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| author | Roger Frank <rfrank@pglaf.org> | 2025-10-14 20:02:56 -0700 |
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You may copy it, give it away or % +% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included % +% with this eBook or online at www.gutenberg.org % +% % +% % +% Title: Leçons de Géométrie Supérieure % +% Professées en 1905-1906 % +% % +% Author: Ernest Vessiot % +% % +% Editor: Anzemberger % +% % +% Release Date: January 24, 2011 [EBook #35052] % +% % +% Language: French % +% % +% Character set encoding: ISO-8859-1 % +% % +% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK LEÇONS DE GÉOMÉTRIE SUPÉRIEURE *** +% % +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % + +\def\ebook{35052} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%% %% +%% Packages and substitutions: %% +%% %% +%% book: Required. %% +%% inputenc: Standard DP encoding. Required. %% +%% babel: French language features. Required. %% +%% %% +%% calc: Infix arithmetic. Required. %% +%% %% +%% ifthen: Logical conditionals. 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Spelling modernizations %% +%% are marked with \DPchg{}{}. Other changes are [** TN: noted] %% +%% in this file. %% +%% %% +%% The original typed manuscript contained an unusually large %% +%% number of abbreviations, errors, and inconsistencies. To the %% +%% extent feasible, these have been regularized. Particularly, %% +%% %% +%% 1. In Chapter 3, there were two sections "3". Section numbers %% +%% 3--7 were incremented to 4--8. %% +%% %% +%% 2. The original used numerals for both cardinals and ordinals. %% +%% The \Card{} and \Ord{}{} macros convert these to words. %% +%% %% +%% 3. Exercises were moved to the end of the respective chapters. %% +%% %% +%% PDF pages: 244 %% +%% PDF page size: A4 (210 × 297 mm) %% +%% PDF document info: filled in %% +%% 50 PDF diagrams. %% +%% %% +%% Summary of log file: %% +%% * Six harmless overfull hboxes. %% +%% * One underfull vbox, sixteen underfull hboxes. %% +%% %% +%% %% +%% Compile History: %% +%% %% +%% January, 2011: adhere (Andrew D. Hwang) %% +%% texlive2007, GNU/Linux %% +%% %% +%% Command block: %% +%% %% +%% pdflatex x3 %% +%% %% +%% %% +%% January 2011: pglatex. %% +%% Compile this project with: %% +%% pdflatex 35052-t.tex ..... THREE times %% +%% %% +%% pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6) %% +%% %% +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\listfiles +\documentclass[12pt,leqno,a4paper]{book}[2005/09/16] + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PACKAGES %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\usepackage[latin1]{inputenc}[2006/05/05] %% DP standard encoding +\usepackage[T1]{fontenc}[2005/09/27] + +\usepackage[french]{babel} % the language + +\usepackage{calc}[2005/08/06] + +\usepackage{ifthen}[2001/05/26] %% Logical conditionals + +\usepackage{amsmath}[2000/07/18] %% Displayed equations +\usepackage{amssymb}[2002/01/22] %% and additional symbols +\usepackage{mathrsfs}[1996/01/01]%% AMS script fonts + +\usepackage{alltt}[1997/06/16] %% boilerplate, credits, license + +\usepackage{array}[2005/08/23] %% extended array/tabular features + +\usepackage{indentfirst}[1995/11/23] + +\usepackage{graphicx}[1999/02/16]%% For a diagram, +\usepackage{wrapfig}[2003/01/31] %% wrapping text around it, + +% for running heads; no package date available +\usepackage{fancyhdr} + +\usepackage[body={5.6in,9.5in},hmarginratio=2:3]{geometry}[2002/07/08] + +\providecommand{\ebook}{00000} % Overridden during white-washing +\usepackage[pdftex, + hyperfootnotes=false, + pdfkeywords={Andrew D. Hwang, Laura Wisewell, + Project Gutenberg Online Distributed Proofreading Team, + University of Glasgow Department of Mathematics}, + pdfstartview=Fit, % default value + pdfstartpage=1, % default value + pdfpagemode=UseNone, % default value + bookmarks=true, % default value + linktocpage=false, % default value + pdfpagelayout=TwoPageRight, + pdfdisplaydoctitle, + pdfpagelabels=true, + bookmarksopen=true, + bookmarksopenlevel=1, + colorlinks=true, + linkcolor=black]{hyperref}[2007/02/07] + +% Set title, author here to avoid numerous hyperref warnings from accents +\hypersetup{pdftitle={The Project Gutenberg eBook \#\ebook:% + L'\texorpdfstring{Leçons de Géométrie Supérieure}{Lecons de Geometrie Superieure}}, + pdfauthor={Ernest Vessiot}} + + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% COMMANDS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +%%%% Fixed-width environment to format PG boilerplate %%%% +% 9.2pt leaves no overfull hbox at 80 char line width +\newenvironment{PGtext}{% +\begin{alltt} +\fontsize{9.2}{10.5}\ttfamily\selectfont}% +{\end{alltt}} + +% Basic fancyhdr setup +\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} +\setlength{\headheight}{15pt} + +\newcommand{\SetPageNumbers}{\fancyhead[RO,LE]{\thepage}} + +\newcommand{\SetHead}[1]{% + \fancyhead[CE]{GÉOMÉTRIE SUPÉRIEURE} + \fancyhead[CO]{#1}% +} + +\AtBeginDocument{% + \renewcommand{\contentsname}{% + {\protect\begin{center}% + \protect\large TABLE DES MATIÈRES% + \protect\end{center} + \protect\vspace*{-2\baselineskip}} + } +} + +\newcommand{\Heading}{\centering} +\newcommand{\RunInHeadFont}[1]{\textit{#1}} + +\setlength{\marginparsep}{24pt} +\setlength{\marginparwidth}{1.125in} + +%[** TN: Using centered headings instead of marginal notes.] +\iffalse +\newcommand{\MarginNote}[1]{% + \ifthenelse{\not\equal{#1}{}}{\mbox{} + \marginpar{\footnotesize\raggedright#1}}{}% +} +\fi +\newcommand{\MarginNote}[1]{\subsubsection*{\Heading\normalsize #1}} + +\newcommand{\Preface}{% + \cleardoublepage + \thispagestyle{empty} + \SetPageNumbers + \SetHead{PREFACE} + \section*{\large\Heading\MakeUppercase{Preface.}} +} + +\newcommand{\ExSection}[1]{% + \SetHead{EXERCICES} + \section*{\large\Heading\MakeUppercase{Exercices.}} + \pdfbookmark[1]{Exercices.}{Exercices.#1} +} + +\newcommand{\Chapitre}[2]{% + \cleardoublepage + \thispagestyle{empty} + \SetPageNumbers + \phantomsection + \section*{\LARGE\Heading\MakeUppercase{Chapitre #1}.} + \subsection*{\normalsize\Heading\MakeUppercase{#2}} + \ifthenelse{\equal{#1}{Premier}}{% + \addcontentsline{toc}{chapter}{Chapitre~I. #2}% + \SetHead{CHAPITRE~I.}% + }{% + \addcontentsline{toc}{chapter}{Chapitre~#1. #2} + \SetHead{CHAPITRE~#1.}% + } +} + +\newcommand{\SubChap}[1]{% + \phantomsection + \subsection*{\normalsize\Heading\MakeUppercase{#1}} + \addtocontents{toc}{% + \protect\subsection*{\protect\centering\protect\normalsize\protect#1}% + } +} + +%\Section[ToC entry]{Centered Heading.}{Number.}{Run-in heading} +\newcommand{\Section}[4][]{% + \medskip\par% + \MarginNote{#2}% + \phantomsection% + % If there's a section number, add a ToC entry + \ifthenelse{\not\equal{#3}{}}{% + \ifthenelse{\not\equal{#1}{}}{% + \addcontentsline{toc}{section}{#3 #1}% + }{% + \addcontentsline{toc}{section}{#3 #2}% + }% + }{}% + % Use #3 and/or #4 as run-in heading + \ifthenelse{\not\equal{#4}{}}{% + \ifthenelse{\not\equal{#3}{}}{% + #3 \RunInHeadFont{#4}% + }{% + \RunInHeadFont{#4}% + }% + }{% + #3% + }% + \quad\ignorespaces +} + +\newcommand{\Paragraph}[1]{% + \medskip\par \RunInHeadFont{#1}\quad\ignorespaces +} + +\newcommand{\ParItem}[2][]{% + \medskip\par% + \ifthenelse{\not\equal{#1}{}}{\MarginNote{#1}}{}#2 \ignorespaces +} + +% Illustrations +\newcommand{\Input}[2][2in]{% + \includegraphics[width=#1]{./images/#2.pdf} +} + +\newcommand{\Illustration}[2][2in]{% + \begin{wrapfigure}{O}{#1+0.125in} + \Input[#1]{#2} + \end{wrapfigure}% + \ignorespaces +} +\newcommand{\Figure}[2][2in]{% + \begin{figure}[hbt] + \centering\Input[#1]{#2} + \end{figure}% + \ignorespaces +} + +\newcommand{\Figures}[3][2in]{% + \begin{figure}[hbt] + \centering\Input[#1]{#2}\hfil\Input[#1]{#3} + \end{figure}% + \ignorespaces +} + + +\newenvironment{Exercises}{% + \begin{list}{}{% + \setlength{\leftmargin}{\parindent}% + \setlength{\labelwidth}{\parindent}% + \setlength{\listparindent}{\parindent}% + \small% + }% + }{% + \end{list}% + \tb + \normalsize% +} + + +% Change from the book's list of errata +\newcommand{\Err}[2]{#2} + +% Changes and notes made for stylistic or notational consistency +\newcommand{\DPtypo}[2]{#2} % presumed error +\newcommand{\DPchg}[2]{#2} % modernization of spelling +\newcommand{\DPnote}[1]{} +\newcommand{\Add}[1]{\DPtypo{}{#1}} +\newcommand{\Del}[1]{} % For unwanted multiplication mid-dots + +\newcommand{\tb}{% + \nopagebreak\begin{center}\rule{1in}{0.5pt}\end{center}\pagebreak[1] +} + +\newlength{\TmpLen} +\newcommand{\PadTo}[3][c]{% + \settowidth{\TmpLen}{$#2$}% + \makebox[\TmpLen][#1]{$#3$}% +} + +\newcommand{\PadTxt}[3][c]{% + \settowidth{\TmpLen}{#2}% + \makebox[\TmpLen][#1]{#3}% +} + +\newcommand{\Tag}[1]{\tag*{\ensuremath{#1}}} +\newcommand{\Eq}[1]{\ensuremath{#1}} + +\DeclareMathOperator{\arc}{arc} +%[** Original uses Cos and cos indiscriminately. Macros match original] +\DeclareMathOperator{\Cos}{cos} + +\DeclareMathOperator{\arctg}{arctg} +\DeclareMathOperator{\cotg}{cotg} +\DeclareMathOperator{\tg}{tg} + +%[** TN: Matrix fraction] +\newcommand{\mfrac}[2]{\dfrac{#1}{#2}\rule[-12pt]{0pt}{30pt}} + +%[** Tall \strut for two-row matrices] +\newcommand{\MStrut}[1][0.5in]{\rule{0pt}{#1}} + +\newcommand{\Area}{\mathcal{A}} + +\newcommand{\scrA}{\mathcal{A}} +\newcommand{\scrB}{\mathcal{B}} + +\newcommand{\scrE}{\mathscr{E}} +\newcommand{\scrF}{\mathscr{F}} +\newcommand{\scrG}{\mathscr{G}} +\newcommand{\scrH}{\mathscr{H}} + +% Cardinals and ordinals +\newcommand{\Card}[2][]{% Only need to handle 0, ..., 7 + \ifthenelse{\equal{#2}{1}}{% + \ifthenelse{\equal{#1}{f}}{une}{un}% + }{% + \ifthenelse{\equal{#2}{2}}{deux}{% + \ifthenelse{\equal{#2}{3}}{trois}{% + \ifthenelse{\equal{#2}{4}}{quatre}{% + \ifthenelse{\equal{#2}{5}}{cinq}{% + \ifthenelse{\equal{#2}{6}}{six}{% + \ifthenelse{\equal{#2}{7}}{sept}{zéro}}}}}}}% +} + +\newcommand{\Ordinal}[2]{{\upshape#1\textsuperscript{#2}}} +\newcommand{\Primo}{\Ordinal{1}{o}} +\newcommand{\Secundo}{\Ordinal{2}{o}} +\newcommand{\Tertio}{\Ordinal{3}{o}} +\newcommand{\Quarto}{\Ordinal{4}{o}} + +\newcommand{\Ord}[3][]{% + \ifthenelse{\equal{#2}{2}}{% + \ifthenelse{\equal{#3}{mes}}{deuxièmes}{deuxième}% + }{% + \ifthenelse{\equal{#2}{3}}{troisième}{% + \ifthenelse{\equal{#2}{4}}{quatrième}{% else #2 = 1 + \ifthenelse{\equal{#3}{e}}{% + \ifthenelse{\equal{#1}{f}}{première}{premier}% + }{% Not \Ord{1}{e} + premi#3% Expands to premier or première(s) + }% + }% + }% + }% +} + +% For use in \Paragraph argument +\newcommand{\1}{{\upshape1}} +\newcommand{\2}{{\upshape2}} +\newcommand{\3}{{\upshape3}} +\newcommand{\4}{{\upshape4}} + +\newcommand{\Numero}{N\textsuperscript{o}\ignorespaces} +\renewcommand{\No}{\Numero\,} +\renewcommand{\no}{\Numero\,} + +%% Upright capital letters in math mode +\DeclareMathSymbol{A}{\mathalpha}{operators}{`A} +\DeclareMathSymbol{B}{\mathalpha}{operators}{`B} +\DeclareMathSymbol{C}{\mathalpha}{operators}{`C} +\DeclareMathSymbol{D}{\mathalpha}{operators}{`D} +\DeclareMathSymbol{E}{\mathalpha}{operators}{`E} +\DeclareMathSymbol{F}{\mathalpha}{operators}{`F} +\DeclareMathSymbol{G}{\mathalpha}{operators}{`G} +\DeclareMathSymbol{H}{\mathalpha}{operators}{`H} +\DeclareMathSymbol{I}{\mathalpha}{operators}{`I} +\DeclareMathSymbol{J}{\mathalpha}{operators}{`J} +\DeclareMathSymbol{K}{\mathalpha}{operators}{`K} +\DeclareMathSymbol{L}{\mathalpha}{operators}{`L} +\DeclareMathSymbol{M}{\mathalpha}{operators}{`M} +\DeclareMathSymbol{N}{\mathalpha}{operators}{`N} +\DeclareMathSymbol{O}{\mathalpha}{operators}{`O} +\DeclareMathSymbol{P}{\mathalpha}{operators}{`P} +\DeclareMathSymbol{Q}{\mathalpha}{operators}{`Q} +\DeclareMathSymbol{R}{\mathalpha}{operators}{`R} +\DeclareMathSymbol{S}{\mathalpha}{operators}{`S} +\DeclareMathSymbol{T}{\mathalpha}{operators}{`T} +\DeclareMathSymbol{U}{\mathalpha}{operators}{`U} +\DeclareMathSymbol{V}{\mathalpha}{operators}{`V} +\DeclareMathSymbol{W}{\mathalpha}{operators}{`W} +\DeclareMathSymbol{X}{\mathalpha}{operators}{`X} +\DeclareMathSymbol{Y}{\mathalpha}{operators}{`Y} +\DeclareMathSymbol{Z}{\mathalpha}{operators}{`Z} + + +% Abbreviations of "constante" are of three types; notation regularized +\newcommand{\const}{\text{const}} +\newcommand{\cte}[1][.]{\const#1} %{\text{c}\textsuperscript{te}} +\newcommand{\Cte}{\const.} %{\text{C}\textsuperscript{te}} + +\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} +\renewcommand{\phi}{\varphi} + +\newcommand{\dd}{\partial} +\newcommand{\ds}{\displaystyle} + +\newcommand{\Ratio}[4]{(#1\;#2\;#3\;#4)}% Cross ratio +\newcommand{\Tri}[4]{(#1.#2\, #3\, #4)} % Trihedron + +\renewcommand{\(}{{\upshape(}} +\renewcommand{\)}{{\upshape)}} + +\DeclareInputText{167}{\No} +\DeclareInputText{176}{\ifmmode{{}^\circ}\else\textdegree\fi} +\DeclareInputText{183}{\,} + +\setlength{\emergencystretch}{1.5em} + +\begin{document} + +\pagestyle{empty} +\pagenumbering{alph} + +%%%% PG BOILERPLATE %%%% +\phantomsection +\pdfbookmark[0]{PG Boilerplate.}{Boilerplate} + +\begin{center} +\begin{minipage}{\textwidth} +\small +\begin{PGtext} +Project Gutenberg's Leçons de Géométrie Supérieure, by Ernest Vessiot + +This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with +almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or +re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included +with this eBook or online at www.gutenberg.org + + +Title: Leçons de Géométrie Supérieure + Professées en 1905-1906 + +Author: Ernest Vessiot + +Editor: Anzemberger + +Release Date: January 24, 2011 [EBook #35052] + +Language: French + +Character set encoding: ISO-8859-1 + +*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK LEÇONS DE GÉOMÉTRIE SUPÉRIEURE *** +\end{PGtext} +\end{minipage} +\end{center} + +\clearpage + + +%%%% Credits and transcriber's note %%%% +\begin{center} +\begin{minipage}{\textwidth} +\begin{PGtext} +Produced by Andrew D. Hwang, Laura Wisewell, Pierre Lacaze +and the Online Distributed Proofreading Team at +http://www.pgdp.net (The original copy of this book was +generously made available for scanning by the Department +of Mathematics at the University of Glasgow.) +\end{PGtext} +\end{minipage} +\end{center} +\vfill + +\begin{minipage}{0.85\textwidth} +\small +\pdfbookmark[0]{Note sur la Transcription.}{Note sur la Transcription} +\subsection*{\centering\normalfont\scshape% +\normalsize\MakeLowercase{Notes sur la transcription}}% + +\raggedright + Ce livre a été réalisé à l'aide d'un manuscrit dactylographié, dont + les images ont été fournies par le Département des Mathématiques de + l'Université de Glasgow. + \bigskip + + Des modifications mineures ont été apportées à la présentation, + l'orthographe, la ponctuation et aux notations mathématiques. Le + fichier \LaTeX\ source contient les notes de ces corrections. +\end{minipage} + +%% -----File: 001.png---Folio xx------- +\clearpage +\frontmatter +\setlength{\TmpLen}{18pt}% +\begin{center} +\small PUBLICATIONS DU LABORATOIRE DE MATHÉMATIQUES \\[\TmpLen] +\textsf{\bfseries De l'Université de Lyon} + +\vfill +% [** Decoration] + +\textbf{\LARGE LEÇONS} \\[2\TmpLen] +\footnotesize DE \\[3\TmpLen] +\textbf{\Huge GÉOMÉTRIE SUPÉRIEURE} \\[2\TmpLen] +\textsf{\bfseries Professées en 1905--1906} \\[2\TmpLen] +\Large PAR M. E. VESSIOT \\[2\TmpLen] +\textsc{\small Rédigées par M. ANZEMBERGER} +\vfill +% [** Decoration] +\vfill +\setlength{\TmpLen}{9pt} +\footnotesize IMPRIMERIES RÉUNIES \\[\TmpLen] +\scriptsize ANCIENNES MAISONS \\[\TmpLen] +\normalsize DELAROCHE ET SCHNEIDER \\[\TmpLen] +\scriptsize\textsf{\bfseries 8, rue Rachais} \\[\TmpLen] +\footnotesize BUREAUX $\bigl\{$% +\settowidth{\TmpLen}{\scriptsize\textit{85, rue de la République}}% +\parbox[l]{\TmpLen}{\scriptsize\itshape% + 85, rue de la République \\ + 9, quai de l'Hôpital} \\[9pt] +\textsf{\bfseries\footnotesize LYON} +\end{center} +%% -----File: 002.png---Folio xx------- +\clearpage +\pagestyle{fancy} +\fancyhf{} +\thispagestyle{empty} +\SetPageNumbers +\SetHead{TABLE DES MATIÉRES} +\tableofcontents + +\iffalse +TABLE DES MATIERES. + +Pages + +CHAPITRE I.--REVISION DES POINTS ESSENTIELS DE LA THEORIE DES +COURBES GAUCHES ET DES SURFACES DEVELOPPABLES: + +I.--Courbes gauches: + +1. Trièdre de Serret-Frenet............................ 1 + +2. Formules de Serret-Frenet........................... 2 + +3. Courbure et Torsion................................. 4 + +4. Discussion. Centre de Courbure ..................... 5 + +5. Signe de la torsion. Forme de la courbe............. 6 + +6. Mouvement du trièdre de Serret-Frenet............... 8 + +7. Calcul de la courbure............................... 9 + +8. Calcul de la Torsion................................ 10 + +9. Sphère osculatrice.................................. 11 + +II.--Surfaces développables: + +10. Propriétés générales............................... 12 + +11. Réciproques........................................ 15 + +12. Surface rectifiante. Surface polaire............... 16 + +CHAPITRE II.--SURFACES. + +1. Courbes tracées sur une surface. Longueurs d'arc et +angles................................................. 19 + +2. Déformation et représentation conforme.............. 20 + +3. Les directions conjuguées et la forme \Sigma ld^2x.. 24 + +4. Formules fondamentales pour une courbe de la surface 27 +%% -----File: 003.png---Folio xx------- + +CHAPITRE III.--ETUDE DES ELEMENTS FONDAMENTAUX DES COURBES +D'UNE SURFACE. + +1. Courbure normale................................... 33 + +2. Variations de la courbure normale.................. 35 + +3. Lignes minima...................................... 40 + +3. Lignes asymptotiques............................... 43 + +4. Surfaces minima.................................... 48 + +5. Lignes de courbure................................. 50 + +6. Courbure géodésique. Propriétés des géodésiques.... 52 + +7. Torsion géodésique. Théorèmes de Joachimsthal...... 57 + +CHAPITRE IV.--LES SIX INVARIANTS.--LA COURBURE TOTALE. + +1. Les six invariants................................. 61 + +2. Les conditions d'intégrabilité..................... 66 + +3. Courbure totale.................................... 69 + +4. Coordonnées orthogonales et isothermes............. 71 + +5. Relations entre la courbure totale et la courbure +géodésique............................................ 74 + +CHAPITRE V.--SURFACES REGLEES. + +1. Surfaces développables............................. 80 + +2. Développées des courbes gauches.................... 84 + +3. Lignas de courbure................................. 87 + +4. Développement d'une surface développable sur un plan +Réciproque............................................ 89 + +5. Lignes géodésiques d'une surface développable...... 93 + +6. Surfaces réglées gauches--trajectoires orthogonales +des génératrices...................................... 97 + +7. Cône directeur. Point central. Ligne de striction.. 98 +%% -----File: 004.png---Folio xx------- + +8. Variations du plan tangent le long d'une génératrice.. 101 + +9. Elément linéaire...................................... 106 + +10. La forme \Sigma ld^2x et les lignes asymptotiques.... 110 + +11. Lignes de courbure................................... 118 + +12. Centre de courbure géodésique........................ 118 + +CHAPITRE VI.--CONGRUENCES DE DROITES[**.] + +1. Points et plans focaux................................ 121 + +2. Développables de la congruence. Examen des divers +cas possibles. Cas singuliers ........................... 129 + +3. Sur le point de vue corrélatif. Congruences de +Koenigs. Surfaces de Joachimsthal........................ 136 + +4. Détermination des développables d'une congruence...... 145 + +CHAPITRE VII.--CONGRUENCES DE NORMALES. + +1. Propriété caractéristique des congruences de normales. 150 + +2. Relations entre une surface et sa développée. Surface +canal. Cyclide de Dupin. Cas singulier................... 153 + +3. Etude des surfaces enveloppes de sphères. Correspondance +entre les droites et les sphères. Equation de +la cyclide de Dupin. Surface canal isotrope.............. 158 + +4. Lignes de courbure et lignes asymptotiques. Bandes +asymptotiques et bandes de courbure...................... 164 + +5. Lignes de courbure des enveloppes de sphères.......... 168 + +6. Cas où l'une des nappes de la développée est une +développable............................................. 171 + +CHAPITRE VIII.--LES CONGRUENCES DE DROITES ET LES CORRESPONDANCES +ENTRE DEUX SURFACES. + +1. Nouvelle représentation des congruences............... 181 + +2. Emploi des coordonnées homogènes...................... 183 +%% -----File: 005.png---Folio xx------- + +3. Correspondance entre les points M, M_1 de deux +surfaces, telle que les développables de la +congruence des droites MM_1 coupent les deux +surfaces suivant deux réseaux conjugués homologues.... 189 + +4. Correspondance par plans tangents parallèles....... 197 + +CHAPITRE IX.--COMPLEXES DE DROITES. + +1. Eléments fondamentaux d'un complexe de droites..... 201 + +2. Surfaces du complexe............................... 205 + +3. Complexes spéciaux. Surface des singularités. Surfaces +et courbes des complexes spéciaux.......... 211 + +4. Surfaces normales aux droites du complexe.......... 218 + +CHAPITRE X.--COMPLEXES LINEAIRES. + +1. Généralités sur les complexes algébriques............ 220 + +2. Coordonnées homogènes................................ 221 + +3. Complexe linéaire.................................... 226 + +4. Faisceau de complexes linéaires...................... 226 + +5. Complexes linéaires en involution.................... 228 + +6. Droites conjuguées................................... 230 + +7. Réseau de complexes linéaires........................ 235 + +8. Courbes d'un complexe linéaire. Leurs propriétés..... 236 + +9. Surfaces normales aux droites d'un complexe linéaire. 240 + +10. Surfaces réglées d'un complexe linéaire............. 243 + +CHAPITRE XI.--TRANSFORMATIONS DUALISTIQUES. TRANSFORMATION DE +SOPHUS LIE. + +1. Eléments de contact et multiplicités................. 245 + +2. Transformations de contact. Transformations dualistiques.... 249 +%% -----File: 006.png---Folio xx------- + +3. Transformation de Sophus Lie........................ 255 + +4. Transformation des droites en sphères............... 260 + +5. Transformation des lignes asymptotiques............. 263 + +6. Transformation des lignes de courbure............... 265 + +CHAPITRE XII.--SYSTEMES TRIPLES ORTHOGONAUX. + +1. Théorème de Dupin................................... 268 + +2. Equation aux dérivées partielles de Darboux......... 269 + +3. Systèmes triples orthogonaux contenant une surface.. 274 + +4. Systèmes triples orthogonaux contenant une famille de +plans.................................................. 275 + +5. Systèmes triples orthogonaux contenant une famille de +sphères ............................................... 275 + +CHAPITRE [** VIII missing].--CONGRUENCES DE SPHERES ET SYSTEMES CYCLIQUES. + +1. Généralités......................................... 280 + +2. Congruences spéciales............................... 283 + +3. Théorème de Dupin................................... 285 + +4. Congruence des droites D............................ 289 + +5. Congruence des droites \Delta....................... 291 + +6. Le système triple de Ribaucour...................... 293 + +7. Congruences de cercles et systèmes cycliques. +Transformation de contact de Ribaucour................. 294 + +8. Surfaces de Weingarten.............................. 301 + +EXERCICES. 307 +\fi +%% -----File: 007.png---Folio xx------- + + +\Preface + +Ces leçons ont été professées en 1905--1906, pour répondre +au programme spécial d'Analyse Mathématique de l'Agrégation. +Elles ont été autographiées à la demande de mes étudiants, et +rédigées par l'un d'eux. + +Peut-être pourront-elles être utiles aux étudiants désireux +de s'initier à la géométrie supérieure, et leur être +une bonne préparation à l'étude des livres de M.~Darboux et +des mémoires originaux. + +J'ai supposé connus seulement les principes les plus +simples de la théorie du contact; j'ai repris les points essentiels +de la théorie des courbes gauches et de la théorie +des surfaces, en mettant en évidence le rôle essentiel des +formules de Frenet et des deux formes quadratiques différentielles +de Gauss. + +L'objet principal de mes leçons était l'étude des systèmes +de droites, et leur application à la théorie des surfaces. +Il était naturel d'y joindre l'étude des systèmes de +sphères, que j'ai poussée jusqu'aux propriétés élémentaires, +si attrayantes, des systèmes cycliques de Ribaucour. J'ai +insisté sur la correspondance des droites et des sphères, je +l'ai éclairée par l'emploi des notions d'éléments de contact +et de multiplicités, qui est également utile dans la théorie +des congruences de droites; j'ai montré comment elle se traduisait +par la transformation de contact de Lie. +%% -----File: 008.png---Folio xx------- + +J'ai cherché à développer les diverses questions par +la voie la plus naturelle et la plus analytique; voulant +montrer à mes élèves comment la recherche méthodique, la discussion +approfondie des questions même les plus simples, +l'étude attentive et l'interprétation des résultats conduisent +aux \DPtypo{consequences}{conséquences} les plus intéressantes. + +\null\hfil\hfil +\parbox[c]{2in}{\centering +Le 1\textsuperscript{er} Juin 1906. \\ +\textsc{E.~Vessiot}.}\hfil +%% -----File: 009.png---Folio 1------- + +\mainmatter + +\Chapitre{Premier}{Révision des points essentiels de la théorie des Courbes Gauches et des Surfaces \DPtypo{Developpables}{Développables}.} + +\SubChap{I. Courbes Gauches.} + +\Section{Trièdre de Serret-Frenet\Add{.}} +{1.}{} Les coordonnées d'un point d'une courbe gauche peuvent +s'exprimer en fonction d'un paramètre~$t$ +\[ +x = f(t)\Add{,}\qquad y = g(t)\Add{,}\qquad z = h(t)\Add{.} +\] +Nous considérerons dans une telle courbe la \emph{tangente}, qui a +pour paramètres directeurs $\dfrac{dx}{dt}$, $\dfrac{dy}{dt}$, $\dfrac{dz}{dt}$ et le \emph{plan osculateur} +qui contient la tangente $\left(\dfrac{dx}{dt}, \dfrac{dy}{dt}, \dfrac{dz}{dt}\right)$ et l'accélération +$\left(\dfrac{d^2x}{dt^2}, \dfrac{d^2y}{dt^2}, \dfrac{d^2z}{dt^2}\right)$ et dont par suite les coefficients sont les +déterminants du \Ord{2}{e} ordre déduits du tableau +\[ +\begin{Vmatrix} +\mfrac{dx}{dt} & \mfrac{dy}{dt} & \mfrac{dz}{dt} \\ +\mfrac{d^2x}{dt^2} & \mfrac{d^2y}{dt^2} & \mfrac{d^2z}{dt^2} +\end{Vmatrix} +\] + +\Paragraph{Remarque.} Si on change de paramètre, en posant $t = \phi(u)$\Add{,} +l'accélération nouvelle $\left(\dfrac{d^2x}{du^2}, \dfrac{d^2y}{du^2}, \dfrac{d^2z}{du^2}\right)$ est toujours dans le +plan osculateur. + +Considérons en un point~$M$ d'une courbe la tangente~$MT$, +la normale située dans le plan osculateur, ou \emph{normale principale}~$MN$, +et la normale~$MB$ perpendiculaire au plan osculateur, +ou \emph{binormale}. Ces \Card{3} droites forment un trièdre trirectangle +que nous \DPtypo{appelerons}{appellerons} \emph{trièdre de Serret ou de Frenet}. L'une de +ses faces, celle déterminée par la tangente et la normale principale, +est le plan osculateur; celle déterminée par la normale +principale et la binormale est le plan normal; enfin celle +déterminée par la tangente et la binormale s'appelle le \emph{plan +%% -----File: 010.png---Folio 2------- +rectifiant}. + +Prenons sur la courbe une origine des arcs quelconques, +et un sens des arcs croissants également quelconque. La différentielle +de l'arc~$s$ est donnée par la formule +\[ +ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 +\] +d'où +\[ +\frac{ds}{dt} + = ± \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2} +\] +et +\[ +\left(\frac{dx}{ds}\right)^2 + + \left(\frac{dy}{ds}\right)^2 + + \left(\frac{dz}{ds}\right)^2 = 1\Add{,} +\] +$\dfrac{dx}{ds}$, $\dfrac{dy}{ds}$, $\dfrac{dz}{ds}$ sont ainsi les cosinus directeurs d'une des directions +de la tangente, celle qui correspond au sens des arcs +croissants; soient $a\Add{,} b\Add{,} c$ ces cosinus directeurs, nous avons +\[ +\Tag{(1)} +a = \frac{dx}{ds}\Add{,}\qquad +b = \frac{dy}{ds}\Add{,}\qquad +c = \frac{dz}{ds}\Add{.} +\] + +Nous prendrons sur la normale principale une direction +positive arbitraire de cosinus directeurs $a'\Add{,} b'\Add{,} c'$ et sur +la binormale une direction positive de cosinus directeurs $a''\Add{,} b''\Add{,} c''$ +telle que le trièdre constitué par ces \Card{3} directions +ait même disposition que le trièdre de coordonnées. On a alors +\[ +\begin{vmatrix} +a & b & c \\ +a' & b' & c' \\ +a'' & b'' & c'' +\end{vmatrix} += 1 +\] +et chaque élément de ce déterminant est égal à son coefficient. + +\Section{Formules de Serret-Frenet\Add{.}} +{2.}{} Il existe entre ces cosinus directeurs et leurs différentielles +des relations importantes. Nous avons en effet +\[ +a^2 + b^2 + c^2 = 1 +\] +d'où en dérivant par rapport à~$s$ +\[ +\sum a\, \frac{da}{ds} = 0\Add{.} +\] +Mais d'après les relations~\Eq{(1)} on a +\[ +\frac{da}{ds} = \frac{d^2x}{ds^2}\Add{,}\qquad +\frac{db}{ds} = \frac{d^2y}{ds^2}\Add{,}\qquad +\frac{dc}{ds} = \frac{d^2z}{ds^2}\Add{,} +\] +et la relation précédente s'écrit: +%% -----File: 011.png---Folio 3------- +\[ +\sum a\, \frac{d^2x}{\DPtypo{ds}{ds^2}} = 0\Add{.} +\] + +La direction de coefficients directeurs +\[ +\frac{d^2x}{ds^2},\quad +\frac{d^2y}{ds^2},\quad +\frac{d^2z}{ds^2}\quad \text{ou}\quad +\frac{da}{ds},\quad +\frac{db}{ds},\quad +\frac{dc}{ds} +\] +est donc perpendiculaire à la tangente; d'autre part elle est +dans le plan osculateur, c'est donc la normale principale, et +on a des relations de la forme: +\[ +\Tag{(2)} +\frac{da}{ds} = \frac{1}{R}\, a'\Add{,}\qquad +\frac{db}{ds} = \frac{1}{R}\, b'\Add{,}\qquad +\frac{dc}{ds} = \frac{1}{R}\, c'\Add{.} +\] +On en déduit, pour le facteur $\dfrac{1}{R}$, +\[ +\Tag{(3)} +\frac{1}{R} = \sum a'\, \frac{da}{ds}\Add{.} +\] +De ces relations\DPnote{(2)} on tire, en multipliant par $a''\Add{,} b''\Add{,} c''$ et +ajoutant +\[ +\sum a''\, \frac{da}{ds} = 0\Add{.} +\] +D'autre part on a +\[ +\sum aa'' = 0 +\] +d'où en dérivant +\[ +\sum a\, \frac{da''}{ds} + \sum a''\, \frac{da}{ds} = 0 +\] +et par suite +\[ +\sum a\, \frac{da''}{ds} = 0\Add{.} +\] +On a d'ailleurs +\[ +\sum a''{}^2 = 1 +\] +d'où +\[ +\sum a''\, \frac{da''}{ds} = 0 +\] +et les deux relations précédentes montrent que la direction +$\dfrac{da''}{ds}, \dfrac{db''}{ds}, \dfrac{dc''}{ds}$ est perpendiculaire à la tangente et à la binormale. +C'est donc encore la normale principale, et on a des +relations de la forme\DPtypo{;}{:} +\[ +\Tag{(4)} +\frac{da''}{ds} = \frac{1}{T}\, a'\Add{,}\qquad +\frac{db''}{ds} = \frac{1}{T}\, b'\Add{,}\qquad +\frac{dc''}{ds} = \frac{1}{T}\, c'\Add{.} +\] +On en déduit, pour le facteur $\dfrac{1}{T}$, +\[ +\Tag{(5)} +\frac{1}{T} = \sum a'\, \frac{da''}{ds}\Add{.} +\] +Enfin de la relation +\[ +\sum a'a'' = 0 +\] +on tire +\[ +\sum a'\, \frac{da''}{ds} + \sum a''\, \frac{da'}{ds} = 0\Add{,} +\] +ou +\[ +\sum a''\, \frac{da'}{ds} = -\sum a'\, \frac{da''}{ds} = -\frac{1}{T}\Add{.} +\] +%% -----File: 012.png---Folio 4------- +De la relation +\[ +\sum a'a = 0 +\] +on tire de même +\[ +\sum a\, \frac{da''}{ds} = -\sum a'\, \frac{da}{ds} = -\frac{1}{R}\Add{,} +\] +et enfin de +\[ +\sum a'{}^2 = 0 +\] +on tire +\[ +\sum a'\, \frac{da'}{ds} = 0\Add{.} +\] +On a ainsi \Card{3} équations en $\dfrac{da'}{ds}, \dfrac{db'}{ds}, \dfrac{dc'}{ds}$, +\begin{align*} +\sum a\, \frac{da'}{ds} &= -\frac{1}{R}\Add{,} \\ +\sum a'\, \frac{da'}{ds} &= 0\Add{,} \\ +\sum a''\, \frac{da'}{ds} &= -\frac{1}{T}\Add{,} +\end{align*} +et l'on en tire +\[ +\Tag{(6)} +\frac{da'}{ds} = -\frac{a}{R} - \frac{a''}{T},\qquad +\frac{db'}{ds} = -\frac{b}{R} - \frac{b''}{T},\qquad +\frac{dc'}{ds} = -\frac{c}{R} - \frac{c''}{T}. +\] + +Les \Card{3} groupes de relations \Eq{(2)}\Add{,}~\Eq{(4)}\Add{,}~\Eq{(6)} constituent \emph{les +formules de Serret ou de Frenet}. + +\Section{Courbure et \DPtypo{Torsion}{torsion}\Add{.}} +{3.}{Interprétation de~$R$.} Considérons le point~$t$ de coordonnées +$a\Add{,} b\Add{,} c$. Les formules~\Eq{(2)} expriment une propriété de la +courbe lieu de ces points; cette courbe est tracée sur une +sphère de rayon~$1$, on l'appelle \emph{indicatrice +sphérique} de la courbe~$(C)$, +et les formules~\Eq{(2)} montrent que \emph{la +tangente en~$t$ à l'indicatrice sphérique +est parallèle à la normale +principale en~$M$ à la courbe~$C$}. Soit $u$ +l'arc de cette indicatrice compté à +partir d'une origine arbitraire dans +un sens également arbitraire, on aura +\[ +\frac{da}{du} = ea',\qquad +\frac{db}{du} = eb',\qquad +\frac{dc}{du} = ec',\qquad (e = ±1) +\] + +\Illustration[1.75in]{012a} +\noindent d'où, en tenant compte des formules~\Eq{(2)} +\[ +\frac{1}{R} = e\, \frac{du}{ds}\Add{.} +\] +%% -----File: 013.png---Folio 5------- + +Considérons alors les points $t$,~$t'$ correspondant aux +points $M$,~$M'$; $\dfrac{du}{ds}$~est la limite du rapport $\dfrac{\arc tt'}{\arc MM'}$ quand $M'$~se +rapproche indéfiniment de~$M$. L'arc~$tt'$ étant infiniment petit +peut être remplacé par l'arc de grand cercle correspondant, +qui n'est autre que la mesure de l'angle~$tOt'$ des \Card{2} tangentes +infiniment voisines; c'est \emph{l'angle de contingence}; cette limite +s'appelle la \emph{courbure} de la courbe au point~$C$; $R$~est le \emph{rayon +de courbure}. + +\Paragraph{Interprétation de~$T$.} Pour interpréter~$T$, on \DPtypo{considèrera}{considérera} +de même le lieu du point~$b$ de coordonnées $a\Add{,} b\Add{,} c$, ou \emph{deuxième +indicatrice sphérique}. On pourra remarquer que d'après les +formules \Eq{(2)}\Add{,}~\Eq{(4)}, \emph{les tangentes en $t$,~$b$ aux deux indicatrices +sont parallèles à la normale principale en~$M$}. Si $v$~est l'arc +de cette deuxième indicatrice sphérique, on trouvera comme +précédemment que +\[ +\frac{1}{T} = e'\, \frac{dv}{ds}\qquad (e' = ±1) +\] +et que $\dfrac{1}{T}$ est la limite du rapport de l'angle des plans +osculateurs en $M$,~$M'$ à l'arc~$MM'$; c'est la \emph{torsion} en~$M$, et $T$~est +le \emph{rayon de torsion}. + +\emph{Les deux indicatrices sont polaires réciproques sur la +sphère.} + + +\Section{Discussion. Centre de courbure.} +{4.}{} Les cosinus directeurs que nous avons introduits dépendent +de \Card{3} hypothèses arbitraires sur la disposition du +trièdre de coordonnées, le sens des arcs croissants, et le sens +positif choisi sur la normale principale. Si nous changeons +ces hypothèses, et si nous désignons par $e_1, e_2, e_3$ des nombres +égaux à~$±1$, $s$~sera remplacé par~$e_1s$, $a\Add{,} b\Add{,} c$ par $e_1a, e_1b, e_1c$; +$a'\Add{,} b'\Add{,} c'$ par $e_2a, e_2b, e_2c$; et enfin, d'après les relations +%% -----File: 014.png---Folio 6------- +\[ +a'' = e_3 (bc' - cb'),\qquad +b'' = e_3 (ca' - ac'),\qquad +c'' = e_3 (ab' - ba'), +\] +$a''\Add{,} b''\Add{,} c''$ seront remplacés par $e_1e_2e_3a'', e_1e_2e_3b'', e_1e_2e_3c''$. Les +formules~\Eq{(2)} donnent alors +\[ +\frac{e_1\, da}{e_1\, ds} = \frac{1}{R}\, e_2a',\qquad \text{etc}\ldots, +\] +c'est à dire $R$~se change en~$e_2R$; et son signe ne dépend que +de la direction positive choisie sur la normale principale. + +Donc le point~$C$ de la normale principale, tel que l'on +%[** TN: MC has an overline accent; only instance, omitting] +ait $MC = R$ ($R$~étant défini algébriquement comme précédemment), +est un élément géométrique attaché à la courbe donnée. Ce +point~$C$ s'appelle \emph{centre de courbure en~$M$}. + +Voyons maintenant~$T$. Les formules~\Eq{(4)} donnent +\begin{align*} +\frac{e_1e_2e_3\, da''}{\DPtypo{e}{e_1}\, ds} + &= \frac{1}{T}\, e_2a'\Add{,}\qquad \text{etc.} \\ +\intertext{ou} +\frac{e_3\, da''}{ds} &= \frac{1}{T}\, a'\Add{,}\qquad \text{etc.} +\end{align*} + +Donc $T$~se change en~$e_3T$; et le signe de~$T$ dépend uniquement +de la disposition du trièdre de coordonnées. Il n'y a +donc pas lieu de définir un centre de torsion. + +\Section{Signe de la torsion. Forme de la courbe.} +{5.}{} Pour interpréter le signe de~$T$, nous allons étudier +la rotation d'un plan passant par la tangente~$MT$ et par un +point~$M'$ de la courbe infiniment voisin. Rapportons la courbe +au trièdre de Serret, la tangente étant~$OX$, la normale principale~$OY$, +la binormale~$OZ$. Alors $a = 1$, $a' = 0$, $a'' = 0$, $b = 0$, +$b' = 1$, $b'' = 0$, $c = 0$, $c' = 0$, $c'' = 1$. Nous allons chercher +les développements des coordonnées d'un point de la courbe +infiniment voisin de~$M$ suivant les puissances croissantes de~$ds$, +($ds$~étant l'arc de la courbe compté à partir du point~$O$). + +Nous avons +\begin{align*}%[** TN: Added elided equations] +X &= \frac{ds}{1}\, \frac{dx}{ds} + + \frac{ds^2}{2}\, \frac{d^2x}{ds^2} + + \frac{ds^3}{6}\, \frac{d^3x}{ds^3} + \dots\Add{,} \\ +Y &= \frac{ds}{1}\, \frac{dy}{ds} + + \frac{ds^2}{2}\, \frac{d^2y}{ds^2} + + \frac{ds^3}{6}\, \frac{d^3y}{ds^3} + \dots\Add{,} \\ +Z &= \frac{ds}{1}\, \frac{dz}{ds} + + \frac{ds^2}{2}\, \frac{d^2z}{ds^2} + + \frac{ds^3}{6}\, \frac{d^3z}{ds^3} + \dots\Add{.} +\end{align*} +%% -----File: 015.png---Folio 7------- + +Or: +\begin{align*} +\frac{dx}{ds} &= a = 1\Add{,} \\ +\frac{d^2x}{ds^2} &= \frac{da}{ds} = \frac{a'}{R} = 0\Add{,} \\ +\frac{d^3x}{ds^3} &= \frac{d^2a}{ds^2} + = \frac{1}{R}\, \frac{da'}{ds} + \frac{d\left(\dfrac{1}{R}\right)}{ds}\, a' + = \frac{1}{R} \left(-\frac{a}{R} - \frac{a''}{T}\right) - \frac{1}{R^2}\, a'\, \frac{dR}{ds} + = -\frac{1}{R^2}\Add{,} +\end{align*} +et de même pour les autres coordonnées. On trouve ainsi +\[ +\Tag{(7)}%[** TN: Added brace] +\left\{ +\begin{aligned} +X &= ds & &-\frac{1}{6R^2}\, \Err{ds}{ds^3} + \dots\Add{,} \\ +Y &= &\frac{1}{2R}\, ds^2 &-\frac{1}{6R^2}\, \frac{dR}{ds}\, ds^3 + \dots\Add{,} \\ +Z &= & &-\frac{1}{6RT}\, ds^3 + \dots\Add{.} +\end{aligned} +\right. +\] +Tels sont les \DPtypo{developpements}{développements} des coordonnées, du point~$M'$ voisin +de~$M$. + +Le plan que nous considérons passe par la tangente; le +sens de sa rotation est donné par le signe de~$\dfrac{Z}{Y}$, coefficient +angulaire de sa trace sur le plan des~$YZ$. Or, +\[ +\frac{Z}{Y} = -\frac{ds}{3T}\, \bigl[1 + ds\, (\dots\dots)\bigr]\Add{.} +\] + +\Illustration[3in]{015a} +Ce coefficient angulaire est positif si $T\Err{\ }{<}0$, pour $s$~croissant, +c'est à dire si le point se déplace dans la direction +de la tangente; le plan va alors tourner dans le sens positif. +Le point~$M'$ étant au-dessus du +plan des~$\DPtypo{xy}{XY}$, l'arc~$MM'$ de la courbe +est en avant du plan~$XZ$, si $T<0$; il +est au contraire en arrière si $T>0$. + +Les formules~\Eq{(7)} permettent de +représenter les projections de la +courbe sur les \Card{3} faces du trièdre de +Serret dans le voisinage du point~$M$. +%% -----File: 016.png---Folio 8------- +Nous supposerons pour faire ces projections $R > 0$ et $T < 0$. + +La considération des formules~\Eq{(7)} prises deux à deux +montre que sur le plan rectifiant~$(XZ)$ la projection a au +point~$m_1$ un point d'inflexion, la tangente inflexionnelle étant~$OX$. +Sur le plan osculateur, la projection a au point~$m$ un point +ordinaire, la tangente étant~$OX$; enfin sur le plan normal~$(Y\Add{,}Z)$ +la projection a en~$m_2$ un point de rebroussement, la tangente de +rebroussement étant~$OY$. + + +\Section{Mouvement du trièdre de Serret-Frenet.} +{6.}{Remarque.} Considérons un point~$P$ invariablement lié +au trièdre de Serret, et soient $X\Add{,} Y\Add{,} Z$ ses coordonnées constantes +par rapport à ce trièdre; soient $\xi, \eta, \zeta$ les coordonnées de +ce point par rapport à un système d'axes fixes. Lorsque le sommet +du trièdre de Serret décrit la courbe donnée, les projections +de la vitesse du point~$P$ sur les axes fixes sont, en remarquant +que l'on a +\begin{gather*} +\begin{alignedat}{4} +\xi &= x &&+ aX &&+ a'Y &&+ a''Z, \\ +\eta &= y &&+ bX &&+ b'Y &&+ b''Z, \\ +\zeta &= z &&+ cX &&+ c'Y &&+ c''Z\Add{,} +\end{alignedat} \\[6pt] +\begin{alignedat}{4} +\frac{d\xi}{dt} + &= \frac{dx}{dt} &&+ X\frac{da}{dt} &&+ Y\frac{da'}{dt} &&+ Z\frac{da''}{dt},\\ +\frac{d\eta}{dt} + &= \frac{dy}{dt} &&+ X\frac{db}{dt} &&+ Y\frac{db'}{dt} &&+ Z\frac{db''}{dt},\\ +\frac{d\zeta}{dt} + &= \frac{dz}{dt} &&+ X\frac{dc}{dt} &&+ Y\frac{dc'}{dt} &&+ Z\frac{dc''}{dt}\Add{,} +\end{alignedat} +\end{gather*} +ou encore +\begin{align*}%[** TN: Added elided equations] +\frac{d\xi}{dt} + &= \frac{ds}{dt}\, a + X\, \frac{a'}{R} + Y \left(-\frac{a}{R} - \frac{a''}{T}\right) + Z\, \frac{a'}{T}, \\ +\frac{d\eta}{dt} + &= \frac{ds}{dt}\, b + X\, \frac{b'}{R} + Y \left(-\frac{b}{R} - \frac{b''}{T}\right) + Z\, \frac{b'}{T}, \\ +\frac{d\zeta}{dt} + &= \frac{ds}{dt}\, c + X\, \frac{c'}{R} + Y \left(-\frac{c}{R} - \frac{c''}{T}\right) + Z\, \frac{c'}{T}\Add{.} +\end{align*} + +Les projections de la vitesse sur les axes mobiles sont +alors +\begin{alignat*}{4} +V_x &= a\, \frac{d\xi}{dt} &&+ b\, \frac{d\eta}{dt} &&+ c\, \frac{d\zeta}{dt} + &&= \frac{ds}{dt} \left(1 - \frac{Y}{R}\right)\Add{,} \\ +V_y &= a'\, \frac{d\xi}{dt} &&+ b'\, \frac{d\eta}{dt} &&+ c'\, \frac{d\zeta}{dt} + &&= \frac{ds}{dt} \left(\frac{X}{R} + \frac{Z}{T}\right)\Add{,} \\ +V_z &= a''\, \frac{d\xi}{dt} &&+ b''\, \frac{d\eta}{dt} &&+ c''\, \frac{d\zeta}{dt} + &&= -\frac{ds}{dt}\, \frac{Y}{T}\Add{,} +\end{alignat*} +$\dfrac{ds}{dt}$ est la vitesse du sommet du trièdre. Si nous ne considérons +que la vitesse de rotation, nous savons que, si $p\Add{,} q\Add{,} r$ sont les +composantes de la rotation instantanée sur les axes mobiles, +%% -----File: 017.png---Folio 9------- +on a +\[ +V_x = qZ - rY\Add{,}\qquad +V_y = rX - pZ\Add{,}\qquad +V_z = pY - qX\Add{,} +\] +et nous trouvons ainsi, en identifiant avec les expressions +précédentes (dans l'hypothèse $t = s$) +\[ +p = -\frac{1}{T}\Add{,}\qquad +q = 0\Add{,}\qquad +r = \frac{1}{R}\Add{,} +\] +ce qui montre qu'\emph{à chaque instant, la rotation instantanée +est dans le plan rectifiant et a pour composantes suivant la +tangente et la binormale la torsion et la courbure}. + +Si l'on suppose le trièdre de Serret transporté à l'origine, +il tourne autour de son sommet, l'axe instantané de rotation +est dans le plan rectifiant, et le mouvement du trièdre +est obtenu par le roulement de ce plan sur un certain cône. + + +\Section[Calcul de la courbure.]{Calcul de~$R$.} +{7.}{} Reprenons la formule~\Eq{(3)} +\[ +\frac{1}{R} = \sum a'\, \frac{da}{ds}\Add{.} +\] +Nous avons +\[ +a = \frac{dx}{ds}, +\] +d'où +\[ +\frac{da}{ds} = \frac{ds\, d^2x - dx\, d^2s}{\DPtypo{ds^2}{ds^3}}. +\] +Soit maintenant +\[ +A = dy\, d^2z - dz\, d^2y\DPtypo{.}{,}\qquad +B = dz\, d^2x - dx\, d^2z,\qquad +C = dx\, d^2y - dy\, d^2x, +\] +et posons +\[ +\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} = D. +\] +$A\Add{,} B\Add{,} C$ sont les coefficients du plan osculateur, et par suite +les cosinus directeurs de la binormale sont +\[ +a'' = \frac{A}{D}\Add{,}\qquad +b'' = \frac{B}{D}\Add{,}\qquad +c'' = \frac{C}{D}\Add{,} +\] +et les cosinus directeurs de la normale principale, perpendiculaire +aux deux droites précédentes, sont +\begin{align*}% [** TN: Elided equations not added] +a' &= \frac{B\, dz - C\, dy}{D\, ds} + = \frac{\DPtypo{dx^2}{dx^2}\, (dz^2 + dy^2) - dx\, (dz\, \DPtypo{dz^2}{d^2z} + dy\, \DPtypo{dy^2}{d^2y})}{D\, ds} \\ + &= \frac{\DPtypo{dx^2}{d^2x}·ds^2 - dx·ds\, \DPtypo{ds^2}{d^2s}}{D\, ds} + = \frac{ds\, d^2x - dx\, d^2s}{D}\Add{,} \\[6pt] +b' &= \dots \qquad c' = \dots\Add{,} +\end{align*} +\iffalse%%%%[** TN: Code for elided equations] +b' &= \frac{C\, dx - A\, dz}{D\, ds} + = \frac{dy^2\, (dx^2 + dz^2) - dy\, (dx\, d^2x + dz\, d^2z)}{D\, ds} \\ + &= \frac{d^2y·ds^2 - dy·ds\, d^2s}{D\, ds} + = \frac{ds\, d^2y - dy\, d^2s}{D}\Add{,} \\[6pt] +c' &= \frac{A\, dy - B\, dx}{D\, ds} + = \frac{dz^2\, (dy^2 + dx^2) - dz\, (dy\, d^2y + dx\, d^2x)}{D\, ds} \\ + &= \frac{d^2z·ds^2 - dz·ds\, d^2s}{D\, ds} + = \frac{ds\, d^2z - dz\, d^2s}{D}\Add{,} +\fi %%%% End of code for elided equations +%% -----File: 018.png---Folio 10------- +et alors +\[ +\frac{1}{R} = \sum a'\, \frac{da}{ds} + = \sum \frac{B\, dz - C\, dy}{D\DPtypo{}{\,ds}}\, + \frac{ds\, d^2x - dx\, d^2s}{\DPtypo{ds^2}{ds^3}} +\] +ce qui peut s'écrire +%[** TN: Original exponents unclear, but math checked by hand.] +\begin{align*} +\frac{1}{R} + &= \frac{1}{D\, ds^3} \sum d^2x\, (B\, dz - C\, dy) + - \frac{d^2s}{D\, ds^4} \sum dx\, (B\, dz - C\, dy) \\ +\intertext{et se réduit à:} +\frac{1}{R} + &= \frac{1}{D\, ds^3} \sum d^2x\, (B\, dz - C\, dy) + = \frac{1}{D\, ds^3} + \begin{vmatrix} + dx & dy & dz \\ + d^2x & d^2y & d^2z \\ + A & B & C + \end{vmatrix} = \frac{D}{ds^3}\Add{,} +\end{align*} +d'où enfin: +\[ +\frac{1}{R} = \frac{\sqrt{\sum (dy\, d^2z\DPtypo{_}{-} dz\, d^2y)^2}} + {(dx^2 + dy^2 + dz^2)^{\tfrac{3}{2}}}. +\] + + +\Section[Calcul de la torsion]{Calcul de~$T$.} +{8.}{} On aura de même +\begin{align*} +\frac{1}{T} + &= \sum a'\, \frac{da''}{ds} + = \sum \frac{B\, dz \DPtypo{_}{-} C\, dy}{D·ds}\, + \frac{D·dA - A\, dD}{D^2\, ds} \\ +\intertext{ce qui peut s'écrire} +\frac{1}{T} + &= \frac{1}{D^2\, \DPtypo{ds}{ds^2}} \sum dA\, (B\, dz - C\, dy) + - \frac{dD}{\DPtypo{D^2}{D^3}\, ds^2} \sum A\, (B\, dz - C\, dy) +\end{align*} +et se réduit à +\begin{align*} +\frac{1}{T} + &= \frac{1}{D^2\, ds^2} \sum dA\, (B\, dz - C\, dy) + = \frac{1}{D^2\, ds} \sum (dy\, d^3z - dz\, d^3y) (ds\, d^2x - dx\, d^2s) \\ +\intertext{ou} +\frac{1}{T} + &= \frac{1}{D^2} \sum d^2x (dy\, d^3z - dz\, d^3y) + - \frac{d^2s}{D^2\, ds} \sum dx\, (dy\, d^3z - dz\, d^3y); \\ +\intertext{la \Ord{2}{e} somme est nulle, et il reste} +\frac{1}{T} + &= \frac{1}{\DPtypo{D}{D^2}} \sum d^2x\, (dy\, d^3z - dz\, d^3y) + = -\frac{1}{D^2} + \begin{vmatrix} + dx & dy & dz \\ + d^2x & d^2y & d^2z \\ + d^3x & d^3y & d^3z + \end{vmatrix} +\end{align*} +avec +\[ +D^2 = \sum (dy\, d^2z - dz\, d^2y)^2\Add{.} +\] + +\Paragraph{Remarque.} Pour que la torsion d'une courbe soit constamment +nulle, il faut et il suffit que l'on ait constamment +\[ +\begin{vmatrix} + dx & dy & dz \\ + d^2x & d^2y & d^2z \\ + d^3x & d^3y & d^3z +\end{vmatrix} = 0, +\] +ce qui exige que $x, y, z$ soient liés par une relation linéaire, +à coefficients constants, c'est-à-dire que la courbe soit plane. +Ainsi \emph{les courbes à torsion constamment nulle sont des +%% -----File: 019.png---Folio 11------- +courbes planes.} + +\Section{Sphère osculatrice.} +{9.}{} Cherchons les sphères qui ont en~$M$, avec la courbe +considérée, un contact du second ordre. Le centre $(x_0\Add{,} y_0\Add{,} z_0)$ et +le rayon~$R_0$ d'une telle sphère sont, d'après la théorie du +contact, déterminés par les équations suivantes, que nous développons +au moyen des formules de Serret-Frenet: +\begin{align*} +&\sum (x - x_0)^2 - R_0^2 = 0, \\ +&\frac{d}{ds} \left\{ \sum (x - x_0)^2 - R^2 \right\} = 0,\quad + \text{\DPchg{c.à.d.}{cést-à-dire}}\quad \sum a(x - x_0) = 0, \\ +&\frac{d^2}{ds^2} \left\{ \sum (x - x_0)^2 - R^2 \right\} = 0,\quad + \text{\DPchg{c.à.d.}{cést-à-dire}}\quad 1 + \frac{1}{R} \sum a' (x - x_0) = 0. +\end{align*} + +Si on prend le trièdre de Serret-Frenet pour trièdre +de coordonnées, comme on l'a fait plus haut, elles se réduisent +à +\[ +\sum X_0 - R_0^2 = 0,\qquad X_0 = 0,\qquad Y_0 = -R; +\] +et l'équation générale des sphères cherchées est, $Z_0$~restant +arbitraire, +\[ +X^2 + Y^2 + Z^2 - 2RY - 2Z_0Z = 0\Add{.} +\] + +C'est un faisceau de sphères, dont fait partie le plan +osculateur $Z = 0$. On vérifie ainsi la propriété de contact +du plan osculateur. + +Le cercle commun à toutes ces sphères est, de plus, +d'après la théorie du contact des courbes, celui qui a un +contact du second ordre avec la courbe, \DPchg{c.à.d.}{cést-à-dire} le \emph{cercle +osculateur}. Les équations sont +\[ +Z = 0,\qquad X^2 + Y^2 - 2RY = 0, +\] +\DPchg{c.à.d.}{cést-à-dire} qu'il est dans le plan osculateur, a pour centre +le centre de courbure~$C$ ($X = 0$, $Y = R$), et passe en~$M$. Le +lieu des \Err{}{centres des }sphères considérées est l'axe du cercle osculateur. + +Parmi toutes ces sphères, il y en a une qui a un contact +%% -----File: 020.png---Folio 12------- +du troisième ordre avec la courbe. On l'obtient en introduisant +la condition nouvelle: +\begin{gather*} +\frac{d^3}{ds^3} \left\{ \sum (x - x_0)^2 - R^2 \right\} = 0\Add{,} \\ +\intertext{\DPchg{c.à.d.}{cést-à-dire}} +-\frac{1}{R^2}\, \frac{dR}{ds} \sum a'(x - x_0) + -\frac{1}{R} \left\{ \frac{1}{R} \sum a(x - x_0) + \frac{1}{T} \sum a''(x - x_0) \right\} = 0, +\end{gather*} +qui se réduit, avec les axes particuliers employés, à +\[ +Z_0 = -T\, \frac{dR}{ds}. +\] +Le centre de cette \emph{sphère osculatrice} est donc défini par les +formules: +\[ +X_0 = 0,\qquad Y_0 = -R,\qquad Z_0 = -T\, \frac{dR}{ds}. +\] +Et son rayon est donné par +\[ +R_0^2 = R^2 + T^2\, \frac{dR^2}{ds^2}. +\] + + +\SubChap{II. Surfaces développables.} + +\Section{Propriétés générales.} +{10.}{} Une courbe gauche est le lieu de $\infty^{1}$~points; corrélativement +nous \DPtypo{considèrerons}{considérerons} une surface développable, enveloppe +de $\infty^{1}$~plans; la caractéristique de l'un de ces plans +correspond corrélativement à la tangente en un point de la +courbe, puisqu'elle est l'intersection de deux plans infiniment +voisins. + +Soit +\[ +\Tag{(1)} +uX + vY + wZ + h = 0, +\] +l'équation générale des plans considérés, de sorte que $u, v, w, h$ +désignent des fonctions données d'un paramètre~$t$. + +Les caractéristiques ont, d'après la théorie des enveloppes, +pour équations générales, +\[ +\Tag{(2)} +\left\{ +\begin{aligned} +&uX + uY + wZ + h = 0\Add{,} \\ +&du·X + dv·Y + dw·Z + dh = 0. +\end{aligned} +\right. +\] + +La surface développable, enveloppe des plans~\Eq{(1)}, est, +%% -----File: 021.png---Folio 13------- +d'après la théorie des enveloppes, le lieu des droites~\Eq{(2)}, +qui en sont, par conséquent, les génératrices rectilignes; +et, toujours d'après la théorie des enveloppes, chacun des +plans~\Eq{(1)} est tangent à la surface tout le long de la génératrice~\Eq{(2)} +correspondant à la même valeur de~$t$. + +Considérons alors la courbe~$(C)$, lieu des points $(x,y,z)$ +définis par les équations: +\[ +\Tag{(3)} +\left\{ +\begin{aligned} +&ux + vy + wz + h = 0\Add{,} \\ +&\DPtypo{x\, du}{u\, dx} + v\, dy + w\, dz + dh = 0\Add{,} \\ +&\DPtypo{x\, d^2u}{u\, d^2x} + v\, d^2y + w\, d^2z + d^2h = 0\Add{.} +\end{aligned} +\right. +\] + +L'un quelconque de ses points~$M$ est sur la droite~\Eq{(2)}, +correspondant à la même valeur de~$t$, et, par conséquent, dans +le plan~\Eq{(1)} correspondant. Cherchons la tangente à~$(C)$ en~$M$. +Il faut différentier les équations~\Eq{(3)}; différentiant chacune +des deux premières, en tenant compte de la suivante, nous +trouvons +\[ +\Tag{(4)} +\left\{ +\begin{aligned} +&u·dx + v·dy + w·dz = 0\Add{,} \\ +&du·dx + dv·dy + dw·dz = 0, +\end{aligned} +\right. +\] +ce qui exprime que la direction de la tangente est la même +que celle de la droite~\Eq{(2)}. Donc les tangentes à~$(C)$ sont +les génératrices de la développable. + +Cherchons encore le plan osculateur à~$(C)$ en~$M$. Il doit +passer par la tangente, et être parallèle à la direction $(d^2x, d^2y, d^2z)$. +Or\Add{,} si on différentie la première des équations~\Eq{(4)}, +en tenant compte de la seconde, on trouve +\[ +u·d^2x + v·d^2y + w·d^2z = 0, +\] +ce qui montre que le plan~\Eq{(1)} satisfait à ces conditions. +Donc le plan osculateur de~$(C)$ est le plan qui enveloppe la +développable. + +$(C)$~s'appelle l'\emph{arête de rebroussement} de la développable +%% -----File: 022.png---Folio 14------- + +Donc \emph{toute développable est l'enveloppe des plans osculateurs +de son arête de rebroussement, et est engendrée par +les tangentes à son arête de rebroussement}.%-- + +\Paragraph{Remarques.} Nous avons fait implicitement diverses hypothèses. +D'abord que le déterminant des équations~\Eq{(3)} n'est pas nul. +S'il l'est, on a +\[ +\begin{vmatrix} +u & v & w \\ +du & dv & dw \\ +d^2u & d^2v & d^2w +\end{vmatrix} = 0\Add{,} +\] +ce qui exprime que $u, v, w$ sont liés par une relation linéaire +homogène à coefficients constants; \DPchg{c.à.d.}{cést-à-dire} que les plans~\Eq{(1)} +sont parallèles à une droite fixe. Dans ce cas, les droites~\Eq{(2)} +sont parallèles à cette même direction, et la surface est +un \emph{cylindre}. Dans ce cas figure, comme \emph{cas singulier}, celui où +tous les plans~\Eq{(1)} passent par une droite fixe, qui est alors +l'enveloppe. + +\DPchg{Ecartant}{Écartant} ce cas, nous avons admis qu'il y avait un lieu +des points~$M$. Ceci suppose que $M$~n'est pas fixe. S'il en était +ainsi les équations~\Eq{(3)} étant vérifiées par les coordonnées +de ce point fixe, les plans~\Eq{(1)} passeraient par ce point fixe, +ainsi que les droites~\Eq{(2)}. L'enveloppe serait un \emph{cône}. + +\DPchg{Ecartons}{Écartons} encore ce cas. Nous avons admis encore que les +droites~\Eq{(2)} engendraient une surface. Mais cela n'est en défaut +que si elles sont toutes confondues, ce qui est le cas +singulier \DPtypo{déja}{déjà} examiné. + +Remarquons enfin que la courbe~$(C)$ est \DPtypo{forcèment}{forcément} gauche, +car si elle était plane, son plan étant son plan osculateur +unique, et nos raisonnements ne cessant pas de s'appliquer, +tous les plans~\Eq{(1)} seraient confondus. Il n'y aurait donc +pas $\infty^{1}$~plans~\Eq{(1)}. +%% -----File: 023.png---Folio 15------- + + +\Section{Réciproques.} +{11.}{Réciproquement les plans osculateurs en tous les +points d'une courbe gauche enveloppent une développable.} En +effet, si nous reprenons les notations du §1, le plan osculateur +en un point~$x\Add{,}y\Add{,}z$ d'une courbe a pour équation +\[ +\sum a'' (X - x) = 0. +\] +Sa caractéristique est représentée par l'équation précédente +et +\[ +\sum \frac{da''}{ds}\, (X - x) - \sum a''\, \frac{dx}{ds} = 0; +\] +mais on a +\[ +\sum a''\, \frac{dx}{ds} = 0,\qquad \frac{da''}{ds} = \frac{1}{T}\, a'; +\] +les équations de la caractéristique sont donc +\[ +\sum a'(X - x) = 0,\qquad \sum a''(X - x) = 0. +\] +Et, si on prend comme trièdre de coordonnées le trièdre de +Serret-Frenet, elles se réduisent à +\[ +Y = 0,\qquad Z = 0. +\] +\emph{Donc la \DPtypo{caracteristique}{caractéristique} du plan osculateur en un point d'une +courbe gauche est la tangente à cette courbe}, et l'enveloppe +de ce plan est bien une surface développable. L'arête de rebroussement +a pour équations +\[ +\sum a''(X - x) = 0,\quad +\sum a' (X - x) = 0,\quad +\sum \frac{da'}{ds}\, (X - x) - \sum a'\, \frac{dx}{ds} = 0. +\] + +Considérons la \DPtypo{3éme}{\Ord{3}{ème}}~équation; remarquons que l'on a +\[ +\sum a'\, \frac{dx}{ds} = 0,\qquad +\frac{da'}{ds} = -\left(\frac{a}{R} + \frac{a''}{T}\right); +\] +elle s'écrit alors +\[ +\sum \left(\frac{a}{R} + \frac{a''}{T}\right) (X - x) = 0, +\] +ou encore, en tenant compte de la \Ord{1}{ère} équation +\[ +\sum a(X - x) = 0. +\] +Nous avons ainsi \Card{3} équations linéaires et homogènes en $X - x$, +$Y - y$, $Z - z$, dont le déterminant est~$1$; donc +\[ +X - x = 0,\qquad +Y - y = 0,\qquad +Z - \DPtypo{Z}{z} = 0; +\] +\DPtypo{l'arète}{l'arête} de rebroussement est la courbe elle-même. +%% -----File: 024.png---Folio 16------- + +\Paragraph{Remarque.} Le nom \DPtypo{d'arète}{d'arête} de rebroussement provient de ce fait +que la \emph{section de la développable par le plan normal en~$M$ à +l'arête de rebroussement présente au point~$M$ un point de rebroussement}. +En effet, rapportons la courbe au trièdre de Serret +relatif au point~$M$: les coordonnées d'un point de la courbe +voisin du point~$M$ sont, d'après les formules établies au~\no5 +\begin{alignat*}{3} +x &= ds &{}- \frac{1}{\Err{6R}{6R^2}}\, ds^3 &+ \dots, \\ +y &= & \frac{1}{2R}\, ds^2 &- \frac{1}{6R^2}\, \frac{dR}{ds}\, ds^3 + \dots, \\ +z &= & &- \frac{1}{6RT}\, ds^3 + \dots\Add{.} +\end{alignat*} +Les coordonnées d'un point de la tangente au point~$x\Add{,}y\Add{,}z$ sont +\begin{align*} +X &= x + \lambda\, \frac{dx}{ds} + = \!\left(ds - \frac{1}{6R^2}\, ds^3 + \dots\right) + + \lambda\! \left(1 - \frac{1}{2R^2}\, ds^2 + \dots\right)\Add{\!,} \\ +Y &= y + \lambda\, \frac{dy}{ds} + = \!\left(\!\frac{1}{2R}\, ds^2 - \frac{1}{6R^2}\, \frac{dR}{ds}\, ds^3 + \dots\!\right) + + \lambda\! \left(\!\frac{1}{R}\, ds - \frac{1}{2R^2}\, \frac{dR}{ds}\, ds^2 + \dots\!\right)\Add{\!,} \\ +Z &= z + \lambda\, \frac{dz}{ds} + = \!\left(-\frac{1}{6RT}\, ds^3 + \dots\right) + + \lambda\! \left(-\frac{1}{2RT}\, ds^2 + \dots\right)\Add{\!.} +\end{align*} +Prenons l'intersection de cette tangente avec le plan normal +$X = 0$, nous avons +\[ +\lambda = -\frac{ds + \dots}{1 + \dots} = -ds + \dots +\] +et la courbe d'intersection \DPtypo{à}{a} pour équations +% +\begin{align*} +&\smash{\raisebox{-0.25in}{\Input[1.5in]{024a}}}&& +\begin{aligned}[b] +Y &= -\frac{1}{2R}\, ds^2 + \dots\Add{,} \\ +Z &= \frac{1}{3RT}\, ds^3 + \dots\Add{.} +\end{aligned} +\end{align*} +On voit qu'elle a au point~$M$ un point de rebroussement, la +tangente de rebroussement étant la normale principale.%-- + +\Section{Surface rectifiante. Surface polaire\Add{.}} +{12.}{Remarques.} Cherchons les surfaces développables enveloppes +des faces du trièdre de Serret dans une courbe \DPtypo{gauch}{gauche}~$(C)$. +Nous venons de voir que \emph{le plan osculateur enveloppe la +surface développable qui admet pour arête de rebroussement~$(C)$}\Add{.} +%% -----File: 025.png---Folio 17------- + +Considérons maintenant le plan rectifiant +\[ +\sum a'(X - x) = 0 +\] +la caractéristique est représentée par l'équation précédente +et par +\[ +\frac{1}{R} \sum a(X - x) + \frac{1}{T} \sum a''(X - x) = 0\Add{.} +\] +Si on prend les axes de Serret ces équations deviennent +\[ +Y=0,\qquad \frac{1}{R}\, X + \frac{1}{T}\, Z = 0, +\] +la caractéristique contient le point $Y = 0$, $X = -\dfrac{1}{T}$, $Z = \dfrac{1}{R}$, +extrémité du \Err{secteur}{vecteur} qui représente la rotation instantanée +du trièdre; \emph{c'est l'axe instantané de rotation du trièdre de +Serret}. Son lieu s'appelle la \emph{surface rectifiante}. Elle contient +la courbe~$(\DPtypo{c}{C})$. + +Considérons enfin le plan normal +\[ +\sum a(X - x) = 0; +\] +la \Ord{2}{e} équation de la caractéristique est +\[ +\sum \frac{da}{ds}\, (X - x) - \sum a\, \frac{dx}{ds} = 0, +\] +ou +\[ +\frac{1}{R} \sum a'(X - x) - 1 = 0. +\] +Cette caractéristique s'appelle la \emph{droite polaire}, et son +lieu s'appelle la \emph{surface polaire}. + +Prenant de nouveau les axes de Serret, les équations de la +droite polaire deviennent +\[ +X = 0,\qquad Y = R; +\] +Elle se confond donc avec \emph{l'axe du cercle osculateur}. + +Si nous cherchons le point d'intersection de la droite +polaire avec l'arête de rebroussement de la surface polaire, +nous avons les \Card{3} équations +%% -----File: 026.png---Folio 18------- +\[ +\sum a(X - x) = 0,\quad +\sum a'(X - x) - R = 0,\quad +\frac{1}{T} \sum a''(X - x) + \frac{dR}{ds} = 0\Add{,} +\] +qui deviennent, en prenant les axes de Serret, +\[ +X = 0,\qquad Y = R,\qquad Z = -\frac{1}{T}\, \frac{dR}{ds}. +\] + +Or\Add{,} ce sont les coordonnées du centre de la sphère osculatrice. +(Voir \No9). + +Donc \emph{le point ou la droite polaire touche son enveloppe +est le centre de la sphère osculatrice à la courbe~$(\DPtypo{c}{C})$. +On peut dire encore que la courbe~$(\DPtypo{c}{C})$ est\DPtypo{}{ la} trajectoire orthogonale +des plans osculateurs au lieu des centres de ses sphères +osculatrices}. + + +\ExSection{I} + +\begin{Exercises} +\item[1.] Trouver l'axe instantané de rotation et de glissement +du trièdre de Serret. + +\item[2.] Trouver les hélices circulaires osculatrices à une +courbe gauche. Déterminer celle de ces hélices qui a même torsion +que la courbe \DPtypo{donnee}{donnée}. + +\item[3.] Approfondir les relations entre une courbe et le lieu +des centres de ses sphères osculatrices (courbure, torsion, +\DPtypo{élement}{élément} d'arc). + +\item[4.] Chercher la condition nécessaire et suffisante pour +qu'une courbe soit une courbe \DPtypo{spherique}{sphérique}. + +\item[5.] Déterminer toutes les courbes satisfaisant aux relations: +\[ +\frac{dR}{ds} = F(R),\qquad T = G(R), +\] +où $F$~et~$G$ sont des fonctions données. + +\item[6.] Déterminer toutes les courbes à courbure constante. + +\item[7.] Déterminer toutes les courbes à torsion constante. +\end{Exercises} + +%Voir les énoncés, page 18. +%% -----File: 027.png---Folio 19------- + + +\Chapitre{II}{Surfaces.} + +\Section[Courbes tracées sur une surface. Longeurs d'arc et angles.] +{Le $ds^2$ de la surface, et les angles.} +{1.}{Courbes tracées sur une surface. Longueurs d'arc et +angles.} Les coordonnées d'un point d'une surface peuvent +s'exprimer en fonction de deux paramètres arbitraires +\[ +\Tag{(S)} +x = f(u\Add{,} v),\qquad +y = g(u\Add{,} v),\qquad +z = h(u\Add{,} v); +\] +$u\Add{,} v$ sont les \emph{coordonnées curvilignes} d'un point de la surface~$(S)$. +On définira une courbe~$(c)$ de la surface en établissant +une relation entre $u, v$; ou, ce qui revient au même, en exprimant +$u, v$ en fonction d'un même paramètre~$t$ +\[ +\Tag{(c)} +u = \phi(t),\qquad +v = \psi(t). +\] +La tangente à cette courbe a pour paramètres directeurs +\[ +\Tag{(1)} +dx = \frac{\dd x}{\dd u}\, du + \frac{\dd x}{\dd v}\, dv,\qquad +dy = \frac{\dd y}{\dd u}\, du + \frac{\dd y}{\dd v}\, dv,\qquad +dz = \frac{\dd z}{\dd u}\, du + \frac{\dd z}{\dd v}\, dv; +\] +la tangente est déterminée par les différentielles $du, dv$. + +L'élément d'arc a pour expression: +\[ +\Tag{(2)} +ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 + = E\, du^2 + 2F\, du\, dv + G\, dv^2 = \Phi(du, dv) +\] +en posant +\[ +E = \sum \left(\frac{\dd x}{\dd u}\right)^2,\qquad +F = \sum \frac{\dd x}{\dd u}\, \frac{\dd x}{\Err{\dd v^2}{\dd v}},\qquad +G = \sum \left(\frac{\dd x}{\dd v}\right)^2. +\] + +Imaginons \Card{2} courbes passant par un même point $(u, v)$ de la +surface; soient $du, dv$ les différentielles correspondant à l'une +d'elles; $\delta u, \delta v$ celles correspondant à l'autre; $ds, \delta s$ les différentielles +des arcs correspondants. Si $V$~est l'angle des deux +courbes, nous avons +\[ +\Cos V = \sum \frac{dx·\delta x}{ds·\delta s}; +\] +or, +\begin{align*} +\sum dx·\delta x + &= \sum \left(\frac{\dd x}{\dd u}\, du + \frac{\dd x}{\dd v}\, dv\right) + \left(\frac{\dd x}{\dd u}\, \delta u + \frac{\dd x}{\dd \DPtypo{u}{v}}\, \delta v\right) \\ + &= E\, du\, \delta u + F (du\, \delta v + dv\, \delta u) + G\, dv\, \delta v; +\end{align*} +%% -----File: 028.png---Folio 20------- +c'est une forme polaire de la forme quadratique $\Phi(du, dv)$ +et on a +\[ +\Tag{(3)} +\Cos V = \frac{1}{2}\, \frac{\delta u\, \dfrac{\dd\Phi(du, dv)}{\dd·du} + + \delta v\, \dfrac{\dd\Phi(du, dv)}{\dd·dv}} + {\sqrt{\Phi(du, dv) · \Phi(\delta u, \delta v)}} +\] + +Pour que les deux courbes soient orthogonales, il faut et +il suffit que $\Cos V = 0$, ou +\[ +\Tag{(4)} +E\, du·\delta u + F(du·\delta v + dv·\delta u) + G·dv·\delta v = 0. +\] +En particulier, cherchons à quelles conditions les courbes coordonnées +$u = \Cte$ et $v = \Cte$ forment un réseau orthogonal; +alors $dv = 0$, $\DPtypo{du}{\delta u} =0$, la condition précédente se réduit à +\[ +F\, du\, \delta v = 0, +\] +et comme $du\Add{,} \DPtypo{dv}{\delta v}$ ne sont pas constamment nuls, on a $F = 0$. Dans +ce cas, le carré de l'élément d'arc prend la forme +\[ +ds^2 = E\, du^2 + G\, dv^2. +\] + +\Paragraph{Remarque.} Si on définit la surface par une équation de +la forme +\[ +Z = f(x\Add{,} y) +\] +en désignant comme d'habitude par $p, q$ les dérivées partielles +de~$Z$ par rapport à $x, y$, on a +\[ +ds^2 = dx^2 + dy^2 + (p\, dx + q\, dy)^2 + = (1 + p^2)\, ds^2 + 2pq\, dx\, dy + (1 + q^2)\, dy^2\Add{,} +\] +\DPtypo{C.à.d.}{\DPchg{c.à.d.}{cést-à-dire}} +\[ +E = 1 + p^2,\qquad F = pq,\qquad G = 1 + q^2. +\] + + +\Section{Déformation et représentation conforme.} +{2.}{Surfaces applicables. Représentations conformes.} +Considérons deux surfaces $(\Err{S'}{S})\Add{,} (S')$ +\begin{alignat*}{3} +\Tag{(S)} +x &= f(u, v), &y &= g(u, v), &z &= h(u\Add{,} v) \\ +\Tag{(S')} +x &= F(u', v'),\qquad &y &= G(u', v'),\qquad &z &= H(u', v') +\end{alignat*} +on peut établir une correspondance point par point entre ces +deux surfaces, et cela d'une infinité de manières. Il suffit +de poser +\[ +u' = \phi(u, v),\qquad +v' = \psi(u\Add{,} v), +\] +les fonctions $\psi, \phi$ étant quelconques; à condition toutefois que +%% -----File: 029.png---Folio 21------- +les équations précédentes soient résolubles en $u, v$. Les équations +de la surface~$(S')$ peuvent alors se mettre sous la forme +\[ +\Tag{(S')}%[** TN: Duplicate label, re-expresses earlier equation (S')] +x = \Err{F}{F_{1}}(u\Add{,} v),\qquad +y = \Err{G}{G_{1}}(u\Add{,} v),\qquad +z = \Err{H}{H_{1}}(u\Add{,} v), +\] +ce qui revient à dire que les points correspondants correspondent +aux mêmes systèmes de valeurs des paramètres. + +Soient les éléments d'arcs sur ces \Card{2} surfaces +\begin{alignat*}{3} +ds^2 &= E\, du^2 &&+ 2F\, du·dv &&+ G\, dv^2 \\ +ds_1^2 &= E_1\, du^2 &&+ 2F_1\, du·dv &&+ G_1\, dv^2 +\end{alignat*} +Supposons ces éléments d'arc identiques, $E \equiv E_1$, $F \equiv F_1$, $G \equiv G_1$. +Si alors $u, v$ sont exprimés en fonction du paramètre~$t$, les arcs +des deux courbes correspondantes sur les deux surfaces compris +entre \Card{2} points correspondants ont tous deux pour expression +\[%[** TN: Not displayed in original] +\int_{t_0}^{t_1} \sqrt{E\, du^2 + 2F\, du\, dv + G\, dv^2}, +\] +$t_0, t_1$ étant les valeurs de~$t$ correspondant +aux extrémités. Réciproquement, si les arcs homologues +de deux courbes homologues sur les deux surfaces ont même +longueur, les éléments d'arc sont identiques sur les deux surfaces. +On dit que les deux surfaces sont \emph{applicables} l'une +sur l'autre, ou résultent l'une de l'autre par \emph{déformation}. + +Dans cette correspondance, la fonction~$\Phi$ étant la même +pour les \Card{2} surfaces, la formule~\Eq{(3)} montre que les angles se +conservent. Mais la réciproque n'est pas vraie. L'expression +de~$\Cos V$ est homogène et du \Ord{1}{er} degré en $E\Add{,} F\Add{,} G$; pour que les angles +de deux courbes homologues soient égaux, il faut et il suffit +que +\[ +\Err{\frac{E_1}{E} = \frac{F_1}{F} = \frac{G_1}{G}} + {\frac{E}{E_1} = \frac{F}{F_1} = \frac{G}{G_1}} = \chi(u,v), +\] +ce rapport étant indépendant de $du, dv$. On dit dans ce cas qu'il +y a \emph{représentation conforme} des deux surfaces l'une sur l'autre. + + +\Section{Problème de la représentation conforme.} +{}{\DPchg{Etant}{Étant} données deux surfaces, il est toujours possible d'établir +entre elles une représentation conforme.} Ceci revient +à dire que l'on peut exprimer $u_1, v_1$ en fonction de $u, v$ de +%% -----File: 030.png---Folio 22------- +telle sorte que l'on ait, +\[ +E\, du^2 + 2F\, du·dv + G\, dv^2 = \chi(u, v)(E_1\, du^2 + 2F_1\, du·dv + G_1\, dv^2). +\] +Décomposons les deux $ds^2$ en facteurs du \Ord{1}{er} degré. Remarquons +que $EG - F^2$ est la somme des carrés des déterminants déduits du +tableau +\[ +\begin{Vmatrix} +\mfrac{\dd x}{\dd u} & \mfrac{\dd y}{\dd u} & \mfrac{\dd z}{\dd u} \\ +\mfrac{\dd x}{\dd v} & \mfrac{\dd y}{\dd v} & \mfrac{\dd z}{\dd v} +\end{Vmatrix}; +\] +$EG - F^2$ est positif pour toute surface réelle. Posons +\[ +EG - F^2 = H^2; +\] +alors +\[ +ds^2 = E\left(du + \frac{F + iH}{E}\, dv\right) + \left(du + \frac{F - iH}{E}\, dv\right); +\] +chacun des facteurs du \Ord{2}{e} membre admet un facteur intégrant. +On a donc +\begin{align*} +du + \frac{F + iH}{E}\, dv &= M(u, v)\, d\alpha(u\Add{,} v)\Add{,} \\ +du + \frac{F - iH}{E}\, dv &= N(u, v)\, d\beta(u\Add{,} v)\Add{.} +\end{align*} +Les fonctions $\alpha\Add{,} \beta$ sont indépendantes; en effet $d\alpha$~et~$d\beta$ ne +peuvent s'annuler en même temps si $H \neq 0$, ce que nous supposons. +Nous pouvons donc prendre $\alpha, \beta$ comme coordonnées curvilignes +sur la \Ord{1}{ère} surface, et nous avons +\begin{align*} +ds^2 &= P(u, v)\, d\alpha·d\beta + = \Theta(\alpha, \beta)\, d\alpha·d\beta\Add{.} \\ +\intertext{De même pour la \Ord{2}{e} surface, nous pourrons écrire} +ds_1^2 &= P_1(u_1, v_1)\, d\alpha_1·d\beta_1 + = \Theta_1(\alpha_1, \beta_1)\, d\alpha_1·d\beta_1. +\end{align*} +Nous aurons alors à satisfaire à l'équation +\[ +\Theta(\alpha, \beta)\, d\alpha · d\beta + = \Omega(\alpha, \beta)\, \Theta_1(\alpha_1, \beta_1)\, d\alpha_1 · d\beta_1\Add{.} +\] + +Remarquons que pour $d\alpha = 0$, on doit avoir $d\alpha_1 · d\beta_1 = 0$. +Si nous prenons $d\alpha_1 = 0$, $\alpha_1$~sera fonction de~$\alpha$ et de même $\beta_1$~sera +fonction de~$\beta$ +\[ +\alpha_1(u_1, v_1) = \phi\bigl(\alpha(u, v)\bigr)\Add{,}\qquad +\beta_1 (u_1, v_1) = \psi\bigl(\beta (u, v)\bigr)\Add{.} +\] +%% -----File: 031.png---Folio 23------- +Au contraire en prenant $d\beta_1 = 0$, $\beta_1$~sera fonction de~$\alpha$ et de +même~$\alpha_1$, de~$\beta$ +\[ +\beta_1 (u_1, v_1) = \phi\bigl(\alpha(u, v)\bigr)\qquad +\alpha_1(u_1, v_1) = \psi\bigl(\beta (u, v)\DPtypo{}{\bigr)}\Add{.} +\] +On voit donc bien que l'on peut toujours établir une représentation +conforme. Et nous avons de plus la solution \DPtypo{génerale}{générale} +de ce problème. + + +\Section{Condition pour que deux surfaces soient applicables.} +{}{Deux surfaces données ne sont pas en général applicables +l'une sur l'autre.} + +Autrement dit, étant données deux surfaces, il est impossible +d'établir entre elles une correspondance telle que $ds^2 = ds_1^2$\Add{.} +En effet, en reprenant le calcul précédent, il faudrait satisfaire +à la relation +\[ +\Theta(\alpha, \beta)\, d\alpha · d\beta = \Theta_1(\alpha_1, \beta_1)\, d\alpha_1 \Add{·} d\beta_1, +\] +il faudrait comme \DPtypo{précedemment}{précédemment}, prendre par exemple +\[ +\alpha_1 = \phi(\alpha)\qquad \beta_1 = \psi(\beta); +\] +et la relation à satisfaire devient +\[ +\Theta(\alpha, \beta) + = \Theta_1\bigl(\phi(\alpha), \psi(\beta)\bigr)\, \phi'(\alpha)\, \psi'(\beta); +\] +il est facile de voir que, les fonctions $\Theta, \Theta_1$\DPtypo{,}{} étant données\Add{,} +il est impossible en général de trouver des fonctions $\phi, \psi$, +satisfaisant à cette relation. Considérons en effet le cas +particulier où la deuxième surface est le plan $z = 0$. Dans +ce cas $ds_1^2 = dx^2 + dy^2 = d\alpha_1 · d\beta_1$ et on devrait avoir +\[ +\Theta(\alpha, \beta) = \phi'(\alpha)\, \psi'(\beta)\Add{;} +\] +or\Add{,} la fonction $\Theta$ étant quelconque, n'est pas le produit d'une +fonction de~$\alpha$ par une fonction de~$\beta$. + +Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que l'on ait +\[ +\log \Theta(\alpha, \beta) = \log \phi'(\alpha) + \log \psi'(\beta), +\] +ou +\[ +\frac{\dd^2 \log \Theta(\alpha, \beta)}{\dd\alpha · \dd\beta} = 0. +\] +%% -----File: 032.png---Folio 24------- +Nous venons ainsi de montrer qu'une surface n'est pas en +général applicable sur un plan, et de trouver la condition +pour qu'une surface soit applicable sur un plan. + + +\Section{Les \DPtypo{Directions}{directions} conjuguées et la forme \texorpdfstring{$\sum l\, d^{2}x$}{}\Add{.}} +{3.}{Développables circonscrites. Directions conjuguées\Add{.}} + +Corrélativement aux courbes tracées sur la surface, +lieux de $\infty^{1}$~points de la surface, nous considérerons les +développables circonscrites, enveloppes de $\infty^{1}$~plans tangents +à la surface. Définissons le plan tangent en un point de +la surface. Soient $l, m, n$ les coefficients directeurs de la +normale, et supposons les coordonnées rectangulaires. Nous +devons avoir pour toute courbe de la surface +\[ +l\, dx + m\, dy + n\, dz = 0; +\] +en particulier, pour les courbes coordonnées, $u = \cte$ et $v = \cte$ +nous aurons +\begin{align*} +l\, \frac{\dd x}{\dd u} + m\, \frac{\dd y}{\dd u} + n\, \frac{\dd z}{\dd u} &= 0\Add{,} \\ +l\, \frac{\dd x}{\dd v} + m\, \frac{\dd y}{\dd v} + n\, \frac{\dd z}{\dd v} &= 0\Add{,} +\end{align*} +et ces relations montrent que $l, m, n$, sont proportionnels aux +déterminants fonctionnels $A, B, C$, +\[ +\Tag{(1)} +A = \frac{\dd y}{\dd u}\, \frac{\dd z}{\dd v} - \frac{\dd z}{\dd u}\, \frac{\dd y}{\dd v} + = \frac{D(y, z)}{D(u, v)},\qquad +B = \frac{D(z, x)}{D(u, v)},\qquad +C = \frac{D(x, y)}{D(u, v)}; +\] +nous avons vu d'ailleurs que $A^2 + B^2 + C^2 = H^2$; +donc les \DPtypo{cosimus}{cosinus} directeurs de la normale sont +\[ +\Tag{(2)} +\lambda = \frac{A}{H},\qquad \mu = \frac{B}{H},\qquad \nu = \frac{C}{H}. +\] + +Considérons une développable circonscrite; nous pourrons +la définir en exprimant $u, v$ en fonction d'un paramètre~$t$, +%% -----File: 033.png---Folio 25------- +\[ +u = \phi(t),\qquad +v = \psi(t); +\] +alors le point $(u\Add{,} v)$ décrit une courbe de la surface, soit~$(c)$, +et les plans tangents à la surface aux divers points de~$(c)$ +enveloppent la développable considérée. Le plan tangent +à la surface au point $(x\Add{,} y\Add{,} z)$ est, $X\Add{,} Y\Add{,} Z$ étant les coordonnées courantes, +\[ +l·(X - x) + m·(Y - y) + n·(Z - z) = 0; +\] +la caractéristique est définie par l'équation précédente et +par l'équation +\[ +dl·(X - x) + dm·(Y - y) + dn·(Z - z) = 0 +\] +obtenue en différentiant la précédente par rapport à~$t$, et +remarquant que l'on~a +\[ +l\, dx + m\, dy + n\, dz = 0\Add{.} +\] + +Voyons quelle est la direction de cette caractéristique\Add{.} +Soient $\delta x, \delta y, \delta z$ ses coefficients de direction. Elle est +tangente à la surface, donc on peut poser +\[ +\delta x = \frac{\dd x}{\dd u}\, \delta u + \frac{\dd x}{\dd v}\, \delta v,\quad +\delta y = \frac{\dd y}{\dd u}\, \delta u + \frac{\dd y}{\dd v}\, \delta v,\quad +\delta z = \frac{\dd z}{\dd u}\, \delta u + \frac{\dd z}{\dd v}\, \delta v; +\] +en remplaçant $X-x, Y-y, Z-z$ par les quantités proportionnelles +$\delta x, \delta y, \delta z$, on obtient +\[ +dl · \delta x + dm · \delta y + dn · \delta z = 0; +\] +or\Add{,} on a +\[ +dl = \frac{\dd l}{\dd u}\, du + \frac{\dd l}{\dd v}\, dv,\quad +dm = \frac{\dd m}{\dd u}\, du + \frac{\dd m}{\dd v}\, dv,\quad +dn = \frac{\dd n}{\dd u}\, du + \frac{\dd n}{\dd v}\, dv; +\] +donc la relation +\[ +\sum dl · \delta x = 0\DPtypo{.}{} +\] +s'écrit +\[ +\sum \left(\frac{\dd l}{\dd u}\, du + \frac{\dd l}{\dd v}\, dv\right) + \left(\frac{\dd x}{\dd u}\, \delta u + \frac{\dd x}{\dd v}\, \delta v\right) = 0. +\] +%% -----File: 034.png---Folio 26------- +Ordonnons par rapport à $du, dv$, $\delta u, \delta v$. Remarquons que l'on a +\[ +\sum l\, \frac{\dd x}{\dd u} = 0; +\] +d'où en dérivant par rapport à~$u$ +\[ +\sum l\, \frac{\dd^2 x}{\dd u^2} + \sum \frac{\dd l}{\dd u}\, \frac{\dd x}{\dd u} = 0; +\] +de même, la relation +\[ +\sum l\, \frac{\dd x}{\dd v} = 0 +\] +donne +\[ +\sum l\, \frac{\dd^2 x}{\dd v^2} + \sum \frac{\dd l}{\dd v}\, \frac{\dd x}{\dd v} = 0; +\] +et +\[ +\sum l\, \frac{\dd^2 x}{\dd u\, \dd v} + \sum \frac{\dd l}{\dd u}\, \frac{\dd x}{\dd v} = 0; +\] +de sorte que la relation précédente s'écrit +\[ +\Tag{(3)} +\sum l\, \frac{\dd^2 x}{\dd u^2}\, du · \delta u + +\sum l\, \frac{\dd^2 x}{\dd u\, \dd v}\, (du · \delta v + dv\Add{·} \delta u) + +\DPtypo{}{\sum} l\, \frac{\dd^2 x}{\dd v^2}\, dv · \delta v = 0\Add{.} +\] +Telle est la relation qui existe entre les coefficients de direction +de la caractéristique et de la tangente à la courbe de +contact. Elle serait visiblement la même en coordonnées obliques, +$l, m, n$ étant alors les coefficients de l'équation du plan tangent +soit +\[ +\Tag{(4)} +E' = \sum l\, \frac{\dd^2 x}{\dd u^2},\qquad +F' = \sum l\, \frac{\dd^2 x}{\dd u\, \dd v},\qquad +G' = \sum l\, \frac{\dd^2 x}{\dd v^2}, +\] +et +\[ +\Tag{(5)} +\Psi(du\Add{,} dv) = E'\, du^2 + 2F'\, du\, dv + G'\, dv^2. +\] +On a, en particulier, quand on prend $l = A$, $m = B$, $n = C$: +\[ +E' = \begin{vmatrix} +\mfrac{\dd^2 x}{\dd u^2} & \mfrac{\dd^2 y}{\dd u^2} & \mfrac{\dd^2 z}{\dd u^2} \\ +\mfrac{\dd x}{\dd u} & \mfrac{\dd y}{\dd u} & \mfrac{\dd z}{\dd u} \\ +\mfrac{\dd x}{\dd v} & \mfrac{\dd y}{\dd v} & \mfrac{\dd z}{\dd v} +\end{vmatrix},\ +% +F' = \begin{vmatrix} +\mfrac{\dd^2 x}{\dd u\, \dd v} & \mfrac{\dd^2 y}{\dd u\, \dd v} & \mfrac{\dd^2 z}{\dd u\, \dd v} \\ +\mfrac{\dd x}{\dd u} & \mfrac{\dd y}{\dd u} & \mfrac{\dd z}{\dd u} \\ +\mfrac{\dd x}{\dd v} & \mfrac{\dd y}{\dd v} & \mfrac{\dd z}{\dd v} +\end{vmatrix},\ +% +G' = \begin{vmatrix} +\mfrac{\dd^2 x}{\dd v^2} & \mfrac{\dd^2 y}{\dd v^2} & \mfrac{\dd^2 z}{\dd v^2} \\ +\mfrac{\dd x}{\dd u} & \mfrac{\dd y}{\dd u} & \mfrac{\dd z}{\dd u} \\ +\mfrac{\dd x}{\dd v} & \mfrac{\dd y}{\dd v} & \mfrac{\dd z}{\dd v} +\end{vmatrix}\Add{.} +\] +La relation précédente s'écrira alors +\[ +E' · du\, \delta u + F' · (du\, \delta v + dv\, \delta u) + G' · dv\, \delta v = 0, +\] +ou +\[ +\Tag{(6)} +\frac{\dd\Psi(du, dv)}{\dd\Add{·} du}\, \delta u + \frac{\dd\Psi(du, dv)}{\dd\Add{·} dv}\, \delta v = 0. +\] +%% -----File: 035.png---Folio 27------- +Cette relation est symétrique par rapport à $d, \delta$; \emph{il y a donc +réciprocité entre la direction de la tangente à la courbe de +contact de la développable et la direction de la caractéristique +du plan tangent à cette développable}. Ces deux directions +sont dites \emph{directions conjuguées}. + +Cherchons en particulier la condition pour que les courbes +$u = \cte$, $v = \cte$ forment un réseau conjugué. Alors, $dv = 0$\Add{,} $\delta u = 0$ +la condition est $F' = 0$. + +\Paragraph{Remarque.} On a +\begin{gather*} +dx = \frac{\dd x}{\dd u}\, du + \frac{\dd x}{\dd v}\, dv, \\ +d^2 x = \frac{\dd x}{\dd u}\, d^2 u + + \frac{\dd x}{\dd v}\, d^2 v + + \frac{\dd^2 x}{\DPtypo{\dd u}{\dd u^2}}\, du^2 + + 2 \frac{\dd^2 x}{\dd u\, \dd v}\, du\, dv + + \frac{\dd^2 x}{\DPtypo{\dd v}{\dd v^2}}\, dv^2. +\end{gather*} +On en conclut, à cause de +\[ +\sum l\, \frac{\dd x}{\dd u} = 0,\qquad +\sum l\, \frac{\dd x}{\dd v} = 0, +\] +l'identité +\[ +\sum l\, d^2x + = \left(\sum l\, \frac{\dd^2 x}{\dd u^2}\right) du^2 + + 2 \left(\sum l\, \frac{\dd^2 x}{\dd u\, \dd v}\right) du\, dv + + \left(\sum l\, \frac{\dd^2 x}{\dd v^2}\right) dv^2\Add{,} +\] +c'est-à-dire +\[ +\sum l\, d^2 x = \Psi(du, dv). +\] + + +\Section{Formules fondamentales pour une courbe de la surface.} +{4.}{\DPchg{Eléments}{Éléments} fondamentaux d'une courbe de la surface.} + +Nous considérerons en un point de la courbe le trièdre +de Serret, et un trièdre constitué par la tangente à la courbe, +la normale~$MN$ à la surface, et la tangente~$MN'$ à la surface +qui est normale à la courbe. Nous choisirons les directions +positives de telle façon que le trièdre ainsi constitué +ait même disposition que le trièdre de Serret, de sorte que +%% -----File: 036.png---Folio 28------- +si $l, m, n$ sont les cosinus directeurs de la normale à la surface, +$a_1, b_1, c_1$ de la tangente à la surface normale +à la courbe, on ait +\[ +\begin{vmatrix} +a & b & c \\ +a_1 & b_1 & c_1 \\ +l & m & n +\end{vmatrix} = 1. +\] + +\Illustration[2.5in]{036a} +Les \Card{2} trièdres considérés ont un axe +commun et de même direction, qui est +la tangente. Pour les définir l'un par rapport à l'autre, il +suffira de se donner l'angle d'une des arêtes de l'un avec +l'une des arêtes de l'autre. Nous nous donnerons l'angle +dont il faut faire tourner la demi-normale principale~$MP$ pour +l'amener à \DPtypo{coincider}{coïncider} avec la demi-normale à la surface~$MN$, le +sens positif des relations étant défini par la direction positive +$MT$ de l'axe de rotation. Cherchons les relations qui existent +entre les cosinus directeurs des arêtes de ces trièdres. +Quand on passe de l'un à l'autre, on fait en réalité une +transformation de coordonnées autour de l'origine dans le +plan normal. Considérons le point à l'unité de distance de~$M$ sur +$MN(l, m, n)$. Rapporté au système~$PMB$ il a pour coordonnées $\cos\theta$ +et $\sin\theta$, donc +\[ +\Tag{(1)} +l = a' \cos \theta + a'' \sin \theta\Add{,}\qquad +m = b' \cos \theta + b'' \sin \theta\DPtypo{;}{,}\qquad +n = c' \cos \theta + c'' \sin \theta; +\] +de même le point à l'unité de distance sur $MN'(a_1, b_1, c_1)$ rapporté +au système $PMB$ a pour coordonnées $\cos (\theta - \frac{\pi}{2}) = \sin \theta$ +et $\sin (\theta - \frac{\pi}{2}) = -\cos \theta$, donc +%% -----File: 037.png---Folio 29------- +\[ +\Tag{(1')}%[** TN: Renumbered duplicate equation (1)] +a_1 = a' · \sin \theta - a'' · \cos \theta,\quad +b_1 = b' · \sin \theta - b'' · \cos \theta,\quad +c_1 = c' · \sin \theta - c'' · \cos \theta. +\] +On aura donc, en faisant la transformation de coordonnées +inverse +\[ +\Tag{(2)} +\begin{aligned} +a' &= l \cos \theta + a_1 \sin \theta, & +b' &= m \cos \theta + b_1 \sin \theta, & +c' &= n \cos \theta + c_1 \sin \theta, \\ +a'' &= l \sin \theta - a_1 \cos \theta, & +b'' &= m \sin \theta - b_1 \cos \theta, & +c'' &= n \sin \theta - c_1 \cos \theta. +\end{aligned} +\] +Différentions les formules~\Eq{(1)} par rapport à~$s$: il vient +\begin{alignat*}{5} +&\frac{dl}{ds} + = (-a'\Add{·}\sin \theta + a'' · \cos\theta)\, &&\frac{d\theta}{ds} + &&+ \cos \theta\, \frac{da'}{ds} &&+ \sin\theta\, \frac{da''}{ds}, + \quad&&\text{et les analogues;} \\ +&\frac{da_1}{ds} + = (a'\Add{·}\cos\theta + a'' · \sin \theta )\, &&\frac{d\theta}{ds} + &&+ \sin \theta\, \frac{da'}{ds} &&- \cos\theta\, \frac{da''}{ds}, + \quad&&\text{et les analogues;} +\end{alignat*} +d'où, en tenant compte des formules de Frenet et des relations \Eq{(1)}\Add{,}~\Eq{(2)} +\begin{align*} +\Tag{(3)} +\frac{dl}{ds} + &= a_1 \left(\frac{1}{T} - \frac{d\theta}{ds}\right) - \frac{a \cos\theta}{R} + \qquad\text{et les analogues}; \\ +\Tag{(4)} +\frac{da_1}{ds} + &= -l \left(\frac{1}{T} - \frac{d\theta}{ds}\right) \Err{}{-} \frac{a \sin\theta}{R} + \qquad\PadTxt{et les analogues}{(id.)}; \\ +\intertext{\DPtypo{Enfin}{enfin} nous avons} +\Tag{(5)} +\frac{da}{ds} + &= \frac{a'}{R} = l\, \frac{\cos \theta}{R} + a_1\, \frac{\sin \theta}{R} + \quad\qquad\PadTxt{et les analogues}{(id.)}; +\end{align*} +\emph{les formules fondamentales \Eq{(3)}\Add{,} \Eq{(4)}\Add{,} \Eq{(5)} permettent de calculer +$\theta, R\Add{,} T$, c'est-à-dire de déterminer le plan osculateur, la +courbure et la torsion de la courbe considérée}. + +\MarginNote{Formule pour $\dfrac{\cos\theta}{R}$\Add{.}} +En effet, les formules~\Eq{(5)} nous donnent d'abord +\[ +\frac{\cos \theta}{R} + = \sum l\, \frac{da}{ds} + = \sum l\, \frac{d^2x}{ds^2} + = \frac{1}{H} \sum A\, \frac{d^2x}{ds^2}, +\] +c'est-à-dire, d'après le calcul du paragraphe précédent, et +%% -----File: 038.png---Folio 30------- +et en posant: +\begin{gather*} +E' = \sum A\, \frac{\dd^2 x}{\dd u^2},\qquad +F' = \sum A\, \frac{\dd^2 x}{\dd u\, \dd v},\qquad +G' = \sum A\, \frac{\dd^2 x}{\dd v^2}, \\ +\frac{\cos\theta}{R} + = \frac{1}{H}\, \frac{E' · du^2 + 2F' · du\, dv + G'\Add{·} dv^2}{ds^2}, +\end{gather*} +ou enfin +\[ +\Tag{(6)} +\frac{\cos \theta}{R} = \frac{1}{H} · \frac{\Psi(du, dv)}{\Phi(du, dv)}. +\] + +\MarginNote{Formule pour $\dfrac{\sin\theta}{R}$\Add{.}} +Les formules~\Eq{(5)} donnent encore +\[ +\frac{\sin \theta}{R} + = \sum a_1\, \frac{da}{ds} + = \sum a_1\, \frac{d^2x}{ds^2}\Add{.} +\] +Remarquons que +\[ +\sum a_1\, \frac{d^2x}{\Err{ds}{ds^2}} + = \frac{1}{ds^2} + \begin{vmatrix} + a & b & c \\ + d^2 x & d^2 y & d^2 z \\ + l & m & n + \end{vmatrix} + = \frac{1}{ds^3} + \begin{vmatrix} + dx & dy & dz \\ + d^2 x & d^2 y & d^2 z \\ + l & m & n + \end{vmatrix}; +\] +pour calculer le déterminant, multiplions-le par +\[ +\begin{vmatrix} +\mfrac{\dd x}{\dd u} & \mfrac{\dd y}{\dd u} & \mfrac{\dd z}{\dd u} \\ +\mfrac{\dd x}{\dd v} & \mfrac{\dd y}{\dd v} & \mfrac{\dd z}{\dd v} \\ +l & m & n +\end{vmatrix} += Al + Bm + Cn = \frac{A^2 + B^2 + C^2}{H} = H; +\] +le produit est +\[ +\begin{vmatrix} +\sum \mfrac{\dd x}{\dd u}\, dx & \sum \mfrac{\dd x}{\dd v}\, dx & \sum l\, dx \\ +\sum \mfrac{\dd x}{\dd u}\, d^2x & \sum \mfrac{\dd x}{\dd v}\, d^2x & \sum l\, d^2x \\ +\sum l\, \mfrac{\dd x}{\dd u} & \sum l\, \mfrac{\dd x}{\dd v} & \sum l^2 +\end{vmatrix}; +\] +or\Add{,} nous avons +\begin{gather*} +\sum \frac{\dd x}{\dd u} · dx = \sum \frac{\dd x}{\dd u} · \left(\frac{\dd x}{\dd u}\, du + \frac{\dd x}{\dd v}\, dv\right) = E\, du + F\, dv, \\ +\sum \frac{\dd x}{\dd v} · dx = \DPtypo{}{\sum} \frac{\dd x}{\dd v} · \left(\frac{\dd x}{\dd u}\, du + \frac{\dd x}{\dd v}\, dv\right) = F\, du + G\, dv, \\ +\sum l\, dx = \sum l\, \frac{\dd x}{\dd u} = \sum l\, \frac{\dd x}{\dd v} = 0, +\end{gather*} +%% -----File: 039.png---Folio 31------- +\begin{align*} +\sum \frac{\dd x}{\dd u}\, d^2x + &= \sum \frac{\dd x}{\dd u} \left(\frac{\dd x}{\dd u}\, d^2u + \frac{\dd x}{\dd v}\, d^2v + + \frac{\dd^2 x}{\dd u^2}\, du^2 + 2\, \frac{\dd^2 x}{\dd u\, \dd v}\, du\, dv + \frac{\dd^2 x}{\dd v^2}\, dv^2\right) \\ +% + &= E\, d^2u + F\, d^2v + \frac{1}{2}\, \frac{\dd E}{\dd u}\, du^2 + \frac{\dd E}{\dd v}\, du·dv + \left(\frac{\dd F}{\dd v} - \frac{1}{2}\, \frac{\dd G}{\dd u}\right) dv^2, \\ +% +\sum \frac{\dd x}{\dd v}\, d^2x + &= \sum \frac{\dd x}{\dd v} \left(\frac{\dd x}{\dd u}\, d^2u + \frac{\dd x}{\dd v}\, d^2v + + \frac{\dd^2 x}{\dd u^2}\, du^2 + 2\, \frac{\dd^2 x}{\dd u\, \dd v}\, du\, dv + \frac{\dd^2 x}{\dd v^2}\, dv^2\right) \\ +% + &= F\, d^2u + G\, d^2v + \left(\frac{\dd F}{\dd u} - \frac{1}{2}\, \frac{\dd E}{\dd v}\right) du^2 + \frac{\dd G}{\dd u}\, du\, dv + \frac{1}{2}\, \frac{\dd G}{\dd v}\, dv^2. +\end{align*} + +Le produit précédent s'écrit donc +\[ +\begin{vmatrix} +E\, du + F\, dv & F\, du + G\, dv & 0 \\ +\left[ +\begin{aligned}%[** TN: Reformatted very wide entry] + &E\, d^2u + F\, d^2v \\ + &+ \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd E}{\dd u}\, du^2 + + \mfrac{\dd E}{\dd v}\, du\, dv + + \left(\mfrac{\dd F}{\dd v} - \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd G}{\dd u}\right) dv^2 +\end{aligned} +\right] + & F\, d^2u + G\, d^2v + \dots & \sum l\, d^2x \\ +0 & 0 & 1 +\end{vmatrix} +\] +ou +\[ +-\begin{vmatrix} +E\, d^2u + F\, d^2v + + \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd E}{\dd u}\, du^2 + + \mfrac{\dd E}{\dd v}\, du\, dv + + \left(\mfrac{\dd F}{\dd v} - \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd G}{\dd u}\right) dv^2 + & E\, du + F\, dv \\ +F\, d^2u + G\, d^2v + + \left(\mfrac{\dd F}{\dd u} - \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd E}{\dd v}\right) du^2 + + \mfrac{\dd G}{\dd u}\, du\, dv + + \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd G}{\dd v}\, dv^2 + & F\, du + G\, dv +\end{vmatrix}. +\] +Ce déterminant peut se décomposer en deux, dont le \Ord{1}{er} est +\[ +-\begin{vmatrix} +E\, d^2u + F\, d^2v & E\, du + F\, dv \\ +F\, d^2u + G\, d^2v & F\, du + G\, dv +\end{vmatrix} + = H^2\, (du·d^2v - dv·d^2u), +\] +et on a finalement +\begin{multline*} +\Tag{(7)} +\frac{\sin \theta}{R} = \frac{1}{H\, ds^3} +\left[\MStrut +\Err{\Omega^2}{-H^2}\, (du\Add{·}d^2v - dv·d^2u)\right. \\ +- \left.\begin{vmatrix} + \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd E}{\dd u}\, du^2 + + \mfrac{\dd E}{\dd v}\, du\, dv + + \left(\mfrac{\dd F}{\dd v} + - \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd G}{\dd u}\right) dv^2 + & E\, du + F\, dv \\ +% + \left(\mfrac{\dd F}{\dd u} - \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd E}{\dd v}\right) du^2 + + \mfrac{\dd G}{\dd u}\, du\, dv + + \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd G}{\dd v}\DPtypo{)}{}\, dv^2 + & F\, du + G\, dv +\end{vmatrix}\MStrut +\right]\Add{.} +\end{multline*} + +\MarginNote{Formule pour $\dfrac{1}{T} - \dfrac{d \theta}{ds}$\Add{.}} +Enfin la formule~\Eq{(4)} nous donne +\[ +\frac{1}{T} - \frac{d\theta}{ds} = \sum a_1\, \frac{dl}{ds} + = \frac{1}{ds} +\begin{vmatrix} +a & b & c \\ +dl & dm & dn \\ +l & m & n +\end{vmatrix} + = \frac{1}{ds^2} +\begin{vmatrix} +dx & dy & dz \\ +dl & dm & dn \\ +l & m & n +\end{vmatrix}; +\] +%% -----File: 040.png---Folio 32------- +pour calculer le déterminant, nous le multiplierons encore +par le même déterminant~$H$. Le produit sera, +\[ +\begin{vmatrix} +\sum \mfrac{\dd x}{\dd u}\, dx & \sum \mfrac{\dd x}{\dd v}\, dx & \sum l\, dx \\ +\sum \mfrac{\dd x}{\dd u}\, dl & \sum \mfrac{\dd x}{\dd v}\, d\DPtypo{}{l} & \sum l\, dl \\ +\sum l\, \mfrac{\dd x}{\dd u} & \sum l\, \mfrac{\dd x}{\dd v} & \sum l^2 +\end{vmatrix} += +\begin{vmatrix} +E\, du + F\, dv & F\, du + G\, dv & 0 \\ +\sum \mfrac{\dd x}{\dd u}\, dl & \sum \mfrac{\dd x}{\dd v}\, dl & 0 \\ +0 & 0 & 1 +\end{vmatrix}. +\] +Nous avons d'ailleurs +\[ +\sum l\, \frac{\dd x}{\dd u} = 0\Add{,} +\] +d'où en différentiant +\[ +\sum \DPtypo{l}{dl}\, \frac{\dd x}{\dd u} + = -\sum \DPtypo{dl}{l} + \left(\frac{\dd^2 x}{\dd u^2}\, du + \frac{\dd^2 x}{\dd u\, \dd v}\, dv\right) + = -\frac{1}{H}\, (E'\, du + F'\, dv); +\] +de même +\[ +\sum dl\, \frac{\dd x}{\dd v} = -\frac{1}{H}\, (F' · du + G' · dv)\Add{;} +\] +le produit est donc +\[ +-\frac{1}{H} \begin{vmatrix} +E\, du + F\, dv & F\, du + G\, dv \\ +E'\, du + F'\, dv & F'\, du + G'\, dv +\end{vmatrix}, +\] +et nous avons +\[ +\Tag{(8)} +\frac{1}{T} - \frac{d\theta}{ds} = \frac{1}{H^2\, ds^2} +\begin{vmatrix} +E'\, du + F'\, dv & E\, du + F\, dv \\ +F'\, du + G'\, dv & F\, du + G\, dv +\end{vmatrix}. +\] + +Les \Card{3} formules \Eq{(6)}\Add{,}~\Eq{(7)}\Add{,}~\Eq{(8)} permettent de calculer les +\Card{3} éléments fondamentaux $\theta, R, T$. + + +\ExSection{II} + +\begin{Exercises} +\item[8.] On considère la surface~$S$ lieu des sections circulaires diamétrales +d'une famille \DPchg{d'ellipsoides}{d'ellipsoïdes} homofocaux. Déterminer +sur~$S$ les trajectoires orthogonales des sections circulaires +qui l'engendrent. + +\item[9.] Déterminer toutes les représentations conformes d'une sphère +sur un plan. Trouver celles qui donnent des systèmes connus +de projections cartographiques. + +\item[10.] Sur une surface~$S$ on considère une courbe~$C$. Soit $M$ un de ses +points, $MT$~la tangente à~$C$, $MN$~la normale à~$S$, et $MN'$~la normale +à~$C$ qui \DPtypo{es}{et} tangente à~$(S)$. Montrer que les composantes +de la rotation instantanée du trièdre~$\Tri{M}{T}{N'}{N}$ par rapport aux +axes de ce trièdre sont les éléments fondamentaux $\dfrac{d\theta}{ds} - \dfrac{1}{T}$, +$-\dfrac{\cos\theta}{R}$, $\dfrac{\sin\theta}{R}$. + +\item[11.]\phantomsection\label{exercice11} +Si les courbes coordonnées de la surface~$S$, de l'exercice +précédent, sont rectangulaires, soient $MU$~et~$MV$ leurs tangentes, +et soit~$\phi$ l'angle~$(MU, MT)$. Déduire de la considération +des mouvements des deux trièdres $\Tri{M}{T}{N'}{N}$~et~$\Tri{M}{U}{V}{N}$, lorsque $M$ +décrit~$C$, une formule de la forme +\[ +\frac{\sin\theta}{R} - \frac{d\phi}{ds} + = r_{1}\frac{du}{ds} + r_{2}\frac{dv}{ds}; +\] +et donner les expressions de $r_{1}$~et~$r_{2}$. Généraliser, en supposant +les coordonnées $u$~et~$v$ quelconques. +\end{Exercises} +%% -----File: 041.png---Folio 33------- + + +\Chapitre{III}{\DPchg{Etude}{Étude} des \DPtypo{Elements}{\DPchg{Eléments}{Éléments}} Fondamentaux des Courbes d'une +Surface.} + + +\Section{Courbure normale\Add{.}} +{1.}{} Reprenons la \Ord{1}{ère} formule fondamentale +\[ +\frac{\Cos \theta}{R} + = \frac{1}{H}\, \frac{E'\, du^2 + 2F'\, du\, dv + G'\, dv^2} + {E\, du^2 + 2F\, du\, dv + G\, dv^2}, +\] +les différentielles secondes $d^2 u, d^2 v$ n'y figurent pas; $\dfrac{\Cos \theta}{R}$ +ne \DPtypo{depend}{dépend} que du rapport $\dfrac{dv}{du}$, c'est à dire de la direction +de la tangente, \emph{$\dfrac{\Cos \theta}{R}$~est le même pour toutes les courbes de +la surface tangentes à une même droite}. Considérons alors le +\Figure{041a} +centre de courbure~$C$ sur la normale principale~$MP$; si on prend +pour axe polaire la normale~$MN$ à la surface, +et pour pôle le point~$M$, $R\Add{,} \theta$ sont les +coordonnées polaires du point~$C$. L'équation +\[ +\frac{\Cos \theta}{R} = \cte, +\] +représente un cercle; le lieu du point~$C$ +est un cercle, ce qu'on peut encore voir comme il suit; considérons +la droite polaire, elle est dans le plan normal à +la courbe, donc elle rencontre la normale~$MN$ à la surface en +un point~$K$, et nous avons +\[ +R = M K \cos \theta, +\] +ou +\[ +M K = \frac{R}{\Cos \theta}. +\] +%% -----File: 042.png---Folio 34------- +$M K$~est constant, donc \emph{les droites polaires de toutes les +courbes d'une surface passant par un même point~$M$ de cette +surface et tangentes en ce point à une même droite rencontrent +en un même point~$K$ la normale en~$M$ à la surface. Le lieu des +centres de courbure de toutes ces courbes est le cercle de +diamètre $M K$ \(cercle de Meusnier\)}. En particulier supposons +$\theta = 0$, la normale principale se confond avec la normale à la +surface, le plan osculateur passe par la normale, il est normal +à la surface. Coupons la surface par ce plan, $K$~est le +centre de courbure en~$M$ de la section, soit $R_n$~le rayon de +courbure, nous avons +\[ +\frac{\Cos \theta}{R} = \frac{1}{R_n}, +\] +d'où +\[ +R = R_n \Cos \theta. +\] +D'où le \emph{Théorème de Meusnier: Le centre de courbure en~$M$ +d'une courbe tracée sur une surface est la projection sur le +plan osculateur en~$M$ à cette courbe du centre de courbure de +la section normale tangente en~$M$ à la courbe}. + +Le Théorème est en \DPtypo{defaut}{défaut} si +\[ +\Psi(du, dv) = E'\Add{·} du^2 + 2F'\, du · dv + G' · dv^2 = 0\Add{.} +\] +Alors $\dfrac{\Cos \theta}{R} = 0$, $R$~est en général infini. La formule devient +complètement indéterminée si on a en même temps $\Cos \theta = 0$, +alors la normale principale est perpendiculaire à la normale +à la surface, le plan osculateur à la courbe est tangent à la +surface. Les deux tangentes qui correspondent à ce cas d'exception +s'appellent \emph{les deux directions asymptotiques} (correspondant +au point~$M$ considéré). +%% -----File: 043.png---Folio 35------- + +Le Théorème est également en défaut si +\[ +\Phi(du, dv) = E\, du^2 + 2F · du · dv + G\, dv^2 = 0; +\] +alors $\dfrac{\cos \theta}{R}$ est infini, $R$~est nul en général. La direction de +la tangente est telle que +\[ +dx^2 + dy^2 + dz^2 = 0 +\] +c'est une droite isotrope du plan tangent. Il y a donc \emph{deux +directions isotropes correspondantes à chaque point~$M$ de la +surface}. + + +\Section{Variations de la courbure normale\Add{.}} +{2.}{} Le Théorème de Meusnier nous montre que, pour étudier +la courbure des diverses courbes passant par un point d'une +surface, on peut se borner à considérer les sections normales +passant par les différentes tangentes à la surface au point +considéré. + +Nous avons +\[ +\frac{1}{R_n} = \frac{1}{H}\, + \frac{E'\, du^2 + 2F'\, du · dv + G'\, dv^2}{E · du^2 + 2F\, du · dv + G · dv^2}\Add{.} +\] +Considérons dans la plan tangent en~$M$ les tangentes $M U, M V$ +aux courbes coordonnées $v = \Cte$ et $u = \Cte$ qui passent par~$M$, +et considérons le trièdre constitué par $M U, M V$ et la normale +$M N$ à la surface: les cosinus directeurs des axes sont +\[ +\begin{array}{lr@{\,}lr@{\,}lr@{\,}l} +MU: & \mfrac{dx}{ds} + = \mfrac{\dd x}{\dd u}\Add{·} \mfrac{du}{ds} = \mfrac{1}{\sqrt{E}} · \mfrac{\dd x}{\dd u} =& l', & +\mfrac{1}{\sqrt{E}} · \mfrac{\dd y}{\dd u} =& m', & +\mfrac{1}{\sqrt{E}}\Add{·} \mfrac{\dd z}{\dd u} =& n'\Add{,} \\ +% +MV: & \mfrac{dx}{ds} + = \mfrac{\dd x}{\dd v} · \mfrac{dv}{ds} = \mfrac{1}{\sqrt{G}} · \mfrac{\dd x}{\dd v} = & l'', & +\mfrac{1}{\sqrt{G}} · \mfrac{\dd y}{\dd v} =& m'', & +\mfrac{1}{\sqrt{G}}\Add{·} \mfrac{\dd z}{\dd v} =& n''\Add{,} \\ +% +MN: && \Err{1}{l}, && m, && n\Add{.} +\end{array} +\] +%% -----File: 044.png---Folio 36------- + +Considérons alors une tangente $M T$ quelconque, \DPtypo{definie}{définie} +par les valeurs $du, dv$ des différentielles des coordonnées. +Les cosinus directeurs sont: +\begin{alignat*}{4} +\frac{dx}{ds} + &= \frac{\dd x}{\dd u}\, \frac{du}{ds} &&+ \frac{\dd x}{\dd v}\, \frac{dv}{ds} + &&= \sqrt{E}\, \frac{du}{ds} · l' &&+ \sqrt{G} · \frac{dv}{ds}\, l'', \\ +% +\frac{dy}{ds} + &= \frac{\dd y}{\dd u}\, \frac{du}{ds} &&+ \frac{\dd y}{\dd v}\, \frac{dv}{ds} + &&= \sqrt{E}\, \frac{du}{ds} · m' &&+ \sqrt{G}\Add{·} \frac{dv}{ds}\, m'', \\ +% +\frac{dz}{ds} + &= \frac{\dd z}{\dd u}\, \frac{du}{ds} &&+ \frac{\dd z}{\dd v}\, \frac{dv}{ds} + &&= \sqrt{E}\, \frac{du}{ds} · n' &&+ \sqrt{G}\Add{·} \frac{dv}{ds}\, n''\Add{.} +\end{alignat*} + +Ces formules montrent que le segment directeur de $M T$ +est la somme géométrique de deux segments, de valeurs algébriques +\[ +\lambda = \sqrt{E}\, \frac{du}{ds},\qquad \mu = \sqrt{G}\, \frac{dv}{ds}, +\] +portés respectivement sur $M U$~et~$M V$. En d'autres termes: +$\lambda, \mu$~sont les paramètres directeurs de~$M T$ dans le système +de coordonnées $U\Add{,} M\Add{,} V$. + +La formule de $R_n$ devient, en y introduisant ces paramètres +directeurs: +\begin{align*}%[** TN: Not broken in original] +\frac{1}{R_n} + &= \frac{1}{H}\left( E' \Bigl(\frac{du}{ds}\Bigr)^2 + 2 F'\, \frac{du}{ds} · \frac{dv}{ds} + G' \Bigl(\frac{dv}{ds}\Bigr)^2 \right) \\ + &= \frac{1}{H} \left(\frac{E'}{E}\, \lambda^2 + \frac{2F'}{\sqrt{EG}}\, \lambda \mu + \frac{G'}{G}\, \mu^2 \right)\Add{.} +\end{align*} +Et si on considère le point~$P$ obtenu en portant sur~$M T$ un +segment égal à $±\sqrt{R_n}$, le lieu de ce point~$P$, dont les coordonnées, +dans le système $M\Add{,} U\Add{,} V$, sont: +\[ +U = ±\lambda \sqrt{R_n},\qquad +V = ±\mu \sqrt{R_n}, +\] +aura pour équation +\[ +\frac{E'}{E}\, U^2 + \frac{2F'}{\sqrt{EG}}\, UV + \frac{G'}{G}\, V^2 = H. +\] + +C'est une conique à centre située dans le plan tangent, +qu'on appelle \emph{indicatrice} de la surface au point~$M$. La conique +\DPtypo{tracee}{tracée}, on a immédiatement le rayon de courbure d'une section +%% -----File: 045.png---Folio 37------- +normale quelconque, et on suit sans peine la variation du rayon +de courbure, quand $M T$ varie. + +La nature de l'indicatrice dépend du signe de $\dfrac{E'G' - F'{}^2}{E\Del{·} G}$, +ou puisque $E\Add{,} G$ sont positifs, de $E'G' - F'{}^2$. Dans le cas +ou l'équation de la surface est +\[ +Z = f(x, y) +\] +on a en prenant les notations habituelles +\[ +ds^2 = (1 + p^2) · dx^2 + 2pq · dx · dy + (1 + q^2)\Add{·} dy^2 +\] +d'où +\[ +E = 1 + p^2\Add{,}\qquad F = p \Del{·} q\Add{,}\qquad G = 1 + q^2 +\] +et +\[ +H = \sqrt{E · G - F^2} = \sqrt{1 + p^2 + q^2}\Add{.} +\] +Maintenant +\[ +A = -p,\qquad B = -q,\qquad C = 1, +\] +et +\[ +\sum A · d^2x = -\sum dA · dx = dp · dx + dq\Add{·} dy\Add{.} +\] +Mais +\[ +dp = r\, dx + s\, dy,\qquad +dq = s\, dx + t · dy, +\] +donc +\[ +\sum A · d^2x = r · \Err{d^2x}{dx^2} + 2s · dx\, dy + t\Add{·} dy^2; +\] +donc +\[ +E' = r,\qquad F' = s,\qquad G' = t, +\] +et +\[ +E'G' - F'{}^2 = rt - s^2. +\] + +\ParItem{\Primo} $E'G' - F'{}^2 > 0$, la conique est une \Err{e lipse}{ellipse}, tous les +rayons de courbure sont de même signe, on dit que la surface +est \emph{convexe} au point~$M$; elle est toute entière d'un même côté +du plan tangent en~$M$ dans le voisinage du point~$M$. + +\ParItem{\Secundo} $E'G' - F'{}^2 < 0$, l'indicatrice est une hyperbole. La surface +traverse au point~$M$ son plan tangent; elle est dite \emph{à +courbures opposées}. + +\ParItem{\Tertio} $E'G' - F'{}^2 = 0$\Add{,} l'indicatrice est du genre parabole, et +comme elle est à centre, elle se réduit à un système de deux +droites parallèles. Le point~$M$ est dit \emph{point parabolique}. +%% -----File: 046.png---Folio 38------- + +Considérons le cas particulier où $\dfrac{1}{R_n}$ est constant, quelle +que soit la section que l'on \DPtypo{considèré}{considéré}. Il faut et il suffit +pour cela que $\dfrac{1}{R_n}$ soit indépendant de~$\dfrac{du}{dv}$, donc que l'on ait +\[ +\frac{E'}{E} = \frac{F'}{F} = \frac{G'}{G}\DPtypo{,}{.} +\] +%[** TN: Removed paragraph indentation/break.] +Or\Add{,} l'angle de $M U, M V$ est donné par +\[ +\cos \theta = \sum l' · l'' = \frac{F}{\sqrt{EG}}; +\] +%[** TN: Removed paragraph indentation/break.] +\DPtypo{Ces}{ces} conditions peuvent donc s'écrire\Del{:} +\[ +\frac{E'}{E} = \frac{\ \dfrac{F'}{\sqrt{EG}}\ }{\Cos \theta} = \frac{G'}{G}, +\] +et expriment que l'indicatrice est un cercle. +Le point~$M$ est dit alors un \emph{ombilic}. + +Cherchons les directions des axes de l'indicatrice. Ce +sont des directions conjuguées par rapport aux directions asymptotiques +de l'indicatrice, définies par +\[ +\Psi(du, dv) = 0 +\] +et par rapport aux directions isotropes du plan tangent, définies +par +\[ +\Phi(du, dv) = 0\Add{.} +\] +Elles sont donc définies par l'équation +\[ +\frac{\ \dfrac{\dd \Psi}{\dd\, du}\ }{\dfrac{\dd \Phi}{\dd\, du}} + = \frac{\ \dfrac{\dd \Psi}{\dd\, dv}\ }{\dfrac{\dd \Phi}{\dd\, dv}} + = \frac{\Psi(du, dv)}{\Phi(du, dv)} = \frac{H}{R} = S, +\] +puisque $du, dv$ sont des coordonnées homogènes pour les directions +$M T$ du plan tangent. + +Ce sont les \emph{directions principales}. Les rayons de courbure +correspondants sont dits \emph{rayons de courbure principaux}. +%% -----File: 047.png---Folio 39------- + +L'équation qui définit les directions principales est +donc: +\[ +\begin{vmatrix} +E · du + F · dv & F · du + G · dv \\ +E' ·du + F'· dv & F'· du + G'· dv +\end{vmatrix} = 0; +\] +le \Ord{1}{er} membre est un covariant simultané des formes $\Phi, \Psi$. + +L'équation aux rayons de courbure principaux s'obtiendra +en éliminant $du, dv$ entre les équations +\[ +\frac{\dd \Psi}{\dd\Add{·} du} = S\, \frac{\dd \Phi}{\dd\Add{·} du},\qquad +\frac{\dd \Psi}{\dd\Add{·} dv} = S\, \frac{\dd \Phi}{\dd\Add{·} dv}\DPtypo{,}{.} +\] +Ce qui donne +\[ +\begin{vmatrix} +E' - S E & F' - S F \\ +F' - S F & G' - S G +\end{vmatrix} = 0, +\] +ou +\[ +S^2 (E · G - F^2) - S (E · G' + G · E' - 2FF') + E'G' - F'{}^2 = 0 +\] +avec +\[ +S = \frac{H}{R}. +\] + +Supposons maintenant que les courbes coordonnées soient +tangentes aux directions principales. Ces directions sont rectangulaires; +donc les courbes coordonnées constituent un réseau +orthogonal, et $F = 0$; alors l'indicatrice étant rapportée +à ses axes on a +\[ +F' = 0,\quad H = \sqrt{E · G},\quad\text{et}\quad +\frac{1}{R_n} = \frac{\lambda^2 E'}{E \sqrt{EG}} + \frac{\mu^2 G'}{G \sqrt{EG}}\Add{.} +\] +Si nous supposons $\lambda = 1$, $\mu = 0$, nous avons un des rayons de +courbure principaux~$R_1$ +\[ +\frac{1}{R_1} = \frac{E'}{E \sqrt{EG}}\Add{;} +\] +pour $\mu = 1$, $\lambda = 0$, nous avons l'autre rayon de courbure principal~$R_2$ +\[ +\frac{1}{R_2} = \frac{G'}{G \sqrt{EG}}\Add{,} +\] +%% -----File: 048.png---Folio 40------- +et la formule devient +\[ +\frac{1}{R_n} = \frac{\lambda^2}{R_1} + \frac{\mu^2}{R_2}\Add{;} +\] +mais ici, les coordonnées étant rectangulaires, si $\phi$ est +l'angle de la tangente $M T$ avec l'une des directions principales, +nous avons $\lambda = \cos \phi$, $\mu = \sin \phi$, et nous obtenons +la \emph{formule d'Euler} +\[ +\frac{1}{R_n} = \frac{\cos^2 \phi}{R_1} + \frac{\sin^2 \phi}{R_2}\Add{.} +\] +Considérons la tangente $M T'$ perpendiculaire à~$M T$, il faudra +remplacer $\phi$ par $\phi + \frac{\pi}{2}$, et nous aurons +\[ +\frac{1}{R'_n} = \frac{\sin^2 \phi}{R_1} + \frac{\cos^2 \phi}{R_2} +\] +d'où +\[ +\frac{1}{R_n} + \frac{1}{R'_n} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} +\] +donc \emph{la somme des courbures de \Card{2} sections normales rectangulaires +quelconques est constante et égale à la somme des courbures +des sections normales principales}. La quantité constante +$\dfrac{1}{2} \left(\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}\right)$ s'appelle \emph{courbure moyenne} de la surface au point +considéré. + + +\Section{Lignes minima.} +{3.}{} En chaque point d'une surface, il y a \Card{3} couples de +directions remarquables: les droites isotropes du plan tangent, +définies par $\Phi(du, dv) = 0$; les directions asymptotiques +de l'indicatrice $\Psi(du, dv) = 0$\DPtypo{;}{,} et les directions des sections +principales. + +Considérons les directions isotropes, et cherchons s'il +existe sur la surface des courbes tangentes en chacun de leurs +points à une direction isotrope; ceci revient à intégrer l'équation +%% -----File: 049.png---Folio 41------- +\[ +\Phi(du, dv) = 0, +\] +et on obtient ainsi les \emph{courbes minima}. L'équation \DPtypo{précedente}{précédente} +se décompose en \Card{2} équations de \Ord{1}{er} ordre, donc \emph{il y a deux +familles de courbes minima et par tout point de la surface +passe en général une courbe de chaque famille}. Ces courbes +sont imaginaires; on a le long de chacune d'elles +\[ +ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 = 0; +\] +c'est pourquoi on les appelle aussi lignes de longueur nulle. +Si on les prend pour lignes coordonnées, l'équation $\Phi(du, dv) = 0$ +devant alors être vérifiée pour $du = 0$, $dv = 0$, on a +\[ +E = 0\Add{,}\quad G = 0,\quad \text{et}\quad ds^2 = 2F\, du · dv. +\] + +En général les deux systèmes de lignes minima sont distincts. +Pour qu'ils soient confondus, il faut que +\[ +EG - F^2 = H^2 = 0, +\] +dans ce cas, on a $A^2 + B^2 + C^2 = 0$, et les formules fondamentales +ne s'appliquent plus. Pour étudier la nature d'une telle surface +\DPtypo{Considérons}{considérons} le plan tangent: +\[ +A(X - x) + B(Y - y) + C(Z - z) = 0; +\] +ce plan est alors tangent à un cône isotrope, c'est un \emph{plan isotrope}. +\emph{Tous les plans tangents à la surface sont isotropes.} +Cherchons l'équation générale des plans isotropes. Soit +\[ +ax + by + cz + d = 0 +\] +nous avons la condition +\[ +a^2 + b^2 + c^2 = 0 +\] +ou +\begin{gather*} +a^2 + b^2 = -c^2\Add{,} \\ +(a + ib) · (a - ib) = \Err{-c}{-c^2}\Add{.} +\end{gather*} +%% -----File: 050.png---Folio 42------- +Posons +\[ +a + ib = tc,\qquad +a - ib = -\frac{1}{t}\, c, +\] +ou +\[ +a + ib - tc = 0,\qquad ta - ibt + c = 0; +\] +de ces deux relations nous tirons +\[ +\frac{a}{1 - t^2} = \frac{ib}{-(1 + t^2)} = \frac{c}{-2t}, +\] +ou +\[ +\frac{a}{1 - t^2} = \frac{b}{i(1 + t^2)} = \frac{c}{-2t}; +\] +d'où l'équation générale des plans isotropes +\[ +\Tag{(1)} +(1 - t^2)x + i(1 + t^2)y - 2tz + 2w = 0. +\] +Un plan isotrope dépend de deux paramètres. La surface considérée +est l'enveloppe de plans isotropes; si ces plans dépendent +de deux paramètres, elle se réduit au cercle imaginaire +à l'infini. Supposons alors que $w$~soit fonction de~$t$ par exemple; +le plan tangent ne dépendant que d'un paramètre, la surface +est développable, c'est une \emph{développable isotrope}. Cherchons +son arête de rebroussement. Différentions l'équation~\Eq{(1)} +\Card{2} fois par rapport à~$t$. Nous avons +\begin{gather*} +\Tag{(2)} +-tx + ity - z + w' = 0 \\ +\Tag{(3)} +-x + iy + w'' = 0 +\end{gather*} +les équations \Eq{(1)}\Add{,}~\Eq{(2)}\Add{,}~\Eq{(3)} définissent l'arête de rebroussement; +\Eq{(3)}~donne +\[ +x - iy = w''\Add{,} +\] +\Eq{(2)}~s'écrit +\[ +z = -t(x - iy) + w' = w' - tw''\Add{,} +\] +et~\Eq{(1)} +\[ +x + iy = t^2(x - iy) + 2tz - 2w = t^2w'' + 2t(w' - tw'') - 2w +\] +d'où, pour les équations de l'arête de rebroussement: +\[ +\Tag{(4)} +x - iy = w'',\qquad +x + iy = -2w + 2tw' - t^2w'',\qquad +z = w' - tw''. +\] +Nous en tirons +\[ +d(x - iy) = w'''\, dt,\qquad +d(x + iy) = -t^2w'''\, dt,\qquad +dz = -tw'''\, dt; +\] +%% -----File: 051.png---Folio 43------- +d'où +\[ +d(x - i y) · d(x + i y) + = - t^2 \DPtypo{w'''}{(w''')^2}\, dt^2 + = \DPtypo{}{-}dz^2\Add{,} +\] +ou +\begin{gather*} +d(x - i y) · d(x + i y) + dz^2 = 0, \\ +dx^2 + dy^2 + dz^2 = 0; +\end{gather*} +c'est une courbe minima. \emph{L'arête de rebroussement d'une développable +isotrope est une courbe minima.} + +Réciproquement, considérons une courbe minima. Nous avons +la relation +\[ +dx^2 + dy^2 + dz^2 = 0\Add{.} +\] +Différentions +\[ +dx · d^2 x + dy · d^2 y + dz · d^2 z = 0\Add{,} +\] +mais l'identité de Lagrange nous donne +\[ +\sum dx^2 \sum (d^2 x)^2 - \DPtypo{\sum (dx·d^2 x)}{\left(\sum dx·d^2 x\right)^2} + = \sum (dy·d^2 z - dz·d^2 y)^2 = 0\Add{,} +\] +ou\DPtypo{,}{} $A\Add{,} B\Add{,} C$ désignant les coefficients du plan osculateur +\[ +A^2 + B^2 + C^2 = 0\Add{.} +\] +\emph{Le plan osculateur en un point d'une courbe minima est isotrope. +Toute courbe minima peut être considérée comme l'arête +de rebroussement d'une développable isotrope.} + +Il en résulte que cette arête de rebroussement est la +courbe minima la plus générale, et que les coordonnées d'un +point d'une courbe minima quelconque sont données par les +formules~\Eq{(4)}, ou $w$~est une fonction arbitraire de~$t$. + +%[** TN: Renumber 3 -> 4] +\Section{Lignes asymptotiques.} +{4.}{} Si nous cherchons maintenant les courbes d'une surface +tangentes en chacun de leurs points à une asymptote de +l'indicatrice, nous sommes ramenés à intégrer l'équation +\[ +\Psi(du , dv) = 0\Add{,} +\] +et nous obtenons les \emph{lignes asymptotiques}. Comme précédemment, +%% -----File: 052.png---Folio 44------- +nous voyons qu'\emph{il y a deux familles de lignes asymptotiques, +et par tout point de la surface passe en général une asymptotique +de chaque famille}. + +L'équation différentielle précédente s'écrit +\begin{align*} +\sum A\, d^2 x &= 0\Add{,} \\ +\intertext{on a d'ailleurs} +\sum A\, dx &= 0; +\end{align*} +mais $A\Add{,} B\Add{,} C$ sont les coefficients du plan tangent à la surface; +les équations précédentes montrent qu'il contient les directions +$dx, dy, dz$ et $d^2 x, d^2 y, d^2 z$, donc \DPtypo{coincide}{coïncide} avec le plan osculateur +à la courbe; donc \emph{les lignes asymptotiques sont telles +que le plan osculateur en chacun de leurs points soit tangent +à la surface}. En particulier, \emph{toute génératrice rectiligne +d'une surface est une ligne asymptotique}, car le plan osculateur +en un point d'une droite étant indéterminé, peut être +considéré comme \DPtypo{coincidant}{coïncident} avec le plan tangent en ce point +à la surface. \emph{Si donc une surface est réglée, un des systèmes +de lignes asymptotiques est constitué par les génératrices +rectilignes.} + +Si nous prenons les lignes asymptotiques pour courbes +coordonnées, nous aurons +\[ +E' = G' = 0 +\] +et +\[ +\Psi(du, dv) = 2F'\, du · dv. +\] + +Les lignes asymptotiques sont réelles aux points où la +surface est à courbures opposées, imaginaires aux points où +elle est convexe. Elles sont en général distinctes, et distinctes +aussi des lignes minima. Nous allons examiner les cas +d'exception. + +\ParItem{\Primo.} \emph{Les lignes asymptotiques sont confondues.} Prenons +%% -----File: 053.png---Folio 45------- +l'équation de la surface sous la \DPtypo{formé}{forme} +\[ +Z = f(x, y): +\] +nous avons $E'G' - F^2 = 0$, condition qui se réduit ici à +\[ +rt - s^2 = 0; +\] +tous les points de la surface doivent être paraboliques. L'équation +différentielle précédente peut s'écrire +\[ +dp \DPtypo{,}{·} dx + dq · dy = 0. +\] +Elle montre que si l'une des différentielles $dp, dq$ est nulle, +l'autre est aussi nulle, donc $p, q$ sont fonctions l'un de l'autre. +Le plan tangent en un point s'écrit +\[ +p(X - x) \DPtypo{,}{+} q(Y - y) - (Z - z) = 0 , +\] +ou +\[ +pX + qY - Z = px + qy - z. +\] +Mais +\[ +d(px + qy - z) = x·dp + y·dq +\] +et nous voyons que si $dp = 0$, puisque $dq = 0$, on a en même +temps $d(px + qy - z) = 0$, donc $px + qy - z$ est fonction +de~$p$, de même que~$q$, et alors le plan tangent ne dépend que +d'un seul paramètre, et la surface est développable. La \DPtypo{reciproque}{réciproque} +est évidente, car si l'équation $pX + qY - Z = px + qy - z$ +ne dépend que d'un paramètre~$\theta$, $dp$~et~$dq$ sont proportionnels +à~$d\theta$, et les deux formes linéaires $dp = r·dx + s·dy$\Add{,} +$dq = s·dx + t·dy$ ne sont pas indépendantes. On a donc bien +\[ +\begin{vmatrix} +r & s \\ +s & t +\end{vmatrix} = rt - s^2 = 0. +\] + +Donc \emph{les surfaces à lignes asymptotiques doubles sont +les surfaces développables, et les lignes asymptotiques doubles +sont les génératrices rectilignes. Pour les développables +isotropes, les lignes asymptotiques doubles sont confondues +avec les lignes minima doubles, qui sont les génératrices +%% -----File: 054.png---Folio 46------- +rectilignes isotropes}. + +\Paragraph{Remarque.} Pour les surfaces développables, l'arête de +rebroussement ayant son plan osculateur tangent à la surface +doit être considérée comme une ligne asymptotique. Son équation +est en effet une \DPtypo{integrale}{intégrale} singulière de l'\DPtypo{equation}{équation} +différentielle des lignes asymptotiques. + +\ParItem{\Secundo.} \emph{Une famille de lignes asymptotiques est confondue +avec une famille de lignes minima.} \DPchg{Ecartons}{Écartons} le cas des développables +isotropes, qui vient d'être examiné. Prenons les +lignes minima comme courbes coordonnées, $E = 0$, $G = 0$, et si +nous supposons que la famille $v = \cte$ constitue une famille +d'asymptotiques, $dv = 0$ doit être solution de $\Psi(du, dv) = 0$, +donc \DPtypo{$E' = 0$}{} +\[ +E' = +\begin{vmatrix} +\mfrac{\dd x}{\dd u} & \mfrac{\dd y}{\dd u} & \mfrac{\dd z}{\dd u} \\ +\mfrac{\dd x}{\dd v} & \mfrac{\dd y}{\dd v} & \mfrac{\dd z}{\dd v} \\ +\mfrac{\dd^2 x}{\dd u^2} & \mfrac{\dd^2 y}{\dd u^2} & \mfrac{\dd^2 z}{\dd u^2} +\end{vmatrix} = 0\Add{.} +\] +Il existe donc entre les éléments des lignes de ce déterminant +une même relation linéaire et homogène. +On a +\[ +\left\{%[** Moved brace to left-hand side] +\begin{aligned} +\frac{\dd^2 x}{\dd u^2} &= M\, \frac{\dd x}{\dd u} + N\, \frac{\dd x}{\dd v}\Add{,} \\ +\frac{\dd^2 y}{\dd u^2} &= M\, \frac{\dd y}{\dd u} + N\, \frac{\dd y}{\dd v}\Add{,} \\ +\frac{\dd^2 z}{\dd u^2} &= M\, \frac{\dd z}{\dd u} + N\, \frac{\dd z}{\dd v}\Add{.} +\end{aligned} +\right. +\] +Multiplions respectivement par $\dfrac{\dd x}{\dd u}, \dfrac{\dd y}{\dd u}, \dfrac{\dd z}{\dd u}$ et ajoutons. Le +coefficient de~$M$ est $E = 0$, le \Ord{1}{e} membre est $\dfrac{1}{2}\, \dfrac{\dd E}{\dd u} = 0$, donc +$NF = 0$, et comme $F \neq 0$, $N = 0$, et nous avons: +%% -----File: 055.png---Folio 47------- +\[ +\frac{\ \dfrac{\dd^2 x}{\dd u^2}\ }{\dfrac{\dd x}{\dd u}} = +\frac{\ \dfrac{\dd^2 y}{\dd u^2}\ }{\dfrac{\dd y}{\dd u}} = +\frac{\ \dfrac{\dd^2 z}{\dd u^2}\ }{\dfrac{\dd z}{\dd u}} = M\Add{,} +\] +les courbes $v = \cte$ sont des droites, et comme ce sont des +lignes minima, ce sont des droites isotropes. Et réciproquement +si les courbes $v = \cte$ sont des droites, on a +\[ +\frac{\dd^2 x}{\dd u^2} = M\, \frac{\dd x}{\dd u},\qquad +\frac{\dd^2 y}{\dd u^2} = M\, \frac{\dd y}{\dd u},\qquad +\frac{\dd^2 z}{\dd u^2} = M\, \frac{\dd z}{\dd u}; +\] +et par suite +\[ +\sum A\, \frac{\dd^2 x}{\dd u^2} = M \sum A\, \frac{\dd x}{\dd u} = 0 +\] +les courbes $v = \cte$ qui sont des droites minima sont des lignes +asymptotiques. Donc \emph{les surfaces qui ont une famille +d'asymptotiques confondue avec une famille de lignes minima +sont des surfaces \DPtypo{réglees}{réglées} à génératrices isotropes, et ces +génératrices sont les asymptotiques confondues avec les courbes +minima}. + +\ParItem{\Tertio.} \emph{Les deux systèmes d'asymptotiques sont des courbes +minima.} En prenant toujours les lignes minima comme courbes +coordonnées, il faut que l'équation $\Psi(du, dv) = 0$ soit satisfaite +pour $du = 0$, $dv = 0$, il faut donc que $E' = G' = 0$. +Alors les formes quadratiques $\Phi$~et~$\Psi$ sont proportionnelles. +Il en est de même avec un système de coordonnées quelconques +et on~a +\[ +\frac{E'}{E} = \frac{F'}{F} = \frac{G'}{G}\Add{.} +\] +L'indicatrice en un point quelconque est un cercle, \emph{tous les +points de la surface sont des ombilics}. En reprenant le calcul +comme précédemment, on verra que la surface admet deux +systèmes de génératrices rectilignes isotropes. \emph{C'est une +sphère.} +%% -----File: 056.png---Folio 48------- + +%[** TN: Renumber 4 -> 5] +\Section{Surfaces minima\Add{.}} +{5.}{} Ce dernier cas nous a conduit à étudier la surface +telle que l'indicatrice soit toujours un cercle. Examinons +maintenant \emph{le cas où cette indicatrice est toujours une hyperbole +équilatère}. Ceci revient à chercher les surfaces +pour lesquelles les lignes asymptotiques sont orthogonales. +Il faut pour cela que l'on ait +\[ +EG' + GE' - 2FF' = 0, +\] +ou +\[ +\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = 0. +\] +Les rayons de courbure en chaque point sont égaux et de signes +contraires; la surface est dite une \emph{surface minima}. + +Prenons pour coordonnées les lignes minima. Alors $E = 0$\Add{,} +$G = 0$, et +\[ +ds^2 = 2F · du · dv; +\] +la condition précédente donne $F' = 0$, et +\[ +\Psi(du, dv) = E'\, du^2 + G'\, dv^2. +\] +Mais on a +\[ +F' = +\begin{vmatrix} +\mfrac{\dd x}{\dd u} & \mfrac{\dd y}{\dd u} & \mfrac{\dd z}{\dd u} \\ +\mfrac{\dd x}{\dd v} & \mfrac{\dd y}{\dd v} & \mfrac{\dd z}{\dd v} \\ +\mfrac{\dd^2 x}{\dd u\, \dd v} & \mfrac{\dd^2 y}{\dd u\, \dd v} & \mfrac{\dd^2 z}{\dd u\, \dd v} +\end{vmatrix} = 0. +\] +Il existe donc une même relation linéaire et homogène entre +les éléments des lignes. On a +\[ +\left\{%[** TN: Moved brace to left] +\begin{aligned} +\frac{\dd^2 x}{\dd u\, \dd v} = M\, \frac{\dd x}{\dd u} + N\, \frac{\dd x}{\dd v}\Add{,} \\ +\frac{\dd^2 y}{\dd u\, \dd v} = M\, \frac{\dd y}{\dd u} + N\, \frac{\dd y}{\dd v}\Add{,} \\ +\frac{\dd^2 z}{\dd u\, \dd v} = M\, \frac{\dd z}{\dd u} + N\, \frac{\dd z}{\dd v}\Add{.} +\end{aligned} +\right. +\] +Multiplions respectivement par $\dfrac{\dd x}{\dd u}$, $\dfrac{\dd y}{\dd u}$, $\dfrac{\dd z}{\dd u}$ et ajoutons. Le +\Ord{1}{er} membre est $\dfrac{1}{2}\, \dfrac{\dd E}{\dd u} = 0$; le coefficient de~$M$ est $E = 0$; +%% -----File: 057.png---Folio 49------- +nous avons donc $N F = 0$, donc $N = 0$. De même en multipliant +par $\dfrac{\dd x}{\dd v}$, $\dfrac{\dd y}{\dd v}$, $\dfrac{\dd z}{\dd v}$ et ajoutant, on trouvera $M = 0$; donc on a +\[ +\frac{\dd^2 x}{\dd u\, \dd v} = 0,\qquad +\frac{\dd^2 y}{\dd u\, \dd v} = 0,\qquad +\frac{\dd^2 z}{\dd u\, \dd v} = 0. +\] +Ce qui donne +\[ +x = f(u) + \phi(v),\qquad +y = g(u) + \psi(v),\qquad +z = h(u) + \chi(v); +\] +les surfaces représentées par des équations de cette forme +sont dites \emph{surfaces de translation. Elles peuvent être engendrées +de deux façons différentes par la translation d'une +courbe de forme invariable dont un point décrit une autre +courbe}. Considérons en effet sur la surface les \Card{4} points +$M_0(u_0\Add{,} v_0)$, $M_1(u\Add{,} v_0)$, $M_2(u_0\Add{,} v)$, $M(u\Add{,} v)$. D'après les formules précédentes +ces points sont les sommets d'un parallélogramme. Si, +laissant $v_0$~fixe, on fait varier~$u$, le point~$M_1$ décrit une +courbe~$\Gamma$ de la surface; de même si, laissant $u_0$~fixe, on fait +varier~$v$, le point~$M_2$ décrit une autre courbe~$\Gamma'$ de la surface. +On peut donc considérer la surface comme engendrée par la +courbe~$\Gamma$ animée d'un mouvement de translation dans lequel le +point~$M_2$ décrit la courbe~$\Gamma'$, ou par la courbe~$\Gamma'$ animée d'un +mouvement de translation dans lequel le point~$M_1$ décrit la +courbe~$\Gamma$. + +Pour les surfaces minima, les \Card{6} fonctions $f\Add{,} g\Add{,} h\Add{,} \phi\Add{,} \psi\Add{,} \chi$ ne +sont pas quelconques. Elles doivent satisfaire aux relations +\[ +E = f'{}^2 + g'{}^2 + h'{}^2 = 0,\qquad G = \phi'{}^2 + \psi'{}^2 + \chi'{}^2 = 0; +\] +il en résulte que la courbe +\[ +x = f(u),\qquad y = g(u),\qquad z = \Err{h()}{h(u)} +\] +est une courbe minima, et si nous nous reportons aux équations +générales d'une courbe minima, nous voyons que nous pouvons +%% -----File: 058.png---Folio 50------- +écrire, $F$~étant une fonction quelconque de~$u$ +\begin{align*}%[** TN: Unaligned in original] +f(u) - ig(u) &= F''(u), \\ +f(u) + ig(u) &= -2F(u) + 2uF'(u) - u^2F''(u), \\ +h(u) &= F'(u) - uF''(u). +\end{align*} +De même la courbe +\[ +x = \phi(v),\qquad +y = \psi(v),\qquad +z = \chi(v) +\] +étant une courbe minima, on aura, $\Phi$~étant une fonction quelconque +de~$v$, +\begin{align*}%[** TN: Unaligned in original] +\phi(v) - i \psi(v) &= \Phi''(v)\Add{,} \\ +\phi(v) + i \psi(v) &= -2 \Phi(v) + 2v \Phi'(v) - v^2 \Phi''(v)\Add{,} \\ +\chi(v) &= \Phi'(v) - v \Phi''(v); +\end{align*} +d'où les coordonnées d'un point de la surface minima la plus +générale +\begin{align*} +x + iy &= - 2F(u) + 2u F'(u) - u^2 F''(u) - 2 \Phi(v) + 2v \Phi'(v) + v^2 \Phi''(v)\Add{,} \\ +x - iy &= F''(u) + \Phi''(v), \\ +z &= F'(u) - u F''(u) + \Phi'(v) - v \Phi''(v). +\end{align*} + +Dans le cas où l'équation de la surface est mise sous la +forme +\[ +z = f(x, y), +\] +l'équation aux dérivées partielles des surfaces minima est +\[ +(1 + p^2)·t + (1 + q^2)·r + 2pq\, s = 0. +\] + +%[** TN: Renumber 5 -> 6] +\Section{Lignes courbure.} +{6.}{} Les \emph{lignes de courbure} sont les lignes tangentes en +chacun de leurs points aux directions principales ou axes de +l'indicatrice. Ce sont les intégrales de l'équation +\[ +\frac{\dd\Phi}{\dd·du} · \frac{\dd\Psi}{\dd·dv} - +\frac{\dd\Phi}{\dd·dv} · \frac{\dd\Psi}{\dd·du} = 0, +\] +les directions principales étant conjuguées par rapport aux +directions isotropes et aux directions asymptotiques. Si ces +\Card{2} couples constituent \Card{4} directions distinctes, les directions +%% -----File: 059.png---Folio 51------- +principales seront aussi distinctes et distinctes des précédentes. +Il en \DPtypo{resulte}{résulte} qu'il n'y aura pas d'autres cas singuliers +pour les lignes de courbure que ceux déjà rencontrés +pour les lignes minima et les lignes asymptotiques. + +\ParItem{\Primo.} \emph{Surfaces réglées non développables à génératrices +isotropes \(la sphère exceptée\).} Une famille de lignes minima +est constituée par des lignes asymptotiques. Prenant les lignes +minima comme coordonnées, nous avons +\[ +\Phi = 2 F·du·dv; +\] +prenons les lignes $u = \cte$ confondues avec les asymptotiques, +$du = 0$ doit annuler~$\Psi$; donc +\[ +\Psi = E' · du^2 + 2F' · du·dv; +\] +l'équation différentielle des lignes de courbure est +\[ +F·dv · F'·du - F·du (E'·du + F'·dv) = 0, +\] +ou +\[ +E'\Del{·}F · du^2 = 0. +\] +\emph{Les lignes de courbure sont doubles, ce sont les génératrices +rectilignes isotropes qui sont déjà lignes minima et asymptotiques.} + +\ParItem{\Secundo.} \emph{Sphère.} $\Phi, \Psi$ sont proportionnels, l'équation différentielle +est identiquement vérifiée. \emph{Sur la sphère toutes +les lignes sont lignes de courbure.} + +\ParItem{\Tertio.} \emph{Surfaces développables non isotropes.} Prenons les +génératrices rectilignes comme courbes $u = \cte$, ce sont des +lignes asymptotiques doubles, nous avons +\begin{align*} +ds^2 &= E·du^2 + 2F·du·dv + G·dv^2, \\ +\Psi &= E'·du^2; +\end{align*} +l'équation différentielle des lignes de courbure est +\[ +(F·du + G·dv)\, E'·du = 0. +\] +%% -----File: 060.png---Folio 52------- +\emph{Les lignes de courbure sont les génératrices rectilignes, qui +sont déjà lignes asymptotiques, et leurs trajectoires orthogonales.} + +\ParItem{\Quarto.} \emph{Surfaces développables isotropes.} Prenant pour courbe +$v = \cte$ les lignes minima doubles confondues avec les lignes +asymptotiques doubles, nous avons +\[ +\Phi = E·du^2\Add{,}\qquad +\Psi = E'·du^2\Add{.} +\] +L'équation aux lignes de courbure est identiquement vérifiée. +\emph{Sur les développables isotropes toutes les lignes sont lignes +de courbure.} + +\Paragraph{Remarque.} Pour un plan, les courbes minima sont des +droites; et toute ligne du plan est asymptotique et ligne de +courbure. + +%[** TN: Renumber 6 -> 7] +\Section{Courbure géodésique.} +{7.}{} Examinons maintenant la \Ord{2}{e} formule fondamentale +\begin{multline*} +\frac{\sin \theta}{R} + = \frac{1}{H\, ds^2} \left[\MStrut + H^2\, (du\, d^2v - dv\, d^2u) \right. \\ + - \left.\MStrut + \begin{vmatrix} + \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd E}{\dd u}\, du^2 + + \mfrac{\dd E}{\dd v}\, du\, dv + + \left(\mfrac{\dd F}{\dd v} + - \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd G}{\dd u}\right) dv^2 & E\, du + F\, dv \\ + % + \left(\mfrac{\dd F}{\dd u} - \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd E}{\dd v}\right) du^2 + + \mfrac{\dd G}{\dd u}\, du\, dv + + \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd G}{\dd v}\, dv^2 & F\, du + G\, dv + \end{vmatrix} + \right]\Add{;} +\end{multline*} +\Illustration[1.625in]{060a} +$\theta$~est l'angle de la normale principale avec la +normale à la surface. Soit $C$~le centre de courbure. +Considérons la droite polaire, qui rencontre +le plan tangent en~$G$, nous avons +\[ +\DPtypo{MO}{MC} = MG \cos \left(\theta - \tfrac{\pi}{2}\right) = MG \sin\theta. +\] +$MG$ est ce qu'on appelle le \emph{rayon de courbure +géodésique~$R_g$}. On a +\[ +R = R_g \sin\theta. +\] +%% -----File: 061.png---Folio 53------- + +Le point~$G$ est le \emph{centre de courbure géodésique. La projection +du centre de courbure géodésique sur la normale principale +est le centre de courbure}. L'inverse du rayon de courbure +géodésique s'appelle \emph{courbure géodésique}. Son expression +ne dépend que de $E, F, G$ et de leurs dérivées; \emph{la courbure géodésique +se conserve quand on déforme la surface}. + +Cherchons s'il existe des courbes de la surface dont le +rayon de courbure géodésique soit constamment infini. De telles +courbes sont appelées lignes géodésiques. Alors $\dfrac{\sin \theta}{R}$ est +constamment nul, et comme $R$~n'est pas constamment infini, $\sin \theta = 0$. +\emph{Le plan osculateur est normal à la surface en chaque +point de la courbe.} Les lignes géodésiques sont définies par +une équation différentielle de la forme +\[ +v'' = \Phi (u, v, v'). +\] +De l'étude des équations de cette forme il résulte qu'\emph{il y a +une ligne géodésique et une seule passant par chaque point de +la surface et tangente en ce point à une direction donnée du +plan tangent. Il y en a une et une seule joignant deux points +donnés dans un domaine suffisamment petit.} + +Prenons pour \Err{}{lignes }coordonnées les lignes minima. Alors $E = G = 0$ +et $H^2 = - F^2$. L'équation différentielle des lignes géodésiques +devient +\[ +- F^2 (du·d^2 v - dv·d^2 u) + - \begin{vmatrix} + \mfrac{\dd F}{\dd v}\, dv^2 & F\, dv \\ + \mfrac{\dd F}{\dd u}\, du^2 & F\, du + \end{vmatrix} = 0, +\] +%% -----File: 062.png---Folio 54------- +ou +\[ +du · d^2v - dv · d^2u + + \frac{\dd · \log F}{\dd v}\, du · dv^2 + - \frac{\dd · \log F}{\dd u}\, du^2\Add{·} dv = 0 +\] +on voit qu'elle est vérifiée pour $du = 0$, $dv = 0$. Ainsi \emph{les +lignes minima sont des lignes géodésiques}. + +\Paragraph{Remarque.} Si le plan osculateur se confond avec le plan +tangent, le centre de courbure se confond avec le centre de +courbure géodésique; et si en particulier on considère un plan +\emph{dans ce plan la courbure géodésique n'est autre que la courbure}. +Il en résulte que \emph{les lignes géodésiques du plan sont les +droites de ce plan}, ce qu'on vérifie facilement par le calcul. + +\Illustration{062a} +\Paragraph{Définition directe de la courbure géodésique.} Considérons +sur la surface une courbe~$(C)$ et une famille +de courbes~$(K)$ orthogonales à~$(C)$. Sur chaque +courbe~$(K)$ portons à partir du point~$M$ où elle +rencontre la courbe~$(C)$ une longueur d'arc +constante~$M N$. Pour chaque valeur de cette +constante nous obtenons une courbe~$(C')$ lieu +du point~$N$. Prenons comme courbes coordonnées +les courbes $(C)\Add{,} (C')\Add{,} \dots\Add{,} (v = \cte)$, la courbe~$(C)$ étant $v = 0$, +et les courbes~$(K)\Add{,} (u = \cte)$. Alors $v$~ne sera autre que la +longueur d'arc~$MN$. Nous avons +\[ +ds^2 = E · du^2 + 2F \Add{·} du · dv + G · dv^2\Add{.} +\] +La courbe $v = 0$ est orthogonale à toutes les courbes~$(K)$, donc +on a, quel que soit~$u$ +\[ +F(u, \DPtypo{o}{0}) = 0; +\] +$v$~représentant l'arc~$M N$, on a $ds^2 = dv^2$, d'où $G = 1$, et alors +\[ +ds^2 = E · du^2 + 2F \Add{·} du · dv + dv^2. +\] +Nous pouvons de même supposer que sur la courbe~$(C)$\Add{,} $u$~\DPtypo{represente}{représente} +%% -----File: 063.png---Folio 55------- +l'arc. Alors pour $v = 0$, on a $ds = du$, donc +\[ +E(u, 0) = 1, +\] +et pour cette courbe~$(C)$ on a +\[ +H^2 = E · G - F^2 = 1, +\] +d'où~$H = 1$. Nous avons alors +\[ +\frac{\sin \theta}{ R} = - \frac{1}{ds^2} + \begin{vmatrix} + \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd E}{\dd u}\, du^2 & E\, du \\ + \left(\mfrac{\dd F}{\dd u} - \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd E}{\dd v} \right) du^2 & F\, du + \end{vmatrix} + = - \frac{1}{2}\, \dfrac{\dd E}{\dd v}. +\] +Pour la courbe~$(C')$ nous aurons +\[ +ds^2 = E\, du^2, +\] +d'où +\[ +ds = \sqrt{E}\, du; +\] +prenons la dérivée logarithmique par rapport à $v$ +\[ +\frac{\dd · \log ds}{\dd v} + = \frac{\dd · \log \DPtypo{E}{\sqrt{E}}}{\dd v} +%[** TN: Explicit \cdot; Latin-1 char converts to thinspace] + = \frac{1}{\sqrt{E}} \cdot \frac{1}{2}\, \frac{\dfrac{\dd E}{\dd v}}{\sqrt{E}} + = \frac{1}{2E} · \frac{\dd E}{\dd v}\Add{.} +\] +Si on considère la courbe~$(C)$, $E = 1$, et on a pour cette courbe +\[ +\frac{\dd · \log ds}{\dd v} + = \frac{1}{2}\, \frac{\dd E}{\dd v}, +\] +d'où +\[ +\frac{1}{R_{g}} + = \frac{\sin \theta}{R} + = -\frac{\dd \log · ds}{\dd v}\Add{,} +\] +ce qui donne une \DPtypo{definition}{définition} de la courbure géodésique n'empruntant +aucun élément extérieur à la surface. + +\MarginNote{Propriétés des +géodésiques.} +Supposons en particulier que toutes les courbes~$(K)$ soient +des géodésiques. Avec les mêmes conventions que précédemment, +$du = 0$~doit être une solution de \DPtypo{l'equation differentielle}{l'équation différentielle} des +lignes géodésiques, ce qui donne +\[ +\begin{vmatrix} + \mfrac{\dd F}{\dd v} & F \\ + 0 & 1 +\end{vmatrix} += \dfrac{\dd F}{\dd v} = 0; +\] +%% -----File: 064.png---Folio 56------- +donc $F$~est une fonction de $u$~seulement, et comme $F = 0$ pour +$v = 0$, $F$~est identiquement nul, et on a +\[ +ds^2 = E\, du^2 + dv^2; +\] +et alors toutes les courbes~$(C)$ coupent orthogonalement les +géodésiques~$(K)$. Donc \emph{si nous considérons une courbe~$(c)$, si +nous menons en chaque point de~$(c)$ la géodésique qui lui est +orthogonale, et si nous portons sur chacune de ces géodésiques +un arc constant, le lieu des extrémités de ces arcs est une +courbe~$(c')$ normale aux géodésiques}. Nous obtenons ainsi les +\emph{courbes parallèles} sur une surface quelconque. + +\emph{Réciproquement, si nous considérons une famille de géodésiques +et leurs trajectoires orthogonales, ces trajectoires +déterminent sur les géodésiques des longueurs d'arc égales.} +Toujours avec les mêmes hypothèses, les courbes $u = \cte$ et +$v = \cte$ étant orthogonales, on a $F = 0$. Les $u = \cte$ étant des +géodésiques, nous avons +\[ +\begin{vmatrix} +-\mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd G}{\dd u}\, dv^2 & 0 \\ +\phantom{-} \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd G}{\dd v}\, dv^2 & G +\end{vmatrix} + = -\frac{1}{2}\, G \frac{\dd G}{\dd u}\, dv^2 = 0. +\] +$G \neq 0$, sans quoi les courbes $u = \cte$ seraient des courbes minima, +donc $\dfrac{\dd G}{\dd u} = 0$ et $G = \phi(v)$. Calculons alors l'arc d'une +courbe~$(K)$ compris entre la courbe $v = v_{0}$ et la courbe $v = v_{1}$\Add{.} +Nous avons +\begin{align*} +ds^2 &= G\, dv^2 = \phi(v)\, dv^2, \\ +\intertext{et} +s &= \int_{v_{0}}^{v_{1}} \sqrt{\phi(v)} · dv; +\end{align*} +$s$~est indépendant de~$u$, l'arc est le même sur toutes les géodésiques. +%% -----File: 065.png---Folio 57------- + +Si on prend encore pour~$v$ l'arc sur les courbes $u = \cte$ +on a +\[ +ds^{2} = E\, du^{2} + dv^{2}, +\] +et \emph{cette forme est caractéristique du système de coordonnées} +employé, \emph{constitué par une famille de géodésiques et leurs +trajectoires orthogonales}. + +Prenons alors sur la surface deux points voisins~$A\Add{,} B$. +Il existe une ligne géodésique et une seule dans le domaine +de ces deux points et joignant ces deux points. Considérons +une famille de géodésiques voisines ne se coupant pas dans +le domaine, et leurs trajectoires orthogonales. Prenons-les +comme courbes coordonnées. Considérons une ligne quelconque +de la surface allant de $A$ à~$B$, soit +\[ +u = f(v)\Add{.} +\] +Si $A$ a pour coordonnées $u_{0}, v_{0}$ et~$B$, $u_{0}\Add{,} v_{1}$, la longueur de l'arc~$AB$ +de cette ligne est +\[ +\int_{v_{0}}^{v_{1}} \sqrt{E\, du^{2} + dv^{2}} + = \int_{v_{0}}^{v_{1}} \sqrt{E\bigl(f(v), v\bigr)\, f'{}^{2}(v) + 1}\, dv. +\] +Cette intégrale est visiblement minima si $f'(v) = 0$, c'est-à-dire +si la courbe joignant~$A\Add{,} B$ est la géodésique. Ainsi +donc, \emph{dans un domaine suffisamment petit entourant deux points +d'une surface, la géodésique est le plus court chemin entre +ces deux points}. + +%[** TN: Renumber 7 -> 8] +\Section{Torsion géodésique.} +{8.}{} Voyons enfin la \Ord{3}{e} formule fondamentale +\[ +\frac{1}{T} - \frac{d\theta}{ds} + = \frac{1}{H^{2}\, ds^{2}} +\begin{vmatrix} +\Err{E}{E'}\, du + F'\, dv & F'\, du + G'\, dv \\ +E\, du + F\, dv & F\, du + G\, dv +\end{vmatrix}. +\] +Si $\theta$ est constant, et en particulier constamment nul, la formule +%% -----File: 066.png---Folio 58------- +précédente donne la torsion; elle donne donc en particulier +la torsion d'une géodésique. L'expression précédente ne +dépend que de~$\dfrac{du}{dv}$, c'est-à-dire de la direction de la tangente\Add{.} +Considérons alors sur la surface une courbe~$(c)$ et un point~$M$. +Il existe une géodésique tangente à~$(c)$ au point~$M$ et $\dfrac{1}{T} - \dfrac{d \theta}{ds}$ +est la torsion de cette géodésique. C'est pourquoi $\dfrac{1}{T} - \dfrac{d \theta}{ds}$ s'appelle +\emph{torsion géodésique}. On voit ainsi que \emph{la torsion géodésique +en un point d'une courbe est la torsion de la géodésique +tangente en ce point à la courbe \DPtypo{donnee}{donnée}}. Posons +\[ +\frac{1}{T_{g}} = \frac{1}{T} - \frac{d \theta}{ds}\Add{;} +\] +$T_{g}$~est le \emph{rayon de torsion géodésique}. Contrairement au rayon +de courbure géodésique, il change dans la déformation des surfaces. + +La formule précédente montre que la torsion géodésique +est nulle si la direction $du, dv$ est une direction principale; +\emph{la torsion géodésique est nulle pour toute courbe tangente à +une ligne de courbure}. Il en résulte que \emph{les lignes de courbure +ont une torsion géodésique constamment nulle \(Théorème +de Lancret\)}. + +$\dfrac{1}{T_{g}}$ est le quotient de deux trinômes du \Ord{2}{e} degré en $du, +dv$, on peut donc étudier sa variation. Prenons pour courbes +coordonnées les lignes de courbure, elles sont conjuguées et +rectangulaires, donc $F - F' = 0$, et +\[ +\frac{1}{T_{g}} = \frac{1}{H^{2}\, ds^{2}} (E'G - G'E)\, du\, dv + = \left( \frac{E'}{E} - \frac{G'}{G} \right) \frac{du}{ds}\, \frac{dv}{ds}\Add{.} +\] +Si nous revenons aux notations employées au §1 pour l'étude +de la courbure normale, les coefficients de direction de la +%% -----File: 067.png---Folio 59------- +tangente dans le plan tangent sont +\[ +\lambda = \sqrt{E}\, \frac{du}{ds}\Add{,} \qquad +\mu = \sqrt{G}\, \frac{dv}{ds}\Add{,} +\] +et alors +\[ +\frac{1}{T_{g}} + = \frac{1}{\sqrt{EG}} \left(\frac{E'}{E} - \frac{G'}{G}\right) \lambda \mu; +\] +les rayons de courbure principaux sont +\[ +\frac{1}{R_{1}} = \frac{1}{\sqrt{EG}} · \frac{E'}{E}\Add{,} \qquad +\frac{1}{R_{2}} = \frac{1}{\sqrt{EG}} \Add{·} \frac{G'}{G}\Add{,} +\] +d'où +\[ +\frac{1}{T_{g}} = \left(\frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right) \lambda\mu\Add{,} +\] +d'où la \emph{formule d'Ossian Bonnet}, analogue à la formule d'Euler +\[ +\frac{1}{T_{g}} + = \left(\frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right) \sin\phi · \cos\phi\Add{.} +\] + +\MarginNote{Théorèmes de +Joachimsthal.} +Considérons une courbe~$(c)$ intersection de deux surfaces; +le plan normal à~$(c)$ en l'un de ses points~$M$ contient la normale +principale à la courbe et les normales aux deux surfaces. Soit +$V$~l'angle des normales $MN, MN'$; $\theta, \theta'$ leurs angles avec~$MP$. + +Nous avons +\[ +V = \theta' - \theta; +\] +mais +\[ +\frac{1}{T} - \frac{d \theta}{ds} = \frac{1}{T_{g}} \qquad +\frac{1}{T} - \frac{d \theta'}{ds} = \frac{1}{T'_{g}} +\] +d'où en retranchant +\[ +\frac{dV}{ds} = \frac{1}{T_{g}} - \frac{1}{T'_{g}}. +\] +Supposons alors que $(c)$ soit ligne de courbure des deux surfaces; +$\dfrac{1}{T_{g}}$~et~$\dfrac{1}{T'_{g}}$ sont tous deux nuls, $\dfrac{dV}{ds} = 0$, $V$ est constant. +D'où les \emph{Théorèmes de Joachimsthal: Si 2 surfaces se coupent +suivant une ligne de courbure, leur angle est constant tout +le long de cette ligne}, et la même formule montre immédiatement +que réciproquement: \emph{si deux surfaces se coupent sous un +angle constant, et si l'intersection est ligne de courbure +pour l'une des surfaces, elle est aussi ligne de courbure pour +l'autre.} Sur un plan ou sur une sphère, toutes les lignes sont +%% -----File: 068.png---Folio 60------- +lignes de courbure; donc \emph{si une ligne de courbure d'une surface +est plane ou sphérique, le plan ou la sphère qui la contient +coupe la surface sous un angle constant, et réciproquement, si +un plan ou une sphère coupe une surface sous un angle constant +l'intersection est une ligne de courbure de la surface}. Enfin +si un cercle est ligne de courbure d'une surface, il y a une +sphère passant par ce cercle qui est tangente à la surface en +un point du cercle; et, par suite, en tous les points du cercle. +Donc toute \emph{ligne de courbure circulaire est la courbe de +contact d'une sphère inscrite ou circonscrite à la surface}. + + +\ExSection{III} + +\begin{Exercises} +\item[12.] On considère la surface +\[ +x = \frac{c^{2} - b^{2}}{bc} · \frac{uv}{u + v},\quad +y = \frac{\sqrt{c^{2} - b^{2}}}{b} · \frac{v \sqrt{b^{2} - u^{2}}}{u + v},\quad +z = \frac{\sqrt{c^{2} - b^{2}}}{c} · \frac{u \sqrt{v^{2} - c^{2}}}{u + v}; +\] +déterminer ses lignes de courbure, et calculer les rayons de +courbure principaux. + +\item[13.] On considère la surface +\begin{align*} +x &= \frac{1}{2} \int (1 - u^{2})\, f(u)\, du + + \frac{1}{2} \int (1 - v^{2})\, \phi(v)\, dv, \\ +y &= \frac{1}{2} \int (1 + u^{2})\, f(u)\, du + - \frac{1}{2} \int (1 + v^{2})\, \phi(v)\, dv, \\ +z &= \int uf(u)\, du + \int v \phi(v)\, dv. +\end{align*} +Calculer les rayons de courbures principaux et les coordonnées +des centres de courbures principaux. Former l'équation +différentielle des lignes de courbure et des lignes asymptotiques. +\DPchg{Etudier}{Étudier} les lignes de courbure en prenant +\[ +f(u) = \frac{2m^{2}}{(m^{2} + u^{2})^{2}},\qquad +\phi(v) = \frac{2m^{2}}{(m^{2} + v^{2})^{2}}, +\] +et en introduisant de nouvelles coordonnées par les formules +\[ +u = m \tg \frac{\lambda + i \mu}{2},\qquad +v = m \tg \frac{\lambda - i \mu}{2}. +\] + +\item[14.] Soient, en coordonnées rectangulaires, les équations +\begin{align*} +x &= \frac{1}{2} e^{u} \cos(v - \alpha) + \frac{1}{2} e^{-u} \cos(v + \alpha),\\ +y &= \frac{1}{2} e^{u} \sin(v - \alpha) + \frac{1}{2} e^{-u} \sin(v + \alpha),\\ +z &= u \cos\alpha + v \sin\alpha. +\end{align*} + +\Primo. Pour chaque valeur de $\alpha$, ces formules définissent une +surface $S_{\alpha}$. Indiquer un mode de génération de cette surface. +Que sent en particulier $S_{0}$ et $S_{\frac{\pi}{2}}$? + +\Secundo. On considère deux de ces surfaces $S_{\alpha}$~et~$S_{\beta}$, et on les fait +correspondre point par point de manière que les plans tangents +aux points correspondants soient parallèles. Démontrer que les +tangentes à deux courbes correspondantes, menées en deux +points homologues, font un angle constant. + +\Tertio. Chercher les lignes de courbure et les lignes asymptotiques +de~$S_{\alpha}$ et trouver une propriété géométrique des courbes +auxquelles elles correspondent sur~$S_{\beta}$, dans la transformation +précédente. Qu'arrive-t-il pour $\alpha = \frac{\pi}{2}$? + +\item[15.] Chercher les surfaces dont les lignes de courbure d'un système +sont les courbes de contact des cônes circonscrits ayant +leurs sommets sur~$Oz$. Quelles sont les autres lignes de courbure? + +\item[16.] \DPchg{Etudier}{Étudier} les surfaces dont les lignes de courbure d'un système +sont situées sur des sphères concentriques. Que peut-on dire +des lignes de courbure de l'autre système? + +\item[17.] Si les courbes coordonnées $u = \const.$, $v = \const.$ sur une +surface~$S$ sont les lignes asymptotiques de cette surface, et +si $l, m, n$ sont les cosinus directeurs de la normale à~$S$, en un +point quelconque de~$S$, montrer qu'il existe une fonction~$\theta$ +telle que l'on ait +\begin{alignat*}{5} +dx &= \theta \Biggl[ + && m &&\left(\frac{\dd n}{\dd u}\, du - \frac{\dd n}{\dd v}\, dv\right) + &&-n &&\left(\frac{\dd m}{\dd u}\, du - \frac{\dd m}{\dd v}\, dv\right) + \Biggr], \\ +dy &= \theta \Biggl[ + && n &&\left(\frac{\dd l}{\dd u}\, du - \frac{\dd l}{\dd v}\, dv\right) + &&-l &&\left(\frac{\dd n}{\dd u}\, du - \frac{\dd n}{\dd v}\, dv\right) + \Biggr], \\ +dz &= \theta \Biggl[ + && l &&\left(\frac{\dd m}{\dd u}\, du - \frac{\dd m}{\dd v}\, dv\right) + &&-m &&\left(\frac{\dd l}{\dd u}\, du - \frac{\dd l}{\dd v}\, dv\right) + \Biggr]. +\end{alignat*} +Calculer, en partant de ces formules, le~$ds^2$ de la surface, +l'équation des lignes de courbure, l'équation aux rayons de +courbure principaux. Calculer la torsion des lignes asymptotiques, +et montrer qu'elle s'exprime au moyen des rayons de +courbure principaux seulement. +\end{Exercises} +%% -----File: 069.png---Folio 61------- + + +\Chapitre{IV}{Les Six Invariants --- La Courbure Totale.} + + +\Section{Les six \DPtypo{Invariants}{invariants}.} +{1.}{} Dans l'étude des courbes tracées sur une surface~$(S)$ +ne sont intervenus que les coefficients des deux formes quadratiques +fondamentales: +\begin{align*} +\Phi (du, dv) &= ds^{2} = E\, du^{2} + 2F · du · dv + G\, dv^{2}, \\ +\Psi (du, dv) &= \sum A · d^{2}x = E'\, du^{2} + 2F'du · dv + G'\, dv^{2}, +\end{align*} +et les différentielles de $u, v$, considérées comme les fonctions +d'une variable indépendante~$t$ qui correspondent à chaque courbe +particulière considérée. + +Si l'on déplace la surface~$(S)$ dans l'espace, sans la déformer, +et sans changer les coordonnées superficielles $u, v$ employées, +ces formes quadratiques demeureront les mêmes, de +sorte que \emph{leurs six coefficients} $E, F, G$, $E', F', G'$ \emph{sont six invariants +différentiels, pour le groupe des mouvements dans l'espace}\Add{.} + +Cela résulte, pour la forme $ds^{2} = \Phi (du, dv)$, de ce qu'elle +représente le carré de la différentielle d'un arc qui reste +le même dans les conditions énoncées. + +Dès lors $H = \sqrt{EG - F^{2}}$ est un invariant, et la formule +\[ +\Psi(du, dv) = H · \Phi(du, dv) · \frac{\cos\theta}{R}, +\] +dont tous les facteurs du second membre sont invariants, montre +que $\Psi$~possède aussi la propriété d'invariance. + +Il n'y a du reste aucune difficulté à vérifier, par un +calcul direct, l'invariance des six coefficients sur les formules +%% -----File: 070.png---Folio 62------- +qui les définissent: +\begin{alignat*}{3} +\Tag{(1)} +\sum \left(\frac{\dd x}{\dd u} \right)^{2} &= E,\qquad +&\sum \frac{\dd x}{\dd u}\, \frac{\dd x}{\dd v} &= F,\qquad +&\sum \left(\frac{\dd x}{\dd v} \right)^{2} &= G, \\ +\Tag{(2)} +\sum A\, \frac{\dd^{2} x}{\dd u^{2}} &= E',\qquad +&\sum A\, \frac{\dd^{2} x}{\dd u\, \dd v} &= F',\qquad +&\sum A\, \frac{\dd^{2} x}{\dd v^{2}} &= G', +\end{alignat*} +\DPtypo{où}{ou} l'on se rappelle que $A, B, C$ sont les trois déterminants +fonctionnels +\[ +A = \frac{D(y, z)}{D(u, v)}, \quad +B = \frac{D(z, x)}{D(u, v)}, \quad +C = \frac{D(x, y)}{D(u, v)}. +\] +Rappelons enfin l'identité +\[ +H = \sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}} = \sqrt{EG - F^{2}} \Add{.} +\] + +\MarginNote{La forme de la +surface définie +par les six invariants.} +Supposons maintenant que $E, F, G$, $E', F', G'$ aient été calculés, +en fonction de $u, v$, pour une surface~$(S)$ particulière +\[ +\Tag{(3)} +x = f(u, v),\quad +y = g(u, v),\quad +z = h(u, v); +\] +et considérons les équations \Eq{(1)},~\Eq{(2)} comme un système d'équations +aux dérivées partielles, où $x, y, z$ sont les fonctions inconnues, +$u, v$ les variables indépendantes, et $E, F, G$, $E', F', G'$ des +fonctions données. En vertu de l'invariance que nous venons +d'expliquer, ce système \DPtypo{differentiel}{différentiel} admettra comme intégrales, +non seulement les fonctions~\Eq{(3)}, qui \DPtypo{definissent}{définissent}~$(S)$, +mais encore toutes les fonctions +\[ +\Tag{(4)} +\left\{%[** TN: Added brace] +\begin{alignedat}{4} +x &= x_{0} &&+ \alpha f &&+ \alpha' g &&+ \alpha'' h,\\ +y &= y_{0} &&+ \beta f &&+ \beta' g &&+ \beta'' h, \\ +z &= z_{0} &&+ \gamma f &&+ \gamma' g &&+ \gamma'' h, +\end{alignedat} +\right. +\] +qui \DPtypo{definissent}{définissent} les surfaces obtenues en déplaçant~$(S)$ de toutes +les manières possibles, lorsqu'on donne à $x_{0}, y_{0}, z_{0}$, toutes +les valeurs constantes possibles, et à $\alpha, \beta, \gamma$, $\alpha', \beta', \gamma'$, +$\alpha'', \beta'', \gamma''$ toutes les valeurs constantes compatibles avec les +conditions d'orthogonalité bien connues. +%% -----File: 071.png---Folio 63------- + +Cela donne donc des intégrales dépendant de six constantes +arbitraires. Nous prouverons que le système \Eq{(1)},~\Eq{(2)} n'en +a pas d'autres; ce que l'on pourra exprimer en disant que \emph{la +forme de la surface est entièrement définie par les six invariants +$E, F, G$, $E', F', G'$}. + +On démontre dans la théorie des équations aux dérivées +partielles que, dans tout système dont l'intégrale générale +ne dépend que de constantes arbitraires, toutes les dérivées +partielles d'un certain ordre peuvent s'exprimer en fonction +des variables indépendantes et dépendantes et des dérivées +d'ordre inférieur. Nous devons donc essayer de constater que +cela a lieu pour notre système; et commencer par différentier +les équations~\Eq{(1)}. Les résultats obtenus peuvent s'écrire: +\[%[** TN: Rearranged in pairs, added brace] +\Tag{(5)} +\left\{ +\begin{aligned} +&\sum \frac{\dd x}{\dd u} · \frac{\dd^{2}x}{\dd u^{2}} + = \frac{1}{2}\, \frac{\dd E}{\dd u}, +&&\sum \frac{\dd x}{\dd v}\Add{·} \frac{\dd^{2}x}{\dd u^{2}} + = \frac{\dd F}{\dd u} - \frac{1}{2}\, \frac{\dd E}{\dd v}, \\ +% +&\sum \frac{\dd x}{\dd u}\Add{·} \frac{\dd^{2}x}{\dd u\, \dd v} + = \frac{1}{2}\, \frac{\dd E}{\dd v}, +&&\sum \frac{\dd x}{\dd v}\Add{·} \frac{\dd^{2}x}{\dd u\, \dd v} + = \frac{1}{2}\, \frac{\dd G}{\dd u}, \\ +% +&\sum \frac{\dd x}{\dd u}\Add{·} \frac{\dd^{2}x}{\dd v^{2}} + = \frac{\dd F}{\dd v} - \frac{1}{2}\, \frac{\dd G}{\dd u}; +&&\DPtypo{}{\sum} \frac{\dd x}{\dd v} · \frac{\dd^{2}x}{\dd v^{2}} + = \frac{1}{2}\, \frac{\dd G}{\dd v}; +\end{aligned} +\right. +\] +et l'on voit qu'en associant ces équations aux équations~\Eq{(2)}, +on obtiendra effectivement les expressions de toutes les dérivées +du second ordre. + +Pour faciliter ce calcul, nous introduirons les cosinus +directeurs de la normale: +\[ +\Tag{(6)} +l = \frac{A}{H},\qquad +m = \frac{B}{H},\qquad +n = \frac{C}{H}; +\] +et nous substituerons à la forme $\sum A\, d^{2}x$ la forme +\[ +\Tag{(7)} +\sum l · d^{2}x + = \frac{1}{H} \sum A · d^{2}x + = L · du^{2} + 2 · M · du · dv + N · dv^{2} +\] +de sorte qu'on aura +\[ +\Tag{(8)} +L = \frac{E'}{H},\qquad +M = \frac{F'}{H},\qquad +N = \frac{G'}{H}; +\] +et que les équations~\Eq{(2)} seront remplacées par +%% -----File: 072.png---Folio 64------- +\[ +\Tag{(9)} +\sum l\, \frac{\dd^{2} x}{\dd u^{2}} = L,\qquad +\sum l\, \frac{\dd^{2} x}{\dd u\, \dd v} = M,\qquad +\sum l\, \frac{\dd^{2} x}{\dd v^{2}} = N. +\] +Cela fait, si on pose: +\begin{alignat*}{3} +\frac{\dd^{2} x}{\dd u^{2}} + &= L'\, \frac{\dd x}{\dd u} &&+ L''\, \frac{\dd x}{\dd v} &&+ L''' l, \\ +\frac{\dd^{2} y}{\dd u^{2}} + &= L'\, \frac{\dd y}{\dd u} &&+ L''\, \frac{\dd y}{\dd v} &&+ L''' m, \\ +\frac{\dd^{2} z}{\dd u^{2}} + &= L'\, \frac{\dd z}{\dd u} &&+ L''\, \frac{\dd z}{\dd v} &&+ L''' n, +\end{alignat*} +$L', L'', L'''$ étant des coefficients à déterminer, on aura pour +les calculer les conditions +\[ +\sum \frac{\dd x}{\dd u}\, \frac{\dd^{2} x}{\dd u^{2}} = E L' + F L'',\quad +\sum \frac{\dd x}{\dd v}\, \frac{\dd^{2} x}{\dd u^{2}} = F L' + G \DPtypo{L'}{L''},\quad +\sum l\, \DPtypo{\frac{dx}{du}}{\frac{\dd^2 u}{\dd x^2}} = L'''; +\] +d'où on conclut d'abord $L''' = L$; et ensuite, en se servant +des formules~\Eq{(5)}, des équations qui donneront $L'$~et~$L''$. + +En opérant de même pour les autres dérivées, on obtient +les résultats suivants +\[ +\Tag{(10)} +\left\{ +\begin{alignedat}{5} +\frac{\dd^{2} x}{\dd u^{2}} + &= L'\, &&\frac{\dd x}{\dd u} &&+ L''\, &&\frac{\dd x}{\dd v} &&+ L·l, \\ +\frac{\dd^{2} x}{\dd u\, \dd v} + &= M'\, &&\frac{\dd x}{\dd u} &&+ M''\, &&\frac{\dd x}{\dd v} &&+ M·l, \\ +\frac{\dd^{2} x}{\dd v^{2}} + &= N'\, &&\frac{\dd x}{\dd u} &&+ N''\, &&\frac{\dd x}{\dd v} &&+ N·l, +\end{alignedat} +\right. +\] +avec les équations auxiliaires: +\[ +\Tag{(11)} +\left\{ +\begin{alignedat}{4} +E L' &+ F L'' &&= \frac{1}{2}\, \frac{\dd E}{\dd u}, & +F L' &+ G L'' &&= \frac{\dd F}{\dd u} - \frac{1}{2}\, \frac{\dd E}{\dd v}, \\ +E M' &+ F M'' &&= \frac{1}{2}\, \frac{\dd E}{\dd v}, & +F M' &+ G M'' &&= \frac{\dd G}{\dd u}, \\ +E N' &+ F N'' &&= \frac{\dd F}{\dd v} - \frac{1}{2}\, \frac{\dd G}{\dd u}, +\quad & +F N' &+ G N'' &&= \frac{1}{2}\, \frac{\dd G}{\dd v}, +\end{alignedat} +\right. +\] +d'où on déduirait les valeurs des coefficients $L', L''$, $M', M''$, $N', +N''$. On remarquera qu'elles ne dépendent que des coefficients +$E, F, G$ de l'élément linéaire $ds^{2} = \Phi(du, dv)$, et des dérivées +premières de ces coefficients. +%% -----File: 073.png---Folio 65------- + +Enfin, les mêmes équations~\Eq{(10)} subsisteront pour les +autres coordonnées $y, z$; il n'y aura qu'à y laisser les mêmes +coefficients, et à y remplacer la lettre~$x$ par la lettre~$y$ ou +la lettre~$z$, en même temps qu'on changera~$l$ en~$m$ ou en~$n$. + +Nous concluons de là que si on \DPchg{connait}{connaît}, pour un système +de valeurs de $u, v$, les valeurs de $x, y, z$ et de leurs dérivées +premières, on pourra calculer les valeurs de leurs dérivées +secondes; et, par des différentiations nouvelles, celles +de toutes leurs dérivées d'ordre supérieur. Et par suite les +développements en séries de Taylor d'une intégrale quelconque +ne peuvent contenir d'autres arbitraires que les valeurs initiales +de +\[ +x,\ y,\ z,\quad +\frac{\dd x}{\dd u},\ +\frac{\dd x}{\dd v},\quad +\frac{\dd y}{\dd u},\ +\frac{\dd y}{\dd v},\quad +\frac{\dd z}{\dd u},\ +\frac{\dd z}{\dd v}; +\] +et encore celles-ci doivent être liées par les équations~\Eq{(1)}; +et, lorsque ces valeurs initiales sont données, l'intégrale +est entièrement déterminée. + +Donc, pour prouver que \Eq{(4)}~donne l'intégrale générale, il +reste seulement à montrer que \Eq{(4)}~peut satisfaire aux conditions +initiales énoncées. Or, si nous introduisons les cosinus +directeurs $l', m', n'$; $l'', m'', n''$ des tangentes $MU, MV$ aux deux +courbes coordonnées qui passent par un point quelconque~$M$ de +la surface, nous aurons +\begin{alignat*}{3} +\frac{\dd x}{\dd u} &= l' \sqrt{E},\qquad & +\frac{\dd y}{\dd u} &= m' \sqrt{E},\qquad & +\frac{\dd z}{\dd u} &= n' \sqrt{E}, \\ +\frac{\dd x}{\dd v} &= l'' \sqrt{G},\qquad & +\frac{\dd y}{\dd v} &= m'' \sqrt{G},\qquad & +\frac{\dd z}{\dd v} &= n'' \sqrt{G}; +\end{alignat*} +et les conditions~\Eq{(1)} se réduiront à +\[ +\sum l'{}^{2} = 1,\qquad +\sum l''{}^{2} = 1,\qquad +\sum l'l'' = \frac{F}{\sqrt{EG}} = \cos \omega, +\] +%% -----File: 074.png---Folio 66------- +$\omega$ étant l'angle $\DPchg{\widehat{UMV}}{(MU, MV)}$. + +Les conditions initiales signifient donc que l'on se donne +arbitrairement la position du point~$M$, et la direction des +tangentes $M U, M V$, sous la réserve que ces directions fassent +entre elles le même angle qu'elles font au point correspondant +de~$(S)$. Il y a donc bien une des positions de~$(S)$ qui satisfait +à ces conditions, et notre résultat se trouve définitivement +établi. + +\Paragraph{Remarque.} Le raisonnement précédent serait en défaut, +si les courbes coordonnées étaient les lignes minima (à cause +de $E = G = 0$). Mais il suffit de remarquer que si $\Phi$~et~$\Psi$\DPtypo{,}{} +sont connues, pour un système de coordonnées $u, v$, on en déduit +leurs expressions pour un autre système de coordonnées $u, v$, en +y effectuant directement le changement de variables correspondant. +Notre théorème est donc vrai pour tout système de coordonnées +superficielles, dès qu'il est vrai pour un seul. + + +\Section{Les \DPtypo{Conditions}{conditions} d'\DPtypo{Intégrabilité}{intégrabilité}.} +{2.}{} Les coefficients des formules~\Eq{(10)} satisfont à certaines +conditions, dites \emph{conditions d'intégrabilité} qu'on +obtient en écrivant que les dérivées du troisième ordre $\dfrac{\dd^{3} x}{\dd u^{2}\, \dd v}$, +$\dfrac{\dd^{3} x}{\dd u\, \dd v^{2}}$ ont la même valeur, qu'on les obtienne en différentiant +l'une ou l'autre des formules~\Eq{(10)}. + +Pour pouvoir calculer ces conditions, il est commode d'avoir +des formules qui donnent les dérivées des cosinus directeurs +$l, m, n$ de la normale. Ils sont définis par les équations +\[ +\sum l\, \frac{\dd x}{\dd u} = 0,\qquad +\sum l\, \frac{\dd x}{\dd v} = 0,\qquad +\sum l^{2} = 1, +\] +qui donnent, par différentiation: +%% -----File: 075.png---Folio 67------- +\[ +\Tag{(12)} +\begin{aligned} +&\sum \frac{\dd l}{\dd u}\, \frac{\dd x}{\dd u} + = - \sum l\, \frac{\dd^{2} x}{\dd u^{2}} = -L, && +\sum \frac{\dd l}{\dd v}\, \frac{\dd x}{\dd u} + = - \sum l\, \frac{\dd^{2} x}{\dd u\, \dd v} \rlap{${} = -M$,} \\ +&\sum \frac{\dd l}{\dd u}\, \frac{\dd x}{\dd v} + = - \sum l\, \frac{\dd^{2} x}{\dd u\, \dd v} = -M, && +\sum \frac{\dd l}{\dd v}\, \frac{\dd x}{\dd v} + = - \sum l\, \frac{\dd^{2} x}{\dd v^{2}} = -N\Add{,} \\ +&\sum \frac{\dd l}{\dd u}\, l = 0, && +\sum \frac{\dd l}{\dd v}\, \DPtypo{v}{l} = 0. +\end{aligned} +\] +Si donc on pose, en suivant la même méthode qu'au paragraphe +précédent, +\begin{align*} +\frac{\dd l}{\dd u} &= P'\, \frac{\dd x}{\dd u} + P''\, \frac{\dd x}{\dd v} + Pl, \\ +\frac{\dd \DPtypo{n}{m}}{\dd u} &= P'\, \frac{\dd y}{\dd u} + P''\, \frac{\dd y}{\dd v} + Pm, \\ +\frac{\dd n}{\dd \DPtypo{v}{u}} &= P'\, \frac{\dd z}{\dd u} + P''\, \frac{\dd \DPtypo{x}{z}}{\dd v} + Pn, +\end{align*} +on trouvera: +\[ +\sum \frac{\dd x}{\dd u}\, \frac{\dd l}{\dd u} = EP' + FP'',\quad +\sum \frac{\dd x}{\dd v}\, \frac{\dd l}{\dd u} = FP' + GP'',\quad +\sum l\, \frac{\dd l}{\dd u} = P; +\] +c'est-à-dire qu'on peut écrire, en tenant compte des formules~\Eq{(12)}, +\[ +\Tag{(13)} +\left\{ +\begin{aligned} +\frac{\dd l}{\dd u} &= P'\, \frac{\dd x}{\dd u} + P''\, \frac{\dd x}{\dd v}, +\quad\text{et de même:} \\ +\frac{\dd l}{\dd v} &= Q'\, \frac{\dd x}{\dd u} + Q''\, \frac{\dd x}{\dd v}, +\end{aligned} +\right. +\] +les coefficients $P', P'', Q', Q''$ étant définis par: +\[ +\Tag{(14)} +\left\{ +\begin{alignedat}{2} +EP' + FP'' &= -L,\qquad & FP' + GP'' &= -M, \\ +EQ' + FQ'' &= -M,\qquad & FQ' + GQ'' &= -N, +\end{alignedat} +\right. +\] +et qu'on aura les mêmes formules pour $m, n$ en changeant~$x$ en~$y$, +et en~$z$, respectivement. + +Nous achèverons le calcul, en supposant la surface rapportée +à ses lignes minima. Les calculs précédents se simplifient +alors beaucoup. Si nous appliquons directement les formules +trouvées, nous obtenons: +\begin{gather*}%[** TN: Rearranged] +E = 0,\qquad G = 0, \\ +L'' = 0,\quad L' = \frac{\dd \log F}{\dd u},\quad +M'' = 0,\quad M' = 0, \quad +N'' = \frac{\dd \log F}{\dd v}, \quad N' = 0; \\ +P'' = - \frac{L}{F},\quad P' = - \frac{M}{F},\qquad +Q'' = - \frac{M}{F},\quad Q' = - \frac{N}{F}; +\end{gather*} +%% -----File: 076.png---Folio 68------- +c'est-à-dire +\begin{align*} +\Tag{(15)} +&\left\{ +\begin{aligned} +\frac{\dd^{2} x}{\dd u^{2}} + &= \frac{\dd \log F}{\dd u} · \frac{\dd x}{\dd u} + L · l, \\ +\frac{\dd^{2} x}{\dd u\, \dd v} + &= M · l, \\ +\frac{\dd^{2} x}{\dd v\DPtypo{}{^{2}}} + &= \frac{\dd \log F}{\dd v} · \frac{\dd x}{\dd v} + N · l, +\end{aligned} +\right. \\ +\Tag{(16)} +&\left\{ +\begin{aligned} +\frac{\dd l}{\dd u} + &= -\frac{1}{F} \left(M\, \frac{\dd x}{\dd u} + + L\, \frac{\dd x}{\dd v}\right), \\ +\frac{\dd l}{\dd v} + &= -\frac{1}{F} \left(N\, \frac{\dd x}{\dd u} + + M\, \frac{\dd x}{\dd v}\right). +\end{aligned} +\right. +\end{align*} +Alors, en différentiant la première équation~\Eq{(15)}, il vient: +\begin{align*} +\frac{\dd^{3} x}{\dd u^{2}\, dv} + &= \left(\frac{\dd^{2} \log F}{\dd u\, \dd v} - \frac{NL}{F} \right) + \frac{\dd x}{\dd u} + - \frac{LM}{F}\, \frac{\dd x}{\dd v} + + \left(\frac{\dd \log F}{\dd u}\, M + \frac{\dd L}{\dd v} \right)l, \\ +\intertext{en différentiant la deuxième équation~\Eq{(15)}, il vient} +\frac{\dd^{3} x}{\dd u^{2}\, \dd v} + &= \frac{-M^{2}}{F} · \frac{\dd x}{\dd u} - \frac{LM}{F}\, \frac{\dd x}{\dd v} + \frac{\dd M}{\dd u}\, l; +\end{align*} +et en égalant, on obtient: +\[ +\Tag{(17)} +\left( \frac{\dd^{2} \log F}{\dd u\, \dd v} - \frac{LN - M^{2}}{F} \right) \frac{\dd x}{\dd u} + + \left( \frac{\dd \log F}{\dd u}\, M + \frac{\dd L}{\dd v} - \frac{\dd M}{\dd u} \right) l = 0. +\] +C'est là une condition de la forme +\begin{alignat*}{3} +S'\, \frac{\dd x}{\dd u} &+ S''\, \frac{\dd x}{\dd v} &&+ Sl &&= 0, \\ +\intertext{et en reprenant le même calcul, pour $y$~et~$z$, on obtiendrait +les conditions analogues} +S'\, \frac{\dd y}{\dd u} &+ S''\, \frac{\dd y}{\dd v} &&+ Sm &&= 0, \\ +S'\, \frac{\dd z}{\dd u} &+ S''\, \frac{\dd z}{\dd v} &&+ Sn &&= 0. +\end{alignat*} +On en conclut qu'on a nécessairement $\DPtypo{S'}{S} = S' = S'' = 0$, c'est-à-dire +ici +\[ +\Tag{(18)} +\frac{\dd^{2} \log F}{\dd u\, \dd v} - \frac{LN - M^{2}}{F} = 0,\qquad +M\, \frac{\dd \log F}{\dd u} + \frac{\dd L}{\dd v} - \frac{\dd M}{\dd u} = 0; +\] +et cela est suffisant pour que~\Eq{(17)} ait lieu. + +En égalant de même les deux valeurs de $\dfrac{\dd^{3} x}{\dd u\, \dd v^{2}}$, on obtiendra +%% -----File: 077.png---Folio 69------- +les conditions qui se déduisent de~\Eq{(18)} en échangeant les +rôles des variables $u, v$; cela ne modifie que la seconde de ces +conditions. + +Les conditions d'intégrabilité cherchées sont donc: +\[ +\Tag{(19)} +\left\{ +\begin{aligned} +M\, \frac{\dd \log F}{\dd u} &= \frac{\dd M}{\dd u} - \frac{\dd L}{\dd v}\Add{,} \\ +\frac{\dd^{2} \log F}{\dd u\, \dd v} &= \frac{LN - M^{2}}{F}\Add{,} \\ +M\, \frac{\dd \log F}{\dd v} &= \frac{\dd M}{\dd v} - \frac{\dd N}{\dd u}\Add{,} +\end{aligned} +\right. +\] +et ce sont là, d'après la théorie des équations différentielles, +les seules conditions d'intégrabilité du système considéré. + + +\Section{Courbure totale.} +{3.}{} La \Ord{2}{e} des formules précédentes, due à Gauss +\[ +\frac{\dd^{2} \log F}{\dd u\, \dd v} = \frac{LN - M^2}{F} +\] +conduit à une conséquence importante. Reprenons en effet l'équation +aux rayons de courbure principaux qui est ici +\[ +H^{2}(LN - M^{2}) + 2SFHM - S^{2}F^{2} =0, +\] +où +\[ +S = \frac{H}{R}. +\] + +On peut l'écrire +\[ +LN - M^{2} + 2FM · \frac{1}{R} - \frac{F^{2}}{R^{2}} = 0, +\] +d'où +\[ +\frac{1}{R_{1}R_{2}} = - \frac{LN - M}{F}, +\] +c'est-à-dire +\[ +\frac{1}{R_{1}R_{2}} = - \frac{1}{F}\, \frac{\dd^{2} \log F}{\dd u\, \dd v}\Add{;} +\] +\emph{le produit des rayons de courbure principaux ne dépend que de +l'élément linéaire; il se conserve donc dans la déformation +des surfaces}. On donne à $\dfrac{1}{R_{1}R_{2}}$ le nom de \emph{\DPtypo{Courbure}{courbure} totale}. + +\Paragraph{Représentation sphérique.} De même que l'on a fait correspondre +%% -----File: 078.png---Folio 70------- +à une courbe son indicatrice sphérique, on peut imaginer +une correspondance entre une surface quelconque et la +sphère de rayon~$1$, l'homologue d'un point $(u\Add{,} v)$ de la surface +étant le point $(l, m, n)$. A une aire de la surface correspond une +aire sphérique. La considération de la limite du rapport de +ces aires lorsqu'elles deviennent infiniment petites dans toutes +leurs dimensions va nous conduire à une définition directe +de la courbure totale. + +L'aire sur la surface a pour expression +\[ +\Area = \iint \sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}\, du\, dv = \iint H\, du\, dv, +\] +Pour avoir l'aire homologue sur la sphère, il faut d'abord +calculer l'élément linéaire $dl^{2} + dm^{2} + dn^{2}$. D'après les formules~\Eq{(16)} +du \Numero~précédent, nous avons +\begin{align*} +dl &= \frac{\dd l}{\dd u}\, du + \frac{\dd l}{\dd v}\, dv + = - \frac{du}{F} \left(L\, \frac{\dd x}{\dd v} + M\, \frac{\dd x}{\dd u} \right) + - \frac{dv}{F} \left(N\, \frac{\dd x}{\dd u} + M\, \frac{\dd x}{\dd v} \right) \\ + &= -\frac{1}{F} + \left[L\, \frac{\dd x}{\DPtypo{d}{\dd v}}\, du + + M\, dx + N\, \frac{\dd x}{\dd u}\, dv \right]; +\end{align*} +d'où +\begin{gather*} +\sum dl^{2} = \frac{1}{F^{2}} \left[M^{2}·2F\, du\, dv + 2LMF·du^{2} + 2MNF·dv^{2} + 2LNF·du\, dv \right], \\ +\sum dl^{2} = \frac{2LM}{F}\, du^{2} + 2\, \frac{LN + M^2}{F}\, du\, dv + \frac{2MN}{F}\, dv^{2}. +\end{gather*} +Pour la sphère la fonction~$H$ sera donc +\[ +\sqrt{4\, \frac{LM^{2}N}{F^{2}} - \frac{(LN + M^{2})^{2}}{F^{2}}} + = \frac{LN - M^{2}}{iF} = \frac{LN - M^{2}}{H}, +\] +et l'aire sphérique a pour expression +\[ +\Area' = \iint \frac{LN - M^{2}}{H}\, du\, dv; +\] +ce qui peut s'écrire, en remarquant que +\begin{gather*}%[** TN: Set first two equations on a single line] +d\Area = H·du\, dv,\qquad +\Area' = \iint \frac{LN - M^{2}}{H^{2}} · d\Area + = \iint \frac{1}{R_{1} R_{2}}\, d\Area\Add{,} \\ +\intertext{donc} +d\Area' = \frac{1}{R_{1} R_{2}}\, d\Area; +\end{gather*} +%% -----File: 079.png---Folio 71------- +\emph{le rapport des aires homologues sur la surface et sur la sphère +a donc pour limite la courbure totale, lorsque ces aires +deviennent infiniment petites dans toutes leurs dimensions}. + + +\Section{Coordonnées orthogonales et isothermes.} +{4.}{} Pour éviter l'emploi des imaginaires dans les considérations +qui \DPtypo{précèdent}{précédent}, nous introduirons un nouveau système +de coordonnées curvilignes. La surface étant supposée réelle, +nous choisirons les coordonnées minima de façon que $u, v$ soient +imaginaires conjugués. Nous poserons donc +\[ +u = u' + iv',\qquad +v = u' - iv', +\] +$u'\Add{,} v'$ étant des quantités réelles. Nous en tirons +\[ +du = du' + i\, dv',\qquad +dv = du' - i\, dv', +\] +d'où +\[ +du\, dv = du'{}^{2} + dv'{}^{2}. +\] +L'élément linéaire prend la forme +\[ +ds^{2} = 2F·du\, dv = 2F (du'{}^{2} + dv'{}^{2}); +\] +les coordonnées $u'\Add{,} v'$ sont orthogonales; on leur donne le nom +de \emph{coordonnées orthogonales et isothermes}. On peut dire que +\emph{ces coordonnées divisent la surface en un réseau de carrés infiniment +petits}. Considérons en effet les courbes coordonnées +$u', u' + h, u' + 2h\Add{,} \dots$ et $v', v' + h, v'+ 2h\Add{,} \dots$; si on prend l'un +des quadrilatères curvilignes obtenus, ses \Card{4} angles sont droits, +ses côtés sont $\sqrt{2F}\Add{·}du'$~et~$\sqrt{2F}·dv'$, c'est-à-dire~$\sqrt{2F}·h$, aux +infiniment petits d'ordre supérieur près; ces arcs sont égaux. + +Avec ce système de coordonnées particulières, en désignant +%[** TN: Reworded to follow the typeset edition] +par $\overline{E}, \overline{F}, \overline{G}, \overline{H}$ les valeurs des fonctions \DPtypo{$\overline{E}, \overline{F}, \overline{G}, \overline{H}$}{analogues à $E, F, G, H$}, nous avons +\[%[** TN: Not displayed in manuscript, but displayed in typeset edition] +\overline{E} = 2F,\quad +\overline{G} = 2F,\quad +\overline{F} = 0,\quad +\overline{H}^{2} = \overline{E}\overline{G} - \overline{F}^{2} = 4 F^{2},\quad +\overline{H} = 2F, +\] +donc +\[ +ds^{2} = \overline{H} (du'{}^{2} + dv'{}^{2}). +\] +%% -----File: 080.png---Folio 72------- +Mais nous avons +\[ +\frac{\dd \Phi}{\dd u'} = \frac{\dd \Phi}{\dd u} + \frac{\dd \Phi}{\dd v},\qquad +\frac{\dd \Phi}{\dd v'} = i \left(\frac{\dd \Phi}{\dd u} - \frac{\dd \Phi}{\dd v} \right); +\] +d'où +\[ +\frac{\dd^{2} \Phi}{\dd u'{}^{2}} + = \frac{\dd^{2} \Phi}{\dd u^{2}} + + 2\, \frac{\dd^{2} \Phi}{\dd u\, \dd v} + + \frac{\dd^{2} \Phi}{\dd v^{2}},\qquad +\frac{\dd^{2} \Phi}{\dd v'{}^{2}} + = - \left[ \frac{\dd^{2} \Phi}{\dd u^{2}} + - 2\, \frac{\dd^{2} \Phi}{\dd u\, \dd v} + + \frac{\dd^{2} \Phi}{\dd v^{2}} \right], +\] +et +\[ +\frac{\dd^{2} \Phi}{\dd u'{}^{2}} + \frac{\dd^{2} \Phi}{\dd v'{}^{2}} + = 4\, \frac{\dd^{2} \Phi}{\dd u\, \dd v}\Add{,} +\] +\DPtypo{D'où}{d'où} par conséquent +\[ +4\, \frac{\dd^{2} \log F}{\dd u\, \dd v} + = \DPtypo{}{4\,}\frac{\dd^{2} \log \overline{H}}{\dd u\, \dd v} + = \frac{\dd^{2} \log \overline{H}}{\dd u'{}^{2}} + + \frac{\dd^{2} \log \overline{H}}{\dd v'{}^{2}}. +\] +En supprimant les accents, nous avons donc les formules suivantes, +en coordonnées orthogonales et isothermes: +\begin{gather*} +ds^{2} = H (du^{2} + dv^{2}), \\ +\frac{1}{R_{1} R_{2}} + = -\frac{1}{2H} \left( \frac{\dd^{2} \log H}{\dd u^{2}} + \frac{\dd^{2} \log H}{\dd v^{2}} \right). +\end{gather*} +Nous poserons encore +\[ +\sum l\, d^{2} x = L\, du^{2} + 2M\, du\, dv + N\, dv^{2}. +\] +L'équation aux rayons de courbure principaux sera +\[ +(LN -M^{2}) - \frac{H}{R} (L + N) + \frac{H^{2}}{R^{2}} = 0, +\] +et on aura +\[ +\frac{1}{R_{1}R_{2}} = \frac{LN - M^{2}}{H^{2}}. +\] + +Calculons la représentation sphérique. Posons +\begin{alignat*}{3} +l' &= \frac{1}{\sqrt{H}}\Add{·} \frac{\dd x}{\dd u},\qquad & +m' &= \frac{1}{\sqrt{H}} · \frac{\dd y}{\dd u},\qquad & +n' &= \frac{1}{\sqrt{H}} · \frac{\dd z}{\dd u}, \\ +l'' &= \frac{1}{\sqrt{H}}\Add{·} \frac{\dd x}{\dd v},\qquad & +m'' &= \frac{1}{\sqrt{H}} · \frac{\dd y}{\dd v},\qquad & +n'' &= \frac{1}{\sqrt{H}} · \frac{\dd z}{\dd v}. +\end{alignat*} +De la relation +\[ +\sum l^{2} = 1, +\] +nous tirons +\[ +\sum l · \frac{\dd l}{\dd u} = 0. +\] +Maintenant +\[ +L = \sum l\, \frac{\dd^{2} x}{\dd u^{2}} + = - \sum \frac{\dd l}{\dd u} · \frac{\dd x}{\dd u} + = - \sqrt{H} · \sum l'\, \frac{\dd l}{\dd u}; +\] +d'où +\[ +\sum l'\, \frac{\dd l}{\dd u} = - \frac{L}{\sqrt{H}}; +\] +de même +\[%[** TN: Set on two lines in original] +M = \sum l\, \frac{\dd^{2} x}{\dd u\, \dd v} + = - \sum \frac{\dd l}{\dd u} · \frac{\dd x}{\dd v} + = - \sqrt{H} \sum l''\, \frac{\dd l}{\dd u}, \qquad +\sum l''\, \frac{\dd l}{\dd u} = - \frac{M}{\sqrt{H}}. +\] +D'où \Card{3} équations en $\dfrac{\dd l}{\dd u}, \dfrac{\dd m}{\dd u}, \dfrac{\dd n}{\dd u}$. Multiplions respectivement par +%% -----File: 081.png---Folio 73------- +$l'\Add{,} l''\Add{,} l'''$ et ajoutons, il vient +\begin{align*} +\frac{\dd l}{\dd u} + &= - \frac{L}{H} · \frac{\dd x}{\dd u} + - \frac{M}{H} · \frac{\dd x}{\dd v}; \\ +\intertext{de même:} +\frac{\dd m}{\dd u} + &= - \frac{L}{H} · \frac{\dd y}{\dd u} + - \frac{M}{H}\Add{·} \frac{\dd y}{\dd v}, \\ +\frac{\dd n}{\dd u} + &= - \frac{L}{H}\Add{·} \frac{\dd z}{\dd u} + - \frac{M}{H} · \frac{\dd z}{\dd v}. +\end{align*} +On obtiendra de même +\begin{align*} +\frac{\dd l}{\dd v} + &= - \frac{1}{H} \left(M\, \frac{\dd x}{\dd u} + + N\, \frac{\dd x}{\dd v}\right), \\ +\frac{\dd m}{\dd v} + &= - \frac{1}{H} \left(M\, \frac{\dd y}{\dd u} + + N\, \frac{\dd y}{\dd v}\right), \\ +\frac{\dd n}{\dd v} + &= - \frac{1}{H} \left(M\, \frac{\dd z}{\dd u} + + N\, \frac{\dd z}{\dd v}\right). +\end{align*} +Alors, sur la sphère, les \Card{3} fonctions $E\Add{,} F\Add{,} G$ seront +\begin{alignat*}{2} +\scrE &= \sum \left(\frac{\dd l}{\dd u}\right)^{2}\!\! + &&= \frac{1}{H^{2}} \sum \left(L\, \frac{\dd x}{\dd u} + + M\, \frac{\dd x}{\dd v}\right)^{2} + = \frac{L^{2} + M^{2}}{H}, \\ +% +\scrF &= \sum \frac{\dd l}{\dd u} · \frac{\dd l}{\dd v} + &&= \frac{1}{H^{2}} + \sum \left(L\, \frac{\dd x}{\dd u} + M\, \frac{\dd x}{\dd v}\right) + \!·\! \left(M\, \frac{\dd x}{\dd u} + N\, \frac{\dd x}{\dd v}\right) + = \frac{M (L + N)}{H}, \\ +% +\scrG &= \sum \left(\frac{\dd l}{\dd v}\right)^{2}\!\! + &&= \frac{1}{H^{2}} \sum \left(M\, \frac{\dd x}{\dd u} + + N\, \frac{\dd x}{\dd v}\right)^{2} + = \frac{M^{2} + N^{2}}{H}; +\end{alignat*} +et +\[ +\scrH^{2} = \scrE\scrG - \scrF^{2} + = \frac{(L^{2} + M^{2}) (M^{2} + N^{2})- M^{2} (L + N)^{2}}{H^{2}} + = \left( \frac{LN - M^{2}}{H}\right)^{2}, +\] +et alors l'aire sur la sphère a pour expression +\[ +\Area' = \iint \frac{LN - M^{2}}{H}\, du\, dv. +\] +On retrouve la même expression que précédemment, et on arriverait +de même à la définition directe de la courbure totale. + +\Paragraph{Remarque.} Dans l'expression précédente, $\Area$ a un signe, +qui est celui de $LN - M^{2}$. Considérons le déterminant des cosinus +$l, m, n$; $l', m', n'$; $l'', m'', n''$: il est égal, à un facteur positif près +à +\[ +\begin{vmatrix} +l & m & n \\ +\mfrac{\dd l}{\dd u} & \mfrac{\dd m}{\dd u} & \mfrac{\dd n}{\dd u} \\ +\mfrac{\dd l}{\dd v} & \mfrac{\dd m}{\dd v} & \mfrac{\dd n}{\dd v} +\end{vmatrix} += \frac{LN - M^{2}}{H^{2}} +\begin{vmatrix} +l & m & n \\ +\mfrac{\dd x}{\dd u} & \mfrac{\dd y}{\dd u} & \mfrac{\dd z}{\dd u} \\ +\mfrac{\dd x}{\dd v} & \mfrac{\dd y}{\dd v} & \mfrac{\dd z}{\dd v} +\end{vmatrix}\Add{.} +\] +Il résulte de cette formule que, si $\Area\Area' > 0$, le point mobile $x\Add{,}y\Add{,}z$ +%% -----File: 082.png---Folio 74------- +décrivant le contour qui limite l'aire sur la surface dans le +sens direct le point $l, m, n$ décrira le contour qui limite l'aire +homologue sur la sphère aussi dans le sens direct. Si $\Err{\Area'}{\Area\Area'} < 0$, +les conclusions sont inverses. + + +\Section{Relations entre la courbure totale et la courbure géodésique.} +{5.}{} La courbure totale est un élément qui reste invariant +dans la déformation des surfaces. Cherchons s'il y a des relations +entre elle et les autres éléments invariants dans la +déformation. Considérons la courbure géodésique. En coordonnées +orthogonales et isothermes, son expression est +\[ +\llap{$\dfrac{1}{R_{g}} = $}\dfrac{1}{H\, ds^{3}} + \left[ H^{2} (du\, d^{2} v - dv\, d^{2} u) + - + \begin{vmatrix} + \phantom{-} \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd H}{\dd u}\, du^{2} + + \mfrac{\dd H}{\dd v}\, du\, dv + - \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd H}{\dd u}\, dv^{2} & H\, du \\ + - \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd H}{\dd v}\, du^{2} + + \mfrac{\dd H}{\dd u}\, du\, dv + + \mfrac{1}{2}\, \mfrac{\dd H}{\dd v}\, dv^{2} & H\, dv +\end{vmatrix} +\right], +\] +ou +\[ +\frac{1}{R_{g}} = \frac{1}{ds^{3}} \left[ + H (du\, d^{2} v - dv\, d^{2} u) + + \frac{1}{2} \left(\frac{\dd H}{\dd u}\, dv - \frac{\dd H}{\dd v}\, du\right) (du^{2} + dv^{2})\right]; +\] +mais on a +\[ +ds^{2} = (du^{2} + dv^{2})\, H, +\] +et la formule précédente s'écrit +\begin{align*} +\frac{ds}{R_{g}} + &= \frac{du\, d^{2} v - dv\, d^{2} u}{du^{2} + dv^{2}} + + \frac{1}{2}\, \frac{\dd \log H}{\dd u}\, dv - \frac{1}{2}\, \frac{\dd \log H}{\dd v}\, du; \\ +\intertext{ou encore} +\frac{ds}{R_{g}} + &= d \left(\arctg \frac{dv}{du}\right) + + \frac{1}{2}\, \frac{\dd \log H}{\dd u}\, dv - \frac{1}{2}\, \frac{\dd \log H}{\dd v}\, du. +\end{align*} +Imaginons alors dans le plan tangent les tangentes $MU, MV$ aux +courbes coordonnées dans le sens des $u, v$ croissants; considérons +la tangente à une courbe quelconque $MT$ de la surface, et +soit $(MU, MT) = \phi$. Nous avons +%[** TN: Set each of next two aligned pairs on a single line] +\[ +\Cos \phi = \sqrt{H} · \frac{du}{ds}, \qquad +\sin \phi = \sqrt{H}\Add{·} \frac{dv}{ds}; +\] +%% -----File: 083.png---Folio 75------- +d'où +\[ +\tg \phi = \frac{dv}{du}, \qquad +\phi = \arctg\DPtypo{.} \frac{dv}{du}; +\] +et la formule précédente devient +\[ +\frac{ds}{R_{g}} + = d \phi + + \frac{1}{2}\, \frac{\dd \log H}{\dd u}\, dv + - \frac{1}{2}\, \frac{\dd \log H}{\dd v}\, du. +\] +Prenons alors sur~$S$ un contour fermé et intégrons le long de +ce contour dans le sens direct +\[ +\int \frac{ds}{R_{g}} + = \int d \phi + + \frac{1}{2} \int \frac{\dd \log H}{\dd u}\, dv + - \frac{1}{2} \int \frac{\dd \log H}{\dd v}\, du. +\] +\Figure[2.75in]{083a} +Rappelons le \emph{Théorème de Green}. Dans le plan des $u, v$, le +point $(u\Add{,}v)$ décrit un contour fermé, aussi +dans le sens direct. Menons les tangentes +parallèles à l'axe des~$u$; soient $A\Add{,} B$~les +points de contact. Nous avons ainsi \Card{2} arcs +$AMB$~et~$ANB$, et si nous désignons par~$\DPtypo{C}{c}$ le +contour, nous avons +\[ +\int_c \frac{\dd f}{\dd u}\, dv + = \int_{AMB} \frac{\dd f}{\dd u}\, dv + + \int_{BNA} \frac{\dd f}{\dd u}\, dv\Add{.} +\] +Menons une parallèle à $OU$ qui coupe le contour en deux points +$M (u_{2})$~et~$N (u_{1})$\Add{.} + +Soient $a, b$ les valeurs de~$U$ qui correspondent aux deux points +$A, B$. Nous avons +\[ +\int_c \frac{\dd f}{\dd u}\, dv + = \int_a^b \left(\frac{\dd f}{\dd u}\right)_{u_{1}u_{2}} \kern -12pt \Err{dv\, dv}{d\gamma} + - \int_a^b \left(\frac{\dd f}{\dd u}\right)_{u_{1}u_{2}} \kern -12pt \Err{dv\, du}{d\gamma} + = \int_a^b \left[ + \left(\frac{\dd f}{\dd u}\right)_{2} + - \left(\frac{\dd f}{\dd u}\right)_{1}\right] dv. +\] +Mais +\[ +\left(\frac{\dd f}{\dd u}\right)_{2} - \left(\frac{\dd f}{\dd u}\right)_{1} + = \int_{u_{1}}^{u_{2}} \frac{\dd^{2} f}{\dd u^{2}} · du, +\] +et alors +\[ +\int_c \frac{\dd f}{\dd u} · dv + = \int_a^b dv \int_{u_{1}}^{u_{2}} \frac{\dd^{2} f}{\dd u^{2}} · du + = \iint \frac{\dd^{2} f}{\dd u^{2}}\, du\, dv, +\] +%% -----File: 084.png---Folio 76------- +l'intégrale double étant étendue à toute l'aire limitée par le +contour. Cette formule subsiste pour un contour simple quelconque. +De même +\[ +\int_c \frac{\dd f}{\dd v}\, du + = - \iint \frac{\dd^{2} f}{\dd v^{2}} · du\, dv\Add{.} +\] +Alors nous aurons +\[ +\int \frac{ds}{R_{g}} + = \int d \phi + + \frac{1}{2} \iint \left[\frac{\dd^{2} \log H}{\dd u^{2}} + + \frac{\dd^{2} \log H}{\dd v^{2}}\right] du\, dv, +\] +ou +\[ +\int \frac{ds}{R_{g}} + = \int d \phi - \iint \frac{H}{R_{1} R_{2}} · du\, dv + = \int d \phi - \iint \frac{d\Area}{R_{1} R_{2}}, +\] +d'où la \emph{formule d'Ossian Bonnet} +\[ +\Area' = \iint \frac{d\Area}{R_{1} R_{2}} + = \int d \phi - \int \frac{ds}{R_{g}}. +\] + +\Paragraph{Remarque.} L'angle~$\phi$ est l'angle de~$MU$ avec la tangente +à la courbe. Supposons qu'en chaque point de la surface on +détermine une direction~$MO$, dont les cosinus directeurs sont +des fonctions bien déterminées de~$u\Add{,}v$. Soit $\psi = (MO, MU)$ et +$\psi' = (MO, MT)$. + +Nous avons +\[ +\phi' = \psi + \phi, +\] +d'où +\[ +d \phi' = d \psi + d \phi. +\] +Intégrons le long d'un contour fermé quelconque +\[ +\int d \phi' = \int d \psi + \int d \phi; +\] +or\Add{,} $\psi$~est une fonction de~$u\Add{,}v$, et le long d'un contour fermé, +on a +\[ +\int d \psi (u, v) = 0; +\] +donc +\[ +\int d \phi' = \int d \phi, +\] +et l'on peut substituer à l'angle~$\phi$ l'angle~$\phi'$ précédemment +défini. +%% -----File: 085.png---Folio 77------- + + +\Section{Triangles géodésiques.}{}{} +Nous appellerons \emph{triangle géodésique} la figure formée par +\Card{3} lignes géodésiques. Le long de chacun des côtés on a +\[ +\int \frac{ds}{R_{g}} = \int \frac{\sin \theta}{R}\, ds = 0, +\] +et la formule d'O.~Bonnet nous donne +\[ +\Area' = \int d \phi, +\] +c'est-à-dire +\[ +\Area' = \int_{AB} d \phi + \int_{BC} d \phi + \int_{CA} d \phi. +\] + +Les coordonnées +orthogonales et isothermes +constituent +une représentation +conforme de la surface +\Figure[5in]{085a} +sur le plan des~$u\Add{,}v$. Considérons donc sur ce plan la représentation~$a\Add{,} b\Add{,} c$ du triangle~$ABC$. Menons aux extrémités $a, b, c$ les +tangentes aux côtés dans le sens direct: Soient $T_{1}, T_{2}, T_{3}$, $T'_{1}, +T'_{2}, T'_{3}$ ces tangentes. Si par un point du plan nous menons des +parallèles à ces tangentes, nous aurons +\[ +\int_{AB} d \phi = (T'_{1}, T_{2}),\qquad +\int_{BC} d \phi = (T'_{2}, T_{3}),\qquad +\int_{CA} d \phi = (T'_{3}, T_{1}); +\] +or\Add{,} si nous appelons $a, b, c$ les \Card{3} angles du triangle géodésique, +nous avons +\begin{multline*}%[** TN: Re-breaking] +(T'_{1}, T_{2}) + (T'_{2}, T_{3}) + (T'_{3}, T_{1}) \\ +\begin{aligned} + &= - \bigl[(T_{1}, T'_{1}) + (T_{2}, T'_{2}) + (T_{3}, T'_{3})\bigr] + + \bigl[(T_{1}, T_{2}) + (T_{2}, T_{3}) + (T_{3}, T_{1})\bigr] \\ + &= 2 \pi - \bigl[(\pi - a) + (\pi - b) + (\pi - c)\DPtypo{}{\bigr]} + = a + b + c - \pi, +\end{aligned} +\end{multline*} +d'où la \emph{formule de Gauss} +\[ +a + b + c - \pi = \Area'. +\] +Si en particulier la surface est la sphère de rayon~$1$, on a +%% -----File: 086.png---Folio 78------- +la formule qui donne l'aire d'un triangle sphérique. + +\Section{Nouvelle expression de la courbure géodésique.}{}{}% +Considérons un arc de courbe~$AB$; menons en $AB$ les géodésiques +tangentes à cette courbe, qui se +coupent en~$C$ sous un angle~$\epsilon$ que nous appellerons +\emph{angle de contingence géodésique}. +Le long du contour de ce triangle on a +\[ +\int d \phi = - \epsilon, +\] +et la formule d'O.~Bonnet nous donne +\[ +- \epsilon - \int_{AB} \frac{ds}{R_{g}} = \iint d\Area'. +\] +Supposons que $A$~corresponde au paramètre~$t$, $B$~à~$t + \Delta t$, et que +$\Delta t$ tende vers~$0$; soit $\Delta s$~l'arc~$AB$. Nous avons +\[ +-\frac{\epsilon}{\Delta s} - \frac{1}{\Delta s} \int_{AB} \frac{ds }{R_{g}} + = \frac{1}{\Delta s} \iint d\Area'. +\] +Soit $\left(\dfrac{1}{R_{g}}\right)_{m}$ la valeur moyenne de la courbure géodésique sur l'arc~$AB$; +nous avons, +\[ +\frac{1}{\Delta s} \int_{AB} \frac{ds}{R_{g}} + = \left(\frac{1}{R_{g}}\right)_{m}, +\] +et par suite +\[ +-\frac{\epsilon}{\Delta s} - \left(\frac{1}{R_{g}}\right)_{m} + = \frac{1}{\Delta s} \iint dA'\Add{.} +\] +\begin{figure}[hbt] +\centering +\Input[1.75in]{086a}\hfil\hfil +\Input[2.25in]{086b} +\end{figure} +Si $\Delta s$ tend vers~$0$, $\left(\dfrac{1}{R_{g}}\right)_{m}$ a pour limite la courbure géodésique +au point~$A$. Je dis que le \Ord{2}{e} membre a pour limite~$0$; il suffit +de montrer que $\ds\iint d\Area'$ est infiniment petit +du \Ord{2}{e} ordre au moins. Considérons la représentation +$a, b, c$ du triangle~$ABC$ sur le +plan~$U\Add{,}V$. + +Nous avons +%% -----File: 087.png---Folio 79------- +\[ +\iint d\Area' = \iint \psi(u, v)\, du\, dv + = \bigl[\psi (u, v)\bigr]_{m} \iint du\, dv +\] +et au signe près $\ds\iint du\, dv$ est égale à l'intégrale curviligne $\ds\int v\, du$. +Soient $v_{2}\Add{,} v_{1}$ les fonctions~$v$ sur les arcs $bc$~et~$bk$. La partie de +$\smash{\ds\int v\, du}$ donnée par ces arcs est $\ds\int_{u_{0}}^{u'} (v_{2} - v_{1})\, du$. Or\Add{,} les courbes $ab$~et~$bc$ +étant tangentes en~$b$, $v_{2} - v_{1}$ est infiniment petit du \Ord{2}{e} ordre au +moins par rapport à $u'- u$ et \textit{à~fortiori} par rapport à $(u'- u_{0})$. +L'intégrale $\ds\int_{u_{0}}^{u'} (v_2 - v_1)\, du$, qui est égale au produit de $(u' - u_{0})$ par +la valeur moyenne de $(v_{2} - v_{1})$ sera donc du troisième ordre au moins +par rapport à $(u'- u_{0})$, et, par suite, par rapport à~$\Delta s$. Le même +raisonnement s'appliquant aux autres arcs $ac$~et~$ak$, on voit que +$\ds\iint d\Area'$ est du troisième ordre au moins. + + +\ExSection{IV} + +\begin{Exercises} +\item[18.] \DPchg{Etablir}{Établir} les conditions d'intégrabilité qui lient les invariants +fondamentaux, en supposant la surface rapportée à ses +lignes de courbure. + +\item[19.] Même question, en supposant la surface \DPtypo{rapportee}{rapportée} à une famille +de géodésiques et à leurs trajectoires orthogonales. Exprimer, +en fonction de la quantité~$H$, la courbure totale, et la forme +différentielle~$\dfrac{ds}{R_{g}} - d\phi$ (voir \hyperref[exercice11]{exercice~11}); et retrouver ainsi +la formule d'Ossian Bonnet. + +\item[20.] En supposant les coordonnées quelconques, trouver celle des +conditions d'intégrabilité qui donne l'expression de la courbure +totale. +\end{Exercises} +%% -----File: 088.png---Folio 80------- + + +\Chapitre{V}{Surfaces Réglées.} + +\Section{Surfaces développables.} +{1.}{} Pour définir la variation de la droite qui engendre +la surface réglée, nous nous donnerons la trajectoire d'un +point~$M$ de cette droite, et la direction de cette droite pour +\Figure{088a} +chaque position du point~$M$. Les coordonnées +d'un point de la surface sont ainsi exprimées +en fonction de deux paramètres, l'un +définissant la position du point~$M$ sur sa +trajectoire~$(K)$, l'autre définissant la position +du point~$P$ considéré sur la droite~$D$. Soit +\[ +x = f(v),\qquad y = g(v),\qquad z = h(v), +\] +la courbe~$K$. Soient $l(v), m(v), n(v)$ les coefficients de direction +de la génératrice, et $u$~le rapport du segment~$MP$ au +segment de direction de la génératrice. Les coordonnées de~$P$ +sont +\[ +\Tag{(1)} +x = f(v) + u·l(v),\qquad +y = g(v) + u·m(v),\qquad +z = h(v) + u·n(v). +\] + +Cherchons la condition pour que la surface définie par +les équations précédentes soit développable. Si nous exceptons +les cas du cylindre et du cône, la condition nécessaire et +suffisante est que les génératrices soient tangentes à une même +courbe gauche. On peut donc trouver sur la génératrice~$G$ un +point~$P$ tel que sa trajectoire soit constamment tangente à~$G$; +on doit donc avoir, en appelant $x, y, z$ les coordonnées de ce +point +\[ +\frac{dx}{l} = \frac{dy}{m} = \frac{dz}{n} = d \rho; +\] +%% -----File: 089.png---Folio 81------- +d'où +\[ +\Tag{(2)} +dx = l\, d \rho,\qquad +dy = m\, d \rho,\qquad +dz = n\, d \rho, +\] +Mais les équations~\Eq{(1)} donnent +\[ +dx = df + u\, dl + l\, du,\quad +dy = dg + u\, dm + m\, du,\quad +dz = dh + u\, dn + n\, du +\] +et les équations~\Eq{(2)} s'écrivent +\begin{alignat*}{5} +&df &&+ u\, dl &&+ l\,&&(du - d \rho) &&= 0, \\ +&dg &&+ u\, dm &&+ m\,&&(du - d \rho) &&= 0, \\ +&dh &&+ u\, dn &&+ n\,&&(du - d \rho) &&= 0; +\end{alignat*} +ou, en posant +\begin{gather*}%[** TN: Set second group on separate lines, added brace] +\Tag{(3)} +d \sigma = du - d \rho, \\ +\Tag{(4)} +\left\{ +\begin{alignedat}{4} +&df &&+ u\, dl &&+ l\, &&d \sigma = 0, \\ +&dg &&+ u\, dm &&+ m\, &&d \sigma = 0, \\ +&dh &&+ u\, dn &&+ n\, &&d \sigma = 0, +\end{alignedat} +\right. +\end{gather*} +$d \sigma$~et~$u$ doivent satisfaire à ces \Card{3} équations linéaires; donc +on doit avoir +\[ +\Tag{(5)} +\begin{vmatrix} +df & dl & l \\ +dg & dm & m \\ +dh & dn & n +\end{vmatrix} += 0\Add{.} +\] + +Si les \Card{3} déterminants déduits du tableau +\[ +\begin{Vmatrix} +dl & dm & dn \\ +l & m & n +\end{Vmatrix} +\] +ne sont pas tous nuls, la condition~\Eq{(5)} est suffisante. Si ces +\Card{3} déterminants sont nuls, on a +\[ +\frac{dl}{l} = \frac{dm}{m} = \frac{dn}{n}\Add{,} +\] +et l'intégration de ces équations nous montre que $l, m, n$ sont +proportionnels à des quantités fixes; la surface est alors un +cylindre. En écartant ce cas, la condition~\Eq{(5)} est nécessaire +et suffisante. + +\Paragraph{Remarque \1.} Pour que le point~$P$ décrive effectivement +une courbe, il faut que $dx, dy, dz$, et par suite~$d\rho$, ne soient +%% -----File: 090.png---Folio 82------- +pas identiquement \DPtypo{nu}{nul}. Si on avait $d \rho = 0$, toutes les génératrices +passeraient par un point fixe, la surface serait un +cône. La condition~\Eq{(5)} s'applique donc au cas du cône. + +\Paragraph{Remarque \2.} On emploie souvent les équations de la génératrice +sous la forme +\[ +x = Mz + P,\qquad +y = Nz + Q, +\] +$M, N, P, Q$, étant fonctions d'un paramètre arbitraire. C'est un +cas particulier de la représentation générale~\Eq{(1)} dans laquelle +on fait $h(v) = 0$ et $n(v) = 1$; alors $z = u$, et on peut écrire +\[ +\Tag{(6)} +x = f(v) + z·l(v)\Add{,}\qquad +y = g(v) + z·m(v)\Add{,} +\] +les coefficients de direction sont $l, m, 1$. La courbe~$(K)$ est +alors la section par le plan $z = 0$; dans ce cas la condition +\Eq{(5)}~prend la forme simple +\[ +\Tag{(7)} +\begin{vmatrix} +df & dl \\ +dg & dm +\end{vmatrix} = 0,\quad\text{c'est-à-dire}\quad +\begin{vmatrix} +dM & dP \\ +dN & dQ +\end{vmatrix} = 0. +\] + + +\Section{Propriétés des développables\Add{.}}{}{}% +Revenons au cas général; supposons que $l, m, n$ soient les +cosinus directeurs de la génératrice; on a +\[ +l^{2} + m^{2} + n^{2} = 1, +\] +d'où +\[ +l\, dl + m\, dm + n\, dn = 0. +\] +Multiplions alors les équations~\Eq{(4)} respectivement par $dl, dm, +dn$, et ajoutons, il vient +\[ +u = - \frac{\sum dl\, df}{\sum dl^{2}}. +\] +Supposons en outre que $MG$ soit normale à la courbe~$(K)$. Il +est toujours possible de trouver sur une surface réglée des +trajectoires orthogonales des génératrices. Il suffit que +%% -----File: 091.png---Folio 83------- +l'on ait +\[ +\sum l\, dx =0, +\] +ou +\[ +\sum l\, df + u \sum l\, dl + \sum l^{2}\, du =0; +\] +ou, comme ici $\sum l^{2} = 1$, $\sum l\,dl = 0$\Add{,} +\[ +\sum l\, df + du = 0; +\] +la détermination des trajectoires orthogonales se fait donc +au moyen d'une quadrature. Si donc nous supposons $(K)$~normale +à la génératrice, nous avons +\[ +\sum l\, df = 0. +\] +Multiplions alors les équations~\Eq{(4)} respectivement par $l, m, n$ +et ajoutons, il vient $d\sigma = 0$, d'où $d \rho = du$, et les équations~\Eq{(2)} +deviennent +\[ +\Tag{(3')} +dx = l\, du,\qquad dy = m\, du,\qquad dz = n\, du. +\] +\DPtypo{mais}{Mais}, $l, m, n$ étant les cosinus directeurs de la tangente à +l'arête de rebroussement~$(R)$, $u$~représente l'arc de cette +courbe compté dans le sens positif choisi sur la génératrice +à partir d'une origine arbitraire~$I$; et comme $u$~représente +aussi la longueur~$MP$, on a +\[ +d·MP = d·(\arc IP); +\] +d'où +\[ +MP = \arc IP + \cte[]. +\] +On peut toujours choisir l'origine des arcs telle que la constante +soit nulle. Alors $MP = \arc IP$. La courbe~$(K)$ est une +développante de la courbe~$(R)$. \emph{Sur une surface développable, +les trajectoires orthogonales des génératrices sont des développantes +de l'arête de rebroussement.} + +Les formules~\Eq{(4)} donnent alors +%% -----File: 092.png---Folio 84------- +\[ +\Tag{(4')} +df + u\, dl = 0,\qquad dg + u\, dm = 0,\qquad dh + u\, dn = 0. +\] + +\Section{Développées des courbes gauches.} +{2.}{} Supposons qu'on se donne la courbe~$(K)$, et cherchons +à mener à cette courbe une normale en chacun de ses points +de façon à obtenir une surface développable. Nous prendrons +pour variable~$v$ l'arc~$s$ de la courbe~$(K)$. Considérons le trièdre +de Serret au point~$M$ de la courbe. Soit $MG$ la normale +%[** Original diagram uses \alpha, \beta, \gamma; changed to match text] +\Figure{092a} +cherchée; elle est dans le plan normal à +la courbe, pour la définir, il suffira +donc de se donner l'angle $(MN, MG) = \chi$. Le +point à l'unité de distance sur~$MG$ a pour +coordonnées par rapport au trièdre de Serret +$0, \cos \chi, \sin \chi$; si donc $l, m, n$ sont les cosinus directeurs +de~$MG$, nous avons +\begin{align*}%[** TN: Set on one line in original] +l &= a' \cos \chi + a'' \sin \chi, \\ +m &= b' \cos \chi + b'' \sin \chi, \\ +n &= c' \cos \chi + c'' \sin \chi. +\end{align*} +Or\Add{,} $v$~étant l'arc de la courbe~$(K)$, on a +\[ +df = a\, dv,\qquad dg = b\, dv,\qquad dh = c\, dv; +\] +les formules~\Eq{(4')} donnent +\[ +a\, dv + u\left[(-a'\sin \chi + a''\cos \chi)\, d \chi + - \cos \chi \left(\frac{a}{R} + \frac{a''}{T}\right) dv + + \sin \chi\, \frac{a'}{T}\, dv\right] = 0; +\] +ou +\[ +a \left(1 - \frac{u \cos \chi}{R}\right) + + a' u \sin \chi \left(-\frac{\DPtypo{dx}{d\chi}}{dv} + \frac{1}{T}\right) + + a''u \cos \chi \left( \frac{\DPtypo{dx}{d\chi}}{dv} - \frac{1}{T}\right) + = 0\Add{.} +\] +On a \Card{2} équations analogues avec $b, b', b''$ et $c, c', c''$; nous avons +ainsi \Card{3} équations linéaires et homogènes par rapport aux coefficients +de $a, a', a''$. Le déterminant est~$1$, donc les inconnues +sont toutes nulles; et comme $u$~n'est pas constamment nul, on a +%% -----File: 093.png---Folio 85------- +\[ +1 - \frac{u \cos \chi}{R} = 0,\qquad +\sin \chi \left( - \frac{d \chi}{dv} + \frac{1}{T}\right) = 0,\qquad +\cos \chi \left(\frac{d \chi}{dv} - \frac{1}{T}\right) = 0\Add{.} +\] +Les \Card{2} dernières donnent, en remplaçant $v$ par l'arc~$\DPtypo{S}{s}$ +\[ +\Tag{(1)} +\frac{d \chi}{ds} = \frac{1}{T}, +\] +et la \Ord[f]{1}{e} donne +\[ +\Tag{(2)} +u = \frac{R}{\cos \chi}\Add{.} +\] +Il y a donc une infinité de solutions: $\chi$~se détermine par une +quadrature. + +\Illustration[2.25in]{093a} +La formule~\Eq{(2)} nous montre que +\[ +R = u \cos \chi; +\] +donc la projection du point~$P$, où la normale~$MG$ +rencontre son enveloppe, sur la +normale principale, est le centre de courbure. +\emph{Le point de contact de la normale +avec son enveloppe est sur la droite polaire. +Les développées d'une courbe sont +sur la surface polaire.} + +Considérons \Card{2} solutions $\chi\Add{,} \chi'$ de l'équation~\Eq{(1)}, la différence +$\chi - \chi'$ est constante; les deux normales $MG, MG'$ se coupent +sous un angle constant. Donc, \emph{lorsque une normale à une courbe +décrit une surface développable, si on la fait tourner dans +chacune de ses positions d'un angle constant autour de la tangente, +la droite obtenue décrit encore une développable}. + +Le plan osculateur à une développée est le plan tangent +à la développable correspondante: c'est le plan~$GMT$, ce plan +est normal au plan~$BMC$, plan tangent à la surface polaire. +%% -----File: 094.png---Folio 86------- +\emph{Donc les développées sont des géodésiques de la surface polaire.} + +Considérons la normale principale~$P''$ en $P$ à la développée, +elle est dans le plan osculateur $GMT$, elle est perpendiculaire +à la tangente $MP$, donc parallèle à~$MT$. \emph{Les normales principales +aux développées d'une courbe sont parallèles aux tangentes à la +courbe. Le plan normal à la courbe est le plan rectifiant de +toutes ses développées.} + +En partant d'une courbe~$(G)$, et remarquant que la courbe +donnée~$(K)$ en est la développante, on pourra énoncer les propriétés +précédentes de façon à obtenir les propriétés des développantes +d'une courbe. + + +\Section{Lignes de courbure.} +{3.}{} Considérons sur une surface~$(S)$ une ligne de courbure~$(K)$, +et la développable circonscrite à~$(S)$ le long de~$(K)$. La +direction d'une génératrice $MG$ de cette développable est conjuguée +de la tangente~$MT$ à la ligne de courbure, et par conséquent +est perpendiculaire à~$MT$, c'est-à-dire normale à~$(K)$. Cette génératrice~$MG$ +est donc constamment tangente à la développée d'une +ligne de courbure, et nous voyons que \emph{les normales à une ligne +de courbure tangentes à la surface engendrent une développable}. + +\begin{wrapfigure}[10]{O}{2.25in} +\Input[2.25in]{094a} +\end{wrapfigure} +Faisons tourner $\DPtypo{MG'}{MG}$ d'un angle droit +autour de la tangente, nous obtenons une +droite~$MG'$ qui, étant perpendiculaire aux +\Card{2} tangentes à la surface $MT, MG$, sera la +normale à la surface. Donc \emph{les normales à +la surface en tous les points d'une ligne +%% -----File: 095.png---Folio 87------- +de courbure engendrent une développable}. + +Considérons le point~$P'$ où la droite $MG'$ touche son enveloppe; +c'est le point où la droite polaire de la ligne de +courbure rencontre la normale à la surface. Or, d'après le +Théorème de Meusnier, les droites polaires de toutes les courbes +de la surface tangentes en~$M$ rencontrent la normale en~$M$ +en un même point, qui est le centre de courbure de la section +normale correspondante: $P'$~est donc le centre de courbure de +la section principale $G'MT$, c'est l'un des centres de courbure +principaux de la surface au point~$M$. + +Reprenons alors les formules~\Eq{(4')} du §1, que nous écrirons +\[ +dx + u\, dl = 0,\quad dy + u\, dm = 0,\quad dz + u\, dn = 0; +\] +$l, m, n$ sont ici les cosinus directeurs de la normale, $u$~est le +rayon de courbure principal~$R$; et pour un déplacement sur une +ligne de courbure, nous avons les \emph{formules d'Olinde Rodrigues} +\[ +dx + R\, dl =0,\qquad dy + R\, dm = 0,\qquad dz + R\, dn = 0. +\] + +Les \emph{Théorèmes de Joachimsthal} se déduisent aisément de ce +qui précède. Supposons que l'intersection~$(K)$ de \Card{2} surfaces $(S)\Add{,} +(S_{1})$ soit une ligne de courbure pour chacune d'elles. Soient +$MG, MG_{1}$ les normales aux \Card{2} surfaces en un point~$M$ de~$(K)$. Elles +engendrent deux développables, donc enveloppent deux développées +de~$(K)$, et par suite leur angle est constant. \emph{Réciproquement}, +si l'intersection $(K)$ de $(S)\Add{,} (S_{1})$ est ligne de courbure +de~$(S_{1})$, et si l'angle des \Card{2} surfaces est constant tout +le long de~$(K)$, la normale $MG_{1}$\DPtypo{,}{} à~$(S_{1})$ engendre une développable, +et comme $\Err{MG}{MG_{1}}$~fait avec~$MG$ un angle constant, elle engendre +aussi une développable, donc $(K)$~est une ligne de courbure +sur~$(S)$. +%% -----File: 096.png---Folio 88------- + +La condition~\Eq{(5)} pour qu'une droite engendre une surface +développable est ici +\[ +\begin{vmatrix} +dx & dl & l \\ +dy & dm & m \\ +dz & dn & n +\end{vmatrix} += 0, +\] +ou +\[%[** TN: Added elided entries] +\begin{vmatrix} +\mfrac{\dd x}{\dd u} · du + \mfrac{\dd x}{\dd v} · dv & +\mfrac{\dd l}{\dd u}\Add{·} du + \mfrac{\dd l}{\dd v}\Add{·} dv & l \\ +\mfrac{\dd y}{\dd u} · du + \mfrac{\dd y}{\dd v} · dv & +\mfrac{\dd m}{\dd u}\Add{·} du + \mfrac{\dd m}{\dd v}\Add{·} dv & m \\ +\mfrac{\dd z}{\dd u} · du + \mfrac{\dd z}{\dd v} · dv & +\mfrac{\dd n}{\dd u}\Add{·} du + \mfrac{\dd n}{\dd v}\Add{·} dv & n +\end{vmatrix} += 0. +\] +Multiplions par +\[ +\begin{vmatrix} +\mfrac{\dd x}{\dd u} & \mfrac{\dd x}{\dd v} & l \\ +\mfrac{\dd y}{\dd u} & \mfrac{\dd y}{\dd v} & m \\ +\mfrac{\dd z}{\dd u} & \mfrac{\dd z}{\dd v} & n +\end{vmatrix} +\neq 0; +\] +Nous obtenons +\[ +\begin{vmatrix} +E\, du + F\, dv & -L\, du - M\, dv & 0 \\ +F\, du + G\, dv & -M\, du - N\, dv & 0 \\ +0 & 0 & 1 +\end{vmatrix} += 0; +\] +et nous retrouvons ainsi \emph{l'équation différentielle des lignes +de courbure} +\[ +\begin{vmatrix} +E\, du + F\, dv & L\, du + M\, dv \\ +F\, du + G\, dv & M\, du + N\, dv +\end{vmatrix} += 0. +\] + +La même méthode, appliquée à l'équation~\Eq{(6)} +\[ +\begin{vmatrix} +dx & dl \\ +dy & dm +\end{vmatrix} += 0 +\] +donne facilement l'équation différentielle +\[ +\begin{vmatrix} +dx + p\, dz & dp \\ +dy + q\, dz & dq +\end{vmatrix} += 0. +\] + +%% -----File: 097.png---Folio 89------- + +\Section{Développement d'une surface développable sur un plan.} +{4.}{Toute surface développable est applicable sur un plan\Add{.}} + +Considérons d'abord le cas du cylindre, dont les équations +sont +\begin{align*} +x &= f(v) + u·l, & y &= g(v) + u·m, & z &= h(v) + u·n; \\ +dx &= f'(v)\, dv + l·du, & +dy &= g'(v)\, dv + m·du, & +dz &= h'(v)\, dv + n·du. +\end{align*} +Nous avons +\[ +ds^{2} = \sum f'{}^{2}(v)·dv^{2} + 2 \sum lf'(v)·du\, dv + \sum l^{2}·du^{2}. +\] +Nous pouvons supposer que la directrice: $x = f(v)$, $y = g(v)$, $z = h(v)$ +est une section droite, ce qui donne $\sum lf' = 0$; que $l, m, n$ +sont cosinus directeurs: $\sum l^{2} = 1$; enfin que $v$~est l'arc sur +la section droite: $\sum f'{}^{2} = 1$. Alors on a +\[ +\Tag{(1)} +ds^{2} = du^{2} + dv^{2}; +\] +\DPtypo{On}{on} a l'élément linéaire d'un plan. \emph{Un cylindre est applicable +sur un plan}, $\Phi$~et~\Eq{(1)} donne la loi du développement. + +Voyons maintenant le cas du cône +\[ +x = u·l(v),\qquad y = u·m(v),\qquad z = u·n(v); +\] +$u$~est la longueur prise sur la génératrice à partir du sommet; +supposons que $l, m, n$ soient cosinus directeurs de la génératrice, +$v$~étant l'arc de courbe sphérique intersection du cône +avec la sphère $u = 1$. Alors +\begin{alignat*}{3}%[** TN: Set on one line in original] +dx &= ul'(v)\, &&dv + l(v)\, &&du, \\ +dy &= um'(v)\, &&dv + m(v)\, &&du, \\ +dz &= u\DPtypo{n}{n'}(v)\, &&dv + n(v)\, &&du; +\end{alignat*} +et +\[ +\Tag{(2)} +ds^{2} = u^{2}\, dv^{2} + du^{2}. +\] +C'est l'élément linéaire d'un plan en coordonnées polaires. Un +\emph{cône est applicable sur un plan}, $\Phi$~\Add{et}~\Eq{(2)} donne la loi du développement. + +Passons enfin au cas général +\[ +x = f(v) + u·l(v),\qquad y = g(v) + u·m(v),\qquad z = h(v) + u·n(v)\Add{.} +\] +%% -----File: 098.png---Folio 90------- +Nous supposerons que la courbe $x = f(v)$, $y = g(v)$, $z = h(v)$ +soit l'arête de rebroussement, $v$~l'arc sur cette courbe, $l, m, n$ +les cosinus directeurs de la tangente en un point, et $u$~la +distance comptée sur cette tangente à partir du point de contact. +Alors $l = f'= a$; $m = g'= b$; $n = h'= c$; +et +\begin{gather*}%[** TN: Aligned last three equations] +l' = \frac{da}{dv} = \frac{a'}{R},\qquad +m' = \frac{db}{dv} = \frac{b'}{R},\qquad +n' = \frac{dc}{dv} = \frac{c'}{R}; \\ +\begin{alignedat}{3} +dx &= a\, dv &&+ u\, \frac{a'}{R}\, dv &&+ a\, du, \\ +dy &= b\, dv &&+ u\, \frac{b'}{R}\, dv &&+ b\, du, \\ +dz &= c\, dv &&+ u\, \frac{c'}{R}\, dv &&+ c\, du\Add{;} +\end{alignedat} +\end{gather*} +et +\[ +ds^{2} = \bigl[d(u + v)\bigr]^{2} + \frac{u^{2}}{R^{2}}\, dv^{2}. +\] +Cet élément reste le même si $R$~garde la même expression en +fonction de~$v$. Donc \emph{l'élément linéaire est le même pour toutes +les surfaces développables dont les arêtes de rebroussement +sont des courbes dont le rayon de courbure a la même expression +en fonction de l'arc}: +\[ +R = \Phi (v). +\] +Nous pouvons déterminer une courbe plane dont le rayon de courbure +s'exprime en fonction de l'arc par l'équation précédente. +Nous prendrons pour coordonnées dans le plan de cette courbe +l'arc~$\DPtypo{S}{s}$ de la courbe, et la distance comptée sur la tangente +à partir du point de contact et on aura pour l'élément linéaire +du plan la forme précédente. La développable sera donc applicable +sur ce plan. Quand la développable est donnée, on détermine +par des opérations algébriques son arête de rebroussement, +et par une quadrature l'arc de cette arête de rebroussement. +On a alors +\[ +R = \Phi(s)\Add{.} +\] +%% -----File: 099.png---Folio 91------- +Il faut construire une courbe plane satisfaisant à cette condition. +Si $\alpha$~est l'angle de la tangente avec~$Ox$, on a +\[ +R = \frac{ds}{d \alpha}; +\] +d'où +\[%[** TN: Set on two lines in original] +\frac{ds}{d \alpha} = \Phi (s), \qquad +\alpha = \int \frac{ds}{\Phi (s)}; +\] +et alors +\[ +dx = \cos \alpha · ds,\qquad dy = \sin \alpha · ds; +\] +$x, y$ se déterminent au moyen de \Card{3} quadratures. La courbe que +l'on obtient est le développement de l'arête de rebroussement. + + +\Section{Réciproque.} +{}{Réciproquement toute surface applicable sur un plan est +une surface développable.} + +Soit la surface +\[ +x = f(u,v),\qquad y = g(u,v),\qquad z = h(u,v), +\] +que nous supposons applicable sur un plan. Nous avons, en +choisissant convenablement les coordonnées $u, v$: +\[ +ds^{2} = E\Add{·} du^{2} + 2 F·du\, dv + G\Add{·} dv^{2} = du^{2} + dv^{2}; +\] +d'où +\[ +\sum \left(\frac{\dd x}{\dd u}\right)^{2} = 1,\qquad +\sum \frac{\dd x}{\dd u} · \frac{\dd x}{\dd v} = 0,\qquad +\sum \left(\frac{\dd x}{\dd v}\right)^{2} = 1. +\] +Différentions ces relations successivement par rapport à $u, v$, +nous avons +\begin{align*} +&\sum \frac{\dd x}{\dd u} · \frac{\dd^{2} x}{\dd u^{2}} = 0, & +&\sum \frac{\dd^{2} x}{\dd u^{2}} · \frac{\dd x}{\dd v} + + \sum \frac{\dd x}{\dd u} · \frac{\dd^{2} x}{\dd u\, \dd v} = 0, & +&\sum \frac{\dd x}{\dd v} · \frac{\dd^{2} x}{\dd u\, \dd v} = 0, \\ +% +&\sum \frac{\dd x}{\dd u}\Add{·} \frac{\dd^{2} x}{\dd u\, \dd v} = 0, & +&\sum \frac{\dd^{2} x}{\dd u\, \dd v} · \frac{\dd x}{\dd v} + + \DPtypo{}{\sum} \frac{\dd x}{\dd u} · \frac{\dd^{2} x}{\dd v^{2}} = 0, & +&\sum \frac{\dd x}{\dd v} · \frac{\dd^{2} x}{\dd v^{2}} = 0; +\end{align*} +d'où nous tirons: +\[ +\sum \frac{\dd^{2} x}{\dd \DPtypo{u}{u^{2}}} · \frac{\dd x}{\dd v} = 0,\qquad +\sum \frac{\dd x}{\dd u} · \frac{\dd^{2} x}{\dd \DPtypo{v}{v^{2}}} = 0. +\] +Considérons les \Card{2} fonctions $\dfrac{\dd x}{\dd u}$ et $\dfrac{\dd y}{\dd u}$. Leur déterminant fonctionnel +est: +%% -----File: 100.png---Folio 92------- +\[ +\begin{vmatrix} +\mfrac{\dd^{2} x}{\dd u^{2}} & \mfrac{\dd^{2} x}{\dd u\, \dd v} \\ +\mfrac{\dd^{2} y}{\dd u^{2}} & \mfrac{\dd^{2} y}{\dd u\, \dd v} +\end{vmatrix}\Add{.} +\] +Or, considérons les équations +\begin{alignat*}{4} +&X\, \frac{\dd^{2} x}{\dd u^{2}} &&+ Y\, \frac{\dd^{2} y}{\dd u^{2}} &&+ Z\, \frac{\dd^{2} z}{\dd u^{2}} &&= 0, \\ +&X\, \frac{\dd^{2} x}{\dd u\, \dd v} &&+ Y\, \frac{\dd^{2} y}{\dd u\, \dd v} &&+ Z\, \frac{\dd^{2} z}{\dd u\, \dd v} &&= 0; +\end{alignat*} +d'après les relations précédemment écrites, ce système admet +\Card{2} solutions distinctes +\begin{alignat*}{3} +X &= \frac{\dd x}{\dd u},\qquad & +Y &= \frac{\dd y}{\dd u},\qquad & +Z &= \frac{\dd z}{\dd u}; \\ +X &= \frac{\dd x}{\dd v}, & +Y &= \frac{\dd y}{\dd v}, & +Z &= \frac{\dd z}{\dd v}. +\end{alignat*} +Ces solutions ne sont pas proportionnelles, sans quoi les +courbes $u = \cte$ et $v = \cte$ seraient constamment tangentes. +Donc les \Card{3} déterminants déduits du tableau +\[ +\begin{Vmatrix} +\mfrac{\dd^{2} x}{\dd u^{2}} & \mfrac{\dd^{2} y}{\dd u^{2}} & \mfrac{\dd^{2} z}{\dd u^{2}} \\ +\mfrac{\dd^{2} x}{\dd u\, \dd v} & \mfrac{\dd^{2} y}{\dd u\, \dd v} & \mfrac{\dd^{2} z}{\dd u\, \dd v} +\end{Vmatrix} +\] +\DPtypo{Sont}{sont} nuls; or\Add{,} ce sont les déterminants fonctionnels des \Card{3} quantités +$\dfrac{\dd x}{\dd u}$, $\dfrac{\dd y}{\dd u}$, $\dfrac{\dd z}{\dd u}$ prises \Card{2} à \Card{2}, donc ces \Card{3} quantités sont +fonctions de l'une d'entre elles, c'est-à-dire d'une seule +variable~$t$. De même $\dfrac{\dd x}{\dd v}$, $\dfrac{\dd y}{\dd v}$, $\dfrac{\dd z}{\dd v}$ sont fonctions d'une même variable~$\theta$. +De plus la relation +\[ +\sum \frac{\dd x}{\dd u} · \frac{\dd x}{\dd v} = 0 +\] +montre que $\theta$ par exemple s'exprime en fonction de~$t$. +Les \Card{6} dérivées partielles sont donc fonctions d'une même variable; +le plan tangent à la surface dépend d'un seul paramètre. +La surface est développable. + +%[** TN: Roman numerals in original] +\Paragraph{Remarque \1.} Dans le développement les lignes géodésiques +%% -----File: 101.png---Folio 93------- +se conservent; or\Add{,} les géodésiques du plan sont des droites. +\emph{Les lignes géodésiques de la surface développable sont donc +les lignes qui dans le développement de cette surface sur un +plan, correspondent aux droites de ce plan.} + +En particulier, considérons la surface rectifiante d'une +courbe, enveloppe du plan rectifiant. Cette courbe est une +géodésique de sa surface rectifiante, puisque son plan osculateur +est perpendiculaire au plan tangent; elle se développe +donc suivant une droite lorsqu'on effectue le développement +de la surface rectifiante sur un plan. \emph{De là le nom de plan +rectifiant.} + +\Paragraph{Remarque \2.} Il résulte de là que la recherche des géodésiques +d'une surface développable se ramène à son développement, +et exige par conséquent \Card{4} quadratures. + +\Paragraph{Remarque \3.} La détermination des lignes de courbure, +développantes de l'arête de rebroussement, revient à une quadrature. + + +\Section{Lignes géodésiques d'une surface développable.} +{5.}{} Nous avons trouvé les lignes géodésiques d'une surface +développable en considérant le développement de cette +surface sur un plan. On peut les chercher directement. +Soit l'arête de rebroussement +\[ +\Tag{(1)} +x = f(s),\qquad y = g(s),\qquad z = h(s), +\] +$s$~désignant l'arc. Si $a, b, c$ sont les cosinus directeurs de la +tangente, et $u$~une longueur comptée sur cette tangente à partir +du point de contact, la surface est représentée par +\[ +x = f + u · a,\qquad y = g + u · b,\qquad z = h + u · c; +\] +%% -----File: 102.png---Folio 94------- +%[** TN: Seeming error in erratum, changed in accord with surrounding text] +en désignant par $\Err{u, v, w}{\DPtypo{u', v', w'}{a', b', c'}}$, +les dérivées de $\DPtypo{u v w}{a\Add{,} b\Add{,} c}$ par rapport \Err{$a, s$}{à~$s$}, +on a +\[%[** TN: Added elided equations] +\frac{dx}{ds} = a + u\, \frac{a'}{R} + au',\qquad +\frac{dy}{ds} = b + u\, \frac{b'}{R} + bu',\qquad +\frac{dz}{ds} = c + u\, \frac{c'}{R} + cu'; +\] +ou +\begin{gather*}%[** TN: Added elided equations in first set] +\frac{dx}{ds} = a(1 + u') + a'\, \frac{u}{R},\quad +\frac{dy}{ds} = b(1 + u') + b'\, \frac{u}{R},\quad +\frac{dz}{ds} = c(1 + u') + c'\, \frac{u}{R}; \\ +% +\frac{d^{2}x}{ds^{2}} = a\left(u'' - \frac{u}{R^{2}}\right) + + a'\, \frac{1}{R} \left(1 + 2u' - u\, \frac{R'}{R}\right) + + a''\, \frac{-u}{RT}, +\end{gather*} +et les analogues. + +L'équation des lignes géodésiques est, en remarquant que la +normale à la surface n'est autre que la binormale à l'arête de +rebroussement +\[ +\begin{vmatrix} +\mfrac{d^{2}x}{ds^{2}} & \mfrac{d^{2}y}{ds^{2}} & \mfrac{d^{2}z}{ds^{2}} \\ +\mfrac{dx}{ds} & \mfrac{dy}{ds} & \mfrac{dz}{ds} \\ +a'' & b'' & c'' +\end{vmatrix} += 0, +\] +ou +\[ +\begin{vmatrix} +a \left(u'' - \mfrac{u}{R^{2}}\right) + \mfrac{a'}{R} \left(1 + 2u' - u\, \mfrac{R'}{R}\right) + a''\, \mfrac{- u}{RT} & \dots & \dots \\ +a (1 + u') + a'\, \mfrac{u}{R} & \dots & \dots \\ +a'' & \dots & \dots \\ +\end{vmatrix} += 0, +\] +ou, en décomposant en déterminants simples, +\[ +\frac{1}{R} \left(1 + 2u' - u\, \frac{R'}{R}\right) (1 + u') +\begin{vmatrix} +a' & b' & c' \\ +a & b & c \\ +a'' & b'' & c'' +\end{vmatrix} ++ \frac{u}{R} \left(u'' - \frac{u}{R^{2}}\right) +\begin{vmatrix} +a & b & c \\ +a' & b' & c' \\ +a'' & b'' & c'' +\end{vmatrix} += 0; +\] +ou enfin +\[ +\frac{u}{R} \left(u'' - \frac{u}{R^{2}}\right) + - \frac{1}{R} (1 + u') \left(1 + 2u' - u\, \frac{R'}{R}\right) = 0, +\] +c'est-à-dire +\[ +\Tag{(2)} +u · u'' - 2u'{}^{2} + - u'\left(3 - u\, \frac{R'}{R}\right) + - \frac{u^{2}}{R^{2}} + u · \frac{R'}{R} - 1 =0. +\] +Telle est l'équation différentielle qui détermine~$u$. +%% -----File: 103.png---Folio 95------- + +Cherchons la nature de l'intégrale générale. Si nous développons +la surface sur un plan, la courbe~\Eq{(1)} sera représentée +par une courbe +\[ +x = F(s),\qquad y = G(s), +\] +dont le rayon de courbure sera encore~$R$. Le point homologue du +point $(u,s)$ de la surface sera +\[ +x = F + uF',\qquad y = G + uG'. +\] +Les droites du plan sont +\[ +A(F + uF') + B(G + uG') + C = 0, +\] +d'où +\[ +u = - \frac{AF + BG + C}{AF' + BG'}; +\] +en remarquant que le dénominateur est la dérivée du numérateur +nous sommes donc conduits à poser +\[ +u = -\frac{w}{w'}\DPtypo{.}{,} +\] +et à prévoir que l'équation en~$w$ sera linéaire, homogène du +\Ord{3}{e} ordre. Effectivement +\begin{align*} +u' &= -1 + \frac{ww''}{w'{}^{2}}, \\ +\intertext{et} +u'' &= \frac{ww'''}{w'{}^{2}} + \frac{w''}{w'} - \frac{2ww''{}^{2}}{w'{}^{3}}; +\end{align*} +\Eq{(2)}~devient alors +\begin{multline*} +\DPtypo{}{-}\frac{w}{w'} \left(\frac{ww'''}{w'{}^{2}} + \frac{w''}{w'} - \frac{2ww''{}^{2}}{w'{}^{3}}\right) + - 2\left(-1 + \frac{ww''}{w'{}^{2}}\right)^{2} + - 3\left(-1 + \frac{ww''}{w'{}^{2}}\right) \\ + - \frac{R'}{R}\, \frac{w}{w'} \left(-1 + \frac{ww''}{w'{}^{2}}\right) + \DPtypo{- \frac{1}{R} · \frac{w}{w} - - \frac{w}{w} - 1} + {- \frac{1}{R^{2}} · \frac{w^{2}}{w'{}^{2}} - \frac{R'}{R} · \frac{w}{w'} - 1} + = 0; +\end{multline*} +ou, après simplification +\[ +w''' + \frac{R'}{R}\, w'' + \frac{1}{R^{2}}\, w' = 0. +\] +Posons +\[ +w' = \theta\Add{,} +\] +il vient +\[ +\Tag{(3)} +\theta'' + \frac{R'}{R}\, \theta' + \frac{1}{R^{2}}\, \theta = 0\Add{,} +\] +%% -----File: 104.png---Folio 96------- +équation linéaire du \Ord{2}{e} ordre en~$\theta$. Faisons \DPchg{disparaitre}{disparaître} le \Ord{2}{e} terme +par le changement de variable +\[ +\alpha = \phi (s), +\] +d'où +\begin{align*} +\theta' &= \frac{d \theta}{d \alpha} · \phi', \\ +\theta'' + &= \frac{d^{2} \theta}{d \DPtypo{\alpha}{\alpha^{2}}} · \phi'{}^{2} + + \frac{d \theta}{d \alpha}\, \phi''; +\end{align*} +\Eq{(3)}~devient +\[ +\frac{d^{2} \theta}{d \alpha^{2}}\, \phi'{}^{2} + + \frac{d \theta}{d \alpha} \left( \phi'' + \frac{R'}{R}\, \phi'\right) + + \frac{1}{R^{2}}\, \theta = 0. +\] +Il faut alors choisir la fonction~$\phi$ de façon que l'on ait +\[ +\phi'' + \frac{R'}{R}\, \phi' = 0 , +\] +ou +\[ +\frac{\phi''}{\phi'} = -\frac{R'}{R}. +\] +On peut prendre +\[ +\phi' = \frac{1}{R}, +\] +et poser +\[ +ds = R · \alpha. +\] +Nous obtenons alors l'équation +\[ +\frac{d^{2} \theta}{d \alpha^{2}} + \theta = 0, +\] +dont l'intégrale générale est +\[ +\theta = w' = A \cos \alpha + B \sin \alpha = \frac{dw}{ds}; +\] +d'où +\[ +w = A \int \cos \alpha · ds + B \int \sin \alpha · ds + c, +\] +et enfin +\[ +u = -\frac{\ds A \int \cos \alpha · ds + B \int \sin \alpha · ds + c} + {A \cos \alpha + B \sin \alpha}, +\] +avec +\[ +\alpha = \int \frac{ds}{R}. +\] +On peut se dispenser d'introduire l'arc~$s$ explicitement. Donc +les lignes géodésiques d'une surface développable s'obtiennent +par \Card{3} quadratures au plus. On constate de plus que les deux +méthodes conduisent aux mêmes calculs. +%% -----File: 105.png---Folio 97------- + + +\Section{Surfaces réglées gauches. Trajectoires orthogonales des génératrices.} +{6.}{} Soit la surface +\[ +x = f(v) + u·l(v),\qquad y = g(v) + u·m(v),\qquad z = h(v) + u·n(v); +\] +les génératrices étant des géodésiques, il en résulte que +\emph{les trajectoires orthogonales des génératrices déterminent +sur ces génératrices des segments égaux}. Pour obtenir ces +trajectoires orthogonales, il faut déterminer $u$ en fonction de~$v$ +de façon que l'on ait +\[ +\sum l\, dx = 0. +\] +Pour simplifier nous supposerons que $l, m, n$ soient cosinus directeurs; +on a alors +\[ +\sum l^{2} = 1,\qquad \sum l\,dl = 0; +\] +et l'équation différentielle devient +\[ +\sum l · df + du = 0, +\] +d'où +\[ +u = - \int \sum \DPtypo{.l\, df}{l·df}. +\] +La détermination des trajectoires orthogonales des génératrices +d'une surface réglée dépend d'une quadrature. + +\Paragraph{Remarque.} On peut rattacher ce fait à la formule qui +donne la variation d'un segment de droite. Prenons sur la +droite $MM_{1}$ une direction positive; soit $r$~la distance $MM_{1}$, prise +\Figure[2.5in]{105a} +en valeur absolue. Soient $(x, y, z)$ et +$\DPtypo{}{(}x_{1}, y_{1}, z_{1})$, les coordonnées des deux extrémités, +qui décrivent deux courbes données. Nous +avons +\[ +r^{2} = (x_{1} - x)^{2} + (y_{1} - y)^{2} + (z_{1} - z)^{2}\Add{,} +\] +d'où +\[ +r\, dr = (x_{1} - x)(dx_{1} - dx) + (y_{1} - y)(dy_{1} - dy) % + ++ (z_{1} - z)(dz_{1} - dz)\DPtypo{.}{,} +\] +%% -----File: 106.png---Folio 98------- +d'où +\begin{multline*} +dr = \left(\frac{x_{1} - x}{r}\, dx_{1} + + \frac{y_{1} - y}{r}\, dy_{1} + + \frac{z_{1} - z}{r}\, dz_{1}\right) \\ + - \left(\frac{x_{1} - x}{r}\, dx + + \frac{y_{1} - y}{r}\, dy + + \frac{z_{1} - z}{r}\, dz\right). +\end{multline*} +Soient $\alpha, \beta, \gamma$, $\alpha_{1}, \beta_{1}, \gamma_{1}$ les tangentes aux courbes en $MM_{1}$ dirigées +dans le sens des arcs croissants. Soient $\lambda\Add{,} \mu\Add{,} \nu$ les cosinus directeurs +de la droite~$MM_{1}$. Nous avons +\[ +dr = ds_{1} (\lambda \alpha_{1} + \mu \beta_{1} + \nu \gamma_{1}) + - ds (\lambda \alpha + \mu \beta + \nu \gamma); +\] +soient $\theta, \theta_{1}$ les angles de $MM_{1}$ avec les \Card{2} tangentes; nous avons +enfin la \emph{formule importante} +\[ +dr = ds_{1} · \cos \theta_{1} - ds \Add{·} \cos \theta. +\] + +Supposons la droite $MM_{1}$ tangente à la \Ord{1}{ère} courbe et normale +à la \Ord{2}{e}, $\theta = 0$, $\theta_{1} = ±\frac{\pi}{2}$\Add{;} nous avons +\[ +dr = - ds +\] +et nous retrouvons ainsi les propriétés des développantes et +des développées. + +Supposons la droite normale aux deux courbes, $\theta = ±\frac{\pi}{2}$, +$\theta_{1} = ±\frac{\pi}{2}$, alors $dr = 0$, $r = \cte$, et nous retrouvons les \DPtypo{propriétes}{propriétés} +des trajectoires orthogonales des génératrices. + + +\Section{Cône directeur. Point central. Ligne de striction.} +{7.}{} On appelle \emph{cône directeur} de la surface le cône +\[ +x = u · l(v),\qquad y = u · m(v),\qquad z = u · n(v). +\] + +Si ce cône se réduit à un plan, ce plan s'appelle \emph{plan +directeur}, et les génératrices sont toutes parallèles à ce +plan. + +Le plan tangent en un point quelconque de la surface a +pour coefficients les déterminants déduits de: +%% -----File: 107.png---Folio 99------- +\[ +\Tag{(1)} +\begin{Vmatrix} +l & m & n \\ +df + u\, dl & dg + u\, dm & dh + u\, dn +\end{Vmatrix}\Add{.} +\] +Le plan tangent au cône directeur le long de la génératrice +correspondant à celle qui passe par le point considéré a pour +coefficients les déterminants déduits de +\[ +\begin{Vmatrix} +l & m & n \\ +dl & dm & dn +\end{Vmatrix}\Add{.} +\] +Ces plans sont parallèles si $u$~est infini. On a alors sur la +surface le plan tangent au point à l'infini sur la génératrice +qu'on appelle \emph{plan asymptote}. \emph{Les plans asymptotes sont parallèles +aux plans tangents au cône directeur le long des génératrices +correspondantes.} + +\emph{Dans une surface à plan directeur, tous les plans asymptotes +sont parallèles au plan directeur.} + +Pour que les deux plans tangents soient rectangulaires, +il faut que la somme des produits des déterminants précédents +soit nulle +\[ +\begin{vmatrix} +\sum l^{2} & \sum l\, df + u \sum l\, dl \\ +\sum ldl & \sum dl·df + u \sum dl^{2} +\end{vmatrix} += 0. +\] +Nous avons une équation du \Ord{1}{er} degré en~$u$. \emph{Il existe donc en +général sur toute génératrice un point où le plan tangent est +perpendiculaire au plan tangent au cône directeur, c'est-à-dire +au plan asymptote. C'est le point central}, le plan tangent +en ce point s'appelle \emph{plan central}. + +Le lieu des points centraux s'appelle \emph{ligne de striction}. + +Nous supposerons pour simplifier $\sum l^{2} = 1$, ce qui écarte +le cas des surfaces réglées à génératrices isotropes. L'équation +%% -----File: 108.png---Folio 100------- +qui donne \DPtypo{le~$u$}{l'$u$} du point central se réduit à +\[ +u \sum dl^{2} + \sum dl · df = 0; +\] +le point central existe donc toujours, sauf si l'on a +\[ +\sum dl^{2} = 0. +\] +Dans ce cas la courbe sphérique base du cône directeur est +une courbe minima de la sphère, c'est-à-dire, une génératrice +isotrope. Le cône est alors un plan tangent au cône asymptote +de la sphère, qui est un cône isotrope, c'est un plan isotrope. +Les surfaces considérées sont des \emph{surfaces réglées à plan directeur +isotrope}. Toutes sont imaginaires, sauf le \DPchg{paraboloide}{paraboloïde} +de révolution. + +\Paragraph{Remarque.} Le plan tangent est indéterminé si tous les +déterminants du tableau~\Eq{(1)} sont nuls. Alors $K$~étant un certain +facteur, on a +\[ +df + u\, dl + Kl = 0,\qquad +dg + u\, dm + Km = 0,\qquad +dh + u\, dn + Kn = 0\DPtypo{;}{,} +\] +ce qui donne +\[ +\begin{vmatrix} +df & dl & l \\ +dg & dm & m \\ +dh & dn & n +\end{vmatrix} = 0\DPtypo{:}{;} +\] +la surface est développable. Pour trouver le point où le plan +tangent est indéterminé multiplions par $dl, dm, dn$ et ajoutons, +il vient +\[ +u \sum dl^{2} + \sum dl · df = 0; +\] +c'est le point de contact de la génératrice et de l'arête de +rebroussement. C'est ce qui explique que la formule précédente +qui donne la ligne de striction pour une surface réglée quelconque, +donne l'arête de rebroussement pour une surface développable. +%% -----File: 109.png---Folio 101------- + + +\Section{Variations du plan tangent le long d'une génératrice.} +{8.}{} Proposons-nous de chercher l'angle des plans tangents +à une surface réglée en 2 points d'une même génératrice. +A cet effet, traitons d'abord le problème suivant: on a une +droite~$\Delta$, de cosinus directeurs $\alpha\Add{,} \beta\Add{,} \gamma$, et \Card{2} droites qui la rencontrent +$D (p\Add{,} q\Add{,} r)$ et $D' (p'\Add{,} q'\Add{,} r')$. Calculons l'angle~$V$ des \Card{2} plans +$D \Delta$~et~$D' \Delta$. + +\Figure[2.25in]{109a} +Considérons un trièdre trirectangle +auxiliaire dont l'un des axes soit~$\Delta$; +soient $\alpha'\Add{,} \beta'\Add{,} \gamma'$, $\alpha''\Add{,} \beta''\Add{,} \gamma''$ les cosinus directeurs +des autres axes, et soient dans ce +système $u\Add{,} v\Add{,} w$ et $u'\Add{,} v'\Add{,} w'$ les coefficients de +direction de~$\Delta \Delta'$. Nous avons +\[ +\tg V = \frac{vw' - wv'}{vv' + ww'}\Add{.} +\] +Mais on a +\[ +\begin{alignedat}{3} + u &= \alpha p &&+ \beta q &&+ \gamma r, \\ + u' &= \alpha p' &&+ \beta q' &&+ \gamma r', +\end{alignedat} +\quad +\begin{alignedat}{3} + v &= \alpha' p &&+ \beta' q &&+ \gamma' r, \\ + v' &= \alpha' p' &&+ \beta' q' &&+ \gamma' r', +\end{alignedat} +\quad +\begin{alignedat}{3} + w &= \alpha'' p &&+ \beta'' q &&+ \gamma'' r \\ + w' &= \alpha'' p' &&+ \beta'' q' &&+ \gamma'' r', +\end{alignedat} +\] +d'où +\begin{align*} +vw' - wv' &= +\begin{vmatrix} +\begin{alignedat}{3} + &\alpha' p &&+ \beta' q &&+ \gamma' r \\ + &\alpha' p' &&+ \beta' q' &&+ \gamma' r' +\end{alignedat} +& +\begin{alignedat}{3} + &\alpha'' p &&+ \beta'' q &&+ \gamma'' r \\ + &\alpha'' p' &&+ \beta'' q' &&+ \gamma'' r' +\end{alignedat} +\end{vmatrix} \\ +&= +\begin{Vmatrix} +\alpha' & \beta' & \gamma' \\ +\alpha'' & \beta'' & \gamma'' +\end{Vmatrix} +\begin{Vmatrix} +p & q & r \\ +p' & q' & r' +\end{Vmatrix} += +\begin{vmatrix} +\alpha & \beta & \gamma \\ +p & q & r \\ +p' & q' & r' +\end{vmatrix}. +\end{align*} +D'ailleurs +\[ +uu' + vv' + ww' = pp' + qq' + rr', +\] +d'où +\[ +vv' + ww' = pp' + qq' + rr' - \sum \alpha p · \sum \alpha p'. +\] +Alors +\[ +\tg V = \frac{ +\begin{vmatrix} +\alpha & \beta & \gamma \\ +p & q & r \\ +p' & q' & r' +\end{vmatrix}}{\sum pp' - \sum \alpha p · \sum \alpha p'} += \frac{D \sum \alpha^{2}} + {\sum \alpha^{2} · \sum pp' - \sum \alpha p · \sum \alpha p'}. +\] +Sous cette forme, on peut alors introduire les coefficients +%% -----File: 110.png---Folio 102------- +directeurs $l, m, n$ de la direction~$\Delta$ +\[ +\Tag{(1)} +\tg V = \frac{\raisebox{-\baselineskip}{$\sqrt{l^{2} + m^{2} + n^{2}}$}\, +\begin{vmatrix} +l & m & n \\ +p & q & r \\ +p' & q' & r' +\end{vmatrix}}{\sum l^{2} · \sum pp' - \sum lp · \sum lp'}. +\] + +Appliquons cette formule à l'angle des plans tangents en +\Card{2} points $M$,~$M'$ d'une même génératrice. On peut prendre pour directions +$D$,~$D'$ les directions tangentes aux courbes $u = \cte$: +\begin{align*} +p &= df + u\, dl, & q &= dg + u\, dm, & r &= dh + u\, dn; \\ +p' &= df + u'\, dl, & q' &= dg + u'\, dm, & r' &= dh + u'\, dn; +\end{align*} +le déterminant de la formule~\Eq{(1)} devient +\[ +\begin{vmatrix} +l & df + u\, dl & df + u'\, dl \\ +m & dg + u\, dm & dg + u'\, dm \\ +n & dh + u\, dn & dh + u'\, dn +\end{vmatrix} += +\begin{vmatrix} +l & dl & df \\ +m & dm & dg \\ +n & dn & dh +\end{vmatrix} (u - u'); +\] +et +\[ +\tg V = \frac{\raisebox{-\baselineskip}{$(u' - u) \sqrt{l^{2} + m^{2} + n^{2}}$}\, +\begin{vmatrix} +df & dg & dh \\ +dl & dm & dn \\ +l & m & n +\end{vmatrix}} +{\begin{vmatrix} +\sum l^{2} & \sum l (df + u\, dl) \\ +\sum l(df + u'\, dl) & \sum (df + u\, dl) (df + u'\, dl) +\end{vmatrix}}. +\] +Nous poserons +\[ +D = +\begin{vmatrix} +df & dg & dh \\ +dl & dm & dn \\ +l & m & n +\end{vmatrix}. +\] + +Pour simplifier ce résultat, nous prendrons pour $l, m, n$ +les cosinus directeurs de la génératrice ($\sum l^{2} = 1$, $\sum l\, dl = 0$); +nous supposerons que la courbe $x = f(v)$, $y = g(v)$, $z = h(v)$ +soit trajectoire orthogonale des génératrices, $\sum l\, df = 0$. +Nous déterminerons~$u$ par la relation +\[ +u \sum dl^{2} + \sum dl · df = 0 +\] +ce qui revient à prendre pour l'un des points le point central. +%% -----File: 111.png---Folio 103------- +Le dénominateur devient +\[ +\sum df^{2} + u \sum dl\Add{·} df + = \frac{\sum df^{2} · \sum dl^{2} - \left(\sum dl · df\right)^{2}}{\sum dl^{2}}; +\] +et alors +\[ +\tg V = \frac{(u' - u) D · \sum dl}{\sum df^{2} · dl^{2} - \left(\sum dl · df\right)^{2}}. +\] +Posons +\[ +K = \frac{\sum dl^{2} · \sum df^{2} - \left(\sum dl · df\right)^{2}} + {D · \sum dl^{2}}\DPtypo{:}{;} +\] +en remarquant que $u'- u = CM$, on a +\[ +\Tag{(2)} +\tg V = \frac{CM}{K}, +\] +\emph{formule de Chasles}. D'où les conséquences bien connues suivantes, +et qui ne sont en défaut que pour des génératrices singulières: + +\ParItem{\Primo.} \emph{\DPtypo{lorsque}{Lorsque} $M$~décrit la génératrice d'un bout à l'autre, +le plan tangent~$(P)$ en~$M$ tourne autour de la génératrice toujours +dans le même sens, et la rotation totale qu'il effectue +est de~$180°$.} En deux points différents, les plans tangents +sont différents. + +\ParItem{\Secundo.} \emph{La division des points~$M$ et le faisceau des plans~$(P)$ +sont en correspondance homographique.} + +\ParItem{\Tertio.} Comme trois couples définissent une homographie, +\emph{deux surfaces réglées qui ont une génératrice commune, et +qui sont tangentes en trois points de cette génératrice, sont +tangentes en tous les autres points de cette génératrice}, +c'est-à-dire se raccordent tout le long de cette génératrice. +L'expression de~$K$ peut se simplifier; on a: +%% -----File: 112.png---Folio 104------- +\[ +D = +\begin{vmatrix} +\sum df^{2} & \sum dl·df\DPtypo{.}{} & \sum l·df \\ +\sum dl·df & \sum dl^{2} & \sum l\Add{·}dl \\ +\sum l·df & \sum l\Add{·}dl & \sum l^{2} +\end{vmatrix} += \sum dl^{2}·\sum df^{2} - \left(\sum dl\Add{·}df\right)^{2}, +\] +d'où +\[ +\Tag{(3)} +K = \frac{D}{\sum dl^{2}}. +\] +Dans le cas général, on trouve de même +\[ +\Tag{(4)} +K = \frac{D · \sum l^{2}}{\sum l^{2} · \sum dl^{2} - \left(\sum l\Add{·} dl\right)^{2}}. +\] +$K$~est le \emph{paramètre de distribution}; il est rationnel. La formule~\Eq{(2)} +montre que, si $M$~se déplace dans une direction quelconque +sur la génératrice, le plan tangent tourne, par rapport +à cette direction, dans le sens positif de rotation, si +$K$~est positif; et tourne dans le sens négatif, si $K$~est négatif. + +La signe de~$K$ correspond donc à une propriété géométrique +de la surface. D'après \Eq{(3)}~ou~\Eq{(4)}, \emph{le paramètre de distribution +est nul pour une surface développable}. + +\Paragraph{Remarque.} Soient sur une même génératrice \Card{2} points $M$\Add{,}~$M'$ +où les plans tangents soient rectangulaires. On a +\[ +\tg V · \tg V' = -1, +\] +d'où, en vertu de~\Eq{\DPtypo{(7)}{(2)}}\Add{,} +\[ +CM · CM' = -K^{2}; +\] +\emph{les points d'une génératrice où les plans tangents sont rectangulaires +forment une involution dont $C$ est le point central}. + +\Paragraph{Exemple \1.} \emph{Surface engendrée par les binormales d'une +courbe gauche\Add{.}} + +Soit la courbe +\[ +x = f(s),\qquad +y = g(s),\qquad +z = h(s); +\] +%% -----File: 113.png---Folio 105------- +avec les notations habituelles, nous avons +\begin{alignat*}{3} +df &= a\, ds, &dg &= b\, ds, & dh &= c\, ds,\\ +l &= a'', &m &= b'', & n &= c'',\\ +\intertext{et} +dl &= \frac{a'}{T}\, ds, \qquad & +dm &= \frac{b'}{T}\, ds, \qquad & +dn &= \frac{c'}{T}\, ds. +\end{alignat*} +Le point central est ici défini par $u = 0$; la courbe est ligne +de striction. Le paramètre de distribution est +\[ +K = T^{2} +\begin{vmatrix} +a & b & c \\ +\mfrac{a'}{T} & \mfrac{b'}{T} & \mfrac{c'}{T} \\ +a'' & b'' & c'' +\end{vmatrix} = T ; +\] +le paramètre de distribution est égal au rayon de torsion de +la courbe au point correspondant. La courbe est ligne de +striction, trajectoire orthogonale des génératrices et géodésique. + +\Paragraph{Exemple \2.} \emph{Surface engendrée par les normales principales +à une courbe.} +On a ici +\begin{alignat*}{3} +df &= a\, ds, & dg &= b\, ds, & dh &= c\, ds,\\ + l &= a', & m &= b', & n &= c',\\ +dl &= - \frac{a}{R} - \frac{a''}{T}\, ds, \qquad & +dm &= - \frac{b}{R} - \frac{b''}{T}\, ds, \qquad & +dn &= - \frac{c}{R} - \frac{c''}{T}\, ds; +\end{alignat*} +le point central est défini par +\[ +u = \frac{\displaystyle\sum a\left(\frac{a}{R} + \frac{a''}{T}\right)} + {\displaystyle\sum \left(\frac{a}{R} + \frac{a''}{T}\right)^{2} } + = \frac{\dfrac{1}{R}}{\dfrac{1}{R^{2}} + \dfrac{1}{T^{2}}} + = \frac{RT^{2}}{R^{2} + T^{2}} = MC, +\] +et on a: +\[ +K = - \frac{R^{2}T^{2}}{R^{2} + T^{2}} +\begin{vmatrix} +a & b & c \\ +\mfrac{a}{R} + \mfrac{a''}{T} & +\mfrac{b}{R} + \mfrac{b''}{T} & +\mfrac{c}{R} + \mfrac{c''}{T} \\ +a' & b' & c' +\end{vmatrix} = \frac{R^{2}T}{R^{2} + T^{2}}. +\] +%% -----File: 114.png---Folio 106------- +Cherchons le plan tangent au centre de courbure~$O$. Nous avons +\[ +\tg V = \frac{CO}{K} + = \frac{MO - MC}{K} + = \frac{1}{K} \left(R - \frac{RT^{2}}{R^{2} + T^{2}}\right) + = \frac{1}{K} · \frac{R^{2}}{R^{2} + T^{2}} + = \frac{R}{T}; +\] +pour le point~$M$, qui est sur la courbe on a +\[ +\tg V = \frac{CM}{K} = - \frac{T}{R}, +\] +donc +\[ +\tg V · \tg V'= - 1\Add{.} +\] +Les plans tangents en $M$~et~$O$ sont rectangulaires, ce qui est un +cas particulier d'une proposition que nous verrons plus loin +(\No12). + +\Section{\DPchg{Elément}{Élément} linéaire.} +{9.}{} Cherchons l'élément linéaire d'une surface réglée: +\[ +x = f(v) + u·l(v) \qquad +y = g(v) + u·m(v) \qquad +z = h(v) + u·n(v)\Add{.} +\] + +En désignant par des accents les dérivées par rapport à~$v$, +il vient: +\[ +dx = (f' + ul')\, dv + l\, du, \quad +dy = (g' + um')\, dv + m\, du, \quad +dz = (h' + un')\, dv + n\, du +\] +et +\[ +ds^{2} = E\, du^{2} + 2F\, du\, dv + G\, dv^{2}, +\] +avec: +\[ +E = \sum l^{2}, \quad +F = u \sum ll' + \sum lf', \quad +G = u^{2} \sum l'{}^{2} + 2u \sum l'f' + \sum f'{}^{2}\Add{.} +\] +Supposons que $l\Add{,} m\Add{,} n$ soient les cosinus directeurs: +\begin{gather*} +\sum l^{2} = 1, \qquad \sum ll' = 0, \\ +E = 1, \qquad F = \sum lf', \qquad +G = u^{2} \sum l'{}^{2} + 2u \sum l'f' + \sum f'{}^{2}. +\end{gather*} +Ces résultats s'obtiennent directement en faisant le changement +de paramètre +\[ +\sqrt{E} · u = u'; +\] +d'où +\[ +du' = \sqrt{E} · du + u\, \smash[t]{\frac{\dfrac{dE}{dv}}{2 \sqrt{E}}}\,dv. +\] +Nous avons alors, en supprimant les accents, +\[ +ds^{2} = du^{2} + 2F du\,dv + G\,dv^{2}. +\] +%% -----File: 115.png---Folio 107------- +Supposons de plus que la courbe $x = f(v), y = g(v), z = h(v)$ +soit trajectoire orthogonale des génératrices, alors $\sum lf' = 0$, +$F = 0$, et on a +\[ +ds^{2} = du^{2} + G\, dv^{2}; +\] +il est évident que l'élément linéaire doit avoir cette forme, +car on a un système de coordonnées orthogonales. On arrive +aussi à cette expression en posant +\[ +du + F\, dv = du', +\] +d'où +\[ +u' = u + \int F\, dv\Add{,} +\] +ce qui exige une quadrature. La variable~$u$ est définie à une +constante près, c'est une longueur portée sur chaque génératrice +à partir de la même trajectoire orthogonale. Pour définir +la variable~$v$, considérons la direction de la génératrice +$x = l$, $y = m$, $z = n$. Ces équations sont celles de la trace du +cône directeur sur la sphère de rayon~$1$; nous prendrons pour~$v$ +l'arc de cette courbe; alors $\sum l'{}^{2} = 1$, et +\[ +G = u^{2} + 2u \sum l'f' + \sum f'{}^{2}. +\] +Posons +\[ +\sum l'f' = G_{0}, \qquad \sum f'{}^{2} = G_{1}, +\] +nous avons +\[ +G = u + 2u G_{0} + G_{1}; +\] +les quantités $G_{0}\Add{,} G_{1}$, ainsi introduites sont liées d'une façon +simple au point central et au paramètre de distribution. Considérons +l'involution des points~$M\Add{,} M'$ où les plans tangents sont +rectangulaires; son point central est le point central de la +génératrice, et on a, en désignant par~$K$ le paramètre de distribution, +\[ +CM \cdot CM'= -K^{2}. +\] +Le plan tangent en un point~$u$ de la génératrice a pour coefficients +%% -----File: 116.png---Folio 108------- +les déterminants déduits du tableau +\[ +\begin{Vmatrix} +a & b & c \\ +f' + ul' & g' + um' & h' + un' +\end{Vmatrix}; +\] +de même le plan tangent au point~$u'$ aura pour \DPtypo{cofficients}{coefficients} les +déterminants déduits du tableau +\[ +\begin{Vmatrix} +a & b & c \\ +f' + u'l' & g' + u'm' & h' + u'n' +\end{Vmatrix}. +\] +Exprimons que ces plans tangents sont rectangulaires. La somme +des produits des déterminants précédents, et par suite le +produit des tableaux, doit être nul, ce qui donne +\[ +\begin{vmatrix} +1 & 0 \\ +0 & G_{1} + (u + u')G_{0} + uu' +\end{vmatrix} = 0 ; +\] +la relation d'involution est donc +\[ +uu' + (u + u')G_{0} + G_{1} = 0, +\] +ou +\[ +(u + G_{0})(u' + G_{0}) = G_{0}^{2} - G_{1}. +\] +$u + G_{0}$ doit représenter~$CM$; si donc $I$~est l'intersection de la +génératrice avec la trajectoire orthogonale $u = 0$, on a +\[ +u + G_{0} = CM = IM - IC; +\] +mais $IM = u$, donc $G_{0} = -IC$, $-G_{0}$~est l'$u$ du point central; posons +\[ +P = -G_{0} = -\sum l'f'. +\] +De plus +\[ +G_{0}^{2} - G_{1} = -K^{2}, +\] +d'où +\[ +G_{1} = G_{0}^{2} + K^{2} = P^{2} + K^{2} = \sum f'{}^{2}; +\] +alors +\[ +G = u^{2} - 2uP + P^{2} + K^{2} = (u - P)^{2} + K^{2}. +\] +Finalement, \emph{si $l, m, n$ sont les cosinus directeurs de la génératrice, +$v$~l'arc de la trace du cône directeur sur la sphère +de rayon~$1$, $u$~la longueur portée sur la génératrice à partir +d'une trajectoire orthogonale, on a} +%% -----File: 117.png---Folio 109------- +\[ +\Tag{(1)} +ds^{2} = du^{2} + \bigl[(u - P)^{2} + K^{2}\bigr]\, dv^{2}\Add{,} +\] +\emph{$P$ étant l'$u$ du point central et $K$~le paramètre de distribution\Add{.}} + +\Paragraph{Remarque.} Ceci peut servir à calculer le paramètre de +distribution. On~a +\[ +\begin{vmatrix} +f' & g' & h' \\ +l' & m' & n' \\ +l & m & n +\end{vmatrix}^{2} = +\begin{vmatrix} +G_{1} & G_{0} & 0 \\ +G_{0} & 1 & 0 \\ +0 & 0 & 1 +\end{vmatrix} = G_{1} - G_{0}^{2} = K^{2}, +\] +et on peut écrire +\[ +\Tag{(2)} +K = +\begin{vmatrix} +f' & g' & h' \\ +l' & m' & n' \\ +l & m & n +\end{vmatrix}, \qquad P = - \sum l'f'. +\] + +\emph{Réciproquement}, soit une surface dont l'élément linéaire +soit de la forme +\[ +ds^{2} = du^{2} + \bigl[(u - P)^{2} + K^{2}\bigr] dv^{2}; +\] +cherchons s'il y a des surfaces réglées applicables sur cette +surface; les éléments d'une telle surface réglée seront déterminés +par les relations +\[ +\sum l^{2} = 1, \quad +\sum lf' = 0, \quad +\sum l'{}^{2}= 1, \quad +\sum l'f'= -P, \quad +\sum f'{}^{2} = K^{2} + P^{2}; +\] +la dernière de ces relations s'écrit, d'après l'expression de~$K$, +\[ +\sum f' (mn' - nm') = -K. +\] +Nous pouvons d'abord nous donner arbitrairement le cône directeur +de façon à satisfaire $\sum l^{2} = 1$, $\sum l'{}^{2} = 1$. Il reste alors à +satisfaire à \Card{3} équations linéaires en $f'\Add{,} g'\Add{,} h'$ dont le déterminant +n'est pas nul; $f', g', h'$ seront alors parfaitement déterminés, +$f, g, h$ le seront à une constante additive près, ce qui revient +à ajouter à $x, y, z$ des quantités constantes, c'est-à-dire à +faire subir à la surface une translation. \emph{Lorsqu'on a une surface +réglée, il y a donc une infinité de surfaces réglées applicables +%% -----File: 118.png---Folio 110------- +sur elle, les génératrices correspondant aux génératrices} +puisqu'on peut prendre arbitrairement le cône directeur. +Remarquons que dans l'élément linéaire figure, non pas~$K$, +mais~$K^{2}$, de sorte qu'en particulier \emph{il existe \Card{2} surfaces réglées +ayant même cône directeur, des paramètres de distribution +égaux et de signes contraires et applicables l'une sur +l'autre}. + +Pour avoir explicitement $f, g, h$, résolvons le système des +équations linéaires +\[ +\sum lf' = 0, \qquad \sum l'f' = -P, \qquad \sum (mn' - nm')f' = -K; +\] +$l\Add{,} m\Add{,} n$, $l'\Add{,} m'\Add{,} n'$ sont ici cosinus directeurs de \Card{2} directions rectangulaires. +Introduisons une nouvelle direction de cosinus +$l_{2}\Add{,} m_{2}\Add{,} n_{2}$ formant avec les \Card{2} précédentes un trièdre trirectangle +\[ +l_{2}= mn' - nm', \qquad m_{2} = nl' - ln', \qquad n_{2} = lm' - ml'. +\] +Le système devient +\[ +\sum lf' = 0, \qquad \sum l'f' = -P, \qquad \sum l_{2} f'= -K; +\] +d'où +\[ +\Tag{(3)}%[** TN: Added brace] +\left\{ +\begin{alignedat}{2} +f' &= -Pl' &&- K (mn' - nm'), \\ +g' &= -Pm' &&- K (nl' - ln'), \\ +h' &= -Pn' &&- K (lm' - ml'). +\end{alignedat} +\right. +\] +On a $f, g, h$ par des quadratures. + +\Section{La forme \texorpdfstring{$\Psi$}{Psi} et les lignes asymptotiques.} +{10.}{} Nous avons +\[ +\Psi(du, dv) = \sum Ad^{2}x = +\begin{vmatrix} +d^{2}x & d^{2}y & d^{2}z \\ +\mfrac{\dd x}{\dd u} & \mfrac{\dd y}{\dd u} & \mfrac{\dd z}{\dd u} \\ +\mfrac{\dd x}{\dd v} & \mfrac{\dd y}{\dd v} & \mfrac{\dd z}{\dd v} +\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} +(f'' + ul'')\,dv^{2} + 2l'\,du\,dv & \dots \\ +1 & \dots \\ +f' + ul' & \dots +\end{vmatrix} +\] +on a pour~$\Psi$ une expression de la forme +\[ +\Psi(du, dv) = 2F'\, du\, dv + G'\, dv^{2}, +\] +%% -----File: 119.png---Folio 111------- +$F'$~étant fonction de $v$~et~$G'$ un trinôme du \Ord{2}{e} degré en~$u$. Nous +trouvons naturellement pour lignes asymptotiques les courbes +$dv = 0$, $v = \cte$ qui sont les génératrices. Les autres lignes +asymptotiques sont déterminées par l'équation différentielle +\[ +\frac{du}{dv} = - \frac{G'}{2F'}, +\] +ou +\[ +\Tag{(1)} +\frac{du}{dv} = Ru^{2} + 2Su + T, +\] +$R\Add{,} S\Add{,} T$ étant fonctions de~$v$. C'est une \emph{équation de \DPtypo{Ricatti}{Riccati}}. Rappelons +ses propriétés. + +\ParItem[\DPchg{Equation}{Équation} de \DPtypo{Ricatti}{Riccati}.]{\Primo.} \emph{Supposons qu'on ait une solution}~$u_{1}$, de cette équation. +Posons +\[ +\Tag{(2)} +u = u_{1} + \frac{1}{w}, +\] +d'où +\[ +du = du_{1} - \frac{dw}{w^{2}}. +\] +L'équation~\Eq{(1)} devient +\[ +\frac{du_{1}}{dv} - \frac{1}{w^{2}} · \frac{dw}{dv} + = Ru_{1}^{2} + 2R \frac{u_{1}}{w} + R \frac{1}{w^{2}} + + 2Su_{1} + 2S \frac{1}{w} + T; +\] +mais $u_{1}$ étant intégrale de~\Eq{(1)}, on a +\[ +\frac{du_{1}}{dv} = Ru_{1}^{2} + 2Su_{1} + T, +\] +de sorte que l'équation devient +\[ +-\frac{dw}{dv} = 2(Ru_{1} + S) w + R, +\] +ou +\[ +\Tag{(3)} +\frac{dw}{dv} = Qw - R. +\] +C'est une équation linéaire dont \emph{l'intégration s'effectue par +\Card{2} quadratures.} + +\ParItem{\Secundo.} \emph{Supposons qu'on ait \Card{2} intégrales} $u_{2}\Add{,} u_{1}$ de l'équation. +Posons +\[ +u_{2} = u_{1} + \frac{1}{w_{0}}, +\] +d'où +\[ +w_{0} = \frac{1}{u_{2} - u_{1}}; +\] +%% -----File: 120.png---Folio 112------- +$w_{0}$~sera une intégrale de l'équation~\Eq{(3)}. Posons alors +\[ +\Tag{(4)} +w = w_{0} + \theta, +\] +d'où +\[ +dw = dw_{0} + d\theta; +\] +\Eq{(3)}~devient +\[ +\frac{dw_{0}}{dv} + \frac{d\theta}{dv} = Qw_{0} + Q\theta - R; +\] +ou, comme $w$~est intégrale de~\Eq{(3)} +\[ +\frac{d\theta}{dv} = Q\theta, +\] +équation linéaire sans \Ord{2}{e} membre qui s'intègre immédiatement +\emph{par une seule quadrature}: +\begin{gather*} +\Tag{(5)} +\frac{d\theta}{\theta} = Q\, dv, \\ +\log \theta = \int Q\, dv, \\ +\theta = e^{Q\, dv}. +\end{gather*} + +\ParItem{\Tertio.} \emph{Supposons qu'on ait \Card{3} intégrales} $u_{1}\Add{,} u_{2}\Add{,} u_{3}$ de l'équation~\Eq{(1)}. +On a alors \Card{2} intégrales de l'équation~\Eq{(3)}. Soit +\[ +w_{1} = \frac{1}{u_{0} - u_{1}}; +\] +$w_{1}$~est intégrale de~\Eq{(3)}, et par suite on a une intégrale~$\theta_{0}$ de~\Eq{(5)} +\[ +\theta_{0} = w_{1} - w_{0} + = \frac{1}{u_{3} - u_{1}} - \frac{1}{u_{2} - u_{1}} + = \frac{u_{2} - u_{3}}{(u_{3} - u_{1}) (u_{2} - u_{1})}. +\] +Posons +\begin{gather*} +\theta = \theta_{0} \psi, \\ +d\theta = \theta_{0} · d\psi + \psi · d\theta_{0}; +\end{gather*} +\Eq{(5)}~devient +\[ +\theta_{0}\, \frac{d\psi}{dv} + \psi · \frac{d\theta_{0}}{dv} + = Q \psi\theta_{0}, +\] +ou, comme $\theta_{0}$~est intégrale de~\Eq{(5)}\Add{,} +\[%[** TN: Set on two lines in original] +\theta_{0} \frac{d\psi}{dv} = 0, \qquad\qquad +\frac{d\psi}{dv} = 0. +\] +$\psi$~est une constante~$C$, et l'intégrale générale de~\Eq{(5)} est +%% -----File: 121.png---Folio 113------- +\[ +\Tag{(6)} +\theta = C\, \theta_{0}. +\] +\emph{L'équation s'intègre complètement par des opérations algébriques.} +Si nous cherchons l'expression de l'intégrale générale~$u$ +en fonction des intégrales particulières $u_{1}\Add{,} u_{2}\Add{,} u_{3}$, nous avons, +en vertu de \Eq{(2)}\Add{,}~\Eq{(4)}\Add{,}~\Eq{(6)}, +\[ +u = u_{1} + \frac{1}{w} + = u_{1} + \frac{1}{\dfrac{1}{u_{2} - u_{1}} + \theta} + = u_{1} + \frac{1}{\dfrac{1}{u_{2} - u_{1}} + + C \dfrac{u_{2} - u_{3}}{(u_{3} - u_{1}) (u_{2} - u_{1})}}\Add{,} +\] +d'où +\[ +\frac{1}{u - u_{1}} + = \frac{1}{u_{2} - u_{1}} + + \frac{C(u_{2} - u_{3})}{(u_{3} - u_{1})(u_{2} - u_{1})} + = \frac{u_{3} - u_{1} + C (u_{2} - u_{3})}{(u_{3} - u_{1}) (u_{2} - u_{1})}, +\] +d'où +\begin{gather*} +C(u_{2} - u_{3}) + = \frac{(u_{3} - u_{1}) (u_{2} - u_{1})}{u - u_{1}} - (u_{3} - u_{1}) + = \frac{(u_{3} - u_{1}) (u_{2} - u)}{(u - u_{1})}, \\ +\Tag{(7)} +C = \frac{u - u_{2}}{u - u_{1}} : \frac{u_{3} - u_{2}}{u_{3} - u_{1}}, +\end{gather*} +ou +\[ +\Ratio{u}{u_{1}}{u_{2}}{u_{3}} = C. +\] +\emph{Ainsi le rapport anharmonique de \Card{4} intégrales quelconques d'une +équation de Riccati est constant.} En remarquant que, dans +le cas présent, ces intégrales sont précisément les~$u$ des +points d'intersection d'une génératrice quelconque avec les +asymptotiques, on voit que \emph{\Card{4} lignes asymptotiques coupent les +génératrices suivant un rapport anharmonique constant.} + +\Paragraph{Remarque.} L'équation~\Eq{(7)} résolue par rapport à~$u$ donne +\[ +\Tag{(8)} +u = \frac{VC + V_{0}}{V_{1}C + V_{2}}\Add{,} +\] +$V, V_{0}, V_{1}\Add{,} V_{2}$ étant fonctions de~$v$. La constante arbitraire figure +donc dans l'intégrale générale par une fraction du \Ord{1}{e} degré. +Inversement toute fonction de la forme~\Eq{(8)} satisfait à une +équation de Riccati, car si on élimine la constante~$C$ au +moyen d'une différentiation, on retrouve une équation +%% -----File: 122.png---Folio 114------- +différentielle de la forme~\Eq{(1)}. + +\MarginNote{Cas +particuliers.} +Si la surface réglée a une directrice rectiligne, cette +directrice est une asymptotique, on a une solution particulière +de l'équation de \DPtypo{Ricatti}{Riccati}. La détermination des lignes asymptotiques +se fait au moyen de \Card{2} quadratures. C'est le cas +des \emph{surfaces réglées à plan directeur}. Si la surface admet +\Card{2} directrices rectilignes, ces \Card{2} droites sont des asymptotiques, +et on a \Card{2} solutions particulières de l'équation de Riccati. +C'est le cas des \emph{surfaces conoïdes à plan directeur}. Il ne +faut plus alors qu'une quadrature pour déterminer les lignes +asymptotiques. En réalité, on peut les obtenir sans quadrature\Add{.} +Considérons en effet une surface réglée admettant \Card{2} directrices +rectilignes. On peut effectuer une transformation homographique +de façon que l'une des directrices s'en aille à l'infini, +la surface se transforme en un conoïde à plan directeur. +Soit +\[ +z = \phi \left(\frac{y}{x}\right) +\] +l'équation d'un tel conoïde. Posons +\[ +x = u, \qquad +y = uv, \qquad +z = \Err{(v) \phi}{\phi(v)}; +\] +les lignes asymptotiques sont telles que le plan osculateur +\DPtypo{coincide}{coïncide} avec le plan tangent; ses coefficients doivent donc +satisfaire aux relations +\[ +A \frac{\dd x}{\dd u} + B \frac{\dd y}{\dd u} + C \frac{\dd z}{\dd u} = 0,\qquad +A \frac{\dd x}{\dd v} + B \frac{\dd y}{\dd v} + C \frac{\dd z}{\dd v} = 0, +\] +ou +\[ +A + B v = 0, \qquad +B u + C \phi'(v) = 0; +\] +équations satisfaites si l'on prend $C = - u$, $B = \phi'(v)$, +$A = -v\phi'(v)$. On a alors +%% -----File: 123.png---Folio 115------- +\[ +\Psi(du, dv) = A\,d^{2} x + B\, d^{2} y + C\,d^{2} z = 0; +\] +mais $A\Add{,} B\Add{,} C$~étant les coefficients du plan tangent, on a +\[ +A\, dx + B\, dy + C\, dz = 0; +\] +en différentiant cette relation, on voit qu'on peut mettre +l'équation différentielle des lignes asymptotiques sous la +forme +\[ +dA·dx + dB·dy + dC·dz = 0, +\] +ou +\begin{gather*} +-du\bigl[\phi'(v)\,dv + v\phi''(v)\, dv\bigr] + + \phi''(v)\, dv (v\, du + u\, dv) - du · \phi'(v) · dv = 0, \\ +u\phi''(v) · dv^{2} - 2\phi'(v)\, du\, dv = 0; +\end{gather*} +nous trouvons la solution $v = \cte$ qui nous donne les génératrices, +et il reste +\[ +\frac{\phi''(v)\, dv}{\phi '(v)} = \frac{2\, du}{u}, +\] +d'où +\[ +L\phi'(v) = Lu^{2} - LC, +\] +d'où +\[ +u^{2} = \DPtypo{C\phi'(v)}{C + \phi'(v)}; +\] +\emph{on a ainsi les lignes asymptotiques d'un conoïde sans quadrature}. + +\Paragraph{Remarque.} S'il y a trois directrices rectilignes, la +surface est une surface du second degré, et est doublement réglée. + +\MarginNote{Calcul de $\Psi$.} +Cherchons l'expression générale de la forme~$\Psi$. Introduisons +pour cela les variables \DPtypo{Canoniques}{canoniques}~$u\Add{,} v$ qui nous ont permis +d'arriver à la forme de l'élément linéaire. Considérons le +trièdre de Serret de la courbe~$(\Sigma)$ \DPtypo{trace}{tracé} du cône directeur sur +la sphère de rayon~$1$. La génératrice~$(l\Add{,} m\Add{,} n)$ est dans le plan +normal à cette courbe: soit $\theta$~son angle avec la normale principale; +avec les notations habituelles, nous avons: +%% -----File: 124.png---Folio 116------- +\[%[** TN: Set on separate lines in original] +l = a' \cos\theta + a'' \sin\theta, \qquad +m = b' \cos\theta + b'' \sin\theta, \qquad +n = c' \cos\theta + c'' \sin\theta; +\] +d'où +\[ +l' = a + = \theta'(-a' \sin\theta + a'' \cos\theta) + - \cos\theta \left(\frac{a}{R} + \frac{a''}{T}\right) + + \sin\theta · \frac{a'}{T}, +\] +et les analogues; %[** TN: Omitted newline] +d'où +\[ +\frac{\Cos\theta}{R} = - 1, \qquad +\theta' = \frac{1}{T}. +\] +Nous avons alors +\begin{alignat*}{4} +mn' - nm' = &mc &&- nb &&= a' \sin \theta &&- a'' \cos \theta, \\ +&nl' &&- ln' &&= b' \sin \theta &&- b'' \cos \theta, \\ +&lm' &&- ml' &&= c' \sin \theta &&- c'' \cos \theta; +\end{alignat*} +et nous obtenons, au moyen des formules~\Eq{(3)} du \No9, +\begin{alignat*}{2}%[** TN: Completed last two equations] +f' + ul' &= (u - P)l' - K(mn'- nm') + &&= (u - P)a - K \sin \theta · a' + K \cos \theta · a'', \\ +g' + um' &= (u - P)m' - K(nl'- ln') + &&= (u - P)b - K \sin \theta · b' + K \cos \theta · b'', \\ +h' + un' &= (u - P)n' - K(lm'- ml') + &&= (u - P)c - K \sin \theta · c' + K \cos \theta · c'', +\end{alignat*} +puis +\begin{multline*} +f'' + ul''\DPtypo{)}{} + = - P'a + \frac{u - P}{R} a' - K' \sin\theta · a' + - \frac{K \cos \theta}{T} a' + + K \sin \theta \left(\frac{a}{R} + \frac{a''}{T}\right) \\ + + K'\cos \theta · a'' - \frac{K \sin \theta}{T} a'' + + K · \cos \theta · \frac{a'}{T}, +\end{multline*} +ou +\begin{alignat*}{4}%[** TN: Completed last two equations, fixed typos in original] +f'' &+ ul'' &&= a \left(\frac{K \sin \theta}{R} - P'\right) + &&+ a' \left(\frac{u - P}{R} - K' \sin \theta\right) + &&+ a'' · K'\cos \theta, \\ +g'' &+ um'' &&= b \left(\frac{K \sin \theta}{R} - P'\right) + &&+ b' \left(\frac{u - P}{R} - K' \sin \theta\right) + &&+ b'' · K'\cos \theta, \\ +h'' &+ un'' &&= c \left(\frac{K \sin \theta}{R} - P'\right) + &&+ c' \left(\frac{u - P}{R} - K' \sin \theta\right) + &&+ c'' · K'\cos \theta, +\end{alignat*} +Alors +\[ +\Psi = \begin{vmatrix} + \left[ + \begin{aligned} + 2a · du\, dv + &+ dv^{2} \biggl[a \left(\mfrac{K \sin \theta}{R} - P'\right) \\ + &\quad+ a' \left(\mfrac{u - P}{R} - K' \sin \theta\right) + + a'' · K'\cos \theta\biggr] + \end{aligned} + \right] & \dots & \dots \\ + \vphantom{\bigg|} + (u - P) a - K \sin \theta · a' + K \cos \theta · a'' & \dots & \dots \\ + a' \cos \theta + a'' \sin \theta & \dots & \dots +\end{vmatrix}, +\] +%% -----File: 125.png---Folio 117------- +ou +\[ +\Psi = \begin{vmatrix} +2\, du\, dv + \left(\mfrac{K \sin \theta}{R} - P'\right)\, dv^{2} + & \left(\mfrac{u - P}{R} - K' \sin \theta\right)\, dv^{2} & K' \cos \theta · dv^{2} \\ +u - P & - K \sin\theta & K \cos\theta \\ +0 & \Cos\theta & \sin\theta +\end{vmatrix}\Add{,} +\] +c'est-à-dire +\[ +\Psi = -\left[2\, du\, dv + + \left(\frac{K \sin \theta}{R} - P'\right) dv^{2}\right] K + - (u - P) \left[- K' + (u-P) \frac{\sin \theta}{R}\right] dv^{2}, +\] +ou enfin +\[ +\Psi = - 2K · du\, dv + \left\{(u - P) K' + KP' + - \frac{\sin \theta}{R} \left[(u - P)^{2} + K^{2}\right]\right\} dv^{2}. +\] +Le seul élément nouveau qui intervient est la courbure géodésique +$\dfrac{\sin \theta}{R}$ de la courbe~$(\Sigma)$ sur la sphère. Cet élément suffit +à déterminer~$(\Sigma)$; supposons en effet +\[ +\frac{\sin \theta}{R} = \Phi (v); +\] +nous avons +\[ +\frac{\Cos \theta}{R} = - 1, \qquad +\frac{1}{T} = \theta'; +\] +nous en déduisons +\[ +\Tag{(1)} +\tg \theta = - \Phi (v), \qquad +R = - \Cos \theta, \qquad +T = \frac{dv}{d \theta}; +\] +nous avons ainsi tous les éléments de la courbe~$(\Sigma)$. + +\Paragraph{Remarque.} Les formules~(\DPtypo{'}{1}) nous permettent de trouver +la condition pour qu'une courbe soit tracée sur la sphère de +rayon~$1$. Nous avons en effet +\[ +\frac{dR}{dv} = +\sin\theta · \frac{d\theta}{dv} = \frac{\sin\theta}{R}, +\] +d'où +\[ +R^{2} + T^{2} \left(\frac{dR}{dv}\right)^{2} = 1; +\] +%% -----File: 126.png---Folio 118------- +Ce qui exprime que le rayon de la sphère osculatrice est égal +à~$1$. + +\Section{Lignes de courbure.} +{11.}{} L'équation différentielle des lignes de courbure est +\[ +\begin{vmatrix} +\mfrac{\dd ds^{2}}{\dd\, du} & \mfrac{\dd ds^{2}}{\dd\, dv} \\ +\mfrac{\dd \Psi}{\dd\, du} & \mfrac{\dd \Psi}{\dd\, dv} +\end{vmatrix} = 0, +\] +ou +\[ +\begin{vmatrix} +du & \bigl[(u - P)^{2} + K^{2}\bigr] dv \\ +- K\, dv & +- K\, du + \left[(u - P) K' + KP' + - \mfrac{\sin\theta}{R} \bigl[(u - P)^{2} + K^{2}\bigr]\DPtypo{}{\right]}dv +\end{vmatrix} = 0, +\] +c'est-à-dire +\begin{multline*} +- K du^{2} + \Bigl[(u - P)K' + KP' + - \Phi \bigl[(u - P)^{2} + K^{2}\bigr]\Bigr]du\,dv \\ % + + + K \left[(u - P)^{2} + K^{2}\right]dv^{2} = 0. +\end{multline*} +Telle est l'équation différentielle des lignes de courbure, +où $\Phi$~représente la courbure géodésique de la courbe~$(\Sigma)$. + +\Section{Centre de courbure géodésique.} +{12.}{} Considérons une trajectoire orthogonale des génératrices, +par exemple $u = 0$, +\[ +x = f(v), \qquad +y = g(v), \qquad +z = h(v); +\] +cherchons son centre de courbure géodésique. C'est le point où +la droite polaire rencontre le plan tangent. Or\Add{,} la génératrice +étant normale à sa trajectoire orthogonale\DPtypo{,}{} est l'intersection +du plan normal et du plan tangent; \emph{le centre de courbure +géodésique est donc à l'intersection de la droite polaire avec +la génératrice}. Le plan normal est +\[ +\sum (x - f) f' = 0; +\] +la caractéristique est définie par l'équation précédente et +%% -----File: 127.png---Folio 119------- +par +\[ +\sum (x - f) f'' - \sum f'{}^{2} = 0. +\] +Pour déterminer le centre de courbure géodésique, il suffit de +déterminer l'$u$~du point d'intersection de la droite précédente +avec la génératrice +\[ +x = f(v) + ul(v), \qquad +y = g(v) + um(v), \qquad +z = h(v) + un(v). +\] +La \Ord{1}{ère} équation se réduit à une identité, la \Ord{2}{e} donne +\[ +u \sum lf'' - \sum f'{}^{2} = 0; +\] +mais on a +\[ +\sum lf' = 0, +\] +d'où +\[ +\sum l'f' + \sum lf'' = 0; +\] +et l'équation qui donne l'$u$~du point cherché devient +\[ +u \sum l'f' + \sum f'{}^{2} = 0, +\] +ou +\[ +- u P + P^{2} + K^{2} = 0; +\] +ou enfin: +\[ +P (u - P) = K^{2}. +\] +\DPtypo{si}{Si} $C$~est le point central, $M$~le point considéré sur la trajectoire +orthogonale, $M'$~le centre de courbure géodésique, l'équation +précédente donne +\[ +CM \cdot CM' = - K^{2}. +\] +Donc les plans tangents en $M\Add{,} M'$ sont rectangulaires. Ainsi le +\emph{centre de courbure géodésique en un point~$M$ d'une trajectoire +orthogonale des génératrices d'une surface réglée est le point +de la génératrice où le plan tangent est perpendiculaire au +plan tangent en~$M$}. + +Si nous considérons maintenant une courbe~$(\DPtypo{C}{c})$ tracée sur +une surface quelconque~$(S)$ les normales à~$(c)$ tangentes à~$(\DPtypo{s}{S})$ +engendrent une surface réglée~$(\Sigma)$; les surfaces $(\DPtypo{s}{S})\Add{,} (\Sigma)$ étant +tangentes tout le long de~$(c)$, la courbe~$(c)$ a même centre de +%% -----File: 128.png---Folio 120------- +courbure géodésique sur~$(\DPtypo{s}{S})$ et sur~$(\Sigma)$; ce qui permet de construire +le centre de courbure géodésique d'une courbe tracée +sur une surface quelconque. + + +\ExSection{V} + +\begin{Exercises} +\item[21.] Trouver les points de contact des plans isotropes \DPtypo{menes}{menés} par +une génératrice quelconque d'une surface réglée. Quelles relations +ont-ils avec le point central et le paramètre de +distribution? + +\item[22.] Trouver les surfaces réglées dont les lignes asymptotiques +interceptent sur les génératrices des segments égaux. + +\item[23.] Trouver les surfaces réglées dont les lignes de courbure +interceptent sur les génératrices des segments égaux. + +\item[24.] Trouver les surfaces réglées dont les rayons de courbure +principaux sont fonctions l'un de l'autre. + +\item[25.] Trouver les lignes de courbure et les lignes géodésiques de +l'\DPchg{hélicoide}{hélicoïde} développable. + +\item[26.] Montrer que les lignes d'une surface~$(S)$ quelconque, pour +lesquelles: $ds - R_{g}\, d\phi = 0$, sont caractérisées par cette +propriété que, si l'on mène par chacun des points de l'une +% [** TN: Regularized, "constant" in original] +d'elles une tangente à la courbe $v = \const.$, la surface réglée +ainsi obtenue a pour ligne de striction la courbe considérée +(voir \hyperref[exercice11]{exercice~11}). + +\item[27.] \DPchg{Etant}{Étant} donnée une surface~$S$ et une courbe~$C$ de cette surface, +on considère la surface \DPtypo{reglée}{réglée}~$G$ engendrée par les normales~$MN$ +menées à~$S$ aux divers points $M$~de~$C$. Le point central de~$MN$ +s'appelle le \emph{métacentre} de~$S$, correspondant au point~$M$ et à +la tangente~$MT$ de~$C$. + +%[** TN: Regularized formatting of parts] +\Primo. Déterminer ce métacentre, le plan +asymptote, le paramètre de distribution. Discuter la variation +du métacentre quand la courbe~$(C)$ varie, en passant toujours +en~$M$. + +\Secundo. Montrer que le métacentre est le centre de +courbure de la section droite du cylindre circonscrit à~$S$, et +dont les génératrices sont perpendiculaires au plan asymptote +de~$G$. + +\Tertio. On suppose qu'on ait plusieurs surfaces~$S$, et que +l'on affecte chacune d'elles d'un coefficient \DPtypo{numerique}{numérique}~$a$. +On considère comme homologues sur ces diverses surfaces les +points~$M$ (pris un sur chaque surface) pour lesquels les plans +tangents à ces diverses surfaces sont parallèles; soit~$M_{0}$ le +centre des moyennes distances d'un tel système de points~$M$ +homologues, et relatif au système des coefficients~$a$. Soit~$S_{0}$ +la surface lieu des points~$M_{0}$. Montrer qu'elle correspond +à chacune des surfaces~$S$ par plans tangents parallèles; et que +si~$I_{0}$ est le métacentre de~$S_{0}$ correspondant aux divers métacentres~$I$ +des surfaces~$S$ qui se trouvent associés dans la +correspondance \DPtypo{considerée}{considérée}, on a $(\sum a) · M_{0} I_{0} = \sum (a · MI)$. + +\item[28.] On donne une courbe gauche~$R$, arête de rebroussement d'une +développable~$\Delta$. Déterminer toutes les surfaces réglées satisfaisant +aux conditions suivantes: chacune des génératrices~$G$ +d'une telle surface est perpendiculaire à un plan tangent~$P$ de~$\Delta$, +et le point de rencontre de~$G$ et de~$P$ est le point central +de~$G$. Soit alors~$\Sigma$ l'une de ces surfaces réglées, chacun des +plans isotropes passant par une de ses génératrices enveloppe +une développable. Montrer que le lieu des milieux des segments +dont les extrémités décrivent, indépendamment l'un de +l'autre, les arêtes de rebroussement de ces deux développables +est une surface minima inscrite dans~$\Delta$. +\end{Exercises} +%% -----File: 129.png---Folio 121------- + + +\Chapitre{VI}{Congruences de Droites.} + +\Section{Points et plans focaux.} +{1.}{} On appelle \emph{congruence} un ensemble de droites dépendant +de \Card{2} paramètres; toutes les droites rencontrant \Card{2} droites +fixes constituent une congruence; de même les droites passant +par un point fixe, les normales à une surface; si sur une +surface on considère une famille de courbes dépendant d'un paramètre, +l'ensemble de leurs tangentes constitue une congruence. + +Une droite d'une congruence pourra se représenter par les +équations +\[%[** TN: Set on one line in original; added brace] +\Tag{(1)} +\left\{ +\begin{alignedat}{2} +x &= f(v, w) &&+ u · a(v, w), \\ +y &= g(v, w) &&+ u · b(v, w), \\ +z &= h(v, w) &&+ u · c(v, w). +\end{alignedat} +\right. +\] +Les équations +\[ +\Tag{(2)} +x = f(v, w), \qquad +y = g(v, w), \qquad +z = h(v, w) +\] +définissent le \emph{support} de la congruence, $a, b, c$ définissent les +directions des droites de la congruence passant par chaque +point du support. Ce support sera en général une surface, et +la congruence sera constituée par les droites de directions +données passant par tous les points d'une surface. Il peut +arriver que $f, g, h$ ne dépendent que d'un seul paramètre, le +support est alors une courbe, et par tout point de la courbe +passent une infinité de droites de la congruence, qui constituent +un cône. Enfin $f, g, h$ peuvent se réduire à des constantes, +et la congruence est constituée par toutes les droites +%% -----File: 130.png---Folio 122------- +passant par le point fixe de coordonnées~$f, g, h$. + +Supposons qu'on établisse une relation entre~$v, w$; cela +revient à choisir $\infty^{1}$~droites de la congruence, qui constituent +une surface réglée de la congruence. On retrouverait ainsi les +équations générales d'une surface réglée. Considérons toutes +les surfaces réglées passant par une droite~$D$ de la congruence\Add{.} +Deux de ces surfaces se raccordent en \Card{2} points de la droite~$D$. +Nous allons montrer que ces \Card{2} points sont indépendants des +surfaces réglées que l'on considère. En d'autres termes \emph{sur +chaque droite~$D$ de la congruence il existe \Card{2} points $F, F'$ auxquels +correspondent \Card{2} plans $P, P'$ passant par la droite~$D$ et +tels que toutes les surfaces réglées de la congruence passant +par la droite~$D$ ont pour plans tangents en~$F, F'$ respectivement +les plans~$P, P'$}. Ces points~$F, F'$ s'appellent \emph{foyers} ou \emph{points focaux} +de la droite~$D$, les plans~$P, P'$ sont les \emph{plans focaux} associés +à~$F, F'$. Pour démontrer la proposition, cherchons le plan +tangent en un point quelconque de la génératrice~\Eq{(1)}. Les paramètres +$A\Add{,} B\Add{,} C$ du plan tangent satisfont aux équations +\begin{gather*} +\Tag{(3)} +Aa + Bb + Cc = 0, \\ +\Tag{(3')} +A(df + u\,da) + B(dg + u\,db) + C(dh + u\,dc) = 0. +\end{gather*} +On peut choisir~$u$ de façon que le plan tangent soit indépendant +des différentielles $dv, dw$, et par suite indépendant de la relation +existant entre~$v\Add{,} w$, c'est-à-dire indépendant de la surface +réglée. Développons la \Ord{2}{e} équation~\Eq{(3)} +\begin{alignat*}{5} +0 = &\biggl[ + && A\left(\frac{\dd f}{\dd v} + u \frac{\dd a}{\dd v}\right) + &&+ B\left(\frac{\dd g}{\dd v} + u \frac{\dd b}{\dd v}\right) + &&+ C\left(\frac{\dd h}{\dd v} + u \frac{\dd c}{\dd v}\right) + &&\biggr] dv \\ + + &\biggl[ + && A\left(\frac{\dd f}{\dd w} + u \frac{\dd a}{\dd w}\right) + &&+ B\left(\frac{\dd g}{\dd w} + u \frac{\dd b}{\dd w}\right) + &&+ C\left(\frac{\dd h}{\dd w} + u \frac{\dd c}{\dd w}\right) + &&\biggr] dw. +\end{alignat*} +%% -----File: 131.png---Folio 123------- +Pour que le plan tangent soit indépendant de $dv, dw$, il suffit +que l'on ait +\[ +\Tag{(4)} +\left\{ +\begin{alignedat}{4} + & A\left(\frac{\dd f}{\dd v} + u\frac{\dd a}{\dd v}\right) + &&+ B\left(\frac{\dd g}{\dd v} + u\frac{\dd b}{\dd v}\right) + &&+ C\left(\frac{\dd h}{\dd v} + u\frac{\dd c}{\dd v}\right) + &&= 0 \\ + & A\left(\frac{\dd f}{\dd w} + u\frac{\dd a}{\dd w}\right) + &&+ B\left(\frac{\dd g}{\dd w} + u\frac{\dd b}{\dd w}\right) + &&+ C\left(\frac{\dd h}{\dd w} + u\frac{\dd c}{\dd w}\right) + &&= 0 +\end{alignedat} +\right. +\] +Les relations~\Eq{(4)} et la \Ord[f]{1}{e} des relations~\Eq{(3)} doivent être +satisfaites pour des valeurs non toutes nulles de~$A\Add{,} B\Add{,} C$, donc +on doit avoir +\[ +\Tag{(5)} +\begin{vmatrix} +a & b & c \\ +\mfrac{\dd f}{\dd v} + u\mfrac{\dd a}{\dd v} & +\mfrac{\dd g}{\dd v} + u\mfrac{\dd b}{\dd v} & +\mfrac{\dd h}{\dd v} + u\mfrac{\dd c}{\dd v} \\ +\mfrac{\dd f}{\dd w} + u\mfrac{\dd a}{\dd w} & +\mfrac{\dd g}{\dd w} + u\mfrac{\dd b}{\dd w} & +\mfrac{\dd h}{\dd w} + u\mfrac{\dd c}{\dd w} +\end{vmatrix} = 0. +\] +Telle est l'équation qui donne les~$u$ des points focaux; elle +est du \Ord{2}{e} degré, donc il y a \Card{2} points focaux; le plan focal +correspondant à chacun d'eux aura pour coefficients les valeurs +de~$A, B, C$ satisfaisant aux équations \Eq{(3)}~et~\Eq{(4)}. + +\MarginNote{Surfaces focales. +Courbes focales.} +Le lieu des foyers s'obtiendra sans difficulté. Il +suffit de tirer~$u$ de~\Eq{(5)} et de porter sa valeur dans~\Eq{(1)}. +L'équation~\Eq{(5)} étant du \Ord{2}{e} degré donne pour~$u$ \Card{2} valeurs, de +sorte que le lieu se compose de \Card{2} parties distinctes dans le +voisinage de la droite~$D$. Considérons l'une de ces parties; +elle peut être une surface, que l'on appellera \emph{surface focale}, +ou une courbe, que l'on appellera \emph{courbe focale}, ou bien elle +peut se réduire à un point, et la congruence comprend alors +toutes les droites passant par ce point. En écartant ce cas, +on voit que le lieu des foyers peut se composer de \Card{2} surfaces, +d'une courbe et d'une surface, ou de deux courbes. + +\ParItem{\Primo.} Supposons qu'une portion du lieu des foyers soit une +%% -----File: 132.png---Folio 124------- +surface~$(\Phi)$. Prenons cette surface comme support de la congruence; +l'équation~\Eq{(5)} a pour racine $u = 0$, on a donc +\[ +\begin{vmatrix} +a & b & c \\ +\mfrac{\dd f}{\dd v} & \mfrac{\dd g}{\dd v} & \mfrac{\dd h}{\dd v} \\ +\mfrac{\dd f}{\dd w} & \mfrac{\dd g}{\dd w} & \mfrac{\dd h}{\dd w} +\end{vmatrix} = 0. +\] +Ceci exprime que la droite~$D$ est dans le plan tangent à la +surface $(\Phi)$ au point~$M$ ($u = 0$), qui est l'un des foyers, soit~$F$. +\emph{Ainsi les droites de la congruence sont tangentes à la surface +focale au foyer correspondant.} Cherchons le plan focal +correspondant à~$F$. Ses coefficients $A\Add{,} B\Add{,} C$ sont déterminés par +les équations +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +Aa + Bb + Cc = 0\Add{,}& \\ +\begin{alignedat}{4} +&A \mfrac{\dd f}{\dd v} &&+ B \mfrac{\dd g}{\dd v} + &&+ C \mfrac{\dd h}{\dd v} &&= 0\Add{,} \\ +&A \mfrac{\dd f}{\dd w} &&+ B \mfrac{\dd g}{\dd w} + &&+ C \mfrac{\dd h}{\dd w} &&= 0\Add{,} +\end{alignedat}& +\end{aligned} +\right. +\] +d'après la condition précédemment écrite, ces équations se réduisent +à~$2$, et expriment que \emph{le plan focal correspondant au +foyer~$F$ est le plan tangent en~$F$ à la surface~$(\Phi)$. Toutes les +surfaces réglées de la congruence sont circonscrites à la surface +focale}. + +\emph{Si le lieu des foyers $F, F'$ comprend deux surfaces focales~$(\Phi)\Add{,} (\Phi')$, +les droites de la congruence sont tangentes aux +\Card{2} surfaces focales, les foyers~$F, F'$ sont les points de contact, +les plans focaux sont les plans tangents aux surfaces focales +aux foyers correspondants. Le lieu des foyers coïncide avec +l'enveloppe des plans focaux.} +%% -----File: 133.png---Folio 125------- + +\emph{Réciproquement}, étant données \Card{2} surfaces quelconques $(\Phi)\Add{,} +(\Phi')$, leurs tangentes communes dépendent de \Card{2} paramètres. Soit~$F$ +un point de~$(\Phi)$. Considérons le plan tangent en~$F$ à~$(\Phi)$; il +coupe~$(\Phi')$ suivant une certaine courbe; si nous menons de~$F$ des +tangentes à cette courbe, ces droites, qui sont tangentes aux +\Card{2} surfaces $(\Phi)\Add{,} (\Phi')$ sont déterminées quand le point~$F$ est déterminé; +elles dépendent d'autant de paramètres que le point~$F$, +donc de \Card{2} paramètres; elles constituent une congruence, +dont les surfaces réglées sont circonscrites aux surfaces $(\Phi)\Add{,} +(\Phi')$ qui sont les surfaces focales. + +Si les surfaces $(\Phi)\Add{,} (\Phi')$ constituent \Card{2} nappes d'une même +surface~$(S)$, comme cela arrive en général, la congruence sera +constituée par les tangentes doubles de la surface~$(S)$. + +\ParItem{\Secundo.} Supposons qu'une portion du lieu des foyers soit une +courbe~$(\phi)$, que nous prendrons pour support de la congruence. +Nous pouvons alors supposer que $f\Add{,} g\Add{,} h$ ne dépendent que d'un paramètre, +$v$~par exemple; alors $\dfrac{\dd f}{\dd w}, \dfrac{\dd g}{\dd w}, \dfrac{\dd h}{\dd w}$ sont nuls, et $u = 0$ est +racine de l'équation~\Eq{(5)}. \emph{Si les droites d'une congruence rencontrent +une courbe fixe, les points de cette courbe sont des +foyers pour les droites de la congruence qui y passent.} Cherchons +le plan focal correspondant. Nous avons +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +Aa + Bb + Cc &= 0\Add{,} \\ +A \frac{\dd f}{\dd v} + B \frac{\dd g}{\dd v} + C \frac{\dd h}{\dd v} &= 0\Add{,} +\end{aligned} +\right. +\] +\emph{le plan focal passe par la droite~$D$ et est tangent à la courbe +focale. Toutes les surfaces réglées de la congruence passent +par la courbe focale, et en un point~$M$ de cette courbe sont +tangentes au plan tangent à cette courbe passant par la droite~$D$.} +%% -----File: 134.png---Folio 126------- + +Supposons qu'il y ait une surface focale~$(\Phi)$ et une +courbe focale~$(\phi')$; \emph{la congruence est constituée par les droites +rencontrant~$(\phi')$ et tangentes à~$(\Phi)$}. On a immédiatement les +foyers et les plans focaux, d'après ce qui précède. \emph{Réciproquement, +les droites rencontrant une courbe~$(\phi')$ et tangentes +à une surface~$(\Phi)$ constituent une congruence qui admet $(\phi')$~et~$(\Phi)$ +pour lieu de ses foyers.} + +Supposons qu'il y ait \Card{2} courbes focales $(\phi)\Add{,} (\phi')$. \emph{La +congruence est constituée par les droites rencontrant $(\phi)\Add{,} (\phi')$, +et ses surfaces réglées contiennent les \Card{2} courbes focales. Réciproquement +les droites rencontrant \Card{2} courbes données constituent +une congruence qui admet ces \Card{2} courbes comme courbes focales.} +Si $(\phi)\Add{,} (\phi')$ constituent \Card{2} parties d'une même courbe~$(c)$, +la congruence est constituée par les droites rencontrant~$(c)$ +en \Card{2} points, c'est-à-dire les cordes de~$(c)$. + +\MarginNote{Cas singuliers.} +Voyons dans quels cas les \Card{2} foyers sont confondus sur +toutes les droites de la congruence. + +Examinons d'abord le cas de \Card{2} surfaces focales confondues\Add{.} +Prenons cette surface~$(\Phi)$ comme support; en chaque point~$F$ de +cette surface est tangente une droite~$D$ de la congruence. Si +on considère ces points focaux et les droites correspondantes, +on peut trouver sur la surface une famille de courbes tangentes +en chacun de leurs points à la droite correspondante de la +congruence. Soit la droite~$D$, elle est tangente à la surface, +donc ses coefficients directeurs sont: +\[ +a = \lambda \frac{\dd f}{\dd v} + \mu \frac{\dd f}{\dd w}, \qquad +b = \lambda \frac{\dd g}{\dd v} + \mu \frac{\dd g}{\dd w}, \qquad +c = \lambda \frac{\dd h}{\dd v} + \mu \frac{\dd h}{\dd w}\Add{.} +\] +%% -----File: 135.png---Folio 127------- +Soit une courbe de la surface~$(\Phi)$ définie en exprimant~$v\Add{,} w$ en +fonction d'un paramètre; les coefficients directeurs de la +tangente sont +\[ +dx = \frac{\dd f}{\dd v} · dv + \frac{\dd f}{\dd w} · dw, \quad +dy = \frac{\dd g}{\dd v} · dv + \frac{\dd g}{\dd w} · dw, \quad +dz = \frac{\dd h}{\dd v} · dv + \frac{\dd h}{\dd w} · dw; +\] +pour que cette tangente soit la droite~$D$, il faut que l'on +ait +\[ +\frac{dv}{\lambda} = \frac{dw}{\mu}. +\] +Pour déterminer l'un des paramètres~$v\Add{,} w$ en fonction de l'autre, +on a à intégrer une équation différentielle du \Ord{1}{er} ordre. La +famille de courbes dépend d'un paramètre, soit $w = \cte[]$. On +aura alors +\[ +a = \frac{\dd f}{\dd v}, \qquad +b = \frac{\dd g}{\dd v}, \qquad +c = \frac{\dd h}{\dd v}; +\] +et \Eq{(5)}~devient +\[ +\begin{vmatrix} +\mfrac{\dd f}{\dd v} & +\mfrac{\dd g}{\dd v} & +\mfrac{\dd h}{\dd v} \\ +\mfrac{\dd f}{\dd v} + u \mfrac{\dd^{2} f}{\dd v^{2}} & +\mfrac{\dd g}{\dd v} + u \mfrac{\dd^{2} g}{\dd v^{2}} & +\mfrac{\dd h}{\dd v} + u \mfrac{\dd^{2} h}{\dd v^{2}} \\ +\mfrac{\dd f}{\dd w} + u \mfrac{\dd^{2} f}{\dd v \dd w} & +\mfrac{\dd g}{\dd w} + u \mfrac{\dd^{2} g}{\dd v \dd w} & +\mfrac{\dd h}{\dd w} + u \mfrac{\dd^{2} h}{\dd v \dd w} +\end{vmatrix} = 0. +\] +\DPtypo{en}{En} retranchant la \Ord{1}{ère} ligne de la \Ord{2}{e}, $u$~vient en facteur: +pour que les points focaux soient confondus, il faut que le +déterminant s'annule encore pour $u = 0$, ce qui donne +\[ +\begin{vmatrix} +\mfrac{\dd f}{\dd v} & +\mfrac{\dd g}{\dd v} & +\mfrac{\dd h}{\dd v} \\ +\mfrac{\dd^{2} f}{\dd v^{2}} & +\mfrac{\dd^{2} g}{\dd v^{2}} & +\mfrac{\dd^{2} h}{\dd v^{2}} \\ +\mfrac{\dd f}{\dd w} & +\mfrac{\dd g}{\dd w} & +\mfrac{\dd h}{\dd w} +\end{vmatrix} = 0\Add{,} +\] +ou $E' = 0$. Alors l'équation des lignes asymptotiques de la surface~$(\Phi)$, +qui est +\[ +E'\,dv^{2} + 2F'\,dv · dw + G'\,dw^{2} = 0\Add{,} +\] +%% -----File: 136.png---Folio 128------- +est satisfaite pour $dw = 0$; les courbes $w = \cte$ sont des asymptotiques +de la surface~$(\Phi)$. Ainsi \emph{les congruences à surface +focale double peuvent s'obtenir en prenant les tangentes +aux lignes asymptotiques d'une surface quelconque}. + +Considérons maintenant le cas de \Card{2} courbes focales confondues. +Prenons cette courbe pour support. Nous pouvons supposer +que $f\Add{,} g\Add{,} h$ ne dépendent plus de~$w$. Exprimons alors que l'équation~\Eq{(5)} +admet pour racine double $u = 0$, nous avons +\[ +\begin{vmatrix} +a & b & c \\ +\mfrac{\dd f}{\dd v} & \mfrac{\dd g}{\dd v} & \mfrac{\dd h}{\dd v} \\ +\mfrac{\dd a}{\dd w} & \mfrac{\dd b}{\dd w} & \mfrac{\dd c}{\dd w} +\end{vmatrix} = 0\Add{.} +\] +Les droites~$D$ de la congruence passant par un point~$F$ de la +courbe~$(\phi)$ engendrent un cône. Le plan tangent à ce cône a +pour coefficients les déterminants déduits du tableau +\[ +\begin{Vmatrix} +a & b & c \\ +\mfrac{\dd a}{\dd w} & \mfrac{\dd b}{\dd w} & \mfrac{\dd c}{\dd w} +\end{Vmatrix}\Add{,} +\] +et la condition précédente exprime que la tangente~$FT$ à la +courbe focale est dans le plan tangent au cône; ceci devant +avoir lieu quelle que soit la génératrice du cône que l'on +considère, tous les plans tangents au cône passent par~$FT$, +et le cône se réduit à un plan. \emph{Une congruence à courbe focale +double est engendrée par les droites qui en chaque point~$F$ +d'une courbe sont situées dans un plan passant par la tangente.} +Ici l'enveloppe des plans focaux ne coïncide plus avec le +lieu des points focaux. +%% -----File: 137.png---Folio 129------- + +\Section{Développables de la congruence.} +{2.}{} Cherchons si l'on peut associer les droites de la +congruence de façon à obtenir des surfaces développables. +Reprenons les équations de la droite +\begin{alignat*}{2}%[** TN: Set on one line in original] +x &= f(v,w) &&+ u · a(v,w), \\ +y &= g(v,w) &&+ u · b(v,w), \\ +z &= h(v,w) &&+ u · c(v,w); +\end{alignat*} +la condition pour que cette droite engendre une surface développable +est +\[ +\begin{vmatrix} +a & b & c \\ +da & db & dc \\ +df & dg & dh +\end{vmatrix} = 0, +\] +ou +\[ +\Tag{(1)} +\begin{vmatrix} +a & b & c \\ +\mfrac{\dd a}{\dd v} dv + \mfrac{\dd a}{\dd w} dw & +\mfrac{\dd b}{\dd v} dv + \mfrac{\dd b}{\dd w} dw & +\mfrac{\dd c}{\dd v} dv + \mfrac{\dd c}{\dd w} dw \\ +% +\mfrac{\dd f}{\dd v} dv + \mfrac{\dd f}{\dd w} dw & +\mfrac{\dd g}{\dd v} dv + \mfrac{\dd g}{\dd w} dw & +\mfrac{\dd h}{\dd v} dv + \mfrac{\dd h}{\dd w} dw +\end{vmatrix} = 0. +\] +Telle est l'équation différentielle qui exprime que la droite +de la congruence engendre une surface développable. Elle est +de la forme +\[ +A\, dv^{2} + 2 B\, dv · dw + C\, dw^{2} = 0; +\] +elle donne \Card{2} valeurs de~$\dfrac{dv}{dw}$, il y a donc \Card{2} familles de développables, +qu'on appelle \emph{développables de la congruence}. \emph{Par chaque +droite de la congruence passent \Card{2} développables de la congruence.} +Cherchons les points de contact de cette droite avec +les arêtes de rebroussement. Les coordonnées de l'un de ces +points vérifient les équations +\[ +\left\{ +\begin{alignedat}{3} +df &+ u\, da &&+ a\, d\sigma &&= 0, \\ +dg &+ u\, db &&+ b\, d\sigma &&= 0, \\ +dh &+ u\, dc &&+ c\, d\sigma &&= 0; +\end{alignedat} +\right. +\] +%% -----File: 138.png---Folio 130------- +ou +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \left(\frac{\dd f}{\dd v} + u \frac{\dd a}{\dd v}\right) dv ++ \left(\frac{\dd f}{\dd w} + u \frac{\dd a}{\dd w}\right) dw ++ a\, d\sigma &= 0, \\ + \left(\frac{\dd g}{\dd v} + u \frac{\dd b}{\dd v}\right) dv ++ \left(\frac{\dd g}{\dd w} + u \frac{\dd b}{\dd w}\right) dw ++ b\, d\sigma &= 0, \\ + \left(\frac{\dd h}{\dd v} + u \frac{\dd c}{\dd v}\right) dv ++ \left(\frac{\dd h}{\dd w} + u \frac{\dd c}{\dd w}\right) dw ++ c\, d \sigma &= 0. +\end{aligned} +\right. +\] +\DPchg{Eliminons}{Éliminons} entre ces équations $dv, dw, d\sigma$, nous avons pour déterminer +l'$u$~du point de contact de la droite avec l'arête de rebroussement, +l'équation qui donne les points focaux. Donc \emph{les +points où une droite~$D$ de la congruence touche les arêtes de +rebroussement des deux développables de la congruence qui passent +par cette droite sont les foyers de la droite~$D$}. + +\MarginNote{Développables +et surface +focale.} +Supposons que le lieu des points focaux comprenne une surface~$(\Phi)$ +que nous prendrons pour support +\[ +x = f(v,w), \qquad +y = g(v,w), \qquad +z = h(v,w). +\] +En chaque point~$F$ de la surface~$(\Phi)$ passe une droite~$D$ de la +congruence tangente en~$F$ à~$(\Phi)$ et admettant~$F$ pour foyer. Nous +avons trouvé sur la surface~$(\Phi)$ une famille de courbes tangentes +aux droites~$D$. La développable qui a pour arête de rebroussement +une de ces courbes~$(A)$ est une développable de la congruence. + +\Illustration[2.25in]{138a} +Nous avons ainsi une des familles de développables. +Considérons alors les courbes~$(c)$ +formant avec~$(A)$ un réseau conjugué. +Considérons la développable enveloppe des +plans tangents à~$(\Phi)$ tout le long d'une +courbe~$(c)$; la génératrice de cette développable +en un point~$F$ de~$(c)$ est la caractéristique +du plan tangent, c'est la tangente +%% -----File: 139.png---Folio 131------- +conjuguée de la tangente à~$(c)$, c'est la droite~$D$. Nous +avons la \Ord{2}{e} famille de développables en prenant l'enveloppe +des plans tangents à~$(\Phi)$ en tous les points des courbes~$(c)$ +conjuguées des courbes~$(A)$. + +Supposons que les courbes $w = \cte$ soient précisément les +courbes~$(A)$. On a +\[ +a = \frac{\dd f}{\dd v}, \qquad +b = \frac{\dd g}{\dd v}, \qquad +c = \frac{\dd h}{\dd v}; +\] +l'équation~\Eq{(1)} devient +\[ +\begin{vmatrix}%[** TN: Added elided columns] +\mfrac{\dd f}{\dd v} & +\mfrac{\dd g}{\dd v} & +\mfrac{\dd h}{\dd v} \\ +% +\mfrac{\dd^{2} f}{\dd v^{2}}·dv + \mfrac{\dd^{2} f}{\dd v · \dd w}\, dw & +\mfrac{\dd^{2} g}{\dd v^{2}}·dv + \mfrac{\dd^{2} g}{\dd v · \dd w}\, dw & +\mfrac{\dd^{2} h}{\dd v^{2}}·dv + \mfrac{\dd^{2} h}{\dd v · \dd w}\, dw \\ +% +\mfrac{\dd f}{\dd v} · dv + \mfrac{\dd f}{\dd w}\, dw & +\mfrac{\dd g}{\dd v} · dv + \mfrac{\dd g}{\dd w}\, dw & +\mfrac{\dd h}{\dd v} · dv + \mfrac{\dd h}{\dd w}\, dw +\end{vmatrix} = 0. +\] +Retranchons la \Ord{1}{ère} ligne de la \Ord{3}{e}: $dw$~vient en facteur, et +l'équation prend la forme +\[ +dw (E'\, dv + F'\, dw) = 0; +\] +nous trouvons d'abord $dw = 0$, (courbes~$A$); la relation +\[ +E'\, dv + F'\, dw = 0 +\] +définit précisément les courbes~$(c)$ conjuguées des courbes +$w = \cte[]$. Nous retrouvons les résultats précédents. + +\MarginNote{Développables +et courbe +focale.} +Examinons maintenant le cas d'une courbe focale~$(\phi)$ que +nous prendrons pour support: +\[ +x = f(v), \qquad +y = g(v), \qquad +z = h(v), +\] +alors $\dfrac{\dd f}{\dd w}, \dfrac{\dd g}{\dd w}, \dfrac{\dd h}{\dd w}$ sont nuls, et l'équation~\Eq{(1)} devient +\[%[** TN: Filled in last two columns] +\begin{vmatrix} +a & b & c \\ +\mfrac{\dd a}{\dd v}\, dv + \mfrac{\dd a}{\dd w}\, dw & +\mfrac{\dd b}{\dd v}\, dv + \mfrac{\dd b}{\dd w}\, dw & +\mfrac{\dd c}{\dd v}\, dv + \mfrac{\dd c}{\dd w}\, dw \\ +\mfrac{\dd f}{\dd v}\, dv & +\mfrac{\dd g}{\dd v}\, dv & +\mfrac{\dd h}{\dd v}\, dv +\end{vmatrix} = 0; +\] +%% -----File: 140.png---Folio 132------- +$dv$~est en facteur. L'une des familles de développables est +formée par les droites $v = \cte$, c'est-à-dire par toutes les +droites de la congruence passant par un même point~$F$ de~$(\phi)$. +Ce sont des cônes. + +\MarginNote{Examen des diverse +cas possibles.} +Examinons alors tous les cas possibles relativement à la +nature du lieu des foyers. + +\ParItem{\Primo.} Supposons qu'il y ait \Card{2} surfaces focales $(\Phi), (\Phi')$. +Toute droite~$D$ de la congruence est tangente à $(\Phi), (\Phi')$ aux +\Card{2} points $F\Add{,} F'$ foyers de~$D$. Considérons une des développables +ayant pour arête de rebroussement l'une des +\Figure[3.25in]{140a} +courbes~$(A)$. Toutes ses génératrices sont +tangentes à $(\Phi')$, cette développable est +circonscrite à~$(\Phi')$ le long d'une courbe~$(c')$ +que nous appellerons \emph{courbe de contact}. +Le plan focal correspondant à~$F$ est +le plan tangent en~$F$ à la surface~$(\Phi)$. Le +\Ord{2}{e} plan focal est le plan tangent en~$F'$ à~$(\Phi')$, +et comme la développable est circonscrite à~$(\Phi')$, ce plan +tangent est le plan tangent à la développable au point~$F'$, +c'est-à-dire le long de la génératrice~$D$; c'est le plan osculateur +à l'arête de rebroussement~$(A)$ au point~$F$. Il y a +évidemment réciprocité entre $(\Phi), (\Phi')$. L'autre série de développables +aura pour arêtes de rebroussement les enveloppes +des droites~$D$ sur la surface~$(\Phi')$. Soient $(A')$ ces arêtes de +rebroussement, et ces développables seront circonscrites à~$(\Phi)$ +le long des courbes de contact~$(C)$. Nous avons ainsi déterminé +sur~$(\Phi)\Add{,} (\Phi')$ \Card{2} réseaux conjugués qui se correspondent +de manière qu'aux courbes~$(A)$ correspondent les courbes~$(c')$ +%% -----File: 141.png---Folio 133------- +et aux courbes~$(c)$ les courbes~$(A')$, l'une des familles de courbes +correspondantes étant constituée par des arêtes de rebroussement, +et l'autre par des courbes de contact. Le \Ord{2}{e} foyer~$F'$ +est le point de contact de la droite~$D$ avec son enveloppe +quand on se \DPtypo{deplace}{déplace} sur la courbe~$(c)$. + +\ParItem{\Secundo.} Supposons une surface focale~$(\Phi)$ et une courbe focale~$(\phi')$. +Une des séries de développables est constituée par +\Figure[3.25in]{141a} +des cônes ayant leurs sommets +sur~$(\phi')$. Les courbes~$(c)$ sur~$(\Phi)$ +sont les courbes de contact des +cônes circonscrits à~$(\Phi)$ par les +divers points de~$(\phi')$. Les plans +focaux sont le plan osculateur à~$(A)$ +au point~$F$ et le plan tangent +à~$(\Phi)$ au point~$F$, c'est-à-dire +le plan tangent à~$(\phi')$ passant +par~$(D)$, et le plan tangent au cône de la congruence de +sommet~$F'$, le long de~$(D)$. Les courbes~$(c), (A)$ forment un réseau +conjugué sur~$(\Phi)$. + +\ParItem{\Tertio.} Supposons enfin \Card{2} courbes focales $(\phi)\Add{,} (\phi')$; les deux +familles de développables sont des cônes passant par l'une des +courbes et ayant leurs sommets sur l'autre. + +\MarginNote{Cas singuliers.} +Voyons maintenant le cas des foyers confondus. + +\ParItem{\Primo.} Il y a une \emph{surface focale double}. Dans ce cas la congruence +est constituée par les tangentes à une famille d'asymptotiques +de cette surface. Il n'y a plus qu'une famille de +développables ayant pour arêtes de rebroussement ces asymptotiques. +%% -----File: 142.png---Folio 134------- +Prenons cette surface pour support, et pour courbes $w = \cte$ +ces asymptotiques. L'équation différentielle qui détermine +les développables est +\[ +dw (E'\, dv + F'\, dw) = 0. +\] +L'équation des lignes asymptotiques est +\[ +E'\, dv^{2} + 2F'\, dv · dw + G'\, dw^{2} = 0; +\] +elle doit être vérifiée pour $dw = 0$; donc $E' = 0$, et l'équation +qui détermine les développables devient $dw^{2} = 0$, ce qui démontre +le \DPtypo{resultat}{résultat} précédemment énoncé. + +\ParItem{\Secundo.} Il y a une \emph{courbe focale double}~$(\phi)$. Les droites de +la congruence sont dans des plans tangents aux divers points +de~$(\phi)$. Une famille de ces développables est donc constituée +par ces plans. On aperçoit immédiatement deux autres développables, +l'enveloppe des plans tangents précédents, et la développable +qui a pour arête de rebroussement la courbe~$(\phi)$. Il +est facile de voir qu'il n'y en a pas d'autre. Soit la courbe~$(\phi)$: +\[ +x = f(v), \qquad +y = g(v), \qquad +z = h(v); +\] +la tangente a pour coefficients directeurs $\dfrac{\dd f}{\dd v}, \dfrac{\dd g}{\dd v}, \dfrac{\dd h}{\dd v}$; donnons-nous +en chaque point les coefficients directeurs d'une droite +de la congruence $\alpha(v), \beta(v), \gamma(v)$. Une droite quelconque de la +congruence aura pour coefficients directeurs +\[ +a = \frac{\dd f}{\dd v} + w \alpha (v), \qquad +b = \frac{\dd g}{\dd v} + w \beta (v), \qquad +c = \frac{\dd h}{\dd v} + w \gamma (v). +\] +L'équation des développables est +\[%[** TN: Filled in last two columns] +\begin{vmatrix} +f' + w · \alpha & g' + w · \beta & h' + w · \gamma \\ +(f'' + w \alpha')\, dv + \alpha · dw & +(g'' + w \beta')\, dv + \beta · dw & +(h'' + w \gamma')\, dv + \gamma · dw \\ +f'\, dv & g'\, dv & h'\, dv +\end{vmatrix} = 0; +\] +%% -----File: 143.png---Folio 135------- +$dv$~est en facteur; en retranchant la \Ord{3}{e} ligne de la \Ord{1}{ère}, $w$~est +en facteur, et l'équation se réduit à +\[%[** TN: Filled in last two columns] +w · dv^{2} +\begin{vmatrix} +\alpha & \beta & \gamma \\ +f'' + w \alpha' & g'' + w \beta' & h'' + w \gamma' \\ +f' & g' & h' +\end{vmatrix} = 0. +\] +Nous trouvons $dv = 0$ correspondant aux plans tangents; $w = 0$ +correspondant à la développable d'arête de rebroussement~$\phi$, +et enfin +\[ +\begin{vmatrix} +\alpha & \beta & \gamma \\ +f'' & g'' & h'' \\ +f' & g' & h' +\end{vmatrix} + w \begin{vmatrix} +\alpha & \beta & \gamma \\ +\alpha' & \beta' & \gamma' \\ +f' & g' & h' +\end{vmatrix} = 0\Add{.} +\] +Le plan tangent considéré en un point de la courbe~$(\phi)$ a pour +équation +\[ +\begin{vmatrix} +x - f & y - g & z - h \\ +f' & g' & h' \\ +\alpha & \beta & \gamma +\end{vmatrix} = 0; +\] +\DPtypo{Cherchons}{cherchons} son enveloppe. La caractéristique est dans le plan +\[ +\begin{vmatrix} +x - f & y - g & z - h \\ +f'' & g'' & h'' \\ +\alpha & \beta & \gamma +\end{vmatrix} + \begin{vmatrix} +x - f & y - g & z - h \\ +f' & g' & h' \\ +\alpha' & \beta' & \gamma' +\end{vmatrix} = 0. +\] +La droite~$D$ est +\[%[** TN: Filled in last two equations] +x = f + u \left[\frac{\dd f}{\dd v} + w \alpha (v)\right]\!\!, \quad +y = g + u \left[\frac{\dd g}{\dd v} + w \beta (v)\right]\!\!, \quad +z = h + u \left[\frac{\dd h}{\dd v} + w \gamma (v)\right]\!\!. +\] +Exprimons que cette droite est dans le \Ord{2}{e} plan qui contient la +caractéristique, nous avons +\[%[** TN: Filled in last two columns] +\begin{vmatrix} +f' + w \alpha & g' + w \beta & h' + w \gamma \\ +f'' & g'' & h'' \\ +\alpha & \beta & \gamma +\end{vmatrix} + \begin{vmatrix} +f' + w \alpha & g' + w \beta & h' + w \gamma \\ +f' & g' & h' \\ +\alpha' & \beta' & \gamma' +\end{vmatrix} = 0, +\] +%% -----File: 144.png---Folio 136------- +condition qui se réduit à +\[ +\begin{vmatrix} +f' & g' & h' \\ +f'' & g'' & h'' \\ +\alpha & \beta & \gamma +\end{vmatrix} + w \begin{vmatrix} +\alpha & \beta & \gamma \\ +f' & g' & h' \\ +\alpha' & \beta' & \gamma' +\end{vmatrix} = 0. +\] +C'est précisément l'équation qui définit la \Ord{3}{e} développable, +qui est donc l'enveloppe des plans qui contiennent les droites +de la congruence. + +\Section{Sur le point de vue corrélatif.} +{3.}{} Nous avons trouvé comme cas particulier du lieu des +foyers une courbe. En examinant la question au point de vue +corrélatif, nous sommes conduits à examiner \emph{le cas où l'enveloppe +des plans focaux est une surface développable}, soit~$\Phi$. +Soit~$\Phi'$ l'autre nappe le la surface focale. Les droites de la +congruence sont tangentes à $\Phi, \Phi'$; or\Add{,} une tangente à la développable~$\Phi$ +doit être dans l'un des plans tangents qui enveloppent +cette développable; les droites de la congruence sont donc les +tangentes à~$\Phi'$ qui sont dans les plans tangents à~$\Phi$, ce sont +les tangentes aux sections de~$\Phi'$ par les plans qui enveloppent~$\Phi$. +Dans ce cas les arêtes de rebroussement~$(A')$ sur la surface~$\Phi'$ +sont des courbes planes, les développables correspondantes +étant les plans de ces courbes. Les foyers d'une droite~$D$ sont +le point de contact avec~$\Phi'$, et le point d'intersection avec +la caractéristique du plan tangent à la développable~$\Phi$. L'autre +famille de développables aura ses arêtes de rebroussement +sur la surface~$\Phi$, et correspondant aux courbes~$(c')$ \DPtypo{conjuguees}{conjuguées} +des courbes~$(A')$. + +\emph{Réciproquement, si les arêtes de rebroussement des développables +%% -----File: 145.png---Folio 137------- +situées sur une des nappes de la surface focale +sont des courbes planes, les développables correspondantes +seront des plans, et leur enveloppe sera la \Ord{2}{e} nappe de la +surface focale.} + +Pour avoir une congruence de cette espèce on peut prendre +arbitrairement la développable~$\Phi$, et sur cette développable, +une famille de courbes quelconque. Les tangentes à ces courbes +engendrent une congruence de l'espèce considérée, car l'une +des familles de développables est évidemment constituée par +les plans tangents à la développable~$\Phi$; les courbes de contact +sur la développable sont les génératrices, qui peuvent +être considérées comme conjuguées à toute famille de courbes. + +\emph{Supposons les \Card{2} nappes de la surface focale développables\Add{.}} +Il suffit de partir d'une développable~$\Phi$, de la couper par +une famille de plans quelconques. Les sections seront les +courbes~$A$, et les plans de ces sections envelopperont l'autre +développable focale. On peut dire dans ce cas que l'on a \Card{2} familles +de plans à un paramètre, les droites de la congruence +étant les intersections de chaque plan d'une famille avec chaque +plan de l'autre. + +Les \emph{\Card{2} cas singuliers} se correspondent à eux-mêmes au +point de vue corrélatif. Les asymptotiques d'une surface se +correspondent à elles-mêmes; car une asymptotique est telle +que le plan osculateur en l'un de ses points est tangent à la +surface, et au point de vue corrélatif, un point d'une courbe +se transforme en plan osculateur et inversement. +%% -----File: 146.png---Folio 138------- + +\MarginNote{Congruences de +Koenigs.} +Il y a un \emph{autre cas particulier corrélatif de lui-même}, +c'est le \emph{cas de Koenigs}. On appelle \emph{élément de contact} le système +constitué par un point~$M$ et un plan passant par ce point. +Les surfaces et les courbes sont alors engendrées de la même +façon au moyen des \DPtypo{élément}{éléments} de contact: en chaque point d'une +surface, il y a un plan tangent et un seul, ce qui donne +$\infty^{2}$~éléments de contact; sur une courbe, il y a $\infty^{1}$~points, et +en chaque point $\infty^{1}$~plans tangents, ce qui donne encore $\infty^{2}$~éléments +de contact; pour les développables, nous avons $\infty^{1}$~plans +et $\infty^{2}$~points, donnant $\infty^{2}$~éléments de contact. Une droite est +de même constituée par $\infty^{2}$~éléments de contact, $\infty^{1}$~points sur +la droite et $\infty^{1}$~plans passant par la droite. Dans la \DPtypo{Théorie}{théorie} +des congruences, \emph{un foyer et le plan focal correspondant constituent +un élément de contact}, et les surfaces focales, courbes +focales, développables focales, ou comme l'on dit plus généralement, +les \emph{multiplicités focales, sont engendrées par les +éléments de contact focaux}. Nous voyons alors que nous avons +considéré tous les cas possibles, sauf celui où l'une des multiplicités +focales est une droite. + +\Illustration{146a} +La droite peut être considérée comme le lieu de $\infty^{1}$~points +ou comme l'enveloppe de $\infty^{1}$~plans; c'est donc à la fois une +courbe et une développable; il en résulte qu'une des familles +de développables de la congruence est constituée par des cônes +ayant leurs sommets sur la droite, et l'autre par des plans +passant par la droite. Si en particulier la congruence a pour +multiplicités focales une droite~$D$ et une +surface~$\Phi$, les séries de développables +seront d'une part les cônes circonscrits à~$\Phi$ +%% -----File: 147.png---Folio 139------- +par les différents points de~$D$, ce qui donne les courbes de +contact~$(c)$; et les plans passant par~$D$, qui coupent suivant +les arêtes de rebroussement~$(A)$, et $(A)\Add{,} (c)$ forment un système +de courbes conjuguées. On obtient ainsi le \emph{Théorème de Koenigs: +Les courbes de contact des cônes circonscrits à une surface +par les divers points d'une droite~$D$, et les sections de +cette surface par les plans passant par~$D$ constituent un réseau +conjugué}. + +\MarginNote{Congruences +linéaires.} +Si les multiplicités focales sont \Card{2} droites, la congruence +est constituée par les droites rencontrant ces \Card{2} droites. +C'est une \emph{congruence linéaire}. + +Il peut encore arriver qu'il y ait une droite focale double; +il suffira alors d'associer à chaque point~$A$ de la droite +un plan~$P$ passant par cette droite, et la congruence sera +constituée par les droites~$D$ situées dans les plans~$P$ et passant +par les points~$A$. + +\Section{Application. Surfaces de Joachimsthal.} +{}{Rechercher les surfaces dont les lignes de courbure d'un +système sont dans des plans passant par une droite fixe~$\Delta$.} + +Soit $S$ une surface répondant à la question; considérons +les tangentes aux lignes de courbure; ces tangentes~$D$ constituent +une congruence, et comme les lignes de courbure sont +dans des plans passant par~$\Delta$, ces droites~$D$ rencontrent la +droite~$\Delta$; $S$~est une des nappes de la surface focale; les développables +comprennent, d'une part les plans des lignes de +courbure, et d'autre part les cônes circonscrits à~$S$ par les +différents points de $\Delta$, dont les courbes de contact constituent +%% -----File: 148.png---Folio 140------- +un système conjugué du \Ord{1}{er} système de lignes de courbure, +et par suite forment le \Ord{2}{e} système de lignes de courbure. +Si nous considérons ce \Ord{2}{e} système de lignes de courbure, le +cône circonscrit coupe la surface~$S$ suivant un angle constamment +nul; la courbe de contact, qui est une ligne de courbure +de~$S$, est donc aussi une ligne de courbure du cône circonscrit, +d'après le Théorème de Joachimsthal; c'est donc une trajectoire +orthogonale des génératrices, donc l'intersection du +cône avec une sphère ayant son centre au sommet; le \Ord{2}{e} système +de lignes de courbure est donc constitué par des courbes +sphériques, et les sphères correspondantes coupent orthogonalement +la surface~$S$ le long des lignes de courbure. \emph{La surface~$S$ +est donc trajectoire orthogonale d'une famille de sphères +ayant leurs centres sur $\Delta$.} Cette propriété est caractéristique +de la surface~$S$; supposons en effet une famille de sphères +ayant leurs centres sur~$\Delta$, et une surface~$S$ orthogonale +à chacune de ces sphères tout le long de la courbe d'intersection; +l'intersection est une ligne de courbure de la sphère, +et comme l'angle d'intersection de~$S$ et de la sphère est constamment +droit, c'est une ligne de courbure de~$S$. Si on joint +le centre~$A$ de la sphère à un point~$M$ de la ligne de courbure, +cette droite est normale à la sphère, donc tangente à la surface~$S$, +de sorte que la ligne de courbure est la courbe de +contact du cône circonscrit à~$S$ par le point~$A$. + +Nous sommes ainsi conduits à rechercher les surfaces coupant +à angle droit une famille de sphères. Considérons les lignes +de courbure du \Ord{1}{er} système; chacune d'elles est tangente +à la droite~$D$ correspondante, donc normale à la sphère, et +%% -----File: 149.png---Folio 141------- +comme elle est dans un plan passant par~$\Delta$, elle est trajectoire +orthogonale pour le grand cercle section de la sphère +par ce plan. Si donc on considère les sections de toutes les +sphères de la famille par un même plan passant par~$\Delta$, la ligne +de courbure située dans ce plan sera trajectoire orthogonale +de la famille de cercles obtenue. Si on considère un autre +plan, la ligne de courbure dans ce plan sera aussi trajectoire +orthogonale de la famille de cercles. En rabattant le \Ord{2}{e} plan +sur le \Ord{1}{er} on aura une autre trajectoire orthogonale de +la même famille de cercles. \emph{On considère donc une famille de +cercles ayant leurs centres sur~$\Delta$, on en détermine les trajectoires +orthogonales, et on fait tourner chacune de ces trajectoires +orthogonales autour de~$\Delta$ d'un angle qui lui corresponde +et qui varie d'une manière continue quand on passe d'une +trajectoire à la trajectoire infiniment voisine.} Le lieu des +courbes ainsi obtenues est une surface qui sera la surface~$S$ +si la loi de rotation est convenablement choisie. Quelle que +soit d'ailleurs cette loi on obtient toujours une surface répondant +à la question; cette surface sera en effet engendrée +par des courbes qui couperont orthogonalement la famille de +sphères ayant pour grands cercles les cercles considérés, et +par conséquent la surface coupera à angle droit toutes ces +sphères tout le long des courbes d'intersection. + +Nous allons donc chercher les trajectoires orthogonales +d'une famille de cercles ayant leurs centres sur une droite~$\Delta$. +Cherchons plus généralement les trajectoires orthogonales d'une +famille de cercles quelconque, que nous définirons en donnant +%% -----File: 150.png---Folio 142------- +les coordonnées $a\Add{,}b$ du centre et le rayon~$R$ en fonction +d'un paramètre~$u$\DPtypo{;}{.} Considérons une trajectoire orthogonale rencontrant +un des cercles en un point~$M$. Les coordonnées du +point~$M$ sont, en fonction du paramètre~$u$ +\[ +\Tag{(1)} +x = a + R \cos\phi, \qquad +y = b + R \sin \phi, +\] +$\phi$~étant une fonction de~$u$ convenablement choisie. Tout revient +à déterminer cette fonction de~$u$ de façon que la courbe représentée +par les équations~\Eq{(1)} soit normale à tous les cercles. +La normale au cercle a pour paramètres directeurs $x - a$, $y - b$; +elle doit être tangente à la courbe, donc +\[ +\Tag{(2)} +\frac{dx}{x-a} = \frac{dy}{y-b}. +\] +Or: +\begin{gather*} +dx = da + \cos \phi · dR - R \sin \phi · d \phi, \quad +dy = db + \sin \phi · dR + R \cos \phi · d \phi, \\ +x - a = R \cos \phi, \quad +y - b = R \sin \phi. +\end{gather*} +L'équation~\Eq{(2)} devient +\[ +\begin{vmatrix} +da + \cos\phi · dR - R \sin\phi · d\phi & +db + \sin\phi · dR + R \cos\phi · d\phi \\ +R \cos\phi & R \sin\phi +\end{vmatrix} = 0, +\] +ou: +\[ +\sin\phi · da - \cos\phi · db - R\, d\phi = 0, +\] +ou: +\[ +\Tag{(3)} +\frac{d\phi}{du} = \frac{a'}{R} \sin\phi - \frac{b'}{R} \cos\phi. +\] +Si nous posons +\[ +\tg \frac{\phi}{2} = w, +\] +d'où +\[ +d\phi = \frac{2\, dw}{1 + w^{2}}, +\] +l'équation différentielle devient +\[ +\frac{1}{du}\, \frac{2\, \Err{du}{dw}}{1 + w^{2}} + = A \frac{2w}{1 + w^{2}} + B \frac{1 - w^{2}}{1 + w^{2}}, +\] +$A\Add{,} B$ étant fonctions de~$u$; de sorte que l'équation est de la +forme +\[ +\frac{dw}{du} = Aw + \frac{B}{2} (1 - w^{2}). +\] +%% -----File: 151.png---Folio 143------- +C'est une équation de Riccati. Le rapport anharmonique de \Card{4} solutions~$w$ +est constant. Or\Add{,} si $M$~est un point d'une trajectoire +orthogonale, $\tg \dfrac{\phi}{2}$ est le coefficient angulaire de la +droite~$AM$. Si on considère \Card{4} trajectoires +orthogonales $M, M', M'', M'''$, les \Card{4} valeurs de~$u$ +correspondantes sont les coefficients angulaires +des \Card{4} droites $AM, AM', AM'', AM'''$, et +le rapport anharmonique des \Card{4} solutions~$u$ +est le rapport anharmonique du faisceau +$(A, M, M', M'' M''')$. Ce rapport est indépendant de la position du +point~$A$ sur le cercle. Il en résulte que \emph{\Card{4} trajectoires orthogonales +d'une famille de cercles coupent tous les cercles de +la famille suivant le même rapport anharmonique}. + +%[** TN: Setting inset illos side-by-side and floating] +\begin{figure}[hbt] +\centering +\Input{151a}\hfil\hfil +\Input[3in]{151b} +\end{figure} +Dans le cas particulier où les cercles ont leurs centres +sur une droite~$\Delta$, les points $M'\Add{,} M''$ d'intersection du cercle avec~$\Delta$ +correspondent à \Card{2} trajectoires orthogonales; on a donc \Card{2} solutions +de l'équation de Riccati, et la détermination des trajectoires +orthogonales se ramène à une quadrature. Pour définir +la famille, au lieu de se donner $a, b, R$ en fonction d'un paramètre, +on peut se donner une trajectoire orthogonale~$\Gamma$, on +aura alors \Card{3} solutions de l'équation de \DPtypo{Ricatti}{Riccati}, et la solution +la plus générale s'obtiendra en écrivant que son rapport +anharmonique avec les \Card{3} solutions connues est constant. + +Supposons que $(\Delta)$ soit +l'axe~$\DPtypo{OX}{Ox}$, et donnons +nous $(\Gamma)$ par ses tangentes~$(T)$. L'une d'elles +a pour équations: +%% -----File: 152.png---Folio 144------- +\begin{align*} +x &= a + \rho\cos u, \\ +y &= \rho\sin u, +\end{align*} +$a$~étant une fonction de~$u$. Pour déterminer le point de contact +avec~$(\Gamma)$, on a, en différentiant: +\[ +da - \rho\sin u\, du + \cos u\, d\rho = 0, \quad +\rho\cos u\, du + \sin u\, d\rho = 0, +\] +d'où, pour la valeur de~$\rho$, c'est-à-dire du rayon~$R$ du cercle, +\[ +R = \rho = \frac{da}{du} \sin u. +\] +Une trajectoire orthogonale quelconque est donc représentée +par +\[ +\Tag{(4)} +x = a + \frac{da}{du} \sin u · \cos\phi, \qquad +y = \frac{da}{du} \sin u · \sin\phi, +\] +$\phi$~étant lié à~$u$ par la constance du rapport anharmonique +$(M, M', M'', M''')$, ce qui donne simplement +\[ +\Tag{(5)} +\tg \frac{\phi}{2} = m · \tg \frac{u}{2}. +\] +Si maintenant on fait tourner la courbe~\Eq{(4)} d'un angle~$v$ autour +de~$\DPtypo{ox}{Ox}$, en supposant~$m$ fonction de~$v$, et posant +\[ +a = f(u), \qquad +m = g(v), +\] +on obtiendra une trajectoire orthogonale quelconque de la famille +de sphères ayant pour grands cercles les cercles considérés: +\[ +\Tag{(6)} +\left\{ + \begin{aligned} +x &= f(u) + f'(u)\sin u \cos\phi, \\ +y &= f'(u) \sin u \sin\phi \cos v, + \text{ (avec $\tg \tfrac{\phi}{2} = g(v)\tg \tfrac{u}{2}$)} \\ +z &= f'(u) \sin u \sin\phi \sin v. +\end{aligned} +\right. +\] +Et en considérant dans ces équations $u$~et~$v$ comme des paramètres +arbitraires, elles représentent la surface de Joachimsthal +la plus générale. +%% -----File: 153.png---Folio 145------- + +\Section{Détermination des développables d'une congruence.} +{4.}{} Nous avons vu que la détermination des développables +d'une congruence dépend de l'intégration d'une équation \DPtypo{difféférentielle}{différentielle} +du \Ord{1}{er} ordre et du \Ord{2}{e} degré. Cette intégration +peut se simplifier dans certains cas. + +On obtient les développables sans quadrature si la congruence +admet \Card{2} courbes focales, ou corrélativement deux développables +focales. Dans le \Ord{1}{e} cas, on obtient des cônes, et +dans le \Ord{2}{e}, des plans tangents, comme on l'a vu précédemment. + +Si on a une courbe focale, ou corrélativement une développable +focale, on a immédiatement une des familles de développables +de la congruence; pour avoir l'autre, on a à intégrer +une équation différentielle du \Ord{1}{e} ordre et du \Ord{1}{er}~degré. + +\Illustration[2.25in]{153a} +Cette équation a des propriétés particulières dans un cas +corrélatif de lui-même, \emph{cas où l'on a une courbe focale et une +développable focale}. Soit $(\alpha)$ l'arête de rebroussement de la +développable focale~$(\Phi)$; considérons +une génératrice quelconque~$C$ +de cette développable; les droites +de la congruence rencontrent +la courbe focale~$(\phi')$ et sont dans +les plans tangents à~$(\Phi)$. Considérons +un plan tangent à~$(\Phi)$ qui +rencontre $(\phi')$ en~$F'$; toutes les droites du plan tangent qui +passent par~$F'$ sont des droites de la congruence. Considérons +les développables de la congruence passant par une de ces +droites~$D$; il y a d'abord le plan qui enveloppe la développable, +et qui admet pour courbe de contact la génératrice~$C$. Les +foyers de la droite~$D$ sont $F'$~sur~$(\phi')$ et $F$~sur~$C$. La \Ord{2}{e} développable +%% -----File: 154.png---Folio 146------- +a pour arête de rebroussement une courbe~$(A)$ de~$(\Phi)$ +dont les tangentes vont rencontrer~$(\phi')$. Le problème revient +donc à \emph{trouver les courbes d'une développable~$(\Phi)$ dont les +tangentes vont rencontrer une courbe~$(\phi')$}. Nous allons chercher +directement les développables de la congruence, que nous définirons +en partant de la courbe~$(\phi')$ et en associant à chacun de +ses points un certain plan dans lequel seront toutes les droites +de la congruence passant par ce point; la développable~$(\Phi)$ +sera l'enveloppe de ce plan. Soit la courbe~$(\phi')$ +\[ +x = f(v), \qquad +y = g(v), \qquad +z = h(v); +\] +pour définir un plan passant par un de ses points, il suffit +de se donner \Card{2} directions $\alpha(v), \beta(v), \gamma(v)$ et $\alpha_{1}(v), \beta_{1}(v), \gamma_{1}(v)$. + +On a ainsi le plan contenant toutes les droites de la +congruence; les coefficients directeurs d'une telle droite +sont alors: +\[ +\bar{a} = \alpha + w \alpha_{1}, \quad +\bar{b} = \beta + w \beta_{1}, \quad +\bar{c} = \gamma + w \gamma_{1}. +\] +L'équation aux développables +\[ +\begin{vmatrix} +\bar{a} & \bar{b} & \bar{c} \\ +d\bar{a} & d\bar{b} & d\bar{c} \\ +df & dg & dh +\end{vmatrix} = 0 +\] +devient ici +\[%[** TN: Filled in last two columns] +dv \begin{vmatrix} +\alpha + w \alpha_{1} & \beta + w \beta_{1} & \gamma + w \gamma_{1} \\ +f'(v) & g'(v) & h'(v) \\ +(\alpha' + w \alpha_{1}')\, dv + \alpha_{1} dw & +(\beta' + w \beta_{1}')\, dv + \beta_{1} dw & +(\gamma' + w \gamma_{1}')\, dv + \gamma_{1} dw +\end{vmatrix} = 0. +\] +Nous trouvons $dv = 0, v = \cte$ ce qui nous donne les plans des +droites de la congruence. L'autre solution s'obtiendra par +l'intégration de l'équation: +%% -----File: 155.png---Folio 147------- +\[%[** TN: Filled in last two columns] +dw \begin{vmatrix} +\alpha + w \alpha_{1} & \beta + w \beta_{1} & \gamma + w \gamma_{1} \\ +f' & g' & h' \\ +\alpha_{1} & \beta_{1} & \gamma_{1} +\end{vmatrix} + dv \begin{vmatrix} +\alpha + w \alpha_{1} & \beta + w \beta_{1} & \gamma + w \gamma_{1} \\ +f' & g' & h' \\ +\alpha' + w \alpha_{1}' & \beta' + w \beta_{1}' & \gamma' + w \gamma_{1}' +\end{vmatrix} = 0, +\] +équation de la forme +\[ +\frac{dw}{dv} = Pw^{2} + Qw + R, +\] +$P\Add{,} Q\Add{,} R$ étant fonctions de $v$~seulement. C'est une équation de Riccati. + +Cherchons dans quels cas on peut avoir des solutions particulières +de cette équation. Si la courbe~$(\phi')$ est plane, si +on coupe~$(\Phi)$ par son plan, la section est une courbe dont les +tangentes rencontrent~$(\phi')$, c'est une courbe~$(A)$; on a une solution +particulière, le problème s'achève au moyen de \Card{2} quadratures. +En particulier si $(\phi')$ est le cercle imaginaire à +l'infini, on a à déterminer sur~$(\Phi)$ des courbes dont les tangentes +rencontrent le cercle imaginaire à l'infini, ce sont +les courbes minima. \emph{La détermination des courbes minima d'une +développable se ramène à \Card{2} quadratures.} + +Corrélativement, si $(\Phi)$ est un cône, considérons le cône +de même sommet et qui a pour base~$(\phi')$; c'est une développable +de le \Ord{2}{e} famille; on a une solution particulière, et le problème +s'achève par \Card{2} quadratures. + +Si $(\Phi)$ est un cône et $(\phi')$~une courbe plane, on a \Card{2} solutions +particulières, donc une seule quadrature. + +Supposons encore que les plans~$P$ précédemment définis +soient normaux à la courbe~$(\phi')$. Nous avons la \emph{congruence des +normales} à la courbe~$(\phi')$, et la recherche des développables +conduira à celle des \emph{développées} de~$(\phi')$. Le plan normal à~$(\phi')$ +%% -----File: 156.png---Folio 148------- +en l'un de ses points~$F'$ est perpendiculaire à la tangente~$F'T$. +Si on \DPtypo{onsidère}{considère} le cône isotrope~$J$ de sommet~$F'$, le plan normal +est le plan polaire de la tangente par rapport à ce cône isotrope; +parmi les normales il y a donc les \Card{2} génératrices de +contact des plans tangents menés par la tangente au cône isotrope. +Soit $G$ l'une d'elles, on l'obtient algébriquement; considérons +la surface réglée qu'elle engendre lorsque $F'$~décrit +la courbe~$(\phi')$. Le plan asymptote, plan tangent à l'infini sur~$G$, +est le plan tangent au cône isotrope~$J$ le long de~$G$; la +surface réglée contient la courbe~$(\phi')$, et le plan tangent au +point~$F'$ est le plan~$G·F'·T$, qui est encore le plan tangent au +cône isotrope le long de~$G$. Ce plan tangent est donc le même +tout le long de la génératrice~$G$, et cette droite engendre une +surface développable. Ainsi \emph{les droites isotropes des plans +normaux à une courbe gauche décrivent \Card{2} développables et enveloppent +\Card{2} développées de la courbe gauche}. Nous avons ainsi +\Card{2} solutions particulières, et la détermination des développées +doit s'achever par une seule quadrature. + +Effectivement, en supposant que $\DPtypo{v}{w}$~est l'arc~$s$ de~$(\phi')$, que +$\alpha, \beta, \gamma$; $\alpha_{1}, \beta_{1}, \gamma_{1}$, sont les cosinus directeurs $a'\Add{,} b'\Add{,} c'$ de la normale +principale et $a''\Add{,} b''\Add{,} c''$ de la binormale, l'équation générale +se réduit, en désignant par $a, b, c$ les cosinus directeurs de la +tangente, +\[%[** TN: Filled in last two columns] +dw \begin{vmatrix} +a' & b' & c' \\ +a & b & c \\ +a'' & b'' & c'' +\end{vmatrix} + ds \begin{vmatrix} +a' + wa'' & b' + wb'' & c' + wc'' \\ +a & b & c \\ +-\mfrac{a}{R} - \mfrac{a''}{T} + w\mfrac{a'}{T} & +-\mfrac{b}{R} - \mfrac{b''}{T} + w\mfrac{b'}{T} & +-\mfrac{c}{R} - \mfrac{c''}{T} + w\mfrac{c'}{T} +\end{vmatrix} = 0, +\] +%% -----File: 157.png---Folio 149------- +c'est-à-dire +\[ +- dw + \frac{ds}{T} (1 + w^{2}) = 0, +\] +ou enfin +\[ +%[** TN: "tang." in original] +w = \tg \int \frac{ds}{T}. +\] +On vérifie bien que l'équation différentielle en~$w$ admet les +deux solutions: $w = ±i$, qui correspondent aux développables +isotropes. + +Si on remarque de plus que la surface focale de la congruence +des normales est la surface polaire de~$(\phi')$, c'est-à-dire +que les points de contact des normales avec les développées +sont sur la droite polaire, on retrouve tous les résultats +essentiels sur la détermination des développées. + + +\ExSection{VI} + +\begin{Exercises} +\item[29.] On considère la congruence des tangentes communes aux deux +surfaces $x^{2} + y^{2} = 2az$, $x^{2} + y^{2} = -2az$. Déterminer les développables +de cette congruence: étudier leurs arêtes de rebroussement, +leurs courbes de contact, leurs traces sur le plan +$z = 0$. + +\item[30.] Si les deux multiplicités focales d'une congruence sont des +développables isotropes (congruence isotrope), toutes les +surfaces réglées qui passent par une même droite de la congruence +ont même point central et même paramètre de distribution. +Le plan perpendiculaire à chaque droite de la congruence +\DPtypo{mene}{mène} à \DPtypo{egale}{égale} distance des deux points focaux enveloppe +une surface minima. On peut obtenir ainsi la surface minima la +plus générale. + +\item[31.] On suppose que les droites $D$~et~$D'$ de deux congruences se correspondent +de manière que deux droites correspondantes soient +parallèles. Si alors les développables des deux congruences se +correspondent, les plans focaux de~$D$ sont parallèles à ceux +de~$D'$; les droites $\Delta, \Delta_{1}$, qui joignent les points focaux +correspondants se coupent en un point~$M$; le lieu de ce point +admet $\Delta$~et~$\Delta_{1}$, pour tangentes conjuguées, et les courbes conjuguées +enveloppées par ces droites correspondent aux développables +des deux congruences. +\end{Exercises} +%% -----File: 158.png---Folio 150------- + + +\Chapitre{VII}{Congruences de Normales.} + +\Section{Propriété caractéristique des congruences de normales.} +{1.}{} Considérons une surface, les coordonnées d'un de ses +points dépendent de deux paramètres; l'ensemble des normales +à cette surface dépend de deux paramètres, et constitue +une congruence. Pour obtenir les développables, il suffit +de considérer sur la surface les \Card{2} \DPtypo{series}{séries} de lignes de +courbure, puisque les normales à une surface en tous les +points d'une ligne de courbure engendrent une surface développable. +Le plan tangent à une développable passe par la normale~$D$ +et par la tangente à la ligne de courbure correspondante. +C'est l'un des plans focaux de la droite~$D$. Ainsi \emph{les plans +focaux sont les plans des sections principales de la surface. +Les plans focaux d'une congruence de normales sont rectangulaires}. +Il en résulte qu'une congruence quelconque ne peut pas +en général être considérée comme formée des normales à une +%[** TN: Added parentheses between \gamma, \gamma'] +surface. Considérons les \Card{2} lignes de courbure $(\gamma)\Add{,}(\gamma')$ passant +par un point~$M$ de la surface; à la développable +de~$(\gamma)$ correspond une arête de +rebroussement~$(A)$ dont le plan osculateur +est le plan focal, le point de contact~$F$ +de~$A$ et de la droite~$D$ est un des points +focaux. On peut considérer l'arête de rebroussement~$(A)$ +comme étant l'enveloppe de +la droite~$D$ quand le point~$M$ se déplace +%% -----File: 159.png---Folio 151------- +sur la courbe~$(\gamma)$; le point~$F$ est alors l'un des centres de +courbure principaux de la surface au point~$M$. Le plan focal +associé est le \Ord{2}{e} plan de section principale~$FMT'$. On aura de +même une \Ord{2}{e} arête de rebroussement~$(A')$ en \DPtypo{considerant}{considérant} la courbe~$(\gamma')$. + +%[** TN: Exchanged diagram labels for (T') and (\gamma')] +\Illustration[1.5in]{158a} +On verra facilement que ces propriétés des centres de +courbure principaux et des plans de sections principales subsistent, +quelle que soit la nature des multiplicités focales +de la congruence considérée. + +\emph{Réciproque}. Prenons une congruence constituée par les +droites~$D$ +\begin{alignat*}{2}%[** TN: Stacked to accommodate figure] +x &= f(v,w) &&+ u · a(v,w), \\ +y &= g(v,w) &&+ u · b(v,w), \\ +z &= h(v,w) &&+ u · c(v,w). +\end{alignat*} +Cherchons à quelles conditions on peut déterminer sur la droite~$D$ +un point~$M$ dont le lieu soit une surface constamment normale +à~$D$. Il suffit que l'on puisse déterminer~$u$ en fonction +de~$v\Add{,}w$ de façon que l'on ait +\[ +\sum a\,dx = 0, +\] +ou +\[ +\sum a(df + u\, da + a\, du) = 0. +\] +On peut supposer que $a\Add{,} b\Add{,}c$ soient les cosinus directeurs; alors +$\sum a^{2} = 1$, et $u$~représentera la distance du point~$P$ où la droite +rencontre le support, au point~$M$. On a en même temps $\sum a\, da = 0$ +et la condition précédente devient +\[ +du + \sum a\, df = 0; +\] +\DPtypo{Cette}{cette} équation peut encore s'écrire +\[ +\Tag{(1)} +-du = \sum a\, df. +\] +Elle exprime que $\sum a\, df$ est une différentielle totale exacte; +or\Add{,} on a +\[ +\sum a\, df + = \sum a \frac{\dd f}{\dd v}\, dv + + \sum a \frac{\dd f}{\dd w}\, dw; +\] +%% -----File: 160.png---Folio 152------- +la condition est donc: +\[ +\frac{\dd}{\dd w} \sum a\Add{·} \frac{\dd f}{\dd v} + = \frac{\dd}{\dd v} \sum a\Add{·} \frac{\dd f}{\dd w}, +\] +ou: +\[ +\sum \frac{\dd a}{\dd w}\Add{·} \frac{\dd f}{\dd v} + = \sum \frac{\dd a }{\dd v} · \frac{\dd f}{\dd w}, +\] +ou enfin: +\[ +\Tag{(2)} +\sum \left(\frac{\dd a}{\dd w}\Add{·} \frac{\dd f}{\dd v} + - \frac{\dd a}{\dd v} · \frac{\dd f}{\dd w}\right) = 0. +\] +Nous trouvons une condition unique. Or\Add{,} nous avons trouvé précédemment +comme condition nécessaire l'orthogonalité des plans +focaux. Nous sommes donc conduits à comparer les deux conditions\Add{.} +Les coefficients $A\Add{,} B\Add{,} C$ d'un plan focal vérifient les relations +\begin{gather*} +%[** TN: Moved equation number per errata list] +\Tag{(3)} +Aa + Bb + Cc = 0, \\ +\left\{ +\begin{alignedat}{4} + & A\left(\frac{\dd f}{\dd v} + u \frac{\dd a}{\dd v}\right) + &&+ B\left(\frac{\dd g}{\dd v} + u \frac{\dd b}{\dd v}\right) + &&+ C\left(\frac{\dd h}{\dd v} + u \frac{\dd c}{\dd v}\right) &&= 0, \\ +% + & A\left(\frac{\dd f}{\dd w} + u \frac{\dd a}{\dd w}\right) + &&+ B\left(\frac{\dd g}{\dd w} + u \frac{\dd b}{\dd w}\right) + &&+ C\left(\frac{\dd h}{\dd w} + u \frac{\dd c}{\dd w}\right) &&= 0. +\end{alignedat} +\right. +\end{gather*} +\DPchg{Eliminant}{Éliminant} $u$ entre les \Card{2} dernières équations, nous avons +\[ +\Tag{(4)} +\begin{vmatrix} +\sum A \mfrac{\dd f}{\dd v} & \sum A \mfrac{\dd a}{\dd v} \\ +\sum A \mfrac{\dd f}{\dd w} & \sum A \mfrac{\dd a}{\dd w} +\end{vmatrix} = 0. +\] +Les coefficients de direction des normales aux plans focaux +sont définis par \Eq{(3)}\Add{,}~\Eq{(4)}. Si nous considérons $A\Add{,} B\Add{,} C$ comme coordonnées +courantes, \Eq{(3)}~représente un plan passant par l'origine, +\Eq{(4)}~un cône ayant pour sommet l'origine; et les génératrices +d'intersection sont précisément les normales cherchées. +Exprimons que ces deux droites sont rectangulaires; le plan~\Eq{(3)} +est perpendiculaire à la droite~$(a\Add{,} b\Add{,} c)$, qui est sur le cône~\Eq{(4)}, +car on a, puisque $\sum a^{2} = 1$ et $\sum a\, da = 0$ +\[ +\sum a \frac{\dd a}{\dd v} = 0, \qquad +\sum a \frac{\dd a}{\dd w} = 0; +\] +donc les \Card{2} normales sont perpendiculaires à la droite~$(a\Add{,} b\Add{,} c)$; +si elles sont rectangulaires, c'est que le cône~\Eq{(4)} est capable +d'un trièdre trirectangle inscrit, ce qui donne la condition +%% -----File: 161.png---Folio 153------- +\[ +\sum \left(\frac{\dd f}{\dd v} · \frac{\dd a}{\dd w} + - \frac{\dd f}{\dd w} · \frac{\dd a}{\dd v}\right) = 0; +\] +ce qui est précisément la condition~\Eq{(2)}. De sorte que \emph{la condition +nécessaire et suffisante pour que la congruence soit une +congruence de normales, c'est que les plans focaux soient rectangulaires}. + +Supposons satisfaite la condition~\Eq{(2)}. Pour obtenir la +surface normale à toutes les droites de la congruence, il suffit +de calculer~$u$ en fonction de~$v\Add{,}w$, ce qui se fait par l'équation~\Eq{(1)} +\[ +du = d\Phi(v, w), +\] +d'où +\[ +u = \Phi(v, w) + \cte[.] +\] +Il y a donc une infinité de surfaces répondant à la question; +si un point~$M$ décrit une surface~$(S)$ et un point~$M'$ une surface~$(S')$ +répondant à la question, on a $u = PM$, $u' = PM'$, la distance~$MM'$ +sera une quantité constante. Les surfaces~$(S)\Add{,} (S')$ sont appelées +\emph{surfaces parallèles} et \emph{une famille de surfaces parallèles +admet pour chaque normale mêmes centres de courbure principaux +et mêmes multiplicités focales}; ces multiplicités focales +constituent la \emph{développée} de l'une quelconque de ces surfaces. + +\Section{Relations entre une surface et sa développée.} +{2.}{} Considérons une nappe de la développée d'une +surface~$(S)$. Supposons d'abord que ce soit une surface~$(\Phi)$. +Considérons une droite~$D$ de la congruence des normales à~$(S)$; +cette droite est tangente en~$F$ à l'arête de rebroussement~$(A)$ +qui appartient à~$(\Phi)$; les plans focaux associés à~$D$ sont +le plan osculateur à~$(A)$ et le plan tangent à~$(\Phi)$. Pour que la +%% -----File: 162.png---Folio 154------- +congruence soit une congruence +de normales, il faut et il suffit +que le plan osculateur à~$(A)$ +soit normal à~$(\Phi)$, donc que $(A)$ +soit une géodésique de~$(\Phi)$. \emph{La +congruence des normales à la +surface~$(S)$ est constituée par +les tangentes à une famille de +géodésiques de sa développée~$(\Phi)$\Add{.} +Et réciproquement les tangentes +à une famille de $\infty^{1}$~géodésiques d'une surface quelconque~$(\Phi)$ +constituent une congruence de normales.} Soit $M$~le point où la +droite~$D$ coupe la surface~$(S)$; lorsque la droite~$D$ roule sur +l'arête de rebroussement~$(A)$, le point~$M$ décrit une ligne de +courbure~$(\gamma)$ de~$(S)$. A chaque point~$M$ de~$(S)$ correspond un +point~$F$ de~$(\Phi)$; il y a correspondance point par point entre +les \Card{2} surfaces; à la famille de lignes de courbure~$(\gamma)$ de~$(S)$ +correspond une famille de géodésiques de~$(\Phi)$. Voyons maintenant +les courbes de contact~$(c)$ de~$(\Phi)$; considérons la tangente~$F\theta$ +à~$(c)$, c'est la caractéristique du plan tangent à~$(\Phi)$ +lorsque le point~$M$ décrit~$(\gamma)$; or\Add{,} ce plan tangent à~$(\Phi)$ est le +\Ord{2}{e} plan focal, c'est le plan perpendiculaire au plan~$FMT$ passant +par~$FM$, c'est donc le plan normal à~$(\gamma)$ au point~$M$. Donc~$F\theta$ +est la caractéristique du plan normal à~$(\gamma)$, c'est la droite +polaire de~$(\gamma)$. \emph{Les courbes de contact de~$(\Phi)$ sont les +courbes tangentes aux droites polaires des différents points +des courbes~$(\gamma)$.} $F\theta$~étant dans le plan normal à~$(\gamma)$ rencontre +la tangente à la \Ord{2}{e} section principale; elle passe au centre +%% -----File: 163.png---Folio 155------- +de courbure géodésique de~$(\gamma)$ sur~$(S)$. + +\begin{figure}[hbt] +\centering +\Input[1.75in]{162a}\hfil\hfil +\Input[2.5in]{163a} +\end{figure} +\MarginNote{Surface Canal\Add{.}} +Supposons que l'une des nappes de la développée se réduise +à une courbe~$(\phi)$. La droite~$D$ rencontre~$(\phi)$ en l'un des +points focaux~$F$. L'une des développables passant par~$D$ est un +cône de soumet~$F$; l'une des lignes +de courbure~$(\gamma)$ de~$(S)$ passant +par~$M$ est située sur un +cône de sommet~$F$. Or\Add{,} $(\gamma)$~est +constamment normale à~$D$, c'est +donc une trajectoire orthogonale +des génératrices du cône; c'est +l'intersection de ce cône avec une sphère de centre~$F$. Cette +sphère en chaque point~$M$ a pour normale la droite~$D$, elle est +donc tangente à la surface~$(S)$ tout le long de la courbe~$(\gamma)$. +A chaque point~$F$ de~$(\phi)$ correspond une sphère ayant ce point +pour centre et tangente à~$(S)$ tout le long de la ligne de +courbure correspondante. \emph{La surface~$(S)$ est l'enveloppe d'une +famille de sphères dépendant d'un paramètre.} Nous l'appellerons +une \emph{surface canal}. La réciproque est vraie, comme on le +verra plus loin. La courbe~$(\gamma)$ est alors l'intersection d'une +sphère avec une sphère infiniment voisine; c'est un cercle. +Le cône~$F$ est de révolution, l'axe de ce cône est la position +limite de la ligne des centres, c'est la tangente~$Fu$ à~$(\phi)$. +Considérons la tangente~$MT$ à~$(\gamma)$: $MT$~tangente en un point du +cercle est orthogonale à~$Fu$, $Fu$ est donc dans le \Ord{2}{e} plan de +section principale. \emph{Les congruences considérées sont donc formées +des génératrices de $\infty^{1}$~cônes de révolution, dont les axes +sont tangents à la courbe lieu des sommets} de ces cônes. Et +%% -----File: 164.png---Folio 156------- +\emph{réciproquement toute congruence ainsi constituée est une congruence +de normales}, car les plans focaux sont les plans tangents +et les plans méridiens de ces cônes, et sont par conséquent +rectangulaires. + +\MarginNote{Cyclide de Dupin.} +Voyons si les \Card{2} nappes de la développée peuvent se réduire +à \Card{2} courbes $(\phi)\Add{,} (\phi')$. Les développables de la congruence sont +les cônes ayant leur sommet sur l'une des courbes et passant +par l'autre. Tous les cônes~$F$ de révolution doivent passer par la +courbe~$(\phi')$. Cette courbe~$(\phi')$ est telle qu'il passe par +cette courbe une infinité de cônes de révolution. De même~$(\phi)$; +$(\phi), (\phi')$ ne peuvent donc être que des biquadratiques gauches ou +leurs éléments de décomposition. Aucune de ces courbes ne peut +être une biquadratique gauche, sans quoi par chacune d'elles +il passerait \Card{4} cônes du \Ord{2}{e} degré seulement. Voyons si l'une +d'elles peut être une cubique gauche; les cônes du \Ord{2}{e} degré +passant par~$(\phi')$ ont leurs sommets sur~$\Err{(\phi)}{(\phi')}$: les \Card{2} courbes $(\phi)\Add{,} +(\phi')$ seraient confondues. Voyons donc s'il peut exister des cubiques +gauches telles que les cônes du \Ord{2}{e} degré qui les contiennent +soient de révolution. Un tel cône aurait pour axe +la tangente~$Fu$; or\Add{,} il contient cette +tangente, donc il se décompose. Donc ni~$(\phi)$ +ni~$(\phi')$ ne peuvent être des cubiques +gauches. Supposons donc que~$(\phi')$ soit une +conique; le lieu des sommets des cônes de +révolution passant par cette conique est +une autre conique, qui est dite focale de la \Ord{1}{ère}. Il y a réciprocité +entre ces coniques, et les cônes de révolution ont +%% -----File: 165.png---Folio 157------- +pour axes les tangentes aux focales. Donc \emph{les droites rencontrant +\Card{2} coniques focales l'une de l'autre constituent une congruence +de normales}. Les surfaces normales à ces droites s'appellent +\emph{Cyclides de Dupin. Leurs \Card{2} systèmes de lignes de courbure +sont des cercles}. + +\Illustration[1.25in]{164a} +Supposons en particulier que $(\phi')$ soit un cercle; alors +le lieu les sommets des cônes de révolution passant par $(\phi')$~est +l'axe~$(\phi)$ de ce cercle, et nous voyons que toutes les +droites qui s'appuient sur $(\phi)\Add{,} (\phi')$ sont normales à une famille +de surfaces. Ces surfaces sont des \emph{tores} de révolution autour +de l'axe~$(\phi)$, le lieu du centre du cercle méridien étant le +cercle~$(\phi')$. + +Supposons que $(\phi')$ soit une droite, la surface est l'enveloppe +d'une famille de sphères ayant leurs centres sur cette +droite. C'est une surface de révolution autour de~$(\phi')$; la \Ord{1}{ère} nappe +de la développée est la droite~$(\phi')$, la \Ord{2}{e} est engendrée +par la rotation de la développée de la méridienne principale; +pour que ce soit une courbe, il faut que la développée soit un +point, donc que la méridienne soit un cercle, et nous retombons +sur le cas du tore. + +\MarginNote{Cas singulier.} +Cherchons enfin si les \Card{2} nappes de la développée peuvent +être confondues. Alors les \Card{2} familles de lignes de courbure de +la surface~$(S)$ sont confondues. C'est le cas des \emph{surfaces réglées +à génératrices isotropes}. Les \Card{2} nappes se réduisent à +une seule courbe, comme on le verra au paragraphe suivant. +%% -----File: 166.png---Folio 158------- + +\Section{\DPchg{Etude}{Étude} des surfaces enveloppes de sphères.} +{3.}{} Nous avons été amenés dans ce qui précède à considérer +les surfaces enveloppes de sphères. Nous allons +maintenant étudier les réciproques des propriétés précédentes. + +Considérons une surface~$(S)$ enveloppe de $\infty^{1}$ sphères~$(\Sigma)$. +Chaque sphère coupe la sphère infiniment voisine suivant un +cercle, et les normales à~$(S)$ en tous les points de ce cercle +passent par le centre de la sphère. Le lieu des centres des +sphères est une courbe rencontrée par les normales à~$(S)$, +c'est une des nappes de la développée. D'autre part, la sphère~$(\Sigma)$ +étant tangente à la surface~$(S)$ tout le long du cercle caractéristique, +ce cercle est une ligne de courbure de la +surface~$(S)$, d'après le Théorème de Joachimsthal. \emph{Les surfaces +enveloppes de sphères ont une famille de lignes de courbure +circulaires. Réciproquement toute surface ayant une famille +de lignes de courbure circulaires est une enveloppe de sphères\Add{.}} +Considérons une ligne de courbure circulaire~$(K)$; toute sphère +passant par~$(K)$ coupe la surface~$(S)$ sous un angle constant, +d'après le Théorème de Joachimsthal. Or\Add{,} il est possible de +trouver une sphère passant par~$(K)$ et tangente à~$(S)$ en l'un +des points de ce cercle; cette sphère sera alors tangente à~$(S)$ +en tous les points du cercle~$(K)$, et toute ligne de courbure +circulaire est courbe de contact d'une sphère avec la +surface. La surface est l'enveloppe des sphères ainsi déterminées. + +Soit une sphère de centre $(a,b,c)$ et de rayon~$r$, $a,b,c,r$ +étant fonctions d'un même paramètre. +%% -----File: 167.png---Folio 159------- +La sphère a pour équation +\[%[** TN: Omitted large brace grouping next two equations] +(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} - r^{2} = 0; +\] +la caractéristique est en outre définie par l'équation +\[ +(x - a)\, da + (y - b)\, db + (z - c)\, dc + r\, dr = 0; +\] +On vérifie bien que c'est un cercle dont le plan est perpendiculaire +à la direction~$da, db, dc$, de la tangente au lieu des +centres des sphères. + +Nous venons de considérer les surfaces dont une famille +de lignes de courbure est constituée par des cercles. Voyons +si les \Card{2} familles de lignes de courbure peuvent être circulaires. +La surface correspondante pourra être considérée de +\Card{2} façons différentes comme l'enveloppe de $\infty^{1}$~sphères. Les \Card{2} nappes +de la développée sont des courbes. Nous obtenons la +Cyclide de Dupin, que nous allons étudier à un point de vue +nouveau. + +\MarginNote{Correspondance +entre les +droites et les +sphères.} +Les droites et les sphères sont des éléments géométriques +dépendant de \Card{4} paramètres. Ce fait seul permet de prévoir +qu'il y aura une espèce de correspondance entre l'étude des +systèmes de droites et celle des systèmes de sphères. Cette +correspondance trouve son expression analytique dans une +transformation, due à Sophus Lie, et que nous exposerons plus +tard. Mais nous la verrons se manifester auparavant dans diverses +questions. C'est ainsi que l'on peut considérer dans la +géométrie des sphères les enveloppes de $\infty^{1}$~sphères comme correspondant +aux surfaces réglées, lieux de $\infty^{1}$~droites; la cyclide +de Dupin correspond alors aux surfaces doublement réglées, +%% -----File: 168.png---Folio 160------- +donc aux surfaces réglées du \Ord{2}{e} degré. Nous allons voir +l'analogie se développer dans l'étude qui suit. + +%[** TN: Several {1}-like superscripts rendered as prime accents] +Soit $(\Sigma)$ une sphère de la \Ord{1}{ère} famille, $(\Sigma')$~une sphère +de la \Ord{2}{e} famille, $(\Sigma)$~touche~$(S)$ suivant un cercle~$(K)$, $\Sigma'$~touche~$(S)$ +suivant un cercle~$(K')$. La surface~$(S)$ étant engendrée +par le cercle~$(c)$ ou par le cercle~$(c')$, il en résulte que ces +\Card{2} cercles ont au moins un point commun~$M$\DPtypo{.}{}; soient $O\Add{,} O'$ les centres +des sphères $(\Sigma)\Add{,} (\Sigma')$, $OM$~et~$O'M$ sont normales aux sphères +$(\Sigma)\Add{,} (\Sigma')$ et par suite normales en~$M$ à la surface. Donc elles +coïncident, $O\Add{,} M\Add{,} O'$~sont sur une même droite; les sphères $(\Sigma)\Add{,} (\Sigma')$ +sont tangentes en~$M$. \emph{Une sphère de l'une des familles est +tangente à une sphère quelconque de l'autre famille.} (Deux génératrices +de systèmes différents d'une quadrique se rencontrent). + +Considérons \Card{3} sphères fixes $(\Sigma), (\Sigma_{1}), (\Sigma_{2})$ d'une des familles. +Elles sont tangentes à toutes les sphères de l'autre famille, +et par suite \emph{la surface est l'enveloppe des sphères +tangentes à \Card{3} sphères fixes}. (Une quadrique est le lieu d'une +droite rencontrant \Card{3} droites fixes). Les \Card{3} sphères $(\Sigma), (\Sigma_{1}), (\Sigma_{2})$ +se coupent en \Card{2} points qui peuvent être considérés comme des +sphères de rayon nul tangentes à $(\Sigma), (\Sigma_{1}), (\Sigma_{2})$; donc il y a \Card{2} sphères +de rayon nul dans chaque famille de sphères enveloppées +par la cyclide. Les sphères de l'autre famille devant +être tangentes à ces \Card{2} sphères de rayon nul passent par leurs +centres. Ces deux points sont sur le lieu des centres des +sphères, donc sur les coniques focales; \emph{si donc nous considérons +les \Card{2} coniques focales, les sphères d'une des familles +ont leurs centres sur l'une des coniques et passent par \Card{2} points +%% -----File: 169.png---Folio 161------- +fixes de l'autre, symétriques par rapport au plan de +la \Ord{1}{ère}.} Il est alors facile, avec cette génération, de trouver +l'équation de la cyclide. + +\Section{\DPchg{Equation}{Équation} de la +\DPtypo{Cyclide}{cyclide} de +Dupin.} +{}{\normalfont\Primo.} Supposons d'abord que l'une des coniques soit une +ellipse, par exemple: l'autre est une hyperbole. Prenons pour +axes $\DPtypo{ox, oy}{Ox, Oy}$ les axes de l'ellipse, dont l'équation dans son +plan est: +\[ +\Tag{(E)} +\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - 1 = 0. +\] + +\Illustration{169a} +\noindent L'hyperbole focale est dans le plan +$y = 0$. Elle a pour équations +\[ +\Tag{(H)} +y = 0, \qquad +\frac{x^{2}}{a^{2} - b^{2}} - \frac{z^{2}}{b^{2}} - 1 = 0\Add{.} +\] +Un point~$\omega$ de l'ellipse~\Eq{(E)} a pour +coordonnées +\[ +x = a \cos\phi, \qquad +y = b \sin\phi, \qquad +z = 0. +\] +Soit sur l'hyperbole~\Eq{(H)} le point fixe~$A$ de coordonnées +\[ +x_{0}, \qquad +y_{0} = 0, \qquad +z_{0}^{2} = b^{2} \left(\frac{x_{0}^{2}}{a^{2} - b^{2}} - 1\right). +\] +L'équation d'une sphère~$\Sigma$ ayant pour centre~$\omega$ et passant par +le point~$A$ sera +\[ +\DPtypo{(x - a \cos\phi^{2})}{(x - a \cos\phi)^{2}} + + (y - b \sin\phi)^{2} + z^{2} + = (x_{0} - a \cos\phi)^{2} + b^{2} \sin^{2} \phi + + b^{2} \left(\frac{x_{0}^{2}}{a^{2} - b^{2}} - 1\right), +\] +ou +\[ +x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax \cos\phi - 2by \sin\phi + = x_{0}^{2} + b^{2} \frac{x_{0}^{2}}{a^{2} - b^{2}} + - b^{2} - 2ax_{0} \cos\phi, +\] +ou +\[ +2a (x - x_{0}) \cos\phi + 2by \sin\phi + = x^{2} + y^{2} + z^{2} + b^{2} - \frac{a^{2} x_{0}^{2}}{c^{2}}, +\] +en posant comme d'habitude +\[ +c^{2} = a^{2} - b^{2}. +\] +L'équation de la sphère est de la forme +\[ +A \cos\phi + B \sin\phi = C\Add{,} +\] +%% -----File: 170.png---Folio 162------- +la condition pour qu'il y ait une racine double, c'est-à-dire, +l'équation de l'enveloppe, est +\[ +A^{2} + B^{2} = C^{2}\Add{.} +\] +Donc la cyclide a pour équation: +\[ +4a^{2} (x - x_{0})^{2} + 4b^{2} y^{2} + = \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} + b^{2} - \frac{a^{2} x_{0}^{2}}{c^{2}}\right)^{2}. +\] + +\ParItem{\Secundo.} Supposons maintenant qu'une des coniques soit une +parabole. L'autre est aussi une parabole. Prenons les axes ordinaires, +nous avons pour équations +des \Card{2} coniques +\begin{align*} +\Tag{(P)} +z &= 0, \qquad y^{2} = 2px, \\ +\Tag{(P')} +y &= 0, \qquad x^{2} + z^{2} = (x - p)^{2}. +\end{align*} + +%\Illustration{170a} +\begin{wrapfigure}[11]{O}{2.125in} +\smash[t]{\raisebox{-1.75in}{\Input{170a}}} +\end{wrapfigure} +\noindent Le centre~$C$ de la sphère sur la parabole~$P$ +a pour coordonnées +\[ +x = 2p \lambda^{2}, \qquad +y = 2p \lambda, \qquad +z = 0. +\] +Le point fixe~$A$ sur la parabole~$P'$ a pour coordonnées +\[ +x_{0}, \qquad +y_{0} = 0, \qquad +z_{0}^{2} = (x_{0} - p)^{2} - x_{0}^{2}. +\] +L'équation de la sphère est +\[ +(x - 2p \lambda^{2})^{2} + (y - 2p \lambda)^{2} + z^{2} + = (x_{0} - 2p \lambda^{2})^{2} + 4p^{2} \lambda^{2} + + (x_{0} - p)^{2} - x_{0}^{2}, +\] +ou +\[ +x^{2} + y^{2} + z^{2} + - (x_{0} - p)^{2} - 4p \lambda y - 4p (x - x_{0}) \lambda^{2} = 0, +\] +et l'équation de l'enveloppe, c'est-à-dire de la cyclide, est +\[ +\bigl[x^{2} + y^{2} + z^{2} - (x_{0} - p)^{2}\bigr] (x - x_{0}) + py^{2} = 0. +\] +L'ordre de la surface, qui est on général~$4$, s'abaisse ici +à~$3$. + +\MarginNote{Surface canal +isotrope.} +Parmi les surfaces réglées, nous avons considéré les surfaces +développables, où chaque génératrice rencontre la génératrice +infiniment voisine. Le cas correspondant pour les enveloppes +de sphères sera celui où chaque sphère est tangente +à la sphère infiniment voisine. Pour qu'il en soit ainsi, il +faut que le plan radical des \Card{2} sphères leur soit tangent. +%% -----File: 171.png---Folio 163------- +Prenons la sphère +\[ +\Tag{(1)} +(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} - r^{2} = 0. +\] +Le plan radical de cette sphère et de la sphère infiniment +voisine est +\[ +\Tag{(2)} +(x - a)\, da + (y - b)\, db + (z - c)\, dc + r\, dr = 0; +\] +pour qu'il soit tangent à la sphère~\Eq{(1)} il faut et il suffit +que sa distance au centre~$(a\Add{,} b\Add{,} c)$ soit égale à~$±r$, donc que +l'on ait +\[ +\frac{r\, dr}{\sqrt{da^{2} + db^{2} + dc^{2}}} = ±r, +\] +ou +\[ +\Tag{(3)} +da^{2} + db^{2} + dc^{2} = dr^{2}. +\] + +\Illustration[1.75in]{171a} +\noindent Donc $r$~n'est autre que l'arc~$S$ de la +courbe~$(c)$ lieu des centres des sphères, +cet arc étant compté à partir +d'une origine arbitraire. Cherchons +le point de contact de la sphère +avec la sphère infiniment voisine. +Les coordonnées satisfont aux équations +\[ +\frac{x - a}{da} = \frac{y - b}{db} = \frac{z - c}{dc} + = \frac{-r\, dr}{\Err{dr}{dr^2}} = -\frac{r}{dr} = - \frac{s}{ds}; +\] +d'où +\[ +x = a - s \frac{da}{ds} = a - s \alpha, \quad +y = b - s \beta, \quad +z = c - s \gamma, +\] +$\alpha\Add{,} \beta\Add{,} \gamma$ étant les cosinus directeurs de la tangente. On obtient +ainsi le point~$I$, qui décrit une développante~$(r)$ de la courbe~$(c)$. +L'intersection d'une sphère avec la sphère infiniment +voisine n'est autre que l'intersection de cette sphère avec +un de ses plans tangents: c'est un couple de droites isotropes +se coupant au point~$I$. \emph{L'enveloppe se compose de deux surfaces +réglées à génératrices isotropes. Nous l'appellerons une +surface canal isotrope. Réciproquement une surface réglée à +%% -----File: 172.png---Folio 164------- +génératrices isotropes est une nappe d'une enveloppe de sphères.} +Considérons en effet une génératrice~$D$ et le cercle de +l'infini. Par la génératrice isotrope~$D$ passent une infinité +de sphères; ces sphères contiennent la droite~$D$ et le cercle +imaginaire à l'infini, ce qui donné \Card{7} conditions; elles dépendent +de \Card{2} paramètres arbitraires. Nous pouvons faire en sorte +que la sphère soit tangente à la surface considérée $(S)$ en \Card{2} points +à distance finie de la droite~$D$; la sphère est alors +déterminée; mais de plus elle est tangente à la surface~$(S)$ au +point à l'infini sur~$D$, donc elle se raccorde avec~$(S)$ tout le +long de la génératrice~$D$. La surface~$(S)$ fera partie de l'enveloppe +de ces sphères. + +Sur une telle surface, les \Card{2} systèmes de lignes de courbure +sont confondus avec les génératrices isotropes, les \Card{2} nappes +de la développée sont confondues avec la courbe~$(C)$. La +courbe~$(r)$ joue ici un rôle analogue à l'arête de rebroussement +des surfaces développables. En effet, pour une développable, +il y a un élément de contact (point de l'arête de rebroussement +et plan osculateur en ce point) commun à une génératrice +et à la génératrice infiniment voisine. Ici, c'est +l'élément de contact constitué par le point~$I$ et le plan tangent +à la sphère en ce point, plan normal à~$I\omega$, qui est commun +à la sphère~$(\Sigma)$ et à la sphère infiniment voisine. Le point~$I$ +est un ombilic de la surface~$(S)$. La ligne~$(r)$ en est une ligne +double, c'est un lieu d'ombilics. Nous l'appellerons la +\emph{ligne ombilicale} de la surface canal isotrope. + +%[** TN: In the manuscript, S_{0} is a tiny 0 set directly below the S] +\Section{Lignes de courbure et lignes asymptotiques.} +{4.}{} Considérons une surface~$(S_{0})$ et une ligne asymptotique. +Les tangentes en chacun des points de cette ligne +%% -----File: 173.png---Folio 165------- +engendrent une développable, et l'élément de contact commun à +une génératrice et à la génératrice infiniment voisine, comprenant +un point de la ligne et le plan osculateur, qui est +tangent à~$(S_{0})$, est un élément de contact de~$(S_{0})$. Considérons +maintenant une ligne de courbure~$(\DPtypo{r}{\Gamma})$: la normale en chaque +point engendre une développable. Soit $(c)$ +l'arête de rebroussement; $OI$~est égal à +l'arc de~$(c)$; si donc nous considérons les +sphères de centres~$\DPtypo{o}{O}$ et de rayons~$OI$, chacune +de ces sphères touche la sphère infiniment +voisine, et l'élément de contact +$(I,P)$ commun à ces \Card{2} sphères est un élément de contact de la +surface~$(S_{0})$. + +%[** TN: Fixed diagram label (T) -> (\Gamma) as per errata list] +\Illustration[1.5in]{173a} +Appelons \emph{sphère de courbure} de~$(S_{0})$ toute sphère ayant +pour centre un centre de courbure principale et pour rayon le +rayon de courbure principal correspondant. Et nous pourrons +dire: + +%[** TN: Not marked for italicization in the original] +\emph{Les sphères de courbure de~$(S_{0})$ qui correspondent à une +même ligne de courbure~$(\Gamma)$, enveloppent une surface canal isotrope, +ayant~$(\Gamma)$ pour ligne ombilicale.} + +\emph{Réciproquement}, si une surface canal isotrope~$(S)$ est +circonscrite à la surface~$(S_{0})$ le long de sa ligne ombilicale, +celle-ci étant ligne de courbure pour~$(S)$ sera ligne de courbure +pour~$(S_{0})$, d'après le théorème de Joachimsthal. + +Les choses s'énoncent d'une manière plus nette en substituant +à la notion de courbe la notion de \emph{bande}. Une bande +sera, par définition, formée de $\infty^{1}$~éléments de contact appartenant +à une même multiplicité: le lieu des points (de ces +%% -----File: 174.png---Folio 166------- +éléments de contact) sera une courbe, et les plans (de ces +éléments de contact) seront tangents à la courbe aux points +correspondants. Une bande appartenant à une surface sera formée +des points d'une courbe tracée sur la surface, associés +aux plans tangents à la surface en ces points. On appellera +\emph{bande de rebroussement} d'une surface développable le lieu des +éléments de contact communs à chaque génératrice et à la génératrice +infiniment voisine. Et on appellera \emph{bande ombilicale} +d'une surface canal isotrope le lieu des éléments de contact +communs à chacune des sphères inscrites à la surface et à la +sphère infiniment voisine. + +Appelant de même \emph{bandes asymptotiques}, \emph{bandes de courbure} +les lieux des éléments de contact d'une surface appartenant +aux lignes asymptotiques ou aux lignes de courbure de cette +surface, on concluera: + +\emph{Une bande asymptotique d'une surface est la bande de rebroussement +d'une développable; une bande de courbure d'une +surface est la bande ombilicale d'une surface canal isotrope. +Et réciproquement}: toute bande de rebroussement (d'une développable), +qui appartient à une surface~$(S_{0})$, est bande asymptotique +de~$(S_{0})$; toute bande ombilicale (d'une surface canal +isotrope), qui appartient à une surface~$(S_{0})$, est bande de +courbure pour~$(S_{0})$. + +On voit ainsi, qu'au point de vue de la correspondance +entre droites et sphères, les lignes asymptotiques correspondent +aux lignes de courbure. +%% -----File: 175.png---Folio 167------- + +\Section{Bandes asymptotiques et \DPtypo{Bandes}{bandes} de \DPtypo{Courbure}{courbure}.} +{}{Remarque \1.} Sur chaque élément de contact~$(M, P)$ +d'une bande, il y a \emph{deux éléments +linéaires} à considérer. (Un élément +linéaire étant formé d'un point et +d'une droite passant par ce point). +\Figure{175a} +C'est \emph{l'élément linéaire tangent} formé +du point~$M$ de l'élément et de la +tangente~$(T)$ à la courbe qui sert de \emph{support} à la bande, +qu'on peut appeler simplement la \emph{courbe de la bande}; et \emph{l'élément +linéaire caractéristique} formé du point~$M$ et de la caractéristique~$(K)$ +du plan~$(P)$, c'est-à-dire de la génératrice +rectiligne de la développable enveloppée par les plans~$(P)$, +ou \emph{développable de la bande}. Ces deux éléments linéaires sont +corrélatifs, au point de vue de la dualité; une bande est corrélative +d'une bande. + +Dans une \emph{bande asymptotique}, $(T)$~et~$(K)$ sont confondues +dans une \emph{bande de courbure}, $(T)$~et~$(K)$ sont rectangulaires; +ces termes ont donc un sens par eux-mêmes, sans supposer une +surface~$(S_{0})$ à laquelle appartienne la bande considérée. Si la +bande de rebroussement est donnée, la développable correspondante +est la développable de la bande. Si la bande de courbure +est donnée, sa courbe~$(\gamma)$ est ligne de courbure de la développable +de la bande; et la surface canal isotrope dont la +bande ombilicale se confond avec cette bande de courbure est +l'enveloppe des sphères de courbure de la développable, construites +aux divers points~$M$. Les mots bande ombilicale, bande +de courbure sont donc équivalents; de même que ceux de bande +%% -----File: 176.png---Folio 168------- +asymptotique et bande de rebroussement. + +Remarquons encore que, si l'on se donne une bande de +courbure, la sphère de courbure qui correspond à un élément +de contact~$(M,P)$ de la bande est définie par la condition +d'admettre~$(M,P)$ pour un de ses éléments de contact et d'avoir +son centre sur la droite polaire de la courbe~$(\gamma)$ lieu +des points~$M$ (Voir \No2~et~\No3). Cette seconde condition exprime +que la sphère a avec~$(\gamma)$ un contact du second ordre; de +même que dans une bande asymptotique chaque plan~$(P)$ est osculateur +à~$(\gamma)$. C'est donc une nouvelle analogie entre les bandes +de courbure et les bandes asymptotiques. + +\Section{Lignes de courbure des enveloppes de sphères.} +{5.}{} Nous connaissons déjà une des familles de lignes +de courbure, celle constituée par les caractéristiques +des sphères. Déterminons la \Ord{2}{e} famille. Soit $(c)$ le lieu +des centres des sphères. Exprimons +ses coordonnées en fonction +de l'arc~$(S)$; l'une des sphères +de centre~$\omega$ rencontre la sphère +infiniment voisine suivant un +cercle~$(K)$ dont le plan est normal +à la tangente~$\omega T$. Introduisons +le trièdre de Serret au +point~$\omega$ de la courbe~$(c)$, et +définissons par rapport à ce trièdre les coordonnées d'un +point~$M$ de la surface, c'est-à-dire du cercle~$(K)$. Appelons $\theta$ +l'angle de~$\omega M$ avec~$\omega T$, cet angle est le même pour tous les +points du cercle~$(K)$. Projetons $M$~en~$P$ sur le plan normal, et +soit $\phi$~l'angle de~$\omega P$ avec~$\omega N$. Les coordonnées de~$M$ par +%% -----File: 177.png---Folio 169------- +rapport au trièdre de Serret sont, en appelant~$r$ le rayon de +la sphère, +\[ +\Tag{(1)} +\xi = r \cos\theta, \qquad +\eta = r \sin\theta \cos\phi, \qquad +\zeta = r \sin\theta \sin\phi. +\] +Par rapport à un système d'axes quelconques, ces coordonnées +sont, en appelant $x\Add{,}y\Add{,}z$ les coordonnées de~$\omega$ +\[ +\Tag{(2)} +X = x + a \xi + a' \eta + a'' \zeta, \quad +Y = y + b \xi + b' \eta + b'' \zeta, \quad +Z = z + c \xi + c' \eta + c'' \zeta; +\] + +\Illustration[2.5in]{176a} +\noindent $r, \theta$ sont fonctions de~$S$; les paramètres variables sont $s$~et~$\phi$. +\DPchg{Ecrivons}{Écrivons} que $(K)$~est le cercle caractéristique, nous avons +\[ +\left\{ +\begin{gathered} +\sum (X - x)^{2}- r^{2}= 0, \\ +\sum a(X - x) + r \frac{dr}{ds} = 0. +\end{gathered}\right. +\] +En supposant que le trièdre de coordonnées coïncide avec le +trièdre de Serret, cette équation devient: +\[ +\xi + r \frac{dr}{ds} = 0, +\] +c'est-à-dire: +\[ +r \cos\theta + r \frac{dr}{ds} = 0, +\] +ou +\[ +\Tag{(3)} +\Cos\theta = -\frac{dr}{ds}. +\] +$\theta$~est ainsi défini en fonction de~$S$. + +Une surface enveloppe de sphères est engendrée par des +cercles; c'est une surface cerclée. Inversement, on peut chercher +si une surface cerclée est une enveloppe de sphères. Le +calcul précédent montre que, pour qu'il en soit ainsi, il +faut que les axes des cercles engendrent une surface développable, +et on outre, que l'on ait la condition~\Eq{(3)}. + +Cherchons les lignes de courbure. Ce sont les trajectoires +orthogonales des cercles~$(K)$ définis par $S = \cte[]$. La tangente +à une ligne quelconque passant par $M$ a pour coefficients +directeurs +\begin{alignat*}{7}%[** TN: Filled in last two equations] +dX &= a\, ds &&+ \xi \frac{a'}{R}\, ds + &&+ \Err{\zeta}{\eta} + \left(-\frac{a}{R} - \frac{a''}{T} - \dots\right)ds + &&+ \zeta \frac{a'}{T}\, ds &&+ a\, d\xi &&+ a'\, d\eta &&+ a''\, d\zeta, \\ +dY &= b\, ds &&+ \xi \frac{b'}{R}\, ds + &&+ \eta \left(-\frac{b}{R} - \frac{b''}{T} - \dots\right)ds + &&+ \zeta \frac{b'}{T}\, ds &&+ b\, d\xi &&+ b'\, d\eta &&+ b''\, d\zeta, \\ +dZ &= c\, ds &&+ \xi \frac{c'}{R}\, ds + &&+ \eta \left(-\frac{c}{R} - \frac{c''}{T} - \dots\right)ds + &&+ \zeta \frac{c'}{T}\, ds &&+ c\, d\xi &&+ c'\, d\eta &&+ c''\, d\zeta. +\end{alignat*} +%% -----File: 178.png---Folio 170------- +En prenant de nouveau le trièdre de Serret pour trièdre de +coordonnées, ces coefficients directeurs deviennent: +\[ +\left(1 - \frac{\eta}{R}\right) ds + d\xi, \qquad +\left(\frac{\xi}{R} + \frac{\zeta}{T}\right) ds + d\eta, \qquad +- \frac{\eta}{T} ds + d\zeta. +\] +Pour la tangente au cercle~$(K)$, on a $ds = 0$, et les coefficients +directeurs sont: +\[ +\dd \xi= 0, \qquad +\dd \eta = -r \sin\theta \sin\phi\, d\phi, \qquad +\dd \zeta = r \sin\theta \cos\phi\, d\phi. +\] +La condition qui définit les trajectoires orthogonales des +cercles~$(K)$ est donc +\[ +-\left[\left(\frac{\xi}{R} + \frac{\zeta}{T}\right) ds + d \eta \right] \sin\phi + + \left[-\frac{\eta}{T}\, ds + d\zeta\right] \cos\phi = 0. +\] +Telle est l'équation différentielle des lignes de courbure. +On peut l'écrire +\begin{align*}%[** TN: Re-breaking] +-\frac{r \cos\theta}{T}\, ds\Add{·} \sin\phi + &- \frac{ds}{T} \left(\zeta \sin\phi + \eta \cos\phi\right) + - d\eta \sin\phi + d\zeta \cos\phi = 0\Add{,} +\\ +- \frac{r \cos\theta}{R}\, ds\Add{·} \sin\phi + &\begin{aligned}[t]- \frac{r \sin\theta}{T}\, ds + &- \sin\phi \bigl[d(r\sin\theta) · \cos\phi - r\sin\theta\Add{·} \sin\phi · d\phi\bigr] \\ + &+ \cos\phi \bigl[d(r\sin\theta) \Add{·}\sin\phi + r\sin\theta · \cos\phi · d\phi\bigr] = 0, +\end{aligned} \\ +-\frac{r \cos\theta}{R}\, ds · \sin\phi +&-\frac{r \sin\theta}{T}\, ds + r \sin\theta · d\phi = 0, +\end{align*} +ou +\[ +\frac{d\phi}{ds} = \frac{1}{T} + \frac{\cotg\theta · \sin\phi}{R}; +\] +équation de la forme +\[ +\frac{d\phi}{ds} = A \sin\phi + \beta. +\] +\DPtypo{si}{Si} on prend comme fonction inconnue $\tg \frac{\phi}{2}$, on est ramené à +une équation de Riccati. Mais l'angle~$\phi$ est l'angle du rayon~$IM$ +avec un rayon fixe. Donc \emph{\Card{4} lignes de courbure du \Ord{2}{e} système +coupent les cercles caractéristiques en \Card{4} points dont le rapport +anharmonique est constant}. Nouvelle analogie avec les lignes +asymptotiques d'une surface réglée. + +On a les simplifications connues si on a \textit{à~priori} une +solution de l'équation. Ainsi si on considère l'enveloppe de +%% -----File: 179.png---Folio 171------- +sphères~$(\Sigma)$ ayant leurs centres dans un plan, tous les cercles +caractéristiques sont orthogonaux à la section de la surface +par ce plan, qui est alors une ligne de courbure. La détermination +des lignes de courbure se ramène dans ce cas à \Card{2} quadratures. + +\Paragraph{Remarque.} Plus généralement, la détermination des trajectoires +orthogonales d'une famille de $\infty^{1}$~cercles dépend de +l'intégration d'une équation de Riccati. D'où des conclusions +analogues aux précédentes. + +\Section{Cas où une des nappes de la développée est une développable.} +{6.}{} Nous venons de considérer le cas où une des nappes +de la développée d'une surface est une courbe. Corrélativement, +considérons maintenant le cas où une des +nappes de la développée est une surface développable. +Alors les plans tangents à cette développable constituent une +des familles de développables de la congruence; un tel plan~$P$ +coupe la surface suivant une courbe normale à toutes les droites +de la congruence situées dans ce plan et qui sera une +ligne de courbure. En tout point de cette ligne, la normale à +la surface est dans le plan~$P$. Donc le plan~$P$ coupe orthogonalement +la surface~$(S)$ tout le long de la ligne de courbure. + +\Illustration[1.875in]{180a} +Réciproquement, si une surface coupe orthogonalement une +famille de plans, ses sections par ces plans sont des lignes +de courbure, d'après le Théorème de Joachimsthal, et ces +plans, constituant une des familles de développables de la +congruence des normales, enveloppent une développable, qui +est une des nappes de la développée de la surface. + +Considérons la \Ord{2}{e} ligne de courbure passant par un point~$M$; +%% -----File: 180.png---Folio 172------- +sa tangente~$MU$ est perpendiculaire à +la tangente~$MT$ à la \Ord{1}{ère}~ligne de courbure +et à la normale~$MN$ à la surface; ces \Card{2} droites +étant dans le plan~$P$, $MU$~est perpendiculaire +au plan~$P$. \emph{Les lignes de +courbure de la \Ord{2}{e} famille sont trajectoires +orthogonales des plans~$P$.} + +Considérons une de ces trajectoires orthogonales~$(K)$; les +plans~$P$ sont normaux à la courbe~$(K)$: l'une des nappes de la +développée, celle qui est une développable, est ainsi l'enveloppe +des plans normaux, ou la surface polaire de la courbe~$(K)$. +\emph{Toutes les lignes de courbure~$(K)$ non planes ont donc +même surface polaire, qui est l'enveloppe des plans des lignes +de courbure planes. L'arête de rebroussement de cette surface +est le lieu des centres des sphères osculatrices à la courbe~$(K)$.} +La ligne~$(K)$ étant une ligne de courbure, les normales à +la surface en tous les points de~$(K)$ forment une développable, +et par suite enveloppent une développée de la courbe~$(K)$, qui +est une géodésique de sa surface polaire. Si donc on part des +plans~$P$, pour avoir les courbes~$(K)$ on est ramené à la recherche +des géodésiques d'une surface développable, ce qui se réduit +à des quadratures; et comme la surface cherchée peut +être considérée comme engendrée par les courbes~$(K)$ on voit +qu'on obtiendra cette surface par des quadratures. + +Partons des plans~$P$, et cherchons leurs trajectoires orthogonales. +Considérons l'arête de rebroussement~$(A)$ de l'enveloppe +des plans~$P$, et introduisons le trièdre de Serret en +%% -----File: 181.png---Folio 173------- +chaque point~$\omega$ de cette courbe, soit~$\DPchg{(\omega\xi\eta\zeta)}{\Tri{\omega}{\xi}{\eta}{\zeta}}$. Le plan~$P$ est +le plan osculateur~$\xi\omega\eta$, et nous voulons chercher dans ce +plan un point~$M(\xi, \eta)$ dont le lieu soit normal à~$P$. Les coordonnées +de~$M$ sont +\[ +X = x + a \xi + a' \eta, \qquad +Y = y + b \xi + b' \eta, \qquad +Z = z + c \xi + c' \eta, +\] +la direction de la tangente au lieu du point~$M$ est définie par +\begin{alignat*}{5}%[** TN: Filled in last two equations] +dX &= a · ds &&+ \xi \frac{\DPtypo{\alpha'}{a'}}{R}\, ds + &&- \eta \left(\frac{a}{R} + \frac{a''}{T}\right) ds + &&+ a\, d\xi &&+ a'\, d\eta, \\ +dY &= b · ds &&+ \xi \frac{b'}{R}\, ds + &&- \eta \left(\frac{b}{R} + \frac{b''}{T}\right) ds + &&+ b\, d\xi &&+ b'\, d\eta, \\ +dZ &= c · ds &&+ \xi \frac{c'}{R}\, ds + &&- \eta \left(\frac{c}{R} + \frac{c''}{T}\right) ds + &&+ c\, d\xi &&+ c'\, d\eta, +\end{alignat*} +expressions de la forme +\[ +dX = Aa + Ba' + Ca'', \quad +dY = Ab + Bb' + Cb'', \quad +dZ = Ac + Bc' + Cc''. +\] + +\DPchg{Ecrivons}{Écrivons} que cette direction est normale au plan~$\xi\omega\eta$, +c'est-à-dire parallèle à la binormale $(a'', b'', c'')$. Nous avons +$A = B = 0$, ou +\[ +ds - \frac{\eta}{R} · ds + d\xi = 0, \qquad +\frac{\xi}{R}\, ds + d\eta = 0; +\] +ou +\[ +\frac{d\xi}{ds} = \frac{\eta}{R} - 1, \qquad +\frac{d\eta}{ds} = - \frac{\xi}{R}; +\] +$\xi, \eta$ sont donnés par \Card{2} équations différentielles du \Ord{1}{er} ordre. +Il en résulte que par chaque point du plan~$P$ passe une trajectoire +orthogonale et une seule. Il existe ainsi une correspondance +point par point entre les divers plans~$P$, les points +correspondants étant sur une même trajectoire orthogonale. + +\Illustration{181a} +Considérons dans un plan~$P$ \Card{2} points +$M, N$; et soit $D$ la droite~$MN$; lorsque +le plan~$P$ varie, la droite~$D$ engendre +une surface réglée sur laquelle les +lieux des points $M$~et~$N$ sont trajectoires +orthogonales des génératrices; +or\Add{,} les trajectoires orthogonales interceptent +sur les génératrices des +%% -----File: 182.png---Folio 174------- +segments égaux; il en résulte que si l'on considère \Card{2} positions +$P, P'$, et les positions $MN, M'N'$ correspondantes, on a $MN = +M'N'$. La correspondance entre les plans~$P$ transforme une courbe +du plan~$P$ en une courbe égale. En particulier, les plans~$P$ +contenant les lignes de courbure planes, \emph{toutes ces lignes de +courbure planes sont égales. La surface~$(S)$ est donc engendrée +par le mouvement d'une courbe plane de forme invariable}. Pour +la définir, il suffit de \DPchg{connaitre}{connaître} le mouvement de son plan~$P$. + +Pour cela, reprenons les équations +\[ +\Tag{(1)} +\frac{d\xi}{ds} - \frac{\eta}{R} + 1 = 0, \qquad +\frac{d\eta}{ds} + \frac{\xi}{R} = 0, +\] +et intégrons-les. Considérons d'abord les équations sans \Ord{2}{e} membre +\[ +R \frac{d\xi}{ds} - \eta = 0, \qquad +R \frac{d\eta}{ds} + \xi = 0. +\] +Posons +\[ +\frac{R}{ds} = \frac{1}{d\phi}, +\] +d'où +\[ +\Tag{(2)} +d\phi = \frac{ds}{R}; +\] +les équations deviennent +\[ +\frac{d\xi}{d\phi} - \eta = 0, \qquad +\frac{d\eta}{d\phi} + \xi = 0, +\] +équations linéaires sans \Ord{2}{e} membre à coefficients constants, +dont la solution générale est +\[ +\Tag{(3)} +\xi = A \cos\phi + B \sin\phi, \qquad +\eta = -A \sin\phi + B \cos\phi. +\] +Passons alors au système avec \Ord{2}{e} membre +\[ +\Tag{(4)} +\frac{d\xi}{d\phi} = \eta - R, \qquad +\frac{d\eta}{d\phi} = - \xi. +\] +Considérons dans~\Eq{(3)} $AB$~comme des fonctions de~$\phi$, et cherchons +à satisfaire au système~\Eq{(4)}. Nous avons +\begin{alignat*}{4} +\frac{d\xi}{d\phi} + &= \phantom{-}\eta &&+ \frac{dA}{d\phi} \cos\phi &&+ \frac{dB}{d\phi} \sin\phi + &&= \phantom{-}\eta - R, \\ +\frac{d\eta}{d\phi} + &= -\xi &&- \frac{dA}{d\phi} \sin\phi &&+ \frac{dB}{d\phi} \cos\phi + &&= -\xi; +\end{alignat*} +%% -----File: 183.png---Folio 175------- +d'où +\[ + \frac{dA}{d\phi} \cos\phi + \frac{dB}{d\phi} \sin\phi = -R, \quad +-\frac{dA}{d\phi} \sin\phi + \frac{dB}{d\phi} \cos\phi = 0; +\] +d'où +\[ +\frac{dA}{d\phi} = - R \cos\phi, \qquad +\frac{dB}{d\phi} = - R \sin\phi; +\] +ou, en réintroduisant $s$ d'après la formule~\Eq{(2)}, +\[ +\frac{dA}{ds} = -\cos\phi, \qquad +\frac{dB}{ds} = -\sin\phi; +\] +et +\[ +A = -\int \cos\phi · ds, \qquad +B = -\int \sin\phi · ds. +\] +Posons +\[ +x_{0} = \int \cos\phi · ds, \qquad +y_{0} = \int \sin\phi · ds; +\] +alors +\[ +A = -x_{0}, \qquad +B = -y_{0}. +\] +Nous avons donc une solution particulière +\[ +\xi = -x_{0} \cos\phi - y_{0} \sin\phi, \qquad +\eta = x_{0} \sin\phi - y_{0} \cos\phi; +\] +et la solution générale est, $x_{1}\Add{,} y_{1}$ désignant \Card{2} constantes arbitraires, +\[ +\Tag{(5)} +\left\{ +\begin{alignedat}{2}%[** TN: Set on one line in original; added brace] +\xi &= \phantom{-} (x_{1} - x_{0}) \cos\phi &&+ (y_{1} - y_{0}) \sin\phi, \\ +\eta &= -(x_{1} - x_{0}) \sin\phi &&+ (y_{1} - y_{0}) \cos\phi. +\end{alignedat} +\right. +\] +Nous avons \Card{3} quadratures à effectuer. Interprétons géométriquement +ces résultats: + +Les formules précédentes, résolues en $\Err{x, y}{x_{1}, y_{1}}$, donnent +\[ +\Tag{(6)} +x_{1} = x_{0} + \xi \cos\phi - \eta \sin\phi, \quad +y_{1} = y_{0} + \xi \sin\phi + \eta \cos\phi. +\] + +\Illustration[2.25in]{183a} +Prenons dans le plan~$P$ deux axes +fixes $0_{1}x_{1}\Add{,} \DPtypo{}{0_{1}}y_{1}$, et construisons par +rapport à ces axes la courbe~$(R)$ lieu +du point $(x_{0}\Add{,} y_{0})$. La courbe~$(R)$ est +la courbe du plan~$P$ qui a même rayon +de courbure que l'arête de rebroussement~$(A)$. +Pour chaque valeur de~$s$, +le point $(x_{0}\Add{,} y_{0})$ occupa une position~$\omega$ +%% -----File: 184.png---Folio 176------- +sur la courbe~$(R)$, et $\phi$~est l'angle de la tangente à~$R$ en~$\omega$ +avec~$\Err{0,x}{0x_{1}}$. Considérons un système d'axes $\omega \xi \eta$, où l'axe $\omega \xi$ +est la tangente à~$(R)$ correspondant au sens dans lequel se +déplace~$\omega$; $\phi$~est l'angle de~$\omega \xi$ avec~$\DPtypo{o}{O}_{1}x_{1}$; $\xi, \eta$ fonctions de~$s$, +sont les coordonnées d'un point~$M$ fixe par rapport au système~$x_{1} \DPtypo{o}{O}_{1} y_{1}$, +prises par rapport aux axes~$\xi \omega \eta$, et~$x_{1}\Add{,} y_{1}$ sont +les coordonnées de ce même point par rapport aux axes~$x_{1} \DPtypo{o}{O}_{1} y_{1}$. +Pour avoir la trajectoire orthogonale, il suffit de porter le +plan~$P$ dans l'espace, sur le plan osculateur à la courbe~$(A)$, +$\omega \xi$~et~$\omega \eta$ coïncidant respectivement avec $\omega \xi$~et~$\omega \eta$; dans ce +mouvement, les courbes $(R)$~et~$(A)$ coïncideront successivement +en tous leurs points; les rayons de courbure étant les mêmes +en grandeur et en signe, les centres de courbure seront confondus. +Si $S$~varie, la courbe~$(R)$ va rouler sur la courbe~$(A)$, +et un point quelconque~$M$ invariablement lié à la courbe~$(R)$ +décrira la trajectoire orthogonale. \emph{Le mouvement du plan~$P$ +s'obtiendra donc en faisant rouler la courbe plane $(R)$ sur la +courbe~$(A)$ de façon que le plan~$P$ \DPtypo{coincide}{coïncide} à chaque instant +avec le plan osculateur à la courbe~$(A)$.} On peut dire que \emph{le +plan~$P$ roule sur la développable qu'il enveloppe}, comme nous +allons l'expliquer. + +Considérons l'arête de rebroussement~$(A)$ et une tangente~$\omega \xi$; +pour développer cette courbe +sur un plan, il faut construire la +courbe plane dont le rayon de courbure +en chaque point ait même expression +en fonction de l'arc que celui +de la courbe~$(A)$, c'est précisément +\Figure[1.5in]{184a}%**** +%% -----File: 185.png---Folio 177------- +la courbe~$(R)$. La position d'un point~$P$ sur la développable +est définie par l'arc~$S$, qui fixe le point~$\omega$ sur~$(A)$ et par +le segment $\omega P = u$. Le point~$P'$ qui correspond à~$P$ dans le développement +est déterminé par les mêmes valeurs de~$s, u$. Les +génératrices de la développable viennent se développer suivant +les tangentes à la courbe~$(R)$. Considérons une courbe~$(\Gamma)$ sur +la développable, et la courbe correspondante~$(\Gamma_{1})$ dans le plan: +les arcs homologues sur ces \Card{2} courbes sont égaux, de sorte +que toute courbe tracée sur le plan roule sur la courbe correspondante +de la développable. \emph{On peut imaginer que l'on ait +enroulé sur la développable une feuille plane déformable; le +mouvement du plan~$P$ consistera alors à dérouler cette feuille +de façon qu'elle reste constamment tendue.} Un point quelconque +de la feuille décrira une trajectoire orthogonale des plans +tangents à la développable. Nous obtenons ainsi en quelque +sorte la \emph{surface développante d'une développable} par la généralisation +du procédé qui donne les développantes d'une courbe +plane. + +Nous pouvons enfin examiner le mouvement du plan~$P$ au +point de vue cinématique. Nous avons +\[ +\frac{dX}{ds} = -\frac{a''}{T} \eta, \qquad +\frac{dY}{ds} = -\frac{b''}{T} \eta, \qquad +\frac{dZ}{ds} = -\frac{c''}{T} \zeta; +\] +et par suite les projections de la vitesse sur les axes~$\xi \eta \zeta$ +invariablement liés au plan~$P$ sont +\[ +V_{\xi} = \sum a · \frac{dX}{ds} = 0, \quad +V_{\eta} = \sum a' \frac{dY}{ds} = 0, \quad +V_{\zeta} = \sum a'' \frac{dZ}{ds} = - \frac{1}{T} \eta. +\] +\DPtypo{le}{Le} mouvement instantané du plan~$P$ est une rotation autour de~$\omega \xi$ +tangente à~$(A)$, la rotation instantanée étant~$-\dfrac{1}{T}$. \emph{Le +plan \DPtypo{osoulateur}{osculateur}~$P$ roule sur la courbe~$(A)$ en tournant autour +de la tangente avec une vitesse de rotation égale à~$-\dfrac{1}{T}$.} +%% -----File: 186.png---Folio 178------- + +La surface~$(S)$ engendrée par le mouvement précédent est +une \emph{surface moulure}, ou \emph{surface de Monge}. Considérons dans le +plan~$P$ une courbe~$(c)$ invariablement liée au système d'axes~$\omega \xi \eta$ +et sa développée~$(K)$. La \Ord{2}{e} nappe de la surface focale +sera engendrée par cette développée~$(K)$ dans le mouvement du +plan~$P$. C'est une surface moulure. Ainsi \emph{une des nappes de la +développée d'une surface moulure est une développable, l'autre +est une surface moulure}. + +\MarginNote{Cas +particuliers.} +Examinons le cas particulier où la développable enveloppe +du plan~$P$ est un cylindre ou un cône. + +\ParItem{\Primo.} Si \emph{le plan~$P$ enveloppe un cylindre}, les tangentes +aux trajectoires orthogonales sont parallèles aux plans de +section droite, les trajectoires sont les développantes des +sections droites; ce sont des lignes planes; \emph{les \Card{2} systèmes +de lignes de courbure de la surface sont des courbes planes. +Le plan~$P$ roule sur le cylindre de façon que son intersection +avec le plan d'une section droite roule sur cette section +droite. On peut encore engendrer la surface en considérant +dans un plan une famille de courbes parallèles (qui sont ici +les développantes de la section droite du cylindre), et en +déplaçant chacune de ces courbes d'un mouvement de translation +perpendiculaire au plan}. + +\ParItem{\Secundo.} Si \emph{le plan~$P$ enveloppe un cône} de sommet~$A$, considérons +une trajectoire orthogonale rencontrant le plan~$P$ en~$M$, +la tangente en~$M$ est perpendiculaire à~$A M$, donc la trajectoire +orthogonale est une courbe tracée sur une sphère de centre~$A$\Add{.} +Coupons alors le cône par une sphère de centre~$A$ et de +%% -----File: 187.png---Folio 179------- +rayon~$R$, soit~$(c)$ l'intersection, et considérons dans le plan~$P$ +le cercle~$(S)$ de centre~$A$ et de rayon~$R$. \emph{Le plan~$F$ roule +sur le cône de façon que le cercle~$(S)$ roule sur la courbe~$(c)$\Add{.}} + +\MarginNote{Autres hypothèses.} +Cherchons maintenant si les deux nappes de la développée +d'une surface peuvent être des développables. La surface +est alors surface moulure de \Card{2} manières; les \Card{2} systèmes +de lignes de courbure sont des courbes planes. Les trajectoires +orthogonales des plans~$P$, qui enveloppent l'une des nappes +de la développée, constituant un des systèmes de lignes +de courbure, doivent être planes. Soit $P'$~le plan de l'une +d'elles. Les plans~$P$ sont tous normaux à une courbe située +dans~$P'$; ils sont donc tous perpendiculaires à $P'$. Si donc +les plans~$P$ ne sont pas parallèles, les plans~$P'$ le sont tous; +les plans~$P$ enveloppent un cylindre, et les plans~$P'$ sont perpendiculaires +aux génératrices de ce cylindre, ainsi que les +normales à la surface; le \DPtypo{profit}{profil} situé dans un plan~$P$ et qui +engendre la surface moulure est une parallèle aux génératrices +du cylindre. Les surfaces obtenues sont donc des cylindres; +la seconde nappe de la développée est une droite rejetée à +l'infini. + +Si les plans~$P$ sont parallèles, on arrive à la même conclusion, +car les plans~$P'$ enveloppent un cylindre. + +Le cas supposé est donc impossible. + +Supposons qu'une des nappes de la développée soit une +développable, l'autre étant une courbe. La surface est une +surface moulure qui s'obtient par le mouvement d'un profil +situé dans le plan~$P$ qui enveloppe la développable. La \Ord{2}{e} nappe +de la développée est engendrée dans ce mouvement par +%% -----File: 188.png---Folio 180------- +la développée du profil; pour que ce soit une courbe, il faut +que la développée du profil soit un point, donc que ce profil +soit un cercle; imaginons alors la sphère qui a ce profil +pour grand cercle; elle est inscrite dans la surface; \emph{la surface +est une enveloppe de sphères de rayon constant}. C'est une +surface canal. + +\emph{Réciproquement toute enveloppe d'une famille de sphères +égales satisfait à la condition précédente.} Soit la sphère +\[ +\sum (x - a)^{2} - r^{2} = 0, +\] +la caractéristique a pour \Ord{2}{e} équation +\[ +\sum (x - a)\, da = 0\DPtypo{;}{.} +\] +C'est un grand cercle de la sphère; les normales à la surface +enveloppe sont dans le plan de ce cercle. L'une des nappes de +la développée sera l'enveloppe des plans de ce cercle. Si +nous considérons le lieu du centre de la sphère, le plan du +grand cercle lui est constamment normal; \emph{la surface est engendrée +par un cercle de rayon constant dont le centre décrit une +courbe, et dont le plan reste constamment normal à cette +courbe}. + +Enfin comme cas singulier, nous avons encore celui où +l'une des nappes de la développée est une droite. La surface +est alors de révolution autour de cette droite. + + +\ExSection{VII} + +\begin{Exercises} +\item[32.] \DPchg{Etudier}{Étudier} la congruence formée des droites tangentes à une +sphère et normales à une même surface; étudier les surfaces +normales à ces droites, et leurs lignes de courbure. + +\item[33.] \DPchg{Etudier}{Étudier} la congruence formée des droites normales à une surface +dont une famille de lignes de courbure est située sur +des sphères concentriques. + +\item[34.] Montrer que les surfaces moulures, dans le cas où l'une des +nappes de la développée est un cylindre ou un cône, peuvent +être \DPtypo{definies}{définies} par le mouvement d'un profil plan, de forme +invariable, dont le plan reste constamment normal à un \DPtypo{cylindr}{cylindre} +ou à un cône. \DPtypo{Prèciser}{Préciser} le mouvement de ce profil. Chercher si +l'on peut dire quelque chose d'analogue pour les surfaces +moulures générales. + +\item[35.] Montrer que les droites tangentes à deux quadriques homofocales +constituent une congruence de normales. Si on fait réfléchir +toutes ces droites, considérées comme des rayons lumineux, +sur une autre quadrique homofocale aux deux premières, +quelles seront les multiplicités focales de cette seconde +congruence? + +\item[36.] \DPchg{Etant}{Étant} données deux surfaces homofocales du second \DPtypo{degre}{degré} et un +plan~$P$, si on mène par les droites du plan~$P$ des plans tangents +aux deux surfaces, les droites qui joignent les points +de contact correspondants sont normales à une famille de surfaces +parallèles. Soit~$(\delta)$ la droite qui contient les pôles +du plan~$P$ par rapport aux deux quadriques homofocales, et +$(d')$~la droite du plan~$P$ qui correspond à une droite~$(d)$ de +la congruence de normales considérée. Le plan mené par~$(\delta)$ +perpendiculairement à~$(d')$ coupe~$(d)$ en un point~$m$. Le lieu +du point~$m$ est l'une des surfaces cherchées: c'est une cyclide. +Les développables de la congruence découpent sur les +surfaces homofocales des réseaux conjugués. + +\item[37.] On considère la congruence des droites de l'espace sur lesquelles +trois plans formant un trièdre trirectangle déterminent +des segments invariables. Démontrer que c'est une congruence +de normales et déterminer les surfaces normales aux +droites de la congruence. Déterminer les points focaux sur +une quelconque de ces droites. Déterminer les cônes directeurs +des développables de la congruence. + +\item[38.] \DPtypo{Demontrer}{Démontrer} qu'il existe des congruences (isogonales) telles +que les plans focaux forment un dièdre constant. Quelle est +la propriété des arêtes de rebroussement des développables de +la congruence par rapport aux nappes de la surface focale qui +les contiennent? Chercher l'équation différentielle de ces +courbes sur la surface focale supposée donnée. Que peut-on +dire du cas où l'une des nappes de la multiplicité focale est +une développable, une courbe, une sphère? + +\item[39.] Si on considère une famille de sphères dont le lieu des +centres~$\omega$ est une courbe plane~$C$, et dont les rayons sont +proportionnels aux distances des centres~$\omega$ à une droite fixe~$\Delta$ +du plan de la courbe~$C$, démontrer que l'enveloppe de ces +sphères a toutes ses lignes de courbure planes. Que peut-on +dire des plans de ces lignes de courbure? Réciproquement, +comment peut-on obtenir toutes les surfaces canaux dont toutes +les lignes de courbure sont planes? +\end{Exercises} +%% -----File: 189.png---Folio 181------- + + +\Chapitre{VIII}{Les Congruences de Droites et les Correspondances Entre +Deux Surfaces.} + +\Section{Nouvelle représentation des congruences.} +{1\Add{.}}{} Dans ce qui précède, nous avons défini une congruence +par son support, et en donnant la direction de la +droite ou des droites~$(D)$ qui passent par chaque point +du support. On peut plus généralement, et ce sera préférable +au point de vue projectif, considérer \Card{2} surfaces supports se +correspondant point par point, les droites de la congruence +étant celles qui joignent les points homologues des deux surfaces. +En réalité, les \Card{2} surfaces se correspondront élément +de contact à élément de contact, et en même temps que la congruence +des droites joignant les points homologues, on pourra +considérer celle des intersections des plans tangents homologues. + +Il est naturel alors d'employer des coordonnées homogènes\Add{.} +Soient $M(x\Add{,}y\Add{,}z\Add{,}t)$ et $\DPtypo{M}{M_{1}}(x_{1}\Add{,} y_{1}\Add{,} z_{1}\Add{,} t_{1})$ les points homologues sur les +\Card{2} surfaces; on pourra définir la congruence par les équations +\[ +X = x + \rho x_{1}, \qquad +Y = y + \rho y_{1}, \qquad +Z = z + \rho z_{1}, \qquad +T = t + \rho t_{1}. +\] +Soient de même $u, v, w, r$ les coordonnées tangentielles d'un plan +tangent à la \Ord{1}{ère} surface, $u_{1}, v_{1}, w_{1}, r_{1}$ celles du plan tangent +homologue à la \Ord{2}{e} surface. La congruence pourra être définie +au point de vue tangentiel par les équations +\[ +U = u + \rho u_{1}, \qquad +V = v + \rho v_{1}, \qquad +W = w + \rho w_{1}, \qquad +R = r + \rho r_{1}. +\] + +Soient $(S), (S_{1})$ les \Card{2} surfaces supports; les systèmes conjugués +%% -----File: 190.png---Folio 182------- +sur ces surfaces étant invariants, d'après leur définition +même, par toute transformation projective, nous sommes +conduits à étudier leurs relations. Soient +\begin{align*} +\Tag{(S)} +x &= f(\lambda,\mu), & +y &= g(\lambda,\mu), & +z &= h(\lambda,\mu), & +t &= \DPtypo{h}{k}(\lambda,\mu); \\ +\Tag{(S_{1})} +x_{1} &= f_{1}(\lambda,\mu), & +y_{1} &= g_{1}(\lambda,\mu), & +z_{1} &= h_{1}(\lambda,\mu), & +t_{1} &= \DPtypo{k}{h}_{1}(\lambda,\mu); +\end{align*} +les équations des deux surfaces. + +Le choix des paramètres $\lambda\Add{,} \mu$ est fixé par le Théorème suivant: +\emph{Quand \Card{2} surfaces $(S)\Add{,} (S_{1})$ se correspondent point par point, il +existe sur~$(S)$ un réseau conjugué qui correspond à un réseau +conjugué de~$S_{1}$, et en général il n'en existe qu'un.} Soient $d\lambda, +d\mu$ et~$\delta\lambda, \delta\mu$ les paramètres définissant \Card{2} directions conjuguées +sur~$(S)$, elles sont conjuguées harmoniques par rapport aux +directions +\[ +E'\, d\lambda^{2} + 2F'\, d\lambda · d\mu + G'\, d\mu^{2} = 0. +\] +De même sur~$(S_{1})$, \Card{2} directions conjuguées sont conjuguées harmoniques +par rapport aux directions +\[ +E'_{1}\, d\lambda^{2} + 2F'_{1}\, d\lambda · d\mu + G'_{1}\, d\mu^{2} = 0. +\] +Chercher un système conjugué commun revient donc à chercher un +couple de points conjugués par rapport à \Card{2} couples donnés par +\Card{2} équations quadratiques; si les \Card{2} formes quadratiques n'ont +pas de facteur commun, il y a un couple et un seul répondant +à la question. Or\Add{,} les \Card{2} équations précédentes définissent les +lignes asymptotiques des \Card{2} surfaces; si donc \Card{2} surfaces se +correspondent point par point d'une façon telle qu'il n'y ait +pas sur~$(S)$ une famille d'asymptotiques correspondant à une +famille d'asymptotiques de~$(S_{1})$, il existe un système conjugué +%% -----File: 191.png---Folio 183------- +de~$(S)$ et un seul qui correspond à un système conjugué de~$(S_{1})$\Add{.} +Il est défini par l'équation: +\[ +\begin{vmatrix} +E'\, d\lambda + F'\, d\mu & F'\, d\lambda + G'\, d\mu \\ +E_1'\,d\lambda + F_1'\, d\mu & F_1'\, d\lambda + G_1'\, d\mu +\end{vmatrix} = 0\Add{.} +\] +Il y aura impossibilité si les formes ont un facteur commun, +et indétermination si les \Card{2} facteurs sont communs, c'est-à-dire, +si les lignes asymptotiques se correspondent sur les +deux surfaces. \DPchg{Ecartant}{Écartant} ces cas d'exception, nous supposerons +que les paramètres $\lambda\Add{,} \mu$ correspondent à ce système conjugué +commun. + +\Section{Emploi des coordonnées homogènes.} +{2.}{} Nous allons reprendre les formules usuelles et +voir ce qu'elles deviennent en coordonnées homogènes. + +%[** TN: Removed several ". ---" start-of-paragraph markers] +Une \emph{courbe} en coordonnées homogènes est définie +par \Card{4} équations +\[ +x = f(\lambda), \qquad +y = g(\lambda), \qquad +z = h(\lambda), \qquad +t = k(\lambda). +\] +La tangente au point $M(x,y,z,t)$ joint le point~$M$ au point +\[%[** TN: Two large expressions are in-line in original] +M'\left(\dfrac{dx}{d\lambda}, \dfrac{dy}{d\lambda}, \dfrac{dz}{d\lambda}, \dfrac{dt}{d\lambda}\right). +\] +Le plan osculateur passe par la droite~$MM'$ et +par le point +\[ +M''\left(\dfrac{d^{2}x}{d\lambda^{2}}, \dfrac{d^{2}y}{d\lambda^{2}}, \dfrac{d^{2}z}{d\lambda^{2}}, \dfrac{d^{2}t}{d\lambda^{2}}\right)\Add{.} +\] + +Corrélativement une \emph{développable} sera l'enveloppe du +plan~$P$ +\[ +u = f(\lambda), \qquad +v = g(\lambda), \qquad +w = h(\lambda), \qquad +r = k(\lambda). +\] +La caractéristique (génératrice) sera l'intersection du plan~$P$ +et du plan +$P'\left(\dfrac{du}{d\lambda}, + \dfrac{dv}{d\lambda}, + \dfrac{dw}{d\lambda}, + \dfrac{dr}{d\lambda}\right)$. +Le point de contact avec l'arête +de rebroussement sera en outre dans le plan +$P''\left(\dfrac{d^{2}u}{d\lambda^{2}}, + \dfrac{d^{2}v}{d\lambda^{2}}, + \dfrac{d^{2}w}{d\lambda^{2}}, + \dfrac{d^{2}r}{d\lambda^{2}}\right)$. +%% -----File: 192.png---Folio 184------- + +Une \emph{surface} quelconque peut se définir au point de +vue ponctuel par +\[ +x = f(\lambda, \mu), \qquad +y = g(\lambda, \mu), \qquad +z = h(\lambda, \mu), \qquad +t = k(\lambda, \mu); +\] +et au point de vue tangentiel par +\[ +u = F(\lambda, \mu), \qquad +v = G(\lambda, \mu), \qquad +w = H(\lambda, \mu), \qquad +r = K(\lambda, \mu). +\] +On peut définir le \emph{plan tangent} en fonction du point de contact +$(x, y, z, t)$. Ce plan contient le point, donc +\[ +\sum ux = 0; +\] +il contient les tangentes aux courbes $\lambda = \cte$\DPtypo{.}{,} $\mu = \cte$, donc +les points +$\left(\dfrac{\dd x}{\dd \mu}, \dfrac{\dd y}{\dd \mu}, + \dfrac{\dd z}{\dd \mu}, \dfrac{\dd t}{\dd \mu}\right)$ +et +$\left(\dfrac{\dd x}{\dd \lambda}, \dfrac{\dd y}{\dd \lambda}, + \dfrac{\dd z}{\dd \lambda}, \dfrac{\dd t}{\dd \lambda}\right)$. +\[ +\sum u \frac{\dd x}{\dd \lambda} = 0, \qquad +\sum u \frac{\dd x}{\dd \mu} = 0; +\] +et nous avons ainsi \Card{3} équations définissant des quantités +proportionnelles à $u, v, w, r$. On peut écrire l'équation ponctuelle +du plan tangent au point $(x\Add{,}y\Add{,}z\Add{,}t)$ +\[ +\begin{vmatrix} +X & Y & Z & T \\ +x & y & z & t \\ +\mfrac{\dd x}{\dd \lambda} & +\mfrac{\dd y}{\dd \lambda} & +\mfrac{\dd z}{\dd \lambda} & +\mfrac{\dd t}{\dd \lambda} \\ +% +\mfrac{\dd x}{\dd \mu} & +\mfrac{\dd y}{\dd \mu} & +\mfrac{\dd z}{\dd \mu} & +\mfrac{\dd t}{\dd \mu} +\end{vmatrix} = 0. +\] + +\emph{Corrélativement} on définira un \emph{point} de la surface en +fonction du plan tangent en ce point, au moyen des équations: +\[ +\sum ux = 0, \qquad +\sum x \frac{\dd u}{\dd \lambda} = 0, \qquad +\sum x \frac{\dd u}{\dd \mu} = 0; +\] +de sorte qu'en définitive, on peut définir l'un des éléments +point, plan tangent, en fonction de l'autre au moyen des formules +\[ +\sum ux = 0, \qquad +\sum u\, dx = 0, \qquad +\sum x\, du = 0. +\] + +Proposons-nous maintenant d'\emph{exprimer que \Card{2} directions +%% -----File: 193.png---Folio 185------- +$MT(d\lambda, d\mu)$ et $MS(\delta \lambda\DPtypo{.}{,} \delta \mu)$ sont conjuguées}. Ces \Card{2} directions +sont conjuguées si, le point de contact du plan tangent se déplaçant +dans la direction $MT, MS$ est la caractéristique de ce +plan tangent. Or\Add{,} cette caractéristique est +\[ +\sum uX = 0, \qquad +\sum du·X = 0; +\] +la droite~$MS$ est définie par le point $(x, y, z, t)$ et le point +$(\delta x, \delta y, \delta z, \delta t)$. Pour exprimer que $MS$~est la caractéristique, il +faut exprimer que les \Card{2} points précédents sont sur la caractéristique, +ce qui donne: +\begin{alignat*}{2} +&\sum ux = 0, \qquad +&&\sum du·x = 0; \\ +&\sum u · \delta x = 0, \qquad +&&\sum du · \delta x = 0; +\end{alignat*} +les \Card{3} \Ord{1}{ères} équations sont vérifiées, nous avons donc la condition +unique +\[ +\sum du · \delta x = 0, +\] +ou la condition symétrique +\[ +\sum \delta u · dx = 0. +\] +En particulier nous trouvons la condition pour qu'une direction +soit conjuguée d'elle-même, c'est-à-dire soit direction +asymptotique +\[ +\sum du · dx = 0. +\] + +Exprimons alors que les directions $\lambda = \cte$, $\mu = \cte$ forment +un réseau conjugué. Nous avons +\[ +\Tag{(1)} +\sum · \frac{\dd u}{\dd \lambda} · \frac{\dd x}{\dd \mu} = 0. +\] +Cette condition peut se transformer: l'équation +\[ +\sum u \frac{\dd x}{\dd \mu} = 0 +\] +différentiée par rapport à $\lambda$ donne +\[ +\sum \frac{\dd u}{\dd \lambda} · \frac{\dd x}{\dd \mu} + + \sum u \frac{\dd^{2} x}{\dd \lambda\, \dd \mu} = 0; +\] +%% -----File: 194.png---Folio 186------- +et \Eq{(1)}~s'écrit +\[ +\Tag{(2)} +\sum u \frac{\dd^{2} x}{\dd \lambda·\dd \mu} = 0. +\] +De même l'équation +\[ +\sum u \frac{\dd x}{\dd \lambda} = 0 +\] +différentiée par rapport à~$\mu$ donne +\[ +\sum \frac{\dd u}{\dd \mu} · \frac{\dd x}{\dd \lambda} + + \sum u \frac{\dd^{2} x}{\dd \lambda\, \DPtypo{d}{\dd}\mu} = 0, +\] +et \Eq{(1)}~peut s'écrire +\[ +\Tag{(3)} +\sum \frac{\dd u}{\dd \mu} · \frac{\dd x}{\dd \lambda} = 0. +\] +En partant de l'une des relations +\[ +\sum x \frac{\dd u}{\dd \lambda} = 0, \qquad +\sum x \frac{\dd u}{\dd \mu} = 0, +\] +on obtiendrait la relation +\[ +\Tag{(4)} +\sum x \frac{\dd^{2} u}{\dd \lambda · \dd \mu} = 0. +\] +Ces \Card{4} équations \Eq{(1)}\Add{,} \Eq{(2)}\Add{,} \Eq{(3)}\Add{,} \Eq{(4)} dépendent simultanément des éléments +ponctuel et tangentiel. En exprimant $u, v, w, r$ en fonction +de~$x, y, z, t$, on obtient la condition en coordonnées ponctuelles: +\[ +\Tag{(5)} +\begin{vmatrix} +x & \mfrac{\dd x}{\dd \lambda} + & \mfrac{\dd x}{\dd \mu} + & \mfrac{\dd^{2} x }{\dd\lambda\, \dd\mu} +\end{vmatrix} = 0. +\] +Dans cette relation~\Eq{(5)}, le premier membre représente, par +abréviation, le déterminant dont la première ligne serait la +ligne écrite entre les deux traits verticaux, et dont les +trois autres lignes se déduiraient de celle-là en~$y$ remplaçant~$x$ +par~$y, z, t$. Cette notation sera employée couramment dans la +suite. + +Lorsque $t = \cte$, la condition~\Eq{(5)} se réduit à la condition +connue +\[ +\begin{vmatrix} +\mfrac{\dd x}{\dd \lambda} & +\mfrac{\dd x}{\dd \mu} & +\mfrac{\dd^{2} x}{\dd \lambda · \dd \mu} +\end{vmatrix} = F' = 0. +\] + +La condition~\Eq{(5)} peut s'interpréter autrement: il existe +%% -----File: 195.png---Folio 187------- +une même relation linéaire et homogène entre les éléments correspondants +des lignes +\begin{align*}%[** TN: Filled in last three equations] +\frac{\dd^2 x}{\dd \lambda · \dd \mu} + &= L \frac{\dd x}{\dd \lambda} + M \frac{\dd x}{\dd \mu} + N x\Add{,} \\ +\frac{\dd^2 y}{\dd \lambda · \dd \mu} + &= L \frac{\dd y}{\dd \lambda} + M \frac{\dd y}{\dd \mu} + N y\Add{,} \\ +\frac{\dd^2 z}{\dd \lambda · \dd \mu} + &= L \frac{\dd z}{\dd \lambda} + M \frac{\dd z}{\dd \mu} + N z\Add{,} \\ +\frac{\dd^2 t}{\dd \lambda · \dd \mu} + &= L \frac{\dd t}{\dd \lambda} + M \frac{\dd t}{\dd \mu} + N t\Add{,} +\end{align*} +c'est-à-dire: \emph{les \Card{4} coordonnées homogènes~$x,y,z,t$ satisfont à +une même équation linéaire aux dérivées partielles de la forme}: +\[ +\frac{\dd^2 f}{\dd \lambda· \dd \mu} + = L \frac{\dd f}{\dd \lambda} + M \frac{\dd f}{\dd \mu} + Nf. +\] +En \DPtypo{operant}{opérant} au point de vue tangentiel, on verrait de même que +\emph{la condition cherchée est que $u,v,w,r$~soient intégrales d'une +même équation}: +\[ +\frac{\dd^2f}{\dd \lambda\, \dd \mu} + = P \frac{\dd f}{\dd \lambda} + Q \frac{\dd f}{\dd \mu} + Rf. +\] +On montrerait sans peine que si $x,y,z,t$\DPtypo{,}{} ou $u,v,w,r$ satisfont +à une équation de la forme précédente, elles ne satisfont qu'à +une seule. + +\Paragraph{Remarque.} En coordonnées cartésiennes, $t = 1$, $r = 1$, et on a +$R = N = 0$. + +Considérons une \emph{surface réglée}; les équations d'une +génératrice, joignant le point $M(x\Add{,}y\Add{,}z\Add{,}t)$ au point $M_1 (x_1, y_1, z_1, t_1)$ +sont: +\[ +X = x + \rho x_1, \qquad +Y = y + \rho y_1, \qquad +Z = z + \rho z_1, \qquad +T = t + \rho t_1. +\] +Supposons la surface \emph{développable}; les plans tangents aux points +$(x,y,z,t)$ et $(x_1, y_1, z_1, t_1)$ sont les mêmes. Or\Add{,} le plan tangent en~$M$ +%% -----File: 196.png---Folio 188------ +passant par la génératrice et par la tangente à la courbe +$\rho = \Err{\cte}{0}$ contient le point $(dx, dy, dz, dt)$. De même le plan tangent +en~$M_1$, contient le point $(dx_1, dy_1, dz_1, dt_1)$. La condition +pour que les plans soient confondus est donc +\[ +\begin{vmatrix} +x & x_1 & dx & dx_1 +\end{vmatrix} = 0. +\] + +Si nous définissions la surface en coordonnées tangentielles, +nous arriverions de même à la condition +\[ +\begin{vmatrix} +u & u_1 & du & du_1 +\end{vmatrix} = 0. +\] + +Voyons enfin une \emph{congruence}: nous pouvons encore la +représenter par les équations +\[ +X = x + \rho x_1, \qquad +Y = y + \rho y_1, \qquad +Z = z + \rho z_1, \qquad +T = t + \rho t_1; +\] +mais ici $x, y, z, t$ et $x_1, y_1, z_1, t_1$, sont fonctions de deux paramètres +arbitraires $(\lambda, \mu)$. Cherchons les \emph{éléments focaux}. Soit $F$ un +foyer d'une droite~$D(\lambda, \mu)$. Soit $\rho$ la valeur du paramètre qui +correspond à ce point. Toutes les surfaces réglées de la congruence +qui contiennent la droite~$D$ ont en ce point~$F$ même +plan tangent. Considérons en particulier les surfaces $\lambda = \cte$ +et $\mu = \cte[]$. Les plans tangents à ces surfaces contiennent respectivement +les points $(x, y, z, t)$\Add{,} $(x_1, y_1, z_1, t_1)$\Add{,} +$\left(\dfrac{\dd x}{\dd \mu} + \rho \dfrac{\dd x_1}{\dd \mu},\dots\right)$ +et $(x, y, z, t)$\Add{,} $(x_1, y_1, z_1, t_1)$\Add{,} +$\left(\dfrac{\dd x}{\dd \lambda} + \rho \dfrac{\dd x\Add{_1}}{\dd \lambda},\dots\right)$. La condition pour +que ces plans \DPtypo{coincident}{coïncident}, c'est-à-dire l'\emph{équation aux points +focaux}, est donc +\[ +\begin{vmatrix} +x & x_1 & +\mfrac{\dd x}{\dd \lambda} + \rho\mfrac{\dd x_1}{\dd \lambda} & +\mfrac{\dd x}{\dd \mu} + \rho\mfrac{\dd x_1}{\dd \mu} +\end{vmatrix} = 0; +\] +On trouvera de même l'\emph{équation aux plans focaux}: +\[ +\begin{vmatrix} +u & u_1 & +\mfrac{\dd u}{\dd \lambda} + \rho \mfrac{\dd u_1}{\dd \lambda} & +\mfrac{\dd u}{\dd \mu} + \rho \mfrac{\dd \DPtypo{u}{u_{1}}}{\dd \mu} +\end{vmatrix} = 0. +\] +%% -----File: 197.png---Folio 189------- + +\Section{Correspondances spéciales.} +{3.}{} Nous allons étudier la \emph{correspondance entre \Card{2} points +$M\Add{,} \Err{M}{M_{1}}$, de \Card{2} surfaces telle que les développables de la congruence +des droites $M\Err{M}{M_{1}}$ coupent les \Card{2} surfaces suivant les +\Card{2} réseaux conjugués qui se correspondent}. Nous supposerons que +les paramètres $\lambda\Add{,} \mu$ qui fixent la position d'un point sur chacune +des surfaces sont précisément tels quo les courbes conjuguées +homologues soient $\lambda = \cte$ et $\mu = \cte[]$. Les courbes +$\lambda = \cte\Add{,} \mu = \cte$ sont conjuguées sur la \Ord{1}{ère} surface~$(S)$ donc +$x, y, z, t$ satisfont à une même équation différentielle +\[ +\Tag{(1)} +\frac{\dd^2 f}{\dd \lambda\, \dd \mu} + = P \frac{\dd f}{\dd \lambda} + Q \frac{\dd f}{\dd \mu} + R f; +\] +de même les courbes $\lambda = \cte$ et $\mu = \cte$ étant conjuguées sur la +\Ord{2}{e} surface~$(S_1)$, $x_1, y_1, z_1, t_1$\DPtypo{,}{} satisfont à une même équation différentielle +\[ +\Tag{(2)} +\frac{\dd^2 f}{\dd \lambda\, \dd \mu} + = P_1 \frac{\dd f}{\dd \lambda} + Q_1 \frac{\dd f}{\dd \mu} + R_1 f. +\] +Exprimons maintenant que les développables de la congruence +correspondent à $\lambda = \cte$ et $\mu = \cte[]$. Si nous représentons la +congruence par les équations +\[ +X = x + \rho x, \qquad +Y = y + \rho y, \qquad +Z = z + \rho z, \qquad +T = t + \rho t, +\] +les développables sont données par l'équation +\[ +\begin{vmatrix} +x & x_1 & dx & dx_1 +\end{vmatrix} = 0. +\] +Or, +\begin{alignat*}{5} +dx &= \frac{\dd x}{\dd \lambda}\, d\lambda + &&+ \frac{\dd x}{\dd \mu}\, d\mu,\qquad & +dy &= \dots\dots,\qquad & +dz &= \dots\dots,\qquad & +dt &= \dots\dots, \\ +% +dx_1 &= \frac{\dd x_1}{\dd\lambda}\, d\lambda + &&+ \frac{\dd x_1}{\dd\mu}\, d\mu,\qquad & +dy_1 &= \dots\dots,\qquad & +dz_1 &= \dots\dots,\qquad & +dt_1 &= \dots\dots; +\end{alignat*} +\iffalse%%%%%[** TN: Code follows for three sets of equations above] +dy &= \frac{\dd y}{\dd \lambda}\, d\lambda + \frac{\dd y}{\dd \mu}\, d\mu, & +dz &= \frac{\dd z}{\dd \lambda}\, d\lambda + \frac{\dd z}{\dd \mu}\, d\mu, & +dt &= \frac{\dd t}{\dd \lambda}\, d\lambda + \frac{\dd t}{\dd \mu}\, d\mu, \\ +% +dy_1 &= \frac{\dd y_1}{\dd\lambda}\, d\lambda + \frac{\dd y_1}{\dd\mu}\, d\mu, & +dz_1 &= \frac{\dd z_1}{\dd\lambda}\, d\lambda + \frac{\dd z_1}{\dd\mu}\, d\mu, & +dt_1 &= \frac{\dd t_1}{\dd\lambda}\, d\lambda + \frac{\dd t_1}{\dd\mu}\, d\mu, +\fi %%%% End of code for elided equations +et l'équation précédente devant être vérifiée pour $d\lambda = 0$, +$d\mu = 0$, nous avons les conditions +%% -----File: 198.png---Folio 190------- +\begin{align} +\Tag{(3)} +\begin{vmatrix} +x & x_1 & \mfrac{\dd x}{\dd \lambda} & \mfrac{\dd x_1}{\dd \lambda} +\end{vmatrix} = 0, \\ +\Tag{(4)} +\begin{vmatrix} +x & x_1 & \mfrac{\dd x}{\dd \mu} & \mfrac{\dd x_1}{\dd \mu} +\end{vmatrix} = 0. +\end{align} +Il existe une même relation linéaire et homogène entre les +éléments des colonnes, donc +\begin{alignat*}{2} +\Tag{(5)} +Ax + B \frac{\dd x}{\dd \lambda} + &= A_1 x_1 + B_1 \frac{\dd x_1}{\dd \lambda},\qquad + && \text{et les analogues}\quad\dots\dots\Add{,} + \\ +\Tag{(6)} +Cx + D \frac{\dd x}{\dd \mu} + &= C_1 x_1 + D_1 \frac{\dd x_1}{\dd \mu},\qquad + && \text{et les analogues}\quad\dots\dots\Add{.} +\end{alignat*} + +\Paragraph{\DPchg{\Ord{1}{er} Cas}{Premier Cas}.} Voyons d'abord ce qui arrive si l'un des \Card{4} coefficients +$B\Add{,} B_1\Add{,} D\Add{,} D_1$ est nul. Soit $B_1 = 0$. Alors les équations~\Eq{(5)} +expriment que le point $M_1(x_1\Add{,} y_1\Add{,} z_1\Add{,} t_1)$ est sur la droite qui +joint les points $M(x\Add{,}y\Add{,}z\Add{,}t)$ et +\[%[** TN: Large in-line expression in original] +M\left(\dfrac{\dd x}{\dd \lambda}, \dfrac{\dd y}{\dd \lambda}, \dfrac{\dd z}{\dd \lambda}, \dfrac{\dd t}{\dd \lambda}\right). +\] +La droite~$MM_1$ +est tangente à la courbe~$\mu = \cte$ tracée sur la surface~$(S)$. +Toutes les droites~$MM_1$ sont ainsi tangentes à la surface~$(S)$ +qui est une des nappes de la surface focale de la congruence. +Sur la surface~$(S)$ les courbes $\mu = \cte$ correspondent à une +famille de développables, et par suite les courbes $\lambda = \cte$ +conjuguées des précédentes correspondent à la \Ord{2}{e} famille. Il +nous faut alors chercher comment on peut définir~$(S_1)$ pour +que cette surface soit coupée suivant un réseau conjugué par +les développables de la congruence. Les équations~\Eq{(5)} peuvent +s'écrire dans le cas considéré +\[ +x_1 = Ax + B \frac{\dd x}{\dd \lambda}, \quad +y_1 = Ay + B \frac{\dd y}{\dd \lambda}, \quad +z_1 = Az + B \frac{\dd z}{\dd \lambda}, \quad +t_1 = At + B \frac{\dd t}{\dd \lambda}\Add{.} +\] +Posons +\[ +x = \theta X, \qquad +y = \theta Y, \qquad +z = \theta Z, \qquad +t = \theta T; +\] +nous avons alors +\[ +x_1 = A \theta X + B \left(\theta \frac{\dd x}{\dd \lambda} + + X \frac{\dd \theta}{\dd \lambda}\right), \quad +y_1 = \dots\dots, \quad +z_1 = \dots\dots, \quad +t_1 = \dots\dots; +\] +déterminons la fonction~$\theta$ par la relation +\[ +A \theta + B \frac{d \theta}{d \lambda} = 0, +\] +%% -----File: 199.png---Folio 191------- +ce qui est toujours possible. Nous avons +\[ +x_1 = A \frac{\dd x}{\dd \lambda}, \qquad +y_1 = A \frac{\dd y}{\dd \lambda}, \qquad +z_1 = A \frac{\dd z}{\dd \lambda}, \qquad +t_1 = A \frac{\dd t}{\dd \lambda}; +\] +et comme les coordonnées homogènes ne sont définies qu'à un +facteur près, nous pouvons écrire +\[ +\Tag{(7)} +x_1 = \frac{\dd x}{\dd \lambda}, \qquad +y_1 = \frac{\dd y}{\dd \lambda}, \qquad +z_1 = \frac{\dd z}{\dd \lambda}, \qquad +t_1 = \frac{\dd t}{\dd \lambda}. +\] +Alors, d'après ces relations, l'équation différentielle~\Eq{(1)} +s'écrit +\[ +\Tag{(8)} +\frac{\dd x_1}{\dd \mu} = Px_1 + Q \frac{\dd x}{\dd \mu} + Rx, +\] +condition de la forme~\Eq{(6)}. Les équations \Eq{(3)}~et~\Eq{(4)} sont alors +vérifiées. Différentions la relation~\Eq{(8)} par rapport à~$\lambda$ +\[ +\frac{\dd^2 x_1}{\dd \lambda\, \dd \mu} + = \frac{\dd P}{\dd \lambda} x_1 + P \frac{\dd x_1}{\dd \lambda} + + \frac{\dd Q}{\dd \lambda} · \frac{\dd x}{\dd \mu} + + Q \frac{\dd^2 x}{\dd \lambda\, \dd \mu} + + \frac{\dd R}{\dd \lambda x} + R \frac{\dd x}{\dd \lambda}. +\] +Mais, $\Err{x}{x_{1}}$~vérifiant l'équation~\Eq{(2)}, nous avons +\[ +\frac{\dd^2 x_1}{\dd \lambda\, \dd \mu} + = P_1 \frac{\dd x_1}{\dd \lambda} + Q_1 \frac{\dd x_1}{\dd \mu} + R_1 x_1, +\] +et nous obtenons ainsi +\[ +\Tag{(9)} +P_1 \frac{\dd x_1}{\dd \lambda} + Q_1 \frac{\dd x_1}{\dd \mu} + R_1 x_1 + = \frac{\dd P}{\dd \lambda} x_1 + + P \frac{\dd x_1}{\dd \lambda} + + \frac{\dd Q}{\dd \lambda}\Err{}{\, \frac{dx}{d\mu}} + + Q \frac{\dd^2 x}{\dd \lambda\, \dd \mu} + + \frac{\dd R}{\dd \lambda} · x + + R \frac{\dd x}{\dd \lambda}; +\] +\Eq{(8)}\Add{,}~\Eq{(9)} sont \Card{2} équations en $x$~et~$\dfrac{\dd x}{\dd \mu}$. Si on peut les résoudre, on +en peut tirer $x$ en particulier, en fonction linéaire de~$x_1$, +$\dfrac{\dd x_1}{\dd \lambda}$\Add{,}~et~$\dfrac{\dd \Err{x}{x_1}}{\dd \mu}$; +car~$\dfrac{\dd^2 x}{\dd \lambda\, \dd \mu}\Err{}{=\dfrac{\dd x_1}{\dd \mu}}$\Err{}{ et $\dfrac{\dd x}{\dd\lambda} = x_1$} s'exprime en fonction linéaire de ces \Card{3} quantités; +donc le point $M(x, y, z, t)$ se trouve dans le plan des \Card{3} points +$(x_1, y_1, z_1, t_1)$\Add{,} +%[** TN: Added elided components in next two points] +$\left(\dfrac{\dd x_{1}}{\dd\lambda}, \dfrac{\dd y_{1}}{\dd\lambda}, + \dfrac{\dd z_{1}}{\dd\lambda}, \dfrac{\dd t_{1}}{\dd\lambda}\right)$\Add{,} +$\left(\dfrac{\dd x_{1}}{\dd \mu}, \dfrac{\dd y_{1}}{\dd \mu}, + \dfrac{\dd z_{1}}{\dd \mu}, \dfrac{\dd t_{1}}{\dd \mu}\right)$, +c'est-à-dire dans le +plan tangent en~$M_1$, à la surface~$(S_1)$. La droite~$MM_1$ est donc aussi +tangente à~$(S_1)$, et $(S_1)$~est la \Ord{2}{e} nappe de la surface focale. +Nous avons ainsi établi une \emph{correspondance point par point entre +les \Card{2} nappes de la surface focale d'une congruence}. +%% -----File: 200.png---Folio 192------- + +\emph{\DPchg{Ecartons}{Écartons} ce cas}; il faut alors supposer que les équations +\Eq{(8)}\Add{,}~\Eq{(9)} ne sont pas résolubles en $x$~et~$\dfrac{\dd x}{\dd \mu}$; ce qui exige que +l'on ait +\[ +\begin{vmatrix} +Q & R \\ +\mfrac{\dd Q}{\dd \lambda} & \mfrac{\dd R}{\dd \lambda} +\end{vmatrix} = 0, +\] +ou +\[ +Q \frac{\dd R}{\dd \lambda} - R \frac{\dd Q}{\dd \lambda} = 0; +\] +ce qui exprime que $\dfrac{Q}{R}$ est fonction de $\mu$ seulement +\[ +R = Q \psi(\mu). +\] +Reprenons alors la relation~\Eq{(8)}, et multiplions les \Card{4} coordonnées +$x\Add{,}y\Add{,}z\Add{,}t$ par un facteur fonction de~$\mu$ de façon à simplifier +la relation~\Eq{(8)}, qui s'écrit +\[ +\frac{\dd x_1}{\dd \mu} + = Px_1 + Q \left[ \frac{\dd x}{\dd \mu} + x \psi(\mu)\right]. +\] +On peut multiplier~$x$ par un facteur~$\omega$ tel que l'expression entre +crochets se réduise~$\theta\omega \dfrac{\dd x}{\dd \mu}$; comme ce facteur~$\omega$ ne dépend pas de~$\lambda$, +les équations~\Eq{(7)} subsistent, et nous avons des relations de la forme +\[ +\frac{\dd x_1}{\dd \mu} = Px_1 + Q \frac{\dd x}{\dd \mu}, \quad +\frac{\dd y_1}{\dd \mu} = \dots\dots, \quad +\frac{\dd z_1}{\dd \mu} = \dots\dots, \quad +\frac{\dd t_1}{\dd \mu} = \dots\dots. +\] +Ceci revient à supposer $R = 0$ dans les équations~\Eq{(1)}; ce qui +donne enfin +\[ +\Tag{(10)} +\frac{\dd^2 x}{\dd \lambda\, \dd \mu} + = P \frac{\dd x}{\dd \lambda} + Q \frac{\dd x}{\dd \mu}, \quad +\frac{\dd^2 y}{\dd \lambda\, \dd \mu} = \dots, \quad +\frac{\dd^2 z}{\dd \lambda\, \dd \mu} = \dots, \quad +\frac{\dd^2 t}{\dd \lambda\, \dd \mu} = \dots. +\] +Il est facile de voir que si $x\Add{,}y\Add{,}z\Add{,}t$ satisfont à~\Eq{(10)}, les conditions +\Eq{(1)}\Add{,} \Eq{(2)}\Add{,} \Eq{(3)}\Add{,} \Eq{(4)} sont satisfaites. Tout d'abord \Eq{(3)}~et~\Eq{(4)} +le sont, ainsi que~\Eq{(1)}. Voyons alors~\Eq{(2)}. Les équations~\Eq{(10)} +peuvent s'écrire +\[ +\frac{\dd x_1}{\dd \mu} = Px_1 + Q \frac{\dd x}{\dd \mu}\Add{,} +\] +d'où +\[ +\frac{\dd^2 x_1}{\dd \lambda\, \dd \mu} + = \frac{\dd P}{\dd \lambda} x_1 + P \frac{\dd x_1}{\dd \lambda} + + Q \frac{\dd x_1}{\dd \mu} + + \frac{1}{Q} \left( \frac{\dd x_1}{\dd \mu} - Px_1\right) + \frac{\dd Q}{\dd \lambda}\Add{,} +\] +ce qui est bien une équation de la forme~\Eq{(2)}. +%% -----File: 201.png---Folio 193------- + +\Paragraph{\DPchg{\Ord{2}{ème} Cas}{Deuxième Cas}.} Nous supposons maintenant $B, B_1, D, D_1, \neq 0$. Reprenons +les équations~\Eq{(5)}\Add{,}~\Eq{(6)}\Add{.} En multipliant $x, y, z, t$ et $x_1, y_1, z_1, t_1$, +par des facteurs convenables, on peut faire \DPchg{disparaitre}{disparaître} dans~\Err{\Eq{(S)}}{\Eq{(5)}} +le terme en~$x$ et le terme en~$x_1$, de sorte que nous pouvons +écrire +\[ +\Tag{(11)} +\frac{\dd x_1}{\dd \lambda} = L \frac{\dd x}{\dd \lambda}, \qquad +\frac{\dd y_1}{\dd \lambda} = L \frac{\dd y}{\dd \lambda}, \qquad +\frac{\dd z_1}{\dd \lambda} = L \frac{\dd z}{\dd \lambda}, \qquad +\frac{\dd t_1}{\dd \lambda} = L \frac{\dd t}{\dd \lambda}. +\] +L'équation~\Eq{(6)} peut s'écrire +\[ +\Tag{(12)} +\frac{\dd x_1}{\dd \mu} = M \frac{\dd x}{\dd \mu} + N x + S x_1; +\] +différentions par rapport à~$\lambda$ en tenant compte de~\Eq{(11)}, nous +avons +\[ +\frac{\dd}{\dd \mu} \left(L \frac{\dd x}{\dd \lambda}\right) + = \frac{\dd}{\dd \lambda} \left(M \frac{\dd x}{\dd \mu}\right) + + \frac{\dd}{\dd \lambda} (N x) + \frac{\dd}{\dd \lambda} (S x_1); +\] +$\dfrac{\dd^2 x}{\dd \lambda\, \dd \mu}$ peut d'après~\Eq{(1)} s'exprimer en fonction de~$\Err{x_1}{x}$, $\dfrac{\dd x}{\dd \lambda}$ et $\dfrac{\dd x}{\dd \mu}$, +et la relation précédente s'écrit +\[ +\frac{\dd}{\dd \lambda} (S x_1) + = F \left(x, \frac{\dd x}{\dd \lambda}, \frac{\dd x}{\dd \mu}\right), +\] +$F$~étant une fonction linéaire, ce qu'on peut écrire encore +\[ +\frac{\dd S}{\dd \lambda} x_1 + S L \frac{\dd x}{\dd \lambda} + = F \left(x, \frac{\dd x}{\dd \lambda}, \frac{\dd x}{\dd \mu}\right). +\] +Si $\dfrac{\dd S}{\dd \lambda} \neq 0$, $x_1$ est fonction linéaire de~$x$, $\dfrac{\dd x}{\dd \lambda}$, $\dfrac{\dd x}{\dd \mu}$. Le point~$M$ +est dans le plan tangent en~$M$ à la surface~$(S)$, qui est alors +une des nappes de la surface focale, cas qui a été précédemment +examiné. Il faut donc supposer $\dfrac{\dd S}{\dd \lambda} = 0$, $S$~n'est fonction +que de~$\mu$. Alors si nous reprenons l'équation~\Eq{(12)}, nous pouvons +multiplier $x_1, y_1, z_1, t_1$ par une fonction de~$\mu$ telle que le +terme en~$x_1$ \DPchg{disparaisse}{disparaîsse}, les relations~\Eq{(11)} subsistant. Et +nous ramènerons~\Eq{(12)} à la forme +\[ +\frac{\dd x_1}{\dd \mu} = H \frac{\dd x}{\dd \mu} + K x. +\] +%% -----File: 202.png---Folio 194------- +Le même raisonnement montrera que $K$~est indépendant de~$\lambda$ et +que par suite on peut faire \DPchg{disparaitre}{disparaître} le terme en~$x$; finalement +on a +\[ +\Tag{(13)} +\frac{\dd x_1}{\dd \mu} = M \frac{\dd x}{\dd \mu}, \qquad +\frac{\dd y_1}{\dd \mu} = M \frac{\dd y}{\dd \mu}, \qquad +\frac{\dd z_1}{\dd \mu} = M \frac{\dd z}{\dd \mu}, \qquad +\frac{\dd t\Add{_1}}{\dd \mu} = M \frac{\dd t}{\dd \mu}. +\] +Les relations \Eq{(11)}~et~\Eq{(13)} sont d'ailleurs suffisantes, car +on en conclut +\begin{align*} +\frac{\dd^2 x_1}{\dd \lambda\, \dd \mu} + &= \frac{\dd}{\dd \mu} \left(L \frac{\dd x}{\dd \lambda}\right), \\ +\frac{\dd^2 x_1}{\dd \lambda\, \dd \mu} + &= \frac{\dd}{\dd \lambda} \left(M \frac{\dd x}{\dd \mu}\right); \\ +\intertext{d'où} +\Tag{(14)} +\frac{\dd}{\dd \lambda} \left(M \frac{\dd x}{\dd \mu}\right) + &= \frac{\dd}{\dd \mu} \left(L \frac{\dd x}{\dd \lambda}\right), +\end{align*} +équation de la forme~\Eq{(1)}, où $R = 0$; on obtiendrait de même +\[ +\Tag{(15)} +\frac{\dd}{\dd \lambda} \left(\frac{1}{M} · \frac{\dd x_1}{\dd \mu}\right) + = \frac{\dd}{\dd \mu} \left(\frac{1}{M}\, \frac{\dd x_1}{\dd \lambda}\right), +\] +équation de la forme~\Eq{(2)} où $R_1=0$. + +\MarginNote{Conclusions.} +Dans le \emph{\Ord{1}{er} cas}, nous avons été ramenés à faire \DPchg{disparaitre}{disparaître} +le terme en~$x$ dans l'équation +\[ +\Tag{(1)} +\frac{\dd^2 x}{\dd \lambda\, \dd \mu} + = P \frac{\dd x}{\dd \lambda} + Q \frac{\dd x}{\dd \mu} + R x +\] +au moyen de la substitution +\[ +x = \omega X +\] +on trouve immédiatement la condition +\[ +\frac{\dd^2 \omega}{\dd \lambda\, \dd \mu} + = P \frac{\dd \omega}{\dd \lambda} + + Q \frac{\dd \omega}{\dd \mu} + R \omega\Add{,} +\] +et on peut dire alors que \emph{la surface~$(S_1)$ est définie par les +équations} +\[ +x_1 = \frac{\dd}{\dd \lambda} \left(\frac{x}{\omega}\right)\Add{,} \qquad +y_1 = \frac{\dd}{\dd \lambda} \left(\frac{y}{\omega}\right)\Add{,} \qquad +z_1 = \frac{\dd}{\dd \lambda} \left(\frac{z}{\omega}\right)\Add{,} \qquad +t_1 = \frac{\dd}{\dd \lambda} \left(\frac{t}{\omega}\right)\Add{,} +\] +\emph{$\omega$~étant une solution de l'équation~\Eq{(1)}}. +%% -----File: 203.png---Folio 195------- + +Passons au \emph{\Ord{2}{e} cas}: il faut encore faire \DPtypo{disparaitre}{disparaître} le +terme en~$x$ de l'équation~\Eq{(1)}, ce qui revient à chercher une +intégrale de cette équation. L'équation prend alors la forme +\[ +\Tag{(2)} +\frac{\dd^2 x}{\dd \lambda\, \dd \mu} + = P \frac{\dd x}{\dd \lambda} + Q \frac{\dd x}{\dd \mu}\Add{.} +\] +Identifions avec l'équation~\Eq{(14)} précédemment obtenue. Nous +avons +\[ +\frac{\dd L}{\dd \mu} = P(M - L), \qquad +\frac{\dd M}{\dd \lambda} = Q(L - M); +\] +posons alors +\[ +L - M = \theta, +\] +et nous aurons +\[ +\frac{\dd L}{\dd \mu} = -P\theta, \qquad +\frac{\dd M}{\dd \lambda} = Q\theta; +\] +et l'on voit immédiatement que $\theta$~doit être intégrale de l'équation +\[ +\Tag{(3)} +\frac{\dd^2 \theta}{\dd \lambda\, \dd \mu} + + \frac{\dd (P \theta)}{\dd \lambda} + + \frac{\dd (Q \theta)}{\dd \mu} = 0\Add{,} +\] +qui est ce qu'on appelle \emph{l'adjointe} de~\Eq{(2)}. Ayant~$\theta$, on détermine +par quadratures $L$~et~$M$; car +\[ +L = -\int P\theta · d\mu, \qquad +M = \int Q\theta · d\lambda\Add{.} +\] + +\MarginNote{Propriétés de +la correspondance +précédente.} +Soient $M(x, y, z, t)$, $M_1(x_1, y_1, z_1, t_1)$; soit maintenant $P$~le +\Figure{203a} +point de coordonnées $\left(\dfrac{\dd x}{\dd \lambda},\dots\right)$ ou +$\left(\dfrac{\dd x_1}{\dd \lambda},\dots\right)$ et $Q$~le point $\left(\dfrac{\dd x}{\dd \mu},\dots\right)$ ou +$\left(\dfrac{\dd x_1}{\dd \mu},\dots\right)$, de sorte que la droite~$PM$ +est tangente à la courbe $\mu = \cte$ sur +la surface~$(S)$ et~$PM_1$ à la courbe $\mu = +\cte$, sur la surface~$(S_1)$, et de même +%% -----File: 204.png---Folio 196------- +la droite~$QM$ est tangente à la courbe~$\lambda = \cte$ sur la surface~$(S)$, +et~$QM_1$ à la courbe~$\lambda = \cte$ sur la surface~$(S_1)$. Les plans +tangents aux \Card{2} surfaces $(S), (S_1)$ aux points $M, M_1$ se coupent suivant +la droite~$PQ$. Considérons la congruence de ces droites~$PQ$. +On peut la définir par les équations +\[ +X = \frac{\dd x}{\dd \lambda} + \rho \frac{\dd x}{\dd \mu}, \quad +Y = \frac{\dd y}{\dd \lambda} + \rho \frac{\dd y}{\dd \mu}, \quad +Z = \frac{\dd z}{\dd \lambda} + \rho \frac{\dd z}{\dd \mu}, \quad +T = \frac{\dd t}{\dd \lambda} + \rho \frac{\dd t}{\dd \mu}. +\] +Les développables de cette congruence sont définies par l'équation +\[ +\begin{vmatrix} + \mfrac{\dd x}{\dd \lambda} & + \mfrac{\dd x}{\dd \mu} & + \mfrac{\dd^2 x}{\dd \lambda^2} · d \lambda + + \mfrac{\dd^2 x}{\dd \lambda\, \dd \mu} d\mu & + \mfrac{\dd^2 x}{\dd \lambda\, \dd \mu} · d\lambda + + \mfrac{\dd^2 x}{\dd \mu^2} d\mu +\end{vmatrix} = 0; +\] +mais on a +\[ +\frac{\dd^2 x}{\dd \lambda\, \dd \mu} + = P \frac{\dd x}{\dd \lambda} + Q \frac{\dd x}{\dd \mu}, +\] +de sorte que l'équation précédente se réduit à +\[ +d\lambda · d\mu = 0. +\] +\emph{Les développables de la congruence des droites~$PQ$ correspondent +donc aux développables de la congruence des droites~$MM\Add{_1}$, +c'est-à-dire encore aux systèmes conjugués homologues.} + +Cherchons maintenant les points focaux. Ils sont donnés +par l'équation +\[ +\begin{vmatrix} + \mfrac{\dd x}{\dd \lambda} & + \mfrac{\dd x}{\dd \mu} & + \mfrac{\dd^2 x}{\dd \lambda^2} + \rho \mfrac{\dd^2 x}{\dd \lambda\, \dd \mu} & + \mfrac{\dd^2 x}{\dd \lambda\, \dd \mu} + \mfrac{\rho \dd^2 x}{\dd \mu^2} +\end{vmatrix} = 0, +\] +équation qui, à cause de la même condition que précédemment, +se réduit à $\rho = 0$; une racine est nulle, l'autre infinie; +\emph{les points focaux ne sont autres que les points~$P, Q$. Ils sont +dans les plans focaux de la congruence~$MM_1$}. + +Considérons le point~$P$, et supposons que l'on fasse $\lambda = +\cte[]$. La direction de la tangente à la trajectoire du point~$P$ +est définie par un \Ord{2}{e} point, dont les coordonnées sont +\[ +\frac{\dd}{\dd \mu} \left(\frac{\dd x}{\dd \lambda}\right) + = P \frac{\dd x}{\dd \lambda} + Q \frac{\dd x}{\dd \mu}, +\] +et les analogues. +%% -----File: 205.png---Folio 197------- +C'est un point de~$PQ$. Le point~$P$ décrit une courbe tangente à~$PQ$, +arête de rebroussement de la développable correspondant à +$\lambda = \cte[]$. Le point~$Q$ décrira de même l'arête de rebroussement +de la développable correspondant à~$\mu = \cte[]$. + +Les propriétés de la correspondance que nous venons d'étudier +se transforment en elles-mêmes par dualité. En choisissant +convenablement les coordonnées tangentielles homogènes, +on aurait donc +\begin{align*} +\frac{\dd u_1}{\dd \lambda} &= H \frac{\dd u}{\dd \lambda}, + \quad\text{et les analogues;}\quad\dots\dots, \\ +\frac{\dd u_1}{\dd \mu} &= K \frac{\dd u}{\dd \mu}, + \quad\text{et les analogues.}\quad\dots\dots. +\end{align*} +Appelons alors congruence~$(K)$ celle des droites~$MM_1$, congruence~$(K')$ +celle des droites~$PQ$. \emph{Si les développables de la congruence~$(K)$ +coupent les surfaces $(S)\Add{,} (S_1)$ suivant deux réseaux +conjugués, les développables de la congruence~$(K')$ sont circonscrites +à ces surfaces suivant les mêmes réseaux, et réciproquement. +Les points focaux de~$(K')$ sont dans les plans focaux +de~$(K)$, chaque point focal se trouvant dans le plan focal +qui ne lui correspond pas.} + +\Section{Correspondance par plans tangents parallèles.} +{4.}{} Soit sur la surface~$(S)$ l'une des courbes~$(c)$ du réseau +conjugué qui correspond à un réseau conjugué sur~$(S_1)$ +et soit~$(c_1)$ la courbe correspondante sur~$(S_1)$. Supposons +qu'en deux points homologues les plans tangents aux surfaces +$(S)\Add{,} (S_1)$ soient parallèles; leurs caractéristiques le sont aussi; +donc \emph{les directions conjuguées homologues sont parallèles.} +%% -----File: 206.png---Folio 198------- +Faisons $t = 1$ et~$t_1 = 1$, nous avons +\begin{alignat*}{3} +\Tag{(1)} +\frac{\dd x_1}{\dd \lambda} &= L \frac{\dd x}{\dd \lambda}, \qquad & +\frac{\dd y_1}{\dd \lambda} &= L \frac{\dd y}{\dd \lambda}, \qquad & +\frac{\dd z_1}{\dd \lambda} &= L \frac{\dd z}{\dd \lambda}; \\ +\Tag{(2)} +\frac{\dd x_1}{\dd \mu} &= M \frac{\dd x}{\dd \mu} \qquad & +\frac{\dd y_1}{\dd \mu} &= M \frac{\dd y}{\dd \mu} \qquad & +\frac{\dd z_1}{\dd \mu} &= M \frac{\dd z}{\dd \mu}. +\end{alignat*} +Nous pouvons donc appliquer les résultats précédemment obtenus\Add{.} +Les plans tangents en~$M\Add{,} M_1$ étant parallèles, la droite~$PQ$ est à +l'infini. Les droites de la congruence~$(K')$ sont les droites +du plan de l'infini. Sur chacune de ces droites, les points~$P\Add{,} Q$ +sont les points où elles sont rencontrées par les tangentes +conjuguées homologues sur $(S)\Add{,} (S_1)$, et le lieu des points~$P\Add{,}Q$ +est tangent à chaque droite~$PQ$ aux points~$P, Q$. + +\MarginNote{Cas particulier.} +En particulier, supposons que, la surface~$(S)$ étant quelconque, +la surface~$(S_1)$ soit une sphère. La congruence des +droites~$MM_1$ a des développables qui découpent sur $(S)\Add{,} (S_1)$ des +réseaux conjugués, les tangentes homologues étant parallèles. +Or\Add{,} sur une sphère, un réseau conjugué est un réseau orthogonal; +donc le réseau conjugué de~$(S)$ est aussi un réseau orthogonal, +ce sont les \emph{lignes de courbure}, dont la recherche est +ainsi ramenée à celle des développables d'une congruence. En +particulier, supposons la surface~$(S)$ du \Ord{2}{e} degré, et considérons +la congruence des droites~$PQ$ du plan de l'infini. Le +plan de l'infini coupe $(S),(S_1)$ suivant deux coniques $(\Gamma),(\Gamma_1)$. +Considérons leurs points d'intersection avec une droite~$PQ$; +les points d'intersection avec~$(\Gamma)$ correspondent aux directions +des génératrices de~$(S)$ qui passent par~$M$, et qui sont +les tangentes asymptotiques; les points~$P\Add{,} Q$ qui correspondent +aux directions principales sont donc conjugués par rapport à +ces points d'intersection, c'est-à-dire conjugués par rapport +%% -----File: 207.png---Folio 199------- +à la conique~$(\Gamma)$. Ils sont de même conjugués par rapport à~$(\Gamma_1)$. +Les points~$P,Q$ sont les points doubles de l'involution +déterminée sur la droite~$PQ$ par le faisceau de coniques ayant +pour bases $(\Gamma),(\Gamma_1)$. La droite~$PQ$ est tangente en~$P\Add{,} Q$ aux \Card{2} coniques +de ce faisceau qui lui sont tangentes; de sorte que la +détermination des développables de la congruence~$(K)$, c'est-à-dire +des lignes de courbure de la quadrique~$(S)$, revenant à +celle d'un faisceau de coniques, peut se faire algébriquement. +Si on prend pour paramètres ceux des génératrices rectilignes +qui passent par un point de~$(S)$, on obtient ainsi l'intégration +de l'\emph{équation d'Euler}. + +\Paragraph{Remarque.} Au lieu du plan de l'infini, on pourrait considérer +un plan fixe quelconque~$(\Pi)$. La correspondance serait +telle que les plans tangents en \Card{2} points homologues de $(S), (S_1)$ +se coupent dans le plan~$\Pi$.\DPnote{** TN: [sic], no ()} Les résultats seraient analogues; +et de même si, corrélativement, on établissait entre les \Card{2} surfaces +une correspondance telle que la droite~$MM_1$ passe par +un point fixe. + +Considérons deux surfaces $(S), (S_1)$ qui se correspondent +par plans tangents parallèles. Prenons dans l'espace un point +fixe~$O$, et substituons à~$(S_1)$ une de ses homothétiques par +rapport à~$O,(S'_1)$. A tout réseau conjugué sur~$(S_1)$ correspond +sur~$(S_1\Add{'})$ un réseau homothétique qui est aussi conjugué, et le +réseau conjugué de~$(S)$ qui correspond à un réseau conjugué +sur~$(\Err{S_1}{S'_1})$ correspond aussi à un réseau conjugué sur~$(S'_1)$. Imaginons +que le rapport d'homothétie croisse indéfiniment le +point~$M'_1$ homothétique de~$\Err{M}{M_1}$ s'éloigne à l'infini, la droite~$MM_1$ +est la parallèle menée par~$M$ au rayon~$OM$. Donc, \emph{si l'on a +%% -----File: 208.png---Folio 200------- +\Card{2} surfaces $(S),(S_1)$ se correspondant par plans tangents parallèles, +si on prend dans l'espace un point fixe~$O$, et si par +le point~$M$ de~$(S)$ on mène la parallèle~$MN$ au rayon~$\Err{OM}{OM_1}$, les +développables de la congruence des droites~$MN$ découpent sur~$(S)$ +le réseau conjugué qui correspond à un réseau conjugué +sur~$(S_1)$}. Si en particulier nous prenons pour~$(S_1)$ une sphère, +pour~$O$ son centre, $\Err{OM}{OM_1}$~est perpendiculaire au plan tangent à~$(\Err{S}{S_1})$, +et par conséquent au plan tangent à~$(S)$; $MN$~qui lui est +parallèle est la normale à~$(S)$. \emph{La congruence des normales à +une surface a des développables qui déterminent sur cette +surface un réseau conjugué orthogonal.} On retrouve donc la +propriété fondamentale des lignes de courbure de la surface~$(S)$. + +Remarquons encore que si le rayon de la sphère~$(S_1)$ est +égal à~$1, x, y, z,$ sont les cosinus directeurs de la normale, +et les formules \Eq{(1)}\Add{,}~\Eq{(2)} ne sont autres que les formules +d'Olinde Rodrigues. + + +\ExSection{VIII} + +\begin{Exercises} +\item[40.] On donne deux courbes $C, C_{1}$. Trouver toutes les surfaces~$S$ sur +lesquelles les courbes de contact des cônes circonscrits à~$S$, +ayant leurs sommets sur $C$ et~$C_{1}$, forment un réseau conjugué. +En définissant $C$~et~$C_{1}$ par les équations +\begin{alignat*}{4} +x &= f(\lambda), \qquad & +y &= g(\lambda), \qquad & +z &= h(\lambda), \qquad & +t &= k(\lambda); \\ +% +x &= \phi(\mu), & +y &= \psi(\mu), & +z &= \chi(\mu), & +t &= \theta(\mu), +\end{alignat*} +la surface la plus générale répondant à la question est définie +par les équations +\begin{align*} +x &= \int A(\lambda)f(\lambda)\, d\lambda + \int B(\mu)\phi(\mu)\, d\mu, \\ +y &= \int A(\lambda)g(\lambda)\, d\lambda + \int B(\mu)\psi(\mu)\, d\mu, \\ +z &= \int A(\lambda)h(\lambda)\, d\lambda + \int B(\mu)\chi(\mu)\, d\mu, \\ +t &= \int A(\lambda)k(\lambda)\, d\lambda + \int B(\mu)\theta(\mu)\, d\mu. +\end{align*} + +Interpréter géométriquement les formules obtenues de +façon à trouver une définition géométrique de ces surfaces. +Transformer par dualité les divers résultats obtenus. + +\item[41.] Soit $\Sigma$ la sphère de centre~$O$ et de rayon égal à un; soit $S$ +une surface quelconque et $S'$~sa polaire \DPtypo{reciproque}{réciproque} par rapport +à~$\Sigma$. Soit $M$ un point quelconque de~$S$ et~$P$ le plan tangent en +ce point; soient $M'$~et~$P'$ le point et le plan tangent de~$S'$ qui +correspondent à~$P$ et~$M$ par polaires réciproques. On considère +la congruence~$K$ des droites~$MM'$ et la congruence~$K'$ des intersections +des plans $P$~et~$P'$. Montrer que leurs développables +se correspondent, et que les développables de~$K$ découpent +sur~$S$ et~$S'$ des réseaux conjugués. Comment les développables +de~$K$ coupent-elles~$\Sigma?$ Chercher à déterminer~$S$ de manière +que $K$~soit une congruence de normales; que peut-on dire alors +des développables de~$K$ et de la surface~$S$? + +\item[42.] \DPchg{Etant}{Étant} \DPtypo{donnee}{donnée} une courbe gauche~$C$, par un point fixe~$O$ on +mène des segments~$OM$ équipollents aux diverses cordes de~$C$. +Le lieu des points~$M$ est une surface~$S_{0}$. Par chaque point~$M$ +de cette surface on mène la parallèle~$\Delta$ à l'intersection +des plans osculateurs de $C$~\DPtypo{menes}{menés} aux points $P$~et~$P_{1}$ de~$C$ tels +que $PP_{1}$~est équipollent à~$OM$. Soient $S_{1}$~et~$S_{2}$ les deux nappes de +la surface focale de la congruence des droites~$\Delta$: + +%[** TN: Regularized formatting of parts] +\Primo. déterminer +$S_{1}$~et~$S_{2}$, leur~$ds^2$, leur~$\sum l\,d^{2}x$. Montrer que les +asymptotiques se correspondent sur $S_{1}$~et~$S_{2}$. Quelles sont les +courbes de $S_{0}$ qui leur correspondent? + +\Secundo. Condition nécessaire +et suffisante que doit remplir~$C$ pour que la congruence +des droites~$\Delta$ soit une congruence de normales. Trouver alors +l'une des surfaces normales. Montrer que les rayons de courbure +de~$\Sigma$ sont fonctions l'un de l'autre. + +\Tertio. En restant +dans ce cas, rapporter le~$ds^{2}$, de $S_{1}$~aux géodésiques tangentes +aux droites~$\Delta$ et à leurs trajectoires orthogonales. En conclure +que $S_{1}$~est applicable sur un \DPchg{paraboloide}{paraboloïde} de révolution. + +\textsc{Nota}. Les deux dernières parties de cet exercice se +rattachent à la fin du chapitre~XIII\@. +\end{Exercises} +%% -----File: 209.png---Folio 201------- + + +\Chapitre{IX}{Complexes de Droites.} + +\Section{\DPchg{Eléments}{Éléments} fondamentaux d'un complexe de droites.} +{1.}{} On appelle \emph{complexe} un système de $\infty^{3}$~droites, +c'est-à-dire une famille de droites dépendant de \Card{3} paramètres. + +Soit $A$ un point de l'espace, toutes les droites~$(D)$ du +complexe qui passent par ce point sont au nombre de~$\infty^{1}$, et +constituent le \emph{cône du complexe} attaché au point~$A$: nous +l'appellerons le cône~$(K)$. + +Corrélativement: soit un plan~$P$, toutes les droites~$(D)$ +du complexe situées dans ce plan sont au nombre de~$\infty^{1}$, et enveloppent +une courbe~$(c)$ qui est la \emph{courbe du complexe} associée +à~$P$. La tangente en tout point de cette courbe est une +droite du complexe. + +Plus généralement nous appellerons \emph{courbe du complexe} +une courbe~$(c)$ dont toutes les tangentes appartiennent au complexe. +Considérons sur une telle courbe un point~$A$, et le +cône du complexe~$(K)$ associé au point~$A$. Ce cône est tangent +à la courbe~$(c)$. \emph{Une courbe du complexe est tangente en chacun +de ses points au cône du complexe associé à ce point.} + +\Illustration[2.25in]{210a}%[** TN: Moved to top of paragraph] +Considérons un plan~$P$, et un point~$A$ de ce plan; cherchons +les droites du complexe situées dans le plan~$P$ et passant +par~$A$. Considérons le cône du complexe associé au point~$A$, +%% -----File: 210.png---Folio 202------- +les droites cherchées sont les +génératrices de ce cône situées dans +le plan~$P$: si nous considérons la +courbe du complexe associée au plan~$P$, +les droites cherchées sont aussi +les tangentes issues de~$A$ à cette +courbe. Cherchons dans le plan~$P$ le +lieu des points~$A$ tels que deux des +droites du complexe situées dans le plan~$P$ et passant par~$A$ +soient confondues; les points~$A$ correspondants seront, d'après +ce qui précède, tels que le cône du complexe correspondant +soit tangent au plan~$P$: ils doivent aussi être sur la +courbe du complexe: les droites du complexe confondues \DPtypo{coincident}{coïncident} +avec la génératrice de contact du cône du complexe, ou +avec la tangente à la courbe du complexe. Ainsi l'on peut définir +la courbe du complexe située dans un plan comme étant +le lieu des points de ce plan pour lesquels le cône du complexe +est tangent au plan, et la génératrice de contact n'est +autre que la tangente en ce point à la courbe. La courbe du +complexe est ainsi définie par points et par tangentes. + +\begin{wrapfigure}[14]{O}{1.625in} +\Input[1.5in]{210b} +\end{wrapfigure} +Considérons alors une droite~$(D)$ du complexe; prenons sur +cette droite un point~$A$, et considérons le cône~$(K)$ du complexe +associé au point~$A$; soit $P$ le plan +tangent à ce cône le long de la génératrice~$(D)$. +A chaque point~$A$ de la droite +correspond ainsi un plan~$P$. Considérons +maintenant la courbe~$(c)$ du complexe située +dans le plan~$P$, elle est tangente à +%% -----File: 211.png---Folio 203------- +la droite~$(D)$ précisément au point~$A$, de sorte qu'à chaque +plan~$P$ passant par la droite correspond un point de cette +droite. \emph{Il y a une correspondance homographique entre les +points et les plans d'une droite du complexe.} + +Précisons la nature de cette homographie. Une droite +quelconque peut être représentée par \Card{2} équations de la forme +\[ +\Tag{(1)} +X = a Z + f, \qquad +Y = b Z + g. +\] +Pour qu'elle appartienne à un complexe, il faut et il suffit +qu'il existe une relation entre les paramètres~$a\Add{,}b\Add{,}f\Add{,}g$: +\[ +\Tag{(2)} +\phi (a,b,f,g) = 0. +\] +Cherchons alors toutes les droites du complexe infiniment +voisines de la droite~\Eq{(1)} et rencontrant cette droite. Une +telle droite peut être représentée par les équations +\[ +\Tag{(3)} +X = (a + da) Z + (f + df), \qquad +Y = (b + db) Z + (g + dg). +\] +Exprimons qu'elle rencontre la droite~\Eq{(1)}. Les équations +\[ +\Tag{(4)} +Z\, da + df = 0, \qquad +Z\, db + dg = 0, +\] +doivent avoir une solution commune en~$Z$, ce qui donne la condition +\[ +\Tag{(5)} +da · dg - db · df = 0. +\] +Le point d'intersection~$M$ des \Card{2} droites infiniment voisines +aura alors pour cote +\[ +Z = - \frac{df}{da}. +\] +Différentions la relation~\Eq{(2)}, nous avons +\[ +\Tag{(6)} +\frac{\dd \phi}{\dd a}\, da + +\frac{\dd \phi}{\dd b}\, db + +\frac{\dd \phi}{\dd f}\, df + +\frac{\dd \phi}{\dd g}\, dg = 0. +\] +Supposons connu le point~$M$, nous avons les relations~\Eq{(4)} dans +lesquelles $Z$ est connu, et qui par conséquent déterminent les +rapports des différentielles. Cherchons alors le plan passant +%% -----File: 212.png---Folio 204------- +par les deux droites infiniment voisines. Il suffit de multiplier~\Eq{(3)} +respectivement par $db$ et~$-da$, et d'ajouter, il +vient, en tenant compte de~\Eq{(5)} +\[ +\Tag{(7)} +(X - aZ - f)\, db - (Y - bZ - g)\, da = 0\Add{.} +\] +Telle est l'équation du plan cherché: il ne dépend que du rapport~$\dfrac{db}{da}$. +Nous en concluons que \emph{toutes les droites du complexe +infiniment voisines de la droite~$D$ et rencontrant cette droite +en un point~$M$ donné sont dans un même plan, et inversement +toutes les droites du complexe infiniment voisines de la droite~$D$ +et situées dans un même plan passant par~$D$ rencontrent $D$ +au même point}. Posons +\[ +\lambda = \frac{da}{db}\Add{,} +\] +l'équation~\Eq{(7)} s'écrit +\[ +\Tag{(8)} +X - a Z - f -\lambda (Y - b Z - g) = 0\Err{\lambda}{}\Add{.} +\] +Démontrons qu'il y a une relation homographique entre~$\lambda, Z$: +tirons en effet $df, dg$ des équations~\Eq{(4)} et portons dans~\Eq{(6)}, +nous avons +\[ +\left(\frac{\dd \phi}{\dd a} - Z \frac{\dd \phi}{\dd f}\right) da + +\left(\frac{\dd \phi}{\dd b} - Z \frac{\dd \phi}{\dd g}\right) db = 0 +\] +et la relation d'homographie est +\[ +\lambda \left(\frac{\dd \phi}{\dd a} - Z \frac{\dd \phi}{\dd f}\right) + + \frac{\dd \phi}{\dd b} - Z \frac{\dd \phi}{\dd g} = 0. +\] + +Considérons en particulier le cône du complexe de sommet~$M$; +la génératrice infiniment voisine est une droite du complexe +rencontrant $D$ en~$M$: le plan de ces \Card{2} droites est le plan +tangent au cône du complexe, et nous avons l'homographie +précédemment définie. + +Considérons encore une courbe du complexe quelconque +%% -----File: 213.png---Folio 205------- +tangente à la droite~$D$ au point~$A$. Considérons une tangente +infiniment voisine à cette courbe; à la limite cette tangente +rencontre $D$ au point~$A$, et le plan de ces \Card{2} droites n'est autre +que le plan osculateur à la courbe au point~$A$, et ce plan +osculateur est associé au point~$A$ dans l'homographie précédente. +Donc \emph{toutes les courbes du complexe tangentes à une +droite~$D$ en un même point~$A$ ont même plan osculateur en ce +point: c'est le plan tangent au cône du complexe associé au +point~$A$}. + +Considérons enfin une congruence de droites appartenant +au complexe; prenons dans cette congruence une droite~$D$, et +sur cette droite un point focal~$A$; le point~$A$ appartient à +une des nappes de la surface focale de la congruence; il appartient +aussi à l'arête de rebroussement d'une des développables +de la congruence, et cette arête de rebroussement, enveloppe +de droites~$D$ appartenant au complexe, est une courbe du +complexe. Son plan osculateur en~$A$ est le \Ord{2}{e} plan focal de la +congruence; d'après ce qui précède, \emph{toutes les congruences du +complexe passant par la droite~$D$ et ayant un foyer en~$A$ ont +même \Ord{2}{e} plan focal relatif à la droite~$D$;} il y a correspondance +homographique entre ce \Ord{2}{e} plan focal et le point~$A$. + +\Section{Surfaces du complexe.} +{2.}{} Cherchons si dans un complexe il y a des congruences +ayant une surface focale double. Sur une telle surface~$(\Phi)$ +les arêtes de rebroussement des développables sont des lignes +asymptotiques; or\Add{,} ce sont des courbes du complexe. +Il s'agit donc de trouver des surfaces telles qu'une famille +%% -----File: 214.png---Folio 206------- +de lignes asymptotiques soit formée de courbes du complexe. +Considérons une telle asymptotique~$(c)$ et un de ses points~$A$. +Le plan osculateur à la courbe~$(c)$ en~$A$ est le plan tangent +au cône~$(K)$ du complexe associé au point~$A$, et ce plan osculateur +est tangent à la surface~$(\Phi)$. Les surfaces cherchées +sont donc tangentes en chacun de leurs points au cône du complexe +associé à ce point. Réciproquement soit~$(\Phi)$ une telle +surface; considérons en chacun de ses points la génératrice +de contact~$(D)$ du cône du complexe avec le plan tangent. Nous +déterminons ainsi sur la surface~$(\Phi)$ une famille de courbes +tangentes en chaque point aux droites~$(D)$; ces courbes~$(\DPtypo{C}{c})$ +sont des courbes du complexe; leur plan osculateur est le +plan tangent au cône du complexe le long de la droite~$(D)$, +c'est le plan tangent à la surface~$(\Phi)$ et les courbes~$(c)$ sont +des asymptotiques de cette surface. De telles surfaces sont +appelées \emph{surfaces du complexe}. + +Considérons les équations d'une droite du complexe +\[ +\Tag{(1)} +x = az + f, \qquad +y = bz + g, +\] +$a\Add{,} b\Add{,} f\Add{,} g$ étant liés par l'équation +\[ +\Tag{(2)} +\phi(a, b, f, g) = 0. +\] +Transportons l'origine au point~$(x, y, z)$ et appelons $X, Y, Z$ les +nouvelles coordonnées. $X, Y, Z$~sont alors les coefficients de +direction d'une droite du complexe +\[ +a = \frac{X}{Z}, \qquad +b = \frac{Y}{Z}, +\] +et l'équation du cône du complexe associé au point $(x\Add{,}y\Add{,}z)$ est +\[ +\phi\left(\frac{X}{Z}, + \frac{Y}{Z}, + x - \frac{X}{Z} z, + y - \frac{Y}{Z} z\right) = 0, +\] +%% -----File: 215.png---Folio 207------- +ou, en rendant homogène +\[ +\Psi(X, Y, Z, xZ - zX, yZ - zY) = 0; +\] +les courbes du complexe sont alors définies par l'équation +différentielle, homogène en~$dx, dy, dz$, +\[ +\Psi(dx · dy · dz, x\,dz - z\,dx, y\,dz - z\,dy) = 0. +\] +Une telle équation s'appelle une \emph{équation de Monge}, et \emph{équation +de Pfaff} si elle est du \Ord{1}{er} degré. + +Prenons maintenant l'équation tangentielle du cône du +complexe +\[ +F(x, y, z, U, V, W) = 0; +\] +la condition pour qu'une surface $z = G(x, y)$ soit tangente à +ce cône en chacun de ses points, est que l'équation soit vérifiée +par $U = \dfrac{\dd G}{\dd x} = p$, $V = \dfrac{\dd G}{\dd y} = q$, $W = - 1$; les surfaces du complexe +sont donc définies par l'équation aux dérivées partielles +\[ +F(x, y, z, p, q, -1) = 0, +\] +qui est de la forme: +\[ +\Tag{(3)} +f(x, y, z, p, q) = 0. +\] +Nous obtenons une équation aux dérivées partielles du \Ord{1}{er} ordre. +Inversement, avec les notations précédentes, toute +équation aux dérivées partielles du \Ord{1}{er} ordre pouvant se +mettre sous la forme +\[ +\Tag{(4)} +f\left(x, y, z, \Err{}{-}\frac{U}{W}, \Err{}{-}\frac{V}{W}\right) = 0 +\] +exprime que le plan tangent à une surface intégrale est tangent +à un certain cône associé au point de contact, mais les +génératrices de tous ces $\infty^{3}$~cônes remplissent en général tout +l'espace, et ne forment un complexe qu'exceptionnellement. + +Pour pouvoir mieux préciser ce cas d'exception, rappelons +%% -----File: 216.png---Folio 208------- +les points essentiels de la théorie des équations générales +aux dérivées partielles du premier ordre, c'est-à-dire +de la forme~\Eq{(3)}. + +Un \emph{élément de contact intégral} est un élément de contact +dont les coordonnées $(x, y, z, p, q)$ satisfont à l'équation donnée~\Eq{(3)}. + +Le \emph{cône élémentaire} associé au point $(x, y, z)$ est l'enveloppe +des éléments de contact intégraux appartenant à ce point +son équation tangentielle est précisément l'équation~\Eq{(4)}. +Tout élément linéaire formé d'un point et d'une génératrice du +cône élémentaire associé à ce point s'appelle un \emph{élément linéaire +intégral}. Si $dx, dy, dz$~sont les coefficients de direction +d'une telle génératrice, l'équation qui caractérise les +éléments linéaires intégraux s'obtient en éliminant $p$~et~$q$ +entre les équations: +\[ +\Tag{(5)} +f(x, y, z, p, q) = 0, \quad +dz - p\, dx - q\, dy = 0, \quad +\frac{\dd f}{\dd p} dy - \frac{\dd f}{\dd q} dx = 0. +\] + +\Illustration[1.75in]{217a} +\noindent L'équation obtenue est une équation de Monge: +\[ +\Tag{(6)} +G(x, y, z, dx, dy, dz) = 0. +\] + +Les \emph{courbes intégrales} sont les courbes dont tous les +éléments linéaires (points-tangentes) sont intégraux. Elles +sont définies par l'équation~\Eq{(6)}. + +Une \emph{bande intégrale} est un lieu d'éléments de contact +appartenant à une même courbe (points-plans tangents), et +qui soient tous des éléments de contact intégraux. C'est donc +un ensemble de $\infty^{1}$~éléments de contact satisfaisant aux équations +\[ +\Tag{(7)} +f(x, y, z, p, q) = 0, \qquad +dz - p\,dx - q\,dy = 0. +\] +%% -----File: 217.png---Folio 209------- +Si on prend une courbe quelconque et si par chacune de ses +tangentes on mène un plan tangent au cône élémentaire associé +au point de contact, on obtient une bande intégrale. Par une +courbe quelconque passent donc, si l'équation~\Eq{(3)} +est algébrique en~$p, q$, un nombre +limité de bandes intégrales. Ce nombre +se réduit de un dans le cas où la courbe +est une courbe intégrale. + +\Paragraph{Par une bande intégrale passe en général +une surface intégrale et une seule.} +Les bandes intégrales qui font exception s'appellent \emph{bandes +caractéristiques}. Les courbes qui leur servent de supports +sont des courbes intégrales particulières, qu'on appelle +\emph{caractéristiques}. + +Les bandes caractéristiques sont définies par les équations +\begin{gather*} +f(x, y, z, p, q) = 0, \\ +% +\Tag{(8)} +\frac{dx}{\dfrac{\dd f}{\dd p}} + = \frac{dy}{\dfrac{\dd f}{\dd q}} + = \frac{dz}{p \dfrac{\dd f}{\dd p} + q \dfrac{\dd f}{\dd q}} + = \frac{dp}{- \dfrac{\dd f}{\dd x} - p \dfrac{\dd f}{\dd z}} + = \frac{dq}{- \dfrac{\dd f}{\dd y} - q \dfrac{\dd f}{\dd z}}. +\end{gather*} + +On les obtient donc en intégrant un système d'équations +différentielles ordinaires. \emph{Par un élément de contact intégral +passe une bande caractéristique et une seule.} + +\emph{La surface intégrale qui passe par une bande intégrale +non caractéristique donnée est engendrée par les bandes caractéristiques +passant par les divers éléments de contact intégraux +de cette bande intégrale.} + +Sur une surface intégrale il y a au plus une courbe +%% -----File: 218.png---Folio 210------- +intégrale qui ne soit pas une caractéristique. + +\Paragraph{Toute courbe intégrale est l'enveloppe d'une famille +de $\infty^{1}$~courbes caractéristiques.} Ces caractéristiques engendrent +une surface intégrale. + +\emph{Réciproquement}: si une famille de $\infty^{1}$~caractéristiques +a une enveloppe, cette enveloppe est une courbe intégrale. + +L'intégration du système~\Eq{(8)} suffit donc pour l'intégration +de l'équation~\Eq{(3)} et de l'équation de Monge~\Eq{(6)}, qui lui +est associée. + +Ces trois intégrations s'achèvent enfin immédiatement si +on a une \emph{intégrale complète}, c'est-à-dire une équation où +figure deux constantes arbitraires +\[ +H(x, y, z, a, b) = 0 +\] +définissant des surfaces intégrales, pour toutes les valeurs +de ces constantes. + +Les \emph{courbes caractéristiques} sont alors définies par les +équations +\[ +H = 0,\qquad +\frac{\dd H}{\dd a} + c \frac{\dd H}{\dd b} = 0, +\] +où $c$~est une nouvelle constante arbitraire. + +Une \emph{surface intégrale quelconque} s'obtient en prenant +l'enveloppe de $\infty^{1}$~surfaces, faisant partie de l'intégrale +complète, c'est-à-dire en éliminant~$a$ entre les équations\DPtypo{.}{} +\[ +H(x, y, z, a, b) = 0,\qquad +\frac{\dd H}{\dd a}\, da + \frac{\dd H}{\dd b}\, db = 0, +\] +après y avoir remplacé~$b$ par une fonction arbitraire de~$a$. + +Les caractéristiques tracées sur une telle surface ont +nécessairement une enveloppe; par suite on obtient une \emph{courbe +%% -----File: 219.png---Folio 211------- +intégrale quelconque}, en éliminant~$a$ entre les équations +\[ +H = 0,\quad +\frac{\dd H}{\dd a}\, da + \frac{\dd H}{\dd b}\, db = 0,\quad +\frac{\dd^2 H}{\dd a^2}\, da^2 + 2 \frac{\dd^2 H}{\dd a\, \dd b}\, da\, db + +\frac{\dd^2 H}{\dd b^2}\, db^2 + \frac{\dd H}{\dd b}\, d^2 b = 0, +\] +après y avoir remplacé~$b$ par une fonction arbitraire de~$a$. + +Si nous revenons maintenant au cas particulier où l'équation~\Eq{(3)} +est celle qui définit les surfaces d'un complexe, +nous voyons que les courbes intégrales sont les courbes du +complexe, et que les caractéristiques situées sur une surface +intégrale constituent la famille de $\infty^{1}$~courbes du complexe +qui sont les lignes asymptotiques de cette surface. Il en résulte +que les équations~\Eq{(8)} ont alors pour conséquence +\[ +dp\, dx + dq\, dy = 0, +\] +c'est-à-dire que l'équation~\Eq{(3)} a elle-même pour conséquence +\[ +\frac{\dd f}{\dd p} \left(\frac{\dd f}{\dd x} + + p\, \frac{\dd f}{\dd z}\right) + +\frac{\dd f}{\dd q} \left(\frac{\dd f}{\dd y} + + q\, \frac{\dd f}{\dd z}\right) = 0. +\] +On démontre que, réciproquement, les seules équations~\Eq{(3)} +pour lesquelles les caractéristiques sont les lignes asymptotiques +des surfaces intégrales, sont, (si on excepte les +équations linéaires), les équations dont les cônes élémentaires +sont les cônes des complexes de droites. + +\Paragraph{Remarque.} Si le cône du complexe se réduit à un plan, le complexe +est appelé un \emph{complexe linéaire}. Le cône n'a alors pas +d'équation tangentielle, et la théorie précédente ne s'applique +plus. + +Le cas des complexes linéaires sera étudié dans le chapitre +suivant. + + +\Section{Complexes spéciaux.} +{3.}{} Nous dirons qu'un complexe est \emph{spécial} quand l'homographie +qui existe entre les points et les plans d'une droite +%% -----File: 220.png---Folio 212------- +du complexe est spéciale. A un élément d'un système correspond +toujours le même élément dans le système associé, sauf +pour un seul élément du \Ord{1}{er} système, dont le correspondant +est indéterminé. L'équation de l'homographie étant +\[ +\lambda \left(\frac{\dd \phi}{\dd a} - z\, \frac{\dd \phi}{\dd f}\right) + + \frac{\dd \phi}{\dd b} - z\, \frac{\dd \phi}{\dd b} = 0\Add{,} +\] +la condition pour qu'on ait une homographie spéciale est +\[ +\Tag{(1)} +\frac{\dd \phi}{\dd a} · \frac{\dd \phi}{\dd g} - +\frac{\dd \phi}{\dd b} · \frac{\dd \phi}{\dd f} = 0. +\] +Considérons le \emph{complexe des droites tangentes à une surface}; +considérons une congruence de ce complexe; \Err{les développables}{ces développables de l'une des familles} +de la congruence seront circonscrites à la surface, l'un des +plans focaux sera indépendant de la \Err{développable}{congruence} que l'on +considère. Même résultat si on considère le \emph{complexe des +droites rencontrant une courbe donnée}. On obtient donc ainsi +des complexes spéciaux. Nous allons montrer qu'il n'y en a +pas d'autres. Prenons l'équation d'un complexe sous la forme +\[ +\Phi = g - \phi(a, b, f) = 0; +\] +\Eq{(1)}~s'écrit +\[ +%[** TN: Original has a leading +; suspect artifact from typist] +\Tag{(2)} +\frac{\dd \phi}{\dd a} + \frac{\dd \phi}{\dd b} · \frac{\dd \phi}{\dd f} = 0. +\] +Cette relation ne contient plus~$g$, elle doit être une identité +par rapport à~$a, b, f$. Considérons une droite~$D$ du complexe, et +les droites infiniment voisines qui la rencontrent; on a la +condition +\[ +da · d\phi - db · df = 0, +\] +ou +\[ +db · df - da \left( + \frac{\dd \phi}{\dd a}\, da ++ \frac{\dd \phi}{\dd b}\, db ++ \frac{\dd \phi}{\dd f}\, df\right) = 0; +\] +remplaçons $\dfrac{\dd \phi}{\dd a}$ par sa valeur tirée de~\Eq{(2)}, il vient +\[ +\frac{\dd \phi}{\dd b} · \frac{\dd \phi}{\dd f}\, da^2 + - \frac{\dd \phi}{\dd b}\, da · db + - \frac{\dd \phi}{\dd f}\, da · df + db · df = 0, +\] +ou +\[ +\Tag{(3)} +\left(\frac{\dd \phi}{\dd b}\, da - df\right) +\left(\frac{\dd \phi}{\dd f}\, da - db\right) = 0. +\] +%% -----File: 221.png---Folio 213------- +le point de rencontre de la droite~$D$ avec les droites infiniment +voisines est +\[ +\Tag{(4)} +z = - \frac{df}{da} = - \frac{\dd \phi}{\dd b}, +\] +de sorte qu'à tout plan passant par~$D$ correspond toujours le +même point~$F$: +\[ +x = az + f,\qquad +y = bz + \phi,\qquad +z = - \frac{\dd \phi}{\dd b}. +\Tag{(5)} +\] +Différentions $x, y$ +\[ +dx = a\, dz + z\, da + df,\qquad +dy = b\, dz + z\, db + d \phi, +\] +d'où, en remplaçant $z$ par sa valeur +\[ +dx - a\, dz = - \frac{\dd \phi}{\dd b}\, da + df,\qquad +dy - b\, dz = \frac{\dd \phi}{\dd a}\, da + \frac{\dd \phi}{\dd f}\, df; +\] +d'où la relation +\[ +\Tag{(6)} +-\frac{\dd \phi}{\dd f} (dx - a\, dz) + dy - b\, dz = 0. +\] +Les différentielles $dx, dy, dz$ sont liées par une relation linéaire +et homogène; les fonctions~$x, y, z$ sont liées au moins +par une relation. + +Si on n'a qu'une relation, le lieu des points~$F$ est une +surface, et \Eq{(6)}~exprime que la droite~$D$ est tangente à cette +surface. Si on a 2~relations, le lieu des points~$F$ est une +courbe et la droite~$D$ rencontre cette courbe. Tels sont les +2~seuls cas possibles pour les complexes spéciaux. + +\Paragraph{Remarques. \1.} Dans l'équation~\Eq{(3)} nous avons jusqu'à +présent considéré le seul facteur $\left(\dfrac{\dd \phi}{\dd b}\, da - df\right)$. Annulant l'autre +facteur +\[ +\frac{db}{da} = \frac{\dd \phi}{\dd f}, +\] +nous aurions alors des droites du complexe qui seraient +%% -----File: 222.png---Folio 214------- +toutes situées dans un même plan avec~$D$, ce plan serait le +plan singulier de l'homographie, et précisément le plan tangent +à la surface lieu des points~$F$. On voit ainsi qu'en prenant +l'un ou l'autre des facteurs, on définit la même surface +par points et par plans tangents. + +\Paragraph{\2.} Si l'équation du complexe ne contient ni~$f$ ni~$g$, on +a une relation entre les coefficients de direction de la droite~$D$, +on a le complexe des droites rencontrant une même courbe +à l'infini. + +\Paragraph{\3.} Le calcul précédent peut s'interpréter dans le cas +d'un complexe quelconque. L'équation~\Eq{(1)}, qui n'est plus alors +conséquence de l'équation du complexe, jointe à cette équation +du complexe, définit une congruence des droites du complexe +sur lesquelles l'homographie est spéciale. Ce sont les +\emph{droites singulières} du complexe. Alors \emph{toutes les surfaces +réglées du complexe passant par une droite singulière ont même +plan tangent au point~$F$ de cette droite défini précédemment}, +ce plan tangent étant parallèle au plan +\[ +-\frac{\dd \phi}{\dd f} (x - az) + y - bz = 0. +\] +Si le lieu des points singuliers est une surface, \Eq{(6)}~montre +que cette surface est aussi l'enveloppe des plans singuliers, +et les droites singulières lui sont tangentes. \emph{La surface des +singularités est une des nappes de la surface focale de la +congruence des droites singulières, les points et les plans +singuliers sont des éléments focaux de cette congruence non +associés entre eux. Si le lieu des points singuliers est une +%% -----File: 223.png---Folio 215------- +courbe, les plans singuliers sont \(d'après~\Eq{(6)}\) tangents à +cette courbe, qui est une courbe focale de la congruence des +droites singulières.} + +\Paragraph{\4.} Considérons en particulier le cas des \emph{complexes du +\Ord{2}{e} degré}. En un point quelconque, le plan associé est tangent +au cône du complexe; il est unique et bien déterminé. Il ne +peut y avoir indétermination que si le cône du complexe associé +à ce point se décompose. \emph{La surface des singularités est +donc le lieu des points où le cône du complexe se décompose; +c'est aussi l'enveloppe des plans pour lesquels la courbe du +complexe se décompose}, comme le verrait par un raisonnement +analogue. + +\MarginNote{Surfaces et +courbes des +complexes spéciaux.} +Revenons aux complexes spéciaux: considérons d'abord le +cas du complexe des tangentes à une surface~$(\Phi)$. Les cônes +du complexe sont les cônes circonscrits à cette surface. +Les plans tangents à~$(\Phi)$ constituent une intégrale complète. +Une intégrale quelconque est donc l'enveloppe de $\infty^{1}$~plans tangents +à~$(\Phi)$, c'est-à-dire une développable quelconque circonscrite +à~$(\Phi)$. Les caractéristiques, qui sont en général les +courbes de contact de la surface intégrale avec les surfaces, +faisant partie de l'intégrale complète, qu'elle enveloppe, +sont les génératrices rectilignes de ces développables, c'est-à-dire +les droites même du complexe. Enfin on obtiendra les +courbes intégrales en prenant l'enveloppe des caractéristiques +sur les surfaces intégrales; ce sont précisément les +arêtes de rebroussement des développables qui sont les courbes +%% -----File: 224.png---Folio 216------- +du complexe. + +Considérons maintenant le complexe des droites rencontrant +une courbe; on voit de même que les surfaces du complexe +sont les développables passant par la courbe, les caractéristiques +sont les droites du complexe, et les courbes +du complexe sont les arêtes de rebroussement. + +\emph{Dans les complexes spéciaux, l'équation aux dérivées partielles +du \Ord{1}{e} ordre dont dépend la recherche des surfaces du +complexe a pour caractéristiques les droites du complexe. +Réciproquement toute équation aux dérivées partielles du \Ord{1}{er} ordre +dont les caractéristiques sont des droites est associée +à un complexe spécial.} + +Soit en effet l'équation aux dérivées partielles +\[ +f(x, y, z, p, q) = 0 +\] +dont les caractéristiques sont des droites. On obtient les +surfaces intégrales en prenant une courbe intégrale et en menant +les caractéristiques tangentes: donc les surfaces intégrales +sont des développables, et le plan tangent est le même +le long de chaque caractéristique, c'est-à-dire que $dp = 0$, +$dq = 0$ doivent être conséquences de l'équation des caractéristiques, +ce qui revient à dire que $f = 0$ doit \DPtypo{entrainer}{entraîner} comme +conséquence les équations +\[ +\frac{\dd f}{\dd x} + p\, \frac{\dd f}{\dd z} = 0,\qquad +\frac{\dd f}{\dd y} + q\, \frac{\dd f}{\dd z} = 0. +\] +Supposons alors que $z$~figure dans l'équation aux dérivées +partielles et posons +\[ +f = z - \Phi(x, y, p, q); +\] +%% -----File: 225.png---Folio 217------- +les conditions précédentes s'écriront +\[ +\frac{\dd \Phi}{\dd x} - p = 0,\qquad +\frac{\dd \Phi}{\dd y} - q = 0, +\] +d'où il résulte que $\Phi$~est de la forme +\[ +\Phi = px + qy + \Psi(p, q), +\] +et l'équation aux dérivées partielles est +\[ +z - px - qy = \Psi(p, q). +\] +Le plan tangent à une quelconque des surfaces intégrales est +donc +\[ +pX + qY - Z + \Psi(p\DPtypo{.}{,} q) = 0\Add{.} +\] +L'ensemble de tous ces plans a donc une enveloppe, surface ou +courbe. Le cône élémentaire associé à un point quelconque est +le cône circonscrit à cette surface ou à cette courbe, et +l'équation aux dérivées partielles est bien associée à un +complexe spécial. + +\Paragraph{Remarque.} Nous avons dû supposer que $z$~figurait dans +l'équation aux dérivées partielles; s'il n'en est pas ainsi, +cette équation s'écrit +\[ +\Phi(x, y, p, q) = 0 +\] +et les conditions obtenues plus haut s'écrivent +\[ +\frac{\dd \Phi}{\dd x} = 0,\qquad +\frac{\dd \Phi}{\dd y} = 0; +\] +$\Phi$ doit être indépendant de~$x\Add{,} y$, et l'équation aux dérivées partielles +prend la forme +\[ +\Phi(p, q) = 0. +\] +On a alors le complexe des droites rencontrant une courbe à +l'infini. + +Considérons par exemple l'équation +\[ +1 + p^2 + q^2 = 0 +\] +%% -----File: 226.png---Folio 218------- +elle définit le \emph{complexe des droites isotropes}; les courbes +du complexe sont les courbes minima, et on les obtient sans +intégration comme arêtes de rebroussement des développables +isotropes. + +\Section{Surfaces normales aux droites du complexe\Add{.}} +{4.}{} Proposons-nous maintenant de chercher les \emph{surfaces +dont les normales appartiennent au complexe} défini par l'équation +\[ +\Phi(a, b, f, g) = 0. +\] +Une normale à une surface du complexe est définie par les +équations +\[ +\frac{X - x}{p} = \frac{Y - y}{q} = -(Z - z) +\] +ou +\[ +X = -pZ + x + pz,\qquad +Y = -qZ + y + qz; +\] +de sorte que les surfaces cherchées sont définies par l'équation +aux dérivées partielles +\[ +\Phi(-p, -q, x + pz, y + qz) = 0. +\] +Si une surface répond à la question, il est évident que toutes +les surfaces parallèles répondent aussi à la question. +Si le complexe est spécial, le problème revient à la recherche +d'une congruence de normales, connaissant une des multiplicités +focales. Pour le cas d'un complexe quelconque, nous +allons chercher les congruences de normales appartenant au +complexe: on obtiendra ensuite les surfaces au moyen d'une +quadrature. Pour que $\infty^{2}$~droites: +\[ +\frac{x - f}{a} = \frac{y - g}{b} = \frac{z - 0}{1} +\] +%% -----File: 227.png---Folio 219------- +soient les normales d'une même surface, la condition est, en +posant +\[ +\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + 1}},\qquad +\beta = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 + 1}},\qquad +\gamma = \frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2 + 1}}, +\] +que $\alpha\, df + \beta\, dg$ soit une différentielle exacte. Or\Add{,} l'équation +du complexe, résolue par rapport à~$\beta$ peut s'écrire +\[ +\beta = \phi(\alpha, f, g)\Add{,} +\] +et $\alpha\, df + \phi(\alpha, f, g)\, dg$ doit être une différentielle exacte par +rapport à deux variables indépendantes. Déterminons~$\alpha$ par +exemple en fonction de $f, g$, nous aurons la condition +\[ +\frac{\dd \alpha}{\dd g} + = \frac{\dd \phi}{\dd \alpha} · \frac{\dd \alpha}{\dd f} + + \frac{\dd \phi}{\dd f}. +\] +Cherchons une solution de la forme +\[ +F(\alpha, f, g) = \cte, +\] +nous avons, pour déterminer~$F$, +\[ +\frac{\dd F}{\dd f} + \frac{\dd \alpha}{\dd f} · \frac{\dd F}{\dd \alpha} = 0, +\qquad +\frac{\dd F}{\dd g} + \frac{\dd \alpha}{\dd g} · \frac{\dd F}{\dd \alpha} = 0. +\] +On est ramené à l'équation +\[ +\frac{\dd F}{\dd g} + - \frac{\dd \phi}{\dd \alpha} · \frac{\dd F}{\dd f} + + \frac{\dd \phi}{\dd f} · \frac{\dd F}{\dd \alpha} = 0, +\] +qui se ramène au système d'équations différentielles ordinaires +\[ +dg = \frac{\ -df\ }{\dfrac{\dd \phi}{\dd \alpha}} + = \frac{\ d \alpha\ }{\dfrac{\dd \alpha}{\dd f}}. +\] + +Remarquons encore que \emph{les développées des surfaces cherchées +sont les surfaces pour lesquelles $\infty^{1}$~géodésiques sont +des courbes du complexe}. Ce sont les surfaces focales des congruences +considérées. + + +\ExSection{IX} + +\begin{Exercises} +\item[43.] On considère deux plans rectangulaires, et toutes les droites +telles que le segment intercepté sur chacune d'elles par les +plans précédents ait une longueur constante. Trouver les congruences +de normales du complexe de ces droites. + +\item[44.] On considère trois plans formant un trièdre trirectangle et +les droites telles que le rapport des segments déterminés par +ces trois plans sur chacune d'elles soit constant. Trouver +les surfaces dont les normales appartiennent au complexe de +ces droites. Il y a parmi ces surfaces une infinité de surfaces +du \Ord{2}{e} ordre admettant les \Card{3} plans donnés comme plans de +symétrie. Le complexe précédent est celui des normales à une +famille de quadriques homofocales, ou homothétiques par rapport +à leur centre. +\end{Exercises} +%% -----File: 228.png---Folio 220------- + + +\Chapitre{X}{Complexes Linéaires.} + +\Section{Généralités sur les complexes algébriques.} +{1.}{} Soit une droite +\[ +\Tag{(1)} +x = az + f,\qquad +y = bz + g; +\] +un \emph{complexe algébrique} sera défini par une relation algébrique +entre $a, b, f, g$: +\[ +\Phi(a, b, f, g) = 0. +\] +Si on considère les droites du complexe passant par un point~$A$, +et situées dans un plan~$P$ passant par ce point, ce sont +les génératrices d'intersection du plan~$P$ avec le cône du +complexe associé au point~$A$, ou bien les tangentes issues de~$A$ +à la courbe du complexe située dans le plan~$P$; si le complexe +est algébrique, le cône et la courbe sont algébriques, +et on voit que \emph{le degré du cône du complexe est égal à l'ordre +de la courbe plane du complexe}; leur valeur commune s'appelle +le \emph{degré du complexe}, c'est le nombre de droites du +complexe situées dans un plan et passant par un point de ce +plan. + +Si ce nombre est égal à~$1$, on a ce qu'on appelle un +\emph{complexe linéaire}; le cône du complexe associé au point~$A$ est +un plan qu'on appelle \emph{plan focal} ou \emph{plan polaire} du point~$A$. +La courbe du complexe située dans un plan~$P$ se réduit à un +point, qu'on appelle \emph{foyer} ou \emph{pôle} du plan~$P$; si le plan~$P$ est +%% -----File: 229.png---Folio 221------- +le plan polaire du point~$A$, le point~$A$ est le pôle du plan~$P$; +\emph{il y a réciprocité entre un pôle et son plan polaire}. + +\Section{Coordonnées homogènes.} +{2.}{} Pour l'étude des complexes algébriques il y a avantage +à remplacer $a, b, f, g$ par les coordonnées homogènes de +droites. + +\Paragraph{Coordonnées de Plücker.} Considérons les équations d'une +droite en coordonnées cartésiennes +\[ +\Tag{(2)} +\frac{X - f}{a} = \frac{Y - g}{b} = \frac{Z - h}{c}, +\] +équations qui contiennent comme cas particulier les équations~\Eq{(1)}. +Nous prendrons pour coordonnées pluckériennes de la +droite les \Card{6} quantités +\[ +a,\quad b,\quad c,\qquad +p = gc - hb,\qquad +q = ha - fc,\qquad +r = fb - ga\Add{.} +\] +Ces \Card{6} coordonnées sont, comme on le voit immédiatement, liées +par la relation homogène +\[ +\Tag{(3)} +pa + qb + rc = 0. +\] +Ces \Card{6} paramètres liés par une relation homogène se réduisent +à~\Card{4} en réalité; $a, b, c$~sont les projections sur les axes d'un +certain segment porté par la droite; $p, q, r$~sont les moments de +ce segment par rapport aux axes (en coordonnées rectangulaires). + +Voyons ce que devient l'équation du complexe. De~\Eq{(2)} on +tire +\[ +X = \frac{a}{c}\, Z - \frac{q}{c},\qquad +Y = \frac{b}{c}\, Z + \frac{p}{c}, +\] +et l'équation +\[ +\Phi(a, b, f, g) = 0 +\] +devient +\[ +\Phi \left(\frac{a}{c}, \frac{b}{c}, -\frac{q}{c}, \frac{p}{c}\right) = 0. +\] +%% -----File: 230.png---Folio 222------- +Cette équation peut être rendue homogène, et prend la forme +\[ +\Psi(a, b, c, p, q) = 0 +\] +on peut y introduire~$r$ en vertu de l'équation~\Eq{(3)}, et on obtient +finalement, pour définir le complexe, une équation homogène +entre les coordonnées pluckériennes: +\[ +\chi(a, b, c, p, q, r) = 0. +\] +Réciproquement, toute équation de la forme précédente peut +être ramenée à la forme +\[ +\Psi \left(a, b, c, p, -q, -\frac{pa + qb}{c}\right) = 0, +\] +et par suite à la forme primitive de l'équation du complexe. + +Cherchons le \emph{cône du complexe} de sommet $(x, y, z)$. Nous +avons, $X, Y, Z$~étant les coordonnées courantes, +\begin{alignat*}{3}%[** TN: Set on one line in original] +a &= X - x, & +b &= Y - y, & +c &= Z - z, \\ +\Err{}{\intertext{ou encore}} +p &= \Err{cY - bZ}{yZ - zY},\qquad & +q &= \Err{aZ - cX}{zX - xZ},\qquad & +r &= \Err{bX - aY}{xY - yX}; +\end{alignat*} +l'équation du cône du complexe s'obtiendra en remplaçant $a, b, c$\Add{,} +$p, q, r$ par les valeurs précédentes dans l'équation du complexe. +C'est donc: +\[ +\chi (X - x, Y - y, Z - z, +\Err{cY - bZ, aZ - cX, bX - aY}{yZ - zY, zX - xZ, xY - yX}) = 0. +\] + +Si on veut une \emph{courbe du complexe}, on prendra +\begin{alignat*}{3}%[** TN: Set on one line in original] +a &= dx, & +b &= dy, & +c &= dz, \\ +p &= y\, dz - z\, dy,\qquad & +q &= z\, dx - x\, dz,\qquad & +r &= x\, dy - y\, dx, +\end{alignat*} +et on a l'équation différentielle des courbes du complexe +\[ +\chi(dx, dy, dz, y\, dz - z\, dy, z\, dx - x\, dz, x\, dy - y\, dx) = 0. +\] + +La condition pour qu'un complexe soit spécial est +\[ +\frac{\dd \Phi}{\dd a} · \frac{\dd \Phi}{\dd g} + - \frac{\dd \Phi}{\dd b} · \frac{\dd \Phi}{\dd f} = 0; +\] +elle devient ici +\[ +\frac{\dd \chi}{\dd a} · \frac{\dd \chi}{\dd p} + + \frac{\dd \chi}{\dd b} · \frac{\dd \chi}{\dd q} + + \frac{\dd \chi}{\dd c} · \frac{\dd \chi}{\dd r} = 0; +\] +%% -----File: 231.png---Folio 223------- +dans le cas d'un complexe algébrique quelconque, cette équation, +jointe à celle du complexe définit \emph{la congruence des +droites singulières}. + +Reprenons l'homographie entre droites et plans d'une +droite du complexe; les coefficients de cette homographie +sont $\dfrac{\dd \Phi}{\dd a}$, $\dfrac{\dd \Phi}{\dd b}$, $\dfrac{\dd \Phi}{\dd f}$, $\dfrac{\dd \Phi}{\dd g}$, et par suite en coordonnées homogènes, ce +sont $\dfrac{\dd \chi}{\dd a}, \dots, \dfrac{\dd \chi}{\dd r}$. Considérons la droite $(a_{0}, b_{0}, c_{0}, p_{0}, q_{0}, r_{0})$. +L'équation +\[ +\sum a\, \frac{\dd \chi}{\dd a_{0}} + \sum p\, \frac{\dd \chi}{\dd p_{0}} = 0 +\] +définit un complexe linéaire contenant la droite considérée, +et sur cette droite, l'homographie pour ce complexe linéaire +est précisément la même que pour le complexe primitif. Ce +complexe linéaire est dit \emph{tangent} au complexe donné. + +\Paragraph{Remarques.} Si nous définissons la droite par \Card{2} points +$(x, y, z)$ et $(x', y', z')$ nous avons +\begin{alignat*}{3}%[** TN: Set on one line in original] +a &= x' - x, & +b &= y' - y, & +c &= z' - z, \\ +p &= yz' - z\Err{y}{y'},\qquad & +q &= zx' - x\Err{z}{z'},\qquad & +r &= xy' - yx'; +\end{alignat*} +d'où l'équation du cône du complexe +\[ +\chi (x' - x, y' - y, \DPtypo{z}{z'} - z, yz' - zy', zx' - xz', xy' - yx') = 0; +\] + +Corrélativement, définissons la droite par \Card{2} plans +$(u, v, w, s)$\Add{,} $(u', v', w', s')$. On trouve facilement +\begin{alignat*}{3}%[** TN: Set on one line in original] +a &= vw' - wv', & +b &= wu' - uw', & +c &= uv' - vu', \\ +p &= su' - us',\qquad & +q &= sv' - vs',\qquad & +r &= sw' - ws'; +\end{alignat*} +on obtient alors l'équation tangentielle d'une courbe plane +du complexe +\[ +\chi (vw' - wv', \dots, su' - us', \dots) = 0, +\] +%% -----File: 232.png---Folio 224------- +et on voit bien ainsi que la classe de cette courbe est égale +à l'ordre du cône du complexe. + +\Paragraph{Coordonnées générales de Grassmann et Klein.} Plus généralement +prenons un tétraèdre de référence quelconque, et +soient $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ les coordonnées d'un point; $u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}$ les +coordonnées d'un plan. Considérons la droite comme définie +par \Card{2} points~$(x)\Add{,} (y)$. Nous prendrons comme coordonnées de +cette droite les quantités +\[ +p_{ik} = \begin{vmatrix} +\Err{x}{x_{i}} & x_{k} \\ +\Err{y}{y_{i}} & y_{k} +\end{vmatrix} +\qquad +(i, k = 1, 2, 3, 4); +\] +remarquons que l'on a $p_{ii} = 0$ et $p_{ki} = -p_{ik}$, de sorte que +l'on n'obtient ainsi que \Card{6} coordonnées $p_{12}, p_{13}, p_{14}$, $p_{23}, p_{24}, p_{34}$\Add{.} +Ce sont les moments par rapport au segment des \Card{2} points~$(x)\Add{,} (y)$ +des segments égaux à~$1$ pris sur les \Card{6} arêtes du tétraèdre, +ou du moins des quantités proportionnelles à ces moments. + +Si on a \Card{2} droites $(p_{ik})$~et~$(p'_{ik})$, leur moment relatif~$M$ +est donné par la formule +\[ +\rho M = \sum p_{ik} p'_{hl}. +\] +Si ce moment est nul, les \Card{2} droites se rencontrent. Or\Add{,} considérons +le déterminant +\[ +\Theta = \begin{vmatrix} +x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} \\ +y_{1} & y_{2} & y_{3} & y_{4} \\ +x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} \\ +y_{1} & y_{2} & y_{3} & y_{4} +\end{vmatrix} = 0. +\] +Développons d'après la règle de Laplace, nous avons +\[ +\Theta = 2 (p_{12} p_{34} + p_{13} p_{42} + p_{14} p_{\DPtypo{24}{23}}) + = 2 \Phi (p_{ik}) = 0; +\] +de sorte que la condition de rencontre des \Card{2} droites est +%% -----File: 233.png---Folio 225------- +\[ +\sum p'_{ik}\, \frac{\dd \Phi}{\dd p_{ik}} = 0. +\] + +Si nous définissons la droite par \Card{2} plans $(u)\Add{,} (v)$, nous +prendrons pour coordonnées +\[ +q_{ik} = \begin{vmatrix} +u_{i} & u_{k} \\ +v_{i} & v_{k} +\end{vmatrix}\Add{.} +\] +Cherchons les relations entre les~$p, q$. La droite étant l'intersection +des plans $(u)\Add{,} (v)$, un point de cette droite sera +l'intersection des plans $(u)\Add{,} (v)\Add{,} (w)$. On aura donc +\[ +\left\{ +\begin{alignedat}{5} +&u_{1} x_{1} &&+ u_{2} x_{2} &&+ u_{3} x_{3} &&+ u_{4} x_{4} &&= 0, \\ +&v_{1} x_{1} &&+ v_{2} x_{2} &&+ v_{3} x_{3} &&+ v_{4} x_{4} &&= 0, \\ +&w_{1} x_{1} &&+ w_{2} x_{2} &&+ w_{3} x_{3} &&+ w_{4} x_{4} &&= 0. +\end{alignedat} +\right. +\] +Considérons le déterminant +\[ +\Omega = \begin{vmatrix} +u_{1} & u_{2} & u_{3} & u_{4} \\ +v_{1} & v_{2} & v_{3} & v_{4} \\ +w_{1} & w_{2} & w_{3} & w_{4} \\ +s_{1} & s_{2} & s_{3} & s_{4} +\end{vmatrix}\Add{;} +\] +la coordonnée~$x_{i}$\DPtypo{;}{} est égale au coefficient~$S_{i}$ de~$s_{i}$. Pour avoir +un \Ord{2}{e} point de la droite, nous le définirons par les \Card{3} plans +$(u)\Add{,} (v)\Add{,} (s)$, et alors $y_{i} = W_{i}$. Considérons l'adjoint de~$\Omega$ +\[ +\begin{vmatrix} +U_{1} & U_{2} & U_{3} & U_{4} \\ +V_{1} & V_{2} & V_{3} & V_{4} \\ +W_{1} & W_{2} & W_{3} & W_{4} \\ +S_{1} & S_{2} & S_{3} & S_{4} +\end{vmatrix}, +\] +nous avons, en associant à chaque mineur du \Ord{2}{e} ordre de~$\Omega$ le +mineur complémentaire de l'adjoint +\[ +p_{ik} = \Omega\, \frac{\dd \Phi}{\dd q_{ik}}; +\] +on peut prendre~$\Omega$ comme arbitraire, et écrire +\[ +p_{ik} = \frac{\dd \Phi}{\dd q_{ik}}. +\] +%% -----File: 234.png---Folio 226------- +et de même +\[ +q_{ik} = \frac{\dd \Phi}{\dd p_{ik}}. +\] + +L'équation du complexe sera alors $F (p_{ik}) = 0$ ou $F (q_{hl}) += 0$, d'où les équations du cône ou de la courbe du complexe. +La condition pour que le complexe soit spécial est +\[ +\frac{\dd F}{\dd p_{12}} · \frac{\dd F}{\dd p_{34}} + +\frac{\dd F}{\dd p_{13}} · \frac{\dd F}{\dd p_{24}} + +\frac{\dd F}{\dd p_{14}} · \frac{\dd F}{\dd p_{23}} = 0\Add{.} +\] + +\Section{Complexe linéaire.} +{3.}{} \DPchg{Etudions}{Étudions} plus spécialement le complexe linéaire. Son +équation s'écrit +\[ +\sum A_{hl} p_{ik} = 0; +\] +le complexe est spécial s'il satisfait à la relation +\[ +A_{12} A_{34} + A_{13} A_{42} + A_{14} A_{23} = 0, +\] +et cette équation exprime que les~$A$ sont les coordonnées d'une +droite; l'équation du complexe exprime que toute droite du +complexe rencontre cette droite. \emph{Un complexe linéaire spécial +est constitué par les droites rencontrant une droite fixe}, +qu'on appelle \emph{directrice du complexe}. + +Si on a une droite du complexe, un point~$A$ de cette droite et +son plan polaire~$P$, le cône du complexe se réduisant ici au +plan~$P$, l'homographie du complexe est celle des plans de la +droite~$D$ associés à leurs pôles. + +\Section{Faisceau de complexes.} +{4.}{} Soient \Card{2} complexes linéaires +\[ +\sum A_{hl} p_{ik} = 0, \qquad +\sum B_{hl} p_{ik} = 0; +\] +l'équation +\[ +\sum (A_{hl} + \lambda B_{hl}) p_{ik} = 0 +\] +représentera un \emph{faisceau de complexes}. Cherchons dans ce +faisceau les complexes spéciaux. Ils sont définis par +%% -----File: 235.png---Folio 227------- +l'équation +\begin{align*}%[** TN: Rebroken] + &(A_{14} + \lambda B_{14})(A_{23} + \lambda B_{23}) \\ +{}+{}&(A_{12} + \lambda B_{12})(A_{34} + \lambda B_{34}) \\ +{}+{}&(A_{13} + \lambda B_{13})(A_{24} + \lambda B_{24}) = 0, +\end{align*} +équation du \Ord{2}{e} degré. \emph{Dans un faisceau de complexes linéaires +il y a donc \Card{2} complexes \DPtypo{speciaux}{spéciaux}.} Cherchons a quelles conditions +il y a racine double. Supposons que $\lambda = 0$ soit racine, +on a +\[ +\sum A_{12} A_{34} = 0, +\] +et l'équation précédente se réduit à +\[ +A_{12} B_{34} + A_{34} B_{12} + \dots + \lambda (B_{12} B_{34} + \dots ) = 0. +\] +Nous appellerons \emph{invariant du complexe} la quantité +\[ +\Delta_{A} = A_{12} A_{34} + A_{13} A_{\DPtypo{42}{24}} + A_{14} A_{23}, +\] +et \emph{invariant relatif} la quantité +\[ +\Delta_{AB} = \sum B_{ik}\, \frac{\dd \Delta_{A}}{\dd A_{ik}}; +\] +l'équation devient alors +\[ +\Delta_{AB} + \lambda \Delta_{B} = 0; +\] +pour que $\lambda = 0$ soit racine double, il faut que $\Delta_{AB} = 0$. Or\Add{,} les +$A_{ik}$ sont des coordonnées de droite, la condition $\Delta_{AB} = 0$ exprime +que cette droite appartient au \Ord{2}{e} complexe qui définit le +faisceau. Elle appartient évidemment au \Ord{1}{er}. Donc \emph{pour que +l'un des complexes spéciaux soit double, il faut et il suffit +que sa directrice appartienne à tous les complexes du faisceau}\Add{.} +Pour que l'équation se réduise à une identité, c'est-à-dire +pour que tous les complexes du faisceau soient spéciaux, il +faut encore que $\Delta_{B} = 0$; il faut donc que les \Card{2} complexes +soient spéciaux, et que leurs directrices se rencontrent. + +Nous appellerons \emph{congruence linéaire} l'ensemble des +droites communes à \Card{2} complexes linéaires. Par tout point de +%% -----File: 236.png---Folio 228------- +l'espace passe une droite de cette congruence, et dans tout +plan il y a une droite. Considérons le faisceau déterminé par +les \Card{2} complexes qui définissent la congruence. Si ce faisceau +a \Card{2} complexes spéciaux distincts, toutes les droites de la +congruence appartiennent à ces complexes spéciaux, et par +suite rencontrent \Card{2} directrices fixes. \emph{Une congruence linéaire +est formée en général des droites rencontrant \Card{2} directrices +fixes.} Si les complexes spéciaux sont confondus, soit $\Delta$ leur +directrice commune; considérons un complexe quelconque~$(c)$ du +faisceau. $\Delta$~est une droite du complexe~$(c)$; à chaque point~$A$ +de~$\Delta$ correspond son plan polaire par rapport au complexe~$(c)$; +les droites de la congruence passant par~$A$ et appartenant au +complexe~$(c)$ sont dans ce plan polaire. Or\Add{,} les points de~$\Delta$ +ont même plan polaire par rapport à tous les complexes du +faisceau. Les droites de la congruence rencontrent la droite~$\Delta$, +et pour chaque point de cette droite sont situées dans le +plan polaire correspondant. + +\Section{Complexes en involution.} +{5.}{} Reprenons le faisceau de complexes précédent. Les \Card{2} complexes +de base sont dits \emph{en involution} si on a $\Delta_{AB} = 0$. +Considérons une droite~$D$ commune aux \Card{2} complexes. A un point~$A$ +de cette droite correspond son plan polaire dans chacun des +complexes, soient $P, Q$ ces plans; il en résulte une correspondance +homographique entre les plans $P, Q$ de la droite. +De même, en partant d'un plan de la droite, on verrait qu'il +existe une homographie entre les points de la droite. Cherchons +les plans doubles de cette homographie. Considérons une des +directrices~$\Delta$ de la congruence linéaire définie par les \Card{2} complexes, +%% -----File: 237.png---Folio 229------- +et le plan~$D \Delta$; le pôle de ce plan est l'intersection~$A'$ +de~$D$ avec la \Ord{2}{e} directrice~$\Delta'$, +car toutes les droites passant par~$A'$ +et rencontrant $\Delta$ appartiennent à la +congruence, et par suite aux \Card{2} complexes. +Ainsi $A'$~est foyer du plan~$D \Delta$; +il est aussi évidemment foyer +du plan~$D \Delta'$; et l'on voit facilement +que ces \Card{2} plans sont les plans doubles cherchés. Maintenant +pour que l'homographie entre les plans~$P, Q$ soit une involution, +il faut que les plans $P\Add{,}Q$ soient conjugués par rapport à +ces plans doubles. L'équation du plan polaire d'un point par +rapport à un complexe quelconque du faisceau est +\[ +\sum (A_{hl} + \lambda B_{hl}) +\begin{vmatrix} +X_{i} & X_{k} \\ +x_{i} & x_{k} +\end{vmatrix} = 0, +\] + +\Illustration[1.25in]{237a} +\noindent équation de la forme +\[ +P + \lambda Q = 0. +\] +Considérons alors \Card{4} complexes quelconques du faisceau, le +rapport anharmonique des \Card{4} plans polaires d'un même point +dans ces \Card{4} complexes est égal au rapport anharmonique des \Card{4} quantités~$\lambda$ +correspondantes. Or\Add{,} prenons en particulier les \Card{2} complexes +de base et les complexes spéciaux. Les valeurs de +correspondantes sont~$0, \infty$, et les racines de l'équation +\[ +\sum (A_{14} + \lambda B_{14}) (A_{23} + \lambda B_{23}) = 0; +\] +et la condition pour que les \Card{2} \Ord{1}{ères} soient conjuguées harmoniques +par rapport aux \Card{2} autres est +\[ +\lambda_{1} + \lambda_{2} = 0 +\] +ou $\Delta_{AB} = 0$. \emph{Ainsi donc si \Card{2} complexes sont en involution, les +%% -----File: 238.png---Folio 230------- +plans polaires d'un point dans ces \Card{2} complexes sont conjugués +harmoniques par rapport aux plans passant par ce point et +par les directrices de la congruence commune aux \Card{2} complexes. +Et réciproquement.} + +\Paragraph{Application.} On peut généraliser encore les coordonnées +de droites. Reprenons la relation fondamentale +\[ +ap + bq + cr = 0; +\] +elle est homogène et du \Ord{2}{e} degré. Or\Add{,} il existe un type remarquable +d'équations du \Ord{2}{e} degré, celui où ne figurent que les +carrés. Posons +\begin{alignat*}{3} +a + ip &= t_{1}, & b + iq &= t_{3}, & c + ir &= t_{5}, \\ +a - ip &= it_{2},\qquad & b - iq &= it_{4},\qquad & c - ir &= it_{6}; +\end{alignat*} +la condition précédente devient +\[ +t_{1}^{2} + t_{3}^{2} + t_{5}^{2} + t_{2}^{2} + t_{4}^{2} + t_{6}^{2} = 0. +\] +On introduit comme coordonnées homogènes les $t$, qui sont des +fonctions linéaires homogènes des coordonnées pluckériennes. +En égalant ces \Card{6} coordonnées à~$0$, on a les équations de \Card{6} complexes +qui sont \Card{2} à \Card{2} en involution, car on voit facilement +que la condition pour que les \Card{2} complexes +\[ +\sum A_{i} t_{i} = 0, \qquad +\sum B_{i} t_{i} = 0, +\] +soient en involution est +\[ +\sum A_{i} B_{i} = 0. +\] + +\Section{Droites conjuguées.} +{6.}{} Considérons un complexe~$(c)$ et une droite~$\Delta$ n'appartenant +pas à ce complexe\DPtypo{;}{.} Considérons la congruence commune +à~$(c)$ et au complexe spécial de directrice~$\Delta$\DPtypo{;}{.} Cette +congruence a une \Ord{2}{e} directrice $\Delta'$ qui est dite la \emph{droite conjuguée} %[**TN: Partial hyphenated word in original] +%% -----File: 239.png---Folio 231------- +de~$\Delta$. Il y a évidemment réciprocité entre ces \Card{2} droites. +\emph{Toutes les droites du complexe~$(c)$ qui rencontrent +la droite~$\Delta$ rencontrent sa conjuguée~$\Delta'$}, puisque ce sont des +droites de la congruence, et inversement \emph{toute droite rencontrant +à la fois les \Card{2} droites conjuguées~$\Delta\Add{,} \Delta'$ appartient à la +congruence et par suite au complexe}. Si on considère un point~$A$ +de~$\Delta$, son plan polaire passe par~$\Delta'$, puisque toutes les +droites passant par~$A$ et rencontrant~$\Delta'$ appartiennent au complexe. +\emph{$\Delta'$~est donc l'enveloppe des plans polaires des points +de sa conjuguée~$\Delta$}. On voit de même \emph{que $\Delta'$~est le lieu des pôles +des plans passant par sa conjuguée~$\Delta$}. Si la droite~$\Delta$ appartient +au complexe~$(c)$, la congruence précédente a ses \Card{2} directrices +confondues. \emph{Les droites du complexe sont à elles-mêmes +leurs conjuguées.} + +Supposons l'équation du complexe +\[ +F (a, b, c, p, q, r) = Pa + Qb + Rc + Ap + Bq + Cr = 0\DPtypo{;}{.} +\] +Cherchons les coordonnées $(a', b', c', p', q', r')$ de la conjuguée +d'une droite $(a, b, c, p, q, r)$. Il suffit d'exprimer que le complexe +donné, et les complexes spéciaux ayant pour directrices +les droites $(a, b, c, p, q, r)$\Add{,} $(a', b', c', p', q', r')$ appartiennent à un +même faisceau, ce qui donne +\[ +P + \lambda p + \lambda' p' = 0, \quad\text{et les analogues}\dots. +\] +Multiplions respectivement par $a, b, c, p, q, r$ et ajoutons membre +à membre, le coefficient de~$\lambda$ \DPchg{disparait}{disparaît} et nous avons +\[ +F(a, b, c, p, q, r) + \lambda' \sum (ap' + pa') = 0; +\] +posons pour abréger +\[ +\sum (ap' + pa') = \sigma, +\] +%% -----File: 240.png---Folio 232------- +nous avons +\[ +\Tag{(1)} +F(a, b, c, p, q, r) + \lambda' \sigma = 0. +\] +Si nous multiplions par $a', b', c', p', q', r'$ et si nous ajoutons, c'est +le coefficient de~$\lambda'$ qui \DPchg{disparaitra}{disparaîtra} et nous aurons +\[ +\Tag{(2)} +F(a', b', c', p', q', r') + \lambda \sigma = 0. +\] +Enfin si nous multiplions par $A, B, C, P, Q, R$, nous obtenons, en +posant +\begin{gather*} +\Delta = AP + BQ + \Err{c}{C}R, \\ +2\Delta + \lambda F (a, b, c, p, q, r) + + \lambda' F(a', b', c', p', q', r') = 0\Add{,} +\end{gather*} +ce qui peut s'écrire, en tenant compte de~\Eq{(1)}\Add{,}~\Eq{(2)} +\[ +\Delta = \lambda \lambda' \sigma, +\] +d'où +\[ +\lambda = \frac{\Delta}{\lambda' \sigma} + = - \frac{\Delta}{F(a, b,c, p, q, r)}; +\] +et nous pouvons prendre pour coordonnées de la droite conjuguée +\[ +a = A - \frac{\Delta}{F(a\Add{,} \dots)}\, a, \quad\text{et les analogues}, \dots +\] +ou +\[ +a' = AF(a, b, c, p, q, r) - \Delta a, \quad\text{et les analogues}, \dots. +\] + +Supposons qu'on prenne \Card{2} droites conjuguées pour arêtes +opposées du tétraèdre de référence. Si nous appelons $x, y, z, t$ +les coordonnées tétraédriques, nous aurons +\begin{alignat*}{3} +a &= xt' - tx', & +b &= yt' - ty', & +c &= zt'- tz', \\ +p &= yz' - zy', \qquad & +q &= zx' - xz', \qquad & +r &= xy' - yx'. +\end{alignat*} +Supposons qu'on prenne pour droites conjuguées les droites +$(x = 0, y = 0)$ et $(z = 0, t = 0)$. Leurs coordonnées sont +\begin{align*} +&a = 0, && b = 0, && c, && p = 0, && q = 0, && r = 0; \\ +&a' = 0, && b' = 0, && c' = 0, && p' = 0, && q' = 0, && r'. +\end{align*} +Exprimons que ces droites sont conjuguées. D'après les conditions +%% -----File: 241.png---Folio 233------- +trouvées précédemment, nous avons +\begin{alignat*}{3} +0 &= AF (a\Add{,} \dots),\qquad & +0 &= BF (a\Add{,} \dots),\qquad & +0 &= CF - \Delta c, \\ +% +0 &= PF, & +0 &= QF, & +r' &= RF. +\end{alignat*} +Or, +\[ +F(a, b, c, p, q, r) = F(0, 0, c, 0, 0, 0) = Rc; +\] +il en résulte que $A = 0, B = 0, P = 0, Q = 0$. Alors +\[ +\Delta = RC, +\] +et l'équation du complexe devient +\[ +Cr + Rc = 0, +\] +ou +\[ +r = kc. +\] + +En particulier cherchons à effectuer cette réduction en +axes cartésiens. Nous supposerons que $\Delta$ soit l'axe~$Oz$ et que +$\Delta'$ soit rejetée à l'infini dans le plan des~$x\Add{,}y$. Il faut +d'abord montrer qu'il y a des droites dont la conjuguée peut +être rejetée à l'infini. Pour qu'une droite $(a, b, c, p, q, r)$ +soit à l'infini, il faut que $a = 0$, $b = 0$, $c = 0$; et d'après +les formules précédemment trouvées, nous avons pour les conjuguées +de ces droites +\[ +\frac{a'}{A} = \frac{b'}{B} = \frac{c'}{C} + = \frac{F(0, 0, 0, p, q, r)}{\Delta}; +\] +$a', b', c'$ sont donc proportionnels à des quantités fixes. \emph{Les +conjuguées des droites de l'infini sont parallèles à une +même direction. Ces droites sont les lieux des pôles des plans +parallèles à un plan fixe.} On les appelle \emph{diamètres}. En rapportant +donc un complexe à un diamètre et au plan conjugué, +on peut mettre l'équation du complexe sous la forme +\[ +r = kc. +\] + +On peut obtenir cette réduction en axes rectangulaires. +Il existe en effet une infinité de droites perpendiculaires +à leurs conjuguées. Elles sont définies par la relation +%% -----File: 242.png---Folio 234------- +\[ +aa' + bb' + cc' = 0, +\] +ou +\[ +(Aa + Bb + Cc) F(a, b, c, p, q, r) - \Delta (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = 0. +\] +Ces droites constituent donc un complexe du \Ord{2}{e} degré. Prenons +un diamètre quelconque $(a, b, c, p, q, r)$. Le plan conjugué, passant +par l'origine a pour équation +\[ +p'X + q'Y + r'Z = 0; +\] +la condition pour qu'il soit perpendiculaire au diamètre est +\[ +\frac{a}{p'} = \frac{b}{q'} = \frac{c}{r'}, +\] +ou +\[ +\frac{a}{PF - \Delta p} = \frac{b}{QF - \Delta q} = \frac{c}{RF - \Delta r}; +\] +la droite conjuguée du diamètre étant à l'infini, on peut remplacer +$a, b, c$ par $A, B, C$, ce qui donne +\[ +\frac{A}{PF - \Delta p} = \frac{B}{QF - \Delta q} = \frac{C}{RF - \Delta r}. +\] +On a +\[ +ap + bq + cr = 0, +\] +donc ici +\[ +Ap + Bq + Cr = 0; +\] +et +\[ +F(a, b, c, p, q, r) = Pa + Qb + Rc\Add{.} +\] +Multiplions alors les \Card{2} termes des rapports précédents respectivement +par $A, B, C$ et ajoutons, nous obtenons le rapport égal~$\dfrac{\sum A^{2}}{\Delta F}$; +nous pouvons alors prendre $a = A$, $b = B$, $c = C$ et $F =\Delta$, +et enfin +\[ +\frac{A}{P \Delta - p \Delta} = \frac{\sum A^{2}}{\Delta^{2}}, + \quad\text{et les analogues\Add{,}} +\] +d'où +\[ +p = P - \frac{A \Delta}{\sum A^{2}}, \qquad +q = Q - \frac{B \Delta}{\sum B^{2}}, \qquad +r = R - \frac{C \Delta}{\sum C^{2}}. +\] +Nous obtenons ainsi un diamètre perpendiculaire au plan conjugué, +c'est \emph{l'axe du complexe} et on a l'équation réduite en +coordonnées rectangulaires +\[ +r - mc = 0. +\] +Le complexe ne dépend que d'un seul paramètre~$m$ par rapport +%% -----File: 243.png---Folio 235------- +au groupe des mouvements. + +Si $r = 0$, $c = 0$, l'équation est satisfaite; or\Add{,} $r = 0$, +$c = 0$ sont les coordonnées des droites rencontrant $Oz$ et perpendiculaire +à~$Oz$. \emph{Le complexe contient toutes les droites +rencontrant l'axe et perpendiculaires à l'axe}; $c, r$~sont des +coordonnées qui ne changent pas si on fait tourner la droite +autour de~$Oz$; de même si on la déplace parallèlement à~$Oz$. +Autrement dit \emph{un mouvement \DPchg{hélicoidal}{hélicoïdal} d'axe~$Oz$ laisse le complexe +inaltéré. Il en résulte que si on a $\infty^{1}$~droites appartenant +au complexe et ne dérivant pas les unes des autres par +un mouvement \DPchg{hélicoidal}{hélicoïdal}, on obtiendra toutes les droites du +complexe en faisant subir à ce système de droites les translations +et rotations précédentes}. Considérons les droites dont +les coordonnées~$a, p$ sont nulles, et cherchons parmi ces +droites celles qui appartiennent au complexe; nous trouvons +les droites +\[ +bx = mc, \qquad +cy - bz = 0, +\] +qui constituent une famille de génératrices du \DPchg{paraboloide}{paraboloïde} +\[ +xy - mz = 0. +\] +Par conséquent, \emph{pour obtenir toutes les droites d'un complexe, +il suffit de prendre un système de génératrices d'un \DPchg{paraboloide}{paraboloïde} +et de faire subir à chacune d'elles un des mouvements +précédents}. + +\Section{Réseau de complexes.} +{7.}{} +$\Phi = 0$, $\Phi' = 0$, $\Phi'' = 0$ étant les équations de \Card{3} complexes +linéaires, un \emph{réseau de complexes} sera défini par l'équation +%% -----File: 244.png---Folio 236------- +\[ +\lambda \Phi + \lambda' \Phi' + \lambda'' \Phi'' \DPtypo{+}{} = 0. +\] +Considérons les droites communes à tous les complexes du réseau, +c'est-à-dire communes aux \Card{3} complexes $\Phi = 0$, $\Phi' = 0$, +$\Phi'' = 0$; il y en a $\infty^{1}$; elles appartiennent aux complexes spéciaux +du réseau, on peut les définir au moyen de \Card{3} de ces complexes +spéciaux. Or\Add{,} un complexe spécial est formé de toutes +les droites rencontrant sa directrice; les droites précédentes +rencontrent donc \Card{3} droites fixes, elles constituent un +système de génératrices d'une quadrique, le \Ord{2}{e} système de génératrices +comprenant les directrices des complexes spéciaux +du réseau. + +\Paragraph{Application. On peut définir un complexe par \Card{5} droites +n'appartenant pas à une même congruence linéaire.} Soient en +effet les droites $1, 2, 3, 4, 5$; donnons-nous un point~$P$ et cherchons-en +le plan polaire; considérons les droites $1, 2, 3, 4$; +il existe deux droites $\Delta\Add{,} \Delta'$ qui rencontrent ces \Card{4} droites, ces +droites sont conjuguées par rapport au complexe, et alors la +droite passant par~$P$ et s'appuyant sur~$\Delta\Add{,} \Delta'$ appartient au complexe. +De même en considérant les droites $2, 3, 4, 5$, nous aurons +une \Ord{2}{e} droite passant par~$P$ et appartenant au complexe; +le plan polaire de~$P$ est alors déterminé par ces \Card{2} droites. + +\Section{Courbes du complexe.} +{8.}{} Proposons-nous de déterminer les courbes du complexe +\[ +r = kc. +\] +Considérons une droite passant par un point~$(x, y, z)$ et de +coefficients directeurs~$a, b, c$; pour qu'elle appartienne au +complexe, il faut que l'on ait +%% -----File: 245.png---Folio 237------- +\[ +bx - ay = kc\Add{,} +\] +et l'équation différentielle des courbes du complexe est alors +\[ +\Tag{(1)} +x\, dy - y\, dx = k · dz. +\] +Cette équation s'écrit +\[ +x^{2}\, d\left(\frac{y}{x}\right) = d(kz)\Add{,} +\] +posons +\[ +\Tag{(2)} +kz = Y, \qquad \frac{y}{x} = X, \qquad x^{2} = P; +\] +l'équation précédente s'écrit +\[ +dY - P\, dX = 0\Add{,} +\] +elle montre que $P$~est la dérivée de~$Y$ par rapport à~$X$. On a +donc la solution générale de~\Eq{(1)} +\[ +\Tag{(3)} +X = \phi(t), \qquad +Y = \Psi(t), \qquad +P = \frac{d\Psi}{d\phi}; +\] +d'où $x\Add{,}y\Add{,}z$ exprimées en fonction d'une \DPtypo{varable}{variable} arbitraire~$t$ au +moyen de \Card{2} fonctions arbitraires. Si on prend pour variable +indépendante~$X$, on aura +\[ +Y = f(X)\Add{,} \qquad +P = f'(X)\Add{,} +\] +d'où les équations de la courbe +\[ +\Tag{(4)} +kz = f \left(\frac{y}{x}\right), \qquad +x^{2} = f' \left(\frac{y}{x}\right)\DPtypo{;}{.} +\] +On pourra poser +\[ +\frac{y}{x} = u\Add{,} +\] +d'où les expressions de $x\Add{,}y\Add{,}z$ en fonction de~$u$ +\[ +\Tag{(5)} +x = \sqrt{f'(u)}, \qquad +y = u \sqrt{f'(u)}, \qquad +z = \frac{1}{k}\, f(u). +\] + +Il est facile, en particularisant la forme de la fonction~$f$, +d'obtenir des courbes remarquables du complexe. + +\ParItem{\Primo.} \DPtypo{on}{On} obtiendra toutes les courbes algébriques du complexe +en prenant pour~$f$ une fonction algébrique de~$u$. Posons +en particulier +\[ +f(u) = \frac{u^{3}}{3}\Add{,} +\] +%% -----File: 246.png---Folio 238------- +alors +\[ +f'(u) = u^2\Add{,} +\] +et nous avons +\[ +\Tag{(6)} +x = u, \qquad +y = u^2, \qquad +z = \frac{u^3}{3k}; +\] +ces équations sont celles d'une cubique gauche osculatrice au +plan de l'infini dans le direction $x = 0$, $y = 0$. Réciproquement +on peut par une transformation projective ramener les équations +de toute cubique gauche à la forme précédente, d'où il +résulte que \emph{les tangentes à toute cubique gauche appartiennent +à un complexe linéaire}. + +\ParItem{\Secundo.} Les formules générales~\Eq{(5)} contiennent un radical, +provenant de ce qu'on a posé $x^2 = P$. On fera \DPchg{disparaitre}{disparaître} le +radical en choisissant le paramètre de façon que $P$~soit carré +parfait. Pour cela considérons la courbe plane~$(X\Add{,}Y)$ considérée +comme enveloppe de la droite +\[ +Y - u^2X + 2 \phi(u) = 0, +\] +car on a bien alors +\[ +\frac{dY}{dX} = u^2; +\] +l'enveloppe est définie par l'équation de la droite et par +\[ +-uX + \phi'(u) = 0\Add{,} +\] +d'où l'on tire +\[ +X = \frac{\phi'(u)}{u}, \qquad +Y = u\phi'(u) - 2\phi(u); +\] +d'où +\[ +\Tag{(7)} +x = u, \qquad +y = \phi' (u), \qquad +z = \frac{1}{k} \bigl[u\phi'(u) - 2\phi(u)\bigr]; +\] +et ces formules permettent de trouver toutes les courbes unicursales +du complexe; il n'y a qu'à prendre pour~$u$ une fonction +rationnelle d'un paramètre arbitraire, et pour~$\phi$ une +%% -----File: 247.png---Folio 239------- +fonction rationnelle de~$u$. + +\ParItem{\Tertio.} L'équation différentielle~\Eq{(1)} peut encore s'écrire +\[ +(x^2 + y^2)\, d \left(\arctg \frac{y}{x}\right) = k\, dz; +\] +posons +\[ +kz = Y, \qquad +\arctg \frac{y}{x} = X, \qquad +x^2 + y^2 = P = \frac{dY}{dX}. +\] +En prenant $X$ comme variable indépendante, on aura la solution +générale +\[ +\arctg \frac{y}{x} = \omega, \qquad +kz = f(\omega), \qquad +x^2 + y^2 = f'(\omega); +\] +qu'on peut encore écrire +\[ +\Tag{(8)} +x = \sqrt{f'(\omega)} · \cos\omega, \qquad +y = \sqrt{f'(\omega)} \Add{·} \sin\omega, \qquad +z = \frac{1}{k} f(\omega). +\] +On obtient des courbes particulières en prenant +\[ +f(\omega) = R^2 \omega + C; +\] +d'où +\[ +\Tag{(9)} +x = R \cos\omega, \qquad +y = R \sin\omega, \qquad +z = \frac{R^2}{k} \omega + a; +\] +\DPtypo{Ce}{ce} sont des hélices tracées sur des cylindres de révolution +autour de l'axe du complexe. Le pas de ces hélices~$\dfrac{2 \pi R^2}{k}$ est +uniquement fonction de~$R$, donc \emph{toutes les hélices du complexe +tracées sur un même cylindre ayant l'axe du complexe pour axe +ont même pas}. + +\MarginNote{Propriétés +générales des +courbes du +complexe.} +Il résulte immédiatement de la définition des courbes +d'un complexe que, \emph{dans un complexe linéaire, le plan polaire +d'un point d'une courbe du complexe est le plan osculateur à +la courbe en ce point}. Considérons alors les plan osculateurs +à une courbe du complexe issus d'un point~$P$. Soit~$A$ l'un des +points de contact; le plan osculateur en~$A$ étant le plan +%% -----File: 248.png---Folio 240------- +polaire de~$A$, la droite~$PA$ appartient au complexe, et par suite +est dans le plan polaire de~$P$. Il en résulte que \emph{les points +de contact des plans osculateurs issus d'un point à une courbe +d'un complexe linéaire sont dans un même plan}. En particulier +\emph{les points de contact des plans osculateurs issus d'un +point à une cubique gauche sont dans un même plan passant par +le point donné}. + +Prenons les formules~\Eq{(7)}. Nous trouvons +\begin{align*} +A &= y' z''- z' y'' = \frac{1}{k} \phi' \phi'' = \frac{y}{k} \phi''', \\ +B &= z' x'' - x' z'' = - \frac{u}{k} \phi''' = - \frac{x}{k} \phi''', \\ +C &= x' y'' - y' x'' = \phi''' = \phi'''; +\end{align*} +et +\[ +\begin{vmatrix} +x' & y' & z' \\ +x'' & y'' & z'' \\ +x''' & y''' & z''' +\end{vmatrix} = \frac{1}{k}\, \phi'''{}^2. +\] +On voit alors que la torsion au point $(x,y,z)$ est donnée par +\[ +T = -\frac{x^2 + y^2 + z^2}{k}; +\] +Elle ne dépend que du point, et pas de la courbe. Donc \emph{toutes +les courbes du complexe linéaire passant par un point ont +même torsion en ce point \(Sophus Lie\)}. + +\Section{Surfaces normales du complexe.} +{9.}{} Il n'y a pas lieu de rechercher les surfaces d'un +complexe linéaire. Soit en effet le complexe linéaire +\[ +ay - bx + kc = 0; +\] +le plan polaire du point $(x,y,z)$ est parallèle au plan +\[ +Xy - Yx + kZ = 0, +\] +%% -----File: 249.png---Folio 241------- +et pour qu'une surface soit tangente à ce plan, il faudrait +que l'on eût +\[ +\frac{p}{y} = \frac{q}{-x} = \frac{-1}{k}, +\] +ou +\[ +p = -\frac{y}{k}, \qquad +q = \frac{x}{k}; +\] +et la condition d'intégrabilité +\[ +\frac{\dd p}{\dd y} = \frac{\dd q}{\dd x} +\] +n'est pas réalisée. Le problème est impossible. + +Nous nous proposerons alors de chercher les surfaces +dont les normales sont des droites du complexe. Nous aurons à +intégrer l'équation aux dérivées partielles +\[ +py - qx - k = 0, +\] +ce qui revient à l'intégration du système +\[ +\frac{dx}{y} = \frac{dy}{-x} = \frac{dz}{k} = - dt, +\] +qui est précisément le système auquel on arrive lorsqu'on recherche +les courbes normales aux plans polaires de leurs +points\Add{.} Nous pouvons écrire +\[ +dx = -y·dt, \qquad +dy = x·dt, \qquad +dz = -k·dt; +\] +système qui s'intègre immédiatement et donne +\[ +x = R \cos t, \qquad +y = R \sin t, \qquad +z = - kt + h. +\] +Ces trajectoires orthogonales dépendent de \Card{2} constantes arbitraires. +Ce sont des hélices circulaires ayant toutes même +pas, trajectoires d'un mouvement \DPchg{hélicoidal}{hélicoïdal} uniforme de pas~$-2k$. +D'où l'interprétation cinématique du complexe linéaire: +considérons un mouvement \DPchg{hélicoidal}{hélicoïdal} uniforme; à chaque point~$M$ +correspond la vitesse de ce point, et le plan polaire du +point~$M$ dans le complexe est le plan perpendiculaire à cette +%% -----File: 250.png---Folio 242------- +vitesse. \emph{Le complexe linéaire est constitué par les normales +aux vitesses du mouvement instantané d'un corps solide.} + +Les surfaces normales du complexe sont définies par les +équations +\[ +x = v \cos u, \qquad +y = v \sin u, \qquad +z = - ku + \phi(v); +\] +car elles sont évidemment engendrées par les hélices précédentes. +Ce sont les \DPchg{hélicoides}{hélicoïdes} engendrés par un profil quelconque +dans le mouvement précédent. Les \DPtypo{equations}{équations} précédentes +\DPtypo{representent}{représentent} d'ailleurs \DPchg{l'hélicoide}{l'hélicoïde} le plus général. Il en +résulte que \emph{les normales issues d'un point à un \DPchg{hélicoide}{hélicoïde} +sont dans un même plan} (plan polaire de ce point). + +\Paragraph{Remarque.} Les hélices trajectoires orthogonales des +plans polaires s'obtiennent en faisant $v = \cte$, et leurs +trajectoires orthogonales sont les courbes du complexe situées +sur les surfaces précédentes. Cherchons-les. Formons l'élément +linéaire sur ces surfaces: +\begin{align*}%[** TN: Rebroken] +ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 + &= (\cos u · dv - v · \sin u · du)^2 \\ + &+ (\sin u · dv + v · \cos u · du)^2 + (- m · du + \phi' · dv)^2, +\end{align*} +\[ +ds^2 = (v^2 + m^2)\Add{·} du^2 - 2 m \phi' · du\,dv + (1 + \phi'{}^2) · dv^2; +\] +et les trajectoires orthogonales des hélices $v = \cte$, $dv = 0$, +sont définies par l'équation +\[ +(v^2 + m^2)\Add{·} du - m \phi' · dv = 0\Add{,} +\] +d'où +\[ +u = \int \frac{m \phi'}{v^2 + m^2}\, dv\Add{.} +\] +Leur détermination dépend d'une quadrature. +%% -----File: 251.png---Folio 243------- + +\Section{Surfaces réglées du complexe.} +{10.}{} Considérons une surface réglée dont les génératrices +appartiennent au complexe; soit~$G$ une de ses génératrices; +elle appartient au complexe, donc à chacun de +ses points~$M$ correspond un plan~$P$ qui en est le plan \Err{focal}{polaire}; +d'autre part au point~$M$ correspond aussi homographiquement le +plan tangent à la surface en ce point; il en résulte qu'\emph{il y +a correspondance homographique entre le plan polaire d'un +point de la génératrice et le plan tangent à la surface en ce +point}; dans cette homographie il y a \Card{2} éléments doubles, donc +\emph{sur chaque génératrice de la surface il existe \Card{2} points $A\Add{,} B$ +tels que les plans polaires de ces points soient tangents à la +surface}. Considérons le lieu des points~$A$ sur la surface; en +chacun de ses points le plan tangent à la surface est le plan +polaire de~$A$; la tangente à la courbe, qui est dans le plan +tangent à la surface, est donc dans le plan polaire; donc \emph{le +lieu des points~$A$, et aussi le lieu des points~$B$, qui peuvent +d'ailleurs se confondre algébriquement, sont des courbes du +complexe}. Le plan osculateur en chaque point est le plan polaire, +donc il est tangent à la surface; \emph{ces courbes sont +donc des asymptotiques de la surface réglée}; les asymptotiques +se déterminent au moyen d'une seule quadrature. + +Il peut arriver que les génératrices de la surface appartiennent +à une congruence linéaire; elles appartiennent alors +à une infinité de complexes linéaires, et pour chaque complexe, +on aura \Card{2} lignes asymptotiques courbes de ce complexe. +On obtiendra ainsi toutes les asymptotiques sans aucune intégration. +%% -----File: 252.png---Folio 244------- +\emph{Les génératrices de la surface précédente s'appuient +alors sur \Card{2} directrices fixes}. C'est le cas des \DPtypo{conoides}{conoïdes} à +plan directeur et des surfaces réglées du \Ord{3}{e} ordre. Inversement +on verrait facilement qu'une courbe quelconque du complexe +est asymptotique d'une infinité de surfaces réglées du +complexe; on peut donc au moyen de ces surfaces réglées trouver +une courbe quelconque du complexe. + +Si les génératrices de la surface appartiennent à un +complexe linéaire spécial, les courbes du complexe sont des +courbes planes dont les plans contiennent la directrice du +complexe; \emph{les surfaces normales du complexe sont de révolution +autour de la directrice; les surfaces réglées du complexe sont +des surfaces dont les génératrices rencontrent une droite +fixe}; cette directrice est une asymptotique de la surface, +et les autres asymptotiques se déterminent par \Card{2} quadratures. + + +\ExSection{X} + +\begin{Exercises} +\item[45.] \DPchg{Etudier}{Étudier} les asymptotiques des surfaces réglées du \Ord{3}{e} ordre. +Montrer que ce sont des unicursales du \Ord{4}{e} ordre, et que chaque +génératrice rencontre une asymptotique en deux points conjugués +harmoniques par rapport aux points où la génératrice +s'appuie sur la droite double et sur la droite singulière. + +\item[46.] Déterminer les asymptotiques de la surface de Steiner. Par +quelles courbes sont-elles représentées dans la représentation +paramétrique de la surface? \DPchg{Etudier}{Étudier} les cas de dégénérescence. + +\item[47.] Déterminer la surface canal la plus générale dont toutes les +lignes de courbure soient sphériques; montrer que ces lignes +de courbure se déterminent sans intégration. + +\item[48.] Que peut-on dire de la détermination des lignes de courbure +d'une surface canal, enveloppe de $\infty^{1}$~sphères coupant une +sphère fixe sous un angle constant? + +\item[49.] Déterminer les surfaces réglées d'un complexe linéaire qui +admettent pour ligne asymptotique une courbe donnée. Montrer +que toutes leurs asymptotiques se \DPtypo{déterminant}{déterminent} sans intégration, +et qu'elles sont algébriques si la courbe donnée est +algébrique. +\end{Exercises} +%% -----File: 253.png---Folio 245------- + + +\Chapitre{XI} +{Transformations Dualistiques. Transformation de Sophus Lie.} + +\Section{\DPchg{Eléments}{Éléments} et multiplicités de contact.} +{1.}{} On appelle \emph{élément de contact} l'ensemble d'un point~$M$ +et d'un plan~$P$ passant par ce point. Un tel élément sera +défini par ses \emph{coordonnées}, coordonnées $x, y, z$ du point, et +coefficients de direction $p, q, -1$ de la normale au plan. Un +élément de contact est ainsi défini par \Card{5} coordonnées. + +Considérons un point~$A$, les éléments de contact de ce +point sont formés par ce point et tous les plans passant par +ce point; les coordonnées $x, y, z$ sont fixes, et $p, q$ arbitraires. +Un point possède $\infty^{2}$~éléments de contact. + +Considérons une courbe; un de ses éléments de contact +est formé d'un point de la courbe et d'un plan tangent à la +courbe en ce point; les coordonnées sont $x, y, z$ fonctions d'un +paramètre arbitraire, et $p, q$ \DPtypo{lies}{liés} par la relation +\[ +px' + qy'- z' = 0\Add{,} +\] +il y a donc \Card{2} paramètres arbitraires. Une courbe possède $\infty^{2}$ +éléments de contact. + +Considérons maintenant une surface; un de ses éléments de +contact est formé par un point et le plan tangent en ce point; +%% -----File: 254.png---Folio 246------- +ses coordonnées sont $x, y, z = f (x, y)$, $p=\dfrac{\dd f}{\dd x}$, $q=\dfrac{\dd f}{\dd y}$. Il y a \Card{2} paramètres +arbitraires, donc une surface possède $\infty^{2}$~éléments +de contact. Remarquons que $p, q$ peuvent ne dépendre que d'un +seul paramètre; c'est le cas des surfaces développables, qui +possèdent ainsi $\infty^{2}$~points et $\infty^{1}$~plans tangents, et correspondent +par dualité aux courbes, qui possèdent $\infty^{1}$~points et $\infty^{2}$~plans +tangents. + +Les points, courbes et surfaces, qui sont engendrées par +$\infty^{2}$~éléments de contact, sont appelés \emph{multiplicités~$M_2$}. Plus +généralement on appellera \emph{multiplicité} toute famille d'éléments +de contact dont les coordonnées vérifient la relation +\[ +\Tag{(1)} +dz - p\, dx - q\, dy = 0. +\] +Si ces coordonnées ne dépendent que d'un paramètre arbitraire, +on aura les multiplicités~$M_1$; si elles dépendent de \Card{2} paramètres +arbitraires, on aura les \emph{multiplicités~$M_2$}. + +Cherchons à déterminer toutes les multiplicités~$M_2$: +$x, y, z$, $p, q$ sont fonctions de \Card{2} paramètres arbitraires +\[ +x = f (u, v), \quad +y = g (u, v), \quad +z = h (u, v), \quad +p = k (u, v), \quad +q = l (u, v). +\] +Considérons les \Card{3} \Ord{1}{ères} relations; entre elles on peut éliminer +$u, v$, et par suite de cette élimination on peut obtenir +\Card[f]{1},~ou \Card{2}, ou \Card{3} relations. + +Supposons d'abord qu'on obtienne une relation +\[ +F(x, y, z) = 0\Add{,} +\] +on peut considérer $z$ comme fonction de $x, y$; et si on écrit +que la relation~\Eq{(1)} est satisfaite quels que soient, $x, y$, on a +\[ +p = \frac{\dd z}{\dd x}, \qquad +q = \frac{\dd z}{\dd y}, +\] +%% -----File: 255.png---Folio 247------- +et on a les éléments de contact d'une surface. + +Supposons qu'on obtienne \Card{2} relations +\[ +F(x, y, z) = 0, \qquad +G(x, y, z) = 0; +\] +on peut considérer $x, y$ comme fonctions de~$z$ +\[ +x = \phi(z), \qquad +%[** TN: Appears to be \Psi in original, but using \psi for consistency] +y = \psi(z), +\] +et l'équation~\Eq{(1)} devient +\[ +dz - p \phi'(z)\, dz - q \psi'(z)\, dz = 0, +\] +ou +\[ +p \phi'(z) + q \psi'(z) - 1 = 0; +\] +le plan de l'élément de contact est tangent à la courbe +$x = \phi(z)$, $y = \psi (z)$, on a les éléments de contact d'une courbe. + +Enfin si on obtient \Card{3} relations, c'est que $x, y, z$ sont des +constantes; l'équation~\Eq{(1)} est alors vérifiée quels que soient +$p\Add{,} q$, qui sont alors les paramètres arbitraires, et on a les +éléments de contact d'un point. + +Cherchons maintenant les multiplicités~$M$; nous avons +\[ +x = f (t), \qquad +y = g (t), \qquad +z = h (t), \qquad +p = k (t), \qquad +q = l (t). +\] +Considérons les \Card{3} \Ord{1}{ères} équations, et entre elles éliminons~$t$. +Il y a \Card{2} ou \Card{3} relations. + +S'il y a \Card{2} relations, le lieu des points de la multiplicité, +qu'on appelle aussi \emph{support de la multiplicité}, est une +courbe, et les plans ne dépendant que d'un paramètre, pour +chaque point de la courbe il y a un plan tangent déterminé; +on a une \emph{bande d'éléments de contact}. + +S'il y a \Card{3} relations, $x, y, z$ sont des constantes, le support +est un point; on a alors une famille de plans dépendant +d'un paramètre et passant par un point fixe; c'est ce qu'on +appelle un \emph{cône élémentaire}. +%% -----File: 256.png---Folio 248------- + +Considérons \Card{2} multiplicités~$M_2$; elles peuvent avoir en +commun, \Card{0}\DPtypo{,}{}~ou \Card{1} élément de contact, ou une infinité. + +Considérons le cas d'\emph{un élément de contact commun}; si les +multiplicités sont \Card{2} points $A\Add{,} A'$, il ne peut y avoir un élément +de contact commun que si les \Card{2} points sont confondus, et +alors il y a $\infty^{2}$~éléments de contact communs. Si on a un point +et une courbe, le point est sur la courbe, et tous les plans +tangents à la courbe en ce point appartiennent à des éléments +de contact communs, qui sont ainsi au nombre de~$\infty^{1}$. Si on a un +point et une surface, le point sera sur la surface, et l'élément +de contact commun sera constitué par le point et le plan +tangent à la surface en ce point. Considérons \Card{2} courbes; si +elles ont un élément de contact commun, elles se rencontrent +en un point, et si elles n'y sont pas tangentes, il n'y a +qu'un élément de contact commun. Considérons une courbe et +une surface; il y aura un élément de contact commun si la +courbe est tangente à la surface. Enfin \Card{2} surfaces ont un +élément de contact commun si elles sont tangentes en un point. + +Il y aura \emph{$\infty^{1}$~éléments de contact communs} pour un point +sur une courbe, \Card{2} courbes tangentes en un point, une courbe +sur une surface, \Card{2} surfaces circonscrites le long d'une courbe\Add{.} + +Considérons un \emph{point qui décrit une courbe}; on a une +famille de $\infty^{1}$~points dont chacun donne à la courbe $\infty^{1}$~éléments +de contact. Considérons une \emph{surface engendrée par une courbe}; +nous avons $\infty^{1}$~courbes~$(c)$ dont chacune a en commun avec la +surface une bande, et par suite donne à la surface $\infty^{1}$~éléments +de contact. Considérons $\infty^{1}$~surfaces; leur \emph{enveloppe} a avec +%% -----File: 257.png---Folio 249------- +chacune d'elles une bande commune; nous avons encore $\infty^{1}$~éléments +générateurs d'une multiplicité~$M_2$, donnant chacun à la +multiplicité $\infty^{1}$~éléments de contact. + +On pourrait considérer le cas où chaque élément générateur +ne donne qu'un élément de contact à la multiplicité: +$\infty^{2}$~points engendrant une surface; $\infty^{2}$~courbes formant une congruence +de courbes (dans ce cas, comme dans celui des congruences +de droites, il y a en général une surface focale, +tangente à chacune de ces courbes, et ayant avec chacune un +élément de contact commun); enfin si on considère $\infty^{2}$~surfaces, +leur enveloppe a en commun avec chacune d'elles un élément de +contact. + +\Paragraph{Remarque.} Dans les trois cas précédents, quand nous disons +que chaque élément générateur donne un élément de contact +à la multiplicité, il faut entendre que cette multiplicité +peut se décomposer en nappes, et que cela s'applique alors à +chacune des nappes séparément. + +Il y a un cas exceptionnel, celui de $\infty^{1}$~courbes ayant +une enveloppe; on a alors $\infty^{1}$~courbes cédant chacune à la multiplicité +$\infty^{1}$~éléments de contact. + +\Section{Transformations de contact.} +{2.}{} On appelle \emph{transformation de contact} toute transformation +des éléments de contact qui change une multiplicité~$M_2$ +en une multiplicité~$M_2$. On a \Card{5} équations de +transformation +\begin{gather*} +x' = f (x, y, z, p, q), \quad +y' = g (x, y, z, p, q), \quad +z' = h (x, y, z, p, q), \\ +p' = k (x, y, z, p, q), \qquad +q' = l (x, y, z, p, q). +\end{gather*} +%% -----File: 258.png---Folio 250------- +Si l'élément de contact~$(x, y, z, p, q)$ appartient à un multiplicité, +on a +\[ +\Tag{(1)} +dz - p\, dx - q\, dy = 0, +\] +et pour que l'élément transformé $(x', y', z', p', q')$ appartienne +aussi à une multiplicité, il faut que l'on ait +\[ +dz' - p'\, dx'- q'\, dy'= 0. +\] +Une transformation de contact laisse invariante l'équation~\Eq{(1)}\Add{.} +Une telle transformation change \Card{2} multiplicités ayant un élément +de contact commun en \Card{2} multiplicités ayant un élément de +contact commun, et de même \Card{2} multiplicités ayant $\infty^{1}$~éléments +de contact communs en \Card{2} multiplicités ayant $\infty^{1}$~éléments de +contact communs. Une transformation de contact change les +points, courbes et surfaces en points, courbes, ou surfaces +indistinctement. + +Reprenons les équations de la transformation, et entre +elles éliminons~$p\Add{,} q$, nous obtenons \Card[f]{1},~ou \Card{2}, ou \Card{3} relations entre +$x, y, z$,~$x', y', z'$. + +Si on obtient \Card{3} relations, +\[ +\Tag{(2)} +x' = f(x, y, z), \qquad +y' = g(x, y, z), \qquad +z' = h(x, y, z)\Add{,} +\] +dans la transformation de contact est contenue une transformation +ponctuelle. Une telle transformation change un point en +point, une courbe en courbe, une surface en surface; \Card{2} courbes +qui se rencontrent se transforment en \Card{2} courbes qui se +rencontrent, deux surfaces tangentes en \Card{2} surfaces tangentes. +A un élément de contact commun à \Card{2} multiplicité correspond un +élément de contact commun aux \Card{2} multiplicités transformées. +On obtiendra $p', q'$ en fonction de~$p, q$ en considérant $z'$ comme +%% -----File: 259.png---Folio 251------- +fonction de $x', y'$. On a +\begin{alignat*}{3}%[** TN: Added elided equations] +dx' &= \frac{\dd f}{\dd x}\, dx + &&+ \frac{\dd f}{\dd y}\, dy + &&+ \frac{\dd f}{\dd z}\, (p\, dx + q\, dy), \\ +dy' &= \frac{\dd g}{\dd x}\, dx + &&+ \frac{\dd g}{\dd y}\, dy + &&+ \frac{\dd g}{\dd z}\, (p\, dx + q\, dy), \\ +dz' &= \frac{\dd h}{\dd x}\, dx + &&+ \frac{\dd h}{\dd y}\, dy + &&+ \frac{\dd h}{\dd z}\, (p\, dx + q\, dy); +\end{alignat*} +éliminant $dx, dy$ entre ces \Card{3} relations, on a +\[ +dz' = k(x,y,z,p,q)\, dx' + l(x,y,z,p,q)\, dy', +\] +d'où +\[ +p' = k(x,y,z,p,q), \qquad +q' = l(x,y,z,p,q). +\] + +Supposons ensuite que l'on obtienne \Card[f]{1}~relation d'élimination +\[ +\Tag{(3)} +\Omega (x,y,z, x',y',z') = 0\Add{.} +\] +Considérons un point $A(x\Add{,}y\Add{,}z)$ du \Ord{1}{er} espace; cherchons la multiplicité +qui lui correspond dans le \Ord{2}{e} espace; elle est engendrée +par des éléments de contact dont les points sont liés +au point~$A$ par l'équation~\Eq{(3)} qui représente une surface~$S_A'$. +La multiplicité correspondant à un point est une surface. Si +on a une courbe lieu de points~$A$, il lui correspond une famille +de $\infty^{1}$~surfaces, et la multiplicité engendrée par ces +surfaces, c'est-à-dire leur enveloppe, sera la transformée de +la courbe. Enfin si on a une surface lieu de $\infty^{2}$~points~$A$, il +leur correspondra $\infty^{2}$~surfaces dont l'enveloppe correspondra à +la surface donnée. + +\MarginNote{Transformations +dualistiques.} +Supposons la relation~\Eq{(3)} bilinéaire en $x,y,z$, +$x',y',z'$. A chaque point du \Ord{1}{er} espace correspond un plan +du \Ord{2}{e} espace et réciproquement. A $\infty^{3}$~points du \Ord{1}{er} espace +correspondent $\infty^{3}$~plans distincts. \DPchg{Ecrivons}{Écrivons} +\[ +\Omega = Ax' + By' + Cz' + D +\] +%% -----File: 260.png---Folio 252------- +ou +\[ +A = ux + vy + wz + h, \quad +B = u' x + \ldots, \quad +C = u'' x + \ldots, \quad +D = u'''x + \ldots; +\] +pour avoir la transformée d'une surface +\[ +f(x',y',z') = 0 +\] +il faut prendre l'enveloppe des plans $\Omega = 0$, $x'\Add{,} y'\Add{,} z'$~étant liés +par la relation précédente, ce qui donne +\[ +\frac{A}{\ \dfrac{\dd f}{\dd x'}\ } = +\frac{B}{\ \dfrac{\dd f}{\dd y'}\ } = +\frac{C}{\ \dfrac{\dd f}{\dd z'}\ } = +\frac{D}{\ \dfrac{\dd f}{\dd t'}\ }\Add{.} +\] +Telles sont les équations de la transformation. Il faudra que +l'on en puisse tirer $x, y, z$: donc que les formes $A, B, C, D$, soient +indépendantes, et alors l'ensemble des plans $\Omega = 0$ constitue +bien l'ensemble de tous les plans de l'espace. La transformation +précédente est une \emph{transformation dualistique}. L'ensemble +des transformations de contact forme évidemment un groupe; +une transformation de contact peut se décomposer en transformations +de contact plus simples. + +Prenons pour nouvelles variables +\[ +X = A, \qquad +Y = B, \qquad +Z = C, \qquad +T = D; +\] +alors +\[ +\Omega = Xx' + Yy' + Zz' + 1 = 0\Add{,} +\] +la transformation est une transformation par polaires réciproques +par rapport à la sphère +\[ +x^2 + y^2 + z^2 + 1 = 0\Add{,} +\] +et toute transformation dualistique se ramène à la transformation +précédente suivie d'une transformation projective. + +Considérons celles de ces transformations qui sont \emph{symétriques} +ou \emph{involutives}, telles que le plan homologue d'un +%% -----File: 261.png---Folio 253------- +point soit le même, qu'on considère le point comme appartenant +à l'un ou à l'autre espace. Les équations +\[ +\Omega(x,y,z,x',y',z') = 0, \qquad +\Omega(x',y',z',x,y,z) = 0, +\] +doivent être équivalentes; on doit donc avoir, $k$~étant un +facteur constant +\[ +\Omega(x,y,z,x',y',z') = k \Omega(x',y',z',x,y,z); +\] +faisons $x' = x$, $y' = y$, $z' = z$, +\[ +\Omega(x,y,z,x,y,z) = k \Omega(x,y,z,x,y,z); +\] +alors ou bien $\Omega(x,y,z,x,y,z) = 0$, ou bien $k = 1$. + +Si $\Omega = 0$, le plan correspondant à un point passe par ce +point. On a +\begin{multline*}%[** TN: Filled in missing terms, added break] +x(ux + vy + wz + h) + y(u'x + v'y + w'z + h') \\ + + z (u''x + v''y + w''z + h'') + + u'''x + v'''y + w'''z + h''' = 0, +\end{multline*} +ce qui revient à écrire que le déterminant +\[ +\begin{vmatrix} +u & v & w & h \\ +u' & v' & w' & h' \\ +u'' & v'' & w'' & h'' \\ +u''' & v''' & w''' & h''' +\end{vmatrix} +\] +est un déterminant, symétrique gauche, donc de la forme +\[ +\left\lvert +\begin{array}{@{}rrrr@{}} + 0 & C & -B & \phantom{-}P \\ + -C & 0 & A & Q \\ + B & -A & 0 & R \\ + -P & -Q & -R & 0 +\end{array} +\right\rvert +\] +et l'équation devient +\[ +\Omega = x'(\DPtypo{c}{C}y - Bz + P) + + y'(-Cx + Az + Q) + + z'(Bx - Ay + R) + - Px - \DPtypo{A}{Q}y - Rz = 0\Add{,} +\] +ou +\begin{multline*}%[** TN: Added break] +A(yz' - zy') + B(zx' - xz') + C(xy' - yx') \\ + + P(x' - x) + Q (y' - y) + R(z' - z) = 0\Add{,} +\end{multline*} +%% -----File: 262.png---Folio 254------- +équation d'un complexe linéaire. Le lieu des points $(x',y',z')$ +associés au point $(x,y,z)$ est le plan polaire du point $(x,y,z)$ +par rapport au complexe. Le plan polaire d'un point est la +multiplicité transformée de ce point et réciproquement. La +transformée d'une droite est sa conjuguée, une droite du complexe +est à elle-même sa transformée. \Card{2} multiplicités transformées +sont les \Card{2} multiplicités focales d'une congruence de +droites du complexe et réciproquement: à une courbe correspond +en général une développable; à une courbe du complexe +correspond la développable de ses tangentes. + +Si nous prenons maintenant la solution $k = 1$, nous avons +\[ +x'(ux + vy + wz + h) + \ldots = x(ux' + vy' + wz' + h) + \ldots\Add{,} +\] +la forme $\Omega$ est symétrique en $x\Add{,}y\Add{,}z$, $x'\Add{,}y'\Add{,}z'$, et on a +\begin{multline*}%[** TN: Added break] +\Omega = axx' + byy' + czz' \\ + + m(yz' + zy') + n(zx' + xz') + p(xy' + yx') \\ + + r(x + x') + s(y + y') + t(z + z') + u\Add{.} +\end{multline*} +\DPtypo{les}{Les} \Card{2} points $(x,y,z)$\Add{,} $(x',y,' z')$ sont conjugués par rapport à la +quadrique +\[ +ax^2 + by^2 + cz^2 + 2myz + 2nzx + 2pxy + 2rx + 2sy + 2tz + u = 0\Add{.} +\] +Nous avons la transformation par polaires réciproques. + +D'une façon générale, pour avoir les équations d'une +transformation de contact définie par une seule relation +$\Omega = 0$, on écrira que la relation +\[ +dz' - p'\, dx' - q'\, dy' = 0\Add{,} +\] +est conséquence des relations +\[ +dz - p\, dx - q\, dy = 0, \qquad +d\Omega = 0; +\] +ce qui donne +\[ +dz' - p'\, dx' - q'\, dy' + = \lambda (dz - p\, dx - q\, dy) + \mu\, d\Omega\Add{.} +\] +%% -----File: 263.png---Folio 255------- +En identifiant, on a \Card{6} équations; si entre elles on élimine~$\lambda\Add{,} \mu$, +on a \Card{4} équations qui jointes à $\Omega = 0$ donnent $x',y',z',p',q'$ +en fonction de~$x,y,z,p,q$. + +Passons enfin au cas où on a \Card{2} relations d'élimination +\[ +\Tag{(4)} +\Omega(x,y,z,x',y',z') = 0, \qquad +\Theta(x,y,z,x',y',z') = 0. +\] +A un point~$M$ du \Ord{1}{er} espace correspond dans le \Ord{2}{e} espace une +courbe~$(c')$. A une courbe lieu de $\infty^{1}$~points correspond une +surface engendrée par $\infty^{1}$~courbes; à une surface~$(S)$ lieu de +$\infty^{2}$~points correspond une congruence de courbes; une telle +congruence a en général une surface focale, tangente à toutes +ces courbes, et qui sera la transformée de la surface~$(S)$. + +Pour avoir les équations d'une telle transformation, on +écrira que la relation +\[ +dz'- p'\, dx' - q'\, dy' = 0 +\] +est conséquence des relations +\[ +dz - p\, dx - q\, dy = 0, \qquad +d\Omega = 0, \qquad +d\Theta = 0; +\] +ce qui donne +\[ +dz' - p'\, dx' - q'\, dy' + = \lambda (dz - p\, dx - q\, dy) + \mu d\Omega + \nu d\Theta. +\] +En identifiant on a \Card{6} équations; si entre elles on \DPtypo{elimine}{élimine} +$\lambda, \mu, \nu$ on a \Card{3} équations qui jointes à $\Omega = 0$, $\Theta = 0$, donnent +les formules de transformation. + +\Section{Transformation de Sophus Lie.} +{3.}{} Supposons les équations~\Eq{(4)} bilinéaires. A un point~$M(x\Add{,}y\Add{,}z)$ +correspond une droite~$D'$. Aux $\infty^{3}$~points~$M$ correspond un +complexe de droites~$D'$, soit~$(K')$. De même à tous les points +du \Ord{2}{e} espace correspond dans le \Ord{1}{er} espace un complexe~$(K)$. +Considérons une seule des équations~\Eq{(4)}; à chaque point~$M$ +%% -----File: 264.png---Folio 256------- +correspond un plan~$P'$; l'autre équation au même point~$M$ fait +correspondre un plan~$Q'$ et la droite~$D'$ est l'intersection des +plans $P'\Add{,} Q'$ qui correspondent au point~$M$ dans les \Card{2} homographies +les plans~$P'$ correspondent homographiquement aux plans~$Q'$; le +complexe~$(K')$ est le complexe des droites intersections des +plans qui se correspondent dans \Card{2} homographies. (C'est le complexe +de Reye, ou \emph{complexe tétraédral}; les droites sont coupées +par un tétraèdre en \Card{4} points dont le rapport anharmonique +est constant. Le rapport anharmonique des \Card{4} plans menés par +une droite du complexe et par les \Card{4} sommets du tétraèdre est +constant (Von~Staudt). Le complexe~$(K')$ est du \Ord{2}{e} degré, +la surface des singularités est constituée par les \Card{4} faces +du tétraèdre). A une courbe~$(c)$ correspond une surface +réglée du complexe~$(K')$. A une surface~$(S)$ correspond une +congruence de droites appartenant au complexe~$(K')$; cette +congruence admet \Card{2} multiplicités focales. A un élément de +contact du \Ord{1}{er} espace correspondent \Card{2} éléments de contact de +l'autre. + +Cherchons les équations des \Card{2} complexes. Soient +\[ +\Omega = Ax' + By' + Cz' + D, \qquad +\Theta = Lx' + My' + Nz' + P\Add{.} +\] +Soit $M'(x',y'z')$ un point du \Ord{2}{e} espace. Soit $D$ la droite correspondante; +si $(x,y,z)$ et $(x_0,y_0,z_0)$ sont \Card{2} points de cette +droite, on a +\begin{alignat*}{2} +&\Omega (x,y,z,x',y',z') = 0, & +&\Theta (x,y,z,x'\DPtypo{.}{,}y',z') = 0\Add{,} \\ +&\Omega (x_0,y_0,z_0, x',y',z') = 0, \qquad & +&\Theta (x_0,y_0,z_0,x',y',z') = 0. +\end{alignat*} +\DPchg{Eliminons}{Éliminons} $x',y,'z'$ entre ces \Card{4} équations, nous avons +%% -----File: 265.png---Folio 257------- +\[ +\begin{vmatrix} +A & B & C & D \\ +A_0 & B_0 & C_0 & D_0 \\ +L & M & N & P \\ +L_0 & M_0 & N_0 & P_0 +\end{vmatrix} = 0; +\] +c'est l'équation du complexe. En développant par la règle de +Laplace, on trouvera une équation du \Ord{2}{e} degré par rapport aux +coordonnées de la droite. Le complexe~$(K)$, et de même le complexe~$(K')$, +est en général du \Ord{2}{e} degré. + +A une courbe~$(c)$ correspond une surface réglée engendrée +par la droite~$D'$. Cherchons si cette surface réglée peut être +développable. Les droites~$D'$ ont pour équations +\[ +Ax' + By'+ Cz' + D = 0, \qquad +Lx' + My'+ Nz' + P = 0; +\] +$x,y,z$, et par suite $A,B,C,D$, étant fonctions d'un paramètre~$t$. +Exprimons que cette droite rencontre la droite infiniment +voisine: nous adjoignons a ses équations les équations: +\[ +x'\, dA + y'\, dB + z'\, dC + dD = 0, \qquad +x'\, dL + y'\, dM + z'\, dN + dP = 0; +\] +d'où la condition +\[ +\begin{vmatrix} +A & B & C & D \\ +L & M & N & P \\ +dA & dB & dC & dD \\ +dL & dM & dN & dP +\end{vmatrix} = 0. +\] +Or\Add{,} l'équation du complexe~$(K)$ peut s'écrire +\[ +\begin{vmatrix} +A & B & C & D \\ +L & M & N & P \\ +\Delta A & \Delta B & \Delta C & \Delta D \\ +\Delta L & \Delta M & \Delta N & \Delta P +\end{vmatrix} = 0, +\] +$A,B,C,D$ étant des fonctions linéaires, les accroissements~$\Delta$ +sont proportionnels aux différentielles~$d$. La courbe~$(c)$ est +%% -----File: 266.png---Folio 258------- +donc telle que sa tangente appartient au complexe~$(K)$. Aux +courbes du \Ord{1}{er} complexe correspondent des développables engendrées +par les tangentes aux courbes du \Ord{2}{e} complexe. Au +point~$M$ d'une courbe~$(c)$ du \Ord{1}{er} complexe correspond une génératrice~$T'$ +d'une développable, soit $M'$ son point de contact avec +l'arête de rebroussement; si on considère un élément linéaire +formé d'un point~$M$ et d'une droite~$D$ du \Ord{1}{er} complexe passant +par ce point, il lui correspondra un élément linéaire déterminé +du \Ord{2}{e} complexe. Les courbes des \Card{2} complexes se correspondent +ainsi par points et par tangentes. + +\Illustration{266a} +Soit une surface~$(S)$, et supposons le complexe~$(K)$ effectivement +du \Ord{2}{e} degré. Considérons un point~$M$ de la surface et +le plan tangent~$P$. Le cône du complexe~$(K)$ de sommet~$M$ est +coupé par le plan~$P$ suivant \Card{2} droites +$D, D_1$ qui appartiennent au complexe~$(K)$\Add{.} +Par chaque point de~$(S)$ passent ainsi +\Card{2} droites du complexe~$(K)$ tangentes à +la surface. Par tout point de la +surface~$(S)$ passent donc \Card{2} courbes +$(\gamma)\Add{,} (\gamma_1)$ du complexe~$(K)$ situées sur cette surface. Au point~$M$ +correspond une droite~$D'$ du complexe~$(K')$. A la droite~$D$ du complexe~$(K)$ +correspond un point~$M'$ de~$D'$; et de même à la droite~$D$, +correspond un point~$M_1'$ de~$D'$. Aux courbes $(\gamma)\Add{,} (\gamma_1)$ du complexe~$(K)$ +correspondent \Card{2} courbes $(\gamma')\Add{,} (\gamma_1')$ du complexe~$(K')$ +tangentes en $M'\Add{,} M_1'$ à la droite~$D'$. Si le point~$M$ décrit la +courbe~$(\gamma)$, les droites~$D'$ ont pour enveloppe la courbe~$(\gamma_1')$, +%% -----File: 267.png---Folio 259------- +et si $M$~décrit~$(\gamma_1)$, $D'$~enveloppe~$(\gamma_1')$. Si on considère la +congruence des droites~$D'$ correspondant aux points~$M$ de la surface~$(S)$, +les courbes~$(\gamma_t')$ sont les arêtes de rebroussement +d'une des familles de développables de cette congruence et les +courbes~$(\gamma_1')$ sont les arêtes de rebroussement de l'autre famille. +Les courbes~$(\gamma')$ engendrent une des nappes de la surface +focale, les courbes~$(\gamma_1')$ engendrent l'autre nappe. Le +plan tangent en~$M'$ à la multiplicité focale est le plan osculateur +à~$(\gamma_1')$, et par suite le plan tangent au cône du complexe~$(K')$ +de sommet~$M_1'$. Un élément de contact correspondant +à l'élément~$(M,P)$ est formé du point~$M'$ et du plan tangent au +cône du complexe~$(K')$ qui a pour sommet~$M_1'$. L'autre élément +correspondant à~$(M,P)$ est formé du point~$M_1'$ et du plan tangent +au cône du complexe~$(K')$ qui a pour sommet~$M'$. + +Si la surface~$(S)$ est une surface du complexe~$(K)$, tangente +en chacun de ses points au cône du complexe, les droites +$D,~D_1$ sont confondues; alors les \Card{2} éléments de contact correspondant +à l'élément~$(M\Add{,}P)$ sont confondus, et la surface~$(S')$ +définie par ces éléments est une surface du complexe~$(K')$. + +\Paragraph{Remarques.} Les seuls cas possibles sont les suivants: + +\ParItem{\Primo.} Les complexes~$(K)\Add{,} (K')$ sont effectivement du \Ord{2}{e} degré. +On démontre alors, comme nous l'avons dit précédemment, +qu'ils sont tous \Card{2} tétraédraux. + +\ParItem{\Secundo.} Un des complexes est linéaire. On démontre que +l'autre est constitué par les droites qui rencontrent une +conique. + +\ParItem{\Tertio.} Les \Card{2} complexes sont linéaires. On démontre qu'ils +%% -----File: 268.png---Folio 260------- +sont tous \Card{2} spéciaux. Ce cas donne la \emph{transformation d'Ampère}, +définie par les équations +\[ +x' = p, \qquad +y' = -y, \qquad +z' = -z - px\DPtypo{.}{,}\qquad +p' = x, \qquad +q' = -q\Add{.} +\] + +\Section{Transformation des droites en sphères.} +{4.}{} Prenons en particulier: +\[ +\Omega = x + iy + x'z + z' = 0, \qquad +\Theta = x' (x - iy) - z - y' = 0 +\] +L'équation du \Ord{1}{er} complexe est: +\[ +\left\lvert +\begin{array}{@{}crrc@{}} +z - z_0 & 0 & \phantom{-}0 & x + iy - (x_0 + iy_0) \\ +z_0 & 0 & 1 & x_0 + iy_0 \\ +x - iy & -1 & 0 & -z \\ +x_0 -iy_0 - (x-iy) & 0 & 0 & z - z_0 +\end{array} +\right\rvert += 0, +\] +ce qui devient: +\[ +(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^ 2 = 0, +\] +c'est-à-dire: +\[ +\Tag{(K)} +a^2 + b^2 + c^ 2 = 0. +\] +Le complexe~$(K)$ est le complexe des droites minima. Cherchons +le \Ord{2}{e} complexe. Il suffit de \DPtypo{considerer}{considérer} \Card{2} points~$(x',y',z')$ +correspondant au même point~$(x,y,z)$. Nous avons: +\[ +\begin{vmatrix} +0 & 0 & x' - x'_0 & z' - z'_0 \\ +1 & i & x'_0 & z'_0 \\ +x'- x'_0 & -i(x' - x'_0) & 0 & -(y' - y'_0) \\ +x'_0 & -ix'_0 & \llap{$-$} 1 & y'_0 +\end{vmatrix} = 0, +\] +ce qui devient: +\[ +(x' - x'_0) (x'y'_0 - y'x'_0) - (z' - z'_0) (x' - x'_0) = 0, +\] +c'est-à-dire: +\[ +a(r + c) = 0\DPtypo{.}{;} +\] +la solution $a = 0$ est singulière, et on a pour le complexe~$(K')$ +\[ +\Tag{(K')} +r + c =0. +\] +Nous avons ainsi une \emph{correspondance entre un complexe spécial +%% -----File: 269.png---Folio 261------- +du \Ord{2}{e} degré et un complexe linéaire}. Le cône du complexe~$(K)$ +sera le cône isotrope. A chaque élément de contact du \Ord{1}{er} espace +correspondent \Card{2} éléments de contact du \Ord{2}{e} espace conjugués +par rapport au complexe~$(K')$, car d'une façon générale +les points~$M'\Add{,} M_1'$, sont sur une droite~$D'$ de~$(K')$ et le plan associé +à~$M'$ est ici le plan polaire de~$M_1'$ et inversement. + +Partons d'une sphère; prenons \Card{2} génératrices d'un système; +ce sont des droites minima~$D, D_1$. Le \Ord{2}{e} système de génératrices +est entièrement défini, car chacune d'elles doit +rencontrer $D, D_1$, et le cercle imaginaire à l'infini. Aux \Card{2} droites~$D, D_1$ +correspondent \Card{2} points~$M', M_1'$. Considérons une génératrice +isotrope~$\Delta$ rencontrant~$D, D_1$, il lui correspond un +point~$\mu'$; $\Delta$~rencontrant la droite~$D$, la droite~$M' \mu'$ est une +droite du complexe linéaire, et de même~$M_1' \mu'$; donc $\mu_1$~est le +pôle d'un plan passant par~$M_1'M'$. Lorsque $\Delta$~décrit la sphère, +le plan~$\mu' M' M_1'$ tourne autour de~$M'M_1'$, et le lieu de~$\mu'$ est la +droite conjuguée de~$M_1' M'$. A la sphère correspond une droite. +En partant du \Ord{2}{e} système de génératrices, au système~$D$,~$D_1$, correspondrait +la droite~$M_1'M'$. \emph{A une sphère correspondent en +réalité \Card{2} droites conjuguées par rapport au complexe linéaire.} + +Ceci peut se voir par le calcul. Prenons la droite~$(\Delta')$ +\[ +\Tag{(\Delta')} +x' = az' - q, \qquad +y' = bz' + p; +\] +$c = 1$ et~$r = - ap - bq$. La surface réglée correspondante est +engendrée par les droites +\[ +x + iy + z(az' - q) + z' = 0, \qquad +(az'- q)(x - iy) - z - bz' - p = 0\Add{,} +\] +ou +\[ +x + iy - qz + z'(az + 1) = 0, \qquad +-q(x - iy) - z - p + z' \bigl[a(x - iy) - b\bigr] = 0\Add{.} +\] +%% -----File: 270.png---Folio 262------- +\DPchg{Eliminant}{Éliminant} $z'$ on a la surface +\[ +(x + iy - qz) \bigl[a(x - iy) - b\bigr] + + (az + 1) \bigl[q(x - iy) + z + p\bigr] = 0\Add{,} +\] +ou +\[ +a(x^2 + y^2+ z^2) - b(x + iy) + q(x - iy) + (c - r)z + p = 0\Add{,} +\] +c'est l'équation d'une sphère et il est facile de voir que ce +peut être une sphère quelconque, en choisissant~$(\Delta')$ convenablement. + +Cherchons la conjuguée de~$(\Delta')$ par rapport à~$(K')$. Nous +avons à exprimer que le complexe~$(K')$ et les complexes spéciaux +$(\Delta), (\Delta')$ appartiennent à un même faisceau. Ce qui donne +\begin{alignat*}{3}%[** TN: Added break, rearranged terms] +\lambda a + \lambda' a' &= 0, & +\lambda b + \lambda' b' &= 0, & +\lambda c + \lambda' c' + 1 &= 0, \\ +\lambda p + \lambda' p' &= 0,\qquad & +\lambda q + \lambda' q' &= 0,\qquad & +\lambda r + \lambda' r' + 1 &= 0; +\end{alignat*} +prenons $\lambda' = -\lambda$, nous avons: +\begin{alignat*}{3}%[** TN: Added break, rearranged terms] +a' &= a, & b' &= b, & c' &= c + \frac{1}{\lambda}, \\ +p' &= p, \qquad & q' &= q, \qquad & r' &= r + \frac{1}{\lambda}; +\end{alignat*} +prenons $\lambda = -\dfrac{1}{c+r}$, alors $c' = -r$ et $r'= -c$, et l'on voit +que l'on retrouve la même sphère. + +Les formules de la transformation se calculent par la +méthode générale. On trouve: +\begin{gather*} +x = -\frac{z'}{2} + + \frac{1}{2}\, \frac{x' (x' p + y' q) + y' - p'}{q' + x'}, \qquad +y = \frac{i z'}{2} + - \frac{i}{2}\, \frac{x' (x' p + y' q) - y' + p'}{q' + x'}, \\ +z = -\frac{x'p' + y'q'}{q' + x'}, \qquad +p = \frac{x'q' + 1}{q' - x'}, \qquad +q = -i\frac{x'q' - 1}{q' - x'}. +\end{gather*} +Cette transformation de Sophus Lie, changeant des droites qui +se rencontrent en sphères tangentes, c'est-à-dire des droites +qui ont un élément de contact commun en sphères ayant un élément +de contact commun, réalise par suite la correspondance +%% -----File: 271.png---Folio 263------- +signalée dans les chapitres précédents entre les droites et +les sphères. + +Par exemple elle transforme une surface réglée en surface +canal; une quadrique en cyclide de Dupin; une surface +développable en surface canal isotrope; une bande asymptotique +d'une surface en une bande de courbure de la transformée; +de sorte qu'on peut dire qu'elle transforme les lignes asymptotiques +en lignes de courbure. + +On vérifiera facilement qu'elle transforme un complexe +linéaire de droites en une famille de $\infty^{2}$~sphères coupant une +sphère fixe sous un angle constant; et que cet angle constant +est droit, lorsque le complexe linéaire est en involution avec +le complexe~$(K')$. + +\Section{Transformation des lignes asymptotiques.} +{5.}{} Proposons-nous de trouver toutes les transformations +de contact qui changent les lignes asymptotiques d'une +surface quelconque en les lignes asymptotiques de la transformée +de cette surface; c'est-à-dire qui changent toute +bande asymptotique en une bande asymptotique. Remarquons à +cet effet qu'une telle transformation changera toute multiplicité~$M_2$ +sur laquelle les bandes asymptotiques ne dépendent +pas seulement de constantes arbitraires, mais dépendent de +fonctions arbitraires, en une multiplicité~$M_2$ de même nature. +Or\Add{,} les bandes asymptotiques (ou de rebroussement) étant définies +par les équations +\[ +dz - p\, dx - q\, dy = 0, \qquad +dp\, dx + dq\, dy = 0, +\] +on devra considérer comme bande asymptotique, dans la question +%% -----File: 272.png---Folio 264------- +actuelle, $\infty^{1}$~éléments de contact ayant le même point\Add{,} +\[%[** TN: Inline parenthetical remark in original] +dx = dy = dz = 0,\qquad p = f(q)\Add{,} +\] +c'est-à-dire un cône élémentaire. + +Et, dès lors, les $M_2$~particulières en question sont les plans, +les droites et les points. Les transformations cherchées +échangent donc entre elles les figures qui sont des droites, +des points ou des plans. De là plusieurs cas à examiner: + +\ParItem{\Primo.} Si la transformation est ponctuelle, elle échange les +points en points, les plans en plans, et les droites en droites. +C'est par suite une \emph{transformation homographique}. + +\ParItem{\Secundo.} Si la transformation est une transformation de contact +de la première espèce, c'est-à-dire fait correspondre à chaque +point du premier espace~$(E)$ une surface du second espace~$(E')$, +elle change les points de~$(E)$ en les plans de~$(E')$; et comme +elle fait alors correspondre aussi à chaque point de~$(E')$ une +surface de~$(E)$, elle change les points de~$(E')$ en les plans de~$(E)$; +et dès lors elle change les points en plans, les plans +en points, et les droites en droites. Si donc on la compose +avec une transformation par polaires réciproques, on obtient +une transformation homographique; et, par suite, elle s'obtient +en composant une transformation homographique avec une +transformation par polaires réciproques. C'est donc une +\emph{transformation dualistique}. + +\ParItem{\Tertio.} Si la transformation est une transformation de contact +de la deuxième espèce, c'est-à-dire si à tout point de l'un +des espaces correspond dans l'autre une courbe, à tout point +de l'un des espaces correspondra dans l'autre une droite. Or, +prenons dans l'espace~$(E)$ quatre points $P_1,P_2,P_3,P_4$ non situés +%% -----File: 273.png---Folio 265------- +dans un même plan, et soient $D_1,D_2,D_3,D_4$ les droites qui leur +correspondent dans l'espace~$(E')$. Il existe au moins une +droite~$\Delta$ ayant avec chacune des quatre droites $D_1,D_2,D_3,D_4$ +un élément de contact commun; et à~$\Delta$ devrait correspondre dans~$(E)$ +un point, un plan ou une droite ayant un élément de contact +commun avec chacun des quatre points $P_1,P_2,P_3,P_4$. Or\Add{,} il +n'en existe pas. Donc \emph{ce troisième cas est impossible}. + +Les seules transformations pouvant répondre à la question +sont donc homographiques ou dualistiques. Mais toute +transformation de contact changeant les droites en droites +répond à la question, car elle changera une famille de génératrices +d'une développable, dont chacune a un élément de +contact commun avec la génératrice infiniment voisine, en les +génératrices d'une autre développable; et, par suite, la bande +de rebroussement de la première développable ou la bande de +rebroussement de la seconde. + +Nous pouvons donc conclure: + +\ParItem{\Primo.} \emph{Les transformations homographiques et les transformations +dualistiques changent les lignes asymptotiques en lignes +asymptotiques; et ce sont les seules transformations de +contact possédant cette propriété.} + +\ParItem{\Secundo.} \emph{Ces transformations sont aussi les seules transformations +de contact changeant toute droite en une droite.} + +\Section{Transformations des lignes de courbure.} +{6.}{} La transformation de contact des droites en sphères, +de Lie, permet de déduire immédiatement des résultats +précédents toutes les transformations de contact qui +%% -----File: 274.png---Folio 266------- +changent les lignes de courbure d'une surface quelconque en +les lignes de courbure de sa transformée. + +On voit de plus que ce sont aussi celles qui changent +toute sphère en une sphère. On aurait pu du reste refaire un +raisonnement direct analogue à celui du \Numero~précédent, en partant +des multiplicités~$M_2$ pour lesquelles les bandes de courbure +dépendent de fonctions arbitraires. + +Cherchons, plus spécialement, celles des transformations +considérées qui sont des transformations ponctuelles. Dans +la transformation de Lie, les points de l'espace~$(E)$ correspondent +aux droites d'un complexe linéaire~$(K')$. Les transformations +cherchées proviennent donc des transformations +projectives ou dualistiques qui laissent invariant ce complexe\Add{.} +On les obtient en composant avec la transformation par polaires +réciproques définie par ce complexe~$(K')$ l'une quelconque +des transformations projectives qui laissent le complexe +invariant. + +Ainsi se trouve établie une correspondance entre le +groupe projectif d'un complexe linéaire et le groupe des +transformations ponctuelles qui changent toute sphère en +sphère. Ce dernier est ce qu'on appelle le groupe conforme; +on sait que ses transformations s'obtiennent en combinant des +inversions, des homothéties et des déplacements. + +Parmi les transformations de contact qui changent les +lignes de courbure en lignes de courbure figurent les \emph{dilatations}, +dans lesquelles chaque élément de contact subit une +translation perpendiculaire à son plan et d'amplitude donnée, +c'est-à-dire dans lesquelles chaque surface est remplacée par +%% -----File: 275.png---Folio 267------- +une surface parallèle. + +Parmi ces transformations figurent aussi les transformations +de \DPtypo{Ribeaucour}{Ribaucour} qui seront définies au chapitre~XIII\@. + + +\ExSection{XI} + +\begin{Exercises} +\item[50.] \DPchg{Etudier}{Étudier} la congruence des droites définies par les équations +\[ +A\lambda + B\mu + C = 0, \qquad +A_{1}\lambda + B_{1}\mu + C_{1} = 0, +\] +où $A,B,C$, $A_{1},B_{1},C_{1}$ sont des fonctions linéaires des coordonnées +et $\lambda, \mu$ des paramètres arbitraires. Discuter en particulier la +question des droites passant par un point, des droites rencontrant +une droite fixe, des droites situées dans un plan, des +multiplicités focales. + +\item[51.] Démontrer les résultats énoncés à la fin du~\No3 de ce chapitre. + +\item[52.] Démontrer par le calcul les propriétés de la transformation +de Lie énoncées à la fin du~\No4 de ce chapitre. +\end{Exercises} +%% -----File: 276.png---Folio 268------- + + +\Chapitre{XII}{\DPchg{Systemes}{Systèmes} Triples Orthogonaux.} + + +\Section{Théorème de Dupin.} +{1.}{} L'emploi des coordonnées rectangulaires revient à +celui d'un système de \Card{3} plans orthogonaux. On peut généraliser +et employer comme surfaces coordonnées un système triple +quelconque: +\[ +\phi(x,y,z) = u, \qquad +\psi(x,y,z) = v, \qquad +\chi(x,y,z) = w; +\] +ces formules transforment les coordonnées $u,v,w$ en coordonnées +$x,y,z$\DPtypo{,}{.} Si nous résolvons les équations précédentes en $x,y,z$, ce +que nous supposons possible, nous aurons +\[ +\Tag{(1)} +x = f(u,v,w), \qquad +y = g(u,v,w), \qquad +z = h(u,v,w). +\] +On emploie en général un \emph{système triple orthogonal}. Cherchons +donc à exprimer que les équations~\Eq{(1)} définissent un système +triple orthogonal. Les intersections des surfaces \Card{2} à \Card{2} doivent +être orthogonales. Les surfaces des \Card{3} familles s'obtiendront +en faisant successivement $u = \cte$, $v = \cte$, $w = \cte[]$. +Les intersections des surfaces \Card{2} à \Card{2} sont respectivement +$(v = \cte, w = \cte)$\Add{,} $(w = \cte, u = \cte)$\Add{,} $(u = \cte, v = \cte)$, et les +directions des tangentes sont respectivement $\dfrac{\dd f}{\dd u}, \dfrac{\dd g}{\dd u}, \dfrac{\dd h}{\dd u}$; +$\dfrac{\dd f}{\dd v}, \dfrac{\dd g}{\dd v}, \dfrac{\dd h}{\dd v}$; et +$\dfrac{\dd f}{\dd w}, \dfrac{\dd g}{\dd w}, \dfrac{\dd h}{\dd w}$. La condition d'orthogonalité est +\[ +\Tag{(2)} +\sum \frac{\dd f}{\dd v} \Add{·} \frac{\dd f}{\dd w} = 0, \qquad +\sum \frac{\dd f}{\dd w} · \frac{\dd f}{\dd u} = 0, \qquad +\sum \frac{\dd f}{\dd u} \Add{·} \frac{\dd f}{\dd v} = 0. +\] +Interprétons ces conditions. Prenons la surface $w = \cte[]$. La +\Ord{3}{e} condition exprime que sur cette surface les lignes $u = \cte$, +%% -----File: 277.png---Folio 269------- +$v = \cte$ sont orthogonales, et les \Card{2} premières expriment que +$\dfrac{\dd f}{\dd w}, \dfrac{\dd g}{\dd w}, \dfrac{\dd h}{\dd w}$ est une direction perpendiculaire aux tangentes à +ces \Card{2} courbes, et par suite, que c'est la direction de la +normale; soient $l,m,n$ ces \Card{3} coefficients de direction. \DPtypo{Differentions}{Différentions} +la \Ord{3}{e} relation par rapport à~$w$ nous avons +\[ +\sum \frac{\dd f}{\dd u}\, \frac{\dd^2 f}{\dd v\, \dd w} + +\sum \frac{\dd f}{\dd v}\, \frac{\dd^2 f}{\dd u\, \dd w} = 0, +\] +ou +\[ +\sum \frac{\dd f}{\dd u}\, \frac{\dd l}{\dd v} + +\sum \frac{\dd f}{\dd v}\, \frac{\dd l}{\dd u} = 0. +\] +Or\Add{,} on a +\[ +\sum l\, \frac{\dd f}{\dd u} = 0, \qquad +\sum l\, \frac{\dd f}{\dd v} = 0, +\] +d'où +\[ +\sum l\, \frac{\dd^2 f}{\dd u\, \dd v} + = -\sum \frac{\dd l}{\dd v}\, \frac{\dd f}{\dd u}, \qquad +\sum l\, \frac{\dd^2 f}{\dd u\, \dd v} + = -\sum \frac{\dd l}{\dd u}\, \frac{\dd f}{\dd v}, +\] +et la condition précédente s'écrit +\[ +\sum l\, \frac{\dd^2 f}{\dd u\, \dd v} = 0, +\] +ou $F' = 0$, ce qui exprime que les lignes $u = \cte$, $v = \cte$, +c'est-à-dire les intersections de la surface $w = \cte$ avec les +surfaces $u = \cte$ et $v = \cte$ sont conjuguées sur cette surface, +et comme elles sont orthogonales, ce sont des lignes de courbure. +D'où le \emph{Théorème de Dupin: sur chaque surface d'un +système triple orthogonal, les intersections avec les autres +surfaces de ce système sont des lignes de courbure}. + +\Section{\DPchg{Equation}{Équation} aux dérivées partielles de Darboux.} +{2.}{} Proposons-nous de rechercher les systèmes triples +orthogonaux. Prenons une famille de surfaces: +\[ +\Tag{(1)} +\phi(x,y,z) = u +\] +et cherchons à déterminer \Card{2} autres familles constituant avec +celle-ci un système triple orthogonal. Prenons dans l'espace +%% -----File: 278.png---Folio 270------- +un point~$M$; par ce point~$M$ passe une surface~$u$; prenons les +tangentes~$MT, MT'$ en $M$~à ses lignes de courbure. Ces droites +sont parfaitement déterminées; si $p, q, -1$ sont les coefficients +de direction de~$MT$, ce sont des fonctions connues de~$x, y, z$. +De même pour~$MT'$. Il faudra alors qu'en chaque point~$M$, +une surface d'une autre famille, soit +\[ +%[** TN: Looks like \Psi in original, but using \psi for consistency] +%[** TN: No equation number (2) in original] +\Tag{(2)} +\psi (x,y,z) = v, +\] +soit normale à~$MT$; il faudra donc que $p, q$ soient les dérivées +partielles de~$z$ par rapport à $x, y$, ($z$~étant défini par l'équation +précédente). On aura donc +\[ +\frac{\dd \psi}{\dd x} + p \frac{\dd \psi}{\dd z} = 0, \qquad +\frac{\dd \psi}{\dd y} + \Err{}{q} \frac{\dd \psi}{\dd z} = 0. +\] +Ces équations ne sont pas compatibles en général: pour +qu'elles le soient, il faut et il suffit, d'après la théorie +des systèmes complets, que l'on ait: +\[ +\Tag{(3)} +\frac{\dd q}{\dd x} + p \frac{\dd q}{\dd z} = +\frac{\dd p}{\dd y} + q \frac{\dd p}{\dd z}\Add{,} +\] +équation aux dérivées partielles du \Ord{3}{e} ordre, puisque $p, q$ +s'expriment en fonction des dérivées \Ord{1}{ères} et \Ord{2}{mes} de~$\phi$ par +rapport à $x, y, z$. Ainsi donc \emph{une famille de surfaces données ne +peut en général faire partie d'un système triple orthogonal}. +Si la condition~\Eq{(3)} est réalisée, la fonction~$\psi(x,y,z)$ est déterminée +à une fonction arbitraire près, et nous avons une +\Ord{2}{e} famille de surfaces dont chacune coupe à angle droit chacune +des surfaces~$(S)$ de la famille~$\phi(x,y,z) = \const.$\ suivant +une ligne de courbure de cette surface~$(S)$. Et, d'après le +théorème de Joachimsthal, l'intersection de chaque surface~$(S_1)$ +de cette seconde famille avec chaque surface~$(S)$ de la première +est aussi ligne de courbure sur~$(S_1)$. +%% -----File: 279.png---Folio 271------- + +En résumé nous avons deux familles de surfaces +\begin{align*} +\Tag{(S)} +\phi(x,y,z) &= \const. \\ +\Tag{(S_1)} +\psi(x,y,z) &= \const. +\end{align*} +qui se coupent orthogonalement suivant des courbes qui sont +lignes de courbure à la fois pour les deux surfaces qui s'y +croisent. Et il reste à étudier si l'on peut déterminer une +troisième famille de surfaces +\[ +\Tag{(S_2)} +\chi(x,y,z) = \const. +\ +\] +qui constitue avec les deux premières un système triple orthogonal, +c'est-à-dire à étudier le système d'équations linéaires +aux dérivées partielles dont dépend la fonction inconnue~$\chi$: +\[ +\Tag{(4)} +\left\{ +\begin{aligned} +\frac{\dd \phi}{\dd x} · \frac{\dd \chi}{\dd x} + +\frac{\dd \phi}{\dd y} · \frac{\dd \chi}{\dd y} + +\frac{\dd \phi}{\dd z} · \frac{\dd \chi}{\dd z} &= 0, \\ +% +\frac{\dd \psi}{\dd x} · \frac{\dd \chi}{\dd x} + +\frac{\dd \psi}{\dd y} · \frac{\dd \chi}{\dd y} + +\frac{\dd \psi}{\dd z} · \frac{\dd \chi}{\dd z} &= 0. +\end{aligned} +\right. +\] +Posons, pour abréger, +\begin{align*} +Af &= \frac{\dd \phi}{\dd x} · \frac{\dd f}{\dd x} + + \frac{\dd \phi}{\dd y} · \frac{\dd f}{\dd y} + + \frac{\dd \phi}{\dd z} · \frac{\dd f}{\dd z}, \\ +Bf &= \frac{\dd \phi}{\dd x} · \frac{\dd f}{\dd x} + + \frac{\dd \phi}{\dd y} · \frac{\dd f}{\dd y} + + \frac{\dd \phi}{\dd z} · \frac{\dd f}{\dd z}; +\end{align*} +et, d'après la théorie des systèmes complets d'équations linéaires, +la condition nécessaire et suffisante pour l'\Err{intégralité}{intégrabilité} +du système~\Eq{(4)} est que l'équation: +\[ +\left(A \frac{\dd\psi}{\dd x} - B \frac{\dd\phi}{\dd x}\right) + \Del{·} \frac{\dd\chi}{\dd x} + +\left(A \frac{\dd\psi}{\dd y} - B \frac{\dd\phi}{\dd y}\right) + \Del{·} \frac{\dd\chi}{\dd y} + +\left(A \frac{\dd\psi}{\dd z} - B \frac{\dd\phi}{\dd z}\right) + \Del{·} \frac{\dd\chi}{\dd z} = 0 +\] +soit une conséquence algébrique des équations~\Eq{(4)}, c'est-à-dire +que l'on ait: +\[ +\Tag{(5)} +\begin{vmatrix} +A \mfrac{\dd\psi}{\dd x} - B \mfrac{\dd\phi}{\dd x} & + \mfrac{\dd\phi}{\dd x} & \mfrac{\dd\psi}{\dd x} \\ +A \mfrac{\dd\psi}{\dd y} - B \mfrac{\dd\phi}{\dd y} & + \mfrac{\dd\phi}{\dd y} & \mfrac{\dd\psi}{\dd y} \\ +A \mfrac{\dd\psi}{\dd z} - B \mfrac{\dd\phi}{\dd z} & + \mfrac{\dd\phi}{\dd z} & \mfrac{\dd\psi}{\dd z} +\end{vmatrix} += 0. +\] +%% -----File: 280.png---Folio 272------- +Cette condition se simplifie. Remarquons en effet que +\begin{align*} +A \frac{\dd\psi}{\dd x} + B \frac{\dd\phi}{\dd x} + &= \frac{\dd\phi}{\dd x}\, \frac{\dd^2\psi}{\dd x^2} + + \frac{\dd\phi}{\dd y}\, \frac{\dd^2\psi}{\dd y\, \dd x} + + \frac{\dd\phi}{\dd z}\, \frac{\dd^2\psi}{\dd z\, \dd x} \\ +% + &+ \frac{\dd\psi}{\dd x}\, \frac{\dd^2\phi}{\dd x^2}\, + + \frac{\dd\psi}{\dd y}\, \frac{\dd^2\phi}{\dd y\, \dd x} + + \frac{\dd\psi}{\dd z} · \frac{\dd^2\phi}{\dd z\, \dd x} \\ +% + &= \frac{\dd}{\dd x} \left\{ + \frac{\dd\phi}{\dd x}\, \frac{\dd\psi}{\dd x} + + \frac{\dd\phi}{\dd y}\, \frac{\dd\psi}{\dd y} + + \frac{\dd\phi}{\dd z}\, \frac{\dd\psi}{\dd z} + \right\}, +\end{align*} +c'est-à-dire que l'on a, à cause de l'\DPtypo{orthogonalite}{orthogonalité} des surfaces $(S)$~et~$(S_1)$, +\[ +A \frac{\dd\psi}{\dd x} + B \frac{\dd\phi}{\dd x} = 0. +\] +On voit de même que l'on a aussi +\[ +A \frac{\dd\psi}{\dd y} + B\frac{\dd\phi}{\dd y} = 0, \qquad +A \frac{\dd\psi}{\dd z} + B\frac{\dd\phi}{\dd z} = 0. +\] +Par suite, la condition~\Eq{(4)} peut s'écrire simplement +\[ +\Tag{(6)} +\begin{vmatrix} +A \mfrac{\dd\psi}{\dd x} & \mfrac{\dd\phi}{\dd x} & \mfrac{\dd\psi}{\dd x} \\ +A \mfrac{\dd\psi}{\dd y} & \mfrac{\dd\phi}{\dd y} & \mfrac{\dd\psi}{\dd y} \\ +A \mfrac{\dd\psi}{\dd z} & \mfrac{\dd\phi}{\dd z} & \mfrac{\dd\psi}{\dd z} +\end{vmatrix} += 0. +\] +Or, pour une valeur quelconque de $x,y,z$, les dérivées~$\dfrac{\dd \psi}{\dd x},\dfrac{\dd \psi}{\dd y},\dfrac{\dd \psi}{\dd z}$ sont les coefficients de direction~$l,m,n$ de la normale +à la surface~$(S_1)$ qui passe par le point de coordonnées~$x,y,z$; +et~$\dfrac{\dd\phi}{\dd x},\dfrac{\dd\phi}{\dd y},\dfrac{\dd\phi}{\dd z}$ sont les coefficients de direction de la +normale à la surface~$(S)$ qui passe par ce même point, c'est-à-dire +de la tangente à une ligne de courbure de~$(S_1)$; en désignant +par~$dx,dy,dz$ un déplacement effectué suivant la direction +de cette tangente, on aura donc +\[ +\frac{\ \dfrac{\dd\phi}{\dd x}\ }{dz} = +\frac{\ \dfrac{\dd\phi}{\dd y}\ }{dy} = +\frac{\ \dfrac{\dd\phi}{\dd z}\ }{dx} = +\frac{A \dfrac{\dd\psi}{\dd x}}{dl} = +\frac{A \dfrac{\dd\psi}{\dd y}}{dm} = +\frac{A \dfrac{\dd\psi}{\dd z}}{dn}, +\] +%% -----File: 281.png---Folio 273------- +et la condition~\Eq{(6)} deviendra: +\[ +\begin{vmatrix} +dl & dx & l \\ +dm & dy & m \\ +dn & dz & n +\end{vmatrix} += 0\DPtypo{.}{,} +\] +ce qui est une identité puisque la différentiation~$d$ considérée +a lieu suivait une ligne de courbure. + +La condition d'intégrabilité du système~\Eq{(4)} est donc remplie, +et la troisième famille~$(S_2)$ existe toujours et est +entièrement déterminée. On peut donc énoncer les résultats +suivants: + +\ParItem{\Primo.} \emph{Il existe une équation aux dérivées partielles du troisième +ordre $\bigl($l'équation \Eq{(3)}$\bigr)$ qui exprime la condition nécessaire +et suffisante pour qu'une fonction $\phi(x,y,z)$ fournisse +une famille de surfaces~$(S)$ faisant partie d'un système triple +orthogonal. Si la famille~$(S)$ est donnée, les deux autres familles $(S_1)$~et~$(S_2)$ sont entièrement déterminées}. + +\ParItem{\Secundo.} \emph{Pour que deux familles de surfaces, $(S)$~et~$(S_1)$, fassent +partie d'un système triple orthogonal, il faut et il suffit +qu'elles se coupent à angle droit, et que les intersections +soient lignes de courbure sur les surfaces~$(S)$, ou sur les +surfaces~$(S_1)$.} + +On peut remarquer enfin, que si l'on \DPchg{connait}{connaît} les lignes +de courbure~$(C_1)$ des surfaces~$(S_1)$ par exemple, qui ne sont +pas les intersections des surfaces~$(S_1)$ et des surfaces~$(S)$, +et les lignes de courbure~$(C)$ d'une seule surface~$(S)$, chaque +%% -----File: 282.png---Folio 274------- +surface~$(S_2)$ sera engendrée par les courbes~$(C_1)$ qui s'appuient +sur une même courbe~$(C)$. + +\Section{Systèmes triples orthogonaux contenant une surface.} +{3.}{} Cherchons maintenant si une surface donnée peut +faire partie d'un système triple orthogonal. Traçons +sur cette surface les lignes de courbure, et menons les +normales à la surface en tous les points de ces lignes, elles +engendrent deux familles de développables orthogonales à la +surface donnée. En adjoignant à cette surface les surfaces +parallèles, on a un système triple orthogonal. + +\Paragraph{Remarque \1.} Les surfaces parallèles à une surface~$(S)$ +en dérivent par une transformation de contact définie par +l'équation +\[ +(X - x)^2 + (Y - y)^2 + (Z - z)^2 - r^2 = 0\Add{,} +\] +où $r$~est une constante arbitraire; en effet la surface parallèle +est l'enveloppe d'une famille de sphères de rayon +constant ayant leurs centres sur la surface~$(S)$. Cette +transformation de contact s'appelle dilatation. + +%[** TN: Roman numeral in original] +\Paragraph{Remarque \2.} Lorsqu'on sait qu'une famille de surfaces +appartient à un système triple orthogonal, on peut sur +chacune de ces surfaces déterminer les lignes de courbure, +et les autres familles du système sont engendrées par les +trajectoires orthogonales des surfaces qui s'appuient sur +les lignes de courbure. Dans le cas particulier d'une famille +de surfaces parallèles, les trajectoires orthogonales +sont les normales à ces surfaces. +%% -----File: 283.png---Folio 275------- + +\Section{Systèmes triples orthogonaux contenant une famille de plans.} +{4.}{} Considérons une famille de plans~$P$; les trajectoires +orthogonales s'obtiennent, comme on l'a vu à propos +des surfaces moulures, en faisant rouler un plan mobile +sur la développable enveloppe des plans~$P$. Prenons +dans le plan deux systèmes de courbes orthogonales, ce qui +est toujours possible, car si nous nous donnons l'un des +systèmes +\[ +\phi(x,y) = a, +\] +l'autre se détermine par l'intégration de l'équation +\[ +\dfrac{dx}{\ \dfrac{\dd\phi}{\dd x}\ } = +\dfrac{dy}{\ \dfrac{\dd\phi}{\dd y}\ }. +\] +On peut engendrer les autres familles du système triple +orthogonal au moyen de ces courbes des plans~$P$, assujetties +à rencontrer les trajectoires orthogonales; ces familles +sont ainsi constituées de surfaces moulures. On peut ainsi, +au moyen du Théorème de Dupin, retrouver leurs lignes de +courbure. + +\Section{Systèmes triples orthogonaux contenant une famille de sphères.} +{5.}{} Le fait que toute famille de plans fait partie +d'un système triple orthogonal tient au fond à ce que +toute courbe d'un plan est ligne de courbure du plan; de +sorte qu'une famille de surfaces orthogonales aux plans +donnés satisfera à la condition \DPtypo{necessaire}{nécessaire} et suffisante +pour qu'il existe une troisième famille complétant le système +triple orthogonal. + +Le même fait sera donc vrai aussi pour une famille de +sphères. Et pour construire un système triple orthogonal +%% -----File: 284.png---Folio 276------- +quelconque contenant la famille de sphères~$(S)$ donnée, il +suffira: \Primo.~de prendre sur une des sphères deux familles +de courbes~$(C), (C_1)$ orthogonales; \Secundo.~de déterminer les trajectoires +orthogonales~$(T)$ des sphères~$(S)$. Car alors les +courbes~$(T)$ qui s'appuient sur les courbes~$(C)$, et les courbes~$(T)$ +qui s'appuient sur les courbes~$(C_1)$ engendreront les +surfaces des deux familles $(S_1)$~et~$(S_2)$ formant avec les sphères~$(S)$ +le système triple cherché. + +Tout revient donc à résoudre les deux problèmes suivants: +\Primo.~déterminer sur une sphère un système orthogonal quelconque; +\Secundo.~déterminer les trajectoires orthogonales d'une famille de sphères. + +Le premier problème se ramène immédiatement au problème +analogue dans le plan au moyen d'une projection stéréographique. + +\DPchg{Etudions}{Étudions} donc le second: + +Si nous considérons \Card{2} sphères de la famille, les trajectoires +orthogonales établissent entre elles une correspondance +point par point, et cette correspondance d'après ce qui précède, +sera telle qu'à un système orthogonal sur l'une des +sphères corresponde un système orthogonal sur l'autre. Or, +deux directions rectangulaires sont conjuguées harmoniques +par rapport aux directions isotropes, et dans une transformation +ponctuelle quelconque, le rapport anharmonique des tangentes +est un invariant, donc les directions isotropes se +transforment en directions isotropes, les génératrices rectilignes +de l'une des sphères se transforment en génératrices +%% -----File: 285.png---Folio 277------- +rectilignes de l'autre; et le rapport anharmonique de \Card{2} directions +quelconques avec les directions isotropes restant +constant, les angles se conservent; la transformation est +conforme. + +Soit alors +\[ +\sum (x - \Err{x}{x_0})^2 - R^2 = 0\Add{,} +\] +l'équation générale des sphères considérées, dépendant d'un +paramètre~$t$\DPtypo{,}{.} + +Les considérations précédentes nous conduisent à introduire +les génératrices rectilignes. On posera donc: +\begin{align*} +x - x_0 + i(y - y_0) &= \lambda \bigl[(z - z_0) + R\bigr], \\ +x - x_0 - i(y - y_0) &= \frac{-1}{\lambda} \bigl[(z - z_0) - R\bigr] + = \mu \bigl[z - z_0 + R\bigr]; +\end{align*} +d'où: +\begin{gather*}%[** TN: Re-arranged] +(z - z_0)\left(\mu + \frac{1}{\lambda}\right) + = R \left(\frac{1}{\lambda} - \mu\right),\qquad +z - z_0 = R\, \frac{1 - \lambda \mu}{1 + \lambda \mu}, \\ +\begin{aligned} +x - x_0 + i(y - y_0) &= \frac{2R \lambda}{1 + \lambda \mu}, \\ +x - x_0 - i(y - y_0) &= \frac{2R \mu}{1 + \lambda \mu}. +\end{aligned} +\end{gather*} +Les équations \DPtypo{différentièllés}{différentielles} à des trajectoires orthogonales +sont: +\[ +\frac{dx}{x - x_0} = +\frac{dy}{y - y_0} = +\frac{dz}{z - z_0} = +\frac{d(x + iy)}{x - x_0 + i(y - y_0)} = +\frac{d(x - iy)}{x - x_0 - i(y - y_0)}\Add{.} +\] +\DPtypo{en}{En} égalant le \Ord{3}{e} rapport successivement aux \Card{2} derniers, et +posant: +\[ +dA = \frac{d(x_0 + i y_0)}{2R}, \qquad +dB = \frac{d(x_0 - i y_0)}{2R}, \qquad +dC = \frac{dz_0}{2\Err{R_0}{R}}, +\] +\DPtypo{On}{on} obtient \Card{2} équations de Riccati +\[ +\frac{d\lambda}{dt} + = \lambda^2 \frac{dB}{dt} - 2\lambda \frac{dC}{dt} - \frac{dA}{dt}, +\qquad +\frac{d \mu}{dt} + = \mu^2 \frac{dA}{dt} - 2\mu \frac{dC}{dt} - \frac{dB}{dt}. +\] +Si on \DPchg{connait}{connaît} une trajectoire orthogonale, on a une solution +%% -----File: 286.png---Folio 278------- +de chaque équation, et la résolution du problème est ramenée +à \Card{2} quadratures. Pour \Card{2} trajectoires orthogonales, on n'a +plus qu'une seule quadrature, et pour \Card{3} trajectoires orthogonales, +le problème s'achève sans quadrature. On a alors, +comme intégrale générale de la première équation: +\[ +\frac{\lambda - \lambda_1}{\lambda - \lambda_2} : +\frac{\lambda_3 - \lambda_1}{\lambda_3 - \lambda_2} = +\frac{\lambda^0 - \lambda^0_1}{\lambda^0 - \lambda^0_2} : +\frac{\lambda^0_3 - \lambda^0_1}{\lambda^0_3 - \lambda^0_\DPtypo{1}{2}}, +\] +en désignant par l'indice zéro les valeurs qui correspondent +à~$t = t_0$. C'est donc une relation de la forme: +\[ +\lambda = \frac{M \lambda^0 + N}{P \lambda^0 + Q}. +\] +On aura de même, pour la seconde équation de Riccati, une +intégrale de la forme +\[ +\mu = \frac{R \mu^0 + S}{T \mu^0 + U}; +\] +et ces deux formules définissent la correspondance établie par +les trajectoires orthogonales entre la sphère qui correspond +à la valeur~$t_0$ du paramètre, et la sphère qui correspond à la +valeur~$t$ du paramètre. + +On \DPchg{reconnait}{reconnaît} alors que cette transformation change les +cercles d'une des sphères en cercles de l'autre; et par projection +stéréographique elle deviendrait une des transformations +planes du groupe des \Err{}{des transformations par }rayons vecteurs réciproques. + +\Section{Systèmes triples orthogonaux particuliers.} +{6.}{} Rappelons comme systèmes triples orthogonaux +particuliers, le système des quadriques homofocales +\[ +\frac{x^2}{a - \lambda} + +\frac{y^2}{b - \lambda} + +\frac{z^2}{c - \lambda} - 1 = 0; +\] +et le système des cyclides du quatrième degré homofocales +\[ +\frac{x^2}{a - \lambda} + +\frac{y^2}{b - \lambda} + +\frac{z^2}{c - \lambda} + +\frac{(x^2 + y^2 + z^2 - R^2)^2}{4R^2 (d - \lambda)} - +\frac{(x^2 + y^2 + z^2 + R^2)\Err{}{^2}}{4R^2 (e - \lambda)} = 0. +\] +%% -----File: 287.png---Folio 279------- +On vérifie qu'on obtient un autre système, formé de cyclides +de Dupin du troisième degré, en considérant les surfaces +lieux des points de contact des plans tangents menés, par un +point d'un des axes, à une famille de quadriques homofocales. + + +\ExSection{XII} + +\begin{Exercises} +\item[53.] On considère une famille de $\infty^{1}$~\DPchg{paraboloides}{paraboloïdes}~$P$ ayant mêmes +plans principaux. Comment faut-il choisir ces \DPchg{paraboloides}{paraboloïdes} +pour que la congruence des génératrices rectilignes d'un même +système de tous ces \DPchg{paraboloides}{paraboloïdes} soit une congruence de normales? +Montrer qu'alors les \DPchg{paraboloides}{paraboloïdes}~$P$ constituent l'une +des trois familles d'un système triple orthogonal et trouver +les deux autres familles. Montrer qu'on peut choisir les \DPchg{paraboloides}{paraboloïdes}~$P$ +plus particulièrement de manière que l'une de +ces autres familles soit encore formée de \DPchg{paraboloides}{paraboloïdes}; et +donner, dans ce cas, la signification géométrique des deux +familles de \DPchg{paraboloides}{paraboloïdes}. +\end{Exercises} +%% -----File: 288.png---Folio 280------- + + +\Chapitre{XIII}{Congruences de \DPchg{Spheres}{Sphères} et \DPchg{Systemes}{Systèmes} Cycliques.} + +\Section{Généralités.} +{1.}{} Nous appellerons \emph{congruence de sphères} une famille +de $\infty^{2}$~sphères~$(\Sigma)$ +\[ +\Tag{(1)} +\sum (x - f)^2 - r^2 = 0, +\] +$f,g,h,r$ étant fonctions de \Card{2} paramètres~$u,v$. Le lieu des centres +de ces sphères est une surface~$(S)$ +\[ +x = f(u,v), \qquad +y = g(u,v), \qquad +r = h(u,v). +\] +Cherchons l'enveloppe de ces sphères. A l'équation~\Eq{(1)} nous +devrons adjoindre les \Card{2} équations +\[ +\Tag{(2)} +\sum (x - f) \frac{\dd f}{\dd u} + r \frac{\dd r}{\dd u} = 0, \qquad +\sum (x - f) \frac{\dd f}{\dd v} + r \frac{\dd r}{\dd v} = 0. +\] +Ces équations~\Eq{(2)} représentent une droite, donc l'enveloppe +des sphères~$(\Sigma)$ touche chacune de ces sphères en \Card{2} points, +que l'on appelle \emph{points focaux}; l'enveloppe, que l'on appellera +\emph{surface focale}, se \DPtypo{decompose}{décompose} donc en \Card{2} nappes~$(F_1), (F_2)$. + +Considérons dans la congruence~\Eq{(1)} une famille de $\infty^{1}$~sphères~$(\Sigma)$; +il suffit de définir~$u, v$ en fonction d'un paramètre~$t$; +ces sphères admettent une enveloppe, qui touche chacune +d'elles le long d'un cercle \DPtypo{caracteristique}{caractéristique} ayant pour plan +\[ +\Tag{(3)} +\sum (x - f)\, df + r\, dr = 0; +\] +lorsque les expressions de~$u, v$ en fonction de~$t$ varient, tous +ces cercles caractéristiques passent par \Card{2} points fixes, qui +sont les points focaux de la sphère considérée. Les enveloppes +%% -----File: 289.png---Folio 281------- +ainsi obtenues correspondent aux surfaces réglées des congruences +de droites; on peut les appeler \emph{surfaces canaux} de +la congruence~\Eq{(1)}. + +Cherchons parmi ces surfaces canaux celles pour lesquelles +chaque sphère est tangente à la sphère infiniment +voisine. Ce sont en réalité des surfaces réglées à génératrices +isotropes. Le cercle défini par les équations \Eq{(1)},~\Eq{(3)} +doit se réduire à un couple de droites isotropes; le plan~\Eq{(3)} +est tangent à la sphère~\Eq{(1)}. Ce qui donne la condition +\[ +\Tag{(4)} +\sum df^2 - dr^2 = 0, +\] +équation différentielle du \Ord{1}{re} ordre et du \Ord{2}{e} degré; il y a +donc \Card{2} familles de sphères spéciales, le point de contact de +l'une d'elles avec la sphère infiniment voisine étant défini +par +\[ +\Tag{(5)} +\frac{x - f}{df} = \frac{y - g}{dg} = \frac{z - h}{dh} + = \frac{-r}{dr}\Add{,} +\] +$df, dg, dh$~sont les coefficients de direction du rayon du point +de contact. + +\Illustration[2.75in]{289a} +L'équation~\Eq{(4)} définit sur la surface~$(S)$ \Card{2} directions $\omega l, \omega l'$; soient $M, M'$~les +points de contact de la +sphère~$(\Sigma)$ correspondante +avec la surface focale~$(F)$; +la droite~$MM'$ est représentée +par les \Card{2} équations~\Eq{(2)}, +ou encore, puisque les +points~$M, M'$ sont sur +tous les cercles caractéristiques, par les \Card{2} équations~\Eq{(3)}. +%% -----File: 290.png---Folio 282------- +qui correspondent aux enveloppes spéciales; or\Add{,} dans ce cas +l'équation~\Eq{(3)} représente le plan tangent à la sphère en l'un +des points~$I, I'$; donc les droites~$II', MM'$ sont polaires réciproques +par rapport à la sphère~$(\Sigma)$. Si nous supposons cette +sphère réelle, et si les points~$M, M'$ sont réels, $I,I'$~sont +imaginaires; et inversement. Nous désignerons par~$D$ la droite~$MM'$, +et par~$\Delta$ la droite~$ll'$; $\omega l, \omega l'$~sont dans le plan tangent +en~$\omega$ à la surface~$(S)$; $MM'$~est perpendiculaire à ce plan tangent; +les points~$M, M'$, et par suite les droites~$\omega M, \omega M'$ sont +symétriques par rapport à ce plan tangent. + +Si nous remarquons maintenant que $\omega M$~est normale à la +\Ord{1}{ère} nappe de la surface focale, et $\omega M'$~normale à la \Ord{2}{e}, nous +voyons que l'on peut considérer~$\omega M$ comme rayon incident, $\omega M'$~comme +rayon réfléchi sur la surface~$(S)$, et par suite, nous +avons une congruence de normales qui se réfléchit sur la surface~$(S)$ +suivant une congruence de normales. La surface~$(S)$ +étant quelconque, donnons-nous une surface~$(F_1)$; nous pourrons +toujours considérer les sphères ayant leurs centres sur~$(S)$ +et tangentes à~$(F_1)$; $(F_1)$~sera l'une des nappes focales de +la congruence de sphères ainsi obtenues, et la congruence des +normales à~$(F_1)$ se réfléchira sur~$(S)$ suivant la congruence +des normales à~$(F_2)$ \Ord{2}{e} nappe focale. D'où le \emph{Théorème de +Malus: Les rayons normaux à une surface quelconque se réfléchissent +sur une surface quelconque suivant les normales à +une nouvelle surface}. + +\Illustration[2.25in]{291a} +Ce Théorème peut s'étendre aux rayons réfractés. Reprenons +%% -----File: 291.png---Folio 283------- +la construction d'Huygens. Considérons une sphère de +centre~$\omega$; soit $\omega M$~le rayon incident, +et la normale~$\omega N$ à la surface \DPtypo{réflechissante}{réfléchissante}. +Construisons une \Ord{2}{e} sphère de centre~$\omega$ et dont le rayon +soit dans le rapport~$n$ avec le rayon +de la \Ord{1}{ère}. Considérons le plan tangent~$\omega T$ +à la surface réfléchissante. +Au point~$M$ où le rayon incident rencontre la \Ord{1}{ère} sphère menons +le plan tangent à cette sphère, qui rencontre le plan~$\omega l$ +suivant la droite~$T$, et par la droite~$T$ menons le plan~$TP$ +tangent à la \Ord{2}{e} sphère. En appelant~$i\Add{,} i'$ les angles de~$\omega M$ +et~$\omega P$ avec~$\omega N$, on a immédiatement +\[ +\omega T = \frac{\omega M}{\sin i} = \frac{\omega P}{\sin i'}\Add{,} +\] +d'où +\[ +\frac{\sin i'}{\sin i} = \frac{\omega P}{\omega M} = n\Add{,} +\] +$\omega P$~est le rayon réfracté. Partons alors d'une congruence de +normales, soit $(F_1)$~la surface normale; pour construire les +rayons réfractés, il faut considérer les sphères~$(\Sigma')$ concentriques +à~$(\Sigma)$ et de rayon~$nr$; les points~$I, I'$ sont définis +par les équations~\Eq{(5)}; or\Add{,} ces équations ne changent pas lorsqu'on +remplace~$r$ par~$nr$, la droite~$II'$ est la même que précédemment, +et le Théorème s'étend à la réfraction. + +\Section{Congruences spéciales.} +{2.}{} A la congruence de sphères considérée nous avons +associé \Card{4} congruences de droites: celle des droites~$\omega M$ normales +à~$(F_1)$, celles des droites~$\omega M'$ normales à~$(F_2)$~celle des +%% -----File: 292.png---Folio 284------- +droites~$\Delta$, et celle des droites~$D$. + +Supposons~$MM'$~confondus; ils sont confondus aussi avec~$II'$; +les \Card{2} nappes focales sont confondues; alors le lieu des +points~$I\Add{,} I'$ confondus est une ligne de courbure de la surface~$(F)$ +et la sphère~$(\Sigma)$ est la sphère de courbure correspondante. +\emph{La congruence de sphères est alors constituée par des sphères +de courbure d'une même surface~$(F)$.} + +\emph{Réciproquement}. Soit une surface~$(F)$ et ses sphères de +courbure d'une même famille, la surface~$(F)$ est surface focale +double de la congruence de ces sphères de courbure. + +Toutes les congruences de droites considérées se réduisent +ici à~$2$, celle des droites~$D$ tangentes à une famille de +lignes de courbure, et celle des droites~$\Delta$~tangentes à l'autre +famille. La surface~$(S)$ est alors l'une des nappes de +la développée de la surface focale double. Aux lignes de +courbure intégrales~de~\Err{\Eq{(H)}}{\Eq{(4)}} correspond sur la surface~$(S)$ une +famille de géodésiques. On est ainsi conduit à la détermination +des géodésiques de~$(S)$ en écrivant que l'équation~\Eq{(4)} a +une racine double en~$du, dv$. Cette équation s'écrit +\begin{gather*} +E\, du^2 + 2F\, du\, dv + G\, dv^2 + - \left(\frac{\dd r}{\dd u}\, du + + \frac{\dd r}{\dd v}\, dv \right)^2 = 0\Add{,} \\ +\left[ E - \left(\frac{\dd r}{\dd u}\right)^2 \right] du^2 + + 2 \Biggl[ F - \frac{\dd r}{\dd u}\, \frac{\dd r}{\dd v} \Biggr] du\, dv + + \left[ G - \left(\frac{\dd r}{\dd v}\right)^2 \right] dv^2 = 0\Add{,} +\end{gather*} +pour qu'il y ait une racine double, il faut que +\[ +\left[ E - \left(\frac{\dd r}{\dd u}\right)^2 \right] +\left[ G - \left(\frac{\dd r}{\dd v}\right)^2 \right] + - \Biggl[ F - \frac{\dd r}{\dd u}\, \frac{\dd r}{\dd v} \Biggr]^2 = 0\Add{,} +\] +ou +\[ +H^2 - \left[ E \left(\frac{\dd r}{\dd v}\right)^2 + - 2F \frac{\dd r}{\dd u}\, \frac{\dd r}{\dd v} + + G \left(\frac{\dd r}{\dd u}\right)^2 \right] = 0\Add{,} +\] +équation aux dérivées partielles qui détermine~$r$. Ayant~$r$ on +obtient la famille de géodésiques correspondante par l'intégration +%% -----File: 293.png---Folio 285------- +d'une équation différentielle ordinaire. + +\Section{Théorème de Dupin.} +{3.}{} Supposons que la surface focale ait ses \Card{2} nappes +distinctes, et cherchons ses lignes de courbure. Soient~$\lambda\Add{,} \mu\Add{,} \nu$ +les cosinus directeurs de~$\omega M$. +\[ +\lambda = \frac{x - f}{r}, \qquad +\mu = \frac{y - g}{r}, \qquad +\nu = \frac{z - h}{r}; +\] +d'où +\[ +x = f + \lambda r, \qquad +y = g + \mu r, \qquad +z = h + \nu r. +\] +Portons ces valeurs de~$x,y,z$ dans les équations~\Eq{(2)}, elles +deviennent +\[ +\Tag{(6)} +\sum \lambda \frac{\dd f}{\dd u} + \frac{\dd r}{\dd u} = 0, \qquad +\sum \lambda \frac{\dd f}{\dd v} + \frac{\dd r}{\dd v} = 0. +\] +Soient~$i, i'$ les angles de $\omega M$~et~$\omega M'$ avec~$\omega N$, ces angles sont +supplémentaires, $\cos i' = -\cos i$; si $l,m,n$~sont les cosinus +directeurs de~$\omega N$\DPtypo{.}{,} \DPtypo{On}{on} a +\[ +\Tag{(7)} +\sum \lambda l - \cos i = 0. +\] +Calculons~$\cos i$. Dans le plan tangent à~$(S)$ soient $\omega U, \omega V$ les +tangentes aux courbes $v = \cte$, $u = \cte[]$. + +\Illustration{293a} +Les cosinus directeurs de~$\omega U$ sont +\[ +\frac{1}{\sqrt{E}}\, \frac{\dd f}{\dd u}, \qquad +\frac{1}{\sqrt{E}}\, \frac{\dd g}{\dd u}, \qquad +\frac{1}{\sqrt{E}}\, \frac{\dd h}{\dd u}; +\] +\DPtypo{Ceux}{ceux} de~$\omega V$ sont +\[ +\frac{1}{\sqrt{G}}\, \frac{\dd f}{\dd v}, \qquad +\frac{1}{\sqrt{G}}\, \frac{\dd g}{\dd v}, \qquad +\frac{1}{\sqrt{G}}\, \frac{\dd h}{\dd v}. +\] +Soit $\omega \delta$~le segment directeur de~$\omega M$, +ses projections orthogonales sur~$\omega U, \omega V$ sont: +\[ +A = -\frac{1}{\sqrt{E}}\, \frac{\dd r}{\dd u}, \qquad +B = -\frac{1}{\sqrt{G}}\, \frac{\dd r}{\dd v}, +\] +sa projection sur~$\omega W$ est~$\cos i$. Soit $\theta$~l'angle de~$\omega U$~et~$\omega V$: +\[ +\Cos \theta = \frac{F}{\sqrt{EG}}. +\] +%% -----File: 294.png---Folio 286------- +\DPtypo{soient}{Soient} $U, V$~les coordonnées par rapport à~$\omega U, \omega V$ de la projection~$\delta'$ +de~$\delta$ sur le plan tangent; elles sont données par les +équations +\[ +U \cos\theta + V = B, \qquad +U + V \cos\theta = A; +\] +d'où +\[ +U \sin^2\theta = A - B \cos\theta, \qquad +V \sin^2\theta = B - A \cos\theta; +\] +d'où encore +\begin{multline*} +\sin^{\Err{2}{4}}\theta \bigl[U^2 + V^2 + 2UV \cos\theta\bigr] \\ + = (A - B \cos\theta)^2 + (B - A \cos\theta)^2 + + 2 \cos\theta (A - B \cos\theta) (B - A \cos\theta)\DPtypo{.}{,} +\end{multline*} +ou +\[ +\sin^2\theta \bigl[U^2 + V^2 + 2UV \cos\theta\bigr] + = A^2 - 2AB \cos\theta + B^2. +\] +Donc +\[ +\omega \delta'{}^2 = U^2 + V^2 + 2UV \cos\theta + = \frac{1}{\sin^2\theta} \bigl[A^2 - 2AB \cos\theta + B^2\bigr], +\] +et +\[ +1 = \overline{\omega\delta}^2 + = \overline{\omega\delta'}^2 + \cos^2 i + = \cos^2 i + \frac{1}{\sin^2\theta} \bigl[A^2 - 2AB \cos\theta + B^2\bigr]. +\] +Or, +\[ +A^2 - 2AB \cos\theta + B^2 + = \frac{1}{H^2}\, \Phi\left( \frac{\dd r}{\dd v}, -\frac{\dd r}{\dd u}\right), +\] +d'où la formule +\[ +\sin^2 i = \frac{1}{H^2}\, + \Phi\left(\frac{\dd r}{\dd v}, -\frac{\dd r}{\dd u}\right). +\] + +Ceci posé, les lignes de courbure de la surface focale +sont définies par l'équation +\[ +\begin{vmatrix} + dx & \lambda & d\lambda +\end{vmatrix} = 0, +\] +ou +\[ +\begin{vmatrix} + df + \lambda · dr + r · d\lambda & \lambda & d\lambda +\end{vmatrix} = 0; +\] +qui se réduit à +\[ +\begin{vmatrix} + df & \lambda & d\lambda +\end{vmatrix} = 0. +\] +\DPtypo{multiplions}{Multiplions} par le déterminant +$\begin{vmatrix} + \lambda & \dfrac{\dd f}{\dd u} & \dfrac{\dd f}{\dd v} +\end{vmatrix}$ +qui n'est +pas nul, la normale n'étant pas dans le plan tangent. L'équation +devient +\[ +\left\lvert +\begin{array}{@{}lll@{}} +\sum \lambda\,df & \sum \lambda^2 & \sum \lambda\, d\lambda \\ +\sum \mfrac{\dd f}{\dd u}\, df & \sum \lambda \mfrac{\dd f}{\dd u} & \sum \mfrac{\dd f}{\dd u}\, d\lambda \\ +\sum \mfrac{\dd f}{\dd v}\, df & \sum \lambda \mfrac{\dd f}{\dd v} & \sum \mfrac{\dd f}{\dd v}\, d\lambda +\end{array} +\right\rvert += 0, +\] +%% -----File: 295.png---Folio 287------- +ou, en tenant compte de~\Eq{(6)} +\[ +\begin{vmatrix} + -dr & 1 & 0 \\ + \sum \mfrac{\dd f}{\dd u}\, df & -\mfrac{\dd r}{\dd u} & \sum \mfrac{\dd f}{\dd u}\, d\lambda \\ + \sum \mfrac{\dd f}{\dd v}\, df & -\mfrac{\dd r}{\dd v} & \sum \mfrac{\dd f}{\dd v}\, d\lambda +\end{vmatrix} += 0. +\] +Multiplions la \Ord{1}{ère} ligne par~$\dfrac{\dd r}{\dd u}$ et ajoutons à la \Ord{2}{e}, puis +par~$\dfrac{\dd r}{\dd v}$ et ajoutons à la \Ord{3}{e}. Nous obtenons +\[ +\begin{vmatrix} +\sum \mfrac{\dd f}{\dd u}\, df - \mfrac{\dd r}{\dd u}\, dr & \sum \mfrac{\dd f}{\dd u}\, d\lambda \\ +\sum \mfrac{\dd f}{\dd v}\, df - \mfrac{\dd r}{\dd v}\, dr & \sum \mfrac{\dd f}{\dd v}\, d\lambda +\end{vmatrix} +=0. +\] +\DPtypo{les}{Les} éléments de la \Ord{1}{ère} colonne sont les demi-dérivées partielles +par rapport à~$du\Add{,} dv$ de la forme quadratique +\[ +\sum df^2 - dr^2 = \Phi_1 (du, dv), +\] +qui définit le couple des droites~$\omega I, \omega I'$. Voyons si les éléments +de la \Ord{2}{e} colonne sont susceptibles d'une interprétation +analogue. Si nous \DPtypo{differentions}{différentions}~\Eq{(6)} nous obtenons +\[ +\sum \frac{\dd f}{\dd u}\, d\lambda + = -\sum \lambda\, d\left(\frac{\dd f}{\dd u}\right) + - d\left(\frac{\dd r}{\dd u}\right); +\] +or, +\[ +d\left(\frac{\dd r}{\dd u}\right) + = \Err{-}{}\frac{1}{2} · \frac{\dd(d^2r)}{\dd(du)}, +\] +et +\[ +\sum \lambda · d\left(\frac{\dd f}{\dd u}\right) + = \frac{1}{2}\, \frac{\dd(\sum \lambda · d^2f)}{\dd (du)}. +\] +Posons +\[ +\scrA = \sum \lambda\, d^2 f, \qquad +\scrB = \scrA + d^2r +\] +les différentielles secondes étant prises par rapport +à~$u$~et~$v$; et l'équation s'écrit, +\[ +\begin{vmatrix} +\mfrac{\dd \Phi_1}{\dd\, du} & \mfrac{\dd \scrB}{\dd\, du} \\ +\mfrac{\dd \Phi_1}{\dd\, dv} & \mfrac{\dd \scrB}{\dd\, dv} +\end{vmatrix} += 0: +\] +les directions principales de~$(F)$ sont conjuguées harmoniques +par rapport aux \Card{2} couples $\Phi_1 = 0$~et~$\scrB = 0$. Calculons~$\scrA$. Pour +%% -----File: 296.png---Folio 288------- +cela, éliminons $\lambda\Add{,} \mu\Add{,} \nu$ entre les équations \Eq{(6)}\Add{,}~\Eq{(7)} et +\[ +\sum \lambda\, d^2 f - \scrA = 0; +\] +nous obtenons +\[ +\begin{vmatrix} +\mfrac{\dd f}{\dd u} & \mfrac{\dd f}{\dd v} & 1 & d^2 f \\ +\dots & \dots & \dots & \dots \\ +\dots & \dots & \dots & \dots \\ +\mfrac{\dd r}{\dd u} & \mfrac{\dd r}{\dd v} & -\cos i & -\scrA +\end{vmatrix} += 0, +\] +ce qui donne en développant +\[ +\scrA H + H \cos i \Psi(du, dv) + H \chi(du, dv) = 0; +\] +et: +\[ +\scrB = d^2 r - \cos i \Psi(du, dv) - \chi(du, dv) + = -\Psi_{1}(du, dv) - \cos i \Psi(du, dv). +\] + +Les lignes de courbure de la \Ord{2}{e} nappe sont tangentes aux +directions conjuguées par rapport à $\Phi_{1} = 0$ et +\[ +\scrB_{1} = -\Psi_{1}(du, dv) + \Psi(du, dv) = 0; +\] +pour que les lignes de courbure se correspondent sur les \Card{2} nappes, +il faut et il suffit que le couple des directions +principales soit conjugué par rapport aux \Card{3} couples +\[ +\Phi_{1} = 0,\qquad +\Psi_{1} - \cos i \Psi = 0,\qquad +\Psi_{1} + \cos i \Psi = 0, +\] +ou par rapport aux couples +\[ +\Phi_{1} = 0,\qquad +\Psi_1 \Err{+ \cos i \Psi}{} = 0,\qquad +\Psi = 0. +\] +\DPchg{Etant}{Étant} conjuguées par rapport à $\Psi = 0$, elles correspondent à +des lignes conjuguées sur~$(S)$, d'où le \emph{Théorème de Dupin}: si +les lignes de courbure se correspondent sur les \Card{2} nappes focales, +les développables des normales correspondantes coupent +la surface~$(S)$ suivant le même réseau conjugué; et \emph{réciproquement}. +Donc \emph{la condition nécessaire et suffisante pour que +les développables d'une congruence de normales se réfléchissent +sur une surface suivant des développables est qu'elles +%% -----File: 297.png---Folio 289------- +déterminent sur la surface un réseau conjugué}. + +\Section{Congruence des droites \texorpdfstring{$D$}{D}.} +{4.}{} Cherchons les développables de la congruence des +droites~$D$; elles sont définies par l'équation +\[ +\begin{vmatrix} +dx & dy & dz \\ + l & m & n \\ +dl & dm & dn +\end{vmatrix} += 0; +\] +or +\[ +x = f + r \lambda,\qquad +y = g + r \mu,\qquad +z = h + r \nu, +\] +et l'équation devient +\[ +\begin{vmatrix} +df + r\, d\lambda + \lambda\, dr & l & dl +\end{vmatrix} = 0. +\] +Multiplions le \Ord{1}{er} membre par le déterminant non nul +\[ +\begin{vmatrix} +l & \mfrac{\dd f}{\dd u} & \mfrac{\dd f}{\dd v} +\end{vmatrix} +\] +nous avons: +\[ +\begin{vmatrix} +r \sum l\, d \lambda + dr \sum \lambda l & 1 & 0 \\ +\sum \mfrac{\dd f}{\dd u}\, df + r \sum \mfrac{\dd f}{\dd u}\, d\lambda + + dr \sum \lambda \mfrac{\dd f}{\dd u} & 0 & \sum \mfrac{\dd f}{\dd u}\, dl \\ +\sum \mfrac{\dd f}{\dd v}\, df + r \sum \mfrac{\dd f}{\dd v}\, d\lambda + + dr \sum \lambda \mfrac{\dd f}{\dd v} & 0 & \sum \mfrac{\dd f}{\dd v}\, dl +\end{vmatrix} += 0, +\] +ou +\[ +\begin{vmatrix} +\sum \mfrac{\dd f}{\dd u}\, df + r \sum \mfrac{\dd f}{\dd u}\, d\lambda + + dr \sum \lambda \mfrac{\dd f}{\dd u} & \sum \mfrac{\dd f}{\dd u}\, dl \\ +\sum \mfrac{\dd f}{\dd v}\, df + r \sum \mfrac{\dd f}{\dd v}\, d\lambda + + dr \sum \lambda \mfrac{\dd f}{\dd v} & \sum \mfrac{\dd f}{\dd v}\, dl +\end{vmatrix} += 0. +\] + +Les éléments de la dernière colonne sont les demi-dérivées +partielles par rapport à~$du, dv$ de la forme $\Psi(du, dv) = \Err{}{-}\sum df · dl$. +Quant aux éléments de la \Ord{1}{ère} ligne, remarquons que +\[ +\sum \frac{\dd f}{\dd u}\, d\lambda = \frac{1}{2} · \frac{\dd \scrB}{\dd u}, +\qquad +\sum \frac{\dd f}{\dd v}\, d\lambda = \frac{1}{2} · \frac{\dd \scrB}{\dd v}, +\] +où +\[ +\scrB = -\Psi_{1} - \cos i · \Psi. +\] +Enfin, si nous remarquons que les points $M, M'$ sont définis par +les relations: +\[ +\sum \lambda\, \frac{\dd f}{\dd u} + \frac{\dd r}{\dd u} = 0,\qquad +\sum \lambda\, \frac{\dd f}{\dd v} + \frac{\dd r}{\dd v} = 0, +\] +%% -----File: 298.png---Folio 290------- +nous avons: +\[ +\sum \frac{\dd f}{\dd u}\, df + + dr \sum \lambda\, \frac{\dd f}{\dd u} + = \sum \frac{\dd f}{\dd u}\, df - \frac{\dd r}{\dd u}\, dr + = \frac{1}{2}\, \frac{d\Phi_{1}}{\dd\, du},\quad +\text{et l'analogue}; +\] +de sorte que les éléments de la \Ord{1}{ère} colonne sont les demi-dérivées +partielles par rapport à~$du, dv$ de la forme $\Phi_{1} - r(\Psi_{1} + \Psi \cos i)$. + +\emph{Les développables de la congruence correspondent +sur la surface~$(S)$ aux directions conjuguées par rapport +à} +\begin{alignat*}{2} +\Psi &= 0,\qquad && \Phi_{1} - r [\Psi_{1} + \Psi \cos i] = 0, \\ +\intertext{ou par rapport à} +\Psi &= 0, && \Phi_{1} - r \Psi_{1} = 0; +\end{alignat*} +le résultat ne change pas si on change $i$~en~$\pi - i$, et les +développables de la congruence des droites~$D$ correspondent +sur la surface~$(S)$ à un réseau conjugué. + +Considérons les plans focaux; un plan focal est parallèle +à la direction $l, m, n$, et à la direction $dl, dm, dn$. Mais +\[ +l^2 + m^2 + n^2 = 1, +\] +d'où +\[ +l\, dl + m\, dm + n\, dn = 0; +\] +$dl, dm, dn$ correspondent à la direction du plan focal parallèle +au plan tangent à la surface. Or\Add{,} les \Card{2} directions correspondant +aux \Card{2} plans focaux, donc aux \Card{2} développables, étant +conjuguées, on a +\[ +\sum dl · \delta f = 0; +\] +le plan focal est perpendiculaire à la direction $\delta f, \delta g, \delta h$ qui +correspond à l'autre plan focal. \emph{Chaque plan focal est perpendiculaire +à la direction de la surface~$(S)$ correspondant à +l'une des développables.} +%% -----File: 299.png---Folio 291------- + +\Section{Congruence des droites \texorpdfstring{$\Delta$}{Delta}.} +{5.}{} La droite~$\Delta$ est l'intersection des plans tangents à la sphère en~$M$ et à la surface~$(S)$ en~$\omega$ +\[ +\sum \lambda\,(X - f) - r = 0, \qquad \sum l\,(X - f) = 0. +\] +Cherchons les développables. Exprimons que la droite précédente +rencontre la droite infiniment voisine. Cela donne +\[ +\sum d\lambda\, (X - f) - \sum \lambda\, df - dr = 0, \qquad +\sum dl\, (X - f) - \sum l\, df = 0; +\] +conditions qui se simplifient en remarquant que $\sum l\, df = 0$, et +$\sum \lambda\, df + dr = 0$. Il reste: +\[ +\Tag{(1)} +\sum d\lambda (X - f) = 0, \qquad +\sum dl (X - f) = 0. +\] +Exprimons que les équations obtenues sont compatibles, nous +avons l'équation qui définit les développables +\[ +\Tag{(2)} +\begin{vmatrix} + l & d\lambda & dl +\end{vmatrix} = 0. +\] +Multiplions encore par le déterminant non nul +\[ +\begin{vmatrix} + l & \dfrac{\dd f}{\dd u} & \dfrac{\dd f}{\dd v} +\end{vmatrix}, +\] +nous obtenons +\[ +\begin{vmatrix} +1 & \sum l\, d\lambda & 0 \\ +0 & \sum d\lambda\, \mfrac{\dd f}{\dd u} & \sum dl\, \mfrac{\dd f}{\dd u} \\ +0 & \sum d\lambda\, \mfrac{\dd f}{\dd v} & \sum dl\, \mfrac{\dd f}{\dd v} +\end{vmatrix} += 0, +\] +ou +\[ +\begin{vmatrix} +\sum \mfrac{\dd f}{\dd u}\, d\lambda & \sum \mfrac{\dd f}{\dd u}\, dl \\ +\sum \mfrac{\dd f}{\dd v}\, d\lambda & \sum \mfrac{\dd f}{\dd v}\, dl +\end{vmatrix} += 0; +\] +les éléments de la \Ord{1}{ère} colonne sont les demi-dérivées partielles +par rapport à~$du, dv$ de la forme~$\scrB = -\Psi_1 - \Psi \cos i$. +Ceux de la \Ord{2}{e} colonne sont les demi-dérivées partielles de~$\Psi$. +\emph{Les développables de la congruence des droites~$\Delta$ correspondent +sur la surface~$(S)$ au réseau conjugué par rapport aux +couples} +\[ +\Psi = 0, \qquad \Psi_1 = 0. +\] +%% -----File: 300.png---Folio 292------- + +Quant aux points focaux, ils sont définis par les équations +de~$\Delta$ et les équations~\Eq{(1)}, compatibles en vertu de la +relation~\Eq{(2)}. On en déduit que les directions joignant~$\omega$ aux +points focaux sont définies par les relations +\[ +\sum l · \delta f = 0,\qquad +\sum dl · \delta f = 0,\qquad +\sum d\lambda · \delta f = 0; +\] +la \Ord{1}{ère} exprime que ces droites sont dans le plan tangent à~$(S)$, +la \Ord{2}{e} que ce sont les tangentes conjuguées de~$(S)$ qui +correspondent aux développables. + +\Illustration{300a} +Supposons que les \Card{2} congruences précédentes se correspondent +par développables. Les \Card{2} réseaux conjugués déterminés +sur la surface~$(S)$ sont confondus; il faut alors que les \Card{3} couples +$\Psi = 0$, $\Psi_{1} = 0$, $\Phi_{1} - r \Psi_{1} = 0$, ou $\Psi = 0$, $\Psi_{1} = 0$, $\Phi_{1} = 0$ appartiennent +à une même involution, et alors les lignes de +courbure se correspondent sur les \Card{2} nappes de la surface~$(F)$. +Nous avons alors sur la surface~$(S)$ un réseau conjugué qui +correspond aux développables des \Card{4} congruences +$\omega M, \omega M', D, \Delta$. Les points +focaux~$F\Add{,} F'$ de~$\Delta$ sont sur les tangentes +aux \Card{2} courbes conjuguées qui passent +par~$\omega$, les droites $MF, MF'$ sont les +tangentes aux lignes de courbure en~$M$ +de la surface~$(F)$, la droite~$D$ est perpendiculaire au plan~$F \omega F'$, +et ses plans focaux sont perpendiculaires à $\omega F$~et~$\omega F'$. +Les développables de la congruence des droites~$D$ coupent les +\Card{2} nappes de l'enveloppe~$(F)$ suivant leurs lignes de courbure. +%% -----File: 301.png---Folio 293------- + +\Section{Le système triple de \DPtypo{Ribeaucour}{Ribaucour}.} +{6.}{} Plaçons-nous dans ce dernier cas; soit $(\gamma)$ une des +courbes conjuguées de la surface~$(S)$; quand $\omega$~décrit~$(\gamma)$, le +point~$M$ décrit une ligne de courbure~$(K)$ de la surface~$(F)$ +qui sera tangente à~$MF$, et la droite~$\Delta$ enveloppe une courbe~$(c)$ +lieu de~$F'$. Considérons la sphère~$(\sigma)$ de centre~$F'$ et passant +par~$M$; cette sphère a pour enveloppe une surface canal~$(E)$; +la sphère~$(\sigma)$ ayant son rayon~$MF'$ perpendiculaire à~$MF$ +est constamment tangente à la courbe~$(K)$, donc le point~$M$ est +un point du cercle caractéristique~$(H)$; le plan de ce cercle +est perpendiculaire à la droite~$\Delta$ tangente à~$(c)$, son centre~$H$ +sera le pied de la perpendiculaire abaissée de~$M$ sur~$\Delta$; ce +cercle sera donc orthogonal à la sphère~$(\Sigma)$ au point~$M$ et au +point~$M'$ symétrique par rapport au plan~$F \omega F'$; et la surface~$(E)$ +est engendrée par le cercle orthogonal à la sphère~$(\Sigma)$ +aux points $M, M'$; ce cercle tangent en~$M$ à~$\omega M$ reste orthogonal +à la ligne de courbure~$(K)$, or\Add{,} il est ligne de courbure sur la surface~$(E)$, +donc $(K)$~est aussi ligne de courbure sur la surface~$(E)$. +Si nous faisons varier~$(K)$ nous obtenons une famille +de surfaces~$(E)$ qui seront toutes orthogonales à $(F_{1}),(F_{2})$, et +qui les couperont suivant leurs lignes de courbure. Si maintenant +nous prenons sur~$(F)$ le \Ord{2}{e} système de lignes de courbure, +nous devrons considérer les sphères de centres~$F$ et passant +par~$M$; le cercle caractéristique sera encore le cercle~$(H)$; +de plus, $FM$~et~$F'M$ étant perpendiculaires, les sphères $(\sigma)\Add{,} (\sigma')$ %[** TN: Erratum corrected] +sont orthogonales, donc aussi leurs enveloppes $(E)\Add{,} (E')$. Nous +avons donc \Card{2} familles de surfaces canaux qui se coupent +orthogonalement suivant des lignes de courbure, les cercles~$(H)$; +%% -----File: 302.png---Folio 294------- +donc elles appartiennent à un système triple orthogonal; +autrement dit les cercles~$(H)$ sont orthogonaux à une famille +de surfaces, à laquelle appartiennent $(F), (F')$; et ils établissent +une correspondance entre les points~$M, M'$, donc entre +les lignes de courbure de ces surfaces. Donc \emph{lorsque les cercles~$(H)$ +d'une congruence sont orthogonaux aux \Card{2} nappes focales~$(F_1)\Add{,} (F_2)$ +d'une congruence de sphères, et s'ils établissent +une correspondance entre les lignes de courbure de ces \Card{2} nappes, +ils sont orthogonaux à une infinité de surfaces sur lesquelles +les lignes de courbure se correspondent; ces surfaces +appartiennent à un système triple orthogonal dont les deux +autres familles sont constituées par les surfaces canaux engendrées +par ceux des cercles~$(H)$ qui s'appuient sur une des +lignes de courbure de~$(F_1)$~ou~$(F_2)$}. De telles congruences de +cercles s'appellent \emph{systèmes cycliques}. + +\Section{Congruences de cercles et systèmes cycliques.} +{7.}{} Considérons une famille de $\infty^{2}$~cercles, et cherchons +s'il existe des surfaces normales à tous ces cercles. +Soit~$K$ l'un d'eux, $C(x_0, y_0, z_0)$~son centre, $\rho$~son rayon, +$x_0, y_0, z_0, \rho$~étant fonctions de \Card{2} paramètres~$u, v$. +Pour définir le plan +de ce cercle nous définirons \Card{2} directions +rectangulaires $CA(a, b, c)$~et~$CB(a', b', c')$ passant par le centre du +cercle, et nous fixerons la position +%% -----File: 303.png---Folio 295------- +d'un point~$M$ sur le cercle par l'angle~$(CA, CM) = t$. Les coordonnées +de~$M$ par rapport au système~$CAB$ sont $\rho \cos t$,~$\rho \sin t$, et +ses coordonnées~$x, y, z$ sont +\begin{alignat*}{4}%[** TN: Rebroken] +x &= x_0 &&+ \rho (a \cos t &&+ a' \sin t) &&= x_0 + \rho \alpha', \\ +y &= y_0 &&+ \rho (b \cos t &&+ b' \sin t) &&= y_0 + \rho \beta', \\ +z &= z_0 &&+ \rho (c \cos t &&+ c' \sin t) &&= z_0 + \rho \gamma'. +\end{alignat*} + +\Illustration[1.5in]{302a} +\noindent Cherchons à déterminer~$t$ de façon que la surface lieu du +point correspondant admette pour normale la tangente au cercle +au point~$M$, dont nous désignerons par $\alpha, \beta, \gamma$ les cosinus directeurs. +Nous obtenons la condition +\[ +\sum \alpha\, dx = 0, +\] +équation aux différentielles totales des surfaces cherchées. +Développons cette équation; $\alpha, \beta, \gamma$ sont les projections du segment +directeur de la direction~$CM'$ correspondant à~$t + \frac{\pi}{2}$ +\[ +\alpha = -a \sin t + a' \cos t, \qquad +\beta = -b \sin t + b' \cos t, \qquad +\gamma = -c \sin t + c' \cos t\DPtypo{;}{.} +\] +Maintenant +\begin{alignat*}{5}%[** TN: Rebroken, filled in last two equations] +dx &= dx_0 &&+ \alpha' · d\rho &&+ \rho \alpha · dt &&+ \rho (\cos t · da &&+ \sin t · da'), \\ +dy &= dy_0 &&+ \beta' · d\rho &&+ \rho \beta · dt &&+ \rho (\cos t · db &&+ \sin t · db'), \\ +dz &= dz_0 &&+ \gamma' · d\rho &&+ \rho \gamma · dt &&+ \rho (\cos t · dc &&+ \sin t · dc'); +\end{alignat*} +d'où +\begin{gather*} +\sum \alpha\, dx + = \sum \alpha · dx_0 + \rho · dt + + \rho \left[\cos t\sum \alpha\, da + \sin t\sum \alpha\, da'\right] = 0, \\ +% +\sin t \sum a\, dx + \cos t\sum a'\, dx_0 + \rho\,dt + + \rho \left[\cos^2 t \sum a'\, da - \sin^2 t\sum a\, da'\right] = 0\Add{.} +\end{gather*} +Mais +\[ +\sum aa'= 0, +\] +d'où en différentiant +\[ +\sum a\, da' + \sum a'\, da = 0; +\] +et l'équation devient +\begin{gather*} +-\sin t\sum a\, dx_0 + \cos t\sum a'\, dx_0 + + \rho\, dt - \rho\sum a\, da' = 0, \\ +\Tag{(3)} +dt = \sum a\, da' + \frac{1}{\rho}\sum a\, dx_0 \sin t + - \frac{1}{\rho} \sum a'\, dx_0 \cos t. +\end{gather*} +%% -----File: 304.png---Folio 296------- +Posons +\begin{gather*} +\Tag{(4)} +\tg \frac{t}{2} = w, \\ +t = 2 \arctg w, +\end{gather*} +Nous obtenons +\[ +\frac{2\, dw}{1 + w^2} + = \sum a\, da' + \frac{1}{\rho} \sum a\, dx_0 · \dfrac{2w}{1 + w^2} + - \frac{1}{\rho} \sum a'\, dx_0 \frac{1 - w^2}{1 + w^2}, +\] +ou +\[ +\Tag{(5)} +2\, dw = (1 + w^2) \sum a\, da' + \frac{2w}{\rho} \sum a\, dx_0 + + \frac{w^2 - 1}{\rho} \sum a'\, dx_0, +\] +équation qui jouit de propriétés analogues à celles de l'équation +de Riccati. Elle peut se mettre sous la forme +\[ +dw = A\, du + A'\, dv + w (B\, du + B'\, dv) + w^2 (C\, du + C'\, dv), +\] +qui se décompose en \Card{2} équations aux dérivées partielles: +\[ +\Tag{(6)} +\frac{\dd w}{\dd u} = A + B w + C w^2, \qquad +\frac{\dd w}{\dd v} = A' + B' w + C' w^2; +\] +d'où la condition nécessaire et suffisante d'intégrabilité +\begin{multline*}%[** TN: Added break] +\frac{\dd A}{\dd v} + w \frac{\dd B}{\dd v} + w^2 \frac{\dd C}{\dd v} + + (B + 2Cw) (A' + B' w + C' w^2) \\ + - \left[ \frac{\dd A'}{\dd u} + + w\frac{\dd B'}{\dd u} + w^2\frac{\dd \Err{c}{C}'}{\dd u}\right] + - (B' + 2C' w) (A + Bw + Cw^2) = 0. +\end{multline*} + +Toute intégrale du système~\Eq{(6)} satisfait à cette condition, +qui est de la forme +\[ +L + Mw + Nw^2 = 0. +\] +Si cette condition n'est pas identiquement satisfaite, il ne +peut y avoir d'autres solutions que celles de l'équation +précédente, qui en admet \Card{2}. Si l'on veut qu'il y en ait une +infinité, cette condition doit être identiquement satisfaite, +et comme elle est du \Ord{2}{e} degré, il suffit qu'elle soit satisfaite +par \Card{3} fonctions. Les conditions pour qu'il en soit +ainsi sont +\begin{alignat*}{5}%[** TN: Rebroken] +L &= \frac{\dd A}{\dd v} &&- \frac{\dd A'}{\dd u} &&+ &&BA' - AB' &&= 0, \\ +M &= \frac{\dd B}{\dd v} &&- \frac{\dd B'}{\dd u} &&+ 2(&&CA' - AC') &&= 0\DPtypo{.}{,} \\ +N &= \frac{\dd C}{\dd v} &&- \frac{\dd C'}{\dd u} &&+ &&CB'- BC' &&= 0\Add{.} +\end{alignat*} +%% -----File: 305.png---Folio 297------- +\emph{Si les cercles sont normaux à \Card{3} surfaces, ils sont normaux à +une infinité de surfaces.} + +Il est facile de construire des cercles normaux à \Card{2} surfaces, +car il existe des sphères tangentes aux \Card{2} surfaces, et +les cercles orthogonaux à ces sphères aux points de contact +sont normaux aux \Card{2} surfaces. Si les lignes de courbure se +correspondent sur les \Card{2} surfaces, on a un système cyclique, +système de cercles normaux à $\infty^{1}$~surfaces. Réciproquement, +supposons \Card{2} surfaces normales aux cercles, les conditions +d'intégrabilité se réduiront à une seule; d'autre part, si on +a une enveloppe de sphères, pour exprimer que les lignes de +courbure se correspondent sur les \Card{2} nappes, on obtient aussi +une seule condition. Cherchons à montrer que ces conditions +sont identiques. + +Supposons donc qu'il existe une surface normale à tous +ces cercles, supposons qu'elle corresponde à $t = 0$, ou $w = 0$, +l'équation~\Eq{(5)} admet la solution $w = 0$, d'où la condition +\[ +\sum a\, da' - \frac{1}{\rho} \sum a'\, dx_0 = 0; +\] +et l'équation devient +\[ +\Tag{(7)} +dw = w^2 \sum a\, da' + \frac{w}{\rho} \sum a\, dx_0. +\] +Soit $M_0(x,y,z)$ le point correspondant à $t = 0$ +\begin{alignat*}{3}%[** TN: Filled in last two columns] +x &= x_0 + \rho a, & y &= y_0 + \rho b, & z &= z_0 + \rho c, \\ +x_0 &= x - \rho a, & y_0 &= y - \rho b, & z_0 &= z - \rho c, \\ +dx_0 &= dx - \rho\, da - a\, d\rho,\quad & +dy_0 &= dy - \rho\, db - b\, d\rho,\quad & +dz_0 &= dz - \rho\, dc - c\, d\rho; +\end{alignat*} +d'où +\[ +\sum a\, dx_0 = \sum a\, dx - d\rho. +\] +Si maintenant nous considérons la normale~$(l,m,n)$ en~$M_0$ à~$(\Sigma)$, +c'est la tangente au cercle, et \Eq{(7)}~devient +%% -----File: 306.png---Folio 298------- +\[ +dw = w^2 \sum a\, dl + \frac{w}{\rho} \left(\sum a\, dx - d\rho\right), +\] +ou +\[ +\frac{dw}{w} + \frac{d\rho}{\rho} = w \sum a\, dl + \frac{1}{\rho} \sum a\, dx. +\] + +\Illustration[2.25in]{306a} +Nous introduisons ainsi la quantité +\[ +\Tag{(8)} +\rho w = r, +\] +et nous obtenons +\begin{align*} +\frac{dr}{r} &= \frac{r}{\rho} \sum a\, dl + \frac{1}{\rho} \sum a\, dx, \\ +dr &= \frac{r^2}{\rho} \sum a\, dl + \frac{r}{\rho} \sum a\, dx. +\end{align*} +Or +\[ +r = \rho \tg \frac{t}{2}, +\] +ce qui montre que $r$~est le rayon de la sphère~$(\Sigma)$ tangente +aux surfaces lieux de $M$~et~$M_0$; son centre est le point~$\omega$ intersection +des tangentes au cercle en $M$~et~$M_0$. + +Supposons maintenant qu'il existe une \Ord{2}{e} surface normale +aux cercles. Posons +\begin{gather*} +\Tag{(9)} +\frac{1}{r} = S, \\ +dr = -r^2 · dS; +\end{gather*} +et l'équation devient +\begin{gather*} +-r^2 · dS = \frac{r^2}{\rho} \sum a\, dl + \frac{r}{\rho} \sum a\, dx, \\ +\Tag{(10)} +dS + \frac{S}{\rho} \sum a\, dx + \frac{1}{\rho} \sum a\, dl = 0. +\end{gather*} +Soit $S_1$\DPtypo{,}{} la solution connue +\[ +dS_1 + \frac{S_1}{\rho} \sum a\, dx + \frac{1}{\rho} \sum a\, dl = 0, +\] +d'où en retranchant +\begin{gather*} +d(S - S_1) + \frac{S - S_1}{\rho} \sum a\, dx = 0, \\ +\Tag{(11)} +d\log (S - S_1) = -\frac{1}{\rho} \sum a\, dx. +\end{gather*} +Pour que l'équation ait d'autres intégrales, il faut que $\dfrac{1}{\rho} \sum a\, dx$ +%% -----File: 307.png---Folio 299------- +soit différentielle exacte. Or\Add{,} nous avons +\[ +\frac{\dd S_1}{\dd u} + \frac{S_1}{\rho} \sum a \frac{\dd x}{\dd u} + + \frac{1}{\rho} \sum a \frac{\dd l}{\dd u} = 0, \quad +\frac{\dd S_1}{\dd v} + \frac{S_1}{\rho} \sum a \frac{\dd x}{\dd v} + + \frac{1}{\rho} \sum a \frac{\dd l}{\dd v} = 0. +\] +Supposons que les lignes coordonnées soient lignes de courbure. +Les formules d'Olinde Rodrigues donnent +\begin{alignat*}{3}%[** TN: Filled in missing columns in two systems below] +\frac{\dd l}{\dd u} &= -\frac{1}{R}\, \frac{\dd x}{\dd u}, \qquad & +\frac{\dd m}{\dd u} &= -\frac{1}{R}\, \frac{\dd y}{\dd u}, \qquad & +\frac{\dd n}{\dd u} &= -\frac{1}{R}\, \frac{\dd z}{\dd u}, \\ +% +\frac{\dd l}{\dd v} &= -\frac{1}{R'}\, \frac{\dd x}{\dd v}, \qquad & +\frac{\dd m}{\dd v} &= -\frac{1}{R'}\, \frac{\dd y}{\dd v}, \qquad & +\frac{\dd n}{\dd v} &= -\frac{1}{R'}\, \frac{\dd z}{\dd v}. +\end{alignat*} +Posons +\[ +- \frac{1}{R} = T, \qquad - \frac{1}{R'} = T', +\] +\begin{alignat*}{3} +\frac{\dd l}{\dd u} &= T \frac{\dd x}{\dd u}, \qquad & +\frac{\dd m}{\dd u} &= T \frac{\dd y}{\dd u}, \qquad & +\frac{\dd n}{\dd u} &= T \frac{\dd z}{\dd u}, \\ +% +\frac{\dd l}{\dd v} &= T' \frac{\dd x}{\dd v}, \qquad & +\frac{\dd m}{\dd v} &= T' \frac{\dd y}{\dd v}, \qquad & +\frac{\dd n}{\dd v} &= T' \frac{\dd z}{\dd v}; +\end{alignat*} +Alors +\[ +\sum a \frac{\dd l}{\dd u} = T \sum a \frac{\dd x}{\dd u}, \qquad +\sum a \frac{\dd l}{\dd v} = T'\sum a \frac{\dd x}{\dd v}, +\] +et les conditions pour que $S_1$\DPtypo{,}{} soit intégrale deviennent +\[ +\frac{\dd S_1}{\dd u} + (S_1 + T) \frac{\displaystyle\sum a \dfrac{\dd x}{\dd u}}{\rho} = 0, +\qquad +\frac{\dd S_1}{\dd v} + (S_1 + T') \frac{\displaystyle\sum a \dfrac{\dd x}{\dd v}}{\rho} = 0; +\] +d'où +\[ +-\frac{1}{\rho} \sum a\, dx + = \frac{1}{S_1 + T}\, \frac{\dd S_1}{\dd u}\, du + + \frac{1}{S_1 + T'}\, \frac{\dd S_1}{\dd v}\, dv\Add{.} +\] +Exprimons que le \Ord{2}{e} membre est une différentielle exacte, +nous aurons l'équation aux dérivées partielles des systèmes +cycliques +\[ +\Tag{(12)} +\Omega + = \frac{\dd}{\dd v} \left(\frac{1}{S_1 + T}\, \frac{\dd S_1}{\dd u}\right) + - \frac{\dd}{\dd u} \left(\frac{1}{S_1 + T'}\, \frac{\dd S_1}{\dd v}\right) + = 0. +\] +Montrons que \emph{cette condition exprime que les lignes de courbure +se correspondent sur les surfaces $M_0, M_1$}. D'après le +Théorème de Dupin, pour qu'il en soit ainsi il faut et il +suffit que ces lignes de courbure correspondent à un réseau +conjugué sur la surface lieu de~$\omega$. Soient $X,Y,Z$ les coordonnées +de~$\omega$: +\[ +X = x + \frac{1}{S} l, \qquad +Y = y + \frac{1}{S} m, \qquad +Z = z + \frac{1}{S} n; +\] +pour que sur cette surface les courbes $u = \cte$, $v = \cte$ forment +%% -----File: 308.png---Folio 300------- +un réseau conjugué, il faut que +\[ +\Tag{(13)} +\begin{vmatrix} + \mfrac{\dd^2 X}{\dd u\, \dd v} & + \mfrac{\dd X}{\dd u} & + \mfrac{\dd X}{\dd v} +\end{vmatrix} = 0. +\] +Mais +\begin{align*} +\frac{\dd X}{\dd u} + &= \frac{\dd x}{\dd u} + \frac{T}{S}\, \frac{\dd x}{\dd u} + + l\frac{\dd \left(\dfrac{1}{s}\right)}{\dd u} + = \left(1 + \frac{T}{S}\right) \frac{\dd x}{\dd u} + + l \frac{\dd \left(\dfrac{1}{s}\right)}{\dd u}, + &&\text{\dots, \qquad \dots,} \\ +\frac{\dd X}{\dd v} + &= \left(1 + \frac{T'}{S}\right) \frac{\dd x}{\dd v} + + l\frac{\dd \left(\dfrac{1}{s}\right)}{\dd v}, + &&\text{\dots, \qquad \dots;} +\end{align*} +relations qu'on peut encore écrire +\begin{alignat*}{3} +\frac{\dd X}{\dd u} &= \frac{S + T}{S^2} + &&\left[S \frac{\dd x}{\dd u} - \frac{1}{S + T}\, \frac{\dd s}{\dd u} l\right], + &&\text{\dots, \qquad \dots,} \\ +\frac{\dd X}{\dd v} &= \frac{S + T'}{S^2} + &&\left[S \frac{\dd x}{\dd v} - \frac{1}{S + T'}\, \frac{\dd s}{\dd v} l\right], + \qquad&&\text{\dots, \qquad \dots,} +\end{alignat*} +dans le déterminant~\Eq{(13)} nous pouvons remplacer $\dfrac{\dd^2 X}{\dd u\, \dd v}$ par +\[%[** TN: Not displayed in original] +\frac{\dd}{\dd v} \left(M \frac{\dd X}{\dd u}\right) + - \frac{\dd}{\dd u} \left(N \frac{\dd X}{\dd v}\right) +\] +à condition que $M - N \neq 0$; nous prendrons +$M = \dfrac{S^2}{S + T}$ et $N = \dfrac{S^2}{S + T'}$; nous avons alors à vérifier la relation +\[ +\begin{vmatrix} +\mfrac{\dd S}{\dd v} · \mfrac{\dd x}{\dd u} + - \mfrac{\dd S}{\dd u}\, \mfrac{\dd x}{\dd v} + - \mfrac{T'}{S + T}\, \mfrac{\dd S}{\dd u} · \mfrac{\dd x}{\dd v} + + \mfrac{T}{S + T'}\, \mfrac{\dd S}{\dd v} · \mfrac{\dd X}{\dd u} + - \Omega l \\ +S \mfrac{\dd x}{\dd u} - \mfrac{1}{S + T}\, \mfrac{\dd S}{\dd u}\, l \\ +S \mfrac{\dd X}{\dd v} - \mfrac{1}{S + T'}\, \mfrac{\dd S}{\dd v}\, l +\end{vmatrix} = 0\DPtypo{;}{.} +\] +Multiplions la \Ord{2}{e} ligne par $-\dfrac{S + T + T'}{S(S + T')}\, \dfrac{\dd S}{\dd v}$, la \Ord{3}{e} par +$\dfrac{S + T + T'}{S(S + T)}\, \dfrac{\dd S}{\dd u}$ et ajoutons à la \DPtypo{1ère}{\Ord{1}{ère}}, nous obtenons +\[ +\Omega S^2 \begin{vmatrix} + 1 & \mfrac{\dd x}{\dd u} & \mfrac{\dd x}{\dd v} +\end{vmatrix} = 0, +\] +or\Add{,} le déterminant n'est pas nul, $S$~non plus, donc $\Omega = 0$ et +réciproquement. Les conditions sont identiques. + +\Section{Transformation de contact de \DPtypo{Ribeaucour}{Ribaucour}.} +{}{Remarque.} Considérons une sphère fixe de centre~$\omega$, et +les cercles~$(K)$ orthogonaux à cette sphère; considérons une +surface~$(S)$, un de ses points~$M$, et l'élément de contact en ce +point; il y a un cercle~$(K)$ et un seul passant par~$M$ et normal +%% -----File: 309.png---Folio 301------- +en ce point à la surface~$(S)$. Donc à la surface~$(S)$ correspond +une congruence de cercles qui lui sont orthogonaux; de +plus ces cercles étant orthogonaux à la sphère~$(\omega)$ en \Card{2} points +sont orthogonaux à \Card{3} surfaces\Add{;} ils constituent donc un système +cyclique. Soient $P\Add{,} P'$ les points où le cercle~$(K)$ rencontre la +sphère; déterminons sur ce cercle le point~$M'$ tel que $\Ratio{M}{M'}{P}{P'} = \cte[]$. +Le lieu du point~$M'$ est une surface normale à~$(K)$, puisque +l'équation~\Eq{(5)} a mêmes propriétés que l'équation de Riccati\Add{.} +A l'élément de contact de la surface~$(S)$ au point~$M$ correspond +ainsi un élément de contact d'une autre surface; les lignes +de courbure se correspondent sur les \Card{2} surfaces, et nous avons +ainsi un groupe de transformations de contact conservant les +lignes de courbure. + +Ces résultats subsistent si on prend les cercles~$(K)$ +normaux à un plan fixe. + +\Section{Surfaces de Weingarten.} +{8.}{} Nous avons considéré des congruences de sphères telles +que les lignes de courbure se correspondent sur les \Card{2} nappes +focales. Aux sphères, la transformation de S.~Lie fait +correspondre des droites, et aux lignes de courbure correspondent +les lignes asymptotiques. Nous aurons donc à considérer +des congruences de droites telles que les asymptotiques +se correspondent sur les \Card{2} nappes focales. Nous nous +bornerons au cas où la congruence est une congruence de normales, +et le problème revient ainsi à chercher les surfaces +telles que les asymptotiques se correspondent sur les \Card{2} nappes +de la développée. + +Soit donc une surface~$(\Sigma)$ sur laquelle nous prendrons +les lignes de courbure pour lignes coordonnées; soient $l,m,n$ +%% -----File: 310.png---Folio 302------- +les cosinus directeurs de la normale, $R, R'$ les rayons de +courbure principaux. Les \Card{2} nappes de la développée ont pour +équations +\begin{alignat*}{3} +\Tag{(S)} +X &= x + Rl, & Y &= y + Rm, & Z &= z + Rn; \\ +\Tag{(S')} +X' &= x + R'l, \qquad & Y' &= y + R'm, \qquad & Z' &= z + R'n. +\end{alignat*} +Cherchons les asymptotiques de~$(S), (S')$; et exprimons que les +équations différentielles en $u, v$ sont les mêmes. Ici les lignes +coordonnées formant un réseau orthogonal et conjugué, on +a +\begin{gather*} +ds^{2} = E\, du^{2} + G\, dv^{2}, \\ +\sum l\, d^{2}x = L\, du^{2} + N\, dv^{2}; +\end{gather*} +et +\[ +\frac{1}{R} = \frac{L}{E}, \qquad +\frac{1}{R'} = \frac{N}{G}, +\] +d'où +\[ +\sum l\, d^{2} x = \frac{E}{R}\, du^{2} + \frac{G}{R'}\, dv^{2}. +\] +Les formules d'O.~Rodrigues donnent +\begin{alignat*}{3}%[** TN: Filled in last two columns] +\frac{\dd x}{\dd u} &= -R\, \frac{\dd l}{\dd u}, & +\frac{\dd y}{\dd u} &= -R\, \frac{\dd m}{\dd u}, & +\frac{\dd z}{\dd u} &= -R\, \frac{\dd n}{\dd u}, \\ +\intertext{d'où} +\frac{\dd l}{\dd u} &= -\frac{1}{R}\, \frac{\dd x}{\dd u}, & +\frac{\dd m}{\dd u} &= -\frac{1}{R}\, \frac{\dd y}{\dd u}, & +\frac{\dd n}{\dd u} &= -\frac{1}{R}\, \frac{\dd z}{\dd u}, \\ +\intertext{et} +\frac{\dd l}{\dd v} &= -\frac{1}{R'}\, \frac{\dd x}{\dd v}, \qquad & +\frac{\dd m}{\dd v} &= -\frac{1}{R'}\, \frac{\dd y}{\dd v}, \qquad & +\frac{\dd n}{\dd v} &= -\frac{1}{R'}\, \frac{\dd z}{\dd v}; +\end{alignat*} +et par conséquent +\begin{align*}%[** TN: Rebroken] +dX &= dx + R\, dl + l\, dR \\ + &= \frac{\dd x}{\dd u}\, du + \frac{\dd x}{\dd v}\, dv + - R \left(\frac{1}{R} · \frac{\dd x}{\dd u} du + + \frac{1}{\DPtypo{R}{R'}}\, \frac{\dd x}{\dd v} dv\right) + l\, dR \\ + &= \left(1 - \frac{R}{R'}\right) \frac{\dd x}{\dd v} dv + l\, dR, +\end{align*} +formules qui montrent que la normale à~$(S)$ a pour coefficients +de direction $\dfrac{\dd x}{\dd u}, \dfrac{\dd y}{\dd u}, \dfrac{\dd z}{\dd u}$. + +On a donc sur cette surface~$(S)$ +\[ +ds^{2} = \left(1 - \frac{R}{R'}\right)^{2} G\, dv^{2} + dR^{2}, +\] +ce qui met en évidence sur la surface~$(S)$ une famille de géodésiques +$v = \cte$, et leurs trajectoires orthogonales $R = \cte[]$. +%% -----File: 311.png---Folio 303------- +L'équation \DPtypo{differentielle}{différentielle} des asymptotiques est +\begin{align*} +&\sum dl · dX = 0, \\ +\intertext{ou} +&\sum d\left(\frac{\dd x}{\dd u}\right) · dX = 0. +\end{align*} +Développons cette équation. Le coefficient de $\left(1 - \dfrac{R}{R'}\right) · dv$ est +\[ +\sum \frac{\dd x }{ \dd v}\, d\left(\frac{\dd x}{\dd u}\right) + = du \sum \frac{\dd x}{\dd v} · \frac{\dd^{2} x}{\dd u^{2}} + + dv \sum \frac{\dd x}{\dd v} · \frac{\dd^{2} x}{\dd u\, \dd v}; +\] +\DPtypo{Or}{or} on a +\[ +\sum \frac{\dd x}{\dd u} · \frac{\dd x}{\dd v} = 0; +\] +d'où +\[ +\sum \frac{\dd x}{\dd v} · \frac{\dd^{2} x}{\dd u^{2}} + = -\sum \frac{\dd x}{\dd u} · \frac{\dd^{2} x}{\dd u\, \dd v} + = -\frac{1}{2} · \frac{\dd E}{\dd v}, +\] +et +\[ +\sum \frac{\dd x}{\dd v} · \frac{\dd^{2} x}{\dd u\, \dd v} + = \frac{1}{2} · \frac{\dd G}{\dd u}. +\] +Le coefficient de~$dR$ est +\[ +\sum l\, d\left(\frac{\dd x}{\dd u}\right) + = \sum l\, \frac{\dd^{2} x}{\dd u^{2}} · du + + \sum l\, \frac{\dd^{2} x}{\dd u\, \dd v}\, dv + = \frac{E}{R}\, du, +\] +d'où l'équation aux asymptotiques +\[ +\frac{1}{2}\left(1 - \frac{R}{R'}\right) + \left[- \frac{\dd E}{\dd v}\, du\, dv + + \frac{\dd G}{\dd u}\, dv^{2}\right] + + \frac{E}{R}\, dR\, du = 0. +\] +Les courbes $u = \cte$, $v = \cte$ correspondent à des courbes conjuguées +sur la surface~$(S)$, donc le coefficient de~$du\, dv$ dans +l'équation précédente est nul: +\[ +\Tag{(1)} +-\frac{1}{2} \left(1 - \frac{R}{R'}\right) \frac{\dd E}{\dd v} + + \frac{E}{R}\, \frac{\dd R}{\dd v} = 0; +\] +et l'équation devient +\[ +\frac{1}{2} \left(1 - \frac{R}{R'}\right) \frac{\dd G}{\dd u}\, dv^{2} + + \frac{E}{R}\, \frac{\dd R}{\dd u}\, du^{2} = 0. +\] +De même sur la surface~$(S')$ on obtiendra la condition +\[ +\Tag{(2)} +-\frac{1}{2} \left(1 - \frac{R'}{R}\right) · \frac{\dd G}{\dd u} + + \frac{G}{R'}\, \frac{\dd R'}{\dd u} = 0, +\] +de sorte que l'équation aux asymptotiques de~$(S)$ peut s'écrire +\[ +-\frac{G}{R'{}^2}\, \frac{\dd R'}{\dd u}\, dv^{2} + + \frac{E}{R^{2}}\, \frac{\dd R}{\dd u}\, du^{2} = 0, +\] +ou +\[ +G\, \frac{\dd\left(\dfrac{1}{R'}\right)}{\dd u}\, dv^{2} + - E\, \frac{\dd\left(\dfrac{1}{R}\right)}{\dd u}\, du^{2} = 0; +\] +%% -----File: 312.png---Folio 304------- +et de même pour~$(S')$ +\[ +E\, \frac{\dd \left(\dfrac{1}{R}\right)}{\dd v}\, du^{2} + - G\, \frac{\dd \left(\dfrac{1}{R'}\right)}{\dd v}\, dv^{2} = 0. +\] +Pour que ces équations soient identiques, il faut et il suffit +que l'on ait +\[ +\begin{vmatrix} +\mfrac{\dd \left(\dfrac{1}{R}\right)}{\dd u} & +\mfrac{\dd \left(\dfrac{1}{R'}\right)}{\dd u} \\ +\mfrac{\dd \left(\dfrac{1}{R}\right)}{\dd v} & +\mfrac{\dd \left(\dfrac{1}{R'}\right)}{\dd v} +\end{vmatrix} += 0, +\] +c'est-à-dire que $\dfrac{1}{R}$~soit fonction de~$\dfrac{1}{R'}$. \emph{Les rayons de courbure +sont fonctions l'un de l'autre \(\DPtypo{Ribeaucour}{Ribaucour}\).} Ces surfaces +s'appellent \emph{surfaces de Weingarten, ou surfaces~$W$}. Les surfaces +minima en sont un cas particulier $(R + R' = 0)$. + +Supposons que nous partions d'une surface~$(W)$: $R'$~est +fonction de~$R$, et la condition~\Eq{(2)} montre que +\[ +\frac{\dd \log G}{\dd u} = \Psi(R)\, \frac{\dd R}{\dd u}, +\] +d'où +\begin{gather*} +\log G = \chi(R) + \theta(v), \\ +G = e^{\chi(R)}\, e^{\theta(v)} = F(R)\, K(v); +\end{gather*} +et sur la développée +\[ +ds^{2} = \Theta^{2}(R)\, K(v)\, dv^{2} + dR^{2}. +\] +Posons +\[ +\sqrt{K(v)}\, dv = dV, +\] +nous avons +\[ +ds^{2} = dR^{2} + \Theta^{2}(R)\, dV^{2}, +\] +forme caractéristique de l'élément d'arc des surfaces de révolution +rapportées aux méridiens et aux parallèles. Si nous +rapportons la méridienne à l'arc, ses équations sont +\begin{alignat*}{3} +x &= \Theta (s), & y &= 0, & z &= \Theta_{1}(s);\\ +\intertext{et celles de la surface de révolution sont} +x &= \Theta(s)\cos V, \qquad & y &= \Theta(s)\sin V, \qquad &z &= \Theta_{1}(s). +\end{alignat*} +%% -----File: 313.png---Folio 305------- +\emph{On voit ainsi que les développées de toute surface~$W$ sont applicables +sur des surfaces de révolution, les méridiens correspondant +à une famille de géodésiques et les parallèles à +leurs trajectoires orthogonales.} + +\Paragraph{Application.} Supposons la surface~$W$ à courbure totale +constante. En changeant d'unité on peut toujours écrire +\begin{align*} +&RR' = - 1, \\ +&R' = - \frac{1}{R}; +\end{align*} +la condition~\Eq{(2)} s'écrit +\begin{gather*} +\left(1 + \frac{1}{R^{2}}\right) \frac{\dd G}{\dd u} + = -\frac{2G}{R}\, \frac{\dd R}{\dd u}, \\ +\frac{\dd \log G}{\dd u} + = -\frac{2R}{R^{2} + 1}\, \frac{\dd R}{\dd u} + = -\frac{\dd \log (R^{2} + 1)}{\dd u}, \\ +G = \frac{1}{R^{2} + 1}\, K(v), \\ +dS^{2} = (R^{2} + 1) · dV^{2} + dR^{2}. +\end{gather*} +Posons +\[ +\Theta(R) = \sqrt{R^{2} + 1}\Add{,} +\] +la méridienne de la surface de révolution est donc telle que l'on ait +\[ +x = \sqrt{s^{2} + 1}, +\] +d'où +\[ +s = \sqrt{x^{2} - 1}. +\] +Cherchons~$z$. +\begin{align*} +dx^{2} + dz^{2} &= ds^{2} = dx^{2} · \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}, \\ +dz^{2} &= \frac{dx^{2}}{x^{2} - 1}, \\ +dz &= \frac{dx}{\sqrt{x^{2} - 1}}, +\end{align*} +\vspace*{-\belowdisplayskip}% +\vspace*{-\abovedisplayskip}% +\begin{gather*} +z = \DPtypo{L}{\log}(x + \sqrt{x^{2} - 1}),\vphantom{\bigg|} \\ +x + \sqrt{x^{2} - 1} = e^{z}, +\end{gather*} +d'où +\[ +x - \sqrt{x^{2} - 1} = e^{-z}; +\] +d'où +\[ +x = \frac{1}{2}\, (e^{z} + e^{-z})\Add{,} +\] +%% -----File: 314.png---Folio 306------- +\emph{les \Card{2} nappes de la développée d'une surface à courbure totale +constante sont applicables sur l'alysséide}. c\Add{.}à\Add{.}d.\ sur la surface +engendrée par une chaînette qui tourne autour de sa base. + + +\ExSection{XIII} + +\begin{Exercises} +\item[54.] Soit $S$ une surface quelconque et $\Pi$~un plan quelconque. On +considère toutes les sphères~$U$ ayant leurs centres sur~$S$ et +coupant le plan~$\Pi$ sous un angle constant~$\phi$ tel que l'on ait +$\cos\phi = \dfrac{1}{\DPtypo{K}{k}}$. Soit $S'$ la surface déduite de~$S$ en réduisant les +%[** TN: Fraction has imaginary value, but also appears in typeset edition] +ordonnées de~$S$ perpendiculaires à~$\Pi$ dans le rapport $\dfrac{\sqrt{1-k^2}}{1}$. + +Les sphères~$U$ enveloppent une surface à deux nappes. Montrer +que leurs lignes de courbure correspondent point par point à +celles de~$S'$. Examiner le cas où $S$~est du second degré. + +\item[55.] De chaque point~$M$ d'une surface~$S$ comme centre, on décrit un +cercle~$K$ situé dans le plan tangent à~$S$, et dont le rayon soit +égal à une constante donnée. + +%[** Regularized formatting of parts] +\Primo. Déterminer les familles de +$\infty^{1}$~cercles~$K$ qui engendrent une surface sur laquelle ces cercles +soient lignes de courbure. Lieux des centres des sphères +dont une telle surface est l'enveloppe. + +\Secundo. Trouver la condition +nécessaire et suffisante pour que les cercles~$K$ forment +%% -----File: 328.png---Folio 320------- +un système cyclique. Cette condition étant supposée +remplie, soit~$S_{1}$, l'une des surfaces normales aux cercles~$K$; +montrer que les lignes de courbure de~$S_{1}$, correspondent à celles +de~$S$, quand on fait correspondre à chaque point~$M$ de~$S$ +le point~$M_{1}$ du cercle~$K$ correspondant où $S_{1}$~est normal à~$K$. + +\Tertio. Montrer que $S_{1}$~a une courbure totale constante, et que +la congruence de droites qui a~$S,S_{1}$ pour surfaces focales est +une congruence de normales. + +\Quarto. Soit $C$~l'un des centres de +courbure principaux de~$S$ en~$M$, et $C_{1}$~le centre de courbure +principal de~$S_{1}$ en~$M_{1}$, qui correspond à~$C$. \DPchg{Etudier}{Étudier} la congruence +des droites~$CC_{1}$. + +\item[56.] \DPchg{Etant}{Étant} donnée une surface~$S$, on désigne par~$C$ l'une quelconque +des lignes de courbure de l'une des familles, par~$C'$ l'une +quelconque des lignes de courbure de l'autre famille, de +sorte qu'en un point~$M$ de~$S$ se croisent une courbe~$C$ et une +courbe~$C'$. Soient $\omega, \omega'$ les centres de courbure principaux +correspondant à ces deux courbes; et soient $G,G'$ les centres +de courbure géodésique de ces deux courbes. + +% [** TN: Regularized formatting of parts] +\Primo. Que peut-on +dire des congruences définies respectivement par les quatre +droites $MG, MG', G\omega, G'\omega'$? + +\Secundo. Soit $(\gamma)$~le cercle osculateur +à~$C$ en~$M$. Démontrer que $(\gamma)$~engendre une surface canal +quand $M$~décrit une courbe~$C'$. Trouver les sphères dont cette +surface canal est l'enveloppe. + +\Tertio. Montrer que si $S$~fait +partie de l'une des familles d'un système triple orthogonal, +les cercles osculateurs aux trajectoires orthogonales des +surfaces de cette famille, construits aux divers points de~$S$ +forment un système cyclique. + +\item[57.] Soit $O$ un point fixe, et $S$~une surface quelconque; en un point +quelconque~$M$ de~$S$ on mène le plan tangent~$P$ et de~$O$ on abaisse +la perpendiculaire sur~$P$; soit $H$ non pied. + +%[** TN: Regularized formatting of parts] +\Primo. Trouver les +courbes de~$S$ qui, en chacun de leurs points~$M$, admettent $MH$~pour +normale. + +\Secundo. Soit $HI$ la médiane du triangle~$OHM$; la +congruence des droites~$HI$ est une congruence de normales. +Trouver les surfaces normales à toutes ces droites. Montrer +que leurs lignes de courbure correspondent à un réseau de +courbes conjuguées décrites par~$M$ sur~$S$. + +\Tertio. Soit $K$ le +point où le plan perpendiculaire à~$MO$ rencontre~$MH$; et soit~$(\gamma)$ +le cercle de centre~$K$, passant en~$O$, et \DPtypo{situe}{situé} dans le +plan~$MOK$. Les cercles~$(\gamma)$ forment un système cyclique. + +\item[58.] De chaque point~$M$ du \DPchg{paraboloide}{paraboloïde} +\[ +\Tag{(P)} +xy - az = 0, +\] +comme centre, on décrit une sphère~$\Sigma$ tangente au plan~$\DPtypo{xoy}{xOy}$. +Soit $A$ le point de contact de~$\Sigma$ avec ce plan et $B$~le second +point de contact de~$\Sigma$ avec son enveloppe. + +%[** TN: Regularized formatting of parts] +\Primo. Quelles courbes +doit décrire~$M$ sur~$(P)$ pour que $AS$~engendre une développable? +Ces courbes forment sur~$P$ un réseau conjugué, et leurs +tangentes en chaque point~$M$ sont perpendiculaires aux plans +focaux de la congruence engendrée par~$AS$. + +\Secundo. Déterminer +les lignes de courbure de l'enveloppe de~$\Sigma$; les normales +menées à cette enveloppe le long de chaque ligne de courbure +découpent sur~$(P)$ un réseau \DPtypo{conjugue}{conjugué}. + +\Tertio. On considère le +cercle~$C$ normal à~$\Sigma$ en $A$~et~$B$. Montrer qu'il y a une infinité +de surfaces normales à tous les cercles~$C$, et les déterminer. + +\Quarto. Montrer que ces surfaces forment l'une des familles d'un +système triple orthogonal, et achever de déterminer ce +système. +\end{Exercises} + +%[** TN: Exercises moved to the end of the respective chapters] +%% -----File: 315.png---Folio 307------- +% Chapitre II: #8 -- #11 +%% -----File: 316.png---Folio 308------- +% Chapitre III: #12 -- #14 +%% -----File: 317.png---Folio 309------- +% #14 -- #17 +%% -----File: 318.png---Folio 310------- +% Chapitre IV: #18 -- #20; Chapitre V: #21 -- #26 +%% -----File: 319.png---Folio 311------- +% #26 -- #28 +%% -----File: 320.png---Folio 312------- +% #28; Chapitre VI: #29 -- #31 +%% -----File: 321.png---Folio 313------- +% #31; Chapitre VII: #32 -- #36 +%% -----File: 322.png---Folio 314------- +% #36 -- #39 +%% -----File: 323.png---Folio 315------- +% #39 -- Chapitre VIII: #40 -- #41 +%% -----File: 324.png---Folio 316------- +% #41 -- #42 +%% -----File: 325.png---Folio 317------- +% Chapitre IX: #43 -- #44; Chapitre X: #45 -- #47 +%% -----File: 326.png---Folio 318------- +% #47 -- #49; Chapitre XI: #50 -- #52; Chapitre XII: #53 +%% -----File: 327.png---Folio 319------- +% #53; Chapitre XIII: #54 -- #55 +%% -----File: 329.png---Folio 321------- +% #55 -- #56 +%% -----File: 330.png---Folio 322------- +% #57 -- #58 +%% -----File: 331.png---Folio 323------- +% #58 + +\iffalse%%[** TN: Raw DP formatter code for errata] +\Section{Errata\Add{.}} + +\DPnote{[** d^o means dito, used +\newcommand{\dito}{\qquad d$^\text{o}$\qquad}]} + +\begin{tabular}{ccll} +Page & Ligne && Lire \\ +[x]7 & 6 & Au lieu de $- \dfrac{1}{6R^2} ds$ & $- \dfrac{1}{6R^2} ds^3$ \\ +[x]7 & Figure & [Illustration] & [Illustration] \\ +[x]7 & 15 & Au lieu de $T\ 0$ & $T < 0$ \\ +[x]11 & avant dernière & \dito le lieu des sphères & le lieu des centres des sphères. \\ +[x]16 & 7 & \dito $- \dfrac{1}{6R} ds^3$ & $- \dfrac{1}{6R^2} ds^3$ \\ +[x]17 & 8 & \dito secteur & vecteur \\ +[x]19 & 15 & \dito $\sum \dfrac{\dd x}{\dd u} \dfrac{\dd x}{\dd v^2}$ & $\sum \dfrac{\dd x}{\dd u} \dfrac{\dd x}{\dd v}$ \\ +[x]20 & 8 en remontant & \dito $(S') (S')$ & $(S) (S')$ \\ +[x]21 & 3 & \dito $x = F$ & $x = F_1$ \\ +[x] & & \phantom{\dito } $y = G_2$ & $y = G_1$ \\ +[x] & & \phantom{\dito } $z = H$ & $z = H_1$ \\ +[x]21 & 7 en remontant & \dito $\dfrac{E_1}{E} = \dfrac{F_1}{F} = \dfrac{G_1}{G}$ & $\dfrac{E}{E_1} = \dfrac{F}{F_1} = \dfrac{G}{G_1}$ \\ +[x]22 & 13, 14 & \dito $dd(uv),d\beta(uv)$ & $d\alpha(u,v),d\beta(u,v)$ \\ +[x]29 & 9 en remontant & \dito $\dfrac{a\sin\theta}{R}$ & $- \dfrac{a\sin\theta}{R}$ \\ +[x]30 & 9 & \dito $\sum a, \dfrac{d^2x}{ds}$ & $\sum a, \dfrac{d^{2}x}{ds^2}$ \\ +[x]31 & 3 en remontant & \dito $\Omega^2 (du\,d^{2}v - \dots$ & $- H^2 (du\,d^{2}v$ \\ +[x]33 & Figure & la lettre M & Manque au sommet de l'angle $\theta$. \\ +[x]35 & dernière & Au lieu de $1$ & $l$ \\ +[x]37 & 15 & \dito $r\,d^{2}x$ & $r\,dx^2$ \\ +[x]37 & 10 en remontant & \dito elipse & ellipse \\ +\end{tabular} +%% -----File: 332.png---Folio 324------- +\begin{tabular}{ccll} +\emph{Page} & \emph{Ligne} && \emph{Lire} \\ +[x]41 & dernière & Au lieu de $= - c$ & $= - c^2$ \\ +[x]49 & 3 en remontant & \dito $h()$ & $h (u)$ \\ +[x]53 & 4 en remontant & \dito pour coordonnées & pour lignes coordonnées \\ +[x]57 & 3 en remontant & \dito $E\, du + F'\, dv$ & E'\,du + F'\,dv \\ +[x]74 & 3 & \dito $A' < 0$ & $A A'< 0$ \\ +[x]75 & 5 en remontant & \dito $\dots dv\,dv - \dots dv\,du \dots$ & $d\gamma \dots d\gamma$ \\ +[x]87 & 3 en remontant & \dito $MG$ fait avec $MG$ & $MG_1$ fait \dots \\ +[x]94 & 1 & \dito par $u,v,w,\dots a,s,$ & par $u',v',w',\dots$ a~$s$, \\ +[x]114 & 8 en remontant & \dito $z = (v)\phi$ & $z = \phi(v)$ \\ +[x]142 & 4 en remontant & \dito $\dfrac{1}{du} \dfrac{2du}{1+w^2}$ & $\dfrac{1}{du} \dfrac{2dw}{1+w^2}$ \\ +[x]152 & 10 & \multicolumn{2}{l}{Mettre le chiffre (3) à l'équation précédente} \\ +[x]156 & 12 en remontant & Au lieu de sur $(\phi)$ & sur $(\phi')$ \\ +[x]163 & 10 en remontant & \dito $\dfrac{-r\,dr}{dr}$ & $\dfrac{-r\,dr}{dr^2}$ \\ +[x]165 & Figure & $(T)$ & $(\Gamma)$ \\ +[x]169 & 2 en remontant & \dito $+\zeta\left(-\dfrac{a}{R} - \dfrac{a''}{T} -\right)ds$ & $+\eta \left(-\dfrac{a}{R} - \dfrac{a''}{T}\right)ds$ \\ +[x]175 & 10 en remontant & \dito résolues en $x,y$ & résolues en $x_1,y_1$ \\ +[x]176 & 2 & \dito avec $0,x$ & $0x_1$ \\ +[x]188 & 2 & \dito $\rho = \cte$ & $\rho = 0$ \\ +[x]189 & & \dito $M M$ & $M M_1$ \\ +[x??]189 & 8 en remontant & \dito $x = x + \rho x \text{etc}\dots$ & $= x + \rho x,$ \\ +[x]191 & 12 & \dito $x$ & $x_1$ +\end{tabular} +%% -----File: 333.png---Folio 325------- +\begin{tabular}{ccll} +\emph{Page} & \emph{Ligne} && \emph{Lire} \\ +[x]191 & 10 en remontant & Au lieu de $\dfrac{\dd Q}{\dd \lambda}$ & $\dfrac{\dd Q}{\dd \lambda} \dfrac{\dd x}{\dd \mu$ \\ +[x]191 & 7 en remontant & \dito $\dfrac{\dd x}{\dd \mu$ & $\dfrac{\dd x'}{\dd \mu}$ \\ +[x]191 & 7 en remontant & \dito car $\dfrac{\dd^2 x}{\dd \lambda\, \dd \mu}$ etc\dots & car $\dfrac{\dd\DPtypo{'}{^2} x}{\dd \lambda\, \dd \mu} = \dfrac{\dd x_1}{\dd \mu}$ et $\dfrac{\dd x}{\dd \lambda} = x_1$ \\ +[x]193 & 4 & \dito $(S)$ & (5) \\ +[x]19[** TN: sic, presumed 193] & 12 & \dito $x_1$ & $x$ \\ +[x]199 & 6 en remontant & \dito $(S_1)$ & $(S'_1)$ \\ +[x]199 & 2 en remontant & \dito l'homothétique de~$M$ & l'homothétique de~$M_1$ \\ +[x]200 & 3 & \dito au rayon~$OM$ & au rayon~$OM_1$ \\ +[x]200 & 7 & \dito $OM$ & $OM_1$ \\ +[x]200 & 8 & \dito $(S)$ (au commencement de la ligne) & $(S_1)$ \\ +[x]204 & 14 & \dito $= 0 \lambda$ & $= 0$ \\ +[x]207 & 6 en remontant & \dito $f(x,y,z,U}{W,V}{W) = 0$ & $f(x,y,z,-U}{W,-V}{W) = 0$ \\ +[x?]212 & 9 & \dito les développables de l'une des familles & ces développables \\ +[x]212 & 11 & \dito indépendant de la développable & indépendant de la congruence \\ +[x]222 & 13 & \dito $p = cY-bz$ \dots & ajouter: ou encore $p = yz-zY$ et l'équation écrite à la ligne + 18 sera $\chi (X-x, Y-y, Z-z, yZ-zY, zX-xZ, xY-yX) = 0$ \\ +[x]223 & 11 en remontant & \dito $p = yz' - zy$ & $p = yz' - zy'$ \\ +[x] & & $q = zx' - xz$ & $q = zx'- xz'$ \\ +[x]224 & 9 & \dito $p_{ik} = \begin{vmatrix}x & x_k \\ y & y_k \end{matrix}$ & $p_{ik} = \begin{vmatrix}x_i & x_k \\ y_i & y_k \end{matrix}$ +\end{tabular} +%% -----File: 334.png---Folio 326------- +\begin{tabular}{ccll} +\emph{Page} & \emph{Ligne} && \emph{Lire} \\ +[x]232 & 8 & Au lieu de $+ c R$ & $+ C R$ \\ +[x]243 & 4 & \dito focal & polaire \\ +[x]270 & 1 & \dito $\dfrac{\dd \Psi}{dy} + \dfrac{\dd \Psi}{dz} = 0$ & $\dfrac{\dd \Psi}{\dd y} + q \dfrac{\dd \Psi}{\dd z} = 0$ \\ +[x]271 & 5 en remontant & \dito intégralité & intégrabilité \\ +[x]277 & 6 & \dito $\sum (x-x)^2$ & $\sum (x-x_0)^2$ \\ +[x]277 & 4 en remontant & \dito $dC = \dfrac{dz_0}{2R_0}$ & $dC = \dfrac{dz_0}{2R}$ \\ +[x]278 & 6 en remontant & \dito du groupe des rayons & du groupe des transformations par rayons\dots \\ +[x]278 & 1 en remontant & \dito $-\dfrac{(x^2+y^2+z^2+R^2)}{4R^2 (e-\lambda)}$ & $-\dfrac{(x^2+y^2+z^2+R^2)^2}{4R^2 (e-\lambda)}$ \\ +[x]284 & 11 en remontant & \dito $(H)$ & (4) \\ +[x]285 & Figure & [Illustration] & [Illustration] \\ +[x]286 & 7 & \dito $\sin^2 \theta [$ & $\sin^4 \theta [$ \\ +[x]287 & 8 en remontant & \dito $= -\dfrac{1}{2}$. & $= \dfrac{1}{2}$. \\ +[x]288 & 9 en remontant & \dito $\Psi_1 + \cos i \Psi = 0$ & $\Psi_1 = 0$ \\ +[x]289 & 6 en remontant & \dito $\sum df · dl$. & $-\sum df · dl$. \\ +[x]293 & 4 en remontant & \dito $('\sigma) (\sigma)$ & $(\sigma) (\sigma')$ \\ +[x]296 & 13 & \dito $w^2 \dfrac{\dd c'}{\dd u}$ & $w^2 \dfrac{\dd C' }{\dd u}]$ +\end{tabular} +\fi + + +%%%% LICENSE %%%% +\backmatter +\pagenumbering{Alph} +\phantomsection +\pdfbookmark[0]{License.}{License} +\fancyhead[C]{LICENSE} +\SetPageNumbers + +\begin{PGtext} +End of Project Gutenberg's Leçons de Géométrie Supérieure, by Ernest Vessiot + +*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK LEÇONS DE GÉOMÉTRIE SUPÉRIEURE *** + +***** This file should be named 35052-pdf.pdf or 35052-pdf.zip ***** +This and all associated files of various formats will be found in: + http://www.gutenberg.org/3/5/0/5/35052/ + +Produced by Andrew D. Hwang, Laura Wisewell, Pierre Lacaze +and the Online Distributed Proofreading Team at +http://www.pgdp.net (The original copy of this book was +generously made available for scanning by the Department +of Mathematics at the University of Glasgow.) + + +Updated editions will replace the previous one--the old editions +will be renamed. + +Creating the works from public domain print editions means that no +one owns a United States copyright in these works, so the Foundation +(and you!) can copy and distribute it in the United States without +permission and without paying copyright royalties. Special rules, +set forth in the General Terms of Use part of this license, apply to +copying and distributing Project Gutenberg-tm electronic works to +protect the PROJECT GUTENBERG-tm concept and trademark. Project +Gutenberg is a registered trademark, and may not be used if you +charge for the eBooks, unless you receive specific permission. If you +do not charge anything for copies of this eBook, complying with the +rules is very easy. You may use this eBook for nearly any purpose +such as creation of derivative works, reports, performances and +research. They may be modified and printed and given away--you may do +practically ANYTHING with public domain eBooks. Redistribution is +subject to the trademark license, especially commercial +redistribution. + + + +*** START: FULL LICENSE *** + +THE FULL PROJECT GUTENBERG LICENSE +PLEASE READ THIS BEFORE YOU DISTRIBUTE OR USE THIS WORK + +To protect the Project Gutenberg-tm mission of promoting the free +distribution of electronic works, by using or distributing this work +(or any other work associated in any way with the phrase "Project +Gutenberg"), you agree to comply with all the terms of the Full Project +Gutenberg-tm License (available with this file or online at +http://gutenberg.org/license). + + +Section 1. General Terms of Use and Redistributing Project Gutenberg-tm +electronic works + +1.A. By reading or using any part of this Project Gutenberg-tm +electronic work, you indicate that you have read, understand, agree to +and accept all the terms of this license and intellectual property +(trademark/copyright) agreement. If you do not agree to abide by all +the terms of this agreement, you must cease using and return or destroy +all copies of Project Gutenberg-tm electronic works in your possession. +If you paid a fee for obtaining a copy of or access to a Project +Gutenberg-tm electronic work and you do not agree to be bound by the +terms of this agreement, you may obtain a refund from the person or +entity to whom you paid the fee as set forth in paragraph 1.E.8. + +1.B. "Project Gutenberg" is a registered trademark. It may only be +used on or associated in any way with an electronic work by people who +agree to be bound by the terms of this agreement. There are a few +things that you can do with most Project Gutenberg-tm electronic works +even without complying with the full terms of this agreement. See +paragraph 1.C below. There are a lot of things you can do with Project +Gutenberg-tm electronic works if you follow the terms of this agreement +and help preserve free future access to Project Gutenberg-tm electronic +works. See paragraph 1.E below. + +1.C. The Project Gutenberg Literary Archive Foundation ("the Foundation" +or PGLAF), owns a compilation copyright in the collection of Project +Gutenberg-tm electronic works. Nearly all the individual works in the +collection are in the public domain in the United States. If an +individual work is in the public domain in the United States and you are +located in the United States, we do not claim a right to prevent you from +copying, distributing, performing, displaying or creating derivative +works based on the work as long as all references to Project Gutenberg +are removed. Of course, we hope that you will support the Project +Gutenberg-tm mission of promoting free access to electronic works by +freely sharing Project Gutenberg-tm works in compliance with the terms of +this agreement for keeping the Project Gutenberg-tm name associated with +the work. You can easily comply with the terms of this agreement by +keeping this work in the same format with its attached full Project +Gutenberg-tm License when you share it without charge with others. + +1.D. The copyright laws of the place where you are located also govern +what you can do with this work. Copyright laws in most countries are in +a constant state of change. If you are outside the United States, check +the laws of your country in addition to the terms of this agreement +before downloading, copying, displaying, performing, distributing or +creating derivative works based on this work or any other Project +Gutenberg-tm work. The Foundation makes no representations concerning +the copyright status of any work in any country outside the United +States. + +1.E. Unless you have removed all references to Project Gutenberg: + +1.E.1. The following sentence, with active links to, or other immediate +access to, the full Project Gutenberg-tm License must appear prominently +whenever any copy of a Project Gutenberg-tm work (any work on which the +phrase "Project Gutenberg" appears, or with which the phrase "Project +Gutenberg" is associated) is accessed, displayed, performed, viewed, +copied or distributed: + +This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with +almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or +re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included +with this eBook or online at www.gutenberg.org + +1.E.2. If an individual Project Gutenberg-tm electronic work is derived +from the public domain (does not contain a notice indicating that it is +posted with permission of the copyright holder), the work can be copied +and distributed to anyone in the United States without paying any fees +or charges. If you are redistributing or providing access to a work +with the phrase "Project Gutenberg" associated with or appearing on the +work, you must comply either with the requirements of paragraphs 1.E.1 +through 1.E.7 or obtain permission for the use of the work and the +Project Gutenberg-tm trademark as set forth in paragraphs 1.E.8 or +1.E.9. + +1.E.3. If an individual Project Gutenberg-tm electronic work is posted +with the permission of the copyright holder, your use and distribution +must comply with both paragraphs 1.E.1 through 1.E.7 and any additional +terms imposed by the copyright holder. Additional terms will be linked +to the Project Gutenberg-tm License for all works posted with the +permission of the copyright holder found at the beginning of this work. + +1.E.4. Do not unlink or detach or remove the full Project Gutenberg-tm +License terms from this work, or any files containing a part of this +work or any other work associated with Project Gutenberg-tm. + +1.E.5. Do not copy, display, perform, distribute or redistribute this +electronic work, or any part of this electronic work, without +prominently displaying the sentence set forth in paragraph 1.E.1 with +active links or immediate access to the full terms of the Project +Gutenberg-tm License. + +1.E.6. You may convert to and distribute this work in any binary, +compressed, marked up, nonproprietary or proprietary form, including any +word processing or hypertext form. However, if you provide access to or +distribute copies of a Project Gutenberg-tm work in a format other than +"Plain Vanilla ASCII" or other format used in the official version +posted on the official Project Gutenberg-tm web site (www.gutenberg.org), +you must, at no additional cost, fee or expense to the user, provide a +copy, a means of exporting a copy, or a means of obtaining a copy upon +request, of the work in its original "Plain Vanilla ASCII" or other +form. Any alternate format must include the full Project Gutenberg-tm +License as specified in paragraph 1.E.1. + +1.E.7. Do not charge a fee for access to, viewing, displaying, +performing, copying or distributing any Project Gutenberg-tm works +unless you comply with paragraph 1.E.8 or 1.E.9. + +1.E.8. You may charge a reasonable fee for copies of or providing +access to or distributing Project Gutenberg-tm electronic works provided +that + +- You pay a royalty fee of 20% of the gross profits you derive from + the use of Project Gutenberg-tm works calculated using the method + you already use to calculate your applicable taxes. The fee is + owed to the owner of the Project Gutenberg-tm trademark, but he + has agreed to donate royalties under this paragraph to the + Project Gutenberg Literary Archive Foundation. Royalty payments + must be paid within 60 days following each date on which you + prepare (or are legally required to prepare) your periodic tax + returns. Royalty payments should be clearly marked as such and + sent to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation at the + address specified in Section 4, "Information about donations to + the Project Gutenberg Literary Archive Foundation." + +- You provide a full refund of any money paid by a user who notifies + you in writing (or by e-mail) within 30 days of receipt that s/he + does not agree to the terms of the full Project Gutenberg-tm + License. You must require such a user to return or + destroy all copies of the works possessed in a physical medium + and discontinue all use of and all access to other copies of + Project Gutenberg-tm works. + +- You provide, in accordance with paragraph 1.F.3, a full refund of any + money paid for a work or a replacement copy, if a defect in the + electronic work is discovered and reported to you within 90 days + of receipt of the work. + +- You comply with all other terms of this agreement for free + distribution of Project Gutenberg-tm works. + +1.E.9. If you wish to charge a fee or distribute a Project Gutenberg-tm +electronic work or group of works on different terms than are set +forth in this agreement, you must obtain permission in writing from +both the Project Gutenberg Literary Archive Foundation and Michael +Hart, the owner of the Project Gutenberg-tm trademark. Contact the +Foundation as set forth in Section 3 below. + +1.F. + +1.F.1. Project Gutenberg volunteers and employees expend considerable +effort to identify, do copyright research on, transcribe and proofread +public domain works in creating the Project Gutenberg-tm +collection. Despite these efforts, Project Gutenberg-tm electronic +works, and the medium on which they may be stored, may contain +"Defects," such as, but not limited to, incomplete, inaccurate or +corrupt data, transcription errors, a copyright or other intellectual +property infringement, a defective or damaged disk or other medium, a +computer virus, or computer codes that damage or cannot be read by +your equipment. + +1.F.2. 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Except for the limited right of replacement or refund set forth +in paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS' WITH NO OTHER +WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO +WARRANTIES OF MERCHANTIBILITY OR FITNESS FOR ANY PURPOSE. + +1.F.5. Some states do not allow disclaimers of certain implied +warranties or the exclusion or limitation of certain types of damages. +If any disclaimer or limitation set forth in this agreement violates the +law of the state applicable to this agreement, the agreement shall be +interpreted to make the maximum disclaimer or limitation permitted by +the applicable state law. The invalidity or unenforceability of any +provision of this agreement shall not void the remaining provisions. + +1.F.6. INDEMNITY - You agree to indemnify and hold the Foundation, the +trademark owner, any agent or employee of the Foundation, anyone +providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works in accordance +with this agreement, and any volunteers associated with the production, +promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electronic works, +harmless from all liability, costs and expenses, including legal fees, +that arise directly or indirectly from any of the following which you do +or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm +work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any +Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause. + + +Section 2. Information about the Mission of Project Gutenberg-tm + +Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of +electronic works in formats readable by the widest variety of computers +including obsolete, old, middle-aged and new computers. It exists +because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from +people in all walks of life. + +Volunteers and financial support to provide volunteers with the +assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's +goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will +remain freely available for generations to come. In 2001, the Project +Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure +and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations. +To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation +and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4 +and the Foundation web page at http://www.pglaf.org. + + +Section 3. Information about the Project Gutenberg Literary Archive +Foundation + +The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit +501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the +state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal +Revenue Service. The Foundation's EIN or federal tax identification +number is 64-6221541. Its 501(c)(3) letter is posted at +http://pglaf.org/fundraising. Contributions to the Project Gutenberg +Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent +permitted by U.S. federal laws and your state's laws. + +The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S. +Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered +throughout numerous locations. Its business office is located at +809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email +business@pglaf.org. Email contact links and up to date contact +information can be found at the Foundation's web site and official +page at http://pglaf.org + +For additional contact information: + Dr. Gregory B. Newby + Chief Executive and Director + gbnewby@pglaf.org + + +Section 4. Information about Donations to the Project Gutenberg +Literary Archive Foundation + +Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide +spread public support and donations to carry out its mission of +increasing the number of public domain and licensed works that can be +freely distributed in machine readable form accessible by the widest +array of equipment including outdated equipment. Many small donations +($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt +status with the IRS. + +The Foundation is committed to complying with the laws regulating +charities and charitable donations in all 50 states of the United +States. 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Donations are accepted in a number of other +ways including checks, online payments and credit card donations. +To donate, please visit: http://pglaf.org/donate + + +Section 5. General Information About Project Gutenberg-tm electronic +works. + +Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm +concept of a library of electronic works that could be freely shared +with anyone. For thirty years, he produced and distributed Project +Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support. + + +Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed +editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S. +unless a copyright notice is included. Thus, we do not necessarily +keep eBooks in compliance with any particular paper edition. + + +Most people start at our Web site which has the main PG search facility: + + http://www.gutenberg.org + +This Web site includes information about Project Gutenberg-tm, +including how to make donations to the Project Gutenberg Literary +Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to +subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks. +\end{PGtext} + +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % +% % +% End of Project Gutenberg's Leçons de Géométrie Supérieure, by Ernest Vessiot +% % +% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK LEÇONS DE GÉOMÉTRIE SUPÉRIEURE *** +% % +% ***** This file should be named 35052-t.tex or 35052-t.zip ***** % +% This and all associated files of various formats will be found in: % +% http://www.gutenberg.org/3/5/0/5/35052/ % +% % +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % + +\end{document} + +### +@ControlwordReplace = ( + ['\\tableofcontents', ''], + ['\\Preface', 'PREFACE.'], + ['\\Primo', '1^o '], + ['\\Secundo', '2^o '], + ['\\Tertio', '3^o '], + ['\\Quarto', '4^o '], + ['\\Numero', 'N^o '], + ['\\No', 'N^o '], + ['\\no', 'N^o '], + ['\\begin{Exercises}', ''], + ['\\end{Exercises}', ''] + ); + +@ControlwordArguments = ( + ['\\SetHead', 1, 0, '', ''], + ['\\ExSection', 1, 0, 'EXERCICES.', ''], + ['\\Chapitre', 1, 1, 'CHAPITRE ', '. 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+(./35052-t.tex +LaTeX2e <2005/12/01> +Babel <v3.8h> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh +yphenation, arabic, farsi, croatian, ukrainian, russian, bulgarian, czech, slov +ak, danish, dutch, finnish, basque, french, german, ngerman, ibycus, greek, mon +ogreek, ancientgreek, hungarian, italian, latin, mongolian, norsk, icelandic, i +nterlingua, turkish, coptic, romanian, welsh, serbian, slovenian, estonian, esp +eranto, uppersorbian, indonesian, polish, portuguese, spanish, catalan, galicia +n, swedish, ukenglish, pinyin, loaded. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/book.cls +Document Class: book 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/leqno.clo +File: leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers) +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/bk12.clo +File: bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option) +) +\c@part=\count79 +\c@chapter=\count80 +\c@section=\count81 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input line 75. +LaTeX Info: Redefining \addtolength on input line 76. +\calc@Ccount=\count93 +\calc@Cskip=\skip45 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ifthen.sty +Package: ifthen 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC) +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty +Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features +\@mathmargin=\skip46 +For additional information on amsmath, use the `?' option. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty +Package: amstext 2000/06/29 v2.01 +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty +File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 +\@emptytoks=\toks16 +\ex@=\dimen107 +)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty +Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d +\pmbraise@=\dimen108 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty +Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names +) +\inf@bad=\count94 +LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211. +\uproot@=\count95 +\leftroot@=\count96 +LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307. +\classnum@=\count97 +\DOTSCASE@=\count98 +LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379. +LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382. +LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467. +\Mathstrutbox@=\box26 +\strutbox@=\box27 +\big@size=\dimen109 +LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OML on input line 567. +LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OMS on input line 568. +\macc@depth=\count99 +\c@MaxMatrixCols=\count100 +\dotsspace@=\muskip10 +\c@parentequation=\count101 +\dspbrk@lvl=\count102 +\tag@help=\toks17 +\row@=\count103 +\column@=\count104 +\maxfields@=\count105 +\andhelp@=\toks18 +\eqnshift@=\dimen110 +\alignsep@=\dimen111 +\tagshift@=\dimen112 +\tagwidth@=\dimen113 +\totwidth@=\dimen114 +\lineht@=\dimen115 +\@envbody=\toks19 +\multlinegap=\skip47 +\multlinetaggap=\skip48 +\mathdisplay@stack=\toks20 +LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666. +LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667. +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty +Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty +Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f +\symAMSa=\mathgroup4 +\symAMSb=\mathgroup5 +LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold' +(Font) U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132. +)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/jknapltx/mathrsfs.sty +Package: mathrsfs 1996/01/01 Math RSFS package v1.0 (jk) +\symrsfs=\mathgroup6 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/alltt.sty +Package: alltt 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/array.sty +Package: array 2005/08/23 v2.4b Tabular extension package (FMi) +\col@sep=\dimen116 +\extrarowheight=\dimen117 +\NC@list=\toks21 +\extratabsurround=\skip49 +\backup@length=\skip50 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/indentfirst.sty +Package: indentfirst 1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC) +) 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hyperref Info: Hyper index ON on input line 2296. +Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 2303. +Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 2308. +Implicit mode ON; LaTeX internals redefined +Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 2444. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/url.sty +\Urlmuskip=\muskip11 +Package: url 2005/06/27 ver 3.2 Verb mode for urls, etc. +) +LaTeX Info: Redefining \url on input line 2599. +\Fld@menulength=\count113 +\Field@Width=\dimen127 +\Fld@charsize=\dimen128 +\Choice@toks=\toks25 +\Field@toks=\toks26 +Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 3102. +Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 3107. +Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 3110. +Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 3117. +Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 3120. +\Hy@abspage=\count114 +\c@Item=\count115 +) +*hyperref using driver hpdftex* 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Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 471. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 471. +LaTeX Font Info: Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 471. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 471. +LaTeX Info: Redefining \dots on input line 471. +(/usr/share/texmf/tex/context/base/supp-pdf.tex +[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).] +\scratchcounter=\count117 +\scratchdimen=\dimen129 +\scratchbox=\box29 +\nofMPsegments=\count118 +\nofMParguments=\count119 +\everyMPshowfont=\toks27 +\MPscratchCnt=\count120 +\MPscratchDim=\dimen130 +\MPnumerator=\count121 +\everyMPtoPDFconversion=\toks28 +) +-------------------- Geometry parameters +paper: a4paper +landscape: -- +twocolumn: -- +twoside: true +asymmetric: -- +h-parts: 77.11816pt, 404.71243pt, 115.67728pt +v-parts: 63.39273pt, 686.56499pt, 95.08913pt +hmarginratio: 2:3 +vmarginratio: 2:3 +lines: -- +heightrounded: -- +bindingoffset: 0.0pt +truedimen: -- +includehead: -- +includefoot: -- +includemp: -- 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Cross-referencing by name of section +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/refcount.sty +Package: refcount 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO) +) +\c@section@level=\count122 +) +LaTeX Info: Redefining \ref on input line 471. +LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 471. +(./35052-t.out) (./35052-t.out) +\@outlinefile=\write3 +\openout3 = `35052-t.out'. + +LaTeX Font Info: Try loading font information for T1+cmtt on input line 483. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1cmtt.fd +File: t1cmtt.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msa on input line 507. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd +File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msb on input line 507. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd +File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+rsfs on input line 507. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/jknapltx/ursfs.fd +File: ursfs.fd 1998/03/24 rsfs font definition file (jk) +) [1 + +{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2 + +] +LaTeX Font Info: Try loading font information for T1+cmss on input line 550. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1cmss.fd +File: t1cmss.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions +) [1 + + +] [2 + + +] (./35052-t.toc [3] [4]) +\tf@toc=\write4 +\openout4 = `35052-t.toc'. + +[5] [6 + +] [7] [8 + +] [1 + +] [2] [3] <./images/012a.pdf, id=680, 150.5625pt x 155.58125pt> +File: ./images/012a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/012a.pdf> [4 <./images/012a.pdf>] [5] <./images/015a.pdf, id=708, + 232.87pt x 287.0725pt> +File: ./images/015a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/015a.pdf> [6] +Underfull \hbox (badness 6825) in paragraph at lines 1250--1257 +[]\T1/cmr/m/n/12 La consi-dé-ra-tion des for- + [] + + +Underfull \hbox (badness 1057) in paragraph at lines 1250--1257 +\T1/cmr/m/n/12 mules $\OT1/cmr/m/n/12 (7)$ \T1/cmr/m/n/12 prises deux à deux + [] + + +Underfull \hbox (badness 1127) in paragraph at lines 1250--1257 +\T1/cmr/m/n/12 montre que sur le plan rec-ti- + [] + + +Underfull \hbox (badness 1087) in paragraph at lines 1250--1257 +\T1/cmr/m/n/12 fiant $\OT1/cmr/m/n/12 (XZ)$ \T1/cmr/m/n/12 la pro-jec-tion a au + + [] + +[7 <./images/015a.pdf>] [8] +Overfull \hbox (0.80162pt too wide) in paragraph at lines 1438--1438 +[] + [] + +[9] [10] [11] [12] [13] <./images/024a.pdf, id=771, 134.5025pt x 92.345pt> +File: ./images/024a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/024a.pdf> +File: ./images/024a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/024a.pdf> +File: ./images/024a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/024a.pdf> +File: ./images/024a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/024a.pdf> +File: ./images/024a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/024a.pdf> +File: ./images/024a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/024a.pdf> +File: ./images/024a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/024a.pdf> +File: ./images/024a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/024a.pdf> [14 <./images/024a.pdf>] [15] [16] [17 + +] [18] [19] [20] [21] [22] +Overfull \hbox (0.78564pt too wide) detected at line 2284 +\OT1/cmr/m/n/12 E[] = [] \OML/cmm/m/it/12 ; \OT1/cmr/m/n/12 F[] = [] \OML/cmm/ +m/it/12 ; \OT1/cmr/m/n/12 G[] = [] \OML/cmm/m/it/12 : + [] + +[23] <./images/036a.pdf, id=848, 197.73875pt x 139.52126pt> +File: ./images/036a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/036a.pdf> [24 <./images/036a.pdf>] [25] +Overfull \hbox (11.09929pt too wide) detected at line 2529 +[] + [] + +[26] [27] [28] <./images/041a.pdf, id=896, 178.6675pt x 162.6075pt> +File: ./images/041a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/041a.pdf> [29 + + <./images/041a.pdf>] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [4 +1] [42] <./images/060a.pdf, id=977, 161.60374pt x 231.86626pt> +File: ./images/060a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/060a.pdf> [43 <./images/060a.pdf>] <./images/062a.pdf, id=993, 16 +2.6075pt x 196.735pt> +File: ./images/062a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/062a.pdf> +Underfull \hbox (badness 1924) in paragraph at lines 3656--3667 +\T1/cmr/m/n/12 à $\OT1/cmr/m/n/12 (C)$\T1/cmr/m/n/12 . Sur chaque courbe $\OT1/ +cmr/m/n/12 (K)$ \T1/cmr/m/n/12 por-tons à + [] + + +Underfull \hbox (badness 4108) in paragraph at lines 3656--3667 +\T1/cmr/m/n/12 par-tir du point $\OT1/cmr/m/n/12 M$ \T1/cmr/m/n/12 où elle ren- +contre la + [] + +[44 <./images/062a.pdf>] [45] [46] [47] [48] [49] [50 + +] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] <./images/083a.pdf, id +=1110, 252.945pt x 171.64125pt> +File: ./images/083a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/083a.pdf> [62 <./images/083a.pdf>] [63] <./images/085a.pdf, id=11 +29, 400.49625pt x 152.57pt> +File: ./images/085a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/085a.pdf> [64 <./images/085a.pdf>] <./images/086a.pdf, id=1148, 1 +72.645pt x 150.5625pt> +File: ./images/086a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/086a.pdf> <./images/086b.pdf, id=1149, 170.6375pt x 127.47626pt> +File: ./images/086b.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/086b.pdf> [65 <./images/086a.pdf> <./images/086b.pdf>] [66] <./im +ages/088a.pdf, id=1182, 144.54pt x 88.33pt> +File: ./images/088a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/088a.pdf> [67 + + <./images/088a.pdf>] [68] <./images/092a.pdf, id=1206, 148.555pt x 125.46875pt +> +File: ./images/092a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/092a.pdf> [69] <./images/093a.pdf, id=1216, 198.7425pt x 196.735p +t> +File: ./images/093a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/093a.pdf> [70 <./images/092a.pdf>] +Underfull \hbox (badness 2689) in paragraph at lines 5333--5339 +[]\T1/cmr/m/n/12 Considérons deux so-lu-tions $\OML/cmm/m/it/12 ^^_; ^^_[]$ \T1 +/cmr/m/n/12 de + [] + + +Underfull \hbox (badness 1430) in paragraph at lines 5333--5339 +\T1/cmr/m/n/12 l'équa-tion $\OT1/cmr/m/n/12 (1)$\T1/cmr/m/n/12 , la dif-fé-renc +e $\OML/cmm/m/it/12 ^^_ \OMS/cmsy/m/n/12 ^^@ \OML/cmm/m/it/12 ^^_[]$ \T1/cmr/m/ +n/12 est + [] + +<./images/094a.pdf, id=1234, 192.72pt x 159.59625pt> +File: ./images/094a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/094a.pdf> +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 5370--5371 + + [] + +[71 <./images/093a.pdf>] +Overfull \hbox (0.2183pt too wide) detected at line 5394 +\OML/cmm/m/it/12 dx \OT1/cmr/m/n/12 + \OML/cmm/m/it/12 u dl \OT1/cmr/m/n/12 = 0 +\OML/cmm/m/it/12 ; dy \OT1/cmr/m/n/12 + \OML/cmm/m/it/12 u dm \OT1/cmr/m/n/12 += 0\OML/cmm/m/it/12 ; dz \OT1/cmr/m/n/12 + \OML/cmm/m/it/12 u dn \OT1/cmr/m/n/ +12 = 0; + [] + +[72 <./images/094a.pdf>] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] <./images/105a.pdf, + id=1301, 190.7125pt x 82.3075pt> +File: ./images/105a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/105a.pdf> [80 <./images/105a.pdf>] [81] <./images/109a.pdf, id=13 +22, 196.735pt x 174.6525pt> +File: ./images/109a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/109a.pdf> [82 <./images/109a.pdf>] [83] [84] [85] [86] [87] [88] +[89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99 + +] [100] [101] [102] [103] <./images/138a.pdf, id=1463, 197.73875pt x 106.3975pt +> +File: ./images/138a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/138a.pdf> [104] +Underfull \hbox (badness 4353) in paragraph at lines 7656--7669 +[][]\T1/cmr/m/n/12 Nous avons ainsi une des fa-milles + [] + + +Underfull \hbox (badness 2318) in paragraph at lines 7656--7669 +\T1/cmr/m/n/12 de dé-ve-lop-pables. Consi-dé-rons alors les + [] + +[105 <./images/138a.pdf>] <./images/140a.pdf, id=1483, 277.035pt x 145.54375pt> +File: ./images/140a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/140a.pdf> <./images/141a.pdf, id=1484, 269.005pt x 138.5175pt> +File: ./images/141a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/141a.pdf> [106 <./images/140a.pdf> <./images/141a.pdf>] [107] [10 +8] [109] <./images/146a.pdf, id=1525, 190.7125pt x 213.79875pt> +File: ./images/146a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/146a.pdf> [110 <./images/146a.pdf>] [111] <./images/151a.pdf, id= +1546, 212.795pt x 163.61125pt> +File: ./images/151a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/151a.pdf> <./images/151b.pdf, id=1547, 304.13625pt x 153.57375pt> +File: ./images/151b.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/151b.pdf> [112] [113 <./images/151a.pdf> <./images/151b.pdf>] <./ +images/153a.pdf, id=1583, 166.6225pt x 147.55125pt> +File: ./images/153a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/153a.pdf> [114 <./images/153a.pdf>] [115] [116] <./images/158a.pd +f, id=1608, 118.4425pt x 218.8175pt> +File: ./images/158a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/158a.pdf> [117 + + <./images/158a.pdf>] [118] <./images/162a.pdf, id=1635, 157.58875pt x 215.8062 +4pt> +File: ./images/162a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/162a.pdf> <./images/163a.pdf, id=1636, 190.7125pt x 117.43875pt> +File: ./images/163a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/163a.pdf> [119] [120 <./images/162a.pdf> <./images/163a.pdf>] <./ +images/164a.pdf, id=1665, 109.40875pt x 108.405pt> +File: ./images/164a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/164a.pdf> [121 <./images/164a.pdf>] [122] <./images/169a.pdf, id= +1687, 164.615pt x 137.51375pt> +File: ./images/169a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/169a.pdf> [123 <./images/169a.pdf>] <./images/170a.pdf, id=1707, +147.55125pt x 149.55875pt> +File: ./images/170a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/170a.pdf> [124 <./images/170a.pdf>] <./images/171a.pdf, id=1724, +142.5325pt x 112.42pt> +File: ./images/171a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/171a.pdf> [125 <./images/171a.pdf>] <./images/173a.pdf, id=1740, +115.43124pt x 114.4275pt> +File: ./images/173a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/173a.pdf> [126 <./images/173a.pdf>] <./images/175a.pdf, id=1753, +186.6975pt x 96.36pt> +File: ./images/175a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/175a.pdf> [127 <./images/175a.pdf>] <./images/176a.pdf, id=1767, +205.76875pt x 148.555pt> +File: ./images/176a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/176a.pdf> +Underfull \hbox (badness 1248) in paragraph at lines 9220--9222 +\T1/cmr/m/n/12 va-riables sont $\OML/cmm/m/it/12 s$ \T1/cmr/m/n/12 et $\OML/cmm +/m/it/12 '$\T1/cmr/m/n/12 . Écri-vons que + [] + +[128 <./images/176a.pdf>] [129] <./images/180a.pdf, id=1791, 155.58125pt x 146. +5475pt> +File: ./images/180a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/180a.pdf> [130 <./images/180a.pdf>] <./images/181a.pdf, id=1802, +176.66pt x 160.6pt> +File: ./images/181a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/181a.pdf> [131 <./images/181a.pdf>] [132] <./images/183a.pdf, id= +1823, 190.7125pt x 135.50626pt> +File: ./images/183a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/183a.pdf> <./images/184a.pdf, id=1824, 116.435pt x 139.52126pt> +File: ./images/184a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/184a.pdf> [133 <./images/183a.pdf>] [134 <./images/184a.pdf>] [13 +5] [136] [137] [138 + +] +Overfull \hbox (2.88942pt too wide) in paragraph at lines 9815--9818 +[]\T1/cmr/m/n/12 Il est na-tu-rel alors d'em-ployer des co-or-don-nées ho-mo-gè +nes. Soient $\OT1/cmr/m/n/12 M(\OML/cmm/m/it/12 x; y; z; t\OT1/cmr/m/n/12 )$ + [] + +[139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] <./images/203a.pdf, + id=1943, 170.6375pt x 153.57375pt> +File: ./images/203a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/203a.pdf> [149] [150 <./images/203a.pdf>] [151] [152] [153] [154] +<./images/210a.pdf, id=1993, 193.72375pt x 212.795pt> +File: ./images/210a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/210a.pdf> <./images/210b.pdf, id=1994, 114.4275pt x 168.63pt> +File: ./images/210b.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/210b.pdf> [155 + + <./images/210a.pdf>] +Underfull \hbox (badness 1565) in paragraph at lines 10954--10957 +\T1/cmr/m/n/12 il suf-fit qu'il existe une re-la-tion entre les pa-ra- + [] + +[156 <./images/210b.pdf>] [157] [158] <./images/217a.pdf, id=2043, 138.5175pt x + 122.4575pt> +File: ./images/217a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/217a.pdf> [159 <./images/217a.pdf>] [160] [161] [162] [163] [164] +[165] [166] [167 + +] [168] +Overfull \hbox (3.12169pt too wide) in paragraph at lines 11862--11864 +[]\T1/cmr/m/n/12 Corrélativement, dé-fi-nis-sons la droite par deux plans $\OT1 +/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 u; v; w; s\OT1/cmr/m/n/12 )$\T1/cmr/m/n/12 , $\OT +1/cmr/m/n/12 (\OML/cmm/m/it/12 u[]; v[]; w[]; s[]\OT1/cmr/m/n/12 )$\T1/cmr/m/n/ +12 . + [] + +[169] [170] [171] [172] <./images/237a.pdf, id=2133, 127.47626pt x 95.35625pt> +File: ./images/237a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/237a.pdf> [173 <./images/237a.pdf>] [174] [175] [176] [177] [178] +[179] [180] [181] [182] [183] [184] [185 + +] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] <./images/266a.pdf, id=2254, 154.57 +75pt x 121.45375pt> +File: ./images/266a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/266a.pdf> [193 <./images/266a.pdf>] [194] [195] [196] [197] [198] +[199 + +] [200] [201] [202] [203] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[204] [205] [206] <./images/289a.pdf, id=2352, 239.89626pt x 112.42pt> +File: ./images/289a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/289a.pdf> [207 + +] +Underfull \hbox (badness 3343) in paragraph at lines 14343--14363 +\T1/cmr/m/n/12 face $\OT1/cmr/m/n/12 (S)$ \T1/cmr/m/n/12 deux di-rec-tions $\OM +L/cmm/m/it/12 !l; !l[]$\T1/cmr/m/n/12 ; + [] + + +Underfull \hbox (badness 1454) in paragraph at lines 14343--14363 +\T1/cmr/m/n/12 tions $\OT1/cmr/m/n/12 (2)$\T1/cmr/m/n/12 , ou en-core, puisque +les + [] + +<./images/291a.pdf, id=2366, 173.64874pt x 167.62625pt> +File: ./images/291a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/291a.pdf> [208 <./images/289a.pdf> <./images/291a.pdf>] [209] <./ +images/293a.pdf, id=2396, 153.57375pt x 152.57pt> +File: ./images/293a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/293a.pdf> [210 <./images/293a.pdf>] [211] [212] [213] [214] <./im +ages/300a.pdf, id=2432, 158.5925pt x 160.6pt> +File: ./images/300a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/300a.pdf> [215] [216 <./images/300a.pdf>] <./images/302a.pdf, id= +2455, 127.47626pt x 123.46124pt> +File: ./images/302a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/302a.pdf> [217 <./images/302a.pdf>] [218] <./images/306a.pdf, id= +2479, 168.63pt x 121.45375pt> +File: ./images/306a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/306a.pdf> [219] [220 <./images/306a.pdf>] [221] +Underfull \hbox (badness 4595) in paragraph at lines 15301--15304 +\T1/cmr/m/n/12 Multiplions la deuxième ligne par $\OMS/cmsy/m/n/12 ^^@[] []$\T1 +/cmr/m/n/12 , la troi-sième par + [] + +[222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[1 + +] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[2] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[3] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[4] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[5] [6] (./35052-t.aux) + + *File List* + book.cls 2005/09/16 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35052-t.pdf (244 pages, 1758171 bytes). +PDF statistics: + 2834 PDF objects out of 2984 (max. 8388607) + 783 named destinations out of 1000 (max. 131072) + 1211 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000) + diff --git a/35052-t/old/35052-t.zip b/35052-t/old/35052-t.zip Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..e2f3f14 --- /dev/null +++ b/35052-t/old/35052-t.zip |