eine eindeutig bestimmte $p$-adische Zahl +mit jeder vorgegebenen Genauigkeit dar, wenn +\[ +\lim_{\nu=0} A_{\nu} = 0\ (p) +\] +ist. +\end{Theorem} +\PageSep{145}{129} + + +\Chapter{Siebentes Kapitel.} +{Die Elemente der Analysis und Algebra +im Gebiete der $p$-adischen Zahlen.} + +\Section{§ 1.}{Die veränderlichen Größen. Die Funktionen, Stetigkeit +und Differenzierbarkeit. Die $p$-adischen Potenzreihen sind in +ihrem Konvergenzbereiche stetige und differenzierbare Funktionen +ihres Argumentes.} + +Ich wende mich nun zu der Frage, in welcher Weise der Wert +einer Potenzreihe~$A(x)$ von ihrem Argumentwerte abhängt und übertrage +dazu den aus der elementaren Analysis bekannten Begriff der +stetigen und differenzierbaren Funktion auf die hier betrachteten +\index{Funktion}% +Bereiche der $p$-adischen Zahlen. + +Eine Größe~$x$ heißt innerhalb eines gewissen Bereiches~$B$\; $p$-adischer +Zahlen \so{unbeschränkt veränderlich oder variabel}, +wenn sie jeden Zahlwert in demselben annehmen kann. Ist +$x_{0}$ eine Zahl jenes Bereiches, so konstituieren alle diejenigen Zahlen~$x$ +desselben, für welche die Differenz $x - x_{0}$ unterhalb einer genügend +klein gewählten Grenze~$\delta$ liegt, einen Teilbereich von~$B$, welcher \so{die +Umgebung von~$x_{0}$} genannt wird. Eine variable Größe~$x$ kann +\index{Umgebung einer Zahl}% +\index{Veränderliche oder variable Größe}% +in einem Bereiche \so{unendlich kleine Werte} annehmen, +\index{Unendlich kleine Werte}% +wenn der Bereich Zahlen enthält, welche kleiner als jede noch so kleine +von Null verschiedene Größe~$\delta$ sind. + +Eine Größe~$y$ heißt eine \so{Funktion der unabhängigen +Veränderlichen~$x$ innerhalb eines gewissen Bereiches~$B$}, +wenn ein Verfahren existiert, mit dessen Hilfe man $y$ +mit jeder vorgegebenen Genauigkeit berechnen kann, sobald $x$ in jenem +Bereiche beliebig gegeben wird. So ist \zB\ +\PageSep{146}{130} +\[ +y = \frakf(x) = a_{k} x^{k} + a_{k-1} x^{k-1} + \dots + a_{0}\ (p) +\] +eine ganze rationale Funktion von~$x$, wenn die Koeffizienten~$a_{i}$ beliebige +$p$-adische Zahlen sind. Allgemein ist auch +\[ +y = A(x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots\ (p), +\] +falls $A(x)$ eine beliebige konvergente Potenzreihe ist, in dem Konvergenzbereiche +derselben eine Funktion von~$x$. + +Eine Funktion $y = \frakf(x)$ heißt an einer Stelle $x = \xi$ ihres Bereiches +\so{stetig}, wenn der Grenzwert der Differenz: +\[ +\frakf(\xi + h) - \frakf(\xi) +\] +unendlich klein wird, falls $h$ irgendwie gegen Null konvergiert. Eine +solche Funktion heißt an der Stelle $\xi$ \so{differenzierbar}, wenn +\[ +\lim_{h=0} \frac{\frakf(\xi + h) - \frakf(\xi)}{h} = \frakf'(\xi) +\] +gegen einen von den Werten und der Art des Abnehmens von $h$ unabhängigen, +\index{Ableitung einer Funktion}% +\index{Differenzierbare Funktion}% +\index{Stetige Funktionen}% +also allein von $\xi$ abhängigen Grenzwert konvergiert, der +die \so{Ableitung} oder \so{der Differentialquotient von +$\frakf(x)$ nach $x$ an der Stelle~$\xi$} genannt wird. +\index{Differentialquotient}% + +\begin{Theorem} +Eine Potenzreihe $A(x) = \sum a_{i} x^{i}$ ist für alle Werte von $x$ +innerhalb ihres Konvergenzbereiches stetig und differenzierbar, +und ihre Ableitung ist für jede Stelle gleich der abgeleiteten +Reihe $A'(x) = \sum i a_{i} x^{i-1}$. +\end{Theorem} + +Es sei nämlich $r$ der Konvergenzradius jener Reihe und $\xi < r$ irgendeine +Zahl innerhalb des Konvergenzbereiches. Ist dann $h < r$ ein +anderer Argumentwert desselben Bereiches, so gehört auch $\xi + h < r$ +diesem Bereiche an, und der zugehörige Funktionswert von $A(x)$ ist +gleich: +\begin{align*}%[** TN: Unaligned in the original] +A(\xi + h) + &= a_{0} + a_{1} (\xi + h) + a_{2} (\xi + h)^{2} + \dots \\ + &= a_{0} + a_{1} \xi + a_{1} h + a_{2} \xi^{2} + 2 a_{2} \xi h + a_{2} h^{2} + \dots. +\end{align*} +Für die gewählten Werte $\xi$~und~$h$ konvergiert aber auch die zweite +Darstellung dieser Reihe unbedingt und gleichmäßig; wählt man nämlich, +was stets möglich ist, $\rho$~innerhalb des Konvergenzbereiches von +$A(x)$ so aus, daß +\PageSep{147}{131} +\[ +\xi \lesssim \rho < r,\quad h \lesssim \rho < r\ (p), +\] +wird, so ist ja für ihr allgemeines Glied $a_{i}\dbinom{i}{k} \xi^{k} h^{i-k}$ +\[ +a_{i}\binom{i}{k} \xi^{k} h^{i-k} + \lesssim a_{k} \rho^{k} \rho^{i-k} + = a_{i} \rho^{i}\ (p), +\] +weil jeder Binomialkoeffizient $\dbinom{i}{k}$ eine ganze Zahl, also höchstens +äquivalent Eins ist. Also nähert sich jedes Glied dieser Reihe dem +Grenzwerte Null, wenn $k$ oder $i - k$ unendlich groß wird. + +Ordnet man also diese Reihe, was ja nun erlaubt ist, nach Potenzen +von $h$ und berücksichtigt, daß dann die Koeffizienten der einzelnen +Potenzen von $h$ offenbar bis auf Faktoren $\dfrac{1}{2!}$,~$\dfrac{1}{3!}$,~\dots\ die sukzessiven +abgeleiteten Reihen von $A(\xi)$ werden, so folgt, daß auch für den Bereich +einer beliebigen Primzahl~$p$ und für alle Inkremente~$h$ des Konvergenzbereiches +von $A(x)$ die sog.\ \so{Taylorsche Entwicklung} gilt: +\index{Taylorsche Entwickelung}% +\[ +A(\xi + h) = A(\xi) + A'(\xi)h + \frac{A''(\xi)}{2!} h^{2} + \dots. +\] +Wählt man jetzt, was ja bei jeder konvergenten Potenzreihe +stets möglich ist, $h$~unendlich klein, so folgt aus der letzten Gleichung, +daß in der Tat +\[ +\lim_{h=0} \frac{A(\xi + h) - A(\xi)}{h} = A'(\xi), +\] +\dh\ daß $A(x)$ an jeder Stelle $\xi$ ihres Konvergenzbereiches stetig und +differenzierbar und daß ihr Differentialquotient dort gleich $A'(\xi)$ ist. + + +\Section{§ 2.}{Die Exponentialfunktion im Bereiche der $p$-adischen +Zahlen.} + +Ich untersuche jetzt, ob es eine Funktion +\[ +\Tag{(1)} +E(x) = e_{0} + e_{1} x + e_{2} x^{2} + \dots\ (p) +\] +von $x$ gibt, welche in einer endlichen Umgebung der Stelle $x = 0$ als +konvergente Potenzreihe darstellbar ist, welche in ihrem Bereiche +der \DPtypo{Funktionalgeichung}{Funktionalgleichung}: +\PageSep{148}{132} +\[ +\Tag{(2)} +E(x + y) = E(x)E(y) +\] +genügt. + +Wir schließen die beiden trivialen konstanten Lösungen $E(x) = 0$ +und $E(x) = 1$ dieser Aufgabe aus. Dann folgt aus der Gleichung~\Eq{(2)} +für $y = 0$ +\[ +E(x) = E(x + 0) = E(x)·E(0) = e_{0}·E(x); +\] +es muß also $e_{0} = 1$ sein. + +Ferner ergibt sich aus \Eq{(2)} für die Ableitung der Reihe +\[ +E(x) = 1 + e_{1} x + e_{2} x^{2} + \dots +\] +die Gleichung: +\begin{align*} +\Tag{(3)} +&E'(x) = \lim_{h=0} \frac{E(x + h) - E(x)}{h} + = \lim \frac{E(x)·E(h) - E(x)}{h} \\ +&= E(x) \lim \frac{E(h) - 1}{h} + = E(x)·\lim_{h=0} (e_{1} + h e_{2} + h^{2} e_{3} + \dots) \\ +&= e_{1}·E(x). +\end{align*} +Es muß also $e_{1} \neq 0$ sein, da andernfalls aus der Gleichung +\[ +E'(x) = e_{1} + 2e_{2} x + 3e_{3} x^{2} + \dots = 0 +\] +$e_{1} = e_{2} = \dots = 0$, also $E(x) = 1$ sich ergeben würde. + +Ist endlich $E(x) = 1 + e_{1} x + \dots$ eine Potenzreihe, welche der +Forderung~\Eq{(2)} genügt und für alle $x < \rho$ konvergiert, und bedeutet $c$ +eine beliebige Konstante, so ist auch +\[ +\bar{E}(x) = E(cx) = 1 + ce_{1} x + c^{2} e_{2} x^{2} + \dots +\] +eine Lösung unserer Aufgabe, denn es ist ja +\[ +\bar{E}(x) \bar{E}(y) = E(cx)E(cy) = E(c(x + y)) = \bar{E}(x + y), +\] +und die neue Reihe konvergiert für alle $cx < \rho$ oder $x < \dfrac{\rho}{c}$, besitzt +also ebenfalls einen endlichen Konvergenzbereich. + +Besitzt also die Gleichung~\Eq{(2)} überhaupt eine Lösung: +\[ +\Tag{(4)} +E(x) = 1 + e_{1} x + \dots, +\] +so hat sie auch eine Lösung: +\PageSep{149}{133} +\[ +\Tag{(4^{a})} +\bar{E}(x) = E\left(\frac{x}{e_{1}}\right) + = 1 + x + \frac{e_{2}}{e_{1}^{2}} x^{2} + \dots, +\] +in welcher $e_{1} = 1$ ist, und umgekehrt ergibt sich aus jeder Lösung~\Eq{(4^{a})} +eine einzige Lösung~\Eq{(4)}, in welcher $e_{1}$ einen beliebig gegebenen von Null +verschiedenen Wert hat. Wir können und wollen daher von vornherein +die Lösung in der Form +\[ +E(x) = 1 + x + e_{2} x^{2} + e_{3} x^{3} + \dots +\] +voraussetzen. + +Da für sie nach~\Eq{(3)} $E'(x) = E(x)$ sein muß, so folgt weiter +für alle Ableitungen: +\[ +E(x) = E'(x) = E''(x) = \dots, +\] +und durch diese Bedingungen ist die gesuchte Reihe eindeutig bestimmt. +In der Tat erhält man aus ihnen für $x = 0$ +\[ +E(0) = E'(0) = E''(0) = \dots = 1, +\] +und aus dem Taylorschen Satze ergibt sich also für $E(x)$ die folgende +Reihe: +\[ +\Tag{(5)} +\begin{aligned} +E(x) &= E(0 + x) = E(0) + E'(0)x + \frac{E''(0)}{2!} x^{2} + \dots \\ + &= 1 + \frac{x}{1} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots. +\end{aligned} +\] +Die so bestimmte Reihe~\Eq{(5)} genügt, falls sie in einem endlichen Bereiche +konvergiert, in diesem wirklich der Funktionalgleichung~\Eq{(2)}. Einmal +ist nämlich, wie man sich durch gliedweise Differentiation überzeugt, +$E(x) = E'(x) = E''(x) = \dots$. Sind ferner $x$~und~$y$ zwei Zahlen, +welche im Konvergenzbereiche unserer Reihe liegen, so ist nach dem +Taylorschen Satze wirklich: +\[ +\Tag{(5^{a})} +\begin{aligned} +E(x + y) + &= E(x) + E'(x)\DPchg{·}{}\frac{y}{1} + E''(x) \frac{y^{2}}{2!} + \dots \\ + &= E(x) \left(1 + \frac{y}{1!} + \frac{y^{2}}{2!} + \dots\right) = E(x)E(y). +\end{aligned} +\] + +Nach der oben gemachten Bemerkung gehen alle und nur die +Lösungen der Gleichung~\Eq{(2)} aus der soeben gefundenen durch die +\PageSep{150}{134} +Verwandlung von $x$ in $cx$ hervor, wo $c$~eine beliebige Konstante ist. +Die allgemeinste Potenzreihe, welche der Funktionalgleichung~\Eq{(2)} +genügt, ist also diese: +\[ +\Tag{(5^{b})} +\bar{E} = E(cx) + = 1 + \frac{cx}{1} + \frac{c^{2} x^{2}}{2!} + \frac{c^{3} x^{3}}{3!} + \dots +\] +und sie ist für jedes $c$ eindeutig durch die weitere Bedingung bestimmt, +daß $\bar{E}'(x) = c\bar{E}(x)$, oder durch die einfachere, daß +\[ +\Tag{(5^{c})} +\bar{E}'(0) = c +\] +sein soll. Im folgenden wollen wir immer die Reihe $E(x)$ betrachten, +welche durch \Eq{(5)} gegeben ist. + +Es ist also jetzt nur noch zu untersuchen, welches der Konvergenzbereich +der Reihe~\Eq{(5)} ist, für welche Werte von $x$ also +\[ +\lim_{m=\infty} \frac{x^{m}}{m!} = 0 +\] +wird. Da $m!$ für jedes $m$ von nicht negativer Ordnung ist, so sieht +man zunächst, daß die Reihe~$E(x)$ sicher divergiert, wenn $x$ von +nullter oder negativer Ordnung ist. Hat dagegen $x = px_{0}$ die Ordnung~$1$ +oder eine höhere, so besitzt das allgemeine Glied +\[ +\frac{x^{m}}{m!} = \frac{p^{m}}{m!} x_{0}^{m} +\] +nach \Seite{111} unten mindestens die Ordnungszahl: +\[ +\Tag{(6)} +m - \frac{m - s_{m}}{p - 1} = \frac{m(p - 2) + s_{m}}{p - 1}, +\] +und diese Zahl wächst mit $m$ ins Unendliche, falls $p > 2$ ist, also irgendeine +ungerade Primzahl bedeutet; denn sie ist dann größer als $\dfrac{m}{p - 1}$. +Ist dagegen $p = 2$, so ist die Ordnungszahl von $\dfrac{p^{m}}{m!}$ gleich~$s_{m}$, also +gleich der Ziffersumme der dyadischen Darstellung von~$m$, und diese +Zahl wird sicher nicht mit $m$ unendlich, da ja \zB\ alle Potenzen +$2$,~$2^{2}$,~\dots\ von $2$ sogar die kleinste mögliche Ziffersumme Eins haben. Ist +dagegen in diesem Falle $x = 2^{2} x_{0}$ wo $x_{0}$ ganz ist, so ist die Ordnungszahl +\PageSep{151}{135} +von $\dfrac{x^{m}}{m!} = \dfrac{2^{2m}}{m!} x_{0}^{m}$ gleich oder größer als: +\[ +\Tag{(6^{a})} +2m - \mu_{m} = 2m - (m - s_{m}) = m + s_{m}, +\] +\dh\ die Potenzreihe~$E(x)$ konvergiert für alle diese Werte. + +Wir erhalten also in jedem Falle das folgende einfache und interessante +Resultat: +\begin{Theorem} +Die Reihe: +\[ +E(x) = 1 + \frac{x}{1} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots\ (p) +\] +stellt für ein ungerades $p$ stets und nur dann eine $p$-adische Zahl +dar, wenn $x$~ein Vielfaches von $p$ ist. Ist dagegen $p = 2$, so muß +$x$ ein Multiplum von $4$ sein. +\end{Theorem} + +Aus der Fundamentaleigenschaft~\Eq{(2)} der Potenzreihe~$E(x)$ ergeben +sich, falls $x$~und~$y$ beide dem Konvergenzbereiche derselben angehörende +Zahlen sind, die Gleichungen: +\begin{gather*} +E(x)E(y) = E(x + y) \\ +E(x)E(-x) = E(0) = 1, \quad\text{also}\quad +E(-x) = \frac{1}{E(x)}, +\end{gather*} +also +\[ +\Tag{(7)} +\frac{E(y)}{E(x)} = E(y)E(-x) = E(y - x), +\] +und für ein beliebiges ganzzahliges~$m$ +\[ +\Tag{(7^{a})} +E(x)^{m} = E(mx). +\] + +Durch die Gleichung $y = E(x)$ wird die Variable~$y$ innerhalb des +Konvergenzbereiches von $E(x)$ als eindeutige Funktion von $x$ definiert, +da zu jeder Zahl~$x$ eine einzige Zahl~$y$ gehört. Aber es gilt auch der +umgekehrte Satz, daß zu einem gegebenen~$y$, wenn überhaupt, nur +eine einzige Zahl~$x$ im Konvergenzbereiche unserer Reihe existiert, +welche die Gleichung $E(x) = y$ befriedigt. Gäbe es nämlich für ein +bestimmtes $y$ zwei verschiedene Werte $x$~und~$x'$, für welche +\[ +E(x) = y, \quad E(x') = y +\] +wäre, so müßte ja nach~\Eq{(7)} +\PageSep{152}{136} +\[ +E(x' - x) = \frac{y}{y} = 1 +\] +sein, es müßte also eine von Null verschiedene Zahl $\xi = x' - x$ im +Konvergenzbereiche von $E(x)$ existieren, für welche +\[ +\Tag{(8)} +E(\xi) = 1 + \xi + \frac{\xi^{2}}{2!} + \dots = 1 +\] +wäre. Dies ist aber unmöglich. In der Tat folgte ja aus dieser Gleichung +durch Subtraktion von $1$ auf beiden Seiten und Division mit~$\xi$: +\[ +\Tag{(8^{a})} +1 + \frac{\xi}{2!} + \frac{\xi^{2}}{3!} + \dots + \frac{\xi^{m-1}}{m!} + \dots = 0\ (p). +\] +Diese Gleichung kann aber nicht bestehen, sobald $\xi$ im Konvergenzbereiche +der Reihe irgendwie als eine von Null verschiedene Zahl +angenommen wird. Ist nämlich $\xi = p^{k} \xi_{0}$ von der \Ordsup{$k$}{-ten}~Ordnung, wo +$k$ für ein ungerades $p$ mindestens gleich~$1$, für $p = 2$ aber mindestens +gleich $2$ sein muß, so ist ja $\dfrac{\xi^{m-1}}{m!}$ von der Ordnung: +\[ +\Tag{(9)} +(m - 1)k - \frac{m - s_{m}}{p - 1}. +\] +Da nun diese Zahl in den beiden unterschiedenen Fällen in einer der +Formen geschrieben werden kann: +\[ +\Tag{(9^{a})} +(m - 1)(k - 1) + \frac{(m - 1)(p - 3) + (m - 2) + s_{m}}{p - 1} +\] +bzw.: +\[ +\Tag{(9^{b})} +(m - 1)(k - 2) + (m - 2) + s_{m}, +\] +so erkennt man, daß diese Ordnungszahl für jedes $m = 2$,~$3$,~\dots\ mindestens +gleich Eins ist, da im ersten Falle $m - 2$,~$k - 1$,~$p - 3$, im +zweiten $m - 2$,~$k - 2$ nicht negativ sind, in beiden Fällen aber $s_{m}$ +sicher positiv ist. Hiernach sind also alle Glieder der Reihe~\Eq{(8^{a})} mit +Ausnahme der ersten, also auch die Summe derselben kleiner als Eins; +die Gleichung~\Eq{(8^{a})} ist also unmöglich. + +Legt man in der Potenzreihe~$E(x)$ der Variablen~$x$ irgendeinen +$p$-adischen Wert bei, welcher dem Konvergenzbereiche derselben angehört, +\dh\ durch $p$ bzw.\ für $p = 2$ durch $4$ teilbar ist, so wird +\PageSep{153}{137} +\[ +y = E(x) = 1 + x\left(1 + \frac{x}{2!} + \frac{x^{2}}{3!} + \dots\right) = 1 + z +\] +eine Haupteinheit für die ungerade Primzahl~$p$ bzw.\ für $p = 2$ eine +Haupteinheit Modulo~$4$. Da nämlich die rechts in der Klammer +stehende Reihe nach dem soeben geführten Beweise äquivalent Eins +ist, so ist in dieser Gleichung stets $z \sim x\ (p)$. Wir können also den +folgenden Satz aussprechen: +\begin{Theorem} +Durch die Funktion~$E(x)$ werden innerhalb ihres Konvergenzbereiches +lauter Haupteinheiten modulo~$p$ dargestellt, wenn +$p$ ungerade, und lauter Haupteinheiten modulo~$4$, wenn $p = 2$ ist; +in beiden Fällen besteht die Gleichung: +\[ +\Tag{(10)} +y = E(x) = 1 + z, +\] +und zwischen den zusammengehörigen $p$-adischen Zahlen $z$~und~$x$ +besteht immer die Kongruenz: +\[ +\Tag{(11)} +\frac{z}{x} \equiv 1\ (\mod.~p), +\] +beide besitzen also stets dieselbe Ordnungszahl und denselben Anfangskoeffizienten. +\end{Theorem} + +Ersetzt man in der Reihe~$E(x)$ die Variable~$x$ durch eine in einem +Bereiche $\xi < \xi_{0}$ konvergente Potenzreihe~$\phi(\xi)$, deren einzelne Glieder +in diesem Bereiche sämtlich mindestens durch $p$ (bzw.\ für $p = 2$ mindestens +durch~$2^{2}$) teilbar sind, so wird: +\[ +E(\phi(\xi)) = 1 + \frac{\phi(\xi)}{1!} + \frac{\phi(\xi)^{2}}{2!} + \dots +\] +in demselben Bereiche eine unbedingt konvergente Potenzreihe von~$\xi$, +welche also nach Potenzen von $\xi$ geordnet werden kann. + +Setzt man nämlich zunächst $p$ als ungerade Primzahl voraus, so +kann man $\phi(\xi)$ für alle $\xi < \xi_{0}$ in der Form schreiben: +\[ +\phi(\xi) = p \bar{\phi}(\xi) +\] +wo jetzt +\[ +\bar{\phi}(\xi) = \bar{a}_{0} + \bar{a}_{1} \xi + \bar{a}_{2} \xi^{2} + \dots +\] +eine Potenzreihe mit lauter modulo~$p$ ganzzahligen Gliedern $\bar{a}_{i} \xi^{i}$ ist. +\PageSep{154}{138} + +In der Doppelreihe: +\[ +E(\phi(\xi)) = 1 + \frac{p}{1!}\, \bar{\phi}(\xi) + \frac{p^{2}}{2!}\, \bar{\phi}(\xi)^{2} + \dots +\] +sind nun erstens für ein genügend großes $n$ in allen auf $\dfrac{p^{n}}{n!}\bar{\phi}(\xi)^{n}$ +folgenden Potenzreihen alle Glieder durch eine beliebig hohe Potenz~$p^{s}$ +von $p$ teilbar, weil $\lim\limits_{\nu=\infty} \dfrac{p^{\nu}}{\nu!} = 0$ ist, während alle Glieder von $\bar{\phi}(\xi)^{\nu}$ +modulo~$p$ ganz sind. Zweitens sind aber in der nach Weglassung aller +dieser Reihen übrig bleibenden abbrechenden Doppelreihe: +\[ +1 + \frac{p}{1!}\, \bar{\phi}(\xi) + + \frac{p^{2}}{2!}\, \bar{\phi}(\xi)^{2} + \dots + + \frac{p^{n}}{n!}\, \bar{\phi}(\xi)^{n} +\] +für ein genügend großes $\nu$ alle auf das Glied $\bar{a}_{\nu} \xi^{\nu}$ von $\bar{\phi}(\xi)$ folgenden +Glieder wegen der Konvergenz von $\bar{\phi}(\xi)$ ebenfalls durch $p^{s}$ teilbar, +\dh\ es ist +\[ +\bar{\phi}(\xi) + \equiv \bar{a}_{0} + \bar{a}_{1} \xi + \dots + \bar{a}_{\nu} \xi^{\nu}\ (\mod.~p^{s}), +\] +und hieraus erhält man die weiteren Kongruenzen: +\[ +\bar{\phi}(\xi)^{i} + \equiv (\bar{\Errata{\alpha}{a}}_{0} + + \bar{\Errata{\alpha}{a}}_{1} \xi + \dots + + \bar{\Errata{\alpha}{a}}_{\nu} \xi^{\nu})^{i} + \ (\mod.~p^{s}) \quad (i = 1, 2, \dots n)\DPtypo{}{.} +\] + +Hieraus folgt, daß die Reihe~$E(\phi(\xi))$ für alle Werte $\xi < \xi_{0}$ in +der Tat unbedingt konvergent ist, daß also ihre Glieder in beliebiger +Reihenfolge summiert werden können. Genau ebenso wird derselbe +Satz für den Fall $p = 2$ bewiesen unter der Voraussetzung, daß hier +alle Glieder der Potenzreihe~$\phi(\xi)$ für alle $\xi < \xi_{0}$ mindestens durch +$2^{2}$ teilbar sind. + +Hieraus folgt endlich, daß unter der soeben gemachten Voraussetzung +die Potenzreihe $\eta = E(\phi(\xi))$ für den ganzen Bereich $\xi < \xi_{0}$ +eine differenzierbare Funktion von~$\xi$, und daß +\[ +\frac{d\eta}{d\xi} = \frac{dE}{d\xi} = E(\phi(\xi)) \phi'(\xi) +\] +ist. Ist nämlich in den beiden Gleichungen +\[ +\eta = E(x),\quad x = \phi(\xi) +\] +$d\xi$ ein unendlich kleines Inkrement von~$\xi$, und sind $dx$~und~$d\eta$ diejenigen +Inkremente von~$x$ und von~$\eta$, die diesem $d\xi$ entsprechen, so ist ja: +\PageSep{155}{139} +\[ +\Tag{(12)} +\frac{d\eta}{d\xi} + = \frac{d\eta}{dx}·\frac{dx}{d\xi} + = \frac{dE}{dx}·\frac{dx}{d\xi} + = E(\phi(\xi)) \phi'(\xi), +\] +und damit ist die obige Behauptung bewiesen. + +Im Anschluß an die gebräuchliche Bezeichnung der elementaren +Funktionentheorie will ich allein für die Werte von~$x$, welche im Konvergenzbereiche +von $E(x)$ liegen, diese Reihe durch $e^{x}$ bezeichnen und +die allein für alle $x < 1\ (p)$ bzw.\ für $p = 2$ für alle $x < 2\ (2)$ definierte +Funktion: +\[ +y = e^{x} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \dots\ (p) +\] +die \so{Exponentialfunktion für den Bereich von~$p$} +\index{Exponentialfunktion für den Bereich von~$p$}% +nennen. + + +\Section{§ 3.}{Der Logarithmus im Bereiche der $p$-adischen Zahlen.} + +Auf der Grundlage der bisher gewonnenen Resultate wollen wir +nun die durch die Gleichung +\[ +\Tag{(1)} +y = e^{x} +\] +definierte Funktion genauer untersuchen und den Nachweis führen, +daß ebenso, wie $y$ in einem bestimmten Bereiche von $x$ als konvergente +Potenzreihe darstellbar ist, auch $x$ als Potenzreihe von $y$ eindeutig +dargestellt werden kann. Ist nämlich $x \lesssim p$ für ein ungerades~$p$, +bzw.\ $x \lesssim 2^{2}$ für $p = 2$, so ist +\[ +y = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \dots = 1 + z +\] +wo $z \sim x\ (p)$ ist. Zwischen den beiden Variablen $x$~und~$z$ besteht also +die Gleichung: +\[ +\Tag{(2)} +z = \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \dots +\] + +Wir fragen jetzt: Gibt es eine Potenzreihe von~$z$, welche wir +durch +\PageSep{156}{140} +\[ +\Tag{(3)} +\frakL(z) = b_{0} + b_{1} z + \dots +\] +bezeichnen wollen, für welche $x = \frakL(z)$, für die also +\[ +\Tag{(4)} +e^{\frakL(z)} = y = 1 + z +\] +ist? + +Ich setze voraus, daß die gesuchte Reihe~\Eq{(3)} in einem endlichen +Bereiche konvergiert, und daß in demselben ihre sämtlichen Glieder +$b_{i} z^{i}$ mindestens durch $p$ bzw.\ durch $2^{2}$ teilbar sind. Nach dem auf +\Seite{137}~ff.\ bewiesenen Satze ist dann +\[ +\Tag{(4^{a})} +e^{\frakL(z)} = 1 + \frac{\frakL(z)}{1!} + \frac{\frakL(z)^{2}}{2!} + \dots +\] +in demselben Bereiche unbedingt konvergent und kann in eine Potenzreihe, +welche nach Potenzen von $z$ fortschreitet, umgeordnet werden. +Es frägt sich, wie die Koeffizienten~$b_{i}$ von~$\frakL(z)$ zu bestimmen sind, +damit die unendliche Reihe~\Eq{(4^{a})} gleich $1 + z$ wird. + +In der Reihe~\Eq{(3)} muß zunächst $b_{0} = 0$ sein, da nach dem soeben +auf \Seite{136} bewiesenen Satze für $z = 0$, also $y = 1$, $x = \frakL(0) = 0$ sein +muß. + +Angenommen nun, es gäbe eine solche Potenzreihe~\Eq{(3)} mit endlichem +Konvergenzbereiche. Differenzieren wir dann die Gleichung~\Eq{(4)} nach +$z$ unter Benutzung der Gleichung~\Eq{(12)} auf \Seite{139} und beachten dabei, +daß $\dfrac{d e^{x}}{dx} = e^{x} = 1 + z$ ist, so folgt: +\[ +\Tag{(4^{b})} +e^{\frakL(z)} \frakL'(z) = (1 + z) \frakL'(z) = 1. +\] +Die Reihe~$\frakL'(z)$ muß also die Gleichung: +\begin{align*}%[** TN: Not aligned in the original] +(1 + z) \frakL'(z) + &= (1 + z)(b_{1} + 2b_{2} z + 3b_{3} z^{2} + \dots) \\ + &= b_{1} + (b_{1} + 2b_{2}) z + (2b_{2} + 3b_{3}) z^{2} + \dots = 1 +\end{align*} +erfüllen, und aus ihr ergeben sich durch Koeffizientenvergleichung für +die $b_{i}$ die Werte: +\[ +b_{1} = 1,\quad +b_{2} = -\tfrac{1}{2},\quad +b_{3} = +\tfrac{1}{3},\quad +b_{4} = -\tfrac{1}{4},\ \dots. +\] +Gibt es also überhaupt eine Potenzreihe, welche die Gleichung~\Eq{(4)} +erfüllt, so ist es die folgende: +\PageSep{157}{141} +\[ +\Tag{(5)} +\frakL(z) = z - \frac{z^{2}}{2} + \frac{z^{3}}{3} - \frac{z^{4}}{4} + \dots. +\] +Zunächst erkennt man, daß diese Reihe wirklich einen endlichen Konvergenzbereich +besitzt, daß sie nämlich für alle $z \lesssim p$ konvergiert, +dagegen für $z \gtrsim 1$ divergiert. Ist nämlich $z$ von der nullten +oder von negativer Ordnung, so gilt dasselbe von~$z^{m}$, also a~fortiori +von~$\dfrac{z^{m}}{m}$. Ist dagegen $z = pz_{0}$ von der ersten oder höherer Ordnung, +so ist sicher +\[ +\lim_{m=\infty} \frac{z^{m}}{m} = \lim_{m=\infty} \frac{p^{m}}{m}·z_{0}^{m} = 0. +\] + +In der Tat ist die Ordnungszahl von $\dfrac{p^{m}}{m}$ nach \Eq{(2)} auf \Seite{111} +gleich: +\[ +\Tag{(6)} +\begin{gathered} +m - \frac{s_{m-1} - s_{m} + 1}{p - 1} + = \frac{m(p - 1) - 1 - s_{m-1}}{p - 1} + \frac{s_{m}}{p - 1} \\ + \geqq \frac{(m - 1) - s_{m-1}}{p - 1} + \frac{s_{m}}{p - 1} + = \mu_{m-1} + \frac{s_{m}}{p - 1}, +\end{gathered} +\] +\dh\ größer als die Ordnungszahl~$\mu_{m-1}$ von~$(m - 1)!$, welche ja mit +wachsendem $m$ unendlich groß wird. Aus derselben Ungleichung folgt +weiter, daß für $z = pz_{0}$ jedes einzelne Glied mindestens die Ordnungszahl~$1$ +besitzt, da die Ordnungszahl~\Eq{(6)} größer ist als die Zahl +$\mu_{m-1} + \dfrac{s_{m}}{p - 1}$, in welcher $s_{m}$ sicher positiv ist. Ist speziell $p = 2$ und +$z = 2^{2} z_{0}$, so besitzt $\dfrac{z^{m}}{m} = \dfrac{2^{2m}}{m} z_{0}^{m}$ mindestens die Ordnungszahl +\[ +\Tag{(7)} +\begin{aligned}%[** TN: Not aligned in the original] +2m - s_{m-1} + s_{m} - 1 + &= (m - 1) - s_{m-1} + m + s_{m} \\ + &= \mu_{m-1} + m + s_{m} , +\end{aligned} +\] +und diese ist stets mindestens gleich~$2$, da $m$ und $s_{m}$ beide $\geqq 1$ sind. + +Ersetzt man also in~$e^{x}$\; $x$~durch +\[ +\frakL(z) = \frac{z}{1} - \frac{z^{2}}{2} + \frac{z^{3}}{3} - \dots +\] +und nimmt für ein ungerades~$p$\; $z < 1\ (p)$, für $p = 2$ aber $z < 2^{1}\ (2)$ +an, so konvergiert die Potenzreihe~$\frakL(z)$ unbedingt, und jedes von +ihren Gliedern ist mindestens durch $p$ bzw.\ mindestens durch $2^{2}$ +\PageSep{158}{142} +teilbar. Nach dem auf \Seite{137}~f.\ bewiesenen Satze konvergiert also die +Reihe: +\[ +\Tag{(8)} +e^{\frakL(z)} = 1 + \frac{\frakL(z)}{1!} + \frac{\frakL(z)^{2}}{2!} + \dots = \chi(z) +\] +unbedingt und kann daher nach Potenzen von $z$ geordnet werden. +Man sieht nun leicht, daß in der so geordneten Reihe +\[ +\chi(z) = 1 + z + c_{2} z^{2} + \dots, +\] +in welcher, wie man sich aus der Entwicklung direkt überzeugt, +$c_{0} = c_{1} = 1$ ist, alle weiteren Koeffizienten Null sein müssen. Differenziert +man nämlich die obige Gleichung~\Eq{(8)} nach~$z$, so erhält man nach +\Eq{(12)} auf \Seite{139} +\[ +e^{\frakL(z)}·\frakL'(z) = \chi'(z) +\] +oder, da $e^{\frakL(z)} = \chi(z)$ und nach~\Eq{(4^{b})} $\frakL'(z) = \dfrac{1}{1 + z}$ ist, so geht diese +Gleichung über in: +\[ +\chi(z) = \chi'(z) (1 + z), +\] +\dh\ +\[ +1 + z + c_{2} z^{2} + \dots = (1 + 2c_{2} z + 3c_{3} z^{2} + \dots) (1 + z), +\] +und hieraus folgt durch Ausführung der Multiplikation und Koeffizientenvergleichung: +\[ +2c_{2} + 1 = 1,\quad +3c_{3} + 2c_{2} = c_{2},\ \dots, +\] +\dh\ +\[ +c_{2} = c_{3} = c_{4} = \dots = 0; +\] +unsere Behauptung ist somit in ihrem vollen Umfange bewiesen. + +Die soeben durchgeführten Betrachtungen zeigen, daß, falls $p$ +ungerade ist, für jedes $\xi < 1$ +\begin{align*}%[** TN: Not aligned in the original] +e^{\zeta} + = 1 + \frac{\zeta}{1!} + \frac{\zeta^{2}}{2!} + \dots + &= 1 + \epsilon_{1} p + \epsilon_{2} p^{2} + \dots \\ + &= 1\MathOrd{,}\epsilon_{1}\,\epsilon_{2}\dots = \epsilon = 1 + \eta +\end{align*} +ist, wo $\epsilon = 1 + \eta$ eine Haupteinheit modulo~$p$, \dh\ eine solche Einheit +ist, welche kongruent~$1$ modulo~$p$ ist, und daß umgekehrt, wenn +$\epsilon = 1 + \eta$ eine beliebige Haupteinheit modulo~$p$ ist, zu ihr eine +wegen \Seite{135} unten eindeutig bestimmte durch $p$ teilbare Zahl +\PageSep{159}{143} +\[ +\zeta = \frac{\eta}{1} - \frac{\eta^{2}}{2} + \frac{\eta^{3}}{3} - \dots +\] +gehört, für welche $e^{\zeta} = \epsilon$ ist. Dasselbe ist für die gerade Primzahl~$2$ +der Fall; nur muß dann $\zeta$ mindestens durch $4$ teilbar sein, und die +Gleichung $e^{\zeta} = \epsilon$ liefert dann auch +\[ +\epsilon = 1\MathOrd{,}0\,\epsilon_{2} \dots = 1 + \eta +\] +als eine Haupteinheit modulo~$4$, für welche also $\eta$ ebenfalls mindestens +durch $4$ teilbar ist. + +Wir wollen in Ãœbereinstimmung mit der entsprechenden Bezeichnung +der elementaren Analysis die durch die Gleichung +\[ +e^{\zeta} = \epsilon +\] +bestimmte $p$-adische Zahl~$\zeta$ \so{den Logarithmus von $\epsilon$ für +den Bereich von~$p$} nennen und sie durch $\ilg \epsilon$ bezeichnen. +\index{Logarithmus!e.\ $p$-adischen Haupteinheit}% +Umgekehrt soll, wenn eine Bezeichnung erwünscht sein sollte, \so{$\epsilon$~der +Numerus von~$\zeta$} heißen. Dann läßt sich das Resultat der soeben +durchgeführten Betrachtung in dem folgenden Fundamentalsatze +aussprechen, in dem $p$ eine ungerade Primzahl bezeichnet: +\begin{Theorem} +Jede Haupteinheit modulo~$p$ bzw.\ modulo~$4$ besitzt stets +einen einzigen durch $p$ bzw.\ $4$ teilbaren Logarithmus, und umgekehrt +gehört zu jeder durch $p$ bzw.\ $4$ teilbaren Zahl eine +eindeutig bestimmte Haupteinheit modulo~$p$ bzw.\ modulo~$4$, deren +Logarithmus sie ist. + +Sind +\[ +e^{\zeta} = \epsilon \quad\text{und}\quad +e^{\zeta'} = \epsilon' +\] +zwei beliebige Haupteinheiten für $p$ bzw.\ $4$, so folgen aus den +Gleichungen: +\[ +e^{\zeta+\DPtypo{\zeta}{\zeta'}} = \epsilon\epsilon',\quad +e^{\zeta-\zeta'} = \frac{\epsilon}{\epsilon'},\quad +e^{\zeta m} = \epsilon^{m} +\] +die Beziehungen: +\[ +\ilg (\epsilon\epsilon') = \ilg \epsilon + \ilg \epsilon',\quad +\ilg \frac{\epsilon}{\epsilon'} = \ilg \epsilon - \ilg \epsilon',\quad +\ilg (\epsilon^{m}) = m\ilg \epsilon. +\] +\end{Theorem} + +Um zu zeigen, wie einfach sich für den Bereich einer nicht zu großen +Primzahl die Logarithmen der Haupteinheiten berechnen lassen, will +\PageSep{160}{144} +ich die Bestimmung von einigen Logarithmen für den Bereich von $3$ +auf $7$ Stellen genau durchführen. Hierzu gebe ich zunächst die triadischen +Werte der in der Reihe +\[ +\ilg (1 + x) + = \frac{x}{1} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} + \dots\ (3) +\] +auftretenden Koeffizienten auf sieben Stellen, soweit sie für den vorliegenden +Zweck gebraucht werden: +\[ +\begin{aligned} + 1 &= \phantom{0\,}1\MathOrd{,}0\,0\,0\,0\,0\,0\,0 \dots \\ +-\tfrac{1}{2} &= \phantom{0\,}1\MathOrd{,}1\,1\,1\,1\,1\,1\,1 \dots \\ ++\tfrac{1}{3} &= 1\,0\MathOrd{,}0\,0\,0\,0\,0\,0\,0 \dots \\ +-\tfrac{1}{4} &= \phantom{0\,}2\MathOrd{,}0\,2\,0\,2\,0\,2\,0 \dots \\ ++\tfrac{1}{5} &= \phantom{0\,}2\MathOrd{,}0\,1\,2\,1\,0\,1\,2 \dots \\ +-\tfrac{1}{6} &= 1\,1\MathOrd{,}1\,1\,1\,1\,1\,1\,1 \dots \\ ++\tfrac{1}{7} &= \phantom{0\,}1\MathOrd{,}1\,0\,2\,1\,2\,0\,1 \dots +\end{aligned} +\qquad(3) +\] +Die Berechnung dieser Koeffizienten gestaltet sich sehr einfach mit +Hilfe der Formeln: +\begin{align*} +-\tfrac{1}{2} + &= \frac{1}{1 - 3} + = 1 + 3 + 3^{2} + \dots + = 1\MathOrd{,}1\,1\,1\dots \dbrk +-\tfrac{1}{4} + &= -\frac{1}{1 + 3} + = -(1 - 3 + 3^{2} - \dots) + = -(1\MathOrd{,}{-}1\ 1\ {-}1\ 1\dots) \dbrk ++\tfrac{1}{5} + &= -\frac{1}{1 - 2·3} + = -(1 + 2·3 + 2^{2}·3^{2} + \dots) + = -(1\MathOrd{,}2\,4\,8\,16\dots) \dbrk ++\tfrac{1}{7} + &= \frac{1}{1 + 2·3} + = 1 - 2·3 + 2^{2}·3^{2} - \dots +\end{align*} +So ergeben sich ohne Schwierigkeit für die Logarithmen der Haupteinheiten +modulo~$3$ die folgenden Werte:\PageLabel{145} +\begin{alignat*}{2} +&\ilg(-20) &&= 0\MathOrd{,}2\,0\,1\,1\,0\,0\,2 \dots \dbrk +&\ilg(-17) &&= 0\MathOrd{,}0\,1\,2\,0\,0\,0\,2 \dots \dbrk +&\ilg(-14) &&= 0\MathOrd{,}1\,0\,0\,0\,2\,2\,1 \dots \dbrk +&\ilg(-11) &&= 0\MathOrd{,}2\,1\,2\,2\,2\,1\,1 \dots \dbrk +&\ilg(-8) &&= 0\MathOrd{,}0\,2\,2\,0\,0\,1\,1 \dots \dbrk +&\ilg(-5) &&= 0\MathOrd{,}1\,1\,2\,0\,1\,0\,1 \dots \dbrk +&\ilg(-2) &&= 0\MathOrd{,}2\,2\,0\,0\,1\,1\,0 \dots \dbrk +&\ilg(1) &&= 0\MathOrd{,}0\,0\,0\,0\,0\,0\,0 \dots \dbrk +&\ilg(4) &&= 0\MathOrd{,}1\,2\,1\,0\,2\,2\,0 \dots \dbrk +%\PageSep{161}{145} +&\ilg(7) &&=0\MathOrd{,}2\,0\,2\,2\,0\,2\,1 \dots \dbrk +&\ilg(10) &&=0\MathOrd{,}0\,1\,0\,1\,2\,1\,1 \dots \dbrk +&\ilg(13) &&=0\MathOrd{,}1\,0\,2\,0\,1\,1\,0 \dots \dbrk +&\ilg(16) &&=0\MathOrd{,}2\,1\,0\,1\,1\,2\,1 \dots \dbrk +&\ilg(19) &&=0\MathOrd{,}0\,2\,0\,1\,1\,2\,0 \dots \dbrk +&\ilg(22) &&=0\MathOrd{,}1\,1\,2\,1\,0\,0\,2 \dots \dbrk +&\ilg(25) &&=0\MathOrd{,}2\,2\,1\,1\,2\,0\,2 \dots \dbrk +&\ilg(28) &&=0\MathOrd{,}0\,0\,1\,0\,0\,1\,2 \dots\DPtypo{}{.} +\end{alignat*} + +Hierzu bemerke ich noch, daß natürlich nur die Logarithmen derjenigen +Haupteinheiten wirklich berechnet zu werden brauchen, welche +positive oder negative Primzahlen sind; denn die Logarithmen aller +zusammengesetzten Zahlen ergeben sich ja aus diesen durch Addition. + + +\Section{§ 4.}{Die algebraischen Gleichungen in einem Körper, speziell +im Körper der $p$-adischen Zahlen.} + +Ich wende mich jetzt zu der Frage, wann eine Gleichung im +Körper der $p$-adischen Zahlen eine Wurzel hat. Da die hier zu beweisenden +Sätze für jeden beliebigen Zahlkörper gelten, und da wir +diese später auch für andere Körper brauchen werden, so leite ich sie +gleich für beliebige Körper ab. + +Es sei also $K$ ein beliebiger Zahlkörper und +\[ +\Tag{(1)} +F(x) = A_{0}x^{n} + A_{1}x^{n-1} + \dots + A_{n-1}x + A_{n} = 0 +\] +eine Gleichung, deren Koeffizienten~$A_{i}$ Elemente aus $K$ sind. Es ist +keineswegs notwendig, daß eine solche Gleichung immer eine Zahl~$\xi$ +aus $K$ als Wurzel besitzt, daß also immer in $K$~eine Zahl~$\xi$ existiert, +für welche $F(\xi) = 0$ ist; es kann vielmehr sehr wohl sein, daß $K$ nicht +ausgedehnt genug ist, um Wurzeln jener Gleichungen zu enthalten. +So besitzt \zB\ die Gleichung: +\[ +x^{2} - 2 = 0\ (5) +\] +im Gebiete der pentadischen Zahlen keine Wurzel, weil das Anfangsglied +einer solchen Wurzel +\[ +\xi = a_{0} + a_{1} 5 + a_{2} 5^{2} + \dots\ (5) +\] +\PageSep{162}{146} +ja sicher der Kongruenz: +\[ +a_{0}^{2} - 2 \equiv 0\ (\mod.~5) +\] +genügen müßte, was für keine der Zahlen $a_{0} = 0$,~$1$, $2$,~$3$,~$4$ der Fall ist; +ebensowenig ist \zB\ die Gleichung +\[ +x^{2} - 3 = 0\ (7) +\] +im Körper der heptadischen Zahlen lösbar. Dagegen hat die Gleichung +\[ +x^{3} - 2 = 0\ (5) +\] +die eine Wurzel $\xi = \sqrt[3]{2} = 3\MathOrd{,}0\,2\,2\,3\dots\ (5)$, aber keine weitere, wie +eine einfache Betrachtung lehrt; die Gleichung +\[ +x^{2} + 1 = 0\ (5) +\] +hat die beiden pentadischen Wurzeln: +\[ +\begin{alignedat}{2} +x_{1} &= &\sqrt{-1} &= 2\MathOrd{,}1\,2\,1\,3\,4 \dots \\ +x_{2} &= -&\sqrt{-1} &= 3\MathOrd{,}3\,2\,3\,1\,0 \dots, +\end{alignedat} +\quad (5) +\] +wie man durch Einsetzen dieser Werte leicht bestätigt. + +Besitzt eine Gleichung $F(x) = 0$ in einem Körper~$K$ eine oder +mehrere Wurzeln, so bestehen für diese genau die nämlichen Sätze wie +in der elementaren Algebra und sie werden auch wörtlich ebenso bewiesen. +Darum sollen auch nur die wichtigsten von ihnen kurz hervorgehoben +werden. + +Eine ganze rationale Funktion~$F(x)$ von~$x$ mit Koeffizienten aus~$K$ +läßt sich stets nach Potenzen eines beliebigen Linearfaktors $x - \xi$ +nach dem Taylorschen Satze entwickeln, wenn $\xi$~eine Zahl des Körpers +ist, und zwar ergibt sich dann die Entwicklung: +\[ +\MarginTag{(2)} +\begin{aligned}%[** TN: Not aligned in the original] +&F(x) = F(\xi + (x - \xi)) \\ +&\quad= A_{0} (\xi + (x - \xi))^{n} + \dots + A_{n-1} (\xi + (x - \xi)) + A_{n} \\ +&\quad= F(\xi) + (x - \xi) F'(\xi) + (x - \xi)^{2} \frac{F''(\xi)}{1·2} + \dots + + (x - \xi)^{n} \frac{F^{n}(\xi)}{n!}, +\end{aligned} +\] +wo, wie man durch Ausrechnen leicht bestätigt, +\begin{align*} +\Tag{(2^{a})} +F'(\xi) &= nA_{0} \xi^{n-1} + (n - 1)A_{1} \xi^{n-2} + \dots + A_{n-1}, \\ +\PageSep{163}{147} +\Tag{(2^{b})} +F''(\xi) &= \begin{aligned}[t] + n(n - 1)A_{0} \xi^{n-2} &+ (n - 1)(n - 2)A_{1} \xi^{n-3} \\ + &\qquad\qquad+ \dots + 2A_{n-2}, +\end{aligned} \\[-\baselineskip] +\dots& \\ +\dots& +\end{align*} +die Werte sind, welche die sogen.\ erste, zweite,~\dots\ Ableitung von~$F$ +für $x = \xi$ annimmt. + +Da speziell jede ganze Funktion~$F(x)$ mit $p$-adischen Koeffizienten +als eine abbrechende Potenzreihe angesehen werden kann, welche +also für jeden Wert des Argumentes konvergiert, so folgt hier die Entwickelbarkeit +nach Potenzen von $x - \xi$ auch direkt aus dem \aSeite{131} +bewiesenen Taylorschen Satze für Potenzreihen. + +Ist nun speziell $\xi$ eine Wurzel von $F(x) = 0$ im Körper~$K$, so wird +\index{Mehrfache Wurzeln e.\ Gleichung}% +in~\Eq{(2)} das Anfangsglied~$F(\xi)$ Null und man erhält: +\[ +\Tag{(3)} +F(x) = (x - \xi) + \DPchg{(}{\biggl(}F'(\xi) + \frac{F''(\xi)}{1·2}(x - \xi) + \dots\DPchg{)}{\biggr)} + = (x - \xi)·F_{1}(x), +\] +\dh\ $F(x)$ ist durch den Linearfaktor $x - \xi$ teilbar. Ist umgekehrt +die letzte Gleichung erfüllt, so ergibt sich aus ihr, wenn man $x = \xi$ +setzt, $F(\xi) = 0$, \dh\ $\xi$~ist eine Wurzel der Gleichung $F(x) = 0$. + +\begin{Theorem} +Die Gleichung $F(x) = 0$ besitzt also stets und nur dann die +Wurzel $x = \xi$, wenn ihre linke Seite durch den zugehörigen +Linearfaktor $x - \xi$ teilbar ist. +\end{Theorem} + +So ergibt sich \zB\ für die vorher als Beispiel angeführten Gleichungen: +\begin{align*}%[** TN: Not aligned in the original] +x^{2} + 1 + &= (x-2\MathOrd{,}1\,2\,1\,3\,4\dots) + (x-3\MathOrd{,}3\,2\,3\,1\,0\dots)\ (5), \\ +x^{3} - 2 + &= (x-3\MathOrd{,}0\,2\,2\,3\dots) + (x^{2}+3\MathOrd{,}0\,2\,2\,3\dots x+4\MathOrd{,}1\,2\,4\,4\dots)\ (5). +\end{align*} + +Die Zahl~$\xi$ heißt eine \so{$h$-fache Wurzel} unserer Gleichung, +wenn deren linke Seite durch die \Ord{$h$}{-te}~Potenz von~$x - \xi$, aber durch +keine höhere teilbar ist, wenn also eine identische Gleichung +\[ +\Tag{(4)} +F(x) = (x - \xi)^{h} F_{1}(x) +\] +besteht, in welcher die (offenbar den Grad~$n - h$ besitzende) ganze +Funktion $F_{1}(x)$ durch $x - \xi$ nicht mehr teilbar ist. Aus der Gleichung~\Eq{(4)} +folgt sofort, daß $\xi$ dann und nur dann eine $h$-fache Wurzel der +Gleichung $F(x) = 0$ ist, wenn +\PageSep{164}{148} +\[ +F(\xi) = F'(\xi) = \dots = F^{(h-1)}(\xi) = 0, \quad\text{aber}\quad +F^{(h)}(\xi) \neq 0 +\] +ist; denn allein in diesem Falle gilt ja +\[ +F(x) = (x - \xi)^{h} \left(\frac{F^{(h)}(\xi)}{h!} + + (x - \xi) \frac{F^{(h+1)}(\xi)}{(h + 1)!} + \dots\right) + = (x - \xi)^{h}·F_{1}(x), +\] +wo $F_{1}(\xi) = \dfrac{F^{(h)}(\xi)}{h!} \neq 0$ ist. Wir wollen im folgenden stets eine $h$-fache +Wurzel als äquivalent zu $h$ verschiedenen einfachen Wurzeln betrachten. + +Nach diesen Erörterungen ist es jetzt leicht, die Richtigkeit des +folgenden Satzes einzusehen: +\begin{Theorem} +Besitzt die Gleichung $F(x) = 0$, deren Koeffizienten dem +Körper~$K$ angehören, die $k$~gleichen oder verschiedenen Wurzeln +$\xi_{1}$,~$\xi_{2}$,~\dots~$\xi_{k}$ aus~$K$, so ist ihre linke Seite durch das Produkt der +$k$~zugehörigen Linearfaktoren $(x - \xi_{1})(x - \xi_{2})\dots(x - \xi_{k})$ teilbar. +Insbesondere kann daher eine Gleichung \Ord{$n$}{-ten}~Grades, die +mindestens einen von Null verschiedenen Koeffizienten besitzt, +nie mehr als $n$ Wurzeln haben. +\end{Theorem} + +Wir wollen diesen Satz durch vollständige Induktion beweisen; +in der Tat ist er ja nach den letzten Betrachtungen im Fall einer einfachen +Wurzel~$\xi_{1}$ für $k = 1$ richtig und, falls $\xi_{1}$ allgemeiner eine $h$-fache +Wurzel ist, sogar für $k = h$. Wir setzen nun voraus, der Satz sei bereits +für einen Wert $k = m$ bewiesen, wobei offenbar die Annahme erlaubt +ist, daß unter den gleichen oder verschiedenen Wurzeln der Reihe +$\xi_{1}$,~$\xi_{2}$,~\dots~$\xi_{m}$ jede bereits so oft vorkommt, als der zugehörige Linearfaktor +in $F(x)$ enthalten ist; dann sei also schon gezeigt, daß +\[ +F(x) = (x - \xi_{1})(x - \xi_{2}) \dots (x - \xi_{m}) F_{m+1}(x) +\] +ist. Ist nun $\xi_{m+1}$~eine weitere Wurzel der Gleichung, so folgt, da $\xi_{m+1}$ +nach Voraussetzung von jeder der Wurzeln $\xi_{1}$,~$\xi_{2}$,~\dots~$\xi_{m}$ verschieden +ist, speziell für $x = \xi_{m+1}$: +\[ +F(\xi_{m+1}) = 0 + = (\xi_{m+1} - \xi_{1}) + (\xi_{m+1} - \xi_{2}) \dots + (\xi_{m+1} - \xi_{m}) F_{m+1}(\xi_{m+1}), +\] +und hieraus $F_{m+1}(\xi_{m+1}) = 0$, weil ja in einem Körper ein Produkt nur +dann verschwindet, wenn mindestens ein Faktor Null ist; $\xi_{m+1}$~ist +also eine Wurzel der Gleichung $F_{m+1}(x) = 0$, \dh\ es gilt: +\PageSep{165}{149} +\[ +F_{m+1}(x) = (x - \xi_{m+1}) F_{m+2}(x). +\] +Da somit unsere Annahme die Identität +\[ +F(x) = (x - \xi_{1})(x - \xi_{2}) \dots (x - \xi_{m})(x - \xi_{m+1}) F_{m+2}(x) +\] +zur Folge hat, so ist die erste Behauptung unseres Satzes wirklich für +jedes $k$ richtig. Ist aber unsere Gleichung vom \Ord{$n$}{-ten} Grad und besitzt +sie gerade $n$~gleiche oder verschiedene Wurzeln $\xi_{1}$,~$\xi_{2}$,~\dots~$\xi_{n}$, so ergibt +das soeben gewonnene Resultat für $k = n$ die Identität +\[ +F(x) = (x - \xi_{1})(x - \xi_{2}) \dots (x - \xi_{n}) F_{n+1}(x), +\] +wo ersichtlich $F_{n+1}(x)$ einer Konstanten und zwar dem Koeffizienten~$A_{0}$ +von $x^{n}$ gleich sein muß, wie man durch Vergleichung des Koeffizienten +von $x^{n}$ auf beiden Seiten erkennt. Da also eine $(n + 1)$-te, +von $\xi_{1}$,~$\xi_{2}$,~\dots~$\xi_{n}$ verschiedene Zahl~$\xi_{n+1}$ nur dann gleichfalls Wurzel +der Gleichung sein kann, wenn $A_{0} = F_{n+1}(x) = 0$ ist, so sieht man +sukzessive auch die Richtigkeit des zweiten Teiles unseres Satzes ein. +Insbesondere läßt sich hieraus noch die Folgerung ziehen: +\begin{Theorem} +Besitzt die Gleichung \Ord{$n$}{-ten}~Grades $F(x) = 0$ gerade $n$ voneinander +verschiedene Wurzeln, so hat auch jeder Teiler $\phi(x)$ +von $F(x) = \phi(x)\psi(x)$ genau so viele Wurzeln, als sein Grad angibt. +\end{Theorem} + +Sind nämlich $\mu$~und~$\nu$ die Grade der Faktoren $\phi(x)$~und~$\psi(x)$, so +ist $\mu + \nu = n$. Hat nun die Gleichung $F(x) = 0$ die $n$~Wurzeln +$\xi_{1}$,~$\xi_{2}$,~\dots~$\xi_{n}$, so ist für jede derselben $F(\xi_{i}) = \phi(\xi_{i})\psi(\xi_{i}) = 0$, $\xi_{i}$~ist also +eine Wurzel von $\phi(x) = 0$ oder $\psi(x) = 0$. Hätte nun die erste dieser +beiden Gleichungen weniger als $\mu$~Wurzeln~$\xi_{1}$, so müßte die andere +$\psi(x) = 0$ die übrigen als Wurzeln haben, deren Anzahl dann größer +als der Grad~$\nu$ von $\psi(x)$ wäre, und dies widerspricht dem soeben bewiesenen +Satze. Derselbe Satz gilt auch in dem Falle, daß die Gleichung +$F(x) = 0$ mehrfache Wurzeln hat, und er wird wörtlich ebenso +bewiesen. + +Als eine einfache, aber für das Folgende sehr wichtige Anwendung +betrachte ich die Gleichung +\[ +x^{m} - 1 = 0 +\] +\PageSep{166}{150} +für ein beliebiges $m$ und nehme an, daß sie in dem zugrunde gelegten +Körper $m$~Wurzeln +\[ +w_{0},\ w_{1},\ \dots\ w_{m-1} +\] +besitzt, von denen offenbar eine, etwa~$w_{0}$, gleich $1$ sein muß. Alle diese +Wurzeln sind voneinander verschieden, da sonst die durch Ableitung +gewonnene Gleichung $mx^{m-1} = 0$ die nämliche Wurzel haben müßte, +während diese nur die $(m - 1)$-fache Wurzel $x = 0$ besitzt. Diese $m$ +verschiedenen Einheitswurzeln~$w_{i}$ bilden offenbar eine Gruppe vom +\Ordsup{$m$}{-ten}~Grade; denn das Produkt~$ww'$ von zwei beliebigen Einheitswurzeln +ist, da $(ww')^{m} = w^{m} w'^{m} = 1$ ist, wieder eine solche. Das Einheitselement +dieser Gruppe ist natürlich $w_{0} = 1$. Nach dem \aSeite{106} +bewiesenen allgemeinen Satze gehört also jede Einheitswurzel~$w$ zu +einem Exponenten~$d$, wenn $d$ der kleinste positive Exponent ist, für +den $w^{d} = 1$ ist, und dieser Exponent~$d$ ist ein Teiler des Grades~$m$ +der Gruppe; dann sind in der Reihe +\[ +1,\ w,\ w^{2},\ \dots\ w^{d-1},\ \dots +\] +aller Potenzen von $w$ nur die ersten $d$ voneinander verschieden, +während die höheren Potenzen sich immer in derselben Reihenfolge +wiederholen. Es besteht also der allgemeine Satz: +\begin{Theorem} +Jede Wurzel der Gleichung $x^{m} = 1$ gehört zu einem Exponenten~$d$, +der ein Teiler von~$m$ (also eventuell auch gleich $m$ +selbst) ist. +\end{Theorem} + +Wir lösen jetzt die wichtige Frage, welche gewissermaßen die Umkehrung +des vorigen Satzes bildet: Es sei $d$ irgendein beliebiger Teiler +von~$m$; wieviele unter den $m$~Wurzeln der Gleichung $x^{m} = 1$ gehören +gerade zum Exponenten~$d$? Zur Lösung dieser Frage führen folgende +Bemerkungen: Gehört die Zahl~$w$ zum Exponenten~$d$, so genügt sie der +Gleichung $x^{d} = 1$. Ist ferner $dd' = m$, so folgt aus der Identität: +\[ +x^{m} - 1 = (x^{d} - 1)(1 + x^{d} + x^{2d} + \dots + x^{(d'-1)d}), +\] +daß $x^{d} - 1$ ein Teiler von $x^{m} - 1$ ist. Da die Gleichung $x^{m} - 1 = 0$ +nach Voraussetzung so viele Wurzeln besitzt, als ihr Grad angibt, so +gilt nach dem Satze auf voriger Seite dasselbe von $x^{d} - 1 = 0$. Gibt +es nun wenigstens eine zum Exponenten~$d$ gehörige Wurzel~$w$, so +\PageSep{167}{151} +genügen die $d$ voneinander verschiedenen Potenzen $1$,~$w$, $w^{2}$,~\dots~$w^{d-1}$ +ebenfalls der letzten Gleichung, da ja auch $(w^{k})^{d} = (w^{d})^{k} = 1$ ist. Also +ist dann identisch +\[ +x^{d} - 1 = (x - 1)(x - w) \dots (x - w^{d-1}), +\] +während diese Gleichung andere Wurzeln nicht besitzen kann. Um +nun zu finden, wieviele unter diesen Wurzeln~$w^{k}$ zum Exponenten~$d$ +gehören, bezeichnen wir den größten gemeinsamen Teiler $(k, d)$ von +$k$~und~$d$ mit~$\delta$, so daß sich ergibt: +\[ +k = k_{0}\delta,\quad d = d_{0}\delta,\quad (k_{0}, d_{0}) = 1. +\] +Soll dann +\[ +(w^{k})^{\bar{d}} = w^{k_{0}\delta\bar{d}} = 1 +\] +sein, so muß der Exponent $k_{0}\delta\bar{d}$ durch $d = d_{0}\delta$, also $k_{0}\bar{d}$ durch $d_{0}$ oder, +da $(k_{0}, d_{0}) = 1$ ist, $\bar{d}$ durch $d_{0}$ teilbar sein. Der kleinste mögliche positive +Wert von~$\bar{d}$, für welchen die obige Gleichung besteht, ist also +$d_{0} = \dfrac{d}{(k, d)}$. Die Wurzel~$w^{k}$ gehört also stets und nur dann zum Exponenten~$d$ +selbst, wenn $(k, d) = 1$, \dh\ $k$ zu $d$ teilerfremd ist. Gibt +es also überhaupt eine zum Exponenten~$d$ gehörige Wurzel~$w$, so gibt +es genau $\phi(d)$ solche Wurzeln, wenn wieder $\phi(d)$ die Anzahl der +inkongruenten Einheiten modulo~$d$, also die Anzahl derjenigen Zahlen +aus der Reihe $1$,~$2$,~\dots~$d - 1$ bedeutet, welche mit $d$ keine Primzahl +gemeinsam haben; denn die zu $d$ gehörigen Wurzeln sind alle und +nur die Potenzen~$w^{k}$ von~$w$, deren Exponent kleiner als $d$ und zu $d$ +teilerfremd ist. + +Zu jedem Teiler $d$ von $m$ als Exponent gehört also entweder gar +keine Wurzel~$w$ oder genau $\phi(d)$ Wurzeln. Ist also $\psi(d)$ die Anzahl der +zu $d$ als Exponent gehörigen Wurzeln~$w$, so ist entweder $\psi(d) = \phi(d)$ +oder $\psi(d) = 0$. Die letzte Möglichkeit nun kann nie eintreten. Denn +da jede der $m$~Wurzeln zu einem einzigen unter den Teilern von $m$ als +Exponenten gehören muß, so besteht für die sämtlichen Zahlen $\psi(d)$ +die Beziehung: +\[ +\sum_{d/m} \psi(d) = m, +\] +wo die Summation über alle Teiler $d$ von $m$ zu erstrecken ist. Da aber +\PageSep{168}{152} +nach \Seite{99}~\Eq{(12)} genau dieselbe Gleichung für die sämtlichen Zahlen +$\phi(d)$ besteht, so muß +\[ +\sum (\phi(d) - \psi(d)) = 0 +\] +sein; und weil ferner jede einzelne dieser Differenzen nur $0$ oder positiv +sein kann, so ist diese Gleichung nur dann erfüllt, wenn für jeden Teiler~$d$ +\[ +\psi(d) = \phi(d) +\] +ist. Es besteht also der Satz: +\begin{Theorem} +Zu jedem Teiler $d$ von $m$ gehören genau $\phi(d)$\; \Ord{$m$}{-te}~Einheitswurzeln. +Speziell gibt es also stets $\phi(m)$\; \Ord{$m$}{-te}~Einheitswurzeln, +welche zum Exponenten~$m$ selbst gehören; diese werden \so{primitive} +\index{Primitive!Einheitswurzeln}% +\Ord{$m$}{-te}~\so{Einheitswurzeln} genannt. +\end{Theorem} + +Da die Anzahl $\phi(d)$ aller zu $d$ teilerfremden Zahlen der Reihe +$1$,~$2$,~\dots~$d$ sicher positiv ist, weil doch mindestens die Zahl~$1$ zu ihnen +gehört, so existiert für jeden Teiler~$d$ von $m$ mindestens eine gerade +zu diesem Exponenten gehörige Wurzel unserer Gleichung. Speziell +gibt es also unter den $m$~Wurzeln mindestens eine zu $m$ selber gehörige +oder primitive Wurzel. + +Ist $w$ eine beliebige dieser primitiven Einheitswurzeln, so sind +nach der früheren Bemerkung die $m$~Zahlen +\[ +1,\ w,\ w^{2},\ \dots\ w^{m-1} +\] +$m$ voneinander verschiedene \Ord{$m$}{-te}~Einheitswurzeln, +\begin{Theorem}[\noindent] +alle \Ord{$m$}{-ten} Einheitswurzeln sind also als Potenzen einer primitiven +Einheitswurzel darstellbar. +\end{Theorem} + +Setzt man endlich in der identischen Gleichung +\[ +x^{m} - 1 = (x - w_{0})(x - w_{1}) \dots (x - w_{m-1}) +\] +$x = 0$, so ergibt sich die Gleichung: +\[ +w_{0} w_{1} \dots w_{m-1} = (-1)^{m-1}. +\] + +Ist $m$ gerade, so besitzt die Gleichung $x^{m} - 1 = 0$ auch die +Wurzel~$-1$. Ist $w$~eine primitive Wurzel dieser Gleichung, so ist +stets $\bar{w} = w^{\efrac{m}{2}} = -1$; da nämlich $\bar{w}^{2} = w^{m} = 1$ ist, so kann nur +$\bar{w} = w^{\efrac{m}{2}} = +1$ oder $-1$ sein, und der erste Fall kann nicht eintreten, +da $w$ primitive Wurzel ist. +\PageSep{169}{153} + + +\Chapter{Achtes Kapitel.} +{Die Elemente der Zahlentheorie im Körper +der $p$-adischen Zahlen.} + +\Section{§ 1.}{Die Einheitswurzeln im Körper der $p$-adischen Zahlen.} + +Nach diesen analytischen und algebraischen Vorbereitungen wende +ich mich zu einer Untersuchung der wichtigsten Fragen der elementaren +Zahlentheorie. Alle diese Fragen, welche sich, wie bereits früher +(\aSeite{17}) erwähnt wurde, auf die Multiplikation oder Division der Zahlen +beziehen, vereinfachen sich nun in wunderbarer Weise, wenn wir jeder +$p$-adischen Zahl eindeutig einen Logarithmus zuordnen können, ebenso +wie uns dies im vorigen Kapitel für die Haupteinheiten modulo~$p$ bzw.\ +modulo~$4$ bereits gelungen ist. In der Tat geht ja dann jede Frage über +das Produkt oder den Quotienten von gegebenen Zahlen in die entsprechende +Frage in bezug auf die Summe bzw.\ die Differenz ihrer +Logarithmen über, und diese ist natürlich sehr viel einfacher zu lösen +als die vorige. + +Es wird die Aufgabe dieses Kapitels sein, für alle $p$-adischen Zahlen +ihre Logarithmen zu bestimmen und mit Hilfe dieser Logarithmenrechnung +die wichtigsten Fragen der elementaren Arithmetik zu lösen. +Hier werden notwendig die $p$-adischen Einheitswurzeln gebraucht werden; +darum will ich zuerst die Frage lösen, welche Einheitswurzeln im +Körper~$K(p)$ der $p$-adischen Zahlen existieren, \dh\ für welche Exponenten~$m$ +die Gleichung +\[ +x^{m} - 1 = 0\ (p) +\] +in $K(p)$ Wurzeln hat. Ich beweise da zuerst den wichtigen Satz: +\PageSep{170}{154} +\begin{Theorem} +Ist $p$ irgendeine ungerade Primzahl, so besitzt die Gleichung +\[ +\Tag{(1)} +x^{p-1} - 1 = 0\ (p) +\] +im Körper~$K(p)$ genau $(p - 1)$ voneinander verschiedene Wurzeln, +\dh\ so viele Wurzeln, als ihr Grad angibt. +\end{Theorem} + +Ich beweise diesen Satz dadurch, daß ich ein Verfahren angebe, +für jede der $p - 1$~Zahlen $i = 1$, $2$,~\dots~$p - 1$ eine ganze $p$-adische Zahl +\[ +w_{i} = i + i_{1} p + i_{2} p^{2} + \dots +\] +mit dem Anfangsgliede~$i$ zu bilden, für welche $w_{i}^{p-1} = 1$ ist. Diese +$p - 1$~Zahlen $w_{1}$,~$w_{2}$,~\dots~$w_{p-1}$ sind dann schon modulo~$p$ inkongruent, +also sicher für den Bereich von $p$ voneinander verschieden; unser +Satz ist dann also vollständig bewiesen. + +Es sei also $i$ irgendeine der $p - 1$~Zahlen $1$,~$2$,~\dots~$p - 1$; dann genügt +sie nach dem \Name{Fermat}schen Satze für die Potenzen $p$,~$p^{2}$,~$p^{3}$,~\dots\ $p^{k+1}$,~\dots\ als +Moduln der Reihe nach den Kongruenzen: +\begin{align*} +i^{\phi(p)} = i^{p-1} &\equiv 1 \quad(\mod.~p) \\ +i^{\phi(p^{2})} = i^{p(p-1)} &\equiv 1 \quad(\mod.~p^{2}) \\ +i^{\phi(p^{3})} = i^{p^{2}(p-1)} &\equiv 1 \quad(\mod.~p^{3}) \\ +\PadTo[l]{i^{(p)} = i^{p^{2}(p-1)}}{\vdots} & \\ +\Tag{(2)} +i^{\phi(p^{k+1})} = i^{p^{k}(p-1)} &\equiv 1 \quad(\mod.~p^{k+1}) \\ +\PadTo[l]{i^{(p)} = i^{p^{2}(p-1)}}{\vdots} & +\end{align*} + +Schreibt man diese Kongruenzen allgemein in der Form +\[ +\Tag{(2^{a})} +\frac{i^{p^{k+1}}}{i^{p^{k}}} \equiv 1 \quad\text{oder}\quad +i^{p^{k+1}} \equiv i^{p^{k}} \quad(\mod.~p^{k+1}), +\] +so erkennt man, daß sich die Potenzen +\[ +\Tag{(3)} +i,\ i^{p},\ i^{p^{2}},\ i^{p^{3}},\ \dots +\] +für den Bereich von $p$ einer Grenze $w_{i}$ nähern, welche eine wohlbestimmte +$p$-adische Zahl ist und mit jeder vorgegebenen Genauigkeit +berechnet werden kann. Bildet man nämlich die Reihe +\[ +\Tag{(4)} +w_{i} = i + (i^{p} - i) + (i^{p^{2}} - i^{p}) + \dots \quad(p) +\] +\PageSep{171}{155} +und beachtet dabei, daß nach \Eq{(2^{a})} allgemein $i^{p^{k+1}} - i^{p^{k}} = i_{k+1} p^{k+1}$ +gesetzt werden kann, so ergibt sich für $w_{i}$ die $p$-adische Darstellung: +\[ +\Tag{(5)} +w_{i} = i + i_{1} p + i_{2} p^{2} + \dots\ (p); +\] +andererseits sind die Näherungswerte von $w_{i}$ folgende: +\[ +\Tag{(5^{a})} +w_{i}^{(0)} = i,\quad +w_{i}^{(1)} = i + (i^{p} - i) = i^{p},\ \dots\quad +w_{i}^{(k)} = i^{p^{k}},\ \dots. +\] + +Hieraus folgt, daß die so bestimmte Zahl~$w_{i}$ der Gleichung +\[ +w_{i}^{p-1} = 1\ (p) +\] +genügt, weil nach \Eq{(2)} für jede noch so hohe Potenz von $p$ als Modul +für die Näherungswerte von $w_{i}$ die Kongruenz besteht: +\[ +(w_{i}^{(k)})^{p-1} = i^{p^{k}(p-1)} \equiv 1\ (\mod.~p^{k+1}). +\] + +Jede der $p - 1$ verschiedenen $p$-adischen Zahlen $w_{1}$,~$w_{2}$,~\dots~$w_{p-1}$ +ist also in der Tat eine Wurzel der Gleichung +\[ +x^{p-1} - 1 = 0\ (p) +\] +und nach dem Satze \aSeite{148} kann diese auch nicht mehr Wurzeln als +die angegebenen besitzen; im Körper~$K(p)$ gibt es somit genau~$p - 1$ +$(p - 1)$-te Einheitswurzeln $w_{1}$,~$w_{2}$,~\dots~$w_{p-1}$, wobei der Index~$i$ jedesmal +das Anfangsglied der $p$-adischen Darstellung~\Eq{(4)} von $w_{i}$ bedeutet. + +Anstatt die $(p - 1)$ Einheitswurzeln~$w_{i}$ durch die unendlichen Reihen~\Eq{(4)} +darzustellen, kann man sie auch durch die unendlichen Produkte +\[ +\Tag{(6)} +\begin{aligned} +\frac{i}{1}·\frac{i^{p}}{i}·\frac{i^{p^{2}}}{i^{p}} \dots + &= i^{1}·i^{\phi(p)}·i^{\phi(p^{2})}·i^{\phi(p^{3})} \dots \\ + &= i^{1+\phi(p)+\phi(p^{2})+\dots}\ (p) +\end{aligned} +\] +definieren. Da nämlich für jeden Faktor derselben nach dem Fermatschen +Satze: +\[ +i^{\phi(p^{k+1})} = i^{p^{k+1}-p^{k}} = 1 + i_{k+1} p^{k+1} +\] +ist, so konvergieren jene Produkte unbedingt, und ihre Näherungswerte +sind der Reihe nach: +\[ +\frac{i}{1} = i,\quad +\frac{i}{1}·\frac{i^{p}}{i} = i^{p},\quad +\frac{i}{1}·\frac{i^{p}}{i}·\frac{i^{p^{2}}}{i^{p}} = i^{p^{2}},\ \dots, +\] +\PageSep{172}{156} +stimmen also mit den in \Eq{(5^{a})} angegebenen Näherungswerten der Einheitswurzeln +$w_{i}$ überein. + +Von den $(p - 1)$-ten Einheitswurzeln $w_{1}$,~$w_{2}$,~\dots~$w_{p-1}$ sind die erste +und die letzte stets rationale Zahlen; in der Tat ist ja +\[ +w_{1} = 1 + (1^{p} - 1) + \dots = 1, +\] +und da auch $(-1)^{p-1} = 1$ ist, so muß die zu $-1$ modulo~$p$ kongruente +Einheitswurzel $w_{p-1} = -1$ sein. Dagegen sind die anderen $p - 3$ +Wurzeln offenbar keine rationalen Zahlen. + +So besitzt \zB\ die Gleichung: +\[ +x^{6} - 1 = 0\ (7) +\] +die sechs Wurzeln: +\[ +\Tag{(7)} +\begin{aligned} +w_{1} &= 1\MathOrd{,}00\,00 \dots; &w_{2} &= 2\MathOrd{,}46\,30\dots; &w_{3} &= 3\MathOrd{,}46\,30 \dots ;\\ +w_{4} &= 4\MathOrd{,}20\,36 \dots; &w_{5} &= 5\MathOrd{,}20\,36\dots; &w_{6} &= 6\MathOrd{,}66\,66 \dots = -1. +\end{aligned} +\] + +Aus den soeben durchgeführten Betrachtungen hat sich ergeben, +daß die Gleichung $x^{m} - 1 = 0\ (p)$ für $m = p - 1$ im Körper der +$p$-adischen Zahlen so viele Wurzeln hat, als ihr Grad angibt. Hieraus +folgt also, daß alle \aSeite{149}~ff.\ über die \Ord{$m$}{-ten} Einheitswurzeln bewiesenen +Sätze für diese $(p - 1)$-ten Einheitswurzeln gültig sind. Hiernach +können wir also die folgenden Sätze über diese Zahlen +$w_{1}$,~$w_{2}$,~\dots~$w_{p-1}$ aussprechen: +\begin{Theorem} +Jede $(p - 1)$-te Einheitswurzel~$w$ gehört zu einem Teiler $d$ von +$p - 1$ als Exponenten, \dh\ $d$~ist die kleinste positive Zahl, für welche +$w^{d} = 1\ (p)$ ist; umgekehrt existieren zu jedem Teiler $d$ von $p - 1$ +genau $\phi(d)$ unter jenen Einheitswurzeln, die gerade zum Exponenten~$d$ +gehören. Ist speziell $w$ eine der $\phi(p - 1)$ primitiven +$(p - 1)$-ten Einheitswurzeln, so sind alle $p - 1$~Wurzeln in der +Reihe +\[ +1,\ w,\ w^{2},\ \dots\ w^{p-2} +\] +enthalten. +\end{Theorem} + +Will man also für ein bestimmtes $p$ alle $(p - 1)$-ten Einheitswurzeln +bis auf eine bestimmte Anzahl von Stellen berechnen, so genügt es, +dies für eine der \emph{primitiven} Wurzeln~$w$ zu tun; alle anderen findet man +\PageSep{173}{157} +einfach durch Potenzieren von~$w$ und erhält überdies eine einfache +Probe für die Richtigkeit der Rechnung dadurch, daß sich zuletzt +$w^{p-1} = 1\MathOrd{,}000 \dots$ ergeben muß. + +So ist \zB\ für die Grundzahl $p = 13$\; $w = w_{6} = 6\MathOrd{,}1\,9\,10\,3 \dots$ eine +primitive Wurzel, woraus durch Potenzieren folgt: $w^{2} = 10\MathOrd{,}1\,6\,3\,5 \dots$ +usw. Zur leichteren Berechnung dieser primitiven Wurzel bemerke +ich noch, daß \zB\ für $p = 13$ aus der Zerlegung +\[ +x^{12} - 1 = (x^{6} - 1) (x^{2} + 1) (x^{4} - x^{2} + 1) +\] +leicht folgt, daß die $\phi(12) = 4$ primitiven zwölften Einheitswurzeln +der Gleichung +\[ +x^{4} - x^{2} + 1 = 0\ (13) +\] +genügen. Also ist eine dieser Wurzeln +\[ +x = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{-3}}{2}}\ (13) +\] +und sie kann hiernach leicht berechnet werden. Die Rechnung werde +hier beispielshalber ausführlich wiedergegeben; man sieht leicht, daß +das benutzte Verfahren der Quadratwurzelausziehung genau analog +dem für gewöhnliche Zahlen üblichen ist, und daß auch hier das abgekürzte +Verfahren zur Wurzelberechnung angewendet werden kann. +\begin{gather*} +\begin{array}{rcl*{5}{@{\,}r}@{\,}ll} +\sqrt{-3} ={} + &\multicolumn{1}{l}{ + \rlap{$\sqrt{10\MathOrd{,}12\,12\,12 \dots} + = 6\MathOrd{,} 3\,12\:6\,10 \dots\ (13)$}} \\ + &\phantom{\surd} + &10& 2 \\ +\cline{3-8}\Strut%[** TN: Extended bar to col 8 (col 4 in the original)] + & & &10&12&12\rlap{\,$\dots$} &&&: 12 \\ + & & &10&11 \\ +\cline{4-8}\Strut%[** TN: To col 5 in the original] + & & & & 1&12&12&12 &\dots &: 12\:6 \\ + & & & & 1& 5& 7&11 & \\ +\cline{5-8}\Strut + & & & & & 7& 5& 1 &\dots &: 12\:6\,11 \\ + & & & & & 7& 2& 4 &\dots \\ +\cline{6-8}\Strut + & & & & & & 3&10 &\dots &: 12\dots +\end{array} \dbrk +\frac{1 + \sqrt{-3}}{2} + = \frac{7\MathOrd{,}3\,12\,6\,10\dots}{2} + = 10\MathOrd{,}1\,6\,3\,5\dots +\end{gather*} +also ergibt sich: +\PageSep{174}{158} +\[ +\begin{array}{rcl*{4}{@{\,}r}*{2}{@{\,}l}} +w_{6} ={} + &\multicolumn{1}{l}{ + \rlap{$\sqrt{10\MathOrd{,}\,\Z1\,\Z6\,\Z3\,\Z5\dots} + = 6\MathOrd{,}\, 1\,9\,10\,3\dots$}} \\ + &\phantom{\surd} + &10\MathOrd{,} + & 2 \\ +\cline{3-8}\Strut + & & &12&\Z5&\Z3& 5& \dots &: 12 \\ + & & &12& 1 \\ +\cline{4-8}\Strut + & & & & 4& 3& 5& \dots &: 12\MathOrd{,} 2 \\ + & & & & 4& 0& 5 \\ +\cline{5-8}\Strut + & & & & & 3& 0& \dots &: 12\MathOrd{,} 2 \dots \\ + & & & & & 3& 3& \dots \\ +\cline{6-8}\Strut + & & & & & &10& \dots &: 12 \dots \\ + & & & & & &10 \\ +\cline{7-8}\Strut + & & & & & & 0& \dots +\end{array} +\] + +Durch Potenzieren von $w = w_{6}$ finden wir sämtliche Wurzeln der +Gleichung $x^{12} - 1 = 0\ (13)$ folgendermaßen: +{\small +\begin{alignat*}{6} +w^{0} &= w_{1} &&= 1\MathOrd{,}0\,0\,0\,0· & +w^{4} &= w_{9} &&= 9\MathOrd{,}1\,6\,3\,5· & +w^{8} &= w_{3} &&= 3\MathOrd{,}11\,6\,9\,7· \\ +w &=w_{6} &&= 6\MathOrd{,}1\,9\,10\,3· & +w^{5} &= w_{2} &&= 2\MathOrd{,}6\,2\,2\,4· & +w^{9} &= w_{5} &&= 5\MathOrd{,}5\,1\,0\,5· \\ +w^{2} &= w_{10}&&=10\MathOrd{,}1\,6\,3\,5· & +w^{6} &= w_{12}&&=12\MathOrd{,}12\,12\,12\,12·\ & +w^{10} &= w_{4} &&= 4\MathOrd{,}11\,6\,9\,7· \\ +w^{3} &= w_{8} &&= 8\MathOrd{,}7\,11\,12\,7·\ & +w^{7} &= w_{7} &&= 7\MathOrd{,}11\,3\,2\,9· & +w^{11} &= w_{11} &&= 11\MathOrd{,}6\,10\,10\,8· +\end{alignat*}}% +und durch nochmalige Multiplikation mit $w$ erhalten wir als Probe +auf $4$ Stellen genau: +\[ +w^{12} = 1\MathOrd{,}0\,0\,0\,0\dots\DPtypo{}{.} +\] + +Es werde endlich bemerkt, daß für den Bereich der geraden Primzahl~$2$ +die beiden dyadischen Einheitswurzeln $+1$~und~$-1$ vorhanden +sind, welche die beiden Wurzeln der quadratischen Gleichung: +\[ +x^{2} - 1 = 0\ (2) +\] +sind. Von ihnen ist $w = -1$ die primitive Wurzel, da beide Wurzeln +durch sie als $w^{0} = 1$, $w^{1} = -1$ darstellbar sind. Im Falle $p = 2$ sind +die beiden Einheitswurzeln $+1$~und~$-1$ modulo~$2$ kongruent und erst +modulo~$2^{2}$ inkongruent, während für ein ungerades $p$ alle Einheitswurzeln +bereits modulo~$p$ inkongruent sind. Erst später werde ich +beweisen, daß für ein beliebiges $p$ der Körper~$K(p)$ der $p$-adischen +Zahlen außer den hier angegebenen überhaupt keine anderen Einheitswurzeln +enthält. +\PageSep{175}{159} + + +\Section{§ 2.}{Die Einheitswurzeln sind die Invarianten der Kongruenzklassen +modulo~$p$.} + +Die im vorigen Paragraphen gefundenen Resultate können wesentlich +verallgemeinert werden, und dabei ergibt sich dann eine wichtige +Beziehung der soeben betrachteten Einheitswurzeln zu den früher untersuchten +Kongruenzklassen modulo~$p$. + +Es sei +\[ +A = a + a'p + a''p^{2} + \dots +\] +eine ganz beliebige ganze $p$-adische Zahl, deren Anfangsglied~$a$ eine +der $p$~Zahlen $0$,~$1$,~\dots~$p - 1$ sein kann. Bildet man dann aus ihr +genau wie in~\Eq{(4)} des vorigen Paragraphen die Reihe: +\[ +\Tag{(1)} +A + (A^{p} - A) + (A^{p^{2}} - A^{p}) + \dots +\] +oder wie in \Eq{(6)} das unendliche Produkt: +\[ +\Tag{(1^{a})} +\frac{A}{1}·\frac{A^{p}}{A}·\frac{A^{p^{2}}}{A^{p}}\dots, +\] +so beweist man wörtlich ebenso wie \aaO, daß sie beide unbedingt, +und zwar gegen denselben Grenzwert~$w_{A}$ konvergieren. In der Tat +haben beide Zahlgrößen dieselben Näherungswerte, nämlich die Zahlen +\[ +A,\ A^{p},\ A^{p^{2}},\ \dots, +\] +und diese konvergieren, falls $A$ durch $p$ teilbar ist, offenbar gegen den +Grenzwert Null. Ist dagegen $A$ eine Einheit modulo~$p$, so folgt aus +dem dann gültigen Fermatschen Satz für eine beliebig hohe Potenz~$p^{k+1}$ +von~$p$, daß wieder die Kongruenz +\[ +(A^{p^{k}})^{p-1} \equiv 1\ (\mod.~p^{k+1}) +\] +besteht. In diesem Falle ist also der Grenzwert~$w_{A}$ wieder eine der +$p - 1$ Wurzeln der Gleichung $x^{p-1} - 1 = 0$ und zwar offenbar gleich +derjenigen Einheitswurzel~$w_{a}$, deren Index gleich dem Anfangsgliede +von $A = a$, $a'$,~$a''$~\dots\ ist. + +Durch diese Reihen- oder Produktbildung gelangt man also ausgehend +von einer beliebigen ganzen $p$-adischen Zahl~$A$ stets zu +einem der $p$~Grenzwerte +\PageSep{176}{160} +\[ +\Tag{(2)} +w_{0} = 0,\quad +w_{1},\quad +w_{2},\ \dots\ +w_{p-1}, +\] +und zwar führen alle und nur die modulo~$p$ kongruenten Zahlen $A$, $A'$, +$A''$,~\dots, welche also zu derselben Kongruenzklasse~$C_{a}$ modulo~$p$ gehören, +zu demselben Grenzwerte~$w_{a}$. Man kann daher diese $p$~Zahlen \Eq{(2)} +als \so{die Invarianten der $p$~Kongruenzklassen} +\index{Invariante e.\ Kongruenzklasse modulo~$p$}% +\[ +C_{0},\quad +C_{1},\quad +C_{2},\ \dots\ +C_{p-1} +\] +modulo~$p$ bezeichnen. + +Diese $p$~Invarianten sind die $p$~Wurzeln der rationalen Gleichung: +\[ +\Tag{(3)} +x^{p} - x = x(x^{p-1} - 1) = (x - w_{0})(x - w_{1}) \dots (x - w_{p-1}) = 0. +\] +Die Untersuchung dieser Gleichung führt auf eine größere Anzahl von +Folgerungen für die Kongruenzklassen modulo~$p$. + +Betrachtet man nämlich irgendeine zwischen den Invarianten +$(w_{0}, w_{1}, \dots w_{p-1})$ bestehende ganze rationale Gleichung mit ganzzahligen +Koeffizienten +\[ +\Tag{(4)} +F(w_{0}, w_{1}, \dots w_{p-1}) = 0\ (p) +\] +als Kongruenz modulo~$p$, so ergibt sich die folgende Kongruenz zwischen +den Zahlen $(0, 1, 2, \dots p - 1)$: +\[ +\Tag{(4^{a})} +F(0, 1, \dots p - 1) \equiv 0\ (\mod.~p). +\] +Jeder solchen Gleichung zwischen den Zahlen~$w_{i}$ entspricht also eine +Kongruenz zwischen ihren Anfangsgliedern. Ãœbertragen wir so die +\aSeite{156}~ff.\ bewiesenen Sätze über die Einheitswurzeln $w_{1}$,~$w_{2}$,~\dots~$w_{p-1}$ +auf ihre Anfangsglieder $1$,~$2$,~\dots~$p - 1$, so ergeben sich die folgenden +Sätze: +\begin{Theorem} +Alle Einheiten modulo~$p$ genügen der Kongruenz: +\[ +x^{p-1} - 1 \equiv 0\ (\mod.~p), +\] +\dh\ es besteht für ein variables $x$ die Zerlegung +\[ +\Tag{(4^{b})} +x^{p-1} - 1 \equiv (x - 1)(x - 2) \dots (x - (p-1))\ (\mod.~p). +\] +Für $x = 0$ ergibt sich aus ihr die Kongruenz: +\[ +\Tag{(4^{c})} +(p - 1)! = 1·2 \dots (p - 1) \equiv -1\ (\mod.~p), +\] +\PageSep{177}{161} +der sog.\ \Name{Wilson}sche Satz für Primzahlen. Jede durch $p$ nicht teilbare +Zahl~$a$ gehört modulo~$p$ zu einem Teiler~$d$ von~$p - 1$, \dh\ $d$ +ist die kleinste positive Zahl, für welche +\[ +\Tag{(5)} +a^{d} \equiv 1\ (\mod.~p) +\] +ist. Umgekehrt existieren zu jedem Teiler~$d$ von $p - 1$ genau $\phi(d)$ +modulo~$p$ inkongruente Zahlen, welche gerade zum Exponenten~$d$ +gehören; sie sind kongruent denjenigen $\phi(d)$ Einheitswurzeln, +%[** TN: Next six lines are theorem-indented in the original] +welche zum Exponenten~$d$ gehören. Speziell gibt es also genau +$\phi(p - 1)$ inkongruente Zahlen~$g$, welche zum höchsten Exponenten +$p - 1$ selbst gehören. Diese werden \so{primitive Wurzeln modulo~$p$} +\index{Primitive!Wurzeln modulo~$p$}% +genannt. Sie sind kongruent den Anfangsgliedern der $\phi(p - 1)$ +primitiven $(p - 1)$-ten Einheitswurzeln~$w_{g}$. Ist $g$ eine primitive +Wurzel modulo~$p$, so sind alle $p - 1$~Potenzen +\[ +\Tag{(6)} +1,\quad g,\quad g^{2},\ \dots\ g^{p-2} +\] +modulo~$p$ inkongruent; sie sind also den $p - 1$ inkongruenten Einheiten +$1$,~$2$,~\dots~$p - 1$, abgesehen von der Reihenfolge, modulo~$p$ +kongruent. +\end{Theorem} + +Auf diese Fragen werde ich sehr bald (\aSeite{170}~ff.)\ genauer einzugehen +haben, wenn die entsprechenden Resultate für eine Primzahlpotenz +$p^{k}$ als Modul abzuleiten sind. + + +\Section{§ 3.}{Die Logarithmen der $p$-adischen Zahlen.} + +Da für jedes ungerade $p$ die $p$~Zahlen $w_{0}$,~$w_{1}$,~\dots~$w_{p-1}$ ebenso +wie die ihnen kongruenten Zahlen $0$,~$1$,~\dots~$p - 1$ ein vollständiges +Restsystem modulo~$p$ bilden, so können auch sie als Koeffizienten +bei der Darstellung der $p$-adischen Zahlen benutzt werden, und dies +soll immer dann geschehen, wenn eine theoretisch möglichst einfache +Darstellung gebraucht wird. + +\begin{Theorem} +Jede von Null verschiedene $p$-adische Zahl kann also stets +und nur auf eine Weise in der Form +\[ +A = w^{(\alpha)} p^{\alpha} + w^{(\alpha+1)} p^{\alpha+1} + \dots +\] +dargestellt werden, wo $w^{(\alpha)}$,~$w^{(\alpha+1)}$,~\dots\ Wurzeln der Gleichung +\PageSep{178}{162} +$x^{p} - x = 0$, \dh\ $(p - 1)$-te Einheitswurzeln oder Null bedeuten +und $w^{(\alpha)} \neq 0$ ist. +\end{Theorem} + +Diese Form von $A$ führt uns nun sofort zu der gesuchten logarithmischen +Darstellung einer beliebigen $p$-adischen Zahl, falls $p$~eine beliebige +\emph{ungerade} Primzahl ist. Schreibt man nämlich $A$ in der Form: +\[ +A = w^{(\alpha)} p^{\alpha} (1 + w_{1} p + w_{2} p^{2} + \dots), +\] +wo auch $w_{1} = \dfrac{w^{(\alpha+1)}}{w^{(\alpha)}}$,~\dots\ Einheitswurzeln oder Null sind, so ist der +eingeklammerte Teil eine Haupteinheit, welcher nach dem auf \Seite{143} +bewiesenen Satze in der Form~$e^{\gamma}$ dargestellt werden kann, wo $\gamma$~eine +durch $p$ teilbare $p$-adische Zahl bedeutet. Ferner ist $w^{(\alpha)}$ eine $(p - 1)$-te +Einheitswurzel, also gleich einer Potenz~$w^{\beta}$ einer ein für alle Male +fest gewählten primitiven Wurzel~$w$. Es ergibt sich somit der folgende +Fundamentalsatz: +\begin{Theorem} +Jede von Null verschiedene $p$-adische Zahl läßt sich, falls $p$~eine +beliebige ungerade Primzahl und $w$~eine beliebig, aber fest +gewählte primitive $(p - 1)$-te Einheitswurzel ist, in der Form: +\[ +A = p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma} +\] +darstellen, wo $\alpha$~und~$\beta$ gewöhnliche ganze Zahlen bedeuten, und +$\gamma$~eine mindestens durch $p$ teilbare $p$-adische Zahl ist. +\end{Theorem} + +Die Exponenten $\alpha$~und~$\gamma$ sind eindeutig bestimmt, während $\beta$ wegen +$w^{p-1} = 1$ nur bis auf ein beliebiges Vielfaches von $p - 1$ bestimmt ist. +Beschränkt man $\beta$ also auf die Zahlen $0$,~$1$,~\dots~$p - 2$, so ist das ganze +Exponentensystem $(\alpha, \beta, \gamma)$ durch $A$ eindeutig festgelegt. + +Auch für die eine \emph{gerade} Primzahl~$2$ existiert genau dieselbe Darstellung; +nur hat da die Zahl~$w$ eine etwas andere Bedeutung. Für den +Bereich von $2$ ist nämlich jede Einheit in der reduzierten Form +\[ +\epsilon + = 1\MathOrd{,}\epsilon_{1}\,\epsilon_{2}\,\epsilon_{3} \dots + = 1 + \epsilon_{1}·2 + \epsilon_{2}·2^{2} + \dots\ (2), +\] +in der die Koeffizienten $\epsilon_{i}$ nur $0$ oder $1$ sein können, eine Haupteinheit +modulo~$2$. Von den beiden Einheiten +\[ +%[** TN: Semantic display, but easier to handle as an array] +\begin{array}{r@{\,}c@{\,}l*{3}{@{\ }c}@{\,}l} + \epsilon &=& 1, &\epsilon_{1} &\epsilon_{2} &\epsilon_{3} &\dots \\ +-\epsilon &=& 1, &1{-}\epsilon_{1}&1{-}\epsilon_{2}&1{-}\epsilon_{3}&\dots +\end{array} +\] +\PageSep{179}{163} +ist dann eine einzige auch eine Haupteinheit modulo~$4$, nämlich $\epsilon$ selbst +\index{Haupteinheit!zu e.\ $p$-adischen Zahl gehörige}% +oder~$-\epsilon$, je nachdem $\epsilon_{1} = 0$ oder $1$ ist. Jede von Null verschiedene +dyadische Zahl kann also auf eine einzige Weise in der Form geschrieben +werden +\[ +A = 2^{\alpha} (-1)^{\beta} (1 + e_{2}·2^{2} + e_{3}·2^{3} + \dots), +\] +wo $2^{\alpha}$ die größte in ihr enthaltene Potenz von~$2$, $\beta = 0$ oder $1$ ist, und +die in der Klammer stehende Reihe eine eindeutig bestimmte Haupteinheit +modulo~$4$ bedeutet. Diese letztere kann nun nach \Seite{143} +wieder gleich $e^{\gamma}$ gesetzt werden, wo $\gamma$ ein Multiplum von $4$ ist. Setzt +man also in diesem Falle $(-1) = w$, so hat man auch hier die Darstellung +\[ +A = 2^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma}, +\] +wo jetzt der zweite Exponent nur modulo~$2$ bestimmt ist, während +die ganze Zahl~$\alpha$ und die dyadische Zahl $\gamma = 4\gamma_{0}$ eindeutig durch $A$ +gegeben sind. +\begin{Theorem} +Ist also $p$~eine beliebige Primzahl, so besteht für jede von +Null verschiedene $p$-adische Zahl~$A$ die Exponentialdarstellung +\[ +\Tag{(1)} +A = p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma}, +\] +in der $w$ eine primitive $(p - 1)$-te Einheitswurzel für ein ungerades +\index{Einheitswurzel, zu e.\ $p$-adischen Zahl gehörige}% +$p$ ist, während $w$ die primitive zweite Einheitswurzel, nämlich~$-1$, +für $p = 2$ bedeutet. In jedem Falle ist $\alpha$ die Ordnungszahl von~$A$, +$\gamma$~der Logarithmus der zu $A$ gehörigen Haupteinheit. +\end{Theorem} + +Bei dieser Darstellung ist der erste Faktor +\[ +|A| = p^{\alpha} +\] +der \aSeite{108} definierte absolute Betrag der Zahl~$A$; der zweite Faktor~$w^{\beta}$ +soll \so{die zu $A$ gehörige Einheitswurzel} heißen; +endlich soll der Exponentialfaktor~$e^{\gamma}$ als \so{die zu $A$ gehörige +Haupteinheit} bezeichnet werden. Wir wählen im folgenden die +primitive Einheitswurzel~$w$ unter den $\phi(p - 1)$ vorhandenen ein für alle +Mal willkürlich, aber fest aus. Von den drei Exponenten $\alpha$,~$\beta$,~$\gamma$, durch +die $A$ dann eindeutig bestimmt ist, ist der erste die Ordnungszahl von~$A$, +der zweite soll \so{der Index},\index{Index!einer $p$-adischen Zahl}% +der dritte \so{der zu $A$ gehörige +%\PageSep{180}{164} +Logarithmus der Haupteinheit} oder \so{der Hauptlogarithmus +von~$A$} genannt werden.\PageLabel{164} +\index{Hauptlogarithmus!e.\ $p$-adischen Zahl}% +\index{Logarithmus!e.\ $p$-adischen Zahl}% + +Wir wollen nun im folgenden das zu einer beliebigen Zahl +$A = p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma}$ gehörige Exponentensystem $(\alpha, \beta, \gamma)$ den \so{Logarithmus +von~$A$} (für den Bereich von~$p$) nennen und durch $\lg_{p} A$ +oder, wo kein Mißverständnis zu befürchten ist, ohne den Index~$p$ durch +\[ +\Tag{(2)} +\lg A = (\alpha, \beta, \gamma) +\] +bezeichnen. + +Dann gehört zu jeder $p$-adischen Zahl~$A$ ein Logarithmus $(\alpha, \beta, \gamma)$, +und da ja $w^{k(p-1)} = 1$ ist, da somit allgemeiner +\[ +A = p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma} = p^{\alpha} w^{\beta+k(p-1)} e^{\gamma} +\] +ist, so gehören zu jeder Zahl~$A$ unendlich viele Logarithmen +\[ +\Tag{(2^{a})} +\lg A = (\alpha, \beta + k(p-1), \gamma), +\] +welche aus einem unter ihnen durch Vermehrung des zweiten Exponenten +um ein beliebiges Multiplum von $(p - 1)$ hervorgehen. Speziell +besitzt die Zahl $1 = p^{0} w^{0} e^{0}$ den Logarithmus $(0, 0, 0)$ und allgemeiner +die Logarithmen $(0, k(p - 1), 0)$, und da die Gleichung +\[ +p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma} +%[** TN: Small parentheses in the original] + = p^{\alpha} w^{\beta} (1 + \frac{\gamma}{1} + \dots) = 1 +\] +dann und nur dann erfüllt ist, wenn $\alpha = 0$, $\beta = k(p - 1)$, $\gamma = 0$ +\Errata{st}{ist}, so folgt, daß dann und nur dann $A = 1$ ist, wenn $\lg A = +(0, k(p - 1), 0)$ ist. Es ist also stets $\lg(1) = (0, 0, 0) = (0, k(p - 1), 0)$. +Hieraus ergibt sich sofort der allgemeine Satz: +\begin{Theorem} +Zwei $p$-adische Zahlen sind dann und nur dann gleich, wenn +sich ihre Logarithmen nur im zweiten Exponenten um ein Vielfaches +von $p - 1$ unterscheiden. +\end{Theorem} + +In der Tat folgt ja aus der Gleichung +\[ +A = p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma} = A' = p^{\alpha'} w^{\beta'} e^{\gamma'}, +\] +daß +\[ +\frac{A}{A'} = p^{\alpha-\alpha'} w^{\beta-\beta'} e^{\gamma-\gamma'} = 1, +\] +\PageSep{181}{165} +also $\alpha = \alpha'$, $\gamma = \gamma'$, $\beta = \beta' + k(p - 1)$ sein muß. + +Ferner hat $0$ den Logarithmus +\[ +\Tag{(3)} +\lg (0) = (+\infty, \beta ,\gamma), +\] +wo $\beta$ und $\gamma$ beliebig gewählt werden können. + +Umgekehrt gehört zu jedem Logarithmus $(\alpha, \beta, \gamma)$, dessen erster +Exponent~$\alpha$ nur nicht negativ unendlich ist, eine eindeutig bestimmte +$p$-adische Zahl $A = p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma}$, deren Logarithmus gleich $(\alpha, \beta, \gamma)$ ist und +welche \so{der Numerus von~$(\alpha, \beta, \gamma)$} genannt werden soll. Zu +\index{Numerus e.\ Logarithmus}% +$(-\infty, \beta, \gamma)$ gehört keine $p$-adische Zahl, da eine solche ja niemals +eine negativ unendliche Ordnungszahl besitzt. + +Wir wollen auch für die Logarithmen die Gleichheit und eine Verknüpfungsoperation +\index{Gleichheit!der Logarithmen}% +definieren, welche wir \so{Addition} nennen wollen, +und von der sofort zu sehen ist, daß für sie die Grundeigenschaften +der Addition gelten, sowie daß im Bereiche der Logarithmen die Addition +unbeschränkt und eindeutig ausführbar ist. + +\begin{Theorem} +Zwei Logarithmen +\[ +a = (\alpha, \beta, \gamma) \qquad a' = (\alpha', \beta', \gamma') +\] +heißen dann und nur dann \so{gleich} $(a = a')$, wenn ihre ersten und +dritten Exponenten beziehlich gleich sind und ihre zweiten Exponenten +sich um ein Multiplum von~$p - 1$ unterscheiden, \dh\ modulo~$(p - 1)$ +kongruent sind; ferner auch, wenn $\alpha = \alpha' = \infty$ ist. + +Sind +\[ +a = (\alpha, \beta, \gamma) \quad\text{und}\quad a' = (\alpha', \beta', \gamma') +\] +zwei beliebige Logarithmen, so wollen wir unter der \so{Summe}~$a + a'$ +\index{Summe!der Logarithmen}% +derselben den Logarithmus: +\[ +a + a' = (\alpha + \alpha', \beta + \beta', \gamma + \gamma') +\] +verstehen. +\end{Theorem} + +Offenbar ist die so definierte Addition der Logarithmen eine assoziative +\index{Addition der Logarithmen}% +und kommutative Operation und für sie besteht, wenn man +$\lg (0) = (+\infty, \beta, \gamma)$ als Subtrahendus ausschließt, das Gesetz der unbeschränkten +und eindeutigen Subtraktion: Sind nämlich $a = (\alpha, \beta, \gamma)$ +\PageSep{182}{166} +und $a' = (\alpha', \beta', \gamma')$ zwei beliebige Logarithmen, so gibt es, falls $a$ nicht +$\lg (0)$ ist, einen einzigen Logarithmus $x = (\xi, \eta, \zeta)$, für welchen +\[ +a + x = a' +\] +wird, nämlich den Logarithmus +\[ +x = (\alpha' - \alpha, \beta' - \beta, \gamma' - \gamma). +\] +Dieser soll also die \so{Differenz} der Logarithmen $a'$~und~$a$ genannt und +\index{Differenz der Logarithmen}% +durch $a' - a$ bezeichnet werden. + +Ist dagegen $a = \lg (0)$, $a' \neq \lg (0)$, so besitzt die Gleichung +\[ +(+\infty, \beta, \gamma) + (\xi, \eta, \zeta) = (\alpha', \beta', \gamma') +\] +im Bereiche der Logarithmen keine Lösung, da ja $\xi = \alpha' - \infty = -\infty$ +sein müßte. + +Die Logarithmen aller $p$-adischen Zahlen bilden somit bei Ausschluß +von $\DPchg{\log}{\lg}(0)$ einen Modul, in dem die beiden soeben definierten +zu einander inversen Operationen der Addition und Subtraktion unbeschränkt +und eindeutig ausführbar sind. + +Es gibt also ein einziges Nullelement +\[ +0 = (0, 0, 0) = (0, k(p - 1), 0) = \lg (1), +\] +welches als das Einheitselement für die Addition angesehen werden +kann, da allein für dieses $a + 0 = a$ ist. + +Sind $A = p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma}$ und $A' = p^{\alpha'} w^{\beta'} e^{\gamma'}$ zwei beliebige $p$-adische +Zahlen, zu denen also die Logarithmen: +\[ +a = \lg A = (\alpha, \beta, \gamma) \quad\text{und}\quad +a' = \lg A' = (\alpha', \beta', \gamma') +\] +gehören, so sind zunächst nach dem \aSeite{164} bewiesenen Satze $A$~und~$A'$ +dann und nur dann gleich, wenn ihre Logarithmen $a$~und~$a'$ gleich +sind; ferner gehören zu dem Produkte und dem Quotienten +\[ +A·A' = p^{\alpha+\alpha'} w^{\beta+\beta'} e^{\gamma+\gamma'} \quad\text{und}\quad +\frac{A}{A'} = p^{\alpha-\alpha'} w^{\beta-\beta'} e^{\gamma-\gamma'} +\] +von zwei beliebig gegebenen Zahlen $A$~und~$A'$ die Logarithmen $a + a'$ +und $a - a'$, \dh\ es bestehen genau wie in der elementaren Analysis +die Gleichungen: +\PageSep{183}{167} +\[ +\Tag{(4)} +\lg (AA') = \lg A + \lg A', \quad +\lg \left(\frac{A}{A'}\right) = \lg A - \lg A'. +\] +Wendet man die erste Gleichung auf ein Produkt von $m$ gleichen Faktoren +an, so folgt: +\[ +\Tag{(4^{a})} +\lg (A^{m}) = m\lg A = (m\alpha, m\beta, m\gamma). +\] + +Aus der allgemein gültigen logarithmischen Darstellung der +$p$-adischen Zahlen ziehe ich noch die wichtige Folgerung, auf welche +ich bereits \aSeite{158} unten hingewiesen hatte: +\begin{Theorem} +Die einzigen Einheitswurzeln, welche im Körper~$K(p)$ der +$p$-adischen Zahlen vorhanden sind, sind die $p - 1$\; $(p - 1)$-ten Einheitswurzeln +$(1, w, w^{2}, \dots w^{p-2})$ bzw.\ für $p = 2$ die Zahlen~$±1$. +\end{Theorem} + +Soll nämlich $A = p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma}$ einer Gleichung $x^{m} = 1$ genügen, so muß +\[ +A^{m} = p^{m\alpha} w^{m\beta} e^{m\gamma} = 1, +\] +also $m\alpha = m\gamma = 0$ sein; \dh\ nur die Zahlen $A = w^{\beta}$ sind Einheitswurzeln. + +Ist +\[ +\Tag{(5)} +A = p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma} +\] +eine beliebige Zahl, so will ich die größte im Hauptlogarithmus~$\gamma$ enthaltene +Potenz~$p^{\kappa}$ von $p$ den \so{Teiler des Hauptlogarithmus} +nennen. Dieser Teiler ist also für ein ungerades $p$ mindestens gleich~$p^{1}$, +für $p = 2$ mindestens gleich~$2^{2}$. Ferner soll für ein ungerades $p$ der +größte gemeinsame Teiler +\[ +\Tag{(6)} +\delta = (\beta, p - 1) +\] +des Index mit~$p - 1$ \so{der Teiler dieses Index} oder \so{der Indexteiler +von~$A$} genannt werden; für $p = 2$ wird der entsprechende +\index{Indexteiler!einer $p$-adischen Zahl}% +Teiler +\[ +\Tag{(6^{a})} +\delta = (\beta, 2), +\] +\dh\ gleich $1$~oder~$2$, je nachdem $\beta$ gerade oder ungerade ist. Im +ersten Falle ist der Indexteiler stets und nur dann gleich~$1$, wenn +$(\beta, p - 1) = 1$, wenn also $w^{\beta}$~eine primitive Einheitswurzel ist; er hat +seinen größten Wert $\delta = p - 1$ bzw.\ $\delta = 2$, wenn $\beta$~ein Multiplum von +$p - 1$ bzw.\ von~$2$, wenn also $w^{\beta} = 1$ ist. Der Indexteiler~$\delta$ ist von +\PageSep{184}{168} +der Wahl der primitiven Wurzel~$w$ ganz unabhängig; denn ist $w'$ eine +der $\phi(p - 1)$ primitiven Wurzeln, so ist ja $w = w'^{r}$, wo $(r, p - 1) = 1$ +ist, und es wird $w^{\beta} = w'^{r\beta}$; somit ist für die primitive Wurzel~$w'$ +\[ +\delta' = (r\beta, p - 1) = (\beta, p - 1) = \delta. +\] +Setzen wir jetzt in~\Eq{(5)} +\[ +\beta = \delta\beta_{0} , \quad +\gamma = p^{\kappa} \gamma_{0}, +\] +so ergibt sich für jede Zahl~$A$ die Darstellung +\[ +\Tag{(7)} +A = p^{\alpha} w^{\delta\beta_{0}} e^{p^{\kappa}\gamma_{0}}, +\] +welche bei eingehenderen Untersuchungen häufig gebraucht werden +wird. + + +\Section{§ 4.}{Untersuchung der $p$-adischen Zahlen für eine Primzahlpotenz~$p^{k}$ +als Modul.} + +Ich wende mich nun zu einer eingehenderen Untersuchung der +$p$-adischen Zahlen $A = p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma}$ für eine beliebige Potenz~$p^{k}$ von $p$ als +Modul. Hierbei kann ich von vornherein die Ordnungszahl $\alpha = 0$, \dh\ +die zu betrachtenden Zahlen $E = w^{\beta} e^{\gamma}$ als Einheiten voraussetzen, da +es ja auf dasselbe herauskommt, ob man $A = p^{\alpha} E$ modulo~$p^{k}$ oder ob +man $E$ modulo~$p^{k-\alpha}$ untersucht. + +Zuerst erledige ich die beiden trivialen Fälle, daß der Modul~$p^{k}$ +gleich~$2^{1}$ oder gleich~$2^{2}$ ist. Da nun für den Bereich von~$2$ jede Einheit +\[ +E = (-1)^{\beta} e^{\gamma} \equiv (-1)^{\beta} \equiv ±1\ (\mod.~4) +\] +ist, weil ja hier der Hauptlogarithmus von $\gamma$ mindestens durch $4$ teilbar +ist, und da modulo~$2$ außerdem noch die beiden Einheitswurzeln $+1$ +und~$-1$ kongruent werden, so ergeben sich hier die beiden auch an +sich selbstverständlichen Sätze: +\begin{Theorem} +Modulo $2$ betrachtet sind alle dyadischen Einheiten kongruent~$+1$, +für den Modul~$4$ existieren allein die beiden inkongruenten +Einheiten $+1$~und~$-1$. +\end{Theorem} +\PageSep{185}{169} + +Im folgenden kann und soll daher jetzt, falls $p = 2$ ist, immer +$k \geqq 3$ vorausgesetzt werden. Dann besteht der folgende allgemeine +Satz: +\begin{Theorem} +Eine $p$-adische Einheit $E = w^{\beta} e^{\gamma}$ ist dann und nur dann +kongruent~$1$ modulo~$p^{k}$, wenn: +\[ +w^{\beta} = 1, \quad \gamma \equiv 0\ (\mod.~p^{k}) +\] +ist, wenn also ihr Index~$\beta$ durch $p - 1$ bzw.\ durch $2$ und ihr Hauptlogarithmus~$\gamma$ +durch $p^{k}$ teilbar ist. +\end{Theorem} + +Betrachtet man nämlich die Kongruenz: +\[ +\Tag{(1)} +E = w^{\beta} e^{\gamma} \equiv 1\ (\mod.~p^{k}) \quad\text{bzw.}\quad +E = (-1)^{\beta} e^{\gamma} \equiv 1\ (\mod.~2^{k}) +\] +zunächst modulo~$p$ bzw.\ für $p = 2$ modulo~$2^{2}$ und beachtet, daß für +diesen Modul $e^{\gamma} \equiv 1$ wird, so ergibt sich: +\[ +w^{\beta} \equiv 1\ (\mod.~p) \quad\text{bzw.}\quad +(-1)^{\beta} \equiv 1\ (\mod.~4), +\] +und da die Potenzen $(1, w, \dots w^{p-2})$ modulo~$p$ bzw.\ $(-1, +1)$ +modulo~$4$ inkongruent sind, so muß $w^{\beta} = 1$ bzw.\ $(-1)^{\beta} = 1$ sein. +Die dann aus~\Eq{(1)} folgende Kongruenz: +\[ +e^{\gamma} \equiv 1\ (\mod.~p^{k}) +\] +ist aber nach \Eq{(11)} \aSeite{137} allein dann erfüllt, wenn $\gamma$ durch $p^{k}$ teilbar +ist. + +Zwei Einheiten +\[ +E \DPtypo{\equiv}{=} w^{\beta} e^{\gamma}, \quad +E' = w^{\beta'} e^{\gamma'} +\] +sind also allein dann modulo~$p^{k}$ kongruent, wenn ihr Quotient +\[ +\frac{E}{E'} = w^{\beta-\beta'} e^{\gamma-\gamma'} \equiv 1\ (\mod.~p^{k}), +\] +wenn also: +\begin{align*} +%[** TN: Reformatted to match (4^{a}) below] +\beta &\equiv \beta'\ (\text{$\mod.~p - 1$\Add{,} bzw.\ $\mod.~2$}), \\ +\gamma &\equiv \gamma'\ (\mod.~p^{k}) +\end{align*} +ist. Also bilden für ein ungerades $p$ die $(p - 1) p^{k-1} = \phi(p^{k})$ Einheiten: +\PageSep{186}{170} +\[ +\Tag{(2)} +w^{\beta} e^{p(c_{0}+c_{1}p+\dots+c_{k-2}p^{k-2})} +\quad +%[** TN: Not as small as elsewhere in the original] +\begin{Conditions} +\left( +\begin{aligned} + \beta &= 1, 2, \dots p-1 \\ + c_{i} &= 0, 1, \dots p-1 +\end{aligned} +\right) +\end{Conditions}, +\] +für $p = 2$ die $2·2^{k-2} = 2^{k-1} = \phi(2^{k})$ Zahlen +\[ +\Tag{(2^{a})} +(-1)^{\beta}·e^{4(c_{0}+c_{1}·2+\dots+c_{k-3}·2^{k-3})} +\quad +\begin{Conditions} +\left( +\begin{aligned} + \beta &= 1, 2 \\ + c_{i} &= 0, 1 +\end{aligned} +\right) +\end{Conditions} +\] +ein vollständiges System modulo $p^{k}$ inkongruenter Einheiten. + +Die $\phi(p^{k})$ modulo~$p^{k}$ inkongruenten Einheiten oder, was dasselbe +ist, die zugehörigen Einheitsklassen für den Modul~$p^{k}$ bilden, wie \aSeite{102} +unten bereits ausgeführt wurde, eine endliche Gruppe, und allein +hieraus ergab sich nach dem Fermatschen Satze, daß für jede Einheit~$E$ +die Kongruenz: +\[ +\Tag{(3)} +E^{\phi(p^{k})} \equiv 1\ (\mod.~p^{k}) +\] +besteht. Es ergibt sich aber weiter aus der \aSeite{105} durchgeführten +Untersuchung der endlichen Gruppen, daß jede Einheit~$E$ zu einem +Teiler $d$ von $\phi(p^{k})$ als Exponenten gehört, wenn nämlich $d$ die +kleinste positive Zahl ist, für welche +\[ +E^{d} \equiv 1\ (\mod.~p^{k}) +\] +ist. Dann sind die $d$ ersten Potenzen $(1, E, E^{2}, \dots E^{d-1})$ sämtlich +modulo~$p^{k}$ inkongruent. + +Ich will jetzt den Exponenten~$d$ bestimmen, zu dem eine gegebene +Einheit +\[ +E = w^{\beta} e^{\gamma} = w^{\delta\beta_{0}} e^{p^{\kappa} \gamma_{0}} +\] +gehört, für welche der Indexteiler gleich~$\delta$ und der Teiler des Hauptlogarithmus +gleich~$p^{\kappa}$ ist. Soll dann +\[ +\Tag{(4)} +E^{d} = w^{\delta d\beta_{0}} e^{p^{\kappa} d\gamma_{0}} \equiv 1\ (\mod.~p^{k}) +\] +sein, so muß nach dem auf der vorigen Seite bewiesenen Satze~$\delta d\beta_{0}$ +durch $p - 1$ bzw.\ durch $2$ und $p^{\kappa} d\gamma_{0}$ durch $p^{k}$ teilbar sein, \dh\ es muß: +\[ +\Tag{(4^{a})} +\begin{aligned} +\delta d &\equiv 0\ (\text{$\mod.~p-1$, bzw.\ $\mod.~2$}) \\ +p^{\kappa} d &\equiv 0\ (\mod.~p^{k}) +\end{aligned} +\] +sein. Ist also $\delta'$ der zu $\delta$ komplementäre Divisor von $p - 1$ bzw.\ von +$2$~und~$p^{\kappa'}$ der zu $p^{\kappa}$ komplementäre Divisor von~$p^{k}$, so daß +\PageSep{187}{171} +\[ +\Tag{(5)} +\begin{aligned} +\delta\delta' &= p - 1 \text{ bzw.} = 2 \\ +p^{\kappa}·p^{\kappa'} &= p^{k} +\end{aligned} +\] +ist, so folgen aus~\Eq{(4^{a})} durch Division mit~$\delta$ bzw.\ mit~$p^{\kappa}$ für $d$ die +beiden Kongruenzen: +\[ +\Tag{(4^{b})} +d \equiv 0\ (\mod.~\delta'), \quad +d \equiv 0\ (\mod.~p^{\kappa'}), +\] +\dh\ die Kongruenz~\Eq{(4)} ist allein dann erfüllt, wenn $d$ durch das kleinste +gemeinsame Vielfache $[\delta', p^{\kappa'}]$ der beiden zu $\delta$ und $p^{\kappa}$ komplementären +Teiler teilbar ist. Es ergibt sich also der allgemeine Satz: +\begin{Theorem} +Eine Einheit~$E$, deren Index den Teiler $\delta$ und deren Hauptlogarithmus +den Teiler $p^{\kappa}$ hat, gehört modulo~$p^{k}$ zu dem Exponenten: +\[ +\Tag{(6)} +d = [\delta', p^{\kappa'}], +\] +wenn $\delta'$ und $p^{\kappa'}$ die in bezug auf $p - 1$ (bzw.~$2$) und $p^{k}$ +komplementären Teiler zu $\delta$ und $p^{\kappa}$ sind. +\end{Theorem} + +Ist nun $p$ eine ungerade Primzahl, so sind $\delta'$ und $p^{\kappa'}$ teilerfremd, +\dh\ es ist dann stets $d = \delta' p^{\kappa'}$. Ist dagegen $p = 2$, so ist $\delta' = 1$ oder~$2$; +also ist stets $\delta'$ ein Teiler von~$2^{\kappa'}$, mithin $d = 2^{\kappa'}$, außer in dem +trivialen Falle, wo $\delta' = 2$\DPtypo{}{,} $2^{\kappa'} = 1$, wo also $\delta = 1$, $2^{\kappa} = 2^{k}$ ist. Hier +ist $E = (-1)e^{2^{k}} \equiv -1\ (\mod\DPtypo{}{.}~2^{k})$, und dann gehört $(-1)$ auch wirklich +nicht zum Exponenten $2^{\kappa'} = 1$, sondern zum Exponenten $\delta' = 2$. +Schließen wir also diesen trivialen Fall aus, so ergibt sich der Satz: +\begin{Theorem} +Eine Einheit, deren Index den Teiler $\delta$ und deren Hauptlogarithmus +den Teiler $p^{\kappa}$ hat, gehört modulo~$p^{k}$ zum Exponenten +\[ +\Tag{(6^{a})} +d = \delta' p^{\kappa'} = \tfrac{p-1}{\delta} p^{k-\kappa} \quad\text{oder}\quad +2^{\kappa'} = 2^{k-\kappa}, +\] +je nachdem $p$ ungerade oder die gerade Primzahl~$2$ ist. +\end{Theorem} + +Da für eine ungerade Primzahl der Teiler $p^{\kappa}$ des Hauptlogarithmus +mindestens gleich~$p^{1}$, für $p = 2$ aber $2^{\kappa}$ mindestens +gleich $4$ sein muß, während im ersten Falle $\delta$ stets ein Teiler von +$p - 1$ ist, so ergibt sich jetzt wieder, daß für ein ungerades $p$ +jeder Exponent~$d$ ein Teiler von $\phi(p^{k}) = (p - 1) p^{k-1}$, für $p = 2$ +aber schon ein Teiler von $\phi(2^{k-1}) = 2^{k-2}$ sein muß. +\PageSep{188}{172} + +\begin{Theorem} +Jede Einheit gehört also modulo~$p^{k}$ zu einem Exponenten, +welcher ein Teiler von $\phi(p^{k})$ oder für $p = 2$ schon von $\phi(2^{k-1})$ +ist. +\end{Theorem} + +Es sei jetzt umgekehrt +\[ +\Tag{(7)} +d = \delta' p^{\kappa'} \quad\text{bzw.}\quad d = 2^{\kappa'} +\] +ein beliebiger Teiler von $\phi(p^{k})$ bzw.\ von~$\phi(2^{k-1})$; wir fragen, wie viele +und welche Einheiten +\[ +E = w^{\delta\beta_{0}} e^{p^{\kappa} \gamma_{0}} \quad\text{bzw.}\quad +E = (-1)^{\beta} e^{2^{\kappa} \gamma_{0}} +\] +gerade zu diesem Exponenten~$d$ gehören. Nach dem soeben bewiesenen +Satze gehört nun für ein ungerades $p$ die obige Einheit zum Exponenten~$d$, +wenn ihr Indexteiler~$\delta$ und der Teiler $p^{\kappa}$ ihres Hauptlogarithmus komplementär +bzw.\ zu $\delta'$ und zu $p^{\kappa'}$ sind; für $p = 2$ ist $\beta$ beliebig, während +$2^{\kappa}$ ebenfalls zur $2^{\kappa'}$ komplementär sein muß. Sind also $\delta$ und $p^{\kappa}$ so gewählt, +so gehören alle und nur die Einheiten~$E$ zum Exponenten~$d$, bei +welchen für jedes ungerade~$p$ +\[ +\Tag{(8)} +\begin{alignedat}{5} +&(\delta\beta_{0}, p - 1) &&= (\delta\beta_{0}, \delta\delta') &&= &\delta, \quad &\text{also}\quad &(\beta_{0}, \delta') &= 1, \\ +&(p^{\kappa}\gamma_{0}, p^{k}) &&= (p^{\kappa}\gamma_{0}, p^{\kappa} p^{\kappa'}) &&={} &p^{\kappa},\quad &\Ditto{also} &(\gamma_{0}, p^{\kappa'}) &= 1 +\end{alignedat} +\] +ist, dagegen für $p = 2$\; $\beta = 1$ oder $2$ sein kann, während +\[ +\Tag{(8^{a})} +(\gamma_{0}, 2^{\kappa'}) = 1 +\] +sein muß. Da nun die Anzahl aller zu $\delta'$ teilerfremden inkongruenten +Zahlen~$\beta_{0}$ gleich~$\phi(\delta')$, die aller modulo~$p^{\kappa'}$ inkongruenten zu $p^{\kappa'}$ teilerfremden +Zahlen~$\gamma_{0}$ gleich~$\phi(p^{\kappa'})$ ist, so ist für ein ungerades $p$ die Anzahl +der zum Exponenten~$d$ gehörigen Einheiten gleich $\phi(\delta') \phi(p^{\kappa'}) = \phi(d)$, +für $p = 2$ ist jene Anzahl gleich~$2\phi(2^{\kappa'})$, weil hier für jedes $e^{2^{\kappa} \gamma_{0}}$ +die zugehörige Einheitswurzel $(-1)^{\beta}$ gleich~$±1$ sein kann. In dem +vorher ausgeschlossenen trivialen Falle $p = 2$, $d = 2^{0} = 1$ gehört zum +Exponenten~$1$ modulo~$2^{k}$ offenbar nur die eine Einheit $E = +1$; die +Anzahl der zu diesen Exponenten gehörigen Einheiten ist also allein +in diesem Falle $d = 2^{0}$ gleich $\phi(2^{0}) = 1$ und nicht gleich $2\phi(2^{0}) = 2$. +Sieht man also auch hier von diesem trivialen Ausnahmefalle ab, so +ergibt sich das folgende allgemeine Resultat: +\PageSep{189}{173} +\begin{Theorem} +Die Anzahl aller Modulo~$p^{k}$ inkongruenten Einheiten, welche +zu einem beliebigen Teiler $d$ von $\phi(p^{k})$ bzw.\ von $\phi(2^{k-1})$ als Exponenten +gehören, ist stets gleich $\phi(d)$ bzw.\ gleich~$2\phi(d)$. +\end{Theorem} + + +\Section{§ 5.}{Die primitiven Wurzeln modulo~$p^{k}$. Die Theorie der +Indices für eine Primzahlpotenz als Modul.} + +Von besonderer Bedeutung sind auch für eine Primzahlpotenz~$p^{k}$ +diejenigen Einheiten, welche für diesen Modul zu dem höchsten überhaupt +möglichen Exponenten gehören, nämlich zu $c = \phi(p^{k})$ bzw.\ zu +$c = \phi(2^{k-1})$. Diese Einheiten mögen auch hier \so{primitive Wurzeln +modulo~$p^{k}$} genannt werden. Für, sie muß in~\Eq{(7)} auf vor.\ Seite +\index{Primitive!Wurzeln modulo~$p^{k}$}% +\[ +\delta = 1,\ p^{\kappa} = p \quad\text{bzw.}\quad 2^{\kappa} = 2^{2} +\] +sein. Alle primitiven Wurzeln sind also in der Form +\[ +\Tag{(1)} +r = w^{\beta_{0}} e^{p\gamma_{0}} \quad\text{bzw.}\quad ±e^{4\gamma_{0}} +\] +enthalten, wo $(\gamma_{0}, p) = 1$ und $(\beta_{0}, p - 1) = 1$ ist, also $\bar{w} = w^{\beta_{0}}$ eine +beliebige \emph{primitive} Einheitswurzel bedeutet. Die Anzahl aller modulo~$p^{k}$ +inkongruenten primitiven Wurzeln endlich ist +\[ +\Tag{(2)} +\phi(c) = \phi(\phi(p^{k})) \quad\text{bzw.}\quad +\phi(c) = \phi(\phi(2^{k-1})) = 2^{k-3}. +\] + +Wir können die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, +daß eine Einheit +\[ +g = g_{0}\MathOrd{,}g_{1}\,g_{2}\dots +\] +für eine beliebige Primzahlpotenz~$p^{k}$ eine primitive Wurzel ist, in wesentlich +einfacherer Weise aussprechen: Ist nämlich $p$ zunächst ungerade, +so muß ja +\[ +\Tag{(3)} +g = \bar{w}·e^{p\gamma_{0}} +\] +sein. Betrachtet man diese Gleichung zunächst modulo~$p$ und beachtet, +daß $e^{p\gamma_{0}} \equiv 1\ (\mod.~p)$ ist, so ergibt sich die notwendige Bedingung: +\[ +\Tag{(4)} +g_{0} \equiv \bar{w}\ (\mod.~p), +\] +\dh\ $g$~muß modulo~$p$ einer der $\phi(p - 1)$ primitiven Einheitswurzeln +kongruent sein. Ist $k = 1$, so ist diese Bedingung auch hinreichend, +\PageSep{190}{174} +und wir erhalten das bereits \aSeite{161} gefundene Resultat, daß die +$\phi(p - 1)$ modulo~$p$ inkongruenten primitiven Wurzeln die Anfangsglieder +der primitiven Einheitswurzeln sind. Ist dagegen $k > 1$, und +betrachtet man die Gleichung~\Eq{(3)} jetzt modulo~$p^{2}$, so ergibt sich, da ja +\[ +e^{p\gamma_{0}} \equiv 1 + p\gamma_{0}\ (\mod.~p^{2}) +\] +ist, außer \Eq{(4)} noch die zweite Kongruenz: +\[ +\Tag{(4^{a})} +g \equiv \bar{w}(1 + p\gamma_{0})\ (\mod.~p^{2}), +\] +wo nur $\gamma_{0}$ durch $p$ nicht teilbar sein darf. Sind umgekehrt diese beiden +Bedingungen erfüllt, so ist nach \Seite{172}~\Eq{(8)} $g$~eine primitive Wurzel +modulo~$p^{k}$. + +Die zweite Bedingung ist nun offenbar stets und nur dann erfüllt, +wenn +\[ +g \not\equiv \bar{w}\ (\mod.~p^{2}) +\] +ist. Wir erhalten also jetzt das einfache Resultat: +\begin{Theorem} +Eine Zahl~$g$ ist stets und nur dann eine primitive Wurzel für +eine beliebige Potenz~$p^{k}$ einer ungeraden Primzahl ($k > 1$), wenn sie +den beiden Bedingungen +\[ +g \equiv \bar{w}\ (\mod.~p),\quad +g \not\equiv \bar{w}\ (\mod.~p^{2}) +\] +genügt, wo $\bar{w}$ irgendeine der $\phi(p - 1)$ primitiven $p$-adischen Einheitswurzeln +bedeutet. + +Offenbar können wir diese Bedingung auch so aussprechen: + +Eine Zahl $g = g_{0}\MathOrd{,}g_{1}\dots$ ist stets und nur dann eine primitive +Wurzel für eine Primzahlpotenz~$p^{k}$, wenn sie mit der reduzierten +Darstellung einer primitiven Einheitswurzel $\bar{w} = \bar{w}_{0}\MathOrd{,}\bar{w}_{1} \dots$ in +der ersten Stelle übereinstimmt, in der zweiten Stelle aber von +ihr abweicht. +\end{Theorem} + +Man findet also sicher eine primitive Kongruenzwurzel modulo~$p^{k}$, +wenn man in einer beliebigen primitiven Einheitswurzel die zweite Stelle +beliebig verändert; die weiteren Stellen können beliebig gewählt +oder einfach fortgelassen werden. + +So folgt \zB\ daraus, daß für die sechsten Einheitswurzeln im +Körper~$K(7)$ nach \Seite{156} +\PageSep{191}{175} +\[ +w = 3\MathOrd{,}46\dots,\quad +w^{5} = 5\MathOrd{,}20\dots +\] +die beiden primitiven Wurzeln sind, daß die beiden Zahlen +\[ +g = 3\MathOrd{,}00\dots,\quad +g' = 5\MathOrd{,}00\dots +\] +primitive Wurzeln für jede beliebige Potenz von $7$ als Modul sind. + +Ebenso folgt aus der Tabelle \aSeite{158}, +daß für jede Potenz +von $13$ als Modul \zB\ $2$,~$6$,~$11$ und~$7$ primitive Wurzeln sein +müssen, da sie mit den vier primitiven Einheitswurzeln $w = 6\MathOrd{,}19\dots$, +$w^{5}$,~$w^{7}$,~$w^{11}$ in der ersten Stelle übereinstimmen, in der zweiten aber +von ihnen abweichen. + +Endlich können wir dieselbe Bedingung auch in einer Form aussprechen, +welche die vorgängige Berechnung der primitiven Einheitswurzeln +bis zur zweiten Stelle nicht voraussetzt. Ist nämlich $a$~eine +durch $p$ nicht teilbare ganze Zahl, etwa eine der Zahlen $1$,~$2$,~\dots~$p - 1$, +und $w_{a}$~die zugehörige Einheitswurzel, so ist: +\[ +w_{a} = a + (a^{p} - a) + (a^{p^{2}} - a^{p}) + \dots +\] +und diese ist immer dann eine primitive Einheitswurzel, wenn $a$ modulo~$p$ +zum Exponenten $p - 1$ gehört, wenn also $a$~eine primitive Kongruenzwurzel +modulo~$p$ ist. Da ferner alle auf das zweite Glied folgenden +Differenzen $(a^{p^{2}} - a^{p})$,~\dots\ nach \Eq{(2^{a})} auf \Seite{154} durch $p^{2}$ teilbar sind, so +folgt aus der obigen Gleichung die Kongruenz: +\[ +w_{a} \equiv a + (a^{p} - a)\ (\mod.~p^{2}). +\] +Dann und nur dann ist also $a$ auch modulo~$p^{2}$ zu $w_{a}$ kongruent, wenn +$a^{p} - a$ oder also wenn $a^{p-1} - 1$ nicht bloß durch~$p$, sondern auch durch +$p^{2}$ teilbar ist. Ist das nicht der Fall, so ist hiernach $a$~eine primitive +Wurzel für jede Potenz~$p^{k}$ von~$p$ als Modul. + +\begin{Theorem} +Eine ganze Zahl~$a$ ist also dann und nur dann eine primitive +Wurzel modulo~$p^{k}$, wenn sie eine primitive Wurzel modulo~$p$ ist +und wenn außerdem $(a^{p-1} - 1)$ nicht durch $p^{2}$ teilbar ist. +\end{Theorem} + +So sind \zB\ die beiden Zahlen $g = 3$, $g' = 5$ modulo~$7^{k}$ primitive +Wurzeln, weil sie modulo~$7$ zum Exponenten~$6$ gehören, und weil außerdem: +\PageSep{192}{176} +\[ +3^{6} - 1 \equiv 5^{6} - 1 \equiv -7\ (\mod.~49) +\] +ist, also beide Differenzen nicht durch $7^{2}$ teilbar sind. + +Im Falle $p = 2$ gehört nach \Eq{(1)} auf \Seite{173} für $k > 2$ jede +Einheit +\[ +\Tag{(5)} +g = ±e^{4\gamma_{0}} = ±(1 + 4\gamma_{0} + \dots) +\] +modulo~$2^{k}$ zum höchsten möglichen Exponenten~$2^{k-2}$, für welche $\gamma_{0}$ +nicht durch $2$ teilbar ist. Betrachten wir diese Gleichung als Kongruenz +modulo~$8$ und beachten, daß alle auf das zweite Glied von $e^{4\gamma_{0}}$ folgenden +Summanden durch $8$ teilbar sind, während $4\gamma_{0}$ kongruent~$4$ oder kongruent +Null ist, je nachdem $\gamma_{0}$ eine Einheit ist oder nicht, so ergibt +sich der einfache Satz: +\begin{Theorem} +Eine ungerade Zahl~$g$ gehört stets und nur dann modulo~$2^{k}$ +zum höchsten Exponenten~$2^{k-2}$, ist also für diesen Modul eine primitive +Wurzel, wenn +\[ +\Tag{(5^{a})} +g \equiv ± 5\ (\mod.~8) +\] +ist. Speziell sind also $g = 5$ und $g = 3$ primitive Wurzeln für jede +Potenz~$2^{k}$, deren Exponent größer als $2$ ist. +\end{Theorem} + +Ist $p$ ungerade, und $g$~eine primitive Wurzel modulo~$p^{k}$, gehört +also $g$ für diesen Modul zum Exponenten $c = \phi(p^{k})$, so sind die $\phi(p^{k})$ +Potenzen +\[ +1,\ g,\ g^{2},\ \dots\ g^{c-1} +\] +lauter modulo~$p^{k}$ inkongruente Einheiten, und da die Anzahl aller für +diesen Modul inkongruenten Einheiten ebenfalls gleich~$c$ ist; so ergibt +sich der Satz: +%[** TN: Text justification inconsistent in the original] +\begin{Theorem} +Jede Einheit modulo~$p^{k}$, wo $p$~eine ungerade Primzahl bedeutet, +läßt sich auf eine einzige Weise in der Form +\[ +\Tag{(6)} +E \equiv g^{\epsilon}\ (\mod.~p^{k})\quad +\begin{Conditions}%[** TN: Not smaller in the original] +(\epsilon = 0, 1, \dots c - 1) +\end{Conditions} +\] +darstellen; wir nennen bei ein für allemal festgehaltener primitiver +Wurzel~$g$\; $\epsilon$~\so{den Index von~$E$ modulo~$p^{k}$} und schreiben +\index{Index!einer Einheit modulo~$p^{k}$}% +diese Beziehung +\[ +\Tag{(6^{a})} +(\epsilon) = \Ind E. %[** TN: Missing dot on "Ind" in original] +\] +\end{Theorem} +\PageSep{193}{177} + +Ist $p = 2$, und wird $k \geqq 2$ angenommen, so gehört nach \Eq{(5)} auf +voriger Seite modulo~$2^{k}$ jede Einheit +\[ +g = +e^{4\gamma_{0}}, +\] +speziell also $g = +5$ zum Exponenten $c = 2^{k-2}$; dann stellen die +$2c = 2^{k-1} = \phi(2^{k})$ Potenzen: +\[ +\Tag{(7)} +\begin{alignedat}{4} + 1, && g, && g^{2},\ \dots\ && g^{c-1}& \\ + -1,\ && -g,\ && -g^{2},\ \dots\ &&-g^{c-1}& +\end{alignedat} +\] +lauter modulo~$g^{k}$ inkongruente Einheiten dar. Denn die in einer von +jenen beiden Reihen stehenden Zahlen sind ja modulo~$2^{k}$ inkongruent, +und zwei in verschiedenen Reihen stehende Zahlen sind +schon modulo $2^{2} = 4$ inkongruent, da ja $g$ und somit auch alle +Potenzen von~$g$ kongruent~$1$ modulo~$4$ sind, während alle Zahlen~$-g^{h}$ +der zweiten Reihe modulo~$4$ kongruent~$-1$ sind. Hier gilt +also speziell für $g = 5$ der Satz: +\begin{Theorem} +Jede dyadische Einheit läßt sich modulo~$2^{k}$ auf eine einzige +Weise in der Form: +\[ +\Tag{(8)} +E \equiv (-1)^{\delta} 5^{\epsilon}\ (\mod.~2^{k})\quad +\begin{Conditions}%[** TN: Not smaller in the original] +\left( +\begin{aligned} + \delta &= 0, 1 \\ +\epsilon &= 0, 1, \dots c - 1 +\end{aligned} +\right) +\end{Conditions} +\] +darstellen. Wir nennen hier das Ziffernsystem~$(\delta, \epsilon)$ \so{den Index +von~$E$ modulo~$2^{k}$} und schreiben diese Beziehung +\index{Index!einer Einheit modulo~$2^{k}$}% +\[ +\Tag{(8^{a})} +(\delta, \epsilon) = \Ind E. +\] +\end{Theorem} + +Der Index~$(\epsilon)$ einer Einheit~$E$ modulo~$p^{k}$ beziehungsweise das Indexsystem~$(\delta, \epsilon)$ +modulo~$2^{k}$ hat ganz dieselben Grundeigenschaften, wie +der Logarithmus einer beliebigen $p$-adischen Zahl für den Bereich von~$p$. +Um dies deutlicher hervortreten zu lassen, will ich auch hier die +Gleichheit zweier Indizes sowie die Addition derselben ganz ähnlich wie +\index{Gleichheit!der Indizes d.\ Einheiten}% +dort definieren und dann zeigen, daß die Indizes der Einheiten genau +denselben Gesetzen gehorchen, wie die Logarithmen der Zahlen. + +\begin{Theorem} +Zwei Indizes $(\epsilon)$~und~$(\epsilon')$ für eine ungerade Primzahlpotenz~$p^{k}$ +sollen \so{gleich} heißen ($(\epsilon) = (\epsilon')$), wenn ihre Zahlenwerte sich +nur um ein Vielfaches von $c = \phi(p^{k})$ unterscheiden, wenn also +\PageSep{194}{178} +\[ +\Tag{(9)} +\epsilon = \epsilon' \ (\mod.~(p - 1) p^{k-1}) +\] +ist. Zwei Indexsysteme $(\delta, \epsilon)$, $(\delta', \epsilon')$ für eine Potenz~$2^{k}$ heißen gleich, +wenn $\delta$~und~$\delta'$ modulo $2$,~$\epsilon$ und~$\epsilon'$ modulo $c = \phi(2^{k-1}) = 2^{k-2}$ +kongruent sind. Die Gleichung $(\delta, \epsilon) = (\delta', \epsilon')$ ist also nur ein +anderer Ausdruck für das Bestehen der Kongruenzen: +\[ +\Tag{(9^{a})} +\delta \equiv \delta'\ (\mod.~2),\quad +\epsilon \equiv \epsilon'\ (\mod.~2^{k-2}). +\] +Ferner definiere ich die Summe bzw.\ die Differenz zweier Indizes +durch die Gleichungen +\[ +\Tag{(9^{b})} +(\epsilon) ± (\epsilon') = (\epsilon ± \epsilon'),\quad +(\delta, \epsilon) ± (\delta', \epsilon') + = (\delta ± \delta', \epsilon ± \epsilon')\DPtypo{}{.} +\] +\end{Theorem} + +Dann bestehen auch hier die folgenden Sätze, durch die das Rechnen +mit den Indizes vollständig und höchst einfach geregelt wird: +\begin{Theorem} +Zwei Einheiten modulo~$p$ +\[ +b \equiv g^{\beta} \quad\text{und}\quad +b' \equiv g^{\beta'}\ (\mod.~p^{k}) +\] +sind, falls $p$ ungerade ist, stets und nur dann modulo~$p^{k}$ kongruent, +wenn ihre Indizes $(\beta)$~und~$(\beta')$ gleich, \dh\ wenn ihre Indexexponenten +$\beta$~und~$\beta'$ modulo $c = \phi(p^{k})$ kongruent sind; und das entsprechende +gilt für die Indizes von zwei modulo~$2^{k}$ kongruenten +dyadischen Einheiten. +\end{Theorem} + +Sind +\[ +b \equiv g^{\beta}\quad b' \equiv g^{\beta'}\ (\mod.~p^{k}) +\] +zwei beliebige Einheiten, also $(\beta)$~und~$(\beta')$ ihre Indizes, so folgt aus den +Kongruenzen: +\[ +bb' \equiv g^{\beta+\beta'}\quad +\frac{b}{b'} \equiv g^{\beta-\beta'}\ (\mod.~p^{k}) +\] +der Satz, welcher mit dem entsprechenden für die Logarithmen genau +übereinstimmt: +\begin{Theorem} +Der Index eines Produktes ist gleich der Summe der Indizes +seiner Faktoren; der Index eines Quotienten ist gleich der Differenz +der Indizes von Zähler und Nenner. + +In der Tat folgt ja aus den beiden obigen Kongruenzen: +\PageSep{195}{179} +\begin{align*} +\Ind (bb') &= (\beta + \beta') = \Ind b + \Ind b', \\ +\Ind \left(\frac{b}{b'}\right) &= (\beta - \beta') = \Ind b - \Ind b'. +\end{align*} +\end{Theorem} +Aus den entsprechenden Kongruenzen: +\[ +\begin{alignedat}{2} +b &\equiv (-1)^{\delta} 5^{\epsilon} & +b' &\equiv (-1)^{\delta'} 5^{\epsilon'} \\ +bb' &\equiv (-1)^{\delta+\delta'} 5^{\epsilon+\epsilon'}\quad & +\frac{b}{b'} &\equiv (-1)^{\delta-\delta'} 5^{\epsilon-\epsilon'} +\end{alignedat} +\ (\mod.~2^{k}) +\] +folgt, daß derselbe Satz auch für $p = 2$ richtig ist. + +Bei der Untersuchung von Kongruenzen für eine bestimmte Primzahlpotenz~$p^{k}$ +als Modul ist es vorteilhaft, ganz wie bei den Logarithmen +auch hier \emph{Tafeln}, sogen.\ Indextafeln zu benutzen und zwar immer ein +Paar von Tafeln, von denen die eine nach den Zahlen (Numeri)~$b$, die +andere nach den Indizes~$\beta$ geordnet ist; für den Zahlentheoretiker sind +solche Tabellen geradezu unentbehrlich. \Name{C.~G.~J. Jacobi} hat so einfache +Methoden zur Berechnung solcher Tabellen angegeben, daß er zur Herstellung +eines umfangreichen derartigen Tafelwerkes, des "`Canon arithmeticus"', +der alle Primzahlen und alle Primzahlpotenzen unter $1000$ +berücksichtigt, einen Artillerieunteroffizier anleiten konnte. Als Beispiel +diene folgende Tabelle, in der $p = 13$, $g = 2$ angenommen ist: +\begin{gather*} +\begin{array}{|@{\quad}r*{11}{@{\quad}r}@{\quad}|} +\hline\Strut + b = 1 &\Z2 &\Z3 &\Z4 &\Z5 &\Z6 &\Z7 &\Z8 &\Z9 & 10 & 11 & 12 \\ +\beta = 0 & 1 & 4 & 2 & 9 & 5 & 11 & 3 & 8 & 10 & 7 & 6 \\ +\hline +\end{array} \\ +\begin{array}{|@{\quad}r*{11}{@{\quad}r}@{\quad}|} +\hline\Strut +\beta = 0 &\Z1 &\Z2 &\Z3 &\Z4 &\Z5 & 6 & 7 &\Z8 &\Z9 & 10 & 11 \\ + b = 1 & 2 & 4 & 8 & 3 & 6 & 12 & 11 & 9 & 5 & 10 & 7 \\ +\hline +\end{array} +\end{gather*} + +Aus der ersten Tabelle findet man zu jeder Einheit~$b$ den zugehörigen +Index~$\beta$, aus der zweiten zu jedem Index~$\beta$ die zugeordnete Zahl~$b$. +Die erste liefert also die Lösung jeder Kongruenz $g^{x} \equiv b\ (\DPchg{\text{modulo }}{\mod.}~13)$, +die zweite die Lösungen aller Kongruenzen $y \equiv g^{\beta}\ (\mod.~13)$. + +\ZB\ ist also für $p = 13$ und $g = 2$: $\Ind 9 = 8$, $\Ind 10 = 10$, +daher $\Ind (9·10) \equiv 8 + 10 \equiv 6\ (\mod.~12)$, $\Ind \left(\dfrac{9}{10}\right) \equiv 8 - 10 \equiv -2 +\equiv +10\ (\mod. 12)$, also folgt aus der zweiten Tabelle: +\PageSep{196}{180} +\[ +9·10 \equiv 12\ (\mod.~13),\quad \frac{9}{10} \equiv 10\ (\mod.~13). +\] + +Ferner findet man \zB\ für die Primzahlpotenz $27 = 3^{3}$, für welche +$c = \phi(3^{3}) = 2·3^{2} = 18$ ist, und wo als primitive Wurzel~$2$ genommen +werden kann, die beiden folgenden Tabellen (vgl.\ \aaO\ \aSeite{222}), +deren Einrichtung leicht verständlich ist +{\small +\[ +\begin{array}{|@{\,}c@{\,}||*{9}{@{\,}c@{\,}|}@{\,}c@{\,}|} +\multicolumn{11}{c}{\text{Numeri}} \\ +\hline\Strut +\text{I.} + & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ +\hline\Strut + & 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & 5 & 10 & 20 & 13 & 26 \\ +1. & 25 & 23 & 19 & 11 & 22 & 17 & 7 & 14 & & \\ +\hline +\multicolumn{11}{c}{} \\ %[** TN: Top-alignment hack] +\end{array}\quad +\begin{array}{|@{\,}c@{\,}||*{9}{@{\,}c@{\,}|}@{\,}c@{\,}|} +\multicolumn{11}{c}{\text{Indizes}} \\ +\hline\Strut +\text{N.} + &\PadTo{10}{0} + & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 &\PadTo{10}{6} + & 7 &\PadTo{10}{8} + & 9 \\ +\hline\Strut + & & 0 & 1 & · & 2 & 5 & · & 16 & 3 & · \\ +1 & 6 &13 & · & 8 &17 & · & 4 & 15 & · & 12 \\ +2 & 7 & · &14 &11 &· &10 & 9 & & & \\ +\hline +\end{array} +\]} + +Die erste Tabelle gibt zu allen Indizes der Reihe $0$,~$1$,~$2$,~\dots~$17$ +die Numeri, die zweite zu allen Einheiten aus der Reihe $1$,~$2$,~\dots~$26$ die +Indizes. In der zweiten Tabelle fehlen bei den Vielfachen von~$3$ natürlich +die Indizes, da sie ja modulo~$27$ keine Einheiten sind. + +Für den Modul~$27$ ergibt sich \zB\ aus der zweiten Tabelle +\[ +\Ind 13 = 8,\quad \Ind 10 = 6, +\] +also mit Hilfe der ersten Tabelle: +\begin{gather*} +\Ind (10· 13) \equiv 14 = \Ind 22,\quad +\Ind \left(\frac{13}{10}\right) \equiv 2 = \Ind 4,\ (\mod.~18) \\ +\Ind \left(\frac{13}{10}\right)^{16} \equiv 16·2 \equiv 14 = \Ind 22\ (\mod.~18). +\end{gather*} + +Also erhält man die Kongruenzen modulo~$27$: +\[ +10·13 \equiv 22,\quad +\frac{13}{10} \equiv 4,\quad +\left(\frac{13}{10}\right)^{16} \equiv 22\ (\mod.~27), +\] +von denen wenigstens die beiden ersten leicht direkt nachgeprüft werden +können. + +Um ein Indexsystem modulo~$p^{k}$ aufzusuchen, muß man eine feste +primitive Wurzel~$g$ wählen; nimmt man für den nämlichen Modul~$p^{k}$ +eine andere primitive Wurzel~$g'$ und bestimmt das zu dieser gehörige +Indexsystem, so erscheinen letzterem gegenüber alle Indizes des ersten +\PageSep{197}{181} +Systems mit einer und derselben Zahl, nämlich dem Index von $g'$ in +bezug auf das erste System, multipliziert, ganz ebenso wie beim +Ãœbergang von einem Logarithmensystem zu einem andern. In der Tat, +ist $g' \equiv g^{\alpha}\ (\mod.~p^{k})$, so ist ja für denselben Modul $g'^{\beta'} \equiv g^{\alpha\beta'}$. + +Während sich bei dieser Transformation aber im allgemeinen die +Indizes der einzelnen Zahlen ändern, bleiben für einen beliebigen ungeraden +Modul~$p^{k}$ zwei Indizes stets für jede primitive Wurzel unverändert. +Es ist nämlich für eine beliebige primitive Wurzel $g = we^{p\gamma_{0}}$ +\[ +g^{0} \equiv 1,\quad +g^{\efrac{c}{2}} = g^{\efrac{p-1}{2}\, p^{k-1}} + = \left(w^{\efrac{p-1}{2}}\right)^{p^{k-1}} e^{p^{k} \gamma_{0}·\efrac{p-1}{2}} + \equiv -1\ (\mod.~p^{k}), +\] +da nach \Seite{152} unten $w^{\efrac{p-1}{2}} = -1$ und $p^{k-1}$ ungerade ist; also ist stets +\[ +\Tag{(10)} +\Ind (1) = 0,\quad +\Ind (-1) = \frac{c}{2}. +\] + + +\Section{§ 6.}{Anwendungen: Der Wilsonsche Satz für eine beliebige +Primzahlpotenz\DPtypo{}{.} Lineare Kongruenzen im $p$-adischen +Zahlkörper.} + +Ich benutze die Exponentialdarstellung der Einheiten modulo~$p^{k}$ +um den verallgemeinerten Wilsonschen Satz zu beweisen: +\begin{Theorem} +Das Produkt aller modulo~$p^{k}$ inkongruenten Einheiten ist für +diesen Modul kongruent~$-1$, wenn $p$ ungerade, kongruent~$+1$, +wenn $p = 2$ ist. Eine Ausnahme macht nur der Modul~$2^{2}$, denn +für ihn ist ja das Produkt~$1·3$ kongruent~$-1$. +\end{Theorem} + +Stellt man nämlich alle jene Einheiten modulo~$p^{k}$ als Potenzen +einer primitiven Wurzel~$g$ dar, so ergibt sich für ein ungerades $p$ unter +Benutzung von~\Eq{(10)} +\[ +\Tag{(1)} +\prod E \equiv g^{1+2+\dots+(c-1)} + = \left(g^{\efrac{c}{2}}\right)^{c-1} + \equiv (-1)^{c-1} \equiv -1\ (\mod.~p^{k}) +\] +da $(c - 1)$ ungerade ist. + +Im Falle $p = 2$ ergibt die Darstellung \Eq{(7)} auf \Seite{177} aller Einheiten +modulo~$2^{k}$, da $c = 2^{k-2}$ für $k > 2$ gerade ist, die Kongruenz: +\PageSep{198}{182} +\[ +\Tag{(1^{a})} +\prod E \equiv (-1)^{c}(g^{1+2+\dots+(c-1)})^{2} + = +(g^{c})^{c-1} \equiv +1\ (\mod.~2^{k}), +\] +und damit ist der Wilsonsche Satz allgemein bewiesen. + +Auch ohne Benutzung der primitiven Wurzeln folgt die Richtigkeit +des Wilsonschen Satzes sofort aus der Exponentialdarstellung +der Einheiten~$E$ modulo~$p^{k}$. In der Tat ist ja für ein ungerades +$p$ jede Einheit +\[ +E_{rs} \equiv w_{r} e^{ps}\ (\mod.~p^{k})\qquad +\begin{Conditions} +\left( +\begin{aligned} +r &= 1, 2, \dots p - 1\\ +s &= 0, 1, \dots (p^{k-1} - 1) +\end{aligned} +\right) +\end{Conditions}, +\] +wo $w_{1}$,~$w_{2}$,~\dots~$w_{p-1}$ die $(p - 1)$-ten Einheitswurzeln mit den Anfangsgliedern +$1$,~$2$,~\dots~$p - 1$ sind. Dann ist zunächst das für ein bestimmtes +$r$ auf alle $p^{k-1}$ Werte von~$s$ erstreckte Produkt: +\[ +\Tag{(2)} +\begin{aligned} +\prod_{(s)}E_{rs} + = \prod_{s=0}^{p^{k-1}-1} w_{r} e^{ps} + &= w_{r}^{p^{k-1}} · e^{p(1+2+\dots+(p^{k-1}-1))} \\ + &= w_{r} e^{p^{k}\efrac{p^{k-1}-1}{2}} \equiv w_{r}\ (\mod.~p^{k}) +\end{aligned} +\] +da ja $w_{r}^{p} = w_{r}$, also auch $w_{r}^{p^{k}} = w_{r}$, und der Exponent von~$e$ durch $p^{k}$ teilbar +ist. Multipliziert man in dieser Gleichung noch über alle Werte von +$r$ und beachtet, daß $w_{1} w_{2} \dots w_{p-1} = -1$ ist, so ergibt sich in der Tat: +\[ +\prod_{r} \prod_{s} E_{rs} \equiv -1\ (\mod.~p^{k}). +\] + +Ganz ebenso wird der Wilsonsche Satz für eine Potenz~$2^{k}$ von~$2$ +als Modul bewiesen, falls $k > 2$ ist. Denken wir uns hier alle Einheiten +in der Form \Eq{(2^{a})} \aSeite{170} dargestellt: +\[ +±E_{s} \equiv ±e^{2^{2}·s}\ (\mod.~p^{k})\qquad +\begin{Conditions} +(s = 0, 1, \dots (2^{k-2} - 1)) +\end{Conditions} +\] +und multiplizieren zuerst die $2^{k-2}$ Einheiten mit demselben Vorzeichen +$+1$~oder~$-1$, so erhält man +\[ +\Tag{(2^{a})} +\begin{aligned} +\prod_{(s)} (±1) E_{s} + &\equiv (±1)^{2^{k-2}}·e^{2^{2}(1+2+\dots+(2^{k-2}-1))} \\ + &= e^{2^{2}·2^{k-3}(2^{k-2}-1)} + \equiv +e^{2^{k-1}}\ (\mod.~2^{k}), +\end{aligned} +\] +da der Exponent von~$e$ kongruent~$2^{k-1}$ modulo~$2^{k}$ ist. Also wird das +Produkt jener beiden Teilprodukte kongruent $e^{2·2^{k-1}} \equiv +1\ (\mod.~2^{k})$. +\PageSep{199}{183} + +Aus den beiden in \Eq{(2)}~und~\Eq{(2^{a})} abgeleiteten Kongruenzen: +\index{Kongruente!Zahlen}% +\begin{alignat*}{2} +&\prod_{(s)} E_{rs} \equiv w_{r}\ &&(\mod.~p^{k}) \\ +&\prod_{(s)} ±E_{s} \equiv 1\ &&(\mod.~2^{k-1}) +\end{alignat*} +ergeben sich noch die beiden folgenden interessanten Sätze: +\begin{Theorem} +Das Produkt aller modulo~$p^{k}$ inkongruenten Einheiten, welche +für diesen Modul kongruent~$r$, welche also von der Form $np + r$ +sind, ist für denselben Modul der zugehörigen Einheitswurzel~$w_{r}$ +kongruent. + +Das Produkt aller derjenigen modulo~$2^{k}$ inkongruenten Einheiten, +welche von der Form $4n + 1$ bzw.\ $4n + 3$ sind, ist modulo~$2^{k-1}$ +kongruent~$1$. +\end{Theorem} + +Als letzte Anwendung der bisher durchgeführten Betrachtungen löse +ich die allgemeine lineare Kongruenz +\[ +\Tag{(3)} +AX \equiv A'\ (\mod.~M) +\] +auf, in welcher $A$,~$A'$ und der Modul~$M$ beliebige ganze oder gebrochene +$p$-adische Zahlen sein können, und bestimme die Anzahl ihrer modulo~$M$ +inkongruenten Lösungen. Hierzu gebe ich zuerst die allgemeinste +Definition der Kongruenz zweier $p$-adischen Zahlen für einen beliebigen +$p$-adischen Modul~$M$, welche vollständig mit der früher für eine beliebige +Potenz~$p^{k}$ von $p$ als Modul gegebenen übereinstimmt und sofort +auf diese zurückgeführt werden kann: +\begin{Theorem} +Zwei Zahlen $B$~und~$B'$ heißen \so{kongruent für den +Modul~$M$}, wenn ihre Differenz durch $M$ teilbar ist. +\end{Theorem} + +Hiernach ist also genau wie \aSeite{40} unten die Kongruenz: +\[ +\Tag{(4)} +B \equiv B'\ (\mod.~M) +\] +nur ein anderer Ausdruck für das Bestehen einer Gleichung: +\[ +\Tag{(4^{a})} +B' = B + MG, +\] +in der $G$~eine beliebige \emph{ganze} $g$-adische Zahl bedeutet. Ist $M = p^{m}E$, +wo $E$~eine Einheit bedeutet, so geht die Gleichung~\Eq{(4^{a})} in +\[ +\Tag{(4^{b})} +B' = B + p^{m}EG = B + p^{m}\bar{G} +\] +\PageSep{200}{184} +über und sie ist dann und nur dann erfüllt, wenn $\bar{G} = EG$ ebenfalls +eine ganze $p$-adische Zahl, wenn also +\[ +\Tag{(4^{c})} +B' \equiv B\ (\mod.~p^{m}) \quad\text{oder}\quad (\mod.~|M|) +\] +ist, wo $|M|$ den absoluten Betrag von $M$ bedeutet; somit ergibt sich +der Satz: +\begin{Theorem} +Die Kongruenz~\Eq{(4)} für den $p$-adischen Modul~$M$ ist stets und +nur dann erfüllt, wenn sie für seinen absoluten Betrag besteht. +\end{Theorem} + +Da endlich die Gleichung~\Eq{(4^{a})} bestehen bleibt, wenn man sie mit +einer beliebigen von Null verschiedenen Zahl~$C$ multipliziert oder sie +durch $C$ dividiert, so folgt der Satz: +\begin{Theorem} +Eine Kongruenz: +\[ +\Tag{(4)} +B \equiv B'\ (\mod.~M) +\] +bleibt richtig, wenn man sie mit einer $p$-adischen Zahl $C \neq 0$ +multipliziert oder dividiert, vorausgesetzt, daß ihr Modul in +derselben Weise umgeformt wird; erfüllen also $B$~und~$B'$ die +Kongruenz~\Eq{(4)}, so ist für jede von Null verschiedene Zahl~$C$: +\[ +\Tag{(4^{d})} +CB \equiv CB'\ (\mod.~CM), \quad +\frac{B}{C} \equiv \frac{B'}{C}\ \left(\mod.~\frac{M}{C}\right). +\] +\end{Theorem} + +Aus der obigen Kongruenz~\Eq{(1)} ergibt sich nun durch Anwendung +von \Eq{(4^{d})}~und~\Eq{(4^{c})} +\[ +\Tag{(5)} +X \equiv \frac{A'}{A} = x_{0}\ \left(\mod.~\left|\frac{M}{A}\right|\right), +\] +wo $x_{0}$ also modulo $\left|\dfrac{M}{A}\right|$ eindeutig bestimmt ist. Daher genügt $X$ dann +und nur dann der Kongruenz~\Eq{(1)}, wenn +\[ +\Tag{(6)} +X = x_{0} + \left|\frac{M}{A}\right|G +\] +ist, wo $G$~eine beliebige ganze Zahl bedeutet. + +Wieviele unter diesen Zahlen~\Eq{(6)} sind nun modulo~$M$ inkongruent? +Sollen zwei Lösungen +\PageSep{201}{185} +\[ +x_{0} + \left|\frac{M}{A}\right|G \quad\text{und}\quad +x_{0} + \left|\frac{M}{A}\right|G' +\] +modulo~$M$ kongruent sein, so gilt für ihre Differenz: +\[ +\left|\frac{M}{A}\right|(G' - G) \equiv 0\ (\mod.~|M|) +\] +oder nach Division mit $\left|\dfrac{M}{A}\right|$: +\[ +G' \equiv G\ (\mod.~|A|). +\] +Also sind alle und nur die modulo~$M$ inkongruenten Lösungen der +vorgelegten Kongruenz~\Eq{(1)} in der Form: +\[ +\frac{A'}{A} + \left|\frac{M}{A}\right|G +\] +enthalten, in der $G$ ein vollständiges System aller modulo $|A| = p^{a}$ +inkongruenten ganzen Zahlen durchläuft. + +Ist die Ordnungszahl~$a$ von $A$ positiv, so ist die Anzahl aller +modulo~$p^{a}$ inkongruenten ganzen Zahlen +\[ +G = g_{0} + g_{1}p + \dots + g_{a-1} p^{a-1} +\] +gleich $p^{a} = |A|$; ist dagegen $a = -\bar{a} \leqq 0$, so sind alle ganzen Zahlen~$G$ +modulo~$p^{-\bar{a}}$ kongruent; in diesem Falle hat also unsere Kongruenz +nur die eine Lösung $x = \dfrac{A'}{A}$. + +\begin{Theorem} +Die Anzahl aller modulo~$M$ inkongruenten Lösungen der Kongruenz +\[ +AX \equiv A'\ (\mod.~M) +\] +ist also gleich $|A|$ oder gleich~$1$, je nachdem $A$ ganz oder gebrochen +ist; jene Anzahl ist also stets gleich dem kleinsten gemeinsamen +Vielfachen~$[1, |A|]$ von $1$~und~$|A|$. +\end{Theorem} + +Ich untersuche jetzt, ob die Kongruenz +\[ +\Tag{(1)} +AX \equiv A'\ (\mod.~M) +\] +\so{ganzzahlige} Lösungen besitzt, und, falls dies der Fall sein sollte, +\index{Ganzzahlige Lösungen d.\ Kongruenzen}% +wie groß ihre Anzahl ist. Dabei kann ich voraussetzen, daß $A$,~$A'$ und +\PageSep{202}{186} +$M$ von nicht negativer Ordnung sind; denn durch Multiplikation der +Kongruenz~\Eq{(1)} mit einer geeigneten Potenz von $p$ kann die allgemeinste +Kongruenz leicht auf diesen Fall reduziert werden. + +Ferner können und wollen wir $|A| > |M|$ voraussetzen; denn für +$|A|\lesssim |M|$ wird ja die Kongruenz $0·X \equiv A'\ (\mod.~M)$ nur in dem trivialen +Falle durch ganzzahlige $X$ befriedigt, daß $A' \equiv 0$, daß also +auch $|A'| \lesssim |M|$ ist, und dann durch alle $p^{m} = |M|$ modulo~$M$ inkongruenten +ganzen Zahlen. Ist dagegen $|A| > |M|$, so ist in der allgemeinen +Lösung: +\[ +X = \frac{A'}{A} + \left|\frac{M}{A}\right|G +\] +der zweite Summand ganz; also besitzt unsere Kongruenz stets und nur +dann eine ganzzahlige Lösung, wenn auch $\dfrac{A'}{A}$ ganz, wenn also $A'$ durch +$A$ teilbar ist, und nach dem allgemeinen Resultate hat sie dann genau +$p^{a} = |A|$ modulo~$M$ inkongruente ganzzahlige Lösungen. Bezeichnen +wir wieder durch $(A, M) = (p^{a}, p^{m})$ den größten gemeinsamen Teiler +von $A$~und~$M$, \dh\ die niedrigere von den beiden Potenzen $p^{a}$~und~$p^{m}$, +so hat die Kongruenz~\Eq{(1)} in jedem der beiden unterschiedenen +Fälle stets und nur dann eine Lösung, wenn $A'$ durch $(A, M)$ teilbar +ist; und sie besitzt dann genau $(A, M)$ modulo~$M$ inkongruente +Lösungen. + +Wir wollen jede Lösung der Kongruenz $AX \equiv A'\ (\mod.~M)$ als +\so{einen Wert des Quotienten $\dfrac{A}{A'}$ modulo~$M$} bezeichnen und +$A'$~und~$A$ den \so{Zähler} und den \so{Nenner} desselben nennen. Dann +können wir das Gesamtergebnis der letzten Untersuchung folgendermaßen +aussprechen: +\begin{Theorem} +Der Quotient $\dfrac{A'}{A}$ besitzt modulo~$M$ stets und nur dann einen +\index{Wert e.\ Quotienten modulo~$M$}% +ganzzahligen Wert, wenn sein Zähler~$A'$ durch $(A, M)$ teilbar ist, und +zwar hat er dann genau $(A, M)$ modulo~$M$ inkongruente Werte, +welche sich um Multipla von~$|M/A|$ unterscheiden. +\end{Theorem} + +So hat \zB\ für den Bereich von $3$ die Kongruenz +\[ +18X \equiv 63\ (\mod.~81) +\] +\PageSep{203}{187} +mindestens eine ganzzahlige Lösung, weil $63$ durch $(18, 81) = 9$ teilbar +ist. Alle modulo~$81$ inkongruenten Wurzeln dieser Kongruenz +sind in der Form: +\[ +X = \frac{63}{18} + \left|\frac{81}{18}\right|n = \frac{7}{2} + 9n +\] +enthalten, wo $\dfrac{7}{2}$ modulo $\left|\dfrac{81}{18}\right| = 9$ bestimmt ist, also gleich~$8$ gesetzt +werden kann und wo $n$~ein vollständiges Restsystem modulo $|18| = 9$, +also etwa die Zahlenreihe $0$,~$±1$, $±2$, $±3$,~$±4$ durchläuft. Die +sämtlichen $9$ Lösungen $X = 8 + 9n$ sind hiernach: +\[ +-28,\ -19,\ -10,\ -1,\ +8,\ +17,\ +26,\ +35,\ +44. +\] + +Ebenso besitzt für den Bereich von $2$ die Kongruenz: +\[ +12X \equiv 40\ (\mod.~32) +\] +die Lösungen: +\[ +X = \frac{40}{12} + \left|\frac{32}{12}\right|·n = \frac{10}{3} + 8n, +\] +wo $\dfrac{10}{3}$ modulo~$8$ kongruent~$6$ ist, und $n$~ein vollständiges Restsystem +modulo $|12| = 4$ durchläuft. Die vier modulo~$32$ inkongruenten +Lösungen jener Kongruenz sind also $6$,~$14$,~$22$,~$30$. + +Schließt man den trivialen Fall, daß $A$ durch $M$ teilbar ist, +aus, so spricht sich das auf vor.~S. abgeleitete Schlußresultat einfacher +so aus: +\begin{Theorem} +Die Kongruenz +\[ +AX \equiv A'\ (\mod.~M) +\] +besitzt stets und nur dann ganzzahlige Lösungen, wenn $A'$ durch +$|A|$ teilbar ist, und zwar hat sie dann genau $|A|$ modulo~$M$ inkongruente +Wurzeln, welche sich um Multipla von $|M/A|$ unterscheiden. +\end{Theorem} +\PageSep{204}{188} + + +\Chapter{Neuntes Kapitel.} +{Die Elemente der Zahlentheorie im Ringe +der $g$-adischen Zahlen.} + +\Section{§ 1.}{Die elementaren Rechenoperationen im Ringe der +$g$-adischen Zahlen.} + +Im fünften Kapitel (\Seite{86}~ff.)\ war gezeigt worden, wie sich +die Untersuchung aller $g$-adischen Zahlen für eine beliebige zusammengesetzte +Grundzahl~$g$ vollständig auf die Betrachtung derjenigen +Körper $K(p)$,~$K(q)$,~\dots~$K(r)$ reduzieren läßt, deren Grundzahlen +$p$,~$q$,~\dots~$r$ die sämtlichen in $g$ enthaltenen verschiedenen Primzahlen +sind. Ich will jetzt zeigen, wie einfach sich die genauere Untersuchung +der Zahlen des $g$-adischen Zahlringes~$R(g)$ auf Grund der im +vorigen Kapitel für die $p$-adischen Zahlkörper gewonnenen Resultate +gestaltet. + +Im fünften Kapitel hatte sich als Hauptresultat ergeben, daß +alle $g$-adischen Zahlen auf eine einzige Weise entweder in der sogen.\ +additiven oder in der multiplikativen Normalform darstellbar sind. +Die letztere Art werden wir im folgenden wesentlich benutzen; daher +sollen die vorher gefundenen Sätze hier noch einmal ausgesprochen +werden: +\begin{Theorem} +Ist $g$ eine beliebige ganze Zahl, und sind $p$,~$q$,~\dots~$r$ alle ihre +verschiedenen Primfaktoren, so ist jede $g$-adische Zahl auf eine +einzige Weise in der sogen.\ multiplikativen Normalform darstellbar: +\[ +A = \frakA_{p} \frakA_{q} \dots \frakA_{r}\ (g). +\] +\PageSep{205}{189} +Hier sind die $g$-adischen Zahlen $\frakA_{p}$,~$\frakA_{q}$,~\dots~$\frakA_{r}$, die sogen.\ \so{Komponenten +von~$A$}, eindeutig durch die Bedingungen bestimmt, +daß \zB\ für die erste: +\[ +\frakA_{p} = A\ (p),\quad +\frakA_{p} = 1\ (q),\ \dots\quad +\frakA_{p} = 1\ (r) +\] +ist, während für die übrigen entsprechende Bestimmungsgleichungen +bestehen. Sind umgekehrt: +\[ +\alpha_{p},\quad \alpha_{q},\ \dots\quad \alpha_{r} +\] +beliebig vorgegebene $p$-adische, $q$-adische,~\dots\ $r$-adische Zahlen, so +gibt es eine einzige $g$-adische Zahl~$A$, welche für die Bereiche von +$p$,~$q$,~\dots~$r$ bzw.\ gleich $\alpha_{p}$,~$\alpha_{q}$,~\dots~$\alpha_{r}$ ist. +\end{Theorem} + +Aus diesem Satze folgte sofort der weitere: +\begin{Theorem} +Sind +\[ +A = \frakA_{p} \frakA_{q} \dots \frakA_{r};\quad +B = \frakB_{p} \frakB_{q} \dots \frakB_{r} +\] +zwei beliebige $g$-adische Zahlen in der Normalform, so ist: +\[ +AB = (\frakA_{p}\frakB_{p})(\frakA_{q}\frakB_{q}) \dots (\frakA_{r}\frakB_{r}) +\] +die Darstellung ihres Produktes in der Normalform. +\end{Theorem} + +Aus den Untersuchungen des vierten Kapitels hatte sich \aSeite{67} +unten ergeben, daß im Bereiche der $g$-adischen Zahlen die Grundgesetze +\Iref{I\Add{)}}--\Iref{VI\Add{)}} des ersten Kapitels unbeschränkt gelten. Während aber +in dem Ringe~$R(g)$ die Subtraktion unbeschränkt und eindeutig ausführbar +ist, gilt dasselbe nicht für die Division; es ist jetzt aber leicht, +die Divisionsregeln in diesem Ringe ebenfalls vollständig und einfach +anzugeben. + +Sind nämlich $A$~und~$B$ zwei beliebige $g$-adische Zahlen, so wollen +\index{Quotient!$g$-adischer Zahlen}% +wir auch hier jede $g$-adische Zahl~$X$, welche der Gleichung: +\[ +\Tag{(1)} +AX = B\ (g) +\] +genügt, durch +\[ +\Tag{(1^{a})} +X = \frac{B}{A}\ (g) +\] +bezeichnen und sie \so{einen Quotienten von $B$~und~$A$} oder +\PageSep{206}{190} +\so{einen Bruch} nennen, dessen Zähler~$B$, dessen Nenner $A$ ist. Ist +wieder +\[ +A = \frakA_{p}\frakA_{q} \dots \frakA_{r}; \quad +B = \frakB_{p}\frakB_{q} \dots \frakB_{r} +\] +die Darstellung von $A$~und~$B$ in der Normalform, und ist $X = X_{p}X_{q} \dots X_{r}$ +dieselbe Darstellung für die unbekannte Zahl~$X$, so sind ihre Komponenten +durch die Forderungen bestimmt, daß \zB\ $X_{p}$ den Gleichungen: +\[ +\Tag{(2)} +\frakA_{p}X_{p} = \frakB_{p}\ (p),\quad +X_{p} = 1\ (q),\ \dots\quad +X_{p} = 1\ (r) +\] +genügen muß, deren erste sich aus der Betrachtung der Gleichung~\Eq{(1)} +für den Bereich von $p$ ergibt, während die letzten erfüllt sein müssen, +damit $X_{p}$~eine $p$-Komponente sei. Für die anderen Komponenten bestehen +die entsprechenden Gleichungen: +\[ +\Tag{(2^{a})} +\begin{gathered} +\frakA_{q}X_{q} = \frakB_{q}\ (q),\quad X_{q} = 1\ (p),\ \dots\quad X_{q} = 1\ (r) \\ +\DotRow{1}. +\end{gathered} +\] +Sind umgekehrt für ein System $(X_{p}, X_{q}, \dots X_{r})$ von $g$-adischen Zahlen +die Gleichungen \Eq{(2)}~und~\Eq{(2^{a})} sämtlich erfüllt, so besteht für die aus +ihnen multiplikativ zusammengesetzte Zahl~$X$ die Gleichung~\Eq{(1)}. Sind +endlich $(X_{p}, X_{q}, \dots X_{r})$ und $(X'_{p}, X'_{q}, \dots X'_{r})$ zwei verschiedene Lösungen +von \Eq{(2)}~und~\Eq{(2^{a})}, so sind die ihnen entsprechenden Lösungen +$X$~und~$X'$ ebenfalls verschieden, da eine $g$-adische Zahl~$X$ durch ihre +Komponenten $(X_{p}, X_{q}, \dots X_{r})$ eindeutig bestimmt ist. + +Wir brauchen daher nur zu untersuchen, wie viele und welche Lösungen +die Gleichungssysteme \Eq{(2)}~und~\Eq{(2^{a})} für die verschiedenen Komponenten +$X_{p}$,~$X_{q}$,~\dots~$X_{r}$ haben, und dabei können wir uns auf die eine +Komponente~$X_{p}$ und die sie bestimmenden Gleichungen~\Eq{(2)} beschränken. + +Wir wollen nun ähnlich wie vorher jede Lösung $X_{p}$ der Gleichungen~\Eq{(2)} +durch +\[ +\Tag{(3)} +X_{p} = \frac{\frakB_{p}}{\frakA_{p}} +\] +bezeichnen, und sie einen \so{Bruch} oder \so{einen Quotienten +der beiden $p$-Komponenten $\frakB_{p}$~und~$\frakA_{p}$} nennen; $\frakB_{p}$~heiße +wieder \so{der Zähler}, $\frakA_{p}$~\so{der Nenner} dieses Bruches. Dann ist also +jeder Wert jenes Bruches durch die Bedingungen +\PageSep{207}{191} +\[ +\Tag{(3^{a})} +\frakA_{p}\left(\frac{\frakB_{p}}{\frakA_{p}}\right) = \frakB_{p}\ (p)\DPtypo{.}{,}\quad +\frac{\frakB_{p}}{\frakA_{p}} = 1\ (q),\ \dots\quad +\frac{\frakB_{p}}{\frakA_{p}} = 1\ (r) +\] +bestimmt. Entsprechend sollen die Lösungen $X_{q}$,~\dots~$X_{r}$ der Gleichungen~\Eq{(2^{a})} +bzw.\ durch $\dfrac{\frakB_{q}}{\frakA_{q}}$,~\dots~$\dfrac{\frakB_{r}}{\frakA_{r}}$ bezeichnet werden. Dann besteht also der +Satz: +\begin{Theorem} +Sind +\[ +A = \frakA_{p}·\frakA_{q} \dots \frakA_{r},\quad +\DPtypo{\frakB}{B} = \frakB_{p}·\frakB_{q} \dots \frakB_{r} +\] +zwei beliebige $g$-adische Zahlen in der Normalform, so ist +\[ +\Tag{(4)} +\frac{B}{A} + = \frac{\frakB_{p}}{\frakA_{p}}·\frac{\frakB_{q}}{\frakA_{q}} \dots \frac{\frakB_{r}}{\frakA_{r}}\ (g) +\] +die Darstellung eines jeden Wertes ihres Quotienten in der Normalform, +falls solche Werte überhaupt existieren. +\end{Theorem} + +Wir haben jetzt also zu untersuchen, ob für beliebig gegebene +$g$-adische Zahlen $A$~und~$B$ bzw.\ für beliebige $p$-Komponenten $\frakA_{p}$ +und~$\frakB_{p}$ die Gleichungen: +\[ +\Tag{(5)} +\frakA_{p}X_{p} = \frakB_{p}\ (p),\quad +X_{p} = 1\ (q),\ \dots\quad +X_{p} = 1\ (r) +\] +Lösungen $X_{p} = \dfrac{\frakB_{p}}{\frakA_{p}}$ haben, und, falls dies der Fall ist, welches diese sind. +Diese Gleichungen besitzen nun stets und nur dann Lösungen~$X_{p}$, wenn +die erste von ihnen allein solche hat, und jeder Lösung~$\xi_{p}$ dieser einen +Gleichung: +\[ +\Tag{(5^{a})} +\frakA_{p}\xi_{p} = \frakB_{p}\ (p) +\] +entspricht eine eindeutig bestimmte Lösung~$X_{p}$ der Gleichungen~\Eq{(5)}. +Ist nämlich~$\xi_{p}$, eine $p$-adische Zahl, welche eine Lösung von~\Eq{(5^{a})} ist, +so gibt es ja nach \Seite{87}~\Eq{(2)} eine einzige $g$-adische Zahl~$X_{p}$, für welche +die Gleichungen +\[ +X_{p} = \xi_{p}\ (p),\quad +X_{p} = 1\ (q),\ \dots\quad +X_{p} = 1\ (r) +\] +sämtlich erfüllt sind, welche also eine Lösung von~\Eq{(5)} ist. + +Da nun der Bereich $K(p)$ der $p$-adischen Zahlen einen Körper +bildet, so besitzt die Gleichung~\Eq{(5^{a})} stets eine eindeutig bestimmte Lösung, +\PageSep{208}{192} +wenn $\frakA_{p} \neq 0\ (p)$, wenn also der Wert von $A$ für den Bereich von +$p$ von Null verschieden ist, oder, was dasselbe ist, wenn $A$ nicht den +zu $p$ gehörigen Primteiler~$O_{p}$ der Null enthält. + +In diesem Falle ist also: +\[ +X_{p} = \frac{\frakB_{p}}{\frakA_{p}}\ (g) +\] +eindeutig bestimmt. Gilt das entsprechende für alle Komponenten +$\frakA_{q}$,~\dots~$\frakA_{r}$, sind also die Werte von $A$ für den Bereich aller in $g$ enthaltenen +Primzahlen von Null verschieden, enthält mithin $A$ keinen einzigen +Primteiler der Null, so sind hiernach alle Komponenten $\dfrac{\frakB_{p}}{\frakA_{p}}$,~\dots~$\dfrac{\frakB_{r}}{\frakA_{r}}$ +von~$\dfrac{B}{A}$, also auch $\dfrac{B}{A}$ selbst, eindeutig bestimmt. + +\begin{Theorem} +Der Quotient $\dfrac{B}{A}$ zweier $g$-adischen Zahlen ist also eine eindeutig +bestimmte $g$-adische Zahl, wenn der Nenner $A$ keinen Primteiler +der Null enthält. In diesem Falle ist hiernach die Division +stets unbeschränkt und eindeutig ausführbar. +\end{Theorem} + +Es möge jetzt +\[ +A = O_{p}\frakA_{q} \dots \frakA_{r} +\] +einen, etwa den zu $p$ gehörigen Primteiler der Null enthalten, während +die übrigen Komponenten beliebig sein können. Dann geht die Gleichung~\Eq{(5^{a})} +zur Bestimmung der $p$-Komponente von $X$ über in +\[ +0·\xi_{p} = \frakB_{p}\ (p), +\] +und diese besitzt dann und nur dann überhaupt eine Lösung, wenn +auch $\frakB_{p} = 0\ (p)$ ist, wenn also +\[ +B = O_{p}\frakB_{q} \dots \frakB_{r} +\] +ebenfalls den zu $p$ gehörigen Primfaktor der Null enthält. Ist das aber +der Fall, so wird die Gleichung +\[ +0·\xi_{p} = 0\ (p) +\] +durch jede $p$-adische Zahl erfüllt. Daher werden die zugehörigen Gleichungen: +\PageSep{209}{193} +\[ +X_{p} = \xi_{p}\ (p),\quad +X_{p} = 1\ (q),\ \dots\quad +X_{p} = 1\ (r) +\] +zur Bestimmung der $p$-Komponente von $X$ durch jede $g$-adische Zahl +befriedigt, deren $p$-Komponente ganz beliebig ist, während sie für den +Bereich von $q$,~\dots~$r$ gleich~$1$ wird. In diesem Falle hat also diese +$p$-Komponente: +\[ +\Tag{(6)} +X_{p} = \frac{\frakB_{p}}{\frakA_{p}} = \frac{O_{p}}{O_{p}} +\] +unendlich viele Werte, sie erscheint hier in der unbestimmten Form +$\dfrac{O_{p}}{O_{p}}$ einer $p$-Komponente, welche für den Bereich von $p$ jeden Wert annehmen +kann. Ist dagegen $\frakA_{p} = O_{p}$, $\frakB_{p} \neq O_{p}$, so besitzt die Gleichung~\Eq{(5^{a})} +innerhalb $R(g)$ keine Lösung, und das Gleiche gilt in diesem Falle +von der ganzen Gleichung $AX = B\ (g)$, da dann $X$ eben keine $p$-Komponente +besitzen kann. Auch hier wollen wir die Zahlgröße +\[ +X_{p} = \frac{\frakB_{p}}{O_{p}} +\] +einführen, aber dabei bemerken, daß sie nicht im Ringe~$R(g)$ der +$g$-adischen Zahlen vorkommt. Entsprechendes gilt natürlich für die +übrigen Komponenten. Wir können also das Schlußresultat unserer +Untersuchung folgendermaßen aussprechen: +\begin{Theorem} +Der Quotient: +\[ +\frac{B}{A} = \frac{\frakB_{p}}{\frakA_{p}}·\frac{\frakB_{q}}{\frakA_{q}} \dots \frac{\frakB_{r}}{\frakA_{r}} +\] +zweier $g$-adischen Zahlen ist stets und nur dann \emph{eindeutig} bestimmt, +wenn der Nenner keinen Primteiler der Null enthält. Besitzt dagegen +der Nenner~$A$ gewisse von den Primteilern der Null, so existiert +der Quotient~$B/A$ stets und nur dann, wenn der Zähler mindestens +dieselben Primteiler enthält, und dann kann für die zugehörigen +in unbestimmter Form erscheinenden Komponenten +\[ +\frac{O_{p}}{O_{p}} \quad\text{bzw.}\quad \frac{O_{q}}{O_{q}},\ \dots +\] +jede beliebige $p$-~bzw.\ $q$-Komponente gesetzt werden. Ist dagegen +auch nur ein Komponentennenner ein Primteiler der Null, ohne +\PageSep{210}{194} +daß für den zugehörigen Komponentenzähler dasselbe gilt, so +existiert dieser Bruch $\dfrac{B}{A}$ im Bereiche der $g$-adischen Zahlen nicht. +\end{Theorem} + +So ergibt sich \zB\ die vollständige Lösung der Gleichung +\[ +\Tag{(7)} +AX = 0\ (g) +\] +in der Form: +\[ +X = \frac{0}{A} = \frac{O_{p}}{\frakA_{p}}·\frac{O_{q}}{\frakA_{q}} \dots \frac{O_{r}}{\frakA_{r}} +\] +und liefert stets mindestens eine $g$-adische Zahl~$X$, wie auch $A$ beschaffen +sein mag. Enthält $A$ keinen Primteiler der Null, so ist $X = 0$ die +einzige Lösung der obigen Gleichung, \dh\ in diesem Falle ist $AX$ +nur dann Null, wenn $X = 0$ ist. Ist dagegen \zB\ $\frakA_{p} = O_{p}$, so gibt +es unendlich viele verschiedene Lösungen unserer Gleichung~\Eq{(7)}, die alle +in der Form: +\[ +X = \frac{O_{p}}{O_{p}}·\frac{O_{q}}{\frakA_{q}} \dots \frac{O_{r}}{\frakA_{r}} +\] +enthalten sind. + +Ferner liefert die Gleichung: +\[ +\Tag{(7^{a})} +AX = 1 +\] +für $X$ die Lösung +\[ +X = \frac{1}{A} + = \frac{1_{p}}{\frakA_{p}}·\frac{1_{q}}{\frakA_{q}} \dots \frac{1_{r}}{\frakA_{r}} +\] +und diese existiert stets und nur dann im Ringe~$R(g)$ und ist dann +eindeutig bestimmt, wenn $A$ keinen Primteiler der Null enthält. + +Ich bemerke endlich noch, daß \zB\ die $g$-adischen Zahlen, welche +rationalen Zahlen~$\dfrac{m}{n}$ gleich sind, niemals einen Primteiler der Null enthalten +können; denn eine solche Zahl müßte ja, wenn sie \zB\ den Divisor~$O_{p}$ +besäße, durch jede noch so hohe Potenz von $p$ teilbar sein, was nur +für die Zahl Null der Fall ist. Der Bereich aller derjenigen $g$-adischen +Zahlen, welche den rationalen Zahlen gleich sind, bildet also einen Körper, +\PageSep{211}{195} +da ja in ihm neben den drei anderen elementaren Rechenoperationen +auch die Division unbeschränkt und eindeutig ausführbar ist. + +Endlich mögen die entsprechenden Resultate für die Darstellung +der $g$-adischen Zahlen in der additiven Normalform wenigstens kurz +erwähnt werden: Sind +\[ +A = A_{p} + A_{q} + \dots + A_{r},\quad +B = B_{p} + B_{q} + \dots + B_{r} +\] +zwei beliebige in der additiven Normalform dargestellte $g$-adische Zahlen, +so sind die Summe, die Differenz, das Produkt und der Quotient derselben +durch die Gleichungen bestimmt: +\[ +\Tag{(8)} +\begin{gathered} +A + B = (A_{p} + B_{p}) + (A_{q} + B_{q}) + \dots + (A_{r} + B_{r}) \\ +A - B = (A_{p} - B_{p}) + (A_{q} - B_{q}) + \dots + (A_{r} - B_{r}) \\ +AB = A_{p}B_{p} + A_{q}B_{q} + \dots + A_{r}B_{r} \\ +\frac{B}{A} = \frac{B_{p}}{A_{p}} + \frac{B_{q}}{A_{q}} + \dots + \frac{B_{r}}{A_{r}}. +\end{gathered} +\] +In diesen vier Gleichungen sind \zB\ die $p$-Komponenten diejenigen +$g$-adischen Zahlen, welche für den Bereich von $p$ bzw.\ gleich +\[ +A + B,\quad A - B,\quad AB,\quad \frac{B}{A}, +\] +dagegen für den Bereich aller übrigen Primzahlen gleich Null sind. +Auch hier sind diese Komponenten für $A + B$, $A - B$, $AB$ immer eindeutig +bestimmt. Für den Quotienten~$\dfrac{B}{A}$ dagegen sind diese Komponenten +stets und nur dann eindeutig bestimmt, wenn keine einzige der +Nennerkomponenten $A_{p}$,~$A_{q}$,~\dots~$A_{r}$ Null ist, wenn also der Nenner +keinen einzigen Primteiler der Null besitzt. Ist dagegen \zB\ $A_{p} = 0$, +so existiert der Bruch $\dfrac{B}{A}$ stets und nur dann in~$R(g)$, wenn auch $B_{p} = 0$ +ist, und in diesem Falle stellt das Symbol $\dfrac{0_{p}}{0_{p}} = \dfrac{0}{0}$ jede $g$-adische Zahl +dar, deren $p$-adischer Wert ganz beliebig sein kann, während sie für +den Bereich von $q$,~\dots~$r$ gleich Null ist. Die Beweise dieser Sätze sind +genau ebenso zu führen wie dies für die multiplikative Darstellung der +Zahlen geschehen ist. +\PageSep{212}{196} + + +\Section{§ 2.}{Der absolute Betrag, die Einheitswurzel und die +Haupteinheit einer $g$-adischen Zahl.} + +Ich benutze nun die Darstellung der $g$-adischen Zahlen in der multiplikativen +Normalform, um zunächst die Begriffe des absoluten Betrages +einer Zahl, ihrer Einheitswurzel und ihrer Haupteinheit von den +$p$-adischen auf die allgemeinsten $g$-adischen Zahlen zu übertragen. + +Ist +\[ +\Tag{(1)} +A = \frakA_{p} \frakA_{q} \dots \frakA_{r}\ (g) +\] +die Darstellung einer beliebigen $g$-adischen Zahl in der Normalform, so +ist jede ihrer Komponenten, \zB\ $\frakA_{p}$ eindeutig durch ihren Wert für +den Bereich von $p$ bestimmt, oder also durch die $p$-adische Zahl~$a_{p}$, +welcher $\frakA_{p}$ oder auch $A$ selbst für den Bereich von $p$ gleich ist. Jede +solche $p$-adische Zahl~$a_{p}$ konnten wir nun für den Bereich von $p$ eindeutig +in der folgenden Form darstellen: +\[ +\Tag{(2)} +a_{p} = p^{\alpha_{p}} w_{p} E_{p}\ (p). +\] +Hier bedeutet $p^{\alpha_{p}} = |a_{p}|$ den absoluten Betrag der Zahl~$a_{p}$, also $\alpha_{p}$ die +Ordnungszahl derselben, $w_{p}$~die ihr zugehörige $(p - 1)$-te Einheitswurzel +oder für $p = 2$ eine der Einheiten~$±1$, und $E_{p}$~die zugeordnete Haupteinheit +modulo~$p$ bzw.\ modulo~$4$. + +Um nun die der $p$-adischen Zahl~$a_{p}$ entsprechende $g$-adische +$p$-Komponente $\frakA_{p}$ in derselben Weise darzustellen bezeichne ich jetzt +durch +\[ +\bar{p},\quad \bar{w}_{p} \quad\text{und}\quad \bar{E}_{p} +\] +diejenigen eindeutig bestimmten $g$-adischen Zahlen, welche für den +Bereich von $p$ bzw.\ gleich +\[ +p,\quad w_{p} \quad\text{und}\quad E_{p} +\] +sind, während sie für die Bereiche von $q$,~\dots~$r$ alle den Wert Eins haben. +Dann ist offenbar die Komponente~$\frakA_{p}$ folgendermaßen dargestellt: +\[ +\Tag{(2^{a})} +\frakA_{p} = \bar{p}^{\alpha_{p}} \bar{w}_{p} \bar{E}_{p}\ (g). +\] +Macht man die entsprechenden Festsetzungen für die anderen Bereiche +von $q$,~\dots~$r$ und stellt dann die Werte $a_{q}$,~\dots~$a_{r}$ von $A$ für diese +\PageSep{213}{197} +Bereiche analog dar, wie das in~\Eq{(2)} für $a_{p}$ geschehen ist, so erhält man +für $\frakA_{q}$,~\dots~$\frakA_{r}$ die Gleichungen: +\[ +\Tag{(3)} +\begin{aligned} +\frakA_{q} &= \bar{q}^{\alpha_{q}} \bar{w}_{q} \bar{E}_{q} \\ +\PadTo{\frakA_{q}}{\vdots} \\ +\frakA_{r} &= \bar{r}^{\alpha_{r}} \bar{w}_{r} \bar{E}_{r} +\end{aligned} +\quad (g), +\] +und durch Multiplikation aller dieser Gleichungen ergibt sich endlich +die folgende einfache Darstellung einer beliebigen $g$-adischen Zahl~$A$: +\[ +\Tag{(4)} +A = \frakA_{p} \frakA_{q} \dots \frakA_{r} = GwE, +\] +wo: +\[ +\Tag{(4^{a})} +G = \bar{p}^{\alpha_{p}} \bar{q}^{\alpha_{q}} \dots \bar{r}^{\alpha_{r}},\quad +w = \bar{w}_{p} \bar{w}_{q} \dots \bar{w}_{r},\quad +E = \bar{E}_{p} \bar{E}_{q} \dots \bar{E}_{r} +\] +gesetzt ist. + +Die $g$-adische Zahl~$G$ ist eindeutig dadurch bestimmt, daß sie für +den Bereich einer jeden Primzahl $p$,~$q$,~\dots~$r$ gleich dem absoluten Betrage +von $A$ für den Bereich derselben ist; und ebenso sind $w$ und $E$ +die $g$-adischen Zahlen, welche für die Bereiche von $p$,~$q$,~\dots~$r$ gleich +der zu $A$ gehörigen zugeordneten Einheitswurzel bzw.\ der entsprechenden +Haupteinheit sind. Aus diesem Grunde soll im folgenden +\index{Absoluter Betrag einer $g$-adischen Zahl}% +\index{Einheitswurzel, zu e.\ $g$-adischen Zahl gehörige}% +\index{Haupteinheit!zu e.\ $g$-adischen Zahl gehörige}% +\[ +\Tag{(5)} +G = |A| = \bar{p}^{\alpha_{p}} \bar{q}^{\alpha_{q}} \dots \bar{r}^{\alpha_{r}} +\] +\so{der absolute Betrag der $g$-adischen Zahl} heißen, und $w$ und +$E$ nenne ich \so{ihre Einheitswurzel} und \so{ihre Haupteinheit}. + +Die beiden letzten Bezeichnungen werden dadurch gerechtfertigt, +daß $w$ in der Tat eine gewisse $g$-adische Einheitswurzel und $E$~eine Haupteinheit +für einen gewissen leicht angebbaren Modul~$g_{0}$ ist. Es gehört +nämlich in der Gleichung $w = \bar{w}_{p} \bar{w}_{q} \dots \bar{w}_{r}$ jeder der Faktoren rechts, +\zB~$\bar{w}_{p}$, für den Bereich von $g$ zu einem Exponenten~$d_{p}$, welcher ein +Teiler von $p - 1$ oder von $2$ ist, je nachdem $p$ ungerade oder gleich~$2$ +ist; denn es ist ja dann und nur dann +\[ +\bar{w}_{p}^{d_{p}} = 1\ (g), +\] +wenn dieselbe Gleichung für den Bereich von $p$ erfüllt ist, da sie für +die Bereiche von $q$,~\dots~$r$ für jedes $d_{p}$ besteht. Es ist also $d_{p}$ einfach der +\PageSep{214}{198} +Exponent, zu dem die $p$-adische Einheitswurzel~$w_{p}$ gehört. Sind nun +$d_{p}$,~$d_{q}$,~\dots~$d_{r}$ die Exponenten, zu denen $\bar{w}_{p}$,~$\bar{w}_{q}$,~\dots~$\bar{w}_{r}$ gehören, +und ist +\[ +d = [d_{p}, d_{q}, \dots d_{r}] +\] +ihr kleinstes gemeinsames Multiplum, so genügt $w$ für den Bereich von +$g$ der Gleichung +\[ +w^{d} = (\bar{w}_{p} \bar{w}_{q} \dots \bar{w}_{r})^{d} + = \bar{w}_{p}^{d} \bar{w}_{q}^{d} \dots \bar{w}_{r}^{d} = 1\ (g), +\] +weil dieselbe Gleichung für jeden der Faktoren $\bar{w}_{p}^{d}$,~\dots~$\bar{w}_{r}^{d}$ für sich erfüllt +ist; also ist $w$ wirklich eine $g$-adische Einheitswurzel; ferner \emph{gehört} aber +$w$ auch zu diesem Exponenten~$d$, denn eine Potenz: +\[ +w^{\bar{d}} = \bar{w}_{p}^{\bar{d}} \bar{w}_{q}^{\bar{d}} \dots \bar{w}_{r}^{\bar{d}}\ (g) +\] +kann nur dann gleich Eins sein, wenn jede der rechts stehenden Potenzen +für sich gleich Eins, wenn also $\bar{d}$ durch das kleinste gemeinsame +Vielfache $d$ von $d_{p}$,~\dots~$d_{r}$ teilbar ist. + +Die Haupteinheit $E = \bar{E}_{p} \bar{E}_{q} \dots \bar{E}_{r}$ ist dadurch bestimmt, daß sie, +falls $p$,~$q$,~\dots~$r$ ungerade sind, für jede von diesen Primzahlen, also auch +für ihr Produkt als Modul, kongruent Eins sein muß; ist dagegen eine +von diesen, etwa~$p$, gleich~$2$, so muß $E$ für die Moduln $4$,~$q$,~\dots~$r$, also +auch für das Produkt $4q \dots r$ kongruent Eins sein. Setzen wir also in +den beiden unterschiedenen Fällen +\[ +\Tag{(6)} +g_{0} = pq \dots r \quad\text{bzw.}\quad g_{0} = 4q \dots r, +\] +und bezeichnen wir in der Folge diese Zahl als \so{die zu $g$ gehörige +reduzierte Grundzahl}, so können wir den Satz aussprechen: +\begin{Theorem} +Eine Zahl $E = \bar{E}_{p} \bar{E}_{q} \dots \bar{E}_{r}$ ist stets und nur dann die +Haupteinheit einer $g$-adischen Zahl, wenn sie von der Form $1 + g_{0}n$, +wenn sie also im gewöhnlichen Sinn eine Haupteinheit für die zu +\index{Grundzahl, zu $g$ gehörige reduzierte}% +$g$ gehörige reduzierte Grundzahl $g_{0} = pq \dots r$ bzw.\ $4q \dots r$ ist. +\end{Theorem} + +Beachtet man endlich noch, daß die so gefundene Darstellung +einer Zahl~$A$ für den Bereich von $g$ eindeutig ist, weil diese durch die Komponenten +$\frakA_{p}$,~$\frakA_{q}$,~\dots~$\frakA_{r}$, eindeutig bestimmt wird, so ergibt sich der Satz: +\begin{Theorem} +Jede $g$-adische Zahl~$A$ läßt sich auf eine einzige Weise in der +Form +\PageSep{215}{199} +\[ +A = |A|·w·E +\] +darstellen, wo $|A|$ der absolute Betrag von~$A$, $w$~eine $g$-adische +Einheitswurzel und $E$~eine Haupteinheit modulo~$g_{0}$ bedeutet. +\end{Theorem} + +Sind +\[ +\Tag{(7)} +A = GwE \qquad A' = G'w'E' +\] +zwei beliebige $g$-adische Zahlen, so ergeben sich für ihr Produkt und +ihren Quotienten die Gleichungen +\[ +\Tag{(7^{a})} +\begin{aligned} + AA' &= (GG') · (ww') · (EE') \\ +\frac{A}{A'} &= \left(\frac{G}{G'}\right) · \left(\frac{w}{w'}\right) · \left(\frac{E}{E'}\right), +\end{aligned} +\] +und da das Produkt und der Quotient von zwei absoluten Beträgen +oder zwei Einheitswurzeln oder zwei Haupteinheiten, falls dieselben +existieren, wieder ein absoluter Betrag oder eine Einheitswurzel oder +eine Haupteinheit ist, wie aus den entsprechenden Resultaten für die +Körper $K(p)$,~\dots~$K(r)$ sofort folgt, so haben wir in~\Eq{(7^{a})} die Darstellung +eines Produktes bzw.\ eines Quotienten von zwei Zahlen in der Normalform +gewonnen. Nur der Quotient +\[ +\frac{|A|}{|A'|} = \frac{G}{G'} + = \bar{p}^{\alpha_{p}-\alpha'_{p}} + \bar{q}^{\alpha_{q}-\alpha'_{q}} \dots + \bar{r}^{\alpha_{r}-\alpha'_{r}} +\] +existiert nicht immer im Ringe~$R(g)$, nämlich nach \Seite{193} unten stets +und nur dann nicht, wenn der Nenner $A'$ einen Primteiler der Null enthält, +welcher im Zähler nicht vorkommt. In diesem Falle ist \zB\ $\alpha'_{p} += +\infty$, während $\alpha_{p}$ endlich ist; dann allein enthält $\dfrac{G}{G'}$ mindestens den +Faktor~$\bar{p}$ in der Potenz~$-\infty$. + + +\Section{§ 3.}{Die Ordnungszahlen der $g$-adischen Zahlen.} + +Ebenso wie dies früher bei den $p$-adischen Zahlen geschah, will ich +nun jeder $g$-adischen Zahl +\[ +A= |A|·w·E +\] +eine \so{Ordnungszahl für den Bereich von~$g$} zuordnen. Ist +\index{Ordnungszahl!für d.\ Bereich v.~$g$}% +nämlich +\PageSep{216}{200} +\[ +|A| = \bar{p}^{\alpha_{p}} \bar{q}^{\alpha_{q}} \dots \bar{r}^{\alpha_{r}} +\] +ihr absoluter Betrag, so will ich unter ihrer Ordnungszahl das System: +\[ +\alpha = (\alpha_{p}, \alpha_{q}, \dots \alpha_{r}) +\] +der in $|A|$ auftretenden Exponenten oder das System der Ordnungszahlen +verstehen, welche $A$ für die Bereiche von $p$,~$q$,~\dots~$r$ besitzt. + +Die einzelnen Exponenten $\alpha_{p}$,~\dots~$\alpha_{r}$, mögen \so{die Elemente +von~$\alpha$} heißen. Im allgemeinen sind diese Elemente endliche ganze +\index{Element einer Ordnungszahl}% +Zahlen; nur dann ist etwa $\alpha_{p} = +\infty$, wenn $A$ den zugehörigen Primteiler~$O_{p}$ +der Null enthält. Dagegen kann kein Element von $A$ gleich +$-\infty$ sein; führt die Rechnung auf eine Ordnungszahl mit negativ unendlichem +Elemente, so ist damit ausgesprochen, daß die zugehörige +Zahl innerhalb $R(g)$ nicht existiert. + +Jede Zahl $A = \frakA_{p} \frakA_{q} \dots \frakA_{r}$ besitzt eine eindeutig bestimmte +Ordnungszahl $\alpha = (\alpha_{p}, \alpha_{q}, \dots \alpha_{r})$, deren Elemente eben die Ordnungszahlen +der einzelnen Komponenten $\frakA_{p}$,~$\frakA_{q}$,~\dots~$\frakA_{r}$ für den Bereich von +$p$,~$q$,~\dots~$r$ sind; und umgekehrt gehören zu jeder Ordnungszahl~$\alpha$ +$g$-adische Zahlen, welche gerade diese Ordnungszahl besitzen. Ist +speziell $A = \dfrac{m}{n}$ eine rationale Zahl, so ist ihre Ordnungszahl einfach +das Exponentensystem der in $A$ enthaltenen Potenzen von $p$,~$q$,~\dots~$r$; +von Null verschiedene rationale Zahlen besitzen also stets Ordnungszahlen +mit lauter endlichen Elementen. + +In den Ordnungszahlen der $g$-adischen Zahlen treten uns hier \emph{Zahlensysteme} +\index{Zahlensysteme}% +entgegen, mit denen wir wie mit Zahlen zu rechnen haben +werden. Um dies ebenso einfach wie das Rechnen mit Zahlen ausführen zu +können, will ich für beliebige Zahlsysteme gleich an dieser Stelle die vier +elementaren Rechenoperationen definieren. Seien also $B_{1}$,~$B_{2}$,~\dots~$B_{t}$ beliebige +Zahlbereiche, in deren jedem die elementaren Rechenoperationen +wie im ersten Kapitel definiert sind. Ich betrachte dann +Systeme +\[ +\Tag{(1)} +b = (b_{1}, b_{2}, \dots b_{t}), \quad +b' = (b'_{1}, b'_{2}, \dots b'_{t}),\ \dots, +\] +deren Elemente bzw.\ den Bereichen $B_{1}$,~$B_{2}$,~\dots~$B_{t}$ angehören. Dann +definiere ich, genau wie dies im ersten Kapitel \aSeite{14}~ff.\ geschah, für +\PageSep{217}{201} +diese neuen Elemente $(b, b', \dots)$ die vier elementaren Rechenoperationen +durch die Gleichungen: +\[ +\Tag{(2)} +\begin{alignedat}{3} +b + b' &={} & + (b_{1} + b'_{1}, && b_{2} + b'_{2}, &\dots b_{t} + b'_{t}) \\ +b - b' &={} & + (b_{1} - b'_{1}, &&\, b_{2} - b'_{2}, &\dots b_{t} - b'_{t}) \\ +bb' &={} & + (b_{1} b'_{1}, && b_{2} b'_{2}, &\dots b_{t} b'_{t}) \\ +\frac{b}{b'} &={} & + \biggl(\frac{b_{1}}{b'_{1}}, + &&\frac{b_{2}}{b'_{2}}, &\dots \frac{b_{t}}{b'_{t}}\biggr). +\end{alignedat} +\] +Speziell ist dann $1 = (1, 1, \dots 1)$ das Einheitselement, $0 = (0, 0, \dots 0)$ +das Nullelement für diese Zahlensysteme. Allgemein muß unter +$1 + 1 + \dots + 1 = m$ das System $(m, m, \dots m)$ verstanden werden. +Ist endlich $b$ ein beliebiges und $m = (m, m, \dots)$ ein System mit +lauter gleichen Elementen, so ist +\[ +\Tag{(2^{a})} +mb = (mb_{1}, mb_{2}, \dots mb_{t}),\quad +\frac{b}{m} = \left(\frac{b_{1}}{m}, \frac{b_{2}}{m}, \dots \frac{b_{t}}{m}\right). +\] + +Wenden wir diese Definition der Summe und Differenz von zwei +Zahlensystemen speziell auf die Ordnungszahlen $\alpha = (\alpha_{p}, \dots \alpha_{r})$, +$\alpha' = (\alpha'_{p}, \dots \alpha'_{r})$ von zwei Zahlen $A$~und~$A'$ an, so ergibt sich aus den +beiden Gleichungen für den absoluten Betrag eines Produktes bzw.\ eines +Quotienten +\[ +\Tag{(3)} +\begin{aligned} +|AA'| &= |A||A'|,\quad \left|\frac{A}{A'}\right| = \frac{|A|}{|A'|}: \\ +|AA'| &= \bar{p}^{\alpha_{p}+\alpha'_{p}} \bar{q}^{\alpha_{q}+\alpha'_{q}} \dots \bar{r}^{\alpha_{r}+\alpha'_{r}} \\ +\left|\frac{A}{A'}\right| + &= \bar{p}^{\alpha_{p}-\alpha'_{p}} \bar{q}^{\alpha_{q}-\alpha'_{q}} \dots \bar{r}^{\alpha_{r}-\alpha'_{r}}, +\end{aligned} +\] +\dh\ es besteht der Satz: +\begin{Theorem} +Die Ordnungszahl des Produktes zweier Zahlen ist gleich der +Summe der Ordnungszahlen der Faktoren, die Ordnungszahl eines +Quotienten ist gleich der Differenz der Ordnungszahlen von Zähler +und Nenner. +\end{Theorem} + +Denn sind $\alpha = (\alpha_{p}, \dots \alpha_{r})$, $\alpha' = (\alpha'_{p}, \dots \alpha'_{r})$ die Ordnungszahlen +von $A$~und~$A'$, so sind diejenigen von $AA'$~und~$\dfrac{A}{A'}$ bzw.\ gleich +\[ +(\alpha_{p} ± \alpha'_{p}, + \alpha_{q} ± \alpha'_{q}, \dots + \alpha_{r} ± \alpha'_{r}) = \alpha ± \alpha'. +\] +\PageSep{218}{202} + +Die Ordnungszahl $\alpha = (\alpha_{p}, \alpha_{q}, \dots \alpha_{r})$ soll \so{negativ} heißen, wenn +auch nur einer ihrer Bestandteile eine negative ganze Zahl ist. Wir +sagen $\alpha$ ist \so{Null}, wenn alle Bestandteile Null sind. Dagegen soll eine +Ordnungszahl \so{$\alpha$~nicht negativ} heißen, wenn alle ihre Bestandteile +\index{Gleichheit!zweier Ordnungszahlen}% +\index{Negative Ordnungszahlen}% +positiv oder Null sind. Dann folgt aus den \aSeite{96} f.\ bewiesenen +Sätzen, daß eine $g$-adische Zahl dann und nur dann eine Einheit ist, +wenn sie die Ordnungszahl $0 = (0, 0, \dots 0)$ hat; denn allein dann sind +ja alle ihre Komponenten $\frakA_{p}$,~$\frakA_{q}$,~\dots~$\frakA_{r}$ für den Bereich von $p$,~$q$,~\dots~$r$ +bzw.\ Einheiten. Alle und nur die ganzen $g$-adischen Zahlen sind von +nicht negativer Ordnung, während alle gebrochenen Zahlen eine negative +Ordnungszahl haben. Eine Zahl enthält stets und nur dann einen Primteiler +der Null, wenn ihre Ordnungszahl einen unendlich großen Bestandteil +hat. + +Von zwei Ordnungszahlen $\alpha = (\alpha_{p}, \alpha_{q}, \dots \alpha_{r})$ und $\alpha' = (\alpha'_{p}, \alpha'_{q}, \dots \alpha'_{r})$ +soll \so{$\alpha$~gleich oder größer als~$\alpha'$} heißen, wenn jedes der +Elemente von $\alpha$ gleich oder größer ist als das entsprechende Element +von $\alpha'$ wenn also $\alpha - \alpha'$ nicht negativ ist. Sind alle entsprechenden +Elemente von $\alpha$~und~$\alpha'$ gleich, so ist $\alpha = \alpha'$. Es ist klar, daß hier +zwei Ordnungszahlen im allgemeinen nicht in der Beziehung stehen +müssen, daß die eine gleich oder größer ist als die andere, denn +gewisse Elemente von $\alpha$ können ja größer und gewisse andere kleiner +sein als die entsprechenden von~$\alpha'$. + + +\Section{§ 4.}{Die Anordnung der $g$-adischen Zahlen nach ihrer Größe. +\index{Größe!d.\ $g$-adischen Zahlen}% +Die unendlichen Reihen, speziell die Potenzreihen. Die Exponentialfunktion +und der Logarithmus. Der Hauptlogarithmus +der $g$-adischen Zahlen.} + +Ich will nun auch die $g$-adischen Zahlen ebenso wie früher die +$p$-adischen nach ihrer Größe anordnen. + +Sind $A$ und $A'$ zwei beliebige $g$-adische Zahlen, $\alpha = (\alpha_{p}, \alpha_{q}, \dots \alpha_{r})$ +\index{Aequivalente@{Äquivalente $g$-adische Zahlen}}% +und $\alpha' = (\alpha'_{p}, \alpha'_{q}, \dots \alpha'_{r})$ ihre Ordnungszahlen, so wollen wir \so{$A$~kleiner +als $A'$ bzw. äquivalent~$A'$} nennen ($A \lesssim A'$), wenn die Ordnungszahl +von $A$ größer als die von $A'$ bzw.\ dieser gleich ist, wenn also +nach der \aSeite{112} gegebenen Definition jede der Komponenten $\frakA_{p}$,~\dots~$\DPtypo{\frakA}{\frakA_{r}}$ +\PageSep{219}{203} +von $A$ in den zugehörigen Körpern $K(p)$,~\dots~$K(r)$ kleiner als die +entsprechende Komponente von $A'$ bzw.\ dieser äquivalent ist. Selbstverständlich +gibt es nach dieser Definition Zahlen $A$~und~$A'$, auf +welche diese Größenbeziehung nicht angewendet werden kann, da +von den entsprechenden Elementen ihrer Ordnungszahlen \zB\ +$\alpha_{p} > \alpha'_{p}$, $\alpha_{q} < \alpha'_{q}$,~\dots\ sein kann. + +Ist $A \lesssim A'$, so besteht eine Gleichung +\[ +A = DA', +\] +wo $D$ die nicht negative Ordnungszahl $\alpha - \alpha' = (\alpha_{p} - \alpha'_{p}, \dots \alpha_{r} - \alpha'_{r})$ +hat, also eine \emph{ganze} Zahl ist. Auch hier ist also jede $g$-adische Zahl~$A$ +durch jede ihr äquivalente oder größere Zahl teilbar und nur durch +solche Zahlen. Ganz besonders muß hervorgehoben werden, daß +auch im Ringe der $g$-adischen Zahlen wieder der Satz gilt, daß die Summe +beliebig vieler Zahlen $A_{1}$,~$A_{2}$,~\dots~$A_{\nu}$, welche alle nicht größer als $D$ +sind, ebenfalls nicht größer als diese Zahl ist. Allein auf diesem Satze +beruht die Möglichkeit, alle für die Konvergenz $p$-adischer Reihen bewiesenen +Sätze unmittelbar auf die $g$-adischen Reihen auszudehnen. + +Auch bei den $g$-adischen Zahlen wollen wir wieder unendliche +Reihen +\[ +A^{(0)} + A^{(1)} + A^{(2)} + \dots +\] +in den Kreis der Betrachtung ziehen, vorausgesetzt, daß sie für den +Bereich von $g$ konvergieren, \dh\ eindeutig bestimmte Zahlen darstellen. +Wir stellen auch hier genau die gleiche Definition der Konvergenz auf, +wie für die Reihen im Körper~$K(p)$: +\begin{Theorem} +Eine $g$-adische Reihe konvergiert dann und nur dann, wenn +für ein beliebig klein gegebenes aber von Null verschiedenes $\delta$ eine +natürliche Zahl~$n$ so groß gewählt werden kann, daß die Summe +von beliebigen und beliebig vielen Gliedern: +\[ +A^{(\nu_{1})} + A^{(\nu_{2})} + \dots + A^{(\nu_{m})}, +\] +deren Indizes sämtlich oberhalb $n$ liegen, kleiner als $\delta$ ist. +\end{Theorem} + +Durch wörtlich dieselben Betrachtungen wie in dem früheren einfachen +Falle gelangen wir auch hier zu der einen notwendigen und hinreichenden +Konvergenzbedingung: +\PageSep{220}{204} +\begin{Theorem} +Eine $g$-adische Reihe $A^{(0)} + A^{(1)} + \dots$ ist stets und nur +dann konvergent, wenn die Bedingung +\[ +\lim_{n=\infty} A^{(n)} = 0\ (g) +\] +erfüllt ist. +\end{Theorem} + +Schreibt man alle Reihenglieder in der additiven Normalform: +\[ +A^{(n)} = A_{p}^{(n)} + A_{q}^{(n)} + \dots + A_{r}^{(n)} +\] +und beachtet, daß $A^{(n)}$ dann und nur dann bei genügend großem $n$ +für den Bereich von $g$ beliebig klein wird, wenn dasselbe für ihre einzelnen +Komponenten im Bereiche der zugehörigen Primzahl gilt, so +können wir das allgemeine Konvergenzkriterium auch so aussprechen: +\begin{Theorem} +Eine Reihe +\[ +\sum A^{(n)} = \sum A_{p}^{(n)} + \sum A_{q}^{(n)} + \dots + \sum A_{r}^{(n)} +\] +konvergiert stets und nur dann, wenn die aus den Komponenten +ihrer Glieder gebildeten Reihen für den Bereich der zugehörigen +Primzahl konvergieren. +\end{Theorem} + +Alle Sätze über die Konvergenz der Reihen, speziell diejenigen für +die Potenzreihen im Körper der $p$-adischen Zahlen, beruhten allein auf +der Einteilung dieser Zahlen nach der Größe und auf dem Satze, daß +die Summe beliebig vieler Zahlen, welche alle nicht größer als eine Zahl~$\delta$ +sind, ebenfalls nicht größer als $\delta$ ist. Da nun dieser Satz auch für die +Größenanordnung der $g$-adischen Zahlen gilt, so folgt, daß wir alle Betrachtungen +des sechsten Kapitels Wort für Wort auf die $g$-adischen +Reihen, insbesondere die $g$-adischen Potenzreihen, übertragen können. +So erhalten wir also auch für diese Reihen den folgenden Satz: +\begin{Theorem} +Ist +\[ +y = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots +\] +eine Potenzreihe mit $g$-adischen Koeffizienten und ist $\xi$ ein $g$-adischer +Wert von~$x$, für welchen jedes Glied $a_{i} \xi^{i}$ derselben unterhalb +einer endlichen Größe liegt, so konvergiert diese Reihe für jedes +$x < \xi$ unbedingt und gleichmäßig und ist in diesem ganzen Bereich +eine stetige und differenzierbare Funktion von~$x$. +\end{Theorem} +\PageSep{221}{205} + +Ich wende dieses Ergebnis auch hier auf die Untersuchung der +Exponentialreihe +\[ +e^{\zeta} = 1 + \frac{\zeta}{1} + \frac{\zeta^{2}}{1·2} + \dots +\] +an unter der Voraussetzung, daß $\zeta$~eine $g$-adische Zahl ist. Die Konvergenzbedingung +\[ +\lim_{n=\infty} \frac{\zeta^{n}}{n!} = 0\ (g) +\] +ist dann und nur dann für den Bereich von $g$ erfüllt, wenn sie für den +Bereich von $p$,~$q$,~\dots~$r$ besteht, wenn also $\zeta$ bzw.\ durch $p$,~$q$,~\dots~$r$ oder +falls $p = 2$ sein sollte, wenn $\zeta$ durch $4$,~$q$,~\dots~$r$ teilbar ist; es muß also +$\zeta$~ein Multiplum von $(pq \dots r)$ bzw.\ von $(4q \dots r)$ sein, damit die +Reihe für $e^{\zeta}$ konvergent ist. Nach der \aSeite{198}~\Eq{(6)} eingeführten Bezeichnung +können wir dieses Resultat so aussprechen: +\begin{Theorem} +Die Exponentialreihe $e^{\zeta}$ konvergiert stets und nur dann unbedingt +\index{Exponentialfunktion für den Bereich von~$g$}% +und gleichmäßig im Bereiche der $g$-adischen Zahlen, wenn +$\zeta$~ein Multiplum der reduzierten Grundzahl~$g_{0}$ ist. +\end{Theorem} + +Ist dies der Fall, so stellt die Reihe +\[ +e^{\zeta} = 1 + \eta = 1 + g_{0} G\ (g) +\] +eine Haupteinheit modulo~$g_{0}$ dar; und umgekehrt gehört zu jeder solchen +Haupteinheit $1 + \eta$ ein eindeutig bestimmtes Multiplum $\zeta$ von~$g_{0}$, +für welches $e^{\zeta} = 1 + \eta$ ist, nämlich die Zahl, welche durch die Reihe +\[ +\zeta = \lg(1 + \eta) + = \frac{\eta}{1} - \frac{\eta^{2}}{2} + \frac{\eta^{3}}{3} - \dots +\] +dargestellt ist. Dieselbe konvergiert unter genau derselben Voraussetzung +über $\eta$ wie die Exponentialreihe. + +Dieses Resultat ermöglicht es, jede Haupteinheit~$e^{\zeta}$ modulo~$g_{0}$ in +der multiplikativen Normalform zu schreiben: Stellen wir nämlich $\zeta$ +in der additiven Normalform +\[ +\zeta = \zeta_{p} + \zeta_{q} + \dots + \zeta_{r} +\] +dar, so ist \zB\ $\zeta_{p}$ für den Bereich von $p$ durch $p$ teilbar, für den Bereich +aller übrigen Primzahlen aber gleich Null. Also ist in +\PageSep{222}{206} +\[ +e^{\zeta} = e^{\zeta_{p}+\zeta_{q}+\dots+\zeta_{r}} + = e^{\zeta_{p}} e^{\zeta_{q}} \dots e^{\zeta_{r}} +\] +\zB\ $e^{\zeta_{p}} = 1 + \eta_{p}$ für den Bereich von $p$ gleich dem $p$-adischen +Werte von~$e^{\zeta}$, also eine Haupteinheit modulo~$p$, für den Bereich von +$q$,~\dots~$r$ aber gleich Eins. Entsprechendes gilt für die übrigen +Potenzen $e^{\zeta_{q}}$,~\dots~$e^{\zeta_{r}}$. + +Ich will daher für eine beliebige Haupteinheit $E = e^{\zeta} = e^{\zeta_{p}} e^{\zeta_{q}} \dots e^{\zeta_{r}}$ +die $g$-adische Zahl~$\zeta$ \so{ihren Logarithmus}, und die $g$-adischen +\index{Logarithmus!e.\ $g$-adischen Haupteinheit}% +Zahlen $\zeta_{p}$,~$\zeta_{q}$,~\dots~$\zeta_{r}$ die Komponenten dieses Logarithmus nennen; +diese Beziehung zwischen $E$ und $\zeta$ bzw.\ dem System $(\zeta_{p}, \zeta_{q}, \dots \zeta_{r})$ +will ich wieder durch die Gleichung: +\[ +\lg E = \zeta = (\zeta_{p}, \zeta_{q}, \dots \zeta_{r})\quad (g) +\] +bezeichnen. Jede der Komponenten des $\lg E$, \zB~$\zeta_{p}$, ist dann die +eindeutig bestimmte $g$-adische Zahl, für welche: +\[ +\zeta_{p} = \lg E\ (p),\quad +\zeta_{p} = 0\ (q),\ \dots\quad +\zeta_{p} = 0\ (r) +\] +ist, und $\zeta_{p}$ und $E_{p}$ sind durch die Gleichungen +\[ +E_{p} = e^{\zeta_{p}}\quad +\zeta_{p} = \lg E_{p}\ (g) %[** TN: Moduli aligned in original, not preserving] +\] +miteinander verbunden. + +Ist +\[ +E = e^{\gamma} = 1 + \eta +\] +eine beliebige Haupteinheit modulo~$g_{0}$, so besteht zwischen $\gamma$~und~$\eta$ die +Gleichung: +\[ +\gamma = \eta - \frac{\eta^{2}}{2} + \frac{\eta^{3}}{3} - \dots + = \eta \left(1 - \frac{\eta}{2} + \frac{\eta^{2}}{3} - \dots\right), +\] +und da die in der Klammer auf der rechten Seite stehende Reihe +selbst eine Haupteinheit für $g_{0}$ ist, weil ja dasselbe für jeden Teiler +$4$,~$p$, $q$,~\dots~$r$ von~$g_{0}$ gilt, so ergibt sich auch hier ebenso wie in~\Eq{(11)} +\aSeite{137} die Äquivalenz +\[ +\gamma \sim \eta\ (g), +\] +\dh\ $\gamma$ ist dann und nur dann durch eine beliebige Potenz +\PageSep{223}{207} +$G = p^{K} q^{L} \dots r^{M}$ teilbar, wenn dasselbe für $\gamma$ gilt. Es besteht also +der Satz: +\begin{Theorem} +Eine Einheit $E = 1 + \eta$ ist stets und nur dann eine Haupteinheit +für eine beliebige keine anderen Primteiler als $g$ enthaltende +Zahl $G = p^{K} \dots r^{L}$, wenn ihr Logarithmus durch $G$ teilbar ist. +\end{Theorem} + +Aus der Definitionsgleichung für den Logarithmus +\[ +e^{\lg E} = E +\] +und aus der Fundamentaleigenschaft der Exponentialfunktion ergeben +sich die Gleichungen: +\begin{align*} + \lg (EE') &= \lg E + \lg E' \\ +\lg \left(\frac{E}{E'}\right) &= \lg E - \lg E'. +\end{align*} + +Ich wende dieses Resultat an auf die Darstellung +\[ +A = GwE\ (g) +\] +einer beliebigen $g$-adischen Zahl, wo +\[ +E = 1 + \eta = 1 + g_{0}\bar{\eta} +\] +eine Haupteinheit modulo~$g_{0}$ bedeutet. Wir können nämlich jetzt +\[ +E = e^{\gamma} +\] +setzen und erhalten so den wichtigen Satz: +\begin{Theorem} +Jede $g$-adische Zahl~$A$ läßt sich auf eine einzige Weise in +der Form: +\[ +A = Gwe^{\gamma}\ (g) +\] +schreiben, wo $G$ der absolute Betrag, $w$~die Einheitswurzel und +$e^{\gamma}$~die Haupteinheit von $A$ ist. Wir wollen wie \aSeite{164} oben bei +den $p$-adischen Zahlen auch jetzt $\gamma$ \so{den Logarithmus der +Haupteinheit oder den Hauptlogarithmus} von $A$ +\index{Hauptlogarithmus!e.\ $g$-adischen Zahl}% +nennen. +\end{Theorem} +\PageSep{224}{208} + + +\Section{§ 5.}{Die Elemente der Algebra im Ringe der $g$-adischen +Zahlen. Die $g$-adischen Einheitswurzeln.} + +Ich betrachte endlich noch die algebraischen Gleichungen im Gebiete +\index{Wurzeln der Gleichungen im Ringe~$R(g)$}% +der $g$-adischen Zahlen, um die für einen Körper~$K(p)$ \aSeite{145}~ff.\ gefundenen +Resultate auf diese allgemeineren Bereiche zu übertragen. + +Ist +\[ +\Tag{(1)} +F(x) = A^{(0)} x^{m} + A^{(1)} x^{m-1} + \dots + A^{(m)} = 0\ (g) +\] +eine beliebige Gleichung \Ord{$m$}{-ten} Grades, so heißt eine $g$-adische Zahl~$x$ +\so{eine Wurzel dieser Gleichung}, wenn $F(x) = 0\ (g)$ ist. + +Ist nun $x$ eine solche Wurzel, und denken wir uns diese in der additiven +bezw.\ in der multiplikativen Normalform dargestellt, so daß +\[ +\Tag{(2)} +x = x_{p} + x_{q} + \dots + x_{r} = \frakx_{p} \frakx_{q} \dots \frakx_{r}\ (g) +\] +ist, so ergibt sich, wenn man die Gleichung $F(x) = 0$ der Reihe nach +für den Bereich von $p$,~$q$,~\dots~$r$ betrachtet, +\[ +\Tag{(3)} +\begin{aligned} +0 &= F(x) = F(x_{p}) = F(\frakx_{p})\ (p) \\ +\DotRow{2} \\ +0 &= F(x) = F(x_{r}) = F(\frakx_{r})\ (r), +\end{aligned} +\] +\dh\ jene Komponenten sind Wurzeln derselben Gleichung für den Bereich +von $p$,~$q$,~\dots~$r$. Sind umgekehrt +\[ +\Tag{(4)} +\xi_{p},\ \xi_{q},\ \dots\ \xi_{r} +\] +je eine $p$-adische, $q$-adische,~\dots\ $r$-adische Wurzel unserer Gleichung, +und ist +\[ +x = x_{p} + x_{q} + \dots + x_{r} = \frakx_{p} \frakx_{q} \dots \frakx_{r} +\] +diejenige eindeutig bestimmte $g$-adische Zahl in der additiven oder in +der multiplikativen Normalform, deren Werte für den Bereich von $p$,~$q$,~\dots~$r$ +bzw.\ gleich $\xi_{p}$,~$\xi_{q}$,~\dots~$\xi_{r}$ sind, so ist +\[ +F(x) = 0\ (g), +\] +weil ja dieselbe Gleichung für den Bereich von $p$,~$q$,~\dots~$r$ erfüllt ist. +Es ergibt sich also der folgende wichtige Satz, durch den die Auflösung +\PageSep{225}{209} +einer beliebigen Gleichung im Bereiche der $g$-adischen Zahlen auf die +vollständige Auflösung derselben Gleichung im Bereiche der Körper +$K(p)$,~\dots~$K(r)$ reduziert wird: +\begin{Theorem} +Eine Gleichung +\[ +F(x) = 0\ (g) +\] +besitzt stets und nur dann mindestens eine $g$-adische Wurzel, wenn +dieselbe Gleichung in jedem der Körper $K(p)$,~$K(q)$,~\dots~$K(r)$ +mindestens eine Wurzel hat. Sind ferner $m_{p}$,~$m_{q}$,~\dots~$m_{r}$ die Anzahlen +der verschiedenen Wurzeln dieser Gleichung in jenen Körpern, +so hat dieselbe Gleichung genau $m_{p}·m_{q} \dots m_{r}$ verschiedene $g$-adische +Wurzeln. +\end{Theorem} + +Ich wende dieses Resultat an auf die Lösung der Frage, wie viele +und welche $g$-adische Zahlen Einheitswurzeln sind. Die Lösungen der +Gleichung: +\[ +\Tag{(5)} +x^{m} = 1\ (g) +\] +für den Bereich von $g$ setzen sich nun in der vorher angegebenen Weise +aus den Wurzeln derselben Gleichung für den Bereich von $p$,~$q$,~\dots~$r$, +\dh\ aus den Wurzeln der Gleichungen: +\[ +\Tag{(5^{a})} +x^{m} = 1\ (p),\quad +x^{m} = 1\ (q),\ \dots\quad +x^{m} = 1\ (r) +\] +zusammen; und die Zahl der verschiedenen Wurzeln der Gleichung~\Eq{(5)} +ist gleich dem Produkte der entsprechenden Anzahlen für die Gleichungen~\Eq{(5^{a})}. +Eine Zahl~$w$ ist also stets und nur dann eine $g$-adische Einheitswurzel, +wenn ihre Werte für den Bereich von $p$,~$q$,~\dots~$r$ Einheitswurzeln +für diese Bereiche sind. Ist also +\[ +\Tag{(6)} +w = \bar{w}_{p} \bar{w}_{q} \dots \bar{w}_{r}\ (g) +\] +die multiplikative Zerlegung von~$w$, so muß $\bar{w}_{p}$ für den Bereich von $p$ +einer der $p - 1$ bzw.\ $2$ (für $p = 2$) $p$-adischen Einheitswurzeln gleich +sein~usw. Also ist die Zahl aller verschiedenen $g$-adischen Einheitswurzeln +gleich +\[ +(p - 1)(q - 1) \dots (r - 1) \quad\text{oder}\quad 2(q - 1) \dots (r - 1), +\] +je nachdem $g$ ungerade ist oder auch den Primfaktor~$2$ enthält. Jene +Anzahl ist also in beiden Fällen gleich~$\phi(g_{0})$, wenn wie \aSeite{198}~\Eq{(6)} +\PageSep{226}{210} +$g_{0} = pq \dots r$ bzw.\ gleich $4q \dots r$ die zu $g$ gehörige reduzierte +Grundzahl bedeutet. Es gibt also wirklich nur diese $\phi(g_{0})$\; $g$-adischen +Einheitswurzeln $w = \bar{w}_{p} \bar{w}_{q} \dots \bar{w}_{r}$, denen wir schon \aSeite{198} begegnet waren, und von denen jede zum Exponenten +\[ +d = [d_{p}, d_{q}, \dots d_{r}] +\] +gehört, wenn $d_{p}$,~$d_{q}$,~\dots~$d_{r}$ die Exponenten sind, zu denen $w$ für +die Bereiche $K(p)$,~$K(q)$,~\dots~$K(r)$ gehört. Da $d_{p}$ ein Teiler von $p - 1$ +bzw.\ von~$2$ ist, je nachdem $p$ ungerade oder $p = 2$ ist, und da das entsprechende +für $d_{q}$,~\dots~$d_{r}$ gilt, so genügen alle $g$-adischen Einheitswurzeln +der Gleichung: +\[ +\Tag{(7)} +x^{\mu} = 1\ (g), +\] +wo in den beiden vorher unterschiedenen Fällen: +\[ +\Tag{(7^{a})} +\mu = [p - 1, q - 1, \dots r - 1] \quad\text{bzw.}\quad [2, q - 1, \dots r - 1] +\] +ist; und zu diesem höchsten Exponenten selbst gehören \ua\ alle diejenigen +Einheitswurzeln, deren Werte für die Bereiche von $p$,~$q$,~\dots~$r$ +\emph{primitive} Einheitswurzeln sind. + +Jede der $\phi(g_{0})$ voneinander verschiedenen $g$-adischen Einheitswurzeln +kann also als $g_{0}$-adische Zahl: +\[ +\Tag{(8)} +w^{(r)} = r + r_{1} g_{0} + r_{2} g_{0}^{2} + \dots + = r\MathOrd{,}r_{1}\,r_{2}\,\dots\ (g_{0}) +\] +geschrieben werden und sie ist dann einer der $\phi(g_{0})$ Einheiten~$r$ +modulo~$g_{0}$ kongruent und durch dieses ihr Anfangsglied $r$ eindeutig +bestimmt. Dies folgt unmittelbar daraus, daß das Entsprechende +nach \Seite{154}~\Eq{(4)} +für ihre Komponenten $\bar{w}_{p}$,~$\bar{w}_{q}$,~\dots~$\bar{w}_{r}$ und die +Moduln $p$,~$q$,~\dots~$r$ gilt. Hieraus ergibt sich, daß eine $g$-adische Einheitswurzel~$w$ +dann und nur dann kongruent~$r$ modulo~$g_{0}$ sein kann, +wenn sie gleich $w^{(r)}$ ist. + +Um die $g$-adischen Einheitswurzeln ebenso einfach darzustellen, +wie dies \aSeite{156} unten im Körper der $p$-adischen Zahlen geschah, +bezeichne ich jetzt durch $w_{p}$~eine $g$-adische Einheitswurzel, deren +Wert für den Bereich von $p$ eine \emph{ein für alle Male fest gewählte +primitive} $p$-adische Einheitswurzel ist, während sie für den Bereich +von $q$,~\dots~$r$ den Wert Eins hat. Haben $w_{q}$,~\dots~$w_{r}$ die entsprechende +\PageSep{227}{211} +Bedeutung für die Körper $K(q)$,~\dots~$K(r)$, so sind alle und nur die +$g$-adischen Einheitswurzeln in der Form: +\[ +\Tag{(9)} +w = w_{p}^{\beta_{p}} w_{q}^{\beta_{q}} \dots w_{r}^{\beta_{r}} +\] +eindeutig dargestellt, wenn, \zB\ $\beta_{p}$ ein vollständiges Restsystem +modulo~$p - 1$ bzw.\ modulo~$2$ durchläuft und entsprechendes für die +andern Exponenten gilt. + +Ich will auch hier das Exponentensystem: +\[ +\Tag{(10)} +(\beta) = (\beta_{p}, \beta_{q}, \dots \beta_{r}), +\] +durch welches die Einheitswurzel~$w$ eindeutig bestimmt wird, den \so{Index +von~$w$} nennen und diese Beziehung durch die Gleichung: +\index{Gleichheit!der Indizes d.\ $g$-adischen Einheitswurzeln}% +\index{Index!einer $g$-adischen Einheitswurzel}% +\[ +\Tag{(11)} +(\beta) = \Ind w +\] +ausdrücken. Zwei in dieser Form dargestellte Einheitswurzeln +\[ +\Tag{(12)} +w = w_{p}^{\beta_{p}} \dots w_{r}^{\beta_{r}} \quad\text{und}\quad +w' = w_{p}^{\beta'_{p}}\dots w_{r}^{\beta'_{r}} +\] +sind dann und nur dann gleich, wenn sich die entsprechenden Exponenten +nur um ganzzahlige Multipla bzw.\ von +\[ +p - 1,\ q - 1,\ \dots\ r - 1 \quad\text{bzw.}\quad 2,\ q - 1,\ \dots\ r - 1 +\] +unterscheiden. + +Für das Rechnen mit diesen Indizes will ich wieder die \aSeite{201} +oben angegebenen Vorschriften einführen, wonach +\[ +\Tag{(13)} +\begin{aligned} + (\beta) ± (\beta') &= (\beta_{p} ± \beta'_{p}, \dots \beta_{r} ± \DPtypo{\beta_{r}}{\beta'_{r}}) \\ + (\beta)(\beta') &= (\beta_{p}\beta'_{p}, \dots \beta_{r}\beta'_{r}) \\ +\frac{(\beta)}{(\beta')} &= \left(\frac{\beta_{p}}{\beta'_{p}}, \dots \frac{\beta_{r}}{\beta'_{r}}\right) +\end{aligned} +\] +sein soll. Ich nenne zwei Indizes $(\beta)$~und~$(\beta')$ \so{gleich}, wenn die zugehörigen +Einheitswurzeln~\Eq{(12)} gleich sind, wenn also: +\[ +\Tag{(14)} +\begin{aligned} +(\beta') &= (\beta_{p} + k_{p}(p - 1), \dots \beta_{r} + k_{r}(r - 1)) \\ + &= (\beta) + (k) (P), +\end{aligned} +\] +ist, wo $(k) = (k_{p}, k_{q}, \dots k_{r})$ ein beliebiges ganzzahliges System bedeutet, +und +\PageSep{228}{212} +\[ +\Tag{(15)} +P = (p - 1, q - 1, \dots r - 1), \quad\text{bzw.}\quad (2, q - 1, \dots r - 1) +\] +ist, je nachdem die Grundzahl~$g$ ungerade oder gerade ist. Dieser Index~$P$ +soll \so{die Periode der Indizes~$(\beta)$} genannt werden. Dann +\index{Periode d.\ Indizes $g$-adischer Einheitswurzeln}% +besagt die soeben bewiesene Gleichung, +\begin{Theorem}[\noindent] +daß zwei Einheitswurzeln $w$~und~$w'$ dann und nur dann gleich sind, +wenn ihre Indizes gleich sind, wenn sie sich also um ein ganzzahliges +Vielfaches~$(k)$ der Periode~$(P)$ unterscheiden, oder kürzer +gesprochen, wenn ihre Indizes modulo~$(P)$ kongruent sind. +\end{Theorem} + +Bei dieser Definition der Kongruenz zweier Indizes besagt die Kongruenz: +\[ +(\beta') \equiv (\beta)\ \DPtypo{\mod.~(P)}{(\mod.~(P))} +\] +das Bestehen der gewöhnlichen Kongruenzen +\[ +\beta'_{p} \equiv \beta_{p}\ (\mod.~(p - 1)),\ \dots\quad +\beta'_{r} \equiv \beta_{r}\ (\mod.~(r - 1)), +\] +wobei, wie stets im Folgenden, im Falle $p = 2$\; $p - 1$~durch $2$ ersetzt +werden muß. Sind +\[ +w = w_{p}^{\beta_{p}} \dots w_{r}^{\beta_{r}},\quad +w' = w_{p}^{\beta'_{p}}\dots w_{r}^{\beta'_{r}} +\] +zwei beliebige Einheitswurzeln, so kann der Inhalt der beiden Gleichungen +\[ +ww' = w_{p}^{\beta_{p}+\beta'_{p}} \dots w_{r}^{\beta_{r}+\beta'_{r}},\quad +\frac{w}{w'} = w_{p}^{\beta_{p}-\beta'_{p}} \dots w_{r}^{\beta_{r}-\beta'_{r}} +\] +durch die Indexgleichungen: +\[ +\Tag{(16)} +\begin{aligned} +\Ind (ww') &= \Ind w + \Ind w' \\ +\Ind \left(\frac{w}{w'}\right) &= \Ind w - \Ind w' +\end{aligned} +\] +ausgesprochen werden. + +Zieht man aus jedem Elemente $\beta_{p}$,~\dots~$\beta_{r}$ eines Indexsystems +$(\beta) = (\beta_{p}, \dots \beta_{r})$ den größten gemeinsamen Teiler mit dem entsprechenden +Elemente $p - 1$,~\dots~$r - 1$ der Periode~$(P)$ heraus, so +daß also +\[ +\Tag{(17)} +\beta_{p} = \delta_{p}·\beta_{p}^{(0)},\ \dots\quad +\beta_{r} = \delta_{r}·\beta_{r}^{(0)} +\] +ist, so läßt sich jeder Index in der Form darstellen +\PageSep{229}{213} +\[ +\Tag{(17^{a})} +(\beta) = (\delta)(\beta^{(0)}), +\] +wo das System $(\delta) = (\delta_{p}, \dots \delta_{r})$ ein Teiler der Periode~$(P)$ ist. Ich +\index{Teiler!eines Indexsystemes}% +will das System~$(\delta)$ den \so{Teiler des Indexsystems~$(\beta)$} +nennen und das komplementäre Indexsystem~$(\delta')$, für welches: +\index{Komplementärer Teiler e.\ Indexsystemes}% +\[ +\Tag{(18)} +(\delta)(\delta') = (\delta_{p} \delta'_{p}, \dots \delta_{r} \delta'_{r}) = (P) +\] +ist, als \so{den komplementären Teiler jenes Indexsystemes} +bezeichnen. Dann ist in~\Eq{(17^{a})} offenbar das System~$(\beta^{(0)})$ +zu dem komplementären System~$(\delta')$ von $(\delta)$ in der Weise teilerfremd, +daß seine entsprechenden Elemente $\beta_{p}^{(0)}$,~\dots~$\beta_{r}^{(0)}$ bzw.\ zu +$\delta'_{p}$,~\dots~$\delta'_{r}$ relativ prim sind. + +Hiernach kann der Exponent~$d$, zu dem eine beliebige $g$-adische +\DPtypo{Einheitwurzel}{Einheitswurzel}~$w$ gehört, sehr einfach durch den komplementären Teiler +ihres Indexsystemes ausgedrückt werden. In der Tat ist ja $d$ der +kleinste positive Exponent, für welchen $w^{d} = 1$, für welchen also +\[ +d \Ind w \equiv 0\ (\mod.~(P)) +\] +ist. Schreibt man nun $\Ind w$~und~$(P)$ in der Form $(\delta)(\beta^{(0)})$ und +$(\delta)(\delta')$, so geht die obige Bedingung über in +\[ +d(\delta)(\beta^{(0)}) \equiv 0\ (\mod.~(\delta)(\delta')), +\] +oder für die einzelnen Elemente in die Kongruenz: +\[ +d\delta_{p}\beta_{p}^{(0)} \equiv 0\ (\mod.~\delta_{p}\delta'_{p}),\ \dots, +\] +\dh\ in die einfacheren +\[ +d \equiv 0\ (\mod.~\delta'_{p}),\quad +d \equiv 0\ (\mod.~\delta'_{q}),\ \dots, +\] +oder das Indexsystem $(d) = (d, d, \dots d)$ ist das kleinste System mit +gleichen Elementen, für welches: +\[ +(d) \equiv 0\ (\mod.~(\delta')), +\] +welches also durch das zu $(\delta)$ komplementäre System~$(\delta')$ teilbar +ist. Es ist also der Exponent +\[ +\Tag{(19)} +d = [(\delta')] = [\delta'_{p}, \delta'_{q}, \dots \delta'_{r}] +\] +\PageSep{230}{214} +\index{Quadratische!Form}% +das kleinste gemeinsame Multiplum der Elemente des zu $(\delta)$ komplementären +Divisors~$(\delta')$. + +Ich löse im Anschluß an diese Darstellung der $\phi(g_{0})$\; $g$-adischen +Einheitswurzeln noch die Frage nach dem Werte des Produktes aller +dieser Zahlen. Aus dem letzten \aSeite{152} bewiesenen Satze folgt für +$m = p - 1$, daß das Produkt $w_{1}w_{2} \dots w_{p-1}$ aller $p$-adischen Einheitswurzeln +immer gleich $-1$ ist, und dasselbe gilt auch für das +Produkt $(+1)(-1)$ der beiden dyadischen Einheitswurzeln. Ich +beweise jetzt den allgemeinen Satz: +\begin{Theorem} +Das Produkt aller $\phi(g_{0})$\; $g$-adischen Einheitswurzeln ist gleich~$-1$ +oder gleich~$+1$, je nachdem $g$~eine Primzahlpotenz ist oder +mindestens zwei verschiedene Primfaktoren enthält. +\end{Theorem} + +Ist nämlich: +\[ +w = w_{p}^{\beta_{p}} w_{q}^{\beta_{q}} \dots w_{r}^{\beta_{r}} +\] +die Darstellung aller $\phi(g_{0})$\; $g$-adischen Einheitswurzeln, so kommt unter +ihnen jeder Faktor, etwa~$w = w_{p}^{\beta_{p}}$, genau so oft vor, als es verschiedene +Exponentenkombinationen $(\beta_{q}, \dots \beta_{r})$ gibt, \dh\ genau $\phi\left(\dfrac{g_{0}}{p}\right)$- bzw.\ +$\phi\left(\dfrac{g_{0}}{4}\right)$-mal, je nachdem $p$ ungerade oder gerade ist. Setzen wir also +in den beiden unterschiedenen Fällen $g_{0} = pP$ bzw.\ $4P$ und entsprechend +für die anderen Primfaktoren: +\[ +g_{0} = qQ = \dots = rR, +\] +so ergibt sich für das Produkt aller $g$-adischen Einheitswurzeln offenbar +die Gleichung: +\begin{align*} +\prod w &= (\prod_{(\beta_{p})} w_{p}^{\beta_{p}})^{\phi(P)} + (\prod_{(\beta_{q})} w_{q}^{\beta_{q}})^{\phi(Q)} \dots + (\prod_{(\beta_{r})} w_{r}^{\beta_{r}})^{\phi(R)}\ (g)\\ + &= (-1)_{p}^{\phi(P)} + (-1)_{q}^{\phi(Q)} \dots + (-1)_{r}^{\phi(R)}\ (g), +\end{align*} +wo \zB\ $(-1)_{p}$ für den Bereich von $p$ gleich~$-1$, für die Bereiche von +$q$,~\dots~$r$ aber gleich $+1$ ist; in der Tat ist ja \zB\ das Produkt aller $p - 1$ +Einheiten $w_{p}^{\beta_{p}}$ nach dem früheren speziellen Satze für den Bereich von $p$ +gleich~$-1$. Da nun endlich jeder der Exponenten $\phi(P)$,~\dots~$\phi(R)$ +\PageSep{231}{215} +nach \Seite{98} Mitte eine gerade Zahl ist, sobald nur $P$,~\dots~$R$ größer als +Eins ist (der einzige Fall $P = 2$, wofür $\phi(P)$ sonst noch ungerade ist, +tritt ja hier nie auf), so ist jenes Produkt in der Tat stets gleich~$+1$, +sobald $g_{0}$ mehr als eine Primzahl enthält, da dasselbe für den +Bereich von allen in $g$ enthaltenen Primzahlen $p$,~$q$,~\dots~$r$ gilt. + + +\Section{§ 6.}{Die Logarithmen der $g$-adischen Zahlen.} + +Mit Hilfe der nun vollständig durchgeführten Exponentendarstellung +des absoluten Betrages, der Einheitswurzel und der Haupteinheit +einer beliebigen $g$-adischen Zahl +\[ +A = GwE = (\bar{p}^{\alpha_{p}} \bar{q}^{\alpha_{q}} \dots \bar{r}^{\alpha_{r}}) + (w_{p}^{\beta_{p}} w_{q}^{\beta_{q}} \dots w_{r}^{\beta_{r}}) + (e^{\gamma_{p}} e^{\gamma_{q}} \dots e^{\gamma_{r}}) +\] +können wir nun den Logarithmus einer solchen Zahl genau so einfach +\index{Logarithmus!e.\ $g$-adischen Zahl}% +definieren, wie dies vorher für die $p$-adischen Zahlen möglich war. Ich +will nämlich jetzt von den drei Zahlensystemen: +\[ +(\alpha) = (\alpha_{p}, \alpha_{q}, \dots \alpha_{r}),\quad +( \beta) = ( \beta_{p}, \beta_{q}, \dots \beta_{r}),\quad +(\gamma) = (\gamma_{p}, \gamma_{q}, \dots \gamma_{r}) +\] +das erste, wie bereits auf \Seite{200} oben erwähnt wurde, \so{die +Ordnungszahl}, das zweite System \so{den Index} und das dritte +\index{Index!einer $g$-adischen Zahl}% +\so{den Hauptlogarithmus} der $g$-adischen Zahl~$A$ nennen und ich +will jetzt als \so{Logarithmus von~$A$} das aus diesen drei Systemen +gebildete neue System: +\[ +\tag*{(1)} +\lg A = ((\alpha), (\beta), (\gamma))\DPtypo{,}{} + = ((\alpha_{p}, \dots \alpha_{r}), + (\beta_{p}, \dots \beta_{r}), + (\gamma_{p}, \dots \gamma_{r}))\ (g) +\] +bezeichnen. Auch hier will ich als \so{die Summe} und \so{die Differenz +zweier Logarithmen} die Systeme: +\index{Differenz der Logarithmen}% +\index{Summe!der Logarithmen}% +\[ +\Tag{(2)} +((\alpha), (\beta), (\gamma)) ± ((\alpha'), (\beta'), (\gamma')) + = ((\alpha ± \alpha'), (\beta ± \beta'), (\gamma ± \gamma')) +\] +bezeichnen. + +Eine Zahl~$A$ enthält stets und nur dann einen Teiler der Null, etwa~$O_{p}$, +wenn das entsprechende Element~$\alpha_{p}$ ihrer Ordnungszahl gleich~$+\infty$ +ist, während die zugehörigen Elemente $\beta_{p}$~und~$\gamma_{p}$ des Index und des +Hauptlogarithmus beliebig sein können; denn dann sind ja in der +$p$-Komponente $\frakA = \bar{p}^{\infty} w_{p} E_{p}$\; $w_{p}$~und~$E_{p}$ ganz beliebig. Abgesehen +von diesem Falle gehört zu jeder Zahl~$A$ ein \emph{eindeutig} bestimmter Logarithmus +\PageSep{232}{216} +$((\alpha), (\beta), (\gamma))$, und umgekehrt entspricht jedem Logarithmus +eine eindeutig bestimmte $g$-adische Zahl, \so{sein Numerus}. + +Sind $A$ und $A'$ zwei beliebige $g$-adische Zahlen, und ist +\[ +((\alpha), (\beta), (\gamma)) = \lg A,\quad +((\alpha'), (\beta'), (\gamma')) = \lg A', +\] +so bestehen für die Logarithmen ihres Produktes und ihres +Quotienten, falls dieser existiert, die Gleichungen: +{\small +\begin{align*} +\lg(AA') + &= ((\alpha + \alpha'), (\beta + \beta'), (\gamma + \gamma')) + = ((\alpha), (\beta), (\gamma)) + ((\alpha'), (\beta'), (\gamma')) \\ +\lg \frac{A}{A'} + &= ((\alpha - \alpha'), (\beta - \beta'), (\gamma - \gamma')) + = ((\alpha), (\beta), (\gamma)) - ((\alpha'), (\beta'), (\gamma')), +\end{align*}}% +\dh\ es gelten auch hier die Fundamentalformeln für das Rechnen mit +Logarithmen: +\[ +\Tag{(3)} +\begin{aligned} + \lg (AA') &= \lg A + \lg A' \\ +\lg \frac{A}{A'} &= \lg A - \lg A'. +\end{aligned} +\] +Die Richtigkeit dieser Gleichungen folgt sofort aus den Formeln~\Eq{(7^{a})} +\[ +AA' = (GG')(ww')(EE'),\quad +\frac{A}{A'} = \frac{G}{G'}·\frac{w}{w'}·\frac{E}{E'}, +\] +welche \aSeite{199} hergeleitet wurden. + +Allein in dem Falle ist die Division durch $A'$ nicht möglich, wenn +$A'$ gewisse Teiler der Null enthält, die nicht auch im Zähler~$A$ vorkommen. +Allein dann besitzt die Ordnungszahl $(\alpha - \alpha')$ im Logarithmus von +$\dfrac{A}{A'}$ gewisse Elemente, die $-\infty$ sind, denen also keine $g$-adische Zahl entspricht. +Haben dagegen $A$~und~$A'$ beide etwa den Nullteiler~$O_{p}$, so ist +das entsprechende Element $\alpha_{p} - \alpha'_{p}$ der Ordnungszahl $(\alpha - \alpha')$ gleich +$\infty - \infty$, kann also jeden ganzzahligen Wert besitzen, und das Gleiche +gilt von den Elementen $\beta_{p} - \beta'_{p}$ und $\gamma_{p} - \gamma'_{p}$, da in ihnen sowohl der +Minuendus wie der Subtrahendus beliebig angenommen werden dürfen. +Es geht also auch aus dem $\lg \dfrac{A}{A'}$ hervor, daß in diesem Falle der +$p$-adische Wert von $\dfrac{A}{A'}$ eine ganz beliebige $p$-adische Zahl sein kann. + +Im folgenden werde ich häufig das System $(\gamma) = (\gamma_{p}, \gamma_{q}, \dots \gamma_{r})$ +durch die eine zugehörige Zahl +\PageSep{233}{217} +\[ +\gamma = \gamma_{p} + \gamma_{q} + \dots + \gamma_{r} +\] +ersetzen, so daß dann +\[ +\Tag{(1^{a})} +\lg A = ((\alpha), (\beta), \gamma) +\] +wird. + +Es sei ferner wieder $(\delta) = (\delta_{p}, \delta_{q}, \dots \delta_{r})$ der Teiler des Index~$(\beta)$, +\index{Teiler!des Hauptlogarithmus e.\ $g$-adischen Zahl}% +so daß +\[ +(\beta) = (\delta)(\beta^{(0)}) +\] +ist, wo $(\delta)$~einen Teiler der Periode $P = (p - 1, \dots r - 1)$ bzw.\ +$= (2, \dots r - 1)$ bedeutet und $(\beta^{(0)})$ zu dem komplementären +Periodenteiler~$(\delta')$ relativ prim ist. Ebenso sei +\[ +\bar{g} = \bar{p}^{\bar{k}} \bar{q}^{\bar{l}} \dots \bar{r}^{\bar{m}} = |\gamma| +\] +der absolute Betrag des Hauptlogarithmus~$\gamma$, so daß: +\[ +\gamma = \bar{g}·\gamma_{0} +\] +ist, wo $\gamma_{0}$~eine $g$-adische Einheit bedeutet und wo sicher $\bar{g} \lesssim g_{0}$ ist. +Dann können wir also den Logarithmus einer $g$-adischen Zahl genau +so wie denjenigen einer $p$-adischen Zahl in der Form: +\[ +\lg A = ((\alpha), (\delta)(\beta^{(0)}), \bar{g}\gamma_{0}) +\] +darstellen; und auch hier will ich das System~$(\delta)$ den \so{Indexteiler} +\index{Indexteiler!einer $g$-adischen Zahl}% +und die Zahl~$\bar{g}$ den \so{Teiler des Hauptlogarithmus von~$A$} +nennen. + + +\Section{§ 7.}{Untersuchung der Zahlen für einen beliebigen zusammengesetzten +Modul~$g$.} + +Ich wende die Ergebnisse des vorigen Abschnittes an auf die +genauere Untersuchung der Zahlen~$A$ für eine beliebige zusammengesetzte +Zahl +\[ +g = p^{k} q^{l} \dots r^{m} +\] +als Modul. Auch hier kann ich wie \aSeite{168} Mitte von vornherein die zu +\PageSep{234}{218} +untersuchende Zahl als Einheit, ihre Ordnungszahl $(\alpha) = (\alpha_{p}, \alpha_{q}, \dots \alpha_{r})$ +also gleich Null voraussetzen. + +Jede $g$-adische Einheit ist nun eindeutig in der Form +\[ +E = we^{\gamma} = w_{d} e^{\bar{g}\gamma_{0}} +\] +darstellbar, wo +\[ +w = w_{d} = w_{p}^{\beta_{p}} w_{q}^{\beta_{q}} \dots w_{r}^{\beta_{r}} +\] +eine Einheitswurzel bedeutet, welche zum Exponenten~$d$ gehören möge, +so daß also $w_{d}^{d}$ die kleinste Potenz von $w_{d}$ mit positivem Exponenten +ist, welche gleich~$1$ wird; ferner möge +\[ +\bar{g} = p^{\bar{k}} q^{\bar{l}} \dots r^{\bar{m}} +\] +den Teiler des Hauptlogarithmus von $E$ bedeuten, welcher stets ein +Vielfaches von $g_{0}$ sein muß. + +Ich untersuche jetzt alle diese Einheiten modulo~$g$ und nehme der +Einfachheit wegen auch $g$ als ein Vielfaches der reduzierten Grundzahl~$g_{0}$ +an, \dh\ ich setze voraus, daß, falls der Modul~$g$ gerade sein sollte, +dieser mindestens durch $4$ teilbar ist. Die entsprechenden Resultate +für einen Modul $g = 2q^{l} \dots r^{m}$ können leicht gesondert ausgesprochen +werden. +\begin{Theorem} +Eine Einheit $E = we^{\gamma}$ ist stets und nur dann kongruent~$1$ +modulo~$g$, \dh\ eine Haupteinheit modulo~$g$, wenn ihre Einheitswurzel~$w$ +gleich Eins und ihr Hauptlogarithmus~$\gamma$ durch $g$ teilbar +ist. +\end{Theorem} + +Betrachtet man nämlich die Kongruenz: +\[ +E = we^{\gamma} \equiv 1\ (\mod.~g) +\] +zuerst modulo~$g_{0}$ und beachtet, daß für diesen Modul $e^{\gamma} \equiv 1$ ist, so folgt +als notwendige Bedingung $w \equiv 1\ (\mod.~g_{0})$ und sie ist nach \Seite{210} +unten nur dann erfüllt, wenn $w = 1$ ist. Die dann übrigbleibende +Kongruenz +\[ +e^{\gamma} \equiv 1\ (\mod.~g) +\] +ist aber nach \Seite{207} oben allein dann erfüllt, wenn $\gamma$ durch $g$ teilbar +ist; und damit ist unsere Behauptung bewiesen. +\PageSep{235}{219} + +Zwei Einheiten +\[ +E = we^{\gamma} \quad +E' = w'e^{\gamma'} +\] +sind also dann und nur dann modulo~$g$ kongruent, wenn +\[ +w = w' \quad\text{und}\quad \gamma \equiv \gamma'\ (\mod.~g) +\] +ist, wenn also ihre Einheitswurzeln gleich und ihre Hauptlogarithmen +modulo~$g$ kongruent sind; denn allein dann ist ja ihr Quotient +\[ +\frac{E}{E'} = \frac{w}{w'}\, e^{\gamma-\gamma'} +\] +modulo~$g$ kongruent~$1$. Also sind in der Form: +\[ +E = w^{(r)} e^{g_{0}s} +\] +alle modulo~$g$ inkongruenten Einheiten enthalten, wenn $w$ alle $\phi(g_{0})$ +Einheitswurzeln und $s$ alle $\dfrac{g}{g_{0}}$ Zahlen $0$,~$1$,~\dots~$\left(\dfrac{g}{g_{0}} - 1\right)$ durchläuft. Die +Anzahl aller dieser inkongruenten Einheiten ist also gleich $\dfrac{g}{g_{0}} \phi(g_{0})$, +\dh\ gleich~$\phi(g)$, wie eine leichte Rechnung zeigt. + +Jede der $\phi(g)$ modulo~$g$ inkongruenten Einheiten: +\[ +E = w_{d} e^{\bar{g} \gamma_{0}} +\] +gehört nun für diesen Modul zu einem Exponenten~$\delta$, und zwar ist dieser +die kleinste positive Zahl, für welche: +\[ +E^{\delta} = w_{d}^{\delta} e^{\bar{g} \delta \gamma_{0}}\ (\mod.~g) +\] +ist. Hiernach ist $\delta$ die kleinste positive Zahl, welche erstens selbst +durch $d$ und für welche zweitens $\bar{g}\delta$ durch $g$ teilbar ist, \dh\ es ist +\[ +\Tag{(1)} +\delta = \left[d, \frac{g}{\,\bar{g}\,}\right]. +\] +Den größten Exponenten~$\bar{\delta}$, zu dem eine Einheit $E = we^{\gamma}$ überhaupt +modulo~$g$ gehören kann, erhält man, wenn man für $w$~eine primitive +Wurzel~$w_{\mu}$ wählt, welche zu dem höchsten Exponenten +\[ +\mu = [p - 1, q - 1, \dots r - 1] \quad\text{bzw.}\quad [2, q - 1, \dots r - 1] +\] +\PageSep{236}{220} +gehört, und wenn man zugleich den Teiler~$\bar{g}$ des Hauptlogarithmus möglichst +klein, also gleich $g_{0}$ wählt, so daß also +\[ +\DPtypo{\Tag{(1a)}}{\Tag{(1^{a})}} +\bar{\delta} = \left[\mu, \frac{g}{g_{0}}\right] +\] +wird. Alle anderen Exponenten $\delta = \left[d, \dfrac{g}{\,\bar{g}\,}\right]$ sind nämlich Teiler von~$\bar{\delta}$, +weil nach \Seite{210}~\Eq{(7)} $d$~ein Teiler von $\mu$ und $\dfrac{g}{\,\bar{g}\,}$~ein Teiler von $\dfrac{g}{g_{0}}$ ist. +Es ergibt sich also der Satz: +\begin{Theorem} +Jede Einheit gehört modulo~$g$ zu einem Exponenten~$\delta$, welche +ihrerseits sämtlich Teiler des größten unter ihnen $\bar{\delta}$ sind. Jede Einheit +genügt also modulo~$g$ der Kongruenz: +\[ +\Tag{(2)} +x^{\bar{\delta}} \equiv 1\ (\mod.~g), +\] +wo $\bar{\delta} = \left[\mu, \dfrac{g}{g_{0}}\right]$ ist, und dies ist die Kongruenz niedrigsten Grades, +der alle $\phi(g)$ Einheiten modulo~$g$ genügen. +\end{Theorem} + +Am einfachsten können die modulo $g = p^{k} q^{l} \dots r^{m}$ inkongruenten +Einheiten ohne jede Voraussetzung über $g$ mit Hilfe der primitiven +Wurzeln modulo $p^{k}$,~$q^{l}$,~\dots~$r^{m}$ additiv oder multiplikativ dargestellt +werden, welche wir \aSeite{173} in die Rechnung eingeführt haben. Jede +Einheit~$E$ konnte eindeutig als Summe bzw.\ als Produkt ihrer Komponenten +für den Bereich von $p$,~$q$,~\dots~$r$ in einer der Formen dargestellt +werden: +\[ +\Tag{(3)} +E = E_{p} + E_{q} + \dots + E_{r}\ (g) \quad +E = \frakE_{p} \frakE_{q} \dots \frakE_{r}\ (g), +\] +wo \zB\ $E_{p}$~und~$\frakE_{p}$ die eindeutig bestimmten $g$-adischen Zahlen waren, +welche für den Bereich von $p$ gleich~$E$, für die Bereiche von $q$,~\dots~$r$ +aber gleich Null bzw.\ gleich Eins sind. Betrachtet man nun diese Gleichungen +als Kongruenzen modulo~$g$, so ergeben sich die Kongruenzen: +\[ +E \equiv E_{p}^{(0)} + E_{q}^{(0)} + \dots + E_{r}^{(0)}\ (\mod.~g),\quad +E \equiv \frakE_{p}^{(0)} \frakE_{q}^{(0)} \dots \frakE_{r}^{(0)}\ (\mod.~g), +\] +wo \zB\ die ganzen rationalen Zahlen $E_{p}^{(0)}$ bzw.\ $\frakE_{p}^{(0)}$ die Anfangsglieder +von $E_{p}$ und $\frakE_{p}$ sind, welche modulo~$p^{k}$ kongruent~$E$, dagegen modulo +$q^{l}$,~\dots~$r^{m}$ kongruent Null bzw.\ kongruent Eins sind. Es sei nun $c_{p}$ bzw.\ +$\frakc_{p}$ je eine rationale Zahl, welche für die als ungerade vorausgesetzte +\PageSep{237}{221} +Primzahlpotenz~$p^{k}$ als Modul eine primitive Wurzel, dagegen modulo +$q^{l}$,~\dots~$r^{m}$ kongruent~$0$ bzw.\ kongruent Eins ist, und es mögen $c_{q}$ bzw.\ +$\frakc_{q}$,~\dots~$c_{r}$ bzw.\ $\frakc_{r}$ die entsprechende Bedeutung für die ungeraden Primzahlpotenzen +$q^{l}$,~\dots~$r^{m}$ haben. Ist dann $g = p^{k} \dots r^{m}$ ungerade, so ergeben +sich für alle $\phi(g)$ modulo~$g$ inkongruenten Einheiten die beiden +folgenden additiven und multiplikativen Darstellungen: +\[ +\Tag{(4)} +\begin{aligned} +E \equiv c_{p}^{b_{p}} + c_{q}^{b_{q}} + \dots + c_{r}^{b_{r}} + \equiv \frakc_{p}^{b_{p}} \frakc_{q}^{b_{q}} \dots \frakc_{r}^{b_{r}}\ (\mod.~g)& \\ +\begin{Conditions}%[** TN: Not smaller in the original] +(b_{p} = 0, 1, \dots \phi(p^{k}) - 1;\ \dots) +\end{Conditions}.& +\end{aligned} +\] + +Sollte dagegen $g = 2^{k} q^{l} \dots r^{m}$ gerade sein, so konnten wir ja alle +$\phi(2^{k}) = 2^{k-1}$ modulo~$2^{k}$ inkongruenten dyadischen Einheiten eindeutig +in der Form darstellen +\[ +(-1)^{\alpha} 5^{\beta}\quad +\begin{Conditions} +\left( +\begin{aligned} +\alpha &= 0, 1 \\ +\beta &= 0, 1, \dots \phi(2^{k-1}) - 1 +\end{aligned} +\right)\end{Conditions}. +\] +Bezeichnen wir also hier durch $(\bar{-1})$~und~$\bar{5}$ bzw.\ durch $(\ubar{-1})$~und~$\ubar{5}$ zwei +rationale Zahlen, welche modulo~$2^{k}$ kongruent $-1$~und~5, aber modulo +$q^{l}$,~\dots~$r^{m}$ bzw.\ kongruent $0$~oder~$1$ sind, so ergibt sich hier die Darstellung: +\[ +E \equiv (\bar{-1})^{\alpha} \bar{5}^{\beta} + c_{q}^{b_{q}} + \dots + c_{r}^{b_{r}} + \equiv (\ubar{-1})^{\alpha} \ubar{5}^{\beta} \frakc_{q}^{b_{q}} \dots \frakc_{r}^{b_{r}}\ (\mod.~g). +\] +Hierbei ist zu bemerken, daß, falls $p^{k} =2 ^{1}$ ist, $\alpha = \beta = 0$, für $p^{k} = 2^{2}$ +$\alpha = 0$,~$1$, aber $\beta = 0$ zu setzen ist. + +Im folgenden wollen wir immer von der Darstellung~\Eq{(4)} der Einheiten +modulo~$g$ ausgehen, aber dabei bemerken, daß falls $p$ gerade +sein sollte, die Potenz~$c_{p}^{b_{p}}$ durch das Potenzprodukt $(\bar{-1})^{\alpha} \bar{5}^{\beta}$, also der +Exponent~$b_{p}$ durch das Exponentensystem $(\alpha, \beta)$ zu ersetzen ist. Ich +nenne nun das Exponentensystem $(b_{p}, b_{q}, \dots b_{r})$, durch das dann jede +der $\phi(g)$ modulo~$g$ inkongruenten Einheiten~$E$ eindeutig bestimmt wird, +\so{den Index von~$E$ modulo~$g$} und setze: +\index{Index!einer Einheit modulo~$g$}% +\[ +\Ind E = (b_{p}, b_{q}, \dots b_{r})\ (\mod.~g), +\] +wo die einzelnen Exponenten $b_{p}$,~\dots~$b_{r}$ bzw.\ nur modulo $\phi(p^{k})$,~\dots~$\phi(r^{m})$ +gerechnet werden oder wo wieder wie \aSeite{211} unten zwei Indizes +$(b_{p}, \dots b_{r})$ und $(b'_{p}, \dots b'_{r})$ als gleich betrachtet werden, wenn ihre +entsprechenden Elemente $b_{p}$~und~$b'_{p}$ modulo $\phi(p_{r}^{k})$,~\dots\ $b_{r}$~und~$b'_{r}$ +modulo $\phi(r^{m})$ kongruent sind. +\PageSep{238}{222} + +Speziell ist dann +\[ +\Ind 1 = (0, 0, \dots 0), +\] +und es bestehen wieder die Gleichungen: +\begin{align*} +\Ind (EE') &= \Ind E + \Ind E' \\ +\Ind \left(\frac{E}{E'}\right) &= \Ind E - \Ind E', +\end{align*} +wenn wieder die Summe und die Differenz zweier Indizes wie \aSeite{211}~\Eq{(13)} +definiert werden. + +Gehört $E$ modulo~$g$ zum Exponenten~$\delta$, so ist $\delta$ die kleinste positive +Zahl, für welche $E^{\delta} \equiv 1\ (\mod.~g)$, wofür also +\[ +\Ind (E^{\delta}) = (\delta b_{p}, \delta b_{q}, \dots \delta b_{r}) = (0, 0, \dots 0), +\] +\dh\ für ungerades~$g$: +\[ +\delta b_{p} \equiv 0\ (\mod.~\phi(p^{k})),\ \dots\quad +\delta b_{r} \equiv 0\ (\mod.~\phi(r^{m})), +\] +für gerades $g$ aber: +\[ +\delta\alpha \equiv 0\ (\mod.~2),\quad +\delta\beta \equiv 0\ (\mod.~2^{k-2}),\ \dots\quad +\delta b_{r} \equiv \DPtypo{}{0}\ (\mod.~\phi(r^{m})) +\] +ist. Den größten Wert $\bar{\delta}$ von $\delta$ erhält man, wenn man alle Exponenten +$b_{p}$,~\dots~$b_{r}$ teilerfremd bzw.\ zu $\phi(p^{k})$,~\dots~$\phi(r^{m})$ annimmt, wenn man also +\zB\ speziell alle gleich~$1$ voraussetzt. Also gehören in den vier unterschiedenen +Fällen: +\[ +g = p^{k} q^{l} \dots r^{m},\quad +2^{k} q^{l} \dots r^{m},\quad +2^{2} q^{l} \dots r^{m},\quad +2q^{l} \dots r^{m} +\] +\zB\ die Einheiten: +\[ +\Tag{(5)} +\bar{E} = \frakc_{p} \frakc_{q} \dots \frakc_{r},\quad +(\ubar{-1}) \ubar{5} \frakc_{q} \dots \frakc_{r},\quad +(\ubar{-1}) \frakc_{q} \dots \frakc_{r},\quad +\frakc_{q} \dots \frakc_{r} +\] +modulo~$g$ zum höchsten Exponenten~$\bar{\delta}$, wo $\bar{\delta}$~offenbar das kleinste gemeinsame +Vielfache der Exponenten ist, zu denen die Komponenten +von~$\bar{E}$ in~\Eq{(5)} gehören. In den vier unterschiedenen Fällen ist also +\[ +\Tag{(6)} +\begin{alignedat}{2} +\bar{\delta} &= &[\phi(p^{k}), \phi(q^{l}), \dots \phi(r^{m})]& \\ + &={}&[2, 2^{k-2}, \phi(q^{l}), \dots \phi(r^{m})]& \\ + &= &[2, \phi(q^{l}), \dots \phi(r^{m})]& \\ + &= &[\phi(q^{l}), \dots \phi(r^{m})]&. +\end{alignedat} +\] +\PageSep{239}{223} +Hieraus folgt zunächst, daß dieser höchste Exponent~$\bar{\delta}$ ein Teiler von +$\phi(g)$ ist; denn in allen vier soeben unterschiedenen Fällen ist ja das +Produkt der in der eckigen Klammer stehenden Zahlen genau gleich +$\phi(g)$ und dieses ist ja stets durch das kleinste gemeinsame Vielfache +derselben teilbar. + +Nur in dem Falle ist nun das kleinste gemeinsame Vielfache~$\bar{\delta}$ +der in den eckigen Klammern stehenden Zahlen \emph{gleich} ihrem Produkte~$\phi(g)$, +wenn alle jene Zahlen teilerfremd sind. Allein in diesem Falle sind +also die $\phi(g)$ Potenzen +\[ +1,\ \bar{E},\ \bar{E}^{2},\ \dots\ \bar{E}^{\phi(g)-1} +\] +modulo~$g$ inkongruent; für diese Moduln~$g$ allein sind also alle Einheiten +modulo~$g$ als Potenzen einer einzigen primitiven Einheit darstellbar. Dies +ist, wie schon früher bewiesen worden war, sicher der Fall, falls $g = 2$, +$4$,~$p^{k}$ ist, wenn $p$ irgendeine ungerade Primzahl bedeutet. Enthält nun im +ersten der vier in~\Eq{(6)} unterschiedenen Fälle $g$ auch nur zwei ungerade Primfaktoren +$p$~und~$q$, so sind $\phi(p^{k}) = (p - 1) p^{k-1}$ und $\phi(q^{l}) = (q - 1) q^{l-1}$ +sicher nicht teilerfremd, da sie beide durch $2$ teilbar sind. Im zweiten +Falle haben, da $k \geqq 3$ ist, die beiden ersten Elemente $2$~und~$2^{k-2}$ den +gemeinsamen Teiler~$2$; dasselbe gilt im dritten Falle für $2$~und~$\phi(q^{l})$; +nur dann, wenn $g = 2^{2}$ ist, ist also hier die Bedingung für die Existenz +einer solchen primitiven Wurzel erfüllt. Ebenso ist im vierten Falle +$g = 2q^{l} \dots r^{m}$ diese Bedingung dann und nur dann erfüllt, wenn $g$ außer +$2$ keinen oder nur einen ungeraden Primfaktor enthält. So ergibt sich +jetzt also der allgemeine Satz: +\begin{Theorem} +Alle modulo $g$ inkongruenten Einheiten lassen sich dann und +nur dann für diesen Modul als Potenzen einer primitiven Einheit +darstellen, wenn +\[ +g = 2,\ 4,\ p^{k} \quad\text{oder}\quad 2p^{k} +\] +ist, wo $p$~eine ungerade Primzahl bedeutet. +\end{Theorem} + + +\Section{§ 8.}{Der Wilsonsche Satz für einen beliebigen Modul~$g$. --- +Die Auflösung der allgemeinen linearen Kongruenz modulo~$g$.} + +Als erste Anwendung beweise ich jetzt den Wilsonschen Satz für +eine beliebige zusammengesetzte Zahl +\PageSep{240}{224} +\[ +g = p^{k} q^{l} \dots r^{m} \quad\text{bezw.}\quad +g = 2^{k} q^{l} \dots r^{m}, +\] +und zwar kann ich voraussetzen, daß $g$ mindestens zwei verschiedene +Primfaktoren $p$,~$q$ bzw.\ $2$,~$q$ enthält, da der Fall einer einzigen Primzahlpotenz +bereits vorher vollständig behandelt worden ist. Dann kann +der Wilsonsche Satz folgendermaßen \DPtypo{ausgepsochen}{ausgesprochen} werden: +\begin{Theorem} +Das Produkt aller $\phi(g)$ modulo~$g$ inkongruenten Einheiten ist +modulo~$g$ stets kongruent~$+1$; nur dann ist es kongruent~$-1$, wenn +$g = 2q^{l}$ das Doppelte einer ungeraden Primzahlpotenz ist. +\end{Theorem} + +Denkt man sich jede der modulo~$g$ inkongruenten Einheiten in der +multiplikativen Normalform dargestellt: +\[ +E = \frakE_{p} \frakE_{q} \dots \frakE_{r}, +\] +so durchläuft \zB\ der Wert von $\frakE_{p}$ modulo~$p^{k}$ ein vollständiges System +inkongruenter Einheiten usw.; bildet man ferner das über alle $\phi(g)$ +inkongruenten Einheiten~$E$ erstreckte Produkt, so kommt jede Komponente~$\frakE_{p}$ +so oft vor, als es modulo $P = q^{l} \dots r^{m}$ inkongruente Produkte +$E_{q}$,~\dots~$E_{r}$ gibt, \dh\ jedes $E_{p}$ kommt genau $\phi(P)$ mal in jenem Produkte +vor. Hieraus ergibt sich für das Produkt aller Einheiten~$E$ die folgende +Darstellung: +\[ +\prod E = (\prod \frakE_{p})^{\phi(P)}·(\prod \frakE_{q})^{\phi(Q)} \dots (\prod \frakE_{r})^{\phi(R)}, +\] +wenn wieder $P$,~$Q$,~\dots~$R$ die zu $p^{k}$,~$q^{l}$,~\dots~$r^{m}$ komplementären Faktoren +von $g$ sind. Nach dem \aSeite{181}~ff.\ bewiesenen Satze ist aber jedes +der rechts stehenden Partialprodukte $\prod\frakE_{p}$,~\dots\ modulo $p^{k}$,~\dots\ kongruent~$-1$, +und jeder der Exponenten, \zB~$\phi(P)$, ist nach \Seite{98} +Mitte gerade, außer wenn $P = 2$, wenn also $g = 2q^{l}$ ist; und da hier +$\prod \frakE_{q} \equiv -1$ ist, so ergibt sich in der Tat die Richtigkeit des oben +aufgestellten Satzes. Zusammenfassend können wir also den allgemeinen +Wilsonschen Satz in der folgenden Form aussprechen: +\begin{Theorem} +Das Produkt aller $\phi(g)$ modulo~$g$ inkongruenten Einheiten ist +modulo~$g$ stets kongruent~$±1$, und zwar ist es allein in den Fällen +kongruent~$-1$, wenn +\[ +g = 4,\ p^{k},\ 2p^{k} +\] +ist, in allen anderen Fällen aber kongruent~$+1$. +\end{Theorem} +\PageSep{241}{225} + +Nur kurz möchte ich die Ausdehnung des \aSeite{181} für eine Primzahlpotenz~$p^{k}$ +geführten direkten Beweises des Wilsonschen Satzes auf +den Fall eines beliebigen zusammengesetzten Moduls angeben, um einen +interessanten Satz zu beweisen, der die Verallgemeinerung desjenigen +\aSeite{183} ist. Denken wir uns wieder die $\phi(g)$ modulo~$g$ inkongruenten +Einheiten in der Form gegeben: +\[ +E_{rs} = w_{r} e^{g_{0}s}, +\] +wo $w_{r}$ diejenige eindeutig bestimmte Einheitswurzel sein soll, welche +kongruent~$r$ modulo~$g_{0}$ ist, so sind für ein festes $r$ die Einheiten~$E_{rs}$ für +$s = 0$, $1$,~\dots~$\left(\dfrac{g}{g_{0}} - 1\right)$ alle und nur diejenigen modulo~$g$ inkongruenten Einheiten, +welche modulo~$g_{0}$ kongruent~$r$, welche also in der arithmetischen +Reihe $r + g_{0}h$ enthalten sind. Das Produkt dieser $\dfrac{g}{g_{0}}$ Einheiten wird also: +\[ +\Tag{(1)} +\prod_{s=0}^{\efrac{g}{g_{0}}-1}E_{rs} + = w_{r}^{\efrac{g}{g_{0}}} e^{g_{0}\left(1+2+\dots+\left(\efrac{g}{g_{0}}-1\right)\right)} + = w_{r}^{\efrac{g}{g_{0}}} e^{g_{0}·\efrac{1}{2}\left(\efrac{g}{g_{0}}-1\right)}. +\] +Ist nun $\dfrac{g}{g_{0}}$ ungerade, also g höchstens durch $4$ teilbar, so ist $\dfrac{1}{2} \left(\dfrac{g}{g_{0}} - 1\right)$ +ganz, also der Exponentialfaktor kongruent~$1$ modulo~$g$. Ist dagegen +$\dfrac{g}{g_{0}}$ gerade, also $g$ mindestens durch $8$ teilbar, so ist der Exponent von +$e$ nur durch $\dfrac{g}{2}$ teilbar, also der \DPtypo{Eponentialfaktor}{Exponentialfaktor} nur kongruent~$1$ +modulo~$\dfrac{g}{2}$. Also ergibt sich der Satz: +\begin{Theorem} +Das Produkt aller modulo~$g$ inkongruenten Einheiten, welche in +einer arithmetischen Reihe der Form $r + g_{0}h$ enthalten sind, ist stets +kongruent der $\left(\dfrac{g}{g_{0}}\right)$-ten Potenz der zugehörigen Einheitswurzel~$w_{r}$ +für den Modul~$g$ oder den Modul~$\dfrac{g}{2}$, je nachdem $g$ höchstens durch +$4$ oder mindestens durch $8$ teilbar ist. +\end{Theorem} + +Multipliziert man noch \Eq{(1)} über alle $\phi(g_{0})$ Werte von~$r$, so erhält +man wieder den Wilsonschen Satz. +\PageSep{242}{226} + +Als Abschluß dieser Untersuchungen werde jetzt die Auflösung +der allgemeinen linearen ganzzahligen Kongruenz für eine beliebige zusammengesetzte +Zahl $g = p^{k} q^{l} \dots r^{m}$ als Modul auf den schon \aSeite{183} +behandelten Fall reduziert, daß dieser Modul eine Primzahlpotenz ist. +Hier gilt, wie jetzt bewiesen werden soll, der folgende einfache Satz: +\begin{Theorem} +Die ganzzahlige Kongruenz: +\[ +\Tag{(2)} +AX \equiv A'\ (\mod.~g) +\] +besitzt stets und nur dann eine ganzzahlige Lösung, wenn $A'$ durch +den größten gemeinsamen Teiler: +\[ +\Tag{(3)} +d = (A, g) = p^{k_{0}} q^{l_{0}} \dots r^{m_{0}} +\] +von $A$~und~$g$ ebenfalls teilbar ist, und in diesem Falle ist die Anzahl +aller modulo~$g$ inkongruenten ganzzahligen Lösungen dieser Kongruenz +genau gleich~$d$. +\end{Theorem} + +Schreibt man nämlich die Zahlen $A$,~$A'$ und~$X$ modulo~$g$ in ihrer +multiplikativen Normalform, so geht die vorgelegte Kongruenz in die +folgende über: +\[ +(\frakA_{p} X_{p}) (\frakA_{q} X_{q}) \dots (\frakA_{r} X_{r}) + \equiv \frakA'_{p} \frakA'_{q} \dots \frakA'_{r}\ (\mod.~g), +\] +welche dann und nur dann erfüllt ist, wenn die Kongruenzen +\[ +\Tag{(4)} +\frakA_{p} X_{p} \equiv \frakA'_{p}\ (\mod.~p^{k}),\ \dots\quad +\frakA_{r} X_{r} \equiv \frakA'_{r}\ (\mod.~r^{m}) +\] +jede für sich bestehen, und aus jedem Lösungssystem derselben ergibt sich +dann je eine eindeutig bestimmte Lösung der vorgelegten Kongruenz. Nun +bewies ich aber \aaO, daß \zB\ die erste der Kongruenzen~\Eq{(4)} dann +und nur dann eine ganzzahlige Lösung hat, wenn $\frakA'_{p}$ durch den größten +gemeinsamen Teiler von $(\frakA_{p}, p^{k}) = d_{p}$ teilbar ist, und daß dann die +Anzahl aller inkongruenten Lösungen gleich $d_{p}$ ist, und das entsprechende +gilt für die anderen Kongruenzen in~\Eq{(4)}. Ferner ist offenbar +\[ +(\frakA_{p}, p^{k}) = (A, p^{k}) = p^{k_{0}}, +\] +wo $p^{k_{0}}$ die in $d = (A, g) = (A, p^{k} q^{l} \dots r^{m})$ enthaltene Potenz von $p$ +bedeutet usw. Also besitzt die Kongruenz~\Eq{(2)} überhaupt nur dann eine +\PageSep{243}{227} +ganzzahlige Lösung, wenn $\frakA'_{p}$~durch~$p^{k_{0}}$, $\frakA'_{q}$~durch $q^{l_{0}}$,~\dots\ $\frakA'_{r}$~durch~$r^{m_{0}}$, +wenn also $A'$~durch~$d$ teilbar ist. Ist dies der Fall, so ist die Anzahl +aller modulo $p^{k}$,~$q^{l}$,~\dots~$r^{m}$ inkongruenten Systeme von Lösungen +$X_{p}$,~\dots~$X_{r}$ in~\Eq{(4)} gleich $p^{k_{0}} q^{l_{0}} \dots r^{m_{0}} = d$, und somit besitzt in der +Tat die Kongruenz~\Eq{(2)} genau $d$~inkongruente Lösungen, unsere Behauptung +ist also vollständig bewiesen. +\PageSep{244}{228} + + +\Chapter{Zehntes Kapitel.} +{Die Auflösung der reinen Gleichungen und +der reinen Kongruenzen. Die quadratischen +Gleichungen und Kongruenzen.} + +\Section{§ 1.}{Die Auflösung der reinen Gleichungen im Ringe der +$g$-adischen Zahlen.} + +Ich wende mich nun zur Untersuchung der Frage, wann eine beliebige +reine Gleichung +\[ +\Tag{(1)} +x^{\mu} = A\ (g) +\] +im Bereiche der $g$-adischen Zahlen Wurzeln besitzt, und, falls dies +der Fall sein sollte, wie groß die Anzahl dieser Wurzeln ist. Wir setzen +dabei zunächst voraus, daß $A$ keinen Nullteiler enthält. + +Die zweite Frage kann nun zunächst sehr leicht vollständig gelöst +werden: Hat nämlich die Gleichung~\Eq{(1)} überhaupt \emph{eine} Lösung~$x_{0}$, so daß +also: +\[ +\Tag{(1^{a})} +x_{0}^{\mu} = A\ (g) +\] +ist, und ist $x$ irgendeine andere Lösung derselben Gleichung, so enthalten +beide ebenfalls keinen Teiler der Null, und für ihren Quotienten +$\left(\dfrac{x}{x_{0}}\right) = w$ erhalten wir aus \Eq{(1)}~und~\Eq{(1^{a})} die Gleichung: +\[ +\Tag{(1^{b})} +\left(\frac{x}{x_{0}}\right)^{\mu} = w^{\mu} = 1\ (g). +\] +Jede Lösung unserer Gleichung hängt also mit irgendeiner unter ihnen +durch eine Gleichung +\[ +\Tag{(1^{c})} +x = x_{0} w\ (g) +\] +\PageSep{245}{229} +zusammen, in der $w$ eine \Ord{$\mu$}{-te} Einheitswurzel ist, und umgekehrt ist jede +solche Zahl~\Eq{(1^{c})} auch wirklich eine Lösung von~\Eq{(1)}. + +Wir haben also nur die Anzahl aller \Ord{$\mu$}{-ten} Einheitswurzeln +\[ +\Tag{(2)} +w = w_{p}^{\beta_{p}} w_{q}^{\beta_{q}} \dots w_{r}^{\beta_{r}}\ (g) +\] +im Ringe~$R(g)$ zu bestimmen. Eine solche Zahl genügt nun stets und +nur dann der Gleichung $w^{\mu} = 1$, wenn +\[ +\mu \Ind w = \mu(\beta_{p}, \beta_{q}, \dots \beta_{r}) = 0, +\] +wenn also +\[ +\Tag{(2^{a})} +(\mu)(\beta) \equiv 0\ (\mod.~(P)) +\] +ist, wo $(\mu) = (\mu, \mu, \dots \mu)$ das zu $\mu$ gehörige Indexsystem und +$(P) = (p - 1, \dots r - 1)$ bzw.\ $(2, \dots r - 1)$ die Periode für die +Indexsysteme ist. Ist nun +\[ +\Tag{(3)} +(\mu) = (\delta)(\mu^{(0)}), +\] +ist also $(\delta)$ der Indexteiler von~$(\mu)$, so daß +\[ +(\delta) = ((\mu), (P)) = ((\mu, p - 1), (\mu, q - 1), \dots (\mu, r - 1)) +\] +ist, und bedeutet $(\delta')$ den komplementären Teiler zu~$(\delta)$, für den also +$(P) = (\delta) (\delta')$ ist, dann folgt aus~\Eq{(2^{a})} +\[ +(\delta)(\mu^{(0)})(\beta) \equiv 0\ (\mod.~(\delta)(\delta')), +\] +also, da $(\mu^{(0)})$ zu $(\delta')$ teilerfremd ist: +\[ +(\beta) \equiv 0\ (\mod.~(\delta')), +\] +\dh\ es muß +\[ +\Tag{(4)} +(\beta) = (\delta')(\beta^{(0)}) +\] +sein, wo das System $(\beta^{(0)}) = (\beta_{p}^{(0)}, \beta_{q}^{(0)}, \dots \beta_{r}^{(0)})$ ganz beliebig +angenommen werden kann. Ist umgekehrt das Indexsystem~$(\beta)$ durch +$(\delta')$ teilbar, so ist in der Tat: +\[ +(\mu)(\beta) = (\delta)(\delta')(\mu^{(0)})(\beta^{(0)}) +\] +durch $(P) = (\delta)(\delta')$ teilbar, also die Zahl~$w$ in~\Eq{(2)} eine \Ord{$\mu$}{-te} Einheitswurzel. +Man erhält also alle verschiedenen, \dh\ modulo $(P) = (\delta)(\delta')$ +inkongruenten \Ord{$\mu$}{-ten} Einheitswurzeln, wenn man in dem Indexsystem +\PageSep{246}{230} +\[ +(\delta')(\beta^{(0)}) + = (\delta'_{p} \beta^{(0)}_{p}, \dots \delta'_{r} \beta^{(0)}_{r}) +\] +die Elemente von $(\beta^{(0)})$ ein vollständiges Restsystem modulo~$(\delta)$ +durchlaufen läßt; denn dann durchlaufen die Elemente von $(\delta')(\beta^{(0)})$ +alle modulo $(P) = (\delta') (\delta)$ inkongruenten durch $(\delta')$ teilbaren Indizes. +Also ist die Anzahl aller verschiedenen \Ord{$\mu$}{-ten} Einheitswurzeln gleich +\[ +\Tag{(5)} +n((\delta)) = \delta_{p}·\delta_{q} \dots \delta_{r} = \prod (\mu, p - 1), +\] +wenn hier wie stets im Folgenden~$n((\delta))$ das Produkt aller Elemente +eines Systems~$(\delta)$ bedeuten. Wir erhalten also den folgenden Satz: +\begin{Theorem} +Die Anzahl aller $g$-adischen Wurzeln der Gleichung +\[ +x^{\mu} = A\ (g) +\] +ist entweder gleich Null oder gleich +\[ +\Tag{(5)} +n((\mu), (P)) = \prod_{p/g} (\mu, p - 1). +\] +wo das Produkt über alle verschiedenen Primteiler von $g$ zu erstrecken +ist. Alle Wurzeln dieser Gleichung gehen aus einer von +ihnen durch Multiplikation mit einer \Ord{$\mu$}{-ten} Einheitswurzel hervor. +\end{Theorem} +Es ist hierbei zu bemerken, daß, falls $g$ den Primfaktor~$2$ enthält, im +ersten Faktor des obigen Produktes~\Eq{(5)} $p - 1$ durch $2$ zu ersetzen ist. + +Ich untersuche nun, wann die Gleichung~\Eq{(1)} überhaupt eine $g$-adische +Wurzel~$x$ besitzt. Ist $(\xi)$ die Ordnungszahl, $(\eta)$~der Index, $\zeta$~der +Hauptlogarithmus von~$x$, ist also +\[ +\lg x = ((\xi), (\eta), \zeta), +\] +so folgt aus jener Gleichung, daß +\[ +\mu \lg x = (\mu·(\xi), \mu·(\eta), \mu·\zeta) = \lg A +\] +sein muß. Ist also: +\[ +\lg A = ((\alpha), (\beta), \gamma) +\] +der Logarithmus von~$A$, so besitzt die Gleichung~\Eq{(1)} stets und nur dann +eine Lösung, wenn man Systeme $(\xi)$,~$(\eta)$ und einen Hauptlogarithmus~$\zeta$ +so bestimmen kann, daß die drei Gleichungen +\PageSep{247}{231} +\[ +\Tag{(6)} +\mu·(\xi) = (\alpha),\quad +\mu·(\eta) = (\beta),\quad +\mu·\zeta = \gamma +\] +erfüllt sind. + +Aus der ersten Gleichung bestimmt sich das System~$(\xi)$ von $x$ +eindeutig durch die Gleichung: +\[ +\Tag{(7)} +(\xi) = \left(\frac{\alpha}{\mu}\right) +\] +und sie liefert dann und nur dann ein eindeutig bestimmtes ganzzahliges +System, wenn $\left(\dfrac{\alpha}{\mu}\right)$ ganz, +\begin{Theorem}[\noindent] +wenn also in $(\alpha) = (\alpha_{p}, \alpha_{q}, \dots \alpha_{r})$ alle Exponenten durch $\mu$ +teilbar sind. +\end{Theorem} + +Um zunächst die dritte Gleichung~\Eq{(6)} aufzulösen, seien: +\[ +\mu = g_{\mu}·\epsilon_{\mu},\quad +\gamma = g_{\gamma}\DPtypo{}{·}\epsilon_{\gamma}, +\] +wo +\[ +g_{\mu} = |\mu| = \bar{p}^{k_{\mu}} \bar{q}^{l_{\mu}} \dots \bar{r}^{m_{\mu}},\quad +g_{\gamma} = |\gamma| = \bar{p}^{k_{\gamma}} \bar{q}^{l_{\gamma}} \dots \bar{r}^{m_{\gamma}}, +\] +die absoluten Beträge von $\mu$~und~$\gamma$, also $\epsilon_{\mu}$~und~$\epsilon_{\gamma}$\; $g$-adische Einheiten +sind. Dann liefert die Auflösung +\[ +\Tag{(7^{a})} +\zeta = \frac{\gamma}{\mu} + = \frac{g_{\gamma}}{g_{\mu}}·\frac{\epsilon_{\gamma}}{\epsilon_{\mu}} + = \frac{g_{\gamma}}{g_{\mu}} \epsilon +\] +dieser dritten Gleichung nur dann einen Hauptlogarithmus, wenn der +absolute Betrag $\dfrac{g_{\gamma}}{g_{\mu}}$ von $\zeta$ mindestens durch~$g_{0}$, +\begin{Theorem}[\noindent] +wenn also $\gamma$ mindestens durch $|\mu g_{0}|$ teilbar ist, +\end{Theorem} +wo $g_{0} = pq \dots r$ bzw.\ $4q \dots r$ wieder die reduzierte Grundzahl bedeutet. +Ist das der Fall, so ist auch der Hauptlogarithmus $\zeta = \dfrac{\gamma}{\mu}$ +eindeutig bestimmt. + +Endlich besitzt die zweite Gleichung~\Eq{(6)} stets und nur dann mindestens +eine Lösung~$(\eta)$, wenn diese die Systemgleichung +\[ +(\mu)(\eta) = (\beta) +\] +\PageSep{248}{232} +erfüllt, oder wegen der \aSeite{211} gegebenen Definition der Gleichheit +zweier Indexsysteme, wenn dieselbe der Kongruenz: +\[ +\Tag{(8)} +(\mu)(\eta) \equiv (\beta)\ (\mod.~(P)) +\] +genügt, wo wieder $(P) = (p - 1, \dots r - 1)$ bzw.\ $(2, \dots r - 1)$ +die Indexperiode bedeutet. Diese Kongruenz für jene Systeme vertritt +dann einfach die entsprechenden gewöhnlichen Kongruenzen: +\[ +\mu \eta_{p} \equiv \beta_{p}\ (\mod.~(p - 1)),\ \dots\quad +\mu \eta_{r} \equiv \beta_{r}\ (\mod.~(r - 1)), +\] +von denen sie nur eine Zusammenfassung ist. + +Es sei nun wieder $(\delta)$ der Teiler des zum Exponenten~$\mu$ gehörigen +Indexsystemes~$(\mu)$, so daß also: +\[ +\Tag{(9)} +(\delta) = ((\mu), (P)) = ((\mu, p - 1), (\mu, q - 1), \dots (\mu, r - 1)) +\] +ist, und $(\delta')$ der zu $(\delta)$ komplementäre Divisor der Periode; dann +ist +\[ +\Tag{(10)} +(\mu) = (\delta)(\mu^{(0)})\quad (P) = (\delta)(\delta'), +\] +und das System~$(\mu^{(0)})$ ist zu $(\delta')$ teilerfremd. Schreibt man dann +die Kongruenz~\Eq{(8)} in der Form: +\[ +(\delta) (\mu^{(0)}) (\eta) \equiv (\beta)\ (\mod.~(\delta)(\delta')), +\] +so erkennt man, daß diese nur dann erfüllt sein kann, wenn: +\[ +(\beta) = (\delta) (\beta^{(0)}) +\] +ebenfalls durch $(\delta)$ teilbar ist. Ist dies der Fall, so geht unsere Kongruenz +in die einfachere: +\[ +\Tag{(11)} +(\mu^{(0)}) (\eta) \equiv (\beta^{(0)})\ (\mod.~(\delta')) +\] +über, und diese besitzt, da $(\mu^{(0)})$ modulo~$(\delta')$ ein Einheitssystem ist, +die modulo~$(\delta')$ eindeutig bestimmte Lösung: +\[ +\Tag{(11^{a})} +(\eta_{0}) \equiv \left(\frac{\beta^{(0)}}{\mu^{(0)}}\right)\ (\mod.~(\delta')). +\] +Dieses ganzzahlige System genügt der Kongruenz~\Eq{(11)} und ist mithin +\emph{eine} Lösung der Kongruenz~\Eq{(11)}. Ist $(\eta)$ irgendeine andere Lösung +derselben, so ergibt sich aus den beiden Kongruenzen: +\[ +(\mu) (\eta) \equiv (\beta)\quad (\mu) (\eta_{0}) \equiv (\beta)\ (\mod.~(P)) +\] +\PageSep{249}{233} +für die Differenz +\[ +(\bar{\beta}) = (\eta - \eta_{0}) +\] +jener beiden Systeme die Kongruenz +\[ +\Tag{(12)} +(\mu) (\bar{\beta}) \equiv 0\ (\mod.~(P)). +\] +Dies ist aber genau diejenige Kongruenz~\Eq{(2^{a})}, deren vollständige Auflösung +uns die Indexsysteme~$(\bar{\beta})$ aller \Ord{$\mu$}{-ten} Einheitswurzeln $w$ lieferte. +Besitzt also die Gleichung~\Eq{(1)} überhaupt eine Wurzel~$x_{0}$, für welche +\[ +\Tag{(13)} +\lg x_{0} = ((\xi), (\eta_{0}), \zeta) +\] +ist, so wird der Logarithmus jeder anderen Lösung~$x$ durch die Gleichung: +\begin{align*} +\Tag{(13^{a})} +\lg x + &= ((\xi), (\eta_{0} + \bar{\beta}), \zeta) + = ((\xi), (\eta_{0}), \zeta) + ((0), (\bar{\beta}), 0) \\ + &= \lg x_{0} + \lg w = \lg (wx_{0}) +\end{align*} +gegeben, in welcher $w$ wiederum eine der $n((\delta))$ verschiedenen \Ord{$\mu$}{-ten} +Einheitswurzeln ist; aus dieser Gleichung folgt endlich durch Ãœbergang +zum Numerus, genau wie in~\Eq{(1^{c})}, +\[ +\Tag{(14)} +x = x_{0}w. +\] +Fassen wir alle Ergebnisse zusammen, so ergibt sich der folgende Satz, +durch den die Frage nach den Wurzeln von beliebigen reinen Gleichungen +vollständig gelöst wird: +\begin{Theorem} +Die Gleichung +\[ +x^{\mu} = A\ (g) +\] +besitzt im Ringe der $g$-adischen Zahlen stets und nur dann eine +Wurzel, wenn +\begin{Enum} +\Item{1)} die Ordnungszahl~$(\alpha)$ von $A$ durch~$\mu$, + +\Item{2)} ihr Index~$(\beta)$ durch den Indexteiler~$(\delta)$ des Index~$(\mu)$, + +\Item{3)} ihr Hauptlogarithmus~$\gamma$ durch das Produkt $g_{0} |\mu|$ teilbar ist. +\end{Enum} +Sind diese drei Bedingungen erfüllt, so besitzt diese Gleichung +genau $n((\delta))$ Wurzeln, welche sich nur um \Ord{$\mu$}{-te} Einheitswurzeln +unterscheiden. +\end{Theorem} +\PageSep{250}{234} + +Der zweiten auf den Index von $A$ bezüglichen Bedingung kann +eine andere einfache Form auf Grund des folgenden Satzes gegeben +werden: +\begin{Theorem} +Der Index~$(\beta)$ ist stets und nur dann durch den Indexteiler~$(\delta)$ +des Index~$(\mu)$ teilbar, wenn für dessen komplementären Teiler~$(\delta')$ +die Indexgleichung: +\[ +\Tag{(15)} +(\delta') (\beta) = 0 +\] +erfüllt ist. +\end{Theorem} +In der Tat folgt ja aus der Kongruenz: +\[ +\Tag{(16)} +(\beta) \equiv 0\ (\mod.~(\delta)) +\] +durch Multiplikation mit dem System~$(\delta')$ +\[ +\Tag{(16^{a})} +(\delta') (\beta) \equiv 0\ (\mod.~(P)), +\] +da $(\delta) (\delta') = (P)$ ist, und daraus also die Gleichung~\Eq{(15)}; und umgekehrt +ergibt sich aus dem Bestehen der zweiten Kongruenz~\Eq{(16^{a})} die +Richtigkeit der ersten~\Eq{(16)}. + + +\Section{§ 2.}{Die Auflösung der reinen Gleichungen im Körper +der $p$-adischen Zahlen.} + +Ich spezialisiere das soeben gewonnene allgemeinste Resultat zunächst +für den Fall, daß die Grundzahl eine \emph{ungerade} Primzahl ist. +Dann kann dasselbe in dem folgenden Satze ausgesprochen werden: +\begin{Theorem} +Die Gleichung +\[ +x^{\mu} = A = p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma}\ (p) +\] +besitzt im Körper der $p$-adischen Zahlen dann und nur dann mindestens +eine Wurzel, wenn +\begin{Enum} +\Item{1)} die Ordnungszahl~$\alpha$ ein Vielfaches von $\mu$ ist, + +\Item{2)} der Index~$\beta$ durch den größten gemeinsamen Teiler~$\delta$ von +$\mu$ und $p - 1$ teilbar, oder, was dasselbe ist, wenn $\beta·\dfrac{p - 1}{\delta}$ +durch $p - 1$ teilbar ist. +\PageSep{251}{235} + +\Item{3)} der Hauptlogarithmus~$\gamma$ mindestens durch $p^{m+1}$ teilbar +ist, wenn $p^{m}$ die in $\mu$ enthaltene Potenz von $p$ bedeutet. +\end{Enum} + +Sind diese drei Bedingungen erfüllt, und ist +\[ +x_{0} = p^{\efrac{\alpha}{\mu}}·w^{\efrac{\beta}{\mu}}·e^{\efrac{\gamma}{\mu}}\ (p) +\] +eine Wurzel der obigen Gleichung, so hat dieselbe genau $\delta$ verschiedene +$p$-adische Wurzeln, und zwar sind diese gleich +\[ +x_{0},\quad +w_{\delta} x_{0},\quad +w_{\delta}^{2} x_{0},\ \dots\quad +w_{\delta}^{\delta-1} x_{0} , +\] +wenn $w_{\delta}$ eine primitive \Ord{$\delta$}{-te} Einheitswurzel bedeutet. +\end{Theorem} + +Für den Bereich der dyadischen Zahlen ergibt sich das folgende +Resultat: +\begin{Theorem} +Die Gleichung: +\[ +x^{\mu} = 2^{\alpha} (-1)^{\beta} e^{\gamma}\ (2) +\] +besitzt im Körper der dyadischen Zahlen stets und nur dann +wenigstens eine Lösung, wenn +\begin{Enum} +\Item{1)} die Ordnungszahl~$\alpha$ durch $\mu$ teilbar ist, + +\Item{2)} der Index~$\beta$ durch $\delta = (\mu, 2)$ teilbar, \dh\ wenn für ein +gerades $\mu$\; $\beta = 0$ ist, + +\Item{3)} $\gamma$ mindestens durch $2^{m+2}$ teilbar ist, falls wieder $m$ die +Ordnungszahl von $\mu$ bedeutet. +\end{Enum} +Sind diese Bedingungen erfüllt, so hat die obige Gleichung eine +Wurzel~$x_{0}$ oder zwei Wurzeln~$±x_{0}$, \DPchg{jenachdem}{je nachdem} $\mu$ ungerade oder +gerade ist. +\end{Theorem} +Ist speziell $A = 0$, so besitzt in den beiden hier betrachteten Fällen +die Gleichung $x^{\mu} = 0\ (p)$ nur die eine, aber $\mu$-fache Wurzel $x = 0\ (p)$. + +Natürlich kann man auch umgekehrt die allgemeine Lösung der +Gleichung +\[ +\Tag{(1)} +x^{\mu} = A\ (g) +\] +im Ringe~$R(g)$ aus den soeben abgeleiteten Sätzen für die zugehörigen +Körper $K(p)$,~\dots~$K(r)$ ableiten. Denn die Anwendung der \aSeite{209} +bewiesenen allgemeinen Theoreme auf die vorliegende Gleichung~\Eq{(1)} +ergibt sofort den Satz: +\PageSep{252}{236} +\begin{Theorem} +Die Gleichung~\Eq{(1)} besitzt für den Bereich der zusammengesetzten +Zahl~$g$ stets und nur dann überhaupt eine Wurzel, wenn +dieselbe Gleichung in jedem der Körper $K(p)$,~$K(q)$,~\dots~$K(r)$ +mindestens eine Wurzel hat, wenn also die Gleichungen: +\[ +\Tag{(2)} +x^{\mu} = A\ (p),\quad +x^{\mu} = A\ (q),\ \dots\quad +x^{\mu} = A\ (r) +\] +sämtlich lösbar sind. Ist dies der Fall, und sind, wie aus dem oben +bewiesenen Satze hervorgeht, +\[ +\Tag{(3)} +\delta_{p} = (\mu, p - 1),\quad +\delta_{q} = (\mu, q - 1),\ \dots\quad +\delta_{r} = (\mu, r - 1) +\] +die Anzahlen der verschiedenen Wurzeln jener Gleichungen~\Eq{(2)}, +so besitzt die Gleichung~\Eq{(1)} genau $\delta_{p}·\delta_{q} \dots \delta_{r}$, verschiedene +Wurzeln. +\end{Theorem} + +Enthält $A$ einen oder mehrere Teiler der Null, ist also \zB\ $A = 0\ (p)$, +so hat die erste der Gleichungen~\Eq{(2)} nur die eine $p$-adische Lösung +$x = 0\ (p)$. In diesem Falle ist also das zugehörige $\delta_{p}$ gleich~$1$ anzunehmen, +und die Anzahl aller verschiedenen $g$-adischen Wurzeln der +Gleichung~\Eq{(1)} ist gleich $\delta_{q} \dots \delta_{r}$. + + +\Section{§ 3.}{Die reinen Kongruenzen für einen beliebigen Modul~$g$.} + +Ich benutze die im §~1 durchgeführte Untersuchung zur Lösung +der folgenden wichtigen Aufgabe: +\begin{Theorem} +Wieviele und welche Lösungen besitzt die Kongruenz: +\[ +\Tag{(1)} +x^{\mu} \equiv A\ (\mod.~g) +\] +für eine beliebige ganze Zahl +\[ +\Tag{(1^{a})} +g = p^{k} q^{l} \dots r^{m} +\] +als Modul? +\end{Theorem} + +Um diese Aufgabe völlig allgemein und doch einfach lösen zu können, +beweise ich zuerst den folgenden Fundamentalsatz über allgemeine +Kongruenzen, welcher bei allen ähnlichen Fragen angewendet wird: +\begin{Theorem} +Es sei: +\[ +\Tag{(2)} +F(x) \equiv 0\ (\mod.~g) +\] +\PageSep{253}{237} +eine beliebige ganzzahlige Kongruenz, und +\[ +g = g_{1}g_{2}\quad +(g_{1}, g_{2}) = 1 +\] +irgendeine Zerlegung ihres Moduls in zwei teilerfremde Faktoren. +Sind dann: +\[ +\Tag{(2^{a})} +F(x) \equiv 0\ (\mod.~g_{1}) \quad\text{und}\quad +F(x) \equiv 0\ (\mod.~g_{2}) +\] +dieselbe Kongruenz für je einen dieser Faktoren als Modul, so ist +die Anzahl der modulo~$g$ inkongruenten Wurzeln von \Eq{(2)} gleich +dem Produkte der modulo~$g_{1}$ bzw.\ modulo~$g_{2}$ inkongruenten Lösungen +der beiden Kongruenzen~\Eq{\DPtypo{(2a)}{(2^{a})}}. +\end{Theorem} +Ist nämlich $x$ irgendeine Lösung von~\Eq{(2)}, so befriedigt dasselbe $x$ offenbar +jede der beiden Kongruenzen~\Eq{\DPtypo{(2a)}{(2^{a})}}, da $g_{1}$~und~$g_{2}$ Teiler von $g$ sind, +und sind $x$~und~$x'$ zwei modulo~$g$ inkongruente Wurzeln von~\Eq{(2)}, so können +sie auch nicht sowohl für~$g_{1}$ als auch für~$g_{2}$ als Moduln kongruent sein. +Sind umgekehrt $x_{1}$~und~$x_{2}$ je eine Wurzel der beiden Kongruenzen~\Eq{(2^{a})}, +so gibt es nach \Seite{94} eine modulo~$g$ eindeutig bestimmte Zahl~$x$, +für welche: +\[ +x \equiv x_{1}\ (\mod.~g_{1}),\quad +x \equiv x_{2}\ (\mod.~g_{2}) +\] +wird, und da für sie: +\[ +F(x) \equiv F(x_{1}) \equiv 0\ (\mod.~g_{1}),\quad +F(x) \equiv F(x_{2}) \equiv 0\ (\mod.~g_{2}) +\] +ist, so gilt, wegen $(g_{1}, g_{2}) = 1$, dieselbe Kongruenz auch modulo $g_{1} g_{2} = g$, +\dh\ diese Zahl ist in der Tat eine Wurzel von~\Eq{(2)}, \wzbw. + +Es sei nun in der zu untersuchenden Kongruenz~\Eq{(1)} +\[ +(\alpha) = (\alpha_{p}, \alpha_{q}, \dots \alpha_{r}) +\] +die Ordnungszahl von $A$ im Ringe~$R(g)$, während wegen~\Eq{\DPtypo{(1a)}{(1^{a})}} +\[ +(\kappa) = (k, l, \dots m) +\] +diejenige des Moduls~$g$ ist. Dann wird nach der \aSeite{202} unten gegebenen +Größenanordnung im allgemeinen weder $A \lesssim g\ (g)$ noch $A > g\ (g)$ +sein, da ja für je zwei entsprechende Ordnungszahlen \zB\ $\alpha_{p} \geqq k$ und +$\alpha_{q} < l$ sein kann. Dagegen kann man, wenn keiner jener beiden Fälle +vorliegt, offenbar $g$ stets und nur auf eine Weise so in ein Produkt~$g_{1} g_{2}$ +von zwei teilerfremden Faktoren zerlegen, daß im Ringe~$R(g_{1})$\; $A \lesssim g_{1}$, +\PageSep{254}{238} +dagegen im Ringe~$R(g_{2})$\; $A > g_{2}$ ist. Bezeichnet man dann durch +$\psi(A, g)$ die Anzahl der modulo~$g$ inkongruenten Wurzeln der Kongruenz~\Eq{(1)}, +während $\psi(A, g_{1})$ und $\psi(A, g_{2})$ dieselbe Bedeutung für die entsprechenden +Kongruenzen besitzen, deren Moduln bzw.\ $g_{1}$~und~$g_{2}$ +sind, so ist nach dem soeben bewiesenen Satze: +\[ +\psi(A, g) = \psi(A, g_{1})·\psi(A, g_{2}). +\] +Damit ist also die vollständige Auflösung der allgemeinen Kongruenz~\Eq{(1)} +reduziert auf die beiden Fälle, daß das eine Mal $A \lesssim g\ (g)$, daß also +$A$ durch $g$ teilbar ist, während das andere Mal $A > g\ (g)$, und zwar \emph{jede} +Ordnungszahl $\alpha_{p}$,~$\alpha_{q}$,~\dots\ im gewöhnlichen Sinne kleiner ist als die entsprechende +$k$,~$l$,~\dots\ von~$g$. Ich brauche daher nur die beiden Fälle zu +untersuchen, daß in der ursprünglichen Kongruenz~$A$ entweder durch +$g$ teilbar ist, oder daß $A > g\ (g)$ ist. + +Im ersten Falle nun genügt eine Zahl~$x$ dann und nur dann der +Kongruenz: +\[ +\Tag{(4)} +x^{\mu} \equiv A \equiv 0\ (\mod.~g), +\] +wenn $x^{\mu} \lesssim g\ (g)$, wenn also +\[ +x \lesssim g^{\efrac{1}{\mu}} + = {\Errata{p^{\efrac{k}{}}}{p^{\efrac{k}{\mu}}}} q^{\efrac{l}{\mu}} \dots r^{\efrac{m}{\mu}}\ (g) +\] +ist. Ich bezeichne nun durch +\[ +\Tag{(5)} +\Bigl\{g^{\efrac{1}{\mu}}\Bigr\} + = p^{\left\{\efrac{k}{\mu}\right\}} + q^{\left\{\efrac{l}{\mu}\right\}} \dots + r^{\left\{\efrac{m}{\mu}\right\}}\ (g) +\] +die im gewöhnlichen Sinne kleinste positive ganze Zahl, für welche +\[ +\Tag{(5^{a})} +g^{\efrac{1}{\mu}} \gtrsim \Bigl\{g^{\efrac{1}{\mu}}\Bigr\}\ (g) +\] +ist; das ist dasjenige Produkt~\Eq{(5)}, dessen Exponenten $\left\{\dfrac{k}{\mu}\right\}$,~\dots\ $\left\{\dfrac{m}{\mu}\right\}$ +die kleinsten ganzen Zahlen sind, welche im gewöhnlichen Sinne größer +oder gleich den Brüchen $\dfrac{k}{\mu}$,~\dots\ $\dfrac{m}{\mu}$ sind. Dann ist also eine Zahl~$x$ +eine Wurzel von~\Eq{(4)}, wenn $x \lesssim \Bigl\{g^{\efrac{1}{\mu}}\Bigr\}$, wenn also: +\[ +x = \Bigl\{g^{\efrac{1}{\mu}}\Bigr\} \xi +\] +\PageSep{255}{239} +ist, wo $\xi$~eine beliebige ganze Zahl bedeutet; und zwei solche Lösungen +\[ +\Bigl\{g^{\efrac{1}{\mu}}\Bigr\} \xi \quad\text{und}\quad +\Bigl\{g^{\efrac{1}{\mu}}\Bigr\} \xi' +\] +sind dann und nur dann modulo~$g$ kongruent, wenn +\[ +\xi \equiv \xi'\ +\DPchg{\mod.~\biggl(\frac{g}{\Bigl\{g^{\efrac{1}{\mu}}\Bigr\}}\biggr)} +{\biggl(\mod.~\frac{g}{\bigl\{g^{\efrac{1}{\mu}}\bigr\}}\biggr)} +\] +ist. Man erhält also alle und nur die modulo~$g$ inkongruenten Lösungen +von~\Eq{(4)} in der Form: +\[ +x = \Bigl\{g^{\efrac{1}{\mu}}\Bigr\} \xi, +\] +wo $\xi$ ein vollständiges Restsystem modulo $\dfrac{g}{\bigl\{g^{\efrac{1}{\mu}}\bigr\}}$ durchläuft; und da die +Anzahl der Glieder eines Restsystemes für einen beliebigen absolut +ganzzahligen Modul~$M$ gleich $M$ ist, so erhalten wir das erste Resultat: +\begin{Theorem}[\noindent] +Die Anzahl aller modulo~$g$ inkongruenten Wurzeln der Kongruenz: +\[ +x^{\mu} \equiv 0\ (\mod.~g) +\] +ist stets +\[ +\Tag{(6)} +\psi(0, g) = \frac{g}{\bigl\{g^{\efrac{1}{\mu}}\bigr\}} + = p^{k-\left\{\efrac{k}{\mu}\right\}} + q^{l-\left\{\efrac{l}{\mu}\right\}} \dots + r^{m-\left\{\efrac{m}{\mu}\right\}}, +\] +und sie sind alle in der Form: +\[ +\Tag{(7)} +x = \Bigl\{g^{\efrac{1}{\mu}}\Bigr\} \xi, +\] +enthalten, wo $\xi$~ein vollständiges Restsystem für den obigen Divisor +$\psi(0, g)$ durchläuft. +\end{Theorem} + +Ich betrachte jetzt zweitens die Kongruenz: +\[ +\Tag{(8)} +x^{\mu} \equiv A\ (\mod.~g), +\] +wo jetzt $|A|$ jeden der Primfaktoren $p$,~$q$,~\dots~$r$ weniger oft enthält +als~$g$, so daß $\dfrac{g}{|A|}$ mindestens durch $(pq \dots r)$, \dh\ durch $g_{0}$ oder +\PageSep{256}{240} +$\dfrac{g_{0}}{2}$ teilbar ist, je nachdem $g$ ungerade oder gerade ist. Der Einfachheit +wegen will ich vorläufig voraussetzen, daß $\dfrac{g}{|A|}$ in beiden Fällen +durch $g_{0}$ teilbar ist. Soll dann $x$ die obige Kongruenz erfüllen, so muß, +wenn wieder $\lg x = ((\xi), (\eta), \zeta)$ ist, +\[ +|x|^{\mu} = |A|, +\] +also +\[ +\Tag{(9)} +(\mu\xi) = (\alpha)\qquad +(\xi) = \left(\frac{\alpha}{\mu}\right), +\] +\dh\ es muß wieder die Ordnungszahl~$(\alpha)$ von $A$ durch $\mu$ teilbar sein. +Setzt man dann also in~\Eq{(8)} +\[ +x = |A^{\efrac{1}{\mu}}| \bar{x}, +\] +dividiert jene Kongruenz durch $|A|$ und beachtet, daß dann +$\dfrac{A}{|A|} = E = we^{\gamma}$ die zu $A$ gehörige Einheit ist, so ergibt sich für die +unbekannte Einheit $\bar{x} = \bar{w} e^{\bar{\gamma}}$ die Kongruenz: +\[ +\bar{x}^{\mu} \equiv E\ (\mod.~\bar{g}), +\] +wo $\bar{g} = \dfrac{g}{|A|}$ \ndV\ eine mindestens durch $g_{0}$ teilbare Zahl bedeutet. +Betrachtet man nun diese Kongruenz: +\[ +\bar{w}^{\mu} e^{\mu\bar{\gamma}} \equiv we^{\gamma}\ (\mod.~\bar{g}) +\] +zunächst nur modulo~$g_{0}$ und beachtet, daß für diesen Modul $e^{\gamma}$ und +$e^{\mu\bar{\gamma}}$ beide kongruent~$1$ sind, so ergibt sich zunächst genau wie \aSeite{218} +\[ +\bar{w}^{\mu} \equiv w\ (\mod.~g_{0}), +\] +und diese Kongruenz ist, da alle Einheitswurzeln modulo~$g_{0}$ inkongruent +sind, nur möglich, wenn +\[ +\bar{w}^{\mu} = w\ (g) +\] +ist; \dh\ jede zu einer Kongruenzwurzel~$x$ gehörige Einheitswurzel wird +durch dieselbe Gleichung definiert, wie diejenigen, welche vorher zu +den Gleichungswurzeln gehörten. Nur dann besitzt also auch die Kongruenz~\Eq{(8)} +\PageSep{257}{241} +eine Wurzel, wenn der Index~$(\beta)$ von $w$ durch den Indexteiler +$(\delta) = ((\mu), (P))$ des Index~$(\mu)$ teilbar ist, und dann hat die +zu einer Lösung gehörige Einheitswurzel genau $n((\delta)) = \prod(\mu, p - 1)$ +verschiedene Werte. + +Betrachtet man nun die nach dem Wegheben mit $\bar{w}^{\mu} = w$ übrigbleibende +Kongruenz +\[ +\Tag{(10)} +e^{\mu\bar{\gamma}} \equiv e^{\gamma}\ (\mod.~\bar{g}), +\] +so ist sie nach \Seite{206} flgde.\ stets und nur dann erfüllt, wenn die Exponenten +auf beiden Seiten modulo~$\bar{g}$ kongruent sind, wenn also: +\[ +\Tag{(10^{a})} +\mu \bar{\gamma} \equiv \gamma\ (\mod.~\bar{g}) +\] +ist, und wenn außerdem $\gamma$~und~$\bar{\gamma}$ beide durch $g_{0}$ teilbar sind. Setzt +man also: +\[ +\gamma = g_{0} \gamma_{0}\qquad +\bar{\gamma} = g_{0} \bar{\gamma}_{0} +\] +so ist $\bar{\gamma}_{0}$ als ganze Zahl so zu bestimmen, daß: +\[ +\Tag{(10^{b})} +\mu \bar{\gamma}_{0} \equiv \gamma_{0}\ \left(\mod.~\frac{\bar{g}}{g_{0}}\right), +\] +ist. Nach \Seite{226} besitzt diese Kongruenz stets und nur dann eine Lösung, +wenn $\gamma_{0}$ durch +\[ +\delta = \left(\mu, \frac{\bar{g}}{g_{0}}\right), +\] +wenn also $\gamma$ durch: +\[ +g_{0} \delta = (\mu g_{0}, \bar{g}) = \left(\mu g_{0}, \frac{g}{|A|}\right) +\] +teilbar ist. Ist diese letzte Bedingung erfüllt, so folgt aus \Eq{(10^{b})} durch +Division mit~$\mu$, wobei der Modul nur durch $\delta$ dividiert zu werden +braucht, +\[ +\bar{\gamma}_{0} \equiv \frac{\gamma_{0}}{\mu}\ \left(\mod.~\frac{\bar{g}}{g_{0}\delta}\right), +\] +oder nach Multiplikation mit~$g_{0}$ +\[ +\bar{\gamma} \equiv \frac{\gamma}{\mu}\ \left(\mod.~\frac{\bar{g}}{\delta}\right). +\] +\PageSep{258}{242} +Alle und nur die Lösungen $\bar{\gamma}$,~$\bar{\gamma}'$,~\dots\ von~\Eq{(10^{a})} sind also in der Reihe: +\[ +\frac{\gamma}{\mu} + t\frac{\bar{g}}{\delta},\quad +\frac{\gamma}{\mu} + t'\frac{\bar{g}}{\delta},\ \dots +\] +enthalten, wo $t$,~$t'$,~\dots\ beliebige ganze Zahlen bedeuten, und zwei solche +Lösungen $\bar{\gamma}$,~$\bar{\gamma}'$ sind allein dann modulo~$g$ kongruent, wenn +\[ +(t' - t) \frac{\bar{g}}{\delta} \equiv 0\ (\mod.~g), +\] +wenn also +\[ +t' \equiv t\ \left(\mod.~\frac{g\delta}{\bar{g}}\right) +\] +ist. Also ist die Anzahl aller modulo~$g$ inkongruenten Hauptlogarithmen~$\gamma$ +der Wurzeln~$x$ gleich: +\[ +\frac{g\delta}{\bar{g}} + = \frac{g \left(\mu, \dfrac{g}{g_{0} |A|}\right)·|A|}{g} + = \left(\mu |A|, \frac{g}{g_{0}}\right). +\] +Fassen wir also das Ergebnis dieser Untersuchung zusammen, so ergibt +sich der Satz: +\begin{Theorem} +Die Kongruenz +\[ +x^{\mu} \equiv A\ (\mod.~g), +\] +in welcher $g$ durch $g_{0} |A|$ teilbar ist, besitzt stets und nur dann +Wurzeln, wenn +\begin{Enum} +\Item{1)} die Ordnungszahl~$(\alpha)$ von $A$ durch~$\mu$, + +\Item{2)} der Index~$(\beta)$ von $A$ durch den Indexteiler $(\delta) = ((\mu), (P))$ +des Index~$(\mu)$, + +\Item{3)} der Hauptlogarithmus~$\gamma$ von $A$ durch $\left(\mu g_{0}, \dfrac{g}{|A|}\right)$ teilbar +ist. +\end{Enum} +Sind diese drei Bedingungen erfüllt, so besitzt die obige Kongruenz +genau +\[ +\left(\mu |A|, \frac{g}{g_{0}}\right) n ((\delta)) + = \left(\mu |A|, \frac{g}{g_{0}}\right) \prod (\mu, p - 1) +\] +modulo~$g$ inkongruente Lösungen. +\end{Theorem} +\PageSep{259}{243} +Diese Bedingungen stimmen genau mit den für die Auflösbarkeit der +binomischen Gleichung gefundenen überein; nur tritt in der dritten +an die Stelle des Divisors $g_{0} |\mu|$ sein größter gemeinsamer Teiler mit~$\dfrac{g}{|A|}$, +und die Anzahl der Kongruenzlösungen ist das $\left(\mu |A|, \dfrac{g}{g_{0}}\right)$-fache +der entsprechenden Anzahl für die zugehörige Gleichung. + +Ist speziell der Modul~$g$ im Verhältnis zu $|A|$ von so hoher Ordnung, +daß $g$ durch $|g_{0} \mu A|$ teilbar ist, so sind die drei Bedingungen für die +Auflösbarkeit unserer Kongruenz mit denjenigen für die Auflösbarkeit +der entsprechenden Gleichung identisch, weil ja dann $\left(\mu g_{0}, \dfrac{g}{|A|}\right) = \mu g_{0}$ +ist; und da der in dem Ausdruck für die Anzahl der \DPtypo{Kongurenzwurzeln}{Kongruenzwurzeln} +auftretende Teiler $\left(|\mu A|, \dfrac{g}{g_{0}}\right)$ gleich $|\mu A|$ wird, so ergibt sich hier +der einfache Satz: +\begin{Theorem}[\noindent] +Die Kongruenz +\[ +\Tag{(11)} +x^{\mu} \equiv A\ (\mod.~g) +\] +besitzt, falls $g$ durch $|g_{0} \mu A|$ teilbar ist, dann und nur dann +eine Lösung, wenn die entsprechende Gleichung +\[ +\Tag{(11^{a})} +x^{\mu} = A\ (g) +\] +eine solche hat, und die Anzahl der modulo~$g$ inkongruenten Kongruenzwurzeln +ist dann genau das $|\mu A|$-fache von der Anzahl der +Gleichungswurzeln. +\end{Theorem} + +Solange $g$ also noch nicht durch $|\mu g_{0} A|$ teilbar ist, braucht die +\emph{Gleichung}~\Eq{(11^{a})} nicht auflösbar zu sein, obwohl die \emph{Kongruenz}~\Eq{(11)} +eine Lösung hat, \dh\ es kann sehr wohl $A$ modulo~$g$ einer \Ordsup{$\mu$}{-ten} +Potenz kongruent sein, ohne daß diese Zahl für den Bereich von $g$ eine +\Ordsup{$\mu$}{\DPtypo{te}{-te}}~Potenz ist. Ist dagegen $g$~ein Vielfaches von~$|\mu g_{0} A|$, so ist $A$ +dann und nur dann für den Bereich von $g$ eine \Ordsup{$\mu$}{-te} Potenz, wenn dasselbe +modulo~$g$ der Fall ist, und während bei den zuerst erwähnten irregulären +Moduln~$g$ die Anzahl der Kongruenzwurzeln modulo~$g$ mit wachsendem +$g$ ebenfalls zunimmt, bleibt sie von der Grenze $|\mu g_{0} A|$ ab unverändert +gleich dem $|\mu A|$-fachen der Anzahl der Gleichungswurzeln. + +Ist speziell $A = E$ eine Einheit, und enthält $\mu$ ebenfalls keinen der +Primteiler, von~$g$, so ergibt sich das einfachere Resultat: +\PageSep{260}{244} +\begin{Theorem}[\noindent] +Die Gleichung +\[ +\Tag{(12)} +x^{\mu} = E\ (g), +\] +deren Grad zu $g$ teilerfremd ist, besitzt stets und nur dann eine +Lösung, wenn die entsprechende Kongruenz +\[ +\Tag{(12^{a})} +x^{\mu} \equiv E\ (\mod.~g_{0}) +\] +für die reduzierte Grundzahl als Modul auflösbar ist, wenn also für +die einfacheren Kongruenzen: +\[ +\Tag{(12^{b})} +x^{\mu} \equiv E\ (\mod.~p) \quad +x^{\mu} \equiv E\ (\mod.~q),\ \dots\quad +x^{\mu} \equiv E\ (\mod.~r) +\] +sämtlich das Gleiche gilt; (hier ist für ein gerades $g$ der Modul~$p$ +durch $4$ zu ersetzen). Unter dieser Voraussetzung hat die Gleichung~\Eq{(12)} +und die Kongruenz~\Eq{(12^{a})} gleich viele, nämlich genau +$\prod(\mu, p - 1)$ verschiedene Lösungen. +\end{Theorem} + +Ich nehme ferner speziell an, daß nur der Wurzelexponent~$\mu$ zum +Modul~$g$ teilerfremd ist. Dann fällt die dritte Bedingung für die Lösbarkeit +der Kongruenz~\Eq{(1)} fort, da jetzt nach der Voraussetzung \aSeite{240} +oben +\[ +\left(\mu g_{0}, \frac{g}{|A|}\right) = \left(g_{0}, \frac{g}{|A|}\right) = g_{0} +\] +und $\gamma$ stets durch $g_{0}$ teilbar ist; das Gleiche gilt in diesem Falle nach +\Seite{233} unten für die entsprechende Gleichung. Ferner wird in diesem +Falle die Anzahl der Lösungen wegen derselben Voraussetzung gleich +$|A| n((\delta))$. Es ergibt sich also der einfache Satz: +\begin{Theorem}[\noindent] +Die Kongruenz +\[ +x^{\mu} \equiv A\ (\mod.~g) +\] +besitzt, falls ihr Grad zum Modul teilerfremd ist, stets und nur +dann eine Lösung, wenn die Ordnungszahl von $A$ durch $\mu$ und +ihr Index durch $(\delta) = ((\mu), (P))$ teilbar ist. Die Anzahl der +modulo~$g$ inkongruenten Lösungen ist in diesem Falle gleich +$|A|·n((\delta))$. +\end{Theorem} + +Ich spezialisiere endlich das allgemeine Resultat auch hier für den +Fall, daß der Modul~$g$ unserer Kongruenz eine beliebige Potenz~$p^{k}$ einer +Primzahl~$p$ ist, bemerke aber dabei, daß hier mitunter der Fall einer +\PageSep{261}{245} +ungeraden Primzahl~$p$ von dem der geraden Primzahl~$2$ geschieden +werden muß. + +Zuerst behandle ich besonders den einfachsten Fall, daß $p = 2$ und +daß die Ordnungszahl~$\alpha$ von $A$ gleich $k - 1$ ist, \dh\ die Kongruenz: +\[ +\Tag{(13)} +x^{\mu} \equiv 2^{k-1} u\ (\mod.~2^{k}), +\] +wo $u = (-1)^{\beta} e^{\gamma}$ eine beliebige ungerade Zahl bedeutet; nur dieser Fall +folgt nämlich nicht aus unserem allgemeinen Satze, da hier $\dfrac{g}{|A|} = 2$, also +nicht durch $g_{0} = 2^{2}$ teilbar ist. Hier bietet aber die direkte Auflösung +der Kongruenz nicht die geringste Schwierigkeit dar. + +Zunächst muß ja auch hier $k - 1$ durch $\mu$ teilbar sein, und dies +ist die einzige Bedingung dafür, daß die obige Kongruenz eine Lösung +hat. Ist sie nämlich erfüllt, und setzt man: +\[ +x = 2^{\efrac{k-1}{\mu}}·\bar{u}, +\] +so muß $\bar{u}$ ungerade sein und der Kongruenz: +\[ +\bar{u}^{\mu} \equiv u\ (\mod.~2) +\] +genügen, welche für jede beliebige ungerade Zahl~$\bar{u}$ erfüllt ist. Dann +besitzt die Kongruenz~\Eq{(13)} alle Lösungen: +\[ +2^{\efrac{k-1}{\mu}}\bar{u},\quad +2^{\efrac{k-1}{\mu}}\bar{u}',\ \dots +\] +wo $\bar{u}$,~$\bar{u}'$,~\dots\ beliebige ungerade Zahlen bedeuten. Zwei solche Lösungen +sind allem dann modulo~$2^{k}$ kongruent, wenn für die zugehörigen Zahlen +$\bar{u}$~und~$\bar{u}'$ die Kongruenz: +\[ +\bar{u} \equiv \bar{u}'\ \left(\mod.~2^{k-\efrac{k-1}{\mu}}\right) +\] +besteht, und da die Anzahl aller modulo~$2^{k-\efrac{k-1}{\mu}}$ inkongruenten ungeraden +Zahlen oder Einheiten gleich +\[ +\phi\left(2^{k-\efrac{k-1}{\mu}}\right) + = 2^{k-1-\efrac{k-1}{\mu}} + = 2^{\alpha-\efrac{\alpha}{\mu}} +\] +\PageSep{262}{246} +ist, weil hier die Ordnungszahl $\alpha = k - 1$ ist, so ergibt sich das +folgende einfache Resultat: +\begin{Theorem} +Im Falle $\alpha = k - 1$ besitzt die Kongruenz: +\[ +\Tag{(14)} +x^{\mu} \equiv A\ (\mod.~2^{k}) +\] +stets und nur dann überhaupt eine Lösung, wenn die Ordnungszahl~$\alpha$ +von $A$ durch $\mu$ teilbar ist, und zwar hat sie dann genau +\[ +\Tag{(14^{a})} +\psi(A, 2^{k}) = 2^{\alpha-\efrac{\alpha}{\mu}} +\] +modulo~$2^{k}$ inkongruente Wurzeln. +\end{Theorem} + +Man erkennt, daß in diesem einzigen Ausnahmefalle $\alpha = k - 1$ +die Anzahl $2^{\alpha-\efrac{\alpha}{\mu}} = 2^{\alpha-\left\{\efrac{\alpha}{\mu}\right\}}$ mit derjenigen $2^{k-\left\{\efrac{k}{\mu}\right\}}$ übereinstimmt, welche +für den nächst höheren Fall $\alpha = k$ aus der Spezialisierung von \Eq{(6)}~\aSeite{239} +für $g = 2^{k}$ folgt. + +In allen anderen Fällen ergibt sich aus den beiden Sätzen \aSeite{239} und 242 +unmittelbar das folgende Resultat: +\begin{Theorem} +Die Kongruenz: +\[ +\Tag{(15)} +x^{\mu} \equiv A = p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma}\ (\mod.~p^{k}) +\] +besitzt, falls $\alpha \geqq k$, also $A \equiv 0\ (\mod.~p^{k})$ ist, stets genau: +\[ +\Tag{(15^{a})} +\psi(A, p^{k}) = p^{k-\left\{\efrac{k}{\mu}\right\}} +\] +modulo~$p^{k}$ inkongruente Wurzeln. + +Ist dagegen $\alpha < k$, also $A$ nicht durch $p^{k}$ teilbar, so besitzt +sie stets und nur dann Lösungen, wenn: +\begin{Enum} +\Item{1)} $\alpha$ durch $\mu$, + +\Item{2)} $\beta$ durch $(\mu, p - 1)$ bzw.\ durch $(\mu, 2)$, + +\Item{3)} $\gamma$ durch $p (|\mu|, p^{k-\alpha-1})$ bzw.\ durch $4(|\mu|, 2^{k-\alpha-2})$ +teilbar ist. +\end{Enum} + +Sind diese drei Bedingungen sämtlich erfüllt, so hat diese Kongruenz: +\begin{align*} +\Tag{(15^{b})} +\psi(A, p^{k}) + &=(p^{\alpha} |\mu|, p^{k-1}) (\mu, p - 1) \\ + &= p^{\alpha} (|\mu|, p^{k-\alpha-1}) (\mu, p - 1) +\end{align*} +\PageSep{263}{247} +beziehungsweise: +\begin{align*} +\Tag{(15^{c})} +\psi(A, 2^{k}) + &= (2^{\alpha} |\mu|, 2^{k-2}) (\mu, 2) \\ + &= 2^{\alpha} (|\mu|, 2^{k-\alpha-2}) (\mu, 2) +\end{align*} +inkongruente Lösungen, je nachdem der Modul eine ungerade +Primzahlpotenz oder eine Potenz von $2$ ist. +\end{Theorem} + +Aus diesen speziellen Resultaten folgt jetzt auch unmittelbar eine +andere einfache Lösung der allgemeinen Kongruenz, und zwar ohne jede +beschränkende Voraussetzung. Aus dem allgemeinen Theorem auf +\Seite{236} unten erhält man nämlich offenbar den Satz: +\begin{Theorem} +Die Kongruenz +\[ +x^{\mu} \equiv A\ (\mod.~g) +\] +für einen beliebigen zusammengesetzten Modul $g = p^{k} q^{l} \dots r^{m}$ +besitzt stets und nur dann überhaupt eine Lösung, wenn das Gleiche +für jede der Kongruenzen: +\[ +x^{\mu} \equiv A\ (\mod.~p^{k}),\ \dots\quad +x^{\mu} \equiv A\ (\mod.~r^{m}) +\] +gilt, und für die Anzahl $\psi(A, g)$ ihrer inkongruenten Lösungen +besteht die Gleichung: +\[ +\psi(A, g) = \psi(A, p^{k}) \dots \psi(A, r^{m}). +\] +\end{Theorem} + + +\Section{§ 4.}{Die Auflösung der reinen quadratischen Gleichungen.} + +Ich wende die in diesem Kapitel durchgeführten allgemeinen Untersuchungen +an auf die Auflösung der reinen quadratischen Gleichung: +\[ +\Tag{(1)} +x^{2} = A\ (g), +\] +eine Gleichung, auf die sich, wie am Schluß dieses Paragraphen +gezeigt werden wird, die Auflösung jeder beliebigen quadratischen +Gleichung vollständig reduzieren läßt. Zur Behandlung unserer +Gleichung brauchen wir nur in dem allgemeinen auf \Seite{233} ausgesprochenen +Satze $\mu = 2$ zu setzen. Zunächst nehme ich an, daß $A$ +keinen Teiler der Null enthält. Dann ergibt sich aus jenem Satze, daß +die obige Gleichung nur dann eine Wurzel im Ringe~$R(g)$ besitzt, wenn +ihre Ordnungszahl $(\alpha) = (\alpha_{p}, \alpha_{q}, \dots \alpha_{r})$ durch $2$ teilbar ist. Wir +\PageSep{264}{248} +wollen in der Folge ein ganzzahliges System \so{gerade} nennen, wenn alle +seine Elemente gerade Zahlen sind. Dann läßt sich unsere erste Bedingung +dahin formulieren, daß die Ordnungszahl $(\alpha) = (2\alpha^{(0)})$ von +$A$ ein gerades System sein muß. + +Zweitens wird im Falle $\mu = 2$ der Indexteiler~$(\delta)$ des zugehörigen +Systemes $(\mu) = (2)$ +\[ +(\delta) = ((2), (P)) = ((2, 2), (2, q - 1), \dots (2, r - 1)) = (2), +\] +weil jedes System $(P) = (p - 1, \dots r - 1)$ bezw.\ $(2, q - 1, \dots r - 1)$ +offenbar gerade, also durch das System~$(2)$ teilbar ist. Also ist die zweite +Bedingung, daß der Index~$(\beta)$ von $A$ durch den Indexteiler~$(\delta)$ des +Systems~$(2)$ teilbar ist, dann und nur dann erfüllt, wenn auch dieser +Index $(\beta) = (2\beta^{(0)})$ ein gerades System ist. + +Endlich ist der absolute Betrag~$|\mu|$ für den Bereich von $g$ im +Falle $\mu = 2$ offenbar gleich~$1$, wenn $g$ ungerade, aber gleich~$2$, sobald +$g$ eine gerade Zahl ist. Also besagt die dritte Bedingung in unserem +Falle, daß der Hauptlogarithmus~$\gamma$ von $A$ durch $g_{0}$ oder durch $2g_{0}$ +teilbar sein muß, je nachdem $g$ ungerade oder gerade ist. Für ein ungerades +$g$ ist also diese Bedingung von selbst erfüllt, für ein gerades $g$ dann +und nur dann, wenn der Hauptlogarithmus nicht bloß durch~$4$, sondern +mindestens durch $8$ teilbar, oder, was dasselbe ist, wenn die zu $A$ gehörige +Haupteinheit von der Form $8n + 1$ ist. + +Sind diese Bedingungen erfüllt, so besitzt die Gleichung~\Eq{(1)} eine +Lösung, die $g$-adische Zahl~$A$ ist also eine $g$-adische Quadratzahl. +Eine dieser Lösungen ist dann offenbar die folgende eindeutig bestimmte +$g$-adische Zahl: +\[ +x_{0} = \sqrt{A} + = \bar{p}^{\efrac{\alpha_{p}}{2}} · + \bar{q}^{\efrac{\alpha_{q}}{2}} \dots + \bar{r}^{\efrac{\alpha_{r}}{2}} · + \bar{w}_{p}^{\efrac{\beta_{p}}{2}} · + \bar{w}_{q}^{\efrac{\beta_{q}}{2}} \dots + \bar{w}_{r}^{\efrac{\beta_{r}}{2}} · e_{\vphantom{r}}^{\efrac{\gamma}{2}}, +\] +deren Exponenten $\dfrac{\alpha_{p}}{2}$~\dots\ $\dfrac{\beta_{p}}{2}$,~\dots\ absolut ganz sind, während $\dfrac{\gamma}{2}$ wieder +durch $g_{0}$ teilbar, also ein Hauptlogarithmus ist. Nach dem Satze +\aSeite{233} unten ist dann die Anzahl aller verschiedenen Wurzeln dieser +Gleichung gleich +\[ +n((\delta)) = n(2, 2, \dots 2) = 2^{\rho}, +\] +wenn $\rho$ die Anzahl aller verschiedenen Primfaktoren $(p, q \dots r)$ bzw.\ +$(2, q, \dots r)$ von $g$ bedeutet, und sie unterscheiden sich von $x_{0}$ um je +\PageSep{265}{249} +eine der $2^{\rho}$ zweiten Einheitswurzeln, \dh\ um je eine Wurzel~$\epsilon$ der +reinen Gleichung +\[ +\Tag{(2)} +\epsilon^{2} = 1\ (g). +\] +Alle und nur diese $2^{\rho}$ zweiten Einheitswurzeln sind in der Formel: +\[ +\Tag{(2^{a})} +\epsilon = (-1)_{p}^{\epsilon_{p}} + (-1)_{q}^{\epsilon_{q}} \dots + (-1)_{r}^{\epsilon_{r}} +\] +enthalten, wo \zB\ $(-1)_{p}$ für den Bereich von $p$ gleich~$-1$, für diejenigen +von $q$,~\dots~$r$ gleich~$+1$ ist, usw., und wo jeder der $\rho$~Exponenten +$\epsilon_{p}$,~\dots\ gleich Null oder Eins sein kann. Wir erhalten also +das folgende allgemeine Resultat: +\begin{Theorem} +Die Gleichung +\[ +x^{2} = A\ (g) +\] +besitzt im Ringe der $g$-adischen Zahlen stets und nur dann Wurzeln, +wenn die Ordnungszahl~$(\alpha)$ und der Index~$(\beta)$ von $A$ gerade +Systeme sind und wenn, falls $g$ gerade ist, der Hauptlogarithmus~$\gamma$ +von $A$ durch $8$ teilbar ist. Sind diese Bedingungen erfüllt, so +besitzt diese Gleichung~$2^{\rho}$ verschiedene Wurzeln, wenn $g$\; $\rho$ verschiedene +Primfaktoren hat, und diese unterscheiden sich nur um +je eine der $2^{\rho}$ zweiten Einheitswurzeln. +\end{Theorem} + +Ich spezialisiere dieses Resultat jetzt für den Fall, daß der Bereich +$R(g)$ ein $p$-adischer Zahlkörper ist, dessen Grundzahl eine beliebige +ungerade Primzahl oder $2$ sein kann, schließe jetzt aber den Fall nicht +aus, daß die zu untersuchende Zahl~$A$ gleich Null ist. Dann ergibt sich +der Satz: +\begin{Theorem} +Die Gleichung +\[ +\Tag{(3)} +x^{2} = A = p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma}\ (p) +\] +besitzt, falls $A \neq 0$ ist, stets und nur dann eine Lösung, \dh\ $A$ +ist stets und nur dann eine $p$-adische Quadratzahl, wenn $\alpha$ und +$\beta$ gerade Zahlen sind, und wenn außerdem, falls $p = 2$ ist, $\gamma$~durch +$8$ teilbar ist. Sind diese Bedingungen erfüllt, so hat diese +Gleichung die beiden verschiedenen Werte +\[ +±\sqrt{A}, \quad\text{wo}\quad +\sqrt{A} = p^{\efrac{\alpha}{2}} w^{\efrac{\beta}{2}} e^{\efrac{\gamma}{2}} +\] +\PageSep{266}{250} +ist. Ist $A = 0$, so hat die obige Gleichung nur die eine, allerdings +doppelt zu zählende Wurzel $x = 0$. +\end{Theorem} + +Wir wollen in wesentlicher Verallgemeinerung einer von \Name{Legendre} +\index{Legendresches Zeichen~$\left(\dfrac{p}{q}\right)$}% +gegebenen Bezeichnung unter dem Symbole $\left(\dfrac{A}{p}\right)$ die Zahlen $+1$,~$-1$ +oder~$0$ verstehen, je nachdem $A$ entweder eine von Null verschiedene +$p$-adische Quadratzahl oder keine Quadratzahl oder endlich $A = 0$ ist. +Dann ist also +\[ +\Tag{(4)} +\setlength{\TmpLen}{0.6\textwidth}% +\begin{alignedat}{2} +\left(\frac{A}{p}\right) &= +1,\quad +&&\parbox[t]{\TmpLen}{wenn $A \neq 0$, wenn $\alpha$ und $\beta$ gerade und wenn (für $p = 2$) $\gamma$~durch~$8$ teilbar ist,} \\ +\left(\frac{A}{p}\right) &= -1, +&&\parbox[t]{\TmpLen}{wenn $A \neq 0$ und mindestens eine der vorigen Bedingungen nicht erfüllt ist,}\\ +\left(\frac{A}{p}\right) &= 0 +&&\text{wenn $A = 0$ ist,} +\end{alignedat} +\] +und der obige Satz kann dann kürzer folgendermaßen ausgesprochen +werden: +\begin{Theorem} +Die Anzahl der $p$-adischen Wurzeln der quadratischen Gleichung +\[ +x^{2} = A\ (p) +\] +ist stets gleich +\[ +1 + \left(\frac{A}{p}\right); +\] +\end{Theorem} +denn sie ist in den drei unterschiedenen Fällen gleich $2$,~$0$ oder~$1$. + +Wendet man dieses Resultat an auf die Lösung der allgemeinen +Gleichung~\Eq{(1)} in einem beliebigen Zahlenringe~$R(g)$, so ergibt der Satz +\aSeite{209} in diesem Falle das folgende einfache Resultat: +\begin{Theorem} +Die Anzahl der verschiedenen $g$-adischen Wurzeln, welche die +Gleichung +\[ +\Tag{(5)} +x^{2} = A\ (g) +\] +besitzt, ist stets gleich +\[ +\Tag{(5^{a})} +\prod_{p/g} \left(1 + \left(\frac{A}{p}\right)\!\right) %[** Small inner () in original] +\] +wo die Multiplikation auf alle verschiedenen Primteiler von $g$ zu +erstrecken ist. +\end{Theorem} +\PageSep{267}{251} +Hieraus ergibt sich endlich noch der Satz: +\begin{Theorem} +Besitzt die obige Gleichung überhaupt eine Lösung, so hat sie +genau $2^{\rho-\sigma}$ verschiedene Wurzeln, wenn $\rho$ die Anzahl der verschiedenen +Primfaktoren von~$g$, $\sigma$~die Anzahl der Nullteiler von +$A$ bedeutet. +\end{Theorem} +In der Tat sind ja unter dieser Voraussetzung von den $\rho$ Faktoren +in dem Produkte~\Eq{(5^{a})} genau $\sigma$ gleich~$1$, die übrigen $\rho - \sigma$ gleich~$2$. + +Zieht man in der Gleichung~\Eq{(5)} aus der Zahl~$A$ die größte in ihr enthaltene +Quadratzahl heraus, so läßt sie sich stets eindeutig in der Form +schreiben: +\[ +A = A_{0} A_{1}^{2}\ (g) +\] +wo $A_{0}$, der sog.\ \so{reduzierte Bestandteil von~$A$}, die folgende +\index{Reduzierter Bestandteil e.\ $g$-adischen Zahl}% +Form hat: +\[ +A_{0} = \bar{p}^{\alpha_{p}^{(0)}} \dots \bar{r}^{\alpha_{r}^{(0)}} + · w_{p}^{\beta_{p}^{(0)}} \dots w_{r}^{\beta_{r}^{(0)}} + \DPtypo{}{·} e^{4\gamma_{\vphantom{r}}^{(0)}}\DPtypo{}{.} +\] + +Hier sind die Systeme $(\alpha^{(0)})$~und~$(\beta^{(0)})$ offenbar die kleinsten nicht +negativen Reste, welche die Ordnungszahl~$(\alpha)$ und der Index~$(\beta)$ von $A$ +modulo~$(2)$ besitzen, ihre Bestandteile $(\alpha_{p}^{(0)}, \dots) (\beta_{p}^{(0)} \dots)$ sind also +alle gleich $0$~oder~$1$; der Hauptlogarithmus~$4\gamma^{(0)}$ dagegen ist stets gleich +Null, wenn $g$ ungerade ist, und gleich $0$~oder~$4$, wenn $g$ gerade ist, es ist +nämlich $4\gamma^{(0)}$ der kleinste nicht negative Rest des Hauptlogarithmus~$4\gamma$ +von $A$ modulo~$8$; $\gamma^{(0)}$~selbst ist also ebenfalls gleich Null oder~$1$. +Enthält $A$ einen Teiler des Null, ist also etwa $\alpha_{p} = +\infty$, so muß dieser +mit $A_{1}$ verbunden werden; alsdann sind also $\alpha_{p}^{(0)}$,~$\beta_{p}^{(0)}$ und, falls +$p = 2$ ist, auch $\gamma^{(0)}$ gleich Null. + +Die Gleichung +\[ +x^{2} = A = A_{0} A_{1}^{2}\ (g) +\] +besitzt nach dem soeben bewiesenen Satze stets und nur dann eine Lösung, +\dh\ $A$ ist allein dann eine $g$-adische Quadratzahl, wenn ihr reduzierter +Bestandteil $A_{0} = 1$, wenn also: +\[ +\lg A_{0} = ((\alpha^{(0)}), (\beta^{(0)}), 4\gamma^{(0)}) = 0 +\] +ist. + +Rechnen wir alle $g$-adischen Zahlen~$A$ in eine und dieselbe Klasse, +\PageSep{268}{252} +welche sich nur um eine Quadratzahl unterscheiden, so gehören zwei +solche Zahlen $A$~und~$A'$ stets und nur dann in dieselbe Klasse, wenn ihre +reduzierten Zahlen $A_{0}$~und~$A_{0}'$ gleich sind. Die Anzahl dieser Klassen +ist daher gleich der Anzahl aller verschiedenen reduzierten Zahlen. Ist +%[** TN: "\rho" character printed upside-down in the original] +$\rho$ wieder die Anzahl der verschiedenen Primfaktoren von~$g$, so gibt es +genau $2^{2\rho}$ oder $2^{2\rho+1}$ verschiedene Indexsysteme $((\alpha^{(0)}), (\beta^{(0)}), 4\gamma^{(0)})$, \DPchg{jenachdem}{je nachdem} +$g$ ungerade oder gerade ist, weil jeder der $2\rho$~Indizes $\alpha_{p}^{(0)}$,~\dots\ +$\beta_{p}^{(0)}$,~\dots\ und für ein gerades $g$ auch $\gamma^{(0)}$ gleich Null oder Eins sein kann. + +Auf die jetzt vollständig durchgeführte Auflösung der reinen Gleichung~\Eq{(1)} +läßt sich, wie bereits oben erwähnt wurde, die Lösung der +allgemeinen quadratischen Gleichung +\[ +\Tag{(6)} +ax^{2} + bx + c = 0\ (g) +\] +reduzieren. Dabei können und wollen wir voraussetzen, daß der Koeffizient~$a$ +der höchsten Potenz von $x$ keinen Nullteiler enthält. Besäße +nämlich $a$ etwa den Nullteiler~$O_{p}$, so würde sich ja \Eq{(6)} für den Bereich +von $p$ auf die lineare Gleichung: +\[ +bx + c = 0\ (p) +\] +reduzieren, \dh\ es würde $x = -\dfrac{c}{b}\ (p)$ sein, und die quadratische Gleichung +wäre nur noch für den Bereich der übrigen Primfaktoren von $g$ +aufzulösen. Hat aber $a$ keinen Nullteiler, so ergibt die Auflösung von +\Eq{(6)} in der gewöhnlichen Weise für $x$ die Gleichung: +\[ +\Tag{(6^{a})} +x = \frac{-b + \sqrt{A}}{2a}, +\] +wo $A = b^{2} - 4ac$ die Diskriminante unserer Gleichung ist, und jedem +der verschiedenen Werte von $\sqrt{A}$ entspricht eine Wurzel unserer +Gleichung. + +\begin{Theorem} +Die Anzahl aller verschiedenen $g$-adischen Wurzeln der +Gleichung~\Eq{(6)} ist also stets gleich +\[ +\prod_{p/g} \left(1 + \left(\frac{A}{p}\right)\!\right), +\] +wenn $A = b^{2} - 4ac$ die Gleichungsdiskriminante bedeutet. +\end{Theorem} +\PageSep{269}{253} + +Genau ebenso läßt sich die vollständige Auflösung der allgemeinen +kubischen und biquadratischen Gleichung in einem beliebigen Zahlenringe~$R(g)$ +durchführen. + + +\Section{§ 5.}{Die Auflösung der reinen quadratischen Kongruenzen.} + +Ich wende jetzt die Ergebnisse des §~3 an, um die allgemeine reine +quadratische Kongruenz: +\[ +\Tag{(1)} +x^{2} \equiv A\ (\mod.~g) +\] +für einen beliebigen Modul und ein beliebiges ganzzahliges $A$ vollständig +aufzulösen. + +Setzen wir in dem ersten der beiden \aSeite{238} unterschiedenen Fälle +$(A \equiv 0\ (\mod.~g))$\; $\mu = 2$, so ergibt sich für die Anzahl $\psi(0, g)$ der +modulo~$g$ inkongruenten Wurzeln die Gleichung: +\[ +\psi(0, g) + = \frac{g}{\bigl\{g^{\efrac{1}{2}}\bigr\}} + = \prod p^{k-\left\{\efrac{k}{2}\right\}} + = \prod p^{\left[\efrac{k}{2}\right]} + = [\sqrt{g}], +\] +wo $\left[\dfrac{k}{2}\right]$ wieder die größte in dem Bruche $\dfrac{k}{2}$ enthaltene und entsprechend +$[\sqrt{g}]$ die größte in $\sqrt{g}$ enthaltene ganze Zahl bedeutet. + +\begin{Theorem} +Die Anzahl aller modulo~$g$ inkongruenten Wurzeln der Kongruenz: +\[ +\Tag{(2)} +x^{2} \equiv 0\ (\mod.~g) +\] +ist also stets gleich: +\[ +\Tag{(2^{a})} +\psi(0, g) = [\sqrt{g}] +\] +\end{Theorem} + +So hat \zB\ die Kongruenz +\[ +x^{2} \equiv 0\ (\mod.~360) +\] +genau $[\sqrt{360}] = [2^{\efrac{3}{2}}·3·5^{\efrac{1}{2}}] = 6$ Wurzeln, nämlich die sechs modulo~$360$ +inkongruenten Multipla von +\[ +2^{\bigl\{\efrac{3}{2}\bigr\}} + · 3^{\bigl\{1\bigr\}} + · 5^{\bigl\{\efrac{1}{2}\bigr\}} = 60\DPtypo{}{.} +\] +\PageSep{270}{254} + +Der zweite der \aaO\ unterschiedenen Fälle wird nun im wesentlichen +durch den Satz vollständig erledigt, welcher aus dem \Seite{243} bewiesenen +Theorem für $\mu = 2$ hervorgeht: +\begin{Theorem} +Die Kongruenz +\[ +x^{2} \equiv A\ (\mod.~g), +\] +in welcher $\dfrac{g}{g_{0}}$ durch $|A|$ teilbar ist, besitzt, falls $\dfrac{g}{g_{0}}$ auch durch +$|2A|$ teilbar ist, stets und nur dann eine Lösung, wenn die entsprechende +Gleichung eine solche hat, und zwar ist die Anzahl der +inkongruenten Lösungen derselben das $|2A|$-fache der \aSeite{249} +bestimmten Anzahl der Gleichungswurzeln. +\end{Theorem} + +Hierdurch wird die Frage der Auflösbarkeit der reinen quadratischen +Kongruenz für einen ungeraden Modul~$g_{u}$ vollkommen und für +einen geraden Modul $g = 2^{k} g_{u}$ in allen Fällen außer den beiden entschieden, +wo $A$ durch $2^{k-2}$ und $2^{k-1}$ genau teilbar ist, wo also +$\left|\dfrac{g}{A}\right|_{2}$ gleich $2$ oder $2^{2}$ ist; denn für einen ungeraden Modul ist ja +$|2A| = |A|$, für einen geraden $|2A| = 2|A|$, und abgesehen von +jenen beiden Fällen ist $\dfrac{g}{g_{0}}$ durch $|2A|$ teilbar, wenn diese Zahl +durch $|A|$ teilbar ist. So ergibt sich der folgende allgemeine Satz: +\begin{Theorem} +Die Kongruenz +\[ +x^{2} \equiv A\ (\mod.~g), +\] +in welcher $g$ durch $|A|$ teilbar ist, besitzt stets genau +\[ +\Tag{(3)} +%[** TN: Small inner () in five subsequent equations] +\psi(A, g) = |2A|·\prod_{p/g} \left(1 + \left(\frac{A}{p}\right)\!\right) +\] +modulo~$g$ inkongruente Wurzeln. Eine Ausnahme bilden nur die +beiden Fälle, wo $\left|\dfrac{g}{A}\right|_{2}$ gleich $2$ oder $4$ ist. +\end{Theorem} + +Jene Anzahl ist also $|2A|·2^{\rho}$ oder~$0$, je nachdem alle $\rho$ +Symbole $\left(\dfrac{A}{p}\right) = 1$ oder auch nur eines gleich~$-1$ ist. Die hier ausgeschlossenen +Fälle endlich ergeben sich höchst einfach aus dem +\aSeite{238} oben bewiesenen Satze, daß für $g = 2^{k} g_{u}$ +\PageSep{271}{255} +\[ +\Tag{(4)} +\begin{aligned} +\psi(A, g) + &= \psi(A, 2^{k}) \psi(A, g_{u}) \\ + &= \psi(A, 2^{k}) |2A|_{g_{u}} \prod_{p/g_{u}} \left(1 + \left(\frac{A}{p}\right)\!\right) +\end{aligned} +\] +ist. Es ist also für jene beiden Fälle nur noch $\psi(A, 2^{k})$ zu berechnen. + +Ist nun $A = 2^{\alpha} (-1)^{\beta} e^{4\gamma_{0}}$ und zuerst $\alpha = k - 2$, so muß nach +\Seite{246} $\alpha$~und~$\beta$ gerade sein, während der Hauptlogarithmus~$4\gamma_{0}$ durch +$(4|2|, 2^{2}) = 2^{2}$ teilbar sein muß, was also hier keine neue Bedingung +ergibt. Alsdann erhalten wir nach \Eq{\DPtypo{(15c)}{(15^{c})}}~\aSeite{247} +\[ +\psi(A, 2^{k}) = 2^{k-2} (2, 1) (2, 2) = 2^{k-1} = 2·2^{\alpha}, +\] +und aus~\Eq{(4)} folgt endlich: +\[ +\Tag{(5)} +\psi(A, g) = |2A| \prod_{p/g_{u}} \left(1 + \left(\frac{A}{p}\right)\!\right), +\] +wo aber hier das Produkt nur über die ungeraden Primfaktoren von +$g$ zu erstrecken ist. + +Ist endlich $\alpha = k - 1$, so folgt aus \Seite{246} oben, daß hier nur die Ordnungszahl~$a$ +gerade zu sein braucht, während Index und Hauptlogarithmus +beliebig sein können; alsdann ist $\psi(A, 2^{k}) = 2^{\efrac{k-1}{2}} = 2^{\efrac{\alpha}{2}}$, also +\[ +\Tag{(5^{a})} +\psi(A, g) = 2^{\efrac{\alpha}{2}}·|2A|_{g_{u}} + \prod_{p/g_{u}} \left(1 + \left(\frac{A}{p}\right)\!\right). +\] +So erhalten wir das folgende höchst einfache Resultat: +\begin{Theorem} +Die Kongruenz +\[ +x^{2} \equiv A\ (\mod.~g) +\] +besitzt, falls $|A|$ durch $g$ teilbar ist, genau~$[\sqrt{g}]$, falls $\dfrac{g}{g_{0}}$ durch +$|2A|$ teilbar ist, genau: +\[ +\Tag{(6)} +|2A|·\prod_{p/g} \left(\DPtypo{(}{}1 + \left(\frac{A}{p}\right)\!\right) +\] +modulo~$g$ inkongruente Lösungen. In den beiden allein ausgeschlossenen +Fällen $A = 2^{k-2} A_{u}$ bzw.\ $A = 2^{k-1} A_{u}$ gelten die Gleichungen +\Eq{(5)}~und~\Eq{(5^{a})}. +\end{Theorem} +\PageSep{272}{256} + +Der für die Anwendungen wichtigste Fall ist der, daß +\[ +A = E = we^{\gamma}\ (g) +\] +eine Einheit für den Bereich von $g$ ist; dann ergibt sich aus dem letzten +Satze jetzt das folgende Theorem: +\begin{Theorem} +Die Kongruenz +\[ +\Tag{(7)} +x^{2} \equiv E\ (\mod.~g) +\] +besitzt, falls $\dfrac{g}{g_{0}}$ durch $|2|$ teilbar ist, genau: +\[ +\Tag{(7^{a})} +|2|·\prod_{p/g} \left(1 + \left(\frac{E}{p}\right)\!\right) +\] +modulo~$g$ inkongruente Lösungen. +\end{Theorem} +Nur dann ist $\dfrac{g}{g_{0}}$ nicht durch $|2|$ teilbar, wenn $g$ gerade und die in +$g$ enthaltene Potenz von~$2$ gleich $2^{1}$~oder~$2^{2}$, wenn also $g = 2g_{u}$ +bzw.\ $g = 4g_{u}$ ist. In diesen beiden Fällen folgt aus \Eq{(5)}~und~\Eq{(5^{a})} +\[ +\Tag{(7^{b})} +\begin{aligned} +\psi(E, 4g_{u}) &= 2\prod_{p/g_{u}} \left(1 + \left(\frac{E}{p}\right)\!\right) \\ +\psi(E, 2g_{u}) &= \Z\prod_{p/g_{u}} \left(1 + \left(\frac{E}{p}\right)\!\right). +\end{aligned} +\] + +Fassen wir diese Ergebnisse übersichtlich zusammen, so ergibt sich +der folgende Satz: +\begin{Theorem} +Eine Kongruenz +\[ +x^{2} \equiv E\ (\mod.~g_{u}) +\] +besitzt stets und nur dann eine Wurzel, wenn für jede der $\rho$ in dem +ungeraden Modul enthaltenen Primzahlen~$p$ +\[ +\left(\frac{E}{p}\right) = +1 +\] +ist, und dann ist die Anzahl ihrer inkongruenten Wurzeln gleich~$2^{\rho}$. + +Dasselbe ist der Fall, wenn der Modul $g = 2g_{u}$ das Doppelte +einer ungeraden Zahl ist. Ist aber $g = 4g_{u}$ das Vierfache einer +ungeraden Zahl, so ist außer den vorigen $\rho$ Bedingungen noch +erforderlich, daß $E$ von der Form $4n + 1$ ist, und dann ist die Anzahl +\PageSep{273}{257} +der Wurzeln gleich $2^{\rho+1}$, wenn $\rho$ wie vorher die Anzahl der +verschiedenen \so{ungeraden} Primfaktoren von $q$ bedeutet. Ist +endlich $g$ durch $8$ teilbar, so muß $E$ außerdem von der Form +$8n + 1$ sein, und dann hat dieselbe Kongruenz genau $2^{\rho+2}$ +modulo~$g$ inkongruente Wurzeln. +\end{Theorem} + +Sind $x_{0}$ und $x$ zwei beliebige Lösungen der Kongruenz~\Eq{(7)}, so ist +$\dfrac{x}{x_{0}}= \epsilon$ eine Wurzel der Kongruenz +\[ +\Tag{(8)} +\epsilon^{2} \equiv 1\ (\mod.~g), +\] +also eine zweite Einheitswurzel modulo~$g$, und umgekehrt liefert jedes +Produkt $x = x_{0}\epsilon$ eine der Wurzeln von~\Eq{(7)}. Alle Wurzeln dieser Kongruenz +gehen also aus einer von ihnen durch Multiplikation mit je +einer zweiten Einheitswurzel modulo~$g$ hervor. Für einen beliebigen +Modul besitzt die Kongruenz~\Eq{(8)} stets Lösungen, \zB\ $\delta = +1$; nach +dem soeben bewiesenen Satze ist also die Anzahl $\psi(1, g)$ aller zweiten +Einheitswurzeln~$\epsilon$ modulo~$g$ in den vorher unterschiedenen Fällen +gleich $2^{\rho}$,~$2^{\rho}$, $2^{\rho+1}$,~$2^{\rho+2}$. Diese Anzahl ist stets ein Multiplum von~$4$, +außer in dem Falle, daß $g$~eine ungerade Primzahlpotenz oder das +Doppelte einer solchen oder gleich $4$ ist, denn allein dann ist $\psi(1, g) = 2^{\rho}$ +und $\rho = 1$, bzw.\ $\psi(1, 4) = 2$. + +Zu jeder dieser zweiten Einheitswurzeln~$\epsilon$ gehört eine andere~$-\epsilon$, +und ihr Produkt ist $-\epsilon^{2} = -1$. Hieraus ergibt sich sofort der Satz: +\begin{Theorem} +Das Produkt $\prod \epsilon$ aller zweiten Einheitswurzeln modulo~$g$ +ist für diesen Modul kongruent $(-1)^{\efrac{1}{2}\psi(1, g)}$; es ist also dann und +nur dann kongruent~$-1$, wenn $g$ gleich $4$ oder $p^{k}$ oder $2p^{k}$ ist, +in allen anderen Fällen aber kongruent~$+1$. +\end{Theorem} + +Aus diesem Theorem ergibt sich sofort ein neuer und sehr einfacher +Beweis des Wilsonschen Satzes. Betrachtet man nämlich alle $\phi(g)$ +modulo~$g$ inkongruenten Einheiten~$E$ und trennt die $\psi(1, g)$ unter +ihnen vorkommenden zweiten Einheitswurzeln~$\epsilon$ von den übrigen~$\bar{E}$, +so ist +\[ +\prod E = \prod \bar{E} \prod \epsilon + = (-1)^{\psi(1, g)} \prod \bar{E}\ (\mod.~g). +\] + +Das rechtsstehende Produkt $\prod \bar{E}$ aller inkongruenten Einheiten, +welche keine zweiten Einheitswurzeln sind, ist aber kongruent~$+1$, da +\PageSep{274}{258} +zu jedem solchen $\bar{E}$ eine \emph{andere} Einheit~$\bar{E}'$ gehört, für welche +$\bar{E} \bar{E}' \equiv 1\ (\mod.~g)$ ist. Wäre nämlich für eine solche Einheit +$\bar{E} = \bar{E}'$, so müßte ja $\bar{E}^{2} \equiv 1$, also $\bar{E}$~eine zweite Einheitswurzel sein. +Also ist in der Tat $\prod \bar{E} = \prod (\bar{E}\bar{E}') \equiv +1$, \dh\ es ist +\[ +\prod E \equiv (-1)^{\psi(1, g)}\ (\mod.~g) +\] +und damit ist der Wilsonsche Satz aufs neue bewiesen. +\PageSep{275}{259} + + +\Chapter{Elftes Kapitel.} +{Das Reziprozitätsgesetz für die +quadratischen Reste.} + +\Section{§ 1.}{Die quadratischen Reste für einen Primzahlmodul. Das +Eulersche Kriterium und das Gausssche Lemma.} + +Durch die Untersuchungen des zehnten Kapitels ist die Frage, +ob eine Zahl~$A$ eine $g$-adische Quadratzahl ist oder nicht, theoretisch +vollständig gelöst. Praktisch ist aber diese Lösung noch nicht recht +brauchbar, weil sie die Exponentialdarstellung von $A$ voraussetzt, +welche in jedem speziellen Falle nicht ohne einige Rechnung gegeben +werden kann. Allerdings kann ja die Frage, ob die Ordnungszahl +$(\alpha) = (\alpha_{p}, \dots \alpha_{r})$ von $A$ gerade ist oder nicht, stets unabhängig von +dieser Darstellung entschieden werden. Deshalb können und wollen +wir im folgenden $A$ stets als $g$-adische Einheit, also $(\alpha) = (0)$ voraussetzen. +Setzen wir nun in dem Theorem \aSeite{243} $A = E$, $\mu = 2$, also +$|g_{0} \mu A| = |2g_{0}|$, so erhalten wir den folgenden einfachen Satz: +\begin{Theorem} +Eine Einheit~$E$ ist stets und nur dann eine $g$-adische Quadratzahl, +wenn die zugehörige Kongruenz: +\[ +\Tag{(1)} +x^{2} \equiv E\ (\mod.~|2g_{0}|) +\] +eine Lösung besitzt. +\end{Theorem} + +Nehmen wir also der Allgemeinheit wegen +\[ +g = 2^{h} p^{k} \dots r^{l} +\] +gleich als gerade an, so ist die Zahl~$E$ dann und nur dann eine $g$-adische +Quadratzahl, wenn für sie die folgenden einfachen Kongruenzen: +\PageSep{276}{260} +\[ +\Tag{(1^{a})} +x^{2} \equiv E\ (\mod.~8),\quad +x^{2} \equiv E\ (\mod.~p),\ \dots\quad +x^{2} \equiv E\ (\mod.~r) +\] +sämtlich eine Lösung besitzen. Nur diese sind also im folgenden weiter +zu untersuchen. + +Die erste von diesen Kongruenzen ist nach \Seite{257} oben stets +und nur dann erfüllt, wenn $E$ von der Form $8n + 1$ ist. Ist ferner $p$ +eine beliebige ungerade Primzahl, und setzt man \aSeite{242} unten +$A = E$, $\mu = 2$, so erkennt man, daß die Kongruenz: +\[ +x^{2} \equiv E = w^{\beta} e^{\gamma} \equiv w^{\beta}\ (\mod.~p) +\] +stets und nur dann eine Wurzel hat, wenn $\beta = \Ind E$ gerade ist. Ist +\[ +w = g + g_{1}p + \dots\ (p) +\] +die $p$-adische Entwicklung der primitiven Einheitswurzel~$w$, so ist ihr +Anfangsglied $g$~eine primitive Kongruenzwurzel modulo~$p$ und es ist +stets: +\[ +E \equiv w^{\beta} \equiv g^{\beta}\ (\mod.~p). +\] +Man kann also das Ergebnis dieser Untersuchung in dem folgenden +Satze aussprechen: +\begin{Theorem} +Eine Einheit~$E$ ist für den Bereich von $2$ stets und nur dann +eine Quadratzahl, wenn sie von der Form $8n + 1$ ist; für den Bereich +einer ungeraden Primzahl~$p$ ist sie eine Quadratzahl, wenn +ihr Index \emph{für den Bereich von~$p$}, oder, was dasselbe ist, wenn +ihr Index \emph{modulo~$p$} gerade ist. +\end{Theorem} + +Besitzt die Kongruenz +\[ +x^{2} \equiv E\ (\mod.~8) \quad\text{bzw.}\quad +x^{2} \equiv E\ (\mod.~p) +\] +eine Wurzel, so wollen wir $E$ \so{einen quadratischen Rest +modulo~$2$} bzw.\ \so{modulo~$p$} nennen; dagegen soll $E$ \so{ein Nichtrest +für $2$ bzw}.\ $p$~heißen, wenn jene Kongruenzen keine Wurzel +haben. Hiernach ist $E$ ein quadratischer Rest oder Nichtrest, je +\index{Quadratische!Reste modulo~$p$}% +nachdem $\left(\dfrac{E}{2}\right)$ bzw.\ $\left(\dfrac{E}{p}\right)$ gleich $+1$~oder~$-1$, je nachdem also $E$ +für den Bereich von $2$ bzw.\ von $p$ eine Quadratzahl ist oder nicht. + +Im Falle $p = 2$ besitzt die Gleichung: +\PageSep{277}{261} +\[ +\Tag{(2)} +x^{2} = E = (-1)^{\beta} e^{4\gamma}\ (2) +\] +nach \Seite{249} unten stets und nur dann eine Lösung, wenn \emph{sowohl +$\beta$ als auch~$\gamma$} gerade sind, oder, was auf dasselbe herauskommt, +wenn $E$ von der Form $8n + 1$ ist. Da also hier sowohl der Index als auch +der Hauptlogarithmus von $E$ je eine Bedingung erfüllen müssen, so +wollen wir das Symbol $\left(\dfrac{E}{2}\right)$ gleich dem System: +\[ +\Tag{(3)} +\left(\frac{E}{2}\right) = ((-1)^{\beta}, (-1)^{\gamma}) +\] +setzen, welches die vier Werte $(+1, +1)$, $(-1, -1)$, $(+1, -1)$, +$(-1, +1)$ haben kann; dann ist $E$ stets und nur dann eine +Quadratzahl, also $\left(\dfrac{E}{2}\right) = +1$, wenn das ihm gleiche System auf +der rechten Seite gleich $(+1, +1)$ ist. + +Betrachtet man die Gleichung $E = (-1)^{\beta}·e^{4\gamma}$ zuerst modulo~$4$, +und hierauf die aus ihr folgende $E^{2} = e^{8\gamma}$ für den Modul~$16$, so +ergeben sich, da $e^{4\gamma} \equiv 1\ (\mod.~4)$, $e^{8\gamma} \equiv 1 + 8\gamma\ (\mod.~16)$ ist, die +Kongruenzen: +\begin{gather*} +E \equiv (-1)^{\beta} \equiv (1 - 2)^{\beta} \equiv 1 - 2\beta\ (\mod.~4) \\ +\Tag{(4)} +\frac{E - 1}{2} \equiv \beta,\quad +\frac{E^{2} - 1}{8} \equiv \gamma\ (\mod.~2). +\end{gather*} +Dadurch erhält man also aus~\Eq{(3)} auch die folgende Darstellung des +Legendreschen Zeichens in diesem Falle: +\[ +\Tag{(5)} +\left(\frac{E}{2}\right) = \left((-1)^{\efrac{E-1}{2}}, (-1)^{\efrac{E^{2}-1}{8}}\right). +\] + +Zwei Einheiten +\[ +\Tag{(6)} +E = (-1)^{\beta} e^{4\gamma} \quad\text{und}\quad +E'= (-1)^{\beta'} e^{4\gamma'} +\] +sind stets und nur dann modulo~$8$ kongruent, wenn $\beta \equiv \beta'$ und $\gamma \equiv \gamma'\ +(\mod.~2)$ sind. Sind also $E$~und~$E'$ modulo~$8$ kongruent, so ist +\[ +\Tag{(6^{a})} +\left(\frac{E}{2}\right) = \left(\frac{E'}{2}\right). +\] +\PageSep{278}{262} +ist also $E = 8n + \epsilon$, wo $\epsilon = 1$, $3$,~$5$,~$7$ sein kann, so ergibt sich: +\[ +\Tag{(7)} +\left(\frac{E}{2}\right) + = \left((-1)^{\efrac{\epsilon-1}{2}}, (-1)^{\efrac{\epsilon^{2}-1}{8}}\right), +\] +und da in den vier unterschiedenen Fällen das rechts stehende Symbol +bzw.\ gleich $(++)$, $(--)$, $(+-)$, $(-+)$ ist, so ergibt sich der Satz: +\begin{Theorem} +Das Symbol $\left(\dfrac{E}{2}\right)$ ist $(++)$, $(--)$, $(+-)$, $(-+)$, je +nachdem $E = 8n+ 1$, $3$,~$5$,~$7$ ist. +\end{Theorem} + +Da ferner für das Produkt der beiden Einheiten~\Eq{(6)} +\[ +EE' = (-1)^{\beta+\beta'} e^{4(\gamma+\gamma')} +\] +ist, so besteht die folgende allgemeine Gleichung: +\[ +\Tag{(8)} +\left(\frac{EE'}{2}\right) = \left(\frac{E}{2}\right) \left(\frac{E'}{2}\right); +\] +denn der gemeinsame Wert beider Seiten ist ja: $((-1)^{\beta+\beta'}, (-1)^{\gamma+\gamma'})$, +wenn das Produkt zweier Systeme wie \aSeite{201} oben definiert wird. + +Ist zweitens $p$ eine ungerade Primzahl und $E = w^{\beta} e^{\gamma}$ eine beliebige +Einheit modulo~$p$, so ist nach dem Satze \aSeite{260}: +\[ +\left(\frac{E}{p}\right) = (-1)^{\beta}, +\] +oder, da $-1 = w^{\efrac{p-1}{2}}$ und $E \equiv w^{\beta}\ (\mod.~p)$ ist, +\[ +\Tag{(9)} +\left(\frac{E}{p}\right) = w^{\beta·\efrac{p-1}{2}} \equiv E^{\efrac{p-1}{2}}\ (\mod.~p); +\] +es besteht also der folgende Satz, das sog.\ \so{Eulersche Kriterium:} +\begin{Theorem} +Eine Einheit~$E$ ist quadratischer Rest oder Nichtrest für eine +\index{Eulersches Kriterium}% +ungerade Primzahl~$p$, je nachdem $E^{\efrac{p-1}{2}}$ modulo~$p$ kongruent $+1$ +oder~$-1$ ist. Das Symbol $\left(\dfrac{E}{p}\right)$ ist also gleich dem absolut kleinsten +Reste von $E^{\efrac{p-1}{2}}$ modulo~$p$. +\end{Theorem} + +Hieraus ergeben sich sofort die beiden Folgerungen: +\PageSep{279}{263} +\begin{Theorem} +Sind $E$~und~$E'$ modulo~$p$ kongruent, so ist +\[ +\Tag{(10)} +\left(\frac{E}{p}\right) = \left(\frac{E'}{p}\right). +\] + +Sind $E$~und~$E'$ beliebige Einheiten, so ist stets +\[ +\Tag{(11)} +\left(\frac{EE'}{p}\right) = \left(\frac{E}{p}\right) \left(\frac{E'}{p}\right); +\] +\end{Theorem} +denn im ersten Falle ist ja $E^{\efrac{p-1}{2}} \equiv {E'}^{\efrac{p-1}{2}}\ (\mod.~p)$, im zweiten ist der +gemeinsame Wert beider Symbole kongruent~$(EE')^{\efrac{p-1}{2}}$. Speziell ergibt +sich für $E' = E$ die selbstverständliche Folgerung, daß für jede +Einheit~$E$ +\[ +\Tag{(11^{a})} +\left(\frac{E^{2}}{p}\right) = +1 +\] +ist. + +Es brauchen hiernach nur die modulo~$p$ inkongruenten Einheiten +$1$,~$2$,~\dots~$p - 1$ oder die ihnen modulo~$p$ abgesehen von der Reihenfolge +kongruenten $(p - 1)$-ten Einheitswurzeln +\[ +1,\ w,\ w^{2},\ \dots\ w^{p-2} +\] +auf ihren quadratischen Charakter untersucht zu werden. Unter den +letzteren sind nun offenbar genau die Hälfte, nämlich die geraden Potenzen +\[ +\Tag{(12)} +1,\ w^{2},\ w^{4},\ \dots\ w^{p-3} +\] +Reste, während die $\dfrac{p - 1}{2}$ ungeraden Potenzen +\[ +\Tag{(12^{a})} +w,\ w^{3},\ \dots\ w^{p-2} +\] +Nichtreste sind. Es ist leicht, die beiden Gleichungen des $\left(\dfrac{p - 1}{2}\right)$-ten +Grades aufzustellen, denen die Reste bzw.\ die Nichtreste genügen. Ist +nämlich +\[ +\bar{w} = w^{2\alpha+\epsilon}, +\] +wo $\epsilon = 0$ oder $1$ ist, je nachdem $\bar{w}$ ein Rest oder Nichtrest ist, so ist ja +\[ +\bar{w}^{\efrac{p-1}{2}} = (-1)^{\epsilon}, +\] +\PageSep{280}{264} +\dh\ gleich $+1$~oder~$-1$, je nachdem $\epsilon$ Null oder Eins ist. Setzen +wir also ein für alle Male +\[ +\pi = \frac{p - 1}{2} +\] +so ergibt sich der folgende einfache Satz: +\begin{Theorem} +Unter den $p - 1 = 2\pi$ verschiedenen Einheitswurzeln gibt +es genau $\pi$ quadratische Reste und ebensoviele Nichtreste, und +sie sind die sämtlichen Wurzeln der beiden Gleichungen \Ord{$\pi$}{-ten} +Grades: +\[ +\Tag{(13)} +x^{\pi} - 1 = 0 \quad\text{und}\quad +x^{\pi} + 1 = 0, +\] +deren linke Seiten die beiden Faktoren sind, in welche die Funktion +\[ +x^{p-1} - 1 = (x^{\pi} - 1) (x^{\pi} + 1) +\] +zerfällt. +\end{Theorem} + +Aus den beiden Zerlegungsgleichungen +\[ +\Tag{(13^{a})} +x^{\pi} - 1 = \prod (x - w^{2\alpha}),\quad +x^{\pi} + 1 = \prod (x - w^{2\alpha+1}) +\] +ergibt sich für $x = 0$: +\[ +\Tag{(14)} +\prod w^{2\alpha} = (-1)^{\pi-1},\quad +\prod w^{2\alpha+1} = (-1)^{\pi} , +\] +und für jedes $p > 3$ liefert die Vergleichung der Koeffizienten von~$x^{\pi-1}$ +in~\Eq{(13^{a})} die Gleichungen: +\[ +\Tag{(14^{a})} +\sum w^{2\alpha} = 0,\quad +\sum w^{2\alpha+1} = 0. +\] + +Es sei +\[ +\Tag{(15)} +w^{(1)^{2}},\ w^{(2)^{2}},\ \dots\ w^{(\pi)^{2}} +\] +das vollständige System aller $\pi$ verschiedenen quadratischen Reste +unter den $p - 1$ Einheitswurzeln; dann sind die $2\pi = p - 1$ +Einheitswurzeln +\[ +\Tag{(15^{a})} +±w^{(1)},\ ±w^{(2)},\ \dots\ ±w^{(\pi)} +\] +alle voneinander verschieden; denn nur dann könnte ja $±w^{(i)} = ±w^{(k)}$ +sein, wenn $w^{(i)^{2}} = w^{(k)^{2}}$, wenn also $k = i$ wäre, und die beiden Zahlen +$+w^{(i)}$~und~$-w^{(i)}$ sind ja stets voneinander verschieden. Also bilden die +\PageSep{281}{265} +$p - 1$ Zahlen~\Eq{(15^{a})} ein vollständiges System aller verschiedenen $(p - 1)$-ten +Einheitswurzeln. Da man jede der beiden Quadratwurzeln aus $w^{(i)^{2}}$ +durch $+w^{(i)}$ bezeichnen kann, so erhält man $2^{\pi}$ verschiedene solche +Systeme $(w^{(1)}, w^{(2)}, \dots w^{(\pi)})$, die ich \so{Halbsysteme} nennen will. +Jedes der $2^{\pi}$~Halbsysteme geht aus einem unter ihnen durch Veränderung +seiner Vorzeichen hervor. Speziell ist $(1, w, w^{2}, \dots w^{\pi-1})$ +ein solches Halbsystem, da ja die Quadrate $(1, w^{2}, w^{4}, \dots w^{p-3})$ alle +\index{Halbsystem}% +verschieden sind; aber auch die Einheitswurzeln $(w_{1}, w_{2}, \dots w_{\pi})$, +welche modulo~$p$ den $\dfrac{p - 1}{2}$ ersten Zahlen $(1, 2, \dots \pi)$ kongruent sind, +bilden ein Halbsystem, weil für zwei solche Einheitswurzeln niemals +$w_{i} = -w_{k}$ oder $w_{i} + w_{k} = 0$ sein kann, da ja sonst für ihre Anfangsglieder +$i + k$ durch $p$ teilbar sein müßte, während doch beide positiv +und kleiner als $\dfrac{p}{2}$ sind. + +Mit Hilfe dieser Halbsysteme kann man einen neuen Ausdruck +für den quadratischen Charakter~$\left(\dfrac{\bar{w}}{p}\right)$ einer beliebigen Einheitswurzel +herleiten, welcher für die weiteren Betrachtungen von fundamentaler +Bedeutung ist. Ist nämlich $(w^{(1)}, w^{(2)}, \dots w^{(\pi)})$ ein beliebiges Halbsystem +und $\bar{w}$ irgendeine Einheitswurzel, so ist auch $(\bar{w} w^{(1)}, \bar{w} w^{(2)}, \dots \bar{w} w^{(\pi)})$ +ein Halbsystem, da ja aus jeder Gleichung $\bar{w} w^{(i)} = ±\bar{w} w^{(k)}$ sich +$w^{(i)} = ±w^{(k)}$ ergeben würde; und da sich dieses Halbsystem von dem +vorigen nur durch die Vorzeichen und die Reihenfolge unterscheiden +kann, so bestehen die folgenden Gleichungen: +\[ +\Tag{(16)} +\begin{aligned} +\bar{w} w^{(1)} &= \epsilon_{1} w^{(1')} \\ +\bar{w} w^{(2)} &= \epsilon_{2} w^{(2')} \\ +\DotRow{2} \\ +\bar{w} w^{(\pi)} &= \epsilon_{\pi} w^{(\pi')}, +\end{aligned} +\] +wo die $\epsilon = ±1$ und die Indizes $(1', 2', \dots \pi')$ die Zahlen $(1, 2, \dots \pi)$ +in anderer Reihenfolge bedeuten. Multipliziert man diese Gleichungen +miteinander und hebt mit dem Faktor $(w^{(1)} \dots w^{(n)})$, so ergibt sich +die Gleichung: +\[ +\bar{w}^{\pi} + = \left(\frac{\bar{w}}{p}\right) + = \epsilon_{1} \epsilon_{2} \dots \epsilon_{\pi}. +\] +\PageSep{282}{266} + +Ist also $\mu$ die Anzahl der Vorzeichen~$-1$ auf der rechten Seite, +so folgt: +\[ +\left(\frac{\bar{w}}{p}\right) = (-1)^{\mu}. +\] +So ergibt sich der folgende Satz, welcher \so{das Gausssche +Lemma} genannt werden soll, weil dasselbe zuerst von Gauss in +\index{Gausssches Lemma}% +seinem wichtigsten Spezialfall bewiesen worden ist: +\begin{Theorem} +Ist $(w^{(i)})$ ein ganz beliebiges Halbsystem und $w$ irgendeine +Einheitswurzel, so ist stets +\[ +\Tag{(17)} +\left(\frac{\bar{w}}{p}\right) = (-1)^{\mu}, +\] +wenn $\mu$ die Anzahl der Zeichenwechsel ist, um welche sich das +Halbsystem~$(\bar{w} w^{(i)})$ von dem Halbsysteme~$(w^{(i)})$ unterscheidet. +\end{Theorem} + +Da jede durch $p$ nicht teilbare Zahl~$c$ ihrer Einheitswurzel~$w_{c}$ +modulo~$p$ kongruent ist, so gelten alle soeben für die Einheitswurzeln +bewiesenen Sätze auch für alle Einheiten modulo~$p$. Diese brauchen +daher hier nur ausgesprochen zu werden: +\begin{Theorem} +Eine Zahl $c \equiv g^{\beta}\ (\mod.~p)$ ist stets und nur dann quadratischer +Rest modulo~$p$, wenn ihr Index~$\beta$ modulo~$p$ gerade ist; daher ist +$c$ Rest oder Nichtrest, je nachdem +\[ +\Tag{(18)} +c^{\efrac{p-1}{2}} \equiv +1 \quad\text{oder}\quad -1\ (\mod.~p) +\] +ist. (Eulersches Kriterium.) Unter den modulo~$p$ inkongruenten +Zahlen $1$,~$2$,~\dots~$p - 1$ gibt es also stets gleich viele Reste und +Nichtreste, welche im folgenden immer durch: +\[ +a_{1},\ a_{2},\ \dots\ a_{\pi} \quad\text{bzw.}\quad +b_{1},\ b_{2},\ \dots\ b_{\pi} +\] +bezeichnet werden sollen. Dieselben sind die sämtlichen inkongruenten +Wurzeln, welche die Kongruenzen: +\[ +\Tag{(19)} +\begin{alignedat}{4} +x^{\pi} - 1 &\equiv (x - a_{1})&&(x - a_{2})&& \dots (x - a_{\pi}) &&\equiv 0 \\ +x^{\pi} + 1 &\equiv (x - b_{1})&&(x - b_{2})&& \dots (x - b_{\pi}) &&\equiv 0 +\end{alignedat} +\quad (\mod.~p) +\] +besitzen. +\PageSep{283}{267} + +Sowohl die Summe aller Reste als auch die Summe aller +Nichtreste ist durch $p$ teilbar, sobald $p > 3$ ist, für ihre Produkte +bestehen die Kongruenzen: +\[ +a_{1} a_{2} \dots a_{\pi} \equiv (-1)^{\efrac{p+1}{2}},\quad +b_{1} b_{2} \dots b_{\pi} \equiv (-1)^{\efrac{p-1}{2}} \ (\mod.~p). +\] +\end{Theorem} + +So sind \zB\ für den Modul $p = 7$, wie eine leichte Rechnung zeigt, +\[ +(1, 2, 4) \quad\text{alle Reste,} \qquad +(3, 5, 6) \quad\text{alle Nichtreste.} +\] +Ebenso sind modulo~$11$, +\[ +(1, 3, 4, 5, 9) \quad\text{die Reste,} \qquad +(2, 6, 7, 8, 10) \quad\text{die Nichtreste;} +\] +für den Modul~$13$ ergibt sich +\[ +(a_{i}) = (1, 3, 4, 9, 10, 12), \qquad +(b_{i}) = (2, 5, 6, 7, 8, 11), +\] +und für die Primzahl~$17$ +\[ +(a_{i}) = (1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16), \quad +(b_{i}) = (3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 14). +\] +Für den Modul~$11$ genügen \zB\ die Reste und die Nichtreste den beiden +Kongruenzen: +\[ +\begin{aligned} +x^{5} - 1 &\equiv (x-1)(x-3)(x-4)(x-5)(x-9) \\ +x^{5} + 1 &\equiv (x-2)(x-6)(x-7)(x-8)(x-10) +\end{aligned} +\quad (\mod.~11). +\] +In den angeführten Beispielen überzeugt man sich sofort, daß die +Summe der Reste bzw.\ der Nichtreste jedesmal durch die betreffende +Primzahl teilbar ist, und für die entsprechenden Produkte erhält man +\zB\ für die Moduln $7$,~$11$ und~$13$ die Kongruenzen: +{\small +\begin{alignat*}{3} +\prod a_{i} &= 1·2·4 \equiv +1 &\prod b_{i} &= 3·5·6 \equiv -1 &&(\mod.~7), \\ +\prod a_{i} &= 1·3·4·5·9 \equiv +1 &\prod b_{i} &= 2·6·7·8·10 \equiv -1 &&(\mod.~11), \\ +\prod a_{i} &= 1·3·4·9·10·12 \equiv -1\quad &\prod b_{i} &= 2·5·6·7·8·11 \equiv +1\ &&(\mod.~13). +\end{alignat*}} + +Man kann aus der Reihe $(1, 2, \dots p - 1)$ auf $2^{\pi}$ verschiedene +Arten ein Halbsystem $(c^{(1)}, c^{(2)}, \dots c^{(\pi)})$ so auswählen, daß die +$p - 1$ Zahlen $(±c^{(i)})$ ein vollständiges System inkongruenter Einheiten +bilden. So sind \zB\ die $\pi$ Zahlen $(1, g, g^{2}, \dots g^{\pi})$, aber +auch die $\pi$ ersten Zahlen $(1, 2, \dots \pi)$ ein solches Halbsystem, und +\PageSep{284}{268} +speziell für dieses letztere hat Gauss sein Lemma aufgestellt und +bewiesen. Ist nämlich $c$ irgendeine Einheit modulo~$p$, und reduziert +man die $\pi$ Produkte $(1·c, 2·c, \dots \pi·c)$ modulo~$p$ auf ihre absolut +kleinsten Reste $(\epsilon_{1}·1', \epsilon_{2}·2', \dots \epsilon_{\pi} \pi')$ modulo~$p$, so folgt aus dem +\aSeite{265} allgemein bewiesenen Gaussschen Lemma, daß: +\[ +\Tag{(20)} +\left(\frac{c}{p}\right) = \epsilon_{1} \epsilon_{2} \dots \epsilon_{\pi} = (-1)^{\mu} +\] +ist, wenn $\mu$ die Anzahl derjenigen Produkte~$ic$ angibt, deren absolut +kleinster Rest~$\epsilon_{i} i'$ negativ, für welche also $\epsilon_{i} = -1$ ist. + +Wählt man statt der \emph{absolut} kleinsten Reste der Produkte~$ic$ +jedesmal ihre kleinsten \emph{positiven} Reste, so entsprechen allen und nur +den Produkten, deren absolut kleinste Reste vorher negativ waren, +jetzt positive Reste, welche größer als~$\pi$, \dh\ größer als $\dfrac{p - 1}{2}$ sind. +Wir können also das Gausssche Lemma auch folgendermaßen aussprechen: +\begin{Theorem} +Reduziert man die $\pi$ Produkte $(c, 2c, \dots \pi c)$ auf ihre +kleinsten positiven Reste modulo~$p$, so ist $\left(\dfrac{c}{p}\right)$ gleich~$+1$ oder +gleich~$-1$, je nachdem die Anzahl der über $\dfrac{p - 1}{2}$ liegenden +Reste gerade oder ungerade ist. +\end{Theorem} + +Es sei \zB\ $p = 17$, also $\pi = 8$ und $c = 5$; bildet man dann +die kleinsten positiven Reste der acht ersten Multipla von~$5$, indem +man sukzessive $5$ addiert und nach Bedarf $17$ abzieht, so erhält +man die Reihe: +\[ +5,\ 10,\ 15,\ 3,\ 8,\ 13,\ 1,\ 6; +\] +und da in ihr drei Zahlen größer als $8$ sind, so ergibt sich $\left(\dfrac{5}{17}\right) = -1$. + +Ist $p = 13$, $\pi = 6$, $c = 10$, so folgt aus der entsprechend gebildeten +Reihe: +\[ +10,\ 7,\ 4,\ 1,\ 11,\ 8, +\] +da sie vier oberhalb $6$ liegende Zahlen enthält, daß $\left(\dfrac{10}{13}\right) = +1$ ist, +und in der Tat ergibt sich sofort +\PageSep{285}{269} +\[ +6^{2} \equiv 10\ (\mod.~13). +\] + +Man erkennt so, wie einfach sich für ein nicht zu großes $p$ die +Bestimmung des quadratischen Charakters mittels des Gaussschen +Lemmas gestaltet. + + +\Section{§ 2.}{Die beiden Ergänzungssätze und das quadratische +Reziprozitätsgesetz.} + +Es sei jetzt $E$ eine beliebige absolut ganze rationale Zahl, welche +durch $p$ nicht teilbar ist. Dann reduziert sich die Bestimmung des +Legendreschen Symboles $\left(\dfrac{E}{p}\right)$ vollständig auf die drei speziellen +Fälle, daß $E = -1$,~$2$, oder~$q$ ist, wo $q$~irgendeine ungerade Primzahl +bedeutet, \dh\ auf die drei einfachsten Symbole: +\[ +\Tag{(1)} +\left(\frac{-1}{p}\right),\quad +\left(\frac{2}{p}\right),\quad +\left(\frac{q}{p}\right). +\] +Setzt man nämlich +\[ +E = PQ^{2}, +\] +wo $Q^{2}$ die größte in $E$ enthaltene rationale Quadratzahl ist, also +\[ +P = ±qr \dots s +\] +lauter einfache Primfaktoren enthält, unter denen auch $2$ vorkommen +kann, so besteht wegen \Eq{(11)}~und~\Eq{(11^{a})} \aSeite{263} die Gleichung: +\[ +\left(\frac{E}{p}\right) + = \left(\frac{P}{p}\right) + = \left(\frac{±1}{p}\right) \left(\frac{q}{p}\right) \dots \left(\frac{r}{p}\right), +\] +es sind also in der Tat nur jene drei einfachen Symbole~\Eq{(1)} genauer +zu untersuchen. + +Der Wert der beiden ersten Symbole $\left(\dfrac{-1}{p}\right)$ und $\left(\dfrac{2}{p}\right)$ kann für +eine beliebige Primzahl~$p$ leicht bestimmt werden: Da nämlich +zunächst +\[ +-1 = w^{\efrac{p-1}{2}} +\] +ist, also den Index~$\dfrac{p - 1}{2}$ hat, so ist $-1$ eine $p$-adische Quadratzahl +\PageSep{286}{270} +oder nicht, je nachdem $\dfrac{p - 1}{2}$ gerade oder ungerade, je nachdem also $p$ +von der Form $4n + 1$ oder $4n + 3$ ist. Es ergibt sich also der folgende +sog.\ \so{erste Ergänzungssatz}: +\begin{Theorem} +Die Zahl~$-1$ ist quadratischer Rest aller Primzahlen $5$,~$13$, +\index{Ergänzungssätze zum Reziprozitätsgesetz}% +$17$, $29$, $37$,~\dots\ von der Form $4n + 1$, quadratischer Nichtrest +aller Primzahlen $3$,~$7$, $11$, $19$, $23$,~\dots\ von der Form~$4n + 3$. +\end{Theorem} + +Auch aus dem Gaussschen Lemma folgt dieser Ergänzungssatz +unmittelbar: Ist nämlich $(w^{(1)}, w^{(2)}, \dots w^{(n)})$ ein beliebiges Halbsystem, +und $\bar{w} = -1$, so enthält das Halbsystem +\[ +(\bar{w} w^{(i)}) = (-w^{(1)}, -w^{(2)}, \dots -w^{(\pi)}) +\] +gegen das vorige genau $\pi$ Zeichenwechsel, \dh\ es ist +\[ +\Tag{(2)} +\left(\frac{-1}{p}\right) = (-1)^{\pi} = (-1)^{\efrac{p-1}{2}}. +\] + +Auch den zweiten Ergänzungssatz, \dh\ den Wert des Symboles +$\left(\dfrac{2}{p}\right)$ liefert das Gausssche Lemma ohne weiteres. Setzt man nämlich +in dem Satze \aSeite{268} $c = 2$, so sind alle $\pi$ Produkte $(2, 4, \dots 2\pi)$ +kleiner als~$p$, also ihre eigenen kleinsten positiven Reste modulo~$p$. Von +ihnen sind die $\left[\dfrac{\pi}{2}\right]$ ersten $2$,~$4$,~\dots\ $2\left[\dfrac{\pi}{2}\right]$ offenbar nicht größer +als~$\pi$, während die $\pi - \left[\dfrac{\pi}{2}\right]$ folgenden sämtlich über $\pi$ liegen. +Bezeichnet man also wieder wie \aSeite{238}~\Eq{(5)} durch $\left\{\dfrac{\pi}{2}\right\}$ die kleinste ganze +Zahl, welche $\geqq \dfrac{\pi}{2}$ ist, und beachtet, daß dann offenbar stets +\[ +\left[\frac{\pi}{2}\right] + \left\{\frac{\pi}{2}\right\} = \pi \quad\text{also}\quad +\left\{\frac{\pi}{2}\right\} = \pi - \left[\frac{\pi}{2}\right] +\] +ist, so ergibt sich für das zu untersuchende Legendresche Zeichen die +folgende allgemeine Bestimmung: +\[ +\left(\frac{2}{p}\right) + = (-1)^{\bigl\{\efrac{\pi}{2}\bigr\}} + = (-1)^{\bigl\{\efrac{p-1}{4}\bigr\}}. +\] +\PageSep{287}{271} +Setzt man $p = 8n + \epsilon$, wo $\epsilon= 1 $,~$3$, $5$,~$7$ sein kann, so ist +\[ +\left\{\frac{p - 1}{4}\right\} + = 2n + \left\{\frac{\epsilon - 1}{4}\right\} + \equiv \left\{\frac{\epsilon - 1}{4}\right\}\ (\mod.~2), +\] +und da in den vier unterschiedenen Fällen $\dfrac{\epsilon - 1}{4}$ gleich $0$,~$\dfrac{1}{2}$, $1$,~$\dfrac{3}{2}$, +also $\left\{\dfrac{\epsilon - 1}{4}\right\} = 0$, $1$, $1$,~$2$ wird, so kann jener zweite Ergänzungssatz +folgendermaßen ausgesprochen werden: +\begin{Theorem} +Die gerade Primzahl~$2$ ist quadratischer Rest aller Primzahlen +von der Form $8n ± 1$ und quadratischer Nichtrest aller +Primzahlen von der Form~$8n ± 5$. +\end{Theorem} + +Benützt man endlich noch die Tatsache, daß offenbar stets: +\[ +\left\{\frac{p - 1}{4}\right\} + \equiv \frac{p^{2} - 1}{8} + = \frac{(p - 1)(p + 1)}{8}\ (\mod.~2) +\] +ist, da diese Kongruenz in den vier hier allein zu unterscheidenden +Fällen $p \equiv ±1$ bzw.\ $p \equiv ±5\ (\mod.~8)$ richtig ist, so kann derselbe +Ergänzungssatz auch in der Form: +\[ +\Tag{(3)} +\left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{\efrac{p^{2}-1}{8}} +\] +ausgesprochen werden. + +Schreibt man die Primzahl~$p$ für den Bereich von $2$ in der +Form: +\[ +p = (-1)^{\beta} e^{4\gamma}\ (2), +\] +wo nach \Eq{(4)} \aSeite{261}: +\[ +\frac{p - 1}{2} \equiv \beta,\quad +\frac{p^{2} - 1}{8} \equiv \gamma\ (\mod.~2) +\] +ist, so ergibt sich aus der Darstellung des Symboles~$\left(\dfrac{p}{2}\right)$ in \Eq{(5)}~\aSeite{261} +jetzt die folgende Gleichung: +\[ +\Tag{(4)} +\biggl(\frac{p}{2}\biggr) + = \biggl(\!\biggl(\frac{-1}{p}\biggr), \biggl(\frac{2}{p}\biggr)\!\biggr). +\] + +Es gilt also der allgemeine Satz: +\PageSep{288}{272} +\begin{Theorem} +Eine Primzahl~$p$ ist stets und nur dann quadratischer Rest, +zu~$2$, wenn sowohl $-1$ als $2$ quadratische Reste zu $p$ sind. +\end{Theorem} + +Ich wende mich nun zur Untersuchung der dritten Frage, nach +dem Werte des Symboles $\left(\dfrac{q}{p}\right)$, wenn $q$~und~$p$ zwei beliebige ungerade +Primzahlen sind. Die vollständige Antwort darauf wird durch einen +der wichtigsten Sätze der Zahlentheorie gegeben, welcher wegen seiner +Symmetrie in bezug auf die beiden in ihm auftretenden Primzahlen $p$~und~$q$ +den Namen des \so{Reziprozitätsgesetzes} erhalten hat. +\index{Reziprozitätsgesetz}% +Er läßt sich folgendermaßen aussprechen: +\begin{Theorem} +Sind $p$ und $q$ zwei positive ungerade Primzahlen, von denen +wenigstens eine die Form $4n + 1$ hat, so ist stets +\[ +\Tag{(5)} +\left(\frac{p}{q}\right) = \left(\frac{q}{p}\right), +\] +\dh\ $p$ ist Rest (Nichtrest) von~$q$, wenn $q$~Rest (Nichtrest) von~$p$ +ist. Haben aber beide Primzahlen die Form~$4n + 3$, so ist +\[ +\Tag{(5^{a})} +\left(\frac{p}{q}\right) = -\left(\frac{q}{p}\right), +\] +\dh\ $p$ ist Rest (Nichtrest) von~$q$, wenn $q$~Nichtrest (Rest) von~$p$ +ist. +\end{Theorem} + +Offenbar kann dieser Satz in der für beide Fälle gültigen symmetrischen +Form: +\[ +\Tag{(5^{b})} +\left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) + = (-1)^{\efrac{p-1}{2}·\efrac{q-1}{2}} +\] +ausgesprochen werden, denn der Exponent $\dfrac{p - 1}{2}·\dfrac{q - 1}{2}$ von~$(-1)$ ist +dann und nur dann ungerade, wenn $p$~und~$q$ beide die Form~$4n + 3$ +haben; nur in diesem Falle ist also das Produkt links gleich~$-1$, +anderenfalls aber stets~$+1$. + +Nach diesem Satze ist \zB: +\[ +\left(\frac{3} {7}\right) = -\left(\frac {7} {3}\right),\quad +\left(\frac{13} {7}\right) = \left(\frac {7}{13}\right),\quad +\left(\frac{17}{29}\right) = \left(\frac{29}{17}\right), +\] +\PageSep{289}{273} +weil im ersten Falle beide Primzahlen die Form $4n + 3$ haben, +während in den beiden anderen eine bzw.\ beide von der Form $4n + 1$ +sind. + + +\Section{§ 3.}{Erster Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes.} + +Der Beweis des Reziprozitätsgesetzes ist zuerst von Gauss vollständig +und streng geführt worden. Im Laufe seines Lebens gelang es ihm, +acht verschiedene Beweise für dieses "`theorema fundamentale"' zu +geben, und dieser merkwürdige Satz hat seit Gauss so stark die Geister +gefesselt, daß die Zahl der Beweise jetzt auf über fünfzig gestiegen +ist; indessen lassen sich fast alle in die fünf durch jene +Gaussschen Beweise charakterisierten Klassen einordnen. Ich will hier +nur zwei im wesentlichen von Kronecker herrührende Beweise dieses +Gesetzes geben, welche beide auf dem Gaussschen Lemma beruhen +und in naher Beziehung zum dritten Gaussschen Beweise stehen. + +Jede rationale Zahl~$\alpha$, welche nicht selbst ganz ist, liegt stets +zwischen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen, nämlich zwischen +der nächst kleineren $[\alpha]$ und der nächst größeren~$\{\alpha\}$, und zwar liegt +sie, wenn sie nicht ein ganzzahliges Multiplum von~$\dfrac{1}{2}$ ist, entweder der +ersten oder der zweiten von ihnen näher. Hiernach können wir alle +reellen Zahlen~$\alpha$, welche nicht ganzzahlige Vielfache von~$\dfrac{1}{2}$ sind, in zwei +Klassen $K^{(+)}$~und~$K^{(-)}$ teilen, je nachdem $\alpha$ näher an $[\alpha]$ oder +näher an $\{\alpha\}$ liegt, je nachdem also der absolute Wert von +\[ +\alpha - [\alpha] \quad\text{oder von}\quad +\alpha - \{\alpha\} +\] +kleiner als $\dfrac{1}{2}$ ist. Wir könnten endlich alle ganzzahligen Multipla von~$\dfrac{1}{2}$ +in eine dritte Klasse~$K^{(0)}$ rechnen; jedoch werden diese Zahlen in +der folgenden Untersuchung niemals vorkommen. Wir wollen das +Symbol +\[ +\Tag{(1)} +((\alpha)) \quad\text{gleich}\quad +1 \quad\text{oder gleich}\quad -1 +\] +setzen, je nachdem $\alpha$ der Klasse $K^{(+)}$~oder~$K^{(-)}$ angehört. Dann +\PageSep{290}{274} +besteht für den Wert dieses Symbols immer die Gleichung: +\[ +\Tag{(2)} +((\alpha)) = (-1)^{[2a]}. +\] +Gehört nämlich $\alpha$ der ersten bzw.\ der zweiten Klasse an, so ist ja +\[ +\alpha = [\alpha] + \frac{\delta}{2} \quad\text{bzw.}\quad +\alpha = \{\alpha\} - \frac{\delta}{2}\DPtypo{.}{,} +\] +wo beide Male $0 < \delta < 1$ ist, und hieraus folgt: +\[ +2\alpha = 2[\alpha] + \delta \quad\text{bzw.}\quad +2\alpha = 2\{\alpha\} - \delta, +\] +\dh\ man erhält in den beiden unterschiedenen Fällen für die nächst +kleinere ganze Zahl an~$2\alpha$ +\[ +[2\alpha] = 2[\alpha] \quad\text{bzw.}\quad +[2\alpha] = 2\{\alpha\} - 1; +\] +dieselbe ist also gerade oder ungerade, je nachdem $\alpha$ zur ersten oder +zur zweiten Klasse gehört, und hieraus folgt die Richtigkeit der +Gleichung~\Eq{(2)}. + +Es sei nun $\alpha$ ein positiver Bruch; bezeichnen wir dann für eine +beliebige von Null verschiedene Zahl~$a$ durch +\[ +\Tag{(3)} +\sgn(a) \quad\text{die Einheit}\quad +1 \quad\text{oder}\quad -1, +\] +je nachdem $a$ positiv oder negativ ist, so können wir den Wert unseres +Symboles~$((\alpha))$ auch folgendermaßen ausdrücken: +\[ +\Tag{(4)} +\begin{aligned} +((\alpha)) &= \sgn (1 - 2\alpha) (2 - 2\alpha) \dots \\ + &= \sgn \prod_{g} (g - 2\alpha), +\end{aligned} +\] +wo das Produkt soweit zu erstrecken ist, als die Faktoren $g - 2\alpha$ noch +negativ werden, \dh\ offenbar auf die Werte $g = 1$, $2$,~\dots~$[2\alpha]$. Da +dann nämlich rechts genau $[2\alpha]$ negative Faktoren stehen, so ist das +Vorzeichen dieser Produkte gleich~$(-1)^{[2\alpha]}$, also wirklich gleich~$((\alpha))$. +Es werde aber bemerkt, daß in~\Eq{(4)} die Multiplikation auch über +$g = [2\alpha]$ hinaus beliebig weit erstreckt werden kann, da ja alle späteren +Faktoren positiv sind. Dividiert man endlich jeden der rechtsstehenden +Faktoren durch die \emph{positive} Zahl~$2$, so wird das Vorzeichen ja +\PageSep{291}{275} +nicht geändert, und wir können die Gleichung~\Eq{(4)} folgendermaßen +schreiben: +\[ +\Tag{(4^{a})} +((\alpha)) = \sgn \prod_{g=1}^{g \geqq [2\alpha]} \left(\frac{g}{2} - \alpha\right). +\] +Setzen wir für alle Zahlen $\alpha = g\Add{·}\dfrac{1}{2}$ der dritten Klasse~$K^{(0)}$\; $((\alpha)) = 0$, +und ist entsprechend $\sgn(0) = 0$, so gilt die Gleichung~\Eq{(4^{a})} offenbar +auch für die Zahlen von~$K^{(0)}$ da für sie die linke Seite und ein Faktor +der rechten gleich Null wird. Jedoch wird dieser Fall, wie oben erwähnt +wurde, im Folgenden nicht gebraucht. + +Mit Hilfe dieses Satzes wird nun das Reziprozitätsgesetz leicht +folgendermaßen bewiesen: Es seien $p$~und~$q$ zwei beliebige ungerade +Primzahlen, und +\[ +\Tag{(5)} +\pi =\frac{p - 1}{2}, \quad +\kappa = \frac{q - 1}{2}\DPtypo{:}{;} +\] +ist dann $(1, 2, \dots \pi)$ ein zu $p$ gehöriges Halbsystem, und reduziert man +die $\pi$ Produkte $(q, 2q, \dots \pi q)$ modulo~$p$ auf ihre absolut kleinsten +Reste, so erhält man das neue Halbsystem $(\epsilon_{1} 1', \epsilon_{2} 2', \dots \epsilon_{\pi} \pi')$, +und dann ist nach dem Gaussschen Lemma \Seite{268} +\[ +\Tag{(6)} +\left(\frac{q}{p}\right) + = \epsilon_{1} \epsilon_{2} \dots \epsilon_{\pi} + = \prod_{1}^{\pi} \epsilon_{h}. +\] + +Dieser erste Beweis besteht nun in einer Umformung des rechts +stehenden Vorzeichenproduktes in ein anderes, aus dessen Form +unmittelbar hervorgeht, daß es sich bei Vertauschung von $p$ mit $q$ nur +mit $(-1)^{\pi\kappa}$ multipliziert, so daß also in der Tat $\left(\dfrac{p}{q}\right) = (-1)^{\pi\kappa} \left(\dfrac{q}{p}\right)$ +folgt. + +Schreibt man nämlich irgendeine der $\pi$~Kongruenzen +\[ +\Tag{(7)} +qh \equiv \epsilon_{h} h'\ (\mod.~p), +\] +in welcher $h$~und~$h'$ beide der Reihe $1$,~$2$,~\dots~$\pi$ angehören, als +Gleichung in der Form: +\[ +\Tag{(7^{a})} +qh = \epsilon_{h} h' + pk, +\] +so folgt aus ihr +\PageSep{292}{276} +\[ +\Tag{(7^{b})} +\frac{qh}{p} = \epsilon_{h}·\frac{h'}{p} + k; +\] +da nun $\dfrac{h'}{p}$ positiv und kleiner als $\dfrac{1}{2}$ ist, so gehört der Bruch $\dfrac{qh}{p}$ zur +Klasse $K^{(+)}$~oder~$K^{(-)}$ je nachdem $\epsilon_{h}$ gleich~$+1$ oder~$-1$ ist, +\dh\ es ist für jede der $\pi$ Einheiten~$\epsilon_{h}$ +\[ +\Tag{(8)} +\epsilon_{h} = \left(\!\left(\frac{qh}{p}\right)\!\right). +\] + +Ersetzt man nun in~\Eq{(4^{a})} $\alpha$ durch $\dfrac{qh}{p}$ und dividiert dann, was ja +erlaubt ist, jeden der Faktoren durch das positive~$q$, so ergibt sich für +$\epsilon_{h}$ die folgende Darstellung: +\[ +\Tag{(9)} +\epsilon_{h} + = \sgn \prod_{g=1}^{g \geqq \left[\frac{2qh}{p}\right]} \left(\frac{g}{2} - \frac{qh}{p}\right) + = \sgn \prod_{g=1}^{2\kappa} \left(\frac{g}{2q} - \frac{h}{p}\right), +\] +weil ja für jedes~$h$\; $2q\Add{·}\dfrac{h}{p} < 2q·\dfrac{1}{2}$, also $\left[\dfrac{2qh}{p}\right] \leqq q - 1 = 2\kappa$ ist. +Läßt man in diesem Produkte~$g$ zuerst alle geraden und dann alle ungeraden +Zahlen +\[ +g = 2k = 2,\ 4,\ \dots\ 2\kappa \quad\text{bzw.}\quad +g = q - 2k = q - 2,\ q - 4,\ \dots\ 1 +\] +durchlaufen, so zerlegt sich dasselbe folgendermaßen in zwei andere +Produkte +\[ +\Tag{(9^{a})} +\epsilon_{h} = \sgn \prod_{k=1}^{\kappa} \left(\frac{k}{q} - \frac{h}{p}\right) + · \prod_{k=1}^{\kappa} \left(\frac{1}{2} - \frac{k}{q} - \frac{h}{p}\right), +\] +und aus~\Eq{(6)} ergibt sich für $\left(\dfrac{q}{p}\right)$ die Darstellung: +\[ +\tag*{(10)} +\left(\frac{q}{p}\right) + = \DPchg{\prod_{1}^{\pi}}{\!\prod_{h=1}^{\pi}\!} \epsilon_{h} + = \sgn \prod_{h=1}^{\pi} \prod_{k=1}^{\kappa} + \left(\frac{k}{q} - \frac{h}{p}\right) + · \sgn \prod_{\DPchg{1}{h=1}}^{\pi} \prod_{\DPchg{1}{k=1}}^{\kappa} + \left(\frac{1}{2} - \frac{k}{q} - \frac{h}{p}\right), +\] +in welcher jedes dieser zwei Produkte aus $\pi\kappa$~Faktoren besteht. Vertauscht +man aber in dieser Gleichung $q$~und~$p$ miteinander, so bleibt +das zweite Produkt offenbar ungeändert, während jedes der $\pi\kappa$~ersten +Faktoren in $\left(\dfrac{h}{p} - \dfrac{k}{q}\right)$ übergeht, sich also mit $-1$ multipliziert. Hieraus +\PageSep{293}{277} +ergibt sich, daß in der Tat +\[ +\left(\frac{p}{q}\right) = (-1)^{\pi\kappa} \left(\frac{q}{p}\right) +\] +ist; also ist das Reziprozitätsgesetz vollständig bewiesen. + + +\Section{§ 4.}{Zweiter Beweis für das Reziprozitätsgesetz.} + +In \Eq{(10)} des vorigen Paragraphen ist das Legendresche Symbol $\left(\dfrac{q}{p}\right)$ +durch zwei Produkte dargestellt, von denen das zweite symmetrisch +in bezug auf $p$~und~$q$ ist, also beim Ãœbergange zu dem inversen Symbole +$\left(\dfrac{p}{q}\right)$ ungeändert bleibt. Man kann sich nun leicht überzeugen, daß dieses +Symbol schon allein durch das Vorzeichen jenes ersten Produktes dargestellt +wird, so daß in~\Eq{(10)} das zweite Produkt einfach fortgelassen +werden kann, da es immer positiv ist. Hierzu führt der folgende +neue Beweis für das Reziprozitätsgesetz: + +Auch hier gehe ich aus von der Kongruenz \Eq{(7)} \aSeite{275}: +\[ +\Tag{(1)} +qh \equiv \epsilon_{h} h'\ (\mod.~p) \quad +\begin{Conditions}%[** TN: Not smaller in the original] +(h, h' = 1, 2, \dots \pi) +\end{Conditions}, +\] +wo wieder $\epsilon_{h} h'$ den absolut kleinsten Rest von~$qh$ modulo~$p$ bedeutet. +Je nachdem hier $\epsilon_{h}$ gleich~$1$ oder gleich~$-1$ ist, läßt sich diese Kongruenz +als Gleichung in der Form: +\[ +\Tag{(2)} +qh = q_{h}p + h' \quad\text{bzw.}\quad +qh = q_{h}p + p - h' +\] +schreiben, wo in beiden Fällen +\[ +\Tag{(3)} +q_{h} =\left[\frac{qh}{p}\right] +\] +die größte in $\dfrac{qh}{p}$ enthaltene ganze Zahl bedeutet, wie aus~\Eq{(2)} durch +Division mit~$p$ unmittelbar folgt. + +Es sei nun $p$~eine beliebige ungerade Primzahl, während $q = 2$ +oder ungerade sein kann. Betrachten wir dann die Gleichungen~\Eq{(2)} +als Kongruenzen modulo~$2$, so gehen sie über in: +\[ +\Tag{(4)} +qh \equiv q_{h} + h' \quad\text{bzw.}\quad +qh \equiv q_{h} + h' + 1\ (\mod.~2) +\] +\PageSep{294}{278} +und sie können also gemeinsam in der Form: +\[ +\Tag{(4^{a})} +qh \equiv q_{h} + h' + \delta_{h}\ (\mod.~2) +\] +geschrieben werden, wo $\delta_{h} = 0$ oder~$1$ ist, je nachdem $\epsilon_{h}$ gleich~$+1$ oder~$-1$ +ist. Hiernach ist $\sum_{1}^{\pi} \delta_{h} = \mu$, wenn wieder $\mu$ die Anzahl der negativen +absolut kleinsten Reste modulo~$p$ in dem Systeme $(q, 2q, \dots \pi q)$ +bedeutet. Den Kongruenzwert von~$\mu$ modulo~$2$, auf den es ja allein +ankommt, kann man nun in den beiden unterschiedenen Fällen leicht +bestimmen. + +Nehmen wir nämlich zuerst $q = 2$ an, so sind in~\Eq{(4^{a})} alle +$q_{h} = \left[\dfrac{2h}{p}\right] = 0$, weil stets $2h < p$ ist, und aus den so sich ergebenden +$\pi$ Kongruenzen: +\[ +0 \equiv h' + \delta_{h}\ (\mod.~2)\qquad +\begin{Conditions} +(h' = 1, 2, \dots \pi) +\end{Conditions} +\] +folgt durch Addition derselben: +\begin{gather*} +\mu + \sum h' = \mu + \frac{\pi(\pi + 1)}{2} \equiv 0\ (\mod.~2) \\ +\mu \equiv \frac{p^{2} - 1}{8}\ (\mod.~2); +\end{gather*} +es ist also in diesem Falle: +\[ +\Tag{(5)} +\left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{\mu} = (-1)^{\efrac{p^{2}-1}{8}}, +\] +womit der zweite Ergänzungssatz nochmals bewiesen ist. + +Ist dagegen auch $q$ ungerade, so geht die Kongruenz~\Eq{(4^{a})} über in: +\[ +\Tag{(6)} +h \equiv q_{h} + h' + \delta_{h}\ (\mod.~2)\qquad +\begin{Conditions} +(h, h' = 1, 2, \dots \pi) +\end{Conditions}, %[** TN: Small comma in the original] +\] +und durch Summation folgt, da $\sum h = \sum h'$ ist: +\[ +\Tag{(6^{a})} +\mu = \sum \delta_{h} \equiv \sum q_{h} = \sum_{1}^{\pi} \left[\frac{qh}{p}\right]. +\] +Die Auswertung der rechts stehenden Summe bereitete Gauss noch +wesentliche Schwierigkeiten. Wir können jetzt aber sofort zeigen, daß +für das durch \Eq{(6^{a})} bestimmte $\mu$ die Gleichung: +\PageSep{295}{279} +\[ +\Tag{(7)} +(-1)^{\mu} = \sgn \prod_{1}^{\kappa} \prod_{1}^{\pi} \left(\frac{k}{q} - \frac{h}{p}\right) +\] +besteht, so daß sich nach dem Gaussschen Lemma: +\[ +\Tag{(8)} +\left(\frac{q}{p}\right) + = \sgn \prod_{1}^{\kappa} \prod_{1}^{\pi} \left(\frac{k}{q} - \frac{h}{p}\right) +\] +ergibt. Multipliziert man nämlich jeden Faktor des in~\Eq{(7)} rechts +stehenden Doppelproduktes mit dem positiven~$q$, so geht es über in: +\[ +\sgn \prod_{h} \prod_{k} \left(k - \frac{hq}{p}\right), +\] +und hier erkennt man, daß für ein festes $h$ alle und nur die $\left[\dfrac{hq}{p}\right]$ Faktoren +negativ sind, für welche $k = 1$, $2$,~\dots~$\left[\dfrac{hq}{p}\right]$ ist. Also hat in der Tat +das Produkt in~\Eq{(7)} genau $\mu$ negative Faktoren, \dh\ die Richtigkeit +der Gleichung~\Eq{(8)} ist erwiesen. Vertauscht man endlich in dieser +Gleichung~\Eq{(8)} $q$~mit~$p$, so ergibt sich +\[ +\Tag{(8^{a})} +\left(\frac{p}{q}\right) + = \sgn \prod_{1}^{\kappa} \prod_{1}^{\pi} \left(\frac{h}{p} - \frac{k}{q}\right) + = (-1)^{\efrac{p-1}{2}·\efrac{q-1}{2}} \left(\frac{q}{p}\right), +\] +und damit ist das Reziprozitätsgesetz zum zweiten Male bewiesen. + +Durch die drei Grundgesetze \Eq{(10)},~\Eq{(11)} und~\Eq{(11^{a})} \aSeite{263} für +das Legendresche Zeichen, sowie durch die beiden Ergänzungssätze und +das Reziprozitätsgesetz wird die Entscheidung der Frage, ob eine Zahl~$A$ +quadratischer Rest, für eine beliebige Primzahl~$p$, oder, was dasselbe +ist, ob sie eine $p$-adische Quadratzahl ist oder nicht, auch für +große Primzahlen~$p$ zu einer sehr leichten Aufgabe. So zeigt man +\zB\ leicht, daß von den beiden Kongruenzen: +\[ +x^{2} \equiv 501\ (\mod.~827),\quad +x^{2} \equiv 693\ (\mod.~839) +\] +die erste zwei, die zweite aber keine Lösung besitzt. In der Tat ergeben +die obengenannten Sätze leicht:\PageLabel{280} +\begin{align*} +\left(\frac{501}{827}\right) + &= \left(\frac{3}{827}\right)\! \left(\frac{167}{827}\right) + = \left(-\left(\frac{827}{3}\right)\!\right)\! + \left(-\left(\frac{827}{167}\right)\!\right) + = \left(\frac{-1}{3}\right)\! \left(\frac{-8}{167}\right) \\ + &= (-1)\left(\frac{-1}{167}\right)\! \left(\frac{2}{167}\right)^{3} + = (-1)(-1)(+1) = +1 \displaybreak[1]\\ +%\PageSep{296}{280} +\left(\frac{693}{839}\right) + &= \left(\frac{3}{839}\right)^{2}\! + \left(\frac{7}{839}\right)\! + \left(\frac{11}{839}\right) + = \left(\frac{7}{839}\right)\! \left(\frac{11}{839}\right) + =+\left(\frac{839}{7}\right)\! \left(\frac{839}{11}\right) \\ + &= \left(\frac{-1}{7}\right)\! \left(\frac{3}{11}\right) + = (-1)(-1) \left(\frac{11}{3}\right) + = \left(\frac{-1}{3}\right) = -1, +\end{align*} +und unter Benutzung des Canon arithmeticus überzeugt man sich +wirklich, daß die erste Kongruenz die beiden Wurzeln~$±486$ hat. + +Mit Hilfe des Reziprozitätsgesetzes können wir für den quadratischen +Charakter der kleineren Primzahlen~$±q$, \zB\ $-2$,~$3$, $-3$, $5$,~$-5$, in +bezug auf eine beliebige ungerade Primzahl~$p$ ähnlich einfache Gesetze +aussprechen, wie dies in den beiden Ergänzungssätzen für $-1$~und~$2$ +geschehen ist. So ist~\zB: +\[ +\left(\frac{-2}{p}\right) + = \left(\frac{-1}{p}\right) \left(\frac{2}{p}\right) + = (-1)^{\efrac{p-1}{2}+\efrac{p^{2}-1}{8}} + = (-1)^{\efrac{(p-1)(p+5)}{8}}, +\] +es gilt also der Satz: +\begin{Theorem} +\Item{\DPchg{(I)}{I)}} Die Zahl~$-2$ ist Rest aller Primzahlen $8n + 1$,~$3$, Nichtrest +aller Primzahlen $8n + 5$,~$7$. +\[ +\left(\frac{-3}{p}\right) + = (-1)^{\efrac{p-1}{2}} \left(\frac{3}{p}\right) + = +\left(\frac{p}{3}\right). +\] +\end{Theorem} +Alle ungeraden Primzahlen außer $3$ sind nun von der Form $6n ± 1$, +und da $\left(\dfrac{6n ± 1}{3}\right) = ±1$ ist, so ergibt sich der Satz: +\begin{Theorem} +\Item{\DPchg{(II)}{II)}} Die Zahl~$-3$ ist Rest aller Primzahlen~$6n + 1$, Nichtrest +aller Primzahlen~$6n - 1$. +\[ +\left(\frac{3}{p}\right) + = \left(\frac{-1}{p}\right) \left(\frac{-3}{p}\right) + = (-1)^{\efrac{p-1}{2}} \left(\frac{p}{3}\right). +\] +\end{Theorem} +Alle ungeraden Primzahlen außer $3$ sind entweder von der Form +$12n ± 1$ oder $12 ± 5$. Nach der obigen Gleichung ist für die Primzahlen +der ersten Art +\[ +\left(\frac{3}{p}\right) = (+1)(+1) \quad\text{bzw.}\quad +(-1)(-1)\DPtypo{.}{} +\] +also stets~$+1$; für die Primzahlen $12n ± 5$ dagegen ist dasselbe Symbol +gleich $(-1) (+1)$ bzw.\ $(+1) (-1)$, also stets~$-1$. +\PageSep{297}{281} +\begin{Theorem} +\Item{\DPchg{(III)}{III)}} Die Zahl~$3$ ist also Rest aller Primzahlen~$12n ± 1$, +Nichtrest aller Primzahlen~$12n ± 5$. +\end{Theorem} + +Ebenso folgt aus der Gleichung: +\[ +\biggl(\frac{5}{p}\biggr) = \biggl(\frac{p}{5}\biggr), +\] +wenn man $p = 10n ± 1$ bzw.\ $10n ± 3$ annimmt: +\begin{Theorem} +\Item{\DPchg{(IV)}{IV)}} Die Zahl~$5$ ist Rest aller Primzahlen~$10n ± 1$, Nichtrest +aller Primzahlen~$10n ± 3$. +\end{Theorem} +Und ganz analog ergibt sich leicht aus +\[ +\biggl(\frac{-5}{p}\biggr) = (-1)^{\efrac{p-1}{2}} \biggl(\frac{p}{5}\biggr): +\] +\begin{Theorem} +\Item{\DPchg{(V)}{V)}} Die Zahl~$-5$ ist Rest aller Primzahlen von der +Form $20n + 1$, $3$,~$7$,~$9$, dagegen Nichtrest aller Primzahlen +$20n - 1$, $-3$,~$-7$,~$-9$. +\end{Theorem} + + +\Section{§ 5.}{Das Jacobi-Legendresche Symbol $\left(\dfrac{Q}{P}\right)$.} + +Aus den im vorigen Abschnitte ausgeführten Zahlenbeispielen +\index{Jacobi-Legendresches Symbol~$\left(\dfrac{P}{Q}\right)$}% +geht hervor, daß die Berechnung des Legendreschen Symboles mit den +bisher gegebenen Hilfsmitteln dadurch erschwert wird, daß alle im +Verlaufe des Verfahrens auftretenden Zahlen in ihre Primfaktoren zerlegt +werden müssen, was bei etwas größeren Zahlen unbequem ist. Um +dies zu vermeiden, hat Jacobi das Legendresche Zeichen in höchst +glücklicher Weise so verallgemeinert, daß die Bestimmung des quadratischen +Charakters einer Zahl ohne jede Faktorenzerlegung ausgeführt +werden kann. + +Es seien nämlich $Q$~und~$P$ zwei teilerfremde ganze Zahlen, von +denen die zweite $P = p p' p'' \dots$ nur positiv und ungerade, \dh\ aus +lauter gleichen oder verschiedenen ungeraden Primfaktoren $p$,~$p'$,~\dots\ +bestehend vorausgesetzt wird; dann definiert Jacobi das Symbol $\left(\dfrac{Q}{P}\right)$ +durch die Gleichung: +\PageSep{298}{282} +\[ +\Tag{(1)} +\left(\frac{Q}{P}\right) = \left(\frac{Q}{p}\right) \left(\frac{Q}{p'}\right) \dots + = \prod_{(p)} \left(\frac{Q}{p}\right), +\] +in welcher die $\left(\dfrac{Q}{p}\right)$, $\left(\dfrac{Q}{p'}\right)$,~\dots\ die gewöhnlichen Legendreschen Zeichen +bedeuten. Ist also $P = p$ selbst eine Primzahl, so fällt das Jacobische +mit dem Legendreschen Zeichen zusammen. Das allgemeine Jacobische +Symbol hat ebenfalls immer den Wert~$±1$; dasselbe hat aber zunächst +für die quadratischen Kongruenzen keine Bedeutung, denn die +Gleichung $\left(\dfrac{Q}{P}\right) = \left(\dfrac{Q}{p}\right) \left(\dfrac{Q}{p'}\right) \dots = +1$ würde nur dann aussagen, daß +die Kongruenz $x^{2} \equiv Q\ (\mod.~P)$ Wurzeln besitzt, wenn alle Faktoren +$\left(\dfrac{Q}{p}\right) = +1$ wären, während doch $\left(\dfrac{Q}{P}\right)$ stets und nur dann gleich~$+1$ +ist, wenn die Anzahl der Faktoren $\left(\dfrac{Q}{p}\right) = -1$ gerade ist. + +Dies Jacobi-Legendresche Symbol besitzt genau dieselben Eigenschaften +\index{Reziprozitätsgesetz!f.\;d.\ Jacobi-Legendresche Symbol}% +wie das Legendresche Zeichen, und alle für dieses geltenden Sätze +können aus den vorher für das speziellere Symbol bewiesenen leicht +hergeleitet werden: Allein aus der Definitionsgleichung~\Eq{(1)} folgt, daß +stets +\[ +\Tag{(I)} +\left(\frac{Q}{PP'}\right) = \left(\frac{Q}{P}\right) \left(\frac{Q}{P'}\right) +\] +ist. Fast ebenso einfach ergibt sich die Richtigkeit der entsprechenden +Gleichung für die Zerlegung des "`Zählers"': +\[ +\Tag{(II)} +\left(\frac{QQ'}{P'}\right) = \left(\frac{Q}{P}\right) \left(\frac{Q'}{P}\right); +\] +denn nach der Grundregel \Eq{(11)} \aSeite{263} für das Legendresche Zeichen +ist ja: +\[ +\left(\frac{QQ'}{P'}\right) + = \prod_{(p)} \left(\frac{QQ'}{p^{(i)}}\right) + = \prod \left(\frac{Q }{p^{(i)}}\right) + \prod \left(\frac{Q'}{p^{(i)}}\right) + = \left(\frac{Q}{P}\right) \left(\frac{Q'}{P}\right). +\] + +Zerlegt man in $\left(\dfrac{Q}{P}\right)$ sowohl $Q$ als auch $P$ in seine Primfaktoren, +so ergibt die Anwendung von \Eq{(I)}~und~\Eq{(II)} die Gleichung: +\[ +\Tag{(2)} +\left(\frac{Q}{P}\right) = \prod_{(q_{i})} \prod_{(p_{k})} \left(\frac{q_{i}}{p_{k}}\right), +\] +\PageSep{299}{283} +wo sich die Multiplikation auf alle gleichen oder verschiedenen Primfaktoren +sowohl von~$Q$ als von~$P$ erstreckt. + +Drittens besteht genau wie für das Legendresche Zeichen der Satz: +\[ +\Tag{(III)} +\text{Ist}\quad Q \equiv Q'\ (\mod.~P), \quad\text{so ist}\quad \left(\frac{Q}{P}\right) = \left(\frac{Q'}{P}\right). +\] +Denn aus dem Bestehen dieser Kongruenz folgt, daß auch für jeden +Primfaktor~$p^{(i)}$ von~$P$\; $Q \equiv Q'\ (\mod.~p^{(i)})$, also $\left(\dfrac{Q}{p^{(i)}}\right) = \left(\dfrac{Q'}{p^{(i)}}\right)$ ist, +und hieraus ergibt sich, daß in der Tat +\[ +\left(\frac{Q}{P}\right) + = \prod \left(\frac{Q}{p^{(i)}}\right) + = \prod \left(\frac{Q'}{p^{(i)}}\right) + = \left(\frac{Q'}{P}\right) +\] +ist. + +Ferner gelten für das allgemeine Symbol die beiden Ergänzungssätze +und das Reziprozitätsgesetz. Zunächst besteht auch hier die +Gleichung: +\[ +\Tag{(IV)} +\left(\frac{-1}{P}\right) = (-1)^{\efrac{P-1}{2}}, +\] +\dh\ jenes Symbol ist $+1$~oder~$-1$, je nachdem $P$ von der Form +$4n + 1$ oder $4n + 3$ ist. In der Tat ist ja nach~\Eq{(1)} +\[ +\left(\frac{-1}{P}\right) + = \prod \left(\frac{-1}{p}\right) = (-1)^{\oldsum\efrac{p-1}{2}}, +\] +und da +\[ +P = pp' \dots + = (1 + (p - 1)) (1 + (p' - 1)) \dots + \equiv 1 + \sum (p - 1)\ (\mod.~4) +\] +ist, weil alle weiteren Produkte $(p - 1) (p' - 1) \dots$ mindestens durch +$4$ teilbar sind, so ergibt sich die Kongruenz: +\[ +\Tag{(3)} +\frac{P - 1}{2} \equiv \sum_{(p)} \frac{p - 1}{2}\ (\mod.~2) +\] +und damit die Richtigkeit der Gleichung~\Eq{(IV)}. Ebenso einfach beweist +man den zweiten Ergänzungssatz: +\[ +\Tag{(V)} +\left(\frac{2}{P}\right) = (-1)^{\efrac{P^{2}-1}{8}}, +\] +\PageSep{300}{284} +nach dem $\left(\dfrac{2}{P}\right)$ gleich $+1$~oder~$-1$ ist, je nachdem $P$ gleich $8n ± 1$ +oder $8n ± 3$ ist. Auch hier folgt nämlich aus~\Eq{(1)} +\[ +\left(\frac{2}{P}\right) + = \prod \left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{\oldsum \efrac{p^{2}-1}{8}}, +\] +und da hier +\begin{align*} +P^{2} &= p^{2} p'^{2} \dots = (1 + (p^{2} - 1)) (1 + (p'^{2} - 1)) \dots \\ + &\equiv 1 + \sum (p^{2} - 1)\ (\mod.~16) +\end{align*} +ist, weil alle weiteren Produkte $(p^{2} - 1) (p'^{2} - 1) \dots$ sogar mindestens +durch $8^{2} = 64$ teilbar sind, so ist hier +\[ +\Tag{(4)} +\frac{P^{2} - 1}{8} = \sum \frac{p^{2} - 1}{8}\ (\mod.~2), +\] +und damit ist der zweite Ergänzungssatz bewiesen. + +Noch einfacher folgen beide Ergänzungssätze zugleich daraus, daß +nach \Eq{(8)} auf \Seite{262} +\[ +\left(\frac{PP'}{2}\right) = \left(\frac{P}{2}\right) \left(\frac{P'}{2}\right) +\] +ist; denn hieraus folgt: +\begin{align*} +\left(\frac{P}{2}\right) + &= \prod \left(\frac{p}{2}\right) + = \prod \left(\!\left(\frac{-1}{p}\right)\!, + \left(\frac{2}{p}\right)\!\right) \\ + &= \left(\prod \left(\frac{-1}{p}\right)\!, + \prod \left(\frac{2}{p}\right)\!\right) + = \left(\!\left(\frac{-1}{P}\right)\!, \left(\frac{2}{P}\right)\!\right); +\end{align*} +und da andererseits nach \Eq{(5)} auf \Seite{261} +\[ +\left(\frac{P}{2}\right) = \left((-1)^{\efrac{P-1}{2}} (-1)^{\efrac{P^{2}-1}{2}}\right) +\] +\DPtypo{st}{ist}, so ergeben sich durch Vergleichung dieser beiden Darstellungen von +$\left(\dfrac{P}{2}\right)$ in der Tat die beiden \DPtypo{Ergängssätze}{Ergänzungssätze} zugleich. + +Sind endlich $P$~und~$Q$ beide positiv und ungerade, so besteht auch +für das Jacobische Zeichen das Reziprozitätsgesetz: +\PageSep{301}{285} +\[ +\Tag{(VI)} +\left(\frac{P}{Q}\right) \left(\frac{Q}{P}\right) + = (-1)^{\efrac{P-1}{2}·\efrac{Q-1}{2}}. +\] +Wendet man nämlich auf die beiden links stehenden Symbole die vollständige +Zerlegung~\Eq{(2)} an, so ergibt sich bei Anwendung des Reziprozitätsgesetzes +für das Legendresche Zeichen die Gleichung: +\[ +\left(\frac{P}{Q}\right) \left(\frac{Q}{P}\right) + = \prod_{p_{i}} \prod_{q_{k}} + \left(\!\left(\frac{p_{i}}{q_{k}}\right) + \left(\frac{q_{k}}{p_{i}}\right)\!\right) + = (-1)^{\oldsum\oldsum \efrac{p_{i}-1}{2}·\efrac{q_{k}-1}{2}}. +\] +Nun ist aber +{\small +\[ +\sum_{p_{i}} \sum_{q_{k}} \frac{p_{i}-1}{2}·\frac{q_{k}-1}{2} + = \left(\sum \frac{p_{i} - 1}{2}\right)·\left(\sum \frac{q_{k} - 1}{2}\right) + \equiv \frac{P - 1}{2}·\frac{Q - 1}{2}\ (\mod.~2), +\]}% +da nach~\Eq{(3)} $\sum \dfrac{p_{i} - 1}{2} \equiv \dfrac{P - 1}{2}$, + $\sum \dfrac{q_{k} - 1}{2} \equiv \dfrac{Q - 1}{2}\ (\mod.~2)$ ist; +also gilt für das Jacobische Zeichen das Reziprozitätsgesetz. + +\begin{Examples} +Beispiele: +\begin{align*}%[** Not aligned in the original] +\left(\frac{425}{907}\right) + &= \left(\frac{907}{425}\right) + = \left(\frac{57}{425}\right) + = \left(\frac{425}{57}\right) + = \left(\frac{26}{57}\right) \DPchg{=}{} \\ +% + &= \left(\frac{2}{57}\right) \left(\frac{13}{57}\right) + = +\left(\frac{13}{57}\right) + = \left(\frac{57}{13}\right) + = \left(\frac{5}{13}\right) + = \left(\frac{3}{5}\right) = -1\DPtypo{}{,} \\ +% +\left(\frac{427}{997}\right) + &= -\left(\frac{997}{427}\right) + = -\left(\frac{143}{427}\right) + = +\left(\frac{427}{143}\right) + = \left(\frac{2}{143}\right) = +1\DPtypo{}{.} +\end{align*} +\end{Examples} + +Die zu Anfang dieses Paragraphen aufgestellte Definition des Jacobischen +Zeichens ergibt dasselbe als eine nicht ganz naturgemäß erscheinende +Verallgemeinerung des Legendreschen Symboles. Eine andere +und begrifflich höchst einfache Definition desselben Zeichens haben +Kronecker und Schering gefunden, nach welcher dasselbe genau wie +das Legendresche durch das Gausssche Lemma definiert wird. + +\begin{Theorem} +Sind nämlich $Q$~und~$P$ zwei beliebige positive teilerfremde +ungerade Zahlen, und reduziert man wieder die $\pi = \dfrac{P - 1}{2}$ +Produkte +\[ +Q,\ 2Q,\ 3Q,\ \dots\ \pi Q +\] +modulo~$P$ auf ihre absolut kleinsten Reste: +\PageSep{302}{286} +\[ +\epsilon_{1} 1',\ +\epsilon_{2} 2',\ +\epsilon_{3} 3',\ \dots\ +\epsilon_{\pi} \pi', +\] +wo die $\epsilon_{i}$ wieder gleich~$±1$ sind und $1'$,~$2'$,~\dots~$\pi'$ offenbar +die Zahlen $1$,~$2$,~\dots~$\pi$ in veränderter Reihenfolge bedeuten, +so besteht auch für das Jacobische Symbol die Gleichung +\[ +\Tag{(5)} +\left(\frac{Q}{P}\right) = \epsilon_{1} \epsilon_{2} \dots \epsilon_{\pi} = (-1)^{\mu}, +\] +wenn wieder $\mu$ die Anzahl der negativen absolut kleinsten +Reste ist. +\end{Theorem} + +Um die Richtigkeit dieses Satzes zu beweisen, bezeichnen wir jenes +Vorzeichenprodukt~\Eq{(5)} vorläufig durch $\left\{\dfrac{Q}{P}\right\}$ und weisen nach, daß dasselbe +stets gleich $\left(\dfrac{Q}{P}\right)$ ist. Ist zunächst $P = p$ eine Primzahl, so ist, +da das Gausssche Lemma in diesem Falle gilt, sicher +\[ +\Tag{(6)} +\left\{\frac{Q}{P}\right\} = \left(\frac{Q}{P}\right)\DPtypo{,}{.} +\] +Um die Identität von $\left\{\dfrac{Q}{P}\right\}$ und $\left(\dfrac{Q}{P}\right)$ und die Richtigkeit des Reziprozitätsgesetzes +allgemein nachzuweisen, genügt es, für das neue +Symbol die Richtigkeit der drei folgenden Gleichungen zu zeigen: +\begin{align*} +\Tag{(I)} +\left\{\frac{Q'}{P}\right\} \left\{\frac{Q''}{P}\right\} + &= \left\{\frac{Q'Q''}{P}\right\} \\ +% +\Tag{(II)} +\left\{\frac{Q}{P'}\right\} \left\{\frac{Q}{P''}\right\} + &= \left\{\frac{Q}{P'P''}\right\} \\ +% +\Tag{(III)} +\left\{\frac{Q}{P}\right\} + &= (-1)^{\efrac{P-1}{2}·\efrac{Q-1}{2}} \left\{\frac{P}{Q}\right\}. +\end{align*} + +In der Tat folgt ja durch die Anwendung von~\Eq{(II)} für das allgemeine +Symbol die Gleichung: +\[ +\left\{\frac{Q}{P}\right\} + = \prod \left\{\frac{Q}{p_{k}}\right\} + = \prod \left(\frac{Q}{p_{k}}\right) + = \left(\frac{Q}{P}\right)\DPtypo{}{.} +\] + +Ist hiernach die Identität jener beiden Symbole nachgewiesen, so +braucht man das Reziprozitätsgesetz~\Eq{(III)} nicht mehr als richtig zu erweisen, +\PageSep{303}{287} +wenn der entsprechende Beweis für das Jacobische Zeichen +bereits geführt ist. + +Beweist man aber jene drei Gleichungen direkt für $\left\{\dfrac{Q}{P}\right\}$, so erhält +man damit einen neuen Beweis für das Jacobische Symbol~$\left(\dfrac{Q}{P}\right)$, und +dies soll noch kurz angegeben werden. Dabei kann man sich auf den +Beweis von \Eq{(I)}~und~\Eq{(III)} beschränken, da hieraus der Satz~\Eq{(II)} unmittelbar +folgt. In der Tat bestehen ja dann offenbar die Gleichungen: +\begin{align*}%[** TN: Re-broken] +\left\{\frac{Q}{P'}\right\} \left\{\dfrac{Q}{P''}\right\} + &= (-1)^{\efrac{Q-1}{2} \left(\efrac{P'-1}{2} + \efrac{P''-1}{2}\right)} + \left\{\frac{P'}{Q}\right\} \left\{\dfrac{P''}{Q}\right\} \\ + &= (-1)^{\efrac{Q-1}{2}·\efrac{P'P''-1}{2}} \left\{\dfrac{P'P''}{Q}\right\} \\ + &= (-1)^{\efrac{Q-1}{2}·\efrac{P'P''-1}{2}} (-1)^{\efrac{Q-1}{2}·\efrac{P'P''-1}{2}} + \left\{\frac{Q}{P'P''}\right\} \\ + &= \left\{\frac{Q}{P'P''}\right\} +\end{align*} +und damit ist Satz~\Eq{(II)} mit Hilfe von \Eq{(I)}~und~\Eq{(III)} bewiesen. + +Zum Beweise von~\Eq{(III)} läßt sich nun jede der $\pi$~Kongruenzen +\[ +Qh \equiv \epsilon_{h} h'\ (\mod.~P) +\] +genau ebenso, wie dies in \Eq{(7^{a})}~und~\Eq{(7^{b})} \aSeite{275} für den Fall einer +Primzahl~$P$ geschah, in den beiden Formen schreiben: +\[ +Qh = \epsilon_{h} h' + sP,\quad +\frac{Qh}{P} = \epsilon_{h}·\frac{h'}{P} + s, +\] +\dh\ es ist wieder wie \aaO\ +\[ +\epsilon_{h} = \left(\!\left(\frac{Qh}{P}\right)\!\right) +\] +oder +\[ +\Tag{(7)} +Qh \equiv \left(\!\left(\frac{Qh}{P}\right)\!\right) h'\ (\mod.~P), +\] +weil ja wieder $\epsilon_{h} = ±1$ ist, je nachdem der Bruch $\dfrac{Qh}{P}$ zur ersten +Klasse~$K^{(+)}$ oder zur zweiten~$K^{(-)}$ gehört. Es ist also auch für das +Scheringsche Zeichen: +\PageSep{304}{288} +\[ +\Tag{(8)} +\left\{\frac{Q}{P}\right\} + = \prod_{h=1}^{h=\pi} \left(\!\left(\frac{Qh}{P}\right)\!\right). +\] +Durch genau dieselben Umformungen, wie sie \aSeite{276} auf dasselbe +Produkt angewendet wurden, in welchem $P$~eine Primzahl war, ergibt +sich, daß auch in diesem allgemeineren Falle: +\[ +\Tag{(9)} +\left\{\frac{Q}{P}\right\} + = \sgn \prod \prod \left(\frac{k}{Q} - \frac{h}{P}\right) + · \prod \prod \left(\frac{1}{2} - \frac{k}{Q} - \frac{h}{P}\right) +\] +sein muß; denn bei allen jenen Umformungen wurde ja davon, daß $P$ +eine Primzahl sein sollte, niemals Gebrauch gemacht. Aus dieser Darstellung +des Scheringschen Zeichens folgt aber genau wie \aaO\ auch +für dieses das Bestehen des Reziprozitätsgesetzes~\Eq{(III)}. + +Es ist also nur noch nötig, die Gültigkeit des Gesetzes~\Eq{(I)} +\[ +\left\{\frac{Q'}{P}\right\} \left\{\frac{Q''}{P}\right\} + = \left\{\frac{Q'Q''}{P}\right\} +\] +zu beweisen. Ersetzt man in dieser Gleichung jedes der drei Symbole +durch das ihm gleiche Vorzeichenprodukt~\Eq{(8)}, so ist zu zeigen, +daß stets: +\[ +\Tag{(10)} +\prod_{h'=1}^{\pi} \left(\!\left(\frac{h'Q'}{P}\right)\!\right) + · \prod_{h''=1}^{\pi} \left(\!\left(\frac{h''Q''}{P}\right)\!\right) + = \prod_{h =1}^{\pi} \left(\!\left(\frac{h(Q'Q'')}{P}\right)\!\right) +\] +ist. Ich führe diesen Beweis dadurch, daß ich zeige, wie jeder der rechts +stehenden $\pi$~Faktoren gleich dem Produkte von je einem eindeutig +bestimmten Faktor des ersten und zweiten Produktes links ist. In der +Tat, ist $h'$ irgendeine der Zahlen $1$,~$2$,~\dots~$\pi$, so ist: +\[ +h'(Q'Q'') + = (h'Q')Q'' \equiv h''Q'' \left(\!\left(\frac{h'Q'}{P}\right)\!\right)\ (\mod.~P), +\] +wo $h''$ durch $h'$ eindeutig in derselben Zahlenreihe bestimmt ist, und da +genau ebenso +\[ +h''Q'' \equiv h \left(\!\left(\frac{h''Q''}{P}\right)\!\right)\ (\mod.~P) +\] +ist, so ergibt sich aus der obigen Kongruenz: +\[ +h'Q'Q'' \equiv h · \left(\!\left(\frac{h'Q'}{P}\right)\!\right) + \left(\!\left(\frac{h''Q''}{P}\right)\!\right)\ (\mod.~P). +\] +\PageSep{305}{289} +Andererseits besteht aber für dasselbe Produkt~$h'Q'Q''$ die Kongruenz: +\[ +h'(Q'Q'') \equiv \bar{h}·\left(\!\left(\frac{h'Q'Q''}{P}\right)\!\right)\ (\mod.~P); +\] +die beiden rechten Seiten müssen also modulo~$P$ kongruent sein; und, +da $h$~und~$\bar{h}$ beide positiv und kleiner als $\dfrac{P}{2}$ sind, während die beiden +anderen Faktoren nur $±1$ sein können, so muß $h = \bar{h}$ und außerdem +\[ +\left(\!\left(\frac{h'Q' }{P}\right)\!\right) +\left(\!\left(\frac{h'' Q''}{P}\right)\!\right) = +\left(\!\left(\frac{h'Q'Q''}{P}\right)\!\right) +\] +sein. Da endlich $h''$ zugleich mit $h'$ die Reihe $1$,~$2$,~\dots~$\pi$ durchläuft, +so folgt aus diesen $\pi$~Gleichungen wirklich das Bestehen von~\Eq{(10)}, \dh\ +die Richtigkeit von~\Eq{(I)}. + + +\Section{§ 6.}{Der Algorithmus zur Bestimmung von~$\sqrt{E}\ (p)$.} + +Ist $\left(\dfrac{E}{p}\right) = +1\ (p)$, also $E$~eine Quadratzahl innerhalb~$K(p)$, +so wird die wirkliche Bestimmung von $\sqrt{E}$ im wesentlichen genau so +ausgeführt, wie die Quadratwurzelausziehung aus einem gewöhnlichen +Dezimalbruche in der elementaren Algebra. Man bestimmt nämlich +bei der zu untersuchenden $p$-adischen Einheit +\[ +E = e_{0}\MathOrd{,}e_{1}\,e_{2}\,e_{3}\,e_{4} \dots\ (p) +\] +zuerst, am einfachsten durch Probieren, falls $p$ nicht zu groß ist, sonst +mit Hilfe der Indextafeln auf eine der beiden möglichen Weisen die +erste Ziffer~$x_{0}$, von +\[ +\sqrt{E} = x_{0}\MathOrd{,}x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{4} \dots\ (p) +\] +so, daß $x_{0}^{2} \equiv e_{0}\ (\mod.~p)$ ist; dann subtrahiere man $x_{0}^{2}$ von~$E$. Bei der +so sich ergebenden Differenz: +\[ +\begin{array}{r*{4}{>{\,}l}} + & e_{0}\MathOrd{,}&e_{1}&e_{2}& \dots \\ +-{}& x_{0}^{2} \\ +\cline{2-5} +\multicolumn{1}{r|}{2x_{0}}&0\MathOrd{,}&e'_{1}&e'_{2}& \dots\Strut +\end{array} +\] +dividiere man, um die zweite Ziffer~$x_{1}$ zu erhalten, mit~$2x_{0}$ in~$e'_{1}$, suche +\PageSep{306}{290} +also die modulo~$p$ eindeutig bestimmte Zahl~$x_{1}$, für welche $2x_{0} x_{1} \equiv e'_{1}\ +(\mod.~p)$ ist und subtrahiere dann $2x_{0} x_{1}p + x_{1}^{2} p^{2}$ von $0\MathOrd{,}e'_{1}\,e'_{2} \dots$, +subtrahiere also $2x_{0} x_{1}$ von~$e'_{1}$, aber~$x_{1}^{2}$ von~$e'_{2}$. Die sich so ergebende +Differenz: +\[ +\begin{array}{*{4}{r}*{4}{@{\,}l}} + &0, &e'_{1} & &e'_{2} &e'_{3} &e'_{4}& \dots \\ +-& &2x_{0} &\,x_{1} &x_{1}^{2} \\ +\hline\Strut + & & & &e''_{2} &e''_{3} &e''_{4}& \dots +\end{array} +\] +behandle man jetzt in genau derselben Weise weiter und setze diese +Operationen so weit fort, als es der Zweck der Aufgabe nötig macht. +Die Methode stimmt also wirklich im wesentlichen mit derjenigen für +die gewöhnliche Quadratwurzelausziehung überein. Ist der eine der +beiden Werte von~$\sqrt{E}$ gefunden, so ergibt sich der andere $-\sqrt{E}$ ohne +weitere Rechnung. + +Wie einfach diese Regel ist, mag das folgende Beispiel lehren: +Nach dem ersten Ergänzungssatz enthält ein Körper~$K(p)$ dann\DPtypo{ und}{} +und nur dann die beiden Wurzeln $±i = ±\sqrt{-1}$ der Gleichung +\[ +x^{2} = -1\ (p), +\] +wenn $\left(\dfrac{-1}{p}\right) = +1$, wenn also $p$ von der Form $4n + 1$ ist. Wir wollen +den einen der beiden Werte von~$i$ für den Bereich von~$5$ berechnen und +zur Bestimmung der letzten Stellen von der natürlich auch hier anwendbaren +sog.\ \emph{abgekürzten Division} Gebrauch machen, die aber, +wie man leicht erkennt, hier viel einfacher anzuwenden ist als bei +Dezimalbrüchen. So ergibt sich das folgende an sich verständliche +Schema: +\[ +\begin{array}{rc*{11}{>{\,}l}l} +i = \sqrt{-1} =& + \multicolumn{13}{l}{ + \sqrt{4\MathOrd{,}4\,4\,4\,4\dots} + = 2\MathOrd{,}1\,2\,1\,3\,4\,2\,3\,0\,3\dots\ (5)} \\ +&\phantom{\sqrt{}}& + 4 \\ +\cline{4-11}\Strut +&&\multicolumn{1}{r<{\,}|}{4} + &4&4&4&4&\rlap{\dots} \\ +&& &4&1& \\ +\cline{5-11}\Strut +&& \multicolumn{2}{r<{\,}|}{42} + &3&4&4&4&4&\rlap{\dots} \\ +&& & &3&0&0&1 \\ +\cline{6-12}\Strut +&&\multicolumn{3}{r<{\,}|}{424} + &4&4&3&4&4&4&\rlap{\dots} \\ +\PageSep{307}{291} +&&\multicolumn{4}{r}{4} + &2&4&1&&\null \\ +\cline{7-13} +&\multicolumn{5}{r<{\,}|}{4242} + &2&4&2&4&4&4&\dots\Strut \\ +&&&&& + &2&3&3&3&0&2 \\ +\cline{8-13} +&\multicolumn{6}{r<{\,}|}{42421} + &1&4&0&4&2&\dots\Strut \\ +&&&&& + & &1&1&3&1&1&\dots \\ +\cline{9-13} +&\multicolumn{7}{r<{\,}|}{4242} + &3&2&2&1&\dots \\ +&&&&& + & & &3&0&4&0&\dots \\ +\cline{10-13} +&\multicolumn{8}{r<{\,}|}{424} + &2&3&0&\dots\Strut \\ +&&&&& + & & & &2&3&3&\dots \\ +\cline{11-13} +&\multicolumn{9}{r<{\,}|}{4} + &0&2&\dots\Strut \\ +&&&&& + & & & & &0&2&\dots \\ +\cline{12-13}\Strut +&&&&& + & & & & & &0&\dots +\end{array} +\] + +Durch einfaches Quadrieren überzeugt man sich, daß der hier gefundene +Wert von~$i$ wirklich bis zur neunten Stelle nach dem Komma +genau ist. Endlich ist +\[ +-i = 3\MathOrd{,}3\,2\,3\,1\,0\,2\,1\,4\,1 \dots\ (5). +\] +\PageSep{308}{292} + + +\Chapter{Zwölftes Kapitel.} +{Die quadratischen Formen.} + +\Section{§ 1.}{Der Körper~$K(p_{\infty})$ aller reellen Zahlen.} + +Um die arithmetischen oder Teilbarkeitseigenschaften aller rationalen +Zahlen zu untersuchen, stellten wir sie als $p$-adische Zahlen dar, \dh\ +wir betrachteten sie als Elemente derjenigen Zahlkörper~$K(p)$, welche +den einzelnen Primzahlen $2$,~$3$,~$5$,~\dots\ entsprechen. Wollen wir dagegen +ihre Größenbeziehungen zueinander ergründen, so müssen wir sie in +dem Bereiche aller reellen (positiven und negativen, rationalen und +irrationalen) Zahlen betrachten. Auch dieser Bereich bildet einen Körper, +wenn wir die Addition und die Multiplikation im gewöhnlichen Sinne +definieren, weil dann die elementaren Rechenoperationen unbeschränkt +und eindeutig anwendbar sind und immer wieder auf reelle Zahlen +führen. + +Jede reelle Zahl~$A$ läßt sich stets nach fallenden Potenzen einer +beliebigen Grundzahl $g \geqq 2$, \zB\ $g = 10$, entwickeln; so ist \zB\ für +die Ludolphsche Zahl~$\pi$ und für die Basis~$e$ der natürlichen Logarithmen: +\begin{align*} +\pi &= 3, 1415\dots = 3 + \frac{1}{10} + \frac{4}{10^{2}} + \frac{1}{10^{3}} + \frac{5}{10^{4}} + \dots \\ + e &= 2, 7182\dots = 2 + \frac{7}{10} + \frac{1}{10^{2}} + \frac{8}{10^{3}} + \frac{2}{10^{4}} + \dots +\end{align*} +ganz ebenso, wie die Entwicklung einer analytischen Funktion von~$z$ +in der Umgebung der unendlich fernen Stelle $(z = \infty)$ nach fallenden +Potenzen von~$z$ oder eines beliebigen Linearfaktors $z - \alpha$ fortschreitet. + +Wegen dieser Analogie will ich den Körper aller reellen Größen +durch $K(p_{\infty})$ bezeichnen, und die Darstellung dieser reellen Größen +\PageSep{309}{293} +\index{Darstellung der Zahlen für den Bereich~$K(p_{\infty})$}% +durch die zugehörigen positiven oder negativen Dezimalbrüche \so{ihre +Darstellung für den Bereich von~$p_{\infty}$} nennen. + +Jede reelle von Null verschiedene Zahl~$A$ läßt sich dann auf eine +einzige Weise in der Form +\[ +\Tag{(1)} +%[** TN: Increased spacing before (p_{\infty}), cf. elsewhere] +A = (-1)^{\beta} e^{\gamma}\quad (p_{\infty}) +\] +darstellen, in welcher $\beta = 0$ oder~$1$ ist, je nachdem $A$ positiv oder +negativ ist, und wo $\gamma$ ebenfalls eine eindeutig bestimmte reelle Zahl +bedeutet. Auch hier soll $\beta$~\so{der Index}, $\gamma$~\so{der Hauptlogarithmus +von~$A$} heißen, und das System +\index{Hauptlogarithmus!e.\ reellen Zahl für~$K(p_{\infty})$}% +\index{Index!einer reellen Zahl für~$K(p_{\infty})$}% +\[ +\Tag{(2)} +\lg\DPtypo{.}{} A = (\beta, \gamma)\quad (p_{\infty}) +\] +\so{der Logarithmus von~$A$ für den Bereich von~$p_{\infty}$} +\index{Logarithmus!e.\ reellen Zahl für~$K(p_{\infty})$}% +genannt werden. + +Eine Zahl~$A$ heißt \Ord{$\mu$}{-ter}~\so{Potenzrest für den Bereich von~$p_{\infty}$}, +\index{Potenzreste für d.\ Bereich~$K(p_{\infty})$}% +wenn die Gleichung: +\[ +\Tag{(3)} +x^{\mu} = A = (-1)^{\beta} e^{\gamma}\quad (p_{\infty}) +\] +wenigstens eine reelle Wurzel hat. Ist $\mu$ ungerade, so besitzt jene +Gleichung stets eine einzige reelle Lösung; ist dagegen $\mu$ gerade, so hat +sie dann und nur dann und zwar zwei reelle Lösungen, wenn $\beta$ gerade, +wenn also $A$ positiv ist. + +Wir nennen speziell $A$ einen \so{quadratischen Rest für den +Bereich von~$p_{\infty}$}, wenn die Gleichung +\index{Quadratische!Reste für~$K(p_{\infty})$}% +\[ +\Tag{(4)} +x^{2} = A\quad (p_{\infty}) +\] +reelle Wurzeln besitzt, wenn also $\sqrt{A}$ reell ist; ich will auch +hier das Symbol $\left(\dfrac{A}{p_{\infty}}\right)$ gleich $+1$,~$-1$ oder~$0$ setzen, \DPchg{jenachdem}{je nachdem} +$A \neq 0$ ist und jene Gleichung innerhalb $K(p_{\infty})$ lösbar bzw.\ nicht +lösbar ist, oder $A = 0$ ist. Dann besteht also auch für diesen Bereich, +falls $A \neq 0$ ist, die Gleichung: +\[ +\Tag{(5)} +\left(\frac{A}{p_{\infty}}\right) = (-1)^{\beta}, +\] +\begin{Theorem}[\noindent] +\dh\ eine reelle Zahl~$A$ ist für den Bereich von~$p_{\infty}$ quadratischer +Rest oder quadratischer Nichtrest, je nachdem ihr Index gerade +\PageSep{310}{294} +oder ungerade ist; und auch hier ist die Anzahl aller Wurzeln +von~\Eq{(4)} stets gleich +\[ +1 + \left(\frac{A}{p_{\infty}}\right). +\] +\end{Theorem} + + +\Section{§ 2.}{Die quadratischen Formen und ihre Teiler.} +\index{Teiler!e.\ quadratischen Form}% + +Ich wende nun die im vorigen Kapitel gegebene Theorie der quadratischen +Reste an auf eine kurze Untersuchung der quadratischen +Formen für den Bereich einer Primzahl~$p$ bzw.\ von~$p_{\infty}$. + +Unter einer \so{quadratischen Form} versteht man jede +\index{Binäre quadratische Formen}% +\index{Ternäre quadratische Formen}% +ganze homogene Funktion zweiten Grades von mehreren Variablen\DPtypo{.}{,} +\[ +\Tag{(1)} +f(x_{1}, x_{2}, \dots x_{n}) + = a_{11} x_{1}^{2} + 2 a_{12} x_{1} x_{2} + a_{22} x_{2}^{2} + \dots + + a_{nn} x_{n}^{2}, +\] +deren Koeffizienten gewöhnliche rationale Zahlen sind. Nach der Anzahl~$n$ +dieser Variablen unterscheidet man \so{binäre}, \so{ternäre},~\dots\ quadratische +Formen, je nachdem $n = 2$,~$3$,~\dots\ ist. Wir werden im +folgenden fast nur binäre oder ternäre Formen zu betrachten haben. + +Eine Primzahl~$p$ heißt \so{ein Teiler der Form~$f(x_{i})$}, wenn +man den Variablen~$x_{i}$ solche nicht sämtlich verschwindende $p$-adische +Zahlwerte $x_{i} = \xi_{i}$ beilegen kann, daß +\[ +f(\xi_{1}, \xi_{2}, \dots \xi_{n}) = 0\ (p) +\] +ist. Ebenso heiße $p_{\infty}$~\so{ein Teiler der Form~$f(x_{i})$}, wenn die +Gleichung $f(\xi_{1}, \dots \xi_{n}) = 0\ (p_{\infty})$ durch $n$ nicht sämtlich verschwindende +reelle Zahlen $\xi_{1}$,~\dots~$\xi_{n}$ befriedigt werden kann. Wir wollen das Symbol: +\[ +\left(\frac{f(x_{i})}{p}\right) \quad\text{bzw.}\quad +\left(\frac{f(x_{i})}{p_{\infty}}\right)\quad +\text{gleich~$+1$ oder gleich~$-1$} +\] +setzen, je nachdem $p$ bzw.\ $p_{\infty}$ ein Teiler der quadratischen Form +$f(x_{1}, \dots x_{n})$ ist oder nicht. Die Frage, unter welchen Bedingungen +eine gegebene Primzahl~$p$ ein Teiler einer gegebenen Form ist, bildet +den Hauptgegenstand für die folgenden Untersuchungen. + +Wir betrachten die zu untersuchende Form~$f(x_{i})$ jetzt für einen der +Körper~$K(p)$ bzw.~$K(p_{\infty})$. +\PageSep{311}{295} + +Transformiert man die Variablen~$x_{i}$ in andere $y_{k}$ durch die Substitutionen: +\index{Aequivalente@{Äquivalente $g$-adische Zahlen}!quadratische Formen}% +\[ +\Tag{(2)} +\begin{alignedat}{3} +x_{1} &= \alpha_{11} y_{1} &&+ \alpha_{12} y_{2} &&+ \dots + \alpha_{1n} y_{n} \\ +x_{2} &= \alpha_{21} y_{1} &&+ \alpha_{22} y_{2} &&+ \dots + \alpha_{2n} y_{n} \\ +\PadTo{x_{n}}{\vdots} \\ +x_{n} &= \alpha_{n1} y_{1} &&+ \alpha_{n2} y_{2} &&+ \dots + \alpha_{nn} y_{n}, +\end{alignedat} +\] +in denen die $\alpha_{ik}$ dem betrachteten Körper angehören, so geht +$f(x_{1}, \dots x_{n})$ in eine neue Form +\[ +\Tag{(3)} +g(y_{1}, y_{2}, \dots y_{n}) + = b_{11} y_{1}^{2} + 2 b_{12} y_{1} y_{2} + \dots + b_{nn} y_{n}^{2} +\] +über, welche \so{die aus $f(x_{i})$ durch die Substitution~$(\alpha_{ik})$ +transformierte quadratische Form} genannt +wird. Kann man die Gleichungen~\Eq{(2)} nach $y_{1}$,~\dots~$y_{n}$ auflösen, so stellen +sich auch die $y_{i}$ durch die $x_{k}$ in der Form dar: +\[ +\Tag{(2^{a})} +\begin{alignedat}{3} +y_{1} &= \alpha'_{11} x_{1} &&+ \alpha'_{12} x_{2} &&+ \dots + \alpha'_{1n} x_{n} \\ +y_{2} &= \alpha'_{21} x_{1} &&+ \alpha'_{22} x_{2} &&+ \dots + \alpha'_{2n} x_{n} \\ +\PadTo{y_{n}}{\vdots} \\ +y_{n} &= \alpha'_{n1} x_{1} &&+ \alpha'_{n2} x_{2} &&+ \dots + \alpha'_{nn} x_{n}. +\end{alignedat} +\] +Alsdann geht nicht nur $f(x_{i})$ in $g(y_{i})$ durch die Substitution~$(\alpha_{ik})$, +sondern auch umgekehrt $g(y_{i})$ in $f(x_{i})$ durch die sog.\ \so{inverse Substitution~$(a'_{ik})$} +\index{Inverse Substitution}% +über. Zwei solche Formen sollen \so{äquivalent} +genannt werden. + +Jedem Wertsysteme $(\xi_{1}, \dots \xi_{n})$ entspricht durch die Gleichungen +\Eq{(2)}~und~\Eq{(2^{a})} ein einziges System $(\eta_{1}, \dots \eta_{n})$ und umgekehrt; speziell +entspricht dem "`Nullsystem"' $(0, 0, \dots 0)$ der~$x_{i}$ das Nullsystem +$(0, 0, \dots 0)$ der~$y_{i}$ und umgekehrt. + +Sind $f(x_{i})$ und $g(y_{i})$ äquivalente Formen, so ist $p$ dann und nur +dann ein Teiler der ersten, wenn $p$ auch ein Teiler der zweiten ist und +umgekehrt; denn ist $(\xi_{1}, \xi_{2}, \dots \xi_{n})$ eine von Null verschiedene Lösung +der Gleichung $f(\xi_{i}) = 0$, so ist für die transformierte Form und das +zugeordnete, von Null verschiedene System $(\eta_{1}, \eta_{2}, \dots \eta_{n})$\; $g(\eta_{i}) = 0$ +und umgekehrt. + +Für die Untersuchung, ob eine Form~$f(x_{i})$ einen Teiler~$p$ besitzt, +kann man also statt dieser eine beliebige äquivalente Form zugrunde legen. +\PageSep{312}{296} +Ebenso kann man natürlich die Form mit einer beliebigen, von Null +verschiedenen Zahl~$a$ multiplizieren oder dividieren, da ja $af(\xi_{i})$ dann +und nur dann Null ist, wenn $f(\xi_{i})$ verschwindet. + +Unter den umkehrbaren Transformationen, durch welche $f(x_{i})$ in +eine äquivalente Form~$g(y_{i})$ übergeht, hebe ich die nachstehenden einfachsten +hervor, welche im folgenden allein angewendet werden: +\[ +\Tag{(I)} +x_{i} = \alpha_{i} y_{i},\quad +y_{i} = \frac{1}{\alpha_{i}} x_{i},\qquad +\begin{Conditions} +(i = 1, 2, \dots n) +\end{Conditions} +\] +wo $\alpha_{1}$,~$\alpha_{2}$,~\dots~$\alpha_{n}$ beliebige von Null verschiedene Zahlen sind; +\[ +\Tag{(II)} +x_{1} = y_{1'},\quad +x_{2} = y_{2'},\ \dots\quad +x_{n} = y_{n'}, +\] +wo die Zahlen $1'$,~$2'$,~\dots~$n'$ irgendeine Permutation der Zahlen $1$,~$2$,~\dots~$n$ +bedeuten. Durch diese Transformation wird nur die Reihenfolge der +Variablen geändert. +\[ +\Tag{(III)} +\begin{alignedat}{5} +x_{1} &= y_{1} + ty_{2} && && y_{1} &&= x_{1} - tx_{2} \\ +x_{i} &= &&\ y_{i}\quad && y_{i} &&= &&\ x_{i}. +\end{alignedat} +\qquad +\begin{Conditions} +(i = 2, 3, \dots n) +\end{Conditions} +\] +Hierdurch geht $f(x_{i})$ über in: +\begin{gather*} +\Tag{(4)} +\begin{gathered} +g(y_{1}, \dots y_{n}) + = a_{11} (y_{1} + ty_{2})^{2} + 2a_{12} (y_{1} + ty_{2}) y_{2} + a_{22} y_{2}^{2} + \dots \\ + = a_{11} y_{1}^{2} + 2(a_{12} + ta_{11}) y_{1}y_{2} + (t^{2} a_{11} + 2ta_{12} + a_{22}) y_{2}^{2} + \dots. +\end{gathered} \\ +% +\Tag{(IV)} +\begin{alignedat}{4} +x_{1} &= y_{1} + \alpha y_{2} && && y_{1} &&= \frac{x_{1} + x_{2}}{2} \\ +x_{2} &= y_{1} - \alpha y_{2} && && y_{2} &&= \frac{x_{1} - x_{2}}{2\alpha} \\ +x_{i} &= &&\ y_{i}\quad && y_{i} &&= &&\ x_{i}. +\end{alignedat} +\qquad +\begin{Conditions} +(i = 3,\dots n) +\end{Conditions}. %[** TN: Small period in the original] +\end{gather*} + +Mit Hilfe dieser umkehrbaren Elementartransformationen ist es +nun stets möglich, die gegebene Form~$f(x_{i})$ durch eine Substitution +mit gewöhnlichen rationalen Zahlkoeffizienten in eine äquivalente Form +\[ +\Tag{(5)} +g(y_{i}) = \alpha_{1} y_{1}^{2} + \alpha_{2} y_{2}^{2} + \dots + \alpha_{n} y_{n}^{2} +\] +mit rationalen Koeffizienten zu transformieren, welche nur die Quadrate +der Unbestimmten enthält. Zunächst kann man nämlich $a_{11}$ von +Null verschieden voraussetzen. Denn wäre $a_{11} = 0$, aber etwa der +Koeffizient~$a_{ii}$ von~$x_{i}^{2}$ nicht Null, so führt die Substitution +\PageSep{313}{297} +\[ +x_{1} = y_{i}\DPtypo{}{,}\quad +x_{i} = y_{1},\quad +x_{k} = y_{k}\qquad +\begin{Conditions} +(k = 2, \dots n;\ k \neq i) +\end{Conditions} +\] +unsere Form in eine äquivalente: +\[ +g(y_{1}, \dots y_{n}) = a_{ii} y_{1}^{2} + \dots +\] +über, deren erstes Element nicht Null ist. Sind aber alle Elemente +$a_{11} = a_{22} = \dots = a_{nn} = 0$, und ist etwa $a_{12} \neq 0$, so liefert die Substitution: +\[ +x_{1} = y_{1} + y_{2},\quad +x_{2} = y_{1} - y_{2},\quad +x_{i} = y_{i}\qquad +\begin{Conditions} +(i = 3, 4, \dots n) +\end{Conditions} +\] +eine äquivalente Form +\[ +g(y_{1}, \dots y_{n}) = 2a_{12} x_{1} x_{2} + \dots = 2a_{12} y_{1}^{2} - \dots, +\] +welche die verlangte Eigenschaft hat. Wir können somit von vornherein +$a_{11}$ von Null verschieden voraussetzen. Dann können wir aber zunächst +alle Elemente $a_{12}$,~$a_{13}$,~\dots~$a_{1n}$ zu Null machen. Ist nämlich $a_{12}$ etwa von +Null verschieden, so liefert die Substitution~\Eq{(III)} für $t = -\dfrac{a_{12}}{a_{11}}$ +nach \Eq{(4)} eine äquivalente Form +\[ +g(y_{1}, y_{2}, \dots y_{n}) = a_{11} y_{1}^{2} + 0·y_{1} y_{2} + \dots, +\] +und durch entsprechende Substitutionen~\Eq{(III)} +\begin{align*} +y_{1} &= y'_{1} + \tau y'_{3} \\ +\DotRow{2} +\end{align*} +können der Reihe nach die anderen Koeffizienten $a_{13}$,~\dots~$a_{1n}$ zu Null +gemacht werden. + +In der so umgeänderten Form: +\[ +h(z_{1}, \dots z_{n}) + = a'_{11} z_{1}^{2} + \sum_{2}^{n} \sum_{2}^{n} a'_{ik} z_{i} z_{k} +\] +kann nun die nach Abspaltung des ersten Gliedes übrig bleibende quadratische +Form von $z_{2}$,~$z_{3}$,~\dots~$z_{n}$ in genau derselben Weise so transformiert +werden, daß auch hier nur das Quadrat der zweiten Variablen übrig +bleibt, vorausgesetzt, daß auch nur eine der Zahlen $a'_{ik} \neq 0$ ist. In derselben +Weise kann man fortfahren, bis die transformierte Form überhaupt +nur die Quadrate der n Variablen enthält. Wir können und wollen +daher die Form~$f(x_{i})$ gleich in dieser Gestalt: +\PageSep{314}{298} +\[ +\Tag{(5)} +f(x_{i}) = \alpha_{1} x_{1}^{2} + \alpha_{2} x_{2}^{2} + \dots + \alpha_{n} x_{n}^{2} +\] +gegeben voraussetzen, in welcher die Koeffizienten~$\alpha_{i}$ gewöhnliche rationale +Zahlen sind. + +Wir betrachten die Form~\Eq{(5)} jetzt für einen der Körper~$K(p)$ bzw.\ +$K(p_{\infty})$ und untersuchen, wann der betreffende Divisor~$p$ oder~$p_{\infty}$ ein +Teiler jener Form ist. Dabei setzen wir der Einfachheit wegen ein für +allemal voraus, daß keine der Zahlen~$\alpha_{i}$ gleich Null ist. Zunächst können +wir von vornherein $\alpha_{1} = 1$ annehmen, da man ja sonst $f$ durch die von +Null verschiedene Konstante~$\alpha_{1}$ dividieren kann. Es sei nun: +\[ +\alpha_{i} = \epsilon_{i} a_{i}^{2}\ (p),\qquad +\begin{Conditions} +(i = 2, 3, \dots n) +\end{Conditions} +\] +wo $a_{i}^{2}$ die größte in $\alpha_{i}$ enthaltene Quadratzahl des betreffenden Körpers~$K(p)$ +bedeutet, so führt die Transformation: +\[ +a_{i} x_{i} = y_{i} +\] +die Form~$f(x_{i})$ über in die äquivalente +\[ +\Tag{(5^{a})} +\begin{aligned} +g(y_{i}) &= \sum \alpha_{i} x_{i}^{2} = \sum \epsilon_{i} (a_{i} x_{i})^{2} \\ + &= y_{1}^{2} + \epsilon_{2} y_{2}^{2} + \dots + \epsilon_{n} y_{n}^{2}, +\end{aligned} +\] +und wir können daher von vornherein alle Koeffizienten~$\alpha_{i}$ als befreit +von ihren quadratischen Faktoren voraussetzen. + +Je nachdem nun der betrachtete Bereich $K(p)$,~$K(2)$ oder~$K(p_{\infty})$ +ist, kann jede von Null verschiedene Zahl~$\alpha$ in einer der drei Formen: +\[ +\Tag{(6)} +\begin{alignedat}{2} +\alpha &= p^{2a+\delta} w^{2b+\epsilon} e^{2c} = p^{\delta} w^{\epsilon} (p^{a} w^{b} e^{c})^{2} &&(p) \\ +\alpha &= 2^{2a+\delta} (-1)^{\epsilon} e^{4\zeta+8c} = 2^{\delta} (-1)^{\epsilon} e^{4\zeta} (2^{a} e^{4c})^{2}\quad && (2) \\ +\alpha &= (-1)^{\epsilon} (e^{c})^{2} && (p_{\infty}) +\end{alignedat} +\] +dargestellt werden, wo $\delta$,~$\epsilon$,~$\zeta$ Null oder Eins sein können und wo für +den Bereich von~$2$\; $e^{4\zeta}$~auch durch $5^{\zeta}$ ersetzt werden kann, da sich beide +Zahlen um eine dyadische Quadratzahl unterscheiden. Es ergibt sich +also der Satz: +\begin{Theorem} +Jede quadratische Form mit rationalen Koeffizienten ist für +\index{Reduzierte Form}%[** TN: Original extry points to page 296] +den Bereich $K(p)$,~$K(2)$,~$K(p_{\infty})$ einer sog.\ \so{reduzierten +Form}: +\[ +f(x_{i}) = x_{1}^{2} + \epsilon_{2} x_{2}^{2} + \epsilon_{3} x_{3}^{2} + \dots + \epsilon_{n} x_{n}^{2} +\] +\PageSep{315}{299} +äquivalent, wo die reduzierten Koeffizienten~$\epsilon$ in den drei unterschiedenen +Fällen bzw.\ +\[ +\Tag{(7)} +p^{\delta} w^{\epsilon},\quad +2^{\delta} (-1)^{\epsilon} 5^{\zeta},\quad +(-1)^{\epsilon} +\] +sein können, wenn $\delta$,~$\epsilon$,~$\zeta$ Null oder Eins sind. Nur diese reduzierten +Formen sind also auf ihre Teiler $p$,~$2$,~$p_{\infty}$ zu untersuchen. +\end{Theorem} + +Zunächst erkennt man, daß eine Form~$f(x_{i})$ dann und nur dann +den Teiler~$p_{\infty}$ besitzt, wenn mindestens einer der Koeffizienten +$\epsilon_{i} = -1$ ist. Ist nämlich \zB\ $\epsilon_{2} = -1$, so besitzt ja die Gleichung +\[ +x_{1}^{2} - x_{2}^{2} + \epsilon_{3} x_{3}^{3} + \dots + \epsilon_{n} x_{n}^{2} = 0\ (p_{\infty}) +\] +die von Null verschiedene Lösung $(1, 1, 0, \dots 0)$. Sind dagegen +alle $\epsilon_{i} = +1$, so hat die Summe: +\[ +x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots x_{n}^{2} = 0 +\] +im Bereiche der reellen Zahlen offenbar nur die Lösung $(0, 0, \dots 0)$. +Die beiden anderen Fälle, wo der Teiler $p$ oder $2$ ist, sollen in den +beiden nächsten Abschnitten für die binären und ternären Formen +genau untersucht werden. Hier werde nur noch eine für das Folgende +wichtige allgemeine Bemerkung angefügt. + +Soll die Gleichung: +\[ +f(x_{i}) = x_{1} ^{2} + \epsilon_{2} x_{2}^{2} + \dots + \epsilon_{n} x_{n}^{2} = 0\ (p) +\] +\Errata{m}{im} Körper~$K(p)$ eine Lösung $(\xi_{1}, \xi_{2}, \dots \xi_{n})$ haben, so kann man sie +stets als ganz und mindestens eine der Größen $\xi_{i}$ als Einheit voraussetzen, +denn anderenfalls kann man ja die ganze Gleichung $f(\xi_{i}) = 0$ +durch das Quadrat des größten gemeinsamen Teilers $d$ von $\xi_{1}$,~$\xi_{2}$,~\dots~$\xi_{n}$ +dividieren, wodurch man eine neue Lösung $\dfrac{\xi_{1}}{d}$,~$\dfrac{\xi_{2}}{d}$,~\dots~$\dfrac{\xi_{n}}{d}$ erhält, die +der obigen Forderung entspricht. + +Ich wende die bisher gefundenen Resultate noch an auf die Untersuchung +der Frage, welche Primfaktoren die durch eine \emph{ganzzahlige} +quadratische Form darstellbaren ganzen rationalen Zahlen +\[ +m = a_{11} \xi_{1}^{2} + 2a_{12} \xi_{1} \xi_{2} + \dots + a_{nn} \xi_{n}^{2} + = f(\xi_{i}) +\] +enthalten können und welche nicht. Ich brauche hier nur die sog.\ +\PageSep{316}{300} +\index{Eigentliche Darstellung e.\ ganzen Zahl durch eine Form}% +\so{eigentlichen}, \dh\ diejenigen ganzzahligen Darstellungen von~$m$ zu +betrachten, bei denen $(\xi_{1}, \xi_{2}, \dots \xi_{n})$ keinen gemeinsamen Teiler haben. +Haben diese Zahlen nämlich den größten gemeinsamen Teiler~$d$, ist +also allgemein $\xi_{1} = d\xi_{1}^{(0)}$ so muß ja $m = d^{2}·m_{0}$ durch $d^{2}$ teilbar +sein, und hier ergibt sich dann die eigentliche Darstellung: +\[ +m_{0} = a_{11} \xi_{1}^{(0)2} + 2a_{12} \xi_{1}^{(0)} \xi_{2}^{(0)} + \dots + a_{nn} \xi_{n}^{(0)2} +\] +von $m_{0}$ durch dieselbe Form. + +Eine Primzahl~$p$ heiße in einer quadratischen Form $f(x_{1}, x_{2}, \dots x_{n})$ +\index{Aequivalente@{Äquivalente $g$-adische Zahlen}!quadratische Formen modulo~$p$}% +\so{enthalten}, wenn diese für ein durch $p$ nicht teilbares Wertsystem +$(\xi_{1}, \xi_{2}, \dots \xi_{n})$ einen durch $p$ teilbaren Wert $m$ besitzt. + +Nennen wir auch hier zwei Formen $f(x_{i})$~und~$g(y_{i})$ \so{modulo~$p$ +äquivalent}, wenn jede in die andere durch eine modulo~$p$ ganze +Substitution und durch Multiplikation mit einer durch $p$ nicht teilbaren +ganzen Zahl übergeht, so erkennt man genau, wie \aSeite{295} unten, +daß äquivalente Formen dieselben Primzahlen enthalten. + + +\Section{§ 3.}{Die binären quadratischen Formen und ihre Teiler.} + +Auf Grund der vereinfachenden Voraussetzungen über die zu untersuchende +Form, welche wir im vorigen Abschnitte gefunden haben, +können wir nun leicht entscheiden, ob eine binäre oder eine ternäre +quadratische Form einen bestimmten Teiler $p$,~$2$ oder~$p_{\infty}$ enthält. +Ist $f$ zunächst eine binäre Form, so können wir sie stets folgendermaßen +gegeben voraussetzen: +\[ +\Tag{(1)} +f(x, y) = x^{2} + \epsilon y^{2}, +\] +wo $\epsilon$ für ein ungerades $p$ nur die $4$~Werte: +\[ +\Tag{(2)} +1,\quad w,\quad p,\quad pw, +\] +für $p = 2$ aber einen der $8$~Werte: +\[ +\Tag{(2^{a})} +±1,\quad ±5,\quad ±2,\quad ±2·5 +\] +haben kann, während für $p = p_{\infty}$\; $\epsilon = ±1$ ist. Die Gleichung: +\[ +x^{2} + \epsilon y^{2} = 0\ (p) +\] +ist nun stets und nur dann erfüllt, wenn +\PageSep{317}{301} +\[ +\Tag{(3)} +\left(\frac{x}{y}\right)^{2} = -\epsilon\ (p) +\] +\dh\ $\left(\dfrac{-\epsilon}{p}\right) = +1$, wenn also $-\epsilon$ eine $p$-adische Quadratzahl ist. Daraus +folgt sofort, daß $p$ sicher kein Teiler der Form~$f(x, y)$ sein kann, wenn~$\epsilon$, +also auch~$-\epsilon$, durch $p$ teilbar, \dh\ keine Einheit ist. Ist aber $\epsilon$~eine +Einheit, so muß für ein ungerades~$p$: +\[ +\left(\frac{-\epsilon}{p}\right) + = \left(\frac{-1}{p}\right) \left(\frac{\epsilon}{p}\right) + = (-1)^{\efrac{p-1}{2}} \left(\frac{\epsilon}{p}\right) + = +1, +\] +also $\left(\dfrac{\epsilon}{p}\right) = (-1)^{\efrac{p-1}{2}}$ sein. Da nun für $\epsilon$ gleich~$1$ bzw.\ $w\left(\dfrac{\epsilon}{p}\right)$ gleich~$+1$ +bzw.\ $-1$ ist, so besitzt von den beiden Formen $x^{2} + y^{2}$ und $x^{2} + wy^{2}$ +die erste oder die zweite den Teiler~$p$, je nachdem $p = 4n + 1$ oder +$4n + 3$ ist, die andere aber nicht. + +Für $p = 2$ ist nach dem Satze \aSeite{260} von den acht Werten~\Eq{(2^{a})} +von~$-\epsilon$ allein $-\epsilon = +1$ quadratischer Rest zu~$2$; nur die Form +$x^{2} - y^{2}$ besitzt also den Teiler~$2$. Endlich hat allein die Form $x^{2} - y^{2}$ +den Teiler~$p_{\infty}$. + +Wir erhalten also den folgenden Satz: +\begin{Theorem} +Von den für den Bereich $p$,~$2$,~$p_{\infty}$ reduzierten vier, acht, zwei +binären quadratischen Formen besitzt jedesmal eine einzige den +zugehörigen Teiler, nämlich für ein ungerades $p$ die Form $x^{2} + y^{2}$ +oder $x^{2} + wy^{2}$, je nachdem $p = 4n + 1$ oder $4n + 3$ ist, für $p = 2$ +und für $p = p_{\infty}$ jedesmal die Form~$x^{2} - y^{2}$. +\end{Theorem} + +Jede binäre quadratische Form\footnote + {Bei den binären Formen ist es zweckmäßig, den mittleren Koeffizienten + durch $\Errata{2b}{b}$ zu bezeichnen.} +\[ +f(x, y) = ax^{2} + bxy + cy^{2} +\] +kann, falls nicht beide äußeren Koeffizienten $a$~und~$c$ Null sind, wenn +also \zB\ $a \neq 0$ ist, folgendermaßen geschrieben werden: +\[ +\Tag{(4)} +4af(x, y) = (2ax + by)^{2} - (b^{2} - 4ac)y^{2} = \xi^{2} - D\eta^{2}, +\] +wo +\[ +\Tag{(4^{a})} +D = b^{2} - 4ac +\] +\PageSep{318}{302} +\so{die Diskriminante der Form~$f$} genannt wird. Sie geht also +\index{Diskriminante binärer Formen}% +durch die umkehrbare Substitution: +\[ +\Tag{(5)} +\begin{alignedat}{4} + \xi &= 2ax + b&&y,\qquad & x &= \frac{1}{2a} \xi - \frac{b}{2a}&& \eta \\ +\eta &= &&y, & y &= && \eta +\end{alignedat} +\] +und durch Multiplikation mit der von Null verschiedenen Zahl~$4a$ in +die Form $\xi^{2} - D\eta^{2}$ über. Führt man diese in die reduzierte Form +$\bar{\xi}^{2} + \epsilon \bar{\eta}^{2}$ über und beachtet, daß sich dann $+\epsilon$ von~$-D$ nur um eine +Quadratzahl für den betreffenden Bereich unterscheidet, daß also +$\left(\dfrac{-\epsilon}{p}\right) = \left(\dfrac{D}{p}\right)$ ist, so folgt, daß die ursprüngliche Form dann und nur +dann den Divisor $p$,~$2$ oder~$p_{\infty}$ enthält, wenn das zugehörige Symbol +$\left(\dfrac{D}{p}\right) = +1$ ist. In dem vorher ausgeschlossenen Falle $a = c = 0$ gilt +genau dasselbe, denn dann enthält die Form $f(x, y) = bxy$ jede Primzahl~$p$ +als Teiler, da sie für $x = 0$, $y \neq 0$ verschwindet; und da in diesem +Falle auch +\[ +\left(\frac{D}{p}\right) = \left(\frac{b^{2}}{p}\right) = +1 +\] +ist, so bildet dieser Fall keine Ausnahme für unser allgemeines Resultat. +Es gilt also der Satz: +\begin{Theorem} +Für die quadratische Form $f(x, y) = ax^{2} + bxy + cy^{2}$ besteht +stets die Gleichung: +\[ +\Tag{(6)} +\left(\frac{f(x, y)}{p}\right) = \left(\frac{D}{p}\right), +\] +wenn $D = b^{2} - 4ac$ ihre Diskriminante ist. +\end{Theorem} + +Es sei nun +\[ +f(x, y) = ax^{2} + bxy + cy^{2} +\] +eine binäre quadratische Form, und $p$~eine ungerade Primzahl, welche +weder in ihrer Diskriminante $D = b^{2} - 4ac$ noch zugleich in beiden +äußeren Koeffizienten $a$~und~$c$ enthalten ist. Dann folgt aus den Gleichungen~\Eq{(5)}, +daß auch modulo~$p$\; $f(x, y)$~äquivalent der reduzierten Form +$\xi^{2} - D\eta^{2}$ ist; und da die Kongruenz +\PageSep{319}{303} +\[ +\xi^{2} - D\eta^{2} \equiv 0\ (\mod.~p) +\] +dann und nur dann eine Lösung außer der selbstverständlichen $\xi \equiv \eta \equiv 0$ +besitzt, wenn $\left(\dfrac{\xi}{\eta}\right)^{2} \equiv D\ (\mod.~p)$, wenn also $\left(\dfrac{D}{p}\right) = +1$ ist, und da genau +dasselbe gilt, wenn $a \equiv c \equiv 0\ (\mod.~p)$ also $D \equiv bxy\ (\mod.~p)$ ist, +wie ganz ebenso wie a.~vor.~S. bewiesen wird, so ergibt sich der Satz: +\begin{Theorem} +Alle durch eine binäre quadratische Form eigentlich darstellbaren +Zahlen: +\[ +m = ax^{2} + bxy + cy^{2} +\] +enthalten außer ev.\ den Teilern der Diskriminante $D = b^{2} - 4ac$ nur +solche ungerade Primzahlen~$p$, für welche $\left(\dfrac{D}{p}\right) = +1$, aber keine +einzige, für welche $\left(\dfrac{D}{p}\right) = -1$ ist. +\end{Theorem} +Eine ganze Zahl~$m$ kann daher nur dann durch eine quadratische +Form $f(x, y)$ eigentlich darstellbar sein, wenn sie keine einzige ungerade +Primzahl enthält, zu der $D$ Nichtrest ist. + +\begin{Examples} +Beispiele: Ist speziell $b = 0$, so sind in der Form $ax^{2} + cy^{2}$ nur solche +ungerade Primzahlen~$p$ enthalten, für welche $\left(\dfrac{-4ac}{p}\right) = \left(\dfrac{-ac}{p}\right) = +1$ +ist. So sind \zB\ durch die Form $x^{2} + y^{2}$ nur solche Zahlen eigentlich +darstellbar, für deren ungerade Primfaktoren $\left(\dfrac{-1}{p}\right) = +1$ ist, welche +also nur Primfaktoren von der Form $4n + 1$ enthalten. In der Form +$x^{2} + 2y^{2}$ sind außer $2$ nur Primzahlen~$p$ enthalten, für welche $\left(\dfrac{-2}{p}\right) = +1$ +ist, welche also nach \Seite{280}~\Eq{(I)} von der Form $8n + 1$ oder $8n + 3$ sind. Die +Form $x^{2} - 2y^{2}$ enthält außer $2$ nur Primteiler, für welche $\left(\dfrac{2}{p}\right) = +1$ +ist, welche also von der Form $8n ± 1$ sind. Die Form $x^{2} + 3y^{2}$ stellt +nur Zahlen~$m$ eigentlich dar, für deren ungerade Primfaktoren außer~$3$\; +$\left(\dfrac{-3}{p}\right) = +1$ ist, welche also alle von der Form $6n + 1$ sind,~usw. +\end{Examples} + +Diese Sätze geben uns die Möglichkeit, in manchen Fällen den +\index{Arithmetische Reihe, Primzahlen in einer}% +bereits auf \Seite{32} erwähnten Satz wunderbar einfach zu beweisen, daß +in jeder arithmetischen Reihe $ax + b$, wenn $(a, b) = 1$ ist, unendlich +\PageSep{320}{304} +viele Primzahlen enthalten sind; in diesen Fällen kann nämlich der +Beweis dieses allgemeinen Satzes genau ebenso geführt werden, wie in +dem auf \Seite{30} angegebenen Euklidischen Beweise dafür, daß die Anzahl +\emph{aller} Primzahlen unendlich groß ist. Zunächst gebe ich zwei +Fälle dieses Satzes, welche die Theorie der quadratischen Formen noch +nicht voraussetzen: + +\begin{Examples} +\Item{\DPchg{1.}{1)}} Es gibt unendlich viele Primzahlen von der Form~$4n - 1$. + +Angenommen nämlich, die Anzahl dieser Primzahlen $3$,~$7$, $11$, $19$,~\dots~$p$ +sei endlich, und $p$ sei die letzte unter ihnen, so ist die aus ihnen gebildete +Zahl +\[ +m = 4(3·7·11· \dots p) - 1 +\] +ungerade und von der Form~$4n - 1$; sie muß also mindestens einen +Primfaktor von derselben Form haben, und da sie durch $3$,~$7$,~\dots~$p$ +geteilt stets den Rest~$-1$ läßt, so gibt es außer diesen sicher noch weitere +Primzahlen dieser Form; unsere Behauptung ist also bewiesen. + +\Item{\DPchg{2.}{2)}} Es gibt unendlich viele Primzahlen der Form~$6n - 1$. + +Alle Primzahlen außer $3$ haben entweder die Form~$6n + 1$ oder +$6n - 1$. Wäre nun die Anzahl der letzteren endlich und $p$~die letzte +unter ihnen, so wäre wieder die aus ihnen gebildete Zahl +\[ +m = 6(5·11·17·23 \dots p) - 1 +\] +von derselben Form; sie müßte also mindestens einen Primfaktor~$6n - 1$ +haben, und daraus schließen wir genau wie vorher, daß es zum mindesten +eine Primzahl $q = 6n - 1$ geben muß, welche größer als $p$ ist. + +\Item{\DPchg{3.}{3)}} Es gibt unendlich viele Primzahlen $p = 4n + 1$. + +Wäre nämlich die Anzahl $5$,~$13$, $17$, $29$,~\dots~$p$ dieser Primzahlen +endlich, und $p$~die letzte, so hätte die Zahl +\[ +m = (2·5·13 \dots p)^{2} + 1^{2}, +\] +da sie von der Form $x^{2} + y^{2}$ ist, nur Teiler von der Form~$4n + 1$, +und da sie durch die vorher angegebenen nicht teilbar ist, so muß es +außer diesen sicher noch andere geben. + +\Item{\DPchg{4.}{4)}} Es gibt unendlich viele Primzahlen der Form~$8n + 5$. +\PageSep{321}{305} + +Der Beweis wird genau ebenso wie in~\Eq{(3)} geführt: Angenommen, die +Anzahl dieser Primzahlen $5$,~$13$,~\dots~$p$ wäre endlich, und $p$ ihre letzte; +die aus ihnen gebildete Zahl +\[ +m = (2·5·13 \dots p)^{2} + 1 = x^{2} + y^{2} +\] +hat nur Teiler von der Form~$4n + 1$; alle ihre Primfaktoren haben also +die Form $8n + 1$ oder~$8n + 5$. Da sie selbst aber offenbar die Form +$8n + 5$ hat, so muß wenigstens einer ihrer Primfaktoren dieselbe Form +besitzen und von den vorher aufgeführten verschieden sein. +\end{Examples} + +Ganz ebenso folgt aus der Betrachtung der Zahl +\[ +m = (7·13·19 \dots p)^{2} + 3·1^{2}, +\] +welche nach \Seite{303} unten außer $2$ nur Primteiler von der Form +$6n + 1$ hat, daß die Anzahl aller dieser Primzahlen unendlich groß +sein muß. Ist $m = (11·19·43 \dots p)^{2} + 2·1^{2}$, wo in der Klammer +alle Primzahlen der Form $8n + 3$ bis zu einer gewissen $p$ hin stehen, +so hat $m$ nach \Seite{303} nur Primteiler der Formen $8n + 1$ und $8n + 3$; +da sie aber selbst von der letzteren Form ist, so muß auch mindestens +einer ihrer Primfaktoren dieselbe Form haben. Also ist die Anzahl +aller Primzahlen von der Form $8n + 3$ unendlich groß. + +Dasselbe folgt für die Primzahlen $8n - 1$ aus der Betrachtung der +Zahl $m = (7·23 \dots p)^{2} - 2·1^{2}$, welche selbst von der Form $8n - 1$ +ist und nach \Seite{303} lauter Primteiler der Form $8n ± 1$ besitzt. Ebenso +zeigt man, daß in der arithmetischen Reihe $12n - 1$ unendlich viele +Primzahlen vorkommen, weil die Zahl $m = (11·23·47·59 \dots p)^{2} - 3·1^{2}$ +nach \Seite{281}~III außer $2$ nur Primfaktoren $12n ± 1$ besitzt, und zwar +mindestens einen der zweiten Form haben muß, weil sie offenbar +kongruent~$-2$ modulo~$24$, also von der Form $2(12n - 1)$ ist. + +Es gibt unendlich viele Primzahlen $10n - 1$, weil +\[ +m = (19·29·59 \dots p)^{2} - 5·1^{2}, +\] +wie man nach \Seite{281}~IV leicht erkennt, außer $2$ nur Primfaktoren +$10n ± 1$ hat; und da $m$ selbst von der Form $20n + 1 - 5 = 4(5n - 1)$ +ist, so muß $m$ mindestens einen Primfaktor $q = 10n - 1$ besitzen. + +Wie bereits \aSeite{30} erwähnt wurde, ist es bis jetzt nicht gelungen, +den soeben in speziellen Fällen behandelten Dirichletschen Satz über die +\PageSep{322}{306} +arithmetische Reihe auf rein arithmetischem Wege ohne analytische +Hilfsmittel zu beweisen. Jedoch läßt sich ein solcher Beweis auch für +die speziellen Reihen $ax + 1$ und $ax - 1$ erbringen, wie Genocchi +Annali di matematica, Ser.~2, Bd.~2, S.~256 zuerst vollständig bewiesen +hat. Neuerdings hat Herr I.~Schur (Sitzungsber.\ d.\ Berl.\ math.\ Ges.\ +1912, S.~40) für unendlich viele weitere arithmetische Reihen den gleichen +Beweis elementar geführt, \zB\ für die Reihen: +\[ +2^{n} x + (2^{n-1} ± 1),\quad +8ax + (2a + 1),\quad +8ax + (4a + 1),\quad +8ax + (6a + 1), +\] +wo $a$~eine beliebige quadratfreie ungerade Zahl bedeuten kann. Allgemein +beweist er den folgenden Satz: +\begin{Theorem} +Ist $b^{2} \equiv 1\ (\mod.~a)$, und kennt man mindestens eine Primzahl +der Reihe $ax + b$, die größer als $\dfrac{\phi(a)}{2}$ ist, so kann man elementar +schließen, daß in der Reihe $ax + b$ unendlich viele Primzahlen enthalten +sind. +\end{Theorem} + +Wir wollen eine binäre Form $f(x, y) = ax^{2} + bxy + cy^{2}$ für den +Bereich einer Primzahl~$p$ \so{definit} nennen, wenn sie nur Quadratzahlen +oder nur Nichtquadratzahlen darstellt; sie soll \so{indefinit} heißen, +wenn sie sowohl Quadrate wie Nichtquadrate darstellt. Auch diese +Eigenschaft bleibt offenbar bei einer beliebigen Transformation und bei +der Multiplikation mit irgendeiner Einheit modulo~$p$ ungeändert. Wir +betrachten aber nur den Fall einer \emph{ungeraden} Primzahl~$p$, welche +kein Teiler der Diskriminante~$D$ ist. Dann besteht der Satz: +\begin{Theorem} +Eine ganzzahlige Form $f(x, y)$ enthält eine beliebige, nicht in $D$ +aufgehende Primzahl~$p$ entweder als Teiler, oder sie ist für den +Bereich von~$p$ indefinit. +\end{Theorem} + +Ich brauche also nur zu zeigen, daß, falls $\left(\dfrac{D}{p}\right) = -1$ ist, $f(x, y)$ +sowohl Quadrate als Nichtquadrate darstellt, und zwar kann dieser +Beweis für die zu $f(x, y)$ äquivalente Form $\xi^{2} - D\eta^{2}$ geführt werden. +Nehmen wir etwa an, diese Form stellte \zB\ lauter Nichtreste dar, so +erhielte man auch lauter Nichtreste, wenn man $\xi = 1$, $2$,~\dots~$\dfrac{p - 1}{2}$ und +$\eta$ jedesmal gleich~$1$ wählt. Da dann $\xi^{2}$ alle inkongruenten Reste +\PageSep{323}{307} +$a_{1}$,~\dots~$a_{\efrac{p-1}{2}}$ durchläuft, und da alle $\dfrac{p - 1}{2}$ Zahlen $(a_{i} - D)$ offenbar +modulo~$p$ inkongruent sind, so ergeben sich hiernach die $\dfrac{p - 1}{2}$ Kongruenzen: +\[ +a_{i} - D \equiv b_{i};\ (\mod.~p),\qquad +\begin{Conditions} +(i = 1, 2, \dots \frac{p - 1}{2}) +\end{Conditions} +\] +wo die $a_{i}$ alle Reste, die $b_{i}$ alle Nichtreste sind. Addiert man aber alle +diese Kongruenzen und beachtet, daß nach \Seite{267} oben $\sum a_{i} \equiv \sum b_{i} \equiv 0\ +(\mod.~p)$ ist, so würde sich $-D·\dfrac{p - 1}{2} \equiv 0\ (\mod.~p)$ ergeben, was mit +unserer Voraussetzung über~$D$ im Widerspruch steht. Da die Annahme, +die Form stellte lauter Reste dar, genau ebenso als unrichtig +erwiesen wird, so ist unser Satz vollständig bewiesen. Auch für +$p = 3$, wo dieser Beweis nicht gilt, stellt die Form $\xi^{2} + \eta^{2}$ sowohl +$1$ als $2$ dar, ist also indefinit. + + +\Section{§ 4.}{Die ternären quadratischen Formen und ihre Teiler.} + +Ich wende mich jetzt zur Untersuchung der ternären quadratischen +Formen und ihrer Teiler. Nach \Seite{298}~\Eq{(5)} kann ich sie von vornherein +in der Form: +\[ +f(x, y, z) = ax^{2} + by^{2} + cz^{2} +\] +gegeben voraussetzen, wo $a$,~$b$,~$c$ beliebige von Null verschiedene +rationale Zahlen sind. Ich will das \aSeite{294} allgemein definierte +Symbol jetzt auch in der folgenden Form schreiben: +\[ +\Tag{(1)} +\left(\frac{f}{p}\right) = \left(\frac{a, b, c}{p}\right): +\] +dasselbe ist also~$±1$, je nachdem die Gleichung $ax^{2} + by^{2} + cz^{2} = 0\ (p)$ +eine von Null verschiedene Lösung hat oder nicht. + +Wir wollen und können dasselbe Symbol auch gleich~$±1$ annehmen, +je nachdem die Gleichung $f = 0$ eine Lösung $(\xi, \eta, \zeta)$ hat, in welcher +\emph{alle drei} Zahlen von Null verschieden sind oder nicht. Zwei von ihnen +können offenbar nicht Null sein, ohne daß auch die dritte verschwindet. +Besitzt aber jene Gleichung eine Lösung $(0, \eta, \zeta)$, in welcher eine Unbekannte, +\PageSep{324}{308} +\zB\ $x = 0$ ist, so kann man aus ihr stets eine solche +herleiten, in welcher alle drei Unbekannten von Null verschieden sind. + +In der Tat, ist $(\eta, \zeta)$ eine von Null verschiedene Lösung der Gleichung +\[ +b\eta^{2} + c\zeta^{2} = 0, +\] +so müssen offenbar beide Größen $\eta$~und~$\zeta$ von Null verschieden sein. +Sollen nun $x$,~$y$,~$z$ so gewählt werden, daß +\[ +ax^{2} + by^{2} + cz^{2} = 0\ (p) +\] +ist, so folgt durch Subtraktion der vorigen Gleichung: +\[ +ax^{2} + b(y^{2} - \eta^{2}) + c(z^{2} - \zeta^{2}) = 0. +\] + +Wir setzen nun $z = \zeta$ und suchen dann $x$~und~$y$ so zu bestimmen, +daß +\[ +ax^{2} + b(y^{2} - \eta^{2}) = 0, +\] +daß also: +\[ +ax^{2} = b(\eta - y) (\eta + y) +\] +wird. Zu dem Zwecke zerlegen wir $b$ irgendwie in das Produkt $b = b_{1} b_{2}$ +von zwei ganzen oder gebrochenen Faktoren und wählen $x$~und~$y$ so, daß +\[ +ax = b_{1} (\eta - y),\quad + x = b_{2} (\eta + y) +\] +ist. Aus diesen beiden Gleichungen folgt durch Division: +\[ +a = \frac{b_{1}}{b_{2}}·\frac{\eta - y}{\eta + y}, \quad\text{also}\quad +\frac{\eta - y}{\eta + y} = \gamma, +\] +wo +\[ +\gamma = \frac{ab_{2}}{b_{1}} = \frac{ab}{b_{1}^{2}} +\] +gesetzt ist. Wir wählen nun den bis jetzt ganz beliebigen Teiler $b_{1}$ von $b$ +nur so, daß $\gamma \neq ±1$ ist. Dann wird $y = \eta \dfrac{1 - \gamma}{1 + \gamma}$ weder Null noch +unendlich, und aus der obigen Gleichung ergeben sich also die Werte +\[ +x = 2b_{2} \eta·\frac{1}{1 + \gamma},\quad +y = \eta\Add{·} \frac{1 - \gamma}{1 + \gamma},\quad +z = \zeta, +\] +welche alle von Null verschieden sind. +\PageSep{325}{309} + +Um nun ebenso wie für die binären Formen zu entscheiden, welche +ternären Formeln eine gegebene Primzahl~$p$ enthalten, schreiben wir +auch sie in der reduzierten Form: +\[ +\Tag{(1^{a})} +f = x^{2} + \epsilon_{1} y^{2} + \epsilon_{2} z^{2}, +\] +wo $\epsilon_{1}$ und $\epsilon_{2}$ reduzierte Zahlen sind. Hier unterscheiden wir nun die +beiden Fälle, daß entweder $\epsilon_{1}$~und~$\epsilon_{2}$ Einheiten sind, oder daß wenigstens +eine von ihnen durch $p$ teilbar ist. Dann beweise ich zuerst den +folgenden Satz: +\begin{Theorem} +Sind $\epsilon_{1}$ und $\epsilon_{2}$ beide Einheiten, so besitzt die Form~$f$, falls $p$ +ungerade ist, stets den Teiler~$p$, \dh\ in diesem Falle ist stets +$\left(\dfrac{1, \epsilon_{1}, \epsilon_{2}}{p}\right) = +1$. +\end{Theorem} + +Löst man nämlich die Gleichung $f = 0$ nach $x^{2}$ auf, so folgt aus ihr: +\[ +x^{2} = (-\epsilon_{1}) y^{2} + (-\epsilon_{2}) z^{2}, +\] +wo auch $(-\epsilon_{1}, -\epsilon_{2})$ Einheiten sind. Nach dem \aSeite{306} bewiesenen +Satze besitzt nun die rechts stehende binäre Form entweder den Teiler~$p$, +oder sie ist indefinit, \dh\ sie stellt sowohl Quadrate als auch Nichtquadrate +dar. In jedem Falle kann man also zwei von Null verschiedene +Zahlen $\eta$~und~$\zeta$ so finden, daß: +\[ +(-\epsilon_{1}) \eta^{2} + (-\epsilon_{2}) \zeta^{2} = \xi^{2} +\] +wird, wo $\xi$~eine $p$-adische Zahl ist, welche auch Null sein kann. Hiernach +ist aber +\[ +x = \xi,\quad y = \eta,\quad z = \zeta +\] +eine Lösung unserer Gleichung; die obige Behauptung ist also bewiesen. + +Da die Koeffizienten $a$,~$b$,~$c$ sich von den reduzierten $1$,~$\epsilon_{1}$,~$\epsilon_{2}$ nur um +Quadratzahlen und einen allen gemeinsamen Faktor unterscheiden, so +kann man den soeben bewiesenen Satz auch in der folgenden allgemeineren +Form aussprechen: +\begin{Theorem} +Ist $p$~eine ungerade Primzahl, so ist +\[ +\Tag{(2)} +\left(\frac{a, b, c}{p}\right) = +1, +\] +\PageSep{326}{310} +wenn die Koeffizienten alle von gerader oder alle von ungerader +Ordnung sind. +\end{Theorem} + +Fast ebenso einfach kann dieselbe Frage für den Fall $p = 2$ entschieden +werden. Sind auch hier $\epsilon_{1}$~und~$\epsilon_{2}$ Einheiten, so haben sie die +Form $(-1)^{\gamma_{i}} 5^{\delta_{i}}$, wo die $\gamma_{i}$~und~$\delta_{i}$ gleich Null oder Eins sein können. +Sind beide Indizes $\gamma_{1} = \gamma_{2} = 0$, so ist $\epsilon_{1} \equiv \epsilon_{2} \equiv 1\ (\mod.~4)$, und für +diesen Modul genügt also $f$ in~\Eq{(1^{a})} der Kongruenz: +\[ +f(x, y, z) = x^{2} + \epsilon_{1} y^{2} + \epsilon_{2} z^{2} + \equiv x^{2} + y^{2} + z^{2} \equiv 0\ (\mod.~4). +\] +Da aber ein Quadrat $x^{2}$ kongruent Null oder Eins modulo~$4$ wird, je nachdem +$x$ gerade oder ungerade ist, so kann nur dann $f(x, y, z)$ durch $4$ +teilbar sein, wenn $x$,~$y$ und~$z$ alle gerade sind, weil andernfalls $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ +kongruent $1$,~$2$, oder~$3$ sein würde. Weil jedoch eine dieser Zahlen +nach \Seite{299} +immer als Einheit modulo~$2$, also als ungerade vorausgesetzt +werden kann, so ist bewiesen, daß die Form~$f$ nicht den Teiler +$2$ hat, wenn die Indizes von $\epsilon_{1}$~und~$\epsilon_{2}$ beide Null sind. Hieraus folgt +wie vorher, daß die allgemeine Form +\[ +f = ax^{2} + by^{2} + cz^{2} +\] +den Teiler $2$ nicht enthält, wenn $a$,~$b$,~$c$ alle gerade oder alle ungerade +Ordnungszahlen und außerdem alle den gleichen Index haben. + +Haben dagegen $\epsilon_{1}$~und~$\epsilon_{2}$ nicht beide den Index Null, haben also +$a$,~$b$,~$c$ nicht alle denselben Index, aber alle gerade oder alle ungerade +Ordnungszahlen, so ist $2$ stets ein Teiler der Form~$f$. In der Tat kann +man dann immer voraussetzen, daß die Koeffizienten $\epsilon_{1}$~und~$\epsilon_{2}$ weder +\emph{beide} die Einheitswurzel~$(-1)$ noch auch \emph{beide} den Faktor~$5$ enthalten; +denn wäre dies der Fall, so könnte man $f$ mit~$-1$ bzw.\ mit~$5$ multiplizieren, +und man erhielte so eine äquivalente Form, welche unserer +letzten Forderung genügte. Dann können aber die reduzierten Formen +eventuell durch Vertauschung der Variablen und durch Multiplikation +mit~$-1$ auf eine der drei Formen: +\begin{align*} +&x^{2} + y^{2} - 5z^{2} \\ +&x^{2} - y^{2} + 5z^{2} \\ +&x^{2} - y^{2} + z^{2} +\end{align*} +gebracht werden, welche alle den Teiler $2$ enthalten, da die erste durch +\PageSep{327}{311} +das Wertsystem $(1, 2, 1)$, die beiden letzten durch $(1, 1, 0)$ zu Null +gemacht werden. Geht man wieder von der reduzierten zur ursprünglichen +Form über, so kann man dieses Resultat in dem folgenden Satz +aussprechen: +\begin{Theorem} +Sind die Koeffizienten $a$,~$b$,~$c$ alle von gerader oder alle von +ungerader Ordnung, so ist stets und nur dann: +\[ +\Tag{(3)} +\left(\frac{a, b, c}{2}\right) = -1, +\] +wenn diese drei Zahlen gleiche Indizes besitzen, wenn also ihre +ungeraden Bestandteile $a_{0}$,~$b_{0}$,~$c_{0}$ modulo~$4$ kongruent sind. +\end{Theorem} + +Sind zweitens für eine beliebige Primzahl~$p$ nicht alle Koeffizienten +$a$,~$b$,~$c$ von gerader bzw.\ von ungerader Ordnung, so kann man stets voraussetzen, +daß einer von ihnen, etwa~$c$, von ungerader, die beiden anderen, +$a$~und~$b$, von gerader Ordnung sind, da ja im entgegengesetzten Falle die +Form~$pf$ dieser Forderung genügen würde. Daher kann man in diesem +Falle die zugehörige reduzierte Form~$f$ in der Gestalt +\[ +f(x, y, z) = x^{2} + \epsilon_{1} y^{2} + p \epsilon_{2} z^{2} +\] +voraussetzen, wo $\epsilon_{1}$~und~$\epsilon_{2}$ wieder Einheiten sind. Besitzt dann die +Gleichung $f = 0\ (p)$ überhaupt eine von Null verschiedene Lösung, so +hat sie, wie \Seite{299} bewiesen wurde, auch eine solche $\xi$,~$\eta$,~$\zeta$, bei welcher +diese Zahlen ganz sind und wenigstens eine von ihnen eine Einheit +ist. Hier sehen wir, daß dann $\xi$~und~$\eta$ beide Einheiten sein müssen, +denn enthielte etwa $\xi$ die Primzahl~$p$, so würde aus der Gleichung: +\[ +\xi^{2} + \epsilon_{1} \eta^{2} + p \epsilon_{2} \zeta^{2} = 0\ (p) +\] +folgen, daß auch $\eta$ durch $p$ teilbar wäre, und dann müßte dasselbe für +$\zeta$ gelten, da die beiden ersten Summanden durch $p^{2}$ teilbar wären. +Nimmt man nun zunächst $p$ als irgendeine ungerade Primzahl an und +betrachtet unter dieser Voraussetzung die obige Gleichung als Kongruenz +modulo~$p$, so ergibt sich: +\begin{align*} +\xi^{2} + \epsilon_{1} \eta^{2} &\equiv 0\ (\mod.~p) \\ +\left(\frac{\xi}{\eta}\right)^{2} &\equiv -\epsilon_{1}\ (\mod.~p), +\end{align*} +\dh\ es muß dann notwendig $\left(\dfrac{-\epsilon_{1}}{p}\right) = +1$ sein. Ist aber diese Bedingung +\PageSep{328}{312} +erfüllt, so ist nach dem \aSeite{301} bewiesenen Satze $p$ ein Teiler der +Form $x^{2} + \epsilon_{1} y^{2}$, also auch der Form $x^{2} + \epsilon_{1} y^{2} + p \epsilon_{2} z^{2}$; denn besitzt +die erste die Lösung $(\xi, \eta)$, so hat ja die letzte die Lösung $(\xi, \eta, 0)$. + +\begin{Theorem} +Die reduzierte quadratische Form $x^{2} + \epsilon_{1} y^{2} + p \epsilon_{2} z^{2}$ besitzt +also stets und nur dann den Teiler~$p$, wenn $\left(\dfrac{-\epsilon_{1}}{p}\right) = +1$ ist. +\end{Theorem} +Hieraus folgt genau wie vorher der allgemeine Satz: +\begin{Theorem} +Sind die Koeffizienten der Form $ax^{2} + by^{2} + c\DPtypo{x}{z}^{2}$ nicht alle +von gerader oder nicht alle von ungerader Ordnung in bezug auf +die ungerade Primzahl~$p$, so besitzt diese dann und nur dann +den Teiler~$p$, wenn +\[ +\Tag{(4)} +\left(\frac{-ab}{p}\right) = +1 +\] +ist, falls $a$~und~$b$ die beiden Elemente sind, welche modulo~$2$ kongruente +Ordnungszahlen haben. +\end{Theorem} + +Haben etwa $a$~und~$c$ modulo~$2$ inkongruente Ordnungszahlen, so +ist ja sicher $-ac$ Nichtquadratzahl, weil dieses Produkt von ungerader +Ordnung ist. Man kann daher dasselbe Resultat in der folgenden symmetrischen +Form aussprechen: +\begin{Theorem} +Sind $a$,~$b$,~$c$ nicht alle von gerader bzw.\ nicht alle von ungerader +Ordnung, so ist die ungerade Primzahl~$p$ dann und nur dann ein +Teiler von~$f$, wenn wenigstens eines der drei Symbole: +\[ +\Tag{(4^{a})} +\left(\frac{-ab}{p}\right),\quad +\left(\frac{-bc}{p}\right),\quad +\left(\frac{-ca}{p}\right) +\] +gleich $+1$ ist. +\end{Theorem} + +Ich untersuche endlich, unter welchen Bedingungen die entsprechende +für den Bereich von~$2$ reduzierte Form den Teiler $2$ hat, wann also die +Gleichung +\[ +f = x^{2} + \epsilon_{1} y^{2} + 2\epsilon_{2} z^{2} =0\ (2) +\] +eine Lösung besitzt. Dann muß sie auch hier eine Lösung $(\xi, \eta, \zeta)$ haben, +in welcher $\xi$~und~$\eta$ beide ungerade sind. Da dann aber +\[ +-(\epsilon_{1} \eta^{2} + 2\epsilon_{2} \zeta^{2}) = \xi^{2} +\] +\PageSep{329}{313} +sein muß, so besitzt $f$ dann und nur dann den Teiler~$2$, wenn eine Einheit~$\eta$ +und eine gerade oder ungerade Zahl~$\zeta$ so gewählt werden können, daß +$-(\epsilon_{1} \eta^{2} + 2\epsilon_{2} \zeta^{2})$ von der Form $8n + 1$ ist. Dann ist jedoch +\[ +\eta^{2} \equiv 1,\quad +2\zeta^{2} \equiv 2 \text{ oder } 0\ (\mod.~8), +\] +je nachdem $\zeta$ ungerade oder gerade ist; also ist unsere Bedingung dann +und nur dann erfüllt, wenn entweder $1 + \epsilon_{1}$ oder $1 + \epsilon_{1} + 2\epsilon_{2}$ durch +$8$ teilbar ist. Diese beiden Bedingungen können wir auch in die eine +zusammenziehen, daß +\[ +\frac{(1 + \epsilon_{1}) (1 + \epsilon_{1} + 2\epsilon_{2})}{8} +\] +eine gerade Zahl sein muß. In der Tat ist jener Quotient stets eine ganze +Zahl, da sich die beiden geraden Faktoren des Zählers um das Doppelte~$2\epsilon_{2}$ +einer \emph{ungeraden} Zahl unterscheiden. Daher muß einer dieser beiden Faktoren +durch eine höhere als die erste Potenz von~$2$ teilbar sein; der andere +ist dann genau durch $2$ teilbar. Ist also jener eine Faktor genau durch +$4$ teilbar, so enthält der ganze Zähler genau~$8$, der Bruch ist also ungerade, +ist dagegen jener Faktor mindestens durch $8$ teilbar, so ist der Bruch +gerade; unsere Behauptung ist also bewiesen. + +Hiernach können wir das Ergebnis unserer Untersuchung in der +Gleichung: +\[ +\Tag{(5)} +\left(\frac{1, \epsilon_{1}, 2\epsilon_{2}}{2}\right) + = (-1)^{\efrac{(1+\epsilon_{1}) (1+\epsilon_{1}+2\epsilon_{2})}{8}} +\] +aussprechen oder auch in dem Satze: +\begin{Theorem} +Die Form $x^{2} + \epsilon_{1} y^{2} + 2\epsilon_{2} z^{2}$ enthält dann und nur dann den +Teiler~$2$, wenn $\epsilon_{1}$ oder $\epsilon_{1} + 2\epsilon_{2}$ von der Form $8n - 1$ ist. +\end{Theorem} + +Betrachten wir auch hier den allgemeinsten Fall, daß in der Form +\[ +f = ax^{2} + by^{2} + cz^{2}\ (2) +\] +die Ordnungszahlen von $a$,~$b$,~$c$ nicht alle modulo~$2$ kongruent sind, +so können wir event.\ durch Multiplikation mit~$2$ und Vertauschung +der Variablen erreichen, daß $a$~und~$b$ von gerader, $c$~von ungerader +Ordnung in bezug auf~$2$ ist. Sind dann $a_{0}$,~$b_{0}$,~$c_{0}$ die zu $a$,~$b$,~$c$ gehörigen +Einheiten, so ist $f$~äquivalent $a_{0} x^{2} + b_{0} y^{2} + 2c_{0} z^{2}$, also auch äquivalent +\PageSep{330}{314} +\[ +x^{2} + \frac{b_{0}}{a_{0}} y^{2} + 2\frac{c_{0}}{a_{0}} z^{2}; +\] +ersetzt man also in~\Eq{(5)} $\epsilon_{1}$~und~$\epsilon_{2}$ durch $\dfrac{b_{0}}{a_{0}}$~und~$\dfrac{c_{0}}{a_{0}}$ und multipliziert +im Exponenten von~$-1$ mit der ungeraden Zahl~$a_{0}^{2}$, so ergibt sich die +allgemeine Gleichung: +\[ +\Tag{(5^{a})} +\left(\frac{a, b, c}{2}\right) + = (-1)^{\efrac{(a_{0}+b_{0}) (a_{0}+b_{0}+2c_{0})}{8}}, +\] +\dh\ es gilt hier der Satz: +\begin{Theorem} +Sind in der ternären Form $f = ax^{2} + by^{2} + cz^{2}\ (2)$ die Ordnungszahlen +der drei Koeffizienten nicht alle kongruent modulo~$2$, +und sind $a_{0}$,~$b_{0}$,~$c_{0}$ die zu $a$,~$b$,~$c$ gehörigen Einheiten, so besitzt $f$ +stets und nur dann den Teiler~$2$, wenn entweder $a_{0} + b_{0}$ oder +$a_{0} + b_{0} + 2c_{0}$ durch $8$ teilbar ist, falls $a$~und~$b$ die beiden Koeffizienten +bedeuten, deren Ordnungszahlen modulo~$2$ kongruent sind. +\end{Theorem} + + +\Section{§ 5.}{Die Darstellung der $p$-adischen Zahlen durch die binären +Hauptformen. Das Hilbertsche Symbol. Der allgemeine +Dekompositionssatz.} + +Ich benutze die für die ternären Formen hergeleiteten Sätze jetzt, +\index{Hauptform, binäre}% +um die Frage nach der Darstellbarkeit einer gegebenen $p$-adischen Zahl~$e$ +durch die \sg\ binäre \so{Hauptform} einer gegebenen Determinante~$d$ +\[ +x^{2} - dy^{2} +\] +vollständig zu lösen. Ersetzt man in der Gleichung: +\[ +\Tag{(1)} +e = x^{2} - dy^{2}\ (p) +\] +$x$~und~$y$ durch $\dfrac{x}{z}$~und~$\dfrac{y}{z}$, so erkennt man ohne weiteres, daß diese +Gleichung dann und nur dann eine Lösung hat, wenn dasselbe für die +homogene Gleichung: +\[ +\Tag{(1^{a})} +f(x, y, z) = -x^{2} + dy^{2} + ez^{2} = 0\ (p) +\] +\PageSep{331}{315} +gilt, wenn also die ternäre quadratische Form~$f(x, y, z)$ den Teiler~$p$ +besitzt oder $\left(\dfrac{-1,d,e}{p}\right) = +1$ ist. + +Indem wir eine von Hilbert herrührende Bezeichnung erweitern, +wollen wir das Symbol +\[ +\Tag{(2)} +\left(\frac{d, e}{p}\right) \quad\text{gleich}\quad \text{$+1$~oder~$-1$} +\] +setzen, je nachdem $e$ durch die Hauptform $x^{2} - dy^{2}$ für den Bereich von~$p$ +darstellbar ist, oder nicht, und zwar soll diese Bezeichnung gelten, +sowohl wenn $p$~eine Primzahl, als auch wenn $p = p_{\infty}$ ist. Dann ergibt +sich aus der soeben durchgeführten Betrachtung für dieses Symbol +die Gleichung: +\[ +\Tag{(2^{a})} +\left(\frac{d, e}{p}\right) = \left(\frac{-1, d, e}{p}\right), +\] +und da wir dieses letztere in jedem Falle zu finden gelernt haben, +so ist das Hilbertsche Symbol damit auch vollständig bestimmt. +\index{Hilbertsches Symbol~$\left(\dfrac{d, e}{p}\right)$}% + +Ist zunächst $p = p_{\infty}$, so ist nach \Seite{299}: +\[ +\Tag{(3)} +\left(\frac{d, e}{p_{\infty}}\right) + = \left(\frac{-1, d, e}{p_{\infty}}\right) + = +1 \text{ oder } -1, +\] +je nachdem wenigstens eine der beiden Zahlen $d$~und~$e$ positiv ist, oder +beide negativ sind. Im ersten Falle ist, wie man auch direkt sieht, +die Gleichung $e = x^{2} - dy^{2}$ in reellen Zahlen lösbar, im letzten nicht. +Also besteht hier die einfache Gleichung: +\[ +\Tag{(3^{a})} +\left(\frac{d, e}{p_{\infty}}\right) + = -1^{\efrac{\sgn d-1}{2}·\efrac{\sgn e-1}{2}}; +\] +denn der rechts stehende Exponent ist ja stets und nur dann gleich~$1$, +wenn $d$~und~$e$ beide negativ sind, sonst aber immer gleich Null. + +Hieraus folgt sofort, daß für den Bereich von~$p_{\infty}$ stets die Dekompositionsgleichung +gilt: +\[ +\Tag{(4)} +\left(\frac{d, ee_{1}}{p_{\infty}}\right) + = \left(\frac{d, e}{p_{\infty}}\right) \left(\frac{d, e_{1}}{p_{\infty}}\right); +\] +denn nach \Eq{(3^{a})} entspricht sie der Gleichung: +\PageSep{332}{316} +\[ +(-1)^{\efrac{\sgn d-1}{2}·\efrac{\sgn (ee_{1})-1}{2}} + = (-1)^{\left(\efrac{\sgn e-1}{2}+\efrac{\sgn e_{1}-1}{2}\right) \efrac{\sgn d-1}{2}}, +\] +welche ja nach \Seite{283}~\Eq{(3)} richtig ist. + +Ist ferner $p$ eine \emph{ungerade} Primzahl, so ergeben sich durch Anwendung +der Resultate des vorigen Paragraphen sofort die folgenden Sätze: +\begin{Theorem} +Sind $d$ und $e$ beide durch eine gerade Potenz der ungeraden +Primzahl~$p$ teilbar, so ist stets: +\[ +\Tag{(5)} +\left(\frac{d, e}{p}\right) = \left(\frac{d_{0}, e_{0}}{p}\right) = +1, +\] +wenn $d_{0}$ und $e_{0}$ hier wie stets im folgenden die zu $d$~und~$e$ gehörigen +Einheiten bedeuten, \dh\ in diesem Falle ist $e$ immer +durch die Hauptform $x^{2} - dy^{2}$ darstellbar. +\end{Theorem} +In der Tat ist ja unter diesen Voraussetzungen das Symbol $\left(\dfrac{-1, d, e}{p}\right)$ +nach dem Satze \Eq{(2)}~\aSeite{309} gleich~$+1$. + +Es seien jetzt zweitens $d$~und~$e$ nicht beide von gerader Ordnung. +Dann kann eine dieser Zahlen oder auch beide von ungerader Ordnung +sein. Wegen der stets bestehenden Gleichung: +\[ +\Tag{(6)} +\left(\frac{e, d}{p}\right) = \left(\frac{d, e}{p}\right) +\] +ist es gleichgültig, welche von beiden Zahlen von ungerader, welche von +gerader Ordnung angenommen wird; wir wollen im folgenden immer +voraussetzen, daß, falls nur eine der beiden Zahlen von ungerader +Ordnung ist, dieses $e$ sein soll. + +Ist nun erstens nur $e$ von ungerader Ordnung, so ist nach dem +\aSeite{312}~\Eq{(4)} bewiesenen Satze: +\[ +\Tag{(7)} +\left(\frac{d, e}{p}\right) + = \left(\frac{-1, d, e}{p}\right) + = \left(\frac{-1, d_{0}, pe_{0}}{p}\right) + = \left(\frac{d_{0}}{p}\right). +\] + +Sind dagegen $d$~und~$e$ beide von ungerader Ordnung, so folgt nach +demselben Satze: +\[ +\Tag{(8)} +\left(\frac{d, e}{p}\right) + = \left(\frac{-1, d, e}{p}\right) + = \left(\frac{-1, pd_{0}, pe_{0}}{p}\right) + = \left(\frac{-d_{0} e_{0}}{p}\right)\DPtypo{}{.} +\] +\PageSep{333}{317} + +Wir können das bisher gefundene Ergebnis in dem folgenden +Satze zusammenfassen: +\begin{Theorem} +Ist $p$ eine ungerade Primzahl, so ist das Symbol $\left(\dfrac{d, e}{p}\right)$ +gleich~$1$, $\left(\dfrac{d_{0}}{p}\right)$, $\left(\dfrac{-d_{0} e_{0}}{p}\right)$, je nachdem von den beiden Zahlen $d$ +und~$e$ keine, eine, nämlich~$e$, oder jede von ungerader Ordnung +in bezug auf~$p$ \Errata{sind}{ist}. +\end{Theorem} + +Ist endlich $p = 2$, und sind zuerst $d$~und~$e$ beide durch eine gerade +Potenz von~$2$ teilbar, so ist nach dem Satze \Eq{(3)}~\aSeite{311}\DPchg{.}{} +\[ +\left(\frac{d, e}{2}\right) + = \left(\frac{-1, d, e}{2}\right) + = \left(\frac{-1, d_{0}, e_{0}}{2}\right) +\] +dann und nur dann gleich~$-1$, wenn $-1$,~$d_{0}$,~$e_{0}$ modulo~$4$ kongruent, +wenn also $d_{0}$~und~$e_{0}$ beide von der Form $4n - 1$ sind. Hieraus +ergibt sich der Satz: +\begin{Theorem}%[** TN: Theorem indentation not present in the original] +Sind $d$ und $e$ modulo~$2$ beide von gerader Ordnung, so ist stets +\[ +\Tag{(9)} +\left(\frac{d, e}{2}\right) + = \left(\frac{d_{0}, e_{0}}{2}\right) + = (-1)^{\efrac{d_{0}-1}{2}·\efrac{e_{0}-1}{2}}, +\] +denn der rechts stehende Exponent ist ja dann und nur dann ungerade, +wenn $d_{0}$~und~$e_{0}$ beide von der Form $4n + 3$ sind. +\end{Theorem} + +Ist zweitens $e$ von ungerader, $d$~aber von gerader Ordnung, +so ist nach \Eq{(5^{a})}~\aSeite{314}: +\[ +\Tag{(10)} +\begin{aligned}%[** TN: Re-broken, and not aligned in the original] +\left(\frac{d, e}{2}\right) + &= \left(\frac{d_{0}, 2e_{0}}{2}\right) + = \left(\frac{-1, d_{0}, 2e_{0}}{2}\right) \\ + &= (-1)^{\efrac{(d_{0}-1)(d_{0}+2e_{0}-1)}{8}} + = (-1)^{\efrac{d_{0}^{2}-1}{8}+\efrac{(d_{0}-1)(e_{0}-1)}{4}} \\ + &= \left(\frac{d_{0}, e_{0}}{2}\right) \left(\frac{2}{d_{0}}\right). +\end{aligned} +\] +Sind endlich $d_{0}$ und $e_{0}$ beide von ungerader Ordnung, so folgt nach +demselben Satze und nach \Eq{(4)}~\aSeite{284}: +\[ +\Tag{(11)} +\begin{aligned}%[** TN: Re-broken, and not aligned in the original] +\left(\frac{d, e}{2}\right) + &= \left(\frac{2d_{0}, 2e_{0}}{2}\right) + = \left(\frac{-1, 2d_{0}, 2e_{0}}{2}\right)\DPchg{=}{} \\ + &= (-1)^{\efrac{(d_{0}+e_{0})(d_{0}+e_{0}-2)}{8}} + = (-1)^{\efrac{d_{0}^{2}-1}{8}+\efrac{e_{0}^{2}-1}{8}+\efrac{(d_{0}-1)(e_{0}-1)}{4}} \\ + &= \left(\frac{d_{0}, e_{0}}{2}\right)\! \left(\frac{2}{d_{0} e_{0}}\right). +\end{aligned} +\] +\PageSep{334}{318} + +Wir können das Ergebnis dieser letzten Betrachtung in dem folgenden +einfachen Satze aussprechen: +\begin{Theorem} +Das Symbol $\left(\dfrac{d, e}{2}\right)$ ist gleich +\[ +\Tag{(11^{a})} +\left(\frac{d_{0}, e_{0}}{2}\right),\quad +\left(\frac{d_{0}, e_{0}}{2}\right) \left(\frac{2}{d_{0}}\right),\quad +\left(\frac{d_{0}, e_{0}}{2}\right) \left(\frac{2}{d_{0} e_{0}}\right) +\] +je nachdem von den beiden Zahlen $d$~und~$e$ keine, eine, nämlich $e$ +oder jede von ungerader Ordnung in bezug auf~$2$ ist; und hier ist +\[ +\Tag{(11^{b})} +\left(\frac{d_{0}, e_{0}}{2}\right) = (-1)^{\efrac{d_{0}-1}{2}·\efrac{e_{0}-1}{2}}\DPtypo{}{.} +\] +\end{Theorem} + +Mit Hilfe dieser Sätze beweise ich nun sehr leicht den folgenden +\index{Dekompositionssatz f.\;d.\ Hilbert'sche Symbol}% +Hauptsatz über die Zerlegung des Hilbertschen Symboles: +\begin{Theorem} +Wie auch die Zahlen $d$,~$e$,~$e'$ beschaffen sein mögen, immer +besteht für jeden Bereich~$K(p)$ die Gleichung: +\[ +\Tag{(12)} +\left(\frac{d, ee'}{p}\right) + = \left(\frac{d, e}{p}\right) \left(\frac{d, e'}{p}\right), +\] +neben welcher, wegen der Symmetrie jenes Symboles, dann +natürlich auch die andere gilt: +\[ +\Tag{(12^{a})} +\left(\frac{dd', e}{p}\right) + = \left(\frac{d, e}{p}\right) \left(\frac{d', e}{p}\right). +\] +\end{Theorem} + +Diese Sätze sind nur ein anderer Ausdruck des folgenden schönen +und einfachen Theorems: +\begin{Theorem} +Sind $e$,~$e'$,~$e''$ drei beliebige Zahlen, für welche +\[ +ee'e'' = 1\ (p) +\] +ist, so besteht immer die Gleichung: +\[ +\Tag{(13)} +\left(\frac{d, e}{p}\right) \left(\frac{d, e'}{p}\right) \left(\frac{d, e''}{p}\right) = 1. +\] +\end{Theorem} + +In der Tat folgt ja aus dieser Gleichung durch Multiplikation mit +$\left(\dfrac{d, e''}{p}\right)$: +\PageSep{335}{319} +\[ +\left(\frac{d, e}{p}\right) \left(\frac{d, e'}{p}\right) + = \left(\frac{d, e''}{p}\right) + = \raisebox{1ex}{\Bigg(} + \frac{d, \dfrac{1}{ee'}}{p} + \raisebox{1ex}{\Bigg)} + = \raisebox{1ex}{\Bigg(} + \frac{d, \dfrac{(ee')^{2}}{ee'}}{p} + \raisebox{1ex}{\Bigg)} + = \left(\frac{d, ee'}{p}\right). +\] +Umgekehrt folgt durch zweimalige Anwendung von~\Eq{(12)} +\[ +\left(\frac{d, e}{p}\right) +\left(\frac{d, e'}{p}\right) +\left(\frac{d, e''}{p}\right) + = \left(\frac{d, ee'e''}{p}\right) + = \left(\frac{d, 1}{p}\right) = +1; +\] +denn das letzte Symbol ist~$+1$, da die Gleichung $-x^{2} + dy^{2} + z^{2} = 0$ +immer die Lösung $(1, 0, 1)$ hat. + +Nur die Richtigkeit von~\Eq{(13)} brauchen wir also zu beweisen. +Dabei müssen wir die Fälle unterscheiden, daß $d$~und $e$,~$e'$,~$e''$ von gerader +oder von ungerader Ordnung in bezug auf $p$ sind. Ich bemerke +nun zunächst, daß von den drei Faktoren $e$,~$e'$,~$e''$ entweder keiner oder +zwei von ungerader Ordnung sind, da ihr Produkt gleich~$1$ ist. + +Es sei nun $p$ zuerst eine \emph{ungerade} Primzahl; ist dann $d$ von gerader +Ordnung, und nehmen wir zunächst $e$,~$e'$,~$e''$ alle ebenfalls von +gerader Ordnung an, so ist unsere Gleichung richtig, denn nach \Eq{(5)} +geht sie dann über in +\[ +\Tag{(14)} +(+1)(+1)(+1) = +1; +\] +ist dagegen unter der gleichen Voraussetzung über~$d$\; $e$~von gerader, +aber $e'$~und~$e''$ beide von ungerader Ordnung, so wird in unserer Gleichung +das zweite und dritte Symbol nach \Eq{(7)}~\aSeite{316} gleich~$\left(\dfrac{d_{0}}{p}\right)$, dieselbe +wird hier also: +\[ +\Tag{(14^{a})} +(+1) \left(\frac{d_{0}}{p}\right) \left(\frac{d_{0}}{p}\right) + = \left(\frac{d_{0}^{2}}{p}\right) = +1. +\] + +Ist ferner $d$ von ungerader, $e$,~$e'$,~$e''$ aber von gerader Ordnung, +so geht \Eq{(13)} nach demselben Satze über in +\[ +\Tag{(14^{b})} +\left(\frac{e_{0}}{p}\right) +\left(\frac{e'_{0}}{p}\right) +\left(\frac{e''_{0}}{p}\right) + = \left(\frac{e_{0}e'_{0}e''_{0}}{p}\right) + = \left(\frac{1}{p}\right) = 1; +\] +und wenn endlich $d$ wieder von ungerader Ordnung ist, während $e$ von +gerader, $e'$~und~$e''$ von ungerader Ordnung vorausgesetzt werden, so ergibt +die Anwendung von \Eq{(8)}~\aSeite{316} auf die zu untersuchende Gleichung: +\[ +\Tag{(14^{c})} +\left(\frac{e_{0}}{p}\right) +\left(\frac{-e'_{0}d_{0}}{p}\right) +\left(\frac{-e''_{0}d_{0}}{p}\right) + = \left(\frac{e_{0}e'_{0}e''_{0}·d_{0}^{2}}{p}\right) = +1, +\] +\PageSep{336}{320} +und damit ist unsere Behauptung für eine beliebige ungerade Primzahl~$p$ +vollständig bewiesen. + +Zweitens sei $p = 2$. Dann enthält nach \Eq{(11^{a})}~und~\Eq{(11^{b})} die linke +Seite von~\Eq{(13)} als ersten Bestandteil das Produkt: +\begin{align*} %[** TN: Not aligned in the original] +\left(\frac{d_{0}, e_{0}}{2}\right) +\left(\frac{d_{0}, e'_{0}}{2}\right) +\left(\frac{d_{0}, e''_{0}}{2}\right) + &= (-1)^{\efrac{d_{0}-1}{2} + \left(\efrac{e_{0}-1}{2}+\efrac{e'_{0}-1}{2}+\efrac{e''_{0}-1}{2}\right)} \\ + &= (-1)^{\efrac{d_{0}-1}{2}\, \efrac{e_{0} e'_{0} e''_{0}-1}{2}} = +1, +\end{align*} +da ja auch das Produkt der zu $e$,~$e'$,~$e''$ gehörigen Einheiten gleich~$1$ ist. +Wir haben also nur zu zeigen, daß das Produkt der in~\Eq{(13)} noch hinzutretenden +Zusatzfaktoren: +\[ +\Tag{(15)} +1,\quad \left(\frac{2}{d_{0}}\right),\quad \left(\frac{2}{d_{0} e_{0}}\right) +\] +für sich ebenfalls gleich~$+1$ ist. Dieser letzte Beweis stimmt aber +wörtlich mit dem vorher für ein ungerades $p$ geführten überein, denn +hier waren die Werte der in~\Eq{(13)} überhaupt auftretenden Symbole in +denselben Fällen: +\[ +\Tag{(15^{a})} +1,\quad \left(\frac{d_{0}}{p}\right),\quad \left(\frac{-d_{0} e_{0}}{p}\right), +\] +und da für die Multiplikation der in~\Eq{(15^{a})} stehenden Symbole genau +dieselben Sätze bestehen wie für die in~\Eq{(15)} aufgeführten, so ergibt +sich auch hier die Richtigkeit unserer Gleichung in den vier unterschiedenen +Fällen. Wir erhalten nämlich als das Produkt der Zusatzfaktoren, +genau wie in \Eq{(14)},~\Eq{(14^{a})},~\Eq{(14^{b})} und~\Eq{(14^{c})}, für: +\begin{Theorem} +\Item{1.} $d$ von gerader und $e$,~$e'$,~$e''$ von gerader Ordnung: +\[ +\Tag{(16)} +(+1)(+1)(+1) = +1. +\] + +\Item{2.} $d$ von gerader, $e$ von gerader, $e'$,~$e''$ von ungerader Ordnung: +\[ +\Tag{(16^{a})} +(+1) \left(\frac{2}{d_{0}}\right) \left(\frac{2}{d_{0}}\right) = +1. +\] + +\Item{3.} $d$ von ungerader, $e$,~$e'$,~$e''$ von gerader Ordnung: +\[ +\Tag{(16^{b})} +\left(\frac{2}{e_{0}}\right) \left(\frac{2}{e'_{0}}\right) \left(\frac{2}{e''_{0}}\right) = +1. +\] +\PageSep{337}{321} + +\Item{4.} $d$ von ungerader, $e$ von gerader, $e'$~und~$e''$ aber von ungerader +Ordnung: +\[ +\left(\frac{2}{e_{0}}\right) +\left(\frac{2}{e'_{0} d_{0}}\right) +\left(\frac{2}{e''_{0} d_{0}}\right) = +1. +\] +\end{Theorem} + +Da wir die Richtigkeit von~\Eq{(12)} für den Bereich von~$p_{\infty}$ schon +\aSeite{315} in~\Eq{(4)} bewiesen hatten, so ist die Gültigkeit der Dekompositionsgleichung~\Eq{(13)} +für die Bereiche von $p$,~$2$,~$p_{\infty}$ vollständig dargetan. + + +\Section{§ 6.}{Ein Fundamentalsatz für die Theorie der ternären +quadratischen Formen.} + +Wir sind jetzt imstande, einen Fundamentalsatz in der Theorie der +\index{Fundamentalsatz f.\;d.\ ternären Formen}% +ternären quadratischen Formen zu beweisen, welcher das Reziprozitätsgesetz +nebst seinen Ergänzungssätzen als speziellen Fall enthält, und +der für die Theorie der quadratischen Zahlkörper eine der wichtigsten +Grundlagen bildet. Außerdem zeigt er den engen Zusammenhang +zwischen den Bereichen $K(2)$,~$K(p)$,~$K(p_{\infty})$, welche hier zum ersten +Male in die Arithmetik eingeführt worden sind. Dieser Satz läßt sich +folgendermaßen aussprechen: +\begin{Theorem} +Jede ternäre quadratische Form: +\[ +f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) + = a_{11} x_{1}^{2} + 2a_{12} x_{1} x_{2} + \dots + a_{33} x_{3}^{2} +\] +mit rationalen Zahlkoeffizienten besitzt stets eine endliche, und +zwar eine gerade Anzahl von Nichtteilern. Oder, was dasselbe +ist: das auf alle Stellen $p$,~$2$,~$p_{\infty}$ erstreckte Produkt +\[ +\prod_{(p)} \left(\frac{f(x_{1}, x_{2}, x_{3})}{p}\right) +\] +ist stets gleich~$+1$. +\end{Theorem} + +Beim Beweise dieses Satzes können wir die Form~$f$ durch eine umkehrbare +Transformation und durch Multiplikation mit einer von Null +verschiedenen rationalen Zahl auf die Form +\[ +f = -x^{2} + dy^{2} + ez^{2} +\] +\PageSep{338}{322} +transformiert annehmen, deren Koeffizienten $d$~und~$e$ ganze rationale +Zahlen sind. Dann ist also nur zu zeigen, daß das Produkt: +\[ +\prod_{(p)} \left(\frac{d, e}{p}\right) = +1 +\] +ist. Dabei bemerke ich zunächst, daß in diesem Produkte sicher alle +diejenigen Faktoren gleich~$+1$ sind, also fortgelassen werden können, +in welchen $p$ ungerade und weder in~$d$ noch in~$e$ enthalten ist. Es +kommen also jedesmal nur endlich viele Faktoren überhaupt in Betracht, +nämlich die ungeraden Primfaktoren von $d$~oder~$e$ und außerdem +eventuell $2$~und~$p_{\infty}$. + +Der Beweis dieses Satzes beruht allein auf dem vorher behandelten +Zerlegungssatze für das Symbol $\left(\dfrac{d, e}{p}\right)$. Ist nämlich $d = d_{1} d_{2}$ irgendeine +Zerlegung von~$d$ in zwei ganzzahlige Faktoren, von denen einer auch +$-1$ sein kann, so ist ja: +\[ +\prod_{(p)} \left(\frac{d_{1} d_{2}, e}{p}\right) + = \prod_{(p)} \left(\frac{d_{1}, e}{p}\right) + · \prod_{(p)} \left(\frac{d_{2}, e}{p}\right). +\] +Unser Satz ist also für $d = d_{1} d_{2}$ bewiesen, wenn seine Richtigkeit für +$d = d_{1}$ und $d = d_{2}$ feststeht. Da man nun sowohl $d$ als auch $e$ so lange +zerlegen kann, bis alle Faktoren entweder Primzahlen oder~$-1$ geworden +sind, so erkennt man, daß der Satz für jedes System~$(d, e)$ bewiesen sein +wird, wenn gezeigt ist, daß die folgenden sieben einfachsten Produkte: +\begin{gather*} +\prod_{(p)} \left(\frac{-1, -1}{p}\right),\quad +\prod_{(p)} \left(\frac{-1, 2}{p}\right),\quad +\prod_{(p)} \left(\frac{-1, q}{p}\right),\\ +\prod_{(p)} \left(\frac{ 2, 2}{p}\right),\quad +\prod_{(p)} \left(\frac{ 2, q}{p}\right),\\ +\prod_{(p)} \left(\frac{ q, q}{p}\right),\quad +\prod_{(p)} \left(\frac{ q, r}{p}\right) +\end{gather*} +sämtlich gleich $+1$ sind, in denen $q$~und~$r$ beliebige ungerade Primzahlen +bedeuten. Jene sieben Spezialfälle können aber mit Hilfe der Ergänzungssätze +und des Reziprozitätsgesetzes ohne weiteres bewiesen werden, wenn +man beachtet, daß in jenen Produkten außer den zum "`Nenner"' $2$~und~$p_{\infty}$ +gehörigen Symbolen immer nur diejenigen beachtet zu werden brauchen, +für welche $p$ in $d$~oder~$e$ enthalten ist. Nur beim ersten Produkte ist~$p_{\infty}$ +\PageSep{339}{323} +zu berücksichtigen, denn hier ist wegen \Eq{(3^{a})} \aSeite{315} $\left(\dfrac{-1, -1}{p_{\infty}}\right) = -1$; +für alle anderen ist der bezügliche Faktor~$+1$, da hier stets mindestens +eine der beiden Zahlen $d$~und~$e$ positiv ist. Ferner werde noch einmal +daran erinnert, daß für zwei ungerade Zahlen $a$~und~$b$ das Symbol $\left(\dfrac{a, b}{2}\right)$ +gleich~$+1$ ist, wenn wenigstens eine dieser Zahlen die Form $4n + 1$ +hat, im entgegengesetzten Falle aber gleich~$-1$ ist. So ergeben sich +mit Hilfe der Formeln \aSeite{317} leicht die Gleichungen: +{\small +\begin{alignat*}{2} +\tag*{(1)} & +\prod \biggl(\frac{-1, -1}{p}\biggr) + &&= \biggl(\frac{-1, -1}{p_{\infty}}\biggr) + \biggl(\frac{-1, -1}{2}\biggr) = (-1)(-1) = +1 \\ +% +\tag*{(2)} & +\prod \biggl(\frac{-1, 2}{ p}\biggr) + &&= \biggl(\frac{-1, 2}{ 2}\biggr) + = \biggl(\frac{-1,+1}{ 2}\biggr) \biggl(\frac{2}{-1}\biggr) +%[** Omitting break in the original, see also below] + = (+1)(+1) = +1 \\ +% +\tag*{(3)} & +\prod \biggl(\frac{-1, q}{p}\biggr) + &&= \biggl(\frac{-1, q}{2}\biggr) + \biggl(\frac{-1, q}{q}\biggr) + = (-1)^{\efrac{q-1}{2}} \biggl(\frac{-1}{q}\biggr) = +1 \\ +% +\tag*{(4)} & +\prod \biggl(\frac{2, 2}{p}\biggr) + &&= \biggl(\frac{2, 2}{2}\biggr) + = \biggl(\frac{1, 1}{2}\biggr) \biggl(\frac{2}{1}\biggr) = +1 \\ +% +\tag*{(5)} & +\prod \biggl(\frac{2, q}{p}\biggr) + &&= \biggl(\frac{2, q}{2}\biggr) + \biggl(\frac{2, q}{q}\biggr) + = \biggl(\frac{1, q}{2}\biggr) + \biggl(\frac{2}{q}\biggr) + \biggl(\frac{2}{q}\biggr) = +1 \\ +% +\tag*{(6)} & +\prod \biggl(\frac{q, q}{p}\biggr) + &&= \biggl(\frac{q, q}{2}\biggr) + \biggl(\frac{q, q}{q}\biggr) + = (-1)^{\bigl(\efrac{q-1}{2}\bigr)^{2}} \biggl(\frac{-1}{q}\biggr) = +1 \\ +% +\tag*{(7)} & +\prod \biggl(\frac{q, r}{p}\biggr) + &&= \biggl(\frac{q, r}{2}\biggr) + \biggl(\frac{q, r}{q}\biggr) + \biggl(\frac{q, r}{r}\biggr) + = (-1)^{\efrac{q-1}{2}·\efrac{r-1}{2}} \biggl(\frac{r}{q}\biggr) \biggl(\frac{q}{r}\biggr) + = +1. +\end{alignat*}} + +Damit ist dieser Fundamentalsatz vollständig bewiesen. Man erkennt, +daß er außer dem Dekompositionssatze für das Symbol $\left(\dfrac{d, e}{p}\right)$ +vollständig die Ergänzungssätze und das Reziprozitätsgesetz voraussetzt. + +Dagegen ergibt sich aus diesem Satze ein neuer Beweis der beiden +Ergänzungssätze und des Reziprozitätsgesetzes für das Jacobi-Legendresche +\PageSep{340}{324} +\index{Reziprozitätsgesetz!f.\;d.\ Jacobi-Legendresche Symbol}% +Symbol. Wir wollen dasselbe noch in der Weise verallgemeinern, +daß wir auch den "`Nenner"' ebenso wie den "`Zähler"' als positiv oder +negativ voraussetzen; und zwar soll dann immer +\[ +\Tag{(8)} +\left(\frac{Q}{-P }\right) = +\left(\frac{Q}{ P }\right) = +\left(\frac{Q}{|P|}\right) +\] +sein, so daß allgemein, wenn $P = ±pp' \dots$ ist, +\[ +\left(\frac{Q}{P}\right) = \prod_{p} \left(\frac{Q}{p}\right) +\] +wird. + +Sind nun +\[ +P = ±pp' \dots,\quad +Q = ±qq' \dots +\] +zwei beliebige ungerade teilerfremde Zahlen, so ergibt die Anwendung +unseres Fundamentalsatzes auf die drei quadratischen Formen: +\begin{alignat*}{2} +&-x^{2} - \PadTo[r]{Qy^{2}}{ y^{2}} &&+ Pz^{2} \\ +&-x^{2} + \PadTo[r]{Qy^{2}}{2y^{2}} &&+ Pz^{2} \\ +&-x^{2} + Qy^{2} &&+ Pz^{2} +\end{alignat*} +die drei Gleichungen: +\begin{align*} +1 &= \prod_{(p)} \left(\frac{-1,P}{p}\right) + = \left(\frac{-1, P}{p_{\infty}}\right) \left(\frac{-1, P}{2}\right) + = \prod_{p/P} \left(\frac{-1, P}{p}\right) \\ + &= (-1)^{\efrac{\sgn P-1}{2}+\efrac{P-1}{2}} + · \prod_{p/P} \left(\frac{-1}{p}\right) + = (-1)^{\efrac{|P|-1}{2}} \left(\frac{-1}{P}\right), \dbrk +1 &= \prod_{(p)} \left(\frac{2, P}{p}\right) + = \left(\frac{2, P}{2}\right) \prod_{p/P} \left(\frac{2, P}{p}\right) + = (-1)^{\efrac{P^{2}-1}{8}} \left(\frac{2}{P}\right), \dbrk +1 &= \prod_{(p)} \left(\frac{Q, P}{p}\right) + = \left(\frac{Q, P}{p_{\infty}}\right) \left(\frac{Q, P}{2}\right) + \prod_{p/P} \left(\frac{Q, P}{p}\right) + \prod_{q/Q} \left(\frac{Q, P}{q}\right) \\ + &= (-1)^{\efrac{\sgn P-1}{2}·\efrac{\sgn Q-1}{2}+\efrac{P-1}{2}·\efrac{Q-1}{2}} + \left(\frac{Q}{P}\right) \left(\frac{P}{Q}\right), +\end{align*} +\dh\ es bestehen für dieses verallgemeinerte Jacobi-Legendresche Zeichen +die Gleichungen +\PageSep{341}{325} +\[ +\Tag{(9)} +\begin{alignedat}{2} +&\left(\frac{-1}{P}\right) &&= (-1)^{\efrac{|P|-1}{2}} \\ +&\left(\frac{ 2}{P}\right) &&= (-1)^{\efrac{P^{2} -1}{8}} \\ +&\left(\frac{ Q}{P}\right) + &&= (-1)^{\efrac{\sgn P-1}{2}·\efrac{\sgn Q-1}{2}+\efrac{P-1}{2}·\efrac{Q-1}{2}} + \left(\frac{ P}{Q}\right). +\end{alignedat} +\] + +Für dieses allgemeine Symbol gilt also das gewöhnliche Reziprozitätsgesetz, +wenn wenigstens eine der beiden Zahlen $P$~und~$Q$ positiv +ist. Sind aber beide negativ, so ist das sonst geltende Vorzeichen noch +mit~$-1$ zu multiplizieren. So ist \zB\ +\[ +\left(\frac{-13}{-7}\right) = -\left(\frac{-7}{-13}\right),\quad +\left(\frac{ 13}{-7}\right) = +\left(\frac{-7}{ 13}\right), +\] +weil $(-7)$ von der Form $4n + 1$ ist. + + +\Section{§ 7.}{Ãœber die Darstellung der rationalen Zahlen durch +binäre Formen.} + +Ich wende den im vorigen Paragraphen bewiesenen Fundamentalsatz +\index{Darstellung d.\ rationalen Zahlen durch binäre Formen}% +an auf die Untersuchung der Frage nach der Darstellbarkeit einer +rationalen Zahl~$m$ durch eine beliebige binäre Form +\[ +f(x, y) = ax^{2} + bxy + cy^{2} +\] +von nicht verschwindender Diskriminante $D = b^{2} - 4ac$ für einen beliebigen +Bereich~$K(p)$. + +Nun besitzt die Gleichung +\[ +\Tag{(1)} +m = f(x, y) = ax^{2} + bxy + cy^{2}\ (p) +\] +stets und nur dann eine Lösung, wenn die zugehörige Gleichung: +\[ +\Tag{(1^{a})} +f(x, y, z) = ax^{2} + bxy + cy^{2} - mz^{2} = 0\ (p) +\] +eine solche hat, wenn also die ternäre Form $f(x, y, z)$ den Teiler~$p$ enthält; +denn jeder Lösung $(\xi, \eta)$ von~\Eq{(1)} entspricht ja eine solche +$(\xi, \eta, 1)$ von~\Eq{(1^{a})}, und umgekehrt liefert jedes Wertsystem $(\xi, \eta, \zeta)$, +\PageSep{342}{326} +welches \Eq{(1^{a})} befriedigt, und in dem nach dem Satze \aSeite{308} $\zeta \neq 0$ angenommen +werden kann, eine Lösung $x = \dfrac{\xi}{\zeta}$, $y = \dfrac{\eta}{\zeta}$ von~\Eq{(1)}. + +Wenden wir nun unser Fundamentaltheorem \aSeite{321} auf die +ternäre Form~\Eq{(1^{a})} an, so ergibt sich der folgende einfache Satz: +\begin{Theorem} +Die Anzahl der Körper~$K(p)$, innerhalb deren eine gegebene +rationale Zahl~$m$ nicht durch eine gegebene binäre Form von nichtverschwindender +Diskriminante dargestellt werden kann, ist endlich +und stets eine gerade Zahl. +\end{Theorem} + +Die Bedingung +\[ +\Tag{(2)} +\left(\frac{f(x, y, z)}{p}\right) = +1 +\] +für die Darstellbarkeit von $m$ durch $f(x, y)$ läßt sich nun leicht durch +das Hilbertsche Symbol ausdrücken. Dabei können wir von vornherein +voraussetzen, daß wenigstens einer der beiden äußeren Koeffizienten +$a$~und~$c$ von $f(x, y)$ nicht Null ist; denn anderenfalls könnte ja +$f(x, y) = bxy$ durch die Substitution \Eq{(IV)} \aSeite{296}: $x = \xi + \eta$, $y = \xi - \eta$ +in die äquivalente Form $b\xi^{2} - b\eta^{2}$ transformiert werden. Ist aber +etwa $a \neq 0$, so ist +\begin{align*} +-4a f(x, y, z) + &= -(2ax + by)^{2} + (b^{2} - 4ac)y^{2} + 4amz^{2} \\ + &= -\xi^{2} + D\eta^{2} + 4am\zeta^{2}, +\end{align*} +wenn: +\[ +2ax + by = \xi,\quad y = \eta,\quad z = \zeta +\] +gesetzt wird. Also liefert \Eq{(2)} als notwendige und hinreichende Bedingung +für die Darstellbarkeit von~$m$ durch $f(x, y)$ für den Bereich +von~$p$: +\[ +\Tag{(2^{a})} +\left(\frac{D, 4am}{p}\right) = \left(\frac{D, am}{p}\right) = +1 +\] +oder: +\[ +\Tag{(2^{b})} +\left(\frac{D, m}{p}\right) = \left(\frac{D, a}{p}\right). +\] + +Alle durch eine bestimmte Form $f(x, y)$ für einen gegebenen Bereich +$K(p)$ darstellbaren rationalen ganzen oder gebrochenen Zahlen~$m$ bilden +\PageSep{343}{327} +einen in sich abgeschlossenen Bereich $(m, m', \dots)$. Für alle und nur +diese Zahlen hat also nach \Eq{(2^{b})} das Symbol $\left(\dfrac{D, m}{p}\right)$ einen und denselben +Wert, welcher $±1$ sein kann. Ich bezeichne ihn durch $C_{p}$ und nenne +ihn \so{den Charakter der Form~$f(x, y)$ in bezug auf~$p$}. +Jede Form~$f$ besitzt für $p_{\infty}$,~$2$ und für jede ungerade Primzahl~$p$ je +einen eindeutig bestimmten Charakter, welcher in jedem Falle leicht +\index{Charakter einer Form in bezug auf~$p$}% +dadurch bestimmt werden kann, daß man für eine geeignet gewählte +durch $f$ darstellbare Zahl~$\bar{m}$ das Symbol $\left(\dfrac{D, \bar{m}}{p}\right)$ berechnet. Insbesondere +kann \zB\ $\bar{m}$ gleich einer der drei folgenden Zahlen: +\[ +\Tag{(3)} +a = f(1, 0),\quad a + b + c = f(1, 1),\quad c = f(0, 1) +\] +gewählt werden. + +Nur für eine endliche und zwar für eine gerade Anzahl von Bereichen~$K(p)$ +sind die Charaktere einer beliebig gegebenen Form~$f(x, y)$ +gleich~$-1$. Ist nämlich $m$ irgendeine durch $f(x, y)$ darstellbare rationale +Zahl, so ist ja für jeden Bereich $\left(\dfrac{D, m}{p}\right) = C_{p}$, und aus dem Fundamentalsatz +für das Hilbertsche Symbol ergibt sich also die Gleichung: +\[ +\Tag{(4)} +\prod_{p} \left(\frac{D, m}{p}\right) = \prod C_{p} = +1, +\] +womit unsere Behauptung bewiesen ist. + +Da der Wert des Symboles $\left(\dfrac{D, m}{p}\right)$ ungeändert bleibt, wenn $D$ bzw.\ +$m$ mit einer $p$-adischen Quadratzahl multipliziert oder dividiert wird, +so können in demselben $D$~und~$m$ durch die zugehörigen reduzierten +Werte \Eq{(7)} \aSeite{299} ersetzt werden. Setzt man nämlich, je nachdem +der betrachtete Bereich $K(p_{\infty})$,~$K(p)$ oder~$K(2)$ ist: +\[ +\Tag{(5)} +\begin{alignedat}{3} +D &= (-1)^{\beta} D_{0}^{2}, &m &= (-1)^{\beta'} m_{0}^{2} &&(p_{\infty}) \\ +D &= p^{\alpha} w^{\beta} D_{0}^{2}, &m &= p^{\alpha'} w^{\beta'} m_{0}^{2} &&(p) \\ +D &= 2^{\alpha} (-1)^{\beta} 5^{\gamma} D_{0}^{2},\quad &m &= 2^{\alpha'} (-1)^{\beta'} 5^{\gamma'}m_{0}^{2}\ &&(2), +\end{alignedat} +\] +wo jedesmal $\alpha$,~$\beta$,~$\gamma$ sowie $\alpha'$,~$\beta'$,~$\gamma'$ gleich $0$~oder~$1$ sein können, so +ergeben sich in den unterschiedenen Fällen die Gleichungen: +\PageSep{344}{328} +\[ +\Tag{(6)} +\begin{aligned} +\left(\frac{D, m}{p_{\infty}}\right) &= \left(\frac{(-1)^{\beta}, (-1)^{\beta'}}{p_{\infty}}\right) \\ +\left(\frac{D, m}{p}\right) &= \left(\frac{p^{\alpha} w^{\beta}, p^{\alpha'} w^{\beta'}}{p}\right)\\ +\left(\frac{D, m}{2}\right) &= \left(\frac{2^{\alpha} (-1)^{\beta} 5^{\gamma}, 2^{\alpha'} (-1)^{\beta'} 5^{\gamma'}}{2}\right). +\end{aligned} +\] +Wendet man endlich auf diese Symbole den Dekompositionssatz an, +und beachtet, daß nach den Formeln \aSeite{317} die folgenden +Gleichungen bestehen: +{\small\enlargethispage{12pt} +\[ +\tag*{(7)} +\begin{gathered} +\makebox[0pt][c]{$\displaystyle +\left(\frac{-1, -1}{p_{\infty}}\right) = -1,\quad +\left(\frac{p, p}{p}\right) = \left(\frac{-1}{p}\right),\quad +\left(\frac{p, w}{p}\right) = -1,\quad +\left(\frac{w, w}{p}\right) = +1$,} \\ +% +\left(\frac{2, 2}{2}\right) = +1,\quad +\left(\frac{2, -1}{2}\right) = +1,\quad +\left(\frac{-1, -1}{2}\right) = -1, \\ +% +\left(\frac{-1, 5}{2}\right) = +1,\quad +\left(\frac{2, 5}{2}\right) = -1,\quad +\left(\frac{5, 5}{2}\right) = +1, +\end{gathered} +\]}% +so ergeben sich aus~\Eq{(6)} die folgenden Gleichungen: +{\small +\[ +\tag*{(8)} +\begin{aligned} +\left(\frac{D, m}{p_{\infty}}\right) + &= \left(\frac{-1, -1}{p_{\infty}}\right)^{\beta\beta'} = (-1)^{\beta\beta'} \\ +% +\left(\frac{D, m}{p}\right) + &= \left(\frac{p, p}{p}\right)^{\alpha\alpha'} + \left(\frac{p, w}{p}\right)^{\alpha\beta'+\alpha'\beta} + \left(\frac{w, w}{p}\right)^{\beta\beta'} \\ + &= \left(\frac{-1}{p}\right)^{\alpha\alpha'} (-1)^{\alpha\beta'+\beta\alpha'} + = (-1)^{\efrac{p-1}{2}\alpha\alpha'+\alpha\beta'+\beta\alpha'} \\ +% +\left(\frac{D, m}{p}\right) + &= \left(\frac{2, 2}{2}\right)^{\alpha\alpha'} + · \left(\frac{2, -1}{2}\right)^{\alpha\beta'+\beta\alpha'} + \left(\frac{-1, -1}{2}\right)^{\beta\beta'} + · \left(\frac{2, 5}{2}\right)^{\alpha\gamma'+\alpha'\gamma} \\ + &{}· \left(\frac{-1, 5}{2}\right)^{\beta\gamma'+\beta'\gamma} + \left(\frac{5, 5}{2}\right)^{\gamma\gamma'} + = (-1)^{\beta\beta'+\alpha\gamma'+\gamma\alpha'}. +\end{aligned} +\]}% +Aus diesen Gleichungen folgt sofort, daß unser Symbol in allen drei +unterschiedenen Fällen stets und nur dann für \so{jedes}~$m$, \dh\ für +jedes Exponentensystem~$(\beta')$ oder~$(\alpha', \beta')$, oder~$(\alpha', \beta', \gamma')$ gleich~$+1$ +ist, wenn die zu $D$ gehörigen Exponenten~$(\beta)$ oder~$(\alpha, \beta)$ oder~$(\alpha, \beta, \gamma)$ +sämtlich gleich Null sind, wenn also $D = D_{0}^{2}$ für den betreffenden Bereich +eine Quadratzahl ist. + +Ist dagegen auch nur einer von den Exponenten der zu $D$ gehörigen +Systeme $(\beta)$,~$(\alpha, \beta)$, $(\alpha, \beta, \gamma)$ nicht Null, also gleich~$1$, so erkennt man +\PageSep{345}{329} +leicht, daß bei allen möglichen Wertsystemen $(\beta')$,~$(\alpha', \beta')$, $(\alpha', \beta', \gamma')$ +von $m$ genau für die Hälfte die Potenzen +\[ +(-1)^{\beta\beta'},\quad +(-1)^{\efrac{p-1}{2}\alpha\alpha'+\alpha\beta'+\beta\alpha'},\quad +(-1)^{\beta\beta'+\alpha\gamma'+\gamma\alpha'} +\] +gleich~$+1$, für die andere Hälfte aber $-1$ werden. Ist nämlich \zB\ +für den Bereich~$K(2)$ einer der Exponenten von~$D$, etwa~$\gamma$, gleich~$1$, +während $\alpha$~und~$\beta$ beliebig sein können, und soll +\[ +\left(\frac{D, m}{2}\right) = (-1)^{\beta\beta'+\alpha\gamma'+\alpha'} = (-1)^{\epsilon} +\] +sein, wo $\epsilon = 0$ oder~$1$ sein kann, so bestimmt sich aus der Kongruenz: +\[ +\beta\beta' + \alpha\gamma' + \alpha' \equiv \epsilon\ (\mod.~2) +\] +$\alpha'$ eindeutig durch $\beta'$~und~$\gamma'$, da ja aus ihr: +\[ +\alpha' \equiv \epsilon + \beta\beta' + \alpha\gamma'\ (\mod.~2), +\] +folgt. Alle und nur die Exponentensysteme $(\alpha', \beta', \gamma')$, welche je einem +der beiden Werte $0$~und~$1$ von~$\epsilon$ entsprechen, sind also: +\[ +(\alpha', \beta', \gamma') = (\epsilon + \beta\beta' + \alpha\gamma', \beta', \gamma'), +\] +wo $\beta'$ und $\gamma'$ gleich $0$~oder~$1$ sein können, und das gibt sowohl für $\epsilon = 0$ +als für $\epsilon = 1$ wirklich je vier verschiedene Exponentensysteme. + +Nach dem soeben in \Eq{(2^{b})}~\aSeite{326} bewiesenen Satze hat nun das Symbol +$\left(\dfrac{D, m}{p}\right)$ für alle und nur die durch $f(x, y)$ innerhalb $K(p)$ darstellbaren +Zahlen~$m$ einen und denselben Wert~$C_{p}$. Ist also $D = D_{0}^{2}$ für $K(p)$ +eine Quadratzahl, so ist jenes Symbol für jede Zahl~$m$ gleich~$+1$; also +ist in diesem Falle sicher $C_{p} = +1$, und jede rationale Zahl~$m$ ist für +$K(p)$ durch $f(x, y)$ darstellbar. Ist dagegen $D$ innerhalb $K(p)$ keine +Quadratzahl, so ist nach dem soeben bewiesenen Satze für die eine Hälfte +aller Zahlklassen das Symbol $\left(\dfrac{D, m}{p}\right)$ gleich~$+1$, für die andere gleich~$-1$; +je nachdem hier also das zugehörige $C_{p}$ den einen oder den anderen +Wert hat, ist nur die eine oder nur die andere Hälfte aller rationalen +Zahlen~$m$ durch die Form~$f(x, y)$ darstellbar. Den Wert von~$C_{p}$ findet +man in jedem Falle, indem man für irgendeine durch $f(x, y)$ darstellbare +\PageSep{346}{330} +Zahl~$\bar{m}$, etwa für $a$,~$c$ oder $a + b + c$, das zugehörige Exponentensystem +$(\bar{\beta})$,~$(\bar{\alpha}, \bar{\beta})$, oder $(\bar{\alpha}, \bar{\beta}, \bar{\gamma})$ bestimmt und dann aus~\Eq{(8)} den Wert +von +\[ +C_{p} = \left(\frac{D, \bar{m}}{p}\right) +\] +entnimmt. + +Ich will eine Form $f(x, y)$ für einen Bereich $K(p)$ \so{indefinit} +\index{Definite und indefinite Formen für~$K(p)$}% +nennen, wenn durch sie alle rationalen Zahlen innerhalb $K(p)$ rational +dargestellt werden können; dagegen soll $f(x, y)$ für $K(p)$ \so{definit} +heißen, wenn nur die Hälfte aller rationalen Zahlen durch sie dargestellt +werden kann. Dann kann das Resultat unserer letzten Untersuchung +in dem einfachen Satze ausgesprochen werden: +\begin{Theorem} +Eine Form $f(x, y)$ ist stets und nur dann für $K(p)$ indefinit, +wenn ihre Diskriminante $D = b^{2} - 4ac$ für jenen Bereich eine +Quadratzahl ist. Sie ist also für $K(p_{\infty})$ indefinit, wenn $D$ positiv, +sie ist für $K(p)$ bzw.\ für $K(2)$ indefinit, wenn $\left(\dfrac{D}{p}\right)$ bzw.\ $\left(\dfrac{D}{2}\right)$ +gleich~$+1$ ist. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so ist $f(x, y)$ +definit, \dh\ es werden von den in allen $2$,~$4$,~$8$ Zahlklassen enthaltenen +Zahlen~$m$ immer nur die Hälfte, nämlich die in je $1$,~$2$,~$4$ Zahlklassen +enthaltenen Zahlen durch $f(x, y)$ dargestellt. +\end{Theorem} + +Wir wollen sagen, daß eine Zahl~$D$ oder~$m$ für den Bereich~$K(p_{\infty})$, +$K(p)$~oder~$K(2)$ zur Zahlklasse $(\beta)$,~$(\alpha, \beta)$ oder $(\alpha, \beta, \gamma)$ bzw.\ $(\beta')$, +$(\alpha', \beta')$, oder $(\alpha', \beta', \gamma')$ gehört, wenn sie für diesen Bereich das entsprechende +Exponentensystem besitzt, und wir wollen diese Beziehung +jedesmal durch eine Gleichung, \zB\ durch +\[ +\Tag{(9)} +D = (\alpha, \beta, \gamma) \quad\text{oder}\quad +m = (\alpha', \beta', \gamma')\quad (2) +\] +ausdrücken. Dann können die drei allgemeinen Gleichungen \aSeite{328}: +\[ +\Tag{(10)} +\begin{aligned} +\left(\frac{D, m}{p_{\infty}}\right) &= (-1)^{\beta\beta'} \\ +\left(\frac{D, m}{p}\right) &= (-1)^{\efrac{p-1}{2}\alpha\alpha'+\alpha\beta'+\beta\alpha'} \\ +\left(\frac{D, m}{2}\right) &= (-1)^{\beta\beta'+\alpha\gamma'+\gamma\alpha'} +\end{aligned} +\] +folgendermaßen spezialisiert werden: +\PageSep{347}{331} + +%[** TN: Items hanging-indented in the original, cf. comparable units below] +\Item{I)} Für den Bereich $K(p_{\infty})$ ist, falls +\begin{alignat*}{2} +D &= (0) \text{ ist,}\quad &\left(\frac{D, m}{p_{\infty}}\right) &= +1 \\ + &= (1), & &= (-1)^{\beta'}, +\end{alignat*} +wenn $m = (\beta')$ beliebig gegeben ist. + +\Item{II)} Für einen Bereich $K(p)$ ist, falls +\begin{alignat*}{2} +D &= (0, 0) \text{ ist,}\quad &\left(\frac{D, m}{p}\right) &= +1 \\ + &= (0, 1), & &= (-1)^{\alpha'} \\ + &= (1, 0), & &= (-1)^{\efrac{p-1}{2}\alpha'+\beta'} \\ + &= (1, 1), & &= (-1)^{\efrac{p+1}{2}\alpha'+\beta'}, +\end{alignat*} +wenn $m = (\alpha', \beta')$ ist. + +\Item{III)} Für den Bereich $K(2)$ ist, falls +\begin{alignat*}{2} +D &= (0, 0, 0) \text{ ist,}\quad &\left(\frac{D, m}{2}\right) &= +1 \\ + &= (0, 0, 1), & &= (-1)^{\alpha'} \\ + &= (0, 1, 0), & &= (-1)^{\beta'} \\ + &= (1, 0, 0), & &= (-1)^{\gamma'} \\ + &= (0, 1, 1), & &= (-1)^{\alpha'+\beta'} \\ + &= (1, 0, 1), & &= (-1)^{\alpha'+\gamma'} \\ + &= (1, 1, 0), & &= (-1)^{\beta' +\gamma'} \\ + &= (1, 1, 1), & &= (-1)^{\alpha'+\beta'+\gamma'}, +\end{alignat*} +wenn $m = (\alpha', \beta', \gamma')$ beliebig gegeben ist. + +%[** TN: No paragraph indent in the original, cf. comparable units below] +Wählt man in diesen Gleichungen für $m$ irgendeine \emph{durch~$f(x, y)$ +darstellbare Zahl~$\bar{m}$}, so bestimmt diese den Wert des betreffenden +Charakters~$C_{p}$, und alle und nur \DPchg{\emph{die}}{die} Zahlen~$m$ sind durch~$f(x, y)$ +darstellbar, für welche +\[ +\left(\frac{D, m}{p}\right) = C_{p} +\] +ist. +\PageSep{348}{332} + +Bei der Bestimmung dieser einzelnen Charaktere können und wollen +wir uns auf den einfachsten Fall beschränken, daß $f(x, y)$ eine sogen.\ +\so{primitive Form} ist. Ist nämlich zunächst +\index{Primitive!Formen}% +\[ +f(x, y) = ax^{2} + bxy + cy^{2} +\] +eine beliebige Form mit rationalen Koeffizienten, so sei: +\[ +\delta = (a, b, c) +\] +der größte gemeinsame Teiler derselben, welcher dann und nur dann +das negative Vorzeichen erhalten soll, wenn $a$~und~$c$ und~$a + b + c$ +sämtlich negativ sind. Ist dann: +\[ +\Tag{(11)} +\begin{gathered} +a = \delta a_{0},\quad b = \delta b_{0},\quad c = \delta c_{0}, \\ +f(x, y) = \delta f_{0}(x\DPtypo{}{,} y) = \delta(a_{0} x^{2} + b_{0} xy + c_{0} y^{2}), +\end{gathered} +\] +so ist $f_{0}(x, y)$ eine ganzzahlige Form mit teilerfremden Koeffizienten, +in welcher von den drei Zahlen $a_{0}$,~$c_{0}$, $a_{0} + b_{0} + c_{0}$ mindestens eine +positiv ist. Eine solche Form soll \so{primitiv} genannt werden. Ist +$D^{(0)} = b_{0}^{2} - 4a_{0} c_{0}$ ihre Diskriminante, so wird +\[ +D = D^{(0)} \delta^{2}. +\] + +Es sei nun $m = f(\xi, \eta)$ eine für irgendeinen Bereich~$K(p)$ durch +$f(x, y)$ darstellbare Zahl; dann folgt aus der obigen Gleichung~\Eq{(11)} durch +die Substitution $(x = \xi, y = \eta)$ +\[ +m = f(\xi, \eta) = \delta f_{0} (\xi, \eta) = \delta m_{0}, +\] +wo $m_{0} = f_{0} (\xi, \eta)$ eine durch die zugehörige primitive Form darstellbare +Zahl ist. Sind also $C_{p}$~und~$C_{p}^{(0)}$ die Charaktere von $f(x, y)$ und $f_{0}(x, y)$ +für den Bereich~$K(p)$, so besteht zwischen ihnen immer die Beziehung: +\[ +\Tag{(12)} +\begin{aligned}%[** TN: Not broken/aligned in the original] +C_{p} + &= \biggl(\frac{D, m}{p}\biggr) + = \biggl(\frac{D^{(0)}\delta^{2}, m_{0}\delta}{p}\biggr) \\ + &= \biggl(\frac{D^{(0)}, \delta}{p}\biggr) + \biggl(\frac{D^{(0)}, m^{(0)}}{p}\biggr) + = \biggl(\frac{D^{(0)}, \delta}{p}\biggr) C_{p}^{(0)}. +\end{aligned} +\] +Es brauchen somit wirklich im Folgenden nur die Charaktere beliebiger +primitiver Formen untersucht zu werden, da diejenigen für +Formen vom Teiler~$\delta$ aus ihnen durch die Multiplikation mit $\left(\dfrac{D^{(0)}, \delta}{p}\right)$ +hervorgehen. +\PageSep{349}{333} + +Es sei jetzt also $f(x, y)$ eine primitive Form; dann kann unter +den durch sie darstellbaren Zahlen~$m$ stets eine Zahl~$\bar{m}$ so ausgewählt +werden, daß sie positiv ist, falls der Bereich $K(p_{\infty})$ ist, oder +daß sie für einen der anderen Bereiche $K(p)$ bzw.\ $K(2)$ die betreffende +Primzahl nicht enthält. In der Tat ist ja von den drei durch +$f(x, y)$ darstellbaren ganzen Zahlen +\[ +(f(1, 0), f(1, 1), f(0, 1)) = (a, a + b + c, c) +\] +nach der Definition der primitiven Formen mindestens eine positiv, +aber auch mindestens eine durch eine beliebig gegebene Primzahl~$p$ +nicht teilbar, da der größte gemeinsame Teiler $(a, a + b + c, c) += (a, b, c) = 1$ ist. Wählt man also für den betreffenden Bereich +$K(p_{\infty})$,~$K(p)$ oder~$K(2)$ für $\bar{m}$ jedesmal diejenige Zahl oder +eine von den Zahlen $a$,~$a + b + c$,~$c$ aus, welche positiv ist bzw.\ +welche $p$ oder~$2$ nicht enthält, so ist unserer Forderung in jedem Falle +genügt. Für die so gewählte durch $f(x, y)$ darstellbare Zahl~$\bar{m}$ ist also +in den drei unterschiedenen Fällen: +\[ +\bar{m} = (0)\quad (p_{\infty}),\qquad +\bar{m} = (0, \bar{\beta})\quad (p),\qquad +\bar{m} = (0, \bar{\beta}, \bar{\gamma})\quad (2), +\] +wo $\bar{\beta}$ bzw.\ $\bar{\beta}$, $\bar{\gamma}$ durch dieses spezielle $\bar{m}$ bestimmt sind. Setzt man nun +dieses $\bar{m}$ für $m$ in \Iref{I\Add{)}},~\Iref{II\Add{)}},~\Iref{III\Add{)}} ein und beachtet man zugleich, daß für ein +ungerades~$p$ +\[ +(-1)^{\bar{\beta}} = \left(\frac{\bar{m}}{p}\right), +\] +für $p = 2$ aber nach \Seite{271} unten +\[ +(-1)^{\bar{\beta}} = (-1)^{\efrac{\bar{m}-1}{2}} = \left(\frac{-1}{\bar{m}}\right),\quad +(-1)^{\bar{\gamma}} = (-1)^{\efrac{\bar{m}^{2}-1}{8}} = \left(\frac{2}{\;\bar{m}\;}\right) +\] +ist, so ergeben sich für die gesuchten Charaktere $C_{p_{\infty}}$,~$C_{p}$,~$C_{2}$ die folgenden +Werte: + +\Item{I')} Für den Bereich $K(p_{\infty})$ ist, wenn +\[ +D = (\beta) \text{ ist,}\quad +C_{p_{\infty}} = \left(\frac{D, \bar{m}}{p_{\infty}}\right) = +1. +\] + +\Item{II')} Für einen Bereich $K(p)$ ist, wenn +\PageSep{350}{334} +\begin{alignat*}{2} +D &= (0, \beta) \quad\text{ist,}\quad & C_{p} &= \left(\frac{D, \bar{m}}{p}\right) = +1, \\ + &= (1, \beta) \quad\Ditto{ist},& C_{p} &= (-1)^{\bar{\beta}} = \left(\frac{\bar{m}}{p}\right). +\end{alignat*} + +\Item{III')} Für den Bereich $K(2)$ ist für: +\begin{alignat*}{4} +D &= (0, 0, \gamma) \quad & C_{2} &= +1 \\ + &= (0, 1, \gamma) & &= (-1)^{\bar{\beta}} &&= \left(\frac{-1}{\bar{m}}\right) &&= (-1)^{\efrac{\bar{m}-1}{2}} \\ + &= (1, 0, \gamma) & &= (-1)^{\bar{\gamma}} &&= \left(\frac{2}{\;\bar{m}\;}\right) &&= (-1)^{\efrac{\bar{m}^{2}-1}{8}} \\ + &= (1, 1, \gamma) & &= (-1)^{\bar{\beta}+\bar{\gamma}} + &&= \left(\frac{-2}{\bar{m}}\right) &&= (-1)^{\efrac{(\bar{m}-1)(\bar{m}-3)}{8}}, +\end{alignat*} +wobei in den unterschiedenen Fällen jedesmal $\beta$ bzw.\ $\gamma$ beliebig gewählt +werden kann. +%\end{Enum} + +Zusammenfassend kann man alle diese Resultate über primitive +Formen in dem folgenden einfachen Satze aussprechen: +\begin{Theorem} +Für eine beliebige primitive Form $f(x, y)$ ist stets $C_{p_{\infty}} = +1$; +ferner ist für jede ungerade Primzahl~$p$ +\begin{alignat*}{3} +\Tag{(13)} +C_{p} &= \left(\frac{\bar{m}}{p^{\alpha}}\right), &&\text{wenn}\quad +D = p^{\alpha} w^{\beta} D_{0}^{2} &&(p), +\intertext{und} +\Tag{(13^{a})} +C_{2} &= \left(\frac{2^{\alpha} (-1)^{\beta}}{\bar{m}}\right),\quad &&\text{wenn}\quad +D = 2^{\alpha} (-1)^{\beta} 5^{\gamma} D_{0}^{2}\quad &&(2) +\end{alignat*} +ist, und wenn jedesmal $\bar{m}$ irgendeine durch $f$ darstellbare Einheit +bedeutet. +\end{Theorem} + +Nur für eine endliche Anzahl von Bereichen $K(p)$ kann $C_{p} = -1$ +ein. Um diese Bereiche deutlicher charakterisieren zu können, setze +ich +\[ +\Tag{(14)} +D = \bar{D} Q^{2}, +\] +wo $Q^{2}$ die größte in $D$ enthaltene rationale Quadratzahl ist, wo also +\index{Kern einer \DPtypo{Driskiminante}{Diskriminante}}% +die ganze Zahl~$\bar{D}$ lauter einfache Primfaktoren enthält. Dann soll $\bar{D}$ +\so{der Kern der Diskriminante~$D$} genannt werden. Da sich +\PageSep{351}{335} +$D$~und~$\bar{D}$ um eine Quadratzahl unterscheiden, so besitzt $\bar{D}$ für jeden +Bereich $K(p)$ dasselbe Exponentensystem $(\beta)$,~$(\alpha, \beta)$ oder $(\alpha, \beta, \gamma)$ +wie~$D$, und für alle und nur die Primteiler des Kernes $\bar{D}$ ist $\alpha = 1$, für +alle anderen $\alpha = 0$. + +Aus den Gleichungen \Iref{I'\Add{)}},~\Iref{II'\Add{)}},~\Iref{III'\Add{)}} folgt nun, daß bei einer primitiven +Form~$C_{p}$, überhaupt nur dann gleich $-1$ sein \emph{kann}, wenn $\alpha = 1$, +wenn also $p$ oder~$2$ eine der im Kern~$\bar{D}$ enthaltenen Primzahlen +ist; außerdem noch für $p = 2$, wenn $\alpha = 0$, $\beta = 1$, wenn also +$\bar{D} = (-1) 5^{\gamma} D_{0}^{2} \equiv -1\ (\mod.~4)$ ist. In allen anderen Fällen ist ja +$C_{p} = +1$, wie aus \Eq{(13)}~und~\Eq{(13^{a})} unmittelbar hervorgeht. + +Es ist nun leicht anzugeben, welche Zahlklassen rationaler Zahlen~$m$ +jedesmal durch eine gegebene primitive Form $f(x, y)$ von der Diskriminante~$D$, +oder, was ja ganz dasselbe ist, vom Diskriminantenkern~$\bar{D}$ +darstellbar sind. Soll nämlich eine Zahl~$m$, welche wir wieder je nach +dem gerade betrachteten Körper $K(p_{\infty})$,~$K(p)$ oder~$K(2)$ in der Form +schreiben: +\begin{alignat*}{2}%[** Set on one line in the original] +m &= (-1)^{\beta'} m_{0}^{2} && (p_{\infty}), \\ +m &= p^{\alpha'} w^{\beta'} m_{0}^{2} && \PadTo{(p_{\infty})}{(p),} \\ +m &= 2^{\alpha'} (-1)^{\beta'} 5^{\gamma'} m_{0}^{2}\quad && \PadTo{(p_{\infty})}{(2),} +\end{alignat*} +durch $f(x, y)$ darstellbar sein, so muß ja: +\[ +\left(\frac{D, m}{p}\right) = C_{p}, +\] +\dh\ es muß in den drei unterschiedenen Fällen: +\[ +(-1)^{\beta\beta'},\quad +(-1)^{\efrac{p-1}{2}\alpha\alpha'+\alpha\beta'+\beta\alpha'},\quad +(-1)^{\beta\beta'+\alpha\gamma'+\gamma\alpha'} +\] +gleich dem Werte $(-1)^{\epsilon}$ von $C_{p}$ sein, wie er in \Iref{I'\Add{)}},~\Iref{II'\Add{)}},~\Iref{III'\Add{)}} durch die +Exponenten $0$,~$\bar{\beta}$,~$\bar{\gamma}$ einer durch $f(x, y)$ darstellbaren Einheit~$\bar{m}$ ausgedrückt +wurde. Löst man also die so sich ergebenden Kongruenzen +modulo~$2$: +\begin{gather*}%[** Set on one line in the original] +\beta\beta' \equiv 0, \qquad +\frac{p - 1}{2} \alpha\alpha' + \alpha\beta' + \beta\alpha' + \equiv \alpha\bar{\beta}, \\ +\beta\beta' + \alpha\gamma' + \gamma\alpha' + \equiv \beta\bar{\beta} + \alpha\bar{\gamma}, +\end{gather*} +wie \aSeite{329} auf, so ergibt sich leicht die folgende vollständige Tabelle +aller durch $f(x, y)$ für den Bereich $K(p_{\infty})$,~$K(p)$ oder~$K(2)$ darstellbaren +rationalen Zahlen: +\PageSep{352}{336} + +\Item{I'')} für den Bereich $K(p_{\infty})$: Ist +\begin{alignat*}{3} +D&=(0), \quad&&\text{so ist}\quad &m &= (\beta') \\ + &=(1), &&\Ditto{so}\ \Ditto{ist} &m &= (0). +\end{alignat*} + +\Item{II'')} für einen Bereich $K(p)$: Ist +\begin{alignat*}{3} +D &= (0, 0),\quad&&\text{so ist}\quad &m &= (\alpha', \beta') \\ + &= (0, 1), &&\Ditto{so}\ \Ditto{ist} &&= (0, \beta') \\ + &= (1, 0), &&\Ditto{so}\ \Ditto{ist} &&= (\alpha', \frac{p - 1}{2}\alpha' + \bar{\beta}) \\ + &= (1, 1), &&\Ditto{so}\ \Ditto{ist} &&= (\alpha', \frac{p + 1}{2}\alpha' + \bar{\beta}). +\end{alignat*} + +\Item{III'')} für den Bereich $K(2)$: Ist +\begin{alignat*}{3} +D &= (0, 0, 0),\quad&&\text{so ist}\quad &m &= (\alpha', \beta', \gamma') \\ + &= (0, 0, 1), &&\Ditto{so}\ \Ditto{ist} &&= (0, \beta', \gamma') \\ + &= (0, 1, 0), &&\Ditto{so}\ \Ditto{ist} &&= (\alpha', \bar{\beta}, \gamma') \\ + &= (1, 0, 0), &&\Ditto{so}\ \Ditto{ist} &&= (\alpha', \beta', \bar{\gamma}) \dbrk + &= (0, 1, 1), &&\Ditto{so}\ \Ditto{ist} &&= (\beta'+ \bar{\beta}, \beta', \gamma') \\ + &= (1, 0, 1), &&\Ditto{so}\ \Ditto{ist} &&= (\gamma'+\bar{\gamma}, \beta', \gamma') \\ + &= (1, 1, 0), &&\Ditto{so}\ \Ditto{ist} &&= (\alpha', \gamma'+\bar{\beta}+\bar{\gamma}, \gamma') \\ + &= (1, 1, 1), &&\Ditto{so}\ \Ditto{ist} &&= (\alpha', \alpha'+\gamma'+\bar{\beta}+\bar{\gamma}, \gamma'), +\end{alignat*} +wo $\bar{\beta}$, $\bar{\gamma}$ jedesmal die Exponenten der fest gewählten Einheit~$\bar{m}$ sind, +während $\alpha'$,~$\beta'$,~$\gamma'$ unabhängig voneinander die Werte Null und Eins +annehmen können. Man sieht hier direkt, daß wirklich jede indefinite +Form, für welche also $D$ bzw.\ gleich $(0)$,~$(0, 0)$, $(0, 0, 0)$ ist, alle möglichen +$2$,~$4$,~$8$ Zahlklassen für die Bereiche $K(p_{\infty})$,~$K(p)$,~$K(2)$ darstellt, daß +aber jede definite primitive Form nur die Hälfte, nämlich bzw.\ $1$,~$2$,~$4$ +solche Zahlklassen darstellen kann. + +Ich wende mich nun zur Lösung der Frage, wann eine vorgelegte +rationale Zahl~$m$ \so{überall}, \dh\ für jeden der unendlich vielen Bereiche +$K(p)$,~$K(2)$ und~$K(p_{\infty})$ durch eine gegebene primitive Form $f(x, y)$ +darstellbar ist. Ist wieder $D$ ihre Diskriminante, und +\[ +\bar{D} = ±2^{\alpha} p_{1} p_{2} \dots p_{\mu}\qquad +\begin{Conditions} +(\alpha=0 \text{ oder } 1) +\end{Conditions} +\] +\PageSep{353}{337} +ihr Diskriminantenkern, so ist $m$ stets und nur dann überall durch +$f(x, y)$ darstellbar, wenn die unendlich vielen Gleichungen: +\[ +\left(\frac{\bar{D}, m}{p}\right) = C_{p} +\] +für jeden Bereich $K(p)$ erfüllt sind. Setzen wir entsprechend wie für~$D$ +\[ +m = \bar{m}k^{2}, \quad\text{wo}\quad +\bar{m} = ±2^{\alpha'} \bar{p}_{1} \bar{p}_{2} \dots \bar{p}_{\nu}, +\] +der Kern von~$m$, auch nur einfache Primfaktoren enthält, so reduzieren +sich jene Bedingungen auf die einfacheren: +\[ +\left(\frac{\bar{D}, \bar{m}}{p}\right) = C_{p}. +\] +Wir wollen von vornherein voraussetzen, daß $\bar{m}$ zu $2\bar{D}$ teilerfremd, +daß also +\[ +\bar{m} = ±\bar{p}_{1} \bar{p}_{2} \dots \bar{p}_{\nu} +\] +ungerade ist, und die $p_{i}$ von den $\bar{p}_{k}$ verschieden sind. Der allgemeinste +Fall kann wegen der Dekomponierbarkeit des Hilbertschen Symboles +leicht auf diesen reduziert werden. Wir stellen jetzt also die folgende +Frage: +\begin{Theorem} +Wie muß eine Zahl~$m$, deren Kern zu $2\bar{D}$ teilerfremd ist, beschaffen sein, +damit sie für jeden Bereich $K(p)$ durch eine gegebene +primitive Form vom Kern~$\bar{D}$ darstellbar ist? +\end{Theorem} + +Ist zunächst $\bar{D}$ positiv, so kann $\bar{m}$ sowohl positiv als negativ sein; +ist $\bar{D}$ negativ, so muß $\bar{m}$ positiv sein. + +Ist zweitens $\bar{p}_{k}$ ein Kernteiler von~$m$, \dh\ irgend einer der Primteiler +von~$\bar{m}$, so folgt aus der \aSeite{317} angegebenen Fundamentaleigenschaft des +Hilbertschen Symboles, daß +\[ +\Tag{(15)}\ +\left(\frac{\bar{D}, \bar{m}}{\bar{p}_{k}}\right) + = \left(\frac{\bar{D}}{\bar{p}_{k}}\right) = +1 +\] +sein muß, weil \ndV\ $\bar{D}$ nicht durch $\bar{p}_{k}$ teilbar, und weil nach +\Eq{(II')} \aSeite{334} $C_{\bar{p}_{k}} = +1$ ist. Ist dagegen $p_{i}$ einer der $\mu$ Kernteiler +von~$\bar{D}$, so muß für ihn +\PageSep{354}{338} +\[ +\Tag{(15^{a})} +\left(\frac{\bar{D}, \bar{m}}{p_{i}}\right) = \left(\frac{\bar{m}}{p_{i}}\right) = C_{p_{i}} +\] +sein, wo diese Charaktere gleich $+1$~oder~$-1$ sein können, je nach der +Natur von~$f(x, y)$. Durch jede von diesen $\mu$ Gleichungen +\[ +\Tag{(15^{b})} +\left(\frac{\bar{m}}{p_{i}}\right) = ±1 +\] +wird der Kern $\bar{m}$ modulo~$p_{i}$ genau $\dfrac{p_{i} - 1}{2}$-deutig bestimmt, denn derselbe +muß ja entweder einem der $\dfrac{p_{i} - 1}{2}$ Reste oder einem der $\dfrac{p_{i} - 1}{2}$ +Nichtreste modulo~$p_{i}$ kongruent sein. + +Ist endlich $p = 2$, so folgt aus \Eq{(III'')} \aSeite{336}, daß, falls +\begin{alignat*}{3} +\bar{D} &= (0, 0, \gamma)\quad &&\text{ist,}\quad &\bar{m}&= (0, \beta', \gamma') \\ + &= (0, 1, \gamma) &&\Ditto{ist}, & &= (0, \bar{\beta}, \gamma') \\ + &= (1, 0, \gamma) &&\Ditto{ist}, & &= (0, \beta', \bar{\gamma}) \\ + &= (1, 1, \gamma) &&\Ditto{ist}, & &= (0, \gamma' + \bar{\beta} + \bar{\gamma}, \gamma') +\end{alignat*} +sein muß. Ist also im ersten Falle $\bar{D} = (0, 0, \gamma)$, also +\[ +\bar{D} \equiv 1\ (\mod.~4), +\] +so ist $\bar{m} \equiv 1$, $3$,~$5$,~$7\ (\mod.~8)$, \dh\ vierdeutig modulo~$8$ bestimmt; +ist dagegen in den drei letzten Fällen: +\[ +\bar{D} \equiv -1\ (\mod.~4),\quad +\bar{D} \equiv +2\ (\mod.~8),\quad +\bar{D} \equiv -2\ (\mod.~8), +\] +so ist jedesmal $\bar{m}$ nur zweideutig modulo~$8$ bestimmt. + +Ist endlich $p$ eine ungerade Primzahl, welche weder in $\bar{D}$ noch in +$\bar{m}$ enthalten ist, so ist ja die bezügliche Bedingungsgleichung +\[ +\left(\frac{\bar{D}, \bar{m}}{p}\right) = C_{p} = +1 +\] +nach dem Satze \aSeite{317} von selbst erfüllt. + +Durch die Bedingungen \Eq{(15)}~und~\Eq{(15^{a})} zusammengenommen wird +also der Kern~$\bar{m}$ von~$m$ modulo +\PageSep{355}{339} +\[ +\Delta = 8p_{1} p_{2} \dots p_{\mu} +\] +genau $r$-deutig bestimmt, wo +\[ +r = 4 \prod \frac{p_{i} - 1}{2} \quad\text{oder}\quad +r = 2 \prod \frac{p_{i} - 1}{2} +\] +ist, je nachdem $\bar{D}$ von der Form $4n + 1$ ist oder nicht, \dh\ die Kerne +aller durch $f(x, y)$ möglicherweise darstellbaren Zahlen~$m$ sind stets +in $r$ arithmetischen Reihen: +\[ +\Tag{(16)} +\bar{m} = \bar{m}_{0} + \Delta l +\] +enthalten, deren Anfangsglieder~$\bar{m}_{0}$ die $r$ kleinsten positiven modulo~$\Delta$ +inkongruenten Lösungen der Gleichungen +\[ +\left(\frac{\bar{m}_{0}}{p_{i}}\right) = C_{p_{i}},\quad +\left(\frac{\bar{D}, \bar{m}_{0}}{2}\right) = C_{2} +\] +sind. + +Von diesen Zahlen~$\bar{m}$ in~\Eq{(16)} können nach der \aSeite{337} unten +gemachten Bemerkung entweder die positiven und negativen Glieder +oder nur die positiven Glieder durch $f(x, y)$ dargestellt werden, je nachdem~$\bar{D}$ +positiv oder negativ ist. + +Nach den Bedingungen~\Eq{(15)} ist endlich eine in den so beschränkten +arithmetischen Reihen $\bar{m}_{0} + \Delta l$ enthaltene ganze Zahl~$\bar{m}$ stets und +nur dann der Kern einer durch $f(x, y)$ überall darstellbaren Zahl +$m = \bar{m} k^{2}$, wenn für alle ihre Primfaktoren~$\bar{p}$ der Kern $\bar{D}$ quadratischer +Rest, wenn also der Kern von~$D$ quadratischer Rest des Kernes von~$m$ +ist. + + +\Section{§ 8.}{Einteilung der binären quadratischen Formen +in Geschlechter.} + +Wir wollen zwei Formen $f(x, y)$ und $f'(x, y)$ desselben Kernes~$\bar{D}$ +\index{Aequivalente@{Äquivalente $g$-adische Zahlen}!Formen desselben Kernes}% +\index{Geschlechter binärer Formen}% +\so{äquivalent} nennen und sie in ein und dasselbe \so{Formengeschlecht~$G$} +rechnen, wenn sie dieselben rationalen Zahlen $(m, m', m'', \dots)$ +überall darstellen, wenn sie also für alle Bereiche $K(p)$,~$K(p')$,~\dots\ +dieselben Charaktere $C_{p}$,~$C_{p}'$,~\dots\ besitzen. Sind die betrachteten +Formen primitiv, und sind wieder $(p_{1}, p_{2}, \dots p_{\mu})$ die ungeraden Primteiler +des Kerns, so sind $f(x, y)$ und $f'(x, y)$ stets und nur dann äquivalent, +wenn die $\mu$ bzw.\ $(\mu + 1)$ Gleichungen: +\PageSep{356}{340} +\begin{align*} +C_{p_{1}} &= C'_{p_{1}},\quad C_{p_{2}} = C'_{p_{2}},\ \dots\quad C_{p_{\mu}} = C'_{p_{\mu}} +\intertext{bzw.} +C_{2} = C'_{2},\quad +C_{p_{1}} &= C'_{p_{1}},\quad C_{p_{2}} = C'_{p_{2}},\ \dots\quad C_{p_{\mu}} = C'_{p_{\mu}} +\end{align*} +sämtlich erfüllt sind, \DPchg{jenachdem}{je nachdem} $\bar{D}$ von der Form $4n + 1$ ist oder nicht, +da ja für alle übrigen Bereiche~$K(p)$ stets $C_{p} = C'_{p} = +1$ ist. Ein +Geschlecht, in welchem alle übrigen Charaktere~$+1$ sind, soll \so{ein +primitives Formengeschlecht vom Kern~$\bar{D}$} genannt werden, +obwohl dasselbe sehr wohl auch nicht primitive Formen enthalten +kann. Nur mit solchen primitiven Geschlechtern wollen wir uns +in den folgenden kurzen Betrachtungen beschäftigen. Wir wollen +das vollständige System +\[ +(C_{p_{i}}) \quad\text{bzw.}\quad (C_{2}, C_{p_{i}}) +\] +der Charaktere, welche alle Formen eines solchen Geschlechtes für die Bereiche +$(K(p_{i}))$ bzw.\ $(K(2), K(p_{i}))$ besitzen, den \so{primitiven Gesamtcharakter +dieses Geschlechtes} nennen und ihn durch +\[ +\Tag{(1)} +\frakC = (C_{p_{i}}) = (C_{p_{1}}, \dots C_{p_{\mu}}) \quad\text{bzw.}\quad +(C_{p_{0}}, C_{p_{1}}, \dots C_{p_{\mu}}) +\] +bezeichnen, indem wir $p_{0} = 2$ setzen, falls diese Primzahl bei den Charakteren +in Betracht kommt. Dann gehören zwei primitive oder nicht +primitive Formen $f$~und~$f'$ stets und nur dann in dasselbe primitive Geschlecht, +wenn sie dieselben primitiven Gesamtcharaktere $\frakC(f)$~und~$\frakC(f')$ +\index{Gesamtcharakter eines primitiven Geschlechts}% +haben, und wenn alle ihre übrigen Charaktere gleich~$+1$ sind. + +Die Anzahl aller primitiven Geschlechter kann in den beiden oben +unterschiedenen Fällen höchstens gleich $2^{\mu-1}$ bzw.\ $2^{\mu}$ sein, da nach +dem \aSeite{327}~\Eq{(4)} bewiesenen Satze das Produkt $\prod C_{p_{i}}$ gleich~$+1$ und +somit einer jener Charaktere durch die übrigen eindeutig bestimmt ist, +während jeder von diesen übrigen Charakteren die beiden Werte $+1$ +oder $-1$ haben kann. + +Kann man für einen gegebenen Kern~$\bar{D}$ ein System von $N = 2^{\mu-1}$ +bzw.\ $N = 2^{\mu}$ rationalen Formen vom Kern~$\bar{D}$ aufstellen, deren Gesamtcharaktere +alle zulässigen Wertsysteme $(±1, ±1, \dots ±1)$ von $\mu$ +bzw.\ $\mu + 1$ Elementen sind, während alle übrigen Charaktere $C_{p} = +1$ +sind, so ist damit bewiesen, daß die Anzahl der primitiven Geschlechter +vom Kern~$\bar{D}$ wirklich diesen größten möglichen Wert hat; und dieses +Repräsentantensystem: +\PageSep{357}{341} +\[ +\Tag{(2)} +(f_{1}(x, y), f_{2}(x, y), \dots f_{N}(x, y)) +\] +hat dann die wichtige Eigenschaft, daß jede rationale Zahl~$m$, welche +überhaupt durch eine primitive Form vom Kern~$\bar{D}$ überall darstellbar +ist, durch eine und nur eine Form dieses Repräsentantensystemes überall +dargestellt werden kann. + +Ich will jetzt ein einfaches Verfahren angeben, nach welchem für +einen bestimmten Kern~$\bar{D}$ ein solches vollständiges Formensystem~\Eq{(2)} +aufgestellt werden kann, und ich will dasselbe dann durch einige +Beispiele erläutern. + +Die Formen des hier in Betracht kommenden Repräsentantensystems +können am einfachsten so geschrieben werden: +\[ +\Tag{(3)} +f_{a}(x, y) = a(x^{2} - \bar{D} y^{2}). +\] +Für einen beliebigen Teiler~$a$ hat diese Form den Kern~$\bar{D}$, weil ihre +Diskriminante offenbar gleich $4a^{2} \bar{D}$ ist. Ihr Charakter für einen beliebigen +Bereich~$K(p)$ ist +\[ +C_{p}^{(a)} = \left(\frac{\bar{D}, a}{p}\right), +\] +weil ja $a = f_{a}(1, 0)$ durch $f_{a}(x, y)$ darstellbar ist. Speziell sind für +die sogen.\ Haupt- oder Einheitsform $f_{1}(x, y) = x^{2} - \bar{D} y^{2}$, durch welche +ja die Zahl~$1$ dargestellt wird, die sämtlichen Charaktere +$C_{p}^{(1)} = \left(\dfrac{\bar{D}, 1}{p}\right) = +1$. Eine Form $f_{a}(x, y)$ gehört stets und nur dann +einem primitiven Formengeschlechte an, wenn für alle von den $(\DPtypo{p}{p_{i}})$ +bzw.\ +von den $(p_{0}, p_{i})$ verschiedenen Primzahlen~$p$\; $C_{p}^{(a)} = +1$ ist. So sollen +diese Formenteiler~$a$ im Folgenden gewählt vorausgesetzt werden. +Für eine solche Form ist also: +\[ +\tag*{(4)} +\frakC(f_{a}) = \frakC(a) + = \left(\!\left(\frac{\bar{D}, a}{p_{0}}\right), + \left(\frac{\bar{D}, a}{p_{1}}\right), \dots + \left(\frac{\bar{D}, a}{p_{\mu}}\right)\!\right) + = \left(\!\left(\frac{\bar{D}, a}{p_{i}}\right)\!\right) +\] +der Gesamtcharakter; alle übrigen Charaktere sind gleich~$+1$. Speziell +ist für die Einheitsform $f_{1}(x, y)$ der Charakter~$\frakC(1)$ gleich dem +sogen.\ Einheitssystem $(+1, +1, \dots +1)$ oder kürzer geschrieben +$(+, +, \dots +)$. Die Anzahl aller verschiedenen primitiven Gesamtcharaktere +kann, wie oben bewiesen wurde, höchstens gleich $2^{\mu-1}$ +bzw.\ $2^{\mu}$ sein. +\PageSep{358}{342} + +Sind $a$ und $a'$ zwei beliebige rationale Zahlen, so besteht für jeden +Bereich $K(p)$ zwischen den Charakteren der drei Formen $f_{a}(x, y)$, +$f_{a'}(x, y)$ und $f_{aa'}(x, y)$ die Beziehung: +\[ +C_{p}^{(aa')} = C_{p}^{(a)}·C_{p}^{(a')}, +\] +weil ja +\[ +\left(\frac{\bar{D},aa'}{p}\right) = +\left(\frac{\bar{D},a }{p}\right)· +\left(\frac{\bar{D}, a'}{p}\right) +\] +ist. Gehören also $f_{a}$ und $f_{a'}$ zu primitiven Geschlechtern, so gilt dasselbe +für~$f_{aa'}$ und für ihre Gesamtcharaktere $\frakC(a)$,~$\frakC(a')$ und~$\frakC(aa')$ besteht +die wichtige und einfache Beziehung: +\[ +\Tag{(5)} +\frakC(a)·\frakC(a') = \frakC(aa'), +\] +wenn auch hier, wie früher \aSeite{201} \Eq{(2)} unter dem Produkt +zweier Systeme $(C_{p_{i}}^{(a)})$ und $(C_{p_{i}}^{(a')})$ das System: $((C_{p_{i}}^{(a)}C_{p_{i}}^{(a')}))$ verstanden +wird. Hieraus folgt zunächst, daß die Gesamtheit der primitiven +Charaktere $(\frakC(a), \frakC(a'), \dots)$ aller Formen~$f_{a}(x, y)$ eine Gruppe +bildet, wenn die Multiplikation zweier Gesamtcharaktere wie soeben +angegeben definiert wird. Alsdann ist nämlich sowohl die Multiplikation +als auch die Division dieser Charaktere unbeschränkt und eindeutig +ausführbar. In der Tat besitzt auch die Gleichung +\[ +\frakC(a)\Add{·}\frakC(x) = \frakC(a') +\] +die eindeutig bestimmte Lösung $\frakC(x) = \frakC(a) \frakC(a')$, weil ja +\[ +\frakC(a)^{2} = \frakC(a^{2}) + = \left(\!\left(\frac{\bar{D}, a^{2}}{p_{i}}\right)\!\right) + = (+1) +\] +ist, wo das vorher definierte Einheitssystem $(+1) = (+, +, \dots +)$ +das Einheitselement für diesen Bereich aller Gesamtcharaktere ist. + +Ich will jetzt ein einfaches sukzessives Verfahren angeben, mit +dessen Hülfe man ein vollständiges System von Formen +\[ +f_{a}(x, y) = a(x^{2} - \bar{D} y^{2}) +\] +vom Kern~$\bar{D}$ aufstellen kann, welche alle überhaupt möglichen $2^{\mu-1}$ +bzw.\ $2^{\mu}$ primitiven Gesamtcharaktere besitzen. Daraus folgt dann von +\PageSep{359}{343} +selbst, daß die Anzahl aller primitiven Formengeschlechter vom Kern~$\bar{D}$ +wirklich genau diesen Wert hat. + +Dazu beweise ich zuerst den folgenden Hülfssatz: Es sei +\[ +\Tag{(6)} +f_{a_{1}}(x, y),\quad +f_{a_{2}}(x, y),\ \dots\quad +f_{a_{r}}(x, y) +\] +ein System von $r$~Formen $f_{a}(x, y) = a(x^{2} - \bar{D} y^{2})$, deren Gesamtcharaktere: +\[ +\Tag{(6^{a})} +\frakC(a_{1}),\quad +\frakC(a_{2}),\ \dots\quad +\frakC(a_{r}) +\] +sämtlich primitiv und voneinander verschieden sind und welche außerdem +für sich eine Gruppe bilden, so daß das Produkt $\frakC(a_{1}) \frakC(a_{k}) = \frakC(a_{i} a_{k})$ +von zwei solchen Charakteren wiederum derselben Reihe~\Eq{(6^{a})} angehört. +Ist dann $p$ gleich~$-1$ oder gleich irgendeiner Primzahl, welche +nur so gewählt sein soll, daß der zugehörige Charakter~$\frakC(p)$ ebenfalls +primitiv ist und nicht in der Reihe~\Eq{(6^{a})} vorkommt, so bilden die $2r$ +Formen +\[ +\Tag{(7)} +f_{a_{i}}(x, y) \quad\text{und}\quad f_{pa_{i}}(x, y) +\] +ein neues ebensolches System, dessen $2r$ Charaktere: +\[ +\Tag{(7^{a})} +\frakC(a_{i}) \quad\text{und}\quad \frakC(pa_{i}) +\] +ebenfalls primitiv und alle von einander verschieden sind. + +Zunächst bilden jene $2r$ Gesamtcharaktere wirklich eine Gruppe +weil ja jedes Produkt: +\begin{align*} +&\frakC(a_{i}) \frakC(pa_{k}) = \frakC(pa_{i} a_{k}) \\ +&\frakC(pa_{i}) \DPtypo{C}{\frakC}(pa_{k}) = \frakC(p^{2} a_{i} a_{k}) = \frakC(a_{i} a_{k}) +\end{align*} +in~\Eq{(7^{a})} vorkommt. Alle jene Charaktere sind auch primitiv, weil $\frakC(p)$ +\ndV\ primitiv ist. Endlich sind alle jene $2r$ Gesamtcharaktere verschieden, +weil ja aus +\begin{alignat*}{3} +\frakC(pa_{i}) &= \frakC(a_{k}) &&\text{bzw.}\quad &\frakC(pa_{i}) &= \frakC(pa_{k}) \\ +\frakC(p) &= \frakC(a_{i} a_{k})\quad&&\Ditto{bzw.} &\frakC(a_{i}) &= \frakC(a_{k}) +\end{alignat*} +folgen würde, was beides im Widerspruch mit unseren \DPtypo{Veraussetzungen}{Voraussetzungen} +steht. +\PageSep{360}{344} + +Mit Hülfe dieses Satzes kann man nun folgendermaßen sukzessive +ein vollständiges Formensystem $f_{a}(x, y)$ für alle primitiven Gesamtcharaktere +aufbauen: Wir gehen aus von der Hauptform +$f_{1}(x, y) = x^{2} - \bar{D} y^{2}$ mit dem Gesamtcharakter $\frakC(1) = (+1)$. Ist +dann $f_{p}(x, y) = p(x^{2} - \bar{D} y^{2})$ irgendeine Form, deren Teiler eine Primzahl +ist, und für welche der Gesamtcharakter~$\frakC(p)$ primitiv und von +$\frakC(1)$ verschieden ist, so haben wir in $(\frakC(1), \frakC(p))$ ein System von +zwei verschiedenen primitiven Gesamtcharakteren. Ist ferner $p'$ eine +weitere Primzahl, für welche $\frakC(p')$ wieder primitiv und von $\frakC(1)$ +und $\frakC(p)$ verschieden ist, so haben die vier Formen: +\[ +f_{1}(x, y),\quad +f_{p}(x, y),\quad +f_{p'}(x, y),\quad +f_{pp'}(x, y) +\] +verschiedene primitive Charaktere $\frakC(1)$,~$\frakC(p)$, $\frakC(p')$,~$\frakC(pp')$. Geht +man in derselben Weise fort, so erhält man, die Existenz immer +weiterer solcher Primzahlen vorausgesetzt, zuletzt nach $(\mu - 1)$ bzw.\ +$\mu$ Schritten ein System von Primzahlen: +\[ +p,\ p',\ p'',\ \dots\ p^{(\mu-2)} \quad\text{bzw.}\quad +p,\ p',\ \dots\ p^{(\mu-1)}, +\] +die so ausgewählt sind, daß für die $2^{\mu-1}$ bzw.\ $2^{\mu}$ aus ihnen gebildeten +Zahlen +\[ +a = p^{\epsilon} p'^{\epsilon'} \dots p^{(\mu-2)^{\epsilon^{(\mu-2)}}} \quad\text{bzw.}\quad +a = p^{\epsilon} p'^{\epsilon'} \dots p^{(\mu-1)^{\epsilon^{(\mu-1)}}}, +\] +in denen die Exponenten~$\epsilon^{(i)}$ Null oder Eins sein können, die zugehörigen +Formen $f_{a}(x, y)$ genau ebenso viele verschiedene primitive Gesamtcharaktere +haben, also wirklich ein vollständiges Formensystem für alle +überhaupt möglichen primitiven Geschlechter bilden. + +Hier muß also nur noch bewiesen werden, daß man erstens stets +Primzahlen~$P$ so auswählen kann, daß der Gesamtcharakter~$\frakC(P)$ +primitiv ist, und daß zweitens $P$ so bestimmt werden kann, daß $\frakC(P)$ +einem beliebig gegebenen primitiven Gesamtcharakter $(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}, \dots \epsilon_{\mu})$ +bzw.\ $(\epsilon_{0}, \epsilon_{1}, \dots \epsilon_{\mu})$ gleich wird. + +Wählt man nun zuerst $P = p_{r}$, also gleich einer der Zahlen $(p_{1}, \dots p_{\mu})$ +für $\bar{D} = 4n + 1$ bzw.\ gleich einer der Zahlen $(p_{0}, p_{1}, \dots p_{\mu})$ für +$\bar{D} = 4n + 2$,~$3$, so ist der zugehörige Gesamtcharakter~$\frakC(p_{r})$ von selbst +primitiv; denn im zweiten Falle sind alle von den $(p_{0}, p_{i})$ verschiedenen +\PageSep{361}{345} +Primzahlen~$p$ sicher ungerade, also alle ihre Charaktere $C_{p} = \left(\dfrac{\bar{D}, p_{r}}{p}\right)$ +gleich~$+1$, im ersten Falle ist für $p = 2$ der zugehörige Charakter +$C_{2} = \left(\dfrac{\bar{D}, p_{r}}{2}\right) = (-1)^{\efrac{\bar{D}-1}{2}·\efrac{p_{r}-1}{2}} = +1$, weil $\bar{D} = 4n + 1$ ist. + +Ist dagegen $P$ von den $(p_{i})$ bzw.\ $(p_{0}, p_{i})$ verschieden, so können +zu den Charakteren~$C_{p_{i}}$ höchstens noch die beiden Charaktere: +\[ +C_{P} = \left(\frac{\bar{D}, P}{P}\right) \quad\text{und}\quad +C_{2} = \left(\frac{\bar{D}, P}{2}\right) +\] +hinzukommen, der letztere aber nur, wenn $\bar{D} = 4n + 1$, und zugleich +$P$ ungerade ist, denn für $P = 2$ fallen ja diese beiden Charaktere zusammen. +Da aber dann wieder $C_{2} = (-1)^{\efrac{\bar{D}-1}{2}·\efrac{P-1}{2}} = +1$ ist, so +kann also in jedem Falle nur der eine Charakter~$C_{p}$ hinzutreten, +welcher möglicherweise nicht gleich~$+1$ sein könnte. Ist nun aber $P$ +so gewählt, daß für alle übrigen $\mu$ bzw.\ $\mu + 1$ Charaktere: +\[ +C_{p_{i}} = \epsilon_{i} +\] +ist, wo $(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}, \dots \epsilon_{\mu})$ bzw.\ $(\epsilon_{0}, \epsilon_{1}, \dots \epsilon_{\mu})$ irgendein vorgelegter +primitiver Gesamtcharakter ist, so muß auch dieser eine weitere \DPtypo{Charakter}{Charaktere} +$C_{p} = +1$ sein. Denn nach dem Hauptsatze \aSeite{327} \Eq{(4)} muß dann +sowohl die Anzahl der negativen Charaktere in dem System $(C_{p}, \epsilon_{i})$ +als auch die Anzahl der negativen Charaktere im Systeme~$(\epsilon_{i})$ gerade, +\dh\ es muß wirklich $C_{p} = +1$ sein. + +Endlich darf man dann und nur dann auch $P = -1$ wählen, wenn +$\bar{D} > 0$ ist, wenn also die Formen $f_{a}(x, y)$ für $K(p_{\infty})$ indefinit sind, +da für ein negatives~$\bar{D}$ der dann allein hinzutretende Charakter +$\left(\dfrac{\bar{D}, -1}{p_{\infty}}\right) = -1$ werden würde. + +Man kann also stets und nur dann unser Verfahren zur Aufstellung +eines vollständigen Formensystemes für alle primitiven Klassen vom +Kern~$\bar{D}$ anwenden, wenn man immer eine in $\bar{D}$ bzw.\ $2\bar{D}$ nicht enthaltene +Primzahl~$P$ finden kann, für welche der Gesamtcharakter~$\frakC(P)$ einem +gegebenen primitiven Charakter~$(\epsilon_{i})$ gleich wird, für welche also die +$\mu - 1$ bzw.\ $\mu$ Gleichungen: +\PageSep{362}{346} +\[ +\left(\frac{\bar{D}, P}{p_{i}}\right) = \epsilon_{i}\qquad +\begin{Conditions} +\left( +\begin{alignedat}{2} +& i = {} &&1, 2, \dots \mu \\ +& \text{bzw.} \\ +& i = 0, &&1, 2, \dots \mu +\end{alignedat} +\right) +\end{Conditions} +\] +sämtlich erfüllt sind. Nach dem \aSeite{339} geführten Beweise muß dazu +die Primzahl~$P$ in einer von $r$ arithmetischen Reihen $\bar{m}_{0} + \Delta l$ enthalten +\index{Arithmetische Reihe, Primzahlen in einer}% +sein, deren Anfangsglieder die kleinsten positiven Lösungen der Gleichungen: +\[ +\left(\frac{\bar{D}, m}{p_{i}}\right) = \epsilon_{i} +\] +sind. Nach dem Dirichletschen Satze über die arithmetische Reihe sind +aber in jeder solchen Reihe sogar unendlich viele Primzahlen $P$ enthalten, +und damit ist also der verlangte Beweis, allerdings unter der +Voraussetzung jenes Satzes von Dirichlet, vollständig erbracht. + + +\Section{§ 9.}{Beispiele.} + +Die für einen gegebenen Kern~$\bar{D}$ aufzustellenden Formen +$f_{d}(x, y) = d(x^{2} - \bar{D} y^{2})$ können stets in der Form +\[ +\delta (ax^{2} + cy^{2}) +\] +angenommen werden, wo +\[ +ac = -\bar{D} +\] +eine der Zerlegungen von $-\bar{D}$ in zwei komplementäre Faktoren und +$\delta$~eine zu $\bar{D}$ teilerfremde Zahl ohne gleiche Faktoren ist. Setzt man +nämlich den Teiler~$d$ von~$f_{d}(x, y)$ in die Form $d = \delta a$, wo $a = (d, \bar{D})$ +alle in $\bar{D}$ vorhandenen Primfaktoren von~$d$ enthält, und ist $\bar{D} = -ac$, +so wird ja in der Tat: +\[ +d(x^{2} - \bar{D} y^{2}) + = \delta(ax^{2} + a^{2}cy^{2}) + = \delta(ax'^{2} + cy'^{2}), +\] +wenn $x' = x$, $y' = ay$ gesetzt wird. In dieser Form wollen wir jedesmal +die Formen unseres Systemes hinschreiben. + +Ich wähle dabei zunächst immer alle primitiven Formen $ax^{2} + cy^{2}$ +aus, deren Gesamtcharaktere verschieden sind, und ziehe zu ihnen solche +nicht primitive Formen $p(ax^{2} + cy^{2})$ hinzu, für welche der Teiler~$p$ +\PageSep{363}{347} +eine Primzahl ist und deren Gesamtcharakter~$\frakC(p)$ sich unter den +vorhergehenden noch nicht findet. + +Es sei zuerst +\[ +%[** TN: Setting for consistency with (II)--(V) below] +\Tag{(I)} +\bar{D} = -105 = -3·5·7. +\] + +Da hier $\bar{D} = 4n + 3$ ist, so sind für die Formen $f_{d}(x, y)$ die primitiven +Gesamtcharaktere: +\[ +\frakC(d) = (C_{2}, C_{3}, C_{5}, C_{7}), +\] +wo +\begin{align*} +C_{2} &= \left(\frac{-105, m_{0}}{2}\right) + = \left(\frac{-1}{m_{0}}\right) + = (-1)^{\efrac{m_{0}-1}{2}}, \\ +C_{3} &= \left(\frac{-105, m_{0}}{3}\right) + = \left(\frac{m_{0}}{3}\right),\quad +C_{5} = \left(\frac{m_{0}}{5}\right),\quad +C_{7} = \left(\frac{m_{0}}{7}\right) +\end{align*} +ist, und wo jedesmal $m_{0}$ eine durch die Form darstellbare Einheit für +die betreffende Primzahl bedeutet. Da das Produkt der vier Charaktere +gleich~$+1$ sein muß, so gibt es hier genau $2^{4-1} = 8$ verschiedene +Gesamtcharaktere. Zunächst besitzen nun, wie man leicht berechnen +kann, die vier primitiven Formen $ax^{2} + cy^{2}$, nämlich +\[ +x^{2} + 105y^{2},\quad +3x^{2} + 35y^{2},\quad +5x^{2} + 21y^{2},\quad +7x^{2} + 15y^{2} +\] +lauter verschiedene Charaktere. In der Tat ist ja für die Hauptform +$x^{2} + 105y^{2}$, wie immer, $\frakC(1) = (+ + + +)$; für die anderen Formen +vom Teiler $3$,~$5$ und~$7$, für welchen letzteren auch $15 = 3·5$ gesetzt +werden kann, ergibt sich: +\begin{align*} +\frakC(3) = \left(\!\left(\frac{-1}{3}\right), + \left(\frac{35}{3}\right), + \left(\frac{3}{5}\right), + \left(\frac{3}{7}\right)\!\right) &= (- - - -) \\ +% +\frakC(5) = \left(\!\left(\frac{-1}{5}\right), + \left(\frac{5}{3}\right), + \left(\frac{21}{5}\right), + \left(\frac{5}{7}\right)\!\right) &= (+ - + -) \\ +% +\frakC(7) = \frakC(3)·\frakC(5) = (- - - -)(+ - + -) &= (- + - +). +\end{align*} +Da nun endlich für die nicht in $\bar{D}$ enthaltene Primzahl $\delta = 2$ der Gesamtcharakter: +\[ +\frakC(2) = \left(\!\left(\frac{-105, 2}{2}\right), + \left(\frac{2}{3}\right), + \left(\frac{2}{5}\right), + \left(\frac{2}{7}\right)\!\right) = (+ - - +) +\] +ist, weil hier $C_{2} = \left(\dfrac{2}{-105}\right) = +1$ ist, und da dieser Gesamtcharakter +\PageSep{364}{348} +unter den vier vorigen nicht vorkommt, so erhält man vier Formen mit +den noch fehlenden Gesamtcharakteren, wenn man die vorigen mit $2$ +multipliziert. So ergibt sich die folgende Tabelle: +\[ +\begin{array}{@{\quad}r<{\quad}|>{\quad}l@{\quad}} +\hline +\hline +\ColHeadB{Form} & \ColHead{Gesamtcharakter} \\ +\hline\Strut +\Z x^{2} + 105y^{2}\phantom{)} & \frakC(1)\Z = (+ + + +) \\ + 3x^{2} + \Z35y^{2}\phantom{)} & \frakC(3)\Z = (- - - -) \\ + 5x^{2} + \Z21y^{2}\phantom{)} & \frakC(5)\Z = (+ - + -) \\ + 7x^{2} + \Z15y^{2}\phantom{)} & \frakC(7)\Z = (- + - +) = \frakC(3) \frakC(5) \\ +\hline\Strut +2(\Z x^{2}+ 105y^{2}) & \frakC(2)\Z = (+ - - +) \\ +2(3x^{2} + \Z35y^{2}) & \frakC(6)\Z = (- + + -) = \frakC(2) \frakC(3) \\ +2(5x^{2} + \Z21y^{2}) & \frakC(10) = (+ + - -) = \frakC(2) \frakC(5) \\ +2(7x^{2} + \Z15y^{2}) & \frakC(14) = (- - + +) = \frakC(2) \frakC(3) \frakC(5). +\end{array} +\] +Alle und nur diese Formen können, wie man bei der rechts stehenden +Darstellung sieht, auch in der Form $d(x^{2} - \bar{D} y^{2})$ geschrieben werden, +wo +\[ +d = 2^{\epsilon} 3^{\epsilon'} 5^{\epsilon''} +\] +ist, und $\epsilon$,~$\epsilon'$,~$\epsilon''$ unabhängig voneinander die Werte $0$~und~$1$ annehmen +können. + +Endlich mögen noch alle zu $2|\bar{D}| = 2·3·5·7$ teilerfremden Zahlen +angegeben werden, welche durch diese acht Formen überall darstellbar +sind. Soll nun eine solche Zahl~$m$ durch eine jener Formen +$d(x^{2} - \bar{D} y^{2})$ überall darstellbar sein, so muß ja +\begin{align*} +\frakC(m) &= \left( + \left(\frac{\bar{D}, m}{2}\right), + \left(\frac{\bar{D}, m}{3}\right), + \left(\frac{\bar{D}, m}{5}\right), + \left(\frac{\bar{D}, m}{7}\right)\!\right) \DPchg{=}{} \\ + &= \left((-1)^{\efrac{m-1}{2}}, + \left(\frac{m}{3}\right), + \left(\frac{m}{5}\right), + \left(\frac{m}{7}\right)\!\right) + = (C_{2}, C_{3}, C_{5}, C_{7}) +\end{align*} +sein, während für alle Teiler~$p$ von~$m$\; $\left(\dfrac{\bar{D}}{p}\right) = +1$ ist. Je nach dem Gesamtcharakter +der untersuchten Form erhält man also jedesmal ein +System von vier Kongruenzen: +\PageSep{365}{349} +\begin{gather*} +m \equiv \Congr{1}{3}\ (\mod.~4),\quad +m \equiv \Congr{1}{2}\ (\mod.~3),\quad +m \equiv \Congr{1, 4}{2, 3}\ (\mod.~5), \\ +m \equiv \Congr{1, 2\Add{,} 4}{3\Add{,} 5\Add{,} 6}\ (\mod.~7), +\end{gather*} +wo jedesmal auf der rechten Seite die obere bzw.\ untere Reihe dem +Falle entspricht, daß der betreffende Charakter~$C_{p}$ gleich $+1$ bzw.\ $-1$ ist. + +Man erkennt so, daß $m$ modulo $4·3·5·7 = 420$ jedesmal auf +$1·1·2·3 = 6$ verschiedene Arten bestimmt, daß also alle durch jene +Form überall darstellbaren Zahlen in sechs arithmetischen Reihen +$420l + m_{0}$ enthalten sind, wo $m_{0}$ sechs verschiedene Werte hat. + +Die Ausführung jener einfachen Rechnung ergibt für die acht Formen +das folgende Schema +\[ +\begin{array}{@{\quad}r<{\quad}|>{\quad}l@{\quad}} +\hline +\hline +\ColHeadB{Form} & \ColHead{zugehörige arithmetische Reihen} \\ +\hline\Strut +\Z x^{2} + 105y^{2}\phantom{)} & 420l + \Z1, 109, 121, 169, 289, 361 \\ + 3x^{2} + \Z35y^{2}\phantom{)} & 420l + 47, \Z83, 143, 167, 227, 383 \\ + 5x^{2} + \Z21y^{2}\phantom{)} & 420l + 41, \Z89, 101, 209, 269, 341 \\ + 7x^{2} + \Z15y^{2}\phantom{)} & 420l + 43, \Z67, 127, 163, 247, 403 \\ +\hline\Strut +2(\Z x^{2} + 105y^{2}) & 420l + 53, 113, 137, 197, 233, 317 \\ +2(3x^{2} + \Z35y^{2}) & 420l + 19, \Z31, 139, 199, 271, 391 \\ +2(5x^{2} + \Z21y^{2}) & 420l + 13, \Z73,\Z97, 157, 313, 397 \\ +2(7x^{2} + \Z15y^{2}) & 420l + 11, \Z71, 179, 191, 239, 359. \\ +\end{array} +\] +Alle und nur die in diesen arithmetischen Reihen enthaltenen Zahlen~$m$ +sind überhaupt durch eine Form vom Kern~$-105$ und von primitivem +Gesamtcharakter darstellbar, falls jedesmal $\bar{D}$ für alle Primteiler von~$m$ +Rest ist. Diese letzte Bedingung ist nach dem Beweise \aSeite{345} für +alle in jenen Reihen enthaltenen Primzahlen von selbst erfüllt. Alle +jene Zahlen~$m$ verteilen sich endlich gleichmäßig auf die acht Formen +unseres Systems, je nachdem sie in den neben ihnen stehenden Reihen +enthalten sind. + +In genau derselben Weise sind die folgenden Beispiele behandelt, +welche jetzt nur kurz angegeben zu werden brauchen: +\[ +\Tag{(II)} +\bar{D} = -55 = -5·11 = 4n + 1. +\] +\PageSep{366}{350} +Für die Formen $f_{d}(x, y) = d (x^{2} - \bar{D} y^{2})$ ist also: +\[ +\frakC(d) = (C_{5}, C_{11}) + = \left(\!\left(\frac{\bar{m}_{0}}{5}\right), \left(\frac{\bar{m}_{0}}{11}\right)\!\right). +\] +Hier gibt es daher nur die beiden Gesamtcharaktere $(++)$~und~$(--)$, +zu denen offenbar die Formen $x^{2} + 55y^{2}$ und $2(x^{2} + 55y^{2})$ gehören. + +Alle zu $2|\bar{D}| = 110$ teilerfremden Zahlen~$m$, welche durch eine Form +vom Kern~$-55$ überall darstellbar sind, müssen also einer der beiden +Bedingungen +\[ +\frakC(m) = \left(\!\left(\frac{m}{5}\right), \left(\frac{m}{11}\right)\!\right) + = (++) \quad\text{oder}\quad = (--) +\] +genügen, \dh\ für sie muß: +\[ +m \equiv \Congr{1, 4}{2, 3}\ (\mod.~5),\quad +m \equiv \Congr{1, 3, 4, 5, \Z9}{2, 6, 7, 8, 10}\ (\mod.~11) +\] +sein. So ergibt sich für die Formen vom Kern~$-55$ die folgende Tabelle: +\begin{gather*} +\begin{array}{r<{\;}|>{\;}c<{\;}|>{\;}l} +\hline +\hline +\ColHeadB{\small Form} & +\ColHeadB{\small \;Gesamtcharakter\;} & +\ColHead{\small zugehörige arithmetische Reihen} \\ +\hline\Strut + x^{2} +55y^{2}\phantom{)} & (++) & 110l +1, \Z9, 31, 49, 59, 69, 71, 81, 89, \Z91 \\ +2(x^{2} +55y^{2}) & (--) & 110l +7, 13, 17, 43, 57, 63, 73, 83, 87, 107. +\end{array} \\ +\Tag{(III)} +D = -42 = -2·3·7 = 8n + 6. +\end{gather*} +Hier ergibt sich für den Gesamtcharakter der Formen $f_{d}(x, y)$ nach +\Eq{(III')} \aSeite{334}: +\[ +\frakC(d) = (C_{2}, C_{3}, C_{7}) + = \left((-1)^{\efrac{(\bar{m}_{0}-1)(\bar{m}_{0}-3)}{8}}, + \left(\frac{\bar{m}_{0}}{3}\right), + \left(\frac{\bar{m}_{0}}{7}\right)\!\right), +\] +und man erhält den vier möglichen Gesamtcharakteren entsprechend +die vier primitiven Formen +\[ + x^{2} + 42y^{2},\quad +3x^{2} + 14y^{2},\quad +2x^{2} + 21y^{2},\quad +6x^{2} + 7y^{2}. +\] + +Für die zu $|\bar{D}| = 42$ teilerfremden, durch eine Form vom Kern~$-42$ +darstellbaren Zahlen~$m$ muß hier: +\[ +m \equiv \Congr{1, 3}{5, 7}\ (\mod.~8),\quad +m \equiv \Congr{1}{2}\ (\mod.~3),\quad +m \equiv \Congr{1, 2, 4}{3, 5, 6}\ (\mod.~7) +\] +\PageSep{367}{351} +sein; man erhält danach leicht die folgende Tabelle: +\begin{gather*} +\begin{array}{@{\quad}r<{\ }|>{\quad}c<{\quad}|>{\quad}l@{\quad}} +\hline +\hline +\ColHeadB{Form} & +\ColHeadB{\ Gesamtcharakter\ } & +\ColHead{\ zugehörige arithmetische Reihen} \\ +\hline\Strut + x^{2} + 42y^{2} & (+++) & 168l + \Z1, 25, 43, 67, 121, 163 \\ +3x^{2} + 14y^{2} & (+--) & 168l + 17, 41, 59, 83, \Z89, 131 \\ +2x^{2} + 21y^{2} & (--+) & 168l + 23, 29, 53, 71, \Z95, 149 \\ +6x^{2} + \Z7y^{2} & (-+-) & 168l + 13, 31, 55, 61, 103, 157. +\end{array} \\ +\Tag{(IV)} +\bar{D} = -78 = -2·3·13 = 8n + 2. \\ +\frakC(d) = (\frakC_{2}, \frakC_{3}, \frakC_{13}) + = \left((-1)^{\efrac{\bar{m}_{0}^{2}-1}{8}}, + \left(\frac{\bar{m}_{0}}{3}\right), + \left(\frac{\bar{m}_{0}}{13}\right)\!\right). +\end{gather*} +Auch hier erhält man vier mögliche Gesamtcharaktere, denen wiederum +die vier primitiven Formen $ax^{2} + cy^{2}$ vom Kern~$-78$ entsprechen. Alle +zu $78$ teilerfremden durch solche Formen darstellbaren Zahlen~$m$ müssen +hier den Kongruenzen: +\begin{gather*} +m \equiv \Congr{1, 7}{3, 5}\ (\mod.~8),\quad +m \equiv \Congr{1}{2}\ (\mod.~3), \\ +m \equiv \Congr{1, 3, 4, 9, 10, 12}{2, 5, 6, 7, \Z8, 11}\ (\mod.~13) +\end{gather*} +genügen. Für jede von jenen vier Formen ergeben sich so $12$ arithmetische +Reihen mit der Differenz $8·3·13 = 312$; man erhält hier leicht +die folgende Tabelle: +\[ +\begin{array}{@{\quad}r<{\ }|>{\ }c<{\quad}|>{\quad}l@{\quad}} +\hline +\hline +\ColHeadB{Form} & +\ColHeadB{\ Gesamtcharakter\ } & \ColHead{\ zugehörige arithmetische Reihen} \\ +\hline\Strut + x^{2} + 78y^{2} & (+++) & 312l + \Z\Z1, \Z25, \Z49, \Z55, \Z79, 103,\\ + &\qquad = \frakC(1) & \phantom{312l +{}}121, 127, 199, 207, 289, 295 \\ +2x^{2} + 39y^{2} & (+--) & 312l + \Z41, \Z47, \Z71, \Z89, 119, 137,\\ + &\qquad = \frakC(2) & \phantom{312l +{}}161, 167, 215, 239, 281, 305 \\ +3x^{2} + 26y^{2} & (--+) & 312l + \Z29, \Z35, \Z53, \Z77, 101, 107,\\ + &\qquad = \frakC(3) & \phantom{312l +{}}131, 155, 173, 179, 251, 269 \\ +6x^{2} + 13y^{2} & (-+-) & 312l + \Z19, \Z37, \Z67, \Z85, 109, 115,\\ + & = \frakC(2)·\frakC(3) & \phantom{312l +{}}163, 187, 229, 253, 301, 307. +\end{array} +\] + +Alle bisher betrachteten Formen sind definit; sie stellen somit immer +nur die positiven in jenen arithmetischen Reihen enthaltenen Zahlen~$m$ +\PageSep{368}{352} +dar, für welche $D$ quadratischer Rest ist. Ich gebe endlich noch ein +einfaches Beispiel für einen positiven Kern~$\bar{D}$, für welchen also alle +positiven und negativen Zahlen in den zugehörigen arithmetischen +Reihen durch die betr.\ Formen dargestellt werden und für welchen auch +der Formenteiler $P = -1$ benutzt werden darf.\ +\begin{gather*} +\Tag{(V)} +\bar{D} = + 70 = 2·5·7 = 8n + 6. \\ +\frakC(d) + = (C_{2}, C_{5}, C_{7}) + = \left((-1)^{\efrac{(\bar{m}_{0}-1)(\bar{m}_{0}-3)}{8}}, + \left(\frac{\bar{m}_{0}}{5}\right), + \left(\frac{\bar{m}_{0}}{7}\right)\!\right). +\end{gather*} +Entsprechend den vier möglichen Charakteren kann man hier die Formen +wählen, welche aus der Hauptform $x^{2} - 70y^{2}$ durch Multiplikation mit +$-1$~und~$2$ hervorgehen, da die zugehörigen Charaktere: +\[ +\frakC(-1) = (-+-) \quad\text{und}\quad \frakC(2) = (--+) +\] +voneinander verschieden sind. Die Bedingungen für die Darstellbarkeit +aller zu $70$ teilerfremden positiven oder negativen Zahlen werden hier: +\[ +m \equiv \Congr{1, 3}{5, 7}\ (\mod.~8),\quad +m \equiv \Congr{1, 4}{2, 3}\ (\mod.~5),\quad +m \equiv \Congr{1, 2, 4}{3, 5, 6}\ (\mod.~7). +\] + +Diese Zahlen~$m$ sind somit hier modulo $8·5·7 = 280$ auf +$2·2·3 = 12$ verschiedene Arten bestimmt. Man erhält hier die +folgende Tabelle: +\[ +\begin{array}{@{\ }r<{\ }|>{\ }c<{\quad}|>{\quad}l@{\ }} +\hline +\hline +\ColHeadB{Form} & +\ColHeadB{\ Gesamtcharakter\ } & +\ColHead{zugehörige arithmetische Reihen} \\ +\hline\Strut + x^{2} - 70y^{2} & (+++) & 280l + \Z1, \Z9, 11, 51, 81, 99, 121, \\ + & \qquad= \frakC(1) & \phantom{280l-{}}169, 179, 211, 219, 249 \\ +70x^{2} - \Z\Z y^{2} & (-+-) & 280l - \Z1, \Z9, 11, 51, 81, 99, 121, \\ + & \qquad= \frakC(-1) & \phantom{280l-{}}169, 179, 211, 219, 249 \\ +2x^{2} - 35y^{2} & (--+) & 280l + 23, 37, 53, 93, 127, 183, \\ + & \qquad= \frakC(2) & \phantom{280l-{}}197, 207, 247, 253, 263, 277 \\ +35x^{2} - \Z2y^{2} & (+--) & 280l - 23, 37, 53, 93, 127, 183, \\ + & \qquad= \frakC(-2) & \phantom{280l-{}}197, 207, 247, 253, 263, 277. +\end{array} +\] +\PageSep{369}{353} + +\BackMatter +\printindex +\iffalse +\begin{center} +{\large Sachregister.} + +\vspace{\baselineskip} + +{\footnotesize (Die Ziffern bezeichnen die Seite, auf welcher sich das betreffende Wort meistens +gesperrt gedruckt findet und erklärt wird.)} +\end{center} + +Abgeleitete Reihe 126. + +Ableitung einer Funktion 130. + einer Potenzreihe 126. + +Absoluter Betrag einer $g$-adischen Zahl 197. + +Absoluter Betrag einer $p$-adischen Zahl 108. + +Absoluter Wert einer Zahl 18. + +Addition der Logarithmen 165. + $g$-adischer Zahlen 63. + +Äquivalente $g$-adische Zahlen 202. + Formen desselben Kernes 339. + quadratische Formen 295. + quadratische Formen modulo~$p$ 300. + +Anordnung $p$-adischer Zahlen nach ihrer Größe 112. + +Anzahl der Divisoren einer Zahl 35. + +Archimedisches Axiom 114. + +Arithmetische Reihe, Primzahlen in einer 32, 303, 346. + +Assoziatives Gesetz der Addition 1. + Gesetz der Multiplikation 2. + + +Basis eines Moduls 10. + +Bedingt konvergente Reihen 118. + +Binäre quadratische Formen 294. + + +Charakter einer Form in bezug auf~$p$ 327. + + +Darstellung der Zahlen für den Bereich~$K(p_{\infty})$ 293. + +Darstellung d.\ rationalen Zahlen durch binäre Formen 325. + +Definite und indefinite Formen für~$K(p)$ 330. + +Dekompositionssatz f.\;d.\ Hilbert'sche Symbol 318. + +Differentiation 126. + +Differentialquotient 130. + +Differenz der Logarithmen 166, 215. + +Differenzierbare Funktion 130. + +Differenz zweier Potenzreihen 124. + +Diskriminante binärer Formen 302. + +Distributives Gesetz 2. + +Division, Gesetz d.\ unbeschränkten eindeutigen 3. + +Divisoren der Null 92. + +Doppelreihe 118. + + +Eigentliche Darstellung e.\ ganzen Zahl durch eine Form 300. + +Einheit modulo~$g$ 96. + rationale für d.Bereich von~$g$ 38. + +Einheitselement für die Addition 3. + für die Multiplikation 5. + +Einheitsklassen modulo~$g$ 41, 96. + +Einheitswurzel, zu e.\ $p$-adischen Zahl gehörige 163. + +Einheitswurzel, zu e.\ $g$-adischen Zahl gehörige 197. +\fi +\PageSep{370}{354} +\iffalse +Einsklasse modulo~$g$ 40. + +Element einer Ordnungszahl 200. + +Ergänzungssätze zum Reziprozitätsgesetz 270. + +Euklidisches Teilerverfahren 22. + +Eulersches Kriterium 262. + +Exponent eines Elementes in einer Gruppe 105. + +Exponentialfunktion für den Bereich von~$p$ 139. + +Exponentialfunktion für den Bereich von~$g$ 205. + + +Fermatscher Satz (kleiner) 103. + +Fundamentalsatz f.\;d.\ ternären Formen 321. + +Funktion 129. + + +$g$-adische Darstellung d.\ rationalen Zahlen 49. + +$g$-adische + Zahlen, allgemeine 57, 63. + Zahlen, ganze und gebrochene 58, 61. + +Ganze und gebrochene rationale Zahlen modulo~$g$ 36. + +Ganzzahlige Lösungen d.\ Kongruenzen 185. + +Gausssche Funktion~$\phi(g)$ 97. + +Gausssches Lemma 266. + +Gemeinsamer Teiler, größter 20. + +Gemeinsames Vielfaches, kleinstes 26. + +Gesamtcharakter eines primitiven Geschlechts 340. + +Geschlechter binärer Formen 339. + +Gleichheit + der Indizes d.\ Einheiten 177. + der Indizes d.\ $g$-adischen Einheitswurzeln 211. + +Gleichheit + der Logarithmen 165. + für den Bereich von~$g$ 75. + $g$-adischer Zahlen 60, 63. + zweier Ordnungszahlen 202. + zweier Ringe m.\ verschiedener Grundzahl 76. + +Grenzwert 114. + +Goldbachs Theorem 29. + +Größe + d.\ $g$-adischen Zahlen 202. + d.\ $p$-adischen Zahlen 112. + +Grundgesetze für Addition und Multiplikation (nach E.~Steinitz) 1, 2, 3. + +Grundzahl, zu $g$ gehörige reduzierte 198. + +Gruppen 10. + + +Halbsystem 265. + +Haupteinheit, %[** TN: Inconsistently formatted in the original] + zu e.\ $p$-adischen Zahl gehörige 163. + zu e.\ $g$-adischen Zahl gehörige 197. + +Haupteinheit modulo~$g$ 103. + +Hauptform, binäre 314. + +Hauptklasse modulo~$g$ 103. + +Hauptlogarithmus + e.\ $p$-adischen Zahl 164. + e.\ $g$-adischen Zahl 207. + e.\ reellen Zahl für~$K(p_{\infty})$ 293. + +Hilbertsches Symbol~$\left(\dfrac{d, e}{p}\right)$ 315. + + +Index + einer Einheit modulo~$p^{k}$ 176. + einer Einheit modulo~$2^{k}$ 177. + einer Einheit modulo~$g$ 221. + einer $g$-adischen Einheitswurzel 211. +%[** Inconsistently formatted in the original] + einer $g$-adischen Zahl 215. + einer $p$-adischen Zahl 163. + einer reellen Zahl für~$K(p_{\infty})$ 293. + +Indexteiler + einer $p$-adischen Zahl 167. + einer $g$-adischen Zahl 217. + +Invariante e.\ Kongruenzklasse modulo~$p$ 160. + +Inverse Substitution 295. + + +Jacobi-Legendresches Symbol~$\left(\dfrac{P}{Q}\right)$ 281. + + +Kern einer \DPtypo{Driskiminante}{Diskriminante} 334. + +Kommutatives + Gesetz d.\ Addition 2. + Gesetz d.\ Multiplikation 2. + +Komplementärer Teiler e.\ Indexsystemes 213. +\fi +\PageSep{371}{355} +\iffalse +Komponente, $p$-adische e.\ $g$-adischen Zahl 88. + +Kongruente + Zahlen 183. + Zahlen modulo~$g$ 40. + +Kongruenz + modulo~$g^{\rho}$ 51. + $g$-adischer Zahlen 59, 63. + +Kongruenzklassen ganzer Zahlen modulo~$g$ 40. + +Konvergenz 114. + +Konvergente $p$-adische Reihen 117. + +Konvergenzkreis e.\ Potenzreihe 121. + +Körper der Kongruenzklassen modulo~$p$ 47. + +Körper + $K(a, b, \dots c)$ 6. + $K(1)$ d.\ rationalen Zahlen 40. + $K(p)$ d.\ $p$-adischen Zahlen 107. + + +Legendresches Zeichen~$\left(\dfrac{p}{q}\right)$ 250. + +Logarithmus + e.\ $p$-adischen Zahl 164. + e.\ $g$-adischen Zahl 215. + e.\ $p$-adischen Haupteinheit 143. +%[** Next two entries inconsistently formatted in the original] + e.\ $g$-adischen Haupteinheit 206. + e.\ reellen Zahl für~$K(p_{\infty})$ 293. + + +Mehrfache Wurzeln e.\ Gleichung 147. + +Minuendus 3. + +Modul + $M(a, b, c, \dots)$ 8. + einer Kongruenz 40. + +Multiplikation $g$-adischer Zahlen 63. + + +Näherungswerte $g$-adischer Zahlen 55, 58. + +Näherungswerte unendlicher Reihen 117. + +Näherungswerte der Potenzreihen 119. + +Negative Ordnungszahlen 202. + +Normalform, additive e.\ $g$-adischen Zahl 88. + +Normalform, multiplikative e.\ $g$-adischen Zahl 89. + +Normierte Darstellung e.\ rationalen Zahl 38. + +Nullklasse modulo~$g$ 40. + +Nullkörper~$K(0)$ 7. + +Nullmodul~$M(0)$ 9. + +Numerus e.\ Logarithmus 165. + + +Ordnungszahl + für d.\ Bereich v.~$p$ 107. + für d.\ Bereich v.~$g$ 199. + + +$p$-adische Zahlen, ganze u.\ gebrochene 108. + +Periode d.\ Indizes $g$-adischer Einheitswurzeln 212. + +Primitive + Einheitswurzeln 152. + Formen 332. + Wurzeln modulo~$p$ 161. + Wurzeln modulo~$p^{k}$ 173. + +Potenzreste für d.\ Bereich~$K(p_{\infty})$ 293. + +Primteiler der Null 92. + +Primzahlen 28. + +Produkt zweier Potenzreihen 124. + + +Quadratische + Form 214. + Reste modulo~$p$ 260. + Reste für~$K(p_{\infty})$ 293. + +Quotient 3, 15. + +Quotient von Einheitsklassen modulo~$g$ 100. + +Quotient + $p$-adischer Zahlen 109. + $g$-adischer Zahlen 189. + +Radius d.\ Konvergenzkreises e.\ Potenzreihe 121. + +Reduzierte Form 296. + +Reduzierter Bestandteil e.\ $g$-adischen Zahl 251. + +Reduzierte u.\ nicht reduzierte $g$-adische Zahlen 54, 58. + +Restsystem, vollständiges, modulo~$g$ 43. + +Reziproke Einheit 100. + +Reziprozitätsgesetz 272. + f.\;d.\ Jacobi-Legendresche Symbol 282, 324. + +Ring 13. + aus zwei Körpern komponierter 15. + aller modulo~$g$ ganzen Zahlen 37. +\fi +\PageSep{372}{356} +\iffalse +Ring der Kongruenzklassen modulo~$g$ 47. + +Sieb d.\ Eratosthenes 28. + +Stetige Funktionen 130. + +Strahlen 10. + +Subtrahendus 3. + +Subtraktion + $g$-adischer Zahlen 68. + Gesetz d.\ unbeschränkten u.\ eindeutigen 2. + +Summe + der Logarithmen 165, 215. + e.\ $p$-adischen Reihe 117. + zweier Potenzreihen 124. + der Divisoren e.\ Zahl 35. + + +Taylorsche Entwickelung 131. + +Teilbarkeit d.\ rationalen Zahlen modulo~$g$ 39. + +Teilbereich e.\ Ringes 76. + +Teiler + der Null 92. + eines Indexsystemes 213. + des Hauptlogarithmus e.\ $g$-adischen Zahl 217. + e.\ quadratischen Form 294. + e.\ Kongruenzklasse modulo~$g$ 96. + +Teilerfremde Zahlen 24. + +Ternäre quadratische Formen 294. + +Tschebyscheffs Primzahlsatz 31. + + +Umgebung einer Zahl 129. + +Unbedingt konvergente Reihen 118. + +Unendlich kleine Werte 129. + +Untergruppen 12. + + +Veränderliche oder variable Größe 129. + + +Wert e.\ $g$-adischen Zahl f.\;d.\ Bereich e.\ Teilers v.~$g$ 70, 77. + +Wert e.\ Quotienten modulo~$M$ 186. + +Wurzeln der Gleichungen im Ringe~$R(g)$ 208. + + +Zahlensysteme 200. + +Zahlstrahl d.\ rationalen Einheiten 39. + +Zerlegung, eindeutige, d.\ Zahlen in Primfaktoren 33. +\fi +%%%% End of index text %%%% +\iffalse +\TitleHead{Druckfehler.} + +\begin{tabular}{l@{ }c@{ } l@{ }} +S. 138 & Z. 14 & von \PadTxt{unten}{oben} statt + $\bar{\alpha}_{0}, \bar{\alpha}_{1}, \dots \bar{\alpha}_{\nu}$ lies + $\bar{a}_{0}, \bar{a}_{1}, \dots \bar{a}_{\nu}$. \\ +S. 164 & Z. 10 & \Ditto{von} unten \Ditto{statt} \PadTxt{sind}{st} lies ist. \\ +S. 238 & Z. 10 & \Ditto{von} \Ditto{unten} \Ditto{statt} & \PadTxt{sind}{$p^{\efrac{k}{}}$} \Ditto{lies}{,,} $p^{\efrac{k}{\mu}}$. \\ +S. 263 & \multicolumn{2}{l}{Seitenüberschrift ist § 1 hinzuzufügen.} \\ +S. 299 & Z. 11 & von unten statt & \PadTxt{sind}{m} lies im. \\ +S. 301 &Z. \Z1 & \Ditto{von} \Ditto{unten} \Ditto{statt} & \PadTxt{sind}{$2b$} \Ditto{lies} $b$. \\ +S. 317 &Z. \Z6 & \Ditto{von} \PadTxt{unten}{oben} \Ditto{statt} & sind \Ditto{lies} ist. +\end{tabular} +\fi +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% GUTENBERG LICENSE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\FlushRunningHeads +\vfill +\PGLicense +\begin{PGtext} +End of the Project Gutenberg EBook of Zahlentheorie, by Kurt Hensel + +*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ZAHLENTHEORIE *** + +***** This file should be named 38986-t.tex or 38986-t.zip ***** +This and all associated files of various formats will be found in: + http://www.gutenberg.org/3/8/9/8/38986/ + +Produced by Andrew D. Hwang, R. S., Joshua Hutchinson, and +the Online Distributed Proofreading Team at +http://www.pgdp.net (This file was produced from images +from the Cornell University Library: Historical Mathematics +Monographs collection.) + + +Updated editions will replace the previous one--the old editions +will be renamed. + +Creating the works from public domain print editions means that no +one owns a United States copyright in these works, so the Foundation +(and you!) can copy and distribute it in the United States without +permission and without paying copyright royalties. Special rules, +set forth in the General Terms of Use part of this license, apply to +copying and distributing Project Gutenberg-tm electronic works to +protect the PROJECT GUTENBERG-tm concept and trademark. Project +Gutenberg is a registered trademark, and may not be used if you +charge for the eBooks, unless you receive specific permission. 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General Terms of Use and Redistributing Project Gutenberg-tm +electronic works + +1.A. By reading or using any part of this Project Gutenberg-tm +electronic work, you indicate that you have read, understand, agree to +and accept all the terms of this license and intellectual property +(trademark/copyright) agreement. If you do not agree to abide by all +the terms of this agreement, you must cease using and return or destroy +all copies of Project Gutenberg-tm electronic works in your possession. +If you paid a fee for obtaining a copy of or access to a Project +Gutenberg-tm electronic work and you do not agree to be bound by the +terms of this agreement, you may obtain a refund from the person or +entity to whom you paid the fee as set forth in paragraph 1.E.8. + +1.B. "Project Gutenberg" is a registered trademark. It may only be +used on or associated in any way with an electronic work by people who +agree to be bound by the terms of this agreement. 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Project Gutenberg volunteers and employees expend considerable +effort to identify, do copyright research on, transcribe and proofread +public domain works in creating the Project Gutenberg-tm +collection. Despite these efforts, Project Gutenberg-tm electronic +works, and the medium on which they may be stored, may contain +"Defects," such as, but not limited to, incomplete, inaccurate or +corrupt data, transcription errors, a copyright or other intellectual +property infringement, a defective or damaged disk or other medium, a +computer virus, or computer codes that damage or cannot be read by +your equipment. + +1.F.2. LIMITED WARRANTY, DISCLAIMER OF DAMAGES - Except for the "Right +of Replacement or Refund" described in paragraph 1.F.3, the Project +Gutenberg Literary Archive Foundation, the owner of the Project +Gutenberg-tm trademark, and any other party distributing a Project +Gutenberg-tm electronic work under this agreement, disclaim all +liability to you for damages, costs and expenses, including legal +fees. YOU AGREE THAT YOU HAVE NO REMEDIES FOR NEGLIGENCE, STRICT +LIABILITY, BREACH OF WARRANTY OR BREACH OF CONTRACT EXCEPT THOSE +PROVIDED IN PARAGRAPH 1.F.3. YOU AGREE THAT THE FOUNDATION, THE +TRADEMARK OWNER, AND ANY DISTRIBUTOR UNDER THIS AGREEMENT WILL NOT BE +LIABLE TO YOU FOR ACTUAL, DIRECT, INDIRECT, CONSEQUENTIAL, PUNITIVE OR +INCIDENTAL DAMAGES EVEN IF YOU GIVE NOTICE OF THE POSSIBILITY OF SUCH +DAMAGE. + +1.F.3. LIMITED RIGHT OF REPLACEMENT OR REFUND - If you discover a +defect in this electronic work within 90 days of receiving it, you can +receive a refund of the money (if any) you paid for it by sending a +written explanation to the person you received the work from. If you +received the work on a physical medium, you must return the medium with +your written explanation. The person or entity that provided you with +the defective work may elect to provide a replacement copy in lieu of a +refund. If you received the work electronically, the person or entity +providing it to you may choose to give you a second opportunity to +receive the work electronically in lieu of a refund. If the second copy +is also defective, you may demand a refund in writing without further +opportunities to fix the problem. + +1.F.4. Except for the limited right of replacement or refund set forth +in paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS' WITH NO OTHER +WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO +WARRANTIES OF MERCHANTIBILITY OR FITNESS FOR ANY PURPOSE. + +1.F.5. Some states do not allow disclaimers of certain implied +warranties or the exclusion or limitation of certain types of damages. +If any disclaimer or limitation set forth in this agreement violates the +law of the state applicable to this agreement, the agreement shall be +interpreted to make the maximum disclaimer or limitation permitted by +the applicable state law. The invalidity or unenforceability of any +provision of this agreement shall not void the remaining provisions. + +1.F.6. INDEMNITY - You agree to indemnify and hold the Foundation, the +trademark owner, any agent or employee of the Foundation, anyone +providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works in accordance +with this agreement, and any volunteers associated with the production, +promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electronic works, +harmless from all liability, costs and expenses, including legal fees, +that arise directly or indirectly from any of the following which you do +or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm +work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any +Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause. + + +Section 2. Information about the Mission of Project Gutenberg-tm + +Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of +electronic works in formats readable by the widest variety of computers +including obsolete, old, middle-aged and new computers. It exists +because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from +people in all walks of life. + +Volunteers and financial support to provide volunteers with the +assistance they need are critical to reaching Project Gutenberg-tm's +goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will +remain freely available for generations to come. In 2001, the Project +Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure +and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations. +To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation +and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4 +and the Foundation web page at http://www.pglaf.org. + + +Section 3. Information about the Project Gutenberg Literary Archive +Foundation + +The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit +501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the +state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal +Revenue Service. The Foundation's EIN or federal tax identification +number is 64-6221541. Its 501(c)(3) letter is posted at +http://pglaf.org/fundraising. Contributions to the Project Gutenberg +Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent +permitted by U.S. federal laws and your state's laws. + +The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S. +Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered +throughout numerous locations. Its business office is located at +809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email +business@pglaf.org. Email contact links and up to date contact +information can be found at the Foundation's web site and official +page at http://pglaf.org + +For additional contact information: + Dr. Gregory B. Newby + Chief Executive and Director + gbnewby@pglaf.org + + +Section 4. Information about Donations to the Project Gutenberg +Literary Archive Foundation + +Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide +spread public support and donations to carry out its mission of +increasing the number of public domain and licensed works that can be +freely distributed in machine readable form accessible by the widest +array of equipment including outdated equipment. Many small donations +($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt +status with the IRS. + +The Foundation is committed to complying with the laws regulating +charities and charitable donations in all 50 states of the United +States. Compliance requirements are not uniform and it takes a +considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up +with these requirements. We do not solicit donations in locations +where we have not received written confirmation of compliance. To +SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any +particular state visit http://pglaf.org + +While we cannot and do not solicit contributions from states where we +have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition +against accepting unsolicited donations from donors in such states who +approach us with offers to donate. + +International donations are gratefully accepted, but we cannot make +any statements concerning tax treatment of donations received from +outside the United States. U.S. laws alone swamp our small staff. + +Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation +methods and addresses. Donations are accepted in a number of other +ways including including checks, online payments and credit card +donations. To donate, please visit: http://pglaf.org/donate + + +Section 5. General Information About Project Gutenberg-tm electronic +works. + +Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm +concept of a library of electronic works that could be freely shared +with anyone. For thirty years, he produced and distributed Project +Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support. + + +Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed +editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S. +unless a copyright notice is included. Thus, we do not necessarily +keep eBooks in compliance with any particular paper edition. + + +Most people start at our Web site which has the main PG search facility: + + http://www.gutenberg.net + +This Web site includes information about Project Gutenberg-tm, +including how to make donations to the Project Gutenberg Literary +Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to +subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks. +\end{PGtext} + +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % +% % +% End of the Project Gutenberg EBook of Zahlentheorie, by Kurt Hensel % +% % +% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ZAHLENTHEORIE *** % +% % +% ***** This file should be named 38986-t.tex or 38986-t.zip ***** % +% This and all associated files of various formats will be found in: % +% http://www.gutenberg.org/3/8/9/8/38986/ % +% % +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % + +\end{document} +### +@ControlwordReplace = ( + ['\\tableofcontents', 'Inhaltsverzeichnis.'], + ['\\printindex', 'Sachregister.'], + ['\\Vorrede', 'Vorrede.'], + ['\\PGBoilerPlate', ''], + ['\\aaO', 'a. a. 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+xmf-texlive/tex/latex/hyperref/hyperref.sty +Package: hyperref 2009/10/09 v6.79a Hypertext links for LaTeX +(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/ifxetex/ifxetex.sty +Package: ifxetex 2009/01/23 v0.5 Provides ifxetex conditional +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/hycolor.sty +Package: hycolor 2009/10/02 v1.5 Code for color options of hyperref/bookmark (H +O) +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/xcolor-patch.sty +Package: xcolor-patch 2009/10/02 xcolor patch +)) +\@linkdim=\dimen133 +\Hy@linkcounter=\count117 +\Hy@pagecounter=\count118 +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/pd1enc.def +File: pd1enc.def 2009/10/09 v6.79a Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO) +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/etexcmds.sty +Package: etexcmds 2007/12/12 v1.2 Prefix for e-TeX command names (HO) +(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/infwarerr.sty +Package: infwarerr 2007/09/09 v1.2 Providing info/warning/message (HO) +) +Package etexcmds Info: Could not find \expanded. +(etexcmds) That can mean that you are not using pdfTeX 1.50 or +(etexcmds) that some package has redefined \expanded. +(etexcmds) In the latter case, load this package earlier. +) (/etc/texmf/tex/latex/config/hyperref.cfg +File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty +Package: kvoptions 2009/08/13 v3.4 Keyval support for LaTeX options (HO) +(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/kvsetkeys.sty +Package: kvsetkeys 2009/07/30 v1.5 Key value parser with default handler suppor +t (HO) +)) +Package hyperref Info: Option `hyperfootnotes' set `false' on input line 2864. +Package hyperref Info: Option `bookmarks' set `true' on input line 2864. +Package hyperref Info: Option `linktocpage' set `false' on input line 2864. +Package hyperref Info: Option `pdfdisplaydoctitle' set `true' on input line 286 +4. +Package hyperref Info: Option `pdfpagelabels' set `true' on input line 2864. +Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 2864. +Package hyperref Info: Option `colorlinks' set `true' on input line 2864. +Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 2975. +Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 2980. +Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 2983. +Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 2990. +Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 2995. +Implicit mode ON; LaTeX internals redefined +Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 3191. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/url.sty +\Urlmuskip=\muskip11 +Package: url 2006/04/12 ver 3.3 Verb mode for urls, etc. +) +LaTeX Info: Redefining \url on input line 3428. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/bitset.sty +Package: bitset 2007/09/28 v1.0 Data type bit set (HO) +(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/intcalc.sty +Package: intcalc 2007/09/27 v1.1 Expandable integer calculations (HO) +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/bigintcalc.sty +Package: bigintcalc 2007/11/11 v1.1 Expandable big integer calculations (HO) +(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/pdftexcmds.sty +Package: pdftexcmds 2009/09/23 v0.6 LuaTeX support for pdfTeX utility functions + (HO) +(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/ifluatex.sty +Package: ifluatex 2009/04/17 v1.2 Provides the ifluatex switch (HO) +Package ifluatex Info: LuaTeX not detected. +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/ltxcmds.sty +Package: ltxcmds 2009/08/05 v1.0 Some LaTeX kernel commands for general use (HO +) +) +Package pdftexcmds Info: LuaTeX not detected. +Package pdftexcmds Info: \pdf@primitive is available. +Package pdftexcmds Info: \pdf@ifprimitive is available. +))) +\Fld@menulength=\count119 +\Field@Width=\dimen134 +\Fld@charsize=\dimen135 +\Field@toks=\toks30 +Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 4377. +Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 4382. +Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 4385. +Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 4392. +Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 4395. +Package hyperref Info: Link coloring with OCG OFF on input line 4402. +Package hyperref Info: PDF/A mode OFF on input line 4407. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/atbegshi.sty +Package: atbegshi 2008/07/31 v1.9 At begin shipout hook (HO) +) +\Hy@abspage=\count120 +\c@Item=\count121 +) +*hyperref using driver hpdftex* +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hpdftex.def +File: hpdftex.def 2009/10/09 v6.79a Hyperref driver for pdfTeX +\Fld@listcount=\count122 +) +\ParIndent=\skip63 +\TmpLen=\skip64 +\c@ChapNo=\count123 +\c@SectNo=\count124 +\c@tocentry=\count125 +\@indexfile=\write3 +\openout3 = `38986-t.idx'. + +Writing index file 38986-t.idx +(./38986-t.aux) +\openout1 = `38986-t.aux'. + +LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 642. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 642. +LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 642. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 642. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 642. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 642. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 642. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 642. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 642. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 642. +LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 642. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 642. +LaTeX Font Info: Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 642. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 642. +LaTeX Font Info: Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 642. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 642. +*geometry auto-detecting driver* +*geometry detected driver: pdftex* +-------------------- Geometry parameters +paper: class default +landscape: -- +twocolumn: -- +twoside: true +asymmetric: -- +h-parts: 9.03375pt, 361.34999pt, 9.03375pt +v-parts: 4.15848pt, 495.49379pt, 6.23773pt +hmarginratio: 1:1 +vmarginratio: 2:3 +lines: -- +heightrounded: -- +bindingoffset: 0.0pt +truedimen: -- +includehead: true +includefoot: true +includemp: -- +driver: pdftex +-------------------- Page layout dimensions and switches +\paperwidth 379.4175pt +\paperheight 505.89pt +\textwidth 361.34999pt +\textheight 433.62pt +\oddsidemargin -63.23624pt +\evensidemargin -63.23624pt +\topmargin -68.11151pt +\headheight 15.0pt +\headsep 19.8738pt +\footskip 30.0pt +\marginparwidth 98.0pt +\marginparsep 7.0pt +\columnsep 10.0pt +\skip\footins 10.8pt plus 4.0pt minus 2.0pt +\hoffset 0.0pt +\voffset 0.0pt +\mag 1000 +\@twosidetrue \@mparswitchtrue +(1in=72.27pt, 1cm=28.45pt) +----------------------- +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/color.sty +Package: color 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC) +(/etc/texmf/tex/latex/config/color.cfg +File: color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive +) +Package color Info: Driver file: pdftex.def on input line 130. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def +File: pdftex.def 2009/08/25 v0.04m Graphics/color for pdfTeX +\Gread@gobject=\count126 +(/usr/share/texmf/tex/context/base/supp-pdf.mkii +[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).] +\scratchcounter=\count127 +\scratchdimen=\dimen136 +\scratchbox=\box54 +\nofMPsegments=\count128 +\nofMParguments=\count129 +\everyMPshowfont=\toks31 +\MPscratchCnt=\count130 +\MPscratchDim=\dimen137 +\MPnumerator=\count131 +\everyMPtoPDFconversion=\toks32 +))) +Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 642. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/nameref.sty +Package: nameref 2007/05/29 v2.31 Cross-referencing by name of section +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/refcount.sty +Package: refcount 2008/08/11 v3.1 Data extraction from references (HO) +) +\c@section@level=\count132 +) +LaTeX Info: Redefining \ref on input line 642. +LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 642. +(./38986-t.out) (./38986-t.out) +\@outlinefile=\write4 +\openout4 = `38986-t.out'. + +\AtBeginShipoutBox=\box55 +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msa on input line 670. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd +File: umsa.fd 2009/06/22 v3.00 AMS symbols A +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msb on input line 670. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd +File: umsb.fd 2009/06/22 v3.00 AMS symbols B +) [1 + + + +{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2 + +] [1 + +] [2 + +] [3 + + +] [4] [5] [6] [7] (./38986-t.toc [8 + +] [9] [10] [11] [12]) +\tf@toc=\write5 +\openout5 = `38986-t.toc'. + +[13] [1 + + + + + +] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21 + + +] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [3 +7] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45 + + +] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [6 +1] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70 + + +] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] +Underfull \vbox (badness 1502) has occurred while \output is active [] + +[81] [82] [83] [84] [85] [86 + + +] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] +[102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+euf on input line 5483. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/ueuf.fd +File: ueuf.fd 2009/06/22 v3.00 Euler Fraktur +) [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] +[124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133 + + +] [134] [135] [136] [137] [138] [139] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[140] +Underfull \vbox (badness 5260) has occurred while \output is active [] + +[141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] +Underfull \vbox (badness 3128) has occurred while \output is active [] + +[154] [155] [156] [157] [158] [159] [160 + + +] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] +[174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [ +187] [188] [189] [190] [191 + + +] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] +[205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [ +218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [2 +31] [232] [233] [234] [235 + + +] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] +Underfull \vbox (badness 2529) has occurred while \output is active [] + +[243] +Underfull \vbox (badness 3229) has occurred while \output is active [] + +[244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [ +257] [258] 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+06] [407] [408] [409] [410] [411] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[412] [413] [414] [415] [416] [417] [418] [419] [420] [421] [422] [423] [424] [ +425] [426] [427] [428] [429] [430] [431] [432] [433] [434] [435] [436] [437] [4 +38] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[439] [440] +Overfull \hbox (1.15698pt too wide) in paragraph at lines 18376--18376 +[] + [] + + +Overfull \hbox (1.15698pt too wide) in alignment at lines 18376--18376 +[] [] + [] + +[441] +Overfull \hbox (0.80354pt too wide) detected at line 18451 +[] + [] + + +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[442] [443] [444] (./38986-t.ind [445 + + + + + +] [446] [447] [448] [449]) +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[1 + + + + + + +] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[2] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[3] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[4] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[5] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[6] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[7] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[8] [9] (./38986-t.aux) + + *File List* + book.cls 2007/10/19 v1.4h Standard LaTeX document class + leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers) + bk12.clo 2007/10/19 v1.4h Standard LaTeX file (size option) +inputenc.sty 2008/03/30 v1.1d Input encoding file + latin1.def 2008/03/30 v1.1d Input encoding file + fontenc.sty + t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file + babel.sty 2008/07/06 v3.8l The Babel package + germanb.ldf 2008/06/01 v2.6m German support from the babel system + ifthen.sty 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC) + amsmath.sty 2000/07/18 v2.13 AMS math features + amstext.sty 2000/06/29 v2.01 + amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 + amsbsy.sty 1999/11/29 v1.2d + amsopn.sty 1999/12/14 v2.01 operator names + amssymb.sty 2009/06/22 v3.00 +amsfonts.sty 2009/06/22 v3.00 Basic AMSFonts support + alltt.sty 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment + array.sty 2008/09/09 v2.4c Tabular extension package (FMi) +footmisc.sty 2009/09/15 v5.5a a miscellany of footnote facilities +multicol.sty 2008/12/05 v1.6h multicolumn formatting (FMi) + makeidx.sty 2000/03/29 v1.0m Standard LaTeX package +indentfirst.sty 1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC) + icomma.sty 2002/03/10 v2.0 (WaS) + soul.sty 2003/11/17 v2.4 letterspacing/underlining (mf) + fix-cm.sty 2006/09/13 v1.1m fixes to LaTeX + ts1enc.def 2001/06/05 v3.0e (jk/car/fm) Standard LaTeX file + calc.sty 2007/08/22 v4.3 Infix arithmetic (KKT,FJ) +fancyhdr.sty +geometry.sty 2008/12/21 v4.2 Page Geometry + keyval.sty 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC) + ifpdf.sty 2009/04/10 v2.0 Provides the ifpdf switch (HO) + ifvtex.sty 2008/11/04 v1.4 Switches for detecting VTeX and its modes (HO) +geometry.cfg +hyperref.sty 2009/10/09 v6.79a Hypertext links for LaTeX + ifxetex.sty 2009/01/23 v0.5 Provides ifxetex conditional + hycolor.sty 2009/10/02 v1.5 Code for color options of hyperref/bookmark (HO +) +xcolor-patch.sty 2009/10/02 xcolor patch + pd1enc.def 2009/10/09 v6.79a Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO) +etexcmds.sty 2007/12/12 v1.2 Prefix for e-TeX command names (HO) +infwarerr.sty 2007/09/09 v1.2 Providing info/warning/message (HO) +hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive +kvoptions.sty 2009/08/13 v3.4 Keyval support for LaTeX options (HO) +kvsetkeys.sty 2009/07/30 v1.5 Key value parser with default handler support +(HO) + url.sty 2006/04/12 ver 3.3 Verb mode for urls, etc. + bitset.sty 2007/09/28 v1.0 Data type bit set (HO) + intcalc.sty 2007/09/27 v1.1 Expandable integer calculations (HO) +bigintcalc.sty 2007/11/11 v1.1 Expandable big integer calculations (HO) +pdftexcmds.sty 2009/09/23 v0.6 LuaTeX support for pdfTeX utility functions ( +HO) +ifluatex.sty 2009/04/17 v1.2 Provides the ifluatex switch (HO) + ltxcmds.sty 2009/08/05 v1.0 Some LaTeX kernel commands for general use (HO) + +atbegshi.sty 2008/07/31 v1.9 At begin shipout hook (HO) + hpdftex.def 2009/10/09 v6.79a Hyperref driver for pdfTeX + color.sty 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC) + color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive + pdftex.def 2009/08/25 v0.04m Graphics/color for pdfTeX +supp-pdf.mkii + nameref.sty 2007/05/29 v2.31 Cross-referencing by name of section +refcount.sty 2008/08/11 v3.1 Data extraction from references (HO) + 38986-t.out + 38986-t.out + umsa.fd 2009/06/22 v3.00 AMS symbols A + umsb.fd 2009/06/22 v3.00 AMS symbols B + ueuf.fd 2009/06/22 v3.00 Euler Fraktur + 38986-t.ind + *********** + + ) +Here is how much of TeX's memory you used: + 9337 strings out of 493848 + 120766 string characters out of 1152824 + 240948 words of memory out of 3000000 + 10743 multiletter control sequences out of 15000+50000 + 34798 words of font info for 93 fonts, out of 3000000 for 9000 + 714 hyphenation exceptions out of 8191 + 37i,21n,43p,355b,689s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,50000s +{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc}</usr/share/texmf- +texlive/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmex10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fon +ts/type1/public/amsfonts/cmextra/cmex8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type +1/public/amsfonts/cm/cmmi10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/am +sfonts/cm/cmmi12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/amsfonts/cm/c +mmi6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi8.pfb></u +sr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr10.pfb></usr/share/tex +mf-texlive/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr12.pfb></usr/share/texmf-texlive/f 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+super/sfrm0700.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm0800.pfb>< +/usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1000.pfb></usr/share/texmf/fon +ts/type1/public/cm-super/sfrm1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-s +uper/sfrm1728.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfti1000.pfb></ +usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfti1200.pfb></usr/share/texmf/font +s/type1/public/cm-super/sftt0900.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-su +per/sftt1000.pfb> +Output written on 38986-t.pdf (473 pages, 1958005 bytes). +PDF statistics: + 4254 PDF objects out of 4296 (max. 8388607) + 1707 named destinations out of 1728 (max. 500000) + 169 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000) + diff --git a/38986-t/old/38986-t.tex b/38986-t/old/38986-t.tex new file mode 100644 index 0000000..1f76079 --- /dev/null +++ b/38986-t/old/38986-t.tex @@ -0,0 +1,20121 @@ +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % +% % +% The Project Gutenberg EBook of Zahlentheorie, by Kurt Hensel % +% % +% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with % +% almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or % +% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included % +% with this eBook or online at www.gutenberg.net % +% % +% % +% Title: Zahlentheorie % +% % +% Author: Kurt Hensel % +% % +% Release Date: February 26, 2012 [EBook #38986] % +% % +% Language: German % +% % +% Character set encoding: ISO-8859-1 % +% % +% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ZAHLENTHEORIE *** % +% % +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % + +\def\ebook{38986} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%% %% +%% Packages and substitutions: %% +%% %% +%% book: Required. %% +%% inputenc: Standard DP encoding. Required. %% +%% fontenc: T1 Font encoding. Required. %% +%% babel: German language features. Required. %% +%% %% +%% ifthen: Logical conditionals. Required. %% +%% %% +%% amsmath: AMS mathematics enhancements. Required. %% +%% amssymb: Additional mathematical symbols. Required. %% +%% %% +%% alltt: Fixed-width font environment. Required. %% +%% %% +%% array: Array enhancements. Required. %% +%% %% +%% perpage: Footnote enhancements. Required. %% +%% multicol: Multicolumn environment for index. Required. %% +%% makeidx: Indexing. Required. %% +%% %% +%% indentfirst: Indent first word of each sectional unit. Required. %% +%% icomma: Make the comma a decimal separator in math. Required. %% +%% soul: Gesperrt text. Required. %% +%% %% +%% fix-cm: Larger title page fonts. Optional. %% +%% %% +%% calc: Length calculations. Required. %% +%% %% +%% fancyhdr: Enhanced running headers and footers. Required. %% +%% %% +%% geometry: Enhanced page layout package. Required. %% +%% hyperref: Hypertext embellishments for pdf output. Required. %% +%% %% +%% %% +%% Producer's Comments: %% +%% %% +%% Changes are noted in this file in multiple ways. %% +%% 1. \DPtypo{}{} for typographical corrections, showing original %% +%% and replacement text side-by-side. %% +%% 2. \DPchg (stylistic uniformity) and \DPmod (modernization). %% +%% 3. [** TN: Note]s for lengthier or stylistic comments. %% +%% %% +%% %% +%% Compilation Flags: %% +%% %% +%% The following behavior may be controlled by boolean flags. %% +%% %% +%% ForPrinting (false by default): %% +%% Compile a print-optimized PDF file. Set to false for screen- %% +%% optimized file (pages cropped, one-sided, blue hyperlinks). %% +%% %% +%% Modernize (true by default): %% +%% %% +%% %% +%% PDF pages: 473 (if ForPrinting set to false) %% +%% PDF page size: 5.25 x 7in (non-standard) %% +%% %% +%% Summary of log file: %% +%% * Four overfull hboxes (<3.5pt too wide). %% +%% * Ten underfull vboxes. %% +%% %% +%% %% +%% Compile History: %% +%% %% +%% February, 2012: adhere (Andrew D. Hwang) %% +%% texlive2007, GNU/Linux %% +%% %% +%% Command block: %% +%% %% +%% pdflatex x4 %% +%% makeindex %% +%% pdflatex x3 %% +%% %% +%% %% +%% February 2012: pglatex. %% +%% Compile this project with: %% +%% pdflatex 38986-t.tex ..... FOUR times %% +%% makeindex 38986-t.idx %% +%% pdflatex 38986-t.tex ..... THREE times %% +%% %% +%% pdfTeX, Version 3.1415926-1.40.10 (TeX Live 2009/Debian) %% +%% %% +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\listfiles +\documentclass[12pt,leqno]{book}[2005/09/16] +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PACKAGES %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\usepackage[latin1]{inputenc}[2006/05/05] + +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage[german]{babel} + +\usepackage{ifthen}[2001/05/26] %% Logical conditionals + +\usepackage{amsmath}[2000/07/18] %% Displayed equations +\usepackage{amssymb}[2002/01/22] %% and additional symbols + +\usepackage{alltt}[1997/06/16] %% boilerplate, credits, license + +\usepackage{array}[2005/08/23] + +\usepackage[perpage]{footmisc}[2005/03/17] +\usepackage{footmisc}[2005/03/17] + +\usepackage{multicol}[2006/05/18] +\usepackage{makeidx}[2000/03/29] + +\usepackage{indentfirst}[1995/11/23] +\usepackage{icomma}[2002/03/10] +\usepackage{soul} + +\IfFileExists{fix-cm.sty}{% %% For larger title page fonts + \usepackage{fix-cm}[2006/03/24]% + \newcommand{\MyHuge}{\fontsize{48}{60}\selectfont}% +}{% else + \newcommand{\MyHuge}{\Huge}% +} + +\usepackage{calc}[2005/08/06] + +% for running heads +\usepackage{fancyhdr} + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%%%% Interlude: Set up PRINTING (default) or SCREEN VIEWING %%%% +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +% ForPrinting=true (default) false +% Asymmetric margins Symmetric margins +% Black hyperlinks Blue hyperlinks +% Start Preface, ToC, etc. recto No blank verso pages +% +\newboolean{ForPrinting} +%% UNCOMMENT the next line for a PRINT-OPTIMIZED VERSION of the text %% +%\setboolean{ForPrinting}{true} + +\newboolean{Modernize} +%% COMMENT the next line to retain original errors and inconsistencies +\setboolean{Modernize}{true} + +%% Initialize values to ForPrinting=false +\newcommand{\ChapterSpace}{} +\newcommand{\Margins}{hmarginratio=1:1} % Symmetric margins +\newcommand{\HLinkColor}{blue} % Hyperlink color +\newcommand{\PDFPageLayout}{SinglePage} +\newcommand{\TransNote}{Anmerkungen der Korrekturleser.} +\newcommand{\TransNoteCommon}{% + Ein Exemplar des Originals wurde dankenswerterweise von der Cornell + University Library: Historical Mathematics Monographs Collection + zur Verfügung gestellt. + \bigskip + + Kleinere typographische Korrekturen und Änderungen der Formatierung + wurden stillschweigend vorgenommen. Alle Änderungen sind in der + \LaTeX-Sourcedatei aufgeführt, die heruntergeladen werden kann von + \begin{center} + \texttt{www.gutenberg.org/ebooks/\ebook}. + \end{center} + + Seitenzahlen im Text können um Eins zu niedrig sein. + \bigskip +} + +\newcommand{\TransNoteText}{% + \TransNoteCommon + + Diese PDF-Datei wurde für die Anzeige auf einem Bildschirm + optimiert, kann bei Bedarf aber leicht für den Druck angepasst + werden. Anweisungen dazu finden Sie am Anfang des + \LaTeX-Quelltextes. +} +%% Re-set if ForPrinting=true +\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{% + \renewcommand{\ChapterSpace}{\vspace*{1in}} + \renewcommand{\Margins}{hmarginratio=2:3} % Asymmetric margins + \renewcommand{\HLinkColor}{black} % Hyperlink color + \renewcommand{\PDFPageLayout}{TwoPageRight} + \renewcommand{\TransNoteText}{% + \TransNoteCommon + + Diese PDF-Datei wurde für den Druck optimiert, kann bei Bedarf + aber leicht für den Bildschirm angepasst werden. Anweisungen dazu + finden Sie am Anfang des \LaTeX-Quelltextes. + } +}{% If ForPrinting=false, don't skip to recto + \renewcommand{\cleardoublepage}{\clearpage} +} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%%%% End of PRINTING/SCREEN VIEWING code; back to packages %%%% +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{% + \setlength{\paperwidth}{8.5in}% + \setlength{\paperheight}{11in}% + \usepackage[body={5in,9in},\Margins]{geometry}[2002/07/08] +}{% + \setlength{\paperwidth}{5.25in}% + \setlength{\paperheight}{7in}% + \usepackage[body={5in,6in},\Margins,includeheadfoot]{geometry}[2002/07/08] +} + +\providecommand{\ebook}{00000} +\usepackage[pdftex, + hyperfootnotes=false, + pdftitle={The Project Gutenberg eBook \#\ebook: Zahlentheorie}, + pdfauthor={Kurt Hensel}, + pdfkeywords={Andrew D. Hwang, R. Stefan, Joshua Hutchinson, + Project Gutenberg Online Distributed Proofreading Team, + Cornell University Library: Historical Mathematics + Monographs collection}, + pdfstartview=Fit, % default value + pdfstartpage=1, % default value + pdfpagemode=UseNone, % default value + bookmarks=true, % default value + linktocpage=false, % default value + pdfpagelayout=\PDFPageLayout, + pdfdisplaydoctitle, + pdfpagelabels=true, + bookmarksopen=true, + bookmarksopenlevel=1, + colorlinks=true, + linkcolor=\HLinkColor]{hyperref}[2007/02/07] + +%%%% Fixed-width environment to format PG boilerplate %%%% +\newenvironment{PGtext}{% +\begin{alltt} +\fontsize{9.2}{10.5}\ttfamily\selectfont}% +{\end{alltt}} + +%%%% Global style parameters %%%% +\newlength{\ParIndent} +\setlength{\ParIndent}{2em} %** Should not be changed. Affects ToC. +\setlength{\parindent}{\ParIndent} + +% No hrule in page header +\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} +\setlength{\headheight}{15pt} + +\renewcommand{\arraycolsep}{0pt} +\widowpenalty=3000 + +% Loosen horizontal spacing +\setlength{\emergencystretch}{1.5em} + +% Local spacing coercion +\newcommand{\Loosen}{\spaceskip 0.375em plus 0.75em minus 0.25em} + +% Add parenthesis to footnote marker +\makeatletter +\renewcommand\@makefnmark% + {\mbox{\,\upshape\@textsuperscript{\normalfont\@thefnmark})}} + +\renewcommand\@makefntext[1]% + {\noindent\makebox[2.4em][r]{\@makefnmark\,}#1} +\makeatother + +% "Scratch pad" for length calculations +\newlength{\TmpLen} + +%% Parametrized vertical space %% +\newcommand{\Strut}[1][12pt]{\rule{0pt}{#1}} + +%%%% Corrections, modernizations, and in-line transcriber's notes %%%% +% Errors in the book's "Druckfehler" +\newcommand{\Errata}[2]{#2} + +% Corrections found during digitization +\newcommand{\DPtypo}[2]{#2} + +% Shorthand for missing punctuation, etc. +\newcommand{\Add}[1]{\DPchg{}{#1}} + +\ifthenelse{\boolean{Modernize}}{% + % Stylistic changes + \newcommand{\DPchg}[2]{#2} + + \newcommand{\Ord}[2]{#1\textsuperscript{#2}} + \newcommand{\Ordsup}[2]{#1\textsuperscript{#2}} +}{% Else Modernize = false + \newcommand{\DPchg}[2]{#1}% Discard changes made for stylistic uniformity + + \newcommand{\Ord}[2]{#1#2}% Ordinals not uniformly superscripted in the orig. + \newcommand{\Ordsup}[2]{#1\textsuperscript{#2}} +} + +%%%% Running heads %%%% +\newcommand{\FlushRunningHeads}{% + \clearpage + \fancyhf{} + \cleardoublepage + \thispagestyle{empty} + + \ifthenelse{\boolean{ForPrinting}} + {\fancyhead[RO,LE]{\thepage}} + {\fancyhead[R]{\thepage}} +} + +\newcommand{\SetCenterHeads}[1]{\fancyhead[C]{{#1}}} + +\newcommand{\BookMark}[2]{\phantomsection\pdfbookmark[#1]{#2}{#2}} + +%%%% Major document divisions %%%% +\newcommand{\FrontMatter}{% + \cleardoublepage + \frontmatter + \BookMark{-1}{Anfang.} +} +\newcommand{\PGBoilerPlate}{% + \pagenumbering{Alph} + \pagestyle{empty} + \BookMark{0}{PG Titelblatt.} +} +\newcommand{\MainMatter}{% + \FlushRunningHeads + \mainmatter + \BookMark{-1}{Hauptteil.} + \Loosen +} +\newcommand{\BackMatter}{% + \backmatter + \FlushRunningHeads + \BookMark{-1}{Anhänge.} +} +\newcommand{\PGLicense}{% + \FlushRunningHeads + \pagenumbering{roman} + \BookMark{-1}{Lizenz.} + \SetCenterHeads{Lizenz} +} + +\newcommand{\TranscribersNote}[1]{% + \begin{minipage}{0.85\textwidth} + \small + \BookMark{0}{Anmerkungen zur Transkription.} + \subsection*{\centering\normalfont\scshape\normalsize\TransNote} + #1 + \end{minipage} +} + +%%%% Table of Contents %%%% +% Misc. macros for internal use +\newcounter{ChapNo} +\setcounter{ChapNo}{0} +\newcounter{SectNo}[ChapNo] + +\newcounter{tocentry} +\setcounter{tocentry}{0} +\newcommand{\ToCAnchor}{} + +\newcommand{\SeiteLine}[1]{% + \par\noindent\Strut\PageLabel[toc]{#1}% + \ifthenelse{\not\equal{\pageref{toc:#1}}{\ToCAnchor}}{% + \renewcommand{\ToCAnchor}{\pageref{toc:#1}}% + \parbox{\textwidth}{\scriptsize\hfill Seite}\\% + }{}% +} + +%% ToC formatting +\AtBeginDocument{% + \renewcommand{\contentsname}{% + \protect\thispagestyle{empty}% + \protect\TitleHead{Inhaltsverzeichnis.} + \protect\SetCenterHeads{Inhaltsverzeichnis.} + \protect\vspace{-1.5\baselineskip} + \protect\BookMark{0}{Inhaltsverzeichnis.} + } +} + +%\ToCChap{1}{Erstes Kapitel.}{Die elementaren...} +\newcommand{\ToCChap}[3]{% + \subsection*{\centering\normalfont\small \so{#2}} + \SeiteLine{#1}% + \noindent\parbox[b]{\textwidth-\ParIndent}{\Strut\small\hangindent3em% + \bfseries#3\dotfill}\ToCPage[\textbf]{chap:#1}% +} + +% \ToCSect{chap.sect}{\S 1.}{Gogenstand...} +\newcommand{\ToCSect}[3]{% + \SeiteLine{#1}% + \settowidth{\TmpLen}{\qquad#2\ }% + \parbox[b]{\textwidth-\ParIndent}{\Strut\small\hangindent\TmpLen% + \makebox[\TmpLen][l]{\qquad#2}#3\dotfill}\ToCPage{sect:#1}% +} + +% \ToCMisc{anchorname}{Title} +\newcommand{\ToCMisc}[2]{% + \SeiteLine{#1}% + \noindent\parbox[b]{\textwidth-\ParIndent}{\Strut\small\hangindent3em% + \bfseries#2\dotfill}\ToCPage{#1}% +} + +% Page numbers +\newcommand{\ToCPage}[2][]{\makebox[\ParIndent][r]{\small#1{\pageref{#2}}}} + +%% Index formatting +\makeindex +\makeatletter +\renewcommand{\@idxitem}{\par\hangindent 30\p@\global\let\idxbrk\nobreak} +\renewcommand\subitem{\idxbrk\@idxitem \hspace*{12\p@}\let\idxbrk\relax} +\renewcommand{\indexspace}{\par\penalty-3000 \vskip 10pt plus5pt minus3pt\relax} + +\renewenvironment{theindex}{% + \setlength\columnseprule{0.5pt}\setlength\columnsep{18pt}% + \PageLabel[]{sachregister} + \addtocontents{toc}{\protect\medskip} + \addtocontents{toc}{\protect\ToCMisc{sachregister}{Sachregister.}} + \FlushRunningHeads + \SetCenterHeads{Sachregister.} + \BookMark{0}{Sachregister.} + \begin{multicols}{2}[\TitleHead{Sachregister.}\small]% ** N.B. font size + \setlength\parindent{0pt}\setlength\parskip{0pt plus 0.3pt}% + \thispagestyle{empty}\let\item\@idxitem\raggedright% + }{% + \end{multicols}\FlushRunningHeads +} +\makeatother + +%%%% Document Sectioning %%%% +% Used by Vorrede, Inhalsverzeichnis, Sachregister +\newcommand{\TitleHead}[1]{\subsection*{\Large\centering #1}} + +\newcommand{\Vorrede}{% + \FlushRunningHeads + \pagestyle{fancy} + \PageLabel[]{vorrede}% + \addtocontents{toc}{\protect\ToCMisc{vorrede}{Vorrede.}} + \BookMark{0}{Vorrede.} + \SetCenterHeads{Vorrede.} + \ChapterSpace + \TitleHead{\centering Vorrede.} +} + +% \Chapter{Number}{Heading title} +\newcommand{\Chapter}[2]{% + \FlushRunningHeads + \stepcounter{ChapNo}% + \PageLabel[chap]{\theChapNo} + \addtocontents{toc}{\protect\ToCChap{\theChapNo}{#1}{#2}}% + \BookMark{0}{#1}% + \thispagestyle{empty} + \SetCenterHeads{#1} + \ChapterSpace + \section*{\centering\normalfont\large #1} + \subsection*{\centering\Large #2} +} + +\newcommand{\Section}[2]{% + \subsection*{\centering\normalsize #1\quad #2} + \stepcounter{SectNo}% + \PageLabel[sect]{\theChapNo.\theSectNo} + \addtocontents{toc}{\protect\ToCSect{\theChapNo.\theSectNo}{#1}{#2}}% +} + +\newcommand{\Axiom}[2]{\medskip\Item{#1} \normalfont\textit{#2}} + +%%%% Other semantic units %%%% +\newboolean{InEnv} +% Template for definitions, theorems, examples +\newenvironment{MyEnvt}[2]{% + \begin{list}{}{% + \setlength{\leftmargin}{#2}% + \setlength{\itemindent}{\ParIndent}% + \setlength{\listparindent}{\ParIndent}% + \setlength{\topsep}{4pt plus 8pt}% + \setboolean{InEnv}{true}}\item#1\ignorespaces% + }{% + \setboolean{InEnv}{false}\end{list}} + +% Document-level environments +\newenvironment{Definition}[1][]{\begin{MyEnvt}{#1}{\ParIndent}}{\end{MyEnvt}} +\newenvironment{Theorem}[1][]{\begin{MyEnvt}{#1}{\ParIndent}}{\end{MyEnvt}} + +\newenvironment{Examples}{\begin{MyEnvt}{}{0pt}}{\end{MyEnvt}} + +\newenvironment{Enum}{% + \begin{list}{}{% + \setlength{\leftmargin}{2\ParIndent}% + \setlength{\itemindent}{-\ParIndent}% + \setlength{\labelsep}{\ParIndent}% + \setlength{\listparindent}{\ParIndent}% + \setlength{\topsep}{4pt plus 8pt}% + \setboolean{InEnv}{true}\Reitemize}\ignorespaces% + }{% + \setboolean{InEnv}{false}\Deitemize\end{list}} + +\newcommand{\Signature}[2]{% + \medskip + \hspace*{0.5\ParIndent}#1 \\ + \null\hfill\textbf{#2}\hspace*{0.5\ParIndent} +} + +% \Item behaves different inside an Enum environment than outside +\newcommand{\Reitemize}{\let\OldItem=\Item\let\Item=\item} +\newcommand{\Deitemize}{\let\Item=\OldItem} + +\newcommand{\Item}[1]{\ensuremath{\mathrm{#1}}} +\newcommand{\Iref}[1]{\ensuremath{\mathrm{#1}}} + +% Authors' names +\newcommand{\Name}[1]{\textit{#1}} + +%%%% Cross-referencing %%%% +% Original page separators +\newcommand{\PageSep}[2]{% + \ifthenelse{\not\equal{#2}{}}{\PageLabel{#2}}{}\ignorespaces% +} + +%% Anchors +\newcommand{\PageLabel}[2][page]{\phantomsection% + \ifthenelse{\equal{#1}{}}{\label{#2}}{\label{#1:#2}}% +} + +% Code stub; cross-referencing eqn numbers not feasible +\newcommand{\Tag}[1]{% 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+\DeclareMathOperator{\Ind}{Ind.\,} +\renewcommand{\mod}{\text{mod}} +\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn} + +% Mathematical redefinitions +\renewcommand{\bar}[2][D]{\kern1pt\overline{\vphantom{#1}\kern-1pt#2}\kern2pt} +\newcommand{\ubar}[2][D]{\kern1pt\underline{\vphantom{#1}\kern-1pt#2}\kern2pt} + +\let\oldprod=\prod +\renewcommand{\prod}{\mathop{\textstyle\oldprod}\limits} +\let\oldsum=\sum +\renewcommand{\sum}{\mathop{\textstyle\oldsum}\limits} + +\newcommand{\MathOrd}[1]{#1} +\newcommand{\efrac}[2]{\tfrac{#1}{#2}} + +\newcommand{\frakc}{\mathfrak{c}} +\newcommand{\frakf}{\mathfrak{f}} +\newcommand{\frakx}{\mathfrak{x}} + +\newcommand{\frakA}{\mathfrak{A}} +\newcommand{\frakB}{\mathfrak{B}} +\newcommand{\frakC}{\mathfrak{C}} +\newcommand{\frakE}{\mathfrak{E}} +\newcommand{\frakL}{\mathfrak{L}} +\newcommand{\frakP}{\mathfrak{P}} + +\newcommand{\Congr}[2]{\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{#1}{#2}} + +% \PadTo[#1]{#2}{#3} sets #3 in a box of width #2, aligned at #1 (default [c]) 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Gutenberg EBook of Zahlentheorie, by Kurt Hensel + +This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with +almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or +re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included +with this eBook or online at www.gutenberg.net + + +Title: Zahlentheorie + +Author: Kurt Hensel + +Release Date: February 26, 2012 [EBook #38986] + +Language: German + +Character set encoding: ISO-8859-1 + +*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ZAHLENTHEORIE *** +\end{PGtext} +\end{minipage} +\end{center} +\clearpage + +%%%% Credits and transcriber's note %%%% +\begin{center} +\begin{minipage}{\textwidth} +\begin{PGtext} +Produced by Andrew D. Hwang, R. S., Joshua Hutchinson, and +the Online Distributed Proofreading Team at +http://www.pgdp.net (This file was produced from images +from the Cornell University Library: Historical Mathematics +Monographs collection.) +\end{PGtext} +\end{minipage} +\vfill +\TranscribersNote{\TransNoteText} +\end{center} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FRONT MATTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\PageSep{001}{} +\iffalse +Production Note + +Cornell University Library +produced this volume to replace +the irreparably deteriorated +original. It was scanned using +Xerox Software and equipment at +600 dots per inch resolution +and compressed prior to storage +using CCITT Group 4 +compression. The digital data +were used to create Cornell's +replacement volume on paper +that meets the ANSI Standard +Z39.48-1984. The production of +this volume was supported in +part by the Commission on +Preservation and Access and the +Xerox Corporation. 1991. +\fi +\PageSep{002}{} +% [Blank Page] +\PageSep{003}{} +% [Library stamp] +\iffalse +Cornell University Library +BOUGHT WITH THE INCOME +FROM THE +SAGE ENDOWMENT FUND +THE GIFT OF +Henry W. Sage +1891 +\fi +\PageSep{004}{} +% [Blank Page] +\PageSep{005}{I} +\cleardoublepage +\pagenumbering{Roman} +\null\vfill +\begin{center} +\textbf{\Large Meiner lieben Frau gewidmet} +\end{center} +\vfill +\PageSep{006}{II} +% [Blank Page] +\PageSep{007}{III} +\cleardoublepage +\begin{center} +\textbf{\MyHuge Zahlentheorie} +\vfil\vfil +\Large Von +\vfil +\textbf{\Huge Dr.\ Kurt Hensel} \\ +\footnotesize o. ö. Professor der Mathematik an \\ +der Universität Marburg +\vfil\vfil\vfil +% [Illustration: Publisher's device: GJG 1785] +\vfil +\Large Berlin und Leipzig \\ +\normalsize G.~J. Göschen'sche Verlagshandlung G.m.b.H. \\ +1913 +\end{center} +\PageSep{008}{IV} +% [Blank Page] +\PageSep{009}{V} + + +\Vorrede + +%[** TN: Drop-cap] +Als die Aufgabe der elementaren Zahlentheorie kann die Aufsuchung +der Beziehungen bezeichnet werden, welche zwischen allen +rationalen ganzen oder gebrochenen Zahlen~$m$ einerseits und einer +beliebig angenommenen festen Grundzahl~$g$ andererseits bestehen. +Man kann dieser Aufgabe in ihrem weitesten Umfange dadurch +genügen, daß man alle diese Zahlen~$m$ in unendliche Reihen +\[ +m = a_{0} + a_{1} g + a_{2} g^{2} + \dots +\] +entwickelt, welche nach ganzen Potenzen dieser Grundzahl fortschreiten. +Nur durch die Betrachtung dieser vollständigen Reihen +erhält man eine vollkommene Lösung unserer Aufgabe; beschränkt +man sich dagegen auf gewisse Anfangsglieder derselben, wie dies +gewöhnlich in der Zahlentheorie geschieht, so erhält man angenäherte +Resultate, welche für bestimmte Zwecke natürlich von großem Werte +sein werden. Niemals aber können durch solche Annäherungen die +Beziehungen der zu untersuchenden Zahlen~$m$ zu der Grundzahl~$g$ +vollständig und genau ergründet werden. + +Aus diesem Grunde habe ich in dem vorliegenden Werke die +Untersuchung der Zahlgrößen +\[ +A = a_{0} + a_{1} g + a_{2} g^{2} + \dots, +\] +welche ich \so{$g$-adische Zahlen} nenne, mit Vorbedacht in den Vordergrund +der Betrachtung gestellt. Für sie kann der Begriff der Gleichheit +so definiert werden, daß jede rationale Zahl~$m$ einer einzigen +$g$-adischen Zahl gleich ist, welche stets beliebig genau berechnet +werden kann, \dh\ so weit, als es der Zweck der betreffenden Untersuchung +erfordert. Ebenso läßt sich die Addition und die Multiplikation +der $g$-adischen Zahlen so definieren, daß die Summe oder +\PageSep{010}{VI} +das Produkt beliebiger rationaler Zahlen der Summe oder dem +Produkte der ihnen gleichen $g$-adischen Zahlen gleich wird. + +Man erkennt dann leicht, daß diejenigen unter diesen $g$-adischen +Zahlen, welche rationalen Zahlen gleich sind, nur einen Teilbereich +von allen $g$-adischen Zahlen bilden. Und zwar steht das größere +Reich aller $g$-adischen Zahlen zu demjenigen aller rationalen Zahlen +in genau derselben Beziehung, wie bei der Untersuchung der reellen +Zahlen nach ihrer Größe der Bereich aller rationalen und irrationalen +Zahlen zu demjenigen der rationalen Zahlen. Auch hier können +nämlich die allgemeinen $g$-adischen Zahlen als Größen definiert werden, +welche zwar nicht selbst rationalen Zahlen gleich zu sein brauchen, +welche aber mit jeder vorgegebenen Genauigkeit durch rationale +Zahlen approximiert werden können. Und ebenso, wie die eingehende +Untersuchung aller rationalen Zahlen nach ihrer Größe erst bei +Hinzunahme der irrationalen Zahlen begrifflich und tatsächlich einfach +wird, so ergibt die Betrachtung aller rationalen Zahlen in +bezug auf eine Grundzahl~$g$ erst bei der Adjunktion aller $g$-adischen +Zahlen einheitliche und allgemeine Resultate. + +Die Durchführung dieser Untersuchung ergibt nun höchst einfach +das interessante Resultat, daß alle $g$-adischen Zahlen einen +sog.\ \so{Zahlenring} bilden, daß ihr Bereich nämlich so ausgedehnt +und dabei so in sich abgeschlossen ist, daß in ihm die Operationen +der Addition, Subtraktion und Multiplikation unbeschränkt und eindeutig +in der Weise ausführbar sind, daß sie immer wieder zu +$g$-adischen Zahlen führen. Dagegen ist die vierte elementare Rechenoperation, +die Division, nur in dem einfachsten Falle ebenfalls immer +eindeutig ausführbar, wenn die Grundzahl~$g$ eine Primzahl~$p$ ist; +nur dann bilden also alle $p$-adischen Zahlen +\[ +a_{0} + a_{1} p + a_{2} p^{2} + \dots +\] +zusammengenommen einen sog.\ \so{Zahlkörper}, in welchem alle vier +elementaren Rechenoperationen stets ausgeführt werden können. + +In jedem Körper sind nun die elementaren Rechengesetze +genau ebenso anwendbar und richtig wie \zB\ in dem speziellen +Körper aller rationalen Brüche oder in demjenigen aller reellen +rationalen und irrationalen Zahlen. In einem Ringe dagegen gelten +wichtige Sätze nicht, besonders der Satz, daß ein Produkt nur dann +\PageSep{011}{VII} +Null sein kann, wenn einer seiner Faktoren gleich Null ist. Es ist +deshalb ein Resultat von fundamentaler Bedeutung für die hier auseinandergesetzte +Zahlentheorie, daß sich jeder Ring von $g$-adischen +Zahlen auf die einfachste Weise aus denjenigen Körpern der $p$-adischen, +$q$-adischen,~\dots\ $r$-adischen Zahlen zusammensetzen läßt, deren +Grundzahlen $p$,~$q$, \dots\ $r$ die sämtlichen Primteiler von~$g$ sind. Damit +sind alle Fragen der Zahlenlehre, welche sich auf zusammengesetzte +Grundzahlen beziehen, vollständig und wunderbar einfach auf dieselben +Fragen für Primzahlen zurückgeführt, und die ganze Zahlentheorie +reduziert sich jetzt auf die Untersuchung eines beliebigen Körpers +von $p$-adischen Zahlen. + +Es verdient hervorgehoben zu werden, daß die Untersuchung +dieser Zahlringe und ihre Reduktion auf die zugehörigen Zahlkörper +die einzige Aufgabe ist, welche die gesamte Zahlentheorie, sowohl +die hier behandelte elementare, als auch die höhere Theorie der +algebraischen Zahlen darbietet. In der Tat sind auch in dieser +letzten Theorie nur genau so wie hier gebildete Ringe $g$-adischer +Zahlen zu untersuchen, und die sonst einzuführende Theorie der +idealen Primfaktoren wird hier ersetzt durch die Zerlegung eines +solchen Ringes in die ihn zusammensetzenden Körper, eine Aufgabe, +welche schon in diesem Buche vollständig gelöst wird. Bei dieser +Auffassung treten also in der höheren Theorie der algebraischen +Zahlen absolut keine neuen prinzipiellen Schwierigkeiten auf. + +Die Untersuchung der Körper $p$-adischer Zahlen, auf die sich +alles reduziert, wird nun dadurch prinzipiell besonders einfach, daß +man alle $p$-adischen Zahlen genau ebenso wie die ihrer Größe nach +untersuchten reellen Zahlen als Exponenten einer und derselben +Basis darstellen kann. Hierdurch reduzieren sich alle Fragen der +Multiplikation und Division, welche ja in der Zahlentheorie fast +allein behandelt werden und behandelt werden können, auf Fragen +der Addition und Subtraktion der zugehörigen Logarithmen, deren +Lösung dann völlig selbstverständlich ist. Diese wesentliche Vereinfachung +der Arithmetik beruht auf der Möglichkeit, die $p$-adischen +Zahlen in bestimmter Weise ihrer "`Größe"' nach so anzuordnen, daß +für sie die wesentlichsten Grundgesetze der Analysis in Geltung +bleiben, und daß so die Exponentialfunktion und ihre Umkehrung, +der Logarithmus, auch in die Arithmetik eingeführt werden können. +\PageSep{012}{VIII} + +Von den Fragen, welche nach der vollständigen Theorie der +linearen Gleichungen und Kongruenzen mit diesen neuen Methoden +behandelt werden, bezieht sich die erste auf die Auflösung der reinen +Gleichungen und der reinen Kongruenzen im Ringe der $g$-adischen +Zahlen; diese findet bei der speziellen Behandlung der quadratischen +Gleichungen im Reziprozitätsgesetze ihren natürlichen Abschluß. Mit +den hier gewonnenen Hilfsmitteln kann dann zweitens in kurzen +Zügen eine Darstellung der wichtigsten in diesen Rahmen gehörigen +Ergebnisse der Theorie der binären und ternären quadratischen Formen +gegeben werden; hier ergeben sich zuletzt die Sätze über die Darstellung +der rationalen Zahlen durch binäre Formen für den Bereich +einer jeden Primzahl und die auf dieser Grundlage beruhende Einteilung +dieser Formen in Geschlechter. + +Die in diesem Buche gegebene Darstellung setzt keine Vorkenntnisse +voraus und ist so ausführlich gehalten, daß Studierende +der Mathematik dasselbe mit vollem Verständnis lesen können. +Möchte es mir darüber hinaus gelungen sein, dem Leser auch etwas +von der großen Freude an diesem reinsten und, ich möchte sagen, +mathematischsten Gebiete der Mathematik zu geben, welche ich +selbst bei der mehrjährigen Beschäftigung mit diesen Fragen +empfunden habe. + +Bei der Redaktion dieses Werkes hat mir Herr stud.\ phil.\ +\DPchg{\so{A.~Fraenkel}}{\Name{A.~Fraenkel}} in unermüdlicher Arbeit sehr dankenswerte und wertvolle +Unterstützung gegeben; bei der Herstellung des Sachregisters +hat mir Herr stud.\ phil.\ \DPchg{\so{Ostrowski}}{\Name{Ostrowski}} geholfen. Endlich gilt mein +Dank den Leitern des G.~J. Göschen'schen Verlages, die mir meine +Aufgabe durch verständnisvolles Eingehen auf meine Wünsche und +durch ihre bekannte Sorgfalt im Druck und in der Ausstattung +wesentlich erleichtert und verschönt haben. + +\Signature{\so{Marburg}, den 7.~Juni 1913.}{K. Hensel.} +\PageSep{013}{IX} +\tableofcontents +\iffalse +Inhaltsverzeichnis. + + Seite + +Vorrede V-VIII + +Erstes Kapitel. + +Die elementaren Rechenoperationen und die Zahlbereiche 1-16 + +§ 1. Gegenstand der Arithmetik. Der Bereich der rationalen +Zahlen. Die sieben Grundgesetze des Rechnens 1 + +§ 2. Die Körper 6 + +§ 3. Die Moduln 8 + +§ 4. Die Gruppen oder Strahlen 10 + +§ 5. Die Ringe 13 + +Zweites Kapitel. + +Der Körper der rationalen Zahlen. Die Primzahlen 17-35 + +§ 1. Die Teilbarkeit der Zahlen. Der größte gemeinsame Teiler 17 + +§ 2. Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers. Das kleinste +gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen 20 + +§ 3. Die Primzahlen. Die eindeutige Zerlegung der rationalen +Zahlen in Primzahlen 28 + +Drittes Kapitel. + +Die Beziehungen aller rationalen Zahlen zu einer Grundzahl g. +Die g-adische Darstellung der rationalen Zahlen 36-56 + +§ 1. Die modulo g ganzen und gebrochenen rationalen Zahlen 36 + +§ 2. Einteilung der modulo g ganzen Zahlen in Kongruenzklassen +und das Rechnen mit diesen Klassen 40 + +§ 3. Die g-adischen Entwicklungen der rationalen Zahlen. Ihre +Näherungswerte 49 + +Viertes Kapitel. + +Der Ring R(g) der allgemeinen g-adischen Zahlen für eine +beliebige Grundzahl g 57-69 + +§ 1. Definition der allgemeinen g-adischen Zahlen 57 +\fi +\PageSep{014}{X} +\iffalse Seite + +§ 2. Die Addition und Multiplikation im Bereich der g-adischen +Zahlen 63 + +Fünftes Kapitel. + +Die Zerlegung des Ringes aller g-adischen Zahlen in seine einfachsten +Bestandteile 70-106 + +§ 1. Inhalt und Ziel der Untersuchung 70 + +§ 2. Die Beziehungen zwischen g-adischen Zahlen mit verschiedener +Grundzahl 72 + +§ 3. Die Zerlegung des Ringes R(G) in die beiden Ringe R(P) +und R(Q) 78 + +§ 4. Die Zerlegung des Ringes R(g) in die Ringe R(p), R(q), ..., +deren Grundzahlen Primzahlen sind. Die Darstellung der +g-adischen Zahlen in der additiven und in der multiplikativen +Normalform 86 + +§ 5. Die Einteilung der ganzen g-adischen Zahlen in Zahlklassen +modulo g 92 + +§ 6. Die Einheiten und die Einheitsklassen. Der Fermatsche +Satz für endliche Gruppen 99 + +Sechstes Kapitel. + +Der Körper K(p) der p-adischen Zahlen, deren Grundzahl +eine beliebige Primzahl ist 107-128 + +§ 1. Die elementaren Rechenoperationen im Körper K(p) der +p-adischen Zahlen 107 + +§ 2. Die Anordnung der p-adischen Zahlen nach ihrer Größe 112 + +§ 3. Grenzwerte von Reihen p-adischer Zahlen 114 + +§ 4. Die unendlichen Reihen mit p-adischen Gliedern und das +Kriterium für ihre Konvergenz 116 + +§ 5. Die Potenzreihen im Bereich der p-adischen Zahlen 118 + +§ 6. Der Körper der Potenzreihen mit endlichem Konvergenzbereiche 122 + +§ 7. Die unendlichen Produkte 127 + +Siebentes Kapitel. + +Die Elemente der Analysis und Algebra im Gebiete der p-adischen +Zahlen 129-152 + +§ 1. Die veränderlichen Größen. Die Funktionen, Stetigkeit und +Differenzierbarkeit. Die p-adischen Potenzreihen sind in +ihrem Konvergenzbereiche stetige und differenzierbare +Funktionen ihres Argumentes 129 + +§ 2. Die Exponentialfunktion im Bereiche der p-adischen +Zahlen 131 +\fi +\PageSep{015}{XI} +\iffalse + Seite +§ 3. Der Logarithmus im Bereiche der p-adischen Zahlen 139 + +§ 4. Die algebraischen Gleichungen in einem Körper, speziell +im Körper der p-adischen Zahlen 145 + +Achtes Kapitel. + +Die Elemente der Zahlentheorie im Körper der p-adischen +Zahlen 153-187 + +§ 1. Die Einheitswurzeln im Körper der p-adischen Zahlen 153 + +§ 2. Die Einheitswurzeln sind die Invarianten der Kongruenzklassen +modulo p 159 + +§ 3. Die Logarithmen der p-adischen Zahlen 161 + +§ 4. Untersuchung der p-adischen Zahlen für eine Primzahlpotenz +p^{k} als Modul 168 + +§ 5. Die primitiven Wurzeln modulo p^{k}. Die Theorie der Indizes +für eine Primzahlpotenz als Modul 173 + +§ 6. Anwendungen: Der Wilsonsche Satz für eine beliebige +Primzahlpotenz. Lineare Kongruenzen im p-adischen Zahlkörper 181 + +Neuntes Kapitel. + +Die Elemente der Zahlentheorie im Ringe der g-adischen Zahlen 188-227 + +§ 1. Die elementaren Rechenoperationen im Ringe der g-adischen +Zahlen 188 + +§ 2. Der absolute Betrag, die Einheitswurzel und die Haupteinheit +einer g-adischen Zahl 196 + +§ 3. Die Ordnungszahlen der g-adischen Zahlen 199 + +§ 4. Die Anordnung der g-adischen Zahlen nach ihrer Größe. +Die unendlichen Reihen, speziell die Potenzreihen. Die +Exponentialfunktion und der Logarithmus. Der Hauptlogarithmus +der g-adischen Zahlen 202 + +§ 5. Die Elemente der Algebra im Ringe der g-adischen +Zahlen. Die g-adischen Einheitswurzeln 208 + +§ 6. Die Logarithmen der g-adischen Zahlen 215 + +§ 7. Untersuchung der g-adischen Zahlen für einen beliebigen +zusammengesetzten Modul 217 + +§ 8. Der Wilsonsche Satz für einen beliebigen Modul g. -- Die +Auflösung der allgemeinen linearen Kongruenz modulo g 223 + +Zehntes Kapitel. + +Die Auflösung der reinen Gleichungen und der reinen Kongruenzen. +Die quadratischen Gleichungen und Kongruenzen 228-258 + +§ 1. Die Auflösung der reinen Gleichungen im Ringe der g-adischen +Zahlen 228 +\fi +\PageSep{016}{XII} +\iffalse + Seite +§ 2. Die Auflösung der reinen Gleichungen im Körper der +p-adischen Zahlen 234 + +§ 3. Die reinen Kongruenzen für einen beliebigen Modul g 236 + +§ 4. Die Auflösung der reinen quadratischen Gleichungen 247 + +§ 5. Die Auflösung der reinen quadratischen Kongruenzen 253 + +Elftes Kapitel. + +Das Reziprozitätsgesetz für die quadratischen Reste 259-291 + +§ 1. Die quadratischen Reste für einen Primzahlmodul. Das +Eulersche Kriterium und das Gausssche Lemma 259 + +§ 2. Die beiden Ergänzungssätze und das quadratische Reziprozitätsgesetz 269 + +§ 3. Erster Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes 273 + +§ 4. Zweiter Beweis für das Reziprozitätsgesetz 277 + +§ 5. Das Jacobi-Legendresche Symbol (Q/P) 281 + +§ 6. Der Algorithmus zur Bestimmung von $$E (p) 289 + +Zwölftes Kapitel. + +Die quadratischen Formen 292-352 + +§ 1. Der Körper K(p_$$) aller reellen Zahlen 292 + +§ 2. Die quadratischen Formen und ihre Teiler 294 + +§ 3. Die binären, quadratischen Formen und ihre Teiler 300 + +§ 4. Die ternären quadratischen Formen und ihre Teiler 307 + +§ 5. Die Darstellung der p-adischen Zahlen durch die binären +Hauptformen. Das Hilbertsche Symbol. Der allgemeine +Dekompositionssatz 314 + +§ 6. Ein Fundamentalsatz für die Theorie der ternären quadratischen +Formen 321 + +§ 7. Über die Darstellung der rationalen Zahlen durch binäre +Formen 326 + +§ 8. Einteilung der binären quadratischen Formen in Geschlechter 339 + +§ 9. Beispiele 346 + +Sachregister 353-356 +\fi +\PageSep{017}{1} +\MainMatter + +\Chapter{Erstes Kapitel.} +{Die elementaren Rechenoperationen und +die Zahlbereiche.} + +\Section{§ 1.}{Gegenstand der Arithmetik. Der Bereich der rationalen +Zahlen. Die sieben Grundgesetze des Rechnens.} + +Die Arithmetik stellt sich die Aufgabe, die Eigenschaften der +rationalen ganzen und gebrochenen Zahlen zu ergründen. Ich will +diese Zahlen selbst sowie auch die vier elementaren Rechenoperationen +der \so{Addition}, \so{Subtraktion}, \so{Multiplikation} und +\index{Grundgesetze für Addition und Multiplikation (nach E.~Steinitz)}% +\so{Division}, durch die sie miteinander verknüpft werden, als bekannt +voraussetzen. + +Ich muß aber gleich hier die \so{sieben Grundgesetze} hervorheben, +welche für die Addition und die Multiplikation und damit +von selbst für die beiden inversen Operationen, die Subtraktion und +die Division, gelten und aus denen alle übrigen die Addition und +Multiplikation betreffenden Rechengesetze für die rationalen Zahlen +als rein \emph{logische} Folgerungen hergeleitet werden können. + +%[** TN: Colon not italic in original, but italic on subsequent pages] +\Axiom{I)}{Das assoziative Gesetz der Addition:} Es gilt für jede Summe +\index{Assoziatives!Gesetz der Addition}% +von beliebig vielen, \zB\ drei Summanden $a$,~$b$,~$c$: +\[ +(a + b) + c = a + (b + c). +\] + +Die Klammern können daher bei der Addition als bedeutungslos +für das Ergebnis weggelassen werden; es ist $(a + b) + c = a + (b + c) += a + b + c$. \ZB~ist +\[ +(3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5) = 3 + 4 + 5, +\] +\PageSep{018}{2} +\dh\ +\[ +7 + 5 = 3 + 9. +\] + +\Axiom{II)}{Das assoziative Gesetz der Multiplikation:} Es gilt für jedes +\index{Assoziatives!Gesetz der Multiplikation}% +\index{Grundgesetze für Addition und Multiplikation (nach E.~Steinitz)}% +Produkt von beliebig vielen, \zB\ drei Faktoren $a$,~$b$,~$c$: +\[ +(ab)c = a(bc). +\] + +Auch hier sind daher Klammern überflüssig; es ist $(ab)c = a(bc) += abc$. \ZB~ist +\[ +(3·4)·5 = 3·(4·5) = 3·4·5, +\] +\dh\ +\[ +12·5 = 3·20. +\] + +\Axiom{III)}{Das kommutative Gesetz der Addition:} Es gilt für beliebig +\index{Kommutatives!Gesetz d.\ Addition}% +viele Summanden: +\begin{gather*} +a + b = b + a, \\ +a + b + c = c + b + a = \dots. +\end{gather*} + +\Axiom{IV)}{Das kommutative Gesetz der Multiplikation:} Es gilt für +\index{Kommutatives!Gesetz d.\ Multiplikation}% +beliebig viele Faktoren: +\begin{gather*} +ab = ba, \\ +abc = cba = \dots. +\end{gather*} + +Nach dem dritten und dem vierten Gesetz kann also in jeder +Summe bzw.\ in jedem Produkt die Reihenfolge der Summanden +bzw.\ Faktoren beliebig vertauscht werden. So ist \zB\ +\begin{gather*} +3 + 4 + 5 = 5 + 4 + 3 = 3 + 5 + 4 = \dots = 12\DPtypo{}{,} \\ +3·4·5 = 5·4·3 = 3·5·4 = \dots = 60. +\end{gather*} + +\Axiom{V)}{Das distributive Gesetz der Addition und Multiplikation:} +\index{Distributives Gesetz}% +\[ +a(b + c) = ab + ac. +\] +\ZB~ist +\[ +4(3 + 5) = 4·3 + 4·5, \quad\text{\dh}\quad 4·8 = 12 + 20. +\] + +\Axiom{VI)}{Das Gesetz der unbeschränkten und eindeutigen Subtraktion:} +\index{Subtraktion!Gesetz d.\ unbeschränkten u.\ eindeutigen}% +Sind $a$~und~$b$ beliebige rationale Zahlen, so gibt es stets eine +einzige rationale Zahl~$x$, für die +\[ +a + x= b +\] +\PageSep{019}{3} +ist. Diese Zahl~$x$ wird mit $b - a$ bezeichnet und die \so{Differenz} +von $b$~und~$a$ genannt; $b$~heißt der \so{Minuendus}, $a$~der \so{Subtrahendus}. +\index{Minuendus}% +\index{Subtrahendus}% +Nach dieser Definition ist also allgemein: +\[ +a + (b - a) = b. +\] + +\ZB~folgt aus +\begin{gather*} +5 + x = 8, \quad\text{bzw.}\quad 8 + y = 5 \\ +x = 8 - 5 = 3, \quad\text{bzw.}\quad y = 5 - 8 = -3; +\end{gather*} +ebenso folgt aus +\[ +\frac{3}{4} + z = \frac{1}{3},\quad +z = \frac{1}{3} - \frac{3}{4} = -\frac{5}{12}. +\] + +\Axiom{VII)}{Das Gesetz der unbeschränkten und eindeutigen Division:} +\index{Division, Gesetz d.\ unbeschränkten eindeutigen}% +Ist $a$ irgendeine von Null verschiedene, $b$~eine ganz beliebige rationale +Zahl, so gibt es stets eine einzige rationale Zahl~$x$, für die +\[ +ax = b +\] +wird. Diese Zahl~$x$ wird mit $\dfrac{b}{a}$ oder $b:a$ bezeichnet und der \so{Quotient} +\index{Quotient}% +von $b$~und~$a$ genannt; $b$~heißt der \so{Zähler} oder \so{Dividendus}, +$a$~der \so{Nenner} oder \so{Divisor}. Nach dieser Definition +ist also allgemein, sobald $a$~von Null verschieden ist: +\[ +a·\frac{b}{a} = b. +\] + +\ZB\ folgt aus +\begin{gather*} +2x = 6, \quad\text{bzw.}\quad \frac{2}{3} y = \frac{7}{12} \\ +x = \frac{6}{2} = 3, \quad\text{bzw.}\quad y = \frac{7}{12} : \frac{2}{3} = \frac{7}{8}. +\end{gather*} + +Die Zahl Null, welche in dem siebenten Gesetz vorkommt, +kann in eindeutiger Weise als diejenige rationale Zahl charakterisiert +werden, für die bei \emph{jeder} rationalen Zahl~$a$ +\[ +\Tag{(1)} +a + 0 = a +\] +gilt, deren Addition zu einer beliebigen rationalen Zahl also diese +ungeändert läßt. Man kann daher die Zahl Null als das \so{Einheitselement +für die Addition} bezeichnen, wenn man +\index{Einheitselement für die Addition}% +\index{Grundgesetze für Addition und Multiplikation (nach E.~Steinitz)}% +allgemein für eine beliebige Verknüpfungsoperation eine Zahl des +\PageSep{020}{4} +Bereichs, deren Verknüpfung mit jeder beliebigen Zahl desselben +diese ungeändert läßt, ein \so{Einheitselement} für die betreffende +Operation nennt. Bei dieser Definition \emph{ergibt sich die Existenz der +rationalen Zahl~$0$ folgendermaßen allein aus den Grundgesetzen} +und zwar \emph{ohne Benutzung des siebenten}: + +Zunächst gibt es wegen \Iref{VI)} eine einzige rationale Zahl~$0_{a}$, welche +zu einer beliebigen, aber fest gegebenen rationalen Zahl~$a$ hinzugefügt +diese ungeändert läßt, für welche also die Gleichung: +\[ +\Tag{(1^{a})} +a + 0_{a} = a +\] +gilt, sodaß $0_{a} = a - a$ ist. Für eine andere rationale Zahl~$b$ folgt +ebenso die Existenz einer einzigen rationalen Zahl~$0_{b}$, für welche +\[ +\Tag{(2)} +b = 0_{b} = b, +\] +also $0_{b} = b - b$ ist. Nun muß stets $0_{a} = 0_{b}$ sein. Wird nämlich +eine dritte Zahl~$c$ so gewählt, daß +\[ +\Tag{(3)} +a + c = b +\] +ist, was wiederum wegen \Iref{VI)} stets und auf eine einzige Weise möglich +ist, so folgt aus~\Eq{(1^{a})} durch Addition von~$c$ auf beiden Seiten und +unter Verwendung von \Iref{I)}~und~\Iref{III)}: +\[ +(a + c) + 0_{a} = a + c, \quad\text{\dh\ nach~\Eq{(3)}:}\quad b + 0_{a} = b, +\] +also wegen \Eq{(2)}~und~\Iref{VI)}: +\[ +0_{a} = 0_{b}, +\] +womit die Behauptung bewiesen ist. Man kann daher den gemeinsamen +Wert $a - a = b - b = \dots = 0$ setzen. + +Ersetzt man ferner in der unter dem fünften Grundgesetz stehenden +Gleichung~$c$ durch~$0$, so folgt nach der Definition von~$0$: +\[ +a(b + 0) = ab = a·b + a·0, +\] +\dh\ \emph{es muß für jede rationale Zahl~$a$ stets $a·0 = 0$ sein}. Aus +diesem Grunde muß im siebenten Grundgesetz~$a$ als von Null verschieden +vorausgesetzt werden, da für $a = 0$, wie auch $x$ gewählt +werde, stets $0·x = x·0 = 0$ ist, also der in~\Iref{VII)} vorkommende Wert +$b$ dann nicht beliebig angenommen werden darf. +\PageSep{021}{5} + +Ähnlich wie vorher die Null kann jetzt die Zahl~$1$ als diejenige eindeutig +bestimmte rationale Zahl definiert werden, deren Multiplikation +\emph{jede} rationale Zahl~$a$ ungeändert läßt, für die also stets +\[ +a·1 = a +\] +ist. Hiernach kann~$1$ in dem oben angegebenen Sinn als \so{das +Einheitselement für die Multiplikation} bezeichnet +\index{Einheitselement für die Addition!für die Multiplikation}% +werden. Nach dieser Definition \emph{ergibt sich die Existenz von~$1$ direkt +aus den Grundgesetzen (hier unter Benutzung des siebenten)} ganz +entsprechend dem vorhin für die Existenz der Null geführten Beweise +folgendermaßen: Sind $a$ und $b$ beide von $0$ verschieden, so folgt aus +\Iref{VII)} die Existenz je einer eindeutig bestimmten rationalen Zahl $1_{a}$ +und~$1_{b}$, für welche +\[ +\Tag{(4)} +a·1_{a} = a, \quad +b·1_{b} = b +\] +wird. Ist wieder $c$ so gewählt, daß $ac = b$ ist, so folgt aus der +ersten Gleichung~\Eq{(4)} nach Multiplikation beider Seiten mit~$c$ wegen +\Iref{II)} und~\Iref{IV)}: +\[ +(ac)·1_{a} = ac \quad\text{oder}\quad b·1_{a} = b; +\] +es muß also notwendig für beliebige von $0$ verschiedene rationale +Zahlen $a$,~$b$,~\dots\ stets $1_{a} = 1_{b} = \dots = 1$ sein. Aber auch für $a = 0$ ist +$0·1 = 0$ nach dem Ergebnis des letzten Absatzes; also ist in der Tat +für jedes~$a$\; $a·1 = a$, \wzbw. + +Es ist eine sehr reizvolle Aufgabe, die elementaren Rechengesetze +direkt als Folgerungen aus den soeben aufgestellten sieben Grundgesetzen +herzuleiten. Diese Aufgabe mag dem Leser überlassen +bleiben. Es werde hier nur auf den folgenden Satz aufmerksam gemacht, +welcher eine unmittelbare Folge jener Gesetze, insbesondere +des siebenten, ist. + +\begin{Theorem}[\itshape] +Ein Produkt ist dann und nur dann Null, wenn mindestens +einer seiner Faktoren Null ist. +\end{Theorem} + +Sind nämlich $a$ und $b$ zwei von Null verschiedene rationale Zahlen, +so ist $ab$ von $a·0 = 0$ verschieden, weil nach \Iref{VII)} nur eine einzige +Zahl~$x$ existiert, für welche $ax = 0$ ist. Daß für jedes rationale~$a$ +stets $a·0 = 0·a = 0$ ist, wurde bereits bewiesen. +\PageSep{022}{6} + +Endlich soll hier noch die folgende wichtige Bemerkung angeschlossen +werden: Für den Bereich der rationalen Zahlen sind die Addition +und die Multiplikation die gewöhnlich so bezeichneten bekannten +Operationen, und das Gleiche gilt von den inversen Operationen, +der Subtraktion und der Division. Da sich aber alle Gesetze +des elementaren Rechnens allein aus den sieben oben angegebenen +Grundgesetzen als rein logische Folgerungen ergeben, so bleiben diese +Rechengesetze unverändert bestehen, wenn man statt des Bereiches +der rationalen Zahlen irgendeinen anderen Bereich betrachtet und +Addition und Multiplikation irgendwie anders definiert, vorausgesetzt +nur, daß auch für diese anders definierten Operationen jene sieben +Grundgesetze gültig bleiben. Von dieser Tatsache wird im folgenden +sehr häufig Gebrauch gemacht werden. + + +\Section{§ 2.}{Die Körper.} + +Der soeben betrachtete Bereich der rationalen Zahlen bietet das +\index{Korpor@{Körper}!Ka@{$K(a, b, \dots c)$}}% +erste Beispiel für einen sog.\ \so{Körper}. Wir werden diesem Begriff +in der Folge so häufig begegnen, daß es sich empfiehlt, gleich hier +eine ganz allgemeine Definition desselben zu geben. Es sei uns ein +Bereich +\[ +K(a, b, c, \dots) +\] +von irgendwelchen Elementen gegeben (\zB~der vorher betrachtete +Bereich aller rationalen Zahlen oder der Bereich aller reellen Zahlen); +ferner seien für diese Elemente zwei Verknüpfungsoperationen definiert, +die wie vorher Addition und Multiplikation genannt werden sollen und +mittels derer aus je zwei beliebigen Elementen des Bereichs~$K$ stets +eindeutig abermals ein Element \emph{desselben Bereiches~$K$} gewonnen wird. +Gelten dann für diese beiden Operationen die sieben vorher angegebenen +Grundgesetze, so soll der Bereich~$K$ ein Körper genannt +werden. So bilden die rationalen Zahlen, wenn sie durch die gewöhnlichen +elementaren Rechenoperationen, die vier Spezies, miteinander +verknüpft werden, den sog.\ \so{Körper der rationalen +Zahlen}, dessen Elemente sämtlich offenbar aus dem Einheitselement~$1$ +durch sukzessive Anwendung dieser Rechenoperationen erhalten +werden können. Aus diesem Grunde soll der Körper der rationalen +\PageSep{023}{7} +Zahlen auch kurz durch~$K(1)$ bezeichnet werden; die am Anfang +angegebene Aufgabe der elementaren Arithmetik kann daher als +die Untersuchung der Eigenschaften der Elemente von~$K(1)$ definiert +werden. Es gibt aber außer~$K(1)$ noch unendlich viele andere Körper, +und gerade die Erforschung der Eigenschaften verschiedener solcher +Zahlkörper wird später eine unserer Hauptaufgaben bilden. + +Der einfachste Körper ist derjenige, welcher aus dem einzigen +Elemente Null bei Verwendung der gewöhnlichen Addition und Multiplikation +besteht; denn man erkennt leicht, daß für diesen Bereich alle +sieben Grundgesetze erfüllt sind, da $0 + 0 = 0$ und $0·0 = 0$ ist. Dieser +Körper werde \so{Nullkörper} genannt und durch $K(0)$ bezeichnet. +\index{Nullkörper~$K(0)$}% +Andere bekannte Körper sind \zB\ der Körper aller reellen Zahlen +oder der Körper aller reellen und komplexen Zahlen, beidemal bei +Erklärung der Addition und der Multiplikation im gewöhnlichen Sinn. +Es ist nicht nötig, daß ein Körper immer aus einer unendlichen +Anzahl von Elementen besteht; später werden wir vielmehr auch +Körper kennen lernen, welche nur eine endliche Anzahl von Elementen +besitzen. + +Jeder Körper enthält, wie im §~1 allgemein bewiesen wurde, ein +Element Null und, falls er nicht der Nullkörper ist, auch ein von Null +verschiedenes Element Eins, also je ein Einheitselement für die Addition +und die Multiplikation; ferner gilt nach dem Beweise \aSeite{5} +für jeden Körper der Satz, daß ein Produkt~$ab$ stets und nur dann +Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Beim Beweis +dieses letzten Satzes wurde insbesondere von der Gültigkeit des +siebenten Grundgesetzes Gebrauch gemacht. + +Der hier definierte und an die Spitze der ganzen Betrachtung +gestellte Begriff des Körpers ist nur einer von denjenigen allgemeinen +Begriffen, deren Einführung in die Arithmetik so fruchtbar geworden +ist; allerdings ist er für die Arithmetik wohl auch der wichtigste +unter ihnen. Man kann als eine Eigentümlichkeit der Zahlenlehre +das Bestreben bezeichnen, die einzelnen Zahlen als Elemente größerer +Zahlbereiche zu betrachten, welche, wie die Körper, durch bestimmte +Eigenschaften charakterisiert sind, und die Betrachtung der einzelnen +Zahlen durch die genaue Ergründung der Eigenschaften jener Bereiche +zu ersetzen. +\PageSep{024}{8} + +Bei dieser Auffassung kann jeder Zahlkörper als ein Bereich +charakterisiert werden, in welchem alle vier elementaren Rechenoperationen, +\dh\ die Addition, Subtraktion, Multiplikation und die +Division, unbeschränkt und eindeutig ausführbar sind. Ihnen nahe +stehen nun solche Bereiche, innerhalb deren nur gewisse von diesen +vier Grundoperationen immer ausführbar sind, andere aber nicht. +Ich will gleich hier diejenigen unter diesen Bereichen hervorheben, +welche für die Arithmetik besonders wichtig geworden sind. + + +\Section{§ 3.}{Die Moduln.} + +Es sei $M(a, b, c, \dots)$ wieder ein Bereich von Elementen, und es +sei für sie nur eine einzige Verknüpfungsoperation definiert, welche +\so{Addition} genannt werde und mittels derer aus je zwei Elementen +$a$~und~$b$ von~$M$ wieder ein Element $c = a + b$ \emph{desselben Bereiches} $M$ +hervorgeht. Für diese Addition mögen wieder die drei Grundgesetze +gelten, welche für sie unter \Iref{I)},~\Iref{III)} und~\Iref{VI)} im §~1 aufgestellt waren, +nämlich: + +\Axiom{I')}{Das assoziative Gesetz der Addition:} +\[ +(a + b) + c = a + (b + c). +\] + +\Axiom{II')}{Das kommutative Gesetz der Addition:} $a + b = b + a$. + +%[** TN: Hanging indented, and body italicized, in the original] +\Axiom{III')}{Das Gesetz der unbeschränkten und eindeutigen Subtraktion:} +Sind $a$~und~$b$ beliebige Elemente aus~$M$, so gibt +es stets in~$M$ ein einziges Element $x = b - a$, für das +$a + x = b$ wird. + +Jeder solche Zahlbereich~$M$ wird nach \Name{Dedekind} ein \so{Modul} +\index{Modul!$M(a, b, c, \dots)$}% +genannt. Aus \Iref{III')} folgt, daß jeder Modul notwendig das Element +$a - a = b - b = \dots = 0$ enthält. Jeder Körper ist natürlich ein +Modul, aber nicht umgekehrt jeder Modul ein Körper. + +Sind \zB\ $a$~und~$b$ zwei beliebige ganze Zahlen, so bilden alle diejenigen +ganzen Zahlen einen Modul, welche aus $a$~und~$b$ durch beliebig +oft angewandte Addition und Subtraktion entstehen, also die Zahlen +$(0, ±a, ±2a, \dots, ±b, ±2b, \dots, ±a ± b, ±a ± 2b,~\dots)$, allgemein +also alle Zahlen +\[ +(ma + nb), +\] +\PageSep{025}{9} +wo $m$~und~$n$ unabhängig voneinander alle positiven und negativen +ganzzahligen Werte durchlaufen. Ist \zB\ $a = 6$, $b = 10$, so erkennt +man leicht, daß in dem Modul $M = (6, 10) = (6m + 10n)$ alle und +nur die durch $2$ teilbaren ganzen Zahlen, also alle geraden Zahlen +enthalten sind. Ebenso enthält der Modul $(6l + 9m + 15n)$ alle +und nur die durch $3$ teilbaren Zahlen, wie man sich leicht überzeugt. + +Der einfachste Modul ist auch hier der sog.\ Nullmodul~$M(0)$, +\index{Nullmodul~$M(0)$}% +welcher aus dem einzigen Elemente~$0$ besteht, denn für ihn sind ja +offenbar die Gesetze \Iref{I'\Add{)}},~\Iref{II'\Add{)}},~\Iref{III'\Add{)}} gültig. Jeder andere Modul +$M(a, b, \dots)$ muß das Element~$0$ enthalten, da in ihm sicher die +Größe $a - a = b - b = \dots = 0$ vorkommt. + +Andere spezielle Moduln sind \zB\ der Bereich aller ganzen +Zahlen $(0, ±1, ±2, \dots)$, der Bereich aller reellen sowie derjenige +aller reellen und komplexen Zahlen, wobei jedesmal die Addition im +gewöhnlichen Sinn verstanden wird. + +Ist allgemein $M$ ein beliebiger Modul, welcher von dem nur das +einzige Element Null enthaltenden \so{Nullmodul} verschieden ist, also +außer $0$ noch ein anderes Element~$a$ enthält, so enthält er außer $a$ nach +seiner Definition auch alle Elemente +\[ +a + a,\quad +a + a + a,\ \dots,\quad +a + a + \dots + a,\ \dots +\] +welche abgekürzt durch die Symbole $2a$,~$3a$,~\dots, $ma$,~\dots\ bezeichnet +werden mögen. Enthält $M$ auch die gewöhnlichen positiven Zahlen +$1$,~$2$, $3$,~\dots, und darf man die Elemente von~$M$ speziell mit ihnen +multiplizieren, so sind jene Summen direkt gleich den Produkten~$m·a$; +anderenfalls sind die Symbole~$ma$ nur abgekürzte Bezeichnungen +für die in~$M$ vorhandenen Summen $a + a$, $a + a + a$,~\dots\ mit zwei, +drei,~\dots\ gleichen Summanden~$a$. Ferner werde das Nullelement, +welches nach der soeben gemachten Bemerkung ebenfalls in $M$ vorkommt, +durch $0·a$ bezeichnet. Ebenso enthält $M$ nach \Iref{III'\Add{)}} auch das +zu $a$ komplementäre Element~$\bar{a}$, für das $a + \bar{a} = 0$ ist und welches +wieder durch $-a$ bezeichnet werden möge. Endlich kommen in $M$ +auch die aus $-a$ durch wiederholte Addition zu sich selbst erzeugten +Elemente +\[ +(-a) + (-a),\quad +(-a) + (-a) + (-a),\ \dots +\] +\PageSep{026}{10} +vor, die kurz durch $-2a$,~$-3a$,~\dots\ bezeichnet werden sollen. Alle +diese Elemente~$ma$, wo $m$~eine positive oder negative ganze Zahl +oder~$0$ bedeutet, heißen die \so{ganzzahligen Vielfachen +von}~$a$. Da ferner nach den soeben gegebenen Definitionen offenbar +stets $ma + na = (m + n)a$ ist, so erkennt man auf diese Weise, +daß nächst dem Nullmodul die einfachsten Moduln diejenigen~$M(a)$ +sind, welche aus allen und nur den ganzzahligen Vielfachen eines +einzigen Elementes bestehen, und daß ein Modul, der ein von Null +verschiedenes Element~$a$ enthält, notwendig alle ganzzahligen Vielfachen +desselben, \dh\ den ganzen Modul~$M(a)$ enthalten muß. + +Kommt in $M$ außer allen Elementen~$ma$ noch ein anderes Element~$b$ +vor, so enthält $M$ auch alle ganzzahligen Vielfachen~$nb$ von~$b$ +und also auch alle Elemente $ma + nb$, welche aus jenen additiv +zusammengesetzt werden können; alle diese Elemente $ma + nb$ +bilden für sich einen Modul, welcher durch $M(a, b)$ bezeichnet +werde. Die Elemente $a$~und~$b$ sollen eine \so{Basis} für diesen Modul +\index{Basis eines Moduls}% +$M(a, b)$ genannt werden. Ist $c$ ein weiteres, nicht unter den Elementen +$ma + nb$ vorkommendes Element aus~$M$, so enthält $M$ auch +alle Elemente $ma + nb + rc$, wo $m$,~$n$,~$r$ unabhängig voneinander +alle ganzen Zahlen durchlaufen, \dh\ $M$ enthält den ganzen Modul +$M(a, b, c)$, dessen Basis die drei Elemente $a$,~$b$,~$c$ sind. Allgemein +bilden alle Elemente von~$M$ +\[ +e = ma + nb + rc + \dots + sd, +\] +in denen $m$,~$n$, $r$,~\dots~$s$ alle möglichen positiven oder negativen ganzen +Zahlen bedeuten und für welche die Produkte $ma$,~\dots\ wie oben +definiert sind, einen Modul $M(a, b, c, \dots d)$, und die Elemente +$(a, b, \dots d)$ heißen eine Basis für denselben. Jedes Element~$e$ dieses +Moduls wird eine \so{homogene lineare Funktion der Elemente} +$a$,~$b$,~$c$,~\dots\ \so{mit ganzzahligen Koeffizienten} +genannt; also ist \zB\ $4a - 3b - c + 9d$ eine homogene lineare +Funktion der Elemente $a$,~$b$,~$c$,~$d$ mit ganzzahligen Koeffizienten. + + +\Section{§ 4.}{Die Gruppen oder Strahlen.} +\index{Gruppen}% +\index{Strahlen}% + +Es sei $G(a, b, c, \dots)$ ein System von Elementen, für die wiederum +nur eine einzige Verknüpfunsgoperation definiert ist, welche aber diesmal +\PageSep{027}{11} +\so{Multiplikation} genannt werden soll, und vermittelst derer +aus je zwei Elementen $a$~und~$b$ von~$G$ stets wieder ein eindeutig bestimmtes +Element $c = ab$ \emph{desselben Bereiches}~$G$ hervorgehen möge. +Für diese Multiplikation sollen wieder die drei Grundgesetze gelten, +welche für sie unter \Iref{II)},~\Iref{IV)} und~\Iref{VII)} im §~1 aufgestellt waren +(doch soll letzteres Gesetz hier \emph{ausnahmslos} \dh\ für jeden Divisor +gelten), nämlich: + +\Axiom{I'')}{Das assoziative Gesetz der Multiplikation:} $(ab)c = a(bc)$. + +\Axiom{II'')}{Das kommutative Gesetz der Multiplikation:} $ab = ba$. + +%[** TN: Hanging indented, and body italicized, in the original] +\Axiom{III'')}{Das Gesetz der unbeschränkten und eindeutigen Division:} +Sind $a$~und~$b$ beliebige Elemente aus~$G$, so gibt es in~$G$ +stets ein einziges Element $x = \dfrac{b}{a}$, für das $ax = b$ ist. + +Jedes solche System~$G$ wird nach \Name{Weber} eine \so{Gruppe}, nach +\Name{Fueter} ein \so{Strahl} genannt. Da die hier gemachten Voraussetzungen, +abgesehen von der Bezeichnung der Operation (Multiplikation +statt Addition), Wort für Wort mit den für den Modul gemachten +übereinstimmen, so folgt sofort, daß für die Gruppen genau +die nämlichen Sätze gelten müssen wie für die Moduln. Wir würden +daher keine Veranlassung haben, jene Sätze getrennt aufzuführen, +wenn wir sie nicht auch auf die Untersuchung der rationalen Zahlen +anwenden und hierbei von diesen beiden Operationen die eine mit +der gewöhnlichen Addition, die andere mit der gewöhnlichen Multiplikation +identifizieren wollten. Zunächst sollen daher die für die +Moduln schon gefundenen Sätze jetzt für die Gruppen oder Strahlen +noch einmal ausgesprochen werden. Bemerkt sei vorher noch, daß +jeder Körper bei Ausscheidung seines Nullelements eine Gruppe +darstellt, daß aber keineswegs die Umkehrung gilt. + +Auch hier würde das einzige Element~$0$ für sich eine Gruppe +bilden, da für dieses offenbar die drei Gesetze \Iref{I'\Add{)}},~\Iref{II''\Add{)}},~\Iref{III''\Add{)}} erfüllt +sind. Enthält aber eine Gruppe~$G$ auch nur ein von Null verschiedenes +Element~$a$, so kann sie niemals die Null enthalten, da ja +anderenfalls keine Größe $x$ in~$G$ vorkommen kann, für welche $0·x = a$ +ist; das Grundgesetz~\Iref{III''\Add{)}} wäre somit nicht ausnahmslos erfüllt. +Aus diesem Grunde wollen wir im folgenden die uneigentliche "`Nullgruppe"' +\PageSep{028}{12} +von der Betrachtung ausschließen. Dann enthält also jede +eigentliche Gruppe nur von Null verschiedene Elemente. + +Jede Gruppe~$G$ enthält notwendig das Element~$1$, da die Gleichung +$ax = a$ eine Lösung $x = \dfrac{a}{a}$ in~$G$ besitzen muß. Das Element~$1$ bildet +für sich eine und zwar die einfachste Gruppe. Enthält $G$ außer $1$ +noch wenigstens ein anderes Element~$a$, so enthält $G$ auch alle +Elemente $aa$,~$aaa$,~\dots, welche hier kürzer durch die Symbole +$a^{2}$,~$a^{3}$,~\dots\ bezeichnet werden mögen; ebenso enthält $G$ auch das zu +$a$ komplementäre Element~$\bar{a}$, welches durch die Gleichung $a\bar{a} = 1$ +eindeutig bestimmt ist und welches einfacher durch $a^{-1}$ oder~$\dfrac{1}{a}$ bezeichnet +werde. Außerdem kommen in~$G$ die Produkte $(a^{-1})(a^{-1})$, +$(a^{-1})(a^{-1})(a^{-1})$,~\dots\ vor, welche durch $a^{-2}$,~$a^{-3}$,~\dots\ bezeichnet +werden sollen. Enthält also $G$ ein von $1$ verschiedenes Element~$a$, +so enthält $G$ alle in der Reihe~$(a^{m})$ vorkommenden Elemente, +wobei $m$~alle positiven und negativen ganzzahligen Werte einschließlich~$0$ +durchläuft und speziell $a^{0} = 1$ angenommen wird. Da +bei dieser Definition wiederum offenbar $a^{m}·a^{n} = a^{m+n}$ ist, so bilden +diese Elemente auch schon für sich eine Gruppe, welche die \so{zu} $a$ +\so{gehörige Untergruppe} $G(a) = (\dots a^{m} \dots)$ heißen soll. +\index{Untergruppen}% + +Kommt in $G$ außer den Elementen der Untergruppe~$G(a)$ noch +ein anderes Element~$b$ vor, so enthält $G$ auch sämtliche Elemente +der ganzen Untergruppe $G(b) = (\dots b^{m} \dots)$ und auch das aus $G(a)$ +und~$G(b)$ zusammengesetzte System +\[ +G(a, b) =(\dots a^{m}b^{n} \dots), +\] +welches ebenfalls eine Gruppe bildet, da $(a^{m} b^{n}) (a^{m'} b^{n'}) = a^{m+m'} b^{n+n'}$ +ist. Hat $G$ allgemeiner die Elemente $a$,~$b$,~\dots~$c$, so enthält $G$ auch +die zu diesen Elementen gehörige Untergruppe +\[ +G(a, b, \dots c)=(\dots, a^{m}b^{n} \dots c^{r}, \dots), +\] +welche aus allen Potenzprodukten $a^{m}b^{n}\dots c^{r}$ mit positiven oder +negativen ganzzahligen oder auch verschwindenden Exponenten besteht. + +Beispiele spezieller Gruppen sind das System~$(1, -1)$, ferner das +System aller positiven rationalen Zahlen, endlich das System aller +\PageSep{029}{13} +positiven reellen Zahlen, wenn jedesmal die Multiplikation im gewöhnlichen +Sinn verstanden wird. + + +\Section{§ 5.}{Die Ringe.} + +Es sei $R(a, b, c, \dots)$ ein Bereich von Elementen, für die zwei +Verknüpfungsoperationen definiert sind, welche Addition und Multiplikation +heißen mögen und vermittelst derer wieder aus irgendwelchen +zwei Elementen von $R$ je ein eindeutig bestimmtes Element \emph{desselben +Bereiches}~$R$ hervorgeht. Für diese Operationen sollen \emph{alle im +§~1 angegebenen Grundgesetze mit Ausnahme des siebenten} gelten, +\dh\ die Elemente mögen sich durch die Operationen der Addition, +der Subtraktion und der Multiplikation, nicht aber notwendig durch die +Division reproduzieren. Jedes solche System wird nach \Name{Hilbert} ein +\so{Ring} genannt. Ein Ring enthält notwendig das Element Null, braucht +\index{Ring}% +aber nicht das Element Eins zu enthalten, da das siebente Grundgesetz +nicht gelten muß. Jeder Körper ist zugleich ein Ring, jeder +Ring auch ein Modul, da in ihm ja die Addition und Subtraktion +unbeschränkt und eindeutig ausführbar sind; die Umkehrungen gelten +aber natürlich nicht. + +\ZB~bildet das System aller ganzen Zahlen offenbar einen Ring, +weil die Summe, die Differenz und das Produkt von ganzen Zahlen +wieder eine ganze Zahl ist. Aber auch das System aller geraden +Zahlen oder überhaupt jedes System $(\dots ma \dots)$ aller ganzzahligen +Vielfachen einer \emph{ganzen} Zahl~$a$ bildet einen Zahlring; dies ist aber +nicht mehr der Fall, wenn $a$~eine gebrochene Zahl darstellt. \ZB\ +kommt das Element $\frac{1}{3}·\frac{1}{3} = \frac{1}{9}$ nicht in dem Bereich $(\dots m\frac{1}{3} \dots)$ vor, +der daher nur einen Modul bildet. + +Auf die folgende Art kann man aus zwei beliebig gegebenen +Körpern einen Ring bilden: Es seien +\[ +K(a, b, c, \dots) \quad\text{und}\quad K'(a', b', c', \dots) +\] +zwei beliebige Körper; $0$~und~$1$ bzw.\ $0'$~und~$1'$ mögen für sie das +Null- und das Einselement bezeichnen. Sind dann $a$,~$b$ bzw.\ $a'$,~$b'$ je +zwei beliebige Elemente von $K$~und~$K'$, so sind +\[ +a + b,\quad a - b,\quad ab,\quad \frac{a}{b} \quad\text{bzw.}\quad +\DPtypo{a}{a'} + b',\quad a' - b',\quad a'b',\quad \frac{a'}{b'}, +\] +\PageSep{030}{14} +eindeutig bestimmte Elemente innerhalb $K$ bzw.\ $K'$, mit der Maßgabe, +daß bei der Division der Nenner $b$ bzw.\ $b'$ nicht Null sein darf. + +Ich bilde nun einen neuen Bereich: +\[ +R(A, B, C, \dots) = R(K, K'), +\] +dessen Elemente +\[ +A = (a, a'),\quad +B = (b, b'),\ \dots\quad +D = (d, d') +\] +aus allen und nur den Systemen $(d, d')$ bestehen sollen, deren erster +und zweiter Bestandteil $d$,~$d'$ je ein beliebiges Element von $K$ bzw.\ +$K'$ ist. Zwei Elemente $A = (a, a')$ und $B = (b, b')$ sollen dann und +nur dann gleich heißen, wenn sie identisch sind, wenn also +\[ +a = b, \quad a' = b' +\] +ist. + +Für diesen Bereich definiere ich nun zwei Verknüpfungsoperationen, +die Addition und die Multiplikation, durch die beiden folgenden +Gleichungen: +\begin{gather*} +A + B = (a + b, a' + b'), \\ +AB = (ab, a'b'). +\end{gather*} +Dann erkennt man ohne weiteres, daß für diesen Bereich und die +so definierten Verknüpfungsoperationen die fünf ersten im §~1 aufgestellten +Grundgesetze bestehen, weil sie \ndV~für die Körper +$K$~und~$K'$ erfüllt sind. So ist \zB\ +\begin{align*} +&A + B = (a + b, a' + b') = (b + a, b' + a') = B + A, \\ +&(AB)C = ((ab)c, (a'b')c') = (a(bc), a'(b'c')) = A(BC), \\ +&A(B + C) = (a(b + c), a'(b' + c')) = (ab + ac, a'b' + a'c') = AB + AC +\end{align*} +usw. Aber auch das sechste Gesetz ist für $R$ erfüllt. Sind nämlich +$A$~und~$B$ beliebige Elemente von~$R$, so gibt es ein einziges Element +$X = (x, x')$, für welches: +\[ +A + X = B +\] +ist, welches also mit $B - A$ bezeichnet werden kann, nämlich das Element +\[ +X = (b - a, b' - a'). +\] +Endlich besitzt $R$ je ein Element Null und Eins, nämlich die Systeme +\PageSep{031}{15} +\[ +O = (0,0') \quad\text{und}\quad I = (1,1'), +\] +denn allein für sie ist ja bzw.: +\[ +A + O = A \quad\text{und}\quad AI = A. +\] +Hieraus folgt also, daß der Bereich $R(K, K')$ wirklich ein Ring ist, +\index{Ring!aus zwei Körpern komponierter}% +da für ihn die sechs ersten Grundgesetze bestehen. Wir wollen ihn +\so{den aus den Körpern $K$~und~$K'$ komponierten +Ring} nennen. + +Man erkennt aber sofort, daß $R$ sicher kein Körper ist, daß also +für seine Elemente nicht auch das siebente Grundgesetz, das der unbeschränkten +und eindeutigen Division, besteht. Sind nämlich +\[ +A = (a, a'), \quad B = (b, b') +\] +zwei beliebige Elemente von~$R$, so besitzt die Gleichung +\[ +\Tag{(1)} +AX = B +\] +dann und nur dann eine Lösung $X = (x, x')$, wenn man zwei Elemente $x$ +und $x'$ von $K$ und $K'$ so bestimmen kann, daß: +\[ +\Tag{(2)} +(ax, a'x') = (b, b') +\] +ist, daß also die beiden Gleichungen: +\[ +\Tag{(2^{a})} +ax = b, \quad a'x' = b' +\] +in $K$ und $K'$ eine Lösung besitzen. Dies ist stets und zwar nur auf +eine Weise möglich, wenn weder $a = 0$, noch auch $a' = 0'$ ist; +denn dann sind, wie auch $b$ und $b'$ gewählt seien, $x = \dfrac{b}{a}$, $x' = \dfrac{b'}{a'}$ +die eindeutig bestimmten Lösungen der beiden Gleichungen~\Eq{(2^{a})}. Die +Gleichung~\Eq{(2)} besitzt dann also stets die eindeutig bestimmte Lösung: +\[ +\Tag{(2^{b})} +X = \left(\frac{b}{a}, \frac{b'}{a'}\right), +\] +welche wir durch $\dfrac{B}{A}$ bezeichnen, und den \so{Quotienten von +$B$~und~$A$} nennen können. +\index{Quotient}% + +Ist dagegen nur einer der Bestandteile von~$A$, etwa der erste, +\PageSep{032}{16} +gleich Null, der andere $a'$ aber von Null verschieden, so ist $A = (0, a')$ +nicht gleich Null, aber trotzdem hat die Gleichung: +\[ +AX = B, \quad\text{\dh}\quad (0\Add{·}x, a'x') = (0, a'x') = (b, b') +\] +nur dann eine Lösung, wenn auch in $B = (0, b')$ der erste Bestandteil +gleich Null ist, und in diesem Falle hat jene Gleichung nicht eine, +sondern unendlich viele Lösungen, da die beiden Gleichungen: +\[ +0·x = 0,\quad a'x' = b' +\] +offenbar durch jedes Wertsystem $X = \left(x, \dfrac{b'}{a'}\right)$ befriedigt wird, dessen +erster Bestandteil~$x$ innerhalb $K$ ganz beliebig angenommen werden +kann. + +\begin{Theorem} +Der Bereich $R(K, K')$ stellt also in der Tat stets einen Ring +dar, da in ihm dann und nur dann die Division einer Zahl~$B$ +durch eine andere $A$ unbeschränkt und eindeutig ausführbar ist, +wenn in dem Divisor $A = (a, a')$ keiner der beiden Bestandteile +$a$~und~$a'$ gleich Null ist. +\end{Theorem} + +Ich bin absichtlich schon an dieser Stelle etwas ausführlicher auf +diese Art der Ringbildung aus zwei beliebigen Zahlkörpern $K$~und~$K'$ +eingegangen, weil sich zeigen wird, daß alle in der Zahlentheorie +zu betrachtenden Zahlenringe sich im wesentlichen in dieser Weise +aus zwei oder mehr Zahlkörpern zusammensetzen lassen, so daß +sich die kompliziertere Untersuchung dieser Ringe vollständig und +höchst einfach auf die Betrachtung der sie zusammensetzenden Zahlkörper +zurückführen lassen wird. +\PageSep{033}{17} + + +\Chapter{Zweites Kapitel.} +{Der Körper der rationalen Zahlen. +Die Primzahlen.} + +\Section{§ 1.}{Die Teilbarkeit der Zahlen. +Der größte gemeinsame Teiler.} + +%[** TN: Upright K in the original; elsewhere italic] +Ich wende mich nun zuerst der Untersuchung der rationalen +Zahlen oder der Zahlen des Körpers~$K(1)$ zu und betrachte hier +besonders ihre Eigenschaften in bezug auf ihre \emph{multiplikative} +Zusammensetzung aus einfachen Elementen. Eigentlich sollte man +diese Untersuchung für jede der beiden elementaren Rechenoperationen, +also sowohl für die additive wie auch für die multiplikative +Komposition und Dekomposition führen. Aber die bei der additiven +Zerlegung auftretenden Fragen sind entweder zu trivial oder zu +schwierig; wir besitzen noch keine eigentlich wissenschaftliche und +systematisch aufgebaute additive Zahlentheorie. Dagegen ist die +multiplikative Arithmetik von \Name{Gauß} in seinen \textit{Disquisitiones arithmeticae}, +die er bereits als 19jähriger Jüngling im wesentlichen +vollendet hatte, wundervoll einfach und systematisch entwickelt +worden. Mit dieser multiplikativen Zahlentheorie werden wir uns +in der Folge beschäftigen. Dabei wollen wir uns vorläufig auf den +Bereich $(0, ±1, ±2, \dots)$ der ganzen positiven und negativen Zahlen +einschließlich Null beschränken, da ja jede gegebene rationale Zahl +als Quotient von zwei ganzen Zahlen auf multiplikativem Wege dargestellt +werden kann. + +Wie schon oben erwähnt wurde, bilden die ganzen rationalen +Zahlen einen Zahlring~$R(1)$, da in ihrem Bereiche die Addition, die +\PageSep{034}{18} +Subtraktion und die Multiplikation unbeschränkt und eindeutig +ausführbar ist. + +Wir wollen uns die ganzen Zahlen in der üblichen Weise \emph{ihrer +Größe nach geordnet} denken und für ihre Vergleichung nach der +Größe die Bezeichnungen $a > b$ und $b < a$ im gewöhnlichen Sinn +verwenden. Unter dem \so{absoluten Wert} einer Zahl~$a$ verstehen +\index{Absoluter Wert einer Zahl}% +wir die Zahl~$a$ selbst oder die Zahl~$-a$, je nachdem $a$~positiv oder +negativ ist; der absolute Wert einer beliebigen positiven oder negativen +Zahl ist also stets positiv. Der absolute Wert von~$a$ soll durch +$|a|$ bezeichnet werden. So ist \zB\ $|-6| = 6$, $|7| = 7$. Ferner +sei $|0| = 0$. + +Sind $a$ und $b$ zwei beliebige ganze Zahlen, von denen nur $b$ von +Null verschieden sein muß, so kann man $a$ durch $b$ dividieren und +erhält dabei neben einem ganzzahligen Quotienten~$m$ einen Divisionsrest~$c$; +man kann diesem Rest die Bedingung auferlegen, entweder +daß er positiv oder negativ, aber seinem absoluten Werte nach +möglichst klein sein, oder daß er einen möglichst kleinen nicht +negativen Wert haben soll; doch mag zunächst von einer solchen +speziellen Vorschrift abgesehen und nur verlangt werden, daß der +Rest~$c$ seinem absoluten Wert nach kleiner als der absolute Wert +des Divisors~$b$ sei, wodurch $c$ im allgemeinen zweideutig bestimmt +ist. Es besteht also stets eine Gleichung +\[ +a = mb + c, \quad\text{wo } |c| < |b| +\] +ist. So ist \zB: für $a = 212$, $b = 13$ +\[ +212 = 16·13 + 4 = 17·13 - 9, +\] +und beide Male sind die Divisionsreste $c = 4$, $c' = -9$ absolut genommen +kleiner als~$13$. + +Ist der Divisionsrest $c = 0$, also $a = mb$, so heißt $a$ ein \so{Vielfaches} +oder \so{Multiplum} von~$b$, $b$~ein \so{Teiler} von~$a$. Nur +dann ist $\dfrac{a}{b} = m$ eine ganze Zahl. Allein in diesem Falle ist die +Division im Ringe~$R(1)$ der ganzen Zahlen ausführbar. Es gilt +der Satz: + +Ist $a$ teilbar durch~$b$, $b$~teilbar durch~$c$, so ist $a$ teilbar durch~$c$. +\PageSep{035}{19} +Denn aus den beiden Beziehungen $a = mb$, $b = nc$ folgt ja +$a = (mn)c$. + +Ist eine Zahl~$\delta$ in mehreren Zahlen $a$,~$b$,~\dots~$c$ enthalten, so heißt +$\delta$~ein \so{gemeinsamer Teiler} von $a$,~$b$,~\dots~$c$. Da zugleich mit $\delta$ +auch $-\delta$ gemeinsamer Teiler von $a$ und $b$ ist, so wollen und können +wir uns im folgenden immer auf die Betrachtung der positiven Teiler +beschränken. + +\begin{Examples} +Beispiele: \Item{1)} $24$ und $36$ haben die gemeinsamen Teiler $\delta = 1$, $2$, +$3$, $4$, $6$, $12$ und keine anderen. + +\Item{2)} $30$, $45$ und $75$ haben die gemeinsamen Teiler $\delta = 1$, $3$, $5$,~$15$. + +\Item{3)} $120$, $180$ und $300$ haben die gemeinsamen Teiler $\delta = 1$, $2$, +$3$, $4$, $5$, $6$, $10$, $12$, $15$, $20$, $30$,~$60$. +\end{Examples} + +Die wichtigste Aufgabe dieses Kapitels ist nun folgende: +\begin{Theorem} +Es sollen alle gemeinsamen Teiler~$\delta$ von beliebig vielen gegebenen +ganzen Zahlen $a$,~$b$,~\dots~$c$ gefunden werden. +\end{Theorem} + +Ist $\delta$ irgend ein gemeinsamer Teiler von $a$,~$b$,~\dots~$c$, ist also +$a = a_{0}\delta$, $b = b_{0}\delta$,~\dots $c = c_{0}\delta$, so ist auch jede Zahl, welche aus +$a$,~$b$,~\dots~$c$ durch Addition oder Subtraktion hervorgeht, also jede Zahl +\[ +ra + sb + \dots + tc = (ra_{0} + sb_{0} + \dots + tc_{0})\delta +\] +des durch die Basis $a$,~$b$,~\dots~$c$ bestimmten Moduls $M(a, b, \dots c)$ durch +$\delta$~teilbar. Wir können also die obige Aufgabe auch so aussprechen: +\begin{Theorem} +Es sollen alle gemeinsamen Teiler~$\delta$ sämtlicher Elemente +eines durch die ganzen Zahlen $a$,~$b$,~\dots~$c$ bestimmten Moduls +$M(a, b, \dots c)$ gefunden werden. +\end{Theorem} + +Jeder solche durch eine beliebige Basis bestimmte ganzzahlige +Modul $M(a, b, \dots c)$ ist nun gleich einem eingliedrigen Modul~$M(d)$. +Ist nämlich $d$ die kleinste positive Zahl, welche in $M(a, b, \dots c)$ +vorkommt, so beweise ich, daß dieser Modul gleich dem eingliedrigen +Modul~$M(d)$ ist, welcher aus allen und nur den Vielfachen +von $d$ besteht. Einmal nämlich enthält ja $M(a, b, \dots c)$ +nach der Definition des Moduls sicher alle Vielfachen von~$d$, da er +dieses Element selbst enthält. Zweitens aber kann dieser Modul +auch nicht ein einziges Element enthalten, das kein Vielfaches von $d$ +\PageSep{036}{20} +ist; denn ist \zB\ $a$ nicht durch $d$ teilbar, also $a = md + d_{0}$, wo +$d_{0}$ positiv und kleiner als $d$ angenommen werden darf, so kann $a$ +nicht dem Modul $M(a, b, \dots c, d)$ angehören, weil sonst auch +$d_{0} = a - md < d$ ihm angehören müßte, während doch nach Voraussetzung +$d$ die kleinste positive Zahl des Moduls ist. Es besteht +also der Satz: +\begin{Theorem} +Jeder ganzzahlige Modul $M(a, b, \dots c)$ ist gleich einem eingliedrigen +Modul~$M(d)$, dessen Grundelement die kleinste positive +Zahl ist, welche in $M(a, b, \dots c)$ vorkommt. +\end{Theorem} + +Hiernach sind alle gemeinsamen Teiler~$\delta$ der Zahlen $a$,~$b$,~\dots~$c$ +identisch mit den gemeinsamen Teilern aller Zahlen $(0, ±d, ±2d, \dots)$ +des eingliedrigen Moduls~$M(d)$, diese aber sind offenbar einfach die +sämtlichen Divisoren der einen Zahl~$d$, diese selbst eingeschlossen. +$d$~ist demnach der \so{größte gemeinsame Teiler} jener +\index{Gemeinsamer Teiler, größter}% +Zahlen. Wir können somit den folgenden Fundamentalsatz +aussprechen, der die vollständige Lösung des oben gestellten +Problemes ergibt: +\begin{Theorem} +Alle gemeinsamen Teiler von beliebig vielen ganzen Zahlen +$a$,~$b$,~\dots~$c$ sind die sämtlichen Divisoren des größten unter ihnen; +dieser größte gemeinsame Teiler ist die kleinste positive Zahl, die +in dem Modul $M(a, b, \dots c)$ vorkommt. Der größte gemeinsame +Teiler~$d$ der Zahlen $a$,~$b$,~\dots~$c$ soll kurz mit $d = (a, b, \dots c)$ bezeichnet +werden. +\end{Theorem} + +So ist \zB\ +\[ +12 = (24, 36);\quad +15 = (30, 45, 75);\quad +60 = (120, 180, 300); +\] +man sieht aus den \aSeite{19} gegebenen Beispielen, daß wirklich alle +gemeinsamen Teiler \zB\ von $120$, $180$ und $300$ in der Zahl~$60$, +ihrem größten gemeinsamen Teiler, enthalten sind und zwar sämtliche +Teiler dieses größten gemeinsamen Divisors darstellen. + + +\Section{§ 2.}{Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers. Das +kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen.} + +Es gibt ein einfaches Verfahren, um die kleinste in einem Modul +$M(a, b, \dots c)$ vorkommende positive Zahl~$d$, also den größten gemeinsamen +\PageSep{037}{21} +Teiler von $a$,~$b$,~\dots~$c$ zu bestimmen. Hierzu sei nur noch +der folgende, auch sonst in diesem Paragraphen öfters benutzte +Satz vorausgeschickt: +\begin{Theorem} +Ein Modul $M(a, b, \dots c)$ bleibt ungeändert, wenn von einem +Elemente seiner Basis ein \DPtypo{ganzahliges}{ganzzahliges} Vielfaches eines anderen +abgezogen oder zu ihm hinzugefügt wird. Es ist also: +\[ +M(a, b, \dots c) = M(a', b, \dots c), \quad\text{wenn $a' = a - tb$} +\] +ist. +\end{Theorem} + +Da nämlich $a' = a - tb$ dem Modul $M(a, b, \dots c)$ und $a = a' + tb$ +dem Modul $M(a', b, \dots c)$ angehört, so stimmt offenbar die Gesamtheit +aller durch die Basis $(a, b, \dots c)$ und der durch die Basis $(a', b, \dots c)$ +homogen und linear darstellbaren Zahlen überein. + +Ist speziell $a = tb$ ein Vielfaches von~$b$, so ist $M(a, b, \dots c) += M(a - tb, b, \dots c) = M(0, b, \dots c)$, und da in jeder Basis das +Element~$0$ offenbar fortgelassen werden kann, so ist in diesem Falle: +\[ +M(a, b, \dots c) = M(b, \dots c). +\] +\begin{Theorem} +In einem Modul kann also jedes Element seiner Basis einfach +fortgelassen werden, welches ein Multiplum eines anderen +Basiselementes ist. +\end{Theorem} + +Wir denken uns nun die Basiselemente $a$,~$b$, $c$,~\dots~$e$ des Moduls~$M$, +die alle positiv angenommen werden können, ihrer Größe nach geordnet, +so daß $a < b < c < \dots < e$ ist. Dann kann man zunächst +ein geeignetes Vielfaches~$ta$ von $a$~derart finden, daß die Differenz +$b' = b - ta$ nicht negativ und kleiner als $a$ wird; in dem nach dem +letzten Satz mit dem ursprünglichen übereinstimmenden Modul +$M(a, b', c, \dots e)$ ordne man die Elemente $a$,~$b'$,~\dots\ wieder ihrer +Größe nach an, wozu nur $b'$ mit $a$ zu vertauschen ist. In dieser +Weise fahre man sukzessive fort; ergibt sich einmal die Differenz +Null, so kann man diese einfach fortlassen. Da das jeweils kleinste +der betrachteten Elemente bei jedem Schritt verkleinert wird, so +kann dieses Verfahren nicht ins Unendliche fortgesetzt werden; +man muß also nach einer endlichen Zahl von Schritten zu einem +dem ursprünglichen Modul äquivalenten System mit nur einem +einzigen Element~$d$ gelangen. Dieses Element ist daher der größte +gemeinsame Teiler der Zahlen $a$,~$b$, $c$,~\dots~$e$. +\PageSep{038}{22} + +Die Anwendung dieser Methode auf die Bestimmung des größten +gemeinsamen Teilers $d = (a, b)$ von nur \emph{zwei} positiven ganzen Zahlen +führt auf das altberühmte \so{Euklidische Verfahren} (\Name{Euklid's} +Elemente Buch~VII Satz~2). Ist etwa $a > b$, so bilden wir durch +\index{Euklidisches Teilerverfahren}% +sukzessive Division die folgenden Gleichungen: +\[ +\Tag{(1)} +\begin{alignedat}{2} +a &= mb &&+ c\\ +b &= nc &&+ d\\ +c &= pd &&+ e\\ +\PadTo{c}{\vdots} & \\ +f &= sg &&+ h\\ +g &= th; +\end{alignedat} +\] +dann bilden die Zahlen $a$,~$b$ zusammen mit den ganzen positiven +Divisionsresten $c$,~$d$,~\dots~$h$ eine abnehmende Reihe positiver Zahlen, +welche notwendig abbricht, so daß sich zuletzt der Divisionsrest +Null ergibt. Der letzte \emph{positive} Divisionsrest~$h$ ist dann die +gesuchte kleinste Zahl des Moduls~$(a, b)$. In der Tat ist, da +$c = a - mb$, $d = b - nc$,~\dots $h = f - sg$ alle dem Modul~$(a, b)$ angehören, +\[ +M(a, b) = M(a, b, c) = \dots = M(a, b, c, \dots g, h) = M(h); +\] +die letzte Beziehung folgt daraus, daß man aus dem Gleichungssystem~\Eq{(1)} +von der letzten Gleichung ausgehend sukzessive erschließen +kann, daß $g$,~$f$,~\dots $c$,~$b$,~$a$ Multipla von~$h$ sind. + +Ist $d$ der größte gemeinsame Teiler von $a$,~$b$,~\dots~$c$, so läßt +sich diese Zahl, da sie dem Modul $M(a, b, \dots c)$ angehört, als +homogene lineare Funktion von $a$,~$b$,~\dots~$c$ mit ganzzahligen Koeffizienten +darstellen, wobei sich diese Koeffizienten für den besonderen +Fall des größten gemeinsamen Teilers von nur zwei Zahlen leicht +aus den Gleichungen~\Eq{(1)} des Euklidischen Verfahrens ergeben. Es +gilt also der Satz: +\begin{Theorem} +Ist $d$ der größte gemeinsame Teiler von $a$,~$b$,~\dots~$c$, so kann +man stets ganze Zahlen $m$,~$n$,~\dots~$r$ so bestimmen, daß die Beziehung +\[ +ma + nb + \dots + rc = d +\] +\PageSep{039}{23} +besteht. Offenbar können diese Multiplikatoren auf unendlich +viele verschiedene Arten bestimmt werden. +\end{Theorem} + +Da auch jedes Multiplum von~$d$ dem Modul~$M(d)$ angehört, so +kann \emph{jede} durch $d$ teilbare Zahl in dieser Form dargestellt werden. +Aber auch \emph{nur} die Multipla von~$d$ lassen eine solche Darstellung +zu, da ja eine Gleichung von der Form +\[ +Ma + Nb + \dots + Rc = D +\] +dann und nur dann besteht, wenn $D$ dem Modul $M(a, b, \dots c)$ +angehört; und da dieser Modul gleich dem Modul~$M(d)$ ist, so +muß $D$~ein Multiplum von~$d$ sein. + +\begin{Examples}%[** Colon outside italics in the original] +\emph{Beispiel:} Es sei der größte gemeinsame Teiler der Zahlen $1551$ +und $984$ gesucht. Das Euklidische Verfahren gestaltet sich folgendermaßen: +\begin{align*} +1551 &= 1·984 + 567\\ +984 &= 1·567 + 417\\ +567 &= 1·417 + 150\\ +417 &= 2·150 + 117\\ +150 &= 1·117 + 33\\ +117 &= 3·33 + 18\\ +33 &= 1·18 + 15\\ +18 &= 1·15 + 3\\ +15 &= 5·3. +\end{align*} +Daher ist $(1551, 984) = 3$. Kürzer ergibt sich übrigens dieses +Resultat, wenn man stets die ihrem absoluten Wert nach kleinsten +positiven oder negativen Reste aufsucht. Man erhält dann: +\begin{align*} +1551 &= 2·984 - 417\\ +984 &= 2·417 + 150\\ +417 &= 3·150 - 33\\ +150 &= 5·33 - 15\\ +33 &= 2·15 + 3\\ +15 &= 5·3. +\end{align*} +Der erhaltene größte gemeinsame Teiler~$3$ läßt sich \zB\ der letzten +Gleichungsreihe gemäß in der Form $3 = 93·984 - 59·1551 = 91512 - 91509$ +\PageSep{040}{24} +durch $984$ und $1551$ homogen und linear mit den +Koeffizienten $93$ und $-59$ darstellen. +\end{Examples} + +Besonders wichtig ist der Fall, daß der größte gemeinsame Teiler +\index{Teilerfremde Zahlen}% +der Zahlen $a$,~$b$,~\dots~$c$ den kleinsten möglichen Wert~$1$ hat, daß also +der zugehörige Modul $M(a, b, \dots c)$ aus \emph{allen} ganzen Zahlen besteht. +Alsdann nennt man jene Zahlen \so{teilerfremd} oder \so{relativ prim}. +In diesem Fall allein kann man demnach ganzzahlige Multiplikatoren +$m$,~$n$,~\dots~$r$ so bestimmen, daß +\[ +\Tag{(2)} +ma + nb + \dots + rc = 1 +\] +wird. \ZB\ ist $(12, 15, 10) = 1$, und es besteht die Gleichung +$-12·12 + 9·15 + 1·10 = 1$. Da jede ganze Zahl ein Vielfaches +von~$1$ ist, so kann man überhaupt jede ganze Zahl als homogene +lineare Funktion teilerfremder Zahlen $a$,~$b$,~\dots~$c$ mit ganzzahligen +Koeffizienten darstellen. + +Ist $(a, b, \dots c) = d$, so daß die Elemente +\[ +a = da_{0},\quad +b = db_{0},\ \dots\quad +c = dc_{0} +\] +sämtlich Multipla von $d$ sind, so sind die komplementären Zahlen +$a_{0}$,~$b_{0}$~\dots~$c_{0}$ zueinander teilerfremd; denn hätten diese Zahlen noch +einen gemeinsamen Teiler~$d'$, so wäre ja $dd'$ gemeinsamer Teiler +von $a$,~$b$,~\dots~$c$ gegen die Voraussetzung, daß $d$ der größte gemeinsame +Teiler dieser Zahlen ist. + +Wir beweisen nun leicht einige wichtige Folgerungen der gefundenen +Sätze über den größten gemeinsamen Teiler. +\begin{Theorem} +Ist $(a, b, \dots c) = d$ und $r$~eine zu $b$,~\dots~$c$ teilerfremde, sonst +völlig beliebige ganze Zahl, so ist auch $(ra, b, \dots c) = d$. +\end{Theorem} + +Sicher ist zunächst $\bar{d} = (ra, b, \dots c)$ ein Vielfaches von~$d$, da ja +wegen der Voraussetzung die Zahlen $ra$,~$b$,~\dots~$c$ sämtlich $d$ enthalten. +Da aber $(r, b, \dots c) = 1$ ist, so kann man wie in~\Eq{(2)} eine Reihe +ganzer Zahlen $\rho$,~$\beta$,~\dots~$\gamma$ so bestimmen, daß +\[ +\rho r + \beta b + \dots + \gamma c = 1 +\] +wird, woraus durch Multiplikation mit~$a$ folgt: +\[ +\rho (ra) + (\beta a) b + \dots + (\gamma a) c = a. +\] +\PageSep{041}{25} +Substituiert man diesen Wert in $d = (a, b, \dots c)$, so ergibt sich: +\[ +d = (\rho ra + (\beta a)b + \dots + (\gamma a)c, b, \dots c) = (\rho ra, b, \dots c), +\] +weil nach dem auf \Seite{21} oben bewiesenen Satz aus dem ersten Glied +die Vielfachen von $b$,~\dots~$c$ fortgelassen werden dürfen. Da schließlich +$\bar{d} = (ra, b, \dots c)$ ein Teiler von $(\rho ra, b, \dots c) = d$ sein muß, +während dieselbe Zahl sich vorher als Vielfaches von~$d$ erwies, so ist +notwendig wirklich $d = \bar{d}$, \wzbw. + +Speziell \emph{ist stets $(ra, b) = (a, b)$, sobald $(r, b) = 1$ ist}. Man +kann daher bei der Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers +von zwei ganzen Zahlen aus der einen jeden Faktor fortlassen, der +zur andern teilerfremd ist. So ist \zB\ $(840, 256) = (3·5·7·8, 256) += (8, 256) = 8$, weil die Zahlen $3$,~$5$,~$7$ sämtlich zu $256$ relativ prim +sind. + +Aus diesem Hauptsatz ergeben sich sofort drei wichtige Folgerungen: +\begin{Theorem} +\Item{I)} Das Produkt von zwei zu $c$ teilerfremden Zahlen $a$~und~$b$ +ist selbst zu $c$ teilerfremd. +\end{Theorem} + +Denn nach dem letzten Satz folgt ja aus $(b, c) = (a, c) = 1$ stets +$(ab, c) = (a, c) = 1$. \ZB~ergibt sich aus $(5, 6) = 1$, $(7, 6) = 1$: +$(35, 6) = 1$. + +\begin{Theorem} +\Item{II)} Ist $r$ teilerfremd zu~$b$, aber $ar$ durch $b$ teilbar, so ist +notwendig $a$ durch $b$ teilbar. +\end{Theorem} + +Denn nach der Voraussetzung $(ar, b) = b$ folgt aus dem obigen +Satze: $b = (ar, b) = (a, b)$. \ZB~ergibt sich aus der Voraussetzung, +daß $48 = 3·16$ durch $8$ teilbar ist, daß $8$ in $16$ enthalten +sein muß, weil $(3, 8) = 1$ ist. + +Durch wiederholte Anwendung des Satzes~\Iref{I)} folgt: +\begin{Theorem} +\Item{III)} Ist von den Zahlen +\[ +a, b, c, d, \dots \quad\text{und}\quad a', b', c', d', \dots +\] +jede ungestrichene zu jeder gestrichenen teilerfremd, so sind auch +die Produkte +\[ +abcd\dots \quad\text{und}\quad a'b'c'd'\dots +\] +\PageSep{042}{26} +zueinander teilerfremd. +\end{Theorem} + +Nimmt man in diesem Satz sämtliche Elemente jeder Zahlenreihe +als gleich an, so ergibt sich: +\begin{Theorem} +\Item{IV)} Sind $a$ und $a'$ \DPtypo{relativprim}{relativ prim}, $m$~und~$m'$ beliebige ganze +positive Zahlen, so sind auch stets die Potenzen $a^{m}$~und~$a'^{m'}$ +relativ prim. +\end{Theorem} +\ZB~folgt aus $(3, 5) = 1$: $(3^{6}, 5^{4}) = 1$ oder $(729, 625) = 1$. + +Aus dem letzten Satz läßt sich noch eine interessante Folgerung +ziehen: +\begin{Theorem} +\Item{V)} Die \Ord{$m$}{-te}~Wurzel aus einer ganzen Zahl~$A$ kann niemals +eine gebrochene Zahl sein; diese ist also entweder ebenfalls ganz +oder irrational. +\end{Theorem} + +Wäre nämlich $\sqrt[m]{A} = \dfrac{a}{b}$ eine gebrochene Zahl, so könnten wir +Zähler und Nenner als teilerfremd voraussetzen, da anderenfalls +$d = (a, b)$ durch das Euklidische Verfahren bestimmt und aus Zähler +und Nenner weggehoben werden könnte. Aus der Voraussetzung +$\sqrt[m]{A} = \dfrac{a}{b}$ würde sich aber $A = \dfrac{a^{m}}{b^{m}}$ ergeben, so daß $a^{m}$ durch $b^{m}$ teilbar +wäre, während doch nach~\Iref{(IV)} $a^{m}$ zu $b^{m}$ teilerfremd sein muß. + +In engem Anschluß an die soeben behandelte Frage nach den +gemeinsamen Teilern mehrerer Zahlen betrachten wir nun diejenige +nach ihren gemeinsamen Vielfachen. Eine Zahl~$\mu$ heißt ein \so{gemeinsames +Vielfaches} mehrerer Zahlen $a$,~$b$,~\dots~$c$, wenn sie +\index{Gemeinsames Vielfaches, kleinstes}% +durch jede von ihnen teilbar, wenn also +\[ +\mu = \alpha a = \beta b = \dots = \gamma c +\] +ist. Der Bereich aller gemeinsamen Vielfachen von $a$,~$b$,~\dots~$c$ bildet +offenbar einen Modul $M(\mu, \mu', \dots)$; denn sind $\mu$~und~$\mu'$ beide durch +jede der Zahlen $a$,~$b$,~\dots~$c$ teilbar, so gilt ja dasselbe von ihrer Summe +und ihrer Differenz. Ist aber~$m$ die kleinste positive Zahl dieses +Moduls, \dh\ das \so{kleinste gemeinsame Vielfache} von +$a$,~$b$,~\dots~$c$, so folgt aus dem auf \Seite{20} oben bewiesenen Satze, daß jedes +andere gemeinsame Vielfache ein Multiplum von~$m$ ist. Es besteht +also der Satz: +\PageSep{043}{27} +\begin{Theorem} +Alle gemeinsamen Vielfachen beliebig vieler Zahlen $a$,~$b$,~\dots~$c$ +sind die sämtlichen Multipla des kleinsten unter ihnen. Dieses +kleinste gemeinsame Vielfache soll durch +\[ +m = [a, b, \dots c] +\] +bezeichnet werden. +\end{Theorem} + +Nur dieses kleinste gemeinsame Multiplum braucht man also zu +bestimmen, und zwar genügt es ersichtlich, dies für den Fall von +nur zwei Zahlen $a$,~$b$ zu tun. Diese Frage wird durch den folgenden +Satz völlig gelöst: +\begin{Theorem} +Ist $d = (a, b)$ der größte gemeinsame Teiler der Zahlen $a$,~$b$, +so gilt für ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches $m$ die Gleichung: +\[ +m = \frac{ab}{(a, b)} \quad\text{oder}\quad md = ab. +\] +\end{Theorem} + +Ist nämlich $a = a_{0}d$, $b = b_{0}d$, wo $(a_{0}, b_{0}) = 1$ ist, so ist eine +Zahl~$\mu$ dann und nur dann gemeinsames Multiplum von $a$~und~$b$, +wenn $\dfrac{\mu}{a_{0}d}$ und $\dfrac{\mu}{b_{0}d}$ ganze Zahlen sind. Zunächst muß also +$\mu$ ein Vielfaches von~$d$ sein: $\mu = \mu_{0}d$, und auch die beiden Quotienten +$\dfrac{\mu_{0}}{a_{0}}$ und $\dfrac{\mu_{0}}{b_{0}}$ müssen ganz sein. Da aber $a_{0}$~und~$b_{0}$ teilerfremd +sind, so folgt aus $\mu_{0} = ka_{0}$ nach Satz~\Iref{II)} auf \Seite{25}: $k = lb_{0}$, +also $\mu_{0} = l(a_{0}b_{0})$ \dh\ $\mu = l(a_{0}b_{0}d) = l\dfrac{ab}{d}$. Das \emph{kleinste} gemeinsame +Vielfache folgt hieraus für $l = 1$: $m = \dfrac{ab}{d}$. + +\ZB\ ist $(12, 15) = 3$, $[12, 15] = 60$, und es ist wirklich $60·3 += 12·15$. + +Sind speziell $a$~und~$b$ teilerfremd, also $d = 1$, so ist das kleinste +gemeinsame Vielfache gleich~$ab$. Allgemein sieht man leicht die +Richtigkeit des folgenden Satzes ein, dessen einfacher Beweis dem +Leser überlassen bleibe: +\begin{Theorem} +Sind $a$,~$b$, $c$,~\dots~$d$ beliebig viele Zahlen, von denen je zwei +stets zueinander teilerfremd sind, so ist ihr kleinstes gemeinsames +Vielfaches gleich ihrem Produkt. +\end{Theorem} +\PageSep{044}{28} + + +\Section{§ 3.}{Die Primzahlen. Die eindeutige Zerlegung der +rationalen Zahlen in Primzahlen.} + +Der Begriff der Teilbarkeit ermöglicht uns die wichtigsten Zahlen +der Zahlentheorie, die sog.\ \so{Primzahlen}, zu definieren: +\index{Primzahlen}% +\begin{Definition} +Eine ganze Zahl~$p$, welche außer den selbstverständlichen +(uneigentlichen) Teilern $p$~und~$1$ keinen Divisor besitzt, heißt eine +Primzahl. Jede andere ganze Zahl, die also mindestens einen +\emph{eigentlichen} Teiler hat, wird eine \so{zusammengesetzte +Zahl} genannt. +\end{Definition} + +Man kann offenbar stets durch eine endliche Zahl von Versuchen +feststellen, ob eine vorgelegte Zahl~$a$ eine Primzahl ist oder nicht. +Da nämlich ein eigentlicher Teiler von $a$ kleiner als $a$ sein muß, so +braucht man höchstens zu probieren, ob $a$ durch eine der Zahlen +$2$,~$3$,~\dots~$a - 1$ teilbar ist. Man braucht mit diesen Versuchen sogar +nur bis $\sqrt{a}$ bzw.\ bis zur nächst kleineren ganzen Zahl zu gehen; ist +nämlich $d$ ein eigentlicher Teiler von~$a$, also $a = dd'$, so kann hier +ohne Beschränkung der Allgemeinheit $d \leqq d'$ angenommen werden, +da man andernfalls $d$ mit $d'$ vertauschen könnte; aus $d \leqq d'$ folgt +aber $a = dd' \geqq d^{2}$, also wirklich $d \leqq \sqrt{a}$. Hat also $a$ keinen +zwischen $1$~und~$\sqrt{a}$ (dieses ev.\ eingeschlossen) liegenden Teiler, so +ist $a$ eine Primzahl. Um \zB\ zu entscheiden, ob $131$ eine Primzahl +ist, hat man nur die Teilbarkeit von~$131$ durch $2$,~$3$,~\dots~$11$ +zu prüfen. + +Auf dieser Tatsache kann man ein einfaches Verfahren begründen, +um aus der Reihe aller ungeraden Zahlen (die geraden Zahlen sind ja +mit Ausnahme der Primzahl~$2$ alle zusammengesetzt) alle Primzahlen +auszusondern. Es ist dies das sog.\ \emph{Sieb des Eratosthenes} (276--194 +\index{Sieb d.\ Eratosthenes}% +v.~Chr.). Um nämlich zu entscheiden, welche positiven ungeraden +Zahlen Primzahlen sind, schreibe man alle ungeraden Zahlen der +Reihe nach hin und durchstreiche zunächst, von $3^{2} = 9$ ausgehend, +jede dritte Zahl, dann von $5^{2} = 25$ ausgehend jede fünfte Zahl usw., +allgemein vom Quadrat der nächsten noch nicht durchstrichenen +Zahl~$p$ ausgehend jede \Ord{$p$}{-te}~Zahl, wobei allemal die bereits durchstrichenen +Zahlen beim Weiterzählen mitzurechnen sind. Hat man +\PageSep{045}{29} +dieses Verfahren bis zu einer Zahl~$b$ durchgeführt, so stellen die +undurchstrichen gebliebenen Zahlen alle Primzahlen unter $b^{2}$ dar, +wenn man noch die einzige gerade Primzahl~$2$ ihnen hinzufügt. +Die Begründung dieses Verfahrens ist so einfach, daß es hierüber +keiner Ausführung mehr bedarf. + +Im ersten Hundert ergeben sich so die $25$~Primzahlen: +\begin{gather*} +2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47,\ 53,\ 59,\ 61,\ 67,\\ +71,\ 73,\ 79\DPtypo{}{,}\ 83\DPtypo{}{,}\ 89\DPtypo{}{,}\ 97; +\end{gather*} +im zweiten Hundert findet man $21$~Primzahlen: +\begin{gather*} +101,\ 103,\ 107,\ 109,\ 113,\ 127,\ 131,\ 137,\ 139,\ 149,\ 151,\ 157,\ 163,\ 167,\\ +173,\ 179,\ 181,\ 191,\ 193,\ 197,\ 199. +\end{gather*} +Außer den Zahlen $3$,~$5$,~$7$ existieren offenbar keine \emph{drei} benachbarten +Primzahlen, da ja von drei aufeinander folgenden ungeraden Zahlen +stets eine durch drei teilbar sein muß. + +Das Gesetz, nach welchem die so einfach bestimmbaren Primzahlen +aufeinander folgen, kennen wir nicht. Sicherlich weist die +Reihe aller Primzahlen beliebig große Lücken auf, sobald man sie +nur genügend weit verfolgt; denn ist $n$ eine noch so große gegebene +Zahl, so ist von den $n - 1$ aufeinander folgenden Zahlen +\[ +n! + 2,\quad +n! + 3,\quad +n! + 4,\ \dots \quad +n! + n, +\] +wo $n! = 1·2·3 \dots n$ ist, keine einzige eine Primzahl, da für jedes +$i = 2$, $3$,~\dots~$n$ offenbar \zB\ $n! + i$ durch $i$ teilbar ist. + +Man hat bei den Primzahlen gewisse merkwürdige Tatsachen +beobachtet, deren Beweis mit den heutigen Mitteln unserer Wissenschaft +noch nicht gelungen ist, obgleich sie wohl sicher richtig sind. +Hier seien nur zwei derartige Sätze erwähnt: +\begin{Theorem} +Jede gerade Zahl kann als Summe zweier Primzahlen dargestellt +werden. +\end{Theorem} + +Dieses Theorem wurde zuerst von \Name{Goldbach}, dann von \Name{Waring} +\index{Goldbachs Theorem}% +aufgestellt, aber nicht bewiesen. Die Prüfung der ersten geraden +Zahlen, etwa bis~$1000$, lehrt sogar, daß die Anzahl der Darstellungen +von~$2n$ in dieser Form, abgesehen von kleineren Schwankungen, +\PageSep{046}{30} +mit wachsendem $n$ beständig zunimmt, wodurch die Wahrscheinlichkeit, +daß dieser Satz zutrifft, erhöht wird. + +\begin{Theorem} +Jede gerade Zahl kann auf unendlich viele verschiedene +Arten als Differenz zweier Primzahlen dargestellt werden. Insbesondere +müssen sich daher in der Reihe aller Primzahlen, wie +weit man auch in ihr fortschreiten mag, stets noch Paare von +Primzahlen finden, wie \zB\ die Paare $(3, 5)$, $(11, 13)$, $(29, 31)$, +$(71, 73)$, $(137, 139)$,~\dots, deren Differenz gleich zwei ist, die sich +also nur um zwei Einheiten unterscheiden. +\end{Theorem} + +Natürlich nimmt aber die Häufigkeit solcher Paare benachbarter +Primzahlen um so mehr ab, je weiter man in der Reihe aller +Primzahlen fortgeht. So finden sich \zB\ im ersten Hundert neun, +im zweiten nur sieben solche Paare, wie sich aus der Tabelle auf +\Seite{29} ergibt. + +Besonders merkwürdig ist auch, daß bei mehreren Sätzen über +die Primzahlen und ihre Verteilung, deren allgemeiner Nachweis +schließlich gelungen ist, doch ein höchst auffallendes Mißverhältnis +zwischen der Einfachheit und Verständlichkeit der Theoreme und +dem mühsamen Wege und den schwierigen Hilfsmitteln besteht, +deren man zu ihrer Herleitung bedurfte. + +Daß \emph{die Anzahl aller Primzahlen nicht endlich sein kann}, +hat bereits \Name{Euklid} auf die folgende wunderbar einfache und scharfsinnige +Art bewiesen: Angenommen, es gäbe nur eine endliche Anzahl +von Primzahlen, $2$,~$3$, $5$,~\dots~$p$, so daß $p$ die größte existierende +Primzahl wäre, so gibt die Zahl +\[ +m = 2·3·5 \dots p + 1 +\] +bei der Division durch jede einzelne Primzahl $2$,~$3$,~\dots~$p$ den Rest~$1$; +da $m$ demnach durch keine dieser Primzahlen teilbar ist, so muß +$m$ entweder selbst eine neue Primzahl sein oder lauter neue Primzahlen +enthalten. Dieser Euklidische Beweis ist auch deshalb besonders +schön und wertvoll, weil er gleich ein endliches Intervall ergibt, +in welchem eine neue Primzahl liegen muß; in der Tat folgt +ja unmittelbar aus dem Euklidischen Beweise: +\begin{Theorem} +Ist $p$ eine beliebig gegebene Primzahl, so muß in dem +\PageSep{047}{31} +Intervall von~$p + 1$ bis $2·3·5 \dots p + 1$ (inkl.)\ mindestens \emph{eine} +neue Primzahl vorhanden sein. +\end{Theorem} + +Es sei hier nur erwähnt, daß es den Bemühungen der Mathematiker +gelungen ist, anstatt dieser großen Intervalle wesentlich +kleinere aufzufinden. Am schönsten und einfachsten ist wohl in +dieser Beziehung der folgende von \Name{Tschebyscheff} herrührende Satz, +\index{Tschebyscheffs Primzahlsatz}% +dessen Beweis aber wesentlich höhere Hilfsmittel erfordert: +\begin{Theorem} +Ist $a$ irgend eine oberhalb von $3$,~$5$ gelegene reelle Zahl, so +liegt stets zwischen den Grenzen $a$ und $2a - 2$ mindestens eine +Primzahl. +\end{Theorem} + +\ZB\ muß also zwischen $4$~und~$6$, $5$~und~$8$, $6$~und~$10$, $12$~und~$22$ +usw.\ jeweils mindestens eine Primzahl liegen. + +Da es nur die einzige gerade Primzahl~$2$ gibt, so besagt der +Euklidische Satz über die unendliche Anzahl der Primzahlen, daß insbesondere +die Reihe +\[ +1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11,\ \dots +\] +aller ungeraden Zahlen unendlich viele Primzahlen enthält. Teilt +man diese Reihe dadurch in zwei Partialreihen, daß man in ihr von +$1$ bzw.\ $3$ ausgehend immer je eine Zahl überspringt, so erhält man +die Reihen +\[ +1,\ 5,\ 9,\ 13,\ \dots \quad\text{und}\quad 3,\ 7,\ 11,\ 15,\ \dots +\] +aller derjenigen Zahlen, welche durch $4$ geteilt den kleinsten positiven +Rest $1$ bzw.\ $3$ lassen, \dh\ alle Zahlen von der Form $4n + 1$ bzw.\ +$4n + 3$. Überspringt man in der obigen Reihe aller ungeraden +Zahlen in gleicher Weise von $1$,~$3$,~$5$ oder~$7$ ausgehend immer je vier +Zahlen unserer Reihe, so erhält man die vier Partialreihen +\[ +1,\ 9,\ 17,\ \dots;\quad +3,\ 11,\ 19,\ \dots;\quad +5,\ 13,\ 21,\ \dots;\quad +7,\ 15,\ 23,\ \dots +\] +der Zahlen von den Formen $8n + 1$, $8n + 3$, $8n + 5$, $8n + 7$. In +gleicher Weise kann man die Reihe der ungeraden Zahlen in andere +Partialreihen zerlegen. Es liegt nun nahe, zu fragen, ob jede dieser +Partialreihen ebenso wie die ganze Reihe der ungeraden Zahlen unendlich +viele Primzahlen enthält, oder ob dies nur für gewisse unter +ihnen gilt. +\PageSep{048}{32} + +So werden wir darauf geführt, zu untersuchen, unter welchen Bedingungen +eine arithmetische Reihe +\[ +r,\ r + m,\ r + 2m,\ \dots +\] +unendlich viele Primzahlen enthält. Hierüber verbreitet der folgende, +von \Name{Dirichlet} zuerst streng bewiesene Satz volle Klarheit: +\index{Arithmetische Reihe, Primzahlen in einer}% +\begin{Theorem} +Alle und nur die arithmetischen Reihen $r + km$, für die +das Anfangsglied~$r$ und die Differenz~$m$ teilerfremd sind, enthalten +unendlich viele Primzahlen. +\end{Theorem} + +Daß dies sicher nicht der Fall sein kann, wenn $(r, m) = d > 1$ +ist, ist unmittelbar klar, da ja dann jede Zahl der arithmetischen +Reihe durch $d$ teilbar ist. Den schwierigen Beweis der positiven Behauptung +für den Fall $(r, m) = 1$ hingegen konnte \Name{Dirichlet} nur mit +Benützung der Mittel der höheren Analysis führen; sein Ziel ist dabei +der Nachweis, daß, wenn $p_{1}$,~$p_{2}$, $p_{3}$,~\dots\ alle Primzahlen der zu +untersuchenden arithmetischen Reihe sind, die Summe der Reihe +\[ +\frac{1}{p_{1}} + \frac{1}{p_{2}} + \frac{1}{p_{3}} + \dots +\] +ins Unendliche wächst, woraus sich ergibt, daß diese Reihe gewiß +unendlich viele Glieder besitzt. + +Die wichtigste Eigenschaft der Primzahlen ist aber die, daß sie +gewissermaßen die Elemente sind, aus denen sich jede ganze Zahl +in eindeutiger Weise multiplikativ zusammensetzen läßt. Daß zunächst +jede ganze positive Zahl~$a$ (für die negativen Zahlen kommt +ja nur noch die Multiplikation mit~$-1$ dazu) überhaupt in Primzahlen +dekomponiert werden kann, sieht man leicht ein: Entweder +ist nämlich $a$ eine Primzahl, dann ist der gewünschte Beweis schon +geführt; oder aber $a$ hat mindestens einen eigentlichen Teiler~$d$, +\dh\ es ist $a = dd'$, dann ist die ursprüngliche Aufgabe auf die andere +der Zerlegung der Zahlen $d$~und~$d'$, die beide kleiner als $a$ sind, zurückgeführt. +Verfährt man ebenso mit $d$~und~$d'$ usw., so muß man, da +bei jedem Schritt jede der vorkommenden Zahlen verkleinert wird, +schließlich zu einer Dekomposition von~$a$ in lauter Primzahlen gelangen; +für jede zusammengesetzte ganze Zahl kann demnach eine +Zerlegung in lauter Primzahlen durch eine endliche Anzahl von +\PageSep{049}{33} +Versuchen gefunden werden. Es wäre aber sehr wohl denkbar, daß +man für die nämliche Zahl~$a$ auf andere Weise eine Zerlegung in +\index{Zerlegung, eindeutige, d.\ Zahlen in Primfaktoren}% +ganz andere Primzahlen erhalten könnte; wirklich ist dies zwar +nicht im Körper der rationalen Zahlen, wohl aber in anderen +Körpern der Fall. + +Der fundamentale Beweis für die in~$K(1)$ herrschende Eindeutigkeit +der Zerlegung läßt sich leicht mit Hilfe der zwei folgenden +Sätze führen: +\begin{Theorem} +Eine Primzahl~$p$ ist in einer beliebigen ganzen Zahl~$a$ entweder +als Teiler enthalten oder zu ihr teilerfremd. +\end{Theorem} + +In der Tat ist ja der größte gemeinsame Teiler $d = (p, a)$ ein +Teiler der Primzahl~$p$, es muß also entweder $d = p$ oder $d = 1$ sein. +Im ersten Fall ist $p$ in $a$ enthalten, im zweiten zu $a$ teilerfremd. + +\begin{Theorem} +Ein Produkt ist dann und nur dann durch eine Primzahl~$p$ +teilbar, wenn diese in mindestens einem der Faktoren enthalten ist. +\end{Theorem} + +Wäre nämlich $p$ in keiner der Zahlen $a$,~$b$,~\dots~$c$ enthalten, also +nach dem letzten Satz $(a, p) = (b, p) = \dots = (c, p) = 1$, so folgte +nach Satz~\Iref{III)} auf \Seite{25} $(a·b \dots c, p) = 1$ in Widerspruch mit der +Voraussetzung, daß $a·b \dots c$ durch $p$ teilbar ist. + +Wir zeigen jetzt, daß eine ganze positive Zahl~$a$ nicht auf zwei +verschiedene Arten (abgesehen von multiplikativer Hinzufügung von +Einsen) als Produkt von Primzahlen dargestellt werden kann. Wären +nämlich einmal zwei verschiedene Primzahlprodukte einander gleich, +bestünde also eine Beziehung +\[ +pp' \dots p^{(k)} = qq' \dots q^{(l)}, +\] +wo nicht alle Primzahlen~$p$ mit allen Primzahlen~$q$ übereinstimmten, +so könnte man offenbar voraussetzen, daß kein Faktor~$p$ einem +Faktor~$q$ gleich ist; denn solche gleiche Primzahlen könnten ja durch +Heben auf beiden Seiten fortgeschafft werden, wobei nach der +Voraussetzung noch wenigstens auf einer Seite, etwa der linken, +mindestens ein Faktor~$p$ übrig bliebe. Da demnach $p$ in dem rechts +übrig gebliebenen Produkt enthalten wäre, so müßte nach dem zuletzt +bewiesenen Satze rechts mindestens eine durch $p$ teilbare Zahl~$q$ +stehen geblieben sein, welche, da sie selbst als Primzahl keinen +\PageSep{050}{34} +eigentlichen Teiler enthalten könnte, notwendig mit $p$ identisch wäre. +Diese Folgerung widerspricht aber der Voraussetzung, nach der alle +gleichen Primzahlen bereits ursprünglich auf beiden Seiten fortgeschafft +waren; daher war die Annahme, es sei hierbei mindestens +ein Faktor auf einer Seite stehen geblieben, notwendig falsch. Bedenkt +man noch, daß gleiche Primzahlen bei der Zerlegung einer +zusammengesetzten Zahl miteinander vereinigt werden können, so +hat man den folgenden, \emph{für die ganze multiplikative Zahlenlehre +grundlegenden} +\begin{Theorem} +\textit{Fundamentalsatz:} Jede ganze positive Zahl~$m$ läßt sich +stets und nur auf eine einzige Weise als Produkt von Primzahlpotenzen, +\dh\ in der Form +\[ +m = p^{a} q^{b} \dots r^{c} +\] +darstellen. +\end{Theorem} + +Hierbei sind die Exponenten $a$,~$b$,~\dots~$c$ auf ganzzahlige positive +Werte beschränkt, ausgenommen den trivialen Fall $m = 1$. Da jede +negative Zahl aus einer positiven durch Multiplikation mit~$-1$ entsteht +und sich jede gebrochene Zahl eindeutig als Quotient von zwei teilerfremden +ganzen Zahlen darstellen läßt, von denen jede in ihre Primfaktoren +zerlegt werden kann, so bleibt der soeben bewiesene Fundamentalsatz +\emph{für jede positive oder negative rationale Zahl} gültig, +sobald man die Exponenten $a$,~$b$,~\dots~$c$ auch ganzzahlige negative +Werte annehmen läßt und die eventuelle Hinzufügung von~$-1$ gestattet. +So ist~\zB: +\[ +1400 = 2^{3}5^{2}7, \quad +-\frac{189}{220} = (-1)·2^{-2}3^{3}5^{-1}7 · 11^{-1}. +\] + +Benutzt man die Tatsache, daß sich jede ganze Zahl eindeutig +als Produkt von Primzahlpotenzen darstellen läßt, so ergeben sich die +im vorigen Paragraphen bewiesenen Sätze über den größten gemeinsamen +Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen +höchst einfach. Hier sollen nur noch zwei Sätze über die Teiler +einer Zahl bewiesen werden. + +\begin{Theorem} +Ist $m = p^{a}q^{b} \dots r^{c}$ die Zerlegung einer beliebigen ganzen +positiven Zahl~$m$ in ihre Primfaktoren, so ist die Anzahl aller +Teiler von~$m$ ($1$~und~$m$ eingeschlossen) gleich +\PageSep{051}{35} +\[ +(a + 1)(b + 1) \dots (c + 1). +\] +\end{Theorem} + +Denn soll $\delta$ ein Teiler von $m$ sein, so muß $\dfrac{m}{\delta}$ ganz sein, \dh\ $\delta$ +kann keinen Primteiler von~$m$ in höherer Potenz als $m$ selbst enthalten; +$\delta$~muß daher stets die Form besitzen: +\[ +\delta = p^{\alpha} q^{\beta} \dots r^{\gamma} \qquad +\begin{Conditions} +\left( +\begin{aligned} +\alpha &= 0,\ 1,\ \dots\ a\\ +\beta &= 0,\ 1,\ \dots\ b\\ +\PadTo{\beta}{\vdots} \\ +\gamma &= 0,\ 1,\ \dots\ c +\end{aligned} +\right) +\end{Conditions}. +\] +Die Anzahl aller dieser Teiler ist aber in der Tat +\index{Anzahl der Divisoren einer Zahl}% +\[ +(a + 1)(b + 1) \dots (c + 1). +\] +\ZB~besitzt $1080 = 2^{3}·3^{3}·5$ genau $32 = 4·4·2$ verschiedene Teiler. + +Auch die Summe $S_{d}(m)$ aller Teiler von~$m$ läßt sich leicht bestimmen. +\index{Summe!der Divisoren e.\ Zahl}% +Es ergibt sich nämlich durch eine einfache Überlegung: +\begin{align*}%[** TN: Not aligned in the original] +S_{d}(m) + &= \sum \delta + = \sum_{\alpha=0}^{a} \sum_{\beta=0}^{b} \dots \sum_{\gamma=0}^{c} (p^{\alpha}q^{\beta} \dots r^{\gamma})\\ + &= (1 + p + p^{2} + \dots + p^{a}) + (1 + q + \dots + q^{b}) \dots + (1 + r + \dots + r^{c})\\ + &= \frac{p^{a+1} - 1}{p - 1} + · \frac{q^{b+1} - 1}{q - 1} \dots + \frac{r^{c+1} - 1}{r - 1}. +\end{align*} + +Wir haben also gefunden: +\begin{Theorem} +Ist $m = p^{a}q^{b} \dots r^{c}$ die Zerlegung einer beliebigen ganzen +positiven Zahl~$m$ in ihre Primfaktoren, so ist die Summe aller +Teiler von~$m$ +\[ +S_{d}(m) + = \frac{p^{a+1} - 1}{p - 1} + · \frac{q^{b+1} - 1}{q - 1} \dots + \frac{r^{c+1} - 1}{r - 1}. +\] +\end{Theorem} + +\ZB\ ist für $1080 = 2^{3}·3^{3}·5$ +\[ +S_{d}(1080) + = \frac{2^{4} - 1}{1} + · \frac{3^{4} - 1}{2} + · \frac{5^{2} - 1}{4} + = 15·40·6 = 3600. +\] + +In ähnlicher Weise läßt sich die Summe von beliebig hohen Potenzen +sämtlicher Teiler einer gegebenen Zahl sehr leicht berechnen. +\PageSep{052}{36} + + +\Chapter{Drittes Kapitel.} +{Die Beziehungen aller rationalen Zahlen +zu einer Grundzahl~$g$. Die $g$-adische +Darstellung der rationalen Zahlen.} + +\Section{§ 1.}{Die modulo~$g$ ganzen und gebrochenen rationalen Zahlen.} + +Nachdem wir im vorigen Kapitel die Hauptsätze über die multiplikative +\index{Ganze und gebrochene rationale Zahlen modulo~$g$}% +Zerlegung rationaler Zahlen kennen gelernt haben, sollen +jetzt die Beziehungen zwischen allen rationalen Zahlen und einer +willkürlich aber fest angenommenen ganzen positiven Zahl $g > 1$, der +sog.\ \so{Grundzahl} oder dem \so{Modul},\footnote + {Diese Bedeutung des Wortes, das hier eine spezielle \emph{Zahl} bezeichnet, + ist zu unterscheiden von der anderen, in §~3 des I.~Kap.\ eingeführten, + wo unter Modul ein besonderer \emph{Zahlbereich} verstanden wurde; beide Bedeutungen + haben nichts miteinander zu tun.} %[** TN: Moved comma before footnote mark] +genauer untersucht werden. +Analog der früher gemachten Unterscheidung zwischen ganzen und +gebrochenen Zahlen teilen wir auch jetzt die rationalen Zahlen ein +in die modulo~$g$ ganzen und gebrochenen Zahlen, definieren aber +jetzt wesentlich anders als vorher: +\begin{Definition} +Eine rationale Zahl $A = \dfrac{m}{n}$, die wir uns in der Folge stets in +der reduzierten Form (\dh~nach Wegschaffung etwaiger gemeinsamer +Teiler in Zähler und Nenner) gegeben denken, heißt +\so{modulo~$g$ ganz} oder \so{für den Bereich von~$g$ +ganz}, wenn ihr Nenner~$n$ zu $g$ teilerfremd ist, also mit~$g$ +keinen einzigen Primteiler gemeinsam hat. Dabei ist natürlich +auch die Zahl Null als modulo~$g$ ganz zu betrachten. Jede +\PageSep{053}{37} +\index{Ring!aller modulo~$g$ ganzen Zahlen}% +andere Zahl~$A$, deren Nenner also mindestens einen der Primteiler +von $g$ enthält heißt eine \so{modulo~$g$ gebrochene} Zahl. +\end{Definition} + +Ist speziell die Grundzahl~$g$ eine Primzahl~$p$ oder eine Primzahlpotenz~$p^{k}$, +so sind alle und nur die reduzierten Brüche modulo~$g$ +ganz, deren Nenner nicht $p$ enthält. + +Bei dieser Definition der modulo~$g$ ganzen und gebrochenen +Zahlen abstrahiert man also von allen Primteilern des Nenners mit +alleiniger Ausnahme derjenigen, die in $g$ enthalten sind. Zum +Unterschied sollen die bisher betrachteten gewöhnlichen ganzen +Zahlen $0$,~$±1$,~$±2$,~\dots\ auch als \so{absolut ganz} bezeichnet +werden. + +In diesem Kapitel werden die absolut ganzen Zahlen durch +kleine, die modulo~$g$ ganzen und gebrochenen Zahlen durch große +lateinische Buchstaben bezeichnet werden. Unter einer ganzen Zahl +schlechthin soll jetzt immer eine modulo~$g$ ganze Zahl $A = \dfrac{m}{n}$ verstanden +werden. Alle absolut ganzen Zahlen sind natürlich auch +für \emph{jeden} Modul~$g$ ganz, aber für den Bereich von $g$ kommen zu +ihnen eben noch alle unendlich vielen Brüche $A = \dfrac{m}{n}$ hinzu, für +welche $(n, g) = 1$ ist. + +\ZB~sind die beiden Zahlen $\dfrac{7}{5}$ und $-\dfrac{12}{17}$ modulo~$12$ ganz, weil +ihre Nenner weder durch $2$ noch durch $3$ teilbar sind. + +\begin{Theorem} +Alle modulo~$g$ ganzen Zahlen bilden ebenso wie alle absolut +ganzen Zahlen einen Zahlenring, dessen Elemente sich durch Addition, +Subtraktion und Multiplikation wieder erzeugen. +\end{Theorem} + +In der Tat, sind $A = \dfrac{m}{n}$ und $A' = \dfrac{m'}{n'}$ modulo~$g$ ganz, so gilt das +gleiche für $A + A'$, $A - A'$ und~$AA'$; denn die Nenner der (eventuell +noch nicht reduzierten) Brüche +\[ +\frac{m}{n} ± \frac{m'}{n'} = \frac{mn' ± nm' }{ nn'} \quad\text{und}\quad +\frac{m}{n}·\frac{m'}{n'} = \frac{mm'}{nn'} +\] +sind ja zu $g$ teilerfremd, wenn dies für $n$~und~$n'$ gilt, um so mehr +also die Nenner der hieraus entstehenden reduzierten Brüche. +\PageSep{054}{38} + +\ZB~sind die Zahlen +\[ +\frac{7}{5} + \frac{12}{17} = \frac{179}{85}, \quad +\frac{7}{5} - \frac{12}{17} = \frac{59}{85} \quad\text{und}\quad +\frac{7}{5} · \frac{12}{17} = \frac{84}{85} +\] +modulo~$12$ ganz, weil dies von $\dfrac{7}{5}$ und $\dfrac{12}{17}$ gilt. + +\begin{Theorem} +Jede modulo~$g$ gebrochene Zahl kann als Quotient von zwei +modulo~$g$ ganzen Zahlen dargestellt werden, und zwar kann +\index{Normierte Darstellung e.\ rationalen Zahl}% +man es (bei Verzicht auf reduzierte Darstellung) immer so +einrichten, daß der Nenner gerade eine Potenz der Grundzahl~$g$ +wird. +\end{Theorem} + +Schreibt man nämlich eine beliebige gebrochene Zahl~$A$ in der +Form $A = \dfrac{m}{\gamma·n}$, wo $\gamma$~das Produkt aller derjenigen Primfaktoren +des Nenners darstellt, die auch in $g$ enthalten sind, so daß also +$n$ zu $g$ teilerfremd ist, so sei $g^{\nu}$~die niedrigste Potenz von~$g$, welche +durch $\gamma$ teilbar ist, und es sei $g^{\nu} = \gamma·\gamma'$. Da man nunmehr~$A$ in +der Form +\[ +\Tag{(1)} +A = \frac{\;\dfrac{m\gamma'}{n}\;}{g^{\nu}} + = \frac{G}{g^{\nu}} +\] +schreiben kann, wo $G = \dfrac{m\gamma'}{n}$ modulo~$g$ ganz ist, so ist unsere Behauptung +erwiesen. Die Form~\Eq{(1)}, in der jede modulo~$g$ gebrochene +Zahl~$A$ dargestellt werden kann, soll die \so{normierte Darstellung +von~$A$} heißen. + +\ZB~hat $\dfrac{4}{9}$ modulo~$6$ die normierte Darstellung~$\dfrac{16}{6^{2}}$. + +\begin{Definition} +Definition: Eine Zahl $E = \dfrac{m}{n}$, die selbst modulo~$g$ ganz +ist und deren reziproker Wert $\dfrac{1}{E} = \dfrac{n}{m}$ ebenfalls modulo~$g$ ganz +ist, soll eine \so{Einheit für den Bereich von~$g$} genannt +\index{Einheit modulo~$g$!rationale für d.\ Bereich von~$g$}% +werden. +\end{Definition} + +Dies entspricht genau der Definition der absoluten Einheiten~$±1$; +denn diese und nur sie sind ja zugleich mit ihren Reziproken +\PageSep{055}{39} +\index{Zahlstrahl d.\ rationalen Einheiten}% +absolut ganz. Ein reduzierter Bruch ist hiernach offenbar stets +und nur dann eine Einheit modulo~$g$, wenn sowohl sein Zähler als +auch sein Nenner zu $g$ teilerfremd ist. Für eine Primzahl $g = p$ +als Grundzahl sind also alle und nur die reduzierten Brüche Einheiten +modulo~$p$, deren Zähler und Nenner~$p$ nicht enthalten. + +\begin{Theorem} +Alle Einheiten modulo~$g$ bilden einen Zahlstrahl oder eine +Zahlgruppe, weil das Produkt und der Quotient zweier Einheiten +ersichtlich wieder Einheiten sind. +\end{Theorem} + +\ZB~sind für den Modul~$12$ die Zahlen $\dfrac{5}{7}$ und $\dfrac{55}{49}$ Einheiten, +weil jede der vier Zahlen $5$,~$7$, $55$,~$49$ zu $12$ relativ prim ist. Infolgedessen +müssen auch ihr Produkt $\dfrac{275}{343}$ und ihr Quotient $\dfrac{7}{11}$ Einheiten +für den Bereich von~$12$ sein; in der Tat enthält auch keiner +dieser Zähler und Nenner $2$ oder $3$ als Faktor. Dagegen ist \zB\ +$\dfrac{10}{7}$ modulo~$12$ zwar ganz, aber keine Einheit, weil der Zähler mit +$12$ den Primfaktor~$2$ gemeinsam hat, der reziproke Wert $\dfrac{7}{10}$ also +modulo~$12$ gebrochen ist. + +\begin{Definition} +Definition: Von zwei modulo~$g$ ganzen Zahlen $A$~und~$B$ heißt +$A$ durch $B$ \so{modulo~$g$ teilbar}, wenn der Quotient $G = \dfrac{A}{B}$ +modulo~$g$ ganz ist, wenn also $A = B·G$ ist, wo $G$~eine ganze +Zahl darstellt. Dann nennen wir auch $A$ ein \so{Vielfaches} +oder \so{Multiplum von~$B$ für den Bereich von~$g$}. +\end{Definition} + +Wir werden besonders die Teilbarkeit einer modulo~$g$ ganzen Zahl +\index{Teilbarkeit d.\ rationalen Zahlen modulo~$g$}% +$A = \dfrac{m}{n}$ durch eine Potenz~$g^{\nu}$ des Moduls zu untersuchen haben. +Soll $\dfrac{m}{ng^{\nu}}$ modulo~$g$ ganz sein, wobei nach Voraussetzung $(n, g) = 1$ +ist, so muß $m$ durch $g^{\nu}$ teilbar sein. Es ergibt sich also: +\begin{Theorem} +Eine modulo~$g$ ganze Zahl $A = \dfrac{m}{n}$ ist stets und nur dann +durch $g^{\nu}$ teilbar, wenn ihr Zähler~$m$ ein Vielfaches von $g^{\nu}$ ist. +Ferner ist offenbar jede ganze Zahl~$A$ durch jede Einheit~$E$ modulo~$g$ +teilbar. +\end{Theorem} +\PageSep{056}{40} + +Denn ist $A$ ganz, so ist auch $\dfrac{A}{E} = A·\dfrac{1}{E}$ ganz, da $\dfrac{1}{E}$ ganz ist. + +So ist \zB\ $\dfrac{4}{7}$ durch $\dfrac{2}{5}$ modulo~$12$ teilbar, nicht aber durch~$\dfrac{3}{5}$, +weil $\dfrac{4}{7} : \dfrac{3}{5} = \dfrac{20}{21}$ modulo~$12$ gebrochen ist, da der Nenner~$21$ mit +$12$ den Primteiler~$3$ gemeinsam hat; $\dfrac{4}{7} = \dfrac{2}{5}·\dfrac{10}{7}$ ist modulo~$12$ ein +Vielfaches von~$\dfrac{2}{5}$. Dagegen ist $\dfrac{11}{7}$ durch $\dfrac{2}{5}$ modulo~$12$ nicht teilbar, +wohl aber durch~$\dfrac{1}{5}$, weil $\dfrac{1}{5}$ eine Einheit modulo~$12$ ist. + + +\Section{§ 2.}{Einteilung der modulo~$g$ ganzen Zahlen in Kongruenzklassen +und das Rechnen mit diesen Klassen.} + +Wir wollen nunmehr die modulo~$g$ ganzen Zahlen nach eben +\index{Einsklasse modulo~$g$}% +\index{Kongruente!Zahlen modulo~$g$}% +\index{Kongruenzklassen ganzer Zahlen modulo~$g$}% +\index{Korpor@{Körper}!Ko@{$K(1)$ d.\ rationalen Zahlen}}% +\index{Nullklasse modulo~$g$}% +diesem Modul in Klassen, die sog.\ \so{Kongruenzklassen}, +\index{Modul!einer Kongruenz}% +einteilen, indem wir \emph{in eine und dieselbe Klasse alle und nur die +ganzen Zahlen rechnen, welche sich von einander additiv um ein Vielfaches +von $g$ unterscheiden}. So gehören alle Multipla von~$g$ selbst +in die nämliche Klasse~$C_{0}$, die sog.\ \so{Nullklasse}; ebenso befinden +sich alle Zahlen von der Form $gN + 1$ in derselben Klasse~$C_{1}$, die +wir die \so{Einsklasse} nennen wollen, und allgemein gilt: +\begin{Theorem} +In eine und dieselbe Klasse~$C_{A}$ gehören alle und nur die +Zahlen von der Form~$gN + A$, wenn $A$~eine beliebige Zahl +dieser Klasse bezeichnet, $N$~aber alle modulo~$g$ ganzen Zahlen +durchläuft. +\end{Theorem} + +Wir wollen nun festsetzen: +\begin{Definition} +Definition: Irgend zwei Zahlen $A$~und~$A'$ der nämlichen +Klasse sollen \so{kongruent für den Modul~$g$} heißen, +wofür wir schreiben: +\[ +\Tag{(1)} +A' \equiv A\ (\mod.~g)\quad +\text{(gelesen: $A'$ ist kongruent $A$ modulo~$g$).} +\] +\end{Definition} + +Diese Kongruenz vertritt also lediglich eine Gleichung +\[ +\Tag{(1^{a})} +A' = A + Ng, +\] +\PageSep{057}{41} +in der $N$ eine ganze Zahl ist; oder, was dasselbe ist, sie besagt, +daß die Differenz $A' - A$ durch $g$ teilbar ist. + +So ist \zB\ +\[ +7 \equiv 31 \ (\mod.~12), +\] +weil $31 - 7 = 24$ durch $12$ teilbar ist, also $7 = 31 + (-2)·12$ sich +in der nämlichen Klasse wie $31$ befindet. Ebenso ist: +\[ + 9 \equiv 23 \ (\mod.~7);\quad +-11 \equiv 7 \ (\mod.~9);\quad +-13 \equiv -25 \ (\mod.~6). +\] +Aber auch für die modulo~$12$ ganzen Zahlen $\dfrac{7}{5}$ und $\dfrac{169}{35}$ besteht +die Kongruenz +\[ +\frac{7}{5} \equiv \frac{169}{35} \ (\mod.~12), +\] +weil ihre Differenz $\dfrac{169}{35} - \dfrac{7}{5} = \dfrac{24}{7} = 12·\dfrac{2}{7}$ ein Multiplum des +Moduls~$12$ ist. Ferner ist \zB\ +\[ +\frac{1}{7} \equiv -2 \ (\mod.~5); \quad +\frac{2}{3} \equiv \frac{12}{13} \ (\mod.~10), +\] +weil $\dfrac{1}{7} + 2 = \dfrac{15}{7}$ durch~$5$, $\dfrac{2}{3} - \dfrac{12}{13} =-\dfrac{10}{39}$ durch $10$ teilbar ist. + +\begin{Theorem} +Jede zu einer Einheit kongruente Zahl ist wieder eine +\index{Einheitsklassen modulo~$g$}% +Einheit. Eine Klasse~$C_{A}$, welche auch nur eine Einheit enthält, +besteht also aus lauter Einheiten. Eine solche Klasse soll +\so{eine Einheitsklasse} genannt werden. +\end{Theorem} + +In der Tat, ist $A = \dfrac{m}{n}$ eine Einheit, so gilt auch für jede zu $A$ +kongruente Zahl +\[ +A' = A + Ng = \frac{m}{n} + g·\frac{m'}{n'} = \frac{mn' + gm'n}{nn'} +\] +dasselbe; denn da nach Voraussetzung $(m, g) = (n, g) = (n'\DPtypo{}{,} g) = 1$ ist, +so ist sowohl $(nn', g) = 1$ als auch $(mn' + g·m'n, g) = (mn', g) = 1$, +\wzbw. + +Beschränken wir uns für den Augenblick auf den Bereich der +\emph{absolut} ganzen Zahlen $(0, ±1, ±2, \dots)$, so sind zwei solche +\PageSep{058}{42} +$a$~und~$a'$ nach unserer Definition offenbar stets und nur dann kongruent +modulo~$g$, wenn $a' = a + gn$ ist, wo $n$~eine absolut ganze +Zahl bedeutet. Da jede absolut ganze Zahl~$a$ auf eine einzige Weise +in der Form +\[ +a = a_{0} + gn +\] +geschrieben werden kann, wenn $a_{0}$~eine der Zahlen $0$,~$1$, $2$,~\dots~$g - 1$ +ist, so folgt, daß jede absolut ganze Zahl einer und nur einer unter +diesen $g$ Zahlen kongruent ist. Die absolut ganzen Zahlen zerfallen +also modulo~$g$ in genau $g$ Klassen inkongruenter Zahlen, welche jetzt +nach den eindeutig bestimmten kleinsten nicht negativen Resten +ihrer Elemente durch +\[ +\Tag{(2)} +C_{0},\ C_{1},\ C_{2},\ \dots\ C_{g-1} +\] +bezeichnet werden sollen. + +Man erkennt aber leicht, daß sich auch alle \emph{modulo~$g$} ganzen +Zahlen $A = \dfrac{m}{n}$ vollständig auf diese $g$~Klassen verteilen, daß also +\emph{jede solche Zahl~$A$ einer und nur einer Zahl der Reihe +$0$,~$1$, $2$,~\dots~$g - 1$ modulo~$g$ kongruent ist}. Da nämlich nach Voraussetzung +$(n, g) = 1$ ist, so enthält nach \Seite{24} oben der Modul $M(n, g)$ +alle absolut ganzen Zahlen, also sicher auch den Zähler~$m$ von~$A$. +Man kann also zwei absolut ganzzahlige Multiplikatoren $\bar{a}_{0}$~und~$m_{0}$ +so bestimmen, daß +\[ +m = n\bar{a}_{0} + gm_{0}, +\] +also +\[ +\Tag{(3)} +A = \frac{m}{n} = \bar{a}_{0} + g \frac{m_{0}}{n} = \bar{a}_{0} + gN +\] +ist, wo $N = \dfrac{m_{0}}{n}$ wieder eine modulo~$g$ ganze Zahl ist. Demnach +besteht die Kongruenz +\[ +\Tag{(3^{a})} +A \equiv \bar{a}_{0} \ (\mod.~g), +\] +\dh\ jede modulo~$g$ ganze Zahl~$A$ ist sicher einer absolut ganzen +Zahl~$\bar{a}_{0}$ modulo~$g$ kongruent und zugleich hiermit auch allen und +nur den absolut ganzen Zahlen $\bar{a}_{0} + gn$ derjenigen Zahlklasse, +\PageSep{059}{43} +welcher $\bar{a}_{0}$ angehört. Ist $a_{0}$ unter diesen Zahlen die kleinste nicht +negative, so ist also auch +\[ +\Tag{(3^{b})} +A \equiv a_{0} \ (\mod.~g), \quad\text{\dh}\quad A = a_{0} + N'g, +\] +wo $a_{0}$ der Reihe $0$,~$1$, $2$,~\dots~$g - 1$ angehört. Diese kleinste ganze +Zahl~$a_{0}$, der $A$~kongruent ist, ist eindeutig bestimmt, da ja die +Zahlen $0$,~$1$,~\dots~$g - 1$ modulo~$g$ inkongruent sind; hiermit ist unsere +Behauptung vollständig bewiesen. + +So bestehen \zB, wie eine leichte Rechnung lehrt, die Kongruenzen +\begin{alignat*}{2} +\frac{2}{3} &\equiv 4 \ (\mod.~10), \quad&-\frac{1}{3} &\equiv 3 \ (\mod.~10). \\ +\frac{3}{8} &\equiv 1 \ (\mod.~5), &-\frac{1}{8} &\equiv 3 \ (\mod.~5). +\end{alignat*} + +Aus dem soeben bewiesenen folgt unmittelbar, daß man die +Klassen $C_{0}$, $C_{1}$,~\dots\ $C_{g-1}$ statt durch die kleinsten nicht negativen +absolut ganzen Zahlen, die in ihnen vorkommen, auch durch je ein +beliebiges ihrer modulo~$g$ ganzen Elemente $r_{0}$, $r_{1}$,~\dots\ $r_{g-1}$ vollständig +charakterisieren kann. Auch diese bilden dann ein vollständiges +System modulo~$g$ inkongruenter Zahlen oder ein \so{vollständiges +Restsystem modulo~$g$}, \dh\ jede modulo~$g$ ganze +\index{Restsystem, vollständiges, modulo~$g$}% +Zahl ist einer und nur einer dieser Zahlen kongruent. + +So bilden \zB\ für den Modul $g = 10$ nicht nur die Zahlen +$(0, 1, 2, \dots 9)$, sondern ebensowohl etwa auch die Zahlen +\[ +\left(20, 11, 2, -\frac{1}{3}, 4, 75, \frac{12}{7}, -3, -\frac{2}{11}, 99\right) +\] +ein vollständiges Restsystem, da sie modulo~$10$ den Zahlen +$(0, 1, 2, \dots 9)$ der Reihe nach kongruent sind. + +Das Rechnen mit Kongruenzen gestaltet sich fast ebenso einfach, +wie das Rechnen mit Gleichungen. Es bestehen nämlich auch +hier die Sätze: +\begin{Theorem} +Kongruentes zu Kongruentem addiert oder von Kongruentem +subtrahiert oder mit Kongruentem multipliziert gibt Kongruentes. +\end{Theorem} +\PageSep{060}{44} + +In der Tat, ist +\[ +A' \equiv A \quad\text{und}\quad +B' \equiv B \quad\text{für denselben Modul~$g$,} +\] +so daß die Differenzen $A' - A$ und $B' - B$ beide durch $g$ teilbar +sind, so sind auch die drei Differenzen +\[ +\Tag{(4)} +%[** TN: Explicit space to center contents better] +\hspace*{-2em} +\begin{gathered}[t] +(A' ± B') - (A ± B) = (A' - A) ± (B' - B)\\ +A'B' - AB = A'(B' - B) + B(A' - A) +\end{gathered} +\] +Multipla von $g$, \dh\ es gelten für den Modul~$g$ wirklich die Kongruenzen: +\[ +A' ± B' \equiv A ± B,\quad +A'B' \equiv AB, \ (\mod.~g) +\] +\wzbw\ Dagegen ist man, was den Quotienten anlangt, nur dann +sicher, bei der Division von Kongruentem durch Kongruentes wieder +Kongruentes zu erhalten, wenn die Divisoren \emph{Einheiten} modulo~$g$ +sind. Ist nämlich modulo~$g$\; $A' \equiv A$ und $B' \equiv B$, wobei~$B$, also +auch die kongruente Zahl~$B'$ eine Einheit ist, so ergibt sich wirklich +\[ +\Tag{(5)} +\frac{A'}{B'} \equiv \frac{A}{B} \ (\mod.~g), +\] +weil die Differenz +\[ +\Tag{(5^{a})} +\frac{A'}{B'} - \frac{A}{B} = \frac{A'B - AB'}{BB'} + = \frac{1}{B'} (A' - A) - \frac{A}{BB'} (B' - B) +\] +ersichtlich ein Vielfaches von $g$ ist; denn der Voraussetzung wegen +sind ja $\dfrac{1}{B'}$ und $\dfrac{A}{BB'}$ modulo~$g$ ganze Zahlen. + +\ZB~folgt aus den modulo~$10$ bestehenden Kongruenzen $\dfrac{2}{3} \equiv 34$ +und $-2 \equiv 8$ durch Addition, Subtraktion und Multiplikation: +\[ +-\frac{4}{3} \equiv 42,\quad + \frac{8}{3} \equiv 26,\quad +-\frac{4}{3} \equiv 272 \ (\mod.~10), +\] +während die Quotienten $\dfrac{\dfrac{2}{3}}{\;-2\;} = -\dfrac{1}{3}$ und $\dfrac{34}{8} = \dfrac{17}{4}$, von denen der +zweite ja modulo~$10$ gebrochen, der erste aber ganz ist, natürlich +nicht kongruent sind. Hingegen folgt aus +\PageSep{061}{45} +\[ +\frac{2}{3} \equiv 34 \quad\text{und}\quad +-1 \equiv 9 \ (\mod.~10), +\] +wo $-1$ und also auch $9$ Einheiten sind, die Kongruenz der +Quotienten $-\dfrac{2}{3}$ und~$\dfrac{34}{9}$. + +Durchläuft $A$ alle Zahlen einer beliebigen, aber fest angenommenen +Klasse~$C_{A}$, $B$~alle Zahlen einer anderen festen Kongruenzklasse~$C_{B}$, +so sind alle zweifach unendlich vielen Summen $A + B$ +nach dem soeben bewiesenen Satz untereinander modulo~$g$ kongruent; +alle diese Summen gehören demnach einer und derselben +Klasse~$C_{s}$ an, die wir auch als $C_{A+B}$ bezeichnen wollen. Umgekehrt +läßt sich auch jedes Element~$S$ der Klasse~$C_{s}$ als Summe von je +einer Zahl~$\bar{A}$ aus~$C_{A}$ und $\bar{B}$ aus~$C_{B}$ darstellen; denn ist $A_{0}$ ein beliebiges +Element aus~$C_{A}$, $B_{0}$~ein beliebiges Element aus~$C_{B}$, so ist ja +nach der Definition von $C_{A+B} = C_{s}$: +\[ +S \equiv A_{0} + B_{0}, \quad\text{also}\quad +S = A_{0} + B_{0} + Ng = (A_{0} + Ng) + B_{0} = \bar{A} + \bar{B}, +\] +wenn etwa $\bar{A} = A_{0} + Ng$, $\bar{B} = B_{0}$ angenommen wird; es ist also $S$ +in der verlangten Weise dargestellt. Auf genau entsprechende Weise +ergibt sich, daß auch alle Differenzen $A - B$ und ebenso alle Produkte~$AB$ +untereinander modulo~$g$ kongruent sind, also gleichfalls +alle einer Klasse~$C_{A-B}$ bzw.\ einer Klasse~$C_{AB}$ angehören, deren sämtliche +Elemente auch als Differenzen bzw.\ als Produkte je einer Zahl +aus $C_{A}$~und~$C_{B}$ dargestellt werden können. + +Ich betrachte jetzt diese $g$~Klassen $C_{0}$, $C_{1}$,~\dots~$C_{g-1}$ selbst als +die Elemente eines \emph{Bereiches} $R(C_{0}, C_{1}, \dots C_{g-1})$ und definiere für +sie zwei Verknüpfungsoperationen, die ich wieder \so{Addition} und +\so{Multiplikation} nennen will: +\begin{Definition} +\Item{1)} Unter der Summe $C_{a} + C_{b}$ zweier Klassen $C_{a}$~und~$C_{b}$ verstehe +ich die eindeutig bestimmte Klasse, welche durch alle +Summen $A + B$ je einer Zahl~$A$ aus~$C_{a}$ und $B$ aus~$C_{b}$ gebildet +wird. + +\Item{2)} Unter dem Produkt $C_{a}C_{b}$ zweier Klassen $C_{a}$~und~$C_{b}$ +verstehe ich die eindeutig bestimmte Klasse, welche durch alle +Produkte~$AB$ je einer Zahl~$A$ aus~$C_{a}$ und $B$ aus~$C_{b}$ gebildet +wird. +\end{Definition} +\PageSep{062}{46} + +Diese Definitionen ergeben sofort den folgenden wichtigen Satz: +\begin{Theorem} +Bezeichnet der Index einer Klasse ein beliebiges ihrer Elemente, +so gilt: +\[ +C_{A} + C_{B} = C_{A+B}, \quad +C_{A}C_{B} = C_{AB}; +\] +die hierdurch für den Bereich aller Kongruenzklassen modulo~$g$ +festgelegten Operationen der Addition und Multiplikation sind +innerhalb dieses Bereiches unbeschränkt und eindeutig ausführbar +und genügen den sechs Grundgesetzen \Iref{I)}--\Iref{VI)} in Kap.~I, §~1. +\end{Theorem} + +Die ersten Behauptungen dieses Satzes fließen unmittelbar aus +den gegebenen Definitionen und den ihnen vorausgegangenen Bemerkungen; +aus diesen folgt aber auch die Gültigkeit der Grundgesetze +\Iref{I)}--\Iref{VI)}, weil ja denselben Gesetzen die jene Klassen +bestimmenden ganzen Zahlen genügen. Hervorgehoben sei nur noch, +daß bei Bezeichnung der Klassen durch beliebige ihrer Elemente +als Indizes \emph{jede Gleichung zwischen Klassen durch die entsprechende +Kongruenz zwischen ihren Indizes ersetzt werden kann und umgekehrt}; +dies folgt aus der alsdann allgemein gültigen Beziehung +$C_{A} = C_{A+Ng}$ in Verbindung mit den für Addition und Multiplikation +getroffenen Definitionen. Insbesondere ergibt sich aus der Gültigkeit +des VI.~Grundgesetzes für die Klassenaddition: +\begin{Theorem} +Die Kongruenz +\[ +A + X \equiv B \ (\mod.~g) +\] +besitzt immer eine Lösung $X \equiv B - A$ (und also auch unendlich +viele modulo~$g$ kongruente Lösungen). +\end{Theorem} + +Das siebente \DPtypo{Grundgsetz}{Grundgesetz} der unbeschränkten und eindeutigen +Division (mit Ausnahme der Division durch das Nullelement) ist +hingegen nicht immer erfüllt; denn die Gleichung +\[ +C_{A}C_{X} = C_{B} +\] +oder, was dasselbe ist, die Kongruenz $AX \equiv B \ (\mod.~g)$ besitzt ja +nach \Seite{44}~\Eq{(5)} nur dann für jedes $C_{B}$ sicher eine Lösung $X \equiv \dfrac{B}{A} \ +(\mod.~g)$ oder $C_{X} = C_{B}·\dfrac{1}{C_{A}}$, wenn $A$~eine Einheit modulo~$g$, \dh\ +$C_{A}$~eine Einheitsklasse ist. +\PageSep{063}{47} + +\begin{Theorem} +Nur dann besitzt also die Gleichung $C_{A}C_{X} = C_{B}$ für jedes~$C_{B}$ +sicher eine eindeutig bestimmte Lösung $C_{X} = \dfrac{C_{B}}{C_{A}}$, also auch +die Kongruenz $AX \equiv B \ (\mod.~g)$ eine Lösung $X \equiv \dfrac{B}{A}$, +wenn $A$~eine Einheit, \dh\ $C_{A}$ eine Einheitsklasse ist. +\end{Theorem} + +Es sollen denn auch stets nur solche Klassenquotienten als +definiert zu betrachten sein, deren Nenner Einheitsklassen sind. + +Man erkennt leicht, daß für den Fall eines Primzahlmoduls~$p$ +sämtliche Klassen mit einziger Ausnahme der Nullklasse Einheitsklassen +sind; denn der Nenner einer modulo~$p$ gebrochenen Zahl +ist ja notwendig durch $p$ teilbar, \dh\ jede nicht durch $p$ teilbare +absolut ganze Zahl, also \zB\ jede der Zahlen $1$,~$2$,~\dots~$p - 1$, ist +eine Einheit modulo~$p$. Demnach ist in diesem Fall die Division +durch jede Klasse außer der Nullklasse gestattet. + +Ist aber $g$ eine zusammengesetzte Zahl, etwa $g = g_{1}·g_{2}$, so sind +\zB\ die beiden in der Reihe $1$,~$2$,~\dots~$g - 1$ vorkommenden Zahlen $g_{1}$ +und $g_{2}$ keine Einheiten, weil $\dfrac{1}{g_{1}}$ und $\dfrac{1}{g_{2}}$ modulo~$g$ gebrochen sind. +Es gibt in diesem Fall also sicher noch außer der Nullklasse +Klassen, die keine Einheitsklassen sind. Man erkennt daher, wenn +man sich die Definitionen des Körpers und des Rings ins Gedächtnis +zurückruft, die Richtigkeit des folgenden Satzes: +\begin{Theorem} +Ist der Modul $g = p$ eine Primzahl, so bildet bei der angegebenen +\index{Korpor@{Körper der Kongruenzklassen modulo~$p$}}% +Definition von Addition und Multiplikation der Bereich +$R(C_{0}, C_{1}, \dots C_{p-1})$ aller Kongruenzklassen einen Körper, da in +ihm die Division mit Ausnahme der Division durch die Nullklasse +unbeschränkt und eindeutig ausführbar ist. Daher ist insbesondere +das Produkt von zwei modulo~$p$ ganzen Zahlen dann und +nur dann nach diesem Modul kongruent Null, wenn dasselbe +schon von einem der Faktoren gilt. + +Ist der Modul~$g$ hingegen eine zusammengesetzte Zahl, so +\index{Ring der Kongruenzklassen modulo~$g$}% +bildet der Bereich aller Kongruenzklassen nur einen Ring, +nicht auch einen Körper. In diesem Fall kann man nur +durch die Einheitsklassen unbeschränkt und eindeutig dividieren. +Für eine zusammengesetzte Zahl als Modul kann sehr wohl +\PageSep{064}{48} +ein Produkt $g_{1}g_{2}$ von Faktoren, deren keiner durch $g$ teilbar +ist, kongruent Null sein. + +In beiden Fällen ist die Nullklasse das Nullelement, die +Einsklasse das Einheitselement. + +Bei beliebigem $g$ bilden die sämtlichen Einheitsklassen eine +Gruppe oder einen Strahl in bezug auf die definierte Multiplikation. +\end{Theorem} + +Die letzte Behauptung folgt daraus, daß das Produkt und +der Quotient zweier Einheiten wieder Einheiten sind. + +Hiermit haben wir zum erstenmal Körper, Ringe und Gruppen +kennen gelernt, die nur eine \emph{endliche} Zahl von Elementen enthalten. + +\begin{Examples} +\emph{Beispiel: Die Kongruenzklassen $C_{0}$, $C_{1}$, $C_{2}$,~\dots\ $C_{11}$ modulo~$12$:} +Die Nullklasse~$C_{0}$ enthält alle Vielfachen von~$12$, die Einsklasse~$C_{1}$ +alle Zahlen von der Form $12·N + 1$, wo $N$~alle modulo~$12$ ganzen +Zahlen durchläuft, also \zB\ auch die Zahl $-\dfrac{5}{7} = 1 + 12·\left(-\dfrac{1}{7}\right)$. +Beispiele für die Addition, Subtraktion und Multiplikation der +Klassen sind: +\begin{gather*} +C_{3} + C_{5} = C_{8}, \quad +C_{9} + C_{6} = C_{3}; \quad +C_{7} - C_{10} = C_{9};\\ +C_{3}C_{4} = C_{0},\quad +C_{5}C_{8} = C_{4}. +\end{gather*} + +In Kongruenzform lauten diese Beziehungen: +\[ +3 + 5 \equiv 8,\quad +9 + 6 \equiv 3,\quad +7 - 10 \equiv 9,\quad +3·4 \equiv 0,\quad +5·8 \equiv 4 \ (\mod.~12); +\] +$x \equiv 6$ ist also die Lösung der Kongruenz $9 + x \equiv 3 \ (\mod.~12)$. + +Einheitsklassen sind $C_{1}$,~$C_{5}$, $C_{7}$,~$C_{11}$ daher hat \zB\ die Kongruenz +$5x \equiv 7 \ (\mod.~12)$ bzw.\ die Gleichung $C_{5}C_{x} = C_{7}$ die +Lösung +\[ +x \equiv \frac{7}{5} \equiv 11 \quad\text{bzw.}\quad +C_{x} = \frac{C_{7}}{C_{5}} = C_{11}, +\] +während es keine Klasse~$C_{x}$ gibt, die der Gleichung $C_{x}·C_{9} = C_{2}$ +genügt. Dagegen bilden die Klassen $C_{1}$,~$C_{5}$, $C_{7}$,~$C_{11}$ eine Gruppe, +weil das Produkt zweier Einheitsklassen wieder eine solche ist. +\PageSep{065}{49} + +Im Gegensatz hierzu bilden die Kongruenzklassen für den +Primzahlmodul~$5$: $C_{0}'$,~$C_{1}'$, $C_{2}'$, $C_{3}'$,~$C_{4}'$ einen Körper; \zB\ ist +$\dfrac{C_{2}'}{C_{4}'} = {C_{3}'}$, weil $\dfrac{2}{4} \equiv 3 \ (\mod.~5)$ ist. +\end{Examples} + + +\Section{§ 3.}{Die $g$-adischen Entwicklungen der rationalen Zahlen. +Ihre Näherungswerte.} + +Die im letzten Paragraphen durchgeführten Betrachtungen geben +\index{g-adische@{$g$-adische Darstellung d.\ rationalen Zahlen}}% +uns die Möglichkeit, für gewisse Untersuchungen eine modulo~$g$ ganze +Zahl~$A$ durch ihren kleinsten ganzzahligen nicht negativen Rest~$a_{0}$ +für diesen Modul zu ersetzen. Für weitergehende Betrachtungen +über die Beziehungen von~$A$ zu $g$ würde aber diese Reduktion noch +nicht ausreichen; man müßte vielleicht den kleinsten Rest von~$A$ +modulo~$g^{2}$ oder~$g^{3}$ oder für eine noch höhere Potenz von~$g$ als +Modul kennen. Die allgemeinste Frage dieser Art kann nun +durch die folgende Darstellung von~$A$ für den Bereich von~$g$ beantwortet +werden: + +Es sei $a_{0}$ der kleinste nicht negative ganzzahlige Rest von~$A$ +modulo~$g$; dann besteht, wie wir in~\Eq{(3^{b})} auf \Seite{43} sahen, die +folgende eindeutig bestimmte Gleichung: +\[ +\Tag{(1)} +A = a_{0} + gA_{1}, +\] +wo $A_{1}$ wieder modulo~$g$ ganz ist. Daher gilt für $A_{1}$ eine genau +ebenso gebildete Gleichung. Schreitet man in derselben Weise fort, +so erhält man eine Reihe von Gleichungen: +\[ +\Tag{(1^{a})} +\begin{alignedat}{2} +A_{1} &= a_{1} &&+ gA_{2}\\ +A_{2} &= a_{2} &&+ gA_{3}\\ +\PadTo{A_{\rho}}{\vdots}\\ +A_{\rho} &= a_{\rho} &&+ gA_{\rho+1} +\end{alignedat}. +\] +Multipliziert man die Gleichungen \Eq{(1)}~und~\Eq{(1^{a})} bzw.\ mit $1$,~$g$, $g^{2}$,~\dots~$g^{\rho}$ +und addiert sie, so heben sich die Produkte $A_{1}g$, $A_{2}g^{2}$,~\dots~$A_{\rho} g^{\rho}$ +auf beiden Seiten fort, und man erhält die folgende Darstellung +jeder beliebigen modulo~$g$ ganzen Zahl: +\[ +\Tag{(2)} +A = a_{0} + a_{1}g + a_{2}g^{2} + \dots + a_{\rho}g^{\rho} + A_{\rho+1}g^{\rho+1}, +\] +\PageSep{066}{50} +wo die Koeffizienten~$a_{i}$ eindeutig bestimmte Zahlen der Reihe +$0$,~$1$, $2$,~\dots~$g - 1$ sind, und $A_{\rho+1}$~eine modulo~$g$ ganze Zahl bedeutet. +Also: +\begin{Theorem} +Jede modulo~$g$ ganze Zahl läßt sich für den Bereich von +$g$ in eindeutiger Weise nach positiven ganzen Potenzen von $g$ +mit modulo~$g$ reduzierten Koeffizienten entwickeln und zwar +mit einem Reste, der bei genügend weiter Fortsetzung der +Reihe durch eine beliebig hohe Potenz von~$g$ teilbar ist. +\end{Theorem} + +Es erübrigt noch, die Eindeutigkeit dieser Darstellung nachzuweisen. +Gäbe es zwei verschiedene Darstellungen +\[ +A = a_{0} + a_{1}g + a_{2}g^{2} + \dots + a_{\rho}g^{\rho} + A_{\rho+1}g^{\rho+1} +\] +und +\[ +A = a'_{0} + a'_{1}g + a'_{2}g^{2} + \dots + a'_{\rho}g^{\rho} + A'_{\rho+1}g^{\rho+1} +\] +derselben Zahl~$A$, so folgte durch Subtraktion +\begin{gather*} +0 = (a_{0} - a'_{0}) + + (a_{1} - a'_{1})g + + (a_{2} - a'_{2})g^{2} + \dots + + (a_{\rho} - a'_{\rho})g^{\rho}\\ + + (A_{\rho+1} - A'_{\rho+1})g^{\rho+1}; +\end{gather*} +wäre hier $a_{k} - a'_{k}$ der erste von Null verschiedene Koeffizient, +so müßte $(a_{k} - a'_{k})g^{k}$ durch $g^{k+1}$ teilbar sein, woraus sich gegen +die Voraussetzung $a_{k} = a'_{k}$ ergäbe, da ja alle Koeffizienten $a_{i}$ und +$a'_{i}$ der Reihe $0$,~$1$,~\dots~$g - 1$ angehören. Es kann also nicht zwei +verschiedene derartige Darstellungen für die nämliche Zahl geben. + +\begin{Theorem} +Auch die modulo~$g$ gebrochenen Zahlen können in entsprechender +Weise nach Potenzen von $g$ entwickelt werden, nur +daß dann jede Reihe mit einer endlichen Anzahl von Gliedern +beginnt, die negative ganzzahlige Potenzen von $g$ enthalten: +\begin{align*}%[** Not aligned in the orignal] +\Tag{(3)} +B &= \frac{b_{-\nu}}{g^{\nu}} + + \frac{b_{-(\nu-1)}}{g^{\nu-1}} + \dots + + \frac{b_{-1}}{g}\\ + &+ b_{0} + b_{1}g + \dots + + b_{\rho} g^{\rho} + + B_{\rho+1}g^{\rho+1}. +\end{align*} +\end{Theorem} + +Ist nämlich $B = \dfrac{A}{g^{\nu}}$ die normierte Darstellung einer modulo~$g$ +gebrochenen Zahl (vgl.\ \Seite{38} unten), und entwickelt man die modulo~$g$ +ganze Zahl~$A$ für sich bis zu einem Restglied genügend +\PageSep{067}{51} +hoher Ordnung, so erhält man nach Division durch $g^{\nu}$ die obige Entwicklung, +welche ebenso wie diejenige von $A$ eindeutig ist. + +Wir wollen nunmehr die Kongruenz zweier Zahlen für eine +\index{Kongruenz!modulo $g^{\rho}$}% +\emph{beliebige auch negative} Potenz von $g$ als Modul genau so definieren, +wie dies auf \Seite{40} unten für die beliebig gewählte Zahl~$g$ geschah: +\begin{Theorem} +Zwei Zahlen $A$~und~$B$ heißen \so{kongruent für den Modul~$g^{\rho}$}, +oder es besteht für sie die Kongruenz: +\[ +\Tag{(3)} +A \equiv B \ (\mod.~g^{\rho}), +\] +wo $\rho$~eine absolut ganze positive oder auch negative Zahl bedeutet, +wenn die Differenz~$A - B$ durch $g^{\rho}$ teilbar ist, wenn also +\[ +\Tag{(3^{a})} +A = B + Ng^{\rho} +\] +gilt, wo $N$~eine modulo~$g$ ganze Zahl bezeichnet. +\end{Theorem} + +In der Folge wollen wir, um nicht immer bei der Entwicklung +einer Zahl~$A$ in eine nach Potenzen der Grundzahl fortschreitende +Reihe an ein Restglied bestimmter Ordnung gebunden +zu sein, statt der abbrechenden Reihe mit ihrem Restglied die +\emph{beliebig verlängerte Reihe ohne Restglied} betrachten und diese +\so{die $g$-adische Entwicklung der Zahl~$A$} oder die +\so{$g$-adische Reihe für~$A$} nennen. Wir können daher folgenden +Satz aussprechen: +\begin{Theorem} +Jede rationale Zahl~$A$ läßt sich auf eine einzige Weise in +eine $g$-adische Reihe +\[ +\Tag{(4)} +A = a_{n}g^{n} + a_{n+1}g^{n+1} + a_{n+2}g^{n+2} + \dots + + a_{n+\rho}g^{n+\rho} + \dots +\] +mit modulo~$g$ reduzierten Koeffizienten entwickeln. +\end{Theorem} + +Diese zwischen der Zahl~$A$ und ihrer $g$-adischen Entwicklung +definierte Gleichung ist so aufzufassen, daß $A$ sich von dem Aggregate +der $\rho + 1$~ersten Glieder obiger Reihe um ein Restglied +$A_{n+\rho+1}g^{n+\rho+1}$ unterscheidet, welches für genügend groß gewähltes +$\rho$ durch eine beliebig hohe gegebene Potenz von $g$ teilbar ist; für +jede noch so hohe positiv ganzzahlige Potenz~$g^{r+1}$ von~$g$ gilt +danach eine Kongruenz: +\[ +\Tag{(5)} +A \equiv a_{n}g^{n} + a_{n+1}g^{n+1} + \dots + a_{r}g^{r} \ (\mod.~g^{r+1}). +\] +\PageSep{068}{52} + +Ist $A = a$ eine positive absolut ganze Zahl, so bricht ihre +$g$-adische Entwicklung nach einer endlichen Zahl von Gliedern +ab, \dh\ die Koeffizienten~$a_{k}$ werden von einem bestimmten ab +alle Null. Dies folgt unmittelbar aus der Reduktionsgleichung~\Eq{(1)}, +welche hier die Form erhält: +\[ +a = a_{0} + ga_{1}^{(1)}, +\] +weil hier ersichtlich $a_{1}^{(1)}$ wieder eine positive absolut ganze Zahl bedeutet, +die \emph{kleiner als} $a$ ist, und das Entsprechende für alle weiteren +Gleichungen~\Eq{(1^{a})} gilt. Ebenso haben offenbar alle diejenigen +modulo~$g$ gebrochenen Zahlen~$\dfrac{a}{g^{r}}$, deren Zähler in der normierten +Form positiv und absolut ganz sind, abbrechende Entwicklungen. +Die $g$-adischen Reihen für alle anderen Zahlen hingegen, insbesondere +also für diejenigen modulo~$g$ ganzen Zahlen, die negativ oder gebrochen +sind, können niemals abbrechen, da ja die abbrechenden +$g$-adischen Reihen bestimmte positive ganze Zahlen darstellen. + +Wir werden eine $g$-adische Reihe oft auch abgekürzt folgendermaßen +bezeichnen: +\[ +\Tag{(6)} +A = a_{0} + a_{1}g + a_{2}g^{2} + \dots + = a_{0}\MathOrd{,}a_{1}\,a_{2}\,a_{3} \dots\ (g) +\] +oder, falls eine modulo~$g$ gebrochene Zahl dargestellt wird: +\begin{gather*} +\Tag{(6^{a})} +B = \frac{b_{-\nu}}{g^{\nu}} + \frac{b_{-(\nu-1)}}{g^{\nu-1}} + \dots + + \frac{b_{-1}}{g} + b_{0} + b_{1}g + \dots \\ + = b_{-\nu}\,b_{-(\nu-1)} \dots b_{-1}\,b_{0}\MathOrd{,}b_{1}\,b_{2} \dots\ (g), +\end{gather*} +sodaß also das Komma immer hinter dem von $g$ freien Gliede~$b_{0}$ +steht. + +\begin{Examples} +\emph{Beispiele:} Es ist: +\begin{gather*} +5673 = 3 + 7·10 + 6·10^{2} + 5·10^{3} + = 3\MathOrd{,}7650\dots + = 3\MathOrd{,}765\ (10).\\ +523\,000 = 0\MathOrd{,}00325\ (10); +\end{gather*} +ferner ist +\[ +-3 = 7\MathOrd{,}9999 \dots\ (10), +\] +wie sich aus den Identitäten +\[ +-3 = 7 + 10·(-1),\ +-1 = 9 + 10·(-1),\ \dots\ +-1 = 9 + 10·(-1) +\] +\PageSep{069}{53} +ergibt, aus denen folgt: +\[ +-3 = 7 + 10·9 + 10^{2}·9 + \dots + 10^{\rho}·9 + 10^{\rho+1}·(-1). +\] +Ebenso bestätigt man leicht die Richtigkeit der folgenden Gleichungen: +\begin{align*} +\tfrac{2}{3} &= 4\MathOrd{,}333\dots \ (10).\\ +\tfrac{172}{5} &= \tfrac{344}{10} = 44\MathOrd{,}3 \ (10).\\ +-\tfrac{7}{5} &= -\tfrac{14}{10} = 68\MathOrd{,}999\dots \ (10).\\ +-\tfrac{5}{12} &= -\tfrac{15}{36} = 335\MathOrd{,}555\dots \ (6).\\ +\tfrac{3}{8} &= 1\MathOrd{,}\overline{30}\,30\,30\dots \ (5).\\ +216 &= 1\MathOrd{,}331 \ (5).\\ +-\tfrac{4}{7} &= \overline{3,02\,142}\,302\,142\dots \ (5); +\end{align*} +die letzte Gleichung folgt \zB\ aus den Relationen: +\begin{gather*} +-\tfrac{4}{7} = 3 + 5·(-\tfrac{5}{7}),\quad +-\tfrac{5}{7} = 0 + 5·(-\tfrac{1}{7}),\quad +-\tfrac{1}{7} = 2 + 5\Add{·}(-\tfrac{3}{7}),\\ +% +-\tfrac{3}{7} = 1 + 5\Add{·}(-\tfrac{2}{7}),\quad +-\tfrac{2}{7} = 4 + 5\Add{·}(-\tfrac{6}{7}),\quad +-\tfrac{6}{7} = 2 + 5\Add{·}(-\tfrac{4}{7}),\\ +-\tfrac{4}{7} = 3 + 5\Add{·}(-\tfrac{5}{7}) \quad\text{usw.} +\end{gather*} +\end{Examples} + +Die nämliche Zahl wird in bezug auf verschiedene Grundzahlen +gänzlich verschiedene Entwicklungen besitzen, wie folgende Beispiele +im Vergleich zu den beiden zuletzt gegebenen lehren: +\begin{align*} +216 &= 0\MathOrd{,}0011011 \ (2).\\ +-\tfrac{4}{7} &= \overline{2\MathOrd{,}01021}\,201021\dots \ (3). +\end{align*} + +Bei der pentadischen Entwicklung von $\dfrac{3}{8}$ und der pentadischen +sowie der triadischen Entwicklung von $-\dfrac{4}{7}$ soll der wagerechte +Strich andeuten, daß die aus den betreffenden Ziffern gebildete +Periode sich immer wiederholt. + +Ich habe schon auf \Seite{42} bei der Ableitung der Gleichung~\Eq{(3)} +darauf aufmerksam gemacht, daß man bei der Division von $A$ +durch $g$ statt des kleinsten nicht negativen absolut ganzen +Restes~$a_{0}$, welchem $A$ modulo~$g$ kongruent ist, auch irgendeine zu +$a_{0}$ kongruente Zahl~$\bar{a}_{0}$ als Divisionsrest wählen kann. Tut man +dies, so ergeben sich statt der Gleichungen \Eq{(1)}~und~\Eq{(1^{a})} \aSeite{49} +die allgemeineren +\PageSep{070}{54} +\[ +A = \bar{a}_{0} + g\bar{A}_{1},\quad +\bar{A}_{1} = \bar{a}_{1} + g\bar{A}_{2},\ \dots, +\] +und durch dieselben Schlüsse wie \aaO\ erhält man eine +\emph{allgemeinere $g$-adische Darstellung von~$A$}, die sich, falls $A$ modulo~$g$ +ganz ist, folgendermaßen schreiben läßt: +\[ +\Tag{(7)} +A = \bar{a}_{0} + \bar{a}_{1}g + \bar{a}_{2}g^{2} + \dots + \bar{a}_{\rho}g^{\rho} + \bar{A}_{\rho+1} g^{\rho+1}, +\] +wo auch jetzt die Koeffizienten~$\bar{a}_{i}$ modulo~$g$ ganz sind, aber +nicht der Reihe $0$,~$1$,~\dots~$g - 1$ anzugehören brauchen. Auch jetzt +besteht für jede noch so hohe Potenz von $g$ eine Kongruenz: +\[ +\Tag{(7^{a})} +A \equiv \bar{a}_{0} + \bar{a}_{1}g + \dots + \bar{a}_{\rho} g^{\rho} \ (\mod.~g^{\rho+1}). +\] +Wir wollen daher hier ebenfalls $A$ der ins Unendliche verlängert +gedachten $g$-adischen Reihe gleichsetzen; die Gleichung +\[ +A = \bar{a}_{0} + \bar{a}_{1} g + \bar{a}_{2} g^{2} + \dots \ (g) +\] +soll also wieder besagen, daß sich $A$ von dem Aggregat der $\rho + 1$ +ersten Glieder der rechtsstehenden Reihe um ein Restglied $\bar{A}_{\rho+1} g^{\rho+1}$ +unterscheidet, welches für genügend großes $\rho$ durch eine vorgegebene +beliebig hohe Potenz von $g$ stets noch teilbar ist. Eine solche +Reihe, die wir auch hier in der abgekürzten Form +\[ +\Tag{(7^{b})} +A = \bar{a}_{0}\MathOrd{,}\bar{a}_{1}\,\bar{a}_{2} \dots \ (g) +\] +schreiben, wollen wir eine \so{nicht reduzierte $g$-adische +Reihe für~$A$} oder eine \so{nicht reduzierte $g$-adische +Entwicklung von~$A$} nennen, während die bisher behandelte +\index{Reduzierte u.\ nicht reduzierte $g$-adische Zahlen}% +Reihendarstellung, bei der alle Koeffizienten modulo~$g$ reduziert +sind, die \so{reduzierte} Darstellung von $A$ heißen soll. + +Die zuletzt gegebenen Entwicklungen übertragen sich ersichtlich +sofort auch auf die modulo~$g$ gebrochenen Zahlen. + +\begin{Definition} +% [** TN: Heading gesperrt in the original, but not elsewhere] +Definition: Ist +\[ +A = a_{0} + a_{1}g + \dots + a_{k}g^{k} + \dots +\] +die Darstellung einer beliebigen modulo~$g$ ganzen rationalen Zahl +für den Bereich von $g$ in der reduzierten oder auch in einer +nicht reduzierten Form, so sollen die rationalen Zahlen +\[ +\Tag{(8)}%[** TN: Set on one line in the original] +\begin{gathered} +A^{(0)} = a_{0},\quad +A^{(1)} = a_{0} + a_{1}g,\ \dots \\ +A^{(k)} = a_{0} + a_{1}g + \dots + a_{k}g^{k},\ \dots +\end{gathered} +\] +\PageSep{071}{55} +die \so{Näherungswerte nullter, erster},~\dots\ \Ord{$k$}{-ter} +\so{Ordnung} oder kürzer \so{der nullte, erste},~\dots \Ord{$k$}{-te} +\so{Näherungswert dieser Entwicklung von~$A$} +\index{Näherungswerte $g$-adischer Zahlen}% +genannt werden. Daher besteht für jeden \Ord{$k$}{-ten}~Näherungswert +$A^{(k)}$ von $A$ die Kongruenz: +\[ +\Tag{(9)} +A \equiv A^{(k)} \ (\mod.~g^{k+1}). +\] +Eben diese Näherungswerte sollen auch für jede modulo~$g$ gebrochene +Zahl +\[ +A = \frac{a_{-\rho}}{g^{\rho}} + \frac{a_{(\rho-1)}}{g^{\rho-1}} + \dots + + \frac{a_{-1}}{g} + a_{0} + a_{1}g + \dots +\] +definiert sein; der einzige Unterschied ist der, daß in diesem Fall +auch Näherungswerte negativer Ordnung: +\[ +\Tag{(10)} +\begin{gathered} +A^{(-\rho)} = \frac{a_{-\rho}}{g^{\rho}},\quad +A^{(-\rho+1)} = \frac{a_{-\rho}}{g^{\rho}} + \frac{a_{-(\rho-1)}}{g^{\rho-1}},\ \dots \\ +A^{(-1)} = \frac{a_{-\rho}}{g^{\rho}} + \frac{a_{-(\rho-1)}}{g^{\rho-1}} + \dots + \frac{a_{-1}}{g} +\end{gathered} +\] +zu denjenigen nicht negativer Ordnung +\[ +\Tag{(10^{a})} +A^{(0)} + = \frac{a_{-\rho}}{g^{\rho}} + + \frac{a_{-(\rho-1)}}{g^{\rho-1}} + \dots + + \frac{a_{-1}}{g} + a_{0} \quad\text{usw.} +\] +hinzutreten. Die Kongruenz~\Eq{(9)} bleibt dann auch für die Werte +$k = -\rho$, $k = -(\rho - 1)$,~\dots\ $k = -1$ richtig. +\end{Definition} + +\ZB~hat die Zahl $A = 216 = 0\MathOrd{,}0011011\ (2)$ die Näherungswerte +\begin{gather*} +A^{(0)} = A^{(1)} = A^{(2)} =0,\quad +A^{(3)} = 2^{3} = 8,\quad +A^{(4)} = A^{(5)} = 8 + 16 = 24,\\ +A^{(6)} = 88, +\end{gather*} +während $A^{(7)}$ und alle weiteren Näherungswerte mit der Zahl +$A = 216$ selbst identisch sind. Die Zahl $A = -\dfrac{7}{5} = 68\MathOrd{,}999\dots\ (10)$ +besitzt die Näherungswerte +\[ +A^{(-1)} = \tfrac{6}{10} = \tfrac{3}{5},\quad +A^{(0)} = \tfrac{3}{5} + 8 = 8\tfrac{3}{5},\quad +A^{(1)} = 98\tfrac{3}{5} \quad\text{usw.;} +\] +wirklich ist~\zB +\PageSep{072}{56} +\[ +98\tfrac{3}{5} \equiv -\tfrac{7}{5} \ (\mod.~10^{2}) +\] +weil $98\frac{3}{5} + \frac{7}{5} = 100$ durch $10^{2}$ teilbar ist. Schließlich hat beispielsweise +die nichtreduzierte pentadische Darstellung der Null: +$A = 0 = 5\MathOrd{,}444\dots\ (5)$ die Näherungswerte +\[ +A^{(0)} = 5,\quad +A^{(1)} = 25,\quad +A^{(2)} = 125,\quad +A^{(3)} = 625,\ \dots, +\] +die offenbar durch beliebig hohe Potenzen von $5$ teilbar werden. +\PageSep{073}{57} + + +\Chapter{Viertes Kapitel.} +{Der Ring $R(g)$ der allgemeinen $g$-adischen +Zahlen für eine beliebige Grundzahl~$g$.} + +\Section{§ 1.}{Definition der allgemeinen $g$-adischen Zahlen.} + +Die bisher durchgeführten Betrachtungen haben gezeigt, daß man +\index{g-adische@{$g$-adische}!Zahlen, allgemeine}% +jeder rationalen Zahl $A =\dfrac{m}{n}$ eine und bei Verzicht auf ausschließlich +reduzierte Darstellungen auch beliebig viele untereinander gleichwertige +Reihen $a_{n}g^{n} + a_{n+1}g^{n+1} + \dots$ zuordnen kann, deren Koeffizienten +wohldefiniert sind und, soweit man will, berechnet werden +können. Diese unendlichen Reihen oder, genauer gesagt, ihre Näherungswerte +entsprechend hoher Ordnung geben uns die Möglichkeit, +alle Eigenschaften, welche $A$ in bezug auf die Grundzahl~$g$ besitzt, +mit jeder gewünschten Genauigkeit zu erkennen. Nun werden wir +später sehen, daß wir auch die nicht rationalen, insbesondere die +sog.\ algebraischen Zahlen in ihren Beziehungen zur Grundzahl~$g$ in +gleicher Weise durch die Näherungswerte jeweils eindeutig bestimmter +$g$-adischer Reihen charakterisieren können. Wir wollen +daher sogleich an dieser Stelle die \emph{allgemeine Definition der +$g$-adischen Zahlen} aufstellen und gleichzeitig nachweisen, daß und +wie man mit ihnen, genau wie mit den gewöhnlichen Zahlen +rechnen kann, sobald einmal auch für sie die elementaren +Rechenoperationen definiert sind. + +\begin{Definition} +Definition: Wir wollen von jetzt an jede Reihe +\[ +\Tag{(1)} +A = a_{\rho} g^{\rho} + a_{\rho+1}g^{\rho+1} + \dots +\] +\PageSep{074}{58} +mit beliebigen modulo~$g$ ganzen rationalen Koeffizienten +$a_{\rho}$,~$a_{\rho+1}$,~\dots\ eine \so{$g$-adische Zahl} nennen, sobald eine Vorschrift +\index{g-adische@{$g$-adische}!Zahlen, ganze und gebrochene}% +\index{Näherungswerte $g$-adischer Zahlen}% +gegeben ist, nach der diese Koeffizienten, soweit man +will, berechnet werden können. Auch jetzt wollen wir die abgekürzte +Schreibweise +\[ +\Tag{(1^{a})} +A = 0\MathOrd{,}0 \dots 0\,a_{\rho}\,a_{\rho+1} \dots +\] +benutzen. +\end{Definition} + +So sind die Reihen, die wir jeder rationalen Zahl~$\dfrac{m}{n}$ zuordnen +konnten, $g$-adische Zahlen. + +Ich unterscheide die \so{reduzierten $g$-adischen Zahlen} +von den \so{nicht reduzierten}. Bei den ersteren sollen die +\index{Reduzierte u.\ nicht reduzierte $g$-adische Zahlen}% +Koeffizienten~$a_{i}$ stets modulo~$g$ reduzierte Zahlen sein, also der Reihe +$0$,~$1$,~\dots~$g - 1$ angehören, während sie bei den letzteren durch beliebige +modulo~$g$ ganze rationale Zahlen gebildet werden können. Eine +reduzierte Zahl: +\[ +A = a_{\rho} g^{\rho} + a_{\rho+1} g^{\rho+1} + \dots +\] +soll \so{ganz} oder \so{gebrochen} heißen, je nachdem sie mit einer +nicht negativen oder einer negativen Potenz von $g$ beginnt, je +nachdem also $\rho \geqq 0$ oder $\rho < 0$ ist. Die einer rationalen Zahl~$\dfrac{m}{n}$ +zugeordnete $g$-adische Zahl ist also ganz oder gebrochen, je +nachdem $\dfrac{m}{n}$ selbst modulo~$g$ ganz oder gebrochen ist. + +Bricht man die Entwicklung einer ganzen $g$-adischen Zahl +$A = a_{0}\MathOrd{,}a_{1}\,a_{2} \dots$ hinter dem ersten, zweiten,~\dots\ $(k + 1)$-ten Gliede +ab, so erhält man auch hier eine gesetzmäßige Folge von modulo~$g$ +ganzen rationalen Zahlen +\[ +\Tag{(2)}%[** TN: Set on one line in the original] +\begin{gathered} +A^{(0)} = a_{0},\quad +A^{(1)} = a_{0} + a_{1}g,\ \dots \\ +A^{(k)} = a_{0} + a_{1}g + \dots + a_{k}g^{k},\ \dots, +\end{gathered} +\] +die wir wieder den \so{nullten}, \so{ersten},~\dots \Ord{$k$}{-ten}~\so{Näherungswert +der $g$-adischen Zahl~$A$} nennen wollen. +Beginnt +\[ +A = \frac{a_{-\rho}}{g^{\rho}} + \frac{a_{-(\rho-1)}}{g^{\rho-1}} + \dots +\] +\PageSep{075}{59} +mit negativen Potenzen von~$g$, so beginnt auch die Reihe der Näherungswerte +$A^{(-\rho)}$,~$A^{(-\rho+1)}$,~\dots\ mit solchen von negativer Ordnung, +und alle Näherungswerte +\[ +A^{(k)} = \frac{a_{-\rho}}{g^{\rho}} + \dots + a_{k} g^{k} +\] +sind modulo~$g$ gebrochene rationale Zahlen, deren Nenner in der +normierten Darstellung $g^{\rho}$ ist. Im folgenden werde ich der Einfachheit +wegen öfter ganze $g$-adische Zahlen der Betrachtung zugrunde +legen, bemerke aber, daß die abgeleiteten Sätze und ihre +Beweise für alle $g$-adischen Zahlen gültig sind. + +\begin{Definition} +Definition: Zwei $g$-adische Zahlen +\[ +A = a_{0}\MathOrd{,}a_{1}\,a_{2} \dots a_{k} \dots \quad\text{und}\quad +A' = a_{0}'\MathOrd{,}a_{1}'\,a_{2}' \dots a_{k}' \dots +\] +heißen \so{kongruent modulo~$g^{k+1}$}, wenn ihre \Ord{$k$}{-ten}~Näherungswerte +nach der \aSeite{51} gegebenen Definition modulo~$g^{k+1}$ +kongruent sind, wenn also gilt: +\[ +A^{(k)} \equiv A'^{(k)} \ (\mod.~g^{k+1}), +\] +oder ausgeschrieben +\[ +a_{0} + a_{1}g + \dots + a_{k}g^{k} + \equiv a_{0}' + a_{1}'g + \dots + a_{k}'g^{k} \ (\mod.~g^{k+1}). +\] +\end{Definition} + +Aus dieser Kongruenz folgt sofort, daß sicher dann $A \equiv A' \ +\DPtypo{}{(}\mod.~g^{k+1})$ ist, wenn $A$~und~$A'$ in ihren $k + 1$~ersten Ziffern übereinstimmen. +\index{Kongruenz!g-adischer@{$g$-adischer Zahlen}}% +Ferner erkennt man aus der nämlichen Kongruenz +unmittelbar, daß sie, falls sie modulo~$g^{k+1}$ erfüllt ist, auch für +jede niedrigere Potenz von $g$ als Modul besteht. Endlich sieht man +leicht, daß zwei reduzierte $g$-adische Zahlen auch \emph{nur} dann +modulo~$g^{k+1}$ kongruent sein können, wenn ihre $k + 1$~ersten Ziffern +bezüglich gleich sind. In der Tat, besteht jene Kongruenz, und sind +etwa in den beiden Reihen der $k + 1$ Anfangskoeffizienten $a_{i}$ und +$a_{i}'$ die beiden ersten voneinander verschiedenen, so kann man zunächst +auf beiden Seiten die $i$~ersten Glieder fortlassen; betrachtet man die +sich so ergebende Kongruenz nur modulo~$g^{i+1}$ statt modulo~$g^{k+1}$, +so erhält man +\[ +a_{i}g^{i} \equiv a_{i}' g^{i} \ (\mod.~g^{i+1}), +\] +\dh\ die Differenz $a_{i}' - a_{i}$ muß durch $g$ teilbar sein. Da nach +\PageSep{076}{60} +Voraussetzung $a_{i}$~und~$a_{i}'$ beide modulo~$g$ reduziert sind, so muß +dazu wirklich $a_{i} = a_{i}'$ sein. + +Auf diese Betrachtungen gründe ich nun die fundamentale +\emph{Definition der Gleichheit zweier $g$-adischen Zahlen:} +\index{Gleichheit!g-adischer@{$g$-adischer Zahlen}}% +\begin{Definition} +Zwei $g$-adische Zahlen sollen dann und nur dann \so{gleich} +heißen, wenn sie für jede noch so hohe Potenz der Grundzahl~$g$ +kongruent sind. +\end{Definition} +Diese Definition erfüllt ersichtlich die an jede Definition einer +Gleichheit zu stellenden Anforderungen, da nach ihre jede Zahl sich +selbst gleich ist, ferner aus $A = B$ stets $B = A$ folgt und schließlich +die erklärte Gleichheit auch, wie man sagt, \so{transitiv} ist, insofern +sich aus $A = B$ und $B = C$ stets $A = C$ ergibt. + +Insbesondere sind hiernach zwei \emph{reduzierte} $g$-adische Zahlen +dann und nur dann gleich, wenn sie identisch sind; denn für +jedes noch so große $k$ müssen ja nach dem zuletzt Bewiesenen +ihre $k$~ersten Koeffizienten bezüglich gleich sein, damit die Zahlen +selbst gleich seien. + +Es besteht nun der wichtige Satz: +\begin{Theorem} +Jede $g$-adische Zahl ist einer eindeutig bestimmten reduzierten +Zahl gleich. +\end{Theorem} + +Sei nämlich +\[ +\bar{A} = a_{0} + a_{1}g + \dots + a_{k-1}g^{k-1} + + \bar{a}_{k}g^{k} + \bar{a}_{k+1}g^{k+1} + \dots +\] +beliebig gegeben; $\bar{a}_{k}$~sei die erste Ziffer, die noch nicht reduziert ist. +Dann ist nach \Seite{42} Mitte $\bar{a}_{k}$ einer eindeutig bestimmten Zahl~$a_{k}$ +aus der Reihe $0$,~$1$,~\dots~$g - 1$ modulo~$g$ kongruent, \dh\ es besteht +eine Gleichung +\[ +\bar{a}_{k} = a_{k} + \epsilon_{k+1} g, +\] +wo $\epsilon_{k+1}$ rational und modulo~$g$ ganz ist. Setzt man diesen Wert in +die Reihe für $\bar{A}$ ein und vereinigt dabei das Produkt~$\epsilon_{k+1}g^{k+1}$ +mit dem Glied $\bar{a}_{k+1}g^{k+1}$, so erhält man die neue $g$-adische Zahl +\[ +\bar{A}' = a_{0} + a_{1}g + \dots + a_{k}g^{k} + + (\bar{a}_{k+1} + \epsilon_{k+1}) g^{k+1} + \dots, +\] +die nach unserer Definition gleich $\bar{A}$ ist, weil alle ihre Näherungswerte +\PageSep{077}{61} +bezüglich denen von $\bar{A}$ kongruent sind. Da aber $A'$ ein reduziertes +Glied mehr als $A$ besitzt, so ergibt sich, da das Verfahren in gleicher +Weise beliebig weit fortgesetzt werden kann, in der Tat die Existenz +einer reduzierten Zahl, die gleich $\bar{A}$ ist. Mehr als \emph{einer} reduzierten +Zahl kann $A$ aber nicht gleich sein; denn zwei solche +reduzierte Zahlen müßten ja auch untereinander gleich sein, und +dies ist, wie wir wissen, nur dann möglich, wenn sie in allen +ihren Ziffern einzeln übereinstimmen. + +Das angegebene Verfahren, durch welches eine nicht reduzierte +Zahl in die ihr gleiche reduzierte übergeführt wird, ist praktisch +außerordentlich einfach durchzuführen; man erhält der Reihe nach +die Gleichungen +\[ +\Tag{(3)} +\begin{alignedat}{2} + \bar{a}_{k} &= a_{k} &&+ \epsilon_{k+1}g \\ +\epsilon_{k+1} + \bar{a}_{k+1} &= a_{k+1} &&+ \epsilon_{k+2}g \\ +\epsilon_{k+2} + \bar{a}_{k+2} &= a_{k+2} &&+ \epsilon_{k+3}g \quad\text{usw.,} +\end{alignedat} +\] +aus denen sich sukzessive die Koeffizienten $a_{k+1}$,~$a_{k+2}$,~\dots\ der reduzierten +Zahl bestimmen, für welche die Gleichung besteht: +\[ +a_{0}\MathOrd{,}a_{1}\,a_{2} \dots a_{k-1}\,\bar{a}_{k}\,\bar{a}_{k+1}\,\bar{a}_{k+2} \dots = +a_{0}\MathOrd{,}a_{1}\,a_{2} \dots a_{k-1}\,a_{k}\,a_{k+1}\,a_{k+2} \dots. +\] + +Auf Grund der soeben gewonnenen Ergebnisse wollen wir die +\index{g-adische@{$g$-adische}!Zahlen, ganze und gebrochene}% +Definition der ganzen und der gebrochenen $g$-adischen Zahlen so +erweitern, daß sie auch für die nicht reduzierten Zahlen gilt: +\begin{Definition} +Eine $g$-adische Zahl heißt \so{ganz} oder \so{gebrochen}, je nachdem +die ihr gleiche reduzierte ganz oder gebrochen ist. +\end{Definition} + +Jede nicht reduzierte $g$-adische Zahl~$A$ kann durch das soeben +angegebene Verfahren so umgeformt werden, daß ihr Anfangsglied +eine modulo~$g$ reduzierte Zahl ist. Da sich dieses bei der +weiteren Reduktion nicht mehr ändert, so entscheidet dieses allein +darüber, ob $A$ ganz oder gebrochen ist. Wir können also auch +die nicht reduzierten Zahlen~$A$ von vornherein so gegeben denken, +daß ihr Anfangsglied modulo $g$ reduziert ist. + +\begin{Examples} +\emph{Beispiele} für die Verwandlung von beliebigen $g$-adischen +Zahlen in reduzierte: +\PageSep{078}{62} +\begin{gather*} +8\MathOrd{,}30976 + = 3\MathOrd{,}40976 + = 3\MathOrd{,}40486 + = 3\MathOrd{,}40437 + = 3\MathOrd{,}404321 \ (5). \\ +75\MathOrd{,}8295 = 10\MathOrd{,}33301 \ (6). \\ +1\MathOrd{,}\,2\,3\,4\,5\,6\,7\,8\,9\,10\,11\,12\,13 \dots + = 1\MathOrd{,}\overline{2\,3\,4\,0}\,2\,3\,4\,0\,2\,3\,4\,0 \dots \ (5). \\ +g\MathOrd{,}g{-}1\ g{-}1\ g{-}1 \dots + = 0\MathOrd{,}00 \dots 0\,g\,g{-}1\ g{-}1 \dots + = 0 \ (g). \\ +g\MathOrd{,}2g{-}1\ 3g{-}2\ 4g{-}3 \dots = 0 \ (g). \\ +g^{2}\MathOrd{,}2g^{2}{-}2g\ 3g^{2}{-}4g{+}1\ 4g^{2}{-}6g{+}2 \dots = 0 \ (g). +\end{gather*} +\end{Examples} +Gleich an dieser Stelle möchte ich darauf hinweisen, wie wichtig es +ist, die wenigen einfachen Regeln für das Rechnen mit $g$-adischen +Zahlen an möglichst vielen selbstgewählten Beispielen einzuüben. +Besonders mag noch einmal die für jede Zahl bestehende Gleichung +ausdrücklich hervorgehoben werden: +\[ +a_{0}\MathOrd{,}\dots a_{i}\,a_{i+1} \dots + = a_{0}\MathOrd{,}\dots a_{i}{+}g\ a_{i+1}{-}1 \dots, +\] +welche bei anderer Bezeichnung der Koeffizienten auch so geschrieben +werden kann: +\[ +b_{0}\MathOrd{,}\dots b_{i}{-}g\ b_{i+1}{+}1 \dots + = b_{0}\MathOrd{,}\dots b_{i}\,b_{i+1} \dots. +\] +Aus diesen zwei Identitäten können die beiden folgenden, bei allen Reduktionen +immer wieder angewandten Sätze abgelesen werden: +\begin{Theorem} +Jede $g$-adische Zahl bleibt ungeändert, wenn man von +irgendeiner ihrer Ziffern eine Einheit borgt und dafür die nächstvorhergehende +Ziffer um $g$~Einheiten vermehrt. Jede $g$-adische +Zahl bleibt ungeändert, wenn man eine ihrer Ziffern um $g$~Einheiten +vermindert und dafür die nächstfolgende um eine Einheit +vermehrt. +\end{Theorem} + +Auch nach der hier gegebenen Definition der Gleichheit zweier +$g$-adischen Zahlen ist jede \so{rationale} Zahl~$A$ der ihr in~\Eq{(4)} +\aSeite{51} zugeordneten Reihe $a_{n} g^{n} + a_{n+1} g^{n+1} + \dots$ gleich; denn ihre +Näherungswerte genügend hoher Ordnung sind den Näherungswerten +von~$A$, die ja alle gleich $A$ selbst sind, für jede noch so hohe +Potenz von $g$ als Modul kongruent. + +Wir wollen endlich noch die vorher gegebene Definition der +$g$-adischen Zahlen in der Weise erweitern, daß wir von jetzt an auch +jede unendliche Reihe: +\[ +A = A_{0} + A_{1}g + A_{2}g^{2} + \dots +\] +\PageSep{079}{63} +\index{Addition der Logarithmen!$g$-adischer Zahlen}% +eine \so{$g$-adische Zahl} nennen wollen, deren Koeffizienten $A_{0}$,~$A_{1}$,~\dots\ +selber ganze \emph{$g$-adische Zahlen} sind, wenn nur wieder eine Vorschrift +gegeben ist, nach der diese Koeffizienten~$A_{i}$, soweit man will, berechnet +werden können. Auch für diese Zahlen, können wir die +Definition ihrer Näherungswerte +\[ +A^{(0)} = A_{0},\quad +A^{(1)} = A_{0} + A_{1}g,\ \dots +\] +ungeändert beibehalten und auch wieder zwei solche Zahlen $A$~und~$A'$ +\index{g-adische@{$g$-adische}!Zahlen, allgemeine}% +\index{Gleichheit!g-adhischer@{$g$-adischer Zahlen}}% +\index{Kongruenz!g-adischer@{$g$-adischer Zahlen}}% +\index{Multiplikation $g$-adischer Zahlen}% +\so{modulo~$p^{k+1}$ kongruent} nennen, wenn ihre \Ord{$k$}{-ten}~Näherungswerte +modulo~$p^{k+1}$ kongruent sind. Nennen wir also auch jetzt zwei solche +Zahlen \so{für den Bereich von $g$ gleich}, wenn sie für jede noch +so hohe Potenz von $g$ als Modul kongruent sind, so erkennt man, +daß durch diese Erweiterung der Definition einer $g$-adischen Zahl +der Bereich dieser Zahlen nicht vergrößert worden ist, daß nämlich +auch jede von diesen allgemeineren $g$-adischen Zahlen einer einzigen +reduzierten Zahl $a_{0}$,~$a_{1}$, $a_{2}$~\dots\ für den Bereich von $g$ gleich ist. In +der Tat gilt ja auch für jede $g$-adische Zahl $A_{0}$,~$A_{1}$, $A_{2}$,~\dots, welche +in den Koeffizienten von $A$ auftritt, \zB\ für~$A_{0}$, stets eine +Gleichung von der Form: +\[ +A_{0} = a_{0} + g\epsilon_{1}, +\] +wo $a_{0}$ eine Zahl der Reihe $0$,~$1$,~\dots~$g - 1$ bedeutet, und wo $\epsilon_{1}$~wieder +eine ganze $g$-adische Zahl ist. Wendet man also genau das auf +\Seite{60} auseinandergesetzte Verfahren auf diese Zahlen an, so erhält +man auch hier eine Reihe von Gleichungen: +\[ +A = A_{0}\MathOrd{,}A_{1}\, A_{2} \dots + = a_{0}\MathOrd{,}A_{1}{+}\epsilon_{1}\ A_{2} \dots + = a_{0}\MathOrd{,}a_{1}\,A_{2}{+}\epsilon_{2} \dots, +\] +durch welche $A$ sukzessive in eine eindeutig bestimmte reduzierte Zahl +übergeführt wird. Alle bisher über die $g$-adischen Zahlen bewiesenen +Sätze bleiben hiernach auch für diese allgemeineren Zahlen gültig. + + +\Section{§ 2.}{Die Addition und Multiplikation im Bereich der +$g$-adischen Zahlen.} + +Wir definieren die beiden Verknüpfungsoperationen der Addition +und der Multiplikation für die $g$-adischen Zahlen folgendermaßen: +\begin{Theorem} +Sind $A$~und~$B$ zwei beliebige $g$-adische Zahlen, so wollen +wir unter ihrer \so{Summe} $A + B$ bzw.\ unter ihrem \so{Produkt}~$AB$ +\PageSep{080}{64} +eine Zahl~$C$ bzw.\ $D$ verstehen, deren Näherungswerte +genügend hoher Ordnung für jede noch so hohe Potenz der +Grundzahl als Modul der Summe bzw.\ dem Produkt der Näherungswerte +von $A$~und~$B$ kongruent sind. Es soll also, eine +wie große Zahl~$k'$ immer vorgegeben sein mag, möglich sein, +die Zahl~$k$ so groß zu bestimmen, daß für die \Ord{$k$}{-ten} und +alle späteren Näherungswerte die folgenden Kongruenzen gelten: +\[ +\Tag{(1)} +\begin{alignedat}{2} +C^{(k)} &= (A+B)^{(k)} \equiv A^{(k)} + B^{(k)}\quad &&(\mod.~g^{k'}) \\ +D^{(k)} &= (A B)^{(k)} \equiv A^{(k)} B^{(k)} &&(\mod.~g^{k'}). +\end{alignedat} +\] +\end{Theorem} + +Man erkennt hiernach leicht die Richtigkeit des folgenden +Fundamentalsatzes: +\begin{Theorem} +Im Bereich der $g$-adischen Zahlen ist die Addition und die +Multiplikation unbeschränkt und eindeutig ausführbar. +\end{Theorem} + +Zunächst sieht man sehr leicht, daß sich \emph{eine} den Definitionsbedingungen +genügende und unbeschränkt ausführbare Art der +Addition und Multiplikation für die $g$-adischen Zahlen sofort angeben +läßt: Sind nämlich +\[ +A = a_{0}\MathOrd{,}a_{1}\,a_{2} \dots \quad\text{und}\quad +B = b_{0}\MathOrd{,}b_{1}\,b_{2} \dots +\] +irgend zwei ganze $g$-adische Zahlen, so bestehen für die Zahlen +\[ +\Tag{(2)} +\begin{aligned} +C &= (a_{0} + b_{0}) + (a_{1} + b_{1})g + (a_{2} + b_{2})g^{2} + \dots \\ +D &= a_{0}b_{0} + (a_{0}b_{1} + a_{1}b_{0})g + (a_{0}b_{2} + a_{1}b_{1} + a_{2}b_{0})g^{2} + \dots +\end{aligned} +\] +für jeden noch so hohen Wert von $k$ offenbar die Beziehungen: +\[ +\MarginTag[0.5\baselineskip]{(3)}%[** TN: Not aligned in the original] +\begin{aligned} +C^{(k)} &= (a_{0} + b_{0}) + (a_{1} + b_{1})g + \dots + (a_{k} + b_{k})g^{k} \\ + &= (a_{0} + a_{1}g + \dots + a_{k}g^{k}) + + (b_{0} + b_{1}g + \dots + b_{k}g^{k}) \\ + &= A^{(k)} + B^{(k)} \\ +D^{(k)} &= a_{0}b_{0} + (a_{0}b_{1} + a_{1}b_{0})g + \dots + + (a_{0}b_{k} + a_{1}b_{k-1} + \dots + a_{k}b_{0})g^{k} \\ + &\equiv (a_{0} + a_{1}g + \dots + a_{k}g^{k}) + (b_{0} + b_{1}g + \dots + b_{k}g^{k}) \\ + &= A^{(k)}B^{(k)} \ (\mod.~g^{k+1}). +\end{aligned} +\] +$C$ und $D$ genügen also sicher den an die Summe und das Produkt +gestellten Anforderungen, \dh\ es ist: +\[ +\Tag{(4)} +C = A + B, \quad D = AB \ (g). +\] + +Durch die Kongruenzen~\Eq{(1)} sind ferner die Näherungswerte $C^{(k)}$ +und $D^{(k)}$ von $A + B$ und~$AB$ für genügend große Werte von $k$ für +\PageSep{081}{65} +jede noch so hohe Potenz von $g$ als Modul bestimmt, und hieraus +allein folgt, daß die soeben definierten Operationen der Addition +und Multiplikation nicht bloß unbeschränkt, sondern auch eindeutig +sind. In der Tat muß nämlich jede Zahl~$C'$ bzw.\ $D'$, +welche nach dieser Definition ebenfalls gleich $A + B$ oder $AB$ ist, +gleich $C$ bzw.\ $D$ sein, da ja ihre Näherungswerte genügend hoher +Ordnung für jede noch so hohe Potenz von $g$ als Modul denen +von $C$ bzw.\ von $D$ kongruent sind. Ebenso folgt aus derselben +Überlegung, daß die beiden Fundamentalsätze "`Gleiches zu +Gleichem addiert (bzw.\ mit Gleichem multipliziert) gibt Gleiches"' im +Bereiche der $g$-adischen Zahlen gültig bleiben. + +Sind $A$~und~$B$ gebrochene $g$-adische Zahlen, ist also \zB\ +\[ +\Tag{(5)} +\begin{alignedat}{4} +A &= \frac{a_{-2}}{g^{2}} &&+ \frac{a_{-1}}{g} &&+ a_{0} &&+ \dots\ (g), \\ +B &= \frac{b_{-2}}{g^{2}} &&+ \frac{b_{-1}}{g} &&+ b_{0} &&+ \dots\ (g), +\end{alignedat} +\] +so gelten für die entsprechend wie vorhin gebildeten Zahlen +\[ +\MarginTag[0.5\baselineskip]{(6)} +\begin{gathered} +C = \frac{a_{-2} + b_{-2}}{g^{2}} + + \frac{a_{-1} + b_{-1}}{g} + + (a_{0} + b_{0}) + (a_{1} + b_{1})g + \dots \\ +% +D = \frac{a_{-2}b_{-2}}{g^{4}} + + \frac{a_{-2}b_{-1} + a_{-1}b_{-2}}{g^{3}} + + \frac{a_{-2}b_{0} + a_{-1}b_{-1} + a_{0}b_{-2}}{g^{2}} + \dots +\end{gathered} +\] +offenbar bei jedem noch so hohen Werte von $k$ die Kongruenzen bzw.\ +Gleichungen: +\[ +\MarginTag[-0.5\baselineskip]{(7)} +\begin{gathered} +C^{(k)} = A^{(k)} + B^{(k)} \\ +D^{(k)} = \frac{a_{-2}b_{-2}}{g^{4}} + \dots + + (a_{-2}b_{k+2} + a_{-1}b_{k+1} + a_{0}b_{k} + \dots + a_{k+2}b_{-2})g^{k} \\ + \equiv \left(\frac{a_{-2}}{g^{2}} + \dots + a_{k}g^{k}\right) + \left(\frac{b_{-2}}{g^{2}} + \dots + b_{k}g^{k}\right) + = A^{(k)}B^{(k)} \ (\mod.~g^{k-1}); +\end{gathered} +\] +denn in der letzten Relation sind offenbar diejenigen Glieder, +welche mit Potenzen~$g^{l}$ von $g$ multipliziert sind, deren Exponent~$l$ +kleiner als $k - 1$ ist, auf beiden Seiten identisch, während die +höheren Potenzen von $g$ modulo~$g^{k-1}$ fortgelassen werden können. +Da aber auch im letzten Fall der Exponent $k' = k - 1$ mit $k$ unbegrenzt +wächst, so ist auch hier $C = A + B$, $D = A·B$. +\PageSep{082}{66} + +Man erkennt, daß die Addition und die Multiplikation zweier +$g$-adischen Zahlen völlig der Ausführung derselben Operationen für +zwei Dezimalbrüche (und übrigens auch für zwei systematische Brüche +mit einer von $10$ verschiedenen Grundzahl) entspricht; denn ist +\[ +\Tag{(8)} +\begin{alignedat}{4} +\alpha &= a_{0} &&+ a_{1} · 10^{-1} &&+ a_{2} · 10^{-2} &&+ \dots, \\ +\beta &= b_{0} &&+ b_{1} · 10^{-1} &&+ b_{2} · 10^{-2} &&+ \dots, +\end{alignedat} +\] +so ist ja +\[ +\Tag{(9)}%[** TN: Re-broken] +\begin{aligned} +\alpha + \beta + &= (a_{0} + b_{0}) + (a_{1} + b_{1})·10^{-1} + (a_{2} + b_{2})·10^{-2} + \dots, \\ +\alpha·\beta + &= \begin{aligned}[t] + a_{0}b_{0} &+ (a_{0}b_{1} + b_{1}a_{0})·10^{-1} \\ + &+ (a_{0}b_{2} + a_{1}b_{1} + a_{2}b_{0})10^{-2} + \dots. + \end{aligned} +\end{aligned} +\] + +Will man aber die Summe oder das Produkt, nachdem man eine +solche nicht reduzierte Darstellung gewonnen hat, auf die \emph{reduzierte} +Form bringen, so muß man bei den $g$-adischen Zahlen von dem ersten +Gliede \emph{links} anfangen und nach~\Eq{(3)} auf \Seite{61} sukzessive dieses, dann +das zweite, das dritte usw.\ reduzieren, während bekanntlich bei den +Dezimalbrüchen die Reduktion gerade umgekehrt bei dem äußersten +noch berücksichtigten Gliede \emph{rechts} begonnen und in der Richtung +von rechts nach links fortgeführt wird. + +\begin{Examples} +\emph{Beispiele:} +\begin{gather*} +\begin{gathered} +\begin{array}{c@{\,}l} + & 2\MathOrd{,}3102114 \\ ++ & 3\MathOrd{,}141202132 \\ +\cline{2-2}\Strut + & 5\MathOrd{,}451413532\\ += & 0\MathOrd{,}012413042 +\end{array} +\quad(5) +\end{gathered} +\qquad\qquad +\begin{gathered} +\begin{array}{c@{\,}l} + &35\MathOrd{,}213024 \\ ++ &\Z0\MathOrd{,}0251535 \\ + &\PadTo{00\MathOrd{,}025}{}\SmDigit{1}\Z\SmDigit{1}\SmDigit{1}\SmDigit{1} \\ +\cline{2-2}\Strut + &35\MathOrd{,}23221201 +\end{array} +\quad(6) +\end{gathered} \\ +\begin{array}{l} +1\MathOrd{,}314 · 0\MathOrd{,}2103 \\ +\hline\Strut +\PadTo{1\MathOrd{,}{}}{}2628 \\ +\PadTo{1\MathOrd{,}3}{}1314 \\ +\PadTo{1\MathOrd{,}314}{}393\,12 \\ +\PadTo{1\MathOrd{,}31}{} + \SmDigit{1}\SmDigit{1}\SmDigit{2}\SmDigit{3}\,\Z\SmDigit{1}\SmDigit{2} \\ +\hline\Strut 0\MathOrd{,}221301\,\Z32 +\end{array} +\quad (5). +\end{gather*} +\end{Examples} + +Im ersten Beispiel wurde die Summe zuerst in der nicht +reduzierten Form hingeschrieben und dann erst in die reduzierte +übergeführt; im zweiten wurde sie ganz analog der Addition von +Dezimalbrüchen gleich in der reduzierten Form geschrieben, indem +die bei der Addition der Kolonnen sich ergebenden Multipla von $g$ +\PageSep{083}{67} +gleich auf die nach rechts benachbarten Stellen übergeführt wurden. +Ebenso wurde im dritten Beispiele bei Ausführung der Multiplikation +verfahren. + +Sind speziell $A$~und~$B$\; $g$-adische Darstellungen von zwei \emph{rationalen} +Zahlen $\bar{A}$~und~$\bar{B}$, so sind die hier definierten $g$-adischen Zahlen $A + B$ +und~$AB$ für den Bereich von $g$ gleich der Summe und dem Produkt +jener rationalen Zahlen, da ihre Näherungswerte genügend hoher +Ordnung~$k$ für jede noch so hohe Potenz von $g$ als Modul zu +$\bar{A}^{(k)} + \bar{B}^{(k)}$ und $\bar{A}^{(k)}\bar{B}^{(k)}$ kongruent sind. \ZB~hatten wir auf \Seite{53} +\[ +-3 = 7\MathOrd{,}999\dots\ (10) \quad\text{und}\quad +\tfrac{2}{3} = 4\MathOrd{,}333\dots\ (10), +\] +woraus man erhält: +\[ +\begin{gathered} + \begin{gathered} + \begin{array}{c@{\,}l@{\,}l} + &7\MathOrd{,}999&\dots \\ + + &4\MathOrd{,}333&\dots \\ + \cline{2-2}\Strut + &1\MathOrd{,}333&\dots + \end{array} + \ (10) + \end{gathered} + \quad\text{und}\quad + \\ + \rule{0pt}{3\baselineskip}%[** TN: Coax vertical alignment] +\end{gathered} +\begin{gathered} +\begin{array}{r@{\,}l} +(7\MathOrd{,}999\dots) & \!\rlap{${}·(4\MathOrd{,}333\dots)$} \\ +\hline\Strut +28\MathOrd{,}36\,36\,36&\dots\quad\null \\ + 21\,27\,27&\dots \\ + 21\,27&\dots \\ + 21&\dots \\ +\SmDigit{2}\,\Z\SmDigit{5}\,\Z\SmDigit{8}& \\ +\cline{1-1}\Strut +8\MathOrd{,}\Z\,9\Z\,9\Z\,9&\dots +\end{array} +\quad (10); +\end{gathered} +\] +wirklich ist, wie man sich leicht überzeugt, $1\MathOrd{,}333\dots$ die reduzierte +dekadische Entwicklung von $-3 + \frac{2}{3} = -\frac{7}{3}$, $8\MathOrd{,}999\dots$ diejenige von +$(-3)·\frac{2}{3} = -2$. + +Wir können nun leicht beweisen, daß der Bereich der $g$-adischen +Zahlen im Sinne des Kap.~1 §~5 einen Zahlenring bildet, da +in ihm die Addition, Subtraktion und Multiplikation unbeschränkt +und eindeutig ausführbar ist. + +Man bemerkt zunächst, daß der Bereich der $g$-adischen Zahlen +in den Elementen $0$~und~$1$ je ein Einheitselement für die Addition +und die Multiplikation besitzt; in der Tat ist für jede $g$-adische +Zahl~$A$ +\[ +A + 0 = A \ (g), \quad A·1 = A \ (g). +\] + +Nunmehr folgt leicht: +\begin{Theorem} +Für die innerhalb des Bereichs der $g$-adischen Zahlen definierte +\PageSep{084}{68} +Addition und Multiplikation gelten die ersten sechs der +zu Beginn des ersten Kapitels aufgestellten Grundgesetze. +\end{Theorem} + +Daß für beide Operationen das kommutative und das assoziative +Gesetz gilt, und daß auch das distributive Gesetz +\[ +A(B + C) = AB + AC +\] +erfüllt ist, folgt ja unmittelbar aus der Definition der Addition +und der Multiplikation in Verbindung mit der Tatsache, daß die +Kongruenzen für eine beliebige Potenz von $g$ als Modul jene Gesetze +befriedigen. + +Aber auch die Gültigkeit des sechsten Gesetzes von der unbeschränkten +und eindeutigen Subtraktion im Bereich der $g$-adischen +\index{Subtraktion!$g$-adischer Zahlen}% +Zahlen kann jetzt leicht bewiesen werden. Sind nämlich +\[ +A = a_{0}\MathOrd{,}a_{1}\,a_{2} \dots \quad\text{und}\quad +B = b_{0}\MathOrd{,}b_{1}\,b_{2} \dots +\] +zwei beliebige, der Kürze halber als ganz angenommene $g$-adische +Zahlen, so gibt es zunächst sicher stets überhaupt eine Zahl +\[ +\Tag{(10)} +X = (b_{0} - a_{0}) + (b_{1} - a_{1})g + (b_{2} - a_{2})g^{2} + \dots, +\] +welche der Bedingung +\[ +\Tag{(11)} +A + X = B +\] +genügt und die daher durch $B - A$ bezeichnet und die \so{Differenz} +von $B$~und~$A$ genannt werde. Speziell ist für $B = 0$: +\[ +X = -A = -a_{0} - a_{1}g - a_{2}g^{2} - \dots +\] +eine $g$-adische Zahl, für die $A + (-A) = 0$ ist. Hieraus schließt +man aber leicht, daß die durch~\Eq{(11)} definierte Zahl~$X$ eindeutig bestimmt +ist. Genügen nämlich $X$~und~$X'$ beide der Gleichung~\Eq{(11)}, +so folgt +\[ +A + X = A + X' +\] +oder nach Addition von $A' = -A$ auf beiden Seiten: +\begin{gather*} +(A' + A) + X = (A' + A) + X', \quad\text{\dh}\\ +X = X', \quad\text{\wzbw.} +\end{gather*} +\PageSep{085}{69} + +Für die rechnerische Ausführung der Subtraktion sei bemerkt, daß +oft die Hinzufügung einer nichtreduzierten Darstellung der Null, \zB\ +$0\MathOrd{,}00\dots 0\,g\,g{-}1\ g{-}1 \dots\ (g)$, zum Minuendus nützlich oder nötig +ist. \ZB~ist +\[ +\begin{gathered} + \begin{gathered} + \begin{array}{c@{\,}l} + &4\MathOrd{,}35452 \\ + - &0\MathOrd{,}2531 \\ + \cline{2-2}\Strut + &4\MathOrd{,}10142 + \end{array} + \quad(6) + \end{gathered} + \\ + \rule{0pt}{\baselineskip} +\end{gathered} +\qquad\qquad +\begin{gathered} +\begin{array}{c@{\,}ll} + &\SmDigit{0}\MathOrd{,}\SmDigit{0}\SmDigit{5}\SmDigit{4} + \SmDigit{4}\SmDigit{4}\SmDigit{4} + \SmDigit{4}\SmDigit{4}\SmDigit{4} + \SmDigit{4}\SmDigit{4}&\SmDigit{4}\dots \\ + &2\MathOrd{,}123102114 \\ +- &0\MathOrd{,}03141202132 \\ +\cline{2-2} += &2\MathOrd{,}14613453712&44 \dots\Strut \\ += &2\MathOrd{,}14123404222&44 \dots +\end{array} +\quad(5). +\end{gathered} +\] + +Bei der ersten Aufgabe kann die von links nach rechts auszuführende +Subtraktion der einzelnen entsprechenden Ziffern direkt +ausgeführt werden; bei der zweiten ist dies schon bei der dritten +Ziffer nicht möglich. Wir addieren daher vorher zum Minuendus +die darüber geschriebene Zahl $0\MathOrd{,}0544\dots$, welche ja gleich Null ist, +und können nun für jede Ziffer die Subtraktion ausführen; der so +sich ergebende Ausdruck für die Differenz erscheint aber im allgemeinen +in nicht reduzierter Form und ist dann erst in die reduzierte +Form überzuführen. +\PageSep{086}{70} + + +\Chapter{Fünftes Kapitel.} +{Die Zerlegung des Ringes aller $g$-adischen +Zahlen in seine einfachsten Bestandteile.} + +\Section{§ 1.}{Inhalt und Ziel der Untersuchung.} + +Bis jetzt wurde die beliebig angenommene Grundzahl~$g$ bei der +\index{Wert e.\ $g$-adischen Zahl f.\;d.\ Bereich e.\ Teilers v.~$g$}% +ganzen Untersuchung festgehalten. Wir werden aber sehen, daß sich +die systematische Untersuchung der Eigenschaften aller $g$-adischen +Zahlen wesentlich vereinfacht, wenn wir dieselben Zahlen in einem alsbald +näher zu definierenden Sinn für den Bereich gewisser Grundzahlen, +die Teiler von $g$ sind, untersuchen. + +Ist nämlich +\[ +g = PQ +\] +irgend eine Zerlegung der Grundzahl~$g$ in zwei Faktoren, so können +wir jeder $g$-adischen Zahl, \dh\ jeder Zahl des Ringes~$R(g)$ +\[ +A_{g} = a_{0} + a_{1}g + a_{2}g^{2} + \dots + = a_{0} + a_{1}(PQ) + a_{2}(PQ)^{2} + \dots +\] +je eine eindeutig bestimmte Zahl +\begin{alignat*}{3} +\bar{A}_{P} &= a_{0} + (a_{1}Q)P &&+ (a_{2}Q^{2})P^{2} &&+ \dots \ (P)\\ +\bar{A}_{Q} &= a_{0} + (a_{1}P)Q &&+ (a_{2}P^{2})Q^{2} &&+ \dots \ (Q) +\end{alignat*} +der beiden Ringe $R(P)$ und $R(Q)$ zuordnen, welche wir als \so{die +Werte von $A_{g}$ für den Bereich von $P$ und für den +Bereich von~$Q$} bezeichnen wollen. Sind ferner die beiden Faktoren +$P$~und~$Q$ teilerfremd, so werden wir in diesem Kapitel zeigen, +daß auch umgekehrt zu jedem System $(\bar{A}_{P}, \bar{A}_{Q})$ von zwei beliebig +\PageSep{087}{71} +angenommenen $P$-adischen und $Q$-adischen Zahlen eine einzige $g$-adische +Zahl~$A_{g}$ gehört, deren Werte für den Bereich von~$P$ und von~$Q$ +bzw.\ gleich $\bar{A}_{P}$ und $\bar{A}_{Q}$ sind. Aus diesem Grunde können wir jede +Zahl~$A_{g}$ folgendermaßen bezeichnen: +\[ +A_{g} = (\bar{A}_{P} \bar{A}_{Q}). +\] + +Sind dann +\[ +A_{g} = (\bar{A}_{P}, \bar{A}_{Q}), \quad +B_{g} = (\bar{B}_{P}, \bar{B}_{Q}) +\] +irgendwelche in dieser Form bezeichnete $g$-adische Zahlen, so können +und werden wir ohne jede Rechnung zeigen, daß für ihre Summen +und ihr Produkt die beiden Gleichungen bestehen: +\begin{align*} +A_{g} + B_{g} &= (\bar{A}_{P} + \bar{B}_{P}, \bar{A}_{Q} + \bar{B}_{Q})\\ +A_{g} B_{g} &= (\bar{A}_{P} \bar{B}_{P}, \bar{A}_{Q} \bar{B}_{Q}). +\end{align*} + +Also ist der Ring~$R(g)$ in genau derselben Weise aus den +beiden Ringen $R(P)$ und $R(Q)$ komponiert, wie dies für den aus +den Körpern $K$~und~$K'$ komponierten Ring~$R(K, K')$ \aSeite{14} flgde.\ +der Fall war. Hieraus folgt, daß man, anstatt den Ring~$R(g)$ zu +untersuchen, die beiden einfacheren Ringe $R(P)$ und $R(Q)$ betrachten +kann, deren Grundzahlen komplementäre teilerfremde Divisoren von $g$ +sind. Dieselbe Zerlegung kann man weiter auf die neuen Zahlringe +$R(P)$ und $R(Q)$ anwenden und damit so lange fortfahren, +bis die Grundzahlen aller so sich ergebenden Zahlringe Primzahlpotenzen~$p^{s}$ +geworden sind. Von diesen einfachsten Zahlringen +$R(p^{s})$ werde ich endlich zeigen, daß in ihnen nicht bloß die +Addition, Subtraktion und Multiplikation, sondern auch die Division +unbeschränkt und eindeutig ausführbar ist; diese sind also +Zahlkörper, in welchen alle vier elementaren Rechenoperationen +ausgeführt werden können; und so läßt sich die Frage nach den +Eigenschaften aller Zahlringe von $g$-adischen Zahlen vollständig +ersetzen durch die Betrachtung gewisser Zahlkörper, welche keine +prinzipiellen Schwierigkeiten darbietet. So reduziert sich \zB\ die +Theorie der hexadischen Zahlen +\[ +A_{6} = a_{0} + a_{1}·6 + a_{2}·6^{2} + \dots +\] +auf diejenige der dyadischen und der triadischen Zahlen +\PageSep{088}{72} +\begin{align*} +\bar{B}_{2} &= b_{0} + b_{1}·2 + b_{2}·2^{2} + \dots +\intertext{und} +\bar{C}_{3} &= c_{0} + c_{1}·3 + c_{2}·3^{2} + \dots\DPtypo{}{.} +\end{align*} + +So ist \zB\ die hexadische Zahl $1\MathOrd{,}50321$ eindeutig bestimmt +durch ihren dyadischen Wert $1\MathOrd{,}1100100110101$ und ihren triadischen +Wert $1\MathOrd{,}10110021$, was wir durch die Gleichung ausdrücken: +\[ +1\MathOrd{,}50321_{6} + = (1\MathOrd{,}1100100110101_{2},\ 1\MathOrd{,}10110021_{3}). +\] + +Ebenso bestehen für die beiden dekadischen Zahlen +\[ +5\MathOrd{,}213023\dots_{10} \quad\text{und}\quad 2\MathOrd{,}110100\dots_{10} +\] +die beiden Gleichungen +\begin{align*} +5\MathOrd{,}213023\dots_{10} + &= (1\MathOrd{,}010110\dots_{2},\ 0\MathOrd{,}000000\dots_{5})\\ +2\MathOrd{,}110100\dots_{10} + &= (0\MathOrd{,}000000\dots_{2},\ 2\MathOrd{,}240130\dots_{5}). +\end{align*} + + +\Section{§ 2.}{Die Beziehungen zwischen $g$-adischen Zahlen mit verschiedener +Grundzahl.} + +Der soeben angedeuteten Reduktion unserer Aufgabe schicke ich +zunächst einige fast selbstverständliche Bemerkungen über die Beziehungen +$g$-adischer Zahlen mit verschiedener Grundzahl voraus. + +Ist +\[ +A = a_{0} + a_{1}g + a_{2}g^{2} + \dots +\] +eine beliebige, nur der Einfachheit wegen als ganz angenommene +$g$-adische Zahl, und sind +\[ +A^{(0)} = a_{0},\quad +A^{(1)} = a_{0} + a_{1}g,\ \dots +\] +ihre sukzessiven Näherungswerte, so ist allgemein +\[ +A^{(i)} - A^{(i-1)} = a_{i}g^{i} \quad(i = 1, 2, \dots), +\] +so daß man folgende Darstellung der Zahl~$A$ durch ihre Näherungswerte +erhält: +\[ +A = A^{(0)} + (A^{(1)} - A^{(0)}) + (A^{(2)} - A^{(1)}) + \dots\DPtypo{}{.} +\] +Ebensogut kann man $A$ \zB\ auch durch die Näherungswerte +\PageSep{089}{73} +\[ +A^{(2)},\quad A^{(5)},\quad A^{(8)},\quad A^{(11)},\ \dots +\] +in der Form +\begin{gather*} +A = A^{(2)} + (A^{(5)} - A^{(2)}) + (A^{(8)} - A^{(5)}) + \dots \\ + = (a_{0} + a_{1}g + a_{2}g^{2}) + + (a_{3} + a_{4}g + a_{5}g^{2})g^{3} + + (a_{6} + a_{7}g + a_{8}g^{2})g^{6} + \dots, +\end{gather*} +\dh\ als eine Zahl mit der Grundzahl~$g^{3}$ darstellen, wie aus der Definition +der Gleichheit unmittelbar folgt. Allgemeiner findet man in +dieser Weise eine Darstellung von $A$ durch die Näherungswerte +\[ +A^{(k-1)},\quad A^{(2k-1)},\quad A^{(3k-1)},\ \dots, +\] +wo $k$ irgendeine ganze positive Zahl bezeichnet, in der Form +\begin{gather*} +A = A^{(k-1)} + (A^{(2k-1)} - A^{(k-1)}) + (A^{(3k-1)} - A^{(2k-1)}) + \dots \\ + = (a_{0} + a_{1}g + \dots + a_{k-1}g^{k-1}) + + (a_{k} + a_{k+1}g + \dots + a_{2k-1}g^{k-1})g^{k} \\ + + (a_{2k} + a_{2k+1}g + \dots + a_{3k-1}g^{k-1})g^{2k} + \dots; +\end{gather*} +hierdurch ist also die $g$-adische Zahl~$A$ als eine nach Potenzen der +Grundzahl~$g^{k}$ fortschreitende Reihe dargestellt. + +Umgekehrt kann selbstverständlich jede $g^{k}$-adische Zahl +\[ +A = a^{(0)} + a^{(1)}g^{k} + a^{(2)}g^{2k} + \dots +\] +als eine nach Potenzen von $g$ fortschreitende Reihe mit nicht reduzierten +Koeffizienten angesehen werden, in der insbesondere die Koeffizienten +von $g$,~$g^{2}$,~\dots~$g^{k-1}$, $g^{k+1}$,~\dots\ sämtlich Null sind, und diese kann dann +in ihre reduzierte Form übergeführt werden. Es folgt daher +speziell: +\begin{Theorem} +Ist die Grundzahl $g = p^{k}$ eine Primzahlpotenz, so können +alle Zahlen mit der Grundzahl~$p^{k}$ +\[ +A = a_{0} + a_{1}p^{k} + a_{2}p^{2k} + \dots +\] +auch als $p$-adische Zahlen, \dh\ in der Form +\[ +A = a^{(0)} + a^{(1)}p + a^{(2)}p^{2} + \dots +\] +dargestellt werden. +\end{Theorem} + +\ZB~kann man die Zahl +\[ +800 = 8 + 7·9 + 0\DPtypo{}{·}9^{2} + 1·9^{3} = 8,701 \ (9) +\] +\PageSep{090}{74} +auch schreiben als +\[ +800 = (2 + 2·3) + (1 + 2·3)3^{2} + (0 + 0·3)3^{4} + 1·3^{6} = 2\MathOrd{,}212001 \ (3); +\] +ebenso folgt aus der Darstellung von $-\frac{1}{15}$ für die Grundzahl~$25$ +\[ +-\tfrac{1}{15} + = \tfrac{15}{25} + 16 + 16·25 + 16·25^{2} + \dots + = 15\,16\MathOrd{,}16\,16\,16\dots\ (25) +\] +die pentadische Darstellung von~$-\frac{1}{15}$: +\begin{gather*} +-\tfrac{1}{15} + = (0 + 3·5)·5^{-2} + (1+ 3·5) + (1 + 3·5)5^{2} + \dots \\ + = 31\MathOrd{,}3131 \dots\ (5). +\end{gather*} + +Sind ferner $g$~und~$g'$ zwei Grundzahlen, welche beide die nämlichen +Primfaktoren $p$,~$q$,~\dots~$r$, nur in verschiedenen Potenzen enthalten, +so gibt es sicher eine niedrigste Potenz~$g^{k}$ von~$g$, die durch $g'$ +teilbar ist, und ebenso eine niedrigste Potenz~$g'^{k'}$ von~$g'$, die ein Vielfaches +von $g$ ist. Dann erkennt man sofort, daß jede $g$-adische +Zahl~$A$ auch als $g'$-adische Zahl und umgekehrt jede $g'$-adische als +$g$-adische Zahl dargestellt werden kann; denn es ist ja +\begin{gather*} +A = A^{(k-1)} + (A^{(2k-1)} - A^{(k-1)}) + (A^{(3k-1)} - A^{(2k-1)}) + \dots \\ + = a_{0}' + a_{1}'g + a_{2}'g'^{2} + \dots, +\end{gather*} +weil jede der oben stehenden Differenzen +\[ +(A^{(2k-1)} - A^{(k-1)}),\quad +(A^{(3k-1)} - A^{(2k-1)}),\ \dots, +\] +bzw.\ durch $g^{k}$,~$g^{2k}$,~\dots, also durch $g'$,~$g'^{2}$~\dots\ teilbar ist; umgekehrt +ist ebenso für eine $g'$-adische Zahl~$A'$: +\begin{gather*} +A' = A'^{(k'-1)} + (A'^{(2k'-1)} - A'^{(k'-1)}) + + (A'^{(3k'-1)} - A'^{(2k'-1)}) + \dots \\ + = a_{0} + a_{1}g + a_{2}g^{2} + \dots, +\end{gather*} +\dh\ $A'$ ist auch als $g$-adische Zahl darstellbar. Hieraus ziehen wir +die praktisch wichtige Folgerung: +\begin{Theorem} +Bei der Untersuchung beliebiger $g$-adischer Zahlen kann man +statt der Grundzahl $g = p^{h}q^{k} \dots r^{l}$ diejenige reduzierte Grundzahl +$g_{0} = pq \dots r$ nehmen, welche dieselben Primfaktoren wie~$g$, +aber jeden nur in der ersten Potenz enthält. +\end{Theorem} + +\ZB~ist zu $12 = 2^{2}·3$ die in diesem Sinn zugehörige reduzierte +Zahl $2·3 = 6$; es ist $12^{1}$ teilbar durch~$6$, also $k = 1$. Daher ist \zB\ +\PageSep{091}{75} +\begin{align*}%[** Re-broken] +-\tfrac{5}{12} + &= 7·12^{-1} + 11 + 11·12 + 11·12^{2} + \dots \\ + &= 21·6^{-2} + 11 + 22·6 + 44·6^{2} + \dots \\ + &= \begin{aligned}[t] + (3 + 3·6)\Add{·} 6^{-2} + (5 + 1·6) &+ (4 + 3·6)·6 \\ + &\quad+ (2 + 1·6 + 1·6^{2})\Add{·} 6^{2} + \dots + \end{aligned} \\ + &= 3·6^{-2} + 3·6^{-1} + 5 + 5·6 + 5·6^{2} + \dots; +\end{align*} +man kann also an Stelle der Zahl $7\,11\MathOrd{,}\,11\,11\dots\ (12)$ ebensogut die +hexadische Zahl $3\,3\,5\MathOrd{,}\,5\,5\dots\ (6)$ untersuchen. + +Auf Grund dieser Betrachtungen wollen wir die folgende \emph{erweiterte +Definition der Gleichheit zweier Zahlen} +\index{Gleichheit!für den Bereich von~$g$}% +\[ +A = a_{0} + a_{1}g + \dots\ (g),\quad +A' = a_{0}' + a_{1}'g' + \dots\ (g') +\] +aufstellen, \emph{deren Grundzahlen $g$~und~$g'$ von einander verschieden +sind}. Wir betrachten auch hier die beiden Reihen von Näherungswerten +\begin{alignat*}{3} +A^{(0)} &= a_{0}, &A^{(1)} &= a_{0} + a_{1}g,\quad && \dots \ (g) \\ +A'^{(0)} &= a_{0}',\quad &A'^{(1)} &= a_{0}' + a_{1}'g', && \dots \ (g') +\end{alignat*} +und nennen $A$ und $A'$ \so{gleich für den Bereich von~$g'$}, +wenn ihre Näherungswerte genügend hoher Ordnung einander für jede +noch so hohe Potenz von $g'$ als Modul kongruent sind. Ebenso sollen +$A$~und~$A'$ \so{gleich für den Bereich von~$g$} heißen, wenn +die entsprechenden Kongruenzen für jede noch so hohe Potenz von $g$ +erfüllt sind. + +So sind \zB\ die beiden vorher betrachteten Zahlen +\begin{align*} +A &= A^{(0)} + (A^{(1)} - A^{(0)}) + (A^{\DPtypo{(0)}{(2)}} - A^{(1)}) + \dots \ (g) \\ +A' &= A^{(2)} + (A^{(5)} - A^{(2)}) + (A^{(8)} - A^{(5)}) + \dots \ (g^{3}), +\end{align*} +von denen die erste eine Zahl von der Grundzahl~$g$, die zweite eine +solche von der Grundzahl~$g^{3}$ darstellt, nach dieser neuen Definition +einander gleich sowohl für den Bereich von $g$ als auch für den von~$g^{3}$; +denn ihre Näherungswerte sind bzw.\ +\[ +A^{(0)},\ A^{(1)},\ A^{(2)},\ A^{(3)},\ \dots \quad\text{und}\quad +A^{(2)},\ A^{(5)},\ A^{(8)},\ A^{(11)},\ \dots +\] +und für eine beliebig hohe Potenz von $g$ sowohl als von $g^{3}$ als Modul +werden diese schließlich zueinander kongruent. Ist allgemeiner $g^{k}$ +durch $g'$ teilbar, so sind die beiden Zahlen +\PageSep{092}{76} +\begin{gather*} +A = a_{0} + a_{1}g + a_{2}g^{2} + \dots \ (g) \\ +A' = A^{(k-1)} + (A^{(2k-1)} - A^{(k-1)}) + (A^{(3k-1)} - A^{(2k-1)}) + \dots \ (g'), +\end{gather*} +von denen die zweite nach dem letzten Resultat für den Bereich von +\index{Gleichheit!zweier Ringe m.\ verschiedener Grundzahl}% +$g'$ einer $g'$-adischen Zahl gleich ist, für diesen Bereich einander gleich, +weil die Näherungswerte von $A$~und~$A'$ +\begin{gather*} +A^{(0)},\ A^{(1)},\ A^{(2)},\ \dots \\ +A^{(k-1)},\ A^{(2k-1)},\ A^{(3k-1)},\ \dots +\end{gather*} +für genügend große Indizes einander für jede noch so hohe Potenz +von $g'$ als Modul kongruent werden. + +Ein Ring~$R(g)$ von $g$-adischen Zahlen soll ein \so{Teilbereich} +eines andern Ringes~$R(g')$ von $g'$-adischen Zahlen heißen, wenn zu jeder +Zahl~$A$ aus $R(g)$ eine ihr für den Bereich von $g'$ gleiche $A'$ innerhalb +$R(g')$ gehört. Sind dann $A$~und~$B$ zwei beliebige Zahlen in~$R(g)$ +und sind $A'$~und~$B'$ diejenigen Zahlen im Teilbereich~$R(g')$, welche +ihnen gleich sind, so sind den Zahlen $A + B$, $A - B$,~$AB$ offenbar +die Zahlen $A' + B'$, $A' - B'$,~$A'B'$ in dem Teilbereich beziehlich +gleich. + +\begin{Theorem} +Ist $R(g)$ ein Teilbereich von $R(g')$ und auch umgekehrt $R(g')$ +\index{Teilbereich e.\ Ringes}% +ein Teilbereich von~$R(g)$, so sollen beide Ringe als \so{gleich} bezeichnet +werden; ich schreibe diese Beziehung in der Form: +\[ +R(g) = R(g'). +\] +\end{Theorem} + +Nach dem soeben Dargelegten ist $R(g) = R(g')$, wenn die beiden +Grundzahlen $g$~und~$g'$ dieselben Primfaktoren enthalten, wenn also $g^{k}$ +durch $g'$ und $g'^{k'}$ durch $g$ teilbar ist. Speziell ist \zB: +\[ +R(p^{k}) = R(p),\quad +R(p^{k}q^{l} \dots r^{m}) = R(pq \dots r). +\] + +Dagegen ist $R(P)$ ein \emph{eigentlicher} Teilbereich von~$R(g)$, wenn +die Grundzahl~$P$ ein Teiler von $g$ ist, der mindestens einen Primfaktor +von $g$ nicht enthält. Dann gehört nämlich zu jeder $g$-adischen Zahl~$A$ +eine eindeutig bestimmte $P$-adische Zahl~$\alpha$, die jener für den Bereich +von $P$ gleich ist. Ist nämlich +\[ +g = PQ, +\] +so ist ja: +\PageSep{093}{77} +\begin{gather*} +A = a_{0} + a_{1}g + a_{2}g^{2} + \dots + = a_{0} + (a_{1} Q) P +(a_{2} Q^{2}) P^{2} + \dots \\ + = \alpha_{0} + \alpha_{1} P + \alpha_{2} P^{2} + \dots + = \alpha\ (P), +\end{gather*} +wo allgemein $\alpha_{i} = a_{i} Q^{i}$ ist. $\alpha$~ist dann eine eindeutig bestimmte +$P$-adische Zahl; denn je zwei zu $A$ für den Bereich von $P$ gleiche Zahlen +$\alpha$~und~$\alpha'$ sind ja für diesen Bereich einander gleich, eben weil sie für +diesen Bereich beide gleich $A$ sind. Wir wollen~$\alpha$, wie bereits erwähnt +wurde, den \so{Wert von $A$ für den Bereich von~$P$} nennen. +\index{Wert e.\ $g$-adischen Zahl f.\;d.\ Bereich e.\ Teilers v.~$g$}% + +Während also zu jeder Zahl~$A$ von $R(g)$ eine ihr gleiche~$\alpha$ aus +$R(P)$ gehört, ist das Umgekehrte nicht der Fall; denn eine $P$-adische +Zahl +\[ +\alpha = \alpha_{0} + \alpha_{1} P + \alpha_{2} P^{2} + \dots +\] +besitzt überhaupt nur dann Näherungswerte, die sich als Näherungswerte +einer $g$-adischen Zahl betrachten lassen, wenn mit wachsendem +Index~$i$ jedes Glied~$\alpha_{i} P^{i}$ von genügend hoher Ordnung durch jede noch +so hohe Potenz von $g = PQ$ teilbar ist; dies ist aber im allgemeinen nicht +der Fall, sobald $Q$ auch nur einen nicht in $P$ auftretenden Primfaktor +enthält. In diesem Fall ist also wirklich $R(P)$ ein eigentlicher Teilbereich +von~$R(g)$. So gehört \zB\ zu der triadischen Zahl +\[ +\alpha = 3 + (5·2)·3 + + (3·2^{2})\Add{·}3^{2} + + (5·2^{3})\Add{·}3^{3} + + (3·2^{4})\Add{·}3^{4} + \dots +\] +zwar die ihr gleiche hexadische Zahl +\[ +A = 3 + 5·6 + 3·6^{2} + 5·6^{3} + 3·6^{4} + \dots, +\] +dagegen existiert zu der triadischen Zahl +\[ +\bar{\alpha} = 3 + 5·3 + 3·3^{2} + 5·3^{3} + \dots +\] +keine ihr gleiche hexadische Zahl. + +Ebenso gibt es offenbar auch einen eindeutig bestimmten $Q$-adischen +Wert der oben angegebenen $g$-adischen Zahl~$A$, nämlich die Zahl +\[ +\beta = \beta_{0} + \beta_{1} Q + \beta_{2} Q^{2} + \dots + = a_{0} + (a_{1} P)Q + (a_{2} P^{2})Q^{2} + \dots, +\] +wo, also allgemein $\beta_{i} = a_{i} P^{i}$ ist; dagegen gilt auch hier das Umgekehrte +nicht; auch $R(Q)$ ist also ein eigentlicher Teilbereich von~$R(g)$. +\PageSep{094}{78} + + +\Section{§ 3.}{Die Zerlegung des Ringes~$R(g)$ in die beiden Ringe +$R(P)$ und $R(Q)$.} + +Ich will jetzt untersuchen, in welcher Beziehung die Zahlen eines +Ringes~$R(g)$ zu den Zahlen eines eigentlichen Teilbereichs $R(P)$ stehen, +dessen Grundzahl~$P$ ein Teiler von $g = PQ$ ist. Hierbei kann ich, ohne +die Allgemeinheit der Resultate zu beeinträchtigen, die Annahme +machen, daß die beiden komplementären Faktoren $P$~und~$Q$ teilerfremd +sind, also keinen Primfaktor gemeinsam haben. Besitzt nämlich~$g$, +was wir ja voraussetzen konnten, nur einfache Primfaktoren, so ist +jene Annahme für \emph{jede} Zerlegung $g = PQ$ von $g$ erfüllt. Nach dem +oben Bewiesenen gehört dann zu jeder Zahl~$A$ aus $R(g)$ eine eindeutig +bestimmte $P$-adische Zahl~$\alpha$, welche ihr für den Bereich von $P$ gleich +ist, nämlich der Wert von $A$ für den Bereich von~$P$. + +Ist umgekehrt im Ring~$R(P)$ eine $P$-adische Zahl +\[ +\alpha = \alpha_{0} + \alpha_{1}P + \alpha_{2}P^{2} + \dots +\] +ganz beliebig gegeben, so gibt es, wie wir jetzt beweisen wollen, mindestens +eine solche $g$-adische Zahl +\[ +X = x_{0} + x_{1}g + x_{2}g^{2} + \dots, +\] +daß $X = \alpha\ (P)$ wird, daß also gerade diese Zahl~$\alpha$ der $P$-adische Wert +von $X$ ist. In der Tat, soll +\[ +x_{0} + x_{1}PQ + x_{2}P^{2}Q^{2} + \dots + = \alpha_{0} + \alpha_{1}P + \alpha_{2}P^{2} + \dots \ (P) +\] +sein, so können wir zunächst $x_{0} = \alpha_{0}$ annehmen. Lassen wir dann die +beiden gleichen Zahlen $\alpha_{0}$~und~$x_{0}$ fort und dividieren auf beiden Seiten +durch~$PQ$, so schreibt sich die obige Gleichung so: +\[ +x_{1} + x_{2}PQ + \dots = Q^{-1} (\alpha_{1} + \alpha_{2}P + \dots) \ (P). +\] +Da $(P, Q) = 1$ ist, so ist $Q^{-1}$ eine modulo~$P$ ganze Zahl, kann also als +reduzierte ganze $P$-adische Zahl geschrieben werden; multipliziert man +dann auf der rechten Seite aus, so erhält man eine $P$-adische Zahl: +\[ +\beta_{1} + \beta_{2}P + \dots. +\] +In der sich so ergebenden Gleichung +\PageSep{095}{79} +\[ +x_{1} + x_{2}PQ + \dots = \beta_{1} + \beta_{2}P + \dots \ (P) +\] +kann man wieder $x_{1} = \beta_{1}$ setzen, worauf man durch genau dasselbe +Verfahren wie vorher zur Bestimmung der übrigen $x_{i}$ eine neue Gleichung +\[ +x_{2} + x_{3}PQ + \dots = \gamma_{2} + \gamma_{3}P + \dots \ (P) +\] +erhält. Fährt man in derselben Weise fort, so kann man die unbekannten +Koeffizienten $x_{0}$,~$x_{1}$, $x_{2}$,~\dots, soweit man will, bestimmen, \dh\ man +erhält eine wohldefinierte $g$-adische Zahl~$X$, deren $P$-adischer Wert +gleich der beliebig angenommenen $P$-adischen Zahl~$\alpha$ ist. + +Ebenso kann man natürlich auch eine $g$-adische Zahl~$Y$ finden, +deren $Q$-adischer Wert gleich einer beliebig angenommenen $Q$-adischen +Zahl $\beta = \beta_{0} + \beta_{1}Q + \dots$ ist. + +In beiden Fällen ist aber durch je eine von diesen Forderungen +die $g$-adische Zahl~$X$ bzw.\ $Y$~noch keineswegs eindeutig bestimmt; im +Gegenteil, ich zeige jetzt, daß man stets eine $g$-adische Zahl~$A$ so wählen +kann, daß ihr Wert für den Bereich von $P$ gleich einer ganz beliebig +gewählten $P$-adischen Zahl~$\alpha$, ihr Wert für den Bereich von $Q$ gleich +einer beliebig gegebenen $Q$-adischen Zahl $\beta$ ist. Erst durch diese beiden +Festsetzungen zusammen ist $A$ eindeutig bestimmt. Ich beweise also +den merkwürdigen und wichtigen Satz: +\begin{Theorem} +Im Ringe~$R(g)$ der $g$-adischen Zahlen gibt es eine einzige Zahl~$A$, +deren Werte für die Teilbereiche $R(P)$ und $R(Q)$ je eine beliebig +vorgegebene $P$-adische und $Q$-adische Zahl sind. +\end{Theorem} +Der vollständige Beweis dieses Fundamentalsatzes kann auf denjenigen +des folgenden Spezialfalles desselben zurückgeführt werden: +\begin{Theorem} +Im Ringe der $g$-adischen Zahlen gibt es eine Zahl, die für den +Bereich von $P$ den Wert~$1$, für den Bereich von $Q$ den Wert~$0$ besitzt. +Diese Zahl soll in der Folge durch $1_{P}$ bezeichnet werden. +\end{Theorem} + +Eine solche $g$-adische Zahl kann folgendermaßen gebildet werden: +Da $(P, Q) = 1$ ist, so kann man nach \Seite{24}~\Eq{(2)} zwei ganzzahlige Multiplikatoren +$\lambda$~und~$\mu$ so bestimmen, daß +\[ +\mu Q - \lambda P = 1 +\] +ist; dann hat man also in +\PageSep{096}{80} +\[ +\xi = 1 + \lambda P = \mu Q +\] +eine Zahl, die den beiden Kongruenzen +\[ +\Tag{(1)} +\xi \equiv 1 \ (\mod.~P),\quad +\xi \equiv 0 \ (\mod.~Q) +\] +genügt. Hieraus folgt aber sofort, daß die Zahlen der Reihe +\[ +\xi,\ \xi^{g},\ \xi^{g^{2}},\ \xi^{g^{3}},\ \dots +\] +die Eigenschaft haben, daß allgemein die Beziehungen gelten: +\[ +\Tag{(2)} +\xi^{g^{i}} \equiv 1 \ (\mod.~P^{i+1}),\quad +\xi^{g^{i}} \equiv 0 \ (\mod.~Q^{i+1}). +\] +Die Richtigkeit der zweiten Serie von Kongruenzen zunächst ist evident, +da ja wegen der zweiten Kongruenz~\Eq{(1)} $\xi^{g^{i}}$~sogar durch die viel +höhere Potenz $Q^{g^{i}}$ von $Q$ teilbar ist. Den Beweis für das Bestehen +der ersten Kongruenzenserie~\Eq{(2)} führen wir induktiv, ausgehend von +der bereits bewiesenen ersten Behauptung~\Eq{(1)} für $i = 0$. Es sei also +für einen bestimmten Wert $i = k$ schon bewiesen, daß +\[ +\Tag{(3)} +\xi^{g^{k-1}} \equiv 1 \ (\mod.~P^{k}) +\] +ist, was sich auch in der Form +\[ +\xi^{g^{k-1}} = 1 + h P^{k} +\] +schreiben läßt. Erhebt man diese Gleichung in die \Ordsup{$g$}{-te}${}={}$\Ordsup{$(PQ)$}{-te} Potenz +und entwickelt die rechte Seite nach dem binomischen Lehrsatz, +so ergibt sich: +\[ +\xi^{g^{k}} = (1 + h P^{k})^{PQ} + = 1 + PQh P^{k} + \frac{PQ(PQ - 1)}{1·2}h^{2}P^{2k} + \dots, +\] +wo rechts alle auf das zweite Glied folgenden Summanden mindestens +durch die \Ordsup{$(2k)$}{-te}~Potenz von $P$ teilbar sind. Da aber das zweite Glied +rechts durch $P^{k+1}$ teilbar ist und für $k \geqq 1$ stets $2k \geqq k + 1$ gilt, +so zieht die Kongruenz~\Eq{(3)} die andere +\[ +\xi^{g^{k}} \equiv 1 \ (\mod.~P^{k+1}) +\] +nach sich; da vermöge der ersten Kongruenz~\Eq{(1)} die Beziehung~\Eq{(3)} für +$k = 1$ richtig ist, so ist in der Tat die Allgemeingültigkeit auch der +ersten Kongruenzenserie~\Eq{(2)} nachgewiesen. +\PageSep{097}{81} + +Aus den Potenzen $\xi$,~$\xi^{g}$,~$\xi^{g^{2}}$,~\dots\ von $\xi$ kann man leicht eine $g$-adische +Zahl bilden, die für den Bereich von $P$ den Wert Eins, für den +Bereich von $Q$ den Wert Null hat, nämlich die Zahl +\[ +\Tag{(4)} +1_{P} = \xi + (\xi^{g} - \xi) + (\xi^{g^{2}} - \xi^{g}) + (\xi^{g^{3}} - \xi^{g^{2}}) + \dots. +\] +Daß diese Reihe zunächst überhaupt eine $g$-adische Zahl darstellt, +wird nachgewiesen sein, sobald gezeigt ist, daß +\[ +\xi^{g} - \xi = g\xi_{1},\quad +\xi^{g^{2}} - \xi^{g} = g^{2}\xi_{2},\ \dots +\] +ist, wo $\xi_{1}$,~$\xi_{2}$,~\dots\ ganze Zahlen bedeuten. Dies ist wirklich der Fall; +denn da wegen~\Eq{(2)} für jedes $i \geqq 1$\; $\xi^{g^{i}}$ und $\xi^{g^{i-1}}$ modulo~$P^{i}$ kongruent +Eins, modulo~$Q^{i}$ kongruent Null, also jedesmal auch untereinander +kongruent sind, so ist ihre Differenz $\xi^{g^{i}} - \xi^{g^{i-1}}$ sowohl durch $P^{i}$ wie +durch~$Q^{i}$, also auch durch $P^{i}Q^{i} = g^{i}$ teilbar, \wzbw\ $1_{P}$ läßt sich +also in der Form +\[ +1_{P} = \xi_{0} + \xi_{1}g + \xi_{2}g^{2} + \dots, +\] +\dh\ als reduzierte oder nicht reduzierte $g$-adische Zahl schreiben. +Ferner ist der \Ordsup{$i$}{-te}~Näherungswert von~$1_{P}$ +\[ +1_{P}^{(i)} = \xi_{0} + \xi_{1} g + \dots + \xi_{i} g^{i} + = \xi + (\xi^{g} - \xi) + \dots + (\xi^{g^{i}} - \xi^{g^{i-1}}) = \xi^{g^{i}} +\] +nach \Eq{(2)} modulo~$P^{i+1}$ kongruent~$1$, modulo~$Q^{i+1}$ kongruent Null, \dh\ +es ist gemäß der Definition der Gleichheit wirklich: +\[ +\Tag{(5)} +1_{P} = 1\ (P),\quad +1_{P} = 0\ (Q). +\] + +Ganz ebenso läßt sich natürlich eine $g$-adische Zahl~$1_{Q}$ derart bestimmen, +daß +\[ +\Tag{(5^{a})} +1_{Q} = 0\ (P),\quad +1_{Q} = 1\ (Q) +\] +ist. + +Endlich kann man nun auch eine $g$-adische Zahl~$X_{P}$ finden, deren +Wert für den Bereich von $P$ gleich einer beliebig gegebenen $P$-adischen +Zahl~$\alpha$ ist, während sie für den Bereich von $Q$ den Wert Null hat. Bestimmen +wir nämlich nach dem auf \Seite{78}~ff.\ auseinandergesetzten Verfahren +eine $g$-adische Zahl~$X$ so, daß $X = \alpha\ (P)$ ist, während über den +$Q$-adischen Wert von $X$ nichts festgesetzt wird, so hat die $g$-adische Zahl +\[ +X_{P} = X·1_{P} +\] +\PageSep{098}{82} +die beiden verlangten Eigenschaften; denn es ist ja: +\[ +X_{P} = X·1_{P} = \alpha·1 = \alpha\ (P),\quad +X_{P} = X·1_{P} = X·0 = 0\ (Q). +\] + +Genau ebenso kann man eine $g$-adische Zahl~$X_{Q}$ bestimmen, die +für den Bereich von $P$ gleich Null, für den von $Q$ gleich einer beliebig +vorgegebenen $Q$-adischen Zahl $\beta = \beta_{0} + \beta_{1}Q + \dots$ wird. + +Die aus diesen beiden $g$-adischen Zahlen additiv zusammengesetzte +Zahl $X = X_{P} + X_{Q}$ hat nun offenbar die Eigenschaft, daß ihre Werte +für den Bereich von $P$~und~$Q$ bzw.\ gleich $\alpha$~und~$\beta$ sind. In der Tat +ist ja: +\[ +X = X_{P} + X_{Q} = \alpha + 0 = \alpha\ (P),\quad +X = X_{P} + X_{Q} = 0 + \beta\ (Q). +\] + +Es gibt also wirklich stets eine solche $g$-adische Zahl. Mehr +als \emph{eine} Zahl, welche diesen beiden Anforderungen genügt, kann es +aber nicht geben. Denn wäre $X'$ eine zweite derartige Zahl, so würde +ja die Differenz $Y = X - X'$ eine $g$-adische Zahl sein, die für den +Bereich von $P$ gleich $\alpha - \alpha = 0$, für den Bereich von $Q$ gleich +$\beta - \beta$, also ebenfalls gleich Null wäre. Eine solche Zahl~$Y$ muß +aber auch für den Bereich von $g$ gleich Null sein; denn ihre Näherungswerte +genügend hoher Ordnung müssen ja für jede noch so hohe +Potenz von $P$ sowohl wie von~$Q$, also auch von $PQ = g$, kongruent +Null sein, \dh\ es ist wirklich $Y = 0$, also $X = X'\ (g)$, \wzbw\ +Speziell sind also die vorher gebildeten $g$-adischen Zahlen $1_{P}$~und~$1_{Q}$ +sowie die Zahlen $X_{P}$~und~$X_{Q}$ durch die ihnen auferlegten Bedingungen +\emph{eindeutig} bestimmt. + +Ist also $A_{g}$ eine beliebige $g$-adische Zahl, und sind $A_{P}$~und~$A_{Q}$ +diejenigen eindeutig bestimmten $g$-adischen Zahlen, für welche +\begin{alignat*}{4} +A_{P} &= A_{g}\ &&(P),\quad &A_{P} &= 0 &&(Q) \\ +A_{Q} &= 0 &&(P), &A_{Q} &= A_{g}\ &&(Q) +\end{alignat*} +ist, so ist~$A_{g}$, wie dies schon im §~1 dieses Kapitels ausgeführt wurde, +in der Tat folgendermaßen darstellbar +\[ +A_{g} = (A_{P}, A_{Q}), +\] +weil $A_{P}$ und $A_{Q}$ gleich den Werten von $A$ für den Bereich von $P$ bzw.\ +$Q$ sind. Da aber diese Werte $A_{P}$ und $A_{Q}$ außerdem so gewählt sind, +\PageSep{099}{83} +daß sie für den Bereich von $Q$ bzw.\ von $P$ gleich Null sind, +so besteht nach dem soeben geführten Beweise die sehr viel einfachere +Gleichung: +\[ +A_{g} = A_{P} + A_{Q}. +\] +Sind umgekehrt +\[ +\alpha_{P} = a_{0} + a_{1} P + \dots \ (P),\quad +\alpha_{Q} = a'_{0} + a'_{1} Q + \dots \ (Q) +\] +zwei ganz beliebige Zahlen der Ringe $R(P)$ und $R(Q)$, so gibt es +ein einziges System $(A_{P}, A_{Q})$ von zwei $g$-adischen Zahlen, für welche +\begin{alignat*}{4} +A_{P} &= \alpha_{P}\ &&(P),\quad &A_{P} &= 0 &&(Q) \\ +A_{Q} &= 0 &&(P), &A_{Q} &= \alpha_{Q}\ &&(Q) +\end{alignat*} +ist, und die aus ihnen durch gewöhnliche Addition gebildete Zahl +\[ +A = A_{P} + A_{Q} +\] +ist diejenige eindeutig bestimmte Zahl, deren Werte für den Bereich +von $P$ und von $Q$ bzw.\ gleich $\alpha_{P}$ und $\alpha_{Q}$ sind. + +Sind endlich +\[ +A = A_{P} + A_{Q}, \quad +B = B_{P} + B_{Q} +\] +zwei beliebige $g$-adische Zahlen in dieser Komponentendarstellung, so +ergeben sich nach den allgemeinen Rechenregeln im Ringe~$R(g)$ für die +Summe, die Differenz und das Produkt dieser beiden Zahlen die Gleichungen: +\[ +\Tag{(6)} +\begin{aligned} +A + B &= (A_{P} + B_{P}) + (A_{Q} + B_{Q}) \\ +A - B &= (A_{P} - B_{P}) + (A_{Q} - B_{Q}) \\ +AB &= (A_{P}B_{P}) + (A_{Q}B_{Q}). +\end{aligned} +\] +Hier ist noch zu bemerken, daß in der letzten Gleichung die beiden +Produkte $A_{P}B_{Q}$ und $A_{Q}B_{P}$, welche eigentlich noch auftreten, beide +für den Bereich von $g$ Null sind, weil~\zB\ +\[ +A_{P}B_{Q} = A_{P}·0 = 0\ (P),\quad +A_{P}B_{Q} = 0·B_{Q} = 0\ (Q) +\] +ist. + +Ferner erkennt man aber sofort, daß die in~\Eq{(6)} rechts in den Klammern +stehenden Zahlen die $P$-~und $Q$-Komponenten bzw.\ von $A + B$, +$A - B$ und $AB$ sind, \dh\ daß~\zB\ +\PageSep{100}{84} +\[ +\Tag{(6^{a})} +\begin{aligned} +(A + B)_{P} &= A_{P} + B_{P}, \\ +(A - B)_{P} &= A_{P} - B_{P}, \\ + (AB)_{P} &= A_{P} B_{P} +\end{aligned} +\rlap{\quad (g)} +\] +ist, und die entsprechenden Gleichungen für die $Q$-Komponenten +gelten. In der Tat ist~\zB: +\begin{alignat*}{2} +A_{P} + B_{P} &= &A + B\ &(P) \\ +A_{P} + B_{P} &= & 0\ &(Q), +\end{alignat*} +und durch diese beiden Gleichungen ist ja die $P$-Komponente $(A + B)_{P}$ +eindeutig bestimmt. Aus der Eindeutigkeit der Darstellung der +$g$-adischen Zahlen in der Normalform folgt, daß eine Zahl $A = A_{P} + A_{Q}$ +dann und nur dann Null ist, wenn beide Komponenten für sich Null +sind; und hieraus ergibt sich, daß zwei Zahlen $A = A_{P} + A_{Q}$ und +$A' = A'_{P} + A'_{Q}$ nur dann gleich sind, wenn $A_{P} = A'_{P}$, $A_{Q} = A'_{Q}$ ist. + +Die Berechnung der $g$-adischen Zahlen $1_{P}$~und~$1_{Q}$ auf mehrere +Stellen würde nach der \aSeite{80}~ff.\ angegebenen Methode wegen der hohen +Potenzen von $\xi$ schwierig sein. Praktisch viel einfacher erhält man +Näherungswerte beliebig hoher Ordnung von $1_{P}$~und~$1_{Q}$ auf folgende +Weise: Da die beiden Zahlen $P^{k+1}$ und $Q^{k+1}$ für ein beliebiges $k$ +teilerfremd sind, so kann man durch das Euklidische Verfahren zwei +ganzzahlige Multiplikatoren $\lambda_{k}$~und~$\mu_{k}$ so bestimmen, daß +\[ +\Tag{(7)} +\lambda_{k} P^{k+1} + \mu_{k} Q^{k+1} = 1 +\] +ist. Also sind die beiden ganzen Zahlen: +\[ +\Tag{(7^{a})} +\begin{alignedat}{4} +1^{(k)}_{P} &= 1 - \lambda_{k} &&P^{k+1} &&= \mu_{k} &&Q^{k+1} \\ +1^{(k)}_{Q} &= 1 - \mu_{k} &&Q^{k+1} &&= \lambda_{k} &&P^{k+1} +\end{alignedat} +\] +bzw.\ gleich den \Ordsup{$k$}{-ten}~Näherungswerten von $1_{P}$~und~$1_{Q}$; denn aus der +obigen Gleichung ergeben sich ja die Kongruenzen: +\begin{alignat*}{4} +1^{(k)}_{P} &\equiv 1\ &&(\mod.~P^{k+1}),\quad &1^{(k)}_{P} &\equiv 0\ &&(\mod.~Q^{k+1}) \\ +1^{(k)}_{Q} &\equiv 0\ &&(\mod.~P^{k+1}), &1^{(k)}_{Q} &\equiv 1\ &&(\mod.~Q^{k+1}). +\end{alignat*} + +Ist \zB +\[ +g = 10 = 2·5, +\] +\PageSep{101}{85} +also $P = 2$, $Q = 5$, so ergibt das Euklidische Verfahren für $(2^{5}, 5^{5}) += (32, 3125)$ leicht die Gleichung: +\[ +293·2^{5} - 3·5^{5} = 1. +\] +Also bestimmen sich die \Ordsup{$4$}{-ten}~Näherungswerte von $1_{2}$~und~$1_{5}$ aus den +Gleichungen: +\begin{alignat*}{2} +1_{2}^{(4)} &= 1 -{}& 293·2^{5} &= -9375 \\ +1_{5}^{(4)} &= 1 +{}& 3·5^{5} &= +9376. +\end{alignat*} +Schreibt man also $1_{2}$ und $1_{5}$ als dekadische Zahlen, also in umgekehrter +Folge der Ziffern, so erhält man: +\[ +\begin{aligned} +1_{2} &= -5\MathOrd{,}7390\dots = +5\MathOrd{,}2609\dots \\ +1_{5} &= +6\MathOrd{,}7390\dots = +6\MathOrd{,}7390\dots. +\end{aligned} +\quad(10) +\] + +Es sei zweitens +\[ +g = 6 = 2·3, \quad\text{also}\quad P = 2,\ Q = 3; +\] +dann ergibt das Euklidische Verfahren angewandt auf die Zahlen +$(2^{7}, 3^{7}) = (128, 2187)$ sofort die Gleichung: +\[ +35·3^{7} - 598·2^{7} = 1. +\] + +Also erhält man als sechsten Näherungswert von~$1_{2}$ +\[ +1_{2}^{(6)} = 1 + 598·2^{7} = 76545, +\] +und wenn man diese als hexadische Zahl nach der \aSeite{49} gegebenen +Methode schreibt: +\[ +\Tag{(8)} +1_{2} = 3\MathOrd{,}\,1\,2\,0\,5\,3\,1\dots\ (6). +\] +Die zweite Einskomponente~$1_{3}$ braucht nicht besonders berechnet zu +werden, da ja allgemein immer +\[ +1 = 1_{P} + 1_{Q}, \quad\text{also}\quad +1_{Q} = 1 - 1_{P},\ (g) +\] +ist. Also ist in diesem Falle +\[ +\Tag{(8^{a})} +1_{3} = 1 - 1_{2} = 4\MathOrd{,}\,4\,3\,5\,0\,2\,4\dots\ (6). +\] + +Kennt man die Darstellung +\[ +\Tag{(9)} +1 = 1_{P} + 1_{Q}\ (g) +\] +\PageSep{102}{86} +der Eins in der Normalform, so folgt aus ihr sofort die entsprechende +Darstellung jeder anderen $g$-adischen Zahl~$A$ einfach dadurch, daß +man die obige Gleichung~\Eq{(9)} mit $A$ multipliziert. Denn in der Gleichung: +\[ +A = A·1_{P} + A·1_{Q} \ (g) +\] +ist ja \zB\ $A·1_{P}$ in der Tat gleich~$A_{P}$, weil für dieses Produkt +\[ +A·1_{P} = A·1 = A\ (P),\quad +A·1_{P} = A·0 = 0\ (Q) +\] +gilt und durch diese beiden Gleichungen~$A_{P}$ eindeutig bestimmt ist. + +So erhält man \zB\ durch einfache Multiplikation der aus \Eq{(8)} +und~\Eq{(8^{a})} sich ergebenden Gleichung +\[ +1 = 3\MathOrd{,}\,1\,2\,0\,5\,3\,1\dots + 4\MathOrd{,}\,4\,3\,5\,0\,2\,4\dots\ (6) +\] +die folgende Darstellung der Zahl $44 = 2\MathOrd{,}11\ (6)$ in der Normalform: +\[ +2\MathOrd{,}11 = 0\MathOrd{,}\,0\,3\,4\,0\,1\,0\dots + 2\MathOrd{,}\,1\,4\,1\,5\,4\,5\dots\DPtypo{}{.}\ (6) +\] + + +\Section{§ 4.}{Die Zerlegung des Ringes $R(g)$ in die Ringe~$R(p)$, +$R(q)$,~\dots, deren Grundzahlen Primzahlen sind. Die Darstellung +der $g$-adischen Zahlen in der additiven und in der multiplikativen +Normalform.} + +In genau derselben Weise, wie dies im vorigen Abschnitt gezeigt +wurde, kann nun eine beliebige $g$-adische Zahl entsprechend jeder Zerlegung +von $g$ in mehr als zwei teilerfremde Faktoren als Summe von +mehr als zwei Komponenten dargestellt werden. Ich gebe diese Dekomposition +gleich für die letzte Zerlegung, welche $g$ zuläßt. Wir +können nach \Seite{74} unten ohne Beeinträchtigung der Allgemeinheit +annehmen, daß $g$ nur einfache Primteiler besitzt; es sei +\[ +\Tag{(1)} +g = p·q \dots r +\] +die Zerlegung von $g$ in seine Primfaktoren. Ist dann $P = q \dots r$ der +zu $p$ komplementäre Faktor von~$g$, so ist $g = pP$ eine der im vorigen +Paragraphen betrachteten Zerlegungen; also können wir nach der dort +gegebenen Methode eine $g$-adische Zahl~$1_{P}$ bilden, welche für den Bereich +von $p$ gleich~$1$, für den Bereich von $P = q \dots r$, mithin also +\PageSep{103}{87} +auch für den Bereich jeder der von $p$ verschiedenen Primzahlen +$q$,~\dots~$r$ gleich Null ist. + +Ist dann $\alpha = \alpha_{0} + \alpha_{1} p + \dots$ eine beliebige $p$-adische Zahl, so +können wir, wie schon bewiesen, eine $g$-adische Zahl~$X$ bilden, die für +den Bereich von $p$ gleich $\alpha$ ist; dann ist +\[ +X_{p} = X·1_{p} +\] +die eindeutig bestimmte $g$-adische Zahl, welche für den Bereich von $p$ +gleich~$\alpha$, für den Bereich aller anderen Primzahlen $q$,~\dots~$r$ aber +jedesmal gleich Null ist. Ebenso können wir entsprechend der +Zerlegung $g = q\ (p \dots r) = qQ$ eine $g$-adische Zahl~$X_{q}$ bilden, welche +für den Bereich von $q$ gleich einer beliebig vorgegebenen $q$-adischen +Zahl $\beta = \beta_{0} + \beta_{1} q + \dots$ ist, während sie für den Bereich aller +übrigen Primzahlen $p$,~\dots~$r$ Null ist, usw. Haben dann die $g$-adischen +Zahlen $X_{q}$,~\dots~$X_{r}$ die entsprechende Bedeutung für die Primzahlen +$q$,~\dots~$r$, wie $X_{p}$ für~$p$, so ist +\[ +\Tag{(2)} +X = X_{p} + X_{q} + \dots + X_{r} +\] +eine $g$-adische Zahl, die für die Bereiche von~$p$, von $q$,~\dots\ von~$r$ bzw.\ +die beliebig vorgegebenen Werte $\alpha$,~$\beta$,~\dots~$\gamma$ besitzt, und umgekehrt +läßt sich jede $g$-adische Zahl~$A$ als eine derartige Summe +\[ +\Tag{(2^{a})} +A = A_{p} + A_{q} + \dots + A_{r} +\] +darstellen, in der \zB\ die erste Komponente durch die Gleichungen +\[ +\Tag{(2^{b})} +A_{p} = A\ (p),\quad +A_{p} = 0\ (q),\ \dots\quad +A_{p} = 0\ (r) +\] +bestimmt ist. Auch in diesem allgemeinen Falle ist jene Darstellung +einer $g$-adischen Zahl nur auf eine Weise möglich. Wären nämlich +\[ +\begin{aligned} +A &= A_{p} + A_{q} + \dots + A_{r} \\ + &= A'_{p} + A'_{q} + \dots + A'_{r} +\end{aligned} +\quad(g) +\] +solche Darstellungen derselben Zahl~$A$ auf zwei verschiedene Weisen, +so ergäbe sich durch Subtraktion +\begin{alignat*}{3} +0 &= (A_{p} - A'_{p}) &&+ (A_{q} - A'_{q}) &&+ \dots + (A_{r} - A'_{r}) \\ + &= B_{p} &&+ B_{q} &&+ \dots + B_{r}, +\end{alignat*} +\PageSep{104}{88} +wo die $g$-adischen Zahlen $B_{p} = A_{p} - A'_{p}$,~\dots\ nicht alle Null wären, +während \zB\ für $B_{p}$ die Gleichungen +\[ +B_{p} = A - A = 0\ (p),\quad +B_{p} = 0\ (q),\ \dots\quad +B_{p} = 0\ (r) +\] +erfüllt sein müßten. Aus ihnen folgt aber, daß $B_{p} = 0\ (g)$, \dh\ daß +$A_{p} = A'_{p}$ sein muß, und dasselbe gilt für alle anderen Zahlen +$A_{q}$,~\dots~$A_{r}$. + +\begin{Theorem} +Ist also $g$ eine beliebige Grundzahl, und sind $p$,~$q$,~\dots~$r$ alle +in $g$ enthaltenen voneinander verschiedenen Primfaktoren, so ist +jede $g$-adische Zahl~$A$ auf eine einzige Weise in der Form +\[ +\Tag{(3)} +A = A_{p} + A_{q} + \dots + A_{r}\ (g) +\] +darstellbar, in welcher die $g$-adischen Zahlen $A_{p}$,~\dots\ durch die +Gleichungen: +\[ +\Tag{(3^{a})} +A_{p} = A\ (p),\quad +A_{p} = 0\ (q),\ \dots\quad +A_{p} = 0\ (r) +\] +usw.\ eindeutig bestimmt sind. Sind umgekehrt $\alpha_{p}$,~$\alpha_{q}$,~\dots~$\alpha_{r}$ je eine +beliebige $p$-adische, $q$-adische,~\dots\ $r$-adische Zahl, so gibt es im +Ringe~$R(g)$ eine einzige Zahl~$A$, deren Wert für den Bereich +von $p$,~$q$,~\dots~$r$ bzw.\ gleich $\alpha_{p}$,~$\alpha_{q}$,~\dots~$\alpha_{r}$ ist. + +Die eindeutig bestimmten Zahlen $A_{p}$,~$A_{q}$,~\dots~$A_{r}$ in der obigen +Gleichung sollen kurz als die \so{$p$-Komponente}, \so{$q$-Komponente},~\dots\ +\so{$r$-Komponente} von $A$ bezeichnet werden. +\index{Komponente, $p$-adische e.\ $g$-adischen Zahl}% +\index{Normalform, additive e.\ $g$-adischen Zahl}% +Die Darstellung~\Eq{(3)} einer Zahl~$A$ als Summe ihrer Komponenten +soll ihre \so{additive Normalform} heißen. +\end{Theorem} + +Ist dann +\[ +\Tag{(4)} +\begin{aligned} +A &= A_{p} + A_{q} + \dots + A_{r} \\ +B &= B_{p} + B_{q} + \dots + B_{r} +\end{aligned} +\] +die Darstellung von zwei beliebigen $g$-adischen Zahlen in der Normalform, +so ergeben die Gleichungen +\[ +\Tag{(4^{a})} +\begin{aligned} +A ± B &= (A_{p} ± B_{p}) + (A_{q} ± B_{q}) + \dots + (A_{r} ± B_{r}) \\ + AB &= A_{p}B_{p} + A_{q}B_{q} + \dots +A_{r}B_{r} +\end{aligned} +\] +die Summe, die Differenz und das Produkt von $A$~und~$B$ in derselben +Form; denn $A_{p} ± B_{p}$ \zB\ ist eine $g$-adische Zahl, die für den Bereich +\PageSep{105}{89} +von $p$ gleich dem $p$-adischen Wert von $A ± B$, für den Bereich jedes +anderen Primteilers von $g$ aber gleich Null ist. Für die zweite Gleichung +hat man noch zu bedenken, daß die Produkte ungleichnamiger Komponenten, +\zB~$A_{p}B_{q}$, verschwinden, weil sie für den Bereich eines +\emph{jeden} Teilers von $g$ gleich Null sind. + +Sind daher +\[ +(\alpha_{p}, \alpha_{q}, \dots \alpha_{r}) \quad\text{und}\quad +(\beta_{p}, \beta_{q}, \dots \beta_{r}) +\] +zwei Systeme von beliebigen Zahlen der Ringe $R(p)$,~$R(q)$,~\dots~$R(r)$, +\index{Normalform, multiplikative e.\ $g$-adischen Zahl}% +und $A$~und~$B$ die eindeutig bestimmten $g$-adischen Zahlen, deren Werte +für jene Teilbereiche bzw.\ gleich $(\alpha_{p}, \alpha_{q}, \dots \alpha_{r})$ und $(\beta_{p}, \beta_{q}, \dots \beta_{r})$ +sind, so gehören zu den Wertsystemen +\[ +(\alpha_{p} ± \beta_{p}, \alpha_{q} ± \beta_{q}, \dots \alpha_{r} ± \beta_{r}) \quad\text{und}\quad +(\alpha_{p}\beta_{p}, \alpha_{q}\beta_{q}, \dots \alpha_{r}\beta_{r}) +\] +die eindeutig bestimmten $g$-adischen Zahlen +\[ +A ± B \quad\text{und}\quad AB. +\] + +Neben der soeben eingeführten Darstellung aller $g$-adischen Zahlen +in der additiven Normalform führe ich jetzt noch eine \so{multiplikative +Normalform} für diese Zahlen ein, welche später von +großer Bedeutung sein wird. Sie ergibt sich aus der additiven Zerlegung +der $g$-adischen Zahlen unmittelbar mit Hilfe des folgenden einfachen +Satzes: +\begin{Theorem} +Ist +\[ +\Tag{(5)} +B = B_{p} + B_{q} + \dots + B_{r}\ (g) +\] +die Darstellung einer beliebigen $g$-adischen Zahl in der additiven +Normalform, so besteht immer die Gleichung: +\[ +\Tag{(5^{a})} +1 + B = (1 + B_{p}) (1 + B_{q}) \dots (1 + B_{r})\quad (g). +\] +\end{Theorem} + +Die Richtigkeit dieser Gleichung folgt unmittelbar, wenn man +ihre rechte Seite ausmultipliziert und beachtet, daß jedes Produkt~$B_{p}B_{q}$,~\dots\ +von zwei oder mehreren Komponenten immer gleich Null ist. + +Setzt man in dieser Gleichung: +\[ +1 + B = A;\quad +1 + B_{p} = \frakA_{p},\ \dots\quad +1 + B_{r} = \frakA_{r}, +\] +wodurch sich also ergibt: +\PageSep{106}{90} +\[ +B = A - 1;\quad +\frakA_{p} = 1 + (A - 1)_{p} = A_{p} + 1 - 1_{p},\ \dots, +\] +so erhält man die folgende multiplikative Zerlegung einer beliebigen +$g$-adischen Zahl~$A$ +\[ +\Tag{(6)} +A = \frakA_{p} \frakA_{q} \dots \frakA_{r}\ (g), +\] +und die Komponenten $\frakA_{p}$,~\dots~$\frakA_{r}$ sind die durch die folgenden Gleichungen +eindeutig bestimmten $g$-adischen Zahlen +\[ +\Tag{(6^{a})} +\begin{alignedat}{6} +\frakA_{p} &= A\ &&(p),\quad &\frakA_{p} &= 1 &&(q),\ \dots\quad &\frakA_{p} &= 1 &&(r) \\ +\frakA_{q} &= 1 &&(p), &\frakA_{q} &= A\ &&(q),\ \dots\quad &\frakA_{q} &= 1 &&(r) \\ + & \vdots \\ +\frakA_{r} &= 1 &&(p), &\frakA_{r} &= 1 &&(q),\ \dots\quad &\frakA_{r} &= A\ &&(r). +\end{alignedat} +\] +Die Richtigkeit dieser Gleichungen folgt \zB\ für $\frakA_{p}$ unmittelbar, +wenn man die Gleichung: +\[ +\frakA_{p} = A_{p} + 1 - 1_{p}\ (g) +\] +der Reihe nach für die Bereiche von $p$,~$q$,~\dots~$r$ betrachtet. + +So ergibt sich \zB\ aus den auf \Seite{85}~ff.\ für den Bereich der +hexadischen Zahlen hergeleiteten Gleichungen: +\begin{align*} + 1 &= \PadTo{A_{2}}{1_{2}} + \PadTo{A_{3}}{1_{3}} + = 3\MathOrd{,}\,1\,2\,0\,5\,3\,1\dots + + 4\MathOrd{,}\,4\,3\,5\,0\,2\,4\dots\ (6) \\ + A = 2\MathOrd{,}11 + &= A_{2} + A_{3} + = 0\MathOrd{,}\,0\,3\,4\,0\,1\,0\dots + + 2\MathOrd{,}\,1\,4\,1\,5\,4\,5\dots\ (6): \\ + \frakA_{2} &= A_{2} + 1 - 1_{2} = 4\MathOrd{,}\,4\,0\,4\,1\,3\,4 \dots \\ + \frakA_{3} &= A_{3} + 1 - 1_{3} = 5\MathOrd{,}\,2\,0\,2\,4\,2\,1 \dots\ + \smash{\raisebox{0.5\baselineskip}{(6),}} %[** TN: Vertical alignment hack] +\end{align*} +und man erhält somit die folgende multiplikative Darstellung der hexadischen +Zahl~$2\MathOrd{,}11$ +\[ +2\MathOrd{,}11 = (4\MathOrd{,}\,4\,0\,4\,1\,3\,4\dots)\ + (5\MathOrd{,}\,2\,0\,2\,4\,2\,1\dots)\quad (6), +\] +deren Richtigkeit durch Ausmultiplizieren unmittelbar bestätigt werden +kann. + +Sind umgekehrt +\[ +\alpha_{p},\ \alpha_{q},\ \dots\ \alpha_{r} +\] +je eine beliebig gegebene $p$-adische, $q$-adische,~\dots\ $r$-adische Zahl, so +können wir die eindeutig bestimmte $g$-adische Zahl~$A$, welche für den +\PageSep{107}{91} +Bereich von $p$,~$q$,~\dots~$r$ bzw.\ gleich $\alpha_{p}$,~$\alpha_{q}$,\dots $\alpha_{r}$ ist, nun auch in +der multiplikativen Normalform eindeutig darstellen. In der Tat ist +\[ +\Tag{(7)} +A = \frakA_{p} \frakA_{q} \dots \frakA_{r}, +\] +wo \zB\ $\frakA_{p}$ die $g$-adische Zahl ist, welche durch die Gleichungen: +\[ +\Tag{(7^{a})} +\frakA_{p} = \alpha_{p}\ (p),\quad +\frakA_{p} = 1\ (q),\ \dots\quad +\frakA_{p} = 1\ (r) +\] +eindeutig bestimmt ist. + +Ich will im folgenden die Komponente $\frakA_{p}$,~$\frakA_{q}$,~\dots~$\frakA_{r}$, von $A$ in +dieser multiplikativen Normalform~\Eq{(6)} \emph{den zu $p$,~$q$,~\dots~$r$ gehörigen +Faktor von~$A$} nennen. Jeder von ihnen ist durch die Gleichungen~\Eq{(6^{a})} +eindeutig bestimmt. + +Ist +\[ +\Tag{(8)} +A = \frakA_{p} \frakA_{q} \dots \frakA_{r},\quad +B = \frakB_{p} \frakB_{q} \dots \frakB_{r}\ (g) +\] +die Darstellung von zwei $g$-adischen Zahlen in der multiplikativen +Normalform, so ist +\[ +\Tag{(8^{a})} +AB = (\frakA_{p} \frakB_{p}) + (\frakA_{q} \frakB_{q}) \dots + (\frakA_{r} \frakB_{r})\ (g), +\] +und man erkennt sofort, daß die rechts in Klammern stehenden Produkte +die zu $p$,~$q$,~\dots~$r$ gehörigen Faktoren von $AB$ sind, daß also~\zB: +\[ +(AB)_{p} = \frakA_{p} \frakB_{p} +\] +ist. In der Tat bestehen für dieses erste Produkt \zB\ die Gleichungen: +\[ +\frakA_{p} \frakB_{p} = AB\ (p),\quad +\frakA_{p} \frakB_{p} = 1\ (q),\ \dots\quad +\frakA_{p} \frakB_{p} = 1\ (r), +\] +durch welche der zu $p$ gehörige Faktor von~$AB$ eindeutig bestimmt ist. + +Aus der Eindeutigkeit der Darstellung einer Zahl in der multiplikativen +Normalform folgt analog wie vorher auf \Seite{87} unten bei der +additiven Normalform, daß zwei Zahlen +\[ +A = \frakA_{p} \frakA_{q} \dots \frakA_{r},\quad +A'= \frakA'_{p}\frakA'_{q}\dots \frakA'_{r}\ (g) +\] +dann und nur dann einander gleich sind, wenn +\[ +\frakA_{p} = \frakA'_{p},\quad +\frakA_{q} = \frakA'_{q},\ \dots\quad +\frakA_{r} = \frakA'_{r}\ (g) +\] +ist. +\PageSep{108}{92} + +Speziell zerfällt die Zahl Null multiplikativ folgendermaßen: +\[ +\Tag{(9)} +0 = O_{p} O_{p} \dots O_{r}\ (g), +\] +wo \zB\ die $g$-adische Zahl~$O_{p}$ durch die Gleichungen: +\[ +\Tag{(9^{a})} +O_{p} = 0\ (p),\quad +O_{p} = 1\ (q),\ \dots\quad +O_{p} = 1\ (r) +\] +eindeutig bestimmt ist. Jede dieser Zahlen $O_{p}$,~$O_{q}$,~\dots~$O_{r}$ nenne ich +\so{den zu $p$,~$q$,~\dots~$r$ gehörigen Faktor} oder \so{Divisor der +Null}. +\index{Divisoren der Null}% + +Eine Zahl~$A$ soll ein \so{Teiler der Null} heißen, wenn sie +\index{Teiler!der Null}% +wenigstens einen von diesen Faktoren der Null enthält, wenn also~\zB: +\[ +A = O_{p} \frakA_{q} \dots \frakA_{r}\ (g) +\] +ist. Dies ist dann und nur dann der Fall, wenn \zB\ bei der obigen +Gleichung +\[ +A = O_{p} = 0\ (p) +\] +ist. Stets und nur dann ist also $A$ ein Teiler der Null, wenn +wenigstens einer der Werte von $A$ für den Bereich von $p$,~$q$,~\dots~$r$ +gleich Null ist. Allein in diesem Falle ist also auch bei der additiven +Darstellung: +\[ +A = A_{p} + A_{q} + \dots + A_{r} +\] +wenigstens eine der Komponenten Null. Jeder einzelne von diesen +Faktoren~$O_{p}$,~\dots\ soll \so{ein Primteiler der Null} genannt werden. +\index{Primteiler der Null}% +Diese Bezeichnung wird durch den folgenden offenbar richtigen Satz +gerechtfertigt. + +\begin{Theorem} +Ein Produkt zweier $g$-adischen Zahlen enthält stets und +nur dann einen Primteiler der Null, wenn mindestens einer der +Faktoren durch denselben Divisor teilbar ist. +\end{Theorem} + + +\Section{§ 5.}{Die Einteilung der ganzen $g$-adischen Zahlen in Zahlklassen +modulo~$g$.} + +Ich benutze die im vorigen Abschnitt gefundene Darstellung der +ganzen $g$-adischen Zahlen in der additiven Normalform zunächst dazu, +\PageSep{109}{93} +um auch sie ebenso wie vorher die modulo~$g$ ganzen \emph{rationalen} +Zahlen für diesen Modul in Klassen einzuteilen. + +Es sei +\[ +\Tag{(1)} +g = p^{k} q^{l} \dots r^{m} +\] +die Zerlegung der Grundzahl~$g$, und +\[ +\Tag{(2)} +A = A_{p} + A_{q} + \dots + A_{r} +\] +die Darstellung einer beliebigen $g$-adischen Zahl in der additiven +Normalform. Ich denke mir jede der Komponenten in ihrer reduzierten +Form dargestellt, und es seien +\[ +\Tag{(2^{a})} +\begin{aligned} +A_{p} &= a_{p}^{(0)} + a_{p}^{(1)}g + a_{p}^{(2)}g^{2} + \dots \\ +A_{q} &= a_{q}^{(0)} + a_{q}^{(1)}g + a_{q}^{(2)}g^{2} + \dots \\ +\DotRow{2} \\ +A_{r} &= a_{r}^{(0)} + a_{r}^{(1)}g + a_{r}^{(2)}g^{2} + \dots +\end{aligned}\quad (g) +\] +diese Reihen, wo wenigstens eines der Anfangsglieder nicht Null sein +soll. Der Einfachheit wegen sind jene Reihen von der nullten Ordnung +angenommen. Sollten sie mit $g^{\alpha}$ beginnen, so kann dieselbe +Überlegung auf die Zahl~$\dfrac{A}{g^{\alpha}}$ angewendet werden, deren Entwicklungen +dann mit $g^{0}$ anfangen. + +Dann ist +\begin{align*}% [** TN: Re-broken, aligned] +A &= a_{0} + a_{1} g + a_{2} g^{2} + \dots \\ + &= (a^{(0)}_{p} + a^{(0)}_{q} + \dots + a^{(0)}_{r}) + + (a^{(1)}_{p} + \dots + a^{(1)}_{r}) g + \dots, +\end{align*} +\dh\ für den Anfangskoeffizienten von $A$ besteht die Kongruenz: +\[ +\Tag{(3)} +a_{0} \equiv a^{(0)}_{p} + a^{(0)}_{q} + \dots + a^{(0)}_{r}\ (\mod.~g). +\] + +Ist nun $P = q^{l} \dots r^{m}$ der zu $p^{k}$ komplementäre Divisor von +$g = p^{k}P$, so ist +\[ +a^{(0)}_{p} = \alpha_{p}·P +\] +durch \DPtypo{$P$-teilbar}{$P$ teilbar}; denn aus der für die $p$-Komponente von $A$ nach \Eq{(2^{a})} +bestehenden Gleichung: +\[ +A_{p} = a^{(0)}_{p} + a^{(1)}_{pg} + \dots = 0\ (P) +\] +folgt ja, wenn man sie als Kongruenz modulo~$P$ betrachtet, $a^{(0)}_{p}\equiv 0\ (\mod.~P)$. +\PageSep{110}{94} +Da ferner $a_{p}^{(0)} = \alpha_{p} P$ modulo $g = p^{k} P$ reduziert ist, so muß +$\alpha_{p}$ einen der Werte $0$,~$1$,~\dots~$(p^{k} - 1)$ besitzen. Sind entsprechend +$Q$,~\dots~$R$ die zu $q^{l}$,~\dots~$r^{m}$ komplementären Teiler von~$g$, so daß also: +\[ +\Tag{(4)} +g = p^{k} P = q^{l} Q = \dots = r^{m} R +\] +ist, so zeigt man ebenso, daß die Anfangsglieder $a_{q}^{(0)}$,~\dots~$a_{r}^{(0)}$ bzw.\ +durch $Q$,~\dots~$R$ teilbar sind. Die Kongruenz~\Eq{(3)} läßt sich also +folgendermaßen schreiben: +\[ +\Tag{(5)} +a_{0} \equiv \alpha_{p} P + \alpha_{q} Q + \dots + \alpha_{r} R \ (\mod.~g), +\] +wo $\alpha_{p}$,~$\alpha_{q}$,~\dots~$\alpha_{r}$ ganze Zahlen der Reihen +\[ +0,\ 1,\ \dots\ (p^{k} - 1);\ \dots\quad +0,\ 1,\ \dots\ (r^{m} - 1) +\] +sein müssen. Je zwei in dieser Form dargestellte Zahlen sind nur +dann modulo~$g$ kongruent, wenn sie identisch sind. Denn wäre die +obige Zahl~$a_{0}$ kongruent einer anderen +\[ +\bar{a}_{0} \equiv \bar{\alpha}_{p}P + \bar{\alpha}_{q}Q + \dots + \bar{\alpha}_{r}R \ (\mod.~g), +\] +so müßte ihre Differenz: +\[ +a_{0} - \bar{a}_{0} + \equiv (\alpha_{p} - \bar{\alpha}_{p})P + \dots + + (\alpha_{r} - \bar{\alpha}_{r})R + \equiv 0\ (\mod.~g), +\] +sein. Betrachtet man aber diese Kongruenz als eine solche für den +Modul~$p^{k}$ und beachtet dabei, daß derselbe in $Q$,~\dots~$R$ enthalten, +aber zu $P$ teilerfremd ist, so folgt aus ihr: +\[ +\alpha_{p} \equiv \bar{\alpha}_{p}\ (\mod.~p^{k}), +\] +und diese Kongruenz ist, da jene beiden Koeffizienten modulo~$p^{k}$ reduziert +sind, nur dann erfüllt, wenn $\alpha_{p} = \bar{\alpha}_{p}$ ist. Da man genau ebenso +die Identität der übrigen Koeffizienten beweist, so ist die Richtigkeit +unseres Satzes dargetan. + +Alle $g$-adischen Zahlen $A = a_{\alpha} g^{\alpha} + a_{\alpha+1} g^{\alpha+1} + \dots$, welche in +ihrer reduzierten Form mit der \Ordsup{$\alpha$}{-ten}~Potenz von $g$ beginnen, sind +also in der Form +\[ +A = (\alpha_{p} P + \alpha_{q} Q + \dots + \alpha_{r} R) g^{\alpha} + \dots +\] +darstellbar, wo mindestens einer der Koeffizienten $\alpha_{p}$,~$\alpha_{q}$,~\dots~$\alpha_{r}$ nicht +\PageSep{111}{95} +Null ist. Für jede ganze $g$-adische Zahl $A = a_{0} + a_{1} g + \dots$ besteht +demnach eine Kongruenz +\[ +\Tag{(5^{a})} +A \equiv \alpha_{p}P + \alpha_{q}Q + \dots + \alpha_{r}R\ (\mod.~g). +\] + +Ich will nun die ganzen \emph{$g$-adischen} Zahlen für den Modul~$g$ ebenso +in Kongruenzklassen einteilen, wie dies auf \Seite{40}~ff.\ für die modulo~$g$ +ganzen \emph{rationalen} Zahlen geschah. Wir rechnen also in eine und dieselbe +Klasse alle und nur die ganzen $g$-adischen Zahlen +\[ +A = a + a'g + a''g^{2} + \dots, +\] +welche zueinander modulo~$g$ kongruent sind, die mithin in ihrer reduzierten +Darstellung dasselbe Anfangsglied $a$ besitzen. Ich bezeichne +diese Klasse durch~$C_{a}$, setze aber ebenso wie \aaO\ gleich fest, daß +statt des Index~$a$ auch jede zu $a$ kongruente Zahl $\bar{a} = a + gt$ genommen +werden darf, so daß also $C_{a} = C_{a±g} = C_{a±2g} = \dots$ ist. +Dann zerfallen also alle ganzen Zahlen~$A$ modulo~$g$ in genau $g$ Klassen: +\[ +\Tag{(6)} +C_{0},\ C_{1},\ \dots\ C_{g-1}. +\] + +Wir betrachten diese Klassen als die Elemente eines Systemes +$S = (C_{0}, C_{1}, \dots C_{g-1})$ und definieren für sie wieder die Operationen +der Addition, Subtraktion und Multiplikation eindeutig auf die folgende +Weise: + +Durchlaufen $A$ und $B$ alle Zahlen der beiden Klassen $C_{a}$~und~$C_{b}$, +so ist für sie alle: +\[ +\Tag{(7)} +A \equiv a,\quad +B \equiv b \ (\mod.~g). +\] +Dann folgt, daß ihre Summen, ihre Differenzen und ihre Produkte alle +bzw.\ den drei eindeutig bestimmten Klassen +\[ +C_{a+b},\quad +C_{a-b},\quad +C_{ab} +\] +angehören, da aus \Eq{(7)} die Kongruenzen: +\[ +A ± B \equiv a ± b,\quad +AB \equiv ab \ (\mod.~g) +\] +folgen. Aus diesem Grunde definieren wir die Summe, die Differenz +und das Produkt zweier Klassen $C_{a}$~und~$C_{b}$ durch die Gleichungen: +\[ +\Tag{(8)} +C_{a} + C_{b} = C_{a+b},\quad +C_{a} - C_{b} = C_{a-b},\quad +C_{a} C_{b} = C_{ab}. +\] +\PageSep{112}{96} +Bei dieser Erklärung der elementaren Rechenoperationen für jene +Klassen sieht man, daß das System $S = (C_{0}, C_{1}, \dots C_{g-1})$ dieser +$g$~Zahlklassen einen Ring bildet, da in ihm die Addition, die Subtraktion +und die Multiplikation unbeschränkt und eindeutig ausführbar ist. + +Alle Zahlen einer und derselben Klasse~$C_{a}$ sind in der Form: +\[ +A = a + gN +\] +enthalten, wo $N$ jede ganze $g$-adische Zahl bedeutet. Unter ihnen sind +auch alle ganzen \so{rationalen} Zahlen enthalten, welche modulo~$g$ +zu $a$ kongruent sind; beschränkt man sich also auf den Bereich dieser +Zahlen, so fällt diese Klasseneinteilung mit der auf \Seite{42} gegebenen +vollständig zusammen. Alle \emph{rationalen} Zahlen einer und derselben +Klasse~$C_{a}$ besitzen einen größten gemeinsamen Teiler~$d_{a}$. Dieser +\index{Teiler!e.\ Kongruenzklasse modulo~$g$}% +muß also ein gemeinsamer Teiler der beiden in $C_{a}$ vorkommenden +rationalen Zahlen $a$~und~$a + g$ sein, also ist $d_{a}$ sicher ein Teiler von +$(a, a + g) = (a, g)$. Da aber jede Zahl $a + gn$ durch $(a, g)$ teilbar +ist, so ist $d_{a} = (a, g)$ selbst. Diese Zahl~$d_{a}$ soll \so{der Teiler +der Klasse~$C_{a}$} genannt werden. + +Ist +\[ +a \equiv a_{p} P + a_{q} Q + \dots + a_{r} R \ (\mod.~g) +\] +die Darstellung von $a$ in der Form~\Eq{(5)} modulo~$g$, so ist +\[ +d_{a} = (a, g) = p^{k_{0}} q^{l_{0}} \dots r^{m_{0}}, +\] +wenn $p^{k_{0}}$,~$q^{l_{0}}$,~\dots~$r^{m_{0}}$ die höchsten Potenzen von $p$,~$q$,~\dots~$r$ sind, +welche bzw.\ in $\alpha_{p}$,~$\alpha_{q}$,~\dots~$\alpha_{r}$ enthalten sind; offenbar ist dann nämlich~$a$ +\zB\ genau durch $p^{k_{0}}$ teilbar. + +Ist speziell $d_{a} = (a, g) = 1$, also jede rationale Zahl von $C_{a}$ zu $g$ +teilerfremd, so soll $C_{a}$ \so{eine Einheitsklasse}, jede Zahl~$A$ von +\index{Einheitsklassen modulo~$g$}% +$C_{a}$ \so{eine Einheit modulo~$g$} genannt werden. Aus der soeben +\index{Einheit modulo~$g$}% +durchgeführten Betrachtung für einen beliebigen Divisor~$d_{a}$ +ergibt sich also für $d = 1$ der Satz: +\begin{Theorem} +Eine Zahl +\[ +e \equiv \epsilon_{p}P + \epsilon_{q}Q + \dots + \epsilon_{r}R\ (\mod.~g) +\] +\PageSep{113}{97} +ist dann und nur dann eine Einheit modulo~$g$ oder also zu $g$ teilerfremd, +wenn keine der Zahlen $\epsilon_{p}$,~$\epsilon_{q}$,~\dots~$\epsilon_{r}$ durch die ihr zugeordnete +Primzahl $p$,~$q$,~\dots~$r$ teilbar ist, wenn also $\epsilon_{p}$,~\dots~$\epsilon_{r}$ bzw.\ zu +$p$,~\dots~$r$ teilerfremd sind. +\end{Theorem} + +Nach dem Vorgange von \so{Gauss} (Disq.\ Arithm.\ art.~38) bezeichnen +\index{Gausssche Funktion~$\phi(g)$}% +wir die Anzahl der Einheitsklassen modulo~$g$ oder, was dasselbe ist, +die Anzahl der modulo~$g$ inkongruenten zu $g$ teilerfremden ganzen +Zahlen durch~$\phi(g)$. Nach den soeben abgeleiteten Resultaten ist es +leicht, diese Anzahl für ein beliebiges $g$ zu finden. + +Ist zunächst speziell $g = p^{k}$ eine beliebige Primzahlpotenz, so ist +$P = 1$, und eine modulo $g = p^{k}$ reduzierte ganze Zahl: +\[ +a_{0} = a^{(0)} + a^{(1)}p + a^{(2)}p^{2} + a^{(k-1)}p^{k-1}\quad +(a^{(i)} = 0, 1, \dots p - 1) +\] +ist dann und nur dann eine Einheit modulo~$p^{k}$, wenn sie nicht durch +$p$ teilbar, wenn also $a^{(0)}$ nicht Null ist. Da nun alle durch $p$ teilbaren +Zahlen dieser Reihe in der Form +\[ +a^{(1)}p + a^{(2)}p^{2} + \dots + a^{(k-1)}p^{k-1}\quad +(a^{(i)} = 0, 1, \dots p - 1) +\] +enthalten sind, ihre Anzahl also offenbar gleich $p^{k-1}$ ist, so ergibt +sich die Anzahl aller inkongruenten Einheiten modulo~$p^{k}$ +\[ +\Tag{(9)} +\phi(p^{k}) = p^{k} - p^{k-1} = p^{k} \left(1 - \frac{1}{p}\right). +\] + +Ist nun allgemein wie vorher $g = p^{k} q^{l} \dots r^{m}$ eine beliebig zusammengesetzte +Zahl, so ist nach dem oben Bewiesenen: +\[ +e = \epsilon_{p} P + \epsilon_{q} Q + \dots + \epsilon_{r} R +\] +dann und nur dann eine der $\phi(g)$ modulo~$g$ inkongruenten Einheiten, +wenn $\epsilon_{p}$ eine der $\phi(p^{k})$ modulo~$p^{k}$ inkongruenten Einheiten, $\epsilon_{q}$~eine +der $\phi(q^{b})$ modulo~$q^{b}$ inkongruenten Einheiten ist usw. Somit ergibt +sich für die gesuchte Anzahl der Einheitsklassen modulo~$g$ die einfache +Gleichung: +\begin{gather*} +\Tag{(9^{a})} +\phi(g) = \phi(p^{k}) \phi(q^{l}) \dots \phi(r^{m}) \\ + = p^{k} q^{l} \dots r^{m} + \left(1 - \frac{1}{p}\right) + \left(1 - \frac{1}{q}\right) \DPtypo{-}{\dots} + \left(1 - \frac{1}{r}\right) + = g \prod \left(1 - \frac{1}{p}\right), +\end{gather*} +\PageSep{114}{98} +wo das Produkt auf alle in $g$ enthaltenen verschiedenen Primfaktoren +zu erstrecken ist. Aus dieser Gleichung kann sofort der weitere Satz +abgelesen werden: +\begin{Theorem} +Ist $g = g_{1} g_{2}$ irgendeine Zerlegung von $g$ in zwei \emph{teilerfremde} +Faktoren, so ist stets: +\[ +\Tag{(9^{b})} +\phi(g) = \phi(g_{1}) \phi(g_{2}). +\] +\end{Theorem} + +Hiernach ist es sehr leicht, für die ersten ganzen Zahlen~$g$ die Anzahlen~$\phi(g)$ +zu berechnen. So ist~\zB: +\[ +\Tag{(10)} +\begin{aligned} +\phi(1) = 1,\quad \phi(2) &= 1,\quad \phi(3) = 2,\quad \phi(4) = 2,\quad \phi(5) = 4, \\ + \phi(6) &= \phi(2) \phi(3) = 2, \\ +\phi(7) = 6,\quad \phi(8) &= 4,\quad \phi(9) = 6,\quad \phi(10) = 4,\quad \phi(11) = 10, \\ + \phi(12) &= \phi(3) \phi(4) = 4. +\end{aligned} +\] + +Die Anzahl~$\phi(g)$ aller modulo~$g$ inkongruenten Einheiten ist stets +gerade, sobald $g > 2$ ist; denn zu jeder Einheit~$e$ gehört eine andere +Einheit~$-e$, und es ist allein dann $e \equiv -e\ (\mod.~g)$ wenn~$2e$, also +auch $2$ durch $g$ teilbar, wenn also $g$ gleich $1$ oder gleich $2$ ist. + +Ganz ebenso einfach kann man jetzt die allgemeinere Frage entscheiden, +wie groß die Anzahl der Kongruenzklassen modulo~$g$ ist, +welche genau den Divisor~$d$ enthalten, wo +\[ +d = p^{k_{0}} \DPtypo{p}{q}^{l_{0}} \dots r^{m_{0}} +\] +ein beliebiger Teiler von $g$ ist. Eine Zahl $A = a_{0}\MathOrd{,}a_{1}a_{2} \dots$ besitzt nämlich +genau den Teiler~$d$ mit~$g$, wenn in ihrem Anfangsgliede: +\[ +a_{0} = \alpha_{p}P + \alpha_{q}Q + \dots + \alpha_{r}R +\] +$\alpha_{p}$~genau durch~$p^{k_{0}}$, $\alpha_{q}$~genau durch $q^{l_{0}}$,~\dots\ teilbar ist. Es muß also~\zB: +\[ +\alpha_{p} = p^{k_{0}} (\alpha_{0} + \alpha_{1}p + \dots + \alpha_{k-k_{0}-1} p^{k-k_{0}-1}) +\] +sein, wo $\alpha_{0} > 0$ ist, während $\alpha_{1}$,~\dots~$\alpha_{k-k_{0}-1}$ beliebige Zahlen der Reihe +$0$,~$1$,~\dots~$p - 1$ sein können. Die Anzahl aller modulo~$p^{k}$ inkongruenten +Zahlen dieser Art bestimmt sich also genau wie in~\Eq{(9)} auf der vorigen +Seite gleich: +\[ +\phi(p^{k-k_{0}}) = p^{k-k_{0}} - p^{k-k_{0}-1}. +\] +\PageSep{115}{99} +Also ist die Anzahl aller zum Divisor~$d_{0}$ gehörigen Klassen oder die +Anzahl aller modulo~$g$ inkongruenten Zahlen, welche mit $g$ den größten +gemeinsamen Teiler~$d$ haben, gleich: +\[ +\Tag{(11)} +\phi(p^{k-k_{0}}) \phi(q^{l-l_{0}}) \dots \phi(r^{m-m_{0}}) = \phi(\delta) +\] +wenn +\[ +\Tag{(11^{a})} +\delta = p^{k-k_{0}} q^{l-l_{0}} \dots r^{m-m_{0}} +\] +der zu $d = p^{k_{0}} q^{l_{0}} \dots r^{m_{0}}$ komplementäre Teiler von $g = d\delta$ ist. + +\begin{Theorem} +Die Anzahl aller Kongruenzklassen, welche einen bestimmten +Teiler~$d$ von $g = d\delta$ besitzen, ist also stets gleich~$\phi(\delta)$. +\end{Theorem} + +Da nun jede der $g$ Kongruenzklassen $C_{0}$,~$C_{1}$,~\dots~$C_{g-1}$ einen der Teiler~$d$ +von $g$ besitzt, so muß die Summe der Anzahlen~$\phi(\delta)$ erstreckt über +alle Teiler~$d$ oder, was dasselbe ist, erstreckt über alle Teiler~$\delta$ von $g$ +gleich $g$ sein. Es ergibt sich also der Satz: +\begin{Theorem} +Ist $g$ eine beliebige ganze Zahl, so ist +\[ +\Tag{(12)} +\sum_{\delta/g} \phi(\delta) = g, +\] +wenn die Summe über alle Teiler von $g$ einschließlich $1$ und $g$ +erstreckt wird. +\end{Theorem} + +%[** TN: Theorem indentation in the original] +So ist \zB\ nach der Tabelle~\Eq{(10)}: +\begin{align*} + 9 &= \phi(1) + \phi(3) + \phi(9) = 1 + 2 + 6 \\ +12 &= \phi(1) + \phi(2) + \phi(3) + \phi(4) + \phi(6) + \phi(12) \\ + &= 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 4. +\end{align*} + + +\Section{§ 6.}{Die Einheiten und die Einheitsklassen. Der Fermatsche +Satz für endliche Gruppen.} + +Ich betrachte jetzt genauer die $g$-adischen Einheiten und die aus +ihnen gebildeten Einheitsklassen. Sind +\[ +E = e_{0} + e_{1}g + \dots,\quad +E' = e'_{0} + e'_{1}g + \dots +\] +zwei beliebige Einheiten, deren Anfangsglieder $e_{0}$~und~$e'_{0}$ also zu $g$ +teilerfremd sind, so ist ihr Produkt +\[ +EE' = e_{0}e'_{0} + (e_{0}e'_{1} + e_{1}e'_{0})g + \dots +\] +\PageSep{116}{100} +offenbar wieder eine Einheit. Sind also $C_{e_{0}}$~und~$C_{e'_{0}}$ die beiden zugehörigen +Einheitsklassen, so ist ihr Produkt $C_{e_{0}} C_{e'_{0}} = C_{e_{0}e'_{0}}$ wieder +eine solche: +\begin{Theorem} +Das Produkt beliebig vieler Einheitsklassen ist also wieder +eine Einheitsklasse. Die $\phi(g)$ Einheitsklassen bilden demnach +einen Bereich, in dem die Multiplikation unbeschränkt und eindeutig +ausführbar ist. +\end{Theorem} + +Ich zeige jetzt weiter, daß auch die Division durch eine Einheit~$E$ +im Ringe~$R(g)$ unbeschränkt und eindeutig ausführbar ist, daß nämlich +die Gleichung: +\[ +\Tag{(1)} +EY = B +\] +stets eine eindeutig bestimmte Lösung besitzt, wenn $E$~eine Einheit, +$B$~eine beliebige Zahl bedeutet. Diese Lösung soll dann durch $Y = \dfrac{B}{E}$ +bezeichnet und der \so{Quotient von $B$~und~$E$} genannt werden. +\index{Quotient von Einheitsklassen modulo~$g$}% +Dazu beweise ich den folgenden speziellen Satz: +\begin{Theorem} +Ist $E$ eine beliebige Einheit, so gibt es stets eine einzige Zahl~$X$, +welche der Gleichung +\[ +\Tag{(2)} +EX = 1 +\] +genügt; diese Zahl~$X$ soll dann durch $E^{-1}$ oder durch $\dfrac{1}{E}$ +bezeichnet und \so{die zu $E$ reziproke Zahl} genannt +\index{Reziproke Einheit}% +werden. +\end{Theorem} + +Daß zunächst \emph{eine} Lösung $X = x_{0} + x_{1}g + \dots$ dieser Gleichung +existiert, erkennt man leicht: Die Gleichung: +\begin{align*}%[** TN: Not aligned in the orignal] +\Tag{(2^{a})} +EX &= e_{0}x_{0} + (e_{1}x_{0} + e_{0}x_{1})g + + (e_{2}x_{0} + e_{1}x_{1} + e_{0}\DPtypo{x_{1}}{x_{2}})\DPtypo{g}{g^{2}} + \dots \\ + &= 1 + 0·g + 0·g^{2} + \dots +\end{align*} +wird nämlich sicher erfüllt, wenn $x_{0}$,~$x_{1}$,~\dots\ so gewählt werden, daß +sie die Gleichungen: +\[ +\Tag{(2^{b})} +\begin{alignedat}{2} +&e_{0}x_{0} &&= 1 \\ +&e_{1}x_{0} + e_{0}x_{1} &&= 0 \\ +&e_{2}x_{0} + e_{1}x_{1} + e_{0}x_{2} &&= 0 \\ +\DotRow{4} +\end{alignedat} +\] +\PageSep{117}{101} +befriedigen. Aus ihnen bestimmen sich diese Zahlen $x_{0}$,~$x_{1}$,~$x_{2}$~\dots\ sukzessive +folgendermaßen: +\[ +\Tag{(2^{c})} +x_{0} = \frac{1}{e_{0}},\quad +x_{1} = -\frac{e_{1}}{e_{0}^{2}},\quad +x_{2} = \frac{e_{1}^{2} - e_{0}e_{2}}{e_{0}^{3}},\ \dots, +\] +oder übersichtlicher mit Benutzung der Determinanten: +\[ +\Tag{(2^{d})} +x_{0} = \frac{1}{e_{0}},\quad +x_{1} = -\frac{e_{1}}{e_{0}^{2}},\quad +x_{2} = +\frac{\begin{vmatrix}e_{1}&e_{0}\\e_{2}&e_{1}\end{vmatrix}}{e_{0}^{3}},\quad +x_{3} = -\frac{\begin{vmatrix}e_{1}&e_{0}&0\\ + e_{2}&e_{1}&e_{0}\\ + e_{3}&e_{2}&e_{1}\end{vmatrix}}{e_{0}^{4}},\ \dots\DPtypo{}{.} +\] + +Alle Koeffizienten stellen sich also als Brüche dar, deren Zähler +ganze ganzzahlige Funktionen der~$e_{i}$, also gewöhnliche ganze Zahlen +sind, während die Nenner Potenzen der Zahl~$e_{0}$ sind, welche selbst eine +Einheit modulo~$g$ ist. Mithin sind alle $x_{i}$ modulo~$g$ ganze Zahlen, also +ist die zugehörige Zahl +\[ +\Tag{(3)} +X = \frac{1}{E} = E^{-1} + = \frac{1}{e_{0}} - \frac{e_{1}}{e_{0}^{2}} g + + \frac{e_{1}^{2} - e_{0}e_{2}}{e_{0}^{3}} g^{2} + \dots +\] +eine \emph{ganze} $g$-adische Zahl. Sie ist auch eine Einheit, da ihr +Anfangsglied $\dfrac{1}{e_{0}}$ ebenso wie $e_{0}$ eine Einheit modulo~$g$ ist. + +Außer dieser Zahl besitzt die Gleichung $EX = 1$ keine andere +Lösung~$X'$; denn aus der Gleichung: +\[ +EX' = 1 +\] +folgt ja durch Multiplikation mit der soeben bestimmten Zahl~$X$: +\[ +(EX)X' = 1·X' = X. +\] + +Endlich erkennt man ebenso, daß sich aus~\Eq{(1)} für $Y$ der eindeutig +bestimmte Wert: +\[ +\Tag{(4)} +Y = BX = B·E^{-1} = \frac{B}{E} +\] +ergibt. Ist speziell auch $B = E' = e'_{0} + e'_{1} g + \dots$ eine Einheit, so +ist auch $\dfrac{E'}{E} = E'·\dfrac{1}{E} = \dfrac{e'_{0}}{e_{0}} + \dots$ eine Einheit, weil ihr Anfangsglied +$\dfrac{e'_{0} }{ e_{0}}$ zu $g$ teilerfremd ist. +\PageSep{118}{102} + +\begin{Theorem} +Der Quotient zweier Einheiten ist also stets wieder eine +Einheit. +\end{Theorem} + +Man erkennt so, daß im Gebiete der $g$-adischen Zahlen auch die +Division durch Einheiten unbeschränkt und eindeutig ausführbar ist. +Wir werden später sehen, daß man nicht durch jede $g$-adische Zahl~$A$ +unbeschränkt dividieren kann. Hier werde nur noch erwähnt, daß +man auch durch eine Zahl $A = g^{\alpha} E$ eindeutig dividieren kann, wenn +$\alpha$~eine positive oder negative ganze Zahl und $E$~eine Einheit ist, denn +die Gleichung: +\[ +AX = B +\] +hat dann die offenbar eindeutig bestimmte Lösung $X = B\dfrac{1}{A}$, wo +$\dfrac{1}{A} = \dfrac{1}{g^{\alpha}}·\dfrac{1}{E}$, und $\dfrac{1}{E}$ die in~\Eq{(3)} angegebene $g$-adische Einheit ist. + +Ich übertrage jetzt die soeben für die Einheiten gefundenen Resultate +auf die zugehörigen Einheitsklassen. Sind $C_{e_{0}}$~und~$C_{e'_{0}}$ zwei +beliebige Einheitsklassen und +\[ +E = e_{0} + e_{1}g + \dots,\quad +E' = e'_{0} + e'_{1}g + \dots +\] +zwei Einheiten derselben, so gehört ihr Produkt und ihr Quotient: +\begin{align*} +EE' &= e_{0}e'_{0} + (e_{0}e'_{1} + e_{1}e'_{0})g + \dots \\ +\frac{E'}{E} &= \frac{e'_{0}}{e_{0}} + + \frac{e'_{1}e_{0} - e'_{0}e_{1}}{e_{0}^{2}}g + \dots +\end{align*} +bzw.\ zu den beiden eindeutig bestimmten Einheitsklassen: +\[ +C_{e_{0}e'_{0}} \quad\text{und}\quad C_{\efrac{e'_{0}}{e_{0}}}. +\] +Dann sind also für die $\phi(g)$ Einheitsklassen die Rechenoperationen +der Multiplikation und der Division durch die Gleichungen: +\[ +C_{e}C_{e'} = C_{ee'} \quad\text{und}\quad +\frac{C_{e'}}{C_{e}} = C_{\efrac{e'}{e}} +\] +definiert, und man erkennt die Richtigkeit des Satzes: +\begin{Theorem} +Die $\phi(g)$ Einheitsklassen~$C_{e}$ bilden bei der oben gegebenen +Definition der Multiplikation und der Division eine endliche +Gruppe oder einen endlichen Strahl, da in ihrem Gebiete die Multiplikation +\PageSep{119}{103} +und die Division unbeschränkt und eindeutig ausführbar +ist. +\end{Theorem} + +Diese Gruppe muß wie jede Gruppe ein Einheitselement enthalten; +dieses ist offenbar die Klasse~$C_{1}$, welche aus allen Einheiten +\[ +1\MathOrd{,}\,e_{1}\,e_{2} \dots = 1 + e_{1}g + e_{2}g + \dots +\] +besteht, deren Anfangsglied in der reduzierten Form gleich Eins ist. +Jede solche Einheit soll \so{eine Haupteinheit modulo~$g$} +\index{Haupteinheit modulo~$g$}% +genannt werden; die Klasse~$C_{1}$ der Haupteinheiten nennen wir kürzer +\so{die Hauptklasse} und wollen sie, wenn wir mit den Einheitsklassen +\index{Hauptklasse modulo~$g$}% +rechnen, mitunter auch kurz durch $1$ bezeichnen. + +Für \emph{jede} endliche Gruppe besteht nun ein Fundamentalsatz, +welcher \so{der kleine Fermatsche Satz} genannt zu werden +pflegt, weil ein ganz spezieller Teil desselben zuerst von \Name{Fermat} bewiesen +\index{Fermatscher Satz (kleiner)}% +worden ist. + +\begin{Theorem} +Ist +\[ +G = (1, E_{1}, E_{2}, \dots E_{\nu-1}) +\] +eine endliche Gruppe von $\nu$ Elementen (in der also Multiplikation +und Division unbeschränkt und eindeutig ausführbar sind), so +besteht für jedes ihrer Elemente die Gleichung: +\[ +\Tag{(5)} +E^{\nu} = 1, +\] +wenn $1$ das Einheitselement von $G$ bedeutet. +\end{Theorem} + +Bildet man nämlich die $\nu$~Produkte: +\[ +\Tag{(6)} +E·1,\ +EE_{1},\ +EE_{2},\ \dots\ +EE_{\nu-1}, +\] +so sind sie zunächst wieder sämtlich Elemente von~$G$, ferner sind sie +wegen der Eindeutigkeit der Division alle voneinander verschieden, +da aus $EE_{i} = EE_{k}$ durch Division mit $E$ notwendig $E_{i} = E_{k}$ folgt. +Daher sind diese Produkte, abgesehen von ihrer Reihenfolge, mit den +$\nu$~Elementen $1$,~$E_{1}$,~\dots~$E_{\nu-1}$ von $G$ identisch. Also sind die beiden +Produkte: +\[ +(E·1)(EE_{1}) \dots (EE_{\nu-1}) = E^{\nu} (1\,E_{1} \dots E_{\nu-1}) +\] +\PageSep{120}{104} +und $(1·E_{1} \dots E_{\nu-1})$ einander gleich, und aus der so sich ergebenden +Gleichung: +\[ +E^{\nu} (1·E_{1} \dots E_{\nu-1}) = (1·E_{1} \dots E_{\nu-1}) +\] +folgt durch Division mit $(1·E_{1} \dots E_{\nu-1})$ wirklich +\[ +E^{\nu} = 1. +\] + +Verstehen wir jetzt unter $G = (1, E_{1}, \dots E_{\nu-1})$, speziell die Gruppe +der Einheitsklassen, für welche also $\nu = \phi(g)$ ist, so lehrt der soeben +bewiesene Fermatsche Satz, daß die \Ordsup{$\phi(g)$}{-te}~Potenz jeder Einheitsklasse +gleich der Hauptklasse ist. Überträgt man diese Aussage von den +Klassen auf ihre Elemente, so ist ihr Inhalt folgender: Das Produkt +von irgendwelchen $\nu$~Zahlen einer und derselben Einheitsklasse~$C_{e}$, +insbesondere also auch die \Ordsup{$\nu$}{-te}~Potenz jeder beliebigen Einheit +$E = e\MathOrd{,}e_{1} e_{2} \dots$ ist stets eine Haupteinheit $1$,~$e'_{1}$,~$e'_{2}$~\dots\DPtypo{}{.} Betrachtet man +diese Beziehung als eine Kongruenz modulo~$g$, so ergibt sich der Satz: +\begin{Theorem} +Ist $g$ eine beliebige ganze Zahl, $\phi(g)$~die Anzahl aller modulo~$g$ +inkongruenten Zahlen, welche zu $g$ teilerfremd sind, und ist $e$ +irgendeine dieser Zahlen, so besteht immer die Kongruenz: +\[ +\Tag{(7)} +e^{\phi(g)} \equiv 1 \ (\mod.~g). +\] +\end{Theorem} + +Ist speziell $g = p^{k}$ eine Primzahlpotenz, so ist $\phi(p^{k}) = p^{k} - p^{k-1}$, +so daß hier für jede durch $p$ nicht teilbare Zahl stets die Kongruenz: +\[ +\Tag{(8)} +e^{p^{k} - p^{k-1}} \equiv 1 \ (\mod.~p^{k}) +\] +erfüllt ist. Insbesondere ist also für $k = 1$ +\[ +\Tag{(8^{a})} +e^{p-1} \equiv 1 \ (\mod.~p); +\] +dies ist der zuerst von Fermat bewiesene Satz. + +Für den Modul $9 = 3^{2}$ ist \zB\ $\phi(9) = 6$, und die sechs Zahlen +$(1, 2, 4, 5, 7, 8)$ bilden ein vollständiges System aller modulo~$9$ inkongruenten +Einheiten; wirklich ist hier, wie man sich durch Ausrechnung +(wobei Vielfache von $9$ immer fortgelassen werden können) +leicht überzeugt: +\[ +1^{6} \equiv 2^{6} \equiv 4^{6} \equiv 5^{6} \equiv 7^{6} \equiv 8^{6} \equiv 1 \ (\mod.~9). +\] +\PageSep{121}{105} + +Ich beweise jetzt einen zweiten Fundamentalsatz für endliche +Gruppen $G = (1, E_{1}, \dots E_{\nu-1})$, welcher in der ganzen Zahlentheorie +immer wieder zur Anwendung kommt. + +Ist $E$ irgend ein Element einer endlichen Gruppe~$G$ von $\nu$~Elementen, +so bilden, wie bereits \aSeite{12} erwähnt wurde, alle Potenzen +\[ +(\dots E^{r} \dots) = (\dots E^{-2}, E^{-1}, 1, E, E^{2}, \dots) +\] +von $E$, bei denen allgemein $E^{-r}$ das zu $E^{r}$ reziproke Element bedeutet, +\index{Exponent eines Elementes in einer Gruppe}% +für sich eine Untergruppe von~$G$, welche \aaO\ die zu $E$ gehörige +Untergruppe von $G$ genannt wurde. Da somit auch diese Gruppe +endlich ist, so müssen in der unendlichen Reihe dieser Potenzen von +$E$ gewisse einander gleich sein. Es seien in dieser Gruppe~$E^{r}$ und +$E^{r+d}$ die beiden ersten Elemente mit nicht negativen Exponenten, +welche einander gleich sind; dann muß $r = \DPtypo{o}{0}$ sein, da anderenfalls aus +der Gleichung $E^{r} = E^{r+d}$ sofort $1 = E^{d}$ folgen würde. Ist $E^{d}$ die +kleinste positive Potenz von~$E$, welche gleich Eins ist, so sagen wir +$E$ \so{gehört zum Exponenten~$d$}; alsdann sind die Elemente +\[ +1,\ E,\ E^{2},\ \dots\ E^{d-1} +\] +alle voneinander verschieden. Ist dagegen $k' = k + rd$ irgendeine +positive Zahl, welche größer oder gleich $d$ ist, so folgt aus der Gleichung: +\[ +E^{k'} = E^{k+rd} = E^{k}(E^{d})^{r} = E^{k}, +\] +daß $E^{k'}$ derjenigen Potenz~$E^{k}$ in jener Reihe gleich ist, deren Exponent +kongruent~$k'$ modulo~$d$ ist. Endlich folgt aus der Gleichung +$E^{k}E^{d-k} = 1$, welche für jedes $k \leqq d$ besteht, daß allgemein +\[ +E^{-k} = E^{d-k} +\] +ist, daß also die Reihe $(E^{-d}, E^{-(d-1)}, \dots E^{-1})$ der $d$ ersten negativen +Potenzen mit der Reihe $(1, E, E^{2}, \dots E^{d-1})$ übereinstimmt. Aus diesen +beiden Betrachtungen zusammengenommen folgt also, daß die ganze +zu $E$ gehörige Untergruppe $(\dots E^{r} \dots)$ aller positiven und negativen +Potenzen von $E$ aus der sich immer wiederholenden Periode +\[ +(\dots 1, E, E^{2}, \dots E^{d-1}, 1, E, E^{2}, \dots E^{d-1}, \dots) +\] +der $d$ voneinander verschiedenen Potenzen von $E$ besteht. Zwei +Potenzen $E^{k}$~und~$E^{k'}$ mit positiven oder negativen Exponenten sind +\PageSep{122}{106} +einander stets und nur dann gleich, wenn ihre Exponenten modulo~$d$ +kongruent sind. Speziell sind allein die Potenzen von $E$ gleich Eins, +deren Exponent ein Multiplum von $d$ ist. Da nun nach dem Fermatschen +Satze $E^{\nu} = 1$ ist, so ist auch $\nu$ ein Vielfaches von~$d$. +Somit ergibt sich der folgende wichtige Satz: +\begin{Theorem} +Jedes Element einer endlichen Gruppe \Ordsup{$\nu$}{-ter}~Ordnung gehört +zu einem Exponenten~$d$, welcher ein Teiler von $\nu$ ist. +\end{Theorem} +So gehören \zB\ für den Modul~$9$ von den $\phi(9) = 6$ inkongruenten +Einheiten $(1, 2, 4, 5, 7, 8)$\; $1$~zum Exponenten~$1$, $8 \equiv -1$, zu $2$,~$7$ +und~$4$ zum Exponenten~$3$, und $2$~und~$5$ zu~$6$. Ebenso gehören von +den $\phi(20) = 8$ Einheiten $(±1, ±3, ±7, ±9)$ drei, nämlich $±9$~und~$-1$ +zum Exponenten~$2$, und $4$, nämlich $±3$,~$±7$, zum Exponenten~$4$. + +%[** TN: Extra vertical space in the original] +Durch die Darstellung der $g$-adischen Zahlen in der additiven und +der multiplikativen Normalform wird die Ausführung der elementaren +Rechenoperationen im Ringe~$R(g)$ der allgemeinen $g$-adischen +Zahlen vollständig und eindeutig reduziert auf die Ausführung derselben +Operationen in den Ringen $R(p)$,~$R(q)$,~\dots~$R(r)$, deren Grundzahlen +alle diejenigen verschiedenen Primzahlen $p$,~$q$,~\dots~$r$ sind, welche +in $g$ enthalten sind. + +Daher wollen wir uns in den nächsten Kapiteln zunächst mit der +genauen Untersuchung der $p$-adischen Zahlen beschäftigen, deren +Grundzahl~$p$ eine beliebige Primzahl ist, und nachher die hier gefundenen +Resultate auf die $g$-adischen Zahlen ausdehnen. +\PageSep{123}{107} + + +\Chapter{Sechstes Kapitel.} +{Der Körper~$K(p)$ der $p$-adischen Zahlen, +deren Grundzahl eine beliebige +Primzahl~ist.} + +\Section{§ 1.}{Die elementaren Rechenoperationen im Körper~$K(p)$ +der $p$-adischen Zahlen.} + +Es sei jetzt $p$ eine beliebige Primzahl; wir betrachten den Bereich +\index{Korpor@{Körper}!Kp@{$K(p)$ d.\ $p$-adischen Zahlen}}% +aller $p$-adischen Zahlen +\[ +A = a_{\alpha}p^{\alpha} + a_{\alpha+1}p^{\alpha+1} + \dots \ (p), +\] +deren Koeffizienten modulo~$p$ ganze rationale oder auch ganze $p$-adische +Zahlen sein können. Wir setzen, falls $A \neq 0$ ist, diese Darstellung +bereits so umgeformt voraus, daß der Anfangskoeffizient~$a_{\alpha}$ durch $p$ +nicht teilbar ist. Jeder solchen Zahl~$A$ ordnen wir dann eine \so{Ordnungszahl} +\index{Ordnungszahl!für d.\ Bereich v.~$p$}% +zu, nämlich den Exponenten~$\alpha$ ihres Anfangsgliedes. +Der einen Zahl +\[ +0 = 0 + 0·p + 0·p^{2} + \dots +\] +müssen wir konsequenterweise die Ordnungszahl $\alpha = +\infty$ zuordnen. +Dann besitzt jede Zahl~$A$ eine eindeutig bestimmte positive, verschwindende +oder negative Ordnungszahl~$\alpha$, und umgekehrt gehören zu jeder +gewöhnlichen ganzen Zahl~$\alpha$, die auch gleich $+\infty$ sein kann, $p$-adische +Zahlen, welche gerade diese Ordnungszahl haben. Dagegen enthält +$R(p)$ keine Zahl, welche die Ordnungszahl~$-\infty$ hat, da jede Zahl~$A$ +höchstens mit einer \emph{endlichen} Anzahl negativer Potenzen von $p$ +beginnt. +\PageSep{124}{108} + +Wir nennen $A$~eine \so{ganze} oder eine \so{gebrochene $p$-adische +Zahl}, je nachdem ihre Ordnungszahl~$\alpha$ nicht negativ oder +\index{p-adischen@{$p$-adische Zahlen, ganze u.\ gebrochene}}% +negativ ist. Ist $A$ speziell die $p$-adische Entwicklung einer rationalen +Zahl, so ist sie nach dieser Definition ganz oder gebrochen, je nachdem +die zugehörige rationale Zahl modulo~$p$ ganz oder gebrochen ist. + +Nach der auf \Seite{96} unten gegebenen Definition ist eine ganze +$p$-adische Zahl $E = e_{0} + e_{1}p + \dots$ eine Einheit, wenn $(e_{0}, p) = 1$, +wenn also $e_{0}$ nicht durch $p$ teilbar ist; es gilt also der Satz: +\begin{Theorem} +Eine Zahl +\[ +E = e_{0} + e_{0} + e_{1} p + e_{2} p^{2} + \dots +\] +ist stets und nur dann eine Einheit, wenn ihre Ordnungszahl +Null ist. +\end{Theorem} + +Jede ganze oder gebrochene Zahl außer Null läßt sich auf eine +einzige Weise in der Form +\[ +A = p^{\alpha}(a_{\alpha} + a_{\alpha+1}p + \dots) = p^{\alpha} E +\] +darstellen, wo $E$~eine Einheit und $\alpha$~die Ordnungszahl von $A$ ist. Diese +höchste in $A$ enthaltene Potenz~$p^{\alpha}$ von $p$ soll der \so{absolute Betrag +von~$A$} genannt und durch +\index{Absoluter Betrag einer $p$-adischen Zahl}% +\[ +|A| = p^{\alpha} +\] +bezeichnet werden. + +Im vorigen Kapitel ist bereits bewiesen worden, daß der Bereich +$R(g)$ aller $g$-adischen Zahlen einen Zahlenring bildet, da in ihm die +ersten sechs Grundgesetze des ersten Kapitels gelten, also speziell die +Addition, Subtraktion und Multiplikation unbeschränkt und eindeutig +ausführbar sind. Ich zeige jetzt, daß, falls die Grundzahl eine +Primzahl~$p$ ist, allerdings auch nur unter dieser Voraussetzung, auch +das siebente Grundgesetz von der unbeschränkten und eindeutigen +Division erfüllt ist, daß also der Bereich $R(p)$ aller $p$-adischen Zahlen +einen Körper~$K(p)$ darstellt, in dem alle vier elementaren Rechenoperationen +unbeschränkt und eindeutig ausführbar sind. Ich beweise +also folgenden Satz: +\begin{Theorem} +Ist $A$ eine von Null verschiedene, $B$~eine ganz beliebige +$p$-adische Zahl, so gibt es stets eine einzige $p$-adische Zahl~$X$, +für welche +\PageSep{125}{109} +\[ +\Tag{(1)} +AX = B \ (p) +\] +ist. Diese Zahl~$X$ wird durch $\dfrac{B}{A}$ bezeichnet und \so{der Quotient +von $B$ und~$A$} genannt. +\index{Quotient!$p$-adischer Zahlen}% +\end{Theorem} + +Die Richtigkeit dieses wichtigen Satzes folgt einfach aus der Tatsache, +daß im Bereiche $R(p)$ jede Zahl~$A$ in der Form~$p^{\alpha}E$ darstellbar +ist, wo $E$~eine $p$-adische Einheit bedeutet. Nach dem auf \Seite{102} +oben bewiesenen Satze besitzt nämlich dann die Gleichung~\Eq{(1)} die +eindeutig bestimmte Lösung: +\[ +\DPtypo{\Tag{(1a)}}{\Tag{(1^{a})}} +X = \frac{B}{A} = p^{-\alpha}·B·E^{-1}, +\] +wo $E^{-1}$ die zu $E$ reziproke Einheit bedeutet. + +Damit ist also die Gültigkeit des siebenten Grundgesetzes vollständig +bewiesen. Da somit der Ring~$R(p)$ der $p$-adischen Zahlen +ein Körper ist, so wollen wir ihn von nun an stets durch $K(p)$ bezeichnen. + +Die Division einer $p$-adischen Einheit $B = b_{0}\MathOrd{,}\,b_{1}\,b_{2} \dots$ durch eine +andere $A = a_{0}\MathOrd{,}\,a_{1}\,a_{2}\dots$, deren unbeschränkte und eindeutige Ausführbarkeit +wir soeben nachgewiesen haben, läßt sich praktisch genau +so ausführen, wie die eines Dezimalbruches durch einen andern; nur +muß auch hier genau wie bei der Ausführung der Multiplikation die +Operation bei den Anfangsgliedern $b_{0}$~und~$a_{0}$ begonnen und dann +sukzessive von links nach rechts fortgeführt werden. Um die Division +einer reduzierten Einheit $b_{0}\MathOrd{,}\,b_{1}\,b_{2} \dots$ durch eine andere $a_{0}\MathOrd{,}\,a_{1}\,a_{2} \dots$ +durchzuführen, dividiere man also zunächst $b_{0}$ durch~$a_{0}$, \dh\ man +bestimme, am leichtesten durch Probieren, die reduzierte Zahl~$x_{0}$, für +welche $a_{0} x_{0} \equiv b_{0}\ (\mod.~p)$ ist, bilde dann die Differenz $B - Ax_{0}$, +oder ausgeführt +\[ +\begin{array}{c@{\,}r@{\,}r@{\,}r@{\,}l} + & b_{0}, & b_{1} & b_{2} & \dots \\ +-&x_{0}a_{0}, & x_{0}a_{1} & x_{0}a_{2} & \dots \\ +\cline{2-5}\Strut + & 0, & b_{1}' & b_{2}' & \dots\rlap{,} +\end{array} +\] +und behandle diese Differenz dann genau in derselben Weise weiter. +So ist \zB\ für die Grundzahl $p = 5$: +\PageSep{126}{110} +\[ +%[** TN: Not duplicating widths of subtraction bars] +\begin{array}{l@{\,}*{6}{l}} +\multicolumn{7}{l}{% + \rlap{$3\MathOrd{,}12 : 4\MathOrd{,}21 + = 2\MathOrd{,}\,\overline{4220}\,\overline{4220} \dots\ (5)$,}} \\ +3\MathOrd{,} &0&3 \\ +\cline{1-7}\Strut + &1&4&4&4& \rlap{\,\dots} \\ + &1&1&1&1& \\ +\cline{2-7}\Strut + & &3&3&3&4&4 \rlap{\,\dots} \\ + & &3&0&3 \\ +\cline{3-7}\Strut + & & &3&0&4&4 \rlap{\,\dots} \\ + & & &3&0&3& \\ +\cline{4-7}\Strut + & & & &0&1&444 \rlap{\,\dots} \\ + & & & & &1&111 \\ +\cline{6-7}\Strut + & & & & & &33344 \rlap{\,\dots} \\ + & & & & & &\Z\Z\vdots +\end{array} +\] +und man sieht, wie beiläufig bemerkt werden mag, daß dieser Quotient +periodisch ist. + +Sind +\[ +E = e_{0}\MathOrd{,}e_{1}\,e_{2}\dots \quad\text{und}\quad +E' = e'_{0}\MathOrd{,}e'_{1}\,e'_{2} \dots +\] +zwei beliebige Einheiten, so sind, wie auf \Seite{100} und 102 allgemein +bewiesen wurde, ihr Produkt und ihr Quotient +\begin{gather*} +EE' = e_{0}e'_{0} + p (e_{0}e'_{1} + e_{1}e'_{0}) + \dots \\ +\frac{E}{E'} = \frac{e_{0}}{e'_{0}} + p\frac{e_{1}e'_{0} - e_{0}e'_{1}}{{e'_{0}}^{2}} + \dots +\end{gather*} +gleichfalls Einheiten. Hieraus folgt sofort der allgemeine Satz: +\begin{Theorem} +Die Ordnungszahl eines Produktes ist gleich der Summe der +Ordnungszahlen seiner Faktoren; die Ordnungszahl eines Quotienten +ist die Differenz der Ordnungszahlen von Zähler und +Nenner. +\end{Theorem} + +Denn aus den Gleichungen $A = p^{\alpha} E_{1}$, $B = p^{\beta} E_{2}$ folgt ja: +\[ +AB = p^{\alpha+\beta} E_{1}E_{2},\quad +\frac{A}{B} = p^{\alpha-\beta} \frac{E_{1}}{E_{2}}, +\] +und $E_{1} E_{2}$ sowohl als $\dfrac{E_{1}}{E_{2}}$ sind wieder Einheiten. +\PageSep{127}{111} + +Als eine einfache Anwendung dieser Betrachtungen löse ich die +für die Folge wichtige Aufgabe, die Ordnungszahl~$\mu_{m}$ des Produktes: +\[ +m! = 1·2\dots m +\] +der $m$ ersten Zahlen für den Bereich von $p$ zu bestimmen, wenn $m$ +beliebig gegeben ist. + +Hierzu führt wohl am einfachsten der folgende leicht zu beweisende +Satz: +\begin{Theorem} +Die Ordnungszahl~$\nu$ einer beliebigen ganzen rationalen Zahl~$n$ +ist gleich +\[ +\Tag{(2)} +\nu = \frac{s_{n-1} - s_{n} + 1}{p - 1}, +\] +wenn allgemein $s_{r}$ die $p$-adische Ziffersumme der ganzen Zahl~$r$ +bei ihrer Darstellung in der reduzierten Form bedeutet. +\end{Theorem} + +Ist nämlich +\[ +n = 0\MathOrd{,}0\,0\dots 0\,a_{\nu}\,a_{\nu+1} \dots a_{r}\ (p) +\] +die Darstellung dieser Zahl~$n$ in der reduzierten Form, so ist +\[ +n - 1 = p{-}1\MathOrd{,}\ p{-}1 \dots p{-}1\ a_{\nu}{-}1\ a_{\nu+1} \dots a_{r} \ (p), +\] +und aus den beiden Ziffernsummen: +\begin{alignat*}{2} +&s_{n} &&= a_{\nu} + a_{\nu+1} + \dots + a_{r} \\ +&s_{n-1} &&= \nu(p - 1) + (a_{\nu} - 1) + a_{\nu+1} + \dots + a_{r} +\end{alignat*} +folgt in der Tat durch Subtraktion die obige Gleichung für die Ordnungszahl~$\nu$, +welche auch für $n = 1$ gilt, da ja die Ziffernsumme~$s_{0}$ +von Null gleich Null ist. + +Aus dieser Formel folgt sofort für die Ordnungszahl~$\mu_{m}$ des Produktes +$1·2·3\dots m = m!$ die Gleichung: +\[ +\Tag{(3)} +\mu_{m} = \frac{1}{p - 1} \sum_{n=1}^{m} (s_{n-1} - s_{n} + 1) = \frac{m - s_{m}}{p - 1} +\] +\dh\ es gilt der Satz: +\begin{Theorem} +Ist $m = a_{0}\MathOrd{,}a_{1} \dots a_{r}$ die Darstellung einer beliebigen gewöhnlichen +ganzen Zahl in der reduzierten Form, so ist das Produkt~$m!$ +\PageSep{128}{112} +genau durch $p^{\efrac{m-s_{m}}{p-1}}$ teilbar, wenn $s_{m} = a_{0} + a_{1} + \dots +a_{r}$ +die $p$-adische Ziffernsumme von~$m$ bedeutet. +\end{Theorem} + + +\Section{§ 2.}{Die Anordnung der $p$-adischen Zahlen nach ihrer Größe.} +\index{Größe!d.\ $p$-adischen Zahlen}% + +Der im Anfang des vorigen Paragraphen eingeführte Begriff der +\index{Anordnung $p$-adischer Zahlen nach ihrer Größe}% +Ordnungszahl der $p$-adischen Zahlen gibt uns die Möglichkeit, diese +Zahlen nach ihrer Größe für den Bereich von $p$ so einzuteilen, daß +viele Sätze über die Größenordnung der gewöhnlichen rationalen oder +irrationalen Zahlen auch für die $p$-adischen Zahlen gültig bleiben; +während sie aber dort \zT~schwierig zu beweisen sind, ist ihre Richtigkeit +für unsere $p$-adischen Zahlen meistens fast evident. + +\begin{Theorem} +Von zwei Zahlen $\gamma$~und~$\delta$ soll $\gamma$ für den Bereich von $p$ +\so{kleiner} als $\delta$ heißen ($\gamma < \delta\ (p)$), wenn die Ordnungszahl von $\gamma$ +größer als die von $\delta$ ist, wenn also \zB\ für den Fall, daß $\gamma$ und +$\delta$ ganz sind, für ihre $p$-adischen Darstellungen +\[ +\gamma = 0\MathOrd{,}0\dots 0\,c_{r}\,c_{r+1}\dots, \quad +\delta = 0\MathOrd{,}0\dots 0\,d_{s}\,d_{s+1}\dots +\] +$r$ größer als $s$ ist, mithin $\gamma$ mehr Nullen hinter dem Komma hat +als~$\delta$. Die beiden Zahlen sollen für den Bereich von $p$ \so{äquivalent} +oder \so{von gleicher Größe} heißen ($\gamma \sim \delta\ (p)$), +wenn $r$ gleich $s$ ist, wenn sie also die gleiche Ordnungszahl haben. +\end{Theorem} + +So ist \zB\ +\[ +36 < 12\ (3),\quad +6 \sim 15\ (3), +\] +weil $36 = 0\MathOrd{,}0\,1\,1\ (3)$ die Ordnungszahl~$2$ hat, während $12 = 0\MathOrd{,}1\,1\ (3)$ +von der ersten Ordnung ist; $6$~und~$15$ sind aber beide von der ersten +Ordnung, also wirklich äquivalent. + +Ist $\gamma \lesssim \delta$, so besteht eine Gleichung +\[ +\gamma = \delta g, +\] +wo $g$ eine \emph{ganze} $p$-adische Zahl bedeutet, \dh\ allein unter dieser Voraussetzung +ist $\gamma$ durch $\delta$ teilbar. Eine Zahl~$\gamma$ ist also durch jede äquivalente +und durch jede größere Zahl teilbar, aber durch keine kleinere +Zahl. +\PageSep{129}{113} + +Bekanntlich werden die gewöhnlichen komplexen Zahlen $a + bi$ +vom gleichen absoluten Betrag $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ geometrisch als Punkte +eines und desselben um den Anfangspunkt als Mittelpunkt mit dem +Radius~$r$ beschriebenen Kreises in der komplexen Zahlenebene repräsentiert. +Ähnlich wollen wir, wenn es einmal im Interesse der Anschaulichkeit +erwünscht sein sollte, alle äquivalenten $p$-adischen Zahlen +$A$,~$A'$,~$A''$,~\dots, deren absoluter Betrag $|A| = p^{\alpha} = |A'| = |A''| = \dots$ +derselbe ist, in irgendeiner Anordnung durch Punkte eines um den +Anfangspunkt als Mittelpunkt mit dem Radius $\dfrac{1}{p^{\alpha}} = \dfrac{1}{|A|}$ beschriebenen +Kreises repräsentieren, ohne daß jedoch hier auch umgekehrt jedem +Punkt dieses Kreises eine $p$-adische Zahl zu entsprechen braucht, wie +dies bei den komplexen Zahlen der Fall ist. Dann entsprechen also +allen $p$-adischen Zahlen der Ordnungszahlen \dots~$-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$,~\dots\ +Punkte der konzentrischen Kreise mit den Radien \dots~$p^{2}$, $p$, $1$, $\dfrac{1}{p}$, $\dfrac{1}{p^{2}}$~\dots; +dem Anfangspunkt selbst entspricht die Zahl Null, deren Ordnung ja +gleich $+\infty$ ist, und von zwei Zahlen $\gamma$~und~$\delta$ ist $\gamma$ die kleinere, wenn +der ihr zugeordnete Punkt näher am Nullpunkt liegt als der zu $\delta$ +gehörige. Man könnte auch allen Zahlen mit derselben Ordnungszahl~$\alpha$ +den einen Punkt~$P_{\alpha}$ zuordnen, welcher auf einer Achse die Abszisse +$p^{-\alpha}$ besitzt. + +In der Theorie der algebraischen Zahlen muß der Bereich der +rationalen $p$-adischen Zahlen in der Weise erweitert werden, daß zu +ihnen auch solche Zahlen +\[ +\alpha = a_{r} p^{\efrac{r}{n}} + a_{r+1} p^{\efrac{r+1}{n}} + \dots +\] +hinzutreten, welche nach gebrochenen Potenzen von $p$ mit modulo~$p$ +ganzen Koeffizienten fortschreiten; eine solche Zahl~$\alpha$ besitzt, falls ihr +Anfangskoeffizient wieder als Einheit modulo~$p$ vorausgesetzt wird, +die gebrochene Ordnungszahl $d = \dfrac{r}{n}$. Auch in diesem allgemeinen Falle +können wir den Zahlen~$\alpha$ einer bestimmten gebrochenen Ordnungszahl~$d$ +Peripheriepunkte des um den Nullpunkt mit dem Radius~$p^{-d}$ +beschriebenen Kreises zuordnen. Die im folgenden ausgesprochenen +Sätze über die Größenverhältnisse der rationalen Zahlen gelten dann, +\PageSep{130}{114} +wie hier nur erwähnt werde, genau ebenso für diese algebraischen +Zahlen mit gebrochenen Ordnungszahlen. + +Sind $\gamma_{1}$,~$\gamma_{2}$,~\dots~$\gamma_{\nu}$ sämtlich nicht größer als~$\delta$, sind also alle diese +Zahlen durch $\delta$ teilbar, so gilt offenbar dasselbe von ihrer Summe: +\[ +\gamma_{1} + \gamma_{2} + \dots + \gamma_{\nu}. +\] +Ist also speziell $\gamma \lesssim \delta$, so ist auch für jede natürliche Zahl~$\nu$: +$\nu\gamma \lesssim \delta$, was auch an sich klar ist, da ja jede ganze Zahl $\nu \lesssim 1\ (p)$ ist. + +Wir haben hier also eine Größenanordnung der $p$-adischen Zahlen, +welche insofern ganz wesentlich von der der gewöhnlichen Zahlen abweicht, +als das sog.\ \emph{Axiom des Messens} oder das \emph{Archimedische +Axiom} für sie nicht gilt, nach welchem ein genügend hohes +\index{Archimedisches Axiom}% +Multiplum~$\nu\gamma$ einer jeden, wenn auch noch so kleinen Zahl~$\gamma$ größer +ist als jede beliebig große vorgegebene Zahl. Um so merkwürdiger ist +es, daß bei dieser vollständig anderen Größenanordnung der $p$-adischen +Zahlen, wie wir zeigen werden, die Fundamentalsätze der Algebra, +der Reihentheorie, der Differentialrechnung und der Funktionentheorie +gültig bleiben, aber allerdings völlig andere Eigenschaften der untersuchten +Zahlen und Funktionen enthüllen. + + +\Section{§ 3.}{Grenzwerte von Reihen $p$-adischer Zahlen.} + +Es sei +\[ +\Tag{(1)} +s_{0},\ s_{1},\ s_{2},\ \dots +\] +eine unendliche Reihe von gesetzmäßig gebildeten $p$-adischen Zahlen, +welche, soweit man will, berechnet werden können. Gibt es dann eine +$p$-adische Zahl~$s$ von der Beschaffenheit, daß, wie klein auch $\delta$ gewählt +werde, für ein genügend großes~$n$ +\[ +\Tag{(2)} +s - s_{\nu} < \delta\ (p) +\] +wird, sobald $\nu > n$ ist, so sagt man, die Reihe~\Eq{(1)} \so{besitzt den +Grenzwert~$s$}, oder sie \so{konvergiert gegen~$s$}, und man +\index{Grenzwert}% +\index{Konvergenz}% +drückt diese Beziehung durch die Gleichung +\[ +\Tag{(3)} +\lim_{\nu=\infty} s_{\nu} = s\ (p) +\] +aus. +\PageSep{131}{115} + +So konvergiert \zB\ die Reihe der $p$-adischen Zahlen: +\begin{align*} +&s_{1} = 1\MathOrd{,}1\,1\,1\,1 \dots,\quad + s_{2} = 1\MathOrd{,}2\,2\,2\,2 \dots,\quad + s_{3} = 1\MathOrd{,}2\,3\,3\,3 \dots,\\ +&s_{4} = 1\MathOrd{,}2\,3\,4\,4 \dots,\ \dots +\end{align*} +offenbar gegen die $p$-adische Zahl +\[ +s = 1\MathOrd{,}2\,3\,4\,5\,6 \dots, +\] +weil +\[ +s - s_{\nu} = 0\MathOrd{,}0\,0 \dots 1\,2\,3 \dots + = p^{\nu} + 2p^{\nu+1} + \dots < p^{n} +\] +ist, sobald $\nu > n$ gewählt ist. + +Ist ferner \zB\ +\[ +A = a_{0} + a_{1} p + a_{2} p^{2} + \dots\ (p) +\] +eine beliebige $p$-adische Zahl, so konvergiert die Reihe ihrer Näherungswerte +\[ +A^{(0)} = a_{0},\quad +A^{(1)} = a_{0} + a_{1} p,\quad +A^{(2)} = a_{0} + a_{1} p + a_{2} p^{2},\ \dots +\] +eben gegen die Grenze~$A$, weil für ein beliebig kleines $\delta = p^{n}$ alle Differenzen +\[ +A - A^{(\nu)} = a_{\nu+1} p^{\nu+1} + a_{\nu+2} p^{\nu+2} + \dots + < \delta = p^{n} +\] +sind, sobald $\nu \geqq n$ angenommen wird. + +Besitzt eine Reihe~\Eq{(1)} den Grenzwert~$s$, so folgt für ein genügend +großes $n$ und ein beliebiges positives~$k$ aus den beiden Gleichungen: +\[ +s - s_{r+k} < \delta,\quad +s - s_{\nu} < \delta\ (p), +\] +daß stets: +\[ +\Tag{(4)} +s_{\nu+k} - s_{\nu} < \delta\ (p) +\] +sein muß, sobald nur $\nu$ größer als $n$ ist. + +Speziell ergibt sich für $k = 1$, daß die Reihe~\Eq{(1)} nur dann einen +Grenzwert haben kann, wenn für ein beliebig kleines $\delta$ von einem +genügend hoch gewählten $n$ ab +\[ +\Tag{(5)} +s_{\nu+1} - s_{\nu} < \delta\ (p)\quad (\nu > n) +\] +ist. Ist diese notwendige Bedingung erfüllt, so folgt weiter, daß dann +auch der allgemeinen Bedingung~\Eq{(4)} genügt wird, da ja dann für ein +beliebiges~$k$ +\PageSep{132}{116} +\[ +s_{\nu+k} - s_{\nu} + = (s_{\nu+1} - s_{\nu}) + + (s_{\nu+2} - s_{\nu+1}) + \dots + + (s_{\nu+k} - s_{\nu+k-1}) < \delta +\] +ist. + +Endlich ergibt sich jetzt leicht, daß die notwendige Bedingung~\Eq{(5)} +dafür, daß die Reihe~\Eq{(1)} einen Grenzwert hat, auch hinreichend ist. +Ist sie nämlich erfüllt, so stellt die Reihe +\[ +s = s_{0} + (s_{1} - s_{0}) + (s_{2} - s_{1}) + \dots + (s_{\nu} - s_{\nu-1}) + \dots\ (p) +\] +eine $p$-adische Zahl dar, welche mit jeder vorgegebenen Genauigkeit +berechnet werden kann, weil ihre Glieder $(s_{\nu+1} - s_{\nu})$ für ein genügend +großes $\nu$ durch jede noch so hohe Potenz von $p$ teilbar sind; und da +diese Reihe für jedes $\nu$ auch offenbar in der Form +\[ +s = s_{\nu} + (s_{\nu+1} - s_{\nu}) + (s_{\nu+2} - s_{\nu+1}) + \dots\ (p) +\] +geschrieben werden kann, so folgt in der Tat, daß für diese Zahl~$s$ +\[ +s - s_{\nu} = (s_{\nu+1} - s_{\nu}) + (s_{\nu+2} - s_{\nu+1}) + \dots < \delta\ (p) +\] +ist, sobald $\nu$ größer als ein genügend großes $n$ gewählt wird. + + +\Section{§ 4.}{Die unendlichen Reihen mit $p$-adischen Gliedern +und das Kriterium für ihre Konvergenz.} + +Die soeben durchgeführten Betrachtungen wende ich jetzt an auf die +Untersuchung der unendlichen Reihen von $p$-adischen Zahlen und +auf die Ableitung des einen Kriteriums, welches hier die Frage nach +ihrer Konvergenz vollständig und in wunderbar einfacher Weise löst. + +Ich führe jetzt auch unendliche Reihen +\[ +\Tag{(1)} +A_{0} + A_{1} + A_{2} + \dots +\] +in die Betrachtung ein, deren Glieder beliebige $p$-adische Zahlen sind, +und bezeichne die aus ihnen gebildeten endlichen Partialsummen: +\[ +\Tag{(2)} +\begin{aligned} +s_{0} &= A_{0} \\ +s_{1} &= A_{0} + A_{1} \\ +\PadTo{s_{\nu}}{\vdots} & \\ +s_{\nu} &= A_{0} + A_{1} + \dots + A_{\nu} \\ +\DotRow{2} +\end{aligned} +\] +\PageSep{133}{117} +als \so{den nullten}, \so{ersten},~\dots\ \Ordsup{$\nu$}{-ten},~\dots\ \so{Näherungswert +jener Reihe}. Vorausgesetzt nun, daß die Reihe +\[ +s_{0},\ s_{1},\ s_{2},\ \dots +\] +dieser Näherungswerte gegen einen bestimmten Grenzwert konvergiert +\index{Näherungswerte unendlicher Reihen}% +so soll dieser \so{die Summe der Reihe} genannt, und diese +\index{Summe!e.\ $p$-adischen Reihe}% +als \so{eine konvergente $p$-adische Reihe} bezeichnet +werden. Die Summe~$s$ einer konvergenten Reihe wird dann mit +jeder vorgegebenen Genauigkeit durch einen ihrer Näherungswerte~$s_{\nu}$ +von genügend hoher Ordnung dargestellt. + +Nach dem im vorigen Paragraphen gefundenen Resultate konvergiert +nun die Reihe der Näherungswerte~$s_{\nu}$ stets und nur dann gegen +einen bestimmten Grenzwert, wenn ihre Differenzen $s_{\nu+1} - s_{\nu}$ mit +wachsendem Index unendlich klein werden, oder also gegen die Grenze +Null konvergieren; und da aus \Eq{(2)} offenbar allgemein +\[ +s_{\nu+1} - s_{\nu} = A_{\nu+1} +\] +folgt, so ergibt sich das folgende ebenso einfache wie umfassende +Konvergenzgesetz für alle $p$-adischen Reihen: +\index{Konvergente $p$-adische Reihen}% +\begin{Theorem} +Eine $p$-adische Reihe $A_{0} + A_{1} + A_{2} + \dots$ ist stets und nur +dann konvergent, wenn ihre Glieder mit wachsendem Index gegen +Null konvergieren. Die Gleichung +\[ +\Tag{(3)} +\lim_{\nu=\infty} A_{\nu} = 0 +\] +enthält also die notwendige und hinreichende Bedingung für die +Konvergenz einer beliebigen $p$-adischen Reihe. +\end{Theorem} + +Summiert man die Glieder einer konvergenten $p$-adischen Reihe +in einer beliebigen anderen Reihenfolge, bei welcher natürlich jedes +Glied derselben wirklich einmal zur Summation gelangen muß, so +erhält man stets dieselbe Summe~$s$. Sind nämlich für ein beliebig klein +gewähltes $\delta$ alle Glieder $A_{n+1}$,~$A_{n+2}$,~\dots\ kleiner als~$\delta$, so wird ja bei +jeder Summationsordnung die Reihe mit der Genauigkeit~$\delta$ durch +die endliche Summe: +\[ +s_{n} = A_{0} + A_{1} + \dots + A_{n} +\] +dargestellt, da ja die Summe: +\PageSep{134}{118} +\[ +A_{\nu_{1}} + A_{\nu_{2}} + \dots + A_{\nu_{k}} +\] +beliebiger und beliebig vieler Elemente, deren Indizes größer sind als~$n$, +für den Bereich von $p$ stets kleiner als $\delta$ ist. Auch hierdurch unterscheiden +sich die $p$-adischen Reihen ganz wesentlich von den unendlichen +Reihen natürlicher Zahlen, denn unter diesen gibt es sowohl +\so{unbedingt konvergente} Reihen, welche unabhängig von +der Summationsordnung stets dieselbe Summe haben, als auch +\so{bedingt konvergente}, welche bei geeigneter Ordnung der +\index{Bedingt konvergente Reihen}% +\index{Unbedingt konvergente Reihen}% +Summation gegen jeden Grenzwert konvergieren können. Es gilt also +hier der Satz: +\begin{Theorem} +Jede konvergente $p$-adische Reihe ist unbedingt konvergent. +\end{Theorem} + +Speziell konvergiert eine sogen.\ \so{Doppelreihe} +\index{Doppelreihe}% +\[ +\sum_{i=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} A_{ik} + = A_{00} + A_{10} + A_{01} + A_{20} + A_{11} + A_{02} + \dots +\] +stets und nur dann, wenn ihre Glieder für den Bereich von $p$ beliebig +klein werden, sobald auch nur einer der Indizes entsprechend wächst; +alsdann ist die Reihenfolge der Summationen gleichgültig, auch die +Doppelreihe konvergiert also unbedingt, falls sie überhaupt konvergiert. + + +\Section{§ 5.}{Die Potenzreihen im Bereich der $p$-adischen Zahlen.} + +Ich wende diese Betrachtungen auf die Untersuchung der \emph{Potenzreihen} +mit $p$-adischen Koeffizienten an und bemerke gleich, daß die +sich hier ergebenden Konvergenzkriterien mit denjenigen genau übereinstimmen, +welche die Betrachtung der Potenzreihen mit natürlichen +Zahlkoeffizienten liefert. + +\begin{Theorem} +Es sei: +\[ +\frakP(x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots +\] +eine Potenzreihe mit beliebigen ganzen oder gebrochenen $p$-adischen +Koeffizienten~$a_{k}$. Ist dann $\xi$~eine $p$-adische Zahl, für welche +jedes Glied $a_{k} \xi^{k}$ jener Reihe unterhalb einer endlichen Grenze~$g$ +bleibt, so konvergiert die Reihe unbedingt für alle $x < \xi\ (p)$. +\end{Theorem} +\PageSep{135}{119} + +Ist nämlich für jedes~$k$ +\[ +\Tag{(1)} +a_{k} \xi^{k} < g\ (p), +\] +und ist $x < \xi$, also $\dfrac{x}{\xi} \sim p^{\rho}$ von positiver Ordnung, also $< 1\ (p)$, so +wird +\[ +a_{k} x^{k} = a_{k} \xi^{k} \left(\frac{x}{\xi}\right)^{k} + < g\left(\frac{x}{\xi}\right)^{k} + \sim gp^{k\rho} +\] +mit wachsendem Index~$k$ von beliebig hoher positiver Ordnung, \dh\ +es ist in der Tat: +\[ +\lim a_{k} x^{k} = 0\ (p). +\] + +Ich nenne auch hier, wie auf \Seite{117}, die ganzen Funktionen \Ordsup{$0$}{-ten}, +\Ordsup{$1$}{-ten}, \Ordsup{$2$}{-ten}~\dots\ Grades von~$x$: +\[ +\frakP_{0}(x) = a_{0},\quad +\frakP_{1}(x) = a_{0} + a_{1} x,\quad +\frakP_{2}(x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2},\ \dots +\] +\so{den nullten}, \so{ersten}, \so{zweiten},~\dots\ \so{Näherungswert +der Potenzreihe~$\frakP(x)$}. Hat dann wieder $\xi$ die oben in \Eq{(1)} +\index{Näherungswerte der Potenzreihen}% +angegebene Bedeutung, so sei $x$~eine bestimmte $p$-adische Zahl, welche +für den Bereich von $p$ kleiner als $\xi$ ist, so daß also: +\[ +\frac{x}{\xi} \sim p^{\rho} < 1\ (p) +\] +wird, wo $\rho$ positiv ist. Wird dann für eine bestimmte Genauigkeit~$\delta$ +$n$~so groß gewählt, daß für alle $\nu > n$ +\[ +g p^{\nu\rho} < \delta\ (p) +\] +ist, so ist für alle hinter $a_{n} x^{n}$ auftretenden Summanden: +\[ +a_{\nu} x^{\nu} = (a_{\nu} \xi^{\nu})·\left(\frac{x}{\xi}\right)^{\nu} + < g p^{\nu\rho} < \delta\ (p), +\] +und dasselbe gilt für die Summen von beliebig vielen von diesen +Gliedern. Also wird der Wert $\frakP(x)$ der Potenzreihe für dieses $x$ +durch ihren \Ordsup{$n$}{-ten}~Näherungswert +\[ +\frakP_{n}(x) = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{n} x^{n} +\] +mit der Genauigkeit~$\delta$ dargestellt, und das gleiche gilt für alle Zahlen +$x_{0} \lesssim x$, da für sie: +\PageSep{136}{120} +\[ +a_{\nu} x_{0}^{\nu} = a_{\nu} x^{\nu} \left(\frac{x_{0}}{x}\right)^{\nu} + \lesssim a_{\nu} x^{\nu} +\] +ist. + +Eine Reihe $\frakP(x)$ heißt innerhalb eines gewissen Bereiches von $x$ +\so{gleichmäßig konvergent}, wenn sie für alle Werte, welche +$x$ innerhalb dieses Bereiches annehmen kann, durch einen und denselben +Näherungswert $\frakP_{n}(x)$ dieser Reihe mit der \emph{gleichen} Genauigkeit~$\delta$ +dargestellt wird. Wir können also das soeben erlangte +Resultat in dem folgenden Satz aussprechen: +\begin{Theorem} +Konvergiert eine Potenzreihe für einen bestimmten Wert $x$ +der Veränderlichen, so konvergiert sie unbedingt und gleichmäßig +für alle $x_{0} \lesssim x\ (p)$; konvergiert dagegen die Reihe für einen +Wert von x nicht, so konvergiert sie auch nicht für alle $x' \gtrsim x\ (p)$; +denn sie müßte ja nach dem soeben bewiesenen Satze für $x$ konvergieren, +wenn sie für $x'$ konvergent wäre. +\end{Theorem} + +Die entsprechenden Sätze gelten auch für Potenzreihen mit +mehreren Variablen und werden ganz ebenso bewiesen. Hieraus folgt +speziell, daß eine Potenzreihe +\[ +\frakP(x, y) = \sum a_{ik} x^{i}y^{k}, +\] +in welcher für ein Wertsystem $(\xi, \eta)$ alle Glieder $a_{ik}\xi^{i}\eta^{k}$ kleiner sind +als eine endliche Grenze~$g$, für alle $x < \xi$, $y < \eta\ (p)$ unbedingt und +gleichmäßig konvergiert; ihre Glieder können somit in beliebiger Anordnung +summiert werden. Speziell ist also: +\begin{alignat*}{4} +\frakP(x, y) + &= \frakP_{0}(x) &&+ \frakP_{1}(x)y &&+ \frakP_{2}(x)y^{2} &&+ \dots \\ + &= \bar{\frakP}_{0}(y) &&+ \bar{\frakP}_{1}(y)x &&+ \bar{\frakP}_{2}(y)x^{2} &&+ \dots +\end{alignat*} +wo allgemein: +\[ +\frakP_{k}(x) = \sum_{i=0}^{\infty} a_{ik}x^{i}, \quad +\bar{\frakP}_{i}(y) = \sum_{k=0}^{\infty} a_{ik}y^{k} +\] +ist. + +Spricht man die bisher gefundenen Resultate unter Benutzung +der auf \Seite{113} gegebenen geometrischen Repräsentation der $p$-adischen +Zahlen aus, so erhält man den Satz: +\begin{Theorem} +Konvergiert die Reihe~$\frakP(x)$ in einem Punkte~$x$, so konvergiert +sie im Inneren und auf der Peripherie des Kreises mit dem +\PageSep{137}{121} +Mittelpunkte~$0$, welcher durch $x$ geht. Konvergiert sie in einem +Punkte~$\bar{x}$ nicht, so gilt das gleiche von allen Punkten außerhalb +und auf der Peripherie eines durch diesen Punkt gehenden Kreises +mit dem Mittelpunkte~$0$. +\end{Theorem} + +Hieraus folgt, daß für jede Potenzreihe~$\frakP(x)$, welche überhaupt +\index{Konvergenzkreis e.\ Potenzreihe}% +\index{Radius d.\ Konvergenzkreises e.\ Potenzreihe}% +für von Null verschiedene Werte von $x$ konvergiert, ein solcher Kreis~$K$ +um den Nullpunkt existiert, daß sie für alle innerhalb von $K$ liegenden +Punkte konvergiert, für alle außerhalb von $K$ befindlichen +Punkte divergiert, während sie für keinen einzigen auf der Kreisperipherie +liegenden Punkt konvergieren kann. Dieser eindeutig bestimmte +Kreis möge der \so{Konvergenzkreis von~$\frakP(x)$} genannt +werden. Ist $r = p^{\rho}$ der absolute Betrag der Zahlen, welche den +Peripheriepunkten von $K$ entsprechen, so konvergiert $\frakP(x)$ für +alle und nur die Zahlen $x < p^{\rho}\ (p)$. Die Zahl $r = p^{\rho}$ heißt \so{der +Radius des Konvergenzkreises von~$\frakP(x)$}. + +Man kann um den Nullpunkt einer Potenzreihe mit von Null +verschiedenem Konvergenzradius stets einen endlichen Bereich so abgrenzen, +daß sich in ihm eventuell mit Ausnahme der Stelle $x = 0$ +keine weitere Nullstelle der Reihe befindet. Ist nämlich etwa $a_{m} x^{m}$ der +erste Term mit einem von Null verschiedenen Koeffizienten, und +schreibt man die Reihe in der Form: +\[ +\frakP(x) = a_{m} x^{m} + a_{m+1} x^{m+1} + \dots = a_{m} x^{m} (1 + \phi(x)), +\] +wo die Potenzreihe: +\[ +\phi(x) = \frac{a_{m+1}}{a_{m}}x + \frac{a_{m+2}}{a_{m}}x^{2} + \dots +\] +innerhalb desselben Bereiches gleichmäßig konvergiert, wie die ursprüngliche +Reihe, so kann man $x = \xi$ so klein wählen, daß alle +Glieder von~$\phi(x)$, also auch $\phi(x)$ selbst, kleiner als Eins, \dh\ durch +$p$ teilbar sind. Liegen nämlich für ein bestimmtes $x_{0}$ alle Glieder $\dfrac{a_{i}}{a_{m}}·x_{0}^{i}$ +unterhalb einer endlichen Grenze~$g$, und setzt man $|\xi| = |x_{0}|p^{\rho}$, so ist +für jedes Glied der Reihe~$\phi(\xi)$ +\[ +\left|\frac{a_{i}}{a_{m}}\xi^{i}\right| + = \left|\frac{a_{i}}{a_{m}}x_{0}^{i}\right| · \left|\frac{\xi}{x_{0}}\right|^{i} + < gp^{i\rho}\ (p); +\] +\PageSep{138}{122} +wählt man also $\rho$ positiv und so groß, daß $gp^{\rho} < 1\ (p)$ wird, so gilt +dasselbe a~fortiori für jedes der Glieder von~$\phi(\xi)$, mithin auch von +$\phi(\xi)$ selbst; es wird also auch für alle $x \lesssim \xi$ +\[ +\frakP(x) = a_{m} x^{m} (1 + \phi(x)) \sim a_{m}x^{m} > 0\ (p), +\] +und damit ist unsere Behauptung bewiesen. + +Hieraus folgt der weitere Satz: +\begin{Theorem} +Eine Potenzreihe mit endlichem (\dh\ von Null verschiedenem) +Konvergenzbereich ist innerhalb dieses Bereiches dann und nur +dann stets Null, wenn alle ihre Koeffizienten Null sind. +\end{Theorem} + +Wäre nämlich bei der vorher betrachteten Reihe wieder $a_{m}$ der +erste von Null verschiedene Koeffizient, so könnte man ja $x < \xi$ stets +so klein wählen, daß gegen unsere Voraussetzung: +\[ +\frakP(x) \sim a_{m} x^{m} > 0 +\] +wäre. Hieraus folgt ohne weiteres: +\begin{Theorem}[\noindent] +Zwei Potenzreihen mit endlichem Konvergenzbereiche sind einander +dann und nur dann innerhalb dieses Bereiches gleich, wenn +sie identisch sind; +\end{Theorem} +denn nur dann kann ja ihre Differenz innerhalb des gemeinsamen Konvergenzbereiches +Null sein. + + +\Section{§ 6.}{Der Körper der Potenzreihen mit endlichem Konvergenzbereiche.} + +Sind +\[ +\Tag{(1)} +A(x) = \sum a_{i} x^{i},\quad +B(x) = \sum b_{k} x^{k} +\] +zwei Potenzreihen mit endlichem Konvergenzbereiche, so konvergieren +die aus ihnen gebildeten Potenzreihen +\[ +\Tag{(2)} +\begin{aligned} +S(x) &= \sum (a_{i} + b_{i})x^{i} \\ +D(x) &= \sum (a_{i} - b_{i})x^{i} \\ +P(x) &= \sum\sum a_{i} b_{k} x^{i+k} +\end{aligned} +\] +in dem ihnen gemeinsamen Konvergenzbereiche ebenfalls unbedingt +\PageSep{139}{123} +und gleichmäßig und sie stellen für jedes in diesem Bereiche liegende +$x$ die Werte $A(x) + B(x)$, $A(x) - B(x)$, $A(x)B(x)$ dar; endlich sind +jene Reihen durch diese drei Forderungen eindeutig bestimmt. In +der Tat, liegt $x$ im Konvergenzbereiche von $A(x)$~und~$B(x)$, so ist +\[ +\lim_{i=\infty} (a_{i} x^{i}) = 0,\quad +\lim_{k=\infty} (b_{k} x^{k}) = 0, +\] +und ferner ist für jedes Glied beider Reihen +\[ +a_{i} x^{i} < g,\quad +b_{k} x^{k} < g, +\] +wo $g$ eine endliche Zahl bedeutet; also ist auch für jede der drei obigen +Reihen +\begin{gather*} +\lim (a_{i} ± b_{i}) = 0 \\ +\lim (a_{i} b_{k} x^{i+k}) + = \PadTo{\lim}{\lim\limits_{\Strut[8pt]i\text{ od.\ }k=\infty}} + (a_{i} x^{i})(b_{k} x^{k}) = 0, +\end{gather*} +da im letzten Falle einer der beiden Faktoren sicher unterhalb $g$ bleibt, +während der andere für einen genügend großen Index beliebig klein +ist. Alle drei Reihen konvergieren also für dasselbe $x$ unbedingt und +gleichmäßig und können in beliebiger Ordnung summiert werden. + +Sind ferner $A_{n}(x)$ und $B_{n}(x)$ die \Ord{$n$}{-ten} Näherungswerte von $A(x)$ +und $B(x)$, ferner $S_{n}(x)$, $D_{n}(x)$, $P_{n}(x)$ die entsprechenden Näherungswerte +der drei abgeleiteten Reihen~\Eq{(2)}, und beachtet man, daß für ein +genügend großes $n$ jedes Glied $a_{\nu} x^{\nu}$ bezw.\ $b_{\nu} x^{\nu}$, wo $\nu > n$, durch jede +noch so kleine Zahl~$\delta$ teilbar ist, so ergibt sich, daß für jedes noch so +kleine~$\delta$ und ein genügend großes~$n$ +\[ +\left. +\begin{aligned} +S_{n} &\equiv A_{n} + B_{n} \\ +D_{n} &\equiv A_{n} - B_{n} \\ +P_{n} &\equiv A_{n} B_{n} +\end{aligned} +\right\}\ (\mod.~\delta) +\] +ist, \dh\ die Reihen $S(x)$,~$D(x)$ und~$P(x)$ stellen in der Tat die Werte +$A(x) ± B(x)$ und $A(x)B(x)$ mit jeder vorgegebenen Genauigkeit~$\delta$ +dar. Durch diese Forderung sind jene Reihen aber auch eindeutig +bestimmt, denn \zB\ eine zweite Reihe~$\bar{S}(x)$, welche ebenso wie $S(x)$ +für alle Werte von $x$ im gemeinsamen Konvergenzbereiche von $A(x)$ +und $B(x)$ gleich $A(x) + B(x)$ wäre, müßte ja notwendig mit $S(x)$ +identisch sein. +\PageSep{140}{124} + +Wir wollen die so gewonnenen Reihen also \so{die Summe}, \so{die +Differenz} und \so{das Produkt von $A(x)$ und $B(x)$} +\index{Differenz zweier Potenzreihen}% +\index{Produkt zweier Potenzreihen}% +\index{Summe!zweier Potenzreihen}% +nennen und durch $A(x) ± B(x)$ bzw.\ $A(x) B(x)$ bezeichnen. + +Ähnlich kann man zeigen, daß im Bereiche der konvergenten +Potenzreihen zu jeder von Null verschiedenen Reihe~$A(x)$ eine eindeutig +bestimmte reziproke Reihe~$\bar{A}(x)$ existiert, welche ebenfalls +einen endlichen Konvergenzbereich besitzt und dort gleich $\dfrac{1}{A(x)}$ ist. + +Es sei: +\[ +A(x) = a_{m} x^{m} (1 + \alpha_{1} x + \alpha_{2} x^{2} + \dots); +\] +wir setzen $\bar{A}(x)$ in der Form +\[ +\bar{A}(x) = \frac{1}{\alpha_{m} x^{m}}(1 + \bar{\alpha}_{1} x + \bar{\alpha}_{2} x^{2} + \dots) +\] +an. Dann sind die unbekannten Koeffizienten~$\bar{\alpha}_{i}$ so zu bestimmen, +daß: +\[ +(1 + \alpha_{1} x + \alpha_{2} x^{2} + \dots) +(1 + \bar{\alpha}_{1} x + \bar{\alpha}_{2} x^{2} + \dots) + = 1 + 0x + 0x^{2} + \dots +\] +wird, und das ergibt für die unbekannten Koeffizienten $\bar{\alpha}_{1}$,~$\bar{\alpha}_{2}$,~\dots\ die +Gleichungen: +\[ +\Tag{(3)} +\begin{gathered} +\bar{\alpha}_{1} + \alpha_{1} = 0 \\ +\bar{\alpha}_{2} + \bar{\alpha}_{1} \alpha_{1} + \alpha_{2} = 0 \\ +\vdots \\ %[** TN: Ad hoc dots in the original] +\bar{\alpha}_{i} + \bar{\alpha}_{i-1} \alpha_{1} + \bar{\alpha}_{i-2} \alpha_{2} + \dots + \alpha_{i} = 0 \\ +\DotRow{1}, +\end{gathered} +\] +aus denen sich, wie bereits auf \Seite{101} allgemein nachgewiesen wurde, +dieselben eindeutig bestimmen. + +Ich zeige jetzt, daß die so bestimmte Reihe +\[ +1 + \bar{\alpha}_{1} x + \bar{\alpha}_{2} x^{2} + \dots +\] +in einem endlichen Bereiche konvergiert und dort dem reziproken +Werte der Reihe +\[ +1 + \alpha_{1} x + \alpha_{2} x^{2} + \dots +\] +gleich ist. Da diese letztere \ndV\ einen endlichen Konvergenzbereich +besitzt, für welchen $\lim (a_{i} x^{i}) = 0$ ist, so kann man erstens in diesem Bereiche +\PageSep{141}{125} +auch für $x$ einen kleineren Bereich so abgrenzen, daß für alle +Werte von $x$ in demselben und für jedes~$i$\; $\alpha_{i} x^{i}$~mindestens durch $p^{i}$ +teilbar ist. + +In der Tat, ist für ein endliches $x_{0}$ allgemein: +\[ +\alpha_{i} x_{0}^{i} < g\ (p), +\] +wo $g$~eine endliche Zahl bedeutet, und wählt man dann $\xi < x_{0}$, so daß +\[ +\frac{\xi}{x_{0}} \sim p^{\nu}\ (p) +\] +ist, wo $\nu$~eine gleich zu bestimmende positive Zahl bedeutet, so ist ja: +\[ +\alpha_{i} \xi^{i} = (\alpha_{i} x_{0}^{i}) \left(\frac{\xi}{x_{0}}\right)^{i} + < gp^{\nu i}, +\] +und wie auch $g$ gegeben sei, immer kann man $\nu$ so groß wählen, daß +für jedes $i = 1$, $2$,~\dots\ stets $gp^{\nu i} \lesssim p^{i}\ (p)$ ist; dann ist wirklich für +alle $x \lesssim \xi$ +\[ +\alpha_{i} x^{i} < p^{i} +\] +\wzbw. + +Ich behaupte nun zweitens, daß für alle diese Werte von $x$ auch +jedes Glied $\bar{a}^{i} x^{i}$ mindestens durch $p^{i}$ teilbar ist, und da dann sicher +$\lim(\bar{a}^{i} x^{i}) = 0$ ist, so ist damit bewiesen, daß die zweite Reihe +mindestens in diesem Bereiche $x \lesssim \xi\ (p)$ konvergent ist. + +Um diesen Beweis zu führen, nehme ich an, es sei bereits gezeigt, +daß für alle Indizes $k = 1$, $2$,~\dots~$i - 1$\; $\bar{a}_{k} x^{k}$~mindestens durch $p^{k}$ teilbar +ist. Multipliziert man dann die \Ordsup{$i$}{-te}~Gleichung~\Eq{(3)} mit~$x^{i}$, schreibt sie +in der Form: +\[ +(\bar{a}_{i} x^{i})·1 + + (\bar{a}_{i-1} x^{i-1})(\alpha_{1} x) + + (\bar{a}_{i-2} x^{i-2})(\alpha_{2} x^{2}) + \dots + + (\alpha_{i} x^{i}) = 0 +\] +und beachtet, daß in ihr alle Produkte mit Ausnahme des ersten \ndV\ +durch $p^{i}$ teilbar sind, so folgt, daß für $\bar{\alpha}_{i} x^{2}$ das gleiche gelten +muß. Da nun nach der ersten Gleichung in~\Eq{(3)} $\bar{\alpha}_{1} x = -\alpha_{1} x$ mindestens +$p^{1}$ enthält, so ist die Behauptung vollständig bewiesen. + +Da somit die beiden Reihen $\sum \alpha_{i} x^{i}$ und $\sum \bar{\alpha}_{i} x^{i}$ einen endlichen +Konvergenzbereich haben, und da ihr Produkt in diesem gleich Eins +ist, so ist nach dem oben für das Produkt bewiesenen Satze in diesem +\PageSep{142}{126} +Bereiche die zweite Reihe dem reziproken Wert der ersten gleich und +sie ist durch diese Eigenschaft eindeutig bestimmt. + +Hieraus folgt, daß der Bereich aller konvergenten Potenzreihen +einen Körper bildet, da in ihm die vier elementaren Rechenoperationen +so definiert sind, daß sie unbeschränkt und eindeutig ausführbar +sind; denn ist $A(x)$ nicht identisch Null, so besitzt ja jede Gleichung +\[ +A·X = B +\] +die eindeutig bestimmte Lösung +\[ +X = B·A^{-1} = \frac{B}{A}. +\] + +Ich knüpfe hier die für das folgende wichtige Bemerkung an, daß +im Körper der konvergenten Potenzreihen auch die sogen. \so{Differentiation} +\index{Differentiation}% +unbeschränkt und eindeutig ausführbar ist. + +Ist nämlich +\[ +A(x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots +\] +eine beliebige Reihe, so bezeichnet man als \so{abgeleitete Reihe} +\index{Abgeleitete Reihe}% +oder als \so{Ableitung} $A'(x)$ von $A(x)$ die Potenzreihe: +\index{Ableitung einer Funktion!einer Potenzreihe}% +\[ +A'(x) = a_{1} + 2a_{2} x + 3a_{3} x^{2} + \dots. +\] +Ist nun für ein bestimmtes~$x$\; $A(x)$~konvergent, also +\[ +\lim_{i=\infty} (a_{i} x^{i}) = 0, +\] +so gilt für das gleiche $x$ dasselbe von~$A'(x)$, denn es ist ja: +\[ +\lim_{i=\infty} (ia_{i} x^{i-1}) = \frac{1}{x} \lim_{i=\infty} (a_{i} x^{i}) = 0, +\] +da jede ganze Zahl $i \lesssim 1$ ist. Dasselbe gilt natürlich auch von der +Ableitung von~$A'(x)$ +\[ +A''(x) = 1·2a_{2} + 2·3a_{2} x + \dots, +\] +welche \so{die zweite Ableitung von~$A(x)$} heißt, und überhaupt +von allen Ableitungen $A'''(x)$, $A''''(x)$,~\dots\ beliebig hoher +Ordnung von~$A(x)$. +\PageSep{143}{127} + + +\Section{§ 7.}{Die unendlichen Produkte.} + +In ganz gleicher Weise wie die unendlichen Summen können, wie +hier nur kurz erwähnt werden mag, auch die unendlichen Produkte +\[ +\Tag{(1)} +P = B_{0} B_{1} B_{2} \dots +\] +$p$-adischer Zahlen arithmetisch untersucht werden, vorausgesetzt, daß +ein solches Produkt konvergiert, \dh\ sich mit wachsender Anzahl +der Faktoren einer eindeutig bestimmten $p$-adischen Zahl annähert, +so daß diese durch das Produkt von einer Anzahl unter diesen Faktoren, +deren Indizes unter einer genügend groß gewählten Grenze +liegen, mit jeder vorgegebenen Genauigkeit dargestellt wird. Wir +schließen hierbei den trivialen Fall aus, daß einer (oder mehrere) unter +diesen Faktoren gleich Null ist. + +Ein solches Produkt konvergiert stets und nur dann gegen einen +bestimmten Grenzwert, wenn man nach Annahme einer beliebig hohen +Potenz~$p^{k}$ von $p$ als Modul eine Grenze~$n$ so angeben kann, daß das +Produkt +\[ +B_{\nu_{1}} B_{\nu_{2}} \dots B_{\nu_{r}} +\] +beliebig vieler Faktoren von~$P$, deren Indizes~$\nu_{i}$ größer als $n$ sind, +modulo~$p^{k}$ kongruent Eins ist, wenn sich also das Produkt beliebig +vieler genügend weit entfernter Glieder beliebig wenig von Eins unterscheidet; +dann konvergiert nämlich $P$ gegen die eindeutig bestimmte +$p$-adische Zahl~$P$, deren \Ord{$k$}{-ter} Näherungswert +\[ +P^{(k)} = B_{1} B_{2} \dots B_{n} +\] +ist, \dh\ gegen die Zahl +\[ +\Tag{(2)} +P = P^{(0)} + (P^{(1)} - P^{(0)}) + (P^{(2)} - P^{(1)}) + \dots\ (p). +\] + +Hierzu ist zunächst notwendig, daß jeder einzelne Faktor~$B_{\nu}$, +dessen Index größer als $n$ ist, für sich modulo~$p^{k}$ kongruent Eins ist. +Setzt man also allgemein: +\[ +B_{\nu} = 1 + A_{\nu} +\] +so muß für ein genügend großes~$\nu$\; $A_{\nu}$~durch jede noch so hohe Potenz +von $p$ teilbar, oder also +\PageSep{144}{128} +\[ +\lim A_{\nu} = 0\ (p) +\] +sein. Diese notwendige Bedingung ist aber auch hinreichend; denn +ist sie erfüllt, so ist ja offenbar auch jedes Produkt +\begin{align*}%[** TN: Unaligned in the original] +B_{\nu_{1}} B_{\nu_{2}} \dots B_{\nu_{r}} + &= (1 + A_{\nu_{1}}) (1 + A_{\nu_{2}}) \dots (1 + A_{\nu_{r}}) \\ + &= 1 + A_{\nu_{1}} + \dots + A_{\nu_{r}} + + A_{\nu_{1}} A_{\nu_{2}} + \dots +\end{align*} +von beliebig vielen solchen Faktoren ebenfalls modulo~$p^{k}$ kongruent +Eins, weil jedes der Produkte $A_{\nu_{1}} A_{\nu_{2}} \dots$ durch $p^{k}$ teilbar ist. Wir erhalten +also folgendes einfache Resultat: +\begin{Theorem} +Ein unendliches Produkt +\[ +P = B_{1} B_{2} B_{3} \dots = (1 +A_{1}) (1 + A_{2}) (1 + A_{3}) \dots +\] +stellt stets und nur dann eine eindeutig bestimmte $p$-adische Zahl +mit jeder vorgegebenen Genauigkeit dar, wenn +\[ +\lim_{\nu=0} A_{\nu} = 0\ (p) +\] +ist. +\end{Theorem} +\PageSep{145}{129} + + +\Chapter{Siebentes Kapitel.} +{Die Elemente der Analysis und Algebra +im Gebiete der $p$-adischen Zahlen.} + +\Section{§ 1.}{Die veränderlichen Größen. Die Funktionen, Stetigkeit +und Differenzierbarkeit. Die $p$-adischen Potenzreihen sind in +ihrem Konvergenzbereiche stetige und differenzierbare Funktionen +ihres Argumentes.} + +Ich wende mich nun zu der Frage, in welcher Weise der Wert +einer Potenzreihe~$A(x)$ von ihrem Argumentwerte abhängt und übertrage +dazu den aus der elementaren Analysis bekannten Begriff der +stetigen und differenzierbaren Funktion auf die hier betrachteten +\index{Funktion}% +Bereiche der $p$-adischen Zahlen. + +Eine Größe~$x$ heißt innerhalb eines gewissen Bereiches~$B$\; $p$-adischer +Zahlen \so{unbeschränkt veränderlich oder variabel}, +wenn sie jeden Zahlwert in demselben annehmen kann. Ist +$x_{0}$ eine Zahl jenes Bereiches, so konstituieren alle diejenigen Zahlen~$x$ +desselben, für welche die Differenz $x - x_{0}$ unterhalb einer genügend +klein gewählten Grenze~$\delta$ liegt, einen Teilbereich von~$B$, welcher \so{die +Umgebung von~$x_{0}$} genannt wird. Eine variable Größe~$x$ kann +\index{Umgebung einer Zahl}% +\index{Veränderliche oder variable Größe}% +in einem Bereiche \so{unendlich kleine Werte} annehmen, +\index{Unendlich kleine Werte}% +wenn der Bereich Zahlen enthält, welche kleiner als jede noch so kleine +von Null verschiedene Größe~$\delta$ sind. + +Eine Größe~$y$ heißt eine \so{Funktion der unabhängigen +Veränderlichen~$x$ innerhalb eines gewissen Bereiches~$B$}, +wenn ein Verfahren existiert, mit dessen Hilfe man $y$ +mit jeder vorgegebenen Genauigkeit berechnen kann, sobald $x$ in jenem +Bereiche beliebig gegeben wird. So ist \zB\ +\PageSep{146}{130} +\[ +y = \frakf(x) = a_{k} x^{k} + a_{k-1} x^{k-1} + \dots + a_{0}\ (p) +\] +eine ganze rationale Funktion von~$x$, wenn die Koeffizienten~$a_{i}$ beliebige +$p$-adische Zahlen sind. Allgemein ist auch +\[ +y = A(x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots\ (p), +\] +falls $A(x)$ eine beliebige konvergente Potenzreihe ist, in dem Konvergenzbereiche +derselben eine Funktion von~$x$. + +Eine Funktion $y = \frakf(x)$ heißt an einer Stelle $x = \xi$ ihres Bereiches +\so{stetig}, wenn der Grenzwert der Differenz: +\[ +\frakf(\xi + h) - \frakf(\xi) +\] +unendlich klein wird, falls $h$ irgendwie gegen Null konvergiert. Eine +solche Funktion heißt an der Stelle $\xi$ \so{differenzierbar}, wenn +\[ +\lim_{h=0} \frac{\frakf(\xi + h) - \frakf(\xi)}{h} = \frakf'(\xi) +\] +gegen einen von den Werten und der Art des Abnehmens von $h$ unabhängigen, +\index{Ableitung einer Funktion}% +\index{Differenzierbare Funktion}% +\index{Stetige Funktionen}% +also allein von $\xi$ abhängigen Grenzwert konvergiert, der +die \so{Ableitung} oder \so{der Differentialquotient von +$\frakf(x)$ nach $x$ an der Stelle~$\xi$} genannt wird. +\index{Differentialquotient}% + +\begin{Theorem} +Eine Potenzreihe $A(x) = \sum a_{i} x^{i}$ ist für alle Werte von $x$ +innerhalb ihres Konvergenzbereiches stetig und differenzierbar, +und ihre Ableitung ist für jede Stelle gleich der abgeleiteten +Reihe $A'(x) = \sum i a_{i} x^{i-1}$. +\end{Theorem} + +Es sei nämlich $r$ der Konvergenzradius jener Reihe und $\xi < r$ irgendeine +Zahl innerhalb des Konvergenzbereiches. Ist dann $h < r$ ein +anderer Argumentwert desselben Bereiches, so gehört auch $\xi + h < r$ +diesem Bereiche an, und der zugehörige Funktionswert von $A(x)$ ist +gleich: +\begin{align*}%[** TN: Unaligned in the original] +A(\xi + h) + &= a_{0} + a_{1} (\xi + h) + a_{2} (\xi + h)^{2} + \dots \\ + &= a_{0} + a_{1} \xi + a_{1} h + a_{2} \xi^{2} + 2 a_{2} \xi h + a_{2} h^{2} + \dots. +\end{align*} +Für die gewählten Werte $\xi$~und~$h$ konvergiert aber auch die zweite +Darstellung dieser Reihe unbedingt und gleichmäßig; wählt man nämlich, +was stets möglich ist, $\rho$~innerhalb des Konvergenzbereiches von +$A(x)$ so aus, daß +\PageSep{147}{131} +\[ +\xi \lesssim \rho < r,\quad h \lesssim \rho < r\ (p), +\] +wird, so ist ja für ihr allgemeines Glied $a_{i}\dbinom{i}{k} \xi^{k} h^{i-k}$ +\[ +a_{i}\binom{i}{k} \xi^{k} h^{i-k} + \lesssim a_{k} \rho^{k} \rho^{i-k} + = a_{i} \rho^{i}\ (p), +\] +weil jeder Binomialkoeffizient $\dbinom{i}{k}$ eine ganze Zahl, also höchstens +äquivalent Eins ist. Also nähert sich jedes Glied dieser Reihe dem +Grenzwerte Null, wenn $k$ oder $i - k$ unendlich groß wird. + +Ordnet man also diese Reihe, was ja nun erlaubt ist, nach Potenzen +von $h$ und berücksichtigt, daß dann die Koeffizienten der einzelnen +Potenzen von $h$ offenbar bis auf Faktoren $\dfrac{1}{2!}$,~$\dfrac{1}{3!}$,~\dots\ die sukzessiven +abgeleiteten Reihen von $A(\xi)$ werden, so folgt, daß auch für den Bereich +einer beliebigen Primzahl~$p$ und für alle Inkremente~$h$ des Konvergenzbereiches +von $A(x)$ die sog.\ \so{Taylorsche Entwicklung} gilt: +\index{Taylorsche Entwickelung}% +\[ +A(\xi + h) = A(\xi) + A'(\xi)h + \frac{A''(\xi)}{2!} h^{2} + \dots. +\] +Wählt man jetzt, was ja bei jeder konvergenten Potenzreihe +stets möglich ist, $h$~unendlich klein, so folgt aus der letzten Gleichung, +daß in der Tat +\[ +\lim_{h=0} \frac{A(\xi + h) - A(\xi)}{h} = A'(\xi), +\] +\dh\ daß $A(x)$ an jeder Stelle $\xi$ ihres Konvergenzbereiches stetig und +differenzierbar und daß ihr Differentialquotient dort gleich $A'(\xi)$ ist. + + +\Section{§ 2.}{Die Exponentialfunktion im Bereiche der $p$-adischen +Zahlen.} + +Ich untersuche jetzt, ob es eine Funktion +\[ +\Tag{(1)} +E(x) = e_{0} + e_{1} x + e_{2} x^{2} + \dots\ (p) +\] +von $x$ gibt, welche in einer endlichen Umgebung der Stelle $x = 0$ als +konvergente Potenzreihe darstellbar ist, welche in ihrem Bereiche +der \DPtypo{Funktionalgeichung}{Funktionalgleichung}: +\PageSep{148}{132} +\[ +\Tag{(2)} +E(x + y) = E(x)E(y) +\] +genügt. + +Wir schließen die beiden trivialen konstanten Lösungen $E(x) = 0$ +und $E(x) = 1$ dieser Aufgabe aus. Dann folgt aus der Gleichung~\Eq{(2)} +für $y = 0$ +\[ +E(x) = E(x + 0) = E(x)·E(0) = e_{0}·E(x); +\] +es muß also $e_{0} = 1$ sein. + +Ferner ergibt sich aus \Eq{(2)} für die Ableitung der Reihe +\[ +E(x) = 1 + e_{1} x + e_{2} x^{2} + \dots +\] +die Gleichung: +\begin{align*} +\Tag{(3)} +&E'(x) = \lim_{h=0} \frac{E(x + h) - E(x)}{h} + = \lim \frac{E(x)·E(h) - E(x)}{h} \\ +&= E(x) \lim \frac{E(h) - 1}{h} + = E(x)·\lim_{h=0} (e_{1} + h e_{2} + h^{2} e_{3} + \dots) \\ +&= e_{1}·E(x). +\end{align*} +Es muß also $e_{1} \neq 0$ sein, da andernfalls aus der Gleichung +\[ +E'(x) = e_{1} + 2e_{2} x + 3e_{3} x^{2} + \dots = 0 +\] +$e_{1} = e_{2} = \dots = 0$, also $E(x) = 1$ sich ergeben würde. + +Ist endlich $E(x) = 1 + e_{1} x + \dots$ eine Potenzreihe, welche der +Forderung~\Eq{(2)} genügt und für alle $x < \rho$ konvergiert, und bedeutet $c$ +eine beliebige Konstante, so ist auch +\[ +\bar{E}(x) = E(cx) = 1 + ce_{1} x + c^{2} e_{2} x^{2} + \dots +\] +eine Lösung unserer Aufgabe, denn es ist ja +\[ +\bar{E}(x) \bar{E}(y) = E(cx)E(cy) = E(c(x + y)) = \bar{E}(x + y), +\] +und die neue Reihe konvergiert für alle $cx < \rho$ oder $x < \dfrac{\rho}{c}$, besitzt +also ebenfalls einen endlichen Konvergenzbereich. + +Besitzt also die Gleichung~\Eq{(2)} überhaupt eine Lösung: +\[ +\Tag{(4)} +E(x) = 1 + e_{1} x + \dots, +\] +so hat sie auch eine Lösung: +\PageSep{149}{133} +\[ +\Tag{(4^{a})} +\bar{E}(x) = E\left(\frac{x}{e_{1}}\right) + = 1 + x + \frac{e_{2}}{e_{1}^{2}} x^{2} + \dots, +\] +in welcher $e_{1} = 1$ ist, und umgekehrt ergibt sich aus jeder Lösung~\Eq{(4^{a})} +eine einzige Lösung~\Eq{(4)}, in welcher $e_{1}$ einen beliebig gegebenen von Null +verschiedenen Wert hat. Wir können und wollen daher von vornherein +die Lösung in der Form +\[ +E(x) = 1 + x + e_{2} x^{2} + e_{3} x^{3} + \dots +\] +voraussetzen. + +Da für sie nach~\Eq{(3)} $E'(x) = E(x)$ sein muß, so folgt weiter +für alle Ableitungen: +\[ +E(x) = E'(x) = E''(x) = \dots, +\] +und durch diese Bedingungen ist die gesuchte Reihe eindeutig bestimmt. +In der Tat erhält man aus ihnen für $x = 0$ +\[ +E(0) = E'(0) = E''(0) = \dots = 1, +\] +und aus dem Taylorschen Satze ergibt sich also für $E(x)$ die folgende +Reihe: +\[ +\Tag{(5)} +\begin{aligned} +E(x) &= E(0 + x) = E(0) + E'(0)x + \frac{E''(0)}{2!} x^{2} + \dots \\ + &= 1 + \frac{x}{1} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots. +\end{aligned} +\] +Die so bestimmte Reihe~\Eq{(5)} genügt, falls sie in einem endlichen Bereiche +konvergiert, in diesem wirklich der Funktionalgleichung~\Eq{(2)}. Einmal +ist nämlich, wie man sich durch gliedweise Differentiation überzeugt, +$E(x) = E'(x) = E''(x) = \dots$. Sind ferner $x$~und~$y$ zwei Zahlen, +welche im Konvergenzbereiche unserer Reihe liegen, so ist nach dem +Taylorschen Satze wirklich: +\[ +\Tag{(5^{a})} +\begin{aligned} +E(x + y) + &= E(x) + E'(x)\DPchg{·}{}\frac{y}{1} + E''(x) \frac{y^{2}}{2!} + \dots \\ + &= E(x) \left(1 + \frac{y}{1!} + \frac{y^{2}}{2!} + \dots\right) = E(x)E(y). +\end{aligned} +\] + +Nach der oben gemachten Bemerkung gehen alle und nur die +Lösungen der Gleichung~\Eq{(2)} aus der soeben gefundenen durch die +\PageSep{150}{134} +Verwandlung von $x$ in $cx$ hervor, wo $c$~eine beliebige Konstante ist. +Die allgemeinste Potenzreihe, welche der Funktionalgleichung~\Eq{(2)} +genügt, ist also diese: +\[ +\Tag{(5^{b})} +\bar{E} = E(cx) + = 1 + \frac{cx}{1} + \frac{c^{2} x^{2}}{2!} + \frac{c^{3} x^{3}}{3!} + \dots +\] +und sie ist für jedes $c$ eindeutig durch die weitere Bedingung bestimmt, +daß $\bar{E}'(x) = c\bar{E}(x)$, oder durch die einfachere, daß +\[ +\Tag{(5^{c})} +\bar{E}'(0) = c +\] +sein soll. Im folgenden wollen wir immer die Reihe $E(x)$ betrachten, +welche durch \Eq{(5)} gegeben ist. + +Es ist also jetzt nur noch zu untersuchen, welches der Konvergenzbereich +der Reihe~\Eq{(5)} ist, für welche Werte von $x$ also +\[ +\lim_{m=\infty} \frac{x^{m}}{m!} = 0 +\] +wird. Da $m!$ für jedes $m$ von nicht negativer Ordnung ist, so sieht +man zunächst, daß die Reihe~$E(x)$ sicher divergiert, wenn $x$ von +nullter oder negativer Ordnung ist. Hat dagegen $x = px_{0}$ die Ordnung~$1$ +oder eine höhere, so besitzt das allgemeine Glied +\[ +\frac{x^{m}}{m!} = \frac{p^{m}}{m!} x_{0}^{m} +\] +nach \Seite{111} unten mindestens die Ordnungszahl: +\[ +\Tag{(6)} +m - \frac{m - s_{m}}{p - 1} = \frac{m(p - 2) + s_{m}}{p - 1}, +\] +und diese Zahl wächst mit $m$ ins Unendliche, falls $p > 2$ ist, also irgendeine +ungerade Primzahl bedeutet; denn sie ist dann größer als $\dfrac{m}{p - 1}$. +Ist dagegen $p = 2$, so ist die Ordnungszahl von $\dfrac{p^{m}}{m!}$ gleich~$s_{m}$, also +gleich der Ziffersumme der dyadischen Darstellung von~$m$, und diese +Zahl wird sicher nicht mit $m$ unendlich, da ja \zB\ alle Potenzen +$2$,~$2^{2}$,~\dots\ von $2$ sogar die kleinste mögliche Ziffersumme Eins haben. Ist +dagegen in diesem Falle $x = 2^{2} x_{0}$ wo $x_{0}$ ganz ist, so ist die Ordnungszahl +\PageSep{151}{135} +von $\dfrac{x^{m}}{m!} = \dfrac{2^{2m}}{m!} x_{0}^{m}$ gleich oder größer als: +\[ +\Tag{(6^{a})} +2m - \mu_{m} = 2m - (m - s_{m}) = m + s_{m}, +\] +\dh\ die Potenzreihe~$E(x)$ konvergiert für alle diese Werte. + +Wir erhalten also in jedem Falle das folgende einfache und interessante +Resultat: +\begin{Theorem} +Die Reihe: +\[ +E(x) = 1 + \frac{x}{1} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots\ (p) +\] +stellt für ein ungerades $p$ stets und nur dann eine $p$-adische Zahl +dar, wenn $x$~ein Vielfaches von $p$ ist. Ist dagegen $p = 2$, so muß +$x$ ein Multiplum von $4$ sein. +\end{Theorem} + +Aus der Fundamentaleigenschaft~\Eq{(2)} der Potenzreihe~$E(x)$ ergeben +sich, falls $x$~und~$y$ beide dem Konvergenzbereiche derselben angehörende +Zahlen sind, die Gleichungen: +\begin{gather*} +E(x)E(y) = E(x + y) \\ +E(x)E(-x) = E(0) = 1, \quad\text{also}\quad +E(-x) = \frac{1}{E(x)}, +\end{gather*} +also +\[ +\Tag{(7)} +\frac{E(y)}{E(x)} = E(y)E(-x) = E(y - x), +\] +und für ein beliebiges ganzzahliges~$m$ +\[ +\Tag{(7^{a})} +E(x)^{m} = E(mx). +\] + +Durch die Gleichung $y = E(x)$ wird die Variable~$y$ innerhalb des +Konvergenzbereiches von $E(x)$ als eindeutige Funktion von $x$ definiert, +da zu jeder Zahl~$x$ eine einzige Zahl~$y$ gehört. Aber es gilt auch der +umgekehrte Satz, daß zu einem gegebenen~$y$, wenn überhaupt, nur +eine einzige Zahl~$x$ im Konvergenzbereiche unserer Reihe existiert, +welche die Gleichung $E(x) = y$ befriedigt. Gäbe es nämlich für ein +bestimmtes $y$ zwei verschiedene Werte $x$~und~$x'$, für welche +\[ +E(x) = y, \quad E(x') = y +\] +wäre, so müßte ja nach~\Eq{(7)} +\PageSep{152}{136} +\[ +E(x' - x) = \frac{y}{y} = 1 +\] +sein, es müßte also eine von Null verschiedene Zahl $\xi = x' - x$ im +Konvergenzbereiche von $E(x)$ existieren, für welche +\[ +\Tag{(8)} +E(\xi) = 1 + \xi + \frac{\xi^{2}}{2!} + \dots = 1 +\] +wäre. Dies ist aber unmöglich. In der Tat folgte ja aus dieser Gleichung +durch Subtraktion von $1$ auf beiden Seiten und Division mit~$\xi$: +\[ +\Tag{(8^{a})} +1 + \frac{\xi}{2!} + \frac{\xi^{2}}{3!} + \dots + \frac{\xi^{m-1}}{m!} + \dots = 0\ (p). +\] +Diese Gleichung kann aber nicht bestehen, sobald $\xi$ im Konvergenzbereiche +der Reihe irgendwie als eine von Null verschiedene Zahl +angenommen wird. Ist nämlich $\xi = p^{k} \xi_{0}$ von der \Ordsup{$k$}{-ten}~Ordnung, wo +$k$ für ein ungerades $p$ mindestens gleich~$1$, für $p = 2$ aber mindestens +gleich $2$ sein muß, so ist ja $\dfrac{\xi^{m-1}}{m!}$ von der Ordnung: +\[ +\Tag{(9)} +(m - 1)k - \frac{m - s_{m}}{p - 1}. +\] +Da nun diese Zahl in den beiden unterschiedenen Fällen in einer der +Formen geschrieben werden kann: +\[ +\Tag{(9^{a})} +(m - 1)(k - 1) + \frac{(m - 1)(p - 3) + (m - 2) + s_{m}}{p - 1} +\] +bzw.: +\[ +\Tag{(9^{b})} +(m - 1)(k - 2) + (m - 2) + s_{m}, +\] +so erkennt man, daß diese Ordnungszahl für jedes $m = 2$,~$3$,~\dots\ mindestens +gleich Eins ist, da im ersten Falle $m - 2$,~$k - 1$,~$p - 3$, im +zweiten $m - 2$,~$k - 2$ nicht negativ sind, in beiden Fällen aber $s_{m}$ +sicher positiv ist. Hiernach sind also alle Glieder der Reihe~\Eq{(8^{a})} mit +Ausnahme der ersten, also auch die Summe derselben kleiner als Eins; +die Gleichung~\Eq{(8^{a})} ist also unmöglich. + +Legt man in der Potenzreihe~$E(x)$ der Variablen~$x$ irgendeinen +$p$-adischen Wert bei, welcher dem Konvergenzbereiche derselben angehört, +\dh\ durch $p$ bzw.\ für $p = 2$ durch $4$ teilbar ist, so wird +\PageSep{153}{137} +\[ +y = E(x) = 1 + x\left(1 + \frac{x}{2!} + \frac{x^{2}}{3!} + \dots\right) = 1 + z +\] +eine Haupteinheit für die ungerade Primzahl~$p$ bzw.\ für $p = 2$ eine +Haupteinheit Modulo~$4$. Da nämlich die rechts in der Klammer +stehende Reihe nach dem soeben geführten Beweise äquivalent Eins +ist, so ist in dieser Gleichung stets $z \sim x\ (p)$. Wir können also den +folgenden Satz aussprechen: +\begin{Theorem} +Durch die Funktion~$E(x)$ werden innerhalb ihres Konvergenzbereiches +lauter Haupteinheiten modulo~$p$ dargestellt, wenn +$p$ ungerade, und lauter Haupteinheiten modulo~$4$, wenn $p = 2$ ist; +in beiden Fällen besteht die Gleichung: +\[ +\Tag{(10)} +y = E(x) = 1 + z, +\] +und zwischen den zusammengehörigen $p$-adischen Zahlen $z$~und~$x$ +besteht immer die Kongruenz: +\[ +\Tag{(11)} +\frac{z}{x} \equiv 1\ (\mod.~p), +\] +beide besitzen also stets dieselbe Ordnungszahl und denselben Anfangskoeffizienten. +\end{Theorem} + +Ersetzt man in der Reihe~$E(x)$ die Variable~$x$ durch eine in einem +Bereiche $\xi < \xi_{0}$ konvergente Potenzreihe~$\phi(\xi)$, deren einzelne Glieder +in diesem Bereiche sämtlich mindestens durch $p$ (bzw.\ für $p = 2$ mindestens +durch~$2^{2}$) teilbar sind, so wird: +\[ +E(\phi(\xi)) = 1 + \frac{\phi(\xi)}{1!} + \frac{\phi(\xi)^{2}}{2!} + \dots +\] +in demselben Bereiche eine unbedingt konvergente Potenzreihe von~$\xi$, +welche also nach Potenzen von $\xi$ geordnet werden kann. + +Setzt man nämlich zunächst $p$ als ungerade Primzahl voraus, so +kann man $\phi(\xi)$ für alle $\xi < \xi_{0}$ in der Form schreiben: +\[ +\phi(\xi) = p \bar{\phi}(\xi) +\] +wo jetzt +\[ +\bar{\phi}(\xi) = \bar{a}_{0} + \bar{a}_{1} \xi + \bar{a}_{2} \xi^{2} + \dots +\] +eine Potenzreihe mit lauter modulo~$p$ ganzzahligen Gliedern $\bar{a}_{i} \xi^{i}$ ist. +\PageSep{154}{138} + +In der Doppelreihe: +\[ +E(\phi(\xi)) = 1 + \frac{p}{1!}\, \bar{\phi}(\xi) + \frac{p^{2}}{2!}\, \bar{\phi}(\xi)^{2} + \dots +\] +sind nun erstens für ein genügend großes $n$ in allen auf $\dfrac{p^{n}}{n!}\bar{\phi}(\xi)^{n}$ +folgenden Potenzreihen alle Glieder durch eine beliebig hohe Potenz~$p^{s}$ +von $p$ teilbar, weil $\lim\limits_{\nu=\infty} \dfrac{p^{\nu}}{\nu!} = 0$ ist, während alle Glieder von $\bar{\phi}(\xi)^{\nu}$ +modulo~$p$ ganz sind. Zweitens sind aber in der nach Weglassung aller +dieser Reihen übrig bleibenden abbrechenden Doppelreihe: +\[ +1 + \frac{p}{1!}\, \bar{\phi}(\xi) + + \frac{p^{2}}{2!}\, \bar{\phi}(\xi)^{2} + \dots + + \frac{p^{n}}{n!}\, \bar{\phi}(\xi)^{n} +\] +für ein genügend großes $\nu$ alle auf das Glied $\bar{a}_{\nu} \xi^{\nu}$ von $\bar{\phi}(\xi)$ folgenden +Glieder wegen der Konvergenz von $\bar{\phi}(\xi)$ ebenfalls durch $p^{s}$ teilbar, +\dh\ es ist +\[ +\bar{\phi}(\xi) + \equiv \bar{a}_{0} + \bar{a}_{1} \xi + \dots + \bar{a}_{\nu} \xi^{\nu}\ (\mod.~p^{s}), +\] +und hieraus erhält man die weiteren Kongruenzen: +\[ +\bar{\phi}(\xi)^{i} + \equiv (\bar{\Errata{\alpha}{a}}_{0} + + \bar{\Errata{\alpha}{a}}_{1} \xi + \dots + + \bar{\Errata{\alpha}{a}}_{\nu} \xi^{\nu})^{i} + \ (\mod.~p^{s}) \quad (i = 1, 2, \dots n)\DPtypo{}{.} +\] + +Hieraus folgt, daß die Reihe~$E(\phi(\xi))$ für alle Werte $\xi < \xi_{0}$ in +der Tat unbedingt konvergent ist, daß also ihre Glieder in beliebiger +Reihenfolge summiert werden können. Genau ebenso wird derselbe +Satz für den Fall $p = 2$ bewiesen unter der Voraussetzung, daß hier +alle Glieder der Potenzreihe~$\phi(\xi)$ für alle $\xi < \xi_{0}$ mindestens durch +$2^{2}$ teilbar sind. + +Hieraus folgt endlich, daß unter der soeben gemachten Voraussetzung +die Potenzreihe $\eta = E(\phi(\xi))$ für den ganzen Bereich $\xi < \xi_{0}$ +eine differenzierbare Funktion von~$\xi$, und daß +\[ +\frac{d\eta}{d\xi} = \frac{dE}{d\xi} = E(\phi(\xi)) \phi'(\xi) +\] +ist. Ist nämlich in den beiden Gleichungen +\[ +\eta = E(x),\quad x = \phi(\xi) +\] +$d\xi$ ein unendlich kleines Inkrement von~$\xi$, und sind $dx$~und~$d\eta$ diejenigen +Inkremente von~$x$ und von~$\eta$, die diesem $d\xi$ entsprechen, so ist ja: +\PageSep{155}{139} +\[ +\Tag{(12)} +\frac{d\eta}{d\xi} + = \frac{d\eta}{dx}·\frac{dx}{d\xi} + = \frac{dE}{dx}·\frac{dx}{d\xi} + = E(\phi(\xi)) \phi'(\xi), +\] +und damit ist die obige Behauptung bewiesen. + +Im Anschluß an die gebräuchliche Bezeichnung der elementaren +Funktionentheorie will ich allein für die Werte von~$x$, welche im Konvergenzbereiche +von $E(x)$ liegen, diese Reihe durch $e^{x}$ bezeichnen und +die allein für alle $x < 1\ (p)$ bzw.\ für $p = 2$ für alle $x < 2\ (2)$ definierte +Funktion: +\[ +y = e^{x} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \dots\ (p) +\] +die \so{Exponentialfunktion für den Bereich von~$p$} +\index{Exponentialfunktion für den Bereich von~$p$}% +nennen. + + +\Section{§ 3.}{Der Logarithmus im Bereiche der $p$-adischen Zahlen.} + +Auf der Grundlage der bisher gewonnenen Resultate wollen wir +nun die durch die Gleichung +\[ +\Tag{(1)} +y = e^{x} +\] +definierte Funktion genauer untersuchen und den Nachweis führen, +daß ebenso, wie $y$ in einem bestimmten Bereiche von $x$ als konvergente +Potenzreihe darstellbar ist, auch $x$ als Potenzreihe von $y$ eindeutig +dargestellt werden kann. Ist nämlich $x \lesssim p$ für ein ungerades~$p$, +bzw.\ $x \lesssim 2^{2}$ für $p = 2$, so ist +\[ +y = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \dots = 1 + z +\] +wo $z \sim x\ (p)$ ist. Zwischen den beiden Variablen $x$~und~$z$ besteht also +die Gleichung: +\[ +\Tag{(2)} +z = \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \dots +\] + +Wir fragen jetzt: Gibt es eine Potenzreihe von~$z$, welche wir +durch +\PageSep{156}{140} +\[ +\Tag{(3)} +\frakL(z) = b_{0} + b_{1} z + \dots +\] +bezeichnen wollen, für welche $x = \frakL(z)$, für die also +\[ +\Tag{(4)} +e^{\frakL(z)} = y = 1 + z +\] +ist? + +Ich setze voraus, daß die gesuchte Reihe~\Eq{(3)} in einem endlichen +Bereiche konvergiert, und daß in demselben ihre sämtlichen Glieder +$b_{i} z^{i}$ mindestens durch $p$ bzw.\ durch $2^{2}$ teilbar sind. Nach dem auf +\Seite{137}~ff.\ bewiesenen Satze ist dann +\[ +\Tag{(4^{a})} +e^{\frakL(z)} = 1 + \frac{\frakL(z)}{1!} + \frac{\frakL(z)^{2}}{2!} + \dots +\] +in demselben Bereiche unbedingt konvergent und kann in eine Potenzreihe, +welche nach Potenzen von $z$ fortschreitet, umgeordnet werden. +Es frägt sich, wie die Koeffizienten~$b_{i}$ von~$\frakL(z)$ zu bestimmen sind, +damit die unendliche Reihe~\Eq{(4^{a})} gleich $1 + z$ wird. + +In der Reihe~\Eq{(3)} muß zunächst $b_{0} = 0$ sein, da nach dem soeben +auf \Seite{136} bewiesenen Satze für $z = 0$, also $y = 1$, $x = \frakL(0) = 0$ sein +muß. + +Angenommen nun, es gäbe eine solche Potenzreihe~\Eq{(3)} mit endlichem +Konvergenzbereiche. Differenzieren wir dann die Gleichung~\Eq{(4)} nach +$z$ unter Benutzung der Gleichung~\Eq{(12)} auf \Seite{139} und beachten dabei, +daß $\dfrac{d e^{x}}{dx} = e^{x} = 1 + z$ ist, so folgt: +\[ +\Tag{(4^{b})} +e^{\frakL(z)} \frakL'(z) = (1 + z) \frakL'(z) = 1. +\] +Die Reihe~$\frakL'(z)$ muß also die Gleichung: +\begin{align*}%[** TN: Not aligned in the original] +(1 + z) \frakL'(z) + &= (1 + z)(b_{1} + 2b_{2} z + 3b_{3} z^{2} + \dots) \\ + &= b_{1} + (b_{1} + 2b_{2}) z + (2b_{2} + 3b_{3}) z^{2} + \dots = 1 +\end{align*} +erfüllen, und aus ihr ergeben sich durch Koeffizientenvergleichung für +die $b_{i}$ die Werte: +\[ +b_{1} = 1,\quad +b_{2} = -\tfrac{1}{2},\quad +b_{3} = +\tfrac{1}{3},\quad +b_{4} = -\tfrac{1}{4},\ \dots. +\] +Gibt es also überhaupt eine Potenzreihe, welche die Gleichung~\Eq{(4)} +erfüllt, so ist es die folgende: +\PageSep{157}{141} +\[ +\Tag{(5)} +\frakL(z) = z - \frac{z^{2}}{2} + \frac{z^{3}}{3} - \frac{z^{4}}{4} + \dots. +\] +Zunächst erkennt man, daß diese Reihe wirklich einen endlichen Konvergenzbereich +besitzt, daß sie nämlich für alle $z \lesssim p$ konvergiert, +dagegen für $z \gtrsim 1$ divergiert. Ist nämlich $z$ von der nullten +oder von negativer Ordnung, so gilt dasselbe von~$z^{m}$, also a~fortiori +von~$\dfrac{z^{m}}{m}$. Ist dagegen $z = pz_{0}$ von der ersten oder höherer Ordnung, +so ist sicher +\[ +\lim_{m=\infty} \frac{z^{m}}{m} = \lim_{m=\infty} \frac{p^{m}}{m}·z_{0}^{m} = 0. +\] + +In der Tat ist die Ordnungszahl von $\dfrac{p^{m}}{m}$ nach \Eq{(2)} auf \Seite{111} +gleich: +\[ +\Tag{(6)} +\begin{gathered} +m - \frac{s_{m-1} - s_{m} + 1}{p - 1} + = \frac{m(p - 1) - 1 - s_{m-1}}{p - 1} + \frac{s_{m}}{p - 1} \\ + \geqq \frac{(m - 1) - s_{m-1}}{p - 1} + \frac{s_{m}}{p - 1} + = \mu_{m-1} + \frac{s_{m}}{p - 1}, +\end{gathered} +\] +\dh\ größer als die Ordnungszahl~$\mu_{m-1}$ von~$(m - 1)!$, welche ja mit +wachsendem $m$ unendlich groß wird. Aus derselben Ungleichung folgt +weiter, daß für $z = pz_{0}$ jedes einzelne Glied mindestens die Ordnungszahl~$1$ +besitzt, da die Ordnungszahl~\Eq{(6)} größer ist als die Zahl +$\mu_{m-1} + \dfrac{s_{m}}{p - 1}$, in welcher $s_{m}$ sicher positiv ist. Ist speziell $p = 2$ und +$z = 2^{2} z_{0}$, so besitzt $\dfrac{z^{m}}{m} = \dfrac{2^{2m}}{m} z_{0}^{m}$ mindestens die Ordnungszahl +\[ +\Tag{(7)} +\begin{aligned}%[** TN: Not aligned in the original] +2m - s_{m-1} + s_{m} - 1 + &= (m - 1) - s_{m-1} + m + s_{m} \\ + &= \mu_{m-1} + m + s_{m} , +\end{aligned} +\] +und diese ist stets mindestens gleich~$2$, da $m$ und $s_{m}$ beide $\geqq 1$ sind. + +Ersetzt man also in~$e^{x}$\; $x$~durch +\[ +\frakL(z) = \frac{z}{1} - \frac{z^{2}}{2} + \frac{z^{3}}{3} - \dots +\] +und nimmt für ein ungerades~$p$\; $z < 1\ (p)$, für $p = 2$ aber $z < 2^{1}\ (2)$ +an, so konvergiert die Potenzreihe~$\frakL(z)$ unbedingt, und jedes von +ihren Gliedern ist mindestens durch $p$ bzw.\ mindestens durch $2^{2}$ +\PageSep{158}{142} +teilbar. Nach dem auf \Seite{137}~f.\ bewiesenen Satze konvergiert also die +Reihe: +\[ +\Tag{(8)} +e^{\frakL(z)} = 1 + \frac{\frakL(z)}{1!} + \frac{\frakL(z)^{2}}{2!} + \dots = \chi(z) +\] +unbedingt und kann daher nach Potenzen von $z$ geordnet werden. +Man sieht nun leicht, daß in der so geordneten Reihe +\[ +\chi(z) = 1 + z + c_{2} z^{2} + \dots, +\] +in welcher, wie man sich aus der Entwicklung direkt überzeugt, +$c_{0} = c_{1} = 1$ ist, alle weiteren Koeffizienten Null sein müssen. Differenziert +man nämlich die obige Gleichung~\Eq{(8)} nach~$z$, so erhält man nach +\Eq{(12)} auf \Seite{139} +\[ +e^{\frakL(z)}·\frakL'(z) = \chi'(z) +\] +oder, da $e^{\frakL(z)} = \chi(z)$ und nach~\Eq{(4^{b})} $\frakL'(z) = \dfrac{1}{1 + z}$ ist, so geht diese +Gleichung über in: +\[ +\chi(z) = \chi'(z) (1 + z), +\] +\dh\ +\[ +1 + z + c_{2} z^{2} + \dots = (1 + 2c_{2} z + 3c_{3} z^{2} + \dots) (1 + z), +\] +und hieraus folgt durch Ausführung der Multiplikation und Koeffizientenvergleichung: +\[ +2c_{2} + 1 = 1,\quad +3c_{3} + 2c_{2} = c_{2},\ \dots, +\] +\dh\ +\[ +c_{2} = c_{3} = c_{4} = \dots = 0; +\] +unsere Behauptung ist somit in ihrem vollen Umfange bewiesen. + +Die soeben durchgeführten Betrachtungen zeigen, daß, falls $p$ +ungerade ist, für jedes $\xi < 1$ +\begin{align*}%[** TN: Not aligned in the original] +e^{\zeta} + = 1 + \frac{\zeta}{1!} + \frac{\zeta^{2}}{2!} + \dots + &= 1 + \epsilon_{1} p + \epsilon_{2} p^{2} + \dots \\ + &= 1\MathOrd{,}\epsilon_{1}\,\epsilon_{2}\dots = \epsilon = 1 + \eta +\end{align*} +ist, wo $\epsilon = 1 + \eta$ eine Haupteinheit modulo~$p$, \dh\ eine solche Einheit +ist, welche kongruent~$1$ modulo~$p$ ist, und daß umgekehrt, wenn +$\epsilon = 1 + \eta$ eine beliebige Haupteinheit modulo~$p$ ist, zu ihr eine +wegen \Seite{135} unten eindeutig bestimmte durch $p$ teilbare Zahl +\PageSep{159}{143} +\[ +\zeta = \frac{\eta}{1} - \frac{\eta^{2}}{2} + \frac{\eta^{3}}{3} - \dots +\] +gehört, für welche $e^{\zeta} = \epsilon$ ist. Dasselbe ist für die gerade Primzahl~$2$ +der Fall; nur muß dann $\zeta$ mindestens durch $4$ teilbar sein, und die +Gleichung $e^{\zeta} = \epsilon$ liefert dann auch +\[ +\epsilon = 1\MathOrd{,}0\,\epsilon_{2} \dots = 1 + \eta +\] +als eine Haupteinheit modulo~$4$, für welche also $\eta$ ebenfalls mindestens +durch $4$ teilbar ist. + +Wir wollen in Übereinstimmung mit der entsprechenden Bezeichnung +der elementaren Analysis die durch die Gleichung +\[ +e^{\zeta} = \epsilon +\] +bestimmte $p$-adische Zahl~$\zeta$ \so{den Logarithmus von $\epsilon$ für +den Bereich von~$p$} nennen und sie durch $\ilg \epsilon$ bezeichnen. +\index{Logarithmus!e.\ $p$-adischen Haupteinheit}% +Umgekehrt soll, wenn eine Bezeichnung erwünscht sein sollte, \so{$\epsilon$~der +Numerus von~$\zeta$} heißen. Dann läßt sich das Resultat der soeben +durchgeführten Betrachtung in dem folgenden Fundamentalsatze +aussprechen, in dem $p$ eine ungerade Primzahl bezeichnet: +\begin{Theorem} +Jede Haupteinheit modulo~$p$ bzw.\ modulo~$4$ besitzt stets +einen einzigen durch $p$ bzw.\ $4$ teilbaren Logarithmus, und umgekehrt +gehört zu jeder durch $p$ bzw.\ $4$ teilbaren Zahl eine +eindeutig bestimmte Haupteinheit modulo~$p$ bzw.\ modulo~$4$, deren +Logarithmus sie ist. + +Sind +\[ +e^{\zeta} = \epsilon \quad\text{und}\quad +e^{\zeta'} = \epsilon' +\] +zwei beliebige Haupteinheiten für $p$ bzw.\ $4$, so folgen aus den +Gleichungen: +\[ +e^{\zeta+\DPtypo{\zeta}{\zeta'}} = \epsilon\epsilon',\quad +e^{\zeta-\zeta'} = \frac{\epsilon}{\epsilon'},\quad +e^{\zeta m} = \epsilon^{m} +\] +die Beziehungen: +\[ +\ilg (\epsilon\epsilon') = \ilg \epsilon + \ilg \epsilon',\quad +\ilg \frac{\epsilon}{\epsilon'} = \ilg \epsilon - \ilg \epsilon',\quad +\ilg (\epsilon^{m}) = m\ilg \epsilon. +\] +\end{Theorem} + +Um zu zeigen, wie einfach sich für den Bereich einer nicht zu großen +Primzahl die Logarithmen der Haupteinheiten berechnen lassen, will +\PageSep{160}{144} +ich die Bestimmung von einigen Logarithmen für den Bereich von $3$ +auf $7$ Stellen genau durchführen. Hierzu gebe ich zunächst die triadischen +Werte der in der Reihe +\[ +\ilg (1 + x) + = \frac{x}{1} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} + \dots\ (3) +\] +auftretenden Koeffizienten auf sieben Stellen, soweit sie für den vorliegenden +Zweck gebraucht werden: +\[ +\begin{aligned} + 1 &= \phantom{0\,}1\MathOrd{,}0\,0\,0\,0\,0\,0\,0 \dots \\ +-\tfrac{1}{2} &= \phantom{0\,}1\MathOrd{,}1\,1\,1\,1\,1\,1\,1 \dots \\ ++\tfrac{1}{3} &= 1\,0\MathOrd{,}0\,0\,0\,0\,0\,0\,0 \dots \\ +-\tfrac{1}{4} &= \phantom{0\,}2\MathOrd{,}0\,2\,0\,2\,0\,2\,0 \dots \\ ++\tfrac{1}{5} &= \phantom{0\,}2\MathOrd{,}0\,1\,2\,1\,0\,1\,2 \dots \\ +-\tfrac{1}{6} &= 1\,1\MathOrd{,}1\,1\,1\,1\,1\,1\,1 \dots \\ ++\tfrac{1}{7} &= \phantom{0\,}1\MathOrd{,}1\,0\,2\,1\,2\,0\,1 \dots +\end{aligned} +\qquad(3) +\] +Die Berechnung dieser Koeffizienten gestaltet sich sehr einfach mit +Hilfe der Formeln: +\begin{align*} +-\tfrac{1}{2} + &= \frac{1}{1 - 3} + = 1 + 3 + 3^{2} + \dots + = 1\MathOrd{,}1\,1\,1\dots \dbrk +-\tfrac{1}{4} + &= -\frac{1}{1 + 3} + = -(1 - 3 + 3^{2} - \dots) + = -(1\MathOrd{,}{-}1\ 1\ {-}1\ 1\dots) \dbrk ++\tfrac{1}{5} + &= -\frac{1}{1 - 2·3} + = -(1 + 2·3 + 2^{2}·3^{2} + \dots) + = -(1\MathOrd{,}2\,4\,8\,16\dots) \dbrk ++\tfrac{1}{7} + &= \frac{1}{1 + 2·3} + = 1 - 2·3 + 2^{2}·3^{2} - \dots +\end{align*} +So ergeben sich ohne Schwierigkeit für die Logarithmen der Haupteinheiten +modulo~$3$ die folgenden Werte:\PageLabel{145} +\begin{alignat*}{2} +&\ilg(-20) &&= 0\MathOrd{,}2\,0\,1\,1\,0\,0\,2 \dots \dbrk +&\ilg(-17) &&= 0\MathOrd{,}0\,1\,2\,0\,0\,0\,2 \dots \dbrk +&\ilg(-14) &&= 0\MathOrd{,}1\,0\,0\,0\,2\,2\,1 \dots \dbrk +&\ilg(-11) &&= 0\MathOrd{,}2\,1\,2\,2\,2\,1\,1 \dots \dbrk +&\ilg(-8) &&= 0\MathOrd{,}0\,2\,2\,0\,0\,1\,1 \dots \dbrk +&\ilg(-5) &&= 0\MathOrd{,}1\,1\,2\,0\,1\,0\,1 \dots \dbrk +&\ilg(-2) &&= 0\MathOrd{,}2\,2\,0\,0\,1\,1\,0 \dots \dbrk +&\ilg(1) &&= 0\MathOrd{,}0\,0\,0\,0\,0\,0\,0 \dots \dbrk +&\ilg(4) &&= 0\MathOrd{,}1\,2\,1\,0\,2\,2\,0 \dots \dbrk +%\PageSep{161}{145} +&\ilg(7) &&=0\MathOrd{,}2\,0\,2\,2\,0\,2\,1 \dots \dbrk +&\ilg(10) &&=0\MathOrd{,}0\,1\,0\,1\,2\,1\,1 \dots \dbrk +&\ilg(13) &&=0\MathOrd{,}1\,0\,2\,0\,1\,1\,0 \dots \dbrk +&\ilg(16) &&=0\MathOrd{,}2\,1\,0\,1\,1\,2\,1 \dots \dbrk +&\ilg(19) &&=0\MathOrd{,}0\,2\,0\,1\,1\,2\,0 \dots \dbrk +&\ilg(22) &&=0\MathOrd{,}1\,1\,2\,1\,0\,0\,2 \dots \dbrk +&\ilg(25) &&=0\MathOrd{,}2\,2\,1\,1\,2\,0\,2 \dots \dbrk +&\ilg(28) &&=0\MathOrd{,}0\,0\,1\,0\,0\,1\,2 \dots\DPtypo{}{.} +\end{alignat*} + +Hierzu bemerke ich noch, daß natürlich nur die Logarithmen derjenigen +Haupteinheiten wirklich berechnet zu werden brauchen, welche +positive oder negative Primzahlen sind; denn die Logarithmen aller +zusammengesetzten Zahlen ergeben sich ja aus diesen durch Addition. + + +\Section{§ 4.}{Die algebraischen Gleichungen in einem Körper, speziell +im Körper der $p$-adischen Zahlen.} + +Ich wende mich jetzt zu der Frage, wann eine Gleichung im +Körper der $p$-adischen Zahlen eine Wurzel hat. Da die hier zu beweisenden +Sätze für jeden beliebigen Zahlkörper gelten, und da wir +diese später auch für andere Körper brauchen werden, so leite ich sie +gleich für beliebige Körper ab. + +Es sei also $K$ ein beliebiger Zahlkörper und +\[ +\Tag{(1)} +F(x) = A_{0}x^{n} + A_{1}x^{n-1} + \dots + A_{n-1}x + A_{n} = 0 +\] +eine Gleichung, deren Koeffizienten~$A_{i}$ Elemente aus $K$ sind. Es ist +keineswegs notwendig, daß eine solche Gleichung immer eine Zahl~$\xi$ +aus $K$ als Wurzel besitzt, daß also immer in $K$~eine Zahl~$\xi$ existiert, +für welche $F(\xi) = 0$ ist; es kann vielmehr sehr wohl sein, daß $K$ nicht +ausgedehnt genug ist, um Wurzeln jener Gleichungen zu enthalten. +So besitzt \zB\ die Gleichung: +\[ +x^{2} - 2 = 0\ (5) +\] +im Gebiete der pentadischen Zahlen keine Wurzel, weil das Anfangsglied +einer solchen Wurzel +\[ +\xi = a_{0} + a_{1} 5 + a_{2} 5^{2} + \dots\ (5) +\] +\PageSep{162}{146} +ja sicher der Kongruenz: +\[ +a_{0}^{2} - 2 \equiv 0\ (\mod.~5) +\] +genügen müßte, was für keine der Zahlen $a_{0} = 0$,~$1$, $2$,~$3$,~$4$ der Fall ist; +ebensowenig ist \zB\ die Gleichung +\[ +x^{2} - 3 = 0\ (7) +\] +im Körper der heptadischen Zahlen lösbar. Dagegen hat die Gleichung +\[ +x^{3} - 2 = 0\ (5) +\] +die eine Wurzel $\xi = \sqrt[3]{2} = 3\MathOrd{,}0\,2\,2\,3\dots\ (5)$, aber keine weitere, wie +eine einfache Betrachtung lehrt; die Gleichung +\[ +x^{2} + 1 = 0\ (5) +\] +hat die beiden pentadischen Wurzeln: +\[ +\begin{alignedat}{2} +x_{1} &= &\sqrt{-1} &= 2\MathOrd{,}1\,2\,1\,3\,4 \dots \\ +x_{2} &= -&\sqrt{-1} &= 3\MathOrd{,}3\,2\,3\,1\,0 \dots, +\end{alignedat} +\quad (5) +\] +wie man durch Einsetzen dieser Werte leicht bestätigt. + +Besitzt eine Gleichung $F(x) = 0$ in einem Körper~$K$ eine oder +mehrere Wurzeln, so bestehen für diese genau die nämlichen Sätze wie +in der elementaren Algebra und sie werden auch wörtlich ebenso bewiesen. +Darum sollen auch nur die wichtigsten von ihnen kurz hervorgehoben +werden. + +Eine ganze rationale Funktion~$F(x)$ von~$x$ mit Koeffizienten aus~$K$ +läßt sich stets nach Potenzen eines beliebigen Linearfaktors $x - \xi$ +nach dem Taylorschen Satze entwickeln, wenn $\xi$~eine Zahl des Körpers +ist, und zwar ergibt sich dann die Entwicklung: +\[ +\MarginTag{(2)} +\begin{aligned}%[** TN: Not aligned in the original] +&F(x) = F(\xi + (x - \xi)) \\ +&\quad= A_{0} (\xi + (x - \xi))^{n} + \dots + A_{n-1} (\xi + (x - \xi)) + A_{n} \\ +&\quad= F(\xi) + (x - \xi) F'(\xi) + (x - \xi)^{2} \frac{F''(\xi)}{1·2} + \dots + + (x - \xi)^{n} \frac{F^{n}(\xi)}{n!}, +\end{aligned} +\] +wo, wie man durch Ausrechnen leicht bestätigt, +\begin{align*} +\Tag{(2^{a})} +F'(\xi) &= nA_{0} \xi^{n-1} + (n - 1)A_{1} \xi^{n-2} + \dots + A_{n-1}, \\ +\PageSep{163}{147} +\Tag{(2^{b})} +F''(\xi) &= \begin{aligned}[t] + n(n - 1)A_{0} \xi^{n-2} &+ (n - 1)(n - 2)A_{1} \xi^{n-3} \\ + &\qquad\qquad+ \dots + 2A_{n-2}, +\end{aligned} \\[-\baselineskip] +\dots& \\ +\dots& +\end{align*} +die Werte sind, welche die sogen.\ erste, zweite,~\dots\ Ableitung von~$F$ +für $x = \xi$ annimmt. + +Da speziell jede ganze Funktion~$F(x)$ mit $p$-adischen Koeffizienten +als eine abbrechende Potenzreihe angesehen werden kann, welche +also für jeden Wert des Argumentes konvergiert, so folgt hier die Entwickelbarkeit +nach Potenzen von $x - \xi$ auch direkt aus dem \aSeite{131} +bewiesenen Taylorschen Satze für Potenzreihen. + +Ist nun speziell $\xi$ eine Wurzel von $F(x) = 0$ im Körper~$K$, so wird +\index{Mehrfache Wurzeln e.\ Gleichung}% +in~\Eq{(2)} das Anfangsglied~$F(\xi)$ Null und man erhält: +\[ +\Tag{(3)} +F(x) = (x - \xi) + \DPchg{(}{\biggl(}F'(\xi) + \frac{F''(\xi)}{1·2}(x - \xi) + \dots\DPchg{)}{\biggr)} + = (x - \xi)·F_{1}(x), +\] +\dh\ $F(x)$ ist durch den Linearfaktor $x - \xi$ teilbar. Ist umgekehrt +die letzte Gleichung erfüllt, so ergibt sich aus ihr, wenn man $x = \xi$ +setzt, $F(\xi) = 0$, \dh\ $\xi$~ist eine Wurzel der Gleichung $F(x) = 0$. + +\begin{Theorem} +Die Gleichung $F(x) = 0$ besitzt also stets und nur dann die +Wurzel $x = \xi$, wenn ihre linke Seite durch den zugehörigen +Linearfaktor $x - \xi$ teilbar ist. +\end{Theorem} + +So ergibt sich \zB\ für die vorher als Beispiel angeführten Gleichungen: +\begin{align*}%[** TN: Not aligned in the original] +x^{2} + 1 + &= (x-2\MathOrd{,}1\,2\,1\,3\,4\dots) + (x-3\MathOrd{,}3\,2\,3\,1\,0\dots)\ (5), \\ +x^{3} - 2 + &= (x-3\MathOrd{,}0\,2\,2\,3\dots) + (x^{2}+3\MathOrd{,}0\,2\,2\,3\dots x+4\MathOrd{,}1\,2\,4\,4\dots)\ (5). +\end{align*} + +Die Zahl~$\xi$ heißt eine \so{$h$-fache Wurzel} unserer Gleichung, +wenn deren linke Seite durch die \Ord{$h$}{-te}~Potenz von~$x - \xi$, aber durch +keine höhere teilbar ist, wenn also eine identische Gleichung +\[ +\Tag{(4)} +F(x) = (x - \xi)^{h} F_{1}(x) +\] +besteht, in welcher die (offenbar den Grad~$n - h$ besitzende) ganze +Funktion $F_{1}(x)$ durch $x - \xi$ nicht mehr teilbar ist. Aus der Gleichung~\Eq{(4)} +folgt sofort, daß $\xi$ dann und nur dann eine $h$-fache Wurzel der +Gleichung $F(x) = 0$ ist, wenn +\PageSep{164}{148} +\[ +F(\xi) = F'(\xi) = \dots = F^{(h-1)}(\xi) = 0, \quad\text{aber}\quad +F^{(h)}(\xi) \neq 0 +\] +ist; denn allein in diesem Falle gilt ja +\[ +F(x) = (x - \xi)^{h} \left(\frac{F^{(h)}(\xi)}{h!} + + (x - \xi) \frac{F^{(h+1)}(\xi)}{(h + 1)!} + \dots\right) + = (x - \xi)^{h}·F_{1}(x), +\] +wo $F_{1}(\xi) = \dfrac{F^{(h)}(\xi)}{h!} \neq 0$ ist. Wir wollen im folgenden stets eine $h$-fache +Wurzel als äquivalent zu $h$ verschiedenen einfachen Wurzeln betrachten. + +Nach diesen Erörterungen ist es jetzt leicht, die Richtigkeit des +folgenden Satzes einzusehen: +\begin{Theorem} +Besitzt die Gleichung $F(x) = 0$, deren Koeffizienten dem +Körper~$K$ angehören, die $k$~gleichen oder verschiedenen Wurzeln +$\xi_{1}$,~$\xi_{2}$,~\dots~$\xi_{k}$ aus~$K$, so ist ihre linke Seite durch das Produkt der +$k$~zugehörigen Linearfaktoren $(x - \xi_{1})(x - \xi_{2})\dots(x - \xi_{k})$ teilbar. +Insbesondere kann daher eine Gleichung \Ord{$n$}{-ten}~Grades, die +mindestens einen von Null verschiedenen Koeffizienten besitzt, +nie mehr als $n$ Wurzeln haben. +\end{Theorem} + +Wir wollen diesen Satz durch vollständige Induktion beweisen; +in der Tat ist er ja nach den letzten Betrachtungen im Fall einer einfachen +Wurzel~$\xi_{1}$ für $k = 1$ richtig und, falls $\xi_{1}$ allgemeiner eine $h$-fache +Wurzel ist, sogar für $k = h$. Wir setzen nun voraus, der Satz sei bereits +für einen Wert $k = m$ bewiesen, wobei offenbar die Annahme erlaubt +ist, daß unter den gleichen oder verschiedenen Wurzeln der Reihe +$\xi_{1}$,~$\xi_{2}$,~\dots~$\xi_{m}$ jede bereits so oft vorkommt, als der zugehörige Linearfaktor +in $F(x)$ enthalten ist; dann sei also schon gezeigt, daß +\[ +F(x) = (x - \xi_{1})(x - \xi_{2}) \dots (x - \xi_{m}) F_{m+1}(x) +\] +ist. Ist nun $\xi_{m+1}$~eine weitere Wurzel der Gleichung, so folgt, da $\xi_{m+1}$ +nach Voraussetzung von jeder der Wurzeln $\xi_{1}$,~$\xi_{2}$,~\dots~$\xi_{m}$ verschieden +ist, speziell für $x = \xi_{m+1}$: +\[ +F(\xi_{m+1}) = 0 + = (\xi_{m+1} - \xi_{1}) + (\xi_{m+1} - \xi_{2}) \dots + (\xi_{m+1} - \xi_{m}) F_{m+1}(\xi_{m+1}), +\] +und hieraus $F_{m+1}(\xi_{m+1}) = 0$, weil ja in einem Körper ein Produkt nur +dann verschwindet, wenn mindestens ein Faktor Null ist; $\xi_{m+1}$~ist +also eine Wurzel der Gleichung $F_{m+1}(x) = 0$, \dh\ es gilt: +\PageSep{165}{149} +\[ +F_{m+1}(x) = (x - \xi_{m+1}) F_{m+2}(x). +\] +Da somit unsere Annahme die Identität +\[ +F(x) = (x - \xi_{1})(x - \xi_{2}) \dots (x - \xi_{m})(x - \xi_{m+1}) F_{m+2}(x) +\] +zur Folge hat, so ist die erste Behauptung unseres Satzes wirklich für +jedes $k$ richtig. Ist aber unsere Gleichung vom \Ord{$n$}{-ten} Grad und besitzt +sie gerade $n$~gleiche oder verschiedene Wurzeln $\xi_{1}$,~$\xi_{2}$,~\dots~$\xi_{n}$, so ergibt +das soeben gewonnene Resultat für $k = n$ die Identität +\[ +F(x) = (x - \xi_{1})(x - \xi_{2}) \dots (x - \xi_{n}) F_{n+1}(x), +\] +wo ersichtlich $F_{n+1}(x)$ einer Konstanten und zwar dem Koeffizienten~$A_{0}$ +von $x^{n}$ gleich sein muß, wie man durch Vergleichung des Koeffizienten +von $x^{n}$ auf beiden Seiten erkennt. Da also eine $(n + 1)$-te, +von $\xi_{1}$,~$\xi_{2}$,~\dots~$\xi_{n}$ verschiedene Zahl~$\xi_{n+1}$ nur dann gleichfalls Wurzel +der Gleichung sein kann, wenn $A_{0} = F_{n+1}(x) = 0$ ist, so sieht man +sukzessive auch die Richtigkeit des zweiten Teiles unseres Satzes ein. +Insbesondere läßt sich hieraus noch die Folgerung ziehen: +\begin{Theorem} +Besitzt die Gleichung \Ord{$n$}{-ten}~Grades $F(x) = 0$ gerade $n$ voneinander +verschiedene Wurzeln, so hat auch jeder Teiler $\phi(x)$ +von $F(x) = \phi(x)\psi(x)$ genau so viele Wurzeln, als sein Grad angibt. +\end{Theorem} + +Sind nämlich $\mu$~und~$\nu$ die Grade der Faktoren $\phi(x)$~und~$\psi(x)$, so +ist $\mu + \nu = n$. Hat nun die Gleichung $F(x) = 0$ die $n$~Wurzeln +$\xi_{1}$,~$\xi_{2}$,~\dots~$\xi_{n}$, so ist für jede derselben $F(\xi_{i}) = \phi(\xi_{i})\psi(\xi_{i}) = 0$, $\xi_{i}$~ist also +eine Wurzel von $\phi(x) = 0$ oder $\psi(x) = 0$. Hätte nun die erste dieser +beiden Gleichungen weniger als $\mu$~Wurzeln~$\xi_{1}$, so müßte die andere +$\psi(x) = 0$ die übrigen als Wurzeln haben, deren Anzahl dann größer +als der Grad~$\nu$ von $\psi(x)$ wäre, und dies widerspricht dem soeben bewiesenen +Satze. Derselbe Satz gilt auch in dem Falle, daß die Gleichung +$F(x) = 0$ mehrfache Wurzeln hat, und er wird wörtlich ebenso +bewiesen. + +Als eine einfache, aber für das Folgende sehr wichtige Anwendung +betrachte ich die Gleichung +\[ +x^{m} - 1 = 0 +\] +\PageSep{166}{150} +für ein beliebiges $m$ und nehme an, daß sie in dem zugrunde gelegten +Körper $m$~Wurzeln +\[ +w_{0},\ w_{1},\ \dots\ w_{m-1} +\] +besitzt, von denen offenbar eine, etwa~$w_{0}$, gleich $1$ sein muß. Alle diese +Wurzeln sind voneinander verschieden, da sonst die durch Ableitung +gewonnene Gleichung $mx^{m-1} = 0$ die nämliche Wurzel haben müßte, +während diese nur die $(m - 1)$-fache Wurzel $x = 0$ besitzt. Diese $m$ +verschiedenen Einheitswurzeln~$w_{i}$ bilden offenbar eine Gruppe vom +\Ordsup{$m$}{-ten}~Grade; denn das Produkt~$ww'$ von zwei beliebigen Einheitswurzeln +ist, da $(ww')^{m} = w^{m} w'^{m} = 1$ ist, wieder eine solche. Das Einheitselement +dieser Gruppe ist natürlich $w_{0} = 1$. Nach dem \aSeite{106} +bewiesenen allgemeinen Satze gehört also jede Einheitswurzel~$w$ zu +einem Exponenten~$d$, wenn $d$ der kleinste positive Exponent ist, für +den $w^{d} = 1$ ist, und dieser Exponent~$d$ ist ein Teiler des Grades~$m$ +der Gruppe; dann sind in der Reihe +\[ +1,\ w,\ w^{2},\ \dots\ w^{d-1},\ \dots +\] +aller Potenzen von $w$ nur die ersten $d$ voneinander verschieden, +während die höheren Potenzen sich immer in derselben Reihenfolge +wiederholen. Es besteht also der allgemeine Satz: +\begin{Theorem} +Jede Wurzel der Gleichung $x^{m} = 1$ gehört zu einem Exponenten~$d$, +der ein Teiler von~$m$ (also eventuell auch gleich $m$ +selbst) ist. +\end{Theorem} + +Wir lösen jetzt die wichtige Frage, welche gewissermaßen die Umkehrung +des vorigen Satzes bildet: Es sei $d$ irgendein beliebiger Teiler +von~$m$; wieviele unter den $m$~Wurzeln der Gleichung $x^{m} = 1$ gehören +gerade zum Exponenten~$d$? Zur Lösung dieser Frage führen folgende +Bemerkungen: Gehört die Zahl~$w$ zum Exponenten~$d$, so genügt sie der +Gleichung $x^{d} = 1$. Ist ferner $dd' = m$, so folgt aus der Identität: +\[ +x^{m} - 1 = (x^{d} - 1)(1 + x^{d} + x^{2d} + \dots + x^{(d'-1)d}), +\] +daß $x^{d} - 1$ ein Teiler von $x^{m} - 1$ ist. Da die Gleichung $x^{m} - 1 = 0$ +nach Voraussetzung so viele Wurzeln besitzt, als ihr Grad angibt, so +gilt nach dem Satze auf voriger Seite dasselbe von $x^{d} - 1 = 0$. Gibt +es nun wenigstens eine zum Exponenten~$d$ gehörige Wurzel~$w$, so +\PageSep{167}{151} +genügen die $d$ voneinander verschiedenen Potenzen $1$,~$w$, $w^{2}$,~\dots~$w^{d-1}$ +ebenfalls der letzten Gleichung, da ja auch $(w^{k})^{d} = (w^{d})^{k} = 1$ ist. Also +ist dann identisch +\[ +x^{d} - 1 = (x - 1)(x - w) \dots (x - w^{d-1}), +\] +während diese Gleichung andere Wurzeln nicht besitzen kann. Um +nun zu finden, wieviele unter diesen Wurzeln~$w^{k}$ zum Exponenten~$d$ +gehören, bezeichnen wir den größten gemeinsamen Teiler $(k, d)$ von +$k$~und~$d$ mit~$\delta$, so daß sich ergibt: +\[ +k = k_{0}\delta,\quad d = d_{0}\delta,\quad (k_{0}, d_{0}) = 1. +\] +Soll dann +\[ +(w^{k})^{\bar{d}} = w^{k_{0}\delta\bar{d}} = 1 +\] +sein, so muß der Exponent $k_{0}\delta\bar{d}$ durch $d = d_{0}\delta$, also $k_{0}\bar{d}$ durch $d_{0}$ oder, +da $(k_{0}, d_{0}) = 1$ ist, $\bar{d}$ durch $d_{0}$ teilbar sein. Der kleinste mögliche positive +Wert von~$\bar{d}$, für welchen die obige Gleichung besteht, ist also +$d_{0} = \dfrac{d}{(k, d)}$. Die Wurzel~$w^{k}$ gehört also stets und nur dann zum Exponenten~$d$ +selbst, wenn $(k, d) = 1$, \dh\ $k$ zu $d$ teilerfremd ist. Gibt +es also überhaupt eine zum Exponenten~$d$ gehörige Wurzel~$w$, so gibt +es genau $\phi(d)$ solche Wurzeln, wenn wieder $\phi(d)$ die Anzahl der +inkongruenten Einheiten modulo~$d$, also die Anzahl derjenigen Zahlen +aus der Reihe $1$,~$2$,~\dots~$d - 1$ bedeutet, welche mit $d$ keine Primzahl +gemeinsam haben; denn die zu $d$ gehörigen Wurzeln sind alle und +nur die Potenzen~$w^{k}$ von~$w$, deren Exponent kleiner als $d$ und zu $d$ +teilerfremd ist. + +Zu jedem Teiler $d$ von $m$ als Exponent gehört also entweder gar +keine Wurzel~$w$ oder genau $\phi(d)$ Wurzeln. Ist also $\psi(d)$ die Anzahl der +zu $d$ als Exponent gehörigen Wurzeln~$w$, so ist entweder $\psi(d) = \phi(d)$ +oder $\psi(d) = 0$. Die letzte Möglichkeit nun kann nie eintreten. Denn +da jede der $m$~Wurzeln zu einem einzigen unter den Teilern von $m$ als +Exponenten gehören muß, so besteht für die sämtlichen Zahlen $\psi(d)$ +die Beziehung: +\[ +\sum_{d/m} \psi(d) = m, +\] +wo die Summation über alle Teiler $d$ von $m$ zu erstrecken ist. Da aber +\PageSep{168}{152} +nach \Seite{99}~\Eq{(12)} genau dieselbe Gleichung für die sämtlichen Zahlen +$\phi(d)$ besteht, so muß +\[ +\sum (\phi(d) - \psi(d)) = 0 +\] +sein; und weil ferner jede einzelne dieser Differenzen nur $0$ oder positiv +sein kann, so ist diese Gleichung nur dann erfüllt, wenn für jeden Teiler~$d$ +\[ +\psi(d) = \phi(d) +\] +ist. Es besteht also der Satz: +\begin{Theorem} +Zu jedem Teiler $d$ von $m$ gehören genau $\phi(d)$\; \Ord{$m$}{-te}~Einheitswurzeln. +Speziell gibt es also stets $\phi(m)$\; \Ord{$m$}{-te}~Einheitswurzeln, +welche zum Exponenten~$m$ selbst gehören; diese werden \so{primitive} +\index{Primitive!Einheitswurzeln}% +\Ord{$m$}{-te}~\so{Einheitswurzeln} genannt. +\end{Theorem} + +Da die Anzahl $\phi(d)$ aller zu $d$ teilerfremden Zahlen der Reihe +$1$,~$2$,~\dots~$d$ sicher positiv ist, weil doch mindestens die Zahl~$1$ zu ihnen +gehört, so existiert für jeden Teiler~$d$ von $m$ mindestens eine gerade +zu diesem Exponenten gehörige Wurzel unserer Gleichung. Speziell +gibt es also unter den $m$~Wurzeln mindestens eine zu $m$ selber gehörige +oder primitive Wurzel. + +Ist $w$ eine beliebige dieser primitiven Einheitswurzeln, so sind +nach der früheren Bemerkung die $m$~Zahlen +\[ +1,\ w,\ w^{2},\ \dots\ w^{m-1} +\] +$m$ voneinander verschiedene \Ord{$m$}{-te}~Einheitswurzeln, +\begin{Theorem}[\noindent] +alle \Ord{$m$}{-ten} Einheitswurzeln sind also als Potenzen einer primitiven +Einheitswurzel darstellbar. +\end{Theorem} + +Setzt man endlich in der identischen Gleichung +\[ +x^{m} - 1 = (x - w_{0})(x - w_{1}) \dots (x - w_{m-1}) +\] +$x = 0$, so ergibt sich die Gleichung: +\[ +w_{0} w_{1} \dots w_{m-1} = (-1)^{m-1}. +\] + +Ist $m$ gerade, so besitzt die Gleichung $x^{m} - 1 = 0$ auch die +Wurzel~$-1$. Ist $w$~eine primitive Wurzel dieser Gleichung, so ist +stets $\bar{w} = w^{\efrac{m}{2}} = -1$; da nämlich $\bar{w}^{2} = w^{m} = 1$ ist, so kann nur +$\bar{w} = w^{\efrac{m}{2}} = +1$ oder $-1$ sein, und der erste Fall kann nicht eintreten, +da $w$ primitive Wurzel ist. +\PageSep{169}{153} + + +\Chapter{Achtes Kapitel.} +{Die Elemente der Zahlentheorie im Körper +der $p$-adischen Zahlen.} + +\Section{§ 1.}{Die Einheitswurzeln im Körper der $p$-adischen Zahlen.} + +Nach diesen analytischen und algebraischen Vorbereitungen wende +ich mich zu einer Untersuchung der wichtigsten Fragen der elementaren +Zahlentheorie. Alle diese Fragen, welche sich, wie bereits früher +(\aSeite{17}) erwähnt wurde, auf die Multiplikation oder Division der Zahlen +beziehen, vereinfachen sich nun in wunderbarer Weise, wenn wir jeder +$p$-adischen Zahl eindeutig einen Logarithmus zuordnen können, ebenso +wie uns dies im vorigen Kapitel für die Haupteinheiten modulo~$p$ bzw.\ +modulo~$4$ bereits gelungen ist. In der Tat geht ja dann jede Frage über +das Produkt oder den Quotienten von gegebenen Zahlen in die entsprechende +Frage in bezug auf die Summe bzw.\ die Differenz ihrer +Logarithmen über, und diese ist natürlich sehr viel einfacher zu lösen +als die vorige. + +Es wird die Aufgabe dieses Kapitels sein, für alle $p$-adischen Zahlen +ihre Logarithmen zu bestimmen und mit Hilfe dieser Logarithmenrechnung +die wichtigsten Fragen der elementaren Arithmetik zu lösen. +Hier werden notwendig die $p$-adischen Einheitswurzeln gebraucht werden; +darum will ich zuerst die Frage lösen, welche Einheitswurzeln im +Körper~$K(p)$ der $p$-adischen Zahlen existieren, \dh\ für welche Exponenten~$m$ +die Gleichung +\[ +x^{m} - 1 = 0\ (p) +\] +in $K(p)$ Wurzeln hat. Ich beweise da zuerst den wichtigen Satz: +\PageSep{170}{154} +\begin{Theorem} +Ist $p$ irgendeine ungerade Primzahl, so besitzt die Gleichung +\[ +\Tag{(1)} +x^{p-1} - 1 = 0\ (p) +\] +im Körper~$K(p)$ genau $(p - 1)$ voneinander verschiedene Wurzeln, +\dh\ so viele Wurzeln, als ihr Grad angibt. +\end{Theorem} + +Ich beweise diesen Satz dadurch, daß ich ein Verfahren angebe, +für jede der $p - 1$~Zahlen $i = 1$, $2$,~\dots~$p - 1$ eine ganze $p$-adische Zahl +\[ +w_{i} = i + i_{1} p + i_{2} p^{2} + \dots +\] +mit dem Anfangsgliede~$i$ zu bilden, für welche $w_{i}^{p-1} = 1$ ist. Diese +$p - 1$~Zahlen $w_{1}$,~$w_{2}$,~\dots~$w_{p-1}$ sind dann schon modulo~$p$ inkongruent, +also sicher für den Bereich von $p$ voneinander verschieden; unser +Satz ist dann also vollständig bewiesen. + +Es sei also $i$ irgendeine der $p - 1$~Zahlen $1$,~$2$,~\dots~$p - 1$; dann genügt +sie nach dem \Name{Fermat}schen Satze für die Potenzen $p$,~$p^{2}$,~$p^{3}$,~\dots\ $p^{k+1}$,~\dots\ als +Moduln der Reihe nach den Kongruenzen: +\begin{align*} +i^{\phi(p)} = i^{p-1} &\equiv 1 \quad(\mod.~p) \\ +i^{\phi(p^{2})} = i^{p(p-1)} &\equiv 1 \quad(\mod.~p^{2}) \\ +i^{\phi(p^{3})} = i^{p^{2}(p-1)} &\equiv 1 \quad(\mod.~p^{3}) \\ +\PadTo[l]{i^{(p)} = i^{p^{2}(p-1)}}{\vdots} & \\ +\Tag{(2)} +i^{\phi(p^{k+1})} = i^{p^{k}(p-1)} &\equiv 1 \quad(\mod.~p^{k+1}) \\ +\PadTo[l]{i^{(p)} = i^{p^{2}(p-1)}}{\vdots} & +\end{align*} + +Schreibt man diese Kongruenzen allgemein in der Form +\[ +\Tag{(2^{a})} +\frac{i^{p^{k+1}}}{i^{p^{k}}} \equiv 1 \quad\text{oder}\quad +i^{p^{k+1}} \equiv i^{p^{k}} \quad(\mod.~p^{k+1}), +\] +so erkennt man, daß sich die Potenzen +\[ +\Tag{(3)} +i,\ i^{p},\ i^{p^{2}},\ i^{p^{3}},\ \dots +\] +für den Bereich von $p$ einer Grenze $w_{i}$ nähern, welche eine wohlbestimmte +$p$-adische Zahl ist und mit jeder vorgegebenen Genauigkeit +berechnet werden kann. Bildet man nämlich die Reihe +\[ +\Tag{(4)} +w_{i} = i + (i^{p} - i) + (i^{p^{2}} - i^{p}) + \dots \quad(p) +\] +\PageSep{171}{155} +und beachtet dabei, daß nach \Eq{(2^{a})} allgemein $i^{p^{k+1}} - i^{p^{k}} = i_{k+1} p^{k+1}$ +gesetzt werden kann, so ergibt sich für $w_{i}$ die $p$-adische Darstellung: +\[ +\Tag{(5)} +w_{i} = i + i_{1} p + i_{2} p^{2} + \dots\ (p); +\] +andererseits sind die Näherungswerte von $w_{i}$ folgende: +\[ +\Tag{(5^{a})} +w_{i}^{(0)} = i,\quad +w_{i}^{(1)} = i + (i^{p} - i) = i^{p},\ \dots\quad +w_{i}^{(k)} = i^{p^{k}},\ \dots. +\] + +Hieraus folgt, daß die so bestimmte Zahl~$w_{i}$ der Gleichung +\[ +w_{i}^{p-1} = 1\ (p) +\] +genügt, weil nach \Eq{(2)} für jede noch so hohe Potenz von $p$ als Modul +für die Näherungswerte von $w_{i}$ die Kongruenz besteht: +\[ +(w_{i}^{(k)})^{p-1} = i^{p^{k}(p-1)} \equiv 1\ (\mod.~p^{k+1}). +\] + +Jede der $p - 1$ verschiedenen $p$-adischen Zahlen $w_{1}$,~$w_{2}$,~\dots~$w_{p-1}$ +ist also in der Tat eine Wurzel der Gleichung +\[ +x^{p-1} - 1 = 0\ (p) +\] +und nach dem Satze \aSeite{148} kann diese auch nicht mehr Wurzeln als +die angegebenen besitzen; im Körper~$K(p)$ gibt es somit genau~$p - 1$ +$(p - 1)$-te Einheitswurzeln $w_{1}$,~$w_{2}$,~\dots~$w_{p-1}$, wobei der Index~$i$ jedesmal +das Anfangsglied der $p$-adischen Darstellung~\Eq{(4)} von $w_{i}$ bedeutet. + +Anstatt die $(p - 1)$ Einheitswurzeln~$w_{i}$ durch die unendlichen Reihen~\Eq{(4)} +darzustellen, kann man sie auch durch die unendlichen Produkte +\[ +\Tag{(6)} +\begin{aligned} +\frac{i}{1}·\frac{i^{p}}{i}·\frac{i^{p^{2}}}{i^{p}} \dots + &= i^{1}·i^{\phi(p)}·i^{\phi(p^{2})}·i^{\phi(p^{3})} \dots \\ + &= i^{1+\phi(p)+\phi(p^{2})+\dots}\ (p) +\end{aligned} +\] +definieren. Da nämlich für jeden Faktor derselben nach dem Fermatschen +Satze: +\[ +i^{\phi(p^{k+1})} = i^{p^{k+1}-p^{k}} = 1 + i_{k+1} p^{k+1} +\] +ist, so konvergieren jene Produkte unbedingt, und ihre Näherungswerte +sind der Reihe nach: +\[ +\frac{i}{1} = i,\quad +\frac{i}{1}·\frac{i^{p}}{i} = i^{p},\quad +\frac{i}{1}·\frac{i^{p}}{i}·\frac{i^{p^{2}}}{i^{p}} = i^{p^{2}},\ \dots, +\] +\PageSep{172}{156} +stimmen also mit den in \Eq{(5^{a})} angegebenen Näherungswerten der Einheitswurzeln +$w_{i}$ überein. + +Von den $(p - 1)$-ten Einheitswurzeln $w_{1}$,~$w_{2}$,~\dots~$w_{p-1}$ sind die erste +und die letzte stets rationale Zahlen; in der Tat ist ja +\[ +w_{1} = 1 + (1^{p} - 1) + \dots = 1, +\] +und da auch $(-1)^{p-1} = 1$ ist, so muß die zu $-1$ modulo~$p$ kongruente +Einheitswurzel $w_{p-1} = -1$ sein. Dagegen sind die anderen $p - 3$ +Wurzeln offenbar keine rationalen Zahlen. + +So besitzt \zB\ die Gleichung: +\[ +x^{6} - 1 = 0\ (7) +\] +die sechs Wurzeln: +\[ +\Tag{(7)} +\begin{aligned} +w_{1} &= 1\MathOrd{,}00\,00 \dots; &w_{2} &= 2\MathOrd{,}46\,30\dots; &w_{3} &= 3\MathOrd{,}46\,30 \dots ;\\ +w_{4} &= 4\MathOrd{,}20\,36 \dots; &w_{5} &= 5\MathOrd{,}20\,36\dots; &w_{6} &= 6\MathOrd{,}66\,66 \dots = -1. +\end{aligned} +\] + +Aus den soeben durchgeführten Betrachtungen hat sich ergeben, +daß die Gleichung $x^{m} - 1 = 0\ (p)$ für $m = p - 1$ im Körper der +$p$-adischen Zahlen so viele Wurzeln hat, als ihr Grad angibt. Hieraus +folgt also, daß alle \aSeite{149}~ff.\ über die \Ord{$m$}{-ten} Einheitswurzeln bewiesenen +Sätze für diese $(p - 1)$-ten Einheitswurzeln gültig sind. Hiernach +können wir also die folgenden Sätze über diese Zahlen +$w_{1}$,~$w_{2}$,~\dots~$w_{p-1}$ aussprechen: +\begin{Theorem} +Jede $(p - 1)$-te Einheitswurzel~$w$ gehört zu einem Teiler $d$ von +$p - 1$ als Exponenten, \dh\ $d$~ist die kleinste positive Zahl, für welche +$w^{d} = 1\ (p)$ ist; umgekehrt existieren zu jedem Teiler $d$ von $p - 1$ +genau $\phi(d)$ unter jenen Einheitswurzeln, die gerade zum Exponenten~$d$ +gehören. Ist speziell $w$ eine der $\phi(p - 1)$ primitiven +$(p - 1)$-ten Einheitswurzeln, so sind alle $p - 1$~Wurzeln in der +Reihe +\[ +1,\ w,\ w^{2},\ \dots\ w^{p-2} +\] +enthalten. +\end{Theorem} + +Will man also für ein bestimmtes $p$ alle $(p - 1)$-ten Einheitswurzeln +bis auf eine bestimmte Anzahl von Stellen berechnen, so genügt es, +dies für eine der \emph{primitiven} Wurzeln~$w$ zu tun; alle anderen findet man +\PageSep{173}{157} +einfach durch Potenzieren von~$w$ und erhält überdies eine einfache +Probe für die Richtigkeit der Rechnung dadurch, daß sich zuletzt +$w^{p-1} = 1\MathOrd{,}000 \dots$ ergeben muß. + +So ist \zB\ für die Grundzahl $p = 13$\; $w = w_{6} = 6\MathOrd{,}1\,9\,10\,3 \dots$ eine +primitive Wurzel, woraus durch Potenzieren folgt: $w^{2} = 10\MathOrd{,}1\,6\,3\,5 \dots$ +usw. Zur leichteren Berechnung dieser primitiven Wurzel bemerke +ich noch, daß \zB\ für $p = 13$ aus der Zerlegung +\[ +x^{12} - 1 = (x^{6} - 1) (x^{2} + 1) (x^{4} - x^{2} + 1) +\] +leicht folgt, daß die $\phi(12) = 4$ primitiven zwölften Einheitswurzeln +der Gleichung +\[ +x^{4} - x^{2} + 1 = 0\ (13) +\] +genügen. Also ist eine dieser Wurzeln +\[ +x = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{-3}}{2}}\ (13) +\] +und sie kann hiernach leicht berechnet werden. Die Rechnung werde +hier beispielshalber ausführlich wiedergegeben; man sieht leicht, daß +das benutzte Verfahren der Quadratwurzelausziehung genau analog +dem für gewöhnliche Zahlen üblichen ist, und daß auch hier das abgekürzte +Verfahren zur Wurzelberechnung angewendet werden kann. +\begin{gather*} +\begin{array}{rcl*{5}{@{\,}r}@{\,}ll} +\sqrt{-3} ={} + &\multicolumn{1}{l}{ + \rlap{$\sqrt{10\MathOrd{,}12\,12\,12 \dots} + = 6\MathOrd{,} 3\,12\:6\,10 \dots\ (13)$}} \\ + &\phantom{\surd} + &10& 2 \\ +\cline{3-8}\Strut%[** TN: Extended bar to col 8 (col 4 in the original)] + & & &10&12&12\rlap{\,$\dots$} &&&: 12 \\ + & & &10&11 \\ +\cline{4-8}\Strut%[** TN: To col 5 in the original] + & & & & 1&12&12&12 &\dots &: 12\:6 \\ + & & & & 1& 5& 7&11 & \\ +\cline{5-8}\Strut + & & & & & 7& 5& 1 &\dots &: 12\:6\,11 \\ + & & & & & 7& 2& 4 &\dots \\ +\cline{6-8}\Strut + & & & & & & 3&10 &\dots &: 12\dots +\end{array} \dbrk +\frac{1 + \sqrt{-3}}{2} + = \frac{7\MathOrd{,}3\,12\,6\,10\dots}{2} + = 10\MathOrd{,}1\,6\,3\,5\dots +\end{gather*} +also ergibt sich: +\PageSep{174}{158} +\[ +\begin{array}{rcl*{4}{@{\,}r}*{2}{@{\,}l}} +w_{6} ={} + &\multicolumn{1}{l}{ + \rlap{$\sqrt{10\MathOrd{,}\,\Z1\,\Z6\,\Z3\,\Z5\dots} + = 6\MathOrd{,}\, 1\,9\,10\,3\dots$}} \\ + &\phantom{\surd} + &10\MathOrd{,} + & 2 \\ +\cline{3-8}\Strut + & & &12&\Z5&\Z3& 5& \dots &: 12 \\ + & & &12& 1 \\ +\cline{4-8}\Strut + & & & & 4& 3& 5& \dots &: 12\MathOrd{,} 2 \\ + & & & & 4& 0& 5 \\ +\cline{5-8}\Strut + & & & & & 3& 0& \dots &: 12\MathOrd{,} 2 \dots \\ + & & & & & 3& 3& \dots \\ +\cline{6-8}\Strut + & & & & & &10& \dots &: 12 \dots \\ + & & & & & &10 \\ +\cline{7-8}\Strut + & & & & & & 0& \dots +\end{array} +\] + +Durch Potenzieren von $w = w_{6}$ finden wir sämtliche Wurzeln der +Gleichung $x^{12} - 1 = 0\ (13)$ folgendermaßen: +{\small +\begin{alignat*}{6} +w^{0} &= w_{1} &&= 1\MathOrd{,}0\,0\,0\,0· & +w^{4} &= w_{9} &&= 9\MathOrd{,}1\,6\,3\,5· & +w^{8} &= w_{3} &&= 3\MathOrd{,}11\,6\,9\,7· \\ +w &=w_{6} &&= 6\MathOrd{,}1\,9\,10\,3· & +w^{5} &= w_{2} &&= 2\MathOrd{,}6\,2\,2\,4· & +w^{9} &= w_{5} &&= 5\MathOrd{,}5\,1\,0\,5· \\ +w^{2} &= w_{10}&&=10\MathOrd{,}1\,6\,3\,5· & +w^{6} &= w_{12}&&=12\MathOrd{,}12\,12\,12\,12·\ & +w^{10} &= w_{4} &&= 4\MathOrd{,}11\,6\,9\,7· \\ +w^{3} &= w_{8} &&= 8\MathOrd{,}7\,11\,12\,7·\ & +w^{7} &= w_{7} &&= 7\MathOrd{,}11\,3\,2\,9· & +w^{11} &= w_{11} &&= 11\MathOrd{,}6\,10\,10\,8· +\end{alignat*}}% +und durch nochmalige Multiplikation mit $w$ erhalten wir als Probe +auf $4$ Stellen genau: +\[ +w^{12} = 1\MathOrd{,}0\,0\,0\,0\dots\DPtypo{}{.} +\] + +Es werde endlich bemerkt, daß für den Bereich der geraden Primzahl~$2$ +die beiden dyadischen Einheitswurzeln $+1$~und~$-1$ vorhanden +sind, welche die beiden Wurzeln der quadratischen Gleichung: +\[ +x^{2} - 1 = 0\ (2) +\] +sind. Von ihnen ist $w = -1$ die primitive Wurzel, da beide Wurzeln +durch sie als $w^{0} = 1$, $w^{1} = -1$ darstellbar sind. Im Falle $p = 2$ sind +die beiden Einheitswurzeln $+1$~und~$-1$ modulo~$2$ kongruent und erst +modulo~$2^{2}$ inkongruent, während für ein ungerades $p$ alle Einheitswurzeln +bereits modulo~$p$ inkongruent sind. Erst später werde ich +beweisen, daß für ein beliebiges $p$ der Körper~$K(p)$ der $p$-adischen +Zahlen außer den hier angegebenen überhaupt keine anderen Einheitswurzeln +enthält. +\PageSep{175}{159} + + +\Section{§ 2.}{Die Einheitswurzeln sind die Invarianten der Kongruenzklassen +modulo~$p$.} + +Die im vorigen Paragraphen gefundenen Resultate können wesentlich +verallgemeinert werden, und dabei ergibt sich dann eine wichtige +Beziehung der soeben betrachteten Einheitswurzeln zu den früher untersuchten +Kongruenzklassen modulo~$p$. + +Es sei +\[ +A = a + a'p + a''p^{2} + \dots +\] +eine ganz beliebige ganze $p$-adische Zahl, deren Anfangsglied~$a$ eine +der $p$~Zahlen $0$,~$1$,~\dots~$p - 1$ sein kann. Bildet man dann aus ihr +genau wie in~\Eq{(4)} des vorigen Paragraphen die Reihe: +\[ +\Tag{(1)} +A + (A^{p} - A) + (A^{p^{2}} - A^{p}) + \dots +\] +oder wie in \Eq{(6)} das unendliche Produkt: +\[ +\Tag{(1^{a})} +\frac{A}{1}·\frac{A^{p}}{A}·\frac{A^{p^{2}}}{A^{p}}\dots, +\] +so beweist man wörtlich ebenso wie \aaO, daß sie beide unbedingt, +und zwar gegen denselben Grenzwert~$w_{A}$ konvergieren. In der Tat +haben beide Zahlgrößen dieselben Näherungswerte, nämlich die Zahlen +\[ +A,\ A^{p},\ A^{p^{2}},\ \dots, +\] +und diese konvergieren, falls $A$ durch $p$ teilbar ist, offenbar gegen den +Grenzwert Null. Ist dagegen $A$ eine Einheit modulo~$p$, so folgt aus +dem dann gültigen Fermatschen Satz für eine beliebig hohe Potenz~$p^{k+1}$ +von~$p$, daß wieder die Kongruenz +\[ +(A^{p^{k}})^{p-1} \equiv 1\ (\mod.~p^{k+1}) +\] +besteht. In diesem Falle ist also der Grenzwert~$w_{A}$ wieder eine der +$p - 1$ Wurzeln der Gleichung $x^{p-1} - 1 = 0$ und zwar offenbar gleich +derjenigen Einheitswurzel~$w_{a}$, deren Index gleich dem Anfangsgliede +von $A = a$, $a'$,~$a''$~\dots\ ist. + +Durch diese Reihen- oder Produktbildung gelangt man also ausgehend +von einer beliebigen ganzen $p$-adischen Zahl~$A$ stets zu +einem der $p$~Grenzwerte +\PageSep{176}{160} +\[ +\Tag{(2)} +w_{0} = 0,\quad +w_{1},\quad +w_{2},\ \dots\ +w_{p-1}, +\] +und zwar führen alle und nur die modulo~$p$ kongruenten Zahlen $A$, $A'$, +$A''$,~\dots, welche also zu derselben Kongruenzklasse~$C_{a}$ modulo~$p$ gehören, +zu demselben Grenzwerte~$w_{a}$. Man kann daher diese $p$~Zahlen \Eq{(2)} +als \so{die Invarianten der $p$~Kongruenzklassen} +\index{Invariante e.\ Kongruenzklasse modulo~$p$}% +\[ +C_{0},\quad +C_{1},\quad +C_{2},\ \dots\ +C_{p-1} +\] +modulo~$p$ bezeichnen. + +Diese $p$~Invarianten sind die $p$~Wurzeln der rationalen Gleichung: +\[ +\Tag{(3)} +x^{p} - x = x(x^{p-1} - 1) = (x - w_{0})(x - w_{1}) \dots (x - w_{p-1}) = 0. +\] +Die Untersuchung dieser Gleichung führt auf eine größere Anzahl von +Folgerungen für die Kongruenzklassen modulo~$p$. + +Betrachtet man nämlich irgendeine zwischen den Invarianten +$(w_{0}, w_{1}, \dots w_{p-1})$ bestehende ganze rationale Gleichung mit ganzzahligen +Koeffizienten +\[ +\Tag{(4)} +F(w_{0}, w_{1}, \dots w_{p-1}) = 0\ (p) +\] +als Kongruenz modulo~$p$, so ergibt sich die folgende Kongruenz zwischen +den Zahlen $(0, 1, 2, \dots p - 1)$: +\[ +\Tag{(4^{a})} +F(0, 1, \dots p - 1) \equiv 0\ (\mod.~p). +\] +Jeder solchen Gleichung zwischen den Zahlen~$w_{i}$ entspricht also eine +Kongruenz zwischen ihren Anfangsgliedern. Übertragen wir so die +\aSeite{156}~ff.\ bewiesenen Sätze über die Einheitswurzeln $w_{1}$,~$w_{2}$,~\dots~$w_{p-1}$ +auf ihre Anfangsglieder $1$,~$2$,~\dots~$p - 1$, so ergeben sich die folgenden +Sätze: +\begin{Theorem} +Alle Einheiten modulo~$p$ genügen der Kongruenz: +\[ +x^{p-1} - 1 \equiv 0\ (\mod.~p), +\] +\dh\ es besteht für ein variables $x$ die Zerlegung +\[ +\Tag{(4^{b})} +x^{p-1} - 1 \equiv (x - 1)(x - 2) \dots (x - (p-1))\ (\mod.~p). +\] +Für $x = 0$ ergibt sich aus ihr die Kongruenz: +\[ +\Tag{(4^{c})} +(p - 1)! = 1·2 \dots (p - 1) \equiv -1\ (\mod.~p), +\] +\PageSep{177}{161} +der sog.\ \Name{Wilson}sche Satz für Primzahlen. Jede durch $p$ nicht teilbare +Zahl~$a$ gehört modulo~$p$ zu einem Teiler~$d$ von~$p - 1$, \dh\ $d$ +ist die kleinste positive Zahl, für welche +\[ +\Tag{(5)} +a^{d} \equiv 1\ (\mod.~p) +\] +ist. Umgekehrt existieren zu jedem Teiler~$d$ von $p - 1$ genau $\phi(d)$ +modulo~$p$ inkongruente Zahlen, welche gerade zum Exponenten~$d$ +gehören; sie sind kongruent denjenigen $\phi(d)$ Einheitswurzeln, +%[** TN: Next six lines are theorem-indented in the original] +welche zum Exponenten~$d$ gehören. Speziell gibt es also genau +$\phi(p - 1)$ inkongruente Zahlen~$g$, welche zum höchsten Exponenten +$p - 1$ selbst gehören. Diese werden \so{primitive Wurzeln modulo~$p$} +\index{Primitive!Wurzeln modulo~$p$}% +genannt. Sie sind kongruent den Anfangsgliedern der $\phi(p - 1)$ +primitiven $(p - 1)$-ten Einheitswurzeln~$w_{g}$. Ist $g$ eine primitive +Wurzel modulo~$p$, so sind alle $p - 1$~Potenzen +\[ +\Tag{(6)} +1,\quad g,\quad g^{2},\ \dots\ g^{p-2} +\] +modulo~$p$ inkongruent; sie sind also den $p - 1$ inkongruenten Einheiten +$1$,~$2$,~\dots~$p - 1$, abgesehen von der Reihenfolge, modulo~$p$ +kongruent. +\end{Theorem} + +Auf diese Fragen werde ich sehr bald (\aSeite{170}~ff.)\ genauer einzugehen +haben, wenn die entsprechenden Resultate für eine Primzahlpotenz +$p^{k}$ als Modul abzuleiten sind. + + +\Section{§ 3.}{Die Logarithmen der $p$-adischen Zahlen.} + +Da für jedes ungerade $p$ die $p$~Zahlen $w_{0}$,~$w_{1}$,~\dots~$w_{p-1}$ ebenso +wie die ihnen kongruenten Zahlen $0$,~$1$,~\dots~$p - 1$ ein vollständiges +Restsystem modulo~$p$ bilden, so können auch sie als Koeffizienten +bei der Darstellung der $p$-adischen Zahlen benutzt werden, und dies +soll immer dann geschehen, wenn eine theoretisch möglichst einfache +Darstellung gebraucht wird. + +\begin{Theorem} +Jede von Null verschiedene $p$-adische Zahl kann also stets +und nur auf eine Weise in der Form +\[ +A = w^{(\alpha)} p^{\alpha} + w^{(\alpha+1)} p^{\alpha+1} + \dots +\] +dargestellt werden, wo $w^{(\alpha)}$,~$w^{(\alpha+1)}$,~\dots\ Wurzeln der Gleichung +\PageSep{178}{162} +$x^{p} - x = 0$, \dh\ $(p - 1)$-te Einheitswurzeln oder Null bedeuten +und $w^{(\alpha)} \neq 0$ ist. +\end{Theorem} + +Diese Form von $A$ führt uns nun sofort zu der gesuchten logarithmischen +Darstellung einer beliebigen $p$-adischen Zahl, falls $p$~eine beliebige +\emph{ungerade} Primzahl ist. Schreibt man nämlich $A$ in der Form: +\[ +A = w^{(\alpha)} p^{\alpha} (1 + w_{1} p + w_{2} p^{2} + \dots), +\] +wo auch $w_{1} = \dfrac{w^{(\alpha+1)}}{w^{(\alpha)}}$,~\dots\ Einheitswurzeln oder Null sind, so ist der +eingeklammerte Teil eine Haupteinheit, welcher nach dem auf \Seite{143} +bewiesenen Satze in der Form~$e^{\gamma}$ dargestellt werden kann, wo $\gamma$~eine +durch $p$ teilbare $p$-adische Zahl bedeutet. Ferner ist $w^{(\alpha)}$ eine $(p - 1)$-te +Einheitswurzel, also gleich einer Potenz~$w^{\beta}$ einer ein für alle Male +fest gewählten primitiven Wurzel~$w$. Es ergibt sich somit der folgende +Fundamentalsatz: +\begin{Theorem} +Jede von Null verschiedene $p$-adische Zahl läßt sich, falls $p$~eine +beliebige ungerade Primzahl und $w$~eine beliebig, aber fest +gewählte primitive $(p - 1)$-te Einheitswurzel ist, in der Form: +\[ +A = p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma} +\] +darstellen, wo $\alpha$~und~$\beta$ gewöhnliche ganze Zahlen bedeuten, und +$\gamma$~eine mindestens durch $p$ teilbare $p$-adische Zahl ist. +\end{Theorem} + +Die Exponenten $\alpha$~und~$\gamma$ sind eindeutig bestimmt, während $\beta$ wegen +$w^{p-1} = 1$ nur bis auf ein beliebiges Vielfaches von $p - 1$ bestimmt ist. +Beschränkt man $\beta$ also auf die Zahlen $0$,~$1$,~\dots~$p - 2$, so ist das ganze +Exponentensystem $(\alpha, \beta, \gamma)$ durch $A$ eindeutig festgelegt. + +Auch für die eine \emph{gerade} Primzahl~$2$ existiert genau dieselbe Darstellung; +nur hat da die Zahl~$w$ eine etwas andere Bedeutung. Für den +Bereich von $2$ ist nämlich jede Einheit in der reduzierten Form +\[ +\epsilon + = 1\MathOrd{,}\epsilon_{1}\,\epsilon_{2}\,\epsilon_{3} \dots + = 1 + \epsilon_{1}·2 + \epsilon_{2}·2^{2} + \dots\ (2), +\] +in der die Koeffizienten $\epsilon_{i}$ nur $0$ oder $1$ sein können, eine Haupteinheit +modulo~$2$. Von den beiden Einheiten +\[ +%[** TN: Semantic display, but easier to handle as an array] +\begin{array}{r@{\,}c@{\,}l*{3}{@{\ }c}@{\,}l} + \epsilon &=& 1, &\epsilon_{1} &\epsilon_{2} &\epsilon_{3} &\dots \\ +-\epsilon &=& 1, &1{-}\epsilon_{1}&1{-}\epsilon_{2}&1{-}\epsilon_{3}&\dots +\end{array} +\] +\PageSep{179}{163} +ist dann eine einzige auch eine Haupteinheit modulo~$4$, nämlich $\epsilon$ selbst +\index{Haupteinheit!zu e.\ $p$-adischen Zahl gehörige}% +oder~$-\epsilon$, je nachdem $\epsilon_{1} = 0$ oder $1$ ist. Jede von Null verschiedene +dyadische Zahl kann also auf eine einzige Weise in der Form geschrieben +werden +\[ +A = 2^{\alpha} (-1)^{\beta} (1 + e_{2}·2^{2} + e_{3}·2^{3} + \dots), +\] +wo $2^{\alpha}$ die größte in ihr enthaltene Potenz von~$2$, $\beta = 0$ oder $1$ ist, und +die in der Klammer stehende Reihe eine eindeutig bestimmte Haupteinheit +modulo~$4$ bedeutet. Diese letztere kann nun nach \Seite{143} +wieder gleich $e^{\gamma}$ gesetzt werden, wo $\gamma$ ein Multiplum von $4$ ist. Setzt +man also in diesem Falle $(-1) = w$, so hat man auch hier die Darstellung +\[ +A = 2^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma}, +\] +wo jetzt der zweite Exponent nur modulo~$2$ bestimmt ist, während +die ganze Zahl~$\alpha$ und die dyadische Zahl $\gamma = 4\gamma_{0}$ eindeutig durch $A$ +gegeben sind. +\begin{Theorem} +Ist also $p$~eine beliebige Primzahl, so besteht für jede von +Null verschiedene $p$-adische Zahl~$A$ die Exponentialdarstellung +\[ +\Tag{(1)} +A = p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma}, +\] +in der $w$ eine primitive $(p - 1)$-te Einheitswurzel für ein ungerades +\index{Einheitswurzel, zu e.\ $p$-adischen Zahl gehörige}% +$p$ ist, während $w$ die primitive zweite Einheitswurzel, nämlich~$-1$, +für $p = 2$ bedeutet. In jedem Falle ist $\alpha$ die Ordnungszahl von~$A$, +$\gamma$~der Logarithmus der zu $A$ gehörigen Haupteinheit. +\end{Theorem} + +Bei dieser Darstellung ist der erste Faktor +\[ +|A| = p^{\alpha} +\] +der \aSeite{108} definierte absolute Betrag der Zahl~$A$; der zweite Faktor~$w^{\beta}$ +soll \so{die zu $A$ gehörige Einheitswurzel} heißen; +endlich soll der Exponentialfaktor~$e^{\gamma}$ als \so{die zu $A$ gehörige +Haupteinheit} bezeichnet werden. Wir wählen im folgenden die +primitive Einheitswurzel~$w$ unter den $\phi(p - 1)$ vorhandenen ein für alle +Mal willkürlich, aber fest aus. Von den drei Exponenten $\alpha$,~$\beta$,~$\gamma$, durch +die $A$ dann eindeutig bestimmt ist, ist der erste die Ordnungszahl von~$A$, +der zweite soll \so{der Index},\index{Index!einer $p$-adischen Zahl}% +der dritte \so{der zu $A$ gehörige +%\PageSep{180}{164} +Logarithmus der Haupteinheit} oder \so{der Hauptlogarithmus +von~$A$} genannt werden.\PageLabel{164} +\index{Hauptlogarithmus!e.\ $p$-adischen Zahl}% +\index{Logarithmus!e.\ $p$-adischen Zahl}% + +Wir wollen nun im folgenden das zu einer beliebigen Zahl +$A = p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma}$ gehörige Exponentensystem $(\alpha, \beta, \gamma)$ den \so{Logarithmus +von~$A$} (für den Bereich von~$p$) nennen und durch $\lg_{p} A$ +oder, wo kein Mißverständnis zu befürchten ist, ohne den Index~$p$ durch +\[ +\Tag{(2)} +\lg A = (\alpha, \beta, \gamma) +\] +bezeichnen. + +Dann gehört zu jeder $p$-adischen Zahl~$A$ ein Logarithmus $(\alpha, \beta, \gamma)$, +und da ja $w^{k(p-1)} = 1$ ist, da somit allgemeiner +\[ +A = p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma} = p^{\alpha} w^{\beta+k(p-1)} e^{\gamma} +\] +ist, so gehören zu jeder Zahl~$A$ unendlich viele Logarithmen +\[ +\Tag{(2^{a})} +\lg A = (\alpha, \beta + k(p-1), \gamma), +\] +welche aus einem unter ihnen durch Vermehrung des zweiten Exponenten +um ein beliebiges Multiplum von $(p - 1)$ hervorgehen. Speziell +besitzt die Zahl $1 = p^{0} w^{0} e^{0}$ den Logarithmus $(0, 0, 0)$ und allgemeiner +die Logarithmen $(0, k(p - 1), 0)$, und da die Gleichung +\[ +p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma} +%[** TN: Small parentheses in the original] + = p^{\alpha} w^{\beta} (1 + \frac{\gamma}{1} + \dots) = 1 +\] +dann und nur dann erfüllt ist, wenn $\alpha = 0$, $\beta = k(p - 1)$, $\gamma = 0$ +\Errata{st}{ist}, so folgt, daß dann und nur dann $A = 1$ ist, wenn $\lg A = +(0, k(p - 1), 0)$ ist. Es ist also stets $\lg(1) = (0, 0, 0) = (0, k(p - 1), 0)$. +Hieraus ergibt sich sofort der allgemeine Satz: +\begin{Theorem} +Zwei $p$-adische Zahlen sind dann und nur dann gleich, wenn +sich ihre Logarithmen nur im zweiten Exponenten um ein Vielfaches +von $p - 1$ unterscheiden. +\end{Theorem} + +In der Tat folgt ja aus der Gleichung +\[ +A = p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma} = A' = p^{\alpha'} w^{\beta'} e^{\gamma'}, +\] +daß +\[ +\frac{A}{A'} = p^{\alpha-\alpha'} w^{\beta-\beta'} e^{\gamma-\gamma'} = 1, +\] +\PageSep{181}{165} +also $\alpha = \alpha'$, $\gamma = \gamma'$, $\beta = \beta' + k(p - 1)$ sein muß. + +Ferner hat $0$ den Logarithmus +\[ +\Tag{(3)} +\lg (0) = (+\infty, \beta ,\gamma), +\] +wo $\beta$ und $\gamma$ beliebig gewählt werden können. + +Umgekehrt gehört zu jedem Logarithmus $(\alpha, \beta, \gamma)$, dessen erster +Exponent~$\alpha$ nur nicht negativ unendlich ist, eine eindeutig bestimmte +$p$-adische Zahl $A = p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma}$, deren Logarithmus gleich $(\alpha, \beta, \gamma)$ ist und +welche \so{der Numerus von~$(\alpha, \beta, \gamma)$} genannt werden soll. Zu +\index{Numerus e.\ Logarithmus}% +$(-\infty, \beta, \gamma)$ gehört keine $p$-adische Zahl, da eine solche ja niemals +eine negativ unendliche Ordnungszahl besitzt. + +Wir wollen auch für die Logarithmen die Gleichheit und eine Verknüpfungsoperation +\index{Gleichheit!der Logarithmen}% +definieren, welche wir \so{Addition} nennen wollen, +und von der sofort zu sehen ist, daß für sie die Grundeigenschaften +der Addition gelten, sowie daß im Bereiche der Logarithmen die Addition +unbeschränkt und eindeutig ausführbar ist. + +\begin{Theorem} +Zwei Logarithmen +\[ +a = (\alpha, \beta, \gamma) \qquad a' = (\alpha', \beta', \gamma') +\] +heißen dann und nur dann \so{gleich} $(a = a')$, wenn ihre ersten und +dritten Exponenten beziehlich gleich sind und ihre zweiten Exponenten +sich um ein Multiplum von~$p - 1$ unterscheiden, \dh\ modulo~$(p - 1)$ +kongruent sind; ferner auch, wenn $\alpha = \alpha' = \infty$ ist. + +Sind +\[ +a = (\alpha, \beta, \gamma) \quad\text{und}\quad a' = (\alpha', \beta', \gamma') +\] +zwei beliebige Logarithmen, so wollen wir unter der \so{Summe}~$a + a'$ +\index{Summe!der Logarithmen}% +derselben den Logarithmus: +\[ +a + a' = (\alpha + \alpha', \beta + \beta', \gamma + \gamma') +\] +verstehen. +\end{Theorem} + +Offenbar ist die so definierte Addition der Logarithmen eine assoziative +\index{Addition der Logarithmen}% +und kommutative Operation und für sie besteht, wenn man +$\lg (0) = (+\infty, \beta, \gamma)$ als Subtrahendus ausschließt, das Gesetz der unbeschränkten +und eindeutigen Subtraktion: Sind nämlich $a = (\alpha, \beta, \gamma)$ +\PageSep{182}{166} +und $a' = (\alpha', \beta', \gamma')$ zwei beliebige Logarithmen, so gibt es, falls $a$ nicht +$\lg (0)$ ist, einen einzigen Logarithmus $x = (\xi, \eta, \zeta)$, für welchen +\[ +a + x = a' +\] +wird, nämlich den Logarithmus +\[ +x = (\alpha' - \alpha, \beta' - \beta, \gamma' - \gamma). +\] +Dieser soll also die \so{Differenz} der Logarithmen $a'$~und~$a$ genannt und +\index{Differenz der Logarithmen}% +durch $a' - a$ bezeichnet werden. + +Ist dagegen $a = \lg (0)$, $a' \neq \lg (0)$, so besitzt die Gleichung +\[ +(+\infty, \beta, \gamma) + (\xi, \eta, \zeta) = (\alpha', \beta', \gamma') +\] +im Bereiche der Logarithmen keine Lösung, da ja $\xi = \alpha' - \infty = -\infty$ +sein müßte. + +Die Logarithmen aller $p$-adischen Zahlen bilden somit bei Ausschluß +von $\DPchg{\log}{\lg}(0)$ einen Modul, in dem die beiden soeben definierten +zu einander inversen Operationen der Addition und Subtraktion unbeschränkt +und eindeutig ausführbar sind. + +Es gibt also ein einziges Nullelement +\[ +0 = (0, 0, 0) = (0, k(p - 1), 0) = \lg (1), +\] +welches als das Einheitselement für die Addition angesehen werden +kann, da allein für dieses $a + 0 = a$ ist. + +Sind $A = p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma}$ und $A' = p^{\alpha'} w^{\beta'} e^{\gamma'}$ zwei beliebige $p$-adische +Zahlen, zu denen also die Logarithmen: +\[ +a = \lg A = (\alpha, \beta, \gamma) \quad\text{und}\quad +a' = \lg A' = (\alpha', \beta', \gamma') +\] +gehören, so sind zunächst nach dem \aSeite{164} bewiesenen Satze $A$~und~$A'$ +dann und nur dann gleich, wenn ihre Logarithmen $a$~und~$a'$ gleich +sind; ferner gehören zu dem Produkte und dem Quotienten +\[ +A·A' = p^{\alpha+\alpha'} w^{\beta+\beta'} e^{\gamma+\gamma'} \quad\text{und}\quad +\frac{A}{A'} = p^{\alpha-\alpha'} w^{\beta-\beta'} e^{\gamma-\gamma'} +\] +von zwei beliebig gegebenen Zahlen $A$~und~$A'$ die Logarithmen $a + a'$ +und $a - a'$, \dh\ es bestehen genau wie in der elementaren Analysis +die Gleichungen: +\PageSep{183}{167} +\[ +\Tag{(4)} +\lg (AA') = \lg A + \lg A', \quad +\lg \left(\frac{A}{A'}\right) = \lg A - \lg A'. +\] +Wendet man die erste Gleichung auf ein Produkt von $m$ gleichen Faktoren +an, so folgt: +\[ +\Tag{(4^{a})} +\lg (A^{m}) = m\lg A = (m\alpha, m\beta, m\gamma). +\] + +Aus der allgemein gültigen logarithmischen Darstellung der +$p$-adischen Zahlen ziehe ich noch die wichtige Folgerung, auf welche +ich bereits \aSeite{158} unten hingewiesen hatte: +\begin{Theorem} +Die einzigen Einheitswurzeln, welche im Körper~$K(p)$ der +$p$-adischen Zahlen vorhanden sind, sind die $p - 1$\; $(p - 1)$-ten Einheitswurzeln +$(1, w, w^{2}, \dots w^{p-2})$ bzw.\ für $p = 2$ die Zahlen~$±1$. +\end{Theorem} + +Soll nämlich $A = p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma}$ einer Gleichung $x^{m} = 1$ genügen, so muß +\[ +A^{m} = p^{m\alpha} w^{m\beta} e^{m\gamma} = 1, +\] +also $m\alpha = m\gamma = 0$ sein; \dh\ nur die Zahlen $A = w^{\beta}$ sind Einheitswurzeln. + +Ist +\[ +\Tag{(5)} +A = p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma} +\] +eine beliebige Zahl, so will ich die größte im Hauptlogarithmus~$\gamma$ enthaltene +Potenz~$p^{\kappa}$ von $p$ den \so{Teiler des Hauptlogarithmus} +nennen. Dieser Teiler ist also für ein ungerades $p$ mindestens gleich~$p^{1}$, +für $p = 2$ mindestens gleich~$2^{2}$. Ferner soll für ein ungerades $p$ der +größte gemeinsame Teiler +\[ +\Tag{(6)} +\delta = (\beta, p - 1) +\] +des Index mit~$p - 1$ \so{der Teiler dieses Index} oder \so{der Indexteiler +von~$A$} genannt werden; für $p = 2$ wird der entsprechende +\index{Indexteiler!einer $p$-adischen Zahl}% +Teiler +\[ +\Tag{(6^{a})} +\delta = (\beta, 2), +\] +\dh\ gleich $1$~oder~$2$, je nachdem $\beta$ gerade oder ungerade ist. Im +ersten Falle ist der Indexteiler stets und nur dann gleich~$1$, wenn +$(\beta, p - 1) = 1$, wenn also $w^{\beta}$~eine primitive Einheitswurzel ist; er hat +seinen größten Wert $\delta = p - 1$ bzw.\ $\delta = 2$, wenn $\beta$~ein Multiplum von +$p - 1$ bzw.\ von~$2$, wenn also $w^{\beta} = 1$ ist. Der Indexteiler~$\delta$ ist von +\PageSep{184}{168} +der Wahl der primitiven Wurzel~$w$ ganz unabhängig; denn ist $w'$ eine +der $\phi(p - 1)$ primitiven Wurzeln, so ist ja $w = w'^{r}$, wo $(r, p - 1) = 1$ +ist, und es wird $w^{\beta} = w'^{r\beta}$; somit ist für die primitive Wurzel~$w'$ +\[ +\delta' = (r\beta, p - 1) = (\beta, p - 1) = \delta. +\] +Setzen wir jetzt in~\Eq{(5)} +\[ +\beta = \delta\beta_{0} , \quad +\gamma = p^{\kappa} \gamma_{0}, +\] +so ergibt sich für jede Zahl~$A$ die Darstellung +\[ +\Tag{(7)} +A = p^{\alpha} w^{\delta\beta_{0}} e^{p^{\kappa}\gamma_{0}}, +\] +welche bei eingehenderen Untersuchungen häufig gebraucht werden +wird. + + +\Section{§ 4.}{Untersuchung der $p$-adischen Zahlen für eine Primzahlpotenz~$p^{k}$ +als Modul.} + +Ich wende mich nun zu einer eingehenderen Untersuchung der +$p$-adischen Zahlen $A = p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma}$ für eine beliebige Potenz~$p^{k}$ von $p$ als +Modul. Hierbei kann ich von vornherein die Ordnungszahl $\alpha = 0$, \dh\ +die zu betrachtenden Zahlen $E = w^{\beta} e^{\gamma}$ als Einheiten voraussetzen, da +es ja auf dasselbe herauskommt, ob man $A = p^{\alpha} E$ modulo~$p^{k}$ oder ob +man $E$ modulo~$p^{k-\alpha}$ untersucht. + +Zuerst erledige ich die beiden trivialen Fälle, daß der Modul~$p^{k}$ +gleich~$2^{1}$ oder gleich~$2^{2}$ ist. Da nun für den Bereich von~$2$ jede Einheit +\[ +E = (-1)^{\beta} e^{\gamma} \equiv (-1)^{\beta} \equiv ±1\ (\mod.~4) +\] +ist, weil ja hier der Hauptlogarithmus von $\gamma$ mindestens durch $4$ teilbar +ist, und da modulo~$2$ außerdem noch die beiden Einheitswurzeln $+1$ +und~$-1$ kongruent werden, so ergeben sich hier die beiden auch an +sich selbstverständlichen Sätze: +\begin{Theorem} +Modulo $2$ betrachtet sind alle dyadischen Einheiten kongruent~$+1$, +für den Modul~$4$ existieren allein die beiden inkongruenten +Einheiten $+1$~und~$-1$. +\end{Theorem} +\PageSep{185}{169} + +Im folgenden kann und soll daher jetzt, falls $p = 2$ ist, immer +$k \geqq 3$ vorausgesetzt werden. Dann besteht der folgende allgemeine +Satz: +\begin{Theorem} +Eine $p$-adische Einheit $E = w^{\beta} e^{\gamma}$ ist dann und nur dann +kongruent~$1$ modulo~$p^{k}$, wenn: +\[ +w^{\beta} = 1, \quad \gamma \equiv 0\ (\mod.~p^{k}) +\] +ist, wenn also ihr Index~$\beta$ durch $p - 1$ bzw.\ durch $2$ und ihr Hauptlogarithmus~$\gamma$ +durch $p^{k}$ teilbar ist. +\end{Theorem} + +Betrachtet man nämlich die Kongruenz: +\[ +\Tag{(1)} +E = w^{\beta} e^{\gamma} \equiv 1\ (\mod.~p^{k}) \quad\text{bzw.}\quad +E = (-1)^{\beta} e^{\gamma} \equiv 1\ (\mod.~2^{k}) +\] +zunächst modulo~$p$ bzw.\ für $p = 2$ modulo~$2^{2}$ und beachtet, daß für +diesen Modul $e^{\gamma} \equiv 1$ wird, so ergibt sich: +\[ +w^{\beta} \equiv 1\ (\mod.~p) \quad\text{bzw.}\quad +(-1)^{\beta} \equiv 1\ (\mod.~4), +\] +und da die Potenzen $(1, w, \dots w^{p-2})$ modulo~$p$ bzw.\ $(-1, +1)$ +modulo~$4$ inkongruent sind, so muß $w^{\beta} = 1$ bzw.\ $(-1)^{\beta} = 1$ sein. +Die dann aus~\Eq{(1)} folgende Kongruenz: +\[ +e^{\gamma} \equiv 1\ (\mod.~p^{k}) +\] +ist aber nach \Eq{(11)} \aSeite{137} allein dann erfüllt, wenn $\gamma$ durch $p^{k}$ teilbar +ist. + +Zwei Einheiten +\[ +E \DPtypo{\equiv}{=} w^{\beta} e^{\gamma}, \quad +E' = w^{\beta'} e^{\gamma'} +\] +sind also allein dann modulo~$p^{k}$ kongruent, wenn ihr Quotient +\[ +\frac{E}{E'} = w^{\beta-\beta'} e^{\gamma-\gamma'} \equiv 1\ (\mod.~p^{k}), +\] +wenn also: +\begin{align*} +%[** TN: Reformatted to match (4^{a}) below] +\beta &\equiv \beta'\ (\text{$\mod.~p - 1$\Add{,} bzw.\ $\mod.~2$}), \\ +\gamma &\equiv \gamma'\ (\mod.~p^{k}) +\end{align*} +ist. Also bilden für ein ungerades $p$ die $(p - 1) p^{k-1} = \phi(p^{k})$ Einheiten: +\PageSep{186}{170} +\[ +\Tag{(2)} +w^{\beta} e^{p(c_{0}+c_{1}p+\dots+c_{k-2}p^{k-2})} +\quad +%[** TN: Not as small as elsewhere in the original] +\begin{Conditions} +\left( +\begin{aligned} + \beta &= 1, 2, \dots p-1 \\ + c_{i} &= 0, 1, \dots p-1 +\end{aligned} +\right) +\end{Conditions}, +\] +für $p = 2$ die $2·2^{k-2} = 2^{k-1} = \phi(2^{k})$ Zahlen +\[ +\Tag{(2^{a})} +(-1)^{\beta}·e^{4(c_{0}+c_{1}·2+\dots+c_{k-3}·2^{k-3})} +\quad +\begin{Conditions} +\left( +\begin{aligned} + \beta &= 1, 2 \\ + c_{i} &= 0, 1 +\end{aligned} +\right) +\end{Conditions} +\] +ein vollständiges System modulo $p^{k}$ inkongruenter Einheiten. + +Die $\phi(p^{k})$ modulo~$p^{k}$ inkongruenten Einheiten oder, was dasselbe +ist, die zugehörigen Einheitsklassen für den Modul~$p^{k}$ bilden, wie \aSeite{102} +unten bereits ausgeführt wurde, eine endliche Gruppe, und allein +hieraus ergab sich nach dem Fermatschen Satze, daß für jede Einheit~$E$ +die Kongruenz: +\[ +\Tag{(3)} +E^{\phi(p^{k})} \equiv 1\ (\mod.~p^{k}) +\] +besteht. Es ergibt sich aber weiter aus der \aSeite{105} durchgeführten +Untersuchung der endlichen Gruppen, daß jede Einheit~$E$ zu einem +Teiler $d$ von $\phi(p^{k})$ als Exponenten gehört, wenn nämlich $d$ die +kleinste positive Zahl ist, für welche +\[ +E^{d} \equiv 1\ (\mod.~p^{k}) +\] +ist. Dann sind die $d$ ersten Potenzen $(1, E, E^{2}, \dots E^{d-1})$ sämtlich +modulo~$p^{k}$ inkongruent. + +Ich will jetzt den Exponenten~$d$ bestimmen, zu dem eine gegebene +Einheit +\[ +E = w^{\beta} e^{\gamma} = w^{\delta\beta_{0}} e^{p^{\kappa} \gamma_{0}} +\] +gehört, für welche der Indexteiler gleich~$\delta$ und der Teiler des Hauptlogarithmus +gleich~$p^{\kappa}$ ist. Soll dann +\[ +\Tag{(4)} +E^{d} = w^{\delta d\beta_{0}} e^{p^{\kappa} d\gamma_{0}} \equiv 1\ (\mod.~p^{k}) +\] +sein, so muß nach dem auf der vorigen Seite bewiesenen Satze~$\delta d\beta_{0}$ +durch $p - 1$ bzw.\ durch $2$ und $p^{\kappa} d\gamma_{0}$ durch $p^{k}$ teilbar sein, \dh\ es muß: +\[ +\Tag{(4^{a})} +\begin{aligned} +\delta d &\equiv 0\ (\text{$\mod.~p-1$, bzw.\ $\mod.~2$}) \\ +p^{\kappa} d &\equiv 0\ (\mod.~p^{k}) +\end{aligned} +\] +sein. Ist also $\delta'$ der zu $\delta$ komplementäre Divisor von $p - 1$ bzw.\ von +$2$~und~$p^{\kappa'}$ der zu $p^{\kappa}$ komplementäre Divisor von~$p^{k}$, so daß +\PageSep{187}{171} +\[ +\Tag{(5)} +\begin{aligned} +\delta\delta' &= p - 1 \text{ bzw.} = 2 \\ +p^{\kappa}·p^{\kappa'} &= p^{k} +\end{aligned} +\] +ist, so folgen aus~\Eq{(4^{a})} durch Division mit~$\delta$ bzw.\ mit~$p^{\kappa}$ für $d$ die +beiden Kongruenzen: +\[ +\Tag{(4^{b})} +d \equiv 0\ (\mod.~\delta'), \quad +d \equiv 0\ (\mod.~p^{\kappa'}), +\] +\dh\ die Kongruenz~\Eq{(4)} ist allein dann erfüllt, wenn $d$ durch das kleinste +gemeinsame Vielfache $[\delta', p^{\kappa'}]$ der beiden zu $\delta$ und $p^{\kappa}$ komplementären +Teiler teilbar ist. Es ergibt sich also der allgemeine Satz: +\begin{Theorem} +Eine Einheit~$E$, deren Index den Teiler $\delta$ und deren Hauptlogarithmus +den Teiler $p^{\kappa}$ hat, gehört modulo~$p^{k}$ zu dem Exponenten: +\[ +\Tag{(6)} +d = [\delta', p^{\kappa'}], +\] +wenn $\delta'$ und $p^{\kappa'}$ die in bezug auf $p - 1$ (bzw.~$2$) und $p^{k}$ +komplementären Teiler zu $\delta$ und $p^{\kappa}$ sind. +\end{Theorem} + +Ist nun $p$ eine ungerade Primzahl, so sind $\delta'$ und $p^{\kappa'}$ teilerfremd, +\dh\ es ist dann stets $d = \delta' p^{\kappa'}$. Ist dagegen $p = 2$, so ist $\delta' = 1$ oder~$2$; +also ist stets $\delta'$ ein Teiler von~$2^{\kappa'}$, mithin $d = 2^{\kappa'}$, außer in dem +trivialen Falle, wo $\delta' = 2$\DPtypo{}{,} $2^{\kappa'} = 1$, wo also $\delta = 1$, $2^{\kappa} = 2^{k}$ ist. Hier +ist $E = (-1)e^{2^{k}} \equiv -1\ (\mod\DPtypo{}{.}~2^{k})$, und dann gehört $(-1)$ auch wirklich +nicht zum Exponenten $2^{\kappa'} = 1$, sondern zum Exponenten $\delta' = 2$. +Schließen wir also diesen trivialen Fall aus, so ergibt sich der Satz: +\begin{Theorem} +Eine Einheit, deren Index den Teiler $\delta$ und deren Hauptlogarithmus +den Teiler $p^{\kappa}$ hat, gehört modulo~$p^{k}$ zum Exponenten +\[ +\Tag{(6^{a})} +d = \delta' p^{\kappa'} = \tfrac{p-1}{\delta} p^{k-\kappa} \quad\text{oder}\quad +2^{\kappa'} = 2^{k-\kappa}, +\] +je nachdem $p$ ungerade oder die gerade Primzahl~$2$ ist. +\end{Theorem} + +Da für eine ungerade Primzahl der Teiler $p^{\kappa}$ des Hauptlogarithmus +mindestens gleich~$p^{1}$, für $p = 2$ aber $2^{\kappa}$ mindestens +gleich $4$ sein muß, während im ersten Falle $\delta$ stets ein Teiler von +$p - 1$ ist, so ergibt sich jetzt wieder, daß für ein ungerades $p$ +jeder Exponent~$d$ ein Teiler von $\phi(p^{k}) = (p - 1) p^{k-1}$, für $p = 2$ +aber schon ein Teiler von $\phi(2^{k-1}) = 2^{k-2}$ sein muß. +\PageSep{188}{172} + +\begin{Theorem} +Jede Einheit gehört also modulo~$p^{k}$ zu einem Exponenten, +welcher ein Teiler von $\phi(p^{k})$ oder für $p = 2$ schon von $\phi(2^{k-1})$ +ist. +\end{Theorem} + +Es sei jetzt umgekehrt +\[ +\Tag{(7)} +d = \delta' p^{\kappa'} \quad\text{bzw.}\quad d = 2^{\kappa'} +\] +ein beliebiger Teiler von $\phi(p^{k})$ bzw.\ von~$\phi(2^{k-1})$; wir fragen, wie viele +und welche Einheiten +\[ +E = w^{\delta\beta_{0}} e^{p^{\kappa} \gamma_{0}} \quad\text{bzw.}\quad +E = (-1)^{\beta} e^{2^{\kappa} \gamma_{0}} +\] +gerade zu diesem Exponenten~$d$ gehören. Nach dem soeben bewiesenen +Satze gehört nun für ein ungerades $p$ die obige Einheit zum Exponenten~$d$, +wenn ihr Indexteiler~$\delta$ und der Teiler $p^{\kappa}$ ihres Hauptlogarithmus komplementär +bzw.\ zu $\delta'$ und zu $p^{\kappa'}$ sind; für $p = 2$ ist $\beta$ beliebig, während +$2^{\kappa}$ ebenfalls zur $2^{\kappa'}$ komplementär sein muß. Sind also $\delta$ und $p^{\kappa}$ so gewählt, +so gehören alle und nur die Einheiten~$E$ zum Exponenten~$d$, bei +welchen für jedes ungerade~$p$ +\[ +\Tag{(8)} +\begin{alignedat}{5} +&(\delta\beta_{0}, p - 1) &&= (\delta\beta_{0}, \delta\delta') &&= &\delta, \quad &\text{also}\quad &(\beta_{0}, \delta') &= 1, \\ +&(p^{\kappa}\gamma_{0}, p^{k}) &&= (p^{\kappa}\gamma_{0}, p^{\kappa} p^{\kappa'}) &&={} &p^{\kappa},\quad &\Ditto{also} &(\gamma_{0}, p^{\kappa'}) &= 1 +\end{alignedat} +\] +ist, dagegen für $p = 2$\; $\beta = 1$ oder $2$ sein kann, während +\[ +\Tag{(8^{a})} +(\gamma_{0}, 2^{\kappa'}) = 1 +\] +sein muß. Da nun die Anzahl aller zu $\delta'$ teilerfremden inkongruenten +Zahlen~$\beta_{0}$ gleich~$\phi(\delta')$, die aller modulo~$p^{\kappa'}$ inkongruenten zu $p^{\kappa'}$ teilerfremden +Zahlen~$\gamma_{0}$ gleich~$\phi(p^{\kappa'})$ ist, so ist für ein ungerades $p$ die Anzahl +der zum Exponenten~$d$ gehörigen Einheiten gleich $\phi(\delta') \phi(p^{\kappa'}) = \phi(d)$, +für $p = 2$ ist jene Anzahl gleich~$2\phi(2^{\kappa'})$, weil hier für jedes $e^{2^{\kappa} \gamma_{0}}$ +die zugehörige Einheitswurzel $(-1)^{\beta}$ gleich~$±1$ sein kann. In dem +vorher ausgeschlossenen trivialen Falle $p = 2$, $d = 2^{0} = 1$ gehört zum +Exponenten~$1$ modulo~$2^{k}$ offenbar nur die eine Einheit $E = +1$; die +Anzahl der zu diesen Exponenten gehörigen Einheiten ist also allein +in diesem Falle $d = 2^{0}$ gleich $\phi(2^{0}) = 1$ und nicht gleich $2\phi(2^{0}) = 2$. +Sieht man also auch hier von diesem trivialen Ausnahmefalle ab, so +ergibt sich das folgende allgemeine Resultat: +\PageSep{189}{173} +\begin{Theorem} +Die Anzahl aller Modulo~$p^{k}$ inkongruenten Einheiten, welche +zu einem beliebigen Teiler $d$ von $\phi(p^{k})$ bzw.\ von $\phi(2^{k-1})$ als Exponenten +gehören, ist stets gleich $\phi(d)$ bzw.\ gleich~$2\phi(d)$. +\end{Theorem} + + +\Section{§ 5.}{Die primitiven Wurzeln modulo~$p^{k}$. Die Theorie der +Indices für eine Primzahlpotenz als Modul.} + +Von besonderer Bedeutung sind auch für eine Primzahlpotenz~$p^{k}$ +diejenigen Einheiten, welche für diesen Modul zu dem höchsten überhaupt +möglichen Exponenten gehören, nämlich zu $c = \phi(p^{k})$ bzw.\ zu +$c = \phi(2^{k-1})$. Diese Einheiten mögen auch hier \so{primitive Wurzeln +modulo~$p^{k}$} genannt werden. Für, sie muß in~\Eq{(7)} auf vor.\ Seite +\index{Primitive!Wurzeln modulo~$p^{k}$}% +\[ +\delta = 1,\ p^{\kappa} = p \quad\text{bzw.}\quad 2^{\kappa} = 2^{2} +\] +sein. Alle primitiven Wurzeln sind also in der Form +\[ +\Tag{(1)} +r = w^{\beta_{0}} e^{p\gamma_{0}} \quad\text{bzw.}\quad ±e^{4\gamma_{0}} +\] +enthalten, wo $(\gamma_{0}, p) = 1$ und $(\beta_{0}, p - 1) = 1$ ist, also $\bar{w} = w^{\beta_{0}}$ eine +beliebige \emph{primitive} Einheitswurzel bedeutet. Die Anzahl aller modulo~$p^{k}$ +inkongruenten primitiven Wurzeln endlich ist +\[ +\Tag{(2)} +\phi(c) = \phi(\phi(p^{k})) \quad\text{bzw.}\quad +\phi(c) = \phi(\phi(2^{k-1})) = 2^{k-3}. +\] + +Wir können die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, +daß eine Einheit +\[ +g = g_{0}\MathOrd{,}g_{1}\,g_{2}\dots +\] +für eine beliebige Primzahlpotenz~$p^{k}$ eine primitive Wurzel ist, in wesentlich +einfacherer Weise aussprechen: Ist nämlich $p$ zunächst ungerade, +so muß ja +\[ +\Tag{(3)} +g = \bar{w}·e^{p\gamma_{0}} +\] +sein. Betrachtet man diese Gleichung zunächst modulo~$p$ und beachtet, +daß $e^{p\gamma_{0}} \equiv 1\ (\mod.~p)$ ist, so ergibt sich die notwendige Bedingung: +\[ +\Tag{(4)} +g_{0} \equiv \bar{w}\ (\mod.~p), +\] +\dh\ $g$~muß modulo~$p$ einer der $\phi(p - 1)$ primitiven Einheitswurzeln +kongruent sein. Ist $k = 1$, so ist diese Bedingung auch hinreichend, +\PageSep{190}{174} +und wir erhalten das bereits \aSeite{161} gefundene Resultat, daß die +$\phi(p - 1)$ modulo~$p$ inkongruenten primitiven Wurzeln die Anfangsglieder +der primitiven Einheitswurzeln sind. Ist dagegen $k > 1$, und +betrachtet man die Gleichung~\Eq{(3)} jetzt modulo~$p^{2}$, so ergibt sich, da ja +\[ +e^{p\gamma_{0}} \equiv 1 + p\gamma_{0}\ (\mod.~p^{2}) +\] +ist, außer \Eq{(4)} noch die zweite Kongruenz: +\[ +\Tag{(4^{a})} +g \equiv \bar{w}(1 + p\gamma_{0})\ (\mod.~p^{2}), +\] +wo nur $\gamma_{0}$ durch $p$ nicht teilbar sein darf. Sind umgekehrt diese beiden +Bedingungen erfüllt, so ist nach \Seite{172}~\Eq{(8)} $g$~eine primitive Wurzel +modulo~$p^{k}$. + +Die zweite Bedingung ist nun offenbar stets und nur dann erfüllt, +wenn +\[ +g \not\equiv \bar{w}\ (\mod.~p^{2}) +\] +ist. Wir erhalten also jetzt das einfache Resultat: +\begin{Theorem} +Eine Zahl~$g$ ist stets und nur dann eine primitive Wurzel für +eine beliebige Potenz~$p^{k}$ einer ungeraden Primzahl ($k > 1$), wenn sie +den beiden Bedingungen +\[ +g \equiv \bar{w}\ (\mod.~p),\quad +g \not\equiv \bar{w}\ (\mod.~p^{2}) +\] +genügt, wo $\bar{w}$ irgendeine der $\phi(p - 1)$ primitiven $p$-adischen Einheitswurzeln +bedeutet. + +Offenbar können wir diese Bedingung auch so aussprechen: + +Eine Zahl $g = g_{0}\MathOrd{,}g_{1}\dots$ ist stets und nur dann eine primitive +Wurzel für eine Primzahlpotenz~$p^{k}$, wenn sie mit der reduzierten +Darstellung einer primitiven Einheitswurzel $\bar{w} = \bar{w}_{0}\MathOrd{,}\bar{w}_{1} \dots$ in +der ersten Stelle übereinstimmt, in der zweiten Stelle aber von +ihr abweicht. +\end{Theorem} + +Man findet also sicher eine primitive Kongruenzwurzel modulo~$p^{k}$, +wenn man in einer beliebigen primitiven Einheitswurzel die zweite Stelle +beliebig verändert; die weiteren Stellen können beliebig gewählt +oder einfach fortgelassen werden. + +So folgt \zB\ daraus, daß für die sechsten Einheitswurzeln im +Körper~$K(7)$ nach \Seite{156} +\PageSep{191}{175} +\[ +w = 3\MathOrd{,}46\dots,\quad +w^{5} = 5\MathOrd{,}20\dots +\] +die beiden primitiven Wurzeln sind, daß die beiden Zahlen +\[ +g = 3\MathOrd{,}00\dots,\quad +g' = 5\MathOrd{,}00\dots +\] +primitive Wurzeln für jede beliebige Potenz von $7$ als Modul sind. + +Ebenso folgt aus der Tabelle \aSeite{158}, +daß für jede Potenz +von $13$ als Modul \zB\ $2$,~$6$,~$11$ und~$7$ primitive Wurzeln sein +müssen, da sie mit den vier primitiven Einheitswurzeln $w = 6\MathOrd{,}19\dots$, +$w^{5}$,~$w^{7}$,~$w^{11}$ in der ersten Stelle übereinstimmen, in der zweiten aber +von ihnen abweichen. + +Endlich können wir dieselbe Bedingung auch in einer Form aussprechen, +welche die vorgängige Berechnung der primitiven Einheitswurzeln +bis zur zweiten Stelle nicht voraussetzt. Ist nämlich $a$~eine +durch $p$ nicht teilbare ganze Zahl, etwa eine der Zahlen $1$,~$2$,~\dots~$p - 1$, +und $w_{a}$~die zugehörige Einheitswurzel, so ist: +\[ +w_{a} = a + (a^{p} - a) + (a^{p^{2}} - a^{p}) + \dots +\] +und diese ist immer dann eine primitive Einheitswurzel, wenn $a$ modulo~$p$ +zum Exponenten $p - 1$ gehört, wenn also $a$~eine primitive Kongruenzwurzel +modulo~$p$ ist. Da ferner alle auf das zweite Glied folgenden +Differenzen $(a^{p^{2}} - a^{p})$,~\dots\ nach \Eq{(2^{a})} auf \Seite{154} durch $p^{2}$ teilbar sind, so +folgt aus der obigen Gleichung die Kongruenz: +\[ +w_{a} \equiv a + (a^{p} - a)\ (\mod.~p^{2}). +\] +Dann und nur dann ist also $a$ auch modulo~$p^{2}$ zu $w_{a}$ kongruent, wenn +$a^{p} - a$ oder also wenn $a^{p-1} - 1$ nicht bloß durch~$p$, sondern auch durch +$p^{2}$ teilbar ist. Ist das nicht der Fall, so ist hiernach $a$~eine primitive +Wurzel für jede Potenz~$p^{k}$ von~$p$ als Modul. + +\begin{Theorem} +Eine ganze Zahl~$a$ ist also dann und nur dann eine primitive +Wurzel modulo~$p^{k}$, wenn sie eine primitive Wurzel modulo~$p$ ist +und wenn außerdem $(a^{p-1} - 1)$ nicht durch $p^{2}$ teilbar ist. +\end{Theorem} + +So sind \zB\ die beiden Zahlen $g = 3$, $g' = 5$ modulo~$7^{k}$ primitive +Wurzeln, weil sie modulo~$7$ zum Exponenten~$6$ gehören, und weil außerdem: +\PageSep{192}{176} +\[ +3^{6} - 1 \equiv 5^{6} - 1 \equiv -7\ (\mod.~49) +\] +ist, also beide Differenzen nicht durch $7^{2}$ teilbar sind. + +Im Falle $p = 2$ gehört nach \Eq{(1)} auf \Seite{173} für $k > 2$ jede +Einheit +\[ +\Tag{(5)} +g = ±e^{4\gamma_{0}} = ±(1 + 4\gamma_{0} + \dots) +\] +modulo~$2^{k}$ zum höchsten möglichen Exponenten~$2^{k-2}$, für welche $\gamma_{0}$ +nicht durch $2$ teilbar ist. Betrachten wir diese Gleichung als Kongruenz +modulo~$8$ und beachten, daß alle auf das zweite Glied von $e^{4\gamma_{0}}$ folgenden +Summanden durch $8$ teilbar sind, während $4\gamma_{0}$ kongruent~$4$ oder kongruent +Null ist, je nachdem $\gamma_{0}$ eine Einheit ist oder nicht, so ergibt +sich der einfache Satz: +\begin{Theorem} +Eine ungerade Zahl~$g$ gehört stets und nur dann modulo~$2^{k}$ +zum höchsten Exponenten~$2^{k-2}$, ist also für diesen Modul eine primitive +Wurzel, wenn +\[ +\Tag{(5^{a})} +g \equiv ± 5\ (\mod.~8) +\] +ist. Speziell sind also $g = 5$ und $g = 3$ primitive Wurzeln für jede +Potenz~$2^{k}$, deren Exponent größer als $2$ ist. +\end{Theorem} + +Ist $p$ ungerade, und $g$~eine primitive Wurzel modulo~$p^{k}$, gehört +also $g$ für diesen Modul zum Exponenten $c = \phi(p^{k})$, so sind die $\phi(p^{k})$ +Potenzen +\[ +1,\ g,\ g^{2},\ \dots\ g^{c-1} +\] +lauter modulo~$p^{k}$ inkongruente Einheiten, und da die Anzahl aller für +diesen Modul inkongruenten Einheiten ebenfalls gleich~$c$ ist; so ergibt +sich der Satz: +%[** TN: Text justification inconsistent in the original] +\begin{Theorem} +Jede Einheit modulo~$p^{k}$, wo $p$~eine ungerade Primzahl bedeutet, +läßt sich auf eine einzige Weise in der Form +\[ +\Tag{(6)} +E \equiv g^{\epsilon}\ (\mod.~p^{k})\quad +\begin{Conditions}%[** TN: Not smaller in the original] +(\epsilon = 0, 1, \dots c - 1) +\end{Conditions} +\] +darstellen; wir nennen bei ein für allemal festgehaltener primitiver +Wurzel~$g$\; $\epsilon$~\so{den Index von~$E$ modulo~$p^{k}$} und schreiben +\index{Index!einer Einheit modulo~$p^{k}$}% +diese Beziehung +\[ +\Tag{(6^{a})} +(\epsilon) = \Ind E. %[** TN: Missing dot on "Ind" in original] +\] +\end{Theorem} +\PageSep{193}{177} + +Ist $p = 2$, und wird $k \geqq 2$ angenommen, so gehört nach \Eq{(5)} auf +voriger Seite modulo~$2^{k}$ jede Einheit +\[ +g = +e^{4\gamma_{0}}, +\] +speziell also $g = +5$ zum Exponenten $c = 2^{k-2}$; dann stellen die +$2c = 2^{k-1} = \phi(2^{k})$ Potenzen: +\[ +\Tag{(7)} +\begin{alignedat}{4} + 1, && g, && g^{2},\ \dots\ && g^{c-1}& \\ + -1,\ && -g,\ && -g^{2},\ \dots\ &&-g^{c-1}& +\end{alignedat} +\] +lauter modulo~$g^{k}$ inkongruente Einheiten dar. Denn die in einer von +jenen beiden Reihen stehenden Zahlen sind ja modulo~$2^{k}$ inkongruent, +und zwei in verschiedenen Reihen stehende Zahlen sind +schon modulo $2^{2} = 4$ inkongruent, da ja $g$ und somit auch alle +Potenzen von~$g$ kongruent~$1$ modulo~$4$ sind, während alle Zahlen~$-g^{h}$ +der zweiten Reihe modulo~$4$ kongruent~$-1$ sind. Hier gilt +also speziell für $g = 5$ der Satz: +\begin{Theorem} +Jede dyadische Einheit läßt sich modulo~$2^{k}$ auf eine einzige +Weise in der Form: +\[ +\Tag{(8)} +E \equiv (-1)^{\delta} 5^{\epsilon}\ (\mod.~2^{k})\quad +\begin{Conditions}%[** TN: Not smaller in the original] +\left( +\begin{aligned} + \delta &= 0, 1 \\ +\epsilon &= 0, 1, \dots c - 1 +\end{aligned} +\right) +\end{Conditions} +\] +darstellen. Wir nennen hier das Ziffernsystem~$(\delta, \epsilon)$ \so{den Index +von~$E$ modulo~$2^{k}$} und schreiben diese Beziehung +\index{Index!einer Einheit modulo~$2^{k}$}% +\[ +\Tag{(8^{a})} +(\delta, \epsilon) = \Ind E. +\] +\end{Theorem} + +Der Index~$(\epsilon)$ einer Einheit~$E$ modulo~$p^{k}$ beziehungsweise das Indexsystem~$(\delta, \epsilon)$ +modulo~$2^{k}$ hat ganz dieselben Grundeigenschaften, wie +der Logarithmus einer beliebigen $p$-adischen Zahl für den Bereich von~$p$. +Um dies deutlicher hervortreten zu lassen, will ich auch hier die +Gleichheit zweier Indizes sowie die Addition derselben ganz ähnlich wie +\index{Gleichheit!der Indizes d.\ Einheiten}% +dort definieren und dann zeigen, daß die Indizes der Einheiten genau +denselben Gesetzen gehorchen, wie die Logarithmen der Zahlen. + +\begin{Theorem} +Zwei Indizes $(\epsilon)$~und~$(\epsilon')$ für eine ungerade Primzahlpotenz~$p^{k}$ +sollen \so{gleich} heißen ($(\epsilon) = (\epsilon')$), wenn ihre Zahlenwerte sich +nur um ein Vielfaches von $c = \phi(p^{k})$ unterscheiden, wenn also +\PageSep{194}{178} +\[ +\Tag{(9)} +\epsilon = \epsilon' \ (\mod.~(p - 1) p^{k-1}) +\] +ist. Zwei Indexsysteme $(\delta, \epsilon)$, $(\delta', \epsilon')$ für eine Potenz~$2^{k}$ heißen gleich, +wenn $\delta$~und~$\delta'$ modulo $2$,~$\epsilon$ und~$\epsilon'$ modulo $c = \phi(2^{k-1}) = 2^{k-2}$ +kongruent sind. Die Gleichung $(\delta, \epsilon) = (\delta', \epsilon')$ ist also nur ein +anderer Ausdruck für das Bestehen der Kongruenzen: +\[ +\Tag{(9^{a})} +\delta \equiv \delta'\ (\mod.~2),\quad +\epsilon \equiv \epsilon'\ (\mod.~2^{k-2}). +\] +Ferner definiere ich die Summe bzw.\ die Differenz zweier Indizes +durch die Gleichungen +\[ +\Tag{(9^{b})} +(\epsilon) ± (\epsilon') = (\epsilon ± \epsilon'),\quad +(\delta, \epsilon) ± (\delta', \epsilon') + = (\delta ± \delta', \epsilon ± \epsilon')\DPtypo{}{.} +\] +\end{Theorem} + +Dann bestehen auch hier die folgenden Sätze, durch die das Rechnen +mit den Indizes vollständig und höchst einfach geregelt wird: +\begin{Theorem} +Zwei Einheiten modulo~$p$ +\[ +b \equiv g^{\beta} \quad\text{und}\quad +b' \equiv g^{\beta'}\ (\mod.~p^{k}) +\] +sind, falls $p$ ungerade ist, stets und nur dann modulo~$p^{k}$ kongruent, +wenn ihre Indizes $(\beta)$~und~$(\beta')$ gleich, \dh\ wenn ihre Indexexponenten +$\beta$~und~$\beta'$ modulo $c = \phi(p^{k})$ kongruent sind; und das entsprechende +gilt für die Indizes von zwei modulo~$2^{k}$ kongruenten +dyadischen Einheiten. +\end{Theorem} + +Sind +\[ +b \equiv g^{\beta}\quad b' \equiv g^{\beta'}\ (\mod.~p^{k}) +\] +zwei beliebige Einheiten, also $(\beta)$~und~$(\beta')$ ihre Indizes, so folgt aus den +Kongruenzen: +\[ +bb' \equiv g^{\beta+\beta'}\quad +\frac{b}{b'} \equiv g^{\beta-\beta'}\ (\mod.~p^{k}) +\] +der Satz, welcher mit dem entsprechenden für die Logarithmen genau +übereinstimmt: +\begin{Theorem} +Der Index eines Produktes ist gleich der Summe der Indizes +seiner Faktoren; der Index eines Quotienten ist gleich der Differenz +der Indizes von Zähler und Nenner. + +In der Tat folgt ja aus den beiden obigen Kongruenzen: +\PageSep{195}{179} +\begin{align*} +\Ind (bb') &= (\beta + \beta') = \Ind b + \Ind b', \\ +\Ind \left(\frac{b}{b'}\right) &= (\beta - \beta') = \Ind b - \Ind b'. +\end{align*} +\end{Theorem} +Aus den entsprechenden Kongruenzen: +\[ +\begin{alignedat}{2} +b &\equiv (-1)^{\delta} 5^{\epsilon} & +b' &\equiv (-1)^{\delta'} 5^{\epsilon'} \\ +bb' &\equiv (-1)^{\delta+\delta'} 5^{\epsilon+\epsilon'}\quad & +\frac{b}{b'} &\equiv (-1)^{\delta-\delta'} 5^{\epsilon-\epsilon'} +\end{alignedat} +\ (\mod.~2^{k}) +\] +folgt, daß derselbe Satz auch für $p = 2$ richtig ist. + +Bei der Untersuchung von Kongruenzen für eine bestimmte Primzahlpotenz~$p^{k}$ +als Modul ist es vorteilhaft, ganz wie bei den Logarithmen +auch hier \emph{Tafeln}, sogen.\ Indextafeln zu benutzen und zwar immer ein +Paar von Tafeln, von denen die eine nach den Zahlen (Numeri)~$b$, die +andere nach den Indizes~$\beta$ geordnet ist; für den Zahlentheoretiker sind +solche Tabellen geradezu unentbehrlich. \Name{C.~G.~J. Jacobi} hat so einfache +Methoden zur Berechnung solcher Tabellen angegeben, daß er zur Herstellung +eines umfangreichen derartigen Tafelwerkes, des "`Canon arithmeticus"', +der alle Primzahlen und alle Primzahlpotenzen unter $1000$ +berücksichtigt, einen Artillerieunteroffizier anleiten konnte. Als Beispiel +diene folgende Tabelle, in der $p = 13$, $g = 2$ angenommen ist: +\begin{gather*} +\begin{array}{|@{\quad}r*{11}{@{\quad}r}@{\quad}|} +\hline\Strut + b = 1 &\Z2 &\Z3 &\Z4 &\Z5 &\Z6 &\Z7 &\Z8 &\Z9 & 10 & 11 & 12 \\ +\beta = 0 & 1 & 4 & 2 & 9 & 5 & 11 & 3 & 8 & 10 & 7 & 6 \\ +\hline +\end{array} \\ +\begin{array}{|@{\quad}r*{11}{@{\quad}r}@{\quad}|} +\hline\Strut +\beta = 0 &\Z1 &\Z2 &\Z3 &\Z4 &\Z5 & 6 & 7 &\Z8 &\Z9 & 10 & 11 \\ + b = 1 & 2 & 4 & 8 & 3 & 6 & 12 & 11 & 9 & 5 & 10 & 7 \\ +\hline +\end{array} +\end{gather*} + +Aus der ersten Tabelle findet man zu jeder Einheit~$b$ den zugehörigen +Index~$\beta$, aus der zweiten zu jedem Index~$\beta$ die zugeordnete Zahl~$b$. +Die erste liefert also die Lösung jeder Kongruenz $g^{x} \equiv b\ (\DPchg{\text{modulo }}{\mod.}~13)$, +die zweite die Lösungen aller Kongruenzen $y \equiv g^{\beta}\ (\mod.~13)$. + +\ZB\ ist also für $p = 13$ und $g = 2$: $\Ind 9 = 8$, $\Ind 10 = 10$, +daher $\Ind (9·10) \equiv 8 + 10 \equiv 6\ (\mod.~12)$, $\Ind \left(\dfrac{9}{10}\right) \equiv 8 - 10 \equiv -2 +\equiv +10\ (\mod. 12)$, also folgt aus der zweiten Tabelle: +\PageSep{196}{180} +\[ +9·10 \equiv 12\ (\mod.~13),\quad \frac{9}{10} \equiv 10\ (\mod.~13). +\] + +Ferner findet man \zB\ für die Primzahlpotenz $27 = 3^{3}$, für welche +$c = \phi(3^{3}) = 2·3^{2} = 18$ ist, und wo als primitive Wurzel~$2$ genommen +werden kann, die beiden folgenden Tabellen (vgl.\ \aaO\ \aSeite{222}), +deren Einrichtung leicht verständlich ist +{\small +\[ +\begin{array}{|@{\,}c@{\,}||*{9}{@{\,}c@{\,}|}@{\,}c@{\,}|} +\multicolumn{11}{c}{\text{Numeri}} \\ +\hline\Strut +\text{I.} + & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ +\hline\Strut + & 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & 5 & 10 & 20 & 13 & 26 \\ +1. & 25 & 23 & 19 & 11 & 22 & 17 & 7 & 14 & & \\ +\hline +\multicolumn{11}{c}{} \\ %[** TN: Top-alignment hack] +\end{array}\quad +\begin{array}{|@{\,}c@{\,}||*{9}{@{\,}c@{\,}|}@{\,}c@{\,}|} +\multicolumn{11}{c}{\text{Indizes}} \\ +\hline\Strut +\text{N.} + &\PadTo{10}{0} + & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 &\PadTo{10}{6} + & 7 &\PadTo{10}{8} + & 9 \\ +\hline\Strut + & & 0 & 1 & · & 2 & 5 & · & 16 & 3 & · \\ +1 & 6 &13 & · & 8 &17 & · & 4 & 15 & · & 12 \\ +2 & 7 & · &14 &11 &· &10 & 9 & & & \\ +\hline +\end{array} +\]} + +Die erste Tabelle gibt zu allen Indizes der Reihe $0$,~$1$,~$2$,~\dots~$17$ +die Numeri, die zweite zu allen Einheiten aus der Reihe $1$,~$2$,~\dots~$26$ die +Indizes. In der zweiten Tabelle fehlen bei den Vielfachen von~$3$ natürlich +die Indizes, da sie ja modulo~$27$ keine Einheiten sind. + +Für den Modul~$27$ ergibt sich \zB\ aus der zweiten Tabelle +\[ +\Ind 13 = 8,\quad \Ind 10 = 6, +\] +also mit Hilfe der ersten Tabelle: +\begin{gather*} +\Ind (10· 13) \equiv 14 = \Ind 22,\quad +\Ind \left(\frac{13}{10}\right) \equiv 2 = \Ind 4,\ (\mod.~18) \\ +\Ind \left(\frac{13}{10}\right)^{16} \equiv 16·2 \equiv 14 = \Ind 22\ (\mod.~18). +\end{gather*} + +Also erhält man die Kongruenzen modulo~$27$: +\[ +10·13 \equiv 22,\quad +\frac{13}{10} \equiv 4,\quad +\left(\frac{13}{10}\right)^{16} \equiv 22\ (\mod.~27), +\] +von denen wenigstens die beiden ersten leicht direkt nachgeprüft werden +können. + +Um ein Indexsystem modulo~$p^{k}$ aufzusuchen, muß man eine feste +primitive Wurzel~$g$ wählen; nimmt man für den nämlichen Modul~$p^{k}$ +eine andere primitive Wurzel~$g'$ und bestimmt das zu dieser gehörige +Indexsystem, so erscheinen letzterem gegenüber alle Indizes des ersten +\PageSep{197}{181} +Systems mit einer und derselben Zahl, nämlich dem Index von $g'$ in +bezug auf das erste System, multipliziert, ganz ebenso wie beim +Übergang von einem Logarithmensystem zu einem andern. In der Tat, +ist $g' \equiv g^{\alpha}\ (\mod.~p^{k})$, so ist ja für denselben Modul $g'^{\beta'} \equiv g^{\alpha\beta'}$. + +Während sich bei dieser Transformation aber im allgemeinen die +Indizes der einzelnen Zahlen ändern, bleiben für einen beliebigen ungeraden +Modul~$p^{k}$ zwei Indizes stets für jede primitive Wurzel unverändert. +Es ist nämlich für eine beliebige primitive Wurzel $g = we^{p\gamma_{0}}$ +\[ +g^{0} \equiv 1,\quad +g^{\efrac{c}{2}} = g^{\efrac{p-1}{2}\, p^{k-1}} + = \left(w^{\efrac{p-1}{2}}\right)^{p^{k-1}} e^{p^{k} \gamma_{0}·\efrac{p-1}{2}} + \equiv -1\ (\mod.~p^{k}), +\] +da nach \Seite{152} unten $w^{\efrac{p-1}{2}} = -1$ und $p^{k-1}$ ungerade ist; also ist stets +\[ +\Tag{(10)} +\Ind (1) = 0,\quad +\Ind (-1) = \frac{c}{2}. +\] + + +\Section{§ 6.}{Anwendungen: Der Wilsonsche Satz für eine beliebige +Primzahlpotenz\DPtypo{}{.} Lineare Kongruenzen im $p$-adischen +Zahlkörper.} + +Ich benutze die Exponentialdarstellung der Einheiten modulo~$p^{k}$ +um den verallgemeinerten Wilsonschen Satz zu beweisen: +\begin{Theorem} +Das Produkt aller modulo~$p^{k}$ inkongruenten Einheiten ist für +diesen Modul kongruent~$-1$, wenn $p$ ungerade, kongruent~$+1$, +wenn $p = 2$ ist. Eine Ausnahme macht nur der Modul~$2^{2}$, denn +für ihn ist ja das Produkt~$1·3$ kongruent~$-1$. +\end{Theorem} + +Stellt man nämlich alle jene Einheiten modulo~$p^{k}$ als Potenzen +einer primitiven Wurzel~$g$ dar, so ergibt sich für ein ungerades $p$ unter +Benutzung von~\Eq{(10)} +\[ +\Tag{(1)} +\prod E \equiv g^{1+2+\dots+(c-1)} + = \left(g^{\efrac{c}{2}}\right)^{c-1} + \equiv (-1)^{c-1} \equiv -1\ (\mod.~p^{k}) +\] +da $(c - 1)$ ungerade ist. + +Im Falle $p = 2$ ergibt die Darstellung \Eq{(7)} auf \Seite{177} aller Einheiten +modulo~$2^{k}$, da $c = 2^{k-2}$ für $k > 2$ gerade ist, die Kongruenz: +\PageSep{198}{182} +\[ +\Tag{(1^{a})} +\prod E \equiv (-1)^{c}(g^{1+2+\dots+(c-1)})^{2} + = +(g^{c})^{c-1} \equiv +1\ (\mod.~2^{k}), +\] +und damit ist der Wilsonsche Satz allgemein bewiesen. + +Auch ohne Benutzung der primitiven Wurzeln folgt die Richtigkeit +des Wilsonschen Satzes sofort aus der Exponentialdarstellung +der Einheiten~$E$ modulo~$p^{k}$. In der Tat ist ja für ein ungerades +$p$ jede Einheit +\[ +E_{rs} \equiv w_{r} e^{ps}\ (\mod.~p^{k})\qquad +\begin{Conditions} +\left( +\begin{aligned} +r &= 1, 2, \dots p - 1\\ +s &= 0, 1, \dots (p^{k-1} - 1) +\end{aligned} +\right) +\end{Conditions}, +\] +wo $w_{1}$,~$w_{2}$,~\dots~$w_{p-1}$ die $(p - 1)$-ten Einheitswurzeln mit den Anfangsgliedern +$1$,~$2$,~\dots~$p - 1$ sind. Dann ist zunächst das für ein bestimmtes +$r$ auf alle $p^{k-1}$ Werte von~$s$ erstreckte Produkt: +\[ +\Tag{(2)} +\begin{aligned} +\prod_{(s)}E_{rs} + = \prod_{s=0}^{p^{k-1}-1} w_{r} e^{ps} + &= w_{r}^{p^{k-1}} · e^{p(1+2+\dots+(p^{k-1}-1))} \\ + &= w_{r} e^{p^{k}\efrac{p^{k-1}-1}{2}} \equiv w_{r}\ (\mod.~p^{k}) +\end{aligned} +\] +da ja $w_{r}^{p} = w_{r}$, also auch $w_{r}^{p^{k}} = w_{r}$, und der Exponent von~$e$ durch $p^{k}$ teilbar +ist. Multipliziert man in dieser Gleichung noch über alle Werte von +$r$ und beachtet, daß $w_{1} w_{2} \dots w_{p-1} = -1$ ist, so ergibt sich in der Tat: +\[ +\prod_{r} \prod_{s} E_{rs} \equiv -1\ (\mod.~p^{k}). +\] + +Ganz ebenso wird der Wilsonsche Satz für eine Potenz~$2^{k}$ von~$2$ +als Modul bewiesen, falls $k > 2$ ist. Denken wir uns hier alle Einheiten +in der Form \Eq{(2^{a})} \aSeite{170} dargestellt: +\[ +±E_{s} \equiv ±e^{2^{2}·s}\ (\mod.~p^{k})\qquad +\begin{Conditions} +(s = 0, 1, \dots (2^{k-2} - 1)) +\end{Conditions} +\] +und multiplizieren zuerst die $2^{k-2}$ Einheiten mit demselben Vorzeichen +$+1$~oder~$-1$, so erhält man +\[ +\Tag{(2^{a})} +\begin{aligned} +\prod_{(s)} (±1) E_{s} + &\equiv (±1)^{2^{k-2}}·e^{2^{2}(1+2+\dots+(2^{k-2}-1))} \\ + &= e^{2^{2}·2^{k-3}(2^{k-2}-1)} + \equiv +e^{2^{k-1}}\ (\mod.~2^{k}), +\end{aligned} +\] +da der Exponent von~$e$ kongruent~$2^{k-1}$ modulo~$2^{k}$ ist. Also wird das +Produkt jener beiden Teilprodukte kongruent $e^{2·2^{k-1}} \equiv +1\ (\mod.~2^{k})$. +\PageSep{199}{183} + +Aus den beiden in \Eq{(2)}~und~\Eq{(2^{a})} abgeleiteten Kongruenzen: +\index{Kongruente!Zahlen}% +\begin{alignat*}{2} +&\prod_{(s)} E_{rs} \equiv w_{r}\ &&(\mod.~p^{k}) \\ +&\prod_{(s)} ±E_{s} \equiv 1\ &&(\mod.~2^{k-1}) +\end{alignat*} +ergeben sich noch die beiden folgenden interessanten Sätze: +\begin{Theorem} +Das Produkt aller modulo~$p^{k}$ inkongruenten Einheiten, welche +für diesen Modul kongruent~$r$, welche also von der Form $np + r$ +sind, ist für denselben Modul der zugehörigen Einheitswurzel~$w_{r}$ +kongruent. + +Das Produkt aller derjenigen modulo~$2^{k}$ inkongruenten Einheiten, +welche von der Form $4n + 1$ bzw.\ $4n + 3$ sind, ist modulo~$2^{k-1}$ +kongruent~$1$. +\end{Theorem} + +Als letzte Anwendung der bisher durchgeführten Betrachtungen löse +ich die allgemeine lineare Kongruenz +\[ +\Tag{(3)} +AX \equiv A'\ (\mod.~M) +\] +auf, in welcher $A$,~$A'$ und der Modul~$M$ beliebige ganze oder gebrochene +$p$-adische Zahlen sein können, und bestimme die Anzahl ihrer modulo~$M$ +inkongruenten Lösungen. Hierzu gebe ich zuerst die allgemeinste +Definition der Kongruenz zweier $p$-adischen Zahlen für einen beliebigen +$p$-adischen Modul~$M$, welche vollständig mit der früher für eine beliebige +Potenz~$p^{k}$ von $p$ als Modul gegebenen übereinstimmt und sofort +auf diese zurückgeführt werden kann: +\begin{Theorem} +Zwei Zahlen $B$~und~$B'$ heißen \so{kongruent für den +Modul~$M$}, wenn ihre Differenz durch $M$ teilbar ist. +\end{Theorem} + +Hiernach ist also genau wie \aSeite{40} unten die Kongruenz: +\[ +\Tag{(4)} +B \equiv B'\ (\mod.~M) +\] +nur ein anderer Ausdruck für das Bestehen einer Gleichung: +\[ +\Tag{(4^{a})} +B' = B + MG, +\] +in der $G$~eine beliebige \emph{ganze} $g$-adische Zahl bedeutet. Ist $M = p^{m}E$, +wo $E$~eine Einheit bedeutet, so geht die Gleichung~\Eq{(4^{a})} in +\[ +\Tag{(4^{b})} +B' = B + p^{m}EG = B + p^{m}\bar{G} +\] +\PageSep{200}{184} +über und sie ist dann und nur dann erfüllt, wenn $\bar{G} = EG$ ebenfalls +eine ganze $p$-adische Zahl, wenn also +\[ +\Tag{(4^{c})} +B' \equiv B\ (\mod.~p^{m}) \quad\text{oder}\quad (\mod.~|M|) +\] +ist, wo $|M|$ den absoluten Betrag von $M$ bedeutet; somit ergibt sich +der Satz: +\begin{Theorem} +Die Kongruenz~\Eq{(4)} für den $p$-adischen Modul~$M$ ist stets und +nur dann erfüllt, wenn sie für seinen absoluten Betrag besteht. +\end{Theorem} + +Da endlich die Gleichung~\Eq{(4^{a})} bestehen bleibt, wenn man sie mit +einer beliebigen von Null verschiedenen Zahl~$C$ multipliziert oder sie +durch $C$ dividiert, so folgt der Satz: +\begin{Theorem} +Eine Kongruenz: +\[ +\Tag{(4)} +B \equiv B'\ (\mod.~M) +\] +bleibt richtig, wenn man sie mit einer $p$-adischen Zahl $C \neq 0$ +multipliziert oder dividiert, vorausgesetzt, daß ihr Modul in +derselben Weise umgeformt wird; erfüllen also $B$~und~$B'$ die +Kongruenz~\Eq{(4)}, so ist für jede von Null verschiedene Zahl~$C$: +\[ +\Tag{(4^{d})} +CB \equiv CB'\ (\mod.~CM), \quad +\frac{B}{C} \equiv \frac{B'}{C}\ \left(\mod.~\frac{M}{C}\right). +\] +\end{Theorem} + +Aus der obigen Kongruenz~\Eq{(1)} ergibt sich nun durch Anwendung +von \Eq{(4^{d})}~und~\Eq{(4^{c})} +\[ +\Tag{(5)} +X \equiv \frac{A'}{A} = x_{0}\ \left(\mod.~\left|\frac{M}{A}\right|\right), +\] +wo $x_{0}$ also modulo $\left|\dfrac{M}{A}\right|$ eindeutig bestimmt ist. Daher genügt $X$ dann +und nur dann der Kongruenz~\Eq{(1)}, wenn +\[ +\Tag{(6)} +X = x_{0} + \left|\frac{M}{A}\right|G +\] +ist, wo $G$~eine beliebige ganze Zahl bedeutet. + +Wieviele unter diesen Zahlen~\Eq{(6)} sind nun modulo~$M$ inkongruent? +Sollen zwei Lösungen +\PageSep{201}{185} +\[ +x_{0} + \left|\frac{M}{A}\right|G \quad\text{und}\quad +x_{0} + \left|\frac{M}{A}\right|G' +\] +modulo~$M$ kongruent sein, so gilt für ihre Differenz: +\[ +\left|\frac{M}{A}\right|(G' - G) \equiv 0\ (\mod.~|M|) +\] +oder nach Division mit $\left|\dfrac{M}{A}\right|$: +\[ +G' \equiv G\ (\mod.~|A|). +\] +Also sind alle und nur die modulo~$M$ inkongruenten Lösungen der +vorgelegten Kongruenz~\Eq{(1)} in der Form: +\[ +\frac{A'}{A} + \left|\frac{M}{A}\right|G +\] +enthalten, in der $G$ ein vollständiges System aller modulo $|A| = p^{a}$ +inkongruenten ganzen Zahlen durchläuft. + +Ist die Ordnungszahl~$a$ von $A$ positiv, so ist die Anzahl aller +modulo~$p^{a}$ inkongruenten ganzen Zahlen +\[ +G = g_{0} + g_{1}p + \dots + g_{a-1} p^{a-1} +\] +gleich $p^{a} = |A|$; ist dagegen $a = -\bar{a} \leqq 0$, so sind alle ganzen Zahlen~$G$ +modulo~$p^{-\bar{a}}$ kongruent; in diesem Falle hat also unsere Kongruenz +nur die eine Lösung $x = \dfrac{A'}{A}$. + +\begin{Theorem} +Die Anzahl aller modulo~$M$ inkongruenten Lösungen der Kongruenz +\[ +AX \equiv A'\ (\mod.~M) +\] +ist also gleich $|A|$ oder gleich~$1$, je nachdem $A$ ganz oder gebrochen +ist; jene Anzahl ist also stets gleich dem kleinsten gemeinsamen +Vielfachen~$[1, |A|]$ von $1$~und~$|A|$. +\end{Theorem} + +Ich untersuche jetzt, ob die Kongruenz +\[ +\Tag{(1)} +AX \equiv A'\ (\mod.~M) +\] +\so{ganzzahlige} Lösungen besitzt, und, falls dies der Fall sein sollte, +\index{Ganzzahlige Lösungen d.\ Kongruenzen}% +wie groß ihre Anzahl ist. Dabei kann ich voraussetzen, daß $A$,~$A'$ und +\PageSep{202}{186} +$M$ von nicht negativer Ordnung sind; denn durch Multiplikation der +Kongruenz~\Eq{(1)} mit einer geeigneten Potenz von $p$ kann die allgemeinste +Kongruenz leicht auf diesen Fall reduziert werden. + +Ferner können und wollen wir $|A| > |M|$ voraussetzen; denn für +$|A|\lesssim |M|$ wird ja die Kongruenz $0·X \equiv A'\ (\mod.~M)$ nur in dem trivialen +Falle durch ganzzahlige $X$ befriedigt, daß $A' \equiv 0$, daß also +auch $|A'| \lesssim |M|$ ist, und dann durch alle $p^{m} = |M|$ modulo~$M$ inkongruenten +ganzen Zahlen. Ist dagegen $|A| > |M|$, so ist in der allgemeinen +Lösung: +\[ +X = \frac{A'}{A} + \left|\frac{M}{A}\right|G +\] +der zweite Summand ganz; also besitzt unsere Kongruenz stets und nur +dann eine ganzzahlige Lösung, wenn auch $\dfrac{A'}{A}$ ganz, wenn also $A'$ durch +$A$ teilbar ist, und nach dem allgemeinen Resultate hat sie dann genau +$p^{a} = |A|$ modulo~$M$ inkongruente ganzzahlige Lösungen. Bezeichnen +wir wieder durch $(A, M) = (p^{a}, p^{m})$ den größten gemeinsamen Teiler +von $A$~und~$M$, \dh\ die niedrigere von den beiden Potenzen $p^{a}$~und~$p^{m}$, +so hat die Kongruenz~\Eq{(1)} in jedem der beiden unterschiedenen +Fälle stets und nur dann eine Lösung, wenn $A'$ durch $(A, M)$ teilbar +ist; und sie besitzt dann genau $(A, M)$ modulo~$M$ inkongruente +Lösungen. + +Wir wollen jede Lösung der Kongruenz $AX \equiv A'\ (\mod.~M)$ als +\so{einen Wert des Quotienten $\dfrac{A}{A'}$ modulo~$M$} bezeichnen und +$A'$~und~$A$ den \so{Zähler} und den \so{Nenner} desselben nennen. Dann +können wir das Gesamtergebnis der letzten Untersuchung folgendermaßen +aussprechen: +\begin{Theorem} +Der Quotient $\dfrac{A'}{A}$ besitzt modulo~$M$ stets und nur dann einen +\index{Wert e.\ Quotienten modulo~$M$}% +ganzzahligen Wert, wenn sein Zähler~$A'$ durch $(A, M)$ teilbar ist, und +zwar hat er dann genau $(A, M)$ modulo~$M$ inkongruente Werte, +welche sich um Multipla von~$|M/A|$ unterscheiden. +\end{Theorem} + +So hat \zB\ für den Bereich von $3$ die Kongruenz +\[ +18X \equiv 63\ (\mod.~81) +\] +\PageSep{203}{187} +mindestens eine ganzzahlige Lösung, weil $63$ durch $(18, 81) = 9$ teilbar +ist. Alle modulo~$81$ inkongruenten Wurzeln dieser Kongruenz +sind in der Form: +\[ +X = \frac{63}{18} + \left|\frac{81}{18}\right|n = \frac{7}{2} + 9n +\] +enthalten, wo $\dfrac{7}{2}$ modulo $\left|\dfrac{81}{18}\right| = 9$ bestimmt ist, also gleich~$8$ gesetzt +werden kann und wo $n$~ein vollständiges Restsystem modulo $|18| = 9$, +also etwa die Zahlenreihe $0$,~$±1$, $±2$, $±3$,~$±4$ durchläuft. Die +sämtlichen $9$ Lösungen $X = 8 + 9n$ sind hiernach: +\[ +-28,\ -19,\ -10,\ -1,\ +8,\ +17,\ +26,\ +35,\ +44. +\] + +Ebenso besitzt für den Bereich von $2$ die Kongruenz: +\[ +12X \equiv 40\ (\mod.~32) +\] +die Lösungen: +\[ +X = \frac{40}{12} + \left|\frac{32}{12}\right|·n = \frac{10}{3} + 8n, +\] +wo $\dfrac{10}{3}$ modulo~$8$ kongruent~$6$ ist, und $n$~ein vollständiges Restsystem +modulo $|12| = 4$ durchläuft. Die vier modulo~$32$ inkongruenten +Lösungen jener Kongruenz sind also $6$,~$14$,~$22$,~$30$. + +Schließt man den trivialen Fall, daß $A$ durch $M$ teilbar ist, +aus, so spricht sich das auf vor.~S. abgeleitete Schlußresultat einfacher +so aus: +\begin{Theorem} +Die Kongruenz +\[ +AX \equiv A'\ (\mod.~M) +\] +besitzt stets und nur dann ganzzahlige Lösungen, wenn $A'$ durch +$|A|$ teilbar ist, und zwar hat sie dann genau $|A|$ modulo~$M$ inkongruente +Wurzeln, welche sich um Multipla von $|M/A|$ unterscheiden. +\end{Theorem} +\PageSep{204}{188} + + +\Chapter{Neuntes Kapitel.} +{Die Elemente der Zahlentheorie im Ringe +der $g$-adischen Zahlen.} + +\Section{§ 1.}{Die elementaren Rechenoperationen im Ringe der +$g$-adischen Zahlen.} + +Im fünften Kapitel (\Seite{86}~ff.)\ war gezeigt worden, wie sich +die Untersuchung aller $g$-adischen Zahlen für eine beliebige zusammengesetzte +Grundzahl~$g$ vollständig auf die Betrachtung derjenigen +Körper $K(p)$,~$K(q)$,~\dots~$K(r)$ reduzieren läßt, deren Grundzahlen +$p$,~$q$,~\dots~$r$ die sämtlichen in $g$ enthaltenen verschiedenen Primzahlen +sind. Ich will jetzt zeigen, wie einfach sich die genauere Untersuchung +der Zahlen des $g$-adischen Zahlringes~$R(g)$ auf Grund der im +vorigen Kapitel für die $p$-adischen Zahlkörper gewonnenen Resultate +gestaltet. + +Im fünften Kapitel hatte sich als Hauptresultat ergeben, daß +alle $g$-adischen Zahlen auf eine einzige Weise entweder in der sogen.\ +additiven oder in der multiplikativen Normalform darstellbar sind. +Die letztere Art werden wir im folgenden wesentlich benutzen; daher +sollen die vorher gefundenen Sätze hier noch einmal ausgesprochen +werden: +\begin{Theorem} +Ist $g$ eine beliebige ganze Zahl, und sind $p$,~$q$,~\dots~$r$ alle ihre +verschiedenen Primfaktoren, so ist jede $g$-adische Zahl auf eine +einzige Weise in der sogen.\ multiplikativen Normalform darstellbar: +\[ +A = \frakA_{p} \frakA_{q} \dots \frakA_{r}\ (g). +\] +\PageSep{205}{189} +Hier sind die $g$-adischen Zahlen $\frakA_{p}$,~$\frakA_{q}$,~\dots~$\frakA_{r}$, die sogen.\ \so{Komponenten +von~$A$}, eindeutig durch die Bedingungen bestimmt, +daß \zB\ für die erste: +\[ +\frakA_{p} = A\ (p),\quad +\frakA_{p} = 1\ (q),\ \dots\quad +\frakA_{p} = 1\ (r) +\] +ist, während für die übrigen entsprechende Bestimmungsgleichungen +bestehen. Sind umgekehrt: +\[ +\alpha_{p},\quad \alpha_{q},\ \dots\quad \alpha_{r} +\] +beliebig vorgegebene $p$-adische, $q$-adische,~\dots\ $r$-adische Zahlen, so +gibt es eine einzige $g$-adische Zahl~$A$, welche für die Bereiche von +$p$,~$q$,~\dots~$r$ bzw.\ gleich $\alpha_{p}$,~$\alpha_{q}$,~\dots~$\alpha_{r}$ ist. +\end{Theorem} + +Aus diesem Satze folgte sofort der weitere: +\begin{Theorem} +Sind +\[ +A = \frakA_{p} \frakA_{q} \dots \frakA_{r};\quad +B = \frakB_{p} \frakB_{q} \dots \frakB_{r} +\] +zwei beliebige $g$-adische Zahlen in der Normalform, so ist: +\[ +AB = (\frakA_{p}\frakB_{p})(\frakA_{q}\frakB_{q}) \dots (\frakA_{r}\frakB_{r}) +\] +die Darstellung ihres Produktes in der Normalform. +\end{Theorem} + +Aus den Untersuchungen des vierten Kapitels hatte sich \aSeite{67} +unten ergeben, daß im Bereiche der $g$-adischen Zahlen die Grundgesetze +\Iref{I\Add{)}}--\Iref{VI\Add{)}} des ersten Kapitels unbeschränkt gelten. Während aber +in dem Ringe~$R(g)$ die Subtraktion unbeschränkt und eindeutig ausführbar +ist, gilt dasselbe nicht für die Division; es ist jetzt aber leicht, +die Divisionsregeln in diesem Ringe ebenfalls vollständig und einfach +anzugeben. + +Sind nämlich $A$~und~$B$ zwei beliebige $g$-adische Zahlen, so wollen +\index{Quotient!$g$-adischer Zahlen}% +wir auch hier jede $g$-adische Zahl~$X$, welche der Gleichung: +\[ +\Tag{(1)} +AX = B\ (g) +\] +genügt, durch +\[ +\Tag{(1^{a})} +X = \frac{B}{A}\ (g) +\] +bezeichnen und sie \so{einen Quotienten von $B$~und~$A$} oder +\PageSep{206}{190} +\so{einen Bruch} nennen, dessen Zähler~$B$, dessen Nenner $A$ ist. Ist +wieder +\[ +A = \frakA_{p}\frakA_{q} \dots \frakA_{r}; \quad +B = \frakB_{p}\frakB_{q} \dots \frakB_{r} +\] +die Darstellung von $A$~und~$B$ in der Normalform, und ist $X = X_{p}X_{q} \dots X_{r}$ +dieselbe Darstellung für die unbekannte Zahl~$X$, so sind ihre Komponenten +durch die Forderungen bestimmt, daß \zB\ $X_{p}$ den Gleichungen: +\[ +\Tag{(2)} +\frakA_{p}X_{p} = \frakB_{p}\ (p),\quad +X_{p} = 1\ (q),\ \dots\quad +X_{p} = 1\ (r) +\] +genügen muß, deren erste sich aus der Betrachtung der Gleichung~\Eq{(1)} +für den Bereich von $p$ ergibt, während die letzten erfüllt sein müssen, +damit $X_{p}$~eine $p$-Komponente sei. Für die anderen Komponenten bestehen +die entsprechenden Gleichungen: +\[ +\Tag{(2^{a})} +\begin{gathered} +\frakA_{q}X_{q} = \frakB_{q}\ (q),\quad X_{q} = 1\ (p),\ \dots\quad X_{q} = 1\ (r) \\ +\DotRow{1}. +\end{gathered} +\] +Sind umgekehrt für ein System $(X_{p}, X_{q}, \dots X_{r})$ von $g$-adischen Zahlen +die Gleichungen \Eq{(2)}~und~\Eq{(2^{a})} sämtlich erfüllt, so besteht für die aus +ihnen multiplikativ zusammengesetzte Zahl~$X$ die Gleichung~\Eq{(1)}. Sind +endlich $(X_{p}, X_{q}, \dots X_{r})$ und $(X'_{p}, X'_{q}, \dots X'_{r})$ zwei verschiedene Lösungen +von \Eq{(2)}~und~\Eq{(2^{a})}, so sind die ihnen entsprechenden Lösungen +$X$~und~$X'$ ebenfalls verschieden, da eine $g$-adische Zahl~$X$ durch ihre +Komponenten $(X_{p}, X_{q}, \dots X_{r})$ eindeutig bestimmt ist. + +Wir brauchen daher nur zu untersuchen, wie viele und welche Lösungen +die Gleichungssysteme \Eq{(2)}~und~\Eq{(2^{a})} für die verschiedenen Komponenten +$X_{p}$,~$X_{q}$,~\dots~$X_{r}$ haben, und dabei können wir uns auf die eine +Komponente~$X_{p}$ und die sie bestimmenden Gleichungen~\Eq{(2)} beschränken. + +Wir wollen nun ähnlich wie vorher jede Lösung $X_{p}$ der Gleichungen~\Eq{(2)} +durch +\[ +\Tag{(3)} +X_{p} = \frac{\frakB_{p}}{\frakA_{p}} +\] +bezeichnen, und sie einen \so{Bruch} oder \so{einen Quotienten +der beiden $p$-Komponenten $\frakB_{p}$~und~$\frakA_{p}$} nennen; $\frakB_{p}$~heiße +wieder \so{der Zähler}, $\frakA_{p}$~\so{der Nenner} dieses Bruches. Dann ist also +jeder Wert jenes Bruches durch die Bedingungen +\PageSep{207}{191} +\[ +\Tag{(3^{a})} +\frakA_{p}\left(\frac{\frakB_{p}}{\frakA_{p}}\right) = \frakB_{p}\ (p)\DPtypo{.}{,}\quad +\frac{\frakB_{p}}{\frakA_{p}} = 1\ (q),\ \dots\quad +\frac{\frakB_{p}}{\frakA_{p}} = 1\ (r) +\] +bestimmt. Entsprechend sollen die Lösungen $X_{q}$,~\dots~$X_{r}$ der Gleichungen~\Eq{(2^{a})} +bzw.\ durch $\dfrac{\frakB_{q}}{\frakA_{q}}$,~\dots~$\dfrac{\frakB_{r}}{\frakA_{r}}$ bezeichnet werden. Dann besteht also der +Satz: +\begin{Theorem} +Sind +\[ +A = \frakA_{p}·\frakA_{q} \dots \frakA_{r},\quad +\DPtypo{\frakB}{B} = \frakB_{p}·\frakB_{q} \dots \frakB_{r} +\] +zwei beliebige $g$-adische Zahlen in der Normalform, so ist +\[ +\Tag{(4)} +\frac{B}{A} + = \frac{\frakB_{p}}{\frakA_{p}}·\frac{\frakB_{q}}{\frakA_{q}} \dots \frac{\frakB_{r}}{\frakA_{r}}\ (g) +\] +die Darstellung eines jeden Wertes ihres Quotienten in der Normalform, +falls solche Werte überhaupt existieren. +\end{Theorem} + +Wir haben jetzt also zu untersuchen, ob für beliebig gegebene +$g$-adische Zahlen $A$~und~$B$ bzw.\ für beliebige $p$-Komponenten $\frakA_{p}$ +und~$\frakB_{p}$ die Gleichungen: +\[ +\Tag{(5)} +\frakA_{p}X_{p} = \frakB_{p}\ (p),\quad +X_{p} = 1\ (q),\ \dots\quad +X_{p} = 1\ (r) +\] +Lösungen $X_{p} = \dfrac{\frakB_{p}}{\frakA_{p}}$ haben, und, falls dies der Fall ist, welches diese sind. +Diese Gleichungen besitzen nun stets und nur dann Lösungen~$X_{p}$, wenn +die erste von ihnen allein solche hat, und jeder Lösung~$\xi_{p}$ dieser einen +Gleichung: +\[ +\Tag{(5^{a})} +\frakA_{p}\xi_{p} = \frakB_{p}\ (p) +\] +entspricht eine eindeutig bestimmte Lösung~$X_{p}$ der Gleichungen~\Eq{(5)}. +Ist nämlich~$\xi_{p}$, eine $p$-adische Zahl, welche eine Lösung von~\Eq{(5^{a})} ist, +so gibt es ja nach \Seite{87}~\Eq{(2)} eine einzige $g$-adische Zahl~$X_{p}$, für welche +die Gleichungen +\[ +X_{p} = \xi_{p}\ (p),\quad +X_{p} = 1\ (q),\ \dots\quad +X_{p} = 1\ (r) +\] +sämtlich erfüllt sind, welche also eine Lösung von~\Eq{(5)} ist. + +Da nun der Bereich $K(p)$ der $p$-adischen Zahlen einen Körper +bildet, so besitzt die Gleichung~\Eq{(5^{a})} stets eine eindeutig bestimmte Lösung, +\PageSep{208}{192} +wenn $\frakA_{p} \neq 0\ (p)$, wenn also der Wert von $A$ für den Bereich von +$p$ von Null verschieden ist, oder, was dasselbe ist, wenn $A$ nicht den +zu $p$ gehörigen Primteiler~$O_{p}$ der Null enthält. + +In diesem Falle ist also: +\[ +X_{p} = \frac{\frakB_{p}}{\frakA_{p}}\ (g) +\] +eindeutig bestimmt. Gilt das entsprechende für alle Komponenten +$\frakA_{q}$,~\dots~$\frakA_{r}$, sind also die Werte von $A$ für den Bereich aller in $g$ enthaltenen +Primzahlen von Null verschieden, enthält mithin $A$ keinen einzigen +Primteiler der Null, so sind hiernach alle Komponenten $\dfrac{\frakB_{p}}{\frakA_{p}}$,~\dots~$\dfrac{\frakB_{r}}{\frakA_{r}}$ +von~$\dfrac{B}{A}$, also auch $\dfrac{B}{A}$ selbst, eindeutig bestimmt. + +\begin{Theorem} +Der Quotient $\dfrac{B}{A}$ zweier $g$-adischen Zahlen ist also eine eindeutig +bestimmte $g$-adische Zahl, wenn der Nenner $A$ keinen Primteiler +der Null enthält. In diesem Falle ist hiernach die Division +stets unbeschränkt und eindeutig ausführbar. +\end{Theorem} + +Es möge jetzt +\[ +A = O_{p}\frakA_{q} \dots \frakA_{r} +\] +einen, etwa den zu $p$ gehörigen Primteiler der Null enthalten, während +die übrigen Komponenten beliebig sein können. Dann geht die Gleichung~\Eq{(5^{a})} +zur Bestimmung der $p$-Komponente von $X$ über in +\[ +0·\xi_{p} = \frakB_{p}\ (p), +\] +und diese besitzt dann und nur dann überhaupt eine Lösung, wenn +auch $\frakB_{p} = 0\ (p)$ ist, wenn also +\[ +B = O_{p}\frakB_{q} \dots \frakB_{r} +\] +ebenfalls den zu $p$ gehörigen Primfaktor der Null enthält. Ist das aber +der Fall, so wird die Gleichung +\[ +0·\xi_{p} = 0\ (p) +\] +durch jede $p$-adische Zahl erfüllt. Daher werden die zugehörigen Gleichungen: +\PageSep{209}{193} +\[ +X_{p} = \xi_{p}\ (p),\quad +X_{p} = 1\ (q),\ \dots\quad +X_{p} = 1\ (r) +\] +zur Bestimmung der $p$-Komponente von $X$ durch jede $g$-adische Zahl +befriedigt, deren $p$-Komponente ganz beliebig ist, während sie für den +Bereich von $q$,~\dots~$r$ gleich~$1$ wird. In diesem Falle hat also diese +$p$-Komponente: +\[ +\Tag{(6)} +X_{p} = \frac{\frakB_{p}}{\frakA_{p}} = \frac{O_{p}}{O_{p}} +\] +unendlich viele Werte, sie erscheint hier in der unbestimmten Form +$\dfrac{O_{p}}{O_{p}}$ einer $p$-Komponente, welche für den Bereich von $p$ jeden Wert annehmen +kann. Ist dagegen $\frakA_{p} = O_{p}$, $\frakB_{p} \neq O_{p}$, so besitzt die Gleichung~\Eq{(5^{a})} +innerhalb $R(g)$ keine Lösung, und das Gleiche gilt in diesem Falle +von der ganzen Gleichung $AX = B\ (g)$, da dann $X$ eben keine $p$-Komponente +besitzen kann. Auch hier wollen wir die Zahlgröße +\[ +X_{p} = \frac{\frakB_{p}}{O_{p}} +\] +einführen, aber dabei bemerken, daß sie nicht im Ringe~$R(g)$ der +$g$-adischen Zahlen vorkommt. Entsprechendes gilt natürlich für die +übrigen Komponenten. Wir können also das Schlußresultat unserer +Untersuchung folgendermaßen aussprechen: +\begin{Theorem} +Der Quotient: +\[ +\frac{B}{A} = \frac{\frakB_{p}}{\frakA_{p}}·\frac{\frakB_{q}}{\frakA_{q}} \dots \frac{\frakB_{r}}{\frakA_{r}} +\] +zweier $g$-adischen Zahlen ist stets und nur dann \emph{eindeutig} bestimmt, +wenn der Nenner keinen Primteiler der Null enthält. Besitzt dagegen +der Nenner~$A$ gewisse von den Primteilern der Null, so existiert +der Quotient~$B/A$ stets und nur dann, wenn der Zähler mindestens +dieselben Primteiler enthält, und dann kann für die zugehörigen +in unbestimmter Form erscheinenden Komponenten +\[ +\frac{O_{p}}{O_{p}} \quad\text{bzw.}\quad \frac{O_{q}}{O_{q}},\ \dots +\] +jede beliebige $p$-~bzw.\ $q$-Komponente gesetzt werden. Ist dagegen +auch nur ein Komponentennenner ein Primteiler der Null, ohne +\PageSep{210}{194} +daß für den zugehörigen Komponentenzähler dasselbe gilt, so +existiert dieser Bruch $\dfrac{B}{A}$ im Bereiche der $g$-adischen Zahlen nicht. +\end{Theorem} + +So ergibt sich \zB\ die vollständige Lösung der Gleichung +\[ +\Tag{(7)} +AX = 0\ (g) +\] +in der Form: +\[ +X = \frac{0}{A} = \frac{O_{p}}{\frakA_{p}}·\frac{O_{q}}{\frakA_{q}} \dots \frac{O_{r}}{\frakA_{r}} +\] +und liefert stets mindestens eine $g$-adische Zahl~$X$, wie auch $A$ beschaffen +sein mag. Enthält $A$ keinen Primteiler der Null, so ist $X = 0$ die +einzige Lösung der obigen Gleichung, \dh\ in diesem Falle ist $AX$ +nur dann Null, wenn $X = 0$ ist. Ist dagegen \zB\ $\frakA_{p} = O_{p}$, so gibt +es unendlich viele verschiedene Lösungen unserer Gleichung~\Eq{(7)}, die alle +in der Form: +\[ +X = \frac{O_{p}}{O_{p}}·\frac{O_{q}}{\frakA_{q}} \dots \frac{O_{r}}{\frakA_{r}} +\] +enthalten sind. + +Ferner liefert die Gleichung: +\[ +\Tag{(7^{a})} +AX = 1 +\] +für $X$ die Lösung +\[ +X = \frac{1}{A} + = \frac{1_{p}}{\frakA_{p}}·\frac{1_{q}}{\frakA_{q}} \dots \frac{1_{r}}{\frakA_{r}} +\] +und diese existiert stets und nur dann im Ringe~$R(g)$ und ist dann +eindeutig bestimmt, wenn $A$ keinen Primteiler der Null enthält. + +Ich bemerke endlich noch, daß \zB\ die $g$-adischen Zahlen, welche +rationalen Zahlen~$\dfrac{m}{n}$ gleich sind, niemals einen Primteiler der Null enthalten +können; denn eine solche Zahl müßte ja, wenn sie \zB\ den Divisor~$O_{p}$ +besäße, durch jede noch so hohe Potenz von $p$ teilbar sein, was nur +für die Zahl Null der Fall ist. Der Bereich aller derjenigen $g$-adischen +Zahlen, welche den rationalen Zahlen gleich sind, bildet also einen Körper, +\PageSep{211}{195} +da ja in ihm neben den drei anderen elementaren Rechenoperationen +auch die Division unbeschränkt und eindeutig ausführbar ist. + +Endlich mögen die entsprechenden Resultate für die Darstellung +der $g$-adischen Zahlen in der additiven Normalform wenigstens kurz +erwähnt werden: Sind +\[ +A = A_{p} + A_{q} + \dots + A_{r},\quad +B = B_{p} + B_{q} + \dots + B_{r} +\] +zwei beliebige in der additiven Normalform dargestellte $g$-adische Zahlen, +so sind die Summe, die Differenz, das Produkt und der Quotient derselben +durch die Gleichungen bestimmt: +\[ +\Tag{(8)} +\begin{gathered} +A + B = (A_{p} + B_{p}) + (A_{q} + B_{q}) + \dots + (A_{r} + B_{r}) \\ +A - B = (A_{p} - B_{p}) + (A_{q} - B_{q}) + \dots + (A_{r} - B_{r}) \\ +AB = A_{p}B_{p} + A_{q}B_{q} + \dots + A_{r}B_{r} \\ +\frac{B}{A} = \frac{B_{p}}{A_{p}} + \frac{B_{q}}{A_{q}} + \dots + \frac{B_{r}}{A_{r}}. +\end{gathered} +\] +In diesen vier Gleichungen sind \zB\ die $p$-Komponenten diejenigen +$g$-adischen Zahlen, welche für den Bereich von $p$ bzw.\ gleich +\[ +A + B,\quad A - B,\quad AB,\quad \frac{B}{A}, +\] +dagegen für den Bereich aller übrigen Primzahlen gleich Null sind. +Auch hier sind diese Komponenten für $A + B$, $A - B$, $AB$ immer eindeutig +bestimmt. Für den Quotienten~$\dfrac{B}{A}$ dagegen sind diese Komponenten +stets und nur dann eindeutig bestimmt, wenn keine einzige der +Nennerkomponenten $A_{p}$,~$A_{q}$,~\dots~$A_{r}$ Null ist, wenn also der Nenner +keinen einzigen Primteiler der Null besitzt. Ist dagegen \zB\ $A_{p} = 0$, +so existiert der Bruch $\dfrac{B}{A}$ stets und nur dann in~$R(g)$, wenn auch $B_{p} = 0$ +ist, und in diesem Falle stellt das Symbol $\dfrac{0_{p}}{0_{p}} = \dfrac{0}{0}$ jede $g$-adische Zahl +dar, deren $p$-adischer Wert ganz beliebig sein kann, während sie für +den Bereich von $q$,~\dots~$r$ gleich Null ist. Die Beweise dieser Sätze sind +genau ebenso zu führen wie dies für die multiplikative Darstellung der +Zahlen geschehen ist. +\PageSep{212}{196} + + +\Section{§ 2.}{Der absolute Betrag, die Einheitswurzel und die +Haupteinheit einer $g$-adischen Zahl.} + +Ich benutze nun die Darstellung der $g$-adischen Zahlen in der multiplikativen +Normalform, um zunächst die Begriffe des absoluten Betrages +einer Zahl, ihrer Einheitswurzel und ihrer Haupteinheit von den +$p$-adischen auf die allgemeinsten $g$-adischen Zahlen zu übertragen. + +Ist +\[ +\Tag{(1)} +A = \frakA_{p} \frakA_{q} \dots \frakA_{r}\ (g) +\] +die Darstellung einer beliebigen $g$-adischen Zahl in der Normalform, so +ist jede ihrer Komponenten, \zB\ $\frakA_{p}$ eindeutig durch ihren Wert für +den Bereich von $p$ bestimmt, oder also durch die $p$-adische Zahl~$a_{p}$, +welcher $\frakA_{p}$ oder auch $A$ selbst für den Bereich von $p$ gleich ist. Jede +solche $p$-adische Zahl~$a_{p}$ konnten wir nun für den Bereich von $p$ eindeutig +in der folgenden Form darstellen: +\[ +\Tag{(2)} +a_{p} = p^{\alpha_{p}} w_{p} E_{p}\ (p). +\] +Hier bedeutet $p^{\alpha_{p}} = |a_{p}|$ den absoluten Betrag der Zahl~$a_{p}$, also $\alpha_{p}$ die +Ordnungszahl derselben, $w_{p}$~die ihr zugehörige $(p - 1)$-te Einheitswurzel +oder für $p = 2$ eine der Einheiten~$±1$, und $E_{p}$~die zugeordnete Haupteinheit +modulo~$p$ bzw.\ modulo~$4$. + +Um nun die der $p$-adischen Zahl~$a_{p}$ entsprechende $g$-adische +$p$-Komponente $\frakA_{p}$ in derselben Weise darzustellen bezeichne ich jetzt +durch +\[ +\bar{p},\quad \bar{w}_{p} \quad\text{und}\quad \bar{E}_{p} +\] +diejenigen eindeutig bestimmten $g$-adischen Zahlen, welche für den +Bereich von $p$ bzw.\ gleich +\[ +p,\quad w_{p} \quad\text{und}\quad E_{p} +\] +sind, während sie für die Bereiche von $q$,~\dots~$r$ alle den Wert Eins haben. +Dann ist offenbar die Komponente~$\frakA_{p}$ folgendermaßen dargestellt: +\[ +\Tag{(2^{a})} +\frakA_{p} = \bar{p}^{\alpha_{p}} \bar{w}_{p} \bar{E}_{p}\ (g). +\] +Macht man die entsprechenden Festsetzungen für die anderen Bereiche +von $q$,~\dots~$r$ und stellt dann die Werte $a_{q}$,~\dots~$a_{r}$ von $A$ für diese +\PageSep{213}{197} +Bereiche analog dar, wie das in~\Eq{(2)} für $a_{p}$ geschehen ist, so erhält man +für $\frakA_{q}$,~\dots~$\frakA_{r}$ die Gleichungen: +\[ +\Tag{(3)} +\begin{aligned} +\frakA_{q} &= \bar{q}^{\alpha_{q}} \bar{w}_{q} \bar{E}_{q} \\ +\PadTo{\frakA_{q}}{\vdots} \\ +\frakA_{r} &= \bar{r}^{\alpha_{r}} \bar{w}_{r} \bar{E}_{r} +\end{aligned} +\quad (g), +\] +und durch Multiplikation aller dieser Gleichungen ergibt sich endlich +die folgende einfache Darstellung einer beliebigen $g$-adischen Zahl~$A$: +\[ +\Tag{(4)} +A = \frakA_{p} \frakA_{q} \dots \frakA_{r} = GwE, +\] +wo: +\[ +\Tag{(4^{a})} +G = \bar{p}^{\alpha_{p}} \bar{q}^{\alpha_{q}} \dots \bar{r}^{\alpha_{r}},\quad +w = \bar{w}_{p} \bar{w}_{q} \dots \bar{w}_{r},\quad +E = \bar{E}_{p} \bar{E}_{q} \dots \bar{E}_{r} +\] +gesetzt ist. + +Die $g$-adische Zahl~$G$ ist eindeutig dadurch bestimmt, daß sie für +den Bereich einer jeden Primzahl $p$,~$q$,~\dots~$r$ gleich dem absoluten Betrage +von $A$ für den Bereich derselben ist; und ebenso sind $w$ und $E$ +die $g$-adischen Zahlen, welche für die Bereiche von $p$,~$q$,~\dots~$r$ gleich +der zu $A$ gehörigen zugeordneten Einheitswurzel bzw.\ der entsprechenden +Haupteinheit sind. Aus diesem Grunde soll im folgenden +\index{Absoluter Betrag einer $g$-adischen Zahl}% +\index{Einheitswurzel, zu e.\ $g$-adischen Zahl gehörige}% +\index{Haupteinheit!zu e.\ $g$-adischen Zahl gehörige}% +\[ +\Tag{(5)} +G = |A| = \bar{p}^{\alpha_{p}} \bar{q}^{\alpha_{q}} \dots \bar{r}^{\alpha_{r}} +\] +\so{der absolute Betrag der $g$-adischen Zahl} heißen, und $w$ und +$E$ nenne ich \so{ihre Einheitswurzel} und \so{ihre Haupteinheit}. + +Die beiden letzten Bezeichnungen werden dadurch gerechtfertigt, +daß $w$ in der Tat eine gewisse $g$-adische Einheitswurzel und $E$~eine Haupteinheit +für einen gewissen leicht angebbaren Modul~$g_{0}$ ist. Es gehört +nämlich in der Gleichung $w = \bar{w}_{p} \bar{w}_{q} \dots \bar{w}_{r}$ jeder der Faktoren rechts, +\zB~$\bar{w}_{p}$, für den Bereich von $g$ zu einem Exponenten~$d_{p}$, welcher ein +Teiler von $p - 1$ oder von $2$ ist, je nachdem $p$ ungerade oder gleich~$2$ +ist; denn es ist ja dann und nur dann +\[ +\bar{w}_{p}^{d_{p}} = 1\ (g), +\] +wenn dieselbe Gleichung für den Bereich von $p$ erfüllt ist, da sie für +die Bereiche von $q$,~\dots~$r$ für jedes $d_{p}$ besteht. Es ist also $d_{p}$ einfach der +\PageSep{214}{198} +Exponent, zu dem die $p$-adische Einheitswurzel~$w_{p}$ gehört. Sind nun +$d_{p}$,~$d_{q}$,~\dots~$d_{r}$ die Exponenten, zu denen $\bar{w}_{p}$,~$\bar{w}_{q}$,~\dots~$\bar{w}_{r}$ gehören, +und ist +\[ +d = [d_{p}, d_{q}, \dots d_{r}] +\] +ihr kleinstes gemeinsames Multiplum, so genügt $w$ für den Bereich von +$g$ der Gleichung +\[ +w^{d} = (\bar{w}_{p} \bar{w}_{q} \dots \bar{w}_{r})^{d} + = \bar{w}_{p}^{d} \bar{w}_{q}^{d} \dots \bar{w}_{r}^{d} = 1\ (g), +\] +weil dieselbe Gleichung für jeden der Faktoren $\bar{w}_{p}^{d}$,~\dots~$\bar{w}_{r}^{d}$ für sich erfüllt +ist; also ist $w$ wirklich eine $g$-adische Einheitswurzel; ferner \emph{gehört} aber +$w$ auch zu diesem Exponenten~$d$, denn eine Potenz: +\[ +w^{\bar{d}} = \bar{w}_{p}^{\bar{d}} \bar{w}_{q}^{\bar{d}} \dots \bar{w}_{r}^{\bar{d}}\ (g) +\] +kann nur dann gleich Eins sein, wenn jede der rechts stehenden Potenzen +für sich gleich Eins, wenn also $\bar{d}$ durch das kleinste gemeinsame +Vielfache $d$ von $d_{p}$,~\dots~$d_{r}$ teilbar ist. + +Die Haupteinheit $E = \bar{E}_{p} \bar{E}_{q} \dots \bar{E}_{r}$ ist dadurch bestimmt, daß sie, +falls $p$,~$q$,~\dots~$r$ ungerade sind, für jede von diesen Primzahlen, also auch +für ihr Produkt als Modul, kongruent Eins sein muß; ist dagegen eine +von diesen, etwa~$p$, gleich~$2$, so muß $E$ für die Moduln $4$,~$q$,~\dots~$r$, also +auch für das Produkt $4q \dots r$ kongruent Eins sein. Setzen wir also in +den beiden unterschiedenen Fällen +\[ +\Tag{(6)} +g_{0} = pq \dots r \quad\text{bzw.}\quad g_{0} = 4q \dots r, +\] +und bezeichnen wir in der Folge diese Zahl als \so{die zu $g$ gehörige +reduzierte Grundzahl}, so können wir den Satz aussprechen: +\begin{Theorem} +Eine Zahl $E = \bar{E}_{p} \bar{E}_{q} \dots \bar{E}_{r}$ ist stets und nur dann die +Haupteinheit einer $g$-adischen Zahl, wenn sie von der Form $1 + g_{0}n$, +wenn sie also im gewöhnlichen Sinn eine Haupteinheit für die zu +\index{Grundzahl, zu $g$ gehörige reduzierte}% +$g$ gehörige reduzierte Grundzahl $g_{0} = pq \dots r$ bzw.\ $4q \dots r$ ist. +\end{Theorem} + +Beachtet man endlich noch, daß die so gefundene Darstellung +einer Zahl~$A$ für den Bereich von $g$ eindeutig ist, weil diese durch die Komponenten +$\frakA_{p}$,~$\frakA_{q}$,~\dots~$\frakA_{r}$, eindeutig bestimmt wird, so ergibt sich der Satz: +\begin{Theorem} +Jede $g$-adische Zahl~$A$ läßt sich auf eine einzige Weise in der +Form +\PageSep{215}{199} +\[ +A = |A|·w·E +\] +darstellen, wo $|A|$ der absolute Betrag von~$A$, $w$~eine $g$-adische +Einheitswurzel und $E$~eine Haupteinheit modulo~$g_{0}$ bedeutet. +\end{Theorem} + +Sind +\[ +\Tag{(7)} +A = GwE \qquad A' = G'w'E' +\] +zwei beliebige $g$-adische Zahlen, so ergeben sich für ihr Produkt und +ihren Quotienten die Gleichungen +\[ +\Tag{(7^{a})} +\begin{aligned} + AA' &= (GG') · (ww') · (EE') \\ +\frac{A}{A'} &= \left(\frac{G}{G'}\right) · \left(\frac{w}{w'}\right) · \left(\frac{E}{E'}\right), +\end{aligned} +\] +und da das Produkt und der Quotient von zwei absoluten Beträgen +oder zwei Einheitswurzeln oder zwei Haupteinheiten, falls dieselben +existieren, wieder ein absoluter Betrag oder eine Einheitswurzel oder +eine Haupteinheit ist, wie aus den entsprechenden Resultaten für die +Körper $K(p)$,~\dots~$K(r)$ sofort folgt, so haben wir in~\Eq{(7^{a})} die Darstellung +eines Produktes bzw.\ eines Quotienten von zwei Zahlen in der Normalform +gewonnen. Nur der Quotient +\[ +\frac{|A|}{|A'|} = \frac{G}{G'} + = \bar{p}^{\alpha_{p}-\alpha'_{p}} + \bar{q}^{\alpha_{q}-\alpha'_{q}} \dots + \bar{r}^{\alpha_{r}-\alpha'_{r}} +\] +existiert nicht immer im Ringe~$R(g)$, nämlich nach \Seite{193} unten stets +und nur dann nicht, wenn der Nenner $A'$ einen Primteiler der Null enthält, +welcher im Zähler nicht vorkommt. In diesem Falle ist \zB\ $\alpha'_{p} += +\infty$, während $\alpha_{p}$ endlich ist; dann allein enthält $\dfrac{G}{G'}$ mindestens den +Faktor~$\bar{p}$ in der Potenz~$-\infty$. + + +\Section{§ 3.}{Die Ordnungszahlen der $g$-adischen Zahlen.} + +Ebenso wie dies früher bei den $p$-adischen Zahlen geschah, will ich +nun jeder $g$-adischen Zahl +\[ +A= |A|·w·E +\] +eine \so{Ordnungszahl für den Bereich von~$g$} zuordnen. Ist +\index{Ordnungszahl!für d.\ Bereich v.~$g$}% +nämlich +\PageSep{216}{200} +\[ +|A| = \bar{p}^{\alpha_{p}} \bar{q}^{\alpha_{q}} \dots \bar{r}^{\alpha_{r}} +\] +ihr absoluter Betrag, so will ich unter ihrer Ordnungszahl das System: +\[ +\alpha = (\alpha_{p}, \alpha_{q}, \dots \alpha_{r}) +\] +der in $|A|$ auftretenden Exponenten oder das System der Ordnungszahlen +verstehen, welche $A$ für die Bereiche von $p$,~$q$,~\dots~$r$ besitzt. + +Die einzelnen Exponenten $\alpha_{p}$,~\dots~$\alpha_{r}$, mögen \so{die Elemente +von~$\alpha$} heißen. Im allgemeinen sind diese Elemente endliche ganze +\index{Element einer Ordnungszahl}% +Zahlen; nur dann ist etwa $\alpha_{p} = +\infty$, wenn $A$ den zugehörigen Primteiler~$O_{p}$ +der Null enthält. Dagegen kann kein Element von $A$ gleich +$-\infty$ sein; führt die Rechnung auf eine Ordnungszahl mit negativ unendlichem +Elemente, so ist damit ausgesprochen, daß die zugehörige +Zahl innerhalb $R(g)$ nicht existiert. + +Jede Zahl $A = \frakA_{p} \frakA_{q} \dots \frakA_{r}$ besitzt eine eindeutig bestimmte +Ordnungszahl $\alpha = (\alpha_{p}, \alpha_{q}, \dots \alpha_{r})$, deren Elemente eben die Ordnungszahlen +der einzelnen Komponenten $\frakA_{p}$,~$\frakA_{q}$,~\dots~$\frakA_{r}$ für den Bereich von +$p$,~$q$,~\dots~$r$ sind; und umgekehrt gehören zu jeder Ordnungszahl~$\alpha$ +$g$-adische Zahlen, welche gerade diese Ordnungszahl besitzen. Ist +speziell $A = \dfrac{m}{n}$ eine rationale Zahl, so ist ihre Ordnungszahl einfach +das Exponentensystem der in $A$ enthaltenen Potenzen von $p$,~$q$,~\dots~$r$; +von Null verschiedene rationale Zahlen besitzen also stets Ordnungszahlen +mit lauter endlichen Elementen. + +In den Ordnungszahlen der $g$-adischen Zahlen treten uns hier \emph{Zahlensysteme} +\index{Zahlensysteme}% +entgegen, mit denen wir wie mit Zahlen zu rechnen haben +werden. Um dies ebenso einfach wie das Rechnen mit Zahlen ausführen zu +können, will ich für beliebige Zahlsysteme gleich an dieser Stelle die vier +elementaren Rechenoperationen definieren. Seien also $B_{1}$,~$B_{2}$,~\dots~$B_{t}$ beliebige +Zahlbereiche, in deren jedem die elementaren Rechenoperationen +wie im ersten Kapitel definiert sind. Ich betrachte dann +Systeme +\[ +\Tag{(1)} +b = (b_{1}, b_{2}, \dots b_{t}), \quad +b' = (b'_{1}, b'_{2}, \dots b'_{t}),\ \dots, +\] +deren Elemente bzw.\ den Bereichen $B_{1}$,~$B_{2}$,~\dots~$B_{t}$ angehören. Dann +definiere ich, genau wie dies im ersten Kapitel \aSeite{14}~ff.\ geschah, für +\PageSep{217}{201} +diese neuen Elemente $(b, b', \dots)$ die vier elementaren Rechenoperationen +durch die Gleichungen: +\[ +\Tag{(2)} +\begin{alignedat}{3} +b + b' &={} & + (b_{1} + b'_{1}, && b_{2} + b'_{2}, &\dots b_{t} + b'_{t}) \\ +b - b' &={} & + (b_{1} - b'_{1}, &&\, b_{2} - b'_{2}, &\dots b_{t} - b'_{t}) \\ +bb' &={} & + (b_{1} b'_{1}, && b_{2} b'_{2}, &\dots b_{t} b'_{t}) \\ +\frac{b}{b'} &={} & + \biggl(\frac{b_{1}}{b'_{1}}, + &&\frac{b_{2}}{b'_{2}}, &\dots \frac{b_{t}}{b'_{t}}\biggr). +\end{alignedat} +\] +Speziell ist dann $1 = (1, 1, \dots 1)$ das Einheitselement, $0 = (0, 0, \dots 0)$ +das Nullelement für diese Zahlensysteme. Allgemein muß unter +$1 + 1 + \dots + 1 = m$ das System $(m, m, \dots m)$ verstanden werden. +Ist endlich $b$ ein beliebiges und $m = (m, m, \dots)$ ein System mit +lauter gleichen Elementen, so ist +\[ +\Tag{(2^{a})} +mb = (mb_{1}, mb_{2}, \dots mb_{t}),\quad +\frac{b}{m} = \left(\frac{b_{1}}{m}, \frac{b_{2}}{m}, \dots \frac{b_{t}}{m}\right). +\] + +Wenden wir diese Definition der Summe und Differenz von zwei +Zahlensystemen speziell auf die Ordnungszahlen $\alpha = (\alpha_{p}, \dots \alpha_{r})$, +$\alpha' = (\alpha'_{p}, \dots \alpha'_{r})$ von zwei Zahlen $A$~und~$A'$ an, so ergibt sich aus den +beiden Gleichungen für den absoluten Betrag eines Produktes bzw.\ eines +Quotienten +\[ +\Tag{(3)} +\begin{aligned} +|AA'| &= |A||A'|,\quad \left|\frac{A}{A'}\right| = \frac{|A|}{|A'|}: \\ +|AA'| &= \bar{p}^{\alpha_{p}+\alpha'_{p}} \bar{q}^{\alpha_{q}+\alpha'_{q}} \dots \bar{r}^{\alpha_{r}+\alpha'_{r}} \\ +\left|\frac{A}{A'}\right| + &= \bar{p}^{\alpha_{p}-\alpha'_{p}} \bar{q}^{\alpha_{q}-\alpha'_{q}} \dots \bar{r}^{\alpha_{r}-\alpha'_{r}}, +\end{aligned} +\] +\dh\ es besteht der Satz: +\begin{Theorem} +Die Ordnungszahl des Produktes zweier Zahlen ist gleich der +Summe der Ordnungszahlen der Faktoren, die Ordnungszahl eines +Quotienten ist gleich der Differenz der Ordnungszahlen von Zähler +und Nenner. +\end{Theorem} + +Denn sind $\alpha = (\alpha_{p}, \dots \alpha_{r})$, $\alpha' = (\alpha'_{p}, \dots \alpha'_{r})$ die Ordnungszahlen +von $A$~und~$A'$, so sind diejenigen von $AA'$~und~$\dfrac{A}{A'}$ bzw.\ gleich +\[ +(\alpha_{p} ± \alpha'_{p}, + \alpha_{q} ± \alpha'_{q}, \dots + \alpha_{r} ± \alpha'_{r}) = \alpha ± \alpha'. +\] +\PageSep{218}{202} + +Die Ordnungszahl $\alpha = (\alpha_{p}, \alpha_{q}, \dots \alpha_{r})$ soll \so{negativ} heißen, wenn +auch nur einer ihrer Bestandteile eine negative ganze Zahl ist. Wir +sagen $\alpha$ ist \so{Null}, wenn alle Bestandteile Null sind. Dagegen soll eine +Ordnungszahl \so{$\alpha$~nicht negativ} heißen, wenn alle ihre Bestandteile +\index{Gleichheit!zweier Ordnungszahlen}% +\index{Negative Ordnungszahlen}% +positiv oder Null sind. Dann folgt aus den \aSeite{96} f.\ bewiesenen +Sätzen, daß eine $g$-adische Zahl dann und nur dann eine Einheit ist, +wenn sie die Ordnungszahl $0 = (0, 0, \dots 0)$ hat; denn allein dann sind +ja alle ihre Komponenten $\frakA_{p}$,~$\frakA_{q}$,~\dots~$\frakA_{r}$ für den Bereich von $p$,~$q$,~\dots~$r$ +bzw.\ Einheiten. Alle und nur die ganzen $g$-adischen Zahlen sind von +nicht negativer Ordnung, während alle gebrochenen Zahlen eine negative +Ordnungszahl haben. Eine Zahl enthält stets und nur dann einen Primteiler +der Null, wenn ihre Ordnungszahl einen unendlich großen Bestandteil +hat. + +Von zwei Ordnungszahlen $\alpha = (\alpha_{p}, \alpha_{q}, \dots \alpha_{r})$ und $\alpha' = (\alpha'_{p}, \alpha'_{q}, \dots \alpha'_{r})$ +soll \so{$\alpha$~gleich oder größer als~$\alpha'$} heißen, wenn jedes der +Elemente von $\alpha$ gleich oder größer ist als das entsprechende Element +von $\alpha'$ wenn also $\alpha - \alpha'$ nicht negativ ist. Sind alle entsprechenden +Elemente von $\alpha$~und~$\alpha'$ gleich, so ist $\alpha = \alpha'$. Es ist klar, daß hier +zwei Ordnungszahlen im allgemeinen nicht in der Beziehung stehen +müssen, daß die eine gleich oder größer ist als die andere, denn +gewisse Elemente von $\alpha$ können ja größer und gewisse andere kleiner +sein als die entsprechenden von~$\alpha'$. + + +\Section{§ 4.}{Die Anordnung der $g$-adischen Zahlen nach ihrer Größe. +\index{Größe!d.\ $g$-adischen Zahlen}% +Die unendlichen Reihen, speziell die Potenzreihen. Die Exponentialfunktion +und der Logarithmus. Der Hauptlogarithmus +der $g$-adischen Zahlen.} + +Ich will nun auch die $g$-adischen Zahlen ebenso wie früher die +$p$-adischen nach ihrer Größe anordnen. + +Sind $A$ und $A'$ zwei beliebige $g$-adische Zahlen, $\alpha = (\alpha_{p}, \alpha_{q}, \dots \alpha_{r})$ +\index{Aequivalente@{Äquivalente $g$-adische Zahlen}}% +und $\alpha' = (\alpha'_{p}, \alpha'_{q}, \dots \alpha'_{r})$ ihre Ordnungszahlen, so wollen wir \so{$A$~kleiner +als $A'$ bzw. äquivalent~$A'$} nennen ($A \lesssim A'$), wenn die Ordnungszahl +von $A$ größer als die von $A'$ bzw.\ dieser gleich ist, wenn also +nach der \aSeite{112} gegebenen Definition jede der Komponenten $\frakA_{p}$,~\dots~$\DPtypo{\frakA}{\frakA_{r}}$ +\PageSep{219}{203} +von $A$ in den zugehörigen Körpern $K(p)$,~\dots~$K(r)$ kleiner als die +entsprechende Komponente von $A'$ bzw.\ dieser äquivalent ist. Selbstverständlich +gibt es nach dieser Definition Zahlen $A$~und~$A'$, auf +welche diese Größenbeziehung nicht angewendet werden kann, da +von den entsprechenden Elementen ihrer Ordnungszahlen \zB\ +$\alpha_{p} > \alpha'_{p}$, $\alpha_{q} < \alpha'_{q}$,~\dots\ sein kann. + +Ist $A \lesssim A'$, so besteht eine Gleichung +\[ +A = DA', +\] +wo $D$ die nicht negative Ordnungszahl $\alpha - \alpha' = (\alpha_{p} - \alpha'_{p}, \dots \alpha_{r} - \alpha'_{r})$ +hat, also eine \emph{ganze} Zahl ist. Auch hier ist also jede $g$-adische Zahl~$A$ +durch jede ihr äquivalente oder größere Zahl teilbar und nur durch +solche Zahlen. Ganz besonders muß hervorgehoben werden, daß +auch im Ringe der $g$-adischen Zahlen wieder der Satz gilt, daß die Summe +beliebig vieler Zahlen $A_{1}$,~$A_{2}$,~\dots~$A_{\nu}$, welche alle nicht größer als $D$ +sind, ebenfalls nicht größer als diese Zahl ist. Allein auf diesem Satze +beruht die Möglichkeit, alle für die Konvergenz $p$-adischer Reihen bewiesenen +Sätze unmittelbar auf die $g$-adischen Reihen auszudehnen. + +Auch bei den $g$-adischen Zahlen wollen wir wieder unendliche +Reihen +\[ +A^{(0)} + A^{(1)} + A^{(2)} + \dots +\] +in den Kreis der Betrachtung ziehen, vorausgesetzt, daß sie für den +Bereich von $g$ konvergieren, \dh\ eindeutig bestimmte Zahlen darstellen. +Wir stellen auch hier genau die gleiche Definition der Konvergenz auf, +wie für die Reihen im Körper~$K(p)$: +\begin{Theorem} +Eine $g$-adische Reihe konvergiert dann und nur dann, wenn +für ein beliebig klein gegebenes aber von Null verschiedenes $\delta$ eine +natürliche Zahl~$n$ so groß gewählt werden kann, daß die Summe +von beliebigen und beliebig vielen Gliedern: +\[ +A^{(\nu_{1})} + A^{(\nu_{2})} + \dots + A^{(\nu_{m})}, +\] +deren Indizes sämtlich oberhalb $n$ liegen, kleiner als $\delta$ ist. +\end{Theorem} + +Durch wörtlich dieselben Betrachtungen wie in dem früheren einfachen +Falle gelangen wir auch hier zu der einen notwendigen und hinreichenden +Konvergenzbedingung: +\PageSep{220}{204} +\begin{Theorem} +Eine $g$-adische Reihe $A^{(0)} + A^{(1)} + \dots$ ist stets und nur +dann konvergent, wenn die Bedingung +\[ +\lim_{n=\infty} A^{(n)} = 0\ (g) +\] +erfüllt ist. +\end{Theorem} + +Schreibt man alle Reihenglieder in der additiven Normalform: +\[ +A^{(n)} = A_{p}^{(n)} + A_{q}^{(n)} + \dots + A_{r}^{(n)} +\] +und beachtet, daß $A^{(n)}$ dann und nur dann bei genügend großem $n$ +für den Bereich von $g$ beliebig klein wird, wenn dasselbe für ihre einzelnen +Komponenten im Bereiche der zugehörigen Primzahl gilt, so +können wir das allgemeine Konvergenzkriterium auch so aussprechen: +\begin{Theorem} +Eine Reihe +\[ +\sum A^{(n)} = \sum A_{p}^{(n)} + \sum A_{q}^{(n)} + \dots + \sum A_{r}^{(n)} +\] +konvergiert stets und nur dann, wenn die aus den Komponenten +ihrer Glieder gebildeten Reihen für den Bereich der zugehörigen +Primzahl konvergieren. +\end{Theorem} + +Alle Sätze über die Konvergenz der Reihen, speziell diejenigen für +die Potenzreihen im Körper der $p$-adischen Zahlen, beruhten allein auf +der Einteilung dieser Zahlen nach der Größe und auf dem Satze, daß +die Summe beliebig vieler Zahlen, welche alle nicht größer als eine Zahl~$\delta$ +sind, ebenfalls nicht größer als $\delta$ ist. Da nun dieser Satz auch für die +Größenanordnung der $g$-adischen Zahlen gilt, so folgt, daß wir alle Betrachtungen +des sechsten Kapitels Wort für Wort auf die $g$-adischen +Reihen, insbesondere die $g$-adischen Potenzreihen, übertragen können. +So erhalten wir also auch für diese Reihen den folgenden Satz: +\begin{Theorem} +Ist +\[ +y = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots +\] +eine Potenzreihe mit $g$-adischen Koeffizienten und ist $\xi$ ein $g$-adischer +Wert von~$x$, für welchen jedes Glied $a_{i} \xi^{i}$ derselben unterhalb +einer endlichen Größe liegt, so konvergiert diese Reihe für jedes +$x < \xi$ unbedingt und gleichmäßig und ist in diesem ganzen Bereich +eine stetige und differenzierbare Funktion von~$x$. +\end{Theorem} +\PageSep{221}{205} + +Ich wende dieses Ergebnis auch hier auf die Untersuchung der +Exponentialreihe +\[ +e^{\zeta} = 1 + \frac{\zeta}{1} + \frac{\zeta^{2}}{1·2} + \dots +\] +an unter der Voraussetzung, daß $\zeta$~eine $g$-adische Zahl ist. Die Konvergenzbedingung +\[ +\lim_{n=\infty} \frac{\zeta^{n}}{n!} = 0\ (g) +\] +ist dann und nur dann für den Bereich von $g$ erfüllt, wenn sie für den +Bereich von $p$,~$q$,~\dots~$r$ besteht, wenn also $\zeta$ bzw.\ durch $p$,~$q$,~\dots~$r$ oder +falls $p = 2$ sein sollte, wenn $\zeta$ durch $4$,~$q$,~\dots~$r$ teilbar ist; es muß also +$\zeta$~ein Multiplum von $(pq \dots r)$ bzw.\ von $(4q \dots r)$ sein, damit die +Reihe für $e^{\zeta}$ konvergent ist. Nach der \aSeite{198}~\Eq{(6)} eingeführten Bezeichnung +können wir dieses Resultat so aussprechen: +\begin{Theorem} +Die Exponentialreihe $e^{\zeta}$ konvergiert stets und nur dann unbedingt +\index{Exponentialfunktion für den Bereich von~$g$}% +und gleichmäßig im Bereiche der $g$-adischen Zahlen, wenn +$\zeta$~ein Multiplum der reduzierten Grundzahl~$g_{0}$ ist. +\end{Theorem} + +Ist dies der Fall, so stellt die Reihe +\[ +e^{\zeta} = 1 + \eta = 1 + g_{0} G\ (g) +\] +eine Haupteinheit modulo~$g_{0}$ dar; und umgekehrt gehört zu jeder solchen +Haupteinheit $1 + \eta$ ein eindeutig bestimmtes Multiplum $\zeta$ von~$g_{0}$, +für welches $e^{\zeta} = 1 + \eta$ ist, nämlich die Zahl, welche durch die Reihe +\[ +\zeta = \lg(1 + \eta) + = \frac{\eta}{1} - \frac{\eta^{2}}{2} + \frac{\eta^{3}}{3} - \dots +\] +dargestellt ist. Dieselbe konvergiert unter genau derselben Voraussetzung +über $\eta$ wie die Exponentialreihe. + +Dieses Resultat ermöglicht es, jede Haupteinheit~$e^{\zeta}$ modulo~$g_{0}$ in +der multiplikativen Normalform zu schreiben: Stellen wir nämlich $\zeta$ +in der additiven Normalform +\[ +\zeta = \zeta_{p} + \zeta_{q} + \dots + \zeta_{r} +\] +dar, so ist \zB\ $\zeta_{p}$ für den Bereich von $p$ durch $p$ teilbar, für den Bereich +aller übrigen Primzahlen aber gleich Null. Also ist in +\PageSep{222}{206} +\[ +e^{\zeta} = e^{\zeta_{p}+\zeta_{q}+\dots+\zeta_{r}} + = e^{\zeta_{p}} e^{\zeta_{q}} \dots e^{\zeta_{r}} +\] +\zB\ $e^{\zeta_{p}} = 1 + \eta_{p}$ für den Bereich von $p$ gleich dem $p$-adischen +Werte von~$e^{\zeta}$, also eine Haupteinheit modulo~$p$, für den Bereich von +$q$,~\dots~$r$ aber gleich Eins. Entsprechendes gilt für die übrigen +Potenzen $e^{\zeta_{q}}$,~\dots~$e^{\zeta_{r}}$. + +Ich will daher für eine beliebige Haupteinheit $E = e^{\zeta} = e^{\zeta_{p}} e^{\zeta_{q}} \dots e^{\zeta_{r}}$ +die $g$-adische Zahl~$\zeta$ \so{ihren Logarithmus}, und die $g$-adischen +\index{Logarithmus!e.\ $g$-adischen Haupteinheit}% +Zahlen $\zeta_{p}$,~$\zeta_{q}$,~\dots~$\zeta_{r}$ die Komponenten dieses Logarithmus nennen; +diese Beziehung zwischen $E$ und $\zeta$ bzw.\ dem System $(\zeta_{p}, \zeta_{q}, \dots \zeta_{r})$ +will ich wieder durch die Gleichung: +\[ +\lg E = \zeta = (\zeta_{p}, \zeta_{q}, \dots \zeta_{r})\quad (g) +\] +bezeichnen. Jede der Komponenten des $\lg E$, \zB~$\zeta_{p}$, ist dann die +eindeutig bestimmte $g$-adische Zahl, für welche: +\[ +\zeta_{p} = \lg E\ (p),\quad +\zeta_{p} = 0\ (q),\ \dots\quad +\zeta_{p} = 0\ (r) +\] +ist, und $\zeta_{p}$ und $E_{p}$ sind durch die Gleichungen +\[ +E_{p} = e^{\zeta_{p}}\quad +\zeta_{p} = \lg E_{p}\ (g) %[** TN: Moduli aligned in original, not preserving] +\] +miteinander verbunden. + +Ist +\[ +E = e^{\gamma} = 1 + \eta +\] +eine beliebige Haupteinheit modulo~$g_{0}$, so besteht zwischen $\gamma$~und~$\eta$ die +Gleichung: +\[ +\gamma = \eta - \frac{\eta^{2}}{2} + \frac{\eta^{3}}{3} - \dots + = \eta \left(1 - \frac{\eta}{2} + \frac{\eta^{2}}{3} - \dots\right), +\] +und da die in der Klammer auf der rechten Seite stehende Reihe +selbst eine Haupteinheit für $g_{0}$ ist, weil ja dasselbe für jeden Teiler +$4$,~$p$, $q$,~\dots~$r$ von~$g_{0}$ gilt, so ergibt sich auch hier ebenso wie in~\Eq{(11)} +\aSeite{137} die Äquivalenz +\[ +\gamma \sim \eta\ (g), +\] +\dh\ $\gamma$ ist dann und nur dann durch eine beliebige Potenz +\PageSep{223}{207} +$G = p^{K} q^{L} \dots r^{M}$ teilbar, wenn dasselbe für $\gamma$ gilt. Es besteht also +der Satz: +\begin{Theorem} +Eine Einheit $E = 1 + \eta$ ist stets und nur dann eine Haupteinheit +für eine beliebige keine anderen Primteiler als $g$ enthaltende +Zahl $G = p^{K} \dots r^{L}$, wenn ihr Logarithmus durch $G$ teilbar ist. +\end{Theorem} + +Aus der Definitionsgleichung für den Logarithmus +\[ +e^{\lg E} = E +\] +und aus der Fundamentaleigenschaft der Exponentialfunktion ergeben +sich die Gleichungen: +\begin{align*} + \lg (EE') &= \lg E + \lg E' \\ +\lg \left(\frac{E}{E'}\right) &= \lg E - \lg E'. +\end{align*} + +Ich wende dieses Resultat an auf die Darstellung +\[ +A = GwE\ (g) +\] +einer beliebigen $g$-adischen Zahl, wo +\[ +E = 1 + \eta = 1 + g_{0}\bar{\eta} +\] +eine Haupteinheit modulo~$g_{0}$ bedeutet. Wir können nämlich jetzt +\[ +E = e^{\gamma} +\] +setzen und erhalten so den wichtigen Satz: +\begin{Theorem} +Jede $g$-adische Zahl~$A$ läßt sich auf eine einzige Weise in +der Form: +\[ +A = Gwe^{\gamma}\ (g) +\] +schreiben, wo $G$ der absolute Betrag, $w$~die Einheitswurzel und +$e^{\gamma}$~die Haupteinheit von $A$ ist. Wir wollen wie \aSeite{164} oben bei +den $p$-adischen Zahlen auch jetzt $\gamma$ \so{den Logarithmus der +Haupteinheit oder den Hauptlogarithmus} von $A$ +\index{Hauptlogarithmus!e.\ $g$-adischen Zahl}% +nennen. +\end{Theorem} +\PageSep{224}{208} + + +\Section{§ 5.}{Die Elemente der Algebra im Ringe der $g$-adischen +Zahlen. Die $g$-adischen Einheitswurzeln.} + +Ich betrachte endlich noch die algebraischen Gleichungen im Gebiete +\index{Wurzeln der Gleichungen im Ringe~$R(g)$}% +der $g$-adischen Zahlen, um die für einen Körper~$K(p)$ \aSeite{145}~ff.\ gefundenen +Resultate auf diese allgemeineren Bereiche zu übertragen. + +Ist +\[ +\Tag{(1)} +F(x) = A^{(0)} x^{m} + A^{(1)} x^{m-1} + \dots + A^{(m)} = 0\ (g) +\] +eine beliebige Gleichung \Ord{$m$}{-ten} Grades, so heißt eine $g$-adische Zahl~$x$ +\so{eine Wurzel dieser Gleichung}, wenn $F(x) = 0\ (g)$ ist. + +Ist nun $x$ eine solche Wurzel, und denken wir uns diese in der additiven +bezw.\ in der multiplikativen Normalform dargestellt, so daß +\[ +\Tag{(2)} +x = x_{p} + x_{q} + \dots + x_{r} = \frakx_{p} \frakx_{q} \dots \frakx_{r}\ (g) +\] +ist, so ergibt sich, wenn man die Gleichung $F(x) = 0$ der Reihe nach +für den Bereich von $p$,~$q$,~\dots~$r$ betrachtet, +\[ +\Tag{(3)} +\begin{aligned} +0 &= F(x) = F(x_{p}) = F(\frakx_{p})\ (p) \\ +\DotRow{2} \\ +0 &= F(x) = F(x_{r}) = F(\frakx_{r})\ (r), +\end{aligned} +\] +\dh\ jene Komponenten sind Wurzeln derselben Gleichung für den Bereich +von $p$,~$q$,~\dots~$r$. Sind umgekehrt +\[ +\Tag{(4)} +\xi_{p},\ \xi_{q},\ \dots\ \xi_{r} +\] +je eine $p$-adische, $q$-adische,~\dots\ $r$-adische Wurzel unserer Gleichung, +und ist +\[ +x = x_{p} + x_{q} + \dots + x_{r} = \frakx_{p} \frakx_{q} \dots \frakx_{r} +\] +diejenige eindeutig bestimmte $g$-adische Zahl in der additiven oder in +der multiplikativen Normalform, deren Werte für den Bereich von $p$,~$q$,~\dots~$r$ +bzw.\ gleich $\xi_{p}$,~$\xi_{q}$,~\dots~$\xi_{r}$ sind, so ist +\[ +F(x) = 0\ (g), +\] +weil ja dieselbe Gleichung für den Bereich von $p$,~$q$,~\dots~$r$ erfüllt ist. +Es ergibt sich also der folgende wichtige Satz, durch den die Auflösung +\PageSep{225}{209} +einer beliebigen Gleichung im Bereiche der $g$-adischen Zahlen auf die +vollständige Auflösung derselben Gleichung im Bereiche der Körper +$K(p)$,~\dots~$K(r)$ reduziert wird: +\begin{Theorem} +Eine Gleichung +\[ +F(x) = 0\ (g) +\] +besitzt stets und nur dann mindestens eine $g$-adische Wurzel, wenn +dieselbe Gleichung in jedem der Körper $K(p)$,~$K(q)$,~\dots~$K(r)$ +mindestens eine Wurzel hat. Sind ferner $m_{p}$,~$m_{q}$,~\dots~$m_{r}$ die Anzahlen +der verschiedenen Wurzeln dieser Gleichung in jenen Körpern, +so hat dieselbe Gleichung genau $m_{p}·m_{q} \dots m_{r}$ verschiedene $g$-adische +Wurzeln. +\end{Theorem} + +Ich wende dieses Resultat an auf die Lösung der Frage, wie viele +und welche $g$-adische Zahlen Einheitswurzeln sind. Die Lösungen der +Gleichung: +\[ +\Tag{(5)} +x^{m} = 1\ (g) +\] +für den Bereich von $g$ setzen sich nun in der vorher angegebenen Weise +aus den Wurzeln derselben Gleichung für den Bereich von $p$,~$q$,~\dots~$r$, +\dh\ aus den Wurzeln der Gleichungen: +\[ +\Tag{(5^{a})} +x^{m} = 1\ (p),\quad +x^{m} = 1\ (q),\ \dots\quad +x^{m} = 1\ (r) +\] +zusammen; und die Zahl der verschiedenen Wurzeln der Gleichung~\Eq{(5)} +ist gleich dem Produkte der entsprechenden Anzahlen für die Gleichungen~\Eq{(5^{a})}. +Eine Zahl~$w$ ist also stets und nur dann eine $g$-adische Einheitswurzel, +wenn ihre Werte für den Bereich von $p$,~$q$,~\dots~$r$ Einheitswurzeln +für diese Bereiche sind. Ist also +\[ +\Tag{(6)} +w = \bar{w}_{p} \bar{w}_{q} \dots \bar{w}_{r}\ (g) +\] +die multiplikative Zerlegung von~$w$, so muß $\bar{w}_{p}$ für den Bereich von $p$ +einer der $p - 1$ bzw.\ $2$ (für $p = 2$) $p$-adischen Einheitswurzeln gleich +sein~usw. Also ist die Zahl aller verschiedenen $g$-adischen Einheitswurzeln +gleich +\[ +(p - 1)(q - 1) \dots (r - 1) \quad\text{oder}\quad 2(q - 1) \dots (r - 1), +\] +je nachdem $g$ ungerade ist oder auch den Primfaktor~$2$ enthält. Jene +Anzahl ist also in beiden Fällen gleich~$\phi(g_{0})$, wenn wie \aSeite{198}~\Eq{(6)} +\PageSep{226}{210} +$g_{0} = pq \dots r$ bzw.\ gleich $4q \dots r$ die zu $g$ gehörige reduzierte +Grundzahl bedeutet. Es gibt also wirklich nur diese $\phi(g_{0})$\; $g$-adischen +Einheitswurzeln $w = \bar{w}_{p} \bar{w}_{q} \dots \bar{w}_{r}$, denen wir schon \aSeite{198} begegnet waren, und von denen jede zum Exponenten +\[ +d = [d_{p}, d_{q}, \dots d_{r}] +\] +gehört, wenn $d_{p}$,~$d_{q}$,~\dots~$d_{r}$ die Exponenten sind, zu denen $w$ für +die Bereiche $K(p)$,~$K(q)$,~\dots~$K(r)$ gehört. Da $d_{p}$ ein Teiler von $p - 1$ +bzw.\ von~$2$ ist, je nachdem $p$ ungerade oder $p = 2$ ist, und da das entsprechende +für $d_{q}$,~\dots~$d_{r}$ gilt, so genügen alle $g$-adischen Einheitswurzeln +der Gleichung: +\[ +\Tag{(7)} +x^{\mu} = 1\ (g), +\] +wo in den beiden vorher unterschiedenen Fällen: +\[ +\Tag{(7^{a})} +\mu = [p - 1, q - 1, \dots r - 1] \quad\text{bzw.}\quad [2, q - 1, \dots r - 1] +\] +ist; und zu diesem höchsten Exponenten selbst gehören \ua\ alle diejenigen +Einheitswurzeln, deren Werte für die Bereiche von $p$,~$q$,~\dots~$r$ +\emph{primitive} Einheitswurzeln sind. + +Jede der $\phi(g_{0})$ voneinander verschiedenen $g$-adischen Einheitswurzeln +kann also als $g_{0}$-adische Zahl: +\[ +\Tag{(8)} +w^{(r)} = r + r_{1} g_{0} + r_{2} g_{0}^{2} + \dots + = r\MathOrd{,}r_{1}\,r_{2}\,\dots\ (g_{0}) +\] +geschrieben werden und sie ist dann einer der $\phi(g_{0})$ Einheiten~$r$ +modulo~$g_{0}$ kongruent und durch dieses ihr Anfangsglied $r$ eindeutig +bestimmt. Dies folgt unmittelbar daraus, daß das Entsprechende +nach \Seite{154}~\Eq{(4)} +für ihre Komponenten $\bar{w}_{p}$,~$\bar{w}_{q}$,~\dots~$\bar{w}_{r}$ und die +Moduln $p$,~$q$,~\dots~$r$ gilt. Hieraus ergibt sich, daß eine $g$-adische Einheitswurzel~$w$ +dann und nur dann kongruent~$r$ modulo~$g_{0}$ sein kann, +wenn sie gleich $w^{(r)}$ ist. + +Um die $g$-adischen Einheitswurzeln ebenso einfach darzustellen, +wie dies \aSeite{156} unten im Körper der $p$-adischen Zahlen geschah, +bezeichne ich jetzt durch $w_{p}$~eine $g$-adische Einheitswurzel, deren +Wert für den Bereich von $p$ eine \emph{ein für alle Male fest gewählte +primitive} $p$-adische Einheitswurzel ist, während sie für den Bereich +von $q$,~\dots~$r$ den Wert Eins hat. Haben $w_{q}$,~\dots~$w_{r}$ die entsprechende +\PageSep{227}{211} +Bedeutung für die Körper $K(q)$,~\dots~$K(r)$, so sind alle und nur die +$g$-adischen Einheitswurzeln in der Form: +\[ +\Tag{(9)} +w = w_{p}^{\beta_{p}} w_{q}^{\beta_{q}} \dots w_{r}^{\beta_{r}} +\] +eindeutig dargestellt, wenn, \zB\ $\beta_{p}$ ein vollständiges Restsystem +modulo~$p - 1$ bzw.\ modulo~$2$ durchläuft und entsprechendes für die +andern Exponenten gilt. + +Ich will auch hier das Exponentensystem: +\[ +\Tag{(10)} +(\beta) = (\beta_{p}, \beta_{q}, \dots \beta_{r}), +\] +durch welches die Einheitswurzel~$w$ eindeutig bestimmt wird, den \so{Index +von~$w$} nennen und diese Beziehung durch die Gleichung: +\index{Gleichheit!der Indizes d.\ $g$-adischen Einheitswurzeln}% +\index{Index!einer $g$-adischen Einheitswurzel}% +\[ +\Tag{(11)} +(\beta) = \Ind w +\] +ausdrücken. Zwei in dieser Form dargestellte Einheitswurzeln +\[ +\Tag{(12)} +w = w_{p}^{\beta_{p}} \dots w_{r}^{\beta_{r}} \quad\text{und}\quad +w' = w_{p}^{\beta'_{p}}\dots w_{r}^{\beta'_{r}} +\] +sind dann und nur dann gleich, wenn sich die entsprechenden Exponenten +nur um ganzzahlige Multipla bzw.\ von +\[ +p - 1,\ q - 1,\ \dots\ r - 1 \quad\text{bzw.}\quad 2,\ q - 1,\ \dots\ r - 1 +\] +unterscheiden. + +Für das Rechnen mit diesen Indizes will ich wieder die \aSeite{201} +oben angegebenen Vorschriften einführen, wonach +\[ +\Tag{(13)} +\begin{aligned} + (\beta) ± (\beta') &= (\beta_{p} ± \beta'_{p}, \dots \beta_{r} ± \DPtypo{\beta_{r}}{\beta'_{r}}) \\ + (\beta)(\beta') &= (\beta_{p}\beta'_{p}, \dots \beta_{r}\beta'_{r}) \\ +\frac{(\beta)}{(\beta')} &= \left(\frac{\beta_{p}}{\beta'_{p}}, \dots \frac{\beta_{r}}{\beta'_{r}}\right) +\end{aligned} +\] +sein soll. Ich nenne zwei Indizes $(\beta)$~und~$(\beta')$ \so{gleich}, wenn die zugehörigen +Einheitswurzeln~\Eq{(12)} gleich sind, wenn also: +\[ +\Tag{(14)} +\begin{aligned} +(\beta') &= (\beta_{p} + k_{p}(p - 1), \dots \beta_{r} + k_{r}(r - 1)) \\ + &= (\beta) + (k) (P), +\end{aligned} +\] +ist, wo $(k) = (k_{p}, k_{q}, \dots k_{r})$ ein beliebiges ganzzahliges System bedeutet, +und +\PageSep{228}{212} +\[ +\Tag{(15)} +P = (p - 1, q - 1, \dots r - 1), \quad\text{bzw.}\quad (2, q - 1, \dots r - 1) +\] +ist, je nachdem die Grundzahl~$g$ ungerade oder gerade ist. Dieser Index~$P$ +soll \so{die Periode der Indizes~$(\beta)$} genannt werden. Dann +\index{Periode d.\ Indizes $g$-adischer Einheitswurzeln}% +besagt die soeben bewiesene Gleichung, +\begin{Theorem}[\noindent] +daß zwei Einheitswurzeln $w$~und~$w'$ dann und nur dann gleich sind, +wenn ihre Indizes gleich sind, wenn sie sich also um ein ganzzahliges +Vielfaches~$(k)$ der Periode~$(P)$ unterscheiden, oder kürzer +gesprochen, wenn ihre Indizes modulo~$(P)$ kongruent sind. +\end{Theorem} + +Bei dieser Definition der Kongruenz zweier Indizes besagt die Kongruenz: +\[ +(\beta') \equiv (\beta)\ \DPtypo{\mod.~(P)}{(\mod.~(P))} +\] +das Bestehen der gewöhnlichen Kongruenzen +\[ +\beta'_{p} \equiv \beta_{p}\ (\mod.~(p - 1)),\ \dots\quad +\beta'_{r} \equiv \beta_{r}\ (\mod.~(r - 1)), +\] +wobei, wie stets im Folgenden, im Falle $p = 2$\; $p - 1$~durch $2$ ersetzt +werden muß. Sind +\[ +w = w_{p}^{\beta_{p}} \dots w_{r}^{\beta_{r}},\quad +w' = w_{p}^{\beta'_{p}}\dots w_{r}^{\beta'_{r}} +\] +zwei beliebige Einheitswurzeln, so kann der Inhalt der beiden Gleichungen +\[ +ww' = w_{p}^{\beta_{p}+\beta'_{p}} \dots w_{r}^{\beta_{r}+\beta'_{r}},\quad +\frac{w}{w'} = w_{p}^{\beta_{p}-\beta'_{p}} \dots w_{r}^{\beta_{r}-\beta'_{r}} +\] +durch die Indexgleichungen: +\[ +\Tag{(16)} +\begin{aligned} +\Ind (ww') &= \Ind w + \Ind w' \\ +\Ind \left(\frac{w}{w'}\right) &= \Ind w - \Ind w' +\end{aligned} +\] +ausgesprochen werden. + +Zieht man aus jedem Elemente $\beta_{p}$,~\dots~$\beta_{r}$ eines Indexsystems +$(\beta) = (\beta_{p}, \dots \beta_{r})$ den größten gemeinsamen Teiler mit dem entsprechenden +Elemente $p - 1$,~\dots~$r - 1$ der Periode~$(P)$ heraus, so +daß also +\[ +\Tag{(17)} +\beta_{p} = \delta_{p}·\beta_{p}^{(0)},\ \dots\quad +\beta_{r} = \delta_{r}·\beta_{r}^{(0)} +\] +ist, so läßt sich jeder Index in der Form darstellen +\PageSep{229}{213} +\[ +\Tag{(17^{a})} +(\beta) = (\delta)(\beta^{(0)}), +\] +wo das System $(\delta) = (\delta_{p}, \dots \delta_{r})$ ein Teiler der Periode~$(P)$ ist. Ich +\index{Teiler!eines Indexsystemes}% +will das System~$(\delta)$ den \so{Teiler des Indexsystems~$(\beta)$} +nennen und das komplementäre Indexsystem~$(\delta')$, für welches: +\index{Komplementärer Teiler e.\ Indexsystemes}% +\[ +\Tag{(18)} +(\delta)(\delta') = (\delta_{p} \delta'_{p}, \dots \delta_{r} \delta'_{r}) = (P) +\] +ist, als \so{den komplementären Teiler jenes Indexsystemes} +bezeichnen. Dann ist in~\Eq{(17^{a})} offenbar das System~$(\beta^{(0)})$ +zu dem komplementären System~$(\delta')$ von $(\delta)$ in der Weise teilerfremd, +daß seine entsprechenden Elemente $\beta_{p}^{(0)}$,~\dots~$\beta_{r}^{(0)}$ bzw.\ zu +$\delta'_{p}$,~\dots~$\delta'_{r}$ relativ prim sind. + +Hiernach kann der Exponent~$d$, zu dem eine beliebige $g$-adische +\DPtypo{Einheitwurzel}{Einheitswurzel}~$w$ gehört, sehr einfach durch den komplementären Teiler +ihres Indexsystemes ausgedrückt werden. In der Tat ist ja $d$ der +kleinste positive Exponent, für welchen $w^{d} = 1$, für welchen also +\[ +d \Ind w \equiv 0\ (\mod.~(P)) +\] +ist. Schreibt man nun $\Ind w$~und~$(P)$ in der Form $(\delta)(\beta^{(0)})$ und +$(\delta)(\delta')$, so geht die obige Bedingung über in +\[ +d(\delta)(\beta^{(0)}) \equiv 0\ (\mod.~(\delta)(\delta')), +\] +oder für die einzelnen Elemente in die Kongruenz: +\[ +d\delta_{p}\beta_{p}^{(0)} \equiv 0\ (\mod.~\delta_{p}\delta'_{p}),\ \dots, +\] +\dh\ in die einfacheren +\[ +d \equiv 0\ (\mod.~\delta'_{p}),\quad +d \equiv 0\ (\mod.~\delta'_{q}),\ \dots, +\] +oder das Indexsystem $(d) = (d, d, \dots d)$ ist das kleinste System mit +gleichen Elementen, für welches: +\[ +(d) \equiv 0\ (\mod.~(\delta')), +\] +welches also durch das zu $(\delta)$ komplementäre System~$(\delta')$ teilbar +ist. Es ist also der Exponent +\[ +\Tag{(19)} +d = [(\delta')] = [\delta'_{p}, \delta'_{q}, \dots \delta'_{r}] +\] +\PageSep{230}{214} +\index{Quadratische!Form}% +das kleinste gemeinsame Multiplum der Elemente des zu $(\delta)$ komplementären +Divisors~$(\delta')$. + +Ich löse im Anschluß an diese Darstellung der $\phi(g_{0})$\; $g$-adischen +Einheitswurzeln noch die Frage nach dem Werte des Produktes aller +dieser Zahlen. Aus dem letzten \aSeite{152} bewiesenen Satze folgt für +$m = p - 1$, daß das Produkt $w_{1}w_{2} \dots w_{p-1}$ aller $p$-adischen Einheitswurzeln +immer gleich $-1$ ist, und dasselbe gilt auch für das +Produkt $(+1)(-1)$ der beiden dyadischen Einheitswurzeln. Ich +beweise jetzt den allgemeinen Satz: +\begin{Theorem} +Das Produkt aller $\phi(g_{0})$\; $g$-adischen Einheitswurzeln ist gleich~$-1$ +oder gleich~$+1$, je nachdem $g$~eine Primzahlpotenz ist oder +mindestens zwei verschiedene Primfaktoren enthält. +\end{Theorem} + +Ist nämlich: +\[ +w = w_{p}^{\beta_{p}} w_{q}^{\beta_{q}} \dots w_{r}^{\beta_{r}} +\] +die Darstellung aller $\phi(g_{0})$\; $g$-adischen Einheitswurzeln, so kommt unter +ihnen jeder Faktor, etwa~$w = w_{p}^{\beta_{p}}$, genau so oft vor, als es verschiedene +Exponentenkombinationen $(\beta_{q}, \dots \beta_{r})$ gibt, \dh\ genau $\phi\left(\dfrac{g_{0}}{p}\right)$- bzw.\ +$\phi\left(\dfrac{g_{0}}{4}\right)$-mal, je nachdem $p$ ungerade oder gerade ist. Setzen wir also +in den beiden unterschiedenen Fällen $g_{0} = pP$ bzw.\ $4P$ und entsprechend +für die anderen Primfaktoren: +\[ +g_{0} = qQ = \dots = rR, +\] +so ergibt sich für das Produkt aller $g$-adischen Einheitswurzeln offenbar +die Gleichung: +\begin{align*} +\prod w &= (\prod_{(\beta_{p})} w_{p}^{\beta_{p}})^{\phi(P)} + (\prod_{(\beta_{q})} w_{q}^{\beta_{q}})^{\phi(Q)} \dots + (\prod_{(\beta_{r})} w_{r}^{\beta_{r}})^{\phi(R)}\ (g)\\ + &= (-1)_{p}^{\phi(P)} + (-1)_{q}^{\phi(Q)} \dots + (-1)_{r}^{\phi(R)}\ (g), +\end{align*} +wo \zB\ $(-1)_{p}$ für den Bereich von $p$ gleich~$-1$, für die Bereiche von +$q$,~\dots~$r$ aber gleich $+1$ ist; in der Tat ist ja \zB\ das Produkt aller $p - 1$ +Einheiten $w_{p}^{\beta_{p}}$ nach dem früheren speziellen Satze für den Bereich von $p$ +gleich~$-1$. Da nun endlich jeder der Exponenten $\phi(P)$,~\dots~$\phi(R)$ +\PageSep{231}{215} +nach \Seite{98} Mitte eine gerade Zahl ist, sobald nur $P$,~\dots~$R$ größer als +Eins ist (der einzige Fall $P = 2$, wofür $\phi(P)$ sonst noch ungerade ist, +tritt ja hier nie auf), so ist jenes Produkt in der Tat stets gleich~$+1$, +sobald $g_{0}$ mehr als eine Primzahl enthält, da dasselbe für den +Bereich von allen in $g$ enthaltenen Primzahlen $p$,~$q$,~\dots~$r$ gilt. + + +\Section{§ 6.}{Die Logarithmen der $g$-adischen Zahlen.} + +Mit Hilfe der nun vollständig durchgeführten Exponentendarstellung +des absoluten Betrages, der Einheitswurzel und der Haupteinheit +einer beliebigen $g$-adischen Zahl +\[ +A = GwE = (\bar{p}^{\alpha_{p}} \bar{q}^{\alpha_{q}} \dots \bar{r}^{\alpha_{r}}) + (w_{p}^{\beta_{p}} w_{q}^{\beta_{q}} \dots w_{r}^{\beta_{r}}) + (e^{\gamma_{p}} e^{\gamma_{q}} \dots e^{\gamma_{r}}) +\] +können wir nun den Logarithmus einer solchen Zahl genau so einfach +\index{Logarithmus!e.\ $g$-adischen Zahl}% +definieren, wie dies vorher für die $p$-adischen Zahlen möglich war. Ich +will nämlich jetzt von den drei Zahlensystemen: +\[ +(\alpha) = (\alpha_{p}, \alpha_{q}, \dots \alpha_{r}),\quad +( \beta) = ( \beta_{p}, \beta_{q}, \dots \beta_{r}),\quad +(\gamma) = (\gamma_{p}, \gamma_{q}, \dots \gamma_{r}) +\] +das erste, wie bereits auf \Seite{200} oben erwähnt wurde, \so{die +Ordnungszahl}, das zweite System \so{den Index} und das dritte +\index{Index!einer $g$-adischen Zahl}% +\so{den Hauptlogarithmus} der $g$-adischen Zahl~$A$ nennen und ich +will jetzt als \so{Logarithmus von~$A$} das aus diesen drei Systemen +gebildete neue System: +\[ +\tag*{(1)} +\lg A = ((\alpha), (\beta), (\gamma))\DPtypo{,}{} + = ((\alpha_{p}, \dots \alpha_{r}), + (\beta_{p}, \dots \beta_{r}), + (\gamma_{p}, \dots \gamma_{r}))\ (g) +\] +bezeichnen. Auch hier will ich als \so{die Summe} und \so{die Differenz +zweier Logarithmen} die Systeme: +\index{Differenz der Logarithmen}% +\index{Summe!der Logarithmen}% +\[ +\Tag{(2)} +((\alpha), (\beta), (\gamma)) ± ((\alpha'), (\beta'), (\gamma')) + = ((\alpha ± \alpha'), (\beta ± \beta'), (\gamma ± \gamma')) +\] +bezeichnen. + +Eine Zahl~$A$ enthält stets und nur dann einen Teiler der Null, etwa~$O_{p}$, +wenn das entsprechende Element~$\alpha_{p}$ ihrer Ordnungszahl gleich~$+\infty$ +ist, während die zugehörigen Elemente $\beta_{p}$~und~$\gamma_{p}$ des Index und des +Hauptlogarithmus beliebig sein können; denn dann sind ja in der +$p$-Komponente $\frakA = \bar{p}^{\infty} w_{p} E_{p}$\; $w_{p}$~und~$E_{p}$ ganz beliebig. Abgesehen +von diesem Falle gehört zu jeder Zahl~$A$ ein \emph{eindeutig} bestimmter Logarithmus +\PageSep{232}{216} +$((\alpha), (\beta), (\gamma))$, und umgekehrt entspricht jedem Logarithmus +eine eindeutig bestimmte $g$-adische Zahl, \so{sein Numerus}. + +Sind $A$ und $A'$ zwei beliebige $g$-adische Zahlen, und ist +\[ +((\alpha), (\beta), (\gamma)) = \lg A,\quad +((\alpha'), (\beta'), (\gamma')) = \lg A', +\] +so bestehen für die Logarithmen ihres Produktes und ihres +Quotienten, falls dieser existiert, die Gleichungen: +{\small +\begin{align*} +\lg(AA') + &= ((\alpha + \alpha'), (\beta + \beta'), (\gamma + \gamma')) + = ((\alpha), (\beta), (\gamma)) + ((\alpha'), (\beta'), (\gamma')) \\ +\lg \frac{A}{A'} + &= ((\alpha - \alpha'), (\beta - \beta'), (\gamma - \gamma')) + = ((\alpha), (\beta), (\gamma)) - ((\alpha'), (\beta'), (\gamma')), +\end{align*}}% +\dh\ es gelten auch hier die Fundamentalformeln für das Rechnen mit +Logarithmen: +\[ +\Tag{(3)} +\begin{aligned} + \lg (AA') &= \lg A + \lg A' \\ +\lg \frac{A}{A'} &= \lg A - \lg A'. +\end{aligned} +\] +Die Richtigkeit dieser Gleichungen folgt sofort aus den Formeln~\Eq{(7^{a})} +\[ +AA' = (GG')(ww')(EE'),\quad +\frac{A}{A'} = \frac{G}{G'}·\frac{w}{w'}·\frac{E}{E'}, +\] +welche \aSeite{199} hergeleitet wurden. + +Allein in dem Falle ist die Division durch $A'$ nicht möglich, wenn +$A'$ gewisse Teiler der Null enthält, die nicht auch im Zähler~$A$ vorkommen. +Allein dann besitzt die Ordnungszahl $(\alpha - \alpha')$ im Logarithmus von +$\dfrac{A}{A'}$ gewisse Elemente, die $-\infty$ sind, denen also keine $g$-adische Zahl entspricht. +Haben dagegen $A$~und~$A'$ beide etwa den Nullteiler~$O_{p}$, so ist +das entsprechende Element $\alpha_{p} - \alpha'_{p}$ der Ordnungszahl $(\alpha - \alpha')$ gleich +$\infty - \infty$, kann also jeden ganzzahligen Wert besitzen, und das Gleiche +gilt von den Elementen $\beta_{p} - \beta'_{p}$ und $\gamma_{p} - \gamma'_{p}$, da in ihnen sowohl der +Minuendus wie der Subtrahendus beliebig angenommen werden dürfen. +Es geht also auch aus dem $\lg \dfrac{A}{A'}$ hervor, daß in diesem Falle der +$p$-adische Wert von $\dfrac{A}{A'}$ eine ganz beliebige $p$-adische Zahl sein kann. + +Im folgenden werde ich häufig das System $(\gamma) = (\gamma_{p}, \gamma_{q}, \dots \gamma_{r})$ +durch die eine zugehörige Zahl +\PageSep{233}{217} +\[ +\gamma = \gamma_{p} + \gamma_{q} + \dots + \gamma_{r} +\] +ersetzen, so daß dann +\[ +\Tag{(1^{a})} +\lg A = ((\alpha), (\beta), \gamma) +\] +wird. + +Es sei ferner wieder $(\delta) = (\delta_{p}, \delta_{q}, \dots \delta_{r})$ der Teiler des Index~$(\beta)$, +\index{Teiler!des Hauptlogarithmus e.\ $g$-adischen Zahl}% +so daß +\[ +(\beta) = (\delta)(\beta^{(0)}) +\] +ist, wo $(\delta)$~einen Teiler der Periode $P = (p - 1, \dots r - 1)$ bzw.\ +$= (2, \dots r - 1)$ bedeutet und $(\beta^{(0)})$ zu dem komplementären +Periodenteiler~$(\delta')$ relativ prim ist. Ebenso sei +\[ +\bar{g} = \bar{p}^{\bar{k}} \bar{q}^{\bar{l}} \dots \bar{r}^{\bar{m}} = |\gamma| +\] +der absolute Betrag des Hauptlogarithmus~$\gamma$, so daß: +\[ +\gamma = \bar{g}·\gamma_{0} +\] +ist, wo $\gamma_{0}$~eine $g$-adische Einheit bedeutet und wo sicher $\bar{g} \lesssim g_{0}$ ist. +Dann können wir also den Logarithmus einer $g$-adischen Zahl genau +so wie denjenigen einer $p$-adischen Zahl in der Form: +\[ +\lg A = ((\alpha), (\delta)(\beta^{(0)}), \bar{g}\gamma_{0}) +\] +darstellen; und auch hier will ich das System~$(\delta)$ den \so{Indexteiler} +\index{Indexteiler!einer $g$-adischen Zahl}% +und die Zahl~$\bar{g}$ den \so{Teiler des Hauptlogarithmus von~$A$} +nennen. + + +\Section{§ 7.}{Untersuchung der Zahlen für einen beliebigen zusammengesetzten +Modul~$g$.} + +Ich wende die Ergebnisse des vorigen Abschnittes an auf die +genauere Untersuchung der Zahlen~$A$ für eine beliebige zusammengesetzte +Zahl +\[ +g = p^{k} q^{l} \dots r^{m} +\] +als Modul. Auch hier kann ich wie \aSeite{168} Mitte von vornherein die zu +\PageSep{234}{218} +untersuchende Zahl als Einheit, ihre Ordnungszahl $(\alpha) = (\alpha_{p}, \alpha_{q}, \dots \alpha_{r})$ +also gleich Null voraussetzen. + +Jede $g$-adische Einheit ist nun eindeutig in der Form +\[ +E = we^{\gamma} = w_{d} e^{\bar{g}\gamma_{0}} +\] +darstellbar, wo +\[ +w = w_{d} = w_{p}^{\beta_{p}} w_{q}^{\beta_{q}} \dots w_{r}^{\beta_{r}} +\] +eine Einheitswurzel bedeutet, welche zum Exponenten~$d$ gehören möge, +so daß also $w_{d}^{d}$ die kleinste Potenz von $w_{d}$ mit positivem Exponenten +ist, welche gleich~$1$ wird; ferner möge +\[ +\bar{g} = p^{\bar{k}} q^{\bar{l}} \dots r^{\bar{m}} +\] +den Teiler des Hauptlogarithmus von $E$ bedeuten, welcher stets ein +Vielfaches von $g_{0}$ sein muß. + +Ich untersuche jetzt alle diese Einheiten modulo~$g$ und nehme der +Einfachheit wegen auch $g$ als ein Vielfaches der reduzierten Grundzahl~$g_{0}$ +an, \dh\ ich setze voraus, daß, falls der Modul~$g$ gerade sein sollte, +dieser mindestens durch $4$ teilbar ist. Die entsprechenden Resultate +für einen Modul $g = 2q^{l} \dots r^{m}$ können leicht gesondert ausgesprochen +werden. +\begin{Theorem} +Eine Einheit $E = we^{\gamma}$ ist stets und nur dann kongruent~$1$ +modulo~$g$, \dh\ eine Haupteinheit modulo~$g$, wenn ihre Einheitswurzel~$w$ +gleich Eins und ihr Hauptlogarithmus~$\gamma$ durch $g$ teilbar +ist. +\end{Theorem} + +Betrachtet man nämlich die Kongruenz: +\[ +E = we^{\gamma} \equiv 1\ (\mod.~g) +\] +zuerst modulo~$g_{0}$ und beachtet, daß für diesen Modul $e^{\gamma} \equiv 1$ ist, so folgt +als notwendige Bedingung $w \equiv 1\ (\mod.~g_{0})$ und sie ist nach \Seite{210} +unten nur dann erfüllt, wenn $w = 1$ ist. Die dann übrigbleibende +Kongruenz +\[ +e^{\gamma} \equiv 1\ (\mod.~g) +\] +ist aber nach \Seite{207} oben allein dann erfüllt, wenn $\gamma$ durch $g$ teilbar +ist; und damit ist unsere Behauptung bewiesen. +\PageSep{235}{219} + +Zwei Einheiten +\[ +E = we^{\gamma} \quad +E' = w'e^{\gamma'} +\] +sind also dann und nur dann modulo~$g$ kongruent, wenn +\[ +w = w' \quad\text{und}\quad \gamma \equiv \gamma'\ (\mod.~g) +\] +ist, wenn also ihre Einheitswurzeln gleich und ihre Hauptlogarithmen +modulo~$g$ kongruent sind; denn allein dann ist ja ihr Quotient +\[ +\frac{E}{E'} = \frac{w}{w'}\, e^{\gamma-\gamma'} +\] +modulo~$g$ kongruent~$1$. Also sind in der Form: +\[ +E = w^{(r)} e^{g_{0}s} +\] +alle modulo~$g$ inkongruenten Einheiten enthalten, wenn $w$ alle $\phi(g_{0})$ +Einheitswurzeln und $s$ alle $\dfrac{g}{g_{0}}$ Zahlen $0$,~$1$,~\dots~$\left(\dfrac{g}{g_{0}} - 1\right)$ durchläuft. Die +Anzahl aller dieser inkongruenten Einheiten ist also gleich $\dfrac{g}{g_{0}} \phi(g_{0})$, +\dh\ gleich~$\phi(g)$, wie eine leichte Rechnung zeigt. + +Jede der $\phi(g)$ modulo~$g$ inkongruenten Einheiten: +\[ +E = w_{d} e^{\bar{g} \gamma_{0}} +\] +gehört nun für diesen Modul zu einem Exponenten~$\delta$, und zwar ist dieser +die kleinste positive Zahl, für welche: +\[ +E^{\delta} = w_{d}^{\delta} e^{\bar{g} \delta \gamma_{0}}\ (\mod.~g) +\] +ist. Hiernach ist $\delta$ die kleinste positive Zahl, welche erstens selbst +durch $d$ und für welche zweitens $\bar{g}\delta$ durch $g$ teilbar ist, \dh\ es ist +\[ +\Tag{(1)} +\delta = \left[d, \frac{g}{\,\bar{g}\,}\right]. +\] +Den größten Exponenten~$\bar{\delta}$, zu dem eine Einheit $E = we^{\gamma}$ überhaupt +modulo~$g$ gehören kann, erhält man, wenn man für $w$~eine primitive +Wurzel~$w_{\mu}$ wählt, welche zu dem höchsten Exponenten +\[ +\mu = [p - 1, q - 1, \dots r - 1] \quad\text{bzw.}\quad [2, q - 1, \dots r - 1] +\] +\PageSep{236}{220} +gehört, und wenn man zugleich den Teiler~$\bar{g}$ des Hauptlogarithmus möglichst +klein, also gleich $g_{0}$ wählt, so daß also +\[ +\DPtypo{\Tag{(1a)}}{\Tag{(1^{a})}} +\bar{\delta} = \left[\mu, \frac{g}{g_{0}}\right] +\] +wird. Alle anderen Exponenten $\delta = \left[d, \dfrac{g}{\,\bar{g}\,}\right]$ sind nämlich Teiler von~$\bar{\delta}$, +weil nach \Seite{210}~\Eq{(7)} $d$~ein Teiler von $\mu$ und $\dfrac{g}{\,\bar{g}\,}$~ein Teiler von $\dfrac{g}{g_{0}}$ ist. +Es ergibt sich also der Satz: +\begin{Theorem} +Jede Einheit gehört modulo~$g$ zu einem Exponenten~$\delta$, welche +ihrerseits sämtlich Teiler des größten unter ihnen $\bar{\delta}$ sind. Jede Einheit +genügt also modulo~$g$ der Kongruenz: +\[ +\Tag{(2)} +x^{\bar{\delta}} \equiv 1\ (\mod.~g), +\] +wo $\bar{\delta} = \left[\mu, \dfrac{g}{g_{0}}\right]$ ist, und dies ist die Kongruenz niedrigsten Grades, +der alle $\phi(g)$ Einheiten modulo~$g$ genügen. +\end{Theorem} + +Am einfachsten können die modulo $g = p^{k} q^{l} \dots r^{m}$ inkongruenten +Einheiten ohne jede Voraussetzung über $g$ mit Hilfe der primitiven +Wurzeln modulo $p^{k}$,~$q^{l}$,~\dots~$r^{m}$ additiv oder multiplikativ dargestellt +werden, welche wir \aSeite{173} in die Rechnung eingeführt haben. Jede +Einheit~$E$ konnte eindeutig als Summe bzw.\ als Produkt ihrer Komponenten +für den Bereich von $p$,~$q$,~\dots~$r$ in einer der Formen dargestellt +werden: +\[ +\Tag{(3)} +E = E_{p} + E_{q} + \dots + E_{r}\ (g) \quad +E = \frakE_{p} \frakE_{q} \dots \frakE_{r}\ (g), +\] +wo \zB\ $E_{p}$~und~$\frakE_{p}$ die eindeutig bestimmten $g$-adischen Zahlen waren, +welche für den Bereich von $p$ gleich~$E$, für die Bereiche von $q$,~\dots~$r$ +aber gleich Null bzw.\ gleich Eins sind. Betrachtet man nun diese Gleichungen +als Kongruenzen modulo~$g$, so ergeben sich die Kongruenzen: +\[ +E \equiv E_{p}^{(0)} + E_{q}^{(0)} + \dots + E_{r}^{(0)}\ (\mod.~g),\quad +E \equiv \frakE_{p}^{(0)} \frakE_{q}^{(0)} \dots \frakE_{r}^{(0)}\ (\mod.~g), +\] +wo \zB\ die ganzen rationalen Zahlen $E_{p}^{(0)}$ bzw.\ $\frakE_{p}^{(0)}$ die Anfangsglieder +von $E_{p}$ und $\frakE_{p}$ sind, welche modulo~$p^{k}$ kongruent~$E$, dagegen modulo +$q^{l}$,~\dots~$r^{m}$ kongruent Null bzw.\ kongruent Eins sind. Es sei nun $c_{p}$ bzw.\ +$\frakc_{p}$ je eine rationale Zahl, welche für die als ungerade vorausgesetzte +\PageSep{237}{221} +Primzahlpotenz~$p^{k}$ als Modul eine primitive Wurzel, dagegen modulo +$q^{l}$,~\dots~$r^{m}$ kongruent~$0$ bzw.\ kongruent Eins ist, und es mögen $c_{q}$ bzw.\ +$\frakc_{q}$,~\dots~$c_{r}$ bzw.\ $\frakc_{r}$ die entsprechende Bedeutung für die ungeraden Primzahlpotenzen +$q^{l}$,~\dots~$r^{m}$ haben. Ist dann $g = p^{k} \dots r^{m}$ ungerade, so ergeben +sich für alle $\phi(g)$ modulo~$g$ inkongruenten Einheiten die beiden +folgenden additiven und multiplikativen Darstellungen: +\[ +\Tag{(4)} +\begin{aligned} +E \equiv c_{p}^{b_{p}} + c_{q}^{b_{q}} + \dots + c_{r}^{b_{r}} + \equiv \frakc_{p}^{b_{p}} \frakc_{q}^{b_{q}} \dots \frakc_{r}^{b_{r}}\ (\mod.~g)& \\ +\begin{Conditions}%[** TN: Not smaller in the original] +(b_{p} = 0, 1, \dots \phi(p^{k}) - 1;\ \dots) +\end{Conditions}.& +\end{aligned} +\] + +Sollte dagegen $g = 2^{k} q^{l} \dots r^{m}$ gerade sein, so konnten wir ja alle +$\phi(2^{k}) = 2^{k-1}$ modulo~$2^{k}$ inkongruenten dyadischen Einheiten eindeutig +in der Form darstellen +\[ +(-1)^{\alpha} 5^{\beta}\quad +\begin{Conditions} +\left( +\begin{aligned} +\alpha &= 0, 1 \\ +\beta &= 0, 1, \dots \phi(2^{k-1}) - 1 +\end{aligned} +\right)\end{Conditions}. +\] +Bezeichnen wir also hier durch $(\bar{-1})$~und~$\bar{5}$ bzw.\ durch $(\ubar{-1})$~und~$\ubar{5}$ zwei +rationale Zahlen, welche modulo~$2^{k}$ kongruent $-1$~und~5, aber modulo +$q^{l}$,~\dots~$r^{m}$ bzw.\ kongruent $0$~oder~$1$ sind, so ergibt sich hier die Darstellung: +\[ +E \equiv (\bar{-1})^{\alpha} \bar{5}^{\beta} + c_{q}^{b_{q}} + \dots + c_{r}^{b_{r}} + \equiv (\ubar{-1})^{\alpha} \ubar{5}^{\beta} \frakc_{q}^{b_{q}} \dots \frakc_{r}^{b_{r}}\ (\mod.~g). +\] +Hierbei ist zu bemerken, daß, falls $p^{k} =2 ^{1}$ ist, $\alpha = \beta = 0$, für $p^{k} = 2^{2}$ +$\alpha = 0$,~$1$, aber $\beta = 0$ zu setzen ist. + +Im folgenden wollen wir immer von der Darstellung~\Eq{(4)} der Einheiten +modulo~$g$ ausgehen, aber dabei bemerken, daß falls $p$ gerade +sein sollte, die Potenz~$c_{p}^{b_{p}}$ durch das Potenzprodukt $(\bar{-1})^{\alpha} \bar{5}^{\beta}$, also der +Exponent~$b_{p}$ durch das Exponentensystem $(\alpha, \beta)$ zu ersetzen ist. Ich +nenne nun das Exponentensystem $(b_{p}, b_{q}, \dots b_{r})$, durch das dann jede +der $\phi(g)$ modulo~$g$ inkongruenten Einheiten~$E$ eindeutig bestimmt wird, +\so{den Index von~$E$ modulo~$g$} und setze: +\index{Index!einer Einheit modulo~$g$}% +\[ +\Ind E = (b_{p}, b_{q}, \dots b_{r})\ (\mod.~g), +\] +wo die einzelnen Exponenten $b_{p}$,~\dots~$b_{r}$ bzw.\ nur modulo $\phi(p^{k})$,~\dots~$\phi(r^{m})$ +gerechnet werden oder wo wieder wie \aSeite{211} unten zwei Indizes +$(b_{p}, \dots b_{r})$ und $(b'_{p}, \dots b'_{r})$ als gleich betrachtet werden, wenn ihre +entsprechenden Elemente $b_{p}$~und~$b'_{p}$ modulo $\phi(p_{r}^{k})$,~\dots\ $b_{r}$~und~$b'_{r}$ +modulo $\phi(r^{m})$ kongruent sind. +\PageSep{238}{222} + +Speziell ist dann +\[ +\Ind 1 = (0, 0, \dots 0), +\] +und es bestehen wieder die Gleichungen: +\begin{align*} +\Ind (EE') &= \Ind E + \Ind E' \\ +\Ind \left(\frac{E}{E'}\right) &= \Ind E - \Ind E', +\end{align*} +wenn wieder die Summe und die Differenz zweier Indizes wie \aSeite{211}~\Eq{(13)} +definiert werden. + +Gehört $E$ modulo~$g$ zum Exponenten~$\delta$, so ist $\delta$ die kleinste positive +Zahl, für welche $E^{\delta} \equiv 1\ (\mod.~g)$, wofür also +\[ +\Ind (E^{\delta}) = (\delta b_{p}, \delta b_{q}, \dots \delta b_{r}) = (0, 0, \dots 0), +\] +\dh\ für ungerades~$g$: +\[ +\delta b_{p} \equiv 0\ (\mod.~\phi(p^{k})),\ \dots\quad +\delta b_{r} \equiv 0\ (\mod.~\phi(r^{m})), +\] +für gerades $g$ aber: +\[ +\delta\alpha \equiv 0\ (\mod.~2),\quad +\delta\beta \equiv 0\ (\mod.~2^{k-2}),\ \dots\quad +\delta b_{r} \equiv \DPtypo{}{0}\ (\mod.~\phi(r^{m})) +\] +ist. Den größten Wert $\bar{\delta}$ von $\delta$ erhält man, wenn man alle Exponenten +$b_{p}$,~\dots~$b_{r}$ teilerfremd bzw.\ zu $\phi(p^{k})$,~\dots~$\phi(r^{m})$ annimmt, wenn man also +\zB\ speziell alle gleich~$1$ voraussetzt. Also gehören in den vier unterschiedenen +Fällen: +\[ +g = p^{k} q^{l} \dots r^{m},\quad +2^{k} q^{l} \dots r^{m},\quad +2^{2} q^{l} \dots r^{m},\quad +2q^{l} \dots r^{m} +\] +\zB\ die Einheiten: +\[ +\Tag{(5)} +\bar{E} = \frakc_{p} \frakc_{q} \dots \frakc_{r},\quad +(\ubar{-1}) \ubar{5} \frakc_{q} \dots \frakc_{r},\quad +(\ubar{-1}) \frakc_{q} \dots \frakc_{r},\quad +\frakc_{q} \dots \frakc_{r} +\] +modulo~$g$ zum höchsten Exponenten~$\bar{\delta}$, wo $\bar{\delta}$~offenbar das kleinste gemeinsame +Vielfache der Exponenten ist, zu denen die Komponenten +von~$\bar{E}$ in~\Eq{(5)} gehören. In den vier unterschiedenen Fällen ist also +\[ +\Tag{(6)} +\begin{alignedat}{2} +\bar{\delta} &= &[\phi(p^{k}), \phi(q^{l}), \dots \phi(r^{m})]& \\ + &={}&[2, 2^{k-2}, \phi(q^{l}), \dots \phi(r^{m})]& \\ + &= &[2, \phi(q^{l}), \dots \phi(r^{m})]& \\ + &= &[\phi(q^{l}), \dots \phi(r^{m})]&. +\end{alignedat} +\] +\PageSep{239}{223} +Hieraus folgt zunächst, daß dieser höchste Exponent~$\bar{\delta}$ ein Teiler von +$\phi(g)$ ist; denn in allen vier soeben unterschiedenen Fällen ist ja das +Produkt der in der eckigen Klammer stehenden Zahlen genau gleich +$\phi(g)$ und dieses ist ja stets durch das kleinste gemeinsame Vielfache +derselben teilbar. + +Nur in dem Falle ist nun das kleinste gemeinsame Vielfache~$\bar{\delta}$ +der in den eckigen Klammern stehenden Zahlen \emph{gleich} ihrem Produkte~$\phi(g)$, +wenn alle jene Zahlen teilerfremd sind. Allein in diesem Falle sind +also die $\phi(g)$ Potenzen +\[ +1,\ \bar{E},\ \bar{E}^{2},\ \dots\ \bar{E}^{\phi(g)-1} +\] +modulo~$g$ inkongruent; für diese Moduln~$g$ allein sind also alle Einheiten +modulo~$g$ als Potenzen einer einzigen primitiven Einheit darstellbar. Dies +ist, wie schon früher bewiesen worden war, sicher der Fall, falls $g = 2$, +$4$,~$p^{k}$ ist, wenn $p$ irgendeine ungerade Primzahl bedeutet. Enthält nun im +ersten der vier in~\Eq{(6)} unterschiedenen Fälle $g$ auch nur zwei ungerade Primfaktoren +$p$~und~$q$, so sind $\phi(p^{k}) = (p - 1) p^{k-1}$ und $\phi(q^{l}) = (q - 1) q^{l-1}$ +sicher nicht teilerfremd, da sie beide durch $2$ teilbar sind. Im zweiten +Falle haben, da $k \geqq 3$ ist, die beiden ersten Elemente $2$~und~$2^{k-2}$ den +gemeinsamen Teiler~$2$; dasselbe gilt im dritten Falle für $2$~und~$\phi(q^{l})$; +nur dann, wenn $g = 2^{2}$ ist, ist also hier die Bedingung für die Existenz +einer solchen primitiven Wurzel erfüllt. Ebenso ist im vierten Falle +$g = 2q^{l} \dots r^{m}$ diese Bedingung dann und nur dann erfüllt, wenn $g$ außer +$2$ keinen oder nur einen ungeraden Primfaktor enthält. So ergibt sich +jetzt also der allgemeine Satz: +\begin{Theorem} +Alle modulo $g$ inkongruenten Einheiten lassen sich dann und +nur dann für diesen Modul als Potenzen einer primitiven Einheit +darstellen, wenn +\[ +g = 2,\ 4,\ p^{k} \quad\text{oder}\quad 2p^{k} +\] +ist, wo $p$~eine ungerade Primzahl bedeutet. +\end{Theorem} + + +\Section{§ 8.}{Der Wilsonsche Satz für einen beliebigen Modul~$g$. --- +Die Auflösung der allgemeinen linearen Kongruenz modulo~$g$.} + +Als erste Anwendung beweise ich jetzt den Wilsonschen Satz für +eine beliebige zusammengesetzte Zahl +\PageSep{240}{224} +\[ +g = p^{k} q^{l} \dots r^{m} \quad\text{bezw.}\quad +g = 2^{k} q^{l} \dots r^{m}, +\] +und zwar kann ich voraussetzen, daß $g$ mindestens zwei verschiedene +Primfaktoren $p$,~$q$ bzw.\ $2$,~$q$ enthält, da der Fall einer einzigen Primzahlpotenz +bereits vorher vollständig behandelt worden ist. Dann kann +der Wilsonsche Satz folgendermaßen \DPtypo{ausgepsochen}{ausgesprochen} werden: +\begin{Theorem} +Das Produkt aller $\phi(g)$ modulo~$g$ inkongruenten Einheiten ist +modulo~$g$ stets kongruent~$+1$; nur dann ist es kongruent~$-1$, wenn +$g = 2q^{l}$ das Doppelte einer ungeraden Primzahlpotenz ist. +\end{Theorem} + +Denkt man sich jede der modulo~$g$ inkongruenten Einheiten in der +multiplikativen Normalform dargestellt: +\[ +E = \frakE_{p} \frakE_{q} \dots \frakE_{r}, +\] +so durchläuft \zB\ der Wert von $\frakE_{p}$ modulo~$p^{k}$ ein vollständiges System +inkongruenter Einheiten usw.; bildet man ferner das über alle $\phi(g)$ +inkongruenten Einheiten~$E$ erstreckte Produkt, so kommt jede Komponente~$\frakE_{p}$ +so oft vor, als es modulo $P = q^{l} \dots r^{m}$ inkongruente Produkte +$E_{q}$,~\dots~$E_{r}$ gibt, \dh\ jedes $E_{p}$ kommt genau $\phi(P)$ mal in jenem Produkte +vor. Hieraus ergibt sich für das Produkt aller Einheiten~$E$ die folgende +Darstellung: +\[ +\prod E = (\prod \frakE_{p})^{\phi(P)}·(\prod \frakE_{q})^{\phi(Q)} \dots (\prod \frakE_{r})^{\phi(R)}, +\] +wenn wieder $P$,~$Q$,~\dots~$R$ die zu $p^{k}$,~$q^{l}$,~\dots~$r^{m}$ komplementären Faktoren +von $g$ sind. Nach dem \aSeite{181}~ff.\ bewiesenen Satze ist aber jedes +der rechts stehenden Partialprodukte $\prod\frakE_{p}$,~\dots\ modulo $p^{k}$,~\dots\ kongruent~$-1$, +und jeder der Exponenten, \zB~$\phi(P)$, ist nach \Seite{98} +Mitte gerade, außer wenn $P = 2$, wenn also $g = 2q^{l}$ ist; und da hier +$\prod \frakE_{q} \equiv -1$ ist, so ergibt sich in der Tat die Richtigkeit des oben +aufgestellten Satzes. Zusammenfassend können wir also den allgemeinen +Wilsonschen Satz in der folgenden Form aussprechen: +\begin{Theorem} +Das Produkt aller $\phi(g)$ modulo~$g$ inkongruenten Einheiten ist +modulo~$g$ stets kongruent~$±1$, und zwar ist es allein in den Fällen +kongruent~$-1$, wenn +\[ +g = 4,\ p^{k},\ 2p^{k} +\] +ist, in allen anderen Fällen aber kongruent~$+1$. +\end{Theorem} +\PageSep{241}{225} + +Nur kurz möchte ich die Ausdehnung des \aSeite{181} für eine Primzahlpotenz~$p^{k}$ +geführten direkten Beweises des Wilsonschen Satzes auf +den Fall eines beliebigen zusammengesetzten Moduls angeben, um einen +interessanten Satz zu beweisen, der die Verallgemeinerung desjenigen +\aSeite{183} ist. Denken wir uns wieder die $\phi(g)$ modulo~$g$ inkongruenten +Einheiten in der Form gegeben: +\[ +E_{rs} = w_{r} e^{g_{0}s}, +\] +wo $w_{r}$ diejenige eindeutig bestimmte Einheitswurzel sein soll, welche +kongruent~$r$ modulo~$g_{0}$ ist, so sind für ein festes $r$ die Einheiten~$E_{rs}$ für +$s = 0$, $1$,~\dots~$\left(\dfrac{g}{g_{0}} - 1\right)$ alle und nur diejenigen modulo~$g$ inkongruenten Einheiten, +welche modulo~$g_{0}$ kongruent~$r$, welche also in der arithmetischen +Reihe $r + g_{0}h$ enthalten sind. Das Produkt dieser $\dfrac{g}{g_{0}}$ Einheiten wird also: +\[ +\Tag{(1)} +\prod_{s=0}^{\efrac{g}{g_{0}}-1}E_{rs} + = w_{r}^{\efrac{g}{g_{0}}} e^{g_{0}\left(1+2+\dots+\left(\efrac{g}{g_{0}}-1\right)\right)} + = w_{r}^{\efrac{g}{g_{0}}} e^{g_{0}·\efrac{1}{2}\left(\efrac{g}{g_{0}}-1\right)}. +\] +Ist nun $\dfrac{g}{g_{0}}$ ungerade, also g höchstens durch $4$ teilbar, so ist $\dfrac{1}{2} \left(\dfrac{g}{g_{0}} - 1\right)$ +ganz, also der Exponentialfaktor kongruent~$1$ modulo~$g$. Ist dagegen +$\dfrac{g}{g_{0}}$ gerade, also $g$ mindestens durch $8$ teilbar, so ist der Exponent von +$e$ nur durch $\dfrac{g}{2}$ teilbar, also der \DPtypo{Eponentialfaktor}{Exponentialfaktor} nur kongruent~$1$ +modulo~$\dfrac{g}{2}$. Also ergibt sich der Satz: +\begin{Theorem} +Das Produkt aller modulo~$g$ inkongruenten Einheiten, welche in +einer arithmetischen Reihe der Form $r + g_{0}h$ enthalten sind, ist stets +kongruent der $\left(\dfrac{g}{g_{0}}\right)$-ten Potenz der zugehörigen Einheitswurzel~$w_{r}$ +für den Modul~$g$ oder den Modul~$\dfrac{g}{2}$, je nachdem $g$ höchstens durch +$4$ oder mindestens durch $8$ teilbar ist. +\end{Theorem} + +Multipliziert man noch \Eq{(1)} über alle $\phi(g_{0})$ Werte von~$r$, so erhält +man wieder den Wilsonschen Satz. +\PageSep{242}{226} + +Als Abschluß dieser Untersuchungen werde jetzt die Auflösung +der allgemeinen linearen ganzzahligen Kongruenz für eine beliebige zusammengesetzte +Zahl $g = p^{k} q^{l} \dots r^{m}$ als Modul auf den schon \aSeite{183} +behandelten Fall reduziert, daß dieser Modul eine Primzahlpotenz ist. +Hier gilt, wie jetzt bewiesen werden soll, der folgende einfache Satz: +\begin{Theorem} +Die ganzzahlige Kongruenz: +\[ +\Tag{(2)} +AX \equiv A'\ (\mod.~g) +\] +besitzt stets und nur dann eine ganzzahlige Lösung, wenn $A'$ durch +den größten gemeinsamen Teiler: +\[ +\Tag{(3)} +d = (A, g) = p^{k_{0}} q^{l_{0}} \dots r^{m_{0}} +\] +von $A$~und~$g$ ebenfalls teilbar ist, und in diesem Falle ist die Anzahl +aller modulo~$g$ inkongruenten ganzzahligen Lösungen dieser Kongruenz +genau gleich~$d$. +\end{Theorem} + +Schreibt man nämlich die Zahlen $A$,~$A'$ und~$X$ modulo~$g$ in ihrer +multiplikativen Normalform, so geht die vorgelegte Kongruenz in die +folgende über: +\[ +(\frakA_{p} X_{p}) (\frakA_{q} X_{q}) \dots (\frakA_{r} X_{r}) + \equiv \frakA'_{p} \frakA'_{q} \dots \frakA'_{r}\ (\mod.~g), +\] +welche dann und nur dann erfüllt ist, wenn die Kongruenzen +\[ +\Tag{(4)} +\frakA_{p} X_{p} \equiv \frakA'_{p}\ (\mod.~p^{k}),\ \dots\quad +\frakA_{r} X_{r} \equiv \frakA'_{r}\ (\mod.~r^{m}) +\] +jede für sich bestehen, und aus jedem Lösungssystem derselben ergibt sich +dann je eine eindeutig bestimmte Lösung der vorgelegten Kongruenz. Nun +bewies ich aber \aaO, daß \zB\ die erste der Kongruenzen~\Eq{(4)} dann +und nur dann eine ganzzahlige Lösung hat, wenn $\frakA'_{p}$ durch den größten +gemeinsamen Teiler von $(\frakA_{p}, p^{k}) = d_{p}$ teilbar ist, und daß dann die +Anzahl aller inkongruenten Lösungen gleich $d_{p}$ ist, und das entsprechende +gilt für die anderen Kongruenzen in~\Eq{(4)}. Ferner ist offenbar +\[ +(\frakA_{p}, p^{k}) = (A, p^{k}) = p^{k_{0}}, +\] +wo $p^{k_{0}}$ die in $d = (A, g) = (A, p^{k} q^{l} \dots r^{m})$ enthaltene Potenz von $p$ +bedeutet usw. Also besitzt die Kongruenz~\Eq{(2)} überhaupt nur dann eine +\PageSep{243}{227} +ganzzahlige Lösung, wenn $\frakA'_{p}$~durch~$p^{k_{0}}$, $\frakA'_{q}$~durch $q^{l_{0}}$,~\dots\ $\frakA'_{r}$~durch~$r^{m_{0}}$, +wenn also $A'$~durch~$d$ teilbar ist. Ist dies der Fall, so ist die Anzahl +aller modulo $p^{k}$,~$q^{l}$,~\dots~$r^{m}$ inkongruenten Systeme von Lösungen +$X_{p}$,~\dots~$X_{r}$ in~\Eq{(4)} gleich $p^{k_{0}} q^{l_{0}} \dots r^{m_{0}} = d$, und somit besitzt in der +Tat die Kongruenz~\Eq{(2)} genau $d$~inkongruente Lösungen, unsere Behauptung +ist also vollständig bewiesen. +\PageSep{244}{228} + + +\Chapter{Zehntes Kapitel.} +{Die Auflösung der reinen Gleichungen und +der reinen Kongruenzen. Die quadratischen +Gleichungen und Kongruenzen.} + +\Section{§ 1.}{Die Auflösung der reinen Gleichungen im Ringe der +$g$-adischen Zahlen.} + +Ich wende mich nun zur Untersuchung der Frage, wann eine beliebige +reine Gleichung +\[ +\Tag{(1)} +x^{\mu} = A\ (g) +\] +im Bereiche der $g$-adischen Zahlen Wurzeln besitzt, und, falls dies +der Fall sein sollte, wie groß die Anzahl dieser Wurzeln ist. Wir setzen +dabei zunächst voraus, daß $A$ keinen Nullteiler enthält. + +Die zweite Frage kann nun zunächst sehr leicht vollständig gelöst +werden: Hat nämlich die Gleichung~\Eq{(1)} überhaupt \emph{eine} Lösung~$x_{0}$, so daß +also: +\[ +\Tag{(1^{a})} +x_{0}^{\mu} = A\ (g) +\] +ist, und ist $x$ irgendeine andere Lösung derselben Gleichung, so enthalten +beide ebenfalls keinen Teiler der Null, und für ihren Quotienten +$\left(\dfrac{x}{x_{0}}\right) = w$ erhalten wir aus \Eq{(1)}~und~\Eq{(1^{a})} die Gleichung: +\[ +\Tag{(1^{b})} +\left(\frac{x}{x_{0}}\right)^{\mu} = w^{\mu} = 1\ (g). +\] +Jede Lösung unserer Gleichung hängt also mit irgendeiner unter ihnen +durch eine Gleichung +\[ +\Tag{(1^{c})} +x = x_{0} w\ (g) +\] +\PageSep{245}{229} +zusammen, in der $w$ eine \Ord{$\mu$}{-te} Einheitswurzel ist, und umgekehrt ist jede +solche Zahl~\Eq{(1^{c})} auch wirklich eine Lösung von~\Eq{(1)}. + +Wir haben also nur die Anzahl aller \Ord{$\mu$}{-ten} Einheitswurzeln +\[ +\Tag{(2)} +w = w_{p}^{\beta_{p}} w_{q}^{\beta_{q}} \dots w_{r}^{\beta_{r}}\ (g) +\] +im Ringe~$R(g)$ zu bestimmen. Eine solche Zahl genügt nun stets und +nur dann der Gleichung $w^{\mu} = 1$, wenn +\[ +\mu \Ind w = \mu(\beta_{p}, \beta_{q}, \dots \beta_{r}) = 0, +\] +wenn also +\[ +\Tag{(2^{a})} +(\mu)(\beta) \equiv 0\ (\mod.~(P)) +\] +ist, wo $(\mu) = (\mu, \mu, \dots \mu)$ das zu $\mu$ gehörige Indexsystem und +$(P) = (p - 1, \dots r - 1)$ bzw.\ $(2, \dots r - 1)$ die Periode für die +Indexsysteme ist. Ist nun +\[ +\Tag{(3)} +(\mu) = (\delta)(\mu^{(0)}), +\] +ist also $(\delta)$ der Indexteiler von~$(\mu)$, so daß +\[ +(\delta) = ((\mu), (P)) = ((\mu, p - 1), (\mu, q - 1), \dots (\mu, r - 1)) +\] +ist, und bedeutet $(\delta')$ den komplementären Teiler zu~$(\delta)$, für den also +$(P) = (\delta) (\delta')$ ist, dann folgt aus~\Eq{(2^{a})} +\[ +(\delta)(\mu^{(0)})(\beta) \equiv 0\ (\mod.~(\delta)(\delta')), +\] +also, da $(\mu^{(0)})$ zu $(\delta')$ teilerfremd ist: +\[ +(\beta) \equiv 0\ (\mod.~(\delta')), +\] +\dh\ es muß +\[ +\Tag{(4)} +(\beta) = (\delta')(\beta^{(0)}) +\] +sein, wo das System $(\beta^{(0)}) = (\beta_{p}^{(0)}, \beta_{q}^{(0)}, \dots \beta_{r}^{(0)})$ ganz beliebig +angenommen werden kann. Ist umgekehrt das Indexsystem~$(\beta)$ durch +$(\delta')$ teilbar, so ist in der Tat: +\[ +(\mu)(\beta) = (\delta)(\delta')(\mu^{(0)})(\beta^{(0)}) +\] +durch $(P) = (\delta)(\delta')$ teilbar, also die Zahl~$w$ in~\Eq{(2)} eine \Ord{$\mu$}{-te} Einheitswurzel. +Man erhält also alle verschiedenen, \dh\ modulo $(P) = (\delta)(\delta')$ +inkongruenten \Ord{$\mu$}{-ten} Einheitswurzeln, wenn man in dem Indexsystem +\PageSep{246}{230} +\[ +(\delta')(\beta^{(0)}) + = (\delta'_{p} \beta^{(0)}_{p}, \dots \delta'_{r} \beta^{(0)}_{r}) +\] +die Elemente von $(\beta^{(0)})$ ein vollständiges Restsystem modulo~$(\delta)$ +durchlaufen läßt; denn dann durchlaufen die Elemente von $(\delta')(\beta^{(0)})$ +alle modulo $(P) = (\delta') (\delta)$ inkongruenten durch $(\delta')$ teilbaren Indizes. +Also ist die Anzahl aller verschiedenen \Ord{$\mu$}{-ten} Einheitswurzeln gleich +\[ +\Tag{(5)} +n((\delta)) = \delta_{p}·\delta_{q} \dots \delta_{r} = \prod (\mu, p - 1), +\] +wenn hier wie stets im Folgenden~$n((\delta))$ das Produkt aller Elemente +eines Systems~$(\delta)$ bedeuten. Wir erhalten also den folgenden Satz: +\begin{Theorem} +Die Anzahl aller $g$-adischen Wurzeln der Gleichung +\[ +x^{\mu} = A\ (g) +\] +ist entweder gleich Null oder gleich +\[ +\Tag{(5)} +n((\mu), (P)) = \prod_{p/g} (\mu, p - 1). +\] +wo das Produkt über alle verschiedenen Primteiler von $g$ zu erstrecken +ist. Alle Wurzeln dieser Gleichung gehen aus einer von +ihnen durch Multiplikation mit einer \Ord{$\mu$}{-ten} Einheitswurzel hervor. +\end{Theorem} +Es ist hierbei zu bemerken, daß, falls $g$ den Primfaktor~$2$ enthält, im +ersten Faktor des obigen Produktes~\Eq{(5)} $p - 1$ durch $2$ zu ersetzen ist. + +Ich untersuche nun, wann die Gleichung~\Eq{(1)} überhaupt eine $g$-adische +Wurzel~$x$ besitzt. Ist $(\xi)$ die Ordnungszahl, $(\eta)$~der Index, $\zeta$~der +Hauptlogarithmus von~$x$, ist also +\[ +\lg x = ((\xi), (\eta), \zeta), +\] +so folgt aus jener Gleichung, daß +\[ +\mu \lg x = (\mu·(\xi), \mu·(\eta), \mu·\zeta) = \lg A +\] +sein muß. Ist also: +\[ +\lg A = ((\alpha), (\beta), \gamma) +\] +der Logarithmus von~$A$, so besitzt die Gleichung~\Eq{(1)} stets und nur dann +eine Lösung, wenn man Systeme $(\xi)$,~$(\eta)$ und einen Hauptlogarithmus~$\zeta$ +so bestimmen kann, daß die drei Gleichungen +\PageSep{247}{231} +\[ +\Tag{(6)} +\mu·(\xi) = (\alpha),\quad +\mu·(\eta) = (\beta),\quad +\mu·\zeta = \gamma +\] +erfüllt sind. + +Aus der ersten Gleichung bestimmt sich das System~$(\xi)$ von $x$ +eindeutig durch die Gleichung: +\[ +\Tag{(7)} +(\xi) = \left(\frac{\alpha}{\mu}\right) +\] +und sie liefert dann und nur dann ein eindeutig bestimmtes ganzzahliges +System, wenn $\left(\dfrac{\alpha}{\mu}\right)$ ganz, +\begin{Theorem}[\noindent] +wenn also in $(\alpha) = (\alpha_{p}, \alpha_{q}, \dots \alpha_{r})$ alle Exponenten durch $\mu$ +teilbar sind. +\end{Theorem} + +Um zunächst die dritte Gleichung~\Eq{(6)} aufzulösen, seien: +\[ +\mu = g_{\mu}·\epsilon_{\mu},\quad +\gamma = g_{\gamma}\DPtypo{}{·}\epsilon_{\gamma}, +\] +wo +\[ +g_{\mu} = |\mu| = \bar{p}^{k_{\mu}} \bar{q}^{l_{\mu}} \dots \bar{r}^{m_{\mu}},\quad +g_{\gamma} = |\gamma| = \bar{p}^{k_{\gamma}} \bar{q}^{l_{\gamma}} \dots \bar{r}^{m_{\gamma}}, +\] +die absoluten Beträge von $\mu$~und~$\gamma$, also $\epsilon_{\mu}$~und~$\epsilon_{\gamma}$\; $g$-adische Einheiten +sind. Dann liefert die Auflösung +\[ +\Tag{(7^{a})} +\zeta = \frac{\gamma}{\mu} + = \frac{g_{\gamma}}{g_{\mu}}·\frac{\epsilon_{\gamma}}{\epsilon_{\mu}} + = \frac{g_{\gamma}}{g_{\mu}} \epsilon +\] +dieser dritten Gleichung nur dann einen Hauptlogarithmus, wenn der +absolute Betrag $\dfrac{g_{\gamma}}{g_{\mu}}$ von $\zeta$ mindestens durch~$g_{0}$, +\begin{Theorem}[\noindent] +wenn also $\gamma$ mindestens durch $|\mu g_{0}|$ teilbar ist, +\end{Theorem} +wo $g_{0} = pq \dots r$ bzw.\ $4q \dots r$ wieder die reduzierte Grundzahl bedeutet. +Ist das der Fall, so ist auch der Hauptlogarithmus $\zeta = \dfrac{\gamma}{\mu}$ +eindeutig bestimmt. + +Endlich besitzt die zweite Gleichung~\Eq{(6)} stets und nur dann mindestens +eine Lösung~$(\eta)$, wenn diese die Systemgleichung +\[ +(\mu)(\eta) = (\beta) +\] +\PageSep{248}{232} +erfüllt, oder wegen der \aSeite{211} gegebenen Definition der Gleichheit +zweier Indexsysteme, wenn dieselbe der Kongruenz: +\[ +\Tag{(8)} +(\mu)(\eta) \equiv (\beta)\ (\mod.~(P)) +\] +genügt, wo wieder $(P) = (p - 1, \dots r - 1)$ bzw.\ $(2, \dots r - 1)$ +die Indexperiode bedeutet. Diese Kongruenz für jene Systeme vertritt +dann einfach die entsprechenden gewöhnlichen Kongruenzen: +\[ +\mu \eta_{p} \equiv \beta_{p}\ (\mod.~(p - 1)),\ \dots\quad +\mu \eta_{r} \equiv \beta_{r}\ (\mod.~(r - 1)), +\] +von denen sie nur eine Zusammenfassung ist. + +Es sei nun wieder $(\delta)$ der Teiler des zum Exponenten~$\mu$ gehörigen +Indexsystemes~$(\mu)$, so daß also: +\[ +\Tag{(9)} +(\delta) = ((\mu), (P)) = ((\mu, p - 1), (\mu, q - 1), \dots (\mu, r - 1)) +\] +ist, und $(\delta')$ der zu $(\delta)$ komplementäre Divisor der Periode; dann +ist +\[ +\Tag{(10)} +(\mu) = (\delta)(\mu^{(0)})\quad (P) = (\delta)(\delta'), +\] +und das System~$(\mu^{(0)})$ ist zu $(\delta')$ teilerfremd. Schreibt man dann +die Kongruenz~\Eq{(8)} in der Form: +\[ +(\delta) (\mu^{(0)}) (\eta) \equiv (\beta)\ (\mod.~(\delta)(\delta')), +\] +so erkennt man, daß diese nur dann erfüllt sein kann, wenn: +\[ +(\beta) = (\delta) (\beta^{(0)}) +\] +ebenfalls durch $(\delta)$ teilbar ist. Ist dies der Fall, so geht unsere Kongruenz +in die einfachere: +\[ +\Tag{(11)} +(\mu^{(0)}) (\eta) \equiv (\beta^{(0)})\ (\mod.~(\delta')) +\] +über, und diese besitzt, da $(\mu^{(0)})$ modulo~$(\delta')$ ein Einheitssystem ist, +die modulo~$(\delta')$ eindeutig bestimmte Lösung: +\[ +\Tag{(11^{a})} +(\eta_{0}) \equiv \left(\frac{\beta^{(0)}}{\mu^{(0)}}\right)\ (\mod.~(\delta')). +\] +Dieses ganzzahlige System genügt der Kongruenz~\Eq{(11)} und ist mithin +\emph{eine} Lösung der Kongruenz~\Eq{(11)}. Ist $(\eta)$ irgendeine andere Lösung +derselben, so ergibt sich aus den beiden Kongruenzen: +\[ +(\mu) (\eta) \equiv (\beta)\quad (\mu) (\eta_{0}) \equiv (\beta)\ (\mod.~(P)) +\] +\PageSep{249}{233} +für die Differenz +\[ +(\bar{\beta}) = (\eta - \eta_{0}) +\] +jener beiden Systeme die Kongruenz +\[ +\Tag{(12)} +(\mu) (\bar{\beta}) \equiv 0\ (\mod.~(P)). +\] +Dies ist aber genau diejenige Kongruenz~\Eq{(2^{a})}, deren vollständige Auflösung +uns die Indexsysteme~$(\bar{\beta})$ aller \Ord{$\mu$}{-ten} Einheitswurzeln $w$ lieferte. +Besitzt also die Gleichung~\Eq{(1)} überhaupt eine Wurzel~$x_{0}$, für welche +\[ +\Tag{(13)} +\lg x_{0} = ((\xi), (\eta_{0}), \zeta) +\] +ist, so wird der Logarithmus jeder anderen Lösung~$x$ durch die Gleichung: +\begin{align*} +\Tag{(13^{a})} +\lg x + &= ((\xi), (\eta_{0} + \bar{\beta}), \zeta) + = ((\xi), (\eta_{0}), \zeta) + ((0), (\bar{\beta}), 0) \\ + &= \lg x_{0} + \lg w = \lg (wx_{0}) +\end{align*} +gegeben, in welcher $w$ wiederum eine der $n((\delta))$ verschiedenen \Ord{$\mu$}{-ten} +Einheitswurzeln ist; aus dieser Gleichung folgt endlich durch Übergang +zum Numerus, genau wie in~\Eq{(1^{c})}, +\[ +\Tag{(14)} +x = x_{0}w. +\] +Fassen wir alle Ergebnisse zusammen, so ergibt sich der folgende Satz, +durch den die Frage nach den Wurzeln von beliebigen reinen Gleichungen +vollständig gelöst wird: +\begin{Theorem} +Die Gleichung +\[ +x^{\mu} = A\ (g) +\] +besitzt im Ringe der $g$-adischen Zahlen stets und nur dann eine +Wurzel, wenn +\begin{Enum} +\Item{1)} die Ordnungszahl~$(\alpha)$ von $A$ durch~$\mu$, + +\Item{2)} ihr Index~$(\beta)$ durch den Indexteiler~$(\delta)$ des Index~$(\mu)$, + +\Item{3)} ihr Hauptlogarithmus~$\gamma$ durch das Produkt $g_{0} |\mu|$ teilbar ist. +\end{Enum} +Sind diese drei Bedingungen erfüllt, so besitzt diese Gleichung +genau $n((\delta))$ Wurzeln, welche sich nur um \Ord{$\mu$}{-te} Einheitswurzeln +unterscheiden. +\end{Theorem} +\PageSep{250}{234} + +Der zweiten auf den Index von $A$ bezüglichen Bedingung kann +eine andere einfache Form auf Grund des folgenden Satzes gegeben +werden: +\begin{Theorem} +Der Index~$(\beta)$ ist stets und nur dann durch den Indexteiler~$(\delta)$ +des Index~$(\mu)$ teilbar, wenn für dessen komplementären Teiler~$(\delta')$ +die Indexgleichung: +\[ +\Tag{(15)} +(\delta') (\beta) = 0 +\] +erfüllt ist. +\end{Theorem} +In der Tat folgt ja aus der Kongruenz: +\[ +\Tag{(16)} +(\beta) \equiv 0\ (\mod.~(\delta)) +\] +durch Multiplikation mit dem System~$(\delta')$ +\[ +\Tag{(16^{a})} +(\delta') (\beta) \equiv 0\ (\mod.~(P)), +\] +da $(\delta) (\delta') = (P)$ ist, und daraus also die Gleichung~\Eq{(15)}; und umgekehrt +ergibt sich aus dem Bestehen der zweiten Kongruenz~\Eq{(16^{a})} die +Richtigkeit der ersten~\Eq{(16)}. + + +\Section{§ 2.}{Die Auflösung der reinen Gleichungen im Körper +der $p$-adischen Zahlen.} + +Ich spezialisiere das soeben gewonnene allgemeinste Resultat zunächst +für den Fall, daß die Grundzahl eine \emph{ungerade} Primzahl ist. +Dann kann dasselbe in dem folgenden Satze ausgesprochen werden: +\begin{Theorem} +Die Gleichung +\[ +x^{\mu} = A = p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma}\ (p) +\] +besitzt im Körper der $p$-adischen Zahlen dann und nur dann mindestens +eine Wurzel, wenn +\begin{Enum} +\Item{1)} die Ordnungszahl~$\alpha$ ein Vielfaches von $\mu$ ist, + +\Item{2)} der Index~$\beta$ durch den größten gemeinsamen Teiler~$\delta$ von +$\mu$ und $p - 1$ teilbar, oder, was dasselbe ist, wenn $\beta·\dfrac{p - 1}{\delta}$ +durch $p - 1$ teilbar ist. +\PageSep{251}{235} + +\Item{3)} der Hauptlogarithmus~$\gamma$ mindestens durch $p^{m+1}$ teilbar +ist, wenn $p^{m}$ die in $\mu$ enthaltene Potenz von $p$ bedeutet. +\end{Enum} + +Sind diese drei Bedingungen erfüllt, und ist +\[ +x_{0} = p^{\efrac{\alpha}{\mu}}·w^{\efrac{\beta}{\mu}}·e^{\efrac{\gamma}{\mu}}\ (p) +\] +eine Wurzel der obigen Gleichung, so hat dieselbe genau $\delta$ verschiedene +$p$-adische Wurzeln, und zwar sind diese gleich +\[ +x_{0},\quad +w_{\delta} x_{0},\quad +w_{\delta}^{2} x_{0},\ \dots\quad +w_{\delta}^{\delta-1} x_{0} , +\] +wenn $w_{\delta}$ eine primitive \Ord{$\delta$}{-te} Einheitswurzel bedeutet. +\end{Theorem} + +Für den Bereich der dyadischen Zahlen ergibt sich das folgende +Resultat: +\begin{Theorem} +Die Gleichung: +\[ +x^{\mu} = 2^{\alpha} (-1)^{\beta} e^{\gamma}\ (2) +\] +besitzt im Körper der dyadischen Zahlen stets und nur dann +wenigstens eine Lösung, wenn +\begin{Enum} +\Item{1)} die Ordnungszahl~$\alpha$ durch $\mu$ teilbar ist, + +\Item{2)} der Index~$\beta$ durch $\delta = (\mu, 2)$ teilbar, \dh\ wenn für ein +gerades $\mu$\; $\beta = 0$ ist, + +\Item{3)} $\gamma$ mindestens durch $2^{m+2}$ teilbar ist, falls wieder $m$ die +Ordnungszahl von $\mu$ bedeutet. +\end{Enum} +Sind diese Bedingungen erfüllt, so hat die obige Gleichung eine +Wurzel~$x_{0}$ oder zwei Wurzeln~$±x_{0}$, \DPchg{jenachdem}{je nachdem} $\mu$ ungerade oder +gerade ist. +\end{Theorem} +Ist speziell $A = 0$, so besitzt in den beiden hier betrachteten Fällen +die Gleichung $x^{\mu} = 0\ (p)$ nur die eine, aber $\mu$-fache Wurzel $x = 0\ (p)$. + +Natürlich kann man auch umgekehrt die allgemeine Lösung der +Gleichung +\[ +\Tag{(1)} +x^{\mu} = A\ (g) +\] +im Ringe~$R(g)$ aus den soeben abgeleiteten Sätzen für die zugehörigen +Körper $K(p)$,~\dots~$K(r)$ ableiten. Denn die Anwendung der \aSeite{209} +bewiesenen allgemeinen Theoreme auf die vorliegende Gleichung~\Eq{(1)} +ergibt sofort den Satz: +\PageSep{252}{236} +\begin{Theorem} +Die Gleichung~\Eq{(1)} besitzt für den Bereich der zusammengesetzten +Zahl~$g$ stets und nur dann überhaupt eine Wurzel, wenn +dieselbe Gleichung in jedem der Körper $K(p)$,~$K(q)$,~\dots~$K(r)$ +mindestens eine Wurzel hat, wenn also die Gleichungen: +\[ +\Tag{(2)} +x^{\mu} = A\ (p),\quad +x^{\mu} = A\ (q),\ \dots\quad +x^{\mu} = A\ (r) +\] +sämtlich lösbar sind. Ist dies der Fall, und sind, wie aus dem oben +bewiesenen Satze hervorgeht, +\[ +\Tag{(3)} +\delta_{p} = (\mu, p - 1),\quad +\delta_{q} = (\mu, q - 1),\ \dots\quad +\delta_{r} = (\mu, r - 1) +\] +die Anzahlen der verschiedenen Wurzeln jener Gleichungen~\Eq{(2)}, +so besitzt die Gleichung~\Eq{(1)} genau $\delta_{p}·\delta_{q} \dots \delta_{r}$, verschiedene +Wurzeln. +\end{Theorem} + +Enthält $A$ einen oder mehrere Teiler der Null, ist also \zB\ $A = 0\ (p)$, +so hat die erste der Gleichungen~\Eq{(2)} nur die eine $p$-adische Lösung +$x = 0\ (p)$. In diesem Falle ist also das zugehörige $\delta_{p}$ gleich~$1$ anzunehmen, +und die Anzahl aller verschiedenen $g$-adischen Wurzeln der +Gleichung~\Eq{(1)} ist gleich $\delta_{q} \dots \delta_{r}$. + + +\Section{§ 3.}{Die reinen Kongruenzen für einen beliebigen Modul~$g$.} + +Ich benutze die im §~1 durchgeführte Untersuchung zur Lösung +der folgenden wichtigen Aufgabe: +\begin{Theorem} +Wieviele und welche Lösungen besitzt die Kongruenz: +\[ +\Tag{(1)} +x^{\mu} \equiv A\ (\mod.~g) +\] +für eine beliebige ganze Zahl +\[ +\Tag{(1^{a})} +g = p^{k} q^{l} \dots r^{m} +\] +als Modul? +\end{Theorem} + +Um diese Aufgabe völlig allgemein und doch einfach lösen zu können, +beweise ich zuerst den folgenden Fundamentalsatz über allgemeine +Kongruenzen, welcher bei allen ähnlichen Fragen angewendet wird: +\begin{Theorem} +Es sei: +\[ +\Tag{(2)} +F(x) \equiv 0\ (\mod.~g) +\] +\PageSep{253}{237} +eine beliebige ganzzahlige Kongruenz, und +\[ +g = g_{1}g_{2}\quad +(g_{1}, g_{2}) = 1 +\] +irgendeine Zerlegung ihres Moduls in zwei teilerfremde Faktoren. +Sind dann: +\[ +\Tag{(2^{a})} +F(x) \equiv 0\ (\mod.~g_{1}) \quad\text{und}\quad +F(x) \equiv 0\ (\mod.~g_{2}) +\] +dieselbe Kongruenz für je einen dieser Faktoren als Modul, so ist +die Anzahl der modulo~$g$ inkongruenten Wurzeln von \Eq{(2)} gleich +dem Produkte der modulo~$g_{1}$ bzw.\ modulo~$g_{2}$ inkongruenten Lösungen +der beiden Kongruenzen~\Eq{\DPtypo{(2a)}{(2^{a})}}. +\end{Theorem} +Ist nämlich $x$ irgendeine Lösung von~\Eq{(2)}, so befriedigt dasselbe $x$ offenbar +jede der beiden Kongruenzen~\Eq{\DPtypo{(2a)}{(2^{a})}}, da $g_{1}$~und~$g_{2}$ Teiler von $g$ sind, +und sind $x$~und~$x'$ zwei modulo~$g$ inkongruente Wurzeln von~\Eq{(2)}, so können +sie auch nicht sowohl für~$g_{1}$ als auch für~$g_{2}$ als Moduln kongruent sein. +Sind umgekehrt $x_{1}$~und~$x_{2}$ je eine Wurzel der beiden Kongruenzen~\Eq{(2^{a})}, +so gibt es nach \Seite{94} eine modulo~$g$ eindeutig bestimmte Zahl~$x$, +für welche: +\[ +x \equiv x_{1}\ (\mod.~g_{1}),\quad +x \equiv x_{2}\ (\mod.~g_{2}) +\] +wird, und da für sie: +\[ +F(x) \equiv F(x_{1}) \equiv 0\ (\mod.~g_{1}),\quad +F(x) \equiv F(x_{2}) \equiv 0\ (\mod.~g_{2}) +\] +ist, so gilt, wegen $(g_{1}, g_{2}) = 1$, dieselbe Kongruenz auch modulo $g_{1} g_{2} = g$, +\dh\ diese Zahl ist in der Tat eine Wurzel von~\Eq{(2)}, \wzbw. + +Es sei nun in der zu untersuchenden Kongruenz~\Eq{(1)} +\[ +(\alpha) = (\alpha_{p}, \alpha_{q}, \dots \alpha_{r}) +\] +die Ordnungszahl von $A$ im Ringe~$R(g)$, während wegen~\Eq{\DPtypo{(1a)}{(1^{a})}} +\[ +(\kappa) = (k, l, \dots m) +\] +diejenige des Moduls~$g$ ist. Dann wird nach der \aSeite{202} unten gegebenen +Größenanordnung im allgemeinen weder $A \lesssim g\ (g)$ noch $A > g\ (g)$ +sein, da ja für je zwei entsprechende Ordnungszahlen \zB\ $\alpha_{p} \geqq k$ und +$\alpha_{q} < l$ sein kann. Dagegen kann man, wenn keiner jener beiden Fälle +vorliegt, offenbar $g$ stets und nur auf eine Weise so in ein Produkt~$g_{1} g_{2}$ +von zwei teilerfremden Faktoren zerlegen, daß im Ringe~$R(g_{1})$\; $A \lesssim g_{1}$, +\PageSep{254}{238} +dagegen im Ringe~$R(g_{2})$\; $A > g_{2}$ ist. Bezeichnet man dann durch +$\psi(A, g)$ die Anzahl der modulo~$g$ inkongruenten Wurzeln der Kongruenz~\Eq{(1)}, +während $\psi(A, g_{1})$ und $\psi(A, g_{2})$ dieselbe Bedeutung für die entsprechenden +Kongruenzen besitzen, deren Moduln bzw.\ $g_{1}$~und~$g_{2}$ +sind, so ist nach dem soeben bewiesenen Satze: +\[ +\psi(A, g) = \psi(A, g_{1})·\psi(A, g_{2}). +\] +Damit ist also die vollständige Auflösung der allgemeinen Kongruenz~\Eq{(1)} +reduziert auf die beiden Fälle, daß das eine Mal $A \lesssim g\ (g)$, daß also +$A$ durch $g$ teilbar ist, während das andere Mal $A > g\ (g)$, und zwar \emph{jede} +Ordnungszahl $\alpha_{p}$,~$\alpha_{q}$,~\dots\ im gewöhnlichen Sinne kleiner ist als die entsprechende +$k$,~$l$,~\dots\ von~$g$. Ich brauche daher nur die beiden Fälle zu +untersuchen, daß in der ursprünglichen Kongruenz~$A$ entweder durch +$g$ teilbar ist, oder daß $A > g\ (g)$ ist. + +Im ersten Falle nun genügt eine Zahl~$x$ dann und nur dann der +Kongruenz: +\[ +\Tag{(4)} +x^{\mu} \equiv A \equiv 0\ (\mod.~g), +\] +wenn $x^{\mu} \lesssim g\ (g)$, wenn also +\[ +x \lesssim g^{\efrac{1}{\mu}} + = {\Errata{p^{\efrac{k}{}}}{p^{\efrac{k}{\mu}}}} q^{\efrac{l}{\mu}} \dots r^{\efrac{m}{\mu}}\ (g) +\] +ist. Ich bezeichne nun durch +\[ +\Tag{(5)} +\Bigl\{g^{\efrac{1}{\mu}}\Bigr\} + = p^{\left\{\efrac{k}{\mu}\right\}} + q^{\left\{\efrac{l}{\mu}\right\}} \dots + r^{\left\{\efrac{m}{\mu}\right\}}\ (g) +\] +die im gewöhnlichen Sinne kleinste positive ganze Zahl, für welche +\[ +\Tag{(5^{a})} +g^{\efrac{1}{\mu}} \gtrsim \Bigl\{g^{\efrac{1}{\mu}}\Bigr\}\ (g) +\] +ist; das ist dasjenige Produkt~\Eq{(5)}, dessen Exponenten $\left\{\dfrac{k}{\mu}\right\}$,~\dots\ $\left\{\dfrac{m}{\mu}\right\}$ +die kleinsten ganzen Zahlen sind, welche im gewöhnlichen Sinne größer +oder gleich den Brüchen $\dfrac{k}{\mu}$,~\dots\ $\dfrac{m}{\mu}$ sind. Dann ist also eine Zahl~$x$ +eine Wurzel von~\Eq{(4)}, wenn $x \lesssim \Bigl\{g^{\efrac{1}{\mu}}\Bigr\}$, wenn also: +\[ +x = \Bigl\{g^{\efrac{1}{\mu}}\Bigr\} \xi +\] +\PageSep{255}{239} +ist, wo $\xi$~eine beliebige ganze Zahl bedeutet; und zwei solche Lösungen +\[ +\Bigl\{g^{\efrac{1}{\mu}}\Bigr\} \xi \quad\text{und}\quad +\Bigl\{g^{\efrac{1}{\mu}}\Bigr\} \xi' +\] +sind dann und nur dann modulo~$g$ kongruent, wenn +\[ +\xi \equiv \xi'\ +\DPchg{\mod.~\biggl(\frac{g}{\Bigl\{g^{\efrac{1}{\mu}}\Bigr\}}\biggr)} +{\biggl(\mod.~\frac{g}{\bigl\{g^{\efrac{1}{\mu}}\bigr\}}\biggr)} +\] +ist. Man erhält also alle und nur die modulo~$g$ inkongruenten Lösungen +von~\Eq{(4)} in der Form: +\[ +x = \Bigl\{g^{\efrac{1}{\mu}}\Bigr\} \xi, +\] +wo $\xi$ ein vollständiges Restsystem modulo $\dfrac{g}{\bigl\{g^{\efrac{1}{\mu}}\bigr\}}$ durchläuft; und da die +Anzahl der Glieder eines Restsystemes für einen beliebigen absolut +ganzzahligen Modul~$M$ gleich $M$ ist, so erhalten wir das erste Resultat: +\begin{Theorem}[\noindent] +Die Anzahl aller modulo~$g$ inkongruenten Wurzeln der Kongruenz: +\[ +x^{\mu} \equiv 0\ (\mod.~g) +\] +ist stets +\[ +\Tag{(6)} +\psi(0, g) = \frac{g}{\bigl\{g^{\efrac{1}{\mu}}\bigr\}} + = p^{k-\left\{\efrac{k}{\mu}\right\}} + q^{l-\left\{\efrac{l}{\mu}\right\}} \dots + r^{m-\left\{\efrac{m}{\mu}\right\}}, +\] +und sie sind alle in der Form: +\[ +\Tag{(7)} +x = \Bigl\{g^{\efrac{1}{\mu}}\Bigr\} \xi, +\] +enthalten, wo $\xi$~ein vollständiges Restsystem für den obigen Divisor +$\psi(0, g)$ durchläuft. +\end{Theorem} + +Ich betrachte jetzt zweitens die Kongruenz: +\[ +\Tag{(8)} +x^{\mu} \equiv A\ (\mod.~g), +\] +wo jetzt $|A|$ jeden der Primfaktoren $p$,~$q$,~\dots~$r$ weniger oft enthält +als~$g$, so daß $\dfrac{g}{|A|}$ mindestens durch $(pq \dots r)$, \dh\ durch $g_{0}$ oder +\PageSep{256}{240} +$\dfrac{g_{0}}{2}$ teilbar ist, je nachdem $g$ ungerade oder gerade ist. Der Einfachheit +wegen will ich vorläufig voraussetzen, daß $\dfrac{g}{|A|}$ in beiden Fällen +durch $g_{0}$ teilbar ist. Soll dann $x$ die obige Kongruenz erfüllen, so muß, +wenn wieder $\lg x = ((\xi), (\eta), \zeta)$ ist, +\[ +|x|^{\mu} = |A|, +\] +also +\[ +\Tag{(9)} +(\mu\xi) = (\alpha)\qquad +(\xi) = \left(\frac{\alpha}{\mu}\right), +\] +\dh\ es muß wieder die Ordnungszahl~$(\alpha)$ von $A$ durch $\mu$ teilbar sein. +Setzt man dann also in~\Eq{(8)} +\[ +x = |A^{\efrac{1}{\mu}}| \bar{x}, +\] +dividiert jene Kongruenz durch $|A|$ und beachtet, daß dann +$\dfrac{A}{|A|} = E = we^{\gamma}$ die zu $A$ gehörige Einheit ist, so ergibt sich für die +unbekannte Einheit $\bar{x} = \bar{w} e^{\bar{\gamma}}$ die Kongruenz: +\[ +\bar{x}^{\mu} \equiv E\ (\mod.~\bar{g}), +\] +wo $\bar{g} = \dfrac{g}{|A|}$ \ndV\ eine mindestens durch $g_{0}$ teilbare Zahl bedeutet. +Betrachtet man nun diese Kongruenz: +\[ +\bar{w}^{\mu} e^{\mu\bar{\gamma}} \equiv we^{\gamma}\ (\mod.~\bar{g}) +\] +zunächst nur modulo~$g_{0}$ und beachtet, daß für diesen Modul $e^{\gamma}$ und +$e^{\mu\bar{\gamma}}$ beide kongruent~$1$ sind, so ergibt sich zunächst genau wie \aSeite{218} +\[ +\bar{w}^{\mu} \equiv w\ (\mod.~g_{0}), +\] +und diese Kongruenz ist, da alle Einheitswurzeln modulo~$g_{0}$ inkongruent +sind, nur möglich, wenn +\[ +\bar{w}^{\mu} = w\ (g) +\] +ist; \dh\ jede zu einer Kongruenzwurzel~$x$ gehörige Einheitswurzel wird +durch dieselbe Gleichung definiert, wie diejenigen, welche vorher zu +den Gleichungswurzeln gehörten. Nur dann besitzt also auch die Kongruenz~\Eq{(8)} +\PageSep{257}{241} +eine Wurzel, wenn der Index~$(\beta)$ von $w$ durch den Indexteiler +$(\delta) = ((\mu), (P))$ des Index~$(\mu)$ teilbar ist, und dann hat die +zu einer Lösung gehörige Einheitswurzel genau $n((\delta)) = \prod(\mu, p - 1)$ +verschiedene Werte. + +Betrachtet man nun die nach dem Wegheben mit $\bar{w}^{\mu} = w$ übrigbleibende +Kongruenz +\[ +\Tag{(10)} +e^{\mu\bar{\gamma}} \equiv e^{\gamma}\ (\mod.~\bar{g}), +\] +so ist sie nach \Seite{206} flgde.\ stets und nur dann erfüllt, wenn die Exponenten +auf beiden Seiten modulo~$\bar{g}$ kongruent sind, wenn also: +\[ +\Tag{(10^{a})} +\mu \bar{\gamma} \equiv \gamma\ (\mod.~\bar{g}) +\] +ist, und wenn außerdem $\gamma$~und~$\bar{\gamma}$ beide durch $g_{0}$ teilbar sind. Setzt +man also: +\[ +\gamma = g_{0} \gamma_{0}\qquad +\bar{\gamma} = g_{0} \bar{\gamma}_{0} +\] +so ist $\bar{\gamma}_{0}$ als ganze Zahl so zu bestimmen, daß: +\[ +\Tag{(10^{b})} +\mu \bar{\gamma}_{0} \equiv \gamma_{0}\ \left(\mod.~\frac{\bar{g}}{g_{0}}\right), +\] +ist. Nach \Seite{226} besitzt diese Kongruenz stets und nur dann eine Lösung, +wenn $\gamma_{0}$ durch +\[ +\delta = \left(\mu, \frac{\bar{g}}{g_{0}}\right), +\] +wenn also $\gamma$ durch: +\[ +g_{0} \delta = (\mu g_{0}, \bar{g}) = \left(\mu g_{0}, \frac{g}{|A|}\right) +\] +teilbar ist. Ist diese letzte Bedingung erfüllt, so folgt aus \Eq{(10^{b})} durch +Division mit~$\mu$, wobei der Modul nur durch $\delta$ dividiert zu werden +braucht, +\[ +\bar{\gamma}_{0} \equiv \frac{\gamma_{0}}{\mu}\ \left(\mod.~\frac{\bar{g}}{g_{0}\delta}\right), +\] +oder nach Multiplikation mit~$g_{0}$ +\[ +\bar{\gamma} \equiv \frac{\gamma}{\mu}\ \left(\mod.~\frac{\bar{g}}{\delta}\right). +\] +\PageSep{258}{242} +Alle und nur die Lösungen $\bar{\gamma}$,~$\bar{\gamma}'$,~\dots\ von~\Eq{(10^{a})} sind also in der Reihe: +\[ +\frac{\gamma}{\mu} + t\frac{\bar{g}}{\delta},\quad +\frac{\gamma}{\mu} + t'\frac{\bar{g}}{\delta},\ \dots +\] +enthalten, wo $t$,~$t'$,~\dots\ beliebige ganze Zahlen bedeuten, und zwei solche +Lösungen $\bar{\gamma}$,~$\bar{\gamma}'$ sind allein dann modulo~$g$ kongruent, wenn +\[ +(t' - t) \frac{\bar{g}}{\delta} \equiv 0\ (\mod.~g), +\] +wenn also +\[ +t' \equiv t\ \left(\mod.~\frac{g\delta}{\bar{g}}\right) +\] +ist. Also ist die Anzahl aller modulo~$g$ inkongruenten Hauptlogarithmen~$\gamma$ +der Wurzeln~$x$ gleich: +\[ +\frac{g\delta}{\bar{g}} + = \frac{g \left(\mu, \dfrac{g}{g_{0} |A|}\right)·|A|}{g} + = \left(\mu |A|, \frac{g}{g_{0}}\right). +\] +Fassen wir also das Ergebnis dieser Untersuchung zusammen, so ergibt +sich der Satz: +\begin{Theorem} +Die Kongruenz +\[ +x^{\mu} \equiv A\ (\mod.~g), +\] +in welcher $g$ durch $g_{0} |A|$ teilbar ist, besitzt stets und nur dann +Wurzeln, wenn +\begin{Enum} +\Item{1)} die Ordnungszahl~$(\alpha)$ von $A$ durch~$\mu$, + +\Item{2)} der Index~$(\beta)$ von $A$ durch den Indexteiler $(\delta) = ((\mu), (P))$ +des Index~$(\mu)$, + +\Item{3)} der Hauptlogarithmus~$\gamma$ von $A$ durch $\left(\mu g_{0}, \dfrac{g}{|A|}\right)$ teilbar +ist. +\end{Enum} +Sind diese drei Bedingungen erfüllt, so besitzt die obige Kongruenz +genau +\[ +\left(\mu |A|, \frac{g}{g_{0}}\right) n ((\delta)) + = \left(\mu |A|, \frac{g}{g_{0}}\right) \prod (\mu, p - 1) +\] +modulo~$g$ inkongruente Lösungen. +\end{Theorem} +\PageSep{259}{243} +Diese Bedingungen stimmen genau mit den für die Auflösbarkeit der +binomischen Gleichung gefundenen überein; nur tritt in der dritten +an die Stelle des Divisors $g_{0} |\mu|$ sein größter gemeinsamer Teiler mit~$\dfrac{g}{|A|}$, +und die Anzahl der Kongruenzlösungen ist das $\left(\mu |A|, \dfrac{g}{g_{0}}\right)$-fache +der entsprechenden Anzahl für die zugehörige Gleichung. + +Ist speziell der Modul~$g$ im Verhältnis zu $|A|$ von so hoher Ordnung, +daß $g$ durch $|g_{0} \mu A|$ teilbar ist, so sind die drei Bedingungen für die +Auflösbarkeit unserer Kongruenz mit denjenigen für die Auflösbarkeit +der entsprechenden Gleichung identisch, weil ja dann $\left(\mu g_{0}, \dfrac{g}{|A|}\right) = \mu g_{0}$ +ist; und da der in dem Ausdruck für die Anzahl der \DPtypo{Kongurenzwurzeln}{Kongruenzwurzeln} +auftretende Teiler $\left(|\mu A|, \dfrac{g}{g_{0}}\right)$ gleich $|\mu A|$ wird, so ergibt sich hier +der einfache Satz: +\begin{Theorem}[\noindent] +Die Kongruenz +\[ +\Tag{(11)} +x^{\mu} \equiv A\ (\mod.~g) +\] +besitzt, falls $g$ durch $|g_{0} \mu A|$ teilbar ist, dann und nur dann +eine Lösung, wenn die entsprechende Gleichung +\[ +\Tag{(11^{a})} +x^{\mu} = A\ (g) +\] +eine solche hat, und die Anzahl der modulo~$g$ inkongruenten Kongruenzwurzeln +ist dann genau das $|\mu A|$-fache von der Anzahl der +Gleichungswurzeln. +\end{Theorem} + +Solange $g$ also noch nicht durch $|\mu g_{0} A|$ teilbar ist, braucht die +\emph{Gleichung}~\Eq{(11^{a})} nicht auflösbar zu sein, obwohl die \emph{Kongruenz}~\Eq{(11)} +eine Lösung hat, \dh\ es kann sehr wohl $A$ modulo~$g$ einer \Ordsup{$\mu$}{-ten} +Potenz kongruent sein, ohne daß diese Zahl für den Bereich von $g$ eine +\Ordsup{$\mu$}{\DPtypo{te}{-te}}~Potenz ist. Ist dagegen $g$~ein Vielfaches von~$|\mu g_{0} A|$, so ist $A$ +dann und nur dann für den Bereich von $g$ eine \Ordsup{$\mu$}{-te} Potenz, wenn dasselbe +modulo~$g$ der Fall ist, und während bei den zuerst erwähnten irregulären +Moduln~$g$ die Anzahl der Kongruenzwurzeln modulo~$g$ mit wachsendem +$g$ ebenfalls zunimmt, bleibt sie von der Grenze $|\mu g_{0} A|$ ab unverändert +gleich dem $|\mu A|$-fachen der Anzahl der Gleichungswurzeln. + +Ist speziell $A = E$ eine Einheit, und enthält $\mu$ ebenfalls keinen der +Primteiler, von~$g$, so ergibt sich das einfachere Resultat: +\PageSep{260}{244} +\begin{Theorem}[\noindent] +Die Gleichung +\[ +\Tag{(12)} +x^{\mu} = E\ (g), +\] +deren Grad zu $g$ teilerfremd ist, besitzt stets und nur dann eine +Lösung, wenn die entsprechende Kongruenz +\[ +\Tag{(12^{a})} +x^{\mu} \equiv E\ (\mod.~g_{0}) +\] +für die reduzierte Grundzahl als Modul auflösbar ist, wenn also für +die einfacheren Kongruenzen: +\[ +\Tag{(12^{b})} +x^{\mu} \equiv E\ (\mod.~p) \quad +x^{\mu} \equiv E\ (\mod.~q),\ \dots\quad +x^{\mu} \equiv E\ (\mod.~r) +\] +sämtlich das Gleiche gilt; (hier ist für ein gerades $g$ der Modul~$p$ +durch $4$ zu ersetzen). Unter dieser Voraussetzung hat die Gleichung~\Eq{(12)} +und die Kongruenz~\Eq{(12^{a})} gleich viele, nämlich genau +$\prod(\mu, p - 1)$ verschiedene Lösungen. +\end{Theorem} + +Ich nehme ferner speziell an, daß nur der Wurzelexponent~$\mu$ zum +Modul~$g$ teilerfremd ist. Dann fällt die dritte Bedingung für die Lösbarkeit +der Kongruenz~\Eq{(1)} fort, da jetzt nach der Voraussetzung \aSeite{240} +oben +\[ +\left(\mu g_{0}, \frac{g}{|A|}\right) = \left(g_{0}, \frac{g}{|A|}\right) = g_{0} +\] +und $\gamma$ stets durch $g_{0}$ teilbar ist; das Gleiche gilt in diesem Falle nach +\Seite{233} unten für die entsprechende Gleichung. Ferner wird in diesem +Falle die Anzahl der Lösungen wegen derselben Voraussetzung gleich +$|A| n((\delta))$. Es ergibt sich also der einfache Satz: +\begin{Theorem}[\noindent] +Die Kongruenz +\[ +x^{\mu} \equiv A\ (\mod.~g) +\] +besitzt, falls ihr Grad zum Modul teilerfremd ist, stets und nur +dann eine Lösung, wenn die Ordnungszahl von $A$ durch $\mu$ und +ihr Index durch $(\delta) = ((\mu), (P))$ teilbar ist. Die Anzahl der +modulo~$g$ inkongruenten Lösungen ist in diesem Falle gleich +$|A|·n((\delta))$. +\end{Theorem} + +Ich spezialisiere endlich das allgemeine Resultat auch hier für den +Fall, daß der Modul~$g$ unserer Kongruenz eine beliebige Potenz~$p^{k}$ einer +Primzahl~$p$ ist, bemerke aber dabei, daß hier mitunter der Fall einer +\PageSep{261}{245} +ungeraden Primzahl~$p$ von dem der geraden Primzahl~$2$ geschieden +werden muß. + +Zuerst behandle ich besonders den einfachsten Fall, daß $p = 2$ und +daß die Ordnungszahl~$\alpha$ von $A$ gleich $k - 1$ ist, \dh\ die Kongruenz: +\[ +\Tag{(13)} +x^{\mu} \equiv 2^{k-1} u\ (\mod.~2^{k}), +\] +wo $u = (-1)^{\beta} e^{\gamma}$ eine beliebige ungerade Zahl bedeutet; nur dieser Fall +folgt nämlich nicht aus unserem allgemeinen Satze, da hier $\dfrac{g}{|A|} = 2$, also +nicht durch $g_{0} = 2^{2}$ teilbar ist. Hier bietet aber die direkte Auflösung +der Kongruenz nicht die geringste Schwierigkeit dar. + +Zunächst muß ja auch hier $k - 1$ durch $\mu$ teilbar sein, und dies +ist die einzige Bedingung dafür, daß die obige Kongruenz eine Lösung +hat. Ist sie nämlich erfüllt, und setzt man: +\[ +x = 2^{\efrac{k-1}{\mu}}·\bar{u}, +\] +so muß $\bar{u}$ ungerade sein und der Kongruenz: +\[ +\bar{u}^{\mu} \equiv u\ (\mod.~2) +\] +genügen, welche für jede beliebige ungerade Zahl~$\bar{u}$ erfüllt ist. Dann +besitzt die Kongruenz~\Eq{(13)} alle Lösungen: +\[ +2^{\efrac{k-1}{\mu}}\bar{u},\quad +2^{\efrac{k-1}{\mu}}\bar{u}',\ \dots +\] +wo $\bar{u}$,~$\bar{u}'$,~\dots\ beliebige ungerade Zahlen bedeuten. Zwei solche Lösungen +sind allem dann modulo~$2^{k}$ kongruent, wenn für die zugehörigen Zahlen +$\bar{u}$~und~$\bar{u}'$ die Kongruenz: +\[ +\bar{u} \equiv \bar{u}'\ \left(\mod.~2^{k-\efrac{k-1}{\mu}}\right) +\] +besteht, und da die Anzahl aller modulo~$2^{k-\efrac{k-1}{\mu}}$ inkongruenten ungeraden +Zahlen oder Einheiten gleich +\[ +\phi\left(2^{k-\efrac{k-1}{\mu}}\right) + = 2^{k-1-\efrac{k-1}{\mu}} + = 2^{\alpha-\efrac{\alpha}{\mu}} +\] +\PageSep{262}{246} +ist, weil hier die Ordnungszahl $\alpha = k - 1$ ist, so ergibt sich das +folgende einfache Resultat: +\begin{Theorem} +Im Falle $\alpha = k - 1$ besitzt die Kongruenz: +\[ +\Tag{(14)} +x^{\mu} \equiv A\ (\mod.~2^{k}) +\] +stets und nur dann überhaupt eine Lösung, wenn die Ordnungszahl~$\alpha$ +von $A$ durch $\mu$ teilbar ist, und zwar hat sie dann genau +\[ +\Tag{(14^{a})} +\psi(A, 2^{k}) = 2^{\alpha-\efrac{\alpha}{\mu}} +\] +modulo~$2^{k}$ inkongruente Wurzeln. +\end{Theorem} + +Man erkennt, daß in diesem einzigen Ausnahmefalle $\alpha = k - 1$ +die Anzahl $2^{\alpha-\efrac{\alpha}{\mu}} = 2^{\alpha-\left\{\efrac{\alpha}{\mu}\right\}}$ mit derjenigen $2^{k-\left\{\efrac{k}{\mu}\right\}}$ übereinstimmt, welche +für den nächst höheren Fall $\alpha = k$ aus der Spezialisierung von \Eq{(6)}~\aSeite{239} +für $g = 2^{k}$ folgt. + +In allen anderen Fällen ergibt sich aus den beiden Sätzen \aSeite{239} und 242 +unmittelbar das folgende Resultat: +\begin{Theorem} +Die Kongruenz: +\[ +\Tag{(15)} +x^{\mu} \equiv A = p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma}\ (\mod.~p^{k}) +\] +besitzt, falls $\alpha \geqq k$, also $A \equiv 0\ (\mod.~p^{k})$ ist, stets genau: +\[ +\Tag{(15^{a})} +\psi(A, p^{k}) = p^{k-\left\{\efrac{k}{\mu}\right\}} +\] +modulo~$p^{k}$ inkongruente Wurzeln. + +Ist dagegen $\alpha < k$, also $A$ nicht durch $p^{k}$ teilbar, so besitzt +sie stets und nur dann Lösungen, wenn: +\begin{Enum} +\Item{1)} $\alpha$ durch $\mu$, + +\Item{2)} $\beta$ durch $(\mu, p - 1)$ bzw.\ durch $(\mu, 2)$, + +\Item{3)} $\gamma$ durch $p (|\mu|, p^{k-\alpha-1})$ bzw.\ durch $4(|\mu|, 2^{k-\alpha-2})$ +teilbar ist. +\end{Enum} + +Sind diese drei Bedingungen sämtlich erfüllt, so hat diese Kongruenz: +\begin{align*} +\Tag{(15^{b})} +\psi(A, p^{k}) + &=(p^{\alpha} |\mu|, p^{k-1}) (\mu, p - 1) \\ + &= p^{\alpha} (|\mu|, p^{k-\alpha-1}) (\mu, p - 1) +\end{align*} +\PageSep{263}{247} +beziehungsweise: +\begin{align*} +\Tag{(15^{c})} +\psi(A, 2^{k}) + &= (2^{\alpha} |\mu|, 2^{k-2}) (\mu, 2) \\ + &= 2^{\alpha} (|\mu|, 2^{k-\alpha-2}) (\mu, 2) +\end{align*} +inkongruente Lösungen, je nachdem der Modul eine ungerade +Primzahlpotenz oder eine Potenz von $2$ ist. +\end{Theorem} + +Aus diesen speziellen Resultaten folgt jetzt auch unmittelbar eine +andere einfache Lösung der allgemeinen Kongruenz, und zwar ohne jede +beschränkende Voraussetzung. Aus dem allgemeinen Theorem auf +\Seite{236} unten erhält man nämlich offenbar den Satz: +\begin{Theorem} +Die Kongruenz +\[ +x^{\mu} \equiv A\ (\mod.~g) +\] +für einen beliebigen zusammengesetzten Modul $g = p^{k} q^{l} \dots r^{m}$ +besitzt stets und nur dann überhaupt eine Lösung, wenn das Gleiche +für jede der Kongruenzen: +\[ +x^{\mu} \equiv A\ (\mod.~p^{k}),\ \dots\quad +x^{\mu} \equiv A\ (\mod.~r^{m}) +\] +gilt, und für die Anzahl $\psi(A, g)$ ihrer inkongruenten Lösungen +besteht die Gleichung: +\[ +\psi(A, g) = \psi(A, p^{k}) \dots \psi(A, r^{m}). +\] +\end{Theorem} + + +\Section{§ 4.}{Die Auflösung der reinen quadratischen Gleichungen.} + +Ich wende die in diesem Kapitel durchgeführten allgemeinen Untersuchungen +an auf die Auflösung der reinen quadratischen Gleichung: +\[ +\Tag{(1)} +x^{2} = A\ (g), +\] +eine Gleichung, auf die sich, wie am Schluß dieses Paragraphen +gezeigt werden wird, die Auflösung jeder beliebigen quadratischen +Gleichung vollständig reduzieren läßt. Zur Behandlung unserer +Gleichung brauchen wir nur in dem allgemeinen auf \Seite{233} ausgesprochenen +Satze $\mu = 2$ zu setzen. Zunächst nehme ich an, daß $A$ +keinen Teiler der Null enthält. Dann ergibt sich aus jenem Satze, daß +die obige Gleichung nur dann eine Wurzel im Ringe~$R(g)$ besitzt, wenn +ihre Ordnungszahl $(\alpha) = (\alpha_{p}, \alpha_{q}, \dots \alpha_{r})$ durch $2$ teilbar ist. Wir +\PageSep{264}{248} +wollen in der Folge ein ganzzahliges System \so{gerade} nennen, wenn alle +seine Elemente gerade Zahlen sind. Dann läßt sich unsere erste Bedingung +dahin formulieren, daß die Ordnungszahl $(\alpha) = (2\alpha^{(0)})$ von +$A$ ein gerades System sein muß. + +Zweitens wird im Falle $\mu = 2$ der Indexteiler~$(\delta)$ des zugehörigen +Systemes $(\mu) = (2)$ +\[ +(\delta) = ((2), (P)) = ((2, 2), (2, q - 1), \dots (2, r - 1)) = (2), +\] +weil jedes System $(P) = (p - 1, \dots r - 1)$ bezw.\ $(2, q - 1, \dots r - 1)$ +offenbar gerade, also durch das System~$(2)$ teilbar ist. Also ist die zweite +Bedingung, daß der Index~$(\beta)$ von $A$ durch den Indexteiler~$(\delta)$ des +Systems~$(2)$ teilbar ist, dann und nur dann erfüllt, wenn auch dieser +Index $(\beta) = (2\beta^{(0)})$ ein gerades System ist. + +Endlich ist der absolute Betrag~$|\mu|$ für den Bereich von $g$ im +Falle $\mu = 2$ offenbar gleich~$1$, wenn $g$ ungerade, aber gleich~$2$, sobald +$g$ eine gerade Zahl ist. Also besagt die dritte Bedingung in unserem +Falle, daß der Hauptlogarithmus~$\gamma$ von $A$ durch $g_{0}$ oder durch $2g_{0}$ +teilbar sein muß, je nachdem $g$ ungerade oder gerade ist. Für ein ungerades +$g$ ist also diese Bedingung von selbst erfüllt, für ein gerades $g$ dann +und nur dann, wenn der Hauptlogarithmus nicht bloß durch~$4$, sondern +mindestens durch $8$ teilbar, oder, was dasselbe ist, wenn die zu $A$ gehörige +Haupteinheit von der Form $8n + 1$ ist. + +Sind diese Bedingungen erfüllt, so besitzt die Gleichung~\Eq{(1)} eine +Lösung, die $g$-adische Zahl~$A$ ist also eine $g$-adische Quadratzahl. +Eine dieser Lösungen ist dann offenbar die folgende eindeutig bestimmte +$g$-adische Zahl: +\[ +x_{0} = \sqrt{A} + = \bar{p}^{\efrac{\alpha_{p}}{2}} · + \bar{q}^{\efrac{\alpha_{q}}{2}} \dots + \bar{r}^{\efrac{\alpha_{r}}{2}} · + \bar{w}_{p}^{\efrac{\beta_{p}}{2}} · + \bar{w}_{q}^{\efrac{\beta_{q}}{2}} \dots + \bar{w}_{r}^{\efrac{\beta_{r}}{2}} · e_{\vphantom{r}}^{\efrac{\gamma}{2}}, +\] +deren Exponenten $\dfrac{\alpha_{p}}{2}$~\dots\ $\dfrac{\beta_{p}}{2}$,~\dots\ absolut ganz sind, während $\dfrac{\gamma}{2}$ wieder +durch $g_{0}$ teilbar, also ein Hauptlogarithmus ist. Nach dem Satze +\aSeite{233} unten ist dann die Anzahl aller verschiedenen Wurzeln dieser +Gleichung gleich +\[ +n((\delta)) = n(2, 2, \dots 2) = 2^{\rho}, +\] +wenn $\rho$ die Anzahl aller verschiedenen Primfaktoren $(p, q \dots r)$ bzw.\ +$(2, q, \dots r)$ von $g$ bedeutet, und sie unterscheiden sich von $x_{0}$ um je +\PageSep{265}{249} +eine der $2^{\rho}$ zweiten Einheitswurzeln, \dh\ um je eine Wurzel~$\epsilon$ der +reinen Gleichung +\[ +\Tag{(2)} +\epsilon^{2} = 1\ (g). +\] +Alle und nur diese $2^{\rho}$ zweiten Einheitswurzeln sind in der Formel: +\[ +\Tag{(2^{a})} +\epsilon = (-1)_{p}^{\epsilon_{p}} + (-1)_{q}^{\epsilon_{q}} \dots + (-1)_{r}^{\epsilon_{r}} +\] +enthalten, wo \zB\ $(-1)_{p}$ für den Bereich von $p$ gleich~$-1$, für diejenigen +von $q$,~\dots~$r$ gleich~$+1$ ist, usw., und wo jeder der $\rho$~Exponenten +$\epsilon_{p}$,~\dots\ gleich Null oder Eins sein kann. Wir erhalten also +das folgende allgemeine Resultat: +\begin{Theorem} +Die Gleichung +\[ +x^{2} = A\ (g) +\] +besitzt im Ringe der $g$-adischen Zahlen stets und nur dann Wurzeln, +wenn die Ordnungszahl~$(\alpha)$ und der Index~$(\beta)$ von $A$ gerade +Systeme sind und wenn, falls $g$ gerade ist, der Hauptlogarithmus~$\gamma$ +von $A$ durch $8$ teilbar ist. Sind diese Bedingungen erfüllt, so +besitzt diese Gleichung~$2^{\rho}$ verschiedene Wurzeln, wenn $g$\; $\rho$ verschiedene +Primfaktoren hat, und diese unterscheiden sich nur um +je eine der $2^{\rho}$ zweiten Einheitswurzeln. +\end{Theorem} + +Ich spezialisiere dieses Resultat jetzt für den Fall, daß der Bereich +$R(g)$ ein $p$-adischer Zahlkörper ist, dessen Grundzahl eine beliebige +ungerade Primzahl oder $2$ sein kann, schließe jetzt aber den Fall nicht +aus, daß die zu untersuchende Zahl~$A$ gleich Null ist. Dann ergibt sich +der Satz: +\begin{Theorem} +Die Gleichung +\[ +\Tag{(3)} +x^{2} = A = p^{\alpha} w^{\beta} e^{\gamma}\ (p) +\] +besitzt, falls $A \neq 0$ ist, stets und nur dann eine Lösung, \dh\ $A$ +ist stets und nur dann eine $p$-adische Quadratzahl, wenn $\alpha$ und +$\beta$ gerade Zahlen sind, und wenn außerdem, falls $p = 2$ ist, $\gamma$~durch +$8$ teilbar ist. Sind diese Bedingungen erfüllt, so hat diese +Gleichung die beiden verschiedenen Werte +\[ +±\sqrt{A}, \quad\text{wo}\quad +\sqrt{A} = p^{\efrac{\alpha}{2}} w^{\efrac{\beta}{2}} e^{\efrac{\gamma}{2}} +\] +\PageSep{266}{250} +ist. Ist $A = 0$, so hat die obige Gleichung nur die eine, allerdings +doppelt zu zählende Wurzel $x = 0$. +\end{Theorem} + +Wir wollen in wesentlicher Verallgemeinerung einer von \Name{Legendre} +\index{Legendresches Zeichen~$\left(\dfrac{p}{q}\right)$}% +gegebenen Bezeichnung unter dem Symbole $\left(\dfrac{A}{p}\right)$ die Zahlen $+1$,~$-1$ +oder~$0$ verstehen, je nachdem $A$ entweder eine von Null verschiedene +$p$-adische Quadratzahl oder keine Quadratzahl oder endlich $A = 0$ ist. +Dann ist also +\[ +\Tag{(4)} +\setlength{\TmpLen}{0.6\textwidth}% +\begin{alignedat}{2} +\left(\frac{A}{p}\right) &= +1,\quad +&&\parbox[t]{\TmpLen}{wenn $A \neq 0$, wenn $\alpha$ und $\beta$ gerade und wenn (für $p = 2$) $\gamma$~durch~$8$ teilbar ist,} \\ +\left(\frac{A}{p}\right) &= -1, +&&\parbox[t]{\TmpLen}{wenn $A \neq 0$ und mindestens eine der vorigen Bedingungen nicht erfüllt ist,}\\ +\left(\frac{A}{p}\right) &= 0 +&&\text{wenn $A = 0$ ist,} +\end{alignedat} +\] +und der obige Satz kann dann kürzer folgendermaßen ausgesprochen +werden: +\begin{Theorem} +Die Anzahl der $p$-adischen Wurzeln der quadratischen Gleichung +\[ +x^{2} = A\ (p) +\] +ist stets gleich +\[ +1 + \left(\frac{A}{p}\right); +\] +\end{Theorem} +denn sie ist in den drei unterschiedenen Fällen gleich $2$,~$0$ oder~$1$. + +Wendet man dieses Resultat an auf die Lösung der allgemeinen +Gleichung~\Eq{(1)} in einem beliebigen Zahlenringe~$R(g)$, so ergibt der Satz +\aSeite{209} in diesem Falle das folgende einfache Resultat: +\begin{Theorem} +Die Anzahl der verschiedenen $g$-adischen Wurzeln, welche die +Gleichung +\[ +\Tag{(5)} +x^{2} = A\ (g) +\] +besitzt, ist stets gleich +\[ +\Tag{(5^{a})} +\prod_{p/g} \left(1 + \left(\frac{A}{p}\right)\!\right) %[** Small inner () in original] +\] +wo die Multiplikation auf alle verschiedenen Primteiler von $g$ zu +erstrecken ist. +\end{Theorem} +\PageSep{267}{251} +Hieraus ergibt sich endlich noch der Satz: +\begin{Theorem} +Besitzt die obige Gleichung überhaupt eine Lösung, so hat sie +genau $2^{\rho-\sigma}$ verschiedene Wurzeln, wenn $\rho$ die Anzahl der verschiedenen +Primfaktoren von~$g$, $\sigma$~die Anzahl der Nullteiler von +$A$ bedeutet. +\end{Theorem} +In der Tat sind ja unter dieser Voraussetzung von den $\rho$ Faktoren +in dem Produkte~\Eq{(5^{a})} genau $\sigma$ gleich~$1$, die übrigen $\rho - \sigma$ gleich~$2$. + +Zieht man in der Gleichung~\Eq{(5)} aus der Zahl~$A$ die größte in ihr enthaltene +Quadratzahl heraus, so läßt sie sich stets eindeutig in der Form +schreiben: +\[ +A = A_{0} A_{1}^{2}\ (g) +\] +wo $A_{0}$, der sog.\ \so{reduzierte Bestandteil von~$A$}, die folgende +\index{Reduzierter Bestandteil e.\ $g$-adischen Zahl}% +Form hat: +\[ +A_{0} = \bar{p}^{\alpha_{p}^{(0)}} \dots \bar{r}^{\alpha_{r}^{(0)}} + · w_{p}^{\beta_{p}^{(0)}} \dots w_{r}^{\beta_{r}^{(0)}} + \DPtypo{}{·} e^{4\gamma_{\vphantom{r}}^{(0)}}\DPtypo{}{.} +\] + +Hier sind die Systeme $(\alpha^{(0)})$~und~$(\beta^{(0)})$ offenbar die kleinsten nicht +negativen Reste, welche die Ordnungszahl~$(\alpha)$ und der Index~$(\beta)$ von $A$ +modulo~$(2)$ besitzen, ihre Bestandteile $(\alpha_{p}^{(0)}, \dots) (\beta_{p}^{(0)} \dots)$ sind also +alle gleich $0$~oder~$1$; der Hauptlogarithmus~$4\gamma^{(0)}$ dagegen ist stets gleich +Null, wenn $g$ ungerade ist, und gleich $0$~oder~$4$, wenn $g$ gerade ist, es ist +nämlich $4\gamma^{(0)}$ der kleinste nicht negative Rest des Hauptlogarithmus~$4\gamma$ +von $A$ modulo~$8$; $\gamma^{(0)}$~selbst ist also ebenfalls gleich Null oder~$1$. +Enthält $A$ einen Teiler des Null, ist also etwa $\alpha_{p} = +\infty$, so muß dieser +mit $A_{1}$ verbunden werden; alsdann sind also $\alpha_{p}^{(0)}$,~$\beta_{p}^{(0)}$ und, falls +$p = 2$ ist, auch $\gamma^{(0)}$ gleich Null. + +Die Gleichung +\[ +x^{2} = A = A_{0} A_{1}^{2}\ (g) +\] +besitzt nach dem soeben bewiesenen Satze stets und nur dann eine Lösung, +\dh\ $A$ ist allein dann eine $g$-adische Quadratzahl, wenn ihr reduzierter +Bestandteil $A_{0} = 1$, wenn also: +\[ +\lg A_{0} = ((\alpha^{(0)}), (\beta^{(0)}), 4\gamma^{(0)}) = 0 +\] +ist. + +Rechnen wir alle $g$-adischen Zahlen~$A$ in eine und dieselbe Klasse, +\PageSep{268}{252} +welche sich nur um eine Quadratzahl unterscheiden, so gehören zwei +solche Zahlen $A$~und~$A'$ stets und nur dann in dieselbe Klasse, wenn ihre +reduzierten Zahlen $A_{0}$~und~$A_{0}'$ gleich sind. Die Anzahl dieser Klassen +ist daher gleich der Anzahl aller verschiedenen reduzierten Zahlen. Ist +%[** TN: "\rho" character printed upside-down in the original] +$\rho$ wieder die Anzahl der verschiedenen Primfaktoren von~$g$, so gibt es +genau $2^{2\rho}$ oder $2^{2\rho+1}$ verschiedene Indexsysteme $((\alpha^{(0)}), (\beta^{(0)}), 4\gamma^{(0)})$, \DPchg{jenachdem}{je nachdem} +$g$ ungerade oder gerade ist, weil jeder der $2\rho$~Indizes $\alpha_{p}^{(0)}$,~\dots\ +$\beta_{p}^{(0)}$,~\dots\ und für ein gerades $g$ auch $\gamma^{(0)}$ gleich Null oder Eins sein kann. + +Auf die jetzt vollständig durchgeführte Auflösung der reinen Gleichung~\Eq{(1)} +läßt sich, wie bereits oben erwähnt wurde, die Lösung der +allgemeinen quadratischen Gleichung +\[ +\Tag{(6)} +ax^{2} + bx + c = 0\ (g) +\] +reduzieren. Dabei können und wollen wir voraussetzen, daß der Koeffizient~$a$ +der höchsten Potenz von $x$ keinen Nullteiler enthält. Besäße +nämlich $a$ etwa den Nullteiler~$O_{p}$, so würde sich ja \Eq{(6)} für den Bereich +von $p$ auf die lineare Gleichung: +\[ +bx + c = 0\ (p) +\] +reduzieren, \dh\ es würde $x = -\dfrac{c}{b}\ (p)$ sein, und die quadratische Gleichung +wäre nur noch für den Bereich der übrigen Primfaktoren von $g$ +aufzulösen. Hat aber $a$ keinen Nullteiler, so ergibt die Auflösung von +\Eq{(6)} in der gewöhnlichen Weise für $x$ die Gleichung: +\[ +\Tag{(6^{a})} +x = \frac{-b + \sqrt{A}}{2a}, +\] +wo $A = b^{2} - 4ac$ die Diskriminante unserer Gleichung ist, und jedem +der verschiedenen Werte von $\sqrt{A}$ entspricht eine Wurzel unserer +Gleichung. + +\begin{Theorem} +Die Anzahl aller verschiedenen $g$-adischen Wurzeln der +Gleichung~\Eq{(6)} ist also stets gleich +\[ +\prod_{p/g} \left(1 + \left(\frac{A}{p}\right)\!\right), +\] +wenn $A = b^{2} - 4ac$ die Gleichungsdiskriminante bedeutet. +\end{Theorem} +\PageSep{269}{253} + +Genau ebenso läßt sich die vollständige Auflösung der allgemeinen +kubischen und biquadratischen Gleichung in einem beliebigen Zahlenringe~$R(g)$ +durchführen. + + +\Section{§ 5.}{Die Auflösung der reinen quadratischen Kongruenzen.} + +Ich wende jetzt die Ergebnisse des §~3 an, um die allgemeine reine +quadratische Kongruenz: +\[ +\Tag{(1)} +x^{2} \equiv A\ (\mod.~g) +\] +für einen beliebigen Modul und ein beliebiges ganzzahliges $A$ vollständig +aufzulösen. + +Setzen wir in dem ersten der beiden \aSeite{238} unterschiedenen Fälle +$(A \equiv 0\ (\mod.~g))$\; $\mu = 2$, so ergibt sich für die Anzahl $\psi(0, g)$ der +modulo~$g$ inkongruenten Wurzeln die Gleichung: +\[ +\psi(0, g) + = \frac{g}{\bigl\{g^{\efrac{1}{2}}\bigr\}} + = \prod p^{k-\left\{\efrac{k}{2}\right\}} + = \prod p^{\left[\efrac{k}{2}\right]} + = [\sqrt{g}], +\] +wo $\left[\dfrac{k}{2}\right]$ wieder die größte in dem Bruche $\dfrac{k}{2}$ enthaltene und entsprechend +$[\sqrt{g}]$ die größte in $\sqrt{g}$ enthaltene ganze Zahl bedeutet. + +\begin{Theorem} +Die Anzahl aller modulo~$g$ inkongruenten Wurzeln der Kongruenz: +\[ +\Tag{(2)} +x^{2} \equiv 0\ (\mod.~g) +\] +ist also stets gleich: +\[ +\Tag{(2^{a})} +\psi(0, g) = [\sqrt{g}] +\] +\end{Theorem} + +So hat \zB\ die Kongruenz +\[ +x^{2} \equiv 0\ (\mod.~360) +\] +genau $[\sqrt{360}] = [2^{\efrac{3}{2}}·3·5^{\efrac{1}{2}}] = 6$ Wurzeln, nämlich die sechs modulo~$360$ +inkongruenten Multipla von +\[ +2^{\bigl\{\efrac{3}{2}\bigr\}} + · 3^{\bigl\{1\bigr\}} + · 5^{\bigl\{\efrac{1}{2}\bigr\}} = 60\DPtypo{}{.} +\] +\PageSep{270}{254} + +Der zweite der \aaO\ unterschiedenen Fälle wird nun im wesentlichen +durch den Satz vollständig erledigt, welcher aus dem \Seite{243} bewiesenen +Theorem für $\mu = 2$ hervorgeht: +\begin{Theorem} +Die Kongruenz +\[ +x^{2} \equiv A\ (\mod.~g), +\] +in welcher $\dfrac{g}{g_{0}}$ durch $|A|$ teilbar ist, besitzt, falls $\dfrac{g}{g_{0}}$ auch durch +$|2A|$ teilbar ist, stets und nur dann eine Lösung, wenn die entsprechende +Gleichung eine solche hat, und zwar ist die Anzahl der +inkongruenten Lösungen derselben das $|2A|$-fache der \aSeite{249} +bestimmten Anzahl der Gleichungswurzeln. +\end{Theorem} + +Hierdurch wird die Frage der Auflösbarkeit der reinen quadratischen +Kongruenz für einen ungeraden Modul~$g_{u}$ vollkommen und für +einen geraden Modul $g = 2^{k} g_{u}$ in allen Fällen außer den beiden entschieden, +wo $A$ durch $2^{k-2}$ und $2^{k-1}$ genau teilbar ist, wo also +$\left|\dfrac{g}{A}\right|_{2}$ gleich $2$ oder $2^{2}$ ist; denn für einen ungeraden Modul ist ja +$|2A| = |A|$, für einen geraden $|2A| = 2|A|$, und abgesehen von +jenen beiden Fällen ist $\dfrac{g}{g_{0}}$ durch $|2A|$ teilbar, wenn diese Zahl +durch $|A|$ teilbar ist. So ergibt sich der folgende allgemeine Satz: +\begin{Theorem} +Die Kongruenz +\[ +x^{2} \equiv A\ (\mod.~g), +\] +in welcher $g$ durch $|A|$ teilbar ist, besitzt stets genau +\[ +\Tag{(3)} +%[** TN: Small inner () in five subsequent equations] +\psi(A, g) = |2A|·\prod_{p/g} \left(1 + \left(\frac{A}{p}\right)\!\right) +\] +modulo~$g$ inkongruente Wurzeln. Eine Ausnahme bilden nur die +beiden Fälle, wo $\left|\dfrac{g}{A}\right|_{2}$ gleich $2$ oder $4$ ist. +\end{Theorem} + +Jene Anzahl ist also $|2A|·2^{\rho}$ oder~$0$, je nachdem alle $\rho$ +Symbole $\left(\dfrac{A}{p}\right) = 1$ oder auch nur eines gleich~$-1$ ist. Die hier ausgeschlossenen +Fälle endlich ergeben sich höchst einfach aus dem +\aSeite{238} oben bewiesenen Satze, daß für $g = 2^{k} g_{u}$ +\PageSep{271}{255} +\[ +\Tag{(4)} +\begin{aligned} +\psi(A, g) + &= \psi(A, 2^{k}) \psi(A, g_{u}) \\ + &= \psi(A, 2^{k}) |2A|_{g_{u}} \prod_{p/g_{u}} \left(1 + \left(\frac{A}{p}\right)\!\right) +\end{aligned} +\] +ist. Es ist also für jene beiden Fälle nur noch $\psi(A, 2^{k})$ zu berechnen. + +Ist nun $A = 2^{\alpha} (-1)^{\beta} e^{4\gamma_{0}}$ und zuerst $\alpha = k - 2$, so muß nach +\Seite{246} $\alpha$~und~$\beta$ gerade sein, während der Hauptlogarithmus~$4\gamma_{0}$ durch +$(4|2|, 2^{2}) = 2^{2}$ teilbar sein muß, was also hier keine neue Bedingung +ergibt. Alsdann erhalten wir nach \Eq{\DPtypo{(15c)}{(15^{c})}}~\aSeite{247} +\[ +\psi(A, 2^{k}) = 2^{k-2} (2, 1) (2, 2) = 2^{k-1} = 2·2^{\alpha}, +\] +und aus~\Eq{(4)} folgt endlich: +\[ +\Tag{(5)} +\psi(A, g) = |2A| \prod_{p/g_{u}} \left(1 + \left(\frac{A}{p}\right)\!\right), +\] +wo aber hier das Produkt nur über die ungeraden Primfaktoren von +$g$ zu erstrecken ist. + +Ist endlich $\alpha = k - 1$, so folgt aus \Seite{246} oben, daß hier nur die Ordnungszahl~$a$ +gerade zu sein braucht, während Index und Hauptlogarithmus +beliebig sein können; alsdann ist $\psi(A, 2^{k}) = 2^{\efrac{k-1}{2}} = 2^{\efrac{\alpha}{2}}$, also +\[ +\Tag{(5^{a})} +\psi(A, g) = 2^{\efrac{\alpha}{2}}·|2A|_{g_{u}} + \prod_{p/g_{u}} \left(1 + \left(\frac{A}{p}\right)\!\right). +\] +So erhalten wir das folgende höchst einfache Resultat: +\begin{Theorem} +Die Kongruenz +\[ +x^{2} \equiv A\ (\mod.~g) +\] +besitzt, falls $|A|$ durch $g$ teilbar ist, genau~$[\sqrt{g}]$, falls $\dfrac{g}{g_{0}}$ durch +$|2A|$ teilbar ist, genau: +\[ +\Tag{(6)} +|2A|·\prod_{p/g} \left(\DPtypo{(}{}1 + \left(\frac{A}{p}\right)\!\right) +\] +modulo~$g$ inkongruente Lösungen. In den beiden allein ausgeschlossenen +Fällen $A = 2^{k-2} A_{u}$ bzw.\ $A = 2^{k-1} A_{u}$ gelten die Gleichungen +\Eq{(5)}~und~\Eq{(5^{a})}. +\end{Theorem} +\PageSep{272}{256} + +Der für die Anwendungen wichtigste Fall ist der, daß +\[ +A = E = we^{\gamma}\ (g) +\] +eine Einheit für den Bereich von $g$ ist; dann ergibt sich aus dem letzten +Satze jetzt das folgende Theorem: +\begin{Theorem} +Die Kongruenz +\[ +\Tag{(7)} +x^{2} \equiv E\ (\mod.~g) +\] +besitzt, falls $\dfrac{g}{g_{0}}$ durch $|2|$ teilbar ist, genau: +\[ +\Tag{(7^{a})} +|2|·\prod_{p/g} \left(1 + \left(\frac{E}{p}\right)\!\right) +\] +modulo~$g$ inkongruente Lösungen. +\end{Theorem} +Nur dann ist $\dfrac{g}{g_{0}}$ nicht durch $|2|$ teilbar, wenn $g$ gerade und die in +$g$ enthaltene Potenz von~$2$ gleich $2^{1}$~oder~$2^{2}$, wenn also $g = 2g_{u}$ +bzw.\ $g = 4g_{u}$ ist. In diesen beiden Fällen folgt aus \Eq{(5)}~und~\Eq{(5^{a})} +\[ +\Tag{(7^{b})} +\begin{aligned} +\psi(E, 4g_{u}) &= 2\prod_{p/g_{u}} \left(1 + \left(\frac{E}{p}\right)\!\right) \\ +\psi(E, 2g_{u}) &= \Z\prod_{p/g_{u}} \left(1 + \left(\frac{E}{p}\right)\!\right). +\end{aligned} +\] + +Fassen wir diese Ergebnisse übersichtlich zusammen, so ergibt sich +der folgende Satz: +\begin{Theorem} +Eine Kongruenz +\[ +x^{2} \equiv E\ (\mod.~g_{u}) +\] +besitzt stets und nur dann eine Wurzel, wenn für jede der $\rho$ in dem +ungeraden Modul enthaltenen Primzahlen~$p$ +\[ +\left(\frac{E}{p}\right) = +1 +\] +ist, und dann ist die Anzahl ihrer inkongruenten Wurzeln gleich~$2^{\rho}$. + +Dasselbe ist der Fall, wenn der Modul $g = 2g_{u}$ das Doppelte +einer ungeraden Zahl ist. Ist aber $g = 4g_{u}$ das Vierfache einer +ungeraden Zahl, so ist außer den vorigen $\rho$ Bedingungen noch +erforderlich, daß $E$ von der Form $4n + 1$ ist, und dann ist die Anzahl +\PageSep{273}{257} +der Wurzeln gleich $2^{\rho+1}$, wenn $\rho$ wie vorher die Anzahl der +verschiedenen \so{ungeraden} Primfaktoren von $q$ bedeutet. Ist +endlich $g$ durch $8$ teilbar, so muß $E$ außerdem von der Form +$8n + 1$ sein, und dann hat dieselbe Kongruenz genau $2^{\rho+2}$ +modulo~$g$ inkongruente Wurzeln. +\end{Theorem} + +Sind $x_{0}$ und $x$ zwei beliebige Lösungen der Kongruenz~\Eq{(7)}, so ist +$\dfrac{x}{x_{0}}= \epsilon$ eine Wurzel der Kongruenz +\[ +\Tag{(8)} +\epsilon^{2} \equiv 1\ (\mod.~g), +\] +also eine zweite Einheitswurzel modulo~$g$, und umgekehrt liefert jedes +Produkt $x = x_{0}\epsilon$ eine der Wurzeln von~\Eq{(7)}. Alle Wurzeln dieser Kongruenz +gehen also aus einer von ihnen durch Multiplikation mit je +einer zweiten Einheitswurzel modulo~$g$ hervor. Für einen beliebigen +Modul besitzt die Kongruenz~\Eq{(8)} stets Lösungen, \zB\ $\delta = +1$; nach +dem soeben bewiesenen Satze ist also die Anzahl $\psi(1, g)$ aller zweiten +Einheitswurzeln~$\epsilon$ modulo~$g$ in den vorher unterschiedenen Fällen +gleich $2^{\rho}$,~$2^{\rho}$, $2^{\rho+1}$,~$2^{\rho+2}$. Diese Anzahl ist stets ein Multiplum von~$4$, +außer in dem Falle, daß $g$~eine ungerade Primzahlpotenz oder das +Doppelte einer solchen oder gleich $4$ ist, denn allein dann ist $\psi(1, g) = 2^{\rho}$ +und $\rho = 1$, bzw.\ $\psi(1, 4) = 2$. + +Zu jeder dieser zweiten Einheitswurzeln~$\epsilon$ gehört eine andere~$-\epsilon$, +und ihr Produkt ist $-\epsilon^{2} = -1$. Hieraus ergibt sich sofort der Satz: +\begin{Theorem} +Das Produkt $\prod \epsilon$ aller zweiten Einheitswurzeln modulo~$g$ +ist für diesen Modul kongruent $(-1)^{\efrac{1}{2}\psi(1, g)}$; es ist also dann und +nur dann kongruent~$-1$, wenn $g$ gleich $4$ oder $p^{k}$ oder $2p^{k}$ ist, +in allen anderen Fällen aber kongruent~$+1$. +\end{Theorem} + +Aus diesem Theorem ergibt sich sofort ein neuer und sehr einfacher +Beweis des Wilsonschen Satzes. Betrachtet man nämlich alle $\phi(g)$ +modulo~$g$ inkongruenten Einheiten~$E$ und trennt die $\psi(1, g)$ unter +ihnen vorkommenden zweiten Einheitswurzeln~$\epsilon$ von den übrigen~$\bar{E}$, +so ist +\[ +\prod E = \prod \bar{E} \prod \epsilon + = (-1)^{\psi(1, g)} \prod \bar{E}\ (\mod.~g). +\] + +Das rechtsstehende Produkt $\prod \bar{E}$ aller inkongruenten Einheiten, +welche keine zweiten Einheitswurzeln sind, ist aber kongruent~$+1$, da +\PageSep{274}{258} +zu jedem solchen $\bar{E}$ eine \emph{andere} Einheit~$\bar{E}'$ gehört, für welche +$\bar{E} \bar{E}' \equiv 1\ (\mod.~g)$ ist. Wäre nämlich für eine solche Einheit +$\bar{E} = \bar{E}'$, so müßte ja $\bar{E}^{2} \equiv 1$, also $\bar{E}$~eine zweite Einheitswurzel sein. +Also ist in der Tat $\prod \bar{E} = \prod (\bar{E}\bar{E}') \equiv +1$, \dh\ es ist +\[ +\prod E \equiv (-1)^{\psi(1, g)}\ (\mod.~g) +\] +und damit ist der Wilsonsche Satz aufs neue bewiesen. +\PageSep{275}{259} + + +\Chapter{Elftes Kapitel.} +{Das Reziprozitätsgesetz für die +quadratischen Reste.} + +\Section{§ 1.}{Die quadratischen Reste für einen Primzahlmodul. Das +Eulersche Kriterium und das Gausssche Lemma.} + +Durch die Untersuchungen des zehnten Kapitels ist die Frage, +ob eine Zahl~$A$ eine $g$-adische Quadratzahl ist oder nicht, theoretisch +vollständig gelöst. Praktisch ist aber diese Lösung noch nicht recht +brauchbar, weil sie die Exponentialdarstellung von $A$ voraussetzt, +welche in jedem speziellen Falle nicht ohne einige Rechnung gegeben +werden kann. Allerdings kann ja die Frage, ob die Ordnungszahl +$(\alpha) = (\alpha_{p}, \dots \alpha_{r})$ von $A$ gerade ist oder nicht, stets unabhängig von +dieser Darstellung entschieden werden. Deshalb können und wollen +wir im folgenden $A$ stets als $g$-adische Einheit, also $(\alpha) = (0)$ voraussetzen. +Setzen wir nun in dem Theorem \aSeite{243} $A = E$, $\mu = 2$, also +$|g_{0} \mu A| = |2g_{0}|$, so erhalten wir den folgenden einfachen Satz: +\begin{Theorem} +Eine Einheit~$E$ ist stets und nur dann eine $g$-adische Quadratzahl, +wenn die zugehörige Kongruenz: +\[ +\Tag{(1)} +x^{2} \equiv E\ (\mod.~|2g_{0}|) +\] +eine Lösung besitzt. +\end{Theorem} + +Nehmen wir also der Allgemeinheit wegen +\[ +g = 2^{h} p^{k} \dots r^{l} +\] +gleich als gerade an, so ist die Zahl~$E$ dann und nur dann eine $g$-adische +Quadratzahl, wenn für sie die folgenden einfachen Kongruenzen: +\PageSep{276}{260} +\[ +\Tag{(1^{a})} +x^{2} \equiv E\ (\mod.~8),\quad +x^{2} \equiv E\ (\mod.~p),\ \dots\quad +x^{2} \equiv E\ (\mod.~r) +\] +sämtlich eine Lösung besitzen. Nur diese sind also im folgenden weiter +zu untersuchen. + +Die erste von diesen Kongruenzen ist nach \Seite{257} oben stets +und nur dann erfüllt, wenn $E$ von der Form $8n + 1$ ist. Ist ferner $p$ +eine beliebige ungerade Primzahl, und setzt man \aSeite{242} unten +$A = E$, $\mu = 2$, so erkennt man, daß die Kongruenz: +\[ +x^{2} \equiv E = w^{\beta} e^{\gamma} \equiv w^{\beta}\ (\mod.~p) +\] +stets und nur dann eine Wurzel hat, wenn $\beta = \Ind E$ gerade ist. Ist +\[ +w = g + g_{1}p + \dots\ (p) +\] +die $p$-adische Entwicklung der primitiven Einheitswurzel~$w$, so ist ihr +Anfangsglied $g$~eine primitive Kongruenzwurzel modulo~$p$ und es ist +stets: +\[ +E \equiv w^{\beta} \equiv g^{\beta}\ (\mod.~p). +\] +Man kann also das Ergebnis dieser Untersuchung in dem folgenden +Satze aussprechen: +\begin{Theorem} +Eine Einheit~$E$ ist für den Bereich von $2$ stets und nur dann +eine Quadratzahl, wenn sie von der Form $8n + 1$ ist; für den Bereich +einer ungeraden Primzahl~$p$ ist sie eine Quadratzahl, wenn +ihr Index \emph{für den Bereich von~$p$}, oder, was dasselbe ist, wenn +ihr Index \emph{modulo~$p$} gerade ist. +\end{Theorem} + +Besitzt die Kongruenz +\[ +x^{2} \equiv E\ (\mod.~8) \quad\text{bzw.}\quad +x^{2} \equiv E\ (\mod.~p) +\] +eine Wurzel, so wollen wir $E$ \so{einen quadratischen Rest +modulo~$2$} bzw.\ \so{modulo~$p$} nennen; dagegen soll $E$ \so{ein Nichtrest +für $2$ bzw}.\ $p$~heißen, wenn jene Kongruenzen keine Wurzel +haben. Hiernach ist $E$ ein quadratischer Rest oder Nichtrest, je +\index{Quadratische!Reste modulo~$p$}% +nachdem $\left(\dfrac{E}{2}\right)$ bzw.\ $\left(\dfrac{E}{p}\right)$ gleich $+1$~oder~$-1$, je nachdem also $E$ +für den Bereich von $2$ bzw.\ von $p$ eine Quadratzahl ist oder nicht. + +Im Falle $p = 2$ besitzt die Gleichung: +\PageSep{277}{261} +\[ +\Tag{(2)} +x^{2} = E = (-1)^{\beta} e^{4\gamma}\ (2) +\] +nach \Seite{249} unten stets und nur dann eine Lösung, wenn \emph{sowohl +$\beta$ als auch~$\gamma$} gerade sind, oder, was auf dasselbe herauskommt, +wenn $E$ von der Form $8n + 1$ ist. Da also hier sowohl der Index als auch +der Hauptlogarithmus von $E$ je eine Bedingung erfüllen müssen, so +wollen wir das Symbol $\left(\dfrac{E}{2}\right)$ gleich dem System: +\[ +\Tag{(3)} +\left(\frac{E}{2}\right) = ((-1)^{\beta}, (-1)^{\gamma}) +\] +setzen, welches die vier Werte $(+1, +1)$, $(-1, -1)$, $(+1, -1)$, +$(-1, +1)$ haben kann; dann ist $E$ stets und nur dann eine +Quadratzahl, also $\left(\dfrac{E}{2}\right) = +1$, wenn das ihm gleiche System auf +der rechten Seite gleich $(+1, +1)$ ist. + +Betrachtet man die Gleichung $E = (-1)^{\beta}·e^{4\gamma}$ zuerst modulo~$4$, +und hierauf die aus ihr folgende $E^{2} = e^{8\gamma}$ für den Modul~$16$, so +ergeben sich, da $e^{4\gamma} \equiv 1\ (\mod.~4)$, $e^{8\gamma} \equiv 1 + 8\gamma\ (\mod.~16)$ ist, die +Kongruenzen: +\begin{gather*} +E \equiv (-1)^{\beta} \equiv (1 - 2)^{\beta} \equiv 1 - 2\beta\ (\mod.~4) \\ +\Tag{(4)} +\frac{E - 1}{2} \equiv \beta,\quad +\frac{E^{2} - 1}{8} \equiv \gamma\ (\mod.~2). +\end{gather*} +Dadurch erhält man also aus~\Eq{(3)} auch die folgende Darstellung des +Legendreschen Zeichens in diesem Falle: +\[ +\Tag{(5)} +\left(\frac{E}{2}\right) = \left((-1)^{\efrac{E-1}{2}}, (-1)^{\efrac{E^{2}-1}{8}}\right). +\] + +Zwei Einheiten +\[ +\Tag{(6)} +E = (-1)^{\beta} e^{4\gamma} \quad\text{und}\quad +E'= (-1)^{\beta'} e^{4\gamma'} +\] +sind stets und nur dann modulo~$8$ kongruent, wenn $\beta \equiv \beta'$ und $\gamma \equiv \gamma'\ +(\mod.~2)$ sind. Sind also $E$~und~$E'$ modulo~$8$ kongruent, so ist +\[ +\Tag{(6^{a})} +\left(\frac{E}{2}\right) = \left(\frac{E'}{2}\right). +\] +\PageSep{278}{262} +ist also $E = 8n + \epsilon$, wo $\epsilon = 1$, $3$,~$5$,~$7$ sein kann, so ergibt sich: +\[ +\Tag{(7)} +\left(\frac{E}{2}\right) + = \left((-1)^{\efrac{\epsilon-1}{2}}, (-1)^{\efrac{\epsilon^{2}-1}{8}}\right), +\] +und da in den vier unterschiedenen Fällen das rechts stehende Symbol +bzw.\ gleich $(++)$, $(--)$, $(+-)$, $(-+)$ ist, so ergibt sich der Satz: +\begin{Theorem} +Das Symbol $\left(\dfrac{E}{2}\right)$ ist $(++)$, $(--)$, $(+-)$, $(-+)$, je +nachdem $E = 8n+ 1$, $3$,~$5$,~$7$ ist. +\end{Theorem} + +Da ferner für das Produkt der beiden Einheiten~\Eq{(6)} +\[ +EE' = (-1)^{\beta+\beta'} e^{4(\gamma+\gamma')} +\] +ist, so besteht die folgende allgemeine Gleichung: +\[ +\Tag{(8)} +\left(\frac{EE'}{2}\right) = \left(\frac{E}{2}\right) \left(\frac{E'}{2}\right); +\] +denn der gemeinsame Wert beider Seiten ist ja: $((-1)^{\beta+\beta'}, (-1)^{\gamma+\gamma'})$, +wenn das Produkt zweier Systeme wie \aSeite{201} oben definiert wird. + +Ist zweitens $p$ eine ungerade Primzahl und $E = w^{\beta} e^{\gamma}$ eine beliebige +Einheit modulo~$p$, so ist nach dem Satze \aSeite{260}: +\[ +\left(\frac{E}{p}\right) = (-1)^{\beta}, +\] +oder, da $-1 = w^{\efrac{p-1}{2}}$ und $E \equiv w^{\beta}\ (\mod.~p)$ ist, +\[ +\Tag{(9)} +\left(\frac{E}{p}\right) = w^{\beta·\efrac{p-1}{2}} \equiv E^{\efrac{p-1}{2}}\ (\mod.~p); +\] +es besteht also der folgende Satz, das sog.\ \so{Eulersche Kriterium:} +\begin{Theorem} +Eine Einheit~$E$ ist quadratischer Rest oder Nichtrest für eine +\index{Eulersches Kriterium}% +ungerade Primzahl~$p$, je nachdem $E^{\efrac{p-1}{2}}$ modulo~$p$ kongruent $+1$ +oder~$-1$ ist. Das Symbol $\left(\dfrac{E}{p}\right)$ ist also gleich dem absolut kleinsten +Reste von $E^{\efrac{p-1}{2}}$ modulo~$p$. +\end{Theorem} + +Hieraus ergeben sich sofort die beiden Folgerungen: +\PageSep{279}{263} +\begin{Theorem} +Sind $E$~und~$E'$ modulo~$p$ kongruent, so ist +\[ +\Tag{(10)} +\left(\frac{E}{p}\right) = \left(\frac{E'}{p}\right). +\] + +Sind $E$~und~$E'$ beliebige Einheiten, so ist stets +\[ +\Tag{(11)} +\left(\frac{EE'}{p}\right) = \left(\frac{E}{p}\right) \left(\frac{E'}{p}\right); +\] +\end{Theorem} +denn im ersten Falle ist ja $E^{\efrac{p-1}{2}} \equiv {E'}^{\efrac{p-1}{2}}\ (\mod.~p)$, im zweiten ist der +gemeinsame Wert beider Symbole kongruent~$(EE')^{\efrac{p-1}{2}}$. Speziell ergibt +sich für $E' = E$ die selbstverständliche Folgerung, daß für jede +Einheit~$E$ +\[ +\Tag{(11^{a})} +\left(\frac{E^{2}}{p}\right) = +1 +\] +ist. + +Es brauchen hiernach nur die modulo~$p$ inkongruenten Einheiten +$1$,~$2$,~\dots~$p - 1$ oder die ihnen modulo~$p$ abgesehen von der Reihenfolge +kongruenten $(p - 1)$-ten Einheitswurzeln +\[ +1,\ w,\ w^{2},\ \dots\ w^{p-2} +\] +auf ihren quadratischen Charakter untersucht zu werden. Unter den +letzteren sind nun offenbar genau die Hälfte, nämlich die geraden Potenzen +\[ +\Tag{(12)} +1,\ w^{2},\ w^{4},\ \dots\ w^{p-3} +\] +Reste, während die $\dfrac{p - 1}{2}$ ungeraden Potenzen +\[ +\Tag{(12^{a})} +w,\ w^{3},\ \dots\ w^{p-2} +\] +Nichtreste sind. Es ist leicht, die beiden Gleichungen des $\left(\dfrac{p - 1}{2}\right)$-ten +Grades aufzustellen, denen die Reste bzw.\ die Nichtreste genügen. Ist +nämlich +\[ +\bar{w} = w^{2\alpha+\epsilon}, +\] +wo $\epsilon = 0$ oder $1$ ist, je nachdem $\bar{w}$ ein Rest oder Nichtrest ist, so ist ja +\[ +\bar{w}^{\efrac{p-1}{2}} = (-1)^{\epsilon}, +\] +\PageSep{280}{264} +\dh\ gleich $+1$~oder~$-1$, je nachdem $\epsilon$ Null oder Eins ist. Setzen +wir also ein für alle Male +\[ +\pi = \frac{p - 1}{2} +\] +so ergibt sich der folgende einfache Satz: +\begin{Theorem} +Unter den $p - 1 = 2\pi$ verschiedenen Einheitswurzeln gibt +es genau $\pi$ quadratische Reste und ebensoviele Nichtreste, und +sie sind die sämtlichen Wurzeln der beiden Gleichungen \Ord{$\pi$}{-ten} +Grades: +\[ +\Tag{(13)} +x^{\pi} - 1 = 0 \quad\text{und}\quad +x^{\pi} + 1 = 0, +\] +deren linke Seiten die beiden Faktoren sind, in welche die Funktion +\[ +x^{p-1} - 1 = (x^{\pi} - 1) (x^{\pi} + 1) +\] +zerfällt. +\end{Theorem} + +Aus den beiden Zerlegungsgleichungen +\[ +\Tag{(13^{a})} +x^{\pi} - 1 = \prod (x - w^{2\alpha}),\quad +x^{\pi} + 1 = \prod (x - w^{2\alpha+1}) +\] +ergibt sich für $x = 0$: +\[ +\Tag{(14)} +\prod w^{2\alpha} = (-1)^{\pi-1},\quad +\prod w^{2\alpha+1} = (-1)^{\pi} , +\] +und für jedes $p > 3$ liefert die Vergleichung der Koeffizienten von~$x^{\pi-1}$ +in~\Eq{(13^{a})} die Gleichungen: +\[ +\Tag{(14^{a})} +\sum w^{2\alpha} = 0,\quad +\sum w^{2\alpha+1} = 0. +\] + +Es sei +\[ +\Tag{(15)} +w^{(1)^{2}},\ w^{(2)^{2}},\ \dots\ w^{(\pi)^{2}} +\] +das vollständige System aller $\pi$ verschiedenen quadratischen Reste +unter den $p - 1$ Einheitswurzeln; dann sind die $2\pi = p - 1$ +Einheitswurzeln +\[ +\Tag{(15^{a})} +±w^{(1)},\ ±w^{(2)},\ \dots\ ±w^{(\pi)} +\] +alle voneinander verschieden; denn nur dann könnte ja $±w^{(i)} = ±w^{(k)}$ +sein, wenn $w^{(i)^{2}} = w^{(k)^{2}}$, wenn also $k = i$ wäre, und die beiden Zahlen +$+w^{(i)}$~und~$-w^{(i)}$ sind ja stets voneinander verschieden. Also bilden die +\PageSep{281}{265} +$p - 1$ Zahlen~\Eq{(15^{a})} ein vollständiges System aller verschiedenen $(p - 1)$-ten +Einheitswurzeln. Da man jede der beiden Quadratwurzeln aus $w^{(i)^{2}}$ +durch $+w^{(i)}$ bezeichnen kann, so erhält man $2^{\pi}$ verschiedene solche +Systeme $(w^{(1)}, w^{(2)}, \dots w^{(\pi)})$, die ich \so{Halbsysteme} nennen will. +Jedes der $2^{\pi}$~Halbsysteme geht aus einem unter ihnen durch Veränderung +seiner Vorzeichen hervor. Speziell ist $(1, w, w^{2}, \dots w^{\pi-1})$ +ein solches Halbsystem, da ja die Quadrate $(1, w^{2}, w^{4}, \dots w^{p-3})$ alle +\index{Halbsystem}% +verschieden sind; aber auch die Einheitswurzeln $(w_{1}, w_{2}, \dots w_{\pi})$, +welche modulo~$p$ den $\dfrac{p - 1}{2}$ ersten Zahlen $(1, 2, \dots \pi)$ kongruent sind, +bilden ein Halbsystem, weil für zwei solche Einheitswurzeln niemals +$w_{i} = -w_{k}$ oder $w_{i} + w_{k} = 0$ sein kann, da ja sonst für ihre Anfangsglieder +$i + k$ durch $p$ teilbar sein müßte, während doch beide positiv +und kleiner als $\dfrac{p}{2}$ sind. + +Mit Hilfe dieser Halbsysteme kann man einen neuen Ausdruck +für den quadratischen Charakter~$\left(\dfrac{\bar{w}}{p}\right)$ einer beliebigen Einheitswurzel +herleiten, welcher für die weiteren Betrachtungen von fundamentaler +Bedeutung ist. Ist nämlich $(w^{(1)}, w^{(2)}, \dots w^{(\pi)})$ ein beliebiges Halbsystem +und $\bar{w}$ irgendeine Einheitswurzel, so ist auch $(\bar{w} w^{(1)}, \bar{w} w^{(2)}, \dots \bar{w} w^{(\pi)})$ +ein Halbsystem, da ja aus jeder Gleichung $\bar{w} w^{(i)} = ±\bar{w} w^{(k)}$ sich +$w^{(i)} = ±w^{(k)}$ ergeben würde; und da sich dieses Halbsystem von dem +vorigen nur durch die Vorzeichen und die Reihenfolge unterscheiden +kann, so bestehen die folgenden Gleichungen: +\[ +\Tag{(16)} +\begin{aligned} +\bar{w} w^{(1)} &= \epsilon_{1} w^{(1')} \\ +\bar{w} w^{(2)} &= \epsilon_{2} w^{(2')} \\ +\DotRow{2} \\ +\bar{w} w^{(\pi)} &= \epsilon_{\pi} w^{(\pi')}, +\end{aligned} +\] +wo die $\epsilon = ±1$ und die Indizes $(1', 2', \dots \pi')$ die Zahlen $(1, 2, \dots \pi)$ +in anderer Reihenfolge bedeuten. Multipliziert man diese Gleichungen +miteinander und hebt mit dem Faktor $(w^{(1)} \dots w^{(n)})$, so ergibt sich +die Gleichung: +\[ +\bar{w}^{\pi} + = \left(\frac{\bar{w}}{p}\right) + = \epsilon_{1} \epsilon_{2} \dots \epsilon_{\pi}. +\] +\PageSep{282}{266} + +Ist also $\mu$ die Anzahl der Vorzeichen~$-1$ auf der rechten Seite, +so folgt: +\[ +\left(\frac{\bar{w}}{p}\right) = (-1)^{\mu}. +\] +So ergibt sich der folgende Satz, welcher \so{das Gausssche +Lemma} genannt werden soll, weil dasselbe zuerst von Gauss in +\index{Gausssches Lemma}% +seinem wichtigsten Spezialfall bewiesen worden ist: +\begin{Theorem} +Ist $(w^{(i)})$ ein ganz beliebiges Halbsystem und $w$ irgendeine +Einheitswurzel, so ist stets +\[ +\Tag{(17)} +\left(\frac{\bar{w}}{p}\right) = (-1)^{\mu}, +\] +wenn $\mu$ die Anzahl der Zeichenwechsel ist, um welche sich das +Halbsystem~$(\bar{w} w^{(i)})$ von dem Halbsysteme~$(w^{(i)})$ unterscheidet. +\end{Theorem} + +Da jede durch $p$ nicht teilbare Zahl~$c$ ihrer Einheitswurzel~$w_{c}$ +modulo~$p$ kongruent ist, so gelten alle soeben für die Einheitswurzeln +bewiesenen Sätze auch für alle Einheiten modulo~$p$. Diese brauchen +daher hier nur ausgesprochen zu werden: +\begin{Theorem} +Eine Zahl $c \equiv g^{\beta}\ (\mod.~p)$ ist stets und nur dann quadratischer +Rest modulo~$p$, wenn ihr Index~$\beta$ modulo~$p$ gerade ist; daher ist +$c$ Rest oder Nichtrest, je nachdem +\[ +\Tag{(18)} +c^{\efrac{p-1}{2}} \equiv +1 \quad\text{oder}\quad -1\ (\mod.~p) +\] +ist. (Eulersches Kriterium.) Unter den modulo~$p$ inkongruenten +Zahlen $1$,~$2$,~\dots~$p - 1$ gibt es also stets gleich viele Reste und +Nichtreste, welche im folgenden immer durch: +\[ +a_{1},\ a_{2},\ \dots\ a_{\pi} \quad\text{bzw.}\quad +b_{1},\ b_{2},\ \dots\ b_{\pi} +\] +bezeichnet werden sollen. Dieselben sind die sämtlichen inkongruenten +Wurzeln, welche die Kongruenzen: +\[ +\Tag{(19)} +\begin{alignedat}{4} +x^{\pi} - 1 &\equiv (x - a_{1})&&(x - a_{2})&& \dots (x - a_{\pi}) &&\equiv 0 \\ +x^{\pi} + 1 &\equiv (x - b_{1})&&(x - b_{2})&& \dots (x - b_{\pi}) &&\equiv 0 +\end{alignedat} +\quad (\mod.~p) +\] +besitzen. +\PageSep{283}{267} + +Sowohl die Summe aller Reste als auch die Summe aller +Nichtreste ist durch $p$ teilbar, sobald $p > 3$ ist, für ihre Produkte +bestehen die Kongruenzen: +\[ +a_{1} a_{2} \dots a_{\pi} \equiv (-1)^{\efrac{p+1}{2}},\quad +b_{1} b_{2} \dots b_{\pi} \equiv (-1)^{\efrac{p-1}{2}} \ (\mod.~p). +\] +\end{Theorem} + +So sind \zB\ für den Modul $p = 7$, wie eine leichte Rechnung zeigt, +\[ +(1, 2, 4) \quad\text{alle Reste,} \qquad +(3, 5, 6) \quad\text{alle Nichtreste.} +\] +Ebenso sind modulo~$11$, +\[ +(1, 3, 4, 5, 9) \quad\text{die Reste,} \qquad +(2, 6, 7, 8, 10) \quad\text{die Nichtreste;} +\] +für den Modul~$13$ ergibt sich +\[ +(a_{i}) = (1, 3, 4, 9, 10, 12), \qquad +(b_{i}) = (2, 5, 6, 7, 8, 11), +\] +und für die Primzahl~$17$ +\[ +(a_{i}) = (1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16), \quad +(b_{i}) = (3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 14). +\] +Für den Modul~$11$ genügen \zB\ die Reste und die Nichtreste den beiden +Kongruenzen: +\[ +\begin{aligned} +x^{5} - 1 &\equiv (x-1)(x-3)(x-4)(x-5)(x-9) \\ +x^{5} + 1 &\equiv (x-2)(x-6)(x-7)(x-8)(x-10) +\end{aligned} +\quad (\mod.~11). +\] +In den angeführten Beispielen überzeugt man sich sofort, daß die +Summe der Reste bzw.\ der Nichtreste jedesmal durch die betreffende +Primzahl teilbar ist, und für die entsprechenden Produkte erhält man +\zB\ für die Moduln $7$,~$11$ und~$13$ die Kongruenzen: +{\small +\begin{alignat*}{3} +\prod a_{i} &= 1·2·4 \equiv +1 &\prod b_{i} &= 3·5·6 \equiv -1 &&(\mod.~7), \\ +\prod a_{i} &= 1·3·4·5·9 \equiv +1 &\prod b_{i} &= 2·6·7·8·10 \equiv -1 &&(\mod.~11), \\ +\prod a_{i} &= 1·3·4·9·10·12 \equiv -1\quad &\prod b_{i} &= 2·5·6·7·8·11 \equiv +1\ &&(\mod.~13). +\end{alignat*}} + +Man kann aus der Reihe $(1, 2, \dots p - 1)$ auf $2^{\pi}$ verschiedene +Arten ein Halbsystem $(c^{(1)}, c^{(2)}, \dots c^{(\pi)})$ so auswählen, daß die +$p - 1$ Zahlen $(±c^{(i)})$ ein vollständiges System inkongruenter Einheiten +bilden. So sind \zB\ die $\pi$ Zahlen $(1, g, g^{2}, \dots g^{\pi})$, aber +auch die $\pi$ ersten Zahlen $(1, 2, \dots \pi)$ ein solches Halbsystem, und +\PageSep{284}{268} +speziell für dieses letztere hat Gauss sein Lemma aufgestellt und +bewiesen. Ist nämlich $c$ irgendeine Einheit modulo~$p$, und reduziert +man die $\pi$ Produkte $(1·c, 2·c, \dots \pi·c)$ modulo~$p$ auf ihre absolut +kleinsten Reste $(\epsilon_{1}·1', \epsilon_{2}·2', \dots \epsilon_{\pi} \pi')$ modulo~$p$, so folgt aus dem +\aSeite{265} allgemein bewiesenen Gaussschen Lemma, daß: +\[ +\Tag{(20)} +\left(\frac{c}{p}\right) = \epsilon_{1} \epsilon_{2} \dots \epsilon_{\pi} = (-1)^{\mu} +\] +ist, wenn $\mu$ die Anzahl derjenigen Produkte~$ic$ angibt, deren absolut +kleinster Rest~$\epsilon_{i} i'$ negativ, für welche also $\epsilon_{i} = -1$ ist. + +Wählt man statt der \emph{absolut} kleinsten Reste der Produkte~$ic$ +jedesmal ihre kleinsten \emph{positiven} Reste, so entsprechen allen und nur +den Produkten, deren absolut kleinste Reste vorher negativ waren, +jetzt positive Reste, welche größer als~$\pi$, \dh\ größer als $\dfrac{p - 1}{2}$ sind. +Wir können also das Gausssche Lemma auch folgendermaßen aussprechen: +\begin{Theorem} +Reduziert man die $\pi$ Produkte $(c, 2c, \dots \pi c)$ auf ihre +kleinsten positiven Reste modulo~$p$, so ist $\left(\dfrac{c}{p}\right)$ gleich~$+1$ oder +gleich~$-1$, je nachdem die Anzahl der über $\dfrac{p - 1}{2}$ liegenden +Reste gerade oder ungerade ist. +\end{Theorem} + +Es sei \zB\ $p = 17$, also $\pi = 8$ und $c = 5$; bildet man dann +die kleinsten positiven Reste der acht ersten Multipla von~$5$, indem +man sukzessive $5$ addiert und nach Bedarf $17$ abzieht, so erhält +man die Reihe: +\[ +5,\ 10,\ 15,\ 3,\ 8,\ 13,\ 1,\ 6; +\] +und da in ihr drei Zahlen größer als $8$ sind, so ergibt sich $\left(\dfrac{5}{17}\right) = -1$. + +Ist $p = 13$, $\pi = 6$, $c = 10$, so folgt aus der entsprechend gebildeten +Reihe: +\[ +10,\ 7,\ 4,\ 1,\ 11,\ 8, +\] +da sie vier oberhalb $6$ liegende Zahlen enthält, daß $\left(\dfrac{10}{13}\right) = +1$ ist, +und in der Tat ergibt sich sofort +\PageSep{285}{269} +\[ +6^{2} \equiv 10\ (\mod.~13). +\] + +Man erkennt so, wie einfach sich für ein nicht zu großes $p$ die +Bestimmung des quadratischen Charakters mittels des Gaussschen +Lemmas gestaltet. + + +\Section{§ 2.}{Die beiden Ergänzungssätze und das quadratische +Reziprozitätsgesetz.} + +Es sei jetzt $E$ eine beliebige absolut ganze rationale Zahl, welche +durch $p$ nicht teilbar ist. Dann reduziert sich die Bestimmung des +Legendreschen Symboles $\left(\dfrac{E}{p}\right)$ vollständig auf die drei speziellen +Fälle, daß $E = -1$,~$2$, oder~$q$ ist, wo $q$~irgendeine ungerade Primzahl +bedeutet, \dh\ auf die drei einfachsten Symbole: +\[ +\Tag{(1)} +\left(\frac{-1}{p}\right),\quad +\left(\frac{2}{p}\right),\quad +\left(\frac{q}{p}\right). +\] +Setzt man nämlich +\[ +E = PQ^{2}, +\] +wo $Q^{2}$ die größte in $E$ enthaltene rationale Quadratzahl ist, also +\[ +P = ±qr \dots s +\] +lauter einfache Primfaktoren enthält, unter denen auch $2$ vorkommen +kann, so besteht wegen \Eq{(11)}~und~\Eq{(11^{a})} \aSeite{263} die Gleichung: +\[ +\left(\frac{E}{p}\right) + = \left(\frac{P}{p}\right) + = \left(\frac{±1}{p}\right) \left(\frac{q}{p}\right) \dots \left(\frac{r}{p}\right), +\] +es sind also in der Tat nur jene drei einfachen Symbole~\Eq{(1)} genauer +zu untersuchen. + +Der Wert der beiden ersten Symbole $\left(\dfrac{-1}{p}\right)$ und $\left(\dfrac{2}{p}\right)$ kann für +eine beliebige Primzahl~$p$ leicht bestimmt werden: Da nämlich +zunächst +\[ +-1 = w^{\efrac{p-1}{2}} +\] +ist, also den Index~$\dfrac{p - 1}{2}$ hat, so ist $-1$ eine $p$-adische Quadratzahl +\PageSep{286}{270} +oder nicht, je nachdem $\dfrac{p - 1}{2}$ gerade oder ungerade, je nachdem also $p$ +von der Form $4n + 1$ oder $4n + 3$ ist. Es ergibt sich also der folgende +sog.\ \so{erste Ergänzungssatz}: +\begin{Theorem} +Die Zahl~$-1$ ist quadratischer Rest aller Primzahlen $5$,~$13$, +\index{Ergänzungssätze zum Reziprozitätsgesetz}% +$17$, $29$, $37$,~\dots\ von der Form $4n + 1$, quadratischer Nichtrest +aller Primzahlen $3$,~$7$, $11$, $19$, $23$,~\dots\ von der Form~$4n + 3$. +\end{Theorem} + +Auch aus dem Gaussschen Lemma folgt dieser Ergänzungssatz +unmittelbar: Ist nämlich $(w^{(1)}, w^{(2)}, \dots w^{(n)})$ ein beliebiges Halbsystem, +und $\bar{w} = -1$, so enthält das Halbsystem +\[ +(\bar{w} w^{(i)}) = (-w^{(1)}, -w^{(2)}, \dots -w^{(\pi)}) +\] +gegen das vorige genau $\pi$ Zeichenwechsel, \dh\ es ist +\[ +\Tag{(2)} +\left(\frac{-1}{p}\right) = (-1)^{\pi} = (-1)^{\efrac{p-1}{2}}. +\] + +Auch den zweiten Ergänzungssatz, \dh\ den Wert des Symboles +$\left(\dfrac{2}{p}\right)$ liefert das Gausssche Lemma ohne weiteres. Setzt man nämlich +in dem Satze \aSeite{268} $c = 2$, so sind alle $\pi$ Produkte $(2, 4, \dots 2\pi)$ +kleiner als~$p$, also ihre eigenen kleinsten positiven Reste modulo~$p$. Von +ihnen sind die $\left[\dfrac{\pi}{2}\right]$ ersten $2$,~$4$,~\dots\ $2\left[\dfrac{\pi}{2}\right]$ offenbar nicht größer +als~$\pi$, während die $\pi - \left[\dfrac{\pi}{2}\right]$ folgenden sämtlich über $\pi$ liegen. +Bezeichnet man also wieder wie \aSeite{238}~\Eq{(5)} durch $\left\{\dfrac{\pi}{2}\right\}$ die kleinste ganze +Zahl, welche $\geqq \dfrac{\pi}{2}$ ist, und beachtet, daß dann offenbar stets +\[ +\left[\frac{\pi}{2}\right] + \left\{\frac{\pi}{2}\right\} = \pi \quad\text{also}\quad +\left\{\frac{\pi}{2}\right\} = \pi - \left[\frac{\pi}{2}\right] +\] +ist, so ergibt sich für das zu untersuchende Legendresche Zeichen die +folgende allgemeine Bestimmung: +\[ +\left(\frac{2}{p}\right) + = (-1)^{\bigl\{\efrac{\pi}{2}\bigr\}} + = (-1)^{\bigl\{\efrac{p-1}{4}\bigr\}}. +\] +\PageSep{287}{271} +Setzt man $p = 8n + \epsilon$, wo $\epsilon= 1 $,~$3$, $5$,~$7$ sein kann, so ist +\[ +\left\{\frac{p - 1}{4}\right\} + = 2n + \left\{\frac{\epsilon - 1}{4}\right\} + \equiv \left\{\frac{\epsilon - 1}{4}\right\}\ (\mod.~2), +\] +und da in den vier unterschiedenen Fällen $\dfrac{\epsilon - 1}{4}$ gleich $0$,~$\dfrac{1}{2}$, $1$,~$\dfrac{3}{2}$, +also $\left\{\dfrac{\epsilon - 1}{4}\right\} = 0$, $1$, $1$,~$2$ wird, so kann jener zweite Ergänzungssatz +folgendermaßen ausgesprochen werden: +\begin{Theorem} +Die gerade Primzahl~$2$ ist quadratischer Rest aller Primzahlen +von der Form $8n ± 1$ und quadratischer Nichtrest aller +Primzahlen von der Form~$8n ± 5$. +\end{Theorem} + +Benützt man endlich noch die Tatsache, daß offenbar stets: +\[ +\left\{\frac{p - 1}{4}\right\} + \equiv \frac{p^{2} - 1}{8} + = \frac{(p - 1)(p + 1)}{8}\ (\mod.~2) +\] +ist, da diese Kongruenz in den vier hier allein zu unterscheidenden +Fällen $p \equiv ±1$ bzw.\ $p \equiv ±5\ (\mod.~8)$ richtig ist, so kann derselbe +Ergänzungssatz auch in der Form: +\[ +\Tag{(3)} +\left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{\efrac{p^{2}-1}{8}} +\] +ausgesprochen werden. + +Schreibt man die Primzahl~$p$ für den Bereich von $2$ in der +Form: +\[ +p = (-1)^{\beta} e^{4\gamma}\ (2), +\] +wo nach \Eq{(4)} \aSeite{261}: +\[ +\frac{p - 1}{2} \equiv \beta,\quad +\frac{p^{2} - 1}{8} \equiv \gamma\ (\mod.~2) +\] +ist, so ergibt sich aus der Darstellung des Symboles~$\left(\dfrac{p}{2}\right)$ in \Eq{(5)}~\aSeite{261} +jetzt die folgende Gleichung: +\[ +\Tag{(4)} +\biggl(\frac{p}{2}\biggr) + = \biggl(\!\biggl(\frac{-1}{p}\biggr), \biggl(\frac{2}{p}\biggr)\!\biggr). +\] + +Es gilt also der allgemeine Satz: +\PageSep{288}{272} +\begin{Theorem} +Eine Primzahl~$p$ ist stets und nur dann quadratischer Rest, +zu~$2$, wenn sowohl $-1$ als $2$ quadratische Reste zu $p$ sind. +\end{Theorem} + +Ich wende mich nun zur Untersuchung der dritten Frage, nach +dem Werte des Symboles $\left(\dfrac{q}{p}\right)$, wenn $q$~und~$p$ zwei beliebige ungerade +Primzahlen sind. Die vollständige Antwort darauf wird durch einen +der wichtigsten Sätze der Zahlentheorie gegeben, welcher wegen seiner +Symmetrie in bezug auf die beiden in ihm auftretenden Primzahlen $p$~und~$q$ +den Namen des \so{Reziprozitätsgesetzes} erhalten hat. +\index{Reziprozitätsgesetz}% +Er läßt sich folgendermaßen aussprechen: +\begin{Theorem} +Sind $p$ und $q$ zwei positive ungerade Primzahlen, von denen +wenigstens eine die Form $4n + 1$ hat, so ist stets +\[ +\Tag{(5)} +\left(\frac{p}{q}\right) = \left(\frac{q}{p}\right), +\] +\dh\ $p$ ist Rest (Nichtrest) von~$q$, wenn $q$~Rest (Nichtrest) von~$p$ +ist. Haben aber beide Primzahlen die Form~$4n + 3$, so ist +\[ +\Tag{(5^{a})} +\left(\frac{p}{q}\right) = -\left(\frac{q}{p}\right), +\] +\dh\ $p$ ist Rest (Nichtrest) von~$q$, wenn $q$~Nichtrest (Rest) von~$p$ +ist. +\end{Theorem} + +Offenbar kann dieser Satz in der für beide Fälle gültigen symmetrischen +Form: +\[ +\Tag{(5^{b})} +\left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) + = (-1)^{\efrac{p-1}{2}·\efrac{q-1}{2}} +\] +ausgesprochen werden, denn der Exponent $\dfrac{p - 1}{2}·\dfrac{q - 1}{2}$ von~$(-1)$ ist +dann und nur dann ungerade, wenn $p$~und~$q$ beide die Form~$4n + 3$ +haben; nur in diesem Falle ist also das Produkt links gleich~$-1$, +anderenfalls aber stets~$+1$. + +Nach diesem Satze ist \zB: +\[ +\left(\frac{3} {7}\right) = -\left(\frac {7} {3}\right),\quad +\left(\frac{13} {7}\right) = \left(\frac {7}{13}\right),\quad +\left(\frac{17}{29}\right) = \left(\frac{29}{17}\right), +\] +\PageSep{289}{273} +weil im ersten Falle beide Primzahlen die Form $4n + 3$ haben, +während in den beiden anderen eine bzw.\ beide von der Form $4n + 1$ +sind. + + +\Section{§ 3.}{Erster Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes.} + +Der Beweis des Reziprozitätsgesetzes ist zuerst von Gauss vollständig +und streng geführt worden. Im Laufe seines Lebens gelang es ihm, +acht verschiedene Beweise für dieses "`theorema fundamentale"' zu +geben, und dieser merkwürdige Satz hat seit Gauss so stark die Geister +gefesselt, daß die Zahl der Beweise jetzt auf über fünfzig gestiegen +ist; indessen lassen sich fast alle in die fünf durch jene +Gaussschen Beweise charakterisierten Klassen einordnen. Ich will hier +nur zwei im wesentlichen von Kronecker herrührende Beweise dieses +Gesetzes geben, welche beide auf dem Gaussschen Lemma beruhen +und in naher Beziehung zum dritten Gaussschen Beweise stehen. + +Jede rationale Zahl~$\alpha$, welche nicht selbst ganz ist, liegt stets +zwischen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen, nämlich zwischen +der nächst kleineren $[\alpha]$ und der nächst größeren~$\{\alpha\}$, und zwar liegt +sie, wenn sie nicht ein ganzzahliges Multiplum von~$\dfrac{1}{2}$ ist, entweder der +ersten oder der zweiten von ihnen näher. Hiernach können wir alle +reellen Zahlen~$\alpha$, welche nicht ganzzahlige Vielfache von~$\dfrac{1}{2}$ sind, in zwei +Klassen $K^{(+)}$~und~$K^{(-)}$ teilen, je nachdem $\alpha$ näher an $[\alpha]$ oder +näher an $\{\alpha\}$ liegt, je nachdem also der absolute Wert von +\[ +\alpha - [\alpha] \quad\text{oder von}\quad +\alpha - \{\alpha\} +\] +kleiner als $\dfrac{1}{2}$ ist. Wir könnten endlich alle ganzzahligen Multipla von~$\dfrac{1}{2}$ +in eine dritte Klasse~$K^{(0)}$ rechnen; jedoch werden diese Zahlen in +der folgenden Untersuchung niemals vorkommen. Wir wollen das +Symbol +\[ +\Tag{(1)} +((\alpha)) \quad\text{gleich}\quad +1 \quad\text{oder gleich}\quad -1 +\] +setzen, je nachdem $\alpha$ der Klasse $K^{(+)}$~oder~$K^{(-)}$ angehört. Dann +\PageSep{290}{274} +besteht für den Wert dieses Symbols immer die Gleichung: +\[ +\Tag{(2)} +((\alpha)) = (-1)^{[2a]}. +\] +Gehört nämlich $\alpha$ der ersten bzw.\ der zweiten Klasse an, so ist ja +\[ +\alpha = [\alpha] + \frac{\delta}{2} \quad\text{bzw.}\quad +\alpha = \{\alpha\} - \frac{\delta}{2}\DPtypo{.}{,} +\] +wo beide Male $0 < \delta < 1$ ist, und hieraus folgt: +\[ +2\alpha = 2[\alpha] + \delta \quad\text{bzw.}\quad +2\alpha = 2\{\alpha\} - \delta, +\] +\dh\ man erhält in den beiden unterschiedenen Fällen für die nächst +kleinere ganze Zahl an~$2\alpha$ +\[ +[2\alpha] = 2[\alpha] \quad\text{bzw.}\quad +[2\alpha] = 2\{\alpha\} - 1; +\] +dieselbe ist also gerade oder ungerade, je nachdem $\alpha$ zur ersten oder +zur zweiten Klasse gehört, und hieraus folgt die Richtigkeit der +Gleichung~\Eq{(2)}. + +Es sei nun $\alpha$ ein positiver Bruch; bezeichnen wir dann für eine +beliebige von Null verschiedene Zahl~$a$ durch +\[ +\Tag{(3)} +\sgn(a) \quad\text{die Einheit}\quad +1 \quad\text{oder}\quad -1, +\] +je nachdem $a$ positiv oder negativ ist, so können wir den Wert unseres +Symboles~$((\alpha))$ auch folgendermaßen ausdrücken: +\[ +\Tag{(4)} +\begin{aligned} +((\alpha)) &= \sgn (1 - 2\alpha) (2 - 2\alpha) \dots \\ + &= \sgn \prod_{g} (g - 2\alpha), +\end{aligned} +\] +wo das Produkt soweit zu erstrecken ist, als die Faktoren $g - 2\alpha$ noch +negativ werden, \dh\ offenbar auf die Werte $g = 1$, $2$,~\dots~$[2\alpha]$. Da +dann nämlich rechts genau $[2\alpha]$ negative Faktoren stehen, so ist das +Vorzeichen dieser Produkte gleich~$(-1)^{[2\alpha]}$, also wirklich gleich~$((\alpha))$. +Es werde aber bemerkt, daß in~\Eq{(4)} die Multiplikation auch über +$g = [2\alpha]$ hinaus beliebig weit erstreckt werden kann, da ja alle späteren +Faktoren positiv sind. Dividiert man endlich jeden der rechtsstehenden +Faktoren durch die \emph{positive} Zahl~$2$, so wird das Vorzeichen ja +\PageSep{291}{275} +nicht geändert, und wir können die Gleichung~\Eq{(4)} folgendermaßen +schreiben: +\[ +\Tag{(4^{a})} +((\alpha)) = \sgn \prod_{g=1}^{g \geqq [2\alpha]} \left(\frac{g}{2} - \alpha\right). +\] +Setzen wir für alle Zahlen $\alpha = g\Add{·}\dfrac{1}{2}$ der dritten Klasse~$K^{(0)}$\; $((\alpha)) = 0$, +und ist entsprechend $\sgn(0) = 0$, so gilt die Gleichung~\Eq{(4^{a})} offenbar +auch für die Zahlen von~$K^{(0)}$ da für sie die linke Seite und ein Faktor +der rechten gleich Null wird. Jedoch wird dieser Fall, wie oben erwähnt +wurde, im Folgenden nicht gebraucht. + +Mit Hilfe dieses Satzes wird nun das Reziprozitätsgesetz leicht +folgendermaßen bewiesen: Es seien $p$~und~$q$ zwei beliebige ungerade +Primzahlen, und +\[ +\Tag{(5)} +\pi =\frac{p - 1}{2}, \quad +\kappa = \frac{q - 1}{2}\DPtypo{:}{;} +\] +ist dann $(1, 2, \dots \pi)$ ein zu $p$ gehöriges Halbsystem, und reduziert man +die $\pi$ Produkte $(q, 2q, \dots \pi q)$ modulo~$p$ auf ihre absolut kleinsten +Reste, so erhält man das neue Halbsystem $(\epsilon_{1} 1', \epsilon_{2} 2', \dots \epsilon_{\pi} \pi')$, +und dann ist nach dem Gaussschen Lemma \Seite{268} +\[ +\Tag{(6)} +\left(\frac{q}{p}\right) + = \epsilon_{1} \epsilon_{2} \dots \epsilon_{\pi} + = \prod_{1}^{\pi} \epsilon_{h}. +\] + +Dieser erste Beweis besteht nun in einer Umformung des rechts +stehenden Vorzeichenproduktes in ein anderes, aus dessen Form +unmittelbar hervorgeht, daß es sich bei Vertauschung von $p$ mit $q$ nur +mit $(-1)^{\pi\kappa}$ multipliziert, so daß also in der Tat $\left(\dfrac{p}{q}\right) = (-1)^{\pi\kappa} \left(\dfrac{q}{p}\right)$ +folgt. + +Schreibt man nämlich irgendeine der $\pi$~Kongruenzen +\[ +\Tag{(7)} +qh \equiv \epsilon_{h} h'\ (\mod.~p), +\] +in welcher $h$~und~$h'$ beide der Reihe $1$,~$2$,~\dots~$\pi$ angehören, als +Gleichung in der Form: +\[ +\Tag{(7^{a})} +qh = \epsilon_{h} h' + pk, +\] +so folgt aus ihr +\PageSep{292}{276} +\[ +\Tag{(7^{b})} +\frac{qh}{p} = \epsilon_{h}·\frac{h'}{p} + k; +\] +da nun $\dfrac{h'}{p}$ positiv und kleiner als $\dfrac{1}{2}$ ist, so gehört der Bruch $\dfrac{qh}{p}$ zur +Klasse $K^{(+)}$~oder~$K^{(-)}$ je nachdem $\epsilon_{h}$ gleich~$+1$ oder~$-1$ ist, +\dh\ es ist für jede der $\pi$ Einheiten~$\epsilon_{h}$ +\[ +\Tag{(8)} +\epsilon_{h} = \left(\!\left(\frac{qh}{p}\right)\!\right). +\] + +Ersetzt man nun in~\Eq{(4^{a})} $\alpha$ durch $\dfrac{qh}{p}$ und dividiert dann, was ja +erlaubt ist, jeden der Faktoren durch das positive~$q$, so ergibt sich für +$\epsilon_{h}$ die folgende Darstellung: +\[ +\Tag{(9)} +\epsilon_{h} + = \sgn \prod_{g=1}^{g \geqq \left[\frac{2qh}{p}\right]} \left(\frac{g}{2} - \frac{qh}{p}\right) + = \sgn \prod_{g=1}^{2\kappa} \left(\frac{g}{2q} - \frac{h}{p}\right), +\] +weil ja für jedes~$h$\; $2q\Add{·}\dfrac{h}{p} < 2q·\dfrac{1}{2}$, also $\left[\dfrac{2qh}{p}\right] \leqq q - 1 = 2\kappa$ ist. +Läßt man in diesem Produkte~$g$ zuerst alle geraden und dann alle ungeraden +Zahlen +\[ +g = 2k = 2,\ 4,\ \dots\ 2\kappa \quad\text{bzw.}\quad +g = q - 2k = q - 2,\ q - 4,\ \dots\ 1 +\] +durchlaufen, so zerlegt sich dasselbe folgendermaßen in zwei andere +Produkte +\[ +\Tag{(9^{a})} +\epsilon_{h} = \sgn \prod_{k=1}^{\kappa} \left(\frac{k}{q} - \frac{h}{p}\right) + · \prod_{k=1}^{\kappa} \left(\frac{1}{2} - \frac{k}{q} - \frac{h}{p}\right), +\] +und aus~\Eq{(6)} ergibt sich für $\left(\dfrac{q}{p}\right)$ die Darstellung: +\[ +\tag*{(10)} +\left(\frac{q}{p}\right) + = \DPchg{\prod_{1}^{\pi}}{\!\prod_{h=1}^{\pi}\!} \epsilon_{h} + = \sgn \prod_{h=1}^{\pi} \prod_{k=1}^{\kappa} + \left(\frac{k}{q} - \frac{h}{p}\right) + · \sgn \prod_{\DPchg{1}{h=1}}^{\pi} \prod_{\DPchg{1}{k=1}}^{\kappa} + \left(\frac{1}{2} - \frac{k}{q} - \frac{h}{p}\right), +\] +in welcher jedes dieser zwei Produkte aus $\pi\kappa$~Faktoren besteht. Vertauscht +man aber in dieser Gleichung $q$~und~$p$ miteinander, so bleibt +das zweite Produkt offenbar ungeändert, während jedes der $\pi\kappa$~ersten +Faktoren in $\left(\dfrac{h}{p} - \dfrac{k}{q}\right)$ übergeht, sich also mit $-1$ multipliziert. Hieraus +\PageSep{293}{277} +ergibt sich, daß in der Tat +\[ +\left(\frac{p}{q}\right) = (-1)^{\pi\kappa} \left(\frac{q}{p}\right) +\] +ist; also ist das Reziprozitätsgesetz vollständig bewiesen. + + +\Section{§ 4.}{Zweiter Beweis für das Reziprozitätsgesetz.} + +In \Eq{(10)} des vorigen Paragraphen ist das Legendresche Symbol $\left(\dfrac{q}{p}\right)$ +durch zwei Produkte dargestellt, von denen das zweite symmetrisch +in bezug auf $p$~und~$q$ ist, also beim Übergange zu dem inversen Symbole +$\left(\dfrac{p}{q}\right)$ ungeändert bleibt. Man kann sich nun leicht überzeugen, daß dieses +Symbol schon allein durch das Vorzeichen jenes ersten Produktes dargestellt +wird, so daß in~\Eq{(10)} das zweite Produkt einfach fortgelassen +werden kann, da es immer positiv ist. Hierzu führt der folgende +neue Beweis für das Reziprozitätsgesetz: + +Auch hier gehe ich aus von der Kongruenz \Eq{(7)} \aSeite{275}: +\[ +\Tag{(1)} +qh \equiv \epsilon_{h} h'\ (\mod.~p) \quad +\begin{Conditions}%[** TN: Not smaller in the original] +(h, h' = 1, 2, \dots \pi) +\end{Conditions}, +\] +wo wieder $\epsilon_{h} h'$ den absolut kleinsten Rest von~$qh$ modulo~$p$ bedeutet. +Je nachdem hier $\epsilon_{h}$ gleich~$1$ oder gleich~$-1$ ist, läßt sich diese Kongruenz +als Gleichung in der Form: +\[ +\Tag{(2)} +qh = q_{h}p + h' \quad\text{bzw.}\quad +qh = q_{h}p + p - h' +\] +schreiben, wo in beiden Fällen +\[ +\Tag{(3)} +q_{h} =\left[\frac{qh}{p}\right] +\] +die größte in $\dfrac{qh}{p}$ enthaltene ganze Zahl bedeutet, wie aus~\Eq{(2)} durch +Division mit~$p$ unmittelbar folgt. + +Es sei nun $p$~eine beliebige ungerade Primzahl, während $q = 2$ +oder ungerade sein kann. Betrachten wir dann die Gleichungen~\Eq{(2)} +als Kongruenzen modulo~$2$, so gehen sie über in: +\[ +\Tag{(4)} +qh \equiv q_{h} + h' \quad\text{bzw.}\quad +qh \equiv q_{h} + h' + 1\ (\mod.~2) +\] +\PageSep{294}{278} +und sie können also gemeinsam in der Form: +\[ +\Tag{(4^{a})} +qh \equiv q_{h} + h' + \delta_{h}\ (\mod.~2) +\] +geschrieben werden, wo $\delta_{h} = 0$ oder~$1$ ist, je nachdem $\epsilon_{h}$ gleich~$+1$ oder~$-1$ +ist. Hiernach ist $\sum_{1}^{\pi} \delta_{h} = \mu$, wenn wieder $\mu$ die Anzahl der negativen +absolut kleinsten Reste modulo~$p$ in dem Systeme $(q, 2q, \dots \pi q)$ +bedeutet. Den Kongruenzwert von~$\mu$ modulo~$2$, auf den es ja allein +ankommt, kann man nun in den beiden unterschiedenen Fällen leicht +bestimmen. + +Nehmen wir nämlich zuerst $q = 2$ an, so sind in~\Eq{(4^{a})} alle +$q_{h} = \left[\dfrac{2h}{p}\right] = 0$, weil stets $2h < p$ ist, und aus den so sich ergebenden +$\pi$ Kongruenzen: +\[ +0 \equiv h' + \delta_{h}\ (\mod.~2)\qquad +\begin{Conditions} +(h' = 1, 2, \dots \pi) +\end{Conditions} +\] +folgt durch Addition derselben: +\begin{gather*} +\mu + \sum h' = \mu + \frac{\pi(\pi + 1)}{2} \equiv 0\ (\mod.~2) \\ +\mu \equiv \frac{p^{2} - 1}{8}\ (\mod.~2); +\end{gather*} +es ist also in diesem Falle: +\[ +\Tag{(5)} +\left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{\mu} = (-1)^{\efrac{p^{2}-1}{8}}, +\] +womit der zweite Ergänzungssatz nochmals bewiesen ist. + +Ist dagegen auch $q$ ungerade, so geht die Kongruenz~\Eq{(4^{a})} über in: +\[ +\Tag{(6)} +h \equiv q_{h} + h' + \delta_{h}\ (\mod.~2)\qquad +\begin{Conditions} +(h, h' = 1, 2, \dots \pi) +\end{Conditions}, %[** TN: Small comma in the original] +\] +und durch Summation folgt, da $\sum h = \sum h'$ ist: +\[ +\Tag{(6^{a})} +\mu = \sum \delta_{h} \equiv \sum q_{h} = \sum_{1}^{\pi} \left[\frac{qh}{p}\right]. +\] +Die Auswertung der rechts stehenden Summe bereitete Gauss noch +wesentliche Schwierigkeiten. Wir können jetzt aber sofort zeigen, daß +für das durch \Eq{(6^{a})} bestimmte $\mu$ die Gleichung: +\PageSep{295}{279} +\[ +\Tag{(7)} +(-1)^{\mu} = \sgn \prod_{1}^{\kappa} \prod_{1}^{\pi} \left(\frac{k}{q} - \frac{h}{p}\right) +\] +besteht, so daß sich nach dem Gaussschen Lemma: +\[ +\Tag{(8)} +\left(\frac{q}{p}\right) + = \sgn \prod_{1}^{\kappa} \prod_{1}^{\pi} \left(\frac{k}{q} - \frac{h}{p}\right) +\] +ergibt. Multipliziert man nämlich jeden Faktor des in~\Eq{(7)} rechts +stehenden Doppelproduktes mit dem positiven~$q$, so geht es über in: +\[ +\sgn \prod_{h} \prod_{k} \left(k - \frac{hq}{p}\right), +\] +und hier erkennt man, daß für ein festes $h$ alle und nur die $\left[\dfrac{hq}{p}\right]$ Faktoren +negativ sind, für welche $k = 1$, $2$,~\dots~$\left[\dfrac{hq}{p}\right]$ ist. Also hat in der Tat +das Produkt in~\Eq{(7)} genau $\mu$ negative Faktoren, \dh\ die Richtigkeit +der Gleichung~\Eq{(8)} ist erwiesen. Vertauscht man endlich in dieser +Gleichung~\Eq{(8)} $q$~mit~$p$, so ergibt sich +\[ +\Tag{(8^{a})} +\left(\frac{p}{q}\right) + = \sgn \prod_{1}^{\kappa} \prod_{1}^{\pi} \left(\frac{h}{p} - \frac{k}{q}\right) + = (-1)^{\efrac{p-1}{2}·\efrac{q-1}{2}} \left(\frac{q}{p}\right), +\] +und damit ist das Reziprozitätsgesetz zum zweiten Male bewiesen. + +Durch die drei Grundgesetze \Eq{(10)},~\Eq{(11)} und~\Eq{(11^{a})} \aSeite{263} für +das Legendresche Zeichen, sowie durch die beiden Ergänzungssätze und +das Reziprozitätsgesetz wird die Entscheidung der Frage, ob eine Zahl~$A$ +quadratischer Rest, für eine beliebige Primzahl~$p$, oder, was dasselbe +ist, ob sie eine $p$-adische Quadratzahl ist oder nicht, auch für +große Primzahlen~$p$ zu einer sehr leichten Aufgabe. So zeigt man +\zB\ leicht, daß von den beiden Kongruenzen: +\[ +x^{2} \equiv 501\ (\mod.~827),\quad +x^{2} \equiv 693\ (\mod.~839) +\] +die erste zwei, die zweite aber keine Lösung besitzt. In der Tat ergeben +die obengenannten Sätze leicht:\PageLabel{280} +\begin{align*} +\left(\frac{501}{827}\right) + &= \left(\frac{3}{827}\right)\! \left(\frac{167}{827}\right) + = \left(-\left(\frac{827}{3}\right)\!\right)\! + \left(-\left(\frac{827}{167}\right)\!\right) + = \left(\frac{-1}{3}\right)\! \left(\frac{-8}{167}\right) \\ + &= (-1)\left(\frac{-1}{167}\right)\! \left(\frac{2}{167}\right)^{3} + = (-1)(-1)(+1) = +1 \displaybreak[1]\\ +%\PageSep{296}{280} +\left(\frac{693}{839}\right) + &= \left(\frac{3}{839}\right)^{2}\! + \left(\frac{7}{839}\right)\! + \left(\frac{11}{839}\right) + = \left(\frac{7}{839}\right)\! \left(\frac{11}{839}\right) + =+\left(\frac{839}{7}\right)\! \left(\frac{839}{11}\right) \\ + &= \left(\frac{-1}{7}\right)\! \left(\frac{3}{11}\right) + = (-1)(-1) \left(\frac{11}{3}\right) + = \left(\frac{-1}{3}\right) = -1, +\end{align*} +und unter Benutzung des Canon arithmeticus überzeugt man sich +wirklich, daß die erste Kongruenz die beiden Wurzeln~$±486$ hat. + +Mit Hilfe des Reziprozitätsgesetzes können wir für den quadratischen +Charakter der kleineren Primzahlen~$±q$, \zB\ $-2$,~$3$, $-3$, $5$,~$-5$, in +bezug auf eine beliebige ungerade Primzahl~$p$ ähnlich einfache Gesetze +aussprechen, wie dies in den beiden Ergänzungssätzen für $-1$~und~$2$ +geschehen ist. So ist~\zB: +\[ +\left(\frac{-2}{p}\right) + = \left(\frac{-1}{p}\right) \left(\frac{2}{p}\right) + = (-1)^{\efrac{p-1}{2}+\efrac{p^{2}-1}{8}} + = (-1)^{\efrac{(p-1)(p+5)}{8}}, +\] +es gilt also der Satz: +\begin{Theorem} +\Item{\DPchg{(I)}{I)}} Die Zahl~$-2$ ist Rest aller Primzahlen $8n + 1$,~$3$, Nichtrest +aller Primzahlen $8n + 5$,~$7$. +\[ +\left(\frac{-3}{p}\right) + = (-1)^{\efrac{p-1}{2}} \left(\frac{3}{p}\right) + = +\left(\frac{p}{3}\right). +\] +\end{Theorem} +Alle ungeraden Primzahlen außer $3$ sind nun von der Form $6n ± 1$, +und da $\left(\dfrac{6n ± 1}{3}\right) = ±1$ ist, so ergibt sich der Satz: +\begin{Theorem} +\Item{\DPchg{(II)}{II)}} Die Zahl~$-3$ ist Rest aller Primzahlen~$6n + 1$, Nichtrest +aller Primzahlen~$6n - 1$. +\[ +\left(\frac{3}{p}\right) + = \left(\frac{-1}{p}\right) \left(\frac{-3}{p}\right) + = (-1)^{\efrac{p-1}{2}} \left(\frac{p}{3}\right). +\] +\end{Theorem} +Alle ungeraden Primzahlen außer $3$ sind entweder von der Form +$12n ± 1$ oder $12 ± 5$. Nach der obigen Gleichung ist für die Primzahlen +der ersten Art +\[ +\left(\frac{3}{p}\right) = (+1)(+1) \quad\text{bzw.}\quad +(-1)(-1)\DPtypo{.}{} +\] +also stets~$+1$; für die Primzahlen $12n ± 5$ dagegen ist dasselbe Symbol +gleich $(-1) (+1)$ bzw.\ $(+1) (-1)$, also stets~$-1$. +\PageSep{297}{281} +\begin{Theorem} +\Item{\DPchg{(III)}{III)}} Die Zahl~$3$ ist also Rest aller Primzahlen~$12n ± 1$, +Nichtrest aller Primzahlen~$12n ± 5$. +\end{Theorem} + +Ebenso folgt aus der Gleichung: +\[ +\biggl(\frac{5}{p}\biggr) = \biggl(\frac{p}{5}\biggr), +\] +wenn man $p = 10n ± 1$ bzw.\ $10n ± 3$ annimmt: +\begin{Theorem} +\Item{\DPchg{(IV)}{IV)}} Die Zahl~$5$ ist Rest aller Primzahlen~$10n ± 1$, Nichtrest +aller Primzahlen~$10n ± 3$. +\end{Theorem} +Und ganz analog ergibt sich leicht aus +\[ +\biggl(\frac{-5}{p}\biggr) = (-1)^{\efrac{p-1}{2}} \biggl(\frac{p}{5}\biggr): +\] +\begin{Theorem} +\Item{\DPchg{(V)}{V)}} Die Zahl~$-5$ ist Rest aller Primzahlen von der +Form $20n + 1$, $3$,~$7$,~$9$, dagegen Nichtrest aller Primzahlen +$20n - 1$, $-3$,~$-7$,~$-9$. +\end{Theorem} + + +\Section{§ 5.}{Das Jacobi-Legendresche Symbol $\left(\dfrac{Q}{P}\right)$.} + +Aus den im vorigen Abschnitte ausgeführten Zahlenbeispielen +\index{Jacobi-Legendresches Symbol~$\left(\dfrac{P}{Q}\right)$}% +geht hervor, daß die Berechnung des Legendreschen Symboles mit den +bisher gegebenen Hilfsmitteln dadurch erschwert wird, daß alle im +Verlaufe des Verfahrens auftretenden Zahlen in ihre Primfaktoren zerlegt +werden müssen, was bei etwas größeren Zahlen unbequem ist. Um +dies zu vermeiden, hat Jacobi das Legendresche Zeichen in höchst +glücklicher Weise so verallgemeinert, daß die Bestimmung des quadratischen +Charakters einer Zahl ohne jede Faktorenzerlegung ausgeführt +werden kann. + +Es seien nämlich $Q$~und~$P$ zwei teilerfremde ganze Zahlen, von +denen die zweite $P = p p' p'' \dots$ nur positiv und ungerade, \dh\ aus +lauter gleichen oder verschiedenen ungeraden Primfaktoren $p$,~$p'$,~\dots\ +bestehend vorausgesetzt wird; dann definiert Jacobi das Symbol $\left(\dfrac{Q}{P}\right)$ +durch die Gleichung: +\PageSep{298}{282} +\[ +\Tag{(1)} +\left(\frac{Q}{P}\right) = \left(\frac{Q}{p}\right) \left(\frac{Q}{p'}\right) \dots + = \prod_{(p)} \left(\frac{Q}{p}\right), +\] +in welcher die $\left(\dfrac{Q}{p}\right)$, $\left(\dfrac{Q}{p'}\right)$,~\dots\ die gewöhnlichen Legendreschen Zeichen +bedeuten. Ist also $P = p$ selbst eine Primzahl, so fällt das Jacobische +mit dem Legendreschen Zeichen zusammen. Das allgemeine Jacobische +Symbol hat ebenfalls immer den Wert~$±1$; dasselbe hat aber zunächst +für die quadratischen Kongruenzen keine Bedeutung, denn die +Gleichung $\left(\dfrac{Q}{P}\right) = \left(\dfrac{Q}{p}\right) \left(\dfrac{Q}{p'}\right) \dots = +1$ würde nur dann aussagen, daß +die Kongruenz $x^{2} \equiv Q\ (\mod.~P)$ Wurzeln besitzt, wenn alle Faktoren +$\left(\dfrac{Q}{p}\right) = +1$ wären, während doch $\left(\dfrac{Q}{P}\right)$ stets und nur dann gleich~$+1$ +ist, wenn die Anzahl der Faktoren $\left(\dfrac{Q}{p}\right) = -1$ gerade ist. + +Dies Jacobi-Legendresche Symbol besitzt genau dieselben Eigenschaften +\index{Reziprozitätsgesetz!f.\;d.\ Jacobi-Legendresche Symbol}% +wie das Legendresche Zeichen, und alle für dieses geltenden Sätze +können aus den vorher für das speziellere Symbol bewiesenen leicht +hergeleitet werden: Allein aus der Definitionsgleichung~\Eq{(1)} folgt, daß +stets +\[ +\Tag{(I)} +\left(\frac{Q}{PP'}\right) = \left(\frac{Q}{P}\right) \left(\frac{Q}{P'}\right) +\] +ist. Fast ebenso einfach ergibt sich die Richtigkeit der entsprechenden +Gleichung für die Zerlegung des "`Zählers"': +\[ +\Tag{(II)} +\left(\frac{QQ'}{P'}\right) = \left(\frac{Q}{P}\right) \left(\frac{Q'}{P}\right); +\] +denn nach der Grundregel \Eq{(11)} \aSeite{263} für das Legendresche Zeichen +ist ja: +\[ +\left(\frac{QQ'}{P'}\right) + = \prod_{(p)} \left(\frac{QQ'}{p^{(i)}}\right) + = \prod \left(\frac{Q }{p^{(i)}}\right) + \prod \left(\frac{Q'}{p^{(i)}}\right) + = \left(\frac{Q}{P}\right) \left(\frac{Q'}{P}\right). +\] + +Zerlegt man in $\left(\dfrac{Q}{P}\right)$ sowohl $Q$ als auch $P$ in seine Primfaktoren, +so ergibt die Anwendung von \Eq{(I)}~und~\Eq{(II)} die Gleichung: +\[ +\Tag{(2)} +\left(\frac{Q}{P}\right) = \prod_{(q_{i})} \prod_{(p_{k})} \left(\frac{q_{i}}{p_{k}}\right), +\] +\PageSep{299}{283} +wo sich die Multiplikation auf alle gleichen oder verschiedenen Primfaktoren +sowohl von~$Q$ als von~$P$ erstreckt. + +Drittens besteht genau wie für das Legendresche Zeichen der Satz: +\[ +\Tag{(III)} +\text{Ist}\quad Q \equiv Q'\ (\mod.~P), \quad\text{so ist}\quad \left(\frac{Q}{P}\right) = \left(\frac{Q'}{P}\right). +\] +Denn aus dem Bestehen dieser Kongruenz folgt, daß auch für jeden +Primfaktor~$p^{(i)}$ von~$P$\; $Q \equiv Q'\ (\mod.~p^{(i)})$, also $\left(\dfrac{Q}{p^{(i)}}\right) = \left(\dfrac{Q'}{p^{(i)}}\right)$ ist, +und hieraus ergibt sich, daß in der Tat +\[ +\left(\frac{Q}{P}\right) + = \prod \left(\frac{Q}{p^{(i)}}\right) + = \prod \left(\frac{Q'}{p^{(i)}}\right) + = \left(\frac{Q'}{P}\right) +\] +ist. + +Ferner gelten für das allgemeine Symbol die beiden Ergänzungssätze +und das Reziprozitätsgesetz. Zunächst besteht auch hier die +Gleichung: +\[ +\Tag{(IV)} +\left(\frac{-1}{P}\right) = (-1)^{\efrac{P-1}{2}}, +\] +\dh\ jenes Symbol ist $+1$~oder~$-1$, je nachdem $P$ von der Form +$4n + 1$ oder $4n + 3$ ist. In der Tat ist ja nach~\Eq{(1)} +\[ +\left(\frac{-1}{P}\right) + = \prod \left(\frac{-1}{p}\right) = (-1)^{\oldsum\efrac{p-1}{2}}, +\] +und da +\[ +P = pp' \dots + = (1 + (p - 1)) (1 + (p' - 1)) \dots + \equiv 1 + \sum (p - 1)\ (\mod.~4) +\] +ist, weil alle weiteren Produkte $(p - 1) (p' - 1) \dots$ mindestens durch +$4$ teilbar sind, so ergibt sich die Kongruenz: +\[ +\Tag{(3)} +\frac{P - 1}{2} \equiv \sum_{(p)} \frac{p - 1}{2}\ (\mod.~2) +\] +und damit die Richtigkeit der Gleichung~\Eq{(IV)}. Ebenso einfach beweist +man den zweiten Ergänzungssatz: +\[ +\Tag{(V)} +\left(\frac{2}{P}\right) = (-1)^{\efrac{P^{2}-1}{8}}, +\] +\PageSep{300}{284} +nach dem $\left(\dfrac{2}{P}\right)$ gleich $+1$~oder~$-1$ ist, je nachdem $P$ gleich $8n ± 1$ +oder $8n ± 3$ ist. Auch hier folgt nämlich aus~\Eq{(1)} +\[ +\left(\frac{2}{P}\right) + = \prod \left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{\oldsum \efrac{p^{2}-1}{8}}, +\] +und da hier +\begin{align*} +P^{2} &= p^{2} p'^{2} \dots = (1 + (p^{2} - 1)) (1 + (p'^{2} - 1)) \dots \\ + &\equiv 1 + \sum (p^{2} - 1)\ (\mod.~16) +\end{align*} +ist, weil alle weiteren Produkte $(p^{2} - 1) (p'^{2} - 1) \dots$ sogar mindestens +durch $8^{2} = 64$ teilbar sind, so ist hier +\[ +\Tag{(4)} +\frac{P^{2} - 1}{8} = \sum \frac{p^{2} - 1}{8}\ (\mod.~2), +\] +und damit ist der zweite Ergänzungssatz bewiesen. + +Noch einfacher folgen beide Ergänzungssätze zugleich daraus, daß +nach \Eq{(8)} auf \Seite{262} +\[ +\left(\frac{PP'}{2}\right) = \left(\frac{P}{2}\right) \left(\frac{P'}{2}\right) +\] +ist; denn hieraus folgt: +\begin{align*} +\left(\frac{P}{2}\right) + &= \prod \left(\frac{p}{2}\right) + = \prod \left(\!\left(\frac{-1}{p}\right)\!, + \left(\frac{2}{p}\right)\!\right) \\ + &= \left(\prod \left(\frac{-1}{p}\right)\!, + \prod \left(\frac{2}{p}\right)\!\right) + = \left(\!\left(\frac{-1}{P}\right)\!, \left(\frac{2}{P}\right)\!\right); +\end{align*} +und da andererseits nach \Eq{(5)} auf \Seite{261} +\[ +\left(\frac{P}{2}\right) = \left((-1)^{\efrac{P-1}{2}} (-1)^{\efrac{P^{2}-1}{2}}\right) +\] +\DPtypo{st}{ist}, so ergeben sich durch Vergleichung dieser beiden Darstellungen von +$\left(\dfrac{P}{2}\right)$ in der Tat die beiden \DPtypo{Ergängssätze}{Ergänzungssätze} zugleich. + +Sind endlich $P$~und~$Q$ beide positiv und ungerade, so besteht auch +für das Jacobische Zeichen das Reziprozitätsgesetz: +\PageSep{301}{285} +\[ +\Tag{(VI)} +\left(\frac{P}{Q}\right) \left(\frac{Q}{P}\right) + = (-1)^{\efrac{P-1}{2}·\efrac{Q-1}{2}}. +\] +Wendet man nämlich auf die beiden links stehenden Symbole die vollständige +Zerlegung~\Eq{(2)} an, so ergibt sich bei Anwendung des Reziprozitätsgesetzes +für das Legendresche Zeichen die Gleichung: +\[ +\left(\frac{P}{Q}\right) \left(\frac{Q}{P}\right) + = \prod_{p_{i}} \prod_{q_{k}} + \left(\!\left(\frac{p_{i}}{q_{k}}\right) + \left(\frac{q_{k}}{p_{i}}\right)\!\right) + = (-1)^{\oldsum\oldsum \efrac{p_{i}-1}{2}·\efrac{q_{k}-1}{2}}. +\] +Nun ist aber +{\small +\[ +\sum_{p_{i}} \sum_{q_{k}} \frac{p_{i}-1}{2}·\frac{q_{k}-1}{2} + = \left(\sum \frac{p_{i} - 1}{2}\right)·\left(\sum \frac{q_{k} - 1}{2}\right) + \equiv \frac{P - 1}{2}·\frac{Q - 1}{2}\ (\mod.~2), +\]}% +da nach~\Eq{(3)} $\sum \dfrac{p_{i} - 1}{2} \equiv \dfrac{P - 1}{2}$, + $\sum \dfrac{q_{k} - 1}{2} \equiv \dfrac{Q - 1}{2}\ (\mod.~2)$ ist; +also gilt für das Jacobische Zeichen das Reziprozitätsgesetz. + +\begin{Examples} +Beispiele: +\begin{align*}%[** Not aligned in the original] +\left(\frac{425}{907}\right) + &= \left(\frac{907}{425}\right) + = \left(\frac{57}{425}\right) + = \left(\frac{425}{57}\right) + = \left(\frac{26}{57}\right) \DPchg{=}{} \\ +% + &= \left(\frac{2}{57}\right) \left(\frac{13}{57}\right) + = +\left(\frac{13}{57}\right) + = \left(\frac{57}{13}\right) + = \left(\frac{5}{13}\right) + = \left(\frac{3}{5}\right) = -1\DPtypo{}{,} \\ +% +\left(\frac{427}{997}\right) + &= -\left(\frac{997}{427}\right) + = -\left(\frac{143}{427}\right) + = +\left(\frac{427}{143}\right) + = \left(\frac{2}{143}\right) = +1\DPtypo{}{.} +\end{align*} +\end{Examples} + +Die zu Anfang dieses Paragraphen aufgestellte Definition des Jacobischen +Zeichens ergibt dasselbe als eine nicht ganz naturgemäß erscheinende +Verallgemeinerung des Legendreschen Symboles. Eine andere +und begrifflich höchst einfache Definition desselben Zeichens haben +Kronecker und Schering gefunden, nach welcher dasselbe genau wie +das Legendresche durch das Gausssche Lemma definiert wird. + +\begin{Theorem} +Sind nämlich $Q$~und~$P$ zwei beliebige positive teilerfremde +ungerade Zahlen, und reduziert man wieder die $\pi = \dfrac{P - 1}{2}$ +Produkte +\[ +Q,\ 2Q,\ 3Q,\ \dots\ \pi Q +\] +modulo~$P$ auf ihre absolut kleinsten Reste: +\PageSep{302}{286} +\[ +\epsilon_{1} 1',\ +\epsilon_{2} 2',\ +\epsilon_{3} 3',\ \dots\ +\epsilon_{\pi} \pi', +\] +wo die $\epsilon_{i}$ wieder gleich~$±1$ sind und $1'$,~$2'$,~\dots~$\pi'$ offenbar +die Zahlen $1$,~$2$,~\dots~$\pi$ in veränderter Reihenfolge bedeuten, +so besteht auch für das Jacobische Symbol die Gleichung +\[ +\Tag{(5)} +\left(\frac{Q}{P}\right) = \epsilon_{1} \epsilon_{2} \dots \epsilon_{\pi} = (-1)^{\mu}, +\] +wenn wieder $\mu$ die Anzahl der negativen absolut kleinsten +Reste ist. +\end{Theorem} + +Um die Richtigkeit dieses Satzes zu beweisen, bezeichnen wir jenes +Vorzeichenprodukt~\Eq{(5)} vorläufig durch $\left\{\dfrac{Q}{P}\right\}$ und weisen nach, daß dasselbe +stets gleich $\left(\dfrac{Q}{P}\right)$ ist. Ist zunächst $P = p$ eine Primzahl, so ist, +da das Gausssche Lemma in diesem Falle gilt, sicher +\[ +\Tag{(6)} +\left\{\frac{Q}{P}\right\} = \left(\frac{Q}{P}\right)\DPtypo{,}{.} +\] +Um die Identität von $\left\{\dfrac{Q}{P}\right\}$ und $\left(\dfrac{Q}{P}\right)$ und die Richtigkeit des Reziprozitätsgesetzes +allgemein nachzuweisen, genügt es, für das neue +Symbol die Richtigkeit der drei folgenden Gleichungen zu zeigen: +\begin{align*} +\Tag{(I)} +\left\{\frac{Q'}{P}\right\} \left\{\frac{Q''}{P}\right\} + &= \left\{\frac{Q'Q''}{P}\right\} \\ +% +\Tag{(II)} +\left\{\frac{Q}{P'}\right\} \left\{\frac{Q}{P''}\right\} + &= \left\{\frac{Q}{P'P''}\right\} \\ +% +\Tag{(III)} +\left\{\frac{Q}{P}\right\} + &= (-1)^{\efrac{P-1}{2}·\efrac{Q-1}{2}} \left\{\frac{P}{Q}\right\}. +\end{align*} + +In der Tat folgt ja durch die Anwendung von~\Eq{(II)} für das allgemeine +Symbol die Gleichung: +\[ +\left\{\frac{Q}{P}\right\} + = \prod \left\{\frac{Q}{p_{k}}\right\} + = \prod \left(\frac{Q}{p_{k}}\right) + = \left(\frac{Q}{P}\right)\DPtypo{}{.} +\] + +Ist hiernach die Identität jener beiden Symbole nachgewiesen, so +braucht man das Reziprozitätsgesetz~\Eq{(III)} nicht mehr als richtig zu erweisen, +\PageSep{303}{287} +wenn der entsprechende Beweis für das Jacobische Zeichen +bereits geführt ist. + +Beweist man aber jene drei Gleichungen direkt für $\left\{\dfrac{Q}{P}\right\}$, so erhält +man damit einen neuen Beweis für das Jacobische Symbol~$\left(\dfrac{Q}{P}\right)$, und +dies soll noch kurz angegeben werden. Dabei kann man sich auf den +Beweis von \Eq{(I)}~und~\Eq{(III)} beschränken, da hieraus der Satz~\Eq{(II)} unmittelbar +folgt. In der Tat bestehen ja dann offenbar die Gleichungen: +\begin{align*}%[** TN: Re-broken] +\left\{\frac{Q}{P'}\right\} \left\{\dfrac{Q}{P''}\right\} + &= (-1)^{\efrac{Q-1}{2} \left(\efrac{P'-1}{2} + \efrac{P''-1}{2}\right)} + \left\{\frac{P'}{Q}\right\} \left\{\dfrac{P''}{Q}\right\} \\ + &= (-1)^{\efrac{Q-1}{2}·\efrac{P'P''-1}{2}} \left\{\dfrac{P'P''}{Q}\right\} \\ + &= (-1)^{\efrac{Q-1}{2}·\efrac{P'P''-1}{2}} (-1)^{\efrac{Q-1}{2}·\efrac{P'P''-1}{2}} + \left\{\frac{Q}{P'P''}\right\} \\ + &= \left\{\frac{Q}{P'P''}\right\} +\end{align*} +und damit ist Satz~\Eq{(II)} mit Hilfe von \Eq{(I)}~und~\Eq{(III)} bewiesen. + +Zum Beweise von~\Eq{(III)} läßt sich nun jede der $\pi$~Kongruenzen +\[ +Qh \equiv \epsilon_{h} h'\ (\mod.~P) +\] +genau ebenso, wie dies in \Eq{(7^{a})}~und~\Eq{(7^{b})} \aSeite{275} für den Fall einer +Primzahl~$P$ geschah, in den beiden Formen schreiben: +\[ +Qh = \epsilon_{h} h' + sP,\quad +\frac{Qh}{P} = \epsilon_{h}·\frac{h'}{P} + s, +\] +\dh\ es ist wieder wie \aaO\ +\[ +\epsilon_{h} = \left(\!\left(\frac{Qh}{P}\right)\!\right) +\] +oder +\[ +\Tag{(7)} +Qh \equiv \left(\!\left(\frac{Qh}{P}\right)\!\right) h'\ (\mod.~P), +\] +weil ja wieder $\epsilon_{h} = ±1$ ist, je nachdem der Bruch $\dfrac{Qh}{P}$ zur ersten +Klasse~$K^{(+)}$ oder zur zweiten~$K^{(-)}$ gehört. Es ist also auch für das +Scheringsche Zeichen: +\PageSep{304}{288} +\[ +\Tag{(8)} +\left\{\frac{Q}{P}\right\} + = \prod_{h=1}^{h=\pi} \left(\!\left(\frac{Qh}{P}\right)\!\right). +\] +Durch genau dieselben Umformungen, wie sie \aSeite{276} auf dasselbe +Produkt angewendet wurden, in welchem $P$~eine Primzahl war, ergibt +sich, daß auch in diesem allgemeineren Falle: +\[ +\Tag{(9)} +\left\{\frac{Q}{P}\right\} + = \sgn \prod \prod \left(\frac{k}{Q} - \frac{h}{P}\right) + · \prod \prod \left(\frac{1}{2} - \frac{k}{Q} - \frac{h}{P}\right) +\] +sein muß; denn bei allen jenen Umformungen wurde ja davon, daß $P$ +eine Primzahl sein sollte, niemals Gebrauch gemacht. Aus dieser Darstellung +des Scheringschen Zeichens folgt aber genau wie \aaO\ auch +für dieses das Bestehen des Reziprozitätsgesetzes~\Eq{(III)}. + +Es ist also nur noch nötig, die Gültigkeit des Gesetzes~\Eq{(I)} +\[ +\left\{\frac{Q'}{P}\right\} \left\{\frac{Q''}{P}\right\} + = \left\{\frac{Q'Q''}{P}\right\} +\] +zu beweisen. Ersetzt man in dieser Gleichung jedes der drei Symbole +durch das ihm gleiche Vorzeichenprodukt~\Eq{(8)}, so ist zu zeigen, +daß stets: +\[ +\Tag{(10)} +\prod_{h'=1}^{\pi} \left(\!\left(\frac{h'Q'}{P}\right)\!\right) + · \prod_{h''=1}^{\pi} \left(\!\left(\frac{h''Q''}{P}\right)\!\right) + = \prod_{h =1}^{\pi} \left(\!\left(\frac{h(Q'Q'')}{P}\right)\!\right) +\] +ist. Ich führe diesen Beweis dadurch, daß ich zeige, wie jeder der rechts +stehenden $\pi$~Faktoren gleich dem Produkte von je einem eindeutig +bestimmten Faktor des ersten und zweiten Produktes links ist. In der +Tat, ist $h'$ irgendeine der Zahlen $1$,~$2$,~\dots~$\pi$, so ist: +\[ +h'(Q'Q'') + = (h'Q')Q'' \equiv h''Q'' \left(\!\left(\frac{h'Q'}{P}\right)\!\right)\ (\mod.~P), +\] +wo $h''$ durch $h'$ eindeutig in derselben Zahlenreihe bestimmt ist, und da +genau ebenso +\[ +h''Q'' \equiv h \left(\!\left(\frac{h''Q''}{P}\right)\!\right)\ (\mod.~P) +\] +ist, so ergibt sich aus der obigen Kongruenz: +\[ +h'Q'Q'' \equiv h · \left(\!\left(\frac{h'Q'}{P}\right)\!\right) + \left(\!\left(\frac{h''Q''}{P}\right)\!\right)\ (\mod.~P). +\] +\PageSep{305}{289} +Andererseits besteht aber für dasselbe Produkt~$h'Q'Q''$ die Kongruenz: +\[ +h'(Q'Q'') \equiv \bar{h}·\left(\!\left(\frac{h'Q'Q''}{P}\right)\!\right)\ (\mod.~P); +\] +die beiden rechten Seiten müssen also modulo~$P$ kongruent sein; und, +da $h$~und~$\bar{h}$ beide positiv und kleiner als $\dfrac{P}{2}$ sind, während die beiden +anderen Faktoren nur $±1$ sein können, so muß $h = \bar{h}$ und außerdem +\[ +\left(\!\left(\frac{h'Q' }{P}\right)\!\right) +\left(\!\left(\frac{h'' Q''}{P}\right)\!\right) = +\left(\!\left(\frac{h'Q'Q''}{P}\right)\!\right) +\] +sein. Da endlich $h''$ zugleich mit $h'$ die Reihe $1$,~$2$,~\dots~$\pi$ durchläuft, +so folgt aus diesen $\pi$~Gleichungen wirklich das Bestehen von~\Eq{(10)}, \dh\ +die Richtigkeit von~\Eq{(I)}. + + +\Section{§ 6.}{Der Algorithmus zur Bestimmung von~$\sqrt{E}\ (p)$.} + +Ist $\left(\dfrac{E}{p}\right) = +1\ (p)$, also $E$~eine Quadratzahl innerhalb~$K(p)$, +so wird die wirkliche Bestimmung von $\sqrt{E}$ im wesentlichen genau so +ausgeführt, wie die Quadratwurzelausziehung aus einem gewöhnlichen +Dezimalbruche in der elementaren Algebra. Man bestimmt nämlich +bei der zu untersuchenden $p$-adischen Einheit +\[ +E = e_{0}\MathOrd{,}e_{1}\,e_{2}\,e_{3}\,e_{4} \dots\ (p) +\] +zuerst, am einfachsten durch Probieren, falls $p$ nicht zu groß ist, sonst +mit Hilfe der Indextafeln auf eine der beiden möglichen Weisen die +erste Ziffer~$x_{0}$, von +\[ +\sqrt{E} = x_{0}\MathOrd{,}x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{4} \dots\ (p) +\] +so, daß $x_{0}^{2} \equiv e_{0}\ (\mod.~p)$ ist; dann subtrahiere man $x_{0}^{2}$ von~$E$. Bei der +so sich ergebenden Differenz: +\[ +\begin{array}{r*{4}{>{\,}l}} + & e_{0}\MathOrd{,}&e_{1}&e_{2}& \dots \\ +-{}& x_{0}^{2} \\ +\cline{2-5} +\multicolumn{1}{r|}{2x_{0}}&0\MathOrd{,}&e'_{1}&e'_{2}& \dots\Strut +\end{array} +\] +dividiere man, um die zweite Ziffer~$x_{1}$ zu erhalten, mit~$2x_{0}$ in~$e'_{1}$, suche +\PageSep{306}{290} +also die modulo~$p$ eindeutig bestimmte Zahl~$x_{1}$, für welche $2x_{0} x_{1} \equiv e'_{1}\ +(\mod.~p)$ ist und subtrahiere dann $2x_{0} x_{1}p + x_{1}^{2} p^{2}$ von $0\MathOrd{,}e'_{1}\,e'_{2} \dots$, +subtrahiere also $2x_{0} x_{1}$ von~$e'_{1}$, aber~$x_{1}^{2}$ von~$e'_{2}$. Die sich so ergebende +Differenz: +\[ +\begin{array}{*{4}{r}*{4}{@{\,}l}} + &0, &e'_{1} & &e'_{2} &e'_{3} &e'_{4}& \dots \\ +-& &2x_{0} &\,x_{1} &x_{1}^{2} \\ +\hline\Strut + & & & &e''_{2} &e''_{3} &e''_{4}& \dots +\end{array} +\] +behandle man jetzt in genau derselben Weise weiter und setze diese +Operationen so weit fort, als es der Zweck der Aufgabe nötig macht. +Die Methode stimmt also wirklich im wesentlichen mit derjenigen für +die gewöhnliche Quadratwurzelausziehung überein. Ist der eine der +beiden Werte von~$\sqrt{E}$ gefunden, so ergibt sich der andere $-\sqrt{E}$ ohne +weitere Rechnung. + +Wie einfach diese Regel ist, mag das folgende Beispiel lehren: +Nach dem ersten Ergänzungssatz enthält ein Körper~$K(p)$ dann\DPtypo{ und}{} +und nur dann die beiden Wurzeln $±i = ±\sqrt{-1}$ der Gleichung +\[ +x^{2} = -1\ (p), +\] +wenn $\left(\dfrac{-1}{p}\right) = +1$, wenn also $p$ von der Form $4n + 1$ ist. Wir wollen +den einen der beiden Werte von~$i$ für den Bereich von~$5$ berechnen und +zur Bestimmung der letzten Stellen von der natürlich auch hier anwendbaren +sog.\ \emph{abgekürzten Division} Gebrauch machen, die aber, +wie man leicht erkennt, hier viel einfacher anzuwenden ist als bei +Dezimalbrüchen. So ergibt sich das folgende an sich verständliche +Schema: +\[ +\begin{array}{rc*{11}{>{\,}l}l} +i = \sqrt{-1} =& + \multicolumn{13}{l}{ + \sqrt{4\MathOrd{,}4\,4\,4\,4\dots} + = 2\MathOrd{,}1\,2\,1\,3\,4\,2\,3\,0\,3\dots\ (5)} \\ +&\phantom{\sqrt{}}& + 4 \\ +\cline{4-11}\Strut +&&\multicolumn{1}{r<{\,}|}{4} + &4&4&4&4&\rlap{\dots} \\ +&& &4&1& \\ +\cline{5-11}\Strut +&& \multicolumn{2}{r<{\,}|}{42} + &3&4&4&4&4&\rlap{\dots} \\ +&& & &3&0&0&1 \\ +\cline{6-12}\Strut +&&\multicolumn{3}{r<{\,}|}{424} + &4&4&3&4&4&4&\rlap{\dots} \\ +\PageSep{307}{291} +&&\multicolumn{4}{r}{4} + &2&4&1&&\null \\ +\cline{7-13} +&\multicolumn{5}{r<{\,}|}{4242} + &2&4&2&4&4&4&\dots\Strut \\ +&&&&& + &2&3&3&3&0&2 \\ +\cline{8-13} +&\multicolumn{6}{r<{\,}|}{42421} + &1&4&0&4&2&\dots\Strut \\ +&&&&& + & &1&1&3&1&1&\dots \\ +\cline{9-13} +&\multicolumn{7}{r<{\,}|}{4242} + &3&2&2&1&\dots \\ +&&&&& + & & &3&0&4&0&\dots \\ +\cline{10-13} +&\multicolumn{8}{r<{\,}|}{424} + &2&3&0&\dots\Strut \\ +&&&&& + & & & &2&3&3&\dots \\ +\cline{11-13} +&\multicolumn{9}{r<{\,}|}{4} + &0&2&\dots\Strut \\ +&&&&& + & & & & &0&2&\dots \\ +\cline{12-13}\Strut +&&&&& + & & & & & &0&\dots +\end{array} +\] + +Durch einfaches Quadrieren überzeugt man sich, daß der hier gefundene +Wert von~$i$ wirklich bis zur neunten Stelle nach dem Komma +genau ist. Endlich ist +\[ +-i = 3\MathOrd{,}3\,2\,3\,1\,0\,2\,1\,4\,1 \dots\ (5). +\] +\PageSep{308}{292} + + +\Chapter{Zwölftes Kapitel.} +{Die quadratischen Formen.} + +\Section{§ 1.}{Der Körper~$K(p_{\infty})$ aller reellen Zahlen.} + +Um die arithmetischen oder Teilbarkeitseigenschaften aller rationalen +Zahlen zu untersuchen, stellten wir sie als $p$-adische Zahlen dar, \dh\ +wir betrachteten sie als Elemente derjenigen Zahlkörper~$K(p)$, welche +den einzelnen Primzahlen $2$,~$3$,~$5$,~\dots\ entsprechen. Wollen wir dagegen +ihre Größenbeziehungen zueinander ergründen, so müssen wir sie in +dem Bereiche aller reellen (positiven und negativen, rationalen und +irrationalen) Zahlen betrachten. Auch dieser Bereich bildet einen Körper, +wenn wir die Addition und die Multiplikation im gewöhnlichen Sinne +definieren, weil dann die elementaren Rechenoperationen unbeschränkt +und eindeutig anwendbar sind und immer wieder auf reelle Zahlen +führen. + +Jede reelle Zahl~$A$ läßt sich stets nach fallenden Potenzen einer +beliebigen Grundzahl $g \geqq 2$, \zB\ $g = 10$, entwickeln; so ist \zB\ für +die Ludolphsche Zahl~$\pi$ und für die Basis~$e$ der natürlichen Logarithmen: +\begin{align*} +\pi &= 3, 1415\dots = 3 + \frac{1}{10} + \frac{4}{10^{2}} + \frac{1}{10^{3}} + \frac{5}{10^{4}} + \dots \\ + e &= 2, 7182\dots = 2 + \frac{7}{10} + \frac{1}{10^{2}} + \frac{8}{10^{3}} + \frac{2}{10^{4}} + \dots +\end{align*} +ganz ebenso, wie die Entwicklung einer analytischen Funktion von~$z$ +in der Umgebung der unendlich fernen Stelle $(z = \infty)$ nach fallenden +Potenzen von~$z$ oder eines beliebigen Linearfaktors $z - \alpha$ fortschreitet. + +Wegen dieser Analogie will ich den Körper aller reellen Größen +durch $K(p_{\infty})$ bezeichnen, und die Darstellung dieser reellen Größen +\PageSep{309}{293} +\index{Darstellung der Zahlen für den Bereich~$K(p_{\infty})$}% +durch die zugehörigen positiven oder negativen Dezimalbrüche \so{ihre +Darstellung für den Bereich von~$p_{\infty}$} nennen. + +Jede reelle von Null verschiedene Zahl~$A$ läßt sich dann auf eine +einzige Weise in der Form +\[ +\Tag{(1)} +%[** TN: Increased spacing before (p_{\infty}), cf. elsewhere] +A = (-1)^{\beta} e^{\gamma}\quad (p_{\infty}) +\] +darstellen, in welcher $\beta = 0$ oder~$1$ ist, je nachdem $A$ positiv oder +negativ ist, und wo $\gamma$ ebenfalls eine eindeutig bestimmte reelle Zahl +bedeutet. Auch hier soll $\beta$~\so{der Index}, $\gamma$~\so{der Hauptlogarithmus +von~$A$} heißen, und das System +\index{Hauptlogarithmus!e.\ reellen Zahl für~$K(p_{\infty})$}% +\index{Index!einer reellen Zahl für~$K(p_{\infty})$}% +\[ +\Tag{(2)} +\lg\DPtypo{.}{} A = (\beta, \gamma)\quad (p_{\infty}) +\] +\so{der Logarithmus von~$A$ für den Bereich von~$p_{\infty}$} +\index{Logarithmus!e.\ reellen Zahl für~$K(p_{\infty})$}% +genannt werden. + +Eine Zahl~$A$ heißt \Ord{$\mu$}{-ter}~\so{Potenzrest für den Bereich von~$p_{\infty}$}, +\index{Potenzreste für d.\ Bereich~$K(p_{\infty})$}% +wenn die Gleichung: +\[ +\Tag{(3)} +x^{\mu} = A = (-1)^{\beta} e^{\gamma}\quad (p_{\infty}) +\] +wenigstens eine reelle Wurzel hat. Ist $\mu$ ungerade, so besitzt jene +Gleichung stets eine einzige reelle Lösung; ist dagegen $\mu$ gerade, so hat +sie dann und nur dann und zwar zwei reelle Lösungen, wenn $\beta$ gerade, +wenn also $A$ positiv ist. + +Wir nennen speziell $A$ einen \so{quadratischen Rest für den +Bereich von~$p_{\infty}$}, wenn die Gleichung +\index{Quadratische!Reste für~$K(p_{\infty})$}% +\[ +\Tag{(4)} +x^{2} = A\quad (p_{\infty}) +\] +reelle Wurzeln besitzt, wenn also $\sqrt{A}$ reell ist; ich will auch +hier das Symbol $\left(\dfrac{A}{p_{\infty}}\right)$ gleich $+1$,~$-1$ oder~$0$ setzen, \DPchg{jenachdem}{je nachdem} +$A \neq 0$ ist und jene Gleichung innerhalb $K(p_{\infty})$ lösbar bzw.\ nicht +lösbar ist, oder $A = 0$ ist. Dann besteht also auch für diesen Bereich, +falls $A \neq 0$ ist, die Gleichung: +\[ +\Tag{(5)} +\left(\frac{A}{p_{\infty}}\right) = (-1)^{\beta}, +\] +\begin{Theorem}[\noindent] +\dh\ eine reelle Zahl~$A$ ist für den Bereich von~$p_{\infty}$ quadratischer +Rest oder quadratischer Nichtrest, je nachdem ihr Index gerade +\PageSep{310}{294} +oder ungerade ist; und auch hier ist die Anzahl aller Wurzeln +von~\Eq{(4)} stets gleich +\[ +1 + \left(\frac{A}{p_{\infty}}\right). +\] +\end{Theorem} + + +\Section{§ 2.}{Die quadratischen Formen und ihre Teiler.} +\index{Teiler!e.\ quadratischen Form}% + +Ich wende nun die im vorigen Kapitel gegebene Theorie der quadratischen +Reste an auf eine kurze Untersuchung der quadratischen +Formen für den Bereich einer Primzahl~$p$ bzw.\ von~$p_{\infty}$. + +Unter einer \so{quadratischen Form} versteht man jede +\index{Binäre quadratische Formen}% +\index{Ternäre quadratische Formen}% +ganze homogene Funktion zweiten Grades von mehreren Variablen\DPtypo{.}{,} +\[ +\Tag{(1)} +f(x_{1}, x_{2}, \dots x_{n}) + = a_{11} x_{1}^{2} + 2 a_{12} x_{1} x_{2} + a_{22} x_{2}^{2} + \dots + + a_{nn} x_{n}^{2}, +\] +deren Koeffizienten gewöhnliche rationale Zahlen sind. Nach der Anzahl~$n$ +dieser Variablen unterscheidet man \so{binäre}, \so{ternäre},~\dots\ quadratische +Formen, je nachdem $n = 2$,~$3$,~\dots\ ist. Wir werden im +folgenden fast nur binäre oder ternäre Formen zu betrachten haben. + +Eine Primzahl~$p$ heißt \so{ein Teiler der Form~$f(x_{i})$}, wenn +man den Variablen~$x_{i}$ solche nicht sämtlich verschwindende $p$-adische +Zahlwerte $x_{i} = \xi_{i}$ beilegen kann, daß +\[ +f(\xi_{1}, \xi_{2}, \dots \xi_{n}) = 0\ (p) +\] +ist. Ebenso heiße $p_{\infty}$~\so{ein Teiler der Form~$f(x_{i})$}, wenn die +Gleichung $f(\xi_{1}, \dots \xi_{n}) = 0\ (p_{\infty})$ durch $n$ nicht sämtlich verschwindende +reelle Zahlen $\xi_{1}$,~\dots~$\xi_{n}$ befriedigt werden kann. Wir wollen das Symbol: +\[ +\left(\frac{f(x_{i})}{p}\right) \quad\text{bzw.}\quad +\left(\frac{f(x_{i})}{p_{\infty}}\right)\quad +\text{gleich~$+1$ oder gleich~$-1$} +\] +setzen, je nachdem $p$ bzw.\ $p_{\infty}$ ein Teiler der quadratischen Form +$f(x_{1}, \dots x_{n})$ ist oder nicht. Die Frage, unter welchen Bedingungen +eine gegebene Primzahl~$p$ ein Teiler einer gegebenen Form ist, bildet +den Hauptgegenstand für die folgenden Untersuchungen. + +Wir betrachten die zu untersuchende Form~$f(x_{i})$ jetzt für einen der +Körper~$K(p)$ bzw.~$K(p_{\infty})$. +\PageSep{311}{295} + +Transformiert man die Variablen~$x_{i}$ in andere $y_{k}$ durch die Substitutionen: +\index{Aequivalente@{Äquivalente $g$-adische Zahlen}!quadratische Formen}% +\[ +\Tag{(2)} +\begin{alignedat}{3} +x_{1} &= \alpha_{11} y_{1} &&+ \alpha_{12} y_{2} &&+ \dots + \alpha_{1n} y_{n} \\ +x_{2} &= \alpha_{21} y_{1} &&+ \alpha_{22} y_{2} &&+ \dots + \alpha_{2n} y_{n} \\ +\PadTo{x_{n}}{\vdots} \\ +x_{n} &= \alpha_{n1} y_{1} &&+ \alpha_{n2} y_{2} &&+ \dots + \alpha_{nn} y_{n}, +\end{alignedat} +\] +in denen die $\alpha_{ik}$ dem betrachteten Körper angehören, so geht +$f(x_{1}, \dots x_{n})$ in eine neue Form +\[ +\Tag{(3)} +g(y_{1}, y_{2}, \dots y_{n}) + = b_{11} y_{1}^{2} + 2 b_{12} y_{1} y_{2} + \dots + b_{nn} y_{n}^{2} +\] +über, welche \so{die aus $f(x_{i})$ durch die Substitution~$(\alpha_{ik})$ +transformierte quadratische Form} genannt +wird. Kann man die Gleichungen~\Eq{(2)} nach $y_{1}$,~\dots~$y_{n}$ auflösen, so stellen +sich auch die $y_{i}$ durch die $x_{k}$ in der Form dar: +\[ +\Tag{(2^{a})} +\begin{alignedat}{3} +y_{1} &= \alpha'_{11} x_{1} &&+ \alpha'_{12} x_{2} &&+ \dots + \alpha'_{1n} x_{n} \\ +y_{2} &= \alpha'_{21} x_{1} &&+ \alpha'_{22} x_{2} &&+ \dots + \alpha'_{2n} x_{n} \\ +\PadTo{y_{n}}{\vdots} \\ +y_{n} &= \alpha'_{n1} x_{1} &&+ \alpha'_{n2} x_{2} &&+ \dots + \alpha'_{nn} x_{n}. +\end{alignedat} +\] +Alsdann geht nicht nur $f(x_{i})$ in $g(y_{i})$ durch die Substitution~$(\alpha_{ik})$, +sondern auch umgekehrt $g(y_{i})$ in $f(x_{i})$ durch die sog.\ \so{inverse Substitution~$(a'_{ik})$} +\index{Inverse Substitution}% +über. Zwei solche Formen sollen \so{äquivalent} +genannt werden. + +Jedem Wertsysteme $(\xi_{1}, \dots \xi_{n})$ entspricht durch die Gleichungen +\Eq{(2)}~und~\Eq{(2^{a})} ein einziges System $(\eta_{1}, \dots \eta_{n})$ und umgekehrt; speziell +entspricht dem "`Nullsystem"' $(0, 0, \dots 0)$ der~$x_{i}$ das Nullsystem +$(0, 0, \dots 0)$ der~$y_{i}$ und umgekehrt. + +Sind $f(x_{i})$ und $g(y_{i})$ äquivalente Formen, so ist $p$ dann und nur +dann ein Teiler der ersten, wenn $p$ auch ein Teiler der zweiten ist und +umgekehrt; denn ist $(\xi_{1}, \xi_{2}, \dots \xi_{n})$ eine von Null verschiedene Lösung +der Gleichung $f(\xi_{i}) = 0$, so ist für die transformierte Form und das +zugeordnete, von Null verschiedene System $(\eta_{1}, \eta_{2}, \dots \eta_{n})$\; $g(\eta_{i}) = 0$ +und umgekehrt. + +Für die Untersuchung, ob eine Form~$f(x_{i})$ einen Teiler~$p$ besitzt, +kann man also statt dieser eine beliebige äquivalente Form zugrunde legen. +\PageSep{312}{296} +Ebenso kann man natürlich die Form mit einer beliebigen, von Null +verschiedenen Zahl~$a$ multiplizieren oder dividieren, da ja $af(\xi_{i})$ dann +und nur dann Null ist, wenn $f(\xi_{i})$ verschwindet. + +Unter den umkehrbaren Transformationen, durch welche $f(x_{i})$ in +eine äquivalente Form~$g(y_{i})$ übergeht, hebe ich die nachstehenden einfachsten +hervor, welche im folgenden allein angewendet werden: +\[ +\Tag{(I)} +x_{i} = \alpha_{i} y_{i},\quad +y_{i} = \frac{1}{\alpha_{i}} x_{i},\qquad +\begin{Conditions} +(i = 1, 2, \dots n) +\end{Conditions} +\] +wo $\alpha_{1}$,~$\alpha_{2}$,~\dots~$\alpha_{n}$ beliebige von Null verschiedene Zahlen sind; +\[ +\Tag{(II)} +x_{1} = y_{1'},\quad +x_{2} = y_{2'},\ \dots\quad +x_{n} = y_{n'}, +\] +wo die Zahlen $1'$,~$2'$,~\dots~$n'$ irgendeine Permutation der Zahlen $1$,~$2$,~\dots~$n$ +bedeuten. Durch diese Transformation wird nur die Reihenfolge der +Variablen geändert. +\[ +\Tag{(III)} +\begin{alignedat}{5} +x_{1} &= y_{1} + ty_{2} && && y_{1} &&= x_{1} - tx_{2} \\ +x_{i} &= &&\ y_{i}\quad && y_{i} &&= &&\ x_{i}. +\end{alignedat} +\qquad +\begin{Conditions} +(i = 2, 3, \dots n) +\end{Conditions} +\] +Hierdurch geht $f(x_{i})$ über in: +\begin{gather*} +\Tag{(4)} +\begin{gathered} +g(y_{1}, \dots y_{n}) + = a_{11} (y_{1} + ty_{2})^{2} + 2a_{12} (y_{1} + ty_{2}) y_{2} + a_{22} y_{2}^{2} + \dots \\ + = a_{11} y_{1}^{2} + 2(a_{12} + ta_{11}) y_{1}y_{2} + (t^{2} a_{11} + 2ta_{12} + a_{22}) y_{2}^{2} + \dots. +\end{gathered} \\ +% +\Tag{(IV)} +\begin{alignedat}{4} +x_{1} &= y_{1} + \alpha y_{2} && && y_{1} &&= \frac{x_{1} + x_{2}}{2} \\ +x_{2} &= y_{1} - \alpha y_{2} && && y_{2} &&= \frac{x_{1} - x_{2}}{2\alpha} \\ +x_{i} &= &&\ y_{i}\quad && y_{i} &&= &&\ x_{i}. +\end{alignedat} +\qquad +\begin{Conditions} +(i = 3,\dots n) +\end{Conditions}. %[** TN: Small period in the original] +\end{gather*} + +Mit Hilfe dieser umkehrbaren Elementartransformationen ist es +nun stets möglich, die gegebene Form~$f(x_{i})$ durch eine Substitution +mit gewöhnlichen rationalen Zahlkoeffizienten in eine äquivalente Form +\[ +\Tag{(5)} +g(y_{i}) = \alpha_{1} y_{1}^{2} + \alpha_{2} y_{2}^{2} + \dots + \alpha_{n} y_{n}^{2} +\] +mit rationalen Koeffizienten zu transformieren, welche nur die Quadrate +der Unbestimmten enthält. Zunächst kann man nämlich $a_{11}$ von +Null verschieden voraussetzen. Denn wäre $a_{11} = 0$, aber etwa der +Koeffizient~$a_{ii}$ von~$x_{i}^{2}$ nicht Null, so führt die Substitution +\PageSep{313}{297} +\[ +x_{1} = y_{i}\DPtypo{}{,}\quad +x_{i} = y_{1},\quad +x_{k} = y_{k}\qquad +\begin{Conditions} +(k = 2, \dots n;\ k \neq i) +\end{Conditions} +\] +unsere Form in eine äquivalente: +\[ +g(y_{1}, \dots y_{n}) = a_{ii} y_{1}^{2} + \dots +\] +über, deren erstes Element nicht Null ist. Sind aber alle Elemente +$a_{11} = a_{22} = \dots = a_{nn} = 0$, und ist etwa $a_{12} \neq 0$, so liefert die Substitution: +\[ +x_{1} = y_{1} + y_{2},\quad +x_{2} = y_{1} - y_{2},\quad +x_{i} = y_{i}\qquad +\begin{Conditions} +(i = 3, 4, \dots n) +\end{Conditions} +\] +eine äquivalente Form +\[ +g(y_{1}, \dots y_{n}) = 2a_{12} x_{1} x_{2} + \dots = 2a_{12} y_{1}^{2} - \dots, +\] +welche die verlangte Eigenschaft hat. Wir können somit von vornherein +$a_{11}$ von Null verschieden voraussetzen. Dann können wir aber zunächst +alle Elemente $a_{12}$,~$a_{13}$,~\dots~$a_{1n}$ zu Null machen. Ist nämlich $a_{12}$ etwa von +Null verschieden, so liefert die Substitution~\Eq{(III)} für $t = -\dfrac{a_{12}}{a_{11}}$ +nach \Eq{(4)} eine äquivalente Form +\[ +g(y_{1}, y_{2}, \dots y_{n}) = a_{11} y_{1}^{2} + 0·y_{1} y_{2} + \dots, +\] +und durch entsprechende Substitutionen~\Eq{(III)} +\begin{align*} +y_{1} &= y'_{1} + \tau y'_{3} \\ +\DotRow{2} +\end{align*} +können der Reihe nach die anderen Koeffizienten $a_{13}$,~\dots~$a_{1n}$ zu Null +gemacht werden. + +In der so umgeänderten Form: +\[ +h(z_{1}, \dots z_{n}) + = a'_{11} z_{1}^{2} + \sum_{2}^{n} \sum_{2}^{n} a'_{ik} z_{i} z_{k} +\] +kann nun die nach Abspaltung des ersten Gliedes übrig bleibende quadratische +Form von $z_{2}$,~$z_{3}$,~\dots~$z_{n}$ in genau derselben Weise so transformiert +werden, daß auch hier nur das Quadrat der zweiten Variablen übrig +bleibt, vorausgesetzt, daß auch nur eine der Zahlen $a'_{ik} \neq 0$ ist. In derselben +Weise kann man fortfahren, bis die transformierte Form überhaupt +nur die Quadrate der n Variablen enthält. Wir können und wollen +daher die Form~$f(x_{i})$ gleich in dieser Gestalt: +\PageSep{314}{298} +\[ +\Tag{(5)} +f(x_{i}) = \alpha_{1} x_{1}^{2} + \alpha_{2} x_{2}^{2} + \dots + \alpha_{n} x_{n}^{2} +\] +gegeben voraussetzen, in welcher die Koeffizienten~$\alpha_{i}$ gewöhnliche rationale +Zahlen sind. + +Wir betrachten die Form~\Eq{(5)} jetzt für einen der Körper~$K(p)$ bzw.\ +$K(p_{\infty})$ und untersuchen, wann der betreffende Divisor~$p$ oder~$p_{\infty}$ ein +Teiler jener Form ist. Dabei setzen wir der Einfachheit wegen ein für +allemal voraus, daß keine der Zahlen~$\alpha_{i}$ gleich Null ist. Zunächst können +wir von vornherein $\alpha_{1} = 1$ annehmen, da man ja sonst $f$ durch die von +Null verschiedene Konstante~$\alpha_{1}$ dividieren kann. Es sei nun: +\[ +\alpha_{i} = \epsilon_{i} a_{i}^{2}\ (p),\qquad +\begin{Conditions} +(i = 2, 3, \dots n) +\end{Conditions} +\] +wo $a_{i}^{2}$ die größte in $\alpha_{i}$ enthaltene Quadratzahl des betreffenden Körpers~$K(p)$ +bedeutet, so führt die Transformation: +\[ +a_{i} x_{i} = y_{i} +\] +die Form~$f(x_{i})$ über in die äquivalente +\[ +\Tag{(5^{a})} +\begin{aligned} +g(y_{i}) &= \sum \alpha_{i} x_{i}^{2} = \sum \epsilon_{i} (a_{i} x_{i})^{2} \\ + &= y_{1}^{2} + \epsilon_{2} y_{2}^{2} + \dots + \epsilon_{n} y_{n}^{2}, +\end{aligned} +\] +und wir können daher von vornherein alle Koeffizienten~$\alpha_{i}$ als befreit +von ihren quadratischen Faktoren voraussetzen. + +Je nachdem nun der betrachtete Bereich $K(p)$,~$K(2)$ oder~$K(p_{\infty})$ +ist, kann jede von Null verschiedene Zahl~$\alpha$ in einer der drei Formen: +\[ +\Tag{(6)} +\begin{alignedat}{2} +\alpha &= p^{2a+\delta} w^{2b+\epsilon} e^{2c} = p^{\delta} w^{\epsilon} (p^{a} w^{b} e^{c})^{2} &&(p) \\ +\alpha &= 2^{2a+\delta} (-1)^{\epsilon} e^{4\zeta+8c} = 2^{\delta} (-1)^{\epsilon} e^{4\zeta} (2^{a} e^{4c})^{2}\quad && (2) \\ +\alpha &= (-1)^{\epsilon} (e^{c})^{2} && (p_{\infty}) +\end{alignedat} +\] +dargestellt werden, wo $\delta$,~$\epsilon$,~$\zeta$ Null oder Eins sein können und wo für +den Bereich von~$2$\; $e^{4\zeta}$~auch durch $5^{\zeta}$ ersetzt werden kann, da sich beide +Zahlen um eine dyadische Quadratzahl unterscheiden. Es ergibt sich +also der Satz: +\begin{Theorem} +Jede quadratische Form mit rationalen Koeffizienten ist für +\index{Reduzierte Form}%[** TN: Original extry points to page 296] +den Bereich $K(p)$,~$K(2)$,~$K(p_{\infty})$ einer sog.\ \so{reduzierten +Form}: +\[ +f(x_{i}) = x_{1}^{2} + \epsilon_{2} x_{2}^{2} + \epsilon_{3} x_{3}^{2} + \dots + \epsilon_{n} x_{n}^{2} +\] +\PageSep{315}{299} +äquivalent, wo die reduzierten Koeffizienten~$\epsilon$ in den drei unterschiedenen +Fällen bzw.\ +\[ +\Tag{(7)} +p^{\delta} w^{\epsilon},\quad +2^{\delta} (-1)^{\epsilon} 5^{\zeta},\quad +(-1)^{\epsilon} +\] +sein können, wenn $\delta$,~$\epsilon$,~$\zeta$ Null oder Eins sind. Nur diese reduzierten +Formen sind also auf ihre Teiler $p$,~$2$,~$p_{\infty}$ zu untersuchen. +\end{Theorem} + +Zunächst erkennt man, daß eine Form~$f(x_{i})$ dann und nur dann +den Teiler~$p_{\infty}$ besitzt, wenn mindestens einer der Koeffizienten +$\epsilon_{i} = -1$ ist. Ist nämlich \zB\ $\epsilon_{2} = -1$, so besitzt ja die Gleichung +\[ +x_{1}^{2} - x_{2}^{2} + \epsilon_{3} x_{3}^{3} + \dots + \epsilon_{n} x_{n}^{2} = 0\ (p_{\infty}) +\] +die von Null verschiedene Lösung $(1, 1, 0, \dots 0)$. Sind dagegen +alle $\epsilon_{i} = +1$, so hat die Summe: +\[ +x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots x_{n}^{2} = 0 +\] +im Bereiche der reellen Zahlen offenbar nur die Lösung $(0, 0, \dots 0)$. +Die beiden anderen Fälle, wo der Teiler $p$ oder $2$ ist, sollen in den +beiden nächsten Abschnitten für die binären und ternären Formen +genau untersucht werden. Hier werde nur noch eine für das Folgende +wichtige allgemeine Bemerkung angefügt. + +Soll die Gleichung: +\[ +f(x_{i}) = x_{1} ^{2} + \epsilon_{2} x_{2}^{2} + \dots + \epsilon_{n} x_{n}^{2} = 0\ (p) +\] +\Errata{m}{im} Körper~$K(p)$ eine Lösung $(\xi_{1}, \xi_{2}, \dots \xi_{n})$ haben, so kann man sie +stets als ganz und mindestens eine der Größen $\xi_{i}$ als Einheit voraussetzen, +denn anderenfalls kann man ja die ganze Gleichung $f(\xi_{i}) = 0$ +durch das Quadrat des größten gemeinsamen Teilers $d$ von $\xi_{1}$,~$\xi_{2}$,~\dots~$\xi_{n}$ +dividieren, wodurch man eine neue Lösung $\dfrac{\xi_{1}}{d}$,~$\dfrac{\xi_{2}}{d}$,~\dots~$\dfrac{\xi_{n}}{d}$ erhält, die +der obigen Forderung entspricht. + +Ich wende die bisher gefundenen Resultate noch an auf die Untersuchung +der Frage, welche Primfaktoren die durch eine \emph{ganzzahlige} +quadratische Form darstellbaren ganzen rationalen Zahlen +\[ +m = a_{11} \xi_{1}^{2} + 2a_{12} \xi_{1} \xi_{2} + \dots + a_{nn} \xi_{n}^{2} + = f(\xi_{i}) +\] +enthalten können und welche nicht. Ich brauche hier nur die sog.\ +\PageSep{316}{300} +\index{Eigentliche Darstellung e.\ ganzen Zahl durch eine Form}% +\so{eigentlichen}, \dh\ diejenigen ganzzahligen Darstellungen von~$m$ zu +betrachten, bei denen $(\xi_{1}, \xi_{2}, \dots \xi_{n})$ keinen gemeinsamen Teiler haben. +Haben diese Zahlen nämlich den größten gemeinsamen Teiler~$d$, ist +also allgemein $\xi_{1} = d\xi_{1}^{(0)}$ so muß ja $m = d^{2}·m_{0}$ durch $d^{2}$ teilbar +sein, und hier ergibt sich dann die eigentliche Darstellung: +\[ +m_{0} = a_{11} \xi_{1}^{(0)2} + 2a_{12} \xi_{1}^{(0)} \xi_{2}^{(0)} + \dots + a_{nn} \xi_{n}^{(0)2} +\] +von $m_{0}$ durch dieselbe Form. + +Eine Primzahl~$p$ heiße in einer quadratischen Form $f(x_{1}, x_{2}, \dots x_{n})$ +\index{Aequivalente@{Äquivalente $g$-adische Zahlen}!quadratische Formen modulo~$p$}% +\so{enthalten}, wenn diese für ein durch $p$ nicht teilbares Wertsystem +$(\xi_{1}, \xi_{2}, \dots \xi_{n})$ einen durch $p$ teilbaren Wert $m$ besitzt. + +Nennen wir auch hier zwei Formen $f(x_{i})$~und~$g(y_{i})$ \so{modulo~$p$ +äquivalent}, wenn jede in die andere durch eine modulo~$p$ ganze +Substitution und durch Multiplikation mit einer durch $p$ nicht teilbaren +ganzen Zahl übergeht, so erkennt man genau, wie \aSeite{295} unten, +daß äquivalente Formen dieselben Primzahlen enthalten. + + +\Section{§ 3.}{Die binären quadratischen Formen und ihre Teiler.} + +Auf Grund der vereinfachenden Voraussetzungen über die zu untersuchende +Form, welche wir im vorigen Abschnitte gefunden haben, +können wir nun leicht entscheiden, ob eine binäre oder eine ternäre +quadratische Form einen bestimmten Teiler $p$,~$2$ oder~$p_{\infty}$ enthält. +Ist $f$ zunächst eine binäre Form, so können wir sie stets folgendermaßen +gegeben voraussetzen: +\[ +\Tag{(1)} +f(x, y) = x^{2} + \epsilon y^{2}, +\] +wo $\epsilon$ für ein ungerades $p$ nur die $4$~Werte: +\[ +\Tag{(2)} +1,\quad w,\quad p,\quad pw, +\] +für $p = 2$ aber einen der $8$~Werte: +\[ +\Tag{(2^{a})} +±1,\quad ±5,\quad ±2,\quad ±2·5 +\] +haben kann, während für $p = p_{\infty}$\; $\epsilon = ±1$ ist. Die Gleichung: +\[ +x^{2} + \epsilon y^{2} = 0\ (p) +\] +ist nun stets und nur dann erfüllt, wenn +\PageSep{317}{301} +\[ +\Tag{(3)} +\left(\frac{x}{y}\right)^{2} = -\epsilon\ (p) +\] +\dh\ $\left(\dfrac{-\epsilon}{p}\right) = +1$, wenn also $-\epsilon$ eine $p$-adische Quadratzahl ist. Daraus +folgt sofort, daß $p$ sicher kein Teiler der Form~$f(x, y)$ sein kann, wenn~$\epsilon$, +also auch~$-\epsilon$, durch $p$ teilbar, \dh\ keine Einheit ist. Ist aber $\epsilon$~eine +Einheit, so muß für ein ungerades~$p$: +\[ +\left(\frac{-\epsilon}{p}\right) + = \left(\frac{-1}{p}\right) \left(\frac{\epsilon}{p}\right) + = (-1)^{\efrac{p-1}{2}} \left(\frac{\epsilon}{p}\right) + = +1, +\] +also $\left(\dfrac{\epsilon}{p}\right) = (-1)^{\efrac{p-1}{2}}$ sein. Da nun für $\epsilon$ gleich~$1$ bzw.\ $w\left(\dfrac{\epsilon}{p}\right)$ gleich~$+1$ +bzw.\ $-1$ ist, so besitzt von den beiden Formen $x^{2} + y^{2}$ und $x^{2} + wy^{2}$ +die erste oder die zweite den Teiler~$p$, je nachdem $p = 4n + 1$ oder +$4n + 3$ ist, die andere aber nicht. + +Für $p = 2$ ist nach dem Satze \aSeite{260} von den acht Werten~\Eq{(2^{a})} +von~$-\epsilon$ allein $-\epsilon = +1$ quadratischer Rest zu~$2$; nur die Form +$x^{2} - y^{2}$ besitzt also den Teiler~$2$. Endlich hat allein die Form $x^{2} - y^{2}$ +den Teiler~$p_{\infty}$. + +Wir erhalten also den folgenden Satz: +\begin{Theorem} +Von den für den Bereich $p$,~$2$,~$p_{\infty}$ reduzierten vier, acht, zwei +binären quadratischen Formen besitzt jedesmal eine einzige den +zugehörigen Teiler, nämlich für ein ungerades $p$ die Form $x^{2} + y^{2}$ +oder $x^{2} + wy^{2}$, je nachdem $p = 4n + 1$ oder $4n + 3$ ist, für $p = 2$ +und für $p = p_{\infty}$ jedesmal die Form~$x^{2} - y^{2}$. +\end{Theorem} + +Jede binäre quadratische Form\footnote + {Bei den binären Formen ist es zweckmäßig, den mittleren Koeffizienten + durch $\Errata{2b}{b}$ zu bezeichnen.} +\[ +f(x, y) = ax^{2} + bxy + cy^{2} +\] +kann, falls nicht beide äußeren Koeffizienten $a$~und~$c$ Null sind, wenn +also \zB\ $a \neq 0$ ist, folgendermaßen geschrieben werden: +\[ +\Tag{(4)} +4af(x, y) = (2ax + by)^{2} - (b^{2} - 4ac)y^{2} = \xi^{2} - D\eta^{2}, +\] +wo +\[ +\Tag{(4^{a})} +D = b^{2} - 4ac +\] +\PageSep{318}{302} +\so{die Diskriminante der Form~$f$} genannt wird. Sie geht also +\index{Diskriminante binärer Formen}% +durch die umkehrbare Substitution: +\[ +\Tag{(5)} +\begin{alignedat}{4} + \xi &= 2ax + b&&y,\qquad & x &= \frac{1}{2a} \xi - \frac{b}{2a}&& \eta \\ +\eta &= &&y, & y &= && \eta +\end{alignedat} +\] +und durch Multiplikation mit der von Null verschiedenen Zahl~$4a$ in +die Form $\xi^{2} - D\eta^{2}$ über. Führt man diese in die reduzierte Form +$\bar{\xi}^{2} + \epsilon \bar{\eta}^{2}$ über und beachtet, daß sich dann $+\epsilon$ von~$-D$ nur um eine +Quadratzahl für den betreffenden Bereich unterscheidet, daß also +$\left(\dfrac{-\epsilon}{p}\right) = \left(\dfrac{D}{p}\right)$ ist, so folgt, daß die ursprüngliche Form dann und nur +dann den Divisor $p$,~$2$ oder~$p_{\infty}$ enthält, wenn das zugehörige Symbol +$\left(\dfrac{D}{p}\right) = +1$ ist. In dem vorher ausgeschlossenen Falle $a = c = 0$ gilt +genau dasselbe, denn dann enthält die Form $f(x, y) = bxy$ jede Primzahl~$p$ +als Teiler, da sie für $x = 0$, $y \neq 0$ verschwindet; und da in diesem +Falle auch +\[ +\left(\frac{D}{p}\right) = \left(\frac{b^{2}}{p}\right) = +1 +\] +ist, so bildet dieser Fall keine Ausnahme für unser allgemeines Resultat. +Es gilt also der Satz: +\begin{Theorem} +Für die quadratische Form $f(x, y) = ax^{2} + bxy + cy^{2}$ besteht +stets die Gleichung: +\[ +\Tag{(6)} +\left(\frac{f(x, y)}{p}\right) = \left(\frac{D}{p}\right), +\] +wenn $D = b^{2} - 4ac$ ihre Diskriminante ist. +\end{Theorem} + +Es sei nun +\[ +f(x, y) = ax^{2} + bxy + cy^{2} +\] +eine binäre quadratische Form, und $p$~eine ungerade Primzahl, welche +weder in ihrer Diskriminante $D = b^{2} - 4ac$ noch zugleich in beiden +äußeren Koeffizienten $a$~und~$c$ enthalten ist. Dann folgt aus den Gleichungen~\Eq{(5)}, +daß auch modulo~$p$\; $f(x, y)$~äquivalent der reduzierten Form +$\xi^{2} - D\eta^{2}$ ist; und da die Kongruenz +\PageSep{319}{303} +\[ +\xi^{2} - D\eta^{2} \equiv 0\ (\mod.~p) +\] +dann und nur dann eine Lösung außer der selbstverständlichen $\xi \equiv \eta \equiv 0$ +besitzt, wenn $\left(\dfrac{\xi}{\eta}\right)^{2} \equiv D\ (\mod.~p)$, wenn also $\left(\dfrac{D}{p}\right) = +1$ ist, und da genau +dasselbe gilt, wenn $a \equiv c \equiv 0\ (\mod.~p)$ also $D \equiv bxy\ (\mod.~p)$ ist, +wie ganz ebenso wie a.~vor.~S. bewiesen wird, so ergibt sich der Satz: +\begin{Theorem} +Alle durch eine binäre quadratische Form eigentlich darstellbaren +Zahlen: +\[ +m = ax^{2} + bxy + cy^{2} +\] +enthalten außer ev.\ den Teilern der Diskriminante $D = b^{2} - 4ac$ nur +solche ungerade Primzahlen~$p$, für welche $\left(\dfrac{D}{p}\right) = +1$, aber keine +einzige, für welche $\left(\dfrac{D}{p}\right) = -1$ ist. +\end{Theorem} +Eine ganze Zahl~$m$ kann daher nur dann durch eine quadratische +Form $f(x, y)$ eigentlich darstellbar sein, wenn sie keine einzige ungerade +Primzahl enthält, zu der $D$ Nichtrest ist. + +\begin{Examples} +Beispiele: Ist speziell $b = 0$, so sind in der Form $ax^{2} + cy^{2}$ nur solche +ungerade Primzahlen~$p$ enthalten, für welche $\left(\dfrac{-4ac}{p}\right) = \left(\dfrac{-ac}{p}\right) = +1$ +ist. So sind \zB\ durch die Form $x^{2} + y^{2}$ nur solche Zahlen eigentlich +darstellbar, für deren ungerade Primfaktoren $\left(\dfrac{-1}{p}\right) = +1$ ist, welche +also nur Primfaktoren von der Form $4n + 1$ enthalten. In der Form +$x^{2} + 2y^{2}$ sind außer $2$ nur Primzahlen~$p$ enthalten, für welche $\left(\dfrac{-2}{p}\right) = +1$ +ist, welche also nach \Seite{280}~\Eq{(I)} von der Form $8n + 1$ oder $8n + 3$ sind. Die +Form $x^{2} - 2y^{2}$ enthält außer $2$ nur Primteiler, für welche $\left(\dfrac{2}{p}\right) = +1$ +ist, welche also von der Form $8n ± 1$ sind. Die Form $x^{2} + 3y^{2}$ stellt +nur Zahlen~$m$ eigentlich dar, für deren ungerade Primfaktoren außer~$3$\; +$\left(\dfrac{-3}{p}\right) = +1$ ist, welche also alle von der Form $6n + 1$ sind,~usw. +\end{Examples} + +Diese Sätze geben uns die Möglichkeit, in manchen Fällen den +\index{Arithmetische Reihe, Primzahlen in einer}% +bereits auf \Seite{32} erwähnten Satz wunderbar einfach zu beweisen, daß +in jeder arithmetischen Reihe $ax + b$, wenn $(a, b) = 1$ ist, unendlich +\PageSep{320}{304} +viele Primzahlen enthalten sind; in diesen Fällen kann nämlich der +Beweis dieses allgemeinen Satzes genau ebenso geführt werden, wie in +dem auf \Seite{30} angegebenen Euklidischen Beweise dafür, daß die Anzahl +\emph{aller} Primzahlen unendlich groß ist. Zunächst gebe ich zwei +Fälle dieses Satzes, welche die Theorie der quadratischen Formen noch +nicht voraussetzen: + +\begin{Examples} +\Item{\DPchg{1.}{1)}} Es gibt unendlich viele Primzahlen von der Form~$4n - 1$. + +Angenommen nämlich, die Anzahl dieser Primzahlen $3$,~$7$, $11$, $19$,~\dots~$p$ +sei endlich, und $p$ sei die letzte unter ihnen, so ist die aus ihnen gebildete +Zahl +\[ +m = 4(3·7·11· \dots p) - 1 +\] +ungerade und von der Form~$4n - 1$; sie muß also mindestens einen +Primfaktor von derselben Form haben, und da sie durch $3$,~$7$,~\dots~$p$ +geteilt stets den Rest~$-1$ läßt, so gibt es außer diesen sicher noch weitere +Primzahlen dieser Form; unsere Behauptung ist also bewiesen. + +\Item{\DPchg{2.}{2)}} Es gibt unendlich viele Primzahlen der Form~$6n - 1$. + +Alle Primzahlen außer $3$ haben entweder die Form~$6n + 1$ oder +$6n - 1$. Wäre nun die Anzahl der letzteren endlich und $p$~die letzte +unter ihnen, so wäre wieder die aus ihnen gebildete Zahl +\[ +m = 6(5·11·17·23 \dots p) - 1 +\] +von derselben Form; sie müßte also mindestens einen Primfaktor~$6n - 1$ +haben, und daraus schließen wir genau wie vorher, daß es zum mindesten +eine Primzahl $q = 6n - 1$ geben muß, welche größer als $p$ ist. + +\Item{\DPchg{3.}{3)}} Es gibt unendlich viele Primzahlen $p = 4n + 1$. + +Wäre nämlich die Anzahl $5$,~$13$, $17$, $29$,~\dots~$p$ dieser Primzahlen +endlich, und $p$~die letzte, so hätte die Zahl +\[ +m = (2·5·13 \dots p)^{2} + 1^{2}, +\] +da sie von der Form $x^{2} + y^{2}$ ist, nur Teiler von der Form~$4n + 1$, +und da sie durch die vorher angegebenen nicht teilbar ist, so muß es +außer diesen sicher noch andere geben. + +\Item{\DPchg{4.}{4)}} Es gibt unendlich viele Primzahlen der Form~$8n + 5$. +\PageSep{321}{305} + +Der Beweis wird genau ebenso wie in~\Eq{(3)} geführt: Angenommen, die +Anzahl dieser Primzahlen $5$,~$13$,~\dots~$p$ wäre endlich, und $p$ ihre letzte; +die aus ihnen gebildete Zahl +\[ +m = (2·5·13 \dots p)^{2} + 1 = x^{2} + y^{2} +\] +hat nur Teiler von der Form~$4n + 1$; alle ihre Primfaktoren haben also +die Form $8n + 1$ oder~$8n + 5$. Da sie selbst aber offenbar die Form +$8n + 5$ hat, so muß wenigstens einer ihrer Primfaktoren dieselbe Form +besitzen und von den vorher aufgeführten verschieden sein. +\end{Examples} + +Ganz ebenso folgt aus der Betrachtung der Zahl +\[ +m = (7·13·19 \dots p)^{2} + 3·1^{2}, +\] +welche nach \Seite{303} unten außer $2$ nur Primteiler von der Form +$6n + 1$ hat, daß die Anzahl aller dieser Primzahlen unendlich groß +sein muß. Ist $m = (11·19·43 \dots p)^{2} + 2·1^{2}$, wo in der Klammer +alle Primzahlen der Form $8n + 3$ bis zu einer gewissen $p$ hin stehen, +so hat $m$ nach \Seite{303} nur Primteiler der Formen $8n + 1$ und $8n + 3$; +da sie aber selbst von der letzteren Form ist, so muß auch mindestens +einer ihrer Primfaktoren dieselbe Form haben. Also ist die Anzahl +aller Primzahlen von der Form $8n + 3$ unendlich groß. + +Dasselbe folgt für die Primzahlen $8n - 1$ aus der Betrachtung der +Zahl $m = (7·23 \dots p)^{2} - 2·1^{2}$, welche selbst von der Form $8n - 1$ +ist und nach \Seite{303} lauter Primteiler der Form $8n ± 1$ besitzt. Ebenso +zeigt man, daß in der arithmetischen Reihe $12n - 1$ unendlich viele +Primzahlen vorkommen, weil die Zahl $m = (11·23·47·59 \dots p)^{2} - 3·1^{2}$ +nach \Seite{281}~III außer $2$ nur Primfaktoren $12n ± 1$ besitzt, und zwar +mindestens einen der zweiten Form haben muß, weil sie offenbar +kongruent~$-2$ modulo~$24$, also von der Form $2(12n - 1)$ ist. + +Es gibt unendlich viele Primzahlen $10n - 1$, weil +\[ +m = (19·29·59 \dots p)^{2} - 5·1^{2}, +\] +wie man nach \Seite{281}~IV leicht erkennt, außer $2$ nur Primfaktoren +$10n ± 1$ hat; und da $m$ selbst von der Form $20n + 1 - 5 = 4(5n - 1)$ +ist, so muß $m$ mindestens einen Primfaktor $q = 10n - 1$ besitzen. + +Wie bereits \aSeite{30} erwähnt wurde, ist es bis jetzt nicht gelungen, +den soeben in speziellen Fällen behandelten Dirichletschen Satz über die +\PageSep{322}{306} +arithmetische Reihe auf rein arithmetischem Wege ohne analytische +Hilfsmittel zu beweisen. Jedoch läßt sich ein solcher Beweis auch für +die speziellen Reihen $ax + 1$ und $ax - 1$ erbringen, wie Genocchi +Annali di matematica, Ser.~2, Bd.~2, S.~256 zuerst vollständig bewiesen +hat. Neuerdings hat Herr I.~Schur (Sitzungsber.\ d.\ Berl.\ math.\ Ges.\ +1912, S.~40) für unendlich viele weitere arithmetische Reihen den gleichen +Beweis elementar geführt, \zB\ für die Reihen: +\[ +2^{n} x + (2^{n-1} ± 1),\quad +8ax + (2a + 1),\quad +8ax + (4a + 1),\quad +8ax + (6a + 1), +\] +wo $a$~eine beliebige quadratfreie ungerade Zahl bedeuten kann. Allgemein +beweist er den folgenden Satz: +\begin{Theorem} +Ist $b^{2} \equiv 1\ (\mod.~a)$, und kennt man mindestens eine Primzahl +der Reihe $ax + b$, die größer als $\dfrac{\phi(a)}{2}$ ist, so kann man elementar +schließen, daß in der Reihe $ax + b$ unendlich viele Primzahlen enthalten +sind. +\end{Theorem} + +Wir wollen eine binäre Form $f(x, y) = ax^{2} + bxy + cy^{2}$ für den +Bereich einer Primzahl~$p$ \so{definit} nennen, wenn sie nur Quadratzahlen +oder nur Nichtquadratzahlen darstellt; sie soll \so{indefinit} heißen, +wenn sie sowohl Quadrate wie Nichtquadrate darstellt. Auch diese +Eigenschaft bleibt offenbar bei einer beliebigen Transformation und bei +der Multiplikation mit irgendeiner Einheit modulo~$p$ ungeändert. Wir +betrachten aber nur den Fall einer \emph{ungeraden} Primzahl~$p$, welche +kein Teiler der Diskriminante~$D$ ist. Dann besteht der Satz: +\begin{Theorem} +Eine ganzzahlige Form $f(x, y)$ enthält eine beliebige, nicht in $D$ +aufgehende Primzahl~$p$ entweder als Teiler, oder sie ist für den +Bereich von~$p$ indefinit. +\end{Theorem} + +Ich brauche also nur zu zeigen, daß, falls $\left(\dfrac{D}{p}\right) = -1$ ist, $f(x, y)$ +sowohl Quadrate als Nichtquadrate darstellt, und zwar kann dieser +Beweis für die zu $f(x, y)$ äquivalente Form $\xi^{2} - D\eta^{2}$ geführt werden. +Nehmen wir etwa an, diese Form stellte \zB\ lauter Nichtreste dar, so +erhielte man auch lauter Nichtreste, wenn man $\xi = 1$, $2$,~\dots~$\dfrac{p - 1}{2}$ und +$\eta$ jedesmal gleich~$1$ wählt. Da dann $\xi^{2}$ alle inkongruenten Reste +\PageSep{323}{307} +$a_{1}$,~\dots~$a_{\efrac{p-1}{2}}$ durchläuft, und da alle $\dfrac{p - 1}{2}$ Zahlen $(a_{i} - D)$ offenbar +modulo~$p$ inkongruent sind, so ergeben sich hiernach die $\dfrac{p - 1}{2}$ Kongruenzen: +\[ +a_{i} - D \equiv b_{i};\ (\mod.~p),\qquad +\begin{Conditions} +(i = 1, 2, \dots \frac{p - 1}{2}) +\end{Conditions} +\] +wo die $a_{i}$ alle Reste, die $b_{i}$ alle Nichtreste sind. Addiert man aber alle +diese Kongruenzen und beachtet, daß nach \Seite{267} oben $\sum a_{i} \equiv \sum b_{i} \equiv 0\ +(\mod.~p)$ ist, so würde sich $-D·\dfrac{p - 1}{2} \equiv 0\ (\mod.~p)$ ergeben, was mit +unserer Voraussetzung über~$D$ im Widerspruch steht. Da die Annahme, +die Form stellte lauter Reste dar, genau ebenso als unrichtig +erwiesen wird, so ist unser Satz vollständig bewiesen. Auch für +$p = 3$, wo dieser Beweis nicht gilt, stellt die Form $\xi^{2} + \eta^{2}$ sowohl +$1$ als $2$ dar, ist also indefinit. + + +\Section{§ 4.}{Die ternären quadratischen Formen und ihre Teiler.} + +Ich wende mich jetzt zur Untersuchung der ternären quadratischen +Formen und ihrer Teiler. Nach \Seite{298}~\Eq{(5)} kann ich sie von vornherein +in der Form: +\[ +f(x, y, z) = ax^{2} + by^{2} + cz^{2} +\] +gegeben voraussetzen, wo $a$,~$b$,~$c$ beliebige von Null verschiedene +rationale Zahlen sind. Ich will das \aSeite{294} allgemein definierte +Symbol jetzt auch in der folgenden Form schreiben: +\[ +\Tag{(1)} +\left(\frac{f}{p}\right) = \left(\frac{a, b, c}{p}\right): +\] +dasselbe ist also~$±1$, je nachdem die Gleichung $ax^{2} + by^{2} + cz^{2} = 0\ (p)$ +eine von Null verschiedene Lösung hat oder nicht. + +Wir wollen und können dasselbe Symbol auch gleich~$±1$ annehmen, +je nachdem die Gleichung $f = 0$ eine Lösung $(\xi, \eta, \zeta)$ hat, in welcher +\emph{alle drei} Zahlen von Null verschieden sind oder nicht. Zwei von ihnen +können offenbar nicht Null sein, ohne daß auch die dritte verschwindet. +Besitzt aber jene Gleichung eine Lösung $(0, \eta, \zeta)$, in welcher eine Unbekannte, +\PageSep{324}{308} +\zB\ $x = 0$ ist, so kann man aus ihr stets eine solche +herleiten, in welcher alle drei Unbekannten von Null verschieden sind. + +In der Tat, ist $(\eta, \zeta)$ eine von Null verschiedene Lösung der Gleichung +\[ +b\eta^{2} + c\zeta^{2} = 0, +\] +so müssen offenbar beide Größen $\eta$~und~$\zeta$ von Null verschieden sein. +Sollen nun $x$,~$y$,~$z$ so gewählt werden, daß +\[ +ax^{2} + by^{2} + cz^{2} = 0\ (p) +\] +ist, so folgt durch Subtraktion der vorigen Gleichung: +\[ +ax^{2} + b(y^{2} - \eta^{2}) + c(z^{2} - \zeta^{2}) = 0. +\] + +Wir setzen nun $z = \zeta$ und suchen dann $x$~und~$y$ so zu bestimmen, +daß +\[ +ax^{2} + b(y^{2} - \eta^{2}) = 0, +\] +daß also: +\[ +ax^{2} = b(\eta - y) (\eta + y) +\] +wird. Zu dem Zwecke zerlegen wir $b$ irgendwie in das Produkt $b = b_{1} b_{2}$ +von zwei ganzen oder gebrochenen Faktoren und wählen $x$~und~$y$ so, daß +\[ +ax = b_{1} (\eta - y),\quad + x = b_{2} (\eta + y) +\] +ist. Aus diesen beiden Gleichungen folgt durch Division: +\[ +a = \frac{b_{1}}{b_{2}}·\frac{\eta - y}{\eta + y}, \quad\text{also}\quad +\frac{\eta - y}{\eta + y} = \gamma, +\] +wo +\[ +\gamma = \frac{ab_{2}}{b_{1}} = \frac{ab}{b_{1}^{2}} +\] +gesetzt ist. Wir wählen nun den bis jetzt ganz beliebigen Teiler $b_{1}$ von $b$ +nur so, daß $\gamma \neq ±1$ ist. Dann wird $y = \eta \dfrac{1 - \gamma}{1 + \gamma}$ weder Null noch +unendlich, und aus der obigen Gleichung ergeben sich also die Werte +\[ +x = 2b_{2} \eta·\frac{1}{1 + \gamma},\quad +y = \eta\Add{·} \frac{1 - \gamma}{1 + \gamma},\quad +z = \zeta, +\] +welche alle von Null verschieden sind. +\PageSep{325}{309} + +Um nun ebenso wie für die binären Formen zu entscheiden, welche +ternären Formeln eine gegebene Primzahl~$p$ enthalten, schreiben wir +auch sie in der reduzierten Form: +\[ +\Tag{(1^{a})} +f = x^{2} + \epsilon_{1} y^{2} + \epsilon_{2} z^{2}, +\] +wo $\epsilon_{1}$ und $\epsilon_{2}$ reduzierte Zahlen sind. Hier unterscheiden wir nun die +beiden Fälle, daß entweder $\epsilon_{1}$~und~$\epsilon_{2}$ Einheiten sind, oder daß wenigstens +eine von ihnen durch $p$ teilbar ist. Dann beweise ich zuerst den +folgenden Satz: +\begin{Theorem} +Sind $\epsilon_{1}$ und $\epsilon_{2}$ beide Einheiten, so besitzt die Form~$f$, falls $p$ +ungerade ist, stets den Teiler~$p$, \dh\ in diesem Falle ist stets +$\left(\dfrac{1, \epsilon_{1}, \epsilon_{2}}{p}\right) = +1$. +\end{Theorem} + +Löst man nämlich die Gleichung $f = 0$ nach $x^{2}$ auf, so folgt aus ihr: +\[ +x^{2} = (-\epsilon_{1}) y^{2} + (-\epsilon_{2}) z^{2}, +\] +wo auch $(-\epsilon_{1}, -\epsilon_{2})$ Einheiten sind. Nach dem \aSeite{306} bewiesenen +Satze besitzt nun die rechts stehende binäre Form entweder den Teiler~$p$, +oder sie ist indefinit, \dh\ sie stellt sowohl Quadrate als auch Nichtquadrate +dar. In jedem Falle kann man also zwei von Null verschiedene +Zahlen $\eta$~und~$\zeta$ so finden, daß: +\[ +(-\epsilon_{1}) \eta^{2} + (-\epsilon_{2}) \zeta^{2} = \xi^{2} +\] +wird, wo $\xi$~eine $p$-adische Zahl ist, welche auch Null sein kann. Hiernach +ist aber +\[ +x = \xi,\quad y = \eta,\quad z = \zeta +\] +eine Lösung unserer Gleichung; die obige Behauptung ist also bewiesen. + +Da die Koeffizienten $a$,~$b$,~$c$ sich von den reduzierten $1$,~$\epsilon_{1}$,~$\epsilon_{2}$ nur um +Quadratzahlen und einen allen gemeinsamen Faktor unterscheiden, so +kann man den soeben bewiesenen Satz auch in der folgenden allgemeineren +Form aussprechen: +\begin{Theorem} +Ist $p$~eine ungerade Primzahl, so ist +\[ +\Tag{(2)} +\left(\frac{a, b, c}{p}\right) = +1, +\] +\PageSep{326}{310} +wenn die Koeffizienten alle von gerader oder alle von ungerader +Ordnung sind. +\end{Theorem} + +Fast ebenso einfach kann dieselbe Frage für den Fall $p = 2$ entschieden +werden. Sind auch hier $\epsilon_{1}$~und~$\epsilon_{2}$ Einheiten, so haben sie die +Form $(-1)^{\gamma_{i}} 5^{\delta_{i}}$, wo die $\gamma_{i}$~und~$\delta_{i}$ gleich Null oder Eins sein können. +Sind beide Indizes $\gamma_{1} = \gamma_{2} = 0$, so ist $\epsilon_{1} \equiv \epsilon_{2} \equiv 1\ (\mod.~4)$, und für +diesen Modul genügt also $f$ in~\Eq{(1^{a})} der Kongruenz: +\[ +f(x, y, z) = x^{2} + \epsilon_{1} y^{2} + \epsilon_{2} z^{2} + \equiv x^{2} + y^{2} + z^{2} \equiv 0\ (\mod.~4). +\] +Da aber ein Quadrat $x^{2}$ kongruent Null oder Eins modulo~$4$ wird, je nachdem +$x$ gerade oder ungerade ist, so kann nur dann $f(x, y, z)$ durch $4$ +teilbar sein, wenn $x$,~$y$ und~$z$ alle gerade sind, weil andernfalls $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ +kongruent $1$,~$2$, oder~$3$ sein würde. Weil jedoch eine dieser Zahlen +nach \Seite{299} +immer als Einheit modulo~$2$, also als ungerade vorausgesetzt +werden kann, so ist bewiesen, daß die Form~$f$ nicht den Teiler +$2$ hat, wenn die Indizes von $\epsilon_{1}$~und~$\epsilon_{2}$ beide Null sind. Hieraus folgt +wie vorher, daß die allgemeine Form +\[ +f = ax^{2} + by^{2} + cz^{2} +\] +den Teiler $2$ nicht enthält, wenn $a$,~$b$,~$c$ alle gerade oder alle ungerade +Ordnungszahlen und außerdem alle den gleichen Index haben. + +Haben dagegen $\epsilon_{1}$~und~$\epsilon_{2}$ nicht beide den Index Null, haben also +$a$,~$b$,~$c$ nicht alle denselben Index, aber alle gerade oder alle ungerade +Ordnungszahlen, so ist $2$ stets ein Teiler der Form~$f$. In der Tat kann +man dann immer voraussetzen, daß die Koeffizienten $\epsilon_{1}$~und~$\epsilon_{2}$ weder +\emph{beide} die Einheitswurzel~$(-1)$ noch auch \emph{beide} den Faktor~$5$ enthalten; +denn wäre dies der Fall, so könnte man $f$ mit~$-1$ bzw.\ mit~$5$ multiplizieren, +und man erhielte so eine äquivalente Form, welche unserer +letzten Forderung genügte. Dann können aber die reduzierten Formen +eventuell durch Vertauschung der Variablen und durch Multiplikation +mit~$-1$ auf eine der drei Formen: +\begin{align*} +&x^{2} + y^{2} - 5z^{2} \\ +&x^{2} - y^{2} + 5z^{2} \\ +&x^{2} - y^{2} + z^{2} +\end{align*} +gebracht werden, welche alle den Teiler $2$ enthalten, da die erste durch +\PageSep{327}{311} +das Wertsystem $(1, 2, 1)$, die beiden letzten durch $(1, 1, 0)$ zu Null +gemacht werden. Geht man wieder von der reduzierten zur ursprünglichen +Form über, so kann man dieses Resultat in dem folgenden Satz +aussprechen: +\begin{Theorem} +Sind die Koeffizienten $a$,~$b$,~$c$ alle von gerader oder alle von +ungerader Ordnung, so ist stets und nur dann: +\[ +\Tag{(3)} +\left(\frac{a, b, c}{2}\right) = -1, +\] +wenn diese drei Zahlen gleiche Indizes besitzen, wenn also ihre +ungeraden Bestandteile $a_{0}$,~$b_{0}$,~$c_{0}$ modulo~$4$ kongruent sind. +\end{Theorem} + +Sind zweitens für eine beliebige Primzahl~$p$ nicht alle Koeffizienten +$a$,~$b$,~$c$ von gerader bzw.\ von ungerader Ordnung, so kann man stets voraussetzen, +daß einer von ihnen, etwa~$c$, von ungerader, die beiden anderen, +$a$~und~$b$, von gerader Ordnung sind, da ja im entgegengesetzten Falle die +Form~$pf$ dieser Forderung genügen würde. Daher kann man in diesem +Falle die zugehörige reduzierte Form~$f$ in der Gestalt +\[ +f(x, y, z) = x^{2} + \epsilon_{1} y^{2} + p \epsilon_{2} z^{2} +\] +voraussetzen, wo $\epsilon_{1}$~und~$\epsilon_{2}$ wieder Einheiten sind. Besitzt dann die +Gleichung $f = 0\ (p)$ überhaupt eine von Null verschiedene Lösung, so +hat sie, wie \Seite{299} bewiesen wurde, auch eine solche $\xi$,~$\eta$,~$\zeta$, bei welcher +diese Zahlen ganz sind und wenigstens eine von ihnen eine Einheit +ist. Hier sehen wir, daß dann $\xi$~und~$\eta$ beide Einheiten sein müssen, +denn enthielte etwa $\xi$ die Primzahl~$p$, so würde aus der Gleichung: +\[ +\xi^{2} + \epsilon_{1} \eta^{2} + p \epsilon_{2} \zeta^{2} = 0\ (p) +\] +folgen, daß auch $\eta$ durch $p$ teilbar wäre, und dann müßte dasselbe für +$\zeta$ gelten, da die beiden ersten Summanden durch $p^{2}$ teilbar wären. +Nimmt man nun zunächst $p$ als irgendeine ungerade Primzahl an und +betrachtet unter dieser Voraussetzung die obige Gleichung als Kongruenz +modulo~$p$, so ergibt sich: +\begin{align*} +\xi^{2} + \epsilon_{1} \eta^{2} &\equiv 0\ (\mod.~p) \\ +\left(\frac{\xi}{\eta}\right)^{2} &\equiv -\epsilon_{1}\ (\mod.~p), +\end{align*} +\dh\ es muß dann notwendig $\left(\dfrac{-\epsilon_{1}}{p}\right) = +1$ sein. Ist aber diese Bedingung +\PageSep{328}{312} +erfüllt, so ist nach dem \aSeite{301} bewiesenen Satze $p$ ein Teiler der +Form $x^{2} + \epsilon_{1} y^{2}$, also auch der Form $x^{2} + \epsilon_{1} y^{2} + p \epsilon_{2} z^{2}$; denn besitzt +die erste die Lösung $(\xi, \eta)$, so hat ja die letzte die Lösung $(\xi, \eta, 0)$. + +\begin{Theorem} +Die reduzierte quadratische Form $x^{2} + \epsilon_{1} y^{2} + p \epsilon_{2} z^{2}$ besitzt +also stets und nur dann den Teiler~$p$, wenn $\left(\dfrac{-\epsilon_{1}}{p}\right) = +1$ ist. +\end{Theorem} +Hieraus folgt genau wie vorher der allgemeine Satz: +\begin{Theorem} +Sind die Koeffizienten der Form $ax^{2} + by^{2} + c\DPtypo{x}{z}^{2}$ nicht alle +von gerader oder nicht alle von ungerader Ordnung in bezug auf +die ungerade Primzahl~$p$, so besitzt diese dann und nur dann +den Teiler~$p$, wenn +\[ +\Tag{(4)} +\left(\frac{-ab}{p}\right) = +1 +\] +ist, falls $a$~und~$b$ die beiden Elemente sind, welche modulo~$2$ kongruente +Ordnungszahlen haben. +\end{Theorem} + +Haben etwa $a$~und~$c$ modulo~$2$ inkongruente Ordnungszahlen, so +ist ja sicher $-ac$ Nichtquadratzahl, weil dieses Produkt von ungerader +Ordnung ist. Man kann daher dasselbe Resultat in der folgenden symmetrischen +Form aussprechen: +\begin{Theorem} +Sind $a$,~$b$,~$c$ nicht alle von gerader bzw.\ nicht alle von ungerader +Ordnung, so ist die ungerade Primzahl~$p$ dann und nur dann ein +Teiler von~$f$, wenn wenigstens eines der drei Symbole: +\[ +\Tag{(4^{a})} +\left(\frac{-ab}{p}\right),\quad +\left(\frac{-bc}{p}\right),\quad +\left(\frac{-ca}{p}\right) +\] +gleich $+1$ ist. +\end{Theorem} + +Ich untersuche endlich, unter welchen Bedingungen die entsprechende +für den Bereich von~$2$ reduzierte Form den Teiler $2$ hat, wann also die +Gleichung +\[ +f = x^{2} + \epsilon_{1} y^{2} + 2\epsilon_{2} z^{2} =0\ (2) +\] +eine Lösung besitzt. Dann muß sie auch hier eine Lösung $(\xi, \eta, \zeta)$ haben, +in welcher $\xi$~und~$\eta$ beide ungerade sind. Da dann aber +\[ +-(\epsilon_{1} \eta^{2} + 2\epsilon_{2} \zeta^{2}) = \xi^{2} +\] +\PageSep{329}{313} +sein muß, so besitzt $f$ dann und nur dann den Teiler~$2$, wenn eine Einheit~$\eta$ +und eine gerade oder ungerade Zahl~$\zeta$ so gewählt werden können, daß +$-(\epsilon_{1} \eta^{2} + 2\epsilon_{2} \zeta^{2})$ von der Form $8n + 1$ ist. Dann ist jedoch +\[ +\eta^{2} \equiv 1,\quad +2\zeta^{2} \equiv 2 \text{ oder } 0\ (\mod.~8), +\] +je nachdem $\zeta$ ungerade oder gerade ist; also ist unsere Bedingung dann +und nur dann erfüllt, wenn entweder $1 + \epsilon_{1}$ oder $1 + \epsilon_{1} + 2\epsilon_{2}$ durch +$8$ teilbar ist. Diese beiden Bedingungen können wir auch in die eine +zusammenziehen, daß +\[ +\frac{(1 + \epsilon_{1}) (1 + \epsilon_{1} + 2\epsilon_{2})}{8} +\] +eine gerade Zahl sein muß. In der Tat ist jener Quotient stets eine ganze +Zahl, da sich die beiden geraden Faktoren des Zählers um das Doppelte~$2\epsilon_{2}$ +einer \emph{ungeraden} Zahl unterscheiden. Daher muß einer dieser beiden Faktoren +durch eine höhere als die erste Potenz von~$2$ teilbar sein; der andere +ist dann genau durch $2$ teilbar. Ist also jener eine Faktor genau durch +$4$ teilbar, so enthält der ganze Zähler genau~$8$, der Bruch ist also ungerade, +ist dagegen jener Faktor mindestens durch $8$ teilbar, so ist der Bruch +gerade; unsere Behauptung ist also bewiesen. + +Hiernach können wir das Ergebnis unserer Untersuchung in der +Gleichung: +\[ +\Tag{(5)} +\left(\frac{1, \epsilon_{1}, 2\epsilon_{2}}{2}\right) + = (-1)^{\efrac{(1+\epsilon_{1}) (1+\epsilon_{1}+2\epsilon_{2})}{8}} +\] +aussprechen oder auch in dem Satze: +\begin{Theorem} +Die Form $x^{2} + \epsilon_{1} y^{2} + 2\epsilon_{2} z^{2}$ enthält dann und nur dann den +Teiler~$2$, wenn $\epsilon_{1}$ oder $\epsilon_{1} + 2\epsilon_{2}$ von der Form $8n - 1$ ist. +\end{Theorem} + +Betrachten wir auch hier den allgemeinsten Fall, daß in der Form +\[ +f = ax^{2} + by^{2} + cz^{2}\ (2) +\] +die Ordnungszahlen von $a$,~$b$,~$c$ nicht alle modulo~$2$ kongruent sind, +so können wir event.\ durch Multiplikation mit~$2$ und Vertauschung +der Variablen erreichen, daß $a$~und~$b$ von gerader, $c$~von ungerader +Ordnung in bezug auf~$2$ ist. Sind dann $a_{0}$,~$b_{0}$,~$c_{0}$ die zu $a$,~$b$,~$c$ gehörigen +Einheiten, so ist $f$~äquivalent $a_{0} x^{2} + b_{0} y^{2} + 2c_{0} z^{2}$, also auch äquivalent +\PageSep{330}{314} +\[ +x^{2} + \frac{b_{0}}{a_{0}} y^{2} + 2\frac{c_{0}}{a_{0}} z^{2}; +\] +ersetzt man also in~\Eq{(5)} $\epsilon_{1}$~und~$\epsilon_{2}$ durch $\dfrac{b_{0}}{a_{0}}$~und~$\dfrac{c_{0}}{a_{0}}$ und multipliziert +im Exponenten von~$-1$ mit der ungeraden Zahl~$a_{0}^{2}$, so ergibt sich die +allgemeine Gleichung: +\[ +\Tag{(5^{a})} +\left(\frac{a, b, c}{2}\right) + = (-1)^{\efrac{(a_{0}+b_{0}) (a_{0}+b_{0}+2c_{0})}{8}}, +\] +\dh\ es gilt hier der Satz: +\begin{Theorem} +Sind in der ternären Form $f = ax^{2} + by^{2} + cz^{2}\ (2)$ die Ordnungszahlen +der drei Koeffizienten nicht alle kongruent modulo~$2$, +und sind $a_{0}$,~$b_{0}$,~$c_{0}$ die zu $a$,~$b$,~$c$ gehörigen Einheiten, so besitzt $f$ +stets und nur dann den Teiler~$2$, wenn entweder $a_{0} + b_{0}$ oder +$a_{0} + b_{0} + 2c_{0}$ durch $8$ teilbar ist, falls $a$~und~$b$ die beiden Koeffizienten +bedeuten, deren Ordnungszahlen modulo~$2$ kongruent sind. +\end{Theorem} + + +\Section{§ 5.}{Die Darstellung der $p$-adischen Zahlen durch die binären +Hauptformen. Das Hilbertsche Symbol. Der allgemeine +Dekompositionssatz.} + +Ich benutze die für die ternären Formen hergeleiteten Sätze jetzt, +\index{Hauptform, binäre}% +um die Frage nach der Darstellbarkeit einer gegebenen $p$-adischen Zahl~$e$ +durch die \sg\ binäre \so{Hauptform} einer gegebenen Determinante~$d$ +\[ +x^{2} - dy^{2} +\] +vollständig zu lösen. Ersetzt man in der Gleichung: +\[ +\Tag{(1)} +e = x^{2} - dy^{2}\ (p) +\] +$x$~und~$y$ durch $\dfrac{x}{z}$~und~$\dfrac{y}{z}$, so erkennt man ohne weiteres, daß diese +Gleichung dann und nur dann eine Lösung hat, wenn dasselbe für die +homogene Gleichung: +\[ +\Tag{(1^{a})} +f(x, y, z) = -x^{2} + dy^{2} + ez^{2} = 0\ (p) +\] +\PageSep{331}{315} +gilt, wenn also die ternäre quadratische Form~$f(x, y, z)$ den Teiler~$p$ +besitzt oder $\left(\dfrac{-1,d,e}{p}\right) = +1$ ist. + +Indem wir eine von Hilbert herrührende Bezeichnung erweitern, +wollen wir das Symbol +\[ +\Tag{(2)} +\left(\frac{d, e}{p}\right) \quad\text{gleich}\quad \text{$+1$~oder~$-1$} +\] +setzen, je nachdem $e$ durch die Hauptform $x^{2} - dy^{2}$ für den Bereich von~$p$ +darstellbar ist, oder nicht, und zwar soll diese Bezeichnung gelten, +sowohl wenn $p$~eine Primzahl, als auch wenn $p = p_{\infty}$ ist. Dann ergibt +sich aus der soeben durchgeführten Betrachtung für dieses Symbol +die Gleichung: +\[ +\Tag{(2^{a})} +\left(\frac{d, e}{p}\right) = \left(\frac{-1, d, e}{p}\right), +\] +und da wir dieses letztere in jedem Falle zu finden gelernt haben, +so ist das Hilbertsche Symbol damit auch vollständig bestimmt. +\index{Hilbertsches Symbol~$\left(\dfrac{d, e}{p}\right)$}% + +Ist zunächst $p = p_{\infty}$, so ist nach \Seite{299}: +\[ +\Tag{(3)} +\left(\frac{d, e}{p_{\infty}}\right) + = \left(\frac{-1, d, e}{p_{\infty}}\right) + = +1 \text{ oder } -1, +\] +je nachdem wenigstens eine der beiden Zahlen $d$~und~$e$ positiv ist, oder +beide negativ sind. Im ersten Falle ist, wie man auch direkt sieht, +die Gleichung $e = x^{2} - dy^{2}$ in reellen Zahlen lösbar, im letzten nicht. +Also besteht hier die einfache Gleichung: +\[ +\Tag{(3^{a})} +\left(\frac{d, e}{p_{\infty}}\right) + = -1^{\efrac{\sgn d-1}{2}·\efrac{\sgn e-1}{2}}; +\] +denn der rechts stehende Exponent ist ja stets und nur dann gleich~$1$, +wenn $d$~und~$e$ beide negativ sind, sonst aber immer gleich Null. + +Hieraus folgt sofort, daß für den Bereich von~$p_{\infty}$ stets die Dekompositionsgleichung +gilt: +\[ +\Tag{(4)} +\left(\frac{d, ee_{1}}{p_{\infty}}\right) + = \left(\frac{d, e}{p_{\infty}}\right) \left(\frac{d, e_{1}}{p_{\infty}}\right); +\] +denn nach \Eq{(3^{a})} entspricht sie der Gleichung: +\PageSep{332}{316} +\[ +(-1)^{\efrac{\sgn d-1}{2}·\efrac{\sgn (ee_{1})-1}{2}} + = (-1)^{\left(\efrac{\sgn e-1}{2}+\efrac{\sgn e_{1}-1}{2}\right) \efrac{\sgn d-1}{2}}, +\] +welche ja nach \Seite{283}~\Eq{(3)} richtig ist. + +Ist ferner $p$ eine \emph{ungerade} Primzahl, so ergeben sich durch Anwendung +der Resultate des vorigen Paragraphen sofort die folgenden Sätze: +\begin{Theorem} +Sind $d$ und $e$ beide durch eine gerade Potenz der ungeraden +Primzahl~$p$ teilbar, so ist stets: +\[ +\Tag{(5)} +\left(\frac{d, e}{p}\right) = \left(\frac{d_{0}, e_{0}}{p}\right) = +1, +\] +wenn $d_{0}$ und $e_{0}$ hier wie stets im folgenden die zu $d$~und~$e$ gehörigen +Einheiten bedeuten, \dh\ in diesem Falle ist $e$ immer +durch die Hauptform $x^{2} - dy^{2}$ darstellbar. +\end{Theorem} +In der Tat ist ja unter diesen Voraussetzungen das Symbol $\left(\dfrac{-1, d, e}{p}\right)$ +nach dem Satze \Eq{(2)}~\aSeite{309} gleich~$+1$. + +Es seien jetzt zweitens $d$~und~$e$ nicht beide von gerader Ordnung. +Dann kann eine dieser Zahlen oder auch beide von ungerader Ordnung +sein. Wegen der stets bestehenden Gleichung: +\[ +\Tag{(6)} +\left(\frac{e, d}{p}\right) = \left(\frac{d, e}{p}\right) +\] +ist es gleichgültig, welche von beiden Zahlen von ungerader, welche von +gerader Ordnung angenommen wird; wir wollen im folgenden immer +voraussetzen, daß, falls nur eine der beiden Zahlen von ungerader +Ordnung ist, dieses $e$ sein soll. + +Ist nun erstens nur $e$ von ungerader Ordnung, so ist nach dem +\aSeite{312}~\Eq{(4)} bewiesenen Satze: +\[ +\Tag{(7)} +\left(\frac{d, e}{p}\right) + = \left(\frac{-1, d, e}{p}\right) + = \left(\frac{-1, d_{0}, pe_{0}}{p}\right) + = \left(\frac{d_{0}}{p}\right). +\] + +Sind dagegen $d$~und~$e$ beide von ungerader Ordnung, so folgt nach +demselben Satze: +\[ +\Tag{(8)} +\left(\frac{d, e}{p}\right) + = \left(\frac{-1, d, e}{p}\right) + = \left(\frac{-1, pd_{0}, pe_{0}}{p}\right) + = \left(\frac{-d_{0} e_{0}}{p}\right)\DPtypo{}{.} +\] +\PageSep{333}{317} + +Wir können das bisher gefundene Ergebnis in dem folgenden +Satze zusammenfassen: +\begin{Theorem} +Ist $p$ eine ungerade Primzahl, so ist das Symbol $\left(\dfrac{d, e}{p}\right)$ +gleich~$1$, $\left(\dfrac{d_{0}}{p}\right)$, $\left(\dfrac{-d_{0} e_{0}}{p}\right)$, je nachdem von den beiden Zahlen $d$ +und~$e$ keine, eine, nämlich~$e$, oder jede von ungerader Ordnung +in bezug auf~$p$ \Errata{sind}{ist}. +\end{Theorem} + +Ist endlich $p = 2$, und sind zuerst $d$~und~$e$ beide durch eine gerade +Potenz von~$2$ teilbar, so ist nach dem Satze \Eq{(3)}~\aSeite{311}\DPchg{.}{} +\[ +\left(\frac{d, e}{2}\right) + = \left(\frac{-1, d, e}{2}\right) + = \left(\frac{-1, d_{0}, e_{0}}{2}\right) +\] +dann und nur dann gleich~$-1$, wenn $-1$,~$d_{0}$,~$e_{0}$ modulo~$4$ kongruent, +wenn also $d_{0}$~und~$e_{0}$ beide von der Form $4n - 1$ sind. Hieraus +ergibt sich der Satz: +\begin{Theorem}%[** TN: Theorem indentation not present in the original] +Sind $d$ und $e$ modulo~$2$ beide von gerader Ordnung, so ist stets +\[ +\Tag{(9)} +\left(\frac{d, e}{2}\right) + = \left(\frac{d_{0}, e_{0}}{2}\right) + = (-1)^{\efrac{d_{0}-1}{2}·\efrac{e_{0}-1}{2}}, +\] +denn der rechts stehende Exponent ist ja dann und nur dann ungerade, +wenn $d_{0}$~und~$e_{0}$ beide von der Form $4n + 3$ sind. +\end{Theorem} + +Ist zweitens $e$ von ungerader, $d$~aber von gerader Ordnung, +so ist nach \Eq{(5^{a})}~\aSeite{314}: +\[ +\Tag{(10)} +\begin{aligned}%[** TN: Re-broken, and not aligned in the original] +\left(\frac{d, e}{2}\right) + &= \left(\frac{d_{0}, 2e_{0}}{2}\right) + = \left(\frac{-1, d_{0}, 2e_{0}}{2}\right) \\ + &= (-1)^{\efrac{(d_{0}-1)(d_{0}+2e_{0}-1)}{8}} + = (-1)^{\efrac{d_{0}^{2}-1}{8}+\efrac{(d_{0}-1)(e_{0}-1)}{4}} \\ + &= \left(\frac{d_{0}, e_{0}}{2}\right) \left(\frac{2}{d_{0}}\right). +\end{aligned} +\] +Sind endlich $d_{0}$ und $e_{0}$ beide von ungerader Ordnung, so folgt nach +demselben Satze und nach \Eq{(4)}~\aSeite{284}: +\[ +\Tag{(11)} +\begin{aligned}%[** TN: Re-broken, and not aligned in the original] +\left(\frac{d, e}{2}\right) + &= \left(\frac{2d_{0}, 2e_{0}}{2}\right) + = \left(\frac{-1, 2d_{0}, 2e_{0}}{2}\right)\DPchg{=}{} \\ + &= (-1)^{\efrac{(d_{0}+e_{0})(d_{0}+e_{0}-2)}{8}} + = (-1)^{\efrac{d_{0}^{2}-1}{8}+\efrac{e_{0}^{2}-1}{8}+\efrac{(d_{0}-1)(e_{0}-1)}{4}} \\ + &= \left(\frac{d_{0}, e_{0}}{2}\right)\! \left(\frac{2}{d_{0} e_{0}}\right). +\end{aligned} +\] +\PageSep{334}{318} + +Wir können das Ergebnis dieser letzten Betrachtung in dem folgenden +einfachen Satze aussprechen: +\begin{Theorem} +Das Symbol $\left(\dfrac{d, e}{2}\right)$ ist gleich +\[ +\Tag{(11^{a})} +\left(\frac{d_{0}, e_{0}}{2}\right),\quad +\left(\frac{d_{0}, e_{0}}{2}\right) \left(\frac{2}{d_{0}}\right),\quad +\left(\frac{d_{0}, e_{0}}{2}\right) \left(\frac{2}{d_{0} e_{0}}\right) +\] +je nachdem von den beiden Zahlen $d$~und~$e$ keine, eine, nämlich $e$ +oder jede von ungerader Ordnung in bezug auf~$2$ ist; und hier ist +\[ +\Tag{(11^{b})} +\left(\frac{d_{0}, e_{0}}{2}\right) = (-1)^{\efrac{d_{0}-1}{2}·\efrac{e_{0}-1}{2}}\DPtypo{}{.} +\] +\end{Theorem} + +Mit Hilfe dieser Sätze beweise ich nun sehr leicht den folgenden +\index{Dekompositionssatz f.\;d.\ Hilbert'sche Symbol}% +Hauptsatz über die Zerlegung des Hilbertschen Symboles: +\begin{Theorem} +Wie auch die Zahlen $d$,~$e$,~$e'$ beschaffen sein mögen, immer +besteht für jeden Bereich~$K(p)$ die Gleichung: +\[ +\Tag{(12)} +\left(\frac{d, ee'}{p}\right) + = \left(\frac{d, e}{p}\right) \left(\frac{d, e'}{p}\right), +\] +neben welcher, wegen der Symmetrie jenes Symboles, dann +natürlich auch die andere gilt: +\[ +\Tag{(12^{a})} +\left(\frac{dd', e}{p}\right) + = \left(\frac{d, e}{p}\right) \left(\frac{d', e}{p}\right). +\] +\end{Theorem} + +Diese Sätze sind nur ein anderer Ausdruck des folgenden schönen +und einfachen Theorems: +\begin{Theorem} +Sind $e$,~$e'$,~$e''$ drei beliebige Zahlen, für welche +\[ +ee'e'' = 1\ (p) +\] +ist, so besteht immer die Gleichung: +\[ +\Tag{(13)} +\left(\frac{d, e}{p}\right) \left(\frac{d, e'}{p}\right) \left(\frac{d, e''}{p}\right) = 1. +\] +\end{Theorem} + +In der Tat folgt ja aus dieser Gleichung durch Multiplikation mit +$\left(\dfrac{d, e''}{p}\right)$: +\PageSep{335}{319} +\[ +\left(\frac{d, e}{p}\right) \left(\frac{d, e'}{p}\right) + = \left(\frac{d, e''}{p}\right) + = \raisebox{1ex}{\Bigg(} + \frac{d, \dfrac{1}{ee'}}{p} + \raisebox{1ex}{\Bigg)} + = \raisebox{1ex}{\Bigg(} + \frac{d, \dfrac{(ee')^{2}}{ee'}}{p} + \raisebox{1ex}{\Bigg)} + = \left(\frac{d, ee'}{p}\right). +\] +Umgekehrt folgt durch zweimalige Anwendung von~\Eq{(12)} +\[ +\left(\frac{d, e}{p}\right) +\left(\frac{d, e'}{p}\right) +\left(\frac{d, e''}{p}\right) + = \left(\frac{d, ee'e''}{p}\right) + = \left(\frac{d, 1}{p}\right) = +1; +\] +denn das letzte Symbol ist~$+1$, da die Gleichung $-x^{2} + dy^{2} + z^{2} = 0$ +immer die Lösung $(1, 0, 1)$ hat. + +Nur die Richtigkeit von~\Eq{(13)} brauchen wir also zu beweisen. +Dabei müssen wir die Fälle unterscheiden, daß $d$~und $e$,~$e'$,~$e''$ von gerader +oder von ungerader Ordnung in bezug auf $p$ sind. Ich bemerke +nun zunächst, daß von den drei Faktoren $e$,~$e'$,~$e''$ entweder keiner oder +zwei von ungerader Ordnung sind, da ihr Produkt gleich~$1$ ist. + +Es sei nun $p$ zuerst eine \emph{ungerade} Primzahl; ist dann $d$ von gerader +Ordnung, und nehmen wir zunächst $e$,~$e'$,~$e''$ alle ebenfalls von +gerader Ordnung an, so ist unsere Gleichung richtig, denn nach \Eq{(5)} +geht sie dann über in +\[ +\Tag{(14)} +(+1)(+1)(+1) = +1; +\] +ist dagegen unter der gleichen Voraussetzung über~$d$\; $e$~von gerader, +aber $e'$~und~$e''$ beide von ungerader Ordnung, so wird in unserer Gleichung +das zweite und dritte Symbol nach \Eq{(7)}~\aSeite{316} gleich~$\left(\dfrac{d_{0}}{p}\right)$, dieselbe +wird hier also: +\[ +\Tag{(14^{a})} +(+1) \left(\frac{d_{0}}{p}\right) \left(\frac{d_{0}}{p}\right) + = \left(\frac{d_{0}^{2}}{p}\right) = +1. +\] + +Ist ferner $d$ von ungerader, $e$,~$e'$,~$e''$ aber von gerader Ordnung, +so geht \Eq{(13)} nach demselben Satze über in +\[ +\Tag{(14^{b})} +\left(\frac{e_{0}}{p}\right) +\left(\frac{e'_{0}}{p}\right) +\left(\frac{e''_{0}}{p}\right) + = \left(\frac{e_{0}e'_{0}e''_{0}}{p}\right) + = \left(\frac{1}{p}\right) = 1; +\] +und wenn endlich $d$ wieder von ungerader Ordnung ist, während $e$ von +gerader, $e'$~und~$e''$ von ungerader Ordnung vorausgesetzt werden, so ergibt +die Anwendung von \Eq{(8)}~\aSeite{316} auf die zu untersuchende Gleichung: +\[ +\Tag{(14^{c})} +\left(\frac{e_{0}}{p}\right) +\left(\frac{-e'_{0}d_{0}}{p}\right) +\left(\frac{-e''_{0}d_{0}}{p}\right) + = \left(\frac{e_{0}e'_{0}e''_{0}·d_{0}^{2}}{p}\right) = +1, +\] +\PageSep{336}{320} +und damit ist unsere Behauptung für eine beliebige ungerade Primzahl~$p$ +vollständig bewiesen. + +Zweitens sei $p = 2$. Dann enthält nach \Eq{(11^{a})}~und~\Eq{(11^{b})} die linke +Seite von~\Eq{(13)} als ersten Bestandteil das Produkt: +\begin{align*} %[** TN: Not aligned in the original] +\left(\frac{d_{0}, e_{0}}{2}\right) +\left(\frac{d_{0}, e'_{0}}{2}\right) +\left(\frac{d_{0}, e''_{0}}{2}\right) + &= (-1)^{\efrac{d_{0}-1}{2} + \left(\efrac{e_{0}-1}{2}+\efrac{e'_{0}-1}{2}+\efrac{e''_{0}-1}{2}\right)} \\ + &= (-1)^{\efrac{d_{0}-1}{2}\, \efrac{e_{0} e'_{0} e''_{0}-1}{2}} = +1, +\end{align*} +da ja auch das Produkt der zu $e$,~$e'$,~$e''$ gehörigen Einheiten gleich~$1$ ist. +Wir haben also nur zu zeigen, daß das Produkt der in~\Eq{(13)} noch hinzutretenden +Zusatzfaktoren: +\[ +\Tag{(15)} +1,\quad \left(\frac{2}{d_{0}}\right),\quad \left(\frac{2}{d_{0} e_{0}}\right) +\] +für sich ebenfalls gleich~$+1$ ist. Dieser letzte Beweis stimmt aber +wörtlich mit dem vorher für ein ungerades $p$ geführten überein, denn +hier waren die Werte der in~\Eq{(13)} überhaupt auftretenden Symbole in +denselben Fällen: +\[ +\Tag{(15^{a})} +1,\quad \left(\frac{d_{0}}{p}\right),\quad \left(\frac{-d_{0} e_{0}}{p}\right), +\] +und da für die Multiplikation der in~\Eq{(15^{a})} stehenden Symbole genau +dieselben Sätze bestehen wie für die in~\Eq{(15)} aufgeführten, so ergibt +sich auch hier die Richtigkeit unserer Gleichung in den vier unterschiedenen +Fällen. Wir erhalten nämlich als das Produkt der Zusatzfaktoren, +genau wie in \Eq{(14)},~\Eq{(14^{a})},~\Eq{(14^{b})} und~\Eq{(14^{c})}, für: +\begin{Theorem} +\Item{1.} $d$ von gerader und $e$,~$e'$,~$e''$ von gerader Ordnung: +\[ +\Tag{(16)} +(+1)(+1)(+1) = +1. +\] + +\Item{2.} $d$ von gerader, $e$ von gerader, $e'$,~$e''$ von ungerader Ordnung: +\[ +\Tag{(16^{a})} +(+1) \left(\frac{2}{d_{0}}\right) \left(\frac{2}{d_{0}}\right) = +1. +\] + +\Item{3.} $d$ von ungerader, $e$,~$e'$,~$e''$ von gerader Ordnung: +\[ +\Tag{(16^{b})} +\left(\frac{2}{e_{0}}\right) \left(\frac{2}{e'_{0}}\right) \left(\frac{2}{e''_{0}}\right) = +1. +\] +\PageSep{337}{321} + +\Item{4.} $d$ von ungerader, $e$ von gerader, $e'$~und~$e''$ aber von ungerader +Ordnung: +\[ +\left(\frac{2}{e_{0}}\right) +\left(\frac{2}{e'_{0} d_{0}}\right) +\left(\frac{2}{e''_{0} d_{0}}\right) = +1. +\] +\end{Theorem} + +Da wir die Richtigkeit von~\Eq{(12)} für den Bereich von~$p_{\infty}$ schon +\aSeite{315} in~\Eq{(4)} bewiesen hatten, so ist die Gültigkeit der Dekompositionsgleichung~\Eq{(13)} +für die Bereiche von $p$,~$2$,~$p_{\infty}$ vollständig dargetan. + + +\Section{§ 6.}{Ein Fundamentalsatz für die Theorie der ternären +quadratischen Formen.} + +Wir sind jetzt imstande, einen Fundamentalsatz in der Theorie der +\index{Fundamentalsatz f.\;d.\ ternären Formen}% +ternären quadratischen Formen zu beweisen, welcher das Reziprozitätsgesetz +nebst seinen Ergänzungssätzen als speziellen Fall enthält, und +der für die Theorie der quadratischen Zahlkörper eine der wichtigsten +Grundlagen bildet. Außerdem zeigt er den engen Zusammenhang +zwischen den Bereichen $K(2)$,~$K(p)$,~$K(p_{\infty})$, welche hier zum ersten +Male in die Arithmetik eingeführt worden sind. Dieser Satz läßt sich +folgendermaßen aussprechen: +\begin{Theorem} +Jede ternäre quadratische Form: +\[ +f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) + = a_{11} x_{1}^{2} + 2a_{12} x_{1} x_{2} + \dots + a_{33} x_{3}^{2} +\] +mit rationalen Zahlkoeffizienten besitzt stets eine endliche, und +zwar eine gerade Anzahl von Nichtteilern. Oder, was dasselbe +ist: das auf alle Stellen $p$,~$2$,~$p_{\infty}$ erstreckte Produkt +\[ +\prod_{(p)} \left(\frac{f(x_{1}, x_{2}, x_{3})}{p}\right) +\] +ist stets gleich~$+1$. +\end{Theorem} + +Beim Beweise dieses Satzes können wir die Form~$f$ durch eine umkehrbare +Transformation und durch Multiplikation mit einer von Null +verschiedenen rationalen Zahl auf die Form +\[ +f = -x^{2} + dy^{2} + ez^{2} +\] +\PageSep{338}{322} +transformiert annehmen, deren Koeffizienten $d$~und~$e$ ganze rationale +Zahlen sind. Dann ist also nur zu zeigen, daß das Produkt: +\[ +\prod_{(p)} \left(\frac{d, e}{p}\right) = +1 +\] +ist. Dabei bemerke ich zunächst, daß in diesem Produkte sicher alle +diejenigen Faktoren gleich~$+1$ sind, also fortgelassen werden können, +in welchen $p$ ungerade und weder in~$d$ noch in~$e$ enthalten ist. Es +kommen also jedesmal nur endlich viele Faktoren überhaupt in Betracht, +nämlich die ungeraden Primfaktoren von $d$~oder~$e$ und außerdem +eventuell $2$~und~$p_{\infty}$. + +Der Beweis dieses Satzes beruht allein auf dem vorher behandelten +Zerlegungssatze für das Symbol $\left(\dfrac{d, e}{p}\right)$. Ist nämlich $d = d_{1} d_{2}$ irgendeine +Zerlegung von~$d$ in zwei ganzzahlige Faktoren, von denen einer auch +$-1$ sein kann, so ist ja: +\[ +\prod_{(p)} \left(\frac{d_{1} d_{2}, e}{p}\right) + = \prod_{(p)} \left(\frac{d_{1}, e}{p}\right) + · \prod_{(p)} \left(\frac{d_{2}, e}{p}\right). +\] +Unser Satz ist also für $d = d_{1} d_{2}$ bewiesen, wenn seine Richtigkeit für +$d = d_{1}$ und $d = d_{2}$ feststeht. Da man nun sowohl $d$ als auch $e$ so lange +zerlegen kann, bis alle Faktoren entweder Primzahlen oder~$-1$ geworden +sind, so erkennt man, daß der Satz für jedes System~$(d, e)$ bewiesen sein +wird, wenn gezeigt ist, daß die folgenden sieben einfachsten Produkte: +\begin{gather*} +\prod_{(p)} \left(\frac{-1, -1}{p}\right),\quad +\prod_{(p)} \left(\frac{-1, 2}{p}\right),\quad +\prod_{(p)} \left(\frac{-1, q}{p}\right),\\ +\prod_{(p)} \left(\frac{ 2, 2}{p}\right),\quad +\prod_{(p)} \left(\frac{ 2, q}{p}\right),\\ +\prod_{(p)} \left(\frac{ q, q}{p}\right),\quad +\prod_{(p)} \left(\frac{ q, r}{p}\right) +\end{gather*} +sämtlich gleich $+1$ sind, in denen $q$~und~$r$ beliebige ungerade Primzahlen +bedeuten. Jene sieben Spezialfälle können aber mit Hilfe der Ergänzungssätze +und des Reziprozitätsgesetzes ohne weiteres bewiesen werden, wenn +man beachtet, daß in jenen Produkten außer den zum "`Nenner"' $2$~und~$p_{\infty}$ +gehörigen Symbolen immer nur diejenigen beachtet zu werden brauchen, +für welche $p$ in $d$~oder~$e$ enthalten ist. Nur beim ersten Produkte ist~$p_{\infty}$ +\PageSep{339}{323} +zu berücksichtigen, denn hier ist wegen \Eq{(3^{a})} \aSeite{315} $\left(\dfrac{-1, -1}{p_{\infty}}\right) = -1$; +für alle anderen ist der bezügliche Faktor~$+1$, da hier stets mindestens +eine der beiden Zahlen $d$~und~$e$ positiv ist. Ferner werde noch einmal +daran erinnert, daß für zwei ungerade Zahlen $a$~und~$b$ das Symbol $\left(\dfrac{a, b}{2}\right)$ +gleich~$+1$ ist, wenn wenigstens eine dieser Zahlen die Form $4n + 1$ +hat, im entgegengesetzten Falle aber gleich~$-1$ ist. So ergeben sich +mit Hilfe der Formeln \aSeite{317} leicht die Gleichungen: +{\small +\begin{alignat*}{2} +\tag*{(1)} & +\prod \biggl(\frac{-1, -1}{p}\biggr) + &&= \biggl(\frac{-1, -1}{p_{\infty}}\biggr) + \biggl(\frac{-1, -1}{2}\biggr) = (-1)(-1) = +1 \\ +% +\tag*{(2)} & +\prod \biggl(\frac{-1, 2}{ p}\biggr) + &&= \biggl(\frac{-1, 2}{ 2}\biggr) + = \biggl(\frac{-1,+1}{ 2}\biggr) \biggl(\frac{2}{-1}\biggr) +%[** Omitting break in the original, see also below] + = (+1)(+1) = +1 \\ +% +\tag*{(3)} & +\prod \biggl(\frac{-1, q}{p}\biggr) + &&= \biggl(\frac{-1, q}{2}\biggr) + \biggl(\frac{-1, q}{q}\biggr) + = (-1)^{\efrac{q-1}{2}} \biggl(\frac{-1}{q}\biggr) = +1 \\ +% +\tag*{(4)} & +\prod \biggl(\frac{2, 2}{p}\biggr) + &&= \biggl(\frac{2, 2}{2}\biggr) + = \biggl(\frac{1, 1}{2}\biggr) \biggl(\frac{2}{1}\biggr) = +1 \\ +% +\tag*{(5)} & +\prod \biggl(\frac{2, q}{p}\biggr) + &&= \biggl(\frac{2, q}{2}\biggr) + \biggl(\frac{2, q}{q}\biggr) + = \biggl(\frac{1, q}{2}\biggr) + \biggl(\frac{2}{q}\biggr) + \biggl(\frac{2}{q}\biggr) = +1 \\ +% +\tag*{(6)} & +\prod \biggl(\frac{q, q}{p}\biggr) + &&= \biggl(\frac{q, q}{2}\biggr) + \biggl(\frac{q, q}{q}\biggr) + = (-1)^{\bigl(\efrac{q-1}{2}\bigr)^{2}} \biggl(\frac{-1}{q}\biggr) = +1 \\ +% +\tag*{(7)} & +\prod \biggl(\frac{q, r}{p}\biggr) + &&= \biggl(\frac{q, r}{2}\biggr) + \biggl(\frac{q, r}{q}\biggr) + \biggl(\frac{q, r}{r}\biggr) + = (-1)^{\efrac{q-1}{2}·\efrac{r-1}{2}} \biggl(\frac{r}{q}\biggr) \biggl(\frac{q}{r}\biggr) + = +1. +\end{alignat*}} + +Damit ist dieser Fundamentalsatz vollständig bewiesen. Man erkennt, +daß er außer dem Dekompositionssatze für das Symbol $\left(\dfrac{d, e}{p}\right)$ +vollständig die Ergänzungssätze und das Reziprozitätsgesetz voraussetzt. + +Dagegen ergibt sich aus diesem Satze ein neuer Beweis der beiden +Ergänzungssätze und des Reziprozitätsgesetzes für das Jacobi-Legendresche +\PageSep{340}{324} +\index{Reziprozitätsgesetz!f.\;d.\ Jacobi-Legendresche Symbol}% +Symbol. Wir wollen dasselbe noch in der Weise verallgemeinern, +daß wir auch den "`Nenner"' ebenso wie den "`Zähler"' als positiv oder +negativ voraussetzen; und zwar soll dann immer +\[ +\Tag{(8)} +\left(\frac{Q}{-P }\right) = +\left(\frac{Q}{ P }\right) = +\left(\frac{Q}{|P|}\right) +\] +sein, so daß allgemein, wenn $P = ±pp' \dots$ ist, +\[ +\left(\frac{Q}{P}\right) = \prod_{p} \left(\frac{Q}{p}\right) +\] +wird. + +Sind nun +\[ +P = ±pp' \dots,\quad +Q = ±qq' \dots +\] +zwei beliebige ungerade teilerfremde Zahlen, so ergibt die Anwendung +unseres Fundamentalsatzes auf die drei quadratischen Formen: +\begin{alignat*}{2} +&-x^{2} - \PadTo[r]{Qy^{2}}{ y^{2}} &&+ Pz^{2} \\ +&-x^{2} + \PadTo[r]{Qy^{2}}{2y^{2}} &&+ Pz^{2} \\ +&-x^{2} + Qy^{2} &&+ Pz^{2} +\end{alignat*} +die drei Gleichungen: +\begin{align*} +1 &= \prod_{(p)} \left(\frac{-1,P}{p}\right) + = \left(\frac{-1, P}{p_{\infty}}\right) \left(\frac{-1, P}{2}\right) + = \prod_{p/P} \left(\frac{-1, P}{p}\right) \\ + &= (-1)^{\efrac{\sgn P-1}{2}+\efrac{P-1}{2}} + · \prod_{p/P} \left(\frac{-1}{p}\right) + = (-1)^{\efrac{|P|-1}{2}} \left(\frac{-1}{P}\right), \dbrk +1 &= \prod_{(p)} \left(\frac{2, P}{p}\right) + = \left(\frac{2, P}{2}\right) \prod_{p/P} \left(\frac{2, P}{p}\right) + = (-1)^{\efrac{P^{2}-1}{8}} \left(\frac{2}{P}\right), \dbrk +1 &= \prod_{(p)} \left(\frac{Q, P}{p}\right) + = \left(\frac{Q, P}{p_{\infty}}\right) \left(\frac{Q, P}{2}\right) + \prod_{p/P} \left(\frac{Q, P}{p}\right) + \prod_{q/Q} \left(\frac{Q, P}{q}\right) \\ + &= (-1)^{\efrac{\sgn P-1}{2}·\efrac{\sgn Q-1}{2}+\efrac{P-1}{2}·\efrac{Q-1}{2}} + \left(\frac{Q}{P}\right) \left(\frac{P}{Q}\right), +\end{align*} +\dh\ es bestehen für dieses verallgemeinerte Jacobi-Legendresche Zeichen +die Gleichungen +\PageSep{341}{325} +\[ +\Tag{(9)} +\begin{alignedat}{2} +&\left(\frac{-1}{P}\right) &&= (-1)^{\efrac{|P|-1}{2}} \\ +&\left(\frac{ 2}{P}\right) &&= (-1)^{\efrac{P^{2} -1}{8}} \\ +&\left(\frac{ Q}{P}\right) + &&= (-1)^{\efrac{\sgn P-1}{2}·\efrac{\sgn Q-1}{2}+\efrac{P-1}{2}·\efrac{Q-1}{2}} + \left(\frac{ P}{Q}\right). +\end{alignedat} +\] + +Für dieses allgemeine Symbol gilt also das gewöhnliche Reziprozitätsgesetz, +wenn wenigstens eine der beiden Zahlen $P$~und~$Q$ positiv +ist. Sind aber beide negativ, so ist das sonst geltende Vorzeichen noch +mit~$-1$ zu multiplizieren. So ist \zB\ +\[ +\left(\frac{-13}{-7}\right) = -\left(\frac{-7}{-13}\right),\quad +\left(\frac{ 13}{-7}\right) = +\left(\frac{-7}{ 13}\right), +\] +weil $(-7)$ von der Form $4n + 1$ ist. + + +\Section{§ 7.}{Über die Darstellung der rationalen Zahlen durch +binäre Formen.} + +Ich wende den im vorigen Paragraphen bewiesenen Fundamentalsatz +\index{Darstellung d.\ rationalen Zahlen durch binäre Formen}% +an auf die Untersuchung der Frage nach der Darstellbarkeit einer +rationalen Zahl~$m$ durch eine beliebige binäre Form +\[ +f(x, y) = ax^{2} + bxy + cy^{2} +\] +von nicht verschwindender Diskriminante $D = b^{2} - 4ac$ für einen beliebigen +Bereich~$K(p)$. + +Nun besitzt die Gleichung +\[ +\Tag{(1)} +m = f(x, y) = ax^{2} + bxy + cy^{2}\ (p) +\] +stets und nur dann eine Lösung, wenn die zugehörige Gleichung: +\[ +\Tag{(1^{a})} +f(x, y, z) = ax^{2} + bxy + cy^{2} - mz^{2} = 0\ (p) +\] +eine solche hat, wenn also die ternäre Form $f(x, y, z)$ den Teiler~$p$ enthält; +denn jeder Lösung $(\xi, \eta)$ von~\Eq{(1)} entspricht ja eine solche +$(\xi, \eta, 1)$ von~\Eq{(1^{a})}, und umgekehrt liefert jedes Wertsystem $(\xi, \eta, \zeta)$, +\PageSep{342}{326} +welches \Eq{(1^{a})} befriedigt, und in dem nach dem Satze \aSeite{308} $\zeta \neq 0$ angenommen +werden kann, eine Lösung $x = \dfrac{\xi}{\zeta}$, $y = \dfrac{\eta}{\zeta}$ von~\Eq{(1)}. + +Wenden wir nun unser Fundamentaltheorem \aSeite{321} auf die +ternäre Form~\Eq{(1^{a})} an, so ergibt sich der folgende einfache Satz: +\begin{Theorem} +Die Anzahl der Körper~$K(p)$, innerhalb deren eine gegebene +rationale Zahl~$m$ nicht durch eine gegebene binäre Form von nichtverschwindender +Diskriminante dargestellt werden kann, ist endlich +und stets eine gerade Zahl. +\end{Theorem} + +Die Bedingung +\[ +\Tag{(2)} +\left(\frac{f(x, y, z)}{p}\right) = +1 +\] +für die Darstellbarkeit von $m$ durch $f(x, y)$ läßt sich nun leicht durch +das Hilbertsche Symbol ausdrücken. Dabei können wir von vornherein +voraussetzen, daß wenigstens einer der beiden äußeren Koeffizienten +$a$~und~$c$ von $f(x, y)$ nicht Null ist; denn anderenfalls könnte ja +$f(x, y) = bxy$ durch die Substitution \Eq{(IV)} \aSeite{296}: $x = \xi + \eta$, $y = \xi - \eta$ +in die äquivalente Form $b\xi^{2} - b\eta^{2}$ transformiert werden. Ist aber +etwa $a \neq 0$, so ist +\begin{align*} +-4a f(x, y, z) + &= -(2ax + by)^{2} + (b^{2} - 4ac)y^{2} + 4amz^{2} \\ + &= -\xi^{2} + D\eta^{2} + 4am\zeta^{2}, +\end{align*} +wenn: +\[ +2ax + by = \xi,\quad y = \eta,\quad z = \zeta +\] +gesetzt wird. Also liefert \Eq{(2)} als notwendige und hinreichende Bedingung +für die Darstellbarkeit von~$m$ durch $f(x, y)$ für den Bereich +von~$p$: +\[ +\Tag{(2^{a})} +\left(\frac{D, 4am}{p}\right) = \left(\frac{D, am}{p}\right) = +1 +\] +oder: +\[ +\Tag{(2^{b})} +\left(\frac{D, m}{p}\right) = \left(\frac{D, a}{p}\right). +\] + +Alle durch eine bestimmte Form $f(x, y)$ für einen gegebenen Bereich +$K(p)$ darstellbaren rationalen ganzen oder gebrochenen Zahlen~$m$ bilden +\PageSep{343}{327} +einen in sich abgeschlossenen Bereich $(m, m', \dots)$. Für alle und nur +diese Zahlen hat also nach \Eq{(2^{b})} das Symbol $\left(\dfrac{D, m}{p}\right)$ einen und denselben +Wert, welcher $±1$ sein kann. Ich bezeichne ihn durch $C_{p}$ und nenne +ihn \so{den Charakter der Form~$f(x, y)$ in bezug auf~$p$}. +Jede Form~$f$ besitzt für $p_{\infty}$,~$2$ und für jede ungerade Primzahl~$p$ je +einen eindeutig bestimmten Charakter, welcher in jedem Falle leicht +\index{Charakter einer Form in bezug auf~$p$}% +dadurch bestimmt werden kann, daß man für eine geeignet gewählte +durch $f$ darstellbare Zahl~$\bar{m}$ das Symbol $\left(\dfrac{D, \bar{m}}{p}\right)$ berechnet. Insbesondere +kann \zB\ $\bar{m}$ gleich einer der drei folgenden Zahlen: +\[ +\Tag{(3)} +a = f(1, 0),\quad a + b + c = f(1, 1),\quad c = f(0, 1) +\] +gewählt werden. + +Nur für eine endliche und zwar für eine gerade Anzahl von Bereichen~$K(p)$ +sind die Charaktere einer beliebig gegebenen Form~$f(x, y)$ +gleich~$-1$. Ist nämlich $m$ irgendeine durch $f(x, y)$ darstellbare rationale +Zahl, so ist ja für jeden Bereich $\left(\dfrac{D, m}{p}\right) = C_{p}$, und aus dem Fundamentalsatz +für das Hilbertsche Symbol ergibt sich also die Gleichung: +\[ +\Tag{(4)} +\prod_{p} \left(\frac{D, m}{p}\right) = \prod C_{p} = +1, +\] +womit unsere Behauptung bewiesen ist. + +Da der Wert des Symboles $\left(\dfrac{D, m}{p}\right)$ ungeändert bleibt, wenn $D$ bzw.\ +$m$ mit einer $p$-adischen Quadratzahl multipliziert oder dividiert wird, +so können in demselben $D$~und~$m$ durch die zugehörigen reduzierten +Werte \Eq{(7)} \aSeite{299} ersetzt werden. Setzt man nämlich, je nachdem +der betrachtete Bereich $K(p_{\infty})$,~$K(p)$ oder~$K(2)$ ist: +\[ +\Tag{(5)} +\begin{alignedat}{3} +D &= (-1)^{\beta} D_{0}^{2}, &m &= (-1)^{\beta'} m_{0}^{2} &&(p_{\infty}) \\ +D &= p^{\alpha} w^{\beta} D_{0}^{2}, &m &= p^{\alpha'} w^{\beta'} m_{0}^{2} &&(p) \\ +D &= 2^{\alpha} (-1)^{\beta} 5^{\gamma} D_{0}^{2},\quad &m &= 2^{\alpha'} (-1)^{\beta'} 5^{\gamma'}m_{0}^{2}\ &&(2), +\end{alignedat} +\] +wo jedesmal $\alpha$,~$\beta$,~$\gamma$ sowie $\alpha'$,~$\beta'$,~$\gamma'$ gleich $0$~oder~$1$ sein können, so +ergeben sich in den unterschiedenen Fällen die Gleichungen: +\PageSep{344}{328} +\[ +\Tag{(6)} +\begin{aligned} +\left(\frac{D, m}{p_{\infty}}\right) &= \left(\frac{(-1)^{\beta}, (-1)^{\beta'}}{p_{\infty}}\right) \\ +\left(\frac{D, m}{p}\right) &= \left(\frac{p^{\alpha} w^{\beta}, p^{\alpha'} w^{\beta'}}{p}\right)\\ +\left(\frac{D, m}{2}\right) &= \left(\frac{2^{\alpha} (-1)^{\beta} 5^{\gamma}, 2^{\alpha'} (-1)^{\beta'} 5^{\gamma'}}{2}\right). +\end{aligned} +\] +Wendet man endlich auf diese Symbole den Dekompositionssatz an, +und beachtet, daß nach den Formeln \aSeite{317} die folgenden +Gleichungen bestehen: +{\small\enlargethispage{12pt} +\[ +\tag*{(7)} +\begin{gathered} +\makebox[0pt][c]{$\displaystyle +\left(\frac{-1, -1}{p_{\infty}}\right) = -1,\quad +\left(\frac{p, p}{p}\right) = \left(\frac{-1}{p}\right),\quad +\left(\frac{p, w}{p}\right) = -1,\quad +\left(\frac{w, w}{p}\right) = +1$,} \\ +% +\left(\frac{2, 2}{2}\right) = +1,\quad +\left(\frac{2, -1}{2}\right) = +1,\quad +\left(\frac{-1, -1}{2}\right) = -1, \\ +% +\left(\frac{-1, 5}{2}\right) = +1,\quad +\left(\frac{2, 5}{2}\right) = -1,\quad +\left(\frac{5, 5}{2}\right) = +1, +\end{gathered} +\]}% +so ergeben sich aus~\Eq{(6)} die folgenden Gleichungen: +{\small +\[ +\tag*{(8)} +\begin{aligned} +\left(\frac{D, m}{p_{\infty}}\right) + &= \left(\frac{-1, -1}{p_{\infty}}\right)^{\beta\beta'} = (-1)^{\beta\beta'} \\ +% +\left(\frac{D, m}{p}\right) + &= \left(\frac{p, p}{p}\right)^{\alpha\alpha'} + \left(\frac{p, w}{p}\right)^{\alpha\beta'+\alpha'\beta} + \left(\frac{w, w}{p}\right)^{\beta\beta'} \\ + &= \left(\frac{-1}{p}\right)^{\alpha\alpha'} (-1)^{\alpha\beta'+\beta\alpha'} + = (-1)^{\efrac{p-1}{2}\alpha\alpha'+\alpha\beta'+\beta\alpha'} \\ +% +\left(\frac{D, m}{p}\right) + &= \left(\frac{2, 2}{2}\right)^{\alpha\alpha'} + · \left(\frac{2, -1}{2}\right)^{\alpha\beta'+\beta\alpha'} + \left(\frac{-1, -1}{2}\right)^{\beta\beta'} + · \left(\frac{2, 5}{2}\right)^{\alpha\gamma'+\alpha'\gamma} \\ + &{}· \left(\frac{-1, 5}{2}\right)^{\beta\gamma'+\beta'\gamma} + \left(\frac{5, 5}{2}\right)^{\gamma\gamma'} + = (-1)^{\beta\beta'+\alpha\gamma'+\gamma\alpha'}. +\end{aligned} +\]}% +Aus diesen Gleichungen folgt sofort, daß unser Symbol in allen drei +unterschiedenen Fällen stets und nur dann für \so{jedes}~$m$, \dh\ für +jedes Exponentensystem~$(\beta')$ oder~$(\alpha', \beta')$, oder~$(\alpha', \beta', \gamma')$ gleich~$+1$ +ist, wenn die zu $D$ gehörigen Exponenten~$(\beta)$ oder~$(\alpha, \beta)$ oder~$(\alpha, \beta, \gamma)$ +sämtlich gleich Null sind, wenn also $D = D_{0}^{2}$ für den betreffenden Bereich +eine Quadratzahl ist. + +Ist dagegen auch nur einer von den Exponenten der zu $D$ gehörigen +Systeme $(\beta)$,~$(\alpha, \beta)$, $(\alpha, \beta, \gamma)$ nicht Null, also gleich~$1$, so erkennt man +\PageSep{345}{329} +leicht, daß bei allen möglichen Wertsystemen $(\beta')$,~$(\alpha', \beta')$, $(\alpha', \beta', \gamma')$ +von $m$ genau für die Hälfte die Potenzen +\[ +(-1)^{\beta\beta'},\quad +(-1)^{\efrac{p-1}{2}\alpha\alpha'+\alpha\beta'+\beta\alpha'},\quad +(-1)^{\beta\beta'+\alpha\gamma'+\gamma\alpha'} +\] +gleich~$+1$, für die andere Hälfte aber $-1$ werden. Ist nämlich \zB\ +für den Bereich~$K(2)$ einer der Exponenten von~$D$, etwa~$\gamma$, gleich~$1$, +während $\alpha$~und~$\beta$ beliebig sein können, und soll +\[ +\left(\frac{D, m}{2}\right) = (-1)^{\beta\beta'+\alpha\gamma'+\alpha'} = (-1)^{\epsilon} +\] +sein, wo $\epsilon = 0$ oder~$1$ sein kann, so bestimmt sich aus der Kongruenz: +\[ +\beta\beta' + \alpha\gamma' + \alpha' \equiv \epsilon\ (\mod.~2) +\] +$\alpha'$ eindeutig durch $\beta'$~und~$\gamma'$, da ja aus ihr: +\[ +\alpha' \equiv \epsilon + \beta\beta' + \alpha\gamma'\ (\mod.~2), +\] +folgt. Alle und nur die Exponentensysteme $(\alpha', \beta', \gamma')$, welche je einem +der beiden Werte $0$~und~$1$ von~$\epsilon$ entsprechen, sind also: +\[ +(\alpha', \beta', \gamma') = (\epsilon + \beta\beta' + \alpha\gamma', \beta', \gamma'), +\] +wo $\beta'$ und $\gamma'$ gleich $0$~oder~$1$ sein können, und das gibt sowohl für $\epsilon = 0$ +als für $\epsilon = 1$ wirklich je vier verschiedene Exponentensysteme. + +Nach dem soeben in \Eq{(2^{b})}~\aSeite{326} bewiesenen Satze hat nun das Symbol +$\left(\dfrac{D, m}{p}\right)$ für alle und nur die durch $f(x, y)$ innerhalb $K(p)$ darstellbaren +Zahlen~$m$ einen und denselben Wert~$C_{p}$. Ist also $D = D_{0}^{2}$ für $K(p)$ +eine Quadratzahl, so ist jenes Symbol für jede Zahl~$m$ gleich~$+1$; also +ist in diesem Falle sicher $C_{p} = +1$, und jede rationale Zahl~$m$ ist für +$K(p)$ durch $f(x, y)$ darstellbar. Ist dagegen $D$ innerhalb $K(p)$ keine +Quadratzahl, so ist nach dem soeben bewiesenen Satze für die eine Hälfte +aller Zahlklassen das Symbol $\left(\dfrac{D, m}{p}\right)$ gleich~$+1$, für die andere gleich~$-1$; +je nachdem hier also das zugehörige $C_{p}$ den einen oder den anderen +Wert hat, ist nur die eine oder nur die andere Hälfte aller rationalen +Zahlen~$m$ durch die Form~$f(x, y)$ darstellbar. Den Wert von~$C_{p}$ findet +man in jedem Falle, indem man für irgendeine durch $f(x, y)$ darstellbare +\PageSep{346}{330} +Zahl~$\bar{m}$, etwa für $a$,~$c$ oder $a + b + c$, das zugehörige Exponentensystem +$(\bar{\beta})$,~$(\bar{\alpha}, \bar{\beta})$, oder $(\bar{\alpha}, \bar{\beta}, \bar{\gamma})$ bestimmt und dann aus~\Eq{(8)} den Wert +von +\[ +C_{p} = \left(\frac{D, \bar{m}}{p}\right) +\] +entnimmt. + +Ich will eine Form $f(x, y)$ für einen Bereich $K(p)$ \so{indefinit} +\index{Definite und indefinite Formen für~$K(p)$}% +nennen, wenn durch sie alle rationalen Zahlen innerhalb $K(p)$ rational +dargestellt werden können; dagegen soll $f(x, y)$ für $K(p)$ \so{definit} +heißen, wenn nur die Hälfte aller rationalen Zahlen durch sie dargestellt +werden kann. Dann kann das Resultat unserer letzten Untersuchung +in dem einfachen Satze ausgesprochen werden: +\begin{Theorem} +Eine Form $f(x, y)$ ist stets und nur dann für $K(p)$ indefinit, +wenn ihre Diskriminante $D = b^{2} - 4ac$ für jenen Bereich eine +Quadratzahl ist. Sie ist also für $K(p_{\infty})$ indefinit, wenn $D$ positiv, +sie ist für $K(p)$ bzw.\ für $K(2)$ indefinit, wenn $\left(\dfrac{D}{p}\right)$ bzw.\ $\left(\dfrac{D}{2}\right)$ +gleich~$+1$ ist. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so ist $f(x, y)$ +definit, \dh\ es werden von den in allen $2$,~$4$,~$8$ Zahlklassen enthaltenen +Zahlen~$m$ immer nur die Hälfte, nämlich die in je $1$,~$2$,~$4$ Zahlklassen +enthaltenen Zahlen durch $f(x, y)$ dargestellt. +\end{Theorem} + +Wir wollen sagen, daß eine Zahl~$D$ oder~$m$ für den Bereich~$K(p_{\infty})$, +$K(p)$~oder~$K(2)$ zur Zahlklasse $(\beta)$,~$(\alpha, \beta)$ oder $(\alpha, \beta, \gamma)$ bzw.\ $(\beta')$, +$(\alpha', \beta')$, oder $(\alpha', \beta', \gamma')$ gehört, wenn sie für diesen Bereich das entsprechende +Exponentensystem besitzt, und wir wollen diese Beziehung +jedesmal durch eine Gleichung, \zB\ durch +\[ +\Tag{(9)} +D = (\alpha, \beta, \gamma) \quad\text{oder}\quad +m = (\alpha', \beta', \gamma')\quad (2) +\] +ausdrücken. Dann können die drei allgemeinen Gleichungen \aSeite{328}: +\[ +\Tag{(10)} +\begin{aligned} +\left(\frac{D, m}{p_{\infty}}\right) &= (-1)^{\beta\beta'} \\ +\left(\frac{D, m}{p}\right) &= (-1)^{\efrac{p-1}{2}\alpha\alpha'+\alpha\beta'+\beta\alpha'} \\ +\left(\frac{D, m}{2}\right) &= (-1)^{\beta\beta'+\alpha\gamma'+\gamma\alpha'} +\end{aligned} +\] +folgendermaßen spezialisiert werden: +\PageSep{347}{331} + +%[** TN: Items hanging-indented in the original, cf. comparable units below] +\Item{I)} Für den Bereich $K(p_{\infty})$ ist, falls +\begin{alignat*}{2} +D &= (0) \text{ ist,}\quad &\left(\frac{D, m}{p_{\infty}}\right) &= +1 \\ + &= (1), & &= (-1)^{\beta'}, +\end{alignat*} +wenn $m = (\beta')$ beliebig gegeben ist. + +\Item{II)} Für einen Bereich $K(p)$ ist, falls +\begin{alignat*}{2} +D &= (0, 0) \text{ ist,}\quad &\left(\frac{D, m}{p}\right) &= +1 \\ + &= (0, 1), & &= (-1)^{\alpha'} \\ + &= (1, 0), & &= (-1)^{\efrac{p-1}{2}\alpha'+\beta'} \\ + &= (1, 1), & &= (-1)^{\efrac{p+1}{2}\alpha'+\beta'}, +\end{alignat*} +wenn $m = (\alpha', \beta')$ ist. + +\Item{III)} Für den Bereich $K(2)$ ist, falls +\begin{alignat*}{2} +D &= (0, 0, 0) \text{ ist,}\quad &\left(\frac{D, m}{2}\right) &= +1 \\ + &= (0, 0, 1), & &= (-1)^{\alpha'} \\ + &= (0, 1, 0), & &= (-1)^{\beta'} \\ + &= (1, 0, 0), & &= (-1)^{\gamma'} \\ + &= (0, 1, 1), & &= (-1)^{\alpha'+\beta'} \\ + &= (1, 0, 1), & &= (-1)^{\alpha'+\gamma'} \\ + &= (1, 1, 0), & &= (-1)^{\beta' +\gamma'} \\ + &= (1, 1, 1), & &= (-1)^{\alpha'+\beta'+\gamma'}, +\end{alignat*} +wenn $m = (\alpha', \beta', \gamma')$ beliebig gegeben ist. + +%[** TN: No paragraph indent in the original, cf. comparable units below] +Wählt man in diesen Gleichungen für $m$ irgendeine \emph{durch~$f(x, y)$ +darstellbare Zahl~$\bar{m}$}, so bestimmt diese den Wert des betreffenden +Charakters~$C_{p}$, und alle und nur \DPchg{\emph{die}}{die} Zahlen~$m$ sind durch~$f(x, y)$ +darstellbar, für welche +\[ +\left(\frac{D, m}{p}\right) = C_{p} +\] +ist. +\PageSep{348}{332} + +Bei der Bestimmung dieser einzelnen Charaktere können und wollen +wir uns auf den einfachsten Fall beschränken, daß $f(x, y)$ eine sogen.\ +\so{primitive Form} ist. Ist nämlich zunächst +\index{Primitive!Formen}% +\[ +f(x, y) = ax^{2} + bxy + cy^{2} +\] +eine beliebige Form mit rationalen Koeffizienten, so sei: +\[ +\delta = (a, b, c) +\] +der größte gemeinsame Teiler derselben, welcher dann und nur dann +das negative Vorzeichen erhalten soll, wenn $a$~und~$c$ und~$a + b + c$ +sämtlich negativ sind. Ist dann: +\[ +\Tag{(11)} +\begin{gathered} +a = \delta a_{0},\quad b = \delta b_{0},\quad c = \delta c_{0}, \\ +f(x, y) = \delta f_{0}(x\DPtypo{}{,} y) = \delta(a_{0} x^{2} + b_{0} xy + c_{0} y^{2}), +\end{gathered} +\] +so ist $f_{0}(x, y)$ eine ganzzahlige Form mit teilerfremden Koeffizienten, +in welcher von den drei Zahlen $a_{0}$,~$c_{0}$, $a_{0} + b_{0} + c_{0}$ mindestens eine +positiv ist. Eine solche Form soll \so{primitiv} genannt werden. Ist +$D^{(0)} = b_{0}^{2} - 4a_{0} c_{0}$ ihre Diskriminante, so wird +\[ +D = D^{(0)} \delta^{2}. +\] + +Es sei nun $m = f(\xi, \eta)$ eine für irgendeinen Bereich~$K(p)$ durch +$f(x, y)$ darstellbare Zahl; dann folgt aus der obigen Gleichung~\Eq{(11)} durch +die Substitution $(x = \xi, y = \eta)$ +\[ +m = f(\xi, \eta) = \delta f_{0} (\xi, \eta) = \delta m_{0}, +\] +wo $m_{0} = f_{0} (\xi, \eta)$ eine durch die zugehörige primitive Form darstellbare +Zahl ist. Sind also $C_{p}$~und~$C_{p}^{(0)}$ die Charaktere von $f(x, y)$ und $f_{0}(x, y)$ +für den Bereich~$K(p)$, so besteht zwischen ihnen immer die Beziehung: +\[ +\Tag{(12)} +\begin{aligned}%[** TN: Not broken/aligned in the original] +C_{p} + &= \biggl(\frac{D, m}{p}\biggr) + = \biggl(\frac{D^{(0)}\delta^{2}, m_{0}\delta}{p}\biggr) \\ + &= \biggl(\frac{D^{(0)}, \delta}{p}\biggr) + \biggl(\frac{D^{(0)}, m^{(0)}}{p}\biggr) + = \biggl(\frac{D^{(0)}, \delta}{p}\biggr) C_{p}^{(0)}. +\end{aligned} +\] +Es brauchen somit wirklich im Folgenden nur die Charaktere beliebiger +primitiver Formen untersucht zu werden, da diejenigen für +Formen vom Teiler~$\delta$ aus ihnen durch die Multiplikation mit $\left(\dfrac{D^{(0)}, \delta}{p}\right)$ +hervorgehen. +\PageSep{349}{333} + +Es sei jetzt also $f(x, y)$ eine primitive Form; dann kann unter +den durch sie darstellbaren Zahlen~$m$ stets eine Zahl~$\bar{m}$ so ausgewählt +werden, daß sie positiv ist, falls der Bereich $K(p_{\infty})$ ist, oder +daß sie für einen der anderen Bereiche $K(p)$ bzw.\ $K(2)$ die betreffende +Primzahl nicht enthält. In der Tat ist ja von den drei durch +$f(x, y)$ darstellbaren ganzen Zahlen +\[ +(f(1, 0), f(1, 1), f(0, 1)) = (a, a + b + c, c) +\] +nach der Definition der primitiven Formen mindestens eine positiv, +aber auch mindestens eine durch eine beliebig gegebene Primzahl~$p$ +nicht teilbar, da der größte gemeinsame Teiler $(a, a + b + c, c) += (a, b, c) = 1$ ist. Wählt man also für den betreffenden Bereich +$K(p_{\infty})$,~$K(p)$ oder~$K(2)$ für $\bar{m}$ jedesmal diejenige Zahl oder +eine von den Zahlen $a$,~$a + b + c$,~$c$ aus, welche positiv ist bzw.\ +welche $p$ oder~$2$ nicht enthält, so ist unserer Forderung in jedem Falle +genügt. Für die so gewählte durch $f(x, y)$ darstellbare Zahl~$\bar{m}$ ist also +in den drei unterschiedenen Fällen: +\[ +\bar{m} = (0)\quad (p_{\infty}),\qquad +\bar{m} = (0, \bar{\beta})\quad (p),\qquad +\bar{m} = (0, \bar{\beta}, \bar{\gamma})\quad (2), +\] +wo $\bar{\beta}$ bzw.\ $\bar{\beta}$, $\bar{\gamma}$ durch dieses spezielle $\bar{m}$ bestimmt sind. Setzt man nun +dieses $\bar{m}$ für $m$ in \Iref{I\Add{)}},~\Iref{II\Add{)}},~\Iref{III\Add{)}} ein und beachtet man zugleich, daß für ein +ungerades~$p$ +\[ +(-1)^{\bar{\beta}} = \left(\frac{\bar{m}}{p}\right), +\] +für $p = 2$ aber nach \Seite{271} unten +\[ +(-1)^{\bar{\beta}} = (-1)^{\efrac{\bar{m}-1}{2}} = \left(\frac{-1}{\bar{m}}\right),\quad +(-1)^{\bar{\gamma}} = (-1)^{\efrac{\bar{m}^{2}-1}{8}} = \left(\frac{2}{\;\bar{m}\;}\right) +\] +ist, so ergeben sich für die gesuchten Charaktere $C_{p_{\infty}}$,~$C_{p}$,~$C_{2}$ die folgenden +Werte: + +\Item{I')} Für den Bereich $K(p_{\infty})$ ist, wenn +\[ +D = (\beta) \text{ ist,}\quad +C_{p_{\infty}} = \left(\frac{D, \bar{m}}{p_{\infty}}\right) = +1. +\] + +\Item{II')} Für einen Bereich $K(p)$ ist, wenn +\PageSep{350}{334} +\begin{alignat*}{2} +D &= (0, \beta) \quad\text{ist,}\quad & C_{p} &= \left(\frac{D, \bar{m}}{p}\right) = +1, \\ + &= (1, \beta) \quad\Ditto{ist},& C_{p} &= (-1)^{\bar{\beta}} = \left(\frac{\bar{m}}{p}\right). +\end{alignat*} + +\Item{III')} Für den Bereich $K(2)$ ist für: +\begin{alignat*}{4} +D &= (0, 0, \gamma) \quad & C_{2} &= +1 \\ + &= (0, 1, \gamma) & &= (-1)^{\bar{\beta}} &&= \left(\frac{-1}{\bar{m}}\right) &&= (-1)^{\efrac{\bar{m}-1}{2}} \\ + &= (1, 0, \gamma) & &= (-1)^{\bar{\gamma}} &&= \left(\frac{2}{\;\bar{m}\;}\right) &&= (-1)^{\efrac{\bar{m}^{2}-1}{8}} \\ + &= (1, 1, \gamma) & &= (-1)^{\bar{\beta}+\bar{\gamma}} + &&= \left(\frac{-2}{\bar{m}}\right) &&= (-1)^{\efrac{(\bar{m}-1)(\bar{m}-3)}{8}}, +\end{alignat*} +wobei in den unterschiedenen Fällen jedesmal $\beta$ bzw.\ $\gamma$ beliebig gewählt +werden kann. +%\end{Enum} + +Zusammenfassend kann man alle diese Resultate über primitive +Formen in dem folgenden einfachen Satze aussprechen: +\begin{Theorem} +Für eine beliebige primitive Form $f(x, y)$ ist stets $C_{p_{\infty}} = +1$; +ferner ist für jede ungerade Primzahl~$p$ +\begin{alignat*}{3} +\Tag{(13)} +C_{p} &= \left(\frac{\bar{m}}{p^{\alpha}}\right), &&\text{wenn}\quad +D = p^{\alpha} w^{\beta} D_{0}^{2} &&(p), +\intertext{und} +\Tag{(13^{a})} +C_{2} &= \left(\frac{2^{\alpha} (-1)^{\beta}}{\bar{m}}\right),\quad &&\text{wenn}\quad +D = 2^{\alpha} (-1)^{\beta} 5^{\gamma} D_{0}^{2}\quad &&(2) +\end{alignat*} +ist, und wenn jedesmal $\bar{m}$ irgendeine durch $f$ darstellbare Einheit +bedeutet. +\end{Theorem} + +Nur für eine endliche Anzahl von Bereichen $K(p)$ kann $C_{p} = -1$ +ein. Um diese Bereiche deutlicher charakterisieren zu können, setze +ich +\[ +\Tag{(14)} +D = \bar{D} Q^{2}, +\] +wo $Q^{2}$ die größte in $D$ enthaltene rationale Quadratzahl ist, wo also +\index{Kern einer \DPtypo{Driskiminante}{Diskriminante}}% +die ganze Zahl~$\bar{D}$ lauter einfache Primfaktoren enthält. Dann soll $\bar{D}$ +\so{der Kern der Diskriminante~$D$} genannt werden. Da sich +\PageSep{351}{335} +$D$~und~$\bar{D}$ um eine Quadratzahl unterscheiden, so besitzt $\bar{D}$ für jeden +Bereich $K(p)$ dasselbe Exponentensystem $(\beta)$,~$(\alpha, \beta)$ oder $(\alpha, \beta, \gamma)$ +wie~$D$, und für alle und nur die Primteiler des Kernes $\bar{D}$ ist $\alpha = 1$, für +alle anderen $\alpha = 0$. + +Aus den Gleichungen \Iref{I'\Add{)}},~\Iref{II'\Add{)}},~\Iref{III'\Add{)}} folgt nun, daß bei einer primitiven +Form~$C_{p}$, überhaupt nur dann gleich $-1$ sein \emph{kann}, wenn $\alpha = 1$, +wenn also $p$ oder~$2$ eine der im Kern~$\bar{D}$ enthaltenen Primzahlen +ist; außerdem noch für $p = 2$, wenn $\alpha = 0$, $\beta = 1$, wenn also +$\bar{D} = (-1) 5^{\gamma} D_{0}^{2} \equiv -1\ (\mod.~4)$ ist. In allen anderen Fällen ist ja +$C_{p} = +1$, wie aus \Eq{(13)}~und~\Eq{(13^{a})} unmittelbar hervorgeht. + +Es ist nun leicht anzugeben, welche Zahlklassen rationaler Zahlen~$m$ +jedesmal durch eine gegebene primitive Form $f(x, y)$ von der Diskriminante~$D$, +oder, was ja ganz dasselbe ist, vom Diskriminantenkern~$\bar{D}$ +darstellbar sind. Soll nämlich eine Zahl~$m$, welche wir wieder je nach +dem gerade betrachteten Körper $K(p_{\infty})$,~$K(p)$ oder~$K(2)$ in der Form +schreiben: +\begin{alignat*}{2}%[** Set on one line in the original] +m &= (-1)^{\beta'} m_{0}^{2} && (p_{\infty}), \\ +m &= p^{\alpha'} w^{\beta'} m_{0}^{2} && \PadTo{(p_{\infty})}{(p),} \\ +m &= 2^{\alpha'} (-1)^{\beta'} 5^{\gamma'} m_{0}^{2}\quad && \PadTo{(p_{\infty})}{(2),} +\end{alignat*} +durch $f(x, y)$ darstellbar sein, so muß ja: +\[ +\left(\frac{D, m}{p}\right) = C_{p}, +\] +\dh\ es muß in den drei unterschiedenen Fällen: +\[ +(-1)^{\beta\beta'},\quad +(-1)^{\efrac{p-1}{2}\alpha\alpha'+\alpha\beta'+\beta\alpha'},\quad +(-1)^{\beta\beta'+\alpha\gamma'+\gamma\alpha'} +\] +gleich dem Werte $(-1)^{\epsilon}$ von $C_{p}$ sein, wie er in \Iref{I'\Add{)}},~\Iref{II'\Add{)}},~\Iref{III'\Add{)}} durch die +Exponenten $0$,~$\bar{\beta}$,~$\bar{\gamma}$ einer durch $f(x, y)$ darstellbaren Einheit~$\bar{m}$ ausgedrückt +wurde. Löst man also die so sich ergebenden Kongruenzen +modulo~$2$: +\begin{gather*}%[** Set on one line in the original] +\beta\beta' \equiv 0, \qquad +\frac{p - 1}{2} \alpha\alpha' + \alpha\beta' + \beta\alpha' + \equiv \alpha\bar{\beta}, \\ +\beta\beta' + \alpha\gamma' + \gamma\alpha' + \equiv \beta\bar{\beta} + \alpha\bar{\gamma}, +\end{gather*} +wie \aSeite{329} auf, so ergibt sich leicht die folgende vollständige Tabelle +aller durch $f(x, y)$ für den Bereich $K(p_{\infty})$,~$K(p)$ oder~$K(2)$ darstellbaren +rationalen Zahlen: +\PageSep{352}{336} + +\Item{I'')} für den Bereich $K(p_{\infty})$: Ist +\begin{alignat*}{3} +D&=(0), \quad&&\text{so ist}\quad &m &= (\beta') \\ + &=(1), &&\Ditto{so}\ \Ditto{ist} &m &= (0). +\end{alignat*} + +\Item{II'')} für einen Bereich $K(p)$: Ist +\begin{alignat*}{3} +D &= (0, 0),\quad&&\text{so ist}\quad &m &= (\alpha', \beta') \\ + &= (0, 1), &&\Ditto{so}\ \Ditto{ist} &&= (0, \beta') \\ + &= (1, 0), &&\Ditto{so}\ \Ditto{ist} &&= (\alpha', \frac{p - 1}{2}\alpha' + \bar{\beta}) \\ + &= (1, 1), &&\Ditto{so}\ \Ditto{ist} &&= (\alpha', \frac{p + 1}{2}\alpha' + \bar{\beta}). +\end{alignat*} + +\Item{III'')} für den Bereich $K(2)$: Ist +\begin{alignat*}{3} +D &= (0, 0, 0),\quad&&\text{so ist}\quad &m &= (\alpha', \beta', \gamma') \\ + &= (0, 0, 1), &&\Ditto{so}\ \Ditto{ist} &&= (0, \beta', \gamma') \\ + &= (0, 1, 0), &&\Ditto{so}\ \Ditto{ist} &&= (\alpha', \bar{\beta}, \gamma') \\ + &= (1, 0, 0), &&\Ditto{so}\ \Ditto{ist} &&= (\alpha', \beta', \bar{\gamma}) \dbrk + &= (0, 1, 1), &&\Ditto{so}\ \Ditto{ist} &&= (\beta'+ \bar{\beta}, \beta', \gamma') \\ + &= (1, 0, 1), &&\Ditto{so}\ \Ditto{ist} &&= (\gamma'+\bar{\gamma}, \beta', \gamma') \\ + &= (1, 1, 0), &&\Ditto{so}\ \Ditto{ist} &&= (\alpha', \gamma'+\bar{\beta}+\bar{\gamma}, \gamma') \\ + &= (1, 1, 1), &&\Ditto{so}\ \Ditto{ist} &&= (\alpha', \alpha'+\gamma'+\bar{\beta}+\bar{\gamma}, \gamma'), +\end{alignat*} +wo $\bar{\beta}$, $\bar{\gamma}$ jedesmal die Exponenten der fest gewählten Einheit~$\bar{m}$ sind, +während $\alpha'$,~$\beta'$,~$\gamma'$ unabhängig voneinander die Werte Null und Eins +annehmen können. Man sieht hier direkt, daß wirklich jede indefinite +Form, für welche also $D$ bzw.\ gleich $(0)$,~$(0, 0)$, $(0, 0, 0)$ ist, alle möglichen +$2$,~$4$,~$8$ Zahlklassen für die Bereiche $K(p_{\infty})$,~$K(p)$,~$K(2)$ darstellt, daß +aber jede definite primitive Form nur die Hälfte, nämlich bzw.\ $1$,~$2$,~$4$ +solche Zahlklassen darstellen kann. + +Ich wende mich nun zur Lösung der Frage, wann eine vorgelegte +rationale Zahl~$m$ \so{überall}, \dh\ für jeden der unendlich vielen Bereiche +$K(p)$,~$K(2)$ und~$K(p_{\infty})$ durch eine gegebene primitive Form $f(x, y)$ +darstellbar ist. Ist wieder $D$ ihre Diskriminante, und +\[ +\bar{D} = ±2^{\alpha} p_{1} p_{2} \dots p_{\mu}\qquad +\begin{Conditions} +(\alpha=0 \text{ oder } 1) +\end{Conditions} +\] +\PageSep{353}{337} +ihr Diskriminantenkern, so ist $m$ stets und nur dann überall durch +$f(x, y)$ darstellbar, wenn die unendlich vielen Gleichungen: +\[ +\left(\frac{\bar{D}, m}{p}\right) = C_{p} +\] +für jeden Bereich $K(p)$ erfüllt sind. Setzen wir entsprechend wie für~$D$ +\[ +m = \bar{m}k^{2}, \quad\text{wo}\quad +\bar{m} = ±2^{\alpha'} \bar{p}_{1} \bar{p}_{2} \dots \bar{p}_{\nu}, +\] +der Kern von~$m$, auch nur einfache Primfaktoren enthält, so reduzieren +sich jene Bedingungen auf die einfacheren: +\[ +\left(\frac{\bar{D}, \bar{m}}{p}\right) = C_{p}. +\] +Wir wollen von vornherein voraussetzen, daß $\bar{m}$ zu $2\bar{D}$ teilerfremd, +daß also +\[ +\bar{m} = ±\bar{p}_{1} \bar{p}_{2} \dots \bar{p}_{\nu} +\] +ungerade ist, und die $p_{i}$ von den $\bar{p}_{k}$ verschieden sind. Der allgemeinste +Fall kann wegen der Dekomponierbarkeit des Hilbertschen Symboles +leicht auf diesen reduziert werden. Wir stellen jetzt also die folgende +Frage: +\begin{Theorem} +Wie muß eine Zahl~$m$, deren Kern zu $2\bar{D}$ teilerfremd ist, beschaffen sein, +damit sie für jeden Bereich $K(p)$ durch eine gegebene +primitive Form vom Kern~$\bar{D}$ darstellbar ist? +\end{Theorem} + +Ist zunächst $\bar{D}$ positiv, so kann $\bar{m}$ sowohl positiv als negativ sein; +ist $\bar{D}$ negativ, so muß $\bar{m}$ positiv sein. + +Ist zweitens $\bar{p}_{k}$ ein Kernteiler von~$m$, \dh\ irgend einer der Primteiler +von~$\bar{m}$, so folgt aus der \aSeite{317} angegebenen Fundamentaleigenschaft des +Hilbertschen Symboles, daß +\[ +\Tag{(15)}\ +\left(\frac{\bar{D}, \bar{m}}{\bar{p}_{k}}\right) + = \left(\frac{\bar{D}}{\bar{p}_{k}}\right) = +1 +\] +sein muß, weil \ndV\ $\bar{D}$ nicht durch $\bar{p}_{k}$ teilbar, und weil nach +\Eq{(II')} \aSeite{334} $C_{\bar{p}_{k}} = +1$ ist. Ist dagegen $p_{i}$ einer der $\mu$ Kernteiler +von~$\bar{D}$, so muß für ihn +\PageSep{354}{338} +\[ +\Tag{(15^{a})} +\left(\frac{\bar{D}, \bar{m}}{p_{i}}\right) = \left(\frac{\bar{m}}{p_{i}}\right) = C_{p_{i}} +\] +sein, wo diese Charaktere gleich $+1$~oder~$-1$ sein können, je nach der +Natur von~$f(x, y)$. Durch jede von diesen $\mu$ Gleichungen +\[ +\Tag{(15^{b})} +\left(\frac{\bar{m}}{p_{i}}\right) = ±1 +\] +wird der Kern $\bar{m}$ modulo~$p_{i}$ genau $\dfrac{p_{i} - 1}{2}$-deutig bestimmt, denn derselbe +muß ja entweder einem der $\dfrac{p_{i} - 1}{2}$ Reste oder einem der $\dfrac{p_{i} - 1}{2}$ +Nichtreste modulo~$p_{i}$ kongruent sein. + +Ist endlich $p = 2$, so folgt aus \Eq{(III'')} \aSeite{336}, daß, falls +\begin{alignat*}{3} +\bar{D} &= (0, 0, \gamma)\quad &&\text{ist,}\quad &\bar{m}&= (0, \beta', \gamma') \\ + &= (0, 1, \gamma) &&\Ditto{ist}, & &= (0, \bar{\beta}, \gamma') \\ + &= (1, 0, \gamma) &&\Ditto{ist}, & &= (0, \beta', \bar{\gamma}) \\ + &= (1, 1, \gamma) &&\Ditto{ist}, & &= (0, \gamma' + \bar{\beta} + \bar{\gamma}, \gamma') +\end{alignat*} +sein muß. Ist also im ersten Falle $\bar{D} = (0, 0, \gamma)$, also +\[ +\bar{D} \equiv 1\ (\mod.~4), +\] +so ist $\bar{m} \equiv 1$, $3$,~$5$,~$7\ (\mod.~8)$, \dh\ vierdeutig modulo~$8$ bestimmt; +ist dagegen in den drei letzten Fällen: +\[ +\bar{D} \equiv -1\ (\mod.~4),\quad +\bar{D} \equiv +2\ (\mod.~8),\quad +\bar{D} \equiv -2\ (\mod.~8), +\] +so ist jedesmal $\bar{m}$ nur zweideutig modulo~$8$ bestimmt. + +Ist endlich $p$ eine ungerade Primzahl, welche weder in $\bar{D}$ noch in +$\bar{m}$ enthalten ist, so ist ja die bezügliche Bedingungsgleichung +\[ +\left(\frac{\bar{D}, \bar{m}}{p}\right) = C_{p} = +1 +\] +nach dem Satze \aSeite{317} von selbst erfüllt. + +Durch die Bedingungen \Eq{(15)}~und~\Eq{(15^{a})} zusammengenommen wird +also der Kern~$\bar{m}$ von~$m$ modulo +\PageSep{355}{339} +\[ +\Delta = 8p_{1} p_{2} \dots p_{\mu} +\] +genau $r$-deutig bestimmt, wo +\[ +r = 4 \prod \frac{p_{i} - 1}{2} \quad\text{oder}\quad +r = 2 \prod \frac{p_{i} - 1}{2} +\] +ist, je nachdem $\bar{D}$ von der Form $4n + 1$ ist oder nicht, \dh\ die Kerne +aller durch $f(x, y)$ möglicherweise darstellbaren Zahlen~$m$ sind stets +in $r$ arithmetischen Reihen: +\[ +\Tag{(16)} +\bar{m} = \bar{m}_{0} + \Delta l +\] +enthalten, deren Anfangsglieder~$\bar{m}_{0}$ die $r$ kleinsten positiven modulo~$\Delta$ +inkongruenten Lösungen der Gleichungen +\[ +\left(\frac{\bar{m}_{0}}{p_{i}}\right) = C_{p_{i}},\quad +\left(\frac{\bar{D}, \bar{m}_{0}}{2}\right) = C_{2} +\] +sind. + +Von diesen Zahlen~$\bar{m}$ in~\Eq{(16)} können nach der \aSeite{337} unten +gemachten Bemerkung entweder die positiven und negativen Glieder +oder nur die positiven Glieder durch $f(x, y)$ dargestellt werden, je nachdem~$\bar{D}$ +positiv oder negativ ist. + +Nach den Bedingungen~\Eq{(15)} ist endlich eine in den so beschränkten +arithmetischen Reihen $\bar{m}_{0} + \Delta l$ enthaltene ganze Zahl~$\bar{m}$ stets und +nur dann der Kern einer durch $f(x, y)$ überall darstellbaren Zahl +$m = \bar{m} k^{2}$, wenn für alle ihre Primfaktoren~$\bar{p}$ der Kern $\bar{D}$ quadratischer +Rest, wenn also der Kern von~$D$ quadratischer Rest des Kernes von~$m$ +ist. + + +\Section{§ 8.}{Einteilung der binären quadratischen Formen +in Geschlechter.} + +Wir wollen zwei Formen $f(x, y)$ und $f'(x, y)$ desselben Kernes~$\bar{D}$ +\index{Aequivalente@{Äquivalente $g$-adische Zahlen}!Formen desselben Kernes}% +\index{Geschlechter binärer Formen}% +\so{äquivalent} nennen und sie in ein und dasselbe \so{Formengeschlecht~$G$} +rechnen, wenn sie dieselben rationalen Zahlen $(m, m', m'', \dots)$ +überall darstellen, wenn sie also für alle Bereiche $K(p)$,~$K(p')$,~\dots\ +dieselben Charaktere $C_{p}$,~$C_{p}'$,~\dots\ besitzen. Sind die betrachteten +Formen primitiv, und sind wieder $(p_{1}, p_{2}, \dots p_{\mu})$ die ungeraden Primteiler +des Kerns, so sind $f(x, y)$ und $f'(x, y)$ stets und nur dann äquivalent, +wenn die $\mu$ bzw.\ $(\mu + 1)$ Gleichungen: +\PageSep{356}{340} +\begin{align*} +C_{p_{1}} &= C'_{p_{1}},\quad C_{p_{2}} = C'_{p_{2}},\ \dots\quad C_{p_{\mu}} = C'_{p_{\mu}} +\intertext{bzw.} +C_{2} = C'_{2},\quad +C_{p_{1}} &= C'_{p_{1}},\quad C_{p_{2}} = C'_{p_{2}},\ \dots\quad C_{p_{\mu}} = C'_{p_{\mu}} +\end{align*} +sämtlich erfüllt sind, \DPchg{jenachdem}{je nachdem} $\bar{D}$ von der Form $4n + 1$ ist oder nicht, +da ja für alle übrigen Bereiche~$K(p)$ stets $C_{p} = C'_{p} = +1$ ist. Ein +Geschlecht, in welchem alle übrigen Charaktere~$+1$ sind, soll \so{ein +primitives Formengeschlecht vom Kern~$\bar{D}$} genannt werden, +obwohl dasselbe sehr wohl auch nicht primitive Formen enthalten +kann. Nur mit solchen primitiven Geschlechtern wollen wir uns +in den folgenden kurzen Betrachtungen beschäftigen. Wir wollen +das vollständige System +\[ +(C_{p_{i}}) \quad\text{bzw.}\quad (C_{2}, C_{p_{i}}) +\] +der Charaktere, welche alle Formen eines solchen Geschlechtes für die Bereiche +$(K(p_{i}))$ bzw.\ $(K(2), K(p_{i}))$ besitzen, den \so{primitiven Gesamtcharakter +dieses Geschlechtes} nennen und ihn durch +\[ +\Tag{(1)} +\frakC = (C_{p_{i}}) = (C_{p_{1}}, \dots C_{p_{\mu}}) \quad\text{bzw.}\quad +(C_{p_{0}}, C_{p_{1}}, \dots C_{p_{\mu}}) +\] +bezeichnen, indem wir $p_{0} = 2$ setzen, falls diese Primzahl bei den Charakteren +in Betracht kommt. Dann gehören zwei primitive oder nicht +primitive Formen $f$~und~$f'$ stets und nur dann in dasselbe primitive Geschlecht, +wenn sie dieselben primitiven Gesamtcharaktere $\frakC(f)$~und~$\frakC(f')$ +\index{Gesamtcharakter eines primitiven Geschlechts}% +haben, und wenn alle ihre übrigen Charaktere gleich~$+1$ sind. + +Die Anzahl aller primitiven Geschlechter kann in den beiden oben +unterschiedenen Fällen höchstens gleich $2^{\mu-1}$ bzw.\ $2^{\mu}$ sein, da nach +dem \aSeite{327}~\Eq{(4)} bewiesenen Satze das Produkt $\prod C_{p_{i}}$ gleich~$+1$ und +somit einer jener Charaktere durch die übrigen eindeutig bestimmt ist, +während jeder von diesen übrigen Charakteren die beiden Werte $+1$ +oder $-1$ haben kann. + +Kann man für einen gegebenen Kern~$\bar{D}$ ein System von $N = 2^{\mu-1}$ +bzw.\ $N = 2^{\mu}$ rationalen Formen vom Kern~$\bar{D}$ aufstellen, deren Gesamtcharaktere +alle zulässigen Wertsysteme $(±1, ±1, \dots ±1)$ von $\mu$ +bzw.\ $\mu + 1$ Elementen sind, während alle übrigen Charaktere $C_{p} = +1$ +sind, so ist damit bewiesen, daß die Anzahl der primitiven Geschlechter +vom Kern~$\bar{D}$ wirklich diesen größten möglichen Wert hat; und dieses +Repräsentantensystem: +\PageSep{357}{341} +\[ +\Tag{(2)} +(f_{1}(x, y), f_{2}(x, y), \dots f_{N}(x, y)) +\] +hat dann die wichtige Eigenschaft, daß jede rationale Zahl~$m$, welche +überhaupt durch eine primitive Form vom Kern~$\bar{D}$ überall darstellbar +ist, durch eine und nur eine Form dieses Repräsentantensystemes überall +dargestellt werden kann. + +Ich will jetzt ein einfaches Verfahren angeben, nach welchem für +einen bestimmten Kern~$\bar{D}$ ein solches vollständiges Formensystem~\Eq{(2)} +aufgestellt werden kann, und ich will dasselbe dann durch einige +Beispiele erläutern. + +Die Formen des hier in Betracht kommenden Repräsentantensystems +können am einfachsten so geschrieben werden: +\[ +\Tag{(3)} +f_{a}(x, y) = a(x^{2} - \bar{D} y^{2}). +\] +Für einen beliebigen Teiler~$a$ hat diese Form den Kern~$\bar{D}$, weil ihre +Diskriminante offenbar gleich $4a^{2} \bar{D}$ ist. Ihr Charakter für einen beliebigen +Bereich~$K(p)$ ist +\[ +C_{p}^{(a)} = \left(\frac{\bar{D}, a}{p}\right), +\] +weil ja $a = f_{a}(1, 0)$ durch $f_{a}(x, y)$ darstellbar ist. Speziell sind für +die sogen.\ Haupt- oder Einheitsform $f_{1}(x, y) = x^{2} - \bar{D} y^{2}$, durch welche +ja die Zahl~$1$ dargestellt wird, die sämtlichen Charaktere +$C_{p}^{(1)} = \left(\dfrac{\bar{D}, 1}{p}\right) = +1$. Eine Form $f_{a}(x, y)$ gehört stets und nur dann +einem primitiven Formengeschlechte an, wenn für alle von den $(\DPtypo{p}{p_{i}})$ +bzw.\ +von den $(p_{0}, p_{i})$ verschiedenen Primzahlen~$p$\; $C_{p}^{(a)} = +1$ ist. So sollen +diese Formenteiler~$a$ im Folgenden gewählt vorausgesetzt werden. +Für eine solche Form ist also: +\[ +\tag*{(4)} +\frakC(f_{a}) = \frakC(a) + = \left(\!\left(\frac{\bar{D}, a}{p_{0}}\right), + \left(\frac{\bar{D}, a}{p_{1}}\right), \dots + \left(\frac{\bar{D}, a}{p_{\mu}}\right)\!\right) + = \left(\!\left(\frac{\bar{D}, a}{p_{i}}\right)\!\right) +\] +der Gesamtcharakter; alle übrigen Charaktere sind gleich~$+1$. Speziell +ist für die Einheitsform $f_{1}(x, y)$ der Charakter~$\frakC(1)$ gleich dem +sogen.\ Einheitssystem $(+1, +1, \dots +1)$ oder kürzer geschrieben +$(+, +, \dots +)$. Die Anzahl aller verschiedenen primitiven Gesamtcharaktere +kann, wie oben bewiesen wurde, höchstens gleich $2^{\mu-1}$ +bzw.\ $2^{\mu}$ sein. +\PageSep{358}{342} + +Sind $a$ und $a'$ zwei beliebige rationale Zahlen, so besteht für jeden +Bereich $K(p)$ zwischen den Charakteren der drei Formen $f_{a}(x, y)$, +$f_{a'}(x, y)$ und $f_{aa'}(x, y)$ die Beziehung: +\[ +C_{p}^{(aa')} = C_{p}^{(a)}·C_{p}^{(a')}, +\] +weil ja +\[ +\left(\frac{\bar{D},aa'}{p}\right) = +\left(\frac{\bar{D},a }{p}\right)· +\left(\frac{\bar{D}, a'}{p}\right) +\] +ist. Gehören also $f_{a}$ und $f_{a'}$ zu primitiven Geschlechtern, so gilt dasselbe +für~$f_{aa'}$ und für ihre Gesamtcharaktere $\frakC(a)$,~$\frakC(a')$ und~$\frakC(aa')$ besteht +die wichtige und einfache Beziehung: +\[ +\Tag{(5)} +\frakC(a)·\frakC(a') = \frakC(aa'), +\] +wenn auch hier, wie früher \aSeite{201} \Eq{(2)} unter dem Produkt +zweier Systeme $(C_{p_{i}}^{(a)})$ und $(C_{p_{i}}^{(a')})$ das System: $((C_{p_{i}}^{(a)}C_{p_{i}}^{(a')}))$ verstanden +wird. Hieraus folgt zunächst, daß die Gesamtheit der primitiven +Charaktere $(\frakC(a), \frakC(a'), \dots)$ aller Formen~$f_{a}(x, y)$ eine Gruppe +bildet, wenn die Multiplikation zweier Gesamtcharaktere wie soeben +angegeben definiert wird. Alsdann ist nämlich sowohl die Multiplikation +als auch die Division dieser Charaktere unbeschränkt und eindeutig +ausführbar. In der Tat besitzt auch die Gleichung +\[ +\frakC(a)\Add{·}\frakC(x) = \frakC(a') +\] +die eindeutig bestimmte Lösung $\frakC(x) = \frakC(a) \frakC(a')$, weil ja +\[ +\frakC(a)^{2} = \frakC(a^{2}) + = \left(\!\left(\frac{\bar{D}, a^{2}}{p_{i}}\right)\!\right) + = (+1) +\] +ist, wo das vorher definierte Einheitssystem $(+1) = (+, +, \dots +)$ +das Einheitselement für diesen Bereich aller Gesamtcharaktere ist. + +Ich will jetzt ein einfaches sukzessives Verfahren angeben, mit +dessen Hülfe man ein vollständiges System von Formen +\[ +f_{a}(x, y) = a(x^{2} - \bar{D} y^{2}) +\] +vom Kern~$\bar{D}$ aufstellen kann, welche alle überhaupt möglichen $2^{\mu-1}$ +bzw.\ $2^{\mu}$ primitiven Gesamtcharaktere besitzen. Daraus folgt dann von +\PageSep{359}{343} +selbst, daß die Anzahl aller primitiven Formengeschlechter vom Kern~$\bar{D}$ +wirklich genau diesen Wert hat. + +Dazu beweise ich zuerst den folgenden Hülfssatz: Es sei +\[ +\Tag{(6)} +f_{a_{1}}(x, y),\quad +f_{a_{2}}(x, y),\ \dots\quad +f_{a_{r}}(x, y) +\] +ein System von $r$~Formen $f_{a}(x, y) = a(x^{2} - \bar{D} y^{2})$, deren Gesamtcharaktere: +\[ +\Tag{(6^{a})} +\frakC(a_{1}),\quad +\frakC(a_{2}),\ \dots\quad +\frakC(a_{r}) +\] +sämtlich primitiv und voneinander verschieden sind und welche außerdem +für sich eine Gruppe bilden, so daß das Produkt $\frakC(a_{1}) \frakC(a_{k}) = \frakC(a_{i} a_{k})$ +von zwei solchen Charakteren wiederum derselben Reihe~\Eq{(6^{a})} angehört. +Ist dann $p$ gleich~$-1$ oder gleich irgendeiner Primzahl, welche +nur so gewählt sein soll, daß der zugehörige Charakter~$\frakC(p)$ ebenfalls +primitiv ist und nicht in der Reihe~\Eq{(6^{a})} vorkommt, so bilden die $2r$ +Formen +\[ +\Tag{(7)} +f_{a_{i}}(x, y) \quad\text{und}\quad f_{pa_{i}}(x, y) +\] +ein neues ebensolches System, dessen $2r$ Charaktere: +\[ +\Tag{(7^{a})} +\frakC(a_{i}) \quad\text{und}\quad \frakC(pa_{i}) +\] +ebenfalls primitiv und alle von einander verschieden sind. + +Zunächst bilden jene $2r$ Gesamtcharaktere wirklich eine Gruppe +weil ja jedes Produkt: +\begin{align*} +&\frakC(a_{i}) \frakC(pa_{k}) = \frakC(pa_{i} a_{k}) \\ +&\frakC(pa_{i}) \DPtypo{C}{\frakC}(pa_{k}) = \frakC(p^{2} a_{i} a_{k}) = \frakC(a_{i} a_{k}) +\end{align*} +in~\Eq{(7^{a})} vorkommt. Alle jene Charaktere sind auch primitiv, weil $\frakC(p)$ +\ndV\ primitiv ist. Endlich sind alle jene $2r$ Gesamtcharaktere verschieden, +weil ja aus +\begin{alignat*}{3} +\frakC(pa_{i}) &= \frakC(a_{k}) &&\text{bzw.}\quad &\frakC(pa_{i}) &= \frakC(pa_{k}) \\ +\frakC(p) &= \frakC(a_{i} a_{k})\quad&&\Ditto{bzw.} &\frakC(a_{i}) &= \frakC(a_{k}) +\end{alignat*} +folgen würde, was beides im Widerspruch mit unseren \DPtypo{Veraussetzungen}{Voraussetzungen} +steht. +\PageSep{360}{344} + +Mit Hülfe dieses Satzes kann man nun folgendermaßen sukzessive +ein vollständiges Formensystem $f_{a}(x, y)$ für alle primitiven Gesamtcharaktere +aufbauen: Wir gehen aus von der Hauptform +$f_{1}(x, y) = x^{2} - \bar{D} y^{2}$ mit dem Gesamtcharakter $\frakC(1) = (+1)$. Ist +dann $f_{p}(x, y) = p(x^{2} - \bar{D} y^{2})$ irgendeine Form, deren Teiler eine Primzahl +ist, und für welche der Gesamtcharakter~$\frakC(p)$ primitiv und von +$\frakC(1)$ verschieden ist, so haben wir in $(\frakC(1), \frakC(p))$ ein System von +zwei verschiedenen primitiven Gesamtcharakteren. Ist ferner $p'$ eine +weitere Primzahl, für welche $\frakC(p')$ wieder primitiv und von $\frakC(1)$ +und $\frakC(p)$ verschieden ist, so haben die vier Formen: +\[ +f_{1}(x, y),\quad +f_{p}(x, y),\quad +f_{p'}(x, y),\quad +f_{pp'}(x, y) +\] +verschiedene primitive Charaktere $\frakC(1)$,~$\frakC(p)$, $\frakC(p')$,~$\frakC(pp')$. Geht +man in derselben Weise fort, so erhält man, die Existenz immer +weiterer solcher Primzahlen vorausgesetzt, zuletzt nach $(\mu - 1)$ bzw.\ +$\mu$ Schritten ein System von Primzahlen: +\[ +p,\ p',\ p'',\ \dots\ p^{(\mu-2)} \quad\text{bzw.}\quad +p,\ p',\ \dots\ p^{(\mu-1)}, +\] +die so ausgewählt sind, daß für die $2^{\mu-1}$ bzw.\ $2^{\mu}$ aus ihnen gebildeten +Zahlen +\[ +a = p^{\epsilon} p'^{\epsilon'} \dots p^{(\mu-2)^{\epsilon^{(\mu-2)}}} \quad\text{bzw.}\quad +a = p^{\epsilon} p'^{\epsilon'} \dots p^{(\mu-1)^{\epsilon^{(\mu-1)}}}, +\] +in denen die Exponenten~$\epsilon^{(i)}$ Null oder Eins sein können, die zugehörigen +Formen $f_{a}(x, y)$ genau ebenso viele verschiedene primitive Gesamtcharaktere +haben, also wirklich ein vollständiges Formensystem für alle +überhaupt möglichen primitiven Geschlechter bilden. + +Hier muß also nur noch bewiesen werden, daß man erstens stets +Primzahlen~$P$ so auswählen kann, daß der Gesamtcharakter~$\frakC(P)$ +primitiv ist, und daß zweitens $P$ so bestimmt werden kann, daß $\frakC(P)$ +einem beliebig gegebenen primitiven Gesamtcharakter $(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}, \dots \epsilon_{\mu})$ +bzw.\ $(\epsilon_{0}, \epsilon_{1}, \dots \epsilon_{\mu})$ gleich wird. + +Wählt man nun zuerst $P = p_{r}$, also gleich einer der Zahlen $(p_{1}, \dots p_{\mu})$ +für $\bar{D} = 4n + 1$ bzw.\ gleich einer der Zahlen $(p_{0}, p_{1}, \dots p_{\mu})$ für +$\bar{D} = 4n + 2$,~$3$, so ist der zugehörige Gesamtcharakter~$\frakC(p_{r})$ von selbst +primitiv; denn im zweiten Falle sind alle von den $(p_{0}, p_{i})$ verschiedenen +\PageSep{361}{345} +Primzahlen~$p$ sicher ungerade, also alle ihre Charaktere $C_{p} = \left(\dfrac{\bar{D}, p_{r}}{p}\right)$ +gleich~$+1$, im ersten Falle ist für $p = 2$ der zugehörige Charakter +$C_{2} = \left(\dfrac{\bar{D}, p_{r}}{2}\right) = (-1)^{\efrac{\bar{D}-1}{2}·\efrac{p_{r}-1}{2}} = +1$, weil $\bar{D} = 4n + 1$ ist. + +Ist dagegen $P$ von den $(p_{i})$ bzw.\ $(p_{0}, p_{i})$ verschieden, so können +zu den Charakteren~$C_{p_{i}}$ höchstens noch die beiden Charaktere: +\[ +C_{P} = \left(\frac{\bar{D}, P}{P}\right) \quad\text{und}\quad +C_{2} = \left(\frac{\bar{D}, P}{2}\right) +\] +hinzukommen, der letztere aber nur, wenn $\bar{D} = 4n + 1$, und zugleich +$P$ ungerade ist, denn für $P = 2$ fallen ja diese beiden Charaktere zusammen. +Da aber dann wieder $C_{2} = (-1)^{\efrac{\bar{D}-1}{2}·\efrac{P-1}{2}} = +1$ ist, so +kann also in jedem Falle nur der eine Charakter~$C_{p}$ hinzutreten, +welcher möglicherweise nicht gleich~$+1$ sein könnte. Ist nun aber $P$ +so gewählt, daß für alle übrigen $\mu$ bzw.\ $\mu + 1$ Charaktere: +\[ +C_{p_{i}} = \epsilon_{i} +\] +ist, wo $(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}, \dots \epsilon_{\mu})$ bzw.\ $(\epsilon_{0}, \epsilon_{1}, \dots \epsilon_{\mu})$ irgendein vorgelegter +primitiver Gesamtcharakter ist, so muß auch dieser eine weitere \DPtypo{Charakter}{Charaktere} +$C_{p} = +1$ sein. Denn nach dem Hauptsatze \aSeite{327} \Eq{(4)} muß dann +sowohl die Anzahl der negativen Charaktere in dem System $(C_{p}, \epsilon_{i})$ +als auch die Anzahl der negativen Charaktere im Systeme~$(\epsilon_{i})$ gerade, +\dh\ es muß wirklich $C_{p} = +1$ sein. + +Endlich darf man dann und nur dann auch $P = -1$ wählen, wenn +$\bar{D} > 0$ ist, wenn also die Formen $f_{a}(x, y)$ für $K(p_{\infty})$ indefinit sind, +da für ein negatives~$\bar{D}$ der dann allein hinzutretende Charakter +$\left(\dfrac{\bar{D}, -1}{p_{\infty}}\right) = -1$ werden würde. + +Man kann also stets und nur dann unser Verfahren zur Aufstellung +eines vollständigen Formensystemes für alle primitiven Klassen vom +Kern~$\bar{D}$ anwenden, wenn man immer eine in $\bar{D}$ bzw.\ $2\bar{D}$ nicht enthaltene +Primzahl~$P$ finden kann, für welche der Gesamtcharakter~$\frakC(P)$ einem +gegebenen primitiven Charakter~$(\epsilon_{i})$ gleich wird, für welche also die +$\mu - 1$ bzw.\ $\mu$ Gleichungen: +\PageSep{362}{346} +\[ +\left(\frac{\bar{D}, P}{p_{i}}\right) = \epsilon_{i}\qquad +\begin{Conditions} +\left( +\begin{alignedat}{2} +& i = {} &&1, 2, \dots \mu \\ +& \text{bzw.} \\ +& i = 0, &&1, 2, \dots \mu +\end{alignedat} +\right) +\end{Conditions} +\] +sämtlich erfüllt sind. Nach dem \aSeite{339} geführten Beweise muß dazu +die Primzahl~$P$ in einer von $r$ arithmetischen Reihen $\bar{m}_{0} + \Delta l$ enthalten +\index{Arithmetische Reihe, Primzahlen in einer}% +sein, deren Anfangsglieder die kleinsten positiven Lösungen der Gleichungen: +\[ +\left(\frac{\bar{D}, m}{p_{i}}\right) = \epsilon_{i} +\] +sind. Nach dem Dirichletschen Satze über die arithmetische Reihe sind +aber in jeder solchen Reihe sogar unendlich viele Primzahlen $P$ enthalten, +und damit ist also der verlangte Beweis, allerdings unter der +Voraussetzung jenes Satzes von Dirichlet, vollständig erbracht. + + +\Section{§ 9.}{Beispiele.} + +Die für einen gegebenen Kern~$\bar{D}$ aufzustellenden Formen +$f_{d}(x, y) = d(x^{2} - \bar{D} y^{2})$ können stets in der Form +\[ +\delta (ax^{2} + cy^{2}) +\] +angenommen werden, wo +\[ +ac = -\bar{D} +\] +eine der Zerlegungen von $-\bar{D}$ in zwei komplementäre Faktoren und +$\delta$~eine zu $\bar{D}$ teilerfremde Zahl ohne gleiche Faktoren ist. Setzt man +nämlich den Teiler~$d$ von~$f_{d}(x, y)$ in die Form $d = \delta a$, wo $a = (d, \bar{D})$ +alle in $\bar{D}$ vorhandenen Primfaktoren von~$d$ enthält, und ist $\bar{D} = -ac$, +so wird ja in der Tat: +\[ +d(x^{2} - \bar{D} y^{2}) + = \delta(ax^{2} + a^{2}cy^{2}) + = \delta(ax'^{2} + cy'^{2}), +\] +wenn $x' = x$, $y' = ay$ gesetzt wird. In dieser Form wollen wir jedesmal +die Formen unseres Systemes hinschreiben. + +Ich wähle dabei zunächst immer alle primitiven Formen $ax^{2} + cy^{2}$ +aus, deren Gesamtcharaktere verschieden sind, und ziehe zu ihnen solche +nicht primitive Formen $p(ax^{2} + cy^{2})$ hinzu, für welche der Teiler~$p$ +\PageSep{363}{347} +eine Primzahl ist und deren Gesamtcharakter~$\frakC(p)$ sich unter den +vorhergehenden noch nicht findet. + +Es sei zuerst +\[ +%[** TN: Setting for consistency with (II)--(V) below] +\Tag{(I)} +\bar{D} = -105 = -3·5·7. +\] + +Da hier $\bar{D} = 4n + 3$ ist, so sind für die Formen $f_{d}(x, y)$ die primitiven +Gesamtcharaktere: +\[ +\frakC(d) = (C_{2}, C_{3}, C_{5}, C_{7}), +\] +wo +\begin{align*} +C_{2} &= \left(\frac{-105, m_{0}}{2}\right) + = \left(\frac{-1}{m_{0}}\right) + = (-1)^{\efrac{m_{0}-1}{2}}, \\ +C_{3} &= \left(\frac{-105, m_{0}}{3}\right) + = \left(\frac{m_{0}}{3}\right),\quad +C_{5} = \left(\frac{m_{0}}{5}\right),\quad +C_{7} = \left(\frac{m_{0}}{7}\right) +\end{align*} +ist, und wo jedesmal $m_{0}$ eine durch die Form darstellbare Einheit für +die betreffende Primzahl bedeutet. Da das Produkt der vier Charaktere +gleich~$+1$ sein muß, so gibt es hier genau $2^{4-1} = 8$ verschiedene +Gesamtcharaktere. Zunächst besitzen nun, wie man leicht berechnen +kann, die vier primitiven Formen $ax^{2} + cy^{2}$, nämlich +\[ +x^{2} + 105y^{2},\quad +3x^{2} + 35y^{2},\quad +5x^{2} + 21y^{2},\quad +7x^{2} + 15y^{2} +\] +lauter verschiedene Charaktere. In der Tat ist ja für die Hauptform +$x^{2} + 105y^{2}$, wie immer, $\frakC(1) = (+ + + +)$; für die anderen Formen +vom Teiler $3$,~$5$ und~$7$, für welchen letzteren auch $15 = 3·5$ gesetzt +werden kann, ergibt sich: +\begin{align*} +\frakC(3) = \left(\!\left(\frac{-1}{3}\right), + \left(\frac{35}{3}\right), + \left(\frac{3}{5}\right), + \left(\frac{3}{7}\right)\!\right) &= (- - - -) \\ +% +\frakC(5) = \left(\!\left(\frac{-1}{5}\right), + \left(\frac{5}{3}\right), + \left(\frac{21}{5}\right), + \left(\frac{5}{7}\right)\!\right) &= (+ - + -) \\ +% +\frakC(7) = \frakC(3)·\frakC(5) = (- - - -)(+ - + -) &= (- + - +). +\end{align*} +Da nun endlich für die nicht in $\bar{D}$ enthaltene Primzahl $\delta = 2$ der Gesamtcharakter: +\[ +\frakC(2) = \left(\!\left(\frac{-105, 2}{2}\right), + \left(\frac{2}{3}\right), + \left(\frac{2}{5}\right), + \left(\frac{2}{7}\right)\!\right) = (+ - - +) +\] +ist, weil hier $C_{2} = \left(\dfrac{2}{-105}\right) = +1$ ist, und da dieser Gesamtcharakter +\PageSep{364}{348} +unter den vier vorigen nicht vorkommt, so erhält man vier Formen mit +den noch fehlenden Gesamtcharakteren, wenn man die vorigen mit $2$ +multipliziert. So ergibt sich die folgende Tabelle: +\[ +\begin{array}{@{\quad}r<{\quad}|>{\quad}l@{\quad}} +\hline +\hline +\ColHeadB{Form} & \ColHead{Gesamtcharakter} \\ +\hline\Strut +\Z x^{2} + 105y^{2}\phantom{)} & \frakC(1)\Z = (+ + + +) \\ + 3x^{2} + \Z35y^{2}\phantom{)} & \frakC(3)\Z = (- - - -) \\ + 5x^{2} + \Z21y^{2}\phantom{)} & \frakC(5)\Z = (+ - + -) \\ + 7x^{2} + \Z15y^{2}\phantom{)} & \frakC(7)\Z = (- + - +) = \frakC(3) \frakC(5) \\ +\hline\Strut +2(\Z x^{2}+ 105y^{2}) & \frakC(2)\Z = (+ - - +) \\ +2(3x^{2} + \Z35y^{2}) & \frakC(6)\Z = (- + + -) = \frakC(2) \frakC(3) \\ +2(5x^{2} + \Z21y^{2}) & \frakC(10) = (+ + - -) = \frakC(2) \frakC(5) \\ +2(7x^{2} + \Z15y^{2}) & \frakC(14) = (- - + +) = \frakC(2) \frakC(3) \frakC(5). +\end{array} +\] +Alle und nur diese Formen können, wie man bei der rechts stehenden +Darstellung sieht, auch in der Form $d(x^{2} - \bar{D} y^{2})$ geschrieben werden, +wo +\[ +d = 2^{\epsilon} 3^{\epsilon'} 5^{\epsilon''} +\] +ist, und $\epsilon$,~$\epsilon'$,~$\epsilon''$ unabhängig voneinander die Werte $0$~und~$1$ annehmen +können. + +Endlich mögen noch alle zu $2|\bar{D}| = 2·3·5·7$ teilerfremden Zahlen +angegeben werden, welche durch diese acht Formen überall darstellbar +sind. Soll nun eine solche Zahl~$m$ durch eine jener Formen +$d(x^{2} - \bar{D} y^{2})$ überall darstellbar sein, so muß ja +\begin{align*} +\frakC(m) &= \left( + \left(\frac{\bar{D}, m}{2}\right), + \left(\frac{\bar{D}, m}{3}\right), + \left(\frac{\bar{D}, m}{5}\right), + \left(\frac{\bar{D}, m}{7}\right)\!\right) \DPchg{=}{} \\ + &= \left((-1)^{\efrac{m-1}{2}}, + \left(\frac{m}{3}\right), + \left(\frac{m}{5}\right), + \left(\frac{m}{7}\right)\!\right) + = (C_{2}, C_{3}, C_{5}, C_{7}) +\end{align*} +sein, während für alle Teiler~$p$ von~$m$\; $\left(\dfrac{\bar{D}}{p}\right) = +1$ ist. Je nach dem Gesamtcharakter +der untersuchten Form erhält man also jedesmal ein +System von vier Kongruenzen: +\PageSep{365}{349} +\begin{gather*} +m \equiv \Congr{1}{3}\ (\mod.~4),\quad +m \equiv \Congr{1}{2}\ (\mod.~3),\quad +m \equiv \Congr{1, 4}{2, 3}\ (\mod.~5), \\ +m \equiv \Congr{1, 2\Add{,} 4}{3\Add{,} 5\Add{,} 6}\ (\mod.~7), +\end{gather*} +wo jedesmal auf der rechten Seite die obere bzw.\ untere Reihe dem +Falle entspricht, daß der betreffende Charakter~$C_{p}$ gleich $+1$ bzw.\ $-1$ ist. + +Man erkennt so, daß $m$ modulo $4·3·5·7 = 420$ jedesmal auf +$1·1·2·3 = 6$ verschiedene Arten bestimmt, daß also alle durch jene +Form überall darstellbaren Zahlen in sechs arithmetischen Reihen +$420l + m_{0}$ enthalten sind, wo $m_{0}$ sechs verschiedene Werte hat. + +Die Ausführung jener einfachen Rechnung ergibt für die acht Formen +das folgende Schema +\[ +\begin{array}{@{\quad}r<{\quad}|>{\quad}l@{\quad}} +\hline +\hline +\ColHeadB{Form} & \ColHead{zugehörige arithmetische Reihen} \\ +\hline\Strut +\Z x^{2} + 105y^{2}\phantom{)} & 420l + \Z1, 109, 121, 169, 289, 361 \\ + 3x^{2} + \Z35y^{2}\phantom{)} & 420l + 47, \Z83, 143, 167, 227, 383 \\ + 5x^{2} + \Z21y^{2}\phantom{)} & 420l + 41, \Z89, 101, 209, 269, 341 \\ + 7x^{2} + \Z15y^{2}\phantom{)} & 420l + 43, \Z67, 127, 163, 247, 403 \\ +\hline\Strut +2(\Z x^{2} + 105y^{2}) & 420l + 53, 113, 137, 197, 233, 317 \\ +2(3x^{2} + \Z35y^{2}) & 420l + 19, \Z31, 139, 199, 271, 391 \\ +2(5x^{2} + \Z21y^{2}) & 420l + 13, \Z73,\Z97, 157, 313, 397 \\ +2(7x^{2} + \Z15y^{2}) & 420l + 11, \Z71, 179, 191, 239, 359. \\ +\end{array} +\] +Alle und nur die in diesen arithmetischen Reihen enthaltenen Zahlen~$m$ +sind überhaupt durch eine Form vom Kern~$-105$ und von primitivem +Gesamtcharakter darstellbar, falls jedesmal $\bar{D}$ für alle Primteiler von~$m$ +Rest ist. Diese letzte Bedingung ist nach dem Beweise \aSeite{345} für +alle in jenen Reihen enthaltenen Primzahlen von selbst erfüllt. Alle +jene Zahlen~$m$ verteilen sich endlich gleichmäßig auf die acht Formen +unseres Systems, je nachdem sie in den neben ihnen stehenden Reihen +enthalten sind. + +In genau derselben Weise sind die folgenden Beispiele behandelt, +welche jetzt nur kurz angegeben zu werden brauchen: +\[ +\Tag{(II)} +\bar{D} = -55 = -5·11 = 4n + 1. +\] +\PageSep{366}{350} +Für die Formen $f_{d}(x, y) = d (x^{2} - \bar{D} y^{2})$ ist also: +\[ +\frakC(d) = (C_{5}, C_{11}) + = \left(\!\left(\frac{\bar{m}_{0}}{5}\right), \left(\frac{\bar{m}_{0}}{11}\right)\!\right). +\] +Hier gibt es daher nur die beiden Gesamtcharaktere $(++)$~und~$(--)$, +zu denen offenbar die Formen $x^{2} + 55y^{2}$ und $2(x^{2} + 55y^{2})$ gehören. + +Alle zu $2|\bar{D}| = 110$ teilerfremden Zahlen~$m$, welche durch eine Form +vom Kern~$-55$ überall darstellbar sind, müssen also einer der beiden +Bedingungen +\[ +\frakC(m) = \left(\!\left(\frac{m}{5}\right), \left(\frac{m}{11}\right)\!\right) + = (++) \quad\text{oder}\quad = (--) +\] +genügen, \dh\ für sie muß: +\[ +m \equiv \Congr{1, 4}{2, 3}\ (\mod.~5),\quad +m \equiv \Congr{1, 3, 4, 5, \Z9}{2, 6, 7, 8, 10}\ (\mod.~11) +\] +sein. So ergibt sich für die Formen vom Kern~$-55$ die folgende Tabelle: +\begin{gather*} +\begin{array}{r<{\;}|>{\;}c<{\;}|>{\;}l} +\hline +\hline +\ColHeadB{\small Form} & +\ColHeadB{\small \;Gesamtcharakter\;} & +\ColHead{\small zugehörige arithmetische Reihen} \\ +\hline\Strut + x^{2} +55y^{2}\phantom{)} & (++) & 110l +1, \Z9, 31, 49, 59, 69, 71, 81, 89, \Z91 \\ +2(x^{2} +55y^{2}) & (--) & 110l +7, 13, 17, 43, 57, 63, 73, 83, 87, 107. +\end{array} \\ +\Tag{(III)} +D = -42 = -2·3·7 = 8n + 6. +\end{gather*} +Hier ergibt sich für den Gesamtcharakter der Formen $f_{d}(x, y)$ nach +\Eq{(III')} \aSeite{334}: +\[ +\frakC(d) = (C_{2}, C_{3}, C_{7}) + = \left((-1)^{\efrac{(\bar{m}_{0}-1)(\bar{m}_{0}-3)}{8}}, + \left(\frac{\bar{m}_{0}}{3}\right), + \left(\frac{\bar{m}_{0}}{7}\right)\!\right), +\] +und man erhält den vier möglichen Gesamtcharakteren entsprechend +die vier primitiven Formen +\[ + x^{2} + 42y^{2},\quad +3x^{2} + 14y^{2},\quad +2x^{2} + 21y^{2},\quad +6x^{2} + 7y^{2}. +\] + +Für die zu $|\bar{D}| = 42$ teilerfremden, durch eine Form vom Kern~$-42$ +darstellbaren Zahlen~$m$ muß hier: +\[ +m \equiv \Congr{1, 3}{5, 7}\ (\mod.~8),\quad +m \equiv \Congr{1}{2}\ (\mod.~3),\quad +m \equiv \Congr{1, 2, 4}{3, 5, 6}\ (\mod.~7) +\] +\PageSep{367}{351} +sein; man erhält danach leicht die folgende Tabelle: +\begin{gather*} +\begin{array}{@{\quad}r<{\ }|>{\quad}c<{\quad}|>{\quad}l@{\quad}} +\hline +\hline +\ColHeadB{Form} & +\ColHeadB{\ Gesamtcharakter\ } & +\ColHead{\ zugehörige arithmetische Reihen} \\ +\hline\Strut + x^{2} + 42y^{2} & (+++) & 168l + \Z1, 25, 43, 67, 121, 163 \\ +3x^{2} + 14y^{2} & (+--) & 168l + 17, 41, 59, 83, \Z89, 131 \\ +2x^{2} + 21y^{2} & (--+) & 168l + 23, 29, 53, 71, \Z95, 149 \\ +6x^{2} + \Z7y^{2} & (-+-) & 168l + 13, 31, 55, 61, 103, 157. +\end{array} \\ +\Tag{(IV)} +\bar{D} = -78 = -2·3·13 = 8n + 2. \\ +\frakC(d) = (\frakC_{2}, \frakC_{3}, \frakC_{13}) + = \left((-1)^{\efrac{\bar{m}_{0}^{2}-1}{8}}, + \left(\frac{\bar{m}_{0}}{3}\right), + \left(\frac{\bar{m}_{0}}{13}\right)\!\right). +\end{gather*} +Auch hier erhält man vier mögliche Gesamtcharaktere, denen wiederum +die vier primitiven Formen $ax^{2} + cy^{2}$ vom Kern~$-78$ entsprechen. Alle +zu $78$ teilerfremden durch solche Formen darstellbaren Zahlen~$m$ müssen +hier den Kongruenzen: +\begin{gather*} +m \equiv \Congr{1, 7}{3, 5}\ (\mod.~8),\quad +m \equiv \Congr{1}{2}\ (\mod.~3), \\ +m \equiv \Congr{1, 3, 4, 9, 10, 12}{2, 5, 6, 7, \Z8, 11}\ (\mod.~13) +\end{gather*} +genügen. Für jede von jenen vier Formen ergeben sich so $12$ arithmetische +Reihen mit der Differenz $8·3·13 = 312$; man erhält hier leicht +die folgende Tabelle: +\[ +\begin{array}{@{\quad}r<{\ }|>{\ }c<{\quad}|>{\quad}l@{\quad}} +\hline +\hline +\ColHeadB{Form} & +\ColHeadB{\ Gesamtcharakter\ } & \ColHead{\ zugehörige arithmetische Reihen} \\ +\hline\Strut + x^{2} + 78y^{2} & (+++) & 312l + \Z\Z1, \Z25, \Z49, \Z55, \Z79, 103,\\ + &\qquad = \frakC(1) & \phantom{312l +{}}121, 127, 199, 207, 289, 295 \\ +2x^{2} + 39y^{2} & (+--) & 312l + \Z41, \Z47, \Z71, \Z89, 119, 137,\\ + &\qquad = \frakC(2) & \phantom{312l +{}}161, 167, 215, 239, 281, 305 \\ +3x^{2} + 26y^{2} & (--+) & 312l + \Z29, \Z35, \Z53, \Z77, 101, 107,\\ + &\qquad = \frakC(3) & \phantom{312l +{}}131, 155, 173, 179, 251, 269 \\ +6x^{2} + 13y^{2} & (-+-) & 312l + \Z19, \Z37, \Z67, \Z85, 109, 115,\\ + & = \frakC(2)·\frakC(3) & \phantom{312l +{}}163, 187, 229, 253, 301, 307. +\end{array} +\] + +Alle bisher betrachteten Formen sind definit; sie stellen somit immer +nur die positiven in jenen arithmetischen Reihen enthaltenen Zahlen~$m$ +\PageSep{368}{352} +dar, für welche $D$ quadratischer Rest ist. Ich gebe endlich noch ein +einfaches Beispiel für einen positiven Kern~$\bar{D}$, für welchen also alle +positiven und negativen Zahlen in den zugehörigen arithmetischen +Reihen durch die betr.\ Formen dargestellt werden und für welchen auch +der Formenteiler $P = -1$ benutzt werden darf.\ +\begin{gather*} +\Tag{(V)} +\bar{D} = + 70 = 2·5·7 = 8n + 6. \\ +\frakC(d) + = (C_{2}, C_{5}, C_{7}) + = \left((-1)^{\efrac{(\bar{m}_{0}-1)(\bar{m}_{0}-3)}{8}}, + \left(\frac{\bar{m}_{0}}{5}\right), + \left(\frac{\bar{m}_{0}}{7}\right)\!\right). +\end{gather*} +Entsprechend den vier möglichen Charakteren kann man hier die Formen +wählen, welche aus der Hauptform $x^{2} - 70y^{2}$ durch Multiplikation mit +$-1$~und~$2$ hervorgehen, da die zugehörigen Charaktere: +\[ +\frakC(-1) = (-+-) \quad\text{und}\quad \frakC(2) = (--+) +\] +voneinander verschieden sind. Die Bedingungen für die Darstellbarkeit +aller zu $70$ teilerfremden positiven oder negativen Zahlen werden hier: +\[ +m \equiv \Congr{1, 3}{5, 7}\ (\mod.~8),\quad +m \equiv \Congr{1, 4}{2, 3}\ (\mod.~5),\quad +m \equiv \Congr{1, 2, 4}{3, 5, 6}\ (\mod.~7). +\] + +Diese Zahlen~$m$ sind somit hier modulo $8·5·7 = 280$ auf +$2·2·3 = 12$ verschiedene Arten bestimmt. Man erhält hier die +folgende Tabelle: +\[ +\begin{array}{@{\ }r<{\ }|>{\ }c<{\quad}|>{\quad}l@{\ }} +\hline +\hline +\ColHeadB{Form} & +\ColHeadB{\ Gesamtcharakter\ } & +\ColHead{zugehörige arithmetische Reihen} \\ +\hline\Strut + x^{2} - 70y^{2} & (+++) & 280l + \Z1, \Z9, 11, 51, 81, 99, 121, \\ + & \qquad= \frakC(1) & \phantom{280l-{}}169, 179, 211, 219, 249 \\ +70x^{2} - \Z\Z y^{2} & (-+-) & 280l - \Z1, \Z9, 11, 51, 81, 99, 121, \\ + & \qquad= \frakC(-1) & \phantom{280l-{}}169, 179, 211, 219, 249 \\ +2x^{2} - 35y^{2} & (--+) & 280l + 23, 37, 53, 93, 127, 183, \\ + & \qquad= \frakC(2) & \phantom{280l-{}}197, 207, 247, 253, 263, 277 \\ +35x^{2} - \Z2y^{2} & (+--) & 280l - 23, 37, 53, 93, 127, 183, \\ + & \qquad= \frakC(-2) & \phantom{280l-{}}197, 207, 247, 253, 263, 277. +\end{array} +\] +\PageSep{369}{353} + +\BackMatter +\printindex +\iffalse +\begin{center} +{\large Sachregister.} + +\vspace{\baselineskip} + +{\footnotesize (Die Ziffern bezeichnen die Seite, auf welcher sich das betreffende Wort meistens +gesperrt gedruckt findet und erklärt wird.)} +\end{center} + +Abgeleitete Reihe 126. + +Ableitung einer Funktion 130. + einer Potenzreihe 126. + +Absoluter Betrag einer $g$-adischen Zahl 197. + +Absoluter Betrag einer $p$-adischen Zahl 108. + +Absoluter Wert einer Zahl 18. + +Addition der Logarithmen 165. + $g$-adischer Zahlen 63. + +Äquivalente $g$-adische Zahlen 202. + Formen desselben Kernes 339. + quadratische Formen 295. + quadratische Formen modulo~$p$ 300. + +Anordnung $p$-adischer Zahlen nach ihrer Größe 112. + +Anzahl der Divisoren einer Zahl 35. + +Archimedisches Axiom 114. + +Arithmetische Reihe, Primzahlen in einer 32, 303, 346. + +Assoziatives Gesetz der Addition 1. + Gesetz der Multiplikation 2. + + +Basis eines Moduls 10. + +Bedingt konvergente Reihen 118. + +Binäre quadratische Formen 294. + + +Charakter einer Form in bezug auf~$p$ 327. + + +Darstellung der Zahlen für den Bereich~$K(p_{\infty})$ 293. + +Darstellung d.\ rationalen Zahlen durch binäre Formen 325. + +Definite und indefinite Formen für~$K(p)$ 330. + +Dekompositionssatz f.\;d.\ Hilbert'sche Symbol 318. + +Differentiation 126. + +Differentialquotient 130. + +Differenz der Logarithmen 166, 215. + +Differenzierbare Funktion 130. + +Differenz zweier Potenzreihen 124. + +Diskriminante binärer Formen 302. + +Distributives Gesetz 2. + +Division, Gesetz d.\ unbeschränkten eindeutigen 3. + +Divisoren der Null 92. + +Doppelreihe 118. + + +Eigentliche Darstellung e.\ ganzen Zahl durch eine Form 300. + +Einheit modulo~$g$ 96. + rationale für d.Bereich von~$g$ 38. + +Einheitselement für die Addition 3. + für die Multiplikation 5. + +Einheitsklassen modulo~$g$ 41, 96. + +Einheitswurzel, zu e.\ $p$-adischen Zahl gehörige 163. + +Einheitswurzel, zu e.\ $g$-adischen Zahl gehörige 197. +\fi +\PageSep{370}{354} +\iffalse +Einsklasse modulo~$g$ 40. + +Element einer Ordnungszahl 200. + +Ergänzungssätze zum Reziprozitätsgesetz 270. + +Euklidisches Teilerverfahren 22. + +Eulersches Kriterium 262. + +Exponent eines Elementes in einer Gruppe 105. + +Exponentialfunktion für den Bereich von~$p$ 139. + +Exponentialfunktion für den Bereich von~$g$ 205. + + +Fermatscher Satz (kleiner) 103. + +Fundamentalsatz f.\;d.\ ternären Formen 321. + +Funktion 129. + + +$g$-adische Darstellung d.\ rationalen Zahlen 49. + +$g$-adische + Zahlen, allgemeine 57, 63. + Zahlen, ganze und gebrochene 58, 61. + +Ganze und gebrochene rationale Zahlen modulo~$g$ 36. + +Ganzzahlige Lösungen d.\ Kongruenzen 185. + +Gausssche Funktion~$\phi(g)$ 97. + +Gausssches Lemma 266. + +Gemeinsamer Teiler, größter 20. + +Gemeinsames Vielfaches, kleinstes 26. + +Gesamtcharakter eines primitiven Geschlechts 340. + +Geschlechter binärer Formen 339. + +Gleichheit + der Indizes d.\ Einheiten 177. + der Indizes d.\ $g$-adischen Einheitswurzeln 211. + +Gleichheit + der Logarithmen 165. + für den Bereich von~$g$ 75. + $g$-adischer Zahlen 60, 63. + zweier Ordnungszahlen 202. + zweier Ringe m.\ verschiedener Grundzahl 76. + +Grenzwert 114. + +Goldbachs Theorem 29. + +Größe + d.\ $g$-adischen Zahlen 202. + d.\ $p$-adischen Zahlen 112. + +Grundgesetze für Addition und Multiplikation (nach E.~Steinitz) 1, 2, 3. + +Grundzahl, zu $g$ gehörige reduzierte 198. + +Gruppen 10. + + +Halbsystem 265. + +Haupteinheit, %[** TN: Inconsistently formatted in the original] + zu e.\ $p$-adischen Zahl gehörige 163. + zu e.\ $g$-adischen Zahl gehörige 197. + +Haupteinheit modulo~$g$ 103. + +Hauptform, binäre 314. + +Hauptklasse modulo~$g$ 103. + +Hauptlogarithmus + e.\ $p$-adischen Zahl 164. + e.\ $g$-adischen Zahl 207. + e.\ reellen Zahl für~$K(p_{\infty})$ 293. + +Hilbertsches Symbol~$\left(\dfrac{d, e}{p}\right)$ 315. + + +Index + einer Einheit modulo~$p^{k}$ 176. + einer Einheit modulo~$2^{k}$ 177. + einer Einheit modulo~$g$ 221. + einer $g$-adischen Einheitswurzel 211. +%[** Inconsistently formatted in the original] + einer $g$-adischen Zahl 215. + einer $p$-adischen Zahl 163. + einer reellen Zahl für~$K(p_{\infty})$ 293. + +Indexteiler + einer $p$-adischen Zahl 167. + einer $g$-adischen Zahl 217. + +Invariante e.\ Kongruenzklasse modulo~$p$ 160. + +Inverse Substitution 295. + + +Jacobi-Legendresches Symbol~$\left(\dfrac{P}{Q}\right)$ 281. + + +Kern einer \DPtypo{Driskiminante}{Diskriminante} 334. + +Kommutatives + Gesetz d.\ Addition 2. + Gesetz d.\ Multiplikation 2. + +Komplementärer Teiler e.\ Indexsystemes 213. +\fi +\PageSep{371}{355} +\iffalse +Komponente, $p$-adische e.\ $g$-adischen Zahl 88. + +Kongruente + Zahlen 183. + Zahlen modulo~$g$ 40. + +Kongruenz + modulo~$g^{\rho}$ 51. + $g$-adischer Zahlen 59, 63. + +Kongruenzklassen ganzer Zahlen modulo~$g$ 40. + +Konvergenz 114. + +Konvergente $p$-adische Reihen 117. + +Konvergenzkreis e.\ Potenzreihe 121. + +Körper der Kongruenzklassen modulo~$p$ 47. + +Körper + $K(a, b, \dots c)$ 6. + $K(1)$ d.\ rationalen Zahlen 40. + $K(p)$ d.\ $p$-adischen Zahlen 107. + + +Legendresches Zeichen~$\left(\dfrac{p}{q}\right)$ 250. + +Logarithmus + e.\ $p$-adischen Zahl 164. + e.\ $g$-adischen Zahl 215. + e.\ $p$-adischen Haupteinheit 143. +%[** Next two entries inconsistently formatted in the original] + e.\ $g$-adischen Haupteinheit 206. + e.\ reellen Zahl für~$K(p_{\infty})$ 293. + + +Mehrfache Wurzeln e.\ Gleichung 147. + +Minuendus 3. + +Modul + $M(a, b, c, \dots)$ 8. + einer Kongruenz 40. + +Multiplikation $g$-adischer Zahlen 63. + + +Näherungswerte $g$-adischer Zahlen 55, 58. + +Näherungswerte unendlicher Reihen 117. + +Näherungswerte der Potenzreihen 119. + +Negative Ordnungszahlen 202. + +Normalform, additive e.\ $g$-adischen Zahl 88. + +Normalform, multiplikative e.\ $g$-adischen Zahl 89. + +Normierte Darstellung e.\ rationalen Zahl 38. + +Nullklasse modulo~$g$ 40. + +Nullkörper~$K(0)$ 7. + +Nullmodul~$M(0)$ 9. + +Numerus e.\ Logarithmus 165. + + +Ordnungszahl + für d.\ Bereich v.~$p$ 107. + für d.\ Bereich v.~$g$ 199. + + +$p$-adische Zahlen, ganze u.\ gebrochene 108. + +Periode d.\ Indizes $g$-adischer Einheitswurzeln 212. + +Primitive + Einheitswurzeln 152. + Formen 332. + Wurzeln modulo~$p$ 161. + Wurzeln modulo~$p^{k}$ 173. + +Potenzreste für d.\ Bereich~$K(p_{\infty})$ 293. + +Primteiler der Null 92. + +Primzahlen 28. + +Produkt zweier Potenzreihen 124. + + +Quadratische + Form 214. + Reste modulo~$p$ 260. + Reste für~$K(p_{\infty})$ 293. + +Quotient 3, 15. + +Quotient von Einheitsklassen modulo~$g$ 100. + +Quotient + $p$-adischer Zahlen 109. + $g$-adischer Zahlen 189. + +Radius d.\ Konvergenzkreises e.\ Potenzreihe 121. + +Reduzierte Form 296. + +Reduzierter Bestandteil e.\ $g$-adischen Zahl 251. + +Reduzierte u.\ nicht reduzierte $g$-adische Zahlen 54, 58. + +Restsystem, vollständiges, modulo~$g$ 43. + +Reziproke Einheit 100. + +Reziprozitätsgesetz 272. + f.\;d.\ Jacobi-Legendresche Symbol 282, 324. + +Ring 13. + aus zwei Körpern komponierter 15. + aller modulo~$g$ ganzen Zahlen 37. +\fi +\PageSep{372}{356} +\iffalse +Ring der Kongruenzklassen modulo~$g$ 47. + +Sieb d.\ Eratosthenes 28. + +Stetige Funktionen 130. + +Strahlen 10. + +Subtrahendus 3. + +Subtraktion + $g$-adischer Zahlen 68. + Gesetz d.\ unbeschränkten u.\ eindeutigen 2. + +Summe + der Logarithmen 165, 215. + e.\ $p$-adischen Reihe 117. + zweier Potenzreihen 124. + der Divisoren e.\ Zahl 35. + + +Taylorsche Entwickelung 131. + +Teilbarkeit d.\ rationalen Zahlen modulo~$g$ 39. + +Teilbereich e.\ Ringes 76. + +Teiler + der Null 92. + eines Indexsystemes 213. + des Hauptlogarithmus e.\ $g$-adischen Zahl 217. + e.\ quadratischen Form 294. + e.\ Kongruenzklasse modulo~$g$ 96. + +Teilerfremde Zahlen 24. + +Ternäre quadratische Formen 294. + +Tschebyscheffs Primzahlsatz 31. + + +Umgebung einer Zahl 129. + +Unbedingt konvergente Reihen 118. + +Unendlich kleine Werte 129. + +Untergruppen 12. + + +Veränderliche oder variable Größe 129. + + +Wert e.\ $g$-adischen Zahl f.\;d.\ Bereich e.\ Teilers v.~$g$ 70, 77. + +Wert e.\ Quotienten modulo~$M$ 186. + +Wurzeln der Gleichungen im Ringe~$R(g)$ 208. + + +Zahlensysteme 200. + +Zahlstrahl d.\ rationalen Einheiten 39. + +Zerlegung, eindeutige, d.\ Zahlen in Primfaktoren 33. +\fi +%%%% End of index text %%%% +\iffalse +\TitleHead{Druckfehler.} + +\begin{tabular}{l@{ }c@{ } l@{ }} +S. 138 & Z. 14 & von \PadTxt{unten}{oben} statt + $\bar{\alpha}_{0}, \bar{\alpha}_{1}, \dots \bar{\alpha}_{\nu}$ lies + $\bar{a}_{0}, \bar{a}_{1}, \dots \bar{a}_{\nu}$. \\ +S. 164 & Z. 10 & \Ditto{von} unten \Ditto{statt} \PadTxt{sind}{st} lies ist. \\ +S. 238 & Z. 10 & \Ditto{von} \Ditto{unten} \Ditto{statt} & \PadTxt{sind}{$p^{\efrac{k}{}}$} \Ditto{lies}{,,} $p^{\efrac{k}{\mu}}$. \\ +S. 263 & \multicolumn{2}{l}{Seitenüberschrift ist § 1 hinzuzufügen.} \\ +S. 299 & Z. 11 & von unten statt & \PadTxt{sind}{m} lies im. \\ +S. 301 &Z. \Z1 & \Ditto{von} \Ditto{unten} \Ditto{statt} & \PadTxt{sind}{$2b$} \Ditto{lies} $b$. \\ +S. 317 &Z. \Z6 & \Ditto{von} \PadTxt{unten}{oben} \Ditto{statt} & sind \Ditto{lies} ist. +\end{tabular} +\fi +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% GUTENBERG LICENSE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\FlushRunningHeads +\vfill +\PGLicense +\begin{PGtext} +End of the Project Gutenberg EBook of Zahlentheorie, by Kurt Hensel + +*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ZAHLENTHEORIE *** + +***** This file should be named 38986-t.tex or 38986-t.zip ***** +This and all associated files of various formats will be found in: + http://www.gutenberg.org/3/8/9/8/38986/ + +Produced by Andrew D. Hwang, R. S., Joshua Hutchinson, and +the Online Distributed Proofreading Team at +http://www.pgdp.net (This file was produced from images +from the Cornell University Library: Historical Mathematics +Monographs collection.) + + +Updated editions will replace the previous one--the old editions +will be renamed. + +Creating the works from public domain print editions means that no +one owns a United States copyright in these works, so the Foundation +(and you!) can copy and distribute it in the United States without +permission and without paying copyright royalties. Special rules, +set forth in the General Terms of Use part of this license, apply to +copying and distributing Project Gutenberg-tm electronic works to +protect the PROJECT GUTENBERG-tm concept and trademark. Project +Gutenberg is a registered trademark, and may not be used if you +charge for the eBooks, unless you receive specific permission. 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General Terms of Use and Redistributing Project Gutenberg-tm +electronic works + +1.A. By reading or using any part of this Project Gutenberg-tm +electronic work, you indicate that you have read, understand, agree to +and accept all the terms of this license and intellectual property +(trademark/copyright) agreement. If you do not agree to abide by all +the terms of this agreement, you must cease using and return or destroy +all copies of Project Gutenberg-tm electronic works in your possession. +If you paid a fee for obtaining a copy of or access to a Project +Gutenberg-tm electronic work and you do not agree to be bound by the +terms of this agreement, you may obtain a refund from the person or +entity to whom you paid the fee as set forth in paragraph 1.E.8. + +1.B. "Project Gutenberg" is a registered trademark. It may only be +used on or associated in any way with an electronic work by people who +agree to be bound by the terms of this agreement. 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Project Gutenberg volunteers and employees expend considerable +effort to identify, do copyright research on, transcribe and proofread +public domain works in creating the Project Gutenberg-tm +collection. Despite these efforts, Project Gutenberg-tm electronic +works, and the medium on which they may be stored, may contain +"Defects," such as, but not limited to, incomplete, inaccurate or +corrupt data, transcription errors, a copyright or other intellectual +property infringement, a defective or damaged disk or other medium, a +computer virus, or computer codes that damage or cannot be read by +your equipment. + +1.F.2. LIMITED WARRANTY, DISCLAIMER OF DAMAGES - Except for the "Right +of Replacement or Refund" described in paragraph 1.F.3, the Project +Gutenberg Literary Archive Foundation, the owner of the Project +Gutenberg-tm trademark, and any other party distributing a Project +Gutenberg-tm electronic work under this agreement, disclaim all +liability to you for damages, costs and expenses, including legal +fees. YOU AGREE THAT YOU HAVE NO REMEDIES FOR NEGLIGENCE, STRICT +LIABILITY, BREACH OF WARRANTY OR BREACH OF CONTRACT EXCEPT THOSE +PROVIDED IN PARAGRAPH 1.F.3. YOU AGREE THAT THE FOUNDATION, THE +TRADEMARK OWNER, AND ANY DISTRIBUTOR UNDER THIS AGREEMENT WILL NOT BE +LIABLE TO YOU FOR ACTUAL, DIRECT, INDIRECT, CONSEQUENTIAL, PUNITIVE OR +INCIDENTAL DAMAGES EVEN IF YOU GIVE NOTICE OF THE POSSIBILITY OF SUCH +DAMAGE. + +1.F.3. LIMITED RIGHT OF REPLACEMENT OR REFUND - If you discover a +defect in this electronic work within 90 days of receiving it, you can +receive a refund of the money (if any) you paid for it by sending a +written explanation to the person you received the work from. If you +received the work on a physical medium, you must return the medium with +your written explanation. The person or entity that provided you with +the defective work may elect to provide a replacement copy in lieu of a +refund. If you received the work electronically, the person or entity +providing it to you may choose to give you a second opportunity to +receive the work electronically in lieu of a refund. If the second copy +is also defective, you may demand a refund in writing without further +opportunities to fix the problem. + +1.F.4. Except for the limited right of replacement or refund set forth +in paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS' WITH NO OTHER +WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO +WARRANTIES OF MERCHANTIBILITY OR FITNESS FOR ANY PURPOSE. + +1.F.5. Some states do not allow disclaimers of certain implied +warranties or the exclusion or limitation of certain types of damages. +If any disclaimer or limitation set forth in this agreement violates the +law of the state applicable to this agreement, the agreement shall be +interpreted to make the maximum disclaimer or limitation permitted by +the applicable state law. The invalidity or unenforceability of any +provision of this agreement shall not void the remaining provisions. + +1.F.6. INDEMNITY - You agree to indemnify and hold the Foundation, the +trademark owner, any agent or employee of the Foundation, anyone +providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works in accordance +with this agreement, and any volunteers associated with the production, +promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electronic works, +harmless from all liability, costs and expenses, including legal fees, +that arise directly or indirectly from any of the following which you do +or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm +work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any +Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause. + + +Section 2. Information about the Mission of Project Gutenberg-tm + +Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of +electronic works in formats readable by the widest variety of computers +including obsolete, old, middle-aged and new computers. It exists +because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from +people in all walks of life. + +Volunteers and financial support to provide volunteers with the +assistance they need are critical to reaching Project Gutenberg-tm's +goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will +remain freely available for generations to come. In 2001, the Project +Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure +and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations. +To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation +and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4 +and the Foundation web page at http://www.pglaf.org. + + +Section 3. Information about the Project Gutenberg Literary Archive +Foundation + +The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit +501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the +state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal +Revenue Service. The Foundation's EIN or federal tax identification +number is 64-6221541. Its 501(c)(3) letter is posted at +http://pglaf.org/fundraising. Contributions to the Project Gutenberg +Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent +permitted by U.S. federal laws and your state's laws. + +The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S. +Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered +throughout numerous locations. Its business office is located at +809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email +business@pglaf.org. Email contact links and up to date contact +information can be found at the Foundation's web site and official +page at http://pglaf.org + +For additional contact information: + Dr. Gregory B. Newby + Chief Executive and Director + gbnewby@pglaf.org + + +Section 4. Information about Donations to the Project Gutenberg +Literary Archive Foundation + +Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide +spread public support and donations to carry out its mission of +increasing the number of public domain and licensed works that can be +freely distributed in machine readable form accessible by the widest +array of equipment including outdated equipment. Many small donations +($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt +status with the IRS. + +The Foundation is committed to complying with the laws regulating +charities and charitable donations in all 50 states of the United +States. Compliance requirements are not uniform and it takes a +considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up +with these requirements. We do not solicit donations in locations +where we have not received written confirmation of compliance. To +SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any +particular state visit http://pglaf.org + +While we cannot and do not solicit contributions from states where we +have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition +against accepting unsolicited donations from donors in such states who +approach us with offers to donate. + +International donations are gratefully accepted, but we cannot make +any statements concerning tax treatment of donations received from +outside the United States. U.S. laws alone swamp our small staff. + +Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation +methods and addresses. Donations are accepted in a number of other +ways including including checks, online payments and credit card +donations. To donate, please visit: http://pglaf.org/donate + + +Section 5. General Information About Project Gutenberg-tm electronic +works. + +Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm +concept of a library of electronic works that could be freely shared +with anyone. For thirty years, he produced and distributed Project +Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support. + + +Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed +editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S. +unless a copyright notice is included. Thus, we do not necessarily +keep eBooks in compliance with any particular paper edition. + + +Most people start at our Web site which has the main PG search facility: + + http://www.gutenberg.net + +This Web site includes information about Project Gutenberg-tm, +including how to make donations to the Project Gutenberg Literary +Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to +subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks. +\end{PGtext} + +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % +% % +% End of the Project Gutenberg EBook of Zahlentheorie, by Kurt Hensel % +% % +% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ZAHLENTHEORIE *** % +% % +% ***** This file should be named 38986-t.tex or 38986-t.zip ***** % +% This and all associated files of various formats will be found in: % +% http://www.gutenberg.org/3/8/9/8/38986/ % +% % +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % + +\end{document} +### +@ControlwordReplace = ( + ['\\tableofcontents', 'Inhaltsverzeichnis.'], + ['\\printindex', 'Sachregister.'], + ['\\Vorrede', 'Vorrede.'], + ['\\PGBoilerPlate', ''], + ['\\aaO', 'a. a. 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+xmf-texlive/tex/latex/hyperref/hyperref.sty +Package: hyperref 2009/10/09 v6.79a Hypertext links for LaTeX +(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/ifxetex/ifxetex.sty +Package: ifxetex 2009/01/23 v0.5 Provides ifxetex conditional +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/hycolor.sty +Package: hycolor 2009/10/02 v1.5 Code for color options of hyperref/bookmark (H +O) +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/xcolor-patch.sty +Package: xcolor-patch 2009/10/02 xcolor patch +)) +\@linkdim=\dimen133 +\Hy@linkcounter=\count117 +\Hy@pagecounter=\count118 +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/pd1enc.def +File: pd1enc.def 2009/10/09 v6.79a Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO) +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/etexcmds.sty +Package: etexcmds 2007/12/12 v1.2 Prefix for e-TeX command names (HO) +(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/infwarerr.sty +Package: infwarerr 2007/09/09 v1.2 Providing info/warning/message (HO) +) +Package etexcmds Info: Could not find \expanded. +(etexcmds) That can mean that you are not using pdfTeX 1.50 or +(etexcmds) that some package has redefined \expanded. +(etexcmds) In the latter case, load this package earlier. +) (/etc/texmf/tex/latex/config/hyperref.cfg +File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty +Package: kvoptions 2009/08/13 v3.4 Keyval support for LaTeX options (HO) +(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/kvsetkeys.sty +Package: kvsetkeys 2009/07/30 v1.5 Key value parser with default handler suppor +t (HO) +)) +Package hyperref Info: Option `hyperfootnotes' set `false' on input line 2864. +Package hyperref Info: Option `bookmarks' set `true' on input line 2864. +Package hyperref Info: Option `linktocpage' set `false' on input line 2864. +Package hyperref Info: Option `pdfdisplaydoctitle' set `true' on input line 286 +4. +Package hyperref Info: Option `pdfpagelabels' set `true' on input line 2864. +Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 2864. +Package hyperref Info: Option `colorlinks' set `true' on input line 2864. +Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 2975. +Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 2980. +Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 2983. +Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 2990. +Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 2995. +Implicit mode ON; LaTeX internals redefined +Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 3191. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/url.sty +\Urlmuskip=\muskip11 +Package: url 2006/04/12 ver 3.3 Verb mode for urls, etc. +) +LaTeX Info: Redefining \url on input line 3428. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/bitset.sty +Package: bitset 2007/09/28 v1.0 Data type bit set (HO) +(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/intcalc.sty +Package: intcalc 2007/09/27 v1.1 Expandable integer calculations (HO) +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/bigintcalc.sty +Package: bigintcalc 2007/11/11 v1.1 Expandable big integer calculations (HO) +(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/pdftexcmds.sty +Package: pdftexcmds 2009/09/23 v0.6 LuaTeX support for pdfTeX utility functions + (HO) +(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/ifluatex.sty +Package: ifluatex 2009/04/17 v1.2 Provides the ifluatex switch (HO) +Package ifluatex Info: LuaTeX not detected. +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/ltxcmds.sty +Package: ltxcmds 2009/08/05 v1.0 Some LaTeX kernel commands for general use (HO +) +) +Package pdftexcmds Info: LuaTeX not detected. +Package pdftexcmds Info: \pdf@primitive is available. +Package pdftexcmds Info: \pdf@ifprimitive is available. +))) +\Fld@menulength=\count119 +\Field@Width=\dimen134 +\Fld@charsize=\dimen135 +\Field@toks=\toks30 +Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 4377. +Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 4382. +Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 4385. +Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 4392. +Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 4395. +Package hyperref Info: Link coloring with OCG OFF on input line 4402. +Package hyperref Info: PDF/A mode OFF on input line 4407. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/oberdiek/atbegshi.sty +Package: atbegshi 2008/07/31 v1.9 At begin shipout hook (HO) +) +\Hy@abspage=\count120 +\c@Item=\count121 +) +*hyperref using driver hpdftex* +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hpdftex.def +File: hpdftex.def 2009/10/09 v6.79a Hyperref driver for pdfTeX +\Fld@listcount=\count122 +) +\ParIndent=\skip63 +\TmpLen=\skip64 +\c@ChapNo=\count123 +\c@SectNo=\count124 +\c@tocentry=\count125 +\@indexfile=\write3 +\openout3 = `38986-t.idx'. + +Writing index file 38986-t.idx +(./38986-t.aux) +\openout1 = `38986-t.aux'. + +LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 642. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 642. +LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 642. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 642. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 642. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 642. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 642. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 642. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 642. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 642. +LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 642. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 642. +LaTeX Font Info: Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 642. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 642. +LaTeX Font Info: Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 642. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 642. +*geometry auto-detecting driver* +*geometry detected driver: pdftex* +-------------------- Geometry parameters +paper: class default +landscape: -- +twocolumn: -- +twoside: true +asymmetric: -- +h-parts: 9.03375pt, 361.34999pt, 9.03375pt +v-parts: 4.15848pt, 495.49379pt, 6.23773pt +hmarginratio: 1:1 +vmarginratio: 2:3 +lines: -- +heightrounded: -- +bindingoffset: 0.0pt +truedimen: -- +includehead: true +includefoot: true +includemp: -- +driver: pdftex +-------------------- Page layout dimensions and switches +\paperwidth 379.4175pt +\paperheight 505.89pt +\textwidth 361.34999pt +\textheight 433.62pt +\oddsidemargin -63.23624pt +\evensidemargin -63.23624pt +\topmargin -68.11151pt +\headheight 15.0pt +\headsep 19.8738pt +\footskip 30.0pt +\marginparwidth 98.0pt +\marginparsep 7.0pt +\columnsep 10.0pt +\skip\footins 10.8pt plus 4.0pt minus 2.0pt +\hoffset 0.0pt +\voffset 0.0pt +\mag 1000 +\@twosidetrue \@mparswitchtrue +(1in=72.27pt, 1cm=28.45pt) +----------------------- +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/color.sty +Package: color 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC) +(/etc/texmf/tex/latex/config/color.cfg +File: color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive +) +Package color Info: Driver file: pdftex.def on input line 130. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def +File: pdftex.def 2009/08/25 v0.04m Graphics/color for pdfTeX +\Gread@gobject=\count126 +(/usr/share/texmf/tex/context/base/supp-pdf.mkii +[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).] +\scratchcounter=\count127 +\scratchdimen=\dimen136 +\scratchbox=\box54 +\nofMPsegments=\count128 +\nofMParguments=\count129 +\everyMPshowfont=\toks31 +\MPscratchCnt=\count130 +\MPscratchDim=\dimen137 +\MPnumerator=\count131 +\everyMPtoPDFconversion=\toks32 +))) +Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 642. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/nameref.sty +Package: nameref 2007/05/29 v2.31 Cross-referencing by name of section +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/refcount.sty +Package: refcount 2008/08/11 v3.1 Data extraction from references (HO) +) +\c@section@level=\count132 +) +LaTeX Info: Redefining \ref on input line 642. +LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 642. +(./38986-t.out) (./38986-t.out) +\@outlinefile=\write4 +\openout4 = `38986-t.out'. + +\AtBeginShipoutBox=\box55 +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msa on input line 670. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd +File: umsa.fd 2009/06/22 v3.00 AMS symbols A +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msb on input line 670. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd +File: umsb.fd 2009/06/22 v3.00 AMS symbols B +) [1 + + + +{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2 + +] [1 + +] [2 + +] [3 + + +] [4] [5] [6] [7] (./38986-t.toc [8 + +] [9] [10] [11] [12]) +\tf@toc=\write5 +\openout5 = `38986-t.toc'. + +[13] [1 + + + + + +] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21 + + +] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [3 +7] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45 + + +] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [6 +1] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70 + + +] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] +Underfull \vbox (badness 1502) has occurred while \output is active [] + +[81] [82] [83] [84] [85] [86 + + +] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] +[102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+euf on input line 5483. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/ueuf.fd +File: ueuf.fd 2009/06/22 v3.00 Euler Fraktur +) [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] +[124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133 + + +] [134] [135] [136] [137] [138] [139] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[140] +Underfull \vbox (badness 5260) has occurred while \output is active [] + +[141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] +Underfull \vbox (badness 3128) has occurred while \output is active [] + +[154] [155] [156] [157] [158] [159] [160 + + +] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] +[174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [ +187] [188] [189] [190] [191 + + +] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] +[205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [ +218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [2 +31] [232] [233] [234] [235 + + +] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] +Underfull \vbox (badness 2529) has occurred while \output is active [] + +[243] +Underfull \vbox (badness 3229) has occurred while \output is active [] + +[244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [ +257] [258] 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+06] [407] [408] [409] [410] [411] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[412] [413] [414] [415] [416] [417] [418] [419] [420] [421] [422] [423] [424] [ +425] [426] [427] [428] [429] [430] [431] [432] [433] [434] [435] [436] [437] [4 +38] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[439] [440] +Overfull \hbox (1.15698pt too wide) in paragraph at lines 18376--18376 +[] + [] + + +Overfull \hbox (1.15698pt too wide) in alignment at lines 18376--18376 +[] [] + [] + +[441] +Overfull \hbox (0.80354pt too wide) detected at line 18451 +[] + [] + + +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[442] [443] [444] (./38986-t.ind [445 + + + + + +] [446] [447] [448] [449]) +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[1 + + + + + + +] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[2] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[3] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[4] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[5] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[6] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[7] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[8] [9] (./38986-t.aux) + + *File List* + book.cls 2007/10/19 v1.4h Standard LaTeX document class + leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers) + bk12.clo 2007/10/19 v1.4h Standard LaTeX file (size option) +inputenc.sty 2008/03/30 v1.1d Input encoding file + latin1.def 2008/03/30 v1.1d Input encoding file + fontenc.sty + t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file + babel.sty 2008/07/06 v3.8l The Babel package + germanb.ldf 2008/06/01 v2.6m German support from the babel system + ifthen.sty 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC) + amsmath.sty 2000/07/18 v2.13 AMS math features + amstext.sty 2000/06/29 v2.01 + amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 + amsbsy.sty 1999/11/29 v1.2d + amsopn.sty 1999/12/14 v2.01 operator names + amssymb.sty 2009/06/22 v3.00 +amsfonts.sty 2009/06/22 v3.00 Basic AMSFonts support + alltt.sty 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment + array.sty 2008/09/09 v2.4c Tabular extension package (FMi) +footmisc.sty 2009/09/15 v5.5a a miscellany of footnote facilities +multicol.sty 2008/12/05 v1.6h multicolumn formatting (FMi) + makeidx.sty 2000/03/29 v1.0m Standard LaTeX package +indentfirst.sty 1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC) + icomma.sty 2002/03/10 v2.0 (WaS) + soul.sty 2003/11/17 v2.4 letterspacing/underlining (mf) + fix-cm.sty 2006/09/13 v1.1m fixes to LaTeX + ts1enc.def 2001/06/05 v3.0e (jk/car/fm) Standard LaTeX file + calc.sty 2007/08/22 v4.3 Infix arithmetic (KKT,FJ) +fancyhdr.sty +geometry.sty 2008/12/21 v4.2 Page Geometry + keyval.sty 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC) + ifpdf.sty 2009/04/10 v2.0 Provides the ifpdf switch (HO) + ifvtex.sty 2008/11/04 v1.4 Switches for detecting VTeX and its modes (HO) +geometry.cfg +hyperref.sty 2009/10/09 v6.79a Hypertext links for LaTeX + ifxetex.sty 2009/01/23 v0.5 Provides ifxetex conditional + hycolor.sty 2009/10/02 v1.5 Code for color options of hyperref/bookmark (HO +) +xcolor-patch.sty 2009/10/02 xcolor patch + pd1enc.def 2009/10/09 v6.79a Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO) +etexcmds.sty 2007/12/12 v1.2 Prefix for e-TeX command names (HO) +infwarerr.sty 2007/09/09 v1.2 Providing info/warning/message (HO) +hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive +kvoptions.sty 2009/08/13 v3.4 Keyval support for LaTeX options (HO) +kvsetkeys.sty 2009/07/30 v1.5 Key value parser with default handler support +(HO) + url.sty 2006/04/12 ver 3.3 Verb mode for urls, etc. + bitset.sty 2007/09/28 v1.0 Data type bit set (HO) + intcalc.sty 2007/09/27 v1.1 Expandable integer calculations (HO) +bigintcalc.sty 2007/11/11 v1.1 Expandable big integer calculations (HO) +pdftexcmds.sty 2009/09/23 v0.6 LuaTeX support for pdfTeX utility functions ( +HO) +ifluatex.sty 2009/04/17 v1.2 Provides the ifluatex switch (HO) + ltxcmds.sty 2009/08/05 v1.0 Some LaTeX kernel commands for general use (HO) + +atbegshi.sty 2008/07/31 v1.9 At begin shipout hook (HO) + hpdftex.def 2009/10/09 v6.79a Hyperref driver for pdfTeX + color.sty 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC) + color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive + pdftex.def 2009/08/25 v0.04m Graphics/color for pdfTeX +supp-pdf.mkii + nameref.sty 2007/05/29 v2.31 Cross-referencing by name of section +refcount.sty 2008/08/11 v3.1 Data extraction from references (HO) + 38986-t.out + 38986-t.out + umsa.fd 2009/06/22 v3.00 AMS symbols A + umsb.fd 2009/06/22 v3.00 AMS symbols B + ueuf.fd 2009/06/22 v3.00 Euler Fraktur + 38986-t.ind + *********** + + ) +Here is how much of TeX's memory you used: + 9337 strings out of 493848 + 120766 string characters out of 1152824 + 240948 words of memory out of 3000000 + 10743 multiletter control sequences out of 15000+50000 + 34798 words of font info for 93 fonts, out of 3000000 for 9000 + 714 hyphenation exceptions out of 8191 + 37i,21n,43p,355b,689s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,50000s +{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc}</usr/share/texmf- +texlive/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmex10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fon +ts/type1/public/amsfonts/cmextra/cmex8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type +1/public/amsfonts/cm/cmmi10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/am +sfonts/cm/cmmi12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/amsfonts/cm/c +mmi6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi8.pfb></u +sr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr10.pfb></usr/share/tex +mf-texlive/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr12.pfb></usr/share/texmf-texlive/f +onts/type1/public/amsfonts/cm/cmr17.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/p +ublic/amsfonts/cm/cmr6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/amsfont +s/cm/cmr8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy10.p +fb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy6.pfb></usr/sha +re/texmf-texlive/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy8.pfb></usr/share/texmf-tex +live/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmti12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/ +type1/public/amsfonts/euler/eufm10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/pu +blic/amsfonts/symbols/msam10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/a +msfonts/symbols/msbm10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/amsfont +s/symbols/msbm7.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1000.pfb> +</usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1200.pfb></usr/share/texmf/fo +nts/type1/public/cm-super/sfcc1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm- +super/sfrm0700.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm0800.pfb>< +/usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1000.pfb></usr/share/texmf/fon +ts/type1/public/cm-super/sfrm1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-s +uper/sfrm1728.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfti1000.pfb></ +usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfti1200.pfb></usr/share/texmf/font +s/type1/public/cm-super/sftt0900.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-su +per/sftt1000.pfb> +Output written on 38986-t.pdf (473 pages, 1958005 bytes). +PDF statistics: + 4254 PDF objects out of 4296 (max. 8388607) + 1707 named destinations out of 1728 (max. 500000) + 169 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000) + diff --git a/38986-t/old/38986-t.zip b/38986-t/old/38986-t.zip Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..31c408f --- /dev/null +++ b/38986-t/old/38986-t.zip |