initial commit of ebook 36310HEAD main

author: Roger Frank <rfrank@pglaf.org> 2025-10-14 20:05:31 -0700
committer: Roger Frank <rfrank@pglaf.org> 2025-10-14 20:05:31 -0700
commit: 3bb53528b97494ea9139b5072447d8d597e5a4f8 (patch)
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+% The Project Gutenberg EBook of Die Analyse des Zufalls, by              %
+% H. E. (Heinrich Emil) Timerding                                         %
+%                                                                         %
+% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with        %
+% almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or    %
+% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included     %
+% with this eBook or online at www.gutenberg.net                          %
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+% Title: Die Analyse des Zufalls                                          %
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+% Author: H. E. (Heinrich Emil) Timerding                                 %
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+% Release Date: June 6, 2011 [EBook #36310]                               %
+% Most recently updated: June 11, 2021                         %
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+% Language: German                                                        %
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+% Character set encoding: UTF-8                                           %
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+% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK DIE ANALYSE DES ZUFALLS ***   %
+%                                                                         %
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+\def\ebook{36310}
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+%%                                                                  %%
+%% book:     Required.                                              %%
+%% inputenc: Standard DP encoding. Required.                        %%
+%% fontenc:  Enables German hyphenation. Required.                  %%
+%% babel:    German language Hyphenation. Required.                 %%
+%%                                                                  %%
+%% amsmath:  AMS mathematics enhancements. Required.                %%
+%% amssymb:  Additional mathematical symbols. Required.             %%
+%% mathrsfs: Math script font. Required.                            %%
+%%                                                                  %%
+%% ifthen:   Logical conditionals. Required.                        %%
+%% alltt:    Fixed-width font environment. Required.                %%
+%% indentfirst: Indent first word of each sectional unit. Optional. %%
+%%                                                                  %%
+%% makeidx:  Indexing. Required.                                    %%
+%% multicol: Multi-column formatting for index. Required.           %%
+%%                                                                  %%
+%% array:    Array enhancements. Required.                          %%
+%% longtable: Multi-page tables. Required.                          %%
+%% multirow: Multi-row table entries. Required.                     %%
+%%                                                                  %%
+%% soul:     Gesperrt text. Optional.                               %%
+%% footmisc: Extended footnote capabilities. Required.              %%
+%%                                                                  %%
+%% graphicx: Graphics inclusion. Required.                          %%
+%% caption:  Caption enhancements. Required.                        %%
+%%                                                                  %%
+%% calc:     Infix arithmetic. Required.                            %%
+%%                                                                  %%
+%% fancyhdr: Enhanced running headers and footers. Required.        %%
+%%                                                                  %%
+%% geometry: Enhanced page layout package. Required.                %%
+%% hyperref: Hypertext embellishments for pdf output. Required.     %%
+%%                                                                  %%
+%% Compilation Flags:                                               %%
+%%                                                                  %%
+%%   The following behavior may be controlled by boolean flags.     %%
+%%                                                                  %%
+%%   ForPrinting (false by default):                                %%
+%%   Compile a screen-optimized PDF file. Set to true for print-    %%
+%%   optimized file (two-sided layout, black hyperlinks).           %%
+%%                                                                  %%
+%% Summary of log file:                                             %%
+%%   Four harmless overfull hboxes, six harmless underfull hboxes.  %%
+%%                                                                  %%
+%%                                                                  %%
+%% PDF pages: 245                                                   %%
+%%                                                                  %%
+%% Compile History:                                                 %%
+%%                                                                  %%
+%% May 2011 (adhere). Compiled with pdflatex:                       %%
+%%         [pdfeTeX, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6)]         %%
+%%                                                                  %%
+%%    pdflatex x2                                                   %%
+%%    makeindex                                                     %%
+%%    pdflatex x2                                                   %%
+%%                                                                  %%
+%%                                                                  %%
+%% June 2011: pglatex.                                              %%
+%%   Compile this project with:                                     %%
+%%   pdflatex 36310-t.tex ..... TWO times                           %%
+%%   makeindex 36310-t.idx                                          %%
+%%   pdflatex 36310-t.tex ..... TWO times                           %%
+%%                                                                  %%
+%%   pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6)                 %%
+%%                                                                  %%
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\listfiles
+\documentclass[12pt,leqno]{book}[2005/09/16]
+\usepackage[utf8]{inputenc}[2006/05/05]
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+
+\usepackage{amsmath}[2000/07/18]
+\usepackage{amssymb}[2002/01/22]
+\usepackage{mathrsfs}[1996/01/01]
+
+\usepackage{ifthen}[2001/05/26]  %% Logical conditionals
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+
+\IfFileExists{indentfirst.sty}{%
+  \usepackage{indentfirst}[1995/11/23]
+}{}
+
+\usepackage{makeidx}[2000/03/29]
+\usepackage{multicol}[2006/05/18]
+
+\usepackage{array}[2005/08/23]
+\usepackage{longtable}[2004/02/01]
+\usepackage{multirow}
+
+\IfFileExists{soul.sty}{%
+  \usepackage{soul}[2003/11/17]
+  \sodef{\so}{}{0.15em}{0.5em plus 0.25em}{0.5em plus 0.25em}%
+}{%
+  %% else change gesperrt to italics, which are not used elsewhere
+  \newcommand\so[1]{\textit{#1}}%
+}
+
+\usepackage[perpage]{footmisc}[2005/03/17]
+
+\usepackage{graphicx}[2006/02/20]
+\usepackage[font=small,justification=centerfirst,labelformat=empty]{caption}[2007/01/07]
+
+\usepackage{calc}[2005/08/06]
+
+\usepackage{fancyhdr}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%%%% Interlude:  Set up PRINTING (default) or SCREEN VIEWING %%%%
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+% ForPrinting=true (default)           false
+% Asymmetric margins                   Symmetric margins
+% Black hyperlinks                     Blue hyperlinks
+% Start Preface, ToC, etc. recto       No blank verso pages
+%
+% Chapter-like ``Sections'' start both recto and verso in the scanned
+% book. This behavior has been retained.
+\newboolean{ForPrinting}
+
+%% UNCOMMENT the next line for a PRINT-OPTIMIZED VERSION of the text %%
+%\setboolean{ForPrinting}{true}
+
+%% Initialize values to ForPrinting=false
+\newcommand{\Margins}{hmarginratio=1:1}     % Symmetric margins
+\newcommand{\HLinkColor}{blue}              % Hyperlink color
+\newcommand{\PDFPageLayout}{SinglePage}
+\newcommand{\TransNote}{Anmerkungen der Korrekturleser}
+\newcommand{\TransNoteCommon}{%
+  Ein Exemplar des Originals wurde dankenswerterweise von der Cornell
+  University Library: Historical Mathematics Monographs Collection
+  zur Verfügung gestellt.
+  \bigskip
+
+  Kleinere typographische Korrekturen und Änderungen der Formatierung
+  wurden stillschweigend vorgenommen.
+  \bigskip
+}
+
+\newcommand{\TransNoteText}{%
+  \TransNoteCommon
+
+  Diese PDF-Datei wurde für die Anzeige auf einem Bildschirm
+  optimiert, kann bei Bedarf aber leicht für den Druck angepasst
+  werden. Anweisungen dazu finden Sie am Anfang des
+  LaTeX-Quelltextes.
+}
+%% Re-set if ForPrinting=true
+\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{%
+  \renewcommand{\Margins}{hmarginratio=2:3} % Asymmetric margins
+  \renewcommand{\HLinkColor}{black}         % Hyperlink color
+  \renewcommand{\PDFPageLayout}{TwoPageRight}
+  \renewcommand{\TransNote}{Transcriber's Note}
+  \renewcommand{\TransNoteText}{%
+    \TransNoteCommon
+
+    Diese PDF-Datei wurde für den Druck optimiert, kann bei Bedarf
+    aber leicht für den Bildschirm angepasst werden. Anweisungen dazu
+    finden Sie am Anfang des LaTeX-Quelltextes.
+  }
+}{}
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%%%%  End of PRINTING/SCREEN VIEWING code; back to packages  %%%%
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{%
+  \setlength{\paperwidth}{8.5in}%
+  \setlength{\paperheight}{11in}%
+  \usepackage[body={5in,8in},\Margins]{geometry}[2002/07/08]
+}{% else, if ForPrinting=false
+  \setlength{\paperwidth}{4.75in}%
+  \setlength{\paperheight}{7in}%
+  \renewcommand{\cleardoublepage}{\clearpage}
+  \raggedbottom
+  \usepackage[body={4.5in,6in},\Margins,includeheadfoot]{geometry}[2002/07/08]
+}
+
+\providecommand{\ebook}{00000}    % Overridden during white-washing
+\usepackage[pdftex,
+  hyperfootnotes=false,
+  pdftitle={The Project Gutenberg eBook \#\ebook: Die Analyse des Zufalls},
+  pdfauthor={H. E. Timerding},
+  pdfkeywords={Andrew D. Hwang, Ralf Stephan, Joshua Hutchinson,
+               Project Gutenberg Online Distributed Proofreading Team,
+               Cornell University Library Historical Mathematical Monographs Collection},
+  pdfstartview=Fit,    % default value
+  pdfstartpage=1,      % default value
+  pdfpagemode=UseNone, % default value
+  bookmarks=true,      % default value
+  linktocpage=false,   % default value
+  pdfpagelayout=\PDFPageLayout,
+  pdfdisplaydoctitle,
+  pdfpagelabels=true,
+  bookmarksopen=true,
+  bookmarksopenlevel=1,
+  colorlinks=true,
+  linkcolor=\HLinkColor]{hyperref}[2007/02/07]
+
+%%%% Fixed-width environment to format PG boilerplate %%%%
+\newenvironment{PGtext}{%
+\begin{alltt}
+\fontsize{8.1}{9}\ttfamily\selectfont}%
+{\end{alltt}}
+
+%% Miscellaneous spacing parameters
+\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
+\setlength{\headheight}{15pt}
+
+\setlength{\textfloatsep}{12pt plus 4pt}
+
+\setlength{\emergencystretch}{1em}
+\setlength{\parindent}{2em}
+\newcommand{\Indent}{\hspace*{2em}}
+
+\newlength{\TmpLen}
+
+\newcommand{\DPnote}[1]{}
+\newcommand{\DPtypo}[2]{#2}
+\newcommand{\DPPageSep}[2]{\ignorespaces}
+
+% Decorative rules:
+\newcommand{\tb}[1][1.5cm]{\begin{center}\rule{#1}{0.5pt}\end{center}}
+% End of chapter mark
+\newcommand{\EndChap}{\pagebreak[0]\tb[3cm]\pagebreak[3]}
+
+\newcommand{\aaO}{a.\;a.\;O.}
+\renewcommand{\dh}{d.\;h.}
+\newcommand{\zB}{z.\;B.}
+
+\newcommand{\PadTxt}[3][c]{%
+  \settowidth{\TmpLen}{\text{#2}}%
+  \makebox[\TmpLen][#1]{#3}%
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+\newcommand{\Ditto}[1][Jahre]{\PadTxt{#1}{''}}
+
+\newcommand{\DotBox}[2][3cm]{\parbox[l]{#1}{#2\dotfill}}
+
+\setlength{\doublerulesep}{1pt}
+\newcolumntype{T}{!{\setlength{\arrayrulewidth}{2pt}\!\vline\!}}
+\newcommand{\thsize}{\footnotesize}% Table heading font size
+\newcommand{\thsmall}{\scriptsize}
+
+\newcommand{\ColSkip}{\smallskip}
+
+\newcommand{\ColHead}[2]{%
+  \multicolumn{1}{c}{%
+    \settowidth{\TmpLen}{\thsize\text{#1}}%
+    \parbox[c]{\TmpLen}{\thsize\ColSkip\centering#2\ColSkip}%
+  }
+}
+% Set column heads followed by one or two normal-width \vlines
+\newcommand{\ColHeadb}[2]{%
+  \multicolumn{1}{c|}{%
+    \settowidth{\TmpLen}{\thsize\text{#1}}%
+    \parbox[c]{\TmpLen}{\thsize\ColSkip\centering#2\ColSkip}%
+  }
+}
+\newcommand{\ColHeadbb}[2]{%
+  \multicolumn{1}{c||}{%
+    \settowidth{\TmpLen}{\thsize\text{#1}}%
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+  }
+}
+
+% Same, but followed with a thick \vline
+\newcommand{\ColHeadB}[2]{%
+  \multicolumn{1}{cT}{%
+    \settowidth{\TmpLen}{\thsize\text{#1}}%
+    \parbox[c]{\TmpLen}{\thsize\ColSkip\centering#2\ColSkip}%
+  }
+}
+
+\newcounter{FigNo}
+\newcommand{\Input}[2][0.9\textwidth]{%
+  \refstepcounter{FigNo}
+  \phantomsection\label{fig:\theFigNo}
+  \includegraphics[width=#1]{./images/#2.png}
+}
+\newcommand{\Fig}[1]{\hyperref[fig:#1]{Fig.~#1}}
+
+% Equation numbers: anchors and links
+\newcommand{\Tag}[1]{%
+  \phantomsection\label{eqn:\theChapNo:#1}%
+  \tag*{#1}
+}
+
+\newcommand{\Eqref}[1]{\hyperref[eqn:\theChapNo:#1]{#1}}
+
+% Miscellaneous notational conveniences
+\DeclareInputMath{183}{\cdot}
+\newcommand{\Dash}{\text{---}}
+\newcommand{\EnDash}{\text{--}}
+
+\renewcommand{\rho}{\varrho}
+\renewcommand{\phi}{\varphi}
+\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
+
+\newcommand{\frakx}{\mathfrak{x}}
+\newcommand{\frakM}{\mathfrak{M}}
+
+\newcommand{\Int}{\displaystyle\int}%[** TN: Original uses {\int\limits}]
+\newcommand{\Sum}{\mathop{\textstyle\sum}\limits}
+\newcommand{\Prod}{\mathop{\textstyle\prod}\limits}
+
+\DeclareMathOperator{\tang}{tang}
+
+\newcommand{\Z}{\phantom{0}}
+
+% Adjust footnote markers
+\makeatletter
+\renewcommand\@makefnmark%
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+%%%% Begin document %%%%
+\begin{document}
+
+\pagestyle{empty}
+\pagenumbering{Alph}
+\BookMark{-1}{Anfang}
+%%%% PG BOILERPLATE %%%%
+\BookMark{0}{PG Titelblatt}
+\begin{center}
+\begin{minipage}{\textwidth}
+\small
+\begin{PGtext}
+The Project Gutenberg EBook of Die Analyse des Zufalls, by 
+H. E. (Heinrich Emil) Timerding
+
+This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
+almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or
+re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included
+with this eBook or online at www.gutenberg.net
+
+
+Title: Die Analyse des Zufalls
+
+Author: H. E. (Heinrich Emil) Timerding
+
+Release Date: June 6, 2011 [EBook #36310]
+Most recently updated: June 11, 2021
+
+Language: German
+
+Character set encoding: UTF-8     
+
+*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK DIE ANALYSE DES ZUFALLS ***
+\end{PGtext}
+\end{minipage}
+\end{center}
+\clearpage
+%%%% Credits %%%%
+\begin{center}
+\begin{minipage}{\textwidth}
+\begin{PGtext}
+Produced by Andrew D. Hwang, R. Stephan, Joshua Hutchinson,
+and the Online Distributed Proofreading Team at
+http://www.pgdp.net. (This ebook was produced using images
+provided by the Cornell University Library Historical
+Mathematics Monographs collection.)
+\end{PGtext}
+\end{minipage}
+\end{center}
+\vfill
+\begin{minipage}{0.85\textwidth}
+\small
+\BookMark{0}{Anmerkungen zur Transkription}
+\subsection*{\centering\normalfont\scshape%
+\normalsize\MakeLowercase{\TransNote}}%
+\raggedright
+\TransNoteText
+\end{minipage}
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FRONT MATTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\DPPageSep{001}{}
+%[Blank Page]
+\DPPageSep{002}{}
+%[Blank Page]
+\DPPageSep{003}{}
+%[** Library stamp]
+\iffalse
+Cornell University Library
+
+BOUGHT WITH THE INCOME OF THE
+SAGE ENDOWMENT FUND
+THE GIFT OF
+Henry W. Sage
+1891
+MATHEMATICS
+\fi
+\DPPageSep{004}{}
+%[Blank Page]
+\DPPageSep{005}{i}
+\frontmatter
+\pagenumbering{Roman}
+%[Blank Page]
+\DPPageSep{006}{ii}
+%title page
+\begin{center}
+%[** TN: Hard-coded inter-word space to coax alignment of second argument]
+\TitleBox{DIE\quad WISSENSCHAFT}
+  {SAMMLUNG VON EINZELDARSTELLUNGEN AUS DEN GEBIETEN
+  DER NATURWISSENSCHAFT UND DER TECHNIK}{BAND 56}
+\vfill
+
+\textbf{\Large H. E. TIMERDING}
+\medskip
+
+\tb
+\bigskip
+
+\textbf{\LARGE DIE ANALYSE DES ZUFALLS}
+\vfill
+
+\footnotesize
+MIT 10 ABBILDUNGEN
+\vfill
+%[** publisher's device]
+\includegraphics[width=3cm]{./images/006.png}
+\vfill
+
+\textbf{\large BRAUNSCHWEIG}
+\medskip
+
+DRUCK UND VERLAG VON FRIEDR. VIEWEG \&~SOHN
+\medskip
+
+\normalsize
+1915
+\end{center}
+\clearpage
+\DPPageSep{007}{iii}
+%[** TN: Omit second title page]
+\iffalse
+DIE ANALYSE DES ZUFALLS
+
+VON
+
+H. E. TIMERDING
+
+MIT 10 ABBILDUNGEN
+
+BRAUNSCHWEIG
+
+DRUCK UND VERLAG VON FRIEDR. VIEWEG \& SOHN
+
+1915
+\fi
+\DPPageSep{008}{iv}
+%copyright page
+\null\vfill
+\begin{center}
+\hrule
+\footnotesize
+\bigskip
+Alle Rechte, \\
+namentlich das Recht der Übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten.
+\tb
+
+Copyright, 1915, by \so{Friedr}.\ \so{Vieweg} \&~\so{Sohn}, \\
+Braunschweig, Germany.
+\bigskip
+
+\hrule
+\end{center}
+\vfill
+\DPPageSep{009}{v}
+
+
+\Vorwort
+
+Das Problem des Zufalls ist an sich ein metaphysisches
+Problem. Es ist es wenigstens, wenn wir Metaphysik als die
+Theorie des Geschehens auffassen. Die Behandlung des Zufalls
+scheint daher auch nur nach den alten metaphysischen
+Methoden möglich, nämlich so, daß für das Geschehen in
+der Welt eine innerliche Erklärung gesucht wird. Je nachdem,
+wie diese Erklärung ausfällt, wird die Existenz des Zufalls
+bejaht oder verneint werden. Auf diese Weise soll aber das
+Problem des Zufalls hier nicht behandelt werden. Vielmehr
+soll gerade die naturwissenschaftliche Methode auf dieses
+Problem angewendet werden. Diese Methode hat im Gegensatz
+zu der Metaphysik der alten Schulphilosophie das Bezeichnende,
+daß sie über den Bereich der Erfahrung nicht hinausgeht.
+Sie besteht zunächst darin, daß die Erscheinungen, die sich
+unserer Erfahrung darbieten, sorgfältig beobachtet und geordnet
+werden, indem wir verwandte Erscheinungen zusammenfassen,
+das Gemeinsame an ihnen herausheben und,
+wenn wir eine ständige Wiederkehr einer gewissen Gemeinsamkeit
+beobachten, diese als eine Gesetzmäßigkeit in den
+Erscheinungen aufzeichnen. Nach dieser Methode haben wir
+versucht auch hier vorzugehen. Es handelt sich dann nur
+darum, die Erscheinungen herauszugreifen, die wir als zufällige
+bezeichnen, und das Gemeinsame an ihnen zu suchen.
+Dieses Gemeinsame würde innerhalb der Grenzen der Beobachtung
+das Wesen des Zufalls ausmachen.
+
+Die naturwissenschaftliche Methode geht aber doch noch
+weiter, indem sie sich ein bestimmtes Bild von den Vorgängen
+zu machen sucht, die als von gleicher Art zusammengefaßt
+werden. Dieses wird erreicht, indem man einen besonders
+\DPPageSep{010}{vi}
+einfachen oder übersichtlichen Vorgang unter den
+zu einer Gruppe zusammengefaßten herausgreift oder indem
+man zu den wirklich beobachteten noch einen erdichteten
+Vorgang, ein schematisches Bild, das alle gemeinsamen Züge
+der wirklich beobachteten Vorgänge zeigt, hinzufügt. Auf
+der Herstellung solcher schematischer Bilder beruht wesentlich
+die Anwendung der Mathematik auf Naturvorgänge.
+Diese Anwendung der Mathematik bildet auch für uns den
+Hauptzielpunkt. Deswegen sind wir auch hier auf die Herstellung
+schematischer Bilder für die als zufällig bezeichneten
+Vorgänge angewiesen. Auf ihnen baut sich die sogenannte
+Wahrscheinlichkeitsrechnung auf, so wie sie sich
+im Laufe der drei letzten Jahrhunderte entwickelt hat. Bei
+dieser Entwickelung sind allerdings lange Zeit auch ontologische
+Gesichtspunkte maßgebend gewesen, wenngleich
+dies selten unumwunden eingeräumt wurde. Erst die um
+die Mitte des vorigen Jahrhunderts (man kann sagen, mit
+J.~F.~\so{Fries}' Versuch einer Kritik der Prinzipien der Wahrscheinlichkeitsrechnung,
+\index{Fries@Fries, J. F.}%
+Braunschweig~1842) einsetzende
+Kritik hat nach und nach die ontologischen Bestandteile
+als solche erkannt und nach Möglichkeit ausgeschieden.
+
+Die Begriffe sind aber auch heute noch nicht so geklärt,
+daß sie keiner weiteren Erörterung mehr bedürfen. Deswegen
+schien es in der vorliegenden Darstellung geboten,
+mit der größten Vorsicht vorzugehen und den begrifflichen
+Erörterungen einen breiteren Raum zu gewähren. So sind,
+rein äußerlich genommen, die mathematischen Entwickelungen
+nur auf einen kleinen Teil des Buches beschränkt,
+und hierin liegt vielleicht ein gewisser Vorzug, da auf diese
+Weise auch der Leser, der in der Mathematik weniger zu
+Hause ist, auf seine Rechnung kommen kann, wenn er nur
+die wenigen Kapitel, welche die eigentlichen analytischen
+Entwickelungen enthalten, überschlägt. Was das Buch an
+\DPPageSep{011}{vii}
+begrifflicher Klärung zu geben sucht, wird er auch so im
+vollen Umfange finden. Über ein gewisses Maß hinaus ließen
+sich leider die mathematischen Ableitungen nicht vereinfachen.
+Ich habe sie auf das Notwendigste beschränkt und
+mich bemüht, nur die gewöhnlichsten Elemente der höheren
+Analysis als bekannt vorauszusetzen, und wenn jemand sich
+die Mühe machen sollte, das, was er an analytischen Entwickelungen
+hier findet, durch die Literatur hindurch zu verfolgen,
+so wird er feststellen können, daß durch diese kurze
+Zusammenfassung immerhin eine ziemliche Vereinfachung
+erreicht ist. Es ist kaum möglich, ohne eigene ergänzende
+Arbeit sich durch die unsäglich verwickelten und umfangreichen
+Ableitungen hindurch zu winden, die an keiner
+Stelle vereinigt sind und deren Resultate meist benutzt
+werden, ohne auf die Ableitung selbst noch einmal einzugehen.
+Dadurch geht aber die wirkliche Übersicht über den mathematischen
+Gehalt dieser Theorie verloren, und eine solche
+Übersicht auf möglichst knappem Raum zu geben, schien
+nicht ohne Verdienst zu sein.
+
+Es ist vielleicht gut, noch einmal zu wiederholen, daß
+es sich hier nicht um eine Darstellung des Inhaltes der
+Wahrscheinlichkeitsrechnung und auch nicht der Disziplin,
+die wir seit \so{Fechners} grundlegendem Werke als Kollektivmaßlehre
+bezeichnen, handelt, sondern daß wirklich nur die
+Klärung eines bestimmten Begriffes die Aufgabe sein soll.
+Hierbei schien es nötig, den rein kritischen Standpunkt
+möglichst zu wahren, selbst wenn auf diese Weise die schließlich
+gewonnenen Resultate in ihrer philosophischen Bedeutung
+hinter den Erwartungen manches Lesers zurückbleiben.
+Andererseits darf man doch behaupten, daß sich kaum
+irgendwo eine Gelegenheit findet, in das Wesen der Dinge
+durch exakte Methoden so tief einzudringen wie hier. Es
+fragt sich nur, mit welcher Stufe der Erkenntnis man sich
+\DPPageSep{012}{viii}
+zufrieden geben will. Je kritischer ein Mensch gestimmt
+ist, um so bescheidener und zurückhaltender wird er sein,
+wenn er sich das Eindringen in die Ordnung der Natur zur
+Aufgabe macht.
+
+Bei den Grenzen, die dem Umfang der vorliegenden
+Schrift gesteckt waren, ließ es sich nicht vermeiden, daß
+manches nur skizzenhaft geblieben ist. Vielleicht liegt hierin
+aber kein zu großer Fehler, da das Anregen zum eigenen
+Nachdenken doch die Hauptaufgabe bleiben muß und die
+sehr breit gehaltene Darstellung der meisten Untersuchungen
+über die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung die
+leitenden Gesichtspunkte manchmal mehr verhüllt als klar
+hervortreten läßt. Die Literaturangaben, die ich mache,
+sollen in keiner Weise Vollständigkeit beanspruchen, sie sollen
+nur den Anschluß an die neueren literarischen Erscheinungen
+auf dem behandelten Gebiete zu erreichen suchen.
+
+Das Buch lag in der Handschrift vollendet vor, als der
+Krieg ausbrach. Was wir seither mit tiefer Erschütterung
+erfahren haben, hat uns eindringlicher als je "`des Zufalls
+grausende Wunder"' vor Augen geführt, waltet er doch auch
+in der todbringenden Wirkung der Geschosse. Die Theorie
+des Zufalls, die wir hier entwickeln, hat in der Tat auf das
+Schießwesen eine fruchtbare Anwendung gefunden. Ich
+will nur auf die beiden Werke: \so{Sabudski-Eberhard},
+\index{Sabudski-Eberhard}%
+Die Wahrscheinlichkeitsrechnung, ihre Anwendung auf das
+Schießen und auf die Theorie des Einschießens, Stuttgart~1906,
+und \so{Kozak}, Theorie des Schießwesens auf Grundlage der
+\index{Kozak}%
+Wahrscheinlichkeitsrechnung und Fehlertheorie, Wien~1908,
+verweisen.
+
+\Signature{\so{Braunschweig}, im Februar 1915.}{H.~E. Timerding.}
+\DPPageSep{013}{ix}
+
+\tableofcontents
+\iffalse
+Seite
+
+Erstes Kapitel:  Der Begriff des Zufalls ............  1
+
+Zweites Kapitel: Die statistische Methode ........... 13
+
+Drittes Kapitel: Stationäre Zahlenreihen ........... 21
+
+Viertes Kapitel: Das "`Gesetz der großen Zahlen"' ....... 35
+
+Fünftes Kapitel: Die Theorie der Glücksspiele ......... 50
+
+Sechstes Kapitel: Die mathematische Analyse stationärer Reihen . 69
+
+Siebentes Kapitel: Das Urnenschema .............. 91
+
+Achtes Kapitel: Näherungsformeln .............. 105
+
+Neuntes Kapitel: Die statistische Theorie des Zufalls ...... 134
+
+Zehntes Kapitel: Die genetische Theorie des Zufalls ...... 154
+
+Namenverzeichnis ..................... 168
+\fi
+\DPPageSep{014}{x}
+%[Blank Page]
+\DPPageSep{015}{1}
+\mainmatter
+\BookMark{-1}{Hauptteil}
+
+
+\Chapter{Erstes Kapitel}{Der Begriff des Zufalls}
+
+Was wir als Analyse des Zufalls bezeichnen, bedeutet nicht
+den Versuch, in das innere Wesen der Zufallsereignisse an sich
+einzudringen, es bedeutet vielmehr den Nachweis, daß auch
+sie, wenn wir sie in ihrer Gesamtheit fassen, einer bestimmten
+methodischen Behandlung fähig sind, und daß auch in diesen zunächst
+jeder Gesetzmäßigkeit zu spotten scheinenden Ereignissen
+eine gewisse Regelmäßigkeit erkennbar ist, wenn wir nicht das
+einzelne Ereignis für sich, sondern den Einfluß aller gleich gearteten
+Ereignisse auf das Weltgeschehen ins Auge fassen. Daß
+das Wort Zufall den direkten Gegensatz zu Gesetzmäßigkeit bedeutet,
+ist wohl die allgemeine Ansicht. Wir finden sie \zB~in
+\so{John Stuart Mill}s Logik (Buch~III, Kap.~17) klar ausgesprochen,
+\index{Mill@Mill, John Stuart|f}%
+wo es heißt: "`Von Zufall wird gewöhnlich im direkten Gegensatz
+zu Gesetz gesprochen. Was, so sagt man, keinem Gesetz zugeschrieben
+werden kann, wird als zufällig angesehen. Es ist indessen
+gewiß, daß alles, was geschieht, das Resultat eines Gesetzes
+ist, \dh~die Wirkung von Ursachen, und aus einer Kenntnis des
+Vorhandenseins dieser Ursachen heraus und ihren Gesetzen gemäß
+vorausgesagt hätte werden können. Wenn wir eine bestimmte
+Karte ziehen, ist dies eine Folge von ihrer Lage in dem Haufen.
+Ihre Lage in dem Haufen war eine Folge von der Art, wie die
+Karten gemischt wurden oder der Reihenfolge, in der sie bei dem
+letzten Spiel ausgespielt wurden, und dies wieder Folgen früherer
+Ursachen. In jedem Stadium wäre es, wenn wir eine genaue
+Kenntnis der vorhandenen Ursachen besessen hätten, möglich gewesen,
+die Wirkung vorauszusagen.
+
+"`Ein zufällig eintretendes Ereignis läßt sich besser als ein
+Zusammentreffen beschreiben, aus dem wir keine Regelmäßigkeit
+schließen können, also als das Eintreten einer Erscheinung unter
+\DPPageSep{016}{2}
+bestimmten Umständen, ohne daß wir Grund haben zu schließen,
+dieselbe Erscheinung würde unter diesen Umständen immer wieder
+eintreten. Wenn wir näher zusehen, bedeutet dies aber, daß die
+Aufzählung der Umstände nicht vollständig war. Was auch das
+Ereignis sei, wenn alle Umstände sich wiederholen, würde sich
+auch das Ereignis wiederholen, ja selbst dann, wenn nur die Umstände
+sich wiederholen, auf welche das Ereignis immer folgt. Mit
+den meisten der Umstände ist das Ereignis aber nicht beständig
+verknüpft, ihre Verbindung mit ihm heißt dann zufällig. Zufällig
+verknüpfte Ereignisse sind einzeln die Wirkungen von Ursachen
+und deshalb von Gesetzen, aber von verschiedenen Ursachen und
+solchen, die unter sich durch kein Gesetz verknüpft sind.
+
+"`Es ist deshalb unrichtig zu sagen, daß ein Ereignis durch
+Zufall herbeigeführt wird, aber wir können sagen, daß zwei oder
+mehr Ereignisse durch Zufall verknüpft sind, daß sie nur durch
+Zufall zusammen bestehen oder aufeinander folgen, \dh~daß sie
+in keiner Weise ursächlich verknüpft sind, daß sie weder Ursache
+und Wirkung noch Wirkungen derselben Ursache noch Wirkungen
+unter sich gesetzmäßig verknüpfter Ursachen sind."'
+
+Der Begriff erscheint hiermit zugleich in eine Form gebracht,
+in der er sich mit der durchgängigen Gesetzmäßigkeit alles Naturgeschehens,
+welche die moderne Wissenschaft annimmt, in Einklang
+bringen läßt. Die Auffassung, die \so{John Stuart Mill} hier
+befürwortet, findet sich schon früher bei \so{Schopenhauer} ausgesprochen,
+\index{Schopenhauer}%
+der in seinem Hauptwerk Die Welt als Wille und
+Vorstellung (3.~Aufl.\ 1859, Bd.~1, S.~550) sagt: "`Das kontradiktorische
+Gegenteil, \dh~die Verneinung der Notwendigkeit ist
+die Zufälligkeit. Der Inhalt dieses Begriffes ist daher negativ,
+nämlich weiter nichts als dieses: Mangel der durch den Satz vom
+Grunde ausgedrückten Verbindung. Folglich ist auch das Zufällige
+immer nur relativ: nämlich in bezug auf etwas, das nicht
+sein Grund ist, ist es ein solches. Jedes Objekt, von welcher Art
+es auch sei, \zB~jede Begebenheit in der wirklichen Welt, ist
+allemal notwendig und zufällig zugleich: notwendig in der Beziehung
+auf das eine, das ihre Ursache ist; zufällig in Beziehung
+auf alles übrige. Denn ihre Berührung in Zeit und Raum mit
+allem übrigen ist ein bloßes Zusammentreffen, ohne notwendige
+Verbindung, daher auch die Wörter Zufall, \textgreek{sumbebhk'os}, contingens.
+So wenig daher, wie ein absolut Notwendiges, ist ein absolut
+\DPPageSep{017}{3}
+Zufälliges denkbar. Denn dieses letztere wäre eben ein
+Objekt, welches zu keinem anderen im Verhältnis der Folge zum
+Grunde stände. Die Unvorstellbarkeit eines solchen ist aber
+gerade der negativ ausgedrückte Inhalt des Satzes vom Grunde,
+welcher also erst umgestoßen werden müßte, um ein absolut Zufälliges
+zu denken: dieses selbst hätte aber alsdann auch alle Bedeutung
+verloren, da der Begriff des Zufälligen solche nur in Beziehung
+auf jenen Satz hat, und bedeutet, daß zwei Objekte nicht
+im Verhältnis von Grund und Folge zueinander stehen. In der
+Natur, sofern sie anschauliche Vorstellung ist, ist alles, was geschieht,
+notwendig, denn es geht aus seiner Ursache hervor. Betrachten
+wir aber dieses Einzelne in Beziehung auf das Übrige,
+welches nicht seine Ursache ist, so erkennen wir es als zufällig;
+dies ist aber schon eine abstrakte Reflexion."'
+
+Diese "`abstrakte Reflexion"', die einerseits den Begriff des
+Zufälligen auf alle Ereignisse ausdehnt, ihn aber anderseits rein
+\so{relativ} wendet, indem immer nur ein Ereignis in bezug auf ein
+anderes oder das räumliche oder zeitliche Zusammentreffen zweier
+Ereignisse als zufällig bezeichnet werden kann, unterliegt aber
+doch einigen Bedenken. Zunächst nämlich bedeutet der durchgängige
+Zusammenhang alles Geschehens nicht, daß zu jedem Ereignis
+ein anderes gefunden werden kann, das von jenem die
+"`Ursache"' ist, während mit allen anderen Ereignissen kein solcher
+Zusammenhang besteht, sondern die ursächliche Verknüpfung durchzieht
+den Bereich aller Vorgänge in der Welt. Eine Abänderung
+des Geschehens an irgend einer Stelle würde sich in ihren Folgen
+über die ganze Welt ausbreiten. Es ist dies das Prinzip, das
+\so{Kant} als Prinzip der Wechselwirkung in aller Schärfe formuliert
+\index{Kant}%
+hat. Nach diesem Prinzip würde ein Zufall im strengen Sinne
+des Wortes auch dann unmöglich sein, wenn man den Begriff in
+der angegebenen Weise nur relativ fassen will. Er läßt sich nur
+so rechtfertigen, daß man durch das Zufallsurteil bloß das Fehlen
+einer \so{engeren} kausalen Verknüpfung aussprechen will, ähnlich
+wie man bei zwei Menschen sagt, sie seien nicht verwandt, auch
+wenn sich, indem man weit genug in der Ahnenreihe zurückgeht,
+eine genealogische Beziehung zwischen ihnen finden läßt.
+
+Man könnte ferner den Einwand erheben, daß der Begriff
+des Zufalls auf diese Weise viel enger gefaßt wird, wie es dem allgemeinen
+Gebrauch des Wortes entspricht. Denn dieses soll hier
+\DPPageSep{018}{4}
+nur auf das Zusammentreffen zweier Ereignisse angewandt werden,
+es wird aber ohne Zweifel auch von einem einzelnen Ereignis gebraucht.
+Man kann sogar ohne weiteres die erste Bedeutung
+unter der zweiten als besonderen Fall begreifen, indem man dann
+eben das Zusammentreffen zweier bestimmter Geschehnisse als
+das Zufallsereignis ansieht. Ein jedes Ereignis ist ja im Grunde
+aus verschiedenen Momenten zusammengesetzt, die sich nur nicht
+immer bequem trennen lassen, so daß es keine künstliche und
+willkürliche Ausdeutung ist, wenn man auch \zB~den Witterungsumschlag
+bei Mondwechsel als ein Ereignis ansieht.
+
+Auf diese allgemeinere Fassung des Begriffes "`Ereignis"' als
+eines beliebigen Ausschnittes aus dem Weltgeschehen läßt sich
+allerdings die \so{Schopenhauer}sche Auffassung sofort übertragen.
+Sie bedeutet, daß das Ereignis als zufällig bezeichnet wird, wenn in
+ihm mehrere voneinander unabhängige Kausalreihen zusammenstoßen.
+Ganz in diesem Sinne sagt auch \zB~\so{Cournot} (Exposition
+\index{Cournot}%
+de la théorie des chances et des probabilités, Paris 1843): "`L'idée
+du hasard est celle du concours de causes indépendantes pour la
+production d'un évènement déterminé."'
+
+Die Frage bleibt aber: Wie sollen wir die zwei voneinander
+unabhängigen Kausalreihen auffassen? Müssen wir nicht sagen,
+wir nennen die Kausalreihen nur darum voneinander unabhängig,
+weil wir ihren Zusammenhang in dem vorliegenden besonderen
+Falle nicht erkennen können? Dann entspringt das Zufallsurteil
+nur einer Unvollkommenheit unserer Erkenntnis, und in dieser
+\so{subjektiven} Form sind die Zufallsurteile auch häufig aufgefaßt
+worden.
+
+Schon an der Schwelle der neueren Philosophie hat \so{Spinoza}
+\index{Spinoza}%
+aus dem allgemeinen Gesetz der Kausalität die Folgerung gezogen
+(Ethik~I, Prop.~29): "`In der Natur gibt es nichts Zufälliges."' In
+dem Scholion zu Prop.~33 sagt er weiter: "`Zufällig wird ein Ding
+nur wegen unserer mangelhaften Erkenntnis genannt."' Danach
+definiert er den Zufall: "`Ein Ding, von dem wir nicht wissen, ob
+sein Wesen einen Widerspruch in sich schließt oder von dem wir
+gewiß wissen, daß es keinen Widerspruch in sich schließt, ohne
+aber über seine Existenz etwas Sicheres behaupten zu können,
+weil die Ordnung der Ursachen uns verborgen ist, ein solches Ding
+kann uns weder als notwendig noch als unmöglich erscheinen und
+darum nennen wir es entweder zufällig oder möglich"' (möglich
+\DPPageSep{019}{5}
+offenbar, wenn seine Wirklichkeit unbekannt ist, zufällig, wenn
+sein Vorhandensein feststeht). In ähnlichem Sinne sagt \so{Hume}
+\index{Hume}%
+(Philosophical Essays concerning human understanding): "`Obwohl
+es nicht so etwas wie den Zufall in der Welt gibt, so hat doch
+unsere Unbekanntschaft mit der wirklichen Ursache denselben
+Einfluß auf die Erkenntnis und erzeugt eine solche Art von Glauben
+oder Meinung, als ob es einen Zufall gäbe."'
+
+Ob man so den Zufallsbegriff rein subjektiv faßt, indem man
+ihn auf eine Unvollkommenheit unserer Erkenntnis zurückführt,
+oder ob man ihm eine relative Bedeutung auch im objektiven Sinne
+läßt, indem man nicht unsere mangelnde Einsicht in das Zustandekommen
+des Ereignisses, sondern bei dem wirklichen Zustandekommen
+eine gewisse Besonderheit, eine gewisse Unabhängigkeit
+der verschiedenen Ursachen betont, immer hat der
+Zufall als Gegenteil der Notwendigkeit an sich keine absolute
+Bedeutung, solange man an dem Kausalitätsprinzip festhält, daß
+jedes Geschehen in der Welt durch seine Ursachen mit Notwendigkeit
+bestimmt ist.
+
+Wenn wir aber den landläufigen Gebrauch des Wortes Zufall
+ansehen, so ist noch immer nicht der eigentliche Kernpunkt
+berührt. Was den Begriff des Zufalls nahelegt, ist nicht das
+Fehlen einer Ursache, sondern das Mißverhältnis zwischen der
+Ursache und der Wirkung, wenn wir sie nach ihrer Bedeutung
+für uns selbst beurteilen. Wenn ein Spieler sein Hab und Gut auf
+einen Wurf setzt, so wird es wenig für ihn ausmachen, daß der
+Würfel nach bestimmten mechanischen Gesetzen seine Bewegung
+ausführt, und daß so auch seine Endlage bestimmt ist. Die Einzelheiten
+bei dem Vorgang des Würfelns sind so geringfügig und unkontrollierbar,
+das Resultat aber ist so bestimmend für das Wohl
+und Wehe des Spielers, daß die naturgesetzliche Notwendigkeit
+beim Rollen des Würfels ganz außer Betracht bleibt. Das, was
+wir im Leben Zufall nennen, bedeutet, wenn wir an dem naturwissenschaftlichen
+Standpunkt festhalten, eine den menschlichen
+Verhältnissen gegenüber empfundene krasse Ungleichwertigkeit
+der Ursache und der Wirkung.
+
+Gerade solche Ereignisse, wo ein ursächlicher Zusammenhang
+durch die nach den Grundsätzen der exakten Wissenschaft geleitete
+Erfahrung wohl angenommen werden kann, aber die Wirkung
+eine unverhältnismäßig große ist, wie bei einer Feuersbrunst,
+\DPPageSep{020}{6}
+die ein vom Winde verwehter Funke hervorruft, geben jedoch
+einen neuen Anlaß, den Zufall zu leugnen. Diese Leugnung beruht
+auf einer Beseitigung der Erklärung alles Weltgeschehens
+nach den Grundsätzen der kausalen Notwendigkeit und einer an
+die Stelle dieser Erklärung tretenden Zwecksetzung in allen Vorkommnissen
+des menschlichen und außermenschlichen Lebens, mit
+anderen Worten, auf der Vertauschung des ätiologischen mit dem
+teleologischen Standpunkt. Wenn wir dort von einer \so{Wirkung}
+sprechen, reden wir hier von einer \so{Schickung}. Die Ereignisse des
+Würfelspieles sind typisch zufällig, was das natürliche Zustandekommen
+betrifft. Nach Möglichkeit sind alle Ursachen entfernt,
+die auf das Eintreten eines bestimmten Wurfes hinwirken. Und
+doch, wenn jemand an einem Tage durch fortgesetzte unglückliche
+Würfe erhebliche Verluste erleidet, sagt er nicht: das war Zufall,
+sondern: ich habe heute kein Glück. An Roulettetischen beobachten
+die Spieler die Spielerfolge, bis sie selbst mitspielen. Sie
+glauben dann zu finden, daß an einem Tage eine bestimmte Zahl
+begünstigt sei und setzen auf diese. Eine solche Begünstigung
+kann, wenn sie vorhanden ist, offenbar nicht auf denselben Grundsätzen
+beruhen, auf denen wir die Naturwissenschaft aufbauen.
+Es handelt sich nicht um einen physikalischen Einfluß (influxus
+physicus), sondern eine metaphysische Wirkung (influxus metaphysicus).
+Diese Auffassung wird uns in allen Fällen besonders
+nahegelegt, wo es sich um Ereignisse handelt, die auf das Leben
+der Menschen eine einschneidende Wirkung ausüben, und wo damit
+das Mißverhältnis um so empfindlicher wird zwischen der Bedeutung
+der Wirkung und der scheinbar sinnlosen Verkettung von
+Umständen, welche diese Wirkung herbeigeführt haben. Wir
+ersetzen dann die fehlende Ursache durch einen Grund, der sich
+unserer Erkenntnis entzieht, den wir nur annehmen und als
+Schicksal bezeichnen. Diesen Gedanken hat \zB~\so{Goethe}, dem
+\index{Goethe}%
+sonst die metaphysische Spekulation wenig lag, mit großer Liebe
+gepflegt. Er sah das Walten des Schicksals auch da, wo es
+scheinbar als Zufall auftritt. Was die Menschen so nennen, ist
+eben Gott, der hier unmittelbar mit seiner Allmacht eintritt und
+das Geringfügigste verherrlicht (vgl.\ \so{Siebeck}, Goethe als Denker,
+\index{Siebeck}%
+2.~Aufl.\ 1905, S.~143).
+
+Dagegen äußerte schon \so{Spinoza} über diejenigen, welche alles
+\index{Spinoza|f}%
+Geschehen auf den Willen Gottes zurückführen (Ethik~I, Anhang):
+\DPPageSep{021}{7}
+"`Es darf nicht unerwähnt bleiben, daß Anhänger dieser Lehre, welche
+im Angeben der \so{Zwecke} der Dinge ihren Scharfsinn zeigen wollen,
+eine neue Art der Beweisführung aufgebracht haben, um diese ihre
+Lehre glaublich zu machen. Sie führen diese nämlich nicht auf
+die Unmöglichkeit, sondern auf die Unwissenheit zurück; was zeigt,
+daß ihnen kein anderes Beweismittel für diese Lehre zu Gebote
+stand. Wenn \zB~ein Stein von einem Dache auf den Kopf eines
+Menschen fällt und ihn tötet, so beweisen sie, der erwähnten
+Methode gemäß, daß der Stein gefallen sei, um den Menschen zu
+töten, folgendermaßen: Wäre der Stein nicht zu eben diesem
+Zwecke nach dem Willen Gottes heruntergefallen, wie mochten da
+so viele Umstände (denn oft treffen viele zusammen) durch Zufall
+zusammentreffen? Antwortet man, es sei so gekommen, weil der
+Wind wehte, und weil der Mensch gerade dort vorbeiging, so
+wenden sie dagegen ein: Weshalb hat der Wind gerade damals
+geweht? Warum ist der Mensch gerade damals dort vorbeigegangen?
+Erwidert man darauf: Der Wind fing damals zu wehen
+an, weil das Meer tags zuvor, bei noch ruhigem Wetter, in Bewegung
+kam, und der Mensch ging damals dort vorbei, weil er
+von einem Freunde eingeladen war, so wenden sie --- da das
+Fragen keine Grenzen hat --- abermals ein: Warum aber kam das
+Meer in Bewegung? Warum war der Mensch damals eingeladen?
+Und so werden sie nicht aufhören, fort und fort nach den Ursachen
+der Ursachen zu fragen, bis man zum Willen Gottes seine
+Zuflucht nimmt, \dh~zum Asyl der Unwissenheit."'
+
+Der Kern des angewendeten Beweisganges wäre sonach der:
+Wir können in dem Geschehen keinen nach menschlichen Begriffen
+vernünftigen Sinn erkennen, wenn wir nicht annehmen, daß eine
+bestimmte, allerdings uns verborgene Absichtlichkeit und Zweckmäßigkeit
+in den Begebenheiten liegt, die unser Leben entscheidend
+beeinflussen. Unter dem Einfluß der Naturwissenschaften sind
+wir geneigt, einer solchen Auffassung wenigstens in ihrer Anwendung
+auf die Vorgänge in der Natur jede Berechtigung abzusprechen,
+vielmehr suchen wir diese Vorgänge nach anderen
+Grundsätzen zu erfassen, die sich auf der Vorstellung eines naturnotwendigen
+Geschehens, \dh~bestimmter stets wiederkehrender
+Zusammenhänge aufbauen. \so{Kant} nennt einmal (Metaphysische
+\index{Kant}%
+Anfangsgründe der Naturwissenschaft, S.~99) den blinden Zufall
+und das blinde Schicksal in der metaphysischen Weltwissenschaft
+\DPPageSep{022}{8}
+"`einen Schlagbaum für die herrschende Vernunft, damit entweder
+Erdichtung ihre Stelle einnehme oder sie auf dem Polster dunkler
+Qualitäten zur Ruhe gebettet werde"'.
+
+Aber wo es sich wie hier und in jeder logischen Untersuchung
+um die Ideenbildung an sich handelt, kann auch die für die ganze
+Lebensauffassung bedeutsame Idee der Schicksalsbestimmung nicht
+außer acht gelassen werden. Diese Idee verdankt ihren Ursprung
+wesentlich dem Gefühl der Machtlosigkeit alles menschlichen Strebens
+fremden Einwirkungen gegenüber, die im Gegensatz zu den planvollen
+menschlichen Handlungen als sinnlos und unbegreiflich erscheinen.
+Alles Ringen und Streben wird durch einen tückischen
+Eingriff äußerer Umstände zunichte gemacht. In diesem Sinne
+ist es völlig gleichgültig, ob der äußere Eingriff einem naturgesetzlichen
+Geschehen oder einer regellosen Willkür entspringt.
+Wenn wir in den Folgen des Zusammenstoßes zweier Eisenbahnzüge
+die gesetzmäßige Wirkung der als lebendige Kraft bezeichneten
+physikalischen Größe erkennen, so ist das ein geringer Trost für
+die Verunglückten und ihre Angehörigen. In den gesetzmäßigen
+Wirkungen der Natur spielt die Rücksichtnahme auf das menschliche
+Wohl und Wehe keine Rolle. Der Mensch ist hineingestellt
+in ein Spiel von Kräften, die sich mit dem Sinn seines Lebens von
+vornherein nicht berühren.
+
+Gerade weil die äußeren Einwirkungen auf das Leben des
+Menschen so plötzlich und unerwartet kommen können, weil es so
+schwer ist, in ihnen einen Sinn und einen Plan zu entdecken,
+werden sie vom naiven Verstande als der Ausfluß einer der
+menschlichen Zweckbestimmungen gegenüberstehenden, aber im
+Vergleich zu ihr übermächtigen Entscheidung angesehen. Der landläufige
+Begriff des Zufalls wird durch den Kausalbegriff im naturwissenschaftlichen
+Sinne überhaupt nicht getroffen. Er bezieht sich
+nur auf die Leugnung der Zweckbestimmung, entweder die unmittelbar
+durch die menschliche Tätigkeit bedingte oder die in das
+außermenschliche Geschehen nach Analogie der menschlichen Tätigkeit
+hineingelegte. Zufall oder Schicksal, das ist meistens die Frage,
+nicht Zufall oder Naturgesetz. So sind auch die Überlegungen,
+die von rein menschlicher Seite her an die Glücksspiele angeknüpft
+werden, nicht auf physische, sondern auf metaphysische Zusammenhänge
+zu beziehen. Die Frage lautet nicht, ob die physikalischen
+Vorgänge beim Glücksspiel, etwa beim Rollen der Roulettekugel,
+\DPPageSep{023}{9}
+auf einer physikalischen Gesetzmäßigkeit beruhen oder nicht,
+sondern um was es sich handelt, ist, in den Resultaten des Spieles
+eine bestimmte Schickung zu sehen, teils das Walten einer ausgleichenden
+Gerechtigkeit, teils ein Bevorzugen bestimmter Glückskinder.
+Vom naturwissenschaftlichen Standpunkt aus sind solche
+Zusammenhänge, die außerhalb des physischen Geschehens liegen,
+nicht zu verstehen. Damit sollen sie nicht von vornherein geleugnet
+sein, sie müssen nur außer acht gelassen werden, wenn
+man mit den Methoden der Naturwissenschaft operieren will.
+
+In welchem Sinne nun auch das Wort Zufall verstanden wird,
+ob wir es auf das physische Geschehen und sein Erfassen mit den
+Methoden der modernen Naturwissenschaft, oder ob wir es auf die
+aus der Beurteilung des Geschehens nach der Analogie der menschlichen
+Handlungen entspringende metaphysische Auffassung beziehen
+wollen, immer ist die Bedeutung die Leugnung eines bestimmten
+Zusammenhanges. \so{Zufällig ist ein Ereignis, wenn
+es nicht aus anderen Ereignissen oder bestimmten, als
+gegeben angesehenen Prämissen nach festen Regeln oder
+nach bestimmten Vernunftgründen gefolgert werden
+kann.} Die physische und die metaphysische Seite vereinigen sich
+in der Leugnung des Zufalls, die metaphysische, indem sie sagt:
+alles entspringt einer festen Zweckbestimmung, die physische,
+indem sie den Satz aufstellt: alle Ereignisse folgen aus anderen
+nach gesetzmäßigen Zusammenhängen mit unbedingter Notwendigkeit.
+Was aber Zufall und Notwendigkeit im physikalischen Sinne
+betrifft, so ist zunächst zu sagen, daß in dieser Allgemeinheit
+ausgesprochen der Satz "`Es gibt keinen Zufall"' wieder über die
+Grenzen der Erfahrung hinausgeht, vielmehr eine Hypothese bedeutet.
+Diese Hypothese hat keinen heuristischen Wert, sondern
+dient nur zur Abklärung des Weltbildes.
+
+Wenn nun auch in solchem dogmatischen Sinne der Zufall
+geleugnet wird, sei es von einem ätiologischen oder einem teleologischen
+Standpunkte aus, so bedeutet dies noch nichts gegen die
+Verwendung des Wortes in einem einfachen pragmatischen Sinne.
+Wenn wir sagen: "`Es ist ein Zufall, wenn sich bei wechselndem
+Mond das Wetter ändert"', so verbinden wir damit einen bestimmten
+Sinn, der weder der Zweckbestimmung in der Schöpfung noch der
+durchgängigen Kausalität alles Geschehens widerspricht. Wir
+meinen nämlich damit nur, daß unter den Momenten, die wir als
+\DPPageSep{024}{10}
+bestimmend für die Wetterlage ansehen müssen, der Mondwechsel
+keine Stelle findet. Was in dem einzelnen Falle als bestimmend
+für ein Ereignis oder, wenn man will, als dessen Ursache auftritt,
+bedeutet doch immer eine bestimmte Gruppe von Erscheinungen,
+und wir brauchen nicht den ganzen Weltenraum und die ganze
+Ewigkeit zu durchforschen, um diese Ursachen für ein Ereignis
+anzugeben. Im Gegenteil beruht jede naturwissenschaftliche Erkenntnis
+darauf, daß wir bestimmte wenige Ereignisse als maßgebend
+für das Eintreten eines anderen Ereignisses herausheben.
+So finden wir als Ursachen für die Ausdehnung der Luft die
+Steigerung der Temperatur oder die Verringerung des Druckes
+und können einen bestimmten gesetzmäßigen Zusammenhang angeben,
+der diese drei Größen verknüpft, so daß, wenn zwei davon
+bekannt sind, die dritte sofort gefunden werden kann.
+
+Eine solche Bestimmung des Erfolges aus gewissen, durch
+Beobachtung zu ermittelnden Momenten ist aber \zB~nicht möglich,
+wenn wir angeben sollen, auf welchem Felde der Scheibe beim
+Roulettespiel die Kugel liegen bleiben wird. Darum haben wir
+ein Recht, dieses Ereignis des Roulettespieles als ein zufälliges zu
+bezeichnen, weil wir den schließlichen Erfolg nicht aus einer bestimmten
+Gruppe von beobachtbaren Erscheinungen ableiten, \dh~als
+eine regelmäßig eintretende Folge dieser Gruppe von Erscheinungen
+erkennen können. Aus den beobachtbaren Ereignissen, die
+in diesem Falle die Bedingungen des Spieles bilden (wohin neben
+der sorgfältigen Anfertigung des zum Spiel dienenden Apparates
+auch die genaue horizontale Aufstellung der Roulettescheibe und
+ein genügender Impuls der Roulettekugel gehört) folgt nur, daß
+die Kugel auf einem der Felder liegen bleiben muß, aber nicht,
+auf welchem Felde. Demnach würde es, um ein Ereignis als zufällig
+bezeichnen zu dürfen, genügen, wenn \so{alle erfahrungsmäßig
+feststehenden Umstände, die bei einem Ereignis in
+Betracht kommen, dieses Ereignis noch nicht bestimmen,
+vielmehr es, wenn alle diese Umstände erfüllt sind, eintreten,
+aber auch ausbleiben kann}.
+
+So kommen wir auf einen engen Zusammenhang des Zufallsbegriffes
+mit dem Begriffe der Möglichkeit. Denn als Möglichkeit
+ist es anzusehen, wenn weder das Eintreten noch das Ausbleiben
+eines Ereignisses als gewiß erscheint. Ein bloß mögliches Ereignis
+kann eintreten, kann aber auch ausbleiben.
+\DPPageSep{025}{11}
+
+Wir müssen aber nach allem, was wir bis jetzt entwickelt
+haben, sagen, ein Ereignis könne ebensogut eintreten wie ausbleiben,
+wenn aus allen \so{beobachtbaren} Umständen, die bei diesem
+Ereignisse in Betracht kommen, noch nicht geschlossen werden
+kann, daß das Ereignis eintreten wird. Auf diese Weise vermeiden
+wir sowohl jede metaphysische Färbung als auch eine rein subjektive
+Fassung des Möglichkeitsbegriffes. Allerdings müssen wir
+betonen, daß der Begriff der empirischen Bestimmbarkeit ein unsicherer
+und schwankender ist. Was heute noch nicht bestimmbar
+ist, kann es morgen werden. Umstände brauchen nicht unmittelbar
+beobachtbar zu sein, damit wir ihnen einen bestimmten Charakter,
+nämlich den gleichen Charakter, den wir an unmittelbar beobachtbaren
+Umständen festgestellt haben, zuschreiben. Die Analogiebildung
+spielt eine wesentliche Rolle in der naturwissenschaftlichen
+Erkenntnis und ist nicht zu entbehren. Die Vorgänge im lebenden
+Körper sind zum größten Teil unbestimmbar, aber wir zweifeln
+nicht, daß sie von derselben Art sind wie andere Vorgänge, die
+wir kennen. Unbestimmbar zu sein, bedeutet an sich keinen besonderen
+und einheitlichen Charakter. Es tritt immer der Gedanke
+hinzu, ob wir uns ein Bild machen können von Vorgängen, die,
+wenn wir sie beobachten könnten, das Ereignis als aus ihnen
+ableitbar erscheinen ließen. Beim Roulettespiel sind solche Vorgänge
+nicht vorhanden, was geschieht, ist unmittelbar zu beobachten.
+Die Kugel liegt offen auf der Scheibe und wird dadurch
+in Bewegung gesetzt, daß die Scheibe selbst durch einen ihrer
+Achse mitgeteilten Impuls in rasche Drehung versetzt wird. Wir
+könnten allerdings aus der Stärke des Impulses, wenn sie uns genau
+bekannt wäre, die Bewegung der Kugel und ihre Endlage nach
+den Grundsätzen der Mechanik ableiten, aber die Entscheidung,
+auf welchem Felde die Kugel liegen bleiben wird, hängt von solchen
+geringen Differenzen des Impulses und von Fall zu Fall wechselnden
+kleinen besonderen Vorgängen bei der Bewegung der Kugel
+auf der rotierenden Scheibe ab, daß sie sich jeder Bestimmung
+entzieht. Daher haben wir hier wirklich den Typus des zufälligen
+Ereignisses vor uns.
+
+Wir können nun andere Vorgänge bilden, die den beim
+Roulettespiel vorliegenden gleichartig sind, dahin gehören die
+Ziehungen der Lose bei den Lotterien oder die Ziehungen einer
+Kugel aus einer Urne, die Kugeln von verschiedener Farbe gemischt
+\DPPageSep{026}{12}
+enthält, das Würfeln mit einem oder mehreren Würfeln und
+dergleichen mehr. Solche Vorgänge sind es, auf denen wir die Glücksspiele
+aufbauen. Wo diese Vorgänge nicht willkürlich zum Zweck
+des Glücksspiels herbeigeführt werden, aber doch eine dem Glücksspiel
+ähnliche Abmachung getroffen wird, spricht man bekanntlich
+nicht von einem Spiel, sondern von einer Wette. Es liegt in der
+Natur der Sache, daß eine Wette auch da vorliegen kann, wo
+die hauptsächlichste Bedingung eines Glücksspieles, die vorherige
+Unbestimmbarkeit des Erfolges, nicht erfüllt ist. In vielen Fällen
+ist sie es aber, \zB~wenn bei einer Seefahrt auf die letzte Ziffer
+in der Anzahl der an einem bestimmten Tage zurückgelegten Seemeilen
+gewettet wird. Diese letzte Ziffer hängt in der Tat von
+unbestimmbaren Einflüssen ab.
+
+Fassen wir das allgemeine Ergebnis, zu dem wir vorläufig
+gelangt sind, kurz zusammen, so ist es dieses, daß sich, auch wenn
+wir von einer durchgängigen Kausalität alles Geschehens ausgehen,
+gewisse Ereignisse herausheben, die wir als zufällige bezeichnen
+dürfen. Ein wesentliches Merkmal dieser Ereignisse ist, daß wir
+vorher nicht entscheiden können, ob sie eintreten werden oder
+nicht, daß sie also vor ihrem Eintreten nur als möglich, aber auf
+keine Weise als notwendig erscheinen. Es sind solche Ereignisse,
+bei denen die uns mögliche ursächliche Bestimmung, selbst wenn
+wir sie über die unmittelbare Erfahrung hinaus durch Analogiebildung
+ergänzen, als nicht ausreichend befunden wird.
+\EndChap
+\DPPageSep{027}{13}
+
+
+\Chapter{Zweites Kapitel}{Die statistische Methode}
+
+Erscheint als das Bezeichnende der zufälligen Ereignisse zunächst
+die Unmöglichkeit einer vollständigen kausalen Erklärung
+und damit einer Voraussage ihres Eintretens, wenn alle beobachtbaren
+Bedingungen des Ereignisses bekannt sind, so wird man
+sagen, dann hat das Zufällige überhaupt den Charakter der Unerkennbarkeit.
+Es lohnt nicht, weiter darüber zu reden. Und
+doch erweisen sich die Zufallsereignisse als eine Quelle sehr weitgehender
+Betrachtungen, selbst dann, wenn wir außerstande sind,
+den Zusammenhang des Geschehens in ihnen vollständig zu durchschauen.
+
+Diese Betrachtungen gehen davon aus, daß wir in den Zufallsereignissen
+eine gewisse innere Gleichartigkeit zu erkennen
+suchen. Das gibt uns die Möglichkeit, sie uns durch Analogiebildung
+näher zu rücken. Wir greifen gewisse typische Ereignisse
+unter ihnen heraus, bei denen die Gesamtheit der beobachtbaren
+Bedingungen willkürlich geschaffen werden. Diese Ereignisse
+sind die \so{Glücksspiele}. Wir schaffen uns so aus den Glücksspielen
+ein Mittel, um die Besonderheit der Zufallsereignisse
+allgemein zu beurteilen. Wir vergleichen die Zufallsereignisse mit
+Glücksspielen, indem wir das Wort Vergleich aber nicht im poetischen
+Sinne, sondern im Sinne der Zusammenstellung zahlmäßiger
+Resultate verstehen.
+
+Von vornherein erscheinen zwei Wege gangbar, um der
+Eigenart des Zufälligen näher zu kommen. Entweder man sucht
+sich einen Mechanismus des Geschehens zu denken, der im Resultat
+mit den beobachteten Zufallsereignissen übereinstimmt, und überträgt
+das innere Wesen dieses Mechanismus auf alle Zufallsereignisse.
+Das wollen wir eine \so{genetische} Erklärung des Zufalls
+nennen. Oder aber man stellt nur die Ereignisse zusammen, die
+bei der statistischen Zählung gleiche Resultate liefern, ohne weiter
+\DPPageSep{028}{14}
+auf ihr Zustandekommen einzugehen. Man hält nur das im statistischen
+Ergebnis Gleichartige nebeneinander und sieht mit
+diesem Nebeneinanderhalten die Aufgabe als erledigt an. Dies
+Verfahren wollen wir als die \so{statistische} Methode bezeichnen.
+
+Auf den ersten Weg deutet W.~\so{Wundt} in seiner Logik
+\index{Wundt, Wilh.|f}%
+(1.~Bd., 5.~Abschn., 1.~Kap.,~3c) hin, der zunächst die Bedeutung
+des Zufalls als einer Durchbrechung der Notwendigkeit des Geschehens
+hervorhebt.
+
+Er betont, daß es doch eine Auffassung gibt, die eine wissenschaftliche
+Theorie des Zufälligen ermöglicht. Kurz gesagt ist
+diese Auffassung die, daß wohl auch das Zufällige auf einer durchgängigen
+Kausalität beruht, daß aber bei einem zufälligen Ereignis
+die Ursachen wenigstens teilweise einen solchen besonderen
+Charakter haben, daß sie sich unserer Beobachtung entziehen.
+Von der wirklichen kausalen Entstehung des zufälligen Ereignisses
+sind daher bestimmte Aussagen zu machen, und wir können
+von einem objektiven Charakter der zufälligen Ereignisse sprechen,
+ohne daß wir darum den Gedanken einer durchgängigen Kausalität
+aufgeben.
+
+Auf diese Weise scheint die Schwierigkeit völlig gehoben.
+Wir finden eine Betrachtung, die den Grundsätzen der naturwissenschaftlichen
+Forschung nicht widerspricht und die uns doch
+die Möglichkeit gibt, den Begriff des Zufälligen auch in einer objektiven
+Bedeutung zu erhalten. Damit scheint diese genetische
+Betrachtung des Zufalls, die auf das wirkliche Zustandekommen
+der als zufällig erscheinenden Ereignisse eingeht, ihre Bedeutung
+und ihre Berechtigung zu erweisen. Es erhebt sich nur die Frage:
+Wie können wir denn über solche Ursachen urteilen, die sich
+unserer Beobachtung völlig entziehen? Nach \so{Wundts} Darstellung
+handelt es sich dabei um eine Hypothese. Nehmen wir das
+Vorhandensein solcher Ursachen an, so können wir nach den
+Grundsätzen der Logik und der allgemeinen Erfahrung die wirklich
+beobachteten Verhältnisse erschließen. Dies geht allerdings
+nicht ohne eine ziemlich umständliche mathematische Entwickelung,
+und \so{Wundts} Darstellung scheint nur eine Zusammenfassung
+der Grundgedanken dieser von \so{Bessel} herrührenden Ableitung,
+\index{Bessel@Bessel|f}%
+die uns später noch beschäftigen wird, zu bedeuten.
+
+Die \so{Bessel}sche Ableitung bezieht sich aber auf ganz besondere
+Erscheinungen, nämlich die Abweichungen der bei der
+\DPPageSep{029}{15}
+Bestimmung einer physikalischen Größe gefundenen Zahlenwerte
+voneinander. Der Begriff des Ereignisses scheint hier überhaupt
+nicht zu passen, es handelt sich sozusagen nur um eine Begleiterscheinung
+der wirklichen Ereignisse, nämlich der Beobachtungen.
+Daher rührt es wohl auch, wenn \so{Wundt} äußert, der Zufall könne
+niemals als selbständiges Phänomen, sondern immer nur als individuelle
+Abänderung einer gesetzmäßig bestimmten Erscheinung
+vorkommen. Diese Bedeutung würde den Geltungsbereich des
+Zufälligen nun erheblich einschränken, denn es wäre ein solches
+Zufallsereignis wie die Tötung eines Vorübergehenden durch einen
+herabfallenden Ziegel oder die Tötung eines Soldaten durch den
+Hufschlag eines Pferdes schwer in dieses Schema zu bringen.
+
+Indes ist die \so{Bessel}sche Hypothese nicht auf die Erklärung
+der Beobachtungsfehler bei physikalischen Messungen beschränkt,
+sie läßt sich dem Grundgedanken nach in viel weiterem Umfange
+anwenden. Die Hypothese ist im wesentlichen die, daß ein typisch
+zufälliges Ereignis auf sehr vielen Einzelumständen beruhe, die
+selbst von vornherein unbestimmt sind, daß das schließliche Endergebnis
+nur die Frucht einer großen Anzahl vorausgehender Erscheinungen
+sei, die alle voneinander unabhängig sind. Die Natur
+des Zufallsereignisses wird dadurch aber immer noch viel enger
+umgrenzt als früher, wo nur zwei voneinander unabhängige
+Kausalreihen bestehen mußten, während jetzt sehr viele voneinander
+unabhängige Umstände in dem Ereignis zusammenwirken
+sollen.
+
+Wir würden daher so den Bereich des Zufälligen von vornherein
+enger bestimmen, als es gerechtfertigt erscheint. Wie gelangen
+wir nun aber zu einer anderen, allgemeineren Methode, in
+die Natur der zufälligen Ereignisse einzudringen? Zu dem Zwecke
+müssen wir, wenn wir sagen, ein Zufallsereignis sei durch die feststellbaren
+Ursachen nicht völlig bestimmt, uns fragen, was überhaupt
+innerhalb der Grenzen der Erfahrung bedeutet, wenn wir
+von Umständen sprechen, die in dem Verhältnis von Ursache und
+Wirkung einen Erfolg bestimmen. Damit kann nur gemeint sein,
+daß, wo wir diese Umstände zusammen beobachten, stets auch der
+Erfolg zu beobachten ist. Nur an die tatsächliche Verbindung in
+allen beobachteten Fällen ist gedacht. Wenn also, wie beim Zufallsereignis,
+durch die feststellbaren Ursachen das Ereignis nicht
+völlig bestimmt ist, so bedeutet das, daß in den Fällen, wo diese
+\DPPageSep{030}{16}
+Ursachen zusammen beobachtet sind, das Ereignis bisweilen eingetreten,
+bisweilen aber auch ausgeblieben ist.
+
+Wir können, um noch klarer zu sein, diese Feststellung in
+zwei zerlegen. Die eine bedeutet, daß unter den in Betracht
+kommenden Umständen, welche die Gesamtheit der beobachtbaren
+Ursachen des Zufallsereignisses darstellen, dieses Ereignis wirklich
+wenigstens einmal eingetreten ist. Die zweite Feststellung bedeutet,
+daß das Ereignis unter den in Betracht kommenden Umständen
+auch wenigstens einmal ausgeblieben ist. Quidquid existit contingenter,
+aliquando non existit, ist ein alter Schulsatz. Das Feststellen
+einer solchen einfachen Tatsache würde allerdings an sich
+noch keine Statistik sein, die Statistik erscheint erst da, wo man
+\so{zählt}, wie oft ein Ereignis eingetreten ist. Man wird nun sagen,
+die Häufigkeit ist für die Tatsache der Möglichkeit, um die es sich
+hier allein handelt, gänzlich bedeutungslos. Was einmal geschehen,
+ist schon möglich. Wie oft es wieder geschieht, ist gleichgültig,
+außer wenn es in allen in Betracht kommenden Fällen zu beobachten
+ist. Dann würde sich die Möglichkeit in die Gewißheit
+verwandeln.
+
+Aber der Gedanke, daß in allen Fällen es gerade von Wert
+ist, zu erfahren, wie oft verhältnismäßig unter den gegebenen
+Umständen ein bestimmtes Ereignis eingetreten ist, bietet sich
+von selbst dar.\ \so{Sigwart} formuliert diesen Gedanken in seiner
+\index{Sigwart}%
+Logik (Bd.~II, Tl.~III, S.~406) mit den Worten: "`In der statistischen
+Zählung sind zwar die etwaigen individuellen Differenzen,
+durch die jedes Ding einzig in seinen bestimmten Eigenschaften
+sich von allen anderen unterscheidet, untergegangen, aber das
+Einzelne hat doch noch insofern sein Recht gefunden, als es nicht
+bloß als gleichgültiger Repräsentant eines allgemeinen Begriffes,
+sondern in seiner numerischen Unterschiedenheit von allen anderen
+beachtet ist."' Der hierdurch gemachte Fortschritt ist
+durchaus dem zu vergleichen, den in der Naturwissenschaft der
+Übergang von der bloßen Feststellung eines Zustandes zu seiner
+zahlmäßigen Bestimmung bedeutet. Wenn ein Ereignis in $90$
+von $100$ Fällen eingetreten ist, so werten wir die Möglichkeit
+anders, als wenn wir es unter $100$ Fällen nur einmal beobachtet
+haben.
+
+Die Statistik, zu der wir so gelangen, betrifft statistische
+Verhältniszahlen, \dh~es wird aufgezeichnet, wie oft unter bestimmten
+\DPPageSep{031}{17}
+Umständen, also in einer bestimmten Gruppe von Erscheinungen,
+ein Ereignis eingetreten ist, wobei es sich zunächst
+nur um die relative Häufigkeit, nicht aber um die absolute Anzahl
+des Vorkommens handelt. Nun erhebt sich aber sofort die Frage,
+die den Kernpunkt alles folgenden bildet: Nehmen wir an, wir
+haben die relative Häufigkeit nicht bloß aus einer Serie von Beobachtungen
+festgestellt, sondern wir haben mehrere Reihen von
+Beobachtungen benutzt und aus jeder die relative Häufigkeit bestimmt.
+Dann fragt es sich, ob wir ganz verschiedene Werte
+der relativen Häufigkeit bei den einzelnen Bestimmungen zu erwarten
+haben oder ob sich zwar nicht genau, aber doch angenähert
+derselbe Wert bei den verschiedenen Bestimmungen ergeben
+wird. In dem einen Falle erweisen sich die festgestellten
+Werte der relativen Häufigkeit als gänzlich unbrauchbar zur
+Charakterisierung des beobachteten Ereignisses im allgemeinen,
+in dem anderen Falle dagegen können wir dem regelmäßig wiederkehrenden
+Werte der relativen Häufigkeit eine bestimmte Bedeutung
+für das Ereignis an sich zusprechen. Wir können es als
+eine Eigentümlichkeit des Ereignisses ansehen, daß es mit dieser
+relativen Häufigkeit auftritt, während sonst die relative Häufigkeit
+nur eine Bedeutung innerhalb der räumlichen und zeitlichen
+Begrenzung, der die beobachteten Fälle entsprechen, besitzt. Wenn
+wir also etwa in regelmäßigen Zeitabschnitten die vorgekommenen
+relativen Häufigkeiten notieren, so fragt es sich: nähern sich die
+aufgezeichneten Verhältniszahlen alle einem bestimmten Werte
+oder läßt sich in ihnen eine systematische Veränderung beobachten?
+Es ist \zB~bekannt, daß die relative Häufigkeit der
+Selbstmorde zunimmt, dagegen scheint es zweifelhaft, ob eine
+ähnliche systematische Veränderung in dem Verhältnis der Anzahlen
+von männlichen und weiblichen Selbstmördern zu beobachten ist.
+
+Hierin liegt eine erste Scheidung der statistischen Verhältniszahlen
+begründet. Je nachdem, ob wir in ihnen eine systematische
+Veränderung beobachten oder nicht, werden wir von zufälligen
+oder durch bestimmte Ursachen hervorgerufenen Schwankungen
+sprechen. \so{Der Zufall würde so in der Statistik unmittelbar
+zutage treten.}
+
+Der große Vorzug, der in einer solchen statistischen Bestimmung
+des Zufalls liegt, besteht darin, daß wir nicht mehr gezwungen
+sind, auf die Einzelheiten beim Zustandekommen des
+\DPPageSep{032}{18}
+Ereignisses einzugehen, die in den meisten Fällen unserer Erkenntnis
+verschlossen sind und nur aus mehr oder minder unbestimmten
+Vermutungen heraus beurteilt werden, sondern vielmehr
+uns an bestimmte Tatsachen halten können.
+
+Nun ist aber klar, daß solche Schwankungen, die wir als zufällige
+bezeichnen, nicht bloß bei statistischen Verhältniszahlen
+auftreten können, sondern überhaupt, wo eine statistische Aufzeichnung
+vorliegt. Wenn wir nämlich eine solche Reihe von
+statistischen Zahlen uns vor Augen halten oder am besten sie in
+einer Kurve oder Staffel graphisch darstellen, so beobachten wir
+bald, daß neben systematischen Veränderungen auch ein regelloses
+Hin- und Herschwanken auftritt. Ein solches Schwanken
+werden wir wieder als zufällig bezeichnen. Allerdings ist es eine
+besondere, vielleicht nicht immer lösbare Aufgabe, die zufälligen
+Schwankungen richtig herauszuschälen. Unter der Voraussetzung,
+daß dies gelingt, zeigt sich nun aber, daß das unbestimmte und
+meistens auf bloßen Vermutungen beruhende Trennen der Ursachen
+in systematische und zufällige ersetzt wird durch ein quantitativ
+auf Grund gemessener oder gezählter Zahlenwerte ausführbares
+Scheiden der systematischen und der zufälligen Veränderungen.
+Wir können also der Methode der exakten Naturwissenschaft treu
+bleiben, nur auf Grund bestimmter Messungen und bestimmter,
+nach festen Regeln an diese Messungen geknüpfter Berechnungen
+vorzugehen.
+
+So werden wir darauf geführt, die Analyse statistischer
+Tabellen nach bestimmten besonderen Gesichtspunkten als unsere
+Aufgabe anzusehen. Hierbei erweist sich nicht einmal der Ursprung
+der Tabelle aus einer statistischen Zählung als entscheidend,
+vielmehr würden auch Tabellen, die auf Messungen einer
+und derselben physikalischen Größe beruhen, möge diese Größe
+nun veränderlich sein oder nicht, einer ganz analogen Analyse
+zugänglich sein.
+
+Bevor wir an diese Untersuchung gehen, scheint die Frage
+gerechtfertigt, welche Resultate wir von ihr erwarten dürfen. Dadurch,
+daß wir, statt auf das innerliche Zustandekommen der Zufallsereignisse
+einzugehen, nur ihre äußerliche Verteilung ins Auge
+fassen, geben wir, scheint es, die Hoffnung auf ein Eindringen
+in das innere Wesen des Zufälligen auf. Über dieses Wesen
+können wir ja keine Auskunft erhalten, wenn wir nichts anderes
+\DPPageSep{033}{19}
+aufzeichnen, als wie oft innerhalb einer gewissen Gruppe einzelner
+Fälle das in Rede stehende Ereignis eingetreten und ausgeblieben
+ist.
+
+Der Ausweg ist eben der, daß wir in der Verteilung, die uns
+die statistische Erhebung offenbart, doch in gewissem Sinne ein
+Merkmal der Zufallsereignisse erkennen können. Es ergeben
+sich gewisse Verteilungen, die typisch für die zufälligen Ereignisse
+sind. Darin liegt, daß wir aus der übereinstimmenden Verteilung
+auch auf eine innere Verwandtschaft der beobachteten Ereignisse
+schließen. Ist dieser Schluß aber berechtigt? Das bleibt
+unentschieden und muß unentschieden bleiben, weil wir in den
+Mechanismus des Geschehens nicht eindringen können. Aber auch
+in der bloßen Analogiebildung liegt eine gewisse Erklärung. Wir
+machen uns eine Erscheinung schon begreiflich, wenn wir eine
+andere Erscheinung finden, die sich in derselben Weise äußerlich
+offenbart wie die erste. Alles Erklären ist im Grunde ein Vergleichen.
+Der Vergleich kann im vorliegenden Falle einerseits so
+geführt werden, daß wir nur die Erscheinungen zusammenfassen,
+die eine gleiche oder verwandte Verteilung zeigen; andererseits
+können wir aber auch gewisse typische Erscheinungen herausgreifen,
+deren innerer Organismus uns leidlich klar erscheint und
+nach ihnen die Erscheinungen mit verwandter Verteilung beurteilen.
+Solche typische Erscheinungen sind die Glücksspiele.
+Wir würden danach als zufällige Ereignisse solche zu bezeichnen
+haben, bei deren statistischer Verfolgung sich dieselbe Verteilung
+der Ergebnisse wie bei den reinen Zufallsspielen herausstellt. Für
+die Glücksspiele kann man aber als zweckmäßig ein bestimmtes
+Schema wählen, und dieses wird fast immer durch die Ziehungen
+aus einer Urne, in der Kugeln von verschiedener Farbe gemischt
+enthalten sind, gebildet. Die Beurteilung der Zufallsereignisse
+nach diesem Urnenschema würde so das letzte Stadium der Untersuchung
+sein. Welchen Wert man ihr beimessen will, bleibt in
+gewisser Weise dem freien Belieben überlassen. Jedenfalls scheint
+es kein anderes Verfahren zu geben, um in einwandfreier Weise
+dem Charakter des Zufälligen nachzuspüren. Die Betrachtungen,
+zu denen dieser Gedankengang führt, hat man für solid genug
+zu halten, um darauf die Erforschung sowohl der Vorgänge in
+den kleinsten Teilen der Materie als auch der Verteilung der
+Himmelskörper im Weltenraum zu gründen.
+\DPPageSep{034}{20}
+
+Eines aber wird geltend gemacht werden und verdient sogleich
+hervorgehoben zu werden. Indem man zur statistischen
+Zählung übergeht, verschwindet das einzelne Ereignis und die
+Betrachtung bezieht sich nur auf die statistische Gesamtheit. Die
+gewählte Behandlungsweise setzt so voraus, daß es nicht das
+einzelne Ereignis ist, worauf wir unser Interesse lenken, daß wir
+vielmehr erst in der Gesamtheit der zusammengefaßten Ereignisse
+den Gegenstand unserer Überlegung sehen. So ist in dem
+angeführten physikalischen Beispiel nicht die Bewegung des einzelnen
+Moleküls der Zielpunkt der Untersuchung, sondern wie
+sich aus einer bestimmten Verteilung der Bewegungen aller einzelnen
+Moleküle die beobachtbaren Eigenschaften und Zustände
+des ganzen Körpers ergeben. In dem anderen Beispiele, das der
+Astronomie angehört, handelt es sich nicht um die Lage des
+einzelnen Fixsterns, sondern um die Verteilung aller Fixsterne
+im Weltenraum. Ebenso ist bei den Untersuchungen über die
+Erscheinungen in der menschlichen Gesellschaft, die auf zahlenmäßiger
+Grundlage möglich sind, nicht das einzelne Individuum
+der Gegenstand der Betrachtung, sondern eben die Gesamtmasse
+der Bevölkerung. Das Wohl und Wehe des einzelnen verschwindet
+und nur das Los der Allgemeinheit ist es, was in der Untersuchung
+zutage tritt. Man kann es vermissen, daß so die Aufklärung
+des einzelnen Zufallsereignisses an sich, die nur durch ein Eingehen
+auf seine individuelle Besonderheit möglich ist, durch die
+statistische Methode nicht gegeben wird. Man wird aber erkennen,
+daß doch das wahre, kardinale Problem berührt wird. Denn dieses
+Problem ist das, wie sich auf der Unbestimmbarkeit und anscheinenden
+Regellosigkeit des einzelnen Falles eine Gesetzmäßigkeit
+aufbaut und feste in Zahlen ausdrückbare Zusammenhänge
+in der Gesamtheit ergeben. Gerade dies ist es ja auch, was selbst
+nach aller möglichen Aufklärung unser tiefes Erstaunen hervorruft.
+\EndChap
+\DPPageSep{035}{21}
+
+
+\Chapter{Drittes Kapitel}{Stationäre Zahlenreihen}
+
+Wir wollen nun allgemein ausgehen von der Zusammenstellung
+einer Reihe von Zahlenwerten, die man als eine \so{Tabelle}
+bezeichnet. An einer Tabelle ist zu unterscheiden der Kopf, der
+\so{Eingang} und der \so{Eintrag}. In dem \so{Kopf} der Tabelle wird
+angegeben, was die in der Tabelle eingetragenen Zahlen allgemein
+bedeuten. Der \so{Eingang} dagegen setzt die Bedeutung der einzelnen
+Zahlen in der Tabelle fest. Damit also eine Reihe von
+Zahlen sich in einer Tabelle anordnen läßt, ist es notwendig, daß
+sie eine gemeinsame Bedeutung haben und die einzelne Zahl der
+Reihe nur noch durch eine besondere Bestimmung festgelegt wird.
+Diese besondere im Eingang der Tabelle stehende Bestimmung
+kann verschiedener Art sein. Sie kann die in der Tabelle eingetragenen
+Zahlen örtlich umgrenzen, wie wenn \zB~in einer
+Statistik über Preußen bestimmte Zahlen für die einzelnen Provinzen
+angegeben werden. Sie kann auch \zB, wenn es sich
+um zahlmäßige Bestimmungen von Eigentümlichkeiten einzelner
+Individuen handelt, die Namen dieser Individuen enthalten, oder
+diese Namen durch laufende Nummern ergänzen oder ersetzen.
+Eine solche Tabelle kann man allgemein als eine \so{Liste} bezeichnen.
+Der Eingang kann aber auch selbst eine zahlmäßige Bestimmung
+bedeuten. Sehr häufig bezeichnet er eine Zeit, entweder Zeitabschnitte,
+\zB~Jahre, Monate oder Tage, oder bestimmte Zeitpunkte.
+
+Der Eingang der Tabelle kann ferner eine reine Zahl sein.
+Dann haben wir eine rein mathematische Tabelle vor uns, die
+bestimmten Zahlenwerten wieder bestimmte Zahlenwerte zuordnet.
+Sie legt das fest, was man im mathematischen Sinne als
+eine \so{Funktion} bezeichnet. In ihr können unter anderem die
+Resultate bestimmter Rechenoperationen zusammengestellt sein.
+Dahin gehören \zB~die Logarithmentafeln. Wir wollen solche
+Tabellen als \so{analytische} bezeichnen. Den analytischen Tabellen
+stehen die \so{empirischen} gegenüber, die nicht bloß auf mathematischen
+\DPPageSep{036}{22}
+Rechnungen beruhen, sondern in denen ein bestimmtes
+Erfahrungsmaterial niedergelegt ist, unter Umständen im Verein
+mit Rechnungen, die an die empirisch ermittelten Zahlenwerte angeknüpft
+werden. Wir haben bei diesen empirischen Tabellen
+wieder zu unterscheiden, ob ihnen bestimmte \so{Messungen} oder
+bloße \so{Zählungen} zugrunde liegen. Im ersten Falle können wir
+von einer \so{Messungsreihe} sprechen, im zweiten Falle haben
+wir eine \so{Zählungsreihe} oder eine eigentliche statistische Tabelle
+vor uns. Um gleich ein Beispiel für beide Arten anzuführen,
+können wir als Messungsreihe die Bestimmung der Körpergröße
+eines Menschen in den verschiedenen Lebensaltern nehmen, als
+Beispiel für eine Zählungsreihe eine sogenannte Sterbetafel, die
+angibt, wieviel Menschen aus einer bestimmten Gruppe von Geborenen
+in den verschiedenen Lebensaltern sterben. Der Eingang
+der Tabelle ist in beiden Fällen dieselbe Zahl, nämlich das Lebensalter.
+Der Eintrag ist in dem einen Falle eine Länge, also eine
+gemessene Zahl, im anderen Falle eine durch Abzählung gewonnene
+Zahl, nämlich eine Anzahl von Personen.
+
+Die \so{Körpergrößen} beziehen sich auf Personen männlichen
+Geschlechtes. Sie entsprechen nicht der Entwickelung eines bestimmten
+Menschen, sondern sind Durchschnittszahlen, geben also
+die Entwickelung eines "`Durchschnittsmenschen"' an. Der Gesamtgröße
+ist die Beinlänge hinzugefügt und in einer dritten Spalte
+gleich das Verhältnis der Gesamtgröße zur Beinlänge angegeben.
+Man erkennt, daß dieses Verhältnis während des Wachstums des
+Menschen abnimmt und sich einem bestimmten Endwert nähert,
+den es aber schon vor der Vollendung des Wachstums erreicht.
+\begin{center}
+\begin{longtable}{c||c|c|c}
+\multicolumn{4}{c}{%
+  \so{Körpergröße männlicher Personen}\footnotemark.}\\
+\hline\hline
+\ColHeadbb{Jahre}{Alter\\ Jahre} &
+\ColHeadb{Gesamtgröße}{Gesamtgröße \\ $m$} &
+\ColHeadb{Beinlänge}{Beinlänge \\ $m$} &
+\ColHead{\;Gesamtgröße\;}{$\dfrac{\text{Gesamtgröße}}{\text{Beinlänge}}$} \\
+\hline
+\hline
+\endfirsthead
+\hline\hline
+\ColHeadbb{Jahre}{Alter\\ Jahre} &
+\ColHeadb{Gesamtgröße}{Gesamtgröße \\ $m$} &
+\ColHeadb{Beinlänge}{Beinlänge \\ $m$} &
+\ColHead{\;Gesamtgröße\;}{$\dfrac{\text{Gesamtgröße}}{\text{Beinlänge}}$} \\
+\hline
+\hline
+\endhead
+%[** TN: 3rd column values retained, calculated 1st ÷ 2nd values indicated]
+\Z0  & 0,500 & 0,160 & 3,13 \\
+\Z1  & 0,698 & 0,241 & 2,90 \\
+\Z2  & 0,791 & 0,288 & 2,75 \\
+\Z3  & 0,864 & 0,328 & 2,64 \\ %[** 2,63]
+\Z4  & 0,927 & 0,367 & 2,53 \\
+\Z5  & 0,987 & 0,404 & 2,44 \\
+\Z6  & 1,046 & 0,441 & 2,37 \\
+\DPPageSep{037}{23}
+%[** TN: Table head continues]
+\Z7  & 1,104 & 0,478 & 2,31 \\
+\Z8  & 1,162 & 0,514 & 2,26 \\
+\Z9  & 1,218 & 0,550 & 2,21 \\
+10 & 1,273 & 0,584 & 2,18 \\
+11 & 1,325 & 0,616 & 2,15 \\
+12 & 1,375 & 0,646 & 2,13 \\
+13 & 1,423 & 0,674 & 2,11 \\
+14 & 1,469 & 0,701 & 2,10 \\
+15 & 1,513 & 0,723 & 2,09 \\
+16 & 1,554 & 0,745 & 2,09 \\
+17 & 1,594 & 0,766 & 2,09 \\ %[** 2,08]
+18 & 1,630 & 0,782 & 2,09 \\ %[** 2,08]
+19 & 1,655 & 0,794 & 2,09 \\ %[** 2,08]
+20 & 1,669 & 0,802 & 2,09 \\ %[** 2,08]
+25 & 1,682 & 0,806 & 2,09 \\
+30 & 1,686 & 0,806 & 2,09 \\
+40 & 1,686 & 0,805 & 2,09
+\end{longtable}
+\end{center}
+\footnotetext{Vgl.\ \so{Quételet},\index{Quételet} Anthropométrie, Bruxelles 1871.}
+\begin{figure}[hbt!]
+  \centering
+  \caption{Fig.~1.}
+  \Input{037}
+\end{figure}
+
+Wir fügen dieser Tabelle sofort die graphische Darstellung
+hinzu, die den Entwickelungsgang noch anschaulicher macht.
+\DPPageSep{038}{24}
+
+Die \so{Sterbetafel}, die wir als Beispiel für eine Zählungsreihe
+anführen, gibt nicht etwa an, wie eine bestimmte Gruppe von
+gleichzeitig Geborenen mit den Jahren sich gelichtet hat, sondern
+sie enthält die Absterbeordnung, wie sie sich aus den Sterbefällen
+einer bestimmten Epoche, wenn man diese nach dem Alter der
+Gestorbenen gruppiert, ergibt. Das folgende ist in abgekürzter
+Form die deutsche Sterbetafel für das Jahrzehnt 1901 bis~1910\footnote
+  {Siehe Statistisches Jahrbuch für das Deutsche Reich~1913.}.
+Die Anzahl der Geborenen ist gleich $100\,000$ gesetzt, neben den
+Überlebenden stehen die während des folgenden Jahres Gestorbenen,
+und daneben ist noch das Verhältnis der voranstehenden Zahlen
+der beiden ersten Spalten, die sogenannte Sterbenswahrscheinlichkeit
+für ein Jahr angegeben. Wir beschränken uns wieder auf
+Personen männlichen Geschlechts.
+\begin{center}
+\begin{longtable}{r<{\quad}||*{2}{r<{\quad}|}r<{\qquad}}
+\hline
+\hline
+\ColHeadbb{Jahre}{Alter\\Jahre} &
+\ColHeadb{Überlebende}{Überlebende} &
+\ColHeadb{eines Jahres}{Gestorbene\\während\\eines Jahres} &
+\ColHead{Sterbenswahrschein-}{Sterbenswahrschein-\\lichkeit\\für ein Jahr}\\
+\hline
+\hline
+\endhead
+%[** TN: 3rd column values retained, calculated 2nd ÷ 1st values indicated]
+  0 & 100\,000 & 20\,234  & 0,20\,234 \\
+  1 &  79\,766 &  3\,181  & 0,03\,963 \\ %[**0,03 988]
+  2 &  76\,585 &  1\,143  & 0,01\,492 \\
+  3 &  75\,442 &     715  & 0,00\,947 \\ %[**0,00 948]
+  4 &  74\,727 &     516  & 0,00\,691 \\
+  5 &  74\,211 &     391  & 0,00\,528 \\ %[**0,00 527]
+ 10 &  72\,827 &     177  & 0,00\,244 \\ %[**0,00 243]
+ 15 &  72\,007 &     199  & 0,00\,277 \\ %[**0,00 276]
+ 20 &  70\,647 &     356  & 0,00\,504 \\
+ 25 &  68\,881 &     353  & 0,00\,513 \\
+ 30 &  67\,092 &     373  & 0,00\,556 \\
+ 35 &  65\,104 &     454  & 0,00\,697 \\
+ 40 &  62\,598 &     577  & 0,00\,922 \\
+ 45 &  59\,405 &     739  & 0,01\,244 \\
+ 50 &  55\,340 &     937  & 0,01\,693 \\
+ 55 &  50\,186 &  1\,183  & 0,02\,357 \\
+ 60 &  43\,807 &  1\,428  & 0,03\,260 \\
+ 65 &  36\,079 &  1\,698  & 0,04\,706 \\
+ 70 &  27\,136 &  1\,882  & 0,06\,936 \\ %[**0,06 935]
+ 75 &  17\,586 &  1\,871  & 0,10\,640 \\ %[**0,10 639]
+ 80 &   8\,987 &  1\,419  & 0,15\,787 \\ %[**0,15 789]
+ 85 &   3\,212 &     744  & 0,23\,160 \\ %[**0,23 163]
+ 90 &      683 &     219  & 0,32\,002 \\ %[**0,32 064]
+ 95 &       74 &      30  & 0,41\,399 \\ %[**0,40 541]
+100 &        4 &       2  & 0,49\,668 \\ %[**0,5]
+\end{longtable}
+\end{center}
+\DPPageSep{039}{25}
+
+Man sieht, wie die Zahlenreihen in den verschiedenen Spalten
+sich verhalten. Die Zahlen in der ersten Spalte nehmen natürlicherweise
+beständig ab. Die Zahlen in der zweiten Spalte
+nehmen zuerst ab, bis sie für das Alter von 12~Jahren ein Minimum
+erreichen, dann nehmen sie zu, wenig ab, wieder zu und erreichen
+für ein Alter von ungefähr 73~Jahren, das \so{Normalalter}, ein
+Maximum, um dann bis zum Schluß abzunehmen (vgl.\ \Fig{2}).
+\begin{figure}[hbt!]
+  \centering
+  \caption{Fig.~2. Anzahlen der in den verschiedenen Lebensaltern
+    Gestorbenen auf $100\,000$ Geborene.}
+  \Input{039}
+\end{figure}
+Die Zahlen der dritten Spalte nehmen zuerst ebenfalls ab und erreichen
+ein Minimum mit den Zahlen der zweiten Spalte, dann
+aber nehmen sie beständig und zwar zum Schluß sehr stark zu.
+
+Je nach der \so{Art} des \so{Einganges} lassen sich die Tabellen in
+zwei Arten scheiden. Bedeutet nämlich der Eingang eine Zahl
+oder eine Zeit, so ergibt sich hiernach eine natürliche Ordnung,
+nach der die Zahlen in der Tabelle entsprechend dem Eingang zu
+nehmen sind. Dagegen kann es auch vorkommen, wie es bei einer
+Liste oder bei einem Register häufig der Fall ist, daß die Reihenfolge,
+in der man die Bezeichnungen des Einganges und damit
+die Zahlen der Tabelle nimmt, völlig willkürlich bleibt. Wir
+werden also immer unterscheiden können, ob eine Tabelle sich
+ohne Verletzung einer natürlichen Ordnung umordnen läßt oder
+\DPPageSep{040}{26}
+nicht. Diese Unterscheidung fällt allerdings nicht ganz damit
+zusammen, ob der Eingang nach einem natürlichen Prinzip geordnet
+ist oder nicht. Dies zeigt ein Beispiel sofort. Im Falle
+eines Geburtenregisters ist eine natürliche Ordnung nach dem
+Zeitpunkt der Geburt vorhanden, aber wenn es sich um irgend
+eine zahlmäßige Bestimmung handelt, die an die Geborenen
+angeknüpft wird, \zB~die Lebensdauer, so kann man doch eine
+Umordnung, etwa nach der Lebensdauer, vornehmen. Also ist
+die Verletzung einer natürlichen Ordnung nicht notwendig dann
+vorhanden, wenn der Eingang nach bestimmten Gesichtspunkten
+geordnet ist. Dagegen wäre eine Umordnung \zB~bei einer
+Logarithmentafel undenkbar. Dies liegt daran, daß zwischen dem
+Eingang und dem Eintrag ein bestimmter gesetzmäßiger Zusammenhang
+besteht: der Eintrag ist eine Funktion des Einganges,
+und die Tabelle hat den Zweck, diese Funktion darzustellen. Beim
+Geburtenregister ist aber nicht unmittelbar die Lebensdauer als
+eine Funktion des Geburtsdatums anzusehen, die Tabelle stellt
+also nicht eine bestimmte Funktion, sei es eine analytische oder
+eine empirische, dar, und in diesem Fall ist die Umordnung
+gestattet.
+
+Wenn nun die Tabelle umgeordnet wird, so gelangt man
+durch diese Umordnung immer dazu, einen funktionalen Zusammenhang
+zu finden. Man geht zu dem Zweck von einer gewissen
+natürlichen Umordnung der Tabelle aus. Diese \so{natürliche}
+Umordnung ist die, bei der die Zahlenwerte der Tabelle
+ihrer \so{Größe} nach aufeinander folgen. Man kann dann das ganze
+Intervall, das die Zahlen erfüllen, in eine Anzahl gleiche Teile
+teilen und angeben, wieviel Zahlen der Tabelle in jeden dieser
+Teile fallen. Man unterwirft also sozusagen die Zahlenwerte der
+Urreihe selbst einer Statistik, und das Resultat dieser Statistik
+hat immer den Charakter einer funktionalen Abhängigkeit. Zu
+jeder Größe der vorkommenden Zahlenwerte gehört ja eine bestimmte
+Häufigkeit des Vorkommens. Die so abgeleitete Zahlenreihe
+soll eine \so{Verteilungsreihe} heißen. Wir können auch
+von einer \so{Verteilungsfunktion} sprechen, doch denkt man bei
+dem Wort Funktion gewöhnlich an die gegenseitige Abhängigkeit
+zweier kontinuierlich veränderlichen Zahlen, die ja nicht aus der
+Tabelle selbst unmittelbar hervorgehen, sondern von der diese
+nur den angenäherten Ausdruck bilden kann.
+\DPPageSep{041}{27}
+
+Es ist nun nicht eine allgemeine Erörterung der durch
+Tabellen gegebenen Zahlenfolgen unsere Aufgabe, vielmehr handelt
+es sich für uns darum, die Schwankungen herauszufinden, die wir
+bei den in der Tabelle eingetragenen Zahlenwerten als zufällige
+bezeichnen sollen.
+
+Zu dem Zweck greifen wir eine besondere Art von Zahlenreihen
+heraus, nämlich solche Reihen, bei denen wir keine systematische
+Zu- oder Abnahme der eingetragenen Zahlenwerte beobachten
+können, deren Werte vielmehr fortwährend zwischen
+bestimmten Grenzen eingeschlossen bleiben. Solche Reihen von
+Zahlen wollen wir als \so{stationäre} Zahlenreihen bezeichnen. Die
+nächste Aufgabe wäre also die, genau anzugeben, wann eine Reihe
+als stationär zu gelten hat. Hierfür läßt sich aber nicht eine
+scharfe, allgemein gültige Definition geben, vielmehr kann man
+nur Regeln anführen, die einen gewissen Anhalt für die Beurteilung
+stationärer Reihen gewähren. Solche Regeln finden wir, indem
+\DPtypo{wie}{wir} die Differenzen der in die Tabelle eingetragenen Zahlenwerte
+bilden. Wir können dabei auf doppelte Weise vorgehen. Entweder
+bilden wir die Differenzen von je zwei aufeinander folgenden
+Tabellenwerten, oder wir bilden die Differenz eines Tabellenwertes
+von allen anderen. Im ersten Falle erkennen wir, daß eine Reihe
+stationär ist, daran, daß die Vorzeichen der Differenzen regellos
+schwanken. Dies allein würde aber nicht ausreichen, denn wir
+können uns eine Reihe denken, bei der positive und negative Differenzen
+abwechseln und bei der doch ein beständiges Anwachsen der
+eingetragenen Werte stattfindet, indem die positiven Differenzen
+der Größe nach die negativen andauernd überwiegen. Deshalb
+muß eine auf dem zweiten Fall der Differenzenbildung aufgebaute
+Regel ergänzend hinzutreten. Diese zweite Regel sagt aus, daß
+die Differenzen eines festen Wertes von allen anderen, der Reihe
+nach genommenen Werten keine systematische Zu- oder Abnahme
+erfahren dürfen, daß sie vielmehr selbst den Typus der regellosen
+Schwankungen zeigen müssen. Allerdings muß es möglich sein,
+daß diese Differenzen alle dasselbe Vorzeichen haben. Dies tritt
+ein, wenn wir für den festen Wert den größten oder kleinsten
+Wert der Reihe nehmen. Wollen wir positive \so{und} negative Differenzen
+haben, so müssen wir einen Mittelwert zwischen diesen
+beiden Extremwerten nehmen, im besonderen den Wert der Reihe,
+unter dem höchstens ein Wert der Reihe mehr oder weniger liegt
+\DPPageSep{042}{28}
+als über ihm. Dann müssen die Vorzeichen der Differenzen
+regellos wechseln, es dürfen nicht \zB~die positiven sich in einer
+Gegend häufen, insbesondere indem sie nach einer bestimmten
+Seite hin zunehmen. Diese einfachen Regeln reichen zu einer
+vorläufigen Beurteilung, ob eine vorliegende Reihe als stationär
+zu gelten hat, aus. Es wird aber gut sein, wenn wir zunächst
+ein paar Beispiele für stationäre Reihen anführen.
+
+Ein erstes wichtiges Beispiel solcher Reihen wird gegeben durch
+eine Reihe von \so{Messungen derselben physikalischen Größe}.
+Wenn die Messungen leidlich genau sind, weichen die erhaltenen
+Werte verhältnismäßig wenig voneinander ab, um so weniger,
+je genauer die Messungen waren. Bei physikalischen Größen
+glauben wir an einen wahren Wert, dem die durch Messung gefundenen
+Werte mehr oder weniger nahe kommen. Die Abweichung
+von diesem wahren Wert bezeichnen wir dann als den
+\so{Fehler} der Messung. Die Betrachtungsweise, der wir hier folgen,
+geht jedoch auf die Bedeutung der Existenz des wahren Wertes,
+die immer jenseits des Bereiches der eigentlichen Messungen liegt,
+nicht weiter ein, vielmehr ist das einzig Gegebene für uns die
+Messungsreihe selbst. Der als Resultat der einzelnen Messungen
+niedergelegte Zahlenwert ist der zusammenfassende Ausdruck
+eines bestimmten Vorganges, den wir eben als Messung bezeichnen
+und bei dem gewöhnlich drei Momente: der der Messung zugrunde
+liegende physikalische Tatbestand, die messende Person und das
+Meßinstrument, zusammenwirken. Den physikalischen Tatbestand
+setzen wir als unabhängig von der messenden oder beobachtenden
+Person voraus. Nur unter dieser Voraussetzung ist es möglich,
+von einem bestimmten, unabhängig von der Messung bestehenden
+Zahlenwert, dem wahren Wert, zu sprechen und die Abweichung
+von diesem wahren Wert, den begangenen Fehler, teils der Person
+des Messenden, teils dem Meßinstrument zuzuschreiben. So tritt
+auch in die sogenannte Fehlertheorie der Glaube an die von der
+Wahrnehmung unabhängige Wirklichkeit einer uns umgebenden
+Welt entscheidend hinein, und da dieser Glaube, weil er aus den
+Sinneswahrnehmungen selbst nicht abgeleitet werden kann, notwendigerweise
+metaphysischen Charakter hat, steht auch die so
+aufgefaßte Fehlertheorie auf metaphysischem Boden, sie ist nur
+transzendent zu begründen, unsere Betrachtungen dagegen sind
+wesentlich immanenter Natur, sie bleiben ganz innerhalb der
+\DPPageSep{043}{29}
+Grenzen der Wahrnehmung, das einzig Gegebene sind für uns die
+Beobachtungsresultate selbst, und es handelt sich nur um eine
+bestimmte Analysierung dieser Resultate.
+
+Hierdurch ist bedingt, daß wir die als Resultate verschiedener
+Messungen derselben physikalischen Größe sich ergebenden Zahlen
+nicht anders werten wie irgend eine andere stationäre Zahlenreihe,
+bei der es ganz sicher ist, daß die einzelnen Zahlenwerte
+sich nicht auf eine und dieselbe physikalische Größe beziehen. Als
+ein erstes Beispiel für eine solche Zahlenreihe wollen wir die \so{mit
+Roggen bebaute Bodenfläche in Mecklenburg-Schwerin}
+während der einzelnen Jahre nehmen:
+\begin{center}
+\begin{tabular}{c||cTc||cTc||c}
+\hline
+\hline
+\ColHeadbb{Jahr}{Jahr} &
+\ColHeadB{Erntefläche}{Erntefläche\\qkm} &
+\ColHeadbb{Jahr}{Jahr} &
+\ColHeadB{Erntefläche}{Erntefläche\\qkm} &
+\ColHeadbb{Jahr}{Jahr} &
+\ColHead{Erntefläche}{Erntefläche\\qkm} \\
+\hline
+\hline
+1880 & 1646 & 1889 & 1673 & 1898 & 1582 \\
+1881 & 1647 & 1890 & 1673 & 1899 & 1568 \\
+1882 & 1646 & 1891 & 1673 & 1900 & 1620 \\
+1883 & 1673 & 1892 & 1625 & 1901 & 1661 \\
+1884 & 1673 & 1893 & 1703 & 1902 & 1728 \\
+1885 & 1673 & 1894 & 1701 & 1903 & 1612 \\
+1886 & 1673 & 1895 & 1539 & 1904 & 1652 \\
+1887 & 1673 & 1896 & 1618 & 1905 & 1678 \\
+1888 & 1673 & 1897 & 1616 & 1906 & 1675 \\
+\end{tabular}
+\end{center}
+
+Die Tabelle zeigt deutlich, daß wir es hier mit einer stationären
+Zahlenreihe zu tun haben, denn die aufgezeichneten Zahlenwerte
+bleiben zwischen den Grenzen 1539 und~1728, und es ist
+kein merkliches Fortschreiten in der Reihe zu beobachten, vielmehr
+gehören der größte und der kleinste Wert zwei mitten in
+der Reihe, und zwar ziemlich dicht beieinander liegenden Jahren
+(1893 und~1902) an. Es sind aber an diese Zahlenfolge noch
+einige kritische Bemerkungen zu knüpfen. Die absolute Unveränderlichkeit
+während der Jahre 1883 bis~1891 macht ganz den
+Eindruck, als ob sie nicht auf wirklicher Beobachtung beruhte,
+sondern dadurch entstanden wäre, daß einfach die Zahlen des
+vorigen Jahres wieder hingesetzt wurden. Bei der Frage nach
+der Entstehungsweise der Tabelle tritt hier also als wahrscheinlich
+ein Grund auf, der von ganz anderer Art ist als die Ursache,
+die eine wirkliche Veränderung oder Unveränderlichkeit in den
+\DPPageSep{044}{30}
+durch die Tabelle gegebenen realen Größen bedeutet. Er bedeutet
+einen objektiven Fehler bei der Aufstellung der Tabelle. Derartige
+Fehler sind bei statistischen Erhebungen notwendigerweise
+mit in Rechnung zu ziehen, sie bilden den größten Übelstand der
+Statistik, weil die Versuchung sehr groß ist, mühevollen Erhebungen
+durch das Erdichten einer Zahl zu entgehen.
+
+Zu den Zahlenreihen, die auf Grund bestimmter Messungen
+oder Zählungen entstehen und an sich stationär sind, können
+Zahlenreihen treten, die aus unmittelbar beobachteten Zahlenwerten
+erst durch bestimmte Rechenoperationen abgeleitet sind.
+Insbesondere fragt es sich, ob sich nicht unter Umständen eine
+stationäre Reihe durch Verbindung mehrerer Beobachtungsreihen
+ableiten läßt. Wir erläutern dies am besten gleich durch ein der
+Physik entnommenes Beispiel. Man denke sich eine U-förmig
+gebogene Röhre, deren unterer, gekrümmter Teil mit Quecksilber
+gefüllt ist, während der eine, geschlossene Schenkel Luft enthält.
+Der andere Schenkel der Röhre ist offen. Wenn hierin Quecksilber
+zugegossen wird, wird die Luft im geschlossenen Schenkel komprimiert.
+Das Volumen ist aus dem Stande des Quecksilbers sofort
+zu bestimmen. Wir messen ferner den Unterschied zwischen der
+Höhe des Quecksilbers in dem offenen und in dem geschlossenen
+Schenkel und bestimmen daraus den Druck, den die Luft in dem
+geschlossenen Schenkel auf das Quecksilber ausübt. Die so bestimmten
+Werte von Volumen und Druck zeichnen wir in einer
+Tabelle auf und fügen in einer dritten Spalte sogleich das Produkt
+zusammengehöriger Werte von Volumen und Druck hinzu.
+Aus einer Reihe von Beobachtungen ist so die folgende Tabelle
+abgeleitet:
+\begin{center}
+\begin{tabular}{c|c|c}
+\hline
+\hline
+\ColHeadb{Volumen}{Volumen\\ccm} &
+\ColHeadb{cm Hg}{Druck\\cm Hg} &
+\ColHead{Produkt}{Produkt} \\
+\hline\hline
+ 20,2 & \Z75,8 & 1531 \\
+ 19,0 & \Z81,4 & 1547 \\
+ 17,2 & \Z89,0 & 1531 \\
+ 15,2 &  100,0 & 1520 \\
+ 13,8 &  110,0 & 1518 \\
+ 12,4 &  124,3 & 1541 \\
+ 11,0 &  139,1 & 1530 \\
+\Z9,8 &  156,5 & 1535 \\
+\end{tabular}
+\end{center}
+\DPPageSep{045}{31}
+
+Wir sehen hieraus, daß die Werte von Volumen und Druck
+keine stationäre Reihe bilden, wohl aber die durch Multiplikation
+zusammengehöriger Zahlen abgeleiteten Werte in der dritten
+Spalte. Man sieht nun die durch eine solche Ableitung gefundene
+stationäre Reihe als den Ausdruck einer in Wirklichkeit unveränderlichen
+physikalischen Größe an. Man setzt daher für die
+einzelnen gefundenen Werte eine Konstante~$C$ und findet dann
+im vorliegenden Falle, indem man allgemein das Volumen mit~$v$,
+den Druck mit~$p$ bezeichnet, als die durch die vorstehende Tabelle
+ausgedrückte Beziehung:
+\[
+p · v = C.
+\]
+
+Die Ableitung einer stationären Reihe aus bestimmten gemessenen
+Zahlenwerten bedeutet also hier die Ermittelung eines
+funktionalen Zusammenhanges zwischen bestimmten physikalischen
+Größen oder, wenn man will, ein Naturgesetz, in diesem Falle das
+sogenannte \so{Boyle}sche oder \so{Mariotte}sche Gesetz, das die Abhängigkeit
+\index{Boylesches (Mariottesches) Gesetz}%
+von Druck und Volumen bei gleichbleibender Temperatur
+ausdrückt. Die Ermittelung einer stationären Reihe ist
+geradezu die Aufgabe bei der Aufdeckung irgend eines physikalischen
+Zusammenhanges.
+
+Die Ermittelung eines derartigen einfachen Zusammenhanges
+ist meistens nur bei den elementaren Naturerscheinungen möglich.
+Es sei gestattet, ein sehr merkwürdiges Beispiel anzuführen, wo sie
+auch bei sehr viel höher stehenden Prozessen gelingt. Es ist ein
+Beispiel aus der Biologie, das sich auf ein primitives Lebewesen
+(Triloculina rotunda), einen mehrkammerigen Kammerling, bezieht.
+Hieran hat \so{Iterson} Messungen vorgenommen, durch die er die
+\index{Iterson}%
+Breite der einzelnen Kammern bestimmte, und dabei gefunden
+(vgl.\ \so{Rhumbler}, Die Foraminiferen, Kiel 1911, S.~176):
+\index{Rhumbler}%
+\[
+\begin{array}{c|c|c}
+\hline
+\hline
+\ColHeadb{Kammer}{Kammer} &
+\ColHeadb{Kammer-}{Kammer-\\breite} &
+\ColHead{jeder Breite zur}{Verhältnis\\jeder Breite zur\\vorhergehenden} \\
+\hline
+\hline
+\Z2 & \Z34 & \Dash \\
+\Z3 & \Z45 & 1,32 \\
+\Z4 & \Z61 & 1,36 \\
+\Z5 & \Z84 & 1,38 \\
+\Z6 &  114 & 1,36 \\
+\Z7 &  142 & 1,25 \\
+\Z8 &  182 & 1,28 \\
+\Z9 &  246 & 1,35 \\
+ 10 &  319 & 1,30 \\
+\end{array}
+\]
+\DPPageSep{046}{32}
+
+Die dritte Spalte bildet wieder eine stationäre Zahlenreihe.
+Es ergibt sich also auch hier ein einfacher funktionaler Zusammenhang,
+wenn wir die stationäre Reihe als den Ausdruck
+einer Konstanten $c$ ansehen. Nennen wir die Breiten der einzelnen
+Kammern $y_i$, so finden wir:
+\[
+\frac{y_{i+1}}{y_{i}} = c,
+\]
+\dh~die Kammerbreiten bilden eine geometrische Progression,
+das sogenannte Gesetz des organischen Wachstums findet sich hier
+sehr angenähert verwirklicht.
+
+Die auf die Vorgänge in der menschlichen Gesellschaft bezüglichen
+Zahlenreihen zeigen meist keine so einfache Regelmäßigkeit
+wie die in der Naturwissenschaft aus bestimmten
+Messungen und Zählungen entspringenden Zahlenwerte. So oft
+\begin{figure}[hbt!]
+  \centering
+  \caption{Fig.~3.}
+  \Input{046}
+\end{figure}
+\DPPageSep{047}{33}
+man den Versuch gemacht hat, auch sie durch eine Formel darzustellen,
+so selten ist es wirklich gelungen, und selbst dann ist
+schwer zu sagen, ob die gefundene Formel wirklich einem inneren
+Zusammenhange entspricht oder der darzustellenden Reihe rein
+äußerlich angepaßt ist. Doch ist bisweilen die Regelmäßigkeit
+in den statistischen Zahlenfolgen weit größer, als man gewöhnlich
+denkt. Als ein sehr merkwürdiges Beispiel hierfür wollen wir
+\index{Pearson}%
+nach \so{Pearson} eine Statistik über die \so{Ehescheidungen in den
+Vereinigten Staaten}, in der die Häufigkeit der Scheidungen nach
+der Dauer der Ehe aufgezeichnet ist, anführen. Man verfährt am
+einfachsten so, daß man die Zahlen graphisch aufträgt und dann
+durch Probieren eine möglichst einfache Kurve zu finden sucht,
+welche dem aufgezeichneten Werte möglichst entspricht. Man
+findet in dem vorliegenden Falle eine Kurve von sehr einfachem
+Verlauf, die zuerst jäh aufsteigt, etwa bei dem Abszissenwert
+$3\frac{1}{2}$~Jahre ein Maximum erreicht und dann allmählich abfällt
+(\Fig{3}). Man hüte sich nur, den Ordinaten der Kurve eine unmittelbare
+Bedeutung zu geben. Sie ist allein eine Illustration des
+Verlaufes der aufgezeichneten Zahlenreihe.
+
+Von Wichtigkeit ist auch, den Verlauf einzelner Verhältniszahlen
+näher zu untersuchen, gerade um der Meinung entgegenzutreten,
+als ob auch alle \DPtypo{statistische}{statistischen} Verhältniszahlen stationäre
+Zahlenreihen lieferten und keine systematischen Veränderungen
+zeigten.
+
+Wir wollen als Beispiel die \so{Anzahlen der Lebendgeborenen
+in Promille der Einwohnerschaft} während der
+einzelnen Jahre im Gebiete des Deutschen Reiches nehmen.
+\begin{table}
+\centering
+\begin{longtable}{@{\,}c||cTc||cTc||c@{\,}}
+\hline
+\hline
+\ColHeadbb{Jahr}{Jahr} &
+\ColHeadB{\thsmall Lebendgeborene}{\thsmall Lebendgeborene\\Prom.} &
+\ColHeadbb{Jahr}{Jahr} &
+\ColHeadB{\thsmall Lebendgeborene}{\thsmall Lebendgeborene\\Prom.} &
+\ColHeadbb{Jahr}{Jahr} &
+\ColHead{\thsmall Lebendgeborene}{\thsmall Lebendgeborene\\Prom.} \\
+\hline
+\hline
+\endhead
+1862 & 36,0 & 1871 & 34,5 & 1880 & 37,6 \\
+1863 & 38,3 & 1872 & 39,5 & 1881 & 37,0 \\
+1864 & 38,5 & 1873 & 39,7 & 1882 & 37,2 \\
+1865 & 38,2 & 1874 & 40,1 & 1883 & 36,6 \\
+1866 & 38,3 & 1875 & 40,6 & 1884 & 37,2 \\
+1867 & 36,9 & 1876 & 40,9 & 1885 & 37,0 \\
+1868 & 36,9 & 1877 & 40,0 & 1886 & 37,1 \\
+1869 & 37,9 & 1878 & 38,9 & 1887 & 36,9 \\
+1870 & 38,4 & 1879 & 38,9 & 1888 & 36,6 \\
+\DPPageSep{048}{34}
+1889 & 36,4 & 1897 & 36,1 & 1905 & 33,0 \\
+1890 & 35,7 & 1898 & 36,1 & 1906 & 33,1 \\
+1891 & 37,0 & 1899 & 35,9 & 1907 & 32,3 \\
+1892 & 35,7 & 1900 & 35,6 & 1908 & 32,1 \\
+1893 & 36,8 & 1901 & 35,7 & 1909 & 31,0 \\
+1894 & 35,9 & 1902 & 35,1 & 1910 & 29,8 \\
+1895 & 36,1 & 1903 & 33,8 & 1911 & 28,6 \\
+1896 & 36,3 & 1904 & 34,0 &      &      \\
+\end{longtable}
+\end{table}
+
+Die Zahlenreihe zeigt nach den Einsenkungen in den Kriegsjahren
+ein deutlich erkennbares Maximum im Jahre~1876, \dh~auf
+dem Gipfel des wirtschaftlichen Aufschwunges nach dem
+deutsch-französischen Kriege. Dann folgt eine Abnahme, nach
+\begin{figure}[hbt!]
+  \centering
+  \caption{Fig.~4.}
+  \Input{048}
+\end{figure}
+der sich von etwa 1881 bis~1901 eine anscheinend stationäre
+Reihe ergibt, bis etwa von dem Beginn des neuen Jahrhunderts
+an sich eine entschiedene Abnahme bemerkbar macht, die von der
+Öffentlichkeit auch empfunden und mit Sorge betrachtet wird.
+\EndChap
+\DPPageSep{049}{35}
+
+
+\Chapter{Viertes Kapitel}{Das "`Gesetz der großen Zahlen"'}
+
+Von besonderer Bedeutung sind die stationären Reihen, bei
+denen die eingetragenen Zahlwerte statistische Verhältniszahlen
+sind. Sie bilden sozusagen den Gegenpol der Messungsreihen,
+die sich aus wiederholten Messungen derselben physikalischen
+Größe ergeben. Während bei diesen die erste Frage die ist, wie
+überhaupt eine Abweichung zwischen den gefundenen Zahlwerten
+zustande kommt, ist bei den statistischen Verhältniszahlen die
+Frage vielmehr die, wie ihre angenäherte Unveränderlichkeit zu
+erklären ist, da man ja zunächst für diese Unveränderlichkeit
+keinen Grund einsieht, weil die Ereignisse, auf die sich die Verhältniszahlen
+beziehen, gewöhnlich voneinander unabhängig sind
+und man daher nicht erkennen kann, wie sich aus den Ergebnissen
+für die Ereignisse während eines bestimmten Zeitabschnittes
+oder allgemein innerhalb irgend eines Zählungsbereiches nach den
+Grundsätzen der kausalen Verknüpfung ein Schluß auf die analogen
+Ergebnisse während eines neuen Zeitabschnittes oder innerhalb
+eines anderen Zählungsbereiches ziehen lassen soll. Derart
+würde man dazu geführt werden, die Existenz näherungsweise
+konstanter statistischer Verhältniszahlen als eine in einzelnen
+Fällen durch die Erfahrung erwiesene, aber nicht zu begründende
+Tatsache hinzunehmen. Wenn man für diese Tatsache die gewöhnlich
+übliche Bezeichnung "`Gesetz der großen Zahlen"' beibehalten
+wird, so muß man sich dabei klar sein, daß es sich nicht
+im eigentlichen Sinne um ein Gesetz, \dh~eine unverbrüchliche
+Regelmäßigkeit handelt, sondern nur um eine Tatsache, die bisweilen
+beobachtet wird. Das "`Gesetz"' bedeutet nur ein Prinzip
+der Auswahl, indem man insbesondere solche Verhältniszahlen
+herausgreift, die sich als näherungsweise konstant erweisen, ohne
+sagen zu können, warum sie es sind, und ohne überhaupt sagen
+\DPPageSep{050}{36}
+zu können, daß allen so herausgegriffenen Ereignissen eine bestimmte
+innere Gleichartigkeit zuzuschreiben sei.
+
+Es ergeben sich aber auch hierbei von vornherein gewisse
+Schwierigkeiten, die nicht zu unterschätzen sind. Zunächst ist zu
+beachten, daß die Unveränderlichkeit nie eine absolute, sondern
+immer nur eine angenäherte ist. Es ist daher nicht allgemein
+zu entscheiden, wann überhaupt statistische Verhältniszahlen als
+konstant angesehen werden sollen, sondern es bleibt immer der
+Willkür überlassen, festzulegen, innerhalb welcher Grenzen die
+Schwankungen dieser Zahlen sich halten müssen, damit man sie
+noch als konstant ansehen kann. Je nachdem, wie man über diese
+Frage entscheidet, wird der Bereich der konstanten statistischen
+Verhältniszahlen weiter oder enger gezogen.
+
+Nun ist es aber nicht allein die Größe der Schwankungen, es ist
+auch ihre Form, die in Betracht kommt. Wenn die Veränderungen
+in einer Reihe von Verhältniszahlen zwar gering sind, aber sich
+deutlich ergibt, daß diese Zahlen fortwährend ab- oder zunehmen,
+so wird man ungern diese Zahlen als konstant betrachten, vielmehr
+springt eine bestimmte Änderungstendenz so deutlich in die
+Augen, daß man sie nicht ignorieren kann und deshalb von einer
+"`systematischen Änderung"' sprechen muß. Anders ist es, wenn
+wenigstens für den ersten Anblick regellos Zu- und Abnahme miteinander
+wechseln. Dann erkennt man keine bestimmte Änderungstendenz
+und man ist vielmehr geneigt, von einer gewissen
+Konstanz in den Verhältniszahlen zu sprechen.
+
+Es ist allerdings zu bemerken, daß solche bloß regellose
+Schwankungen verhältnismäßig selten sind und daß die Aufgabe
+der Statistik im allgemeinen eher darin besteht, die systematischen
+Änderungen in den Zahlenreihen zu finden, als die Fälle herauszugreifen,
+in denen solche Änderungen fehlen. Zweifellos aber kann
+man, auch wo offenbar systematische Änderungen vorhanden sind,
+falls sie in gewissen engen Grenzen bleiben, immer noch die Frage
+aufwerfen, wie es denn kommt, daß man nur so geringe Änderungen
+findet, während man von vornherein doch auf viel größere
+Schwankungen gefaßt sein müßte. Wenn sich jedes Jahr eine
+ziemlich gleichbleibende Zahl von Gestellungspflichtigen durch
+Selbstverstümmelung dem Militärdienst zu entziehen sucht, so ist
+dies eine Tatsache, auf die man von vornherein nicht gefaßt sein
+kann. Man könnte sich doch ebensogut denken, daß es in einem
+\DPPageSep{051}{37}
+Jahr viermal oder zehnmal so viel wie in einem anderen sind, denn
+es besteht ja gar kein ursächlicher Zusammenhang zwischen den
+Ergebnissen der einzelnen Jahre. Was im einen Jahre geschehen
+ist, läßt sich nicht im geringsten übertragen auf das, was im
+nächsten Jahre geschehen wird. Es kommen ganz neue Personen
+in Betracht, die mit den im Vorjahre Beobachteten in keinerlei
+Beziehung stehen. Jeder einzelne handelt für sich, unabhängig
+und meist ohne Kenntnis von den übrigen. Alle Versuche zur
+Erklärung der geringen Veränderlichkeit statistischer Verhältniszahlen,
+die bisher gemacht sind, scheinen mir denn auch nicht
+das erstrebte Ziel zu erreichen. Meistens werden folgende Gesichtspunkte
+hervorgehoben: Wenn \zB~jedes Jahr ungefähr derselbe
+Bruchteil der Menschen durch Selbstmord aus dem Leben scheidet, so
+liege dieses daran, daß unter den lebenden Individuen ein gewisser
+Prozentsatz in bestimmter Weise krankhaft veranlagt ist, und
+durch eine Reihe von Umständen, die fast immer in der gleichen
+Weise vorhanden sind, vermöge ihrer krankhaften Veranlagung
+zum Selbstmord getrieben wird. Diese Erklärung klingt an sich
+durchaus annehmbar. Man muß schon etwas näher zusehen, um
+zu erkennen, daß sie in Wirklichkeit gar keine Erklärung im Sinne
+einer Zurückführung auf leichter zu durchschauende Tatsachen ist.
+Wir können nämlich zunächst fragen: Wie kommt es denn, daß ein
+bestimmter Prozentsatz der lebenden Individuen eine krankhafte
+Neigung zum Selbstmord besitzt? Selbst wenn diese Neigung in
+allen Fällen von den Eltern auf die Kinder überginge und nur
+auf diese Weise zustande käme, so daß immer die Kinder der zum
+Selbstmord veranlagten Personen und nur diese die gleiche Neigung
+besitzen, selbst dann bliebe noch zu erklären, wie es kommt, daß
+von einer Gruppe Menschen, die einen bestimmten Prozentsatz der
+Bevölkerung ausmacht, auch die Nachkommen immer wieder angenähert
+denselben Prozentsatz der Bevölkerung ausmachen, was ja
+durchaus nicht selbstverständlich ist, da die Anzahl der Kinder
+von einem Ehepaar zum anderen erheblich wechselt, auch die
+so veranlagten Personen nicht immer zur Heirat gelangen, und
+schließlich bleibt auch zweifelhaft, wenn nur eines der Eltern die
+Anlage besitzt, ob dann das Kind sie wieder erbt, denn wenn das
+immer der Fall wäre, müßte ja die Anzahl der so disponierten
+Personen rapid zunehmen. Eine eigentliche Erklärung ist so
+schon bei dieser Annahme nicht gegeben, und noch viel weniger,
+\DPPageSep{052}{38}
+wenn die Veranlagung zum Selbstmord auch durch andere uns unbekannte
+Umstände bei der Zeugung oder im Verlauf der Entwickelung
+zustande kommen kann. Endlich läßt sich nicht einmal
+behaupten, daß in allen Fällen der Selbstmord auf einer bestimmten
+Veranlagung beruhe, durch eine Reihe besonderer Umstände, insbesondere
+den wirtschaftlichen oder moralischen Zusammenbruch,
+kann möglicherweise auch ein normal veranlagter Mensch zum
+Selbstmord getrieben werden. Namentlich ist ja bekannt, daß
+Liebespaare, ohne daß beide Teile zum Selbstmord prädisponiert
+sein müssen, durch die erotische Stimmung zum Selbstmord gebracht
+werden. Alles das sind Umstände, die sich von vornherein
+nicht abwägen lassen. Man kann in allen Fällen nur dieselbe
+Behauptung wiederholen, es befinde sich in der menschlichen Gesellschaft
+von den unter den verschiedenen Einwirkungen stehenden
+Individuen immer angenähert ein bestimmter Prozentsatz. Dadurch
+wird aber die eigentliche Tatsache der Unveränderlichkeit
+nicht erklärt, sondern nur fortgesetzt behauptet. Gewiß können
+wir behaupten, es befinde sich in der Gesellschaft immer angenähert
+derselbe Prozentsatz von unglücklichen Liebenden oder bankerotten
+Existenzen, aber wie dieses wiederum zu erklären sei, dafür fehlt
+uns ebensosehr jede Handhabe wie für die ursprüngliche Frage.
+Das anfängliche Problem wiederholt sich immer aufs neue.
+
+Auch die Berufung auf eine durchgehende Gesetzmäßigkeit,
+die in der menschlichen Gesellschaft ebenso wie in der Natur
+walten müsse, erklärt gar nichts, ebensowenig wie der Vergleich
+mit den die Ordnung im Staat herstellenden Gesetzen\footnote
+  {\mbox{Vgl.\ \so{Ad}.\ \so{Wagner}}, Die Gesetzmäßigkeit in den scheinbar willkürlichen
+\index{Wagner, Ad.}%
+  menschlichen Handlungen. Hamburg 1864.}.
+Allerdings
+ist es nicht ganz so, wie \so{Windelband} (Die Lehren vom
+\index{Windelband}%
+Zufall, Inauguraldiss., Göttingen 1871, S.~47) sagt, daß ein naturwissenschaftliches
+Gesetz nur da vorliege, wo sich \so{genau} dasselbe
+numerische Verhältnis herausstellt. Denn alle Beobachtung zeigt
+wegen der unvermeidlichen Beobachtungsfehler und wegen der
+stets wirksamen störenden Nebenerscheinungen nie die genaue,
+sondern immer nur die angenäherte Erfüllung des Gesetzes. Wir
+können aber überhaupt nicht von einer naturgesetzlichen Erklärung
+reden, wo nur in einem bestimmten Bruchteil der in Betracht
+kommenden Fälle ein bestimmter Erfolg eintritt. Das Wesen der
+\DPPageSep{053}{39}
+Naturerklärung ist nämlich, daß wir mit einer Erscheinung immer
+eine andere Erscheinung verknüpft finden. Wenn wir daher die
+Erklärungsweise der Naturwissenschaft beibehalten wollen, so
+müssen wir die wirklich beobachteten Tatsachen derart ergänzen,
+daß wir in allen Fällen, wo bestimmte Voraussetzungen erfüllt
+sind, auch einen bestimmten Erfolg erhalten. Wir fügen daher
+zu den konstanten Bedingungen, die in allen Fällen gleichmäßig
+erfüllt sind, variable Bedingungen hinzu, die den Erfolg im einzelnen
+Falle entscheiden. Nehmen wir \zB~die Kindersterblichkeit
+während der ersten Lebensmonate. Wir können dann sagen, daß
+der Tod der Kinder aus ihrer geringen Lebensfähigkeit folgt. Wir
+teilen also den Kindern bei ihrer Geburt eine verschiedene Lebenskraft
+zu, nach der sich ihre Lebensdauer bestimmt. Es gehen aber
+die Kinder nicht ein, wie ein Lichtstummel verlöscht, wenn er abgebrannt
+ist, sondern es tritt immer, wenn sie sterben, eine äußere
+Ursache hinzu, die auch ausbleiben kann. Ob und wann das geschieht,
+dafür fehlt uns jede Kontrolle. Wir sind also auch hier darauf
+angewiesen, bloß zu sagen: unter den Kindern mit schwacher
+Lebenskraft werden mehr sterben, als unter den kräftigen Kindern.
+Selbst das aber kann zweifelhaft erscheinen, denn es könnte doch
+auch einmal glücken, daß die schwächlichen Kinder besser davonkommen
+wie die kräftigen. Wie es aber zustande kommt, daß
+einzelne Kinder lebensfähig sind, die anderen nicht, darüber
+können wir nie etwas Bestimmtes sagen. Gewiß können wir eine
+Reihe von Umständen angeben, die auf die Lebenskraft des Kindes
+Einfluß haben: der Ernährungszustand der Mutter während der
+Schwangerschaft, die physische Beschaffenheit der Eltern usw.,
+aber nie finden wir Umstände, unter denen in keinem Falle oder
+in jedem Falle das Kind lebenskräftig ist. Ebenso übt natürlich
+auch die Säuglingspflege ihren Einfluß auf die Sterblichkeit der
+Kinder aus, aber wir können wiederum nicht sagen, daß ein
+schlecht gepflegtes Kind, wenn es von Geburt an schwach war,
+immer, und ein gut gepflegtes Kind, wenn es der Anlage nach
+kräftig ist, nie stirbt. Die durchgängige Verbindung zweier Tatsachen,
+die das Wesen der Erklärung in der Naturwissenschaft
+ausmacht, findet also nicht statt, wenn wir bloß allgemein von
+der Lebensfähigkeit oder Lebensmöglichkeit sprechen und nicht
+auf alle besonderen Umstände eingehen, die im einzelnen Falle
+den Tod des Kindes herbeigeführt haben. Nicht anders ist es mit
+\DPPageSep{054}{40}
+dem Geschlechtsverhältnis der Geborenen, das zu den konstantesten
+Verhältniszahlen der Statistik gehört. Alle beobachtbaren Umstände
+reichen nicht aus, um das Geschlecht des geborenen Kindes
+mit Bestimmtheit angeben zu können. Allerdings knüpft sich
+gerade an diesen Fall eine allgemeine Erklärung an, welche die
+Geschlechtsbestimmung auf elementarere Vorgänge zurückführt.
+Man nimmt nämlich an (vgl.\ \so{Lexis}, Abhandlungen zur Theorie der
+\index{Lexis|f}%
+Bevölkerungs- und Moralstatistik, Jena~1903, S.~94), daß schon die
+Keimzellen, seien es allein die weiblichen oder auch die männlichen,
+geschlechtlich bestimmt seien und das in ihnen angelegte Geschlechtsverhältnis
+auch in dem Geschlechtsverhältnis der Geburten
+zutage tritt. Der Fall, der hier vorläge, wenn diese Erklärung
+richtig sein sollte, läßt sich durch folgendes Bild veranschaulichen.
+Ich habe in einer Tonne Bohnen und Erbsen gemischt und gut
+durcheinandergerührt; ich greife nun mit einem kleineren Gefäß
+eine gewisse Menge aus der Mischung heraus, dann behaupte ich,
+daß die Mischung in der herausgegriffenen Probe dieselbe sei wie in
+dem ganzen Gefäß. Diese Tatsache wird auch allgemein als richtig
+anerkannt. Wo im Handel Mischungen (etwa von zwei Kaffeesorten)
+hergestellt werden, verläßt man sich darauf, daß das Verhältnis der
+gemischten Substanzen in jedem Teil dasselbe sei wie im ganzen.
+Wenn wir an der Richtigkeit der Tatsache aber auch nicht zweifeln,
+so fehlt uns doch eine kausale Erklärung dafür. Wir können die
+Tatsache auffassen als ein Axiom, was heißt, daß wir sie nur als
+richtig annehmen, aber auf ihre Erklärung verzichten. Doch bedeutet
+der Verzicht auf eine kausale Erklärung immer noch nicht den
+Verzicht auf eine erkenntnistheoretische Erklärung. Auch die
+Geometrie nimmt ja eine Reihe von Axiomen als unbewiesene
+Tatsachen an, aber die Erkenntnistheorie setzt gerade bei diesen
+Axiomen ein und sucht ihr Zustandekommen und ihre Bedeutung
+zu erklären.
+
+So geht es auch hier. Wir fühlen das Bedürfnis, eine Erklärung
+dafür zu suchen, wie diese Tatsache, die wir kausal nicht als hinreichend
+erklärt ansehen können, in Wirklichkeit zustande kommt.
+Im Grunde ist es nun folgende Anschauung, die häufig Platz
+greift. Da die natürliche Erklärung aus regelmäßigen Verknüpfungen
+bestimmter Erscheinungen versagt, greift man zu einer
+übernatürlichen Deutung. Man denkt sich eine Art ausgleichender
+Gerechtigkeit, die das Gleichmaß herstellt. Wie, das können wir
+\DPPageSep{055}{41}
+freilich nicht sagen. Wir müßten uns denn kleine Dämonen denken,
+die darauf wirken, den Ausgleich herzustellen, die \zB~bei der Befruchtung
+die männlichen und weiblichen Keimzellen in dem gehörigen
+Verhältnis zur Geltung bringen, die also untereinander im
+Verkehr stehen und gegenseitig ihre Tätigkeit regulieren, die auch
+für die richtige Verteilung der Krankheitskeime sorgen und dadurch
+die gehörige Anzahl Kinder sterben lassen, usw. Wem diese
+Erklärung reichlich phantastisch scheint, der möge sich klar machen,
+daß es schwer einzusehen ist, wie man ohne die Annahme solcher
+übernatürlicher Regulative eine Erklärung erzielen kann. Man
+muß eben bedenken, daß der eine Fall mit dem anderen äußerlich
+in gar keiner Beziehung steht. Jede solche Beziehung, wie sie \zB~bei
+der Kindersterblichkeit durch eine Epidemie gegeben ist, würde
+im Gegenteil den Ausgleich verhindern, durch sie würde sich ja
+die normale \DPtypo{Sterlichkeit}{Sterblichkeit} erhöhen. Wir dürfen also keine kausale
+Beziehung zwischen den einzelnen Fällen annehmen. Wie sollen
+wir sie dann miteinander in Verbindung bringen? Welchen Grund
+haben wir, anzunehmen, daß wenn ein Ereignis, \zB~ein Verbrechen
+wie Diebstahl oder Notzucht, während eines Jahres in
+Deutschland eine gewisse Anzahl Male eingetreten ist, daß es dann
+im nächsten Jahre zwar nicht genau, aber doch ungefähr ebensooft
+eintreten wird. Gewiß können wir rechnen, daß wir in Deutschland
+eine gewisse Anzahl zu dem Verbrechen disponierte Personen
+haben, aber da diese Personen doch das Verbrechen nicht jedes
+Jahr ausführen, so ist gar nicht abzusehen, warum nicht ein Jahr
+zufällig frei bleiben soll. Wenn Hinz das Verbrechen nicht ausführt,
+so ist das gar kein Grund für Kunz, seinerseits das Verbrechen
+zu begehen. Und doch widerstreitet die Annahme einer
+großen Unregelmäßigkeit in solchen statistischen Verhältniszahlen
+durchaus unserem Empfinden. "`Wenn in einem Lande"', sagt \so{Lexis}
+(\aaO, S.~98), "`in einem Jahre $1000$ Unterschlagungen stattgefunden
+haben, so ist nicht zu erwarten, daß dieses Verbrechen
+im anderen Jahre gar nicht und wieder in anderen Jahren in
+$10\,000$ Fällen vorkommen werde"'. "`In einer großen Bevölkerung
+sind fortwährend"', fügt er zur Erklärung hinzu, "`alle Abstufungen
+zwischen Arm und Reich vorhanden, ebenso alle Arten von Geschäftsbeziehungen
+und Amts- und Dienststellungen, die zu einem
+solchen Verbrechen Veranlassung geben können, ferner werden
+immer wieder viele Personen von wirtschaftlichen Schwierigkeiten,
+\DPPageSep{056}{42}
+Verlegenheiten und Notständen betroffen, auch sind Leichtsinn,
+Gewissenlosigkeit, Verschwendungssucht und andere üble Eigenschaften
+stets in mannigfaltigen Graden verbreitet, und so treffen
+denn auch immer wieder die Bedingungen, die zu dem genannten
+und anderen Verbrechen und Vergehen gegen das Eigentum führen,
+in einer Anzahl von Fällen zusammen."' Das ist alles gewiß richtig,
+aber unter allen diesen Umständen ist kein einziger, der mit Notwendigkeit
+zu dem Verbrechen führt, und wir können deshalb auch
+durchaus nicht einsehen, warum mit Notwendigkeit oder nur mit
+einer gewissen Sicherheit anzunehmen ist, daß die Schwankungen
+in der relativen Häufigkeit des Verbrechens unter einer bestimmten
+Grenze bleibt. Man kann vielleicht sagen: vom sozialwissenschaftlichen
+Standpunkt ist alles klar, nur vom erkenntnistheoretischen
+Standpunkt liegt ein Problem vor. Es ist aber kein Zweifel, daß
+dieses Problem, auch wenn wir dafür keine bestimmte Antwort,
+sondern nur eine feste Fragestellung finden, von der größten Bedeutung
+ist. Denn auf der Tatsache, um deren Erklärung es sich
+hier handelt, beruht ja überhaupt die Möglichkeit eines wirtschaftlichen
+und staatlichen Lebens. Sonst würde alles durcheinander
+geraten. In einem Jahre würde der Stand der Unschuld herrschen,
+im Jahre darauf wäre keiner seines Lebens und seines Eigentums
+sicher. Die Bevölkerung würde sich nicht gleichmäßig verteilen,
+in einem Jahre würden fast gar keine, im anderen zu viel Kinder
+geboren werden, einmal würde es an Arbeitskräften fehlen, dann
+wären sie wieder im Überfluß da und nähmen sich das Brot weg.
+Da aber nicht bloß die vom menschlichen Willen abhängigen
+Vorgänge, sondern auch die Ereignisse der Natur auf einem
+statistischen Ausgleich beruhen, so würde die Verwirrung sich
+immer weiter häufen. Während jetzt, von einzelnen Mißernten
+abgesehen, Jahr für Jahr genügend Nahrung für alle emporwächst,
+würden dann die fetten und mageren Jahre regellos wechseln, einmal
+würde die Nahrung verderben und das andere Mal würden
+die Menschen Hungers sterben. So würde alle Ordnung und
+Sicherheit verloren gehen, alle menschliche Fürsorge würde unmöglich
+gemacht, der Mensch könnte nur stumpfsinnig in den
+Tag hineinleben und damit müßte alle Kultur erlöschen. Wir sehen
+daher, wie alles von diesem Ausgleich abhängt, für den wir im
+strengen Sinne des Wortes, nämlich im Sinne eines unverbrüchlichen
+ursächlichen Zusammenhanges, doch keine Erklärung geben können.
+\DPPageSep{057}{43}
+
+Die Annahme eines solchen Ausgleichs erweist sich schon in
+den elementarsten Naturerscheinungen als notwendig. Auf ihm
+beruht \zB~der sogenannte zweite Hauptsatz der Wärmetheorie,
+der aussagt, daß Wärme nicht von selbst vom kälteren zum
+wärmeren Körper übergeht. Gerade für diesen Fall hat schon
+\so{Maxwell} darauf hingewiesen, daß die logische Notwendigkeit des
+\index{Maxwell}%
+Ausgleichs nicht einzusehen sei. Dieser zweite Hauptsatz ist nicht
+ein Naturgesetz wie andere, er hat nur die Bedeutung einer Annahme,
+der wir uns nicht entziehen können; diese Annahme ist
+im Grunde dieselbe, die auch die Grundlage aller wirtschaftlichen
+Regelmäßigkeit bildet.
+
+Die Annahme scheint so natürlich, so unausweichlich, daß man
+naturgemäß trachtet, sie auch als selbstverständlich zu erweisen.
+Dieser an sich durchaus begreifliche Trieb hat sich auch bei den
+Annahmen gezeigt, welche die Geometrie machen muß, ohne sie
+weiter beweisen zu können. So hat es lange gedauert, ehe man
+das bekannte Parallelenaxiom (wonach es in einer Ebene durch
+einen Punkt außerhalb einer Geraden nur eine Gerade gibt, welche
+die erste Gerade nicht schneidet) als das erkannte, was es ist, als
+eine unbeweisbare Annahme. Vorher glaubte man immer, nach
+einer Erklärung oder einem Beweise für eine Tatsache suchen zu
+müssen, die vom Standpunkte des reinen Denkens so merkwürdig
+scheint und auf die unsere Anschauung uns doch gleichsam von
+selbst hinführt.
+
+Ähnlich liegt der Fall auch hier. Die Annahme einer durchgängigen
+Regelmäßigkeit in den Massenerscheinungen wurzelt so
+tief in uns, daß wir sie uns unmittelbar begreiflich zu machen,
+sie uns zu erklären suchen. Zu einer solchen Erklärung haben
+viel die besonderen Massenerscheinungen beigetragen, die wir aus
+den Glücksspielen ableiten. Diese Massenerscheinungen sind zum
+großen Teil nicht wirklich beobachtete Erscheinungen, sondern
+bloße Gedankenexperimente. Man denkt sich \zB, es werde ein
+Würfel sehr oft geworfen, tausende von Malen, ohne es wirklich
+auszuführen, und urteilt dann ohne weiteres, es werde jede der
+sechs Seitenflächen des Würfels hierbei annähernd gleich oft oben
+zu liegen kommen. Lassen wir es einmal dahingestellt, inwieweit
+ein solches Gedankenexperiment möglich ist, inwieweit der Schluß
+berechtigt ist: "`Es läßt sich absolut nicht einsehen, warum eine
+Seitenfläche öfter als die andere oben zu liegen kommt, und deshalb
+\DPPageSep{058}{44}
+kommen sie alle gleich oft oben zu liegen"'. Nehmen wir die
+Tatsache ohne weiteres als richtig an, so würde aus ihr allerdings
+mit Sicherheit folgen, daß, wenn wir jetzt drei Seiten der Würfel
+weiß und die anderen drei rot anstreichen, in der \so{Hälfte} der
+vorkommenden Fälle eine weiße Seite oben zu liegen kommt.
+
+\so{Windelband}, der (\aaO) mit Recht entschieden davor warnt,
+\index{Windelband}%
+die gleichbleibenden Verhältniszahlen der Statistik als eine Gesetzmäßigkeit
+auf den einzelnen Fall zu übertragen, und ebenso energisch
+zurückweist, daß ein mechanischer Ausgleich zwischen den
+einzelnen Fällen zustande kommt, da das Resultat eines Falles
+auf das Resultat der anderen Fälle keinen Einfluß ausübt, gibt
+doch den konstanten Bedingungen der Ereignisse eine Bedeutung,
+die über die Grenzen des Erfahrungsmäßigen hinausgeht, wenn
+er sagt: "`Je öfter man die konstanten Bedingungen in Wirksamkeit
+treten läßt, desto mehr gibt man allen in denselben enthaltenen
+Möglichkeiten Gelegenheit, sich zu realisieren, und es liegt im Begriffe
+der gleich möglichen Fälle, daß bei einer genügend großen
+Anzahl von Fällen jeder Möglichkeit eine gleiche Menge von Gelegenheiten
+zu ihrer Realisierung geboten wird. Wenn nun
+mehrere Möglichkeiten, weil sie das gemeinsame Merkmal der
+günstigen Fälle haben, als eine Möglichkeit angesehen werden,
+so werden die dieser Möglichkeit gebotenen Gelegenheiten der
+Realisierung eine Summe darstellen, in welcher die jeder einzelnen
+Möglichkeit gebotene Anzahl von Gelegenheiten so oft enthalten
+ist, als jene angenommene Möglichkeit einzelne Möglichkeiten unter
+sich begriff. Wenn man, um das obige erste Beispiel wieder anzuwenden,
+fortwährend mit dem Würfel spielt, so werden, da die
+Möglichkeit weiß zu werfen drei Möglichkeiten unter sich begreift,
+dieser Möglichkeit dreimal soviel Gelegenheit zu ihrer Realisierung
+geboten, als jeder einzelnen anderen Möglichkeit. So wird bei gesteigerter
+Menge von Fällen allmählich das numerische Verhältnis
+der Wiederholungen, in denen die einzelnen Fälle auftreten, demjenigen
+der Möglichkeiten mehr und mehr gleichkommen, und es
+werden sich in der Summe von Fällen die konstanten Bedingungsverhältnisse
+mehr und mehr als die Verhältniszahlen der Wiederholungen
+geltend machen."'
+
+In dieser Erklärung steckt unverhüllt der alte Begriff der
+Möglichkeit als eines potentiellen Seins, dem die Gelegenheit geboten
+werden kann, sich in die Wirklichkeit zu übertragen, das
+\DPPageSep{059}{45}
+aber auch nicht in die Erscheinung treten kann. Das einzelne
+Ereignis ist eine solche Gelegenheit zur Verwirklichung. Daß
+diese Gelegenheit in einem bestimmten Bruchteil der vorkommenden
+Fälle ergriffen und in den übrigen verschmäht wird, liegt
+wohl in dem Charakter der Möglichkeit. Die Möglichkeit begreift
+sozusagen einen gewissen Prozentsatz Wirklichkeit in sich, auf
+den sie ihrer Besonderheit gemäß eingestellt ist und dem sie zustrebt,
+wie ein Mensch die sich ihm bietenden Gelegenheiten zu
+essen, zu schlafen oder zu reden in einem bestimmten Maße benutzt.
+
+Statt der \so{Möglichkeiten}, die sich in einem gewissen Bruchteil
+der Fälle verwirklichen, kann man auch \so{Ursachen} setzen, die
+nur in demselben Bruchteil der Fälle wirksam werden, ohne daß
+irgend ein Grund anzugeben ist, warum sie einmal wirken und
+einmal nicht, oder man kann auch an Ursachen denken, die verschieden
+wirken, ohne daß diese Verschiedenheit irgend welche
+Regelmäßigkeit zeigt. Dieses ist die Auffassung, welche die Ursachen
+in zwei Arten, konstante und zufällige, zerlegt und danach
+das "`Gesetz der großen Zahlen"' begründet. So hat es \so{Poisson}
+\index{Poisson}%
+eingeführt (Note sur la loi des grands nombres, Comptes Rendus
+de l'Académie des Sciences, Bd.~2, Paris~1836). Nach ihm besteht
+es darin, daß, "`wenn man sehr große Anzahlen von Erscheinungen
+derselben Art beobachtet, welche von konstanten und von unregelmäßig
+veränderlichen Ursachen abhängen, die aber nicht \DPtypo{progessiv}{progressiv}
+veränderlich sind, sondern bald in dem einem und bald in dem
+anderen Sinne wirken, man zwischen diesen Zahlen Verhältnisse
+findet, welche fast unveränderlich sind. Diese Verhältnisse haben
+bei jeder besonderen Art von Erscheinungen einen speziellen Wert,
+welchem sie sich immer mehr nähern, je größer die Anzahl der
+beobachteten Erscheinungen wird, und welchen sie in aller Strenge
+erreichen würden, wenn die Reihe der Beobachtungen ins Unendliche
+fortgesetzt werden könnte"' (Recherches sur la probabilité des
+jugements, Paris~1837, deutsch von~\so{Schnuse} unter dem Titel
+\index{Schnuse (Übersetzer)}%
+Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Braunschweig~1841).
+
+Diese Formulierung wird uns noch klarer verständlich, wenn
+wir die entsprechende Stelle in \so{Laplace}s Philosophischem Versuch
+\index{Laplace|f}%
+über die Wahrscheinlichkeiten (Paris~1814, als Einleitung
+zu seinem großen Werke Théorie analytique des probabilités)
+nachschlagen. Es heißt dort: "`Inmitten der veränderlichen und
+unbekannten Ursachen, die wir unter der Bezeichnung Zufall zusammenfassen
+\DPPageSep{060}{46}
+und die den Gang der Ereignisse ungewiß und unregelmäßig
+machen, sehen wir in dem Maße, wie sie an Zahl zunehmen,
+eine auffallende Regelmäßigkeit auftauchen, die einen
+planmäßigen Eindruck macht und die man oft als einen Beweis
+für die göttliche Vorsehung angesehen hat. Aber wenn man
+genauer zusieht, erkennt man bald, daß diese Regelmäßigkeit nur
+die Entfaltung der Möglichkeiten für die verschiedenen Einzelereignisse
+bedeutet, die um so öfter eintreten müssen, je wahrscheinlicher
+sie sind. Denken wir uns \zB, daß man aus einer
+Urne, die schwarze und weiße Kugeln gemischt enthält, sehr oft
+hintereinander eine Kugel zieht und sie jedesmal wieder zurücklegt.
+Das Verhältnis der gezogenen schwarzen und weißen Kugeln
+wird dann meist erst sehr unregelmäßig sein, aber die veränderlichen
+Ursachen, denen diese Unregelmäßigkeit entspringt, bringen
+abwechselnd günstige und ungünstige Wirkungen auf den regelmäßigen
+Gang der Ereignisse hervor und lassen, indem sie sich
+bei einer großen Anzahl von Ziehungen zerstören, mehr und mehr
+das Verhältnis der in der Urne enthaltenen schwarzen und weißen
+Kugeln hervortreten."'
+
+Diese Auffassung von \so{Laplace} ist in der philosophischen
+Literatur häufig aufgenommen worden. So sagt \zB~ganz in
+diesem Sinne W.~\so{Wundt} in seiner Logik: "`Die Annahme des
+\index{Wundt, Wilh.}%
+Zufalls schließt stets eine bestimmte objektive Bedingung ein.
+Diese Bedingung besteht darin, daß die zufälligen Abänderungen
+eines Ereignisses in einer unendlich großen Anzahl von Fällen sich
+aufheben müssen. Jede konstante, nicht sich ausgleichende Abweichung
+von diesem Werte gilt nicht mehr als ein Werk des Zufalls,
+sondern als die Wirkung bestimmter Ursachen, deren Ermittelung
+ein Problem der wissenschaftlichen Forschung ist. Im
+strengsten Sinne gilt nur derjenige Teil einer individuellen Schwankung
+als Zufall, welcher sich der Elimination fügt. Die zufälligen
+Abweichungen sind jeder kausalen Untersuchung entzogen. Denn
+da wir Ursachen nur aus ihren Wirkungen erschließen und an
+ihnen messen können, so sind diejenigen Ursachen, deren Wirkungen
+sich permament ausgleichen, unerforschbar; glücklicherweise
+bedürfen sie eben auch wegen dieser Ausgleichung keiner
+Untersuchung."'
+
+Was gegen die zuletzt angeführten Erklärungsversuche eingewendet
+werden muß, ist wiederum, daß, wenn wir von Ursachen
+\DPPageSep{061}{47}
+sprechen, die im Einzelfalle den Erfolg bestimmen, und behaupten,
+im Wesen dieser Ursachen liege ein gegenseitiger Ausgleich durch
+eine geheimnisvolle Beziehung zwischen ihnen, wir sozusagen diese
+Ursachen beleben. Wir deuten sie nach Analogie lebender Wesen,
+die zueinander in Beziehung treten können, die ihr Wirken gegenseitig
+regulieren und mit Absicht durch ihr Zusammenwirken einen
+bestimmten Zustand herbeiführen. So unwissenschaftlich eine
+solche Auffassung auch scheinen mag, so verbreitet ist sie selbst
+unter den schärfsten Denkern und so stark hat sie sich im Sprachgebrauch
+festgeheftet. So behauptet auch \zB~\so{Sigwart} in seiner
+\index{Sigwart}%
+Logik: "`In den Fällen des Würfelns \zB~wissen wir, sei es
+aus der Beschaffenheit der Ursachen, welche die einzelnen Fälle
+verwirklichen, sei es aus der Erfahrung, daß in einer größeren
+Anzahl von Fällen die einzelnen Würfe annähernd gleich häufig
+auftreten, daß die realen Ursachen, welche die bestimmten Würfe
+\so{herbeiführen}, in der Weise abwechseln, daß sie keinen Wurf
+vor den anderen \so{bevorzugen}."' Ähnlich sagt \so{Friedrich Albert
+Lange} in seinen Logischen Studien: "`Es ist a priori und nach
+\index{Lange@Lange, Friedr.\ Albert}%
+Analyse aller Erfahrung anzunehmen, daß die unbekannten und
+in der Rechnung fehlenden Umstände dem Ergebnis \so{ebenso
+leicht günstig als ungünstig sein können}."' Wie dies
+a priori anzunehmen sein soll, ist mir unverständlich. In völliger
+Allgemeinheit ist der Satz ja nicht einmal richtig. Es würden
+durch ihn besondere Ereignisse herausgegriffen werden, bei denen
+wir in einem bestimmten eng umgrenzten Sinne von Zufall sprechen
+können. Wir würden eben definitionsmäßig von Zufall dann
+reden, wenn bei verschiedenen Ermittelungen der relativen Häufigkeit
+eine Abweichung nach der einen Seite ebensooft eintritt, wie
+eine gleich große Abweichung nach der anderen Seite. Gemeint
+sind aber wohl nicht die wirklich resultierenden Abweichungen,
+sondern die elementaren Abweichungen, die jeder einzelnen der
+wirkenden Ursachen zuzuschreiben sind. Daß die unbekannten
+Umstände dem Ergebnis ebenso leicht günstig als ungünstig sein
+können, ließe sich dann so auffassen, daß die elementaren Abweichungen,
+die jeder einzelne dieser Umstände in der relativen
+Häufigkeit hervorrufen würde, sich symmetrisch um einen Mittelwert
+gruppieren. Wir werden später sehen, wie diese Annahme
+rechnerisch zur Geltung kommt. Sie bedeutet in der Tat, daß die
+entstehenden Schwankungen im Gesamtergebnis durchaus den
+\DPPageSep{062}{48}
+Charakter des Zufälligen haben. Sehen wir uns die Sache aber
+etwas näher an! Nehmen wir \zB~den Fall einer Knaben- oder
+Mädchengeburt, so dürfen wir nicht etwa die Umstände,
+die das Geschlecht des Kindes bestimmen, als gleich günstig
+einer Knaben- wie einer Mädchengeburt ansehen, denn das Verhältnis
+der Knaben- und Mädchengeburten ist nicht das der
+Gleichheit. Es würden als solche Umstände vielmehr nur die
+Ursachen in Frage kommen, die ein Abweichen von einem gewissen
+normalen Wert des Verhältnisses von Knaben- und Mädchengeburten
+bedingen. So gelangen wir jedoch nicht zu einer Erklärung
+des Tatbestandes, denn die realen Umstände, die in Frage
+kommen können, wirken eben nicht auf das Abweichen von einem
+normalen Verhältniswert im \DPtypo{statististischen}{statistischen} Gesamtergebnis, sondern
+auf das einzelne Ereignis, die Geburt eines Knaben oder
+eines Mädchens, hin. Sie gleichen sich bestimmt nicht aus in
+dem Sinne, daß sie der Geburt eines Knaben ebenso günstig sind,
+wie der Geburt eines Mädchens, vielmehr sind sie der Geburt
+eines Knaben günstiger.
+
+Durch das Hineinziehen des Zufallsbegriffes wird in das
+"`Gesetz der großen Zahlen"' noch ein neues Moment hineingetragen.
+Kann die annähernde Konstanz einer relativen Häufigkeit an sich
+das Symptom für das Wirken des Zufalls sein? Zu dieser Frage ist
+folgendes zu bemerken. Die völlige Ausgleichung tritt, wie gesagt
+wird, bei einer unendlich großen Anzahl von Fällen ein. Sehen
+wir einmal davon ab, wieweit eine solche Behauptung begründet
+ist, die sich nicht auf ein bestimmtes Tatsachenmaterial bezieht,
+sondern auf ein über den Beobachtungen stehendes Ideal (die unendliche
+Häufung der Fälle), so bleibt immer noch zu erwägen,
+was eintritt, wenn die Anzahl der Fälle nicht unendlich groß
+ist. Dabei stellt es sich aber heraus, daß gerade nicht die Konstanz
+der relativen Häufigkeit, sondern vielmehr ihre Schwankungen
+das Bezeichnende sind. Aus der Art dieser Schwankungen
+bestimmen wir erst den Charakter des Zufälligen. Wir finden
+konstante Verhältniszahlen, die ganz sicher nicht auf dem Wirken
+eines Zufalls, sondern viel eher auf einer festen Unveränderlichkeit
+der zugrundeliegenden Bedingungen beruhen. Das Spiel des Zufalls
+gibt sich erst da kund, wo Schwankungen auftreten und das schließlich
+herauskommende Verhältnis sicher nicht durch innerlich regulierende
+Prinzipien, die es in bestimmten Grenzen halten, bestimmt
+\DPPageSep{063}{49}
+ist. Wenn wir eine Münze in die Luft werfen, so ist nicht in einer
+für uns erkennbaren Weise von vornherein begründet, daß bei einer
+großen Anzahl von Würfen beide Seiten der Münze gleich oft nach
+oben zu liegen kommen.
+
+Das Werfen einer Münze ist ein besonders einfaches Beispiel
+eines Glücksspieles. Es scheint nun zweckmäßig, wenn es sich um
+die allgemeine Erforschung der Eigenart der Ereignisse handelt,
+bei denen die verschiedenen möglichen Ergebnisse sich in annähernd
+gleichbleibendem Häufigkeitsverhältnis darbieten, falls
+man die Anzahl der beobachteten Fälle groß genug wählt, dann
+der Betrachtung als typische Ereignisse die Glücksspiele im allgemeinen
+Sinne zugrunde zu legen, wozu man auch Lotterieziehungen
+und ähnliches zu rechnen hat, weil bei den Glücksspielen
+von vornherein die Art ihres Zustandekommens durchsichtig und
+klar erscheint. Mit dieser Betrachtung der Glücksspiele haben
+wir uns jetzt also etwas näher zu befassen.
+\EndChap
+\DPPageSep{064}{50}
+
+
+\Chapter{Fünftes Kapitel}{Die Theorie der Glücksspiele}
+
+Die Glücksspiele bedeuten Ereignisse, bei denen der Erfolg
+auf keine Weise vorher zu bestimmen ist. Wenn ich mit einem
+Würfel würfele, so kann ich vorher nicht wissen, welche Augenzahl
+fällt. Ich kann auch aus den bei einer Reihe von Würfen
+gefallenen Augenzahlen keinen Schluß darauf ziehen, welche Augenzahl
+beim nächsten Wurf fällt. Alle einzelnen Würfe sind voneinander
+unabhängig, keiner übt einen Einfluß auf den anderen
+aus. Trotzdem soll sich ergeben, daß, wenn ich mit einem Würfel
+eine große Anzahl Male würfele, die Anzahlen Male, die die verschiedenen
+Augenzahlen gefallen sind, in einem bestimmten Verhältnis
+zueinander stehen. Dieses Verhältnis ändert sich nur
+unbedeutend, wenn ich den Versuch wiederhole, indem ich noch
+einmal ebensooft mit demselben Würfel würfele. Wir haben
+auf diese Weise ein typisches Beispiel konstruiert, in dem die angenäherte
+Unveränderlichkeit bestimmter Verhältniszahlen erfüllt
+ist. Dieses Beispiel gibt uns ein Mittel an die Hand, näher in
+die Bedeutung der Unveränderlichkeit statistischer Verhältniszahlen
+einzudringen. Für die Erkenntnis des inneren Grundes
+dieser Unveränderlichkeit gewinnen wir allerdings zunächst nichts,
+denn was daran rätselhaft ist, bleibt ebenso rätselhaft auch an
+diesem besonderen Falle des wiederholten Würfelns. Die einzelnen
+Würfe sind völlig unabhängig voneinander, so nehme ich
+wenigstens an, und trotzdem sollen sie sich bei einer großen Anzahl
+von Würfen in bestimmter Häufigkeit ergeben. Wie ist das
+zu erklären? Wie kann ich zu der Überzeugung gelangen, daß
+ich bei $600\,000$ Würfen ungefähr je $100\,000$\,mal die einzelnen
+Augenzahlen werfe? Warum kann ich nicht ebensogut doppelt
+so oft sechs Augen wie ein Auge werfen? Die einzelnen Würfe
+können sich nicht untereinander regulieren, denn sie sind ja unabhängig
+\DPPageSep{065}{51}
+voneinander. Wenn ich schon hundertmal sechs Augen
+geworfen habe, so hindert das nicht, daß ich auch noch das
+nächste Mal sechs Augen werfe, aber fördert es auch nicht.
+
+Die Unabhängigkeit der einzelnen Fälle bei solchen Zufallsereignissen
+wie das Würfelspiel ist allerdings keineswegs unbestritten.
+Schon \so{d'Alembert} hat ernste Zweifel über sie geäußert
+\index{Alembert@d'Alembert|f}%
+(Réflexions sur le calcul des probabilités, Opuscules math., vol.~2,
+1761; Doutes et questions sur le calcul des probabilités, Mélanges
+de litérature, d'histoire et de philosophie, vol.~5, 1770). Es ist
+merkwürdig, daß dieser Mann, der einer der führenden Geister
+der Aufklärung und ein ungemein scharfsinniger Kopf war, gerade
+in solchem entscheidenden Punkte so völlig anderer Meinung
+war, wie die meisten seiner Zeit- und Gesinnungsgenossen\DPtypo{}{.} Er
+konnte sich nicht darein finden, daß, nachdem mit einem Würfel
+mehreremal hintereinander sechs Augen geworfen sind, nun das
+nächste Mal ebenso leicht sechs Augen sollen fallen können, als
+ob das Spiel erst begänne. Er konnte sich anscheinend der Vorstellung
+nicht verschließen, daß in dem natürlichen Geschehen
+gewisse regulierende Prinzipien wirksam seien, die ein Übermaß
+nach der einen oder anderen Seite hin verhüten. Die Schwierigkeit
+liegt aber in der Vereinigung dieser Prinzipien mit den Grundsätzen,
+auf denen wir sonst die Naturerklärung aufbauen. Wir
+müssen, um ihre Möglichkeit einzusehen, entweder annehmen, daß
+eine Macht wirksam ist, die über den Zwang des Kausalitätsprinzips
+erhaben ist, oder daß dieses Kausalitätsprinzip doch nicht
+allgemein gültig ist, daß es gewisse Ereignisse oder gewisse
+Momente des Geschehens gibt, die ihm nicht unterliegen, mit anderen
+Worten, daß es einen absoluten Zufall gibt, daß aber dieser
+Zufall doch nicht blind ist, wie man zu sagen pflegt, sondern
+daß er vielmehr in bestimmter Weise gelenkt oder geleitet wird.
+Der Ausgleich, den wir bei Zufallsereignissen beobachten sollen,
+beruht dann eben darauf, daß diese Ereignisse, die nicht dem
+Kausalitätsgesetz unterliegen, auf eine bestimmte Verteilung der
+Resultate hingelenkt werden, so daß sie wohl im einzelnen Falle
+einen außergewöhnlichen Erfolg oder eine beklagenswerte Zerstörung
+mit sich führen, in ihrer Gesamtheit aber den Lauf der
+Welt nicht beeinflussen können. Eine derartige Theorie, nach
+der das Kausalitätsgesetz zwar eine Lücke hat, aber diese Lücke
+durch ein anderes regulierendes Prinzip ergänzt und so erst der
+\DPPageSep{066}{52}
+wirkliche Verlauf des Geschehens zustande kommt, kann sich
+darauf berufen, daß das Kausalitätsprinzip doch auch nur eine
+Hypothese und durch die Erfahrung keineswegs vollständig zu
+begründen ist.
+
+Der Verwendung, die \so{d'Alembert} von einer solchen Theorie
+macht, um die Tatsache des Ausgleichs zu erklären, sind in
+gewissem Sinne verwandt die Versuche, in der zeitlichen Anordnung
+zufälliger Ereignisse eine bestimmte Regelmäßigkeit zu
+finden. Das Gemeinsame ist bei beiden Erklärungen, daß sie die
+von der klassischen Wahrscheinlichkeitsrechnung angenommene
+Unabhängigkeit der einzelnen Zufallsereignisse leugnet. Man kennt
+die seltsame Annahme einer "`Duplizität der Fälle"', daß jedes
+außergewöhnliche Ereignis ein anderes von der gleichen Art, das
+an sich ebenso ungewöhnlich ist, nach sich zieht. Diese Theorie,
+für die jeder bereit sein wird, Belege aus seiner eigenen Erfahrung
+beizubringen, ist nicht bloß auf die Mitteilung im persönlichen
+Verkehr beschränkt geblieben, durch die sonst meistens
+derartige Theorien fortgepflanzt werden, sie ist in einer etwas
+anderen Form, die hauptsächlich die allgemeine Tatsache einer
+Vergesellschaftung der Zufallsereignisse hervorkehrte, der wissenschaftlichen
+Welt vorgelegt worden in der Studie von K.~\so{Marbe}
+\index{Marbe}%
+(Naturphilosophische Untersuchungen zur Wahrscheinlichkeitslehre,
+Leipzig 1899). Die Behauptungen dieses Buches blieben
+natürlich nicht ohne Widerspruch. Zunächst wandten sich \so{Brömse}
+\index{Bromse@Brömse}%
+und \so{Grimsehl} in der Zeitschrift für Philosophie 1901 (Bd.~118)
+\index{Grimsehl}%
+gegen die \so{Marbe}sche Theorie und ihre angebliche Begründung,
+\so{Marbe} erwiderte darauf in der Vierteljahrsschrift für wissenschaftliche
+Philosophie 1902, und darauf suchte noch einmal L.~v.~\DPtypo{\so{Borkewitsch}}{\so{Bortkewitsch}}
+\index{Bortkewitsch@Bortkewitsch (Bortkiewicz), Lad.\ v.}%
+in dem Aufsatz über Wahrscheinlichkeitslehre und Erfahrung
+(Zeitschr.\ f.~Philosophie 1903, Bd.~121) nachzuweisen, daß
+das von \so{Marbe} angeführte Tatsachenmaterial ebensogut auf der
+Grundlage der klassischen Wahrscheinlichkeitsrechnung seine Erklärung
+fände. Nach dieser ist ja bei dem bekannten Spiel der
+geworfenen Münze, wo es sich darum handelt, ob beim Herunterfallen
+Kopf oder Schrift oben liegt, eine genau alternierende Folge
+von Kopf oder Schrift ebenso unwahrscheinlich, wie daß andauernd
+nur Kopf oder nur Schrift fällt. Es ist also auch hiernach zu erwarten,
+daß derselbe Erfolg häufiger mehreremal hintereinander
+eintritt, daß sich also eine gewisse "`Knäuelung"' zeigt.
+\DPPageSep{067}{53}
+
+Außerdem muß hinzugefügt werden, daß es bei den hier in
+Betracht kommenden Ereignissen oft schwer ist, zu sagen, inwiefern
+nicht systematische Ursachen mitspielen. Es ist bekannt,
+daß man beim Schießen nach einer Scheibe leicht mehrere Treffer
+hintereinander bekommt, weil die unbewußten physiologischen
+Vorgänge beim Zielen nahezu gleich ablaufen können, wenn
+die Aufmerksamkeit auf einen bestimmten Punkt konzentriert
+ist, ferner ist ebenso bekannt, daß jemand leichter einen Laden
+betritt, wenn er vor sich einen anderen hineingehen sieht, als
+wenn er selbst der erste ist. Alles das macht eine objektive
+Wertung des Beobachtungsmaterials außerordentlich schwierig.
+Jedenfalls ist es meines Erachtens verfrüht, an solche Beobachtungen
+eine radikale Kritik der gesamten Wahrscheinlichkeitslehre
+anzuknüpfen, wie es neuerdings O.~\so{Sterzinger} (Zur
+\index{Sterzinger}%
+Logik und Naturphilosophie der Wahrscheinlichkeitslehre, Leipzig
+1911) getan hat. Es mag aber vielleicht gut sein, zu bemerken,
+daß die uns hier vorliegende Aufgabe von dem Phänomen der
+Knäuelung, ob es nun vorhanden ist oder nicht, unberührt bleibt.
+Unsere Betrachtungen knüpfen nur an die Durchschnittswerte
+an, die sich bei großen Anzahlen von Einzelfällen herausstellen,
+nicht aber an die Gruppierung der Einzelergebnisse, die auf den
+Durchschnittswert ohne Einfluß bleibt. Es fand auch \so{Sterzinger}
+bei seinen Feststellungen an geworfenen Münzen für die Gesamtzahlen
+der beiden möglichen Fälle die Verhältnisse $626:606$ und
+$1203:1245$, was dem theoretischen Wert~$1:1$ so nahe kommt,
+wie es nach der Theorie zu erwarten ist. Wir benutzen demnach
+hier die Glücksspiele nur, um die sich bei ihnen ergebenden
+statistischen Ergebnisse mit den bei anderen Ereignissen gewonnenen
+zu vergleichen. Wenn wir auch nicht unmittelbar auf
+eine innere Gleichartigkeit aus der äußeren Übereinstimmung der
+statistischen Ergebnisse schließen dürfen, so gewinnen wir doch
+ein Bild davon, wie solche Ergebnisse zustande kommen können.
+
+Diese Verwendung der Glücksspiele ist nicht sicher vor Einwendungen,
+die dagegen von vornherein erhoben werden können.
+Die Zufallsspiele, auch die Ziehungen aus einer Urne, erscheinen
+so belanglos und geringwertig, daß sie mit den Vorgängen in der
+Natur und in der menschlichen Gesellschaft nicht verglichen
+werden \so{dürfen}. "`Welcher blasphemische Gedanke, den Begriff
+des Zufallsspieles auf die Allmutter Natur anzuwenden!"' ruft
+\DPPageSep{068}{54}
+L.~\so{Goldschmidt} (Die Wahrscheinlichkeitsrechnung, Versuch einer
+\index{Goldschmidt}%
+Kritik, Hamburg 1897) aus. Das ist wohl mehr tief empfunden
+als tief gedacht. Eine Blasphemie gibt es nicht, wenn wir bestimmten,
+ernsthaften Forschungsgrundsätzen treu bleiben.
+
+Das Zufallsspiel ist uns ebensoviel wert wie die Vorgänge in
+der belebten und unbelebten Natur, wenn es unsere Erkenntnis
+in einem wesentlichen Punkte fördert. Im übrigen ist der Vergleich
+der Glücksspiele mit den Ereignissen im menschlichen Leben
+so uralt, daß er geradezu trivial geworden ist. Schon in dem
+lateinischen Worte sors (Los) für Schicksal findet er seinen deutlichen
+Ausdruck. Das Wort erklärt sich wohl daraus, daß das
+Ziehen eines Loses als Orakel benutzt wurde und man das Ergebnis
+eines Orakels unmittelbar zur Bezeichnung des wirklichen
+Ausganges benutzte. In diesem Sinne aber bedeutet der Vergleich
+mit dem Ziehen des Loses keineswegs die Annahme, daß die Ereignisse
+des menschlichen Lebens auf einem bloßen Zufall beruhen,
+im Gegenteil lag bei den Römern sicher die Vorstellung zugrunde,
+daß dieselbe Macht, die die Wechselfälle des menschlichen Lebens
+unausweichlich bestimmt, sich auch in der Ziehung des Loses
+offenbart, daß ein innerlicher Zusammenhang zwischen dem Ergebnis
+der symbolischen Handlung und dem konkreten Ausgang,
+der vorausbestimmt werden sollte, bestehe.
+
+Damit fiel für diese Auffassung die Schwierigkeit weg, die
+für uns am Anfang steht: wie weit sich das schematische Bild
+der Glücksspiele auf die damit verglichenen Ereignisse übertragen
+lasse. Auf den inneren Mechanismus des Geschehens werden wir
+nur dann einen Schluß ziehen können, wenn wir uns überzeugt
+haben, daß die verglichenen Vorgänge wirklich in ihren Einzelheiten
+gleichartig sind. Das wäre \zB~bei dem Vergleich des
+Geschlechtsverhältnisses mit den Ergebnissen der Ziehungen aus
+einer Urne der Fall, wenn die Entscheidung über das Geschlecht
+eines geborenen Kindes dadurch getroffen wird, daß von männlichen
+und weiblichen Keimzellen durch den Vorgang der Befruchtung
+ebenso blindlings eine herausgegriffen wird, wie bei der
+Ziehung aus einer Urne, in der schwarze und weiße Kugeln gemischt
+enthalten sind, blindlings eine Kugel herausgenommen wird.
+Eine solche Vergleichung der beiden Vorgänge in ihrer ganzen
+Besonderheit ist nun aber in den seltensten Fällen möglich. Deshalb
+sind wir in der Tat auf den anderen Ausweg angewiesen,
+\DPPageSep{069}{55}
+nur den äußeren Erfolg zu vergleichen und aus seiner Gleichartigkeit
+auch auf eine gewisse Gleichartigkeit des inneren Vorganges
+zu schließen. Dieser Schluß bleibt allerdings ein kühner
+und zweifelhafter, doch hat er immerhin eine gewisse Berechtigung.
+
+Worin besteht nun bei den Glücksspielen der äußere Erfolg?
+Das erste, was sich hierbei heraushebt, ist der bei Glücksspielen
+in der Tat beobachtete Ausgleich der Chancen bei häufiger Wiederholung
+des Spieles. Dieser Ausgleich hat zur Folge, daß, wenn
+die Einsätze nicht genau den Chancen der Spieler entsprechend
+festgesetzt sind, sondern etwas mehr betragen, der den Gegenpart
+haltenden Bank mit großer Sicherheit ein mit der Zahl der Spiele
+steigender Gewinn zufällt. Darauf beruhen alle Spielbanken, und
+man wird eine Kapitalanlage in der Bank von Monte Carlo trotz
+der hohen Summen, die dort täglich auf dem Spiele stehen, für
+ebenso sicher halten wie irgend ein Staatspapier oder eine Grundschuld.
+An der Tatsache des Ausgleichs, mit anderen Worten,
+an der Tatsache, daß nach einer sehr großen Anzahl von Spielen
+Gewinn und Verlust ziemlich genau den Spielchancen entsprechen,
+besteht also wohl kein Zweifel. Es fragt sich nur, ob sich für
+diese Tatsache eine Erklärung finden läßt.
+
+Der erste und einfachste Versuch einer solchen Erklärung
+trifft nun von vornherein nicht bloß die Glücksspiele, sondern
+alle Ereignisse, die mit den Glücksspielen das Gemeinsame haben,
+daß sie eines verschiedenen Erfolges fähig sind, und bei denen
+man auf keinerlei Weise vorher bestimmen kann, welcher Art der
+Erfolg sein wird. Als derartige Erklärungsversuche sind die im
+vorigen Kapitel erörterten Begründungen für das "`Gesetz der
+großen Zahlen"' zu verstehen. Dieses Gesetz bedeutet ja die annähernde
+Konstanz von Verhältniszahlen, die bei statistischen Erhebungen
+auftreten. Auch das Aufzeichnen der Ziehungsresultate
+bei der Urne müssen wir als eine statistische Erhebung betrachten.
+
+Als bedenklich erschien uns aber die Erklärung, die \so{Laplace}
+\index{Laplace}%
+und \so{Poisson} und mit ihnen viele andere für die Konstanz
+\index{Poisson}%
+der Verhältniszahlen gegeben haben. Was sollen wir unter der
+Entfaltung der Möglichkeiten verstehen, auf die sich \so{Laplace}
+beruft? Wenn er meint, daß er durch seine Erklärung das äußere
+Wirken der Vorsehung beseitigt hat, so hat er eine innere Wirkung
+eingeführt, die nicht minder rätselhaft ist, nämlich die Entwickelung
+bestimmter Anlagen durch die Wirklichkeit, wobei durch
+\DPPageSep{070}{56}
+innere regulierende Prinzipien dafür gesorgt ist, daß die vorhandenen
+Anlagen beständig in der gleichen Weise heraustreten.
+Es ist eine Theorie der objektiven Möglichkeit, die auf diese Weise
+gegeben wird.
+
+Der Begriff der Möglichkeit bedeutet ja in der Tat eine solche
+vorausbestehende Anlage künftiger Ereignisse, deren Eintreten
+nicht gewiß ist, die wir aber in den bestehenden Umständen in
+gewisser Weise vorgebildet finden. Unser ganzes Leben zwingt uns
+dazu, mit solchen Möglichkeiten zu rechnen, fortwährend Umstände
+ins Auge zu fassen, mit denen wir den Gedanken eines bestimmten
+künftigen Geschehens verbinden müssen, ohne deshalb sicher zu
+sein, daß das, was wir als möglich voraussehen, wirklich eintreten
+wird. So gefaßt, erscheint die Möglichkeit nur in subjektiver Bedeutung.
+Daraus eine objektive Möglichkeit abzuleiten, liegt nahe,
+ist aber nicht ohne Bedenken. Nach der Auffassung der modernen
+Naturwissenschaft liegt die ganze Zukunft in der Vergangenheit
+und Gegenwart als notwendig begründet. Der Verlauf des Geschehens
+wickelt sich nach dem Kausalgesetz so ab, daß, was in
+jedem Augenblick geschieht, mit Notwendigkeit geschehen muß.
+Bei \so{Aristoteles} (vgl.\ insbesondere De interpretatione, Cap.~X) ist
+\index{Aristoteles}%
+diese Auffassung nicht vorhanden. Nach ihm braucht von zwei
+entgegengesetzten Behauptungen über Zukünftiges nicht notwendigerweise
+die eine falsch und die andere richtig zu sein, die
+Sache selbst ist noch unentschieden und beide Behauptungen
+können als problematische, als Möglichkeitsurteile, auch in objektivem
+Sinne gelten. \so{Ueberweg} sucht in seiner Logik den aristotelischen
+\index{Ueberweg}%
+Gedanken mit der modernen Auffassung in Übereinstimmung
+zu bringen, indem er sagt, "`daß unter den Momenten,
+von denen die Verwirklichung abhängt, nicht bloß subjektiv durch
+unser Wissen und Nichtwissen, sondern auch objektiv durch die
+Natur der Sache eine wesentliche Scheidung begründet ist. Die
+Gesamtheit dieser Umstände zerlegt sich in den (inneren) Grund
+und die (äußeren) Bedingungen. Wo nur eines davon gegeben ist,
+besteht eine reale oder objektive Möglichkeit, wo beides zusammen,
+eine reale oder objektive Notwendigkeit. In der Eichel liegt in
+diesem Sinne die objektive oder reale Möglichkeit der Entstehung
+eines Eichbaumes."' Diese Begriffsbildung verdankt wohl hauptsächlich
+der Verlegenheit des Philosophen ihren Ursprung, der sich
+von dem Einfluß des großen Begründers seiner Wissenschaft nicht
+\DPPageSep{071}{57}
+losmachen kann und doch dem Standpunkt der modernen Forschung
+Rechnung tragen soll. Wenn wir den Komplex aller Ursachen teilen
+und sagen: ein Teil der Ursachen begründet keine Notwendigkeit,
+so bedeutet das doch keine reale oder objektive Möglichkeit,
+auch wenn die Teilung der Ursachen sich noch so natürlich ergibt.
+Auch \so{Trendelenburg} sagt in seinen Logischen Untersuchungen:
+\index{Trendelenburg}%
+"`Aus dem Samen kann ein Baum, aus dem Ei ein Tier werden.
+Es ist kein leeres Spiel des Gedankens. Die Möglichkeit liegt
+gleichsam sinnlich vor Augen."' In dieser Formulierung ist verhüllt,
+ob der bestimmte Artikel (\so{der} Same, \so{das} Ei) kollektiv gemeint
+ist oder sich auf einen bestimmten Gegenstand bezieht. In
+dem ersten Falle heißt die Behauptung nur: aus einigen Samenkörnern
+werden Bäume, aus einigen Eiern Tiere, und das bedeutet
+nicht im eigentlichen Sinne ein Möglichkeitsurteil. Das Wort
+"`möglich"' bedeutet dann nur, wie F.~A.~\so{Lange} mit Recht bemerkt,
+\index{Lange@Lange, Friedr.\ Albert}%
+eine sprachliche Ausdrucksweise. Sprechen wir dagegen von einem
+bestimmten Samenkorn, das wir in die Erde gelegt haben, und
+sagen: es ist möglich, daß aus \so{diesem} Samenkorn ein Baum emporwächst,
+so wenden wir die gemachte allgemeine Erfahrung auf
+einen Fall an, von dem wir nicht wissen, wie er ausgehen wird.
+Das Urteil ist ein subjektives, weil wir sicherlich nicht sagen
+können, es sei auch in der Wirklichkeit unentschieden, ob aus dem
+Samen ein Baum wird oder nicht, aber es ist doch objektiv begründet,
+weil wir zu diesem Urteil auf Grund bestimmter realer
+Erfahrungen gelangen.
+
+Wir empfinden aber bei einem solchen Möglichkeitsurteil das
+Bedürfnis, die Möglichkeit auch graduell zu werten. Schon \so{Laurentius
+Valla} hebt hervor, daß jede Möglichkeit als eine nach bestimmten
+\index{Valla, Laurentius}%
+Graden abgestufte Wahrscheinlichkeit zu betrachten sei. Diese
+Abstufung des Möglichkeitsurteiles ist auf zwei grundverschiedenen
+Wegen zu erreichen. Der eine Weg ist der, daß wir wissen, wie
+oft in einer größeren Anzahl von beobachteten Fällen der Erfolg,
+den wir als möglich ins Auge fassen, unter den beobachteten Bedingungen
+eingetreten ist. Dieses Verfahren ist die \so{statistische
+Methode}. Wir werten unsere Erwartung nach dem Prozentsatz
+der Fälle, in denen der Erfolg bereits unter den festgestellten Bedingungen
+eingetreten ist. Wir können aber auch davon ausgehen,
+wieviele von den Bedingungen, die wir als notwendig für das Eintreten
+des Erfolges erkannt haben, sich wirklich feststellen lassen.
+\DPPageSep{072}{58}
+Je mehr von ihnen erfüllt sind, mit um so größerer Sicherheit
+können wir auf den in Rede stehenden Erfolg rechnen. Dieses
+Verfahren nennen wir die \so{genetische Methode}. Es ist aber
+schwer zu sehen, wie wir hierbei zu einer zahlenmäßigen Festlegung
+gelangen können, denn alle die günstigen Momente, die wir konstatieren,
+sind doch in den seltensten Fällen unmittelbar quantitativ
+zu werten, während bei der statistischen Methode die beobachtete
+relative Häufigkeit unmittelbar einen Anhaltspunkt für die quantitative
+Wertung des Möglichkeitsurteiles liefert.
+
+Deshalb erscheint auch bei den Glücksspielen zunächst der
+aussichtsreichere Weg nicht die genetische, sondern die statistische
+Methode. Es handelt sich dabei allerdings nicht darum, bestimmte
+relative Häufigkeiten zu beobachten und dann zur Grundlage des
+Spieles in künftigen Fällen zu machen, sondern man kann sich
+mit der Tatsache begnügen, daß sich in gewissen Grenzen eine
+bestimmte Häufigkeitszahl und damit auch eine bestimmte Wertung
+der Erwartung ergibt. Trotzdem ist es gerade die genetische
+Methode gewesen, die sich bei den Glücksspielen zunächst durchgesetzt
+hat. Sie hat der an die Glücksspiele anknüpfenden Theorie
+ihren eigentümlichen Charakter gegeben, hat aber dann später zu
+weitläufigen Erörterungen geführt, die die mehr und mehr auftauchenden
+methodischen Bedenken betrafen. Fast alle diese Erörterungen
+konzentrierten sich auf die Frage, wann wir auf Grund
+der genetischen Methode zwei verschiedene Möglichkeiten als gleich
+anzusehen haben. Diese Fragestellung ist recht zu verstehen nur,
+wenn wir die geschichtliche Entwickelung, welche die Theorie
+genommen hat, ins Auge fassen. Diese Entwickelung ist Schritt
+für Schritt mit innerer Notwendigkeit weiter gegangen, aber die
+Schwierigkeiten haben sich bei ihr immer mehr gehäuft, bis die
+neueste Zeit den Knoten durchhauen und sich von dem Ballast der
+Überlieferung einigermaßen frei gemacht hat. Den Ausgangspunkt
+bildete die Berechnung der Spielchancen beim Würfelspiel oder der
+Spieleinsätze, die den Spielchancen proportional sein müssen. Hierfür
+hatte sich schon \so{Cardano}~($\dagger$\,1576), der ein leidenschaftlicher
+\index{Cardano}%
+Spieler war, lebhaft interessiert und eine Schrift De ludo aleae
+verfaßt. Zu einer mathematischen Disziplin erhob diese Betrachtungen
+aber erst \so{Galilei} (Considerazioni sopra il giuoco dei dadi,
+\index{Galilei@Galilei|f}%
+Opere Vol.~3, Florenz 1718). Daß mit drei Würfeln viel häufiger
+zehn Augen als drei Augen geworfen werden, war bekannt. Wie
+\DPPageSep{073}{59}
+sich diese Tatsache aber zu einer quantitativen Bestimmung verdichten
+ließe, war völlig unbekannt. Da faßte \so{Galilei} die Aufgabe
+so an, daß er die verschiedenen Fälle trennte, in denen eine
+bestimmte Augenzahl zustande kommt. Als einzelner Fall hat das
+Werfen einer bestimmten Augenzahl mit dem ersten, mit dem
+zweiten und mit dem dritten Würfel zu gelten. Zählt man diese
+Fälle ab, so ergeben sich im ganzen $216$. Davon ist nur in einem
+Falle die Augenzahl drei, dagegen in $27$ Fällen die Augenzahl zehn.
+So hat das Fortschreiten von einer qualitativen Aussage zu einer
+quantitativen Bestimmung, das überhaupt das entscheidende Moment
+an der Entwickelung aller exakten Wissenschaft bildet, auch den
+Ursprung der Wahrscheinlichkeitsrechnung ausgemacht. Die Zählung
+der verschiedenen Fälle beim Würfelspiel ist aber nur von
+Bedeutung, wenn mit den einzelnen Fällen eine gleiche Wertung verknüpft
+werden kann. Das natürliche Gefühl stimmt dieser Annahme
+sofort zu. Eine exakte wissenschaftliche Begründung dafür zu
+finden, ist hingegen recht schwer und hat später viel Kopfzerbrechen
+verursacht. \so{Galilei} ging davon aus, daß man ohne weitere Begründung
+die Chancen, mit einem Würfel die eine oder andere
+Augenzahl zu werfen, als gleich ansehen und deshalb diese sechs
+verschiedenen Möglichkeiten gleich werten kann. Es fragt sich
+dann nur, ob daraus folgt, daß auch die Chancen, bei dreimaligem
+Werfen mit einem Würfel hintereinander oder mit drei Würfeln
+zugleich eine bestimmte Augenzahl zu werfen, bei jedem Wurf
+oder für jeden Würfel einander gleich sind. Das ist nun offenbar
+der Fall, denn man braucht ja nur anzunehmen, daß jeder der
+Spieler hintereinander auf das Werfen einer bestimmten Augenzahl
+mit jedem einzelnen Würfel setzt, also drei Spiele zugleich
+macht. Nehmen wir an, der Gewinn, den er erhoffen kann, betrage
+$216$ Dukaten, dann setze er beim ersten Wurf einen Dukaten. Gewinnt
+er, so hat er sechs Dukaten. Diese sechs Dukaten setzt er
+wieder beim zweiten Wurf. Gewinnt er, so hat er $36$ Dukaten.
+Diese $36$ Dukaten setzt er beim dritten Wurf aufs neue, um
+$216$ Dukaten zu gewinnen. Er hat also für $216$ einen Dukaten
+einzusetzen, und das unabhängig von den Augenzahlen, auf die er
+bei den einzelnen Würfen oder Würfeln setzt. Setzt er nun nicht
+auf bestimmte Augenzahlen bei den einzelnen Würfen, sondern
+auf eine bestimmte Gesamtaugenzahl, so bedeutet das, daß er
+mehrere der soeben betrachteten Spiele zugleich macht, nämlich so
+\DPPageSep{074}{60}
+viel, auf wieviel Arten sich durch bestimmte Augenzahlen bei den
+einzelnen Würfen die fragliche Gesamtaugenzahl erreichen läßt,
+das wäre also $27$, wenn die Gesamtaugenzahl zehn beträgt.
+
+In dieser einfachen Betrachtung liegt der Kern der ganzen
+Wahrscheinlichkeitsrechnung enthalten. Zugrunde gelegt wird
+eine Annahme gleicher Spielchancen, die nicht weiter begründet
+wird und auch nicht weiter begründet werden kann, sondern nur
+nach bestimmten Überlegungen oder aus einem gewissen Gefühl
+heraus plausibel scheint. Wenn diese Annahme einmal gemacht
+ist, so werden daraus andere, im allgemeinen ungleiche Spielchancen
+durch bestimmte Rechnungen auf Grund eines sicheren Verfahrens
+abgeleitet. Es erwies sich hierbei als zweckmäßig, die Spielchancen
+allgemein als Verhältnis von Einsatz und Gewinn, \dh~weil der
+Einsatz immer kleiner als der Gewinn ist, als einen bestimmten
+echten Bruch zu bestimmen. So geschieht es \zB~bei \so{Huygens}.
+\index{Huygens}%
+Dieser Bruch heißt die mathematische \so{Wahrscheinlichkeit}, und
+nach ihr ist die ganze Rechnung genannt.
+
+Dieser Begriff der mathematischen Wahrscheinlichkeit hat
+sich im Laufe der Zeit nun weiter entwickelt. Die ursprüngliche
+Festlegung als Verhältnis von Einsatz und Gewinn bringt ihn
+noch mit einem fremden Element in Beziehung, nämlich einem
+Geldbetrag, der sich aus dem Bruch doch wieder forthebt. Von
+diesem fremden Element war der Begriff zu befreien und es zeigte
+sich dabei, daß man nur die Frage aufzuwerfen hatte, wie man
+das Spiel auf Spielchancen, die alle untereinander gleich sind,
+aufbauen kann. So viel solcher gleicher Spielchancen man nimmt,
+der so vielte Teil des Gewinnes ist auf jede einzelne Chance zu
+setzen, und vereinigt ein Spieler mehrere dieser Chancen auf seine
+Person, so wird für ihn die Wahrscheinlichkeit des Gewinnens
+das entsprechende Vielfache des Bruches, der einer einzigen Chance
+entspricht. Sind nun die Spielchancen gleich groß, so spricht man
+von gleich möglichen Fällen des Gewinnens. Die mathematische
+Wahrscheinlichkeit wird damit ein Bruch, dessen Nenner die Anzahl
+aller der gleich möglichen Fälle und dessen Zähler die Anzahl
+der hierunter dem Spieler günstigen Fälle ist. Mit dieser
+Festlegung ist die Möglichkeit gegeben, die Definition der Wahrscheinlichkeit
+über die Glücksspiele hinaus auf solche Ereignisse
+im allgemeinen zu übertragen, die sich nach Analogie der Glücksspiele
+beurteilen lassen und die generell als Zufallsereignisse
+\DPPageSep{075}{61}
+bezeichnet werden. Es wird derart die Beurteilung aller solcher
+Ereignisse an die Scheidung gleich möglicher Fälle geknüpft. In
+diesem Sinne sagt \zB~\so{Laplace}: "`La théorie des hasards consiste
+\index{Laplace}%
+à réduire tous les évènements du même genre à un certain nombre
+de cas également possibles, c'est-à-dire tels que nous soyons
+également indécis sur leur existence."' Die letzten Worte geben
+schon an, wie in der klassischen Wahrscheinlichkeitsrechnung
+immer die gleich möglichen Fälle festgelegt werden. Zwei Fälle
+sollen als gleich möglich angesehen werden, wenn sich kein Grund
+findet, unter ihnen einen für wahrscheinlicher zu halten als den
+anderen. J.~v.~\so{Kries} (Die Prinzipien der Wahrscheinlichkeitsrechnung,
+\index{Kries@Kries, Joh.\ v.}%
+Freiburg 1886) hat mit Recht darauf hingewiesen,
+daß diese Bestimmung zwar eine notwendige, aber die so gegebene
+Erklärung keineswegs eine genügende sei, denn sie läßt noch der
+Willkür einen großen Spielraum. Die Aufstellung der gleich möglichen
+Fälle müsse aber eine in eindeutiger Weise und ohne jede
+Willkür sich ergebende sein. Er findet die Aufstellung gleichberechtigter
+Annahme überall da möglich, wo unserem Wissen
+gemäß ein meßbarer und in Teile zu zerlegender Spielraum des
+Verhaltens möglich ist. Gleichen Teilen des Spielraumes entsprechen
+auch gleiche Möglichkeiten. Ich kann nicht finden, daß
+die Schwierigkeit dadurch gehoben ist. Es ist nur ein besonderes
+Bild für die Vorgänge geschaffen, das wohl sehr anschaulich ist
+(wir müssen etwa an die Felder auf der Scheibe der Roulette
+denken), aber doch nichts erklärt. \so{Kries} hat eine Art Stoßspiel
+ersonnen, das wohl in der Art, wie er es verwendet, die Annahme
+gleicher Möglichkeiten als berechtigt erscheinen läßt, an dem sich
+aber auch zeigen läßt, daß allein das Vorhandensein eines meßbaren
+und bestimmt teilbaren Spielraumes nicht ausreicht. Stoße
+ich eine Kugel in einer Rinne vorwärts, die in gleich breite, abwechselnd
+rote und schwarze Felder geteilt ist, so scheint es in
+der Tat gleich möglich, daß die Kugel auf einem roten oder einem
+schwarzen Felde liegen bleibt, aber doch wieder nur aus dem
+Grunde, weil wir nicht einsehen können, warum sie eher auf einem
+schwarzen als auf einem roten Felde liegen bleiben solle, wenn
+die Breite der Felder gegen den Weg, den die Kugel zurücklegt,
+sehr groß ist. Ist das aber nicht der Fall, folgt vielmehr auf ein
+sehr breites schwarzes Feld ein ebenso breites rotes, so können wir,
+wenn die Kugel nur mit schwacher Kraft gestoßen wird, nicht
+\DPPageSep{076}{62}
+mehr annehmen, daß sie ebenso leicht auf dem ferneren roten wie
+auf dem näheren schwarzen Felde liegen bleiben wird.
+
+Um diesen Schwierigkeiten zu entgehen, hat schon F.~A. \so{Lange}
+\index{Lange@Lange, Friedr.\ Albert|f}%
+in seinen Logischen Studien den Weg gewiesen, die Scheidung
+der gleich möglichen Fälle nur als eine logische Disjunktion anzusehen.
+Im logischen Sinne, \dh~als getreues Bekenntnis unseres
+geistigen Zustandes, kann die Bestimmung der gleich möglichen
+Fälle als solcher Fälle, von denen wir keinen eher als den anderen
+annehmen können, auf jeden Fall bestehen bleiben. Es ist nur
+meines Erachtens zu sehr betont worden, daß hierin wesentlich
+das Bekenntnis eines Nichtwissens liegt. In einem neueren Werke
+(S.~\so{Lourié}, Die Prinzipien der Wahrscheinlichkeitsrechnung,
+\index{Lourié}%
+Tübingen 1910) wird die Wahrscheinlichkeitsrechnung geradezu
+als die Methodisierung des Nichtwissens behandelt. Wenn wir die
+negative Redewendung gebrauchen, daß wir keinen Grund haben,
+einen Fall für wahrscheinlicher zu halten als den anderen, so bedeutet
+das doch eine bestimmte Summe positiver Kenntnisse von
+der Natur des Vorganges, wie wir sie bei den Glücksspielen, den
+Lotterieziehungen und anderen Ereignissen mehr haben. Die
+Lotterieziehungen haben eine bestimmte Technik, die es verhindert,
+die Ziehung eines Loses als wahrscheinlicher erscheinen zu lassen
+wie die eines anderen. Die Einrichtung der Roulette, die Art des
+Würfelns, die Vorsichtsmaßregeln beim Ziehenlassen einer Karte,
+alles das sind bestimmte technische Momente, die gewissen Erfahrungen
+und einer Einsicht in die innere Natur der Vorgänge
+ihren Ursprung verdanken. Es lassen sich nur die einzelnen Bestandteile
+dieser Erfahrungen und Erkenntnisse schwer in Worte
+fassen, sie werden meist mehr gefühlsmäßig hingenommen.
+
+Die eigentliche Schwierigkeit ist in der Darstellung, die
+F.~A.~\so{Lange} gegeben hat, in eigentümlicher Weise verhüllt. Im
+Grunde nähert sich seine Auffassung stark der statistischen
+Methode. Er benutzt eine Art graphischer Darstellung, indem er
+den gesamten Umfang des Begriffes durch ein Rechteck und die
+Disjunktion durch eine Teilung dieses Rechteckes in kongruente
+Teile darstellt. Diese Einteilung soll so verstanden werden, "`daß
+die verschiedene Ausdehnung der Felder die Bedeutung hat, daß
+der Umfang der untergeordneten Begriffe im Verhältnis dieser
+Ausdehnung verschieden ist oder, was dasselbe sagen will, daß die
+Häufigkeit, mit welcher man einen Fall der einen Klasse erwarten
+\DPPageSep{077}{63}
+darf, sich zu derjenigen einer anderen Klasse verhält wie die Ausdehnung
+der betreffenden Felder"'. Die Schwierigkeit ist in dem
+Ausdruck "`erwarten darf"' versteckt. Was heißt dürfen? Aus
+inneren Gründen oder nach den äußeren Ergebnissen? Zu vermuten
+ist, daß beides zugleich gemeint sein soll, in dem Sinne,
+daß die aus inneren Gründen erwartete relative Häufigkeit sich
+auch wirklich einstellen wird, und daß andererseits die einmal
+beobachtete relative Häufigkeit sich immer wiederfinden wird. Darin
+liegt aber schon alles, was überhaupt erörtert werden soll. Es
+scheint klar, daß hiernach nicht das disjunktive Urteil in seiner
+Allgemeinheit, sondern nur in den besonderen Fällen, wo eine
+quantitative Wertung der Disjunktionsglieder möglich ist, gemeint
+sein soll. Dem widerspricht aber, daß \so{Lange} als Beispiel ein
+Urteil wie "`Ein Mensch kann entweder Europäer oder Asiate oder
+Afrikaner oder Amerikaner oder Australier sein"' anführt. Er will
+hieran erklären, daß eine weitergehende Disjunktion die ursprüngliche
+nicht aufhebt, sondern nur ergänzt, indem die durch die
+erste Disjunktion geschaffenen Spielräume nur noch weiter eingeteilt
+werden. Wie soll aber in einem solchen Falle der Umfang
+der einzelnen Spielräume bemessen werden? Dieser Fall hat doch
+mit der quantitativen Wertung der Wahrscheinlichkeitsrechnung
+nicht das mindeste zu tun. Es müßte denn die Bemessung der
+Möglichkeiten nach den Einwohnerzahlen der verschiedenen Erdteile
+getroffen werden, aber es ist offenbar sinnlos, zu schließen,
+wenn ich einen unbekannten Menschen treffe, sei die Wahrscheinlichkeit,
+daß er aus Asien stamme, ungefähr~$\frac{1}{2}$, weil die Einwohnerzahl
+Asiens ungefähr die Hälfte von der Einwohnerzahl
+der Erde ausmache. Das meint \so{Lange} offenbar auch nicht, im
+Gegenteil scheint in den Worten, die er bei dem Beispiel des
+Würfels gebraucht, "`der Umfang komme durch eine Zeitfolge
+zustande, welche als räumliche Ausdehnung angeschaut wird"', zu
+liegen, daß er sich wesentlich auf das Gesetz der großen Zahlen
+stützen will. Die Annahme, daß der Umfang für die sechs Seiten
+des Würfels gleich sei, habe nur als eine vorläufige zu gelten, die
+durch die spätere Beobachtung entsprechend zu korrigieren sei.
+
+Entschiedener als Lange hat \so{Stumpf} in den Sitzungsberichten
+\index{Stumpf}%
+der historischen Klasse der Münchener Akademie (1892,
+S.~37~ff.)\ den subjektiven Charakter des Wahrscheinlichkeitsbegriffes
+betont. Seine Auffassung findet sich in \so{Sigwart}s Logik
+\index{Sigwart|f}%
+\DPPageSep{078}{64}
+(4.~Aufl.,\ II.~Bd., S.~317~ff.)\ wieder. Es werden hier die Glieder der
+Disjunktion insofern gleichwertig genannt, "`als sie für unsere
+Kenntnis gleiche Spezialisierungen eines Allgemeinen oder gleiche
+Teile seines Gesamtumfanges darstellen"'. Damit ist im Grunde
+doch wieder alles hereingenommen, was der Begründung der Wahrscheinlichkeit
+auch in der klassischen Theorie zugrunde gelegt
+wurde. Dem entspricht es durchaus, wenn \so{Sigwart} weiter sagt:
+"`Das Recht, die Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung anzuwenden,
+ist nicht auf die Fälle beschränkt, in denen wir befugt
+sind, Voraussetzungen über eine gleichmäßige Variabilität der
+Ursachen zu machen und zu glauben, daß bei zahlreichen Wiederholungen
+alle Disjunktionsglieder sich in gleichem Verhältnis verwirklichen
+werden; es gilt überall, wo eine Disjunktion mit gleichwertigen
+Gliedern feststeht und wir keinen Grund haben, das eine
+eher als das andere anzunehmen."' Es ist zu bedauern, daß in
+diesen Darstellungen die wirkliche Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung
+nie berücksichtigt, sondern immer nur mit allgemein
+begrifflichen Festsetzungen operiert wird. Dadurch tritt
+nie klar hervor, wie weit denn die tatsächliche Anwendbarkeit der
+entwickelten Begriffe geht. Die Wahrscheinlichkeit, daß ein vorliegender
+chemisch einfacher Körper Eisen ist, gleich $1/n$ zu setzen,
+wenn $n$ die Anzahl der Elemente ist, ist eine leere Spielerei. Das
+Auftreten verschiedener Elemente kann nie als gleich wahrscheinlich
+angesehen werden, schon weil es sehr verbreitete Elemente
+und sehr seltene Elemente gibt. Die Schwierigkeit liegt eben darin,
+daß fast immer wirklich ein Grund vorliegt, eher das eine als
+das andere anzunehmen, und daß es dann gilt, die Verschiedenheit
+der Erwartung richtig zu bewerten. Wenn wir wissen, daß eine
+Knabengeburt eher als eine Mädchengeburt zu erwarten ist, so
+sollen wir das Verhältnis dieser Erwartungen zahlmäßig bestimmen.
+Durch die Zurückführung auf das Schema der gleichmöglichen Fälle
+ist das nicht zu erreichen. Wie sollen wir es dann tun? Es gibt
+nur einen Weg, und das ist die statistische Methode. Der Einwand
+\so{Sigwart}s, daß wir die zu berechnende Wahrscheinlichkeit so
+nicht genau finden, ist nicht stichhaltig. Ist es denn als eine
+absolut genaue Bestimmung anzusehen, wenn wir beim Würfelspiel
+die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Augenzahlen gleich
+$\frac{1}{6}$ setzen, weil wir keinen Grund einsehen, sie für verschieden
+zu halten? Wir müssen die Unsicherheit unserer Annahme doch
+\DPPageSep{079}{65}
+irgendwie in Rechnung ziehen und müssen danach die angesetzten
+Zahlen verschieden werten, auch wenn wir davon ausgehen, daß
+die Wahrscheinlichkeit nur eine subjektive Bedeutung hat. Dies
+läßt sich nur erreichen, indem wir sagen, wir müssen bei der Bestimmung
+der Zahlen ihnen einen bestimmten Spielraum geben,
+der unserer Unsicherheit entspricht. Ob wir beim Würfeln die
+Wahrscheinlichkeit des einzelnen Wurfes gleich $\frac{1}{6}$ oder nur wenig
+davon verschieden, vielleicht gleich $0,17$ ansetzen, wird bei der
+Unsicherheit der Bestimmung ohne Bedeutung sein.
+
+Welche Bedeutung überhaupt die Feststellung der Wahrscheinlichkeit
+als das Maß der subjektiven Erwartung haben soll,
+scheint mir schwer einzusehen. Eine solche Bedeutung würde
+vorhanden sein, wenn es in allen oder wenigstens in vielen Fällen
+gelänge, das Maß der subjektiven Erwartung zahlenmäßig zu werten.
+Das ist aber offenbar nicht der Fall. Furcht und Hoffnung kleidet
+sich für uns nicht in die Form einer bestimmten zahlenmäßigen
+Festsetzung, es bleiben die einzelnen Momente, die das Für und
+Wider ausmachen, bestehen, ohne daß sie als ein Beitrag zu einem
+zahlenmäßigen Endresultat formuliert werden können. Es sind nur
+die Glücksspiele, wo eine solche zahlenmäßige Festsetzung erreicht
+wird, und zwar eben dadurch, daß die Vorgänge des Spieles künstlich,
+in bestimmter Weise geregelt werden. Aber auch hier ist
+das Ursprüngliche nicht die Bildung der Erwartung bei dem einzelnen
+Mitspielenden, sondern die Festlegung der Einsätze nach
+bestimmten Prinzipien. Tatsächlich bestimmt der Spieler fast immer
+seine Erwartung anders, als der Bankhalter den Einsatz regelt.
+Auch hier treiben Furcht und Hoffnung ihr trügerisches Spiel.
+Die Festlegung der Wahrscheinlichkeit als einer quantitativ gewerteten
+subjektiven Erwartung kann daher jedenfalls eine praktische
+Bedeutung nie haben. Wenn man also betont, daß die
+Wahrscheinlichkeit als das Maß unserer Erwartung ihrem Wesen
+nach subjektiver Natur ist, so ist es am besten, diesen Begriff
+ganz aufzugeben, wo es sich um rein objektive Feststellungen
+handelt, und ihn durch die Tatsache einer gleichbleibenden relativen
+Häufigkeit zu ersetzen, wobei dieser Begriff allerdings als
+eine Art Grenzwert erscheint, also durch die Wirklichkeit nur
+angenähert, aber nie vollkommen erreicht wird, weil sich, wie man
+annimmt, der exakte Wert erst bei einer unendlichen Häufung
+der Fälle herausstellen würde.
+\DPPageSep{080}{66}
+
+Diesen Weg ist in der Praxis \zB~die Lebensversicherungstechnik
+gegangen. Die Prämien und Reserven erscheinen nicht als
+auf bestimmten mathematischen Wahrscheinlichkeiten begründet,
+sondern sie beruhen nur auf den in einer Sterbetafel zusammengefaßten
+statistischen Beobachtungen und auf der Annahme, daß
+diese "`rechnungsmäßige Sterblichkeit"' auch bei den neuen Versicherten
+ihre Geltung behalten werden. Es wird also das Gesetz
+der großen Zahlen in der einfachen Form als eine in der Wirklichkeit
+anzunehmende Regelmäßigkeit vorausgesetzt. Allerdings
+bleibt es die Aufgabe der praktischen Handhabung des Lebensversicherungsgeschäftes,
+durch geeignete Auswahl des Versichertenmaterials
+dafür zu sorgen, daß die rechnungsmäßige Sterblichkeit
+nicht überschritten wird.
+
+Aus diesen Gründen wollen wir es vorziehen, die statistische
+Methode so rein wie möglich zur Geltung zu bringen. Der Schluß
+auf den einzelnen noch unentschiedenen Fall, durch den der Wahrscheinlichkeitsbegriff
+hineinspielen müßte, interessiert uns nicht.
+Was wir wollen, ist vielmehr, aus den statistischen Ergebnissen
+die Erscheinungsformen herauszuschälen, die als die Offenbarung
+des Zufälligen zu gelten haben, und dadurch über den Charakter
+des Zufälligen einen gewissen Aufschluß zu erhalten\footnote
+  {Die rein empirische Auffassung des Wahrscheinlichkeitsbegriffes
+  als eine bestimmte relative Häufigkeit oder den Grenzwert einer solchen
+  hat sich in der neueren Zeit mehr und mehr durchgesetzt. Vgl.\ \zB\
+  \so{Bruns}, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kollektivmaßlehre, Leipzig
+\index{Bruns}%
+  1906. Nur die Franzosen halten an der Begriffsbestimmung der klassischen
+  Wahrscheinlichkeitsrechnung mit Zähigkeit fest. Dies gilt auch für
+  die neuesten Veröffentlichungen, unter denen ich hier nur zwei nennen
+  will: E.~\so{Borel}, Le Hasard (Nouvelle collection scientifique, Paris, Alcan,
+\index{Borel}%
+  1914), eine gemeinverständliche Darstellung ohne Formeln, und E.~\so{Carvallo},
+\index{Carvallo}%
+  Le calcul des probabilités et ses applications (Paris, Gauthier-Villars,
+  1912) mit elementaren mathematischen Entwickelungen.}.
+
+Die Wahrscheinlichkeitsrechnung hat den Weg von dem Wahrscheinlichkeitsbegriff
+zu den statistischen Ergebnissen durch einen
+Satz gefunden, der als das \so{Bernoullische Theorem} bezeichnet
+%[** TN: Typo "Bernoullisches Theorem" in original]
+\index{Bernoullische Theorem}%
+wird. Um dieses Theorem zu erläutern, ist es zweckmäßig, von
+einem bestimmten Schema des Glücksspieles auszugehen. Man
+denkt sich in einer Urne schwarze und weiße Kugeln in einem
+bestimmten Verhältnis gemischt. Das Spiel besteht nun darin,
+daß immer eine Kugel aus der Urne gezogen, ihre Farbe festgestellt
+\DPPageSep{081}{67}
+und sie dann wieder zurückgelegt wird. Das Bernoullische
+Theorem soll dann aussagen, daß, wenn die Ziehung häufig genug
+wiederholt wird, die Anzahl der gezogenen weißen zu der Anzahl
+der schwarzen Kugeln in annähernd demselben Verhältnis steht, wie
+die Anzahl der in der Urne enthaltenen weißen zu der Anzahl der
+in der Urne enthaltenen schwarzen Kugeln, \dh~daß das Ziehungsverhältnis
+das Mischungsverhältnis annähernd wiedergibt, wenn
+die Anzahl der Ziehungen groß genug ist. Daraus würde wirklich
+folgen, daß bei einer neuen Serie von sehr viel Ziehungen aus
+derselben Urne sich auch wieder annähernd dasselbe Ziehungsverhältnis
+ergeben muß, \dh~es würde für die Ziehungen aus einer
+Urne die annähernde Konstanz des Verhältnisses, die in dem Gesetze
+der großen Zahlen ausgesprochen wird, sich theoretisch begründen
+lassen. Aber bei näherem Zusehen ergeben sich doch
+gewichtige Bedenken. Zunächst bedeutet die Annahme des Bestehens
+einer bestimmten Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer
+weißen Kugel nur eine wohl plausible, aber keineswegs evidente
+Voraussetzung. Wenn die Annahme einer bestimmten Wahrscheinlichkeit
+nur das Maß unserer Erwartung gibt und nur subjektive
+Bedeutung hat, wie kann dann hieraus eine objektive empirisch
+festzustellende Tatsache gefolgert werden? Wie ist dieser Widerspruch
+zu erklären? Es zeigt sich, daß in Wirklichkeit gar nicht
+diese Tatsache direkt gefolgert wird, sondern es ergibt sich nur
+eine sehr große Wahrscheinlichkeit dafür, daß bei einer großen
+Anzahl von Ziehungen das Ziehungsverhältnis annähernd mit dem
+Mischungsverhältnis zusammenfällt. Der Schluß ist dann einfach
+der, daß, wenn für einen Erfolg eine sehr große, \dh~der Einheit
+nahezu gleiche Wahrscheinlichkeit besteht, dieser Erfolg als gewiß
+und bei jedem wirklichen Versuch als tatsächlich anzusehen
+ist. Dadurch wird aber die Kluft zwischen der subjektiven Wertung,
+die in dem Ansatz der Wahrscheinlichkeit liegt, und der
+Feststellung einer empirischen Tatsache nur verhüllt, aber nicht
+überbrückt. Die theoretische Begründung, die erstrebt wurde,
+wird nicht geliefert, es wird nur die Darstellung so gewendet,
+daß wir über die Schwierigkeit des Überganges von den Bedingungen
+des Ereignisses zu seinem wirklichen Ausgang ahnungslos
+hinweggleiten. Es wird \zB~auf keine Weise logisch widerlegt,
+daß man aus einer Urne, die nur eine einzige weiße Kugel
+enthält, fortwährend diese weiße Kugel ziehen kann. Gerade
+\DPPageSep{082}{68}
+dafür, daß ein Ereignis, dessen mathematische Wahrscheinlichkeit
+wir sehr nahe gleich $1$ gefunden haben, auch so gut wie immer
+eintritt, brauchen wir eine empirische Bestätigung. Darin liegt
+eine erneute Mahnung, nicht den Begriff der subjektiven Wahrscheinlichkeit,
+sondern nur die Bedeutung einer wenigstens näherungsweise
+gleichbleibenden relativen Häufigkeit der Betrachtung
+zugrunde zu legen.
+
+Daß die Zählung des Vorkommens in einer großen Anzahl
+von beobachteten Fällen die einzig sichere Art ist, zu beurteilen,
+ob verschiedene Fälle wirklich gleich möglich sind, kann man an
+dem Beispiel des Würfelns erkennen. Wenn wir von vornherein
+annehmen, daß mit einem Würfel jeder Wurf gleich wahrscheinlich
+ist, so ist das zunächst eine unbewiesene und unbestätigte
+Annahme, für die wir noch, wenn es sich um eine exakte Bestimmung
+handeln soll und nicht bloß um einen ungefähren Ansatz,
+wie er bei Glücksspielen allein verlangt wird, eine Kontrolle
+durch die Erfahrung finden müssen. Diese Kontrolle kann nur
+darin bestehen, daß man mit dem Würfel eine große Anzahl von
+Würfen ausführt und aufzeichnet, wie oft dabei die einzelnen
+Augenzahlen fallen. Eine wie große Abweichung von der ursprünglichen
+Annahme sich hierbei ergeben kann, zeigen die Versuche
+von R.~\so{Wolf} (Versuche zur Vergleichung der Erfahrungswahrscheinlichkeit
+\index{Wolf, R.}%
+mit der mathematischen Wahrscheinlichkeit,
+Mitteilungen der naturforschenden Gesellschaft in Bern 1849 bis
+1851, 1853), der bei $20\,000$ Würfen statt des Wertes $0,167$ für
+die relative Häufigkeit des Auftretens der einzelnen Augenzahlen
+die folgenden Werte fand:
+\[
+\begin{array}{*{6}{c<{\quad}}}
+1  &  2  &  3  &  4  &  5  &  6 \\
+0,170  &   0,186  &   0,159  &   0,146  &   0,172   &  0,171
+\end{array}
+\]
+Danach betragen die bei dem ursprünglichen Ansatz gemachten
+Fehler der Reihe nach rund
+\[
+\begin{array}{*{6}{c<{\qquad}}}
++2  &  +13  & -5  &  -14 & +3 & +2\rlap{\text{ Proz.}}
+\end{array}
+\]
+
+Es bedeutet also der Ansatz der gleich möglichen Fälle immer
+eine mehr oder minder unbestimmte Vermutung, die noch der Bestätigung
+bedarf, und da diese Bestätigung durch das "`Gesetz der
+großen Zahlen"' geliefert wird, wird dieses Gesetz durch die Wahrscheinlichkeitsrechnung
+nicht begründet, sondern muß ihr vielmehr
+als eine unabhängige Tatsache zugrunde gelegt werden.
+\EndChap
+\DPPageSep{083}{69}
+
+
+\Chapter{Sechstes Kapitel}{Die mathematische Analyse
+stationärer Reihen}
+
+Bis hierher haben wir uns allen mathematischen Rechnungen
+ferngehalten und nur die begriffliche Klärung angestrebt. Jetzt
+aber wollen wir gerade die Hilfsmittel der mathematischen Analyse
+heranziehen, um zu quantitativen Bestimmungen zu gelangen,
+die einen sicheren Anhaltspunkt für die Beurteilung des Charakters
+der zufälligen Ereignisse liefern. Die quantitative Bestimmung
+bedeutet immer mit Notwendigkeit eine Beschränkung in der Betrachtung
+der qualitativen Besonderheit. Jedes Beispiel aus der
+Physik kann das klarmachen. Der Vorgang des freien Falles
+bietet der Beobachtung eine große Mannigfaltigkeit qualitativer
+Bestimmungen. Es ist, rein menschlich betrachtet, etwas ganz
+anderes, ob ein Hagelkorn vom Himmel auf die Erde, ein
+Blumentopf aus dem Fenster auf die Straße herunterfällt, oder ob
+ein Dachdecker vom Dach stürzt und sich das Genick bricht.
+Die Physik aber vereinigt alle diese Vorgänge unter einem Gesichtspunkte,
+und in der Nichtberücksichtigung ihrer besonderen
+Bedeutung im menschlichen Leben liegt das, was man wohl als die
+Unerbittlichkeit oder die Blindheit der Naturgesetze bezeichnet. Bei
+der Analyse, die wir hier beginnen, treten diese Eigentümlichkeiten
+noch stärker hervor, eben weil das Interesse an der qualitativen
+Besonderheit in den meisten Fällen besonders groß ist, so daß es
+uns widerstrebt, von dieser ganzen Besonderheit abzusehen und
+rein äußerlich die statistischen Ergebnisse zu betrachten. Es
+tritt hier noch augenfälliger zutage, wie verschiedenartig im
+Grunde die gemeinsam behandelten Vorgänge sind, und es kann
+sinnlos erscheinen, sie nach einer rein äußerlich hervortretenden
+quantitativen Gemeinsamkeit zu vereinigen. Und doch ist hierin
+die Bedingung für einen wirklichen Fortschritt enthalten.
+\DPPageSep{084}{70}
+
+Wir sehen also bei der folgenden Untersuchung davon ab, wie
+die Zahlenreihen, die wir vor uns haben, entstanden sind, und
+welche besonderen Vorgänge in ihnen ihren Ausdruck finden.
+Wir nehmen dabei an, daß die vorgelegte Zahlenreihe eine \so{stationäre}
+sei. Wir können jede solche stationäre Reihe auf einen besonderen
+Fall zurückführen, wo die Werte der Reihe teils positiv,
+teils negativ sind, sich also um den Wert~$0$ gruppieren. Wir erreichen
+dies, indem wir von den Werten der vorgelegten Reihe
+einen und denselben bestimmten Wert, den Durchschnittswert der
+Reihe, abziehen. Dann wird in der neuen stationären Reihe die
+Summe aller positiven Werte ebenso groß wie die Summe aller negativen
+Werte. Wir wollen gleich bemerken, daß wir auch aus anderen
+als stationären Zahlenreihen eine solche, sich um den Wert~$0$
+gruppierende stationäre Reihe ableiten können, indem wir von den
+Werten der Reihe nun nicht mehr einen und denselben Zahlenwert,
+sondern die durch eine bestimmte Näherungsfunktion gegebenen
+Werte abziehen, möge diese Näherungsfunktion nun
+durch einen analytischen Ausdruck oder graphisch durch eine
+Kurve gefunden werden.
+
+Die so abgeleiteten stationären Reihen, die sich um den Wert~$0$
+gruppieren, liefern nun aber sofort eine Verteilungsreihe. Das
+zweite wird also die besondere Behandlung der \so{Verteilungsreihen}
+sein. Für diese lassen sich zunächst allgemeine Begriffsbestimmungen
+treffen, durch die man eine Handhabe zur Beurteilung
+der vorliegenden Verteilungsreihe gewinnt. Es zeigt sich
+aber bald, daß solche allgemeinen Begriffsbestimmungen allein nicht
+ausreichen. Vielmehr erweist es sich als nötig, bestimmte Typen
+von Verteilungsreihen herauszugreifen, und die Frage wird sein,
+wie man zu solchen Typen gelangt. Hierzu verhilft die sogenannte
+Wahrscheinlichkeitsrechnung, \dh~die Betrachtung bestimmter
+typischer Vorgänge, die einer besonderen mathematischen
+Analyse fähig sind. Alle diese Vorgänge lassen sich schließlich
+zurückführen auf den einen Vorgang der Ziehung von einer oder
+mehreren Kugeln aus einer Urne, in der Kugeln von verschiedener
+Farbe gemischt enthalten sind. Mit den aus diesem Urnenschema
+abgeleiteten typischen Verteilungsreihen werden dann die irgendwie
+entstandenen Verteilungsreihen verglichen.
+
+Unter den Typen von Verteilungsreihen, zu denen das Urnenschema
+führt, ragen gewisse hervor, die wir als typische Zufallsreihen
+\DPPageSep{085}{71}
+ansehen. Ereignisse, die bei der statistischen Zusammenstellung
+der Resultate vieler Einzelfälle den Typus einer solchen
+Zufallsreihe zeigen, sehen wir als zufällige an. Es ist zu wiederholen,
+daß wir dadurch im Grunde keine Aussage über die qualitative
+Eigentümlichkeit der betreffenden Ereignisse machen. Eigentlich
+handelt es sich gar nicht um eine Eigenschaft des einzelnen Ereignisses,
+sondern nur um eine Eigenschaft der statistischen Gesamtheit.
+Aber es zeigt sich doch, daß diese Festlegung des Zufälligen
+die sicherste und gewisseste ist, die wir finden können,
+ohne die Grenzen des durch die Erfahrung Erreichbaren zu überschreiten.
+Wir müssen noch allgemein bemerken, daß wir den
+Typus einer vorgelegten Verteilungsreihe nur dadurch erkennen,
+daß wir versuchen, die empirisch festgestellten Werte durch die
+Werte der einer typischen Verteilungsreihe entsprechenden Funktion
+zu approximieren. Die dabei sich notwendigerweise ergebenden
+Abweichungen können wir aufs neue derart analysieren, daß wir
+aus ihnen wieder eine Verteilungsreihe ableiten. So würde sich
+an die ursprüngliche Analyse noch eine weitergehende anreihen.
+Diese weitere Durchführung der Analyse ist aber meistens unerreichbar.
+Die bei dem Vergleich der vorgelegten Reihe mit der
+typischen Verteilungsfunktion herauskommenden Abweichungen
+sind nämlich verhältnismäßig klein, und die Gruppen, die wir aus
+ihnen bei der Bildung der neuen Verteilungsreihe ableiten können,
+sind entweder sehr wenig zahlreich oder enthalten jede sehr wenig
+Glieder. Beides aber macht eine genaue Analyse unmöglich und
+wir werden auf eine solche fast immer verzichten müssen.
+
+Wir wollen nun an die Ausführung der Arbeit im einzelnen
+gehen und zunächst die mathematischen Definitionen und Formeln
+erörtern, die sich unmittelbar an eine vorgelegte stationäre Zahlenreihe
+anknüpfen. Das erste wird sein, daß wir ein bestimmtes
+\so{Maß für die Schwankungen} der Werte innerhalb der stationären
+Reihe suchen. Wir bezeichnen die aufgezeichneten Werte
+der Reihe mit
+\[
+y_1,\ y_2,\ y_3,\ \dots,\ y_n;
+\]
+das Maß für die Schwankungen soll dann gegeben sein durch den
+Ausdruck
+\[
+\Tag{(1)}
+M = \frac{2}{n(n-1)}\Sum_{i,k}(y_i - y_k)^2,
+\]
+\DPPageSep{086}{72}
+in dem sich die Summe auf die $\dfrac{n(n-1)}{2}$ Wertepaare $i$,~$k$ bezieht,
+die sich aus den Zahlen $1$~bis~$n$ bilden lassen. Der Ausdruck
+faßt alle Unterschiede zusammen, die überhaupt in der Zahlenreihe
+vorkommen; er ist ferner unabhängig davon, in welcher Reihenfolge
+die aufgezeichneten Werte genommen werden, ebenso von den
+Vorzeichen der vorkommenden Differenzen, und wächst mit deren
+absoluten Werten.
+
+Aus dem Wert~$M$ läßt sich ein anderer noch anschaulicherer
+Wert ableiten: es ist dies die \so{mittlere Abweichung}~$m$, die gegeben
+wird durch die Gleichung
+\[
+\Tag{(2)}
+m = \sqrt{M}.
+\]
+Es ist nämlich $\dfrac{n(n-1)}{2}$ die Anzahl der Glieder in der Summe
+$\Sum(y_i - y_k)^2$, und dividieren wir die Summe durch die Anzahl
+ihrer Glieder, so erhalten wir den mittleren Wert des einzelnen
+Gliedes. Da dieser Wert sich aber auf die Quadrate der Abweichungen
+bezieht, müssen wir noch die Wurzel ausziehen und
+finden so für die mittlere Abweichung
+\[
+\Tag{(2a)}
+m = \sqrt{\frac{2\Sum(y_i - y_k)^2}{n(n-1)}},
+\]
+\dh~den obenstehenden Wert.
+
+Wir formen nun den Ausdruck~$M$ derart um, daß die doppelte
+Summation, die er bedingt, durch eine einfache Summation
+ersetzt wird. Dies gelingt, indem wir den \so{Durchschnittswert}
+(das arithmetische Mittel)
+\[
+\Tag{(3)}
+y_0 = \frac{y_1 + y_2 + \dots + y_n}{n}
+\]
+einführen. Dann ergibt sich nämlich aus~\Eqref{(1)}:
+\begin{align*}
+(n-1)M
+  & = \Sum_i (y_i - y_0)^2 + \Sum_k (y_k - y_0)^2 \\
+  & - \frac{2}{n} \Sum_i (y_i - y_0) \Sum_k (y_k - y_0)
+\end{align*}
+und, da $\Sum(y_i - y_0) = 0$ und ebenso $\Sum(y_k - y_0) = 0$,
+\[
+\Tag{(4)}
+\frac{n-1}{2}·M = \Sum_i (y_i - y_0)^2,
+\]
+\DPPageSep{087}{73}
+und daraus
+\[
+\sqrt{\frac{n-1}{n}}m = \sqrt{2}\mu,
+\]
+wenn wir noch $\mu = \sqrt{\dfrac{\Sum(y_i - y_0)^2}{n}}$ einführen.
+
+Diese Darstellung empfängt noch eine neue Beleuchtung, wenn
+man statt eines Maßes für die Abweichung der aufgezeichneten
+Werte voneinander ein Maß für die Abweichung von einem beliebig
+gegebenen Werte~$y$ einführt. Als solches Maß kann der Ausdruck
+\[
+\Tag{(5)}
+M(y) = \frac{1}{n} \Sum_k(y_k - y)^2
+\]
+gelten. Man findet hieraus die früher eingeführte Zahl~$M$, indem
+man den Ausdruck bildet
+\[
+\Tag{(6)}
+M(y) = \frac{1}{n-1} \Sum_iM(y_i).
+\]
+
+Es liegt nun nahe, nach dem Werte~$y$ zu fragen, für den
+das Maß der Abweichung von der aufgezeichneten Wertereihe
+möglichst klein wird. Dieser Wert bestimmt sich daraus, daß
+man allgemein
+\begin{align*}
+M(y) &= \frac{1}{n} \Sum_k(y_k - y_0)^2 + (y - y_0)^2 \\
+     &- 2(y - y_0) \frac{1}{n} \Sum_k(y_k - y_0)
+\end{align*}
+setzen kann. Nimmt man daher an, daß
+\[
+\Sum(y_k - y_0) = 0
+\]
+wird, also für~$y_0$ den Wert
+\[
+y_0 = \frac{y_1 + y_2 + \dots + y_n}{n},
+\]
+so wird
+\[
+\Tag{(7)}
+M(y) = M(y_0) + (y - y_0)^2,
+\]
+und daraus erkennt man, daß das Maß der Abweichung am kleinsten
+wird für $y_0$ selbst, denn für jeden anderen Wert~$y$ kommt zu
+$M(y_0)$ noch der positive Betrag $(y - y_0)^2$ hinzu. $M(y_0)$~stimmt
+aber mit dem Werte von $\mu^2$ überein.
+\DPPageSep{088}{74}
+
+Als die \so{mittlere Abweichung} der Zahlenreihe \so{von einem
+beliebigen} Werte~$y$ wollen wir den Ausdruck bezeichnen
+\[
+\Tag{(8)}
+\mu(y) = \sqrt{M(y)} = \sqrt{\frac{\Sum(y_i - y)^2}{n}}.
+\]
+Bilden wir diesen Ausdruck für den Mittelwert~$y_0$, so erhalten wir
+den früheren Ausdruck~$\mu$, den wir als die \so{mittlere Ausweichung}
+oder Streuung der vorgelegten Reihe bezeichnen wollen.
+
+Wir können aus der Begriffsbestimmung des arithmetischen
+Mittels auch eine Regel für die Beurteilung ableiten, ob eine vorgelegte
+Reihe als stationär zu gelten hat. Wir müssen dann die
+Werte gruppenweise zusammenfassen, etwa zunächst zu~$10$, und
+für jede Gruppe den Mittelwert~$y_0$ bestimmen. Dann müssen
+wir weiter die aufgezeichneten Werte zu größeren Gruppen, etwa
+zu~$100$, zusammenfassen und wieder von jeder Gruppe den Mittelwert
+bilden. Es gehört nun zu den Eigenschaften des arithmetischen
+Mittels, daß sich derselbe Wert ergibt, ob man erst aus
+Gruppen von gleich viel Werten das Mittel und dann von diesen
+Mitteln wieder das Mittel bestimmt, oder ob man unmittelbar von
+den gegebenen Werten selbst das Mittel nimmt. In der Tat wird
+\zB, wenn die Reihe nur sechs Glieder hat,
+\begin{align*}
+y_0 &= \frac{1}{6}(y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 + y_6) \\
+    &= \frac{1}{3}\left(
+      \frac{y_1 + y_2}{2}
+    + \frac{y_3 + y_4}{2}
+    + \frac{y_5 + y_6}{2}\right).
+\end{align*}
+Wir finden also jetzt mehrere Reihen, die aus immer weniger
+Werten bestehen und die sich alle um denselben Mittelwert gruppieren.
+Es läßt sich nun zeigen, daß die mittlere Abweichung
+der neuen Reihen vom Durchschnittswert immer kleiner ist als
+für die ursprüngliche Reihe.
+
+Denken wir uns nämlich eine Reihe, die aus $n = \rho\nu$ Werten
+besteht, in $\nu$~Gruppen von je $\rho$~Werten zerlegt und die Durchschnittswerte
+\[
+Y_1,\ Y_2,\ Y_3,\ \dots,\ Y_\nu
+\]
+jeder Gruppe gebildet, so wird die mittlere Abweichung der Gesamtreihe
+von dem Durchschnittswert gefunden, indem man die
+mittleren Abweichungen der einzelnen Gruppen von diesem Mittelwert
+bildet und daraus wieder das Mittel nimmt. Wenn wir nun
+\DPPageSep{089}{75}
+aber die mittlere Ausweichung der $i$ten~Gruppe mit $\mu_i$~bezeichnen,
+so ergibt sich für das Quadrat ihrer mittleren Ausweichung von
+dem Mittel~$y_0$ aller Werte
+\[
+(Y_i - y_0)^2 + \mu_i^2
+\]
+und daraus die einfache Formel
+\[
+\mu^2
+  = \frac{1}{\nu} \Sum (Y_i - y_0)^2 + \frac{1}{\nu} \Sum \mu_i^2
+  = \mu_0^2 + \frac{1}{\nu} \Sum \mu_i^2,
+\]
+wenn wir $\mu_0^2 = \dfrac{1}{\nu} \Sum(Y_i - y_0)^2$ setzen.
+
+Diese Formel zeigt in der Tat, wie die mittlere Ausweichung
+mit der Gruppenbildung abnimmt, denn die mittlere Ausweichung
+für die Mittelwerte~$Y_i$ der Gruppen wird ja
+\[
+\Tag{(9)}
+\mu_0 = \sqrt{\mu^2 - \frac{1}{\nu} \Sum \mu_i^2}
+\]
+und ist sonach notwendigerweise kleiner als die ursprüngliche
+mittlere Ausweichung~$\mu$.
+
+Wir haben hier die Bildung des arithmetischen Mittels auf
+stationäre Zahlenreihen beschränkt. In Wirklichkeit findet sie
+in viel weiterem Umfange statt. Es werden Durchschnittswerte
+für die verschiedenartigsten Größenfolgen angegeben, um zu einem
+zusammenfassenden Ausdruck der ganzen Zahlenfolge zu gelangen.
+Vor allen Dingen werden die Durchschnittswerte ohne Rücksicht
+darauf gegeben, wie stark die einzelnen Zahlen, von denen der
+Durchschnitt genommen ist, voneinander abweichen. So handelt
+es sich \zB, wenn das durchschnittliche Vermögen eines Deutschen
+berechnet wird, um die verschiedensten Summen, von denen der
+Durchschnitt genommen wird, ja auf die größere Anzahl der Personen
+entfällt der Betrag~$0$, und von da an steigt der Wert bis
+zu Hunderten von Millionen hinauf. Hat es unter solchen Umständen
+nun einen Sinn, den Durchschnittswert zu bilden? Seine
+Bedeutung ist zunächst nur die, daß er einen Quotienten darstellt,
+nämlich den Quotienten der Summe aller Werte der Zahlenfolge
+und der Anzahl dieser Werte. Was man aus diesem Wert herauslesen
+will, bleibt noch der Willkür überlassen.
+
+Nach dem, was wir gefunden haben, hat es nun keinen Zweck,
+den Mittelwert da zu bilden, wo eine deutlich erkennbare Entwickelung
+in der Zahlenfolge zu finden ist. Zum Beispiel ist es
+\DPPageSep{090}{76}
+sinnlos, von der mittleren Bevölkerung des deutschen Reichsgebietes
+während der letzten $100$~Jahre zu sprechen, weil in diesen
+$100$~Jahren eine deutlich erkennbare Entwickelung, nämlich
+eine stetige Zunahme der Bevölkerung, stattgefunden hat. Die
+Verteilung der Vermögen unter den einzelnen Einwohnern ist dagegen
+eine solche, daß, wenn wir die Einwohner nach einer gewissen
+Reihenfolge ihrer Wohnstätten in eine Liste eintragen und
+die dazugehörigen Vermögen daneben schreiben, in dieser Zahlenfolge
+keine bestimmte Entwickelung erkennbar ist. Die Bildung
+der Durchschnittswerte ist daher gestattet, wie weit auch die einzelnen
+Werte voneinander abweichen. Die Reihe kann trotzdem
+als eine stationäre gelten, weil die absolute Größe der Abweichungen
+bei dieser Begriffsbestimmung gar keine Rolle spielt. Im vorliegenden
+Falle wird allerdings die Gruppierung der Werte um
+den Durchschnittswert eine stark unsymmetrische sein, weil der
+Durchschnittswert (etwa $7000\,\mathscr{M}$) sehr viel näher an der unteren
+als an der oberen Grenze liegt.
+
+Wir gehen nun zur Betrachtung der \so{Verteilungsreihen}
+über. Die Verteilungsreihen waren, wie wir sahen, sozusagen
+sekundäre Tabellen, die aus einer ursprünglichen Tabelle dadurch
+abgeleitet wurden, daß man die Tabellenwerte der Größe nach
+ordnete und angab, wieviel Tabellenwerte zwischen bestimmte
+Grenzen fallen. Wir werden diese Bildung einer sekundären Reihe
+insbesondere auf die stationären Reihen anzuwenden haben. Wir
+wollen aber zunächst die Verteilungsreihen allgemeiner betrachten.
+
+Wir nehmen an, daß sich die vorkommenden Werte, welche
+jetzt den Eingang der Tabelle, in der ursprünglichen Tabelle aber
+die eingetragenen Werte bilden, über ein bestimmtes Intervall
+erstrecken. Wenn dieses Intervall nach einer oder nach beiden
+Seiten unbegrenzt ist, so nehmen wir an, daß die zugehörigen
+Häufigkeitszahlen schließlich sehr klein werden. Das bedeutet, daß
+in der ursprünglichen Tabelle nur verhältnismäßig wenig sehr große
+Werte enthalten sein sollen. Wir können uns praktisch immer
+ein endliches Intervall abgegrenzt denken (indem wir nötigenfalls
+die darüber hinausfallenden Werte vernachlässigen), so daß die
+ganze Verteilungsreihe auf dieses Intervall beschränkt bleibt. Es
+handelt sich nun zunächst darum, eine Reihe von Begriffen zu
+entwickeln, welche zur allgemeinen Beurteilung einer vorgelegten
+Verteilungsreihe dienen können.
+\DPPageSep{091}{77}
+
+Den ersten Begriff, den wir verwenden, entnehmen wir der Betrachtung
+der stationären Reihen, wie wir sie vorhin angestellt
+haben. Es ist dies der Begriff des \so{arithmetischen Mittels}.
+Wir finden das arithmetische Mittel, indem wir jeden Wert des
+Einganges mit dem zugehörigen Tabellenwert multiplizieren und
+die Summe aller dieser Produkte durch die Summen aller Tabellenwerte
+teilen. Da der Eingang der Verteilungstabelle Intervalle
+bedeutet, so müssen wir die Mitte~$y_\rho$ jedes Intervalls nehmen und
+mit der Anzahl~$z_\rho$ der in das Intervall fallenden Werte der ursprünglichen
+Tabelle multiplizieren. Wir finden also für das
+arithmetische Mittel jetzt den Ausdruck
+\[
+\Tag{(10)}
+y_0 = \frac{\Sum y_\rho z_\rho}{\Sum z_\rho}.
+\]
+
+Bei der graphischen Darstellung der Tabelle bedeutet das
+arithmetische Mittel die Abszisse, die zu dem Schwerpunkt der
+aus steifem Papier ausgeschnitten gedachten, die Tabelle darstellenden
+Staffelfigur gehört.
+
+Außer dem arithmetischen Mittel wollen wir auch die \so{mittlere
+Ausweichung} bilden. Wir finden hierfür
+\[
+\Tag{(11)}
+\mu^2 = \frac{\Sum(y_\rho - y_0)^2 z_\rho}{\Sum z_\rho},
+\]
+wofür wir mit Rücksicht auf die Bedeutung von $y_0$ auch schreiben
+können
+\[
+\Tag{(11a)}
+\mu^2 = \frac{\Sum y_\rho^2 z_\rho}{\Sum z_\rho} - y_0^2.
+\]
+
+Unter Umständen ziehen wir der Staffelfigur das Bild einer
+stetigen Kurve vor. Dementsprechend haben wir dann in den
+obenstehenden Ausdrücken die Summen durch Integrale zu ersetzen
+und finden, indem $z$ als Funktion von~$y$ erscheint,
+\[
+y_0 = \frac{\Int yz\, dy}{\Int z\, dy}, \qquad
+\mu^2 = \frac{\Int(y - y_0)^2 z\, dy}{\Int z\, dy},
+\]
+wobei die Integrale über die ganze Ausdehnung der Verteilungskurve
+auszudehnen sind, was man gewöhnlich so ausdrücken kann,
+daß man die Grenzen gleich $-\infty$~und~$+\infty$ setzt.
+
+Es gibt nun aber noch eine zweite Art der Mittelbildung,
+die an sich noch einfacher ist. Man grenzt nämlich das Intervall
+\DPPageSep{092}{78}
+ab, für das die Summe aller darunterliegenden Häufigkeitszahlen
+möglichst gleich der Summe aller darüberliegenden Häufigkeitszahlen
+wird. Wir bezeichnen den so gefundenen Wert der Abszissen als
+den \so{Zentralwert}~$y_z$ und die zugehörigen Ordinate als die zentrale
+Ordinate. Bei der graphischen Darstellung der Tabelle durch
+eine Staffelfigur bedeutet die zentrale Ordinate einen Schnitt, durch
+den die ganze Fläche der Figur in zwei gleiche Teile zerlegt wird
+und analog bei der Darstellung der Verteilung durch eine stetige
+Kurve.
+
+Wir bestimmen schließlich noch das Intervall, bei dem die
+Häufigkeitszahl ein Maximum bildet, \dh~größer wird als für die
+nach beiden Seiten benachbarten Intervalle. Den so ermittelten
+Wert~$y_a$ bezeichnen wir als \so{Normalwert}. Es liegt nun auf
+der Hand, daß sich unter Umständen auch mehrere solche Intervalle
+finden können. Wir müßten dann von mehreren Normalwerten
+sprechen, was aber nicht als zweckmäßig erscheint. Vielmehr
+tritt die eigentliche Bedeutung des Normalwertes erst dann
+hervor, wenn nur ein Maximum vorhanden ist.
+
+Um ein besonderes Beispiel für die drei verschiedenen Mittelwerte
+zu haben, wollen wir die Zahlenreihe nehmen, die in einer
+Sterbetafel vorliegt. Der erste Mittelwert, das arithmetische Mittel
+oder der Durchschnittswert, wird in diesem Falle die \so{durchschnittliche
+Lebensdauer}. Sie ist für die im Auszuge auf
+S.~24 mitgeteilte Sterbetafel
+\[
+44,8 \text{ Jahre.}
+\]
+Der zweite Mittelwert, der Zentralwert, ist in diesem Falle die
+\so{wahrscheinliche Lebensdauer}, \dh~das Alter, das gerade die
+Hälfte der Geborenen erreicht. Sie beträgt
+\[
+55,6 \text{ Jahre.}
+\]
+Der dritte Mittelwert, der Normalwert, ist in diesem Falle das
+\so{normale Lebensalter}, \dh~das Lebensalter, in dem mehr
+Menschen sterben als in den auf beiden Seiten benachbarten
+Altersstufen, wo also die Sterbekurve ein Maximum hat. Dieses
+Alter beträgt
+\[
+73,2 \text{ Jahre.}
+\]
+Man erkennt deutlich die Verschiedenheit der drei Mittelwerte und
+sieht, daß die wahrscheinliche Lebensdauer zwischen der durchschnittlichen
+\DPPageSep{093}{79}
+und der normalen Lebensdauer liegt. Die drei Zahlen
+zusammen können als die zusammenfassende Charakteristik der
+Absterbeordnung gelten.
+
+Wir wollen die auf diese Weise abgeleiteten Begriffe sofort
+benutzen, um eine vorgelegte stationäre Reihe weiter zu analysieren.
+Das arithmetische Mittel gibt dabei wieder den schon früher betrachteten
+Durchschnittswert. Dagegen liefert uns der Zentralwert
+etwas wirklich Neues. Um ihn zu finden, haben wir folgendermaßen
+zu verfahren. Wir ordnen die aufgezeichneten Werte der
+Größe nach, hierauf zählen wir, vom niedrigsten Wert anfangend,
+wenn die Anzahl der aufgezeichneten Werte gerade ist, die Hälfte
+der Werte ab und notieren den Wert, der in der Mitte zwischen
+dem so erreichten Wert und dem nächstfolgenden liegt, oder
+direkt den aufgezeichneten Wert, der von dem kleinsten und dem
+größten Wert um gleichviel Glieder entfernt ist, wenn die Anzahl
+der aufgezeichneten Werte ungerade ist.
+
+Wir können diese Methode weiter fortsetzen, indem wir auch
+die abgezählten Hälften der aufgezeichneten Werte aufs neue halbieren,
+und die Werte notieren, zu denen wir so gelangen; unter
+ihnen oder über ihnen liegt je ein Viertel aller aufgezeichneten
+Werte. Die Abweichung dieser Werte voneinander können wir auch
+als Maß für die Streuung der stationären Reihe betrachten. Einzeln
+können wir die Unterschiede der letzten beiden Werte vom Mittelwert
+als Maß für die Abweichung der stationären Reihe von dem
+Mittelwert nach unten und nach oben hin ansehen. Wir erhalten
+so auch einen Maßstab dafür, in welcher Weise die stationäre
+Reihe unsymmetrisch ist. Wenn nämlich \zB~der obere Wert
+erheblich weniger von dem Zentralwert abweicht als der untere
+Wert, so ist dieses ein Zeichen dafür, daß die Reihe nach unten
+zu weiter ausgedehnt ist als nach oben zu, daß sie also nach unten
+zu unsymmetrisch ist.
+
+Wir wollen nun eine Art der Verteilung herausgreifen, die
+den Typus einer \so{einfachen unsymmetrischen Verteilung}
+darstellt. Sie soll durch folgende Merkmale gekennzeichnet sein:
+Es ist ein Normalwert vorhanden, von dem aus die Verteilungsfunktion
+nach beiden Seiten beständig abnimmt, um schließlich in
+Null überzugehen. Die Asymmetrie der Verteilung soll sich dadurch
+zu erkennen geben, daß gleiche Werte der Verteilungsfunktion
+\DPPageSep{094}{80}
+sich für solche Werte des Arguments, der eine $y_1$ rechts,
+der andere $y_2$ links vom Normalwert~$y_a$, ergeben, für die
+\[
+|y_1 - y_a| < |y_a - y_2|
+\]
+ist, und es soll, wenn auch für $y_1'$,~$y_2'$ gleiche Werte der Verteilungsfunktion
+eintreten, auch
+\[
+|y_1' - y_1| < |y_2 - y_2'|
+\]
+werden. Man kann aus dieser Ungleichheit auch ableiten
+\[
+\left|\frac{\Delta\phi(y_1)}{\Delta y_1}\right| >
+\left|\frac{\Delta\phi(y_2)}{\Delta y_2}\right|,
+\]
+indem man $\Delta y_1 = y_1' - y_1$, $\Delta y_2 = y_2' - y_2$ setzt und beachtet,
+daß dann der Voraussetzung gemäß $\Delta\phi(y_1) = \Delta\phi(y_2)$ wird.
+Aus der letzten Ungleichheit folgt aber, indem wir zur Grenze
+übergehen,
+\[
+\left|\frac{d\phi(y_1)}{d y_1}\right| >
+\left|\frac{d\phi(y_2)}{d y_2}\right|.
+\]
+Die Kurve, welche die Verteilungsfunktion darstellt, ist also auf
+der kürzeren Seite vom Normalwert aus überall stärker gegen die
+Abszissenachse geneigt als an den entsprechenden (gleich hohen)
+Stellen auf der längeren Seite.
+
+Unter diesen Voraussetzungen können wir eine wichtige
+Lagenbeziehung zwischen den drei Mittelwerten beweisen. Zunächst
+ist leicht zu erkennen, daß, wenn die Verteilungskurve vom Normalwerte
+\begin{figure}[hbt!]
+  \centering
+  \caption{Fig.~5.}
+  \Input[0.75\textwidth]{094}
+\end{figure}
+aus nach rechts hin steiler abfällt, auf der rechten Seite
+auch die von der Verteilungskurve über der Abszissenachse abgegrenzte
+Fläche kleiner als auf der linken Seite sein muß. Die
+zentrale Ordinate, welche die ganze Fläche halbiert, liegt also
+notwendigerweise auf der linken Seite. Es handelt sich nun
+\DPPageSep{095}{81}
+darum, die Lage des Durchschnittswertes zu ermitteln. Zu diesem
+Zweck gehen wir von dem Zentralwert~$y_z$ aus. Die zu ihm
+gehörige Ordinate halbiert die ganze von der Verteilungskurve
+über der Abszissenachse abgegrenzte Fläche. Übertragen wir
+also den Teil der Kurve links vom Zentralwert spiegelbildlich auf
+die rechte Seite, so muß dort die neue Linie die ursprüngliche
+Kurve derart durchsetzen, daß beim Übergang von dieser zu jener
+die abzutragenden Stücke an Flächeninhalt gleich den hinzuzufügenden
+Stücken sind. Die beiden Kurven können sich aber nur
+an einer Stelle~$y_1$ durchsetzen. Für diese Stelle~$y_1$ wird der Wert
+der Verteilungsfunktion $\phi(y_1)$ ebenso groß, wie der Wert $\phi(y_2)$ für
+die Abszisse~$y_2$, für die $y_z - y_2 = y_1 - y_z$. Gäbe es einen zweiten
+solchen Wert~$y'_1$, so daß auch $\phi(y'_1) = \phi(y'_2)$, wenn $y_z - y'_2
+= y'_1 - y_z$, dann müßte $|y'_1 - y_1| = |y_2 - y'_2|$ werden, während
+wir davon ausgegangen waren, daß immer $|y'_1 - y_1| < |y_2 - y'_2|$
+ist. Wir finden also nur einen Durchsetzungspunkt und damit
+nur zwei Flächenstücke, die sich ausgleichen, deren Inhalte also
+gleich sein müssen. Daraus können wir schließen, daß der
+Schwerpunkt der Fläche links von der Zentralordinate weiter von
+dieser entfernt ist als der Schwerpunkt der Fläche rechts von der
+Zentralordinate, denn um die erstere Fläche in die letztere zu
+verwandeln, müssen wir ein weiter entferntes Stück (in der Figur
+senkrecht schraffiert) in eine der Zentralordinate näher benachbarte
+Lage (in der Figur schräg schraffiert) bringen.
+
+Die Mitte zwischen den beiden Schwerpunktsordinaten liefert
+nun aber die Schwerpunktsordinate der ganzen von der Verteilungskurve
+abgegrenzten Fläche und die zu dieser Ordinate gehörende
+Abszisse ist der Durchschnittswert~$y_0$. Dieser Durchschnittswert
+muß also links (auf der flacheren Seite) von dem
+Zentralwert~$y_z$ liegen, und wir finden: \so{Der Zentralwert liegt
+unter den angegebenen Voraussetzungen immer zwischen
+dem Durchschnittswert und dem Normalwert} (\so{Fechnersches
+Lagengesetz}).
+\index{Fechnersches Lagengesetz}%
+
+Wir haben übrigens gesehen, daß dieses Gesetz \zB~auch für
+die Absterbeordnung, trotzdem hierbei nicht eine einfache Verteilung
+vorliegt, erfüllt ist.
+
+Wenn eine Verteilungsreihe symmetrisch ist, so fällt der
+Durchschnittswert mit dem Zentralwert und, wenn ein solcher
+vorhanden, auch mit dem Normalwert zusammen. Es ist noch
+\DPPageSep{096}{82}
+wichtig, für die Fälle, wo die Verteilung asymmetrisch oder, wie
+man sagen kann, \so{schief} ist, ein bestimmtes \so{Maß für die
+Schiefe} zu besitzen. Zu einem solchen Maß gelangt man, indem
+man den Abstand des Normalwertes vom Durchschnittswert einführt.
+Nennt man diesen Abstand~$d$, so würde $d$ in gewissem
+Sinne ein Maß für die Schiefe geben. Dieses Maß ist aber ein
+lineares und nicht unmittelbar bei den verschiedenen Verteilungsreihen
+zu vergleichen. Man kann deshalb ein absolutes Maß für
+die Schiefe ableiten, indem man $d$ mit der mittleren Ausweichung~$\mu$
+vergleicht. Es wird dann $d/\mu$ ein absolutes Maß für
+die Schiefe.
+
+Als Beispiel wollen wir die Verteilungsfunktion
+\[
+z = z_0e^{-\tfrac{y}{d}}, \quad 0 < y < \infty
+\]
+(Beispiel einer einseitigen Dispersion) nehmen. Dann ergibt sich
+für das arithmetische Mittel:
+\[
+y_0 = \frac
+  {\Int_{0}^{\infty} z_0 e^{-\tfrac{y}{d}} y\, dy}
+  {\Int_{0}^{\infty} z_0 e^{-\tfrac{y}{d}}\, dy}
+  = d.
+\]
+
+Als Normalwert hat in diesem Falle der Wert $y = 0$ zu
+gelten, weil für ihn die Verteilungsfunktion den größten Wert
+erreicht; $d$~ist also in der Tat der Abstand des Normalwertes
+vom Durchschnittswert. Ferner findet man für die mittlere Abweichung~$\mu_0$
+vom Anfangswert~$y = 0$:
+\[
+\mu_0^2 = \frac
+  {\Int_{0}^{\infty} z_0 e^{-\tfrac{y}{d}} y^2\, dy}
+  {\Int_{0}^{\infty} z_0 e^{-\tfrac{y}{d}}\, dy}
+  = 2d^2
+\]
+und damit für die mittlere Abweichung vom arithmetischen Mittel,
+\dh~die mittlere Ausweichung:
+\[
+\mu^2 = \mu_0^2 - d^2 = d^2,
+\]
+so daß sich in diesem Falle ergibt:
+\[
+\frac{d}{\mu} = 1.
+\]
+\DPPageSep{097}{83}
+
+Eine besondere Auffassung der stationären Reihen kommt
+dann zur Geltung, wenn ihre Glieder die verschiedenen beobachteten
+Werte einer physikalischen Größe bedeuten. Die Abweichungen
+der verschiedenen Werte voneinander führt man bekanntlich
+darauf zurück, daß bei den einzelnen Beobachtungen
+Fehler gemacht worden sind. Man glaubt in allen diesen Fällen an
+die Existenz eines wahren Wertes, dem die beobachteten Werte
+mehr oder weniger nahe kommen. Was der wahre Wert unabhängig
+von den gemachten Beobachtungen bedeutet, bleibt allerdings zu
+beantworten. Die Gewißheit seiner Existenz schöpft man erstlich
+aus der Überzeugung von der Unveränderlichkeit des Gegenstandes,
+auf den sich die Beobachtungen beziehen, wenigstens während der
+Dauer dieser Beobachtungen. Sodann liegt aber auch ein über die
+bloße Erfahrung hinausgehendes Urteil zugrunde, das uns die
+von unseren Beobachtungen, \dh~von unseren Wahrnehmungen
+unabhängige Existenz der Naturobjekte behaupten läßt. Wir gelangen
+hiermit jedoch auf das unwegsamste Gebiet der ganzen
+Naturphilosophie. Die Frage, um die es sich handelt, läßt sich
+mit kurzen Worten gar nicht abmachen, weil sie wesentlich davon
+abhängt, was man unter Existenz versteht. Darin sind die Auffassungen
+sehr verschieden. Wir können aber die Betrachtung so
+führen, daß der metaphysische Einschlag möglichst vermieden wird.
+Dies läßt sich auf folgende Weise erreichen.
+
+Das arithmetische Mittel der beobachteten Werte, für das die
+Abweichung der Beobachtungsreihe am kleinsten wird, bedeutet
+den Wert, der dem durch die Beobachtungen erhaltenen Resultate
+so nahe kommt, wie nur möglich, und den man als den zusammenfassenden
+Ausdruck der Beobachtungen ansehen kann.
+
+Wenn die Beobachtungen nun mehr und mehr gehäuft
+werden, so nähert sich das arithmetische Mittel mehr und mehr,
+wie man annimmt, einer bestimmten Grenze, und als diese Grenze
+läßt sich der "`wahre Wert"' festlegen. Derart würde der wahre
+Wert nicht als etwas, was unabhängig von den Beobachtungen
+existiert, wohl aber als ein auf den wirklich gemachten Beobachtungen
+aufgebauter Idealwert erscheinen, dem man näher und
+näher kommen kann, je mehr man die Beobachtungen häuft, ohne
+ihn je mit Sicherheit zu erreichen. Im mathematischen Sinne
+würde er also, wenn die Beobachtungen als eine beliebig weit
+fortsetzbare Reihe angesehen werden, den Grenzwert bedeuten,
+\DPPageSep{098}{84}
+dem sich das arithmetische Mittel aus den Gliedern dieser Reihe
+bei unbegrenzt wachsender Gliederzahl nähert.
+
+Wir können daher in bekannter Symbolik den so gebildeten
+Wert, wenn wieder $y_1,~y_2,~\ldots$ der Reihe nach die beobachteten
+Werte sind, mit
+\[
+y = \lim_{N = \infty} \frac{y_1 + y_2 + \dots + y_N}{N}
+\]
+bezeichnen. Wir können auch die beobachteten Werte immer zu
+einer bestimmten Zahl, etwa~$r$, aufeinander folgender Werte zusammenfassen
+und das arithmetische Mittel dieser Gruppen aufeinander
+folgender Werte nehmen. So würde sich, wenn
+\[
+u_{\rho}' = \Sum_i \frac{y_{\rho r + i}}{r}
+\]
+das arithmetische Mittel für die $\rho$te~Wertegruppe ist, unmittelbar
+ergeben, daß auch
+\[
+y = \lim_{\nu = \infty} \frac{y_0' + y_1' + \dots + y_{\nu}'}{\nu + 1}
+\]
+wird. Der wahre Wert ist auch der Grenzwert für das arithmetische
+Mittel der neuen Zahlenreihe. Die durch die Mittelbildung
+aus $r$ Beobachtungen erreichte engere Annäherung an den wahren
+Wert gibt sich dadurch zu erkennen, daß die mittlere Ausweichung
+der neuen Zahlenreihe kleiner ist als die der ursprünglichen.
+
+Wenn die Beobachtungen außerordentlich gehäuft werden, so
+wird sich jeder der beobachteten Werte (der natürlich nur mit
+beschränkter Genauigkeit bestimmt werden kann) eine größere
+Anzahl Male wiederfinden. Wir werden aber, falls sich eine regelmäßige
+Verteilung der beobachteten Werte ergibt, für den jenem
+unmittelbar benachbarten Wert annähernd die gleiche Häufigkeit
+finden müssen. Es ist also die Häufigkeit des Vorkommens eines
+Wertes $\eta$ zwischen zwei Grenzen, wenn diese Grenzen sehr nahe
+benachbart sind, dem Intervall~$d\eta$ zwischen ihnen proportional,
+und wir können die relative Häufigkeit eines Wertes~$\eta$ in einem
+solchen Intervall in der Form
+\[
+\psi(\eta)\, d\eta
+\]
+ansetzen, wo $\psi(\eta)$ eine bestimmte Funktion von~$\eta$, die \so{Häufigkeitsfunktion},
+bezeichnet.
+\DPPageSep{099}{85}
+
+Da der Wert~$\eta$ zwischen den Grenzen $-\infty$~und~$+\infty$ liegen
+muß, wird die relative Häufigkeit hierfür
+\[
+\Tag{(12)}
+\Int_{-\infty}^{+\infty} \psi(\eta)\, d\eta = 1.
+\]
+
+Nach unserer Voraussetzung ist der wahre Wert~$y$ gegeben
+durch das arithmetische Mittel aller Werte~$\eta$, also durch das
+Integral
+\[
+\Tag{(13)}
+y = \Int_{-\infty}^{+\infty} \eta\psi(\eta)\, d\eta.
+\]
+
+Bilden wir nun die Differenzen
+\[
+x = \eta - y,
+\]
+die wir als den \so{Fehler} der einzelnen Beobachtung bezeichnen, so
+zeigt sich sofort, daß, wenn wir $\psi(\eta) = \psi(y + x) = \phi(x)$
+setzen,
+\[
+\psi(\eta)\, d\eta = \phi(x)\, dx
+\]
+wird. Wir erhalten weiter
+\[
+\Tag{(14)}
+\Int_{-\infty}^{+\infty} \phi(x)\, dx = 1
+\quad\text{und}\quad
+\Int_{-\infty}^{+\infty} x\phi(x)\, dx = 0.
+\]
+Ferner soll noch eine Größe $\mu$ durch die Gleichung
+\[
+\Tag{(15)}
+\mu^2 = \Int_{-\infty}^{+\infty} x^2 \phi(x)\, dx
+\]
+eingeführt werden. Diese Größe bedeutet, da ja $x = \eta - y$, die
+mittlere Abweichung der Werte~$\eta$ von dem "`wahren Wert"' und
+heißt der \so{mittlere} (quadratische) \so{Fehler}. Sie entspricht genau
+der früher eingeführten mittleren Ausweichung.
+
+Wir wollen nun noch fragen, was der Durchschnittswert für
+das \so{Produkt}~$x·x'$ der Fehler zweier Beobachtungen wird. Für
+die relative Häufigkeit eines bestimmten Wertes dieses Produktes
+$X = x·x'$, \dh~eines Wertes, der zwischen den Grenzen $X$~und
+$X + dX$ liegt, erhält man sofort das Integral
+\[
+\iint \phi(x)\phi(x')\, dx\, dx',
+\]
+wobei für $x$,~$x'$ alle Werte zu nehmen sind, für die der Wert von
+$X = x·x'$ zwischen den Grenzen $X$~und~$X + dX$ liegt.
+\DPPageSep{100}{86}
+
+Dies bedeutet, wenn wir $x$,~$x'$ als rechtwinklige Koordinaten
+eines Punktes in der Ebene deuten, daß das Integrationsgebiet
+ein unendlich schmaler, zwischen zwei gleichseitigen Hyperbeln
+\[
+x' = \frac{X}{x},\qquad  x' = \frac{X + dX}{x}
+\]
+liegender Streifen ist. Dieser Streifen läßt sich aber auf andere
+Weise in Flächenelemente zerlegen. Wir teilen ihn durch unendlich
+benachbarte Ordinaten. Zwei solche schneiden dann ein
+unendlich kleines Parallelogramm aus dem Streifen aus, von dem
+die in den Streifen fallenden parallelen Seiten die Länge $\dfrac{dX}{x}$
+und den Abstand~$d$x haben,
+so daß der Inhalt dieses
+Flächenelementes
+\[
+= \frac{dx}{x}\, dX
+\]
+wird\DPtypo{}{.} Damit verwandelt
+sich das obenstehende Integral,
+wenn wir darin
+\[
+x' = \frac{X}{x}
+\]
+einsetzen, in
+\[
+dX \int\phi(x) \phi\left(\frac{X}{x}\right) \frac{dx}{x}.
+\]
+%[** TN: Illustration inset in the original]
+\begin{figure}[hbt!]
+  \centering
+  \caption{Fig.~6.}
+  \Input[0.6\textwidth]{100}
+\end{figure}
+
+Setzen wir also die relative Häufigkeit der Fälle, wo $X$
+zwischen $X$~und~$X + dX$ liegt,
+\[
+= \Phi(X)\, dX,
+\]
+so folgt
+\[
+\Phi(x)
+  = \Int_{-\infty}^{+\infty} \phi(x) \phi\left(\frac{X}{x}\right) \frac{dx}{x}.
+\]
+
+Nun wird der Durchschnitt aller Werte~$X$ gegeben durch das
+Integral
+\[
+\Int_{-\infty}^{+\infty} X\Phi(X)\, dX,
+\]
+\DPPageSep{101}{87}
+wir erhalten dafür also den Wert
+\[
+\Int_{-\infty}^{+\infty} \Int_{-\infty}^{+\infty}
+  X \phi(x) \phi\left(\frac{X}{x}\right) \frac{dx}{x}\, dX
+\]
+oder, indem wir in diesem über die ganze Ebene zu erstreckenden
+Doppelintegral wieder die ursprünglichen Flächenelemente einführen,
+\[
+\Int_{-\infty}^{+\infty} \Int_{-\infty}^{+\infty}
+  x · x' \phi(x) · \phi(x')\, dx\, dx'.
+\]
+Es wird aber dieses Doppelintegral das Produkt zweier einfacher
+Integrale:
+\[
+\Int_{-\infty}^{+\infty} x \phi(x)\, dx · \Int_{-\infty}^{+\infty} x'\phi(x')\, dx',
+\]
+und diese beiden Integrale sind~$0$, also auch ihr Produkt. \so{Der
+Durchschnittswert des Produktes~$x·x'$ ist demnach~$0$.}
+
+Wir wollen dies benutzen, um den Zusammenhang des
+mittleren Fehlers~$\mu$ der direkten Beobachtungen~$y_i$ mit dem mittleren
+Fehler~$\mu'$ der zu $r$ zusammengefaßten und zum Mittelwert~$y'_{\rho}$
+vereinigten Beobachtungen zu suchen. Wir müssen, um
+$\mu'^2$~zu erhalten, den Durchschnittswert bilden von
+\[
+\frac{1}{r^2} (x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_r)^2
+\]
+oder
+\[
+\frac{x_1^2}{r^2} + \frac{x_2^2}{r^2} + \dots +
+\frac{x_r^2}{r^2} + \frac{2x_1 x_2}{r^2} + \dots.
+\]
+Die Durchschnittswerte der $n$ ersten Glieder sind aber alle
+\[
+\Int_{-\infty}^{+\infty} x^2 \phi(x)\, dx = \frac{\mu^2}{r^2}
+\]
+und die Durchschnittswerte der Produkte verschwinden, so daß
+wir schließlich erhalten
+\[
+\mu'^2 = r·\frac{\mu^2}{r^2}
+\]
+oder
+\[
+\Tag{(16)}
+\mu' = \frac{\mu}{\sqrt{r}}.
+\]
+\DPPageSep{102}{88}
+Der mittlere Fehler ist also umgekehrt proportional der Quadratwurzel
+aus der Anzahl der Beobachtungen, von denen man das
+arithmetische Mittel nimmt.
+
+Setzen wir nun aber
+\[
+\lambda_i = y_i - y_0,
+\]
+wobei $y_0 = \dfrac{1}{r}(y_1 + y_2 + \dots + y_r)$, so ergibt sich (da ja
+$x_i = y_i - y = y_i - y_0 + y_0 - y$, wenn die Summation über
+die $r$ zusammengefaßten Beobachtungen erstreckt wird,
+\[
+\Sum x_i^2 = \Sum \lambda_i^2 + r(y_0 - y)^2
+\]
+und daraus
+\[
+\Sum \lambda_i^2 = \Sum x_i^2 - r(y_0 - y)^2.
+\]
+
+Nehmen wir nun den Durchschnittswert, so ergibt sich für
+das erste Glied der rechten Seite der Wert~$r·\mu^2$, für das zweite
+Glied $r·\dfrac{\mu^2}{r} = \mu^2$, also wird der Durchschnittswert von~$\Sum\lambda_i^2$
+\[
+= (r - 1)\mu^2,
+\]
+und $\mu$ kann als der Durchschnittswert von
+\[
+\sqrt{\frac{\Sum \lambda_i^2}{r - 1}}
+\]
+angesehen werden. Sofern diese Größe von einer Beobachtungsserie
+zur anderen sich wenig ändert, kann sie selbst für den
+Wert~$\mu$ genommen, also
+\[
+\Tag{(17)}
+\mu = \sqrt{\frac{\Sum \lambda_i^2}{r - 1}}
+\]
+gesetzt werden.
+
+Wir wollen nun auch noch den Durchschnittswert des Ausdruckes
+\begin{gather*}
+\Tag{(18)}
+\frakM = \frac{1}{r - 1} \bigl[
+  (y_1 - y_2)^2 + (y_2 - y_3)^2 + (y_3 - y_4)^2 + \dots \\
+  + (y_{r-1} - y_r)^2\bigr]
+\end{gather*}
+suchen. Wir können diesen Ausdruck schreiben
+\[
+\frakM = \frac{1}{r - 1} \bigl[
+  (x_1 - x_2)^2 + (x_2 - x_3)^2 + \dots + (x_{r-1} - y_r)^2
+\bigr]
+\]
+\DPPageSep{103}{89}
+oder
+\begin{align*}
+\frakM
+  &= \frac{1}{r - 1} (x_1^2 + 2x_2^2 + 2x_3^2 + \dots + x_r^2) \\
+  &- \frac{2}{r - 1} (x_1x_2 + x_2x_3 + \dots + x_{r-1}x_r),
+\end{align*}
+und daraus folgt sofort für den Mittelwert
+\[
+2\mu^2.
+\]
+
+Ist also die Anzahl der Beobachtungen groß genug und die
+Verteilung der beobachteten Werte derart, daß man den gefundenen
+Wert mit dem Mittelwert identifizieren kann, so muß man, da
+offenbar auch
+\[
+%[** TN: Broken across two lines in the original]
+\frakM = \frac{1}{r-1} \bigl[
+  (\lambda_1 - \lambda_2)^2 + (\lambda_2 - \lambda_3)^2 +
+  (\lambda_3 - \lambda_4)^2 + \dots + (\lambda_{r-1} - \lambda_r)^2
+\bigr]
+\]
+wird, zwischen diesem Ausdruck und dem Ausdruck
+\[
+\mu^2 = \frac{\lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \dots + \lambda_r^2}{r - 1}
+\]
+die Beziehung finden
+\[
+\Tag{(19)}
+\frakM = 2\mu^2,
+\]
+und die erste Quadratensumme muß das Doppelte von der zweiten
+Quadratensumme sein.
+
+Hiermit haben wir ein Kriterium, das \so{Abbesche Kriterium}\footnote
+  {E.~\so{Abbe}, Dissertation, Werke Bd.~II, letzte Abhandlung. Vgl.\
+\index{Abbe}%
+  \so{Helmert}\DPtypo{}{,} Sitzungsberichte der Kgl.\ Preußischen Akademie der Wissenschaften
+\index{Helmert}%
+  1905, S.~594, der zeigt, daß sowohl die Vorzeichensumme der
+  Abweichungen $\lambda_i$ gleich $0$ wie der Ausdruck $\dfrac{\frakM}{2\mu^2}$ gleich $1$ wird mit
+  einem mittleren Fehler, der der Quadratwurzel aus der Anzahl der
+  Beobachtungen gleich ist.},
+gefunden, das sich sehr leicht anwenden läßt. Dieses
+Kriterium gilt dafür, daß die Werte der stationären Reihe dieselbe
+Verteilung zeigen, die sich bei wiederholten, gleich sorgfältigen
+Beobachtungen derselben physikalischen Größe ergibt, wo
+in der Tat angenommen werden kann, daß bei genügender Häufung
+der Beobachtungen die idealen Mittelwerte mit großer Annäherung
+erreicht werden. Insofern die bei solchen Beobachtungsreihen
+entstehende Verteilung die typische Verteilung ist, die da
+\DPPageSep{104}{90}
+entsteht, wo die Abweichungen der einzelnen Werte der Reihe
+voneinander auf bloßen Zufälligkeiten beruhen, kann des Kriterium
+auch direkt als Zufallskriterium bezeichnet werden.
+
+Wir wollen es noch an einem Beispiel bestätigen. Wir nehmen
+dafür die früher (S.~30) als Produkte zweier beobachteten Größen
+gefundenen Zahlenwerte für die Konstante im \so{Boyle}schen
+(\so{Mariotte}schen) Gesetz, so daß die Werte der stationären Reihe
+jetzt sind
+\begin{gather*}
+y_1 = 1531,\ y_2 = 1547,\ y_3 = 1531,\ y_4 = 1520,\ y_5 = 1518, \\
+y_6 = 1541,\ y_7 = 1530,\ y_8 = 1535.
+\end{gather*}
+Der Durchschnittswert ist rund 1532, wir finden also
+\begin{gather*}
+\lambda_1 = -1,\ \lambda_2 = +15,\ \lambda_3 = -1,\ \lambda_4 = -12,\ \lambda_5 = -14, \\
+\lambda_6 = +9,\ \lambda_7 = -2,\ \lambda_8 = +3.
+\end{gather*}
+
+Nun ist ein erstes Mittel, um zu beurteilen, ob diese Abweichungen
+auf Rechnung des Zufalls gesetzt werden können, die
+Untersuchung, ob sie eine symmetrische Verteilung zeigen. Man
+kann sich hierbei darauf beschränken, festzustellen, ob der Durchschnittswert
+mit dem Zentralwert ungefähr zusammenfällt. Der
+Durchschnittswert der Zahlen~$\lambda$ ist aber $0$ (wegen der Abrundung
+bei den obenstehenden Zahlen~$-0,~4$). Soll nun auch der Zentralwert~$0$
+sein, so müssen unter den $\lambda$ ebensoviel positive wie negative
+sein. Wir können die sich so ergebende Regel fassen wie folgt:
+Man ersetze alle positiven~$\lambda$ durch den Wert~$+1$, alle negativen
+durch~$-1$, diejenigen, welche $0$ sind, lasse man gleich~$0$, dann
+muß die algebraische Summe dieser Werte klein im Verhältnis zu
+der Anzahl der Beobachtungen sein. Im vorliegenden Falle haben
+wir fünf negative und drei positive Werte, würden also statt~$0$
+den Wert~$-2$ erhalten, was klein genug ist.
+
+Bilden wir jetzt die mittlere Ausweichung nach der Formel~\Eqref{(17)},
+so erhalten wir
+\[
+2\mu^2 = 2·\frac{661}{7} = 189.
+\]
+Ferner wird
+\[
+\frakM = \frac{1}{7}(16^2 + 16^2 + 11^2 + 2^2 + 23^2 + 11^2 + 5^2)
+\]
+oder
+\[
+\frakM = 187.
+\]
+Die Übereinstimmung zwischen den Werten $2\mu$~und~$\frakM$ ist so
+gut, wie man nur wünschen kann.
+\EndChap
+\DPPageSep{105}{91}
+
+
+\Chapter{Siebentes Kapitel}{Das Urnenschema}
+
+Wir gehen nun den Weg, daß wir einen besonderen Fall von
+stationären Zahlenreihen ins Auge fassen. In diesem Falle sollen
+die beobachteten Werte relative Häufigkeiten gleichartiger Ereignisse
+sein. Um aber ein bestimmtes Bild vor Augen zu haben,
+denken wir uns eine Urne, in der schwarze und weiße Kugeln
+gemischt enthalten sind und aus der eine bestimmte, sehr große
+Anzahl Male hintereinander eine Kugel gezogen wird, die jedesmal
+nach der Ziehung zurückgelegt wird. Das Verhältnis der Anzahl der
+gezogenen weißen Kugeln zu der Anzahl der gemachten Ziehungen
+überhaupt ergibt dann die aufzuzeichnende relative Häufigkeit.
+Wir können es dabei als eine Erfahrungstatsache ansehen, daß
+diese Verhältniszahl annähernd mit dem Verhältnis der in der
+Urne enthaltenen weißen Kugeln zu der Gesamtzahl der überhaupt
+vorhandenen Kugeln übereinstimmt. Wir können auch, wenn das
+einfacher scheint, diese Behauptung so wenden, daß wir zunächst
+von einer Urne ausgehen, in der die Kugeln einzeln, etwa mit
+Zahlen, bezeichnet sind. Die Behauptung lautet dann so, daß bei
+einer großen Anzahl von Ziehungen die verschiedenen Kugeln annähernd
+gleich oft erscheinen, falls beim Ziehen gewisse Vorsichtsmaßregeln
+(stets erneutes, gründliches Durcheinanderschütteln usw.)
+beobachtet werden. (Die Behauptung geht sogar noch weiter, die
+Anzahlen der Ziehungen für die verschiedenen Kugeln sollen um
+so genauer einander relativ gleich werden, je größer ihre absoluten
+Werte sind.) Die relative Häufigkeit wird sonach für die einzelnen
+Kugeln, wenn $s$ Kugeln in der Urne enthalten sind, annähernd
+gleich~$\dfrac{1}{s}$, und wenn darunter $r$ weiß gefärbt sind, wird die relative
+Häufigkeit der Ziehung einer weißen Kugel annähernd gleich~$\dfrac{r}{s}$,
+also gleich dem Mischungsverhältnis.
+\DPPageSep{106}{92}
+
+Fassen wir nun die relativen Häufigkeiten ins Auge, die bei
+einer Serie von Ziehungsgruppen (zu je $n$~Ziehungen) tatsächlich
+gefunden sind, so können wir von vornherein sagen, daß die so
+gefundenen Werte, weil sie keine systematische Veränderung zeigen,
+sich vielmehr alle mehr oder weniger dem Mischungsverhältnis der
+Kugeln nähern, in dem früher erörterten Sinne eine stationäre
+Reihe bilden.
+
+Ist das Mischungsverhältnis also nicht bekannt, so liefert die
+Bestimmung der relativen Häufigkeit der gezogenen weißen Kugeln
+bei einer Serie von Ziehungsgruppen, deren jede eine große Anzahl
+von Ziehungen umfaßt, ein Mittel, den Wert des Mischungsverhältnisses
+wenigstens angenähert zu finden. Es sei eine Serie
+von $m$ mal $n$ Beobachtungen angestellt und es seien hierbei
+\[
+w_1 = \frac{p_1}{n},\quad
+w_2 = \frac{p_2}{n},\quad
+\dots,\quad
+w_m = \frac{p_m}{n}
+\]
+die bei den einzelnen Beobachtungsgruppen gefundenen relativen
+Häufigkeiten. Diese bilden die Elemente der stationären Reihen,
+um die es sich handelt. Der Durchschnittswert aber, um den sich
+die Werte der Reihe gruppieren, wird:
+\[
+w = \frac{w_1 + w_2 + \dots + w_m}{m}
+  = \frac{p_1 + p_2 + \dots + p_n}{m·n},
+\]
+er ist demnach nichts anderes als die relative Häufigkeit, die sich
+ergibt, wenn wir direkt die relative Häufigkeit für die Gesamtheit
+aller angestellten Beobachtungen bilden. Denken wir uns nun die
+Beobachtungen weiter fortgesetzt, so daß wir neue Ziehungsserien
+von je $m·n$~Ziehungen erhalten, dann bilden die aus diesen
+folgenden relativen Häufigkeiten eine neue stationäre Reihe, von der
+wir allgemein gezeigt haben, daß die Abweichung ihrer Werte voneinander
+geringer ist als die der ursprünglichen Reihe. So können
+wir noch weiter fortfahren, die gefundenen Reihen werden sich
+dann immer enger um einen bestimmten Mittelwert zusammenziehen.
+Es zeigt sich also, daß man einem bestimmten Wert
+näher und näher kommt, der mit der beobachteten relativen
+Häufigkeit um so genauer zusammenfällt, je größer die Anzahl
+der beobachteten Fälle ist. Daß der so ermittelte Wert
+das wirkliche Mischungsverhältnis der Kugeln in der Urne ist,
+kommt nicht unmittelbar in Betracht. Dieser Wert, den wir
+\DPPageSep{107}{93}
+als Idealwert oder Grenzwert einer relativen Häufigkeit erhalten,
+ist derselbe, der sonst als mathematische Wahrscheinlichkeit
+bezeichnet wird. In dem hier angegebenen Sinne wurde der Begriff
+vielleicht zum erstenmal von \so{Gauss} eingeführt (Theoria
+\index{Gauß}%
+combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae 1821,
+Werke, Bd.~IV, S.~5) und durch den Ausdruck \so{facilitas relativa}
+bezeichnet. In der weiteren Darstellung gebraucht er jedoch durchweg
+den gewöhnlicheren Ausdruck probabilitas und wir könnten
+ebenso die Bezeichnung Wahrscheinlichkeit verwenden. Es scheint
+aber doch besser, in dieser kurzen Darstellung, die nur das erkenntnistheoretische
+Problem, nicht aber die weiteren Ausführungen
+zu behandeln hat, um alle Mißverständnisse gegenüber der sonst
+üblichen Definition der Wahrscheinlichkeit auf Grund der "`gleich
+möglichen Fälle"' zu vermeiden, überall den Ausdruck "`relative
+Häufigkeit"' zu verwenden, trotzdem dieser dann auch über seine
+ursprüngliche Bedeutung hinaus eine besondere Prägung als
+Kunstausdruck erhält. Wir müssen im folgenden immer die
+Anzahl der Ziehungen so groß voraussetzen, daß die erreichte
+Annäherung an den Idealwert als hinreichend angesehen werden
+kann.
+
+Die Ziehung aus einer Urne läßt sich als Typus eines \so{einfachen}
+Ereignisses ansehen. Wollen wir uns nun ein \so{zusammengesetztes}
+Ereignis bilden, so denken wir uns zwei Urnen. Zuerst
+wird aus der ersten Urne gezogen und nur, wenn hierbei eine weiße
+Kugel gefunden ist, wird auch aus der zweiten Urne gezogen. Daß
+hierbei wieder eine weiße Kugel gefunden wird, wird als das Eintreten
+des in Betracht gezogenen zusammengesetzten Ereignisses
+angesehen. Es fragt sich dann, ob die relative Häufigkeit dieses
+zusammengesetzten Ereignisses sich aus den relativen Häufigkeiten
+der Einzelereignisse ableiten läßt. Zu diesem Zweck denken wir
+uns wieder eine Serie von Ziehungsgruppen. Wir nehmen zunächst
+an, es sei $n$\,mal aus der ersten Urne gezogen worden. Nur bei
+einem Teil dieser Ziehungen, etwa $p$ Ziehungen, ist dann eine weiße
+Kugel gezogen worden, und in einem Teil dieser Fälle, etwa bei
+$q$ Ziehungen, sei auch aus der zweiten Urne eine weiße Kugel gezogen
+worden. Die relative Häufigkeit des zusammengesetzten
+Ereignisses ist dann
+\[
+w = \frac{q}{n}.
+\]
+\DPPageSep{108}{94}
+
+Die relative Häufigkeit der Ziehung einer weißen Kugel aus
+der ersten Urne wird aber
+\[
+w_1 = \frac{p}{n},
+\]
+und die relative Häufigkeit der Ziehung einer weißen Kugel aus
+der zweiten Urne wird
+\[
+w_2 = \frac{q}{p},
+\]
+man findet also
+\[
+\Tag{(1)}
+w = w_1·w_2,
+\]
+\dh~die \so{relative Häufigkeit des zusammengesetzten Ereignisses
+ist das Produkt aus den relativen Häufigkeiten
+der Einzelereignisse}.
+
+Wir müssen aber beachten, welche Voraussetzung hierbei gemacht
+worden ist. Durch die Ziehungen aus der ersten Urne
+werden bestimmte Fälle, die durch das Finden einer weißen Kugel
+gegeben sind, herausgegriffen. Nur in diesen Fällen wird aus
+der zweiten Urne gezogen und die relative Häufigkeit für diese
+Ziehungen notiert. Liegt nun der Fall ebenso, als ob unabhängig
+von der ersten Urne aus der zweiten Urne gezogen worden wäre?
+Man wird die Frage hier unbedingt bejahen, sie wird sogar als
+gänzlich überflüssig erscheinen. Ihre Entscheidung bedeutet aber
+eine bestimmte Aussage über die beiden Einzelereignisse, aus
+denen sich das Gesamtereignis zusammensetzt, nämlich die Aussage
+darüber, daß \so{die durch die erste Urne getroffene Bestimmung
+über die Ziehung aus der zweiten Urne keinen
+Einfluß auf die Resultate der Ziehungen aus dieser
+zweiten Urne ausübt}, daß mit anderen Worten \so{die beiden
+Einzelereignisse voneinander unabhängig sind}.
+
+Die gleiche Überlegung bleibt natürlich auch dann bestehen,
+wenn das Gesamtereignis sich aus mehr als zwei Einzelereignissen
+zusammensetzt. Wir können daher allgemein sagen:
+
+\so{Die relative Häufigkeit eines aus mehreren Komponenten
+zusammengesetzten Ereignisses ist gleich dem
+Produkt aus den relativen Häufigkeiten seiner Komponenten,
+wenn diese voneinander unabhängig sind.}
+
+Ein Ereignis kann aber noch auf eine andere Art aus Teilereignissen
+zusammengesetzt sein. Nehmen wir \zB~an, das Ereignis
+\DPPageSep{109}{95}
+bestände darin, daß mit einem Würfel mehr als drei Augen
+geworfen werden. Dann setzt sich dieses Ereignis sofort aus drei
+Teilereignissen zusammen. Es können nämlich mit dem Würfel
+entweder vier oder fünf oder sechs Augen geworfen sein. In allen
+drei Fällen ist das Ereignis eingetreten. Nehmen wir nun an, es
+sei allgemein $n$ die Gesamtzahl der Fälle. Dabei seien die Teilereignisse
+der Reihe nach $p$-,~$q$-,~$r$\,mal eingetreten, dann ist das Gesamtereignis
+$(p + q + r)$\,mal eingetreten. Die relative Häufigkeit
+des Gesamtereignisses wird also
+\[
+w = \frac{p + q + r}{n}
+  = \frac{p}{n} + \frac{q}{n} + \frac{r}{n}.
+\]
+Die relativen Häufigkeiten der Teilereignisse sind aber
+\[
+w_1 = \frac{p}{n},\quad
+w_2 = \frac{q}{n},\quad
+w_3 = \frac{r}{n}.
+\]
+Es ergibt sich demnach
+\[
+\Tag{(2)}
+w = w_1 + w_2 + w_3,
+\]
+und wir können allgemein den Satz aussprechen:
+
+\so{Wenn bei einem Ereignis verschiedene Fälle möglich
+sind, die alle das Eintreten des Ereignisses bedeuten, so
+ergibt die Summe der relativen Häufigkeiten aller dieser
+Fälle die relative Häufigkeit des betrachteten Ereignisses
+selbst.}
+
+Bei jedem Ereignis sind aber immer von vornherein zwei
+Fälle zu unterscheiden, die durch das Eintreten und das Ausbleiben
+des Ereignisses gegeben sind. Das Eintreten und das Ausbleiben
+eines Ereignisses setzen sich jedoch zu einem Ereignis zusammen,
+das in allen Fällen eintritt, dessen relative Häufigkeit also gleich
+$1$ ist. Nennen wir daher w die relative Häufigkeit des Eintretens
+und $w'$ die relative Häufigkeit des Ausbleibens, so muß
+\[
+w + w' = 1
+\]
+werden, es ergibt sich also die relative Häufigkeit des Ausbleibens
+eines Ereignisses aus der relativen Häufigkeit~$w$ seines Eintretens
+durch die Gleichung
+\[
+w' = 1 - w.
+\]
+
+Wir benutzen die angestellten Überlegungen nun, um die
+relative Häufigkeit des mehrmaligen Eintretens eines Ereignisses
+in einer gewissen Anzahl von Fällen zu bestimmen. Wenn das
+\DPPageSep{110}{96}
+Ereignis in $n$ Fällen $p$\,mal eintreten soll, so müssen wir zunächst
+dabei eine bestimmte Folge des Eintretens und Ausbleibens ins
+Auge fassen. Es handelt sich dann um ein Ereignis, das aus
+$n$ unabhängigen Teilereignissen besteht. Diese Teilereignisse sind
+das Eintreten oder Ausbleiben des betrachteten Erfolges im ersten,
+zweiten, dritten usw. Falle. Nach unserem Satze ist die relative
+Häufigkeit des Gesamtereignisses das Produkt aus den relativen
+Häufigkeiten der Teilereignisse, und von diesen n Faktoren sind $p$
+gleich~$w$, wenn wir mit~$w$ die relative Häufigkeit des Einzelereignisses
+bezeichnen, von der wir voraussetzen, daß sie sich von
+Fall zu Fall nicht ändert, die übrigen $n - p$~Faktoren dagegen
+werden gleich~$1 - w$. Wir finden also für die relative Häufigkeit
+des Gesamtereignisses den Wert
+\[
+w^p(1 - w)^{n-p}.
+\]
+
+Nun soll aber die Reihenfolge, in welcher der betrachtete Erfolg
+eintritt oder ausbleibt, für das in Wirklichkeit betrachtete
+Gesamtereignis (das $p$\,malige Eintreten des betrachteten Erfolges
+in $n$~Fällen) gleichgültig sein. Wir müssen also alle diese verschiedenen
+Reihenfolgen als verschiedene mögliche Fälle, in denen
+das in Rede stehende Ereignis eintritt, ansehen und finden die
+relative Häufigkeit dieses Ereignisses als die Summe der relativen
+Häufigkeiten, die sich für die einzelnen möglichen Reihenfolgen
+ergeben, \dh,~da diese relativen Häufigkeiten alle gleich sind, als
+das Produkt ihres Wertes mit der Anzahl der Arten, auf die sich
+aus $n$~Elementen~$p$ herausgreifen lassen. Diese Anzahl ist
+\[
+\frac{1·2·3·4·5 \dots n}{1·2 \dots p·1·2 \dots (n - p)}
+  = \frac{n!}{p!(n - p)!},
+\]
+wenn wir in der üblichen Weise
+\[
+1·2·3 \dots n = n!
+\]
+setzen, und damit finden wir für die gesuchte relative Häufigkeit
+den Wert
+\[
+\Tag{(3)}
+\frac{n!}{p!(n - p)!}\, w^p(1 - w)^{n-p}.
+\]
+
+Dieser Wert ist, wie man sieht, einerseits eine einfache Funktion
+der relativen Häufigkeit~$w$, andererseits hängt er in bestimmter
+Weise von der Zahl~$p$ ab und wir wollen ihn deswegen mit
+\[
+\phi_p(w) \text{ oder kürzer } \phi_p
+\]
+bezeichnen.
+\DPPageSep{111}{97}
+
+Bei der Bestimmung des vorstehenden Ausdruckes ist zu bedenken,
+daß der Wert~$w$ nie mit absoluter Genauigkeit, sondern
+immer nur mit einer gewissen Annäherung gefunden werden kann.
+Wir wollen nun untersuchen, welchen Einfluß eine kleine Abweichung~$\delta w$
+im Werte von~$w$ auf die Bestimmung des Wertes~$\phi_p$
+ausübt. Die der Abweichung~$\delta w$ entsprechende Änderung dieses
+Wertes wird
+\begin{align*}
+\delta\phi_p
+  &= \frac{n!}{p!(n - p)!}\, w^p(1 - w)^{n-p}
+       \left(\frac{p}{w} - \frac{n - p}{1 - w}\right) \delta w \\
+  &= \phi_p \left(\frac{p}{w} - \frac{n - p}{1 - w}\right) \delta w.
+\end{align*}
+Diese Änderung darf nur einen Bruchteil von $\phi_p$ ausmachen, damit
+die Bestimmung von $\phi_p$ überhaupt einen Sinn hat. Wir fragen
+also, wann
+\[
+\delta\phi_p < \epsilon·\phi_p
+\]
+wird, wo $\epsilon$ einen bestimmten echten Bruch bedeutet, und finden
+zunächst, daß dann dem absoluten Betrage nach
+\[
+\left(\frac{p}{w} - \frac{n - p}{1 - w}\right) \delta w < \epsilon
+\]
+sein muß, woraus sich, indem wir die Werte
+\[
+u = \frac{p}{n},\quad
+1 - u = \frac{n - p}{n}
+\]
+einsetzen, ergibt:
+\[
+\left(\frac{u}{w} - \frac{1 - u}{1 - w}\right) n\, \delta w < \epsilon
+\]
+oder
+\[
+\frac{u - w}{w(1 - w)}\, n\, \delta w < \epsilon.
+\]
+Nehmen wir für $\delta w$ die größte zu befürchtende Schwankung in
+der Bestimmung von~$w$, so folgt für die zugehörigen Grenzen des
+Wertes~$u$
+\[
+u - w < \frac{w(1 - w)}{n\, \delta w} \epsilon
+\]
+dem absoluten Betrage nach, oder
+\[
+p - nw < \frac{w(1 - w)}{\delta w}\, \epsilon.
+\]
+\DPPageSep{112}{98}
+Nur wenn diese Bedingung für einen nicht zu großen Wert des
+echten Bruches~$\epsilon$, also sicher auch die Bedingung
+\[
+p - nw  <  \frac{w(1 - w)}{\delta w}
+\]
+erfüllt ist, kann von einer Bestimmung des Wertes~$\phi_p$ die Rede
+sein. Es ergibt sich also eine gewisse Grenze für die Abweichung
+des Wertes~$p$ von dem "`Normalwert"'~$nw$, die überhaupt zulässig
+ist. Das ist für alles Folgende wichtig zu beachten.
+
+Nehmen wir nun die Reihe der Werte~$\phi_p$, welche die Häufigkeit
+des Vorkommens eines bestimmten Wertes $\dfrac{p}{n} = u$ angeben,
+so fragt es sich, welcher Art diese Zahlenreihe ist, wenn wir von
+der Annahme eines festen Wertes~$w$ ausgehen. Es zeigt sich sofort,
+daß die Reihe in dem früher (S.~79) angegebenen Sinne einen
+\so{einfachen Verlauf} hat. Bilden wir nämlich den Ausdruck
+\[
+\frac{\Delta \phi_p}{\phi_p}
+  = \frac{\phi_{p+1} - \phi_p}{\phi_p}
+  = \frac{n - p}{p+1}·\frac{w}{1 - w} - 1
+  = \frac{(n + 1)w - (p + 1)}{(p + 1)(1 - w)},
+\]
+so geht dieser durch Null hindurch, wenn mit möglichster Annäherung
+\[
+\frac{n - p}{p + 1} = \frac{1 - w}{w}
+\]
+oder
+\[
+\frac{p + 1}{n + 1} = w
+\]
+wird. Auf der einen Seite von diesem Werte ist der Ausdruck
+von $\dfrac{\Delta \phi_p}{\phi_p}$ beständig positiv und nimmt mit $p$ zu, auf der anderen
+Seite wird er negativ und nimmt ebenfalls mit $p$ zu, \dh~dem
+absoluten Werte nach ab; es wird nämlich
+\[
+\frac{\Delta \phi_p}{\phi_p} - \frac{\Delta \phi_{p+1}}{\phi_{p+1}}
+  = \frac{n + 1}{(p + 1)(p + 2)}\, \frac{w}{1 - w}
+\]
+beständig positiv, die Werte von $\phi_p$ nehmen also vom Höchstwert
+aus nach beiden Seiten ab, wie \Fig{5} angibt.
+\DPPageSep{113}{99}
+
+Auf eine andere Weise untersuchen wir die aus dem Ausdruck~$\phi_p$
+folgende Zahlenreihe, indem wir die Summen
+\[
+\Sum_0^n \phi_p,\quad
+\Sum_0^n p\phi_p,\quad
+\Sum_0^n p^2\phi_p
+\]
+bilden. Was zunächst die erste angeht, so ergibt sich aus
+\[
+1 = \bigl[w + (1 - w)\bigr]^n
+  = \Sum_{p=0}^n \frac{n!}{p!(n - p)!}\, w^p(1 - w)^{n-p}
+\]
+sofort
+\[
+\Sum_0^n \phi_p = 1.
+\]
+Für das allgemeine Glied der zweiten Summe finden wir dagegen
+\begin{align*}
+p·\phi_p
+  &= \frac{n!}{(p - 1)!(n - p)!}\, w^p(1 - w)^{n-p} \\
+  &= nw·\frac{(n - 1)!}{(p - 1)!(n - p)!}\, w^{p-1}(1 - w)^{n-p}
+\end{align*}
+und daraus folgt, indem wir die Werte, die aus $\phi_p$ hervorgehen,
+wenn man $n - 1$ statt $n$ nimmt, mit $\phi'_p$ bezeichnen,
+\[
+p·\phi_p = nw·\phi'_{p-1};
+\]
+es wird also
+\[
+\Sum_0^n p·\phi_p = nw·\Sum_0^{n-1} \phi'_{p-1}
+\]
+und damit
+\[
+\Tag{(4)}
+\Sum_0^n p·\phi_p = n·w.
+\]
+Weiter ergibt sich:
+\begin{align*}
+p^2·\phi_p
+  &= \frac{n!}{(p - 2)!(n - p)!}\, w^p(1 - w)^{n-p} \\
+  &+ \frac{n!}{(p - 1)!(n - p)!}\, w^p(1 - w)^{n-p} \\
+  &= n(n - 1) w^2·\phi''_{p-2} + nw·\phi'_{p-1},
+\end{align*}
+indem wir den Ausdruck, der aus $\phi_p$ hervorgeht, wenn man $n - 2$
+statt $n$ nimmt, mit $ßphi''_p$ bezeichnen, und damit erhalten wir
+\[
+\Sum p^2·\phi_p = n(n - 1) w^2·\phi''_{p-2} + nw·\Sum \phi'_{p-1};
+\]
+\DPPageSep{114}{100}
+da aber $\Sum \phi'_{p-1} = 1$, $\Sum \phi''_{p-2} = 1$, folgt hieraus:
+\[
+\Tag{(5)}
+\Sum p^2·\phi_p = n(n - 1) w^2 + nw.
+\]
+
+Diese Resultate lassen sich verwerten, um die registrierten
+Werte $p$ nach der im vorigen Kapitel angegebenen Methode als
+die Glieder einer \so{stationären} Reihe zu untersuchen. Die Anzahl
+der insgesamt aufgezeichneten Werte sei~$N$. Der Wert~$p$
+findet sich dann $\phi_p·N$\,mal, und wenn wir die Summe aller aufgezeichneten
+Werte bilden, so ergibt sich
+\[
+\Sum \phi_p N · p = N \Sum p · \phi_p = N · nw;
+\]
+das arithmetische Mittel aller aufgezeichneten Werte wird also
+\[
+p_0 = n · w.
+\]
+
+Berechnen wir nun die Summe der Quadrate der Abweichungen
+der aufgezeichneten Werte von diesem Mittelwert, so ergibt sich
+dafür der Ausdruck
+\[
+\Sum \phi_p N · (p - p_0)^2
+\]
+und hierfür finden wir weiter:
+\begin{align*}
+  & N · \bigl[\Sum p^2 \phi_p - 2 nw \Sum p \phi_p + n^2 w^2\bigr] \\
+ =& N · \bigl[n(n - 1)w^2 + nw - n^2w^2\bigr] = N · nw (1 - w).
+\end{align*}
+Der Mittelwert aller Abweichungen wird also
+\[
+\sqrt{nw(1 - w)}.
+\]
+
+Nehmen wir statt der Werte~$p$ selbst die Verhältniswerte~$\dfrac{p}{n}$,
+so wird
+\begin{align*}
+&\Sum_0^n \frac{p}{n}·\phi_p = w
+\intertext{und}
+&\Sum_0^n \left(\frac{p}{n} - w\right)^2 · \phi_p = \frac{w(1 - w)}{n},
+\end{align*}
+also in diesem Falle die mittlere Ausweichung
+\[
+\Tag{(6)}
+\mu = \sqrt{\frac{w(1 - w)}{n}}.
+\]
+\DPPageSep{115}{101}
+
+Diese mittlere Ausweichung wird sonach um so kleiner, je
+größer~$n$ ist.
+
+Wenn aus einer Urne gezogen wird und sich hierbei unter $n$
+Ziehungen $p$\,mal eine weiße Kugel findet, so könnte man diesen
+Vorgang als typisch für alle Fälle ansehen, wo bei $n$ Proben
+$p$\,mal der gewünschte Erfolg eintritt. Man kann daher versucht
+sein, die aus diesem einfachen Urnenschema abgeleiteten Resultate
+auf alle Fälle zu übertragen, in denen sich nichts weiter offenbart
+hat, als daß ein bestimmter Erfolg $p$\,mal unter $n$\,malen eingetreten
+ist. Der Schluß ist aber sehr gewagt und wird in den meisten
+Fällen auch als irrig nachgewiesen, wenn man die relative Häufigkeit
+nicht bloß einmal, sondern eine größere Anzahl Male bestimmt,
+und dann versucht, die mittlere Ausweichung der so gewonnenen
+stationären Reihe mit dem nach der obigen Formel sich ergebenden
+Ausdruck zu vergleichen. Man kann für diese mangelnde Übereinstimmung
+zunächst folgende Erklärung versuchen.
+
+Bei dem Urnenschema ist man von vornherein gewiß, daß
+die Bedingungen des Ereignisses, die durch das Mischungsverhältnis
+der schwarzen und der weißen Kugeln in der Urne gegeben sind,
+unverändert bleiben. Im allgemeinen Falle hat man diese Gewißheit
+aber nicht. Man könnte nun diesen allgemeineren Fall an
+das zuerst gegebene Urnenschema anschließen, indem man voraussetzt,
+daß das Mischungsverhältnis der Kugel in der Urne wechselt,
+oder besser noch, daß die Ziehungen nicht aus einer Urne,
+sondern aus vielen Urnen mit verschiedenen Mischungsverhältnissen
+stattfinden. Es ist dann die Frage, ob sich dadurch die
+Verteilung der Anzahl Male, die ein bestimmtes Ziehungsverhältnis
+bei einer großen Anzahl von Ziehungen herauskommt, wesentlich
+ändert oder nicht.
+
+Um diese Frage zu beantworten, nehmen wir an, es sei das
+Mischungsverhältnis der weißen und schwarzen Kugeln bei der
+$i$ ten Ziehung~$w_i/w'_i$, wobei immer $w_i + w'_i = 1$.
+
+Bilden wir nun das Produkt
+\[
+\Prod_i(w_i\xi + w'_i\eta) = \Sum_p \psi_p \xi^p \eta^{n-p},
+\]
+über alle Ziehungen erstreckt, so gibt der Faktor~$\psi_p$ von~$\xi^p \eta^{n-p}$ in
+diesem Ausdruck die relative Häufigkeit der Ziehung von $p$ weißen
+Kugeln bei $n = p + q$ Ziehungen an. Dies ist sofort einzusehen,
+\DPPageSep{116}{102}
+weil das Entstehen eines Ziehungsverhältnisses, bei dem $p$ weiße
+Kugeln $q$ schwarzen Kugeln gegenüberstehen, genau analog ist
+dem Herausheben eines Gliedes mit $p$ Faktoren $\xi$~und $n - p = q$
+Faktoren~$\eta$ bei der Ausrechnung des angeschriebenen Produktes.
+So oft sich ein solches Glied ergibt, so oft ergibt sich auch bei
+den aufeinanderfolgenden Ziehungen eine Kombination, bei der
+gerade $p$ weiße und $q$ schwarze Kugeln gezogen sind.
+
+Da die Summe aller dieser relativen Häufigkeiten gleich~$1$
+sein muß, folgt für $\xi = \eta = 1$
+\[
+\Sum \psi_p\xi^p\eta^q = \Prod_i(w_i\xi + w'_i\eta) = 1.
+\]
+Für die Zahlenreihe, welche die relativen Häufigkeiten bilden, finden
+wir den Mittelwert~$w$, indem wir bilden
+\[
+nw = \Sum p\psi_p
+   = \Sum p\psi_p \xi^{p-1}\eta^q \quad\text{für}\quad \xi = \eta = 1.
+\]
+Nun ergibt sich aber:
+\begin{align*}
+\Sum p\psi_p\xi^{p-1}\eta^q
+  &= \frac{\partial \Prod(w_i\xi + w'_i\eta)}{\partial\xi} \\
+  &= \Prod(w_i\xi + w'_i\eta)·\Sum \frac{w_i}{w_i\xi + w'_i\eta}
+\end{align*}
+und daraus folgt für den Mittelwert~$w$, wenn wir $\xi = \eta = 1$
+setzen,
+\[
+\Tag{(7)}
+nw = \Sum w_i.
+\]
+
+Wir haben jetzt auch noch die mittlere Ausweichung zu berechnen
+und zu dem Zweck zu bilden
+\[
+n^2\mu^2 = \Sum (p - nw)^2·\psi_p.
+\]
+Hierfür ergibt sich zunächst:
+\begin{align*}
+\Sum (p - nw)^2\psi_p
+  &= \Sum p^2\psi_p - n^2w^2 \\
+  &= \Sum p(p - 1)\psi_p + nw - n^2w^2,
+\end{align*}
+und weiter finden wir für $\xi = \eta = 1$
+\[
+\Sum p(p - 1)\psi_p
+  = \Sum p(p - 1)\psi_p\xi^{p-2}\eta^q
+  = \frac{\partial \Prod(w_i\xi + w'_i\eta)}{\partial\xi^2}.
+\]
+\DPPageSep{117}{103}
+Es wird aber für $\xi = \eta = 1$
+\begin{align*}
+\frac{\partial^2 \Prod(w_i\xi + w'_i\eta)}{\partial\xi^2}
+  &= 2\Prod(w_i\xi + w'_i\eta)
+    · \Sum_{i,k}\frac{w_i w_k}{(w_i\xi + w'_i\eta)(w_k\xi + w'_k\eta)} \\
+  &= 2\Sum_{i,k} w_i w_k,
+\end{align*}
+und damit erhalten wir:
+\begin{align*}
+n^2\mu^2 &= \Sum p(p - 1)\psi_p + nw - n^2w^2 \\
+  &= 2\Sum_{i,k} w_i w_k + \Sum_i w_i - (\Sum_i w_i)^2
+\intertext{oder}
+n^2\mu^2 &= \Sum_i w_i - \Sum_i w_i^2,
+\intertext{also}
+n^2\mu^2 &= \Sum_i w_i(1 - w_i).
+\end{align*}
+In diesem Falle ergibt sich demnach für die mittlere Ausweichung
+der Wert
+\[
+\Tag{(8)}
+\mu = \sqrt{\frac{\Sum w_i(1 - w_i)}{n^2}}.
+\]
+
+Wir haben bis jetzt über die Verteilung der relativen Häufigkeiten~$w_i$
+nichts vorausgesetzt. Wir wollen einmal annehmen,
+daß diese Verteilung selbst eine solche ist, wie sie sich für das
+Ziehungsverhältnis bei einer Urne ergibt. Die auftretenden
+Werte~$w_i$ bilden dann eine typische Zufallsreihe. Der Mittelwert
+dieser Reihe,~$w$, wird gegeben durch die Gleichung
+\[
+\Sum w_i = nw.
+\]
+Dagegen wird die Quadratsumme~$\Sum w_i^2$ nach den früher gefundenen
+Formeln gleich $(n - 1)w^2 + w$. Dies folgt nämlich aus der
+Gleichung
+\[
+\Sum p^2 \phi_p = n(n - 1) w^2 + nw,
+\]
+wenn wir bedenken, daß $n\phi_p$ die Anzahl Male ist, die der Wert~$p$
+unter den $n$~Gliedern der Reihe vorkommt, und daß jetzt $w_i = \dfrac{p}{n}$
+einzusetzen ist. Wir finden also:
+\DPPageSep{118}{104}
+\begin{align*}
+\Sum w_i(1 - w_1)
+  &= \Sum w_i - \Sum w_i^2 = nw - (n - 1)w^2 - w \\
+  &= (n - 1)w(1 - w)
+\end{align*}
+und damit
+\[
+\Tag{(9)}
+\mu = \sqrt{\frac{(n - 1)w(1 - w)}{n^2}}.
+\]
+Dieser Wert der mittleren Ausweichung unterscheidet sich von
+dem früher gefundenen nur dadurch, daß der Faktor $\sqrt{\dfrac{n - 1}{n}}$
+hinzugetreten ist. Dieser Faktor wird für größeres $n$ sehr nahe
+gleich~$1$ und wir finden so wieder dieselbe mittlere Ausweichung
+wie früher, wenn wir nur für das Mischungsverhältnis den Mittelwert
+$w = \dfrac{\Sum w_i}{n}$ nehmen.
+
+Daraus folgt, daß, wenn zwischen dem Wert von $w$ und dem
+Wert von $\mu$ der früher gefundene Zusammenhang nicht bestehen
+soll, die Abweichung der Werte~$w_i$ vom Mittelwert~$w$ jedenfalls
+nicht selbst eine rein zufällige (wie sie sich bei der Ziehung
+aus einer Urne als Abweichung des Ziehungsverhältnisses vom
+Mischungsverhältnis ergibt) sein darf. Es muß vielmehr eine
+andersgeartete Veränderung in dem Mischungsverhältnis der Urne,
+aus der gezogen wird, mit anderen Worten eine systematische
+Veränderung der dem beobachteten Ereignis zugrunde liegenden
+Wahrscheinlichkeit angenommen werden.
+\EndChap
+\DPPageSep{119}{105}
+
+
+\Chapter{Achtes Kapitel}{Näherungsformeln}
+
+Für die relative Häufigkeit oder Wahrscheinlichkeit des
+$p$\,maligen Ziehens einer weißen Kugel bei $n$ Ziehungen aus der
+Urne haben wir, wenn die relative Häufigkeit der Ziehung einer
+weißen Kugel $w$ ist, den Ausdruck gefunden:
+\[
+\phi_p = \frac{n!}{p!(n - p)!}\, w^p (1 - w)^{n-p}.
+\]
+Um diesen Ausdruck zu berechnen, etwa mit Hilfe von Logarithmen,
+brauchen wir eine Tabelle der Fakultäten oder eine Tabelle
+für die Logarithmen dieser Fakultäten, \dh~die Summe der
+Logarithmen der ganzen Zahlen, von $1$ anfangend. Der Ausdruck
+ist dann leicht für gegebene Werte von $p$~und~$n$ zu berechnen,
+solange der Wert von $n$ nicht groß ist. Wird $n$ aber größer, so
+entsteht schon in den Logarithmen von $w$~und~$1-w$, da der eine
+mit~$p$, der andere mit~$n-p$ zu multiplizieren ist, eine erhebliche
+Ungenauigkeit, und damit wird das Resultat nur dann zuverlässig,
+wenn man Logarithmen mit hinreichend viel Stellen nimmt, was
+sehr unbequem ist.
+
+Dann empfiehlt es sich, von bestimmten Näherungsformeln
+Gebrauch zu machen. Es zeigt sich nämlich, daß unter gewissen
+Umständen der Ausdruck von~$\phi_p$ sich auf einen solchen zurückführen
+läßt, der eine Funktion bloß einer Veränderlichen ist und
+sich deshalb in einer Tabelle mit einem einzigen Eingang darstellen
+läßt.
+
+Der erste Fall, in dem dies eintritt, ist der, wo $n$ sehr groß
+ist, aber $w$ sowohl von~$0$ als auch von~$1$ erheblich verschieden
+ist. Die Art der sich so ergebenden Verteilung wollen wir uns
+zunächst durch eine graphische Darstellung klar zu machen suchen.
+\DPPageSep{120}{106}
+Sie ist in der untenstehenden Figur für $999$~Ziehungen aus einer
+Urne, in der gleich viel weiße und schwarze Kugeln enthalten
+sind, angegeben. Es ergibt sich natürlich nicht im eigentlichen
+Sinne eine Kurve, aber die $1000$~Punkte, die zu zeichnen sind,
+liegen einander so nahe, daß, wenn man je zwei aufeinander
+folgende von ihnen durch gerade Strecken verbindet, mit sehr
+\begin{figure}[hbt!]
+  \centering
+  \caption{Fig.~7.}
+  \Input[\textwidth]{120}
+\end{figure}
+großer Annäherung das Bild einer Kurve entsteht. Analytisch
+würde das bedeuten, daß, wenn der als Einheit gewählte Abstand
+auf der Abszissenachse mit~$e$ bezeichnet wird und die der Kurve
+entsprechende Funktion mit~$\phi(x)$, wobei $x = pe$, mit genügender
+Annäherung
+\[
+\frac{d\phi(x)}{dx} = \frac{\phi_{p+1} - \phi_p}{e}
+\]
+angenommen werden kann oder, falls man unmittelbar $e=1$ setzt,
+\[
+\frac{d\phi(x)}{dx} = \phi_{p+1} - \phi_p.
+\]
+Die Kurve nähert sich in ihrem Verlauf so rasch der Abszissenachse,
+daß von ihr nur ein kleiner Teil, der sich allein merklich
+von der Abszissenachse entfernt, gezeichnet zu werden braucht.
+Dieser Teil gruppiert sich hier um die Stelle, bei der die Anzahl
+der gezogenen weißen Kugeln der Anzahl der gezogenen schwarzen
+Kugeln möglichst gleich wird.
+\DPPageSep{121}{107}
+
+Um nun einen angenäherten Ausdruck für $\phi_p$ zu finden,
+bilden wir wieder
+\[
+\frac{\phi_{p+1} - \phi_p}{\phi_p} = \frac{(n + 1)w - (p + 1)}{(p +1)(1 - w)}.
+\]
+
+Wir haben dabei vorauszusetzen, daß $n$ sehr groß ist. Wir
+müssen dann annehmen, damit sich überhaupt ein von~$0$ hinlänglich
+verschiedener Wert von~$\phi_p$ ergibt, daß $p$ in der Nähe des
+Maximalwertes liegt. Dieser Maximalwert ergibt sich, wenn der
+Zähler des Bruches auf der rechten Seite der vorstehenden Gleichung
+möglichst angenähert gleich $0$ wird, also wenn möglichst
+angenähert
+\begin{align*}
+p + 1 &= (n + 1)w \\
+\intertext{wird. Es liegt deshalb nahe, allgemein}
+p + 1 &= (n + 1)w + x_1
+\end{align*}
+zu setzen. $x_1$~ist dann eine im Verhältnis zu $n$ kleine, wenn auch
+an sich große Zahl.
+
+Die Zunahme um $1$ im Argument von~$\phi_p$ bedeutet demnach
+eine relativ sehr kleine Zunahme, und die Differenz $\phi_{p+1} - \phi_p$
+kann einstweilen mit dem Differentialquotienten von~$\phi_p$, wenn
+wir dies als Funktion eines kontinuierlich sich verändernden
+Argumentes, nämlich von~$x_1$, ansehen, identifiziert werden. Wir
+können also setzen, indem wir jetzt $\phi_0(x_1)$ statt $\phi_p$ schreiben,
+\[
+\frac{\phi_{p+1} - \phi_p}{\phi_p}
+  = \frac{\ \dfrac{d\phi_0(x_1)}{dx_1}\ }{\phi_0(x_1)}
+  = \frac{d \ln \phi_0(x_1)}{dx_1}
+\]
+und erhalten
+\[
+\frac{d \ln \phi_0(x_1)}{dx_1}
+  = - \frac{x_1}{nw(1 - w)\left(1 + \dfrac{x_1 + w}{nw}\right)}.
+\]
+
+In dem Bruch rechter Hand können wir noch in dem letzten
+Faktor des Nenners den nach Voraussetzung sehr kleinen Wert
+$\dfrac{x_1 + w}{nw}$ weglassen und erhalten so einfach
+\[
+\frac{d \ln \phi_0(x_1)}{dx_1} = -\frac{x_1}{nw(1 - w)}.
+\]
+\DPPageSep{122}{108}
+Daraus folgt durch Integration
+\[
+\phi_0(x_1) = Ce^{-\tfrac{x_1^2}{2nw(1 - w)}},
+\]
+wobei $C$ eine noch zu bestimmende Konstante bezeichnet.
+
+Statt des Verhältnisses $\dfrac{\phi_{p+1} - \phi_p}{\phi_p}$ können wir ebensogut
+aber auch das Verhältnis $\dfrac{\phi_p - \phi_{p-1}}{\phi_p}$ bilden und erhalten dann
+\[
+\frac{\phi_p - \phi_{p-1}}{\phi_p} = \frac{(n + 1)w - p}{(n + 1 - p)w}.
+\]
+Der Ausdruck auf der linken Seite kann mit demselben Recht wie
+der frühere gleich einer logarithmischen Derivierten gesetzt werden.
+Auf der rechten Seite zeigt sich jetzt, daß der Ausdruck verschwindet,
+wenn mit möglichster Annäherung
+\begin{align*}
+p &= (n + 1)w \\
+\intertext{wird. Wir müssen daher jetzt allgemein}
+p &= (n + 1)w + x_2
+\end{align*}
+setzen, dann erhalten wir genau wie vorher wieder
+\begin{align*}
+\frac{d \ln\phi_0(x_2)}{dx_2} &= -\frac{x_2}{nw(1 - w)} \\
+\intertext{und daraus}
+\phi_0(x_2) &= Ce^{-\tfrac{x_2^2}{2nw(1 - w)}}.
+\end{align*}
+
+Die genaueste Darstellung wird zwischen den beiden gefundenen
+Näherungswerten liegen, \dh~sich auf ein Argument~$x$
+beziehen, für das
+\[
+x_1 > x > x_2
+\]
+ist. Da nun aber
+\begin{align*}
+x_1 &= (p - nw) + (1 - w), \\
+x_2 &= (p - nw) - w
+\end{align*}
+ist, liegt es nahe,
+\[
+x = p - nw
+\]
+\DPPageSep{123}{109}
+anzunehmen. Das kommt darauf hinaus, das Maximum an die
+Stelle
+\[
+w = \frac{p}{n}
+\]
+zu legen. Wir finden dann schließlich das Resultat
+\[
+\Tag{(1)}
+\phi_0(x) = Ce^{-\tfrac{x^2}{2nw(1 - w)}}.
+\]
+
+Hiermit wäre die gesuchte Näherungsfunktion, die \so{Gauß}\-sche
+\index{Gaußsche@Gaußsche Verteilungsfunktion|uo}%
+Funktion, gefunden. Es ist aber zu beachten, daß das Argument~$x$
+eine sehr große Zahl bedeuten kann. Wenn wir statt $x$ das Verhältnis
+$\xi = \dfrac{x}{n}$ einführen, erhalten wir statt $\phi_0(x)$ die Funktion
+\[
+Ce^{-\tfrac{n\xi^2}{2w(1 - w)}}.
+\]
+Da $\phi_0(x)$ die relative Häufigkeit einer Anzahl der gezogenen
+weißen Kugeln, die mit $x$ in den Stellen vor dem Komma übereinstimmt,
+war, so ist der vorstehende Ausdruck die relative Häufigkeit
+eines Wertes~$\xi$ innerhalb der Genauigkeitsgrenze~$\dfrac{1}{n}$. Setzen wir
+\begin{align*}
+Cn &= c \\
+\intertext{und}
+\frac{1}{n} &= d\xi,
+\end{align*}
+so können wir dafür schreiben:
+\[
+\Tag{(2)}
+\phi_1(\xi)\, d\xi = ce^{-\tfrac{n\xi^2}{2w(1 - w)}}\, d\xi.
+\]
+Man sieht, daß $\phi_1(\xi)\, d\xi$, wenn wir noch
+\[
+\Tag{(3)}
+t = \frac{x}{\sqrt{2nw(1 - w)}}
+  = \sqrt{\frac{n}{2w(1 - w)}}\, \xi
+\]
+setzen,
+\[
+= c \sqrt{\frac{2w(1 - w)}{n}} e^{-t^2}\, dt
+\]
+wird.
+
+Um nun noch die Konstante~$c$ zu bestimmen, kann man einen
+zweifachen Weg einschlagen. Einmal nämlich kann man davon
+\DPPageSep{124}{110}
+ausgehen, daß der Maximalwert der Funktion $\phi_0(x)$, der für $x=0$
+eintritt, mit dem Maximalwert von $\phi_p$ für $p = nw$ übereinstimmen
+soll. Man hat hierbei wieder einen Näherungsausdruck, der für
+sehr große $n$~und~$p$ gilt, zu verwenden. Zu dem Zweck geht man
+aus von der sogenannten \so{Stirling}schen Formel
+\index{Stirlingsche Formel}%
+\[
+n! = \sqrt{2\pi}\, n^{n+\tfrac{1}{2}}\, e^{-n},
+\]
+die für einen sehr großen Wert von $n$ gilt. Ebenso wird natürlich
+auch
+\[
+p! = \sqrt{2\pi}\, p^{p+\tfrac{1}{2}}\, e^{-p},\quad
+(n - p)! = \sqrt{2\pi}\, (n - p)^{n-p+\tfrac{1}{2}}\, e^{-n+p}
+\]
+und es ergibt sich für $p=nw$:
+\begin{align*}
+\phi_{nw}
+  &= \frac{1}{\sqrt{2\pi nw(1 - w)}}
+   · \frac{n^n w^{nw} (1 - w)^{n(1-w)}}{\bigl[nw\bigr]^{nw} \bigl[n(1 - w)\bigr]^{n(1-w)}} \\
+  &= \frac{1}{\sqrt{2\pi nw(1 - w)}}.
+\end{align*}
+Dieses muß aber mit der Konstanten~$C$ identisch sein, und wir
+haben sonach
+\[
+C = \frac{1}{\sqrt{2\pi nw(1 - w)}},\quad\text{also}\quad
+c = \sqrt{\frac{n}{2\pi w(1 - w)}}
+\]
+und
+\[
+\phi_1(\xi) = \sqrt{\frac{n}{2\pi w(1 - w)}}·e^{-\tfrac{n\xi^2}{2w(1 - w)}}.
+\]
+
+Andererseits können wir aber auch davon ausgehen, daß die
+Summe aller möglichen relativen Häufigkeiten oder Wahrscheinlichkeiten
+gleich~$1$ werden muß, und diese Bedingung auch für die
+Näherungsfunktion als streng erfüllt annehmen. Es wird nun
+\[
+\phi_1(\xi)\, d\xi
+\]
+die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Wert von $\xi$ zwischen $\xi$ und
+$\xi + d\xi$ liegt, und damit ergibt sich für die Summe aller möglichen
+Wahrscheinlichkeiten das Integral
+\[
+\Int_{-\infty}^{+\infty} \phi_1(\xi)\, d\xi
+  = c \sqrt{\frac{2w(1 - w)}{n}} \Int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2}\, dt.
+\]
+\DPPageSep{125}{111}
+
+Um dieses letzte Integral zu berechnen, gehen wir den von
+\so{Poisson} angegebenen Weg, daß wir es mit einer anderen Bezeichnung
+\index{Poisson}%
+der Veränderlichen noch einmal bilden und die beiden so
+entstehenden Integrale
+\[
+I = \Int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2}\, dt,\quad
+I = \Int_{-\infty}^{+\infty} e^{-s^2}\, ds
+\]
+miteinander multiplizieren. Es ergibt sich so das Doppelintegral
+\[
+I^2 = \Int_{-\infty}^{+\infty}\Int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(s^2+t^2)}\, ds\, dt,
+\]
+und um dieses auszuwerten, setzen wir
+\[
+s = r \cos \rho,\quad  t = r \sin \rho.
+\]
+Dadurch geht, weil das Flächenelement dann $r\, dr\, d\rho$ wird, das
+Doppelintegral über in
+\[
+I^2 = \Int_{0}^{\infty}\Int_0^{2\pi} e^{-r^2} r\, dr\, d\rho.
+\]
+In diesem neuen Doppelintegral lassen sich die beiden Integrationen
+getrennt ausführen. Es wird
+\[
+\Int_0^{2\pi} d\rho = 2\pi,\quad
+\Int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r\, dr = \frac{1}{2},
+\]
+und damit ergibt sich schließlich
+\[
+I^2 = \pi,\quad\text{also}\quad
+I = \sqrt{\pi}.
+\]
+Hieraus aber folgt:
+\[
+1 = \Int_{-\infty}^{+\infty} \phi_1(\xi)\, d\xi
+  = c \sqrt{\frac{2w(1 - w)}{n}} I
+  = c \sqrt{\frac{2\pi w(1 - w)}{n}},
+\]
+also
+\[
+\Tag{(4)}
+c = \sqrt{\frac{n}{2\pi w(1 - w)}},
+\]
+\dh~genau dasselbe Resultat, das früher auf anderem Wege gefunden
+wurde.
+\DPPageSep{126}{112}
+
+Die Veränderliche~$\xi$ kann, da das Verhältnis $\dfrac{x}{n}$ verhältnismäßig
+klein bleibt, nur sehr kleine Werte haben. In der Tat zeigt
+der Ausdruck von~$\phi_1(\xi)$, daß $n\xi^2$ einen mäßigen Wert haben
+muß, damit der Funktionsausdruck $\phi(\xi)$ einen berechenbaren Wert
+erhält. Führen wir statt $\xi$ die andere Relativzahl
+\[
+\frakx = \sqrt{n}·\xi = \frac{x}{\sqrt{n}}
+\]
+ein, so erhalten wir jetzt ein Argument, das mäßige Werte annimmt,
+und damit den Wert
+\[
+\Tag{(5)}
+\phi(\frakx)\, d\frakx
+  = \frac{1}{\sqrt{2\pi w(1 - w)}}\,
+    e^{-\tfrac{\frakx^2}{2w(1 - w)}}\, d\frakx
+\]
+für die Wahrscheinlichkeit, daß $\frakx$ zwischen $\frakx$~und~$\frakx + d\frakx$ liegt, \dh~das
+ermittelte Ziehungsverhältnis zwischen
+\[
+\frac{p}{n}\quad\text{und}\quad
+\frac{p}{n} + \frac{\frakx + d\frakx}{\sqrt{n}}.
+\]
+Man sieht daraus unmittelbar, daß die Genauigkeit der Bestimmung
+des Mischungsverhältnisses aus dem Ziehungsverhältnis proportional
+mit der Quadratwurzel aus der Anzahl der gemachten
+Ziehungen wächst.
+
+Der Verlauf der gefundenen Funktion ergibt sich aus folgender
+Tabelle, wobei $t$ durch~\Eqref{(3)} bestimmt ist:
+\[
+\begin{array}{c|c||c|c||c|c}
+\hline\hline
+\vphantom{\Bigg|}
+±t & \dfrac{1}{\sqrt{\pi}}\, e^{-t^2} &
+±t & \dfrac{1}{\sqrt{\pi}}\, e^{-t^2} &
+±t & \dfrac{1}{\sqrt{\pi}}\, e^{-t^2} \\
+\hline\hline
+0,0 & 0,5642 & 1,0 & 0,2076 & 2,0 & 0,0104 \\
+0,1 & 0,5586 & 1,1 & 0,1683 & 2,1 & 0,0069 \\
+0,2 & 0,5421 & 1,2 & 0,1337 & 2,2 & 0,0045 \\
+0,3 & 0,5157 & 1,3 & 0,1041 & 2,3 & 0,0029 \\
+0,4 & 0,4808 & 1,4 & 0,0795 & 2,4 & 0,0018 \\
+0,5 & 0,4394 & 1,5 & 0,0595 & 2,5 & 0,0011 \\
+0,6 & 0,3937 & 1,6 & 0,0436 & 2,6 & 0,0007 \\
+0,7 & 0,3457 & 1,7 & 0,0314 & 2,7 & 0,0004 \\
+0,8 & 0,2975 & 1,8 & 0,0222 & 2,8 & 0,0002 \\
+0,9 & 0,2510 & 1,9 & 0,0153 & 2,9 & 0,0001 \\
+\end{array}
+\]
+\DPPageSep{127}{113}
+
+Der zweite Fall, in dem sich ein einfacher Näherungsausdruck
+für $\phi_p$ ergibt, ist der, wo wieder $n$ sehr groß, $w$~aber sehr klein
+und $p$ nicht groß ist, so daß die Fakultät~$p!$ direkt berechnet
+werden kann.
+
+Wir berechnen wieder $n!$ nach der \so{Stirling}schen Formel
+\[
+n! = \sqrt{2\pi}\, n^{n+\tfrac{1}{2}}\, e^{-n}
+\]
+und ebenso können wir setzen
+\[
+(n - p)! = \sqrt{2\pi}\, (n - p)^{n-p+\tfrac{1}{2}}\, e^{-n+p}.
+\]
+Es ergibt sich dann:
+\[
+\phi_p = \frac{(n - p)^p}{p!\left(1 - \dfrac{p}{n}\right)^{n+\tfrac{1}{2}}}\,
+  e^{-p} w^p(1 - w)^{n-p}.
+\]
+Nun kann aber für sehr großes~$n$
+\[
+\left(1 - \frac{p}{n}\right)^{n+\tfrac{1}{2}} = e^{-p}
+\]
+gesetzt werden und ebenso ergibt sich auch:
+\[
+(1 - w)^{n-p} = e^{-(n - p)w}.
+\]
+Mithin wird
+\[
+\phi_p = \frac{(n - p)^p w^p}{p!}\, e^{-(n-p)w},
+\]
+also schließlich, wenn noch
+\[
+(n - p)·w = m \quad\text{(oder angenähert $n·w = m$)}
+\]
+gesetzt wird,
+\[
+\phi_p = \frac{m^p e^{-m}}{p!}.
+\]
+Dies ist die gesuchte Näherungsformel, zu der noch gehört, daß
+für~$p=0$ $\phi_p = e^{-m}$~zu nehmen ist. Es zeigt sich, daß, damit
+berechenbare Werte herauskommen, die Anzahl~$n$ der gemachten
+Ziehungen so groß sein muß, daß das Produkt~$n·w$ einen angebbaren
+Wert erhält.
+\DPPageSep{128}{114}
+
+Um einen Begriff von dem Verlauf dieser Funktion zu geben,
+haben wir die folgende kleine Tabelle für einzelne Werte von~$m$
+angefügt:
+\[
+\begin{array}{c||*{6}{c|}}
+\hline\hline
+\multirow{2}{*}{p} & \multicolumn{6}{c}{m} \\
+\cline{2-7}
+   & 0,1 &  0,5&   1,0&   2,0 & 3,0 & 4,0\\
+\hline\hline
+ 0 & 0,9048& 0,6065& 0,3679& 0,1353& 0,0498& 0,0183 \\
+ 1 & 0,0905& 0,3033& 0,3679& 0,2707& 0,1494& 0,0733 \\
+ 2 & 0,0045& 0,0758& 0,1839& 0,2707& 0,2240& 0,1465 \\
+ 3 & 0,0002& 0,0126& 0,0613& 0,1804& 0,2240& 0,1954 \\
+ 4 & \Dash & 0,0016& 0,0153& 0,0902& 0,1680& 0,1954 \\
+ 5 & \Dash & 0,0002& 0,0031& 0,0361& 0,1008& 0,1563 \\
+ 6 & \Dash & \Dash & 0,0005& 0,0120& 0,0504& 0,1042 \\
+ 7 & \Dash & \Dash & 0,0001& 0,0034& 0,0216& 0,0595 \\
+ 8 & \Dash & \Dash & \Dash & 0,0009& 0,0081& 0,0298 \\
+ 9 & \Dash & \Dash & \Dash & 0,0002& 0,0027& 0,0132 \\
+10 & \Dash & \Dash & \Dash & \Dash & 0,0007& 0,0053 \\
+11 & \Dash & \Dash & \Dash & \Dash & 0,0001& 0,0019 \\
+12 & \Dash & \Dash & \Dash & \Dash & \Dash & 0,0006 \\
+13 & \Dash & \Dash & \Dash & \Dash & \Dash & 0,0002 \\
+14 & \Dash & \Dash & \Dash & \Dash & \Dash & 0,0001 \\
+\end{array}
+\]
+
+Es bleibt noch der Fall zu erledigen, wo nicht aus einer Urne,
+sondern bei jeder Ziehung wieder aus einer anderen Urne gezogen
+wird, wobei die Mischungsverhältnisse der weißen und schwarzen
+Kugeln in den Urnen, aus denen gezogen wird, der Reihe nach beliebig
+gegeben sind. Wir können auch hier die Anzahl der Ziehungen
+außerordentlich groß annehmen und dann nach einem Näherungsausdruck
+suchen, der die herauskommende Verteilung darstellt.
+
+Wir hatten oben das Mischungsverhältnis der weißen und
+schwarzen Kugeln in der $i$ ten Urne mit~$w_i/w'_i$ bezeichnet, wobei
+$w_i + w'_i = 1$ war. Es wird hinreichen, wenn wir den Fall ins
+Auge fassen, wo sowohl $w_i$ als auch $w'_i$ höchstens in vereinzelten
+Fällen einen sehr kleinen Wert hat. Dann führt folgende Betrachtung
+zum Ziel.
+
+Für die relative Häufigkeit des $p$\,maligen Ziehens einer
+weißen Kugel in $n = p + q$ Fällen hatten wir oben (S.~101) den
+Koeffizienten von~$\xi^p\eta^q$ in der Entwickelung des Produktes
+\[
+\Prod_i(w_i\xi + w'_i\eta)
+\]
+\DPPageSep{129}{115}
+gefunden. Wir können nun, indem wir $\xi = e^{i\zeta}$, $\eta = e^{-i\zeta}$ annehmen,
+für diesen Koeffizienten den Integralausdruck setzen:
+\[
+\psi_p = \frac{1}{\pi} \Int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{+\tfrac{\pi}{2}}
+    \Prod_i (w_i\xi + w'_i\eta) \xi^{-p} \eta^{-q}\, d\zeta.
+\]
+Dieses Integral ergibt sich nämlich, wenn wir das Produkt ausführen,
+aus einer Reihe von Integralen der Form
+\[
+\Int_{-\alpha}^{+\alpha} \psi_\mu \xi^{\mu-p} \eta^{\nu-q}\, d\zeta.
+\]
+Hierin wird
+\[
+\mu + \nu = p + q = n.
+\]
+Es findet sich also für das vorstehende Integral der Wert
+\[
+\psi_\mu \Int_{-\alpha}^{+\alpha} e^{2(\mu - p)i\zeta}\, d\zeta,
+\]
+oder ausgerechnet, wenn $\mu - p \neq 0$,
+\[
+\frac{\psi_\mu}{2(\mu - p)i} \bigl[e^{2(\mu-p)i\alpha} - e^{-2(\mu-p)i\alpha}\bigr]
+\]
+oder
+\[
+\frac{\psi_\mu}{\mu - p} \sin 2(\mu - p)\alpha.
+\]
+Werden nun für die Integrationsgrenzen $-\alpha$~und~$+\alpha$ die Werte
+$-\dfrac{\pi}{2}$ und~$+\dfrac{\pi}{2}$, also $\alpha = \dfrac{\pi}{2}$ genommen, so verschwindet dieser
+Ausdruck, solange~$\mu \neq p$. Nur wenn $\mu = p$, ergibt sich der Wert
+$\psi_p·\pi$, womit die Behauptung bewiesen ist.
+
+Um jetzt das eingeführte Integral umzuformen, setzen wir
+\[
+w_i\xi + w'_i\eta = \rho_i e^{i\theta_i},
+\]
+dann wird, da $\xi$~und~$\eta$ von der Form $\xi = e^{i\zeta}$, $\eta = e^{-i\zeta}$
+sein sollen, weiter
+\[
+w_i\eta + w'_i\xi = \rho_i e^{-i\theta_i}.
+\]
+\DPPageSep{130}{116}
+Durch Multiplikation der beiden vorstehenden Ausdrücke erhalten
+wir
+\[
+(w_i^2 + w_i'^2) \xi\eta + w_i w'_i (\xi^2 + \eta^2) = \rho_i^2
+\]
+oder, da $w_i + w'_i = 1$,
+\[
+\xi\eta + w_i w'_i(\xi - \eta)^2 = \rho_i^2.
+\]
+Führen wir hierin ein die aus $\xi = e^{i\zeta}$, $\eta = e^{-i\zeta}$ folgenden Werte
+\[
+\xi\eta = 1,\quad
+\xi - \eta = 2i \sin\xi,
+\]
+so erhalten wir
+\[
+1 - 4 w_i w'_i \sin^2\zeta = \rho_i^2.
+\]
+
+Wenn nun das Produkt sehr viele Faktoren enthält (deren
+absolute Werte alle kleiner als $1$ sind) und trotzdem sein absoluter
+Wert nicht sehr klein werden soll, so müssen in dem Ausdruck
+$\Prod\rho_i$ für den absoluten Wert des Produktes die Werte~$\rho_i$ von~$1$
+sehr wenig verschieden sein. Das bedingt aber, daß in dem
+Ausdruck
+\[
+\sqrt{1 - 4 w_i w'_i \sin^2 \zeta} = \rho_i
+\]
+$\sin \zeta$ und damit $\zeta$ selbst sehr klein werden muß, so daß wir $\sin \zeta$
+durch $\zeta$ ersetzen können. Auf diese Weise erhalten wir
+\[
+\sqrt{1 - 4 w_i w'_i \zeta^2}  = \rho_i,
+\]
+oder, da $\zeta$ sehr klein ist, mit genügender Annäherung
+\[
+e^{-2w_i w'_i \zeta^2} = \rho_i.
+\]
+
+Ferner finden wir
+\[
+\frac{w_i\xi + w'_i\eta}{w_i\eta + w'_i\xi} = e^{2i\theta_i},
+\]
+und daraus
+\[
+(w_i - w'_i) \tang \zeta = \tang \theta_i.
+\]
+Wird nun $\zeta$ sehr klein, so läßt sich statt dieser Gleichung
+schreiben:
+\[
+(w_i - w'_i) \zeta = \theta_i.
+\]
+\DPPageSep{131}{117}
+
+So ergibt sich schließlich für den zu bestimmenden Integralausdruck
+der Wert
+\[
+\frac{1}{\pi} \Int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{+\tfrac{\pi}{2}}
+    e^{-2\Sum w_i w'_i\zeta^2}\,
+    e^{\bigl[\Sum(w_i - w'_i) - (p - q)\bigr]i\zeta}\, d\zeta.
+\]
+Wir wollen nun einführen
+\[
+\Tag{(6)}
+\frac{2 \Sum w_i(1 - w_i)}{n} = \frac{2 \Sum w_i w'_i}{n} = k^2
+\]
+und außerdem die Mittelwerte
+\[
+\frac{\Sum w_i}{n} = w,\qquad
+\frac{\Sum w'_i}{n} = w'\quad (w + w' = 1),
+\]
+indem wir weiter setzen
+\[
+w  = \frac{p}{n} + \tau,\qquad
+w' = \frac{q}{n} - \tau,
+\]
+dann nimmt der Integralausdruck die Form an:
+\[
+\frac{1}{\pi} \Int_{-\infty}^{+\infty} e^{-nk^2\zeta^2 + 2ni\tau\zeta}\, d\zeta.
+\]
+Hierbei haben wir für die Grenzen sogleich $-\infty$~und~$+\infty$ genommen,
+weil überhaupt nur kleine Werte des Argumentes~$\zeta$ in
+Betracht kommen, indem für größere Werte der absolute Wert
+des Integranden sehr klein wird. Ferner wollen wir berücksichtigen,
+daß die Stufen, in denen $\tau$ zunimmt, durch $\dfrac{1}{n}$ gegeben sind, und
+da nach Voraussetzung $n$ sehr groß ist, können wir $\dfrac{1}{n} = d\tau$\DPnote{** TN: [sic]}
+setzen und den Wert des Integralausdruckes
+\[
+= \Phi(\tau)\, d\tau.
+\]
+\DPPageSep{132}{118}
+So erhalten wir:
+\begin{align*}
+\Phi(\tau)
+  &= \frac{n}{\pi} \Int_{-\infty}^{+\infty}
+     e^{-nk^2 \left(\zeta - \tfrac{i\tau}{k^2}\right)^2}\,
+     e^{-\tfrac{n\tau^2}{k^2}}\, d\zeta \\
+  &= \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{\pi}k}\, e^{-\tfrac{n\tau^2}{k^2}} \Int_{-\infty}^{+\infty}
+     e^{-nk^2 \left(\zeta - \tfrac{i\tau}{k^2}\right)^2}\, \sqrt{n}k\,
+     \frac{d\zeta}{\sqrt{\pi}},
+\end{align*}
+und daraus
+\[
+\Phi(\tau) = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{\pi}k}\, e^{-\tfrac{n\tau^2}{k^2}}.
+\]
+
+Wenn wir also noch
+\[
+\Tag{(7)}
+h_0 = \frac{\sqrt{n}}{k}
+\]
+machen, so finden wir genau denselben Ausdruck
+\[
+\Tag{(8)}
+\Phi(\tau)\, d\tau = \frac{h_0}{\sqrt{\pi}}\, e^{-h_0^2\tau^2}\, d\tau
+\]
+für die relative Häufigkeit der Abweichung~$\tau$ des beobachteten
+Verhältnisses von dem Wert~$w$ wie früher. Der Wert~$w$ ist
+einfach das Mittel
+\[
+\Tag{(9)}
+w = \frac{\Sum w_i}{n}
+\]
+aus den einzelnen Werten~$w_i$, und für $h_0$ ergibt sich die Gleichung
+\[
+\frac{1}{2h_0^2} = \frac{1}{n} \Sum \frac{w_i(1 - w_i)}{n}.
+\]
+Dieser Ausdruck ist also auch das Mittel aus den entsprechenden
+für die einzelnen relativen Häufigkeiten~$w_i$ gebildeten Werten
+\[
+\frac{w_i(1 - w_i)}{n}.
+\]
+
+Das letzte Resultat läßt sich auch so deuten, daß die durch
+die Beziehung
+\[
+\mu^2 = \Int_{-\infty}^{+\infty} e^{-h_0^2\tau^2}\, \tau^2
+  \frac{h_0\, d\tau}{\sqrt{\pi}}
+\]
+\DPPageSep{133}{119}
+bestimmte mittlere Ausweichung für den Wert~$\tau$ oder~$\dfrac{p}{n}$, da
+\[
+\Int_{-\infty}^{+\infty} e^{-h_0^2\tau^2}\, \tau^2 \frac{h_0\, d\tau}{\sqrt{\pi}}
+  = \frac{1}{2h_0^2}
+\]
+ist, den Wert erhält:
+\[
+\Tag{(10)}
+\mu = \sqrt{\frac{\Sum w_i(1 - w_i)}{n^2}}.
+\]
+
+Die Formeln \Eqref{(9)}~und~\Eqref{(10)} stimmen genau mit denen überein,
+die wir im vorigen Kapitel bereits von dem ursprünglichen Ausdruck
+für die relative Häufigkeit ausgehend gefunden haben. Wir
+haben jetzt aber noch weiter gefunden, daß die Verteilung, die
+sich für das Ziehungsverhältnis bei einer sehr großen Anzahl von
+Ziehungen ergibt, wenn das Mischungsverhältnis (\dh~die zugrunde
+liegende mathematische Wahrscheinlichkeit) nicht unveränderlich
+ist, sondern beliebig wechselt, aber natürlich bei jeder
+Ziehungsserie in der gleichen Weise, keine andere ist wie bei
+dem gleichbleibenden Mischungsverhältnis, nämlich die durch die
+\so{Gauß}sche Funktion gegebene.
+
+Dagegen besteht nicht mehr die frühere Beziehung zwischen
+$w$~und~$\mu$
+\[
+\tag*{($\alpha$)}
+\mu = \sqrt{\frac{w(1 - w)}{n}}.
+\]
+Statt dieser Gleichung läßt sich aber leicht eine Ungleichheit ableiten.
+Wir haben
+\[
+\Sum w_i^2 = \Sum(w_i - w)^2 + nw^2,
+\]
+also
+\[
+\Sum w_i^2 > nw^2.
+\]
+Hieraus und aus $\Sum w_i = nw$ folgt aber
+\[
+\Sum w_i(1 - w_i) < nw - nw^2,
+\]
+mithin
+\[
+\frac{\Sum w_i(1 - w_i)}{n^2} < \frac{w(1 - w)}{n}
+\]
+und mit Rücksicht auf~\Eqref{(2)}
+\[
+\tag*{($\beta$)}
+\mu < \sqrt{\frac{w(1 - w)}{n}}.
+\]
+\DPPageSep{134}{120}
+
+Die Verwendung der gefundenen Näherungsformeln geht nun
+so vor sich, daß man, wenn eine Verteilungsreihe vorliegt, von
+der man vermutet, daß sie einer der Formeln angenähert entsprechen
+wird, diese Verteilungsreihe mit den nach der Formel errechneten
+Werten zu vergleichen sucht. Bei einer Verteilungsreihe,
+die der \so{Gauß}schen Verteilungsfunktion entspricht, muß die Verteilung
+eine symmetrische sein, \dh~bei gleichen Abständen von
+dem Normalwert müssen sich auch näherungsweise gleiche Häufigkeitszahlen
+ergeben. Bei einer Verteilungsreihe, die dem Ausdruck
+$\dfrac{m^pe^{-m}}{p!}$ entspricht, ergibt sich dagegen eine wesentliche
+Asymmetrie, und zwar ist der Normalwert nach dem Anfang der
+Reihe zu verschoben, so daß sich erst eine verhältnismäßig rasche
+Zunahme und nachher eine langsamere Abnahme ergibt.
+
+Die Formeln enthalten bestimmte Konstanten, und zwar ist,
+wenn wir sie so auffassen, daß sie die jeweiligen Bruchteile der
+beobachteten Gesamtfälle liefern, also die Summe aller durch sie
+dargestellten relativen Häufigkeiten gleich~$1$ wird, in jeder Formel
+nur eine Konstante enthalten.
+
+Im Falle der Formel~\Eqref{(5)} schreiben wir (für $\frakx = x:\sqrt{n}$):
+\[
+\Tag{(A)}
+\phi(\frakx)=\frac{h}{\sqrt{\pi}}\, e^{-h^2\frakx},
+\]
+wobei $h = 1:\sqrt{2w(1 - w)}$. Im Falle der Formel~\Eqref{(8)} ist $\frakx = \tau\sqrt{n}$
+und $h = h_0:\sqrt{n} = 1:k = \sqrt{n}:\sqrt{2\Sum w_i(1- w_i)}$ zu setzen; $\frakx$~und
+$h$ sind dann berechenbare Werte.
+
+Ist nun eine dieser Verteilungsfunktion folgende Verteilungsreihe
+vorgelegt, so besteht eine erste Methode, um zu der Bestimmung
+der Konstanten~$h$ in der Formel zu gelangen, darin, daß
+man die Integrale
+\[
+\Int_{0}^{\infty}  \phi(\frakx)\frakx\, d\frakx \quad\text{und}\quad
+\Int_{-\infty}^{0} \phi(\frakx)\frakx\, d\frakx
+\]
+betrachtet, die einander entgegengesetzt gleich werden und von
+denen wir das erste mit $S$ bezeichnen wollen. Es ergibt sich
+sofort:
+\DPPageSep{135}{121}
+\[
+S = \frac{1}{\sqrt{\pi}h} \Int_{0}^{\infty} e^{-h^2\frakx^2}h\frakx\, d(h\frakx)
+  = \frac{1}{2\sqrt{\pi}h}\bigl[e^{-h^2\frakx^2}\bigr]_\infty^0
+  = \frac{1}{2\sqrt{\pi}h},
+\]
+und daraus
+\[
+\Tag{(a)}
+\frac{1}{2h} = \sqrt{\pi}·S.
+\]
+
+Die zweite Bestimmung von $h$ beruht auf der Auswertung
+des Integrals
+\[
+J = \Int_{-\infty}^{+\infty} \phi(\frakx)\frakx^2\, d\frakx.
+\]
+Für dieses Integral ergibt sich der Wert:
+\[
+J = \frac{1}{\sqrt{\pi} h^2} \Int_{-\infty}^{+\infty}
+    e^{-h^2\frakx^2} h^2\frakx^2\, d(h\frakx)
+  = \frac{1}{\sqrt{\pi} h^2} \Int_{-\infty}^{+\infty}
+    e^{-t^2} t^2\, dt
+  = \frac{1}{2h^2},
+\]
+weil durch partielle Integration
+\[
+1 = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \Int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2}\, dt
+  = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \Int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2} t^2\, dt
+\]
+gefunden wird. Also folgt
+\[
+\Tag{(b)}
+\frac{1}{2h} = \sqrt{\frac{J}{2}}.
+\]
+
+Die Vergleichung dieser beiden Bestimmungen zeigt, daß
+\[
+\Tag{(c)}
+\sqrt{J} = \sqrt{2\pi}·S
+\]
+sein muß, und dies ist eine Beziehung, der jede Reihe mit einer
+solchen typischen Verteilung genügen muß.
+
+Eine dritte Bestimmung läßt sich schließlich aus der Einführung
+des Wertes~$\alpha$ ableiten, für den
+\[
+\Int_{-\alpha}^{+\alpha} e^{-t^2}\, \frac{dt}{\sqrt{\pi}} = \frac{1}{2}
+\]
+wird. Dieser Wert läßt sich ein für allemal bestimmen. Man
+findet
+\[
+\alpha = 0,4769.
+\]
+\DPPageSep{136}{122}
+
+Führt man nun auch den Wert~$\rho$ ein, für den
+\[
+\Int_{-\rho}^{+\rho} \phi(\frakx)\, d\frakx
+  = \Int_{-\rho}^{+\rho} e^{-h^2 \frakx^2}\, \frac{h\, d\frakx}{\sqrt{\pi}}
+  = \frac{1}{2}
+\]
+wird, so ergibt sich sofort, daß
+\[
+\alpha = h\rho
+\]
+sein muß. Man findet also
+\[
+\Tag{(d)}
+h = \frac{0,4769}{\rho}
+\]
+und daraus auch
+\[
+\Tag{(e)}
+\frac{\rho}{0,9538 \sqrt{\pi}} = S.
+\]
+Dies ist eine zweite Beziehung, der eine typische Verteilungsreihe
+genügen muß. Was die Bestimmung von $\rho$ betrifft, so hat man
+nur von unten und von oben ein Viertel der beobachteten Fälle
+abzuzählen. Der Abstand der beiden so gefundenen Stellen ist
+das Doppelte des Wertes~$\rho$.
+
+Wir wollen nun die analogen Bestimmungen auch für die
+zweite Näherungsformel
+\[
+\Tag{(B)}
+\phi_p = \frac{m^p e^{-m}}{p!}
+\]
+durchzuführen suchen. Zunächst wollen wir bestätigen, daß auch
+hier sich
+\[
+\Sum \phi_p = 1
+\]
+ergibt. Dies ist in der Tat der Fall, denn es wird
+\[
+\Sum\phi_p
+  = \left\{1 + \frac{m}{1!} + \frac{m^2}{2!} + \frac{m^3}{3!} + \dots\right\} e^{-m}
+  = e^m·e^{-m} = 1.
+\]
+Bilden wir nun auch $\Sum p\phi_p$, so finden wir sofort
+\[
+\Sum p\phi_p = m\left\{1 + \frac{m}{1!} + \frac{m^2}{2!} + \dots\right\} e^{-m},
+\]
+also
+\[
+\Tag{(I)}
+\Sum p\phi_p = m.
+\]
+\DPPageSep{137}{123}
+Hieraus ergibt sich eine erste Bestimmung für die Konstante~$m$.
+Weiter wird aber
+\[
+\Sum p(p - 1)\phi_p
+  = m^2\left\{1 + \frac{m}{1!} + \frac{m^2}{2!} + \dots\right\} e^{-m},
+\]
+also
+\[
+\Sum p(p - 1)\phi_p = m^2.
+\]
+Daraus folgt
+\[
+\Sum p^2\phi_p = m(m+1)
+\]
+und
+\[
+\Sum (p - m)\phi_p = \Sum p^2\phi_p - m^2\Sum \phi_p = m(m + 1) - m^2 = m.
+\]
+Die so sich ergebende Formel
+\[
+\Tag{(II)}
+\Sum (p - m)^2\phi_p = m
+\]
+liefert mit~\Eqref{(I)} zusammen eine Beziehung, der die dieser Verteilungsformel
+folgenden Verteilungsreihen genügen müssen.
+
+Bis jetzt haben wir überall vorausgesetzt, daß die gezogene
+Kugel immer wieder sofort in die Urne zurückgelegt wird. Diese
+Voraussetzung entspricht aber nicht der Art, wie man sich etwa
+von der Mischung zweier Getreidesorten in einem größeren Behälter
+überzeugen würde. Man würde dann einfach ein kleineres
+Maß voll Getreide herausschöpfen und durch Abzählen die
+Mischung der Getreidesorten in diesem Maße feststellen, um das
+gefundene Mischungsverhältnis sofort auf die ganze Getreidemenge
+zu übertragen. Die Berechtigung dieses allgemein angewendeten
+Verfahrens muß sich nun auch mathematisch begründen
+lassen, indem wir von denselben grundlegenden Voraussetzungen
+ausgehen wie bei dem gewöhnlichen Urnenschema.
+
+Wir setzen also voraus, in einer Urne seien $u$ weiße und $v$
+schwarze Kugeln enthalten, im ganzen $m = u + v$ Kugeln. Wir
+greifen nun von den $m$ Kugeln $n$ heraus und fragen nach der
+relativen Häufigkeit der Fälle, wo unter diesen $n$ Kugeln $p$ weiße
+und $q$ schwarze sind. Wenn aber mit einem Griff $n$ Kugeln gezogen
+werden, so ist dies für den Erfolg dasselbe, als wenn die
+Kugeln einzeln gezogen, aber nicht wieder zurückgelegt werden.
+Sind nun unter den gezogenen $n$ Kugeln $p$ weiße und $q$ schwarze,
+so kann dieser Erfolg auf verschiedene Arten zustande gekommen
+sein, je nachdem in welcher Reihenfolge die weißen und schwarzen
+\DPPageSep{138}{124}
+Kugeln erschienen sind. Solcher verschiedener Reihenfolgen der
+Farben gibt es im ganzen
+\[
+\frac{n!}{p!\, q!}.
+\]
+Für die verschiedenen Arten, auf die der Erfolg zustande kommen
+kann, ergibt sich aber dieselbe relative Häufigkeit~$\omega$, für den
+Erfolg selbst also die relative Häufigkeit
+\[
+\frac{n!}{p!\, q!}\omega.
+\]
+
+Um $\omega$ zu finden, zerlegen wir den gesamten Ziehungsprozeß,
+der die Kugeln in einer bestimmten Reihenfolge liefert, in die
+einzelnen Ziehungen, aus denen er besteht, und nehmen der Einfachheit
+wegen die Reihenfolge, wo erst alle weißen und dann
+alle schwarzen Kugeln erscheinen. Für die Ziehung der ersten
+weißen Kugel finden wir die relative Häufigkeit
+\[
+\frac{u}{m},
+\]
+für die Ziehung der zweiten Kugel die relative Häufigkeit
+\[
+\frac{u - 1}{m - 1}.
+\]
+So geht es fort. Für die Ziehung der letzten weißen Kugel wird
+die relative Häufigkeit
+\[
+\frac{u - p + 1}{m - p + 1},
+\]
+für die Ziehung der ersten schwarzen Kugel
+\[
+\frac{v}{m - p},
+\]
+usw., für die letzte Kugel
+\[
+\frac{v - q + 1}{m - p - q + 1}.
+\]
+
+Die relative Häufigkeit des Gesamtereignisses entsteht durch
+Multiplikation aller der vorstehenden Werte, also wird
+\[
+\omega = \frac{u·(u - 1)\dots(u - p + 1)·v·(v - 1)\dots(v - q + 1)}
+              {m·(m - 1)\dots(m - n + 1)}
+\]
+\DPPageSep{139}{125}
+oder
+\[
+\omega = \frac{u!\, v!}{m!}·\frac{(m - n)!}{(u - p)!\, (v - q)!},
+\]
+und damit finden wir für die gesuchte relative Häufigkeit den Wert
+\[
+\psi_p = \frac{n!}{p!\, q!}·\frac{u!\, v!}{m!}·\frac{(m - n)!}{(u - p)!\,(v - q)!}.
+\]
+
+Nehmen wir nun an, $m$~sei sehr groß, ebenso auch $u$~und~$v$,
+derart, daß $\dfrac{u}{m}$~und~$\dfrac{v}{m}$ von $0$~und~$1$ erheblich verschieden sind,
+dagegen sei $n$ eine mäßige Zahl, so wird man in dem ursprünglichen
+Ausdruck für $\omega u - 1, \dots, u - p + 1$ durch~$u$, $v - 1, \dots,
+v - q + 1$ durch~$v$, $m - 1, \dots, m - n + 1$ durch~$m$ ersetzen
+können, und erhält dann statt $\psi_p$ den früheren Ausdruck
+\[
+\psi_p = \frac{n!}{p!\, q!}\, \frac{u^p v^q}{m^n},
+\]
+der ja für $\dfrac{u}{m} = w$, $\dfrac{v}{m} = 1 - w$ in die Form
+\[
+\psi_p = \frac{n!}{p!\, q!} w^p(1 - w)^{n-p}
+\]
+übergeht. Man sieht also, daß sich in diesem Fall dieselbe Verteilung
+ergibt, wie wenn die Kugeln einzeln gezogen und nach der
+Ziehung immer wieder zurückgelegt würden.
+
+Es handelt sich nun darum, auch die Fälle zu untersuchen,
+wo nicht bloß~$m$, sondern auch $n$ einen großen Wert hat.
+
+Um dann einen Überblick über die so entstehende Verteilungsreihe
+zu erhalten (deren Summe wieder gleich~$1$ ist), bilden wir
+zunächst den Quotienten
+\[
+\frac{\psi_{p+1}}{\psi_p} = \frac{q}{p + 1}·\frac{u - p}{v - q + 1}.
+\]
+Hieraus leiten wir ab:
+\[
+\frac{\psi_{p+1} - \psi_p}{\psi_p}
+  = \frac{(n + 1)(u + 1) - (p + 1)(m + 2)}{(p + 1)(v - n + p + 1)}.
+\]
+\DPPageSep{140}{126}
+Dieser Ausdruck läßt sich einfacher schreiben, wenn wir die neuen
+Zahlenwerte einführen
+\[
+p' = p + 1,\
+n' = n + 1,\
+u' = u + 1,\
+v' = v + 1,\
+m' = m + 2
+\]
+so daß
+\[
+u' + v' = m'.
+\]
+Er wird dann
+\[
+\frac{\psi_{p+1} - \psi_p}{\psi_p} = \frac{n'u' - p'm'}{p'(v' - n' + p')}.
+\]
+
+Man sieht sofort, daß dieser Ausdruck verschwindet, daß sich
+also ein Maximum der relativen Häufigkeit ergibt, wenn man
+\[
+p' = n'·\frac{u'}{m'}
+\]
+macht. Dies entspricht der von vornherein annehmbaren Vermutung,
+daß der wahrscheinlichste Wert für das Mischungsverhältnis
+der schwarzen und weißen Kugeln innerhalb der herausgenommenen
+Stichprobe durch das Mischungsverhältnis der sämtlichen
+Kugeln in der Urne gegeben wird.
+
+Genau wie früher wird die relative Häufigkeit eines genauen
+Zusammentreffens beider Verhältnisse an sich sehr gering, dagegen
+die relative Häufigkeit eines angenäherten Zusammentreffens sehr
+groß. Wir setzen dementsprechend wieder
+\[
+p' = n'\frac{u'}{m'} + x
+\]
+und finden dann
+\[
+\frac{\psi_{p+1} - \psi_p}{\psi_p}
+  = -\frac{m'x}{\left\{n'\dfrac{u'}{m'} + x\right\}
+              · \left\{(m' - n')\dfrac{v'}{m'} + x\right\}}
+\]
+oder
+\[
+\frac{\psi_{p+1} - \psi_p}{\psi_p}
+  = -\frac{\xi}{\{w\chi + \xi\}·\{(1 - w)(1 - \chi) + \xi\}},
+\]
+wenn wir einführen
+\[
+\frac{u'}{m'} = w,\
+\frac{v'}{m'} = 1 - w,\
+\frac{n'}{m'} = \chi,\
+\frac{m' - n''}{m'} = 1 - \chi,\
+\frac{x}{m'} = \xi.
+\]
+\DPPageSep{141}{127}
+
+Wir haben nun, auch vorausgesetzt, daß w nicht nahezu
+gleich~$0$ oder gleich~$1$ ist, zwei Fälle zu unterscheiden. Wenn $\chi$
+nahe an $0$ liegt, \dh~$n$ wohl an sich groß, aber gegen $m$ klein ist,
+können wir auf der rechten Seite der Gleichung in dem einen
+Faktor des Nenners den Wert~$\xi$, den wir als relativ klein voraussetzen,
+gegen das erste Glied vernachlässigen, im anderen
+Faktor aber nicht. Wenn wir also
+\[
+\frac{1}{m'} = d\xi,\quad
+\psi_p = \psi(\xi),\quad
+\psi_{p+1} - \psi_p = d\psi(\xi)
+\]
+setzen, ferner
+\[
+\frac{\psi_{p+1} - \psi_p}{\psi_p}
+  = \frac{1}{m'}\, \frac{d \ln \psi(\xi)}{d\xi},
+\]
+so ergibt sich, falls wir $\chi$ sehr klein annehmen,
+\[
+\frac{d \ln \psi(\xi)}{d\xi} = -\frac{m'\xi}{(1 - w)(1 - \chi)(w\chi + \xi)}
+\]
+oder
+\[
+\frac{d \ln \psi(\xi)}{d\xi}
+  = -\frac{m'}{(1 - w)(1 - \chi)}
+   + \frac{m'}{(1 - w)(1 - \chi)} · \frac{1}{1 + \dfrac{\xi}{w\chi}}
+\]
+und daraus durch Integration
+\[
+\ln \psi(\xi)
+  = \ln c - \frac{m'\xi}{(1 - w)(1 - \chi)}
+  + \frac{m'w\chi}{(1 - w)(1 - \chi)} \ln\left(1 + \frac{\xi}{w\chi}\right).
+\]
+Führen wir hierin noch ein
+\[
+\frac{m'}{(1 - w)(1 - \chi)} = \gamma,\quad
+w\chi = \epsilon,
+\]
+so können wir dafür schreiben
+\[
+\ln \psi(\xi)
+  = \ln c - \gamma\xi + \gamma\epsilon\ln\left(1 - \frac{\xi}{\epsilon}\right).
+\]
+
+Sollte dieser Ausdruck nun direkt berechenbar sein, so müßte
+zunächst $\gamma\xi$ berechenbar sein, also auch~$x$. Damit würden wir
+aber zu dem Fall zurückkommen, wo nur eine mäßige Anzahl
+von Werten~$p$ in Frage kommt, während die vorliegende Ableitung
+sich auf den Fall bezieht, wo die Anzahl der in Betracht zu
+ziehenden Werte~$p$ sehr groß ist und nur für diesen Fall Gültigkeit
+hat. Wir müssen also $\gamma\xi$ als groß voraussetzen und damit
+\DPPageSep{142}{128}
+$\gamma\epsilon$ als sehr groß auch gegen~$\gamma\xi$. Entwickeln wir nämlich den
+letzten Logarithmus in eine Reihe, so erhalten wir
+\[
+\ln \psi(\xi)
+  = \ln c - \frac{\gamma\xi^2}{2\epsilon}
+  + \frac{\gamma\xi^3}{3\epsilon^2} - \dots\DPtypo{}{.}
+\]
+Dieser Wert würde mit $\gamma\xi$ sehr groß werden, wenn $\gamma\epsilon$ nicht sehr
+groß auch gegen $\gamma\xi$ wäre. Nun wird aber schon das Verhältnis
+des dritten zum zweiten Gliede dem absoluten Werte nach
+\[
+= \frac{2}{3}\, \frac{\gamma\xi}{\gamma\epsilon}.
+\]
+Dies ist ein sehr kleiner Wert. Wir können uns also auf die zwei
+ersten Glieder beschränken und finden
+\begin{align*}
+\ln \psi(\xi) &= \ln c - \frac{\gamma\xi^2}{2\epsilon} \\
+\intertext{woraus folgt}
+\psi(\xi) &= ce^{-\tfrac{\gamma\xi^2}{2\epsilon}} \\
+\intertext{oder}
+\Tag{(C)}
+\psi(\xi) &= ce^{-h_0^2\xi^2}
+\end{align*}
+für
+\[
+h_0^2 = \frac{\gamma}{2\epsilon} = \frac{m'}{2w(1 - w)\chi(1 - \chi)}.
+\]
+
+Es ist aber $h_0$ eine sehr große, $\xi$~eine sehr kleine Zahl. Zu
+berechenbaren Werten gelangen wir, wenn wir
+\[
+\frakx = \frac{m'\xi}{\sqrt{n'}} = \frac{x}{\sqrt{n'}},\quad
+h = \frac{\sqrt{n'}}{m'} h_0
+\]
+einführen. Dann wird die Verteilungsfunktion
+\[
+\psi(\frakx) = \frac{h}{\sqrt{\pi}}\, e^{-h^2 \frakx^2},
+\]
+genau wie früher, und angenähert $h^2 = \dfrac{1}{2w(1 - w)}$. Dies war
+zu erwarten, denn wir sahen schon, daß, wenn die Anzahl der
+herausgegriffenen Kugeln klein ist im Verhältnis zu der Anzahl
+der in der Urne enthaltenen Kugeln, der Fall genau so liegt, als
+ob die Kugeln einzeln gezogen und nach der Ziehung jedesmal
+zurückgelegt würden.
+\DPPageSep{143}{129}
+
+In dem anderen Falle, wo weder $w$ noch $\chi$ nahe an $0$ oder~$1$
+liegen, können wir in den beiden Faktoren des Nenners~$\xi$ gegen
+das erste Glied vernachlässigen und erhalten dann sofort
+\[
+\frac{d \ln \psi(\xi)}{d\xi} = -\frac{m'\xi}{w(1 - w)\xi(1 - \xi)}
+\]
+und daraus durch Integration
+\[
+\psi(\xi) = ce^{-h_0^2\xi^2},
+\]
+\dh~dieselbe durch die \so{Gauß}sche Funktion gegebene typische
+Verteilung wie vorhin und wie in dem Falle, wo die Kugeln
+einzeln gezogen und nach der Ziehung jedesmal zurückgelegt
+werden. Nur hat die frühere Größe $\sqrt{\dfrac{n}{2w(1 - w)}}$, in welcher
+wir $m'$ statt $n$ geschrieben zu denken haben, sich jetzt verwandelt
+in
+\[
+h_0 = \sqrt{\frac{m'}{2w(1 - w)\chi(1 - \chi)}}.
+\]
+Es tritt also noch ein Faktor hinzu, der am kleinsten ist, wenn
+die herausgegriffenen Kugeln die Hälfte von den in der Urne enthaltenen
+Kugeln betragen, und um so größer wird, je mehr sich die
+Anzahl der herausgegriffenen Kugeln von diesem Wert entfernt.
+Damit die Funktionswerte in den Grenzen der Berechenbarkeit
+liegen, muß~$h\xi$, \dh~auch $x:\sqrt{n'}$ einen berechenbaren Wert haben
+und $x:n'$ daher einen sehr kleinen Wert. Das Mischungsverhältnis
+$\dfrac{p'}{n'} = w + \dfrac{x}{n'}$ des herausgegriffenen Kugelhaufens weicht also
+wenig von dem Mischungsverhältnis~$w$ der Kugeln in der Urne ab.
+
+Aus allen bisherigen Betrachtungen hat sich uns für den Fall,
+daß sich die Verteilungsreihe einer kontinuierlichen Verteilungsfunktion
+nähert, immer eine bestimmte Funktion, die \so{Gauß}sche
+Funktion, ergeben. Diese Funktion ist ganz besonderer Art, unter
+anderem ist sie wesentlich symmetrisch.
+
+Es gibt aber eine Erweiterung des Urnenschemas, durch
+die eine wesentlich unsymmetrische Verteilung entspringt und
+\DPPageSep{144}{130}
+die sich als von großer Bedeutung erwiesen hat, weil sie den
+Weg zeigt, wie man zu viel allgemeineren Verteilungsfunktionen
+gelangen kann.
+
+Diese Verallgemeinerung des Urnenschemas besteht darin, daß
+wir uns nicht bloß eine, sondern eine ganze Anzahl von Urnen
+denken, und zunächst durch das Los bestimmen, aus welcher Urne
+wir ziehen wollen. Für die Anzahl Male, die wir auf diese Weise
+die $i$te Urne treffen, ergibt sich hierbei eine bestimmte relative
+Häufigkeit $w_i$ derart, daß, wenn wir die Summation über alle Urnen
+ausdehnen,
+\[
+\Sum w_i = 1
+\]
+wird.
+
+Denken wir uns nun die Ziehungen an der $i$ten Urne vollzogen,
+so möge $u_{iz}$ die relative Häufigkeit der Fälle bezeichnen, wo das
+Verhältnis der Anzahl der gezogenen weißen Kugeln zu der Anzahl
+der überhaupt gezogenen Kugeln gleich $z$ ist. Wir haben dann
+eine typische stationäre Reihe vor uns und es gelten die früher
+abgeleiteten Beziehungen
+\[
+\Sum_z u_{iz} = 1,\quad
+\Sum_z u_{iz} z = u_i,\quad
+\Sum_z u_{iz} (z - u_i)^2 = \frac{u_i(1 - u_i)}{n}.
+\]
+
+Betrachten wir nun aber die Ziehungen so, daß wir alle Urnen
+berücksichtigen, daß also von vornherein nicht entschieden ist, aus
+welcher Urne wir ziehen, so müssen wir das zusammengesetzte
+Ereignis ins Auge fassen, dessen erster Teil die Bestimmung der
+Urne ist, aus welcher gezogen werden soll, und dessen zweiter Teil
+in den Ziehungen aus der Urne selbst besteht. Für dieses zusammengesetzte
+Ereignis wird nun die relative Häufigkeit
+\[
+w_i u_{iz}
+\]
+und daraus ergibt sich der Mittelwert
+\[
+w = \Sum_i \Sum_z w_i u_{iz} z = \Sum_i w_i u_i.
+\]
+
+Die mittlere Ausweichung haben wir durch den Ausdruck zu
+bestimmen
+\[
+\mu^2 = \Sum_i \Sum_z w_i u_{iz} (z - w)^2.
+\]
+\DPPageSep{145}{131}
+Diesen Ausdruck haben wir nun weiter auszurechnen. Zu dem
+Zweck beachten wir zunächst, daß
+\begin{align*}
+\Sum_i \Sum_z w_i u_{iz} (z - u_i)^2
+  &= \Sum_i w_i \frac{u_i(1 - u_i)}{n} \\
+  &= \frac{w}{n} - \frac{\Sum w_i u_i^2}{n}
+\end{align*}
+wird. Wir finden dann weiter:
+\begin{align*}
+\mu^2 &= \Sum_i w_i \left[\Sum_z u_{iz} z^2 - 2\Sum_z u_{iz} z·w + w^2\right] \\
+      &= \Sum_i \Sum_z w_i u_{iz} z^2 - w^2.
+\end{align*}
+
+Nun wird, da $\Sum_z u_{iz} z^2 = \Sum_z u_{iz} (z - u_i)^2 + u_i^2$,
+\begin{align*}
+\Sum_i\Sum_z w_i u_{iz} z^2
+  &= \Sum_i\Sum_z w_i u_{iz} (z - u_i)^2 + \Sum_i w_i u_i^2 \\
+  &= \frac{w}{n} - \frac{\Sum w_i u_i^2}{n} + \Sum w_i u_i^2
+   = \frac{w}{n} + \frac{n - 1}{n} \Sum w_i u_i^2 \\
+  &= \frac{w}{n} + \frac{n - 1}{n} \Sum w_i(u_i - w)^2 + \frac{n - 1}{n} w^2,
+\end{align*}
+also ergibt sich:
+\[
+\mu^2 = \frac{w(1 - w)}{n} + \frac{n - 1}{n} \Sum w_i(u_i - w)^2.
+\]
+
+So gelangen wir zu dem Resultat, daß die mittlere Ausweichung
+\[
+\mu = \sqrt{\frac{w(1 - w)}{n} + \frac{n - 1}{n} \Sum w_i(u_i - w)^2}
+\]
+wird, also in diesem Falle
+\[
+\tag*{($\gamma$)}
+\mu > \sqrt{\frac{w(1 - w)}{n}}
+\]
+ist.
+
+Läßt man die Anzahl der jedesmal aus einer Urne gemachten
+Ziehungen unbegrenzt zunehmen, so wird die relative Häufigkeit
+(oder Wahrscheinlichkeit) der Fälle, wo das Mischungsverhältnis
+der gezogenen Kugeln zwischen $z$ und $z + dz$ liegt, wenn feststeht,
+daß aus der $i$ten Urne gezogen wird,
+\[
+= e^{-h_i^2 (z - u_i)^2}\, \frac{h_i\, dz}{\sqrt{\pi}}\quad\text{für}\quad
+h_i = \sqrt{\frac{n}{2u_i(1 - u_i)}}
+\]
+\DPPageSep{146}{132}
+und damit wird die Wahrscheinlichkeit, daß überhaupt das Ziehungsverhältnis
+zwischen $z$ und $z + dz$ liegt,
+\[
+\Tag{(D)}
+\Phi(z)\, dz = \Sum_i \frac{w_i h_i}{\sqrt{\pi}}\, e^{-h_i^2(z - u_i)^2} dz.
+\]
+
+Daraus folgt sofort
+\begin{align*}
+\Int_{-\infty}^{+\infty} \Phi(z)\, dz &= 1,
+\intertext{ferner}
+\Int_{-\infty}^{+\infty} z\Phi(z)\,dz
+  &= \Sum_i w_i u_i = w.
+\intertext{Endlich wird}
+\Int_{-\infty}^{+\infty} z^2 \Phi(z)\, dz
+  &= \Sum w_i \frac{u_i(1 - u_i)}{n} + \Sum w_i u_i^2,
+\end{align*}
+entsprechend dem oben gefundenen Wert für~$\mu^2$.
+
+Wir sind so zu einer Verteilungsfunktion
+\[
+\Phi(z) = \Sum_i\frac{w_i h_i}{\sqrt{\pi}}\, e^{-h_i^2(z - u_i)^2}\quad
+(\Sum w_i = 1)
+\]
+gelangt, die eine sofort einleuchtende Verallgemeinerung der einfachen
+\so{Gauß}schen Funktion bildet. Es ist allerdings keine ganz
+leichte Aufgabe, eine vorliegende empirische Verteilungsfunktion
+auf diese Form zu bringen.
+
+Was die Lösung dieser Aufgabe anbetrifft, so erinnert sie
+auf den ersten Anblick stark an die viel einfachere Aufgabe der
+Entwickelung einer gegebenen periodischen Funktion in eine
+\so{Fourier}sche Reihe, aber bei näherem Zusehen bemerkt man doch
+bald die tiefgreifende Verschiedenheit beider Entwickelungen. Zwar
+kann man in beiden Fällen sagen, daß die wirklich vorhandene
+Funktion aus gewissen Teilfunktionen, im einen Falle die wirkliche
+Schwingung aus Sinusschwingungen, im anderen Falle die wirkliche
+Dispersion aus typischen (der \so{Gauß}schen Verteilungsfunktion
+folgenden) Dispersionen zusammengesetzt wird. Aber
+während im Falle der \so{Fourier}schen Reihe die nähere Bestimmung
+der Teilschwingungen durch einfache Teilung der ganzen Periode
+\DPPageSep{147}{133}
+in gleiche Teile gewonnen wird, sind im Falle der Entwickelung
+einer Verteilungsfunktion nach \so{Gauß}schen Funktionen in jeder
+von diesen zwei zu bestimmende Konstanten, $h_i$ und $u_i$, enthalten.
+Will man diese Konstanten nicht von vornherein, sondern so bestimmen,
+daß eine möglichste Annäherung an die wirkliche Verteilung
+bei einer möglichst geringen Anzahl von Entwickelungsgliedern
+erreicht wird, so erhält man schon in dem Falle, wo
+die Entwickelung aus nur zwei Gliedern besteht, eine ziemlich
+schwierige Rechnung. Es liegt daher nahe, die Reihenentwickelung
+einer vorgelegten Verteilungsfunktion auf ganz anderem
+Wege zu versuchen. Der einfachste Weg wäre der, daß man
+nicht von der Funktion selbst, sondern von ihrer logarithmischen
+Derivierten ausgeht und diese in eine gewöhnliche Potenzreihe
+entwickelt. Für die Verteilungsfunktion selbst ergibt sich dann
+ein Ausdruck
+\[
+\psi(z) = e^{a_0 + a_1z + a_2z^2 + a_3z^3 + \dots}.
+\]
+Ein anderer, anscheinend besserer Weg ist der, daß das Produkt
+der gegebenen Verteilungsfunktion und einer Funktion $e^{h^2(z - c)^2}$
+in eine Potenzreihe $a_0 + a_1z + a_2z^2 + \dots$ entwickelt wird. Für
+die Verteilungsfunktion selbst ergibt sich dann ein Ausdruck
+\[
+\psi(z) = e^{-h^2(z - c)^2} (a_0 + a_1z + a_2z^2 + \dots).
+\]
+Man kann diese Entwickelung auch so fassen, daß man von der
+Funktion $\phi(z) = e^{-h^2(z - c)^2}$ die sukzessiven Derivierten $\phi_1(z),
+\phi_2(z), \dots$ einführt und dann setzt
+\[
+\psi(z) = b_0\phi(z) + b_1\phi_1(z) + b_2\phi_2(z) + \dots.
+\]
+Was diese Form der Entwickelung betrifft, so sei insbesondere
+auf H.~\so{Bruns}, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kollektivmaßlehre
+\index{Bruns}%
+(Leipzig und Berlin 1906) verwiesen, wo die allgemeine Lösung
+in einer allerdings nicht ganz leicht zu übersehenden Weise
+gegeben ist.
+\EndChap
+\DPPageSep{148}{134}
+
+
+\Chapter{Neuntes Kapitel}{Die statistische Theorie des Zufalls}
+
+Es handelt sich nun darum, aus den Entwickelungen der
+letzten Kapitel sozusagen die Nutzanwendung zu ziehen, indem
+wir in dem ganzen Bereich der Wirklichkeit die Erscheinungen
+suchen, die dem Schema der Zufallsspiele entsprechen. Dieses
+Entsprechen kann sich zunächst nur dadurch kundgeben, daß die
+Verteilung der empirisch festgestellten Zahlenwerte dieselbe ist,
+wie sie sich bei der Aufzeichnung der statistischen Ergebnisse im
+Falle häufiger Wiederholung des Zufallsspiels, im besonderen bei
+der Aufzeichnung der Ziehungsresultate, wenn das Zufallsspiel in
+den Ziehungen aus einer Urne besteht, ergeben würde. Wir
+wollen die Frage, inwieweit die äußere Übereinstimmung der
+statistischen Ergebnisse auch auf eine innere Gleichartigkeit der
+verglichenen Vorgänge schließen läßt, einstweilen beiseite lassen
+und vielmehr nur danach fragen, inwieweit die Übereinstimmung
+der statistischen Ergebnisse erreicht werden kann und wie man
+beurteilen soll, ob sie in hinreichender Weise vorhanden ist. Dies
+ist nicht so ganz einfach zu entscheiden, weil man bei der verhältnismäßig
+geringen Anzahl von Beobachtungen, die man meistens
+nur zur Verfügung hat, nicht eine völlige Regelmäßigkeit erwarten
+darf, vielmehr müssen die so gefundenen Werte mehr oder minder
+beträchtlich von den Zahlen abweichen, die sich bei unendlicher
+Häufung der Beobachtungen herausstellen würden.
+
+Die statistischen Ergebnisse der Ziehungen aus der Urne
+werden nicht wirklich aufgezeichnet, sie erscheinen ersetzt durch
+die Formeln, welche wir bereits abgeleitet haben, und welchen die
+Bedeutung zukommt, daß sie den aus bestimmten theoretischen
+Erwägungen gefolgerten Ersatz für eine die wirklichen Ziehungsergebnisse
+bei einer sehr großen Zahl von Ziehungen registrierende
+Tabelle liefern. Wir haben so bestimmte Formeln, denen die aus
+\DPPageSep{149}{135}
+der Gesamtheit alles Geschehens herauszugreifenden Vorgänge in
+ihren statistischen Ergebnissen zu entsprechen haben, \dh~wenn
+wir diese Ergebnisse graphisch auftragen, muß die Formel eine
+Kurve liefern, die verhältnismäßig nahe an den die statistischen
+Ergebnisse darstellenden Punkten vorbeiläuft. Wir können dies
+auch so ausdrücken, daß wir sagen: die Unterschiede zwischen den
+empirisch festgestellten und den aus der Formel folgenden Werten
+müssen eine stationäre Reihe bilden, die sich um den Mittelwert~$0$
+gruppiert. Die sich so ergebende stationäre Reihe läßt sich aber
+meistens nicht mit genügender Sicherheit beurteilen, teils weil
+ihre Gliederzahl zu gering ist, teils weil die Genauigkeit der bestimmten
+Unterschiede verhältnismäßig zu klein ist. So ist eine
+exakte Beurteilung der vorliegenden Verteilungsreihe auf diesem
+Wege meistens nicht möglich. Deswegen ist es von Wichtigkeit,
+bestimmte zahlenmäßige Feststellungen zu haben, die wenigstens
+eine vorläufige Beurteilung, inwieweit die vorliegende Verteilungsreihe
+sich dem abgeleiteten Schema anpaßt, ermöglichen.
+
+Diese zahlenmäßigen Feststellungen ergeben sich aus dem Gedanken,
+daß, wenn die gefundene Verteilungsreihe die Form einer
+aus dem Urnenschema folgenden Verteilungsreihe hat, auch für
+sie die Beziehungen gelten müssen, die wir bei dem Urnenschema
+fanden. Von solchen Beziehungen war die erste die Relation,
+die wir bei dem ersten Urnenschema, den Ziehungen einer Kugel
+aus einer Urne, zwischen dem Mischungsverhältnis und der mittleren
+Ausweichung der entstehenden Verteilungsreihe erhielten.
+\index{Lexis|ff}%
+Diese Relation hat \so{Lexis}\footnote
+  {Vgl.\ die grundlegende Schrift Zur Theorie der Massenerscheinungen
+  in der menschlichen Gesellschaft, Freiburg~1877.}
+benutzt, um einen ersten Anhaltspunkt
+dafür zu gewinnen, inwiefern die Dispersionen, die sich bei statistischen
+Verhältniszahlen ergeben, sich mit der aus dem einfachen
+Urnenschema folgenden Verteilungsreihe vergleichen lassen. Zur
+Aufstellung der Relation ist notwendig, daß zuerst der Durchschnittswert
+$y_0$ der sämtlichen beobachteten $r$ Verhältniszahlen~$y_i$
+berechnet wird. Daraus wird der Wert für die mittlere Ausweichung
+$\mu_1$ in folgender Weise bestimmt (indem $y_0$ an die Stelle
+von $w$ tritt):
+\[
+\Tag{(1)}
+\mu_1 = \sqrt{\frac{y_0(1 - y_0)}{n}},
+\]
+\DPPageSep{150}{136}
+wenn $n$ die Durchschnittsanzahl der Fälle bezeichnet, auf die sich
+die einzelnen Verhältniswerte beziehen. Dieses Verfahren bezeichnet
+\so{Lexis} als die \so{statistische Methode}. Ihr steht die
+sogenannte \so{physikalische Methode} gegenüber, bei welcher die
+mittlere Ausweichung nach der Formel
+\[
+\Tag{(2)}
+\mu_2 = \sqrt{\frac{\Sum(y_i - y_0)^2}{r - 1}}
+\]
+bestimmt wird, indem der Fehlertheorie entsprechend $r - 1$ statt
+$r$ genommen wird, was an sich belanglos ist (vgl.\ S.~88). Entspricht
+die Verteilungsreihe dem einfachen Urnenschema, so müssen die
+beiden gefundenen Werte gleich sein. \so{Lexis} setzt daher
+\[
+\Tag{(3)}
+Q = \frac{\mu_2}{\mu_1},
+\]
+und spricht von einer \so{normalen Dispersion}, wenn wenigstens
+angenähert
+\[
+Q = 1
+\]
+ist. Wird dagegen $Q > 1$, so spricht er von einer \so{übernormalen
+Dispersion} und im Falle $Q < 1$ von einer \so{unternormalen
+Dispersion}. Der Wert~$Q$ wird neuerdings als
+\so{Divergenzkoeffizient} bezeichnet. Zu beachten ist von vornherein,
+daß seine Bildung nur dann einen Sinn hat, wenn $\mu_1$
+und $\mu_2$ nicht zu klein sind, weil sonst aus der geringsten Abweichung
+in $\mu_1$ oder $\mu_2$ eine große Schwankung im Werte von $Q$
+entstehen würde. Insbesondere darf also $y_0$ weder nahe an $0$ noch
+nahe an $1$ liegen.
+
+Um einen Begriff davon zu geben, wie sich die Werte des
+Divergenzkoeffizienten~$Q$ in der Wirklichkeit gestalten können,
+wollen wir mit \so{Lexis}\footnote
+  {Conrads Jahrbücher für Nationalökonomie und Statistik, Bd.~32
+  (1879), S.~60.}
+das Beispiel des \so{Verhältnisses der
+Sterblichkeiten für das männliche und weibliche Geschlecht
+in den verschiedenen Lebensaltern} nehmen. Die
+Zahlen entstammen der belgischen Statistik für die Jahre~1841
+bis~1860. Die Kolumne unter $z$ gibt an die Anzahl der gestorbenen
+männlichen Individuen auf $1000$ weibliche.
+\DPPageSep{151}{137}
+\begin{table}[hbt!]
+%[** TN: Original uses em-dashes for ranges]
+\[
+\begin{array}{l||r|lTl||r|l}
+\hline
+\hline
+\ColHeadbb{Alter}{Alter} &
+\ColHeadb{$z$}{$z$} &
+\ColHeadB{$Q$}{$Q$} &
+\ColHeadbb{Alter}{Alter} &
+\ColHeadb{$z$}{$z$} &
+\ColHead{$Q$}{$Q$} \\
+\hline
+\hline
+\text{Totgeboren}                  &1348&0,99&\text{$15\EnDash20$ Jahre} & 770&2,1 \\
+\text{$\Z0\EnDash\Z1$ Monat}         &1359&0,84&\text{$20\EnDash25$ \Ditto}&1095&1,7 \\
+\text{$\Z1\EnDash\Z2$ Monate}        &1323&1,15&\text{$25\EnDash30$ \Ditto}& 905&1,5 \\
+\text{$\Z2\EnDash\Z3$ \Ditto[Monate]}&1253&0,91&\text{$30\EnDash40$ \Ditto}& 826&2,1 \\
+\text{$\Z3\EnDash\Z4$ \Ditto[Monate]}&1224&1,14&\text{$40\EnDash45$ \Ditto}& 943&2,3 \\
+\text{$\Z4\EnDash\Z5$ \Ditto[Monate]}&1284&1,04&\text{$45\EnDash50$ \Ditto}&1143&3,4 \\
+\text{$\Z5\EnDash\Z6$ \Ditto[Monate]}&1257&1,06&\text{$50\EnDash55$ \Ditto}&1124&4,3 \\
+\text{$\Z6\EnDash\Z9$ \Ditto[Monate]}&1179&1,13&\text{$55\EnDash60$ \Ditto}&1055&4,3 \\
+\text{$\Z9\EnDash12$  \Ditto[Monate]}&1085&1,12&\text{$60\EnDash65$ \Ditto}& 962&3,5 \\
+\text{$\Z1\EnDash\Z2$ Jahre}         &1028&1,53&\text{$65\EnDash70$ \Ditto}& 913&4,3 \\
+\text{$\Z2\EnDash\Z3$ \Ditto}        & 990&1,06&\text{$70\EnDash75$ \Ditto}& 906&4,1 \\
+\text{$\Z3\EnDash\Z5$ \Ditto}        & 947&1,16&\text{$75\EnDash80$ \Ditto}& 903&2,1 \\
+\text{$\Z5\EnDash10$  \Ditto}        & 878&1,66&\text{$80\EnDash85$ \Ditto}& 866&1,26\\
+\text{$10\EnDash15$   \Ditto}        & 713&2,5 &\text{$85\EnDash90$ \Ditto}& 800&1,29\\
+\end{array}
+\]
+\end{table}
+
+Aus dieser Tabelle geht hervor, daß während des ersten
+Lebensjahres die Dispersion als eine normale angesehen werden
+kann, ja sogar während der ersten fünf Jahre, da der einzige zu
+große Wert~$1,53$ in den Mängeln der Statistik begründet sein kann.
+Während der folgenden Jahre finden wir dagegen zum Teil sehr
+weitgehende Abweichungen von dem Normalwert~$1$. In der Tat
+läßt sich eine solche Übereinstimmung, wie sie für die normale Dispersion
+gefordert wird, nur aus einer vermuteten Gemeinsamkeit
+gewisser allgemeiner Eigenschaften des vorliegenden Ereignisses mit
+den Vorgängen bei den Ziehungen aus einer Urne erklären. Daß
+eine solche Gemeinsamkeit aber nur in sehr vereinzelten Fällen angenommen
+werden kann, liegt auf der Hand, und so finden sich
+nur wenige Fälle, in denen wirklich angenähert $Q = 1$ wird.
+
+Wir haben aber nachgewiesen, daß auch die Fälle, wo $Q \neq 1$
+wird, sich auf Grund eines abgeänderten Urnenschemas erklären
+lassen. Nahmen wir nämlich an, daß das Mischungsverhältnis
+der schwarzen und weißen Kugeln in der Urne nicht von vornherein
+feststeht, sondern während der Ziehungen sich ändert (wir
+setzten voraus, es sei eine ganze Reihe von Urnen mit allen möglichen
+Mischungsverhältnissen vorhanden, und ließen die einzelnen
+Ziehungen aus je einer durch das Los oder sonstwie bestimmten
+Urne stattfinden), dann zeigte sich, daß die Verteilung der Ziehungsergebnisse
+wohl noch, wenn die Reihenfolge der gewählten Urnen
+\DPPageSep{152}{138}
+von der einen zur anderen Ziehungsreihe festgehalten wurde, der
+gleichen Verteilungsfunktion wie früher, nämlich der \so{Gauß}schen
+Funktion folgte, aber die Beziehung $\mu_2 = \mu_1$ zwischen den oben
+angegebenen Werten \Eqref{(1)}~und~\Eqref{(2)} aufhörte zu bestehen und in die
+Ungleichheit
+\[
+\mu_2 < \mu_1
+\]
+überging, so daß sich $Q < 1$, also eine unternormale Dispersion
+ergibt. Nennen wir also das Mischungsverhältnis der Kugeln in
+der Urne jedesmal die dem Ereignis (\dh~der Ziehung) zugrunde
+liegende Wahrscheinlichkeit, so würde sich das allgemeine Resultat
+herausstellen:
+
+\so{Die unternormale Dispersion läßt sich erklären
+durch eine dem Ereignis zugrunde liegende, von Fall zu
+Fall wechselnde Wahrscheinlichkeit.}
+
+Andererseits hatten wir gefunden, daß, wenn die Ziehungen
+einer Reihe immer aus derselben Urne stattfinden, aber unter den
+Urnen mit allen möglichen Mischungsverhältnissen diejenige, aus
+welcher gezogen werden soll, erst durch das Los bestimmt wird,
+dann sich eine Verteilung ergibt, bei der
+\[
+\mu_2 > \mu_1,
+\]
+die Dispersion also eine übernormale ist.
+
+\so{Die übernormale Dispersion läßt sich also dadurch
+erklären, daß die dem Ereignis zugrunde liegende Wahrscheinlichkeit
+wohl bei allen den Fällen, die zur Bildung
+dieses Wertes der relativen Häufigkeit benutzt wurden,
+dieselbe ist, aber nicht dieselbe bei den verschiedenen
+Gruppen von Fällen, die zu der Bildung der einzelnen
+relativen Häufigkeitswerte benutzt sind.}
+
+Damit ist in der Tat eine gewisse Erklärung für das Auftreten
+und die Unterscheidung der drei verschiedenen Dispersionsarten
+gefunden\footnote
+  {Der Grundgedanke und ein Teil der analytischen Entwickelung
+  bei dieser Erklärung geht auf \so{Poisson} zurück; die Deutung der übernormalen
+\index{Poisson}%
+  Dispersion, die \so{Lexis} ausführlich erörtert hatte, hat insbesondere
+  v.~\so{Bortkewitsch} (Das Gesetz der kleinen Zahlen, 1898,
+\index{Bortkewitsch@Bortkewitsch (Bortkiewicz), Lad.\ v.}%
+  S.~29) noch weiter ausgestaltet. Man vgl., was allgemein die Anwendung
+  der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf Statistik betrifft, desselben
+  Verfassers Kritische Betrachtungen zur theoretischen Statistik, Conrads
+  Jahrbücher~(3), Bd.~8, S.~641; Bd.~10, S.~321; Bd.~11, S.~671 (1894--1896).}.
+Man darf aber die Bedeutung dieser Erklärung
+\DPPageSep{153}{139}
+nicht überschätzen. Vor allem ist schwer einzusehen, wie sich
+in der Wirklichkeit eine von Fall zu Fall wechselnde, aber bei
+jeder Gruppe von Fällen in der gleichen Weise wiederkehrende
+Wahrscheinlichkeit ergeben soll. Nicht viel natürlicher ist die
+Annahme, daß bei jeder Gruppe von Fällen eine andere, aber bei
+den einzelnen Fällen einer Gruppe dieselbe Wahrscheinlichkeit
+vorhanden sein soll, denn die Einteilung der Fälle in Gruppen,
+an denen man die relative Häufigkeit bestimmt, ist doch meist
+eine an sich willkürliche, und die Fälle schließen sich örtlich und
+zeitlich kontinuierlich aneinander an. Man wird sich daher
+darauf beschränken müssen, zu sagen: \so{ein Wechsel der Wahrscheinlichkeit
+innerhalb einer Gruppe von Fällen verringert
+die Dispersion, ein Wechsel von einer Gruppe
+zur anderen erhöht sie.}
+
+Es bleibt noch übrig, kurz der anderen Deutungsart zu
+gedenken, wo die Kugeln aus der Urne nicht einzeln, sondern auf
+einmal gezogen werden. In diesem Falle tritt in dem Ausdruck
+für die mittlere Ausweichung unter der Wurzel zu $w(1 - w)/n$ noch
+ein Faktor $\chi(1 - \chi)$ hinzu, der immer $<1$ ist, es ergibt sich also
+\[
+\mu_2 < \mu_1
+\]
+und demnach wird
+\[
+Q < 1,
+\]
+die Dispersion ist also unternormal. Diese Erklärung der unternormalen
+Dispersion scheint an sich sehr einleuchtend. Aber
+wieder erhebt sich der Einwand, daß es meistens durchaus nicht
+der Wirklichkeit entspricht, wenn die Fälle einer Gruppe als eine
+natürliche Gesamtheit angesehen werden, wie es doch geschieht,
+wenn sie durch die mit \so{einem} Griff aus der Urne herausgeholten
+Kugeln illustriert werden. Immerhin könnte man ja vermuten,
+daß gerade da die unternormale Dispersion sich einstellt, wo die
+Verhältniszahlen sich in gewisser Weise auf solche natürliche
+Gruppen beziehen.
+
+Das bekannteste Beispiel für eine vermutliche normale Dispersion
+bildet das \so{Geschlechtsverhältnis der Geborenen}.
+Auch dieses hat \so{Lexis} ausführlich behandelt (Conrads Jahrbücher
+für Nationalökonomie und Statistik, Bd.~27 (1876), S.~206; Abhandlungen
+zur Theorie der Bevölkerungs- und Moralstatistik, 1903,
+S.~130), indem er die Zahlen für die verschiedenen preußischen
+\DPPageSep{154}{140}
+Regierungsbezirke in den einzelnen Monaten der Jahre~1868
+und~1869 zugrunde legte. Wir wollen seine Resultate nur für
+die größten Bezirke anführen. Es ergibt sich:
+\[
+\begin{array}{l||c|c}
+\hline
+\hline
+\ColHeadbb{Bezirk}{Bezirk} &
+\ColHeadb{$n$}{$n$} &
+\ColHead{$Q$}{$Q$} \\
+\hline
+\hline
+\DotBox{Königsberg} & 3426 & 1,06 \\
+\DotBox{Potsdam}    & 3028 & 0,96 \\
+\DotBox{Frankfurt}  & 3211 & 0,98 \\
+\DotBox{Posen}      & 3738 & 1,01 \\
+\DotBox{Breslau}    & 4766 & 0,89 \\
+\DotBox{Oppeln}     & 4855 & 0,92 \\
+\DotBox{Magdeburg}  & 3650 & 1,02 \\
+\DotBox{Düsseldorf} & 4305 & 1,12 \\
+\end{array}
+\]
+
+Die Zahlen $n$ beziehen sich auf die Geburten während eines
+Monates. Die Werte von $Q$ kommen hier der Einheit so nahe, wie
+man es überhaupt erwarten kann, so daß wir hier in der Tat mit ziemlicher
+Sicherheit von einer normalen Dispersion sprechen können.
+
+Trotzdem wäre der Schluß übereilt, daß wir mit Gewißheit
+annehmen können, in dem Geschlechtsverhältnis der Geborenen
+liege der Typus einer rein zufälligen Verteilung vor. Abgesehen
+davon, daß die bloße Bestimmung des Divergenzkoeffizienten~$Q$
+allein dafür nicht ausreichend ist, beruht die Annäherung an
+den Wert~$1$, die \so{Lexis} gefunden hat, wie es scheint, auf der
+günstigen Auswahl der Beobachtungsbezirke und der verhältnismäßig
+kurz genommenen Beobachtungsdauer. Jedenfalls gelangt
+man zu anderen Ergebnissen, wenn man als Beobachtungsdauer statt
+eines Monates je ein Jahr und als Beobachtungsbezirk das Königreich
+Sachsen nimmt\footnote
+  {Vgl.\ E.~\so{Blaschke}, Vorlesungen über mathematische Statistik,
+\index{Blaschke}%
+  Leipzig 1906; H.~\so{Forcher}, Die statistische Methode als selbständige
+\index{Forcher}%
+  Wissenschaft, Leipzig 1913.}.
+Es ergeben sich folgende Werte für das Verhältnis~$y$
+der männlichen Geburten zu der Gesamtzahl der Geburten:
+\[
+\small
+\begin{array}{@{}c||cTc||cTc||cTc||c@{}}
+\hline
+\hline
+\ColHeadbb{Jahr}{Jahr} &
+\ColHeadB{$y$}{$y$} &
+\ColHeadbb{Jahr}{Jahr} &
+\ColHeadB{$y$}{$y$} &
+\ColHeadbb{Jahr}{Jahr} &
+\ColHeadB{$y$}{$y$} &
+\ColHeadbb{Jahr}{Jahr} &
+\ColHead{$y$}{$y$} \\
+\hline
+\hline
+1891 & 0,512\,14 & 1896 & 0,513\,01 & 1901 & 0,511\,77 & 1906 & 0,511\,14 \\
+1892 & 0,513\,94 & 1897 & 0,512\,83 & 1902 & 0,512\,43 & 1907 & 0,512\,35 \\
+1893 & 0,512\,13 & 1898 & 0,511\,85 & 1903 & 0,510\,19 & 1908 & 0,511\,04 \\
+1894 & 0,510\,36 & 1899 & 0,512\,90 & 1904 & 0,512\,86 & 1909 & 0,513\,21 \\
+1895 & 0,512\,14 & 1900 & 0,514\,87 & 1905 & 0,513\,20 & 1910 & 0,512\,02 \\
+\end{array}
+\]
+\DPPageSep{155}{141}
+
+Für die Periode 1891 bis 1900 findet man hieraus den Wert
+$Q = 0,904$, für die Periode 1901 bis 1910 den Wert $Q = 0,705$.
+Diese Übereinstimmung ist weit weniger gut als die von \so{Lexis}
+gefundene.
+
+Daß die Verschiedenheiten der Verhältniszahlen für die einzelnen
+Jahre nicht auf bloßen Zufälligkeiten beruhen, kann man
+aus den Zahlen für das gesamte Deutsche Reich während der
+letzten Jahre ersehen. Es entfallen auf $100$ Mädchengeburten an
+Knabengeburten:
+\[
+\begin{array}{l@{}c|l@{}c}
+\DotBox{1906} & 106,0 & \DotBox{1910} & 105,9 \\
+\DotBox{1907} & 106,3 & \DotBox{1911} & 106,1 \\
+\DotBox{1908} & 106,1 & \DotBox{1912} & 106,5 \\
+\DotBox{1909} & 105,9 && \\
+\end{array}
+\]
+
+Dabei erscheint auffallend die Steigerung im letzten Jahre
+1912. Sieht man nun zu, wie sie zustande gekommen ist, so
+erkennt man merkwürdigerweise, daß sie wesentlich von den süddeutschen
+Staaten herrührt. Die Zahl hat sich in Preußen von
+$106,4$ für 1911 nur auf $106,5$ für 1912 bewegt, während wir für
+die süddeutschen Staaten finden:
+\[
+\begin{array}{l||c|c}
+\hline
+\hline
+& \ColHeadb{1911}{1911} & \ColHead{1912}{1912} \\
+\hline
+\hline
+\DotBox[4cm]{Bayern}           & 105,9 & 106,8 \\
+\DotBox[4cm]{Württemberg}      & 103,6 & 106,4 \\
+\DotBox[4cm]{Baden}            & 105,3 & 106,0 \\
+\DotBox[4cm]{Elsaß-Lothringen} & 105,3 & 106,5 \\
+\end{array}
+\]
+Es ist danach kein Zweifel, daß wesentlich auf diesen verhältnismäßig
+bedeutenden Verschiebungen auch die Änderung in der
+Gesamtziffer beruht.
+
+Der starke Einfluß des Landes auf das Geschlechtsverhältnis
+der Geborenen ist bekannt. Es kamen \zB~auf $100$ Mädchengeburten
+während des Zeitraumes 1887 bis 1891 an Knabengeburten
+\[
+\begin{array}{l@{}c}
+\DotBox{in England} & 103,6 \\
+\DotBox{in Spanien} & 108,3 \\
+\end{array}
+\]
+
+Nach \so{Bertillon} (Anhang zum Annuaire statistique de la
+\index{Bertillon}%
+ville de Paris für 1905, Paris 1907) übt das Alter der Mutter
+einen deutlich erkennbaren Einfluß auf das Geschlecht des Kindes
+\DPPageSep{156}{142}
+aus. Nach den Erhebungen in Paris 1891 bis~1905 ergeben sich
+auf $100$ Mädchengeburten folgende Zahlen von Knabengeburten:
+\[
+\small
+\begin{array}{l|*{6}{c|}c}
+\hline\hline
+\ColHeadb{Alter der}{Alter der\\Mutter:} &
+15 \EnDash 19 &
+20 \EnDash 24 &
+25 \EnDash 29 &
+30 \EnDash 34 &
+35 \EnDash 39 &
+40 \EnDash 44 &
+45 \EnDash 49 \\
+\hline\hline
+\text{Eheliche} &
+107,1 & 106,2 & 106,4 & 106,5 & 106,6 & 113,0 & 105,0 \\
+\text{Uneheliche} &
+104,5 & 105,3 & 102,2 & 105,0 & 103,7 & 112,1 & 102,1 \\
+\end{array}
+\]
+Es zeigt sich also eine deutliche Zunahme der Knabengeburten
+für die mittleren Lebensjahre der Mutter.
+
+Die Bestimmung des Divergenzkoeffizienten~$Q$ ist gewissermaßen
+der erste Schritt zur Beurteilung der Dispersion. Sie gibt
+\zB~noch keinen Anhaltspunkt für die Beurteilung einer vorhandenen
+Asymmetrie. Hierfür ist, wie wir bereits gesehen haben,
+von Wichtigkeit, daß außer dem arithmetischen Mittel auch der
+Zentralwert, unter dem und über dem gleich viel der Beobachtungswerte
+liegen, und der Normalwert, für den sich in der aus der
+Urreihe abgeleiteten Verteilungsreihe die größte relative Häufigkeit
+ergibt, gebildet werden.
+
+Fallen diese drei Werte zusammen, so liefert dies einen Anhaltspunkt
+dafür, daß die Dispersion eine symmetrische ist. Wir haben
+also folgende drei Werte zu bestimmen:
+
+1. Den Durchschnittswert der Beobachtungswerte
+\[
+y_0 = \frac{\Sum y_i}{r}
+\]
+oder, wenn wir die Verteilungsfunktion $\phi(y)$ einführen,
+\[
+\Tag{(4)}
+y_0 = \Int_{-\infty}^{+\infty} \phi(y) y\, dy
+    : \Int_{-\infty}^{+\infty} \phi(y)\, dy.
+\]
+
+2. Den Zentralwert~$y_z$, für den
+\[
+\Tag{(5)}
+\Int_{-\infty}^{y_z} \phi(y)\, dy = \Int_{y_z}^{+\infty} \phi(y)\, dy
+\]
+wird.
+
+3. Den Normalwert~$y_a$, für den
+\[
+\Tag{(6)}
+\phi(y_a) = \text{Max.}
+\]
+\DPPageSep{157}{143}
+wird. Dann muß, wenn eine symmetrische Verteilung vorliegt,
+\[
+y_0 = y_z = y_a
+\]
+werden. Dieser Wert kann als der \so{typische Wert} bezeichnet
+werden.
+
+Man wird sich nun aber schwer entschließen, mit dieser Bestimmung
+die Beurteilung der Verteilungsreihe abzuschließen. Der
+letzte Zielpunkt muß vielmehr sein, ein "`Gesetz"' für die Verteilung
+selbst herauszufinden. Auch dazu kann die Betrachtung des
+Urnenschemas dienen. Hierbei hat sich uns überall, wo die Anzahl
+der beobachteten Fälle sehr groß war, die \so{Gauß}sche Verteilungsfunktion
+ergeben, und wenn wir eine allgemeinere Verteilungsfunktion
+erstrebten, so mußten wir sie uns aus der Übereinanderlagerung
+\so{Gauß}scher Funktionen hervorgegangen denken (ähnlich
+wie man sich die allgemeine Schwingung aus der Superposition
+von Sinuswellen hervorgegangen denkt). Das legt es nahe, zunächst
+zu versuchen, wie weit man mit der einfachen \so{Gauß}schen
+Verteilungsfunktion kommt. In diesen Fällen kann, wie wohl
+nicht mehr besonders hervorgehoben zu werden braucht, die
+Dispersion sowohl eine normale als auch eine unter- oder übernormale
+sein, die Gültigkeit des \so{Gauß}schen Verteilungsgesetzes
+und die \so{Lexis}sche Beurteilung der normalen Dispersion fallen
+keineswegs zusammen. Es zeigt sich nun, daß unter der Voraussetzung
+einer \so{typischen} Dispersion, die der \so{Gauß}schen Funktion
+\[
+\phi(x) = \frac{h}{\sqrt{\pi}}\, e^{-h^2 x^2}
+\]
+folgt, sich für die Konstante $h$ in dieser Funktion eine dreifache
+Bestimmung ergibt. Die eine Bestimmung benutzt die Werte,
+unter oder über denen ein Viertel der beobachteten Zahlenwerte
+liegt. Nennt man $\sigma$ den Unterschied dieser Werte, so wird
+\[
+\Tag{(7)}
+\frac{1}{h_1} = \frac{\sigma}{0,9539}.
+\]
+Die zweite Formel benutzt die Summe der Abweichungen~$y$ aller
+Beobachtungswerte, \dh~aller Glieder~$y$ der Urreihe, die über
+oder unter dem Mittelwert liegen, von diesem Mittelwert. Ist $r$
+die Gesamtzahl aller bestimmten Werte, so folgt
+\DPPageSep{158}{144}
+\[
+\Tag{(8)}
+\frac{1}{h_2}
+  =  2 \sqrt{\pi}\, \frac{\Sum_{+} (y_i - y_0)}{r}
+  = -2 \sqrt{\pi}\, \frac{\Sum_{-} (y_i - y_0)}{r},
+\]
+wenn $\Sum_{+}$, $\Sum_{-}$ bedeutet, daß die Summation über alle positiven oder
+alle negativen Werte der Differenz $y_i - y_0$ erstreckt werden soll.
+Die dritte Bestimmung beruht auf der Quadratensumme aller vorkommenden
+Abweichungen vom Mittelwert und liefert
+\[
+\Tag{(9)}
+\frac{1}{h_3} = \sqrt{2\frac{\Sum (y_i - y_0)^2}{r - 1}}.
+\]
+Der letzte Wert stimmt bis auf den Faktor~$\sqrt{2}$ mit der mittleren
+Ausweichung $\mu_2$ überein. Wenn man im vorliegenden Falle diese
+Bestimmungen verwerten will, so muß man alle überhaupt vorliegenden
+Bestimmungen, die sich auf die einzelnen Monate der
+Jahre 1868 und 1869 beziehen, zusammenfassen und erhält dann
+eine Gesamtheit von $816$ Einzelbestimmungen. \so{Lexis} zieht es
+aber vor, zunächst eine Gruppe aus den $17$ größten Bezirken zu
+wählen, zu denen auch die oben angeführten gehören. Es liegen
+dann nur $408$ Einzelbestimmungen vor, für die sich in der Tat
+nach den drei möglichen Methoden derselbe Mittelwert $1065,8$
+und folgende Verteilungsreihe ergibt:
+\[
+\begin{array}{c||c|c}
+\hline\hline
+\ColHeadbb{Abweichung}{Abweichung} &
+\multicolumn{2}{c}{\text{\thsize Beobachtete Fälle}} \\
+\cline{2-3}
+\ColHeadbb{$+$ $-$}{$+$ $-$} &
+\ColHeadb{\qquad\qquad}{$+$} &
+\ColHead{\qquad\qquad}{$-$} \\
+\hline\hline
+\Z0 \EnDash \Z20  &  82 &  73 \\
+ 20 \EnDash \Z40  &  57 &  65 \\
+ 40 \EnDash \Z60  &  41 &  43 \\
+ 60 \EnDash \Z80  &  16 & \Z9 \\
+ 80 \EnDash  100  & \Z5 & \Z9 \\
+\PadTxt[r]{$80$\EnDash}{Über } 100 & \Z3 & \Z5 \\
+\end{array}
+\]
+
+Führt man nun die drei Bestimmungen von $h$ aus, so ergeben
+sich die Werte
+\[
+h_1 = 0,018,\qquad
+h_2 = 0,019,\qquad
+h_3 = 0,019,
+\]
+also eine gute Übereinstimmung.
+
+Rechnet man aber mit Hilfe des bestimmten Normalwertes
+und des Wertes von $h$ nach der \so{Gauß}schen Funktion die Häufigkeitszahlen
+aus, so findet man die folgenden Zahlenreihen:
+\DPPageSep{159}{145}
+\[
+\begin{array}{l@{\,}*{6}{r<{\quad}}}
+\DotBox{Berechnet} &   82&  61&  37&  17&   5&   2 \\
+\multirow{2}{*}{Beobachtet %
+  $\dots\biggl\{\begin{array}{@{}c@{}}+\\-\end{array}$}
+& 82 & 57 & 41 & 16& 5 & 3 \\
+& 74 & 65 & 43 &  9& 9 & 5 \\
+\end{array}
+\]
+Bei der Beurteilung der so erreichten Übereinstimmung muß man
+die Unsicherheit bedenken, die an sich wegen der verhältnismäßig
+geringen Zahl beobachteter Fälle vorhanden ist. Dann muß in
+der Tat die gefundene Übereinstimmung als eine sehr gute gelten.
+
+Um noch ein Beispiel zu haben, das von vornherein jeder
+solchen Bestimmung zu spotten scheint, wollen wir mit \so{Pearson} das
+\index{Pearson|ff}%
+Verhältnis der unionistischen Stimmen zur Gesamtzahl der Stimmen
+bei den englischen Wahlen im Jahre 1891 nehmen. Wir haben
+\begin{figure}[hbt!]
+  \centering
+%[** TN: Verbal part of caption lies below figure in the original.]
+  \caption{Fig.~8. Verhältnis der unionistischen Stimmen zur Gesamtzahl der Stimmen
+    bei den englischen Wahlen 1891.}
+  \Input{159}
+\end{figure}
+die herauskommende Verteilungsreihe graphisch aufgezeichnet, indem
+für die Abszisse die Prozente der Stimmenzahl und für die
+Ordinate die zugehörigen Anzahlen von Wahlbezirken genommen
+sind. Für den zugrunde zu legenden typischen Wert ergibt sich
+$0,51 = 51$~Proz.\ und die drei Bestimmungen von $h_i$ liefern:
+\[
+h_1 = 0,09,\qquad
+h_2 = 0,11,\qquad
+h_3 = 0,12.
+\]
+Die Verteilung, die sich nach der \so{Gauß}schen Funktion ergibt,
+ist durch die eingezeichnete Kurve angedeutet.
+
+Die Übereinstimmung, die man hier erhält, darf man aber
+nicht so deuten, als ob die herauskommenden Prozentsätze der
+Stimmenzahl mit den Ziehungsverhältnissen des Urnenschemas
+direkt verglichen werden könnten. Die überhaupt möglichen
+\DPPageSep{160}{146}
+Prozentsätze von $0$ bis $100$ Proz.\ entsprechen vielmehr alle einem
+nur zwischen sehr engen Grenzen schwankenden Ziehungsverhältnis.
+Es werden gar nicht mehr die Verhältniswerte als solche verglichen,
+sondern nur die herauskommenden Verteilungsreihen. Die
+Vergleichung wird damit viel äußerlicher. Wir vergleichen nicht
+mehr den wirklichen Vorgang selbst mit dem Vorgang bei den
+Ziehungen aus einer Urne. Wir versuchen nur, die aus dem
+Urnenschema theoretisch abgeleitete Verteilungsfunktion der wirklich
+beobachteten Verteilungsreihe anzupassen. Wir können höchstens
+die Vorgänge bei der Ziehung aus der Urne symbolisch
+fassen, indem wir sie als den Ausdruck für beliebige Zufallsvorgänge
+deuten, die wir so einer Berechnung zugänglich machen.
+Es würde in dem vorliegenden Beispiel etwa das Ziehen einer
+weißen Kugel einen sehr kleinen Ausschlag der Stimmen nach der
+unionistischen Seite bedeuten.
+
+Man kann aber auch von der Herleitung der Formel aus
+dem Urnenschema, nachdem sie einmal gewonnen ist, völlig absehen
+und sich darauf beschränken, die Vorgänge zu suchen, die
+sich dieser Formel anpassen und damit einen gemeinsamen Charakter
+zeigen, den man definitionsmäßig als den des Zufälligen
+ansehen kann.
+
+Sehr wichtig erscheinen hierbei zunächst die Fälle, wo die
+Gültigkeit der \so{Gauß}schen Verteilungsfunktion als eine physikalische
+Hypothese erscheint. Dies gilt vor allen Dingen für die
+Bewegungen der kleinsten Teile der Materie, zunächst der Moleküle.
+Die Bewegungen der Moleküle sind unbeobachtbar und
+daher ist eine unmittelbare Kontrolle durch die Erfahrung in
+diesem Falle unmöglich. Eine solche gelingt jedoch bei sehr
+kleinen, in einer Flüssigkeit suspendierten Teilchen, die den Molekularbewegungen
+ähnliche und, wie man glaubt, durch die Molekularbewegungen
+(nämlich die Stöße der Flüssigkeitsmoleküle auf
+die festen Teilchen) unmittelbar veranlaßte Bewegungen, die sogenannten
+\so{Brown}schen Bewegungen, ausführen. J.~\so{Perrin}
+\index{Brownsche Bewegung}%
+\index{Perrin}%
+(Die Atome, deutsch von \so{Lottermoser}, Dresden und Leipzig
+\index{Lottermoser (Übersetzer)}%
+1914) hat in einem Falle die Verschiebungen der Teilchen in
+Zwischenräumen von $30$ Zeitsekunden notiert und daraus folgende
+Tabelle gefunden, in der den beobachteten die nach der \so{Gauß}schen
+Verteilungsfunktion für die $500$ Beobachtungen berechneten
+Anzahlen hinzugefügt sind. Der Wert von $\epsilon$ beträgt $1,96$~Mikron.
+\DPPageSep{161}{147}
+\index{Poisson|f}%
+\[
+\begin{array}{c||c|c}
+\hline\hline
+\ColHeadbb{die enthalten sind}{Verschiebungen,\\die enthalten sind\\zwischen} &
+\ColHeadb{berechnet}{Anzahl\\berechnet} &
+\ColHead{beobachtet}{Anzahl\\beobachtet} \\
+\hline\hline
+\Z0 \text{ und } \Z\epsilon        &  32 & 34 \\
+\Z\epsilon \Ditto[ und ] 2\epsilon &  83 &  78 \\
+ 2\epsilon \Ditto[ und ] 3\epsilon & \llap{1}07 & \llap{1}06 \\
+ 3\epsilon \Ditto[ und ] 4\epsilon & \llap{1}05 & \llap{1}03 \\
+ 4\epsilon \Ditto[ und ] 5\epsilon &  75 &  75 \\
+ 5\epsilon \Ditto[ und ] 6\epsilon &  50 &  49 \\
+ 6\epsilon \Ditto[ und ] 7\epsilon &  27 &  30 \\
+ 7\epsilon \Ditto[ und ] 8\epsilon &  14 &  17 \\
+ 8\epsilon \Ditto[ und ] \infty    & \Z7 & \Z9 \\
+\end{array}
+\]
+
+Die Tabelle ist zugleich lehrreich dafür, welche Übereinstimmung
+man erwarten darf, wo die Gültigkeit der \so{Gauß}schen
+Verteilungsfunktion von vornherein so gut wie sicher ist\footnote
+  {Man vergleiche des weiteren L.~v.\ \so{Bortkewitsch}, Die radioaktive
+\index{Bortkewitsch@Bortkewitsch (Bortkiewicz), Lad.\ v.}%
+  Strahlung als Gegenstand wahrscheinlichkeitstheoretischer Untersuchungen,
+  Berlin 1913.}.
+Ein
+weiteres besonders hervorragendes Beispiel besteht in der Messung
+der Körperlänge erwachsener Personen. Hierfür hat \so{Pearson}\footnote
+  {Man vgl.\ die Aufsätze von \so{Pearson} in den Transactions of
+  the Royal Society 1894 bis 1903 (Vol.~185 bis~198) und Philosophical
+  Magazine 1900, 1901 (Vol.~50,~1), ferner seine Schrift The chances of
+  death etc., London 1897. Daneben ist es interessant, die Arbeiten von
+  \so{Edgeworth} einzusehen, besonders Journal of the Royal Statistical
+\index{Edgeworth}%
+  Society, Vol.~60 bis 62 (1897 bis 1899), und als besondere Schrift unter
+  dem Titel The representation of Statistics by mathematical formulae,
+  London 1900. An zusammenfassenden Darstellungen kann man außer
+  den bereits angeführten etwa vergleichen \so{King}, Elements of statistical
+\index{King}%
+  method, New York u.~London, Macmillan, \so{Davenport}, Statistical
+\index{Davenport}%
+  Methods, New York, Wiley \& Son. Ferner die Schriften von \so{Westergaard},
+\index{Westergaard}%
+  Grundzüge der Theorie der Statistik, Jena 1890, Lehre von
+  der Mortabilität und Morbidität, 2.~Aufl.\ 1901. Unter den Lehrbüchern
+  der Wahrscheinlichkeitsrechnung hat besonders das von
+  \so{Czuber} (Leipzig 1902) die statistischen Anwendungen ausführlich
+\index{Czuber}%
+  behandelt.}
+ausgezeichnetes Material in den Messungen der Körpergröße von
+$25\,875$~Rekruten der Armee der Vereinigten Staaten angeführt.
+Die Körpergrößen sind in Zoll und daneben die Anzahlen der
+Rekruten von der betreffenden Größe angeführt.
+\DPPageSep{162}{148}
+\begin{table}[hbt!]
+\[
+\begin{array}{c|r<{\ }||c|r<{\ }}
+\hline\hline
+\ColHeadb{Körpergröße}{Körpergröße} &
+\ColHeadbb{Anzahl}{Anzahl} &
+\ColHeadb{Körpergröße}{Körpergröße} &
+\ColHead{Anzahl}{Anzahl} \\
+\hline\hline
+78 \EnDash 77 &    2 & 64 \EnDash 63 & 1947 \\
+77 \EnDash 76 &    6 & 63 \EnDash 62 & 1237 \\
+76 \EnDash 75 &    9 & 62 \EnDash 61 &  526 \\
+75 \EnDash 74 &   42 & 61 \EnDash 60 &   50 \\
+74 \EnDash 73 &  118 & 60 \EnDash 59 &   15 \\
+73 \EnDash 72 &  343 & 59 \EnDash 58 &   10 \\
+72 \EnDash 71 &  680 & 58 \EnDash 57 &    6 \\
+71 \EnDash 70 & 1485 & 57 \EnDash 56 &    7 \\
+70 \EnDash 69 & 2075 & 56 \EnDash 55 &    3 \\
+69 \EnDash 68 & 3133 & 55 \EnDash 54 &    1 \\
+68 \EnDash 67 & 3631 & 54 \EnDash 53 &    2 \\
+67 \EnDash 66 & 4054 & 53 \EnDash 52 &    1 \\
+66 \EnDash 65 & 3475 & 52 \EnDash 51 &    1 \\
+65 \EnDash 64 & 3019 && \\
+\end{array}
+\]
+\end{table}
+
+Wir beginnen damit, daß wir den Mittelwert auf die drei
+angegebenen Weisen bestimmen. Wir finden dann mit ziemlich
+genauer Übereinstimmung den Mittelwert oder Normalwert
+\[
+y_0 = 66,7.
+\]
+Hierauf berechnen wir die Größe $h$ nach den angegebenen drei
+Methoden und finden so
+\[
+h_1 = 0,27,\qquad
+h_2 = 0,27,\qquad
+h_3 = 0,28.
+\]
+Wir erhalten dann das Bild, das in \Fig{9} auf der folgenden Seite
+dargestellt ist. Die Übereinstimmung ist recht gut, so daß wir in
+der Tat annehmen können, daß die Verteilung der Körpergrößen
+erwachsener Personen dem \so{Gauß}schen Verteilungsgesetz folgt.
+Dagegen haben Messungen an gleichaltrigen Kindern gezeigt, daß
+die Verteilung bei nicht erwachsenen Personen eine andere, nämlich
+eine wesentlich unsymmetrische ist, indem ein Zurückbleiben
+des Wachstums gegen den normalen Wert häufiger als ein Vorauseilen
+ist.
+
+Die Auffassung, daß man in dem \so{Gauß}schen Verteilungsgesetz
+das Symptom für eine auf bloßen Zufälligkeiten beruhende
+Verteilung zu sehen habe, ist lange Zeit durchaus herrschend gewesen.
+Ihr ist \zB~\so{Quételet} durchaus gefolgt, sie findet sich
+\index{Quételet}%
+auch in dem englischen Werke von \so{Venn}, The logic of chance
+\index{Venn}%
+\DPPageSep{163}{149}
+(London 1876) konsequent vertreten. Diese Ansicht ist aber, wie
+wir gesehen haben, weder in dem Sinne richtig, daß, wo die Verteilung
+mit hinreichender Annäherung dem \so{Gauß}schen Verteilungsgesetz
+folgt, die Abweichungen bestimmt in jedem einzelnen
+Falle nur auf Zufälligkeiten beruhen, noch in dem Sinne, daß sich
+immer die \so{Gaußs}che Verteilungsfunktion ergibt, wo wir zufällige
+Schwankungen anzunehmen haben. Dies geht aus der Verallgemeinerung
+hervor, die wir an das Urnenschema angeknüpft
+haben, indem wir annahmen, daß erst durch das Los bestimmt
+\begin{figure}[hbt!]
+  \centering
+  \caption{Fig.~9.}
+  \Input{163}
+\end{figure}
+wird, aus welcher von mehreren vorhandenen Urnen gezogen wird.
+Wir haben dabei im Gegensatz zu der Symmetrie der \so{Gauß}schen
+Verteilungsfunktion eine wesentlich unsymmetrische Verteilung
+gefunden, und es scheint von Interesse, auch dafür ein Beispiel
+zu finden.
+
+Der einfachste Fall, den wir hierbei annehmen können, ist
+der, wo nur zwei Urnen vorhanden sind, wo also nur zwei Wahrscheinlichkeiten
+$w_1$~und~$w_2$ dafür, daß aus der einen oder anderen
+Urne gezogen wird, in Betracht kommen. Die Relation $w_1 + w_2 = 1$
+kommt weiter nicht in Frage, da noch mit einer Konstanten~$c$
+multipliziert werden muß. Wir können dann (indem wir $c_1 = cw_1$,
+$c_2 = cw_2$ setzen) die Verteilungsfunktion schreiben:
+\[
+\Tag{(10)}
+\Phi(z)
+  = \frac{c_1 h_1}{\sqrt\pi}\, e^{-h_1^2(z - u_1)^2}
+  + \frac{c_2 h_2}{\sqrt\pi}\, e^{-h_2^2(z - u_2)^2}.
+\]
+\DPPageSep{164}{150}
+
+Für diese Verteilungsfunktion wollen wir, wiederum nach
+\so{Pearson}, ein Beispiel geben. Dieses Beispiel hat eine gewisse
+Berühmtheit erlangt, weil es den Ausgangspunkt weitergehender
+Untersuchungen gebildet hat. Wenn eine solche Streuung wie
+die angeführte besteht, so liegt der Fall genau so, als ob die beobachteten
+Individuen aus zwei Gattungen gemischt seien, für deren
+Verteilung einzeln die gewöhnliche \so{Gaußs}che Verteilungsfunktion
+gilt. Man beobachtet nun eine entsprechende Verteilung bei
+biologischen Individuen auch dann, wenn nicht sie selbst, wohl
+aber ihre Vorfahren aus zwei verschiedenen Arten gemischt sind.
+Es wird also das Bestehen einer solchen Verteilung das Kennzeichen
+für eine stattgefundene Bastardierung.
+
+Das Beispiel, das wir geben wollen, bezieht sich auf die
+"`Stirnbreite"' von $1000$ Krabben aus dem Golf von Neapel. Die
+zugrunde liegende Tabelle ist die auf folgender Seite.
+
+Um die in der graphischen Darstellung (\Fig{10}) eingezeichnete
+Kurve zu erhalten, die sich den beobachteten Werten möglichst
+anschmiegt, sind für die Konstanten in der Formel folgende Werte
+genommen (für den Durchschnittswert ist $z = 0$, woraus $-c_1u_1
+= c_2u_2$):
+\begin{align*}
+c_1 &= 414,5, & u_1 &= -3,517,           & h_1 &= 0,159,\\
+c_2 &= 585,5, & u_2 &= \phantom{-}2,490, & h_2 &= 0,228\footnotemark.
+\end{align*}
+\footnotetext{Außer den hier angeführten Verteilungsfunktionen, die alle auf
+  die \so{Gaußs}che Funktion zurückgehen, gibt \so{Pearson} (Transactions of
+  the Royal Society, London 1895) noch eine Anzahl anderer an, die er
+  ebenfalls an das Urnenschema anknüpft. Es wird hierbei das Urnenschema
+  aber nur als heuristisches Prinzip benutzt, indem in der abgeleiteten
+  Formel die Grenzen, in denen die Konstanten bleiben müssen,
+  und notwendige Voraussetzungen, die bei der Ableitung zu machen
+  sind, außer acht gelassen werden. Dieses Verfahren ist gewiß berechtigt,
+  wenn es sich um nichts anderes handelt als darum, passende
+  Annäherungsfunktionen für die empirisch gefundenen Verteilungen
+  zu gewinnen. Es ist dann die Aufgabe, an möglichst zahlreichen
+  Beispielen die angesetzten Funktionen zu erproben. In dieser Hinsicht
+  ist eine Durchsicht der Zeitschrift Biometrika, A Journal for the statistical
+  study of biological problems (Cambridge, seit 1901, herausgegeben von
+  \so{Weldon}, \so{Pearson}, \so{Davenport} und \so{Galton}) zu empfehlen, in deren
+\index{Davenport}%
+\index{Galton}%
+\index{Weldon}%
+  ersten Bänden sich zahlreiche solche Beispiele finden. Durch die Art aber,
+  wie die \so{Pearson}schen Untersuchungen auch in der letzten Zeit (\zB~bei
+  \so{Forcher}, Die statistische Methode, Leipzig 1913) wiedergegeben
+\index{Forcher}%
+  worden sind, wird nur zu leicht der Anschein erweckt, als ob es sich
+  um eine wirkliche Ableitung der entstehenden Verteilungen aus dem
+  Urnenschema handle. Die Darstellung bei Fechner (Kollektivmaßlehre,
+\index{Fechner}%
+  herausgegeben von G.~F.~\so{Lipps}, Leipzig 1899), der auf andere Weise
+\index{Lipps@Lipps, G. F. (Herausgeber)}%
+  eine Verallgemeinerung der \so{Gauß}schen Funktion anstrebt, ist darin
+  durchsichtiger.}
+\DPPageSep{165}{151}
+\index{Lexis}%
+\begin{table}[hbtp!]
+\begin{minipage}{3cm}
+\[
+\footnotesize
+\begin{array}{@{}c|c@{}}
+\hline\hline
+\ColHeadb{zahlen}{Maß-\\zahlen} &
+\ColHead{Individuen}{Anzahl \\Individuen} \\
+\hline\hline
+\Z1 & \Z1 \\
+\Z2 & \Z3 \\
+\Z3 & \Z5 \\
+\Z4 & \Z2 \\
+\Z5 & \Z7 \\
+\Z6 &  10 \\
+\Z7 &  13 \\
+\Z8 &  19 \\
+\Z9 &  20 \\
+ 10 &  25 \\
+ 11 &  40 \\
+ 12 &  31 \\
+ 13 &  60 \\
+ 14 &  62 \\
+ 15 &  54 \\
+ 16 &  74 \\
+ 17 &  84 \\
+ 18 &  86 \\
+ 19 &  96 \\
+ 20 &  85 \\
+ 21 &  75 \\
+ 22 &  47 \\
+ 23 &  43 \\
+ 24 &  24 \\
+ 25 &  19 \\
+ 26 & \Z9 \\
+ 27 & \Z5 \\
+ 28 & \Dash \\
+ 29 & \Z1 \\
+ 30 & \Dash \\
+\end{array}
+\]
+\end{minipage}
+\hfill
+\begin{minipage}{\textwidth-3cm}
+  \centering
+  \caption{Fig.~10.}
+  \Input{165}
+\end{minipage}
+\end{table}
+
+Es bleibt noch übrig, die Anwendung der Formel, die für
+verhältnismäßig seltene Ereignisse gilt, durch ein Beispiel zu erläutern.
+L.~v.~\so{Bortkewitsch} hat in seiner Schrift Das Gesetz
+\index{Bortkewitsch@Bortkewitsch (Bortkiewicz), Lad.\ v.|ff}%
+der kleinen Zahlen (Leipzig 1898) die Bedeutung dieser Formel
+besonders hervorgehoben. Es erscheint beinahe a priori einleuchtend,
+daß die störenden Einwirkungen, die sonst das Zustandekommen
+einer regulären Verteilung verhindern, indem in den
+\DPPageSep{166}{152}
+einzelnen verglichenen Bezirken verschiedene Verhältnisse obwalten,
+sich am wenigsten geltend machen, wenn an den verschiedensten
+Stellen durch ein verhältnismäßig seltenes Ereignis
+einzelne Fälle, sozusagen Stichproben, herausgegriffen werden.
+
+Wir hatten gesehen, daß in diesem Falle die Formel gilt:
+\[
+\Tag{(11)}
+\phi_p = \frac{m^p e^{-m}}{p!},
+\]
+wobei die Beziehungen bestehen müssen:
+\[
+\Tag{(12)}
+\Sum\phi_p = 1, \
+m = \Sum p\phi_p, \
+m' = \Sum(p - m)^2 \phi_p, \
+m' = m.
+\]
+
+Es ist zunächst zu prüfen, ob diese Beziehungen erfüllt sind.
+Wir wollen nun hierfür ein Beispiel nehmen und wählen mit
+\so{Bortkewitsch} die Anzahl der Soldaten, die während der Jahre
+1875 bis 1894 innerhalb der Armeekorps II~bis~V, VII~bis~X,
+XIV~und~XV des preußischen Heeres durch Hufschlag eines
+Pferdes getötet wurden. Die einzelnen Zahlen~$p_i$ usw.\ bedeuten
+dann die innerhalb eines Armeekorps während eines Jahres Getöteten.
+Es ergeben sich dabei:
+\[
+\begin{array}{*{6}{c}l}
+          &   0 &  1 &  2 & 3 & 4 & 5 \text{ und mehr Getötete} \\
+\text{in} & 109 & 65 & 22 & 3 & 1 & 0 \text{ Fällen,}
+\end{array}
+\]
+und daraus folgt der Wert
+\[
+m = \frac{65·1 + 22·2 + 3·3 + 4·1}{200} = 0,61.
+\]
+Übereinstimmend damit ergibt sich auch für $m'$ der Wert~$0,61$.
+Rechnet man nun mit Hilfe des Ausdruckes
+\[
+z_0 \frac{m^p}{p!}
+\]
+die zu erwartenden Häufigkeiten von $p$ Todesfällen aus, indem
+man $z_0$ (die Häufigkeit für $p = 0$) daraus bestimmt, daß die
+Summe aller Häufigkeiten gleich $200$ sein muß, woraus
+\[
+z_0 = 200·e^{-m}
+\]
+folgt, so findet man statt der obigen Werte die Zahlen:
+\[
+109 \qquad 66 \qquad 20 \qquad 4 \qquad 1 \qquad 0.
+\]
+Die Übereinstimmung ist außerordentlich gut. Daß sie auf einem
+bloßen Zufall beruht, ist nicht anzunehmen. Vielmehr haben wir
+\DPPageSep{167}{153}
+\index{Lipps@Lipps, G. F. (Herausgeber)}%
+uns zu denken, daß alle örtlichen und zeitlichen Besonderheiten,
+die sonst als systematische Abweichungen hervortreten, dadurch
+unwirksam werden, daß eine rein zufällige Auswahl durch das
+betrachtete seltene Ereignis getroffen wird und daß wir deswegen
+annähernd dieselben Verhältnisse haben müssen, wie sie bei der
+Begründung aus dem Urnenschema vorausgesetzt werden\footnote
+  {An kurz zusammenfassenden Darstellungen mit reichen Literaturangaben
+  vgl.\ man den Artikel von \so{Bortkiewicz}, Anwendungen der
+  Wahrscheinlichkeitsrechnung auf Statistik, Enzyklopädie der math.\
+  Wissenschaften, Bd.~I, 2.~Teil, Leipzig 1900--1904, \so{Czuber}, Die Entwickelung
+\index{Czuber}%
+  der Wahrscheinlichkeitstheorie und ihrer Anwendungen,
+  Jahresbericht der Deutschen Math.-Ver., Bd.~VII, Leipzig 1899, ferner die
+  Artikel Geschlechtsverhältnis der Geborenen und Gestorbenen (v.~\so{Mayr}),
+\index{Mayr, v.}%
+  Gesetz (\so{Lexis}), Sterblichkeit (v.~\so{Bortkiewicz}) im Handwörterbuch
+\index{Lexis}%
+  der Staatswissenschaften von \so{Lexis} und \so{Elster}.}.
+\index{Elster (Herausgeber)}%
+\EndChap
+\DPPageSep{168}{154}
+
+
+\Chapter{Zehntes Kapitel}{Die genetische Theorie des Zufalls}
+
+Die statistische Theorie des Zufalls offenbart einen gemeinschaftlichen
+Charakter in der Verteilung der statistischen Ergebnisse
+bei solchen Ereignissen, die wir als zufällige anzusehen
+gewohnt sind. Wir erhalten aber keinen unmittelbaren Aufschluß
+darüber, wie wir uns das Zustandekommen einer solchen Verteilung
+in der Wirklichkeit denken können. Es bleibt daher das Bedürfnis
+bestehen, sozusagen in den inneren Mechanismus des Geschehens
+einzudringen und sich klar zu machen, wie die als typisch für die
+Zufallsereignisse angesehene Verteilung auch auf einer inneren
+Übereinstimmung der in Betracht kommenden Ereignisse beruht.
+
+Als die am sichersten als zufällig zu bezeichnenden Ereignisse
+gelten nun die Ereignisse, die in dem Begehen eines bestimmten
+Beobachtungsfehlers bei sehr sorgfältig ausgeführten Beobachtungen
+bestehen, \dh~sich der in der Abweichung der in der
+gleichen Weise und mit der gleichen Sorgfalt bestimmten Werte
+voneinander kundgeben. Für diese Fehler hat die Erfahrung mit
+hinreichender Gewißheit die Geltung des sogenannten \so{Gauß}schen
+Fehlergesetzes, das durch die Funktion
+\[
+\phi(x) = \frac{h}{\sqrt\pi}\, e^{-h^2 x^2}
+\]
+geliefert wird, ergeben.
+
+Man kann es nun als die Aufgabe hinstellen, eine Erklärung
+dafür zu suchen, wie dieses eigentümliche Gesetz für die Verteilung
+der Fehler zustande kommt.
+
+Der Astronom \so{Bessel} ist der erste gewesen, der diese Frage
+\index{Bessel@Bessel|f}%
+zu beantworten gesucht hat (Untersuchungen über die Wahrscheinlichkeit
+der Beobachtungsfehler, Astron.\ Nachrichten, Bd.~15,
+\DPPageSep{169}{155}
+1838). Er dachte sich, daß jeder Fehler das Resultat des Zusammentreffens
+einer großen Anzahl von Elementarfehlern ist, die
+einzeln bestimmten Fehlerquellen entstammen. Die einfachste
+Annahme ist dabei die, die Elementarfehler alle als dem absoluten
+Betrag nach gleich vorauszusetzen, etwa gleich~$e$, und weiter zu
+sagen, jeder einzelne Elementarfehler gehe gleich oft mit dem positiven
+und dem negativen Vorzeichen in das Resultat ein. Dieses
+Resultat entspricht dann einer bestimmten Vorzeichenkombination
+der Elementarfehler. Man kann diesen Vorgang sehr einfach auf
+das Urnenschema zurückführen, indem man eine Urne voraussetzt,
+in der gleich viele schwarze und weiße Kugeln gemischt
+enthalten sind. Das Ziehen einer weißen Kugel bedeutet denn
+das Begehen des Elementarfehlers~$+e$, das Ziehen einer schwarzen
+Kugel das Begehen des Elementarfehlers~$-e$. Wenn nun eine
+große Anzahl $n = p + q$ Male eine Kugel aus der Urne gezogen
+ist, so wird, wenn hierbei $p$\,mal eine weiße und $q$\,mal eine schwarze
+Kugel gefunden wurde,
+\[
+x = (p - q)e
+\]
+der begangene Gesamtfehler.
+
+Die relative Häufigkeit dieses Gesamtfehlers wird
+\[
+\frac{(p + q)!}{p!\, q!} \left(\frac{1}{2}\right)^p \left(\frac{1}{2}\right)^q
+\]
+oder wenn man
+\[
+p = \frac{n}{2} + u, \quad
+q = \frac{n}{2} - u
+\]
+setzt,
+\[
+w_u = \frac{n!}{\left(\dfrac{n}{2} + u\right)! \left(\dfrac{n}{2} - u\right)!}
+  · \left(\frac{1}{2}\right)^n.
+\]
+Es handelt sich nun darum, hierfür einen Näherungswert zu finden,
+indem man $n$ sehr groß und $u$ als verhältnismäßig klein gegen $n$
+annimmt.
+
+Wir bilden zu dem Zweck
+\[
+\frac{w_u}{w_{u-1}} = \frac{\dfrac{n}{2} - u}{\dfrac{n}{2} + u},
+\]
+\DPPageSep{170}{156}
+dividieren Zähler und Nenner dieses Bruches durch $\frac{1}{2} n$ und setzen
+\[
+2 \frac{u}{n} = z,
+\]
+dann wird
+\[
+\frac{w_u}{w_{u-1}} = \frac{1 - z}{1 + z}.
+\]
+Wir erhalten also, indem wir weiter setzen
+\[
+z = \frac{x}{ne},
+\]
+woraus
+\[
+x = 2ue,
+\]
+da $z$ ein sehr kleiner Bruch ist,
+\[
+\frac{w_u - w_{u-1}}{w_u} = -\frac{2z}{1 - z} = -2z = -\frac{2x}{ne},
+\]
+also, wenn wir berücksichtigen, daß
+\[
+w_u = \phi(x) \quad \text{und demnach} \quad
+\frac{w_u - w_{u-1}}{w_u} = d \ln \phi(x)
+\]
+wird,
+\[
+d \ln \phi(x) = -\frac{2x}{ne},
+\]
+ferner $dx = 2e$, da einer Vermehrung von $u$ um $1$ eine Vermehrung
+von $x$ um $2e$ entspricht, und somit schließlich
+\[
+\phi(x) = C e^{-h^2x^2}
+\]
+entsprechend dem ursprünglichen Ansatz, wenn wir noch
+$h = \dfrac{1}{\sqrt{2n}e}$ machen.
+
+Es ist aber wichtig, sich von der \so{Bessel}schen Annahme
+frei zu machen, daß jede Fehlerquelle nur Fehler von bestimmtem
+absoluten Betrage liefern könne, und dafür die allgemeinere Voraussetzung
+einzuführen, daß jede Fehlerquelle
+
+1. gleich große positive und negative Fehler mit gleich großer
+relativer Häufigkeit ergebe und
+
+2. nur sehr kleine Fehler, aber
+\DPPageSep{171}{157}
+
+3. innerhalb gewisser Grenzen jeden beliebigen Fehler liefern
+könne\footnote
+  {Vgl.\ \so{Crofton}, On the proof of the law of errors of observations,
+\index{Crofton}%
+  Philosophical Transactions, Vol.~159 (1869), Artikel Probability, Encyclopaedia
+  Britannica, 9.~ed., Vol.~19 (1885).}.
+
+Sogar von der Voraussetzung~1.\ können wir, wie wir sehen
+werden, Abstand nehmen.
+
+Wir nehmen an, die Aufgabe sei bereits gelöst, wenn die
+Zahl der Fehlerquellen $n$ beträgt. Man habe die Fehlerfunktion
+gefunden, die durch das Zusammenwirken dieser $n$ Fehlerquellen
+entsteht, und man nenne diese Fehlerfunktion $\phi_n(x)$. Dann
+komme noch eine Fehlerquelle hinzu, zu der die Fehlerfunktion
+$\Theta_{n+1}(x)$ gehöre, und man suche die nun entstehende neue Fehlerfunktion
+$\phi_{n+1}(x)$ zu bestimmen. Wir haben dann, da, wenn die
+letzte Fehlerquelle den Fehler $u$ liefert, die übrigen Fehlerquellen
+den Fehler $x - u$ liefern müssen, damit der Gesamtfehler $x$ werde,
+\[
+\phi_{n+1}(x) = \Int_{-r}^{+r} \phi_n(x - u) \Theta_{n+1}(u)\, du,
+\]
+wo $+r$ und $-r$ die Extremwerte sind, bis zu denen die Argumente
+der Funktion~$\Theta_{n+1}(u)$ reichen.
+
+Wir entwickeln unter dem Integralzeichen $\phi_n(x - u)$ nach
+dem \so{Taylor}schen Lehrsatze, und finden
+\[
+\phi_{n+1} (x)
+  = \Int_{-r}^{+r} \bigl[\phi_n(x) - u\phi'_n(x) + \tfrac{1}{2} u^2\phi''_n(x)\bigr]
+  \Theta_{n+1}(u)\, du.
+\]
+Die höheren Potenzen von $u$ können wir vernachlässigen.
+
+Es ist nun
+\[
+\Int_{-r}^{+r} \Theta_{n+1}(u)\, du = 1,
+\]
+und setzen wir ferner
+\[
+\Int_{-r}^{+r} u \Theta_{n+1}(u)\, du = j_{n+1}, \qquad
+\Int_{-r}^{+r} u^2 \Theta_{n+1}(u)\, du = k_{n+1},
+\]
+so wird jetzt
+\[
+\phi_{n+1}(x) = \phi_n(x) - j_{n+1} \phi'_n(x) + \tfrac{1}{2} k_{n+1}\phi''_n(x).
+\]
+\DPPageSep{172}{158}
+
+Wir erkennen daraus, daß es gleichgültig ist, welche Form
+wir der Funktion~$\Theta_{n+1}(u)$ geben, wenn sie nur die richtigen
+Werte von $j_{n+1}$ und $k_{n+1}$ liefert. Wir wollen deshalb insbesondere
+für die Funktion den Ansatz machen:
+\[
+\Theta_{n+1}(u) = \frac{\lambda_{n+1}}{\sqrt\pi}\, e^{-\lambda_{n+1}^2 (u-u_{n+1})^2},
+\]
+es ergibt sich dann:
+\begin{align*}
+j_{n+1} &= \Int_{-r}^{+r} u \Theta_{n+1}(u)\, du = u_{n+1},\\
+k_{n+1} &= \Int_{-r}^{+r} u^2 \Theta_{n+1}(u)\, du
+  = \frac{1}{2\lambda_{n+1}^2} + u_{n+1}^2.
+\end{align*}
+
+Wir können nun bestätigen, daß unter dieser Voraussetzung
+für die Verteilungsfunktion sich ebenfalls die Form
+\[
+\phi_n(x) = \frac{h_n}{\sqrt\pi}\, e^{-h_n^2(x-x_n)^2}
+\]
+ergibt. Wir zeigen dies, indem wir nachweisen, daß durch das
+Hinzutreten einer neuen Fehlerquelle sich diese Form nicht
+ändert. Da diese Form aber für \so{eine} Fehlerquelle als gültig angenommen
+werden kann, gilt sie nach dem Bewiesenen dann
+auch für zwei, weiter für drei, vier usw.\ Fehlerquellen und damit
+allgemein.
+
+Setzen wir also voraus, in der Formel
+\[
+\Theta_{n+1}(x) = \Int_{-r}^{+r} \phi_n(x - u)\Theta_{n+1}(u)\, du
+\]
+seien die obigen Ausdrücke für $\phi_n(x - u)$ und $\Theta_{n+1}(u)$ eingesetzt,
+dann wird, wenn wir noch für die Grenzen $-r$~und~$+r$
+$-\infty$~und~$+\infty$ schreiben,
+\[
+\phi_{n+1}(x)
+  = \Int_{-\infty}^{+\infty} c e^{-h_n^2(x-u-x_n)^2}\, e^{-\lambda_{n+1}^2(u-u_{n+1})^2}\, du,
+\]
+\DPPageSep{173}{159}
+wo $c$ eine Konstante ist. Die beiden Potenzen von $e$ vereinigen
+sich zu einer einzigen, deren Exponent
+\begin{align*}
+&= -h_n^2(x-u-x_n)^2 - \lambda_{n+1}^2(u-u_{n+1})^2 \\
+&= \begin{aligned}[t]
+  -(h_n^2+\lambda_{n+1}^2)u^2 + 2
+   & \bigl[h_n^2(x-x_n)+\lambda_{n+1}^2u_{n+1}\bigr]u \\
+  -& \bigl[h_n^2(x-x_n)^2 + \lambda_{n+1}^2u_{n+1}^2\bigr]
+\end{aligned} \\
+&= -(h_n^2 + \lambda_{n+1}^2)(u - u'_n)^2
+  - \frac{\lambda_{n+1}^2h_n^2}{h_n^2 + \lambda_{n+1}^2}(x - x_n - u_{n+1})^2
+\end{align*}
+ist, wenn
+\[
+u'_n = \frac{h_n^2(x - x_n) + \lambda_{n+1}^2u_{n+1}}{h_n^2 + \lambda_{n+1}^2}
+\]
+gesetzt wird. Hieraus folgt:
+\[
+\phi_{n+1}(x) = Ce^{-\tfrac{\lambda_{n+1}^2h_n^2}{h_n^2 + \lambda_{n+1}^2}(x-x_n-u_{n+1})^2},
+\]
+wo $C$ eine neue Konstante ist.
+
+Setzen wir mithin
+\[
+\phi_{n+1}(x) = Ce^{-h_{n+1}^2(x-x_{n+1})^2},
+\]
+so wird
+\[
+\frac{1}{h_{n+1}^2} = \frac{1}{h_n^2} + \frac{1}{\lambda_{n+1}^2}, \quad
+x_{n+1} = x_n + u_{n+1}.
+\]
+Also ist
+\[
+\Tag{(1)}
+\frac{1}{h_n^2}
+  = \frac{1}{\lambda_1^2} + \frac{1}{\lambda_2^2} + \dots
+  + \frac{1}{\lambda_n^2}
+\]
+und
+\[
+\Tag{(2)}
+x_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n.
+\]
+Nun ist, wie wir oben (S.~158) gefunden hatten,
+\[
+\Tag{(3)}
+u_i = \Int_{-\infty}^{+\infty} u\Theta_i(u)\, du.
+\]
+Also wird $u_i$ der Mittelwert, um den sich die aus der $i$ten Fehlerquelle
+fließenden Fehler gruppieren, und die resultierende Fehlerfunktion
+ist auf einen Mittelwert bezogen, der die Summe aus
+\DPPageSep{174}{160}
+den Mittelwerten aller einzelnen Fehlerquellen ist. Diesen Wert
+können wir als den \so{systematischen Fehler} der Beobachtungen
+ansehen.
+
+Ferner ergibt sich:
+\[
+\Tag{(4)}
+\frac{1}{2\lambda_i^2} = \Int_{-\infty}^{+\infty} (u - u_i)^2\Theta_i(u)\, du,
+\]
+also gleich dem Quadrat $\mu_i^2$ des \so{mittleren zufälligen Fehlers}
+bei der $i$ten Fehlerquelle, und wir finden für den mittleren
+Fehler $\mu$ bei der resultierenden Fehlerfunktion:
+\[
+\Tag{(5)}
+\mu^2 = \mu_1^2 + \mu_2^2 + \dots + \mu_n^2.
+\]
+
+Die Resultate, die wir so für den besonderen Fall gefunden
+haben, wo die zugrunde gelegte Messungsreihe aus verschiedenen
+Messungen einer und derselben physikalischen Größe besteht, lassen
+sich auch sofort auf den Fall übertragen, wo eine Reihe an verschiedenen
+Objekten ausgeführter Beobachtungen in ihrer Verteilung
+der \so{Gauß}schen Funktion folgt. Wir finden, daß eine solche
+Verteilung entstehen muß, wenn die an den Objekten beobachteten
+Verschiedenheiten auf zufälligen Abweichungen von einem bestimmten
+Normaltypus beruhen, \dh~wenn eine große Anzahl an
+sich sehr geringfügiger und voneinander unabhängiger Umstände
+zusammenwirken, um die beobachtete Abweichung zu erzeugen.
+
+In diesem Sinne könnten wir von einem objektiven Zufalle
+sprechen, der Zufall würde dann in dem Zusammentreffen einer
+großen Anzahl von Umständen bestehen, die untereinander in keiner
+unmittelbaren kausalen Beziehung stehen, und deren Zusammentreffen
+den beobachteten Erfolg herbeiführt.
+
+Hierdurch wird der Bereich des Zufälligen aber außerordentlich
+eingeschränkt, denn gerade daß eine große Menge von gegenseitig
+unabhängigen Einzelumständen zusammentreffen soll, scheint
+in der Wirklichkeit selten erfüllt. Wohl findet man, wenn man
+ein Zufallsereignis in den Einzelheiten seines Zustandekommens
+verfolgt, eine Reihe von Umständen, die zusammen das Ereignis
+hervorgerufen haben, aber diese Umstände stehen nicht außer
+Zusammenhang, sie bilden vielmehr die Glieder in wenigen Ketten
+von kausalen Zusammenhängen. Meistens wird man sogar nur
+zwei solcher Ketten feststellen können. So wird man, um auf das
+\DPPageSep{175}{161}
+Beispiel des von einem herabfallenden Ziegel getöteten Passanten
+zurückzukommen, die zwei Ketten von Ursache und Wirkung verfolgen,
+die auf der einen Seite das Vorübergehen des Menschen
+gerade an dieser Stelle und auf der anderen Seite das Herabfallen
+des Ziegels gerade zu dieser Zeit erklären. Damit aber wird die
+Anwendung der in diesem Kapitel angestellten Analyse, wie es
+scheint, in den meisten Fällen illusorisch. Es soll diese Analyse
+jedoch auch gar nicht eine allgemeine genetische Erklärung der
+Zufallsereignisse geben. Sie liefert nur \so{ein} Beispiel dafür, wie
+die für die Zufallsereignisse typische Verteilung zustande kommen
+kann. Dieses Beispiel ist deshalb von besonderer Bedeutung, weil
+die gegebene Erklärung in einem sehr wichtigen Falle, nämlich
+bei gleich sorgfältigen Beobachtungen einer und derselben physikalischen
+Größe, tatsächlich zu stimmen scheint. Daß die typische
+Verteilung auch auf ganz andere Art zustande kommen kann,
+lehrt schon das Beispiel der Urnenziehungen. Es ist gerade das
+Merkwürdige an der \so{Gauß}schen Verteilungsfunktion, daß sie sich
+auf ganz verschiedene, anscheinend voneinander völlig unabhängige
+Arten ergibt. %[** TN: Removed trailing em-dash]
+
+Wenn wir nun zum Schluß die Ergebnisse unserer Betrachtungen
+kurz zusammenfassen, so ist der Gewinn, den wir erzielt
+haben, nicht darin zu suchen, daß die Auffassung des einzelnen
+zufälligen Ereignisses eine Vertiefung erfahren hat. Dagegen haben
+wir gesucht, den Nachweis zu führen, daß auch die zufälligen
+Ereignisse nicht die Regelmäßigkeit und Ordnung des allgemeinen
+Geschehens durchbrechen, daß vielmehr auf eine bestimmte Weise
+bei diesen zufälligen Ereignissen ein Ausgleich stattfindet für das,
+was sie als störendes Element in die Gesetzmäßigkeit des Geschehens
+hineintragen.
+
+Hierin liegt an sich nichts Neues und Überraschendes, vielmehr
+etwas nahezu Selbstverständliches. Wir brauchen ja bloß
+zu bedenken, daß die Vorgänge in den kleinsten Teilen der Materie
+als Zufallsereignisse anzusehen sind, und daß sonach, wofern überhaupt
+in dem physikalischen Geschehen eine Regelmäßigkeit zu
+erkennen sein soll, diese auf einem Ausgleich der Zufälligkeiten
+in den Veränderungen der kleinsten Elemente beruhen muß. Wir
+verlassen uns auf diesen Ausgleich wie auf ein Naturgesetz, \zB~ist
+der sogenannte zweite Hauptsatz der mechanischen Wärmetheorie,
+nämlich der Satz, daß die Wärme nicht von selbst vom kälteren
+\DPPageSep{176}{162}
+zum wärmeren Körper strömt, nichts wie ein Ausdruck für den
+Ausgleich, der in den molekularen Bewegungen stattfindet. Es ist
+aber wichtig, sich klar bewußt zu sein, daß hiermit ein neues
+Moment in die Naturerklärung hineingetragen wird, das von
+anderer Art ist wie die eine regelmäßige kausale Verknüpfung
+aussagenden Naturgesetze. Das Wesentliche an allen zufälligen
+Ereignissen ist eben das, daß sie allein aus der Regelmäßigkeit
+kausaler Verknüpfungen nicht zu erklären sind. Wenn daher sich
+in der Gesamtheit der Zufallsereignisse einer bestimmten Gruppe
+eine Regelmäßigkeit wiederfindet, so ist diese von anderer Art als
+die kausalen Zusammenhänge, und die Voraussetzung einer unverbrüchlichen
+Kausalität in allem Naturgeschehen mag wohl aufrecht
+erhalten werden, sie reicht allein aber nicht hin, um die
+Regelmäßigkeit des Weltgeschehens vollständig zu erklären. Es
+gehört vielmehr die Tatsache hinzu, die wir als das Gesetz der
+großen Zahlen bezeichnen und die bewirkt, daß die Unregelmäßigkeiten,
+die sonst durch die zufälligen Ereignisse in die Welt hineingetragen
+würden, in dem Gesamtergebnis doch wieder verschwinden.
+
+Wenn wir diese Elimination des Zufalls als eine allgemeine
+Tatsache hinstellen, so müssen wir uns bewußt sein, daß wir für
+diese Tatsache keine bestimmte Erklärung geben können, daß wir
+sie vielmehr nur insoweit behaupten können, wie sie uns durch
+die Erfahrung bestätigt wird. Unser Verstand sträubt sich allerdings
+dagegen, ein so allgemeines Prinzip nur deshalb anzunehmen,
+weil hier und dort seine Richtigkeit bezeugt wird, vielmehr
+drängt er dahin, auch einen inneren Grund für einen solchen
+Ausgleich zu finden. Ein solcher innerer Grund läßt sich aber
+nicht ermitteln. Würden wir zu ihm gelangen können, so müßte
+uns eine Einsicht in den Mechanismus des Geschehens zu Gebote
+stehen, wie wir sie nicht haben. Was uns gegeben ist, sind die
+einzelnen Erfahrungen. Nur indem wir diese zusammenhalten,
+miteinander vergleichen, Gleichartiges zusammenschließen und die
+dabei sich herausstellenden regelmäßigen Zusammenhänge aufdecken,
+gelangen wir dazu, das zu erreichen, was wir eine Erklärung
+des Naturgeschehens nennen. Auf diesem Wege können
+wir aber nicht den Ausgleich erklären, der in dem Gesetz der
+großen Zahlen ausgedrückt sein soll.
+
+Deshalb müssen wir uns damit begnügen, diesen Ausgleich,
+indem wir seine Wirklichkeit von vornherein voraussetzen, in
+\DPPageSep{177}{163}
+seinen einzelnen Erscheinungsformen selbst zu verfolgen. Auf
+diese Weise kann natürlich die Tatsache des Ausgleichs, weil wir
+sie von Anfang an vorausgesetzt haben, nicht erst erklärt werden.
+Wir können aber diese Tatsache uns sozusagen näher bringen,
+indem wir solche Vorgänge herausgreifen, über deren inneren
+Charakter wir glauben von vornherein Klarheit zu haben. Diese
+Vorgänge sind die Glücksspiele, und unter den Glücksspielen
+wählten wir noch insbesondere einen typischen Vorgang aus, der
+in den Ziehungen aus einer Urne besteht. Alle Ergebnisse, die
+aus diesen typischen Vorgängen gewonnen werden und die sich
+in der Ableitung gewisser Formeln für die bei häufiger Wiederholung
+des Vorganges zu erwartenden statistischen Ergebnisse
+vollenden, können auf andere Vorgänge, deren inneres Zustandekommen
+unserer Beobachtung verschlossen ist, nur so angewendet
+werden, daß wir die statistischen Ergebnisse vergleichen. Das ist
+es, was wir als die statistische Methode bezeichnet haben.
+
+Welches Recht haben wir nun, Ereignisse, deren Verteilung
+mit der aus dem Urnenschema folgenden Verteilung eine gewisse
+Übereinstimmung zeigt, auch innerlich als gleichartig anzusehen?
+Dadurch, daß wir überhaupt über die innere Natur
+eines Vorganges urteilen, gehen wir aus dem rein phänomenologischen
+Gebiet in das ontologische Gebiet über. Die innere
+Natur eines Vorganges, das eigentliche Warum und Wieso liegt
+außerhalb des Bereiches der bloßen Erfahrung. Was uns dazu
+hinführt, sind im Grunde immer Analogieschlüsse. Auf das Bedenkliche
+solcher Schlüsse braucht nicht besonders hingewiesen
+zu werden. Die Analogie verführt uns nur zu leicht, aus einer
+gefundenen Übereinstimmung in einzelnen Punkten eine Übereinstimmung
+auch in anderen Punkten zu erschließen, ohne daß dieser
+Schluß logisch zwingende Kraft hätte.
+
+Trotzdem können wir ohne solche Analogieschlüsse nicht auskommen.
+Sie sind es im wesentlichen, die uns die Dinge als begreiflich
+erscheinen lassen. Das bloße Sammeln und Ordnen von
+Erfahrungen würde uns unbefriedigt lassen. Wir würden das
+innere Band vermissen. Dieses Band eben finden wir häufig
+durch Analogieschlüsse. So beruht \zB~der Kraftbegriff, durch
+den uns die physikalischen Vorgänge begreiflich erscheinen sollen,
+auf einer Analogie mit physiologischen Vorgängen, nämlich dem
+Gefühl der Anstrengung beim Heben einer Last, und daß uns die
+\DPPageSep{178}{164}
+Dinge auf diese Weise innerlich begreiflich erscheinen, liegt daran,
+daß wir sie in Zusammenhang bringen mit persönlichen Empfindungen.
+Wir bringen sie uns "`menschlich nahe"'.
+
+Etwas Ähnliches können wir nun auch in der Analyse der
+zufälligen Vorgänge finden. Auch hier ist es die persönliche
+Stimmung dem ungewissen Ereignis gegenüber, die das Verfahren
+bestimmt hat und aus der heraus man ein inneres Verstehen der
+Vorgänge zu erreichen geglaubt hat. Hierhin gehört es, wenn in
+der klassischen Wahrscheinlichkeitsrechnung die gleich möglichen
+Fälle dadurch definiert werden, daß wir keinen Grund haben, das
+Eintreten des einen eher als das Eintreten des anderen zu erwarten.
+Hierhin gehört es ferner, wenn angenommen wird, daß ein Ereignis,
+dessen mathematische Wahrscheinlichkeit der Einheit sehr nahe
+kommt, als gewiß angesehen werden kann, weil wir in unserem
+Leben fortwährend gezwungen sind, wegen der Unsicherheit aller
+unserer Lebensumstände als gewiß hinzunehmen, was im Grunde
+nur sehr wahrscheinlich ist. Die Analogie geht sogar tiefer, indem
+wir die Unentschiedenheit eines künftigen Ereignisses mit der
+Unentschiedenheit eines Menschen vergleichen, der zwischen zwei
+Möglichkeiten zu wählen hat. Wenn wir von dem blinden Zufall
+sprechen, so beruht dies darauf, daß die Entscheidung verglichen
+wird mit der Entscheidung eines Menschen, der eine Möglichkeit
+ohne Überlegung ergreift. Diese Eindeutung innerer Erlebnisse
+in die äußeren Vorgänge ist dem menschlichen Geiste durchaus
+natürlich, sie ist aber auch mit großen Gefahren verknüpft. Das
+tritt tatsächlich in der Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung
+deutlich zutage. Bei aller Großartigkeit der Entwickelung krankt
+\zB~das Werk von \so{Laplace} daran, daß der Bereich des Ungewissen
+\index{Laplace}%
+ohne eine sichere empirische Grundlage allein aus dem
+Denken heraus mit Hilfe der mathematischen Rechnung einer bestimmten
+Analyse unterworfen werden soll. Rein äußerlich gibt
+sich das darin zu erkennen, daß zu viel mathematische Entwickelungen
+und zu wenig statistisches Material gegeben wird. Die
+mathematische Ableitung ist aber nur ein formales Hilfsmittel. Aus
+ihr allein läßt sich keine reale Erkenntnis schöpfen, wenn sie
+nicht mit wirklicher Beobachtung gepaart wird. Es werden daher
+bei \so{Laplace} eigentlich nur Methoden gegeben, ohne daß überhaupt
+feststeht, wie weit diese Methoden sich auf Probleme der
+Wirklichkeit überhaupt anwenden lassen. Wo solche Anwendungen
+\DPPageSep{179}{165}
+\index{Lipps@Lipps, G. F. (Herausgeber)}%
+aufzutreten scheinen, beruhen sie nur auf unbestimmten Vermutungen
+und unberechtigten Annahmen.
+
+\so{Quételet} gebührt das große Verdienst, mit der Anwendung
+\index{Quételet}%
+der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf die Wirklichkeit Ernst gemacht
+zu haben\footnote
+  {Vgl.\ insbesondere seine Lettres sur la théorie des probabilités
+  appliquée aux sciences morales et politiques (Bruxelles 1846).}.
+Aber auch er beging den Fehler, daß er zu selbstverständlich
+die Übereinstimmung der Wirklichkeit mit den aus
+dem einfachen Urnenschema folgenden Formeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
+voraussetzte und sie häufig da zu sehen glaubte,
+wo sie tatsächlich nicht vorhanden ist. Daher liegt ein ungeheurer
+Vorteil in dem Aufkommen der eigentlich empirischen Methoden,
+die sich eine unbefangene und sichere Feststellung der tatsächlichen
+Verhältnisse zur Aufgabe machen und um deren Entwickelung
+sich in Deutschland besonders W.~\so{Lexis} und G.~Th.~\so{Fechner}
+\index{Fechner}%
+\index{Lexis}%
+und in England K.~\so{Pearson} verdient gemacht haben. Hier wird
+\index{Pearson}%
+in der Tat die mathematische Entwickelung nur ein Hilfsmittel,
+um das statistische Material systematisch zu verarbeiten. Die
+Verarbeitung besteht einerseits darin, daß die statistischen Ergebnisse
+über solche Ereignisse, die in ihrer Verteilung eine gewisse
+Gemeinsamkeit zeigen, vereinigt werden, und andererseits darin,
+daß man in bestimmten Verteilungen eine einfache mathematisch
+ausdrückbare Regelmäßigkeit nachzuweisen versucht.
+
+Das Bezeichnende der Methode darf man vielleicht darin
+sehen, daß gerade die Rücksichtnahme auf den ursächlichen Zusammenhang,
+die sonst den Kern der Naturerklärung bildet, vollständig
+in Wegfall kommt. Es ist wohl gut, nochmals hervorzuheben,
+daß nach der in Rede stehenden Methode zwischen den
+einzelnen Fällen keinerlei ursächlicher Zusammenhang, sondern nur
+eine Gleichartigkeit der Bedingungen bei ihnen allen angenommen
+wird. Die bei dem Urnenschema herauskommende Verteilung wird
+ausdrücklich unter der Voraussetzung abgeleitet, daß eine Ziehung
+mit der anderen außer allem kausalen Zusammenhang steht, daß es
+für das Resultat einer Ziehung völlig gleichgültig ist, welche Resultate
+die vorhergehenden Ziehungen ergeben haben. Die Ziehung
+einer weißen Kugel bleibt in der Sprache der Wahrscheinlichkeitsrechnung
+gleich wahrscheinlich, auch wenn schon zehn- oder
+zwanzigmal hintereinander eine weiße Kugel gezogen worden ist.
+\DPPageSep{180}{166}
+
+Der Ausgleich zwischen den Resultaten der einzelnen Ziehungen
+ist kein mechanischer, er beruht nicht auf einer Wirkung,
+welche die Resultate der einen Ziehung auf das Resultat der
+anderen ausüben. Er ist nur ein statistischer, \dh~wir haben uns
+zu denken, daß er da zustande kommt, wo die Bedingungen des
+Geschehens, soweit sie festliegen, unverändert bleiben. Wenn es
+eine Ordnung des Geschehens in dem Sinne gibt, daß für das
+Resultat des einen Falles es nicht gleichgültig ist, welches die
+Resultate der vorhergehenden Fälle waren, so bleibt diese Ordnung
+hier unberücksichtigt, sei es nun, daß sie in einer gewissen Neigung
+der gleichartigen Resultate, sich räumlich oder zeitlich zusammenzuschließen
+oder in einer bestimmten prädestinierten Verteilung
+der verschiedenen Resultate bestehen soll. Das ganze Schwergewicht
+der Betrachtung ruht darauf, daß eine Erklärung der
+stattfindenden Verteilung auch möglich ist, ohne einen inneren
+Zusammenhang der Einzelergebnisse vorauszusetzen.
+
+Wenn die Beiseiteschiebung des kausalen Zusammenhanges
+das Bezeichnende an den angestellten Betrachtungen sein soll, so
+scheint dieses Prinzip nur bei der genetischen Erklärung des
+Zufalls durchbrochen zu sein. Es ist aber leicht zu erkennen,
+daß auch hier nicht das Zufallsereignis aus einer großen Menge
+voneinander unabhängiger Einzelursachen kausal erklärt werden
+soll, sondern daß es vielmehr als zusammengesetzt erscheint aus
+einer großen Menge voneinander unabhängiger Einzelmomente.
+Das Wesentliche ist auch hier wieder gerade das Fehlen des
+kausalen Zusammenhanges zwischen den einzelnen Bestandteilen
+des Zufallsereignisses. Es bleibt also immer das Fehlen des kausalen
+Zusammenhanges das Bezeichnende für die genetische Erklärung
+der Zufallsereignisse, gleichgültig, ob wir dieses Fehlen
+als ein absolutes oder als ein relatives, \dh~als das Fehlen einer
+engeren kausalen Verknüpfung, ansehen wollen.
+
+Aber die genetische Erklärung des einzelnen Zufallsereignisses
+war nicht das, worauf die angestellten Betrachtungen hauptsächlich
+abzielten. Im Gegenteil kann man ihr Wesen darin erblicken,
+daß sie von der Betrachtung des Zufalls im einzelnen
+Ereignisse ablenken, daß sie die Fragestellung vielmehr auf die
+Gesamtheit der Erscheinungen hinwenden.
+
+Auch von vornherein wird man zugeben, daß das einzelne
+Zufallsereignis nicht das ist, was im Grunde unsere Teilnahme
+\DPPageSep{181}{167}
+erweckt, daß vielmehr die wirkliche Aufgabe in der Beantwortung
+der Frage liegt, wie die Zufallsereignisse in ihrer Gesamtheit auf
+das Getriebe der Welt einwirken. Die Antwort ist klipp und klar
+die, daß das, was im einzelnen Ereignis als zufällig und unberechenbar
+erscheint, in der Totalität der Erscheinungen durch einen
+gewissen Ausgleich beseitigt wird. Allerdings eine Erklärung, die
+im tieferen Sinne befriedigt, für diesen Ausgleich zu finden, ist uns
+nicht gelungen. Unsere Betrachtung blieb auch hier auf die Beobachtung
+des Tatsächlichen und die Feststellung der darin
+liegenden Regelmäßigkeiten beschränkt, genau so wie sie es da ist,
+wo die mit einer durchgängigen Kausalität des Naturgeschehens
+in Zusammenhang stehenden "`Naturgesetze"' den Gegenstand der
+Untersuchung bilden.
+
+Daß eine allgemeine genetische Erklärung des Zufalls nicht
+geliefert ist, gibt sich auch darin zu erkennen, daß nach der
+statistischen Theorie ein Ereignis als zufällig nur innerhalb einer
+bestimmten Gesamtheit erscheint. So ergab sich die Verteilung
+der Körpergröße unter den durch die Aushebungen in einem großen
+Gebiete herausgegriffenen erwachsenen männlichen Individuen als
+die typische Zufallsverteilung. Dabei können wir die Körpergröße,
+die ein Mensch erreicht, doch nicht als rein zufällig hinstellen.
+Im Gegenteil sind uns bestimmte Momente, \zB~die Körpergröße
+der Eltern, bekannt, die einen Einfluß auf das körperliche Wachstum
+ausüben. Diesen und ähnlichen Einflüssen nachzugehen, war
+hier nicht unsere Aufgabe. Es scheint aber nötig, zum Schluß auf
+ihr Bestehen noch nachdrücklich hinzuweisen, damit nicht der
+Eindruck entsteht, als solle aus dem Vergleich mit dem Schema
+der Glücksspiele, der uns für die mathematische Behandlung die
+Handhabe gegeben hat, eine innere Gleichartigkeit gefolgert werden,
+als solle verkannt werden, wie ungleich verwickelter in ihrer inneren
+Beschaffenheit die Vorgänge in der menschlichen Gesellschaft sind,
+als die wenigstens beim ersten Anblick sehr einfach scheinenden
+Vorgänge der Urnenziehungen.
+\EndChap
+\DPPageSep{182}{168}
+\PrintIndex
+\iffalse
+Namenverzeichnis
+(Die Zahlen bedeuten die Seiten.)
+
+Abbe 89.
+Alembert@{d'Alembert|f}#Alembert 51
+Aristoteles 56.
+
+Bernoullische Theorem 66. %[** TN: "Bernoullisches Theorem" in original]
+Bertillon 141.
+Bessel@{Bessel|f}#Bessel 14, 154.
+Blaschke 140.
+Borel 66.
+Bortkewitsch@{Bortkewitsch (Bortkiewicz), Lad.\ v.}#Bortkewitsch 52, 138, 147, 151. %** 151 ff.
+Boylesches (Mariottesches) Gesetz 31.
+Bromse@{Brömse}#Brömse 52.
+Brownsche Bewegung 146.
+Bruns 66, 133.
+
+Cardano 58.
+Carvallo 66.
+Cournot 4.
+Crofton 157.
+Czuber 147, 153.
+
+Davenport 147, 150.
+Edgeworth 147.
+Elster (Herausgeber) 153.
+
+Fechner 151, 165.
+Fechnersches Lagengesetz 81.
+Forcher 140, 150.
+Fries@{Fries, J. F.}#Fries VI.
+
+Galilei@{Galilei|f}#Galilei 58.
+Galton 150.
+Gauß 93.
+Gaußsche@{Gaußsche Verteilungsfunktion|uo}#Gaußsche 109.
+Goethe 6.
+Goldschmidt 54.
+Grimsehl 52.
+
+Helmert 89.
+Hume 5.
+Huygens 60.
+
+Iterson 31.
+
+Kant 3, 7.
+King 147.
+Kozak VIII.
+Kries@{Kries, Joh.\ v.}#Kries 61.
+
+Lange@{Lange, Friedr.\ Albert}#Lange 47, 57, 62. %** 62 f.
+Laplace 45 f., 55, 61, 164.
+Lexis 40, 135, 151, 153, 165. %** 40 f. 135 ff.
+Lipps@{Lipps, G. F. (Herausgeber)}#Lipps 151, 153, 165.
+Lottermoser (Übersetzer) 146.
+Lourié 62.
+
+Marbe 52.
+Maxwell 43.
+Mayr, v. 153.
+Mill@{Mill, John Stuart|f}#Mill 1.
+
+Pearson 33, 145, 165. %** 145 ff.
+Perrin 146.
+Poisson 45, 55, 111, 138, 147. %** 147 f.
+
+Quételet 22, 148, 165.
+
+Rhumbler 31.
+
+Sabudski-Eberhard VIII.
+Schnuse (Übersetzer) 45.
+Schopenhauer 2.
+Siebeck 6.
+Sigwart 16, 47, 63. %** 63 f.
+Spinoza 4, 6. %** 6 f.
+Sterzinger 53.
+Stirlingsche Formel 110.
+Stumpf 63.
+
+Trendelenburg 57.
+
+Ueberweg 56.
+
+Valla, Laurentius 57.
+Venn 148.
+
+Wagner, Ad. 38.
+Weldon 150.
+Westergaard 147.
+Windelband 38, 44.
+Wolf, R. 68.
+Wundt, Wilh. 14, 46. %** 14 f.
+\fi
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% GUTENBERG LICENSE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\LicenseInit
+\begin{PGtext}
+End of the Project Gutenberg EBook of Die Analyse des Zufalls, by 
+H. E. (Heinrich Emil) Timerding
+
+*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK DIE ANALYSE DES ZUFALLS ***
+
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+Produced by Andrew D. Hwang, R. Stephan, Joshua Hutchinson,
+and the Online Distributed Proofreading Team at
+http://www.pgdp.net. (This ebook was produced using images
+provided by the Cornell University Library Historical
+Mathematics Monographs collection.)
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+will be renamed.
+
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+one owns a United States copyright in these works, so the Foundation
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+things that you can do with most Project Gutenberg-tm electronic works
+even without complying with the full terms of this agreement.  See
+paragraph 1.C below.  There are a lot of things you can do with Project
+Gutenberg-tm electronic works if you follow the terms of this agreement
+and help preserve free future access to Project Gutenberg-tm electronic
+works.  See paragraph 1.E below.
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+- You provide, in accordance with paragraph 1.F.3, a full refund of any
+     money paid for a work or a replacement copy, if a defect in the
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+     of receipt of the work.
+
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+     distribution of Project Gutenberg-tm works.
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+Foundation as set forth in Section 3 below.
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+in paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS' WITH NO OTHER
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+or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm
+work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any
+Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause.
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+
+Section  2.  Information about the Mission of Project Gutenberg-tm
+
+Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of
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+including obsolete, old, middle-aged and new computers.  It exists
+because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from
+people in all walks of life.
+
+Volunteers and financial support to provide volunteers with the
+assistance they need are critical to reaching Project Gutenberg-tm's
+goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will
+remain freely available for generations to come.  In 2001, the Project
+Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure
+and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations.
+To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation
+and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4
+and the Foundation web page at http://www.pglaf.org.
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+
+Section 3.  Information about the Project Gutenberg Literary Archive
+Foundation
+
+The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit
+501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the
+state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal
+Revenue Service.  The Foundation's EIN or federal tax identification
+number is 64-6221541.  Its 501(c)(3) letter is posted at
+http://pglaf.org/fundraising.  Contributions to the Project Gutenberg
+Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent
+permitted by U.S. federal laws and your state's laws.
+
+The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S.
+Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered
+throughout numerous locations.  Its business office is located at
+809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email
+business@pglaf.org.  Email contact links and up to date contact
+information can be found at the Foundation's web site and official
+page at http://pglaf.org
+
+For additional contact information:
+     Dr. Gregory B. Newby
+     Chief Executive and Director
+     gbnewby@pglaf.org
+
+
+Section 4.  Information about Donations to the Project Gutenberg
+Literary Archive Foundation
+
+Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide
+spread public support and donations to carry out its mission of
+increasing the number of public domain and licensed works that can be
+freely distributed in machine readable form accessible by the widest
+array of equipment including outdated equipment.  Many small donations
+($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt
+status with the IRS.
+
+The Foundation is committed to complying with the laws regulating
+charities and charitable donations in all 50 states of the United
+States.  Compliance requirements are not uniform and it takes a
+considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up
+with these requirements.  We do not solicit donations in locations
+where we have not received written confirmation of compliance.  To
+SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any
+particular state visit http://pglaf.org
+
+While we cannot and do not solicit contributions from states where we
+have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition
+against accepting unsolicited donations from donors in such states who
+approach us with offers to donate.
+
+International donations are gratefully accepted, but we cannot make
+any statements concerning tax treatment of donations received from
+outside the United States.  U.S. laws alone swamp our small staff.
+
+Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation
+methods and addresses.  Donations are accepted in a number of other
+ways including including checks, online payments and credit card
+donations.  To donate, please visit: http://pglaf.org/donate
+
+
+Section 5.  General Information About Project Gutenberg-tm electronic
+works.
+
+Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm
+concept of a library of electronic works that could be freely shared
+with anyone.  For thirty years, he produced and distributed Project
+Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support.
+
+
+Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed
+editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S.
+unless a copyright notice is included.  Thus, we do not necessarily
+keep eBooks in compliance with any particular paper edition.
+
+
+Most people start at our Web site which has the main PG search facility:
+
+     http://www.gutenberg.net
+
+This Web site includes information about Project Gutenberg-tm,
+including how to make donations to the Project Gutenberg Literary
+Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to
+subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks.
+\end{PGtext}
+
+% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
+%                                                                         %
+% End of the Project Gutenberg EBook of Die Analyse des Zufalls, by       %
+% H. E. (Heinrich Emil) Timerding                                         %
+%                                                                         %
+% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK DIE ANALYSE DES ZUFALLS ***     %
+%                                                                         %
+% ***** This file should be named 36310-t.tex or 36310-t.zip *****        %
+% This and all associated files of various formats will be found in:      %
+%         http://www.gutenberg.org/3/6/3/1/36310/                         %
+%                                                                         %
+% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
+
+\end{document}
+###
+@ControlwordReplace = (
+  ['\\tableofcontents', 'Inhaltverzeichnis.'],
+  ['\\Vorwort', 'Vorwort.'],
+  ['\\aaO', 'a. a. O.'],
+  ['\\dh', 'd. h.'],
+  ['\\zB', 'z. B.']
+  );
+
+@ControlwordArguments = (
+  ['\\Chapter', 1, 1, '', '.  ', 1, 1, '', '.'],
+  ['\\Signature', 1, 1, '', ' ', 1, 1, '', ''],
+  ['\\BookMark', 1, 0, '', '', 1, 0, '', ''],
+  ['\\DPPageSep', 1, 0, '', '-----', 1, 0, '', ''],
+  ['\\DPtypo', 1, 0, '', '', 1, 1, '', ''],
+  ['\\DPnote', 1, 0, '', ''],
+  ['\\Eqref', 1, 1, '', ''],
+  ['\\Fig', 1, 1, 'Fig. ', ' ']
+  );
+###
+This is pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6) (format=pdflatex 2010.5.6)  5 JUN 2011 19:56
+entering extended mode
+ %&-line parsing enabled.
+**36310-t.tex
+(./36310-t.tex
+LaTeX2e <2005/12/01>
+Babel <v3.8h> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh
+yphenation, arabic, farsi, croatian, ukrainian, russian, bulgarian, czech, slov
+ak, danish, dutch, finnish, basque, french, german, ngerman, ibycus, greek, mon
+ogreek, ancientgreek, hungarian, italian, latin, mongolian, norsk, icelandic, i
+nterlingua, turkish, coptic, romanian, welsh, serbian, slovenian, estonian, esp
+eranto, uppersorbian, indonesian, polish, portuguese, spanish, catalan, galicia
+n, swedish, ukenglish, pinyin, loaded.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/book.cls
+Document Class: book 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/leqno.clo
+File: leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers)
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/bk12.clo
+File: bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
+)
+\c@part=\count79
+\c@chapter=\count80
+\c@section=\count81
+\c@subsection=\count82
+\c@subsubsection=\count83
+\c@paragraph=\count84
+\c@subparagraph=\count85
+\c@figure=\count86
+\c@table=\count87
+\abovecaptionskip=\skip41
+\belowcaptionskip=\skip42
+\bibindent=\dimen102
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty
+Package: inputenc 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
+\inpenc@prehook=\toks14
+\inpenc@posthook=\toks15
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/latin1.def
+File: latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
+)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/fontenc.sty
+Package: fontenc 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1enc.def
+File: t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
+LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 43.
+)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.sty
+Package: babel 2005/11/23 v3.8h The Babel package
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/greek.ldf
+Language: greek 2005/03/30 v1.3l Greek support from the babel system
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def
+File: babel.def 2005/11/23 v3.8h Babel common definitions
+\babel@savecnt=\count88
+\U@D=\dimen103
+) Loading the definitions for the Greek font encoding (/usr/share/texmf-texlive
+/tex/generic/babel/lgrenc.def
+File: lgrenc.def 2001/01/30 v2.2e Greek Encoding
+)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/ngermanb.ldf
+Language: ngermanb 2004/02/20 v2.6m new German support from the babel system
+\l@naustrian = a dialect from \language\l@ngerman 
+Package babel Info: Making " an active character on input line 92.
+)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
+Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features
+\@mathmargin=\skip43
+For additional information on amsmath, use the `?' option.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty
+Package: amstext 2000/06/29 v2.01
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
+File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0
+\@emptytoks=\toks16
+\ex@=\dimen104
+)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
+Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d
+\pmbraise@=\dimen105
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
+Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names
+)
+\inf@bad=\count89
+LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211.
+\uproot@=\count90
+\leftroot@=\count91
+LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307.
+\classnum@=\count92
+\DOTSCASE@=\count93
+LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379.
+LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382.
+LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467.
+\Mathstrutbox@=\box26
+\strutbox@=\box27
+\big@size=\dimen106
+LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OML on input line 567.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OMS on input line 568.
+\macc@depth=\count94
+\c@MaxMatrixCols=\count95
+\dotsspace@=\muskip10
+\c@parentequation=\count96
+\dspbrk@lvl=\count97
+\tag@help=\toks17
+\row@=\count98
+\column@=\count99
+\maxfields@=\count100
+\andhelp@=\toks18
+\eqnshift@=\dimen107
+\alignsep@=\dimen108
+\tagshift@=\dimen109
+\tagwidth@=\dimen110
+\totwidth@=\dimen111
+\lineht@=\dimen112
+\@envbody=\toks19
+\multlinegap=\skip44
+\multlinetaggap=\skip45
+\mathdisplay@stack=\toks20
+LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666.
+LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667.
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
+Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
+Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f
+\symAMSa=\mathgroup4
+\symAMSb=\mathgroup5
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
+(Font)                  U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132.
+)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/jknapltx/mathrsfs.sty
+Package: mathrsfs 1996/01/01 Math RSFS package v1.0 (jk)
+\symrsfs=\mathgroup6
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ifthen.sty
+Package: ifthen 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/alltt.sty
+Package: alltt 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/indentfirst.sty
+Package: indentfirst 1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC)
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/makeidx.sty
+Package: makeidx 2000/03/29 v1.0m Standard LaTeX package
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/multicol.sty
+Package: multicol 2006/05/18 v1.6g multicolumn formatting (FMi)
+\c@tracingmulticols=\count101
+\mult@box=\box28
+\multicol@leftmargin=\dimen113
+\c@unbalance=\count102
+\c@collectmore=\count103
+\doublecol@number=\count104
+\multicoltolerance=\count105
+\multicolpretolerance=\count106
+\full@width=\dimen114
+\page@free=\dimen115
+\premulticols=\dimen116
+\postmulticols=\dimen117
+\multicolsep=\skip46
+\multicolbaselineskip=\skip47
+\partial@page=\box29
+\last@line=\box30
+\mult@rightbox=\box31
+\mult@grightbox=\box32
+\mult@gfirstbox=\box33
+\mult@firstbox=\box34
+\@tempa=\box35
+\@tempa=\box36
+\@tempa=\box37
+\@tempa=\box38
+\@tempa=\box39
+\@tempa=\box40
+\@tempa=\box41
+\@tempa=\box42
+\@tempa=\box43
+\@tempa=\box44
+\@tempa=\box45
+\@tempa=\box46
+\@tempa=\box47
+\@tempa=\box48
+\@tempa=\box49
+\@tempa=\box50
+\@tempa=\box51
+\c@columnbadness=\count107
+\c@finalcolumnbadness=\count108
+\last@try=\dimen118
+\multicolovershoot=\dimen119
+\multicolundershoot=\dimen120
+\mult@nat@firstbox=\box52
+\colbreak@box=\box53
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/array.sty
+Package: array 2005/08/23 v2.4b Tabular extension package (FMi)
+\col@sep=\dimen121
+\extrarowheight=\dimen122
+\NC@list=\toks21
+\extratabsurround=\skip48
+\backup@length=\skip49
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/longtable.sty
+Package: longtable 2004/02/01 v4.11 Multi-page Table package (DPC)
+\LTleft=\skip50
+\LTright=\skip51
+\LTpre=\skip52
+\LTpost=\skip53
+\LTchunksize=\count109
+\LTcapwidth=\dimen123
+\LT@head=\box54
+\LT@firsthead=\box55
+\LT@foot=\box56
+\LT@lastfoot=\box57
+\LT@cols=\count110
+\LT@rows=\count111
+\c@LT@tables=\count112
+\c@LT@chunks=\count113
+\LT@p@ftn=\toks22
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/multirow/multirow.sty
+\bigstrutjot=\dimen124
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/soul/soul.sty
+Package: soul 2003/11/17 v2.4 letterspacing/underlining (mf)
+\SOUL@word=\toks23
+\SOUL@lasttoken=\toks24
+\SOUL@cmds=\toks25
+\SOUL@buffer=\toks26
+\SOUL@token=\toks27
+\SOUL@spaceskip=\skip54
+\SOUL@ttwidth=\dimen125
+\SOUL@uldp=\dimen126
+\SOUL@ulht=\dimen127
+)
+LaTeX Info: Redefining \so on input line 127.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/footmisc/footmisc.sty
+Package: footmisc 2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities
+\FN@temptoken=\toks28
+\footnotemargin=\dimen128
+\c@pp@next@reset=\count114
+\c@@fnserial=\count115
+Package footmisc Info: Declaring symbol style bringhurst on input line 817.
+Package footmisc Info: Declaring symbol style chicago on input line 818.
+Package footmisc Info: Declaring symbol style wiley on input line 819.
+Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport-robust on input line 823.
+
+Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport* on input line 831.
+Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport*-robust on input line 840
+.
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphicx.sty
+Package: graphicx 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty
+Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
+\KV@toks@=\toks29
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphics.sty
+Package: graphics 2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/trig.sty
+Package: trig 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
+) (/etc/texmf/tex/latex/config/graphics.cfg
+File: graphics.cfg 2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
+)
+Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 90.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def
+File: pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
+\Gread@gobject=\count116
+))
+\Gin@req@height=\dimen129
+\Gin@req@width=\dimen130
+)
+
+LaTeX Warning: You have requested, on input line 131, version
+               `2006/02/20' of package graphicx,
+               but only version
+               `1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)'
+               is available.
+
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/caption/caption.sty
+Package: caption 2007/01/07 v3.0k Customising captions (AR)
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/caption/caption3.sty
+Package: caption3 2007/01/07 v3.0k caption3 kernel (AR)
+\captionmargin=\dimen131
+\captionmarginx=\dimen132
+\captionwidth=\dimen133
+\captionindent=\dimen134
+\captionparindent=\dimen135
+\captionhangindent=\dimen136
+)
+Package caption Info: longtable package v3.15 (or newer) detected on input line
+ 359.
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/calc.sty
+Package: calc 2005/08/06 v4.2 Infix arithmetic (KKT,FJ)
+\calc@Acount=\count117
+\calc@Bcount=\count118
+\calc@Adimen=\dimen137
+\calc@Bdimen=\dimen138
+\calc@Askip=\skip55
+\calc@Bskip=\skip56
+LaTeX Info: Redefining \setlength on input line 75.
+LaTeX Info: Redefining \addtolength on input line 76.
+\calc@Ccount=\count119
+\calc@Cskip=\skip57
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/fancyhdr/fancyhdr.sty
+\fancy@headwidth=\skip58
+\f@ncyO@elh=\skip59
+\f@ncyO@erh=\skip60
+\f@ncyO@olh=\skip61
+\f@ncyO@orh=\skip62
+\f@ncyO@elf=\skip63
+\f@ncyO@erf=\skip64
+\f@ncyO@olf=\skip65
+\f@ncyO@orf=\skip66
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/geometry/geometry.sty
+Package: geometry 2002/07/08 v3.2 Page Geometry
+\Gm@cnth=\count120
+\Gm@cntv=\count121
+\c@Gm@tempcnt=\count122
+\Gm@bindingoffset=\dimen139
+\Gm@wd@mp=\dimen140
+\Gm@odd@mp=\dimen141
+\Gm@even@mp=\dimen142
+\Gm@dimlist=\toks30
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/xelatex/xetexconfig/geometry.cfg)) (/usr/share/te
+xmf-texlive/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
+Package: hyperref 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
+\@linkdim=\dimen143
+\Hy@linkcounter=\count123
+\Hy@pagecounter=\count124
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/pd1enc.def
+File: pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
+) (/etc/texmf/tex/latex/config/hyperref.cfg
+File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty
+Package: kvoptions 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (
+HO)
+)
+Package hyperref Info: Option `hyperfootnotes' set `false' on input line 2238.
+Package hyperref Info: Option `bookmarks' set `true' on input line 2238.
+Package hyperref Info: Option `linktocpage' set `false' on input line 2238.
+Package hyperref Info: Option `pdfdisplaydoctitle' set `true' on input line 223
+8.
+Package hyperref Info: Option `pdfpagelabels' set `true' on input line 2238.
+Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 2238.
+Package hyperref Info: Option `colorlinks' set `true' on input line 2238.
+Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 2288.
+Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 2293.
+Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 2296.
+Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 2303.
+Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 2308.
+Implicit mode ON; LaTeX internals redefined
+Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 2444.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/url.sty
+\Urlmuskip=\muskip11
+Package: url 2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
+)
+LaTeX Info: Redefining \url on input line 2599.
+\Fld@menulength=\count125
+\Field@Width=\dimen144
+\Fld@charsize=\dimen145
+\Choice@toks=\toks31
+\Field@toks=\toks32
+Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 3102.
+Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 3107.
+Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 3110.
+Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 3117.
+Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 3120.
+\Hy@abspage=\count126
+\c@Item=\count127
+)
+*hyperref using driver hpdftex*
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hpdftex.def
+File: hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
+\Fld@listcount=\count128
+)
+\TmpLen=\skip67
+\c@FigNo=\count129
+\@indexfile=\write3
+\openout3 = `36310-t.idx'.
+
+Writing index file 36310-t.idx
+\c@ChapNo=\count130
+(./36310-t.aux)
+\openout1 = `36310-t.aux'.
+
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 487.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 487.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 487.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 487.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 487.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 487.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 487.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 487.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 487.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 487.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 487.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 487.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for LGR/cmr/m/n on input line 487.
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for LGR+cmr on input line 487.
+
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/lgrcmr.fd
+File: lgrcmr.fd 2001/01/30 v2.2e Greek Computer Modern
+)
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 487.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 487.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 487.
+(/usr/share/texmf/tex/context/base/supp-pdf.tex
+[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).]
+\scratchcounter=\count131
+\scratchdimen=\dimen146
+\scratchbox=\box58
+\nofMPsegments=\count132
+\nofMParguments=\count133
+\everyMPshowfont=\toks33
+\MPscratchCnt=\count134
+\MPscratchDim=\dimen147
+\MPnumerator=\count135
+\everyMPtoPDFconversion=\toks34
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ragged2e/ragged2e.sty
+Package: ragged2e 2003/03/25 v2.04 ragged2e Package (MS)
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/everysel/everysel.sty
+Package: everysel 1999/06/08 v1.03 EverySelectfont Package (MS)
+LaTeX Info: Redefining \selectfont on input line 125.
+)
+\CenteringLeftskip=\skip68
+\RaggedLeftLeftskip=\skip69
+\RaggedRightLeftskip=\skip70
+\CenteringRightskip=\skip71
+\RaggedLeftRightskip=\skip72
+\RaggedRightRightskip=\skip73
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+\JustifyingParfillskip=\skip77
+\CenteringParindent=\skip78
+\RaggedLeftParindent=\skip79
+\RaggedRightParindent=\skip80
+\JustifyingParindent=\skip81
+)
+Package caption Info: hyperref package v6.74m (or newer) detected on input line
+ 487.
+-------------------- Geometry parameters
+paper: class default
+landscape: --
+twocolumn: --
+twoside: true
+asymmetric: --
+h-parts: 9.03374pt, 325.215pt, 9.03375pt
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+driver: pdftex
+-------------------- Page layout dimensions and switches
+\paperwidth  343.28249pt
+\paperheight 505.89pt
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+\mag 1000
+\@twosidetrue \@mparswitchtrue 
+(1in=72.27pt, 1cm=28.45pt)
+-----------------------
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/color.sty
+Package: color 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
+(/etc/texmf/tex/latex/config/color.cfg
+File: color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
+)
+Package color Info: Driver file: pdftex.def on input line 130.
+)
+Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 487.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/nameref.sty
+Package: nameref 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/refcount.sty
+Package: refcount 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
+)
+\c@section@level=\count136
+)
+LaTeX Info: Redefining \ref on input line 487.
+LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 487.
+(./36310-t.out) (./36310-t.out)
+\@outlinefile=\write4
+\openout4 = `36310-t.out'.
+
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+cmtt on input line 497.
+
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1cmtt.fd
+File: t1cmtt.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
+)
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msa on input line 519.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
+File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
+)
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msb on input line 519.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
+File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
+)
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+rsfs on input line 519.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/jknapltx/ursfs.fd
+File: ursfs.fd 1998/03/24 rsfs font definition file (jk)
+) [1
+
+{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2
+
+] <./images/006.png, id=99, 289.08pt x 337.26pt>
+File: ./images/006.png Graphic file (type png)
+<use ./images/006.png> [1
+
+ <./images/006.png (PNG copy)>] [2
+
+] [3
+
+] [4] [5] [6]
+Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 777--779
+
+ []
+
+[7] (./36310-t.toc)
+\tf@toc=\write5
+\openout5 = `36310-t.toc'.
+
+[8
+
+] [1
+
+
+] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17
+
+] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28
+
+] [29] [30] <./images/037.png, id=307, 1092.08pt x 908.39375pt>
+File: ./images/037.png Graphic file (type png)
+<use ./images/037.png> [31 <./images/037.png (PNG copy)>] [32] <./images/039.pn
+g, id=323, 1148.29pt x 720.6925pt>
+File: ./images/039.png Graphic file (type png)
+<use ./images/039.png> [33] [34 <./images/039.png (PNG copy)>] [35] [36] [37] [
+38] [39] [40] [41] [42] <./images/046.png, id=373, 1092.08pt x 1065.9825pt>
+File: ./images/046.png Graphic file (type png)
+<use ./images/046.png> [43] [44 <./images/046.png (PNG copy)>] <./images/048.pn
+g, id=389, 1062.97125pt x 599.23875pt>
+File: ./images/048.png Graphic file (type png)
+<use ./images/048.png> [45] [46 <./images/048.png (PNG copy)>] [47
+
+] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [6
+3] [64] [65] [66
+
+] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [8
+2] [83] [84] [85] [86]
+Underfull \hbox (badness 2245) in paragraph at lines 3536--3594
+\T1/cmr/m/n/12 Wahr-schein-lich-keits-be-griff zu den sta-tis-ti-schen Er-geb-n
+is-sen
+ []
+
+
+Underfull \hbox (badness 1052) in paragraph at lines 3536--3594
+\T1/cmr/m/n/12 durch einen Satz ge-fun-den, der als das B e r -n o u l -l i -s 
+c h e
+ []
+
+[87] [88] [89] [90] [91] [92
+
+] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] 
+<./images/094.png, id=692, 843.15pt x 372.39125pt>
+File: ./images/094.png Graphic file (type png)
+<use ./images/094.png> [107] [108 <./images/094.png (PNG copy)>] [109] [110] [1
+11] [112] [113] [114] <./images/100.png, id=739, 635.37375pt x 575.14874pt>
+File: ./images/100.png Graphic file (type png)
+<use ./images/100.png> [115] [116 <./images/100.png (PNG copy)>] [117] [118]
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+euf on input line 4543.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/ueuf.fd
+File: ueuf.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
+) [119] [120] [121] [122] [123
+
+] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133]
+
+LaTeX Warning: Command \ss invalid in math mode on input line 5065.
+
+Missing character: There is no ÿ in font cmr12!
+[134] [135] [136] [137]
+Overfull \hbox (2.90742pt too wide) in paragraph at lines 5220--5220
+[] 
+ []
+
+[138] [139] [140] [141] <./images/120.png, id=891, 1178.4025pt x 689.57625pt>
+File: ./images/120.png Graphic file (type png)
+<use ./images/120.png> [142
+
+] [143 <./images/120.png (PNG copy)>] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150]
+[151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [
+164] [165] [166]
+Underfull \hbox (badness 1603) in paragraph at lines 6202--6204
+[]\T1/cmr/m/n/12 Die re-la-ti-ve Häu-fig-keit des Ge-sam-ter-eig-nis-ses ent-st
+eht
+ []
+
+[167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [
+180
+
+] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188]
+
+LaTeX Font Warning: Command \small invalid in math mode on input line 6943.
+
+[189]
+
+LaTeX Font Warning: Command \small invalid in math mode on input line 7026.
+
+
+Overfull \hbox (0.4068pt too wide) detected at line 7043
+[]
+ []
+
+[190] [191] [192] [193] <./images/159.png, id=1195, 918.43124pt x 515.9275pt>
+File: ./images/159.png Graphic file (type png)
+<use ./images/159.png> [194] [195 <./images/159.png (PNG copy)>] [196] [197] [1
+98] <./images/163.png, id=1222, 791.95876pt x 640.3925pt>
+File: ./images/163.png Graphic file (type png)
+<use ./images/163.png> [199] [200] [201 <./images/163.png (PNG copy)>]
+
+LaTeX Font Warning: Command \footnotesize invalid in math mode on input line 74
+83.
+
+
+Overfull \hbox (9.468pt too wide) detected at line 7520
+[]
+ []
+
+<./images/165.png, id=1243, 794.97pt x 1264.725pt>
+File: ./images/165.png Graphic file (type png)
+<use ./images/165.png>
+Overfull \hbox (2.61049pt too wide) in paragraph at lines 7481--7528
+[]$[]$  $[]$ 
+ []
+
+[202] [203 <./images/165.png (PNG copy)>] [204] [205] [206
+
+] [207
+
+] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220]
+
+Underfull \hbox (badness 1281) in paragraph at lines 8103--8129
+\T1/cmr/m/n/12 dung []der Wahr-schein-lich-keits-rech-nung auf die Wirk-lich-ke
+it
+ []
+
+[221] [222] [223] [224] [225] (./36310-t.ind [226
+
+
+]) [227] [228
+
+] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] (./36310-t.aux)
+
+ *File List*
+    book.cls    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
+   leqno.clo    1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers)
+    bk12.clo    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
+inputenc.sty    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
+  latin1.def    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
+ fontenc.sty
+   t1enc.def    2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
+   babel.sty    2005/11/23 v3.8h The Babel package
+   greek.ldf    2005/03/30 v1.3l Greek support from the babel system
+  lgrenc.def    2001/01/30 v2.2e Greek Encoding
+ngermanb.ldf    2004/02/20 v2.6m new German support from the babel system
+ amsmath.sty    2000/07/18 v2.13 AMS math features
+ amstext.sty    2000/06/29 v2.01
+  amsgen.sty    1999/11/30 v2.0
+  amsbsy.sty    1999/11/29 v1.2d
+  amsopn.sty    1999/12/14 v2.01 operator names
+ amssymb.sty    2002/01/22 v2.2d
+amsfonts.sty    2001/10/25 v2.2f
+mathrsfs.sty    1996/01/01 Math RSFS package v1.0 (jk)
+  ifthen.sty    2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
+   alltt.sty    1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
+indentfirst.sty    1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC)
+ makeidx.sty    2000/03/29 v1.0m Standard LaTeX package
+multicol.sty    2006/05/18 v1.6g multicolumn formatting (FMi)
+   array.sty    2005/08/23 v2.4b Tabular extension package (FMi)
+longtable.sty    2004/02/01 v4.11 Multi-page Table package (DPC)
+multirow.sty    
+    soul.sty    2003/11/17 v2.4 letterspacing/underlining (mf)
+footmisc.sty    2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities
+graphicx.sty    1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+  keyval.sty    1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
+graphics.sty    2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+    trig.sty    1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
+graphics.cfg    2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
+  pdftex.def    2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
+ caption.sty    2007/01/07 v3.0k Customising captions (AR)
+caption3.sty    2007/01/07 v3.0k caption3 kernel (AR)
+    calc.sty    2005/08/06 v4.2 Infix arithmetic (KKT,FJ)
+fancyhdr.sty    
+geometry.sty    2002/07/08 v3.2 Page Geometry
+geometry.cfg
+hyperref.sty    2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
+  pd1enc.def    2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
+hyperref.cfg    2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
+kvoptions.sty    2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (HO
+)
+     url.sty    2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
+ hpdftex.def    2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
+  lgrcmr.fd    2001/01/30 v2.2e Greek Computer Modern
+supp-pdf.tex
+ragged2e.sty    2003/03/25 v2.04 ragged2e Package (MS)
+everysel.sty    1999/06/08 v1.03 EverySelectfont Package (MS)
+   color.sty    2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
+   color.cfg    2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
+ nameref.sty    2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
+refcount.sty    2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
+ 36310-t.out
+ 36310-t.out
+  t1cmtt.fd    1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
+    umsa.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
+    umsb.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
+   ursfs.fd    1998/03/24 rsfs font definition file (jk)
+./images/006.png
+./images/037.png
+./images/039.png
+./images/046.png
+./images/048.png
+./images/094.png
+./images/100.png
+    ueuf.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
+./images/120.png
+./images/159.png
+./images/163.png
+./images/165.png
+ 36310-t.ind
+ ***********
+
+ ) 
+Here is how much of TeX's memory you used:
+ 6819 strings out of 94074
+ 90538 string characters out of 1165154
+ 163914 words of memory out of 1500000
+ 9432 multiletter control sequences out of 10000+50000
+ 29942 words of font info for 83 fonts, out of 1200000 for 2000
+ 645 hyphenation exceptions out of 8191
+ 34i,18n,45p,274b,588s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s
+{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc} </home/ajhaines/.
+texmf-var/fonts/pk/ljfour/public/cb/grmn1200.600pk></usr/share/texmf-texlive/fo
+nts/type1/bluesky/cm/cmex10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/c
+m/cmmi10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi12.pfb></usr/
+share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi6.pfb></usr/share/texmf-texlive/
+fonts/type1/bluesky/cm/cmmi7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/
+cm/cmmi8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr10.pfb></usr/s
+hare/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr12.pfb></usr/share/texmf-texlive/f
+onts/type1/bluesky/cm/cmr6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm
+/cmr7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr8.pfb></usr/share
+/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texmf-texlive/font
+s/type1/bluesky/cm/cmsy6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/c
+msy8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/ams/eufm10.pfb></usr/sha
+re/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/ams/eufm7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fo
+nts/type1/public/cmex/fmex8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/hoekwater
+/rsfs/rsfs10.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1200.pfb></u
+sr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1440.pfb></usr/share/texmf/fonts
+/type1/public/cm-super/sfbx1728.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-sup
+er/sfbx2074.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx2488.pfb></us
+r/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfcc1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/
+type1/public/cm-super/sfrm0700.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-supe
+r/sfrm0800.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1000.pfb></usr
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@@ -0,0 +1,9492 @@
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+%                                                                         %
+% The Project Gutenberg EBook of Die Analyse des Zufalls, by              %
+% H. E. (Heinrich Emil) Timerding                                         %
+%                                                                         %
+% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with        %
+% almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or    %
+% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included     %
+% with this eBook or online at www.gutenberg.net                          %
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+% Title: Die Analyse des Zufalls                                          %
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+% Author: H. E. (Heinrich Emil) Timerding                                 %
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+% Release Date: June 6, 2011 [EBook #36310]                               %
+%                                                                         %
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+% Character set encoding: ISO-8859-1                                      %
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+% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK DIE ANALYSE DES ZUFALLS ***   %
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+%% Packages and substitutions:                                      %%
+%%                                                                  %%
+%% book:     Required.                                              %%
+%% inputenc: Standard DP encoding. Required.                        %%
+%% fontenc:  Enables German hyphenation. Required.                  %%
+%% babel:    German language Hyphenation. Required.                 %%
+%%                                                                  %%
+%% amsmath:  AMS mathematics enhancements. Required.                %%
+%% amssymb:  Additional mathematical symbols. Required.             %%
+%% mathrsfs: Math script font. Required.                            %%
+%%                                                                  %%
+%% ifthen:   Logical conditionals. Required.                        %%
+%% alltt:    Fixed-width font environment. Required.                %%
+%% indentfirst: Indent first word of each sectional unit. Optional. %%
+%%                                                                  %%
+%% makeidx:  Indexing. Required.                                    %%
+%% multicol: Multi-column formatting for index. Required.           %%
+%%                                                                  %%
+%% array:    Array enhancements. Required.                          %%
+%% longtable: Multi-page tables. Required.                          %%
+%% multirow: Multi-row table entries. Required.                     %%
+%%                                                                  %%
+%% soul:     Gesperrt text. Optional.                               %%
+%% footmisc: Extended footnote capabilities. Required.              %%
+%%                                                                  %%
+%% graphicx: Graphics inclusion. Required.                          %%
+%% caption:  Caption enhancements. Required.                        %%
+%%                                                                  %%
+%% calc:     Infix arithmetic. Required.                            %%
+%%                                                                  %%
+%% fancyhdr: Enhanced running headers and footers. Required.        %%
+%%                                                                  %%
+%% geometry: Enhanced page layout package. Required.                %%
+%% hyperref: Hypertext embellishments for pdf output. Required.     %%
+%%                                                                  %%
+%% Compilation Flags:                                               %%
+%%                                                                  %%
+%%   The following behavior may be controlled by boolean flags.     %%
+%%                                                                  %%
+%%   ForPrinting (false by default):                                %%
+%%   Compile a screen-optimized PDF file. Set to true for print-    %%
+%%   optimized file (two-sided layout, black hyperlinks).           %%
+%%                                                                  %%
+%% Summary of log file:                                             %%
+%%   Four harmless overfull hboxes, six harmless underfull hboxes.  %%
+%%                                                                  %%
+%%                                                                  %%
+%% PDF pages: 245                                                   %%
+%%                                                                  %%
+%% Compile History:                                                 %%
+%%                                                                  %%
+%% May 2011 (adhere). Compiled with pdflatex:                       %%
+%%         [pdfeTeX, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6)]         %%
+%%                                                                  %%
+%%    pdflatex x2                                                   %%
+%%    makeindex                                                     %%
+%%    pdflatex x2                                                   %%
+%%                                                                  %%
+%%                                                                  %%
+%% June 2011: pglatex.                                              %%
+%%   Compile this project with:                                     %%
+%%   pdflatex 36310-t.tex ..... TWO times                           %%
+%%   makeindex 36310-t.idx                                          %%
+%%   pdflatex 36310-t.tex ..... TWO times                           %%
+%%                                                                  %%
+%%   pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6)                 %%
+%%                                                                  %%
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\listfiles
+\documentclass[12pt,leqno]{book}[2005/09/16]
+\usepackage[latin1]{inputenc}[2006/05/05]
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage[greek,ngerman]{babel}[2005/11/23]
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+\usepackage{amsmath}[2000/07/18]
+\usepackage{amssymb}[2002/01/22]
+\usepackage{mathrsfs}[1996/01/01]
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+\usepackage{ifthen}[2001/05/26]  %% Logical conditionals
+\usepackage{alltt}[1997/06/16]
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+\IfFileExists{indentfirst.sty}{%
+  \usepackage{indentfirst}[1995/11/23]
+}{}
+
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+}{%
+  %% else change gesperrt to italics, which are not used elsewhere
+  \newcommand\so[1]{\textit{#1}}%
+}
+
+\usepackage[perpage]{footmisc}[2005/03/17]
+
+\usepackage{graphicx}[2006/02/20]
+\usepackage[font=small,justification=centerfirst,labelformat=empty]{caption}[2007/01/07]
+
+\usepackage{calc}[2005/08/06]
+
+\usepackage{fancyhdr}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%%%% Interlude:  Set up PRINTING (default) or SCREEN VIEWING %%%%
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+% ForPrinting=true (default)           false
+% Asymmetric margins                   Symmetric margins
+% Black hyperlinks                     Blue hyperlinks
+% Start Preface, ToC, etc. recto       No blank verso pages
+%
+% Chapter-like ``Sections'' start both recto and verso in the scanned
+% book. This behavior has been retained.
+\newboolean{ForPrinting}
+
+%% UNCOMMENT the next line for a PRINT-OPTIMIZED VERSION of the text %%
+%\setboolean{ForPrinting}{true}
+
+%% Initialize values to ForPrinting=false
+\newcommand{\Margins}{hmarginratio=1:1}     % Symmetric margins
+\newcommand{\HLinkColor}{blue}              % Hyperlink color
+\newcommand{\PDFPageLayout}{SinglePage}
+\newcommand{\TransNote}{Anmerkungen der Korrekturleser}
+\newcommand{\TransNoteCommon}{%
+  Ein Exemplar des Originals wurde dankenswerterweise von der Cornell
+  University Library: Historical Mathematics Monographs Collection
+  zur Verf�gung gestellt.
+  \bigskip
+
+  Kleinere typographische Korrekturen und �nderungen der Formatierung
+  wurden stillschweigend vorgenommen.
+  \bigskip
+}
+
+\newcommand{\TransNoteText}{%
+  \TransNoteCommon
+
+  Diese PDF-Datei wurde f�r die Anzeige auf einem Bildschirm
+  optimiert, kann bei Bedarf aber leicht f�r den Druck angepasst
+  werden. Anweisungen dazu finden Sie am Anfang des
+  LaTeX-Quelltextes.
+}
+%% Re-set if ForPrinting=true
+\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{%
+  \renewcommand{\Margins}{hmarginratio=2:3} % Asymmetric margins
+  \renewcommand{\HLinkColor}{black}         % Hyperlink color
+  \renewcommand{\PDFPageLayout}{TwoPageRight}
+  \renewcommand{\TransNote}{Transcriber's Note}
+  \renewcommand{\TransNoteText}{%
+    \TransNoteCommon
+
+    Diese PDF-Datei wurde f�r den Druck optimiert, kann bei Bedarf
+    aber leicht f�r den Bildschirm angepasst werden. Anweisungen dazu
+    finden Sie am Anfang des LaTeX-Quelltextes.
+  }
+}{}
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%%%%  End of PRINTING/SCREEN VIEWING code; back to packages  %%%%
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{%
+  \setlength{\paperwidth}{8.5in}%
+  \setlength{\paperheight}{11in}%
+  \usepackage[body={5in,8in},\Margins]{geometry}[2002/07/08]
+}{% else, if ForPrinting=false
+  \setlength{\paperwidth}{4.75in}%
+  \setlength{\paperheight}{7in}%
+  \renewcommand{\cleardoublepage}{\clearpage}
+  \raggedbottom
+  \usepackage[body={4.5in,6in},\Margins,includeheadfoot]{geometry}[2002/07/08]
+}
+
+\providecommand{\ebook}{00000}    % Overridden during white-washing
+\usepackage[pdftex,
+  hyperfootnotes=false,
+  pdftitle={The Project Gutenberg eBook \#\ebook: Die Analyse des Zufalls},
+  pdfauthor={H. E. Timerding},
+  pdfkeywords={Andrew D. Hwang, Ralf Stephan, Joshua Hutchinson,
+               Project Gutenberg Online Distributed Proofreading Team,
+               Cornell University Library Historical Mathematical Monographs Collection},
+  pdfstartview=Fit,    % default value
+  pdfstartpage=1,      % default value
+  pdfpagemode=UseNone, % default value
+  bookmarks=true,      % default value
+  linktocpage=false,   % default value
+  pdfpagelayout=\PDFPageLayout,
+  pdfdisplaydoctitle,
+  pdfpagelabels=true,
+  bookmarksopen=true,
+  bookmarksopenlevel=1,
+  colorlinks=true,
+  linkcolor=\HLinkColor]{hyperref}[2007/02/07]
+
+%%%% Fixed-width environment to format PG boilerplate %%%%
+\newenvironment{PGtext}{%
+\begin{alltt}
+\fontsize{8.1}{9}\ttfamily\selectfont}%
+{\end{alltt}}
+
+%% Miscellaneous spacing parameters
+\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
+\setlength{\headheight}{15pt}
+
+\setlength{\textfloatsep}{12pt plus 4pt}
+
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+\setlength{\parindent}{2em}
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+\newcommand{\aaO}{a.\;a.\;O.}
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+% Set column heads followed by one or two normal-width \vlines
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+
+% Same, but followed with a thick \vline
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+\newcounter{FigNo}
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+% Equation numbers: anchors and links
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+\newcommand{\Eqref}[1]{\hyperref[eqn:\theChapNo:#1]{#1}}
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+% Miscellaneous notational conveniences
+\DeclareInputMath{183}{\cdot}
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+\newcommand{\Int}{\displaystyle\int}%[** TN: Original uses {\int\limits}]
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+\DeclareMathOperator{\tang}{tang}
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+
+%%%% Begin document %%%%
+\begin{document}
+
+\pagestyle{empty}
+\pagenumbering{Alph}
+\BookMark{-1}{Anfang}
+%%%% PG BOILERPLATE %%%%
+\BookMark{0}{PG Titelblatt}
+\begin{center}
+\begin{minipage}{\textwidth}
+\small
+\begin{PGtext}
+The Project Gutenberg EBook of Die Analyse des Zufalls, by 
+H. E. (Heinrich Emil) Timerding
+
+This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
+almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or
+re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included
+with this eBook or online at www.gutenberg.net
+
+
+Title: Die Analyse des Zufalls
+
+Author: H. E. (Heinrich Emil) Timerding
+
+Release Date: June 6, 2011 [EBook #36310]
+
+Language: German
+
+Character set encoding: ISO-8859-1
+
+*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK DIE ANALYSE DES ZUFALLS ***
+\end{PGtext}
+\end{minipage}
+\end{center}
+\clearpage
+%%%% Credits %%%%
+\begin{center}
+\begin{minipage}{\textwidth}
+\begin{PGtext}
+Produced by Andrew D. Hwang, R. Stephan, Joshua Hutchinson,
+and the Online Distributed Proofreading Team at
+http://www.pgdp.net. (This ebook was produced using images
+provided by the Cornell University Library Historical
+Mathematics Monographs collection.)
+\end{PGtext}
+\end{minipage}
+\end{center}
+\vfill
+\begin{minipage}{0.85\textwidth}
+\small
+\BookMark{0}{Anmerkungen zur Transkription}
+\subsection*{\centering\normalfont\scshape%
+\normalsize\MakeLowercase{\TransNote}}%
+\raggedright
+\TransNoteText
+\end{minipage}
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FRONT MATTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\DPPageSep{001}{}
+%[Blank Page]
+\DPPageSep{002}{}
+%[Blank Page]
+\DPPageSep{003}{}
+%[** Library stamp]
+\iffalse
+Cornell University Library
+
+BOUGHT WITH THE INCOME OF THE
+SAGE ENDOWMENT FUND
+THE GIFT OF
+Henry W. Sage
+1891
+MATHEMATICS
+\fi
+\DPPageSep{004}{}
+%[Blank Page]
+\DPPageSep{005}{i}
+\frontmatter
+\pagenumbering{Roman}
+%[Blank Page]
+\DPPageSep{006}{ii}
+%title page
+\begin{center}
+%[** TN: Hard-coded inter-word space to coax alignment of second argument]
+\TitleBox{DIE\quad WISSENSCHAFT}
+  {SAMMLUNG VON EINZELDARSTELLUNGEN AUS DEN GEBIETEN
+  DER NATURWISSENSCHAFT UND DER TECHNIK}{BAND 56}
+\vfill
+
+\textbf{\Large H. E. TIMERDING}
+\medskip
+
+\tb
+\bigskip
+
+\textbf{\LARGE DIE ANALYSE DES ZUFALLS}
+\vfill
+
+\footnotesize
+MIT 10 ABBILDUNGEN
+\vfill
+%[** publisher's device]
+\includegraphics[width=3cm]{./images/006.png}
+\vfill
+
+\textbf{\large BRAUNSCHWEIG}
+\medskip
+
+DRUCK UND VERLAG VON FRIEDR. VIEWEG \&~SOHN
+\medskip
+
+\normalsize
+1915
+\end{center}
+\clearpage
+\DPPageSep{007}{iii}
+%[** TN: Omit second title page]
+\iffalse
+DIE ANALYSE DES ZUFALLS
+
+VON
+
+H. E. TIMERDING
+
+MIT 10 ABBILDUNGEN
+
+BRAUNSCHWEIG
+
+DRUCK UND VERLAG VON FRIEDR. VIEWEG \& SOHN
+
+1915
+\fi
+\DPPageSep{008}{iv}
+%copyright page
+\null\vfill
+\begin{center}
+\hrule
+\footnotesize
+\bigskip
+Alle Rechte, \\
+namentlich das Recht der �bersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten.
+\tb
+
+Copyright, 1915, by \so{Friedr}.\ \so{Vieweg} \&~\so{Sohn}, \\
+Braunschweig, Germany.
+\bigskip
+
+\hrule
+\end{center}
+\vfill
+\DPPageSep{009}{v}
+
+
+\Vorwort
+
+Das Problem des Zufalls ist an sich ein metaphysisches
+Problem. Es ist es wenigstens, wenn wir Metaphysik als die
+Theorie des Geschehens auffassen. Die Behandlung des Zufalls
+scheint daher auch nur nach den alten metaphysischen
+Methoden m�glich, n�mlich so, da� f�r das Geschehen in
+der Welt eine innerliche Erkl�rung gesucht wird. Je nachdem,
+wie diese Erkl�rung ausf�llt, wird die Existenz des Zufalls
+bejaht oder verneint werden. Auf diese Weise soll aber das
+Problem des Zufalls hier nicht behandelt werden. Vielmehr
+soll gerade die naturwissenschaftliche Methode auf dieses
+Problem angewendet werden. Diese Methode hat im Gegensatz
+zu der Metaphysik der alten Schulphilosophie das Bezeichnende,
+da� sie �ber den Bereich der Erfahrung nicht hinausgeht.
+Sie besteht zun�chst darin, da� die Erscheinungen, die sich
+unserer Erfahrung darbieten, sorgf�ltig beobachtet und geordnet
+werden, indem wir verwandte Erscheinungen zusammenfassen,
+das Gemeinsame an ihnen herausheben und,
+wenn wir eine st�ndige Wiederkehr einer gewissen Gemeinsamkeit
+beobachten, diese als eine Gesetzm��igkeit in den
+Erscheinungen aufzeichnen. Nach dieser Methode haben wir
+versucht auch hier vorzugehen. Es handelt sich dann nur
+darum, die Erscheinungen herauszugreifen, die wir als zuf�llige
+bezeichnen, und das Gemeinsame an ihnen zu suchen.
+Dieses Gemeinsame w�rde innerhalb der Grenzen der Beobachtung
+das Wesen des Zufalls ausmachen.
+
+Die naturwissenschaftliche Methode geht aber doch noch
+weiter, indem sie sich ein bestimmtes Bild von den Vorg�ngen
+zu machen sucht, die als von gleicher Art zusammengefa�t
+werden. Dieses wird erreicht, indem man einen besonders
+\DPPageSep{010}{vi}
+einfachen oder �bersichtlichen Vorgang unter den
+zu einer Gruppe zusammengefa�ten herausgreift oder indem
+man zu den wirklich beobachteten noch einen erdichteten
+Vorgang, ein schematisches Bild, das alle gemeinsamen Z�ge
+der wirklich beobachteten Vorg�nge zeigt, hinzuf�gt. Auf
+der Herstellung solcher schematischer Bilder beruht wesentlich
+die Anwendung der Mathematik auf Naturvorg�nge.
+Diese Anwendung der Mathematik bildet auch f�r uns den
+Hauptzielpunkt. Deswegen sind wir auch hier auf die Herstellung
+schematischer Bilder f�r die als zuf�llig bezeichneten
+Vorg�nge angewiesen. Auf ihnen baut sich die sogenannte
+Wahrscheinlichkeitsrechnung auf, so wie sie sich
+im Laufe der drei letzten Jahrhunderte entwickelt hat. Bei
+dieser Entwickelung sind allerdings lange Zeit auch ontologische
+Gesichtspunkte ma�gebend gewesen, wenngleich
+dies selten unumwunden einger�umt wurde. Erst die um
+die Mitte des vorigen Jahrhunderts (man kann sagen, mit
+J.~F.~\so{Fries}' Versuch einer Kritik der Prinzipien der Wahrscheinlichkeitsrechnung,
+\index{Fries@Fries, J. F.}%
+Braunschweig~1842) einsetzende
+Kritik hat nach und nach die ontologischen Bestandteile
+als solche erkannt und nach M�glichkeit ausgeschieden.
+
+Die Begriffe sind aber auch heute noch nicht so gekl�rt,
+da� sie keiner weiteren Er�rterung mehr bed�rfen. Deswegen
+schien es in der vorliegenden Darstellung geboten,
+mit der gr��ten Vorsicht vorzugehen und den begrifflichen
+Er�rterungen einen breiteren Raum zu gew�hren. So sind,
+rein �u�erlich genommen, die mathematischen Entwickelungen
+nur auf einen kleinen Teil des Buches beschr�nkt,
+und hierin liegt vielleicht ein gewisser Vorzug, da auf diese
+Weise auch der Leser, der in der Mathematik weniger zu
+Hause ist, auf seine Rechnung kommen kann, wenn er nur
+die wenigen Kapitel, welche die eigentlichen analytischen
+Entwickelungen enthalten, �berschl�gt. Was das Buch an
+\DPPageSep{011}{vii}
+begrifflicher Kl�rung zu geben sucht, wird er auch so im
+vollen Umfange finden. �ber ein gewisses Ma� hinaus lie�en
+sich leider die mathematischen Ableitungen nicht vereinfachen.
+Ich habe sie auf das Notwendigste beschr�nkt und
+mich bem�ht, nur die gew�hnlichsten Elemente der h�heren
+Analysis als bekannt vorauszusetzen, und wenn jemand sich
+die M�he machen sollte, das, was er an analytischen Entwickelungen
+hier findet, durch die Literatur hindurch zu verfolgen,
+so wird er feststellen k�nnen, da� durch diese kurze
+Zusammenfassung immerhin eine ziemliche Vereinfachung
+erreicht ist. Es ist kaum m�glich, ohne eigene erg�nzende
+Arbeit sich durch die uns�glich verwickelten und umfangreichen
+Ableitungen hindurch zu winden, die an keiner
+Stelle vereinigt sind und deren Resultate meist benutzt
+werden, ohne auf die Ableitung selbst noch einmal einzugehen.
+Dadurch geht aber die wirkliche �bersicht �ber den mathematischen
+Gehalt dieser Theorie verloren, und eine solche
+�bersicht auf m�glichst knappem Raum zu geben, schien
+nicht ohne Verdienst zu sein.
+
+Es ist vielleicht gut, noch einmal zu wiederholen, da�
+es sich hier nicht um eine Darstellung des Inhaltes der
+Wahrscheinlichkeitsrechnung und auch nicht der Disziplin,
+die wir seit \so{Fechners} grundlegendem Werke als Kollektivma�lehre
+bezeichnen, handelt, sondern da� wirklich nur die
+Kl�rung eines bestimmten Begriffes die Aufgabe sein soll.
+Hierbei schien es n�tig, den rein kritischen Standpunkt
+m�glichst zu wahren, selbst wenn auf diese Weise die schlie�lich
+gewonnenen Resultate in ihrer philosophischen Bedeutung
+hinter den Erwartungen manches Lesers zur�ckbleiben.
+Andererseits darf man doch behaupten, da� sich kaum
+irgendwo eine Gelegenheit findet, in das Wesen der Dinge
+durch exakte Methoden so tief einzudringen wie hier. Es
+fragt sich nur, mit welcher Stufe der Erkenntnis man sich
+\DPPageSep{012}{viii}
+zufrieden geben will. Je kritischer ein Mensch gestimmt
+ist, um so bescheidener und zur�ckhaltender wird er sein,
+wenn er sich das Eindringen in die Ordnung der Natur zur
+Aufgabe macht.
+
+Bei den Grenzen, die dem Umfang der vorliegenden
+Schrift gesteckt waren, lie� es sich nicht vermeiden, da�
+manches nur skizzenhaft geblieben ist. Vielleicht liegt hierin
+aber kein zu gro�er Fehler, da das Anregen zum eigenen
+Nachdenken doch die Hauptaufgabe bleiben mu� und die
+sehr breit gehaltene Darstellung der meisten Untersuchungen
+�ber die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung die
+leitenden Gesichtspunkte manchmal mehr verh�llt als klar
+hervortreten l��t. Die Literaturangaben, die ich mache,
+sollen in keiner Weise Vollst�ndigkeit beanspruchen, sie sollen
+nur den Anschlu� an die neueren literarischen Erscheinungen
+auf dem behandelten Gebiete zu erreichen suchen.
+
+Das Buch lag in der Handschrift vollendet vor, als der
+Krieg ausbrach. Was wir seither mit tiefer Ersch�tterung
+erfahren haben, hat uns eindringlicher als je "`des Zufalls
+grausende Wunder"' vor Augen gef�hrt, waltet er doch auch
+in der todbringenden Wirkung der Geschosse. Die Theorie
+des Zufalls, die wir hier entwickeln, hat in der Tat auf das
+Schie�wesen eine fruchtbare Anwendung gefunden. Ich
+will nur auf die beiden Werke: \so{Sabudski-Eberhard},
+\index{Sabudski-Eberhard}%
+Die Wahrscheinlichkeitsrechnung, ihre Anwendung auf das
+Schie�en und auf die Theorie des Einschie�ens, Stuttgart~1906,
+und \so{Kozak}, Theorie des Schie�wesens auf Grundlage der
+\index{Kozak}%
+Wahrscheinlichkeitsrechnung und Fehlertheorie, Wien~1908,
+verweisen.
+
+\Signature{\so{Braunschweig}, im Februar 1915.}{H.~E. Timerding.}
+\DPPageSep{013}{ix}
+
+\tableofcontents
+\iffalse
+Seite
+
+Erstes Kapitel:  Der Begriff des Zufalls ............  1
+
+Zweites Kapitel: Die statistische Methode ........... 13
+
+Drittes Kapitel: Station�re Zahlenreihen ........... 21
+
+Viertes Kapitel: Das "`Gesetz der gro�en Zahlen"' ....... 35
+
+F�nftes Kapitel: Die Theorie der Gl�cksspiele ......... 50
+
+Sechstes Kapitel: Die mathematische Analyse station�rer Reihen . 69
+
+Siebentes Kapitel: Das Urnenschema .............. 91
+
+Achtes Kapitel: N�herungsformeln .............. 105
+
+Neuntes Kapitel: Die statistische Theorie des Zufalls ...... 134
+
+Zehntes Kapitel: Die genetische Theorie des Zufalls ...... 154
+
+Namenverzeichnis ..................... 168
+\fi
+\DPPageSep{014}{x}
+%[Blank Page]
+\DPPageSep{015}{1}
+\mainmatter
+\BookMark{-1}{Hauptteil}
+
+
+\Chapter{Erstes Kapitel}{Der Begriff des Zufalls}
+
+Was wir als Analyse des Zufalls bezeichnen, bedeutet nicht
+den Versuch, in das innere Wesen der Zufallsereignisse an sich
+einzudringen, es bedeutet vielmehr den Nachweis, da� auch
+sie, wenn wir sie in ihrer Gesamtheit fassen, einer bestimmten
+methodischen Behandlung f�hig sind, und da� auch in diesen zun�chst
+jeder Gesetzm��igkeit zu spotten scheinenden Ereignissen
+eine gewisse Regelm��igkeit erkennbar ist, wenn wir nicht das
+einzelne Ereignis f�r sich, sondern den Einflu� aller gleich gearteten
+Ereignisse auf das Weltgeschehen ins Auge fassen. Da�
+das Wort Zufall den direkten Gegensatz zu Gesetzm��igkeit bedeutet,
+ist wohl die allgemeine Ansicht. Wir finden sie \zB~in
+\so{John Stuart Mill}s Logik (Buch~III, Kap.~17) klar ausgesprochen,
+\index{Mill@Mill, John Stuart|f}%
+wo es hei�t: "`Von Zufall wird gew�hnlich im direkten Gegensatz
+zu Gesetz gesprochen. Was, so sagt man, keinem Gesetz zugeschrieben
+werden kann, wird als zuf�llig angesehen. Es ist indessen
+gewi�, da� alles, was geschieht, das Resultat eines Gesetzes
+ist, \dh~die Wirkung von Ursachen, und aus einer Kenntnis des
+Vorhandenseins dieser Ursachen heraus und ihren Gesetzen gem��
+vorausgesagt h�tte werden k�nnen. Wenn wir eine bestimmte
+Karte ziehen, ist dies eine Folge von ihrer Lage in dem Haufen.
+Ihre Lage in dem Haufen war eine Folge von der Art, wie die
+Karten gemischt wurden oder der Reihenfolge, in der sie bei dem
+letzten Spiel ausgespielt wurden, und dies wieder Folgen fr�herer
+Ursachen. In jedem Stadium w�re es, wenn wir eine genaue
+Kenntnis der vorhandenen Ursachen besessen h�tten, m�glich gewesen,
+die Wirkung vorauszusagen.
+
+"`Ein zuf�llig eintretendes Ereignis l��t sich besser als ein
+Zusammentreffen beschreiben, aus dem wir keine Regelm��igkeit
+schlie�en k�nnen, also als das Eintreten einer Erscheinung unter
+\DPPageSep{016}{2}
+bestimmten Umst�nden, ohne da� wir Grund haben zu schlie�en,
+dieselbe Erscheinung w�rde unter diesen Umst�nden immer wieder
+eintreten. Wenn wir n�her zusehen, bedeutet dies aber, da� die
+Aufz�hlung der Umst�nde nicht vollst�ndig war. Was auch das
+Ereignis sei, wenn alle Umst�nde sich wiederholen, w�rde sich
+auch das Ereignis wiederholen, ja selbst dann, wenn nur die Umst�nde
+sich wiederholen, auf welche das Ereignis immer folgt. Mit
+den meisten der Umst�nde ist das Ereignis aber nicht best�ndig
+verkn�pft, ihre Verbindung mit ihm hei�t dann zuf�llig. Zuf�llig
+verkn�pfte Ereignisse sind einzeln die Wirkungen von Ursachen
+und deshalb von Gesetzen, aber von verschiedenen Ursachen und
+solchen, die unter sich durch kein Gesetz verkn�pft sind.
+
+"`Es ist deshalb unrichtig zu sagen, da� ein Ereignis durch
+Zufall herbeigef�hrt wird, aber wir k�nnen sagen, da� zwei oder
+mehr Ereignisse durch Zufall verkn�pft sind, da� sie nur durch
+Zufall zusammen bestehen oder aufeinander folgen, \dh~da� sie
+in keiner Weise urs�chlich verkn�pft sind, da� sie weder Ursache
+und Wirkung noch Wirkungen derselben Ursache noch Wirkungen
+unter sich gesetzm��ig verkn�pfter Ursachen sind."'
+
+Der Begriff erscheint hiermit zugleich in eine Form gebracht,
+in der er sich mit der durchg�ngigen Gesetzm��igkeit alles Naturgeschehens,
+welche die moderne Wissenschaft annimmt, in Einklang
+bringen l��t. Die Auffassung, die \so{John Stuart Mill} hier
+bef�rwortet, findet sich schon fr�her bei \so{Schopenhauer} ausgesprochen,
+\index{Schopenhauer}%
+der in seinem Hauptwerk Die Welt als Wille und
+Vorstellung (3.~Aufl.\ 1859, Bd.~1, S.~550) sagt: "`Das kontradiktorische
+Gegenteil, \dh~die Verneinung der Notwendigkeit ist
+die Zuf�lligkeit. Der Inhalt dieses Begriffes ist daher negativ,
+n�mlich weiter nichts als dieses: Mangel der durch den Satz vom
+Grunde ausgedr�ckten Verbindung. Folglich ist auch das Zuf�llige
+immer nur relativ: n�mlich in bezug auf etwas, das nicht
+sein Grund ist, ist es ein solches. Jedes Objekt, von welcher Art
+es auch sei, \zB~jede Begebenheit in der wirklichen Welt, ist
+allemal notwendig und zuf�llig zugleich: notwendig in der Beziehung
+auf das eine, das ihre Ursache ist; zuf�llig in Beziehung
+auf alles �brige. Denn ihre Ber�hrung in Zeit und Raum mit
+allem �brigen ist ein blo�es Zusammentreffen, ohne notwendige
+Verbindung, daher auch die W�rter Zufall, \textgreek{sumbebhk'os}, contingens.
+So wenig daher, wie ein absolut Notwendiges, ist ein absolut
+\DPPageSep{017}{3}
+Zuf�lliges denkbar. Denn dieses letztere w�re eben ein
+Objekt, welches zu keinem anderen im Verh�ltnis der Folge zum
+Grunde st�nde. Die Unvorstellbarkeit eines solchen ist aber
+gerade der negativ ausgedr�ckte Inhalt des Satzes vom Grunde,
+welcher also erst umgesto�en werden m��te, um ein absolut Zuf�lliges
+zu denken: dieses selbst h�tte aber alsdann auch alle Bedeutung
+verloren, da der Begriff des Zuf�lligen solche nur in Beziehung
+auf jenen Satz hat, und bedeutet, da� zwei Objekte nicht
+im Verh�ltnis von Grund und Folge zueinander stehen. In der
+Natur, sofern sie anschauliche Vorstellung ist, ist alles, was geschieht,
+notwendig, denn es geht aus seiner Ursache hervor. Betrachten
+wir aber dieses Einzelne in Beziehung auf das �brige,
+welches nicht seine Ursache ist, so erkennen wir es als zuf�llig;
+dies ist aber schon eine abstrakte Reflexion."'
+
+Diese "`abstrakte Reflexion"', die einerseits den Begriff des
+Zuf�lligen auf alle Ereignisse ausdehnt, ihn aber anderseits rein
+\so{relativ} wendet, indem immer nur ein Ereignis in bezug auf ein
+anderes oder das r�umliche oder zeitliche Zusammentreffen zweier
+Ereignisse als zuf�llig bezeichnet werden kann, unterliegt aber
+doch einigen Bedenken. Zun�chst n�mlich bedeutet der durchg�ngige
+Zusammenhang alles Geschehens nicht, da� zu jedem Ereignis
+ein anderes gefunden werden kann, das von jenem die
+"`Ursache"' ist, w�hrend mit allen anderen Ereignissen kein solcher
+Zusammenhang besteht, sondern die urs�chliche Verkn�pfung durchzieht
+den Bereich aller Vorg�nge in der Welt. Eine Ab�nderung
+des Geschehens an irgend einer Stelle w�rde sich in ihren Folgen
+�ber die ganze Welt ausbreiten. Es ist dies das Prinzip, das
+\so{Kant} als Prinzip der Wechselwirkung in aller Sch�rfe formuliert
+\index{Kant}%
+hat. Nach diesem Prinzip w�rde ein Zufall im strengen Sinne
+des Wortes auch dann unm�glich sein, wenn man den Begriff in
+der angegebenen Weise nur relativ fassen will. Er l��t sich nur
+so rechtfertigen, da� man durch das Zufallsurteil blo� das Fehlen
+einer \so{engeren} kausalen Verkn�pfung aussprechen will, �hnlich
+wie man bei zwei Menschen sagt, sie seien nicht verwandt, auch
+wenn sich, indem man weit genug in der Ahnenreihe zur�ckgeht,
+eine genealogische Beziehung zwischen ihnen finden l��t.
+
+Man k�nnte ferner den Einwand erheben, da� der Begriff
+des Zufalls auf diese Weise viel enger gefa�t wird, wie es dem allgemeinen
+Gebrauch des Wortes entspricht. Denn dieses soll hier
+\DPPageSep{018}{4}
+nur auf das Zusammentreffen zweier Ereignisse angewandt werden,
+es wird aber ohne Zweifel auch von einem einzelnen Ereignis gebraucht.
+Man kann sogar ohne weiteres die erste Bedeutung
+unter der zweiten als besonderen Fall begreifen, indem man dann
+eben das Zusammentreffen zweier bestimmter Geschehnisse als
+das Zufallsereignis ansieht. Ein jedes Ereignis ist ja im Grunde
+aus verschiedenen Momenten zusammengesetzt, die sich nur nicht
+immer bequem trennen lassen, so da� es keine k�nstliche und
+willk�rliche Ausdeutung ist, wenn man auch \zB~den Witterungsumschlag
+bei Mondwechsel als ein Ereignis ansieht.
+
+Auf diese allgemeinere Fassung des Begriffes "`Ereignis"' als
+eines beliebigen Ausschnittes aus dem Weltgeschehen l��t sich
+allerdings die \so{Schopenhauer}sche Auffassung sofort �bertragen.
+Sie bedeutet, da� das Ereignis als zuf�llig bezeichnet wird, wenn in
+ihm mehrere voneinander unabh�ngige Kausalreihen zusammensto�en.
+Ganz in diesem Sinne sagt auch \zB~\so{Cournot} (Exposition
+\index{Cournot}%
+de la th�orie des chances et des probabilit�s, Paris 1843): "`L'id�e
+du hasard est celle du concours de causes ind�pendantes pour la
+production d'un �v�nement d�termin�."'
+
+Die Frage bleibt aber: Wie sollen wir die zwei voneinander
+unabh�ngigen Kausalreihen auffassen? M�ssen wir nicht sagen,
+wir nennen die Kausalreihen nur darum voneinander unabh�ngig,
+weil wir ihren Zusammenhang in dem vorliegenden besonderen
+Falle nicht erkennen k�nnen? Dann entspringt das Zufallsurteil
+nur einer Unvollkommenheit unserer Erkenntnis, und in dieser
+\so{subjektiven} Form sind die Zufallsurteile auch h�ufig aufgefa�t
+worden.
+
+Schon an der Schwelle der neueren Philosophie hat \so{Spinoza}
+\index{Spinoza}%
+aus dem allgemeinen Gesetz der Kausalit�t die Folgerung gezogen
+(Ethik~I, Prop.~29): "`In der Natur gibt es nichts Zuf�lliges."' In
+dem Scholion zu Prop.~33 sagt er weiter: "`Zuf�llig wird ein Ding
+nur wegen unserer mangelhaften Erkenntnis genannt."' Danach
+definiert er den Zufall: "`Ein Ding, von dem wir nicht wissen, ob
+sein Wesen einen Widerspruch in sich schlie�t oder von dem wir
+gewi� wissen, da� es keinen Widerspruch in sich schlie�t, ohne
+aber �ber seine Existenz etwas Sicheres behaupten zu k�nnen,
+weil die Ordnung der Ursachen uns verborgen ist, ein solches Ding
+kann uns weder als notwendig noch als unm�glich erscheinen und
+darum nennen wir es entweder zuf�llig oder m�glich"' (m�glich
+\DPPageSep{019}{5}
+offenbar, wenn seine Wirklichkeit unbekannt ist, zuf�llig, wenn
+sein Vorhandensein feststeht). In �hnlichem Sinne sagt \so{Hume}
+\index{Hume}%
+(Philosophical Essays concerning human understanding): "`Obwohl
+es nicht so etwas wie den Zufall in der Welt gibt, so hat doch
+unsere Unbekanntschaft mit der wirklichen Ursache denselben
+Einflu� auf die Erkenntnis und erzeugt eine solche Art von Glauben
+oder Meinung, als ob es einen Zufall g�be."'
+
+Ob man so den Zufallsbegriff rein subjektiv fa�t, indem man
+ihn auf eine Unvollkommenheit unserer Erkenntnis zur�ckf�hrt,
+oder ob man ihm eine relative Bedeutung auch im objektiven Sinne
+l��t, indem man nicht unsere mangelnde Einsicht in das Zustandekommen
+des Ereignisses, sondern bei dem wirklichen Zustandekommen
+eine gewisse Besonderheit, eine gewisse Unabh�ngigkeit
+der verschiedenen Ursachen betont, immer hat der
+Zufall als Gegenteil der Notwendigkeit an sich keine absolute
+Bedeutung, solange man an dem Kausalit�tsprinzip festh�lt, da�
+jedes Geschehen in der Welt durch seine Ursachen mit Notwendigkeit
+bestimmt ist.
+
+Wenn wir aber den landl�ufigen Gebrauch des Wortes Zufall
+ansehen, so ist noch immer nicht der eigentliche Kernpunkt
+ber�hrt. Was den Begriff des Zufalls nahelegt, ist nicht das
+Fehlen einer Ursache, sondern das Mi�verh�ltnis zwischen der
+Ursache und der Wirkung, wenn wir sie nach ihrer Bedeutung
+f�r uns selbst beurteilen. Wenn ein Spieler sein Hab und Gut auf
+einen Wurf setzt, so wird es wenig f�r ihn ausmachen, da� der
+W�rfel nach bestimmten mechanischen Gesetzen seine Bewegung
+ausf�hrt, und da� so auch seine Endlage bestimmt ist. Die Einzelheiten
+bei dem Vorgang des W�rfelns sind so geringf�gig und unkontrollierbar,
+das Resultat aber ist so bestimmend f�r das Wohl
+und Wehe des Spielers, da� die naturgesetzliche Notwendigkeit
+beim Rollen des W�rfels ganz au�er Betracht bleibt. Das, was
+wir im Leben Zufall nennen, bedeutet, wenn wir an dem naturwissenschaftlichen
+Standpunkt festhalten, eine den menschlichen
+Verh�ltnissen gegen�ber empfundene krasse Ungleichwertigkeit
+der Ursache und der Wirkung.
+
+Gerade solche Ereignisse, wo ein urs�chlicher Zusammenhang
+durch die nach den Grunds�tzen der exakten Wissenschaft geleitete
+Erfahrung wohl angenommen werden kann, aber die Wirkung
+eine unverh�ltnism��ig gro�e ist, wie bei einer Feuersbrunst,
+\DPPageSep{020}{6}
+die ein vom Winde verwehter Funke hervorruft, geben jedoch
+einen neuen Anla�, den Zufall zu leugnen. Diese Leugnung beruht
+auf einer Beseitigung der Erkl�rung alles Weltgeschehens
+nach den Grunds�tzen der kausalen Notwendigkeit und einer an
+die Stelle dieser Erkl�rung tretenden Zwecksetzung in allen Vorkommnissen
+des menschlichen und au�ermenschlichen Lebens, mit
+anderen Worten, auf der Vertauschung des �tiologischen mit dem
+teleologischen Standpunkt. Wenn wir dort von einer \so{Wirkung}
+sprechen, reden wir hier von einer \so{Schickung}. Die Ereignisse des
+W�rfelspieles sind typisch zuf�llig, was das nat�rliche Zustandekommen
+betrifft. Nach M�glichkeit sind alle Ursachen entfernt,
+die auf das Eintreten eines bestimmten Wurfes hinwirken. Und
+doch, wenn jemand an einem Tage durch fortgesetzte ungl�ckliche
+W�rfe erhebliche Verluste erleidet, sagt er nicht: das war Zufall,
+sondern: ich habe heute kein Gl�ck. An Roulettetischen beobachten
+die Spieler die Spielerfolge, bis sie selbst mitspielen. Sie
+glauben dann zu finden, da� an einem Tage eine bestimmte Zahl
+beg�nstigt sei und setzen auf diese. Eine solche Beg�nstigung
+kann, wenn sie vorhanden ist, offenbar nicht auf denselben Grunds�tzen
+beruhen, auf denen wir die Naturwissenschaft aufbauen.
+Es handelt sich nicht um einen physikalischen Einflu� (influxus
+physicus), sondern eine metaphysische Wirkung (influxus metaphysicus).
+Diese Auffassung wird uns in allen F�llen besonders
+nahegelegt, wo es sich um Ereignisse handelt, die auf das Leben
+der Menschen eine einschneidende Wirkung aus�ben, und wo damit
+das Mi�verh�ltnis um so empfindlicher wird zwischen der Bedeutung
+der Wirkung und der scheinbar sinnlosen Verkettung von
+Umst�nden, welche diese Wirkung herbeigef�hrt haben. Wir
+ersetzen dann die fehlende Ursache durch einen Grund, der sich
+unserer Erkenntnis entzieht, den wir nur annehmen und als
+Schicksal bezeichnen. Diesen Gedanken hat \zB~\so{Goethe}, dem
+\index{Goethe}%
+sonst die metaphysische Spekulation wenig lag, mit gro�er Liebe
+gepflegt. Er sah das Walten des Schicksals auch da, wo es
+scheinbar als Zufall auftritt. Was die Menschen so nennen, ist
+eben Gott, der hier unmittelbar mit seiner Allmacht eintritt und
+das Geringf�gigste verherrlicht (vgl.\ \so{Siebeck}, Goethe als Denker,
+\index{Siebeck}%
+2.~Aufl.\ 1905, S.~143).
+
+Dagegen �u�erte schon \so{Spinoza} �ber diejenigen, welche alles
+\index{Spinoza|f}%
+Geschehen auf den Willen Gottes zur�ckf�hren (Ethik~I, Anhang):
+\DPPageSep{021}{7}
+"`Es darf nicht unerw�hnt bleiben, da� Anh�nger dieser Lehre, welche
+im Angeben der \so{Zwecke} der Dinge ihren Scharfsinn zeigen wollen,
+eine neue Art der Beweisf�hrung aufgebracht haben, um diese ihre
+Lehre glaublich zu machen. Sie f�hren diese n�mlich nicht auf
+die Unm�glichkeit, sondern auf die Unwissenheit zur�ck; was zeigt,
+da� ihnen kein anderes Beweismittel f�r diese Lehre zu Gebote
+stand. Wenn \zB~ein Stein von einem Dache auf den Kopf eines
+Menschen f�llt und ihn t�tet, so beweisen sie, der erw�hnten
+Methode gem��, da� der Stein gefallen sei, um den Menschen zu
+t�ten, folgenderma�en: W�re der Stein nicht zu eben diesem
+Zwecke nach dem Willen Gottes heruntergefallen, wie mochten da
+so viele Umst�nde (denn oft treffen viele zusammen) durch Zufall
+zusammentreffen? Antwortet man, es sei so gekommen, weil der
+Wind wehte, und weil der Mensch gerade dort vorbeiging, so
+wenden sie dagegen ein: Weshalb hat der Wind gerade damals
+geweht? Warum ist der Mensch gerade damals dort vorbeigegangen?
+Erwidert man darauf: Der Wind fing damals zu wehen
+an, weil das Meer tags zuvor, bei noch ruhigem Wetter, in Bewegung
+kam, und der Mensch ging damals dort vorbei, weil er
+von einem Freunde eingeladen war, so wenden sie --- da das
+Fragen keine Grenzen hat --- abermals ein: Warum aber kam das
+Meer in Bewegung? Warum war der Mensch damals eingeladen?
+Und so werden sie nicht aufh�ren, fort und fort nach den Ursachen
+der Ursachen zu fragen, bis man zum Willen Gottes seine
+Zuflucht nimmt, \dh~zum Asyl der Unwissenheit."'
+
+Der Kern des angewendeten Beweisganges w�re sonach der:
+Wir k�nnen in dem Geschehen keinen nach menschlichen Begriffen
+vern�nftigen Sinn erkennen, wenn wir nicht annehmen, da� eine
+bestimmte, allerdings uns verborgene Absichtlichkeit und Zweckm��igkeit
+in den Begebenheiten liegt, die unser Leben entscheidend
+beeinflussen. Unter dem Einflu� der Naturwissenschaften sind
+wir geneigt, einer solchen Auffassung wenigstens in ihrer Anwendung
+auf die Vorg�nge in der Natur jede Berechtigung abzusprechen,
+vielmehr suchen wir diese Vorg�nge nach anderen
+Grunds�tzen zu erfassen, die sich auf der Vorstellung eines naturnotwendigen
+Geschehens, \dh~bestimmter stets wiederkehrender
+Zusammenh�nge aufbauen. \so{Kant} nennt einmal (Metaphysische
+\index{Kant}%
+Anfangsgr�nde der Naturwissenschaft, S.~99) den blinden Zufall
+und das blinde Schicksal in der metaphysischen Weltwissenschaft
+\DPPageSep{022}{8}
+"`einen Schlagbaum f�r die herrschende Vernunft, damit entweder
+Erdichtung ihre Stelle einnehme oder sie auf dem Polster dunkler
+Qualit�ten zur Ruhe gebettet werde"'.
+
+Aber wo es sich wie hier und in jeder logischen Untersuchung
+um die Ideenbildung an sich handelt, kann auch die f�r die ganze
+Lebensauffassung bedeutsame Idee der Schicksalsbestimmung nicht
+au�er acht gelassen werden. Diese Idee verdankt ihren Ursprung
+wesentlich dem Gef�hl der Machtlosigkeit alles menschlichen Strebens
+fremden Einwirkungen gegen�ber, die im Gegensatz zu den planvollen
+menschlichen Handlungen als sinnlos und unbegreiflich erscheinen.
+Alles Ringen und Streben wird durch einen t�ckischen
+Eingriff �u�erer Umst�nde zunichte gemacht. In diesem Sinne
+ist es v�llig gleichg�ltig, ob der �u�ere Eingriff einem naturgesetzlichen
+Geschehen oder einer regellosen Willk�r entspringt.
+Wenn wir in den Folgen des Zusammensto�es zweier Eisenbahnz�ge
+die gesetzm��ige Wirkung der als lebendige Kraft bezeichneten
+physikalischen Gr��e erkennen, so ist das ein geringer Trost f�r
+die Verungl�ckten und ihre Angeh�rigen. In den gesetzm��igen
+Wirkungen der Natur spielt die R�cksichtnahme auf das menschliche
+Wohl und Wehe keine Rolle. Der Mensch ist hineingestellt
+in ein Spiel von Kr�ften, die sich mit dem Sinn seines Lebens von
+vornherein nicht ber�hren.
+
+Gerade weil die �u�eren Einwirkungen auf das Leben des
+Menschen so pl�tzlich und unerwartet kommen k�nnen, weil es so
+schwer ist, in ihnen einen Sinn und einen Plan zu entdecken,
+werden sie vom naiven Verstande als der Ausflu� einer der
+menschlichen Zweckbestimmungen gegen�berstehenden, aber im
+Vergleich zu ihr �berm�chtigen Entscheidung angesehen. Der landl�ufige
+Begriff des Zufalls wird durch den Kausalbegriff im naturwissenschaftlichen
+Sinne �berhaupt nicht getroffen. Er bezieht sich
+nur auf die Leugnung der Zweckbestimmung, entweder die unmittelbar
+durch die menschliche T�tigkeit bedingte oder die in das
+au�ermenschliche Geschehen nach Analogie der menschlichen T�tigkeit
+hineingelegte. Zufall oder Schicksal, das ist meistens die Frage,
+nicht Zufall oder Naturgesetz. So sind auch die �berlegungen,
+die von rein menschlicher Seite her an die Gl�cksspiele angekn�pft
+werden, nicht auf physische, sondern auf metaphysische Zusammenh�nge
+zu beziehen. Die Frage lautet nicht, ob die physikalischen
+Vorg�nge beim Gl�cksspiel, etwa beim Rollen der Roulettekugel,
+\DPPageSep{023}{9}
+auf einer physikalischen Gesetzm��igkeit beruhen oder nicht,
+sondern um was es sich handelt, ist, in den Resultaten des Spieles
+eine bestimmte Schickung zu sehen, teils das Walten einer ausgleichenden
+Gerechtigkeit, teils ein Bevorzugen bestimmter Gl�ckskinder.
+Vom naturwissenschaftlichen Standpunkt aus sind solche
+Zusammenh�nge, die au�erhalb des physischen Geschehens liegen,
+nicht zu verstehen. Damit sollen sie nicht von vornherein geleugnet
+sein, sie m�ssen nur au�er acht gelassen werden, wenn
+man mit den Methoden der Naturwissenschaft operieren will.
+
+In welchem Sinne nun auch das Wort Zufall verstanden wird,
+ob wir es auf das physische Geschehen und sein Erfassen mit den
+Methoden der modernen Naturwissenschaft, oder ob wir es auf die
+aus der Beurteilung des Geschehens nach der Analogie der menschlichen
+Handlungen entspringende metaphysische Auffassung beziehen
+wollen, immer ist die Bedeutung die Leugnung eines bestimmten
+Zusammenhanges. \so{Zuf�llig ist ein Ereignis, wenn
+es nicht aus anderen Ereignissen oder bestimmten, als
+gegeben angesehenen Pr�missen nach festen Regeln oder
+nach bestimmten Vernunftgr�nden gefolgert werden
+kann.} Die physische und die metaphysische Seite vereinigen sich
+in der Leugnung des Zufalls, die metaphysische, indem sie sagt:
+alles entspringt einer festen Zweckbestimmung, die physische,
+indem sie den Satz aufstellt: alle Ereignisse folgen aus anderen
+nach gesetzm��igen Zusammenh�ngen mit unbedingter Notwendigkeit.
+Was aber Zufall und Notwendigkeit im physikalischen Sinne
+betrifft, so ist zun�chst zu sagen, da� in dieser Allgemeinheit
+ausgesprochen der Satz "`Es gibt keinen Zufall"' wieder �ber die
+Grenzen der Erfahrung hinausgeht, vielmehr eine Hypothese bedeutet.
+Diese Hypothese hat keinen heuristischen Wert, sondern
+dient nur zur Abkl�rung des Weltbildes.
+
+Wenn nun auch in solchem dogmatischen Sinne der Zufall
+geleugnet wird, sei es von einem �tiologischen oder einem teleologischen
+Standpunkte aus, so bedeutet dies noch nichts gegen die
+Verwendung des Wortes in einem einfachen pragmatischen Sinne.
+Wenn wir sagen: "`Es ist ein Zufall, wenn sich bei wechselndem
+Mond das Wetter �ndert"', so verbinden wir damit einen bestimmten
+Sinn, der weder der Zweckbestimmung in der Sch�pfung noch der
+durchg�ngigen Kausalit�t alles Geschehens widerspricht. Wir
+meinen n�mlich damit nur, da� unter den Momenten, die wir als
+\DPPageSep{024}{10}
+bestimmend f�r die Wetterlage ansehen m�ssen, der Mondwechsel
+keine Stelle findet. Was in dem einzelnen Falle als bestimmend
+f�r ein Ereignis oder, wenn man will, als dessen Ursache auftritt,
+bedeutet doch immer eine bestimmte Gruppe von Erscheinungen,
+und wir brauchen nicht den ganzen Weltenraum und die ganze
+Ewigkeit zu durchforschen, um diese Ursachen f�r ein Ereignis
+anzugeben. Im Gegenteil beruht jede naturwissenschaftliche Erkenntnis
+darauf, da� wir bestimmte wenige Ereignisse als ma�gebend
+f�r das Eintreten eines anderen Ereignisses herausheben.
+So finden wir als Ursachen f�r die Ausdehnung der Luft die
+Steigerung der Temperatur oder die Verringerung des Druckes
+und k�nnen einen bestimmten gesetzm��igen Zusammenhang angeben,
+der diese drei Gr��en verkn�pft, so da�, wenn zwei davon
+bekannt sind, die dritte sofort gefunden werden kann.
+
+Eine solche Bestimmung des Erfolges aus gewissen, durch
+Beobachtung zu ermittelnden Momenten ist aber \zB~nicht m�glich,
+wenn wir angeben sollen, auf welchem Felde der Scheibe beim
+Roulettespiel die Kugel liegen bleiben wird. Darum haben wir
+ein Recht, dieses Ereignis des Roulettespieles als ein zuf�lliges zu
+bezeichnen, weil wir den schlie�lichen Erfolg nicht aus einer bestimmten
+Gruppe von beobachtbaren Erscheinungen ableiten, \dh~als
+eine regelm��ig eintretende Folge dieser Gruppe von Erscheinungen
+erkennen k�nnen. Aus den beobachtbaren Ereignissen, die
+in diesem Falle die Bedingungen des Spieles bilden (wohin neben
+der sorgf�ltigen Anfertigung des zum Spiel dienenden Apparates
+auch die genaue horizontale Aufstellung der Roulettescheibe und
+ein gen�gender Impuls der Roulettekugel geh�rt) folgt nur, da�
+die Kugel auf einem der Felder liegen bleiben mu�, aber nicht,
+auf welchem Felde. Demnach w�rde es, um ein Ereignis als zuf�llig
+bezeichnen zu d�rfen, gen�gen, wenn \so{alle erfahrungsm��ig
+feststehenden Umst�nde, die bei einem Ereignis in
+Betracht kommen, dieses Ereignis noch nicht bestimmen,
+vielmehr es, wenn alle diese Umst�nde erf�llt sind, eintreten,
+aber auch ausbleiben kann}.
+
+So kommen wir auf einen engen Zusammenhang des Zufallsbegriffes
+mit dem Begriffe der M�glichkeit. Denn als M�glichkeit
+ist es anzusehen, wenn weder das Eintreten noch das Ausbleiben
+eines Ereignisses als gewi� erscheint. Ein blo� m�gliches Ereignis
+kann eintreten, kann aber auch ausbleiben.
+\DPPageSep{025}{11}
+
+Wir m�ssen aber nach allem, was wir bis jetzt entwickelt
+haben, sagen, ein Ereignis k�nne ebensogut eintreten wie ausbleiben,
+wenn aus allen \so{beobachtbaren} Umst�nden, die bei diesem
+Ereignisse in Betracht kommen, noch nicht geschlossen werden
+kann, da� das Ereignis eintreten wird. Auf diese Weise vermeiden
+wir sowohl jede metaphysische F�rbung als auch eine rein subjektive
+Fassung des M�glichkeitsbegriffes. Allerdings m�ssen wir
+betonen, da� der Begriff der empirischen Bestimmbarkeit ein unsicherer
+und schwankender ist. Was heute noch nicht bestimmbar
+ist, kann es morgen werden. Umst�nde brauchen nicht unmittelbar
+beobachtbar zu sein, damit wir ihnen einen bestimmten Charakter,
+n�mlich den gleichen Charakter, den wir an unmittelbar beobachtbaren
+Umst�nden festgestellt haben, zuschreiben. Die Analogiebildung
+spielt eine wesentliche Rolle in der naturwissenschaftlichen
+Erkenntnis und ist nicht zu entbehren. Die Vorg�nge im lebenden
+K�rper sind zum gr��ten Teil unbestimmbar, aber wir zweifeln
+nicht, da� sie von derselben Art sind wie andere Vorg�nge, die
+wir kennen. Unbestimmbar zu sein, bedeutet an sich keinen besonderen
+und einheitlichen Charakter. Es tritt immer der Gedanke
+hinzu, ob wir uns ein Bild machen k�nnen von Vorg�ngen, die,
+wenn wir sie beobachten k�nnten, das Ereignis als aus ihnen
+ableitbar erscheinen lie�en. Beim Roulettespiel sind solche Vorg�nge
+nicht vorhanden, was geschieht, ist unmittelbar zu beobachten.
+Die Kugel liegt offen auf der Scheibe und wird dadurch
+in Bewegung gesetzt, da� die Scheibe selbst durch einen ihrer
+Achse mitgeteilten Impuls in rasche Drehung versetzt wird. Wir
+k�nnten allerdings aus der St�rke des Impulses, wenn sie uns genau
+bekannt w�re, die Bewegung der Kugel und ihre Endlage nach
+den Grunds�tzen der Mechanik ableiten, aber die Entscheidung,
+auf welchem Felde die Kugel liegen bleiben wird, h�ngt von solchen
+geringen Differenzen des Impulses und von Fall zu Fall wechselnden
+kleinen besonderen Vorg�ngen bei der Bewegung der Kugel
+auf der rotierenden Scheibe ab, da� sie sich jeder Bestimmung
+entzieht. Daher haben wir hier wirklich den Typus des zuf�lligen
+Ereignisses vor uns.
+
+Wir k�nnen nun andere Vorg�nge bilden, die den beim
+Roulettespiel vorliegenden gleichartig sind, dahin geh�ren die
+Ziehungen der Lose bei den Lotterien oder die Ziehungen einer
+Kugel aus einer Urne, die Kugeln von verschiedener Farbe gemischt
+\DPPageSep{026}{12}
+enth�lt, das W�rfeln mit einem oder mehreren W�rfeln und
+dergleichen mehr. Solche Vorg�nge sind es, auf denen wir die Gl�cksspiele
+aufbauen. Wo diese Vorg�nge nicht willk�rlich zum Zweck
+des Gl�cksspiels herbeigef�hrt werden, aber doch eine dem Gl�cksspiel
+�hnliche Abmachung getroffen wird, spricht man bekanntlich
+nicht von einem Spiel, sondern von einer Wette. Es liegt in der
+Natur der Sache, da� eine Wette auch da vorliegen kann, wo
+die haupts�chlichste Bedingung eines Gl�cksspieles, die vorherige
+Unbestimmbarkeit des Erfolges, nicht erf�llt ist. In vielen F�llen
+ist sie es aber, \zB~wenn bei einer Seefahrt auf die letzte Ziffer
+in der Anzahl der an einem bestimmten Tage zur�ckgelegten Seemeilen
+gewettet wird. Diese letzte Ziffer h�ngt in der Tat von
+unbestimmbaren Einfl�ssen ab.
+
+Fassen wir das allgemeine Ergebnis, zu dem wir vorl�ufig
+gelangt sind, kurz zusammen, so ist es dieses, da� sich, auch wenn
+wir von einer durchg�ngigen Kausalit�t alles Geschehens ausgehen,
+gewisse Ereignisse herausheben, die wir als zuf�llige bezeichnen
+d�rfen. Ein wesentliches Merkmal dieser Ereignisse ist, da� wir
+vorher nicht entscheiden k�nnen, ob sie eintreten werden oder
+nicht, da� sie also vor ihrem Eintreten nur als m�glich, aber auf
+keine Weise als notwendig erscheinen. Es sind solche Ereignisse,
+bei denen die uns m�gliche urs�chliche Bestimmung, selbst wenn
+wir sie �ber die unmittelbare Erfahrung hinaus durch Analogiebildung
+erg�nzen, als nicht ausreichend befunden wird.
+\EndChap
+\DPPageSep{027}{13}
+
+
+\Chapter{Zweites Kapitel}{Die statistische Methode}
+
+Erscheint als das Bezeichnende der zuf�lligen Ereignisse zun�chst
+die Unm�glichkeit einer vollst�ndigen kausalen Erkl�rung
+und damit einer Voraussage ihres Eintretens, wenn alle beobachtbaren
+Bedingungen des Ereignisses bekannt sind, so wird man
+sagen, dann hat das Zuf�llige �berhaupt den Charakter der Unerkennbarkeit.
+Es lohnt nicht, weiter dar�ber zu reden. Und
+doch erweisen sich die Zufallsereignisse als eine Quelle sehr weitgehender
+Betrachtungen, selbst dann, wenn wir au�erstande sind,
+den Zusammenhang des Geschehens in ihnen vollst�ndig zu durchschauen.
+
+Diese Betrachtungen gehen davon aus, da� wir in den Zufallsereignissen
+eine gewisse innere Gleichartigkeit zu erkennen
+suchen. Das gibt uns die M�glichkeit, sie uns durch Analogiebildung
+n�her zu r�cken. Wir greifen gewisse typische Ereignisse
+unter ihnen heraus, bei denen die Gesamtheit der beobachtbaren
+Bedingungen willk�rlich geschaffen werden. Diese Ereignisse
+sind die \so{Gl�cksspiele}. Wir schaffen uns so aus den Gl�cksspielen
+ein Mittel, um die Besonderheit der Zufallsereignisse
+allgemein zu beurteilen. Wir vergleichen die Zufallsereignisse mit
+Gl�cksspielen, indem wir das Wort Vergleich aber nicht im poetischen
+Sinne, sondern im Sinne der Zusammenstellung zahlm��iger
+Resultate verstehen.
+
+Von vornherein erscheinen zwei Wege gangbar, um der
+Eigenart des Zuf�lligen n�her zu kommen. Entweder man sucht
+sich einen Mechanismus des Geschehens zu denken, der im Resultat
+mit den beobachteten Zufallsereignissen �bereinstimmt, und �bertr�gt
+das innere Wesen dieses Mechanismus auf alle Zufallsereignisse.
+Das wollen wir eine \so{genetische} Erkl�rung des Zufalls
+nennen. Oder aber man stellt nur die Ereignisse zusammen, die
+bei der statistischen Z�hlung gleiche Resultate liefern, ohne weiter
+\DPPageSep{028}{14}
+auf ihr Zustandekommen einzugehen. Man h�lt nur das im statistischen
+Ergebnis Gleichartige nebeneinander und sieht mit
+diesem Nebeneinanderhalten die Aufgabe als erledigt an. Dies
+Verfahren wollen wir als die \so{statistische} Methode bezeichnen.
+
+Auf den ersten Weg deutet W.~\so{Wundt} in seiner Logik
+\index{Wundt, Wilh.|f}%
+(1.~Bd., 5.~Abschn., 1.~Kap.,~3c) hin, der zun�chst die Bedeutung
+des Zufalls als einer Durchbrechung der Notwendigkeit des Geschehens
+hervorhebt.
+
+Er betont, da� es doch eine Auffassung gibt, die eine wissenschaftliche
+Theorie des Zuf�lligen erm�glicht. Kurz gesagt ist
+diese Auffassung die, da� wohl auch das Zuf�llige auf einer durchg�ngigen
+Kausalit�t beruht, da� aber bei einem zuf�lligen Ereignis
+die Ursachen wenigstens teilweise einen solchen besonderen
+Charakter haben, da� sie sich unserer Beobachtung entziehen.
+Von der wirklichen kausalen Entstehung des zuf�lligen Ereignisses
+sind daher bestimmte Aussagen zu machen, und wir k�nnen
+von einem objektiven Charakter der zuf�lligen Ereignisse sprechen,
+ohne da� wir darum den Gedanken einer durchg�ngigen Kausalit�t
+aufgeben.
+
+Auf diese Weise scheint die Schwierigkeit v�llig gehoben.
+Wir finden eine Betrachtung, die den Grunds�tzen der naturwissenschaftlichen
+Forschung nicht widerspricht und die uns doch
+die M�glichkeit gibt, den Begriff des Zuf�lligen auch in einer objektiven
+Bedeutung zu erhalten. Damit scheint diese genetische
+Betrachtung des Zufalls, die auf das wirkliche Zustandekommen
+der als zuf�llig erscheinenden Ereignisse eingeht, ihre Bedeutung
+und ihre Berechtigung zu erweisen. Es erhebt sich nur die Frage:
+Wie k�nnen wir denn �ber solche Ursachen urteilen, die sich
+unserer Beobachtung v�llig entziehen? Nach \so{Wundts} Darstellung
+handelt es sich dabei um eine Hypothese. Nehmen wir das
+Vorhandensein solcher Ursachen an, so k�nnen wir nach den
+Grunds�tzen der Logik und der allgemeinen Erfahrung die wirklich
+beobachteten Verh�ltnisse erschlie�en. Dies geht allerdings
+nicht ohne eine ziemlich umst�ndliche mathematische Entwickelung,
+und \so{Wundts} Darstellung scheint nur eine Zusammenfassung
+der Grundgedanken dieser von \so{Bessel} herr�hrenden Ableitung,
+\index{Bessel@Bessel|f}%
+die uns sp�ter noch besch�ftigen wird, zu bedeuten.
+
+Die \so{Bessel}sche Ableitung bezieht sich aber auf ganz besondere
+Erscheinungen, n�mlich die Abweichungen der bei der
+\DPPageSep{029}{15}
+Bestimmung einer physikalischen Gr��e gefundenen Zahlenwerte
+voneinander. Der Begriff des Ereignisses scheint hier �berhaupt
+nicht zu passen, es handelt sich sozusagen nur um eine Begleiterscheinung
+der wirklichen Ereignisse, n�mlich der Beobachtungen.
+Daher r�hrt es wohl auch, wenn \so{Wundt} �u�ert, der Zufall k�nne
+niemals als selbst�ndiges Ph�nomen, sondern immer nur als individuelle
+Ab�nderung einer gesetzm��ig bestimmten Erscheinung
+vorkommen. Diese Bedeutung w�rde den Geltungsbereich des
+Zuf�lligen nun erheblich einschr�nken, denn es w�re ein solches
+Zufallsereignis wie die T�tung eines Vor�bergehenden durch einen
+herabfallenden Ziegel oder die T�tung eines Soldaten durch den
+Hufschlag eines Pferdes schwer in dieses Schema zu bringen.
+
+Indes ist die \so{Bessel}sche Hypothese nicht auf die Erkl�rung
+der Beobachtungsfehler bei physikalischen Messungen beschr�nkt,
+sie l��t sich dem Grundgedanken nach in viel weiterem Umfange
+anwenden. Die Hypothese ist im wesentlichen die, da� ein typisch
+zuf�lliges Ereignis auf sehr vielen Einzelumst�nden beruhe, die
+selbst von vornherein unbestimmt sind, da� das schlie�liche Endergebnis
+nur die Frucht einer gro�en Anzahl vorausgehender Erscheinungen
+sei, die alle voneinander unabh�ngig sind. Die Natur
+des Zufallsereignisses wird dadurch aber immer noch viel enger
+umgrenzt als fr�her, wo nur zwei voneinander unabh�ngige
+Kausalreihen bestehen mu�ten, w�hrend jetzt sehr viele voneinander
+unabh�ngige Umst�nde in dem Ereignis zusammenwirken
+sollen.
+
+Wir w�rden daher so den Bereich des Zuf�lligen von vornherein
+enger bestimmen, als es gerechtfertigt erscheint. Wie gelangen
+wir nun aber zu einer anderen, allgemeineren Methode, in
+die Natur der zuf�lligen Ereignisse einzudringen? Zu dem Zwecke
+m�ssen wir, wenn wir sagen, ein Zufallsereignis sei durch die feststellbaren
+Ursachen nicht v�llig bestimmt, uns fragen, was �berhaupt
+innerhalb der Grenzen der Erfahrung bedeutet, wenn wir
+von Umst�nden sprechen, die in dem Verh�ltnis von Ursache und
+Wirkung einen Erfolg bestimmen. Damit kann nur gemeint sein,
+da�, wo wir diese Umst�nde zusammen beobachten, stets auch der
+Erfolg zu beobachten ist. Nur an die tats�chliche Verbindung in
+allen beobachteten F�llen ist gedacht. Wenn also, wie beim Zufallsereignis,
+durch die feststellbaren Ursachen das Ereignis nicht
+v�llig bestimmt ist, so bedeutet das, da� in den F�llen, wo diese
+\DPPageSep{030}{16}
+Ursachen zusammen beobachtet sind, das Ereignis bisweilen eingetreten,
+bisweilen aber auch ausgeblieben ist.
+
+Wir k�nnen, um noch klarer zu sein, diese Feststellung in
+zwei zerlegen. Die eine bedeutet, da� unter den in Betracht
+kommenden Umst�nden, welche die Gesamtheit der beobachtbaren
+Ursachen des Zufallsereignisses darstellen, dieses Ereignis wirklich
+wenigstens einmal eingetreten ist. Die zweite Feststellung bedeutet,
+da� das Ereignis unter den in Betracht kommenden Umst�nden
+auch wenigstens einmal ausgeblieben ist. Quidquid existit contingenter,
+aliquando non existit, ist ein alter Schulsatz. Das Feststellen
+einer solchen einfachen Tatsache w�rde allerdings an sich
+noch keine Statistik sein, die Statistik erscheint erst da, wo man
+\so{z�hlt}, wie oft ein Ereignis eingetreten ist. Man wird nun sagen,
+die H�ufigkeit ist f�r die Tatsache der M�glichkeit, um die es sich
+hier allein handelt, g�nzlich bedeutungslos. Was einmal geschehen,
+ist schon m�glich. Wie oft es wieder geschieht, ist gleichg�ltig,
+au�er wenn es in allen in Betracht kommenden F�llen zu beobachten
+ist. Dann w�rde sich die M�glichkeit in die Gewi�heit
+verwandeln.
+
+Aber der Gedanke, da� in allen F�llen es gerade von Wert
+ist, zu erfahren, wie oft verh�ltnism��ig unter den gegebenen
+Umst�nden ein bestimmtes Ereignis eingetreten ist, bietet sich
+von selbst dar.\ \so{Sigwart} formuliert diesen Gedanken in seiner
+\index{Sigwart}%
+Logik (Bd.~II, Tl.~III, S.~406) mit den Worten: "`In der statistischen
+Z�hlung sind zwar die etwaigen individuellen Differenzen,
+durch die jedes Ding einzig in seinen bestimmten Eigenschaften
+sich von allen anderen unterscheidet, untergegangen, aber das
+Einzelne hat doch noch insofern sein Recht gefunden, als es nicht
+blo� als gleichg�ltiger Repr�sentant eines allgemeinen Begriffes,
+sondern in seiner numerischen Unterschiedenheit von allen anderen
+beachtet ist."' Der hierdurch gemachte Fortschritt ist
+durchaus dem zu vergleichen, den in der Naturwissenschaft der
+�bergang von der blo�en Feststellung eines Zustandes zu seiner
+zahlm��igen Bestimmung bedeutet. Wenn ein Ereignis in $90$
+von $100$ F�llen eingetreten ist, so werten wir die M�glichkeit
+anders, als wenn wir es unter $100$ F�llen nur einmal beobachtet
+haben.
+
+Die Statistik, zu der wir so gelangen, betrifft statistische
+Verh�ltniszahlen, \dh~es wird aufgezeichnet, wie oft unter bestimmten
+\DPPageSep{031}{17}
+Umst�nden, also in einer bestimmten Gruppe von Erscheinungen,
+ein Ereignis eingetreten ist, wobei es sich zun�chst
+nur um die relative H�ufigkeit, nicht aber um die absolute Anzahl
+des Vorkommens handelt. Nun erhebt sich aber sofort die Frage,
+die den Kernpunkt alles folgenden bildet: Nehmen wir an, wir
+haben die relative H�ufigkeit nicht blo� aus einer Serie von Beobachtungen
+festgestellt, sondern wir haben mehrere Reihen von
+Beobachtungen benutzt und aus jeder die relative H�ufigkeit bestimmt.
+Dann fragt es sich, ob wir ganz verschiedene Werte
+der relativen H�ufigkeit bei den einzelnen Bestimmungen zu erwarten
+haben oder ob sich zwar nicht genau, aber doch angen�hert
+derselbe Wert bei den verschiedenen Bestimmungen ergeben
+wird. In dem einen Falle erweisen sich die festgestellten
+Werte der relativen H�ufigkeit als g�nzlich unbrauchbar zur
+Charakterisierung des beobachteten Ereignisses im allgemeinen,
+in dem anderen Falle dagegen k�nnen wir dem regelm��ig wiederkehrenden
+Werte der relativen H�ufigkeit eine bestimmte Bedeutung
+f�r das Ereignis an sich zusprechen. Wir k�nnen es als
+eine Eigent�mlichkeit des Ereignisses ansehen, da� es mit dieser
+relativen H�ufigkeit auftritt, w�hrend sonst die relative H�ufigkeit
+nur eine Bedeutung innerhalb der r�umlichen und zeitlichen
+Begrenzung, der die beobachteten F�lle entsprechen, besitzt. Wenn
+wir also etwa in regelm��igen Zeitabschnitten die vorgekommenen
+relativen H�ufigkeiten notieren, so fragt es sich: n�hern sich die
+aufgezeichneten Verh�ltniszahlen alle einem bestimmten Werte
+oder l��t sich in ihnen eine systematische Ver�nderung beobachten?
+Es ist \zB~bekannt, da� die relative H�ufigkeit der
+Selbstmorde zunimmt, dagegen scheint es zweifelhaft, ob eine
+�hnliche systematische Ver�nderung in dem Verh�ltnis der Anzahlen
+von m�nnlichen und weiblichen Selbstm�rdern zu beobachten ist.
+
+Hierin liegt eine erste Scheidung der statistischen Verh�ltniszahlen
+begr�ndet. Je nachdem, ob wir in ihnen eine systematische
+Ver�nderung beobachten oder nicht, werden wir von zuf�lligen
+oder durch bestimmte Ursachen hervorgerufenen Schwankungen
+sprechen. \so{Der Zufall w�rde so in der Statistik unmittelbar
+zutage treten.}
+
+Der gro�e Vorzug, der in einer solchen statistischen Bestimmung
+des Zufalls liegt, besteht darin, da� wir nicht mehr gezwungen
+sind, auf die Einzelheiten beim Zustandekommen des
+\DPPageSep{032}{18}
+Ereignisses einzugehen, die in den meisten F�llen unserer Erkenntnis
+verschlossen sind und nur aus mehr oder minder unbestimmten
+Vermutungen heraus beurteilt werden, sondern vielmehr
+uns an bestimmte Tatsachen halten k�nnen.
+
+Nun ist aber klar, da� solche Schwankungen, die wir als zuf�llige
+bezeichnen, nicht blo� bei statistischen Verh�ltniszahlen
+auftreten k�nnen, sondern �berhaupt, wo eine statistische Aufzeichnung
+vorliegt. Wenn wir n�mlich eine solche Reihe von
+statistischen Zahlen uns vor Augen halten oder am besten sie in
+einer Kurve oder Staffel graphisch darstellen, so beobachten wir
+bald, da� neben systematischen Ver�nderungen auch ein regelloses
+Hin- und Herschwanken auftritt. Ein solches Schwanken
+werden wir wieder als zuf�llig bezeichnen. Allerdings ist es eine
+besondere, vielleicht nicht immer l�sbare Aufgabe, die zuf�lligen
+Schwankungen richtig herauszusch�len. Unter der Voraussetzung,
+da� dies gelingt, zeigt sich nun aber, da� das unbestimmte und
+meistens auf blo�en Vermutungen beruhende Trennen der Ursachen
+in systematische und zuf�llige ersetzt wird durch ein quantitativ
+auf Grund gemessener oder gez�hlter Zahlenwerte ausf�hrbares
+Scheiden der systematischen und der zuf�lligen Ver�nderungen.
+Wir k�nnen also der Methode der exakten Naturwissenschaft treu
+bleiben, nur auf Grund bestimmter Messungen und bestimmter,
+nach festen Regeln an diese Messungen gekn�pfter Berechnungen
+vorzugehen.
+
+So werden wir darauf gef�hrt, die Analyse statistischer
+Tabellen nach bestimmten besonderen Gesichtspunkten als unsere
+Aufgabe anzusehen. Hierbei erweist sich nicht einmal der Ursprung
+der Tabelle aus einer statistischen Z�hlung als entscheidend,
+vielmehr w�rden auch Tabellen, die auf Messungen einer
+und derselben physikalischen Gr��e beruhen, m�ge diese Gr��e
+nun ver�nderlich sein oder nicht, einer ganz analogen Analyse
+zug�nglich sein.
+
+Bevor wir an diese Untersuchung gehen, scheint die Frage
+gerechtfertigt, welche Resultate wir von ihr erwarten d�rfen. Dadurch,
+da� wir, statt auf das innerliche Zustandekommen der Zufallsereignisse
+einzugehen, nur ihre �u�erliche Verteilung ins Auge
+fassen, geben wir, scheint es, die Hoffnung auf ein Eindringen
+in das innere Wesen des Zuf�lligen auf. �ber dieses Wesen
+k�nnen wir ja keine Auskunft erhalten, wenn wir nichts anderes
+\DPPageSep{033}{19}
+aufzeichnen, als wie oft innerhalb einer gewissen Gruppe einzelner
+F�lle das in Rede stehende Ereignis eingetreten und ausgeblieben
+ist.
+
+Der Ausweg ist eben der, da� wir in der Verteilung, die uns
+die statistische Erhebung offenbart, doch in gewissem Sinne ein
+Merkmal der Zufallsereignisse erkennen k�nnen. Es ergeben
+sich gewisse Verteilungen, die typisch f�r die zuf�lligen Ereignisse
+sind. Darin liegt, da� wir aus der �bereinstimmenden Verteilung
+auch auf eine innere Verwandtschaft der beobachteten Ereignisse
+schlie�en. Ist dieser Schlu� aber berechtigt? Das bleibt
+unentschieden und mu� unentschieden bleiben, weil wir in den
+Mechanismus des Geschehens nicht eindringen k�nnen. Aber auch
+in der blo�en Analogiebildung liegt eine gewisse Erkl�rung. Wir
+machen uns eine Erscheinung schon begreiflich, wenn wir eine
+andere Erscheinung finden, die sich in derselben Weise �u�erlich
+offenbart wie die erste. Alles Erkl�ren ist im Grunde ein Vergleichen.
+Der Vergleich kann im vorliegenden Falle einerseits so
+gef�hrt werden, da� wir nur die Erscheinungen zusammenfassen,
+die eine gleiche oder verwandte Verteilung zeigen; andererseits
+k�nnen wir aber auch gewisse typische Erscheinungen herausgreifen,
+deren innerer Organismus uns leidlich klar erscheint und
+nach ihnen die Erscheinungen mit verwandter Verteilung beurteilen.
+Solche typische Erscheinungen sind die Gl�cksspiele.
+Wir w�rden danach als zuf�llige Ereignisse solche zu bezeichnen
+haben, bei deren statistischer Verfolgung sich dieselbe Verteilung
+der Ergebnisse wie bei den reinen Zufallsspielen herausstellt. F�r
+die Gl�cksspiele kann man aber als zweckm��ig ein bestimmtes
+Schema w�hlen, und dieses wird fast immer durch die Ziehungen
+aus einer Urne, in der Kugeln von verschiedener Farbe gemischt
+enthalten sind, gebildet. Die Beurteilung der Zufallsereignisse
+nach diesem Urnenschema w�rde so das letzte Stadium der Untersuchung
+sein. Welchen Wert man ihr beimessen will, bleibt in
+gewisser Weise dem freien Belieben �berlassen. Jedenfalls scheint
+es kein anderes Verfahren zu geben, um in einwandfreier Weise
+dem Charakter des Zuf�lligen nachzusp�ren. Die Betrachtungen,
+zu denen dieser Gedankengang f�hrt, hat man f�r solid genug
+zu halten, um darauf die Erforschung sowohl der Vorg�nge in
+den kleinsten Teilen der Materie als auch der Verteilung der
+Himmelsk�rper im Weltenraum zu gr�nden.
+\DPPageSep{034}{20}
+
+Eines aber wird geltend gemacht werden und verdient sogleich
+hervorgehoben zu werden. Indem man zur statistischen
+Z�hlung �bergeht, verschwindet das einzelne Ereignis und die
+Betrachtung bezieht sich nur auf die statistische Gesamtheit. Die
+gew�hlte Behandlungsweise setzt so voraus, da� es nicht das
+einzelne Ereignis ist, worauf wir unser Interesse lenken, da� wir
+vielmehr erst in der Gesamtheit der zusammengefa�ten Ereignisse
+den Gegenstand unserer �berlegung sehen. So ist in dem
+angef�hrten physikalischen Beispiel nicht die Bewegung des einzelnen
+Molek�ls der Zielpunkt der Untersuchung, sondern wie
+sich aus einer bestimmten Verteilung der Bewegungen aller einzelnen
+Molek�le die beobachtbaren Eigenschaften und Zust�nde
+des ganzen K�rpers ergeben. In dem anderen Beispiele, das der
+Astronomie angeh�rt, handelt es sich nicht um die Lage des
+einzelnen Fixsterns, sondern um die Verteilung aller Fixsterne
+im Weltenraum. Ebenso ist bei den Untersuchungen �ber die
+Erscheinungen in der menschlichen Gesellschaft, die auf zahlenm��iger
+Grundlage m�glich sind, nicht das einzelne Individuum
+der Gegenstand der Betrachtung, sondern eben die Gesamtmasse
+der Bev�lkerung. Das Wohl und Wehe des einzelnen verschwindet
+und nur das Los der Allgemeinheit ist es, was in der Untersuchung
+zutage tritt. Man kann es vermissen, da� so die Aufkl�rung
+des einzelnen Zufallsereignisses an sich, die nur durch ein Eingehen
+auf seine individuelle Besonderheit m�glich ist, durch die
+statistische Methode nicht gegeben wird. Man wird aber erkennen,
+da� doch das wahre, kardinale Problem ber�hrt wird. Denn dieses
+Problem ist das, wie sich auf der Unbestimmbarkeit und anscheinenden
+Regellosigkeit des einzelnen Falles eine Gesetzm��igkeit
+aufbaut und feste in Zahlen ausdr�ckbare Zusammenh�nge
+in der Gesamtheit ergeben. Gerade dies ist es ja auch, was selbst
+nach aller m�glichen Aufkl�rung unser tiefes Erstaunen hervorruft.
+\EndChap
+\DPPageSep{035}{21}
+
+
+\Chapter{Drittes Kapitel}{Station�re Zahlenreihen}
+
+Wir wollen nun allgemein ausgehen von der Zusammenstellung
+einer Reihe von Zahlenwerten, die man als eine \so{Tabelle}
+bezeichnet. An einer Tabelle ist zu unterscheiden der Kopf, der
+\so{Eingang} und der \so{Eintrag}. In dem \so{Kopf} der Tabelle wird
+angegeben, was die in der Tabelle eingetragenen Zahlen allgemein
+bedeuten. Der \so{Eingang} dagegen setzt die Bedeutung der einzelnen
+Zahlen in der Tabelle fest. Damit also eine Reihe von
+Zahlen sich in einer Tabelle anordnen l��t, ist es notwendig, da�
+sie eine gemeinsame Bedeutung haben und die einzelne Zahl der
+Reihe nur noch durch eine besondere Bestimmung festgelegt wird.
+Diese besondere im Eingang der Tabelle stehende Bestimmung
+kann verschiedener Art sein. Sie kann die in der Tabelle eingetragenen
+Zahlen �rtlich umgrenzen, wie wenn \zB~in einer
+Statistik �ber Preu�en bestimmte Zahlen f�r die einzelnen Provinzen
+angegeben werden. Sie kann auch \zB, wenn es sich
+um zahlm��ige Bestimmungen von Eigent�mlichkeiten einzelner
+Individuen handelt, die Namen dieser Individuen enthalten, oder
+diese Namen durch laufende Nummern erg�nzen oder ersetzen.
+Eine solche Tabelle kann man allgemein als eine \so{Liste} bezeichnen.
+Der Eingang kann aber auch selbst eine zahlm��ige Bestimmung
+bedeuten. Sehr h�ufig bezeichnet er eine Zeit, entweder Zeitabschnitte,
+\zB~Jahre, Monate oder Tage, oder bestimmte Zeitpunkte.
+
+Der Eingang der Tabelle kann ferner eine reine Zahl sein.
+Dann haben wir eine rein mathematische Tabelle vor uns, die
+bestimmten Zahlenwerten wieder bestimmte Zahlenwerte zuordnet.
+Sie legt das fest, was man im mathematischen Sinne als
+eine \so{Funktion} bezeichnet. In ihr k�nnen unter anderem die
+Resultate bestimmter Rechenoperationen zusammengestellt sein.
+Dahin geh�ren \zB~die Logarithmentafeln. Wir wollen solche
+Tabellen als \so{analytische} bezeichnen. Den analytischen Tabellen
+stehen die \so{empirischen} gegen�ber, die nicht blo� auf mathematischen
+\DPPageSep{036}{22}
+Rechnungen beruhen, sondern in denen ein bestimmtes
+Erfahrungsmaterial niedergelegt ist, unter Umst�nden im Verein
+mit Rechnungen, die an die empirisch ermittelten Zahlenwerte angekn�pft
+werden. Wir haben bei diesen empirischen Tabellen
+wieder zu unterscheiden, ob ihnen bestimmte \so{Messungen} oder
+blo�e \so{Z�hlungen} zugrunde liegen. Im ersten Falle k�nnen wir
+von einer \so{Messungsreihe} sprechen, im zweiten Falle haben
+wir eine \so{Z�hlungsreihe} oder eine eigentliche statistische Tabelle
+vor uns. Um gleich ein Beispiel f�r beide Arten anzuf�hren,
+k�nnen wir als Messungsreihe die Bestimmung der K�rpergr��e
+eines Menschen in den verschiedenen Lebensaltern nehmen, als
+Beispiel f�r eine Z�hlungsreihe eine sogenannte Sterbetafel, die
+angibt, wieviel Menschen aus einer bestimmten Gruppe von Geborenen
+in den verschiedenen Lebensaltern sterben. Der Eingang
+der Tabelle ist in beiden F�llen dieselbe Zahl, n�mlich das Lebensalter.
+Der Eintrag ist in dem einen Falle eine L�nge, also eine
+gemessene Zahl, im anderen Falle eine durch Abz�hlung gewonnene
+Zahl, n�mlich eine Anzahl von Personen.
+
+Die \so{K�rpergr��en} beziehen sich auf Personen m�nnlichen
+Geschlechtes. Sie entsprechen nicht der Entwickelung eines bestimmten
+Menschen, sondern sind Durchschnittszahlen, geben also
+die Entwickelung eines "`Durchschnittsmenschen"' an. Der Gesamtgr��e
+ist die Beinl�nge hinzugef�gt und in einer dritten Spalte
+gleich das Verh�ltnis der Gesamtgr��e zur Beinl�nge angegeben.
+Man erkennt, da� dieses Verh�ltnis w�hrend des Wachstums des
+Menschen abnimmt und sich einem bestimmten Endwert n�hert,
+den es aber schon vor der Vollendung des Wachstums erreicht.
+\begin{center}
+\begin{longtable}{c||c|c|c}
+\multicolumn{4}{c}{%
+  \so{K�rpergr��e m�nnlicher Personen}\footnotemark.}\\
+\hline\hline
+\ColHeadbb{Jahre}{Alter\\ Jahre} &
+\ColHeadb{Gesamtgr��e}{Gesamtgr��e \\ $m$} &
+\ColHeadb{Beinl�nge}{Beinl�nge \\ $m$} &
+\ColHead{\;Gesamtgr��e\;}{$\dfrac{\text{Gesamtgr��e}}{\text{Beinl�nge}}$} \\
+\hline
+\hline
+\endfirsthead
+\hline\hline
+\ColHeadbb{Jahre}{Alter\\ Jahre} &
+\ColHeadb{Gesamtgr��e}{Gesamtgr��e \\ $m$} &
+\ColHeadb{Beinl�nge}{Beinl�nge \\ $m$} &
+\ColHead{\;Gesamtgr��e\;}{$\dfrac{\text{Gesamtgr��e}}{\text{Beinl�nge}}$} \\
+\hline
+\hline
+\endhead
+%[** TN: 3rd column values retained, calculated 1st � 2nd values indicated]
+\Z0  & 0,500 & 0,160 & 3,13 \\
+\Z1  & 0,698 & 0,241 & 2,90 \\
+\Z2  & 0,791 & 0,288 & 2,75 \\
+\Z3  & 0,864 & 0,328 & 2,64 \\ %[** 2,63]
+\Z4  & 0,927 & 0,367 & 2,53 \\
+\Z5  & 0,987 & 0,404 & 2,44 \\
+\Z6  & 1,046 & 0,441 & 2,37 \\
+\DPPageSep{037}{23}
+%[** TN: Table head continues]
+\Z7  & 1,104 & 0,478 & 2,31 \\
+\Z8  & 1,162 & 0,514 & 2,26 \\
+\Z9  & 1,218 & 0,550 & 2,21 \\
+10 & 1,273 & 0,584 & 2,18 \\
+11 & 1,325 & 0,616 & 2,15 \\
+12 & 1,375 & 0,646 & 2,13 \\
+13 & 1,423 & 0,674 & 2,11 \\
+14 & 1,469 & 0,701 & 2,10 \\
+15 & 1,513 & 0,723 & 2,09 \\
+16 & 1,554 & 0,745 & 2,09 \\
+17 & 1,594 & 0,766 & 2,09 \\ %[** 2,08]
+18 & 1,630 & 0,782 & 2,09 \\ %[** 2,08]
+19 & 1,655 & 0,794 & 2,09 \\ %[** 2,08]
+20 & 1,669 & 0,802 & 2,09 \\ %[** 2,08]
+25 & 1,682 & 0,806 & 2,09 \\
+30 & 1,686 & 0,806 & 2,09 \\
+40 & 1,686 & 0,805 & 2,09
+\end{longtable}
+\end{center}
+\footnotetext{Vgl.\ \so{Qu�telet},\index{Qu�telet} Anthropom�trie, Bruxelles 1871.}
+\begin{figure}[hbt!]
+  \centering
+  \caption{Fig.~1.}
+  \Input{037}
+\end{figure}
+
+Wir f�gen dieser Tabelle sofort die graphische Darstellung
+hinzu, die den Entwickelungsgang noch anschaulicher macht.
+\DPPageSep{038}{24}
+
+Die \so{Sterbetafel}, die wir als Beispiel f�r eine Z�hlungsreihe
+anf�hren, gibt nicht etwa an, wie eine bestimmte Gruppe von
+gleichzeitig Geborenen mit den Jahren sich gelichtet hat, sondern
+sie enth�lt die Absterbeordnung, wie sie sich aus den Sterbef�llen
+einer bestimmten Epoche, wenn man diese nach dem Alter der
+Gestorbenen gruppiert, ergibt. Das folgende ist in abgek�rzter
+Form die deutsche Sterbetafel f�r das Jahrzehnt 1901 bis~1910\footnote
+  {Siehe Statistisches Jahrbuch f�r das Deutsche Reich~1913.}.
+Die Anzahl der Geborenen ist gleich $100\,000$ gesetzt, neben den
+�berlebenden stehen die w�hrend des folgenden Jahres Gestorbenen,
+und daneben ist noch das Verh�ltnis der voranstehenden Zahlen
+der beiden ersten Spalten, die sogenannte Sterbenswahrscheinlichkeit
+f�r ein Jahr angegeben. Wir beschr�nken uns wieder auf
+Personen m�nnlichen Geschlechts.
+\begin{center}
+\begin{longtable}{r<{\quad}||*{2}{r<{\quad}|}r<{\qquad}}
+\hline
+\hline
+\ColHeadbb{Jahre}{Alter\\Jahre} &
+\ColHeadb{�berlebende}{�berlebende} &
+\ColHeadb{eines Jahres}{Gestorbene\\w�hrend\\eines Jahres} &
+\ColHead{Sterbenswahrschein-}{Sterbenswahrschein-\\lichkeit\\f�r ein Jahr}\\
+\hline
+\hline
+\endhead
+%[** TN: 3rd column values retained, calculated 2nd � 1st values indicated]
+  0 & 100\,000 & 20\,234  & 0,20\,234 \\
+  1 &  79\,766 &  3\,181  & 0,03\,963 \\ %[**0,03 988]
+  2 &  76\,585 &  1\,143  & 0,01\,492 \\
+  3 &  75\,442 &     715  & 0,00\,947 \\ %[**0,00 948]
+  4 &  74\,727 &     516  & 0,00\,691 \\
+  5 &  74\,211 &     391  & 0,00\,528 \\ %[**0,00 527]
+ 10 &  72\,827 &     177  & 0,00\,244 \\ %[**0,00 243]
+ 15 &  72\,007 &     199  & 0,00\,277 \\ %[**0,00 276]
+ 20 &  70\,647 &     356  & 0,00\,504 \\
+ 25 &  68\,881 &     353  & 0,00\,513 \\
+ 30 &  67\,092 &     373  & 0,00\,556 \\
+ 35 &  65\,104 &     454  & 0,00\,697 \\
+ 40 &  62\,598 &     577  & 0,00\,922 \\
+ 45 &  59\,405 &     739  & 0,01\,244 \\
+ 50 &  55\,340 &     937  & 0,01\,693 \\
+ 55 &  50\,186 &  1\,183  & 0,02\,357 \\
+ 60 &  43\,807 &  1\,428  & 0,03\,260 \\
+ 65 &  36\,079 &  1\,698  & 0,04\,706 \\
+ 70 &  27\,136 &  1\,882  & 0,06\,936 \\ %[**0,06 935]
+ 75 &  17\,586 &  1\,871  & 0,10\,640 \\ %[**0,10 639]
+ 80 &   8\,987 &  1\,419  & 0,15\,787 \\ %[**0,15 789]
+ 85 &   3\,212 &     744  & 0,23\,160 \\ %[**0,23 163]
+ 90 &      683 &     219  & 0,32\,002 \\ %[**0,32 064]
+ 95 &       74 &      30  & 0,41\,399 \\ %[**0,40 541]
+100 &        4 &       2  & 0,49\,668 \\ %[**0,5]
+\end{longtable}
+\end{center}
+\DPPageSep{039}{25}
+
+Man sieht, wie die Zahlenreihen in den verschiedenen Spalten
+sich verhalten. Die Zahlen in der ersten Spalte nehmen nat�rlicherweise
+best�ndig ab. Die Zahlen in der zweiten Spalte
+nehmen zuerst ab, bis sie f�r das Alter von 12~Jahren ein Minimum
+erreichen, dann nehmen sie zu, wenig ab, wieder zu und erreichen
+f�r ein Alter von ungef�hr 73~Jahren, das \so{Normalalter}, ein
+Maximum, um dann bis zum Schlu� abzunehmen (vgl.\ \Fig{2}).
+\begin{figure}[hbt!]
+  \centering
+  \caption{Fig.~2. Anzahlen der in den verschiedenen Lebensaltern
+    Gestorbenen auf $100\,000$ Geborene.}
+  \Input{039}
+\end{figure}
+Die Zahlen der dritten Spalte nehmen zuerst ebenfalls ab und erreichen
+ein Minimum mit den Zahlen der zweiten Spalte, dann
+aber nehmen sie best�ndig und zwar zum Schlu� sehr stark zu.
+
+Je nach der \so{Art} des \so{Einganges} lassen sich die Tabellen in
+zwei Arten scheiden. Bedeutet n�mlich der Eingang eine Zahl
+oder eine Zeit, so ergibt sich hiernach eine nat�rliche Ordnung,
+nach der die Zahlen in der Tabelle entsprechend dem Eingang zu
+nehmen sind. Dagegen kann es auch vorkommen, wie es bei einer
+Liste oder bei einem Register h�ufig der Fall ist, da� die Reihenfolge,
+in der man die Bezeichnungen des Einganges und damit
+die Zahlen der Tabelle nimmt, v�llig willk�rlich bleibt. Wir
+werden also immer unterscheiden k�nnen, ob eine Tabelle sich
+ohne Verletzung einer nat�rlichen Ordnung umordnen l��t oder
+\DPPageSep{040}{26}
+nicht. Diese Unterscheidung f�llt allerdings nicht ganz damit
+zusammen, ob der Eingang nach einem nat�rlichen Prinzip geordnet
+ist oder nicht. Dies zeigt ein Beispiel sofort. Im Falle
+eines Geburtenregisters ist eine nat�rliche Ordnung nach dem
+Zeitpunkt der Geburt vorhanden, aber wenn es sich um irgend
+eine zahlm��ige Bestimmung handelt, die an die Geborenen
+angekn�pft wird, \zB~die Lebensdauer, so kann man doch eine
+Umordnung, etwa nach der Lebensdauer, vornehmen. Also ist
+die Verletzung einer nat�rlichen Ordnung nicht notwendig dann
+vorhanden, wenn der Eingang nach bestimmten Gesichtspunkten
+geordnet ist. Dagegen w�re eine Umordnung \zB~bei einer
+Logarithmentafel undenkbar. Dies liegt daran, da� zwischen dem
+Eingang und dem Eintrag ein bestimmter gesetzm��iger Zusammenhang
+besteht: der Eintrag ist eine Funktion des Einganges,
+und die Tabelle hat den Zweck, diese Funktion darzustellen. Beim
+Geburtenregister ist aber nicht unmittelbar die Lebensdauer als
+eine Funktion des Geburtsdatums anzusehen, die Tabelle stellt
+also nicht eine bestimmte Funktion, sei es eine analytische oder
+eine empirische, dar, und in diesem Fall ist die Umordnung
+gestattet.
+
+Wenn nun die Tabelle umgeordnet wird, so gelangt man
+durch diese Umordnung immer dazu, einen funktionalen Zusammenhang
+zu finden. Man geht zu dem Zweck von einer gewissen
+nat�rlichen Umordnung der Tabelle aus. Diese \so{nat�rliche}
+Umordnung ist die, bei der die Zahlenwerte der Tabelle
+ihrer \so{Gr��e} nach aufeinander folgen. Man kann dann das ganze
+Intervall, das die Zahlen erf�llen, in eine Anzahl gleiche Teile
+teilen und angeben, wieviel Zahlen der Tabelle in jeden dieser
+Teile fallen. Man unterwirft also sozusagen die Zahlenwerte der
+Urreihe selbst einer Statistik, und das Resultat dieser Statistik
+hat immer den Charakter einer funktionalen Abh�ngigkeit. Zu
+jeder Gr��e der vorkommenden Zahlenwerte geh�rt ja eine bestimmte
+H�ufigkeit des Vorkommens. Die so abgeleitete Zahlenreihe
+soll eine \so{Verteilungsreihe} hei�en. Wir k�nnen auch
+von einer \so{Verteilungsfunktion} sprechen, doch denkt man bei
+dem Wort Funktion gew�hnlich an die gegenseitige Abh�ngigkeit
+zweier kontinuierlich ver�nderlichen Zahlen, die ja nicht aus der
+Tabelle selbst unmittelbar hervorgehen, sondern von der diese
+nur den angen�herten Ausdruck bilden kann.
+\DPPageSep{041}{27}
+
+Es ist nun nicht eine allgemeine Er�rterung der durch
+Tabellen gegebenen Zahlenfolgen unsere Aufgabe, vielmehr handelt
+es sich f�r uns darum, die Schwankungen herauszufinden, die wir
+bei den in der Tabelle eingetragenen Zahlenwerten als zuf�llige
+bezeichnen sollen.
+
+Zu dem Zweck greifen wir eine besondere Art von Zahlenreihen
+heraus, n�mlich solche Reihen, bei denen wir keine systematische
+Zu- oder Abnahme der eingetragenen Zahlenwerte beobachten
+k�nnen, deren Werte vielmehr fortw�hrend zwischen
+bestimmten Grenzen eingeschlossen bleiben. Solche Reihen von
+Zahlen wollen wir als \so{station�re} Zahlenreihen bezeichnen. Die
+n�chste Aufgabe w�re also die, genau anzugeben, wann eine Reihe
+als station�r zu gelten hat. Hierf�r l��t sich aber nicht eine
+scharfe, allgemein g�ltige Definition geben, vielmehr kann man
+nur Regeln anf�hren, die einen gewissen Anhalt f�r die Beurteilung
+station�rer Reihen gew�hren. Solche Regeln finden wir, indem
+\DPtypo{wie}{wir} die Differenzen der in die Tabelle eingetragenen Zahlenwerte
+bilden. Wir k�nnen dabei auf doppelte Weise vorgehen. Entweder
+bilden wir die Differenzen von je zwei aufeinander folgenden
+Tabellenwerten, oder wir bilden die Differenz eines Tabellenwertes
+von allen anderen. Im ersten Falle erkennen wir, da� eine Reihe
+station�r ist, daran, da� die Vorzeichen der Differenzen regellos
+schwanken. Dies allein w�rde aber nicht ausreichen, denn wir
+k�nnen uns eine Reihe denken, bei der positive und negative Differenzen
+abwechseln und bei der doch ein best�ndiges Anwachsen der
+eingetragenen Werte stattfindet, indem die positiven Differenzen
+der Gr��e nach die negativen andauernd �berwiegen. Deshalb
+mu� eine auf dem zweiten Fall der Differenzenbildung aufgebaute
+Regel erg�nzend hinzutreten. Diese zweite Regel sagt aus, da�
+die Differenzen eines festen Wertes von allen anderen, der Reihe
+nach genommenen Werten keine systematische Zu- oder Abnahme
+erfahren d�rfen, da� sie vielmehr selbst den Typus der regellosen
+Schwankungen zeigen m�ssen. Allerdings mu� es m�glich sein,
+da� diese Differenzen alle dasselbe Vorzeichen haben. Dies tritt
+ein, wenn wir f�r den festen Wert den gr��ten oder kleinsten
+Wert der Reihe nehmen. Wollen wir positive \so{und} negative Differenzen
+haben, so m�ssen wir einen Mittelwert zwischen diesen
+beiden Extremwerten nehmen, im besonderen den Wert der Reihe,
+unter dem h�chstens ein Wert der Reihe mehr oder weniger liegt
+\DPPageSep{042}{28}
+als �ber ihm. Dann m�ssen die Vorzeichen der Differenzen
+regellos wechseln, es d�rfen nicht \zB~die positiven sich in einer
+Gegend h�ufen, insbesondere indem sie nach einer bestimmten
+Seite hin zunehmen. Diese einfachen Regeln reichen zu einer
+vorl�ufigen Beurteilung, ob eine vorliegende Reihe als station�r
+zu gelten hat, aus. Es wird aber gut sein, wenn wir zun�chst
+ein paar Beispiele f�r station�re Reihen anf�hren.
+
+Ein erstes wichtiges Beispiel solcher Reihen wird gegeben durch
+eine Reihe von \so{Messungen derselben physikalischen Gr��e}.
+Wenn die Messungen leidlich genau sind, weichen die erhaltenen
+Werte verh�ltnism��ig wenig voneinander ab, um so weniger,
+je genauer die Messungen waren. Bei physikalischen Gr��en
+glauben wir an einen wahren Wert, dem die durch Messung gefundenen
+Werte mehr oder weniger nahe kommen. Die Abweichung
+von diesem wahren Wert bezeichnen wir dann als den
+\so{Fehler} der Messung. Die Betrachtungsweise, der wir hier folgen,
+geht jedoch auf die Bedeutung der Existenz des wahren Wertes,
+die immer jenseits des Bereiches der eigentlichen Messungen liegt,
+nicht weiter ein, vielmehr ist das einzig Gegebene f�r uns die
+Messungsreihe selbst. Der als Resultat der einzelnen Messungen
+niedergelegte Zahlenwert ist der zusammenfassende Ausdruck
+eines bestimmten Vorganges, den wir eben als Messung bezeichnen
+und bei dem gew�hnlich drei Momente: der der Messung zugrunde
+liegende physikalische Tatbestand, die messende Person und das
+Me�instrument, zusammenwirken. Den physikalischen Tatbestand
+setzen wir als unabh�ngig von der messenden oder beobachtenden
+Person voraus. Nur unter dieser Voraussetzung ist es m�glich,
+von einem bestimmten, unabh�ngig von der Messung bestehenden
+Zahlenwert, dem wahren Wert, zu sprechen und die Abweichung
+von diesem wahren Wert, den begangenen Fehler, teils der Person
+des Messenden, teils dem Me�instrument zuzuschreiben. So tritt
+auch in die sogenannte Fehlertheorie der Glaube an die von der
+Wahrnehmung unabh�ngige Wirklichkeit einer uns umgebenden
+Welt entscheidend hinein, und da dieser Glaube, weil er aus den
+Sinneswahrnehmungen selbst nicht abgeleitet werden kann, notwendigerweise
+metaphysischen Charakter hat, steht auch die so
+aufgefa�te Fehlertheorie auf metaphysischem Boden, sie ist nur
+transzendent zu begr�nden, unsere Betrachtungen dagegen sind
+wesentlich immanenter Natur, sie bleiben ganz innerhalb der
+\DPPageSep{043}{29}
+Grenzen der Wahrnehmung, das einzig Gegebene sind f�r uns die
+Beobachtungsresultate selbst, und es handelt sich nur um eine
+bestimmte Analysierung dieser Resultate.
+
+Hierdurch ist bedingt, da� wir die als Resultate verschiedener
+Messungen derselben physikalischen Gr��e sich ergebenden Zahlen
+nicht anders werten wie irgend eine andere station�re Zahlenreihe,
+bei der es ganz sicher ist, da� die einzelnen Zahlenwerte
+sich nicht auf eine und dieselbe physikalische Gr��e beziehen. Als
+ein erstes Beispiel f�r eine solche Zahlenreihe wollen wir die \so{mit
+Roggen bebaute Bodenfl�che in Mecklenburg-Schwerin}
+w�hrend der einzelnen Jahre nehmen:
+\begin{center}
+\begin{tabular}{c||cTc||cTc||c}
+\hline
+\hline
+\ColHeadbb{Jahr}{Jahr} &
+\ColHeadB{Erntefl�che}{Erntefl�che\\qkm} &
+\ColHeadbb{Jahr}{Jahr} &
+\ColHeadB{Erntefl�che}{Erntefl�che\\qkm} &
+\ColHeadbb{Jahr}{Jahr} &
+\ColHead{Erntefl�che}{Erntefl�che\\qkm} \\
+\hline
+\hline
+1880 & 1646 & 1889 & 1673 & 1898 & 1582 \\
+1881 & 1647 & 1890 & 1673 & 1899 & 1568 \\
+1882 & 1646 & 1891 & 1673 & 1900 & 1620 \\
+1883 & 1673 & 1892 & 1625 & 1901 & 1661 \\
+1884 & 1673 & 1893 & 1703 & 1902 & 1728 \\
+1885 & 1673 & 1894 & 1701 & 1903 & 1612 \\
+1886 & 1673 & 1895 & 1539 & 1904 & 1652 \\
+1887 & 1673 & 1896 & 1618 & 1905 & 1678 \\
+1888 & 1673 & 1897 & 1616 & 1906 & 1675 \\
+\end{tabular}
+\end{center}
+
+Die Tabelle zeigt deutlich, da� wir es hier mit einer station�ren
+Zahlenreihe zu tun haben, denn die aufgezeichneten Zahlenwerte
+bleiben zwischen den Grenzen 1539 und~1728, und es ist
+kein merkliches Fortschreiten in der Reihe zu beobachten, vielmehr
+geh�ren der gr��te und der kleinste Wert zwei mitten in
+der Reihe, und zwar ziemlich dicht beieinander liegenden Jahren
+(1893 und~1902) an. Es sind aber an diese Zahlenfolge noch
+einige kritische Bemerkungen zu kn�pfen. Die absolute Unver�nderlichkeit
+w�hrend der Jahre 1883 bis~1891 macht ganz den
+Eindruck, als ob sie nicht auf wirklicher Beobachtung beruhte,
+sondern dadurch entstanden w�re, da� einfach die Zahlen des
+vorigen Jahres wieder hingesetzt wurden. Bei der Frage nach
+der Entstehungsweise der Tabelle tritt hier also als wahrscheinlich
+ein Grund auf, der von ganz anderer Art ist als die Ursache,
+die eine wirkliche Ver�nderung oder Unver�nderlichkeit in den
+\DPPageSep{044}{30}
+durch die Tabelle gegebenen realen Gr��en bedeutet. Er bedeutet
+einen objektiven Fehler bei der Aufstellung der Tabelle. Derartige
+Fehler sind bei statistischen Erhebungen notwendigerweise
+mit in Rechnung zu ziehen, sie bilden den gr��ten �belstand der
+Statistik, weil die Versuchung sehr gro� ist, m�hevollen Erhebungen
+durch das Erdichten einer Zahl zu entgehen.
+
+Zu den Zahlenreihen, die auf Grund bestimmter Messungen
+oder Z�hlungen entstehen und an sich station�r sind, k�nnen
+Zahlenreihen treten, die aus unmittelbar beobachteten Zahlenwerten
+erst durch bestimmte Rechenoperationen abgeleitet sind.
+Insbesondere fragt es sich, ob sich nicht unter Umst�nden eine
+station�re Reihe durch Verbindung mehrerer Beobachtungsreihen
+ableiten l��t. Wir erl�utern dies am besten gleich durch ein der
+Physik entnommenes Beispiel. Man denke sich eine U-f�rmig
+gebogene R�hre, deren unterer, gekr�mmter Teil mit Quecksilber
+gef�llt ist, w�hrend der eine, geschlossene Schenkel Luft enth�lt.
+Der andere Schenkel der R�hre ist offen. Wenn hierin Quecksilber
+zugegossen wird, wird die Luft im geschlossenen Schenkel komprimiert.
+Das Volumen ist aus dem Stande des Quecksilbers sofort
+zu bestimmen. Wir messen ferner den Unterschied zwischen der
+H�he des Quecksilbers in dem offenen und in dem geschlossenen
+Schenkel und bestimmen daraus den Druck, den die Luft in dem
+geschlossenen Schenkel auf das Quecksilber aus�bt. Die so bestimmten
+Werte von Volumen und Druck zeichnen wir in einer
+Tabelle auf und f�gen in einer dritten Spalte sogleich das Produkt
+zusammengeh�riger Werte von Volumen und Druck hinzu.
+Aus einer Reihe von Beobachtungen ist so die folgende Tabelle
+abgeleitet:
+\begin{center}
+\begin{tabular}{c|c|c}
+\hline
+\hline
+\ColHeadb{Volumen}{Volumen\\ccm} &
+\ColHeadb{cm Hg}{Druck\\cm Hg} &
+\ColHead{Produkt}{Produkt} \\
+\hline\hline
+ 20,2 & \Z75,8 & 1531 \\
+ 19,0 & \Z81,4 & 1547 \\
+ 17,2 & \Z89,0 & 1531 \\
+ 15,2 &  100,0 & 1520 \\
+ 13,8 &  110,0 & 1518 \\
+ 12,4 &  124,3 & 1541 \\
+ 11,0 &  139,1 & 1530 \\
+\Z9,8 &  156,5 & 1535 \\
+\end{tabular}
+\end{center}
+\DPPageSep{045}{31}
+
+Wir sehen hieraus, da� die Werte von Volumen und Druck
+keine station�re Reihe bilden, wohl aber die durch Multiplikation
+zusammengeh�riger Zahlen abgeleiteten Werte in der dritten
+Spalte. Man sieht nun die durch eine solche Ableitung gefundene
+station�re Reihe als den Ausdruck einer in Wirklichkeit unver�nderlichen
+physikalischen Gr��e an. Man setzt daher f�r die
+einzelnen gefundenen Werte eine Konstante~$C$ und findet dann
+im vorliegenden Falle, indem man allgemein das Volumen mit~$v$,
+den Druck mit~$p$ bezeichnet, als die durch die vorstehende Tabelle
+ausgedr�ckte Beziehung:
+\[
+p � v = C.
+\]
+
+Die Ableitung einer station�ren Reihe aus bestimmten gemessenen
+Zahlenwerten bedeutet also hier die Ermittelung eines
+funktionalen Zusammenhanges zwischen bestimmten physikalischen
+Gr��en oder, wenn man will, ein Naturgesetz, in diesem Falle das
+sogenannte \so{Boyle}sche oder \so{Mariotte}sche Gesetz, das die Abh�ngigkeit
+\index{Boylesches (Mariottesches) Gesetz}%
+von Druck und Volumen bei gleichbleibender Temperatur
+ausdr�ckt. Die Ermittelung einer station�ren Reihe ist
+geradezu die Aufgabe bei der Aufdeckung irgend eines physikalischen
+Zusammenhanges.
+
+Die Ermittelung eines derartigen einfachen Zusammenhanges
+ist meistens nur bei den elementaren Naturerscheinungen m�glich.
+Es sei gestattet, ein sehr merkw�rdiges Beispiel anzuf�hren, wo sie
+auch bei sehr viel h�her stehenden Prozessen gelingt. Es ist ein
+Beispiel aus der Biologie, das sich auf ein primitives Lebewesen
+(Triloculina rotunda), einen mehrkammerigen Kammerling, bezieht.
+Hieran hat \so{Iterson} Messungen vorgenommen, durch die er die
+\index{Iterson}%
+Breite der einzelnen Kammern bestimmte, und dabei gefunden
+(vgl.\ \so{Rhumbler}, Die Foraminiferen, Kiel 1911, S.~176):
+\index{Rhumbler}%
+\[
+\begin{array}{c|c|c}
+\hline
+\hline
+\ColHeadb{Kammer}{Kammer} &
+\ColHeadb{Kammer-}{Kammer-\\breite} &
+\ColHead{jeder Breite zur}{Verh�ltnis\\jeder Breite zur\\vorhergehenden} \\
+\hline
+\hline
+\Z2 & \Z34 & \Dash \\
+\Z3 & \Z45 & 1,32 \\
+\Z4 & \Z61 & 1,36 \\
+\Z5 & \Z84 & 1,38 \\
+\Z6 &  114 & 1,36 \\
+\Z7 &  142 & 1,25 \\
+\Z8 &  182 & 1,28 \\
+\Z9 &  246 & 1,35 \\
+ 10 &  319 & 1,30 \\
+\end{array}
+\]
+\DPPageSep{046}{32}
+
+Die dritte Spalte bildet wieder eine station�re Zahlenreihe.
+Es ergibt sich also auch hier ein einfacher funktionaler Zusammenhang,
+wenn wir die station�re Reihe als den Ausdruck
+einer Konstanten $c$ ansehen. Nennen wir die Breiten der einzelnen
+Kammern $y_i$, so finden wir:
+\[
+\frac{y_{i+1}}{y_{i}} = c,
+\]
+\dh~die Kammerbreiten bilden eine geometrische Progression,
+das sogenannte Gesetz des organischen Wachstums findet sich hier
+sehr angen�hert verwirklicht.
+
+Die auf die Vorg�nge in der menschlichen Gesellschaft bez�glichen
+Zahlenreihen zeigen meist keine so einfache Regelm��igkeit
+wie die in der Naturwissenschaft aus bestimmten
+Messungen und Z�hlungen entspringenden Zahlenwerte. So oft
+\begin{figure}[hbt!]
+  \centering
+  \caption{Fig.~3.}
+  \Input{046}
+\end{figure}
+\DPPageSep{047}{33}
+man den Versuch gemacht hat, auch sie durch eine Formel darzustellen,
+so selten ist es wirklich gelungen, und selbst dann ist
+schwer zu sagen, ob die gefundene Formel wirklich einem inneren
+Zusammenhange entspricht oder der darzustellenden Reihe rein
+�u�erlich angepa�t ist. Doch ist bisweilen die Regelm��igkeit
+in den statistischen Zahlenfolgen weit gr��er, als man gew�hnlich
+denkt. Als ein sehr merkw�rdiges Beispiel hierf�r wollen wir
+\index{Pearson}%
+nach \so{Pearson} eine Statistik �ber die \so{Ehescheidungen in den
+Vereinigten Staaten}, in der die H�ufigkeit der Scheidungen nach
+der Dauer der Ehe aufgezeichnet ist, anf�hren. Man verf�hrt am
+einfachsten so, da� man die Zahlen graphisch auftr�gt und dann
+durch Probieren eine m�glichst einfache Kurve zu finden sucht,
+welche dem aufgezeichneten Werte m�glichst entspricht. Man
+findet in dem vorliegenden Falle eine Kurve von sehr einfachem
+Verlauf, die zuerst j�h aufsteigt, etwa bei dem Abszissenwert
+$3\frac{1}{2}$~Jahre ein Maximum erreicht und dann allm�hlich abf�llt
+(\Fig{3}). Man h�te sich nur, den Ordinaten der Kurve eine unmittelbare
+Bedeutung zu geben. Sie ist allein eine Illustration des
+Verlaufes der aufgezeichneten Zahlenreihe.
+
+Von Wichtigkeit ist auch, den Verlauf einzelner Verh�ltniszahlen
+n�her zu untersuchen, gerade um der Meinung entgegenzutreten,
+als ob auch alle \DPtypo{statistische}{statistischen} Verh�ltniszahlen station�re
+Zahlenreihen lieferten und keine systematischen Ver�nderungen
+zeigten.
+
+Wir wollen als Beispiel die \so{Anzahlen der Lebendgeborenen
+in Promille der Einwohnerschaft} w�hrend der
+einzelnen Jahre im Gebiete des Deutschen Reiches nehmen.
+\begin{table}
+\centering
+\begin{longtable}{@{\,}c||cTc||cTc||c@{\,}}
+\hline
+\hline
+\ColHeadbb{Jahr}{Jahr} &
+\ColHeadB{\thsmall Lebendgeborene}{\thsmall Lebendgeborene\\Prom.} &
+\ColHeadbb{Jahr}{Jahr} &
+\ColHeadB{\thsmall Lebendgeborene}{\thsmall Lebendgeborene\\Prom.} &
+\ColHeadbb{Jahr}{Jahr} &
+\ColHead{\thsmall Lebendgeborene}{\thsmall Lebendgeborene\\Prom.} \\
+\hline
+\hline
+\endhead
+1862 & 36,0 & 1871 & 34,5 & 1880 & 37,6 \\
+1863 & 38,3 & 1872 & 39,5 & 1881 & 37,0 \\
+1864 & 38,5 & 1873 & 39,7 & 1882 & 37,2 \\
+1865 & 38,2 & 1874 & 40,1 & 1883 & 36,6 \\
+1866 & 38,3 & 1875 & 40,6 & 1884 & 37,2 \\
+1867 & 36,9 & 1876 & 40,9 & 1885 & 37,0 \\
+1868 & 36,9 & 1877 & 40,0 & 1886 & 37,1 \\
+1869 & 37,9 & 1878 & 38,9 & 1887 & 36,9 \\
+1870 & 38,4 & 1879 & 38,9 & 1888 & 36,6 \\
+\DPPageSep{048}{34}
+1889 & 36,4 & 1897 & 36,1 & 1905 & 33,0 \\
+1890 & 35,7 & 1898 & 36,1 & 1906 & 33,1 \\
+1891 & 37,0 & 1899 & 35,9 & 1907 & 32,3 \\
+1892 & 35,7 & 1900 & 35,6 & 1908 & 32,1 \\
+1893 & 36,8 & 1901 & 35,7 & 1909 & 31,0 \\
+1894 & 35,9 & 1902 & 35,1 & 1910 & 29,8 \\
+1895 & 36,1 & 1903 & 33,8 & 1911 & 28,6 \\
+1896 & 36,3 & 1904 & 34,0 &      &      \\
+\end{longtable}
+\end{table}
+
+Die Zahlenreihe zeigt nach den Einsenkungen in den Kriegsjahren
+ein deutlich erkennbares Maximum im Jahre~1876, \dh~auf
+dem Gipfel des wirtschaftlichen Aufschwunges nach dem
+deutsch-franz�sischen Kriege. Dann folgt eine Abnahme, nach
+\begin{figure}[hbt!]
+  \centering
+  \caption{Fig.~4.}
+  \Input{048}
+\end{figure}
+der sich von etwa 1881 bis~1901 eine anscheinend station�re
+Reihe ergibt, bis etwa von dem Beginn des neuen Jahrhunderts
+an sich eine entschiedene Abnahme bemerkbar macht, die von der
+�ffentlichkeit auch empfunden und mit Sorge betrachtet wird.
+\EndChap
+\DPPageSep{049}{35}
+
+
+\Chapter{Viertes Kapitel}{Das "`Gesetz der gro�en Zahlen"'}
+
+Von besonderer Bedeutung sind die station�ren Reihen, bei
+denen die eingetragenen Zahlwerte statistische Verh�ltniszahlen
+sind. Sie bilden sozusagen den Gegenpol der Messungsreihen,
+die sich aus wiederholten Messungen derselben physikalischen
+Gr��e ergeben. W�hrend bei diesen die erste Frage die ist, wie
+�berhaupt eine Abweichung zwischen den gefundenen Zahlwerten
+zustande kommt, ist bei den statistischen Verh�ltniszahlen die
+Frage vielmehr die, wie ihre angen�herte Unver�nderlichkeit zu
+erkl�ren ist, da man ja zun�chst f�r diese Unver�nderlichkeit
+keinen Grund einsieht, weil die Ereignisse, auf die sich die Verh�ltniszahlen
+beziehen, gew�hnlich voneinander unabh�ngig sind
+und man daher nicht erkennen kann, wie sich aus den Ergebnissen
+f�r die Ereignisse w�hrend eines bestimmten Zeitabschnittes
+oder allgemein innerhalb irgend eines Z�hlungsbereiches nach den
+Grunds�tzen der kausalen Verkn�pfung ein Schlu� auf die analogen
+Ergebnisse w�hrend eines neuen Zeitabschnittes oder innerhalb
+eines anderen Z�hlungsbereiches ziehen lassen soll. Derart
+w�rde man dazu gef�hrt werden, die Existenz n�herungsweise
+konstanter statistischer Verh�ltniszahlen als eine in einzelnen
+F�llen durch die Erfahrung erwiesene, aber nicht zu begr�ndende
+Tatsache hinzunehmen. Wenn man f�r diese Tatsache die gew�hnlich
+�bliche Bezeichnung "`Gesetz der gro�en Zahlen"' beibehalten
+wird, so mu� man sich dabei klar sein, da� es sich nicht
+im eigentlichen Sinne um ein Gesetz, \dh~eine unverbr�chliche
+Regelm��igkeit handelt, sondern nur um eine Tatsache, die bisweilen
+beobachtet wird. Das "`Gesetz"' bedeutet nur ein Prinzip
+der Auswahl, indem man insbesondere solche Verh�ltniszahlen
+herausgreift, die sich als n�herungsweise konstant erweisen, ohne
+sagen zu k�nnen, warum sie es sind, und ohne �berhaupt sagen
+\DPPageSep{050}{36}
+zu k�nnen, da� allen so herausgegriffenen Ereignissen eine bestimmte
+innere Gleichartigkeit zuzuschreiben sei.
+
+Es ergeben sich aber auch hierbei von vornherein gewisse
+Schwierigkeiten, die nicht zu untersch�tzen sind. Zun�chst ist zu
+beachten, da� die Unver�nderlichkeit nie eine absolute, sondern
+immer nur eine angen�herte ist. Es ist daher nicht allgemein
+zu entscheiden, wann �berhaupt statistische Verh�ltniszahlen als
+konstant angesehen werden sollen, sondern es bleibt immer der
+Willk�r �berlassen, festzulegen, innerhalb welcher Grenzen die
+Schwankungen dieser Zahlen sich halten m�ssen, damit man sie
+noch als konstant ansehen kann. Je nachdem, wie man �ber diese
+Frage entscheidet, wird der Bereich der konstanten statistischen
+Verh�ltniszahlen weiter oder enger gezogen.
+
+Nun ist es aber nicht allein die Gr��e der Schwankungen, es ist
+auch ihre Form, die in Betracht kommt. Wenn die Ver�nderungen
+in einer Reihe von Verh�ltniszahlen zwar gering sind, aber sich
+deutlich ergibt, da� diese Zahlen fortw�hrend ab- oder zunehmen,
+so wird man ungern diese Zahlen als konstant betrachten, vielmehr
+springt eine bestimmte �nderungstendenz so deutlich in die
+Augen, da� man sie nicht ignorieren kann und deshalb von einer
+"`systematischen �nderung"' sprechen mu�. Anders ist es, wenn
+wenigstens f�r den ersten Anblick regellos Zu- und Abnahme miteinander
+wechseln. Dann erkennt man keine bestimmte �nderungstendenz
+und man ist vielmehr geneigt, von einer gewissen
+Konstanz in den Verh�ltniszahlen zu sprechen.
+
+Es ist allerdings zu bemerken, da� solche blo� regellose
+Schwankungen verh�ltnism��ig selten sind und da� die Aufgabe
+der Statistik im allgemeinen eher darin besteht, die systematischen
+�nderungen in den Zahlenreihen zu finden, als die F�lle herauszugreifen,
+in denen solche �nderungen fehlen. Zweifellos aber kann
+man, auch wo offenbar systematische �nderungen vorhanden sind,
+falls sie in gewissen engen Grenzen bleiben, immer noch die Frage
+aufwerfen, wie es denn kommt, da� man nur so geringe �nderungen
+findet, w�hrend man von vornherein doch auf viel gr��ere
+Schwankungen gefa�t sein m��te. Wenn sich jedes Jahr eine
+ziemlich gleichbleibende Zahl von Gestellungspflichtigen durch
+Selbstverst�mmelung dem Milit�rdienst zu entziehen sucht, so ist
+dies eine Tatsache, auf die man von vornherein nicht gefa�t sein
+kann. Man k�nnte sich doch ebensogut denken, da� es in einem
+\DPPageSep{051}{37}
+Jahr viermal oder zehnmal so viel wie in einem anderen sind, denn
+es besteht ja gar kein urs�chlicher Zusammenhang zwischen den
+Ergebnissen der einzelnen Jahre. Was im einen Jahre geschehen
+ist, l��t sich nicht im geringsten �bertragen auf das, was im
+n�chsten Jahre geschehen wird. Es kommen ganz neue Personen
+in Betracht, die mit den im Vorjahre Beobachteten in keinerlei
+Beziehung stehen. Jeder einzelne handelt f�r sich, unabh�ngig
+und meist ohne Kenntnis von den �brigen. Alle Versuche zur
+Erkl�rung der geringen Ver�nderlichkeit statistischer Verh�ltniszahlen,
+die bisher gemacht sind, scheinen mir denn auch nicht
+das erstrebte Ziel zu erreichen. Meistens werden folgende Gesichtspunkte
+hervorgehoben: Wenn \zB~jedes Jahr ungef�hr derselbe
+Bruchteil der Menschen durch Selbstmord aus dem Leben scheidet, so
+liege dieses daran, da� unter den lebenden Individuen ein gewisser
+Prozentsatz in bestimmter Weise krankhaft veranlagt ist, und
+durch eine Reihe von Umst�nden, die fast immer in der gleichen
+Weise vorhanden sind, verm�ge ihrer krankhaften Veranlagung
+zum Selbstmord getrieben wird. Diese Erkl�rung klingt an sich
+durchaus annehmbar. Man mu� schon etwas n�her zusehen, um
+zu erkennen, da� sie in Wirklichkeit gar keine Erkl�rung im Sinne
+einer Zur�ckf�hrung auf leichter zu durchschauende Tatsachen ist.
+Wir k�nnen n�mlich zun�chst fragen: Wie kommt es denn, da� ein
+bestimmter Prozentsatz der lebenden Individuen eine krankhafte
+Neigung zum Selbstmord besitzt? Selbst wenn diese Neigung in
+allen F�llen von den Eltern auf die Kinder �berginge und nur
+auf diese Weise zustande k�me, so da� immer die Kinder der zum
+Selbstmord veranlagten Personen und nur diese die gleiche Neigung
+besitzen, selbst dann bliebe noch zu erkl�ren, wie es kommt, da�
+von einer Gruppe Menschen, die einen bestimmten Prozentsatz der
+Bev�lkerung ausmacht, auch die Nachkommen immer wieder angen�hert
+denselben Prozentsatz der Bev�lkerung ausmachen, was ja
+durchaus nicht selbstverst�ndlich ist, da die Anzahl der Kinder
+von einem Ehepaar zum anderen erheblich wechselt, auch die
+so veranlagten Personen nicht immer zur Heirat gelangen, und
+schlie�lich bleibt auch zweifelhaft, wenn nur eines der Eltern die
+Anlage besitzt, ob dann das Kind sie wieder erbt, denn wenn das
+immer der Fall w�re, m��te ja die Anzahl der so disponierten
+Personen rapid zunehmen. Eine eigentliche Erkl�rung ist so
+schon bei dieser Annahme nicht gegeben, und noch viel weniger,
+\DPPageSep{052}{38}
+wenn die Veranlagung zum Selbstmord auch durch andere uns unbekannte
+Umst�nde bei der Zeugung oder im Verlauf der Entwickelung
+zustande kommen kann. Endlich l��t sich nicht einmal
+behaupten, da� in allen F�llen der Selbstmord auf einer bestimmten
+Veranlagung beruhe, durch eine Reihe besonderer Umst�nde, insbesondere
+den wirtschaftlichen oder moralischen Zusammenbruch,
+kann m�glicherweise auch ein normal veranlagter Mensch zum
+Selbstmord getrieben werden. Namentlich ist ja bekannt, da�
+Liebespaare, ohne da� beide Teile zum Selbstmord pr�disponiert
+sein m�ssen, durch die erotische Stimmung zum Selbstmord gebracht
+werden. Alles das sind Umst�nde, die sich von vornherein
+nicht abw�gen lassen. Man kann in allen F�llen nur dieselbe
+Behauptung wiederholen, es befinde sich in der menschlichen Gesellschaft
+von den unter den verschiedenen Einwirkungen stehenden
+Individuen immer angen�hert ein bestimmter Prozentsatz. Dadurch
+wird aber die eigentliche Tatsache der Unver�nderlichkeit
+nicht erkl�rt, sondern nur fortgesetzt behauptet. Gewi� k�nnen
+wir behaupten, es befinde sich in der Gesellschaft immer angen�hert
+derselbe Prozentsatz von ungl�cklichen Liebenden oder bankerotten
+Existenzen, aber wie dieses wiederum zu erkl�ren sei, daf�r fehlt
+uns ebensosehr jede Handhabe wie f�r die urspr�ngliche Frage.
+Das anf�ngliche Problem wiederholt sich immer aufs neue.
+
+Auch die Berufung auf eine durchgehende Gesetzm��igkeit,
+die in der menschlichen Gesellschaft ebenso wie in der Natur
+walten m�sse, erkl�rt gar nichts, ebensowenig wie der Vergleich
+mit den die Ordnung im Staat herstellenden Gesetzen\footnote
+  {\mbox{Vgl.\ \so{Ad}.\ \so{Wagner}}, Die Gesetzm��igkeit in den scheinbar willk�rlichen
+\index{Wagner, Ad.}%
+  menschlichen Handlungen. Hamburg 1864.}.
+Allerdings
+ist es nicht ganz so, wie \so{Windelband} (Die Lehren vom
+\index{Windelband}%
+Zufall, Inauguraldiss., G�ttingen 1871, S.~47) sagt, da� ein naturwissenschaftliches
+Gesetz nur da vorliege, wo sich \so{genau} dasselbe
+numerische Verh�ltnis herausstellt. Denn alle Beobachtung zeigt
+wegen der unvermeidlichen Beobachtungsfehler und wegen der
+stets wirksamen st�renden Nebenerscheinungen nie die genaue,
+sondern immer nur die angen�herte Erf�llung des Gesetzes. Wir
+k�nnen aber �berhaupt nicht von einer naturgesetzlichen Erkl�rung
+reden, wo nur in einem bestimmten Bruchteil der in Betracht
+kommenden F�lle ein bestimmter Erfolg eintritt. Das Wesen der
+\DPPageSep{053}{39}
+Naturerkl�rung ist n�mlich, da� wir mit einer Erscheinung immer
+eine andere Erscheinung verkn�pft finden. Wenn wir daher die
+Erkl�rungsweise der Naturwissenschaft beibehalten wollen, so
+m�ssen wir die wirklich beobachteten Tatsachen derart erg�nzen,
+da� wir in allen F�llen, wo bestimmte Voraussetzungen erf�llt
+sind, auch einen bestimmten Erfolg erhalten. Wir f�gen daher
+zu den konstanten Bedingungen, die in allen F�llen gleichm��ig
+erf�llt sind, variable Bedingungen hinzu, die den Erfolg im einzelnen
+Falle entscheiden. Nehmen wir \zB~die Kindersterblichkeit
+w�hrend der ersten Lebensmonate. Wir k�nnen dann sagen, da�
+der Tod der Kinder aus ihrer geringen Lebensf�higkeit folgt. Wir
+teilen also den Kindern bei ihrer Geburt eine verschiedene Lebenskraft
+zu, nach der sich ihre Lebensdauer bestimmt. Es gehen aber
+die Kinder nicht ein, wie ein Lichtstummel verl�scht, wenn er abgebrannt
+ist, sondern es tritt immer, wenn sie sterben, eine �u�ere
+Ursache hinzu, die auch ausbleiben kann. Ob und wann das geschieht,
+daf�r fehlt uns jede Kontrolle. Wir sind also auch hier darauf
+angewiesen, blo� zu sagen: unter den Kindern mit schwacher
+Lebenskraft werden mehr sterben, als unter den kr�ftigen Kindern.
+Selbst das aber kann zweifelhaft erscheinen, denn es k�nnte doch
+auch einmal gl�cken, da� die schw�chlichen Kinder besser davonkommen
+wie die kr�ftigen. Wie es aber zustande kommt, da�
+einzelne Kinder lebensf�hig sind, die anderen nicht, dar�ber
+k�nnen wir nie etwas Bestimmtes sagen. Gewi� k�nnen wir eine
+Reihe von Umst�nden angeben, die auf die Lebenskraft des Kindes
+Einflu� haben: der Ern�hrungszustand der Mutter w�hrend der
+Schwangerschaft, die physische Beschaffenheit der Eltern usw.,
+aber nie finden wir Umst�nde, unter denen in keinem Falle oder
+in jedem Falle das Kind lebenskr�ftig ist. Ebenso �bt nat�rlich
+auch die S�uglingspflege ihren Einflu� auf die Sterblichkeit der
+Kinder aus, aber wir k�nnen wiederum nicht sagen, da� ein
+schlecht gepflegtes Kind, wenn es von Geburt an schwach war,
+immer, und ein gut gepflegtes Kind, wenn es der Anlage nach
+kr�ftig ist, nie stirbt. Die durchg�ngige Verbindung zweier Tatsachen,
+die das Wesen der Erkl�rung in der Naturwissenschaft
+ausmacht, findet also nicht statt, wenn wir blo� allgemein von
+der Lebensf�higkeit oder Lebensm�glichkeit sprechen und nicht
+auf alle besonderen Umst�nde eingehen, die im einzelnen Falle
+den Tod des Kindes herbeigef�hrt haben. Nicht anders ist es mit
+\DPPageSep{054}{40}
+dem Geschlechtsverh�ltnis der Geborenen, das zu den konstantesten
+Verh�ltniszahlen der Statistik geh�rt. Alle beobachtbaren Umst�nde
+reichen nicht aus, um das Geschlecht des geborenen Kindes
+mit Bestimmtheit angeben zu k�nnen. Allerdings kn�pft sich
+gerade an diesen Fall eine allgemeine Erkl�rung an, welche die
+Geschlechtsbestimmung auf elementarere Vorg�nge zur�ckf�hrt.
+Man nimmt n�mlich an (vgl.\ \so{Lexis}, Abhandlungen zur Theorie der
+\index{Lexis|f}%
+Bev�lkerungs- und Moralstatistik, Jena~1903, S.~94), da� schon die
+Keimzellen, seien es allein die weiblichen oder auch die m�nnlichen,
+geschlechtlich bestimmt seien und das in ihnen angelegte Geschlechtsverh�ltnis
+auch in dem Geschlechtsverh�ltnis der Geburten
+zutage tritt. Der Fall, der hier vorl�ge, wenn diese Erkl�rung
+richtig sein sollte, l��t sich durch folgendes Bild veranschaulichen.
+Ich habe in einer Tonne Bohnen und Erbsen gemischt und gut
+durcheinanderger�hrt; ich greife nun mit einem kleineren Gef��
+eine gewisse Menge aus der Mischung heraus, dann behaupte ich,
+da� die Mischung in der herausgegriffenen Probe dieselbe sei wie in
+dem ganzen Gef��. Diese Tatsache wird auch allgemein als richtig
+anerkannt. Wo im Handel Mischungen (etwa von zwei Kaffeesorten)
+hergestellt werden, verl��t man sich darauf, da� das Verh�ltnis der
+gemischten Substanzen in jedem Teil dasselbe sei wie im ganzen.
+Wenn wir an der Richtigkeit der Tatsache aber auch nicht zweifeln,
+so fehlt uns doch eine kausale Erkl�rung daf�r. Wir k�nnen die
+Tatsache auffassen als ein Axiom, was hei�t, da� wir sie nur als
+richtig annehmen, aber auf ihre Erkl�rung verzichten. Doch bedeutet
+der Verzicht auf eine kausale Erkl�rung immer noch nicht den
+Verzicht auf eine erkenntnistheoretische Erkl�rung. Auch die
+Geometrie nimmt ja eine Reihe von Axiomen als unbewiesene
+Tatsachen an, aber die Erkenntnistheorie setzt gerade bei diesen
+Axiomen ein und sucht ihr Zustandekommen und ihre Bedeutung
+zu erkl�ren.
+
+So geht es auch hier. Wir f�hlen das Bed�rfnis, eine Erkl�rung
+daf�r zu suchen, wie diese Tatsache, die wir kausal nicht als hinreichend
+erkl�rt ansehen k�nnen, in Wirklichkeit zustande kommt.
+Im Grunde ist es nun folgende Anschauung, die h�ufig Platz
+greift. Da die nat�rliche Erkl�rung aus regelm��igen Verkn�pfungen
+bestimmter Erscheinungen versagt, greift man zu einer
+�bernat�rlichen Deutung. Man denkt sich eine Art ausgleichender
+Gerechtigkeit, die das Gleichma� herstellt. Wie, das k�nnen wir
+\DPPageSep{055}{41}
+freilich nicht sagen. Wir m��ten uns denn kleine D�monen denken,
+die darauf wirken, den Ausgleich herzustellen, die \zB~bei der Befruchtung
+die m�nnlichen und weiblichen Keimzellen in dem geh�rigen
+Verh�ltnis zur Geltung bringen, die also untereinander im
+Verkehr stehen und gegenseitig ihre T�tigkeit regulieren, die auch
+f�r die richtige Verteilung der Krankheitskeime sorgen und dadurch
+die geh�rige Anzahl Kinder sterben lassen, usw. Wem diese
+Erkl�rung reichlich phantastisch scheint, der m�ge sich klar machen,
+da� es schwer einzusehen ist, wie man ohne die Annahme solcher
+�bernat�rlicher Regulative eine Erkl�rung erzielen kann. Man
+mu� eben bedenken, da� der eine Fall mit dem anderen �u�erlich
+in gar keiner Beziehung steht. Jede solche Beziehung, wie sie \zB~bei
+der Kindersterblichkeit durch eine Epidemie gegeben ist, w�rde
+im Gegenteil den Ausgleich verhindern, durch sie w�rde sich ja
+die normale \DPtypo{Sterlichkeit}{Sterblichkeit} erh�hen. Wir d�rfen also keine kausale
+Beziehung zwischen den einzelnen F�llen annehmen. Wie sollen
+wir sie dann miteinander in Verbindung bringen? Welchen Grund
+haben wir, anzunehmen, da� wenn ein Ereignis, \zB~ein Verbrechen
+wie Diebstahl oder Notzucht, w�hrend eines Jahres in
+Deutschland eine gewisse Anzahl Male eingetreten ist, da� es dann
+im n�chsten Jahre zwar nicht genau, aber doch ungef�hr ebensooft
+eintreten wird. Gewi� k�nnen wir rechnen, da� wir in Deutschland
+eine gewisse Anzahl zu dem Verbrechen disponierte Personen
+haben, aber da diese Personen doch das Verbrechen nicht jedes
+Jahr ausf�hren, so ist gar nicht abzusehen, warum nicht ein Jahr
+zuf�llig frei bleiben soll. Wenn Hinz das Verbrechen nicht ausf�hrt,
+so ist das gar kein Grund f�r Kunz, seinerseits das Verbrechen
+zu begehen. Und doch widerstreitet die Annahme einer
+gro�en Unregelm��igkeit in solchen statistischen Verh�ltniszahlen
+durchaus unserem Empfinden. "`Wenn in einem Lande"', sagt \so{Lexis}
+(\aaO, S.~98), "`in einem Jahre $1000$ Unterschlagungen stattgefunden
+haben, so ist nicht zu erwarten, da� dieses Verbrechen
+im anderen Jahre gar nicht und wieder in anderen Jahren in
+$10\,000$ F�llen vorkommen werde"'. "`In einer gro�en Bev�lkerung
+sind fortw�hrend"', f�gt er zur Erkl�rung hinzu, "`alle Abstufungen
+zwischen Arm und Reich vorhanden, ebenso alle Arten von Gesch�ftsbeziehungen
+und Amts- und Dienststellungen, die zu einem
+solchen Verbrechen Veranlassung geben k�nnen, ferner werden
+immer wieder viele Personen von wirtschaftlichen Schwierigkeiten,
+\DPPageSep{056}{42}
+Verlegenheiten und Notst�nden betroffen, auch sind Leichtsinn,
+Gewissenlosigkeit, Verschwendungssucht und andere �ble Eigenschaften
+stets in mannigfaltigen Graden verbreitet, und so treffen
+denn auch immer wieder die Bedingungen, die zu dem genannten
+und anderen Verbrechen und Vergehen gegen das Eigentum f�hren,
+in einer Anzahl von F�llen zusammen."' Das ist alles gewi� richtig,
+aber unter allen diesen Umst�nden ist kein einziger, der mit Notwendigkeit
+zu dem Verbrechen f�hrt, und wir k�nnen deshalb auch
+durchaus nicht einsehen, warum mit Notwendigkeit oder nur mit
+einer gewissen Sicherheit anzunehmen ist, da� die Schwankungen
+in der relativen H�ufigkeit des Verbrechens unter einer bestimmten
+Grenze bleibt. Man kann vielleicht sagen: vom sozialwissenschaftlichen
+Standpunkt ist alles klar, nur vom erkenntnistheoretischen
+Standpunkt liegt ein Problem vor. Es ist aber kein Zweifel, da�
+dieses Problem, auch wenn wir daf�r keine bestimmte Antwort,
+sondern nur eine feste Fragestellung finden, von der gr��ten Bedeutung
+ist. Denn auf der Tatsache, um deren Erkl�rung es sich
+hier handelt, beruht ja �berhaupt die M�glichkeit eines wirtschaftlichen
+und staatlichen Lebens. Sonst w�rde alles durcheinander
+geraten. In einem Jahre w�rde der Stand der Unschuld herrschen,
+im Jahre darauf w�re keiner seines Lebens und seines Eigentums
+sicher. Die Bev�lkerung w�rde sich nicht gleichm��ig verteilen,
+in einem Jahre w�rden fast gar keine, im anderen zu viel Kinder
+geboren werden, einmal w�rde es an Arbeitskr�ften fehlen, dann
+w�ren sie wieder im �berflu� da und n�hmen sich das Brot weg.
+Da aber nicht blo� die vom menschlichen Willen abh�ngigen
+Vorg�nge, sondern auch die Ereignisse der Natur auf einem
+statistischen Ausgleich beruhen, so w�rde die Verwirrung sich
+immer weiter h�ufen. W�hrend jetzt, von einzelnen Mi�ernten
+abgesehen, Jahr f�r Jahr gen�gend Nahrung f�r alle emporw�chst,
+w�rden dann die fetten und mageren Jahre regellos wechseln, einmal
+w�rde die Nahrung verderben und das andere Mal w�rden
+die Menschen Hungers sterben. So w�rde alle Ordnung und
+Sicherheit verloren gehen, alle menschliche F�rsorge w�rde unm�glich
+gemacht, der Mensch k�nnte nur stumpfsinnig in den
+Tag hineinleben und damit m��te alle Kultur erl�schen. Wir sehen
+daher, wie alles von diesem Ausgleich abh�ngt, f�r den wir im
+strengen Sinne des Wortes, n�mlich im Sinne eines unverbr�chlichen
+urs�chlichen Zusammenhanges, doch keine Erkl�rung geben k�nnen.
+\DPPageSep{057}{43}
+
+Die Annahme eines solchen Ausgleichs erweist sich schon in
+den elementarsten Naturerscheinungen als notwendig. Auf ihm
+beruht \zB~der sogenannte zweite Hauptsatz der W�rmetheorie,
+der aussagt, da� W�rme nicht von selbst vom k�lteren zum
+w�rmeren K�rper �bergeht. Gerade f�r diesen Fall hat schon
+\so{Maxwell} darauf hingewiesen, da� die logische Notwendigkeit des
+\index{Maxwell}%
+Ausgleichs nicht einzusehen sei. Dieser zweite Hauptsatz ist nicht
+ein Naturgesetz wie andere, er hat nur die Bedeutung einer Annahme,
+der wir uns nicht entziehen k�nnen; diese Annahme ist
+im Grunde dieselbe, die auch die Grundlage aller wirtschaftlichen
+Regelm��igkeit bildet.
+
+Die Annahme scheint so nat�rlich, so unausweichlich, da� man
+naturgem�� trachtet, sie auch als selbstverst�ndlich zu erweisen.
+Dieser an sich durchaus begreifliche Trieb hat sich auch bei den
+Annahmen gezeigt, welche die Geometrie machen mu�, ohne sie
+weiter beweisen zu k�nnen. So hat es lange gedauert, ehe man
+das bekannte Parallelenaxiom (wonach es in einer Ebene durch
+einen Punkt au�erhalb einer Geraden nur eine Gerade gibt, welche
+die erste Gerade nicht schneidet) als das erkannte, was es ist, als
+eine unbeweisbare Annahme. Vorher glaubte man immer, nach
+einer Erkl�rung oder einem Beweise f�r eine Tatsache suchen zu
+m�ssen, die vom Standpunkte des reinen Denkens so merkw�rdig
+scheint und auf die unsere Anschauung uns doch gleichsam von
+selbst hinf�hrt.
+
+�hnlich liegt der Fall auch hier. Die Annahme einer durchg�ngigen
+Regelm��igkeit in den Massenerscheinungen wurzelt so
+tief in uns, da� wir sie uns unmittelbar begreiflich zu machen,
+sie uns zu erkl�ren suchen. Zu einer solchen Erkl�rung haben
+viel die besonderen Massenerscheinungen beigetragen, die wir aus
+den Gl�cksspielen ableiten. Diese Massenerscheinungen sind zum
+gro�en Teil nicht wirklich beobachtete Erscheinungen, sondern
+blo�e Gedankenexperimente. Man denkt sich \zB, es werde ein
+W�rfel sehr oft geworfen, tausende von Malen, ohne es wirklich
+auszuf�hren, und urteilt dann ohne weiteres, es werde jede der
+sechs Seitenfl�chen des W�rfels hierbei ann�hernd gleich oft oben
+zu liegen kommen. Lassen wir es einmal dahingestellt, inwieweit
+ein solches Gedankenexperiment m�glich ist, inwieweit der Schlu�
+berechtigt ist: "`Es l��t sich absolut nicht einsehen, warum eine
+Seitenfl�che �fter als die andere oben zu liegen kommt, und deshalb
+\DPPageSep{058}{44}
+kommen sie alle gleich oft oben zu liegen"'. Nehmen wir die
+Tatsache ohne weiteres als richtig an, so w�rde aus ihr allerdings
+mit Sicherheit folgen, da�, wenn wir jetzt drei Seiten der W�rfel
+wei� und die anderen drei rot anstreichen, in der \so{H�lfte} der
+vorkommenden F�lle eine wei�e Seite oben zu liegen kommt.
+
+\so{Windelband}, der (\aaO) mit Recht entschieden davor warnt,
+\index{Windelband}%
+die gleichbleibenden Verh�ltniszahlen der Statistik als eine Gesetzm��igkeit
+auf den einzelnen Fall zu �bertragen, und ebenso energisch
+zur�ckweist, da� ein mechanischer Ausgleich zwischen den
+einzelnen F�llen zustande kommt, da das Resultat eines Falles
+auf das Resultat der anderen F�lle keinen Einflu� aus�bt, gibt
+doch den konstanten Bedingungen der Ereignisse eine Bedeutung,
+die �ber die Grenzen des Erfahrungsm��igen hinausgeht, wenn
+er sagt: "`Je �fter man die konstanten Bedingungen in Wirksamkeit
+treten l��t, desto mehr gibt man allen in denselben enthaltenen
+M�glichkeiten Gelegenheit, sich zu realisieren, und es liegt im Begriffe
+der gleich m�glichen F�lle, da� bei einer gen�gend gro�en
+Anzahl von F�llen jeder M�glichkeit eine gleiche Menge von Gelegenheiten
+zu ihrer Realisierung geboten wird. Wenn nun
+mehrere M�glichkeiten, weil sie das gemeinsame Merkmal der
+g�nstigen F�lle haben, als eine M�glichkeit angesehen werden,
+so werden die dieser M�glichkeit gebotenen Gelegenheiten der
+Realisierung eine Summe darstellen, in welcher die jeder einzelnen
+M�glichkeit gebotene Anzahl von Gelegenheiten so oft enthalten
+ist, als jene angenommene M�glichkeit einzelne M�glichkeiten unter
+sich begriff. Wenn man, um das obige erste Beispiel wieder anzuwenden,
+fortw�hrend mit dem W�rfel spielt, so werden, da die
+M�glichkeit wei� zu werfen drei M�glichkeiten unter sich begreift,
+dieser M�glichkeit dreimal soviel Gelegenheit zu ihrer Realisierung
+geboten, als jeder einzelnen anderen M�glichkeit. So wird bei gesteigerter
+Menge von F�llen allm�hlich das numerische Verh�ltnis
+der Wiederholungen, in denen die einzelnen F�lle auftreten, demjenigen
+der M�glichkeiten mehr und mehr gleichkommen, und es
+werden sich in der Summe von F�llen die konstanten Bedingungsverh�ltnisse
+mehr und mehr als die Verh�ltniszahlen der Wiederholungen
+geltend machen."'
+
+In dieser Erkl�rung steckt unverh�llt der alte Begriff der
+M�glichkeit als eines potentiellen Seins, dem die Gelegenheit geboten
+werden kann, sich in die Wirklichkeit zu �bertragen, das
+\DPPageSep{059}{45}
+aber auch nicht in die Erscheinung treten kann. Das einzelne
+Ereignis ist eine solche Gelegenheit zur Verwirklichung. Da�
+diese Gelegenheit in einem bestimmten Bruchteil der vorkommenden
+F�lle ergriffen und in den �brigen verschm�ht wird, liegt
+wohl in dem Charakter der M�glichkeit. Die M�glichkeit begreift
+sozusagen einen gewissen Prozentsatz Wirklichkeit in sich, auf
+den sie ihrer Besonderheit gem�� eingestellt ist und dem sie zustrebt,
+wie ein Mensch die sich ihm bietenden Gelegenheiten zu
+essen, zu schlafen oder zu reden in einem bestimmten Ma�e benutzt.
+
+Statt der \so{M�glichkeiten}, die sich in einem gewissen Bruchteil
+der F�lle verwirklichen, kann man auch \so{Ursachen} setzen, die
+nur in demselben Bruchteil der F�lle wirksam werden, ohne da�
+irgend ein Grund anzugeben ist, warum sie einmal wirken und
+einmal nicht, oder man kann auch an Ursachen denken, die verschieden
+wirken, ohne da� diese Verschiedenheit irgend welche
+Regelm��igkeit zeigt. Dieses ist die Auffassung, welche die Ursachen
+in zwei Arten, konstante und zuf�llige, zerlegt und danach
+das "`Gesetz der gro�en Zahlen"' begr�ndet. So hat es \so{Poisson}
+\index{Poisson}%
+eingef�hrt (Note sur la loi des grands nombres, Comptes Rendus
+de l'Acad�mie des Sciences, Bd.~2, Paris~1836). Nach ihm besteht
+es darin, da�, "`wenn man sehr gro�e Anzahlen von Erscheinungen
+derselben Art beobachtet, welche von konstanten und von unregelm��ig
+ver�nderlichen Ursachen abh�ngen, die aber nicht \DPtypo{progessiv}{progressiv}
+ver�nderlich sind, sondern bald in dem einem und bald in dem
+anderen Sinne wirken, man zwischen diesen Zahlen Verh�ltnisse
+findet, welche fast unver�nderlich sind. Diese Verh�ltnisse haben
+bei jeder besonderen Art von Erscheinungen einen speziellen Wert,
+welchem sie sich immer mehr n�hern, je gr��er die Anzahl der
+beobachteten Erscheinungen wird, und welchen sie in aller Strenge
+erreichen w�rden, wenn die Reihe der Beobachtungen ins Unendliche
+fortgesetzt werden k�nnte"' (Recherches sur la probabilit� des
+jugements, Paris~1837, deutsch von~\so{Schnuse} unter dem Titel
+\index{Schnuse (�bersetzer)}%
+Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Braunschweig~1841).
+
+Diese Formulierung wird uns noch klarer verst�ndlich, wenn
+wir die entsprechende Stelle in \so{Laplace}s Philosophischem Versuch
+\index{Laplace|f}%
+�ber die Wahrscheinlichkeiten (Paris~1814, als Einleitung
+zu seinem gro�en Werke Th�orie analytique des probabilit�s)
+nachschlagen. Es hei�t dort: "`Inmitten der ver�nderlichen und
+unbekannten Ursachen, die wir unter der Bezeichnung Zufall zusammenfassen
+\DPPageSep{060}{46}
+und die den Gang der Ereignisse ungewi� und unregelm��ig
+machen, sehen wir in dem Ma�e, wie sie an Zahl zunehmen,
+eine auffallende Regelm��igkeit auftauchen, die einen
+planm��igen Eindruck macht und die man oft als einen Beweis
+f�r die g�ttliche Vorsehung angesehen hat. Aber wenn man
+genauer zusieht, erkennt man bald, da� diese Regelm��igkeit nur
+die Entfaltung der M�glichkeiten f�r die verschiedenen Einzelereignisse
+bedeutet, die um so �fter eintreten m�ssen, je wahrscheinlicher
+sie sind. Denken wir uns \zB, da� man aus einer
+Urne, die schwarze und wei�e Kugeln gemischt enth�lt, sehr oft
+hintereinander eine Kugel zieht und sie jedesmal wieder zur�cklegt.
+Das Verh�ltnis der gezogenen schwarzen und wei�en Kugeln
+wird dann meist erst sehr unregelm��ig sein, aber die ver�nderlichen
+Ursachen, denen diese Unregelm��igkeit entspringt, bringen
+abwechselnd g�nstige und ung�nstige Wirkungen auf den regelm��igen
+Gang der Ereignisse hervor und lassen, indem sie sich
+bei einer gro�en Anzahl von Ziehungen zerst�ren, mehr und mehr
+das Verh�ltnis der in der Urne enthaltenen schwarzen und wei�en
+Kugeln hervortreten."'
+
+Diese Auffassung von \so{Laplace} ist in der philosophischen
+Literatur h�ufig aufgenommen worden. So sagt \zB~ganz in
+diesem Sinne W.~\so{Wundt} in seiner Logik: "`Die Annahme des
+\index{Wundt, Wilh.}%
+Zufalls schlie�t stets eine bestimmte objektive Bedingung ein.
+Diese Bedingung besteht darin, da� die zuf�lligen Ab�nderungen
+eines Ereignisses in einer unendlich gro�en Anzahl von F�llen sich
+aufheben m�ssen. Jede konstante, nicht sich ausgleichende Abweichung
+von diesem Werte gilt nicht mehr als ein Werk des Zufalls,
+sondern als die Wirkung bestimmter Ursachen, deren Ermittelung
+ein Problem der wissenschaftlichen Forschung ist. Im
+strengsten Sinne gilt nur derjenige Teil einer individuellen Schwankung
+als Zufall, welcher sich der Elimination f�gt. Die zuf�lligen
+Abweichungen sind jeder kausalen Untersuchung entzogen. Denn
+da wir Ursachen nur aus ihren Wirkungen erschlie�en und an
+ihnen messen k�nnen, so sind diejenigen Ursachen, deren Wirkungen
+sich permament ausgleichen, unerforschbar; gl�cklicherweise
+bed�rfen sie eben auch wegen dieser Ausgleichung keiner
+Untersuchung."'
+
+Was gegen die zuletzt angef�hrten Erkl�rungsversuche eingewendet
+werden mu�, ist wiederum, da�, wenn wir von Ursachen
+\DPPageSep{061}{47}
+sprechen, die im Einzelfalle den Erfolg bestimmen, und behaupten,
+im Wesen dieser Ursachen liege ein gegenseitiger Ausgleich durch
+eine geheimnisvolle Beziehung zwischen ihnen, wir sozusagen diese
+Ursachen beleben. Wir deuten sie nach Analogie lebender Wesen,
+die zueinander in Beziehung treten k�nnen, die ihr Wirken gegenseitig
+regulieren und mit Absicht durch ihr Zusammenwirken einen
+bestimmten Zustand herbeif�hren. So unwissenschaftlich eine
+solche Auffassung auch scheinen mag, so verbreitet ist sie selbst
+unter den sch�rfsten Denkern und so stark hat sie sich im Sprachgebrauch
+festgeheftet. So behauptet auch \zB~\so{Sigwart} in seiner
+\index{Sigwart}%
+Logik: "`In den F�llen des W�rfelns \zB~wissen wir, sei es
+aus der Beschaffenheit der Ursachen, welche die einzelnen F�lle
+verwirklichen, sei es aus der Erfahrung, da� in einer gr��eren
+Anzahl von F�llen die einzelnen W�rfe ann�hernd gleich h�ufig
+auftreten, da� die realen Ursachen, welche die bestimmten W�rfe
+\so{herbeif�hren}, in der Weise abwechseln, da� sie keinen Wurf
+vor den anderen \so{bevorzugen}."' �hnlich sagt \so{Friedrich Albert
+Lange} in seinen Logischen Studien: "`Es ist a priori und nach
+\index{Lange@Lange, Friedr.\ Albert}%
+Analyse aller Erfahrung anzunehmen, da� die unbekannten und
+in der Rechnung fehlenden Umst�nde dem Ergebnis \so{ebenso
+leicht g�nstig als ung�nstig sein k�nnen}."' Wie dies
+a priori anzunehmen sein soll, ist mir unverst�ndlich. In v�lliger
+Allgemeinheit ist der Satz ja nicht einmal richtig. Es w�rden
+durch ihn besondere Ereignisse herausgegriffen werden, bei denen
+wir in einem bestimmten eng umgrenzten Sinne von Zufall sprechen
+k�nnen. Wir w�rden eben definitionsm��ig von Zufall dann
+reden, wenn bei verschiedenen Ermittelungen der relativen H�ufigkeit
+eine Abweichung nach der einen Seite ebensooft eintritt, wie
+eine gleich gro�e Abweichung nach der anderen Seite. Gemeint
+sind aber wohl nicht die wirklich resultierenden Abweichungen,
+sondern die elementaren Abweichungen, die jeder einzelnen der
+wirkenden Ursachen zuzuschreiben sind. Da� die unbekannten
+Umst�nde dem Ergebnis ebenso leicht g�nstig als ung�nstig sein
+k�nnen, lie�e sich dann so auffassen, da� die elementaren Abweichungen,
+die jeder einzelne dieser Umst�nde in der relativen
+H�ufigkeit hervorrufen w�rde, sich symmetrisch um einen Mittelwert
+gruppieren. Wir werden sp�ter sehen, wie diese Annahme
+rechnerisch zur Geltung kommt. Sie bedeutet in der Tat, da� die
+entstehenden Schwankungen im Gesamtergebnis durchaus den
+\DPPageSep{062}{48}
+Charakter des Zuf�lligen haben. Sehen wir uns die Sache aber
+etwas n�her an! Nehmen wir \zB~den Fall einer Knaben- oder
+M�dchengeburt, so d�rfen wir nicht etwa die Umst�nde,
+die das Geschlecht des Kindes bestimmen, als gleich g�nstig
+einer Knaben- wie einer M�dchengeburt ansehen, denn das Verh�ltnis
+der Knaben- und M�dchengeburten ist nicht das der
+Gleichheit. Es w�rden als solche Umst�nde vielmehr nur die
+Ursachen in Frage kommen, die ein Abweichen von einem gewissen
+normalen Wert des Verh�ltnisses von Knaben- und M�dchengeburten
+bedingen. So gelangen wir jedoch nicht zu einer Erkl�rung
+des Tatbestandes, denn die realen Umst�nde, die in Frage
+kommen k�nnen, wirken eben nicht auf das Abweichen von einem
+normalen Verh�ltniswert im \DPtypo{statististischen}{statistischen} Gesamtergebnis, sondern
+auf das einzelne Ereignis, die Geburt eines Knaben oder
+eines M�dchens, hin. Sie gleichen sich bestimmt nicht aus in
+dem Sinne, da� sie der Geburt eines Knaben ebenso g�nstig sind,
+wie der Geburt eines M�dchens, vielmehr sind sie der Geburt
+eines Knaben g�nstiger.
+
+Durch das Hineinziehen des Zufallsbegriffes wird in das
+"`Gesetz der gro�en Zahlen"' noch ein neues Moment hineingetragen.
+Kann die ann�hernde Konstanz einer relativen H�ufigkeit an sich
+das Symptom f�r das Wirken des Zufalls sein? Zu dieser Frage ist
+folgendes zu bemerken. Die v�llige Ausgleichung tritt, wie gesagt
+wird, bei einer unendlich gro�en Anzahl von F�llen ein. Sehen
+wir einmal davon ab, wieweit eine solche Behauptung begr�ndet
+ist, die sich nicht auf ein bestimmtes Tatsachenmaterial bezieht,
+sondern auf ein �ber den Beobachtungen stehendes Ideal (die unendliche
+H�ufung der F�lle), so bleibt immer noch zu erw�gen,
+was eintritt, wenn die Anzahl der F�lle nicht unendlich gro�
+ist. Dabei stellt es sich aber heraus, da� gerade nicht die Konstanz
+der relativen H�ufigkeit, sondern vielmehr ihre Schwankungen
+das Bezeichnende sind. Aus der Art dieser Schwankungen
+bestimmen wir erst den Charakter des Zuf�lligen. Wir finden
+konstante Verh�ltniszahlen, die ganz sicher nicht auf dem Wirken
+eines Zufalls, sondern viel eher auf einer festen Unver�nderlichkeit
+der zugrundeliegenden Bedingungen beruhen. Das Spiel des Zufalls
+gibt sich erst da kund, wo Schwankungen auftreten und das schlie�lich
+herauskommende Verh�ltnis sicher nicht durch innerlich regulierende
+Prinzipien, die es in bestimmten Grenzen halten, bestimmt
+\DPPageSep{063}{49}
+ist. Wenn wir eine M�nze in die Luft werfen, so ist nicht in einer
+f�r uns erkennbaren Weise von vornherein begr�ndet, da� bei einer
+gro�en Anzahl von W�rfen beide Seiten der M�nze gleich oft nach
+oben zu liegen kommen.
+
+Das Werfen einer M�nze ist ein besonders einfaches Beispiel
+eines Gl�cksspieles. Es scheint nun zweckm��ig, wenn es sich um
+die allgemeine Erforschung der Eigenart der Ereignisse handelt,
+bei denen die verschiedenen m�glichen Ergebnisse sich in ann�hernd
+gleichbleibendem H�ufigkeitsverh�ltnis darbieten, falls
+man die Anzahl der beobachteten F�lle gro� genug w�hlt, dann
+der Betrachtung als typische Ereignisse die Gl�cksspiele im allgemeinen
+Sinne zugrunde zu legen, wozu man auch Lotterieziehungen
+und �hnliches zu rechnen hat, weil bei den Gl�cksspielen
+von vornherein die Art ihres Zustandekommens durchsichtig und
+klar erscheint. Mit dieser Betrachtung der Gl�cksspiele haben
+wir uns jetzt also etwas n�her zu befassen.
+\EndChap
+\DPPageSep{064}{50}
+
+
+\Chapter{F�nftes Kapitel}{Die Theorie der Gl�cksspiele}
+
+Die Gl�cksspiele bedeuten Ereignisse, bei denen der Erfolg
+auf keine Weise vorher zu bestimmen ist. Wenn ich mit einem
+W�rfel w�rfele, so kann ich vorher nicht wissen, welche Augenzahl
+f�llt. Ich kann auch aus den bei einer Reihe von W�rfen
+gefallenen Augenzahlen keinen Schlu� darauf ziehen, welche Augenzahl
+beim n�chsten Wurf f�llt. Alle einzelnen W�rfe sind voneinander
+unabh�ngig, keiner �bt einen Einflu� auf den anderen
+aus. Trotzdem soll sich ergeben, da�, wenn ich mit einem W�rfel
+eine gro�e Anzahl Male w�rfele, die Anzahlen Male, die die verschiedenen
+Augenzahlen gefallen sind, in einem bestimmten Verh�ltnis
+zueinander stehen. Dieses Verh�ltnis �ndert sich nur
+unbedeutend, wenn ich den Versuch wiederhole, indem ich noch
+einmal ebensooft mit demselben W�rfel w�rfele. Wir haben
+auf diese Weise ein typisches Beispiel konstruiert, in dem die angen�herte
+Unver�nderlichkeit bestimmter Verh�ltniszahlen erf�llt
+ist. Dieses Beispiel gibt uns ein Mittel an die Hand, n�her in
+die Bedeutung der Unver�nderlichkeit statistischer Verh�ltniszahlen
+einzudringen. F�r die Erkenntnis des inneren Grundes
+dieser Unver�nderlichkeit gewinnen wir allerdings zun�chst nichts,
+denn was daran r�tselhaft ist, bleibt ebenso r�tselhaft auch an
+diesem besonderen Falle des wiederholten W�rfelns. Die einzelnen
+W�rfe sind v�llig unabh�ngig voneinander, so nehme ich
+wenigstens an, und trotzdem sollen sie sich bei einer gro�en Anzahl
+von W�rfen in bestimmter H�ufigkeit ergeben. Wie ist das
+zu erkl�ren? Wie kann ich zu der �berzeugung gelangen, da�
+ich bei $600\,000$ W�rfen ungef�hr je $100\,000$\,mal die einzelnen
+Augenzahlen werfe? Warum kann ich nicht ebensogut doppelt
+so oft sechs Augen wie ein Auge werfen? Die einzelnen W�rfe
+k�nnen sich nicht untereinander regulieren, denn sie sind ja unabh�ngig
+\DPPageSep{065}{51}
+voneinander. Wenn ich schon hundertmal sechs Augen
+geworfen habe, so hindert das nicht, da� ich auch noch das
+n�chste Mal sechs Augen werfe, aber f�rdert es auch nicht.
+
+Die Unabh�ngigkeit der einzelnen F�lle bei solchen Zufallsereignissen
+wie das W�rfelspiel ist allerdings keineswegs unbestritten.
+Schon \so{d'Alembert} hat ernste Zweifel �ber sie ge�u�ert
+\index{Alembert@d'Alembert|f}%
+(R�flexions sur le calcul des probabilit�s, Opuscules math., vol.~2,
+1761; Doutes et questions sur le calcul des probabilit�s, M�langes
+de lit�rature, d'histoire et de philosophie, vol.~5, 1770). Es ist
+merkw�rdig, da� dieser Mann, der einer der f�hrenden Geister
+der Aufkl�rung und ein ungemein scharfsinniger Kopf war, gerade
+in solchem entscheidenden Punkte so v�llig anderer Meinung
+war, wie die meisten seiner Zeit- und Gesinnungsgenossen\DPtypo{}{.} Er
+konnte sich nicht darein finden, da�, nachdem mit einem W�rfel
+mehreremal hintereinander sechs Augen geworfen sind, nun das
+n�chste Mal ebenso leicht sechs Augen sollen fallen k�nnen, als
+ob das Spiel erst beg�nne. Er konnte sich anscheinend der Vorstellung
+nicht verschlie�en, da� in dem nat�rlichen Geschehen
+gewisse regulierende Prinzipien wirksam seien, die ein �berma�
+nach der einen oder anderen Seite hin verh�ten. Die Schwierigkeit
+liegt aber in der Vereinigung dieser Prinzipien mit den Grunds�tzen,
+auf denen wir sonst die Naturerkl�rung aufbauen. Wir
+m�ssen, um ihre M�glichkeit einzusehen, entweder annehmen, da�
+eine Macht wirksam ist, die �ber den Zwang des Kausalit�tsprinzips
+erhaben ist, oder da� dieses Kausalit�tsprinzip doch nicht
+allgemein g�ltig ist, da� es gewisse Ereignisse oder gewisse
+Momente des Geschehens gibt, die ihm nicht unterliegen, mit anderen
+Worten, da� es einen absoluten Zufall gibt, da� aber dieser
+Zufall doch nicht blind ist, wie man zu sagen pflegt, sondern
+da� er vielmehr in bestimmter Weise gelenkt oder geleitet wird.
+Der Ausgleich, den wir bei Zufallsereignissen beobachten sollen,
+beruht dann eben darauf, da� diese Ereignisse, die nicht dem
+Kausalit�tsgesetz unterliegen, auf eine bestimmte Verteilung der
+Resultate hingelenkt werden, so da� sie wohl im einzelnen Falle
+einen au�ergew�hnlichen Erfolg oder eine beklagenswerte Zerst�rung
+mit sich f�hren, in ihrer Gesamtheit aber den Lauf der
+Welt nicht beeinflussen k�nnen. Eine derartige Theorie, nach
+der das Kausalit�tsgesetz zwar eine L�cke hat, aber diese L�cke
+durch ein anderes regulierendes Prinzip erg�nzt und so erst der
+\DPPageSep{066}{52}
+wirkliche Verlauf des Geschehens zustande kommt, kann sich
+darauf berufen, da� das Kausalit�tsprinzip doch auch nur eine
+Hypothese und durch die Erfahrung keineswegs vollst�ndig zu
+begr�nden ist.
+
+Der Verwendung, die \so{d'Alembert} von einer solchen Theorie
+macht, um die Tatsache des Ausgleichs zu erkl�ren, sind in
+gewissem Sinne verwandt die Versuche, in der zeitlichen Anordnung
+zuf�lliger Ereignisse eine bestimmte Regelm��igkeit zu
+finden. Das Gemeinsame ist bei beiden Erkl�rungen, da� sie die
+von der klassischen Wahrscheinlichkeitsrechnung angenommene
+Unabh�ngigkeit der einzelnen Zufallsereignisse leugnet. Man kennt
+die seltsame Annahme einer "`Duplizit�t der F�lle"', da� jedes
+au�ergew�hnliche Ereignis ein anderes von der gleichen Art, das
+an sich ebenso ungew�hnlich ist, nach sich zieht. Diese Theorie,
+f�r die jeder bereit sein wird, Belege aus seiner eigenen Erfahrung
+beizubringen, ist nicht blo� auf die Mitteilung im pers�nlichen
+Verkehr beschr�nkt geblieben, durch die sonst meistens
+derartige Theorien fortgepflanzt werden, sie ist in einer etwas
+anderen Form, die haupts�chlich die allgemeine Tatsache einer
+Vergesellschaftung der Zufallsereignisse hervorkehrte, der wissenschaftlichen
+Welt vorgelegt worden in der Studie von K.~\so{Marbe}
+\index{Marbe}%
+(Naturphilosophische Untersuchungen zur Wahrscheinlichkeitslehre,
+Leipzig 1899). Die Behauptungen dieses Buches blieben
+nat�rlich nicht ohne Widerspruch. Zun�chst wandten sich \so{Br�mse}
+\index{Bromse@Br�mse}%
+und \so{Grimsehl} in der Zeitschrift f�r Philosophie 1901 (Bd.~118)
+\index{Grimsehl}%
+gegen die \so{Marbe}sche Theorie und ihre angebliche Begr�ndung,
+\so{Marbe} erwiderte darauf in der Vierteljahrsschrift f�r wissenschaftliche
+Philosophie 1902, und darauf suchte noch einmal L.~v.~\DPtypo{\so{Borkewitsch}}{\so{Bortkewitsch}}
+\index{Bortkewitsch@Bortkewitsch (Bortkiewicz), Lad.\ v.}%
+in dem Aufsatz �ber Wahrscheinlichkeitslehre und Erfahrung
+(Zeitschr.\ f.~Philosophie 1903, Bd.~121) nachzuweisen, da�
+das von \so{Marbe} angef�hrte Tatsachenmaterial ebensogut auf der
+Grundlage der klassischen Wahrscheinlichkeitsrechnung seine Erkl�rung
+f�nde. Nach dieser ist ja bei dem bekannten Spiel der
+geworfenen M�nze, wo es sich darum handelt, ob beim Herunterfallen
+Kopf oder Schrift oben liegt, eine genau alternierende Folge
+von Kopf oder Schrift ebenso unwahrscheinlich, wie da� andauernd
+nur Kopf oder nur Schrift f�llt. Es ist also auch hiernach zu erwarten,
+da� derselbe Erfolg h�ufiger mehreremal hintereinander
+eintritt, da� sich also eine gewisse "`Kn�uelung"' zeigt.
+\DPPageSep{067}{53}
+
+Au�erdem mu� hinzugef�gt werden, da� es bei den hier in
+Betracht kommenden Ereignissen oft schwer ist, zu sagen, inwiefern
+nicht systematische Ursachen mitspielen. Es ist bekannt,
+da� man beim Schie�en nach einer Scheibe leicht mehrere Treffer
+hintereinander bekommt, weil die unbewu�ten physiologischen
+Vorg�nge beim Zielen nahezu gleich ablaufen k�nnen, wenn
+die Aufmerksamkeit auf einen bestimmten Punkt konzentriert
+ist, ferner ist ebenso bekannt, da� jemand leichter einen Laden
+betritt, wenn er vor sich einen anderen hineingehen sieht, als
+wenn er selbst der erste ist. Alles das macht eine objektive
+Wertung des Beobachtungsmaterials au�erordentlich schwierig.
+Jedenfalls ist es meines Erachtens verfr�ht, an solche Beobachtungen
+eine radikale Kritik der gesamten Wahrscheinlichkeitslehre
+anzukn�pfen, wie es neuerdings O.~\so{Sterzinger} (Zur
+\index{Sterzinger}%
+Logik und Naturphilosophie der Wahrscheinlichkeitslehre, Leipzig
+1911) getan hat. Es mag aber vielleicht gut sein, zu bemerken,
+da� die uns hier vorliegende Aufgabe von dem Ph�nomen der
+Kn�uelung, ob es nun vorhanden ist oder nicht, unber�hrt bleibt.
+Unsere Betrachtungen kn�pfen nur an die Durchschnittswerte
+an, die sich bei gro�en Anzahlen von Einzelf�llen herausstellen,
+nicht aber an die Gruppierung der Einzelergebnisse, die auf den
+Durchschnittswert ohne Einflu� bleibt. Es fand auch \so{Sterzinger}
+bei seinen Feststellungen an geworfenen M�nzen f�r die Gesamtzahlen
+der beiden m�glichen F�lle die Verh�ltnisse $626:606$ und
+$1203:1245$, was dem theoretischen Wert~$1:1$ so nahe kommt,
+wie es nach der Theorie zu erwarten ist. Wir benutzen demnach
+hier die Gl�cksspiele nur, um die sich bei ihnen ergebenden
+statistischen Ergebnisse mit den bei anderen Ereignissen gewonnenen
+zu vergleichen. Wenn wir auch nicht unmittelbar auf
+eine innere Gleichartigkeit aus der �u�eren �bereinstimmung der
+statistischen Ergebnisse schlie�en d�rfen, so gewinnen wir doch
+ein Bild davon, wie solche Ergebnisse zustande kommen k�nnen.
+
+Diese Verwendung der Gl�cksspiele ist nicht sicher vor Einwendungen,
+die dagegen von vornherein erhoben werden k�nnen.
+Die Zufallsspiele, auch die Ziehungen aus einer Urne, erscheinen
+so belanglos und geringwertig, da� sie mit den Vorg�ngen in der
+Natur und in der menschlichen Gesellschaft nicht verglichen
+werden \so{d�rfen}. "`Welcher blasphemische Gedanke, den Begriff
+des Zufallsspieles auf die Allmutter Natur anzuwenden!"' ruft
+\DPPageSep{068}{54}
+L.~\so{Goldschmidt} (Die Wahrscheinlichkeitsrechnung, Versuch einer
+\index{Goldschmidt}%
+Kritik, Hamburg 1897) aus. Das ist wohl mehr tief empfunden
+als tief gedacht. Eine Blasphemie gibt es nicht, wenn wir bestimmten,
+ernsthaften Forschungsgrunds�tzen treu bleiben.
+
+Das Zufallsspiel ist uns ebensoviel wert wie die Vorg�nge in
+der belebten und unbelebten Natur, wenn es unsere Erkenntnis
+in einem wesentlichen Punkte f�rdert. Im �brigen ist der Vergleich
+der Gl�cksspiele mit den Ereignissen im menschlichen Leben
+so uralt, da� er geradezu trivial geworden ist. Schon in dem
+lateinischen Worte sors (Los) f�r Schicksal findet er seinen deutlichen
+Ausdruck. Das Wort erkl�rt sich wohl daraus, da� das
+Ziehen eines Loses als Orakel benutzt wurde und man das Ergebnis
+eines Orakels unmittelbar zur Bezeichnung des wirklichen
+Ausganges benutzte. In diesem Sinne aber bedeutet der Vergleich
+mit dem Ziehen des Loses keineswegs die Annahme, da� die Ereignisse
+des menschlichen Lebens auf einem blo�en Zufall beruhen,
+im Gegenteil lag bei den R�mern sicher die Vorstellung zugrunde,
+da� dieselbe Macht, die die Wechself�lle des menschlichen Lebens
+unausweichlich bestimmt, sich auch in der Ziehung des Loses
+offenbart, da� ein innerlicher Zusammenhang zwischen dem Ergebnis
+der symbolischen Handlung und dem konkreten Ausgang,
+der vorausbestimmt werden sollte, bestehe.
+
+Damit fiel f�r diese Auffassung die Schwierigkeit weg, die
+f�r uns am Anfang steht: wie weit sich das schematische Bild
+der Gl�cksspiele auf die damit verglichenen Ereignisse �bertragen
+lasse. Auf den inneren Mechanismus des Geschehens werden wir
+nur dann einen Schlu� ziehen k�nnen, wenn wir uns �berzeugt
+haben, da� die verglichenen Vorg�nge wirklich in ihren Einzelheiten
+gleichartig sind. Das w�re \zB~bei dem Vergleich des
+Geschlechtsverh�ltnisses mit den Ergebnissen der Ziehungen aus
+einer Urne der Fall, wenn die Entscheidung �ber das Geschlecht
+eines geborenen Kindes dadurch getroffen wird, da� von m�nnlichen
+und weiblichen Keimzellen durch den Vorgang der Befruchtung
+ebenso blindlings eine herausgegriffen wird, wie bei der
+Ziehung aus einer Urne, in der schwarze und wei�e Kugeln gemischt
+enthalten sind, blindlings eine Kugel herausgenommen wird.
+Eine solche Vergleichung der beiden Vorg�nge in ihrer ganzen
+Besonderheit ist nun aber in den seltensten F�llen m�glich. Deshalb
+sind wir in der Tat auf den anderen Ausweg angewiesen,
+\DPPageSep{069}{55}
+nur den �u�eren Erfolg zu vergleichen und aus seiner Gleichartigkeit
+auch auf eine gewisse Gleichartigkeit des inneren Vorganges
+zu schlie�en. Dieser Schlu� bleibt allerdings ein k�hner
+und zweifelhafter, doch hat er immerhin eine gewisse Berechtigung.
+
+Worin besteht nun bei den Gl�cksspielen der �u�ere Erfolg?
+Das erste, was sich hierbei heraushebt, ist der bei Gl�cksspielen
+in der Tat beobachtete Ausgleich der Chancen bei h�ufiger Wiederholung
+des Spieles. Dieser Ausgleich hat zur Folge, da�, wenn
+die Eins�tze nicht genau den Chancen der Spieler entsprechend
+festgesetzt sind, sondern etwas mehr betragen, der den Gegenpart
+haltenden Bank mit gro�er Sicherheit ein mit der Zahl der Spiele
+steigender Gewinn zuf�llt. Darauf beruhen alle Spielbanken, und
+man wird eine Kapitalanlage in der Bank von Monte Carlo trotz
+der hohen Summen, die dort t�glich auf dem Spiele stehen, f�r
+ebenso sicher halten wie irgend ein Staatspapier oder eine Grundschuld.
+An der Tatsache des Ausgleichs, mit anderen Worten,
+an der Tatsache, da� nach einer sehr gro�en Anzahl von Spielen
+Gewinn und Verlust ziemlich genau den Spielchancen entsprechen,
+besteht also wohl kein Zweifel. Es fragt sich nur, ob sich f�r
+diese Tatsache eine Erkl�rung finden l��t.
+
+Der erste und einfachste Versuch einer solchen Erkl�rung
+trifft nun von vornherein nicht blo� die Gl�cksspiele, sondern
+alle Ereignisse, die mit den Gl�cksspielen das Gemeinsame haben,
+da� sie eines verschiedenen Erfolges f�hig sind, und bei denen
+man auf keinerlei Weise vorher bestimmen kann, welcher Art der
+Erfolg sein wird. Als derartige Erkl�rungsversuche sind die im
+vorigen Kapitel er�rterten Begr�ndungen f�r das "`Gesetz der
+gro�en Zahlen"' zu verstehen. Dieses Gesetz bedeutet ja die ann�hernde
+Konstanz von Verh�ltniszahlen, die bei statistischen Erhebungen
+auftreten. Auch das Aufzeichnen der Ziehungsresultate
+bei der Urne m�ssen wir als eine statistische Erhebung betrachten.
+
+Als bedenklich erschien uns aber die Erkl�rung, die \so{Laplace}
+\index{Laplace}%
+und \so{Poisson} und mit ihnen viele andere f�r die Konstanz
+\index{Poisson}%
+der Verh�ltniszahlen gegeben haben. Was sollen wir unter der
+Entfaltung der M�glichkeiten verstehen, auf die sich \so{Laplace}
+beruft? Wenn er meint, da� er durch seine Erkl�rung das �u�ere
+Wirken der Vorsehung beseitigt hat, so hat er eine innere Wirkung
+eingef�hrt, die nicht minder r�tselhaft ist, n�mlich die Entwickelung
+bestimmter Anlagen durch die Wirklichkeit, wobei durch
+\DPPageSep{070}{56}
+innere regulierende Prinzipien daf�r gesorgt ist, da� die vorhandenen
+Anlagen best�ndig in der gleichen Weise heraustreten.
+Es ist eine Theorie der objektiven M�glichkeit, die auf diese Weise
+gegeben wird.
+
+Der Begriff der M�glichkeit bedeutet ja in der Tat eine solche
+vorausbestehende Anlage k�nftiger Ereignisse, deren Eintreten
+nicht gewi� ist, die wir aber in den bestehenden Umst�nden in
+gewisser Weise vorgebildet finden. Unser ganzes Leben zwingt uns
+dazu, mit solchen M�glichkeiten zu rechnen, fortw�hrend Umst�nde
+ins Auge zu fassen, mit denen wir den Gedanken eines bestimmten
+k�nftigen Geschehens verbinden m�ssen, ohne deshalb sicher zu
+sein, da� das, was wir als m�glich voraussehen, wirklich eintreten
+wird. So gefa�t, erscheint die M�glichkeit nur in subjektiver Bedeutung.
+Daraus eine objektive M�glichkeit abzuleiten, liegt nahe,
+ist aber nicht ohne Bedenken. Nach der Auffassung der modernen
+Naturwissenschaft liegt die ganze Zukunft in der Vergangenheit
+und Gegenwart als notwendig begr�ndet. Der Verlauf des Geschehens
+wickelt sich nach dem Kausalgesetz so ab, da�, was in
+jedem Augenblick geschieht, mit Notwendigkeit geschehen mu�.
+Bei \so{Aristoteles} (vgl.\ insbesondere De interpretatione, Cap.~X) ist
+\index{Aristoteles}%
+diese Auffassung nicht vorhanden. Nach ihm braucht von zwei
+entgegengesetzten Behauptungen �ber Zuk�nftiges nicht notwendigerweise
+die eine falsch und die andere richtig zu sein, die
+Sache selbst ist noch unentschieden und beide Behauptungen
+k�nnen als problematische, als M�glichkeitsurteile, auch in objektivem
+Sinne gelten. \so{Ueberweg} sucht in seiner Logik den aristotelischen
+\index{Ueberweg}%
+Gedanken mit der modernen Auffassung in �bereinstimmung
+zu bringen, indem er sagt, "`da� unter den Momenten,
+von denen die Verwirklichung abh�ngt, nicht blo� subjektiv durch
+unser Wissen und Nichtwissen, sondern auch objektiv durch die
+Natur der Sache eine wesentliche Scheidung begr�ndet ist. Die
+Gesamtheit dieser Umst�nde zerlegt sich in den (inneren) Grund
+und die (�u�eren) Bedingungen. Wo nur eines davon gegeben ist,
+besteht eine reale oder objektive M�glichkeit, wo beides zusammen,
+eine reale oder objektive Notwendigkeit. In der Eichel liegt in
+diesem Sinne die objektive oder reale M�glichkeit der Entstehung
+eines Eichbaumes."' Diese Begriffsbildung verdankt wohl haupts�chlich
+der Verlegenheit des Philosophen ihren Ursprung, der sich
+von dem Einflu� des gro�en Begr�nders seiner Wissenschaft nicht
+\DPPageSep{071}{57}
+losmachen kann und doch dem Standpunkt der modernen Forschung
+Rechnung tragen soll. Wenn wir den Komplex aller Ursachen teilen
+und sagen: ein Teil der Ursachen begr�ndet keine Notwendigkeit,
+so bedeutet das doch keine reale oder objektive M�glichkeit,
+auch wenn die Teilung der Ursachen sich noch so nat�rlich ergibt.
+Auch \so{Trendelenburg} sagt in seinen Logischen Untersuchungen:
+\index{Trendelenburg}%
+"`Aus dem Samen kann ein Baum, aus dem Ei ein Tier werden.
+Es ist kein leeres Spiel des Gedankens. Die M�glichkeit liegt
+gleichsam sinnlich vor Augen."' In dieser Formulierung ist verh�llt,
+ob der bestimmte Artikel (\so{der} Same, \so{das} Ei) kollektiv gemeint
+ist oder sich auf einen bestimmten Gegenstand bezieht. In
+dem ersten Falle hei�t die Behauptung nur: aus einigen Samenk�rnern
+werden B�ume, aus einigen Eiern Tiere, und das bedeutet
+nicht im eigentlichen Sinne ein M�glichkeitsurteil. Das Wort
+"`m�glich"' bedeutet dann nur, wie F.~A.~\so{Lange} mit Recht bemerkt,
+\index{Lange@Lange, Friedr.\ Albert}%
+eine sprachliche Ausdrucksweise. Sprechen wir dagegen von einem
+bestimmten Samenkorn, das wir in die Erde gelegt haben, und
+sagen: es ist m�glich, da� aus \so{diesem} Samenkorn ein Baum emporw�chst,
+so wenden wir die gemachte allgemeine Erfahrung auf
+einen Fall an, von dem wir nicht wissen, wie er ausgehen wird.
+Das Urteil ist ein subjektives, weil wir sicherlich nicht sagen
+k�nnen, es sei auch in der Wirklichkeit unentschieden, ob aus dem
+Samen ein Baum wird oder nicht, aber es ist doch objektiv begr�ndet,
+weil wir zu diesem Urteil auf Grund bestimmter realer
+Erfahrungen gelangen.
+
+Wir empfinden aber bei einem solchen M�glichkeitsurteil das
+Bed�rfnis, die M�glichkeit auch graduell zu werten. Schon \so{Laurentius
+Valla} hebt hervor, da� jede M�glichkeit als eine nach bestimmten
+\index{Valla, Laurentius}%
+Graden abgestufte Wahrscheinlichkeit zu betrachten sei. Diese
+Abstufung des M�glichkeitsurteiles ist auf zwei grundverschiedenen
+Wegen zu erreichen. Der eine Weg ist der, da� wir wissen, wie
+oft in einer gr��eren Anzahl von beobachteten F�llen der Erfolg,
+den wir als m�glich ins Auge fassen, unter den beobachteten Bedingungen
+eingetreten ist. Dieses Verfahren ist die \so{statistische
+Methode}. Wir werten unsere Erwartung nach dem Prozentsatz
+der F�lle, in denen der Erfolg bereits unter den festgestellten Bedingungen
+eingetreten ist. Wir k�nnen aber auch davon ausgehen,
+wieviele von den Bedingungen, die wir als notwendig f�r das Eintreten
+des Erfolges erkannt haben, sich wirklich feststellen lassen.
+\DPPageSep{072}{58}
+Je mehr von ihnen erf�llt sind, mit um so gr��erer Sicherheit
+k�nnen wir auf den in Rede stehenden Erfolg rechnen. Dieses
+Verfahren nennen wir die \so{genetische Methode}. Es ist aber
+schwer zu sehen, wie wir hierbei zu einer zahlenm��igen Festlegung
+gelangen k�nnen, denn alle die g�nstigen Momente, die wir konstatieren,
+sind doch in den seltensten F�llen unmittelbar quantitativ
+zu werten, w�hrend bei der statistischen Methode die beobachtete
+relative H�ufigkeit unmittelbar einen Anhaltspunkt f�r die quantitative
+Wertung des M�glichkeitsurteiles liefert.
+
+Deshalb erscheint auch bei den Gl�cksspielen zun�chst der
+aussichtsreichere Weg nicht die genetische, sondern die statistische
+Methode. Es handelt sich dabei allerdings nicht darum, bestimmte
+relative H�ufigkeiten zu beobachten und dann zur Grundlage des
+Spieles in k�nftigen F�llen zu machen, sondern man kann sich
+mit der Tatsache begn�gen, da� sich in gewissen Grenzen eine
+bestimmte H�ufigkeitszahl und damit auch eine bestimmte Wertung
+der Erwartung ergibt. Trotzdem ist es gerade die genetische
+Methode gewesen, die sich bei den Gl�cksspielen zun�chst durchgesetzt
+hat. Sie hat der an die Gl�cksspiele ankn�pfenden Theorie
+ihren eigent�mlichen Charakter gegeben, hat aber dann sp�ter zu
+weitl�ufigen Er�rterungen gef�hrt, die die mehr und mehr auftauchenden
+methodischen Bedenken betrafen. Fast alle diese Er�rterungen
+konzentrierten sich auf die Frage, wann wir auf Grund
+der genetischen Methode zwei verschiedene M�glichkeiten als gleich
+anzusehen haben. Diese Fragestellung ist recht zu verstehen nur,
+wenn wir die geschichtliche Entwickelung, welche die Theorie
+genommen hat, ins Auge fassen. Diese Entwickelung ist Schritt
+f�r Schritt mit innerer Notwendigkeit weiter gegangen, aber die
+Schwierigkeiten haben sich bei ihr immer mehr geh�uft, bis die
+neueste Zeit den Knoten durchhauen und sich von dem Ballast der
+�berlieferung einigerma�en frei gemacht hat. Den Ausgangspunkt
+bildete die Berechnung der Spielchancen beim W�rfelspiel oder der
+Spieleins�tze, die den Spielchancen proportional sein m�ssen. Hierf�r
+hatte sich schon \so{Cardano}~($\dagger$\,1576), der ein leidenschaftlicher
+\index{Cardano}%
+Spieler war, lebhaft interessiert und eine Schrift De ludo aleae
+verfa�t. Zu einer mathematischen Disziplin erhob diese Betrachtungen
+aber erst \so{Galilei} (Considerazioni sopra il giuoco dei dadi,
+\index{Galilei@Galilei|f}%
+Opere Vol.~3, Florenz 1718). Da� mit drei W�rfeln viel h�ufiger
+zehn Augen als drei Augen geworfen werden, war bekannt. Wie
+\DPPageSep{073}{59}
+sich diese Tatsache aber zu einer quantitativen Bestimmung verdichten
+lie�e, war v�llig unbekannt. Da fa�te \so{Galilei} die Aufgabe
+so an, da� er die verschiedenen F�lle trennte, in denen eine
+bestimmte Augenzahl zustande kommt. Als einzelner Fall hat das
+Werfen einer bestimmten Augenzahl mit dem ersten, mit dem
+zweiten und mit dem dritten W�rfel zu gelten. Z�hlt man diese
+F�lle ab, so ergeben sich im ganzen $216$. Davon ist nur in einem
+Falle die Augenzahl drei, dagegen in $27$ F�llen die Augenzahl zehn.
+So hat das Fortschreiten von einer qualitativen Aussage zu einer
+quantitativen Bestimmung, das �berhaupt das entscheidende Moment
+an der Entwickelung aller exakten Wissenschaft bildet, auch den
+Ursprung der Wahrscheinlichkeitsrechnung ausgemacht. Die Z�hlung
+der verschiedenen F�lle beim W�rfelspiel ist aber nur von
+Bedeutung, wenn mit den einzelnen F�llen eine gleiche Wertung verkn�pft
+werden kann. Das nat�rliche Gef�hl stimmt dieser Annahme
+sofort zu. Eine exakte wissenschaftliche Begr�ndung daf�r zu
+finden, ist hingegen recht schwer und hat sp�ter viel Kopfzerbrechen
+verursacht. \so{Galilei} ging davon aus, da� man ohne weitere Begr�ndung
+die Chancen, mit einem W�rfel die eine oder andere
+Augenzahl zu werfen, als gleich ansehen und deshalb diese sechs
+verschiedenen M�glichkeiten gleich werten kann. Es fragt sich
+dann nur, ob daraus folgt, da� auch die Chancen, bei dreimaligem
+Werfen mit einem W�rfel hintereinander oder mit drei W�rfeln
+zugleich eine bestimmte Augenzahl zu werfen, bei jedem Wurf
+oder f�r jeden W�rfel einander gleich sind. Das ist nun offenbar
+der Fall, denn man braucht ja nur anzunehmen, da� jeder der
+Spieler hintereinander auf das Werfen einer bestimmten Augenzahl
+mit jedem einzelnen W�rfel setzt, also drei Spiele zugleich
+macht. Nehmen wir an, der Gewinn, den er erhoffen kann, betrage
+$216$ Dukaten, dann setze er beim ersten Wurf einen Dukaten. Gewinnt
+er, so hat er sechs Dukaten. Diese sechs Dukaten setzt er
+wieder beim zweiten Wurf. Gewinnt er, so hat er $36$ Dukaten.
+Diese $36$ Dukaten setzt er beim dritten Wurf aufs neue, um
+$216$ Dukaten zu gewinnen. Er hat also f�r $216$ einen Dukaten
+einzusetzen, und das unabh�ngig von den Augenzahlen, auf die er
+bei den einzelnen W�rfen oder W�rfeln setzt. Setzt er nun nicht
+auf bestimmte Augenzahlen bei den einzelnen W�rfen, sondern
+auf eine bestimmte Gesamtaugenzahl, so bedeutet das, da� er
+mehrere der soeben betrachteten Spiele zugleich macht, n�mlich so
+\DPPageSep{074}{60}
+viel, auf wieviel Arten sich durch bestimmte Augenzahlen bei den
+einzelnen W�rfen die fragliche Gesamtaugenzahl erreichen l��t,
+das w�re also $27$, wenn die Gesamtaugenzahl zehn betr�gt.
+
+In dieser einfachen Betrachtung liegt der Kern der ganzen
+Wahrscheinlichkeitsrechnung enthalten. Zugrunde gelegt wird
+eine Annahme gleicher Spielchancen, die nicht weiter begr�ndet
+wird und auch nicht weiter begr�ndet werden kann, sondern nur
+nach bestimmten �berlegungen oder aus einem gewissen Gef�hl
+heraus plausibel scheint. Wenn diese Annahme einmal gemacht
+ist, so werden daraus andere, im allgemeinen ungleiche Spielchancen
+durch bestimmte Rechnungen auf Grund eines sicheren Verfahrens
+abgeleitet. Es erwies sich hierbei als zweckm��ig, die Spielchancen
+allgemein als Verh�ltnis von Einsatz und Gewinn, \dh~weil der
+Einsatz immer kleiner als der Gewinn ist, als einen bestimmten
+echten Bruch zu bestimmen. So geschieht es \zB~bei \so{Huygens}.
+\index{Huygens}%
+Dieser Bruch hei�t die mathematische \so{Wahrscheinlichkeit}, und
+nach ihr ist die ganze Rechnung genannt.
+
+Dieser Begriff der mathematischen Wahrscheinlichkeit hat
+sich im Laufe der Zeit nun weiter entwickelt. Die urspr�ngliche
+Festlegung als Verh�ltnis von Einsatz und Gewinn bringt ihn
+noch mit einem fremden Element in Beziehung, n�mlich einem
+Geldbetrag, der sich aus dem Bruch doch wieder forthebt. Von
+diesem fremden Element war der Begriff zu befreien und es zeigte
+sich dabei, da� man nur die Frage aufzuwerfen hatte, wie man
+das Spiel auf Spielchancen, die alle untereinander gleich sind,
+aufbauen kann. So viel solcher gleicher Spielchancen man nimmt,
+der so vielte Teil des Gewinnes ist auf jede einzelne Chance zu
+setzen, und vereinigt ein Spieler mehrere dieser Chancen auf seine
+Person, so wird f�r ihn die Wahrscheinlichkeit des Gewinnens
+das entsprechende Vielfache des Bruches, der einer einzigen Chance
+entspricht. Sind nun die Spielchancen gleich gro�, so spricht man
+von gleich m�glichen F�llen des Gewinnens. Die mathematische
+Wahrscheinlichkeit wird damit ein Bruch, dessen Nenner die Anzahl
+aller der gleich m�glichen F�lle und dessen Z�hler die Anzahl
+der hierunter dem Spieler g�nstigen F�lle ist. Mit dieser
+Festlegung ist die M�glichkeit gegeben, die Definition der Wahrscheinlichkeit
+�ber die Gl�cksspiele hinaus auf solche Ereignisse
+im allgemeinen zu �bertragen, die sich nach Analogie der Gl�cksspiele
+beurteilen lassen und die generell als Zufallsereignisse
+\DPPageSep{075}{61}
+bezeichnet werden. Es wird derart die Beurteilung aller solcher
+Ereignisse an die Scheidung gleich m�glicher F�lle gekn�pft. In
+diesem Sinne sagt \zB~\so{Laplace}: "`La th�orie des hasards consiste
+\index{Laplace}%
+� r�duire tous les �v�nements du m�me genre � un certain nombre
+de cas �galement possibles, c'est-�-dire tels que nous soyons
+�galement ind�cis sur leur existence."' Die letzten Worte geben
+schon an, wie in der klassischen Wahrscheinlichkeitsrechnung
+immer die gleich m�glichen F�lle festgelegt werden. Zwei F�lle
+sollen als gleich m�glich angesehen werden, wenn sich kein Grund
+findet, unter ihnen einen f�r wahrscheinlicher zu halten als den
+anderen. J.~v.~\so{Kries} (Die Prinzipien der Wahrscheinlichkeitsrechnung,
+\index{Kries@Kries, Joh.\ v.}%
+Freiburg 1886) hat mit Recht darauf hingewiesen,
+da� diese Bestimmung zwar eine notwendige, aber die so gegebene
+Erkl�rung keineswegs eine gen�gende sei, denn sie l��t noch der
+Willk�r einen gro�en Spielraum. Die Aufstellung der gleich m�glichen
+F�lle m�sse aber eine in eindeutiger Weise und ohne jede
+Willk�r sich ergebende sein. Er findet die Aufstellung gleichberechtigter
+Annahme �berall da m�glich, wo unserem Wissen
+gem�� ein me�barer und in Teile zu zerlegender Spielraum des
+Verhaltens m�glich ist. Gleichen Teilen des Spielraumes entsprechen
+auch gleiche M�glichkeiten. Ich kann nicht finden, da�
+die Schwierigkeit dadurch gehoben ist. Es ist nur ein besonderes
+Bild f�r die Vorg�nge geschaffen, das wohl sehr anschaulich ist
+(wir m�ssen etwa an die Felder auf der Scheibe der Roulette
+denken), aber doch nichts erkl�rt. \so{Kries} hat eine Art Sto�spiel
+ersonnen, das wohl in der Art, wie er es verwendet, die Annahme
+gleicher M�glichkeiten als berechtigt erscheinen l��t, an dem sich
+aber auch zeigen l��t, da� allein das Vorhandensein eines me�baren
+und bestimmt teilbaren Spielraumes nicht ausreicht. Sto�e
+ich eine Kugel in einer Rinne vorw�rts, die in gleich breite, abwechselnd
+rote und schwarze Felder geteilt ist, so scheint es in
+der Tat gleich m�glich, da� die Kugel auf einem roten oder einem
+schwarzen Felde liegen bleibt, aber doch wieder nur aus dem
+Grunde, weil wir nicht einsehen k�nnen, warum sie eher auf einem
+schwarzen als auf einem roten Felde liegen bleiben solle, wenn
+die Breite der Felder gegen den Weg, den die Kugel zur�cklegt,
+sehr gro� ist. Ist das aber nicht der Fall, folgt vielmehr auf ein
+sehr breites schwarzes Feld ein ebenso breites rotes, so k�nnen wir,
+wenn die Kugel nur mit schwacher Kraft gesto�en wird, nicht
+\DPPageSep{076}{62}
+mehr annehmen, da� sie ebenso leicht auf dem ferneren roten wie
+auf dem n�heren schwarzen Felde liegen bleiben wird.
+
+Um diesen Schwierigkeiten zu entgehen, hat schon F.~A. \so{Lange}
+\index{Lange@Lange, Friedr.\ Albert|f}%
+in seinen Logischen Studien den Weg gewiesen, die Scheidung
+der gleich m�glichen F�lle nur als eine logische Disjunktion anzusehen.
+Im logischen Sinne, \dh~als getreues Bekenntnis unseres
+geistigen Zustandes, kann die Bestimmung der gleich m�glichen
+F�lle als solcher F�lle, von denen wir keinen eher als den anderen
+annehmen k�nnen, auf jeden Fall bestehen bleiben. Es ist nur
+meines Erachtens zu sehr betont worden, da� hierin wesentlich
+das Bekenntnis eines Nichtwissens liegt. In einem neueren Werke
+(S.~\so{Louri�}, Die Prinzipien der Wahrscheinlichkeitsrechnung,
+\index{Louri�}%
+T�bingen 1910) wird die Wahrscheinlichkeitsrechnung geradezu
+als die Methodisierung des Nichtwissens behandelt. Wenn wir die
+negative Redewendung gebrauchen, da� wir keinen Grund haben,
+einen Fall f�r wahrscheinlicher zu halten als den anderen, so bedeutet
+das doch eine bestimmte Summe positiver Kenntnisse von
+der Natur des Vorganges, wie wir sie bei den Gl�cksspielen, den
+Lotterieziehungen und anderen Ereignissen mehr haben. Die
+Lotterieziehungen haben eine bestimmte Technik, die es verhindert,
+die Ziehung eines Loses als wahrscheinlicher erscheinen zu lassen
+wie die eines anderen. Die Einrichtung der Roulette, die Art des
+W�rfelns, die Vorsichtsma�regeln beim Ziehenlassen einer Karte,
+alles das sind bestimmte technische Momente, die gewissen Erfahrungen
+und einer Einsicht in die innere Natur der Vorg�nge
+ihren Ursprung verdanken. Es lassen sich nur die einzelnen Bestandteile
+dieser Erfahrungen und Erkenntnisse schwer in Worte
+fassen, sie werden meist mehr gef�hlsm��ig hingenommen.
+
+Die eigentliche Schwierigkeit ist in der Darstellung, die
+F.~A.~\so{Lange} gegeben hat, in eigent�mlicher Weise verh�llt. Im
+Grunde n�hert sich seine Auffassung stark der statistischen
+Methode. Er benutzt eine Art graphischer Darstellung, indem er
+den gesamten Umfang des Begriffes durch ein Rechteck und die
+Disjunktion durch eine Teilung dieses Rechteckes in kongruente
+Teile darstellt. Diese Einteilung soll so verstanden werden, "`da�
+die verschiedene Ausdehnung der Felder die Bedeutung hat, da�
+der Umfang der untergeordneten Begriffe im Verh�ltnis dieser
+Ausdehnung verschieden ist oder, was dasselbe sagen will, da� die
+H�ufigkeit, mit welcher man einen Fall der einen Klasse erwarten
+\DPPageSep{077}{63}
+darf, sich zu derjenigen einer anderen Klasse verh�lt wie die Ausdehnung
+der betreffenden Felder"'. Die Schwierigkeit ist in dem
+Ausdruck "`erwarten darf"' versteckt. Was hei�t d�rfen? Aus
+inneren Gr�nden oder nach den �u�eren Ergebnissen? Zu vermuten
+ist, da� beides zugleich gemeint sein soll, in dem Sinne,
+da� die aus inneren Gr�nden erwartete relative H�ufigkeit sich
+auch wirklich einstellen wird, und da� andererseits die einmal
+beobachtete relative H�ufigkeit sich immer wiederfinden wird. Darin
+liegt aber schon alles, was �berhaupt er�rtert werden soll. Es
+scheint klar, da� hiernach nicht das disjunktive Urteil in seiner
+Allgemeinheit, sondern nur in den besonderen F�llen, wo eine
+quantitative Wertung der Disjunktionsglieder m�glich ist, gemeint
+sein soll. Dem widerspricht aber, da� \so{Lange} als Beispiel ein
+Urteil wie "`Ein Mensch kann entweder Europ�er oder Asiate oder
+Afrikaner oder Amerikaner oder Australier sein"' anf�hrt. Er will
+hieran erkl�ren, da� eine weitergehende Disjunktion die urspr�ngliche
+nicht aufhebt, sondern nur erg�nzt, indem die durch die
+erste Disjunktion geschaffenen Spielr�ume nur noch weiter eingeteilt
+werden. Wie soll aber in einem solchen Falle der Umfang
+der einzelnen Spielr�ume bemessen werden? Dieser Fall hat doch
+mit der quantitativen Wertung der Wahrscheinlichkeitsrechnung
+nicht das mindeste zu tun. Es m��te denn die Bemessung der
+M�glichkeiten nach den Einwohnerzahlen der verschiedenen Erdteile
+getroffen werden, aber es ist offenbar sinnlos, zu schlie�en,
+wenn ich einen unbekannten Menschen treffe, sei die Wahrscheinlichkeit,
+da� er aus Asien stamme, ungef�hr~$\frac{1}{2}$, weil die Einwohnerzahl
+Asiens ungef�hr die H�lfte von der Einwohnerzahl
+der Erde ausmache. Das meint \so{Lange} offenbar auch nicht, im
+Gegenteil scheint in den Worten, die er bei dem Beispiel des
+W�rfels gebraucht, "`der Umfang komme durch eine Zeitfolge
+zustande, welche als r�umliche Ausdehnung angeschaut wird"', zu
+liegen, da� er sich wesentlich auf das Gesetz der gro�en Zahlen
+st�tzen will. Die Annahme, da� der Umfang f�r die sechs Seiten
+des W�rfels gleich sei, habe nur als eine vorl�ufige zu gelten, die
+durch die sp�tere Beobachtung entsprechend zu korrigieren sei.
+
+Entschiedener als Lange hat \so{Stumpf} in den Sitzungsberichten
+\index{Stumpf}%
+der historischen Klasse der M�nchener Akademie (1892,
+S.~37~ff.)\ den subjektiven Charakter des Wahrscheinlichkeitsbegriffes
+betont. Seine Auffassung findet sich in \so{Sigwart}s Logik
+\index{Sigwart|f}%
+\DPPageSep{078}{64}
+(4.~Aufl.,\ II.~Bd., S.~317~ff.)\ wieder. Es werden hier die Glieder der
+Disjunktion insofern gleichwertig genannt, "`als sie f�r unsere
+Kenntnis gleiche Spezialisierungen eines Allgemeinen oder gleiche
+Teile seines Gesamtumfanges darstellen"'. Damit ist im Grunde
+doch wieder alles hereingenommen, was der Begr�ndung der Wahrscheinlichkeit
+auch in der klassischen Theorie zugrunde gelegt
+wurde. Dem entspricht es durchaus, wenn \so{Sigwart} weiter sagt:
+"`Das Recht, die Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung anzuwenden,
+ist nicht auf die F�lle beschr�nkt, in denen wir befugt
+sind, Voraussetzungen �ber eine gleichm��ige Variabilit�t der
+Ursachen zu machen und zu glauben, da� bei zahlreichen Wiederholungen
+alle Disjunktionsglieder sich in gleichem Verh�ltnis verwirklichen
+werden; es gilt �berall, wo eine Disjunktion mit gleichwertigen
+Gliedern feststeht und wir keinen Grund haben, das eine
+eher als das andere anzunehmen."' Es ist zu bedauern, da� in
+diesen Darstellungen die wirkliche Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung
+nie ber�cksichtigt, sondern immer nur mit allgemein
+begrifflichen Festsetzungen operiert wird. Dadurch tritt
+nie klar hervor, wie weit denn die tats�chliche Anwendbarkeit der
+entwickelten Begriffe geht. Die Wahrscheinlichkeit, da� ein vorliegender
+chemisch einfacher K�rper Eisen ist, gleich $1/n$ zu setzen,
+wenn $n$ die Anzahl der Elemente ist, ist eine leere Spielerei. Das
+Auftreten verschiedener Elemente kann nie als gleich wahrscheinlich
+angesehen werden, schon weil es sehr verbreitete Elemente
+und sehr seltene Elemente gibt. Die Schwierigkeit liegt eben darin,
+da� fast immer wirklich ein Grund vorliegt, eher das eine als
+das andere anzunehmen, und da� es dann gilt, die Verschiedenheit
+der Erwartung richtig zu bewerten. Wenn wir wissen, da� eine
+Knabengeburt eher als eine M�dchengeburt zu erwarten ist, so
+sollen wir das Verh�ltnis dieser Erwartungen zahlm��ig bestimmen.
+Durch die Zur�ckf�hrung auf das Schema der gleichm�glichen F�lle
+ist das nicht zu erreichen. Wie sollen wir es dann tun? Es gibt
+nur einen Weg, und das ist die statistische Methode. Der Einwand
+\so{Sigwart}s, da� wir die zu berechnende Wahrscheinlichkeit so
+nicht genau finden, ist nicht stichhaltig. Ist es denn als eine
+absolut genaue Bestimmung anzusehen, wenn wir beim W�rfelspiel
+die Wahrscheinlichkeiten f�r die einzelnen Augenzahlen gleich
+$\frac{1}{6}$ setzen, weil wir keinen Grund einsehen, sie f�r verschieden
+zu halten? Wir m�ssen die Unsicherheit unserer Annahme doch
+\DPPageSep{079}{65}
+irgendwie in Rechnung ziehen und m�ssen danach die angesetzten
+Zahlen verschieden werten, auch wenn wir davon ausgehen, da�
+die Wahrscheinlichkeit nur eine subjektive Bedeutung hat. Dies
+l��t sich nur erreichen, indem wir sagen, wir m�ssen bei der Bestimmung
+der Zahlen ihnen einen bestimmten Spielraum geben,
+der unserer Unsicherheit entspricht. Ob wir beim W�rfeln die
+Wahrscheinlichkeit des einzelnen Wurfes gleich $\frac{1}{6}$ oder nur wenig
+davon verschieden, vielleicht gleich $0,17$ ansetzen, wird bei der
+Unsicherheit der Bestimmung ohne Bedeutung sein.
+
+Welche Bedeutung �berhaupt die Feststellung der Wahrscheinlichkeit
+als das Ma� der subjektiven Erwartung haben soll,
+scheint mir schwer einzusehen. Eine solche Bedeutung w�rde
+vorhanden sein, wenn es in allen oder wenigstens in vielen F�llen
+gel�nge, das Ma� der subjektiven Erwartung zahlenm��ig zu werten.
+Das ist aber offenbar nicht der Fall. Furcht und Hoffnung kleidet
+sich f�r uns nicht in die Form einer bestimmten zahlenm��igen
+Festsetzung, es bleiben die einzelnen Momente, die das F�r und
+Wider ausmachen, bestehen, ohne da� sie als ein Beitrag zu einem
+zahlenm��igen Endresultat formuliert werden k�nnen. Es sind nur
+die Gl�cksspiele, wo eine solche zahlenm��ige Festsetzung erreicht
+wird, und zwar eben dadurch, da� die Vorg�nge des Spieles k�nstlich,
+in bestimmter Weise geregelt werden. Aber auch hier ist
+das Urspr�ngliche nicht die Bildung der Erwartung bei dem einzelnen
+Mitspielenden, sondern die Festlegung der Eins�tze nach
+bestimmten Prinzipien. Tats�chlich bestimmt der Spieler fast immer
+seine Erwartung anders, als der Bankhalter den Einsatz regelt.
+Auch hier treiben Furcht und Hoffnung ihr tr�gerisches Spiel.
+Die Festlegung der Wahrscheinlichkeit als einer quantitativ gewerteten
+subjektiven Erwartung kann daher jedenfalls eine praktische
+Bedeutung nie haben. Wenn man also betont, da� die
+Wahrscheinlichkeit als das Ma� unserer Erwartung ihrem Wesen
+nach subjektiver Natur ist, so ist es am besten, diesen Begriff
+ganz aufzugeben, wo es sich um rein objektive Feststellungen
+handelt, und ihn durch die Tatsache einer gleichbleibenden relativen
+H�ufigkeit zu ersetzen, wobei dieser Begriff allerdings als
+eine Art Grenzwert erscheint, also durch die Wirklichkeit nur
+angen�hert, aber nie vollkommen erreicht wird, weil sich, wie man
+annimmt, der exakte Wert erst bei einer unendlichen H�ufung
+der F�lle herausstellen w�rde.
+\DPPageSep{080}{66}
+
+Diesen Weg ist in der Praxis \zB~die Lebensversicherungstechnik
+gegangen. Die Pr�mien und Reserven erscheinen nicht als
+auf bestimmten mathematischen Wahrscheinlichkeiten begr�ndet,
+sondern sie beruhen nur auf den in einer Sterbetafel zusammengefa�ten
+statistischen Beobachtungen und auf der Annahme, da�
+diese "`rechnungsm��ige Sterblichkeit"' auch bei den neuen Versicherten
+ihre Geltung behalten werden. Es wird also das Gesetz
+der gro�en Zahlen in der einfachen Form als eine in der Wirklichkeit
+anzunehmende Regelm��igkeit vorausgesetzt. Allerdings
+bleibt es die Aufgabe der praktischen Handhabung des Lebensversicherungsgesch�ftes,
+durch geeignete Auswahl des Versichertenmaterials
+daf�r zu sorgen, da� die rechnungsm��ige Sterblichkeit
+nicht �berschritten wird.
+
+Aus diesen Gr�nden wollen wir es vorziehen, die statistische
+Methode so rein wie m�glich zur Geltung zu bringen. Der Schlu�
+auf den einzelnen noch unentschiedenen Fall, durch den der Wahrscheinlichkeitsbegriff
+hineinspielen m��te, interessiert uns nicht.
+Was wir wollen, ist vielmehr, aus den statistischen Ergebnissen
+die Erscheinungsformen herauszusch�len, die als die Offenbarung
+des Zuf�lligen zu gelten haben, und dadurch �ber den Charakter
+des Zuf�lligen einen gewissen Aufschlu� zu erhalten\footnote
+  {Die rein empirische Auffassung des Wahrscheinlichkeitsbegriffes
+  als eine bestimmte relative H�ufigkeit oder den Grenzwert einer solchen
+  hat sich in der neueren Zeit mehr und mehr durchgesetzt. Vgl.\ \zB\
+  \so{Bruns}, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kollektivma�lehre, Leipzig
+\index{Bruns}%
+  1906. Nur die Franzosen halten an der Begriffsbestimmung der klassischen
+  Wahrscheinlichkeitsrechnung mit Z�higkeit fest. Dies gilt auch f�r
+  die neuesten Ver�ffentlichungen, unter denen ich hier nur zwei nennen
+  will: E.~\so{Borel}, Le Hasard (Nouvelle collection scientifique, Paris, Alcan,
+\index{Borel}%
+  1914), eine gemeinverst�ndliche Darstellung ohne Formeln, und E.~\so{Carvallo},
+\index{Carvallo}%
+  Le calcul des probabilit�s et ses applications (Paris, Gauthier-Villars,
+  1912) mit elementaren mathematischen Entwickelungen.}.
+
+Die Wahrscheinlichkeitsrechnung hat den Weg von dem Wahrscheinlichkeitsbegriff
+zu den statistischen Ergebnissen durch einen
+Satz gefunden, der als das \so{Bernoullische Theorem} bezeichnet
+%[** TN: Typo "Bernoullisches Theorem" in original]
+\index{Bernoullische Theorem}%
+wird. Um dieses Theorem zu erl�utern, ist es zweckm��ig, von
+einem bestimmten Schema des Gl�cksspieles auszugehen. Man
+denkt sich in einer Urne schwarze und wei�e Kugeln in einem
+bestimmten Verh�ltnis gemischt. Das Spiel besteht nun darin,
+da� immer eine Kugel aus der Urne gezogen, ihre Farbe festgestellt
+\DPPageSep{081}{67}
+und sie dann wieder zur�ckgelegt wird. Das Bernoullische
+Theorem soll dann aussagen, da�, wenn die Ziehung h�ufig genug
+wiederholt wird, die Anzahl der gezogenen wei�en zu der Anzahl
+der schwarzen Kugeln in ann�hernd demselben Verh�ltnis steht, wie
+die Anzahl der in der Urne enthaltenen wei�en zu der Anzahl der
+in der Urne enthaltenen schwarzen Kugeln, \dh~da� das Ziehungsverh�ltnis
+das Mischungsverh�ltnis ann�hernd wiedergibt, wenn
+die Anzahl der Ziehungen gro� genug ist. Daraus w�rde wirklich
+folgen, da� bei einer neuen Serie von sehr viel Ziehungen aus
+derselben Urne sich auch wieder ann�hernd dasselbe Ziehungsverh�ltnis
+ergeben mu�, \dh~es w�rde f�r die Ziehungen aus einer
+Urne die ann�hernde Konstanz des Verh�ltnisses, die in dem Gesetze
+der gro�en Zahlen ausgesprochen wird, sich theoretisch begr�nden
+lassen. Aber bei n�herem Zusehen ergeben sich doch
+gewichtige Bedenken. Zun�chst bedeutet die Annahme des Bestehens
+einer bestimmten Wahrscheinlichkeit f�r das Ziehen einer
+wei�en Kugel nur eine wohl plausible, aber keineswegs evidente
+Voraussetzung. Wenn die Annahme einer bestimmten Wahrscheinlichkeit
+nur das Ma� unserer Erwartung gibt und nur subjektive
+Bedeutung hat, wie kann dann hieraus eine objektive empirisch
+festzustellende Tatsache gefolgert werden? Wie ist dieser Widerspruch
+zu erkl�ren? Es zeigt sich, da� in Wirklichkeit gar nicht
+diese Tatsache direkt gefolgert wird, sondern es ergibt sich nur
+eine sehr gro�e Wahrscheinlichkeit daf�r, da� bei einer gro�en
+Anzahl von Ziehungen das Ziehungsverh�ltnis ann�hernd mit dem
+Mischungsverh�ltnis zusammenf�llt. Der Schlu� ist dann einfach
+der, da�, wenn f�r einen Erfolg eine sehr gro�e, \dh~der Einheit
+nahezu gleiche Wahrscheinlichkeit besteht, dieser Erfolg als gewi�
+und bei jedem wirklichen Versuch als tats�chlich anzusehen
+ist. Dadurch wird aber die Kluft zwischen der subjektiven Wertung,
+die in dem Ansatz der Wahrscheinlichkeit liegt, und der
+Feststellung einer empirischen Tatsache nur verh�llt, aber nicht
+�berbr�ckt. Die theoretische Begr�ndung, die erstrebt wurde,
+wird nicht geliefert, es wird nur die Darstellung so gewendet,
+da� wir �ber die Schwierigkeit des �berganges von den Bedingungen
+des Ereignisses zu seinem wirklichen Ausgang ahnungslos
+hinweggleiten. Es wird \zB~auf keine Weise logisch widerlegt,
+da� man aus einer Urne, die nur eine einzige wei�e Kugel
+enth�lt, fortw�hrend diese wei�e Kugel ziehen kann. Gerade
+\DPPageSep{082}{68}
+daf�r, da� ein Ereignis, dessen mathematische Wahrscheinlichkeit
+wir sehr nahe gleich $1$ gefunden haben, auch so gut wie immer
+eintritt, brauchen wir eine empirische Best�tigung. Darin liegt
+eine erneute Mahnung, nicht den Begriff der subjektiven Wahrscheinlichkeit,
+sondern nur die Bedeutung einer wenigstens n�herungsweise
+gleichbleibenden relativen H�ufigkeit der Betrachtung
+zugrunde zu legen.
+
+Da� die Z�hlung des Vorkommens in einer gro�en Anzahl
+von beobachteten F�llen die einzig sichere Art ist, zu beurteilen,
+ob verschiedene F�lle wirklich gleich m�glich sind, kann man an
+dem Beispiel des W�rfelns erkennen. Wenn wir von vornherein
+annehmen, da� mit einem W�rfel jeder Wurf gleich wahrscheinlich
+ist, so ist das zun�chst eine unbewiesene und unbest�tigte
+Annahme, f�r die wir noch, wenn es sich um eine exakte Bestimmung
+handeln soll und nicht blo� um einen ungef�hren Ansatz,
+wie er bei Gl�cksspielen allein verlangt wird, eine Kontrolle
+durch die Erfahrung finden m�ssen. Diese Kontrolle kann nur
+darin bestehen, da� man mit dem W�rfel eine gro�e Anzahl von
+W�rfen ausf�hrt und aufzeichnet, wie oft dabei die einzelnen
+Augenzahlen fallen. Eine wie gro�e Abweichung von der urspr�nglichen
+Annahme sich hierbei ergeben kann, zeigen die Versuche
+von R.~\so{Wolf} (Versuche zur Vergleichung der Erfahrungswahrscheinlichkeit
+\index{Wolf, R.}%
+mit der mathematischen Wahrscheinlichkeit,
+Mitteilungen der naturforschenden Gesellschaft in Bern 1849 bis
+1851, 1853), der bei $20\,000$ W�rfen statt des Wertes $0,167$ f�r
+die relative H�ufigkeit des Auftretens der einzelnen Augenzahlen
+die folgenden Werte fand:
+\[
+\begin{array}{*{6}{c<{\quad}}}
+1  &  2  &  3  &  4  &  5  &  6 \\
+0,170  &   0,186  &   0,159  &   0,146  &   0,172   &  0,171
+\end{array}
+\]
+Danach betragen die bei dem urspr�nglichen Ansatz gemachten
+Fehler der Reihe nach rund
+\[
+\begin{array}{*{6}{c<{\qquad}}}
++2  &  +13  & -5  &  -14 & +3 & +2\rlap{\text{ Proz.}}
+\end{array}
+\]
+
+Es bedeutet also der Ansatz der gleich m�glichen F�lle immer
+eine mehr oder minder unbestimmte Vermutung, die noch der Best�tigung
+bedarf, und da diese Best�tigung durch das "`Gesetz der
+gro�en Zahlen"' geliefert wird, wird dieses Gesetz durch die Wahrscheinlichkeitsrechnung
+nicht begr�ndet, sondern mu� ihr vielmehr
+als eine unabh�ngige Tatsache zugrunde gelegt werden.
+\EndChap
+\DPPageSep{083}{69}
+
+
+\Chapter{Sechstes Kapitel}{Die mathematische Analyse
+station�rer Reihen}
+
+Bis hierher haben wir uns allen mathematischen Rechnungen
+ferngehalten und nur die begriffliche Kl�rung angestrebt. Jetzt
+aber wollen wir gerade die Hilfsmittel der mathematischen Analyse
+heranziehen, um zu quantitativen Bestimmungen zu gelangen,
+die einen sicheren Anhaltspunkt f�r die Beurteilung des Charakters
+der zuf�lligen Ereignisse liefern. Die quantitative Bestimmung
+bedeutet immer mit Notwendigkeit eine Beschr�nkung in der Betrachtung
+der qualitativen Besonderheit. Jedes Beispiel aus der
+Physik kann das klarmachen. Der Vorgang des freien Falles
+bietet der Beobachtung eine gro�e Mannigfaltigkeit qualitativer
+Bestimmungen. Es ist, rein menschlich betrachtet, etwas ganz
+anderes, ob ein Hagelkorn vom Himmel auf die Erde, ein
+Blumentopf aus dem Fenster auf die Stra�e herunterf�llt, oder ob
+ein Dachdecker vom Dach st�rzt und sich das Genick bricht.
+Die Physik aber vereinigt alle diese Vorg�nge unter einem Gesichtspunkte,
+und in der Nichtber�cksichtigung ihrer besonderen
+Bedeutung im menschlichen Leben liegt das, was man wohl als die
+Unerbittlichkeit oder die Blindheit der Naturgesetze bezeichnet. Bei
+der Analyse, die wir hier beginnen, treten diese Eigent�mlichkeiten
+noch st�rker hervor, eben weil das Interesse an der qualitativen
+Besonderheit in den meisten F�llen besonders gro� ist, so da� es
+uns widerstrebt, von dieser ganzen Besonderheit abzusehen und
+rein �u�erlich die statistischen Ergebnisse zu betrachten. Es
+tritt hier noch augenf�lliger zutage, wie verschiedenartig im
+Grunde die gemeinsam behandelten Vorg�nge sind, und es kann
+sinnlos erscheinen, sie nach einer rein �u�erlich hervortretenden
+quantitativen Gemeinsamkeit zu vereinigen. Und doch ist hierin
+die Bedingung f�r einen wirklichen Fortschritt enthalten.
+\DPPageSep{084}{70}
+
+Wir sehen also bei der folgenden Untersuchung davon ab, wie
+die Zahlenreihen, die wir vor uns haben, entstanden sind, und
+welche besonderen Vorg�nge in ihnen ihren Ausdruck finden.
+Wir nehmen dabei an, da� die vorgelegte Zahlenreihe eine \so{station�re}
+sei. Wir k�nnen jede solche station�re Reihe auf einen besonderen
+Fall zur�ckf�hren, wo die Werte der Reihe teils positiv,
+teils negativ sind, sich also um den Wert~$0$ gruppieren. Wir erreichen
+dies, indem wir von den Werten der vorgelegten Reihe
+einen und denselben bestimmten Wert, den Durchschnittswert der
+Reihe, abziehen. Dann wird in der neuen station�ren Reihe die
+Summe aller positiven Werte ebenso gro� wie die Summe aller negativen
+Werte. Wir wollen gleich bemerken, da� wir auch aus anderen
+als station�ren Zahlenreihen eine solche, sich um den Wert~$0$
+gruppierende station�re Reihe ableiten k�nnen, indem wir von den
+Werten der Reihe nun nicht mehr einen und denselben Zahlenwert,
+sondern die durch eine bestimmte N�herungsfunktion gegebenen
+Werte abziehen, m�ge diese N�herungsfunktion nun
+durch einen analytischen Ausdruck oder graphisch durch eine
+Kurve gefunden werden.
+
+Die so abgeleiteten station�ren Reihen, die sich um den Wert~$0$
+gruppieren, liefern nun aber sofort eine Verteilungsreihe. Das
+zweite wird also die besondere Behandlung der \so{Verteilungsreihen}
+sein. F�r diese lassen sich zun�chst allgemeine Begriffsbestimmungen
+treffen, durch die man eine Handhabe zur Beurteilung
+der vorliegenden Verteilungsreihe gewinnt. Es zeigt sich
+aber bald, da� solche allgemeinen Begriffsbestimmungen allein nicht
+ausreichen. Vielmehr erweist es sich als n�tig, bestimmte Typen
+von Verteilungsreihen herauszugreifen, und die Frage wird sein,
+wie man zu solchen Typen gelangt. Hierzu verhilft die sogenannte
+Wahrscheinlichkeitsrechnung, \dh~die Betrachtung bestimmter
+typischer Vorg�nge, die einer besonderen mathematischen
+Analyse f�hig sind. Alle diese Vorg�nge lassen sich schlie�lich
+zur�ckf�hren auf den einen Vorgang der Ziehung von einer oder
+mehreren Kugeln aus einer Urne, in der Kugeln von verschiedener
+Farbe gemischt enthalten sind. Mit den aus diesem Urnenschema
+abgeleiteten typischen Verteilungsreihen werden dann die irgendwie
+entstandenen Verteilungsreihen verglichen.
+
+Unter den Typen von Verteilungsreihen, zu denen das Urnenschema
+f�hrt, ragen gewisse hervor, die wir als typische Zufallsreihen
+\DPPageSep{085}{71}
+ansehen. Ereignisse, die bei der statistischen Zusammenstellung
+der Resultate vieler Einzelf�lle den Typus einer solchen
+Zufallsreihe zeigen, sehen wir als zuf�llige an. Es ist zu wiederholen,
+da� wir dadurch im Grunde keine Aussage �ber die qualitative
+Eigent�mlichkeit der betreffenden Ereignisse machen. Eigentlich
+handelt es sich gar nicht um eine Eigenschaft des einzelnen Ereignisses,
+sondern nur um eine Eigenschaft der statistischen Gesamtheit.
+Aber es zeigt sich doch, da� diese Festlegung des Zuf�lligen
+die sicherste und gewisseste ist, die wir finden k�nnen,
+ohne die Grenzen des durch die Erfahrung Erreichbaren zu �berschreiten.
+Wir m�ssen noch allgemein bemerken, da� wir den
+Typus einer vorgelegten Verteilungsreihe nur dadurch erkennen,
+da� wir versuchen, die empirisch festgestellten Werte durch die
+Werte der einer typischen Verteilungsreihe entsprechenden Funktion
+zu approximieren. Die dabei sich notwendigerweise ergebenden
+Abweichungen k�nnen wir aufs neue derart analysieren, da� wir
+aus ihnen wieder eine Verteilungsreihe ableiten. So w�rde sich
+an die urspr�ngliche Analyse noch eine weitergehende anreihen.
+Diese weitere Durchf�hrung der Analyse ist aber meistens unerreichbar.
+Die bei dem Vergleich der vorgelegten Reihe mit der
+typischen Verteilungsfunktion herauskommenden Abweichungen
+sind n�mlich verh�ltnism��ig klein, und die Gruppen, die wir aus
+ihnen bei der Bildung der neuen Verteilungsreihe ableiten k�nnen,
+sind entweder sehr wenig zahlreich oder enthalten jede sehr wenig
+Glieder. Beides aber macht eine genaue Analyse unm�glich und
+wir werden auf eine solche fast immer verzichten m�ssen.
+
+Wir wollen nun an die Ausf�hrung der Arbeit im einzelnen
+gehen und zun�chst die mathematischen Definitionen und Formeln
+er�rtern, die sich unmittelbar an eine vorgelegte station�re Zahlenreihe
+ankn�pfen. Das erste wird sein, da� wir ein bestimmtes
+\so{Ma� f�r die Schwankungen} der Werte innerhalb der station�ren
+Reihe suchen. Wir bezeichnen die aufgezeichneten Werte
+der Reihe mit
+\[
+y_1,\ y_2,\ y_3,\ \dots,\ y_n;
+\]
+das Ma� f�r die Schwankungen soll dann gegeben sein durch den
+Ausdruck
+\[
+\Tag{(1)}
+M = \frac{2}{n(n-1)}\Sum_{i,k}(y_i - y_k)^2,
+\]
+\DPPageSep{086}{72}
+in dem sich die Summe auf die $\dfrac{n(n-1)}{2}$ Wertepaare $i$,~$k$ bezieht,
+die sich aus den Zahlen $1$~bis~$n$ bilden lassen. Der Ausdruck
+fa�t alle Unterschiede zusammen, die �berhaupt in der Zahlenreihe
+vorkommen; er ist ferner unabh�ngig davon, in welcher Reihenfolge
+die aufgezeichneten Werte genommen werden, ebenso von den
+Vorzeichen der vorkommenden Differenzen, und w�chst mit deren
+absoluten Werten.
+
+Aus dem Wert~$M$ l��t sich ein anderer noch anschaulicherer
+Wert ableiten: es ist dies die \so{mittlere Abweichung}~$m$, die gegeben
+wird durch die Gleichung
+\[
+\Tag{(2)}
+m = \sqrt{M}.
+\]
+Es ist n�mlich $\dfrac{n(n-1)}{2}$ die Anzahl der Glieder in der Summe
+$\Sum(y_i - y_k)^2$, und dividieren wir die Summe durch die Anzahl
+ihrer Glieder, so erhalten wir den mittleren Wert des einzelnen
+Gliedes. Da dieser Wert sich aber auf die Quadrate der Abweichungen
+bezieht, m�ssen wir noch die Wurzel ausziehen und
+finden so f�r die mittlere Abweichung
+\[
+\Tag{(2a)}
+m = \sqrt{\frac{2\Sum(y_i - y_k)^2}{n(n-1)}},
+\]
+\dh~den obenstehenden Wert.
+
+Wir formen nun den Ausdruck~$M$ derart um, da� die doppelte
+Summation, die er bedingt, durch eine einfache Summation
+ersetzt wird. Dies gelingt, indem wir den \so{Durchschnittswert}
+(das arithmetische Mittel)
+\[
+\Tag{(3)}
+y_0 = \frac{y_1 + y_2 + \dots + y_n}{n}
+\]
+einf�hren. Dann ergibt sich n�mlich aus~\Eqref{(1)}:
+\begin{align*}
+(n-1)M
+  & = \Sum_i (y_i - y_0)^2 + \Sum_k (y_k - y_0)^2 \\
+  & - \frac{2}{n} \Sum_i (y_i - y_0) \Sum_k (y_k - y_0)
+\end{align*}
+und, da $\Sum(y_i - y_0) = 0$ und ebenso $\Sum(y_k - y_0) = 0$,
+\[
+\Tag{(4)}
+\frac{n-1}{2}�M = \Sum_i (y_i - y_0)^2,
+\]
+\DPPageSep{087}{73}
+und daraus
+\[
+\sqrt{\frac{n-1}{n}}m = \sqrt{2}\mu,
+\]
+wenn wir noch $\mu = \sqrt{\dfrac{\Sum(y_i - y_0)^2}{n}}$ einf�hren.
+
+Diese Darstellung empf�ngt noch eine neue Beleuchtung, wenn
+man statt eines Ma�es f�r die Abweichung der aufgezeichneten
+Werte voneinander ein Ma� f�r die Abweichung von einem beliebig
+gegebenen Werte~$y$ einf�hrt. Als solches Ma� kann der Ausdruck
+\[
+\Tag{(5)}
+M(y) = \frac{1}{n} \Sum_k(y_k - y)^2
+\]
+gelten. Man findet hieraus die fr�her eingef�hrte Zahl~$M$, indem
+man den Ausdruck bildet
+\[
+\Tag{(6)}
+M(y) = \frac{1}{n-1} \Sum_iM(y_i).
+\]
+
+Es liegt nun nahe, nach dem Werte~$y$ zu fragen, f�r den
+das Ma� der Abweichung von der aufgezeichneten Wertereihe
+m�glichst klein wird. Dieser Wert bestimmt sich daraus, da�
+man allgemein
+\begin{align*}
+M(y) &= \frac{1}{n} \Sum_k(y_k - y_0)^2 + (y - y_0)^2 \\
+     &- 2(y - y_0) \frac{1}{n} \Sum_k(y_k - y_0)
+\end{align*}
+setzen kann. Nimmt man daher an, da�
+\[
+\Sum(y_k - y_0) = 0
+\]
+wird, also f�r~$y_0$ den Wert
+\[
+y_0 = \frac{y_1 + y_2 + \dots + y_n}{n},
+\]
+so wird
+\[
+\Tag{(7)}
+M(y) = M(y_0) + (y - y_0)^2,
+\]
+und daraus erkennt man, da� das Ma� der Abweichung am kleinsten
+wird f�r $y_0$ selbst, denn f�r jeden anderen Wert~$y$ kommt zu
+$M(y_0)$ noch der positive Betrag $(y - y_0)^2$ hinzu. $M(y_0)$~stimmt
+aber mit dem Werte von $\mu^2$ �berein.
+\DPPageSep{088}{74}
+
+Als die \so{mittlere Abweichung} der Zahlenreihe \so{von einem
+beliebigen} Werte~$y$ wollen wir den Ausdruck bezeichnen
+\[
+\Tag{(8)}
+\mu(y) = \sqrt{M(y)} = \sqrt{\frac{\Sum(y_i - y)^2}{n}}.
+\]
+Bilden wir diesen Ausdruck f�r den Mittelwert~$y_0$, so erhalten wir
+den fr�heren Ausdruck~$\mu$, den wir als die \so{mittlere Ausweichung}
+oder Streuung der vorgelegten Reihe bezeichnen wollen.
+
+Wir k�nnen aus der Begriffsbestimmung des arithmetischen
+Mittels auch eine Regel f�r die Beurteilung ableiten, ob eine vorgelegte
+Reihe als station�r zu gelten hat. Wir m�ssen dann die
+Werte gruppenweise zusammenfassen, etwa zun�chst zu~$10$, und
+f�r jede Gruppe den Mittelwert~$y_0$ bestimmen. Dann m�ssen
+wir weiter die aufgezeichneten Werte zu gr��eren Gruppen, etwa
+zu~$100$, zusammenfassen und wieder von jeder Gruppe den Mittelwert
+bilden. Es geh�rt nun zu den Eigenschaften des arithmetischen
+Mittels, da� sich derselbe Wert ergibt, ob man erst aus
+Gruppen von gleich viel Werten das Mittel und dann von diesen
+Mitteln wieder das Mittel bestimmt, oder ob man unmittelbar von
+den gegebenen Werten selbst das Mittel nimmt. In der Tat wird
+\zB, wenn die Reihe nur sechs Glieder hat,
+\begin{align*}
+y_0 &= \frac{1}{6}(y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 + y_6) \\
+    &= \frac{1}{3}\left(
+      \frac{y_1 + y_2}{2}
+    + \frac{y_3 + y_4}{2}
+    + \frac{y_5 + y_6}{2}\right).
+\end{align*}
+Wir finden also jetzt mehrere Reihen, die aus immer weniger
+Werten bestehen und die sich alle um denselben Mittelwert gruppieren.
+Es l��t sich nun zeigen, da� die mittlere Abweichung
+der neuen Reihen vom Durchschnittswert immer kleiner ist als
+f�r die urspr�ngliche Reihe.
+
+Denken wir uns n�mlich eine Reihe, die aus $n = \rho\nu$ Werten
+besteht, in $\nu$~Gruppen von je $\rho$~Werten zerlegt und die Durchschnittswerte
+\[
+Y_1,\ Y_2,\ Y_3,\ \dots,\ Y_\nu
+\]
+jeder Gruppe gebildet, so wird die mittlere Abweichung der Gesamtreihe
+von dem Durchschnittswert gefunden, indem man die
+mittleren Abweichungen der einzelnen Gruppen von diesem Mittelwert
+bildet und daraus wieder das Mittel nimmt. Wenn wir nun
+\DPPageSep{089}{75}
+aber die mittlere Ausweichung der $i$ten~Gruppe mit $\mu_i$~bezeichnen,
+so ergibt sich f�r das Quadrat ihrer mittleren Ausweichung von
+dem Mittel~$y_0$ aller Werte
+\[
+(Y_i - y_0)^2 + \mu_i^2
+\]
+und daraus die einfache Formel
+\[
+\mu^2
+  = \frac{1}{\nu} \Sum (Y_i - y_0)^2 + \frac{1}{\nu} \Sum \mu_i^2
+  = \mu_0^2 + \frac{1}{\nu} \Sum \mu_i^2,
+\]
+wenn wir $\mu_0^2 = \dfrac{1}{\nu} \Sum(Y_i - y_0)^2$ setzen.
+
+Diese Formel zeigt in der Tat, wie die mittlere Ausweichung
+mit der Gruppenbildung abnimmt, denn die mittlere Ausweichung
+f�r die Mittelwerte~$Y_i$ der Gruppen wird ja
+\[
+\Tag{(9)}
+\mu_0 = \sqrt{\mu^2 - \frac{1}{\nu} \Sum \mu_i^2}
+\]
+und ist sonach notwendigerweise kleiner als die urspr�ngliche
+mittlere Ausweichung~$\mu$.
+
+Wir haben hier die Bildung des arithmetischen Mittels auf
+station�re Zahlenreihen beschr�nkt. In Wirklichkeit findet sie
+in viel weiterem Umfange statt. Es werden Durchschnittswerte
+f�r die verschiedenartigsten Gr��enfolgen angegeben, um zu einem
+zusammenfassenden Ausdruck der ganzen Zahlenfolge zu gelangen.
+Vor allen Dingen werden die Durchschnittswerte ohne R�cksicht
+darauf gegeben, wie stark die einzelnen Zahlen, von denen der
+Durchschnitt genommen ist, voneinander abweichen. So handelt
+es sich \zB, wenn das durchschnittliche Verm�gen eines Deutschen
+berechnet wird, um die verschiedensten Summen, von denen der
+Durchschnitt genommen wird, ja auf die gr��ere Anzahl der Personen
+entf�llt der Betrag~$0$, und von da an steigt der Wert bis
+zu Hunderten von Millionen hinauf. Hat es unter solchen Umst�nden
+nun einen Sinn, den Durchschnittswert zu bilden? Seine
+Bedeutung ist zun�chst nur die, da� er einen Quotienten darstellt,
+n�mlich den Quotienten der Summe aller Werte der Zahlenfolge
+und der Anzahl dieser Werte. Was man aus diesem Wert herauslesen
+will, bleibt noch der Willk�r �berlassen.
+
+Nach dem, was wir gefunden haben, hat es nun keinen Zweck,
+den Mittelwert da zu bilden, wo eine deutlich erkennbare Entwickelung
+in der Zahlenfolge zu finden ist. Zum Beispiel ist es
+\DPPageSep{090}{76}
+sinnlos, von der mittleren Bev�lkerung des deutschen Reichsgebietes
+w�hrend der letzten $100$~Jahre zu sprechen, weil in diesen
+$100$~Jahren eine deutlich erkennbare Entwickelung, n�mlich
+eine stetige Zunahme der Bev�lkerung, stattgefunden hat. Die
+Verteilung der Verm�gen unter den einzelnen Einwohnern ist dagegen
+eine solche, da�, wenn wir die Einwohner nach einer gewissen
+Reihenfolge ihrer Wohnst�tten in eine Liste eintragen und
+die dazugeh�rigen Verm�gen daneben schreiben, in dieser Zahlenfolge
+keine bestimmte Entwickelung erkennbar ist. Die Bildung
+der Durchschnittswerte ist daher gestattet, wie weit auch die einzelnen
+Werte voneinander abweichen. Die Reihe kann trotzdem
+als eine station�re gelten, weil die absolute Gr��e der Abweichungen
+bei dieser Begriffsbestimmung gar keine Rolle spielt. Im vorliegenden
+Falle wird allerdings die Gruppierung der Werte um
+den Durchschnittswert eine stark unsymmetrische sein, weil der
+Durchschnittswert (etwa $7000\,\mathscr{M}$) sehr viel n�her an der unteren
+als an der oberen Grenze liegt.
+
+Wir gehen nun zur Betrachtung der \so{Verteilungsreihen}
+�ber. Die Verteilungsreihen waren, wie wir sahen, sozusagen
+sekund�re Tabellen, die aus einer urspr�nglichen Tabelle dadurch
+abgeleitet wurden, da� man die Tabellenwerte der Gr��e nach
+ordnete und angab, wieviel Tabellenwerte zwischen bestimmte
+Grenzen fallen. Wir werden diese Bildung einer sekund�ren Reihe
+insbesondere auf die station�ren Reihen anzuwenden haben. Wir
+wollen aber zun�chst die Verteilungsreihen allgemeiner betrachten.
+
+Wir nehmen an, da� sich die vorkommenden Werte, welche
+jetzt den Eingang der Tabelle, in der urspr�nglichen Tabelle aber
+die eingetragenen Werte bilden, �ber ein bestimmtes Intervall
+erstrecken. Wenn dieses Intervall nach einer oder nach beiden
+Seiten unbegrenzt ist, so nehmen wir an, da� die zugeh�rigen
+H�ufigkeitszahlen schlie�lich sehr klein werden. Das bedeutet, da�
+in der urspr�nglichen Tabelle nur verh�ltnism��ig wenig sehr gro�e
+Werte enthalten sein sollen. Wir k�nnen uns praktisch immer
+ein endliches Intervall abgegrenzt denken (indem wir n�tigenfalls
+die dar�ber hinausfallenden Werte vernachl�ssigen), so da� die
+ganze Verteilungsreihe auf dieses Intervall beschr�nkt bleibt. Es
+handelt sich nun zun�chst darum, eine Reihe von Begriffen zu
+entwickeln, welche zur allgemeinen Beurteilung einer vorgelegten
+Verteilungsreihe dienen k�nnen.
+\DPPageSep{091}{77}
+
+Den ersten Begriff, den wir verwenden, entnehmen wir der Betrachtung
+der station�ren Reihen, wie wir sie vorhin angestellt
+haben. Es ist dies der Begriff des \so{arithmetischen Mittels}.
+Wir finden das arithmetische Mittel, indem wir jeden Wert des
+Einganges mit dem zugeh�rigen Tabellenwert multiplizieren und
+die Summe aller dieser Produkte durch die Summen aller Tabellenwerte
+teilen. Da der Eingang der Verteilungstabelle Intervalle
+bedeutet, so m�ssen wir die Mitte~$y_\rho$ jedes Intervalls nehmen und
+mit der Anzahl~$z_\rho$ der in das Intervall fallenden Werte der urspr�nglichen
+Tabelle multiplizieren. Wir finden also f�r das
+arithmetische Mittel jetzt den Ausdruck
+\[
+\Tag{(10)}
+y_0 = \frac{\Sum y_\rho z_\rho}{\Sum z_\rho}.
+\]
+
+Bei der graphischen Darstellung der Tabelle bedeutet das
+arithmetische Mittel die Abszisse, die zu dem Schwerpunkt der
+aus steifem Papier ausgeschnitten gedachten, die Tabelle darstellenden
+Staffelfigur geh�rt.
+
+Au�er dem arithmetischen Mittel wollen wir auch die \so{mittlere
+Ausweichung} bilden. Wir finden hierf�r
+\[
+\Tag{(11)}
+\mu^2 = \frac{\Sum(y_\rho - y_0)^2 z_\rho}{\Sum z_\rho},
+\]
+wof�r wir mit R�cksicht auf die Bedeutung von $y_0$ auch schreiben
+k�nnen
+\[
+\Tag{(11a)}
+\mu^2 = \frac{\Sum y_\rho^2 z_\rho}{\Sum z_\rho} - y_0^2.
+\]
+
+Unter Umst�nden ziehen wir der Staffelfigur das Bild einer
+stetigen Kurve vor. Dementsprechend haben wir dann in den
+obenstehenden Ausdr�cken die Summen durch Integrale zu ersetzen
+und finden, indem $z$ als Funktion von~$y$ erscheint,
+\[
+y_0 = \frac{\Int yz\, dy}{\Int z\, dy}, \qquad
+\mu^2 = \frac{\Int(y - y_0)^2 z\, dy}{\Int z\, dy},
+\]
+wobei die Integrale �ber die ganze Ausdehnung der Verteilungskurve
+auszudehnen sind, was man gew�hnlich so ausdr�cken kann,
+da� man die Grenzen gleich $-\infty$~und~$+\infty$ setzt.
+
+Es gibt nun aber noch eine zweite Art der Mittelbildung,
+die an sich noch einfacher ist. Man grenzt n�mlich das Intervall
+\DPPageSep{092}{78}
+ab, f�r das die Summe aller darunterliegenden H�ufigkeitszahlen
+m�glichst gleich der Summe aller dar�berliegenden H�ufigkeitszahlen
+wird. Wir bezeichnen den so gefundenen Wert der Abszissen als
+den \so{Zentralwert}~$y_z$ und die zugeh�rigen Ordinate als die zentrale
+Ordinate. Bei der graphischen Darstellung der Tabelle durch
+eine Staffelfigur bedeutet die zentrale Ordinate einen Schnitt, durch
+den die ganze Fl�che der Figur in zwei gleiche Teile zerlegt wird
+und analog bei der Darstellung der Verteilung durch eine stetige
+Kurve.
+
+Wir bestimmen schlie�lich noch das Intervall, bei dem die
+H�ufigkeitszahl ein Maximum bildet, \dh~gr��er wird als f�r die
+nach beiden Seiten benachbarten Intervalle. Den so ermittelten
+Wert~$y_a$ bezeichnen wir als \so{Normalwert}. Es liegt nun auf
+der Hand, da� sich unter Umst�nden auch mehrere solche Intervalle
+finden k�nnen. Wir m��ten dann von mehreren Normalwerten
+sprechen, was aber nicht als zweckm��ig erscheint. Vielmehr
+tritt die eigentliche Bedeutung des Normalwertes erst dann
+hervor, wenn nur ein Maximum vorhanden ist.
+
+Um ein besonderes Beispiel f�r die drei verschiedenen Mittelwerte
+zu haben, wollen wir die Zahlenreihe nehmen, die in einer
+Sterbetafel vorliegt. Der erste Mittelwert, das arithmetische Mittel
+oder der Durchschnittswert, wird in diesem Falle die \so{durchschnittliche
+Lebensdauer}. Sie ist f�r die im Auszuge auf
+S.~24 mitgeteilte Sterbetafel
+\[
+44,8 \text{ Jahre.}
+\]
+Der zweite Mittelwert, der Zentralwert, ist in diesem Falle die
+\so{wahrscheinliche Lebensdauer}, \dh~das Alter, das gerade die
+H�lfte der Geborenen erreicht. Sie betr�gt
+\[
+55,6 \text{ Jahre.}
+\]
+Der dritte Mittelwert, der Normalwert, ist in diesem Falle das
+\so{normale Lebensalter}, \dh~das Lebensalter, in dem mehr
+Menschen sterben als in den auf beiden Seiten benachbarten
+Altersstufen, wo also die Sterbekurve ein Maximum hat. Dieses
+Alter betr�gt
+\[
+73,2 \text{ Jahre.}
+\]
+Man erkennt deutlich die Verschiedenheit der drei Mittelwerte und
+sieht, da� die wahrscheinliche Lebensdauer zwischen der durchschnittlichen
+\DPPageSep{093}{79}
+und der normalen Lebensdauer liegt. Die drei Zahlen
+zusammen k�nnen als die zusammenfassende Charakteristik der
+Absterbeordnung gelten.
+
+Wir wollen die auf diese Weise abgeleiteten Begriffe sofort
+benutzen, um eine vorgelegte station�re Reihe weiter zu analysieren.
+Das arithmetische Mittel gibt dabei wieder den schon fr�her betrachteten
+Durchschnittswert. Dagegen liefert uns der Zentralwert
+etwas wirklich Neues. Um ihn zu finden, haben wir folgenderma�en
+zu verfahren. Wir ordnen die aufgezeichneten Werte der
+Gr��e nach, hierauf z�hlen wir, vom niedrigsten Wert anfangend,
+wenn die Anzahl der aufgezeichneten Werte gerade ist, die H�lfte
+der Werte ab und notieren den Wert, der in der Mitte zwischen
+dem so erreichten Wert und dem n�chstfolgenden liegt, oder
+direkt den aufgezeichneten Wert, der von dem kleinsten und dem
+gr��ten Wert um gleichviel Glieder entfernt ist, wenn die Anzahl
+der aufgezeichneten Werte ungerade ist.
+
+Wir k�nnen diese Methode weiter fortsetzen, indem wir auch
+die abgez�hlten H�lften der aufgezeichneten Werte aufs neue halbieren,
+und die Werte notieren, zu denen wir so gelangen; unter
+ihnen oder �ber ihnen liegt je ein Viertel aller aufgezeichneten
+Werte. Die Abweichung dieser Werte voneinander k�nnen wir auch
+als Ma� f�r die Streuung der station�ren Reihe betrachten. Einzeln
+k�nnen wir die Unterschiede der letzten beiden Werte vom Mittelwert
+als Ma� f�r die Abweichung der station�ren Reihe von dem
+Mittelwert nach unten und nach oben hin ansehen. Wir erhalten
+so auch einen Ma�stab daf�r, in welcher Weise die station�re
+Reihe unsymmetrisch ist. Wenn n�mlich \zB~der obere Wert
+erheblich weniger von dem Zentralwert abweicht als der untere
+Wert, so ist dieses ein Zeichen daf�r, da� die Reihe nach unten
+zu weiter ausgedehnt ist als nach oben zu, da� sie also nach unten
+zu unsymmetrisch ist.
+
+Wir wollen nun eine Art der Verteilung herausgreifen, die
+den Typus einer \so{einfachen unsymmetrischen Verteilung}
+darstellt. Sie soll durch folgende Merkmale gekennzeichnet sein:
+Es ist ein Normalwert vorhanden, von dem aus die Verteilungsfunktion
+nach beiden Seiten best�ndig abnimmt, um schlie�lich in
+Null �berzugehen. Die Asymmetrie der Verteilung soll sich dadurch
+zu erkennen geben, da� gleiche Werte der Verteilungsfunktion
+\DPPageSep{094}{80}
+sich f�r solche Werte des Arguments, der eine $y_1$ rechts,
+der andere $y_2$ links vom Normalwert~$y_a$, ergeben, f�r die
+\[
+|y_1 - y_a| < |y_a - y_2|
+\]
+ist, und es soll, wenn auch f�r $y_1'$,~$y_2'$ gleiche Werte der Verteilungsfunktion
+eintreten, auch
+\[
+|y_1' - y_1| < |y_2 - y_2'|
+\]
+werden. Man kann aus dieser Ungleichheit auch ableiten
+\[
+\left|\frac{\Delta\phi(y_1)}{\Delta y_1}\right| >
+\left|\frac{\Delta\phi(y_2)}{\Delta y_2}\right|,
+\]
+indem man $\Delta y_1 = y_1' - y_1$, $\Delta y_2 = y_2' - y_2$ setzt und beachtet,
+da� dann der Voraussetzung gem�� $\Delta\phi(y_1) = \Delta\phi(y_2)$ wird.
+Aus der letzten Ungleichheit folgt aber, indem wir zur Grenze
+�bergehen,
+\[
+\left|\frac{d\phi(y_1)}{d y_1}\right| >
+\left|\frac{d\phi(y_2)}{d y_2}\right|.
+\]
+Die Kurve, welche die Verteilungsfunktion darstellt, ist also auf
+der k�rzeren Seite vom Normalwert aus �berall st�rker gegen die
+Abszissenachse geneigt als an den entsprechenden (gleich hohen)
+Stellen auf der l�ngeren Seite.
+
+Unter diesen Voraussetzungen k�nnen wir eine wichtige
+Lagenbeziehung zwischen den drei Mittelwerten beweisen. Zun�chst
+ist leicht zu erkennen, da�, wenn die Verteilungskurve vom Normalwerte
+\begin{figure}[hbt!]
+  \centering
+  \caption{Fig.~5.}
+  \Input[0.75\textwidth]{094}
+\end{figure}
+aus nach rechts hin steiler abf�llt, auf der rechten Seite
+auch die von der Verteilungskurve �ber der Abszissenachse abgegrenzte
+Fl�che kleiner als auf der linken Seite sein mu�. Die
+zentrale Ordinate, welche die ganze Fl�che halbiert, liegt also
+notwendigerweise auf der linken Seite. Es handelt sich nun
+\DPPageSep{095}{81}
+darum, die Lage des Durchschnittswertes zu ermitteln. Zu diesem
+Zweck gehen wir von dem Zentralwert~$y_z$ aus. Die zu ihm
+geh�rige Ordinate halbiert die ganze von der Verteilungskurve
+�ber der Abszissenachse abgegrenzte Fl�che. �bertragen wir
+also den Teil der Kurve links vom Zentralwert spiegelbildlich auf
+die rechte Seite, so mu� dort die neue Linie die urspr�ngliche
+Kurve derart durchsetzen, da� beim �bergang von dieser zu jener
+die abzutragenden St�cke an Fl�cheninhalt gleich den hinzuzuf�genden
+St�cken sind. Die beiden Kurven k�nnen sich aber nur
+an einer Stelle~$y_1$ durchsetzen. F�r diese Stelle~$y_1$ wird der Wert
+der Verteilungsfunktion $\phi(y_1)$ ebenso gro�, wie der Wert $\phi(y_2)$ f�r
+die Abszisse~$y_2$, f�r die $y_z - y_2 = y_1 - y_z$. G�be es einen zweiten
+solchen Wert~$y'_1$, so da� auch $\phi(y'_1) = \phi(y'_2)$, wenn $y_z - y'_2
+= y'_1 - y_z$, dann m��te $|y'_1 - y_1| = |y_2 - y'_2|$ werden, w�hrend
+wir davon ausgegangen waren, da� immer $|y'_1 - y_1| < |y_2 - y'_2|$
+ist. Wir finden also nur einen Durchsetzungspunkt und damit
+nur zwei Fl�chenst�cke, die sich ausgleichen, deren Inhalte also
+gleich sein m�ssen. Daraus k�nnen wir schlie�en, da� der
+Schwerpunkt der Fl�che links von der Zentralordinate weiter von
+dieser entfernt ist als der Schwerpunkt der Fl�che rechts von der
+Zentralordinate, denn um die erstere Fl�che in die letztere zu
+verwandeln, m�ssen wir ein weiter entferntes St�ck (in der Figur
+senkrecht schraffiert) in eine der Zentralordinate n�her benachbarte
+Lage (in der Figur schr�g schraffiert) bringen.
+
+Die Mitte zwischen den beiden Schwerpunktsordinaten liefert
+nun aber die Schwerpunktsordinate der ganzen von der Verteilungskurve
+abgegrenzten Fl�che und die zu dieser Ordinate geh�rende
+Abszisse ist der Durchschnittswert~$y_0$. Dieser Durchschnittswert
+mu� also links (auf der flacheren Seite) von dem
+Zentralwert~$y_z$ liegen, und wir finden: \so{Der Zentralwert liegt
+unter den angegebenen Voraussetzungen immer zwischen
+dem Durchschnittswert und dem Normalwert} (\so{Fechnersches
+Lagengesetz}).
+\index{Fechnersches Lagengesetz}%
+
+Wir haben �brigens gesehen, da� dieses Gesetz \zB~auch f�r
+die Absterbeordnung, trotzdem hierbei nicht eine einfache Verteilung
+vorliegt, erf�llt ist.
+
+Wenn eine Verteilungsreihe symmetrisch ist, so f�llt der
+Durchschnittswert mit dem Zentralwert und, wenn ein solcher
+vorhanden, auch mit dem Normalwert zusammen. Es ist noch
+\DPPageSep{096}{82}
+wichtig, f�r die F�lle, wo die Verteilung asymmetrisch oder, wie
+man sagen kann, \so{schief} ist, ein bestimmtes \so{Ma� f�r die
+Schiefe} zu besitzen. Zu einem solchen Ma� gelangt man, indem
+man den Abstand des Normalwertes vom Durchschnittswert einf�hrt.
+Nennt man diesen Abstand~$d$, so w�rde $d$ in gewissem
+Sinne ein Ma� f�r die Schiefe geben. Dieses Ma� ist aber ein
+lineares und nicht unmittelbar bei den verschiedenen Verteilungsreihen
+zu vergleichen. Man kann deshalb ein absolutes Ma� f�r
+die Schiefe ableiten, indem man $d$ mit der mittleren Ausweichung~$\mu$
+vergleicht. Es wird dann $d/\mu$ ein absolutes Ma� f�r
+die Schiefe.
+
+Als Beispiel wollen wir die Verteilungsfunktion
+\[
+z = z_0e^{-\tfrac{y}{d}}, \quad 0 < y < \infty
+\]
+(Beispiel einer einseitigen Dispersion) nehmen. Dann ergibt sich
+f�r das arithmetische Mittel:
+\[
+y_0 = \frac
+  {\Int_{0}^{\infty} z_0 e^{-\tfrac{y}{d}} y\, dy}
+  {\Int_{0}^{\infty} z_0 e^{-\tfrac{y}{d}}\, dy}
+  = d.
+\]
+
+Als Normalwert hat in diesem Falle der Wert $y = 0$ zu
+gelten, weil f�r ihn die Verteilungsfunktion den gr��ten Wert
+erreicht; $d$~ist also in der Tat der Abstand des Normalwertes
+vom Durchschnittswert. Ferner findet man f�r die mittlere Abweichung~$\mu_0$
+vom Anfangswert~$y = 0$:
+\[
+\mu_0^2 = \frac
+  {\Int_{0}^{\infty} z_0 e^{-\tfrac{y}{d}} y^2\, dy}
+  {\Int_{0}^{\infty} z_0 e^{-\tfrac{y}{d}}\, dy}
+  = 2d^2
+\]
+und damit f�r die mittlere Abweichung vom arithmetischen Mittel,
+\dh~die mittlere Ausweichung:
+\[
+\mu^2 = \mu_0^2 - d^2 = d^2,
+\]
+so da� sich in diesem Falle ergibt:
+\[
+\frac{d}{\mu} = 1.
+\]
+\DPPageSep{097}{83}
+
+Eine besondere Auffassung der station�ren Reihen kommt
+dann zur Geltung, wenn ihre Glieder die verschiedenen beobachteten
+Werte einer physikalischen Gr��e bedeuten. Die Abweichungen
+der verschiedenen Werte voneinander f�hrt man bekanntlich
+darauf zur�ck, da� bei den einzelnen Beobachtungen
+Fehler gemacht worden sind. Man glaubt in allen diesen F�llen an
+die Existenz eines wahren Wertes, dem die beobachteten Werte
+mehr oder weniger nahe kommen. Was der wahre Wert unabh�ngig
+von den gemachten Beobachtungen bedeutet, bleibt allerdings zu
+beantworten. Die Gewi�heit seiner Existenz sch�pft man erstlich
+aus der �berzeugung von der Unver�nderlichkeit des Gegenstandes,
+auf den sich die Beobachtungen beziehen, wenigstens w�hrend der
+Dauer dieser Beobachtungen. Sodann liegt aber auch ein �ber die
+blo�e Erfahrung hinausgehendes Urteil zugrunde, das uns die
+von unseren Beobachtungen, \dh~von unseren Wahrnehmungen
+unabh�ngige Existenz der Naturobjekte behaupten l��t. Wir gelangen
+hiermit jedoch auf das unwegsamste Gebiet der ganzen
+Naturphilosophie. Die Frage, um die es sich handelt, l��t sich
+mit kurzen Worten gar nicht abmachen, weil sie wesentlich davon
+abh�ngt, was man unter Existenz versteht. Darin sind die Auffassungen
+sehr verschieden. Wir k�nnen aber die Betrachtung so
+f�hren, da� der metaphysische Einschlag m�glichst vermieden wird.
+Dies l��t sich auf folgende Weise erreichen.
+
+Das arithmetische Mittel der beobachteten Werte, f�r das die
+Abweichung der Beobachtungsreihe am kleinsten wird, bedeutet
+den Wert, der dem durch die Beobachtungen erhaltenen Resultate
+so nahe kommt, wie nur m�glich, und den man als den zusammenfassenden
+Ausdruck der Beobachtungen ansehen kann.
+
+Wenn die Beobachtungen nun mehr und mehr geh�uft
+werden, so n�hert sich das arithmetische Mittel mehr und mehr,
+wie man annimmt, einer bestimmten Grenze, und als diese Grenze
+l��t sich der "`wahre Wert"' festlegen. Derart w�rde der wahre
+Wert nicht als etwas, was unabh�ngig von den Beobachtungen
+existiert, wohl aber als ein auf den wirklich gemachten Beobachtungen
+aufgebauter Idealwert erscheinen, dem man n�her und
+n�her kommen kann, je mehr man die Beobachtungen h�uft, ohne
+ihn je mit Sicherheit zu erreichen. Im mathematischen Sinne
+w�rde er also, wenn die Beobachtungen als eine beliebig weit
+fortsetzbare Reihe angesehen werden, den Grenzwert bedeuten,
+\DPPageSep{098}{84}
+dem sich das arithmetische Mittel aus den Gliedern dieser Reihe
+bei unbegrenzt wachsender Gliederzahl n�hert.
+
+Wir k�nnen daher in bekannter Symbolik den so gebildeten
+Wert, wenn wieder $y_1,~y_2,~\ldots$ der Reihe nach die beobachteten
+Werte sind, mit
+\[
+y = \lim_{N = \infty} \frac{y_1 + y_2 + \dots + y_N}{N}
+\]
+bezeichnen. Wir k�nnen auch die beobachteten Werte immer zu
+einer bestimmten Zahl, etwa~$r$, aufeinander folgender Werte zusammenfassen
+und das arithmetische Mittel dieser Gruppen aufeinander
+folgender Werte nehmen. So w�rde sich, wenn
+\[
+u_{\rho}' = \Sum_i \frac{y_{\rho r + i}}{r}
+\]
+das arithmetische Mittel f�r die $\rho$te~Wertegruppe ist, unmittelbar
+ergeben, da� auch
+\[
+y = \lim_{\nu = \infty} \frac{y_0' + y_1' + \dots + y_{\nu}'}{\nu + 1}
+\]
+wird. Der wahre Wert ist auch der Grenzwert f�r das arithmetische
+Mittel der neuen Zahlenreihe. Die durch die Mittelbildung
+aus $r$ Beobachtungen erreichte engere Ann�herung an den wahren
+Wert gibt sich dadurch zu erkennen, da� die mittlere Ausweichung
+der neuen Zahlenreihe kleiner ist als die der urspr�nglichen.
+
+Wenn die Beobachtungen au�erordentlich geh�uft werden, so
+wird sich jeder der beobachteten Werte (der nat�rlich nur mit
+beschr�nkter Genauigkeit bestimmt werden kann) eine gr��ere
+Anzahl Male wiederfinden. Wir werden aber, falls sich eine regelm��ige
+Verteilung der beobachteten Werte ergibt, f�r den jenem
+unmittelbar benachbarten Wert ann�hernd die gleiche H�ufigkeit
+finden m�ssen. Es ist also die H�ufigkeit des Vorkommens eines
+Wertes $\eta$ zwischen zwei Grenzen, wenn diese Grenzen sehr nahe
+benachbart sind, dem Intervall~$d\eta$ zwischen ihnen proportional,
+und wir k�nnen die relative H�ufigkeit eines Wertes~$\eta$ in einem
+solchen Intervall in der Form
+\[
+\psi(\eta)\, d\eta
+\]
+ansetzen, wo $\psi(\eta)$ eine bestimmte Funktion von~$\eta$, die \so{H�ufigkeitsfunktion},
+bezeichnet.
+\DPPageSep{099}{85}
+
+Da der Wert~$\eta$ zwischen den Grenzen $-\infty$~und~$+\infty$ liegen
+mu�, wird die relative H�ufigkeit hierf�r
+\[
+\Tag{(12)}
+\Int_{-\infty}^{+\infty} \psi(\eta)\, d\eta = 1.
+\]
+
+Nach unserer Voraussetzung ist der wahre Wert~$y$ gegeben
+durch das arithmetische Mittel aller Werte~$\eta$, also durch das
+Integral
+\[
+\Tag{(13)}
+y = \Int_{-\infty}^{+\infty} \eta\psi(\eta)\, d\eta.
+\]
+
+Bilden wir nun die Differenzen
+\[
+x = \eta - y,
+\]
+die wir als den \so{Fehler} der einzelnen Beobachtung bezeichnen, so
+zeigt sich sofort, da�, wenn wir $\psi(\eta) = \psi(y + x) = \phi(x)$
+setzen,
+\[
+\psi(\eta)\, d\eta = \phi(x)\, dx
+\]
+wird. Wir erhalten weiter
+\[
+\Tag{(14)}
+\Int_{-\infty}^{+\infty} \phi(x)\, dx = 1
+\quad\text{und}\quad
+\Int_{-\infty}^{+\infty} x\phi(x)\, dx = 0.
+\]
+Ferner soll noch eine Gr��e $\mu$ durch die Gleichung
+\[
+\Tag{(15)}
+\mu^2 = \Int_{-\infty}^{+\infty} x^2 \phi(x)\, dx
+\]
+eingef�hrt werden. Diese Gr��e bedeutet, da ja $x = \eta - y$, die
+mittlere Abweichung der Werte~$\eta$ von dem "`wahren Wert"' und
+hei�t der \so{mittlere} (quadratische) \so{Fehler}. Sie entspricht genau
+der fr�her eingef�hrten mittleren Ausweichung.
+
+Wir wollen nun noch fragen, was der Durchschnittswert f�r
+das \so{Produkt}~$x�x'$ der Fehler zweier Beobachtungen wird. F�r
+die relative H�ufigkeit eines bestimmten Wertes dieses Produktes
+$X = x�x'$, \dh~eines Wertes, der zwischen den Grenzen $X$~und
+$X + dX$ liegt, erh�lt man sofort das Integral
+\[
+\iint \phi(x)\phi(x')\, dx\, dx',
+\]
+wobei f�r $x$,~$x'$ alle Werte zu nehmen sind, f�r die der Wert von
+$X = x�x'$ zwischen den Grenzen $X$~und~$X + dX$ liegt.
+\DPPageSep{100}{86}
+
+Dies bedeutet, wenn wir $x$,~$x'$ als rechtwinklige Koordinaten
+eines Punktes in der Ebene deuten, da� das Integrationsgebiet
+ein unendlich schmaler, zwischen zwei gleichseitigen Hyperbeln
+\[
+x' = \frac{X}{x},\qquad  x' = \frac{X + dX}{x}
+\]
+liegender Streifen ist. Dieser Streifen l��t sich aber auf andere
+Weise in Fl�chenelemente zerlegen. Wir teilen ihn durch unendlich
+benachbarte Ordinaten. Zwei solche schneiden dann ein
+unendlich kleines Parallelogramm aus dem Streifen aus, von dem
+die in den Streifen fallenden parallelen Seiten die L�nge $\dfrac{dX}{x}$
+und den Abstand~$d$x haben,
+so da� der Inhalt dieses
+Fl�chenelementes
+\[
+= \frac{dx}{x}\, dX
+\]
+wird\DPtypo{}{.} Damit verwandelt
+sich das obenstehende Integral,
+wenn wir darin
+\[
+x' = \frac{X}{x}
+\]
+einsetzen, in
+\[
+dX \int\phi(x) \phi\left(\frac{X}{x}\right) \frac{dx}{x}.
+\]
+%[** TN: Illustration inset in the original]
+\begin{figure}[hbt!]
+  \centering
+  \caption{Fig.~6.}
+  \Input[0.6\textwidth]{100}
+\end{figure}
+
+Setzen wir also die relative H�ufigkeit der F�lle, wo $X$
+zwischen $X$~und~$X + dX$ liegt,
+\[
+= \Phi(X)\, dX,
+\]
+so folgt
+\[
+\Phi(x)
+  = \Int_{-\infty}^{+\infty} \phi(x) \phi\left(\frac{X}{x}\right) \frac{dx}{x}.
+\]
+
+Nun wird der Durchschnitt aller Werte~$X$ gegeben durch das
+Integral
+\[
+\Int_{-\infty}^{+\infty} X\Phi(X)\, dX,
+\]
+\DPPageSep{101}{87}
+wir erhalten daf�r also den Wert
+\[
+\Int_{-\infty}^{+\infty} \Int_{-\infty}^{+\infty}
+  X \phi(x) \phi\left(\frac{X}{x}\right) \frac{dx}{x}\, dX
+\]
+oder, indem wir in diesem �ber die ganze Ebene zu erstreckenden
+Doppelintegral wieder die urspr�nglichen Fl�chenelemente einf�hren,
+\[
+\Int_{-\infty}^{+\infty} \Int_{-\infty}^{+\infty}
+  x � x' \phi(x) � \phi(x')\, dx\, dx'.
+\]
+Es wird aber dieses Doppelintegral das Produkt zweier einfacher
+Integrale:
+\[
+\Int_{-\infty}^{+\infty} x \phi(x)\, dx � \Int_{-\infty}^{+\infty} x'\phi(x')\, dx',
+\]
+und diese beiden Integrale sind~$0$, also auch ihr Produkt. \so{Der
+Durchschnittswert des Produktes~$x�x'$ ist demnach~$0$.}
+
+Wir wollen dies benutzen, um den Zusammenhang des
+mittleren Fehlers~$\mu$ der direkten Beobachtungen~$y_i$ mit dem mittleren
+Fehler~$\mu'$ der zu $r$ zusammengefa�ten und zum Mittelwert~$y'_{\rho}$
+vereinigten Beobachtungen zu suchen. Wir m�ssen, um
+$\mu'^2$~zu erhalten, den Durchschnittswert bilden von
+\[
+\frac{1}{r^2} (x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_r)^2
+\]
+oder
+\[
+\frac{x_1^2}{r^2} + \frac{x_2^2}{r^2} + \dots +
+\frac{x_r^2}{r^2} + \frac{2x_1 x_2}{r^2} + \dots.
+\]
+Die Durchschnittswerte der $n$ ersten Glieder sind aber alle
+\[
+\Int_{-\infty}^{+\infty} x^2 \phi(x)\, dx = \frac{\mu^2}{r^2}
+\]
+und die Durchschnittswerte der Produkte verschwinden, so da�
+wir schlie�lich erhalten
+\[
+\mu'^2 = r�\frac{\mu^2}{r^2}
+\]
+oder
+\[
+\Tag{(16)}
+\mu' = \frac{\mu}{\sqrt{r}}.
+\]
+\DPPageSep{102}{88}
+Der mittlere Fehler ist also umgekehrt proportional der Quadratwurzel
+aus der Anzahl der Beobachtungen, von denen man das
+arithmetische Mittel nimmt.
+
+Setzen wir nun aber
+\[
+\lambda_i = y_i - y_0,
+\]
+wobei $y_0 = \dfrac{1}{r}(y_1 + y_2 + \dots + y_r)$, so ergibt sich (da ja
+$x_i = y_i - y = y_i - y_0 + y_0 - y$, wenn die Summation �ber
+die $r$ zusammengefa�ten Beobachtungen erstreckt wird,
+\[
+\Sum x_i^2 = \Sum \lambda_i^2 + r(y_0 - y)^2
+\]
+und daraus
+\[
+\Sum \lambda_i^2 = \Sum x_i^2 - r(y_0 - y)^2.
+\]
+
+Nehmen wir nun den Durchschnittswert, so ergibt sich f�r
+das erste Glied der rechten Seite der Wert~$r�\mu^2$, f�r das zweite
+Glied $r�\dfrac{\mu^2}{r} = \mu^2$, also wird der Durchschnittswert von~$\Sum\lambda_i^2$
+\[
+= (r - 1)\mu^2,
+\]
+und $\mu$ kann als der Durchschnittswert von
+\[
+\sqrt{\frac{\Sum \lambda_i^2}{r - 1}}
+\]
+angesehen werden. Sofern diese Gr��e von einer Beobachtungsserie
+zur anderen sich wenig �ndert, kann sie selbst f�r den
+Wert~$\mu$ genommen, also
+\[
+\Tag{(17)}
+\mu = \sqrt{\frac{\Sum \lambda_i^2}{r - 1}}
+\]
+gesetzt werden.
+
+Wir wollen nun auch noch den Durchschnittswert des Ausdruckes
+\begin{gather*}
+\Tag{(18)}
+\frakM = \frac{1}{r - 1} \bigl[
+  (y_1 - y_2)^2 + (y_2 - y_3)^2 + (y_3 - y_4)^2 + \dots \\
+  + (y_{r-1} - y_r)^2\bigr]
+\end{gather*}
+suchen. Wir k�nnen diesen Ausdruck schreiben
+\[
+\frakM = \frac{1}{r - 1} \bigl[
+  (x_1 - x_2)^2 + (x_2 - x_3)^2 + \dots + (x_{r-1} - y_r)^2
+\bigr]
+\]
+\DPPageSep{103}{89}
+oder
+\begin{align*}
+\frakM
+  &= \frac{1}{r - 1} (x_1^2 + 2x_2^2 + 2x_3^2 + \dots + x_r^2) \\
+  &- \frac{2}{r - 1} (x_1x_2 + x_2x_3 + \dots + x_{r-1}x_r),
+\end{align*}
+und daraus folgt sofort f�r den Mittelwert
+\[
+2\mu^2.
+\]
+
+Ist also die Anzahl der Beobachtungen gro� genug und die
+Verteilung der beobachteten Werte derart, da� man den gefundenen
+Wert mit dem Mittelwert identifizieren kann, so mu� man, da
+offenbar auch
+\[
+%[** TN: Broken across two lines in the original]
+\frakM = \frac{1}{r-1} \bigl[
+  (\lambda_1 - \lambda_2)^2 + (\lambda_2 - \lambda_3)^2 +
+  (\lambda_3 - \lambda_4)^2 + \dots + (\lambda_{r-1} - \lambda_r)^2
+\bigr]
+\]
+wird, zwischen diesem Ausdruck und dem Ausdruck
+\[
+\mu^2 = \frac{\lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \dots + \lambda_r^2}{r - 1}
+\]
+die Beziehung finden
+\[
+\Tag{(19)}
+\frakM = 2\mu^2,
+\]
+und die erste Quadratensumme mu� das Doppelte von der zweiten
+Quadratensumme sein.
+
+Hiermit haben wir ein Kriterium, das \so{Abbesche Kriterium}\footnote
+  {E.~\so{Abbe}, Dissertation, Werke Bd.~II, letzte Abhandlung. Vgl.\
+\index{Abbe}%
+  \so{Helmert}\DPtypo{}{,} Sitzungsberichte der Kgl.\ Preu�ischen Akademie der Wissenschaften
+\index{Helmert}%
+  1905, S.~594, der zeigt, da� sowohl die Vorzeichensumme der
+  Abweichungen $\lambda_i$ gleich $0$ wie der Ausdruck $\dfrac{\frakM}{2\mu^2}$ gleich $1$ wird mit
+  einem mittleren Fehler, der der Quadratwurzel aus der Anzahl der
+  Beobachtungen gleich ist.},
+gefunden, das sich sehr leicht anwenden l��t. Dieses
+Kriterium gilt daf�r, da� die Werte der station�ren Reihe dieselbe
+Verteilung zeigen, die sich bei wiederholten, gleich sorgf�ltigen
+Beobachtungen derselben physikalischen Gr��e ergibt, wo
+in der Tat angenommen werden kann, da� bei gen�gender H�ufung
+der Beobachtungen die idealen Mittelwerte mit gro�er Ann�herung
+erreicht werden. Insofern die bei solchen Beobachtungsreihen
+entstehende Verteilung die typische Verteilung ist, die da
+\DPPageSep{104}{90}
+entsteht, wo die Abweichungen der einzelnen Werte der Reihe
+voneinander auf blo�en Zuf�lligkeiten beruhen, kann des Kriterium
+auch direkt als Zufallskriterium bezeichnet werden.
+
+Wir wollen es noch an einem Beispiel best�tigen. Wir nehmen
+daf�r die fr�her (S.~30) als Produkte zweier beobachteten Gr��en
+gefundenen Zahlenwerte f�r die Konstante im \so{Boyle}schen
+(\so{Mariotte}schen) Gesetz, so da� die Werte der station�ren Reihe
+jetzt sind
+\begin{gather*}
+y_1 = 1531,\ y_2 = 1547,\ y_3 = 1531,\ y_4 = 1520,\ y_5 = 1518, \\
+y_6 = 1541,\ y_7 = 1530,\ y_8 = 1535.
+\end{gather*}
+Der Durchschnittswert ist rund 1532, wir finden also
+\begin{gather*}
+\lambda_1 = -1,\ \lambda_2 = +15,\ \lambda_3 = -1,\ \lambda_4 = -12,\ \lambda_5 = -14, \\
+\lambda_6 = +9,\ \lambda_7 = -2,\ \lambda_8 = +3.
+\end{gather*}
+
+Nun ist ein erstes Mittel, um zu beurteilen, ob diese Abweichungen
+auf Rechnung des Zufalls gesetzt werden k�nnen, die
+Untersuchung, ob sie eine symmetrische Verteilung zeigen. Man
+kann sich hierbei darauf beschr�nken, festzustellen, ob der Durchschnittswert
+mit dem Zentralwert ungef�hr zusammenf�llt. Der
+Durchschnittswert der Zahlen~$\lambda$ ist aber $0$ (wegen der Abrundung
+bei den obenstehenden Zahlen~$-0,~4$). Soll nun auch der Zentralwert~$0$
+sein, so m�ssen unter den $\lambda$ ebensoviel positive wie negative
+sein. Wir k�nnen die sich so ergebende Regel fassen wie folgt:
+Man ersetze alle positiven~$\lambda$ durch den Wert~$+1$, alle negativen
+durch~$-1$, diejenigen, welche $0$ sind, lasse man gleich~$0$, dann
+mu� die algebraische Summe dieser Werte klein im Verh�ltnis zu
+der Anzahl der Beobachtungen sein. Im vorliegenden Falle haben
+wir f�nf negative und drei positive Werte, w�rden also statt~$0$
+den Wert~$-2$ erhalten, was klein genug ist.
+
+Bilden wir jetzt die mittlere Ausweichung nach der Formel~\Eqref{(17)},
+so erhalten wir
+\[
+2\mu^2 = 2�\frac{661}{7} = 189.
+\]
+Ferner wird
+\[
+\frakM = \frac{1}{7}(16^2 + 16^2 + 11^2 + 2^2 + 23^2 + 11^2 + 5^2)
+\]
+oder
+\[
+\frakM = 187.
+\]
+Die �bereinstimmung zwischen den Werten $2\mu$~und~$\frakM$ ist so
+gut, wie man nur w�nschen kann.
+\EndChap
+\DPPageSep{105}{91}
+
+
+\Chapter{Siebentes Kapitel}{Das Urnenschema}
+
+Wir gehen nun den Weg, da� wir einen besonderen Fall von
+station�ren Zahlenreihen ins Auge fassen. In diesem Falle sollen
+die beobachteten Werte relative H�ufigkeiten gleichartiger Ereignisse
+sein. Um aber ein bestimmtes Bild vor Augen zu haben,
+denken wir uns eine Urne, in der schwarze und wei�e Kugeln
+gemischt enthalten sind und aus der eine bestimmte, sehr gro�e
+Anzahl Male hintereinander eine Kugel gezogen wird, die jedesmal
+nach der Ziehung zur�ckgelegt wird. Das Verh�ltnis der Anzahl der
+gezogenen wei�en Kugeln zu der Anzahl der gemachten Ziehungen
+�berhaupt ergibt dann die aufzuzeichnende relative H�ufigkeit.
+Wir k�nnen es dabei als eine Erfahrungstatsache ansehen, da�
+diese Verh�ltniszahl ann�hernd mit dem Verh�ltnis der in der
+Urne enthaltenen wei�en Kugeln zu der Gesamtzahl der �berhaupt
+vorhandenen Kugeln �bereinstimmt. Wir k�nnen auch, wenn das
+einfacher scheint, diese Behauptung so wenden, da� wir zun�chst
+von einer Urne ausgehen, in der die Kugeln einzeln, etwa mit
+Zahlen, bezeichnet sind. Die Behauptung lautet dann so, da� bei
+einer gro�en Anzahl von Ziehungen die verschiedenen Kugeln ann�hernd
+gleich oft erscheinen, falls beim Ziehen gewisse Vorsichtsma�regeln
+(stets erneutes, gr�ndliches Durcheinandersch�tteln usw.)
+beobachtet werden. (Die Behauptung geht sogar noch weiter, die
+Anzahlen der Ziehungen f�r die verschiedenen Kugeln sollen um
+so genauer einander relativ gleich werden, je gr��er ihre absoluten
+Werte sind.) Die relative H�ufigkeit wird sonach f�r die einzelnen
+Kugeln, wenn $s$ Kugeln in der Urne enthalten sind, ann�hernd
+gleich~$\dfrac{1}{s}$, und wenn darunter $r$ wei� gef�rbt sind, wird die relative
+H�ufigkeit der Ziehung einer wei�en Kugel ann�hernd gleich~$\dfrac{r}{s}$,
+also gleich dem Mischungsverh�ltnis.
+\DPPageSep{106}{92}
+
+Fassen wir nun die relativen H�ufigkeiten ins Auge, die bei
+einer Serie von Ziehungsgruppen (zu je $n$~Ziehungen) tats�chlich
+gefunden sind, so k�nnen wir von vornherein sagen, da� die so
+gefundenen Werte, weil sie keine systematische Ver�nderung zeigen,
+sich vielmehr alle mehr oder weniger dem Mischungsverh�ltnis der
+Kugeln n�hern, in dem fr�her er�rterten Sinne eine station�re
+Reihe bilden.
+
+Ist das Mischungsverh�ltnis also nicht bekannt, so liefert die
+Bestimmung der relativen H�ufigkeit der gezogenen wei�en Kugeln
+bei einer Serie von Ziehungsgruppen, deren jede eine gro�e Anzahl
+von Ziehungen umfa�t, ein Mittel, den Wert des Mischungsverh�ltnisses
+wenigstens angen�hert zu finden. Es sei eine Serie
+von $m$ mal $n$ Beobachtungen angestellt und es seien hierbei
+\[
+w_1 = \frac{p_1}{n},\quad
+w_2 = \frac{p_2}{n},\quad
+\dots,\quad
+w_m = \frac{p_m}{n}
+\]
+die bei den einzelnen Beobachtungsgruppen gefundenen relativen
+H�ufigkeiten. Diese bilden die Elemente der station�ren Reihen,
+um die es sich handelt. Der Durchschnittswert aber, um den sich
+die Werte der Reihe gruppieren, wird:
+\[
+w = \frac{w_1 + w_2 + \dots + w_m}{m}
+  = \frac{p_1 + p_2 + \dots + p_n}{m�n},
+\]
+er ist demnach nichts anderes als die relative H�ufigkeit, die sich
+ergibt, wenn wir direkt die relative H�ufigkeit f�r die Gesamtheit
+aller angestellten Beobachtungen bilden. Denken wir uns nun die
+Beobachtungen weiter fortgesetzt, so da� wir neue Ziehungsserien
+von je $m�n$~Ziehungen erhalten, dann bilden die aus diesen
+folgenden relativen H�ufigkeiten eine neue station�re Reihe, von der
+wir allgemein gezeigt haben, da� die Abweichung ihrer Werte voneinander
+geringer ist als die der urspr�nglichen Reihe. So k�nnen
+wir noch weiter fortfahren, die gefundenen Reihen werden sich
+dann immer enger um einen bestimmten Mittelwert zusammenziehen.
+Es zeigt sich also, da� man einem bestimmten Wert
+n�her und n�her kommt, der mit der beobachteten relativen
+H�ufigkeit um so genauer zusammenf�llt, je gr��er die Anzahl
+der beobachteten F�lle ist. Da� der so ermittelte Wert
+das wirkliche Mischungsverh�ltnis der Kugeln in der Urne ist,
+kommt nicht unmittelbar in Betracht. Dieser Wert, den wir
+\DPPageSep{107}{93}
+als Idealwert oder Grenzwert einer relativen H�ufigkeit erhalten,
+ist derselbe, der sonst als mathematische Wahrscheinlichkeit
+bezeichnet wird. In dem hier angegebenen Sinne wurde der Begriff
+vielleicht zum erstenmal von \so{Gauss} eingef�hrt (Theoria
+\index{Gau�}%
+combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae 1821,
+Werke, Bd.~IV, S.~5) und durch den Ausdruck \so{facilitas relativa}
+bezeichnet. In der weiteren Darstellung gebraucht er jedoch durchweg
+den gew�hnlicheren Ausdruck probabilitas und wir k�nnten
+ebenso die Bezeichnung Wahrscheinlichkeit verwenden. Es scheint
+aber doch besser, in dieser kurzen Darstellung, die nur das erkenntnistheoretische
+Problem, nicht aber die weiteren Ausf�hrungen
+zu behandeln hat, um alle Mi�verst�ndnisse gegen�ber der sonst
+�blichen Definition der Wahrscheinlichkeit auf Grund der "`gleich
+m�glichen F�lle"' zu vermeiden, �berall den Ausdruck "`relative
+H�ufigkeit"' zu verwenden, trotzdem dieser dann auch �ber seine
+urspr�ngliche Bedeutung hinaus eine besondere Pr�gung als
+Kunstausdruck erh�lt. Wir m�ssen im folgenden immer die
+Anzahl der Ziehungen so gro� voraussetzen, da� die erreichte
+Ann�herung an den Idealwert als hinreichend angesehen werden
+kann.
+
+Die Ziehung aus einer Urne l��t sich als Typus eines \so{einfachen}
+Ereignisses ansehen. Wollen wir uns nun ein \so{zusammengesetztes}
+Ereignis bilden, so denken wir uns zwei Urnen. Zuerst
+wird aus der ersten Urne gezogen und nur, wenn hierbei eine wei�e
+Kugel gefunden ist, wird auch aus der zweiten Urne gezogen. Da�
+hierbei wieder eine wei�e Kugel gefunden wird, wird als das Eintreten
+des in Betracht gezogenen zusammengesetzten Ereignisses
+angesehen. Es fragt sich dann, ob die relative H�ufigkeit dieses
+zusammengesetzten Ereignisses sich aus den relativen H�ufigkeiten
+der Einzelereignisse ableiten l��t. Zu diesem Zweck denken wir
+uns wieder eine Serie von Ziehungsgruppen. Wir nehmen zun�chst
+an, es sei $n$\,mal aus der ersten Urne gezogen worden. Nur bei
+einem Teil dieser Ziehungen, etwa $p$ Ziehungen, ist dann eine wei�e
+Kugel gezogen worden, und in einem Teil dieser F�lle, etwa bei
+$q$ Ziehungen, sei auch aus der zweiten Urne eine wei�e Kugel gezogen
+worden. Die relative H�ufigkeit des zusammengesetzten
+Ereignisses ist dann
+\[
+w = \frac{q}{n}.
+\]
+\DPPageSep{108}{94}
+
+Die relative H�ufigkeit der Ziehung einer wei�en Kugel aus
+der ersten Urne wird aber
+\[
+w_1 = \frac{p}{n},
+\]
+und die relative H�ufigkeit der Ziehung einer wei�en Kugel aus
+der zweiten Urne wird
+\[
+w_2 = \frac{q}{p},
+\]
+man findet also
+\[
+\Tag{(1)}
+w = w_1�w_2,
+\]
+\dh~die \so{relative H�ufigkeit des zusammengesetzten Ereignisses
+ist das Produkt aus den relativen H�ufigkeiten
+der Einzelereignisse}.
+
+Wir m�ssen aber beachten, welche Voraussetzung hierbei gemacht
+worden ist. Durch die Ziehungen aus der ersten Urne
+werden bestimmte F�lle, die durch das Finden einer wei�en Kugel
+gegeben sind, herausgegriffen. Nur in diesen F�llen wird aus
+der zweiten Urne gezogen und die relative H�ufigkeit f�r diese
+Ziehungen notiert. Liegt nun der Fall ebenso, als ob unabh�ngig
+von der ersten Urne aus der zweiten Urne gezogen worden w�re?
+Man wird die Frage hier unbedingt bejahen, sie wird sogar als
+g�nzlich �berfl�ssig erscheinen. Ihre Entscheidung bedeutet aber
+eine bestimmte Aussage �ber die beiden Einzelereignisse, aus
+denen sich das Gesamtereignis zusammensetzt, n�mlich die Aussage
+dar�ber, da� \so{die durch die erste Urne getroffene Bestimmung
+�ber die Ziehung aus der zweiten Urne keinen
+Einflu� auf die Resultate der Ziehungen aus dieser
+zweiten Urne aus�bt}, da� mit anderen Worten \so{die beiden
+Einzelereignisse voneinander unabh�ngig sind}.
+
+Die gleiche �berlegung bleibt nat�rlich auch dann bestehen,
+wenn das Gesamtereignis sich aus mehr als zwei Einzelereignissen
+zusammensetzt. Wir k�nnen daher allgemein sagen:
+
+\so{Die relative H�ufigkeit eines aus mehreren Komponenten
+zusammengesetzten Ereignisses ist gleich dem
+Produkt aus den relativen H�ufigkeiten seiner Komponenten,
+wenn diese voneinander unabh�ngig sind.}
+
+Ein Ereignis kann aber noch auf eine andere Art aus Teilereignissen
+zusammengesetzt sein. Nehmen wir \zB~an, das Ereignis
+\DPPageSep{109}{95}
+best�nde darin, da� mit einem W�rfel mehr als drei Augen
+geworfen werden. Dann setzt sich dieses Ereignis sofort aus drei
+Teilereignissen zusammen. Es k�nnen n�mlich mit dem W�rfel
+entweder vier oder f�nf oder sechs Augen geworfen sein. In allen
+drei F�llen ist das Ereignis eingetreten. Nehmen wir nun an, es
+sei allgemein $n$ die Gesamtzahl der F�lle. Dabei seien die Teilereignisse
+der Reihe nach $p$-,~$q$-,~$r$\,mal eingetreten, dann ist das Gesamtereignis
+$(p + q + r)$\,mal eingetreten. Die relative H�ufigkeit
+des Gesamtereignisses wird also
+\[
+w = \frac{p + q + r}{n}
+  = \frac{p}{n} + \frac{q}{n} + \frac{r}{n}.
+\]
+Die relativen H�ufigkeiten der Teilereignisse sind aber
+\[
+w_1 = \frac{p}{n},\quad
+w_2 = \frac{q}{n},\quad
+w_3 = \frac{r}{n}.
+\]
+Es ergibt sich demnach
+\[
+\Tag{(2)}
+w = w_1 + w_2 + w_3,
+\]
+und wir k�nnen allgemein den Satz aussprechen:
+
+\so{Wenn bei einem Ereignis verschiedene F�lle m�glich
+sind, die alle das Eintreten des Ereignisses bedeuten, so
+ergibt die Summe der relativen H�ufigkeiten aller dieser
+F�lle die relative H�ufigkeit des betrachteten Ereignisses
+selbst.}
+
+Bei jedem Ereignis sind aber immer von vornherein zwei
+F�lle zu unterscheiden, die durch das Eintreten und das Ausbleiben
+des Ereignisses gegeben sind. Das Eintreten und das Ausbleiben
+eines Ereignisses setzen sich jedoch zu einem Ereignis zusammen,
+das in allen F�llen eintritt, dessen relative H�ufigkeit also gleich
+$1$ ist. Nennen wir daher w die relative H�ufigkeit des Eintretens
+und $w'$ die relative H�ufigkeit des Ausbleibens, so mu�
+\[
+w + w' = 1
+\]
+werden, es ergibt sich also die relative H�ufigkeit des Ausbleibens
+eines Ereignisses aus der relativen H�ufigkeit~$w$ seines Eintretens
+durch die Gleichung
+\[
+w' = 1 - w.
+\]
+
+Wir benutzen die angestellten �berlegungen nun, um die
+relative H�ufigkeit des mehrmaligen Eintretens eines Ereignisses
+in einer gewissen Anzahl von F�llen zu bestimmen. Wenn das
+\DPPageSep{110}{96}
+Ereignis in $n$ F�llen $p$\,mal eintreten soll, so m�ssen wir zun�chst
+dabei eine bestimmte Folge des Eintretens und Ausbleibens ins
+Auge fassen. Es handelt sich dann um ein Ereignis, das aus
+$n$ unabh�ngigen Teilereignissen besteht. Diese Teilereignisse sind
+das Eintreten oder Ausbleiben des betrachteten Erfolges im ersten,
+zweiten, dritten usw. Falle. Nach unserem Satze ist die relative
+H�ufigkeit des Gesamtereignisses das Produkt aus den relativen
+H�ufigkeiten der Teilereignisse, und von diesen n Faktoren sind $p$
+gleich~$w$, wenn wir mit~$w$ die relative H�ufigkeit des Einzelereignisses
+bezeichnen, von der wir voraussetzen, da� sie sich von
+Fall zu Fall nicht �ndert, die �brigen $n - p$~Faktoren dagegen
+werden gleich~$1 - w$. Wir finden also f�r die relative H�ufigkeit
+des Gesamtereignisses den Wert
+\[
+w^p(1 - w)^{n-p}.
+\]
+
+Nun soll aber die Reihenfolge, in welcher der betrachtete Erfolg
+eintritt oder ausbleibt, f�r das in Wirklichkeit betrachtete
+Gesamtereignis (das $p$\,malige Eintreten des betrachteten Erfolges
+in $n$~F�llen) gleichg�ltig sein. Wir m�ssen also alle diese verschiedenen
+Reihenfolgen als verschiedene m�gliche F�lle, in denen
+das in Rede stehende Ereignis eintritt, ansehen und finden die
+relative H�ufigkeit dieses Ereignisses als die Summe der relativen
+H�ufigkeiten, die sich f�r die einzelnen m�glichen Reihenfolgen
+ergeben, \dh,~da diese relativen H�ufigkeiten alle gleich sind, als
+das Produkt ihres Wertes mit der Anzahl der Arten, auf die sich
+aus $n$~Elementen~$p$ herausgreifen lassen. Diese Anzahl ist
+\[
+\frac{1�2�3�4�5 \dots n}{1�2 \dots p�1�2 \dots (n - p)}
+  = \frac{n!}{p!(n - p)!},
+\]
+wenn wir in der �blichen Weise
+\[
+1�2�3 \dots n = n!
+\]
+setzen, und damit finden wir f�r die gesuchte relative H�ufigkeit
+den Wert
+\[
+\Tag{(3)}
+\frac{n!}{p!(n - p)!}\, w^p(1 - w)^{n-p}.
+\]
+
+Dieser Wert ist, wie man sieht, einerseits eine einfache Funktion
+der relativen H�ufigkeit~$w$, andererseits h�ngt er in bestimmter
+Weise von der Zahl~$p$ ab und wir wollen ihn deswegen mit
+\[
+\phi_p(w) \text{ oder k�rzer } \phi_p
+\]
+bezeichnen.
+\DPPageSep{111}{97}
+
+Bei der Bestimmung des vorstehenden Ausdruckes ist zu bedenken,
+da� der Wert~$w$ nie mit absoluter Genauigkeit, sondern
+immer nur mit einer gewissen Ann�herung gefunden werden kann.
+Wir wollen nun untersuchen, welchen Einflu� eine kleine Abweichung~$\delta w$
+im Werte von~$w$ auf die Bestimmung des Wertes~$\phi_p$
+aus�bt. Die der Abweichung~$\delta w$ entsprechende �nderung dieses
+Wertes wird
+\begin{align*}
+\delta\phi_p
+  &= \frac{n!}{p!(n - p)!}\, w^p(1 - w)^{n-p}
+       \left(\frac{p}{w} - \frac{n - p}{1 - w}\right) \delta w \\
+  &= \phi_p \left(\frac{p}{w} - \frac{n - p}{1 - w}\right) \delta w.
+\end{align*}
+Diese �nderung darf nur einen Bruchteil von $\phi_p$ ausmachen, damit
+die Bestimmung von $\phi_p$ �berhaupt einen Sinn hat. Wir fragen
+also, wann
+\[
+\delta\phi_p < \epsilon�\phi_p
+\]
+wird, wo $\epsilon$ einen bestimmten echten Bruch bedeutet, und finden
+zun�chst, da� dann dem absoluten Betrage nach
+\[
+\left(\frac{p}{w} - \frac{n - p}{1 - w}\right) \delta w < \epsilon
+\]
+sein mu�, woraus sich, indem wir die Werte
+\[
+u = \frac{p}{n},\quad
+1 - u = \frac{n - p}{n}
+\]
+einsetzen, ergibt:
+\[
+\left(\frac{u}{w} - \frac{1 - u}{1 - w}\right) n\, \delta w < \epsilon
+\]
+oder
+\[
+\frac{u - w}{w(1 - w)}\, n\, \delta w < \epsilon.
+\]
+Nehmen wir f�r $\delta w$ die gr��te zu bef�rchtende Schwankung in
+der Bestimmung von~$w$, so folgt f�r die zugeh�rigen Grenzen des
+Wertes~$u$
+\[
+u - w < \frac{w(1 - w)}{n\, \delta w} \epsilon
+\]
+dem absoluten Betrage nach, oder
+\[
+p - nw < \frac{w(1 - w)}{\delta w}\, \epsilon.
+\]
+\DPPageSep{112}{98}
+Nur wenn diese Bedingung f�r einen nicht zu gro�en Wert des
+echten Bruches~$\epsilon$, also sicher auch die Bedingung
+\[
+p - nw  <  \frac{w(1 - w)}{\delta w}
+\]
+erf�llt ist, kann von einer Bestimmung des Wertes~$\phi_p$ die Rede
+sein. Es ergibt sich also eine gewisse Grenze f�r die Abweichung
+des Wertes~$p$ von dem "`Normalwert"'~$nw$, die �berhaupt zul�ssig
+ist. Das ist f�r alles Folgende wichtig zu beachten.
+
+Nehmen wir nun die Reihe der Werte~$\phi_p$, welche die H�ufigkeit
+des Vorkommens eines bestimmten Wertes $\dfrac{p}{n} = u$ angeben,
+so fragt es sich, welcher Art diese Zahlenreihe ist, wenn wir von
+der Annahme eines festen Wertes~$w$ ausgehen. Es zeigt sich sofort,
+da� die Reihe in dem fr�her (S.~79) angegebenen Sinne einen
+\so{einfachen Verlauf} hat. Bilden wir n�mlich den Ausdruck
+\[
+\frac{\Delta \phi_p}{\phi_p}
+  = \frac{\phi_{p+1} - \phi_p}{\phi_p}
+  = \frac{n - p}{p+1}�\frac{w}{1 - w} - 1
+  = \frac{(n + 1)w - (p + 1)}{(p + 1)(1 - w)},
+\]
+so geht dieser durch Null hindurch, wenn mit m�glichster Ann�herung
+\[
+\frac{n - p}{p + 1} = \frac{1 - w}{w}
+\]
+oder
+\[
+\frac{p + 1}{n + 1} = w
+\]
+wird. Auf der einen Seite von diesem Werte ist der Ausdruck
+von $\dfrac{\Delta \phi_p}{\phi_p}$ best�ndig positiv und nimmt mit $p$ zu, auf der anderen
+Seite wird er negativ und nimmt ebenfalls mit $p$ zu, \dh~dem
+absoluten Werte nach ab; es wird n�mlich
+\[
+\frac{\Delta \phi_p}{\phi_p} - \frac{\Delta \phi_{p+1}}{\phi_{p+1}}
+  = \frac{n + 1}{(p + 1)(p + 2)}\, \frac{w}{1 - w}
+\]
+best�ndig positiv, die Werte von $\phi_p$ nehmen also vom H�chstwert
+aus nach beiden Seiten ab, wie \Fig{5} angibt.
+\DPPageSep{113}{99}
+
+Auf eine andere Weise untersuchen wir die aus dem Ausdruck~$\phi_p$
+folgende Zahlenreihe, indem wir die Summen
+\[
+\Sum_0^n \phi_p,\quad
+\Sum_0^n p\phi_p,\quad
+\Sum_0^n p^2\phi_p
+\]
+bilden. Was zun�chst die erste angeht, so ergibt sich aus
+\[
+1 = \bigl[w + (1 - w)\bigr]^n
+  = \Sum_{p=0}^n \frac{n!}{p!(n - p)!}\, w^p(1 - w)^{n-p}
+\]
+sofort
+\[
+\Sum_0^n \phi_p = 1.
+\]
+F�r das allgemeine Glied der zweiten Summe finden wir dagegen
+\begin{align*}
+p�\phi_p
+  &= \frac{n!}{(p - 1)!(n - p)!}\, w^p(1 - w)^{n-p} \\
+  &= nw�\frac{(n - 1)!}{(p - 1)!(n - p)!}\, w^{p-1}(1 - w)^{n-p}
+\end{align*}
+und daraus folgt, indem wir die Werte, die aus $\phi_p$ hervorgehen,
+wenn man $n - 1$ statt $n$ nimmt, mit $\phi'_p$ bezeichnen,
+\[
+p�\phi_p = nw�\phi'_{p-1};
+\]
+es wird also
+\[
+\Sum_0^n p�\phi_p = nw�\Sum_0^{n-1} \phi'_{p-1}
+\]
+und damit
+\[
+\Tag{(4)}
+\Sum_0^n p�\phi_p = n�w.
+\]
+Weiter ergibt sich:
+\begin{align*}
+p^2�\phi_p
+  &= \frac{n!}{(p - 2)!(n - p)!}\, w^p(1 - w)^{n-p} \\
+  &+ \frac{n!}{(p - 1)!(n - p)!}\, w^p(1 - w)^{n-p} \\
+  &= n(n - 1) w^2�\phi''_{p-2} + nw�\phi'_{p-1},
+\end{align*}
+indem wir den Ausdruck, der aus $\phi_p$ hervorgeht, wenn man $n - 2$
+statt $n$ nimmt, mit $�phi''_p$ bezeichnen, und damit erhalten wir
+\[
+\Sum p^2�\phi_p = n(n - 1) w^2�\phi''_{p-2} + nw�\Sum \phi'_{p-1};
+\]
+\DPPageSep{114}{100}
+da aber $\Sum \phi'_{p-1} = 1$, $\Sum \phi''_{p-2} = 1$, folgt hieraus:
+\[
+\Tag{(5)}
+\Sum p^2�\phi_p = n(n - 1) w^2 + nw.
+\]
+
+Diese Resultate lassen sich verwerten, um die registrierten
+Werte $p$ nach der im vorigen Kapitel angegebenen Methode als
+die Glieder einer \so{station�ren} Reihe zu untersuchen. Die Anzahl
+der insgesamt aufgezeichneten Werte sei~$N$. Der Wert~$p$
+findet sich dann $\phi_p�N$\,mal, und wenn wir die Summe aller aufgezeichneten
+Werte bilden, so ergibt sich
+\[
+\Sum \phi_p N � p = N \Sum p � \phi_p = N � nw;
+\]
+das arithmetische Mittel aller aufgezeichneten Werte wird also
+\[
+p_0 = n � w.
+\]
+
+Berechnen wir nun die Summe der Quadrate der Abweichungen
+der aufgezeichneten Werte von diesem Mittelwert, so ergibt sich
+daf�r der Ausdruck
+\[
+\Sum \phi_p N � (p - p_0)^2
+\]
+und hierf�r finden wir weiter:
+\begin{align*}
+  & N � \bigl[\Sum p^2 \phi_p - 2 nw \Sum p \phi_p + n^2 w^2\bigr] \\
+ =& N � \bigl[n(n - 1)w^2 + nw - n^2w^2\bigr] = N � nw (1 - w).
+\end{align*}
+Der Mittelwert aller Abweichungen wird also
+\[
+\sqrt{nw(1 - w)}.
+\]
+
+Nehmen wir statt der Werte~$p$ selbst die Verh�ltniswerte~$\dfrac{p}{n}$,
+so wird
+\begin{align*}
+&\Sum_0^n \frac{p}{n}�\phi_p = w
+\intertext{und}
+&\Sum_0^n \left(\frac{p}{n} - w\right)^2 � \phi_p = \frac{w(1 - w)}{n},
+\end{align*}
+also in diesem Falle die mittlere Ausweichung
+\[
+\Tag{(6)}
+\mu = \sqrt{\frac{w(1 - w)}{n}}.
+\]
+\DPPageSep{115}{101}
+
+Diese mittlere Ausweichung wird sonach um so kleiner, je
+gr��er~$n$ ist.
+
+Wenn aus einer Urne gezogen wird und sich hierbei unter $n$
+Ziehungen $p$\,mal eine wei�e Kugel findet, so k�nnte man diesen
+Vorgang als typisch f�r alle F�lle ansehen, wo bei $n$ Proben
+$p$\,mal der gew�nschte Erfolg eintritt. Man kann daher versucht
+sein, die aus diesem einfachen Urnenschema abgeleiteten Resultate
+auf alle F�lle zu �bertragen, in denen sich nichts weiter offenbart
+hat, als da� ein bestimmter Erfolg $p$\,mal unter $n$\,malen eingetreten
+ist. Der Schlu� ist aber sehr gewagt und wird in den meisten
+F�llen auch als irrig nachgewiesen, wenn man die relative H�ufigkeit
+nicht blo� einmal, sondern eine gr��ere Anzahl Male bestimmt,
+und dann versucht, die mittlere Ausweichung der so gewonnenen
+station�ren Reihe mit dem nach der obigen Formel sich ergebenden
+Ausdruck zu vergleichen. Man kann f�r diese mangelnde �bereinstimmung
+zun�chst folgende Erkl�rung versuchen.
+
+Bei dem Urnenschema ist man von vornherein gewi�, da�
+die Bedingungen des Ereignisses, die durch das Mischungsverh�ltnis
+der schwarzen und der wei�en Kugeln in der Urne gegeben sind,
+unver�ndert bleiben. Im allgemeinen Falle hat man diese Gewi�heit
+aber nicht. Man k�nnte nun diesen allgemeineren Fall an
+das zuerst gegebene Urnenschema anschlie�en, indem man voraussetzt,
+da� das Mischungsverh�ltnis der Kugel in der Urne wechselt,
+oder besser noch, da� die Ziehungen nicht aus einer Urne,
+sondern aus vielen Urnen mit verschiedenen Mischungsverh�ltnissen
+stattfinden. Es ist dann die Frage, ob sich dadurch die
+Verteilung der Anzahl Male, die ein bestimmtes Ziehungsverh�ltnis
+bei einer gro�en Anzahl von Ziehungen herauskommt, wesentlich
+�ndert oder nicht.
+
+Um diese Frage zu beantworten, nehmen wir an, es sei das
+Mischungsverh�ltnis der wei�en und schwarzen Kugeln bei der
+$i$ ten Ziehung~$w_i/w'_i$, wobei immer $w_i + w'_i = 1$.
+
+Bilden wir nun das Produkt
+\[
+\Prod_i(w_i\xi + w'_i\eta) = \Sum_p \psi_p \xi^p \eta^{n-p},
+\]
+�ber alle Ziehungen erstreckt, so gibt der Faktor~$\psi_p$ von~$\xi^p \eta^{n-p}$ in
+diesem Ausdruck die relative H�ufigkeit der Ziehung von $p$ wei�en
+Kugeln bei $n = p + q$ Ziehungen an. Dies ist sofort einzusehen,
+\DPPageSep{116}{102}
+weil das Entstehen eines Ziehungsverh�ltnisses, bei dem $p$ wei�e
+Kugeln $q$ schwarzen Kugeln gegen�berstehen, genau analog ist
+dem Herausheben eines Gliedes mit $p$ Faktoren $\xi$~und $n - p = q$
+Faktoren~$\eta$ bei der Ausrechnung des angeschriebenen Produktes.
+So oft sich ein solches Glied ergibt, so oft ergibt sich auch bei
+den aufeinanderfolgenden Ziehungen eine Kombination, bei der
+gerade $p$ wei�e und $q$ schwarze Kugeln gezogen sind.
+
+Da die Summe aller dieser relativen H�ufigkeiten gleich~$1$
+sein mu�, folgt f�r $\xi = \eta = 1$
+\[
+\Sum \psi_p\xi^p\eta^q = \Prod_i(w_i\xi + w'_i\eta) = 1.
+\]
+F�r die Zahlenreihe, welche die relativen H�ufigkeiten bilden, finden
+wir den Mittelwert~$w$, indem wir bilden
+\[
+nw = \Sum p\psi_p
+   = \Sum p\psi_p \xi^{p-1}\eta^q \quad\text{f�r}\quad \xi = \eta = 1.
+\]
+Nun ergibt sich aber:
+\begin{align*}
+\Sum p\psi_p\xi^{p-1}\eta^q
+  &= \frac{\partial \Prod(w_i\xi + w'_i\eta)}{\partial\xi} \\
+  &= \Prod(w_i\xi + w'_i\eta)�\Sum \frac{w_i}{w_i\xi + w'_i\eta}
+\end{align*}
+und daraus folgt f�r den Mittelwert~$w$, wenn wir $\xi = \eta = 1$
+setzen,
+\[
+\Tag{(7)}
+nw = \Sum w_i.
+\]
+
+Wir haben jetzt auch noch die mittlere Ausweichung zu berechnen
+und zu dem Zweck zu bilden
+\[
+n^2\mu^2 = \Sum (p - nw)^2�\psi_p.
+\]
+Hierf�r ergibt sich zun�chst:
+\begin{align*}
+\Sum (p - nw)^2\psi_p
+  &= \Sum p^2\psi_p - n^2w^2 \\
+  &= \Sum p(p - 1)\psi_p + nw - n^2w^2,
+\end{align*}
+und weiter finden wir f�r $\xi = \eta = 1$
+\[
+\Sum p(p - 1)\psi_p
+  = \Sum p(p - 1)\psi_p\xi^{p-2}\eta^q
+  = \frac{\partial \Prod(w_i\xi + w'_i\eta)}{\partial\xi^2}.
+\]
+\DPPageSep{117}{103}
+Es wird aber f�r $\xi = \eta = 1$
+\begin{align*}
+\frac{\partial^2 \Prod(w_i\xi + w'_i\eta)}{\partial\xi^2}
+  &= 2\Prod(w_i\xi + w'_i\eta)
+    � \Sum_{i,k}\frac{w_i w_k}{(w_i\xi + w'_i\eta)(w_k\xi + w'_k\eta)} \\
+  &= 2\Sum_{i,k} w_i w_k,
+\end{align*}
+und damit erhalten wir:
+\begin{align*}
+n^2\mu^2 &= \Sum p(p - 1)\psi_p + nw - n^2w^2 \\
+  &= 2\Sum_{i,k} w_i w_k + \Sum_i w_i - (\Sum_i w_i)^2
+\intertext{oder}
+n^2\mu^2 &= \Sum_i w_i - \Sum_i w_i^2,
+\intertext{also}
+n^2\mu^2 &= \Sum_i w_i(1 - w_i).
+\end{align*}
+In diesem Falle ergibt sich demnach f�r die mittlere Ausweichung
+der Wert
+\[
+\Tag{(8)}
+\mu = \sqrt{\frac{\Sum w_i(1 - w_i)}{n^2}}.
+\]
+
+Wir haben bis jetzt �ber die Verteilung der relativen H�ufigkeiten~$w_i$
+nichts vorausgesetzt. Wir wollen einmal annehmen,
+da� diese Verteilung selbst eine solche ist, wie sie sich f�r das
+Ziehungsverh�ltnis bei einer Urne ergibt. Die auftretenden
+Werte~$w_i$ bilden dann eine typische Zufallsreihe. Der Mittelwert
+dieser Reihe,~$w$, wird gegeben durch die Gleichung
+\[
+\Sum w_i = nw.
+\]
+Dagegen wird die Quadratsumme~$\Sum w_i^2$ nach den fr�her gefundenen
+Formeln gleich $(n - 1)w^2 + w$. Dies folgt n�mlich aus der
+Gleichung
+\[
+\Sum p^2 \phi_p = n(n - 1) w^2 + nw,
+\]
+wenn wir bedenken, da� $n\phi_p$ die Anzahl Male ist, die der Wert~$p$
+unter den $n$~Gliedern der Reihe vorkommt, und da� jetzt $w_i = \dfrac{p}{n}$
+einzusetzen ist. Wir finden also:
+\DPPageSep{118}{104}
+\begin{align*}
+\Sum w_i(1 - w_1)
+  &= \Sum w_i - \Sum w_i^2 = nw - (n - 1)w^2 - w \\
+  &= (n - 1)w(1 - w)
+\end{align*}
+und damit
+\[
+\Tag{(9)}
+\mu = \sqrt{\frac{(n - 1)w(1 - w)}{n^2}}.
+\]
+Dieser Wert der mittleren Ausweichung unterscheidet sich von
+dem fr�her gefundenen nur dadurch, da� der Faktor $\sqrt{\dfrac{n - 1}{n}}$
+hinzugetreten ist. Dieser Faktor wird f�r gr��eres $n$ sehr nahe
+gleich~$1$ und wir finden so wieder dieselbe mittlere Ausweichung
+wie fr�her, wenn wir nur f�r das Mischungsverh�ltnis den Mittelwert
+$w = \dfrac{\Sum w_i}{n}$ nehmen.
+
+Daraus folgt, da�, wenn zwischen dem Wert von $w$ und dem
+Wert von $\mu$ der fr�her gefundene Zusammenhang nicht bestehen
+soll, die Abweichung der Werte~$w_i$ vom Mittelwert~$w$ jedenfalls
+nicht selbst eine rein zuf�llige (wie sie sich bei der Ziehung
+aus einer Urne als Abweichung des Ziehungsverh�ltnisses vom
+Mischungsverh�ltnis ergibt) sein darf. Es mu� vielmehr eine
+andersgeartete Ver�nderung in dem Mischungsverh�ltnis der Urne,
+aus der gezogen wird, mit anderen Worten eine systematische
+Ver�nderung der dem beobachteten Ereignis zugrunde liegenden
+Wahrscheinlichkeit angenommen werden.
+\EndChap
+\DPPageSep{119}{105}
+
+
+\Chapter{Achtes Kapitel}{N�herungsformeln}
+
+F�r die relative H�ufigkeit oder Wahrscheinlichkeit des
+$p$\,maligen Ziehens einer wei�en Kugel bei $n$ Ziehungen aus der
+Urne haben wir, wenn die relative H�ufigkeit der Ziehung einer
+wei�en Kugel $w$ ist, den Ausdruck gefunden:
+\[
+\phi_p = \frac{n!}{p!(n - p)!}\, w^p (1 - w)^{n-p}.
+\]
+Um diesen Ausdruck zu berechnen, etwa mit Hilfe von Logarithmen,
+brauchen wir eine Tabelle der Fakult�ten oder eine Tabelle
+f�r die Logarithmen dieser Fakult�ten, \dh~die Summe der
+Logarithmen der ganzen Zahlen, von $1$ anfangend. Der Ausdruck
+ist dann leicht f�r gegebene Werte von $p$~und~$n$ zu berechnen,
+solange der Wert von $n$ nicht gro� ist. Wird $n$ aber gr��er, so
+entsteht schon in den Logarithmen von $w$~und~$1-w$, da der eine
+mit~$p$, der andere mit~$n-p$ zu multiplizieren ist, eine erhebliche
+Ungenauigkeit, und damit wird das Resultat nur dann zuverl�ssig,
+wenn man Logarithmen mit hinreichend viel Stellen nimmt, was
+sehr unbequem ist.
+
+Dann empfiehlt es sich, von bestimmten N�herungsformeln
+Gebrauch zu machen. Es zeigt sich n�mlich, da� unter gewissen
+Umst�nden der Ausdruck von~$\phi_p$ sich auf einen solchen zur�ckf�hren
+l��t, der eine Funktion blo� einer Ver�nderlichen ist und
+sich deshalb in einer Tabelle mit einem einzigen Eingang darstellen
+l��t.
+
+Der erste Fall, in dem dies eintritt, ist der, wo $n$ sehr gro�
+ist, aber $w$ sowohl von~$0$ als auch von~$1$ erheblich verschieden
+ist. Die Art der sich so ergebenden Verteilung wollen wir uns
+zun�chst durch eine graphische Darstellung klar zu machen suchen.
+\DPPageSep{120}{106}
+Sie ist in der untenstehenden Figur f�r $999$~Ziehungen aus einer
+Urne, in der gleich viel wei�e und schwarze Kugeln enthalten
+sind, angegeben. Es ergibt sich nat�rlich nicht im eigentlichen
+Sinne eine Kurve, aber die $1000$~Punkte, die zu zeichnen sind,
+liegen einander so nahe, da�, wenn man je zwei aufeinander
+folgende von ihnen durch gerade Strecken verbindet, mit sehr
+\begin{figure}[hbt!]
+  \centering
+  \caption{Fig.~7.}
+  \Input[\textwidth]{120}
+\end{figure}
+gro�er Ann�herung das Bild einer Kurve entsteht. Analytisch
+w�rde das bedeuten, da�, wenn der als Einheit gew�hlte Abstand
+auf der Abszissenachse mit~$e$ bezeichnet wird und die der Kurve
+entsprechende Funktion mit~$\phi(x)$, wobei $x = pe$, mit gen�gender
+Ann�herung
+\[
+\frac{d\phi(x)}{dx} = \frac{\phi_{p+1} - \phi_p}{e}
+\]
+angenommen werden kann oder, falls man unmittelbar $e=1$ setzt,
+\[
+\frac{d\phi(x)}{dx} = \phi_{p+1} - \phi_p.
+\]
+Die Kurve n�hert sich in ihrem Verlauf so rasch der Abszissenachse,
+da� von ihr nur ein kleiner Teil, der sich allein merklich
+von der Abszissenachse entfernt, gezeichnet zu werden braucht.
+Dieser Teil gruppiert sich hier um die Stelle, bei der die Anzahl
+der gezogenen wei�en Kugeln der Anzahl der gezogenen schwarzen
+Kugeln m�glichst gleich wird.
+\DPPageSep{121}{107}
+
+Um nun einen angen�herten Ausdruck f�r $\phi_p$ zu finden,
+bilden wir wieder
+\[
+\frac{\phi_{p+1} - \phi_p}{\phi_p} = \frac{(n + 1)w - (p + 1)}{(p +1)(1 - w)}.
+\]
+
+Wir haben dabei vorauszusetzen, da� $n$ sehr gro� ist. Wir
+m�ssen dann annehmen, damit sich �berhaupt ein von~$0$ hinl�nglich
+verschiedener Wert von~$\phi_p$ ergibt, da� $p$ in der N�he des
+Maximalwertes liegt. Dieser Maximalwert ergibt sich, wenn der
+Z�hler des Bruches auf der rechten Seite der vorstehenden Gleichung
+m�glichst angen�hert gleich $0$ wird, also wenn m�glichst
+angen�hert
+\begin{align*}
+p + 1 &= (n + 1)w \\
+\intertext{wird. Es liegt deshalb nahe, allgemein}
+p + 1 &= (n + 1)w + x_1
+\end{align*}
+zu setzen. $x_1$~ist dann eine im Verh�ltnis zu $n$ kleine, wenn auch
+an sich gro�e Zahl.
+
+Die Zunahme um $1$ im Argument von~$\phi_p$ bedeutet demnach
+eine relativ sehr kleine Zunahme, und die Differenz $\phi_{p+1} - \phi_p$
+kann einstweilen mit dem Differentialquotienten von~$\phi_p$, wenn
+wir dies als Funktion eines kontinuierlich sich ver�ndernden
+Argumentes, n�mlich von~$x_1$, ansehen, identifiziert werden. Wir
+k�nnen also setzen, indem wir jetzt $\phi_0(x_1)$ statt $\phi_p$ schreiben,
+\[
+\frac{\phi_{p+1} - \phi_p}{\phi_p}
+  = \frac{\ \dfrac{d\phi_0(x_1)}{dx_1}\ }{\phi_0(x_1)}
+  = \frac{d \ln \phi_0(x_1)}{dx_1}
+\]
+und erhalten
+\[
+\frac{d \ln \phi_0(x_1)}{dx_1}
+  = - \frac{x_1}{nw(1 - w)\left(1 + \dfrac{x_1 + w}{nw}\right)}.
+\]
+
+In dem Bruch rechter Hand k�nnen wir noch in dem letzten
+Faktor des Nenners den nach Voraussetzung sehr kleinen Wert
+$\dfrac{x_1 + w}{nw}$ weglassen und erhalten so einfach
+\[
+\frac{d \ln \phi_0(x_1)}{dx_1} = -\frac{x_1}{nw(1 - w)}.
+\]
+\DPPageSep{122}{108}
+Daraus folgt durch Integration
+\[
+\phi_0(x_1) = Ce^{-\tfrac{x_1^2}{2nw(1 - w)}},
+\]
+wobei $C$ eine noch zu bestimmende Konstante bezeichnet.
+
+Statt des Verh�ltnisses $\dfrac{\phi_{p+1} - \phi_p}{\phi_p}$ k�nnen wir ebensogut
+aber auch das Verh�ltnis $\dfrac{\phi_p - \phi_{p-1}}{\phi_p}$ bilden und erhalten dann
+\[
+\frac{\phi_p - \phi_{p-1}}{\phi_p} = \frac{(n + 1)w - p}{(n + 1 - p)w}.
+\]
+Der Ausdruck auf der linken Seite kann mit demselben Recht wie
+der fr�here gleich einer logarithmischen Derivierten gesetzt werden.
+Auf der rechten Seite zeigt sich jetzt, da� der Ausdruck verschwindet,
+wenn mit m�glichster Ann�herung
+\begin{align*}
+p &= (n + 1)w \\
+\intertext{wird. Wir m�ssen daher jetzt allgemein}
+p &= (n + 1)w + x_2
+\end{align*}
+setzen, dann erhalten wir genau wie vorher wieder
+\begin{align*}
+\frac{d \ln\phi_0(x_2)}{dx_2} &= -\frac{x_2}{nw(1 - w)} \\
+\intertext{und daraus}
+\phi_0(x_2) &= Ce^{-\tfrac{x_2^2}{2nw(1 - w)}}.
+\end{align*}
+
+Die genaueste Darstellung wird zwischen den beiden gefundenen
+N�herungswerten liegen, \dh~sich auf ein Argument~$x$
+beziehen, f�r das
+\[
+x_1 > x > x_2
+\]
+ist. Da nun aber
+\begin{align*}
+x_1 &= (p - nw) + (1 - w), \\
+x_2 &= (p - nw) - w
+\end{align*}
+ist, liegt es nahe,
+\[
+x = p - nw
+\]
+\DPPageSep{123}{109}
+anzunehmen. Das kommt darauf hinaus, das Maximum an die
+Stelle
+\[
+w = \frac{p}{n}
+\]
+zu legen. Wir finden dann schlie�lich das Resultat
+\[
+\Tag{(1)}
+\phi_0(x) = Ce^{-\tfrac{x^2}{2nw(1 - w)}}.
+\]
+
+Hiermit w�re die gesuchte N�herungsfunktion, die \so{Gau�}\-sche
+\index{Gau�sche@Gau�sche Verteilungsfunktion|uo}%
+Funktion, gefunden. Es ist aber zu beachten, da� das Argument~$x$
+eine sehr gro�e Zahl bedeuten kann. Wenn wir statt $x$ das Verh�ltnis
+$\xi = \dfrac{x}{n}$ einf�hren, erhalten wir statt $\phi_0(x)$ die Funktion
+\[
+Ce^{-\tfrac{n\xi^2}{2w(1 - w)}}.
+\]
+Da $\phi_0(x)$ die relative H�ufigkeit einer Anzahl der gezogenen
+wei�en Kugeln, die mit $x$ in den Stellen vor dem Komma �bereinstimmt,
+war, so ist der vorstehende Ausdruck die relative H�ufigkeit
+eines Wertes~$\xi$ innerhalb der Genauigkeitsgrenze~$\dfrac{1}{n}$. Setzen wir
+\begin{align*}
+Cn &= c \\
+\intertext{und}
+\frac{1}{n} &= d\xi,
+\end{align*}
+so k�nnen wir daf�r schreiben:
+\[
+\Tag{(2)}
+\phi_1(\xi)\, d\xi = ce^{-\tfrac{n\xi^2}{2w(1 - w)}}\, d\xi.
+\]
+Man sieht, da� $\phi_1(\xi)\, d\xi$, wenn wir noch
+\[
+\Tag{(3)}
+t = \frac{x}{\sqrt{2nw(1 - w)}}
+  = \sqrt{\frac{n}{2w(1 - w)}}\, \xi
+\]
+setzen,
+\[
+= c \sqrt{\frac{2w(1 - w)}{n}} e^{-t^2}\, dt
+\]
+wird.
+
+Um nun noch die Konstante~$c$ zu bestimmen, kann man einen
+zweifachen Weg einschlagen. Einmal n�mlich kann man davon
+\DPPageSep{124}{110}
+ausgehen, da� der Maximalwert der Funktion $\phi_0(x)$, der f�r $x=0$
+eintritt, mit dem Maximalwert von $\phi_p$ f�r $p = nw$ �bereinstimmen
+soll. Man hat hierbei wieder einen N�herungsausdruck, der f�r
+sehr gro�e $n$~und~$p$ gilt, zu verwenden. Zu dem Zweck geht man
+aus von der sogenannten \so{Stirling}schen Formel
+\index{Stirlingsche Formel}%
+\[
+n! = \sqrt{2\pi}\, n^{n+\tfrac{1}{2}}\, e^{-n},
+\]
+die f�r einen sehr gro�en Wert von $n$ gilt. Ebenso wird nat�rlich
+auch
+\[
+p! = \sqrt{2\pi}\, p^{p+\tfrac{1}{2}}\, e^{-p},\quad
+(n - p)! = \sqrt{2\pi}\, (n - p)^{n-p+\tfrac{1}{2}}\, e^{-n+p}
+\]
+und es ergibt sich f�r $p=nw$:
+\begin{align*}
+\phi_{nw}
+  &= \frac{1}{\sqrt{2\pi nw(1 - w)}}
+   � \frac{n^n w^{nw} (1 - w)^{n(1-w)}}{\bigl[nw\bigr]^{nw} \bigl[n(1 - w)\bigr]^{n(1-w)}} \\
+  &= \frac{1}{\sqrt{2\pi nw(1 - w)}}.
+\end{align*}
+Dieses mu� aber mit der Konstanten~$C$ identisch sein, und wir
+haben sonach
+\[
+C = \frac{1}{\sqrt{2\pi nw(1 - w)}},\quad\text{also}\quad
+c = \sqrt{\frac{n}{2\pi w(1 - w)}}
+\]
+und
+\[
+\phi_1(\xi) = \sqrt{\frac{n}{2\pi w(1 - w)}}�e^{-\tfrac{n\xi^2}{2w(1 - w)}}.
+\]
+
+Andererseits k�nnen wir aber auch davon ausgehen, da� die
+Summe aller m�glichen relativen H�ufigkeiten oder Wahrscheinlichkeiten
+gleich~$1$ werden mu�, und diese Bedingung auch f�r die
+N�herungsfunktion als streng erf�llt annehmen. Es wird nun
+\[
+\phi_1(\xi)\, d\xi
+\]
+die Wahrscheinlichkeit daf�r, da� der Wert von $\xi$ zwischen $\xi$ und
+$\xi + d\xi$ liegt, und damit ergibt sich f�r die Summe aller m�glichen
+Wahrscheinlichkeiten das Integral
+\[
+\Int_{-\infty}^{+\infty} \phi_1(\xi)\, d\xi
+  = c \sqrt{\frac{2w(1 - w)}{n}} \Int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2}\, dt.
+\]
+\DPPageSep{125}{111}
+
+Um dieses letzte Integral zu berechnen, gehen wir den von
+\so{Poisson} angegebenen Weg, da� wir es mit einer anderen Bezeichnung
+\index{Poisson}%
+der Ver�nderlichen noch einmal bilden und die beiden so
+entstehenden Integrale
+\[
+I = \Int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2}\, dt,\quad
+I = \Int_{-\infty}^{+\infty} e^{-s^2}\, ds
+\]
+miteinander multiplizieren. Es ergibt sich so das Doppelintegral
+\[
+I^2 = \Int_{-\infty}^{+\infty}\Int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(s^2+t^2)}\, ds\, dt,
+\]
+und um dieses auszuwerten, setzen wir
+\[
+s = r \cos \rho,\quad  t = r \sin \rho.
+\]
+Dadurch geht, weil das Fl�chenelement dann $r\, dr\, d\rho$ wird, das
+Doppelintegral �ber in
+\[
+I^2 = \Int_{0}^{\infty}\Int_0^{2\pi} e^{-r^2} r\, dr\, d\rho.
+\]
+In diesem neuen Doppelintegral lassen sich die beiden Integrationen
+getrennt ausf�hren. Es wird
+\[
+\Int_0^{2\pi} d\rho = 2\pi,\quad
+\Int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r\, dr = \frac{1}{2},
+\]
+und damit ergibt sich schlie�lich
+\[
+I^2 = \pi,\quad\text{also}\quad
+I = \sqrt{\pi}.
+\]
+Hieraus aber folgt:
+\[
+1 = \Int_{-\infty}^{+\infty} \phi_1(\xi)\, d\xi
+  = c \sqrt{\frac{2w(1 - w)}{n}} I
+  = c \sqrt{\frac{2\pi w(1 - w)}{n}},
+\]
+also
+\[
+\Tag{(4)}
+c = \sqrt{\frac{n}{2\pi w(1 - w)}},
+\]
+\dh~genau dasselbe Resultat, das fr�her auf anderem Wege gefunden
+wurde.
+\DPPageSep{126}{112}
+
+Die Ver�nderliche~$\xi$ kann, da das Verh�ltnis $\dfrac{x}{n}$ verh�ltnism��ig
+klein bleibt, nur sehr kleine Werte haben. In der Tat zeigt
+der Ausdruck von~$\phi_1(\xi)$, da� $n\xi^2$ einen m��igen Wert haben
+mu�, damit der Funktionsausdruck $\phi(\xi)$ einen berechenbaren Wert
+erh�lt. F�hren wir statt $\xi$ die andere Relativzahl
+\[
+\frakx = \sqrt{n}�\xi = \frac{x}{\sqrt{n}}
+\]
+ein, so erhalten wir jetzt ein Argument, das m��ige Werte annimmt,
+und damit den Wert
+\[
+\Tag{(5)}
+\phi(\frakx)\, d\frakx
+  = \frac{1}{\sqrt{2\pi w(1 - w)}}\,
+    e^{-\tfrac{\frakx^2}{2w(1 - w)}}\, d\frakx
+\]
+f�r die Wahrscheinlichkeit, da� $\frakx$ zwischen $\frakx$~und~$\frakx + d\frakx$ liegt, \dh~das
+ermittelte Ziehungsverh�ltnis zwischen
+\[
+\frac{p}{n}\quad\text{und}\quad
+\frac{p}{n} + \frac{\frakx + d\frakx}{\sqrt{n}}.
+\]
+Man sieht daraus unmittelbar, da� die Genauigkeit der Bestimmung
+des Mischungsverh�ltnisses aus dem Ziehungsverh�ltnis proportional
+mit der Quadratwurzel aus der Anzahl der gemachten
+Ziehungen w�chst.
+
+Der Verlauf der gefundenen Funktion ergibt sich aus folgender
+Tabelle, wobei $t$ durch~\Eqref{(3)} bestimmt ist:
+\[
+\begin{array}{c|c||c|c||c|c}
+\hline\hline
+\vphantom{\Bigg|}
+�t & \dfrac{1}{\sqrt{\pi}}\, e^{-t^2} &
+�t & \dfrac{1}{\sqrt{\pi}}\, e^{-t^2} &
+�t & \dfrac{1}{\sqrt{\pi}}\, e^{-t^2} \\
+\hline\hline
+0,0 & 0,5642 & 1,0 & 0,2076 & 2,0 & 0,0104 \\
+0,1 & 0,5586 & 1,1 & 0,1683 & 2,1 & 0,0069 \\
+0,2 & 0,5421 & 1,2 & 0,1337 & 2,2 & 0,0045 \\
+0,3 & 0,5157 & 1,3 & 0,1041 & 2,3 & 0,0029 \\
+0,4 & 0,4808 & 1,4 & 0,0795 & 2,4 & 0,0018 \\
+0,5 & 0,4394 & 1,5 & 0,0595 & 2,5 & 0,0011 \\
+0,6 & 0,3937 & 1,6 & 0,0436 & 2,6 & 0,0007 \\
+0,7 & 0,3457 & 1,7 & 0,0314 & 2,7 & 0,0004 \\
+0,8 & 0,2975 & 1,8 & 0,0222 & 2,8 & 0,0002 \\
+0,9 & 0,2510 & 1,9 & 0,0153 & 2,9 & 0,0001 \\
+\end{array}
+\]
+\DPPageSep{127}{113}
+
+Der zweite Fall, in dem sich ein einfacher N�herungsausdruck
+f�r $\phi_p$ ergibt, ist der, wo wieder $n$ sehr gro�, $w$~aber sehr klein
+und $p$ nicht gro� ist, so da� die Fakult�t~$p!$ direkt berechnet
+werden kann.
+
+Wir berechnen wieder $n!$ nach der \so{Stirling}schen Formel
+\[
+n! = \sqrt{2\pi}\, n^{n+\tfrac{1}{2}}\, e^{-n}
+\]
+und ebenso k�nnen wir setzen
+\[
+(n - p)! = \sqrt{2\pi}\, (n - p)^{n-p+\tfrac{1}{2}}\, e^{-n+p}.
+\]
+Es ergibt sich dann:
+\[
+\phi_p = \frac{(n - p)^p}{p!\left(1 - \dfrac{p}{n}\right)^{n+\tfrac{1}{2}}}\,
+  e^{-p} w^p(1 - w)^{n-p}.
+\]
+Nun kann aber f�r sehr gro�es~$n$
+\[
+\left(1 - \frac{p}{n}\right)^{n+\tfrac{1}{2}} = e^{-p}
+\]
+gesetzt werden und ebenso ergibt sich auch:
+\[
+(1 - w)^{n-p} = e^{-(n - p)w}.
+\]
+Mithin wird
+\[
+\phi_p = \frac{(n - p)^p w^p}{p!}\, e^{-(n-p)w},
+\]
+also schlie�lich, wenn noch
+\[
+(n - p)�w = m \quad\text{(oder angen�hert $n�w = m$)}
+\]
+gesetzt wird,
+\[
+\phi_p = \frac{m^p e^{-m}}{p!}.
+\]
+Dies ist die gesuchte N�herungsformel, zu der noch geh�rt, da�
+f�r~$p=0$ $\phi_p = e^{-m}$~zu nehmen ist. Es zeigt sich, da�, damit
+berechenbare Werte herauskommen, die Anzahl~$n$ der gemachten
+Ziehungen so gro� sein mu�, da� das Produkt~$n�w$ einen angebbaren
+Wert erh�lt.
+\DPPageSep{128}{114}
+
+Um einen Begriff von dem Verlauf dieser Funktion zu geben,
+haben wir die folgende kleine Tabelle f�r einzelne Werte von~$m$
+angef�gt:
+\[
+\begin{array}{c||*{6}{c|}}
+\hline\hline
+\multirow{2}{*}{p} & \multicolumn{6}{c}{m} \\
+\cline{2-7}
+   & 0,1 &  0,5&   1,0&   2,0 & 3,0 & 4,0\\
+\hline\hline
+ 0 & 0,9048& 0,6065& 0,3679& 0,1353& 0,0498& 0,0183 \\
+ 1 & 0,0905& 0,3033& 0,3679& 0,2707& 0,1494& 0,0733 \\
+ 2 & 0,0045& 0,0758& 0,1839& 0,2707& 0,2240& 0,1465 \\
+ 3 & 0,0002& 0,0126& 0,0613& 0,1804& 0,2240& 0,1954 \\
+ 4 & \Dash & 0,0016& 0,0153& 0,0902& 0,1680& 0,1954 \\
+ 5 & \Dash & 0,0002& 0,0031& 0,0361& 0,1008& 0,1563 \\
+ 6 & \Dash & \Dash & 0,0005& 0,0120& 0,0504& 0,1042 \\
+ 7 & \Dash & \Dash & 0,0001& 0,0034& 0,0216& 0,0595 \\
+ 8 & \Dash & \Dash & \Dash & 0,0009& 0,0081& 0,0298 \\
+ 9 & \Dash & \Dash & \Dash & 0,0002& 0,0027& 0,0132 \\
+10 & \Dash & \Dash & \Dash & \Dash & 0,0007& 0,0053 \\
+11 & \Dash & \Dash & \Dash & \Dash & 0,0001& 0,0019 \\
+12 & \Dash & \Dash & \Dash & \Dash & \Dash & 0,0006 \\
+13 & \Dash & \Dash & \Dash & \Dash & \Dash & 0,0002 \\
+14 & \Dash & \Dash & \Dash & \Dash & \Dash & 0,0001 \\
+\end{array}
+\]
+
+Es bleibt noch der Fall zu erledigen, wo nicht aus einer Urne,
+sondern bei jeder Ziehung wieder aus einer anderen Urne gezogen
+wird, wobei die Mischungsverh�ltnisse der wei�en und schwarzen
+Kugeln in den Urnen, aus denen gezogen wird, der Reihe nach beliebig
+gegeben sind. Wir k�nnen auch hier die Anzahl der Ziehungen
+au�erordentlich gro� annehmen und dann nach einem N�herungsausdruck
+suchen, der die herauskommende Verteilung darstellt.
+
+Wir hatten oben das Mischungsverh�ltnis der wei�en und
+schwarzen Kugeln in der $i$ ten Urne mit~$w_i/w'_i$ bezeichnet, wobei
+$w_i + w'_i = 1$ war. Es wird hinreichen, wenn wir den Fall ins
+Auge fassen, wo sowohl $w_i$ als auch $w'_i$ h�chstens in vereinzelten
+F�llen einen sehr kleinen Wert hat. Dann f�hrt folgende Betrachtung
+zum Ziel.
+
+F�r die relative H�ufigkeit des $p$\,maligen Ziehens einer
+wei�en Kugel in $n = p + q$ F�llen hatten wir oben (S.~101) den
+Koeffizienten von~$\xi^p\eta^q$ in der Entwickelung des Produktes
+\[
+\Prod_i(w_i\xi + w'_i\eta)
+\]
+\DPPageSep{129}{115}
+gefunden. Wir k�nnen nun, indem wir $\xi = e^{i\zeta}$, $\eta = e^{-i\zeta}$ annehmen,
+f�r diesen Koeffizienten den Integralausdruck setzen:
+\[
+\psi_p = \frac{1}{\pi} \Int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{+\tfrac{\pi}{2}}
+    \Prod_i (w_i\xi + w'_i\eta) \xi^{-p} \eta^{-q}\, d\zeta.
+\]
+Dieses Integral ergibt sich n�mlich, wenn wir das Produkt ausf�hren,
+aus einer Reihe von Integralen der Form
+\[
+\Int_{-\alpha}^{+\alpha} \psi_\mu \xi^{\mu-p} \eta^{\nu-q}\, d\zeta.
+\]
+Hierin wird
+\[
+\mu + \nu = p + q = n.
+\]
+Es findet sich also f�r das vorstehende Integral der Wert
+\[
+\psi_\mu \Int_{-\alpha}^{+\alpha} e^{2(\mu - p)i\zeta}\, d\zeta,
+\]
+oder ausgerechnet, wenn $\mu - p \neq 0$,
+\[
+\frac{\psi_\mu}{2(\mu - p)i} \bigl[e^{2(\mu-p)i\alpha} - e^{-2(\mu-p)i\alpha}\bigr]
+\]
+oder
+\[
+\frac{\psi_\mu}{\mu - p} \sin 2(\mu - p)\alpha.
+\]
+Werden nun f�r die Integrationsgrenzen $-\alpha$~und~$+\alpha$ die Werte
+$-\dfrac{\pi}{2}$ und~$+\dfrac{\pi}{2}$, also $\alpha = \dfrac{\pi}{2}$ genommen, so verschwindet dieser
+Ausdruck, solange~$\mu \neq p$. Nur wenn $\mu = p$, ergibt sich der Wert
+$\psi_p�\pi$, womit die Behauptung bewiesen ist.
+
+Um jetzt das eingef�hrte Integral umzuformen, setzen wir
+\[
+w_i\xi + w'_i\eta = \rho_i e^{i\theta_i},
+\]
+dann wird, da $\xi$~und~$\eta$ von der Form $\xi = e^{i\zeta}$, $\eta = e^{-i\zeta}$
+sein sollen, weiter
+\[
+w_i\eta + w'_i\xi = \rho_i e^{-i\theta_i}.
+\]
+\DPPageSep{130}{116}
+Durch Multiplikation der beiden vorstehenden Ausdr�cke erhalten
+wir
+\[
+(w_i^2 + w_i'^2) \xi\eta + w_i w'_i (\xi^2 + \eta^2) = \rho_i^2
+\]
+oder, da $w_i + w'_i = 1$,
+\[
+\xi\eta + w_i w'_i(\xi - \eta)^2 = \rho_i^2.
+\]
+F�hren wir hierin ein die aus $\xi = e^{i\zeta}$, $\eta = e^{-i\zeta}$ folgenden Werte
+\[
+\xi\eta = 1,\quad
+\xi - \eta = 2i \sin\xi,
+\]
+so erhalten wir
+\[
+1 - 4 w_i w'_i \sin^2\zeta = \rho_i^2.
+\]
+
+Wenn nun das Produkt sehr viele Faktoren enth�lt (deren
+absolute Werte alle kleiner als $1$ sind) und trotzdem sein absoluter
+Wert nicht sehr klein werden soll, so m�ssen in dem Ausdruck
+$\Prod\rho_i$ f�r den absoluten Wert des Produktes die Werte~$\rho_i$ von~$1$
+sehr wenig verschieden sein. Das bedingt aber, da� in dem
+Ausdruck
+\[
+\sqrt{1 - 4 w_i w'_i \sin^2 \zeta} = \rho_i
+\]
+$\sin \zeta$ und damit $\zeta$ selbst sehr klein werden mu�, so da� wir $\sin \zeta$
+durch $\zeta$ ersetzen k�nnen. Auf diese Weise erhalten wir
+\[
+\sqrt{1 - 4 w_i w'_i \zeta^2}  = \rho_i,
+\]
+oder, da $\zeta$ sehr klein ist, mit gen�gender Ann�herung
+\[
+e^{-2w_i w'_i \zeta^2} = \rho_i.
+\]
+
+Ferner finden wir
+\[
+\frac{w_i\xi + w'_i\eta}{w_i\eta + w'_i\xi} = e^{2i\theta_i},
+\]
+und daraus
+\[
+(w_i - w'_i) \tang \zeta = \tang \theta_i.
+\]
+Wird nun $\zeta$ sehr klein, so l��t sich statt dieser Gleichung
+schreiben:
+\[
+(w_i - w'_i) \zeta = \theta_i.
+\]
+\DPPageSep{131}{117}
+
+So ergibt sich schlie�lich f�r den zu bestimmenden Integralausdruck
+der Wert
+\[
+\frac{1}{\pi} \Int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{+\tfrac{\pi}{2}}
+    e^{-2\Sum w_i w'_i\zeta^2}\,
+    e^{\bigl[\Sum(w_i - w'_i) - (p - q)\bigr]i\zeta}\, d\zeta.
+\]
+Wir wollen nun einf�hren
+\[
+\Tag{(6)}
+\frac{2 \Sum w_i(1 - w_i)}{n} = \frac{2 \Sum w_i w'_i}{n} = k^2
+\]
+und au�erdem die Mittelwerte
+\[
+\frac{\Sum w_i}{n} = w,\qquad
+\frac{\Sum w'_i}{n} = w'\quad (w + w' = 1),
+\]
+indem wir weiter setzen
+\[
+w  = \frac{p}{n} + \tau,\qquad
+w' = \frac{q}{n} - \tau,
+\]
+dann nimmt der Integralausdruck die Form an:
+\[
+\frac{1}{\pi} \Int_{-\infty}^{+\infty} e^{-nk^2\zeta^2 + 2ni\tau\zeta}\, d\zeta.
+\]
+Hierbei haben wir f�r die Grenzen sogleich $-\infty$~und~$+\infty$ genommen,
+weil �berhaupt nur kleine Werte des Argumentes~$\zeta$ in
+Betracht kommen, indem f�r gr��ere Werte der absolute Wert
+des Integranden sehr klein wird. Ferner wollen wir ber�cksichtigen,
+da� die Stufen, in denen $\tau$ zunimmt, durch $\dfrac{1}{n}$ gegeben sind, und
+da nach Voraussetzung $n$ sehr gro� ist, k�nnen wir $\dfrac{1}{n} = d\tau$\DPnote{** TN: [sic]}
+setzen und den Wert des Integralausdruckes
+\[
+= \Phi(\tau)\, d\tau.
+\]
+\DPPageSep{132}{118}
+So erhalten wir:
+\begin{align*}
+\Phi(\tau)
+  &= \frac{n}{\pi} \Int_{-\infty}^{+\infty}
+     e^{-nk^2 \left(\zeta - \tfrac{i\tau}{k^2}\right)^2}\,
+     e^{-\tfrac{n\tau^2}{k^2}}\, d\zeta \\
+  &= \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{\pi}k}\, e^{-\tfrac{n\tau^2}{k^2}} \Int_{-\infty}^{+\infty}
+     e^{-nk^2 \left(\zeta - \tfrac{i\tau}{k^2}\right)^2}\, \sqrt{n}k\,
+     \frac{d\zeta}{\sqrt{\pi}},
+\end{align*}
+und daraus
+\[
+\Phi(\tau) = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{\pi}k}\, e^{-\tfrac{n\tau^2}{k^2}}.
+\]
+
+Wenn wir also noch
+\[
+\Tag{(7)}
+h_0 = \frac{\sqrt{n}}{k}
+\]
+machen, so finden wir genau denselben Ausdruck
+\[
+\Tag{(8)}
+\Phi(\tau)\, d\tau = \frac{h_0}{\sqrt{\pi}}\, e^{-h_0^2\tau^2}\, d\tau
+\]
+f�r die relative H�ufigkeit der Abweichung~$\tau$ des beobachteten
+Verh�ltnisses von dem Wert~$w$ wie fr�her. Der Wert~$w$ ist
+einfach das Mittel
+\[
+\Tag{(9)}
+w = \frac{\Sum w_i}{n}
+\]
+aus den einzelnen Werten~$w_i$, und f�r $h_0$ ergibt sich die Gleichung
+\[
+\frac{1}{2h_0^2} = \frac{1}{n} \Sum \frac{w_i(1 - w_i)}{n}.
+\]
+Dieser Ausdruck ist also auch das Mittel aus den entsprechenden
+f�r die einzelnen relativen H�ufigkeiten~$w_i$ gebildeten Werten
+\[
+\frac{w_i(1 - w_i)}{n}.
+\]
+
+Das letzte Resultat l��t sich auch so deuten, da� die durch
+die Beziehung
+\[
+\mu^2 = \Int_{-\infty}^{+\infty} e^{-h_0^2\tau^2}\, \tau^2
+  \frac{h_0\, d\tau}{\sqrt{\pi}}
+\]
+\DPPageSep{133}{119}
+bestimmte mittlere Ausweichung f�r den Wert~$\tau$ oder~$\dfrac{p}{n}$, da
+\[
+\Int_{-\infty}^{+\infty} e^{-h_0^2\tau^2}\, \tau^2 \frac{h_0\, d\tau}{\sqrt{\pi}}
+  = \frac{1}{2h_0^2}
+\]
+ist, den Wert erh�lt:
+\[
+\Tag{(10)}
+\mu = \sqrt{\frac{\Sum w_i(1 - w_i)}{n^2}}.
+\]
+
+Die Formeln \Eqref{(9)}~und~\Eqref{(10)} stimmen genau mit denen �berein,
+die wir im vorigen Kapitel bereits von dem urspr�nglichen Ausdruck
+f�r die relative H�ufigkeit ausgehend gefunden haben. Wir
+haben jetzt aber noch weiter gefunden, da� die Verteilung, die
+sich f�r das Ziehungsverh�ltnis bei einer sehr gro�en Anzahl von
+Ziehungen ergibt, wenn das Mischungsverh�ltnis (\dh~die zugrunde
+liegende mathematische Wahrscheinlichkeit) nicht unver�nderlich
+ist, sondern beliebig wechselt, aber nat�rlich bei jeder
+Ziehungsserie in der gleichen Weise, keine andere ist wie bei
+dem gleichbleibenden Mischungsverh�ltnis, n�mlich die durch die
+\so{Gau�}sche Funktion gegebene.
+
+Dagegen besteht nicht mehr die fr�here Beziehung zwischen
+$w$~und~$\mu$
+\[
+\tag*{($\alpha$)}
+\mu = \sqrt{\frac{w(1 - w)}{n}}.
+\]
+Statt dieser Gleichung l��t sich aber leicht eine Ungleichheit ableiten.
+Wir haben
+\[
+\Sum w_i^2 = \Sum(w_i - w)^2 + nw^2,
+\]
+also
+\[
+\Sum w_i^2 > nw^2.
+\]
+Hieraus und aus $\Sum w_i = nw$ folgt aber
+\[
+\Sum w_i(1 - w_i) < nw - nw^2,
+\]
+mithin
+\[
+\frac{\Sum w_i(1 - w_i)}{n^2} < \frac{w(1 - w)}{n}
+\]
+und mit R�cksicht auf~\Eqref{(2)}
+\[
+\tag*{($\beta$)}
+\mu < \sqrt{\frac{w(1 - w)}{n}}.
+\]
+\DPPageSep{134}{120}
+
+Die Verwendung der gefundenen N�herungsformeln geht nun
+so vor sich, da� man, wenn eine Verteilungsreihe vorliegt, von
+der man vermutet, da� sie einer der Formeln angen�hert entsprechen
+wird, diese Verteilungsreihe mit den nach der Formel errechneten
+Werten zu vergleichen sucht. Bei einer Verteilungsreihe,
+die der \so{Gau�}schen Verteilungsfunktion entspricht, mu� die Verteilung
+eine symmetrische sein, \dh~bei gleichen Abst�nden von
+dem Normalwert m�ssen sich auch n�herungsweise gleiche H�ufigkeitszahlen
+ergeben. Bei einer Verteilungsreihe, die dem Ausdruck
+$\dfrac{m^pe^{-m}}{p!}$ entspricht, ergibt sich dagegen eine wesentliche
+Asymmetrie, und zwar ist der Normalwert nach dem Anfang der
+Reihe zu verschoben, so da� sich erst eine verh�ltnism��ig rasche
+Zunahme und nachher eine langsamere Abnahme ergibt.
+
+Die Formeln enthalten bestimmte Konstanten, und zwar ist,
+wenn wir sie so auffassen, da� sie die jeweiligen Bruchteile der
+beobachteten Gesamtf�lle liefern, also die Summe aller durch sie
+dargestellten relativen H�ufigkeiten gleich~$1$ wird, in jeder Formel
+nur eine Konstante enthalten.
+
+Im Falle der Formel~\Eqref{(5)} schreiben wir (f�r $\frakx = x:\sqrt{n}$):
+\[
+\Tag{(A)}
+\phi(\frakx)=\frac{h}{\sqrt{\pi}}\, e^{-h^2\frakx},
+\]
+wobei $h = 1:\sqrt{2w(1 - w)}$. Im Falle der Formel~\Eqref{(8)} ist $\frakx = \tau\sqrt{n}$
+und $h = h_0:\sqrt{n} = 1:k = \sqrt{n}:\sqrt{2\Sum w_i(1- w_i)}$ zu setzen; $\frakx$~und
+$h$ sind dann berechenbare Werte.
+
+Ist nun eine dieser Verteilungsfunktion folgende Verteilungsreihe
+vorgelegt, so besteht eine erste Methode, um zu der Bestimmung
+der Konstanten~$h$ in der Formel zu gelangen, darin, da�
+man die Integrale
+\[
+\Int_{0}^{\infty}  \phi(\frakx)\frakx\, d\frakx \quad\text{und}\quad
+\Int_{-\infty}^{0} \phi(\frakx)\frakx\, d\frakx
+\]
+betrachtet, die einander entgegengesetzt gleich werden und von
+denen wir das erste mit $S$ bezeichnen wollen. Es ergibt sich
+sofort:
+\DPPageSep{135}{121}
+\[
+S = \frac{1}{\sqrt{\pi}h} \Int_{0}^{\infty} e^{-h^2\frakx^2}h\frakx\, d(h\frakx)
+  = \frac{1}{2\sqrt{\pi}h}\bigl[e^{-h^2\frakx^2}\bigr]_\infty^0
+  = \frac{1}{2\sqrt{\pi}h},
+\]
+und daraus
+\[
+\Tag{(a)}
+\frac{1}{2h} = \sqrt{\pi}�S.
+\]
+
+Die zweite Bestimmung von $h$ beruht auf der Auswertung
+des Integrals
+\[
+J = \Int_{-\infty}^{+\infty} \phi(\frakx)\frakx^2\, d\frakx.
+\]
+F�r dieses Integral ergibt sich der Wert:
+\[
+J = \frac{1}{\sqrt{\pi} h^2} \Int_{-\infty}^{+\infty}
+    e^{-h^2\frakx^2} h^2\frakx^2\, d(h\frakx)
+  = \frac{1}{\sqrt{\pi} h^2} \Int_{-\infty}^{+\infty}
+    e^{-t^2} t^2\, dt
+  = \frac{1}{2h^2},
+\]
+weil durch partielle Integration
+\[
+1 = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \Int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2}\, dt
+  = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \Int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2} t^2\, dt
+\]
+gefunden wird. Also folgt
+\[
+\Tag{(b)}
+\frac{1}{2h} = \sqrt{\frac{J}{2}}.
+\]
+
+Die Vergleichung dieser beiden Bestimmungen zeigt, da�
+\[
+\Tag{(c)}
+\sqrt{J} = \sqrt{2\pi}�S
+\]
+sein mu�, und dies ist eine Beziehung, der jede Reihe mit einer
+solchen typischen Verteilung gen�gen mu�.
+
+Eine dritte Bestimmung l��t sich schlie�lich aus der Einf�hrung
+des Wertes~$\alpha$ ableiten, f�r den
+\[
+\Int_{-\alpha}^{+\alpha} e^{-t^2}\, \frac{dt}{\sqrt{\pi}} = \frac{1}{2}
+\]
+wird. Dieser Wert l��t sich ein f�r allemal bestimmen. Man
+findet
+\[
+\alpha = 0,4769.
+\]
+\DPPageSep{136}{122}
+
+F�hrt man nun auch den Wert~$\rho$ ein, f�r den
+\[
+\Int_{-\rho}^{+\rho} \phi(\frakx)\, d\frakx
+  = \Int_{-\rho}^{+\rho} e^{-h^2 \frakx^2}\, \frac{h\, d\frakx}{\sqrt{\pi}}
+  = \frac{1}{2}
+\]
+wird, so ergibt sich sofort, da�
+\[
+\alpha = h\rho
+\]
+sein mu�. Man findet also
+\[
+\Tag{(d)}
+h = \frac{0,4769}{\rho}
+\]
+und daraus auch
+\[
+\Tag{(e)}
+\frac{\rho}{0,9538 \sqrt{\pi}} = S.
+\]
+Dies ist eine zweite Beziehung, der eine typische Verteilungsreihe
+gen�gen mu�. Was die Bestimmung von $\rho$ betrifft, so hat man
+nur von unten und von oben ein Viertel der beobachteten F�lle
+abzuz�hlen. Der Abstand der beiden so gefundenen Stellen ist
+das Doppelte des Wertes~$\rho$.
+
+Wir wollen nun die analogen Bestimmungen auch f�r die
+zweite N�herungsformel
+\[
+\Tag{(B)}
+\phi_p = \frac{m^p e^{-m}}{p!}
+\]
+durchzuf�hren suchen. Zun�chst wollen wir best�tigen, da� auch
+hier sich
+\[
+\Sum \phi_p = 1
+\]
+ergibt. Dies ist in der Tat der Fall, denn es wird
+\[
+\Sum\phi_p
+  = \left\{1 + \frac{m}{1!} + \frac{m^2}{2!} + \frac{m^3}{3!} + \dots\right\} e^{-m}
+  = e^m�e^{-m} = 1.
+\]
+Bilden wir nun auch $\Sum p\phi_p$, so finden wir sofort
+\[
+\Sum p\phi_p = m\left\{1 + \frac{m}{1!} + \frac{m^2}{2!} + \dots\right\} e^{-m},
+\]
+also
+\[
+\Tag{(I)}
+\Sum p\phi_p = m.
+\]
+\DPPageSep{137}{123}
+Hieraus ergibt sich eine erste Bestimmung f�r die Konstante~$m$.
+Weiter wird aber
+\[
+\Sum p(p - 1)\phi_p
+  = m^2\left\{1 + \frac{m}{1!} + \frac{m^2}{2!} + \dots\right\} e^{-m},
+\]
+also
+\[
+\Sum p(p - 1)\phi_p = m^2.
+\]
+Daraus folgt
+\[
+\Sum p^2\phi_p = m(m+1)
+\]
+und
+\[
+\Sum (p - m)\phi_p = \Sum p^2\phi_p - m^2\Sum \phi_p = m(m + 1) - m^2 = m.
+\]
+Die so sich ergebende Formel
+\[
+\Tag{(II)}
+\Sum (p - m)^2\phi_p = m
+\]
+liefert mit~\Eqref{(I)} zusammen eine Beziehung, der die dieser Verteilungsformel
+folgenden Verteilungsreihen gen�gen m�ssen.
+
+Bis jetzt haben wir �berall vorausgesetzt, da� die gezogene
+Kugel immer wieder sofort in die Urne zur�ckgelegt wird. Diese
+Voraussetzung entspricht aber nicht der Art, wie man sich etwa
+von der Mischung zweier Getreidesorten in einem gr��eren Beh�lter
+�berzeugen w�rde. Man w�rde dann einfach ein kleineres
+Ma� voll Getreide heraussch�pfen und durch Abz�hlen die
+Mischung der Getreidesorten in diesem Ma�e feststellen, um das
+gefundene Mischungsverh�ltnis sofort auf die ganze Getreidemenge
+zu �bertragen. Die Berechtigung dieses allgemein angewendeten
+Verfahrens mu� sich nun auch mathematisch begr�nden
+lassen, indem wir von denselben grundlegenden Voraussetzungen
+ausgehen wie bei dem gew�hnlichen Urnenschema.
+
+Wir setzen also voraus, in einer Urne seien $u$ wei�e und $v$
+schwarze Kugeln enthalten, im ganzen $m = u + v$ Kugeln. Wir
+greifen nun von den $m$ Kugeln $n$ heraus und fragen nach der
+relativen H�ufigkeit der F�lle, wo unter diesen $n$ Kugeln $p$ wei�e
+und $q$ schwarze sind. Wenn aber mit einem Griff $n$ Kugeln gezogen
+werden, so ist dies f�r den Erfolg dasselbe, als wenn die
+Kugeln einzeln gezogen, aber nicht wieder zur�ckgelegt werden.
+Sind nun unter den gezogenen $n$ Kugeln $p$ wei�e und $q$ schwarze,
+so kann dieser Erfolg auf verschiedene Arten zustande gekommen
+sein, je nachdem in welcher Reihenfolge die wei�en und schwarzen
+\DPPageSep{138}{124}
+Kugeln erschienen sind. Solcher verschiedener Reihenfolgen der
+Farben gibt es im ganzen
+\[
+\frac{n!}{p!\, q!}.
+\]
+F�r die verschiedenen Arten, auf die der Erfolg zustande kommen
+kann, ergibt sich aber dieselbe relative H�ufigkeit~$\omega$, f�r den
+Erfolg selbst also die relative H�ufigkeit
+\[
+\frac{n!}{p!\, q!}\omega.
+\]
+
+Um $\omega$ zu finden, zerlegen wir den gesamten Ziehungsproze�,
+der die Kugeln in einer bestimmten Reihenfolge liefert, in die
+einzelnen Ziehungen, aus denen er besteht, und nehmen der Einfachheit
+wegen die Reihenfolge, wo erst alle wei�en und dann
+alle schwarzen Kugeln erscheinen. F�r die Ziehung der ersten
+wei�en Kugel finden wir die relative H�ufigkeit
+\[
+\frac{u}{m},
+\]
+f�r die Ziehung der zweiten Kugel die relative H�ufigkeit
+\[
+\frac{u - 1}{m - 1}.
+\]
+So geht es fort. F�r die Ziehung der letzten wei�en Kugel wird
+die relative H�ufigkeit
+\[
+\frac{u - p + 1}{m - p + 1},
+\]
+f�r die Ziehung der ersten schwarzen Kugel
+\[
+\frac{v}{m - p},
+\]
+usw., f�r die letzte Kugel
+\[
+\frac{v - q + 1}{m - p - q + 1}.
+\]
+
+Die relative H�ufigkeit des Gesamtereignisses entsteht durch
+Multiplikation aller der vorstehenden Werte, also wird
+\[
+\omega = \frac{u�(u - 1)\dots(u - p + 1)�v�(v - 1)\dots(v - q + 1)}
+              {m�(m - 1)\dots(m - n + 1)}
+\]
+\DPPageSep{139}{125}
+oder
+\[
+\omega = \frac{u!\, v!}{m!}�\frac{(m - n)!}{(u - p)!\, (v - q)!},
+\]
+und damit finden wir f�r die gesuchte relative H�ufigkeit den Wert
+\[
+\psi_p = \frac{n!}{p!\, q!}�\frac{u!\, v!}{m!}�\frac{(m - n)!}{(u - p)!\,(v - q)!}.
+\]
+
+Nehmen wir nun an, $m$~sei sehr gro�, ebenso auch $u$~und~$v$,
+derart, da� $\dfrac{u}{m}$~und~$\dfrac{v}{m}$ von $0$~und~$1$ erheblich verschieden sind,
+dagegen sei $n$ eine m��ige Zahl, so wird man in dem urspr�nglichen
+Ausdruck f�r $\omega u - 1, \dots, u - p + 1$ durch~$u$, $v - 1, \dots,
+v - q + 1$ durch~$v$, $m - 1, \dots, m - n + 1$ durch~$m$ ersetzen
+k�nnen, und erh�lt dann statt $\psi_p$ den fr�heren Ausdruck
+\[
+\psi_p = \frac{n!}{p!\, q!}\, \frac{u^p v^q}{m^n},
+\]
+der ja f�r $\dfrac{u}{m} = w$, $\dfrac{v}{m} = 1 - w$ in die Form
+\[
+\psi_p = \frac{n!}{p!\, q!} w^p(1 - w)^{n-p}
+\]
+�bergeht. Man sieht also, da� sich in diesem Fall dieselbe Verteilung
+ergibt, wie wenn die Kugeln einzeln gezogen und nach der
+Ziehung immer wieder zur�ckgelegt w�rden.
+
+Es handelt sich nun darum, auch die F�lle zu untersuchen,
+wo nicht blo�~$m$, sondern auch $n$ einen gro�en Wert hat.
+
+Um dann einen �berblick �ber die so entstehende Verteilungsreihe
+zu erhalten (deren Summe wieder gleich~$1$ ist), bilden wir
+zun�chst den Quotienten
+\[
+\frac{\psi_{p+1}}{\psi_p} = \frac{q}{p + 1}�\frac{u - p}{v - q + 1}.
+\]
+Hieraus leiten wir ab:
+\[
+\frac{\psi_{p+1} - \psi_p}{\psi_p}
+  = \frac{(n + 1)(u + 1) - (p + 1)(m + 2)}{(p + 1)(v - n + p + 1)}.
+\]
+\DPPageSep{140}{126}
+Dieser Ausdruck l��t sich einfacher schreiben, wenn wir die neuen
+Zahlenwerte einf�hren
+\[
+p' = p + 1,\
+n' = n + 1,\
+u' = u + 1,\
+v' = v + 1,\
+m' = m + 2
+\]
+so da�
+\[
+u' + v' = m'.
+\]
+Er wird dann
+\[
+\frac{\psi_{p+1} - \psi_p}{\psi_p} = \frac{n'u' - p'm'}{p'(v' - n' + p')}.
+\]
+
+Man sieht sofort, da� dieser Ausdruck verschwindet, da� sich
+also ein Maximum der relativen H�ufigkeit ergibt, wenn man
+\[
+p' = n'�\frac{u'}{m'}
+\]
+macht. Dies entspricht der von vornherein annehmbaren Vermutung,
+da� der wahrscheinlichste Wert f�r das Mischungsverh�ltnis
+der schwarzen und wei�en Kugeln innerhalb der herausgenommenen
+Stichprobe durch das Mischungsverh�ltnis der s�mtlichen
+Kugeln in der Urne gegeben wird.
+
+Genau wie fr�her wird die relative H�ufigkeit eines genauen
+Zusammentreffens beider Verh�ltnisse an sich sehr gering, dagegen
+die relative H�ufigkeit eines angen�herten Zusammentreffens sehr
+gro�. Wir setzen dementsprechend wieder
+\[
+p' = n'\frac{u'}{m'} + x
+\]
+und finden dann
+\[
+\frac{\psi_{p+1} - \psi_p}{\psi_p}
+  = -\frac{m'x}{\left\{n'\dfrac{u'}{m'} + x\right\}
+              � \left\{(m' - n')\dfrac{v'}{m'} + x\right\}}
+\]
+oder
+\[
+\frac{\psi_{p+1} - \psi_p}{\psi_p}
+  = -\frac{\xi}{\{w\chi + \xi\}�\{(1 - w)(1 - \chi) + \xi\}},
+\]
+wenn wir einf�hren
+\[
+\frac{u'}{m'} = w,\
+\frac{v'}{m'} = 1 - w,\
+\frac{n'}{m'} = \chi,\
+\frac{m' - n''}{m'} = 1 - \chi,\
+\frac{x}{m'} = \xi.
+\]
+\DPPageSep{141}{127}
+
+Wir haben nun, auch vorausgesetzt, da� w nicht nahezu
+gleich~$0$ oder gleich~$1$ ist, zwei F�lle zu unterscheiden. Wenn $\chi$
+nahe an $0$ liegt, \dh~$n$ wohl an sich gro�, aber gegen $m$ klein ist,
+k�nnen wir auf der rechten Seite der Gleichung in dem einen
+Faktor des Nenners den Wert~$\xi$, den wir als relativ klein voraussetzen,
+gegen das erste Glied vernachl�ssigen, im anderen
+Faktor aber nicht. Wenn wir also
+\[
+\frac{1}{m'} = d\xi,\quad
+\psi_p = \psi(\xi),\quad
+\psi_{p+1} - \psi_p = d\psi(\xi)
+\]
+setzen, ferner
+\[
+\frac{\psi_{p+1} - \psi_p}{\psi_p}
+  = \frac{1}{m'}\, \frac{d \ln \psi(\xi)}{d\xi},
+\]
+so ergibt sich, falls wir $\chi$ sehr klein annehmen,
+\[
+\frac{d \ln \psi(\xi)}{d\xi} = -\frac{m'\xi}{(1 - w)(1 - \chi)(w\chi + \xi)}
+\]
+oder
+\[
+\frac{d \ln \psi(\xi)}{d\xi}
+  = -\frac{m'}{(1 - w)(1 - \chi)}
+   + \frac{m'}{(1 - w)(1 - \chi)} � \frac{1}{1 + \dfrac{\xi}{w\chi}}
+\]
+und daraus durch Integration
+\[
+\ln \psi(\xi)
+  = \ln c - \frac{m'\xi}{(1 - w)(1 - \chi)}
+  + \frac{m'w\chi}{(1 - w)(1 - \chi)} \ln\left(1 + \frac{\xi}{w\chi}\right).
+\]
+F�hren wir hierin noch ein
+\[
+\frac{m'}{(1 - w)(1 - \chi)} = \gamma,\quad
+w\chi = \epsilon,
+\]
+so k�nnen wir daf�r schreiben
+\[
+\ln \psi(\xi)
+  = \ln c - \gamma\xi + \gamma\epsilon\ln\left(1 - \frac{\xi}{\epsilon}\right).
+\]
+
+Sollte dieser Ausdruck nun direkt berechenbar sein, so m��te
+zun�chst $\gamma\xi$ berechenbar sein, also auch~$x$. Damit w�rden wir
+aber zu dem Fall zur�ckkommen, wo nur eine m��ige Anzahl
+von Werten~$p$ in Frage kommt, w�hrend die vorliegende Ableitung
+sich auf den Fall bezieht, wo die Anzahl der in Betracht zu
+ziehenden Werte~$p$ sehr gro� ist und nur f�r diesen Fall G�ltigkeit
+hat. Wir m�ssen also $\gamma\xi$ als gro� voraussetzen und damit
+\DPPageSep{142}{128}
+$\gamma\epsilon$ als sehr gro� auch gegen~$\gamma\xi$. Entwickeln wir n�mlich den
+letzten Logarithmus in eine Reihe, so erhalten wir
+\[
+\ln \psi(\xi)
+  = \ln c - \frac{\gamma\xi^2}{2\epsilon}
+  + \frac{\gamma\xi^3}{3\epsilon^2} - \dots\DPtypo{}{.}
+\]
+Dieser Wert w�rde mit $\gamma\xi$ sehr gro� werden, wenn $\gamma\epsilon$ nicht sehr
+gro� auch gegen $\gamma\xi$ w�re. Nun wird aber schon das Verh�ltnis
+des dritten zum zweiten Gliede dem absoluten Werte nach
+\[
+= \frac{2}{3}\, \frac{\gamma\xi}{\gamma\epsilon}.
+\]
+Dies ist ein sehr kleiner Wert. Wir k�nnen uns also auf die zwei
+ersten Glieder beschr�nken und finden
+\begin{align*}
+\ln \psi(\xi) &= \ln c - \frac{\gamma\xi^2}{2\epsilon} \\
+\intertext{woraus folgt}
+\psi(\xi) &= ce^{-\tfrac{\gamma\xi^2}{2\epsilon}} \\
+\intertext{oder}
+\Tag{(C)}
+\psi(\xi) &= ce^{-h_0^2\xi^2}
+\end{align*}
+f�r
+\[
+h_0^2 = \frac{\gamma}{2\epsilon} = \frac{m'}{2w(1 - w)\chi(1 - \chi)}.
+\]
+
+Es ist aber $h_0$ eine sehr gro�e, $\xi$~eine sehr kleine Zahl. Zu
+berechenbaren Werten gelangen wir, wenn wir
+\[
+\frakx = \frac{m'\xi}{\sqrt{n'}} = \frac{x}{\sqrt{n'}},\quad
+h = \frac{\sqrt{n'}}{m'} h_0
+\]
+einf�hren. Dann wird die Verteilungsfunktion
+\[
+\psi(\frakx) = \frac{h}{\sqrt{\pi}}\, e^{-h^2 \frakx^2},
+\]
+genau wie fr�her, und angen�hert $h^2 = \dfrac{1}{2w(1 - w)}$. Dies war
+zu erwarten, denn wir sahen schon, da�, wenn die Anzahl der
+herausgegriffenen Kugeln klein ist im Verh�ltnis zu der Anzahl
+der in der Urne enthaltenen Kugeln, der Fall genau so liegt, als
+ob die Kugeln einzeln gezogen und nach der Ziehung jedesmal
+zur�ckgelegt w�rden.
+\DPPageSep{143}{129}
+
+In dem anderen Falle, wo weder $w$ noch $\chi$ nahe an $0$ oder~$1$
+liegen, k�nnen wir in den beiden Faktoren des Nenners~$\xi$ gegen
+das erste Glied vernachl�ssigen und erhalten dann sofort
+\[
+\frac{d \ln \psi(\xi)}{d\xi} = -\frac{m'\xi}{w(1 - w)\xi(1 - \xi)}
+\]
+und daraus durch Integration
+\[
+\psi(\xi) = ce^{-h_0^2\xi^2},
+\]
+\dh~dieselbe durch die \so{Gau�}sche Funktion gegebene typische
+Verteilung wie vorhin und wie in dem Falle, wo die Kugeln
+einzeln gezogen und nach der Ziehung jedesmal zur�ckgelegt
+werden. Nur hat die fr�here Gr��e $\sqrt{\dfrac{n}{2w(1 - w)}}$, in welcher
+wir $m'$ statt $n$ geschrieben zu denken haben, sich jetzt verwandelt
+in
+\[
+h_0 = \sqrt{\frac{m'}{2w(1 - w)\chi(1 - \chi)}}.
+\]
+Es tritt also noch ein Faktor hinzu, der am kleinsten ist, wenn
+die herausgegriffenen Kugeln die H�lfte von den in der Urne enthaltenen
+Kugeln betragen, und um so gr��er wird, je mehr sich die
+Anzahl der herausgegriffenen Kugeln von diesem Wert entfernt.
+Damit die Funktionswerte in den Grenzen der Berechenbarkeit
+liegen, mu�~$h\xi$, \dh~auch $x:\sqrt{n'}$ einen berechenbaren Wert haben
+und $x:n'$ daher einen sehr kleinen Wert. Das Mischungsverh�ltnis
+$\dfrac{p'}{n'} = w + \dfrac{x}{n'}$ des herausgegriffenen Kugelhaufens weicht also
+wenig von dem Mischungsverh�ltnis~$w$ der Kugeln in der Urne ab.
+
+Aus allen bisherigen Betrachtungen hat sich uns f�r den Fall,
+da� sich die Verteilungsreihe einer kontinuierlichen Verteilungsfunktion
+n�hert, immer eine bestimmte Funktion, die \so{Gau�}sche
+Funktion, ergeben. Diese Funktion ist ganz besonderer Art, unter
+anderem ist sie wesentlich symmetrisch.
+
+Es gibt aber eine Erweiterung des Urnenschemas, durch
+die eine wesentlich unsymmetrische Verteilung entspringt und
+\DPPageSep{144}{130}
+die sich als von gro�er Bedeutung erwiesen hat, weil sie den
+Weg zeigt, wie man zu viel allgemeineren Verteilungsfunktionen
+gelangen kann.
+
+Diese Verallgemeinerung des Urnenschemas besteht darin, da�
+wir uns nicht blo� eine, sondern eine ganze Anzahl von Urnen
+denken, und zun�chst durch das Los bestimmen, aus welcher Urne
+wir ziehen wollen. F�r die Anzahl Male, die wir auf diese Weise
+die $i$te Urne treffen, ergibt sich hierbei eine bestimmte relative
+H�ufigkeit $w_i$ derart, da�, wenn wir die Summation �ber alle Urnen
+ausdehnen,
+\[
+\Sum w_i = 1
+\]
+wird.
+
+Denken wir uns nun die Ziehungen an der $i$ten Urne vollzogen,
+so m�ge $u_{iz}$ die relative H�ufigkeit der F�lle bezeichnen, wo das
+Verh�ltnis der Anzahl der gezogenen wei�en Kugeln zu der Anzahl
+der �berhaupt gezogenen Kugeln gleich $z$ ist. Wir haben dann
+eine typische station�re Reihe vor uns und es gelten die fr�her
+abgeleiteten Beziehungen
+\[
+\Sum_z u_{iz} = 1,\quad
+\Sum_z u_{iz} z = u_i,\quad
+\Sum_z u_{iz} (z - u_i)^2 = \frac{u_i(1 - u_i)}{n}.
+\]
+
+Betrachten wir nun aber die Ziehungen so, da� wir alle Urnen
+ber�cksichtigen, da� also von vornherein nicht entschieden ist, aus
+welcher Urne wir ziehen, so m�ssen wir das zusammengesetzte
+Ereignis ins Auge fassen, dessen erster Teil die Bestimmung der
+Urne ist, aus welcher gezogen werden soll, und dessen zweiter Teil
+in den Ziehungen aus der Urne selbst besteht. F�r dieses zusammengesetzte
+Ereignis wird nun die relative H�ufigkeit
+\[
+w_i u_{iz}
+\]
+und daraus ergibt sich der Mittelwert
+\[
+w = \Sum_i \Sum_z w_i u_{iz} z = \Sum_i w_i u_i.
+\]
+
+Die mittlere Ausweichung haben wir durch den Ausdruck zu
+bestimmen
+\[
+\mu^2 = \Sum_i \Sum_z w_i u_{iz} (z - w)^2.
+\]
+\DPPageSep{145}{131}
+Diesen Ausdruck haben wir nun weiter auszurechnen. Zu dem
+Zweck beachten wir zun�chst, da�
+\begin{align*}
+\Sum_i \Sum_z w_i u_{iz} (z - u_i)^2
+  &= \Sum_i w_i \frac{u_i(1 - u_i)}{n} \\
+  &= \frac{w}{n} - \frac{\Sum w_i u_i^2}{n}
+\end{align*}
+wird. Wir finden dann weiter:
+\begin{align*}
+\mu^2 &= \Sum_i w_i \left[\Sum_z u_{iz} z^2 - 2\Sum_z u_{iz} z�w + w^2\right] \\
+      &= \Sum_i \Sum_z w_i u_{iz} z^2 - w^2.
+\end{align*}
+
+Nun wird, da $\Sum_z u_{iz} z^2 = \Sum_z u_{iz} (z - u_i)^2 + u_i^2$,
+\begin{align*}
+\Sum_i\Sum_z w_i u_{iz} z^2
+  &= \Sum_i\Sum_z w_i u_{iz} (z - u_i)^2 + \Sum_i w_i u_i^2 \\
+  &= \frac{w}{n} - \frac{\Sum w_i u_i^2}{n} + \Sum w_i u_i^2
+   = \frac{w}{n} + \frac{n - 1}{n} \Sum w_i u_i^2 \\
+  &= \frac{w}{n} + \frac{n - 1}{n} \Sum w_i(u_i - w)^2 + \frac{n - 1}{n} w^2,
+\end{align*}
+also ergibt sich:
+\[
+\mu^2 = \frac{w(1 - w)}{n} + \frac{n - 1}{n} \Sum w_i(u_i - w)^2.
+\]
+
+So gelangen wir zu dem Resultat, da� die mittlere Ausweichung
+\[
+\mu = \sqrt{\frac{w(1 - w)}{n} + \frac{n - 1}{n} \Sum w_i(u_i - w)^2}
+\]
+wird, also in diesem Falle
+\[
+\tag*{($\gamma$)}
+\mu > \sqrt{\frac{w(1 - w)}{n}}
+\]
+ist.
+
+L��t man die Anzahl der jedesmal aus einer Urne gemachten
+Ziehungen unbegrenzt zunehmen, so wird die relative H�ufigkeit
+(oder Wahrscheinlichkeit) der F�lle, wo das Mischungsverh�ltnis
+der gezogenen Kugeln zwischen $z$ und $z + dz$ liegt, wenn feststeht,
+da� aus der $i$ten Urne gezogen wird,
+\[
+= e^{-h_i^2 (z - u_i)^2}\, \frac{h_i\, dz}{\sqrt{\pi}}\quad\text{f�r}\quad
+h_i = \sqrt{\frac{n}{2u_i(1 - u_i)}}
+\]
+\DPPageSep{146}{132}
+und damit wird die Wahrscheinlichkeit, da� �berhaupt das Ziehungsverh�ltnis
+zwischen $z$ und $z + dz$ liegt,
+\[
+\Tag{(D)}
+\Phi(z)\, dz = \Sum_i \frac{w_i h_i}{\sqrt{\pi}}\, e^{-h_i^2(z - u_i)^2} dz.
+\]
+
+Daraus folgt sofort
+\begin{align*}
+\Int_{-\infty}^{+\infty} \Phi(z)\, dz &= 1,
+\intertext{ferner}
+\Int_{-\infty}^{+\infty} z\Phi(z)\,dz
+  &= \Sum_i w_i u_i = w.
+\intertext{Endlich wird}
+\Int_{-\infty}^{+\infty} z^2 \Phi(z)\, dz
+  &= \Sum w_i \frac{u_i(1 - u_i)}{n} + \Sum w_i u_i^2,
+\end{align*}
+entsprechend dem oben gefundenen Wert f�r~$\mu^2$.
+
+Wir sind so zu einer Verteilungsfunktion
+\[
+\Phi(z) = \Sum_i\frac{w_i h_i}{\sqrt{\pi}}\, e^{-h_i^2(z - u_i)^2}\quad
+(\Sum w_i = 1)
+\]
+gelangt, die eine sofort einleuchtende Verallgemeinerung der einfachen
+\so{Gau�}schen Funktion bildet. Es ist allerdings keine ganz
+leichte Aufgabe, eine vorliegende empirische Verteilungsfunktion
+auf diese Form zu bringen.
+
+Was die L�sung dieser Aufgabe anbetrifft, so erinnert sie
+auf den ersten Anblick stark an die viel einfachere Aufgabe der
+Entwickelung einer gegebenen periodischen Funktion in eine
+\so{Fourier}sche Reihe, aber bei n�herem Zusehen bemerkt man doch
+bald die tiefgreifende Verschiedenheit beider Entwickelungen. Zwar
+kann man in beiden F�llen sagen, da� die wirklich vorhandene
+Funktion aus gewissen Teilfunktionen, im einen Falle die wirkliche
+Schwingung aus Sinusschwingungen, im anderen Falle die wirkliche
+Dispersion aus typischen (der \so{Gau�}schen Verteilungsfunktion
+folgenden) Dispersionen zusammengesetzt wird. Aber
+w�hrend im Falle der \so{Fourier}schen Reihe die n�here Bestimmung
+der Teilschwingungen durch einfache Teilung der ganzen Periode
+\DPPageSep{147}{133}
+in gleiche Teile gewonnen wird, sind im Falle der Entwickelung
+einer Verteilungsfunktion nach \so{Gau�}schen Funktionen in jeder
+von diesen zwei zu bestimmende Konstanten, $h_i$ und $u_i$, enthalten.
+Will man diese Konstanten nicht von vornherein, sondern so bestimmen,
+da� eine m�glichste Ann�herung an die wirkliche Verteilung
+bei einer m�glichst geringen Anzahl von Entwickelungsgliedern
+erreicht wird, so erh�lt man schon in dem Falle, wo
+die Entwickelung aus nur zwei Gliedern besteht, eine ziemlich
+schwierige Rechnung. Es liegt daher nahe, die Reihenentwickelung
+einer vorgelegten Verteilungsfunktion auf ganz anderem
+Wege zu versuchen. Der einfachste Weg w�re der, da� man
+nicht von der Funktion selbst, sondern von ihrer logarithmischen
+Derivierten ausgeht und diese in eine gew�hnliche Potenzreihe
+entwickelt. F�r die Verteilungsfunktion selbst ergibt sich dann
+ein Ausdruck
+\[
+\psi(z) = e^{a_0 + a_1z + a_2z^2 + a_3z^3 + \dots}.
+\]
+Ein anderer, anscheinend besserer Weg ist der, da� das Produkt
+der gegebenen Verteilungsfunktion und einer Funktion $e^{h^2(z - c)^2}$
+in eine Potenzreihe $a_0 + a_1z + a_2z^2 + \dots$ entwickelt wird. F�r
+die Verteilungsfunktion selbst ergibt sich dann ein Ausdruck
+\[
+\psi(z) = e^{-h^2(z - c)^2} (a_0 + a_1z + a_2z^2 + \dots).
+\]
+Man kann diese Entwickelung auch so fassen, da� man von der
+Funktion $\phi(z) = e^{-h^2(z - c)^2}$ die sukzessiven Derivierten $\phi_1(z),
+\phi_2(z), \dots$ einf�hrt und dann setzt
+\[
+\psi(z) = b_0\phi(z) + b_1\phi_1(z) + b_2\phi_2(z) + \dots.
+\]
+Was diese Form der Entwickelung betrifft, so sei insbesondere
+auf H.~\so{Bruns}, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kollektivma�lehre
+\index{Bruns}%
+(Leipzig und Berlin 1906) verwiesen, wo die allgemeine L�sung
+in einer allerdings nicht ganz leicht zu �bersehenden Weise
+gegeben ist.
+\EndChap
+\DPPageSep{148}{134}
+
+
+\Chapter{Neuntes Kapitel}{Die statistische Theorie des Zufalls}
+
+Es handelt sich nun darum, aus den Entwickelungen der
+letzten Kapitel sozusagen die Nutzanwendung zu ziehen, indem
+wir in dem ganzen Bereich der Wirklichkeit die Erscheinungen
+suchen, die dem Schema der Zufallsspiele entsprechen. Dieses
+Entsprechen kann sich zun�chst nur dadurch kundgeben, da� die
+Verteilung der empirisch festgestellten Zahlenwerte dieselbe ist,
+wie sie sich bei der Aufzeichnung der statistischen Ergebnisse im
+Falle h�ufiger Wiederholung des Zufallsspiels, im besonderen bei
+der Aufzeichnung der Ziehungsresultate, wenn das Zufallsspiel in
+den Ziehungen aus einer Urne besteht, ergeben w�rde. Wir
+wollen die Frage, inwieweit die �u�ere �bereinstimmung der
+statistischen Ergebnisse auch auf eine innere Gleichartigkeit der
+verglichenen Vorg�nge schlie�en l��t, einstweilen beiseite lassen
+und vielmehr nur danach fragen, inwieweit die �bereinstimmung
+der statistischen Ergebnisse erreicht werden kann und wie man
+beurteilen soll, ob sie in hinreichender Weise vorhanden ist. Dies
+ist nicht so ganz einfach zu entscheiden, weil man bei der verh�ltnism��ig
+geringen Anzahl von Beobachtungen, die man meistens
+nur zur Verf�gung hat, nicht eine v�llige Regelm��igkeit erwarten
+darf, vielmehr m�ssen die so gefundenen Werte mehr oder minder
+betr�chtlich von den Zahlen abweichen, die sich bei unendlicher
+H�ufung der Beobachtungen herausstellen w�rden.
+
+Die statistischen Ergebnisse der Ziehungen aus der Urne
+werden nicht wirklich aufgezeichnet, sie erscheinen ersetzt durch
+die Formeln, welche wir bereits abgeleitet haben, und welchen die
+Bedeutung zukommt, da� sie den aus bestimmten theoretischen
+Erw�gungen gefolgerten Ersatz f�r eine die wirklichen Ziehungsergebnisse
+bei einer sehr gro�en Zahl von Ziehungen registrierende
+Tabelle liefern. Wir haben so bestimmte Formeln, denen die aus
+\DPPageSep{149}{135}
+der Gesamtheit alles Geschehens herauszugreifenden Vorg�nge in
+ihren statistischen Ergebnissen zu entsprechen haben, \dh~wenn
+wir diese Ergebnisse graphisch auftragen, mu� die Formel eine
+Kurve liefern, die verh�ltnism��ig nahe an den die statistischen
+Ergebnisse darstellenden Punkten vorbeil�uft. Wir k�nnen dies
+auch so ausdr�cken, da� wir sagen: die Unterschiede zwischen den
+empirisch festgestellten und den aus der Formel folgenden Werten
+m�ssen eine station�re Reihe bilden, die sich um den Mittelwert~$0$
+gruppiert. Die sich so ergebende station�re Reihe l��t sich aber
+meistens nicht mit gen�gender Sicherheit beurteilen, teils weil
+ihre Gliederzahl zu gering ist, teils weil die Genauigkeit der bestimmten
+Unterschiede verh�ltnism��ig zu klein ist. So ist eine
+exakte Beurteilung der vorliegenden Verteilungsreihe auf diesem
+Wege meistens nicht m�glich. Deswegen ist es von Wichtigkeit,
+bestimmte zahlenm��ige Feststellungen zu haben, die wenigstens
+eine vorl�ufige Beurteilung, inwieweit die vorliegende Verteilungsreihe
+sich dem abgeleiteten Schema anpa�t, erm�glichen.
+
+Diese zahlenm��igen Feststellungen ergeben sich aus dem Gedanken,
+da�, wenn die gefundene Verteilungsreihe die Form einer
+aus dem Urnenschema folgenden Verteilungsreihe hat, auch f�r
+sie die Beziehungen gelten m�ssen, die wir bei dem Urnenschema
+fanden. Von solchen Beziehungen war die erste die Relation,
+die wir bei dem ersten Urnenschema, den Ziehungen einer Kugel
+aus einer Urne, zwischen dem Mischungsverh�ltnis und der mittleren
+Ausweichung der entstehenden Verteilungsreihe erhielten.
+\index{Lexis|ff}%
+Diese Relation hat \so{Lexis}\footnote
+  {Vgl.\ die grundlegende Schrift Zur Theorie der Massenerscheinungen
+  in der menschlichen Gesellschaft, Freiburg~1877.}
+benutzt, um einen ersten Anhaltspunkt
+daf�r zu gewinnen, inwiefern die Dispersionen, die sich bei statistischen
+Verh�ltniszahlen ergeben, sich mit der aus dem einfachen
+Urnenschema folgenden Verteilungsreihe vergleichen lassen. Zur
+Aufstellung der Relation ist notwendig, da� zuerst der Durchschnittswert
+$y_0$ der s�mtlichen beobachteten $r$ Verh�ltniszahlen~$y_i$
+berechnet wird. Daraus wird der Wert f�r die mittlere Ausweichung
+$\mu_1$ in folgender Weise bestimmt (indem $y_0$ an die Stelle
+von $w$ tritt):
+\[
+\Tag{(1)}
+\mu_1 = \sqrt{\frac{y_0(1 - y_0)}{n}},
+\]
+\DPPageSep{150}{136}
+wenn $n$ die Durchschnittsanzahl der F�lle bezeichnet, auf die sich
+die einzelnen Verh�ltniswerte beziehen. Dieses Verfahren bezeichnet
+\so{Lexis} als die \so{statistische Methode}. Ihr steht die
+sogenannte \so{physikalische Methode} gegen�ber, bei welcher die
+mittlere Ausweichung nach der Formel
+\[
+\Tag{(2)}
+\mu_2 = \sqrt{\frac{\Sum(y_i - y_0)^2}{r - 1}}
+\]
+bestimmt wird, indem der Fehlertheorie entsprechend $r - 1$ statt
+$r$ genommen wird, was an sich belanglos ist (vgl.\ S.~88). Entspricht
+die Verteilungsreihe dem einfachen Urnenschema, so m�ssen die
+beiden gefundenen Werte gleich sein. \so{Lexis} setzt daher
+\[
+\Tag{(3)}
+Q = \frac{\mu_2}{\mu_1},
+\]
+und spricht von einer \so{normalen Dispersion}, wenn wenigstens
+angen�hert
+\[
+Q = 1
+\]
+ist. Wird dagegen $Q > 1$, so spricht er von einer \so{�bernormalen
+Dispersion} und im Falle $Q < 1$ von einer \so{unternormalen
+Dispersion}. Der Wert~$Q$ wird neuerdings als
+\so{Divergenzkoeffizient} bezeichnet. Zu beachten ist von vornherein,
+da� seine Bildung nur dann einen Sinn hat, wenn $\mu_1$
+und $\mu_2$ nicht zu klein sind, weil sonst aus der geringsten Abweichung
+in $\mu_1$ oder $\mu_2$ eine gro�e Schwankung im Werte von $Q$
+entstehen w�rde. Insbesondere darf also $y_0$ weder nahe an $0$ noch
+nahe an $1$ liegen.
+
+Um einen Begriff davon zu geben, wie sich die Werte des
+Divergenzkoeffizienten~$Q$ in der Wirklichkeit gestalten k�nnen,
+wollen wir mit \so{Lexis}\footnote
+  {Conrads Jahrb�cher f�r National�konomie und Statistik, Bd.~32
+  (1879), S.~60.}
+das Beispiel des \so{Verh�ltnisses der
+Sterblichkeiten f�r das m�nnliche und weibliche Geschlecht
+in den verschiedenen Lebensaltern} nehmen. Die
+Zahlen entstammen der belgischen Statistik f�r die Jahre~1841
+bis~1860. Die Kolumne unter $z$ gibt an die Anzahl der gestorbenen
+m�nnlichen Individuen auf $1000$ weibliche.
+\DPPageSep{151}{137}
+\begin{table}[hbt!]
+%[** TN: Original uses em-dashes for ranges]
+\[
+\begin{array}{l||r|lTl||r|l}
+\hline
+\hline
+\ColHeadbb{Alter}{Alter} &
+\ColHeadb{$z$}{$z$} &
+\ColHeadB{$Q$}{$Q$} &
+\ColHeadbb{Alter}{Alter} &
+\ColHeadb{$z$}{$z$} &
+\ColHead{$Q$}{$Q$} \\
+\hline
+\hline
+\text{Totgeboren}                  &1348&0,99&\text{$15\EnDash20$ Jahre} & 770&2,1 \\
+\text{$\Z0\EnDash\Z1$ Monat}         &1359&0,84&\text{$20\EnDash25$ \Ditto}&1095&1,7 \\
+\text{$\Z1\EnDash\Z2$ Monate}        &1323&1,15&\text{$25\EnDash30$ \Ditto}& 905&1,5 \\
+\text{$\Z2\EnDash\Z3$ \Ditto[Monate]}&1253&0,91&\text{$30\EnDash40$ \Ditto}& 826&2,1 \\
+\text{$\Z3\EnDash\Z4$ \Ditto[Monate]}&1224&1,14&\text{$40\EnDash45$ \Ditto}& 943&2,3 \\
+\text{$\Z4\EnDash\Z5$ \Ditto[Monate]}&1284&1,04&\text{$45\EnDash50$ \Ditto}&1143&3,4 \\
+\text{$\Z5\EnDash\Z6$ \Ditto[Monate]}&1257&1,06&\text{$50\EnDash55$ \Ditto}&1124&4,3 \\
+\text{$\Z6\EnDash\Z9$ \Ditto[Monate]}&1179&1,13&\text{$55\EnDash60$ \Ditto}&1055&4,3 \\
+\text{$\Z9\EnDash12$  \Ditto[Monate]}&1085&1,12&\text{$60\EnDash65$ \Ditto}& 962&3,5 \\
+\text{$\Z1\EnDash\Z2$ Jahre}         &1028&1,53&\text{$65\EnDash70$ \Ditto}& 913&4,3 \\
+\text{$\Z2\EnDash\Z3$ \Ditto}        & 990&1,06&\text{$70\EnDash75$ \Ditto}& 906&4,1 \\
+\text{$\Z3\EnDash\Z5$ \Ditto}        & 947&1,16&\text{$75\EnDash80$ \Ditto}& 903&2,1 \\
+\text{$\Z5\EnDash10$  \Ditto}        & 878&1,66&\text{$80\EnDash85$ \Ditto}& 866&1,26\\
+\text{$10\EnDash15$   \Ditto}        & 713&2,5 &\text{$85\EnDash90$ \Ditto}& 800&1,29\\
+\end{array}
+\]
+\end{table}
+
+Aus dieser Tabelle geht hervor, da� w�hrend des ersten
+Lebensjahres die Dispersion als eine normale angesehen werden
+kann, ja sogar w�hrend der ersten f�nf Jahre, da der einzige zu
+gro�e Wert~$1,53$ in den M�ngeln der Statistik begr�ndet sein kann.
+W�hrend der folgenden Jahre finden wir dagegen zum Teil sehr
+weitgehende Abweichungen von dem Normalwert~$1$. In der Tat
+l��t sich eine solche �bereinstimmung, wie sie f�r die normale Dispersion
+gefordert wird, nur aus einer vermuteten Gemeinsamkeit
+gewisser allgemeiner Eigenschaften des vorliegenden Ereignisses mit
+den Vorg�ngen bei den Ziehungen aus einer Urne erkl�ren. Da�
+eine solche Gemeinsamkeit aber nur in sehr vereinzelten F�llen angenommen
+werden kann, liegt auf der Hand, und so finden sich
+nur wenige F�lle, in denen wirklich angen�hert $Q = 1$ wird.
+
+Wir haben aber nachgewiesen, da� auch die F�lle, wo $Q \neq 1$
+wird, sich auf Grund eines abge�nderten Urnenschemas erkl�ren
+lassen. Nahmen wir n�mlich an, da� das Mischungsverh�ltnis
+der schwarzen und wei�en Kugeln in der Urne nicht von vornherein
+feststeht, sondern w�hrend der Ziehungen sich �ndert (wir
+setzten voraus, es sei eine ganze Reihe von Urnen mit allen m�glichen
+Mischungsverh�ltnissen vorhanden, und lie�en die einzelnen
+Ziehungen aus je einer durch das Los oder sonstwie bestimmten
+Urne stattfinden), dann zeigte sich, da� die Verteilung der Ziehungsergebnisse
+wohl noch, wenn die Reihenfolge der gew�hlten Urnen
+\DPPageSep{152}{138}
+von der einen zur anderen Ziehungsreihe festgehalten wurde, der
+gleichen Verteilungsfunktion wie fr�her, n�mlich der \so{Gau�}schen
+Funktion folgte, aber die Beziehung $\mu_2 = \mu_1$ zwischen den oben
+angegebenen Werten \Eqref{(1)}~und~\Eqref{(2)} aufh�rte zu bestehen und in die
+Ungleichheit
+\[
+\mu_2 < \mu_1
+\]
+�berging, so da� sich $Q < 1$, also eine unternormale Dispersion
+ergibt. Nennen wir also das Mischungsverh�ltnis der Kugeln in
+der Urne jedesmal die dem Ereignis (\dh~der Ziehung) zugrunde
+liegende Wahrscheinlichkeit, so w�rde sich das allgemeine Resultat
+herausstellen:
+
+\so{Die unternormale Dispersion l��t sich erkl�ren
+durch eine dem Ereignis zugrunde liegende, von Fall zu
+Fall wechselnde Wahrscheinlichkeit.}
+
+Andererseits hatten wir gefunden, da�, wenn die Ziehungen
+einer Reihe immer aus derselben Urne stattfinden, aber unter den
+Urnen mit allen m�glichen Mischungsverh�ltnissen diejenige, aus
+welcher gezogen werden soll, erst durch das Los bestimmt wird,
+dann sich eine Verteilung ergibt, bei der
+\[
+\mu_2 > \mu_1,
+\]
+die Dispersion also eine �bernormale ist.
+
+\so{Die �bernormale Dispersion l��t sich also dadurch
+erkl�ren, da� die dem Ereignis zugrunde liegende Wahrscheinlichkeit
+wohl bei allen den F�llen, die zur Bildung
+dieses Wertes der relativen H�ufigkeit benutzt wurden,
+dieselbe ist, aber nicht dieselbe bei den verschiedenen
+Gruppen von F�llen, die zu der Bildung der einzelnen
+relativen H�ufigkeitswerte benutzt sind.}
+
+Damit ist in der Tat eine gewisse Erkl�rung f�r das Auftreten
+und die Unterscheidung der drei verschiedenen Dispersionsarten
+gefunden\footnote
+  {Der Grundgedanke und ein Teil der analytischen Entwickelung
+  bei dieser Erkl�rung geht auf \so{Poisson} zur�ck; die Deutung der �bernormalen
+\index{Poisson}%
+  Dispersion, die \so{Lexis} ausf�hrlich er�rtert hatte, hat insbesondere
+  v.~\so{Bortkewitsch} (Das Gesetz der kleinen Zahlen, 1898,
+\index{Bortkewitsch@Bortkewitsch (Bortkiewicz), Lad.\ v.}%
+  S.~29) noch weiter ausgestaltet. Man vgl., was allgemein die Anwendung
+  der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf Statistik betrifft, desselben
+  Verfassers Kritische Betrachtungen zur theoretischen Statistik, Conrads
+  Jahrb�cher~(3), Bd.~8, S.~641; Bd.~10, S.~321; Bd.~11, S.~671 (1894--1896).}.
+Man darf aber die Bedeutung dieser Erkl�rung
+\DPPageSep{153}{139}
+nicht �bersch�tzen. Vor allem ist schwer einzusehen, wie sich
+in der Wirklichkeit eine von Fall zu Fall wechselnde, aber bei
+jeder Gruppe von F�llen in der gleichen Weise wiederkehrende
+Wahrscheinlichkeit ergeben soll. Nicht viel nat�rlicher ist die
+Annahme, da� bei jeder Gruppe von F�llen eine andere, aber bei
+den einzelnen F�llen einer Gruppe dieselbe Wahrscheinlichkeit
+vorhanden sein soll, denn die Einteilung der F�lle in Gruppen,
+an denen man die relative H�ufigkeit bestimmt, ist doch meist
+eine an sich willk�rliche, und die F�lle schlie�en sich �rtlich und
+zeitlich kontinuierlich aneinander an. Man wird sich daher
+darauf beschr�nken m�ssen, zu sagen: \so{ein Wechsel der Wahrscheinlichkeit
+innerhalb einer Gruppe von F�llen verringert
+die Dispersion, ein Wechsel von einer Gruppe
+zur anderen erh�ht sie.}
+
+Es bleibt noch �brig, kurz der anderen Deutungsart zu
+gedenken, wo die Kugeln aus der Urne nicht einzeln, sondern auf
+einmal gezogen werden. In diesem Falle tritt in dem Ausdruck
+f�r die mittlere Ausweichung unter der Wurzel zu $w(1 - w)/n$ noch
+ein Faktor $\chi(1 - \chi)$ hinzu, der immer $<1$ ist, es ergibt sich also
+\[
+\mu_2 < \mu_1
+\]
+und demnach wird
+\[
+Q < 1,
+\]
+die Dispersion ist also unternormal. Diese Erkl�rung der unternormalen
+Dispersion scheint an sich sehr einleuchtend. Aber
+wieder erhebt sich der Einwand, da� es meistens durchaus nicht
+der Wirklichkeit entspricht, wenn die F�lle einer Gruppe als eine
+nat�rliche Gesamtheit angesehen werden, wie es doch geschieht,
+wenn sie durch die mit \so{einem} Griff aus der Urne herausgeholten
+Kugeln illustriert werden. Immerhin k�nnte man ja vermuten,
+da� gerade da die unternormale Dispersion sich einstellt, wo die
+Verh�ltniszahlen sich in gewisser Weise auf solche nat�rliche
+Gruppen beziehen.
+
+Das bekannteste Beispiel f�r eine vermutliche normale Dispersion
+bildet das \so{Geschlechtsverh�ltnis der Geborenen}.
+Auch dieses hat \so{Lexis} ausf�hrlich behandelt (Conrads Jahrb�cher
+f�r National�konomie und Statistik, Bd.~27 (1876), S.~206; Abhandlungen
+zur Theorie der Bev�lkerungs- und Moralstatistik, 1903,
+S.~130), indem er die Zahlen f�r die verschiedenen preu�ischen
+\DPPageSep{154}{140}
+Regierungsbezirke in den einzelnen Monaten der Jahre~1868
+und~1869 zugrunde legte. Wir wollen seine Resultate nur f�r
+die gr��ten Bezirke anf�hren. Es ergibt sich:
+\[
+\begin{array}{l||c|c}
+\hline
+\hline
+\ColHeadbb{Bezirk}{Bezirk} &
+\ColHeadb{$n$}{$n$} &
+\ColHead{$Q$}{$Q$} \\
+\hline
+\hline
+\DotBox{K�nigsberg} & 3426 & 1,06 \\
+\DotBox{Potsdam}    & 3028 & 0,96 \\
+\DotBox{Frankfurt}  & 3211 & 0,98 \\
+\DotBox{Posen}      & 3738 & 1,01 \\
+\DotBox{Breslau}    & 4766 & 0,89 \\
+\DotBox{Oppeln}     & 4855 & 0,92 \\
+\DotBox{Magdeburg}  & 3650 & 1,02 \\
+\DotBox{D�sseldorf} & 4305 & 1,12 \\
+\end{array}
+\]
+
+Die Zahlen $n$ beziehen sich auf die Geburten w�hrend eines
+Monates. Die Werte von $Q$ kommen hier der Einheit so nahe, wie
+man es �berhaupt erwarten kann, so da� wir hier in der Tat mit ziemlicher
+Sicherheit von einer normalen Dispersion sprechen k�nnen.
+
+Trotzdem w�re der Schlu� �bereilt, da� wir mit Gewi�heit
+annehmen k�nnen, in dem Geschlechtsverh�ltnis der Geborenen
+liege der Typus einer rein zuf�lligen Verteilung vor. Abgesehen
+davon, da� die blo�e Bestimmung des Divergenzkoeffizienten~$Q$
+allein daf�r nicht ausreichend ist, beruht die Ann�herung an
+den Wert~$1$, die \so{Lexis} gefunden hat, wie es scheint, auf der
+g�nstigen Auswahl der Beobachtungsbezirke und der verh�ltnism��ig
+kurz genommenen Beobachtungsdauer. Jedenfalls gelangt
+man zu anderen Ergebnissen, wenn man als Beobachtungsdauer statt
+eines Monates je ein Jahr und als Beobachtungsbezirk das K�nigreich
+Sachsen nimmt\footnote
+  {Vgl.\ E.~\so{Blaschke}, Vorlesungen �ber mathematische Statistik,
+\index{Blaschke}%
+  Leipzig 1906; H.~\so{Forcher}, Die statistische Methode als selbst�ndige
+\index{Forcher}%
+  Wissenschaft, Leipzig 1913.}.
+Es ergeben sich folgende Werte f�r das Verh�ltnis~$y$
+der m�nnlichen Geburten zu der Gesamtzahl der Geburten:
+\[
+\small
+\begin{array}{@{}c||cTc||cTc||cTc||c@{}}
+\hline
+\hline
+\ColHeadbb{Jahr}{Jahr} &
+\ColHeadB{$y$}{$y$} &
+\ColHeadbb{Jahr}{Jahr} &
+\ColHeadB{$y$}{$y$} &
+\ColHeadbb{Jahr}{Jahr} &
+\ColHeadB{$y$}{$y$} &
+\ColHeadbb{Jahr}{Jahr} &
+\ColHead{$y$}{$y$} \\
+\hline
+\hline
+1891 & 0,512\,14 & 1896 & 0,513\,01 & 1901 & 0,511\,77 & 1906 & 0,511\,14 \\
+1892 & 0,513\,94 & 1897 & 0,512\,83 & 1902 & 0,512\,43 & 1907 & 0,512\,35 \\
+1893 & 0,512\,13 & 1898 & 0,511\,85 & 1903 & 0,510\,19 & 1908 & 0,511\,04 \\
+1894 & 0,510\,36 & 1899 & 0,512\,90 & 1904 & 0,512\,86 & 1909 & 0,513\,21 \\
+1895 & 0,512\,14 & 1900 & 0,514\,87 & 1905 & 0,513\,20 & 1910 & 0,512\,02 \\
+\end{array}
+\]
+\DPPageSep{155}{141}
+
+F�r die Periode 1891 bis 1900 findet man hieraus den Wert
+$Q = 0,904$, f�r die Periode 1901 bis 1910 den Wert $Q = 0,705$.
+Diese �bereinstimmung ist weit weniger gut als die von \so{Lexis}
+gefundene.
+
+Da� die Verschiedenheiten der Verh�ltniszahlen f�r die einzelnen
+Jahre nicht auf blo�en Zuf�lligkeiten beruhen, kann man
+aus den Zahlen f�r das gesamte Deutsche Reich w�hrend der
+letzten Jahre ersehen. Es entfallen auf $100$ M�dchengeburten an
+Knabengeburten:
+\[
+\begin{array}{l@{}c|l@{}c}
+\DotBox{1906} & 106,0 & \DotBox{1910} & 105,9 \\
+\DotBox{1907} & 106,3 & \DotBox{1911} & 106,1 \\
+\DotBox{1908} & 106,1 & \DotBox{1912} & 106,5 \\
+\DotBox{1909} & 105,9 && \\
+\end{array}
+\]
+
+Dabei erscheint auffallend die Steigerung im letzten Jahre
+1912. Sieht man nun zu, wie sie zustande gekommen ist, so
+erkennt man merkw�rdigerweise, da� sie wesentlich von den s�ddeutschen
+Staaten herr�hrt. Die Zahl hat sich in Preu�en von
+$106,4$ f�r 1911 nur auf $106,5$ f�r 1912 bewegt, w�hrend wir f�r
+die s�ddeutschen Staaten finden:
+\[
+\begin{array}{l||c|c}
+\hline
+\hline
+& \ColHeadb{1911}{1911} & \ColHead{1912}{1912} \\
+\hline
+\hline
+\DotBox[4cm]{Bayern}           & 105,9 & 106,8 \\
+\DotBox[4cm]{W�rttemberg}      & 103,6 & 106,4 \\
+\DotBox[4cm]{Baden}            & 105,3 & 106,0 \\
+\DotBox[4cm]{Elsa�-Lothringen} & 105,3 & 106,5 \\
+\end{array}
+\]
+Es ist danach kein Zweifel, da� wesentlich auf diesen verh�ltnism��ig
+bedeutenden Verschiebungen auch die �nderung in der
+Gesamtziffer beruht.
+
+Der starke Einflu� des Landes auf das Geschlechtsverh�ltnis
+der Geborenen ist bekannt. Es kamen \zB~auf $100$ M�dchengeburten
+w�hrend des Zeitraumes 1887 bis 1891 an Knabengeburten
+\[
+\begin{array}{l@{}c}
+\DotBox{in England} & 103,6 \\
+\DotBox{in Spanien} & 108,3 \\
+\end{array}
+\]
+
+Nach \so{Bertillon} (Anhang zum Annuaire statistique de la
+\index{Bertillon}%
+ville de Paris f�r 1905, Paris 1907) �bt das Alter der Mutter
+einen deutlich erkennbaren Einflu� auf das Geschlecht des Kindes
+\DPPageSep{156}{142}
+aus. Nach den Erhebungen in Paris 1891 bis~1905 ergeben sich
+auf $100$ M�dchengeburten folgende Zahlen von Knabengeburten:
+\[
+\small
+\begin{array}{l|*{6}{c|}c}
+\hline\hline
+\ColHeadb{Alter der}{Alter der\\Mutter:} &
+15 \EnDash 19 &
+20 \EnDash 24 &
+25 \EnDash 29 &
+30 \EnDash 34 &
+35 \EnDash 39 &
+40 \EnDash 44 &
+45 \EnDash 49 \\
+\hline\hline
+\text{Eheliche} &
+107,1 & 106,2 & 106,4 & 106,5 & 106,6 & 113,0 & 105,0 \\
+\text{Uneheliche} &
+104,5 & 105,3 & 102,2 & 105,0 & 103,7 & 112,1 & 102,1 \\
+\end{array}
+\]
+Es zeigt sich also eine deutliche Zunahme der Knabengeburten
+f�r die mittleren Lebensjahre der Mutter.
+
+Die Bestimmung des Divergenzkoeffizienten~$Q$ ist gewisserma�en
+der erste Schritt zur Beurteilung der Dispersion. Sie gibt
+\zB~noch keinen Anhaltspunkt f�r die Beurteilung einer vorhandenen
+Asymmetrie. Hierf�r ist, wie wir bereits gesehen haben,
+von Wichtigkeit, da� au�er dem arithmetischen Mittel auch der
+Zentralwert, unter dem und �ber dem gleich viel der Beobachtungswerte
+liegen, und der Normalwert, f�r den sich in der aus der
+Urreihe abgeleiteten Verteilungsreihe die gr��te relative H�ufigkeit
+ergibt, gebildet werden.
+
+Fallen diese drei Werte zusammen, so liefert dies einen Anhaltspunkt
+daf�r, da� die Dispersion eine symmetrische ist. Wir haben
+also folgende drei Werte zu bestimmen:
+
+1. Den Durchschnittswert der Beobachtungswerte
+\[
+y_0 = \frac{\Sum y_i}{r}
+\]
+oder, wenn wir die Verteilungsfunktion $\phi(y)$ einf�hren,
+\[
+\Tag{(4)}
+y_0 = \Int_{-\infty}^{+\infty} \phi(y) y\, dy
+    : \Int_{-\infty}^{+\infty} \phi(y)\, dy.
+\]
+
+2. Den Zentralwert~$y_z$, f�r den
+\[
+\Tag{(5)}
+\Int_{-\infty}^{y_z} \phi(y)\, dy = \Int_{y_z}^{+\infty} \phi(y)\, dy
+\]
+wird.
+
+3. Den Normalwert~$y_a$, f�r den
+\[
+\Tag{(6)}
+\phi(y_a) = \text{Max.}
+\]
+\DPPageSep{157}{143}
+wird. Dann mu�, wenn eine symmetrische Verteilung vorliegt,
+\[
+y_0 = y_z = y_a
+\]
+werden. Dieser Wert kann als der \so{typische Wert} bezeichnet
+werden.
+
+Man wird sich nun aber schwer entschlie�en, mit dieser Bestimmung
+die Beurteilung der Verteilungsreihe abzuschlie�en. Der
+letzte Zielpunkt mu� vielmehr sein, ein "`Gesetz"' f�r die Verteilung
+selbst herauszufinden. Auch dazu kann die Betrachtung des
+Urnenschemas dienen. Hierbei hat sich uns �berall, wo die Anzahl
+der beobachteten F�lle sehr gro� war, die \so{Gau�}sche Verteilungsfunktion
+ergeben, und wenn wir eine allgemeinere Verteilungsfunktion
+erstrebten, so mu�ten wir sie uns aus der �bereinanderlagerung
+\so{Gau�}scher Funktionen hervorgegangen denken (�hnlich
+wie man sich die allgemeine Schwingung aus der Superposition
+von Sinuswellen hervorgegangen denkt). Das legt es nahe, zun�chst
+zu versuchen, wie weit man mit der einfachen \so{Gau�}schen
+Verteilungsfunktion kommt. In diesen F�llen kann, wie wohl
+nicht mehr besonders hervorgehoben zu werden braucht, die
+Dispersion sowohl eine normale als auch eine unter- oder �bernormale
+sein, die G�ltigkeit des \so{Gau�}schen Verteilungsgesetzes
+und die \so{Lexis}sche Beurteilung der normalen Dispersion fallen
+keineswegs zusammen. Es zeigt sich nun, da� unter der Voraussetzung
+einer \so{typischen} Dispersion, die der \so{Gau�}schen Funktion
+\[
+\phi(x) = \frac{h}{\sqrt{\pi}}\, e^{-h^2 x^2}
+\]
+folgt, sich f�r die Konstante $h$ in dieser Funktion eine dreifache
+Bestimmung ergibt. Die eine Bestimmung benutzt die Werte,
+unter oder �ber denen ein Viertel der beobachteten Zahlenwerte
+liegt. Nennt man $\sigma$ den Unterschied dieser Werte, so wird
+\[
+\Tag{(7)}
+\frac{1}{h_1} = \frac{\sigma}{0,9539}.
+\]
+Die zweite Formel benutzt die Summe der Abweichungen~$y$ aller
+Beobachtungswerte, \dh~aller Glieder~$y$ der Urreihe, die �ber
+oder unter dem Mittelwert liegen, von diesem Mittelwert. Ist $r$
+die Gesamtzahl aller bestimmten Werte, so folgt
+\DPPageSep{158}{144}
+\[
+\Tag{(8)}
+\frac{1}{h_2}
+  =  2 \sqrt{\pi}\, \frac{\Sum_{+} (y_i - y_0)}{r}
+  = -2 \sqrt{\pi}\, \frac{\Sum_{-} (y_i - y_0)}{r},
+\]
+wenn $\Sum_{+}$, $\Sum_{-}$ bedeutet, da� die Summation �ber alle positiven oder
+alle negativen Werte der Differenz $y_i - y_0$ erstreckt werden soll.
+Die dritte Bestimmung beruht auf der Quadratensumme aller vorkommenden
+Abweichungen vom Mittelwert und liefert
+\[
+\Tag{(9)}
+\frac{1}{h_3} = \sqrt{2\frac{\Sum (y_i - y_0)^2}{r - 1}}.
+\]
+Der letzte Wert stimmt bis auf den Faktor~$\sqrt{2}$ mit der mittleren
+Ausweichung $\mu_2$ �berein. Wenn man im vorliegenden Falle diese
+Bestimmungen verwerten will, so mu� man alle �berhaupt vorliegenden
+Bestimmungen, die sich auf die einzelnen Monate der
+Jahre 1868 und 1869 beziehen, zusammenfassen und erh�lt dann
+eine Gesamtheit von $816$ Einzelbestimmungen. \so{Lexis} zieht es
+aber vor, zun�chst eine Gruppe aus den $17$ gr��ten Bezirken zu
+w�hlen, zu denen auch die oben angef�hrten geh�ren. Es liegen
+dann nur $408$ Einzelbestimmungen vor, f�r die sich in der Tat
+nach den drei m�glichen Methoden derselbe Mittelwert $1065,8$
+und folgende Verteilungsreihe ergibt:
+\[
+\begin{array}{c||c|c}
+\hline\hline
+\ColHeadbb{Abweichung}{Abweichung} &
+\multicolumn{2}{c}{\text{\thsize Beobachtete F�lle}} \\
+\cline{2-3}
+\ColHeadbb{$+$ $-$}{$+$ $-$} &
+\ColHeadb{\qquad\qquad}{$+$} &
+\ColHead{\qquad\qquad}{$-$} \\
+\hline\hline
+\Z0 \EnDash \Z20  &  82 &  73 \\
+ 20 \EnDash \Z40  &  57 &  65 \\
+ 40 \EnDash \Z60  &  41 &  43 \\
+ 60 \EnDash \Z80  &  16 & \Z9 \\
+ 80 \EnDash  100  & \Z5 & \Z9 \\
+\PadTxt[r]{$80$\EnDash}{�ber } 100 & \Z3 & \Z5 \\
+\end{array}
+\]
+
+F�hrt man nun die drei Bestimmungen von $h$ aus, so ergeben
+sich die Werte
+\[
+h_1 = 0,018,\qquad
+h_2 = 0,019,\qquad
+h_3 = 0,019,
+\]
+also eine gute �bereinstimmung.
+
+Rechnet man aber mit Hilfe des bestimmten Normalwertes
+und des Wertes von $h$ nach der \so{Gau�}schen Funktion die H�ufigkeitszahlen
+aus, so findet man die folgenden Zahlenreihen:
+\DPPageSep{159}{145}
+\[
+\begin{array}{l@{\,}*{6}{r<{\quad}}}
+\DotBox{Berechnet} &   82&  61&  37&  17&   5&   2 \\
+\multirow{2}{*}{Beobachtet %
+  $\dots\biggl\{\begin{array}{@{}c@{}}+\\-\end{array}$}
+& 82 & 57 & 41 & 16& 5 & 3 \\
+& 74 & 65 & 43 &  9& 9 & 5 \\
+\end{array}
+\]
+Bei der Beurteilung der so erreichten �bereinstimmung mu� man
+die Unsicherheit bedenken, die an sich wegen der verh�ltnism��ig
+geringen Zahl beobachteter F�lle vorhanden ist. Dann mu� in
+der Tat die gefundene �bereinstimmung als eine sehr gute gelten.
+
+Um noch ein Beispiel zu haben, das von vornherein jeder
+solchen Bestimmung zu spotten scheint, wollen wir mit \so{Pearson} das
+\index{Pearson|ff}%
+Verh�ltnis der unionistischen Stimmen zur Gesamtzahl der Stimmen
+bei den englischen Wahlen im Jahre 1891 nehmen. Wir haben
+\begin{figure}[hbt!]
+  \centering
+%[** TN: Verbal part of caption lies below figure in the original.]
+  \caption{Fig.~8. Verh�ltnis der unionistischen Stimmen zur Gesamtzahl der Stimmen
+    bei den englischen Wahlen 1891.}
+  \Input{159}
+\end{figure}
+die herauskommende Verteilungsreihe graphisch aufgezeichnet, indem
+f�r die Abszisse die Prozente der Stimmenzahl und f�r die
+Ordinate die zugeh�rigen Anzahlen von Wahlbezirken genommen
+sind. F�r den zugrunde zu legenden typischen Wert ergibt sich
+$0,51 = 51$~Proz.\ und die drei Bestimmungen von $h_i$ liefern:
+\[
+h_1 = 0,09,\qquad
+h_2 = 0,11,\qquad
+h_3 = 0,12.
+\]
+Die Verteilung, die sich nach der \so{Gau�}schen Funktion ergibt,
+ist durch die eingezeichnete Kurve angedeutet.
+
+Die �bereinstimmung, die man hier erh�lt, darf man aber
+nicht so deuten, als ob die herauskommenden Prozents�tze der
+Stimmenzahl mit den Ziehungsverh�ltnissen des Urnenschemas
+direkt verglichen werden k�nnten. Die �berhaupt m�glichen
+\DPPageSep{160}{146}
+Prozents�tze von $0$ bis $100$ Proz.\ entsprechen vielmehr alle einem
+nur zwischen sehr engen Grenzen schwankenden Ziehungsverh�ltnis.
+Es werden gar nicht mehr die Verh�ltniswerte als solche verglichen,
+sondern nur die herauskommenden Verteilungsreihen. Die
+Vergleichung wird damit viel �u�erlicher. Wir vergleichen nicht
+mehr den wirklichen Vorgang selbst mit dem Vorgang bei den
+Ziehungen aus einer Urne. Wir versuchen nur, die aus dem
+Urnenschema theoretisch abgeleitete Verteilungsfunktion der wirklich
+beobachteten Verteilungsreihe anzupassen. Wir k�nnen h�chstens
+die Vorg�nge bei der Ziehung aus der Urne symbolisch
+fassen, indem wir sie als den Ausdruck f�r beliebige Zufallsvorg�nge
+deuten, die wir so einer Berechnung zug�nglich machen.
+Es w�rde in dem vorliegenden Beispiel etwa das Ziehen einer
+wei�en Kugel einen sehr kleinen Ausschlag der Stimmen nach der
+unionistischen Seite bedeuten.
+
+Man kann aber auch von der Herleitung der Formel aus
+dem Urnenschema, nachdem sie einmal gewonnen ist, v�llig absehen
+und sich darauf beschr�nken, die Vorg�nge zu suchen, die
+sich dieser Formel anpassen und damit einen gemeinsamen Charakter
+zeigen, den man definitionsm��ig als den des Zuf�lligen
+ansehen kann.
+
+Sehr wichtig erscheinen hierbei zun�chst die F�lle, wo die
+G�ltigkeit der \so{Gau�}schen Verteilungsfunktion als eine physikalische
+Hypothese erscheint. Dies gilt vor allen Dingen f�r die
+Bewegungen der kleinsten Teile der Materie, zun�chst der Molek�le.
+Die Bewegungen der Molek�le sind unbeobachtbar und
+daher ist eine unmittelbare Kontrolle durch die Erfahrung in
+diesem Falle unm�glich. Eine solche gelingt jedoch bei sehr
+kleinen, in einer Fl�ssigkeit suspendierten Teilchen, die den Molekularbewegungen
+�hnliche und, wie man glaubt, durch die Molekularbewegungen
+(n�mlich die St��e der Fl�ssigkeitsmolek�le auf
+die festen Teilchen) unmittelbar veranla�te Bewegungen, die sogenannten
+\so{Brown}schen Bewegungen, ausf�hren. J.~\so{Perrin}
+\index{Brownsche Bewegung}%
+\index{Perrin}%
+(Die Atome, deutsch von \so{Lottermoser}, Dresden und Leipzig
+\index{Lottermoser (�bersetzer)}%
+1914) hat in einem Falle die Verschiebungen der Teilchen in
+Zwischenr�umen von $30$ Zeitsekunden notiert und daraus folgende
+Tabelle gefunden, in der den beobachteten die nach der \so{Gau�}schen
+Verteilungsfunktion f�r die $500$ Beobachtungen berechneten
+Anzahlen hinzugef�gt sind. Der Wert von $\epsilon$ betr�gt $1,96$~Mikron.
+\DPPageSep{161}{147}
+\index{Poisson|f}%
+\[
+\begin{array}{c||c|c}
+\hline\hline
+\ColHeadbb{die enthalten sind}{Verschiebungen,\\die enthalten sind\\zwischen} &
+\ColHeadb{berechnet}{Anzahl\\berechnet} &
+\ColHead{beobachtet}{Anzahl\\beobachtet} \\
+\hline\hline
+\Z0 \text{ und } \Z\epsilon        &  32 & 34 \\
+\Z\epsilon \Ditto[ und ] 2\epsilon &  83 &  78 \\
+ 2\epsilon \Ditto[ und ] 3\epsilon & \llap{1}07 & \llap{1}06 \\
+ 3\epsilon \Ditto[ und ] 4\epsilon & \llap{1}05 & \llap{1}03 \\
+ 4\epsilon \Ditto[ und ] 5\epsilon &  75 &  75 \\
+ 5\epsilon \Ditto[ und ] 6\epsilon &  50 &  49 \\
+ 6\epsilon \Ditto[ und ] 7\epsilon &  27 &  30 \\
+ 7\epsilon \Ditto[ und ] 8\epsilon &  14 &  17 \\
+ 8\epsilon \Ditto[ und ] \infty    & \Z7 & \Z9 \\
+\end{array}
+\]
+
+Die Tabelle ist zugleich lehrreich daf�r, welche �bereinstimmung
+man erwarten darf, wo die G�ltigkeit der \so{Gau�}schen
+Verteilungsfunktion von vornherein so gut wie sicher ist\footnote
+  {Man vergleiche des weiteren L.~v.\ \so{Bortkewitsch}, Die radioaktive
+\index{Bortkewitsch@Bortkewitsch (Bortkiewicz), Lad.\ v.}%
+  Strahlung als Gegenstand wahrscheinlichkeitstheoretischer Untersuchungen,
+  Berlin 1913.}.
+Ein
+weiteres besonders hervorragendes Beispiel besteht in der Messung
+der K�rperl�nge erwachsener Personen. Hierf�r hat \so{Pearson}\footnote
+  {Man vgl.\ die Aufs�tze von \so{Pearson} in den Transactions of
+  the Royal Society 1894 bis 1903 (Vol.~185 bis~198) und Philosophical
+  Magazine 1900, 1901 (Vol.~50,~1), ferner seine Schrift The chances of
+  death etc., London 1897. Daneben ist es interessant, die Arbeiten von
+  \so{Edgeworth} einzusehen, besonders Journal of the Royal Statistical
+\index{Edgeworth}%
+  Society, Vol.~60 bis 62 (1897 bis 1899), und als besondere Schrift unter
+  dem Titel The representation of Statistics by mathematical formulae,
+  London 1900. An zusammenfassenden Darstellungen kann man au�er
+  den bereits angef�hrten etwa vergleichen \so{King}, Elements of statistical
+\index{King}%
+  method, New York u.~London, Macmillan, \so{Davenport}, Statistical
+\index{Davenport}%
+  Methods, New York, Wiley \& Son. Ferner die Schriften von \so{Westergaard},
+\index{Westergaard}%
+  Grundz�ge der Theorie der Statistik, Jena 1890, Lehre von
+  der Mortabilit�t und Morbidit�t, 2.~Aufl.\ 1901. Unter den Lehrb�chern
+  der Wahrscheinlichkeitsrechnung hat besonders das von
+  \so{Czuber} (Leipzig 1902) die statistischen Anwendungen ausf�hrlich
+\index{Czuber}%
+  behandelt.}
+ausgezeichnetes Material in den Messungen der K�rpergr��e von
+$25\,875$~Rekruten der Armee der Vereinigten Staaten angef�hrt.
+Die K�rpergr��en sind in Zoll und daneben die Anzahlen der
+Rekruten von der betreffenden Gr��e angef�hrt.
+\DPPageSep{162}{148}
+\begin{table}[hbt!]
+\[
+\begin{array}{c|r<{\ }||c|r<{\ }}
+\hline\hline
+\ColHeadb{K�rpergr��e}{K�rpergr��e} &
+\ColHeadbb{Anzahl}{Anzahl} &
+\ColHeadb{K�rpergr��e}{K�rpergr��e} &
+\ColHead{Anzahl}{Anzahl} \\
+\hline\hline
+78 \EnDash 77 &    2 & 64 \EnDash 63 & 1947 \\
+77 \EnDash 76 &    6 & 63 \EnDash 62 & 1237 \\
+76 \EnDash 75 &    9 & 62 \EnDash 61 &  526 \\
+75 \EnDash 74 &   42 & 61 \EnDash 60 &   50 \\
+74 \EnDash 73 &  118 & 60 \EnDash 59 &   15 \\
+73 \EnDash 72 &  343 & 59 \EnDash 58 &   10 \\
+72 \EnDash 71 &  680 & 58 \EnDash 57 &    6 \\
+71 \EnDash 70 & 1485 & 57 \EnDash 56 &    7 \\
+70 \EnDash 69 & 2075 & 56 \EnDash 55 &    3 \\
+69 \EnDash 68 & 3133 & 55 \EnDash 54 &    1 \\
+68 \EnDash 67 & 3631 & 54 \EnDash 53 &    2 \\
+67 \EnDash 66 & 4054 & 53 \EnDash 52 &    1 \\
+66 \EnDash 65 & 3475 & 52 \EnDash 51 &    1 \\
+65 \EnDash 64 & 3019 && \\
+\end{array}
+\]
+\end{table}
+
+Wir beginnen damit, da� wir den Mittelwert auf die drei
+angegebenen Weisen bestimmen. Wir finden dann mit ziemlich
+genauer �bereinstimmung den Mittelwert oder Normalwert
+\[
+y_0 = 66,7.
+\]
+Hierauf berechnen wir die Gr��e $h$ nach den angegebenen drei
+Methoden und finden so
+\[
+h_1 = 0,27,\qquad
+h_2 = 0,27,\qquad
+h_3 = 0,28.
+\]
+Wir erhalten dann das Bild, das in \Fig{9} auf der folgenden Seite
+dargestellt ist. Die �bereinstimmung ist recht gut, so da� wir in
+der Tat annehmen k�nnen, da� die Verteilung der K�rpergr��en
+erwachsener Personen dem \so{Gau�}schen Verteilungsgesetz folgt.
+Dagegen haben Messungen an gleichaltrigen Kindern gezeigt, da�
+die Verteilung bei nicht erwachsenen Personen eine andere, n�mlich
+eine wesentlich unsymmetrische ist, indem ein Zur�ckbleiben
+des Wachstums gegen den normalen Wert h�ufiger als ein Vorauseilen
+ist.
+
+Die Auffassung, da� man in dem \so{Gau�}schen Verteilungsgesetz
+das Symptom f�r eine auf blo�en Zuf�lligkeiten beruhende
+Verteilung zu sehen habe, ist lange Zeit durchaus herrschend gewesen.
+Ihr ist \zB~\so{Qu�telet} durchaus gefolgt, sie findet sich
+\index{Qu�telet}%
+auch in dem englischen Werke von \so{Venn}, The logic of chance
+\index{Venn}%
+\DPPageSep{163}{149}
+(London 1876) konsequent vertreten. Diese Ansicht ist aber, wie
+wir gesehen haben, weder in dem Sinne richtig, da�, wo die Verteilung
+mit hinreichender Ann�herung dem \so{Gau�}schen Verteilungsgesetz
+folgt, die Abweichungen bestimmt in jedem einzelnen
+Falle nur auf Zuf�lligkeiten beruhen, noch in dem Sinne, da� sich
+immer die \so{Gau�s}che Verteilungsfunktion ergibt, wo wir zuf�llige
+Schwankungen anzunehmen haben. Dies geht aus der Verallgemeinerung
+hervor, die wir an das Urnenschema angekn�pft
+haben, indem wir annahmen, da� erst durch das Los bestimmt
+\begin{figure}[hbt!]
+  \centering
+  \caption{Fig.~9.}
+  \Input{163}
+\end{figure}
+wird, aus welcher von mehreren vorhandenen Urnen gezogen wird.
+Wir haben dabei im Gegensatz zu der Symmetrie der \so{Gau�}schen
+Verteilungsfunktion eine wesentlich unsymmetrische Verteilung
+gefunden, und es scheint von Interesse, auch daf�r ein Beispiel
+zu finden.
+
+Der einfachste Fall, den wir hierbei annehmen k�nnen, ist
+der, wo nur zwei Urnen vorhanden sind, wo also nur zwei Wahrscheinlichkeiten
+$w_1$~und~$w_2$ daf�r, da� aus der einen oder anderen
+Urne gezogen wird, in Betracht kommen. Die Relation $w_1 + w_2 = 1$
+kommt weiter nicht in Frage, da noch mit einer Konstanten~$c$
+multipliziert werden mu�. Wir k�nnen dann (indem wir $c_1 = cw_1$,
+$c_2 = cw_2$ setzen) die Verteilungsfunktion schreiben:
+\[
+\Tag{(10)}
+\Phi(z)
+  = \frac{c_1 h_1}{\sqrt\pi}\, e^{-h_1^2(z - u_1)^2}
+  + \frac{c_2 h_2}{\sqrt\pi}\, e^{-h_2^2(z - u_2)^2}.
+\]
+\DPPageSep{164}{150}
+
+F�r diese Verteilungsfunktion wollen wir, wiederum nach
+\so{Pearson}, ein Beispiel geben. Dieses Beispiel hat eine gewisse
+Ber�hmtheit erlangt, weil es den Ausgangspunkt weitergehender
+Untersuchungen gebildet hat. Wenn eine solche Streuung wie
+die angef�hrte besteht, so liegt der Fall genau so, als ob die beobachteten
+Individuen aus zwei Gattungen gemischt seien, f�r deren
+Verteilung einzeln die gew�hnliche \so{Gau�s}che Verteilungsfunktion
+gilt. Man beobachtet nun eine entsprechende Verteilung bei
+biologischen Individuen auch dann, wenn nicht sie selbst, wohl
+aber ihre Vorfahren aus zwei verschiedenen Arten gemischt sind.
+Es wird also das Bestehen einer solchen Verteilung das Kennzeichen
+f�r eine stattgefundene Bastardierung.
+
+Das Beispiel, das wir geben wollen, bezieht sich auf die
+"`Stirnbreite"' von $1000$ Krabben aus dem Golf von Neapel. Die
+zugrunde liegende Tabelle ist die auf folgender Seite.
+
+Um die in der graphischen Darstellung (\Fig{10}) eingezeichnete
+Kurve zu erhalten, die sich den beobachteten Werten m�glichst
+anschmiegt, sind f�r die Konstanten in der Formel folgende Werte
+genommen (f�r den Durchschnittswert ist $z = 0$, woraus $-c_1u_1
+= c_2u_2$):
+\begin{align*}
+c_1 &= 414,5, & u_1 &= -3,517,           & h_1 &= 0,159,\\
+c_2 &= 585,5, & u_2 &= \phantom{-}2,490, & h_2 &= 0,228\footnotemark.
+\end{align*}
+\footnotetext{Au�er den hier angef�hrten Verteilungsfunktionen, die alle auf
+  die \so{Gau�s}che Funktion zur�ckgehen, gibt \so{Pearson} (Transactions of
+  the Royal Society, London 1895) noch eine Anzahl anderer an, die er
+  ebenfalls an das Urnenschema ankn�pft. Es wird hierbei das Urnenschema
+  aber nur als heuristisches Prinzip benutzt, indem in der abgeleiteten
+  Formel die Grenzen, in denen die Konstanten bleiben m�ssen,
+  und notwendige Voraussetzungen, die bei der Ableitung zu machen
+  sind, au�er acht gelassen werden. Dieses Verfahren ist gewi� berechtigt,
+  wenn es sich um nichts anderes handelt als darum, passende
+  Ann�herungsfunktionen f�r die empirisch gefundenen Verteilungen
+  zu gewinnen. Es ist dann die Aufgabe, an m�glichst zahlreichen
+  Beispielen die angesetzten Funktionen zu erproben. In dieser Hinsicht
+  ist eine Durchsicht der Zeitschrift Biometrika, A Journal for the statistical
+  study of biological problems (Cambridge, seit 1901, herausgegeben von
+  \so{Weldon}, \so{Pearson}, \so{Davenport} und \so{Galton}) zu empfehlen, in deren
+\index{Davenport}%
+\index{Galton}%
+\index{Weldon}%
+  ersten B�nden sich zahlreiche solche Beispiele finden. Durch die Art aber,
+  wie die \so{Pearson}schen Untersuchungen auch in der letzten Zeit (\zB~bei
+  \so{Forcher}, Die statistische Methode, Leipzig 1913) wiedergegeben
+\index{Forcher}%
+  worden sind, wird nur zu leicht der Anschein erweckt, als ob es sich
+  um eine wirkliche Ableitung der entstehenden Verteilungen aus dem
+  Urnenschema handle. Die Darstellung bei Fechner (Kollektivma�lehre,
+\index{Fechner}%
+  herausgegeben von G.~F.~\so{Lipps}, Leipzig 1899), der auf andere Weise
+\index{Lipps@Lipps, G. F. (Herausgeber)}%
+  eine Verallgemeinerung der \so{Gau�}schen Funktion anstrebt, ist darin
+  durchsichtiger.}
+\DPPageSep{165}{151}
+\index{Lexis}%
+\begin{table}[hbtp!]
+\begin{minipage}{3cm}
+\[
+\footnotesize
+\begin{array}{@{}c|c@{}}
+\hline\hline
+\ColHeadb{zahlen}{Ma�-\\zahlen} &
+\ColHead{Individuen}{Anzahl \\Individuen} \\
+\hline\hline
+\Z1 & \Z1 \\
+\Z2 & \Z3 \\
+\Z3 & \Z5 \\
+\Z4 & \Z2 \\
+\Z5 & \Z7 \\
+\Z6 &  10 \\
+\Z7 &  13 \\
+\Z8 &  19 \\
+\Z9 &  20 \\
+ 10 &  25 \\
+ 11 &  40 \\
+ 12 &  31 \\
+ 13 &  60 \\
+ 14 &  62 \\
+ 15 &  54 \\
+ 16 &  74 \\
+ 17 &  84 \\
+ 18 &  86 \\
+ 19 &  96 \\
+ 20 &  85 \\
+ 21 &  75 \\
+ 22 &  47 \\
+ 23 &  43 \\
+ 24 &  24 \\
+ 25 &  19 \\
+ 26 & \Z9 \\
+ 27 & \Z5 \\
+ 28 & \Dash \\
+ 29 & \Z1 \\
+ 30 & \Dash \\
+\end{array}
+\]
+\end{minipage}
+\hfill
+\begin{minipage}{\textwidth-3cm}
+  \centering
+  \caption{Fig.~10.}
+  \Input{165}
+\end{minipage}
+\end{table}
+
+Es bleibt noch �brig, die Anwendung der Formel, die f�r
+verh�ltnism��ig seltene Ereignisse gilt, durch ein Beispiel zu erl�utern.
+L.~v.~\so{Bortkewitsch} hat in seiner Schrift Das Gesetz
+\index{Bortkewitsch@Bortkewitsch (Bortkiewicz), Lad.\ v.|ff}%
+der kleinen Zahlen (Leipzig 1898) die Bedeutung dieser Formel
+besonders hervorgehoben. Es erscheint beinahe a priori einleuchtend,
+da� die st�renden Einwirkungen, die sonst das Zustandekommen
+einer regul�ren Verteilung verhindern, indem in den
+\DPPageSep{166}{152}
+einzelnen verglichenen Bezirken verschiedene Verh�ltnisse obwalten,
+sich am wenigsten geltend machen, wenn an den verschiedensten
+Stellen durch ein verh�ltnism��ig seltenes Ereignis
+einzelne F�lle, sozusagen Stichproben, herausgegriffen werden.
+
+Wir hatten gesehen, da� in diesem Falle die Formel gilt:
+\[
+\Tag{(11)}
+\phi_p = \frac{m^p e^{-m}}{p!},
+\]
+wobei die Beziehungen bestehen m�ssen:
+\[
+\Tag{(12)}
+\Sum\phi_p = 1, \
+m = \Sum p\phi_p, \
+m' = \Sum(p - m)^2 \phi_p, \
+m' = m.
+\]
+
+Es ist zun�chst zu pr�fen, ob diese Beziehungen erf�llt sind.
+Wir wollen nun hierf�r ein Beispiel nehmen und w�hlen mit
+\so{Bortkewitsch} die Anzahl der Soldaten, die w�hrend der Jahre
+1875 bis 1894 innerhalb der Armeekorps II~bis~V, VII~bis~X,
+XIV~und~XV des preu�ischen Heeres durch Hufschlag eines
+Pferdes get�tet wurden. Die einzelnen Zahlen~$p_i$ usw.\ bedeuten
+dann die innerhalb eines Armeekorps w�hrend eines Jahres Get�teten.
+Es ergeben sich dabei:
+\[
+\begin{array}{*{6}{c}l}
+          &   0 &  1 &  2 & 3 & 4 & 5 \text{ und mehr Get�tete} \\
+\text{in} & 109 & 65 & 22 & 3 & 1 & 0 \text{ F�llen,}
+\end{array}
+\]
+und daraus folgt der Wert
+\[
+m = \frac{65�1 + 22�2 + 3�3 + 4�1}{200} = 0,61.
+\]
+�bereinstimmend damit ergibt sich auch f�r $m'$ der Wert~$0,61$.
+Rechnet man nun mit Hilfe des Ausdruckes
+\[
+z_0 \frac{m^p}{p!}
+\]
+die zu erwartenden H�ufigkeiten von $p$ Todesf�llen aus, indem
+man $z_0$ (die H�ufigkeit f�r $p = 0$) daraus bestimmt, da� die
+Summe aller H�ufigkeiten gleich $200$ sein mu�, woraus
+\[
+z_0 = 200�e^{-m}
+\]
+folgt, so findet man statt der obigen Werte die Zahlen:
+\[
+109 \qquad 66 \qquad 20 \qquad 4 \qquad 1 \qquad 0.
+\]
+Die �bereinstimmung ist au�erordentlich gut. Da� sie auf einem
+blo�en Zufall beruht, ist nicht anzunehmen. Vielmehr haben wir
+\DPPageSep{167}{153}
+\index{Lipps@Lipps, G. F. (Herausgeber)}%
+uns zu denken, da� alle �rtlichen und zeitlichen Besonderheiten,
+die sonst als systematische Abweichungen hervortreten, dadurch
+unwirksam werden, da� eine rein zuf�llige Auswahl durch das
+betrachtete seltene Ereignis getroffen wird und da� wir deswegen
+ann�hernd dieselben Verh�ltnisse haben m�ssen, wie sie bei der
+Begr�ndung aus dem Urnenschema vorausgesetzt werden\footnote
+  {An kurz zusammenfassenden Darstellungen mit reichen Literaturangaben
+  vgl.\ man den Artikel von \so{Bortkiewicz}, Anwendungen der
+  Wahrscheinlichkeitsrechnung auf Statistik, Enzyklop�die der math.\
+  Wissenschaften, Bd.~I, 2.~Teil, Leipzig 1900--1904, \so{Czuber}, Die Entwickelung
+\index{Czuber}%
+  der Wahrscheinlichkeitstheorie und ihrer Anwendungen,
+  Jahresbericht der Deutschen Math.-Ver., Bd.~VII, Leipzig 1899, ferner die
+  Artikel Geschlechtsverh�ltnis der Geborenen und Gestorbenen (v.~\so{Mayr}),
+\index{Mayr, v.}%
+  Gesetz (\so{Lexis}), Sterblichkeit (v.~\so{Bortkiewicz}) im Handw�rterbuch
+\index{Lexis}%
+  der Staatswissenschaften von \so{Lexis} und \so{Elster}.}.
+\index{Elster (Herausgeber)}%
+\EndChap
+\DPPageSep{168}{154}
+
+
+\Chapter{Zehntes Kapitel}{Die genetische Theorie des Zufalls}
+
+Die statistische Theorie des Zufalls offenbart einen gemeinschaftlichen
+Charakter in der Verteilung der statistischen Ergebnisse
+bei solchen Ereignissen, die wir als zuf�llige anzusehen
+gewohnt sind. Wir erhalten aber keinen unmittelbaren Aufschlu�
+dar�ber, wie wir uns das Zustandekommen einer solchen Verteilung
+in der Wirklichkeit denken k�nnen. Es bleibt daher das Bed�rfnis
+bestehen, sozusagen in den inneren Mechanismus des Geschehens
+einzudringen und sich klar zu machen, wie die als typisch f�r die
+Zufallsereignisse angesehene Verteilung auch auf einer inneren
+�bereinstimmung der in Betracht kommenden Ereignisse beruht.
+
+Als die am sichersten als zuf�llig zu bezeichnenden Ereignisse
+gelten nun die Ereignisse, die in dem Begehen eines bestimmten
+Beobachtungsfehlers bei sehr sorgf�ltig ausgef�hrten Beobachtungen
+bestehen, \dh~sich der in der Abweichung der in der
+gleichen Weise und mit der gleichen Sorgfalt bestimmten Werte
+voneinander kundgeben. F�r diese Fehler hat die Erfahrung mit
+hinreichender Gewi�heit die Geltung des sogenannten \so{Gau�}schen
+Fehlergesetzes, das durch die Funktion
+\[
+\phi(x) = \frac{h}{\sqrt\pi}\, e^{-h^2 x^2}
+\]
+geliefert wird, ergeben.
+
+Man kann es nun als die Aufgabe hinstellen, eine Erkl�rung
+daf�r zu suchen, wie dieses eigent�mliche Gesetz f�r die Verteilung
+der Fehler zustande kommt.
+
+Der Astronom \so{Bessel} ist der erste gewesen, der diese Frage
+\index{Bessel@Bessel|f}%
+zu beantworten gesucht hat (Untersuchungen �ber die Wahrscheinlichkeit
+der Beobachtungsfehler, Astron.\ Nachrichten, Bd.~15,
+\DPPageSep{169}{155}
+1838). Er dachte sich, da� jeder Fehler das Resultat des Zusammentreffens
+einer gro�en Anzahl von Elementarfehlern ist, die
+einzeln bestimmten Fehlerquellen entstammen. Die einfachste
+Annahme ist dabei die, die Elementarfehler alle als dem absoluten
+Betrag nach gleich vorauszusetzen, etwa gleich~$e$, und weiter zu
+sagen, jeder einzelne Elementarfehler gehe gleich oft mit dem positiven
+und dem negativen Vorzeichen in das Resultat ein. Dieses
+Resultat entspricht dann einer bestimmten Vorzeichenkombination
+der Elementarfehler. Man kann diesen Vorgang sehr einfach auf
+das Urnenschema zur�ckf�hren, indem man eine Urne voraussetzt,
+in der gleich viele schwarze und wei�e Kugeln gemischt
+enthalten sind. Das Ziehen einer wei�en Kugel bedeutet denn
+das Begehen des Elementarfehlers~$+e$, das Ziehen einer schwarzen
+Kugel das Begehen des Elementarfehlers~$-e$. Wenn nun eine
+gro�e Anzahl $n = p + q$ Male eine Kugel aus der Urne gezogen
+ist, so wird, wenn hierbei $p$\,mal eine wei�e und $q$\,mal eine schwarze
+Kugel gefunden wurde,
+\[
+x = (p - q)e
+\]
+der begangene Gesamtfehler.
+
+Die relative H�ufigkeit dieses Gesamtfehlers wird
+\[
+\frac{(p + q)!}{p!\, q!} \left(\frac{1}{2}\right)^p \left(\frac{1}{2}\right)^q
+\]
+oder wenn man
+\[
+p = \frac{n}{2} + u, \quad
+q = \frac{n}{2} - u
+\]
+setzt,
+\[
+w_u = \frac{n!}{\left(\dfrac{n}{2} + u\right)! \left(\dfrac{n}{2} - u\right)!}
+  � \left(\frac{1}{2}\right)^n.
+\]
+Es handelt sich nun darum, hierf�r einen N�herungswert zu finden,
+indem man $n$ sehr gro� und $u$ als verh�ltnism��ig klein gegen $n$
+annimmt.
+
+Wir bilden zu dem Zweck
+\[
+\frac{w_u}{w_{u-1}} = \frac{\dfrac{n}{2} - u}{\dfrac{n}{2} + u},
+\]
+\DPPageSep{170}{156}
+dividieren Z�hler und Nenner dieses Bruches durch $\frac{1}{2} n$ und setzen
+\[
+2 \frac{u}{n} = z,
+\]
+dann wird
+\[
+\frac{w_u}{w_{u-1}} = \frac{1 - z}{1 + z}.
+\]
+Wir erhalten also, indem wir weiter setzen
+\[
+z = \frac{x}{ne},
+\]
+woraus
+\[
+x = 2ue,
+\]
+da $z$ ein sehr kleiner Bruch ist,
+\[
+\frac{w_u - w_{u-1}}{w_u} = -\frac{2z}{1 - z} = -2z = -\frac{2x}{ne},
+\]
+also, wenn wir ber�cksichtigen, da�
+\[
+w_u = \phi(x) \quad \text{und demnach} \quad
+\frac{w_u - w_{u-1}}{w_u} = d \ln \phi(x)
+\]
+wird,
+\[
+d \ln \phi(x) = -\frac{2x}{ne},
+\]
+ferner $dx = 2e$, da einer Vermehrung von $u$ um $1$ eine Vermehrung
+von $x$ um $2e$ entspricht, und somit schlie�lich
+\[
+\phi(x) = C e^{-h^2x^2}
+\]
+entsprechend dem urspr�nglichen Ansatz, wenn wir noch
+$h = \dfrac{1}{\sqrt{2n}e}$ machen.
+
+Es ist aber wichtig, sich von der \so{Bessel}schen Annahme
+frei zu machen, da� jede Fehlerquelle nur Fehler von bestimmtem
+absoluten Betrage liefern k�nne, und daf�r die allgemeinere Voraussetzung
+einzuf�hren, da� jede Fehlerquelle
+
+1. gleich gro�e positive und negative Fehler mit gleich gro�er
+relativer H�ufigkeit ergebe und
+
+2. nur sehr kleine Fehler, aber
+\DPPageSep{171}{157}
+
+3. innerhalb gewisser Grenzen jeden beliebigen Fehler liefern
+k�nne\footnote
+  {Vgl.\ \so{Crofton}, On the proof of the law of errors of observations,
+\index{Crofton}%
+  Philosophical Transactions, Vol.~159 (1869), Artikel Probability, Encyclopaedia
+  Britannica, 9.~ed., Vol.~19 (1885).}.
+
+Sogar von der Voraussetzung~1.\ k�nnen wir, wie wir sehen
+werden, Abstand nehmen.
+
+Wir nehmen an, die Aufgabe sei bereits gel�st, wenn die
+Zahl der Fehlerquellen $n$ betr�gt. Man habe die Fehlerfunktion
+gefunden, die durch das Zusammenwirken dieser $n$ Fehlerquellen
+entsteht, und man nenne diese Fehlerfunktion $\phi_n(x)$. Dann
+komme noch eine Fehlerquelle hinzu, zu der die Fehlerfunktion
+$\Theta_{n+1}(x)$ geh�re, und man suche die nun entstehende neue Fehlerfunktion
+$\phi_{n+1}(x)$ zu bestimmen. Wir haben dann, da, wenn die
+letzte Fehlerquelle den Fehler $u$ liefert, die �brigen Fehlerquellen
+den Fehler $x - u$ liefern m�ssen, damit der Gesamtfehler $x$ werde,
+\[
+\phi_{n+1}(x) = \Int_{-r}^{+r} \phi_n(x - u) \Theta_{n+1}(u)\, du,
+\]
+wo $+r$ und $-r$ die Extremwerte sind, bis zu denen die Argumente
+der Funktion~$\Theta_{n+1}(u)$ reichen.
+
+Wir entwickeln unter dem Integralzeichen $\phi_n(x - u)$ nach
+dem \so{Taylor}schen Lehrsatze, und finden
+\[
+\phi_{n+1} (x)
+  = \Int_{-r}^{+r} \bigl[\phi_n(x) - u\phi'_n(x) + \tfrac{1}{2} u^2\phi''_n(x)\bigr]
+  \Theta_{n+1}(u)\, du.
+\]
+Die h�heren Potenzen von $u$ k�nnen wir vernachl�ssigen.
+
+Es ist nun
+\[
+\Int_{-r}^{+r} \Theta_{n+1}(u)\, du = 1,
+\]
+und setzen wir ferner
+\[
+\Int_{-r}^{+r} u \Theta_{n+1}(u)\, du = j_{n+1}, \qquad
+\Int_{-r}^{+r} u^2 \Theta_{n+1}(u)\, du = k_{n+1},
+\]
+so wird jetzt
+\[
+\phi_{n+1}(x) = \phi_n(x) - j_{n+1} \phi'_n(x) + \tfrac{1}{2} k_{n+1}\phi''_n(x).
+\]
+\DPPageSep{172}{158}
+
+Wir erkennen daraus, da� es gleichg�ltig ist, welche Form
+wir der Funktion~$\Theta_{n+1}(u)$ geben, wenn sie nur die richtigen
+Werte von $j_{n+1}$ und $k_{n+1}$ liefert. Wir wollen deshalb insbesondere
+f�r die Funktion den Ansatz machen:
+\[
+\Theta_{n+1}(u) = \frac{\lambda_{n+1}}{\sqrt\pi}\, e^{-\lambda_{n+1}^2 (u-u_{n+1})^2},
+\]
+es ergibt sich dann:
+\begin{align*}
+j_{n+1} &= \Int_{-r}^{+r} u \Theta_{n+1}(u)\, du = u_{n+1},\\
+k_{n+1} &= \Int_{-r}^{+r} u^2 \Theta_{n+1}(u)\, du
+  = \frac{1}{2\lambda_{n+1}^2} + u_{n+1}^2.
+\end{align*}
+
+Wir k�nnen nun best�tigen, da� unter dieser Voraussetzung
+f�r die Verteilungsfunktion sich ebenfalls die Form
+\[
+\phi_n(x) = \frac{h_n}{\sqrt\pi}\, e^{-h_n^2(x-x_n)^2}
+\]
+ergibt. Wir zeigen dies, indem wir nachweisen, da� durch das
+Hinzutreten einer neuen Fehlerquelle sich diese Form nicht
+�ndert. Da diese Form aber f�r \so{eine} Fehlerquelle als g�ltig angenommen
+werden kann, gilt sie nach dem Bewiesenen dann
+auch f�r zwei, weiter f�r drei, vier usw.\ Fehlerquellen und damit
+allgemein.
+
+Setzen wir also voraus, in der Formel
+\[
+\Theta_{n+1}(x) = \Int_{-r}^{+r} \phi_n(x - u)\Theta_{n+1}(u)\, du
+\]
+seien die obigen Ausdr�cke f�r $\phi_n(x - u)$ und $\Theta_{n+1}(u)$ eingesetzt,
+dann wird, wenn wir noch f�r die Grenzen $-r$~und~$+r$
+$-\infty$~und~$+\infty$ schreiben,
+\[
+\phi_{n+1}(x)
+  = \Int_{-\infty}^{+\infty} c e^{-h_n^2(x-u-x_n)^2}\, e^{-\lambda_{n+1}^2(u-u_{n+1})^2}\, du,
+\]
+\DPPageSep{173}{159}
+wo $c$ eine Konstante ist. Die beiden Potenzen von $e$ vereinigen
+sich zu einer einzigen, deren Exponent
+\begin{align*}
+&= -h_n^2(x-u-x_n)^2 - \lambda_{n+1}^2(u-u_{n+1})^2 \\
+&= \begin{aligned}[t]
+  -(h_n^2+\lambda_{n+1}^2)u^2 + 2
+   & \bigl[h_n^2(x-x_n)+\lambda_{n+1}^2u_{n+1}\bigr]u \\
+  -& \bigl[h_n^2(x-x_n)^2 + \lambda_{n+1}^2u_{n+1}^2\bigr]
+\end{aligned} \\
+&= -(h_n^2 + \lambda_{n+1}^2)(u - u'_n)^2
+  - \frac{\lambda_{n+1}^2h_n^2}{h_n^2 + \lambda_{n+1}^2}(x - x_n - u_{n+1})^2
+\end{align*}
+ist, wenn
+\[
+u'_n = \frac{h_n^2(x - x_n) + \lambda_{n+1}^2u_{n+1}}{h_n^2 + \lambda_{n+1}^2}
+\]
+gesetzt wird. Hieraus folgt:
+\[
+\phi_{n+1}(x) = Ce^{-\tfrac{\lambda_{n+1}^2h_n^2}{h_n^2 + \lambda_{n+1}^2}(x-x_n-u_{n+1})^2},
+\]
+wo $C$ eine neue Konstante ist.
+
+Setzen wir mithin
+\[
+\phi_{n+1}(x) = Ce^{-h_{n+1}^2(x-x_{n+1})^2},
+\]
+so wird
+\[
+\frac{1}{h_{n+1}^2} = \frac{1}{h_n^2} + \frac{1}{\lambda_{n+1}^2}, \quad
+x_{n+1} = x_n + u_{n+1}.
+\]
+Also ist
+\[
+\Tag{(1)}
+\frac{1}{h_n^2}
+  = \frac{1}{\lambda_1^2} + \frac{1}{\lambda_2^2} + \dots
+  + \frac{1}{\lambda_n^2}
+\]
+und
+\[
+\Tag{(2)}
+x_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n.
+\]
+Nun ist, wie wir oben (S.~158) gefunden hatten,
+\[
+\Tag{(3)}
+u_i = \Int_{-\infty}^{+\infty} u\Theta_i(u)\, du.
+\]
+Also wird $u_i$ der Mittelwert, um den sich die aus der $i$ten Fehlerquelle
+flie�enden Fehler gruppieren, und die resultierende Fehlerfunktion
+ist auf einen Mittelwert bezogen, der die Summe aus
+\DPPageSep{174}{160}
+den Mittelwerten aller einzelnen Fehlerquellen ist. Diesen Wert
+k�nnen wir als den \so{systematischen Fehler} der Beobachtungen
+ansehen.
+
+Ferner ergibt sich:
+\[
+\Tag{(4)}
+\frac{1}{2\lambda_i^2} = \Int_{-\infty}^{+\infty} (u - u_i)^2\Theta_i(u)\, du,
+\]
+also gleich dem Quadrat $\mu_i^2$ des \so{mittleren zuf�lligen Fehlers}
+bei der $i$ten Fehlerquelle, und wir finden f�r den mittleren
+Fehler $\mu$ bei der resultierenden Fehlerfunktion:
+\[
+\Tag{(5)}
+\mu^2 = \mu_1^2 + \mu_2^2 + \dots + \mu_n^2.
+\]
+
+Die Resultate, die wir so f�r den besonderen Fall gefunden
+haben, wo die zugrunde gelegte Messungsreihe aus verschiedenen
+Messungen einer und derselben physikalischen Gr��e besteht, lassen
+sich auch sofort auf den Fall �bertragen, wo eine Reihe an verschiedenen
+Objekten ausgef�hrter Beobachtungen in ihrer Verteilung
+der \so{Gau�}schen Funktion folgt. Wir finden, da� eine solche
+Verteilung entstehen mu�, wenn die an den Objekten beobachteten
+Verschiedenheiten auf zuf�lligen Abweichungen von einem bestimmten
+Normaltypus beruhen, \dh~wenn eine gro�e Anzahl an
+sich sehr geringf�giger und voneinander unabh�ngiger Umst�nde
+zusammenwirken, um die beobachtete Abweichung zu erzeugen.
+
+In diesem Sinne k�nnten wir von einem objektiven Zufalle
+sprechen, der Zufall w�rde dann in dem Zusammentreffen einer
+gro�en Anzahl von Umst�nden bestehen, die untereinander in keiner
+unmittelbaren kausalen Beziehung stehen, und deren Zusammentreffen
+den beobachteten Erfolg herbeif�hrt.
+
+Hierdurch wird der Bereich des Zuf�lligen aber au�erordentlich
+eingeschr�nkt, denn gerade da� eine gro�e Menge von gegenseitig
+unabh�ngigen Einzelumst�nden zusammentreffen soll, scheint
+in der Wirklichkeit selten erf�llt. Wohl findet man, wenn man
+ein Zufallsereignis in den Einzelheiten seines Zustandekommens
+verfolgt, eine Reihe von Umst�nden, die zusammen das Ereignis
+hervorgerufen haben, aber diese Umst�nde stehen nicht au�er
+Zusammenhang, sie bilden vielmehr die Glieder in wenigen Ketten
+von kausalen Zusammenh�ngen. Meistens wird man sogar nur
+zwei solcher Ketten feststellen k�nnen. So wird man, um auf das
+\DPPageSep{175}{161}
+Beispiel des von einem herabfallenden Ziegel get�teten Passanten
+zur�ckzukommen, die zwei Ketten von Ursache und Wirkung verfolgen,
+die auf der einen Seite das Vor�bergehen des Menschen
+gerade an dieser Stelle und auf der anderen Seite das Herabfallen
+des Ziegels gerade zu dieser Zeit erkl�ren. Damit aber wird die
+Anwendung der in diesem Kapitel angestellten Analyse, wie es
+scheint, in den meisten F�llen illusorisch. Es soll diese Analyse
+jedoch auch gar nicht eine allgemeine genetische Erkl�rung der
+Zufallsereignisse geben. Sie liefert nur \so{ein} Beispiel daf�r, wie
+die f�r die Zufallsereignisse typische Verteilung zustande kommen
+kann. Dieses Beispiel ist deshalb von besonderer Bedeutung, weil
+die gegebene Erkl�rung in einem sehr wichtigen Falle, n�mlich
+bei gleich sorgf�ltigen Beobachtungen einer und derselben physikalischen
+Gr��e, tats�chlich zu stimmen scheint. Da� die typische
+Verteilung auch auf ganz andere Art zustande kommen kann,
+lehrt schon das Beispiel der Urnenziehungen. Es ist gerade das
+Merkw�rdige an der \so{Gau�}schen Verteilungsfunktion, da� sie sich
+auf ganz verschiedene, anscheinend voneinander v�llig unabh�ngige
+Arten ergibt. %[** TN: Removed trailing em-dash]
+
+Wenn wir nun zum Schlu� die Ergebnisse unserer Betrachtungen
+kurz zusammenfassen, so ist der Gewinn, den wir erzielt
+haben, nicht darin zu suchen, da� die Auffassung des einzelnen
+zuf�lligen Ereignisses eine Vertiefung erfahren hat. Dagegen haben
+wir gesucht, den Nachweis zu f�hren, da� auch die zuf�lligen
+Ereignisse nicht die Regelm��igkeit und Ordnung des allgemeinen
+Geschehens durchbrechen, da� vielmehr auf eine bestimmte Weise
+bei diesen zuf�lligen Ereignissen ein Ausgleich stattfindet f�r das,
+was sie als st�rendes Element in die Gesetzm��igkeit des Geschehens
+hineintragen.
+
+Hierin liegt an sich nichts Neues und �berraschendes, vielmehr
+etwas nahezu Selbstverst�ndliches. Wir brauchen ja blo�
+zu bedenken, da� die Vorg�nge in den kleinsten Teilen der Materie
+als Zufallsereignisse anzusehen sind, und da� sonach, wofern �berhaupt
+in dem physikalischen Geschehen eine Regelm��igkeit zu
+erkennen sein soll, diese auf einem Ausgleich der Zuf�lligkeiten
+in den Ver�nderungen der kleinsten Elemente beruhen mu�. Wir
+verlassen uns auf diesen Ausgleich wie auf ein Naturgesetz, \zB~ist
+der sogenannte zweite Hauptsatz der mechanischen W�rmetheorie,
+n�mlich der Satz, da� die W�rme nicht von selbst vom k�lteren
+\DPPageSep{176}{162}
+zum w�rmeren K�rper str�mt, nichts wie ein Ausdruck f�r den
+Ausgleich, der in den molekularen Bewegungen stattfindet. Es ist
+aber wichtig, sich klar bewu�t zu sein, da� hiermit ein neues
+Moment in die Naturerkl�rung hineingetragen wird, das von
+anderer Art ist wie die eine regelm��ige kausale Verkn�pfung
+aussagenden Naturgesetze. Das Wesentliche an allen zuf�lligen
+Ereignissen ist eben das, da� sie allein aus der Regelm��igkeit
+kausaler Verkn�pfungen nicht zu erkl�ren sind. Wenn daher sich
+in der Gesamtheit der Zufallsereignisse einer bestimmten Gruppe
+eine Regelm��igkeit wiederfindet, so ist diese von anderer Art als
+die kausalen Zusammenh�nge, und die Voraussetzung einer unverbr�chlichen
+Kausalit�t in allem Naturgeschehen mag wohl aufrecht
+erhalten werden, sie reicht allein aber nicht hin, um die
+Regelm��igkeit des Weltgeschehens vollst�ndig zu erkl�ren. Es
+geh�rt vielmehr die Tatsache hinzu, die wir als das Gesetz der
+gro�en Zahlen bezeichnen und die bewirkt, da� die Unregelm��igkeiten,
+die sonst durch die zuf�lligen Ereignisse in die Welt hineingetragen
+w�rden, in dem Gesamtergebnis doch wieder verschwinden.
+
+Wenn wir diese Elimination des Zufalls als eine allgemeine
+Tatsache hinstellen, so m�ssen wir uns bewu�t sein, da� wir f�r
+diese Tatsache keine bestimmte Erkl�rung geben k�nnen, da� wir
+sie vielmehr nur insoweit behaupten k�nnen, wie sie uns durch
+die Erfahrung best�tigt wird. Unser Verstand str�ubt sich allerdings
+dagegen, ein so allgemeines Prinzip nur deshalb anzunehmen,
+weil hier und dort seine Richtigkeit bezeugt wird, vielmehr
+dr�ngt er dahin, auch einen inneren Grund f�r einen solchen
+Ausgleich zu finden. Ein solcher innerer Grund l��t sich aber
+nicht ermitteln. W�rden wir zu ihm gelangen k�nnen, so m��te
+uns eine Einsicht in den Mechanismus des Geschehens zu Gebote
+stehen, wie wir sie nicht haben. Was uns gegeben ist, sind die
+einzelnen Erfahrungen. Nur indem wir diese zusammenhalten,
+miteinander vergleichen, Gleichartiges zusammenschlie�en und die
+dabei sich herausstellenden regelm��igen Zusammenh�nge aufdecken,
+gelangen wir dazu, das zu erreichen, was wir eine Erkl�rung
+des Naturgeschehens nennen. Auf diesem Wege k�nnen
+wir aber nicht den Ausgleich erkl�ren, der in dem Gesetz der
+gro�en Zahlen ausgedr�ckt sein soll.
+
+Deshalb m�ssen wir uns damit begn�gen, diesen Ausgleich,
+indem wir seine Wirklichkeit von vornherein voraussetzen, in
+\DPPageSep{177}{163}
+seinen einzelnen Erscheinungsformen selbst zu verfolgen. Auf
+diese Weise kann nat�rlich die Tatsache des Ausgleichs, weil wir
+sie von Anfang an vorausgesetzt haben, nicht erst erkl�rt werden.
+Wir k�nnen aber diese Tatsache uns sozusagen n�her bringen,
+indem wir solche Vorg�nge herausgreifen, �ber deren inneren
+Charakter wir glauben von vornherein Klarheit zu haben. Diese
+Vorg�nge sind die Gl�cksspiele, und unter den Gl�cksspielen
+w�hlten wir noch insbesondere einen typischen Vorgang aus, der
+in den Ziehungen aus einer Urne besteht. Alle Ergebnisse, die
+aus diesen typischen Vorg�ngen gewonnen werden und die sich
+in der Ableitung gewisser Formeln f�r die bei h�ufiger Wiederholung
+des Vorganges zu erwartenden statistischen Ergebnisse
+vollenden, k�nnen auf andere Vorg�nge, deren inneres Zustandekommen
+unserer Beobachtung verschlossen ist, nur so angewendet
+werden, da� wir die statistischen Ergebnisse vergleichen. Das ist
+es, was wir als die statistische Methode bezeichnet haben.
+
+Welches Recht haben wir nun, Ereignisse, deren Verteilung
+mit der aus dem Urnenschema folgenden Verteilung eine gewisse
+�bereinstimmung zeigt, auch innerlich als gleichartig anzusehen?
+Dadurch, da� wir �berhaupt �ber die innere Natur
+eines Vorganges urteilen, gehen wir aus dem rein ph�nomenologischen
+Gebiet in das ontologische Gebiet �ber. Die innere
+Natur eines Vorganges, das eigentliche Warum und Wieso liegt
+au�erhalb des Bereiches der blo�en Erfahrung. Was uns dazu
+hinf�hrt, sind im Grunde immer Analogieschl�sse. Auf das Bedenkliche
+solcher Schl�sse braucht nicht besonders hingewiesen
+zu werden. Die Analogie verf�hrt uns nur zu leicht, aus einer
+gefundenen �bereinstimmung in einzelnen Punkten eine �bereinstimmung
+auch in anderen Punkten zu erschlie�en, ohne da� dieser
+Schlu� logisch zwingende Kraft h�tte.
+
+Trotzdem k�nnen wir ohne solche Analogieschl�sse nicht auskommen.
+Sie sind es im wesentlichen, die uns die Dinge als begreiflich
+erscheinen lassen. Das blo�e Sammeln und Ordnen von
+Erfahrungen w�rde uns unbefriedigt lassen. Wir w�rden das
+innere Band vermissen. Dieses Band eben finden wir h�ufig
+durch Analogieschl�sse. So beruht \zB~der Kraftbegriff, durch
+den uns die physikalischen Vorg�nge begreiflich erscheinen sollen,
+auf einer Analogie mit physiologischen Vorg�ngen, n�mlich dem
+Gef�hl der Anstrengung beim Heben einer Last, und da� uns die
+\DPPageSep{178}{164}
+Dinge auf diese Weise innerlich begreiflich erscheinen, liegt daran,
+da� wir sie in Zusammenhang bringen mit pers�nlichen Empfindungen.
+Wir bringen sie uns "`menschlich nahe"'.
+
+Etwas �hnliches k�nnen wir nun auch in der Analyse der
+zuf�lligen Vorg�nge finden. Auch hier ist es die pers�nliche
+Stimmung dem ungewissen Ereignis gegen�ber, die das Verfahren
+bestimmt hat und aus der heraus man ein inneres Verstehen der
+Vorg�nge zu erreichen geglaubt hat. Hierhin geh�rt es, wenn in
+der klassischen Wahrscheinlichkeitsrechnung die gleich m�glichen
+F�lle dadurch definiert werden, da� wir keinen Grund haben, das
+Eintreten des einen eher als das Eintreten des anderen zu erwarten.
+Hierhin geh�rt es ferner, wenn angenommen wird, da� ein Ereignis,
+dessen mathematische Wahrscheinlichkeit der Einheit sehr nahe
+kommt, als gewi� angesehen werden kann, weil wir in unserem
+Leben fortw�hrend gezwungen sind, wegen der Unsicherheit aller
+unserer Lebensumst�nde als gewi� hinzunehmen, was im Grunde
+nur sehr wahrscheinlich ist. Die Analogie geht sogar tiefer, indem
+wir die Unentschiedenheit eines k�nftigen Ereignisses mit der
+Unentschiedenheit eines Menschen vergleichen, der zwischen zwei
+M�glichkeiten zu w�hlen hat. Wenn wir von dem blinden Zufall
+sprechen, so beruht dies darauf, da� die Entscheidung verglichen
+wird mit der Entscheidung eines Menschen, der eine M�glichkeit
+ohne �berlegung ergreift. Diese Eindeutung innerer Erlebnisse
+in die �u�eren Vorg�nge ist dem menschlichen Geiste durchaus
+nat�rlich, sie ist aber auch mit gro�en Gefahren verkn�pft. Das
+tritt tats�chlich in der Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung
+deutlich zutage. Bei aller Gro�artigkeit der Entwickelung krankt
+\zB~das Werk von \so{Laplace} daran, da� der Bereich des Ungewissen
+\index{Laplace}%
+ohne eine sichere empirische Grundlage allein aus dem
+Denken heraus mit Hilfe der mathematischen Rechnung einer bestimmten
+Analyse unterworfen werden soll. Rein �u�erlich gibt
+sich das darin zu erkennen, da� zu viel mathematische Entwickelungen
+und zu wenig statistisches Material gegeben wird. Die
+mathematische Ableitung ist aber nur ein formales Hilfsmittel. Aus
+ihr allein l��t sich keine reale Erkenntnis sch�pfen, wenn sie
+nicht mit wirklicher Beobachtung gepaart wird. Es werden daher
+bei \so{Laplace} eigentlich nur Methoden gegeben, ohne da� �berhaupt
+feststeht, wie weit diese Methoden sich auf Probleme der
+Wirklichkeit �berhaupt anwenden lassen. Wo solche Anwendungen
+\DPPageSep{179}{165}
+\index{Lipps@Lipps, G. F. (Herausgeber)}%
+aufzutreten scheinen, beruhen sie nur auf unbestimmten Vermutungen
+und unberechtigten Annahmen.
+
+\so{Qu�telet} geb�hrt das gro�e Verdienst, mit der Anwendung
+\index{Qu�telet}%
+der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf die Wirklichkeit Ernst gemacht
+zu haben\footnote
+  {Vgl.\ insbesondere seine Lettres sur la th�orie des probabilit�s
+  appliqu�e aux sciences morales et politiques (Bruxelles 1846).}.
+Aber auch er beging den Fehler, da� er zu selbstverst�ndlich
+die �bereinstimmung der Wirklichkeit mit den aus
+dem einfachen Urnenschema folgenden Formeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
+voraussetzte und sie h�ufig da zu sehen glaubte,
+wo sie tats�chlich nicht vorhanden ist. Daher liegt ein ungeheurer
+Vorteil in dem Aufkommen der eigentlich empirischen Methoden,
+die sich eine unbefangene und sichere Feststellung der tats�chlichen
+Verh�ltnisse zur Aufgabe machen und um deren Entwickelung
+sich in Deutschland besonders W.~\so{Lexis} und G.~Th.~\so{Fechner}
+\index{Fechner}%
+\index{Lexis}%
+und in England K.~\so{Pearson} verdient gemacht haben. Hier wird
+\index{Pearson}%
+in der Tat die mathematische Entwickelung nur ein Hilfsmittel,
+um das statistische Material systematisch zu verarbeiten. Die
+Verarbeitung besteht einerseits darin, da� die statistischen Ergebnisse
+�ber solche Ereignisse, die in ihrer Verteilung eine gewisse
+Gemeinsamkeit zeigen, vereinigt werden, und andererseits darin,
+da� man in bestimmten Verteilungen eine einfache mathematisch
+ausdr�ckbare Regelm��igkeit nachzuweisen versucht.
+
+Das Bezeichnende der Methode darf man vielleicht darin
+sehen, da� gerade die R�cksichtnahme auf den urs�chlichen Zusammenhang,
+die sonst den Kern der Naturerkl�rung bildet, vollst�ndig
+in Wegfall kommt. Es ist wohl gut, nochmals hervorzuheben,
+da� nach der in Rede stehenden Methode zwischen den
+einzelnen F�llen keinerlei urs�chlicher Zusammenhang, sondern nur
+eine Gleichartigkeit der Bedingungen bei ihnen allen angenommen
+wird. Die bei dem Urnenschema herauskommende Verteilung wird
+ausdr�cklich unter der Voraussetzung abgeleitet, da� eine Ziehung
+mit der anderen au�er allem kausalen Zusammenhang steht, da� es
+f�r das Resultat einer Ziehung v�llig gleichg�ltig ist, welche Resultate
+die vorhergehenden Ziehungen ergeben haben. Die Ziehung
+einer wei�en Kugel bleibt in der Sprache der Wahrscheinlichkeitsrechnung
+gleich wahrscheinlich, auch wenn schon zehn- oder
+zwanzigmal hintereinander eine wei�e Kugel gezogen worden ist.
+\DPPageSep{180}{166}
+
+Der Ausgleich zwischen den Resultaten der einzelnen Ziehungen
+ist kein mechanischer, er beruht nicht auf einer Wirkung,
+welche die Resultate der einen Ziehung auf das Resultat der
+anderen aus�ben. Er ist nur ein statistischer, \dh~wir haben uns
+zu denken, da� er da zustande kommt, wo die Bedingungen des
+Geschehens, soweit sie festliegen, unver�ndert bleiben. Wenn es
+eine Ordnung des Geschehens in dem Sinne gibt, da� f�r das
+Resultat des einen Falles es nicht gleichg�ltig ist, welches die
+Resultate der vorhergehenden F�lle waren, so bleibt diese Ordnung
+hier unber�cksichtigt, sei es nun, da� sie in einer gewissen Neigung
+der gleichartigen Resultate, sich r�umlich oder zeitlich zusammenzuschlie�en
+oder in einer bestimmten pr�destinierten Verteilung
+der verschiedenen Resultate bestehen soll. Das ganze Schwergewicht
+der Betrachtung ruht darauf, da� eine Erkl�rung der
+stattfindenden Verteilung auch m�glich ist, ohne einen inneren
+Zusammenhang der Einzelergebnisse vorauszusetzen.
+
+Wenn die Beiseiteschiebung des kausalen Zusammenhanges
+das Bezeichnende an den angestellten Betrachtungen sein soll, so
+scheint dieses Prinzip nur bei der genetischen Erkl�rung des
+Zufalls durchbrochen zu sein. Es ist aber leicht zu erkennen,
+da� auch hier nicht das Zufallsereignis aus einer gro�en Menge
+voneinander unabh�ngiger Einzelursachen kausal erkl�rt werden
+soll, sondern da� es vielmehr als zusammengesetzt erscheint aus
+einer gro�en Menge voneinander unabh�ngiger Einzelmomente.
+Das Wesentliche ist auch hier wieder gerade das Fehlen des
+kausalen Zusammenhanges zwischen den einzelnen Bestandteilen
+des Zufallsereignisses. Es bleibt also immer das Fehlen des kausalen
+Zusammenhanges das Bezeichnende f�r die genetische Erkl�rung
+der Zufallsereignisse, gleichg�ltig, ob wir dieses Fehlen
+als ein absolutes oder als ein relatives, \dh~als das Fehlen einer
+engeren kausalen Verkn�pfung, ansehen wollen.
+
+Aber die genetische Erkl�rung des einzelnen Zufallsereignisses
+war nicht das, worauf die angestellten Betrachtungen haupts�chlich
+abzielten. Im Gegenteil kann man ihr Wesen darin erblicken,
+da� sie von der Betrachtung des Zufalls im einzelnen
+Ereignisse ablenken, da� sie die Fragestellung vielmehr auf die
+Gesamtheit der Erscheinungen hinwenden.
+
+Auch von vornherein wird man zugeben, da� das einzelne
+Zufallsereignis nicht das ist, was im Grunde unsere Teilnahme
+\DPPageSep{181}{167}
+erweckt, da� vielmehr die wirkliche Aufgabe in der Beantwortung
+der Frage liegt, wie die Zufallsereignisse in ihrer Gesamtheit auf
+das Getriebe der Welt einwirken. Die Antwort ist klipp und klar
+die, da� das, was im einzelnen Ereignis als zuf�llig und unberechenbar
+erscheint, in der Totalit�t der Erscheinungen durch einen
+gewissen Ausgleich beseitigt wird. Allerdings eine Erkl�rung, die
+im tieferen Sinne befriedigt, f�r diesen Ausgleich zu finden, ist uns
+nicht gelungen. Unsere Betrachtung blieb auch hier auf die Beobachtung
+des Tats�chlichen und die Feststellung der darin
+liegenden Regelm��igkeiten beschr�nkt, genau so wie sie es da ist,
+wo die mit einer durchg�ngigen Kausalit�t des Naturgeschehens
+in Zusammenhang stehenden "`Naturgesetze"' den Gegenstand der
+Untersuchung bilden.
+
+Da� eine allgemeine genetische Erkl�rung des Zufalls nicht
+geliefert ist, gibt sich auch darin zu erkennen, da� nach der
+statistischen Theorie ein Ereignis als zuf�llig nur innerhalb einer
+bestimmten Gesamtheit erscheint. So ergab sich die Verteilung
+der K�rpergr��e unter den durch die Aushebungen in einem gro�en
+Gebiete herausgegriffenen erwachsenen m�nnlichen Individuen als
+die typische Zufallsverteilung. Dabei k�nnen wir die K�rpergr��e,
+die ein Mensch erreicht, doch nicht als rein zuf�llig hinstellen.
+Im Gegenteil sind uns bestimmte Momente, \zB~die K�rpergr��e
+der Eltern, bekannt, die einen Einflu� auf das k�rperliche Wachstum
+aus�ben. Diesen und �hnlichen Einfl�ssen nachzugehen, war
+hier nicht unsere Aufgabe. Es scheint aber n�tig, zum Schlu� auf
+ihr Bestehen noch nachdr�cklich hinzuweisen, damit nicht der
+Eindruck entsteht, als solle aus dem Vergleich mit dem Schema
+der Gl�cksspiele, der uns f�r die mathematische Behandlung die
+Handhabe gegeben hat, eine innere Gleichartigkeit gefolgert werden,
+als solle verkannt werden, wie ungleich verwickelter in ihrer inneren
+Beschaffenheit die Vorg�nge in der menschlichen Gesellschaft sind,
+als die wenigstens beim ersten Anblick sehr einfach scheinenden
+Vorg�nge der Urnenziehungen.
+\EndChap
+\DPPageSep{182}{168}
+\PrintIndex
+\iffalse
+Namenverzeichnis
+(Die Zahlen bedeuten die Seiten.)
+
+Abbe 89.
+Alembert@{d'Alembert|f}#Alembert 51
+Aristoteles 56.
+
+Bernoullische Theorem 66. %[** TN: "Bernoullisches Theorem" in original]
+Bertillon 141.
+Bessel@{Bessel|f}#Bessel 14, 154.
+Blaschke 140.
+Borel 66.
+Bortkewitsch@{Bortkewitsch (Bortkiewicz), Lad.\ v.}#Bortkewitsch 52, 138, 147, 151. %** 151 ff.
+Boylesches (Mariottesches) Gesetz 31.
+Bromse@{Br�mse}#Br�mse 52.
+Brownsche Bewegung 146.
+Bruns 66, 133.
+
+Cardano 58.
+Carvallo 66.
+Cournot 4.
+Crofton 157.
+Czuber 147, 153.
+
+Davenport 147, 150.
+Edgeworth 147.
+Elster (Herausgeber) 153.
+
+Fechner 151, 165.
+Fechnersches Lagengesetz 81.
+Forcher 140, 150.
+Fries@{Fries, J. F.}#Fries VI.
+
+Galilei@{Galilei|f}#Galilei 58.
+Galton 150.
+Gau� 93.
+Gau�sche@{Gau�sche Verteilungsfunktion|uo}#Gau�sche 109.
+Goethe 6.
+Goldschmidt 54.
+Grimsehl 52.
+
+Helmert 89.
+Hume 5.
+Huygens 60.
+
+Iterson 31.
+
+Kant 3, 7.
+King 147.
+Kozak VIII.
+Kries@{Kries, Joh.\ v.}#Kries 61.
+
+Lange@{Lange, Friedr.\ Albert}#Lange 47, 57, 62. %** 62 f.
+Laplace 45 f., 55, 61, 164.
+Lexis 40, 135, 151, 153, 165. %** 40 f. 135 ff.
+Lipps@{Lipps, G. F. (Herausgeber)}#Lipps 151, 153, 165.
+Lottermoser (�bersetzer) 146.
+Louri� 62.
+
+Marbe 52.
+Maxwell 43.
+Mayr, v. 153.
+Mill@{Mill, John Stuart|f}#Mill 1.
+
+Pearson 33, 145, 165. %** 145 ff.
+Perrin 146.
+Poisson 45, 55, 111, 138, 147. %** 147 f.
+
+Qu�telet 22, 148, 165.
+
+Rhumbler 31.
+
+Sabudski-Eberhard VIII.
+Schnuse (�bersetzer) 45.
+Schopenhauer 2.
+Siebeck 6.
+Sigwart 16, 47, 63. %** 63 f.
+Spinoza 4, 6. %** 6 f.
+Sterzinger 53.
+Stirlingsche Formel 110.
+Stumpf 63.
+
+Trendelenburg 57.
+
+Ueberweg 56.
+
+Valla, Laurentius 57.
+Venn 148.
+
+Wagner, Ad. 38.
+Weldon 150.
+Westergaard 147.
+Windelband 38, 44.
+Wolf, R. 68.
+Wundt, Wilh. 14, 46. %** 14 f.
+\fi
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% GUTENBERG LICENSE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\LicenseInit
+\begin{PGtext}
+End of the Project Gutenberg EBook of Die Analyse des Zufalls, by 
+H. E. (Heinrich Emil) Timerding
+
+*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK DIE ANALYSE DES ZUFALLS ***
+
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+
+Produced by Andrew D. Hwang, R. Stephan, Joshua Hutchinson,
+and the Online Distributed Proofreading Team at
+http://www.pgdp.net. (This ebook was produced using images
+provided by the Cornell University Library Historical
+Mathematics Monographs collection.)
+
+
+Updated editions will replace the previous one--the old editions
+will be renamed.
+
+Creating the works from public domain print editions means that no
+one owns a United States copyright in these works, so the Foundation
+(and you!) can copy and distribute it in the United States without
+permission and without paying copyright royalties.  Special rules,
+set forth in the General Terms of Use part of this license, apply to
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+Gutenberg is a registered trademark, and may not be used if you
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+paragraph 1.C below.  There are a lot of things you can do with Project
+Gutenberg-tm electronic works if you follow the terms of this agreement
+and help preserve free future access to Project Gutenberg-tm electronic
+works.  See paragraph 1.E below.
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+1.C.  The Project Gutenberg Literary Archive Foundation ("the Foundation"
+or PGLAF), owns a compilation copyright in the collection of Project
+Gutenberg-tm electronic works.  Nearly all the individual works in the
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+     the Project Gutenberg Literary Archive Foundation."
+
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+
+- You provide, in accordance with paragraph 1.F.3, a full refund of any
+     money paid for a work or a replacement copy, if a defect in the
+     electronic work is discovered and reported to you within 90 days
+     of receipt of the work.
+
+- You comply with all other terms of this agreement for free
+     distribution of Project Gutenberg-tm works.
+
+1.E.9.  If you wish to charge a fee or distribute a Project Gutenberg-tm
+electronic work or group of works on different terms than are set
+forth in this agreement, you must obtain permission in writing from
+both the Project Gutenberg Literary Archive Foundation and Michael
+Hart, the owner of the Project Gutenberg-tm trademark.  Contact the
+Foundation as set forth in Section 3 below.
+
+1.F.
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+To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation
+and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4
+and the Foundation web page at http://www.pglaf.org.
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+Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent
+permitted by U.S. federal laws and your state's laws.
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+The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S.
+Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered
+throughout numerous locations.  Its business office is located at
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+business@pglaf.org.  Email contact links and up to date contact
+information can be found at the Foundation's web site and official
+page at http://pglaf.org
+
+For additional contact information:
+     Dr. Gregory B. Newby
+     Chief Executive and Director
+     gbnewby@pglaf.org
+
+
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+Literary Archive Foundation
+
+Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide
+spread public support and donations to carry out its mission of
+increasing the number of public domain and licensed works that can be
+freely distributed in machine readable form accessible by the widest
+array of equipment including outdated equipment.  Many small donations
+($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt
+status with the IRS.
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+charities and charitable donations in all 50 states of the United
+States.  Compliance requirements are not uniform and it takes a
+considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up
+with these requirements.  We do not solicit donations in locations
+where we have not received written confirmation of compliance.  To
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+particular state visit http://pglaf.org
+
+While we cannot and do not solicit contributions from states where we
+have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition
+against accepting unsolicited donations from donors in such states who
+approach us with offers to donate.
+
+International donations are gratefully accepted, but we cannot make
+any statements concerning tax treatment of donations received from
+outside the United States.  U.S. laws alone swamp our small staff.
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+methods and addresses.  Donations are accepted in a number of other
+ways including including checks, online payments and credit card
+donations.  To donate, please visit: http://pglaf.org/donate
+
+
+Section 5.  General Information About Project Gutenberg-tm electronic
+works.
+
+Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm
+concept of a library of electronic works that could be freely shared
+with anyone.  For thirty years, he produced and distributed Project
+Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support.
+
+
+Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed
+editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S.
+unless a copyright notice is included.  Thus, we do not necessarily
+keep eBooks in compliance with any particular paper edition.
+
+
+Most people start at our Web site which has the main PG search facility:
+
+     http://www.gutenberg.net
+
+This Web site includes information about Project Gutenberg-tm,
+including how to make donations to the Project Gutenberg Literary
+Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to
+subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks.
+\end{PGtext}
+
+% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
+%                                                                         %
+% End of the Project Gutenberg EBook of Die Analyse des Zufalls, by       %
+% H. E. (Heinrich Emil) Timerding                                         %
+%                                                                         %
+% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK DIE ANALYSE DES ZUFALLS ***     %
+%                                                                         %
+% ***** This file should be named 36310-t.tex or 36310-t.zip *****        %
+% This and all associated files of various formats will be found in:      %
+%         http://www.gutenberg.org/3/6/3/1/36310/                         %
+%                                                                         %
+% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
+
+\end{document}
+###
+@ControlwordReplace = (
+  ['\\tableofcontents', 'Inhaltverzeichnis.'],
+  ['\\Vorwort', 'Vorwort.'],
+  ['\\aaO', 'a. a. O.'],
+  ['\\dh', 'd. h.'],
+  ['\\zB', 'z. B.']
+  );
+
+@ControlwordArguments = (
+  ['\\Chapter', 1, 1, '', '.  ', 1, 1, '', '.'],
+  ['\\Signature', 1, 1, '', ' ', 1, 1, '', ''],
+  ['\\BookMark', 1, 0, '', '', 1, 0, '', ''],
+  ['\\DPPageSep', 1, 0, '', '-----', 1, 0, '', ''],
+  ['\\DPtypo', 1, 0, '', '', 1, 1, '', ''],
+  ['\\DPnote', 1, 0, '', ''],
+  ['\\Eqref', 1, 1, '', ''],
+  ['\\Fig', 1, 1, 'Fig. ', ' ']
+  );
+###
+This is pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6) (format=pdflatex 2010.5.6)  5 JUN 2011 19:56
+entering extended mode
+ %&-line parsing enabled.
+**36310-t.tex
+(./36310-t.tex
+LaTeX2e <2005/12/01>
+Babel <v3.8h> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh
+yphenation, arabic, farsi, croatian, ukrainian, russian, bulgarian, czech, slov
+ak, danish, dutch, finnish, basque, french, german, ngerman, ibycus, greek, mon
+ogreek, ancientgreek, hungarian, italian, latin, mongolian, norsk, icelandic, i
+nterlingua, turkish, coptic, romanian, welsh, serbian, slovenian, estonian, esp
+eranto, uppersorbian, indonesian, polish, portuguese, spanish, catalan, galicia
+n, swedish, ukenglish, pinyin, loaded.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/book.cls
+Document Class: book 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/leqno.clo
+File: leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers)
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/bk12.clo
+File: bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
+)
+\c@part=\count79
+\c@chapter=\count80
+\c@section=\count81
+\c@subsection=\count82
+\c@subsubsection=\count83
+\c@paragraph=\count84
+\c@subparagraph=\count85
+\c@figure=\count86
+\c@table=\count87
+\abovecaptionskip=\skip41
+\belowcaptionskip=\skip42
+\bibindent=\dimen102
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty
+Package: inputenc 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
+\inpenc@prehook=\toks14
+\inpenc@posthook=\toks15
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/latin1.def
+File: latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
+)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/fontenc.sty
+Package: fontenc 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1enc.def
+File: t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
+LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 43.
+)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.sty
+Package: babel 2005/11/23 v3.8h The Babel package
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/greek.ldf
+Language: greek 2005/03/30 v1.3l Greek support from the babel system
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def
+File: babel.def 2005/11/23 v3.8h Babel common definitions
+\babel@savecnt=\count88
+\U@D=\dimen103
+) Loading the definitions for the Greek font encoding (/usr/share/texmf-texlive
+/tex/generic/babel/lgrenc.def
+File: lgrenc.def 2001/01/30 v2.2e Greek Encoding
+)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/ngermanb.ldf
+Language: ngermanb 2004/02/20 v2.6m new German support from the babel system
+\l@naustrian = a dialect from \language\l@ngerman 
+Package babel Info: Making " an active character on input line 92.
+)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
+Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features
+\@mathmargin=\skip43
+For additional information on amsmath, use the `?' option.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty
+Package: amstext 2000/06/29 v2.01
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
+File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0
+\@emptytoks=\toks16
+\ex@=\dimen104
+)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
+Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d
+\pmbraise@=\dimen105
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
+Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names
+)
+\inf@bad=\count89
+LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211.
+\uproot@=\count90
+\leftroot@=\count91
+LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307.
+\classnum@=\count92
+\DOTSCASE@=\count93
+LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379.
+LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382.
+LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467.
+\Mathstrutbox@=\box26
+\strutbox@=\box27
+\big@size=\dimen106
+LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OML on input line 567.
+LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OMS on input line 568.
+\macc@depth=\count94
+\c@MaxMatrixCols=\count95
+\dotsspace@=\muskip10
+\c@parentequation=\count96
+\dspbrk@lvl=\count97
+\tag@help=\toks17
+\row@=\count98
+\column@=\count99
+\maxfields@=\count100
+\andhelp@=\toks18
+\eqnshift@=\dimen107
+\alignsep@=\dimen108
+\tagshift@=\dimen109
+\tagwidth@=\dimen110
+\totwidth@=\dimen111
+\lineht@=\dimen112
+\@envbody=\toks19
+\multlinegap=\skip44
+\multlinetaggap=\skip45
+\mathdisplay@stack=\toks20
+LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666.
+LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667.
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
+Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
+Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f
+\symAMSa=\mathgroup4
+\symAMSb=\mathgroup5
+LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
+(Font)                  U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132.
+)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/jknapltx/mathrsfs.sty
+Package: mathrsfs 1996/01/01 Math RSFS package v1.0 (jk)
+\symrsfs=\mathgroup6
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ifthen.sty
+Package: ifthen 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/alltt.sty
+Package: alltt 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/indentfirst.sty
+Package: indentfirst 1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC)
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/makeidx.sty
+Package: makeidx 2000/03/29 v1.0m Standard LaTeX package
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/multicol.sty
+Package: multicol 2006/05/18 v1.6g multicolumn formatting (FMi)
+\c@tracingmulticols=\count101
+\mult@box=\box28
+\multicol@leftmargin=\dimen113
+\c@unbalance=\count102
+\c@collectmore=\count103
+\doublecol@number=\count104
+\multicoltolerance=\count105
+\multicolpretolerance=\count106
+\full@width=\dimen114
+\page@free=\dimen115
+\premulticols=\dimen116
+\postmulticols=\dimen117
+\multicolsep=\skip46
+\multicolbaselineskip=\skip47
+\partial@page=\box29
+\last@line=\box30
+\mult@rightbox=\box31
+\mult@grightbox=\box32
+\mult@gfirstbox=\box33
+\mult@firstbox=\box34
+\@tempa=\box35
+\@tempa=\box36
+\@tempa=\box37
+\@tempa=\box38
+\@tempa=\box39
+\@tempa=\box40
+\@tempa=\box41
+\@tempa=\box42
+\@tempa=\box43
+\@tempa=\box44
+\@tempa=\box45
+\@tempa=\box46
+\@tempa=\box47
+\@tempa=\box48
+\@tempa=\box49
+\@tempa=\box50
+\@tempa=\box51
+\c@columnbadness=\count107
+\c@finalcolumnbadness=\count108
+\last@try=\dimen118
+\multicolovershoot=\dimen119
+\multicolundershoot=\dimen120
+\mult@nat@firstbox=\box52
+\colbreak@box=\box53
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/array.sty
+Package: array 2005/08/23 v2.4b Tabular extension package (FMi)
+\col@sep=\dimen121
+\extrarowheight=\dimen122
+\NC@list=\toks21
+\extratabsurround=\skip48
+\backup@length=\skip49
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/longtable.sty
+Package: longtable 2004/02/01 v4.11 Multi-page Table package (DPC)
+\LTleft=\skip50
+\LTright=\skip51
+\LTpre=\skip52
+\LTpost=\skip53
+\LTchunksize=\count109
+\LTcapwidth=\dimen123
+\LT@head=\box54
+\LT@firsthead=\box55
+\LT@foot=\box56
+\LT@lastfoot=\box57
+\LT@cols=\count110
+\LT@rows=\count111
+\c@LT@tables=\count112
+\c@LT@chunks=\count113
+\LT@p@ftn=\toks22
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/multirow/multirow.sty
+\bigstrutjot=\dimen124
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/soul/soul.sty
+Package: soul 2003/11/17 v2.4 letterspacing/underlining (mf)
+\SOUL@word=\toks23
+\SOUL@lasttoken=\toks24
+\SOUL@cmds=\toks25
+\SOUL@buffer=\toks26
+\SOUL@token=\toks27
+\SOUL@spaceskip=\skip54
+\SOUL@ttwidth=\dimen125
+\SOUL@uldp=\dimen126
+\SOUL@ulht=\dimen127
+)
+LaTeX Info: Redefining \so on input line 127.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/footmisc/footmisc.sty
+Package: footmisc 2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities
+\FN@temptoken=\toks28
+\footnotemargin=\dimen128
+\c@pp@next@reset=\count114
+\c@@fnserial=\count115
+Package footmisc Info: Declaring symbol style bringhurst on input line 817.
+Package footmisc Info: Declaring symbol style chicago on input line 818.
+Package footmisc Info: Declaring symbol style wiley on input line 819.
+Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport-robust on input line 823.
+
+Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport* on input line 831.
+Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport*-robust on input line 840
+.
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphicx.sty
+Package: graphicx 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty
+Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
+\KV@toks@=\toks29
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphics.sty
+Package: graphics 2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/trig.sty
+Package: trig 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
+) (/etc/texmf/tex/latex/config/graphics.cfg
+File: graphics.cfg 2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
+)
+Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 90.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def
+File: pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
+\Gread@gobject=\count116
+))
+\Gin@req@height=\dimen129
+\Gin@req@width=\dimen130
+)
+
+LaTeX Warning: You have requested, on input line 131, version
+               `2006/02/20' of package graphicx,
+               but only version
+               `1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)'
+               is available.
+
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/caption/caption.sty
+Package: caption 2007/01/07 v3.0k Customising captions (AR)
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/caption/caption3.sty
+Package: caption3 2007/01/07 v3.0k caption3 kernel (AR)
+\captionmargin=\dimen131
+\captionmarginx=\dimen132
+\captionwidth=\dimen133
+\captionindent=\dimen134
+\captionparindent=\dimen135
+\captionhangindent=\dimen136
+)
+Package caption Info: longtable package v3.15 (or newer) detected on input line
+ 359.
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/calc.sty
+Package: calc 2005/08/06 v4.2 Infix arithmetic (KKT,FJ)
+\calc@Acount=\count117
+\calc@Bcount=\count118
+\calc@Adimen=\dimen137
+\calc@Bdimen=\dimen138
+\calc@Askip=\skip55
+\calc@Bskip=\skip56
+LaTeX Info: Redefining \setlength on input line 75.
+LaTeX Info: Redefining \addtolength on input line 76.
+\calc@Ccount=\count119
+\calc@Cskip=\skip57
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/fancyhdr/fancyhdr.sty
+\fancy@headwidth=\skip58
+\f@ncyO@elh=\skip59
+\f@ncyO@erh=\skip60
+\f@ncyO@olh=\skip61
+\f@ncyO@orh=\skip62
+\f@ncyO@elf=\skip63
+\f@ncyO@erf=\skip64
+\f@ncyO@olf=\skip65
+\f@ncyO@orf=\skip66
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/geometry/geometry.sty
+Package: geometry 2002/07/08 v3.2 Page Geometry
+\Gm@cnth=\count120
+\Gm@cntv=\count121
+\c@Gm@tempcnt=\count122
+\Gm@bindingoffset=\dimen139
+\Gm@wd@mp=\dimen140
+\Gm@odd@mp=\dimen141
+\Gm@even@mp=\dimen142
+\Gm@dimlist=\toks30
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/xelatex/xetexconfig/geometry.cfg)) (/usr/share/te
+xmf-texlive/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
+Package: hyperref 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
+\@linkdim=\dimen143
+\Hy@linkcounter=\count123
+\Hy@pagecounter=\count124
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/pd1enc.def
+File: pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
+) (/etc/texmf/tex/latex/config/hyperref.cfg
+File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty
+Package: kvoptions 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (
+HO)
+)
+Package hyperref Info: Option `hyperfootnotes' set `false' on input line 2238.
+Package hyperref Info: Option `bookmarks' set `true' on input line 2238.
+Package hyperref Info: Option `linktocpage' set `false' on input line 2238.
+Package hyperref Info: Option `pdfdisplaydoctitle' set `true' on input line 223
+8.
+Package hyperref Info: Option `pdfpagelabels' set `true' on input line 2238.
+Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 2238.
+Package hyperref Info: Option `colorlinks' set `true' on input line 2238.
+Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 2288.
+Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 2293.
+Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 2296.
+Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 2303.
+Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 2308.
+Implicit mode ON; LaTeX internals redefined
+Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 2444.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/url.sty
+\Urlmuskip=\muskip11
+Package: url 2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
+)
+LaTeX Info: Redefining \url on input line 2599.
+\Fld@menulength=\count125
+\Field@Width=\dimen144
+\Fld@charsize=\dimen145
+\Choice@toks=\toks31
+\Field@toks=\toks32
+Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 3102.
+Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 3107.
+Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 3110.
+Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 3117.
+Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 3120.
+\Hy@abspage=\count126
+\c@Item=\count127
+)
+*hyperref using driver hpdftex*
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hpdftex.def
+File: hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
+\Fld@listcount=\count128
+)
+\TmpLen=\skip67
+\c@FigNo=\count129
+\@indexfile=\write3
+\openout3 = `36310-t.idx'.
+
+Writing index file 36310-t.idx
+\c@ChapNo=\count130
+(./36310-t.aux)
+\openout1 = `36310-t.aux'.
+
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 487.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 487.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 487.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 487.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 487.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 487.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 487.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 487.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 487.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 487.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 487.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 487.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for LGR/cmr/m/n on input line 487.
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for LGR+cmr on input line 487.
+
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/lgrcmr.fd
+File: lgrcmr.fd 2001/01/30 v2.2e Greek Computer Modern
+)
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 487.
+LaTeX Font Info:    Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 487.
+LaTeX Font Info:    ... okay on input line 487.
+(/usr/share/texmf/tex/context/base/supp-pdf.tex
+[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).]
+\scratchcounter=\count131
+\scratchdimen=\dimen146
+\scratchbox=\box58
+\nofMPsegments=\count132
+\nofMParguments=\count133
+\everyMPshowfont=\toks33
+\MPscratchCnt=\count134
+\MPscratchDim=\dimen147
+\MPnumerator=\count135
+\everyMPtoPDFconversion=\toks34
+) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ragged2e/ragged2e.sty
+Package: ragged2e 2003/03/25 v2.04 ragged2e Package (MS)
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/everysel/everysel.sty
+Package: everysel 1999/06/08 v1.03 EverySelectfont Package (MS)
+LaTeX Info: Redefining \selectfont on input line 125.
+)
+\CenteringLeftskip=\skip68
+\RaggedLeftLeftskip=\skip69
+\RaggedRightLeftskip=\skip70
+\CenteringRightskip=\skip71
+\RaggedLeftRightskip=\skip72
+\RaggedRightRightskip=\skip73
+\CenteringParfillskip=\skip74
+\RaggedLeftParfillskip=\skip75
+\RaggedRightParfillskip=\skip76
+\JustifyingParfillskip=\skip77
+\CenteringParindent=\skip78
+\RaggedLeftParindent=\skip79
+\RaggedRightParindent=\skip80
+\JustifyingParindent=\skip81
+)
+Package caption Info: hyperref package v6.74m (or newer) detected on input line
+ 487.
+-------------------- Geometry parameters
+paper: class default
+landscape: --
+twocolumn: --
+twoside: true
+asymmetric: --
+h-parts: 9.03374pt, 325.215pt, 9.03375pt
+v-parts: 4.15848pt, 495.49379pt, 6.23773pt
+hmarginratio: 1:1
+vmarginratio: 2:3
+lines: --
+heightrounded: --
+bindingoffset: 0.0pt
+truedimen: --
+includehead: true
+includefoot: true
+includemp: --
+driver: pdftex
+-------------------- Page layout dimensions and switches
+\paperwidth  343.28249pt
+\paperheight 505.89pt
+\textwidth  325.215pt
+\textheight 433.62pt
+\oddsidemargin  -63.23625pt
+\evensidemargin -63.23624pt
+\topmargin  -68.11151pt
+\headheight 15.0pt
+\headsep    19.8738pt
+\footskip   30.0pt
+\marginparwidth 98.0pt
+\marginparsep   7.0pt
+\columnsep  10.0pt
+\skip\footins  10.8pt plus 4.0pt minus 2.0pt
+\hoffset 0.0pt
+\voffset 0.0pt
+\mag 1000
+\@twosidetrue \@mparswitchtrue 
+(1in=72.27pt, 1cm=28.45pt)
+-----------------------
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/color.sty
+Package: color 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
+(/etc/texmf/tex/latex/config/color.cfg
+File: color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
+)
+Package color Info: Driver file: pdftex.def on input line 130.
+)
+Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 487.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/nameref.sty
+Package: nameref 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/refcount.sty
+Package: refcount 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
+)
+\c@section@level=\count136
+)
+LaTeX Info: Redefining \ref on input line 487.
+LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 487.
+(./36310-t.out) (./36310-t.out)
+\@outlinefile=\write4
+\openout4 = `36310-t.out'.
+
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+cmtt on input line 497.
+
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1cmtt.fd
+File: t1cmtt.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
+)
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msa on input line 519.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
+File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
+)
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msb on input line 519.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
+File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
+)
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+rsfs on input line 519.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/jknapltx/ursfs.fd
+File: ursfs.fd 1998/03/24 rsfs font definition file (jk)
+) [1
+
+{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2
+
+] <./images/006.png, id=99, 289.08pt x 337.26pt>
+File: ./images/006.png Graphic file (type png)
+<use ./images/006.png> [1
+
+ <./images/006.png (PNG copy)>] [2
+
+] [3
+
+] [4] [5] [6]
+Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 777--779
+
+ []
+
+[7] (./36310-t.toc)
+\tf@toc=\write5
+\openout5 = `36310-t.toc'.
+
+[8
+
+] [1
+
+
+] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17
+
+] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28
+
+] [29] [30] <./images/037.png, id=307, 1092.08pt x 908.39375pt>
+File: ./images/037.png Graphic file (type png)
+<use ./images/037.png> [31 <./images/037.png (PNG copy)>] [32] <./images/039.pn
+g, id=323, 1148.29pt x 720.6925pt>
+File: ./images/039.png Graphic file (type png)
+<use ./images/039.png> [33] [34 <./images/039.png (PNG copy)>] [35] [36] [37] [
+38] [39] [40] [41] [42] <./images/046.png, id=373, 1092.08pt x 1065.9825pt>
+File: ./images/046.png Graphic file (type png)
+<use ./images/046.png> [43] [44 <./images/046.png (PNG copy)>] <./images/048.pn
+g, id=389, 1062.97125pt x 599.23875pt>
+File: ./images/048.png Graphic file (type png)
+<use ./images/048.png> [45] [46 <./images/048.png (PNG copy)>] [47
+
+] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [6
+3] [64] [65] [66
+
+] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [8
+2] [83] [84] [85] [86]
+Underfull \hbox (badness 2245) in paragraph at lines 3536--3594
+\T1/cmr/m/n/12 Wahr-schein-lich-keits-be-griff zu den sta-tis-ti-schen Er-geb-n
+is-sen
+ []
+
+
+Underfull \hbox (badness 1052) in paragraph at lines 3536--3594
+\T1/cmr/m/n/12 durch einen Satz ge-fun-den, der als das B e r -n o u l -l i -s 
+c h e
+ []
+
+[87] [88] [89] [90] [91] [92
+
+] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] 
+<./images/094.png, id=692, 843.15pt x 372.39125pt>
+File: ./images/094.png Graphic file (type png)
+<use ./images/094.png> [107] [108 <./images/094.png (PNG copy)>] [109] [110] [1
+11] [112] [113] [114] <./images/100.png, id=739, 635.37375pt x 575.14874pt>
+File: ./images/100.png Graphic file (type png)
+<use ./images/100.png> [115] [116 <./images/100.png (PNG copy)>] [117] [118]
+LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+euf on input line 4543.
+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/ueuf.fd
+File: ueuf.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
+) [119] [120] [121] [122] [123
+
+] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133]
+
+LaTeX Warning: Command \ss invalid in math mode on input line 5065.
+
+Missing character: There is no � in font cmr12!
+[134] [135] [136] [137]
+Overfull \hbox (2.90742pt too wide) in paragraph at lines 5220--5220
+[] 
+ []
+
+[138] [139] [140] [141] <./images/120.png, id=891, 1178.4025pt x 689.57625pt>
+File: ./images/120.png Graphic file (type png)
+<use ./images/120.png> [142
+
+] [143 <./images/120.png (PNG copy)>] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150]
+[151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [
+164] [165] [166]
+Underfull \hbox (badness 1603) in paragraph at lines 6202--6204
+[]\T1/cmr/m/n/12 Die re-la-ti-ve H�u-fig-keit des Ge-sam-ter-eig-nis-ses ent-st
+eht
+ []
+
+[167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [
+180
+
+] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188]
+
+LaTeX Font Warning: Command \small invalid in math mode on input line 6943.
+
+[189]
+
+LaTeX Font Warning: Command \small invalid in math mode on input line 7026.
+
+
+Overfull \hbox (0.4068pt too wide) detected at line 7043
+[]
+ []
+
+[190] [191] [192] [193] <./images/159.png, id=1195, 918.43124pt x 515.9275pt>
+File: ./images/159.png Graphic file (type png)
+<use ./images/159.png> [194] [195 <./images/159.png (PNG copy)>] [196] [197] [1
+98] <./images/163.png, id=1222, 791.95876pt x 640.3925pt>
+File: ./images/163.png Graphic file (type png)
+<use ./images/163.png> [199] [200] [201 <./images/163.png (PNG copy)>]
+
+LaTeX Font Warning: Command \footnotesize invalid in math mode on input line 74
+83.
+
+
+Overfull \hbox (9.468pt too wide) detected at line 7520
+[]
+ []
+
+<./images/165.png, id=1243, 794.97pt x 1264.725pt>
+File: ./images/165.png Graphic file (type png)
+<use ./images/165.png>
+Overfull \hbox (2.61049pt too wide) in paragraph at lines 7481--7528
+[]$[]$  $[]$ 
+ []
+
+[202] [203 <./images/165.png (PNG copy)>] [204] [205] [206
+
+] [207
+
+] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220]
+
+Underfull \hbox (badness 1281) in paragraph at lines 8103--8129
+\T1/cmr/m/n/12 dung []der Wahr-schein-lich-keits-rech-nung auf die Wirk-lich-ke
+it
+ []
+
+[221] [222] [223] [224] [225] (./36310-t.ind [226
+
+
+]) [227] [228
+
+] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] (./36310-t.aux)
+
+ *File List*
+    book.cls    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
+   leqno.clo    1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers)
+    bk12.clo    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
+inputenc.sty    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
+  latin1.def    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
+ fontenc.sty
+   t1enc.def    2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
+   babel.sty    2005/11/23 v3.8h The Babel package
+   greek.ldf    2005/03/30 v1.3l Greek support from the babel system
+  lgrenc.def    2001/01/30 v2.2e Greek Encoding
+ngermanb.ldf    2004/02/20 v2.6m new German support from the babel system
+ amsmath.sty    2000/07/18 v2.13 AMS math features
+ amstext.sty    2000/06/29 v2.01
+  amsgen.sty    1999/11/30 v2.0
+  amsbsy.sty    1999/11/29 v1.2d
+  amsopn.sty    1999/12/14 v2.01 operator names
+ amssymb.sty    2002/01/22 v2.2d
+amsfonts.sty    2001/10/25 v2.2f
+mathrsfs.sty    1996/01/01 Math RSFS package v1.0 (jk)
+  ifthen.sty    2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
+   alltt.sty    1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
+indentfirst.sty    1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC)
+ makeidx.sty    2000/03/29 v1.0m Standard LaTeX package
+multicol.sty    2006/05/18 v1.6g multicolumn formatting (FMi)
+   array.sty    2005/08/23 v2.4b Tabular extension package (FMi)
+longtable.sty    2004/02/01 v4.11 Multi-page Table package (DPC)
+multirow.sty    
+    soul.sty    2003/11/17 v2.4 letterspacing/underlining (mf)
+footmisc.sty    2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities
+graphicx.sty    1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+  keyval.sty    1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
+graphics.sty    2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
+    trig.sty    1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
+graphics.cfg    2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
+  pdftex.def    2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
+ caption.sty    2007/01/07 v3.0k Customising captions (AR)
+caption3.sty    2007/01/07 v3.0k caption3 kernel (AR)
+    calc.sty    2005/08/06 v4.2 Infix arithmetic (KKT,FJ)
+fancyhdr.sty    
+geometry.sty    2002/07/08 v3.2 Page Geometry
+geometry.cfg
+hyperref.sty    2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
+  pd1enc.def    2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
+hyperref.cfg    2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
+kvoptions.sty    2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (HO
+)
+     url.sty    2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
+ hpdftex.def    2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
+  lgrcmr.fd    2001/01/30 v2.2e Greek Computer Modern
+supp-pdf.tex
+ragged2e.sty    2003/03/25 v2.04 ragged2e Package (MS)
+everysel.sty    1999/06/08 v1.03 EverySelectfont Package (MS)
+   color.sty    2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
+   color.cfg    2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
+ nameref.sty    2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
+refcount.sty    2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
+ 36310-t.out
+ 36310-t.out
+  t1cmtt.fd    1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
+    umsa.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
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+ 492 named destinations out of 1000 (max. 131072)
+ 224 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)
+
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author	Roger Frank <rfrank@pglaf.org>	2025-10-14 20:05:31 -0700
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