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You may copy it, give it away or +re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included +with this eBook or online at www.gutenberg.org + + +Title: Die hauptsächlichsten Theorien der Geometrie + +Author: Gino Loria + +Translator: Fritz Schütte + +Release Date: September 14, 2010 [EBook #33726] + +Language: German + +Character set encoding: ASCII + +*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK DIE HAUPTSÄCHLICHSTEN *** + + + + +Produced by Joshua Hutchinson, Keith Edkins and the Online +Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This +file was produced from images from the Cornell University +Library: Historical Mathematics Monographs collection.) + + + + + +Transcriber's note: A few typographical errors have been corrected: they +are listed at the end of the text. + + * * * * * + + +DIE HAUPTSAECHLICHSTEN + +THEORIEN DER GEOMETRIE + +IN IHRER FRUEHEREN + +UND + +HEUTIGEN ENTWICKELUNG. + +HISTORISCHE MONOGRAPHIE + +VON + +DR. GINO LORIA, + +PROFESSOR DER HOEHEREN GEOMETRIE AN DER UNIVERSITAET ZU GENUA. + +------ + +UNTER BENUTZUNG ZAHLREICHER ZUSAETZE UND VERBESSERUNGEN SEITENS DES +VERFASSERS + +INS DEUTSCHE UEBERTRAGEN + +VON + +FRITZ SCHUETTE. + +MIT EINEM VORWORTE VON PROFESSOR R. STURM. + +LEIPZIG, + +VERLAG VON B. G. TEUBNER. + +1888. + + * * * * * + + +Druck von B. G. Teubner in Dresden. + + * * * * * + + +Seiner teueren Mutter + +als schwaches Unterpfand inniger Liebe + +widmet diese Arbeit + +der Verfasser. + +{III} + + + + * * * * * + +Vorwort. + +------ + + + +Diese deutsche Uebersetzung der im vergangenen Jahre in den _Memorie della +Reale Accademia delle Scienze di Torino_ (Ser. II, Bd. 38) erschienenen +Monographie des Herrn Gino Loria: _Il passato e il presente delle +principali teorie geometriche_, welche mein Schueler Herr Fritz Schuette +angefertigt hat, begleite ich gern mit einem empfehlenden Vorworte, nachdem +ich sie mit der Originalschrift und den handschriftlichen Zusaetzen und +Verbesserungen des Herrn Verfassers in Bezug auf ihre Richtigkeit +verglichen habe. + +Eine Geschichte der Geometrie unserer Zeit, in der jedes Jahrzehnt uns mehr +vorwaerts bringt, als es frueher in einem Jahrhundert geschah, welche uns +zu ungeahnten allgemeinen Anschauungen gefuehrt hat, zu besitzen, ist der +Wunsch aller Geometer; aber wir wissen auch alle, wie unvergleichlich +schwerer die Aufgabe, eine solche zu schreiben, heute ist als vor fuenfzig +Jahren, wo der _Apercu historique_ von Chasles erschien. + +Herr Loria will seine "Chronik", wie er seine Schrift in der Einleitung +nennt, nur als eine Vorarbeit angesehen haben, welche zur Inangriffnahme +des grossen Werkes der Abfassung einer Geschichte der modernen Geometrie +anspornen und diesem Werke dienen soll. Der Umfang, den er zunaechst seiner +Arbeit gegeben hat, bringt es, wie er selbst mehrfach bemerkt, freilich mit +sich, dass die Darstellung bisweilen auf eine blosse Aufzaehlung von Namen +und Schriften hinauslaeuft. Aber auch in diesem engeren Rahmen ist es, +meine ich, dem {IV} Verfasser gelungen, dem Leser, als welchen ich mir in +erster Linie einen Studierenden vorstelle, der schon etwas ueber die +Anfaenge hinaus ist, eine anschauliche Uebersicht der hauptsaechlichsten +Untersuchungsrichtungen der Geometrie unserer Zeit vorzufuehren; fuer alle +Geometer aber werden die reichhaltigen Litteraturnachweise von grossem +Werte sein. Etwaige Luecken in denselben wird jeder, der unsere fast +unuebersehbare und den wenigsten vollstaendig zugaengliche mathematische +Litteratur kennt, dem Verfasser nicht anrechnen, und jede Mitteilung einer +wesentlichen Verbesserung oder Ergaenzung wird er gewiss gern +entgegennehmen, um seine Schrift noch wertvoller zu machen, falls ihr eine +neue Auflage beschieden wuerde. + +Die Veraenderungen, welche diese Uebersetzung im Vergleich mit dem +italienischen Originale aufweist, bestehen, ausser stark vermehrten +Litteraturnachweisen, in einer viel eingehenderen Besprechung der +Differentialgeometrie im Abschnitte III und der Umarbeitung der auf die +Gestalt der Kurven und der Oberflaechen und die abzaehlende Geometrie +bezueglichen Teile der Abschnitte II und III zu einem besonderen +Abschnitte. + + Muenster i. W., Ende Mai 1888. + + R. STURM. + +{V} + + + + * * * * * + +Inhaltsverzeichnis. + +------ + + + + Seite + + Einleitung 1 + + I. Die Geometrie vor der Mitte des 19. Jahrhunderts 3 + + II. Theorie der ebenen Kurven 21 + + III. Theorie der Oberflaechen 31 + + IV. Untersuchungen ueber die Gestalt der Kurven und Oberflaechen. + Abzaehlende Geometrie 60 + + V. Theorie der Kurven doppelter Kruemmung 71 + + VI. Abbildungen, Korrespondenzen, Transformationen 80 + + VII. Geometrie der Geraden 98 + + VIII. Nicht-Euklidische Geometrie 106 + + IX. Geometrie von n Dimensionen 115 + + Schluss 124 + + Abkuerzungen fuer die haeufig erwaehnten Zeitschriften 130 + + Verzeichnis der verstorbenen Geometer, deren Lebenszeit angegeben ist 132 + +{1} + + + + * * * * * + +Einleitung. + +------ + + + + "Apres six mille annees d'observations l'esprit humain n'est pas + epuise; il cherche et il trouve encore afin qu'il connaisse qu'il peut + trouver a l'infini et que la seule paresse peut donner des bornes a ses + connaissances et a ses inventions." -- Bossuet. + +Die Fortschritte der exakten Wissenschaft im allgemeinen und der Mathematik +im besonderen[1] sind in diesen letzten Zeiten so betraechtlich gewesen, +fortwaehrend folgen weitere nach, so schnell und unaufhaltsam, dass sich +lebhaft das Beduerfnis fuehlen macht, einen Rueckblick auf den schon +gemachten Weg zu werfen, welcher den Anfaengern ein leichteres Eindringen +in die Geheimnisse derselben und den schon Vorgeschrittenen ein sichereres +Urteil gestattet, welches die Probleme sind, deren Loesung am dringendsten +ist. + +Der Wunsch, diesem Beduerfnisse zu entsprechen, soweit es die Geometrie +anlangt, d. h. soweit es den hoeheren Teil {2} unserer positiven Kenntnis +betrifft -- da, wie Pascal sagte, tout ce qui passe la geometrie nous +surpasse -- ist es, der mich veranlasst, vorliegende Abhandlung zu +schreiben. + +Moege dieser unvollkommene Abriss die Veranlassung sein zu einer Schrift, +die der Erhabenheit ihres Zieles wuerdig ist; moege diese duerftige Chronik +der Vorlaeufer sein einer "Geschichte der Geometrie in unserem +Jahrhundert". {3} + + + + * * * * * + +I. + +Die Geometrie vor der Mitte des 19. Jahrhunderts. + +------ + + + +"Alle Entwickelungsstufen der Zivilisation sind so eng miteinander +verknuepft, dass man vergebens versuchen wuerde, irgend einen Zweig der +Geschichte von einer bestimmten Epoche ab zu studieren, ohne einen Blick +auf die vorhergehenden Zeiten und Ereignisse zu werfen."[2] Wenn das im +allgemeinen wahr ist, so wird es doppelt der Fall sein "bei einer +Wissenschaft, die so konservativ ist, wie die Mathematik, welche das Werk +der vorhergehenden Periode nicht zerstoert, um an dessen Stelle neue Bauten +zu errichten".[3] Daher ist es unerlaesslich, dass ich, bevor ich an das +eigentliche Thema dieser Abhandlung herantrete, d. h. bevor ich ueber die +moderne Geometrie spreche, kurz angebe, auf welche Weise die Geometrie zu +dem Standpunkte gelangt ist, von welchem ab ich vorhabe, ihre Entwickelung +eingehender zu verfolgen. + +Den ersten Ursprung der geometrischen Untersuchungen festzustellen, ist ein +fast unausfuehrbares Unternehmen. Die taeglichen Erfahrungen jedes +denkenden Menschen fuehren auf eine so natuerliche Weise zur Vorstellung +der einfacheren geometrischen Formen und zur Erforschung ihrer +gegenseitigen Beziehungen, dass man vergebens versuchen wuerde, den Namen +desjenigen zu nennen, der zuerst Geometrie betrieben hat, und anzugeben, zu +welcher Zeit sie entstanden ist. Daher sind die Kenntnisse, welche man +ueber die ersten Spuren dieser Disziplin hat, sehr unbestimmt; wer sich {4} +vornimmt, sie festzustellen, den umhuellt, wenn nicht voellige Finsternis, +so doch nur ein wenig Daemmerlicht, welches ihm nur gestattet, die Umrisse +bedeutenderer Bruchstuecke, welche sich den Unbilden der Zeit entzogen +haben, zu erkennen. So kann ein solcher feststellen, dass die aeltesten +geometrischen Studien von den Aegyptern gemacht sind, und kann die +Erzaehlung Herodots wiederholen, nach welcher diesem Volke ein sehr +wirksamer Antrieb, sich mit Geometrie zu befassen, durch die periodischen +Ueberschwemmungen des Nils gegeben wurde, welche, indem sie die Grenzen +zwischen den kleinen Besitzungen, in die Aegypten unter seine Einwohner +verteilt war, verwischten, sie noetigten, dieselben jedes Jahr wieder +herzustellen.[4] Die Haltbarkeit dieser Hypothese, um die Thatsache zu +erklaeren, dass in Aegypten die Wissenschaft, von der wir handeln, eifrig +betrieben sei, wird durch die praktische Natur der Gegenstaende bewiesen, +welche dort eingehender behandelt wurden: specielle Konstruktionen, +Messungen von Laengen, Flaecheninhalten, Volumen u. s. f.[5] + +Indem die Kenntnisse der Aegypter nach Griechenland uebergingen, erhielten +sie durch Thales (640-540)[6] und die Anhaenger der ionischen Schule, +welche er gruendete, eine wissenschaftlichere Gestalt. Thales ist in der +That der erste, der sich damit beschaeftigt hat, die von den Aegyptern +entdeckten Saetze und einige andere streng zu beweisen. Jedoch erhob sich +die Geometrie unter seinen Haenden noch nicht zur wahren Wissenschaft; +diese Wuerde erlangte sie erst {5} durch die Untersuchungen des Pythagoras +(nach einigen 569-470, 580-500 nach anderen) und seiner Schueler. +Ungluecklicher Weise aber bestand eine der Regeln, welche die Pythagoraeer +strenge beobachten mussten, darin, dass sie die Lehren, welche der Meister +vortrug, geheim halten mussten; daher kam es, dass der geometrische Teil +derselben allen, die nicht dieser Schule angehoerten, unbekannt blieb. Aber +nachdem das Haupt gestorben war, da suchten seine Anhaenger, als sie bei +den inneren Kaempfen, welche die Republiken Grossgriechenlands zerrissen, +besiegt worden waren, Zuflucht in Athen und offenbarten dort, von der Not +getrieben, die Geheimnisse, welche sie bis dahin so strenge verwahrt +hatten. Und der wohlthaetige Einfluss einer groesseren Verbreitung dessen, +was die Pythagoraeer von der Mathematik wussten, ist durch die wichtigen +Forschungen offenbar geworden, welche in der Folgezeit die griechischen +Gelehrten in der Periode, welche zwischen Pythagoras und Plato (429-348) +liegt, gemacht haben. Sie koennen in drei Kategorien geteilt werden, +benannt nach den beruehmten Problemen: der Dreiteilung des Winkels, der +Verdoppelung des Wuerfels, der Quadratur des Kreises, und fuehrten zur +Vervollkommnung des mehr elementaren Teiles der ebenen Geometrie. + +Plato verdanken wir den ersten Anstoss zum methodischen Studium der +Stereometrie, und das ist nicht das Einzige, wofuer der goettliche +Philosoph auf den Dank der Geometer Anspruch erheben koennte; denn ihm ist +auch die analytische Methode zuzuschreiben, deren Macht allen bekannt ist, +und seiner Schule (Akademie) die Lehre von den Kegelschnitten und, was +nicht weniger wichtig ist, die von den geometrischen Oertern. + +Aus diesen gedraengten Angaben[7] wird man leicht entnehmen koennen, dass +die Bemuehungen der angefuehrten Geometer zu einer Fuelle von Eigenschaften +der Figuren und zu Methoden, sie zu erklaeren, gefuehrt und die Elemente +fuer eine methodische Behandlung der Geometrie vorbereitet hatten. {6} +Daher dauerte es nicht lange, dass vollstaendige Zusammenstellungen dessen, +was entdeckt war, erschienen. Von vielen kennen wir nur die Existenz; nur +eine einzige ist uns vollstaendig erhalten worden, _die Elemente_ des +Euklides, und das glaenzende Licht, welches von ihnen ausgeht, fuehrt uns +zu der Vermutung, dass alle die anderen Zusammenstellungen durch die +Vergleichung mit ihnen verdunkelt sind. + +Mit diesem Buche, welches nach zweitausend Jahren noch als einzig angesehen +wird, "von dem man fuer die Entwickelung der Jugend diejenigen Resultate +erhoffen kann, mit Ruecksicht auf die bei allen zivilisierten Nationen der +Unterricht in der Geometrie eine solch bedeutende Stellung in der Erziehung +der Jugend inne hat",[8] nimmt die wahre Wissenschaft der Geometrie ihren +Anfang. Es ist das granitene Piedestal, auf welchem der grossartige Bau der +griechischen Mathematik sich erhebt, auf dessen Gipfel sich die anderen +Werke Euklids und die unsterblichen Arbeiten von Archimedes (287-212), +Eratosthenes (276-194) und Apollonius (ca. 200 v. Ch.) befinden.[9] + +Diese beruehmten Gelehrten bezeichnen den Hoehepunkt der griechischen +Wissenschaft; nach ihnen beginnt die Periode des Verfalles, ja sogar, trotz +einiger wichtiger Untersuchungen eines Hipparch (161-126) und eines +Ptolomaeus (125 bis ungefaehr 200), trotz der Arbeit eines genialen +Kommentators, wie Pappus war (derselbe lebte gegen Ende des {7} dritten +Jahrhunderts unserer Zeitrechnung), kommen wir nach und nach zu einer +Periode voelliger Unthaetigkeit auf dem Gebiete der Geometrie. + +Die Roemer, die Eroberer und Gesetzgeber der Welt, scheinen jedes +Untersuchungsgeistes zu entbehren, und wenn die Geometrie in der Epoche, in +welcher sie herrschten, nicht ganz verfiel, so geschah das dank ihren +Agrimensoren, welche jedoch bei ihren Operationen nur eine Genauigkeit zu +erreichen suchten, die fuer die Beduerfnisse des taeglichen Lebens +ausreicht.[10] + +{8} + +Auch das Mittelalter kann keine Veranlassung geben zu einer laengeren +Eroerterung. Die dichte Finsternis, welche in dieser Zeit die ganze +Menschheit bedeckte, gestattete nicht das Auftreten eines Gelehrten, dem +man irgend einen bemerkenswerten Fortschritt in der Geometrie verdankt. Man +kann nur erwaehnen, dass die vielfachen in dieser Zeit errichteten heiligen +Bauwerke, die nach dem Ausspruche eines grossen Dichters so zahlreich und +kuehn waren, weil sie die einzigen der menschlichen Intelligenz damals +erlaubten Aeusserungen darstellen, Kunde davon geben, dass derjenige Teil +unserer Wissenschaft, der jedem Baumeister unentbehrlich ist, auch in +dieser Zeit im allgemeinen bekannt war. + +Diese fuer unsere Wissenschaft so traurige Zeit kann man als beendet +ansehen mit Leonardo Fibonacci (etwa 1180-1250); erst als von diesem +ausgezeichneten Gelehrten die Algebra nach Europa uebergefuehrt worden war, +und seine hervorragenden Arbeiten ihren Einfluss ausuebten, da hatte diese +Periode der wissenschaftlichen Unthaetigkeit ein Ende, und es beginnt eine +neue Zeit, deren wir Italiener uns mit Stolz erinnern muessen, da in ihr +unser Vaterland das Scepter der Mathematik inne hatte. Jedoch gravitierte +diese Periode, wenn sie auch von grosser Bedeutung fuer die analytischen +Untersuchungen ist, nicht in merklicher Weise nach den geometrischen. +Cardano (1501-1576), Scipio Ferro (?-1525), Tartaglia (1500-1559), Ludovico +Ferrari (1522-1565) und andere weniger bedeutende, die dieser Periode +angehoeren, haben den Ruhm, in unserem Lande die Entwickelung eines der +wichtigeren Teile der Analysis, naemlich der Theorie der Gleichungen, +bewirkt zu haben, sowie auch die Vervollkommnung einiger der schwierigsten +Teile derselben gefoerdert zu haben, dank den oeffentlichen +wissenschaftlichen Herausforderungen, welche eine charakteristische +Eigentuemlichkeit dieser Zeit waren. Hingegen ueberlieferten {9} sie die +Geometrie ihren Nachkommen fast in demselben Zustande, in welchem sie +dieselbe von den Griechen und den Arabern erhalten hatten.[11] + +Nach dem Tode dieser tapferen Kaempen ging der Primat in der Mathematik +ueber die Alpen und wurde von Frankreich infolge der Verdienste eines Vieta +(1540-1603) und eines Fermat (1590-1663) uebernommen. Durch sie bereicherte +sich die Geometrie mit Loesungen, die man vorher vergebens gesucht hatte. +Auch wurden einige Werke des Apollonius, deren Verlust man beklagt hatte, +wieder hergestellt. + +Nicht viel spaeter vermehrten Pascal (1623-1662) und Desargues (1593-1662) +das Erbteil der Geometrie mit originellen Gesichtspunkten, mit neuen +Methoden und neuen Saetzen[12]. Aber die von ihnen ausgesprochenen Ideen +blieben {10} viele Jahre hindurch unfruchtbar, weil sie von dem +analytischen Geiste, dessen ueberwiegender Einfluss sich schon geltend +gemacht hatte, unterdrueckt wurden. + +Gleichwohl war im 17. Jahrhundert das Vorwiegen der Analysis noch nicht ein +solches, dass es die Geometer die Probleme, deren Loesung man seit langer +Zeit und so lebhaft gewuenscht hatte, vergessen liess. Zwischen den +Bestrebungen dieser Zeit und den Wuenschen der Gelehrten erhob sich in der +Folge ein Wettkampf eigener Art, und aus dem Zusammenstosse +verschiedenartiger Ansichten und Bestrebungen entsprang ein Funke, der +faehig war, eine Flamme zu erregen, welche die kommenden Generationen +erleuchten sollte;[13] es entstand die analytische Geometrie (1637). + +Wenn man auch schon in einigen Methoden der griechischen Geometer, in +einigen praktischen Regeln der Maler, der aegyptischen Astronomen und der +roemischen Agrimensoren Spuren von dem finden kann, was wir heute +rechtwinkliges Cartesisches Koordinatensystem nennen; wenn auch schon die +Araber und die italienischen Algebraiker aus der Renaissancezeit +geometrische Betrachtungen auf die Loesung der Gleichungen angewandt +hatten,[14] wenn auch schon Vieta die Abscissen gebraucht hatte, um +vermittelst Zahlen die Punkte einer Geraden zu bestimmen, wenn schliesslich +Nicolaus Oresme (ca. 1320-1382) und Fermat mehr oder weniger bewusst sich +der Koordinaten bedient haben; so scheint doch ganz unbestreitbar Descartes +(1596-1650) der erste zu sein, welcher in ihrer ganzen Ausdehnung die volle +Einsicht von der Moeglichkeit, mit den algebraischen Rechnungszeichen die +nach irgend einem Gesetze aufgebauten Formen des Raumes darzustellen, +gehabt und der den ganzen Vorteil, den die Analysis und die Geometrie aus +ihrer {11} unerwarteten Vereinigung ziehen koennen, erkannt hat. Mit Recht +wird daher Cartesius' Namen immer mit der Entdeckung der analytischen +Geometrie verbunden bleiben.[15] + +Die Leichtigkeit, mit welcher dieses neue Werkzeug Fragen zu loesen +gestattete, welche die Alten fuer unangreifbar hielten, liess die +Zeitgenossen und unmittelbaren Nachfolger Descartes' die von Euklides, +Archimedes und Apollonius eroeffneten Wege ganz vergessen, so dass wir eine +Zeitlang niemanden finden, der, um zu irgend einer wichtigen Wahrheit zu +gelangen, sie eingeschlagen haette. + +Die kurz nach Descartes gleichzeitig von Leibniz (1646-1716) und Newton +(1642-1727) neu erfundenen Rechnungsarten betonten gerade diese Richtung, +da sie bewirkten, dass man sich um diejenigen Probleme nicht bekuemmerte, +deren Loesung nicht geeignet war, die Allmacht der Methoden, welche die +Welt diesen unsterblichen Geistern verdankt, hervortreten zu lassen, +derartig, dass man sagen kann, dass mit Ausnahme der _Philosophiae +naturalis principia mathematica_ (1686) von Newton und einiger Seiten von +Huygens (1629-1695),[16] von La Hire (1640-1718),[17] von Halley +(1656-1742),[18] Maclaurin (1698-1746),[19] Simpson (1687-1768),[20] von +Stewart {12} (1717-1785)[21] keine mathematische Produktion jener Zeit dem +angehoert, was wir heute synthetische Geometrie zu nennen pflegen.[22] + +Das hindert aber nicht, dass man diese Periode ohne Bedenken zu den +erfreulichsten fuer die Geometrie rechnen muss. In der That ist der +groessere Teil der Probleme, welche von den Erfindern der +Infinitesimalrechnung und ihren unmittelbaren Schuelern aufgestellt oder +geloest worden, unter die wichtigsten der ganzen Geometrie zu rechnen, da +sie die interessantesten und verstecktesten geometrischen und mechanischen +Eigenschaften der Kurven und Oberflaechen beruehren. Wir sehen daher, dass +nicht allein die Zahl der Kurven, welche einer naeheren Betrachtung wert +sind, sich ausserordentlich vermehrt,[23] sondern auch -- was viel +wichtiger ist --, dass die Betrachtung von Singularitaeten einer Kurve und +anderer neuer mit dieser verbundener Elemente eingefuebrt wird, und dass +infolge dessen Untersuchungsgebiete sich eroeffnen, deren Existenz man +vorher gar nicht geahnt hatte. + +Die Leichtigkeit, welche die Cartesische Methode in der Aufloesung einer so +grossen Anzahl von planimetrischen Aufgaben mit sich brachte, trieb +natuerlich die Geometer an, {13} eine aehnliche fuer das Studium der +Raumkurven und der Oberflaechen zu schaffen. Daher entstand eine +Verallgemeinerung dieser Methode, welche Descartes schon angedeutet hatte, +und die Schooten (16..-1661)[24] in weiterer Ausfuehrung veroeffentlichte. +Diese Andeutungen liessen bei Parent (1666-1716) den Gedanken entstehen, +eine Oberflaeche durch eine Gleichung zwischen den drei Koordinaten eines +ihrer Punkte darzustellen,[25] und bereiteten deshalb die analytische +Geometrie dreier Koordinaten vor, welche im Jahre 1731 einen wesentlichen +Teil der Mathematik zu bilden begann infolge einer klassischen Abhandlung +von Clairaut (1715-1765),[26] in welcher er im Alter von nur 16 Jahren mit +einer seltenen Eleganz viele von den auf die Kurven doppelter Kruemmung +bezueglichen Problemen loeste, welche ihre entsprechenden in der Ebene +finden. Bald nach Clairaut schuf Euler (1707-1783) die analytische Theorie +der Kruemmung der Oberflaechen (1760)[27] und wandte die analytische +Methode an, um eine Klassifikation der Oberflaechen zweiten Grades zu +erhalten, gegruendet auf analoge Kriterien, wie diejenigen, welche den +Alten dazu gedient hatten, die Kurven zweiter Ordnung in Ellipsen, Parabeln +und Hyperbeln zu unterscheiden. Endlich gehoert der zweiten Haelfte des +vergangenen Jahrhunderts das riesige Werk von Monge (1746-1818) an. Dieser +verschaffte der analytischen Geometrie zweier Koordinaten das Aussehen, +welches sie heute besitzt, indem er den methodischen Gebrauch der Gleichung +einer Geraden einfuehrte. Er stellte den wichtigen Begriff von +Flaechenfamilien auf und, indem er einige derselben behandelte +(Regelflaechen, abwickelbare, Roehrenflaechen, "Surfaces moulures"), +entdeckte er einen versteckten innigen Zusammenhang zwischen der Theorie +der Oberflaechen und der Integration der partiellen +Differentialgleichungen, {14} was Licht in diese, wie in jene Lehre brachte +und den Geometern neue Gesichtspunkte enthuellte.[28] + +Die geistige Bewegung, welche mit der Renaissancezeit begonnen und Italien +an ihrer Spitze hatte, pflanzte sich, wie wir schon gesehen haben, zuerst +unter Frankreichs Leitung fort, dann unter der von England und Deutschland. +Aber gegen Ende des 18. Jahrhunderts, als Euler aufgehoert hatte "zu +rechnen und zu leben",[29] stellte sich Frankreich wieder an die Spitze der +mathematischen Welt. Nicht allein mit Clairaut, d'Alembert (1716-1783), +Lagrange (1736-1813), Laplace (1749-1827), Legendre (1752-1833), Poisson +(1781-1840) und anderen gab es den Anstoss zum Studium der reinen und +angewandten Analysis, sondern es kehrten auch mit Monge, Carnot (1753-1823) +und Poncelet (1788-1867) die Gelehrten zum Studium der geometrischen Formen +zurueck, in der Weise, wie es die Alten verstanden. + +Monge schuf, indem er zu einem wissenschaftlichen Ganzen die wenigen Regeln +vereinigte, welche die Baumeister und Maler sich geschaffen hatten, um die +Beduerfnisse der Kunst zu befriedigen, und gluecklich die Luecken +ausfuellte, die sich zwischen ihnen noch bemerkbar machten, einen neuen +Zweig der Geometrie, die darstellende Geometrie. Mit seinem klassischen +Buche, welches er dieser Disziplin widmete,[30] und noch viel mehr mit +seinen unvergleichlichen Vorlesungen, die er an der polytechnischen Schule +hielt, brachte er das Studium der Geometrie, welches sich auf die direkte +Anschauung der Figur stuetzt, zu Ehren[31] und, indem {15} er die +Vorstellung der geometrischen Figuren von drei Dimensionen erleichterte, +machte er jene systematische Anwendung von stereometrischen Betrachtungen +auf das Studium der ebenen Figuren moeglich, welche Pappus schon erkannt +hatte.[32] + +Der _Geometrie descriptive_ von Monge darf man die _Geometrie de position_ +von Carnot[33] an die Seite stellen, weil diese, indem sie mit jener das +Ziel gemeinsam hat, der Geometrie diejenige Allgemeinheit zu verschaffen, +welche man ausschliesslich der Analysis zugetraut hatte, nicht weniger als +jene dazu beitrug, den Aufschwung der reinen Geometrie vorzubereiten, +welchen man von dem Erscheinen des _Traite des proprietes projectives des +figures_ (1822)[34] datieren kann. + +Um zu ueberzeugen, wie bemerkenswert dieses Datum sei, wird es genuegen, zu +erwaehnen, dass gerade in dem {16} grossen Werke von Poncelet die Macht der +Zentralprojektion als einer Methode der Demonstration und des Prinzips der +Kontinuitaet als eines Untersuchungsmittels zum ersten Male gezeigt +ist;[35] dass das tiefere Studium der Homologie zweier ebener oder +raeumlicher Systeme in demselben zum Begriffe der Korrespondenz zwischen +zwei Mannigfaltigkeiten zweier oder dreier Dimensionen fuehrte; dass die +Kenntnisse der Alten ueber die Polaritaet in Bezug auf einen Kegelschnitt +und die von der Mongeschen Schule gewonnenen ueber die Polaritaet in Bezug +auf eine Flaeche zweiter Ordnung, die dort zum ersten Male sich vereinigt +finden, das Gesetz der Dualitaet vorbereiteten, welches, von Snellius +(1581-1626)[36] und Viete[37] in der sphaerischen Geometrie erkannt, +bestimmt war, in seiner ganzen Allgemeinheit vier Jahre spaeter von +Gergonne (1771-1859)[38] ausgesprochen zu werden; dass sich schliesslich +dort jene eleganten Untersuchungen ueber die Vielecke, die einem +Kegelschnitt ein- und einem anderen umbeschrieben sind, finden, die Jacobi +(1804-1851), Richelot (1808-1875) und anderen Gelegenheit geben sollten, +davon eine der elegantesten Anwendungen der Theorie der elliptischen +Funktionen zu machen, welche man kennt.[39] + +Die Abhandlungen, welche Poncelet der Theorie der harmonischen Mittel, der +reciproken Polaren und der {17} Transversalen widmete, sowie andere weniger +bedeutende von Gelehrten, welche zur Mongeschen Schule gehoerten, fuehren +uns zum Jahre 1837, in welchem Chasles' (1796-1880) _Apercu historique sur +l'origine et le developpement des methodes en geometrie_[40] +veroeffentlicht wurde. In diesem unuebertrefflichen Werke brachte der +Autor, nachdem er in bewunderungswerter Form alles, was das Erbteil der +reinen Geometrie in seiner Zeit bildete, zusammengestellt hatte, die Rechte +zur Geltung, die sie auf die Beachtung der Gelehrten hatte und welche von +den blinden Anbetern der Analysis ihr versagt worden waren, und zeigte +durch wichtige und originelle Untersuchungen, mit welchem Rechte er sich +zum Beschuetzer der Sache der Geometrie gemacht hatte.[41] + +Jedoch in dem Zeitraume, welcher zwischen dem Erscheinen des Ponceletschen +Werkes und desjenigen von Chasles liegt, hatte sich Deutschland aus dem +Schlafe geruettelt, in welchen die einschlaefernden Arbeiten der Schule +{18} der Kombinatoriker es versetzt hatten. Dieses Wiedererwachen bedeutete +einen neuen Uebergang des Szepters der Mathematik von Frankreich nach +Deutschland.[42] In der That sehen wir durch die Arbeiten von Gelehrten wie +Moebius (1790-1868),[43] Steiner (1796-1863),[44] {19} Pluecker +(1801-1868)[45] und von Staudt (1798-1867)[46] die analytische Geometrie +sich mit Methoden bereichern, von denen wir nicht wissen, ob wir mehr ihre +Eleganz oder ihre Macht bewundern sollen, so der Barycentrische Calcul und +die abgekuerzte Bezeichnung; wir sehen die synthetische Geometrie +Hilfsmittel erwerben fuer das Studium, der Kurven und Oberflaechen, die bis +dahin fuer dieselbe unerreichbar {20} waren, sowie fuer die Gruendung einer +reinen Geometrie der Lage, die ganz und gar unabhaengig ist von dem +Begriffe des Masses. Dank dem von Crelle (1780-1855) in dieser Zeit +gegruendeten Journal (1826), das bald zu verdientem Rufe gelangte, +vorzueglich durch die Abhandlungen Abels (1802-1829), Jacobis und Steiners +verbreiteten sich die eben angefuehrten Resultate schnell. Und so sehen wir +hinter diesen Groessen eine zahlreiche und glaenzende Anzahl von Schuelern, +welche, indem sie Aehren lasen auf den Feldern, die von ihren Meistern +bebaut waren, die Fruchtbarkeit des Samens zeigten, den jene ausgestreut +hatten. + + + +Hiermit will ich den Abriss der geistigen Bewegung, welche die neuesten +geometrischen Untersuchungen vorbereitet hat, geschlossen haben und ich +muss mich nun im einzelnen mit denselben befassen. Um mir nun die +vorgenommene Aufgabe der Darlegung derselben zu erleichtern, werde ich +meine Darstellung in verschiedene Teile teilen. Zuerst will ich mich mit +der Theorie der ebenen Kurven und der Oberflaechen beschaeftigen, dann, +nach einer kurzen Abschweifung zu den Untersuchungen ueber die Gestalt der +Kurven und Oberflaechen und ueber die abzaehlende Geometrie, werde ich mich +mit den Studien ueber die Raumkurven befassen, um davon zur Darlegung des +Ursprunges und der Entwickelung der Lehre von den geometrischen +Transformationen ueberzugehen; darauf wende ich mich zur Geometrie der +Geraden, um dann mit der Nicht-euklidischen Geometrie und der Theorie der +Mannigfaltigkeiten von beliebig vielen Dimensionen zu schliessen.[47] + +{21} + + + + * * * * * + +II. + +Theorie der ebenen Kurven. + +------ + + + +Die allgemeine Theorie der ebenen Kurven entstand zugleich mit der +cartesischen Geometrie. Es ist leicht die Gruende fuer die Thatsache +anzugeben, dass das Erscheinen einer so wichtigen Theorie sich bis zu +diesem Zeitpunkte verzoegert hatte. In der That sind ja die Definition der +Ordnung einer Kurve, die daraus folgende Einteilung der Kurven in +algebraische und transcendente, der exakte Begriff einer in ihrer Ordnung +allgemeinen Kurve ihrer Natur nach wesentlich analytische Begriffe. Sie +synthetisch zu bestimmen, ist ein sehr schweres Problem, welches heutzutage +erst den wiederholten Anstrengungen der Geometer zu weichen sich anschickt; +dagegen, wenn man ein Koordinatensystem anwendet, eine wie leichte Sache +ist es dann, diese fundamentalen Begriffe festzustellen, sie unter einander +zu verbinden und aus ihnen interessante Folgerungen zu ziehen! + +Die Wahrheit dieser Behauptung finden wir durch die Thatsache bestaetigt, +dass kurz nach Descartes wichtige Eigenschaften, die allen algebraischen +Kurven gemeinsam sind, entdeckt wurden. Solche sind z. B. diejenigen, +welche Newton in den drei beruehmten Theoremen, die in seiner _Enumeratio +linearum tertii ordinis_ (1706) enthalten sind, bekannt gemacht hat; ferner +diejenigen, welche Newtons Schueler Cotes (1682-1716) und Maclaurin als +eine Verallgemeinerung der von Newton entdeckten Eigenschaften gaben;[48] +{22} schliesslich die von Waring (1734-1798)[49] gefundenen. Ueberdies +wurden noch von Maclaurin[50] und Braikenridge (etwa 1700, + nach 1759)[51] +einige interessante organische Erzeugungsweisen von Kurven hinzugefuegt, +die aehnlich denjenigen waren, welche Newton fuer die Kegelschnitte gegeben +hat.[52] Endlich wurden von De Gua (1712-1786)[53] Methoden fuer die +Bestimmung der Singularitaeten der durch Gleichungen definierten ebenen +Kurven angegeben. + +Es ist ueberfluessig zu sagen, dass die ersten methodischen Bearbeitungen +der Theorie der ebenen Kurven unter dem Einfluesse der analytischen +Geometrie stehen; wir verdanken solche Euler[54] und Cramer +(1704-1752)[55]. Diese studierten dieselben von Grund auf (kurz +nacheinander, der eine 1748, der andere 1750), indem sie sich vorzugsweise +mit den Singularitaeten befassten, besonders mit den Fragen, welche man +heute mit Hilfe der Geometrie des unendlich Kleinen loest. In dem Werke von +Cramer, das in vielen Beziehungen zu bewundern ist, finden wir auch schon +die ersten Untersuchungen ueber die Schnitte von Kurven und unter diesen +auch den Hinweis auf das, was man spaeter "das Cramersche Paradoxon" +genannt hat; das ist jener scheinbare Widerspruch zwischen der Zahl der +Punkte, die zur Bestimmung einer Kurve von gegebener Ordnung noetig {23} +sind, und der Zahl der Schnitte zweier Kurven derselben Ordnung,[56] ein +Widerspruch, welcher viele Jahre spaeter (1818) von Lame (1795-1870) durch +das beruehmte Prinzip aufgehoben wurde, welches seinen Namen traegt und das +man als den Grundstein jenes gewaltigen Bauwerkes ansehen muss, welches aus +einer Fuelle von Lehrsaetzen von Gergonne,[57] Pluecker,[58] Jacobi,[59] +Cayley[60] errichtet ist, und auf dessen Gipfel die geometrische +Interpretation des beruehmten Abelschen Theorems[61] steht. + +Nach den Arbeiten Eulers, Cramers und dem _Examen des differentes methodes +employees pour resoudre les problemes de geometrie_, in welchem Lame mit +grossem Erfolge das vorhin angefuehrte Prinzip auseinandergesetzt und +angewandt hatte, muessen wir uns zu Pluecker wenden, um zu Arbeiten zu +kommen, welche einen bemerkenswerten Fortschritt in der Theorie, die uns +beschaeftigt, bewirken. In dem im Jahre 1835 von diesem ausgezeichneten +Geometer veroeffentlichten _System der analytischen Geometrie_ ist von der +Methode der abgekuerzten Bezeichnung Gebrauch gemacht und dieselbe fuer die +Vervollstaendigung der Klassifikation der kubischen ebenen Kurven benutzt +worden, welche so viele bedeutende Gelehrte unternommen hatten. In der vier +Jahre spaeter gedruckten {24} _Theorie der algebraischen Kurven_[62] findet +sich dann noch ausser einer Aufzaehlung der ebenen Kurven vierter +Ordnung,[63] welche Bragelogne (1688-1744)[64] und Euler[65] nur versucht +hatten, die Aufstellung und Loesung einer Frage von sehr grosser +Wichtigkeit, derjenigen naemlich, die Beziehungen zwischen den Zahlen der +gewoehnlichen Singularitaeten einer ebenen Kurve zu finden. Schon Poncelet +hatte (1818) den Zusammenhang zwischen der Ordnung und der Klasse einer +allgemeinen Kurve ihrer Ordnung gefunden und spaeter den Einfluss eines +Doppelpunktes bestimmt; indem er nun auf diese Resultate das Prinzip der +Dualitaet anwandte, stiess er auf jenen anderen scheinbaren Widerspruch, +welchen wir heute das Ponceletsche Paradoxon nennen, ohne dass es ihm +gelang, dafuer eine vollstaendige Erklaerung zu finden. Das geschah durch +Pluecker vermittelst der beruehmten nach ihm benannten Formeln, welche +gestatten, drei Charakteristiken einer Kurve zu finden (Ordnung, Klasse, +Zahl der Doppelpunkte, der Doppeltangenten, Zahl der Wendetangenten und der +Rueckkehrpunkte), wenn man die uebrigen kennt. + +Auf die Frage, welche in einem gewissen Sinne reciprok zu der durch die +Plueckerschen Formeln geloesten ist, ob jeder Loesung derselben eine +wirkliche Kurve entspreche, musste man negativ antworten, da neuere +Untersuchungen {25} dargethan haben, dass fuer gewisse Kurven (die +rationalen Kurven) die Zahl der Rueckkehrpunkte eine gewisse Grenze nicht +uebersteigen kann.[66] + +Auf der anderen Frage, die Plueckerschen Formeln auf eine Kurve +auszudehnen, welche mit Singularitaeten hoeherer Ordnung ausgestattet ist, +beruhen die Untersuchungen von Cayley und anderen,[67] welche zu dem +Schluesse gefuehrt haben, dass jede Singularitaet einer Kurve als +aequivalent einer gewissen Anzahl von Doppelpunkten, Spitzen, +Wendetangenten und Doppeltangenten betrachtet werden kann. + +Ich fuege noch hinzu, dass man durch Jacobi,[68] Hesse (1811-1874),[69] +Salmon,[70] Cayley[71] und deren zahlreiche Kommentatoren[72] heute im +Besitze eleganter Methoden ist, um analytisch die Wendepunkte einer durch +eine Gleichung gegebenen Kurve, sowie die Beruehrungspunkte ihrer +Doppeltangenten anzugeben. + +Dank dem einen der ueberaus wertvollen Lehrbuecher,[73] mit welchen Salmon +so gewaltig zur Verbreitung der neuesten algebraischen und geometrischen +Methoden beigetragen hat, ist es heutzutage leicht, sich ueber diese und +viele andere Fragen, welche sich auf die analytische Theorie der ebenen +Kurven beziehen, eine genaue Kenntnis zu verschaffen. + +{26} + +Man braucht aber nicht zu glauben, dass bei diesem Studium der +fortwaehrende Gebrauch der Analysis unumgaenglich sei; vielmehr erhob sich +bald neben der Darlegung der Theorie der ebenen Kurven durch Euler, Cramer, +Pluecker, Salmon eine ebenso vollstaendige, aber mehr geometrische Theorie. + +In einer beruehmten Mitteilung, die im Jahre 1848 der Berliner Akademie +gemacht wurde, zeigte Steiner, indem er die Theorie der Polaren eines +Punktes in Bezug auf eine Kurve wieder aufnahm, welche Bobillier +(1797-1832) schon vordem[74] als eine Erweiterung der Diametralkurven +Newtons und Cramers aufgestellt, und mit welcher auch Grassmann (1809-1877) +sich beschaeftigt hatte,[75] dass dieselbe als Grundlage fuer ein vom +Gebrauche der Koordinaten unabhaengiges Studium der ebenen Kurven dienen +kann, und fuehrte jene bemerkenswerten zu einer gegebenen Kurve covarianten +Kurven ein, die heute seinen, Hesses und Cayleys Namen tragen. Diese kurzen +Andeutungen, verbunden mit den Untersuchungen von Steiner selbst, von +Chasles[76] und Jonquieres[77] ueber die Entstehung der algebraischen +Kurven vermittelst projektiver Bueschel von Kurven niederer Ordnung, +dienten als Grundlage fuer die _Introduzione ad una teoria geometrica delle +curve piane_,[78] in {27} welcher Cremona in einer einheitlichen Methode +zugleich mit vielen neuen Resultaten alles auseinandersetzt, was +wichtigeres von den analytischen Geometern, die ihm vorhergingen, erhalten +worden war. + +Bei dem ausserordentlichen Interesse der Sache scheint es mir auch, dass +man in die Reihe der schon zitierten Arbeiten auch die Serie von +Abhandlungen zu stellen hat, in welchen Clebsch (1833-1872) zuerst die +Algebra der linearen Transformationen auf die Geometrie angewandt hat, +dann, nachdem er die Wichtigkeit des Begriffes des Geschlechtes einer Kurve +ins Licht gestellt, die Anwendung der Theorie der elliptischen[79] und +Abelschen Funktionen auf die Wissenschaft von der Ausdehnung darlegte und +sie fuer das Studium der rationalen und elliptischen Kurven benuetzte.[80] +Es ist wahr, dass Brill und Noether in einer Abhandlung,[81] deren +Bedeutung von Tag zu Tag waechst, gezeigt haben, dass die Theorie der +algebraischen Funktionen in vielen Faellen die der eben angefuehrten +Transcendenten ersetzen kann, aber das vermindert nicht, sondern +vergroessert vielmehr das Verdienst, welches man den Methoden von Clebsch +zuerkennen muss, da die von hervorragenden Geistern gemachten +Anstrengungen, den Gebrauch eines {28} Hilfsmittels vermeiden zu koennen, +der ueberzeugendste Beweis der Macht desselben sind. + +Die bis jetzt besprochenen Arbeiten behandeln allgemeine Eigenschaften der +ebenen algebraischen Kurven.[82] Aber an sie reiht sich eine grosse Menge +von schoenen Spezialabhandlungen, welche eine bestimmte Kategorie von +Kurven behandeln; auf diese wollen wir einen kurzen Blick werfen. + +Unter ihnen sind vor allen zu bemerken die von Maclaurin,[83] von +Sylvester,[84] Cayley,[85] Salmon,[86] Durege,[87] Cremona,[88] von +Sturm,[89] von Kuepper,[90] Grassmann,[91] Milinowski[92] und von anderen +ueber die Kurven dritter Ordnung,[93] die Kapitel des _Barycentrischen +Calculs_, dann verschiedene Arbeiten von Em. Weyr,[94] von Clebsch und {29} +vielen anderen[95] ueber die rationalen Kurven; die wichtigen +Untersuchungen Steiners und Chasles' ueber die Kurven, die mit einem +Centrum versehen sind,[96] und die von Steiner ueber die dreispitzige +Hypocykloide;[97] ferner die Arbeiten, welche dem Beweise oder der +Verallgemeinerung der dort ausgesprochenen Eigenschaften gewidmet sind,[98] +die interessanten Untersuchungen von Bertini[99] ueber rationale Kurven, +fuer welche man willkuerlich die vielfachen Punkte bestimmen kann, die +wichtigen Studien von Brill ueber die Kurven vom Geschlechte zwei,[100] +dann die eleganten Abhandlungen von Klein und Lie[101] ueber die Kurven, +welche eine infinitesimale Transformation in sich selbst zulassen, endlich +die von Fouret ueber die Kurven, welche die eigenen reciproken Polaren in +bezug auf unendlich viele Kegelschnitte sind,[102] und die von Smith +(1826-1883) ueber die Singularitaeten der Modularkurven.[103] + +{30} + +Neben diesen verdient dann noch eine hervorragende Stelle die Abhandlung +von Steiner ueber die einer ebenen kubischen Kurve[104] oder einer Kurve +vierter Ordnung mit zwei Doppelpunkten eingeschriebenen Vielecke, auf +welche die juengsten Arbeiten von Kuepper[105] und Schoute[106] von neuem +die Aufmerksamkeit der Gelehrten gelenkt haben. Die Knappheit des Raumes +noetigt mich, fluechtig hinwegzugehen ueber die Untersuchungen von Cayley +_On polyzomal Curves otherwise the Curves_ [Wurzel]u + [Wurzel]v + ... = +0;[107] von Grassmann, Clebsch,[108] Schroeter[109] und Durege,[110] +betreffend die Erzeugung ebener Kurven dritter Ordnung, ueber die von +Lueroth,[111] von Casey,[112] Darboux,[113] Siebeck,[114] von Crone,[115] +Zeuthen[116] und noch anderen ueber einige spezielle ebene Kurven vierter +Ordnung, ueber die von Battaglini, die sich auf die syzygetischen Kurven +dritter Ordnung beziehen,[117] und andere, welche auch eine besondere +Erwaehnung verdienen wuerden. + +{31} + +Was ich aber nicht mit Stillschweigen uebergehen kann, das sind die +Arbeiten von Hesse ueber die Wendepunkte einer Kurve dritter Ordnung und +ueber die Gleichung, welche zu deren Bestimmung dient;[118] dann die von +demselben Hesse,[119] Steiner,[120] Aronhold[121] (1819-1884) ueber die +Doppeltangenten einer Kurve vierter Ordnung, welche eine hervorragende +Stelle verdienen, da sie viele bemerkenswerte Eigenschaften derselben ins +Licht gestellt haben; dieselben wurden darauf von Geiser[122] durch +stereometrische Betrachtungen dargethan, von Clebsch[123] dagegen und +Roch[124] vermittelst der Theorie der Abelschen Funktionen untersucht. + + + + * * * * * + +III. + +Theorie der Oberflaechen. + +------ + + + +Das Streben nach Verallgemeinerung, welches die geometrischen +Untersuchungen leitete, seitdem sich der Einfluss der Analysis auf dieselbe +mehr oder weniger offen geltend gemacht, trieb alsbald die Gelehrten dazu, +sich mit den Erscheinungen des Raumes zu beschaeftigen, welche Analogien +mit den schon in der Ebene betrachteten darbieten. Daher sehen wir denn +auch die Forschungen ueber die Oberflaechen {32} bald denen ueber die +ebenen Kurven folgen. Die Theorie dieser Gebilde ist jedoch neueren +Ursprungs. + +Den griechischen Geometern waren in der That nur einige wenige besondere +Oberflaechen bekannt (die Kugel, die Cylinder und Kegel, Konoide und +Sphaeroide, die plektoidischen Oberflaechen und wenige andere). Erst Wren +(1669), Parent und Euler begannen sich mit den Oberflaechen zweiten Grades +zu beschaeftigen, und wir muessen zur Schule von Monge gehen, um die +Eigenschaften von groesserer Wichtigkeit dieser hoechst bemerkenswerten +Oberflaechen anzutreffen.[125] Zu diesen ersten Eigenschaften wurden in +unserem Jahrhundert durch das zahlreiche Heer von Geometern, welche die +Flaechen zweiter Ordnung einer besonderen Betrachtung unterwarfen, viele +andere hinzugefuegt, und dank den Arbeiten so ausgezeichneter Gelehrter, +wie Jacobi,[126] {33} MacCullagh (1809-1847),[127] Chasles,[128] +Hesse,[129] Seydewitz (1807-1852),[130] Schroeter[131] konnte die Theorie +der Oberflaechen zweiter Ordnung in den mehr elementaren {34} Unterricht +eingefuehrt werden und methodisch auf analytischem sowohl wie synthetischem +Wege behandelt werden.[132] + +Aber nach der Lehre von den Oberflaechen zweiten Grades entstand und +entwickelte sich alsbald die der Oberflaechen hoeherer Ordnung. +Chasles[133] und Gergonne,[134] als die ersten, entdeckten an diesen +Gebilden wunderbare Eigenschaften. Poncelet bestimmte die Klasse einer in +ihrer Ordnung allgemeinen algebraischen Oberflaeche[135] und eroeffnete so +die Untersuchungen, welche zu den Beziehungen fuehren sollten, mit welchen +Salmon[136] und Cayley[137] die Loesung der analogen Aufgabe zu derjenigen +versuchten, welche Pluecker durch seine beruehmten Formeln geloest hatte. + +Jacobi[138] und spaeter Reye[139] beschaeftigten sich mit den Kurven und +Gruppen von Punkten, die durch den Schnitt von algebraischen Oberflaechen +entstehen. Chasles,[140] Cremona,[141] Reye,[139] Escherich,[142] +Schur,[143] mit ihrer {35} Entstehung vermittelst projektiver oder +reciproker Systeme von Oberflaechen niederer Ordnung, Grassmann +(1809-1877)[144] mit anderen Erzeugungsweisen; Salmon,[145] Clebsch,[146] +Sturm,[147] Schubert[148] und andere behandelten eine wichtige Klasse von +Aufgaben, welche sich auf Gerade beziehen, die mit einer gegebenen +Oberflaeche Beruehrungen von vorher bestimmter Ordnung haben; schliesslich +entdeckte Schur vor kurzem eine lineare Konstruktion[149] fuer Flaechen +beliebiger Ordnung. Eine interessante Erweiterung der Polarentheorie der +Oberflaechen beliebiger Ordnung verdanken wir Reye.[150] + +Trotz dieser und anderer Arbeiten, die ich der Kuerze halber +stillschweigend uebergehen muss, trotz der schoenen Darlegungen, welche +Salmon[151] und Cremona[152] ueber sie gemacht haben, kann man doch nicht +sagen, dass die Theorie der Oberflaechen weit vorgeschritten sei. Die +Fragen, die noch zu loesen bleiben, sind zahlreich und von fundamentaler +Wichtigkeit, und die Mittel, die zur Ueberwindung der Schwierigkeiten, +welche deren Loesung bietet, zur Verfuegung stehen, sind noch nicht +genuegend vervollkommnet. Vielleicht ist das der Grund dafuer, dass so +viele Gelehrte sich zum Studium besonderer Flaechen wandten, indem sie +hofften, nicht nur auf diesem Felde eine reichlichere Ernte von Wahrheiten +zu machen, sondern auch zu Untersuchungsmethoden zu gelangen, die der +Verallgemeinerung faehig sind. -- Und {36} dass ihre Erwartungen teilweise +nicht getaeuscht worden sind, das beweisen die zahlreichen Resultate, die +man schon ueber die Oberflaechen dritten Grades, sowie ueber einige von der +vierten Ordnung erhalten hat, ueber welche es mir noch obliegt, Bericht zu +erstatten. + +Es ist allgemein bekannt, dass die beiden hervorragendsten Eigenschaften +einer Flaeche dritter Ordnung die sind, 27 Gerade zu enthalten, und ein +Pentaeder zu besitzen, welches zu Ecken die Doppelpunkte und zu Kanten die +Geraden der Hesseschen Flaeche jener Oberflaeche hat. England und +Deutschland koennen sich um die Ehre, sie entdeckt zu haben, streiten. Wenn +auch schon im Jahre 1849 Cayley und Salmon[153] die Geraden einer kubischen +Flaeche bestimmt haben, und im Jahre 1851 Sylvester[154] das Pentaeder +entdeckte, so ist doch nicht minder wahr, dass Steiner unabhaengig von +ihnen die Existenz jener und dieses in seiner beruehmten Mitteilung, welche +er der Berliner Akademie im Jahre 1853 machte, behauptet hat.[155] Aber +waehrend die Studien der englischen Geometer fast gaenzlich der Fortsetzung +entbehren,[156] steht die Arbeit von Steiner an der Spitze einer langen +Reihe von Schriften, durch welche die Theorie der Oberflaechen dritter +Ordnung schnell einen ungehofften Grad der Vollendung erhielt. Indem ich +die Abhandlungen von Schroeter,[157] August[158] u. s. w., in welchen +einige der von Steiner ausgesprochenen Saetze bewiesen werden, nur kurz +erwaehne, will ich mich darauf beschraenken, die Aufmerksamkeit der Leser +auf die mit Recht beruehmten Schriften zu lenken, die von {37} Cremona[159] +und von Sturm[160] ueber diese Oberflaechen verfasst und im Jahre 1866 von +der Berliner Akademie mit dem Steiner-Preise gekroent sind, Arbeiten, auf +welche jeder zurueckkommen muss, welcher sich mit diesen wichtigen +geometrischen Gebilden vertraut machen will. Ich kann mich nicht aufhalten +bei den verschiedenen Erzeugungsweisen einer Flaeche dritter Ordnung, die +Grassmann,[161] August,[162] Affolter[163] und Piquet[164] den von Steiner +angegebenen hinzugefuegt haben, bei der Konstruktion dieser Flaechen, +welche Le Paige[165] gegeben hat, bei den vielen Saetzen, die sich auf die +Verteilung der Geraden, der dreifach beruehrenden Ebenen und die Kurven +einer kubischen Flaeche beziehen und welche vor kurzem von Cremona,[166] +Affolter,[167] von Sturm[168] und Bertini[169] entdeckt wurden, endlich bei +den von Cremona,[170] Caporali,[171] Reye[172] und Beltrami[173] studierten +Eigenschaften gewisser Hexaeder, welche mit einer Flaeche dritter Ordnung +verknuepft sind, sowie bei den von Zeuthen[174] betrachteten zwoelf {38} +vollstaendigen, in sie einbeschriebenen Pentaedern. Ich will noch +anfuehren, dass eine Einteilung dieser Oberflaechen, die auf die +Betrachtung der 27 auf ihr gelegenen Geraden sich stuetzt, von Schlaefli +gemacht ist[175] und eine neuere von Rodenberg,[176] die sich auf das +Pentaeder gruendet, dass ferner ein genaues und eingehendes Studium der +Regelflaechen dritten Grades (von denen eine von Cayley entdeckt wurde) den +Gegenstand wertvoller Arbeiten Cremonas,[177] Em. Weyrs[178] und Benno +Kleins[179] bildet, dass schliesslich die sogenannte Diagonalflaeche einen +wichtigen Teil in einer Untersuchung von Clebsch ueber die Gleichungen +fuenftes Grades bildet[180] und dass andere besondere Faelle von +Cayley[181] und Eckardt[182] in einigen wertvollen Abhandlungen betrachtet +wurden. Wenn ich dann noch gesagt habe, dass die Untersuchungen von +Salmon,[183] Clebsch,[184] Gordan[185] und de Paolis[186] die {39} +geometrische Bedeutung fuer das Verschwinden der fundamentalen invarianten +Formen der quaternaeren kubischen Form festgestellt haben, welche gleich +Null gesetzt in homogenen Koordinaten eine Flaeche dritter Ordnung +darstellt, dass schliesslich Jordan[187] von Grund auf die Natur der +Gleichung studiert hat, welche zur Bestimmung der Geraden einer kubischen +Flaeche dient, dann glaube ich dem Leser genug Momente an die Hand gegeben +zu haben, um daraus den (von mir eben angedeuteten) Schluss zu ziehen, dass +die Theorie dieser geometrischen Gebilde, von welchem Punkte man sie auch +betrachten mag, heute einen beachtenswerten Grad der Vollendung erreicht +hat. + +Solches kann man jedoch nicht von der Theorie der Oberflaechen vierten +Grades behaupten, vielmehr sind von ihnen nur wenige Klassen genauer +studiert; ueber jede derselben werde ich kurz sprechen. An die erste Stelle +will ich die Developpabele vierter Klasse setzen, die zweien Flaechen +zweiten Grades umbeschrieben ist, und die geradlinigen Flaechen vierten +Grades; jene wurde von Poncelet[188] und Chasles[189] untersucht, diese von +demselben Chasles,[190] von Cayley[191] und vollstaendiger von +Cremona.[192] + +Dann lasse ich die Oberflaechen vierter Ordnung folgen, auf welchen Scharen +von Kegelschnitten existieren und welche alle mit ausserordentlichem +Scharfsinne von Kummer[193] bestimmt wurden. Unter diesen sind zwei +besonderer Erwaehnung wert, da sie das Objekt zahlreicher Untersuchungen +gewesen sind: die Oberflaeche vierter Ordnung mit einem Doppelkegelschnitt +und die roemische Flaeche von Steiner. + +Von der ersteren entdeckte Kummer im Jahre 1864 die bemerkenswerte +Eigenschaft, dass die ihr doppelt {40} umgeschriebene Developpabele aus +fuenf Kegeln zweiter Ordnung besteht. Gleichzeitig fand Moutard[194] +dieselbe Eigenschaft fuer den Fall, dass die Doppelkurve der Oberflaeche +der unendlich entfernte imaginaere Kugelkreis ist,[195] und er bemerkte +weiter gleichzeitig mit Darboux,[196] dass in diesem Falle die Oberflaeche +zu einem dreifachen Systeme von orthogonalen Oberflaechen, gebildet von +Flaechen derselben Art, gehoeren kann. Von jener Zeit ab wurden die +Oberflaechen vierter Ordnung, welche als Doppelkurve den unendlich +entfernten imaginaeren Kugelkreis haben, wiederholt von Darboux,[197] von +Laguerre (1834-1886)[198] und von Casey[199] studiert; hingegen diejenigen, +welche als Doppelkurve einen beliebigen Kegelschnitt besitzen, von +Cremona,[200] Geiser,[201] Sturm,[202] Zeuthen,[203] von Clebsch,[204] +Korndoerfer,[205] Berzolari[206] und Domsch[207] -- welcher auf sie die +hyperelliptischen Funktionen anwandte -- und diejenigen, welche einen +Kuspidalkegelschnitt haben, von Toetoessy.[208] Was die Klassifikation +dieser Oberflaechen betrifft, so moege {41} es mir gestattet sein, meinen +Namen anzufuehren[209] neben dem meines teuern Freundes Segre.[210] + +Die roemische Flaeche von Steiner hat wiederholt die Aufmerksamkeit der +Geometer auf sich gezogen und zwar vorzueglich zweier Eigenschaften wegen; +die eine derselben, naemlich von jeder Tangentialebene in zwei +Kegelschnitten getroffen zu werden, wurde besonders von den Synthetikern +betrachtet, die andere, dass die homogenen Koordinaten ihrer Punkte sich +als ganz allgemeine ternaere quadratische Formen darstellen lassen,[211] +wurde mehr von den analytischen Geometern verwertet. Wer Lust hat, alle +Eigenschaften, die sie besitzt, kennen zu lernen,[212] wird dieselben in +den synthetischen Abhandlungen von Cremona,[213] Schroeter[214] und +Sturm,[215] auf den Seiten, welche Reye ihr in seiner {42} _Geometrie der +Lage_ (2. Bd.) gewidmet hat, und in den analytischen Abhandlungen von +Cayley,[216] Beltrami,[217] Clebsch,[218] Eckardt,[219] Laguerre[220] und +Gerbaldi[221] finden. + +Kummer verdanken wir auch die Kenntnis einer anderen wichtigen Klasse von +Flaechen vierter Ordnung; dieselbe besteht aus Oberflaechen, die nicht +singulaere Linien enthalten, sondern nur singulaere Punkte.[222] Wir werden +in kurzem (s. VII) sehen, welche Untersuchungen Kummer zu diesen +Oberflaechen gefuehrt haben; fuer jetzt genuege es, hervorzuheben, dass die +interessanteste unter ihnen (welche man heute die Kummersche Oberflaeche +nennt) 16 singulaere Doppelpunkte und 16 singulaere Tangentialebenen hat +und dass Specialfaelle derselben die Wellenflaeche von Fresnel[223] und das +von Cayley 1846 untersuchte Tetraedroid[224] sind. Eine solche Oberflaeche +ist zu sich selbst dual.[225] Ihre {43} asymptotischen Kurven wurden von +Klein und Lie bestimmt[226] und Reye[227] zeigte, dass jede die Grundkurve +eine Bueschels von Oberflaechen vierter Ordnung ist; zwischen ihnen und den +Thetafunktionen existiert eine innige Beziehung, welche Cayley und +Borchardt (1817-1880)[228] entdeckt haben und die H. Weber[229] zusammen +mit anderen entwickelt hat;[230] die algebraischen Fragen, welche sich an +die Bestimmung ihrer Singularitaeten knuepfen, wurden von Jordan[231] +geloest; endlich kann man dieselbe, wie Rohn[232] es gethan hat, +vermittelst der Theorie der hyperelliptischen Funktionen[233] behandeln. + +Indem ich die Oberflaechen vierter Ordnung, welche als Doppelkurve einen in +zwei getrennte oder zusammenfallende Gerade degenerierten Kegelschnitt +haben und andere, mit denen Cayley[234] sich beschaeftigt hat, uebergehe, +will ich noch die Monoide erwaehnen,[235] die von Rohn studiert sind,[236] +und {44} diejenigen Flaechen, welche, ohne geradlinig zu sein, eine gewisse +Anzahl von Geraden enthalten. Dieselben sind der Ort der Punkte, in welchen +vier entsprechende Ebenen von vier kollinearen Raeumen sich schneiden; +Chasles hat ihre Ordnung bestimmt und Schur eine Menge eleganter +Eigenschaften derselben gefunden.[237] + +Ich will diesen Abschnitt meiner Musterung beschliessen, indem ich noch +einige Oberflaechen von hoeherer als der vierten Ordnung anfuehre, welche +die Gelehrten schon beschaeftigten. Zuerst verdienen die geradlinigen +Oberflaechen erwaehnt zu werden, welche im allgemeinen von Chasles,[238] +Salmon,[239] Cayley,[240] von Pluecker,[241] La Gournerie (1814-1883),[242] +Voss[243] und im besonderen von Chasles,[244] Cremona,[244] Schwarz,[245] +La Gournerie[246] (Regelflaechen, die in bezug auf ein Tetraeder +symmetrisch sind), von {45} Clebsch,[247] Armenante[248] (rationale und +elliptische Regelflaechen), von Em. Weyr[249] (Regelflaechen, erzeugt durch +die Verbindungslinien entsprechender Punkte zweier gerader Punktreihen in +der Korrespondenz [m, n]), von Ed. Weyr[250] (Oberflaechen, erzeugt durch +die Bewegung eines variabelen Kegelschnittes), von Eckardt[251] und +Chizzoni[252] (Regelflaechen, erzeugt durch die Verbindungslinien +entsprechender Punkte zweier ebener projektiv bezogener Kurven). Dann +folgen solche, die, wenn sie auch nicht Regelflaechen sind, doch Gerade +enthalten und die von Sturm[253] und Affolter[254] untersucht sind, ferner +die algebraischen Minimalflaechen, bei welchen Geiser[255] und Lie[256] +bemerkenswerte Eigentuemlichkeiten fanden. Dann will ich noch einige +Flaechen nennen, die aus einer Oberflaeche zweiten Grades abgeleitet sind +(Ort der Kruemmungscentren; Fusspunktflaechen, Aspidalflaechen etc.), sowie +die Oerter der Spitzen der Kegel zweiten Grades, die m Gerade beruehren und +durch (6-m) Punkte gehen, welche Flaechen eingehend von Chasles,[257] +Lueroth,[258] Hierholzer[259] und von Cayley[260] studiert wurden, da sie +zur Aufloesung gewisser Probleme aus der Theorie der Charakteristiken der +einfach unendlichen Systeme von Kegeln zweiter Ordnung dienten; +schliesslich diejenigen, welche unendlich viele lineare {46} +Transformationen zulassen, die kontinuierlich aufeinander folgen;[261] +diejenigen, welche die eigenen reziproken Polaren in bezug auf unendlich +viele Flaechen zweiten Grades sind,[262] diejenigen, welche durch reciproke +Cremonasche Systeme erzeugt werden,[263] und diejenigen, welche dieselben +Symmetrie-Ebenen wie ein regulaeres Polyeder besitzen.[264] + + + +Die Untersuchungen ueber die Oberflaechen, mit denen wir uns bis jetzt +beschaeftigt haben, behandeln Eigenschaften, welche vermittelst einer wohl +bekannten Betrachtungsweise auf das Gebiet der projektiven Geometrie +zurueckgefuehrt sind oder sich darauf zurueckfuehren lassen. Es giebt aber +noch viele andere Untersuchungen, welche Eigenschaften von ganz anderer Art +behandeln, die groesstenteils auf keine Weise sich als projektiv betrachten +lassen, da die Gruppe der Transformationen, die zu ihnen gehoert, nicht die +der projektiven Geometrie ist.[265] Diese bilden zusammen mit den Studien, +die sich auf die Infinitesimaleigenschaften der Raumkurven beziehen (ueber +welche wir einiges im folgenden Paragraphen sagen werden), einen sehr +wichtigen Zweig der Geometrie fuer sich sowohl, als auch wegen der +Anwendungen, welche man von ihnen in der Geodaesie und der mathematischen +Physik machen kann; man kennt ihn unter dem Namen der +Differentialgeometrie. Ueber die wesentlichen Punkte derselben wollen wir +nun einiges sagen. Und da man den Ursprung dieses Teiles der Geometrie von +dem Erscheinen der _Application de l'Analyse a la Geometrie_[266] {47} von +Monge datieren kann, und das spaetere Werk, welches von groesserem +Einfluesse war, das von Gauss (1777-1855) ist, welches den Titel traegt: +_Disquisitiones generales circa superficies curvas_,[267] so nehmen wir in +unserer kurzen Darlegung die von Monge und Gauss angenommene Einteilung des +Stoffes als Anhalt, indem wir zuerst besprechen, was diese selbst in +Hinsicht auf die von ihnen behandelten Gegenstaende geleistet haben, und +dann vorfuehren, was ihre Nachfolger hinzugefuegt haben. + +Der erste Paragraph des Mongeschen Werkes bietet kein besonderes Interesse, +da er nur die Bestimmung der Beruehrungsebenen und Normalen einer +Oberflaeche zum Zwecke hat; er kann also als Einleitung betrachtet werden. +Die vier folgenden Paragraphen behandeln cylindrische Oberflaechen, Kegel- +und Rotationsflaechen und solche, welche (um einen modernen Ausdruck zu +gebrauchen) in einer linearen Kongruenz mit einer unendlich fernen +Leitgeraden enthalten sind. Hoechst bemerkenswert ist der folgende +Paragraph, indem Monge dort bei der Besprechung der Enveloppen den +wichtigen Begriff der Charakteristik und der Rueckkehrkurve (_arete de +rebroussement_) einer Enveloppe eingefuehrt hat; an diesen Paragraphen +schliessen sich die drei folgenden enge an; sie behandeln Roehrenflaechen +mit ebener Leitlinie (s. 7), Flaechen, die als Linien groesster Neigung +gegen eine gegebene Ebene Gerade von konstanter Neigung haben (s. 8), und +schliesslich Enveloppen einer Oberflaeche, die sich unter der Bedingung +bewegt, dass ein mit ihr unveraenderlich verbundener Punkt eine gegebene +Kurve durchlaeuft (s. 9).[268] -- Von da ab beginnt die Theorie der +partiellen {48} Differentialgleichungen die wichtige Rolle zu spielen, die +Monge ihr in der analytischen Geometrie zugewiesen hat; von diesem Punkte +an zeigt es sich, dass es in vielen Faellen fuer die Bestimmung der Natur +einer Oberflaeche nuetzlicher und bequemer ist, eine Differentialgleichung +fuer sie zu haben, als eine solche in endlichen Ausdruecken. Beispiele +hierfuer bieten die Flaechen, die in einem speziellen linearen Komplexe +enthalten sind mit einer unendlich fernen oder endlichen Axe (von Monge im +s. 10 und s. 11 behandelt), fernere Beispiele die abwickelbaren Flaechen +(s. 12), andere die im s. 9 beschriebenen, andere schliesslich die Oerter +beweglicher Kurven, von welchen ein Punkt eine feste Kurve durchlaeuft (s. +14).[269] -- Die Theorie der Kruemmung einer Oberflaeche in einem +Punkte,[270] sowie das Studium der Verteilung der Normalen derselben +Flaeche[271] fuehren zu einer neuen Art von Flaechen, die der Betrachtung +wert sind; jene und diese finden sich im s. 15, der sicherlich einer der +wichtigsten des Mongeschen Werkes ist. Der Spezialfall des Ellipsoides ist +im s. 16 behandelt, derselbe enthaelt die Bestimmung der Kruemmungslinien +dieser Flaeche.[272] -- Gross an Zahl und von grosser Wichtigkeit sind die +Fragen, zu denen die Theorie der Kruemmung Anlass giebt. Man kann z. B. die +Oberflaechen untersuchen, bei denen der eine Kruemmungsradius fuer jeden +Punkt denselben Wert hat; Monge fand (s. 18), dass dieselben von einer +Flaeche von konstanter Form eingehuellt werden, die sich in der {49} vorhin +(in den ss. 9 und 13) angegebenen Weise bewegt. Man kann dagegen auch +voraussetzen, dass in jedem Punkte die beiden Kruemmungsradien gleich und +von gleichem Sinne seien: die Oberflaeche ist dann eine Kugel. Wenn dagegen +die beiden Kruemmungsradien in jedem Punkte gleich, aber von +entgegengesetztem Sinne sind, so ist die Flaeche eine Minimalflaeche.[273] +Oder es sei in jedem Punkte einer der Kruemmungsradien gleich gross (s. +21).[274] + +An die Theorie der Kruemmung schliessen sich dann die Studien ueber die +Roehrenflaechen mit beliebiger Leitkurve (ss. 22 und 26) und ueber +diejenigen Flaechen, bei welchen alle Normalen eine gegebene Kugel (s. 23), +einen gegebenen Kegel (s. 24) oder eine gegebene Developpabele (s. 25) +beruehren. -- Fuer einige dieser Flaechenfamilien hat Monge die +Konstruktion angegeben, fuer alle die Gleichungen, sei es die +Differentialgleichungen oder die endlichen, und, da er sich das Problem +gestellt und geloest hat, von jenen zu diesen zu gelangen, so verdient denn +sein grosses Werk, dass es auch von denen, welche sich mit der Analysis des +Unendlichen beschaeftigen, eingehend studiert werde. + +Kurz nach dem Erscheinen des Werkes von Monge wurde die +Differentialgeometrie durch eine hoechst wichtige Arbeit bereichert, die +_Developpements de Geometrie_ von Ch. Dupin (1813). In derselben wird unter +anderem der Begriff der konjugierten Tangenten eines Punktes einer +Oberflaeche und der der Indikatrix eingefuehrt; dort sind die +asymptotischen Linien (Haupttangentenkurven)[275] untersucht, und {50} der +beruehmte Satz bewiesen, der unter dem Namen des Dupinschen Theorems +allgemein bekannt ist. + +Als Fortsetzung des Mongeschen Werkes kann man die zahlreichen +Untersuchungen ueber Flaechen mit ebenen oder sphaerischen Kruemmungslinien +ansehen, die man Dupin,[276] Alfred Serret (1819-1885),[277] O. +Bonnet,[278] Dini,[279] Enneper (1830-1885),[280] Darboux,[281] +Picart,[282] Lecornu,[283] Dobriner,[284] Voretsch[285] und anderen +verdankt. + +Von derselben Art, aber von groesserer Allgemeinheit sind die wichtigen +Untersuchungen von Weingarten ueber solche Oberflaechen, bei denen in jedem +Punkte der eine Kruemmungsradius eine Funktion des anderen ist,[286] welche +Untersuchungen Dini (a. O.), Beltrami[287] und Lie[288] zur Bestimmung der +windschiefen Oberflaechen mit derselben Eigenschaft gefuehrt haben. +Dasselbe kann man von den Untersuchungen sagen, welche man ebenfalls +Weingarten verdankt[289] und die sich auf Oberflaechen beziehen, deren +Normalen eine andere vorgelegte Oberflaeche beruehren. -- Dem s. 20 des +Mongeschen Werkes koennen wir die {51} zahlreichen Abhandlungen +anschliessen, welche die Minimalflaechen behandeln. Wir fuehren zunaechst +die von Steiner[290] und Weierstrass[291] an, die sich mit der allgemeinen +Theorie befassen, dann die von Scherk[292] und Bonnet,[293] welche einige +Spezialfaelle derselben bearbeitet haben; Serret[294] beschaeftigte sich +dann mit solchen, die durch zwei Gerade hindurch gehen, Riemann[295] und +Weierstrass[296] mit solchen, die einen gegebenen Umriss haben, Geiser[297] +mit algebraischen, Noevius[298] mit solchen periodischen, welche unendlich +viele Geraden und unendlich viele ebene geodaetische Linien besitzen; +Catalan[299] mit solchen, die als geodaetische Linie eine Parabel haben, +Henneberg[300] mit denen, welche eine semikubische Parabel als geodaetische +Linie haben; Bonnet[301] untersuchte solche, auf welchen sich eine Schar +von ebenen Kruemmungslinien befindet; Bour[302] diejenigen, welche auf eine +Rotationsflaeche sich abwickeln lassen; Schwarz solche, die durch ein +windschiefes Vierseit bestimmt sind[303] oder die von Kegeln eingehuellt +sind,[304] und solche, die ohne algebraisch zu sein, doch algebraische +Kurven enthalten;[305] {52} Enneper[306] untersuchte diejenigen, welche +unendlich viele Kreise enthalten, u. s. w. Andere Fragen wurden von +Mathet[307] behandelt, von Beltrami,[308] von Lie,[309] Kiepert,[310] +Henneberg,[311] Ribaucour,[312] Bianchi[313] und Pincherle.[314] +Schliesslich ist die Theorie der Minimalflaechen einer bemerkenswerten +Erweiterung faehig, die von Lipschitz[315] entdeckt wurde. + +Wir gehen jetzt dazu ueber, kurz auseinander zu setzen, welches die +hervorragenderen Stellen des zweiten Werkes sind, dem wir, wie schon +gesagt, die wichtigsten Lehren der Differentialgeometrie verdanken, der +_Disquisitiones generales circa superficies curvas_ von Gauss. + +Schon zu Ende des ersten Paragraphen derselben finden wir einen hoechst +wichtigen Begriff, naemlich den der sphaerischen Abbildung einer +Oberflaeche, dessen Fruchtbarkeit vielfache Anwendungen, die von ihm +gemacht sind, dargethan haben. Kurz darauf (s. IV) treffen wir die zwei +unabhaengigen Veraenderlichen, vermittelst derer man die Koordinaten der +Punkte einer Oberflaeche ausdrueckt, d. h. die krummlinigen Koordinaten auf +einer Oberflaeche. (Vgl. auch die ss. XVII und XIX). Dann enthaelt s. VI +die Erweiterung der Betrachtung, die man gewoehnlich zur Grundlage der +Theorie der Kruemmung der ebenen und unebenen Kurven nimmt, auf den Raum, +aus welcher Erweiterung der Begriff des Kruemmungsmasses einer Oberflaeche +in einem {53} gewoehnlichen Punkte hervorgegangen ist.[316] Bekanntlich ist +dasselbe gleich dem Produkte aus den beiden Hauptkruemmungsradien der +Flaeche in jenem Punkte[317] (s. VIII). Das Kruemmungsmass einer +Oberflaeche kann man sowohl durch die gewoehnlichen kartesischen +Koordinaten (ss. VII und IX) als auch durch die krummlinigen Koordinaten +der Oberflaeche ausdruecken (ss. X und XI).[318] + +Bei der Untersuchung dieses letzteren Ausdruckes bieten sich die +Coefficienten E, F, G des Ausdruckes des Kurvenelementes dar, deren +Bedeutung in der Theorie der Oberflaechen, die auf eine andere abwickelbar +sind[319] (s. XII), Gauss zuerst hervorgehoben hat. Dabei stellte er eine +neue Betrachtungsweise der Oberflaechen auf (s. XIII), indem er dieselben +als unendlich duenne, biegsame und unausdehnbare Koerper ansah. Die +folgenden Paragraphen der Abhandlung von Gauss behandeln die geodaetischen +Linien und haben die Bestimmung ihrer Differentialgleichungen zum Zwecke +(s. XIV und XVIII), dann die Uebertragung der Polarkoordinaten, des Kreises +(s. XV), der Parallelkurven (ss. XVI), auf die Geometrie auf einer +Oberflaeche, sowie die Berechnung der totalen Kruemmung eines geodaetischen +Dreiecks (s. XX). Die ss. XXI und XXII beziehen sich auf die Transformation +des Ausdruckes fuer das Kurvenelement, die uebrigen behandeln andere Fragen +aus der Geodaesie und duerften daher unsere Aufmerksamkeit nicht auf sich +ziehen. + +{54} + +Schon aus diesen fluechtigen Andeutungen ersieht man, wie reich an +fundamentalen Begriffen die Abhandlung von Gauss ist. Die Entwickelungen, +die sie gehabt, und die vielen Arbeiten, welche sie hervorgerufen, und von +denen wir noch kurz zu sprechen haben, werden ihre Bedeutung noch klarer +machen. Unter diesen Arbeiten muss man den schoenen _Ricerche di analisi +applicata alla geometria_, die Beltrami im zweiten und dritten Bande des +_Giornale di Matematiche_ veroeffentlicht hat, eine hervorragende Stelle +einraeumen, dann den Abhandlungen von demselben Verfasser _Dalle variabili +complesse su una superficie qualunque_,[320] _Teoria generale dei parametri +differenziali_[321] und _Zur Theorie des Kruemmungsmasses_.[322] +Bemerkenswert sind ferner die Studien von Bonnet[323] und von Darboux[324] +ueber die sphaerische Abbildung der Oberflaechen, die sich an die ersten in +den _Disquisitiones_ enthaltenen Untersuchungen anknuepfen. Der Begriff der +Kruemmung fuehrte zum Studium der Oberflaechen mit konstanter (positiver +oder negativer) Kruemmung, dem so viele ausgezeichnete Geometer ihre +Kraefte gewidmet haben. Unter diesen fuehren wir die zwei Arbeiten von +Beltrami an: _Risoluzione del problema. Riportare i punti di una superficie +sopra un piano in modo che le geodetiche vengano rappresentate da linee +rette_[325] und _Saggio di una interpretazione della Geometria +non-euclidea_,[326] dann die Schriften von Dini,[327] Lie,[328] {55} +Bianchi,[329] Baeklund,[330] Darboux[331] und Dobriner.[332] Von derselben +Art, aber allgemeiner, sind die Studien von Christoffel[333] ueber die +Bestimmung der Gestalt einer Oberflaeche mit Hilfe von auf ihr selbst +genommenen Massen und von Lipschitz[334] ueber die Oberflaechen, welche +bestimmte auf die Kruemmung bezuegliche Eigenschaften haben, oder bei +welchen der Ausdruck des Kurvenelements von vornherein festgesetzt ist. + +An den Abschnitt der Gaussischen Abhandlung, welcher die geodaetischen +Linien behandelt, knuepfen sich einige Arbeiten von Joachimsthal +(1818-1861),[335] Schering,[336] Beltrami,[337] die von Lie[338] gemachte +Einteilung der Oberflaechen auf Grund der Transformationsgruppen ihrer +geodaetischen Linien und die Untersuchungen ueber geodaetische Kurven von +demselben Verfasser.[339] Mit demjenigen Abschnitte, welcher sich auf die +Abwickelbarkeit der Oberflaechen bezieht, steht eine wichtige Arbeit von +Minding in enger Beziehung,[340] in der zum ersten Male die Frage +aufgestellt ist, ob die Gleichheit der Kruemmung in entsprechenden Punkten +eine hinreichende Bedingung fuer die Abwickelbarkeit zweier Oberflaechen +sei: er gelangte fuer den allgemeinen Fall zu einem negativen Resultate, zu +einem {56} positiven dagegen fuer den Fall konstanter Kruemmung. Dasselbe +gilt von den Arbeiten von Bour[341] (1832-1866), Codazzi[342] und +Bonnet,[343] welche fuer preiswuerdige Antworten auf die im Jahre 1861 von +der Pariser Akademie der Wissenschaften gestellte Frage erkannt worden +sind. Derselbe Gegenstand oder verwandte Gegenstaende wurden dann in den +Abhandlungen von Christoffel,[344] von Mangoldt,[345] Weingarten,[346] +Brill,[347] Minding,[348] Jellet,[349] Dini,[350] Enneper,[351] +Razzaboni,[352] Lecornu,[353] Beltrami[354] und vielen anderen behandelt. + +Die schoene von Gauss gegruendete Theorie der krummlinigen Koordinaten +einer Oberflaeche liess den Wunsch entstehen, eine analoge Theorie fuer den +Raum zu haben. Schon im Jahre 1837 stellte Lame sie fuer einen Spezialfall +auf, naemlich fuer den der elliptischen Koordinaten,[355] spaeter wies er +auf die orthogonalen krummlinigen Koordinaten {57} hin[356] und +konstruierte dann die Theorie derselben,[357] ohne ihre Anwendung[358] und +Entwickelung[359] zu vernachlaessigen. Die beruehmten _Lecons sur la +theorie des coordonnees curvilignes et leurs diverses applications_ (Paris, +1859) von Lame fassen zusammen und vervollstaendigen die glaenzenden +Resultate, die von Lame in diesem Zweige der Geometrie erhalten waren. In +der Folge haben sich viele andere mit demselben beschaeftigt. Vor allen +fuehre ich Aoust an, der ihm viele und wichtige Arbeiten widmete,[360] dann +Brioschi,[361] Codazzi,[362] Chelini (1802-1878),[363] Darboux,[364] +Combescure,[365] Levy,[366] Royer[367] und noch andere. Hierzu sehe man +noch die Schriften, welche dreifache Systeme orthogonaler Oberflaechen +behandeln und von denen ich nur diejenigen von Bouquet,[368] A. +Serret,[369] Bonnet,[370] Catalan,[371] Moutard,[372] Darboux,[373] +Cayley,[374] Ribaucour,[375] {58} Weingarten,[376] Schlaefli,[377] +Hoppe,[378] Bianchi[379] und Molins[380] nennen will. + +Von den Arbeiten, welche spezielle Oberflaechen behandeln, die nicht zu bis +jetzt besprochenen Kategorien gehoeren, fuehren wir die von Lie[381] an, +welche sich auf Oberflaechen beziehen, die infinitesimale lineare +Transformationen in sich selbst zulassen; dann die von Enneper,[382] die +sich auf Oberflaechen mit speziellen Meridiankurven beziehen, ferner die +von Cayley[383] und Weingarten[384] und die von Willgrod[385] ueber +Oberflaechen, welche durch ihre Kruemmungslinien in unendlich kleine +Quadrate geteilt werden; schliesslich die von Bianchi[386] ueber +Schraubenflaechen. + +Ein bemerkenswerter Fortschritt in der analytischen Infinitesimalgeometrie +der Oberflaechen wurde durch die Bemuehungen de Salverts geschaffen, der in +einigen eleganten Arbeiten,[387] wahrscheinlich hervorgerufen durch die +schoenen _Vorlesungen ueber die analytische Geometrie des Raumes_ von +Hesse, zeigte, wie man durch Benutzung der Gleichung einer Oberflaeche in +ihrer allgemeineren Form, f(x, y, z) = 0, ein bei weitem bequemeres System +von Formeln fuer die Loesung gewisser Probleme aufstellen konnte, als wenn +die Gleichung z = [phi](x, y) zu Grunde gelegt wird. + +{59} + +Ueber Differentialgeometrie existieren noch einige gute Darlegungen. Eine +verdankt man Hoppe; sie traegt den Titel: _Elemente der Flaechentheorie_; +eine andere wurde von Brisse unternommen;[388] die neuesten sind die von +Bianchi in seinen sehr schoenen _Lezioni di geometria differenziale_ (Pisa, +1886) und die, welche Darboux in seinen _Lecons sur la theorie generale des +surfaces_ begonnen hat, von denen wir schon den ersten Teil besitzen +(Paris, 1887). + +Wir wollen diesen Abschnitt beschliessen, indem wir noch bemerken, dass die +Zuhilfenahme der Analysis fuer das Studium der Infinitesimalgeometrie nicht +notwendig ist; vielmehr haben Bertrand[389] und Bonnet[390] zuerst gezeigt, +welchen Nutzen man bei diesen Studien auch aus synthetischen Betrachtungen +ziehen kann. Ausserdem enthalten der erste Band des _Traite de calcul +differential et integral_ von Bertrand und der _Traite de geometrie +descriptive_ von de la Gournerie[391] und eine grosse Zahl von ueberaus +schoenen Abhandlungen von Mannheim[392] bemerkenswerte geometrische +Untersuchungen, welche dem Zweige der Wissenschaft des Raumes, mit dem wir +uns eben beschaeftigt haben, angehoeren. + +{60} + + + + * * * * * + +IV. + +Untersuchungen ueber die Gestalt der Kurven und Oberflaechen. Abzaehlende +Geometrie. + +------ + + + +Bei der Besprechung der bedeutenderen Fortschritte, welche die Theorie der +Kurven und die der Oberflaechen gemacht, haben wir zwei wichtige Kategorien +der Untersuchung uebergangen, weil wir dieselben besser in einem besonderen +Abschnitte unserer Arbeit zusammenfassen koennen. + +Die erstere umfasst eine Reihe von Studien besonderer Natur und hat zum +Zwecke die Bestimmung der Gestalt, welche die Kurven und Oberflaechen von +gegebener Ordnung annehmen koennen, und ich halte es fuer angemessen, bei +diesen eine Zeit lang zu verweilen. + +Die Bestimmung der Gestalt der Kurven zweiter Ordnung reicht schon in das +Altertum. Fuer dieselbe bedurfte es auch nicht eines hervorragenden +Geistes, wenn man bedenkt, dass die Alten jene Kurven als Schnitte eines +Kreiskegels betrachteten. + +Dagegen ist die Bestimmung der Gestalt, welche die Kurven dritter Ordnung +annehmen koennen, nicht ohne Schwierigkeit. Newton ueberwand diese, indem +er lehrte, dass alle Kurven dritter Ordnung durch Projektion von fuenfen +derselben, welche er divergierende Parabeln nannte, erhalten werden +koennen.[393] Zu dieser ersten Einteilung der Formen {61} der Kurven +dritter Ordnung fuegte Chasles[394] eine weitere hinzu, die, obwohl sie auf +einem ganz anderen Gedanken beruhte, mit der von Newton eine nicht zu +verkennende Analogie bietet. Nach ihr kann man die Formen der Kurven +dritter Ordnung saemtlich auffinden durch Projektion von fuenfen derselben, +die symmetrisch in bezug auf ein Zentrum sind. Eine dritte Methode der +Einteilung endlich stuetzt sich auf das konstante Doppelverhaeltnis der +vier Tangenten, die man an die allgemeine Kurve dritter Ordnung von einem +ihrer Punkte aus ziehen kann; diese wurde von Durege entwickelt.[395] + +{62} + +Bei weitem groessere Schwierigkeit bietet das Studium der Gestalt der +ebenen Kurven vierter Ordnung, die schon angefuehrten Arbeiten von +Bragelogne, Euler und Pluecker bilden hierzu einen wichtigen Beitrag. Es +scheint aber nicht, dass man diese -- dasselbe gilt auch von den schon +genannten auf die kubische Kurve bezueglichen -- als die Grundlage zu einer +allgemeinen Theorie der Gestalt der ebenen Kurven ansehen darf; vielmehr +muss man dieselben als die ersten Vorlaeufer jener Lehren betrachten, die +man heute als eine feste Grundlage dieser Theorie ansieht. Solche Lehren +gehoeren in das Gebiet der synthetischen Geometrie, zum Teil aber waren sie +das Resultat der Anwendung der Abelschen Funktionen auf die Wissenschaft +der Ausdehnung. Von den ersteren wurden einige von Staudt in seiner +_Geometrie der Lage_[396] auseinandergesetzt und beziehen sich auf die +Gestalten der ebenen Polygone und der Polyeder, die paaren und die unpaaren +Zuege der Kurven, die Rueckkehrelemente der Figuren; andere wurden von +Tait[397] angegeben und von J. Meyer entwickelt,[398] andere schliesslich +von Hart angedeutet[399] und mit vielem Gluecke von E. Koetter +verallgemeinert.[400] Die zweiten sind fast alle aus der Schule von Klein +hervorgegangen. Da ich auf die vielen Einzelheiten dieses Gegenstandes +nicht eingehen kann, so moege es hier genuegen, unter den schon erhaltenen +Resultaten einige besondere Saetze ueber die Kurve vierter Ordnung +anzufuehren, die man Zeuthen[401] und Crone[402] verdankt; dann {63} eine +sehr wichtige Relation zwischen den Zahlen der reellen und imaginaeren +Singularitaeten einer ebenen Kurve, zu welcher Klein gefuehrt wurde,[403] +als er die von Pluecker[404] und Zeuthen vorgeschlagenen Klassifikationen +der Kurven vierter Ordnung studierte; ferner einen sehr schoenen +Lehrsatz,[405] von Harnack (1851-1888) entdeckt, welcher dadurch, dass er +eine unerwartete Beziehung zwischen der Form einer Kurve und ihrem +Geschlechte enthuellte, die Wichtigkeit des letzteren von neuem +bestaetigte. + +Wenn so die Theorie der Gestaltlichkeit der ebenen Kurven noch weit +entfernt vom Zustand der Reife ist, so kann man von den analogen +Untersuchungen ueber die Oberflaechen sagen, dass sie sich noch in ihrer +Kindheit befinden. Allgemeine Untersuchungen auf diesem Felde existieren +meines Wissens nicht, ausser denjenigen, die von Moebius in seiner _Theorie +der elementaren Verwandtschaften_ niedergelegt sind,[406] und welche, so +scharfsinnig und interessant sie auch sind, einen geschickten Nachfolger +erwarten lassen, welcher die ganze Fuelle derselben zu Tage foerdert. +Dasselbe gilt fuer gewisse originelle Gesichtspunkte, die in den vielen +Arbeiten von Klein zerstreut sind. Fuer den Fortschritt der Geometrie +wuerde es von hoechstem Interesse sein, beide weiter entwickelt zu sehen; +ungluecklicherweise wird aber diese Theorie wenig betrieben, in den letzten +Jahren ist vielleicht Rohn[407] der einzige, der hierin einige Fortschritte +gemacht hat, die wert sind, verzeichnet zu werden. + +{64} + +Wenn auch die allgemeine Theorie ein bis jetzt noch unbefriedigtes +Beduerfnis ist, so fehlt es doch nicht an Spezialuntersuchungen. Die +Bestimmung der Gestalt der Oberflaechen zweiten Grades uebergehe ich als zu +einfach und fuehre die der Oberflaechen dritter Ordnung an, die mit Erfolg +von Klein,[408] Schlaefli,[409] Zeuthen[410] gemacht ist, und neuerdings +von Bauer durch die Untersuchung der Gestalt der parabolischen Kurve +vervollstaendigt wurde;[411] ferner die der Dupinschen Cykliden, die wir +Maxwell[412] verdanken; dann die der Oberflaechen vierter Ordnung mit +Doppelkegelschnitt, die ebenfalls von Zeuthen[413] herruehrt; die der +Oberflaechen vierter Ordnung mit Cuspidalkegelschnitt, die von Crone[414] +ausgefuehrt ist; endlich die der Kummerschen Flaechen und der Kegelflaechen +viertes Grades, welche der Gegenstand wichtiger Untersuchungen von +Rohn[415] gewesen sind. Die reichhaltige Sammlung von Modellen von Ludwig +Brill, die sich jedes Jahr um neue und interessante Serien vermehrt, zeigt +das Interesse, welches das gelehrte Deutschland fuer vorliegende +Untersuchungen hat.[416] + +Was die Gestalt der Kurven doppelter Kruemmung angeht, so existieren +darueber bis jetzt noch keine allgemeinen Untersuchungen von Bedeutung; man +kann sagen, dass sich dieselben auf die Beobachtungen beschraenken, die +Chr. Wiener[417] {65} und Bjoerling[418] gemacht haben, indem sie die +Modelle der gewoehnlichen Singularitaeten einer Raumkurve konstruierten. + +Eine zahllose Reihe wichtiger Untersuchungen hat die Bestimmung der Anzahl +der geometrischen Gebilde zum Ziele, welche Bedingungen genuegen, die +hinreichen, eine endliche Zahl derselben festzulegen. Der Bezoutsche +Lehrsatz, welcher die Zahl der Loesungen eines bestimmten Systems von +algebraischen Gleichungen angiebt, ist fast immer nicht verwendbar fuer die +Loesung solcher Fragen, da, waehrend dieser Satz auf allgemeine Gleichungen +ihres Grades sich stuetzt, die Gleichungen, welche man bei dem Versuche, +diese Probleme analytisch zu loesen, erhaelt, von spezieller Form sind. +Wahrscheinlich ist das der Grund dafuer, dass diese Probleme groesstenteils +bis in verhaeltnismaessig neuerer Zeit ungeloest geblieben sind.[419] + +Auf Chasles faellt der Ruhm, in seiner _Methode der Charakteristiken_ ein +feines und maechtiges Hilfsmittel gefunden zu haben (1864), mit dem er eine +grosse Zahl von Problemen der angedeuteten Art fuer den Fall, dass die +betrachteten Gebilde Kegelschnitte in einer Ebene sind, loesen konnte und +einen Weg bahnte, um auch in dem Falle, wo die {66} Gebilde beliebige sind, +zur Loesung derselben zu gelangen.[420] Der Hauptgedanke desselben war die +fortwaehrende Betrachtung der ausgearteten Kurven und der systematische +Gebrauch der Charakteristiken eines einfach-unendlichen Systemes von +Kegelschnitten, d. h. der Zahlen, die angeben, wie viele Kegelschnitte des +Systemes durch einen gegebenen Punkt gehen, wie viele eine gegebene Gerade +beruehren. + +Dadurch, dass man diese Begriffe weiter ausdehnte, konnte man Hilfsmittel +erhalten, die auf andere Figuren anwendbar sind. Chasles selbst entdeckte +alsbald die Anwendung seiner Untersuchungen auf die Kegelschnitte im +Raume[421] und auf die Flaechen zweiter Ordnung.[422] Zeuthen und Maillard +gaben neue Beispiele der Erweiterung, der eine in der wichtigen Abhandlung, +die wir schon Gelegenheit hatten zu zitieren, _Almindelige Egenskaber ved +Systemer af plane Kurver_,[423] der andere in seiner Dissertation +_Recherches des caracteristiques des systemes elementaires de courbes {67} +planes du troisieme ordre_;[424] andere findet der Leser in den Schriften +von Sturm ueber die kubischen Raumkurven[425] und denen von Schubert ueber +die ebenen Kurven dritter Ordnung und dritter und vierter Klasse, im Raume +betrachtet.[426] Ferner sind die von Chasles gemachten Betrachtungen enge +mit denjenigen verbunden, welche in den wichtigen Abhandlungen von Cayley, +_On the curves which satisfy given conditions_[427] enthalten sind, sowie +in einigen Arbeiten von Jonquieres ueber Systeme von Kurven und +Flaechen.[428] Endlich gehoeren hierher noch die Untersuchungen von +Hirst[429] und Sturm[430] ueber Systeme von Projektivitaeten und +Korrelationen, sowie die von Zeuthen[431] ueber die Plueckerschen +Charakteristiken der Enveloppen. Wir wollen noch bemerken, dass zwischen +den Systemen ebener Kurven und den Differentialgleichungen erster Ordnung +mit zwei Variabelen eine sehr innige Beziehung besteht, die sich zu +erkennen giebt, indem die Integrale einer dieser Gleichungen ein System von +Kurven darstellen. Die gegebene Differentialgleichung laesst jedem Punkte +eine bestimmte Anzahl von ihm ausgehender Richtungen entsprechen und einer +Geraden eine bestimmte Anzahl auf ihr liegender Punkte. Auf diese +Beziehungen wurde Clebsch durch seine Untersuchungen ueber die Konnexe[432] +(vgl. s. VI) und unabhaengig von Fouret[433] {68} gefuehrt. In aehnlicher +Weise kann man eine Beziehung zwischen den Differentialgleichungen erster +Ordnung mit drei Variabelen und einem Systeme von Oberflaechen aufstellen, +wie dies ebenfalls Fouret[434] bemerkt hat. Dieser Zusammenhang ist von +grosser Wichtigkeit, weil er gestattet, Saetze auf transcendente Kurven +oder Oberflaechen auszudehnen, von denen man glaubte, dass sie nur fuer +algebraische Kurven oder Oberflaechen gueltig seien; so konnte Fouret den +Satz ueber die Zahl der Kurven eines Systemes, welche eine gegebene +algebraische Kurve beruehren, auf Systeme von transcendenten Kurven +ausdehnen,[435] konnte ferner die Ordnung des Ortes der Beruehrungspunkte +eines einfach unendlichen Systemes von Oberflaechen mit den Oberflaechen +eines doppelt unendlichen Systemes bestimmen,[436] ebenso die Ordnung des +Ortes der Beruehrungspunkte der Oberflaechen eines doppelt unendlichen +Systemes mit einer gegebenen algebraischen Oberflaeche[437] u. s. w.[438] + +Trotz dieser und anderer Arbeiten, die ich der Kuerze wegen uebergehe, war +die ganze Tragweite der Chaslesschen Betrachtungen noch nicht offenbar +geworden; das geschah durch den letzten, von dem ich zu sprechen habe, +durch Hermann Schubert in seinem _Kalkuel der abzaehlenden Geometrie_.[439] +Dieses Buch, das noch viel zu wenig {69} geschaetzt wird, kann man mit +Recht als dasjenige betrachten, welches zuerst von Grund auf das Problem +behandelte, "zu bestimmen, wie viele geometrische Gebilde von gegebener +Definition einer hinreichenden Zahl von Bedingungen genuegen," d. h. das +Problem der abzaehlenden Geometrie. Dort sind die Korrespondenzprinzipien +unter ihrem wahren Gesichtspunkte auseinandergesetzt,[440] dort ist klar +eroertert, was man unter dem Charakteristikenproblem einer bestimmten Figur +zu verstehen hat, und sind Methoden von ausserordentlicher Macht fuer +dessen Loesung gezeigt. Die Schubertschen Methoden sind dazu bestimmt, +eines Tages das uebliche Hilfsmittel fuer den Mathematiker zu werden, wie +es augenblicklich die Cartesische Geometrie ist, und niemand wird mich der +Uebertreibung beschuldigen, der bedenkt, dass dieselben in einer Unzahl von +Faellen zur Loesung des allgemeinen Problemes der Elimination dienen, d. h. +die Zahl der Loesungen eines Systemes von algebraischen Gleichungen zu +bestimmen. Daher muessen alle, Analytiker und Geometer, dem Werke von +Schubert, durch welches er die abzaehlende Geometrie zu einer besonderen +Disziplin erhoben hat, reiches Lob zollen, oder besser, anstatt es blos zu +bewundern, sich {70} vornehmen, die fruchtbaren Methoden desselben zu +vervollkommnen und sie von Maengeln frei zu machen, d. h. sie von dem +Tadel, der ihnen von einigen gemacht worden ist, dass sie nicht ganz +strenge seien, zu befreien und sie selbst oder wenigstens die Anwendungen, +deren sie faehig sind, zu vermehren. + +Die auf die Theorie der Charakteristiken bezueglichen Andeutungen[441] +wuerden eine unverzeihliche Luecke darbieten, wenn sie nicht einen Hinblick +auf eine wichtige Frage boeten, die zwischen einigen Geometern ventiliert +wurde, und die man heute als schon geloest betrachten darf. Geleitet +naemlich durch einen Induktionsschluss, behauptete Chasles, dass die Zahl +derjenigen Kegelschnitte eines einfach unendlichen Systemes, welche einer +neuen einfachen Bedingung genuegen, ausgedrueckt wird durch eine homogene +lineare Funktion der Charakteristiken des Systemes, deren Koeffizienten +einzig und allein von dieser Bedingung abhaengen. Darboux,[442] +Clebsch,[443] Lindemann,[444] Hurwitz und Schubert,[445] sowie noch andere +glaubten diesen Satz beweisen zu koennen. Aber dass die von ihnen +angefuehrten Gruende nicht beweiskraeftig waren, wurde in einer Reihe von +Arbeiten gezeigt, in welchen Halphen[446] die Hinfaelligkeit der Vermutung +Chasles' klar legte und zeigte, wie man den vorher angefuehrten Satz +modifizieren muesse. In der Theorie der Charakteristiken der Systeme von +Flaechen zweiten Grades hat man einen analogen Satz, den ebenfalls +Halphen[447] entdeckt hat. Jedoch glaube man nicht, dass diese Saetze {71} +von Halphen die Resultate zerstoeren, welche man erhalten, indem man den +Chaslesschen Weg einschlug; vielmehr sind dieselben gluecklicherweise +meistenteils unabhaengig von dem fraglichen Theorem, und fuer die anderen +Faelle ist es leicht zu zeigen, welche Korrektionen man machen muss.[448] + + + + * * * * * + +V. + +Theorie der Kurven doppelter Kruemmung. + +------ + + + +Die Theorie der ebenen Kurven kann man in zwei verschiedenen Richtungen +verallgemeinern. Indem man die Thatsache ins Auge fasst, dass eine solche +Kurve durch eine Gleichung zwischen den Koordinaten eines Punktes einer +Ebene dargestellt wird, so ergiebt sich als Analogon im Raume die Theorie +der Oberflaechen, indem diese als durch eine Gleichung zwischen den +Koordinaten eines Punktes im Raume darstellbar betrachtet werden, auf +welche Betrachtung wir im Vorhergehenden eingegangen sind. Wenn man +hingegen eine ebene Kurve als eine Reihe von einfach unendlich vielen +Punkten ansieht, so kann man die Theorie ausdehnen, indem man die +Beschraenkung aufhebt, dass diese in einer Ebene gelegen seien: dann +entsteht die Theorie der unebenen Kurven. + +Das Studium der Infinitesimaleigenschaften derselben kann man leicht genug +mit Hilfe von Methoden machen, die nicht sehr verschieden sind von +denjenigen, die fuer die {72} ebenen Kurven angewandt werden. Deshalb wurde +dasselbe, wie ich schon sagte, vor mehr als einem Jahrhundert von Clairaut +unternommen und wurde hernach von Lancret (1774-1807),[449] Monge,[450] +Tinseau,[451] de Saint-Venant (1797-1886),[452] von Frenet,[453] Alfred +Serret[454] und Paul Serret, von Liouville (1809-1882),[455] Bertrand,[456] +von Puiseux (1820-1883),[457] von Lie[458] und vielen anderen +fortgesetzt.[459] + +Aber abgesehen von dieser Betrachtungsrichtung bietet das Studium der +uebrigen allgemeinen Eigenschaften der unebenen Kurven sehr grosse +Schwierigkeiten. Man vermutete eine Zeit lang, dass jede Kurve im Raume als +der vollstaendige Schnitt zweier Oberflaechen angesehen werden und daher +durch ein System von zwei Gleichungen zwischen den Koordinaten eines +Punktes im Raume dargestellt werden koennte;[460] aber bald erkannte man +die Existenz von Kurven, die nicht der vollstaendige Schnitt von +Oberflaechen sind, und die Notwendigkeit, dieselben nicht vermittelst +zweier, {73} sondern dreier Gleichungen darzustellen, die ebenso vielen +durch dieselbe hindurchgehenden Oberflaechen entsprechen. Man setzte +voraus, dass die Kenntnis der Ordnung zur Einteilung der unebenen Kurven +hinreichen wuerde, aber sobald man an die vierte Ordnung gekommen war, +erkannte man, dass dieselbe nicht genuege.[461] Man haette nun glauben +sollen, dass die Ordnung und die Zahl der scheinbaren Doppelpunkte fuer den +besagten Zweck hinreichen wuerden, aber als man an die neunte Ordnung +herantrat, sah man, dass man sich geirrt habe.[462] Auch eine dritte Zahl, +die niedrigste Ordnung der Kegel, die durch die von einem Punkte +herkommenden Sehnen (Doppelsekanten) der Kurve gehen, konnte nur bei den +Kurven von niederer, als der fuenfzehnten Ordnung dazu verhelfen. So kam +man denn zu dem Schlusse, dass es unmoeglich sei, eine gegebene Kurve +vermittelst einer bestimmten Menge von vornherein angebbarer Zahlen zu +charakterisieren. + +Ich habe diese Thatsachen anfuehren wollen, um zu zeigen, dass die +allgemeine Theorie der unebenen Kurven keine Aehnlichkeit mit irgend einem +anderen Teile der Geometrie zeigt und, indem ich auf die erschreckliche +Dunkelheit, die sie darbietet, hinwies, dem Leser das Mittel geben wollen, +den Grund zu finden, warum die Kenntnisse, die wir ueber diese Gebilde +haben, so wenig zahlreich und erst neueren Ursprunges sind. + +Die ersten allgemeinen Resultate ueber die Kurven doppelter Kruemmung +verdanken wir Cayley, welcher ihnen zwei wichtige Abhandlungen gewidmet +hat. In einer derselben stellte er die Formeln (analog denen von Pluecker) +auf, welche die Zahl der Singularitaeten einer Raumkurve {74} untereinander +verbinden.[463] In der anderen fuehrte er fuer das Studium der Raumkurven +von der Ordnung n diejenigen bemerkenswerten Flaechen ein, welche er +"Monoide" nannte.[464] + +Nach diesen Arbeiten muessen wir, um einen wirklich bemerkenswerten +Fortschritt in der Theorie, welche uns beschaeftigt, zu finden, uns zu +Halphen und Noether wenden, deren Abhandlungen[465], im Jahre 1882 von der +Akademie zu Berlin mit dem Preise gekroent, die Grundlage fuer eine +allgemeine Theorie der Raumkurven sind; denn sie behandeln die Probleme: +"alle voneinander verschiedenen Kurven von gegebener Ordnung zu bestimmen", +"anzugeben, welche Kurven es auf einer gegebenen Oberflaeche giebt" und +noch viele andere von nicht geringer Bedeutung. Diese beiden Arbeiten +verschlingen sich so enge und durchdringen sich so innig, dass es sehr +schwer wird, zu entscheiden, welcher Anteil jedem der beiden Autoren in den +vielen gemeinsamen {75} Resultaten zufaellt, die sie enthalten. Wenn +einerseits Noether die Theoreme, welche Ende des Jahres 1870 von Halphen in +den _Comptes rendus_ und an anderen Stellen[466] ausgesprochen sind, +ausbeuten konnte, so konnte dieser sich der Saetze bedienen, welche in der +sehr bedeutenden Abhandlung von Brill und Noether, _Ueber die algebraischen +Funktionen und ihre Anwendung in der Geometrie_[467] enthalten sind, und in +derjenigen, in welcher Noether streng den Fundamentalsatz der Theorie der +algebraischen Funktionen dargethan hatte, welcher in der Auseinandersetzung +von Halphen unumgaenglich notwendig war.[468] Und man glaube nicht, dass +die von den beiden Geometern bei ihrem Thema eingeschlagenen Wege im +wesentlichen verschieden gewesen seien, vielmehr benutzten sie beide (wie +Cayley geraten hatte) Monoide, und wenn der eine vorzugsweise Formeln und +Saetze aus der Theorie der Abelschen Integrale gebraucht, so wendet der +andere solche Lehrsaetze ueber die algebraischen Funktionen an, welche zu +denselben Eigenschaften fuehren. Jedenfalls steht es ausser Zweifel, dass +diese beiden hervorragenden Produktionen unseres Zeitalters bestimmt sind, +die Grundlage fuer die zukuenftigen geometrischen Untersuchungen zu bilden, +und wenn bis jetzt sich ihr Einfluss noch nicht so allgemein geltend +gemacht hat, so ist dieses vorzugsweise den grossen Schwierigkeiten +zuzuschreiben, die ihr Gegenstand noch immer darbietet, und vielleicht auch +den Luecken, die in den Methoden vorhanden sind, die man zu Hilfe nehmen +koennte, um jene zu ueberwinden.[469] + +{76} + +Aber vor der Begruendung der allgemeinen Theorie wurden viele einzelne +Kurven einem genaueren Studium unterworfen; da ich aber wuensche, mehr als +getreuer, denn als glaenzender Geschichtsschreiber angesehen zu werden, so +muss ich hier eine Aufzaehlung der Arbeiten unternehmen, in welchen die +hervorragenderen unter diesen Untersuchungen enthalten sind. + + "_Degli altri fia laudabile il tacerci,_ + _Che il tempo saria corto a tanto suono._"[470] + +Unter ihnen verdienen den ersten Platz diejenigen, welche die kubischen +Raumkurven behandeln. Ueber diese haben Moebius[471] und Chasles[472] +verschiedene sehr schoene Eigenschaften aufgefunden; dieselben vermehrten +sich mit solcher Schnelligkeit, dass Staudt[473] binnen kurzem die +vollstaendige Analogie, die zwischen ihnen und den Kegelschnitten besteht, +feststellen konnte; diese Analogie hat sich von Tag zu Tag mehr +vervollkommnet, dank den Studien von Seydewitz,[474] Joachimsthal[475] +Cremona,[476] {77} Schroeter,[477] Reye,[478] Emil Weyr,[479] Sturm,[480] +Hurwitz,[481] welche nicht allein die Aufstellung einer vollstaendigen +synthetischen Behandlung dieser Kurven gestatten, sondern auch das Terrain +fuer die so elegante analytische Auseinandersetzung ebneten, die mein +innigst geliebter Lehrer E. d'Ovidio[482] und Pitarelli[483] gemacht haben. + +Dann will ich die Theorie der unebenen, auf einem einschaligen Hyperboloide +gezeichneten Kurven anfuehren, fuer welche Chasles[484] das Fundament +gelegt hat, und die von unserem Cremona[485] so sehr bereichert ist. Ferner +will {78} ich der vielen Eigenschaften erwaehnen, welche Poncelet,[486] +Chasles,[487] Cremona,[488] Reye,[489] Paul Serret,[490] Laguerre,[491] +Milinowski[492] und viele andere ueber die Raumkurven vierter Ordnung +erster Art gefunden haben, und die schoenen Anwendungen, die sie fuer die +Theorie der zweifach periodischen Funktionen geliefert haben, -- +Harnack,[493] Lange,[494] Westphal,[495] Leaute[496] u. s. w. Auch kann ich +die schoenen Arbeiten von Cremona,[497] von Armenante,[498] Bertini[499] +und Em. Weyr[500] ueber die Raumkurven vierter Ordnung zweiter Art nicht +stillschweigend uebergehen, ferner nicht die von Klein und Lie ueber die +durch unendlich viele lineare Transformationen in sich selbst +transformierten {79} Kurven,[501] noch auch die von Fiedler[502] +angestellte Bestimmung der Kurven von nicht hoeherer als neunter Ordnung, +die zu ihren eigenen Tangenten-Developpabelen dual sind. Und wie koennte +ich es unterlassen, einen Blick auf die grosse Zahl von Kurven zu werfen, +welche Cremona und Sturm[503] studiert haben, indem sie sich mit der +Geometrie auf einer Oberflaeche dritter Ordnung beschaeftigten, dann auf +die wichtigen Probleme, die von Clebsch und seinen Schuelern ueber die +rationalen,[504] elliptischen und hyperelliptischen[505] Kurven geloest +sind, und die eleganten Eigenschaften, welche Bertini[506] an den +rationalen Kurven fuenfter Ordnung auffand, sowie W. Stahl[507] bei +denjenigen, deren Punkte auf einer Oberflaeche zweiten Grades liegen, +waehrend die Oskulationsebenen eine solche zweiter Klasse beruehren? + +Indem der unerfahrene Leser so bedeutende und so verschiedene +Untersuchungen aufzaehlen hoert, wird er sich von einem gewissen Kleinmute +bedraengt fuehlen und sich fragen, wie es in kurzer Zeit moeglich sei, +dieselben, wenn auch nicht alle, so doch groesstenteils sich anzueignen? +Man beruhige sich. Die Uebersicht ist fuer den Studierenden viel weniger +schwierig, als es nach meiner Besprechung scheinen koennte. Die von den +Geometern der ersten Haelfte unseres Jahrhunderts aufgestellten Prinzipien +sind so fruchtbar, dass, wenn jemand sich dieselben gruendlich zu eigen +gemacht hat, er nicht allein selbst viele weitere Untersuchungen ableiten, +sondern auch noch darnach streben kann, die Wissenschaft selbst weiter zu +foerdern. Und dieses -- was sicherlich ein {80} nicht zu unterschaetzender +Vorzug der heutigen Wissenschaft vor der unserer Vaeter ist -- wurde in +Kuerze von einem ihrer Gruender mit den fortan klassischen Worten +ausgesprochen: _"Peut donc qui voudra dans l'etat actuel de la science +generaliser et creer en geometrie; le genie n'est plus indispensable pour +ajouter une pierre a l'edifice"_,[508] goldene Worte, welche jeder, der +Mathematik betreiben will, sich einpraegen muss; indem sie ihn auf einen +wahrscheinlichen Sieg hoffen lassen, werden sie ihn anspornen, sich mutig +den geistigen Kaempfen entgegenzustellen, die ihn erwarten. + + + + * * * * * + +VI. + +Abbildungen, Korrespondenzen, Transformationen. + +------ + + + +Bei dieser fluechtigen Musterung der neuesten geometrischen Entdeckungen +gelangen wir nun zur Lehre von den Abbildungen, Korrespondenzen und +Transformationen. -- Es ist bekannt, dass zwischen zwei ebenen Punktfeldern +eine Korrespondenz (Verwandtschaft) besteht, wenn jedem Punkte des einen +eine Gruppe von Punkten des anderen zugeordnet ist; diese heissen dann die +"entsprechenden" zu jenem. Wenn im speziellen Falle jeder Punkt des einen +Feldes einen einzigen entsprechenden in dem anderen hat, so heisst die +Korrespondenz "eindeutig". + +Die einfacheren Faelle der eindeutigen Korrespondenz sind die Homologie -- +von Poncelet studiert (1822) -- und die Kollineation (Homographie), von +Moebius (1827), Magnus (1833) und Chasles (1837) studiert. In diesen +Faellen entspricht nicht nur jedem Punkte ein Punkt, sondern {81} auch +jeder Geraden eine Gerade. -- Ein Beispiel einer komplizierteren +Korrespondenz wurde von Steiner (1832) durch folgende Konstruktion +erhalten:[509] Gegeben sind zwei getrennte Ebenen und zwei windschiefe +Geraden; durch jeden Punkt der einen von jenen ziehe man die Gerade, welche +die beiden gegebenen Geraden schneidet, und bestimme den Schnittpunkt mit +der anderen Ebene. Indem man diesen Schnittpunkt dem in der ersten Ebene +gewaehlten Punkte zuordnet, erhaelt man eine eindeutige Beziehung von der +Art, dass jeder Geraden in der einen Ebene ein Kegelschnitt in der anderen +entspricht. Laesst man nun die beiden Ebenen zusammenfallen, so erhaelt man +eine Korrespondenz, welche im wesentlichen nicht von der durch +Poncelet[510] zwischen in bezug auf ein Kegelschnittbueschel konjugierten +Punkten gefundenen verschieden ist, und welche auf analytischem Wege von +Pluecker[511] untersucht wurde, sodann von Magnus (1790-1861)[512] und von +unserem Schiaparelli,[513] synthetisch aber von Seydewitz[514] und spaeter +von Reye.[515] -- Auf ein drittes Beispiel fuehrte die Loesung einiger +Probleme aus der mathematischen Physik; man gelangt dazu auf folgende +Weise: Gegeben sei in einer Ebene ein fester Punkt, man associiert zwei mit +ihm in gerader Linie gelegene Punkte, deren Abstaende von ihm umgekehrt +proportional sind. Man erhaelt dann eine eindeutige Korrespondenz, welche +jede Gerade in einen Kreis, und jeden Kreis wieder in einen Kreis +verwandelt. Diese wurde von Sir William Thomson[516] {82} als "Prinzip der +elektrischen Bilder" studiert und ist unter dem Namen "Transformation durch +reciproke Radien" oder "Inversion" allgemein bekannt.[517] + +Alle diese Transformationen sind linear oder quadratisch, da sie eine +Gerade in eine Kurve erster oder zweiter Ordnung verwandeln. Jedoch machte +Magnus schon die Bemerkung, dass, wenn man eine quadratische Transformation +wiederholt, man im allgemeinen eine solche hoeherer Ordnung erhaelt.[518] +Diese wichtige Bemerkung blieb aber bis zu dem Zeitpunkte unfruchtbar +(1863), in welchem Cremona von den wenigen bisher eroerterten Faellen zur +allgemeinen Theorie der geometrischen Transformationen der ebenen Figuren +ueberging.[519] + +{83} + +Um dem Leser die Bedeutung der Schriften, welche Cremona dieser +Theorie[520] gewidmet hat, zu zeigen, wuerde ich auseinanderzusetzen haben, +auf welche Weise dieser grosse Geometer das Studium der eindeutigen +Transformationen auf das eines homaloidischen Netzes von Kurven +zurueckgefuehrt hat, und die Bestimmung eines solchen Netzes auf die +Loesung eines unbestimmten Systemes von linearen Gleichungen; aber da die +Anlage meiner Abhandlung mir das nicht gestattet, so muss ich mich darauf +beschraenken, ihn davon durch den alten Beweis des "_consensus omnium_" zu +ueberzeugen. Dann fuehre ich noch die Namen von Geometern an wie +Cayley,[521] Clebsch,[522] Noether,[523] Rosanes,[524] S. Roberts,[525] die +sich bemueht haben, die (bei der ersten Behandlung des Stoffes +unvermeidlichen) Luecken, die sich in den Cremonaschen Abhandlungen[526] +fanden, auszufuellen; ferner die Arbeiten von Ruffini,[527] +Jonquieres,[528] Kantor,[529] Guccia,[530] Autonne,[531] welche mit dieser +Lehre {84} eng zusammenhaengende Fragen behandeln, endlich die von +Hirst,[532] T. Cotterill[533] (1808-1881), von Sturm,[534] Schoute[535] und +sehr vielen anderen, welche sich das bescheidenere Ziel gesetzt haben, die +Verbreitung derselben durch geeignete Beispiele und elegante Formeln zu +erleichtern.[536] + +Unter den Arbeiten, welche sich an die von Cremona anschliessen, verdienen +eine hervorragende Stelle diejenigen von Bertini,[537] welche er den ebenen +involutorischen Transformationen gewidmet hat, welche Arbeiten noch +groessere Einfachheit und Eleganz erhielten durch den Begriff der Klasse +und andere Begriffe, die von Caporali[538] (1855-1886) eingefuehrt wurden, +jenem ausgezeichneten Geometer, dessen fruehen Verlust ganz Italien +betrauert.[539] + +{85} + +Von ganz verschiedenem Charakter sind hingegen die eleganten Untersuchungen +von Laguerre ueber solche Transformationen, welche er "Transformationen +durch reciproke Richtungen" nannte; da es nicht moeglich ist, den +Grundgedanken in wenigen Worten zusammenzufassen und die vielfachen +Anwendungen, welche der Erfinder davon gemacht hat, anzudeuten, verweisen +wir den Leser auf die Originalarbeiten des hervorragenden franzoesischen +Geometers.[540] + +Von der Theorie, die wir jetzt besprechen, bildet auch die Lehre von den +"isogonalen Transformationen" einen Teil, welcher sich auf die geometrische +Darstellung der komplexen Zahlen stuetzt und deren Nuetzlichkeit (welche +vielleicht groesser {86} ist fuer die mathematische Physik als fuer die +reine Geometrie) Moebius,[541] Siebeck,[542] Durege,[543] Beltrami,[544] +Vonder-Muehll,[545] F. Lucas,[546] Wedekind[547] und neuerdings +Holzmueller[548] dargethan haben.[549] + +{87} + +Den Begriff der eindeutigen Korrespondenz zwischen zwei Ebenen kann man auf +verschiedene Weise verallgemeinern; die Weisen, die sich so ziemlich von +selbst darbieten, sind folgende: + +Vor allem, ohne die Ebene zu verlassen, kann man eine Korrespondenz +aufstellen zwischen jedem Punkte derselben und einer Kurve eines doppelt +unendlichen Systemes in derselben oder auch einer anderen Ebene;[550] diese +Art der Korrespondenz ist eine Erweiterung der Korrelation (Reciprocitaet) +zwischen zwei Feldern; angegeben von Pluecker, wurde dieselbe von +Clebsch[551] entwickelt und veranlasste die Theorie der Konnexe.[552] + +{88} + +Wenn man dann zum Raume uebergeht, kann man eine Korrespondenz zwischen den +Punkten zweier Oberflaechen aufstellen (insbesondere zwischen den Punkten +einer krummen Oberflaeche und denen einer Ebene) oder zwischen den Punkten +zweier Raeume. + +Die Darstellung einer Oberflaeche auf einer Ebene kann man bis ins Altertum +zurueckverfolgen, da schon Hipparch und Ptolomaeus (und wahrscheinlich +andere vor ihnen) sich die Aufgabe der Herstellung geographischer Karten +gestellt und Loesungen derselben mitgeteilt haben, die auf derjenigen +Projektion beruhen, welche man heute die stereographische nennt. -- Die +Projektion von Mercator (1512-1594), die Untersuchungen von Lambert +(1728-1777) und Lagrange, die beruehmte Antwort von Gauss auf eine von der +daenischen Akademie gestellte Frage[553] zeigen, wie die taeglichen +Beduerfnisse der Geographie und Navigationskunde unaufhoerlich die +Gelehrten angetrieben haben, sich mit dem Probleme der eindeutigen +Darstellung der Oberflaeche unseres Planeten auf einer Ebene zu +beschaeftigen.[554] -- Die erste Abbildung einer Oberflaeche auf einer +anderen jedoch, die nur in der Absicht gemacht wurde, um eine derselben +leichter studieren zu koennen, verdanken wir Gauss, der 1827 in seinen +beruehmten _Disquisitions generales circa superficies curvas_ es als sehr +vorteilhaft erkannte, die Punkte {89} einer beliebigen Oberflaeche den +Punkten einer Kugelflaeche entsprechen zu lassen, indem man zwei solche +Punkte zuordnet, deren Normalen einander parallel sind.[555] Eine besondere +Eigentuemlichkeit dieser Korrespondenz ist die, dass, um Eindeutigkeit zu +erhalten, es fast immer noetig ist, nur den Teil der Oberflaeche +abzubilden, den man gerade ins Auge fasst; wir wollten diese Eigenschaft +nicht stillschweigend uebergehen, da deren Anfuehrung uns Gelegenheit +giebt, den Unterschied hervorzuheben, der zwischen der sphaerischen +Abbildung und den Abbildungen besteht, welche von Pluecker,[556] +Chasles[557] und Cayley[558] fuer das Studium der Geometrie auf einer +Flaeche zweiten Grades, denen, die von Clebsch[559] und Cremona[560] fuer +das Studium der Geometrie auf einer kubischen Flaeche, und von denen +endlich, die von spaeteren Geometern fuer die Untersuchung anderer Flaechen +vorgeschlagen sind. + +Die erste Arbeit, welche _ex professo_ die Theorie der Abbildungen dieser +Art behandelt, verdankt man Clebsch.[561] Die zahlreichen Beispiele, durch +welche der Verfasser in dieser Arbeit, sowie in einigen aelteren und +spaeteren[562] die allgemeine Theorie illustrierte, haben zur Aufstellung +der Geometrie auf einer grossen Zahl von Flaechen mit vielen Einzelheiten +gefuehrt. Ferner haben die fast gleichzeitigen Abhandlungen {90} von +Cremona[563] und Noether,[564] sowie die ihnen folgenden von +Armenante,[565] Klein,[566] Korndoerfer,[567] Caporali[568] und von noch +anderen[569] im Verlaufe weniger Jahre diese Zahl ausserordentlich +vermehrt.[570] Man kann sich eine ziemlich genaue Vorstellung von dem +Reichtum dieses Zweiges der Geometrie machen, wenn man die schoene +Abhandlung von Caporali ueber die dreifach unendlichen linearen Systeme +ebener Kurven liest,[571] in welcher er einerseits die Theorie der +Abbildung einer Oberflaeche auf eine Ebene auf das Studium solcher Systeme +anwandte, andererseits in derselben wertvolle Hilfsmittel der Untersuchung +fand. + +Bei dem Studium der Abbildung einer Oberflaeche bietet sich von selbst eine +wichtige Frage dar, naemlich die, ob sie alle eindeutig auf eine Ebene +abbildbar sind, oder allgemeiner: ob zwei Oberflaechen sich als Punkt fuer +Punkt {91} einander entsprechend darstellen lassen. Und da man leicht +erkannte, dass die Antwort auf diese Frage eine negative sei, so wurde man +natuerlich auf die andere Frage gefuehrt: Welche Oberflaechen lassen sich +eindeutig auf einer Ebene abbilden? Oder allgemeiner: Welche Oberflaechen +kann man eindeutig auf einer gegebenen abbilden? -- Die analoge Frage fuer +zwei (ebene oder unebene) Kurven wurde von Clebsch vermittelst der +Betrachtung des Geschlechtes und der Moduln geloest. Diese Analogie +veranlasste nun Clebsch, die Loesung des vorhin angegebenen Problems in +einer Ausdehnung des Begriffes des Geschlechtes auf die Oberflaechen[572] +zu suchen. Dieser Versuch wurde jedoch nach meinem Dafuerhalten nicht von +gutem Erfolge gekroent, und auch heute muss man trotz der nach Clebsch +angestellten Versuche ausgezeichneter Mathematiker wie Cayley,[573] +Noether,[574] Zeuthen[575] die Frage als noch ungeloest betrachten; um das +zu beweisen, genuegt es zu sagen, dass, wenn es auch bekannt ist, dass alle +Oberflaechen zweiter und dritter Ordnung (die nicht Kegelflaechen sind) +eindeutig auf einer Ebene abbildbar sind, doch noch nicht alle Oberflaechen +vierter Ordnung bestimmt sind, welche dieselbe Eigenschaft haben.[576] {92} +Die allgemeineren Resultate, die man auf diesem Gebiete kennt, waren, wenn +ich nicht irre, von Noether[577] erhalten; dieser gelangte durch eine +ueberaus elegante analytische Betrachtung bei jeder Oberflaeche, welche +eine einfach unendliche Schar rationaler Kurven enthaelt, zu einer +Abbildung derselben auf einem Kegel. + +Die Schwierigkeit aber, auf welche man bei der eindeutigen Abbildung +gewisser Oberflaechen auf eine Ebene stiess, liessen bei Clebsch den +Gedanken entstehen, zwischen einer Oberflaeche und einer Ebene eine +vielfache Korrespondenz aufzustellen, oder auch (wie er an die Riemannschen +Flaechen denkend sagte) eine Flaeche auf eine vielfache Ebene abzubilden +und dann diese auf eine einfache Ebene zu beziehen.[578] Diese Idee, deren +Keime sich vielleicht bis zu der von Chasles[579] vorgeschlagenen +Verallgemeinerung der stereographischen Projektion zurueckverfolgen lassen, +konnte nicht mehr vollstaendig von ihrem Urheber entwickelt werden; jedoch +blieben die von ihm gegebenen Andeutungen nicht unfruchtbar, vielmehr +entstand aus ihnen die Theorie der doppelten ebenen Transformationen, +welche de Paolis aufgestellt und durch vielfache Anwendungen erlaeutert +hat.[580] + +Die zweite Verallgemeinerung der Cremonaschen Transformationen veranlasste +die Theorie der rationalen Transformationen im Raeume. Zwei Beispiele einer +solchen Korrespondenz boten sich in der Homographie zweier Raeume (und +deren Spezialfaellen) dar und -- wie Magnus,[581] Hesse[582] und +Cremona[583] bemerkt haben -- in der Transformation, die man erhaelt durch +drei zu demselben Raeume korrelative (reciproke) Raeume, indem man jedem +Punkte jenes Raumes {93} den Schnitt der Ebenen zuordnet, die ihm in diesen +entsprechen. Die allgemeine Theorie entstand jedoch erst um das Jahr 1870 +durch die Bemuehungen Cayleys,[584] Noethers[585] und Cremonas,[586] obwohl +schon Magnus[587] Ende 1837 dieselbe angestrebt und ihre Wichtigkeit +eingesehen hatte. + +Von den bemerkenswerten Arbeiten, in welchen diese Gelehrten unsere Theorie +im allgemeinen begruendeten, ist ohne Zweifel die wichtigste jene, die wir +der Feder unseres beruehmten Landsmannes verdanken. Geleitet durch die +Analogie, welche diese Disziplin mit der der eindeutigen Korrespondenz +zwischen zwei Ebenen darbietet, zeigte er, wie jene sich auf das Studium +der dreifach unendlichen homaloidischen Systeme von Oberflaechen +zurueckfuehren laesst. Darauf setzte er auf eine sehr schoene Weise +auseinander, wie man unendlich viele solcher Systeme erhalten koenne, wenn +man die ebene Abbildung einer Oberflaeche kennt, und zeigte zuletzt durch +treffende Beispiele, wie man die Theorie der rationalen Transformationen +auf die Abbildung vieler Flaechen auf andere zurueckfuehrt, insbesondere +auf die ebene Abbildung einiger von ihnen. Diese Anwendung, vereint mit der +obenerwaehnten Methode, zeigt klar, wie man aus der ebenen Abbildung einer +Oberflaeche nicht nur die Abbildungen von unendlich vielen anderen erhalten +kann, sondern auch unzaehlig viele rationale Transformationen des Raumes. + +Ungeachtet der Schriften, durch welche England, Deutschland und Italien so +maechtig zur Gruendung und Erweiterung dieser Theorie beigetragen haben, +kann man doch nicht sagen, dass dieselbe den Grad der Vollendung erreicht +habe, {94} den andere erlangt haben. Das kommt vielleicht daher, dass die +schwierigsten Fragen, welche sich in derselben darbieten, innig mit der +Bestimmung der Singularitaeten der Oberflaechen zusammenhaengen, und ueber +diese -- wir muessen es leider gestehen -- sind unsere Kenntnisse noch sehr +beschraenkt. Darin hat man vielleicht die Erklaerung der Thatsache zu +suchen, dass die Geometer, die auf jene oben erwaehnten folgten, sich mehr +mit der Erlaeuterung der Methoden ihrer Meister, als mit der +Vervollkommnung derselben und der Ausfuellung ihrer Luecken beschaeftigt +haben.[588] Und dennoch -- wenn auch das Studium der Figur selbst ohne +Zweifel dem der transformierten vorzuziehen ist -- giebt es bei dem +heutigen Standpunkte der Wissenschaft sehr wenige Theorien, die so sehr es +verdienen, dass man sie in allen ihren Einzelheiten vervollkommne, als +gerade diese. In der That, um die Worte eines grossen Mannes zu gebrauchen, +"wenn man ueber das Verfahren der Algebra nachdenkt und den Grund {95} der +gewaltigen Vorteile aufsucht, die sie der Geometrie bietet, sieht man da +nicht, dass sie dieselben der Leichtigkeit verdankt, mit welcher man +anfaenglich eingefuehrte Ausdruecke Transformationen unterziehen kann, +Transformationen, deren Geheimnis und deren Mechanismus die wahre +Wissenschaft bilden und die das staendige Ziel der Analysten sind? Ist es +darum nicht natuerlich, zu versuchen, in die reine Geometrie analoge +Transformationen einzufuehren, welche direkt auf die vorgelegten Figuren +und ihre Eigenschaften hinsteuern?[589] + +Auf das allgemeine Studium der Transformationen folgt das solcher +Transformationen, bei denen man einen gewissen Zweck im Auge hat,[590] +z. B. die Verwandlung der Figuren in sich selbst oder ihre Zurueckfuehrung +zur urspruenglichen Figur, wenn die Transformationen mehrmals +hintereinander angewandt werden. Es existieren in der That auch schon +einige gute Arbeiten, in welchen die Kollineationen und Korrelationen +behandelt sind, welche eine Flaeche zweiter Ordnung, einen linearen +Komplex[591] oder eine kubische Raumkurve[592] in sich selbst +transformieren, sowie ueber die cyklischen Projektivitaeten.[593] + +{96} + +Wir wollen diesen Abschnitt unserer Arbeit beschliessen, indem wir noch +einige Worte ueber die vielfachen Transformationen zwischen zwei Gebilden +zweiter und dritter Stufe sagen, auf welche ich nur im Voruebergehen +hinweisen konnte, indem ich einige Abhandlungen von Paolis anfuehrte. Der +erste, der sich mit ihnen beschaeftigte, war Chr. Wiener,[594] welcher sie +untersuchte, indem er eine eindeutige Korrespondenz in der Ebene herstellte +zwischen den Geraden einer Ebene und den Kurven eines linearen Systemes; +dann ist einem Punkte, betrachtet als Schnitt zweier Geraden, die Gruppe +der Grundpunkte des Bueschels zugeordnet, der durch die entsprechenden +Kurven konstituiert wird. Diese Art und Weise, vielfache Transformationen +zu erzeugen, wurde von Tognoli[595] auf den Raum ausgedehnt; derselbe liess +jedem Punkte, betrachtet als Schnitt dreier Ebenen, die Grundpunkte +desjenigen Netzes entsprechen, das durch die drei den drei Ebenen +entsprechenden Oberflaechen eines dreifach unendlichen linearen Systemes +bestimmt wird. Solche Untersuchungen haben sich bis jetzt jedoch noch nicht +als sehr fruchtbar gezeigt. Ziemlich wichtig dagegen sind die schon +genannten Untersuchungen von Paolis ueber die doppelten Transformationen. +Das zeigen die Arbeiten, in denen Visalli[596] und Jung[597] die vielfachen +Transformationen untersucht haben und welche die Fortsetzungen jener sind. + +Mit einigen speziellen vielfachen Transformationen des Raumes haben sich +Reye[598] und Segre[599] beschaeftigt und von ihnen elegante Anwendungen +gemacht. Aschieri[600] uebertrug eine spezielle ebene zweifache +Transformation, welche Paolis bearbeitet hatte, auf den Raum und dehnte +auch die {97} Anwendungen, die jener davon gemacht hatte, auf die +Nicht-Euklidische Geometrie aus. Allgemeine Untersuchungen auf diesem +Gebiete haben wir jedoch keine ausser den wenigen, die in einer kurzen +Arbeit von Reye[601] aufgezeichnet sind, und den sehr wichtigen ueber die +doppelten Transformationen des Raumes von Paolis.[602] Wir zweifeln nicht, +dass diese und jene als Grundlage einer allgemeinen Theorie der zweifachen +Transformationen, die wir noch erwarten, dienen koennen; und wir erwarten +dieselbe mit Ungeduld, da wir sicher sind, dass dieselbe der Geometrie +nicht geringere Dienste leisten wird, als die sehr bekannten, die ihr durch +die birationalen Transformationen geleistet sind, und jene, die, wie Paolis +bemerkt, die doppelten leisten koennen. + +Neben die vielfachen Korrespondenzen zwischen zwei Raeumen von Punkten +(oder Ebenen) kann man die zwischen einem Punktraume und einem Ebenenraume +stellen. Untersucht wurden dieselben fuer den Fall, dass durch jeden Punkt +die entsprechenden Ebenen gehen und in jeder Ebene die entsprechenden +Punkte liegen. Zusammen betrachtet bilden die zwei Raeume ein hoeheres +Nullsystem oder Punktebenensystem. Die Theorie dieser Systeme ist in diesen +letzten Jahren besonders durch die Arbeiten von Ameseder,[603] von +Sturm[604] und Voss[605] hervorgetreten, waehrend Reye[606] das Verdienst +zukommt, den Begriff des gemeinen Nullsystemes[607] zuerst, doch in einer +anderen Weise -- die entsprechenden Elemente sind nicht Punkte und Ebenen, +sondern Flaechen zweiter Ordnung und zweiter Klasse -- erweitert zu haben. + +{98} + + + + * * * * * + +VII. + +Geometrie der Geraden. + +------ + + + +Die griechische Geometrie betrachtet den Punkt als das erzeugende Element +aller Figuren; die analytische Geometrie des Cartesius machte die +Bestimmung des Punktes zur Grundlage aller ihrer Rechnungen. Das Prinzip +der Dualitaet fuehrte nun die Gelehrten zu dem Schluesse, dass die Gerade +in der Ebene und die Ebene im Raume mit gleichem Rechte und gleichem +Erfolge, wie der Punkt, die Rolle spielen koenne, die bis jetzt dieser in +der Geometrie inne gehabt, und fuehrte in der Folge dazu, die Gerade und +die Ebene als Elemente der Ebene und des Raumes anzunehmen und ein neues +System der (synthetischen und analytischen) Geometrie aufzustellen. Das +Verdienst dieses bemerkenswerten Fortschrittes gebuehrt groesstenteils +Pluecker.[608] + +Aber ganz auf Pluecker faellt der Ruhm, ein drittes die raeumlichen Gebilde +erzeugendes Element -- die Gerade -- eingefuehrt und auf eine solche +Betrachtung eine neue Geometrie des Raumes begruendet zu haben. Dieser +beruehmte Gelehrte kehrte, nachdem er fast zwanzig Jahre hindurch die +Geometrie verlassen hatte, um seine bedeutenden Geisteskraefte der Physik +zu widmen, zu der Wissenschaft zurueck, die ihm urspruenglich seinen Ruhm +gesichert hatte, um sie {99} mit einer neuen und wichtigen Disziplin zu +beschenken, mit "der Geometrie der Geraden". + +Die ersten Mitteilungen ueber diesen Gegenstand, die im Jahre 1865 der +Koeniglichen Gesellschaft zu London[609] von dem grossen deutschen Geometer +gemacht wurden, enthalten die Saetze ueber einige allgemeine Eigenschaften +der Komplexe, Kongruenzen und Regelflaechen und einige spezielle +Eigenschaften der linearen Komplexe und Kongruenzen;[610] die Beweise +derselben sind nur angedeutet und sollen, nach Angabe des Autors, +vermittelst der Koordinaten einer Geraden im Raume gefuehrt werden, die er +als einen eigenen Gedanken eingefuehrt hatte, die man spaeter aber als +Spezialfall dessen erkannte, was schon Cayley[611] aufgestellt hatte, um +vermittelst einer einzigen Gleichung eine beliebige Kurve im Raume +darstellen zu koennen. + +Diese Mitteilungen veranlassten ploetzlich eine Reihe wichtiger Arbeiten, +in denen Battaglini nicht nur, was Pluecker behauptet hatte, sondern auch +viele Lehrsaetze bewies, die sich auf die Komplexe zweiten und hoeheren +Grades beziehen.[612] -- Indessen hatte Pluecker schon die von ihm {100} +skizzierten Gedanken ausgefuehrt und in dem Werke vereinigt, welches den +Titel traegt: _Neue Geometrie des Raumes, gegruendet auf die Betrachtung +der geraden Linie als Raumelement._[613] + +Von diesem Buche zu sagen, dass es in allen seinen Teilen gleich wichtig +und interessant sei, wuerde eine der Wahrheit nicht entsprechende +Behauptung sein. Pluecker schaetzte nicht die Eleganz der Rechnung, an die +wir durch Lagrange, Jacobi, Hesse, Clebsch gewoehnt sind; er teilte +sicherlich nicht mit Lame[614] die Ansicht, dass "die Bezeichnung fuer die +Analysis das sei, was die Stellung und Wahl der Worte fuer den Stil ist"; +bei ihm brauchte die Rechnung nur der einen Bedingung zu genuegen, naemlich +schnell zur Loesung der ins Auge gefassten Probleme zu fuehren. Dieser +Mangel, der allen Arbeiten von Pluecker gemeinsam ist, macht sich lebhafter +in dem letzten Werke bemerklich, welches einen Wettstreit eingehen sollte +mit Mustern der Eleganz, wie den _Vorlesungen ueber analytische Geometrie +des Raumes_ von Hesse und den _Vorlesungen ueber Dynamik_ von Jacobi, die +kurz vorher (1861 und 1866) herausgekommen waren. Ausser diesem nicht +geringen Mangel ist ein anderer noch bedeutenderer dadurch entstanden, dass +Pluecker lange Zeit hindurch es vernachlaessigt hatte, den Fortschritten +der Geometrie nachzugehen. Infolge dieser einseitigen Ausbildung finden wir +in seinem Buche eine Menge von Untersuchungen, die uns nicht mehr +interessieren, da sie unter andere allgemeinere, schon gemachte fallen, +eine grosse Anzahl von Spezialfaellen, von deren Wichtigkeit wir uns nicht +ueberzeugen koennen, eine Menge von komplizierten Formeln, deren Nutzen wir +nicht einsehen. Trotz dieser Fehler -- die ich anfuehren muss, um die +geringe Anzahl der Leser, die sie heute findet, zu begruenden -- kann man +nicht verkennen, dass die letzte Arbeit von Pluecker reich an originellen +Blicken ist, und es wuerde die Lektuere derselben jedem zu raten sein, der +das Studium dieses Teiles der Geometrie unternehmen will, wenn nicht die +Nachfolger {101} Plueckers seine Untersuchungen in besserer Form +auseinandergesetzt und mit anderen Methoden ausgefuehrt, und jene Gedanken, +die er nur hingeworfen hat, groesstenteils entwickelt haetten. + +Pluecker hatte nicht die Zeit, die Theorie der Komplexe zweiten Grades zu +vollenden, da der Tod ihn traf, als er gerade im Begriffe stand, den +zweiten Teil seines Buches zu veroeffentlichen; aber die Untersuchungen, +die er unvollendet zurueckliess, wurden von seinem Schueler F. Klein[615] +zu Ende gefuehrt. Ihm verdanken wir nicht nur den allgemeinen Begriff der +Koordinaten einer Geraden und eine Anzahl sehr schoener Lehrsaetze ueber +die Komplexe zweiten Grades, sondern auch verschiedene allgemeine und +ausserordentlich fruchtbare Ideen ueber die Geometrie der Geraden. In der +That ist es Klein, der, einen Gedanken seines Lehrers praezisierend, die +Bemerkung machte, dass man die Geometrie der Geraden ansehen koenne als das +Studium einer quadratischen Mannigfaltigkeit von vier Dimensionen, +enthalten in einem linearen Raume von fuenf Dimensionen, und zeigte, dass +jeder Komplex durch eine einzige Gleichung zwischen den Koordinaten einer +Geraden darstellbar ist. Dass diese Bemerkung und dieser Lehrsatz von der +groessten Bedeutung fuer den Fortschritt der Geometrie der Geraden seien, +wurde in glaenzender Weise durch die schoenen Untersuchungen meines lieben +Freundes Segre[616] gezeigt, die mit denen von Klein innig zusammenhaengen. + +Gleichzeitig mit Klein beschaeftigten sich Pasch,[617] Zeuthen,[618] +Drach,[619] spaeter auch Paolis[620] wiederholt {102} mit der Geometrie der +Geraden, indem sie verschiedene Fragen derselben vermittelst homogener +Koordinaten behandelten. Clebsch[621] wandte auf diese Theorie die Methode +der abgekuerzten Bezeichnung an; im Jahre 1873 vervollstaendigte +Weiler[622] die Einteilung der Komplexe zweiten Grades nach den Begriffen, +die Klein in seiner Dissertation angegeben hatte. Voss[623] studierte in +einer Reihe sehr wichtiger Abhandlungen die Singularitaeten der Systeme von +Geraden; Halphen bestimmte die Zahl der Geraden des Raumes, welche vorher +aufgestellten Bedingungen genuegen;[624] Noether,[625] Klein[626] und +Caporali[627] beschaeftigten sich mit der Abbildung der Komplexe ersten und +zweiten Grades auf den gewoehnlichen Raum, Aschieri mit der einiger +spezieller Komplexe;[628] Lie stellte den innigen Zusammenhang, der +zwischen der Geometrie der Kugel und der Geometrie der Geraden besteht, ins +Licht;[629] Reye endlich studierte die Formen der allgemeinen quadratischen +Komplexe.[630] Nur mit Hilfe der synthetischen Geometrie wurde unsere +Theorie von Chasles studiert[631] -- schon 1839 --, von Reye,[632] {103} +von Silldorf,[633] Schur,[634] Bertini,[635] von d'Ovidio[636] und von W. +Stahl;[637] Buchheim[638] bediente sich der Quaternionen, um die +hauptsaechlichsten Eigenschaften der linearen Kongruenzen zu beweisen, +waehrend viele Fragen aus der Infinitesimalgeometrie, die sich auf Systeme +von Geraden beziehen, gluecklich in einigen Abhandlungen von Mannheim,[639] +Lie,[640] Klein,[641] Picard[642] und Koenigs[643] geloest wurden. +Schliesslich wurden einige spezielle Komplexe studiert von Aschieri,[644] +Painvin,[645] von Reye,[646] Lie,[647] Weiler,[648] Roccella,[649] von +Hirst,[650] Voss,[651] Genty,[652] Montesano,[653] von Segre und von +mir.[654] + +Neben der reichhaltigen Schar von Schriften, die wir dem von Pluecker +gegebenen Anstosse verdanken, muessen wir noch eine andere ebenso +glaenzende erwaehnen, die aber {104} von ganz anderer Art ist. Sie umfasst +die Arbeiten von Dupin,[655] Malus[656] (1775-1811) und Ch. Sturm[657] +(1803-1855), Bertrand,[658] Transon[659] ueber die Normalen von +Oberflaechen und ueber die mathematische Theorie des Lichtes, dann die von +Hamilton (1805-1865) ueber Systeme von Strahlen.[660] Diese Arbeiten finden +ihre Kroenung in zwei beruehmten Abhandlungen, die von Kummer in den Jahren +1857 und 1866 veroeffentlicht sind. + +In der ersteren, die im _Journal fuer Mathematik_[661] abgedruckt ist, hat +sich Kummer die Aufgabe gestellt, durch eine einheitliche und einfachere +Methode die Resultate von Hamilton darzulegen und sie in den Punkten, wo +sie mangelhaft erschienen, zu vervollstaendigen.[662] + +In der zweiten,[663] die noch wichtiger ist, stellte er sich, nach einigen +schoenen allgemeinen Untersuchungen ueber die Zahl der Singularitaeten +eines Systemes von Strahlen und seiner Brennflaeche, und loeste die Frage, +alle algebraischen Systeme von Strahlen erster und zweiter Ordnung zu +bestimmen, d. h. solche, bei denen durch jeden Punkt des Raumes einer oder +zwei Strahlen des Systemes hindurchgehen. + +Ich moechte wuenschen, dass mir hinreichender Raum zu Gebote staende, um +den Leser in den Stand zu setzen, die ausgezeichneten Verdienste dieser +klassischen Arbeit hoch {105} zu schaetzen, um ihn an der tiefen +Bewunderung teilnehmen zu lassen, die ich fuer sie empfinde; ich moechte +ihn sehen lassen, mit welch ausserordentlicher Gewandtheit der Verfasser +zur Bestimmung aller Strahlensysteme erster und zweiter Ordnung zu gelangen +weiss, zu den Gleichungen, die sie und ihre Brennflaechen darstellen +(welches jene Oberflaechen vierter Ordnung mit Doppelpunkten sind, die ich +Gelegenheit hatte, im Abschnitt III zu erwaehnen), zu den Singularitaeten +der Systeme, den Konfigurationen, die sie bilden, zum Zusammenhange +zwischen ihnen und den Singularitaeten der Brennflaeche u. s. w. Aber da +die Bemessenheit des Raumes es mir verbietet, so muss ich mich darauf +beschraenken, den Wunsch auszusprechen, dass dieser mein kurzer Ueberblick +es bewirken koenne, dass bei jedwedem das Verlangen entsteht, die +Untersuchungen Kummers selbst kennen zu lernen und den Weg zu verfolgen, +den er mit solchem Gluecke eingeschlagen hat; ich spreche diesen Wunsch +aus, da mich die Beobachtung schmerzlich bewegt, dass in den zwanzig +Jahren, die schon seit dem Erscheinen der Kummerschen Arbeit verflossen +sind, es noch nicht gelungen ist, eine solche Theorie, die sich so +fruchtbar an schoenen Resultaten gezeigt hat, in einer bemerkenswerten +Weise zu foerdern.[664] + +{106} + + + + * * * * * + +VIII. + +Nicht-Euklidische Geometrie. + +------ + + + +Die letzte Kategorie von Arbeiten, mit denen ich mich zu beschaeftigen +habe, umfasst eine Reihe von Untersuchungen, die zu lebhaften Diskussionen +Veranlassung gegeben haben und -- wunderbar zu sagen -- eine Zeit lang die +Mathematiker in zwei Feldlager geteilt haben, "das eine gewappnet gegen das +andere";[665] heutzutage bilden sie denjenigen Teil der Wissenschaft des +Raumes, den man "Nicht-Euklidische Geometrie" und "Theorie der beliebig +{107} ausgedehnten Mannigfaltigkeiten" oder "Geometrie von n +Dimensionen"[666] nennt. + +Jeder weiss, dass unter allen Saetzen, die in den _Elementen_ des Euklid +enthalten sind, es einen giebt,[667] der nur schlecht dazu passt, wie es +der griechische Geometer gethan hat, unter die Axiome oder die Postulate +gestellt zu werden.[668] Derselbe ist von grosser Wichtigkeit im +Euklidischen System, da auf ihn, wie man sagen kann, die ganze Theorie der +Parallelen gegruendet ist. Weil es nun nicht auf Grund unmittelbarer +Anschauung gerechtfertigt ist, ihn unter diejenigen Saetze zu zaehlen, fuer +welche es vergeblich ist, einen Beweis zu fordern, so kam man auf die +Frage, ob er in der That unbeweisbar sei, und ob man nicht, wenn das der +Fall sein sollte, ihn unterdruecken und durch einen anderen ersetzen +koenne, dessen Wahrheit offenbarer sei? + +Diese Fragen sind ein natuerlicher Ausfluss unseres Zeitalters, von welchem +eine der hervorragendsten Eigentuemlichkeiten (wie Humboldt bemerkt) die +unparteiliche Kritik alles dessen ist, was uns die Vergangenheit +hinterlassen hat; sie muessen als der erste Ursprung der Nicht-Euklidischen +Geometrie angesehen werden. + +Die ersten wichtigen Studien auf diesem Gebiete wurden gegen Ende des +vergangenen Jahrhunderts von Legendre[669] {108} gemacht. Dieselben +stellten den Zusammenhang klar, der zwischen dem Postulate des Euklid und +dem Satze besteht, der sich auf die Winkelsumme eines Dreiecks bezieht, und +fuehrten Legendre dazu, nicht nur jenes Postulat durch ein anderes viel +wichtigeres zu ersetzen, sondern auch eine Geometrie zu entwerfen, die von +eben demselben Postulate unabhaengig ist.[670] + +Nahe zur selben Zeit wie Legendre, befasste sich Gauss mit dieser Frage. +Gleichwohl hat er niemals irgend eine Arbeit auf diesem Gebiete +veroeffentlicht; seine Korrespondenz mit Schumacher[671] und mit Wolfgang +Bolyai (1775-1856)[672] und einige bibliographische Artikel von ihm[673] +{109} bezeugen nicht nur das Interesse, das er dafuer besass, sondern +bekunden auch die reiche Ernte von Wahrheiten, die er auf diesem, wie auf +den anderen von ihm bebauten Feldern eingebracht hat. Und als die Schriften +von Lobatschewsky (1793-1856)[674] und Johann Bolyai (1802-1860)[675] ueber +diesen Gegenstand erschienen, da sanktionierte der Fuerst der deutschen +Mathematiker mit seiner Autoritaet die Ergebnisse, welche dieselben +erhalten hatten. Man kann diese Ergebnisse zusammenfassen, indem man sagt, +dass dieselben die Grundlage einer neuen Geometrie sind, die vollstaendig +unabhaengig ist von dem Postulate des Euklid (die Nicht-Euklidische +Geometrie, oder imaginaere oder auch Pangeometrie), die in gewissen Punkten +mit der gewoehnlichen Geometrie uebereinstimmt, jedoch in vielen anderen +sich von ihr unterscheidet, -- eine Geometrie, die eine Zeit lang einige +als absurd verbannt haben wollten, da sie den von einer nur +oberflaechlichen Sinneswahrnehmung bezeugten Erscheinungen widerspricht, +die aber heute allgemein angenommen ist, da ihr logischer Wert ausser +Zweifel gestellt ist.[676] + +{110} + +Zu diesem Siege der Logik ueber den uebertriebenen Empirismus haben in sehr +wirkungsvoller Weise einige Schriften von grosser Bedeutung beigetragen, +die Riemann (1827-1866), von Helmholtz und Beltrami in den Jahren 1867 und +1868 veroeffentlichten. + +Die Riemannsche Schrift: _Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu +Grunde liegen_[677] -- zwoelf Jahre vor ihrer Veroeffentlichung geschrieben +-- war und ist noch durch die Allgemeinheit der Begriffe und die Knappheit +der Form selbst fuer diejenigen, welche in der Mathematik schon +vorgeschritten sind, von schwierigem Verstaendnisse. Jedoch ein grosser +Teil der Ideen, welche dieselbe enthaelt, verbreiteten sich sehr bald, da +sie, durch ein glueckliches Zusammentreffen, auch von Helmholtz +ausgesprochen wurden, und dieser sie nicht nur den Mathematikern in rein +wissenschaftlicher Form darlegte,[678] sondern auch in populaeren +Vortraegen und Artikeln in verschiedenen Zeitschriften auch ausserhalb des +engeren Kreises der Geometer behandelte.[679] Keinen geringeren Einfluss +aber als die Schriften des beruehmten Verfassers der _Physiologischen +Optik_ uebte der klassische _Saggio di interpretazione della Geometria +non-euclidea_[680] von Beltrami aus. Gerade die Schaerfe und analytische +Eleganz, welche diese Schrift auszeichnen, lenkte die Aufmerksamkeit der +Geometer auf dieselbe; das glaenzende und ueberraschende Resultat, dass die +Saetze der Nicht-Euklidischen Geometrie ihre Verwirklichung auf den +Oberflaechen mit konstanter negativer Kruemmung fanden, machte einen tiefen +Eindruck auch auf diejenigen, welche jeder nicht durch das {111} Experiment +bewiesenen Behauptung allen Wert absprachen, und sicherte den Triumph der +neuen Anschauungen; endlich -- die dort verteidigten gesunden Prinzipien +einer wissenschaftlichen Philosophie und die glaenzende Form, in welcher +die Abhandlung geschrieben ist, liessen und lassen noch bei allen eine +lebhafte Bewunderung fuer unseren beruehmten Landsmann entstehen, durch +dessen Bemuehung wiederum einmal die Wahrheit den Sieg davontrug. + +Dass die Arbeiten dieser drei grossen Gelehrten einen wohlthaetigen +Einfluss auf die ganze Geometrie ausgeuebt haben, hat sich zur Evidenz +durch die Aenderung gezeigt, welche sich in bezug auf die Art und Weise +vollzogen hat wie man heutzutage die ihr zu Grunde liegenden Saetze +betrachtet.[681] Wenn frueher die Geometer den Philosophen die Sorge +ueberliessen, zu entscheiden, ob die Wahrheiten, mit denen sie sich +beschaeftigten, notwendige oder zufaellige seien, und dahin neigten, +dieselben als notwendige zuzulassen, so streben sie jetzt, nachdem die +empirische Grundlage der Geometrie erkannt ist, fortwaehrend darnach, genau +festzusetzen, welche Thatsachen man der Sinneswahrnehmung entnehmen muss, +um eine Wissenschaft der Ausdehnung zu gruenden.[682] Wer die schoenen +_Vorlesungen ueber neuere {112} Geometrie_ (Leipzig, 1882) von Pasch liest, +die neueren Lehrbuecher prueft und diese und jene mit den aelteren Buechern +vergleicht, wird wesentliche Unterschiede finden. + +In den aelteren Werken giebt der Lehrer die Voraussetzungen, die er nicht +beweist, als notwendige, ewige und unanfechtbare Wahrheiten, in den neueren +fuehrt er sozusagen den Schueler dazu, die noetigen Erfahrungen +auszufuehren, um die Praemissen der spaeteren Deduktionen festzustellen. In +den aelteren Arbeiten stellt der Verfasser die Euklidische Geometrie als +die einzig denkbare hin, in den neueren als {113} eine der unendlich +vielen, die man aufstellen koennte. Und diese Unterschiede bezeichnen einen +thatsaechlichen Fortschritt, da sie zeigen, dass die Gelehrten sich von +einem alteingewurzelten und schaedlichen Vorurteile frei gemacht haben; und +fuer den Fortschritt der Wissenschaft hat die Erkenntnis eines Irrtums eine +nicht geringere Wichtigkeit, als die Entdeckung einer Wahrheit. + +Kurz nach der Veroeffentlichung der Arbeit von Beltrami erschien eine von +F. Klein,[683] die auch von grosser Wichtigkeit ist; aber um die Stellung +zu kennzeichnen, welche dieselbe in der Geschichte der Nicht-Euklidischen +Geometrie einnimmt, muss ich mich einige Jahrzehnte rueckwaerts wenden. + +Es ist bekannt, dass infolge des _Traite des proprietes projectives des +figures_ eine Unterscheidung aufgestellt wurde zwischen den Eigenschaften +der Figuren, die erhalten bleiben, wenn diese projiziert werden, und +solchen, die nicht erhalten werden; es ist ferner bekannt, dass unter den +ersteren alle Lagen-Eigenschaften, aber nur einzelne metrische +Eigenschaften begriffen sind. Nun stellten die Geometer sich die Frage, ob +es nicht moeglich sei, die metrischen Eigenschaften der Figuren so +auszusprechen, dass sie bei der Projektion saemtlich erhalten werden. Fuer +einige Arten der Projektion haben Chasles und Poncelet die Frage geloest, +indem sie den Begriff der unendlich fernen Kreispunkte der Ebene und des +unendlich entfernten imaginaeren Kreises einfuehrten; fuer andere wurde die +Loesung von Laguerre[684] gegeben, dem es gelang, den Begriff des Winkels +projektiv zu machen; aber derjenige, welcher die Loesung in ihrer ganzen +Allgemeinheit gab, war Cayley[685] (1859), der in dem sechsten von seinen +beruehmten _Memoirs upon Quantics_ zeigte, dass jede metrische Eigenschaft +einer ebenen Figur als in einer {114} projektiven Beziehung zwischen dieser +und einem festen Kegelschnitte enthalten betrachtet werden koenne. + +Nun besteht der Hauptzweck der angefuehrten Abhandlung von Klein eben +darin, die innige Beziehung zwischen den Schluessen Cayleys und denen, zu +welchen Bolyai und Lobatschewsky gelangt waren, herzustellen; auf welche +lichtvolle Weise dieses Ziel erreicht ist, das beweist der grosse Ruhm, zu +dem diese Schrift alsbald gelangte.[686] + +An diese Schriften schliessen sich viele andere; an die von Riemann und +Beltrami einige interessante Arbeiten von de Tilly,[687] Genocchi,[688] von +Escherich[689] und Bianchi;[690] an die von Klein verschiedene Abhandlungen +von Battaglini,[691] d'Ovidio,[692] de Paolis[693] und Aschieri,[694] +Cayley,[695] Lindemann,[696] Schering,[697] von Story,[698] {115} H. +Stahl[699] und Voss,[700] von H. Cox[701] und A. Buchheim.[702] + +Die mathematische Litteratur der allerneuesten Zeit jedoch ist nicht sehr +reich an Forschungen auf diesem Gebiete;[703] es hat den Anschein, als wenn +jenes Zeitalter, welches man das heroische nennen koennte, und durch +welches jede Disziplin einmal hindurchgeht, schon von der +Nicht-Euklidischen Geometrie durchlaufen sei. Sollten vielleicht die +unermuedlichen Arbeiter der beiden Jahrzehnte 1860-1880 die Minen in jeder +Richtung so gruendlich durchwuehlt haben, dass sie keine goldfuehrende Ader +mehr bergen? + + + + * * * * * + +IX. + +Geometrie von n Dimensionen. + +------ + + + +Die Theorie der beliebig ausgedehnten Mannigfaltigkeiten oder die Geometrie +von n Dimensionen verdankt ihren Ursprung der Unterstuetzung, welche die +Algebra von der Geometrie erhielt, seitdem Cartesius jene auf diese +anzuwenden gelehrt hat. In der That ist diese Unterstuetzung eine +begrenzte, da nur die analytischen Thatsachen, welche mit der Theorie der +Funktionen einer, zweier oder dreier Variabelen verknuepft sind (oder mit +der Theorie der binaeren, ternaeren oder quaternaeren Formen), einer den +Sinnen zugaenglichen {116} Darstellung faehig sind. Aber der Geist der +Verallgemeinerung, der, wie ich schon sagte, einer der maechtigsten +Antriebe zu den modernen geometrischen Untersuchungen war und noch +fortwaehrend ist, bewog die Geometer, die Fesseln zu brechen, welche die +Natur ihrem Vorstellungsvermoegen angelegt zu haben schien, und von +beliebig ausgedehnten Raeumen zu sprechen.[704] + +Und sie sprachen davon, ehe sie sich noch mit der mehr philosophischen, als +mathematischen Frage beschaeftigt hatten, ob in der That solche Raeume +existieren; und sie thaten dies mit Recht, da sie nur so, ohne ein +vielleicht unloesbares Problem in Angriff zu nehmen, ihr Ziel erreichen +konnten; durch eine kuehne Einbildungskraft verschafften sie sich die +(sinnlich wahrnehmbaren oder uebersinnlichen) Darstellungen vieler +analytischer Resultate.[705] + +Um zu zeigen, dass man wirklich in der angegebenen Weise zu einer solchen +Theorie gekommen ist, begnuege ich mich damit, die Thatsache anzufuehren, +dass dieselbe von Analysten wie Cauchy[706] (1789-1857) und Riemann[707] +aufgestellt wurde; dass sie sich noch bei vielen anderen minder bedeutenden +mehr oder weniger versteckt findet in der Absicht, fuer die Theoreme der +Analysis ausdrucksvollere Fassungen zu erhalten; ferner dass Lagrange schon +Ende des vergangenen Jahrhunderts die Bemerkung machte, "dass man die +Mechanik als eine Geometrie von vier Dimensionen {117} ansehen koenne", in +welcher die Zeit als vierte Koordinate fungiert.[708] + +Dieser Begriff des beliebig ausgedehnten Raumes ist jedoch seinem Ursprunge +und seiner Bestimmung nach wesentlich analytisch. Pluecker, dem das +Schicksal einen so wichtigen Anteil an der Foerderung der modernen +Geometrie zugeteilt hat, war es vorbehalten, diesem Begriffe ein +geometrisches Gewand zu geben, indem er beobachtete, dass man unserem Raume +eine beliebige Anzahl Dimensionen zuerteilen kann vermittelst einer +passenden Wahl des geometrischen Gebildes, welches man als erzeugendes +Element des Raumes auffasst; so wird er drei Dimensionen haben, wenn man +den Punkt oder die Ebene waehlt, vier, wenn man die Gerade oder die Kugel +nimmt, neun, wenn man die Flaeche zweiten Grades nimmt, u. s. w.[709] + +{118} + +Dieser Gedanke ist weniger abstrakt als der vorhergehende, und leichter zu +begreifen; dessen ungeachtet verbreitete er sich viel langsamer, als der +erstere, wahrscheinlich deswegen, weil sein Urheber nicht Worte genug +machte, um seine Wichtigkeit zu zeigen. Der andere hingegen wurde besonders +infolge der beruehmten Abhandlung von Riemann, _Ueber die Hypothesen, +welche der Geometrie zu Grunde liegen_, in vielen Richtungen weiter +entwickelt, und die mathematische Litteratur ueber diesen Gegenstand ist +von einer schon betraechtlichen Reichhaltigkeit und waechst noch von Tag zu +Tag. + +Zur Rechtfertigung dieser Behauptung erinnere ich an die schon genannten +Abhandlungen von Helmholtz, fuehre die von Beltrami,[710] Schlaefli,[711] +Newcomb,[712] Stringham,[713] das neue Buch von Killing[714] an und die +darauf folgenden Untersuchungen von Schur,[715] die enge mit der +Riemannschen Abhandlung zusammenhaengen; die Untersuchung von Betti[716] +ueber den Zusammenhang eines Raumes von n Dimensionen; die von +Clifford,[717] Beltrami,[718] Jordan,[719] von Lipschitz,[720] Monro,[721] +Scheeffer (1859-1885),[722] Heath[723] und Killing[724] ueber die Kinematik +und Mechanik eines {119} solchen Raumes;[725] ferner die von Jordan[726] +und Brunel[727] ueber die verschiedenen Beruehrungs- und Schmiegungsraeume, +welche eine Kurve in einem Raume von n Dimensionen zulaesst,[728] die von +Craig[729] ueber die metrischen Eigenschaften der Oberflaechen in einem +solchen Raume, die von Kronecker,[730] von Beez,[731] Lipschitz,[732] +Christoffel,[733] von Brill,[734] Suworoff[735] und Voss[736] ueber die +Kruemmung eines beliebig ausgedehnten Raumes; die von Kronecker und +Tonelli[737] ueber das Potential; die von Lie,[738] Klein,[739] Jordan[726] +und Lipschitz[740] ueber die Erweiterung des Dupinschen und des Eulerschen +Lehrsatzes; sodann die konforme Abbildung einer Oberflaeche des +vierdimensionalen Raumes auf den gewoehnlichen Raum, die von Craig[741] +studiert wurde, endlich die von Lipschitz gegebene Verallgemeinerung des +beruehmten Problemes der drei Koerper.[742] Zum Schlusse wollen {120} wir +die Aufmerksamkeit des Lesers lenken auf die Erweiterungen gewisser +Begriffe, einiger Saetze und Formeln der elementaren Geometrie, die +vorzueglich von Rudel,[743] Hoppe,[744] Schlegel[745] und Mehmke[746] +gemacht sind; dazu gehoeren auch die Untersuchungen von Stringham,[747] +Hoppe,[748] Schlegel,[749] Scheffler,[750] Rudel,[751] O. Biermann,[752] +Puchta[753] und anderen ueber die regulaeren Koerper des vierdimensionalen +Raumes, die soweit gediehen, dass sie Schlegel gestatteten, Modelle der +Projektionen dieser Koerper auf unseren Raum herzustellen.[754] + +Ausser dieser Richtung wurde eine andere nicht weniger fruchtbare von den +Bearbeitern der Mannigfaltigkeiten von n Dimensionen verfolgt, welche +projektiv ist, waehrend die erstere wesentlich metrisch ist.--Eine kurze +Andeutung, {121} die von Cayley im Jahre 1846 gegeben wurde[755] ueber eine +Methode, um die Konfigurationen von Punkten, Geraden und Ebenen zu +untersuchen, kann man als die erste ansehen, welche auf diese neue Richtung +hinwies. Aber es scheint, wie Bailly[756] bemerkt hat, "dass die Ideen, wie +wir, ein Kindesalter und eine erste Zeit der Schwaeche haben; sie sind +nicht von Geburt an produktiv, sondern erhalten erst mit dem Alter und mit +der Zeit ihre Fruchtbarkeit". Daher sehen wir denn mehr als 30 Jahre +verfliessen, ehe der geniale Gedanke des grossen englischen Geometers, in +der richtigen Weise entwickelt, die synthetische Geometrie der Raeume von n +Dimensionen, welche wir heute besitzen, hervorrief. + +Als Einleitung zu derselben muss man die wichtige Arbeit von Clifford +ansehen: _On the classification of loci_,[757] in welcher das allgemeine +Studium der Kurven in beliebigen linearen Raeumen in Angriff genommen ist; +jeden Augenblick kommen in demselben Operationen vor, die wirkliche +Erweiterungen derer sind, die man in der gewoehnlichen projektiven +Geometrie zu machen pflegt. Jedoch kann man sagen, dass dieser neue Zweig +der Geometrie mit der Abhandlung beginnt, die Veronese der _Behandlung der +projektiven Eigenschaften der Raeume von_ n _Dimensionen durch die +Prinzipien des Schneidens und Projizierens_ gewidmet hat.[758] In derselben +laesst der beruehmte Verfasser, Riemann folgend, einen Raum von n +Dimensionen entstehen, indem er von demselben einen solchen, der eine +Dimension weniger hat, von einem ausserhalb gelegenen Punkte projiziert, +und {122} indem er sich dieser Erzeugungsweise bedient, gelangt er zur +Erweiterung des groesseren Teiles der Theorien der gewoehnlichen Geometrie +der Lage.[759] Die Fruchtbarkeit der in dieser grundlegenden Abhandlung +eroerterten Prinzipien wurde durch viele interessante Arbeiten, welche die +Fortsetzung derselben bilden, ins Licht gestellt; dieselben bereichern noch +von Tag zu Tag ein Lehrgebiet, in welchem Italien eine hervorragende Stelle +einnimmt. Unter ihnen will ich -- abgesehen von denen, die Veronese selbst +publiziert hat,[760] -- die Untersuchungen von Segre anfuehren ueber die +Theorie der quadratischen Gebilde in einem Raume von n Dimensionen und ihre +Anwendung auf die Geometrie der Geraden,[761] ueber die kollinearen und +reciproken Korrespondenzen,[762] ueber die Bueschel von Kegeln zweiten +Grades,[763] ueber die Regelflaechen,[764] ueber die Oberflaechen vierter +{123} Ordnung mit Doppelkegelschnitt[765] und ueber die Theorie der Systeme +von Kegelschnitten,[766] dann die von Bertini[767] und Aschieri,[768] die +verwandte Gegenstaende behandeln; die Schriften von del Pezzo ueber die +Oberflaechen in einem n-dimensionalen Raume.[769] Noch viele andere muesste +ich nennen, aber + + Io non posso ritrar di tutti appieno; + Perocche si mi caccia il lungo tema, + Che molte volte al fatto il dir vien meno.[770] + +Jedoch Arbeiten, welche zu verschweigen mich keine Betrachtung verleiten +koennte, sind die -- viel frueher als die von Veronese erschienenen -- von +Noether ueber die eindeutigen Korrespondenzen zwischen zwei n-dimensionalen +Raeumen (1869, 1874),[771] jene ebenfalls aelteren von Halphen (1875) ueber +die Schnitte der Mannigfaltigkeiten, die in einem beliebigen linearen Raume +enthalten sind,[772] von d'Ovidio {124} ueber die Metrik eines solchen +Raumes (1876),[773] endlich die neuerlichen von Schubert ueber die +abzaehlende Geometrie eines Raumes von solcher Beschaffenheit.[774] + + + + * * * * * + +Schluss. + +------ + + + +Hiermit scheint es mir angemessen, die vorgenommene Musterung zu +beschliessen. Freilich sind viele wirklich interessante Untersuchungen +derselben entgangen, da sie unter keiner der Kategorien, in welche ich die +von mir besprochenen Arbeiten eingeteilt habe, Platz finden konnten. So +konnte ich nicht ueber die Theorie der projektiven Koordinaten berichten, +die von Chasles[775] erhalten wurden, als er die gewoehnlichen Cartesischen +Koordinaten einer kollinearen Verwandlung unterzog, die dann direkt von +Staudt[776] aufgestellt wurde und vollstaendiger von Fiedler;[777] {125} +dann habe ich nicht ueber die Methode der symbolischen Bezeichnung +berichtet, da diese mehr Mittel als Zweck fuer den Geometer ist; die +Theorie der Beruehrungstransformationen (Lie) und der +Differential-Invarianten (Halphen) habe ich stillschweigend uebergangen, da +sie auf der Grenze zwischen der Geometrie und der Theorie der +Differentialgleichungen stehen; ueber die sogenannte _Analysis situs_ habe +ich mich einer Besprechung enthalten, da eben diese Lehre von Riemann +geschaffen und von seinen Schuelern betrieben wurde, um Probleme der +Funktionentheorie zu loesen. Dann haben sich meiner Darlegung die schoenen +Auseinandersetzungen von Battaglini und Ball entzogen ueber die Kraefte und +Bewegungen,[778] von Chasles, Aronhold, Mannheim und Burmester ueber die +kinematische Geometrie und von Reye ueber die Traegheitsmomente, da sie +bisher[779] mehr zur Mechanik als zur Geometrie gehoerig angesehen wurden. +Gleiches gilt von den interessanten Experimenten Plateaus (1801-1883) in +bezug auf die Minimalflaechen, deren Besitz die Physiker fuer sich +beanspruchen, von den schoenen Untersuchungen ueber die Polyeder (Moebius, +Bravais, Jordan, Hess), welche den Uebergang von der Geometrie zur +Mineralogie bilden, und den neuesten Arbeiten ueber die geometrische +Wahrscheinlichkeit (Crofton, Czuber, Cesaro), welche ich geneigt waere +unter die Anwendungen der Geometrie zu rechnen. Dann habe ich nicht ueber +die Methode der Aequipollenzen gesprochen (Bellavitis) und die Theorie der +Quaternionen (Hamilton), da beide sich bis jetzt noch {126} nicht von so +grosser Fruchtbarkeit erwiesen haben, um als notwendiges Hilfsmittel des +Geometers angesehen zu werden. + +Ungern musste ich hinweggehen ueber die Theorie der Kugelsysteme, die mit +grossem Erfolge von Lie und Reye bearbeitet ist. Ich habe keinen Blick auf +die Theorie der Konfigurationen werfen koennen (Reye, Kantor, Jung, +Martinetti), da dieselbe gerade noch im Stadium ihrer Bildung begriffen +ist, und auf die mehr den Elementen angehoerige Erweiterung der Lehre vom +Dreiecke, zu welcher Arbeiten von Brocard[780] die Anregung gegeben haben. +Kurz erwaehnen will ich noch zwei Reihen von Untersuchungen ueber Maximal- +und Minimalfiguren, von denen die einen (Painvin, P. Serret, Lebesgue, +Borchardt, Kronecker) das Problem von Lagrange, das Tetraeder groessten +Inhalts zu finden, von dem die Inhalte der Seitenflaechen gegeben sind, und +Erweiterungen, bez. Umgestaltungen desselben behandeln,[781] die anderen +(Lindeloef, Berner, Edler, Sturm, Schwarz, Lange, Certo) sich an die +beruehmten Aufsaetze von Steiner[782] anschliessen.[783] + +Keinesfalls aber darf mit Stillschweigen uebergangen werden, dass es +unserem Jahrzehnte vergoennt gewesen ist, die alte Frage der Quadratur des +Kreises zur endgiltigen Erledigung zu bringen. Nachdem im vergangenen +Jahrhundert Lambert[784] die Zahl [pi] als irrational nachgewiesen, +verblieb immer noch der Nachweis, dass [pi] auch nicht Wurzel {127} einer +algebraischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten sei; denn erst damit +ist dargethan, dass die Quadratur des Kreises nicht vermittelst einer +endlichen Anzahl von Konstruktionen, welche mit Hilfe des Lineals und des +Zirkels ausfuehrbar sind, vollzogen werden koenne. Dieser Beweis wurde, +unter Benutzung Hermitescher Vorarbeiten ueber die Exponentialfunktion, +1882 von Lindemann[785] erbracht. + +Trotz der aufgezaehlten und unzaehliger anderer Unvollkommenheiten des +Bildes, das ich ueber den heutigen Zustand der Geometrie zu entwerfen +versucht habe, wird dennoch der Leser, wenn er einen Blick auf dasselbe +wirft, von tiefer Verwunderung betroffen sein, nicht allein ueber die +gewaltige Entwickelung der Mathematik in diesen letzten fuenfzig Jahren, +sondern auch ueber die neue, schoenere, verlockendere Gestalt, welche sie +mehr und mehr annimmt. + +Die geometrischen Figuren, die eine Zeit lang als fest, unbeweglich, leblos +erschienen, bekamen eine unerwartete Lebendigkeit durch die Theorie der +geometrischen Transformationen, vermoege derer sie sich bewegen, sich in +einander verwandeln, gegenseitige Beziehungen enthuellen und unter sich +bisher unbekannte Verwandtschaften herstellen. + +Ferner glaubte man eine Zeit lang, dass wir als dreidimensionale Wesen, die +in einem Raume leben, in welchem wir nur drei Dimensionen wahrnehmen +koennen, dazu verurteilt waeren, ewig nur die Mannigfaltigkeiten von nicht +mehr als drei Dimensionen zu studieren. Jetzt aber ist es uns erlaubt und +fast unsere Pflicht, von dieser Idee als einem gefaehrlichen Vorurteile uns +frei zu machen, und die Fuelle von Arbeiten, die wir vor uns bewundern, +belehren alle diejenigen, welche ihre Augen nicht von der neuen Sonne +wegwenden wollen, ueber die Wichtigkeit dieses Fortschrittes. + +Endlich ist, kann man sagen, der Kampf zwischen der Geometrie und der +Analysis, der sich gegen Ende des {128} vergangenen Jahrhunderts erhoben +und zu Anfang dieses fortgesetzt hat, nunmehr beendigt; weder die eine, +noch die andere hat den Sieg davon getragen, aber jede hat auch den +Unglaeubigsten gezeigt, dass sie bei jeglichem Ringen als Siegerin +hervorgehen koenne. Der _Mecanique analytique_, in welcher Lagrange mit +Freuden konstatierte, dass er es soweit gebracht habe, jegliche Figur zu +vermeiden, hat ein Lehrbuch der Mechanik einen glaenzenden Bescheid +gegeben, welches das Motto traegt: "_Geometrica geometrice_"; dem +hundertjaehrigen Dienste, welchen die Algebra der Geometrie bot, koennen +sich heute die zahllosen und unvergleichlichen Vorteile entgegenstellen, +welche jene von dieser zog; schliesslich wird man doch an Stelle der +analytischen oder pseudosynthetischen Theorie der Kurven und Oberflaechen +in Kurzem die rein synthetische Theorie setzen koennen, die man +gegenwaertig aus dem von Staudt[786] gelieferten Materiale errichtet. + +Und zu dieser Periode des Friedens oder vielmehr des edlen Wetteifers der +Analysis und Geometrie muessen sich alle Glueck sagen, da jeder Fortschritt +der einen einen entsprechenden in der anderen nach sich zieht oder dazu +{129} auffordert. Das entspricht dem heutigen Standpunkte der gesamten +Wissenschaft, denn nun funktionieren, wie Spencer sagt, die verschiedenen +Disziplinen als Hilfskuenste, die einen fuer die anderen. + +Diese Stellung der modernen Mathematik jedoch legt jedem, der sie mit +Erfolg betreiben will, eine schwere Verpflichtung auf, naemlich die, nicht +die eine der beiden Disziplinen, welche sie zusammen bilden, um die andere +zu vernachlaessigen und sich in der Handhabung der Wissenschaft der Zahlen +ebensowohl, als in derjenigen der Ausdehnung auszubilden.[787] + +Um heiteren Mutes diese vermehrten Anstrengungen auf uns zu nehmen, dazu +hilft uns die Betrachtung, "dass die Analysis und Synthesis im Grunde +genommen gleichsam immer vereinigt in unseren Arbeiten sind und zusammen +das vollstaendigste Werkzeug des menschlichen Geistes bilden. Denn unser +Geist macht keine Fortschritte, als nur mit der Hilfe von Zeichen oder +Bildern, und wenn er zum ersten Male in schwierige Fragen einzudringen +sucht, so hat er nicht einen Ueberfluss an diesen beiden Mitteln und jener +besonderen Kraft, die er oft genug nur aus ihrem Zusammenwirken +schoepft."[788] + +Indem wir uns also der Beschraenktheit unserer Kraefte bewusst sind, werden +wir nur ein kleines Feld waehlen, auf dem wir unsere Thaetigkeit ueben, +aber nicht vergessen, dass {130} wir, um alle Fruechte, die es zu bieten +faehig ist, einzuernten, das Recht und sozusagen die Pflicht haben, alle +die Hilfsmittel pruefend anzuwenden, welche der menschliche Geist waehrend +so vieler Jahrhunderte unausgesetzter Thaetigkeit angehaeuft hat, und die +jedem zu Gebote stehen, der die Klugheit hat, sie zu Rate zu ziehen, und +das Geschick, sie anzuwenden. + + + + * * * * * + +Abkuerzungen fuer die haeufig erwaehnten Zeitschriften. + +------ + + + + _Acta math._: Acta mathematica. + + _Amer. Journ._: American Journal of Mathematics pure and applied. + + _Ann. Ec. norm._: Annales scientifiques de l'Ecole normale superieure. + + _Annali di Matem._: Annali di Matematica pura ed applicata. + + _Berliner Abh._: Mathematisch-physikalische Abhandlungen der Akademie + der Wissenschaften zu Berlin. + + _Berliner Ber._: Monatsberichte, bez. seit 1882 Sitzungsberichte oder + auch: Mathematisch-naturwissenschaftliche Mitteilungen derselben + Akademie. + + _Bologna Mem._: Memorie } dell' Accademia di Scienze dell' Istituto + _Bologna Rend._: Rendiconti } di Bologna. + + _Bull. sciences math._: Bulletin des sciences mathematiques (bis 1884: + et astronomiques). + + _Bull. Soc. math._: Bulletin de la Societe mathematique de France. + + _Cambridge Journ._: Cambridge and Dublin mathematical Journal. + + _Cambridge Proc._: Proceedings } of the Philosophical Society of + _Cambridge Trans._: Transactions } Cambridge. + + _Comptes rendus_: Comptes rendus hebdomadaires des seances de l'Academie + des sciences (de Paris). + + _Gergonnes Ann._: Annales de Mathematiques. + + _Giorn. di Matem._: Giornale di Matematiche. + + _Goettinger Abh._: Abhandlungen } der Gesellschaft der Wissenschaften + _Goettinger Nachr._: Nachrichten von} zu Goettingen. + + _Grunerts Arch._: Archiv der Mathematik und Physik. + + _Journ. Ec. polyt._: Journal de l'Ecole polytechnique. + + _Journ. fuer Math._: Journal fuer die reine und angewandte Mathematik. + + _Irish Proc._: Proceedings } of the Irish Academy. + _Irish Trans._: Transactions } + + {131} + _Leipziger Ber._: Berichte ueber die Verhandlungen der Gesellschaft der + Wissenschaften zu Leipzig. + + _Lincei Atti_: Atti } + _Lincei Mem._: Memorie } dell' Accademia dei Lincei. + _Lincei Rend._: Rendiconti } + _Lincei Trans._: Transunti } + + _Liouvilles Journ._: Journal de Mathematiques pures et appliquees. + + _Lombardo Rend._: Rendiconti dell' Istituto Lombardo di scienze e + lettere. + + _Math. Ann._: Mathematische Annalen. + + _Mem. pres._: Memoires presentes par divers savants a l'Academie des + sciences (de Paris). + + _Muenchener Abh._: Abhandlungen } der Akademie der Wissenschaften + _Muenchener Ber._: Sitzungsberichte } zu Muenchen. + + _Napoli Rend._: Rendiconti dell' Accademia delle scienze fisiche e + matematiche di Napoli. + + _Nouv. Ann._: Nouvelles Annales de Mathematiques. + + _Phil. Mag._: London, Edinburgh and Dublin philosophical Magazine. + + _Phil. Trans._: Philosophical Transactions } of the Royal Society of + _Proc. Roy. Soc._: Proceedings } London. + + _Prager Abh._: Abhandlungen } der boehmischen Gesellschaft der + _Prager Ber._: Sitzungsberichte } Wissenschaften. + + _Proc. math. Soc._: Proceedings of the London mathematical Society. + + _Quart. Journ._: Quarterly Journal of pure and applied Mathematics. + + _Torino Atti_: Atti } dell' Accademia delle scienze di Torino. + _Torino Mem._: Memorie } + + _Wiener Ber._: Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen + Klasse der Akademie der Wissenschaften zu Wien. Zweite Abteilung. + + _Zeitschr. f. Math._: Zeitschrift fuer Mathematik und Physik. + +------ + +Die arabische Ziffer bezieht sich auf den Band (Teil, Jahrgang), beim +_Journ. Ec. polyt._ auf das Heft, die roemische auf die Serie (Reihe). + +{132} + + + + * * * * * + +Verzeichnis der verstorbenen Geometer, deren Lebenszeit angegeben ist. + +------ + + + +Die Zahl ist die der Seite, auf welcher sie steht. + +Abel 20 -- d'Alembert 14 -- Apollonius 6 -- Archimedes 6 -- Aronhold 31. + +Baltzer 53 -- Bellavitis 60 -- Benedetti 9 -- Bobillier 26 -- Bolyai, J. +109 -- Bolyai, W. 108 -- Borchardt 43 -- Bour 56 -- Bragelogne 24 -- +Braikenridge 22. + +Caporali 84 -- Cardano 8 -- Carnot 14 -- Cauchy 116 -- Chasles 17 -- +Chelini 57 -- Clairaut 13 -- Clebsch 27 -- Clifford 26 -- Cotterill 84 -- +Cotes 21 -- Cramer 22 -- Crelle 20. + +Desargues 9 -- Descartes 10 -- Dirichlet 119 -- Dupin 15. + +Enneper 50 -- Eratosthenes 6 -- Euler 13. + +Ferrari 8 -- Fermat 9 -- Ferro 8 -- Fibonacci 8. + +Gauss 47 -- Gergonne 16 -- La Gournerie 44 -- Grassmann 26 -- De Gua 22. + +Hachette 15 -- Halley 11 -- Hamilton 104 -- Harnack 63 -- Hesse 25 -- +Hipparch 6 -- La Hire 11 -- Houeel 109 -- Huygens 11. + +Jacobi 16 -- Joachimsthal 55. + +Lacroix 15 -- Lagrange 14 -- Laguerre 40 -- Lamarle 125 -- Lambert 88 -- +Lame 23 -- Lancret 72 -- Laplace 14 -- Legendre 14 -- Leibniz 11 -- +Liouville 72 -- Lobatschewsky 109. + +Mac Cullagh 33 -- Maclaurin 11 -- Magnus 81 -- Mascheroni 9 -- Mercator 88 +-- Moebius 18 -- Monge 13. + +Newton 11. + +Oresme 16. + +Pappus 6 -- Parent 13 -- Pascal 9 -- Plateau 125 -- Plato 5 -- Pluecker 19 +-- Poisson 14 -- Poncelet 14 -- Ptolomaeus 6 -- Puiseux 72 -- Pythagoras 5. + +Richelot 16 -- Riemann 110. + +Saint-Venant 72 -- Scheeffer 118 -- Schooten 13 -- Serret, A. 50 -- +Seydewitz 33 -- Simpson 11 -- Smith 29 -- Snellius 16 -- Spottiswoode 124 +-- Staudt 19 -- Steiner 18 -- Stewart 11 --Sturm, Ch. 104. + +Tartaglia 8 -- Thales 4 -- Transon 81. + +Vieta 9. + +Waring 22 -- Wren 32. + + * * * * * + +Berichtigung. S. 97 Z. 7 v. o. lies viel- statt zwei-. + + + + * * * * * + +Noten. + +------ + + + +[1] "It is difficult to give an idea of the vast extent of modern +mathematics. This word "extent" is not the right one: I mean extent crowded +with beautiful detail -- not an extent of mere uniformity such as an +objectless plain, but of a tract of beautiful country seen at first in the +distance, but which will bear to be rambled through and studied in every +detail of hillside and valley, stream, rock, wood and flower." (Rede von +Cayley i. J. 1883 vor der "British Association for the Advancement of +Science" gehalten.) + +Bei dieser Gelegenheit fuehren wir noch folgendes Urteil von E. +Dubois-Reymond ueber den Charakter der modernen Wissenschaft an: "Nie war +die Wissenschaft entfernt so reich an den erhabensten Verallgemeinerungen, +nie stellte sie in ihren Zielen, ihren Ergebnissen eine groessere Einheit +dar. Nie schritt sie rascher, zweckbewusster, mit gewaltigeren Methoden +voran, und nie fand zwischen ihren verschiedenen Zweigen lebhaftere +Wechselwirkung statt." (_Ueber die wissenschaftlichen Zustaende der +Gegenwart_, Reden, Bd. II, S. 452.) + +[2] _Histoire des sciences mathematiques en Italie_ par G. Libri, 1838. Bd. +I, S. 3. + +[3] Hankel, _Die Entwickelung der Mathematik in den letzten Jahrhunderten_ +(Tuebingen. II. Aufl. 1885). S. 7. + +[4] Diese Thatsache koennte man als ein neues Moment ansehen, wie sich -- +nach einem beruehmten Ausspruche Humboldts -- der Einfluss, den die +tellurischen Erscheinungen auf die Richtung unserer wissenschaftlichen +Untersuchungen ausueben, geltend macht. + +[5] Vgl. Emil Weyr, _Ueber die Geometrie der alten Aegypter_ (Wien, 1881). + +[6] Fuer die Mathematiker, welche vor 1200 gelebt haben, sind die hier +niedergeschriebenen Jahreszahlen aus den _Vorlesungen ueber die Geschichte +der Mathematik_ von M. Cantor (I. Bd. Leipzig, 1880) entnommen. Die erste +Zahl in der Klammer bezieht sich auf das Geburtsjahr, die zweite auf das +Todesjahr. + +[7] In Bezug auf groessere Einzelheiten sehe man Bretschneider, _Die +Geometrie und die Geometer vor Euklides_ (Leipzig, 1870). + +[8] Betti und Brioschi, Vorrede zu _Gli elementi di Euclide_ (Florenz, +1867). Eine gegenteilige Ansicht hat Lacroix in seinem wohlbekannten Buche +_Essais sur l'enseignement en general et sur celui des mathematiques en +particulier_ (4. Aufl. 1883. S. 296) ausgesprochen. + +[9] Um zu zeigen, wie glaenzend und bewunderungswuerdig die noch immer +verkannte griechische Mathematik gewesen sein muss, genuege es, die +Thatsache anzufuehren, dass die Theorie der Kegelschnitte, ein +hauptsaechlicher Gegenstand des Studiums der alten Geometer, von ihnen zu +solcher Vollendung gebracht wurde, dass man im wesentlichen nur weniges +hinzuzufuegen haette, um sie auf den Stand zu bringen, auf dem sie sich +heute befindet. Die Bewunderung fuer jene wird noch jeden Tag groesser +durch die historischen Forschungen gelehrter Mathematiker [z. B. Zeuthen +(s. das Werk _Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertume_, deutsch von +Fischer-Benzon. Kopenhagen, 1886), P. Tannery (s. _Bull. des sciences +math._ und _Mem. de la Societe de Bordeaux_) und andere], welche das +Vorurteil zu beseitigen suchen, dass die Griechen keine +Untersuchungsmethoden gehabt haetten, die vergleichbar sind mit denen, auf +welche unsere Zeit so stolz ist, und die als Ersatz dafuer die Ansicht +aufzustellen streben, dass es ihnen nur an den noetigen Formeln zur +Darstellung der Methoden selbst gefehlt habe. + +[10] Ich kann nicht umhin, die beredten Worte, welche der beruehmte +Geschichtsschreiber der Mathematik in Italien bei dieser Gelegenheit +geschrieben hat, anzufuehren: "...... mais bientot le Romain arrive, il +saisit la science personnifiee dans Archimede, et l'etouffe. Partout ou il +domine la science disparait: l'Etrurie, l'Espagne, Carthage en font foi. Si +plus tard Rome n'ayant plus d'ennemis a combattre se laisse envahir par les +sciences de la Grece, ce sont des livres seulement qu'elle recevra; elle +les lira et les traduira sans y ajouter une seule decouverte. Guerriers, +poetes, historiens, elle les a, oui; mais quelle observation astronomique, +quel theoreme de geometrie devons-nous aux Romains?" (Libri a. O. S. 186.) + +Um zu zeigen, in welchem Ansehen unsere Vorfahren die Mathematik hielten, +genuege es mitzuteilen (vgl. Hankel, _Zur Geschichte der Mathematik im +Altertum und Mittelalter_, Leipzig, 1874. S. 103), dass sie dieselbe oft +mit Astrologie und den verwandten Kuensten zusammenwarfen. Es darf uns +daher nicht Wunder nehmen, wenn wir in dem Codex Justinians unter den +gesammelten Bestimmungen unter dem Titel "De maleficis et mathematicis et +ceteris similibus" folgendes finden: "Ars autem mathematica damnabilis +interdicta est omnino." Wenn man in demselben Codex etwas weiter die +Wendung findet: "Artem geometriae discere atque exercere publice interest," +so muss man sich hueten, sie als eine Uebersetzung des Ausspruches +Napoleons I. anzusehen: "L'avancement, le perfectionnement des +Mathematiques sont lies a la prosperite de l'Etat," denn es ist fast +sicher, dass der roemische Gesetzgeber den praktischen Teil der Geometrie +meinte. + +[11] Unter den Fragen der Geometrie, welche die italienischen Gelehrten des +16. Jahrhunderts sich gegenseitig stellten, finden sich solche von einiger +Wichtigkeit, da sie die _"Geometria del compasso"_ (Geometrie des Kreises) +entstehen liessen, welcher gerade in dieser Zeit Benedetti (?-1590) eine +Schrift widmete, und die in neuerer Zeit von Mascheroni (1750-1808) und +Steiner gepflegt wurde. + +[12] Pascal entdeckte an der Cykloide eine Fuelle bemerkenswerter +Eigenschaften, wies auf die Perspektivitaet als eine fuer das Studium der +Kegelschnitte sehr guenstige Methode hin, bewies den beruehmten Lehrsatz +von dem "Hexagramma mysticum," wie er es nannte, u. s. w. + +Desargues fuehrte die gemeinsame Betrachtung der drei Kegelschnitte ein, +den wichtigen Begriff des unendlich fernen Punktes einer Geraden, den +Begriff der Involution von sechs Punkten, loeste mehrere wichtige Fragen, +die sich auf die Kegelschnitte beziehen, u. s. w. + +In den Werken von Desargues (vgl. die von Poudra 1864 besorgte Ausgabe) +findet sich auch eine Methode vorgeschlagen, um einige projektive +Eigenschaften der Kurven zu untersuchen, welche darauf beruht, dass man +dieselbe durch Systeme von Geraden ersetzt. Descartes und Poncelet +betrachteten die Schluesse, die auf einer solchen Substitution beruhen, als +der Strenge entbehrend (vgl. _Traite des proprietes projectives_, Bd. II, +S. 128). Jedoch wurde das von Desargues vorgeschlagene Verfahren in der +neueren Zeit wiederholentlich von demselben Poncelet (a.a.O. Bd. I, S. +374), von Jonquieres (in verschiedenen Abhandlungen in den _Annali di +Matem., Journ. f. Math._ und in den _Math. Ann._), von Cremona (s. die +_Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane_) gebraucht, und +gehoert heute zu den wertvollen Untersuchungsmethoden, die wir dem "Prinzip +der Erhaltung der Anzahl" verdanken. + +[13] Vgl. E. Dubois-Reymond, _Kulturgeschichte und Naturwissenschaft_, in +den Gesammelten Reden, Bd. I 1886, S. 207-208. + +[14] Favaro, _Notizie storico-critiche sulla costruzione delle equazioni. +Memorie di Modena_, 18, 1879. + +Matthiessen, _Grundzuege der antiken und modernen Algebra der litteralen +Gleichungen_ (Leipzig, 1878), 7. Abschnitt. + +[15] Ueber den Ursprung der analytischen Geometrie sehe man Guenther, _Die +Anfaenge und die Entwickelungsstadien des Coordinatenprincipes_ +(_Abhandlungen der naturforsch. Gesellsch. zu Nuernberg_, 6) und ueber +Cartesius die Rede von Jacobi, ins Franzoesische uebersetzt und +veroeffentlicht in _Liouvilles Journ._ 12 unter dem Titel: _De la vie de +Descartes et de sa methode pour bien conduire la raison et chercher la +verite dans les sciences._ + +[16] Siehe z. B. den _Traite de la lumiere_ (Leyden, 1691). + +[17] _Sectiones conicae in novem libros distributae_ (Paris, 1685), +_Memoires sur les Epicycloides_ (_Anciennes Memoires de l'Academie des +sciences,_ 9), _Traite des roulettes_ etc. (ebendas., 1704). + +[18] Man sehe die von ihm bewirkte Herausgabe von griechischen Werken nach, +sowie seine Versuche, verloren gegangene Buecher (wie das achte Buch von +Apollonius' Kegelschnitten) wieder herzustellen. + +[19] Vergl. sein Buch _A complete System of Fluxions_ (Edinburgh, 1742). + +[20] _Treatise on conic Sections_ (1735). + +[21] _General theorems of considerable use in the higher parts of +mathematics_ (Edinburgh, 1746); _Propositiones geometricae more veterum +demonstratae_ (Edinburgh, 1763). + +[22] Hinsichtlich der von Simpson und Stewart gemachten Versuche, die +griechische Geometrie wieder aufleben zu machen, sehe man Buckle, +_Geschichte der Civilisation in England_ (deutsch von A. Ruge), Bd. I, +Kap. 5. + +[23] Die von den Griechen hauptsaechlich untersuchten Kurven sind: der +Kreis, die Ellipse, die Hyperbel, die Parabel, die Archimedische Spirale, +die Diokles'sche Cykloide, die Konchoide des Nikomedes, die Quadratrix des +Hippias und Dinostratus, die Schraubenlinien, die Spirallinien und einige +andere. Zu diesen fuegten die neuen Rechnungsarten hinzu: das Folium und +die Ovale von Descartes, die Tschirnhausensche Quadratrix, die Cykloide, +die Hypo- und Epicykloiden, die logarithmische Spirale, die Kettenlinie, +die Sinuscurve, die Logarithmuscurve und unzaehlige andere. + +[24] Siehe das fuenfte Buch seiner _Exercitationes geometriae._ + +[25] Parent, _Essai et Recherches de Mathematiques et de Physique_ +(II. Aufl. 1713), Bd. 2. + +[26] _Traite de Courbes a double courbure._ 4 + +[27] _Recherches sur la courbure des surfaces (Berliner Abh.)._ + +[28] Abhandlungen der Akademie von Turin (1770-1773) und von Paris (1784); +_Feuilles d'analyse appliquee a la geometrie_ (Paris, 1795), oder +_Applications de l'Analyse a la Geometrie_ (Paris, 1801). + +[29] Ausspruch von d'Alembert. + +[30] _Lecons de geometrie descriptive_ (Paris, 1794). + +[31] In Bezug auf Monge sehe man Dupin, _Essai historique sur les services +et les travaux scientifiques de Gaspard Monge_ (Paris, 1819); Arago, +_Notices biographiques._ + +Ueber die Geschichte des Ursprunges und der Entwickelung der darstellenden +Geometrie sehe man den ersten Abschnitt des 1. Bandes des Werkes von Chr. +Wiener, _Lehrbuch der darstellenden Geometrie_ (Leipzig, 1884, 1887), in +welchem der Studierende eine Menge interessanter Einzelheiten finden wird, +sei es ueber die Studien, welche diese Disziplin vorbereiteten, sei es +ueber die Untersuchungen, welche die Nachfolger von Monge gemacht haben. + +Monge hatte als Mitarbeiter bei seinem reformierenden Werke einige seiner +Kollegen [unter anderen Lacroix (1765-1843) und Hachette (1769-1834)], +sowie viele von seinen Schuelern an der polytechnischen Schule. Der Kuerze +halber beschraenke ich mich darauf, den anzufuehren, "der ueber die anderen +wie ein Adler fliegt", Charles Dupin (1784-1873), vorzueglich wegen seiner +klassischen _Developpements de geometrie_ (1813), die noch von allen +gelesen werden muessen, welche auch nur eine maessige Kenntnis des heutigen +Zustandes der Geometrie erlangen wollen. + +[32] Monge's Einfluss laesst sich noch in den neuesten Arbeiten bemerken; +zum Beweise genuege es, die Idee anzufuehren, die Schranken, durch welche +die Alten die Planimetrie von der Stereometrie getrennt hatten, +niederzureissen, und den gluecklichen Versuch, den neuerdings (1884) De +Paolis in seinen goldenen _Elementi di Geometria_ (Turin) gemacht hat, +dieselbe auszufuehren. + +[33] "La Geometrie de position de Carnot n'aurait pas, sous le rapport de +la metaphysique de la Science, le haut merite que je lui ai attribue, +qu'elle n'en serait pas moins l'origine et la base des progres que la +Geometrie, cultivee a la maniere des anciens, a fait depuis trente ans en +France et en Allemagne" (Arago, _Biographie de Carnot_). + +[34] Zweite Auflage, 1865, 1866. + +[35] Den Ursprung dieses Prinzipes betreffend, sehe man die Note von C. +Taylor, _On the history of geometrical continuity_ (_Cambridge Proc._, 1880 +und 1881). + +[36] _Doctrina triangulorum canonicae_ u. s. w. (Leyden, 1627). + +[37] _Variorum de rebus mathematicis responsorum liber VIII._ (Opera +Vietae, 1646). + +[38] _Gergonnes Ann._ 17. + +[39] Jacobi, _Journ. fuer Math._ 3; Richelot, das. 5, 38; Rosanes und +Pasch, ebendas. 64; Leaute, _Comptes rendus_, 79; Fergola, Padeletti und +Trudi, _Napoli Rend._ 21; Simon, _Journ. fuer Math._ 81; Gundelfinger, das. +83; Halphen, _Liouvilles Journ._ III, 5; _Bull. de la Soc. philom._ VII, 3. +Man sehe auch die interessante Abhandlung von Hurwitz: _Ueber +unendlich-vieldeutige geometrische Aufgaben, insbesondere ueber die +Schliessungsprobleme_ (_Math. Ann._ 15) und die Note von Forsith, _On in- +and circumscribed polyhedra_ (_Proc. Math. Soc._ 1883). + +[40] In deutscher Uebersetzung von Sohncke: _Geschichte der Geometrie, +hauptsaechlich in Bezug auf die neueren Methoden_ (Halle, 1839), jedoch +ohne das _Memoire sur deux principes generaux de la science_ (vgl. die +folgende Note). Das franzoesische Original erschien 1875 in 2. Auflage. + +[41] Unter den Arbeiten, welche das Werk von Chasles bilden, verdient eine +besondere Erwaehnung die Abhandlung (fuer welche urspruenglich der _Apercu +historique_ als Einleitung dienen sollte) _Sur deux principes generaux de +la Science_, welche die allgemeine Theorie der Homographie (Kollineation) +und der Reciprocitaet enthaelt, sowie die Untersuchung der beiden Faelle, +in welchen diese involutorisch ist, und die Anwendung dieser +Transformationen auf das Studium der Flaechen zweiten Grades und der +geometrischen Oberflaechen ueberhaupt, sowie auf die Verallgemeinerung des +cartesischen Koordinatensystems. Auch muessen noch die _Noten_ erwaehnt +werden, da sie eingehende historische Studien und geometrische +Untersuchungen von grosser Bedeutung enthalten. Unter den letzteren will +ich diejenigen anfuehren, in denen die Theorie des Doppel- oder +anharmonischen Verhaeltnisses und der Involution, die anharmonischen +Eigenschaften der Kegelschnitte, die Fokaleigenschaften der Flaechen +zweiten Grades, viele Lehrsaetze ueber die kubischen Raumkurven, +glueckliche Versuche, die Saetze von Pascal und Brianchon auf die Flaechen +zweiten Grades auszudehnen, eine Verallgemeinerung der stereographischen +Projektion u. s. w. auseinandergesetzt sind. + +[42] Dieser Uebergang ging nicht friedlich von statten, war vielmehr mit +einer Reihe lebhafter Diskussionen verbunden, in welchen Poncelet, Chasles +und Bobillier zu Gegnern hatten Pluecker, Steiner und Magnus und deren +Hauptschauplatz das _Bulletin_ von Ferussac war. -- Hier wuerde es am Orte +sein, den Anteil zu bestimmen, der jedem dieser Gelehrten in den +Wissensgebieten zukommt, an denen sie zusammen arbeiteten; aber dafuer +wuerde die Feder eines competenteren und gelehrteren Mannes, als ich bin, +noetig sein. Im Uebrigen sind nach meinem Dafuerhalten gewisse Produktionen +der menschlichen Intelligenz eine natuerliche Frucht ihrer Zeit; daher darf +es nicht wunder nehmen, wenn sie gleichzeitig aus verschiedenen Koepfen +hervorgegangen scheinen, und darum braucht man auch keine Erklaerung dieser +Thatsache in der "mala fides" dieses oder jenes zu suchen. Dass solches +wirklich bei der Erfindung der Differentialrechnung eingetreten ist, steht +heute ausser allem Zweifel. Dass dies ebenso bei der modernen Geometrie +eingetreten ist, kann die Thatsache beweisen, dass dieselbe hervorgegangen +ist aus einem allseitig gefuehlten Beduerfnisse (man vergleiche dazu den +Ausspruch Dupins _[Developpements de geometrie]_, der als Motto auf dem +_Traite des proprietes projectives des figures_ steht, mit der Vorrede der +_Systematischen Entwickelung_ und mit dem _Apercu historique_ an +verschiedenen Stellen) nach allgemeinen Methoden, die als Ariadnefaden +dienen sollten zur Fuehrung in dem Labyrinthe von Hilfssaetzen, +Lehrsaetzen, Porismen und Problemen, die von den Vorfahren ueberliefert +sind. + +[43] Die hauptsaechlichste Arbeit von Moebius auf dem Gebiete der reinen +Geometrie ist die mit dem Titel: _Der barycentrische Calcul_ (Leipzig, +1827); dort sind die bisherigen Kenntnisse ueber den Schwerpunkt +(Barycentrum) eines Systemes von Punkten einer neuen und wichtigen +Rechnungsart zu Grunde gelegt; diese fuehrt zu einem neuen +Koordinatensystem, dessen Anwendung auf das Studium der Raumkurven und +ebenen Kurven und der Oberflaechen der Verfasser darlegt. In demselben +werden ferner methodisch und in grosser Ausfuehrlichkeit wichtige +geometrische Transformationen, die heute noch fortwaehrend Anwendung +finden, betrachtet. Viele spaetere Abhandlungen von Moebius sind als +Anhaenge zum barycentrischen Calcul zu betrachten. (Siehe die beiden ersten +Baende der _Gesammelten Werke_ von Moebius, herausgegeben auf Veranlassung +der Saechsischen Gesellschaft der Wissenschaften, Leipzig, 1885-1887.) + +[44] Ich meine das Werk: _Systematische Entwickelung der Abhaengigkeit +geometrischer Gestalten von einander_ (Berlin, 1832), in dem "der +Organismus aufgedeckt ist, durch welchen die verschiedenartigsten +Erscheinungen in der Raumwelt miteinander verbunden sind". -- Die spaeteren +Schriften von Steiner und diejenigen anderer, welche sich auf das +angefuehrte Werk stuetzen, zeigen, welches Recht der Verfasser desselben +dazu hatte, den Inhalt durch die schon angefuehrten Worte zu +charakterisieren. Steiners _Gesammelte Werke_ sind auf Veranlassung der +Akademie der Wissenschaften zu Berlin herausgegeben (Berlin, 1881, 1882). + +[45] Des Naeheren will ich hier nur die drei Buecher anfuehren: +_Analytisch-geometrische Entwickelungen_ (Essen, 1828-1831), _System der +analytischen Geometrie_ (Berlin, 1835), _Theorie der algebraischen Kurven_ +(Bonn, 1839), sowie die mit ihnen zusammenhaengenden Abhandlungen, die in +_Gergonnes Ann._ und im _Journ. fuer Math._ veroeffentlicht sind. + +[46] Das Werk, in welchem Staudt sein System der Geometrie dargelegt hat, +wurde im Jahre 1847 zu Nuernberg veroeffentlicht unter dem Titel: +_Geometrie der Lage_. Die ungemeine Knappheit des Stiles ist vielleicht die +Ursache der grossen Schwierigkeit, auf welche die Verbreitung desselben +stiess; heute erst sind, dank den von Reye (in erster Auflage 1866-1868 +erschienenen und) unter demselben Titel veroeffentlichten Vorlesungen die +in demselben enthaltenen Ideen allen bekannt, die sich mit Geometrie +beschaeftigen. In Italien wird jetzt zuerst von allen Laendern eine +Uebersetzung desselben angefertigt. + +Nicht weniger wichtig sind die _Beitraege zur Geometrie der Lage_ (in 3 +Heften), welche Staudt seiner _Geometrie der Lage_ 1866-1860 folgen liess. +Wir beschraenken uns darauf, hervorzuheben, dass dort die einzige strenge, +allgemeine und vollstaendige Theorie der imaginaeren Elemente in der +projektiven Geometrie auseinandergesetzt ist; diese Theorie wurde in +verschiedener Weise von mehreren Geometern, Lueroth (_Math. Ann._ 8, 11), +August (_Progr. der Friedrichs-Realschule in Berlin_, 1872) und Stolz +(_Math. Ann._ 4) erlaeutert; ueber die eng mit ihr zusammenhaengende +Rechnung mit den "Wuerfen" sehe man ausser den erwaehnten Abhandlungen von +Lueroth noch zwei Arbeiten von Sturm _(Math. Ann._ 9) und Schroeder +(ebendas. 10). + +[47] Ohne Zweifel ist diese Einteilung etwas willkuerlich; vielleicht wird +mancher, indem er bedenkt, dass gewisse Theorien mit demselben Rechte zu +mehr als einem von den folgenden Abschnitten gehoeren koennen, dieselbe +unpassend finden. Gleichwohl schmeichle ich mir, dass die meisten nach +reiflicher Pruefung des besprochenen Gegenstandes finden werden, dass die +von mir gewaehlte Einteilung nicht ohne bemerkenswerte Vorteile ist. + +[48] Cotes, _Harmonia mensurarum_ (1722); Maclaurin, _De linearum +geometricarum proprietatibus generalibus tractatus_. (Ins Franzoesische +uebersetzt von de Jonquieres und seinen _Melanges de Geometrie pure_ +[Paris, 1856] angehaengt.) + +[49] _Miscellanea analytica_ etc. (1762); _Proprietates geometricarum +curvarum_ (1772); _Phil. Trans._ 1763-1791. + +[50] _Geometria organica_ (1720). + +[51] _Phil. Trans._ 1735; _Exercitationes Geometriae de descriptione +linearum curvarum_ (1733). + +[52] Uebrigens hat, wie C. Taylor (_Cambridge Proc._ 3) bemerkte, Newton +selbst seine organische Erzeugungsweise der Kegelschnitte in der +_Enumeratio linearum tertii ordinis_ auf Kurven hoeherer Ordnung +ausgedehnt. + +[53] _Usage de l'analyse de Descartes_ (1740). + +[54] _Introductio in analysin infinitorum_. 2. Bd. + +[55] _Introduction a l'analyse des lignes courbes algebriques_. + +[56] Kurz vor der Veroeffentlichung des Cramerschen Werkes fand Euler (man +sehe die _Berliner Abh._ 1748), dass von den neun Grundpunkten eines +Bueschels ebener Kurven dritter Ordnung einer durch die acht uebrigen +bestimmt ist. + +[57] _Gergonnes Ann._ 17, 19. + +[58] _Journ. fuer Math._ 16; _Theorie der algebraischen Curven_ (wo S. +12-13 sich eine kurze Geschichte dieser Saetze findet). + +[59] _Journ. fuer Math._ 15. + +[60] _Cambridge Journ._ 3; vgl. Bacharach, _Math. Ann._ 26. + +[61] Riemann, _Journ. fuer Math._ 54; Clebsch, das. 58; Roch, ebendas. 64; +Clebsch und Gordan, _Theorie der Abelschen Funktionen_ (Leipzig, 1866); +Brill und Noether, _Ueber die algebraischen Funktionen_ u. s. w. (_Math. +Ann._ 7); Cremona, _Bologna Mem._ 1870; Casorati, Cremona und Brioschi, +_Lombardo Rend._ II, 2. + +[62] In diesem Werke ist mit ersichtlicher Bevorzugung von dem "Prinzipe +der Abzaehlung der Konstanten" Kenntnis gegeben und Gebrauch gemacht; wir +wollen dasselbe erwaehnen, da sich darauf eine Untersuchungsmethode +stuetzt, deren ganze Bedeutung aufzuheben nicht gelingen wird, obwohl sich +Beispiele von Irrtuemern anfuehren lassen, zu denen es fuehren kann, wenn +es ohne die notwendige Vorsicht angewandt wird. + +Mit der Theorie der ebenen Kurven befassen sich auch die beiden folgenden +Buecher, deren Existenz ich aus einer Anfuehrung Plueckers kenne (_Theorie +der algebraischen Curven_, S. 206); A. Peters, _Neue Curvenlehre_ 1835; +C. C. F. Krause, _Novae theoriae linearum curvarum originariae et vere +scientificae specimina quinque prima_. _Edidit Schroeder_, 1835. + +[63] S. auch eine Abhandlung Plueckers, _Liouvilles Journ._ 1. + +[64] _Mem. pres._ 1730-31-32. + +[65] S. die in Note 54 citierte _Introductio_. + +[66] Hierzu siehe Clebsch, _Vorlesungen ueber Geometrie_, S. 352; Malet, +_Hermathema_, 1880; Pellet, _Nouv. Ann._ II., 20, 1881. + +[67] Cayley, _Quart. Journ._ 7 und _Journ. fuer Math._ 64; La Gournerie, +_Liouvilles Journ._ II, 14; Noether, _Math. Ann._ 9; Zeuthen, das. 10; +Halphen, _Comptes rendus_ 78, _Liouvilles Journ._ II, 2, _Mem. pres._ 26; +J. S. Smith, _Proc. math. Soc._ 6; Brill, _Math. Ann._ 16; Raffy, das. 23. +-- An diese Frage knuepft sich die Untersuchung der Zahl der Schnitte +zweier Kurven, welche von einem ihnen gemeinsamen vielfachen Punkte +absorbiert werden. Hierzu sehe der Leser die interessante Abhandlung von +Zeuthen, _Acta math._ 1. + +[68] _Journ. fuer Math._ 40; vgl. Clebsch (das. 63). + +[69] _Journ. fuer Math._ 36, 40, 41. + +[70] _Phil. Mag._ Oktoberheft 1858. + +[71] _Phil. Trans._ 1859. + +[72] z. B. Dersch, _Math. Ann._ 7. + +[73] _A Treatise on higher plane curves_ (1852); ins Deutsche uebertragen +durch Fiedler (Leipzig, 1873) + +[74] _Gergonnes Ann._ 19. + +[75] _Journ. fuer Math._ 24. -- Die Theorie der Polaren in bezug auf Kurven +und Oberflaechen wurde in der letzten Zeit auf eine bemerkenswerte Weise +von Clifford (1845-1879) (_Proc. math. Soc._ 1868 oder _Mathematical Papers +of Clifford_, 1882, S. 115) und von Reye (_Journ. fuer Math._ 72, 78) +verallgemeinert. De Paolis widmete ihr eine interessante Schrift, welche in +den _Lincei Mem._ 1885-1886 veroeffentlicht ist. + +[76] _Comptes rendus_, 1853. + +[77] _Essai sur la generation des courbes geometriques_, 1858 (_Mem. pres._ +16). Vgl. Haertenberger, _Journ. fuer Math._ 58; Olivier das. 70, 71; +Schoute, _Nieuw Archief voor Wiskunde_, 4, und die allerneuesten +Untersuchungen von Jonquieres ueber die Maximalzahl der vielfachen Punkte, +die man bei einer ebenen Kurve beliebig annehmen kann (_Comptes rendus_ +105). + +[78] Veroeffentlicht im Jahre 1862 in den _Bologna Mem._ Moege es mir +gestattet sein, hier den Wunsch auszusprechen, dass der beruehmte Cremona, +dessen Interesse fuer die Verbreitung der geometrischen Studien bekannt +ist, seine beruehmten Schriften ueber die Theorie der Kurven und +Oberflaechen durch neue Ausgaben allen zugaenglich machen wolle. -- Diese +Schriften sind in deutscher Uebersetzung von Curtze unter dem Titel: +_Einleitung in eine geometrische Theorie der ebenen Kurven_ (Greifswald, +1865), bez. _Grundzuege einer allgemeinen Theorie der Oberflaechen in +synthetischer Behandlung_ (Berlin, 1870) erschienen. + +[79] Als Vorbereitung fuer solche Untersuchungen sind die von Aronhold +(_Berliner Ber._ 1861) anzusehen, dann die von Brioschi (_Comptes rendus_, +1863, 64) ueber die Darstellung der Koordinaten der Punkte von gewissen +Kurven als elliptische Funktionen eines Parameters. + +[80] _Journ. fuer Math._ 58, 64. Die von Clebsch erhaltenen Resultate haben +sich infolge des schoenen Werkes von Lindemann, welches den Titel traegt: +_Vorlesungen ueber Geometrie von A. Clebsch_ (I. Bd. Leipzig, 1876) und von +dem das Erscheinen des zweiten Bandes allgemein gewuenscht wird, schnell +verbreitet. + +[81] _Ueber die algebraischen Funktionen und ihre Anwendung in der +Geometrie. Math. Ann._ 7. + +[82] Zu den im Texte angefuehrten Schriften muessen noch die von Brill +hinzugezogen werden (_Math. Ann._ 13), ferner die von Geiser (_Annali di +Matem._ II, 9) und die von Del Pezzo (_Napoli Rend._ 22) ueber den +Zusammenhang, der zwischen den Singularitaeten einer Kurve und denen ihrer +Hesseschen Kurve besteht; ferner die von Laguerre (_Comptes rendus_ 40) und +Holst (_Math. Ann._ 11 und _Archiv for Mathematik og Naturvidenskab_ 7), +ueber die metrischen Eigenschaften der Kurven. + +[83] _De linearum geometricarum proprietatibus generalibus tractatus._ + +[84] Vgl. Salmon-Fiedler, _Hoehere ebene Kurven_, 5. Kap. + +[85] _Phil. Trans._ 1857; _Liouvilles Journ._ 9, 10. + +[86] _Journ. fuer Math._ 42. + +[87] _Zeitschr. f. Math._ 17; _Prager Ber._ 1871. -- Man sehe auch das Buch +_Die ebenen Kurven dritter Ordnung_ (Leipzig, 1871) und die Abhandlung von +Gent (_Zeitschr. f. Math._ 17). + +[88] _Giorn. di Matem._ 2. + +[89] _Journ. fuer Math._ 90. + +[90] _Prager Abh._ VI, 5. + +[91] _Goettinger Nachr._ 1871 und 1872. + +[92] _Journ. fuer Math._ 78. + +[93] Hierzu Harnack, _Math. Ann._ 9. Caporali, _Lincei Atti_, III, 1; Folie +und Le Paige, _Memoires de l'Academie de Belgique_, 43. Halphen, _Math. +Ann._ 15; _Bull. Soc. math._ 9. + +[94] _Siehe Giorn. di Matem._, _Lombardo Rend._, _Math. Ann._, _Wiener +Ber._ und _Prager Ber._ + +[95] Fuer die Clebschschen Arbeiten sehe man die in Note 80 angefuehrten +Baende des _Journ. fuer Math._ nach. Ueber die ebenen rationalen Kurven +dritter Ordnung sehe man die Arbeiten von Durege (_Math. Ann._ 1), Igel +(das. 6), Rosenow (Dissertation, Breslau, 1873), Schubert (_Math. Ann._ +12), Dingeldey (das. 27, 28); ueber die Kurven vierter Ordnung die von +Brill (Math. Ann. 12) und Nagel (das. 19); ueber die fuenfter Ordnung von +Rohn (das. 25), und ueber die rationalen Kurven beliebiger Ordnung die +Schriften von Haase (_Math. Ann._ 2), von Lueroth (das. 9), Pasch (das. +18), Brill (das. 20), von Weltzien (das. 26) und Garbieri (_Giorn. di +Matem._ 16). + +[96] _Journ. fuer Math._ 47; _Comptes rendus_, 1871. + +[97] _Journ. fuer Math._ 53. + +[98] Guessfeldt, _Math. Ann._ 2; Laguerre, _Bull. Soc. math._ 7; Cremona +und Clebsch, _Journ. f. Math._ 64; Kiepert, _Zeitschr. f. Math._ 17; Frahm +ebendas. 18; Milinowski das. 19; Intrigila, _Giorn. di Matem._ 23; Kantor, +_Wiener Ber._ 1878 und _Bull. Sciences math._ II, 3. + +[99] _Giorn. di Matem._ 15. + +[100] _Journ. fuer Math._ 65. + +[101] _Math. Ann._ 4. + +[102] _Bull. de la Societe philomathique_, VII, I. + +[103] Wenn p das Quadrat des Moduls einer elliptischen Funktion, q das +Quadrat des vermittelst einer primaeren Transformation ungerader Ordnung +transformierten Moduls und schliesslich F(p, q, 1) = 0 die entsprechende +Modulargleichung ist, so ist die Gleichung einer Modularkurve F([alpha], +[beta], [gamma]) = 0. Siehe _Proc. math. Soc._ 9. + +[104] _Journ. f. Math._ 65; vgl. Ed. Weyr das. 73; Hurwitz, _Math. Ann._ +19. + +[105] _Math. Ann._ 24. + +[106] _Journ. fuer Math._ 95, 99; siehe auch die Abhandlung von August, +_Grunerts Arch._ 59. + +[107] _Transactions of the Royal Society of Edinburgh_ 25. + +[108] _Math. Ann._ 5. + +[109] _Math. Ann._ 5, 6. Man sehe auch hierzu die Abhandlung von Harnack in +der _Zeitschr. f. Math._ 22. Die hauptsaechlichsten von Durege und +Schroeter auf synthetischem Wege gefundenen Lehrsaetze sind analytisch von +Walter in seiner Dissertation _Ueber den Zusammenhang der Kurven dritter +Ordnung mit den Kegelschnittscharen_ (Giessen, 1878) bewiesen. Den +genannten Schriften Schroeters ueber die Kurven dritter Ordnung koennen wir +nun noch sein neuerdings erschienenes rein geometrisches Lehrbuch: _Die +Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung_ (Leipzig, 1888) hinzufuegen. + +[110] _Math. Ann._ 5. + +[111] _Math. Ann._ 1, 13; vgl. Clebsch, _Journ. fuer Math._ 59. + +[112] _Irish Trans._ 1869. + +[113] Siehe dessen Werk, _Sur une classe remarquable de courbes et surfaces +algebriques_ (Paris, 1873). + +[114] _Journ. fuer Math._ 57, 59, 66. + +[115] _Tidsskrift for Mathematik_, IV, 3. + +[116] _Forhandlinger af Videnskabs Selskab af Kjobenhavn_ 1879. + +[117] Erschienen in den _Collectanea mathematica in memoriam D. Chelini_ +(Mailand, 1881). + +[118] _Journ. fuer Math._ 28, 34, 38. + +[119] _Journ. fuer Math._ 49, 55; vgl. auch Cayley (das. 58). + +[120] _Journ. fuer Math._ 49. + +[121] _Berliner Ber._ 1864, sowie _Nouv. Ann._ II, 11. + +[122] _Math. Ann._ 1; _Journ. fuer Math._ 72. + +[123] Vgl. Note 80. + +[124] _Journ. fuer Math._ 66. -- Ueber die Doppeltangenten einer Kurve +vierter Ordnung sehe man auch folgende Arbeiten: Riemann, _Zur Theorie der +Abelschen Funktionen fuer den Fall p=3_. _Gesammelte Werke_ (Leipzig, +1876), S. 456-499; Noether, _Math. Ann._ 15; Cayley, _Journ. fuer Math._ +94; Frobenius (das. 99); Freyberg, _Math. Ann. _17; H. Weber (ebendas. 23). + +[125] Um sich von dem bedeutenden Anteil, welchen die Mongesche Schule an +der Schoepfung der Theorie der Flaechen zweiten Grades hatte, zu +ueberzeugen, genuegt es, sich folgendes zu vergegenwaertigen: Ihr verdanken +wir die doppelte Erzeugungsweise des einmanteligen Hyperboloides und des +hyperbolischen Paraboloides durch die Bewegung einer Geraden (Monge, +_Journ. Ec. polyt._ 1) und die Erzeugung aller Flaechen zweiten Grades, mit +Ausnahme des hyperbolischen Paraboloides, durch Bewegung eines Kreises +(Hachette, _Elements de Geometrie a trois dimensions_). Monge und Hachette +verdankt man den Beweis der Existenz der drei Hauptebenen einer Oberflaeche +zweiter Ordnung; Monge (_Correspondance sur l'Ecole polytechnique_) die +Entdeckung des Ortes der Scheitel der dreirechtwinkligen Trieder, deren +Kanten eine Flaeche zweiter Ordnung beruehren, und Bobillier (_Gergonnes +Ann._ 18) die des Ortes der Scheitel der dreirechtwinkligen Trieder, deren +Seitenflaechen eine Flaeche zweiter Ordnung beruehren; Monge bestimmte die +Kruemmungslinien des Ellipsoides (_Journ. Ec. polyt._ 2); Livet (das. 13) +und Binet (ebendas. 16) dehnten die bekannten Lehrsaetze des Apollonius auf +den Raum aus, waehrend Chasles (_Correspondance sur l'Ec. polyt._) andere +analoge Saetze gab; Dupin (_Journ. Ec. polyt._ 14) machte einige +interessante Methoden zur Erzeugung solcher Oberflaechen bekannt. Brianchon +(das. 13) zeigte, dass die reciproke Polare einer Flaeche zweiten Grades +ebenfalls eine Flaeche zweiten Grades sei, u. s. w. + +[126] _Journ. fuer Math._ 12. + +[127] _Irish Proc._ 2. + +[128] _Apercu historique_, Note 25, 28, 31, 32; _Comptes rendus_, 1855; +_Liouvilles Journ._ 1860 u. s. w. + +[129] _Journ. fuer Math._ 18, 20, 24, 26, 60, 73, 85, 90. + +[130] _Grunerts Arch._ 9. + +[131] _Journ. fuer Math._ 62. Ueber die Oberflaechen zweiter Ordnung sehe +man auch die Abhandlungen von Townsend (_Cambridge Journ._ 3), von Darboux +(_Bull. Soc. Math._ 2), von Meray und Cremona (_Annali di matem._ I, 3) +u. s. w. und die _Geometrie de direction_ (Paris, 1869) von P. Serret. + +Eine der wichtigsten Fragen, welche sich in der Theorie der Flaechen +zweiten Grades darbietet, ist die Konstruktion derselben, wenn neun ihrer +Punkte gegeben sind. Dieselbe wurde von Seydewitz (_Grunerts Arch._ 9), +Chasles (_Comptes rendus_, 1855), Steiner (_Gesammelte Werke_, II. Bd., +_Nachlass_), Schroeter (_Journ. fuer Math._ 62), Sturm (_Math. Ann._ 1) und +Dino (_Napoli Rend._ 1879) geloest. -- Daran knuepft sich die Untersuchung +des achten Punktes, der allen Flaechen zweiter Ordnung gemeinsam ist, die +durch sieben gegebene Punkte gehen. Dieser wurde der Gegenstand wichtiger +Untersuchungen von Hesse (_Journ. fuer Math._ 20, 26, 73, 75, 99), Picquet +(das. 73, 99), Caspary, Schroeter, Sturm, Zeuthen (das. 99) und Reye (das. +100). + +Ein anderes interessantes Problem ist die Untersuchung der Flaechen zweiten +Grades, in bezug auf welche zwei gegebene Flaechen zweiten Grades reziproke +Polaren voneinander sind; dasselbe wurde analytisch von Battaglini +behandelt (_Lincei Atti,_ 1875), von d'Ovidio (_Giorn. di Matem._ 10) und +synthetisch von Thieme (_Zeitschr. f. Math._ 22). + +Ueber einige Flaechen zweiten Grades, welche besondere metrische +Eigenschaften besitzen (orthogonale, gleichseitige Hyperboloide), haben +geschrieben: Steiner (_Journ. fuer Math._ 2 und _Systematische +Entwickelung_), Chasles (_Liouvilles Journ._ 1 [1836]), Schroeter (_Journ. +fuer Math._ 85), Schoenfliess (_Zeitschr. fuer Math._ 23, 24 und _Journ. +fuer Math._ 99), Vogt (_Journ. fuer Math._ 86) und Ruth (_Wiener Ber._ 80). + +Zu den neuesten Studien ueber die Flaechen zweites Grades gehoeren die von +Zeuthen (_Math. Ann._ 19, 26) ueber die Theorie der projektiven Figuren auf +einer solchen Flaeche; daran schliessen sich auch einige schoene +Untersuchungen, welche Voss gemacht hat (_Math. Ann._ 25, 26), um gewisse +Resultate von Poncelet und Bruno (_Torino Atti_ 17) weiter auszudehnen. +Auch sind die Anwendungen der hyperelliptischen Funktionen auf sie +bemerkenswert, welche Staude (_Math. Ann._ 20, 21, 25, 27) gemacht hat. + +[132] Davon geben Zeugnis die Partien, welche in ihren wertvollen +Lehrbuechern diesen Oberflaechen gewidmet haben: Hesse (_Vorlesungen ueber +die analytische Geometrie des Raumes_), Salmon (_Analytische Geometrie des +Raumes_), Cremona (_Preliminari di una teoria geometrica delle +superficie_), Reye (_Die Geometrie der Lage_) und Schroeter (_Theorie der +Oberflaechen zweiter Ordnung und der Raumkurven dritter Ordnung_). + +[133] _Memoire de geometrie sur deux principes generaux de la science_ +(Anhang zum _Apercu historique_). + +[134] _Gergonnes Ann._ 17. + +[135] _Memoire sur la theorie generale des polaires reciproques_. (_Journ. +fuer Math._ 4). + +[136] _Cambridge Journ._ 2, 4; _Irish Trans._ 23. + +[137] _Cambridge Journ._ 7, 8; _Phil. Trans._ 1869, 71 u. 72. Man sehe auch +die von Zeuthen in den _Math. Ann._ 4, 9, 10, von Jonquieres in den _Nouv. +Ann._ 13 und von Halphen in den _Annali di Matem._ II, 9 veroeffentlichten +Abhandlungen. + +[138] _Journ. fuer Math._ 15. + +[139] _Math. Ann._ 1, 2. Vgl. auch eine Abhandl. von Padova im _Giorn. di +Matem._ 9, sowie eine von Valentiner, _Tidsskrift for Mathematik_ IV, 3. + +[140] _Comptes rendus_ 45. + +[141] _Preliminari di una teoria geometrica delle superficie_. (_Bologna +Mem._ II, 6, 7). + +[142] _Wiener Ber._ 1877, 1882. + +[143] _Math. Ann._ 27. + +[144] _Journ. fuer Math._ 49. + +[145] _Cambridge Journ._ 4; _Quart. Journ._ 1; _Phil. Trans._ 1860. + +[146] _Journ. fuer Math._ 58, 63. + +[147] _Journ. fuer Math._ 72. + +[148] _Math. Ann._ 10, 11, 12; _Abzaehlende Geometrie_, 5. Abschnitt. S. +auch Krey, _Math. Ann._ 15. + +[149] _Math. Ann._ 23. + +[150] _Journ. fuer Math._ 72, 78, 79, 82. + +[151] _Geometry of three dimensions_; in deutscher Uebersetzung von +Fiedler: _Analytische Geometrie des Raumes in zwei Baenden_ (3. Auflage, +1879/80). + +[152] _Preliminari_ etc. Vgl. Note 141. + +[153] Vgl. die in Note 136 und 137 angefuehrten Arbeiten. + +[154] _Cambridge Journ._ 6. + +[155] Auch im _Journ. fuer Math._ 53 publiziert. + +[156] Die einzige mir bekannte Arbeit, welche mit den Studien von Cayley +und Salmon im Zusammenhange steht, ist eine von Schlaefli (_Quart. Journ._ +2), die besonders dadurch wichtig ist, dass sie die erste ist, welche den +Begriff der "Doppelsechs" enthaelt. + +[157] _Journ. fuer Math._ 62. + +[158] _Disquisitiones de superficiebus tertii ordinis_ (Berlin, 1862). + +[159] _Journ. fuer Math._ 68; ferner _Grundzuege einer allgemeinen Theorie +der Oberflaechen_ (Berlin, 1870), in welchem Buche die deutsche +Uebersetzung der in Note 141 und 152 zitierten "_Preliminari_" und +diejenige dieser Preisschrift (durch Curtze) vereinigt sind. + +[160] _Synthetische Untersuchungen ueber Flaechen dritter Ordnung_. +Leipzig, 1867. + +[161] _Journ. fuer Math._ 51; vgl. eine von Schroeter (das. 96) +veroeffentlichte Abhandlung. + +[162] Vgl. die in Note 158 zitierte Arbeit. -- Man sehe auch Schubert, +_Math. Ann._ 17. + +[163] _Grunerts Arch._ 56. + +[164] _Bull. soc. math._ 4. + +[165] _Acta math._ 3. + +[166] _Lombardo Rend._ Maerz 1871. + +[167] _Grunerts Arch._ 56. + +[168] _Math. Ann._ 23. + +[169] _Lombardo Rend._ 1884; _Annali di Matem._ II, 12. + +[170] _Math. Ann._ 13; _Lincei Mem._ 1876-1877. + +[171] _Napoli Rend._ 1881. + +[172] _Journ. fuer Math._ 78. + +[173] _Lombardo Rend._ 1879. + +[174] _Acta math._ 5. + +[175] _Phil Trans._ 1863; vgl. Cayley (das. 1869). + +[176] _Math. Ann._ 14. + +[177] _Lombardo Atti_, 1861. + +[178] _Theorie der mehrdeutigen Elementargebilde_ u. s. w. Leipzig, 1869; +_Geometrie der raeumlichen Erzeugnisse ein-zweideutiger Gebilde_, Leipzig, +1870. + +[179] _Ueber die geradlinige Flaeche dritter Ordnung und deren Abbildung +auf eine Ebene._ (Dissertation. Strassburg, 1876.) + +[180] _Math. Ann._ 4. + +[181] _Phil. Mag._ 1864. + +[182] _Math. Ann._ 10. + +[183] _Phil. Trans._ 150. + +[184] _Journ. fuer Math._ 58. + +[185] _Math. Ann._ 5. + +[186] _Lincei Mem._ 1880-1881. Man sehe auch eine Note von Brioschi in den +_Lincei Atti_ II, 3, in welcher bewiesen wird, dass die 45 dreifach +beruehrenden Ebenen einer Oberflaeche dritter Ordnung dreien Oberflaechen +zehnter Klasse gemeinsam sind. Neuerdings fand Bauer (_Abh. der Bayr. Akad. +der Wiss._ 14, 1883) analytisch von neuem, was Sturm schon 1867 in seinen +_Synthetischen Untersuchungen ueber Flaechen dritter Ordnung_ erkannt +hatte, dass die Schnittkurve einer Oberflaeche dritter Ordnung mit ihrer +Hesseschen Flaeche fuer beide eine parobolische Kurve ist; ein +bemerkenswertes Resultat, weil es das Analogon im Raume zu einem bekannten +Satze ueber die ebene kubische Kurve ist. + +[187] _Liouvilles Journ._ II, 14; _Traite des substitutions et des +equations algebriques_ (Paris, 1870). + +[188] _Traite des proprietes projectives des figures_. + +[189] _Comptes rendus_, 1862. + +[190] Ebendas., 1861. + +[191] _Phil. Trans._ 1864. + +[192] _Bologna Mem._ 1868. + +[193] _Berliner Ber._ 1864; _Journ. fuer Math._ 64. + +[194] _Nouv. Ann._ II, 5. + +[195] Die Dupinsche Cyklide gehoert zu diesen. + +[196] Vgl. _Comptes rendus_ 1864. + +[197] Die Untersuchungen von Darboux finden sich in dem schon angefuehrten +Buche: _Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algebriques_ +(Paris, 1873) zusammengefasst. + +[198] S. die Aufzaehlung der Arbeiten, die zu Ende des in der vorigen Note +zitierten Werkes sich findet, und die _Notice sur la vie et les travaux de +M. Laguerre_, veroeffentlicht von Poincare in den _Comptes rendus_ 104. + +[199] _Phil. Trans._ 1871. + +[200] _Lombardo Rend._ 1871. + +[201] _Journ. fuer Math._ 70. + +[202] _Math. Ann._ 4. + +[203] _Om Flader af fjerde Orden med Dobbeltkeglesnit_ (Kopenhagen, 1879). +Von dieser Abhandlung habe ich eine italienische Uebersetzung in den +_Annali di Matem._ II, 14 veroeffentlicht. + +[204] _Journ. fuer Math._ 69. + +[205] _Math. Ann._ 1, 2, 3, 4. + +[206] _Annali di Matem._ II, 13. + +[207] _Leipziger Dissertation_ (Greifswald, 1885). + +[208] _Math. Ann._ 19. + +[209] _Torino Mem._ II, 36. + +[210] _Math. Ann._ 24. Betreffend die Konstruktion einer Oberflaeche +vierter Ordnung mit Doppelkegelschnitt sehe man eine Abhandlung von Bobek +(_Wiener Ber._ 11. und 18. Dez. 1884) und eine von Veronese (_Atti dell' +Istituto Veneto_, VI, 1); hinsichtlich der Konstruktion einer Cyklide sehe +man eine Abhandlung von Saltel (_Bull. Soc. math._ 3). + +[211] Weierstrass, _Berliner Ber._ 1863. + +[212] Unter den Eigenschaften der roemischen Flaeche von Steiner verdient +eine hervorragende Stelle die (durch verschiedene Methoden von Cremona und +Clebsch nachgewiesene) Eigenschaft, dass sie zu asymptotischen Kurven +(Haupttangentenkurven) rationale Kurven vierter Ordnung hat. Eine andere +Eigenschaft derselben wurde von Darboux (_Bull. sciences math._ II, 4) +entdeckt und besteht darin, dass sie die einzige Flaeche ist, ausser den +Flaechen zweiten Grades und den Regelflaechen dritten Grades, bei welcher +durch jeden Punkt unendlich viele Kegelschnitte gehen. Neuerdings hat +Picard (_Journ. fuer Math._ 100) gezeigt, dass sie die einzige nicht +geradlinige Oberflaeche ist, deren saemtliche ebene Schnitte rationale +Kurven sind. Man sehe hierzu noch eine Note von Guccia in den _Rendiconti +del circolo matematico di Palermo_, 1. -- Lie machte (_Archiv for Math. og +Naturvidenskab._ 3) die interessante Bemerkung, dass der Ort der Pole einer +Ebene in Bezug auf die Kegelschnitte einer Steinerschen Flaeche eine +ebensolche Flaeche ist. + +[213] _Journ. fuer Math._ 63; _Lombardo Rend._ 1867. + +[214] _Journ. fuer Math._ 64. + +[215] _Math. Ann._ 3. + +[216] _Journ. fuer Math._ 64; _Proc. math. Soc._ 5. + +[217] _Giorn. di Matem._ 1; _Bologna Mem._ 1879. + +[218] _Journ. fuer Math._ 67. + +[219] _Math. Ann._ 5. + +[220] _Nouv. Ann._ II, 11, 12; _Bull. Soc. math._ 1. + +[221] _La superficie di Steiner studiata nella sua rappresentazione +analitica mediante le forme ternarie quadratiche_ (Torino, 1881). + +[222] _Berliner Abh._ 1866 und _Berliner Ber._ 1864. + +[223] Diese Oberflaeche hat eine fundamentale Bedeutung in der +mathematischen Theorie des Lichtes. Es ist in der That bekannt, dass die +Bestimmung der Ebenen, welche sie laengs Kreisen beruehren, Hamilton zur +Entdeckung der konischen Refraktion fuehrte, einer Erscheinung, welche der +Aufmerksamkeit der Physiker entgangen war. Sie erfreut sich vieler +interessanter Eigenschaften und war Gegenstand wichtiger Untersuchungen +verschiedener Gelehrten, insbesondere Mannheims (_Comptes rendus_, 78, 81, +85, 88, 90; _Association franc. pour l'avanc. des sciences_ 1874, 75, 76, +78), _Proc. Roy. Soc._ 1882; _Collectanea mathematica_ u. s. w. + +[224] _Liouvilles Journ._ 11; _Journ. fuer Math._ 87. Vgl. eine Abhandlung +von Segre im _Giorn. di Matem._ 21. Andere Spezialfaelle der Kummerschen +Flaeche wurden von Rohn und Segre (_Leipziger Ber._ 1884) studiert. + +[225] Diese Eigenschaft der Kummerschen Flaeche veranlasste eine +Untersuchung ueber die Oberflaechen beliebiger Ordnung, welche dieselbe +besitzen, eine Untersuchung, die schon von Kummer und Cayley unternommen +ist, _Berliner Ber._ 1878. + +[226] _Berliner Ber._ 1870, oder _Math. Ann._ 23. + +[227] _Journ. fuer Math._ 97; vgl. Segre das. 98. + +[228] _Journ. fuer Math._ 83, 94; oder _Borchardts Gesammelte Werke_ +(Berlin, 1888, S. 341); vgl. Brioschi und Darboux, _Compt. rend._, 1881. + +[229] _Journ. fuer Math._ 84. + +[230] S. die in Note 207 zitierte Abhandlung, und fuer die Geschichte der +Anwendung der hyperelliptischen Funktionen auf die Kummersche Oberflaeche +die Einleitung der Abhandlung von Rohn, _Math. Ann._ 15. + +[231] _Journ. fuer Math._ 70. + +[232] _Muenchener Dissertation_, 1878; _Math. Ann._ 15. + +[233] Die anderen Oberflaechen vierter Ordnung mit singulaeren Punkten +wurden von Cayley studiert (_Proc. math. Soc._ 1870, 1871), vollstaendiger +von Rohn in einer sehr schoenen Abhandlung, die von der Jablonowskischen +Gesellschaft kuerzlich praemiiert ist (vgl. _Math. Ann._ 29). Endlich +wurden die von Flaechen zweiten Grades eingehuellten Flaechen vierter +Ordnung von Kummer untersucht, _Berliner Ber._ 1872. + +[234] _On the quartic surfaces_ (+) (u, v, w)^2 = 0 (_Quart. Journ._ 10, +11); _On the quartic surfaces represented by the equation symmetrical +determinant_ = 0 (_Quart. Journ._ 14). + +[235] Bekanntlich nennt man nach Cayley ein Monoid eine Oberflaeche n^{ter} +Ordnung mit einem (n-1)-fachen Punkte. + +[236] _Math. Ann._ 24; vgl. auch die Dissertation von Lampe, Berlin, 1864. + +[237] _Math. Ann._ 18, 17. Ausser den im Texte zitierten Oberflaechen +wurden noch andere spezielle Flaechen studiert, die ich der Kuerze wegen +uebergehen muss; der groessere Teil derselben wurde vermittelst der Theorie +der Abbildungen entdeckt oder betrachtet, siehe s. VI. + +[238] _Correspondance mathematique_ 9; _Liouvilles Journ._ 2. + +[239] _Cambridge Journ._ 8 und _Irish Trans._ 23. + +[240] _Phil. Trans._ 1863-1869. In den angefuehrten Arbeiten haben Cayley +und Salmon die Regelflaechen bearbeitet als die Oerter der Geraden, die +drei gegebene Kurven treffen, oder eine einmal und eine zweite zweimal +treffen, oder Trisekanten einer Kurve sind. Rupp hat neuerdings diese +Betrachtungen wieder aufgenommen, um auf eine andere Weise die Resultate zu +erhalten und zu modifizieren, zu denen jene Mathematiker gelangt waren +(_Math. Ann._ 18). + +[241] _Annali di Matem._ II, 1. + +[242] _Traite de geometrie descriptive_, Art. 629 u. 635. + +[243] _Math. Ann._ 8, 12, 13. + +[244] _Comptes rendus_, 1862; vgl. d'Ovidio und Dino, _Giorn. di Matem._ 3. + +[245] _Dissertation_, gedr. zu Berlin 1864, und _Journ. fuer Math._ 67. + +[246] _Recherches sur les surfaces reglees tetraedrales symetriques_ +(Paris, 1867). Ich bemerke, dass ein Bueschel von Oberflaechen, die in +Bezug auf ein Tetraeder symmetrisch sind, mit einem projektiven +Ebenenbueschel eine bemerkenswerte Flaeche erzeugt, die von Eckardt +(_Zeitschr. f. Math._ 20) bearbeitet ist und welche die allgemeine +Oberflaeche dritter Ordnung in sich schliesst. + +[247] _Math. Ann._ 5. + +[248] _Annali di Matem._ II, 4. + +[249] _Prager Abhandlungen_ VI, 5. + +[250] _Memoires de Bordeaux_ II, 3. + +[251] _Ueber die Flaechen, deren Gleichungen aus denen ebener Kurven durch +eine bestimmte Substitution hervorgehen. Math. Ann._ 7. + +[252] _Lincei Mem._ 1878-1879. + +[253] _Math. Ann._ 4. + +[254] _Math. Ann._ 27, 29. S. auch eine Abhandlung von Eckardt (daselbst +7). + +[255] _Math. Ann._ 3. + +[256] das. 14, 15. S. auch eine Bemerkung von Dino, _Napoli Rend._ 19. + +[257] _Comptes rendus_, 52. + +[258] _Journ. fuer Math._ 68. + +[259] _Math. Ann._ 2. + +[260] _Proc. math. Soc._ 4; _Comptes rendus_, 1861; vgl. Hungady _Journ. +fuer Math._ 92. + +[261] Klein und Lie, _Comptes rendus_, 70. + +[262] Fouret, _Bulletin de la Societe philomatique_, VII, 1. + +[263] Jung, _Lincei Rend._ 1885 und 1886. S. auch zwei Bemerkungen ueber +denselben Gegenstand, veroeffentlicht von Visalli (ebendas. 1886). + +[264] Goursat, _Ann. Ec. norm._ III, 4; Lecornu, _Acta math._ 10. + +[265] Cfr. die bewunderungswerten _Vergleichenden Betrachtungen ueber +neuere geometrische Forschungen_ von F. Klein (Erlangen, 1872). + +[266] Veroeffentlicht im Jahre 1795 unter dem Titel: _Feuilles d'Analyse +appliquee a la Geometrie_. Die letzte (fuenfte) Ausgabe wurde von Liouville +im Jahre 1850 besorgt und durch einen Anhang sehr wertvoller Noten +bereichert. + +[267] Der Koeniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Goettingen +ueberreicht am 8. Oktober 1827 und abgedruckt im 6. Bande der +_Commentationes recentiores societatis Gottingensis_. Diese +_Disquisitiones_ stehen im 4. Bande der von der genannten Gesellschaft +herausgegebenen _Werke_ von Gauss, ferner in franzoesischer Uebersetzung in +der angefuehrten Liouvilleschen Ausgabe des Werkes von Monge. + +[268] Wenn x = e(t), y = f(t), z = g(t) die Ausdruecke der Koordinaten der +Punkte dieser Kurve in Funktionen eines Parameters t sind und F(x, y, z) = +0 die Gleichung der gegebenen Oberflaeche, so ist die fragliche Enveloppe +die der Oberflaeche F{x + e(t), y + f(t), z + g(t)} = 0. + +[269] Ueber solche Flaechen sehe man die neue Arbeit von Lie (_Archiv for +Mathematik og Naturvidenskab_ 7). + +[270] Vor Monge hatten sich schon Euler (_Histoire de l'Academie de +Berlin_, 1766) und Meunier (_Memoires de l'Academie des sciences de Paris_ +10, 1776) mit diesem Thema beschaeftigt. + +[271] Unter den neueren Arbeiten ueber die Kruemmungslinien fuehren wir nur +die von Hamilton, Frost und Cayley an, die sich als Aufgabe gestellt haben, +zu finden, wie dieselben um einen Nabelpunkt herum verteilt sind (_Quart. +Journ._ 12). + +[272] Vgl. hierzu eine von Cremona veroeffentlichte Arbeit in den _Bologna +Mem._ III, 1. Wir fuehren hier auch einige Noten von Darboux an (_Comptes +rendus_, 84, 92, 97), welche die Bestimmung der Kruemmungslinien einiger +spezieller bemerkenswerter Flaechen zum Zwecke haben. + +[273] Die Differentialgleichung der Minimalflaechen verdanken wir Lagrange +(_Miscellanea Taurinensia_, 1760-1761); die geometrische Interpretation +derselben wurde ein wenig spaeter von Meunier gegeben (vgl. Note 270). + +[274] An die in den ss. 18 und 21 der _Application_ gemachten +Untersuchungen knuepft sich eine Abhandlung von O. Rodrigues, die sich in +der _Correspondance sur l'Ecole polytechnique_ 3 findet. + +[275] Ausser den Kruemmungs- und asymptotischen Linien auf einer Flaeche +sind noch diejenigen bemerkenswert, bei denen die Schmiegungskugel in einem +beliebigen ihrer Punkte die Oberflaeche selbst beruehrt. Dieselben wurden +von Darboux (_Comptes rendus_ 83) und von Enneper (_Goettinger +Nachrichten_, 1871) studiert. + +[276] Dupin fand (_Applications de Geometrie et de Mechanique_, 1822), dass +die einzigen Oberflaechen, bei denen saemtliche Kruemmungslinien Kreise +sind, die Kugel, der Rotations-Kegel und -Cylinder und die Cyklide sind, +welch letztere er schon als die Enveloppe einer Kugel erkannt hatte, die +sich so bewegt, dass sie immer drei feste Kugeln tangiert. + +[277] _Liouvilles Journ._ 13. + +[278] _Journ. Ec. polyt._ 19, 35; _Comptes rendus_ 42. + +[279] _Atti dell' Accademia dei Quaranta_, 1868-1869; _Annali delle +Universita toscane_, 1869; _Annali di Matem._ II, 1, 4. + +[280] _Goettinger Abh._ 13, 16, 23; _Journ. fuer Math._ 94. + +[281] _Comptes rendus_, 96. + +[282] das. 46. + +[283] _Journ. Ec. polyt._ 53. + +[284] _Journ. fuer Math._ 94. + +[285] _Goettinger Dissertation_, 1883. + +[286] _Journ. fuer Math._ 59. + +[287] _Annali di Matem._ I, 8. + +[288] _Archiv for Math. og Naturvidenskab_, 4; _Bull. Sciences math._ II, +4. + +[289] _Journ. fuer Math._ 62. + +[290] _Berliner Ber._ 1840; _Journ. fuer Math._ 24. + +[291] _Berliner Ber._ 1866. + +[292] _Abhandlungen der Jablonowskischen Gesellschaft zu Leipzig_ 4; +_Journ. fuer Math._ 13. + +[293] _Liouvilles Journ._ II, 5. + +[294] das. I, 11. + +[295] _Goettinger Abh._ 13, _oder Gesammelte Werke_ S. 283 und 417. +Niewenglowski hat die Riemannschen Untersuchungen in elementarer Form +dargelegt in den _Ann. Ec. norm._ II, 9. + +[296] _Berliner Ber._ 1867. + +[297] _Math. Ann._ 1. + +[298] _Akademiens Afhandlingar_, _Helsingfors_, 1883. + +[299] _Journ. Ec. polyt._ 37. + +[300] _Heidelberger Dissertation_, 1875. + +[301] _Comptes rendus_ 41; vgl. Enneper, _Zeitschr. f. Math._ 7, 9. + +[302] _Journ. Ec. polyt._ 39. + +[303] _Bestimmung einer speziellen Minimalflaeche_ (Berlin, 1871). Vgl. +Cayley, _Quart. Journ._ 14. + +[304] _Journ. fuer Math._ 80. + +[305] das. 87; _Comptes rendus_ 96. + +[306] _Zeitschr. f. Math._ 14; _Goettinger Nachr._ 1866. + +[307] _Liouvilles Journ._ II, 8. + +[308] _Bologna Mem._ II, 7. Die wunderschoene Einleitung dieser Abhandlung +enthaelt die Geschichte der Theorie der Minimalflaechen. + +[309] _Archiv for Math. og Naturv._ 3, 4, 6; _Math. Ann._ 14, 15. + +[310] _Journ. fuer Math._ 81, 85. + +[311] _Annali di Matem._ II, 9. + +[312] _Etude des elassoides. Memoires couronnes par l'Academie de Belgique_ +44. + +[313] _Giorn. di Matem._ 22. + +[314] _Lombardo Rend._ 1876; _Giorn. di Matem._ 14. + +[315] _Journ. fuer Math._ 78. + +[316] Das Studium der Kruemmung einer Oberflaeche in einem singulaeren +Punkte wurde von Painvin im _Journ. fuer Math._ 72 angestellt. + +[317] Ein analoger Satz wurde neuerdings von Sturm entdeckt (_Math. Ann._ +21). + +[318] Einige Vervollkommnungen und Ergaenzungen dieses Teiles der +Gaussischen Abhandlung wurden von Liouville (_Journ. Ec. polyt._ 24), von +Baltzer (1818-1887) (_Leipziger Berichte_ 1872) und durch von Escherich +(_Grunerts Arch._ 57) vorgenommen. + +[319] Der Satz von Gauss: "Damit eine Oberflaeche auf eine andere +abwickelbar sei, ist notwendig, dass die Kruemmung in den entsprechenden +Punkten gleich sei", wurde auf verschiedene Arten von Liouville +(_Liouvilles Journ._ 12), von Bertrand, Puiseux und Diguet (das. 13) +bewiesen. Vgl. auch Minding, _Journ. fuer Math._ 19. + +[320] _Annali di Matem._ II, 1. + +[321] _Bologna Mem._ II, 8. + +[322] _Math. Ann._ 1. + +[323] _Comptes rendus_ 37. + +[324] das. 44, 46, 57, 67. + +[325] _Annali di Matem._ I, 7. -- Das allgemeinere Problem der Bestimmung +zweier Oberflaechen, so dass jedem Punkte der einen ein Punkt oder eine +Gruppe von Punkten der anderen entspricht, und dass den geodaetischen +Linien der einen geodaetische Linien der anderen korrespondieren, wurde +spaeter von Dini behandelt. (_Annali di Matem._ II, 3). + +[326] _Giorn. di Matem._ 6. + +[327] _Comptes rendus_, 1865. + +[328] _Archiv for Math. og Nat._ 4, 5. + +[329] _Giorn. di Matem._ 16, 20, 21. + +[330] _Lund Arskrift_ 19. + +[331] _Comptes rendus_ 96, 97. + +[332] _Acta math._ 9. + +[333] _Journ. fuer Math._ 64. + +[334] _Berliner Ber._ 1882-1883. -- Hieran schliesst sich die Schrift von +Lilienthal's: _Untersuchungen zur allgemeinen Theorie der krummen +Oberflaechen und der geradlinigen Strahlensysteme_ (Bonn, 1886). + +[335] _Journ. fuer Math._ 26, 30. -- Joachimsthals Vorlesungen: _Anwendung +der Differential- und Integralrechnung auf die allgemeine Theorie der +Flaechen und der Linien doppelter Kruemmung_ erschienen nach seinem Tode +(Leipzig, 2. Auflage, 1881). + +[336] _Goettinger Nachr._ 1867. + +[337] _Lombardo Atti_ II, 1. + +[338] _Programm der Universitaet von Christiania_, 1879. + +[339] _Math. Ann._ 20. + +[340] _Journ. fuer Math._ 6, 18, 19. + +[341] _Journ. Ec. polyt._ 39. + +[342] _Mem. pres._ 27 (1879) (_Memoire relatif a l'application des surfaces +les unes sur les autres_). + +[343] _Journ. Ec. polyt._ 41, 42. + +[344] _Berliner Abh._, 1869. + +[345] _Journ. fuer Math._ 94. + +[346] _Berliner Ber._ 1882. + +[347] _Muenchener Abh._ 14. + +[348] _Journ. fuer Math._ 6. + +[349] _Irish Trans._ 22, I. T. + +[350] _Giorn. di Matem._ 2. + +[351] _Goettinger Nachr._ 1875. + +[352] _Giorn. di Matem._ 21. + +[353] _Journ. Ec. polyt._ 48. + +[354] _Bologna Mem._ IV, 3. + +[355] _Mem. pres._ 5; _Liouvilles Journ._ 2. -- Unter den vielen +Anwendungen, die man von den elliptischen Koordinaten gemacht hat, wollen +wir nur diejenigen anfuehren, die Jacobi davon gemacht hat bei der +Bestimmung der geodaetischen Linien (_Journ. fuer Math._ 14; _Comptes +rendus_ 8; _Liouvilles Journ._ 6) und bei einigen Fragen der Dynamik. S. +_Vorlesungen ueber Dynamik_, 1866 in erster, 1884 in zweiter Ausgabe als +Supplementband zu den _Gesammelten Werken_ erschienen. + +[356] _Journ. Ec. polyt._ 23. + +[357] _Liouvilles Journ._ 5. + +[358] das. 4. + +[359] das. 8. + +[360] _Comptes rendus_ 48, 54; _Journ. fuer Math._ 58; _Annali di Matem._ +I, 6 und II, 1, 3, 5. + +[361] _Annali di Matem._ II, 1. + +[362] das. II, 1, 2, 4, 5. + +[363] _Bologna Mem._ 1868-1869. + +[364] _Ann. Ec. norm._ II, 7. + +[365] _Ann. Ec. norm._ I, 4. + +[366] _Journ. Ec. polyt._ 43. + +[367] _Annales des mines_ VII, 5. + +[368] _Liouvilles Journ._ 11. + +[369] das. 12. + +[370] _Comptes rendus_ 54. + +[371] _Memoires couronnes par l'Academie de Belgique_, 32. + +[372] _Comptes rendus_ 59. + +[373] das. 59, 60, 67, 76; _Ann. Ec. norm._ I, 2; II, 3. + +[374] _Comptes rendus_ 74, 75; _Phil. Trans._ 163. Vgl. Weingarten, _Journ. +fuer Math._ 83. + +[375] _Comptes rendus_ 76. + +[376] _Journ. fuer Math._ 85. + +[377] das. 76; vgl. Darboux, _Comptes rendus_ 84. + +[378] _Grunerts Arch._ 55, 56, 57, 58 und 63. + +[379] _Giorn. di Matem._ 21, 22; _Annali di Matem._ II, 13; _Lincei Rend._ +1886. + +[380] _Memoires de l'Academie de Toulouse_ VIII, 1. + +[381] _Archiv for Math. og Naturv._ 7. + +[382] _Goettinger Abh._ 19. -- Wenn u der Winkel der Normalen der +Oberflaeche in einem Punkte mit der z-Axe, und v der Winkel der Projektion +derselben auf die xy-Ebene mit der x-Axe ist, so nennt man nach Enneper +Kurven, deren Gleichungen u = _const._ oder v = _const._ sind, +Meridiankurven. + +[383] _Comptes rendus_ 74; _Proc. math. Soc._ 4. + +[384] _Berliner Ber._ 1883. + +[385] _Goettinger Dissertation,_ 1883. + +[386] _Giorn. di Matem._ 17. + +[387] _Memoires de la societe scientifique de Bruxelles_ 5, 7, 8. + +[388] _Ann. Ec. norm._ II, 3; _Journ. Ec. polyt._ 53. + +[389] _Liouvilles Journ._ 9, 12. + +[390] _Journ. Ec. polyt._ 30, 32; _Liouvilles Journ._ 14; _Comptes rendus_ +54. + +[391] Man sehe auch die _These_ (Dissertation) von Picart, _Essai d'une +theorie geometrique des surfaces_ (Paris, 1863). + +[392] _Liouvilles Journ._ II, 17 und III, 4; _Bull. Soc. math. _2, 5, 6; +_Comptes rendus_ 74, 78, 79, 80, 82, 83, 84, 85, 86, 88; _Proc. math. Soc._ +12; _The Messenger of Mathematics_ II, 8. + +[393] _Enumeratio linearum tertii ordinis_ (1706). Indem wir eine Bemerkung +von Bellavitis (1803-1880) verwerten (s. s. 107 der Schrift _Sulla +classificazione delle curve di terzo ordine, Memorie della Societa italiana +delle scienze residente in Modena_, Bd. 25, II. Teil S. 34), geben wir +dieses Resultat wieder, indem wir sagen, dass jede Kurve dritter Ordnung +sich durch eine geeignete projektive Transformation auf eine der folgenden +Formen bringen laesst: Kurve, bestehend aus einem Schlangenzuge und einem +Ovale (_parabola campaniformis cum ovali_), Kurve mit einem Doppelpunkte +(_parabola nodata_), Kurve, bestehend aus einem Schlangenzuge (_parabola +pura_), Kurve mit einem isolierten Punkte (_parabola punctata_), Kurve mit +einer Spitze (_parabola cuspidata_). Unter den Beweisen, die fuer diesen +Satz gegeben sind, fuehre ich den von Moebius an, der sich auf die +Prinzipien der analytischen Sphaerik gruendet (_Gesammelte Werke_, II. Bd. +S. 89-176), und den, der aus der Klassifikation von Bellavitis (s. oben) +hervorgeht. An Moebius schliesst sich an: M. Baur, _Synthetische Einteilung +der ebenen Kurven III. Ordnung_ (Stuttgart, 1888). Dann bemerke ich noch +hierzu, dass die Einteilungen, die von Moebius und Bellavitis (fast +gleichzeitig, da die erste 1852 veroeffentlicht wurde und die zweite 1851 +geschrieben und 1855 veroeffentlicht wurde) vorgeschlagen sind, gemeinsam +haben, dass sie die Kollineation als Grundlage der Bildung der Gattungen, +die Affinitaet zur Grundlage der Bildung der Arten dieser Kurven nehmen. +Plueckers Einteilung befindet sich im _System der analytischen Geometrie_. +J. W. Newman hat der _British Association for the Advancement of Science_ +(vgl. Report 1869-1870) eine Diskussion der Formen der ebenen kubischen +Kurven und eine daraus sich ergebende Nomenklatur vorgelegt, die von der +gewoehnlich ueblichen abweicht. + +[394] _Apercu historique_, Note 20. + +[395] _Journ. fuer Math._ 75 und 76. Wir koennen hinzufuegen, dass Reye im +Anhange der 3. Auflage des ersten Teiles seiner _Geometrie der Lage_, der +vor wenigen Monaten erschienen ist, eine neue und elegante Methode zur +Bestimmung der Formen der ebenen kubischen Kurven einfuehrt, indem er sie +als die Jacobischen Kurven von Kegelschnittnetzen auffasste. + +[396] ss. 12, 13, 14, 15. + +[397] _The Messenger of Mathematics_ II, 6. + +[398] _Anwendung der Topologie auf die Gestalten der algebraischen Kurven, +speziell der rationalen Kurven vierter und fuenfter Ordnung_ (Muenchener +Dissertation, 1878). + +[399] _Irish Trans._ 1875. + +[400] _Beitraege zur Theorie der Oskulationen bei ebenen Kurven dritter +Ordnung_ (Berliner Dissertation, 1884). + +[401] _Math. Ann._ 7, 10. S. uebrigens die Abhandlung: _Almindelige +Egenskaber ved Systemer af plane Kurver_ (Abh. der Akad. der Wissensch. in +Kopenhagen V, 10). + +[402] _Math. Ann._ 12; _Tidsskrift for Mathem._ IV, 1. + +[403] _Math. Ann._ 10. Vgl. auch Perrin, _Bull Soc. math._ 6. + +[404] _Theorie der algebraischen Kurven_ S. 249 flgg. -- Im Anschluss an +Pluecker moegen noch Beers _Tabulae curvarum quarti ordinis symmetricarum_ +(Bonn, 1862) erwaehnt werden. + +[405] "Eine Kurve vom Geschlechte p kann hoechstens aus p + 1 Zuegen +bestehen". _Math. Ann._ 10. Der Spezialfall dieses Satzes, p = 0, ist seit +langer Zeit bekannt; schon Bellavitis hatte denselben in der vorher +angefuehrten Abhandlung besprochen; er erklaert die Benennung _unicursal_, +die von Cayley den rationalen Kurven gegeben war, und die von vielen noch +heute gebraucht wird. + +[406] _Gesammelte Werke_ 2, S. 433. + +[407] _Math. Ann._ 12, 13; _Leipziger Ber._ 1884. + +[408] _Math. Ann._ 6. + +[409] _Annali di Matem._ II, 5 und 7. + +[410] _Math. Ann._ 8. + +[411] _Muenchener Ber._ 1883. + +[412] _Quart. Journ._ 9. + +[413] Siehe die schon zitierte Abhandlung: _Om Flader af fjerde Orden med +Doppeltkeglesnit_. + +[414] _Om Flader af fjerde Orden med Tilbagegangskeglesnit_ (Kopenhagen, +1881). + +[415] _Muenchener Dissertation_, 1878; _Math. Ann._ 15, 18, 28, 29. + +[416] Fuer den, der sich mit der Konstruktion spezieller Oberflaechen +befassen will, fuehre ich die praktischen Regeln an, welche Hicks +(_Messenger of Mathematics_ II, 5) fuer die Konstruktion der Wellenflaeche +gegeben hat. + +[417] _Zeitschr. f. Math._ 25. + +[418] _Modelle von Raumkurven- und Developpabelen-Singularitaeten_ (Lund, +Gleerup, 1881). + +[419] Unter den von Steiner ausgesprochenen Saetzen, nach deren Ursprung +wir, seine Nachfolger, vergebens suchen, finden sich einige derartige (s. +_Journ. fuer Math._ 37, 45, 49; _Gesammelte Werke_, II. Bd. S. 389, 439 und +613), welche glauben lassen, dass er eine Methode besessen habe, um einige +von den im Texte gekennzeichneten Problemen zu loesen. Etliche lassen sich +durch eine quadratische Transformation beweisen, wie Berner in seiner +Dissertation: _De transformatione secundi ordinis ad figuras geometricas +adhibita_ (Berlin, 1864) gezeigt hat. -- Jonquieres (_Liouvilles Journ._ +II, 6; _Comptes rendus_, 1864, 65 und 66) fand auch eine Weise, um zur +Loesung einiger Probleme dieser Art zu gelangen, aber der von ihm +eingeschlagene Weg (welcher der Hauptsache nach in einer Anwendung des +Bezoutschen Satzes besteht) fuehrte ihn unbedingt zu Irrtuemern wegen +uneigentlicher (fremder) Loesungen, die er nicht ausgeschieden hatte. Vgl. +die schoene Abhandlung von Study in den _Math. Ann._ 27. + +[420] _Comptes rendus_, 1864; vgl. auch Zeuthen, _Nyt Bidrag til Laeren om +Systemer af Keglesnit_ (Kopenhagen, 1865) oder _Nouv. Ann._ II, 5; Dino, +_Comptes rendus_, 1867. Die Baende der _Comptes rendus_ von 1864 ab +enthalten eine ungeheuere Anzahl von Lehrsaetzen verschiedener Art, die von +Chasles aufgestellt sind und deren Beweis sich auf die Theorie der +Charakteristiken und auf das Korrespondenzprinzip stuetzt. Unter diesen +Arbeiten ist eine der bemerkenswertesten diejenige, in welcher der +Verfasser mit Hilfe des Korrespondenzprinzips die Zahl der Schnitte zweier +Kurven in einer Ebene bestimmt (_Comptes rendus_ 75). Die dort angewandte +Beweisfuehrung kann verallgemeinert werden und in vielen Faellen dazu +dienen, die Zahl der Loesungen eines bestimmten Systemes von algebraischen +Gleichungen zu finden. (S. Saltel, _Memoires de l'Academie de Belgique_ 24; +_Comptes rendus_ 81; Fouret, _Bull. Soc. math._ 1, 2; _Comptes rendus_ 78. + +[421] _Comptes rendus_ 61. + +[422] Ebendas. 62. S. auch Salmon, _Quart. Journ._ 1866; Schubert, _Journ. +fuer Math._ 71 und 73. -- Eine interessante Anwendung der Theorie der +Systeme von Flaechen zweiter Ordnung auf das Studium der quadratischen +(vorletzten) Polaren der Punkte des Raumes in bezug auf eine beliebige +algebraische Flaeche wurde von Zeuthen gemacht (_Annali di Matem._ II. 4). + +[423] Vgl. auch _Comptes rendus_ 74, 75. + +[424] Paris, 1871. + +[425] _Journ. fuer Math._ 79, 80. + +[426] _Goettinger Nachr._ 1874, 75; _Math. Ann._ 13. + +[427] _Phil. Trans._ 1858. + +[428] _Recherches sur les series ou systemes de courbes et de surfaces +algebriques_ (Paris, 1866); _Comptes rendus_, 1866; _Journ. fuer Math._ 66 +u. s. w. Die eleganten analytischen Untersuchungen von Brill und Krey +(_Math. Ann._ und _Acta math._) haben zum Ziele die Aufloesung von +Problemen aus der abzaehlenden Geometrie, die sich auf Systeme von Kurven +und Oberflaechen beziehen. + +[429] _Annali di Matem._ II, 6; _Proc. math. Soc._ 5, 6, 8. + +[430] _Math. Ann._ 1, 6, 12, 15. + +[431] _Compt. rend._ 88. Bemerkenswert in dieser Abhandlung ist die +Ausdehnung des Begriffes des Geschlechtes einer Kurve auf Systeme von +Kurven. + +[432] _Math. Ann._ 6. + +[433] _Comptes rendus_ 78 und 86; _Bull. Soc. math._ 2 und 7. + +[434] _Comptes rendus_ 79, 86. + +[435] das. 82, 84. + +[436] das. 80. + +[437] das. 82. + +[438] Andere Anwendungen dieses Prinzipes finden sich in den von Fouret +veroeffentlichten Arbeiten in den _Comptes rendus_ 83, 85, im _Bull. Soc. +math._ 6 und im _Bulletin de la Societe philomathique_ VI, 11. -- Wir +bemerken, dass die geometrische Interpretation der Gleichung + + ( dz dz ) ( dz ) ( dz ) + L ( x -- + y -- - z ) - M ( -- ) - N ( -- ) + R = 0, + ( dx dy ) ( dx ) ( dy ) + +wenn L, M, N, R lineare Funktionen sind, welche von Fouret in den _Comptes +rendus_ 83 gegeben ist, ihn zu gewissen Oberflaechen fuehrte, die zuerst +von Klein und Lie studiert worden waren (_Comptes rendus_ 70). + +[439] Leipzig, 1879. In demselben sind die frueheren Arbeiten von Schubert +vereinigt und befinden sich die Grundlagen seiner spaeteren Arbeiten. + +[440] Das erste dieser Prinzipien wurde von Chasles fuer die rationalen +Gebilde erster Stufe (_Comptes rendus_ 1864-1866) ausgesprochen und dann +von Cayley auf alle Gebilde erster Stufe ausgedehnt (_Comptes rendus_ 62, +_Proc. math. Soc._ 1866), und noch vollstaendiger im _Second memoir on the +curves which satisfy given conditions_ (_Phil. Trans._ 158). Bewiesen wurde +das Cayleysche Prinzip von Brill (_Math. Ann._ 6 und 7), neuerdings wurde +es in einer sehr bemerkenswerten Weise von Hurwitz ausgedehnt (_Math. Ann._ +28). + +Saltel ergaenzte das Chaslessche Korrespondenzprinzip, indem er die +Bestimmung der Zahl der Koinzidenzen, die ins Unendliche fallen, zeigte +(_Comptes rendus_ 80) und illustrierte seine Resultate durch mehrere +Beispiele (_Comptes rendus_ 80, 81, 82, 83, und _Bulletin de l'Academie de +Belgique_ II, 92). + +Fuer die rationalen Gebilde zweiter und dritter Stufe hat man auch ein +Korrespondenzprinzip, welches von Salmon (_Geometry of three dimensions_ +II. Aufl.) und von Zeuthen (_Comptes rendus_ 78) entdeckt ist. Fuer die +Gebilde hoeherer Stufe siehe eine Note von Pieri in den _Lincei Rend._ +1887. + +[441] Betreffend andere bibliographische Einzelheiten ueber diesen Zweig +der Geometrie vgl. man den Artikel von Painvin, der in dem _Bull. Sciences +math._ 3 veroeffentlicht ist, sowie einen von mir selbst in der +_Bibliotheca mathematica_ II, 2 (1888), S. 39, 67 veroeffentlichten Artikel +_Notizie storiche sulla geometria numerativa_. + +[442] _Comptes rendus_ 67. + +[443] _Math. Ann._ 6. + +[444] _Vorlesungen ueber Geometrie_ von A. Clebsch (herausgegeben von +Lindemann) (Leipzig, 1876) S. 399. + +[445] _Goettinger Nachr._ 1876. + +[446] _Comptes rendus_, 1876; _Journ. Ec. polyt._ 45; _Proc. math. Soc._ 9, +10; _Math. Ann._ 15. + +[447] _Journ. Ec. polyt._ 45. + +[448] Auch von dem Satze, den Cremona ausgesprochen hat (_Annali di Matem._ +I, 6 und _Giorn. di Matem._ 3) ueber die doppelt unendlichen Systeme von +Kegelschnitten, als Erweiterung des Satzes von Chasles, kann man eine +Anwendung machen, worueber man das einsehen moege, was del Pezzo in seiner +interessanten Abhandlung _Sui sistemi di coniche_ (_Napoli Rend._ 1884) +auseinandergesetzt hat, und neuere Beobachtungen von Study (_Math. Ann._ +27). + +[449] _Mem. pres._ 1, 1806. + +[450] das. (aeltere Serie) 10, 1785, und die schon zitierte _Application_. + +[451] _Mem. pres._ 9, 1781. + +[452] _Journ. Ec. polyt._ 30. + +[453] _Liouvilles Journ._ 17. + +[454] das. 16. + +[455] Man sehe die Noten zur _Application de l'Analyse a la Geometrie_, 5. +Aufl. und _Liouvilles Journ._ 17. + +[456] _Liouvilles Journ._ 15, 16. + +[457] das. 7. + +[458] _Forhandlingar i Videnskab-Selskabet i Christiania_, 1882. + +[459] Eingehenderes findet man in der Note 65 der _Analytischen Geometrie +des Raumes_ von G. Salmon, deutsch bearbeitet von W. Fiedler, 3. Aufl. +1880, II. Teil S. 37. -- In Bezug auf eine synthetische Darstellung der +Differentialgeometrie der Raumkurven sehe man Schell, _Allgemeine Theorie +der Kurven doppelter Kruemmung in rein geometrischer Darstellung_ (Leipzig, +1859), und Paul Serret, _Theorie nouvelle geometrique et mecanique des +courbes a double courbure_ (Paris, 1860). + +[460] Vgl. Magnus, _Aufgaben und Lehrsaetze aus der analytischen Geometrie +des Raumes,_ 1837, S. 160. + +[461] Die Existenz zweier Raumkurven vierter Ordnung wurde zuerst durch +Salmon im Jahre 1850 (_Cambridge Journ._ 5) und darauf von Steiner (_Journ. +fuer Math._ 53) bekannt gemacht. + +[462] Auf der kubischen Flaeche treten schon von der sechsten Ordnung ab +gegen die Geraden der Flaeche verschiedenartig sich verhaltende Kurven +derselben Ordnung auf, die in der Zahl der scheinbaren Doppelpunkte +uebereinstimmen. Vgl. Sturm, _Math. Ann._ 21. + +[463] _Liouvilles Journ._ 10, oder _Cambridge Journ._ 5. Dieser Abhandlung +folgte eine, die von Salmon in demselben Bande des _Cambr. Journ._ +veroeffentlicht wurde, und zu ihrer Ergaenzung wiederum dient eine von +Zeuthen, die in den _Annali di Matem._ II, 3 abgedruckt ist. -- An sie +schliessen sich ferner die Schriften, welche Cayley (_Phil. Trans._ 153), +Piquet (_Comptes rendus_ 77 und _Bull. Soc. math._ 1), und Geiser +(_Collectanea mathematica in memoriam D. Chelini_, Mailand, 1881) +geschrieben haben ueber die Geraden, welche eine Raumkurve eine gewisse +Anzahl Male schneiden. + +[464] _Comptes rendus_ 54 und 58. Mit dieser Abhandlung vergleiche man die +Dissertation von Ed. Weyr, _Ueber algebraische Raumkurven_ (Goettingen, +1873) und andere Schriften desselben Verfassers (_Comptes rendus_ 76, +_Wiener Ber._ 69). Den zitierten Abhandlungen von Cayley muesste ich noch +eine dritte hinzufuegen (_Quart. Journ._ 3), in welcher der Autor sich die +Aufgabe gestellt hat, eine Kurve als Komplex ihrer Sekanten (im Sinne +Plueckers) zu betrachten und sie daher mittelst einer einzigen Gleichung +zwischen den Koordinaten einer Geraden im Raume darzustellen, aber ich kann +davon absehen, da die Fruchtbarkeit einer solchen Betrachtung noch nicht +dargethan ist. + +[465] Halphen, _Memoire sur la classification des courbes gauches +algebriques_ (_Journ. Ec. polyt._ 52). Man sehe auch desselben Autors +Abhandlung _Sur les singularites des courbes gauches algebriques_ (_Bull. +Soc. math._ 9). -- Noether, _Zur Grundlegung der Theorie der algebraischen +Raumkurven_ (_Berliner Abh._ 1883, _Journ. fuer Math._ 93). + +[466] _Comptes rendus_ 70; _Bull. Soc. math._ 1 und 2. + +[467] _Math. Ann._ 7. + +[468] _Math. Ann._ 6. Ein anderer Beweis desselben Satzes wurde von Halphen +gegeben, _Bull. Soc. math._ 5. + +[469] Die Gerechtigkeit verlangt, dass ich auch noch eine sehr schoene +Arbeit von Valentiner anfuehre: _Bidrag til Rumcurvener Theori_ +(Kopenhagen, 1881) (vgl. auch _Tidsskrift for Math._ IV, 5 und _Acta math._ +2), die fast zu gleicher Zeit mit denen von Halphen und Noether erschienen +ist und mit diesen in den Methoden und den Resultaten bemerkenswerte +Beruehrungspunkte hat. -- Ich will in dieser Note auch noch, da ich es im +Texte nicht thun konnte, einen Satz von Cremona anfuehren (von Dino in den +_Napoli Rend._ 1879 bewiesen) und einige von Sturm (_Report of the British +Association_, 1881; _Math. Ann._ 19), welche bemerkenswerte allgemeine +Eigenschaften der Raumkurven ausdruecken, sowie an die Untersuchungen von +Cayley, Piquet und Geiser ueber eine Raumkurve mehrmals schneidende Geraden +erinnern, von denen in der Note 463 gesprochen wurde. Erwaehnenswert ist +auch die (von Hossfeld in der _Zeitschr. f. Math._ 29 gefundene) Thatsache, +dass die Rueckkehrkurve der zweien Oberflaechen umbeschriebenen +abwickelbaren Flaeche nicht der vollstaendige Schnitt zweier Oberflaechen +ist. + +[470] + + "Von anderen wird es loeblich sein zu schweigen, + Weil allzukurz die Zeit fuer die Erzaehlung." + -- Dantes Goettliche Komoedie; _Die Hoelle_, 15. Gesang, Vers 104-105. + +[471] _Der barycentrische Calcuel_ (Leipzig, 1827). + +[472] _Apercu historique,_ Note 33; _Liouvilles Journ._ 19 (1854). + +[473] _Beitraege zur Geometrie der Lage_, 3. Heft (Nuernberg, 1860). + +[474] _Grunerts Arch._ 10. + +[475] _Journ. fuer Math._ 56. + +[476] _Journ. fuer Math._ 58, 60, 63; _Nouv. Ann._ II, 1; _Annali di +Matem._ I, 1, 2, 5; _Lombardo Rend._ II, 12. + +[477] _Journ. fuer Math._ 56; _Theorie der Oberflaechen zweiter Ordnung und +der Raumkurven dritter Ordnung_ (Leipzig, 1880); _Math. Ann._ 25. Vgl. auch +eine Note von mir in den _Napoli Rend._, 1885. + +[478] _Zeitschr. fuer Math._, 1868; _Geometrie der Lage_. + +[479] _Lombardo Rend._ 1871. + +[480] _Journ. fuer Math._ 79, 80; _Annali di Matem._ II, 3. + +[481] _Math. Ann._ 20 und 30. + +[482] _Torino Mem._ II, 32 und _Collectanea mathematica_. An diese +Abhandlungen schliesst sich eine von Gerbaldi, _Sui sistemi di cubiche +gobbe o di sviluppabili di III. classe stabiliti col mezzo di due cubiche +punteggiate projettivamente_ (_Torino Mem._ II, 32). + +[483] _Giorn. di Matem._ 17 (1879). Betreffend die ausgearteten Formen der +kubischen Raumkurve sehe man eine Note von Schubert (_Math. Ann._ 15). Die +Theorie der kubischen Raumkurven fuehrt zu einer interessanten +geometrischen Darstellung der Theorie der binaeren algebraischen Formen, +die von Laguerre (_L'Institut_ 40), von Sturm (_Journ. f. Math._ 86) und +von Appell (_Ann. Ec. norm._ II, 5) bearbeitet wurde. Vgl. auch eine Note +von J. Tannery (_Bull. sciences math._ 11). Ferner sehe man in bezug +hierauf die Note von W. R. W. Roberts (_Proc. math. Soc._ 13) und das Buch +von Franz Meyer, _Apolaritaet und rationale Kurven_ (Tuebingen, 1883). Eine +gute Darlegung der Theorie der Raumkurven dritter Ordnung hat auch von +Drach geliefert in der Schrift _Einleitung in die Theorie der kubischen +Kegelschnitte_ (Leipzig, 1867), infolge deren Beltrami interessante +_Annotazioni_ geschrieben hat (_Lombardo Rend._ II, 1). + +[484] _Comptes rendus_ 53 (1861). + +[485] _Annali di matem._ 4. -- Die Note von Story, _On the number of +intersections of curves traced on a scroll of any order_ (_Johns Hopkins +Baltimore University Circulars_ 2, 1883) enthaelt eine Verallgemeinerung +eines sehr wichtigen Theoremes von Chasles. + +[486] Poncelet machte im Jahre 1822 die bemerkenswerte Entdeckung, dass +durch jede Raumkurve vierter Ordnung erster Art vier Kegel zweiten Grades +hindurchgehen. (S. _Traite des proprietes projectives_ I, S. 385, 2. Aufl.) + +[487] _Comptes rendus_ 54, 55. + +[488] _Comptes rendus_ 54; _Bologna Mem._ 1861; _Lombardo rend._ II, 1. + +[489] _Annali di Matem._ II, 2. + +[490] _Geometrie de direction_ (Paris, 1869); _Comptes rendus_ 82. + +[491] _Liouvilles Journ._ II, 15. + +[492] _Journ. fuer Math._ 97. -- Eine bemerkenswerte spezielle Raumkurve +vierter Ordnung erster Art hat Schroeter untersucht: _Journ. fuer Math._ +93. + +[493] _Math. Ann._ 12, 13. + +[494] _Zeitschr. f. Math._ 28. + +[495] _Math. Ann._ 13. Vgl. Cayley (das. 25). + +[496] _Comptes rendus_ 82. + +[497] _Annali di Matem._ I, 4. + +[498] _Giorn. di Matem._ 11, 12. + +[499] _Lombardo rend._ 1872. + +[500] _Wiener Ber._ 1871. Ueber die rationalen Kurven vierter Ordnung sehe +man auch Study (_Leipziger Sitzungsber._ 1886), die _Habilitationsschrift_ +von Jolles (Aachen, 1886) und die Abhandlung von Roberts (_Proc. math. +Soc._ 14). -- Unter den rationalen Kurven vierter Ordnung ist eine sehr +bemerkenswerte diejenige, welche zwei stationaere Tangenten hat. Die +eleganten Eigenschaften, welche dieselbe besitzt, wurden von Cremona +(_Lombardo Rend._ 1868), Em. Weyr (das. 1871) und Appell (_Comptes rendus_ +83) entdeckt. + +[501] _Comptes rendus_ 70. + +[502] _Vierteljahrsschrift der naturf. Ges. in Zuerich_ 20. + +[503] Ausser den zitierten _Synthetischen Untersuchungen_ sehe man _Journ. +fuer Math._ 88 und _Math. Ann._ 21. + +[504] S. Korndoerfer und Brill, _Math. Ann._ 3; Saltel, _Comptes rendus_ +80; Genty, _Bull. Soc. math._ 9. + +[505] Siehe unter anderem die Bemerkung von Buchheim, _On the extension of +certain theories relating to plane cubics to curves of any deficiency_ +(_Proc. math. Soc._ 13). + +[506] _Collectanea mathematica_. + +[507] _Journ. fuer Math._ 99. + +[508] Chasles, _Apercu historique_, 2. Aufl., S. 269; in der deutschen +Uebersetzung von Sohncke, S. 267. + +[509] Diese Konstruktion, die von den Deutschen "Steinersche Projektion" +genannt wird, wurde im Jahre 1865 von neuem von Transon (1806-1876) +gefunden, der ihr den Namen "_projection gauche_" gab (_Nouv. Ann._ II, 4 +und 5). + +[510] _Traite des proprietes projectives_ (1. Aufl. 1822, S. 198). + +[511] _Journ. fuer Math._ 5. + +[512] _Journ. fuer Math._ 8, und _Aufgaben und Lehrsaetze aus der +analytischen Geometrie der Ebene_, 1833. + +[513] _Torino Mem._ 1862. + +[514] _Grunerts Arch._ 7. + +[515] _Zeitschr. f. Math._ 11. + +[516] _Liouvilles Journ_. 10, 12. Vorher hatten schon G. Bellavitis (_Nuovi +Saggi dell' Accademia di Padova_ 4 (1836) und Stubbs (_Phil. Mag._ 23, +1843) sich mit dieser Korrespondenz beschaeftigt. Man sehe auch Steiners +Aufsatz aus dem Jahre 1826: _Einige geometrische Betrachtungen_ (_Journ. +fuer Math._ 1; _Gesammelte Werke_ Bd. I, S. 19) Nr. 20. + +[517] Auf den Begriff der Inversion ist von Johnson (Analyst 4) eine neue +Einteilung der ebenen Kurven gegruendet worden. In derselben bedeutet der +Name "Kreisgrad" einer Kurve den Grad ihrer Gleichung (in rechtwinkligen +cartesischen Koordinaten) in x, y, r = x^2 + y^2; der Kreisgrad einer Kurve +wird durch die Inversion nicht veraendert. Zwei Kurven, welche denselben +Grad haben, gehoeren zu derselben Kategorie. Diese Einteilung scheint +jedoch nicht von grosser Wichtigkeit zu sein. + +[518] _Sammlung von Aufgaben und Lehrsaetzen aus der analytischen Geometrie +der Ebene_, 1833. + +[519] In den Jahren 1859 und 1860 studierte Jonquieres die (nach seinem +Namen benannte) Transformation n^{ter} Ordnung, bei welcher jeder Geraden +eine Kurve n^{ter} Ordnung mit einem (n - 1)-fachen Punkte entspricht. +Einige seiner Resultate wurden im Jahre 1864 in den _Nouv. Ann._ +veroeffentlicht, aber das vollstaendige Werk, welches er dieser +Transformation widmete, erschien erst 1885 und zwar durch Guccia (s. +_Giorn. di Matem._ 23) herausgegeben. Wir bemerken auch, dass schon 1834 +Moebius (_Journ. fuer Math._ 12; _Gesammelte Werke,_ 1) die eindeutige +Korrespondenz zwischen zwei Ebenen, bei denen die Flaecheninhalte +entsprechender Figuren in einem konstanten Verhaeltnisse stehen, studiert +hat. Die Untersuchungen sind jedoch von ganz anderer Art als die im Texte +betrachteten. + +[520] _Bologna Mem._ 2, 5 (1863 und 1865); _Giorn. di Matem._ 1 und 3; vgl. +auch Dewulfs Bearbeitung im _Bull. sciences math._ 5. + +[521] _Proc. math. Soc._ 3. + +[522] _Math. Ann._ 4. + +[523] _Math. Ann._ 3, 5. + +[524] _Journ. fuer Math._ 73. + +[525] _Proc. math. Soc._ 4. + +[526] Hier will ich einen wichtigen Lehrsatz beruehren, der gleichzeitig +von Clifford (_Proc. math. Soc._ 3), Noether (_Goettinger Nachr._ 1870; +_Math. Ann._ 3) und Rosanes (_Journ. fuer Math._ 73) erhalten wurde, und +fuer einen Augenblick die Wichtigkeit der Cremonaschen Transformation +aufzuheben schien: "Jede eindeutige Transformation von hoeherer als erster +Ordnung kann man durch Wiederholung von quadratischen Transformationen +erhalten." Dieser Satz ist offenbar die Umkehrung desjenigen von Magnus, +der vorhin im Texte angefuehrt wurde. + +[527] _Bologna Mem._ 1877-1878. + +[528] _Comptes rendus_, 1885; _Giorn. di Matem._ 24. + +[529] _Annali di Matem._ II, 10. + +[530] _Comptes rendus_, 1885; _Rendic. del Circolo Matematico di Palermo_ +1. + +[531] Man sehe die in den _Comptes rendus_, 1883, 1884, 1885, 1886 und in +_Liouvilles Journ._ 1885, 1886, 1887 veroeffentlichten Abhandlungen. + +[532] _Annali di Matem_. 7, ferner _Giorn. di Matem_. 4. + +[533] _Proc. math. Soc._ 2. + +[534] _Math. Ann._ 26. + +[535] _Bull. sciences math._ II, 6 und 7. + +[536] Meistenteils wurden die geometrischen Transformationen auf das +Studium der algebraischen Kurven angewandt; jedoch fehlt es nicht an +Schriften, welche sich mit der Transformation transcendenter Kurven in +andere oder in sich selbst befassen: z. B. Magnus, _Sammlung von Aufgaben +und Lehrsaetzen aus der analytischen Geometrie der Ebene_, 1833, S. 320, +455, 457-459, 497; Klein und Lie, _Math. Ann._ 4. + +[537] _Annali di Matem._ II, 8; _Lombardo Rend._ 1883. Vgl. auch Geiser, +_Journ. fuer Math._ 67. + +[538] _Napoli Rend._, 1879. + +[539] Die neueste Form, welche die Bertinischen Untersuchungen infolge +dessen angenommen, machte es meinem Freunde Martinetti leichter, auf dem +von diesem Gelehrten vorgezeichneten Wege weiter zu schreiten und die +ebenen involutorischen Transformationen dritter und vierter Klasse zu +bestimmen (_Annali di Matem._ II, 12, 13). Die Theorie der ebenen +Transformationen wird sich binnen kurzem durch die wichtige Arbeit von +Kantor bereichern, welche von der Akademie zu Neapel gekroent worden ist +und jetzt gedruckt wird. Einzelne Resultate finden sich in den _Wiener +Ber._ 1880 ausgesprochen, sowie in den _Wiener Denkschriften_ 46. + +Saltel verdanken wir die Idee einer speziellen involutorischen +Transformation dritten Grades, die er schon 1872 unter dem Namen +"_Transformation arguesienne_" nach Desargues benannt (s. die _Memoires de +l'Academie de Belgique_ 12, _Bulletin de l'Academie de Belgique_ II, 24), +studiert hat. Man stellt dieselbe auf folgende Weise her: Gegeben sind in +einer festen Ebene [PI] zwei Kegelschnitte [GAMMA]_1 und [GAMMA]_2 und ein +fester Punkt O; man laesst entsprechen einem Punkte P von [PI] seinen +konjugierten in der Involution, die auf der Geraden OP bestimmt wird durch +den Kegelschnittbueschel, den [GAMMA]_1, und [GAMMA]_2 konstituieren. Es +sind fundamental der Punkt O und die Grundpunkte dieses Bueschels. -- Wenn +jene beiden Kegelschnitte [GAMMA]_1 und [GAMMA]_2 zusammenfallen, so +reduziert sich diese Transformation offenbar auf die quadratische Inversion +von Hirst. -- Im Raume hat man eine aehnliche Transformation. -- Eine +andere Transformation ("_transformation hyperarguesienne_") wurde von +demselben Verfasser als Erweiterung der vorhergehenden eingefuehrt +(_Bulletin de l'Academie de Belgique_ II, 12) und wird auf folgende Weise +hergestellt: Gegeben in einer Ebene [PI] drei Kegelschnitte [GAMMA]_1, +[GAMMA]_2, [GAMMA]_3 und ein fester Punkt O. Man laesst einem Punkte P von +[PI] seinen homologen entsprechen in der Projektivitaet, die bestimmt ist +auf OP von den drei Paaren von Punkten, in welchen diese Gerade von den +drei Kegelschnitten getroffen wird; jedoch ist diese Korrespondenz offenbar +nicht birational. -- Die erste der Saltelschen Transformationen kann zur +Loesung von Problemen aus der Theorie der Charakteristiken fuer die Kurven +hoeherer als zweiter Ordnung dienen (_Bull. Soc. Math._ 2). + +[540] _Bull. Soc. math._ 8; _Comptes rendus_ 94; _Nouv. Ann._ III, 1, 2. +Diese Transformation kann man, wie Laguerre selbst bemerkte, auf den Raum +ausdehnen (_Comptes rendus_ 92), jedoch ist die Art der Korrespondenz, die +man erhaelt, keine neue; sie ist nach einer Bemerkung von Stephanos +(_Comptes rendus_ 92) dieselbe, vermittelst derer Lie die Geometrie der +Geraden mit der der Kugel verknuepfte (_Math. Ann._ 5). + +[541] Die verschiedenen Abhandlungen von Moebius ueber diese Theorie finden +sich vereint im II. Bande seiner _Gesammelten Werke_ (Leipzig, 1886). + +[542] _Journ. fuer Math._ 55, 57, 59; _Grunerts Arch._ 33. + +[543] _Grunerts Arch._ 42. + +[544] _Bologna Mem._ 1870. + +[545] _Journ. fuer Math._ 69. + +[546] Des Naeheren siehe die Abhandlung: _Geometrie des polynomes_ (_Journ. +Ec. polyt._ 28). + +[547] _Beitraege zur geometrischen Interpretation binaerer Formen_ +(Erlangen, 1875); vgl. _Math. Ann._ 9; _Studien im binaeren Wertgebiete_ +(Karlsruhe, 1876); _Math. Ann._ 17; _Erlanger Berichte_, 1875. + +[548] Siehe das Werk: _Einfuehrung in die Theorie der isogonalen +Verwandtschaften_ (Leipzig, 1883). + +[549] Zwischen drei geometrischen Gebilden kann man eine Korrespondenz +aufstellen, so dass einem Paare von Elementen, das eine genommen in dem +einen, das andere in einem zweiten, eindeutig ein solches im dritten +Gebilde entspricht. Wenn unter Festhaltung eines Elementes die anderen +beiden projektive Systeme beschreiben, so nennt man die Korrespondenz +trilinear, und diese wurde im Falle der Gebilde erster Stufe von Rosanes +(_Journ. fuer Math._ 1888) behandelt, sodann von Schubert (_Math. Ann._ 17 +und _Mitteilungen der Math. Ges. in Hamburg_, 1881) und in einem +Spezialfalle von Benno Klein (_Theorie der trilinear-symmetrischen +Elementargebilde_, Marburg, 1881); im Falle der Gebilde zweiter Stufe von +Hauck (_Journ. fuer Math._ 90, 97, 98), welcher einige Anwendungen +derselben auf die darstellende Geometrie machte, die von bemerkenswertem +praktischen Nutzen zu sein scheinen. + +Fast gleichzeitig mit den Arbeiten von Schubert sind diejenigen, in denen +Le Paige mit Hilfe der Theorie der algebraischen Formen die trilineare +Korrespondenz untersuchte und auf die Geometrie anwandte; man sehe die +_Essais de Geometrie superieure du troisieme ordre_ (_Mem. de la Soc. des +sciences de Liege_ II, 10) und die Noten, welche im _Bulletin de l'Academie +de Belgique_ III, 5 und in den _Wiener Ber._ 1883 veroeffentlicht sind. +Derselbe Geometer beschaeftigte sich auch mit der quadrilinearen Beziehung +(_Torino Atti_ 17, 1882) und machte von ihr Anwendung auf die kubischen +Flaechen und gewisse Flaechen vierter Ordnung (_Bulletin de l'Academie de +Belgique_ III, 4; _Acta math._ 5). + +Wir unterlassen nicht, zu erwaehnen, dass die duploprojektive Beziehung, +durch welche schon 1862 F. August die kubische Oberflaeche erzeugte +(_Disquisitiones de superficiebus tertii ordinis, Berliner Dissertation_), +eine trilineare Beziehung ist. + +[550] Wenn z. B. ein Dreieck ABC gegeben ist, so sei P ein beliebiger Punkt +seiner Ebene. Es giebt nun einen Kegelschnitt K, welcher die Seiten des +Dreieckes in den Punkten (PA, BC), (PB, CA), (PC, AB) beruehrt. Laesst man +K dem P entsprechen, so hat man eine Korrespondenz von der im Texte +angegebenen Art. Aehnlich erhaelt man eine duale Korrespondenz. Beide +wurden von Montag in seiner Dissertation: _Ueber ein durch die Saetze von +Pascal und Brianchon vermitteltes geometrisches Beziehungssystem_ (Breslau, +1871) studiert. Weitere analoge Korrespondenzen kann man aus der +Beobachtung entnehmen, dass jeder Punkt der Ebene ABC der Mittelpunkt eines +Kegelschnittes ist, der dem Dreiecke ABC eingeschrieben ist, eines ihm +umgeschriebenen und eines solchen, fuer welchen ABC ein Polardreieck ist. +Aehnlich: Gegeben ein Tetraeder ABCD; man kann jedem Punkte P des Raumes +die Flaeche zweiter Ordnung zuordnen, fuer welche P das Zentrum ist und in +bezug auf welche ABCD ein Polartetraeder ist. + +[551] _Math. Ann._ 6. + +[552] Man sehe ausserdem die Arbeiten von Godt (_Goettinger Dissertation_, +1873), Armenante (_Lincei Atti_, 1875), Battaglini (_Giorn. di Matem._ 19, +20), Peano (_Torino Atti_ 16) und von Amodeo (_Napoli Rend._ 1887). Die den +Konnexen analogen Figuren im Raume wurden von Krause behandelt (_Math. +Ann._ 14). Man sehe auch zwei Noten von Lazzeri, _Sulle reciprocita +birazionali nel piano e nello spazio_ (_Lincei Rend._ 1886). + +[553] _Gauss' Werke_, 4. Bd. Eine italienische Uebersetzung wurde von +Beltrami in den _Annali di Matem_. 4 veroeffentlicht. + +[554] Die Methoden, die geographischen Karten zu konstruieren, gehoeren in +die Anwendungen der Geometrie und befinden sich deshalb nicht unter +denjenigen, deren Geschichte wir hier verzeichnen wollen. Wir verweisen +daher den, der alle diejenigen kennen lernen will, welche angewandt worden +sind, auf die Schriften von Fiorini, _Le projezioni delle carte +geografiche_ (Bologna, 1881) und Zoeppritz, _Leitfaden der +Kartenentwurfslehre_ (Leipzig, 1884). Eine Ausnahme will ich nur machen mit +den Arbeiten von Tissot (_Comptes rendus_ 49; vgl. auch Dini, _Memoria +sopra alcuni punti della teoria delle superficie_ [Florenz, 1868]; _Journ. +Ec. polyt._ 37; _Nouv. Ann._ II, 17 flgg.), weil sie ein grosses Interesse +auch vom Standpunkte der reinen Wissenschaft haben. + +[555] Diese Abbildung, die man heute die "sphaerische" nennt, wurde vor +Gauss von O. Rodrigues im Jahre 1815 angegeben; jedoch hat dieser ihre +ganze Fruchtbarkeit nicht so in das Licht gestellt als der grosse deutsche +Geometer. + +[556] _Journ. fuer Math._ 34. + +[557] _Comptes rendus_, 53. + +[558] _Phil. Mag._ 1861. + +[559] _Journ. fuer Math._ 68, oder _Grundzuege einer allgemeinen Theorie +der Oberflaechen_ (Berlin, 1870), III. T. + +[560] _Journ. fuer Math._ 65. + +[561] _Math. Ann._ 1. + +[562] S. _Journ. fuer Math._, _Math. Ann._ und _Goettinger Nachr._ und +_Abh._ + +[563] _Math. Ann._ 4; _Annali di Matem._ II, 1; _Goettinger Nachr._ 1871 +und viele andere Abhandlungen, welche in den _Lombardo Rend._ und den +_Bologna Mem._ stehen. In der Abhandlung in den _Annali_ studierte Cremona +die Regelflaechen (m + n)^{ten} Grades, welche eine m-fache und eine +n-fache Leitlinie haben, und fand, dass deren asymptotische Kurven im +allgemeinen algebraische Kurven von der Ordnung 2(m + n - 1) sind. Eine +Konstruktion dieser Kurven wurde spaeter von Halphen angegeben (_Bull. Soc. +math._ 5). + +[564] _Math. Ann._ 3; vgl. auch das. 21, dann ziehe man auch noch eine +Abhandlung von Brill hinzu (_Math. Ann._ 5). + +[565] _Annali di Matem._ II, 1. + +[566] _Math. Ann._ 4. + +[567] _Math. Ann._ 1. + +[568] _Annali di Matem._ II, 7. + +[569] Z. B. sehe man Darboux (_Bull. Soc. math._ 2), Frahm (_Math. Ann._ +7), Lazzeri (_Annali della Scuola nuova sup. di Pisa_, 6), Guccia +(_Association francaise pour l'avancement des sciences, Congres de Reims_, +1880). + +[570] Ein wichtiger Begriff, den Clebsch bei seinen Studien ueber die +Abbildung der Regelflaechen aufstellte (_Math. Ann._ 5), ist der des Typus +einer Flaeche. Zwei Flaechen sind von demselben Typus, wenn bei der +Abbildung der einen auf die andere es keine Fundamentalpunkte giebt, z. B, +ist die roemische Flaeche von Steiner von demselben Typus mit der Ebene. + +[571] S. die _Collectanea mathematica in memoriam D. Chelini_. + +[572] _Comptes rendus_, 1868. + +[573] _Math. Ann._ 3. + +[574] _Annali di Matem._ II, 5; _Goettinger Nachr._ 1871 und 1873. + +[575] _Math. Ann._ 4, 9, 10. + +[576] Die Flaechen vierter Ordnung, von denen man die Abbildung auf eine +Ebene kennt, sind die rationalen Regelflaechen, die roemische Flaeche, die +Oberflaechen mit einer Doppelgeraden oder einem doppelten Kegelschnitte, +die Monoide und eine Oberflaeche, die einen uniplanaren Doppelpunkt hat (s. +eine Abhandlung von Noether in den _Goettinger Nachr._ 1871 und eine von +Cremona in den _Collectanea mathematica_). Wer die Abbildung einer +Oberflaeche auf einer anderen studieren will, darf die schoenen +Untersuchungen von Zeuthen (s. die vorige Note und _Comptes rendus_, 1870) +nicht uebergehen und die darauf folgenden von Krey (_Math. Ann._ 18) und +Voss (_Math. Ann._ 27); einen nicht geringen Nutzen kann er auch aus der +von Kantor (_Journ. fuer Math._ 95) aufgestellten Korrespondenz ziehen, die +zwischen den Punkten einer gewissen kubischen Flaeche und gewissen Tripeln +von Punkten einer Ebene besteht. + +[577] _Math. Ann._ 3. + +[578] _Math. Ann._ 3. + +[579] _Apercu historique_, Note 28. + +[580] _Lincei Mem._ 1876, 1877, 1878. Vgl. eine Note von Noether in den +_Erlanger Sitzungsberichten_, 1878. + +[581] _Aufgaben und Lehrsaetze aus der analyt. Geom. d. Raumes_, S. 403 +flg. + +[582] _Journ. fuer Math._ 49. + +[583] S. Note 563. Vgl. auch Sturm, _Math. Ann._ 19. + +[584] _Proc. Math. Soc._ 3. + +[585] _Math. Ann._ 3. + +[586] _Lombardo Rend._ 1871; _Annali di Matem._ II, 5; _Bologna Mem._ +1871-1872. Man sehe auch die neuesten Arbeiten desselben Geometers in den +_Transactions of Edinburgh_ 32, II. Th. und in den _Irish Trans._ 28 und +_Proc. math. Soc._ 15. + +[587] _Aufgaben und Lehrsaetze aus der analyt. Geom. des Raumes_, 1837, S. +417-418, Anmerkung. + +[588] Unter diesen fuehre ich die Abhandlung von de Paolis an: _Sopra un +sistema omaloidico formato da superficie d'ordine_ n _con un punto_ (n - +1)_-plo (Giorn. di Matem._ 13) die spaeteren ueber einige spezielle +involutorische Transformationen des Raumes von Martinetti (_Lombardo Rend._ +1885) und von Paolis (_Lincei Trans._, 1885). -- Ich bemerke hier, was ich +im Texte nicht thun konnte, dass es moeglich ist, das Punktfeld auf einer +Geraden abzubilden und den Punktraum auf einer Ebene. Um erstere Abbildung +auszufuehren, kann man jedem Punkte der Ebene ein Punktepaar der Geraden +entsprechen lassen (Uebertragungsprinzip von Hesse, _Journ. fuer Math._ +66). Bei der zweiten kann man einem Punkte des Raumes den Kreis zuordnen, +der den Fusspunkt des von jenem auf die darstellende Ebene gefaellten Lotes +zum Mittelpunkt und zum Radius die Laenge dieses Lotes hat, indem man +hinzufuegt, dass dieser Kreis in dem einen Sinne durchlaufen wird, wenn der +Punkt auf der einen (bestimmten) Seite der Ebene liegt, im +entgegengesetzten Sinne, wenn auf der anderen. Die Gesetze dieser +Korrespondenz wurden von Fiedler vereinigt, um die Cyklographie zu bilden +(s. das Werk _Cyklographie_, Leipzig, 1883, und die dritte Ausgabe der +_Darstellenden Geometrie_) und wurden von ihm zur Loesung einiger Probleme +angewandt (s. einige _Mitteilungen_ fuer die naturforschende Gesellschaft +in Zuerich und _Acta math._ 5). Vor ihm jedoch hatte schon Crone verwandte +Fragen in einer Dissertation behandelt, die sich in der _Tidsskrift for +Mathematik_ 6 findet. + +[589] Chasles, _Apercu historique_, 2. Ausg. S. 196. + +[590] Magnus, _Sammlung von Aufgaben und Lehrsaetzen aus der anal. Geom. +der Ebene_, 1833, S. 188 und 198. + +[591] Voss, _Math. Ann._ 13; Segre, _Torino Mem._ II, 37; Sturm, _Math. +Ann._ 26. In diesen Abhandlungen wird der Leser auch die weiteren +bibliographischen Einzelheiten finden. + +[592] Sturm, a. a. O.; Montesano, _Lincei Mem._ 1886. + +[593] Lueroth, _Math. Ann._ 11, 13; Schroeter (das. 20); Veronese, _Lincei +Mem._ 1881. S. auch einige der Abhandlungen, die sich in den _Gesammelten +Werken_ von Moebius 2 finden. Auch die Arbeiten von Rosanes fuehren wir +hier an (_Journ. fuer Math._ 88, 90, 95, 100), von Sturm (_Math. Ann._ 1, +6, 10, 12, 15, 19, 22, 28; _Proc. math. Soc._ 7), und von Pasch (_Math. +Ann._ 23, 26), die verwandte Gegenstaende behandeln; dann noch die von +Stephanos (_Math. Ann._ 23), von H. Wiener (_Rein geometrische Theorie der +Darstellung binaerer Formen durch Punktgruppen auf der Geraden_, Darmstadt, +1885), von Segre (_Torino Mem._ II, 28 und _Journ. fuer Math._ 100), von +Sannia (_Lezioni di geometria projettiva_, in Neapel im Drucke befindlich) +ueber die Kollineationen und Korrelationen. + +[594] _Math. Ann._ 3. + +[595] _Giorn. di Matem._ 10. + +[596] Man sehe die beiden von ihm 1884 zu Messina veroeffentlichten +Abhandlungen. + +[597] _Lombardo Rend._ 1886; _Lincei Rend._ 1885. + +[598] _Die Geometrie der Lage._ + +[599] _Giorn. di Matem._ 21. + +[600] _Lombardo Rend._ II, 14 und 15. + +[601] _Journ. fuer Math._ 94. + +[602] _Lincei Mem._ 1884-1885. + +[603] _Wiener Ber._ 1881; _Journ. fuer Math._ 97. + +[604] _Math. Ann._ 19 und 28. + +[605] _Math. Ann._ 23. + +[606] _Journ. fuer Math._ 82, in dem Aufsatze ueber reciproke +Verwandtschaft von F^2-Systemen und [Phi]^2-Geweben. + +[607] Ueber das gemeine Nullsystem vergl. die Note 610 des naechsten +Abschnittes + +[608] "Bis in die neueren Zeiten stand die analytische Methode, wie sie +Cartesius geschaffen, sozusagen nur auf einem Fusse. Pluecker kommt die +Ehre zu, sie auf zwei gleiche Stuetzen gestellt zu haben, indem er ein +ergaenzendes Koordinatensystem einfuehrte. Diese Entdeckung war daher +unvermeidlich geworden, nachdem einmal die Tiefblicke Steiners dem Geiste +der Mathematiker zugefuehrt waren." Sylvester, _Phil. Mag_. III, 37, 1850, +S. 363. Vgl. _Jahrbuch ueber die Fortschritte der Mathematik_ 2, S. 453. + +[609] S. _Phil. Trans._, 1865, S. 725; 1866, S. 361. + +[610] Es ist wohl zu beachten, dass ein linearer Komplex ein reciprokes +Nullsystem veranlasst und dass dieses zuerst von Giorgini (_Memorie della +Societa italiana delle scienze_ 20, 1827), dann aber auch von Moebius +(_Lehrbuch der Statik_ I; vgl. auch _Journ. fuer Math._ 10, 1833) und von +Chasles (_Apercu historique_, 1837) in ihren statischen und kinematischen +Untersuchungen und von demselben Chasles und Staudt bei der Bestimmung der +involutorischen reciproken Beziehungen gefunden wurde. + +[611] _Cambridge Trans._ 11, Teil 2; _Quart. Journ._ 3. + +[612] _Giorn. di Matem._ 6, 7, 10, 18. Wenn auch Battaglini seinen Studien +ueber die quadratischen Komplexe eine Gleichung zu Grunde legte, die nicht +den allgemeinsten Komplex ihres Grades darstellt, so gelten doch viele von +den Schluessen, die er gemacht hat, -- man kann sagen alle, mit Ausnahme +derjenigen, welche sich auf die singulaere Flaeche und die singulaeren +Strahlen des Komplexes beziehen -- fuer allgemeine Komplexe, indem sie +unabhaengig sind von der Gestalt dieser Gleichung. Auch die von ihm +aufgestellten Formeln passen sich mit leichten Aenderungen groesstenteils +dem allgemeinen Falle an. + +[613] Leipzig, 1868-1869. + +[614] S. dessen _Examen des differentes methodes_ etc. + +[615] _Math. Ann._ 2, 5, 7, 22, 23 (darin der Wiederabdruck der 1868 in +Bonn erschienenen Dissertation: _Ueber die Transformation der allgemeinen +Gleichung des zweiten Grades zwischen Linienkoordinaten auf eine kanonische +Form_), 28. Ausserdem enthalten viele Arbeiten von Klein ueber Fragen der +hoeheren Algebra oder der hoeheren Analysis, die in den _Math. Ann._ und +sonst veroeffentlicht sind, ziemlich oft Betrachtungen, welche der +Geometrie der Geraden angehoeren. + +[616] _Torino Mem._ II, 36. + +[617] _Journ. fuer Math._ 75, 76; _Habilitationsschrift_ (Giessen, 1870). + +[618] _Math. Ann._ 1. + +[619] _Math. Ann._ 2. + +[620] _Lincei Mem._ 1884-1885. + +[621] _Math. Ann._ 2, 5. + +[622] _Math. Ann._ 7. Man kann es nur beklagen, dass die in verschiedener +Beziehung so ausgezeichnete Arbeit von Weiler eine grosse Zahl von +Ungenauigkeiten enthaelt. + +[623] _Math. Ann._ 8, 9, 10, 12, 13. S. auch Schubert das. 12 und dessen +_Abzaehlende Geometrie_. + +[624] _Comptes rendus_ 74, 75;_ Bull. Soc. math._ 1. + +[625] _Goettinger Nachr._ 1869. + +[626] _Goettinger Nachr._ 1869. + +[627] _Lincei Mem._ 1877-1878. + +[628] _Giorn. di Matem._ 8; _Lombardo Rend._ II, 12, 13, 14. + +[629] _Math. Ann._ 5. Vgl. eine Abhandlung von Cremona, gelesen vor der +_Accademia dei Lincei_ (_Atti_ II, 3). + +[630] _Journ. fuer Math._ 98. Vgl. auch 95 und 97. + +[631] _Liouvilles Journ._ 4. + +[632] _Die Geometrie der Lage_, 2. Abt. 2. Aufl., in der sich die von Reye +in dem _Journ. fuer Math._ veroeffentlichten synthetischen Arbeiten ueber +die Geometrie der Geraden vereinigt finden. + +[633] _Zeitschr. f. Math._ 20. + +[634] _Dissertation_ (Berlin, 1879) oder _Math. Ann._ 15. + +[635] _Giorn. di Matem._ 17; _Lincei Rend._ 1879. + +[636] _Torino Atti_, 1881. + +[637] _Journ. fuer Math._ 91, 92, 93, 94, 95, 97. + +[638] _The Messenger of Mathematics_ II, 13. + +[639] _Liouvilles Journ._ II, 17. + +[640] S. Note 629. + +[641] _Math. Ann._ 5. + +[642] _Ann. Ec. norm._ II, 6; _Grunerts Arch._ 40. + +[643] _Ann. Ec. norm._ III, 1. + +[644] S. Note 628. + +[645] _Nouv. Ann._ II, 2; _Liouvilles Journ._ II, 19. + +[646] _Die Geometrie der Lage_. + +[647] _Goettinger Nachr._ 1870. + +[648] _Journ. fuer Math._ 95; _Zeitschr. f. Math._ 24, 27. + +[649] _Sugli enti geometrici dello spazio di rette generati dalle +intersezioni dei complessi correspondenti in due o pin fasci projettivi di +complessi lineari_ (Piazza Armerina, 1882). + +[650] _Proc. math. Soc._ 10; _Collectanea mathematica_, 1881. + +[651] _Math. Ann._ 13. + +[652] _Memoire de geometrie vectorielle sur les complexes du second ordre, +qui ont un centre de figure_ (_Liouvilles Journ._ III, 8). + +[653] _Sui complessi di rette di secondo grado generati da due fasci +projettivi di complessi lineari_ (Napoli, 1886), und _Napoli Rend._ 1886. + +[654] _Math. Ann._ 23; _Giorn. di Matem._ 23; _Torino Atti_, 1884. + +[655] _Applications de Geometrie et de Mechanique_, 1822. + +[656] _Journ. Ec. polyt._ 14. + +[657] _Comptes rendus_ 20. + +[658] _Liouvilles Journ._ 15. + +[659] _Journ. Ec. polyt._ 38. + +[660] _Irish Trans._ 16, 1831. + +[661] Bd. 57. + +[662] Die Eigenschaften der unendlich duennen Strahlenbuendel, mit denen +Kummer sich in dieser Abhandlung beschaeftigt, gaben spaeter (1862) Stoff +zu einer schoenen Arbeit von Moebius (_Leipziger Ber._ 14; _Werke_ 4), an +welche sich dann die von Zech (_Zeitschr. f. Math._ 17) veroeffentlichten +Untersuchungen knuepfen; vgl. auch eine neuerliche Abhandlung von Hensel +(_Journ. fuer Math._ 102). + +[663] _Berliner Abh._ 1866. + +[664] Von noch erschienenen Arbeiten, die man als eine Fortsetzung derer +von Kummer ansehen kann oder die auf anderem Wege zu dessen Resultaten +gefuehrt haben, erwaehne ich: Reye (_Journ. fuer Math._ 86 und 93), Hirst +(_Proc. math. Soc._ 16), Stahl (s. Note 637), Caporali (_Napoli Rend._ +1879), Loria (_Torino Atti_, 1884 und 1886) -- oder von solchen, die zu +diesen einige neue Formeln oder ein neues algebraisches Strahlensystem +hinzugefuegt haben: Kummer (_Berliner Ber._ 1878), Masoni (_Napoli Rend._ +22), Roccella (s. Note 649), Hirst (_Proc. math. Soc._ 16 und 17; +_Rendiconti del Circolo mathematico di Palermo_ 1), Sturm (_Math. Ann._ 6; +_Journ. fuer Math._ 101). + +[665] Zum Beweise, dass die Fragen, auf welche sich diese Arbeiten +beziehen, bei einigen Gelehrten jene Ruhe und Unparteilichkeit des Urteils, +die immer bei ihren Diskussionen walten sollte, aufgehoben haben, will ich +hier zwei Stellen anfuehren, die eine von einem Schriftsteller, der allen, +welche sich mit Philosophie beschaeftigen, sehr wohl bekannt ist, die +andere aus einer Zeitschrift, die in Deutschland ziemlich verbreitet ist: +".... so gewiss ist es logische Spielerei, ein System von vier oder fuenf +Dimensionen noch Raum zu nennen. Gegen solche Versuche muss man sich +wahren; sie sind Grimassen der Wissenschaft, die durch voellig nutzlose +Paradoxien das gewoehnliche Bewusstsein einschuechtern und ueber sein gutes +Recht in der Begrenzung der Begriffe taeuschen" (Lotze, _Logik_, S. 217). +"Die absolute oder Nicht-Euklidische Geometrie, die Geometrie des endlichen +Raumes und die Lehre von n Raumdimensionen sind entweder Karrikaturen oder +Krankheitserscheinungen der Mathematik" (J. Gilles, _Blaetter fuer das +Bayrische Gymnasial- und Realschulwesen_ 28, S. 423). Man sehe auch die +heftigen Aeusserungen Duehrings, die von Erdmann in seiner trefflichen +Abhandlung: _Die Axiome der Geometrie_ (Leipzig, 1877, S. 85) wiedergegeben +sind, ferner Kroman, _Unsere Naturerkenntnis_, deutsch von Fischer-Benzon +(Kopenhagen, 1883, S. 145 bis 175); endlich die Kap. 13 und 14 des Werkes +von Stallo, _La matiere et la physique moderne_ (Paris, 1884). Auf +Vorwuerfe von der oben erwaehnten Art erwidern wir mit d'Alembert: "_Allez +en avant, et la foi vous viendra!_" + +[666] Als Litteraturnachweis fuer diesen Teil der Geometrie sehe man die +Artikel von G. Bruce-Halsted, veroeffentlicht im _Amer. Journ._ 1 und 2. + +[667] Es ist dieser Satz: "Wenn bei einer Geraden, welche zwei andere +schneidet, die Summe der inneren Winkel auf derselben Seite kleiner als +zwei Rechte ist, so schneiden sich letztere auf derselben Seite." +D'Alembert nannte diesen Satz: "_l'ecueil et le scandale des elements de la +geometrie_". + +[668] Eine Zeit lang glaubte man, dass der fragliche Satz von Euklid unter +die Axiome gestellt sei; aber neuere historische Untersuchungen (s. Hankel, +_Vorlesungen ueber komplexe Zahlen und ihre Funktionen_, S. 52) neigen zu +der Ansicht, dass derselbe irrtuemlicher Weise von den Abschreibern zu den +Axiomen geschrieben sei, waehrend er im Originale unter den Postulaten +gestanden hatte. + +[669] Vgl. _Die Elemente der Mathematik_ von Baltzer, 4. Teil, Planimetrie. + +[670] Man erzaehlt, Lagrange habe beobachtet, dass die sphaerische +Geometrie von dem Euklidischen Postulate unabhaengig sei, und gehofft, aus +dieser Beobachtung eine Art und Weise ableiten zu koennen, den +Ungelegenheiten der Euklidischen Methode zu entgehen, indem er die ebene +Geometrie als die Geometrie auf einer Kugel mit unendlich grossem Radius +betrachtete. + +[671] _Briefwechsel zwischen Gauss und Schumacher_, herausgegeben von +Peters, 6 Baende (Altona, 1860-1865); die betreffenden Stellen dieses +Briefwechsels sind von Houeel ins Franzoesische uebersetzt und seiner 1866 +erschienenen franzoesischen Uebersetzung von Lobatschewskys _Geometrischen +Untersuchungen_ (vgl. Note 10) zugefuegt. + +[672] Vgl. die Gedaechtnisschrift auf Gauss von Schering in den _Goettinger +Abh._ 22 (1877). + +[673] _Goettingische Gelehrte Anzeigen_, 1816 und 1822; oder _Gauss' Werke_ +4 (1873), S. 364 und 368. Vgl. auch Sartorius von Waltershausen, _Gauss zum +Gedaechtnis_ (Leipzig, 1856), S. 81. -- Moege es gestattet sein, hier die +Mitteilung anzuschliessen, dass Gauss das alte Problem der Kreisteilung, in +dem man seit zwei Jahrtausenden nicht vorwaerts gekommen war, durch +Untersuchungen auf einem Gebiete wesentlich gefoerdert hat, das ohne +Zusammenhang mit diesem Problem schien und auf welchem man solchen Gewinnst +fuer die Geometrie nicht erwartete (_Disquisitiones arithmeticae_, Leipzig, +1801; _Werke_ 1; vgl. Bachmann, _Die Lehre von der Kreisteilung_, Leipzig, +1872), indem er zeigte, dass die Teilung in n Teile mit Hilfe von Lineal +und Zirkel auch noch moeglich ist, wenn n eine Primzahl von der Form 2^m +1 +ist. Man sehe hierzu auch Legendre, _Elements de trigonometrie_, Anhang; +Richelot, Staudt, Schroeter, _Journ. fuer Math._ 9, 24, 75; Affolter, +_Math. Ann._ 6. + +[674] _Courier von Kasan_, 1829-1830; _Abhandlungen der Universitaet +Kasan_, 1835, 1836, 1837, 1838; _Geometrische Untersuchungen ueber die +Theorie der Parallellinien_ (Berlin, 1810); _Journ. fuer Math._ 17. + +[675] Die Schrift von Johann Bolyai erschien als Anhang des Werkes von W. +Bolyai: _Tentamen juventutem studiosam in elementa matheseos purae ..... +introducendi_, 2. Bd. (Maros-Vasarhely 1833), wurde dann ins Franzoesische +uebersetzt von Houeel _(Memoires de Bordeaux)_, ins Italienische von +Battaglini (_Giorn. di Matem._ 5). + +[676] Es ist das Verdienst Houeels (?--1886) und Battaglinis, die Werke von +Lobatschewsky und Bolyai durch Uebersetzungen und vorzuegliche Kommentare +(s. Note 7 und 11 und _Giorn. di Matem._ 5 und 8) verbreitet zu haben. -- +Heute ist es leicht, die Nicht-Euklidische Geometrie zu lernen, da Flye +S^{te} Marie (_Etudes analytiques sur la theorie des paralleles_, Paris, +1871), Frischauf (_Elemente der absoluten Geometrie_, Leipzig, 1876) und de +Tilly (_Essai sur les principes fundamentaux de la geometrie et de la +mecanique_, Bordeaux, 1879) methodische Bearbeitungen derselben geschrieben +haben. In England wurden die neuen Ideen ueber die Prinzipien der Geometrie +bearbeitet und herrlich dargestellt von Clifford; man sehe die Schrift +_Lectures and Essays_, sowie die von Smith den _Mathematical Papers by W. +K. Clifford_ (London, 1882) vorausgeschickte Einleitung. + +[677] _Goettinger Abh._ 13 (1867), oder _Gesammelte Werke_ (Leipzig, 1876), +ins Franzoesische uebersetzt von Houeel (_Annali di Matem._ II, 3), ins +Englische von Clifford (_Nature_ 8 oder _Mathematical Papers_ S. 55). + +[678] In der Abhandlung _Ueber die Thatsachen, welche der Geometrie zu +Grunde liegen_ (_Goettinger Nachr._ 1868). + +[679] Hierzu sehe man _Populaere wissenschaftliche Vortraege_ von Helmholtz +(Braunschweig, 1871-1876); _Revue des cours scientifiques_, 9. Juli 1870 +etc. + +[680] _Giorn. di Matem._ 6. Dieser Artikel wurde ins Franzoesische +uebersetzt von Houeel und veroeffentlicht in den _Ann. Ec. norm._ 6, 1869. + +[681] Man vergleiche hierzu die Worte, mit denen d'Alembert die Meinung +zurueckwies, dass die Wahrheiten der Mechanik experimentelle seien (_Traite +de Dynamique_, Paris, 1858, _Discours preliminaire_, S. XII), mit den +folgenden von Clifford (_The Common Sense of the Exact Sciences_, London, +1885, _International Scientific Series_ 51): "In derselben Weise, wie wir, +um irgend einen Zweig der Physik zu schaffen, von der Erfahrung ausgehen +und auf unsere Experimente eine gewisse Anzahl von Axiomen stuetzen, welche +solchergestalt die Grundlage desselben bilden, so sind die Axiome, die wir +als Grundlage der Geometrie nehmen, wenn auch weniger offenbar, in der That +ein Ergebnis der Erfahrung." Man sehe auch das Werk von Houeel, _Du role de +l'experience dans les sciences exactes_ (Prag, 1875), oder die +Uebersetzung, die davon in _Grunerts Arch._ 59 veroeffentlicht wurde. + +[682] Ich bemerke, dass, wer die _Ausdehnungslehre_ des grossen deutschen +Geometers und Philologen Hermann Grassmann liest, mit Erstaunen sehen wird, +dass er schon 1844 zu Schluessen gelangt war, die von den im Texte +angegebenen nicht sehr verschieden sind. Aber wer weiss nicht, dass, um +geschaetzt zu werden, dieses ausgezeichnete Werk noetig hatte, dass andere +auf einem anderen Wege zu den aeusserst originellen Wahrheiten gelangten, +die es enthaelt? -- Hier scheint es mir angebracht zu sein, eine Erklaerung +zu geben, welche zu meiner Rechtfertigung dient. Bei dieser kurzen +Geschichte der Kaempfe, welche die Geometer in diesen letzten Zeiten +ausgefochten haben, traf es sich selten und nur fluechtig, dass ich +Arbeiten von Grassmann zitierte, und ich glaube nicht, dass ich noch +Gelegenheit haben werde, diesen Namen auszusprechen. Das heisst nicht, dass +dieser Geometer nicht der Erwaehnung wuerdig sei, dass seine Entdeckungen +und seine Methoden nicht verdienten, bekannt zu werden; aber es liegt +daran, dass der Formalismus, in den er seine Gedanken gekleidet, sie den +meisten unzugaenglich gemacht und ihnen fast jede Moeglichkeit genommen +hat, irgend einen Einfluss auszuueben. Grassmann war waehrend eines grossen +Teiles seines Lebens ein Einsiedler in der Mathematik; nur waehrend seiner +letzten Jahre befasste er sich damit, etliche seiner Produktionen in +modernem Gewande zu veroeffentlichen, um deren Verwandtschaft mit denen +seiner Zeitgenossen zu zeigen (man sehe _Math. Ann._ 10, 12; _Goettinger +Nachr._ 1872; _Journ. fuer Math._ 84); daher ist es natuerlich, dass ihn zu +nennen demjenigen selten widerfaehrt, welcher sich vornimmt, die +Errungenschaften zu beschreiben, die man den vereinten Anstrengungen der +modernen Geometer verdankt. -- Man vergleiche Peano, _Calcolo geometrico +secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle operazioni della +logica deduttiva_ (Turin, 1888). -- Ueber die wissenschaftlichen Verdienste +Grassmanns sehe man einen Artikel von Cremona in den _Nouv. Ann._ I, 19, +dann den 14. Bd. der _Math. Ann._ und den 11. Bd. des _Bulletino di +Bibliografia e di Storia delle Scienze matematiche_. Ein Vergleich zwischen +den Methoden Grassmanns und anderen moderneren wurde von Schlegel in der +_Zeitschr. f. Math._ 24 gemacht. + +[683] _Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie_ (_Math. Ann._ 4). + +[684] _Nouv. Ann._ 12. + +[685] _Phil. Trans._ 149; vgl. Clifford, _Analytical Metrics_ (_Quart. +Journ._ 1865, 1866 oder _Mathematical Papers_, S. 80). + +[686] Eine spaetere Abhandlung von Klein unter demselben Titel (_Math. +Ann._ 6) ist zur Ergaenzung einiger Punkte der ersteren bestimmt. An +dieselbe knuepfen sich die wichtigen Untersuchungen von Lueroth und Zeuthen +(_Math. Ann._ 7), von Thomae (vgl. die 2. Aufl. der _Geometrie der Lage_ +von Reye), von Darboux (_Math. Ann._ 17), von Schur (das. 18), de Paolis +(_Lincei Mem._ 1880-1881) und von Reye (3. Aufl. der _Geometrie der Lage_) +ueber den Fundamentalsatz der projektiven Geometrie. + +[687] _Etudes de mecanique abstraite_ (_Memoires couronnees par l'Academie +de Belgique_ 21, 1870). + +[688] _Bulletin de l'Academie de Belgique_ II, 36; _Torino Mem._ II, 29; +_Mem. de la societa italiana delle scienze_ III, 2. + +[689] _Wiener Ber._ 1874. Man sehe auch die schoene Abhandlung von +Beltrami: _Sulle equazioni generali dell' elasticita_, in den _Annali di +Matem._ II, 10. + +[690] _Sull' applicabilita delle superficie degli spazii a curvatura +costante_ (_Lincei Atti_ III, 2). + +[691] _Lincei Rend._ 1873 und 1876. + +[692] _Annali di Matem._ II, 6, 7; _Giorn. di Matem._ 13; _Torino Atti_, +1876; _Lincei Mem._ III, 3; _Lombardo Rend._ 1881. + +[693] _Lincei Mem._ 1877-1878. + +[694] _Lombardo Rend._ II, 14, 15. + +[695] _Math. Ann._ 5. + +[696] _Math. Ann._ 7. + +[697] _Goettinger Nachr._ 1873. + +[698] _Amer. Journ._ 2, 4, 5. + +[699] _Die Massfunktionen in der analytischen Geometrie._ Programm (Berlin, +1873). + +[700] _Math. Ann._ 10. + +[701] _Quart. Journ._ 18. + +[702] _On the theory of screws in elliptic space._ (_Proc. math. Soc._ 15 +und 16). + +[703] Die interessantesten von den mir bekannten sind die von Segre, _Sulle +geometrie metriche dei complessi lineari e delle sfere_, veroeffentlicht in +den _Torino Atti_, 1883. + +[704] Das Produkt zweier Strecken ist eine Flaeche, das dreier ein Koerper, +was ist das geometrische Bild des Produktes von vieren? -- Die analytischen +Geometer der Cartesischen Epoche bezeichneten dasselbe durch das Wort +"sursolide" (ueberkoerperlich), welches sich in ihren Schriften findet; man +kann sie daher als diejenigen ansehen, welche zuerst die im Texte erwaehnte +Richtung eingeschlagen haben. + +[705] S. Cayley, _A memoir on abstract Geometry_ (_Phil. Trans._ 1870); +vgl. auch _Cambridge Journ._ 4, 1845. + +[706] _Comptes rendus_, 1847. + +[707] Ueberdies scheint es ausser Zweifel zu stehen, dass Gauss ausgedehnte +und bestimmte Ideen ueber die Geometrie von mehreren Dimensionen gehabt +hat; vgl. Sartorius von Waltershausen, a. O. S. 81 (s. Note 673 des vor. +Abschn.). + +[708] _Theorie des fonctions analytiques_ (Paris, an V, S. 223). + +[709] Ich darf nicht verschweigen, dass schon 1827 Moebius einen Einblick +hatte, wie durch Zulassung der Existenz eines vierdimensionalen Raumes ein +unerklaerlicher Unterschied zwischen der Ebene und dem Raume aufgehoben +wird; dieser Unterschied besteht darin, dass, waehrend man zwei in Bezug +auf eine Gerade symmetrische ebene Figuren immer zur Deckung bringen kann, +es nicht moeglich ist, zwei raeumliche in Bezug auf eine Ebene symmetrische +Figuren zusammenfallen zu lassen. Spaeter bemerkte Zoellner beilaeufig, wie +die Existenz eines vierdimensionalen Raumes gewisse Bewegungen zulassen +wuerde, die wir fuer unmoeglich halten; die folgenden Resultate koennen als +Beispiele zu dieser Beobachtung dienen: Newcomb zeigte (_Amer. Journ._ 1), +dass, wenn es einen Raum von vier Dimensionen giebt, es moeglich ist, die +beiden Seiten einer geschlossenen materiellen Flaeche umzuwechseln, ohne +dieselbe zu zerreissen. Klein bemerkte (_Math. Ann._ 9), dass bei dieser +Voraussetzung die Knoten nicht erhalten bleiben koennten, und Veronese +fuehrte (in der 1881 an der Universitaet zu Padua gehaltenen _Prolusione_) +die Thatsache an, dass man dann aus einem geschlossenen Zimmer einen +Koerper herausnehmen koenne, ohne die Waende desselben zu zerbrechen. Hoppe +gab (_Grunerts Arch._ 64) Formeln an, welche die Beobachtungen Kleins +illustrierten. Diese Formeln erforderten einige Modifikationen, die von +Durege angegeben wurden (_Wiener Ber._ 1880); vgl. auch _Grunerts Arch._ 65 +und die synthetischen Betrachtungen von Schlegel, _Zeitschr. f. Math._ 28. + +[710] _Annali di Matem._ II, 2 und 5. + +[711] _Journ. fuer Math._ 65; _Annali di Matem._ II, 5. + +[712] _Journ. fuer Math._ 83. + +[713] _Amer. Journ._ 2. + +[714] _Die Nicht-Euklidischen Raumformen in analytischer Behandlung_, +Leipzig, 1885. + +[715] _Math. Ann._ 27. + +[716] _Annali di Matem._ II, 4. + +[717] _Proc. math. Soc._ 7 oder _Mathematical Papers_, S. 236. + +[718] _Bull. sciences math._ 11, 1876. + +[719] _Comptes rendus_, 79. + +[720] _Journ. fuer Math._ 70 flgg., _Quart. Journ._ 12. + +[721] _Proc. math. Soc._ 9. + +[722] _Berliner Dissertation_, 1880. + +[723] _Phil. Trans._ 175. + +[724] _Journ. fuer Math._ 98. + +[725] Nach Lipschitz hatte Lejeune-Dirichlet (1805-1859) das allgemeine +Gravitationsgesetz im elliptischen Raume studiert. Diese Studien wurden +dann von Schering bearbeitet und in den _Goettinger Nachr._ 1870 und 1873 +veroeffentlicht. + +[726] _Comptes rendus_ 79. + +[727] _Math. Ann._ 19. + +[728] Hoppe machte analoge Untersuchungen fuer die Kurven des +vierdimensionalen Raumes (_Grunerts Arch._ 64). + +[729] _Amer. Journ._ 4. + +[730] _Berliner Ber._ 1869. + +[731] _Math. Ann._ 7; _Zeitschr. f. Math._ 20, 21, 24. + +[732] _Journ. fuer Math._ 70 und 72. + +[733] _Journ. fuer Math._ 70. + +[734] _Math. Ann._ 24. + +[735] _Bull. sciences math._ I, 4. + +[736] _Math. Ann._ 26. + +[737] _Collectanea mathematica; Annali di matem._ II, 10. + +[738] _Goettinger Nachr._, 1871. + +[739] _Math. Ann._ 5. + +[740] _Journ. fuer Math._ 81; _Comptes rendus_ 82. + +[741] _Amer. Journ._ 4. + +[742] _Journ. fuer Math._ 74 oder _Quart. Journ._ 12. Ich fuege noch hinzu, +dass Salmon und Cayley sich der Raeume von mehreren Dimensionen in ihren +Untersuchungen ueber die Theorie der Charakteristiken (s. IV) bedient +haben, dass Mehler, _Journ. fuer Math._ 84, eine Anwendung von der +Betrachtung eines vierdimensionalen Raumes fuer Untersuchungen ueber +dreifache Systeme orthogonaler Oberflaechen, und dass Lewis davon eine +aehnliche Anwendung machte bei der Betrachtung einiger Traegheitsmomente +(_Quart. Journ._ 16). Dann fand Wolstenholme, dass die Zahl der Normalen, +die man von einem Punkte eines d-dimensionalen Raumes an eine Oberflaeche +von der n^{ten} Ordnung ziehen kann, + + n + --- { (n-1)^d - 1 } + n-2 + +betraegt (_Educational Times_ 10). + +[743] _Von den Elementen und Grundgebilden der synthetischen Geometrie_ +(Bamberg, 1887). + +[744] _Grunerts Arch._ 64. + +[745] _Bull. Soc. math._ 10. + +[746] _Grunerts Arch._ 70. + +[747] _Amer. Journ._ 3. + +[748] _Grunerts Arch._ 66, 67, 68, 69. + +[749] _Nova Acta der Leopold.-Carol. Akademie_ 44. + +[750] _Die polydimensionalen Groessen und die vollkommenen Primzahlen._ + +[751] _Von Koerpern hoeherer Dimensionen_ (Kaiserslautern, 1882). + +[752] _Wiener Ber._ 90. + +[753] _Wiener Ber._ 89 und 90. + +[754] Diese bilden eine der merkwuerdigsten von den durch L. Brill in +Darmstadt veroeffentlichten Serien von Modellen. + +[755] _Journ. fuer Math._ 31, S. 213. Liest man die wenigen Seiten, welche +die Abhandlung von Cayley bilden, so gewinnt man die Ueberzeugung, dass er +schon 1846 einen klaren Einblick von der Nuetzlichkeit hatte, welche der +gewoehnlichen Geometrie der Lage die Betrachtung des Raumes von mehreren +Dimensionen bringen koenne. + +[756] _Histoire de l'astronomie moderne_ 2, S. 60. + +[757] _Phil. Trans._ 1878 oder _Mathematical Papers_ S. 305. + +[758] _Math. Ann._ 19. + +[759] Unter den in der Abhandlung von Veronese bearbeiteten Untersuchungen +sind die ueber die Konfigurationen besonderer Erwaehnung wert, ferner die +Formeln, welche -- als eine Erweiterung derer von Pluecker und Cayley -- +die gewoehnlichen Singularitaeten einer Kurve eines n-dimensionalen Raumes +unter einander verknuepfen, die Erzeugung von in einem solchen Raume +enthaltenen Oberflaechen durch projektive Systeme und die Anwendung +derselben auf das Studium einiger Oberflaechen unseres Raumes; dann kann +ich nicht stillschweigend uebergehen die Studien ueber die in einem +quadratischen Gebilde von n Dimensionen enthaltenen linearen Raeume, die +Veronese gemacht hat, um einige Saetze von Cayley zu erweitern (_Quart. +Journ._ 12), indem er die von Klein (_Math. Ann._ 5) verallgemeinerte +stereographische Projektion anwandte, ferner nicht etliche wichtige +Resultate ueber die Kurven, von denen uebrigens einige schon Clifford +(_Phil. Trans._, 1878) auf einem anderen Wege erhalten hatte. + +[760] _Annali di Matem._ II, 11; _Lincei Mem._ 1883-1884; _Atti dell' +Istituto Veneto_ V, 8. Letztere Abhandlung ist der darstellenden Geometrie +des Raumes von 4 Dimensionen gewidmet und kann daher als die Ausfuehrung +eines Gedankens angesehen werden, den Sylvester im Jahre 1869 in seiner +Rede vor der British Association angedeutet hat. + +[761] _Torino Mem._ II, 36. + +[762] _Lincei Mem._ 1883-1884; _Torino Mem._ II, 37; _Lincei Rend._ 1886. + +[763] _Torino Atti_ 19. + +[764] _Torino Atti_ 19, 20, 21; _Math. Ann._ 27. + +[765] _Math. Ann._ 24. + +[766] _Torino Atti_ 20. + +[767] _Lombardo Rend._ 1886; _Lincei Rend._ 1886. Man sehe auch desselben +Verfassers wichtige Note: _Sui sistemi lineari, Lombardo Rend._ 82. + +[768] _Lombardo Rend._ 1885, 1886. + +[769] _Napoli Rend._ 1885, 1886. Vgl. auch Rodenberg, _Math. Ann._ 26. + +[770] + + Ich kann sie alle hier nicht wiederholen, + Weil mich des Stoffes Fuelle so bedraengt, + Dass hinter dem Gescheh'nen oft das Wort bleibt. + -- (Dantes _Divina Commedia_, der _Hoelle_ 4. Ges. V. 145-147.) + +[771] _Math. Ann._ 2, 8. Man sehe auch die Abhandlung von S. Kantor, _Sur +les transformations lineaires successives dans le meme espace a_ n +_dimensions_ (_Bull. Soc. math._ 8). + +[772] _Bull. Soc. math._ 2. Unter den in dieser Arbeit erhaltenen +Resultaten heben wir folgendes hervor: "Wenn man in einem Raume von r - 1 +Dimensionen zwei algebraische Mannigfaltigkeiten vom Grade [mu] und [nu] +ins Auge fasst, bezueglich von m und n Dimensionen, so ist der Schnitt +derselben eine Mannigfaltigkeit von n + m - (r-1) Dimensionen und vom Grade +[mu][nu], wofern m + n >= r - 1, und die beiden Mannigfaltigkeiten nicht +eine solche von m + n - r + 2 oder mehr Dimensionen gemeinsam haben", um +den vollstaendigen Beweis desselben anzufuehren, den Noether in den _Math. +Ann._ 11 geliefert hat. + +[773] _Lincei Mem._ 1876-1877; vgl. auch Jordan (_Bull. Soc. math._ 3). -- +Hier will ich eine Notiz machen, die im Texte nicht Platz finden konnte: +Von vielen wurde behauptet, dass in einem Raume von konstanter positiver +Kruemmung zwei geodaetische Linien, wenn sie sich treffen, im allgemeinen +zwei Punkte gemeinsam haben; das ist nun nicht wahr, und dieses wurde +zuerst von Klein beobachtet (_Jahrbuch ueber die Fortschritte der +Mathematik_ 9, S. 313), dann von Newcomb (_Journ. fuer Math._ 83) und von +Frankland (_Proc. math. Soc._ 8). Ueber dasselbe Thema sehe man eine +Abhandlung von Killing (_Journ. fuer Math._ 86 und 89). + +[774] _Math. Ann._ 26; _Acta math._ 8. -- Der Abhandlung von Veronese gehen +noch die Untersuchungen von Spottiswoode (1825-1883) voran, ueber die +Darstellung der Figuren der Geometrie von n Dimensionen vermittelst +correlativer Figuren der gewoehnlichen Geometrie (_Comptes rendus_ 81). + +[775] _Memoire de Geometrie sur deux principes generaux de la science._ + +[776] _Beitraege zur Geometrie der Lage,_ s. 29. + +[777] _Vierteljahrsschrift der naturforschenden Gesellschaft zu Zuerich_ +15, oder _Die darstellende Geometrie._ + +[778] Vgl. die interessante Abhandlung von Fiedler, _Geometrie und +Geomechanik_, erschienen in der genannten _Vierteljahrsschrift_, und in +franzoesischer Uebersetzung in _Liouvilles Journ._ III, 4 veroeffentlicht. + +[779] Den Nutzen, welcher der Geometrie durch die Annahme einiger Begriffe, +die man jetzt noch als der Mechanik angehoerig betrachtet, erwachsen +wuerde, bezeugen der _Expose geometrique du calcul differentiel et +integral_ (Paris, 1861), von Lamarle (1806-1875) verfasst, die von Mannheim +der kinematischen Geometrie gewidmeten Partien in seinem _Cours de +geometrie descriptive_ (Paris, 1880) und das schoene juengst +veroeffentlichte Buch meines Freundes Peano mit dem Titel: _Applicazioni +geometriche del calcolo infinitesimale_ (Turin, 1887). + +[780] Man sehe die Anhaenge der _Proc. math. Soc._ seit Bd. 14. + +[781] _Nouv. Ann._ II, 1, 2; _Liouvilles Journ._ II, 7; _Berliner Abh._ +1865, 1866; _Berliner Ber._ 1872 oder _Borchardts Gesammelte Werke_, S. +179, 201, 233. + +[782] Insbesondere _Journ. fuer Math._ 24 oder _Werke_, Bd. II, S. 177, +241. + +[783] S. _Acta Societatis scientiarum Fennicae_, 1866; _Bull. de l'Academie +de St. Petersbourg_ 14; _Math. Ann._ 2; _Nouv. Ann._ II, 10; _Zeitschr. f. +Math._ 11; _Goettinger Nachr._ 1882 oder _Bull. sciences math._ II, 7; +_Journ. fuer Math._ 96, 97; _Goettinger Nachr._ 1884; _Grunerts Arch._ II, +2; _Giorn. di Matem._ 26. + +[784] _Memoires de l'Academie de Berlin,_ 1761; vgl. Legendres _Elements de +Geometrie_, Note IV der aelteren Auflagen. + +[785] _Berliner Ber._ 1882; _Math. Ann._ 20; vereinfacht durch Weierstrass, +_Berliner Ber._ 1885; man vgl. auch Rouche, _Nouv. Ann._ III, 2. + +[786] Die einzigen rein synthetischen Untersuchungen ueber die Kurven und +Oberflaechen von hoeherer als zweiter Ordnung, die ich kenne, sind die von +Reye (_Geometrie der Lage_) ueber die ebenen kubischen Kurven, einige von +Thieme (_Zeitschr. f. Math_ 24; _Math. Ann._ 20, 28), von Milinowski +(_Zeitschr. f. Math._ 21, 23; _Journ. fuer Math._ 89, 97) und von Schur +(_Zeitschr. f. Math._ 24). Ihnen koennte man die beiden folgenden Arbeiten +hinzufuegen, die im Jahre 1868 von der Berliner Akademie gekroent sind: +H. J. S. Smith, _Memoire sur quelques problemes cubiques et biquadratiques_ +(_Annali di Matem._ II, 3); Kortum, _Ueber geometrische Aufgaben dritten +und vierten Grades_ (Bonn, 1869). Die Geometer erwarten ungeduldig die +Veroeffentlichung einer Schrift von E. Koetter, die 1886 von der Berliner +Akademie den Steinerschen Preis erhielt und dazu berufen erscheint, in das +Gebiet der reinen Geometrie die allgemeine Theorie der ebenen algebraischen +Kurven zu versetzen. (Sie ist waehrend der Anfertigung der Uebersetzung +vorliegender Schrift in den _Berliner Abh._ 1887 unter dem Titel: +_Grundzuege einer rein geometrischen Theorie der algebraischen ebenen +Kurven_ erschienen.) + +[787] Die Angemessenheit des gleichzeitigen Gebrauches der Geometrie und +Analysis, auch in den Fragen der angewandten Mathematik, wurde +ausdruecklich von Lame mit folgenden Worten erklaert: _"Quand on medite sur +l'histoire des mathematiques appliquees, on est effectivement conduit a +attribuer leurs principales decouvertes, leurs progres les plus decisifs a +l'association de l'analyse et de la geometrie. Et les travaux, que produit +l'emploi de chacun de ces instruments, apparaissent alors comme des +preparations, des perfectionnements, en attendant l'epoque qui sera +fecondee par leur reunion."_ (_Lecons sur les coordonnees curvilignes_, +1859, S. XIII und XIV.) + +[788] Poinsot, _Comptes rendus_ 6 (1838) S. 809. + + * * * * * + + +Corrections made to printed original. + +page 17, "l'origine et le developpement": 'el developpement' in original. + +Footnote 265, "geometrische.": 'geometrisehe' in original. + + + + + + +End of the Project Gutenberg EBook of Die hauptsächlichsten Theorien der +Geometrie, by Gino Loria + +*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK DIE HAUPTSÄCHLICHSTEN *** + +***** This file should be named 33726.txt or 33726.zip ***** +This and all associated files of various formats will be found in: + http://www.gutenberg.org/3/3/7/2/33726/ + +Produced by Joshua Hutchinson, Keith Edkins and the Online +Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This +file was produced from images from the Cornell University +Library: Historical Mathematics Monographs collection.) + + +Updated editions will replace the previous one--the old editions +will be renamed. + +Creating the works from public domain print editions means that no +one owns a United States copyright in these works, so the Foundation +(and you!) can copy and distribute it in the United States without +permission and without paying copyright royalties. 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