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diff --git a/33726-h/33726-h.htm b/33726-h/33726-h.htm new file mode 100644 index 0000000..8dac6fb --- /dev/null +++ b/33726-h/33726-h.htm @@ -0,0 +1,12068 @@ +<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Strict//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd"> +<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" xml:lang="en" lang="en"> +<head> + <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=iso-8859-1" /> + <title> + Die hauptsächlichsten Theorien der Geometrie. + </title> + + <style type="text/css"> + + p { margin-top: .75em; + margin-bottom: .75em; + } + H1,H2,H3,H4,H5,H6 { + text-align: center; /* all headings centered */ + } + hr {margin-left: auto; margin-right: auto; width: 50%;} + hr.full {width: 100%;} + hr.short {margin-left: auto; margin-right: auto; width: 20%;} + hr.tb {text-align: left; border-top: 1px dotted #000; color: #fff; background-color: #fff; width: 40%;} + body { margin-left: 10%; + margin-right: 10%; + text-align: justify; font-family: serif; + } + + table.allbnomar { border : 1px solid black; 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You may copy it, give it away or +re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included +with this eBook or online at www.gutenberg.org + + +Title: Die hauptsächlichsten Theorien der Geometrie + +Author: Gino Loria + +Translator: Fritz Schütte + +Release Date: September 14, 2010 [EBook #33726] + +Language: German + +Character set encoding: ISO-8859-1 + +*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK DIE HAUPTSÄCHLICHSTEN *** + + + + +Produced by Joshua Hutchinson, Keith Edkins and the Online +Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This +file was produced from images from the Cornell University +Library: Historical Mathematics Monographs collection.) + + + + + + +</pre> + + +<table border="0" cellpadding="10" style="background-color: #ccccff;"> +<tr> +<td style="width:25%; vertical-align:top"> +Transcriber's note: +</td> +<td> +A few typographical errors have been corrected. They +appear in the text <span class="correction" title="explanation will pop up">like this</span>, and the +explanation will appear when the mouse pointer is moved over the marked +passage. +</td> +</tr> +</table> + +<h3>DIE HAUPTSÄCHLICHSTEN</h3> + +<h1>THEORIEN DER GEOMETRIE</h1> + +<h3>IN IHRER FRÜHEREN</h3> + +<p class="cenhead">UND</p> + +<h2>HEUTIGEN ENTWICKELUNG.</h2> + +<h3>HISTORISCHE MONOGRAPHIE</h3> + +<p class="cenhead">VON</p> + +<h3><span class="sc">Dr.</span> GINO LORIA,</h3> + +<p class="cenhead">PROFESSOR DER HÖHEREN GEOMETRIE AN DER UNIVERSITÄT ZU GENUA.</p> + +<h3>———</h3> + +<p class="cenhead">UNTER BENUTZUNG ZAHLREICHER ZUSÄTZE UND VERBESSERUNGEN SEITENS DES VERFASSERS</p> + +<h3>INS DEUTSCHE ÜBERTRAGEN</h3> + +<p class="cenhead">VON</p> + +<h2>FRITZ SCHÜTTE.</h2> + +<p class="cenhead">MIT EINEM VORWORTE VON PROFESSOR R. STURM.</p> + +<h2>LEIPZIG,</h2> + +<h2>VERLAG VON B. G. TEUBNER.</h2> + +<h2>1888.</h2> + + <p><br style="clear:both" /></p> +<hr class="full" /> + +<p class="cenhead">Druck von B. G. Teubner in Dresden.</p> + + <p><br style="clear:both" /></p> +<hr class="full" /> + +<h2>Seiner teueren Mutter</h2> + +<h3>als schwaches Unterpfand inniger Liebe</h3> + +<p class="cenhead">widmet diese Arbeit</p> + + <p class="author">der Verfasser.</p> + +<p><!-- Page III --><span class="pagenum"><a name="pageIII"></a>{III}</span></p> + + <p> </p> + + <p><br style="clear:both" /></p> +<hr class="short" /> + +<h2></h2> + +<h2>Vorwort.</h2> + +<h3>———</h3> + + <p> </p> + + <p>Diese deutsche Übersetzung der im vergangenen Jahre in den <i>Memorie + della Reale Accademia delle Scienze di Torino</i> (Ser. II, Bd. 38) + erschienenen Monographie des Herrn G<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>o L<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>a: <i>Il passato e il + presente delle principali teorie geometriche</i>, welche mein Schüler + Herr F<span class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>z S<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>ü<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e angefertigt hat, + begleite ich gern mit einem empfehlenden Vorworte, nachdem ich sie mit + der Originalschrift und den handschriftlichen Zusätzen und Verbesserungen + des Herrn Verfassers in Bezug auf ihre Richtigkeit verglichen habe.</p> + + <p>Eine Geschichte der Geometrie unserer Zeit, in der jedes Jahrzehnt uns + mehr vorwärts bringt, als es früher in einem Jahrhundert geschah, welche + uns zu ungeahnten allgemeinen Anschauungen geführt hat, zu besitzen, ist + der Wunsch aller Geometer; aber wir wissen auch alle, wie unvergleichlich + schwerer die Aufgabe, eine solche zu schreiben, heute ist als vor fünfzig + Jahren, wo der <i>Aperçu historique</i> von C<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s erschien.</p> + + <p>Herr L<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>a will seine »Chronik«, + wie er seine Schrift in der Einleitung nennt, nur als eine Vorarbeit + angesehen haben, welche zur Inangriffnahme des großen Werkes der + Abfassung einer Geschichte der modernen Geometrie anspornen und diesem + Werke dienen soll. Der Umfang, den er zunächst seiner Arbeit gegeben hat, + bringt es, wie er selbst mehrfach bemerkt, freilich mit sich, daß die + Darstellung bisweilen auf eine bloße Aufzählung von Namen und Schriften + hinausläuft. Aber auch in diesem engeren Rahmen ist es, meine ich, dem + <!-- Page IV --><span class="pagenum"><a + name="pageIV"></a>{IV}</span>Verfasser gelungen, dem Leser, als welchen + ich mir in erster Linie einen Studierenden vorstelle, der schon etwas + über die Anfänge hinaus ist, eine anschauliche Übersicht der + hauptsächlichsten Untersuchungsrichtungen der Geometrie unserer Zeit + vorzuführen; für alle Geometer aber werden die reichhaltigen + Litteraturnachweise von großem Werte sein. Etwaige Lücken in denselben + wird jeder, der unsere fast unübersehbare und den wenigsten vollständig + zugängliche mathematische Litteratur kennt, dem Verfasser nicht + anrechnen, und jede Mitteilung einer wesentlichen Verbesserung oder + Ergänzung wird er gewiß gern entgegennehmen, um seine Schrift noch + wertvoller zu machen, falls ihr eine neue Auflage beschieden würde.</p> + + <p>Die Veränderungen, welche diese Übersetzung im Vergleich mit dem + italienischen Originale aufweist, bestehen, außer stark vermehrten + Litteraturnachweisen, in einer viel eingehenderen Besprechung der + Differentialgeometrie im Abschnitte III und der Umarbeitung der auf die + Gestalt der Kurven und der Oberflächen und die abzählende Geometrie + bezüglichen Teile der Abschnitte II und III zu einem besonderen + Abschnitte.</p> + + <div class="poem"> + <div class="stanza"> + <p>M<span class="gsp"> </span>ü<span class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r i. W., Ende Mai 1888.</p> + </div> + + <div class="stanza"> + <p><b>R. Sturm.</b></p> + </div> + </div> + +<p><!-- Page V --><span class="pagenum"><a name="pageV"></a>{V}</span></p> + + <p> </p> + + <p><br style="clear:both" /></p> +<hr class="short" /> + +<h2></h2> + +<h2>Inhaltsverzeichnis.</h2> + +<h3>———</h3> + + <p> </p> + +<table class="nobctr" summary="Inhaltsverzeichnis." title="Inhaltsverzeichnis."> +<tr><td class="hspcsingle" style="vertical-align:bottom" colspan="2"> </td><td class="hspcsingle" style="text-align:right; vertical-align:bottom"> Seite</td></tr> + +<tr><td class="hspcsingle" style="vertical-align:bottom" colspan="2"> Einleitung </td><td class="hspcsingle" style="text-align:right; vertical-align:bottom"> <a href="#page1">1</a></td></tr> + +<tr><td class="hspcsingle" style="text-align:right; vertical-align:bottom"> I. </td><td class="hspcsingle" style="vertical-align:bottom"> Die Geometrie vor der Mitte des 19. Jahrhunderts </td><td class="hspcsingle" style="text-align:right; vertical-align:bottom"> <a href="#page3">3</a></td></tr> + +<tr><td class="hspcsingle" style="text-align:right; vertical-align:bottom"> II. </td><td class="hspcsingle" style="vertical-align:bottom"> Theorie der ebenen Kurven </td><td class="hspcsingle" style="text-align:right; vertical-align:bottom"> <a href="#page21">21</a></td></tr> + +<tr><td class="hspcsingle" style="text-align:right; vertical-align:bottom"> III. </td><td class="hspcsingle" style="vertical-align:bottom"> Theorie der Oberflächen </td><td class="hspcsingle" style="text-align:right; vertical-align:bottom"> <a href="#page31">31</a></td></tr> + +<tr><td class="hspcsingle" style="text-align:right; vertical-align:bottom"> IV. </td><td class="hspcsingle" style="vertical-align:bottom"> Untersuchungen über die Gestalt der Kurven und Oberflächen. + Abzählende Geometrie </td><td class="hspcsingle" style="text-align:right; vertical-align:bottom"> <a href="#page60">60</a></td></tr> + +<tr><td class="hspcsingle" style="text-align:right; vertical-align:bottom"> V. </td><td class="hspcsingle" style="vertical-align:bottom"> Theorie der Kurven doppelter Krümmung </td><td class="hspcsingle" style="text-align:right; vertical-align:bottom"> <a href="#page71">71</a></td></tr> + +<tr><td class="hspcsingle" style="text-align:right; vertical-align:bottom"> VI. </td><td class="hspcsingle" style="vertical-align:bottom"> Abbildungen, Korrespondenzen, Transformationen </td><td class="hspcsingle" style="text-align:right; vertical-align:bottom"> <a href="#page80">80</a></td></tr> + +<tr><td class="hspcsingle" style="text-align:right; vertical-align:bottom"> VII. </td><td class="hspcsingle" style="vertical-align:bottom"> Geometrie der Geraden </td><td class="hspcsingle" style="text-align:right; vertical-align:bottom"> <a href="#page98">98</a></td></tr> + +<tr><td class="hspcsingle" style="text-align:right; vertical-align:bottom"> VIII. </td><td class="hspcsingle" style="vertical-align:bottom"> Nicht-Euklidische Geometrie </td><td class="hspcsingle" style="text-align:right; vertical-align:bottom"> <a href="#page106">106</a></td></tr> + +<tr><td class="hspcsingle" style="text-align:right; vertical-align:bottom"> IX. </td><td class="hspcsingle" style="vertical-align:bottom"> Geometrie von <i>n</i> Dimensionen </td><td class="hspcsingle" style="text-align:right; vertical-align:bottom"> <a href="#page115">115</a></td></tr> + +<tr><td class="hspcsingle" style="vertical-align:bottom" colspan="2"> Schluss </td><td class="hspcsingle" style="text-align:right; vertical-align:bottom"> <a href="#page124">124</a></td></tr> + +<tr><td class="hspcsingle" style="vertical-align:bottom" colspan="2"> Abkürzungen für die häufig erwähnten Zeitschriften </td><td class="hspcsingle" style="text-align:right; vertical-align:bottom"> <a href="#page130">130</a></td></tr> + +<tr><td class="hspcsingle" style="vertical-align:bottom" colspan="2"> Verzeichnis der verstorbenen Geometer, deren Lebenszeit angegeben ist </td><td class="hspcsingle" style="text-align:right; vertical-align:bottom"> <a href="#page132">132</a></td></tr> +</table> + +<p><!-- Page 1 --><span class="pagenum"><a name="page1"></a>{1}</span></p> + + <p> </p> + + <p><br style="clear:both" /></p> +<hr class="short" /> + +<h2></h2> + +<h2>Einleitung.</h2> + +<h3>———</h3> + + <p> </p> + +<blockquote class="b1n"> + + <p>»Après six mille années d'observations l'esprit humain n'est pas + épuisé; il cherche et il trouve encore afin qu'il connaisse qu'il peut + trouver à l'infini et que la seule paresse peut donner des bornes à ses + connaissances et à ses inventions.« — B<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>t.</p> + +</blockquote> + + <p>Die Fortschritte der exakten Wissenschaft im allgemeinen und der + Mathematik im besonderen<a name="NtA1" href="#Nt1"><sup>[1]</sup></a> + sind in diesen letzten Zeiten so beträchtlich gewesen, fortwährend folgen + weitere nach, so schnell und unaufhaltsam, daß sich lebhaft das Bedürfnis + fühlen macht, einen Rückblick auf den schon gemachten Weg zu werfen, + welcher den Anfängern ein leichteres Eindringen in die Geheimnisse + derselben und den schon Vorgeschrittenen ein sichereres Urteil gestattet, + welches die Probleme sind, deren Lösung am dringendsten ist.</p> + + <p>Der Wunsch, diesem Bedürfnisse zu entsprechen, soweit es die Geometrie + anlangt, d. h. soweit es den höheren Teil <!-- Page 2 --><span + class="pagenum"><a name="page2"></a>{2}</span>unserer positiven Kenntnis + betrifft — da, wie Pascal sagte, tout ce qui passe la géométrie + nous surpasse — ist es, der mich veranlaßt, vorliegende Abhandlung + zu schreiben.</p> + + <p>Möge dieser unvollkommene Abriß die Veranlassung sein zu einer + Schrift, die der Erhabenheit ihres Zieles würdig ist; möge diese dürftige + Chronik der Vorläufer sein einer »Geschichte der Geometrie in unserem + Jahrhundert«. <!-- Page 3 --><span class="pagenum"><a + name="page3"></a>{3}</span></p> + + <p> </p> + + <p><br style="clear:both" /></p> +<hr class="short" /> + +<h2>I.</h2> + +<h2>Die Geometrie vor der Mitte des 19. Jahrhunderts.</h2> + +<h3>———</h3> + + <p> </p> + + <p>»Alle Entwickelungsstufen der Zivilisation sind so eng miteinander + verknüpft, daß man vergebens versuchen würde, irgend einen Zweig der + Geschichte von einer bestimmten Epoche ab zu studieren, ohne einen Blick + auf die vorhergehenden Zeiten und Ereignisse zu werfen.«<a name="NtA2" + href="#Nt2"><sup>[2]</sup></a> Wenn das im allgemeinen wahr ist, so wird + es doppelt der Fall sein »bei einer Wissenschaft, die so konservativ ist, + wie die Mathematik, welche das Werk der vorhergehenden Periode nicht + zerstört, um an dessen Stelle neue Bauten zu errichten«.<a name="NtA3" + href="#Nt3"><sup>[3]</sup></a> Daher ist es unerläßlich, daß ich, bevor + ich an das eigentliche Thema dieser Abhandlung herantrete, d. h. bevor + ich über die moderne Geometrie spreche, kurz angebe, auf welche Weise die + Geometrie zu dem Standpunkte gelangt ist, von welchem ab ich vorhabe, + ihre Entwickelung eingehender zu verfolgen.</p> + + <p>Den ersten Ursprung der geometrischen Untersuchungen festzustellen, + ist ein fast unausführbares Unternehmen. Die täglichen Erfahrungen jedes + denkenden Menschen führen auf eine so natürliche Weise zur Vorstellung + der einfacheren geometrischen Formen und zur Erforschung ihrer + gegenseitigen Beziehungen, daß man vergebens versuchen würde, den Namen + desjenigen zu nennen, der zuerst Geometrie betrieben hat, und anzugeben, + zu welcher Zeit sie entstanden ist. Daher sind die Kenntnisse, welche man + über die ersten Spuren dieser Disziplin hat, sehr unbestimmt; wer sich + <!-- Page 4 --><span class="pagenum"><a + name="page4"></a>{4}</span>vornimmt, sie festzustellen, den umhüllt, wenn + nicht völlige Finsternis, so doch nur ein wenig Dämmerlicht, welches ihm + nur gestattet, die Umrisse bedeutenderer Bruchstücke, welche sich den + Unbilden der Zeit entzogen haben, zu erkennen. So kann ein solcher + feststellen, daß die ältesten geometrischen Studien von den Ä<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>n gemacht sind, und kann die Erzählung Herodots + wiederholen, nach welcher diesem Volke ein sehr wirksamer Antrieb, sich + mit Geometrie zu befassen, durch die periodischen Überschwemmungen des + Nils gegeben wurde, welche, indem sie die Grenzen zwischen den kleinen + Besitzungen, in die Ägypten unter seine Einwohner verteilt war, + verwischten, sie nötigten, dieselben jedes Jahr wieder herzustellen.<a + name="NtA4" href="#Nt4"><sup>[4]</sup></a> Die Haltbarkeit dieser + Hypothese, um die Thatsache zu erklären, daß in Ägypten die Wissenschaft, + von der wir handeln, eifrig betrieben sei, wird durch die praktische + Natur der Gegenstände bewiesen, welche dort eingehender behandelt wurden: + specielle Konstruktionen, Messungen von Längen, Flächeninhalten, Volumen + u. s. f.<a name="NtA5" href="#Nt5"><sup>[5]</sup></a></p> + + <p>Indem die Kenntnisse der Ägypter nach Griechenland übergingen, + erhielten sie durch T<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s (640-540)<a name="NtA6" + href="#Nt6"><sup>[6]</sup></a> und die Anhänger der ionischen Schule, + welche er gründete, eine wissenschaftlichere Gestalt. Thales ist in der + That der erste, der sich damit beschäftigt hat, die von den Ägyptern + entdeckten Sätze und einige andere streng zu beweisen. Jedoch erhob sich + die Geometrie unter seinen Händen noch nicht zur wahren Wissenschaft; + diese Würde erlangte sie erst <!-- Page 5 --><span class="pagenum"><a + name="page5"></a>{5}</span>durch die Untersuchungen des P<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>s (nach einigen 569-470, 580-500 nach anderen) und + seiner Schüler. Unglücklicher Weise aber bestand eine der Regeln, welche + die Pythagoräer strenge beobachten mußten, darin, daß sie die Lehren, + welche der Meister vortrug, geheim halten mußten; daher kam es, dass der + geometrische Teil derselben allen, die nicht dieser Schule angehörten, + unbekannt blieb. Aber nachdem das Haupt gestorben war, da suchten seine + Anhänger, als sie bei den inneren Kämpfen, welche die Republiken + Grossgriechenlands zerrissen, besiegt worden waren, Zuflucht in Athen und + offenbarten dort, von der Not getrieben, die Geheimnisse, welche sie bis + dahin so strenge verwahrt hatten. Und der wohlthätige Einfluß einer + grösseren Verbreitung dessen, was die Pythagoräer von der Mathematik + wußten, ist durch die wichtigen Forschungen offenbar geworden, welche in + der Folgezeit die griechischen Gelehrten in der Periode, welche zwischen + Pythagoras und P<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>o (429-348) liegt, gemacht haben. Sie können in drei + Kategorien geteilt werden, benannt nach den berühmten Problemen: der + Dreiteilung des Winkels, der Verdoppelung des Würfels, der Quadratur des + Kreises, und führten zur Vervollkommnung des mehr elementaren Teiles der + ebenen Geometrie.</p> + + <p>P<span class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>o verdanken wir den ersten + Anstoß zum methodischen Studium der Stereometrie, und das ist nicht das + Einzige, wofür der göttliche Philosoph auf den Dank der Geometer Anspruch + erheben könnte; denn ihm ist auch die analytische Methode zuzuschreiben, + deren Macht allen bekannt ist, und seiner Schule (Akademie) die Lehre von + den Kegelschnitten und, was nicht weniger wichtig ist, die von den + geometrischen Örtern.</p> + + <p>Aus diesen gedrängten Angaben<a name="NtA7" + href="#Nt7"><sup>[7]</sup></a> wird man leicht entnehmen können, daß die + Bemühungen der angeführten Geometer zu einer Fülle von Eigenschaften der + Figuren und zu Methoden, sie zu erklären, geführt und die Elemente für + eine methodische Behandlung der Geometrie vorbereitet hatten. <!-- Page 6 + --><span class="pagenum"><a name="page6"></a>{6}</span>Daher dauerte es + nicht lange, daß vollständige Zusammenstellungen dessen, was entdeckt + war, erschienen. Von vielen kennen wir nur die Existenz; nur eine einzige + ist uns vollständig erhalten worden, <i>die Elemente</i> des E<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>k<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>s, und das glänzende Licht, welches von ihnen + ausgeht, führt uns zu der Vermutung, daß alle die anderen + Zusammenstellungen durch die Vergleichung mit ihnen verdunkelt sind.</p> + + <p>Mit diesem Buche, welches nach zweitausend Jahren noch als einzig + angesehen wird, »von dem man für die Entwickelung der Jugend diejenigen + Resultate erhoffen kann, mit Rücksicht auf die bei allen zivilisierten + Nationen der Unterricht in der Geometrie eine solch bedeutende Stellung + in der Erziehung der Jugend inne hat«,<a name="NtA8" + href="#Nt8"><sup>[8]</sup></a> nimmt die wahre Wissenschaft der Geometrie + ihren Anfang. Es ist das granitene Piedestal, auf welchem der großartige + Bau der griechischen Mathematik sich erhebt, auf dessen Gipfel sich die + anderen Werke Euklids und die unsterblichen Arbeiten von A<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>s (287-212), E<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s (276-194) und A<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>s (ca. 200 v. Ch.) befinden.<a name="NtA9" + href="#Nt9"><sup>[9]</sup></a></p> + + <p>Diese berühmten Gelehrten bezeichnen den Höhepunkt der griechischen + Wissenschaft; nach ihnen beginnt die Periode des Verfalles, ja sogar, + trotz einiger wichtiger Untersuchungen eines H<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h (161-126) und eines P<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>s (125 bis ungefähr 200), trotz der Arbeit eines + genialen Kommentators, wie P<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>s war (derselbe lebte + gegen Ende des <!-- Page 7 --><span class="pagenum"><a + name="page7"></a>{7}</span>dritten Jahrhunderts unserer Zeitrechnung), + kommen wir nach und nach zu einer Periode völliger Unthätigkeit auf dem + Gebiete der Geometrie.</p> + + <p>Die Römer, die Eroberer und Gesetzgeber der Welt, scheinen jedes + Untersuchungsgeistes zu entbehren, und wenn die Geometrie in der Epoche, + in welcher sie herrschten, nicht ganz verfiel, so geschah das dank ihren + Agrimensoren, welche jedoch bei ihren Operationen nur eine Genauigkeit zu + erreichen suchten, die für die Bedürfnisse des täglichen Lebens + ausreicht.<a name="NtA10" href="#Nt10"><sup>[10]</sup></a></p> + +<p><!-- Page 8 --><span class="pagenum"><a name="page8"></a>{8}</span></p> + + <p>Auch das Mittelalter kann keine Veranlassung geben zu einer längeren + Erörterung. Die dichte Finsternis, welche in dieser Zeit die ganze + Menschheit bedeckte, gestattete nicht das Auftreten eines Gelehrten, dem + man irgend einen bemerkenswerten Fortschritt in der Geometrie verdankt. + Man kann nur erwähnen, daß die vielfachen in dieser Zeit errichteten + heiligen Bauwerke, die nach dem Ausspruche eines großen Dichters so + zahlreich und kühn waren, weil sie die einzigen der menschlichen + Intelligenz damals erlaubten Äußerungen darstellen, Kunde davon geben, + daß derjenige Teil unserer Wissenschaft, der jedem Baumeister + unentbehrlich ist, auch in dieser Zeit im allgemeinen bekannt war.</p> + + <p>Diese für unsere Wissenschaft so traurige Zeit kann man als beendet + ansehen mit Leonardo F<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>i (etwa 1180-1250); erst als von diesem + ausgezeichneten Gelehrten die Algebra nach Europa übergeführt worden war, + und seine hervorragenden Arbeiten ihren Einfluß ausübten, da hatte diese + Periode der wissenschaftlichen Unthätigkeit ein Ende, und es beginnt eine + neue Zeit, deren wir Italiener uns mit Stolz erinnern müssen, da in ihr + unser Vaterland das Scepter der Mathematik inne hatte. Jedoch gravitierte + diese Periode, wenn sie auch von großer Bedeutung für die analytischen + Untersuchungen ist, nicht in merklicher Weise nach den geometrischen. + C<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>o (1501-1576), S<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>o F<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>o (?-1525), T<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>a (1500-1559), L<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>v<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>o F<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i (1522-1565) und andere + weniger bedeutende, die dieser Periode angehören, haben den Ruhm, in + unserem Lande die Entwickelung eines der wichtigeren Teile der Analysis, + nämlich der Theorie der Gleichungen, bewirkt zu haben, sowie auch die + Vervollkommnung einiger der schwierigsten Teile derselben gefördert zu + haben, dank den öffentlichen wissenschaftlichen Herausforderungen, welche + eine charakteristische Eigentümlichkeit dieser Zeit waren. Hingegen + überlieferten <!-- Page 9 --><span class="pagenum"><a + name="page9"></a>{9}</span>sie die Geometrie ihren Nachkommen fast in + demselben Zustande, in welchem sie dieselbe von den Griechen und den + Arabern erhalten hatten.<a name="NtA11" + href="#Nt11"><sup>[11]</sup></a></p> + + <p>Nach dem Tode dieser tapferen Kämpen ging der Primat in der Mathematik + über die Alpen und wurde von Frankreich infolge der Verdienste eines + V<span class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>a (1540-1603) und eines + F<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>t (1590-1663) übernommen. Durch sie bereicherte sich + die Geometrie mit Lösungen, die man vorher vergebens gesucht hatte. Auch + wurden einige Werke des Apollonius, deren Verlust man beklagt hatte, + wieder hergestellt.</p> + + <p>Nicht viel später vermehrten P<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l (1623-1662) und D<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s (1593-1662) das Erbteil + der Geometrie mit originellen Gesichtspunkten, mit neuen Methoden und + neuen Sätzen<a name="NtA12" href="#Nt12"><sup>[12]</sup></a>. Aber die + von ihnen ausgesprochenen Ideen blieben <!-- Page 10 --><span + class="pagenum"><a name="page10"></a>{10}</span>viele Jahre hindurch + unfruchtbar, weil sie von dem analytischen Geiste, dessen überwiegender + Einfluß sich schon geltend gemacht hatte, unterdrückt wurden.</p> + + <p>Gleichwohl war im 17. Jahrhundert das Vorwiegen der Analysis noch + nicht ein solches, daß es die Geometer die Probleme, deren Lösung man + seit langer Zeit und so lebhaft gewünscht hatte, vergessen ließ. Zwischen + den Bestrebungen dieser Zeit und den Wünschen der Gelehrten erhob sich in + der Folge ein Wettkampf eigener Art, und aus dem Zusammenstoße + verschiedenartiger Ansichten und Bestrebungen entsprang ein Funke, der + fähig war, eine Flamme zu erregen, welche die kommenden Generationen + erleuchten sollte;<a name="NtA13" href="#Nt13"><sup>[13]</sup></a> es + entstand die analytische Geometrie (1637).</p> + + <p>Wenn man auch schon in einigen Methoden der griechischen Geometer, in + einigen praktischen Regeln der Maler, der ägyptischen Astronomen und der + römischen Agrimensoren Spuren von dem finden kann, was wir heute + rechtwinkliges Cartesisches Koordinatensystem nennen; wenn auch schon die + Araber und die italienischen Algebraiker aus der Renaissancezeit + geometrische Betrachtungen auf die Lösung der Gleichungen angewandt + hatten,<a name="NtA14" href="#Nt14"><sup>[14]</sup></a> wenn auch schon + V<span class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>a die Abscissen gebraucht + hatte, um vermittelst Zahlen die Punkte einer Geraden zu bestimmen, wenn + schließlich Nicolaus O<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>e (ca. 1320-1382) und + F<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>t mehr oder weniger bewußt sich der Koordinaten + bedient haben; so scheint doch ganz unbestreitbar D<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s (1596-1650) der erste zu + sein, welcher in ihrer ganzen Ausdehnung die volle Einsicht von der + Möglichkeit, mit den algebraischen Rechnungszeichen die nach irgend einem + Gesetze aufgebauten Formen des Raumes darzustellen, gehabt und der den + ganzen Vorteil, den die Analysis und die Geometrie aus ihrer <!-- Page 11 + --><span class="pagenum"><a name="page11"></a>{11}</span>unerwarteten + Vereinigung ziehen können, erkannt hat. Mit Recht wird daher Cartesius' + Namen immer mit der Entdeckung der analytischen Geometrie verbunden + bleiben.<a name="NtA15" href="#Nt15"><sup>[15]</sup></a></p> + + <p>Die Leichtigkeit, mit welcher dieses neue Werkzeug Fragen zu lösen + gestattete, welche die Alten für unangreifbar hielten, ließ die + Zeitgenossen und unmittelbaren Nachfolger Descartes' die von Euklides, + Archimedes und Apollonius eröffneten Wege ganz vergessen, so dass wir + eine Zeitlang niemanden finden, der, um zu irgend einer wichtigen + Wahrheit zu gelangen, sie eingeschlagen hätte.</p> + + <p>Die kurz nach Descartes gleichzeitig von L<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>z (1646-1716) und N<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>w<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n (1642-1727) neu erfundenen Rechnungsarten betonten + gerade diese Richtung, da sie bewirkten, daß man sich um diejenigen + Probleme nicht bekümmerte, deren Lösung nicht geeignet war, die Allmacht + der Methoden, welche die Welt diesen unsterblichen Geistern verdankt, + hervortreten zu lassen, derartig, daß man sagen kann, daß mit Ausnahme + der <i>Philosophiae naturalis principia mathematica</i> (1686) von N<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>w<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n und einiger Seiten von H<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>s (1629-1695),<a + name="NtA16" href="#Nt16"><sup>[16]</sup></a> von L<span + class="gsp"> </span>a H<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e (1640-1718),<a + name="NtA17" href="#Nt17"><sup>[17]</sup></a> von H<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y (1656-1742),<a name="NtA18" + href="#Nt18"><sup>[18]</sup></a> M<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n (1698-1746),<a name="NtA19" + href="#Nt19"><sup>[19]</sup></a> S<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n (1687-1768),<a name="NtA20" + href="#Nt20"><sup>[20]</sup></a> von S<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>w<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>t <!-- Page 12 --><span class="pagenum"><a + name="page12"></a>{12}</span>(1717-1785)<a name="NtA21" + href="#Nt21"><sup>[21]</sup></a> keine mathematische Produktion jener + Zeit dem angehört, was wir heute synthetische Geometrie zu nennen + pflegen.<a name="NtA22" href="#Nt22"><sup>[22]</sup></a></p> + + <p>Das hindert aber nicht, daß man diese Periode ohne Bedenken zu den + erfreulichsten für die Geometrie rechnen muß. In der That ist der größere + Teil der Probleme, welche von den Erfindern der Infinitesimalrechnung und + ihren unmittelbaren Schülern aufgestellt oder gelöst worden, unter die + wichtigsten der ganzen Geometrie zu rechnen, da sie die interessantesten + und verstecktesten geometrischen und mechanischen Eigenschaften der + Kurven und Oberflächen berühren. Wir sehen daher, daß nicht allein die + Zahl der Kurven, welche einer näheren Betrachtung wert sind, sich + ausserordentlich vermehrt,<a name="NtA23" + href="#Nt23"><sup>[23]</sup></a> sondern auch — was viel wichtiger + ist —, daß die Betrachtung von Singularitäten einer Kurve und + anderer neuer mit dieser verbundener Elemente eingefübrt wird, und daß + infolge dessen Untersuchungsgebiete sich eröffnen, deren Existenz man + vorher gar nicht geahnt hatte.</p> + + <p>Die Leichtigkeit, welche die Cartesische Methode in der Auflösung + einer so großen Anzahl von planimetrischen Aufgaben mit sich brachte, + trieb natürlich die Geometer an, <!-- Page 13 --><span class="pagenum"><a + name="page13"></a>{13}</span>eine ähnliche für das Studium der Raumkurven + und der Oberflächen zu schaffen. Daher entstand eine Verallgemeinerung + dieser Methode, welche Descartes schon angedeutet hatte, und die S<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n (16..-1661)<a name="NtA24" + href="#Nt24"><sup>[24]</sup></a> in weiterer Ausführung veröffentlichte. + Diese Andeutungen ließen bei P<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>t (1666-1716) den Gedanken + entstehen, eine Oberfläche durch eine Gleichung zwischen den drei + Koordinaten eines ihrer Punkte darzustellen,<a name="NtA25" + href="#Nt25"><sup>[25]</sup></a> und bereiteten deshalb die analytische + Geometrie dreier Koordinaten vor, welche im Jahre 1731 einen wesentlichen + Teil der Mathematik zu bilden begann infolge einer klassischen Abhandlung + von C<span class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>t (1715-1765),<a name="NtA26" + href="#Nt26"><sup>[26]</sup></a> in welcher er im Alter von nur 16 Jahren + mit einer seltenen Eleganz viele von den auf die Kurven doppelter + Krümmung bezüglichen Problemen löste, welche ihre entsprechenden in der + Ebene finden. Bald nach Clairaut schuf E<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r (1707-1783) die analytische Theorie der Krümmung + der Oberflächen (1760)<a name="NtA27" href="#Nt27"><sup>[27]</sup></a> + und wandte die analytische Methode an, um eine Klassifikation der + Oberflächen zweiten Grades zu erhalten, gegründet auf analoge Kriterien, + wie diejenigen, welche den Alten dazu gedient hatten, die Kurven zweiter + Ordnung in Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln zu unterscheiden. Endlich + gehört der zweiten Hälfte des vergangenen Jahrhunderts das riesige Werk + von M<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>e (1746-1818) an. Dieser + verschaffte der analytischen Geometrie zweier Koordinaten das Aussehen, + welches sie heute besitzt, indem er den methodischen Gebrauch der + Gleichung einer Geraden einführte. Er stellte den wichtigen Begriff von + Flächenfamilien auf und, indem er einige derselben behandelte + (Regelflächen, abwickelbare, Röhrenflächen, »Surfaces moulures«), + entdeckte er einen versteckten innigen Zusammenhang zwischen der Theorie + der Oberflächen und der Integration der partiellen + Differentialgleichungen, <!-- Page 14 --><span class="pagenum"><a + name="page14"></a>{14}</span>was Licht in diese, wie in jene Lehre + brachte und den Geometern neue Gesichtspunkte enthüllte.<a name="NtA28" + href="#Nt28"><sup>[28]</sup></a></p> + + <p>Die geistige Bewegung, welche mit der Renaissancezeit begonnen und + Italien an ihrer Spitze hatte, pflanzte sich, wie wir schon gesehen + haben, zuerst unter Frankreichs Leitung fort, dann unter der von England + und Deutschland. Aber gegen Ende des 18. Jahrhunderts, als Euler + aufgehört hatte »zu rechnen und zu leben«,<a name="NtA29" + href="#Nt29"><sup>[29]</sup></a> stellte sich Frankreich wieder an die + Spitze der mathematischen Welt. Nicht allein mit C<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>t, d<span class="gsp"> </span>'<span + class="gsp"> </span>A<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>t (1716-1783), L<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>e (1736-1813), L<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>e (1749-1827), L<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e (1752-1833), P<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n (1781-1840) und anderen + gab es den Anstoß zum Studium der reinen und angewandten Analysis, + sondern es kehrten auch mit M<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>e, C<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>t (1753-1823) und P<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t (1788-1867) die Gelehrten zum Studium der + geometrischen Formen zurück, in der Weise, wie es die Alten + verstanden.</p> + + <p>Monge schuf, indem er zu einem wissenschaftlichen Ganzen die wenigen + Regeln vereinigte, welche die Baumeister und Maler sich geschaffen + hatten, um die Bedürfnisse der Kunst zu befriedigen, und glücklich die + Lücken ausfüllte, die sich zwischen ihnen noch bemerkbar machten, einen + neuen Zweig der Geometrie, die darstellende Geometrie. Mit seinem + klassischen Buche, welches er dieser Disziplin widmete,<a name="NtA30" + href="#Nt30"><sup>[30]</sup></a> und noch viel mehr mit seinen + unvergleichlichen Vorlesungen, die er an der polytechnischen Schule + hielt, brachte er das Studium der Geometrie, welches sich auf die direkte + Anschauung der Figur stützt, zu Ehren<a name="NtA31" + href="#Nt31"><sup>[31]</sup></a> und, indem <!-- Page 15 --><span + class="pagenum"><a name="page15"></a>{15}</span>er die Vorstellung der + geometrischen Figuren von drei Dimensionen erleichterte, machte er jene + systematische Anwendung von stereometrischen Betrachtungen auf das + Studium der ebenen Figuren möglich, welche Pappus schon erkannt hatte.<a + name="NtA32" href="#Nt32"><sup>[32]</sup></a></p> + + <p>Der <i>Géométrie descriptive</i> von Monge darf man die <i>Géométrie + de position</i> von C<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>t<a name="NtA33" + href="#Nt33"><sup>[33]</sup></a> an die Seite stellen, weil diese, indem + sie mit jener das Ziel gemeinsam hat, der Geometrie diejenige + Allgemeinheit zu verschaffen, welche man ausschließlich der Analysis + zugetraut hatte, nicht weniger als jene dazu beitrug, den Aufschwung der + reinen Geometrie vorzubereiten, welchen man von dem Erscheinen des + <i>Traité des propriétés projectives des figures</i> (1822)<a + name="NtA34" href="#Nt34"><sup>[34]</sup></a> datieren kann.</p> + + <p>Um zu überzeugen, wie bemerkenswert dieses Datum sei, wird es genügen, + zu erwähnen, daß gerade in dem <!-- Page 16 --><span class="pagenum"><a + name="page16"></a>{16}</span>großen Werke von P<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t die Macht der Zentralprojektion als einer Methode + der Demonstration und des Prinzips der Kontinuität als eines + Untersuchungsmittels zum ersten Male gezeigt ist;<a name="NtA35" + href="#Nt35"><sup>[35]</sup></a> daß das tiefere Studium der Homologie + zweier ebener oder räumlicher Systeme in demselben zum Begriffe der + Korrespondenz zwischen zwei Mannigfaltigkeiten zweier oder dreier + Dimensionen führte; daß die Kenntnisse der Alten über die Polarität in + Bezug auf einen Kegelschnitt und die von der Mongeschen Schule gewonnenen + über die Polarität in Bezug auf eine Fläche zweiter Ordnung, die dort zum + ersten Male sich vereinigt finden, das Gesetz der Dualität vorbereiteten, + welches, von S<span class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>s (1581-1626)<a name="NtA36" + href="#Nt36"><sup>[36]</sup></a> und V<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>è<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<a name="NtA37" href="#Nt37"><sup>[37]</sup></a> in + der sphärischen Geometrie erkannt, bestimmt war, in seiner ganzen + Allgemeinheit vier Jahre später von G<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e (1771-1859)<a + name="NtA38" href="#Nt38"><sup>[38]</sup></a> ausgesprochen zu werden; + daß sich schließlich dort jene eleganten Untersuchungen über die + Vielecke, die einem Kegelschnitt ein- und einem anderen umbeschrieben + sind, finden, die J<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>i (1804-1851), R<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>t (1808-1875) und anderen Gelegenheit geben sollten, + davon eine der elegantesten Anwendungen der Theorie der elliptischen + Funktionen zu machen, welche man kennt.<a name="NtA39" + href="#Nt39"><sup>[39]</sup></a></p> + + <p>Die Abhandlungen, welche P<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>t der Theorie der + harmonischen Mittel, der reciproken Polaren und der <!-- Page 17 --><span + class="pagenum"><a name="page17"></a>{17}</span>Transversalen widmete, + sowie andere weniger bedeutende von Gelehrten, welche zur M<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>schen Schule gehörten, führen uns zum Jahre 1837, in + welchem C<span class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s' (1796-1880) <i>Aperçu + historique sur l'origine et <span class="correction" title="Original reads `el'." + >le</span> développement des méthodes en géométrie</i><a name="NtA40" + href="#Nt40"><sup>[40]</sup></a> veröffentlicht wurde. In diesem + unübertrefflichen Werke brachte der Autor, nachdem er in + bewunderungswerter Form alles, was das Erbteil der reinen Geometrie in + seiner Zeit bildete, zusammengestellt hatte, die Rechte zur Geltung, die + sie auf die Beachtung der Gelehrten hatte und welche von den blinden + Anbetern der Analysis ihr versagt worden waren, und zeigte durch wichtige + und originelle Untersuchungen, mit welchem Rechte er sich zum Beschützer + der Sache der Geometrie gemacht hatte.<a name="NtA41" + href="#Nt41"><sup>[41]</sup></a></p> + + <p>Jedoch in dem Zeitraume, welcher zwischen dem Erscheinen des + Ponceletschen Werkes und desjenigen von Chasles liegt, hatte sich + Deutschland aus dem Schlafe gerüttelt, in welchen die einschläfernden + Arbeiten der Schule <!-- Page 18 --><span class="pagenum"><a + name="page18"></a>{18}</span>der Kombinatoriker es versetzt hatten. + Dieses Wiedererwachen bedeutete einen neuen Übergang des Szepters der + Mathematik von Frankreich nach Deutschland.<a name="NtA42" + href="#Nt42"><sup>[42]</sup></a> In der That sehen wir durch die Arbeiten + von Gelehrten wie M<span class="gsp"> </span>ö<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>s (1790-1868),<a + name="NtA43" href="#Nt43"><sup>[43]</sup></a> S<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r (1796-1863),<a + name="NtA44" href="#Nt44"><sup>[44]</sup></a> <!-- Page 19 --><span + class="pagenum"><a name="page19"></a>{19}</span>P<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>ü<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>k<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r (1801-1868)<a + name="NtA45" href="#Nt45"><sup>[45]</sup></a> und v<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n S<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>t (1798-1867)<a name="NtA46" + href="#Nt46"><sup>[46]</sup></a> die analytische Geometrie sich mit + Methoden bereichern, von denen wir nicht wissen, ob wir mehr ihre Eleganz + oder ihre Macht bewundern sollen, so der Barycentrische Calcul und die + abgekürzte Bezeichnung; wir sehen die synthetische Geometrie Hilfsmittel + erwerben für das Studium, der Kurven und Oberflächen, die bis dahin für + dieselbe unerreichbar <!-- Page 20 --><span class="pagenum"><a + name="page20"></a>{20}</span>waren, sowie für die Gründung einer reinen + Geometrie der Lage, die ganz und gar unabhängig ist von dem Begriffe des + Maßes. Dank dem von C<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e (1780-1855) in dieser + Zeit gegründeten Journal (1826), das bald zu verdientem Rufe gelangte, + vorzüglich durch die Abhandlungen A<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>s (1802-1829), J<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>s und S<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>s verbreiteten sich die + eben angeführten Resultate schnell. Und so sehen wir hinter diesen Größen + eine zahlreiche und glänzende Anzahl von Schülern, welche, indem sie + Ähren lasen auf den Feldern, die von ihren Meistern bebaut waren, die + Fruchtbarkeit des Samens zeigten, den jene ausgestreut hatten.</p> + + <p> </p> + + <p>Hiermit will ich den Abriß der geistigen Bewegung, welche die neuesten + geometrischen Untersuchungen vorbereitet hat, geschlossen haben und ich + muß mich nun im einzelnen mit denselben befassen. Um mir nun die + vorgenommene Aufgabe der Darlegung derselben zu erleichtern, werde ich + meine Darstellung in verschiedene Teile teilen. Zuerst will ich mich mit + der Theorie der ebenen Kurven und der Oberflächen beschäftigen, dann, + nach einer kurzen Abschweifung zu den Untersuchungen über die Gestalt der + Kurven und Oberflächen und über die abzählende Geometrie, werde ich mich + mit den Studien über die Raumkurven befassen, um davon zur Darlegung des + Ursprunges und der Entwickelung der Lehre von den geometrischen + Transformationen überzugehen; darauf wende ich mich zur Geometrie der + Geraden, um dann mit der Nicht-euklidischen Geometrie und der Theorie der + Mannigfaltigkeiten von beliebig vielen Dimensionen zu schließen.<a + name="NtA47" href="#Nt47"><sup>[47]</sup></a></p> + +<p><!-- Page 21 --><span class="pagenum"><a name="page21"></a>{21}</span></p> + + <p> </p> + + <p><br style="clear:both" /></p> +<hr class="short" /> + +<h2>II.</h2> + +<h2>Theorie der ebenen Kurven.</h2> + +<h3>———</h3> + + <p> </p> + + <p>Die allgemeine Theorie der ebenen Kurven entstand zugleich mit der + cartesischen Geometrie. Es ist leicht die Gründe für die Thatsache + anzugeben, daß das Erscheinen einer so wichtigen Theorie sich bis zu + diesem Zeitpunkte verzögert hatte. In der That sind ja die Definition der + Ordnung einer Kurve, die daraus folgende Einteilung der Kurven in + algebraische und transcendente, der exakte Begriff einer in ihrer Ordnung + allgemeinen Kurve ihrer Natur nach wesentlich analytische Begriffe. Sie + synthetisch zu bestimmen, ist ein sehr schweres Problem, welches + heutzutage erst den wiederholten Anstrengungen der Geometer zu weichen + sich anschickt; dagegen, wenn man ein Koordinatensystem anwendet, eine + wie leichte Sache ist es dann, diese fundamentalen Begriffe + festzustellen, sie unter einander zu verbinden und aus ihnen interessante + Folgerungen zu ziehen!</p> + + <p>Die Wahrheit dieser Behauptung finden wir durch die Thatsache + bestätigt, daß kurz nach Descartes wichtige Eigenschaften, die allen + algebraischen Kurven gemeinsam sind, entdeckt wurden. Solche sind z. B. + diejenigen, welche N<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>w<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n in den drei berühmten + Theoremen, die in seiner <i>Enumeratio linearum tertii ordinis</i> (1706) + enthalten sind, bekannt gemacht hat; ferner diejenigen, welche Newtons + Schüler C<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s (1682-1716) und M<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n als eine + Verallgemeinerung der von N<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>w<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n entdeckten Eigenschaften + gaben;<a name="NtA48" href="#Nt48"><sup>[48]</sup></a> <!-- Page 22 + --><span class="pagenum"><a name="page22"></a>{22}</span>schließlich die + von W<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>g (1734-1798)<a name="NtA49" + href="#Nt49"><sup>[49]</sup></a> gefundenen. Überdies wurden noch von + M<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<a name="NtA50" + href="#Nt50"><sup>[50]</sup></a> und B<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>k<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>e (etwa 1700, † + nach 1759)<a name="NtA51" href="#Nt51"><sup>[51]</sup></a> einige + interessante organische Erzeugungsweisen von Kurven hinzugefügt, die + ähnlich denjenigen waren, welche N<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>w<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n für die Kegelschnitte + gegeben hat.<a name="NtA52" href="#Nt52"><sup>[52]</sup></a> Endlich + wurden von D<span class="gsp"> </span>e G<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>a (1712-1786)<a name="NtA53" + href="#Nt53"><sup>[53]</sup></a> Methoden für die Bestimmung der + Singularitäten der durch Gleichungen definierten ebenen Kurven + angegeben.</p> + + <p>Es ist überflüssig zu sagen, daß die ersten methodischen Bearbeitungen + der Theorie der ebenen Kurven unter dem Einflüsse der analytischen + Geometrie stehen; wir verdanken solche E<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<a name="NtA54" href="#Nt54"><sup>[54]</sup></a> und + C<span class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r (1704-1752)<a name="NtA55" + href="#Nt55"><sup>[55]</sup></a>. Diese studierten dieselben von Grund + auf (kurz nacheinander, der eine 1748, der andere 1750), indem sie sich + vorzugsweise mit den Singularitäten befaßten, besonders mit den Fragen, + welche man heute mit Hilfe der Geometrie des unendlich Kleinen löst. In + dem Werke von Cramer, das in vielen Beziehungen zu bewundern ist, finden + wir auch schon die ersten Untersuchungen über die Schnitte von Kurven und + unter diesen auch den Hinweis auf das, was man später »das C<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>sche Paradoxon« genannt + hat; das ist jener scheinbare Widerspruch zwischen der Zahl der Punkte, + die zur Bestimmung einer Kurve von gegebener Ordnung nötig <!-- Page 23 + --><span class="pagenum"><a name="page23"></a>{23}</span>sind, und der + Zahl der Schnitte zweier Kurven derselben Ordnung,<a name="NtA56" + href="#Nt56"><sup>[56]</sup></a> ein Widerspruch, welcher viele Jahre + später (1818) von L<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>é (1795-1870) durch das + berühmte Prinzip aufgehoben wurde, welches seinen Namen trägt und das man + als den Grundstein jenes gewaltigen Bauwerkes ansehen muß, welches aus + einer Fülle von Lehrsätzen von G<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e,<a name="NtA57" + href="#Nt57"><sup>[57]</sup></a> P<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>ü<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>k<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r,<a name="NtA58" href="#Nt58"><sup>[58]</sup></a> + J<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>i,<a name="NtA59" href="#Nt59"><sup>[59]</sup></a> + C<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y<a name="NtA60" href="#Nt60"><sup>[60]</sup></a> + errichtet ist, und auf dessen Gipfel die geometrische Interpretation des + berühmten A<span class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>schen Theorems<a + name="NtA61" href="#Nt61"><sup>[61]</sup></a> steht.</p> + + <p>Nach den Arbeiten E<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>s, C<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>s und dem <i>Examen des + différentes méthodes employées pour résoudre les problèmes de + géométrie</i>, in welchem L<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>é mit großem Erfolge das + vorhin angeführte Prinzip auseinandergesetzt und angewandt hatte, müssen + wir uns zu P<span class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>ü<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>k<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r wenden, um zu Arbeiten + zu kommen, welche einen bemerkenswerten Fortschritt in der Theorie, die + uns beschäftigt, bewirken. In dem im Jahre 1835 von diesem + ausgezeichneten Geometer veröffentlichten <i>System der analytischen + Geometrie</i> ist von der Methode der abgekürzten Bezeichnung Gebrauch + gemacht und dieselbe für die Vervollständigung der Klassifikation der + kubischen ebenen Kurven benutzt worden, welche so viele bedeutende + Gelehrte unternommen hatten. In der vier Jahre später gedruckten <!-- + Page 24 --><span class="pagenum"><a + name="page24"></a>{24}</span><i>Theorie der algebraischen Kurven</i><a + name="NtA62" href="#Nt62"><sup>[62]</sup></a> findet sich dann noch außer + einer Aufzählung der ebenen Kurven vierter Ordnung,<a name="NtA63" + href="#Nt63"><sup>[63]</sup></a> welche B<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e (1688-1744)<a + name="NtA64" href="#Nt64"><sup>[64]</sup></a> und E<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<a name="NtA65" + href="#Nt65"><sup>[65]</sup></a> nur versucht hatten, die Aufstellung und + Lösung einer Frage von sehr großer Wichtigkeit, derjenigen nämlich, die + Beziehungen zwischen den Zahlen der gewöhnlichen Singularitäten einer + ebenen Kurve zu finden. Schon P<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>t hatte (1818) den + Zusammenhang zwischen der Ordnung und der Klasse einer allgemeinen Kurve + ihrer Ordnung gefunden und später den Einfluß eines Doppelpunktes + bestimmt; indem er nun auf diese Resultate das Prinzip der Dualität + anwandte, stieß er auf jenen anderen scheinbaren Widerspruch, welchen wir + heute das Ponceletsche Paradoxon nennen, ohne daß es ihm gelang, dafür + eine vollständige Erklärung zu finden. Das geschah durch P<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>ü<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>k<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r vermittelst der + berühmten nach ihm benannten Formeln, welche gestatten, drei + Charakteristiken einer Kurve zu finden (Ordnung, Klasse, Zahl der + Doppelpunkte, der Doppeltangenten, Zahl der Wendetangenten und der + Rückkehrpunkte), wenn man die übrigen kennt.</p> + + <p>Auf die Frage, welche in einem gewissen Sinne reciprok zu der durch + die P<span class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>ü<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>k<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>schen Formeln gelösten ist, ob jeder Lösung derselben + eine wirkliche Kurve entspreche, mußte man negativ antworten, da neuere + Untersuchungen <!-- Page 25 --><span class="pagenum"><a + name="page25"></a>{25}</span>dargethan haben, daß für gewisse Kurven (die + rationalen Kurven) die Zahl der Rückkehrpunkte eine gewisse Grenze nicht + übersteigen kann.<a name="NtA66" href="#Nt66"><sup>[66]</sup></a></p> + + <p>Auf der anderen Frage, die Plückerschen Formeln auf eine Kurve + auszudehnen, welche mit Singularitäten höherer Ordnung ausgestattet ist, + beruhen die Untersuchungen von C<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y und anderen,<a + name="NtA67" href="#Nt67"><sup>[67]</sup></a> welche zu dem Schlüsse + geführt haben, daß jede Singularität einer Kurve als äquivalent einer + gewissen Anzahl von Doppelpunkten, Spitzen, Wendetangenten und + Doppeltangenten betrachtet werden kann.</p> + + <p>Ich füge noch hinzu, daß man durch J<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>i,<a name="NtA68" + href="#Nt68"><sup>[68]</sup></a> H<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>e (1811-1874),<a name="NtA69" + href="#Nt69"><sup>[69]</sup></a> S<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n,<a name="NtA70" + href="#Nt70"><sup>[70]</sup></a> C<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y<a name="NtA71" + href="#Nt71"><sup>[71]</sup></a> und deren zahlreiche Kommentatoren<a + name="NtA72" href="#Nt72"><sup>[72]</sup></a> heute im Besitze eleganter + Methoden ist, um analytisch die Wendepunkte einer durch eine Gleichung + gegebenen Kurve, sowie die Berührungspunkte ihrer Doppeltangenten + anzugeben.</p> + + <p>Dank dem einen der überaus wertvollen Lehrbücher,<a name="NtA73" + href="#Nt73"><sup>[73]</sup></a> mit welchen S<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n so gewaltig zur Verbreitung der neuesten + algebraischen und geometrischen Methoden beigetragen hat, ist es + heutzutage leicht, sich über diese und viele andere Fragen, welche sich + auf die analytische Theorie der ebenen Kurven beziehen, eine genaue + Kenntnis zu verschaffen.</p> + +<p><!-- Page 26 --><span class="pagenum"><a name="page26"></a>{26}</span></p> + + <p>Man braucht aber nicht zu glauben, daß bei diesem Studium der + fortwährende Gebrauch der Analysis unumgänglich sei; vielmehr erhob sich + bald neben der Darlegung der Theorie der ebenen Kurven durch E<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r, C<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r, P<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>ü<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>k<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r, S<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n eine ebenso + vollständige, aber mehr geometrische Theorie.</p> + + <p>In einer berühmten Mitteilung, die im Jahre 1848 der Berliner Akademie + gemacht wurde, zeigte S<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r, indem er die Theorie der Polaren eines Punktes in + Bezug auf eine Kurve wieder aufnahm, welche B<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r (1797-1832) schon + vordem<a name="NtA74" href="#Nt74"><sup>[74]</sup></a> als eine + Erweiterung der Diametralkurven Newtons und Cramers aufgestellt, und mit + welcher auch G<span class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>ß<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>n (1809-1877) sich beschäftigt hatte,<a name="NtA75" + href="#Nt75"><sup>[75]</sup></a> daß dieselbe als Grundlage für ein vom + Gebrauche der Koordinaten unabhängiges Studium der ebenen Kurven dienen + kann, und führte jene bemerkenswerten zu einer gegebenen Kurve + covarianten Kurven ein, die heute seinen, Hesses und Cayleys Namen + tragen. Diese kurzen Andeutungen, verbunden mit den Untersuchungen von + S<span class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r selbst, von C<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s<a name="NtA76" + href="#Nt76"><sup>[76]</sup></a> und J<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>q<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>è<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s<a name="NtA77" + href="#Nt77"><sup>[77]</sup></a> über die Entstehung der algebraischen + Kurven vermittelst projektiver Büschel von Kurven niederer Ordnung, + dienten als Grundlage für die <i>Introduzione ad una teoria geometrica + delle curve piane</i>,<a name="NtA78" href="#Nt78"><sup>[78]</sup></a> in + <!-- Page 27 --><span class="pagenum"><a + name="page27"></a>{27}</span>welcher C<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>a in einer einheitlichen Methode zugleich mit vielen + neuen Resultaten alles auseinandersetzt, was wichtigeres von den + analytischen Geometern, die ihm vorhergingen, erhalten worden war.</p> + + <p>Bei dem außerordentlichen Interesse der Sache scheint es mir auch, daß + man in die Reihe der schon zitierten Arbeiten auch die Serie von + Abhandlungen zu stellen hat, in welchen C<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h (1833-1872) zuerst die Algebra der linearen + Transformationen auf die Geometrie angewandt hat, dann, nachdem er die + Wichtigkeit des Begriffes des Geschlechtes einer Kurve ins Licht + gestellt, die Anwendung der Theorie der elliptischen<a name="NtA79" + href="#Nt79"><sup>[79]</sup></a> und Abelschen Funktionen auf die + Wissenschaft von der Ausdehnung darlegte und sie für das Studium der + rationalen und elliptischen Kurven benützte.<a name="NtA80" + href="#Nt80"><sup>[80]</sup></a> Es ist wahr, daß B<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>l und N<span + class="gsp"> </span>ö<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r in einer Abhandlung,<a name="NtA81" + href="#Nt81"><sup>[81]</sup></a> deren Bedeutung von Tag zu Tag wächst, + gezeigt haben, daß die Theorie der algebraischen Funktionen in vielen + Fällen die der eben angeführten Transcendenten ersetzen kann, aber das + vermindert nicht, sondern vergrößert vielmehr das Verdienst, welches man + den Methoden von C<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h zuerkennen muß, da die von hervorragenden Geistern + gemachten Anstrengungen, den Gebrauch eines <!-- Page 28 --><span + class="pagenum"><a name="page28"></a>{28}</span>Hilfsmittels vermeiden zu + können, der überzeugendste Beweis der Macht desselben sind.</p> + + <p>Die bis jetzt besprochenen Arbeiten behandeln a<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e Eigenschaften der ebenen algebraischen Kurven.<a + name="NtA82" href="#Nt82"><sup>[82]</sup></a> Aber an sie reiht sich eine + große Menge von schönen Spezialabhandlungen, welche eine bestimmte + Kategorie von Kurven behandeln; auf diese wollen wir einen kurzen Blick + werfen.</p> + + <p>Unter ihnen sind vor allen zu bemerken die von M<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n,<a name="NtA83" + href="#Nt83"><sup>[83]</sup></a> von S<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>v<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r,<a name="NtA84" href="#Nt84"><sup>[84]</sup></a> + C<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y,<a name="NtA85" href="#Nt85"><sup>[85]</sup></a> + S<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n,<a name="NtA86" href="#Nt86"><sup>[86]</sup></a> + D<span class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>è<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>e,<a name="NtA87" href="#Nt87"><sup>[87]</sup></a> + C<span class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>a,<a name="NtA88" + href="#Nt88"><sup>[88]</sup></a> von S<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>m,<a name="NtA89" href="#Nt89"><sup>[89]</sup></a> + von K<span class="gsp"> </span>ü<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r,<a name="NtA90" href="#Nt90"><sup>[90]</sup></a> + G<span class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>ß<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>n,<a name="NtA91" href="#Nt91"><sup>[91]</sup></a> + M<span class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>w<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>k<span + class="gsp"> </span>i<a name="NtA92" href="#Nt92"><sup>[92]</sup></a> und + von anderen über die Kurven dritter Ordnung,<a name="NtA93" + href="#Nt93"><sup>[93]</sup></a> die Kapitel des <i>Barycentrischen + Calculs</i>, dann verschiedene Arbeiten von E<span class="gsp"> </span>m. + W<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>r,<a name="NtA94" href="#Nt94"><sup>[94]</sup></a> + von C<span class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h und <!-- Page 29 + --><span class="pagenum"><a name="page29"></a>{29}</span>vielen anderen<a + name="NtA95" href="#Nt95"><sup>[95]</sup></a> über die rationalen Kurven; + die wichtigen Untersuchungen S<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>s und C<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>' über die Kurven, die mit einem Centrum versehen + sind,<a name="NtA96" href="#Nt96"><sup>[96]</sup></a> und die von S<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r über die dreispitzige + Hypocykloide;<a name="NtA97" href="#Nt97"><sup>[97]</sup></a> ferner die + Arbeiten, welche dem Beweise oder der Verallgemeinerung der dort + ausgesprochenen Eigenschaften gewidmet sind,<a name="NtA98" + href="#Nt98"><sup>[98]</sup></a> die interessanten Untersuchungen von + B<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>i<a name="NtA99" + href="#Nt99"><sup>[99]</sup></a> über rationale Kurven, für welche man + willkürlich die vielfachen Punkte bestimmen kann, die wichtigen Studien + von B<span class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>l über die Kurven vom + Geschlechte zwei,<a name="NtA100" href="#Nt100"><sup>[100]</sup></a> dann + die eleganten Abhandlungen von K<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n und L<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>e<a name="NtA101" href="#Nt101"><sup>[101]</sup></a> + über die Kurven, welche eine infinitesimale Transformation in sich selbst + zulassen, endlich die von F<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>t über die Kurven, welche + die eigenen reciproken Polaren in bezug auf unendlich viele Kegelschnitte + sind,<a name="NtA102" href="#Nt102"><sup>[102]</sup></a> und die von + S<span class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>h (1826-1883) über die + Singularitäten der Modularkurven.<a name="NtA103" + href="#Nt103"><sup>[103]</sup></a></p> + +<p><!-- Page 30 --><span class="pagenum"><a name="page30"></a>{30}</span></p> + + <p>Neben diesen verdient dann noch eine hervorragende Stelle die + Abhandlung von S<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r über die einer ebenen kubischen Kurve<a + name="NtA104" href="#Nt104"><sup>[104]</sup></a> oder einer Kurve vierter + Ordnung mit zwei Doppelpunkten eingeschriebenen Vielecke, auf welche die + jüngsten Arbeiten von K<span class="gsp"> </span>ü<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<a name="NtA105" + href="#Nt105"><sup>[105]</sup></a> und S<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<a name="NtA106" href="#Nt106"><sup>[106]</sup></a> + von neuem die Aufmerksamkeit der Gelehrten gelenkt haben. Die Knappheit + des Raumes nötigt mich, flüchtig hinwegzugehen über die Untersuchungen + von C<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y <i>On polyzomal Curves otherwise the Curves</i> + √<i>u</i> + √<i>v</i> + ... = 0;<a name="NtA107" + href="#Nt107"><sup>[107]</sup></a> von G<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>ß<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>n, C<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h,<a name="NtA108" + href="#Nt108"><sup>[108]</sup></a> S<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>ö<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<a name="NtA109" + href="#Nt109"><sup>[109]</sup></a> und D<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>è<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>e,<a name="NtA110" + href="#Nt110"><sup>[110]</sup></a> betreffend die Erzeugung ebener Kurven + dritter Ordnung, über die von L<span class="gsp"> </span>ü<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>h,<a name="NtA111" + href="#Nt111"><sup>[111]</sup></a> von C<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y,<a name="NtA112" href="#Nt112"><sup>[112]</sup></a> + D<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>x,<a name="NtA113" + href="#Nt113"><sup>[113]</sup></a> S<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>k,<a name="NtA114" href="#Nt114"><sup>[114]</sup></a> + von C<span class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e,<a name="NtA115" + href="#Nt115"><sup>[115]</sup></a> Z<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n<a name="NtA116" href="#Nt116"><sup>[116]</sup></a> + und noch anderen über einige spezielle ebene Kurven vierter Ordnung, über + die von B<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>i, die sich auf die syzygetischen Kurven dritter + Ordnung beziehen,<a name="NtA117" href="#Nt117"><sup>[117]</sup></a> und + andere, welche auch eine besondere Erwähnung verdienen würden.</p> + +<p><!-- Page 31 --><span class="pagenum"><a name="page31"></a>{31}</span></p> + + <p>Was ich aber nicht mit Stillschweigen übergehen kann, das sind die + Arbeiten von H<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>e über die Wendepunkte + einer Kurve dritter Ordnung und über die Gleichung, welche zu deren + Bestimmung dient;<a name="NtA118" href="#Nt118"><sup>[118]</sup></a> dann + die von demselben H<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>e,<a name="NtA119" href="#Nt119"><sup>[119]</sup></a> + S<span class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r,<a name="NtA120" + href="#Nt120"><sup>[120]</sup></a> A<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>d<a name="NtA121" + href="#Nt121"><sup>[121]</sup></a> (1819-1884) über die Doppeltangenten + einer Kurve vierter Ordnung, welche eine hervorragende Stelle verdienen, + da sie viele bemerkenswerte Eigenschaften derselben ins Licht gestellt + haben; dieselben wurden darauf von G<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<a name="NtA122" + href="#Nt122"><sup>[122]</sup></a> durch stereometrische Betrachtungen + dargethan, von C<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<a name="NtA123" href="#Nt123"><sup>[123]</sup></a> + dagegen und R<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<a name="NtA124" href="#Nt124"><sup>[124]</sup></a> + vermittelst der Theorie der Abelschen Funktionen untersucht.</p> + + <p> </p> + + <p><br style="clear:both" /></p> +<hr class="short" /> + +<h2>III.</h2> + +<h2>Theorie der Oberflächen.</h2> + +<h3>———</h3> + + <p> </p> + + <p>Das Streben nach Verallgemeinerung, welches die geometrischen + Untersuchungen leitete, seitdem sich der Einfluß der Analysis auf + dieselbe mehr oder weniger offen geltend gemacht, trieb alsbald die + Gelehrten dazu, sich mit den Erscheinungen des Raumes zu beschäftigen, + welche Analogien mit den schon in der Ebene betrachteten darbieten. Daher + sehen wir denn auch die Forschungen über die Oberflächen <!-- Page 32 + --><span class="pagenum"><a name="page32"></a>{32}</span>bald denen über + die ebenen Kurven folgen. Die Theorie dieser Gebilde ist jedoch neueren + Ursprungs.</p> + + <p>Den griechischen Geometern waren in der That nur einige wenige + besondere Oberflächen bekannt (die Kugel, die Cylinder und Kegel, Konoide + und Sphäroide, die plektoidischen Oberflächen und wenige andere). Erst + W<span class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n (1669), P<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>t und E<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r begannen sich mit den + Oberflächen zweiten Grades zu beschäftigen, und wir müssen zur Schule von + M<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>e gehen, um die + Eigenschaften von grösserer Wichtigkeit dieser höchst bemerkenswerten + Oberflächen anzutreffen.<a name="NtA125" + href="#Nt125"><sup>[125]</sup></a> Zu diesen ersten Eigenschaften wurden + in unserem Jahrhundert durch das zahlreiche Heer von Geometern, welche + die Flächen zweiter Ordnung einer besonderen Betrachtung unterwarfen, + viele andere hinzugefügt, und dank den Arbeiten so ausgezeichneter + Gelehrter, wie J<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>i,<a name="NtA126" + href="#Nt126"><sup>[126]</sup></a> <!-- Page 33 --><span + class="pagenum"><a name="page33"></a>{33}</span>M<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>C<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>h (1809-1847),<a name="NtA127" + href="#Nt127"><sup>[127]</sup></a> C<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>s,<a name="NtA128" href="#Nt128"><sup>[128]</sup></a> + H<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>e,<a name="NtA129" + href="#Nt129"><sup>[129]</sup></a> S<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>w<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>z (1807-1852),<a name="NtA130" + href="#Nt130"><sup>[130]</sup></a> S<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>ö<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<a name="NtA131" + href="#Nt131"><sup>[131]</sup></a> konnte die Theorie der Oberflächen + zweiter Ordnung in den mehr elementaren <!-- Page 34 --><span + class="pagenum"><a name="page34"></a>{34}</span>Unterricht eingeführt + werden und methodisch auf analytischem sowohl wie synthetischem Wege + behandelt werden.<a name="NtA132" href="#Nt132"><sup>[132]</sup></a></p> + + <p>Aber nach der Lehre von den Oberflächen zweiten Grades entstand und + entwickelte sich alsbald die der Oberflächen höherer Ordnung. C<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s<a name="NtA133" + href="#Nt133"><sup>[133]</sup></a> und G<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e,<a name="NtA134" + href="#Nt134"><sup>[134]</sup></a> als die ersten, entdeckten an diesen + Gebilden wunderbare Eigenschaften. P<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>t bestimmte die Klasse + einer in ihrer Ordnung allgemeinen algebraischen Oberfläche<a + name="NtA135" href="#Nt135"><sup>[135]</sup></a> und eröffnete so die + Untersuchungen, welche zu den Beziehungen führen sollten, mit welchen + S<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<a name="NtA136" href="#Nt136"><sup>[136]</sup></a> + und C<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y<a name="NtA137" href="#Nt137"><sup>[137]</sup></a> + die Lösung der analogen Aufgabe zu derjenigen versuchten, welche P<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>ü<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>k<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r durch seine berühmten + Formeln gelöst hatte.</p> + + <p>J<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>i<a name="NtA138" href="#Nt138"><sup>[138]</sup></a> + und später R<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>e<a name="NtA139" href="#Nt139"><sup>[139]</sup></a> + beschäftigten sich mit den Kurven und Gruppen von Punkten, die durch den + Schnitt von algebraischen Oberflächen entstehen. C<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s,<a name="NtA140" + href="#Nt140"><sup>[140]</sup></a> C<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>a,<a name="NtA141" href="#Nt141"><sup>[141]</sup></a> + R<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>e,<a href="#Nt139"><sup>[139]</sup></a> E<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h,<a name="NtA142" + href="#Nt142"><sup>[142]</sup></a> S<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>r,<a name="NtA143" href="#Nt143"><sup>[143]</sup></a> + mit ihrer <!-- Page 35 --><span class="pagenum"><a + name="page35"></a>{35}</span>Entstehung vermittelst projektiver oder + reciproker Systeme von Oberflächen niederer Ordnung, G<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>ß<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>n (1809-1877)<a name="NtA144" + href="#Nt144"><sup>[144]</sup></a> mit anderen Erzeugungsweisen; S<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n,<a name="NtA145" href="#Nt145"><sup>[145]</sup></a> + C<span class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h,<a name="NtA146" + href="#Nt146"><sup>[146]</sup></a> S<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>m,<a name="NtA147" href="#Nt147"><sup>[147]</sup></a> + S<span class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>t<a name="NtA148" href="#Nt148"><sup>[148]</sup></a> + und andere behandelten eine wichtige Klasse von Aufgaben, welche sich auf + Gerade beziehen, die mit einer gegebenen Oberfläche Berührungen von + vorher bestimmter Ordnung haben; schließlich entdeckte S<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>r vor kurzem eine lineare + Konstruktion<a name="NtA149" href="#Nt149"><sup>[149]</sup></a> für + Flächen beliebiger Ordnung. Eine interessante Erweiterung der + Polarentheorie der Oberflächen beliebiger Ordnung verdanken wir R<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>e.<a name="NtA150" + href="#Nt150"><sup>[150]</sup></a></p> + + <p>Trotz dieser und anderer Arbeiten, die ich der Kürze halber + stillschweigend übergehen muss, trotz der schönen Darlegungen, welche + S<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<a name="NtA151" href="#Nt151"><sup>[151]</sup></a> + und C<span class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>a<a name="NtA152" + href="#Nt152"><sup>[152]</sup></a> über sie gemacht haben, kann man doch + nicht sagen, daß die Theorie der Oberflächen weit vorgeschritten sei. Die + Fragen, die noch zu lösen bleiben, sind zahlreich und von fundamentaler + Wichtigkeit, und die Mittel, die zur Überwindung der Schwierigkeiten, + welche deren Lösung bietet, zur Verfügung stehen, sind noch nicht + genügend vervollkommnet. Vielleicht ist das der Grund dafür, daß so viele + Gelehrte sich zum Studium besonderer Flächen wandten, indem sie hofften, + nicht nur auf diesem Felde eine reichlichere Ernte von Wahrheiten zu + machen, sondern auch zu Untersuchungsmethoden zu gelangen, die der + Verallgemeinerung fähig sind. — Und <!-- Page 36 --><span + class="pagenum"><a name="page36"></a>{36}</span>daß ihre Erwartungen + teilweise nicht getäuscht worden sind, das beweisen die zahlreichen + Resultate, die man schon über die Oberflächen dritten Grades, sowie über + einige von der vierten Ordnung erhalten hat, über welche es mir noch + obliegt, Bericht zu erstatten.</p> + + <p>Es ist allgemein bekannt, daß die beiden hervorragendsten + Eigenschaften einer Fläche dritter Ordnung die sind, 27 Gerade zu + enthalten, und ein Pentaeder zu besitzen, welches zu Ecken die + Doppelpunkte und zu Kanten die Geraden der Hesseschen Fläche jener + Oberfläche hat. England und Deutschland können sich um die Ehre, sie + entdeckt zu haben, streiten. Wenn auch schon im Jahre 1849 C<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y und S<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<a name="NtA153" + href="#Nt153"><sup>[153]</sup></a> die Geraden einer kubischen Fläche + bestimmt haben, und im Jahre 1851 S<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>v<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<a name="NtA154" href="#Nt154"><sup>[154]</sup></a> + das Pentaeder entdeckte, so ist doch nicht minder wahr, daß S<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r unabhängig von ihnen die + Existenz jener und dieses in seiner berühmten Mitteilung, welche er der + Berliner Akademie im Jahre 1853 machte, behauptet hat.<a name="NtA155" + href="#Nt155"><sup>[155]</sup></a> Aber während die Studien der + englischen Geometer fast gänzlich der Fortsetzung entbehren,<a + name="NtA156" href="#Nt156"><sup>[156]</sup></a> steht die Arbeit von + Steiner an der Spitze einer langen Reihe von Schriften, durch welche die + Theorie der Oberflächen dritter Ordnung schnell einen ungehofften Grad + der Vollendung erhielt. Indem ich die Abhandlungen von S<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>ö<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r,<a name="NtA157" href="#Nt157"><sup>[157]</sup></a> + A<span class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>t<a name="NtA158" href="#Nt158"><sup>[158]</sup></a> + u. s. w., in welchen einige der von Steiner ausgesprochenen Sätze + bewiesen werden, nur kurz erwähne, will ich mich darauf beschränken, die + Aufmerksamkeit der Leser auf die mit Recht berühmten Schriften zu lenken, + die von <!-- Page 37 --><span class="pagenum"><a + name="page37"></a>{37}</span>C<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>a<a name="NtA159" href="#Nt159"><sup>[159]</sup></a> + und v<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n S<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>m<a name="NtA160" + href="#Nt160"><sup>[160]</sup></a> über diese Oberflächen verfaßt und im + Jahre 1866 von der Berliner Akademie mit dem Steiner-Preise gekrönt sind, + Arbeiten, auf welche jeder zurückkommen muß, welcher sich mit diesen + wichtigen geometrischen Gebilden vertraut machen will. Ich kann mich + nicht aufhalten bei den verschiedenen Erzeugungsweisen einer Fläche + dritter Ordnung, die G<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>ß<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>n,<a name="NtA161" + href="#Nt161"><sup>[161]</sup></a> A<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>t,<a name="NtA162" + href="#Nt162"><sup>[162]</sup></a> A<span class="gsp"> </span>f<span + class="gsp"> </span>f<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<a name="NtA163" + href="#Nt163"><sup>[163]</sup></a> und P<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>q<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>t<a name="NtA164" + href="#Nt164"><sup>[164]</sup></a> den von Steiner angegebenen + hinzugefügt haben, bei der Konstruktion dieser Flächen, welche L<span + class="gsp"> </span>e P<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>e<a name="NtA165" href="#Nt165"><sup>[165]</sup></a> + gegeben hat, bei den vielen Sätzen, die sich auf die Verteilung der + Geraden, der dreifach berührenden Ebenen und die Kurven einer kubischen + Fläche beziehen und welche vor kurzem von C<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>a,<a name="NtA166" + href="#Nt166"><sup>[166]</sup></a> A<span class="gsp"> </span>f<span + class="gsp"> </span>f<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r,<a name="NtA167" + href="#Nt167"><sup>[167]</sup></a> v<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n S<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>m<a name="NtA168" href="#Nt168"><sup>[168]</sup></a> + und B<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>i<a name="NtA169" + href="#Nt169"><sup>[169]</sup></a> entdeckt wurden, endlich bei den von + C<span class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>a,<a name="NtA170" + href="#Nt170"><sup>[170]</sup></a> C<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>i,<a name="NtA171" + href="#Nt171"><sup>[171]</sup></a> R<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>e<a name="NtA172" + href="#Nt172"><sup>[172]</sup></a> und B<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>i<a name="NtA173" + href="#Nt173"><sup>[173]</sup></a> studierten Eigenschaften gewisser + Hexaeder, welche mit einer Fläche dritter Ordnung verknüpft sind, sowie + bei den von Z<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n<a name="NtA174" + href="#Nt174"><sup>[174]</sup></a> betrachteten zwölf <!-- Page 38 + --><span class="pagenum"><a name="page38"></a>{38}</span>vollständigen, + in sie einbeschriebenen Pentaedern. Ich will noch anführen, daß eine + Einteilung dieser Oberflächen, die auf die Betrachtung der 27 auf ihr + gelegenen Geraden sich stützt, von S<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>ä<span class="gsp"> </span>f<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>i gemacht ist<a + name="NtA175" href="#Nt175"><sup>[175]</sup></a> und eine neuere von + R<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>g,<a name="NtA176" + href="#Nt176"><sup>[176]</sup></a> die sich auf das Pentaeder gründet, + daß ferner ein genaues und eingehendes Studium der Regelflächen dritten + Grades (von denen eine von Cayley entdeckt wurde) den Gegenstand + wertvoller Arbeiten C<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>s,<a name="NtA177" + href="#Nt177"><sup>[177]</sup></a> E<span class="gsp"> </span>m. W<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>s<a name="NtA178" + href="#Nt178"><sup>[178]</sup></a> und B<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>o K<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>s<a name="NtA179" + href="#Nt179"><sup>[179]</sup></a> bildet, daß schließlich die sogenannte + Diagonalfläche einen wichtigen Teil in einer Untersuchung von C<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h über die Gleichungen + fünftes Grades bildet<a name="NtA180" href="#Nt180"><sup>[180]</sup></a> + und daß andere besondere Fälle von C<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y<a name="NtA181" + href="#Nt181"><sup>[181]</sup></a> und E<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>k<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>t<a name="NtA182" href="#Nt182"><sup>[182]</sup></a> + in einigen wertvollen Abhandlungen betrachtet wurden. Wenn ich dann noch + gesagt habe, daß die Untersuchungen von S<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n,<a name="NtA183" + href="#Nt183"><sup>[183]</sup></a> C<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h,<a name="NtA184" href="#Nt184"><sup>[184]</sup></a> + G<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<a name="NtA185" href="#Nt185"><sup>[185]</sup></a> + und d<span class="gsp"> </span>e P<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>s<a name="NtA186" + href="#Nt186"><sup>[186]</sup></a> die <!-- Page 39 --><span + class="pagenum"><a name="page39"></a>{39}</span>geometrische Bedeutung + für das Verschwinden der fundamentalen invarianten Formen der quaternären + kubischen Form festgestellt haben, welche gleich Null gesetzt in + homogenen Koordinaten eine Fläche dritter Ordnung darstellt, daß + schließlich J<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<a name="NtA187" href="#Nt187"><sup>[187]</sup></a> + von Grund auf die Natur der Gleichung studiert hat, welche zur Bestimmung + der Geraden einer kubischen Fläche dient, dann glaube ich dem Leser genug + Momente an die Hand gegeben zu haben, um daraus den (von mir eben + angedeuteten) Schluß zu ziehen, daß die Theorie dieser geometrischen + Gebilde, von welchem Punkte man sie auch betrachten mag, heute einen + beachtenswerten Grad der Vollendung erreicht hat.</p> + + <p>Solches kann man jedoch nicht von der Theorie der Oberflächen v<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n Grades behaupten, + vielmehr sind von ihnen nur wenige Klassen genauer studiert; über jede + derselben werde ich kurz sprechen. An die erste Stelle will ich die + Developpabele vierter Klasse setzen, die zweien Flächen zweiten Grades + umbeschrieben ist, und die geradlinigen Flächen vierten Grades; jene + wurde von P<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t<a name="NtA188" href="#Nt188"><sup>[188]</sup></a> + und C<span class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s<a name="NtA189" + href="#Nt189"><sup>[189]</sup></a> untersucht, diese von demselben + Chasles,<a name="NtA190" href="#Nt190"><sup>[190]</sup></a> von C<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y<a name="NtA191" href="#Nt191"><sup>[191]</sup></a> + und vollständiger von C<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>a.<a name="NtA192" + href="#Nt192"><sup>[192]</sup></a></p> + + <p>Dann lasse ich die Oberflächen vierter Ordnung folgen, auf welchen + Scharen von Kegelschnitten existieren und welche alle mit + außerordentlichem Scharfsinne von K<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<a name="NtA193" + href="#Nt193"><sup>[193]</sup></a> bestimmt wurden. Unter diesen sind + zwei besonderer Erwähnung wert, da sie das Objekt zahlreicher + Untersuchungen gewesen sind: die Oberfläche vierter Ordnung mit einem + Doppelkegelschnitt und die römische Fläche von Steiner.</p> + + <p>Von der ersteren entdeckte K<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r im Jahre 1864 die + bemerkenswerte Eigenschaft, daß die ihr doppelt <!-- Page 40 --><span + class="pagenum"><a name="page40"></a>{40}</span>umgeschriebene + Developpabele aus fünf Kegeln zweiter Ordnung besteht. Gleichzeitig fand + M<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>d<a name="NtA194" + href="#Nt194"><sup>[194]</sup></a> dieselbe Eigenschaft für den Fall, daß + die Doppelkurve der Oberfläche der unendlich entfernte imaginäre + Kugelkreis ist,<a name="NtA195" href="#Nt195"><sup>[195]</sup></a> und er + bemerkte weiter gleichzeitig mit D<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>x,<a name="NtA196" href="#Nt196"><sup>[196]</sup></a> + daß in diesem Falle die Oberfläche zu einem dreifachen Systeme von + orthogonalen Oberflächen, gebildet von Flächen derselben Art, gehören + kann. Von jener Zeit ab wurden die Oberflächen vierter Ordnung, welche + als Doppelkurve den unendlich entfernten imaginären Kugelkreis haben, + wiederholt von D<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>x,<a name="NtA197" href="#Nt197"><sup>[197]</sup></a> + von L<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e (1834-1886)<a name="NtA198" + href="#Nt198"><sup>[198]</sup></a> und von C<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y<a name="NtA199" + href="#Nt199"><sup>[199]</sup></a> studiert; hingegen diejenigen, welche + als Doppelkurve einen beliebigen Kegelschnitt besitzen, von C<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>a,<a name="NtA200" + href="#Nt200"><sup>[200]</sup></a> G<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r,<a name="NtA201" + href="#Nt201"><sup>[201]</sup></a> S<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>m,<a name="NtA202" href="#Nt202"><sup>[202]</sup></a> + Z<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n,<a name="NtA203" + href="#Nt203"><sup>[203]</sup></a> von C<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h,<a name="NtA204" href="#Nt204"><sup>[204]</sup></a> + K<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>ö<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>f<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r,<a name="NtA205" href="#Nt205"><sup>[205]</sup></a> + B<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>z<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i<a name="NtA206" + href="#Nt206"><sup>[206]</sup></a> und D<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<a name="NtA207" + href="#Nt207"><sup>[207]</sup></a> — welcher auf sie die + hyperelliptischen Funktionen anwandte — und diejenigen, welche + einen Kuspidalkegelschnitt haben, von T<span class="gsp"> </span>ö<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>ö<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>y.<a name="NtA208" href="#Nt208"><sup>[208]</sup></a> + Was die Klassifikation dieser Oberflächen betrifft, so möge <!-- Page 41 + --><span class="pagenum"><a name="page41"></a>{41}</span>es mir gestattet + sein, meinen Namen anzuführen<a name="NtA209" + href="#Nt209"><sup>[209]</sup></a> neben dem meines teuern Freundes + S<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e.<a name="NtA210" + href="#Nt210"><sup>[210]</sup></a></p> + + <p>Die römische Fläche von Steiner hat wiederholt die Aufmerksamkeit der + Geometer auf sich gezogen und zwar vorzüglich zweier Eigenschaften wegen; + die eine derselben, nämlich von jeder Tangentialebene in zwei + Kegelschnitten getroffen zu werden, wurde besonders von den Synthetikern + betrachtet, die andere, dass die homogenen Koordinaten ihrer Punkte sich + als ganz allgemeine ternäre quadratische Formen darstellen lassen,<a + name="NtA211" href="#Nt211"><sup>[211]</sup></a> wurde mehr von den + analytischen Geometern verwertet. Wer Lust hat, alle Eigenschaften, die + sie besitzt, kennen zu lernen,<a name="NtA212" + href="#Nt212"><sup>[212]</sup></a> wird dieselben in den synthetischen + Abhandlungen von C<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>a,<a name="NtA213" href="#Nt213"><sup>[213]</sup></a> + S<span class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>ö<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<a name="NtA214" href="#Nt214"><sup>[214]</sup></a> + und S<span class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>m,<a name="NtA215" + href="#Nt215"><sup>[215]</sup></a> auf den Seiten, welche R<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>e ihr in seiner <!-- Page 42 --><span + class="pagenum"><a name="page42"></a>{42}</span><i>Geometrie der Lage</i> + (2. Bd.) gewidmet hat, und in den analytischen Abhandlungen von C<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y,<a name="NtA216" href="#Nt216"><sup>[216]</sup></a> + B<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>i,<a name="NtA217" href="#Nt217"><sup>[217]</sup></a> + C<span class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h,<a name="NtA218" + href="#Nt218"><sup>[218]</sup></a> E<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>k<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>t,<a name="NtA219" href="#Nt219"><sup>[219]</sup></a> + L<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e<a name="NtA220" href="#Nt220"><sup>[220]</sup></a> + und G<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>i<a name="NtA221" href="#Nt221"><sup>[221]</sup></a> + finden.</p> + + <p>K<span class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r verdanken wir auch die Kenntnis einer anderen + wichtigen Klasse von Flächen vierter Ordnung; dieselbe besteht aus + Oberflächen, die nicht singuläre Linien enthalten, sondern nur singuläre + Punkte.<a name="NtA222" href="#Nt222"><sup>[222]</sup></a> Wir werden in + kurzem (§ VII) sehen, welche Untersuchungen Kummer zu diesen Oberflächen + geführt haben; für jetzt genüge es, hervorzuheben, dass die + interessanteste unter ihnen (welche man heute die Kummersche Oberfläche + nennt) 16 singuläre Doppelpunkte und 16 singuläre Tangentialebenen hat + und daß Specialfälle derselben die Wellenfläche von F<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l<a name="NtA223" + href="#Nt223"><sup>[223]</sup></a> und das von C<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y 1846 untersuchte Tetraedroid<a name="NtA224" + href="#Nt224"><sup>[224]</sup></a> sind. Eine solche Oberfläche ist zu + sich selbst dual.<a name="NtA225" href="#Nt225"><sup>[225]</sup></a> Ihre + <!-- Page 43 --><span class="pagenum"><a + name="page43"></a>{43}</span>asymptotischen Kurven wurden von K<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n und L<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e bestimmt<a name="NtA226" + href="#Nt226"><sup>[226]</sup></a> und R<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>e<a name="NtA227" + href="#Nt227"><sup>[227]</sup></a> zeigte, daß jede die Grundkurve eine + Büschels von Oberflächen vierter Ordnung ist; zwischen ihnen und den + Thetafunktionen existiert eine innige Beziehung, welche C<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y und B<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>t (1817-1880)<a name="NtA228" + href="#Nt228"><sup>[228]</sup></a> entdeckt haben und die H. W<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<a name="NtA229" + href="#Nt229"><sup>[229]</sup></a> zusammen mit anderen entwickelt hat;<a + name="NtA230" href="#Nt230"><sup>[230]</sup></a> die algebraischen + Fragen, welche sich an die Bestimmung ihrer Singularitäten knüpfen, + wurden von J<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<a name="NtA231" href="#Nt231"><sup>[231]</sup></a> + gelöst; endlich kann man dieselbe, wie R<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>n<a name="NtA232" + href="#Nt232"><sup>[232]</sup></a> es gethan hat, vermittelst der Theorie + der hyperelliptischen Funktionen<a name="NtA233" + href="#Nt233"><sup>[233]</sup></a> behandeln.</p> + + <p>Indem ich die Oberflächen vierter Ordnung, welche als Doppelkurve + einen in zwei getrennte oder zusammenfallende Gerade degenerierten + Kegelschnitt haben und andere, mit denen Cayley<a name="NtA234" + href="#Nt234"><sup>[234]</sup></a> sich beschäftigt hat, übergehe, will + ich noch die Monoide erwähnen,<a name="NtA235" + href="#Nt235"><sup>[235]</sup></a> die von R<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>n studiert sind,<a name="NtA236" + href="#Nt236"><sup>[236]</sup></a> und <!-- Page 44 --><span + class="pagenum"><a name="page44"></a>{44}</span>diejenigen Flächen, + welche, ohne geradlinig zu sein, eine gewisse Anzahl von Geraden + enthalten. Dieselben sind der Ort der Punkte, in welchen vier + entsprechende Ebenen von vier kollinearen Räumen sich schneiden; C<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s hat ihre Ordnung + bestimmt und S<span class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>r eine Menge eleganter + Eigenschaften derselben gefunden.<a name="NtA237" + href="#Nt237"><sup>[237]</sup></a></p> + + <p>Ich will diesen Abschnitt meiner Musterung beschließen, indem ich noch + einige Oberflächen von höherer als der vierten Ordnung anführe, welche + die Gelehrten schon beschäftigten. Zuerst verdienen die geradlinigen + Oberflächen erwähnt zu werden, welche im allgemeinen von C<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s,<a name="NtA238" + href="#Nt238"><sup>[238]</sup></a> S<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n,<a name="NtA239" + href="#Nt239"><sup>[239]</sup></a> C<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y,<a name="NtA240" + href="#Nt240"><sup>[240]</sup></a> von P<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>ü<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>k<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r,<a name="NtA241" href="#Nt241"><sup>[241]</sup></a> + L<span class="gsp"> </span>a G<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>e (1814-1883),<a name="NtA242" + href="#Nt242"><sup>[242]</sup></a> V<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>s<a name="NtA243" + href="#Nt243"><sup>[243]</sup></a> und im besonderen von C<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s,<a name="NtA244" + href="#Nt244"><sup>[244]</sup></a> C<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>a,<a href="#Nt244"><sup>[244]</sup></a> S<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>w<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>z,<a name="NtA245" + href="#Nt245"><sup>[245]</sup></a> L<span class="gsp"> </span>a G<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e<a name="NtA246" + href="#Nt246"><sup>[246]</sup></a> (Regelflächen, die in bezug auf ein + Tetraeder symmetrisch sind), von <!-- Page 45 --><span class="pagenum"><a + name="page45"></a>{45}</span>C<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h,<a name="NtA247" href="#Nt247"><sup>[247]</sup></a> + A<span class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<a name="NtA248" + href="#Nt248"><sup>[248]</sup></a> (rationale und elliptische + Regelflächen), von E<span class="gsp"> </span>m. W<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>r<a name="NtA249" href="#Nt249"><sup>[249]</sup></a> + (Regelflächen, erzeugt durch die Verbindungslinien entsprechender Punkte + zweier gerader Punktreihen in der Korrespondenz [<i>m</i>, <i>n</i>]), + von E<span class="gsp"> </span>d. W<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>r<a name="NtA250" + href="#Nt250"><sup>[250]</sup></a> (Oberflächen, erzeugt durch die + Bewegung eines variabelen Kegelschnittes), von E<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>k<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>t<a name="NtA251" + href="#Nt251"><sup>[251]</sup></a> und C<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>z<span + class="gsp"> </span>z<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>i<a name="NtA252" + href="#Nt252"><sup>[252]</sup></a> (Regelflächen, erzeugt durch die + Verbindungslinien entsprechender Punkte zweier ebener projektiv bezogener + Kurven). Dann folgen solche, die, wenn sie auch nicht Regelflächen sind, + doch Gerade enthalten und die von S<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>m<a name="NtA253" href="#Nt253"><sup>[253]</sup></a> + und A<span class="gsp"> </span>f<span class="gsp"> </span>f<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<a name="NtA254" href="#Nt254"><sup>[254]</sup></a> + untersucht sind, ferner die algebraischen Minimalflächen, bei welchen + G<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<a name="NtA255" href="#Nt255"><sup>[255]</sup></a> + und L<span class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e<a + name="NtA256" href="#Nt256"><sup>[256]</sup></a> bemerkenswerte + Eigentümlichkeiten fanden. Dann will ich noch einige Flächen nennen, die + aus einer Oberfläche zweiten Grades abgeleitet sind (Ort der + Krümmungscentren; Fusspunktflächen, Aspidalflächen etc.), sowie die Örter + der Spitzen der Kegel zweiten Grades, die <i>m</i> Gerade berühren und + durch (6-<i>m</i>) Punkte gehen, welche Flächen eingehend von C<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s,<a name="NtA257" + href="#Nt257"><sup>[257]</sup></a> L<span class="gsp"> </span>ü<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>h,<a name="NtA258" + href="#Nt258"><sup>[258]</sup></a> H<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>z<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<a name="NtA259" + href="#Nt259"><sup>[259]</sup></a> und von C<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y<a name="NtA260" href="#Nt260"><sup>[260]</sup></a> + studiert wurden, da sie zur Auflösung gewisser Probleme aus der Theorie + der Charakteristiken der einfach unendlichen Systeme von Kegeln zweiter + Ordnung dienten; schließlich diejenigen, welche unendlich viele lineare + <!-- Page 46 --><span class="pagenum"><a + name="page46"></a>{46}</span>Transformationen zulassen, die + kontinuierlich aufeinander folgen;<a name="NtA261" + href="#Nt261"><sup>[261]</sup></a> diejenigen, welche die eigenen + reziproken Polaren in bezug auf unendlich viele Flächen zweiten Grades + sind,<a name="NtA262" href="#Nt262"><sup>[262]</sup></a> diejenigen, + welche durch reciproke Cremonasche Systeme erzeugt werden,<a + name="NtA263" href="#Nt263"><sup>[263]</sup></a> und diejenigen, welche + dieselben Symmetrie-Ebenen wie ein reguläres Polyeder besitzen.<a + name="NtA264" href="#Nt264"><sup>[264]</sup></a></p> + + <p> </p> + + <p>Die Untersuchungen über die Oberflächen, mit denen wir uns bis jetzt + beschäftigt haben, behandeln Eigenschaften, welche vermittelst einer wohl + bekannten Betrachtungsweise auf das Gebiet der projektiven Geometrie + zurückgeführt sind oder sich darauf zurückführen lassen. Es giebt aber + noch viele andere Untersuchungen, welche Eigenschaften von ganz anderer + Art behandeln, die größtenteils auf keine Weise sich als projektiv + betrachten lassen, da die Gruppe der Transformationen, die zu ihnen + gehört, nicht die der projektiven Geometrie ist.<a name="NtA265" + href="#Nt265"><sup>[265]</sup></a> Diese bilden zusammen mit den Studien, + die sich auf die Infinitesimaleigenschaften der Raumkurven beziehen (über + welche wir einiges im folgenden Paragraphen sagen werden), einen sehr + wichtigen Zweig der Geometrie für sich sowohl, als auch wegen der + Anwendungen, welche man von ihnen in der Geodäsie und der mathematischen + Physik machen kann; man kennt ihn unter dem Namen der + Differentialgeometrie. Über die wesentlichen Punkte derselben wollen wir + nun einiges sagen. Und da man den Ursprung dieses Teiles der Geometrie + von dem Erscheinen der <i>Application de l'Analyse à la Géométrie</i><a + name="NtA266" href="#Nt266"><sup>[266]</sup></a> <!-- Page 47 --><span + class="pagenum"><a name="page47"></a>{47}</span>von M<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>e datieren kann, und das + spätere Werk, welches von grösserem Einflüsse war, das von G<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>ß (1777-1855) ist, welches den Titel trägt: + <i>Disquisitiones generales circa superficies curvas</i>,<a name="NtA267" + href="#Nt267"><sup>[267]</sup></a> so nehmen wir in unserer kurzen + Darlegung die von Monge und Gauß angenommene Einteilung des Stoffes als + Anhalt, indem wir zuerst besprechen, was diese selbst in Hinsicht auf die + von ihnen behandelten Gegenstände geleistet haben, und dann vorführen, + was ihre Nachfolger hinzugefügt haben.</p> + + <p>Der erste Paragraph des Mongeschen Werkes bietet kein besonderes + Interesse, da er nur die Bestimmung der Berührungsebenen und Normalen + einer Oberfläche zum Zwecke hat; er kann also als Einleitung betrachtet + werden. Die vier folgenden Paragraphen behandeln cylindrische + Oberflächen, Kegel- und Rotationsflächen und solche, welche (um einen + modernen Ausdruck zu gebrauchen) in einer linearen Kongruenz mit einer + unendlich fernen Leitgeraden enthalten sind. Höchst bemerkenswert ist der + folgende Paragraph, indem Monge dort bei der Besprechung der Enveloppen + den wichtigen Begriff der Charakteristik und der Rückkehrkurve (<i>arête + de rebroussement</i>) einer Enveloppe eingeführt hat; an diesen + Paragraphen schließen sich die drei folgenden enge an; sie behandeln + Röhrenflächen mit ebener Leitlinie (§ 7), Flächen, die als Linien größter + Neigung gegen eine gegebene Ebene Gerade von konstanter Neigung haben (§ + 8), und schließlich Enveloppen einer Oberfläche, die sich unter der + Bedingung bewegt, daß ein mit ihr unveränderlich verbundener Punkt eine + gegebene Kurve durchläuft (§ 9).<a name="NtA268" + href="#Nt268"><sup>[268]</sup></a> — Von da ab beginnt die Theorie + der partiellen <!-- Page 48 --><span class="pagenum"><a + name="page48"></a>{48}</span>Differentialgleichungen die wichtige Rolle + zu spielen, die Monge ihr in der analytischen Geometrie zugewiesen hat; + von diesem Punkte an zeigt es sich, daß es in vielen Fällen für die + Bestimmung der Natur einer Oberfläche nützlicher und bequemer ist, eine + Differentialgleichung für sie zu haben, als eine solche in endlichen + Ausdrücken. Beispiele hierfür bieten die Flächen, die in einem speziellen + linearen Komplexe enthalten sind mit einer unendlich fernen oder + endlichen Axe (von Monge im § 10 und § 11 behandelt), fernere Beispiele + die abwickelbaren Flächen (§ 12), andere die im § 9 beschriebenen, andere + schließlich die Örter beweglicher Kurven, von welchen ein Punkt eine + feste Kurve durchläuft (§ 14).<a name="NtA269" + href="#Nt269"><sup>[269]</sup></a> — Die Theorie der Krümmung einer + Oberfläche in einem Punkte,<a name="NtA270" + href="#Nt270"><sup>[270]</sup></a> sowie das Studium der Verteilung der + Normalen derselben Fläche<a name="NtA271" + href="#Nt271"><sup>[271]</sup></a> führen zu einer neuen Art von Flächen, + die der Betrachtung wert sind; jene und diese finden sich im § 15, der + sicherlich einer der wichtigsten des Mongeschen Werkes ist. Der + Spezialfall des Ellipsoides ist im § 16 behandelt, derselbe enthält die + Bestimmung der Krümmungslinien dieser Fläche.<a name="NtA272" + href="#Nt272"><sup>[272]</sup></a> — Groß an Zahl und von großer + Wichtigkeit sind die Fragen, zu denen die Theorie der Krümmung Anlaß + giebt. Man kann z. B. die Oberflächen untersuchen, bei denen der eine + Krümmungsradius für jeden Punkt denselben Wert hat; Monge fand (§ 18), + daß dieselben von einer Fläche von konstanter Form eingehüllt werden, die + sich in der <!-- Page 49 --><span class="pagenum"><a + name="page49"></a>{49}</span>vorhin (in den §§ 9 und 13) angegebenen + Weise bewegt. Man kann dagegen auch voraussetzen, daß in jedem Punkte die + beiden Krümmungsradien gleich und von gleichem Sinne seien: die + Oberfläche ist dann eine Kugel. Wenn dagegen die beiden Krümmungsradien + in jedem Punkte gleich, aber von entgegengesetztem Sinne sind, so ist die + Fläche eine Minimalfläche.<a name="NtA273" + href="#Nt273"><sup>[273]</sup></a> Oder es sei in jedem Punkte einer der + Krümmungsradien gleich groß (§ 21).<a name="NtA274" + href="#Nt274"><sup>[274]</sup></a></p> + + <p>An die Theorie der Krümmung schließen sich dann die Studien über die + Röhrenflächen mit beliebiger Leitkurve (§§ 22 und 26) und über diejenigen + Flächen, bei welchen alle Normalen eine gegebene Kugel (§ 23), einen + gegebenen Kegel (§ 24) oder eine gegebene Developpabele (§ 25) berühren. + — Für einige dieser Flächenfamilien hat Monge die Konstruktion + angegeben, für alle die Gleichungen, sei es die Differentialgleichungen + oder die endlichen, und, da er sich das Problem gestellt und gelöst hat, + von jenen zu diesen zu gelangen, so verdient denn sein grosses Werk, daß + es auch von denen, welche sich mit der Analysis des Unendlichen + beschäftigen, eingehend studiert werde.</p> + + <p>Kurz nach dem Erscheinen des Werkes von Monge wurde die + Differentialgeometrie durch eine höchst wichtige Arbeit bereichert, die + <i>Developpements de Géométrie</i> von C<span class="gsp"> </span>h. + D<span class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n (1813). In derselben + wird unter anderem der Begriff der konjugierten Tangenten eines Punktes + einer Oberfläche und der der Indikatrix eingeführt; dort sind die + asymptotischen Linien (Haupttangentenkurven)<a name="NtA275" + href="#Nt275"><sup>[275]</sup></a> untersucht, und <!-- Page 50 --><span + class="pagenum"><a name="page50"></a>{50}</span>der berühmte Satz + bewiesen, der unter dem Namen des Dupinschen Theorems allgemein bekannt + ist.</p> + + <p>Als Fortsetzung des Mongeschen Werkes kann man die zahlreichen + Untersuchungen über Flächen mit ebenen oder sphärischen Krümmungslinien + ansehen, die man D<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n,<a name="NtA276" href="#Nt276"><sup>[276]</sup></a> + A<span class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>f<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>d S<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>t (1819-1885),<a + name="NtA277" href="#Nt277"><sup>[277]</sup></a> O. B<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t,<a name="NtA278" href="#Nt278"><sup>[278]</sup></a> + D<span class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>i,<a name="NtA279" href="#Nt279"><sup>[279]</sup></a> + E<span class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r (1830-1885),<a + name="NtA280" href="#Nt280"><sup>[280]</sup></a> D<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>x,<a name="NtA281" + href="#Nt281"><sup>[281]</sup></a> P<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>t,<a name="NtA282" + href="#Nt282"><sup>[282]</sup></a> L<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>u,<a name="NtA283" href="#Nt283"><sup>[283]</sup></a> + D<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r,<a name="NtA284" href="#Nt284"><sup>[284]</sup></a> + V<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<a name="NtA285" href="#Nt285"><sup>[285]</sup></a> + und anderen verdankt.</p> + + <p>Von derselben Art, aber von größerer Allgemeinheit sind die wichtigen + Untersuchungen von W<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n über solche Oberflächen, + bei denen in jedem Punkte der eine Krümmungsradius eine Funktion des + anderen ist,<a name="NtA286" href="#Nt286"><sup>[286]</sup></a> welche + Untersuchungen D<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>i (a. O.), B<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>i<a name="NtA287" href="#Nt287"><sup>[287]</sup></a> + und L<span class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e<a + name="NtA288" href="#Nt288"><sup>[288]</sup></a> zur Bestimmung der + windschiefen Oberflächen mit derselben Eigenschaft geführt haben. + Dasselbe kann man von den Untersuchungen sagen, welche man ebenfalls + W<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n verdankt<a name="NtA289" + href="#Nt289"><sup>[289]</sup></a> und die sich auf Oberflächen beziehen, + deren Normalen eine andere vorgelegte Oberfläche berühren. — Dem § + 20 des Mongeschen Werkes können wir die <!-- Page 51 --><span + class="pagenum"><a name="page51"></a>{51}</span>zahlreichen Abhandlungen + anschließen, welche die Minimalflächen behandeln. Wir führen zunächst die + von S<span class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<a name="NtA290" + href="#Nt290"><sup>[290]</sup></a> und W<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>ß<a name="NtA291" + href="#Nt291"><sup>[291]</sup></a> an, die sich mit der allgemeinen + Theorie befassen, dann die von S<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>k<a name="NtA292" + href="#Nt292"><sup>[292]</sup></a> und B<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>t,<a name="NtA293" + href="#Nt293"><sup>[293]</sup></a> welche einige Spezialfälle derselben + bearbeitet haben; S<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>t<a name="NtA294" + href="#Nt294"><sup>[294]</sup></a> beschäftigte sich dann mit solchen, + die durch zwei Gerade hindurch gehen, R<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>n<a name="NtA295" href="#Nt295"><sup>[295]</sup></a> + und W<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>ß<a name="NtA296" href="#Nt296"><sup>[296]</sup></a> + mit solchen, die einen gegebenen Umriß haben, G<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<a name="NtA297" href="#Nt297"><sup>[297]</sup></a> + mit algebraischen, N<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>v<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>s<a name="NtA298" href="#Nt298"><sup>[298]</sup></a> + mit solchen periodischen, welche unendlich viele Geraden und unendlich + viele ebene geodätische Linien besitzen; C<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<a name="NtA299" + href="#Nt299"><sup>[299]</sup></a> mit solchen, die als geodätische Linie + eine Parabel haben, H<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>g<a name="NtA300" href="#Nt300"><sup>[300]</sup></a> + mit denen, welche eine semikubische Parabel als geodätische Linie haben; + B<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t<a name="NtA301" href="#Nt301"><sup>[301]</sup></a> + untersuchte solche, auf welchen sich eine Schar von ebenen + Krümmungslinien befindet; B<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>r<a name="NtA302" + href="#Nt302"><sup>[302]</sup></a> diejenigen, welche auf eine + Rotationsfläche sich abwickeln lassen; S<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>w<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>z solche, die durch ein windschiefes Vierseit + bestimmt sind<a name="NtA303" href="#Nt303"><sup>[303]</sup></a> oder die + von Kegeln eingehüllt sind,<a name="NtA304" + href="#Nt304"><sup>[304]</sup></a> und solche, die ohne algebraisch zu + sein, doch algebraische Kurven enthalten;<a name="NtA305" + href="#Nt305"><sup>[305]</sup></a> <!-- Page 52 --><span + class="pagenum"><a name="page52"></a>{52}</span>E<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<a name="NtA306" + href="#Nt306"><sup>[306]</sup></a> untersuchte diejenigen, welche + unendlich viele Kreise enthalten, u. s. w. Andere Fragen wurden von + M<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t<a name="NtA307" href="#Nt307"><sup>[307]</sup></a> + behandelt, von B<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>i,<a name="NtA308" + href="#Nt308"><sup>[308]</sup></a> von L<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>e,<a name="NtA309" href="#Nt309"><sup>[309]</sup></a> + K<span class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>t,<a name="NtA310" + href="#Nt310"><sup>[310]</sup></a> H<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>g,<a name="NtA311" href="#Nt311"><sup>[311]</sup></a> + R<span class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>r,<a name="NtA312" + href="#Nt312"><sup>[312]</sup></a> B<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>i<a name="NtA313" href="#Nt313"><sup>[313]</sup></a> + und P<span class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e.<a name="NtA314" + href="#Nt314"><sup>[314]</sup></a> Schließlich ist die Theorie der + Minimalflächen einer bemerkenswerten Erweiterung fähig, die von L<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>z<a name="NtA315" + href="#Nt315"><sup>[315]</sup></a> entdeckt wurde.</p> + + <p>Wir gehen jetzt dazu über, kurz auseinander zu setzen, welches die + hervorragenderen Stellen des zweiten Werkes sind, dem wir, wie schon + gesagt, die wichtigsten Lehren der Differentialgeometrie verdanken, der + <i>Disquisitiones generales circa superficies curvas</i> von G<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>ß.</p> + + <p>Schon zu Ende des ersten Paragraphen derselben finden wir einen höchst + wichtigen Begriff, nämlich den der sphärischen Abbildung einer + Oberfläche, dessen Fruchtbarkeit vielfache Anwendungen, die von ihm + gemacht sind, dargethan haben. Kurz darauf (§ IV) treffen wir die zwei + unabhängigen Veränderlichen, vermittelst derer man die Koordinaten der + Punkte einer Oberfläche ausdrückt, d. h. die krummlinigen Koordinaten auf + einer Oberfläche. (Vgl. auch die §§ XVII und XIX). Dann enthält § VI die + Erweiterung der Betrachtung, die man gewöhnlich zur Grundlage der Theorie + der Krümmung der ebenen und unebenen Kurven nimmt, auf den Raum, aus + welcher Erweiterung der Begriff des Krümmungsmaßes einer Oberfläche in + einem <!-- Page 53 --><span class="pagenum"><a + name="page53"></a>{53}</span>gewöhnlichen Punkte hervorgegangen ist.<a + name="NtA316" href="#Nt316"><sup>[316]</sup></a> Bekanntlich ist dasselbe + gleich dem Produkte aus den beiden Hauptkrümmungsradien der Fläche in + jenem Punkte<a name="NtA317" href="#Nt317"><sup>[317]</sup></a> (§ VIII). + Das Krümmungsmaß einer Oberfläche kann man sowohl durch die gewöhnlichen + kartesischen Koordinaten (§§ VII und IX) als auch durch die krummlinigen + Koordinaten der Oberfläche ausdrücken (§§ X und XI).<a name="NtA318" + href="#Nt318"><sup>[318]</sup></a></p> + + <p>Bei der Untersuchung dieses letzteren Ausdruckes bieten sich die + Coefficienten <i>E</i>, <i>F</i>, <i>G</i> des Ausdruckes des + Kurvenelementes dar, deren Bedeutung in der Theorie der Oberflächen, die + auf eine andere abwickelbar sind<a name="NtA319" + href="#Nt319"><sup>[319]</sup></a> (§ XII), Gauß zuerst hervorgehoben + hat. Dabei stellte er eine neue Betrachtungsweise der Oberflächen auf (§ + XIII), indem er dieselben als unendlich dünne, biegsame und unausdehnbare + Körper ansah. Die folgenden Paragraphen der Abhandlung von Gauß behandeln + die geodätischen Linien und haben die Bestimmung ihrer + Differentialgleichungen zum Zwecke (§ XIV und XVIII), dann die + Übertragung der Polarkoordinaten, des Kreises (§ XV), der Parallelkurven + (§§ XVI), auf die Geometrie auf einer Oberfläche, sowie die Berechnung + der totalen Krümmung eines geodätischen Dreiecks (§ XX). Die §§ XXI und + XXII beziehen sich auf die Transformation des Ausdruckes für das + Kurvenelement, die übrigen behandeln andere Fragen aus der Geodäsie und + dürften daher unsere Aufmerksamkeit nicht auf sich ziehen.</p> + +<p><!-- Page 54 --><span class="pagenum"><a name="page54"></a>{54}</span></p> + + <p>Schon aus diesen flüchtigen Andeutungen ersieht man, wie reich an + fundamentalen Begriffen die Abhandlung von Gauß ist. Die Entwickelungen, + die sie gehabt, und die vielen Arbeiten, welche sie hervorgerufen, und + von denen wir noch kurz zu sprechen haben, werden ihre Bedeutung noch + klarer machen. Unter diesen Arbeiten muß man den schönen <i>Ricerche di + analisi applicata alla geometria</i>, die B<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>i im zweiten und dritten Bande des <i>Giornale di + Matematiche</i> veröffentlicht hat, eine hervorragende Stelle einräumen, + dann den Abhandlungen von demselben Verfasser <i>Dalle variabili + complesse su una superficie qualunque</i>,<a name="NtA320" + href="#Nt320"><sup>[320]</sup></a> <i>Teoria generale dei parametri + differenziali</i><a name="NtA321" href="#Nt321"><sup>[321]</sup></a> und + <i>Zur Theorie des Krümmungsmasses</i>.<a name="NtA322" + href="#Nt322"><sup>[322]</sup></a> Bemerkenswert sind ferner die Studien + von B<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t<a name="NtA323" href="#Nt323"><sup>[323]</sup></a> + und von D<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>x<a name="NtA324" + href="#Nt324"><sup>[324]</sup></a> über die sphärische Abbildung der + Oberflächen, die sich an die ersten in den <i>Disquisitiones</i> + enthaltenen Untersuchungen anknüpfen. Der Begriff der Krümmung führte zum + Studium der Oberflächen mit konstanter (positiver oder negativer) + Krümmung, dem so viele ausgezeichnete Geometer ihre Kräfte gewidmet + haben. Unter diesen führen wir die zwei Arbeiten von B<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>i an: <i>Risoluzione del problema. Riportare i punti + di una superficie sopra un piano in modo che le geodetiche vengano + rappresentate da linee rette</i><a name="NtA325" + href="#Nt325"><sup>[325]</sup></a> und <i>Saggio di una interpretazione + della Geometria non-euclidea</i>,<a name="NtA326" + href="#Nt326"><sup>[326]</sup></a> dann die Schriften von D<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>i,<a name="NtA327" href="#Nt327"><sup>[327]</sup></a> + L<span class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e,<a name="NtA328" + href="#Nt328"><sup>[328]</sup></a> <!-- Page 55 --><span + class="pagenum"><a name="page55"></a>{55}</span>B<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>i,<a name="NtA329" + href="#Nt329"><sup>[329]</sup></a> B<span class="gsp"> </span>ä<span + class="gsp"> </span>k<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>d,<a name="NtA330" href="#Nt330"><sup>[330]</sup></a> + D<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>x<a name="NtA331" + href="#Nt331"><sup>[331]</sup></a> und D<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r.<a name="NtA332" + href="#Nt332"><sup>[332]</sup></a> Von derselben Art, aber allgemeiner, + sind die Studien von C<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>f<span + class="gsp"> </span>f<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<a name="NtA333" href="#Nt333"><sup>[333]</sup></a> + über die Bestimmung der Gestalt einer Oberfläche mit Hilfe von auf ihr + selbst genommenen Maßen und von L<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>z<a name="NtA334" href="#Nt334"><sup>[334]</sup></a> + über die Oberflächen, welche bestimmte auf die Krümmung bezügliche + Eigenschaften haben, oder bei welchen der Ausdruck des Kurvenelements von + vornherein festgesetzt ist.</p> + + <p>An den Abschnitt der Gaußischen Abhandlung, welcher die geodätischen + Linien behandelt, knüpfen sich einige Arbeiten von J<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>l (1818-1861),<a name="NtA335" + href="#Nt335"><sup>[335]</sup></a> S<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>g,<a name="NtA336" + href="#Nt336"><sup>[336]</sup></a> B<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>i,<a name="NtA337" + href="#Nt337"><sup>[337]</sup></a> die von L<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e<a name="NtA338" + href="#Nt338"><sup>[338]</sup></a> gemachte Einteilung der Oberflächen + auf Grund der Transformationsgruppen ihrer geodätischen Linien und die + Untersuchungen über geodätische Kurven von demselben Verfasser.<a + name="NtA339" href="#Nt339"><sup>[339]</sup></a> Mit demjenigen + Abschnitte, welcher sich auf die Abwickelbarkeit der Oberflächen bezieht, + steht eine wichtige Arbeit von M<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>g in enger Beziehung,<a name="NtA340" + href="#Nt340"><sup>[340]</sup></a> in der zum ersten Male die Frage + aufgestellt ist, ob die Gleichheit der Krümmung in entsprechenden Punkten + eine hinreichende Bedingung für die Abwickelbarkeit zweier Oberflächen + sei: er gelangte für den allgemeinen Fall zu einem negativen Resultate, + zu einem <!-- Page 56 --><span class="pagenum"><a + name="page56"></a>{56}</span>positiven dagegen für den Fall konstanter + Krümmung. Dasselbe gilt von den Arbeiten von B<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>r<a name="NtA341" href="#Nt341"><sup>[341]</sup></a> + (1832-1866), C<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>z<span + class="gsp"> </span>z<span class="gsp"> </span>i<a name="NtA342" + href="#Nt342"><sup>[342]</sup></a> und B<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>t,<a name="NtA343" + href="#Nt343"><sup>[343]</sup></a> welche für preiswürdige Antworten auf + die im Jahre 1861 von der Pariser Akademie der Wissenschaften gestellte + Frage erkannt worden sind. Derselbe Gegenstand oder verwandte Gegenstände + wurden dann in den Abhandlungen von C<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>f<span + class="gsp"> </span>f<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l,<a name="NtA344" href="#Nt344"><sup>[344]</sup></a> + v<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n M<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>t,<a name="NtA345" href="#Nt345"><sup>[345]</sup></a> + W<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n,<a name="NtA346" href="#Nt346"><sup>[346]</sup></a> + B<span class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>l,<a name="NtA347" + href="#Nt347"><sup>[347]</sup></a> M<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>g,<a name="NtA348" href="#Nt348"><sup>[348]</sup></a> + J<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t,<a name="NtA349" href="#Nt349"><sup>[349]</sup></a> + D<span class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>i,<a name="NtA350" href="#Nt350"><sup>[350]</sup></a> + E<span class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r,<a name="NtA351" + href="#Nt351"><sup>[351]</sup></a> R<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>z<span class="gsp"> </span>z<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>i,<a name="NtA352" href="#Nt352"><sup>[352]</sup></a> + L<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>u,<a name="NtA353" + href="#Nt353"><sup>[353]</sup></a> B<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>i<a name="NtA354" + href="#Nt354"><sup>[354]</sup></a> und vielen anderen behandelt.</p> + + <p>Die schöne von Gauß gegründete Theorie der krummlinigen Koordinaten + einer Oberfläche ließ den Wunsch entstehen, eine analoge Theorie für den + Raum zu haben. Schon im Jahre 1837 stellte L<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>é sie für einen Spezialfall auf, nämlich für den der + elliptischen Koordinaten,<a name="NtA355" + href="#Nt355"><sup>[355]</sup></a> später wies er auf die orthogonalen + krummlinigen Koordinaten <!-- Page 57 --><span class="pagenum"><a + name="page57"></a>{57}</span>hin<a name="NtA356" + href="#Nt356"><sup>[356]</sup></a> und konstruierte dann die Theorie + derselben,<a name="NtA357" href="#Nt357"><sup>[357]</sup></a> ohne ihre + Anwendung<a name="NtA358" href="#Nt358"><sup>[358]</sup></a> und + Entwickelung<a name="NtA359" href="#Nt359"><sup>[359]</sup></a> zu + vernachlässigen. Die berühmten <i>Leçons sur la théorie des coordonnées + curvilignes et leurs diverses applications</i> (Paris, 1859) von L<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>é fassen zusammen und vervollständigen die glänzenden + Resultate, die von Lamé in diesem Zweige der Geometrie erhalten waren. In + der Folge haben sich viele andere mit demselben beschäftigt. Vor allen + führe ich A<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>t an, der ihm viele und + wichtige Arbeiten widmete,<a name="NtA360" + href="#Nt360"><sup>[360]</sup></a> dann B<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>i,<a name="NtA361" + href="#Nt361"><sup>[361]</sup></a> C<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>z<span class="gsp"> </span>z<span + class="gsp"> </span>i,<a name="NtA362" href="#Nt362"><sup>[362]</sup></a> + C<span class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>i (1802-1878),<a + name="NtA363" href="#Nt363"><sup>[363]</sup></a> D<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>x,<a name="NtA364" + href="#Nt364"><sup>[364]</sup></a> C<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e,<a name="NtA365" + href="#Nt365"><sup>[365]</sup></a> L<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>v<span class="gsp"> </span>y,<a name="NtA366" + href="#Nt366"><sup>[366]</sup></a> R<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<a name="NtA367" href="#Nt367"><sup>[367]</sup></a> + und noch andere. Hierzu sehe man noch die Schriften, welche dreifache + Systeme orthogonaler Oberflächen behandeln und von denen ich nur + diejenigen von B<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>q<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t,<a name="NtA368" href="#Nt368"><sup>[368]</sup></a> + A. S<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t,<a name="NtA369" href="#Nt369"><sup>[369]</sup></a> + B<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t,<a name="NtA370" href="#Nt370"><sup>[370]</sup></a> + C<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n,<a name="NtA371" + href="#Nt371"><sup>[371]</sup></a> M<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>d,<a name="NtA372" href="#Nt372"><sup>[372]</sup></a> + D<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>x,<a name="NtA373" + href="#Nt373"><sup>[373]</sup></a> C<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y,<a name="NtA374" + href="#Nt374"><sup>[374]</sup></a> R<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>r,<a name="NtA375" href="#Nt375"><sup>[375]</sup></a> + <!-- Page 58 --><span class="pagenum"><a + name="page58"></a>{58}</span>W<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n,<a name="NtA376" + href="#Nt376"><sup>[376]</sup></a> S<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>ä<span class="gsp"> </span>f<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>i,<a name="NtA377" + href="#Nt377"><sup>[377]</sup></a> H<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>e,<a name="NtA378" href="#Nt378"><sup>[378]</sup></a> + B<span class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>i<a name="NtA379" + href="#Nt379"><sup>[379]</sup></a> und M<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>s<a name="NtA380" + href="#Nt380"><sup>[380]</sup></a> nennen will.</p> + + <p>Von den Arbeiten, welche spezielle Oberflächen behandeln, die nicht zu + bis jetzt besprochenen Kategorien gehören, führen wir die von L<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e<a name="NtA381" + href="#Nt381"><sup>[381]</sup></a> an, welche sich auf Oberflächen + beziehen, die infinitesimale lineare Transformationen in sich selbst + zulassen; dann die von E<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r,<a name="NtA382" href="#Nt382"><sup>[382]</sup></a> + die sich auf Oberflächen mit speziellen Meridiankurven beziehen, ferner + die von C<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y<a name="NtA383" href="#Nt383"><sup>[383]</sup></a> + und W<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n<a name="NtA384" href="#Nt384"><sup>[384]</sup></a> + und die von W<span class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>d<a name="NtA385" href="#Nt385"><sup>[385]</sup></a> + über Oberflächen, welche durch ihre Krümmungslinien in unendlich kleine + Quadrate geteilt werden; schließlich die von B<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>i<a name="NtA386" + href="#Nt386"><sup>[386]</sup></a> über Schraubenflächen.</p> + + <p>Ein bemerkenswerter Fortschritt in der analytischen + Infinitesimalgeometrie der Oberflächen wurde durch die Bemühungen d<span + class="gsp"> </span>e S<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>v<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>s geschaffen, der in + einigen eleganten Arbeiten,<a name="NtA387" + href="#Nt387"><sup>[387]</sup></a> wahrscheinlich hervorgerufen durch die + schönen <i>Vorlesungen über die analytische Geometrie des Raumes</i> von + H<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>e, zeigte, wie man durch + Benutzung der Gleichung einer Oberfläche in ihrer allgemeineren Form, + <i>f</i>(<i>x</i>, <i>y</i>, <i>z</i>) = 0, ein bei weitem bequemeres + System von Formeln für die Lösung gewisser Probleme aufstellen konnte, + als wenn die Gleichung <i>z</i> = <span + class="grk">φ</span>(<i>x</i>, <i>y</i>) zu Grunde gelegt wird.</p> + +<p><!-- Page 59 --><span class="pagenum"><a name="page59"></a>{59}</span></p> + + <p>Über Differentialgeometrie existieren noch einige gute Darlegungen. + Eine verdankt man H<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>e; sie trägt den Titel: <i>Elemente der + Flächentheorie</i>; eine andere wurde von B<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>e unternommen;<a name="NtA388" + href="#Nt388"><sup>[388]</sup></a> die neuesten sind die von B<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>i in seinen sehr schönen + <i>Lezioni di geometria differenziale</i> (Pisa, 1886) und die, welche + D<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>x in seinen <i>Leçons sur + la théorie générale des surfaces</i> begonnen hat, von denen wir schon + den ersten Teil besitzen (Paris, 1887).</p> + + <p>Wir wollen diesen Abschnitt beschließen, indem wir noch bemerken, daß + die Zuhilfenahme der Analysis für das Studium der Infinitesimalgeometrie + nicht notwendig ist; vielmehr haben B<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>d<a name="NtA389" + href="#Nt389"><sup>[389]</sup></a> und B<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>t<a name="NtA390" + href="#Nt390"><sup>[390]</sup></a> zuerst gezeigt, welchen Nutzen man bei + diesen Studien auch aus synthetischen Betrachtungen ziehen kann. Außerdem + enthalten der erste Band des <i>Traité de calcul différential et + intégral</i> von B<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>d und der <i>Traité de + géométrie descriptive</i> von d<span class="gsp"> </span>e l<span + class="gsp"> </span>a G<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>e<a name="NtA391" href="#Nt391"><sup>[391]</sup></a> + und eine große Zahl von überaus schönen Abhandlungen von M<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>m<a name="NtA392" href="#Nt392"><sup>[392]</sup></a> + bemerkenswerte geometrische Untersuchungen, welche dem Zweige der + Wissenschaft des Raumes, mit dem wir uns eben beschäftigt haben, + angehören.</p> + +<p><!-- Page 60 --><span class="pagenum"><a name="page60"></a>{60}</span></p> + + <p> </p> + + <p><br style="clear:both" /></p> +<hr class="short" /> + +<h2>IV.</h2> + +<h2>Untersuchungen über die Gestalt der Kurven<br />und Oberflächen. Abzählende Geometrie.</h2> + +<h3>———</h3> + + <p> </p> + + <p>Bei der Besprechung der bedeutenderen Fortschritte, welche die Theorie + der Kurven und die der Oberflächen gemacht, haben wir zwei wichtige + Kategorien der Untersuchung übergangen, weil wir dieselben besser in + einem besonderen Abschnitte unserer Arbeit zusammenfassen können.</p> + + <p>Die erstere umfaßt eine Reihe von Studien besonderer Natur und hat zum + Zwecke die Bestimmung der Gestalt, welche die Kurven und Oberflächen von + gegebener Ordnung annehmen können, und ich halte es für angemessen, bei + diesen eine Zeit lang zu verweilen.</p> + + <p>Die Bestimmung der Gestalt der Kurven z<span + class="gsp"> </span>w<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r Ordnung reicht schon in + das Altertum. Für dieselbe bedurfte es auch nicht eines hervorragenden + Geistes, wenn man bedenkt, daß die Alten jene Kurven als Schnitte eines + Kreiskegels betrachteten.</p> + + <p>Dagegen ist die Bestimmung der Gestalt, welche die Kurven d<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r Ordnung annehmen können, + nicht ohne Schwierigkeit. N<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>w<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n überwand diese, indem er + lehrte, daß alle Kurven dritter Ordnung durch Projektion von fünfen + derselben, welche er divergierende Parabeln nannte, erhalten werden + können.<a name="NtA393" href="#Nt393"><sup>[393]</sup></a> Zu dieser + ersten Einteilung der Formen <!-- Page 61 --><span class="pagenum"><a + name="page61"></a>{61}</span>der Kurven dritter Ordnung fügte C<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s<a name="NtA394" + href="#Nt394"><sup>[394]</sup></a> eine weitere hinzu, die, obwohl sie + auf einem ganz anderen Gedanken beruhte, mit der von Newton eine nicht zu + verkennende Analogie bietet. Nach ihr kann man die Formen der Kurven + dritter Ordnung sämtlich auffinden durch Projektion von fünfen derselben, + die symmetrisch in bezug auf ein Zentrum sind. Eine dritte Methode der + Einteilung endlich stützt sich auf das konstante Doppelverhältnis der + vier Tangenten, die man an die allgemeine Kurve dritter Ordnung von einem + ihrer Punkte aus ziehen kann; diese wurde von D<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>è<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>e entwickelt.<a name="NtA395" + href="#Nt395"><sup>[395]</sup></a></p> + +<p><!-- Page 62 --><span class="pagenum"><a name="page62"></a>{62}</span></p> + + <p>Bei weitem grössere Schwierigkeit bietet das Studium der Gestalt der + ebenen Kurven v<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r Ordnung, die schon angeführten Arbeiten von B<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e, E<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r und P<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>ü<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>k<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r bilden hierzu einen wichtigen Beitrag. Es scheint + aber nicht, daß man diese — dasselbe gilt auch von den schon + genannten auf die kubische Kurve bezüglichen — als die Grundlage zu + einer allgemeinen Theorie der Gestalt der ebenen Kurven ansehen darf; + vielmehr muß man dieselben als die ersten Vorläufer jener Lehren + betrachten, die man heute als eine feste Grundlage dieser Theorie + ansieht. Solche Lehren gehören in das Gebiet der synthetischen Geometrie, + zum Teil aber waren sie das Resultat der Anwendung der Abelschen + Funktionen auf die Wissenschaft der Ausdehnung. Von den ersteren wurden + einige von S<span class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>t in seiner <i>Geometrie der Lage</i><a name="NtA396" + href="#Nt396"><sup>[396]</sup></a> auseinandergesetzt und beziehen sich + auf die Gestalten der ebenen Polygone und der Polyeder, die paaren und + die unpaaren Züge der Kurven, die Rückkehrelemente der Figuren; andere + wurden von T<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>t<a name="NtA397" href="#Nt397"><sup>[397]</sup></a> + angegeben und von J. M<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r entwickelt,<a name="NtA398" + href="#Nt398"><sup>[398]</sup></a> andere schließlich von H<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>t angedeutet<a name="NtA399" + href="#Nt399"><sup>[399]</sup></a> und mit vielem Glücke von E. K<span + class="gsp"> </span>ö<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r verallgemeinert.<a name="NtA400" + href="#Nt400"><sup>[400]</sup></a> Die zweiten sind fast alle aus der + Schule von K<span class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n hervorgegangen. Da ich + auf die vielen Einzelheiten dieses Gegenstandes nicht eingehen kann, so + möge es hier genügen, unter den schon erhaltenen Resultaten einige + besondere Sätze über die Kurve vierter Ordnung anzuführen, die man Z<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n<a name="NtA401" + href="#Nt401"><sup>[401]</sup></a> und C<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<a name="NtA402" href="#Nt402"><sup>[402]</sup></a> + verdankt; dann <!-- Page 63 --><span class="pagenum"><a + name="page63"></a>{63}</span>eine sehr wichtige Relation zwischen den + Zahlen der reellen und imaginären Singularitäten einer ebenen Kurve, zu + welcher K<span class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n geführt wurde,<a + name="NtA403" href="#Nt403"><sup>[403]</sup></a> als er die von P<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>ü<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>k<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<a name="NtA404" + href="#Nt404"><sup>[404]</sup></a> und Z<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n vorgeschlagenen Klassifikationen der Kurven vierter + Ordnung studierte; ferner einen sehr schönen Lehrsatz,<a name="NtA405" + href="#Nt405"><sup>[405]</sup></a> von H<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>k (1851-1888) entdeckt, welcher dadurch, daß er eine + unerwartete Beziehung zwischen der Form einer Kurve und ihrem Geschlechte + enthüllte, die Wichtigkeit des letzteren von neuem bestätigte.</p> + + <p>Wenn so die Theorie der Gestaltlichkeit der ebenen Kurven noch weit + entfernt vom Zustand der Reife ist, so kann man von den analogen + Untersuchungen über die Oberflächen sagen, daß sie sich noch in ihrer + Kindheit befinden. Allgemeine Untersuchungen auf diesem Felde existieren + meines Wissens nicht, außer denjenigen, die von M<span + class="gsp"> </span>ö<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>s in seiner <i>Theorie der elementaren + Verwandtschaften</i> niedergelegt sind,<a name="NtA406" + href="#Nt406"><sup>[406]</sup></a> und welche, so scharfsinnig und + interessant sie auch sind, einen geschickten Nachfolger erwarten lassen, + welcher die ganze Fülle derselben zu Tage fördert. Dasselbe gilt für + gewisse originelle Gesichtspunkte, die in den vielen Arbeiten von K<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n zerstreut sind. Für den + Fortschritt der Geometrie würde es von höchstem Interesse sein, beide + weiter entwickelt zu sehen; unglücklicherweise wird aber diese Theorie + wenig betrieben, in den letzten Jahren ist vielleicht Rohn<a + name="NtA407" href="#Nt407"><sup>[407]</sup></a> der einzige, der hierin + einige Fortschritte gemacht hat, die wert sind, verzeichnet zu + werden.</p> + +<p><!-- Page 64 --><span class="pagenum"><a name="page64"></a>{64}</span></p> + + <p>Wenn auch die allgemeine Theorie ein bis jetzt noch unbefriedigtes + Bedürfnis ist, so fehlt es doch nicht an Spezialuntersuchungen. Die + Bestimmung der Gestalt der Oberflächen zweiten Grades übergehe ich als zu + einfach und führe die der Oberflächen dritter Ordnung an, die mit Erfolg + von K<span class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n,<a name="NtA408" + href="#Nt408"><sup>[408]</sup></a> S<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>ä<span class="gsp"> </span>f<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>i,<a name="NtA409" + href="#Nt409"><sup>[409]</sup></a> Z<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n<a name="NtA410" href="#Nt410"><sup>[410]</sup></a> + gemacht ist, und neuerdings von B<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r durch die Untersuchung der Gestalt der + parabolischen Kurve vervollständigt wurde;<a name="NtA411" + href="#Nt411"><sup>[411]</sup></a> ferner die der Dupinschen Cykliden, + die wir M<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>x<span + class="gsp"> </span>w<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>l<a name="NtA412" + href="#Nt412"><sup>[412]</sup></a> verdanken; dann die der Oberflächen + vierter Ordnung mit Doppelkegelschnitt, die ebenfalls von Z<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n<a name="NtA413" + href="#Nt413"><sup>[413]</sup></a> herrührt; die der Oberflächen vierter + Ordnung mit Cuspidalkegelschnitt, die von C<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<a name="NtA414" + href="#Nt414"><sup>[414]</sup></a> ausgeführt ist; endlich die der + Kummerschen Flächen und der Kegelflächen viertes Grades, welche der + Gegenstand wichtiger Untersuchungen von R<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>n<a name="NtA415" + href="#Nt415"><sup>[415]</sup></a> gewesen sind. Die reichhaltige + Sammlung von Modellen von L<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>w<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>g B<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>l, die sich jedes Jahr um + neue und interessante Serien vermehrt, zeigt das Interesse, welches das + gelehrte Deutschland für vorliegende Untersuchungen hat.<a name="NtA416" + href="#Nt416"><sup>[416]</sup></a></p> + + <p>Was die Gestalt der Kurven d<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r Krümmung angeht, so existieren darüber bis jetzt + noch keine allgemeinen Untersuchungen von Bedeutung; man kann sagen, daß + sich dieselben auf die Beobachtungen beschränken, die C<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>r. W<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<a name="NtA417" href="#Nt417"><sup>[417]</sup></a> + <!-- Page 65 --><span class="pagenum"><a name="page65"></a>{65}</span>und + B<span class="gsp"> </span>j<span class="gsp"> </span>ö<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>g<a name="NtA418" href="#Nt418"><sup>[418]</sup></a> + gemacht haben, indem sie die Modelle der gewöhnlichen Singularitäten + einer Raumkurve konstruierten.</p> + + <p>Eine zahllose Reihe wichtiger Untersuchungen hat die Bestimmung der + Anzahl der geometrischen Gebilde zum Ziele, welche Bedingungen genügen, + die hinreichen, eine endliche Zahl derselben festzulegen. Der B<span + class="gsp"> </span>é<span class="gsp"> </span>z<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>sche Lehrsatz, welcher die + Zahl der Lösungen eines bestimmten Systems von algebraischen Gleichungen + angiebt, ist fast immer nicht verwendbar für die Lösung solcher Fragen, + da, während dieser Satz auf allgemeine Gleichungen ihres Grades sich + stützt, die Gleichungen, welche man bei dem Versuche, diese Probleme + analytisch zu lösen, erhält, von spezieller Form sind. Wahrscheinlich ist + das der Grund dafür, daß diese Probleme größtenteils bis in + verhältnismäßig neuerer Zeit ungelöst geblieben sind.<a name="NtA419" + href="#Nt419"><sup>[419]</sup></a></p> + + <p>Auf C<span class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s fällt der Ruhm, in + seiner <i>Methode der Charakteristiken</i> ein feines und mächtiges + Hilfsmittel gefunden zu haben (1864), mit dem er eine große Zahl von + Problemen der angedeuteten Art für den Fall, daß die betrachteten Gebilde + Kegelschnitte in einer Ebene sind, lösen konnte und einen Weg bahnte, um + auch in dem Falle, wo die <!-- Page 66 --><span class="pagenum"><a + name="page66"></a>{66}</span>Gebilde beliebige sind, zur Lösung derselben + zu gelangen.<a name="NtA420" href="#Nt420"><sup>[420]</sup></a> Der + Hauptgedanke desselben war die fortwährende Betrachtung der ausgearteten + Kurven und der systematische Gebrauch der Charakteristiken eines + einfach-unendlichen Systemes von Kegelschnitten, d. h. der Zahlen, die + angeben, wie viele Kegelschnitte des Systemes durch einen gegebenen Punkt + gehen, wie viele eine gegebene Gerade berühren.</p> + + <p>Dadurch, daß man diese Begriffe weiter ausdehnte, konnte man + Hilfsmittel erhalten, die auf andere Figuren anwendbar sind. C<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s selbst entdeckte alsbald + die Anwendung seiner Untersuchungen auf die Kegelschnitte im Raume<a + name="NtA421" href="#Nt421"><sup>[421]</sup></a> und auf die Flächen + zweiter Ordnung.<a name="NtA422" href="#Nt422"><sup>[422]</sup></a> + Z<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n und M<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>d gaben neue Beispiele der Erweiterung, der eine in + der wichtigen Abhandlung, die wir schon Gelegenheit hatten zu zitieren, + <i>Almindelige Egenskaber ved Systemer af plane Kurver</i>,<a + name="NtA423" href="#Nt423"><sup>[423]</sup></a> der andere in seiner + Dissertation <i>Recherches des caractéristiques des systèmes élémentaires + de courbes <!-- Page 67 --><span class="pagenum"><a + name="page67"></a>{67}</span>planes du troisième ordre</i>;<a + name="NtA424" href="#Nt424"><sup>[424]</sup></a> andere findet der Leser + in den Schriften von S<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>m über die kubischen Raumkurven<a name="NtA425" + href="#Nt425"><sup>[425]</sup></a> und denen von S<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>t über die ebenen Kurven dritter Ordnung und dritter + und vierter Klasse, im Raume betrachtet.<a name="NtA426" + href="#Nt426"><sup>[426]</sup></a> Ferner sind die von Chasles gemachten + Betrachtungen enge mit denjenigen verbunden, welche in den wichtigen + Abhandlungen von C<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y, <i>On the curves which + satisfy given conditions</i><a name="NtA427" + href="#Nt427"><sup>[427]</sup></a> enthalten sind, sowie in einigen + Arbeiten von J<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>q<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>è<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>s über Systeme von Kurven und Flächen.<a + name="NtA428" href="#Nt428"><sup>[428]</sup></a> Endlich gehören hierher + noch die Untersuchungen von H<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>t<a name="NtA429" href="#Nt429"><sup>[429]</sup></a> + und S<span class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>m<a name="NtA430" + href="#Nt430"><sup>[430]</sup></a> über Systeme von Projektivitäten und + Korrelationen, sowie die von Z<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n<a name="NtA431" href="#Nt431"><sup>[431]</sup></a> + über die Plückerschen Charakteristiken der Enveloppen. Wir wollen noch + bemerken, daß zwischen den Systemen ebener Kurven und den + Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei Variabelen eine sehr + innige Beziehung besteht, die sich zu erkennen giebt, indem die Integrale + einer dieser Gleichungen ein System von Kurven darstellen. Die gegebene + Differentialgleichung läßt jedem Punkte eine bestimmte Anzahl von ihm + ausgehender Richtungen entsprechen und einer Geraden eine bestimmte + Anzahl auf ihr liegender Punkte. Auf diese Beziehungen wurde C<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h durch seine + Untersuchungen über die Konnexe<a name="NtA432" + href="#Nt432"><sup>[432]</sup></a> (vgl. § VI) und unabhängig von F<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t<a name="NtA433" href="#Nt433"><sup>[433]</sup></a> + <!-- Page 68 --><span class="pagenum"><a + name="page68"></a>{68}</span>geführt. In ähnlicher Weise kann man eine + Beziehung zwischen den Differentialgleichungen erster Ordnung mit drei + Variabelen und einem Systeme von Oberflächen aufstellen, wie dies + ebenfalls F<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t<a name="NtA434" href="#Nt434"><sup>[434]</sup></a> + bemerkt hat. Dieser Zusammenhang ist von grosser Wichtigkeit, weil er + gestattet, Sätze auf transcendente Kurven oder Oberflächen auszudehnen, + von denen man glaubte, daß sie nur für algebraische Kurven oder + Oberflächen gültig seien; so konnte F<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>t den Satz über die Zahl + der Kurven eines Systemes, welche eine gegebene algebraische Kurve + berühren, auf Systeme von transcendenten Kurven ausdehnen,<a + name="NtA435" href="#Nt435"><sup>[435]</sup></a> konnte ferner die + Ordnung des Ortes der Berührungspunkte eines einfach unendlichen Systemes + von Oberflächen mit den Oberflächen eines doppelt unendlichen Systemes + bestimmen,<a name="NtA436" href="#Nt436"><sup>[436]</sup></a> ebenso die + Ordnung des Ortes der Berührungspunkte der Oberflächen eines doppelt + unendlichen Systemes mit einer gegebenen algebraischen Oberfläche<a + name="NtA437" href="#Nt437"><sup>[437]</sup></a> u. s. w.<a name="NtA438" + href="#Nt438"><sup>[438]</sup></a></p> + + <p>Trotz dieser und anderer Arbeiten, die ich der Kürze wegen übergehe, + war die ganze Tragweite der C<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>schen Betrachtungen noch + nicht offenbar geworden; das geschah durch den letzten, von dem ich zu + sprechen habe, durch H<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>n S<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>t in seinem <i>Kalkül der + abzählenden Geometrie</i>.<a name="NtA439" + href="#Nt439"><sup>[439]</sup></a> Dieses Buch, das noch viel zu wenig + <!-- Page 69 --><span class="pagenum"><a + name="page69"></a>{69}</span>geschätzt wird, kann man mit Recht als + dasjenige betrachten, welches zuerst von Grund auf das Problem + behandelte, »zu bestimmen, wie viele geometrische Gebilde von gegebener + Definition einer hinreichenden Zahl von Bedingungen genügen,« d. h. das + Problem der abzählenden Geometrie. Dort sind die Korrespondenzprinzipien + unter ihrem wahren Gesichtspunkte auseinandergesetzt,<a name="NtA440" + href="#Nt440"><sup>[440]</sup></a> dort ist klar erörtert, was man unter + dem Charakteristikenproblem einer bestimmten Figur zu verstehen hat, und + sind Methoden von außerordentlicher Macht für dessen Lösung gezeigt. Die + Schubertschen Methoden sind dazu bestimmt, eines Tages das übliche + Hilfsmittel für den Mathematiker zu werden, wie es augenblicklich die + Cartesische Geometrie ist, und niemand wird mich der Übertreibung + beschuldigen, der bedenkt, daß dieselben in einer Unzahl von Fällen zur + Lösung des allgemeinen Problemes der Elimination dienen, d. h. die Zahl + der Lösungen eines Systemes von algebraischen Gleichungen zu bestimmen. + Daher müssen alle, Analytiker und Geometer, dem Werke von Schubert, durch + welches er die abzählende Geometrie zu einer besonderen Disziplin erhoben + hat, reiches Lob zollen, oder besser, anstatt es blos zu bewundern, sich + <!-- Page 70 --><span class="pagenum"><a + name="page70"></a>{70}</span>vornehmen, die fruchtbaren Methoden + desselben zu vervollkommnen und sie von Mängeln frei zu machen, d. h. sie + von dem Tadel, der ihnen von einigen gemacht worden ist, daß sie nicht + ganz strenge seien, zu befreien und sie selbst oder wenigstens die + Anwendungen, deren sie fähig sind, zu vermehren.</p> + + <p>Die auf die Theorie der Charakteristiken bezüglichen Andeutungen<a + name="NtA441" href="#Nt441"><sup>[441]</sup></a> würden eine + unverzeihliche Lücke darbieten, wenn sie nicht einen Hinblick auf eine + wichtige Frage böten, die zwischen einigen Geometern ventiliert wurde, + und die man heute als schon gelöst betrachten darf. Geleitet nämlich + durch einen Induktionsschluß, behauptete C<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s, daß die Zahl derjenigen + Kegelschnitte eines einfach unendlichen Systemes, welche einer neuen + einfachen Bedingung genügen, ausgedrückt wird durch eine homogene lineare + Funktion der Charakteristiken des Systemes, deren Koeffizienten einzig + und allein von dieser Bedingung abhängen. D<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>x,<a name="NtA442" + href="#Nt442"><sup>[442]</sup></a> C<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h,<a name="NtA443" href="#Nt443"><sup>[443]</sup></a> + L<span class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>n,<a name="NtA444" + href="#Nt444"><sup>[444]</sup></a> H<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>w<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>z und S<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>t,<a name="NtA445" + href="#Nt445"><sup>[445]</sup></a> sowie noch andere glaubten diesen Satz + beweisen zu können. Aber daß die von ihnen angeführten Gründe nicht + beweiskräftig waren, wurde in einer Reihe von Arbeiten gezeigt, in + welchen H<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n<a name="NtA446" + href="#Nt446"><sup>[446]</sup></a> die Hinfälligkeit der Vermutung + Chasles' klar legte und zeigte, wie man den vorher angeführten Satz + modifizieren müsse. In der Theorie der Charakteristiken der Systeme von + Flächen zweiten Grades hat man einen analogen Satz, den ebenfalls H<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n<a name="NtA447" + href="#Nt447"><sup>[447]</sup></a> entdeckt hat. Jedoch glaube man nicht, + daß diese Sätze <!-- Page 71 --><span class="pagenum"><a + name="page71"></a>{71}</span>von Halphen die Resultate zerstören, welche + man erhalten, indem man den Chaslesschen Weg einschlug; vielmehr sind + dieselben glücklicherweise meistenteils unabhängig von dem fraglichen + Theorem, und für die anderen Fälle ist es leicht zu zeigen, welche + Korrektionen man machen muß.<a name="NtA448" + href="#Nt448"><sup>[448]</sup></a></p> + + <p> </p> + + <p><br style="clear:both" /></p> +<hr class="short" /> + +<h2>V.</h2> + +<h2>Theorie der Kurven doppelter Krümmung.</h2> + +<h3>———</h3> + + <p> </p> + + <p>Die Theorie der ebenen Kurven kann man in zwei verschiedenen + Richtungen verallgemeinern. Indem man die Thatsache ins Auge faßt, daß + eine solche Kurve durch e<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e Gleichung zwischen den + Koordinaten eines Punktes einer Ebene dargestellt wird, so ergiebt sich + als Analogon im Raume die Theorie der Oberflächen, indem diese als durch + e<span class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e Gleichung zwischen den Koordinaten eines Punktes im + Raume darstellbar betrachtet werden, auf welche Betrachtung wir im + Vorhergehenden eingegangen sind. Wenn man hingegen eine ebene Kurve als + eine Reihe von einfach unendlich vielen Punkten ansieht, so kann man die + Theorie ausdehnen, indem man die Beschränkung aufhebt, daß diese in einer + Ebene gelegen seien: dann entsteht die Theorie der unebenen Kurven.</p> + + <p>Das Studium der Infinitesimaleigenschaften derselben kann man leicht + genug mit Hilfe von Methoden machen, die nicht sehr verschieden sind von + denjenigen, die für die <!-- Page 72 --><span class="pagenum"><a + name="page72"></a>{72}</span>ebenen Kurven angewandt werden. Deshalb + wurde dasselbe, wie ich schon sagte, vor mehr als einem Jahrhundert von + C<span class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>t unternommen und wurde hernach von L<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>t (1774-1807),<a + name="NtA449" href="#Nt449"><sup>[449]</sup></a> M<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>e,<a name="NtA450" + href="#Nt450"><sup>[450]</sup></a> T<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>u,<a name="NtA451" href="#Nt451"><sup>[451]</sup></a> + d<span class="gsp"> </span>e S<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>-<span + class="gsp"> </span>V<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>t (1797-1886),<a + name="NtA452" href="#Nt452"><sup>[452]</sup></a> von F<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t,<a name="NtA453" href="#Nt453"><sup>[453]</sup></a> + A<span class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>f<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>d S<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>t<a name="NtA454" + href="#Nt454"><sup>[454]</sup></a> und P<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>l S<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t, von L<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>v<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e (1809-1882),<a name="NtA455" + href="#Nt455"><sup>[455]</sup></a> B<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>d,<a name="NtA456" + href="#Nt456"><sup>[456]</sup></a> von P<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>x (1820-1883),<a name="NtA457" + href="#Nt457"><sup>[457]</sup></a> von L<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>e<a name="NtA458" href="#Nt458"><sup>[458]</sup></a> + und vielen anderen fortgesetzt.<a name="NtA459" + href="#Nt459"><sup>[459]</sup></a></p> + + <p>Aber abgesehen von dieser Betrachtungsrichtung bietet das Studium der + übrigen allgemeinen Eigenschaften der unebenen Kurven sehr große + Schwierigkeiten. Man vermutete eine Zeit lang, daß jede Kurve im Raume + als der vollständige Schnitt zweier Oberflächen angesehen werden und + daher durch ein System von z<span class="gsp"> </span>w<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>i Gleichungen zwischen den + Koordinaten eines Punktes im Raume dargestellt werden könnte;<a + name="NtA460" href="#Nt460"><sup>[460]</sup></a> aber bald erkannte man + die Existenz von Kurven, die nicht der vollständige Schnitt von + Oberflächen sind, und die Notwendigkeit, dieselben nicht vermittelst + zweier, <!-- Page 73 --><span class="pagenum"><a + name="page73"></a>{73}</span>sondern dreier Gleichungen darzustellen, die + ebenso vielen durch dieselbe hindurchgehenden Oberflächen entsprechen. + Man setzte voraus, daß die Kenntnis der Ordnung zur Einteilung der + unebenen Kurven hinreichen würde, aber sobald man an die vierte Ordnung + gekommen war, erkannte man, daß dieselbe nicht genüge.<a name="NtA461" + href="#Nt461"><sup>[461]</sup></a> Man hätte nun glauben sollen, daß die + Ordnung und die Zahl der scheinbaren Doppelpunkte für den besagten Zweck + hinreichen würden, aber als man an die neunte Ordnung herantrat, sah man, + daß man sich geirrt habe.<a name="NtA462" + href="#Nt462"><sup>[462]</sup></a> Auch eine dritte Zahl, die niedrigste + Ordnung der Kegel, die durch die von einem Punkte herkommenden Sehnen + (Doppelsekanten) der Kurve gehen, konnte nur bei den Kurven von niederer, + als der fünfzehnten Ordnung dazu verhelfen. So kam man denn zu dem + Schlusse, daß es unmöglich sei, eine gegebene Kurve vermittelst einer + bestimmten Menge von vornherein angebbarer Zahlen zu + charakterisieren.</p> + + <p>Ich habe diese Thatsachen anführen wollen, um zu zeigen, daß die + a<span class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e Theorie der unebenen Kurven keine Ähnlichkeit mit + irgend einem anderen Teile der Geometrie zeigt und, indem ich auf die + erschreckliche Dunkelheit, die sie darbietet, hinwies, dem Leser das + Mittel geben wollen, den Grund zu finden, warum die Kenntnisse, die wir + über diese Gebilde haben, so wenig zahlreich und erst neueren Ursprunges + sind.</p> + + <p>Die ersten allgemeinen Resultate über die Kurven doppelter Krümmung + verdanken wir C<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y, welcher ihnen zwei + wichtige Abhandlungen gewidmet hat. In einer derselben stellte er die + Formeln (analog denen von Plücker) auf, welche die Zahl der + Singularitäten einer Raumkurve <!-- Page 74 --><span class="pagenum"><a + name="page74"></a>{74}</span>untereinander verbinden.<a name="NtA463" + href="#Nt463"><sup>[463]</sup></a> In der anderen führte er für das + Studium der Raumkurven von der Ordnung <i>n</i> diejenigen + bemerkenswerten Flächen ein, welche er »Monoide« nannte.<a name="NtA464" + href="#Nt464"><sup>[464]</sup></a></p> + + <p>Nach diesen Arbeiten müssen wir, um einen wirklich bemerkenswerten + Fortschritt in der Theorie, welche uns beschäftigt, zu finden, uns zu + H<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n und N<span + class="gsp"> </span>ö<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r wenden, deren Abhandlungen<a name="NtA465" + href="#Nt465"><sup>[465]</sup></a>, im Jahre 1882 von der Akademie zu + Berlin mit dem Preise gekrönt, die Grundlage für eine allgemeine Theorie + der Raumkurven sind; denn sie behandeln die Probleme: »alle voneinander + verschiedenen Kurven von gegebener Ordnung zu bestimmen«, »anzugeben, + welche Kurven es auf einer gegebenen Oberfläche giebt« und noch viele + andere von nicht geringer Bedeutung. Diese beiden Arbeiten verschlingen + sich so enge und durchdringen sich so innig, daß es sehr schwer wird, zu + entscheiden, welcher Anteil jedem der beiden Autoren in den vielen + gemeinsamen <!-- Page 75 --><span class="pagenum"><a + name="page75"></a>{75}</span>Resultaten zufällt, die sie enthalten. Wenn + einerseits N<span class="gsp"> </span>ö<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r die Theoreme, welche Ende des Jahres 1870 von + H<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n in den <i>Comptes + rendus</i> und an anderen Stellen<a name="NtA466" + href="#Nt466"><sup>[466]</sup></a> ausgesprochen sind, ausbeuten konnte, + so konnte dieser sich der Sätze bedienen, welche in der sehr bedeutenden + Abhandlung von B<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>l und N<span class="gsp"> </span>ö<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r, <i>Über die + algebraischen Funktionen und ihre Anwendung in der Geometrie</i><a + name="NtA467" href="#Nt467"><sup>[467]</sup></a> enthalten sind, und in + derjenigen, in welcher N<span class="gsp"> </span>ö<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r streng den + Fundamentalsatz der Theorie der algebraischen Funktionen dargethan hatte, + welcher in der Auseinandersetzung von H<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n unumgänglich notwendig war.<a name="NtA468" + href="#Nt468"><sup>[468]</sup></a> Und man glaube nicht, daß die von den + beiden Geometern bei ihrem Thema eingeschlagenen Wege im wesentlichen + verschieden gewesen seien, vielmehr benutzten sie beide (wie Cayley + geraten hatte) Monoide, und wenn der eine vorzugsweise Formeln und Sätze + aus der Theorie der Abelschen Integrale gebraucht, so wendet der andere + solche Lehrsätze über die algebraischen Funktionen an, welche zu + denselben Eigenschaften führen. Jedenfalls steht es außer Zweifel, daß + diese beiden hervorragenden Produktionen unseres Zeitalters bestimmt + sind, die Grundlage für die zukünftigen geometrischen Untersuchungen zu + bilden, und wenn bis jetzt sich ihr Einfluß noch nicht so allgemein + geltend gemacht hat, so ist dieses vorzugsweise den großen + Schwierigkeiten zuzuschreiben, die ihr Gegenstand noch immer darbietet, + und vielleicht auch den Lücken, die in den Methoden vorhanden sind, die + man zu Hilfe nehmen könnte, um jene zu überwinden.<a name="NtA469" + href="#Nt469"><sup>[469]</sup></a></p> + +<p><!-- Page 76 --><span class="pagenum"><a name="page76"></a>{76}</span></p> + + <p>Aber vor der Begründung der allgemeinen Theorie wurden viele einzelne + Kurven einem genaueren Studium unterworfen; da ich aber wünsche, mehr als + getreuer, denn als glänzender Geschichtsschreiber angesehen zu werden, so + muß ich hier eine Aufzählung der Arbeiten unternehmen, in welchen die + hervorragenderen unter diesen Untersuchungen enthalten sind.</p> + + <div class="poem"> + <div class="stanza"> + <p>»<i>Degli altri fia laudabile il tacerci,</i></p> + <p><i>Chè il tempo saria corto a tanto suono.</i>«<a name="NtA470" href="#Nt470"><sup>[470]</sup></a></p> + </div> + </div> + + <p>Unter ihnen verdienen den ersten Platz diejenigen, welche die + kubischen Raumkurven behandeln. Über diese haben M<span + class="gsp"> </span>ö<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>s<a name="NtA471" href="#Nt471"><sup>[471]</sup></a> + und C<span class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s<a name="NtA472" + href="#Nt472"><sup>[472]</sup></a> verschiedene sehr schöne Eigenschaften + aufgefunden; dieselben vermehrten sich mit solcher Schnelligkeit, daß + S<span class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>t<a name="NtA473" href="#Nt473"><sup>[473]</sup></a> + binnen kurzem die vollständige Analogie, die zwischen ihnen und den + Kegelschnitten besteht, feststellen konnte; diese Analogie hat sich von + Tag zu Tag mehr vervollkommnet, dank den Studien von S<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>w<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>z,<a name="NtA474" + href="#Nt474"><sup>[474]</sup></a> J<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<a name="NtA475" + href="#Nt475"><sup>[475]</sup></a> C<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>a,<a name="NtA476" href="#Nt476"><sup>[476]</sup></a> + <!-- Page 77 --><span class="pagenum"><a + name="page77"></a>{77}</span>S<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>ö<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r,<a name="NtA477" + href="#Nt477"><sup>[477]</sup></a> R<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>e,<a name="NtA478" + href="#Nt478"><sup>[478]</sup></a> E<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>l W<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>r,<a name="NtA479" href="#Nt479"><sup>[479]</sup></a> + S<span class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>m,<a name="NtA480" + href="#Nt480"><sup>[480]</sup></a> H<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>w<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>z,<a name="NtA481" href="#Nt481"><sup>[481]</sup></a> + welche nicht allein die Aufstellung einer vollständigen synthetischen + Behandlung dieser Kurven gestatten, sondern auch das Terrain für die so + elegante analytische Auseinandersetzung ebneten, die mein innigst + geliebter Lehrer E. d<span class="gsp"> </span>'<span + class="gsp"> </span>O<span class="gsp"> </span>v<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>o<a name="NtA482" + href="#Nt482"><sup>[482]</sup></a> und P<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>i<a name="NtA483" href="#Nt483"><sup>[483]</sup></a> + gemacht haben.</p> + + <p>Dann will ich die Theorie der unebenen, auf einem einschaligen + Hyperboloide gezeichneten Kurven anführen, für welche C<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s<a name="NtA484" + href="#Nt484"><sup>[484]</sup></a> das Fundament gelegt hat, und die von + unserem C<span class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>a<a name="NtA485" + href="#Nt485"><sup>[485]</sup></a> so sehr bereichert ist. Ferner will + <!-- Page 78 --><span class="pagenum"><a name="page78"></a>{78}</span>ich + der vielen Eigenschaften erwähnen, welche P<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t,<a name="NtA486" href="#Nt486"><sup>[486]</sup></a> + C<span class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s,<a name="NtA487" + href="#Nt487"><sup>[487]</sup></a> C<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>a,<a name="NtA488" href="#Nt488"><sup>[488]</sup></a> + R<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>e,<a name="NtA489" href="#Nt489"><sup>[489]</sup></a> + P<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>l S<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>t,<a name="NtA490" + href="#Nt490"><sup>[490]</sup></a> L<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e,<a name="NtA491" + href="#Nt491"><sup>[491]</sup></a> M<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>w<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>k<span class="gsp"> </span>i<a name="NtA492" + href="#Nt492"><sup>[492]</sup></a> und viele andere über die Raumkurven + vierter Ordnung erster Art gefunden haben, und die schönen Anwendungen, + die sie für die Theorie der zweifach periodischen Funktionen geliefert + haben, — H<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>k,<a name="NtA493" href="#Nt493"><sup>[493]</sup></a> + L<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>e,<a name="NtA494" + href="#Nt494"><sup>[494]</sup></a> W<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l,<a name="NtA495" + href="#Nt495"><sup>[495]</sup></a> L<span class="gsp"> </span>é<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>é<a name="NtA496" + href="#Nt496"><sup>[496]</sup></a> u. s. w. Auch kann ich die schönen + Arbeiten von C<span class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>a,<a name="NtA497" + href="#Nt497"><sup>[497]</sup></a> von A<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e,<a name="NtA498" href="#Nt498"><sup>[498]</sup></a> + B<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>i<a name="NtA499" + href="#Nt499"><sup>[499]</sup></a> und E<span class="gsp"> </span>m. + W<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>r<a name="NtA500" href="#Nt500"><sup>[500]</sup></a> + über die Raumkurven vierter Ordnung zweiter Art nicht stillschweigend + übergehen, ferner nicht die von K<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n und L<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>e über die durch unendlich viele lineare + Transformationen in sich selbst transformierten <!-- Page 79 --><span + class="pagenum"><a name="page79"></a>{79}</span>Kurven,<a name="NtA501" + href="#Nt501"><sup>[501]</sup></a> noch auch die von F<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<a name="NtA502" + href="#Nt502"><sup>[502]</sup></a> angestellte Bestimmung der Kurven von + nicht höherer als neunter Ordnung, die zu ihren eigenen + Tangenten-Developpabelen dual sind. Und wie könnte ich es unterlassen, + einen Blick auf die große Zahl von Kurven zu werfen, welche C<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>a und S<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>m<a name="NtA503" + href="#Nt503"><sup>[503]</sup></a> studiert haben, indem sie sich mit der + Geometrie auf einer Oberfläche dritter Ordnung beschäftigten, dann auf + die wichtigen Probleme, die von C<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h und seinen Schülern über die rationalen,<a + name="NtA504" href="#Nt504"><sup>[504]</sup></a> elliptischen und + hyperelliptischen<a name="NtA505" href="#Nt505"><sup>[505]</sup></a> + Kurven gelöst sind, und die eleganten Eigenschaften, welche B<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>i<a name="NtA506" + href="#Nt506"><sup>[506]</sup></a> an den rationalen Kurven fünfter + Ordnung auffand, sowie W. S<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>l<a name="NtA507" href="#Nt507"><sup>[507]</sup></a> + bei denjenigen, deren Punkte auf einer Oberfläche zweiten Grades liegen, + während die Oskulationsebenen eine solche zweiter Klasse berühren?</p> + + <p>Indem der unerfahrene Leser so bedeutende und so verschiedene + Untersuchungen aufzählen hört, wird er sich von einem gewissen Kleinmute + bedrängt fühlen und sich fragen, wie es in kurzer Zeit möglich sei, + dieselben, wenn auch nicht alle, so doch größtenteils sich anzueignen? + Man beruhige sich. Die Übersicht ist für den Studierenden viel weniger + schwierig, als es nach meiner Besprechung scheinen könnte. Die von den + Geometern der ersten Hälfte unseres Jahrhunderts aufgestellten Prinzipien + sind so fruchtbar, daß, wenn jemand sich dieselben gründlich zu eigen + gemacht hat, er nicht allein selbst viele weitere Untersuchungen + ableiten, sondern auch noch darnach streben kann, die Wissenschaft selbst + weiter zu fördern. Und dieses — was sicherlich ein <!-- Page 80 + --><span class="pagenum"><a name="page80"></a>{80}</span>nicht zu + unterschätzender Vorzug der heutigen Wissenschaft vor der unserer Väter + ist — wurde in Kürze von einem ihrer Gründer mit den fortan + klassischen Worten ausgesprochen: <i>»Peut donc qui voudra dans l'état + actuel de la science généraliser et créer en géométrie; le génie n'est + plus indispensable pour ajouter une pierre à l'édifice«</i>,<a + name="NtA508" href="#Nt508"><sup>[508]</sup></a> goldene Worte, welche + jeder, der Mathematik betreiben will, sich einprägen muß; indem sie ihn + auf einen wahrscheinlichen Sieg hoffen lassen, werden sie ihn anspornen, + sich mutig den geistigen Kämpfen entgegenzustellen, die ihn erwarten.</p> + + <p> </p> + + <p><br style="clear:both" /></p> +<hr class="short" /> + +<h2>VI.</h2> + +<h2>Abbildungen, Korrespondenzen, Transformationen.</h2> + +<h3>———</h3> + + <p> </p> + + <p>Bei dieser flüchtigen Musterung der neuesten geometrischen + Entdeckungen gelangen wir nun zur Lehre von den Abbildungen, + Korrespondenzen und Transformationen. — Es ist bekannt, daß + zwischen zwei ebenen Punktfeldern eine Korrespondenz (Verwandtschaft) + besteht, wenn jedem Punkte des einen eine Gruppe von Punkten des anderen + zugeordnet ist; diese heißen dann die »entsprechenden« zu jenem. Wenn im + speziellen Falle jeder Punkt des einen Feldes einen einzigen + entsprechenden in dem anderen hat, so heißt die Korrespondenz + »eindeutig«.</p> + + <p>Die einfacheren Fälle der eindeutigen Korrespondenz sind die Homologie + — von P<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t studiert (1822) — und die Kollineation + (Homographie), von M<span class="gsp"> </span>ö<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>s (1827), M<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>s (1833) und C<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>s (1837) studiert. In diesen Fällen entspricht nicht + nur jedem Punkte ein Punkt, sondern <!-- Page 81 --><span + class="pagenum"><a name="page81"></a>{81}</span>auch jeder Geraden eine + Gerade. — Ein Beispiel einer komplizierteren Korrespondenz wurde + von S<span class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r (1832) durch folgende + Konstruktion erhalten:<a name="NtA509" href="#Nt509"><sup>[509]</sup></a> + Gegeben sind zwei getrennte Ebenen und zwei windschiefe Geraden; durch + jeden Punkt der einen von jenen ziehe man die Gerade, welche die beiden + gegebenen Geraden schneidet, und bestimme den Schnittpunkt mit der + anderen Ebene. Indem man diesen Schnittpunkt dem in der ersten Ebene + gewählten Punkte zuordnet, erhält man eine eindeutige Beziehung von der + Art, daß jeder Geraden in der einen Ebene ein Kegelschnitt in der anderen + entspricht. Läßt man nun die beiden Ebenen zusammenfallen, so erhält man + eine Korrespondenz, welche im wesentlichen nicht von der durch P<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t<a name="NtA510" href="#Nt510"><sup>[510]</sup></a> + zwischen in bezug auf ein Kegelschnittbüschel konjugierten Punkten + gefundenen verschieden ist, und welche auf analytischem Wege von P<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>ü<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>k<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<a name="NtA511" + href="#Nt511"><sup>[511]</sup></a> untersucht wurde, sodann von M<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>s (1790-1861)<a name="NtA512" + href="#Nt512"><sup>[512]</sup></a> und von unserem S<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>i,<a name="NtA513" href="#Nt513"><sup>[513]</sup></a> + synthetisch aber von S<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>w<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>z<a name="NtA514" href="#Nt514"><sup>[514]</sup></a> + und später von R<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>e.<a name="NtA515" + href="#Nt515"><sup>[515]</sup></a> — Auf ein drittes Beispiel + führte die Lösung einiger Probleme aus der mathematischen Physik; man + gelangt dazu auf folgende Weise: Gegeben sei in einer Ebene ein fester + Punkt, man associiert zwei mit ihm in gerader Linie gelegene Punkte, + deren Abstände von ihm umgekehrt proportional sind. Man erhält dann eine + eindeutige Korrespondenz, welche jede Gerade in einen Kreis, und jeden + Kreis wieder in einen Kreis verwandelt. Diese wurde von Sir W<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>m T<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<a name="NtA516" + href="#Nt516"><sup>[516]</sup></a> <!-- Page 82 --><span + class="pagenum"><a name="page82"></a>{82}</span>als »Prinzip der + elektrischen Bilder« studiert und ist unter dem Namen »Transformation + durch reciproke Radien« oder »Inversion« allgemein bekannt.<a + name="NtA517" href="#Nt517"><sup>[517]</sup></a></p> + + <p>Alle diese Transformationen sind linear oder quadratisch, da sie eine + Gerade in eine Kurve erster oder zweiter Ordnung verwandeln. Jedoch + machte M<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>s schon die Bemerkung, daß, wenn man eine + quadratische Transformation wiederholt, man im allgemeinen eine solche + höherer Ordnung erhält.<a name="NtA518" + href="#Nt518"><sup>[518]</sup></a> Diese wichtige Bemerkung blieb aber + bis zu dem Zeitpunkte unfruchtbar (1863), in welchem C<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>a von den wenigen bisher + erörterten Fällen zur allgemeinen Theorie der geometrischen + Transformationen der ebenen Figuren überging.<a name="NtA519" + href="#Nt519"><sup>[519]</sup></a></p> + +<p><!-- Page 83 --><span class="pagenum"><a name="page83"></a>{83}</span></p> + + <p>Um dem Leser die Bedeutung der Schriften, welche C<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>a dieser Theorie<a + name="NtA520" href="#Nt520"><sup>[520]</sup></a> gewidmet hat, zu zeigen, + würde ich auseinanderzusetzen haben, auf welche Weise dieser große + Geometer das Studium der eindeutigen Transformationen auf das eines + homaloidischen Netzes von Kurven zurückgeführt hat, und die Bestimmung + eines solchen Netzes auf die Lösung eines unbestimmten Systemes von + linearen Gleichungen; aber da die Anlage meiner Abhandlung mir das nicht + gestattet, so muß ich mich darauf beschränken, ihn davon durch den alten + Beweis des »<i>consensus omnium</i>« zu überzeugen. Dann führe ich noch + die Namen von Geometern an wie C<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y,<a name="NtA521" + href="#Nt521"><sup>[521]</sup></a> C<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h,<a name="NtA522" href="#Nt522"><sup>[522]</sup></a> + N<span class="gsp"> </span>ö<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r,<a name="NtA523" href="#Nt523"><sup>[523]</sup></a> + R<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s,<a name="NtA524" + href="#Nt524"><sup>[524]</sup></a> S. R<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>s,<a name="NtA525" href="#Nt525"><sup>[525]</sup></a> + die sich bemüht haben, die (bei der ersten Behandlung des Stoffes + unvermeidlichen) Lücken, die sich in den C<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>schen Abhandlungen<a name="NtA526" + href="#Nt526"><sup>[526]</sup></a> fanden, auszufüllen; ferner die + Arbeiten von R<span class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>f<span + class="gsp"> </span>f<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>i,<a name="NtA527" + href="#Nt527"><sup>[527]</sup></a> J<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>q<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>è<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s,<a name="NtA528" + href="#Nt528"><sup>[528]</sup></a> K<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>r,<a name="NtA529" + href="#Nt529"><sup>[529]</sup></a> G<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>a,<a name="NtA530" + href="#Nt530"><sup>[530]</sup></a> A<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e,<a name="NtA531" href="#Nt531"><sup>[531]</sup></a> + welche mit dieser Lehre <!-- Page 84 --><span class="pagenum"><a + name="page84"></a>{84}</span>eng zusammenhängende Fragen behandeln, + endlich die von H<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>t,<a name="NtA532" href="#Nt532"><sup>[532]</sup></a> + T. C<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>l<a name="NtA533" + href="#Nt533"><sup>[533]</sup></a> (1808-1881), von S<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>m,<a name="NtA534" + href="#Nt534"><sup>[534]</sup></a> S<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<a name="NtA535" href="#Nt535"><sup>[535]</sup></a> + und sehr vielen anderen, welche sich das bescheidenere Ziel gesetzt + haben, die Verbreitung derselben durch geeignete Beispiele und elegante + Formeln zu erleichtern.<a name="NtA536" + href="#Nt536"><sup>[536]</sup></a></p> + + <p>Unter den Arbeiten, welche sich an die von C<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>a anschließen, verdienen + eine hervorragende Stelle diejenigen von B<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>i,<a name="NtA537" + href="#Nt537"><sup>[537]</sup></a> welche er den ebenen involutorischen + Transformationen gewidmet hat, welche Arbeiten noch größere Einfachheit + und Eleganz erhielten durch den Begriff der Klasse und andere Begriffe, + die von C<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>i<a name="NtA538" href="#Nt538"><sup>[538]</sup></a> + (1855-1886) eingeführt wurden, jenem ausgezeichneten Geometer, dessen + frühen Verlust ganz Italien betrauert.<a name="NtA539" + href="#Nt539"><sup>[539]</sup></a></p> + +<p><!-- Page 85 --><span class="pagenum"><a name="page85"></a>{85}</span></p> + + <p>Von ganz verschiedenem Charakter sind hingegen die eleganten + Untersuchungen von L<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e über solche + Transformationen, welche er »Transformationen durch reciproke Richtungen« + nannte; da es nicht möglich ist, den Grundgedanken in wenigen Worten + zusammenzufassen und die vielfachen Anwendungen, welche der Erfinder + davon gemacht hat, anzudeuten, verweisen wir den Leser auf die + Originalarbeiten des hervorragenden französischen Geometers.<a + name="NtA540" href="#Nt540"><sup>[540]</sup></a></p> + + <p>Von der Theorie, die wir jetzt besprechen, bildet auch die Lehre von + den »isogonalen Transformationen« einen Teil, welcher sich auf die + geometrische Darstellung der komplexen Zahlen stützt und deren + Nützlichkeit (welche vielleicht grösser <!-- Page 86 --><span + class="pagenum"><a name="page86"></a>{86}</span>ist für die mathematische + Physik als für die reine Geometrie) M<span class="gsp"> </span>ö<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>s,<a name="NtA541" + href="#Nt541"><sup>[541]</sup></a> S<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>k,<a name="NtA542" href="#Nt542"><sup>[542]</sup></a> + D<span class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>è<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>e,<a name="NtA543" href="#Nt543"><sup>[543]</sup></a> + B<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>i,<a name="NtA544" href="#Nt544"><sup>[544]</sup></a> + V<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>-<span + class="gsp"> </span>M<span class="gsp"> </span>ü<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>l,<a name="NtA545" href="#Nt545"><sup>[545]</sup></a> + F. L<span class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>s,<a name="NtA546" + href="#Nt546"><sup>[546]</sup></a> W<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>k<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>d<a name="NtA547" + href="#Nt547"><sup>[547]</sup></a> und neuerdings H<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>z<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>ü<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<a name="NtA548" href="#Nt548"><sup>[548]</sup></a> + dargethan haben.<a name="NtA549" href="#Nt549"><sup>[549]</sup></a></p> + +<p><!-- Page 87 --><span class="pagenum"><a name="page87"></a>{87}</span></p> + + <p>Den Begriff der eindeutigen Korrespondenz zwischen zwei Ebenen kann + man auf verschiedene Weise verallgemeinern; die Weisen, die sich so + ziemlich von selbst darbieten, sind folgende:</p> + + <p>Vor allem, ohne die Ebene zu verlassen, kann man eine Korrespondenz + aufstellen zwischen jedem Punkte derselben und einer Kurve eines doppelt + unendlichen Systemes in derselben oder auch einer anderen Ebene;<a + name="NtA550" href="#Nt550"><sup>[550]</sup></a> diese Art der + Korrespondenz ist eine Erweiterung der Korrelation (Reciprocität) + zwischen zwei Feldern; angegeben von P<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>ü<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>k<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r, wurde dieselbe von C<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<a name="NtA551" + href="#Nt551"><sup>[551]</sup></a> entwickelt und veranlaßte die Theorie + der Konnexe.<a name="NtA552" href="#Nt552"><sup>[552]</sup></a></p> + +<p><!-- Page 88 --><span class="pagenum"><a name="page88"></a>{88}</span></p> + + <p>Wenn man dann zum Raume übergeht, kann man eine Korrespondenz zwischen + den Punkten zweier Oberflächen aufstellen (insbesondere zwischen den + Punkten einer krummen Oberfläche und denen einer Ebene) oder zwischen den + Punkten zweier Räume.</p> + + <p>Die Darstellung einer Oberfläche auf einer Ebene kann man bis ins + Altertum zurückverfolgen, da schon H<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h und P<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>s (und wahrscheinlich andere vor ihnen) sich die + Aufgabe der Herstellung geographischer Karten gestellt und Lösungen + derselben mitgeteilt haben, die auf derjenigen Projektion beruhen, welche + man heute die stereographische nennt. — Die Projektion von M<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>r (1512-1594), die Untersuchungen von L<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>t (1728-1777) und L<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>e, die berühmte Antwort von G<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>ß auf eine von der dänischen Akademie gestellte + Frage<a name="NtA553" href="#Nt553"><sup>[553]</sup></a> zeigen, wie die + täglichen Bedürfnisse der Geographie und Navigationskunde unaufhörlich + die Gelehrten angetrieben haben, sich mit dem Probleme der eindeutigen + Darstellung der Oberfläche unseres Planeten auf einer Ebene zu + beschäftigen.<a name="NtA554" href="#Nt554"><sup>[554]</sup></a> — + Die erste Abbildung einer Oberfläche auf einer anderen jedoch, die nur in + der Absicht gemacht wurde, um eine derselben leichter studieren zu + können, verdanken wir Gauß, der 1827 in seinen berühmten <i>Disquisitions + generales circa superficies curvas</i> es als sehr vorteilhaft erkannte, + die Punkte <!-- Page 89 --><span class="pagenum"><a + name="page89"></a>{89}</span>einer beliebigen Oberfläche den Punkten + einer Kugelfläche entsprechen zu lassen, indem man zwei solche Punkte + zuordnet, deren Normalen einander parallel sind.<a name="NtA555" + href="#Nt555"><sup>[555]</sup></a> Eine besondere Eigentümlichkeit dieser + Korrespondenz ist die, daß, um Eindeutigkeit zu erhalten, es fast immer + nötig ist, nur den Teil der Oberfläche abzubilden, den man gerade ins + Auge faßt; wir wollten diese Eigenschaft nicht stillschweigend übergehen, + da deren Anführung uns Gelegenheit giebt, den Unterschied hervorzuheben, + der zwischen der sphärischen Abbildung und den Abbildungen besteht, + welche von P<span class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>ü<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>k<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r,<a name="NtA556" + href="#Nt556"><sup>[556]</sup></a> C<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>s<a name="NtA557" href="#Nt557"><sup>[557]</sup></a> + und C<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y<a name="NtA558" href="#Nt558"><sup>[558]</sup></a> + für das Studium der Geometrie auf einer Fläche zweiten Grades, denen, die + von C<span class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<a name="NtA559" + href="#Nt559"><sup>[559]</sup></a> und C<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>a<a name="NtA560" href="#Nt560"><sup>[560]</sup></a> + für das Studium der Geometrie auf einer kubischen Fläche, und von denen + endlich, die von späteren Geometern für die Untersuchung anderer Flächen + vorgeschlagen sind.</p> + + <p>Die erste Arbeit, welche <i>ex professo</i> die Theorie der + Abbildungen dieser Art behandelt, verdankt man C<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h.<a name="NtA561" + href="#Nt561"><sup>[561]</sup></a> Die zahlreichen Beispiele, durch + welche der Verfasser in dieser Arbeit, sowie in einigen älteren und + späteren<a name="NtA562" href="#Nt562"><sup>[562]</sup></a> die + allgemeine Theorie illustrierte, haben zur Aufstellung der Geometrie auf + einer grossen Zahl von Flächen mit vielen Einzelheiten geführt. Ferner + haben die fast gleichzeitigen Abhandlungen <!-- Page 90 --><span + class="pagenum"><a name="page90"></a>{90}</span>von C<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>a<a name="NtA563" + href="#Nt563"><sup>[563]</sup></a> und N<span class="gsp"> </span>ö<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r,<a name="NtA564" + href="#Nt564"><sup>[564]</sup></a> sowie die ihnen folgenden von A<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e,<a name="NtA565" + href="#Nt565"><sup>[565]</sup></a> K<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n,<a name="NtA566" href="#Nt566"><sup>[566]</sup></a> + K<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>ö<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>f<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r,<a name="NtA567" href="#Nt567"><sup>[567]</sup></a> + C<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>i<a name="NtA568" href="#Nt568"><sup>[568]</sup></a> + und von noch anderen<a name="NtA569" href="#Nt569"><sup>[569]</sup></a> + im Verlaufe weniger Jahre diese Zahl außerordentlich vermehrt.<a + name="NtA570" href="#Nt570"><sup>[570]</sup></a> Man kann sich eine + ziemlich genaue Vorstellung von dem Reichtum dieses Zweiges der Geometrie + machen, wenn man die schöne Abhandlung von C<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>i über die dreifach unendlichen linearen Systeme + ebener Kurven liest,<a name="NtA571" href="#Nt571"><sup>[571]</sup></a> + in welcher er einerseits die Theorie der Abbildung einer Oberfläche auf + eine Ebene auf das Studium solcher Systeme anwandte, andererseits in + derselben wertvolle Hilfsmittel der Untersuchung fand.</p> + + <p>Bei dem Studium der Abbildung einer Oberfläche bietet sich von selbst + eine wichtige Frage dar, nämlich die, ob sie alle eindeutig auf eine + Ebene abbildbar sind, oder allgemeiner: ob zwei Oberflächen sich als + Punkt für Punkt <!-- Page 91 --><span class="pagenum"><a + name="page91"></a>{91}</span>einander entsprechend darstellen lassen. Und + da man leicht erkannte, daß die Antwort auf diese Frage eine negative + sei, so wurde man natürlich auf die andere Frage geführt: Welche + Oberflächen lassen sich eindeutig auf einer Ebene abbilden? Oder + allgemeiner: Welche Oberflächen kann man eindeutig auf einer gegebenen + abbilden? — Die analoge Frage für zwei (ebene oder unebene) Kurven + wurde von C<span class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h vermittelst der + Betrachtung des Geschlechtes und der Moduln gelöst. Diese Analogie + veranlaßte nun C<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h, die Lösung des vorhin angegebenen Problems in + einer Ausdehnung des Begriffes des Geschlechtes auf die Oberflächen<a + name="NtA572" href="#Nt572"><sup>[572]</sup></a> zu suchen. Dieser + Versuch wurde jedoch nach meinem Dafürhalten nicht von gutem Erfolge + gekrönt, und auch heute muß man trotz der nach C<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h angestellten Versuche + ausgezeichneter Mathematiker wie C<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y,<a name="NtA573" + href="#Nt573"><sup>[573]</sup></a> N<span class="gsp"> </span>ö<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r,<a name="NtA574" + href="#Nt574"><sup>[574]</sup></a> Z<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n<a name="NtA575" href="#Nt575"><sup>[575]</sup></a> + die Frage als noch ungelöst betrachten; um das zu beweisen, genügt es zu + sagen, daß, wenn es auch bekannt ist, daß alle Oberflächen zweiter und + dritter Ordnung (die nicht Kegelflächen sind) eindeutig auf einer Ebene + abbildbar sind, doch noch nicht alle Oberflächen vierter Ordnung bestimmt + sind, welche dieselbe Eigenschaft haben.<a name="NtA576" + href="#Nt576"><sup>[576]</sup></a> <!-- Page 92 --><span + class="pagenum"><a name="page92"></a>{92}</span>Die allgemeineren + Resultate, die man auf diesem Gebiete kennt, waren, wenn ich nicht irre, + von N<span class="gsp"> </span>ö<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<a name="NtA577" href="#Nt577"><sup>[577]</sup></a> + erhalten; dieser gelangte durch eine überaus elegante analytische + Betrachtung bei jeder Oberfläche, welche eine einfach unendliche Schar + rationaler Kurven enthält, zu einer Abbildung derselben auf einem + Kegel.</p> + + <p>Die Schwierigkeit aber, auf welche man bei der eindeutigen Abbildung + gewisser Oberflächen auf eine Ebene stieß, ließen bei C<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h den Gedanken entstehen, + zwischen einer Oberfläche und einer Ebene eine vielfache Korrespondenz + aufzustellen, oder auch (wie er an die R<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>schen Flächen denkend + sagte) eine Fläche auf eine vielfache Ebene abzubilden und dann diese auf + eine einfache Ebene zu beziehen.<a name="NtA578" + href="#Nt578"><sup>[578]</sup></a> Diese Idee, deren Keime sich + vielleicht bis zu der von C<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>s<a name="NtA579" href="#Nt579"><sup>[579]</sup></a> + vorgeschlagenen Verallgemeinerung der stereographischen Projektion + zurückverfolgen lassen, konnte nicht mehr vollständig von ihrem Urheber + entwickelt werden; jedoch blieben die von ihm gegebenen Andeutungen nicht + unfruchtbar, vielmehr entstand aus ihnen die Theorie der doppelten ebenen + Transformationen, welche d<span class="gsp"> </span>e P<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>s aufgestellt und durch vielfache Anwendungen + erläutert hat.<a name="NtA580" href="#Nt580"><sup>[580]</sup></a></p> + + <p>Die zweite Verallgemeinerung der C<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>schen Transformationen + veranlaßte die Theorie der rationalen Transformationen im Räume. Zwei + Beispiele einer solchen Korrespondenz boten sich in der Homographie + zweier Räume (und deren Spezialfällen) dar und — wie M<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>s,<a name="NtA581" href="#Nt581"><sup>[581]</sup></a> + H<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>e<a name="NtA582" + href="#Nt582"><sup>[582]</sup></a> und C<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>a<a name="NtA583" href="#Nt583"><sup>[583]</sup></a> + bemerkt haben — in der Transformation, die man erhält durch drei zu + demselben Räume korrelative (reciproke) Räume, indem man jedem Punkte + jenes Raumes <!-- Page 93 --><span class="pagenum"><a + name="page93"></a>{93}</span>den Schnitt der Ebenen zuordnet, die ihm in + diesen entsprechen. Die allgemeine Theorie entstand jedoch erst um das + Jahr 1870 durch die Bemühungen C<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>s,<a name="NtA584" href="#Nt584"><sup>[584]</sup></a> + N<span class="gsp"> </span>ö<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>s<a name="NtA585" + href="#Nt585"><sup>[585]</sup></a> und C<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>s,<a name="NtA586" + href="#Nt586"><sup>[586]</sup></a> obwohl schon M<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>s<a name="NtA587" href="#Nt587"><sup>[587]</sup></a> + Ende 1837 dieselbe angestrebt und ihre Wichtigkeit eingesehen hatte.</p> + + <p>Von den bemerkenswerten Arbeiten, in welchen diese Gelehrten unsere + Theorie im allgemeinen begründeten, ist ohne Zweifel die wichtigste jene, + die wir der Feder unseres berühmten Landsmannes verdanken. Geleitet durch + die Analogie, welche diese Disziplin mit der der eindeutigen + Korrespondenz zwischen zwei Ebenen darbietet, zeigte er, wie jene sich + auf das Studium der dreifach unendlichen homaloidischen Systeme von + Oberflächen zurückführen läßt. Darauf setzte er auf eine sehr schöne + Weise auseinander, wie man unendlich viele solcher Systeme erhalten + könne, wenn man die ebene Abbildung e<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r Oberfläche kennt, und zeigte zuletzt durch + treffende Beispiele, wie man die Theorie der rationalen Transformationen + auf die Abbildung vieler Flächen auf andere zurückführt, insbesondere auf + die ebene Abbildung einiger von ihnen. Diese Anwendung, vereint mit der + obenerwähnten Methode, zeigt klar, wie man aus der ebenen Abbildung einer + Oberfläche nicht nur die Abbildungen von unendlich vielen anderen + erhalten kann, sondern auch unzählig viele rationale Transformationen des + Raumes.</p> + + <p>Ungeachtet der Schriften, durch welche England, Deutschland und + Italien so mächtig zur Gründung und Erweiterung dieser Theorie + beigetragen haben, kann man doch nicht sagen, daß dieselbe den Grad der + Vollendung erreicht habe, <!-- Page 94 --><span class="pagenum"><a + name="page94"></a>{94}</span>den andere erlangt haben. Das kommt + vielleicht daher, daß die schwierigsten Fragen, welche sich in derselben + darbieten, innig mit der Bestimmung der Singularitäten der Oberflächen + zusammenhängen, und über diese — wir müssen es leider gestehen + — sind unsere Kenntnisse noch sehr beschränkt. Darin hat man + vielleicht die Erklärung der Thatsache zu suchen, daß die Geometer, die + auf jene oben erwähnten folgten, sich mehr mit der Erläuterung der + Methoden ihrer Meister, als mit der Vervollkommnung derselben und der + Ausfüllung ihrer Lücken beschäftigt haben.<a name="NtA588" + href="#Nt588"><sup>[588]</sup></a> Und dennoch — wenn auch das + Studium der Figur selbst ohne Zweifel dem der transformierten vorzuziehen + ist — giebt es bei dem heutigen Standpunkte der Wissenschaft sehr + wenige Theorien, die so sehr es verdienen, daß man sie in allen ihren + Einzelheiten vervollkommne, als gerade diese. In der That, um die Worte + eines großen Mannes zu gebrauchen, »wenn man über das Verfahren der + Algebra nachdenkt und den Grund <!-- Page 95 --><span class="pagenum"><a + name="page95"></a>{95}</span>der gewaltigen Vorteile aufsucht, die sie + der Geometrie bietet, sieht man da nicht, daß sie dieselben der + Leichtigkeit verdankt, mit welcher man anfänglich eingeführte Ausdrücke + Transformationen unterziehen kann, Transformationen, deren Geheimnis und + deren Mechanismus die wahre Wissenschaft bilden und die das ständige Ziel + der Analysten sind? Ist es darum nicht natürlich, zu versuchen, in die + reine Geometrie analoge Transformationen einzuführen, welche direkt auf + die vorgelegten Figuren und ihre Eigenschaften hinsteuern?<a + name="NtA589" href="#Nt589"><sup>[589]</sup></a></p> + + <p>Auf das allgemeine Studium der Transformationen folgt das solcher + Transformationen, bei denen man einen gewissen Zweck im Auge hat,<a + name="NtA590" href="#Nt590"><sup>[590]</sup></a> z. B. die Verwandlung + der Figuren in sich selbst oder ihre Zurückführung zur ursprünglichen + Figur, wenn die Transformationen mehrmals hintereinander angewandt + werden. Es existieren in der That auch schon einige gute Arbeiten, in + welchen die Kollineationen und Korrelationen behandelt sind, welche eine + Fläche zweiter Ordnung, einen linearen Komplex<a name="NtA591" + href="#Nt591"><sup>[591]</sup></a> oder eine kubische Raumkurve<a + name="NtA592" href="#Nt592"><sup>[592]</sup></a> in sich selbst + transformieren, sowie über die cyklischen Projektivitäten.<a + name="NtA593" href="#Nt593"><sup>[593]</sup></a></p> + +<p><!-- Page 96 --><span class="pagenum"><a name="page96"></a>{96}</span></p> + + <p>Wir wollen diesen Abschnitt unserer Arbeit beschließen, indem wir noch + einige Worte über die vielfachen Transformationen zwischen zwei Gebilden + zweiter und dritter Stufe sagen, auf welche ich nur im Vorübergehen + hinweisen konnte, indem ich einige Abhandlungen von P<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>s anführte. Der erste, der sich mit ihnen + beschäftigte, war C<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>r. W<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r,<a name="NtA594" + href="#Nt594"><sup>[594]</sup></a> welcher sie untersuchte, indem er eine + eindeutige Korrespondenz in der Ebene herstellte zwischen den Geraden + einer Ebene und den Kurven eines linearen Systemes; dann ist einem + Punkte, betrachtet als Schnitt zweier Geraden, die Gruppe der Grundpunkte + des Büschels zugeordnet, der durch die entsprechenden Kurven konstituiert + wird. Diese Art und Weise, vielfache Transformationen zu erzeugen, wurde + von T<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>i<a name="NtA595" + href="#Nt595"><sup>[595]</sup></a> auf den Raum ausgedehnt; derselbe ließ + jedem Punkte, betrachtet als Schnitt dreier Ebenen, die Grundpunkte + desjenigen Netzes entsprechen, das durch die drei den drei Ebenen + entsprechenden Oberflächen eines dreifach unendlichen linearen Systemes + bestimmt wird. Solche Untersuchungen haben sich bis jetzt jedoch noch + nicht als sehr fruchtbar gezeigt. Ziemlich wichtig dagegen sind die schon + genannten Untersuchungen von P<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>s über die doppelten + Transformationen. Das zeigen die Arbeiten, in denen V<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>i<a name="NtA596" + href="#Nt596"><sup>[596]</sup></a> und J<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>g<a name="NtA597" + href="#Nt597"><sup>[597]</sup></a> die vielfachen Transformationen + untersucht haben und welche die Fortsetzungen jener sind.</p> + + <p>Mit einigen speziellen vielfachen Transformationen des Raumes haben + sich R<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>e<a name="NtA598" href="#Nt598"><sup>[598]</sup></a> + und S<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<a name="NtA599" + href="#Nt599"><sup>[599]</sup></a> beschäftigt und von ihnen elegante + Anwendungen gemacht. A<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i<a name="NtA600" + href="#Nt600"><sup>[600]</sup></a> übertrug eine spezielle ebene + zweifache Transformation, welche P<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>s bearbeitet hatte, auf + den Raum und dehnte auch die <!-- Page 97 --><span class="pagenum"><a + name="page97"></a>{97}</span>Anwendungen, die jener davon gemacht hatte, + auf die Nicht-Euklidische Geometrie aus. Allgemeine Untersuchungen auf + diesem Gebiete haben wir jedoch keine außer den wenigen, die in einer + kurzen Arbeit von R<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>e<a name="NtA601" + href="#Nt601"><sup>[601]</sup></a> aufgezeichnet sind, und den sehr + wichtigen über die doppelten Transformationen des Raumes von P<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>s.<a name="NtA602" href="#Nt602"><sup>[602]</sup></a> + Wir zweifeln nicht, daß diese und jene als Grundlage einer allgemeinen + Theorie der zweifachen Transformationen, die wir noch erwarten, dienen + können; und wir erwarten dieselbe mit Ungeduld, da wir sicher sind, daß + dieselbe der Geometrie nicht geringere Dienste leisten wird, als die sehr + bekannten, die ihr durch die birationalen Transformationen geleistet + sind, und jene, die, wie P<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>s bemerkt, die doppelten + leisten können.</p> + + <p>Neben die vielfachen Korrespondenzen zwischen zwei Räumen von Punkten + (oder Ebenen) kann man die zwischen einem Punktraume und einem + Ebenenraume stellen. Untersucht wurden dieselben für den Fall, daß durch + jeden Punkt die entsprechenden Ebenen gehen und in jeder Ebene die + entsprechenden Punkte liegen. Zusammen betrachtet bilden die zwei Räume + ein höheres Nullsystem oder Punktebenensystem. Die Theorie dieser Systeme + ist in diesen letzten Jahren besonders durch die Arbeiten von A<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r,<a name="NtA603" href="#Nt603"><sup>[603]</sup></a> + von S<span class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>m<a name="NtA604" + href="#Nt604"><sup>[604]</sup></a> und V<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>ß<a name="NtA605" href="#Nt605"><sup>[605]</sup></a> + hervorgetreten, während R<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>e<a name="NtA606" + href="#Nt606"><sup>[606]</sup></a> das Verdienst zukommt, den Begriff des + gemeinen Nullsystemes<a name="NtA607" href="#Nt607"><sup>[607]</sup></a> + zuerst, doch in einer anderen Weise — die entsprechenden Elemente + sind nicht Punkte und Ebenen, sondern Flächen zweiter Ordnung und zweiter + Klasse — erweitert zu haben.</p> + +<p><!-- Page 98 --><span class="pagenum"><a name="page98"></a>{98}</span></p> + + <p> </p> + + <p><br style="clear:both" /></p> +<hr class="short" /> + +<h2>VII.</h2> + +<h2>Geometrie der Geraden.</h2> + +<h3>———</h3> + + <p> </p> + + <p>Die griechische Geometrie betrachtet den Punkt als das erzeugende + Element aller Figuren; die analytische Geometrie des Cartesius machte die + Bestimmung des Punktes zur Grundlage aller ihrer Rechnungen. Das Prinzip + der Dualität führte nun die Gelehrten zu dem Schlüsse, daß die Gerade in + der Ebene und die Ebene im Raume mit gleichem Rechte und gleichem + Erfolge, wie der Punkt, die Rolle spielen könne, die bis jetzt dieser in + der Geometrie inne gehabt, und führte in der Folge dazu, die Gerade und + die Ebene als Elemente der Ebene und des Raumes anzunehmen und ein neues + System der (synthetischen und analytischen) Geometrie aufzustellen. Das + Verdienst dieses bemerkenswerten Fortschrittes gebührt größtenteils + P<span class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>ü<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>k<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r.<a name="NtA608" + href="#Nt608"><sup>[608]</sup></a></p> + + <p>Aber ganz auf P<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>ü<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>k<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r fällt der Ruhm, ein drittes die räumlichen Gebilde + erzeugendes Element — die Gerade — eingeführt und auf eine + solche Betrachtung eine neue Geometrie des Raumes begründet zu haben. + Dieser berühmte Gelehrte kehrte, nachdem er fast zwanzig Jahre hindurch + die Geometrie verlassen hatte, um seine bedeutenden Geisteskräfte der + Physik zu widmen, zu der Wissenschaft zurück, die ihm ursprünglich seinen + Ruhm gesichert hatte, um sie <!-- Page 99 --><span class="pagenum"><a + name="page99"></a>{99}</span>mit einer neuen und wichtigen Disziplin zu + beschenken, mit »der Geometrie der Geraden«.</p> + + <p>Die ersten Mitteilungen über diesen Gegenstand, die im Jahre 1865 der + Königlichen Gesellschaft zu London<a name="NtA609" + href="#Nt609"><sup>[609]</sup></a> von dem großen deutschen Geometer + gemacht wurden, enthalten die Sätze über einige allgemeine Eigenschaften + der Komplexe, Kongruenzen und Regelflächen und einige spezielle + Eigenschaften der linearen Komplexe und Kongruenzen;<a name="NtA610" + href="#Nt610"><sup>[610]</sup></a> die Beweise derselben sind nur + angedeutet und sollen, nach Angabe des Autors, vermittelst der + Koordinaten einer Geraden im Raume geführt werden, die er als einen + eigenen Gedanken eingeführt hatte, die man später aber als Spezialfall + dessen erkannte, was schon C<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y<a name="NtA611" + href="#Nt611"><sup>[611]</sup></a> aufgestellt hatte, um vermittelst + einer einzigen Gleichung eine beliebige Kurve im Raume darstellen zu + können.</p> + + <p>Diese Mitteilungen veranlaßten plötzlich eine Reihe wichtiger + Arbeiten, in denen B<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>i nicht nur, was Plücker + behauptet hatte, sondern auch viele Lehrsätze bewies, die sich auf die + Komplexe zweiten und höheren Grades beziehen.<a name="NtA612" + href="#Nt612"><sup>[612]</sup></a> — Indessen hatte P<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>ü<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>k<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r schon die von ihm <!-- + Page 100 --><span class="pagenum"><a + name="page100"></a>{100}</span>skizzierten Gedanken ausgeführt und in dem + Werke vereinigt, welches den Titel trägt: <i>Neue Geometrie des Raumes, + gegründet auf die Betrachtung der geraden Linie als Raumelement.</i><a + name="NtA613" href="#Nt613"><sup>[613]</sup></a></p> + + <p>Von diesem Buche zu sagen, daß es in allen seinen Teilen gleich + wichtig und interessant sei, würde eine der Wahrheit nicht entsprechende + Behauptung sein. Plücker schätzte nicht die Eleganz der Rechnung, an die + wir durch L<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>e, J<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>i, H<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>e, C<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h gewöhnt sind; er teilte + sicherlich nicht mit L<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>é<a name="NtA614" + href="#Nt614"><sup>[614]</sup></a> die Ansicht, daß »die Bezeichnung für + die Analysis das sei, was die Stellung und Wahl der Worte für den Stil + ist«; bei ihm brauchte die Rechnung nur der einen Bedingung zu genügen, + nämlich schnell zur Lösung der ins Auge gefaßten Probleme zu führen. + Dieser Mangel, der allen Arbeiten von Plücker gemeinsam ist, macht sich + lebhafter in dem letzten Werke bemerklich, welches einen Wettstreit + eingehen sollte mit Mustern der Eleganz, wie den <i>Vorlesungen über + analytische Geometrie des Raumes</i> von H<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>e und den <i>Vorlesungen + über Dynamik</i> von J<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>i, die kurz vorher (1861 + und 1866) herausgekommen waren. Außer diesem nicht geringen Mangel ist + ein anderer noch bedeutenderer dadurch entstanden, daß Plücker lange Zeit + hindurch es vernachlässigt hatte, den Fortschritten der Geometrie + nachzugehen. Infolge dieser einseitigen Ausbildung finden wir in seinem + Buche eine Menge von Untersuchungen, die uns nicht mehr interessieren, da + sie unter andere allgemeinere, schon gemachte fallen, eine große Anzahl + von Spezialfällen, von deren Wichtigkeit wir uns nicht überzeugen können, + eine Menge von komplizierten Formeln, deren Nutzen wir nicht einsehen. + Trotz dieser Fehler — die ich anführen muß, um die geringe Anzahl + der Leser, die sie heute findet, zu begründen — kann man nicht + verkennen, daß die letzte Arbeit von Plücker reich an originellen Blicken + ist, und es würde die Lektüre derselben jedem zu raten sein, der das + Studium dieses Teiles der Geometrie unternehmen will, wenn nicht die + Nachfolger <!-- Page 101 --><span class="pagenum"><a + name="page101"></a>{101}</span>Plückers seine Untersuchungen in besserer + Form auseinandergesetzt und mit anderen Methoden ausgeführt, und jene + Gedanken, die er nur hingeworfen hat, größtenteils entwickelt hätten.</p> + + <p>Plücker hatte nicht die Zeit, die Theorie der Komplexe zweiten Grades + zu vollenden, da der Tod ihn traf, als er gerade im Begriffe stand, den + zweiten Teil seines Buches zu veröffentlichen; aber die Untersuchungen, + die er unvollendet zurückließ, wurden von seinem Schüler F. K<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<a name="NtA615" + href="#Nt615"><sup>[615]</sup></a> zu Ende geführt. Ihm verdanken wir + nicht nur den allgemeinen Begriff der Koordinaten einer Geraden und eine + Anzahl sehr schöner Lehrsätze über die Komplexe zweiten Grades, sondern + auch verschiedene allgemeine und außerordentlich fruchtbare Ideen über + die Geometrie der Geraden. In der That ist es K<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n, der, einen Gedanken + seines Lehrers präzisierend, die Bemerkung machte, daß man die Geometrie + der Geraden ansehen könne als das Studium einer quadratischen + Mannigfaltigkeit von vier Dimensionen, enthalten in einem linearen Raume + von fünf Dimensionen, und zeigte, daß jeder Komplex durch eine einzige + Gleichung zwischen den Koordinaten einer Geraden darstellbar ist. Daß + diese Bemerkung und dieser Lehrsatz von der größten Bedeutung für den + Fortschritt der Geometrie der Geraden seien, wurde in glänzender Weise + durch die schönen Untersuchungen meines lieben Freundes S<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<a name="NtA616" + href="#Nt616"><sup>[616]</sup></a> gezeigt, die mit denen von K<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n innig + zusammenhängen.</p> + + <p>Gleichzeitig mit Klein beschäftigten sich P<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h,<a name="NtA617" + href="#Nt617"><sup>[617]</sup></a> Z<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n,<a name="NtA618" href="#Nt618"><sup>[618]</sup></a> + D<span class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h,<a name="NtA619" + href="#Nt619"><sup>[619]</sup></a> später auch P<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>s<a name="NtA620" href="#Nt620"><sup>[620]</sup></a> + wiederholt <!-- Page 102 --><span class="pagenum"><a + name="page102"></a>{102}</span>mit der Geometrie der Geraden, indem sie + verschiedene Fragen derselben vermittelst homogener Koordinaten + behandelten. C<span class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<a name="NtA621" + href="#Nt621"><sup>[621]</sup></a> wandte auf diese Theorie die Methode + der abgekürzten Bezeichnung an; im Jahre 1873 vervollständigte W<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<a name="NtA622" href="#Nt622"><sup>[622]</sup></a> + die Einteilung der Komplexe zweiten Grades nach den Begriffen, die K<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n in seiner Dissertation + angegeben hatte. V<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>ß<a name="NtA623" href="#Nt623"><sup>[623]</sup></a> + studierte in einer Reihe sehr wichtiger Abhandlungen die Singularitäten + der Systeme von Geraden; H<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n bestimmte die Zahl der Geraden des Raumes, welche + vorher aufgestellten Bedingungen genügen;<a name="NtA624" + href="#Nt624"><sup>[624]</sup></a> N<span class="gsp"> </span>ö<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r,<a name="NtA625" + href="#Nt625"><sup>[625]</sup></a> K<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<a name="NtA626" href="#Nt626"><sup>[626]</sup></a> + und C<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>i<a name="NtA627" href="#Nt627"><sup>[627]</sup></a> + beschäftigten sich mit der Abbildung der Komplexe ersten und zweiten + Grades auf den gewöhnlichen Raum, A<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i mit der einiger + spezieller Komplexe;<a name="NtA628" href="#Nt628"><sup>[628]</sup></a> + L<span class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e stellte den + innigen Zusammenhang, der zwischen der Geometrie der Kugel und der + Geometrie der Geraden besteht, ins Licht;<a name="NtA629" + href="#Nt629"><sup>[629]</sup></a> R<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>e endlich studierte die + Formen der allgemeinen quadratischen Komplexe.<a name="NtA630" + href="#Nt630"><sup>[630]</sup></a> Nur mit Hilfe der synthetischen + Geometrie wurde unsere Theorie von C<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>s studiert<a name="NtA631" + href="#Nt631"><sup>[631]</sup></a> — schon 1839 —, von R<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>e,<a name="NtA632" href="#Nt632"><sup>[632]</sup></a> + <!-- Page 103 --><span class="pagenum"><a + name="page103"></a>{103}</span>von S<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>f,<a name="NtA633" + href="#Nt633"><sup>[633]</sup></a> S<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>r,<a name="NtA634" href="#Nt634"><sup>[634]</sup></a> + B<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>i,<a name="NtA635" + href="#Nt635"><sup>[635]</sup></a> von d<span class="gsp"> </span>'<span + class="gsp"> </span>O<span class="gsp"> </span>v<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>o<a name="NtA636" + href="#Nt636"><sup>[636]</sup></a> und von W. S<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>l;<a name="NtA637" + href="#Nt637"><sup>[637]</sup></a> B<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>m<a name="NtA638" + href="#Nt638"><sup>[638]</sup></a> bediente sich der Quaternionen, um die + hauptsächlichsten Eigenschaften der linearen Kongruenzen zu beweisen, + während viele Fragen aus der Infinitesimalgeometrie, die sich auf Systeme + von Geraden beziehen, glücklich in einigen Abhandlungen von M<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>m,<a name="NtA639" href="#Nt639"><sup>[639]</sup></a> + L<span class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e,<a name="NtA640" + href="#Nt640"><sup>[640]</sup></a> K<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n,<a name="NtA641" href="#Nt641"><sup>[641]</sup></a> + P<span class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>d<a name="NtA642" href="#Nt642"><sup>[642]</sup></a> + und K<span class="gsp"> </span>ö<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>s<a name="NtA643" href="#Nt643"><sup>[643]</sup></a> + gelöst wurden. Schließlich wurden einige spezielle Komplexe studiert von + A<span class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>i,<a name="NtA644" href="#Nt644"><sup>[644]</sup></a> + P<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>v<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n,<a name="NtA645" + href="#Nt645"><sup>[645]</sup></a> von R<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>e,<a name="NtA646" + href="#Nt646"><sup>[646]</sup></a> L<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>e,<a name="NtA647" href="#Nt647"><sup>[647]</sup></a> + W<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r,<a name="NtA648" href="#Nt648"><sup>[648]</sup></a> + R<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>a,<a name="NtA649" href="#Nt649"><sup>[649]</sup></a> + von H<span class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>t,<a name="NtA650" + href="#Nt650"><sup>[650]</sup></a> V<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>ß,<a name="NtA651" href="#Nt651"><sup>[651]</sup></a> + G<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>y,<a name="NtA652" + href="#Nt652"><sup>[652]</sup></a> M<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>o,<a name="NtA653" href="#Nt653"><sup>[653]</sup></a> + von S<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e und von mir.<a + name="NtA654" href="#Nt654"><sup>[654]</sup></a></p> + + <p>Neben der reichhaltigen Schar von Schriften, die wir dem von Plücker + gegebenen Anstoße verdanken, müssen wir noch eine andere ebenso glänzende + erwähnen, die aber <!-- Page 104 --><span class="pagenum"><a + name="page104"></a>{104}</span>von ganz anderer Art ist. Sie umfaßt die + Arbeiten von D<span class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n,<a name="NtA655" + href="#Nt655"><sup>[655]</sup></a> M<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>s<a name="NtA656" href="#Nt656"><sup>[656]</sup></a> + (1775-1811) und Ch. S<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>m<a name="NtA657" href="#Nt657"><sup>[657]</sup></a> + (1803-1855), B<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>d,<a name="NtA658" href="#Nt658"><sup>[658]</sup></a> + T<span class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<a name="NtA659" + href="#Nt659"><sup>[659]</sup></a> über die Normalen von Oberflächen und + über die mathematische Theorie des Lichtes, dann die von H<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n (1805-1865) über Systeme von Strahlen.<a + name="NtA660" href="#Nt660"><sup>[660]</sup></a> Diese Arbeiten finden + ihre Krönung in zwei berühmten Abhandlungen, die von K<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r in den Jahren 1857 und 1866 veröffentlicht + sind.</p> + + <p>In der ersteren, die im <i>Journal für Mathematik</i><a name="NtA661" + href="#Nt661"><sup>[661]</sup></a> abgedruckt ist, hat sich K<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r die Aufgabe gestellt, durch eine einheitliche und + einfachere Methode die Resultate von H<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n darzulegen und sie in + den Punkten, wo sie mangelhaft erschienen, zu vervollständigen.<a + name="NtA662" href="#Nt662"><sup>[662]</sup></a></p> + + <p>In der zweiten,<a name="NtA663" href="#Nt663"><sup>[663]</sup></a> die + noch wichtiger ist, stellte er sich, nach einigen schönen allgemeinen + Untersuchungen über die Zahl der Singularitäten eines Systemes von + Strahlen und seiner Brennfläche, und löste die Frage, alle algebraischen + Systeme von Strahlen erster und zweiter Ordnung zu bestimmen, d. h. + solche, bei denen durch jeden Punkt des Raumes e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r oder z<span + class="gsp"> </span>w<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i Strahlen des Systemes hindurchgehen.</p> + + <p>Ich möchte wünschen, daß mir hinreichender Raum zu Gebote stände, um + den Leser in den Stand zu setzen, die ausgezeichneten Verdienste dieser + klassischen Arbeit hoch <!-- Page 105 --><span class="pagenum"><a + name="page105"></a>{105}</span>zu schätzen, um ihn an der tiefen + Bewunderung teilnehmen zu lassen, die ich für sie empfinde; ich möchte + ihn sehen lassen, mit welch ausserordentlicher Gewandtheit der Verfasser + zur Bestimmung aller Strahlensysteme erster und zweiter Ordnung zu + gelangen weiß, zu den Gleichungen, die sie und ihre Brennflächen + darstellen (welches jene Oberflächen vierter Ordnung mit Doppelpunkten + sind, die ich Gelegenheit hatte, im Abschnitt III zu erwähnen), zu den + Singularitäten der Systeme, den Konfigurationen, die sie bilden, zum + Zusammenhange zwischen ihnen und den Singularitäten der Brennfläche + u. s. w. Aber da die Bemessenheit des Raumes es mir verbietet, so muß ich + mich darauf beschränken, den Wunsch auszusprechen, daß dieser mein kurzer + Überblick es bewirken könne, daß bei jedwedem das Verlangen entsteht, die + Untersuchungen K<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>s selbst kennen zu lernen und den Weg zu verfolgen, + den er mit solchem Glücke eingeschlagen hat; ich spreche diesen Wunsch + aus, da mich die Beobachtung schmerzlich bewegt, daß in den zwanzig + Jahren, die schon seit dem Erscheinen der K<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>schen Arbeit verflossen + sind, es noch nicht gelungen ist, eine solche Theorie, die sich so + fruchtbar an schönen Resultaten gezeigt hat, in einer bemerkenswerten + Weise zu fördern.<a name="NtA664" href="#Nt664"><sup>[664]</sup></a></p> + +<p><!-- Page 106 --><span class="pagenum"><a name="page106"></a>{106}</span></p> + + <p> </p> + + <p><br style="clear:both" /></p> +<hr class="short" /> + +<h2>VIII.</h2> + +<h2>Nicht-Euklidische Geometrie.</h2> + +<h3>———</h3> + + <p> </p> + + <p>Die letzte Kategorie von Arbeiten, mit denen ich mich zu beschäftigen + habe, umfaßt eine Reihe von Untersuchungen, die zu lebhaften Diskussionen + Veranlassung gegeben haben und — wunderbar zu sagen — eine + Zeit lang die Mathematiker in zwei Feldlager geteilt haben, »das eine + gewappnet gegen das andere«;<a name="NtA665" + href="#Nt665"><sup>[665]</sup></a> heutzutage bilden sie denjenigen Teil + der Wissenschaft des Raumes, den man »Nicht-Euklidische Geometrie« und + »Theorie der beliebig <!-- Page 107 --><span class="pagenum"><a + name="page107"></a>{107}</span>ausgedehnten Mannigfaltigkeiten« oder + »Geometrie von <i>n</i> Dimensionen«<a name="NtA666" + href="#Nt666"><sup>[666]</sup></a> nennt.</p> + + <p>Jeder weiß, daß unter allen Sätzen, die in den <i>Elementen</i> des + E<span class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>k<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>d enthalten sind, es einen giebt,<a name="NtA667" + href="#Nt667"><sup>[667]</sup></a> der nur schlecht dazu paßt, wie es der + griechische Geometer gethan hat, unter die Axiome oder die Postulate + gestellt zu werden.<a name="NtA668" href="#Nt668"><sup>[668]</sup></a> + Derselbe ist von großer Wichtigkeit im Euklidischen System, da auf ihn, + wie man sagen kann, die ganze Theorie der Parallelen gegründet ist. Weil + es nun nicht auf Grund unmittelbarer Anschauung gerechtfertigt ist, ihn + unter diejenigen Sätze zu zählen, für welche es vergeblich ist, einen + Beweis zu fordern, so kam man auf die Frage, ob er in der That + unbeweisbar sei, und ob man nicht, wenn das der Fall sein sollte, ihn + unterdrücken und durch einen anderen ersetzen könne, dessen Wahrheit + offenbarer sei?</p> + + <p>Diese Fragen sind ein natürlicher Ausfluß unseres Zeitalters, von + welchem eine der hervorragendsten Eigentümlichkeiten (wie H<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>t bemerkt) die unparteiliche Kritik alles dessen ist, + was uns die Vergangenheit hinterlassen hat; sie müssen als der erste + Ursprung der Nicht-Euklidischen Geometrie angesehen werden.</p> + + <p>Die ersten wichtigen Studien auf diesem Gebiete wurden gegen Ende des + vergangenen Jahrhunderts von L<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<a name="NtA669" + href="#Nt669"><sup>[669]</sup></a> <!-- Page 108 --><span + class="pagenum"><a name="page108"></a>{108}</span>gemacht. Dieselben + stellten den Zusammenhang klar, der zwischen dem Postulate des Euklid und + dem Satze besteht, der sich auf die Winkelsumme eines Dreiecks bezieht, + und führten L<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e dazu, nicht nur jenes Postulat durch ein anderes + viel wichtigeres zu ersetzen, sondern auch eine Geometrie zu entwerfen, + die von eben demselben Postulate unabhängig ist.<a name="NtA670" + href="#Nt670"><sup>[670]</sup></a></p> + + <p>Nahe zur selben Zeit wie L<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e, befaßte sich G<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>ß mit dieser Frage. Gleichwohl hat er niemals irgend + eine Arbeit auf diesem Gebiete veröffentlicht; seine Korrespondenz mit + S<span class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<a name="NtA671" href="#Nt671"><sup>[671]</sup></a> + und mit W<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>f<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>g B<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>i (1775-1856)<a + name="NtA672" href="#Nt672"><sup>[672]</sup></a> und einige + bibliographische Artikel von ihm<a name="NtA673" + href="#Nt673"><sup>[673]</sup></a> <!-- Page 109 --><span + class="pagenum"><a name="page109"></a>{109}</span>bezeugen nicht nur das + Interesse, das er dafür besaß, sondern bekunden auch die reiche Ernte von + Wahrheiten, die er auf diesem, wie auf den anderen von ihm bebauten + Feldern eingebracht hat. Und als die Schriften von L<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>w<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>k<span class="gsp"> </span>y (1793-1856)<a + name="NtA674" href="#Nt674"><sup>[674]</sup></a> und J<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>n B<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>i (1802-1860)<a + name="NtA675" href="#Nt675"><sup>[675]</sup></a> über diesen Gegenstand + erschienen, da sanktionierte der Fürst der deutschen Mathematiker mit + seiner Autorität die Ergebnisse, welche dieselben erhalten hatten. Man + kann diese Ergebnisse zusammenfassen, indem man sagt, daß dieselben die + Grundlage einer neuen Geometrie sind, die vollständig unabhängig ist von + dem Postulate des Euklid (die Nicht-Euklidische Geometrie, oder imaginäre + oder auch Pangeometrie), die in gewissen Punkten mit der gewöhnlichen + Geometrie übereinstimmt, jedoch in vielen anderen sich von ihr + unterscheidet, — eine Geometrie, die eine Zeit lang einige als + absurd verbannt haben wollten, da sie den von einer nur oberflächlichen + Sinneswahrnehmung bezeugten Erscheinungen widerspricht, die aber heute + allgemein angenommen ist, da ihr logischer Wert außer Zweifel gestellt + ist.<a name="NtA676" href="#Nt676"><sup>[676]</sup></a></p> + +<p><!-- Page 110 --><span class="pagenum"><a name="page110"></a>{110}</span></p> + + <p>Zu diesem Siege der Logik über den übertriebenen Empirismus haben in + sehr wirkungsvoller Weise einige Schriften von großer Bedeutung + beigetragen, die R<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>n (1827-1866), von H<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>z und B<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>i in den Jahren 1867 und + 1868 veröffentlichten.</p> + + <p>Die R<span class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>sche Schrift: <i>Über die Hypothesen, welche der + Geometrie zu Grunde liegen</i><a name="NtA677" + href="#Nt677"><sup>[677]</sup></a> — zwölf Jahre vor ihrer + Veröffentlichung geschrieben — war und ist noch durch die + Allgemeinheit der Begriffe und die Knappheit der Form selbst für + diejenigen, welche in der Mathematik schon vorgeschritten sind, von + schwierigem Verständnisse. Jedoch ein großer Teil der Ideen, welche + dieselbe enthält, verbreiteten sich sehr bald, da sie, durch ein + glückliches Zusammentreffen, auch von H<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>z ausgesprochen wurden, und dieser sie nicht nur den + Mathematikern in rein wissenschaftlicher Form darlegte,<a name="NtA678" + href="#Nt678"><sup>[678]</sup></a> sondern auch in populären Vorträgen + und Artikeln in verschiedenen Zeitschriften auch außerhalb des engeren + Kreises der Geometer behandelte.<a name="NtA679" + href="#Nt679"><sup>[679]</sup></a> Keinen geringeren Einfluß aber als die + Schriften des berühmten Verfassers der <i>Physiologischen Optik</i> übte + der klassische <i>Saggio di interpretazione della Geometria + non-euclidea</i><a name="NtA680" href="#Nt680"><sup>[680]</sup></a> von + B<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>i aus. Gerade die Schärfe und analytische Eleganz, + welche diese Schrift auszeichnen, lenkte die Aufmerksamkeit der Geometer + auf dieselbe; das glänzende und überraschende Resultat, daß die Sätze der + Nicht-Euklidischen Geometrie ihre Verwirklichung auf den Oberflächen mit + konstanter negativer Krümmung fanden, machte einen tiefen Eindruck auch + auf diejenigen, welche jeder nicht durch das <!-- Page 111 --><span + class="pagenum"><a name="page111"></a>{111}</span>Experiment bewiesenen + Behauptung allen Wert absprachen, und sicherte den Triumph der neuen + Anschauungen; endlich — die dort verteidigten gesunden Prinzipien + einer wissenschaftlichen Philosophie und die glänzende Form, in welcher + die Abhandlung geschrieben ist, ließen und lassen noch bei allen eine + lebhafte Bewunderung für unseren berühmten Landsmann entstehen, durch + dessen Bemühung wiederum einmal die Wahrheit den Sieg davontrug.</p> + + <p>Daß die Arbeiten dieser drei großen Gelehrten einen wohlthätigen + Einfluß auf die ganze Geometrie ausgeübt haben, hat sich zur Evidenz + durch die Änderung gezeigt, welche sich in bezug auf die Art und Weise + vollzogen hat wie man heutzutage die ihr zu Grunde liegenden Sätze + betrachtet.<a name="NtA681" href="#Nt681"><sup>[681]</sup></a> Wenn + früher die Geometer den Philosophen die Sorge überließen, zu entscheiden, + ob die Wahrheiten, mit denen sie sich beschäftigten, notwendige oder + zufällige seien, und dahin neigten, dieselben als notwendige zuzulassen, + so streben sie jetzt, nachdem die empirische Grundlage der Geometrie + erkannt ist, fortwährend darnach, genau festzusetzen, welche Thatsachen + man der Sinneswahrnehmung entnehmen muß, um eine Wissenschaft der + Ausdehnung zu gründen.<a name="NtA682" href="#Nt682"><sup>[682]</sup></a> + Wer die schönen <i>Vorlesungen über neuere <!-- Page 112 --><span + class="pagenum"><a name="page112"></a>{112}</span>Geometrie</i> (Leipzig, + 1882) von P<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h liest, die neueren + Lehrbücher prüft und diese und jene mit den älteren Büchern vergleicht, + wird wesentliche Unterschiede finden.</p> + + <p>In den älteren Werken giebt der Lehrer die Voraussetzungen, die er + nicht beweist, als notwendige, ewige und unanfechtbare Wahrheiten, in den + neueren führt er sozusagen den Schüler dazu, die nötigen Erfahrungen + auszuführen, um die Prämissen der späteren Deduktionen festzustellen. In + den älteren Arbeiten stellt der Verfasser die Euklidische Geometrie als + die einzig denkbare hin, in den neueren als <!-- Page 113 --><span + class="pagenum"><a name="page113"></a>{113}</span>eine der unendlich + vielen, die man aufstellen könnte. Und diese Unterschiede bezeichnen + einen thatsächlichen Fortschritt, da sie zeigen, daß die Gelehrten sich + von einem alteingewurzelten und schädlichen Vorurteile frei gemacht + haben; und für den Fortschritt der Wissenschaft hat die Erkenntnis eines + Irrtums eine nicht geringere Wichtigkeit, als die Entdeckung einer + Wahrheit.</p> + + <p>Kurz nach der Veröffentlichung der Arbeit von B<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>i erschien eine von F. K<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n,<a name="NtA683" + href="#Nt683"><sup>[683]</sup></a> die auch von großer Wichtigkeit ist; + aber um die Stellung zu kennzeichnen, welche dieselbe in der Geschichte + der Nicht-Euklidischen Geometrie einnimmt, muß ich mich einige Jahrzehnte + rückwärts wenden.</p> + + <p>Es ist bekannt, daß infolge des <i>Traité des propriétés projectives + des figures</i> eine Unterscheidung aufgestellt wurde zwischen den + Eigenschaften der Figuren, die erhalten bleiben, wenn diese projiziert + werden, und solchen, die nicht erhalten werden; es ist ferner bekannt, + daß unter den ersteren alle Lagen-Eigenschaften, aber nur einzelne + metrische Eigenschaften begriffen sind. Nun stellten die Geometer sich + die Frage, ob es nicht möglich sei, die metrischen Eigenschaften der + Figuren so auszusprechen, daß sie bei der Projektion sämtlich erhalten + werden. Für einige Arten der Projektion haben C<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s und P<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t die Frage gelöst, indem sie den Begriff der + unendlich fernen Kreispunkte der Ebene und des unendlich entfernten + imaginären Kreises einführten; für andere wurde die Lösung von L<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e<a name="NtA684" href="#Nt684"><sup>[684]</sup></a> + gegeben, dem es gelang, den Begriff des Winkels projektiv zu machen; aber + derjenige, welcher die Lösung in ihrer ganzen Allgemeinheit gab, war + C<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y<a name="NtA685" href="#Nt685"><sup>[685]</sup></a> + (1859), der in dem sechsten von seinen berühmten <i>Memoirs upon + Quantics</i> zeigte, daß jede metrische Eigenschaft einer ebenen Figur + als in einer <!-- Page 114 --><span class="pagenum"><a + name="page114"></a>{114}</span>projektiven Beziehung zwischen dieser und + einem festen Kegelschnitte enthalten betrachtet werden könne.</p> + + <p>Nun besteht der Hauptzweck der angeführten Abhandlung von K<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n eben darin, die innige + Beziehung zwischen den Schlüssen C<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>s und denen, zu welchen B<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>i und L<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>w<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>k<span + class="gsp"> </span>y gelangt waren, herzustellen; auf welche lichtvolle + Weise dieses Ziel erreicht ist, das beweist der große Ruhm, zu dem diese + Schrift alsbald gelangte.<a name="NtA686" + href="#Nt686"><sup>[686]</sup></a></p> + + <p>An diese Schriften schließen sich viele andere; an die von Riemann und + Beltrami einige interessante Arbeiten von d<span class="gsp"> </span>e + T<span class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>y,<a name="NtA687" + href="#Nt687"><sup>[687]</sup></a> G<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>i,<a name="NtA688" + href="#Nt688"><sup>[688]</sup></a> v<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n E<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<a name="NtA689" href="#Nt689"><sup>[689]</sup></a> + und B<span class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>i;<a name="NtA690" + href="#Nt690"><sup>[690]</sup></a> an die von Klein verschiedene + Abhandlungen von B<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>i,<a name="NtA691" + href="#Nt691"><sup>[691]</sup></a> d<span class="gsp"> </span>'<span + class="gsp"> </span>O<span class="gsp"> </span>v<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>o,<a name="NtA692" + href="#Nt692"><sup>[692]</sup></a> d<span class="gsp"> </span>e P<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>s<a name="NtA693" href="#Nt693"><sup>[693]</sup></a> + und A<span class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>i,<a name="NtA694" href="#Nt694"><sup>[694]</sup></a> + C<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y,<a name="NtA695" href="#Nt695"><sup>[695]</sup></a> + L<span class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>n,<a name="NtA696" + href="#Nt696"><sup>[696]</sup></a> S<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>g,<a name="NtA697" + href="#Nt697"><sup>[697]</sup></a> von S<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>y,<a name="NtA698" href="#Nt698"><sup>[698]</sup></a> + <!-- Page 115 --><span class="pagenum"><a + name="page115"></a>{115}</span>H. S<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>l<a name="NtA699" href="#Nt699"><sup>[699]</sup></a> + und V<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>ß,<a + name="NtA700" href="#Nt700"><sup>[700]</sup></a> von H. C<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>x<a name="NtA701" + href="#Nt701"><sup>[701]</sup></a> und A. B<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>m.<a name="NtA702" + href="#Nt702"><sup>[702]</sup></a></p> + + <p>Die mathematische Litteratur der allerneuesten Zeit jedoch ist nicht + sehr reich an Forschungen auf diesem Gebiete;<a name="NtA703" + href="#Nt703"><sup>[703]</sup></a> es hat den Anschein, als wenn jenes + Zeitalter, welches man das heroische nennen könnte, und durch welches + jede Disziplin einmal hindurchgeht, schon von der Nicht-Euklidischen + Geometrie durchlaufen sei. Sollten vielleicht die unermüdlichen Arbeiter + der beiden Jahrzehnte 1860-1880 die Minen in jeder Richtung so gründlich + durchwühlt haben, daß sie keine goldführende Ader mehr bergen?</p> + + <p> </p> + + <p><br style="clear:both" /></p> +<hr class="short" /> + +<h2>IX.</h2> + +<h2>Geometrie von <i>n</i> Dimensionen.</h2> + +<h3>———</h3> + + <p> </p> + + <p>Die Theorie der beliebig ausgedehnten Mannigfaltigkeiten oder die + Geometrie von <i>n</i> Dimensionen verdankt ihren Ursprung der + Unterstützung, welche die Algebra von der Geometrie erhielt, seitdem + Cartesius jene auf diese anzuwenden gelehrt hat. In der That ist diese + Unterstützung eine begrenzte, da nur die analytischen Thatsachen, welche + mit der Theorie der Funktionen einer, zweier oder dreier Variabelen + verknüpft sind (oder mit der Theorie der binären, ternären oder + quaternären Formen), einer den Sinnen zugänglichen <!-- Page 116 --><span + class="pagenum"><a name="page116"></a>{116}</span>Darstellung fähig sind. + Aber der Geist der Verallgemeinerung, der, wie ich schon sagte, einer der + mächtigsten Antriebe zu den modernen geometrischen Untersuchungen war und + noch fortwährend ist, bewog die Geometer, die Fesseln zu brechen, welche + die Natur ihrem Vorstellungsvermögen angelegt zu haben schien, und von + beliebig ausgedehnten Räumen zu sprechen.<a name="NtA704" + href="#Nt704"><sup>[704]</sup></a></p> + + <p>Und sie sprachen davon, ehe sie sich noch mit der mehr + philosophischen, als mathematischen Frage beschäftigt hatten, ob in der + That solche Räume existieren; und sie thaten dies mit Recht, da sie nur + so, ohne ein vielleicht unlösbares Problem in Angriff zu nehmen, ihr Ziel + erreichen konnten; durch eine kühne Einbildungskraft verschafften sie + sich die (sinnlich wahrnehmbaren oder übersinnlichen) Darstellungen + vieler analytischer Resultate.<a name="NtA705" + href="#Nt705"><sup>[705]</sup></a></p> + + <p>Um zu zeigen, daß man wirklich in der angegebenen Weise zu einer + solchen Theorie gekommen ist, begnüge ich mich damit, die Thatsache + anzuführen, daß dieselbe von Analysten wie C<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>y<a name="NtA706" href="#Nt706"><sup>[706]</sup></a> + (1789-1857) und R<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>n<a name="NtA707" href="#Nt707"><sup>[707]</sup></a> + aufgestellt wurde; daß sie sich noch bei vielen anderen minder + bedeutenden mehr oder weniger versteckt findet in der Absicht, für die + Theoreme der Analysis ausdrucksvollere Fassungen zu erhalten; ferner daß + L<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>e schon Ende des vergangenen Jahrhunderts die + Bemerkung machte, »daß man die Mechanik als eine Geometrie von vier + Dimensionen <!-- Page 117 --><span class="pagenum"><a + name="page117"></a>{117}</span>ansehen könne«, in welcher die Zeit als + vierte Koordinate fungiert.<a name="NtA708" + href="#Nt708"><sup>[708]</sup></a></p> + + <p>Dieser Begriff des beliebig ausgedehnten Raumes ist jedoch seinem + Ursprunge und seiner Bestimmung nach wesentlich analytisch. P<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>ü<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>k<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r, dem das Schicksal einen + so wichtigen Anteil an der Förderung der modernen Geometrie zugeteilt + hat, war es vorbehalten, diesem Begriffe ein geometrisches Gewand zu + geben, indem er beobachtete, daß man unserem Raume eine beliebige Anzahl + Dimensionen zuerteilen kann vermittelst einer passenden Wahl des + geometrischen Gebildes, welches man als erzeugendes Element des Raumes + auffaßt; so wird er drei Dimensionen haben, wenn man den Punkt oder die + Ebene wählt, vier, wenn man die Gerade oder die Kugel nimmt, neun, wenn + man die Fläche zweiten Grades nimmt, u. s. w.<a name="NtA709" + href="#Nt709"><sup>[709]</sup></a></p> + +<p><!-- Page 118 --><span class="pagenum"><a name="page118"></a>{118}</span></p> + + <p>Dieser Gedanke ist weniger abstrakt als der vorhergehende, und + leichter zu begreifen; dessen ungeachtet verbreitete er sich viel + langsamer, als der erstere, wahrscheinlich deswegen, weil sein Urheber + nicht Worte genug machte, um seine Wichtigkeit zu zeigen. Der andere + hingegen wurde besonders infolge der berühmten Abhandlung von R<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>n, <i>Über die Hypothesen, + welche der Geometrie zu Grunde liegen</i>, in vielen Richtungen weiter + entwickelt, und die mathematische Litteratur über diesen Gegenstand ist + von einer schon beträchtlichen Reichhaltigkeit und wächst noch von Tag zu + Tag.</p> + + <p>Zur Rechtfertigung dieser Behauptung erinnere ich an die schon + genannten Abhandlungen von H<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>z, führe die von B<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>i,<a name="NtA710" + href="#Nt710"><sup>[710]</sup></a> S<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>ä<span class="gsp"> </span>f<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>i,<a name="NtA711" + href="#Nt711"><sup>[711]</sup></a> N<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>w<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>b,<a name="NtA712" href="#Nt712"><sup>[712]</sup></a> + S<span class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>m,<a name="NtA713" + href="#Nt713"><sup>[713]</sup></a> das neue Buch von K<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>g<a name="NtA714" + href="#Nt714"><sup>[714]</sup></a> an und die darauf folgenden + Untersuchungen von S<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>r,<a name="NtA715" href="#Nt715"><sup>[715]</sup></a> + die enge mit der R<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>schen Abhandlung + zusammenhängen; die Untersuchung von B<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>i<a name="NtA716" href="#Nt716"><sup>[716]</sup></a> + über den Zusammenhang eines Raumes von <i>n</i> Dimensionen; die von + C<span class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>f<span class="gsp"> </span>f<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>d,<a name="NtA717" href="#Nt717"><sup>[717]</sup></a> + B<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>i,<a name="NtA718" href="#Nt718"><sup>[718]</sup></a> + J<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n,<a name="NtA719" href="#Nt719"><sup>[719]</sup></a> + von L<span class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>z,<a name="NtA720" + href="#Nt720"><sup>[720]</sup></a> M<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>o,<a name="NtA721" href="#Nt721"><sup>[721]</sup></a> + S<span class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>f<span class="gsp"> </span>f<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r (1859-1885),<a + name="NtA722" href="#Nt722"><sup>[722]</sup></a> H<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>h<a name="NtA723" + href="#Nt723"><sup>[723]</sup></a> und K<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>g<a name="NtA724" href="#Nt724"><sup>[724]</sup></a> + über die Kinematik und Mechanik eines <!-- Page 119 --><span + class="pagenum"><a name="page119"></a>{119}</span>solchen Raumes;<a + name="NtA725" href="#Nt725"><sup>[725]</sup></a> ferner die von J<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<a name="NtA726" href="#Nt726"><sup>[726]</sup></a> + und B<span class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<a name="NtA727" href="#Nt727"><sup>[727]</sup></a> + über die verschiedenen Berührungs- und Schmiegungsräume, welche eine + Kurve in einem Raume von <i>n</i> Dimensionen zuläßt,<a name="NtA728" + href="#Nt728"><sup>[728]</sup></a> die von C<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>g<a name="NtA729" + href="#Nt729"><sup>[729]</sup></a> über die metrischen Eigenschaften der + Oberflächen in einem solchen Raume, die von K<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>k<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r,<a name="NtA730" + href="#Nt730"><sup>[730]</sup></a> von B<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>z,<a name="NtA731" + href="#Nt731"><sup>[731]</sup></a> L<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>z,<a name="NtA732" href="#Nt732"><sup>[732]</sup></a> + C<span class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>f<span class="gsp"> </span>f<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l,<a name="NtA733" + href="#Nt733"><sup>[733]</sup></a> von B<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>l,<a name="NtA734" href="#Nt734"><sup>[734]</sup></a> + S<span class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>w<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>f<span + class="gsp"> </span>f<a name="NtA735" href="#Nt735"><sup>[735]</sup></a> + und V<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>ß<a + name="NtA736" href="#Nt736"><sup>[736]</sup></a> über die Krümmung eines + beliebig ausgedehnten Raumes; die von K<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>k<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r und T<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>i<a name="NtA737" href="#Nt737"><sup>[737]</sup></a> + über das Potential; die von L<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>e,<a name="NtA738" href="#Nt738"><sup>[738]</sup></a> + K<span class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n,<a name="NtA739" + href="#Nt739"><sup>[739]</sup></a> J<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<a + href="#Nt726"><sup>[726]</sup></a> und L<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>z<a name="NtA740" href="#Nt740"><sup>[740]</sup></a> + über die Erweiterung des Dupinschen und des Eulerschen Lehrsatzes; sodann + die konforme Abbildung einer Oberfläche des vierdimensionalen Raumes auf + den gewöhnlichen Raum, die von C<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>g<a name="NtA741" href="#Nt741"><sup>[741]</sup></a> + studiert wurde, endlich die von L<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>z gegebene Verallgemeinerung des berühmten Problemes + der drei Körper.<a name="NtA742" href="#Nt742"><sup>[742]</sup></a> Zum + Schlusse wollen <!-- Page 120 --><span class="pagenum"><a + name="page120"></a>{120}</span>wir die Aufmerksamkeit des Lesers lenken + auf die Erweiterungen gewisser Begriffe, einiger Sätze und Formeln der + elementaren Geometrie, die vorzüglich von R<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l,<a name="NtA743" + href="#Nt743"><sup>[743]</sup></a> H<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>e,<a name="NtA744" href="#Nt744"><sup>[744]</sup></a> + S<span class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<a name="NtA745" href="#Nt745"><sup>[745]</sup></a> + und M<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>k<span + class="gsp"> </span>e<a name="NtA746" href="#Nt746"><sup>[746]</sup></a> + gemacht sind; dazu gehören auch die Untersuchungen von S<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>m,<a name="NtA747" + href="#Nt747"><sup>[747]</sup></a> H<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>e,<a name="NtA748" href="#Nt748"><sup>[748]</sup></a> + S<span class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l,<a name="NtA749" href="#Nt749"><sup>[749]</sup></a> + S<span class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>f<span + class="gsp"> </span>f<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r,<a name="NtA750" + href="#Nt750"><sup>[750]</sup></a> R<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l,<a name="NtA751" href="#Nt751"><sup>[751]</sup></a> + O. B<span class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>n,<a name="NtA752" href="#Nt752"><sup>[752]</sup></a> + P<span class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>a<a name="NtA753" href="#Nt753"><sup>[753]</sup></a> + und anderen über die regulären Körper des vierdimensionalen Raumes, die + soweit gediehen, daß sie S<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l gestatteten, Modelle der + Projektionen dieser Körper auf unseren Raum herzustellen.<a name="NtA754" + href="#Nt754"><sup>[754]</sup></a></p> + + <p>Außer dieser Richtung wurde eine andere nicht weniger fruchtbare von + den Bearbeitern der Mannigfaltigkeiten von <i>n</i> Dimensionen verfolgt, + welche projektiv ist, während die erstere wesentlich metrisch + ist.—Eine kurze Andeutung, <!-- Page 121 --><span + class="pagenum"><a name="page121"></a>{121}</span>die von C<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y im Jahre 1846 gegeben wurde<a name="NtA755" + href="#Nt755"><sup>[755]</sup></a> über eine Methode, um die + Konfigurationen von Punkten, Geraden und Ebenen zu untersuchen, kann man + als die erste ansehen, welche auf diese neue Richtung hinwies. Aber es + scheint, wie B<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>y<a name="NtA756" href="#Nt756"><sup>[756]</sup></a> + bemerkt hat, »daß die Ideen, wie wir, ein Kindesalter und eine erste Zeit + der Schwäche haben; sie sind nicht von Geburt an produktiv, sondern + erhalten erst mit dem Alter und mit der Zeit ihre Fruchtbarkeit«. Daher + sehen wir denn mehr als 30 Jahre verfließen, ehe der geniale Gedanke des + großen englischen Geometers, in der richtigen Weise entwickelt, die + synthetische Geometrie der Räume von <i>n</i> Dimensionen, welche wir + heute besitzen, hervorrief.</p> + + <p>Als Einleitung zu derselben muß man die wichtige Arbeit von C<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>f<span class="gsp"> </span>f<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>d ansehen: <i>On the classification of loci</i>,<a + name="NtA757" href="#Nt757"><sup>[757]</sup></a> in welcher das + allgemeine Studium der Kurven in beliebigen linearen Räumen in Angriff + genommen ist; jeden Augenblick kommen in demselben Operationen vor, die + wirkliche Erweiterungen derer sind, die man in der gewöhnlichen + projektiven Geometrie zu machen pflegt. Jedoch kann man sagen, daß dieser + neue Zweig der Geometrie mit der Abhandlung beginnt, die V<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>e der <i>Behandlung der projektiven Eigenschaften der + Räume von</i> n <i>Dimensionen durch die Prinzipien des Schneidens und + Projizierens</i> gewidmet hat.<a name="NtA758" + href="#Nt758"><sup>[758]</sup></a> In derselben läßt der berühmte + Verfasser, R<span class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>n folgend, einen Raum von + <i>n</i> Dimensionen entstehen, indem er von demselben einen solchen, der + eine Dimension weniger hat, von einem außerhalb gelegenen Punkte + projiziert, und <!-- Page 122 --><span class="pagenum"><a + name="page122"></a>{122}</span>indem er sich dieser Erzeugungsweise + bedient, gelangt er zur Erweiterung des grösseren Teiles der Theorien der + gewöhnlichen Geometrie der Lage.<a name="NtA759" + href="#Nt759"><sup>[759]</sup></a> Die Fruchtbarkeit der in dieser + grundlegenden Abhandlung erörterten Prinzipien wurde durch viele + interessante Arbeiten, welche die Fortsetzung derselben bilden, ins Licht + gestellt; dieselben bereichern noch von Tag zu Tag ein Lehrgebiet, in + welchem Italien eine hervorragende Stelle einnimmt. Unter ihnen will ich + — abgesehen von denen, die V<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>e selbst publiziert hat,<a + name="NtA760" href="#Nt760"><sup>[760]</sup></a> — die + Untersuchungen von S<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e anführen über die Theorie der quadratischen Gebilde + in einem Raume von <i>n</i> Dimensionen und ihre Anwendung auf die + Geometrie der Geraden,<a name="NtA761" href="#Nt761"><sup>[761]</sup></a> + über die kollinearen und reciproken Korrespondenzen,<a name="NtA762" + href="#Nt762"><sup>[762]</sup></a> über die Büschel von Kegeln zweiten + Grades,<a name="NtA763" href="#Nt763"><sup>[763]</sup></a> über die + Regelflächen,<a name="NtA764" href="#Nt764"><sup>[764]</sup></a> über die + Oberflächen vierter <!-- Page 123 --><span class="pagenum"><a + name="page123"></a>{123}</span>Ordnung mit Doppelkegelschnitt<a + name="NtA765" href="#Nt765"><sup>[765]</sup></a> und über die Theorie der + Systeme von Kegelschnitten,<a name="NtA766" + href="#Nt766"><sup>[766]</sup></a> dann die von B<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>i<a name="NtA767" + href="#Nt767"><sup>[767]</sup></a> und A<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i,<a name="NtA768" + href="#Nt768"><sup>[768]</sup></a> die verwandte Gegenstände behandeln; + die Schriften von d<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l + P<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>z<span + class="gsp"> </span>z<span class="gsp"> </span>o über die Oberflächen in + einem <i>n</i>-dimensionalen Raume.<a name="NtA769" + href="#Nt769"><sup>[769]</sup></a> Noch viele andere müßte ich nennen, + aber</p> + + <div class="poem"> + <div class="stanza"> + <p>Io non posso ritrar di tutti appieno;</p> + <p>Perocchè sì mi caccia il lungo tema,</p> + <p>Che molte volte al fatto il dir vien meno.<a name="NtA770" href="#Nt770"><sup>[770]</sup></a></p> + </div> + </div> + + <p>Jedoch Arbeiten, welche zu verschweigen mich keine Betrachtung + verleiten könnte, sind die — viel früher als die von V<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>e erschienenen — von N<span + class="gsp"> </span>ö<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r über die eindeutigen Korrespondenzen zwischen zwei + <i>n</i>-dimensionalen Räumen (1869, 1874),<a name="NtA771" + href="#Nt771"><sup>[771]</sup></a> jene ebenfalls älteren von H<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n (1875) über die Schnitte + der Mannigfaltigkeiten, die in einem beliebigen linearen Raume enthalten + sind,<a name="NtA772" href="#Nt772"><sup>[772]</sup></a> von d<span + class="gsp"> </span>'<span class="gsp"> </span>O<span + class="gsp"> </span>v<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>o <!-- Page 124 --><span class="pagenum"><a + name="page124"></a>{124}</span>über die Metrik eines solchen Raumes + (1876),<a name="NtA773" href="#Nt773"><sup>[773]</sup></a> endlich die + neuerlichen von S<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>t über die abzählende + Geometrie eines Raumes von solcher Beschaffenheit.<a name="NtA774" + href="#Nt774"><sup>[774]</sup></a></p> + + <p> </p> + + <p><br style="clear:both" /></p> +<hr class="short" /> + +<h2></h2> + +<h2>Schluss.</h2> + +<h3>———</h3> + + <p> </p> + + <p>Hiermit scheint es mir angemessen, die vorgenommene Musterung zu + beschließen. Freilich sind viele wirklich interessante Untersuchungen + derselben entgangen, da sie unter keiner der Kategorien, in welche ich + die von mir besprochenen Arbeiten eingeteilt habe, Platz finden konnten. + So konnte ich nicht über die Theorie der projektiven Koordinaten + berichten, die von C<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>s<a name="NtA775" href="#Nt775"><sup>[775]</sup></a> + erhalten wurden, als er die gewöhnlichen Cartesischen Koordinaten einer + kollinearen Verwandlung unterzog, die dann direkt von S<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>t<a name="NtA776" href="#Nt776"><sup>[776]</sup></a> + aufgestellt wurde und vollständiger von F<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r;<a name="NtA777" href="#Nt777"><sup>[777]</sup></a> + <!-- Page 125 --><span class="pagenum"><a + name="page125"></a>{125}</span>dann habe ich nicht über die Methode der + symbolischen Bezeichnung berichtet, da diese mehr Mittel als Zweck für + den Geometer ist; die Theorie der Berührungstransformationen (L<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e) und der + Differential-Invarianten (H<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n) habe ich stillschweigend übergangen, da sie auf + der Grenze zwischen der Geometrie und der Theorie der + Differentialgleichungen stehen; über die sogenannte <i>Analysis situs</i> + habe ich mich einer Besprechung enthalten, da eben diese Lehre von R<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>n geschaffen und von + seinen Schülern betrieben wurde, um Probleme der Funktionentheorie zu + lösen. Dann haben sich meiner Darlegung die schönen Auseinandersetzungen + von B<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>i und B<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>l entzogen über die Kräfte + und Bewegungen,<a name="NtA778" href="#Nt778"><sup>[778]</sup></a> von + C<span class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s, A<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>d, M<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>m und B<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r über die kinematische + Geometrie und von R<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>e über die + Trägheitsmomente, da sie bisher<a name="NtA779" + href="#Nt779"><sup>[779]</sup></a> mehr zur Mechanik als zur Geometrie + gehörig angesehen wurden. Gleiches gilt von den interessanten + Experimenten P<span class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>s (1801-1883) in bezug auf die Minimalflächen, deren + Besitz die Physiker für sich beanspruchen, von den schönen Untersuchungen + über die Polyeder (M<span class="gsp"> </span>ö<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>s, B<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>v<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>s, J<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n, H<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>ß), welche den Übergang von der Geometrie zur + Mineralogie bilden, und den neuesten Arbeiten über die geometrische + Wahrscheinlichkeit (C<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>f<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n, C<span class="gsp"> </span>z<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r, C<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>à<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>o), welche ich geneigt wäre unter die Anwendungen der + Geometrie zu rechnen. Dann habe ich nicht über die Methode der + Äquipollenzen gesprochen (B<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>v<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>s) und die Theorie der + Quaternionen (H<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n), da beide sich bis + jetzt noch <!-- Page 126 --><span class="pagenum"><a + name="page126"></a>{126}</span>nicht von so großer Fruchtbarkeit erwiesen + haben, um als notwendiges Hilfsmittel des Geometers angesehen zu + werden.</p> + + <p>Ungern mußte ich hinweggehen über die Theorie der Kugelsysteme, die + mit großem Erfolge von L<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>e und R<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>e bearbeitet ist. Ich habe + keinen Blick auf die Theorie der Konfigurationen werfen können (R<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>e, K<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>r, J<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>g, M<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>i), da dieselbe gerade + noch im Stadium ihrer Bildung begriffen ist, und auf die mehr den + Elementen angehörige Erweiterung der Lehre vom Dreiecke, zu welcher + Arbeiten von B<span class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>d<a name="NtA780" + href="#Nt780"><sup>[780]</sup></a> die Anregung gegeben haben. Kurz + erwähnen will ich noch zwei Reihen von Untersuchungen über Maximal- und + Minimalfiguren, von denen die einen (P<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>v<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n, P. S<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>t, L<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>e, B<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>t, K<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>k<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r) das Problem von L<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>e, das Tetraeder größten + Inhalts zu finden, von dem die Inhalte der Seitenflächen gegeben sind, + und Erweiterungen, bez. Umgestaltungen desselben behandeln,<a + name="NtA781" href="#Nt781"><sup>[781]</sup></a> die anderen (L<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>ö<span + class="gsp"> </span>f, B<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r, E<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r, S<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>m, S<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>w<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>z, L<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>e, C<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>o) sich an die berühmten + Aufsätze von S<span class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<a name="NtA782" + href="#Nt782"><sup>[782]</sup></a> anschließen.<a name="NtA783" + href="#Nt783"><sup>[783]</sup></a></p> + + <p>Keinesfalls aber darf mit Stillschweigen übergangen werden, daß es + unserem Jahrzehnte vergönnt gewesen ist, die alte Frage der Quadratur des + Kreises zur endgiltigen Erledigung zu bringen. Nachdem im vergangenen + Jahrhundert L<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>t<a name="NtA784" + href="#Nt784"><sup>[784]</sup></a> die Zahl <span class="grk">π</span> + als irrational nachgewiesen, verblieb immer noch der Nachweis, daß <span + class="grk">π</span> auch nicht Wurzel <!-- Page 127 --><span + class="pagenum"><a name="page127"></a>{127}</span>einer algebraischen + Gleichung mit rationalen Koeffizienten sei; denn erst damit ist + dargethan, daß die Quadratur des Kreises nicht vermittelst einer + endlichen Anzahl von Konstruktionen, welche mit Hilfe des Lineals und des + Zirkels ausführbar sind, vollzogen werden könne. Dieser Beweis wurde, + unter Benutzung H<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>scher Vorarbeiten über die + Exponentialfunktion, 1882 von L<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>n<a name="NtA785" href="#Nt785"><sup>[785]</sup></a> + erbracht.</p> + + <p>Trotz der aufgezählten und unzähliger anderer Unvollkommenheiten des + Bildes, das ich über den heutigen Zustand der Geometrie zu entwerfen + versucht habe, wird dennoch der Leser, wenn er einen Blick auf dasselbe + wirft, von tiefer Verwunderung betroffen sein, nicht allein über die + gewaltige Entwickelung der Mathematik in diesen letzten fünfzig Jahren, + sondern auch über die neue, schönere, verlockendere Gestalt, welche sie + mehr und mehr annimmt.</p> + + <p>Die geometrischen Figuren, die eine Zeit lang als fest, unbeweglich, + leblos erschienen, bekamen eine unerwartete Lebendigkeit durch die + Theorie der geometrischen Transformationen, vermöge derer sie sich + bewegen, sich in einander verwandeln, gegenseitige Beziehungen enthüllen + und unter sich bisher unbekannte Verwandtschaften herstellen.</p> + + <p>Ferner glaubte man eine Zeit lang, daß wir als dreidimensionale Wesen, + die in einem Raume leben, in welchem wir nur drei Dimensionen wahrnehmen + können, dazu verurteilt wären, ewig nur die Mannigfaltigkeiten von nicht + mehr als drei Dimensionen zu studieren. Jetzt aber ist es uns erlaubt und + fast unsere Pflicht, von dieser Idee als einem gefährlichen Vorurteile + uns frei zu machen, und die Fülle von Arbeiten, die wir vor uns + bewundern, belehren alle diejenigen, welche ihre Augen nicht von der + neuen Sonne wegwenden wollen, über die Wichtigkeit dieses + Fortschrittes.</p> + + <p>Endlich ist, kann man sagen, der Kampf zwischen der Geometrie und der + Analysis, der sich gegen Ende des <!-- Page 128 --><span + class="pagenum"><a name="page128"></a>{128}</span>vergangenen + Jahrhunderts erhoben und zu Anfang dieses fortgesetzt hat, nunmehr + beendigt; weder die eine, noch die andere hat den Sieg davon getragen, + aber jede hat auch den Ungläubigsten gezeigt, daß sie bei jeglichem + Ringen als Siegerin hervorgehen könne. Der <i>Mécanique analytique</i>, + in welcher L<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>e mit Freuden konstatierte, daß er es soweit gebracht + habe, jegliche Figur zu vermeiden, hat ein Lehrbuch der Mechanik einen + glänzenden Bescheid gegeben, welches das Motto trägt: »<i>Geometrica + geometrice</i>«; dem hundertjährigen Dienste, welchen die Algebra der + Geometrie bot, können sich heute die zahllosen und unvergleichlichen + Vorteile entgegenstellen, welche jene von dieser zog; schließlich wird + man doch an Stelle der analytischen oder pseudosynthetischen Theorie der + Kurven und Oberflächen in Kurzem die rein synthetische Theorie setzen + können, die man gegenwärtig aus dem von S<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>t<a name="NtA786" + href="#Nt786"><sup>[786]</sup></a> gelieferten Materiale errichtet.</p> + + <p>Und zu dieser Periode des Friedens oder vielmehr des edlen Wetteifers + der Analysis und Geometrie müssen sich alle Glück sagen, da jeder + Fortschritt der einen einen entsprechenden in der anderen nach sich zieht + oder dazu <!-- Page 129 --><span class="pagenum"><a + name="page129"></a>{129}</span>auffordert. Das entspricht dem heutigen + Standpunkte der gesamten Wissenschaft, denn nun funktionieren, wie S<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r sagt, die verschiedenen + Disziplinen als Hilfskünste, die einen für die anderen.</p> + + <p>Diese Stellung der modernen Mathematik jedoch legt jedem, der sie mit + Erfolg betreiben will, eine schwere Verpflichtung auf, nämlich die, nicht + die eine der beiden Disziplinen, welche sie zusammen bilden, um die + andere zu vernachlässigen und sich in der Handhabung der Wissenschaft der + Zahlen ebensowohl, als in derjenigen der Ausdehnung auszubilden.<a + name="NtA787" href="#Nt787"><sup>[787]</sup></a></p> + + <p>Um heiteren Mutes diese vermehrten Anstrengungen auf uns zu nehmen, + dazu hilft uns die Betrachtung, »daß die Analysis und Synthesis im Grunde + genommen gleichsam immer vereinigt in unseren Arbeiten sind und zusammen + das vollständigste Werkzeug des menschlichen Geistes bilden. Denn unser + Geist macht keine Fortschritte, als nur mit der Hilfe von Zeichen oder + Bildern, und wenn er zum ersten Male in schwierige Fragen einzudringen + sucht, so hat er nicht einen Überfluß an diesen beiden Mitteln und jener + besonderen Kraft, die er oft genug nur aus ihrem Zusammenwirken + schöpft.«<a name="NtA788" href="#Nt788"><sup>[788]</sup></a></p> + + <p>Indem wir uns also der Beschränktheit unserer Kräfte bewußt sind, + werden wir nur ein kleines Feld wählen, auf dem wir unsere Thätigkeit + üben, aber nicht vergessen, daß <!-- Page 130 --><span class="pagenum"><a + name="page130"></a>{130}</span>wir, um alle Früchte, die es zu bieten + fähig ist, einzuernten, das Recht und sozusagen die Pflicht haben, alle + die Hilfsmittel prüfend anzuwenden, welche der menschliche Geist während + so vieler Jahrhunderte unausgesetzter Thätigkeit angehäuft hat, und die + jedem zu Gebote stehen, der die Klugheit hat, sie zu Rate zu ziehen, und + das Geschick, sie anzuwenden.</p> + + <p> </p> + + <p><br style="clear:both" /></p> +<hr class="short" /> + +<h2></h2> + +<h2>Abkürzungen für die häufig erwähnten Zeitschriften.</h2> + +<h3>———</h3> + + <p> </p> + +<table class="nob" summary="Abkürzungen." title="Abkürzungen."> +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Acta math.</i>: Acta mathematica.</td></tr> + +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Amer. Journ.</i>: American Journal of Mathematics pure and applied.</td></tr> + +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Ann. Éc. norm.</i>: Annales scientifiques de l'École normale supérieure.</td></tr> + +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Annali di Matem.</i>: Annali di Matematica pura ed applicata.</td></tr> + +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Berliner Abh.</i>: Mathematisch-physikalische Abhandlungen der Akademie +der Wissenschaften zu Berlin.</td></tr> + +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Berliner Ber.</i>: Monatsberichte, bez. seit 1882 Sitzungsberichte oder +auch: Mathematisch-naturwissenschaftliche Mitteilungen derselben +Akademie.</td></tr></table> + +<table class="nob" summary="Abkürzungen." title="Abkürzungen."> +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Bologna Mem.</i>: Memorie </td><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle" rowspan="2"><img src="images/$rbrace.png" style="height:6ex; width:0.5em" alt="right brace" /></td><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle" rowspan="2"> dell' Accademia di Scienze dell' Istituto di Bologna.</td></tr> +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Bologna Rend.</i>: Rendiconti</td></tr></table> + +<table class="nob" summary="Abkürzungen." title="Abkürzungen."> +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Bull. sciences math.</i>: Bulletin des sciences mathématiques (bis 1884: +et astronomiques).</td></tr> + +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Bull. Soc. math.</i>: Bulletin de la Société mathématique de France.</td></tr> + +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Cambridge Journ.</i>: Cambridge and Dublin mathematical Journal.</td></tr></table> + +<table class="nob" summary="Abkürzungen." title="Abkürzungen."> +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Cambridge Proc.</i>: Proceedings </td><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle" rowspan="2"> <img src="images/$rbrace.png" style="height:6ex; width:0.5em" alt="right brace" /> + </td><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle" rowspan="2"> of the Philosophical Society of Cambridge.</td></tr> + +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Cambridge Trans.</i>: Transactions</td></tr></table> + +<table class="nob" summary="Abkürzungen." title="Abkürzungen."> +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Comptes rendus</i>: Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie +des sciences (de Paris).</td></tr> + +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Gergonnes Ann.</i>: Annales de Mathématiques.</td></tr> + +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Giorn. di Matem.</i>: Giornale di Matematiche.</td></tr></table> + +<table class="nob" summary="Abkürzungen." title="Abkürzungen."> +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Göttinger Abh.</i>: Abhandlungen </td><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle" rowspan="2"> <img src="images/$rbrace.png" style="height:6ex; width:0.5em" alt="right brace" /> + </td><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle" rowspan="2"> der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen.</td></tr> +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Göttinger Nachr.</i>: Nachrichten von </td></tr></table> + +<table class="nob" summary="Abkürzungen." title="Abkürzungen."> +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Grunerts Arch.</i>: Archiv der Mathematik und Physik.</td></tr> + +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Journ. Éc. polyt.</i>: Journal de l'École polytechnique.</td></tr> + +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Journ. für Math.</i>: Journal für die reine und angewandte Mathematik.</td></tr></table> + +<table class="nob" summary="Abkürzungen." title="Abkürzungen."> +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Irish Proc.</i>: Proceedings </td><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle" rowspan="2"> <img src="images/$rbrace.png" style="height:6ex; width:0.5em" alt="right brace" /> + </td><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle" rowspan="2"> of the Irish Academy.</td></tr> +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Irish Trans.</i>: Transactions </td></tr></table> + +<table class="nob" summary="Abkürzungen." title="Abkürzungen."> +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"> +<!-- Page 131 --><span class="pagenum"><a name="page131"></a>{131}</span> +<i>Leipziger Ber.</i>: Berichte über die Verhandlungen der Gesellschaft der +Wissenschaften zu Leipzig.</td></tr></table> + +<table class="nob" summary="Abkürzungen." title="Abkürzungen."> +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Lincei Atti</i>: Atti </td><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle" rowspan="4"> <img src="images/$rbrace.png" style="height:13ex; width:0.5em" alt="right brace" /> + </td><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle" rowspan="4"> dell' Accademia dei Lincei.</td></tr> +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Lincei Mem.</i>: Memorie </td></tr> +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Lincei Rend.</i>: Rendiconti </td></tr> +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Lincei Trans.</i>: Transunti </td></tr></table> + +<table class="nob" summary="Abkürzungen." title="Abkürzungen."> +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Liouvilles Journ.</i>: Journal de Mathématiques pures et appliquées.</td></tr> + +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Lombardo Rend.</i>: Rendiconti dell' Istituto Lombardo di scienze e lettere.</td></tr> + +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Math. Ann.</i>: Mathematische Annalen.</td></tr> + +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Mém. prés.</i>: Mémoires présentés par divers savants à l'Académie des +sciences (de Paris).</td></tr></table> + +<table class="nob" summary="Abkürzungen." title="Abkürzungen."> +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Münchener Abh.</i>: Abhandlungen </td><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle" rowspan="2"> <img src="images/$rbrace.png" style="height:6ex; width:0.5em" alt="right brace" /> + </td><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle" rowspan="2"> der Akademie der Wissenschaften zu München.</td></tr> + +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Münchener Ber.</i>: Sitzungsberichte </td></tr></table> + +<table class="nob" summary="Abkürzungen." title="Abkürzungen."> +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Napoli Rend.</i>: Rendiconti dell' Accademia delle scienze fisiche e +matematiche di Napoli.</td></tr> + +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Nouv. Ann.</i>: Nouvelles Annales de Mathématiques.</td></tr> + +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Phil. Mag.</i>: London, Edinburgh and Dublin philosophical Magazine.</td></tr></table> + +<table class="nob" summary="Abkürzungen." title="Abkürzungen."> +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Phil. Trans.</i>: Philosophical Transactions</td><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle" rowspan="2"> <img src="images/$rbrace.png" style="height:6ex; width:0.5em" alt="right brace" /> + </td><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle" rowspan="2"> of the Royal Society of London.</td></tr> + +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Proc. Roy. Soc.</i>: Proceedings </td></tr></table> + +<table class="nob" summary="Abkürzungen." title="Abkürzungen."> +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Prager Abh.</i>: Abhandlungen </td><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle" rowspan="2"> <img src="images/$rbrace.png" style="height:6ex; width:0.5em" alt="right brace" /> + </td><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle" rowspan="2">der böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften.</td></tr> + +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Prager Ber.</i>: Sitzungsberichte </td></tr></table> + +<table class="nob" summary="Abkürzungen." title="Abkürzungen."> +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Proc. math. Soc.</i>: Proceedings of the London mathematical Society.</td></tr> + +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Quart. Journ.</i>: Quarterly Journal of pure and applied Mathematics.</td></tr></table> + +<table class="nob" summary="Abkürzungen." title="Abkürzungen."> +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Torino Atti</i>: Atti </td><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle" rowspan="2"> <img src="images/$rbrace.png" style="height:6ex; width:0.5em" alt="right brace" /> + </td><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle" rowspan="2"> dell' Accademia delle scienze di Torino.</td></tr> + +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Torino Mem.</i>: Memorie </td></tr></table> + +<table class="nob" summary="Abkürzungen." title="Abkürzungen."> +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Wiener Ber.</i>: Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen +Klasse der Akademie der Wissenschaften zu Wien. +Zweite Abteilung.</td></tr> + +<tr><td class="qspcsingle" style="vertical-align:middle"><i>Zeitschr. f. Math.</i>: Zeitschrift für Mathematik und Physik.</td></tr></table> + +<p class="cenhead">———</p> + + <p>Die arabische Ziffer bezieht sich auf den Band (Teil, Jahrgang), beim + <i>Journ. Éc. polyt.</i> auf das Heft, die römische auf die Serie + (Reihe).</p> + +<p><!-- Page 132 --><span class="pagenum"><a name="page132"></a>{132}</span></p> + + <p> </p> + + <p><br style="clear:both" /></p> +<hr class="short" /> + +<h2></h2> + +<h2>Verzeichnis der verstorbenen Geometer, deren Lebenszeit<br />angegeben ist.</h2> + +<h3>———</h3> + + <p> </p> + +<p class="cenhead">Die Zahl ist die der Seite, auf welcher sie steht.</p> + + <p>Abel <a href="#page20">20</a> — d'Alembert <a + href="#page14">14</a> — Apollonius <a href="#page6">6</a> — + Archimedes <a href="#page6">6</a> — Aronhold <a + href="#page31">31</a>.</p> + + <p>Baltzer <a href="#page53">53</a> — Bellavitis <a + href="#page60">60</a> — Benedetti <a href="#page9">9</a> — + Bobillier <a href="#page26">26</a> — Bolyai, J. <a + href="#page109">109</a> — Bolyai, W. <a href="#page108">108</a> + — Borchardt <a href="#page43">43</a> — Bour <a + href="#page56">56</a> — Bragelogne <a href="#page24">24</a> — + Braikenridge <a href="#page22">22</a>.</p> + + <p>Caporali <a href="#page84">84</a> — Cardano <a + href="#page8">8</a> — Carnot <a href="#page14">14</a> — + Cauchy <a href="#page116">116</a> — Chasles <a + href="#page17">17</a> — Chelini <a href="#page57">57</a> — + Clairaut <a href="#page13">13</a> — Clebsch <a + href="#page27">27</a> — Clifford <a href="#page26">26</a> — + Cotterill <a href="#page84">84</a> — Côtes <a href="#page21">21</a> + — Cramer <a href="#page22">22</a> — Crelle <a + href="#page20">20</a>.</p> + + <p>Desargues <a href="#page9">9</a> — Descartes <a + href="#page10">10</a> — Dirichlet <a href="#page119">119</a> + — Dupin <a href="#page15">15</a>.</p> + + <p>Enneper <a href="#page50">50</a> — Eratosthenes <a + href="#page6">6</a> — Euler <a href="#page13">13</a>.</p> + + <p>Ferrari <a href="#page8">8</a> — Fermat <a href="#page9">9</a> + — Ferro <a href="#page8">8</a> — Fibonacci <a + href="#page8">8</a>.</p> + + <p>Gauß <a href="#page47">47</a> — Gergonne <a + href="#page16">16</a> — La Gournerie <a href="#page44">44</a> + — Graßmann <a href="#page26">26</a> — De Gua <a + href="#page22">22</a>.</p> + + <p>Hachette <a href="#page15">15</a> — Halley <a + href="#page11">11</a> — Hamilton <a href="#page104">104</a> — + Harnack <a href="#page63">63</a> — Hesse <a href="#page25">25</a> + — Hipparch <a href="#page6">6</a> — La Hire <a + href="#page11">11</a> — Hoüel <a href="#page109">109</a> — + Huygens <a href="#page11">11</a>.</p> + + <p>Jacobi <a href="#page16">16</a> — Joachimsthal <a + href="#page55">55</a>.</p> + + <p>Lacroix <a href="#page15">15</a> — Lagrange <a + href="#page14">14</a> — Laguerre <a href="#page40">40</a> — + Lamarle <a href="#page125">125</a> — Lambert <a + href="#page88">88</a> — Lamé <a href="#page23">23</a> — + Lancret <a href="#page72">72</a> — Laplace <a href="#page14">14</a> + — Legendre <a href="#page14">14</a> — Leibniz <a + href="#page11">11</a> — Liouville <a href="#page72">72</a> — + Lobatschewsky <a href="#page109">109</a>.</p> + + <p>Mac Cullagh <a href="#page33">33</a> — Maclaurin <a + href="#page11">11</a> — Magnus <a href="#page81">81</a> — + Mascheroni <a href="#page9">9</a> — Mercator <a + href="#page88">88</a> — Möbius <a href="#page18">18</a> — + Monge <a href="#page13">13</a>.</p> + + <p>Newton <a href="#page11">11</a>.</p> + + <p>Oresme <a href="#page16">16</a>.</p> + + <p>Pappus <a href="#page6">6</a> — Parent <a href="#page13">13</a> + — Pascal <a href="#page9">9</a> — Plateau <a + href="#page125">125</a> — Plato <a href="#page5">5</a> — + Plücker <a href="#page19">19</a> — Poisson <a href="#page14">14</a> + — Poncelet <a href="#page14">14</a> — Ptolomaeus <a + href="#page6">6</a> — Puiseux <a href="#page72">72</a> — + Pythagoras <a href="#page5">5</a>.</p> + + <p>Richelot <a href="#page16">16</a> — Riemann <a + href="#page110">110</a>.</p> + + <p>Saint-Venant <a href="#page72">72</a> — Scheeffer <a + href="#page118">118</a> — Schooten <a href="#page13">13</a> — + Serret, A. <a href="#page50">50</a> — Seydewitz <a + href="#page33">33</a> — Simpson <a href="#page11">11</a> — + Smith <a href="#page29">29</a> — Snellius <a href="#page16">16</a> + — Spottiswoode <a href="#page124">124</a> — Staudt <a + href="#page19">19</a> — Steiner <a href="#page18">18</a> — + Stewart <a href="#page11">11</a> —Sturm, Ch. <a + href="#page104">104</a>.</p> + + <p>Tartaglia <a href="#page8">8</a> — Thales <a href="#page4">4</a> + — Transon <a href="#page81">81</a>.</p> + + <p>Vieta <a href="#page9">9</a>.</p> + + <p>Waring <a href="#page22">22</a> — Wren <a + href="#page32">32</a>.</p> + + <p><br style="clear:both" /></p> +<hr class="short" /> + + <p>Berichtigung. S. <a href="#page97">97</a> Z. 7 v. o. lies viel- statt + zwei-.</p> + + <p> </p> + + <p><br style="clear:both" /></p> +<hr class="short" /> + +<h2></h2> + +<h2>Noten.</h2> + +<h3>———</h3> + + <p> </p> + +<div class="note"> + <p><a name="Nt1" href="#NtA1">[1]</a> »It is difficult to give an idea of + the vast extent of modern mathematics. This word »extent« is not the + right one: I mean extent crowded with beautiful detail — not an + extent of mere uniformity such as an objectless plain, but of a tract of + beautiful country seen at first in the distance, but which will bear to + be rambled through and studied in every detail of hillside and valley, + stream, rock, wood and flower.« (Rede von C<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y i. J. 1883 vor der »British Association for the + Advancement of Science« gehalten.)</p> + + <p>Bei dieser Gelegenheit führen wir noch folgendes Urteil von E. D<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>-<span + class="gsp"> </span>R<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>d über den Charakter der modernen Wissenschaft an: + »Nie war die Wissenschaft entfernt so reich an den erhabensten + Verallgemeinerungen, nie stellte sie in ihren Zielen, ihren Ergebnissen + eine grössere Einheit dar. Nie schritt sie rascher, zweckbewußter, mit + gewaltigeren Methoden voran, und nie fand zwischen ihren verschiedenen + Zweigen lebhaftere Wechselwirkung statt.« (<i>Über die wissenschaftlichen + Zustände der Gegenwart</i>, Reden, Bd. II, S. 452.)</p> + + <p><a name="Nt2" href="#NtA2">[2]</a> <i>Histoire des sciences + mathématiques en Italie</i> par G. L<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>i, 1838. Bd. I, S. 3.</p> + + <p><a name="Nt3" href="#NtA3">[3]</a> H<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>k<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l, <i>Die Entwickelung der + Mathematik in den letzten Jahrhunderten</i> (Tübingen. II. Aufl. 1885). + S. 7.</p> + + <p><a name="Nt4" href="#NtA4">[4]</a> Diese Thatsache könnte man als ein + neues Moment ansehen, wie sich — nach einem berühmten Ausspruche + Humboldts — der Einfluß, den die tellurischen Erscheinungen auf die + Richtung unserer wissenschaftlichen Untersuchungen ausüben, geltend + macht.</p> + + <p><a name="Nt5" href="#NtA5">[5]</a> Vgl. E<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>l W<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>r, <i>Über die Geometrie + der alten Ägypter</i> (Wien, 1881).</p> + + <p><a name="Nt6" href="#NtA6">[6]</a> Für die Mathematiker, welche vor + 1200 gelebt haben, sind die hier niedergeschriebenen Jahreszahlen aus den + <i>Vorlesungen über die Geschichte der Mathematik</i> von M. C<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>r (I. Bd. Leipzig, 1880) entnommen. Die erste Zahl in + der Klammer bezieht sich auf das Geburtsjahr, die zweite auf das + Todesjahr.</p> + + <p><a name="Nt7" href="#NtA7">[7]</a> In Bezug auf größere Einzelheiten + sehe man B<span class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r, <i>Die Geometrie und + die Geometer vor Euklides</i> (Leipzig, 1870).</p> + + <p><a name="Nt8" href="#NtA8">[8]</a> B<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>i und B<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>i, Vorrede zu <i>Gli + elementi di Euclide</i> (Florenz, 1867). Eine gegenteilige Ansicht hat + L<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>x in seinem wohlbekannten + Buche <i>Essais sur l'enseignement en général et sur celui des + mathématiques en particulier</i> (4. Aufl. 1883. S. 296) + ausgesprochen.</p> + + <p><a name="Nt9" href="#NtA9">[9]</a> Um zu zeigen, wie glänzend und + bewunderungswürdig die noch immer verkannte griechische Mathematik + gewesen sein muß, genüge es, die Thatsache anzuführen, daß die Theorie + der Kegelschnitte, ein hauptsächlicher Gegenstand des Studiums der alten + Geometer, von ihnen zu solcher Vollendung gebracht wurde, dass man im + wesentlichen nur weniges hinzuzufügen hätte, um sie auf den Stand zu + bringen, auf dem sie sich heute befindet. Die Bewunderung für jene wird + noch jeden Tag grösser durch die historischen Forschungen gelehrter + Mathematiker [z. B. Z<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n (s. das Werk <i>Die Lehre von den Kegelschnitten im + Altertume</i>, deutsch von F<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>-<span + class="gsp"> </span>B<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>z<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n. Kopenhagen, 1886), P. + T<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>y (s. <i>Bull. des + sciences math.</i> und <i>Mém. de la Société de Bordeaux</i>) und + andere], welche das Vorurteil zu beseitigen suchen, daß die Griechen + keine Untersuchungsmethoden gehabt hätten, die vergleichbar sind mit + denen, auf welche unsere Zeit so stolz ist, und die als Ersatz dafür die + Ansicht aufzustellen streben, daß es ihnen nur an den nötigen Formeln zur + Darstellung der Methoden selbst gefehlt habe.</p> + + <p><a name="Nt10" href="#NtA10">[10]</a> Ich kann nicht umhin, die + beredten Worte, welche der berühmte Geschichtsschreiber der Mathematik in + Italien bei dieser Gelegenheit geschrieben hat, anzuführen: »...... mais + bientôt le Romain arrive, il saisit la science personnifiée dans + Archimède, et l'étouffe. Partout où il domine la science disparaît: + l'Étrurie, l'Espagne, Carthage en font foi. Si plus tard Rome n'ayant + plus d'ennemis à combattre se laisse envahir par les sciences de la + Grèce, ce sont des livres seulement qu'elle recevra; elle les lira et les + traduira sans y ajouter une seule découverte. Guerriers, poètes, + historiens, elle les a, oui; mais quelle observation astronomique, quel + théorème de géométrie devons-nous aux Romains?« (L<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i a. O. S. 186.)</p> + + <p>Um zu zeigen, in welchem Ansehen unsere Vorfahren die Mathematik + hielten, genüge es mitzuteilen (vgl. H<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>k<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l, <i>Zur Geschichte der + Mathematik im Altertum und Mittelalter</i>, Leipzig, 1874. S. 103), daß + sie dieselbe oft mit Astrologie und den verwandten Künsten + zusammenwarfen. Es darf uns daher nicht Wunder nehmen, wenn wir in dem + Codex Justinians unter den gesammelten Bestimmungen unter dem Titel »De + maleficis et mathematicis et ceteris similibus« folgendes finden: »Ars + autem mathematica damnabilis interdicta est omnino.« Wenn man in + demselben Codex etwas weiter die Wendung findet: »Artem geometriae + discere atque exercere publice interest,« so muß man sich hüten, sie als + eine Übersetzung des Ausspruches Napoleons I. anzusehen: »L'avancement, + le perfectionnement des Mathématiques sont liés à la prospérité de + l'État,« denn es ist fast sicher, daß der römische Gesetzgeber den + praktischen Teil der Geometrie meinte.</p> + + <p><a name="Nt11" href="#NtA11">[11]</a> Unter den Fragen der G<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e, welche die + italienischen Gelehrten des 16. Jahrhunderts sich gegenseitig stellten, + finden sich solche von einiger Wichtigkeit, da sie die <i>»Geometria del + compasso«</i> (Geometrie des Kreises) entstehen ließen, welcher gerade in + dieser Zeit B<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>i (?-1590) eine Schrift + widmete, und die in neuerer Zeit von M<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>i (1750-1808) und S<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r gepflegt wurde.</p> + + <p><a name="Nt12" href="#NtA12">[12]</a> P<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>l entdeckte an der Cykloide eine Fülle + bemerkenswerter Eigenschaften, wies auf die Perspektivität als eine für + das Studium der Kegelschnitte sehr günstige Methode hin, bewies den + berühmten Lehrsatz von dem »Hexagramma mysticum,« wie er es nannte, + u. s. w.</p> + + <p>D<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s führte die g<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>e Betrachtung der drei Kegelschnitte ein, den + wichtigen Begriff des unendlich fernen Punktes einer Geraden, den Begriff + der Involution von sechs Punkten, löste mehrere wichtige Fragen, die sich + auf die Kegelschnitte beziehen, u. s. w.</p> + + <p>In den Werken von D<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>s (vgl. die von P<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a 1864 besorgte Ausgabe) + findet sich auch eine Methode vorgeschlagen, um einige projektive + Eigenschaften der Kurven zu untersuchen, welche darauf beruht, daß man + dieselbe durch Systeme von Geraden ersetzt. Descartes und Poncelet + betrachteten die Schlüsse, die auf einer solchen Substitution beruhen, + als der Strenge entbehrend (vgl. <i>Traité des proprietés + projectives</i>, Bd. II, S. 128). Jedoch wurde das von D<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s vorgeschlagene Verfahren + in der neueren Zeit wiederholentlich von demselben P<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t (a.a.O. Bd. I, S. 374), von J<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>q<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>è<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>s (in verschiedenen Abhandlungen in den <i>Annali di + Matem., Journ. f. Math.</i> und in den <i>Math. Ann.</i>), von C<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>a (s. die <i>Introduzione + ad una teoria geometrica delle curve piane</i>) gebraucht, und gehört + heute zu den wertvollen Untersuchungsmethoden, die wir dem »Prinzip der + Erhaltung der Anzahl« verdanken.</p> + + <p><a name="Nt13" href="#NtA13">[13]</a> Vgl. E. D<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>-<span + class="gsp"> </span>R<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>d, <i>Kulturgeschichte und Naturwissenschaft</i>, in + den Gesammelten Reden, Bd. I 1886, S. 207-208.</p> + + <p><a name="Nt14" href="#NtA14">[14]</a> F<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>v<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>o, <i>Notizie storico-critiche sulla costruzione + delle equazioni. Memorie di Modena</i>, 18, 1879.</p> + + <p>M<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n, <i>Grundzüge der + antiken und modernen Algebra der litteralen Gleichungen</i> (Leipzig, + 1878), 7. Abschnitt.</p> + + <p><a name="Nt15" href="#NtA15">[15]</a> Über den Ursprung der + analytischen Geometrie sehe man G<span class="gsp"> </span>ü<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r, <i>Die Anfänge und die Entwickelungsstadien des + Coordinatenprincipes</i> (<i>Abhandlungen der naturforsch. Gesellsch. zu + Nürnberg</i>, 6) und über Cartesius die Rede von J<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>i, ins Französische übersetzt und veröffentlicht in + <i>Liouvilles Journ.</i> 12 unter dem Titel: <i>De la vie de Descartes et + de sa méthode pour bien conduire la raison et chercher la vérité dans les + sciences.</i></p> + + <p><a name="Nt16" href="#NtA16">[16]</a> Siehe z. B. den <i>Traité de la + lumière</i> (Leyden, 1691).</p> + + <p><a name="Nt17" href="#NtA17">[17]</a> <i>Sectiones conicae in novem + libros distributae</i> (Paris, 1685), <i>Mémoires sur les + Epicycloides</i> (<i>Anciennes Mémoires de l'Académie des sciences,</i> + 9), <i>Traité des roulettes</i> etc. (ebendas., 1704).</p> + + <p><a name="Nt18" href="#NtA18">[18]</a> Man sehe die von ihm bewirkte + Herausgabe von griechischen Werken nach, sowie seine Versuche, verloren + gegangene Bücher (wie das achte Buch von Apollonius' Kegelschnitten) + wieder herzustellen.</p> + + <p><a name="Nt19" href="#NtA19">[19]</a> Vergl. sein Buch <i>A complete + System of Fluxions</i> (Edinburgh, 1742).</p> + + <p><a name="Nt20" href="#NtA20">[20]</a> <i>Treatise on conic + Sections</i> (1735).</p> + + <p><a name="Nt21" href="#NtA21">[21]</a> <i>General theorems of + considerable use in the higher parts of mathematics</i> (Edinburgh, + 1746); <i>Propositiones geometricae more veterum demonstratae</i> + (Edinburgh, 1763).</p> + + <p><a name="Nt22" href="#NtA22">[22]</a> Hinsichtlich der von S<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n und S<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>w<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>t gemachten Versuche, die + griechische Geometrie wieder aufleben zu machen, sehe man B<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>k<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e, <i>Geschichte der Civilisation in England</i> + (deutsch von A. R<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>e), Bd. I, Kap. 5.</p> + + <p><a name="Nt23" href="#NtA23">[23]</a> Die von den Griechen + hauptsächlich untersuchten Kurven sind: der Kreis, die Ellipse, die + Hyperbel, die Parabel, die Archimedische Spirale, die Diokles'sche + Cykloide, die Konchoide des Nikomedes, die Quadratrix des Hippias und + Dinostratus, die Schraubenlinien, die Spirallinien und einige andere. Zu + diesen fügten die neuen Rechnungsarten hinzu: das Folium und die Ovale + von Descartes, die Tschirnhausensche Quadratrix, die Cykloide, die Hypo- + und Epicykloiden, die logarithmische Spirale, die Kettenlinie, die + Sinuscurve, die Logarithmuscurve und unzählige andere.</p> + + <p><a name="Nt24" href="#NtA24">[24]</a> Siehe das fünfte Buch seiner + <i>Exercitationes geometriae.</i></p> + + <p><a name="Nt25" href="#NtA25">[25]</a> P<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>t, <i>Essai et Recherches de Mathématiques et de + Physique</i> (II. Aufl. 1713), Bd. 2.</p> + + <p><a name="Nt26" href="#NtA26">[26]</a> <i>Traité de Courbes à double + courbure.</i> 4</p> + + <p><a name="Nt27" href="#NtA27">[27]</a> <i>Recherches sur la courbure + des surfaces (Berliner Abh.).</i></p> + + <p><a name="Nt28" href="#NtA28">[28]</a> Abhandlungen der Akademie von + Turin (1770-1773) und von Paris (1784); <i>Feuilles d'analyse appliquée à + la géométrie</i> (Paris, 1795), oder <i>Applications de l'Analyse à la + Géométrie</i> (Paris, 1801).</p> + + <p><a name="Nt29" href="#NtA29">[29]</a> Ausspruch von d<span + class="gsp"> </span>'<span class="gsp"> </span>A<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>t.</p> + + <p><a name="Nt30" href="#NtA30">[30]</a> <i>Leçons de géométrie + descriptive</i> (Paris, 1794).</p> + + <p><a name="Nt31" href="#NtA31">[31]</a> In Bezug auf M<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>e sehe man D<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n, <i>Essai historique sur + les services et les travaux scientifiques de Gaspard Monge</i> (Paris, + 1819); A<span class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>o, <i>Notices + biographiques.</i></p> + + <p>Über die Geschichte des Ursprunges und der Entwickelung der + darstellenden Geometrie sehe man den ersten Abschnitt des 1. Bandes des + Werkes von C<span class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>r. + W<span class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r, <i>Lehrbuch der darstellenden Geometrie</i> + (Leipzig, 1884, 1887), in welchem der Studierende eine Menge + interessanter Einzelheiten finden wird, sei es über die Studien, welche + diese Disziplin vorbereiteten, sei es über die Untersuchungen, welche die + Nachfolger von Monge gemacht haben.</p> + + <p>Monge hatte als Mitarbeiter bei seinem reformierenden Werke einige + seiner Kollegen [unter anderen L<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>x (1765-1843) und H<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e (1769-1834)], sowie + viele von seinen Schülern an der polytechnischen Schule. Der Kürze halber + beschränke ich mich darauf, den anzuführen, »der über die anderen wie ein + Adler fliegt«, C<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>s D<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n (1784-1873), vorzüglich wegen seiner klassischen + <i>Développements de géométrie</i> (1813), die noch von allen gelesen + werden müssen, welche auch nur eine mäßige Kenntnis des heutigen + Zustandes der Geometrie erlangen wollen.</p> + + <p><a name="Nt32" href="#NtA32">[32]</a> Monge's Einfluß läßt sich noch + in den neuesten Arbeiten bemerken; zum Beweise genüge es, die Idee + anzuführen, die Schranken, durch welche die Alten die Planimetrie von der + Stereometrie getrennt hatten, niederzureißen, und den glücklichen + Versuch, den neuerdings (1884) D<span class="gsp"> </span>e P<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>s in seinen goldenen <i>Elementi di Geometria</i> + (Turin) gemacht hat, dieselbe auszuführen.</p> + + <p><a name="Nt33" href="#NtA33">[33]</a> »La Géométrie de position de + Carnot n'aurait pas, sous le rapport de la métaphysique de la Science, le + haut mérite que je lui ai attribué, qu'elle n'en serait pas moins + l'origine et la base des progrès que la Géométrie, cultivée à la manière + des anciens, a fait depuis trente ans en France et en Allemagne« (A<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>o, <i>Biographie de + Carnot</i>).</p> + + <p><a name="Nt34" href="#NtA34">[34]</a> Zweite Auflage, 1865, 1866.</p> + + <p><a name="Nt35" href="#NtA35">[35]</a> Den Ursprung dieses Prinzipes + betreffend, sehe man die Note von C. T<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>r, <i>On the history of + geometrical continuity</i> (<i>Cambridge Proc.</i>, 1880 und 1881).</p> + + <p><a name="Nt36" href="#NtA36">[36]</a> <i>Doctrina triangulorum + canonicae</i> u. s. w. (Leyden, 1627).</p> + + <p><a name="Nt37" href="#NtA37">[37]</a> <i>Variorum de rebus + mathematicis responsorum liber VIII.</i> (Opera Vietae, 1646).</p> + + <p><a name="Nt38" href="#NtA38">[38]</a> <i>Gergonnes Ann.</i> 17.</p> + + <p><a name="Nt39" href="#NtA39">[39]</a> J<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>i, <i>Journ. für Math.</i> 3; R<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>t, das. 5, 38; R<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>s und P<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h, ebendas. 64; L<span class="gsp"> </span>é<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>é, <i>Comptes rendus</i>, + 79; F<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>a, P<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>i und T<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>i, <i>Napoli Rend.</i> 21; + S<span class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n, <i>Journ. für Math.</i> + 81; G<span class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>f<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r, das. 83; H<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n, <i>Liouvilles Journ.</i> III, 5; <i>Bull. de la + Soc. philom.</i> VII, 3. Man sehe auch die interessante Abhandlung von + H<span class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>w<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>z: <i>Über + unendlich-vieldeutige geometrische Aufgaben, insbesondere über die + Schliessungsprobleme</i> (<i>Math. Ann.</i> 15) und die Note von F<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>h, <i>On in- and + circumscribed polyhedra</i> (<i>Proc. Math. Soc.</i> 1883).</p> + + <p><a name="Nt40" href="#NtA40">[40]</a> In deutscher Übersetzung von + S<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>k<span class="gsp"> </span>e: <i>Geschichte der + Geometrie, hauptsächlich in Bezug auf die neueren Methoden</i> (Halle, + 1839), jedoch ohne das <i>Mémoire sur deux principes généraux de la + science</i> (vgl. die folgende Note). Das französische Original erschien + 1875 in 2. Auflage.</p> + + <p><a name="Nt41" href="#NtA41">[41]</a> Unter den Arbeiten, welche das + Werk von C<span class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s bilden, verdient eine + besondere Erwähnung die Abhandlung (für welche ursprünglich der <i>Aperçu + historique</i> als Einleitung dienen sollte) <i>Sur deux principes + généraux de la Science</i>, welche die allgemeine Theorie der Homographie + (Kollineation) und der Reciprocität enthält, sowie die Untersuchung der + beiden Fälle, in welchen diese involutorisch ist, und die Anwendung + dieser Transformationen auf das Studium der Flächen zweiten Grades und + der geometrischen Oberflächen überhaupt, sowie auf die Verallgemeinerung + des cartesischen Koordinatensystems. Auch müssen noch die <i>Noten</i> + erwähnt werden, da sie eingehende historische Studien und geometrische + Untersuchungen von großer Bedeutung enthalten. Unter den letzteren will + ich diejenigen anführen, in denen die Theorie des Doppel- oder + anharmonischen Verhältnisses und der Involution, die anharmonischen + Eigenschaften der Kegelschnitte, die Fokaleigenschaften der Flächen + zweiten Grades, viele Lehrsätze über die kubischen Raumkurven, glückliche + Versuche, die Sätze von Pascal und Brianchon auf die Flächen zweiten + Grades auszudehnen, eine Verallgemeinerung der stereographischen + Projektion u. s. w. auseinandergesetzt sind.</p> + + <p><a name="Nt42" href="#NtA42">[42]</a> Dieser Übergang ging nicht + friedlich von statten, war vielmehr mit einer Reihe lebhafter + Diskussionen verbunden, in welchen P<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>, C<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>s und B<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r zu Gegnern hatten P<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>ü<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>k<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r, S<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r und M<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>s und deren + Hauptschauplatz das <i>Bulletin</i> von F<span class="gsp"> </span>é<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>c war. — Hier würde + es am Orte sein, den Anteil zu bestimmen, der jedem dieser Gelehrten in + den Wissensgebieten zukommt, an denen sie zusammen arbeiteten; aber dafür + würde die Feder eines competenteren und gelehrteren Mannes, als ich bin, + nötig sein. Im Übrigen sind nach meinem Dafürhalten gewisse Produktionen + der menschlichen Intelligenz eine natürliche Frucht ihrer Zeit; daher + darf es nicht wunder nehmen, wenn sie gleichzeitig aus verschiedenen + Köpfen hervorgegangen scheinen, und darum braucht man auch keine + Erklärung dieser Thatsache in der »mala fides« dieses oder jenes zu + suchen. Daß solches wirklich bei der Erfindung der Differentialrechnung + eingetreten ist, steht heute außer allem Zweifel. Daß dies ebenso bei der + modernen Geometrie eingetreten ist, kann die Thatsache beweisen, daß + dieselbe hervorgegangen ist aus einem allseitig gefühlten Bedürfnisse + (man vergleiche dazu den Ausspruch D<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>s <i>[Développements de + géométrie]</i>, der als Motto auf dem <i>Traité des propriétés + projectives des figures</i> steht, mit der Vorrede der <i>Systematischen + Entwickelung</i> und mit dem <i>Aperçu historique</i> an verschiedenen + Stellen) nach allgemeinen Methoden, die als Ariadnefaden dienen sollten + zur Führung in dem Labyrinthe von Hilfssätzen, Lehrsätzen, Porismen und + Problemen, die von den Vorfahren überliefert sind.</p> + + <p><a name="Nt43" href="#NtA43">[43]</a> Die hauptsächlichste Arbeit von + M<span class="gsp"> </span>ö<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>s auf dem Gebiete der reinen Geometrie ist die mit + dem Titel: <i>Der barycentrische Calcul</i> (Leipzig, 1827); dort sind + die bisherigen Kenntnisse über den Schwerpunkt (Barycentrum) eines + Systemes von Punkten einer neuen und wichtigen Rechnungsart zu Grunde + gelegt; diese führt zu einem neuen Koordinatensystem, dessen Anwendung + auf das Studium der Raumkurven und ebenen Kurven und der Oberflächen der + Verfasser darlegt. In demselben werden ferner methodisch und in großer + Ausführlichkeit wichtige geometrische Transformationen, die heute noch + fortwährend Anwendung finden, betrachtet. Viele spätere Abhandlungen von + Möbius sind als Anhänge zum barycentrischen Calcul zu betrachten. (Siehe + die beiden ersten Bände der <i>Gesammelten Werke</i> von Möbius, + herausgegeben auf Veranlassung der Sächsischen Gesellschaft der + Wissenschaften, Leipzig, 1885-1887.)</p> + + <p><a name="Nt44" href="#NtA44">[44]</a> Ich meine das Werk: + <i>Systematische Entwickelung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten + von einander</i> (Berlin, 1832), in dem »der Organismus aufgedeckt ist, + durch welchen die verschiedenartigsten Erscheinungen in der Raumwelt + miteinander verbunden sind«. — Die späteren Schriften von Steiner + und diejenigen anderer, welche sich auf das angeführte Werk stützen, + zeigen, welches Recht der Verfasser desselben dazu hatte, den Inhalt + durch die schon angeführten Worte zu charakterisieren. Steiners + <i>Gesammelte Werke</i> sind auf Veranlassung der Akademie der + Wissenschaften zu Berlin herausgegeben (Berlin, 1881, 1882).</p> + + <p><a name="Nt45" href="#NtA45">[45]</a> Des Näheren will ich hier nur + die drei Bücher anführen: <i>Analytisch-geometrische Entwickelungen</i> + (Essen, 1828-1831), <i>System der analytischen Geometrie</i> (Berlin, + 1835), <i>Theorie der algebraischen Kurven</i> (Bonn, 1839), sowie die + mit ihnen zusammenhängenden Abhandlungen, die in <i>Gergonnes Ann.</i> + und im <i>Journ. für Math.</i> veröffentlicht sind.</p> + + <p><a name="Nt46" href="#NtA46">[46]</a> Das Werk, in welchem S<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>t sein System der Geometrie dargelegt hat, wurde im + Jahre 1847 zu Nürnberg veröffentlicht unter dem Titel: <i>Geometrie der + Lage</i>. Die ungemeine Knappheit des Stiles ist vielleicht die Ursache + der großen Schwierigkeit, auf welche die Verbreitung desselben stieß; + heute erst sind, dank den von R<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>e (in erster Auflage + 1866-1868 erschienenen und) unter demselben Titel veröffentlichten + Vorlesungen die in demselben enthaltenen Ideen allen bekannt, die sich + mit Geometrie beschäftigen. In Italien wird jetzt zuerst von allen + Ländern eine Übersetzung desselben angefertigt.</p> + + <p>Nicht weniger wichtig sind die <i>Beiträge zur Geometrie der Lage</i> + (in 3 Heften), welche S<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>t seiner <i>Geometrie der + Lage</i> 1866-1860 folgen ließ. Wir beschränken uns darauf, + hervorzuheben, daß dort die einzige strenge, allgemeine und vollständige + Theorie der imaginären Elemente in der projektiven Geometrie + auseinandergesetzt ist; diese Theorie wurde in verschiedener Weise von + mehreren Geometern, L<span class="gsp"> </span>ü<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>h (<i>Math. Ann.</i> 8, + 11), A<span class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>t (<i>Progr. der Friedrichs-Realschule in Berlin</i>, + 1872) und S<span class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>z (<i>Math. Ann.</i> 4) + erläutert; über die eng mit ihr zusammenhängende Rechnung mit den + »Würfen« sehe man außer den erwähnten Abhandlungen von L<span + class="gsp"> </span>ü<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>h noch zwei Arbeiten von S<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>m <i>(Math. Ann.</i> 9) + und S<span class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>ö<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r (ebendas. 10).</p> + + <p><a name="Nt47" href="#NtA47">[47]</a> Ohne Zweifel ist diese + Einteilung etwas willkürlich; vielleicht wird mancher, indem er bedenkt, + daß gewisse Theorien mit demselben Rechte zu mehr als einem von den + folgenden Abschnitten gehören können, dieselbe unpassend finden. + Gleichwohl schmeichle ich mir, daß die meisten nach reiflicher Prüfung + des besprochenen Gegenstandes finden werden, daß die von mir gewählte + Einteilung nicht ohne bemerkenswerte Vorteile ist.</p> + + <p><a name="Nt48" href="#NtA48">[48]</a> C<span + class="gsp"> </span>ô<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s, <i>Harmonia + mensurarum</i> (1722); M<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n, <i>De linearum geometricarum proprietatibus + generalibus tractatus</i>. (Ins Französische übersetzt von d<span + class="gsp"> </span>e J<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>q<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>è<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s und seinen <i>Mélanges + de Géométrie pure</i> [Paris, 1856] angehängt.)</p> + + <p><a name="Nt49" href="#NtA49">[49]</a> <i>Miscellanea analytica</i> + etc. (1762); <i>Proprietates geometricarum curvarum</i> (1772); <i>Phil. + Trans.</i> 1763-1791.</p> + + <p><a name="Nt50" href="#NtA50">[50]</a> <i>Geometria organica</i> + (1720).</p> + + <p><a name="Nt51" href="#NtA51">[51]</a> <i>Phil. Trans.</i> 1735; + <i>Exercitationes Geometriae de descriptione linearum curvarum</i> + (1733).</p> + + <p><a name="Nt52" href="#NtA52">[52]</a> Übrigens hat, wie C. T<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>r (<i>Cambridge Proc.</i> 3) bemerkte, Newton selbst + seine organische Erzeugungsweise der Kegelschnitte in der <i>Enumeratio + linearum tertii ordinis</i> auf Kurven höherer Ordnung ausgedehnt.</p> + + <p><a name="Nt53" href="#NtA53">[53]</a> <i>Usage de l'analyse de + Descartes</i> (1740).</p> + + <p><a name="Nt54" href="#NtA54">[54]</a> <i>Introductio in analysin + infinitorum</i>. 2. Bd.</p> + + <p><a name="Nt55" href="#NtA55">[55]</a> <i>Introduction à l'analyse des + lignes courbes algébriques</i>.</p> + + <p><a name="Nt56" href="#NtA56">[56]</a> Kurz vor der Veröffentlichung + des C<span class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>schen Werkes fand E<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r (man sehe die + <i>Berliner Abh.</i> 1748), daß von den neun Grundpunkten eines Büschels + ebener Kurven dritter Ordnung einer durch die acht übrigen bestimmt + ist.</p> + + <p><a name="Nt57" href="#NtA57">[57]</a> <i>Gergonnes Ann.</i> 17, + 19.</p> + + <p><a name="Nt58" href="#NtA58">[58]</a> <i>Journ. für Math.</i> 16; + <i>Theorie der algebraischen Curven</i> (wo S. 12-13 sich eine kurze + Geschichte dieser Sätze findet).</p> + + <p><a name="Nt59" href="#NtA59">[59]</a> <i>Journ. für Math.</i> 15.</p> + + <p><a name="Nt60" href="#NtA60">[60]</a> <i>Cambridge Journ.</i> 3; vgl. + B<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h, <i>Math. Ann.</i> + 26.</p> + + <p><a name="Nt61" href="#NtA61">[61]</a> R<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>n, <i>Journ. für Math.</i> + 54; C<span class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h, das. 58; R<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h, ebendas. 64; C<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h und G<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n, <i>Theorie der + Abelschen Funktionen</i> (Leipzig, 1866); B<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>l und N<span + class="gsp"> </span>ö<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r, <i>Über die algebraischen Funktionen</i> u. s. w. + (<i>Math. Ann.</i> 7); C<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>a, <i>Bologna Mem.</i> 1870; C<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>i, C<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>a und B<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>i, <i>Lombardo Rend.</i> + II, 2.</p> + + <p><a name="Nt62" href="#NtA62">[62]</a> In diesem Werke ist mit + ersichtlicher Bevorzugung von dem »Prinzipe der Abzählung der Konstanten« + Kenntnis gegeben und Gebrauch gemacht; wir wollen dasselbe erwähnen, da + sich darauf eine Untersuchungsmethode stützt, deren ganze Bedeutung + aufzuheben nicht gelingen wird, obwohl sich Beispiele von Irrtümern + anführen lassen, zu denen es führen kann, wenn es ohne die notwendige + Vorsicht angewandt wird.</p> + + <p>Mit der Theorie der ebenen Kurven befassen sich auch die beiden + folgenden Bücher, deren Existenz ich aus einer Anführung Plückers kenne + (<i>Theorie der algebraischen Curven</i>, S. 206); A. P<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>s, <i>Neue Curvenlehre</i> 1835; C. C. F. K<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>e, <i>Novae theoriae linearum curvarum originariae et + vere scientificae specimina quinque prima</i>. <i>Edidit Schröder</i>, + 1835.</p> + + <p><a name="Nt63" href="#NtA63">[63]</a> S. auch eine Abhandlung P<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>ü<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>k<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>s, <i>Liouvilles Journ.</i> 1.</p> + + <p><a name="Nt64" href="#NtA64">[64]</a> <i>Mém. prés.</i> + 1730-31-32.</p> + + <p><a name="Nt65" href="#NtA65">[65]</a> S. die in Note <a + href="#Nt54">54</a> citierte <i>Introductio</i>.</p> + + <p><a name="Nt66" href="#NtA66">[66]</a> Hierzu siehe C<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h, <i>Vorlesungen über + Geometrie</i>, S. 352; M<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t, <i>Hermathema</i>, 1880; P<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t, <i>Nouv. Ann.</i> II., 20, 1881.</p> + + <p><a name="Nt67" href="#NtA67">[67]</a> C<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y, <i>Quart. Journ.</i> 7 und <i>Journ. für Math.</i> + 64; L<span class="gsp"> </span>a G<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>e, <i>Liouvilles Journ.</i> II, 14; N<span + class="gsp"> </span>ö<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r, <i>Math. Ann.</i> 9; Z<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n, das. 10; H<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n, <i>Comptes rendus</i> + 78, <i>Liouvilles Journ.</i> II, 2, <i>Mém. prés.</i> 26; J. S. S<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>h, <i>Proc. math. Soc.</i> + 6; B<span class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>l, <i>Math. Ann.</i> 16; + R<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>f<span + class="gsp"> </span>f<span class="gsp"> </span>y, das. 23. — An + diese Frage knüpft sich die Untersuchung der Zahl der Schnitte zweier + Kurven, welche von einem ihnen gemeinsamen vielfachen Punkte absorbiert + werden. Hierzu sehe der Leser die interessante Abhandlung von Z<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n, <i>Acta math.</i> + 1.</p> + + <p><a name="Nt68" href="#NtA68">[68]</a> <i>Journ. für Math.</i> 40; vgl. + C<span class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h (das. 63).</p> + + <p><a name="Nt69" href="#NtA69">[69]</a> <i>Journ. für Math.</i> 36, 40, + 41.</p> + + <p><a name="Nt70" href="#NtA70">[70]</a> <i>Phil. Mag.</i> Oktoberheft + 1858.</p> + + <p><a name="Nt71" href="#NtA71">[71]</a> <i>Phil. Trans.</i> 1859.</p> + + <p><a name="Nt72" href="#NtA72">[72]</a> z. B. D<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h, <i>Math. Ann.</i> 7.</p> + + <p><a name="Nt73" href="#NtA73">[73]</a> <i>A Treatise on higher plane + curves</i> (1852); ins Deutsche übertragen durch Fiedler (Leipzig, + 1873)</p> + + <p><a name="Nt74" href="#NtA74">[74]</a> <i>Gergonnes Ann.</i> 19.</p> + + <p><a name="Nt75" href="#NtA75">[75]</a> <i>Journ. für Math.</i> 24. + — Die Theorie der Polaren in bezug auf Kurven und Oberflächen wurde + in der letzten Zeit auf eine bemerkenswerte Weise von C<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>f<span class="gsp"> </span>f<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>d (1845-1879) (<i>Proc. math. Soc.</i> 1868 oder + <i>Mathematical Papers of Clifford</i>, 1882, S. 115) und von R<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>e (<i>Journ. für Math.</i> 72, 78) verallgemeinert. + D<span class="gsp"> </span>e P<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>s widmete ihr eine + interessante Schrift, welche in den <i>Lincei Mem.</i> 1885-1886 + veröffentlicht ist.</p> + + <p><a name="Nt76" href="#NtA76">[76]</a> <i>Comptes rendus</i>, 1853.</p> + + <p><a name="Nt77" href="#NtA77">[77]</a> <i>Essai sur la génération des + courbes géométriques</i>, 1858 (<i>Mém. prés.</i> 16). Vgl. H<span + class="gsp"> </span>ä<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r, <i>Journ. für Math.</i> 58; O<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>v<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r das. 70, 71; S<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e, <i>Nieuw Archief voor + Wiskunde</i>, 4, und die allerneuesten Untersuchungen von J<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>q<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>è<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>s über die Maximalzahl der vielfachen Punkte, die man + bei einer ebenen Kurve beliebig annehmen kann (<i>Comptes rendus</i> + 105).</p> + + <p><a name="Nt78" href="#NtA78">[78]</a> Veröffentlicht im Jahre 1862 in + den <i>Bologna Mem.</i> Möge es mir gestattet sein, hier den Wunsch + auszusprechen, daß der berühmte C<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>a, dessen Interesse für die Verbreitung der + geometrischen Studien bekannt ist, seine berühmten Schriften über die + Theorie der Kurven und Oberflächen durch neue Ausgaben allen zugänglich + machen wolle. — Diese Schriften sind in deutscher Übersetzung von + C<span class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>z<span + class="gsp"> </span>e unter dem Titel: <i>Einleitung in eine geometrische + Theorie der ebenen Kurven</i> (Greifswald, 1865), bez. <i>Grundzüge einer + allgemeinen Theorie der Oberflächen in synthetischer Behandlung</i> + (Berlin, 1870) erschienen.</p> + + <p><a name="Nt79" href="#NtA79">[79]</a> Als Vorbereitung für solche + Untersuchungen sind die von A<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>d (<i>Berliner Ber.</i> + 1861) anzusehen, dann die von B<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>i (<i>Comptes rendus</i>, + 1863, 64) über die Darstellung der Koordinaten der Punkte von gewissen + Kurven als elliptische Funktionen eines Parameters.</p> + + <p><a name="Nt80" href="#NtA80">[80]</a> <i>Journ. für Math.</i> 58, 64. + Die von C<span class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h erhaltenen Resultate + haben sich infolge des schönen Werkes von L<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>n, welches den Titel + trägt: <i>Vorlesungen über Geometrie von A. C<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h</i> (I. Bd. Leipzig, + 1876) und von dem das Erscheinen des zweiten Bandes allgemein gewünscht + wird, schnell verbreitet.</p> + + <p><a name="Nt81" href="#NtA81">[81]</a> <i>Über die algebraischen + Funktionen und ihre Anwendung in der Geometrie. Math. Ann.</i> 7.</p> + + <p><a name="Nt82" href="#NtA82">[82]</a> Zu den im Texte angeführten + Schriften müssen noch die von B<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>l hinzugezogen werden (<i>Math. Ann.</i> 13), ferner + die von G<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r (<i>Annali di Matem.</i> II, 9) und die von D<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l P<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>z<span + class="gsp"> </span>z<span class="gsp"> </span>o (<i>Napoli Rend.</i> 22) + über den Zusammenhang, der zwischen den Singularitäten einer Kurve und + denen ihrer Hesseschen Kurve besteht; ferner die von L<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e (<i>Comptes rendus</i> 40) und H<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>t (<i>Math. Ann.</i> 11 + und <i>Archiv for Mathematik og Naturvidenskab</i> 7), über die + metrischen Eigenschaften der Kurven.</p> + + <p><a name="Nt83" href="#NtA83">[83]</a> <i>De linearum geometricarum + proprietatibus generalibus tractatus.</i></p> + + <p><a name="Nt84" href="#NtA84">[84]</a> Vgl. S<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>-<span + class="gsp"> </span>F<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r, <i>Höhere ebene Kurven</i>, 5. Kap.</p> + + <p><a name="Nt85" href="#NtA85">[85]</a> <i>Phil. Trans.</i> 1857; + <i>Liouvilles Journ.</i> 9, 10.</p> + + <p><a name="Nt86" href="#NtA86">[86]</a> <i>Journ. für Math.</i> 42.</p> + + <p><a name="Nt87" href="#NtA87">[87]</a> <i>Zeitschr. f. Math.</i> 17; + <i>Prager Ber.</i> 1871. — Man sehe auch das Buch <i>Die ebenen + Kurven dritter Ordnung</i> (Leipzig, 1871) und die Abhandlung von G<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>t (<i>Zeitschr. f. Math.</i> 17).</p> + + <p><a name="Nt88" href="#NtA88">[88]</a> <i>Giorn. di Matem.</i> 2.</p> + + <p><a name="Nt89" href="#NtA89">[89]</a> <i>Journ. für Math.</i> 90.</p> + + <p><a name="Nt90" href="#NtA90">[90]</a> <i>Prager Abh.</i> VI, 5.</p> + + <p><a name="Nt91" href="#NtA91">[91]</a> <i>Göttinger Nachr.</i> 1871 und + 1872.</p> + + <p><a name="Nt92" href="#NtA92">[92]</a> <i>Journ. für Math.</i> 78.</p> + + <p><a name="Nt93" href="#NtA93">[93]</a> Hierzu H<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>k, <i>Math. Ann.</i> 9. + C<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>i, <i>Lincei Atti</i>, III, 1; F<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e und L<span + class="gsp"> </span>e P<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>e, <i>Mémoires de l'Académie de Belgique</i>, 43. + H<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n, <i>Math. Ann.</i> 15; + <i>Bull. Soc. math.</i> 9.</p> + + <p><a name="Nt94" href="#NtA94">[94]</a> <i>Siehe Giorn. di Matem.</i>, + <i>Lombardo Rend.</i>, <i>Math. Ann.</i>, <i>Wiener Ber.</i> und + <i>Prager Ber.</i></p> + + <p><a name="Nt95" href="#NtA95">[95]</a> Für die C<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>schen Arbeiten sehe man die in Note <a + href="#Nt80">80</a> angeführten Bände des <i>Journ. für Math.</i> nach. + Über die ebenen rationalen Kurven dritter Ordnung sehe man die Arbeiten + von D<span class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>è<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>e (<i>Math. Ann.</i> 1), I<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l (das. 6), R<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>w (Dissertation, Breslau, 1873), S<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>t (<i>Math. Ann.</i> 12), D<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y (das. 27, 28); über die + Kurven vierter Ordnung die von B<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>l (Math. Ann. 12) und N<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span> (das. 19); über die fünfter Ordnung von R<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>n (das. 25), und über die rationalen Kurven + beliebiger Ordnung die Schriften von H<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>e (<i>Math. Ann.</i> 2), von L<span + class="gsp"> </span>ü<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>h (das. 9), P<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h (das. 18), B<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>l (das. 20), von W<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>z<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n (das. 26) und G<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>i (<i>Giorn. di Matem.</i> 16).</p> + + <p><a name="Nt96" href="#NtA96">[96]</a> <i>Journ. für Math.</i> 47; + <i>Comptes rendus</i>, 1871.</p> + + <p><a name="Nt97" href="#NtA97">[97]</a> <i>Journ. für Math.</i> 53.</p> + + <p><a name="Nt98" href="#NtA98">[98]</a> G<span + class="gsp"> </span>ü<span class="gsp"> </span>ß<span + class="gsp"> </span>f<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>t, <i>Math. Ann.</i> 2; L<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e, <i>Bull. Soc. math.</i> 7; C<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>a und C<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h, <i>Journ. f. Math.</i> + 64; K<span class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>t, <i>Zeitschr. f. + Math.</i> 17; F<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>m ebendas. 18; M<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>w<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>k<span class="gsp"> </span>i das. 19; I<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>a, <i>Giorn. di Matem.</i> + 23; K<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>r, <i>Wiener Ber.</i> 1878 und <i>Bull. Sciences + math.</i> II, 3.</p> + + <p><a name="Nt99" href="#NtA99">[99]</a> <i>Giorn. di Matem.</i> 15.</p> + + <p><a name="Nt100" href="#NtA100">[100]</a> <i>Journ. für Math.</i> + 65.</p> + + <p><a name="Nt101" href="#NtA101">[101]</a> <i>Math. Ann.</i> 4.</p> + + <p><a name="Nt102" href="#NtA102">[102]</a> <i>Bull. de la Société + philomathique</i>, VII, I.</p> + + <p><a name="Nt103" href="#NtA103">[103]</a> Wenn <i>p</i> das Quadrat des + Moduls einer elliptischen Funktion, <i>q</i> das Quadrat des vermittelst + einer primären Transformation ungerader Ordnung transformierten Moduls + und schließlich <i>F</i>(<i>p</i>, <i>q</i>, 1) = 0 die entsprechende + Modulargleichung ist, so ist die Gleichung einer Modularkurve + <i>F</i>(<span class="grk">α</span>, <span + class="grk">β</span>, <span class="grk">γ</span>) = 0. Siehe + <i>Proc. math. Soc.</i> 9.</p> + + <p><a name="Nt104" href="#NtA104">[104]</a> <i>Journ. f. Math.</i> 65; + vgl. E<span class="gsp"> </span>d. W<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>r das. 73; H<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>w<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>z, <i>Math. Ann.</i> + 19.</p> + + <p><a name="Nt105" href="#NtA105">[105]</a> <i>Math. Ann.</i> 24.</p> + + <p><a name="Nt106" href="#NtA106">[106]</a> <i>Journ. für Math.</i> 95, + 99; siehe auch die Abhandlung von A<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>t, <i>Grunerts Arch.</i> + 59.</p> + + <p><a name="Nt107" href="#NtA107">[107]</a> <i>Transactions of the Royal + Society of Edinburgh</i> 25.</p> + + <p><a name="Nt108" href="#NtA108">[108]</a> <i>Math. Ann.</i> 5.</p> + + <p><a name="Nt109" href="#NtA109">[109]</a> <i>Math. Ann.</i> 5, 6. Man + sehe auch hierzu die Abhandlung von H<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>k in der <i>Zeitschr. f. Math.</i> 22. Die + hauptsächlichsten von D<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>è<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>e und S<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>ö<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r auf synthetischem Wege gefundenen Lehrsätze sind + analytisch von W<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r in seiner Dissertation + <i>Über den Zusammenhang der Kurven dritter Ordnung mit den + Kegelschnittscharen</i> (Gießen, 1878) bewiesen. Den genannten Schriften + S<span class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>ö<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>s über die Kurven dritter + Ordnung können wir nun noch sein neuerdings erschienenes rein + geometrisches Lehrbuch: <i>Die Theorie der ebenen Kurven dritter + Ordnung</i> (Leipzig, 1888) hinzufügen.</p> + + <p><a name="Nt110" href="#NtA110">[110]</a> <i>Math. Ann.</i> 5.</p> + + <p><a name="Nt111" href="#NtA111">[111]</a> <i>Math. Ann.</i> 1, 13; vgl. + C<span class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h, <i>Journ. für Math.</i> + 59.</p> + + <p><a name="Nt112" href="#NtA112">[112]</a> <i>Irish Trans.</i> 1869.</p> + + <p><a name="Nt113" href="#NtA113">[113]</a> Siehe dessen Werk, <i>Sur une + classe remarquable de courbes et surfaces algébriques</i> (Paris, + 1873).</p> + + <p><a name="Nt114" href="#NtA114">[114]</a> <i>Journ. für Math.</i> 57, + 59, 66.</p> + + <p><a name="Nt115" href="#NtA115">[115]</a> <i>Tidsskrift for + Mathematik</i>, IV, 3.</p> + + <p><a name="Nt116" href="#NtA116">[116]</a> <i>Forhandlinger af + Videnskabs Selskab af Kjobenhavn</i> 1879.</p> + + <p><a name="Nt117" href="#NtA117">[117]</a> Erschienen in den + <i>Collectanea mathematica in memoriam D. C<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>i</i> (Mailand, 1881).</p> + + <p><a name="Nt118" href="#NtA118">[118]</a> <i>Journ. für Math.</i> 28, + 34, 38.</p> + + <p><a name="Nt119" href="#NtA119">[119]</a> <i>Journ. für Math.</i> 49, + 55; vgl. auch C<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y (das. 58).</p> + + <p><a name="Nt120" href="#NtA120">[120]</a> <i>Journ. für Math.</i> + 49.</p> + + <p><a name="Nt121" href="#NtA121">[121]</a> <i>Berliner Ber.</i> 1864, + sowie <i>Nouv. Ann.</i> II, 11.</p> + + <p><a name="Nt122" href="#NtA122">[122]</a> <i>Math. Ann.</i> 1; + <i>Journ. für Math.</i> 72.</p> + + <p><a name="Nt123" href="#NtA123">[123]</a> Vgl. Note <a + href="#Nt80">80</a>.</p> + + <p><a name="Nt124" href="#NtA124">[124]</a> <i>Journ. für Math.</i> 66. + — Über die Doppeltangenten einer Kurve vierter Ordnung sehe man + auch folgende Arbeiten: R<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>n, <i>Zur Theorie der Abelschen Funktionen für den + Fall p=3</i>. <i>Gesammelte Werke</i> (Leipzig, 1876), S. 456-499; N<span + class="gsp"> </span>ö<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r, <i>Math. Ann.</i> 15; C<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y, <i>Journ. für Math.</i> 94; F<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>s (das. 99); F<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>g, <i>Math. Ann. </i>17; H. W<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r (ebendas. 23).</p> + + <p><a name="Nt125" href="#NtA125">[125]</a> Um sich von dem bedeutenden + Anteil, welchen die M<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>sche Schule an der + Schöpfung der Theorie der Flächen zweiten Grades hatte, zu überzeugen, + genügt es, sich folgendes zu vergegenwärtigen: Ihr verdanken wir die + doppelte Erzeugungsweise des einmanteligen Hyperboloides und des + hyperbolischen Paraboloides durch die Bewegung einer Geraden (M<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>e, <i>Journ. Éc. + polyt.</i> 1) und die Erzeugung aller Flächen zweiten Grades, mit + Ausnahme des hyperbolischen Paraboloides, durch Bewegung eines Kreises + (H<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e, <i>Éléments de Géométrie à trois dimensions</i>). + M<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>e und H<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e verdankt man den Beweis der Existenz der drei + Hauptebenen einer Oberfläche zweiter Ordnung; M<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>e (<i>Correspondance sur + l'École polytechnique</i>) die Entdeckung des Ortes der Scheitel der + dreirechtwinkligen Triëder, deren Kanten eine Fläche zweiter Ordnung + berühren, und B<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r (<i>Gergonnes Ann.</i> 18) die des Ortes der + Scheitel der dreirechtwinkligen Triëder, deren Seitenflächen eine Fläche + zweiter Ordnung berühren; M<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>e bestimmte die Krümmungslinien des Ellipsoides + (<i>Journ. Éc. polyt.</i> 2); L<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>v<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t (das. 13) und B<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t (ebendas. 16) dehnten die bekannten Lehrsätze des + A<span class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>s auf den Raum aus, während C<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s (<i>Correspondance sur + l'Éc. polyt.</i>) andere analoge Sätze gab; D<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n (<i>Journ. Éc. + polyt.</i> 14) machte einige interessante Methoden zur Erzeugung solcher + Oberflächen bekannt. B<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n (das. 13) zeigte, dass die reciproke Polare einer + Fläche zweiten Grades ebenfalls eine Fläche zweiten Grades sei, + u. s. w.</p> + + <p><a name="Nt126" href="#NtA126">[126]</a> <i>Journ. für Math.</i> + 12.</p> + + <p><a name="Nt127" href="#NtA127">[127]</a> <i>Irish Proc.</i> 2.</p> + + <p><a name="Nt128" href="#NtA128">[128]</a> <i>Aperçu historique</i>, + Note 25, 28, 31, 32; <i>Comptes rendus</i>, 1855; <i>Liouvilles + Journ.</i> 1860 u. s. w.</p> + + <p><a name="Nt129" href="#NtA129">[129]</a> <i>Journ. für Math.</i> 18, + 20, 24, 26, 60, 73, 85, 90.</p> + + <p><a name="Nt130" href="#NtA130">[130]</a> <i>Grunerts Arch.</i> 9.</p> + + <p><a name="Nt131" href="#NtA131">[131]</a> <i>Journ. für Math.</i> 62. + Über die Oberflächen zweiter Ordnung sehe man auch die Abhandlungen von + T<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>w<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>d (<i>Cambridge Journ.</i> 3), von D<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>x (<i>Bull. Soc. Math.</i> + 2), von M<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>y und C<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>a (<i>Annali di matem.</i> + I, 3) u. s. w. und die <i>Géométrie de direction</i> (Paris, 1869) von P. + S<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t.</p> + + <p>Eine der wichtigsten Fragen, welche sich in der T<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e der Flächen zweiten + Grades darbietet, ist die Konstruktion derselben, wenn neun ihrer Punkte + gegeben sind. Dieselbe wurde von S<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>w<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>z (<i>Grunerts Arch.</i> 9), C<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s (<i>Comptes rendus</i>, + 1855), S<span class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r (<i>Gesammelte + Werke</i>, II. Bd., <i>Nachlass</i>), S<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>ö<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r (<i>Journ. für Math.</i> + 62), S<span class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>m (<i>Math. Ann.</i> 1) + und D<span class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>o (<i>Napoli Rend.</i> 1879) gelöst. — Daran + knüpft sich die Untersuchung des achten Punktes, der allen Flächen + zweiter Ordnung gemeinsam ist, die durch sieben gegebene Punkte gehen. + Dieser wurde der Gegenstand wichtiger Untersuchungen von H<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>e (<i>Journ. für Math.</i> + 20, 26, 73, 75, 99), P<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>q<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t (das. 73, 99), C<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>y, S<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>ö<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r, S<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>m, Z<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n (das. 99) und R<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>e (das. 100).</p> + + <p>Ein anderes interessantes Problem ist die Untersuchung der Flächen + zweiten Grades, in bezug auf welche zwei gegebene Flächen zweiten Grades + reziproke Polaren voneinander sind; dasselbe wurde analytisch von B<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>i behandelt (<i>Lincei Atti,</i> 1875), von d<span + class="gsp"> </span>'<span class="gsp"> </span>O<span + class="gsp"> </span>v<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>o (<i>Giorn. di Matem.</i> 10) und synthetisch von + T<span class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>e (<i>Zeitschr. f. Math.</i> 22).</p> + + <p>Über einige Flächen zweiten Grades, welche besondere metrische + Eigenschaften besitzen (orthogonale, gleichseitige Hyperboloide), haben + geschrieben: S<span class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r (<i>Journ. für Math.</i> + 2 und <i>Systematische Entwickelung</i>), C<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s (<i>Liouvilles + Journ.</i> 1 [1836]), S<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>ö<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r (<i>Journ. für Math.</i> + 85), S<span class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>ö<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>f<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>ß (<i>Zeitschr. für Math.</i> 23, 24 und <i>Journ. + für Math.</i> 99), V<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>t (<i>Journ. für Math.</i> + 86) und R<span class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>h (<i>Wiener Ber.</i> 80).</p> + + <p>Zu den neuesten Studien über die Flächen zweites Grades gehören die + von Z<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n (<i>Math. Ann.</i> 19, + 26) über die Theorie der projektiven Figuren auf einer solchen Fläche; + daran schließen sich auch einige schöne Untersuchungen, welche V<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>ß gemacht hat (<i>Math. + Ann.</i> 25, 26), um gewisse Resultate von P<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t und B<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>o (<i>Torino Atti</i> 17) weiter auszudehnen. Auch + sind die Anwendungen der hyperelliptischen Funktionen auf sie + bemerkenswert, welche S<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>e (<i>Math. Ann.</i> 20, + 21, 25, 27) gemacht hat.</p> + + <p><a name="Nt132" href="#NtA132">[132]</a> Davon geben Zeugnis die + Partien, welche in ihren wertvollen Lehrbüchern diesen Oberflächen + gewidmet haben: H<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>e (<i>Vorlesungen über die analytische Geometrie des + Raumes</i>), S<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n (<i>Analytische Geometrie des Raumes</i>), C<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>a (<i>Preliminari di una + teoria geometrica delle superficie</i>), R<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>e (<i>Die Geometrie der Lage</i>) und S<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>ö<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r (<i>Theorie der Oberflächen zweiter Ordnung und der + Raumkurven dritter Ordnung</i>).</p> + + <p><a name="Nt133" href="#NtA133">[133]</a> <i>Mémoire de géométrie sur + deux principes généraux de la science</i> (Anhang zum <i>Aperçu + historique</i>).</p> + + <p><a name="Nt134" href="#NtA134">[134]</a> <i>Gergonnes Ann.</i> 17.</p> + + <p><a name="Nt135" href="#NtA135">[135]</a> <i>Mémoire sur la théorie + générale des polaires réciproques</i>. (<i>Journ. für Math.</i> 4).</p> + + <p><a name="Nt136" href="#NtA136">[136]</a> <i>Cambridge Journ.</i> 2, 4; + <i>Irish Trans.</i> 23.</p> + + <p><a name="Nt137" href="#NtA137">[137]</a> <i>Cambridge Journ.</i> 7, 8; + <i>Phil. Trans.</i> 1869, 71 u. 72. Man sehe auch die von Z<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n in den <i>Math. Ann.</i> + 4, 9, 10, von J<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>q<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>è<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s in den <i>Nouv. Ann.</i> + 13 und von H<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n in den <i>Annali di + Matem.</i> II, 9 veröffentlichten Abhandlungen.</p> + + <p><a name="Nt138" href="#NtA138">[138]</a> <i>Journ. für Math.</i> + 15.</p> + + <p><a name="Nt139" href="#NtA139">[139]</a> <i>Math. Ann.</i> 1, 2. Vgl. + auch eine Abhandl. von P<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>v<span class="gsp"> </span>a im <i>Giorn. di + Matem.</i> 9, sowie eine von V<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r, <i>Tidsskrift for + Mathematik</i> IV, 3.</p> + + <p><a name="Nt140" href="#NtA140">[140]</a> <i>Comptes rendus</i> 45.</p> + + <p><a name="Nt141" href="#NtA141">[141]</a> <i>Preliminari di una teoria + geometrica delle superficie</i>. (<i>Bologna Mem.</i> II, 6, 7).</p> + + <p><a name="Nt142" href="#NtA142">[142]</a> <i>Wiener Ber.</i> 1877, + 1882.</p> + + <p><a name="Nt143" href="#NtA143">[143]</a> <i>Math. Ann.</i> 27.</p> + + <p><a name="Nt144" href="#NtA144">[144]</a> <i>Journ. für Math.</i> + 49.</p> + + <p><a name="Nt145" href="#NtA145">[145]</a> <i>Cambridge Journ.</i> 4; + <i>Quart. Journ.</i> 1; <i>Phil. Trans.</i> 1860.</p> + + <p><a name="Nt146" href="#NtA146">[146]</a> <i>Journ. für Math.</i> 58, + 63.</p> + + <p><a name="Nt147" href="#NtA147">[147]</a> <i>Journ. für Math.</i> + 72.</p> + + <p><a name="Nt148" href="#NtA148">[148]</a> <i>Math. Ann.</i> 10, 11, 12; + <i>Abzählende Geometrie</i>, 5. Abschnitt. S. auch K<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y, <i>Math. Ann.</i> 15.</p> + + <p><a name="Nt149" href="#NtA149">[149]</a> <i>Math. Ann.</i> 23.</p> + + <p><a name="Nt150" href="#NtA150">[150]</a> <i>Journ. für Math.</i> 72, + 78, 79, 82.</p> + + <p><a name="Nt151" href="#NtA151">[151]</a> <i>Geometry of three + dimensions</i>; in deutscher Übersetzung von F<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r: <i>Analytische + Geometrie des Raumes in zwei Bänden</i> (3. Auflage, 1879/80).</p> + + <p><a name="Nt152" href="#NtA152">[152]</a> <i>Preliminari</i> etc. Vgl. + Note <a href="#Nt141">141</a>.</p> + + <p><a name="Nt153" href="#NtA153">[153]</a> Vgl. die in Note <a + href="#Nt136">136</a> und <a href="#Nt137">137</a> angeführten + Arbeiten.</p> + + <p><a name="Nt154" href="#NtA154">[154]</a> <i>Cambridge Journ.</i> + 6.</p> + + <p><a name="Nt155" href="#NtA155">[155]</a> Auch im <i>Journ. für + Math.</i> 53 publiziert.</p> + + <p><a name="Nt156" href="#NtA156">[156]</a> Die einzige mir bekannte + Arbeit, welche mit den Studien von C<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y und S<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n im Zusammenhange steht, ist eine von S<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>ä<span + class="gsp"> </span>f<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>i (<i>Quart. Journ.</i> 2), die besonders dadurch + wichtig ist, daß sie die erste ist, welche den Begriff der »Doppelsechs« + enthält.</p> + + <p><a name="Nt157" href="#NtA157">[157]</a> <i>Journ. für Math.</i> + 62.</p> + + <p><a name="Nt158" href="#NtA158">[158]</a> <i>Disquisitiones de + superficiebus tertii ordinis</i> (Berlin, 1862).</p> + + <p><a name="Nt159" href="#NtA159">[159]</a> <i>Journ. für Math.</i> 68; + ferner <i>Grundzüge einer allgemeinen Theorie der Oberflächen</i> + (Berlin, 1870), in welchem Buche die deutsche Übersetzung der in Note <a + href="#Nt141">141</a> und <a href="#Nt152">152</a> zitierten + »<i>Preliminari</i>« und diejenige dieser Preisschrift (durch C<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>z<span + class="gsp"> </span>e) vereinigt sind.</p> + + <p><a name="Nt160" href="#NtA160">[160]</a> <i>Synthetische + Untersuchungen über Flächen dritter Ordnung</i>. Leipzig, 1867.</p> + + <p><a name="Nt161" href="#NtA161">[161]</a> <i>Journ. für Math.</i> 51; + vgl. eine von S<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>ö<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r (das. 96) + veröffentlichte Abhandlung.</p> + + <p><a name="Nt162" href="#NtA162">[162]</a> Vgl. die in Note <a + href="#Nt158">158</a> zitierte Arbeit. — Man sehe auch S<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>t, <i>Math. Ann.</i> 17.</p> + + <p><a name="Nt163" href="#NtA163">[163]</a> <i>Grunerts Arch.</i> 56.</p> + + <p><a name="Nt164" href="#NtA164">[164]</a> <i>Bull. soc. math.</i> + 4.</p> + + <p><a name="Nt165" href="#NtA165">[165]</a> <i>Acta math.</i> 3.</p> + + <p><a name="Nt166" href="#NtA166">[166]</a> <i>Lombardo Rend.</i> März + 1871.</p> + + <p><a name="Nt167" href="#NtA167">[167]</a> <i>Grunerts Arch.</i> 56.</p> + + <p><a name="Nt168" href="#NtA168">[168]</a> <i>Math. Ann.</i> 23.</p> + + <p><a name="Nt169" href="#NtA169">[169]</a> <i>Lombardo Rend.</i> 1884; + <i>Annali di Matem.</i> II, 12.</p> + + <p><a name="Nt170" href="#NtA170">[170]</a> <i>Math. Ann.</i> 13; + <i>Lincei Mem.</i> 1876-1877.</p> + + <p><a name="Nt171" href="#NtA171">[171]</a> <i>Napoli Rend.</i> 1881.</p> + + <p><a name="Nt172" href="#NtA172">[172]</a> <i>Journ. für Math.</i> + 78.</p> + + <p><a name="Nt173" href="#NtA173">[173]</a> <i>Lombardo Rend.</i> + 1879.</p> + + <p><a name="Nt174" href="#NtA174">[174]</a> <i>Acta math.</i> 5.</p> + + <p><a name="Nt175" href="#NtA175">[175]</a> <i>Phil Trans.</i> 1863; vgl. + C<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y (das. 1869).</p> + + <p><a name="Nt176" href="#NtA176">[176]</a> <i>Math. Ann.</i> 14.</p> + + <p><a name="Nt177" href="#NtA177">[177]</a> <i>Lombardo Atti</i>, + 1861.</p> + + <p><a name="Nt178" href="#NtA178">[178]</a> <i>Theorie der mehrdeutigen + Elementargebilde</i> u. s. w. Leipzig, 1869; <i>Geometrie der räumlichen + Erzeugnisse ein-zweideutiger Gebilde</i>, Leipzig, 1870.</p> + + <p><a name="Nt179" href="#NtA179">[179]</a> <i>Über die geradlinige + Fläche dritter Ordnung und deren Abbildung auf eine Ebene.</i> + (Dissertation. Straßburg, 1876.)</p> + + <p><a name="Nt180" href="#NtA180">[180]</a> <i>Math. Ann.</i> 4.</p> + + <p><a name="Nt181" href="#NtA181">[181]</a> <i>Phil. Mag.</i> 1864.</p> + + <p><a name="Nt182" href="#NtA182">[182]</a> <i>Math. Ann.</i> 10.</p> + + <p><a name="Nt183" href="#NtA183">[183]</a> <i>Phil. Trans.</i> 150.</p> + + <p><a name="Nt184" href="#NtA184">[184]</a> <i>Journ. für Math.</i> + 58.</p> + + <p><a name="Nt185" href="#NtA185">[185]</a> <i>Math. Ann.</i> 5.</p> + + <p><a name="Nt186" href="#NtA186">[186]</a> <i>Lincei Mem.</i> 1880-1881. + Man sehe auch eine Note von B<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>i in den <i>Lincei + Atti</i> II, 3, in welcher bewiesen wird, daß die 45 dreifach berührenden + Ebenen einer Oberfläche dritter Ordnung dreien Oberflächen zehnter Klasse + gemeinsam sind. Neuerdings fand B<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r (<i>Abh. der Bayr. Akad. der Wiss.</i> 14, 1883) + analytisch von neuem, was S<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>m schon 1867 in seinen <i>Synthetischen + Untersuchungen über Flächen dritter Ordnung</i> erkannt hatte, daß die + Schnittkurve einer Oberfläche dritter Ordnung mit ihrer Hesseschen Fläche + für b<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>e eine parobolische Kurve + ist; ein bemerkenswertes Resultat, weil es das Analogon im Raume zu einem + bekannten Satze über die ebene kubische Kurve ist.</p> + + <p><a name="Nt187" href="#NtA187">[187]</a> <i>Liouvilles Journ.</i> II, + 14; <i>Traité des substitutions et des équations algébriques</i> (Paris, + 1870).</p> + + <p><a name="Nt188" href="#NtA188">[188]</a> <i>Traité des propriétés + projectives des figures</i>.</p> + + <p><a name="Nt189" href="#NtA189">[189]</a> <i>Comptes rendus</i>, + 1862.</p> + + <p><a name="Nt190" href="#NtA190">[190]</a> Ebendas., 1861.</p> + + <p><a name="Nt191" href="#NtA191">[191]</a> <i>Phil. Trans.</i> 1864.</p> + + <p><a name="Nt192" href="#NtA192">[192]</a> <i>Bologna Mem.</i> 1868.</p> + + <p><a name="Nt193" href="#NtA193">[193]</a> <i>Berliner Ber.</i> 1864; + <i>Journ. für Math.</i> 64.</p> + + <p><a name="Nt194" href="#NtA194">[194]</a> <i>Nouv. Ann.</i> II, 5.</p> + + <p><a name="Nt195" href="#NtA195">[195]</a> Die D<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>sche Cyklide gehört zu diesen.</p> + + <p><a name="Nt196" href="#NtA196">[196]</a> Vgl. <i>Comptes rendus</i> + 1864.</p> + + <p><a name="Nt197" href="#NtA197">[197]</a> Die Untersuchungen von D<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>x finden sich in dem schon + angeführten Buche: <i>Sur une classe remarquable de courbes et de + surfaces algébriques</i> (Paris, 1873) zusammengefaßt.</p> + + <p><a name="Nt198" href="#NtA198">[198]</a> S. die Aufzählung der + Arbeiten, die zu Ende des in der vorigen Note zitierten Werkes sich + findet, und die <i>Notice sur la vie et les travaux de M. Laguerre</i>, + veröffentlicht von P<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>é in den <i>Comptes + rendus</i> 104.</p> + + <p><a name="Nt199" href="#NtA199">[199]</a> <i>Phil. Trans.</i> 1871.</p> + + <p><a name="Nt200" href="#NtA200">[200]</a> <i>Lombardo Rend.</i> + 1871.</p> + + <p><a name="Nt201" href="#NtA201">[201]</a> <i>Journ. für Math.</i> + 70.</p> + + <p><a name="Nt202" href="#NtA202">[202]</a> <i>Math. Ann.</i> 4.</p> + + <p><a name="Nt203" href="#NtA203">[203]</a> <i>Om Flader af fjerde Orden + med Dobbeltkeglesnit</i> (Kopenhagen, 1879). Von dieser Abhandlung habe + ich eine italienische Übersetzung in den <i>Annali di Matem.</i> II, 14 + veröffentlicht.</p> + + <p><a name="Nt204" href="#NtA204">[204]</a> <i>Journ. für Math.</i> + 69.</p> + + <p><a name="Nt205" href="#NtA205">[205]</a> <i>Math. Ann.</i> 1, 2, 3, + 4.</p> + + <p><a name="Nt206" href="#NtA206">[206]</a> <i>Annali di Matem.</i> II, + 13.</p> + + <p><a name="Nt207" href="#NtA207">[207]</a> <i>Leipziger Dissertation</i> + (Greifswald, 1885).</p> + + <p><a name="Nt208" href="#NtA208">[208]</a> <i>Math. Ann.</i> 19.</p> + + <p><a name="Nt209" href="#NtA209">[209]</a> <i>Torino Mem.</i> II, + 36.</p> + + <p><a name="Nt210" href="#NtA210">[210]</a> <i>Math. Ann.</i> 24. + Betreffend die Konstruktion einer Oberfläche vierter Ordnung mit + Doppelkegelschnitt sehe man eine Abhandlung von B<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>k (<i>Wiener Ber.</i> 11. + und 18. Dez. 1884) und eine von V<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>e (<i>Atti dell' Istituto + Veneto</i>, VI, 1); hinsichtlich der Konstruktion einer Cyklide sehe man + eine Abhandlung von S<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l (<i>Bull. Soc. math.</i> + 3).</p> + + <p><a name="Nt211" href="#NtA211">[211]</a> W<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>ß, <i>Berliner Ber.</i> 1863.</p> + + <p><a name="Nt212" href="#NtA212">[212]</a> Unter den Eigenschaften der + römischen Fläche von S<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r verdient eine hervorragende Stelle die (durch + verschiedene Methoden von C<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>a und C<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h nachgewiesene) Eigenschaft, daß sie zu + asymptotischen Kurven (Haupttangentenkurven) rationale Kurven vierter + Ordnung hat. Eine andere Eigenschaft derselben wurde von D<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>x (<i>Bull. sciences + math.</i> II, 4) entdeckt und besteht darin, daß sie die einzige Fläche + ist, außer den Flächen zweiten Grades und den Regelflächen dritten + Grades, bei welcher durch jeden Punkt unendlich viele Kegelschnitte + gehen. Neuerdings hat P<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>d (<i>Journ. für Math.</i> + 100) gezeigt, daß sie die einzige nicht geradlinige Oberfläche ist, deren + sämtliche ebene Schnitte rationale Kurven sind. Man sehe hierzu noch eine + Note von G<span class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>a in den <i>Rendiconti del circolo matematico di + Palermo</i>, 1. — L<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>e machte (<i>Archiv for Math. og Naturvidenskab.</i> + 3) die interessante Bemerkung, daß der Ort der Pole einer Ebene in Bezug + auf die Kegelschnitte einer Steinerschen Fläche eine ebensolche Fläche + ist.</p> + + <p><a name="Nt213" href="#NtA213">[213]</a> <i>Journ. für Math.</i> 63; + <i>Lombardo Rend.</i> 1867.</p> + + <p><a name="Nt214" href="#NtA214">[214]</a> <i>Journ. für Math.</i> + 64.</p> + + <p><a name="Nt215" href="#NtA215">[215]</a> <i>Math. Ann.</i> 3.</p> + + <p><a name="Nt216" href="#NtA216">[216]</a> <i>Journ. für Math.</i> 64; + <i>Proc. math. Soc.</i> 5.</p> + + <p><a name="Nt217" href="#NtA217">[217]</a> <i>Giorn. di Matem.</i> 1; + <i>Bologna Mem.</i> 1879.</p> + + <p><a name="Nt218" href="#NtA218">[218]</a> <i>Journ. für Math.</i> + 67.</p> + + <p><a name="Nt219" href="#NtA219">[219]</a> <i>Math. Ann.</i> 5.</p> + + <p><a name="Nt220" href="#NtA220">[220]</a> <i>Nouv. Ann.</i> II, 11, 12; + <i>Bull. Soc. math.</i> 1.</p> + + <p><a name="Nt221" href="#NtA221">[221]</a> <i>La superficie di Steiner + studiata nella sua rappresentazione analitica mediante le forme ternarie + quadratiche</i> (Torino, 1881).</p> + + <p><a name="Nt222" href="#NtA222">[222]</a> <i>Berliner Abh.</i> 1866 und + <i>Berliner Ber.</i> 1864.</p> + + <p><a name="Nt223" href="#NtA223">[223]</a> Diese Oberfläche hat eine + fundamentale Bedeutung in der mathematischen Theorie des Lichtes. Es ist + in der That bekannt, daß die Bestimmung der Ebenen, welche sie längs + Kreisen berühren, H<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n zur Entdeckung der + konischen Refraktion führte, einer Erscheinung, welche der Aufmerksamkeit + der Physiker entgangen war. Sie erfreut sich vieler interessanter + Eigenschaften und war Gegenstand wichtiger Untersuchungen verschiedener + Gelehrten, insbesondere M<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>s (<i>Comptes rendus</i>, 78, 81, 85, 88, 90; + <i>Association franç. pour l'avanc. des sciences</i> 1874, 75, 76, 78), + <i>Proc. Roy. Soc.</i> 1882; <i>Collectanea mathematica</i> u. s. w.</p> + + <p><a name="Nt224" href="#NtA224">[224]</a> <i>Liouvilles Journ.</i> 11; + <i>Journ. für Math.</i> 87. Vgl. eine Abhandlung von S<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e im <i>Giorn. di + Matem.</i> 21. Andere Spezialfälle der Kummerschen Fläche wurden von + R<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>n und S<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e (<i>Leipziger Ber.</i> 1884) studiert.</p> + + <p><a name="Nt225" href="#NtA225">[225]</a> Diese Eigenschaft der + Kummerschen Fläche veranlaßte eine Untersuchung über die Oberflächen + beliebiger Ordnung, welche dieselbe besitzen, eine Untersuchung, die + schon von K<span class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r und C<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y unternommen ist, + <i>Berliner Ber.</i> 1878.</p> + + <p><a name="Nt226" href="#NtA226">[226]</a> <i>Berliner Ber.</i> 1870, + oder <i>Math. Ann.</i> 23.</p> + + <p><a name="Nt227" href="#NtA227">[227]</a> <i>Journ. für Math.</i> 97; + vgl. S<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e das. 98.</p> + + <p><a name="Nt228" href="#NtA228">[228]</a> <i>Journ. für Math.</i> 83, + 94; oder <i>Borchardts Gesammelte Werke</i> (Berlin, 1888, S. 341); vgl. + B<span class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>i und D<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>x, <i>Compt. rend.</i>, 1881.</p> + + <p><a name="Nt229" href="#NtA229">[229]</a> <i>Journ. für Math.</i> + 84.</p> + + <p><a name="Nt230" href="#NtA230">[230]</a> S. die in Note <a + href="#Nt207">207</a> zitierte Abhandlung, und für die Geschichte der + Anwendung der hyperelliptischen Funktionen auf die Kummersche Oberfläche + die Einleitung der Abhandlung von R<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>n, <i>Math. Ann.</i> + 15.</p> + + <p><a name="Nt231" href="#NtA231">[231]</a> <i>Journ. für Math.</i> + 70.</p> + + <p><a name="Nt232" href="#NtA232">[232]</a> <i>Münchener + Dissertation</i>, 1878; <i>Math. Ann.</i> 15.</p> + + <p><a name="Nt233" href="#NtA233">[233]</a> Die anderen Oberflächen + vierter Ordnung mit singulären Punkten wurden von C<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y studiert (<i>Proc. math. Soc.</i> 1870, 1871), + vollständiger von R<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>n in einer sehr schönen + Abhandlung, die von der Jablonowskischen Gesellschaft kürzlich prämiiert + ist (vgl. <i>Math. Ann.</i> 29). Endlich wurden die von Flächen zweiten + Grades eingehüllten Flächen vierter Ordnung von K<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r untersucht, <i>Berliner Ber.</i> 1872.</p> + + <p><a name="Nt234" href="#NtA234">[234]</a> <i>On the quartic + surfaces</i> (+) (<i>u</i>, <i>v</i>, <i>w</i>)<sup>2</sup> = 0 + (<i>Quart. Journ.</i> 10, 11); <i>On the quartic surfaces represented by + the equation symmetrical determinant</i> = 0 (<i>Quart. Journ.</i> + 14).</p> + + <p><a name="Nt235" href="#NtA235">[235]</a> Bekanntlich nennt man nach + C<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y ein Monoid eine Oberfläche <i>n</i><sup>ter</sup> + Ordnung mit einem (<i>n</i>-1)-fachen Punkte.</p> + + <p><a name="Nt236" href="#NtA236">[236]</a> <i>Math. Ann.</i> 24; vgl. + auch die Dissertation von L<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>e, Berlin, 1864.</p> + + <p><a name="Nt237" href="#NtA237">[237]</a> <i>Math. Ann.</i> 18, 17. + Außer den im Texte zitierten Oberflächen wurden noch andere spezielle + Flächen studiert, die ich der Kürze wegen übergehen muß; der größere Teil + derselben wurde vermittelst der Theorie der Abbildungen entdeckt oder + betrachtet, siehe § VI.</p> + + <p><a name="Nt238" href="#NtA238">[238]</a> <i>Correspondance + mathématique</i> 9; <i>Liouvilles Journ.</i> 2.</p> + + <p><a name="Nt239" href="#NtA239">[239]</a> <i>Cambridge Journ.</i> 8 und + <i>Irish Trans.</i> 23.</p> + + <p><a name="Nt240" href="#NtA240">[240]</a> <i>Phil. Trans.</i> + 1863-1869. In den angeführten Arbeiten haben C<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y und S<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n die Regelflächen + bearbeitet als die Örter der Geraden, die drei gegebene Kurven treffen, + oder eine einmal und eine zweite zweimal treffen, oder Trisekanten einer + Kurve sind. R<span class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>p hat neuerdings diese Betrachtungen wieder + aufgenommen, um auf eine andere Weise die Resultate zu erhalten und zu + modifizieren, zu denen jene Mathematiker gelangt waren (<i>Math. Ann.</i> + 18).</p> + + <p><a name="Nt241" href="#NtA241">[241]</a> <i>Annali di Matem.</i> II, + 1.</p> + + <p><a name="Nt242" href="#NtA242">[242]</a> <i>Traité de géométrie + descriptive</i>, Art. 629 u. 635.</p> + + <p><a name="Nt243" href="#NtA243">[243]</a> <i>Math. Ann.</i> 8, 12, + 13.</p> + + <p><a name="Nt244" href="#NtA244">[244]</a> <i>Comptes rendus</i>, 1862; + vgl. d<span class="gsp"> </span>'<span class="gsp"> </span>O<span + class="gsp"> </span>v<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>o und D<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>o, <i>Giorn. di Matem.</i> + 3.</p> + + <p><a name="Nt245" href="#NtA245">[245]</a> <i>Dissertation</i>, gedr. zu + Berlin 1864, und <i>Journ. für Math.</i> 67.</p> + + <p><a name="Nt246" href="#NtA246">[246]</a> <i>Recherches sur les + surfaces réglées tetraédrales symétriques</i> (Paris, 1867). Ich bemerke, + daß ein Büschel von Oberflächen, die in Bezug auf ein Tetraeder + symmetrisch sind, mit einem projektiven Ebenenbüschel eine bemerkenswerte + Fläche erzeugt, die von E<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>k<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>t (<i>Zeitschr. f. Math.</i> 20) bearbeitet ist und + welche die allgemeine Oberfläche dritter Ordnung in sich schließt.</p> + + <p><a name="Nt247" href="#NtA247">[247]</a> <i>Math. Ann.</i> 5.</p> + + <p><a name="Nt248" href="#NtA248">[248]</a> <i>Annali di Matem.</i> II, + 4.</p> + + <p><a name="Nt249" href="#NtA249">[249]</a> <i>Prager Abhandlungen</i> + VI, 5.</p> + + <p><a name="Nt250" href="#NtA250">[250]</a> <i>Mémoires de Bordeaux</i> + II, 3.</p> + + <p><a name="Nt251" href="#NtA251">[251]</a> <i>Über die Flächen, deren + Gleichungen aus denen ebener Kurven durch eine bestimmte Substitution + hervorgehen. Math. Ann.</i> 7.</p> + + <p><a name="Nt252" href="#NtA252">[252]</a> <i>Lincei Mem.</i> + 1878-1879.</p> + + <p><a name="Nt253" href="#NtA253">[253]</a> <i>Math. Ann.</i> 4.</p> + + <p><a name="Nt254" href="#NtA254">[254]</a> <i>Math. Ann.</i> 27, 29. S. + auch eine Abhandlung von E<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>k<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>t (daselbst 7).</p> + + <p><a name="Nt255" href="#NtA255">[255]</a> <i>Math. Ann.</i> 3.</p> + + <p><a name="Nt256" href="#NtA256">[256]</a> das. 14, 15. S. auch eine + Bemerkung von D<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>o, <i>Napoli Rend.</i> + 19.</p> + + <p><a name="Nt257" href="#NtA257">[257]</a> <i>Comptes rendus</i>, + 52.</p> + + <p><a name="Nt258" href="#NtA258">[258]</a> <i>Journ. für Math.</i> + 68.</p> + + <p><a name="Nt259" href="#NtA259">[259]</a> <i>Math. Ann.</i> 2.</p> + + <p><a name="Nt260" href="#NtA260">[260]</a> <i>Proc. math. Soc.</i> 4; + <i>Comptes rendus</i>, 1861; vgl. H<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>y <i>Journ. für Math.</i> 92.</p> + + <p><a name="Nt261" href="#NtA261">[261]</a> K<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n und L<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e, <i>Comptes rendus</i>, + 70.</p> + + <p><a name="Nt262" href="#NtA262">[262]</a> F<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t, <i>Bulletin de la Société philomatique</i>, VII, + 1.</p> + + <p><a name="Nt263" href="#NtA263">[263]</a> J<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>g, <i>Lincei Rend.</i> 1885 und 1886. S. auch zwei + Bemerkungen über denselben Gegenstand, veröffentlicht von V<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>i (ebendas. 1886).</p> + + <p><a name="Nt264" href="#NtA264">[264]</a> G<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>t, <i>Ann. Ec. norm.</i> + III, 4; L<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>u, <i>Acta math.</i> + 10.</p> + + <p><a name="Nt265" href="#NtA265">[265]</a> Cfr. die bewunderungswerten + <i>Vergleichenden Betrachtungen über neuere <span class="correction" + title="Original reads `geometrisehe'.">geometrische</span> + Forschungen</i> von F. K<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n (Erlangen, 1872).</p> + + <p><a name="Nt266" href="#NtA266">[266]</a> Veröffentlicht im Jahre 1795 + unter dem Titel: <i>Feuilles d'Analyse appliquée à la Géométrie</i>. Die + letzte (fünfte) Ausgabe wurde von L<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>v<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e im Jahre 1850 besorgt und durch einen Anhang sehr + wertvoller Noten bereichert.</p> + + <p><a name="Nt267" href="#NtA267">[267]</a> Der Königlichen Gesellschaft + der Wissenschaften zu Göttingen überreicht am 8. Oktober 1827 und + abgedruckt im 6. Bande der <i>Commentationes recentiores societatis + Gottingensis</i>. Diese <i>Disquisitiones</i> stehen im 4. Bande der von + der genannten Gesellschaft herausgegebenen <i>Werke</i> von G<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>ß, ferner in französischer Übersetzung in der + angeführten Liouvilleschen Ausgabe des Werkes von M<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>e.</p> + + <p><a name="Nt268" href="#NtA268">[268]</a> Wenn <i>x</i> = + <i>e</i>(<i>t</i>), <i>y</i> = <i>f</i>(<i>t</i>), <i>z</i> = + <i>g</i>(<i>t</i>) die Ausdrücke der Koordinaten der Punkte dieser Kurve + in Funktionen eines Parameters <i>t</i> sind und <i>F</i>(<i>x</i>, + <i>y</i>, <i>z</i>) = 0 die Gleichung der gegebenen Oberfläche, so ist + die fragliche Enveloppe die der Oberfläche <i>F</i>{<i>x</i> + + <i>e</i>(<i>t</i>), <i>y</i> + <i>f</i>(<i>t</i>), <i>z</i> + + <i>g</i>(<i>t</i>)} = 0.</p> + + <p><a name="Nt269" href="#NtA269">[269]</a> Über solche Flächen sehe man + die neue Arbeit von L<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>e (<i>Archiv for Mathematik og Naturvidenskab</i> + 7).</p> + + <p><a name="Nt270" href="#NtA270">[270]</a> Vor M<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>e hatten sich schon E<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r (<i>Histoire de + l'Académie de Berlin</i>, 1766) und M<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r (<i>Mémoires de l'Académie des sciences de + Paris</i> 10, 1776) mit diesem Thema beschäftigt.</p> + + <p><a name="Nt271" href="#NtA271">[271]</a> Unter den neueren Arbeiten + über die Krümmungslinien führen wir nur die von H<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n, F<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>t und C<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y an, die sich als Aufgabe + gestellt haben, zu finden, wie dieselben um einen Nabelpunkt herum + verteilt sind (<i>Quart. Journ.</i> 12).</p> + + <p><a name="Nt272" href="#NtA272">[272]</a> Vgl. hierzu eine von C<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>a veröffentlichte Arbeit + in den <i>Bologna Mem.</i> III, 1. Wir führen hier auch einige Noten von + D<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>x an (<i>Comptes + rendus</i>, 84, 92, 97), welche die Bestimmung der Krümmungslinien + einiger spezieller bemerkenswerter Flächen zum Zwecke haben.</p> + + <p><a name="Nt273" href="#NtA273">[273]</a> Die Differentialgleichung der + Minimalflächen verdanken wir L<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>e (<i>Miscellanea + Taurinensia</i>, 1760-1761); die geometrische Interpretation derselben + wurde ein wenig später von M<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r gegeben (vgl. Note <a href="#Nt270">270</a>).</p> + + <p><a name="Nt274" href="#NtA274">[274]</a> An die in den §§ 18 und 21 + der <i>Application</i> gemachten Untersuchungen knüpft sich eine + Abhandlung von O. R<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>s, die sich in der <i>Correspondance sur l'École + polytechnique</i> 3 findet.</p> + + <p><a name="Nt275" href="#NtA275">[275]</a> Außer den Krümmungs- und + asymptotischen Linien auf einer Fläche sind noch diejenigen + bemerkenswert, bei denen die Schmiegungskugel in einem beliebigen ihrer + Punkte die Oberfläche selbst berührt. Dieselben wurden von D<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>x (<i>Comptes rendus</i> + 83) und von E<span class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r (<i>Göttinger + Nachrichten</i>, 1871) studiert.</p> + + <p><a name="Nt276" href="#NtA276">[276]</a> D<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n fand (<i>Applications de + Géométrie et de Méchanique</i>, 1822), daß die einzigen Oberflächen, bei + denen sämtliche Krümmungslinien Kreise sind, die Kugel, der + Rotations-Kegel und -Cylinder und die Cyklide sind, welch letztere er + schon als die Enveloppe einer Kugel erkannt hatte, die sich so bewegt, + daß sie immer drei feste Kugeln tangiert.</p> + + <p><a name="Nt277" href="#NtA277">[277]</a> <i>Liouvilles Journ.</i> + 13.</p> + + <p><a name="Nt278" href="#NtA278">[278]</a> <i>Journ. Éc. polyt.</i> 19, + 35; <i>Comptes rendus</i> 42.</p> + + <p><a name="Nt279" href="#NtA279">[279]</a> <i>Atti dell' Accademia dei + Quaranta</i>, 1868-1869; <i>Annali delle Università toscane</i>, 1869; + <i>Annali di Matem.</i> II, 1, 4.</p> + + <p><a name="Nt280" href="#NtA280">[280]</a> <i>Göttinger Abh.</i> 13, 16, + 23; <i>Journ. für Math.</i> 94.</p> + + <p><a name="Nt281" href="#NtA281">[281]</a> <i>Comptes rendus</i>, + 96.</p> + + <p><a name="Nt282" href="#NtA282">[282]</a> das. 46.</p> + + <p><a name="Nt283" href="#NtA283">[283]</a> <i>Journ. Éc. polyt.</i> + 53.</p> + + <p><a name="Nt284" href="#NtA284">[284]</a> <i>Journ. für Math.</i> + 94.</p> + + <p><a name="Nt285" href="#NtA285">[285]</a> <i>Göttinger + Dissertation</i>, 1883.</p> + + <p><a name="Nt286" href="#NtA286">[286]</a> <i>Journ. für Math.</i> + 59.</p> + + <p><a name="Nt287" href="#NtA287">[287]</a> <i>Annali di Matem.</i> I, + 8.</p> + + <p><a name="Nt288" href="#NtA288">[288]</a> <i>Archiv for Math. og + Naturvidenskab</i>, 4; <i>Bull. Sciences math.</i> II, 4.</p> + + <p><a name="Nt289" href="#NtA289">[289]</a> <i>Journ. für Math.</i> + 62.</p> + + <p><a name="Nt290" href="#NtA290">[290]</a> <i>Berliner Ber.</i> 1840; + <i>Journ. für Math.</i> 24.</p> + + <p><a name="Nt291" href="#NtA291">[291]</a> <i>Berliner Ber.</i> + 1866.</p> + + <p><a name="Nt292" href="#NtA292">[292]</a> <i>Abhandlungen der + Jablonowskischen Gesellschaft zu Leipzig</i> 4; <i>Journ. für Math.</i> + 13.</p> + + <p><a name="Nt293" href="#NtA293">[293]</a> <i>Liouvilles Journ.</i> II, + 5.</p> + + <p><a name="Nt294" href="#NtA294">[294]</a> das. I, 11.</p> + + <p><a name="Nt295" href="#NtA295">[295]</a> <i>Göttinger Abh.</i> 13, + <i>oder Gesammelte Werke</i> S. 283 und 417. N<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>w<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>w<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>k<span class="gsp"> </span>i hat die R<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>schen Untersuchungen in elementarer Form dargelegt in + den <i>Ann. Éc. norm.</i> II, 9.</p> + + <p><a name="Nt296" href="#NtA296">[296]</a> <i>Berliner Ber.</i> + 1867.</p> + + <p><a name="Nt297" href="#NtA297">[297]</a> <i>Math. Ann.</i> 1.</p> + + <p><a name="Nt298" href="#NtA298">[298]</a> <i>Akademiens + Afhandlingar</i>, <i>Helsingfors</i>, 1883.</p> + + <p><a name="Nt299" href="#NtA299">[299]</a> <i>Journ. Éc. polyt.</i> + 37.</p> + + <p><a name="Nt300" href="#NtA300">[300]</a> <i>Heidelberger + Dissertation</i>, 1875.</p> + + <p><a name="Nt301" href="#NtA301">[301]</a> <i>Comptes rendus</i> 41; + vgl. E<span class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r, <i>Zeitschr. f. + Math.</i> 7, 9.</p> + + <p><a name="Nt302" href="#NtA302">[302]</a> <i>Journ. Éc. polyt.</i> + 39.</p> + + <p><a name="Nt303" href="#NtA303">[303]</a> <i>Bestimmung einer + speziellen Minimalfläche</i> (Berlin, 1871). Vgl. C<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y, <i>Quart. Journ.</i> 14.</p> + + <p><a name="Nt304" href="#NtA304">[304]</a> <i>Journ. für Math.</i> + 80.</p> + + <p><a name="Nt305" href="#NtA305">[305]</a> das. 87; <i>Comptes + rendus</i> 96.</p> + + <p><a name="Nt306" href="#NtA306">[306]</a> <i>Zeitschr. f. Math.</i> 14; + <i>Göttinger Nachr.</i> 1866.</p> + + <p><a name="Nt307" href="#NtA307">[307]</a> <i>Liouvilles Journ.</i> II, + 8.</p> + + <p><a name="Nt308" href="#NtA308">[308]</a> <i>Bologna Mem.</i> II, 7. + Die wunderschöne Einleitung dieser Abhandlung enthält die Geschichte der + Theorie der Minimalflächen.</p> + + <p><a name="Nt309" href="#NtA309">[309]</a> <i>Archiv for Math. og + Naturv.</i> 3, 4, 6; <i>Math. Ann.</i> 14, 15.</p> + + <p><a name="Nt310" href="#NtA310">[310]</a> <i>Journ. für Math.</i> 81, + 85.</p> + + <p><a name="Nt311" href="#NtA311">[311]</a> <i>Annali di Matem.</i> II, + 9.</p> + + <p><a name="Nt312" href="#NtA312">[312]</a> <i>Étude des élassoides. + Mémoires couronnés par l'Académie de Belgique</i> 44.</p> + + <p><a name="Nt313" href="#NtA313">[313]</a> <i>Giorn. di Matem.</i> + 22.</p> + + <p><a name="Nt314" href="#NtA314">[314]</a> <i>Lombardo Rend.</i> 1876; + <i>Giorn. di Matem.</i> 14.</p> + + <p><a name="Nt315" href="#NtA315">[315]</a> <i>Journ. für Math.</i> + 78.</p> + + <p><a name="Nt316" href="#NtA316">[316]</a> Das Studium der Krümmung + einer Oberfläche in einem singulären Punkte wurde von P<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>v<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n im <i>Journ. für + Math.</i> 72 angestellt.</p> + + <p><a name="Nt317" href="#NtA317">[317]</a> Ein analoger Satz wurde + neuerdings von S<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>m entdeckt (<i>Math. Ann.</i> 21).</p> + + <p><a name="Nt318" href="#NtA318">[318]</a> Einige Vervollkommnungen und + Ergänzungen dieses Teiles der Gaußischen Abhandlung wurden von L<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>v<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e (<i>Journ. Éc. + polyt.</i> 24), von B<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>z<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r (1818-1887) (<i>Leipziger Berichte</i> 1872) und + durch v<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n E<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h (<i>Grunerts Arch.</i> + 57) vorgenommen.</p> + + <p><a name="Nt319" href="#NtA319">[319]</a> Der Satz von G<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>ß: »Damit eine Oberfläche auf eine andere abwickelbar + sei, ist notwendig, daß die Krümmung in den entsprechenden Punkten gleich + sei«, wurde auf verschiedene Arten von L<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>v<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e (<i>Liouvilles Journ.</i> 12), von B<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>d, P<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>x und D<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>t (das. 13) bewiesen. Vgl. + auch M<span class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>g, <i>Journ. für Math.</i> + 19.</p> + + <p><a name="Nt320" href="#NtA320">[320]</a> <i>Annali di Matem.</i> II, + 1.</p> + + <p><a name="Nt321" href="#NtA321">[321]</a> <i>Bologna Mem.</i> II, + 8.</p> + + <p><a name="Nt322" href="#NtA322">[322]</a> <i>Math. Ann.</i> 1.</p> + + <p><a name="Nt323" href="#NtA323">[323]</a> <i>Comptes rendus</i> 37.</p> + + <p><a name="Nt324" href="#NtA324">[324]</a> das. 44, 46, 57, 67.</p> + + <p><a name="Nt325" href="#NtA325">[325]</a> <i>Annali di Matem.</i> I, 7. + — Das allgemeinere Problem der Bestimmung zweier Oberflächen, so + daß jedem Punkte der einen ein Punkt oder eine Gruppe von Punkten der + anderen entspricht, und daß den geodätischen Linien der einen geodätische + Linien der anderen korrespondieren, wurde später von D<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>i behandelt. (<i>Annali di Matem.</i> II, 3).</p> + + <p><a name="Nt326" href="#NtA326">[326]</a> <i>Giorn. di Matem.</i> + 6.</p> + + <p><a name="Nt327" href="#NtA327">[327]</a> <i>Comptes rendus</i>, + 1865.</p> + + <p><a name="Nt328" href="#NtA328">[328]</a> <i>Archiv for Math. og + Nat.</i> 4, 5.</p> + + <p><a name="Nt329" href="#NtA329">[329]</a> <i>Giorn. di Matem.</i> 16, + 20, 21.</p> + + <p><a name="Nt330" href="#NtA330">[330]</a> <i>Lund Årskrift</i> 19.</p> + + <p><a name="Nt331" href="#NtA331">[331]</a> <i>Comptes rendus</i> 96, + 97.</p> + + <p><a name="Nt332" href="#NtA332">[332]</a> <i>Acta math.</i> 9.</p> + + <p><a name="Nt333" href="#NtA333">[333]</a> <i>Journ. für Math.</i> + 64.</p> + + <p><a name="Nt334" href="#NtA334">[334]</a> <i>Berliner Ber.</i> + 1882-1883. — Hieran schließt sich die Schrift v<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n L<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>'<span + class="gsp"> </span>s: <i>Untersuchungen zur allgemeinen Theorie der + krummen Oberflächen und der geradlinigen Strahlensysteme</i> (Bonn, + 1886).</p> + + <p><a name="Nt335" href="#NtA335">[335]</a> <i>Journ. für Math.</i> 26, + 30. — J<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>s Vorlesungen: + <i>Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf die allgemeine + Theorie der Flächen und der Linien doppelter Krümmung</i> erschienen nach + seinem Tode (Leipzig, 2. Auflage, 1881).</p> + + <p><a name="Nt336" href="#NtA336">[336]</a> <i>Göttinger Nachr.</i> + 1867.</p> + + <p><a name="Nt337" href="#NtA337">[337]</a> <i>Lombardo Atti</i> II, + 1.</p> + + <p><a name="Nt338" href="#NtA338">[338]</a> <i>Programm der Universität + von Christiania</i>, 1879.</p> + + <p><a name="Nt339" href="#NtA339">[339]</a> <i>Math. Ann.</i> 20.</p> + + <p><a name="Nt340" href="#NtA340">[340]</a> <i>Journ. für Math.</i> 6, + 18, 19.</p> + + <p><a name="Nt341" href="#NtA341">[341]</a> <i>Journ. Éc. polyt.</i> + 39.</p> + + <p><a name="Nt342" href="#NtA342">[342]</a> <i>Mém. prés.</i> 27 (1879) + (<i>Mémoire relatif à l'application des surfaces les unes sur les + autres</i>).</p> + + <p><a name="Nt343" href="#NtA343">[343]</a> <i>Journ. Éc. polyt.</i> 41, + 42.</p> + + <p><a name="Nt344" href="#NtA344">[344]</a> <i>Berliner Abh.</i>, + 1869.</p> + + <p><a name="Nt345" href="#NtA345">[345]</a> <i>Journ. für Math.</i> + 94.</p> + + <p><a name="Nt346" href="#NtA346">[346]</a> <i>Berliner Ber.</i> + 1882.</p> + + <p><a name="Nt347" href="#NtA347">[347]</a> <i>Münchener Abh.</i> 14.</p> + + <p><a name="Nt348" href="#NtA348">[348]</a> <i>Journ. für Math.</i> + 6.</p> + + <p><a name="Nt349" href="#NtA349">[349]</a> <i>Irish Trans.</i> 22, I. + T.</p> + + <p><a name="Nt350" href="#NtA350">[350]</a> <i>Giorn. di Matem.</i> + 2.</p> + + <p><a name="Nt351" href="#NtA351">[351]</a> <i>Göttinger Nachr.</i> + 1875.</p> + + <p><a name="Nt352" href="#NtA352">[352]</a> <i>Giorn. di Matem.</i> + 21.</p> + + <p><a name="Nt353" href="#NtA353">[353]</a> <i>Journ. Éc. polyt.</i> + 48.</p> + + <p><a name="Nt354" href="#NtA354">[354]</a> <i>Bologna Mem.</i> IV, + 3.</p> + + <p><a name="Nt355" href="#NtA355">[355]</a> <i>Mém. prés.</i> 5; + <i>Liouvilles Journ.</i> 2. — Unter den vielen Anwendungen, die man + von den elliptischen Koordinaten gemacht hat, wollen wir nur diejenigen + anführen, die J<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>i davon gemacht hat bei + der Bestimmung der geodätischen Linien (<i>Journ. für Math.</i> 14; + <i>Comptes rendus</i> 8; <i>Liouvilles Journ.</i> 6) und bei einigen + Fragen der Dynamik. S. <i>Vorlesungen über Dynamik</i>, 1866 in erster, + 1884 in zweiter Ausgabe als Supplementband zu den <i>Gesammelten + Werken</i> erschienen.</p> + + <p><a name="Nt356" href="#NtA356">[356]</a> <i>Journ. Éc. polyt.</i> + 23.</p> + + <p><a name="Nt357" href="#NtA357">[357]</a> <i>Liouvilles Journ.</i> + 5.</p> + + <p><a name="Nt358" href="#NtA358">[358]</a> das. 4.</p> + + <p><a name="Nt359" href="#NtA359">[359]</a> das. 8.</p> + + <p><a name="Nt360" href="#NtA360">[360]</a> <i>Comptes rendus</i> 48, 54; + <i>Journ. für Math.</i> 58; <i>Annali di Matem.</i> I, 6 und II, 1, 3, + 5.</p> + + <p><a name="Nt361" href="#NtA361">[361]</a> <i>Annali di Matem.</i> II, + 1.</p> + + <p><a name="Nt362" href="#NtA362">[362]</a> das. II, 1, 2, 4, 5.</p> + + <p><a name="Nt363" href="#NtA363">[363]</a> <i>Bologna Mem.</i> + 1868-1869.</p> + + <p><a name="Nt364" href="#NtA364">[364]</a> <i>Ann. Éc. norm.</i> II, + 7.</p> + + <p><a name="Nt365" href="#NtA365">[365]</a> <i>Ann. Éc. norm.</i> I, + 4.</p> + + <p><a name="Nt366" href="#NtA366">[366]</a> <i>Journ. Éc. polyt.</i> + 43.</p> + + <p><a name="Nt367" href="#NtA367">[367]</a> <i>Annales des mines</i> VII, + 5.</p> + + <p><a name="Nt368" href="#NtA368">[368]</a> <i>Liouvilles Journ.</i> + 11.</p> + + <p><a name="Nt369" href="#NtA369">[369]</a> das. 12.</p> + + <p><a name="Nt370" href="#NtA370">[370]</a> <i>Comptes rendus</i> 54.</p> + + <p><a name="Nt371" href="#NtA371">[371]</a> <i>Mémoires couronnés par + l'Académie de Belgique</i>, 32.</p> + + <p><a name="Nt372" href="#NtA372">[372]</a> <i>Comptes rendus</i> 59.</p> + + <p><a name="Nt373" href="#NtA373">[373]</a> das. 59, 60, 67, 76; <i>Ann. + Éc. norm.</i> I, 2; II, 3.</p> + + <p><a name="Nt374" href="#NtA374">[374]</a> <i>Comptes rendus</i> 74, 75; + <i>Phil. Trans.</i> 163. Vgl. W<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n, <i>Journ. für Math.</i> + 83.</p> + + <p><a name="Nt375" href="#NtA375">[375]</a> <i>Comptes rendus</i> 76.</p> + + <p><a name="Nt376" href="#NtA376">[376]</a> <i>Journ. für Math.</i> + 85.</p> + + <p><a name="Nt377" href="#NtA377">[377]</a> das. 76; vgl. D<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>x, <i>Comptes rendus</i> + 84.</p> + + <p><a name="Nt378" href="#NtA378">[378]</a> <i>Grunerts Arch.</i> 55, 56, + 57, 58 und 63.</p> + + <p><a name="Nt379" href="#NtA379">[379]</a> <i>Giorn. di Matem.</i> 21, + 22; <i>Annali di Matem.</i> II, 13; <i>Lincei Rend.</i> 1886.</p> + + <p><a name="Nt380" href="#NtA380">[380]</a> <i>Mémoires de l'Académie de + Toulouse</i> VIII, 1.</p> + + <p><a name="Nt381" href="#NtA381">[381]</a> <i>Archiv for Math. og + Naturv.</i> 7.</p> + + <p><a name="Nt382" href="#NtA382">[382]</a> <i>Göttinger Abh.</i> 19. + — Wenn <i>u</i> der Winkel der Normalen der Oberfläche in einem + Punkte mit der <i>z</i>-Axe, und <i>v</i> der Winkel der Projektion + derselben auf die <i>xy</i>-Ebene mit der <i>x</i>-Axe ist, so nennt man + nach E<span class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r Kurven, deren + Gleichungen <i>u</i> = <i>const.</i> oder <i>v</i> = <i>const.</i> sind, + Meridiankurven.</p> + + <p><a name="Nt383" href="#NtA383">[383]</a> <i>Comptes rendus</i> 74; + <i>Proc. math. Soc.</i> 4.</p> + + <p><a name="Nt384" href="#NtA384">[384]</a> <i>Berliner Ber.</i> + 1883.</p> + + <p><a name="Nt385" href="#NtA385">[385]</a> <i>Göttinger + Dissertation,</i> 1883.</p> + + <p><a name="Nt386" href="#NtA386">[386]</a> <i>Giorn. di Matem.</i> + 17.</p> + + <p><a name="Nt387" href="#NtA387">[387]</a> <i>Mémoires de la société + scientifique de Bruxelles</i> 5, 7, 8.</p> + + <p><a name="Nt388" href="#NtA388">[388]</a> <i>Ann. Éc. norm.</i> II, 3; + <i>Journ. Éc. polyt.</i> 53.</p> + + <p><a name="Nt389" href="#NtA389">[389]</a> <i>Liouvilles Journ.</i> 9, + 12.</p> + + <p><a name="Nt390" href="#NtA390">[390]</a> <i>Journ. Éc. polyt.</i> 30, + 32; <i>Liouvilles Journ.</i> 14; <i>Comptes rendus</i> 54.</p> + + <p><a name="Nt391" href="#NtA391">[391]</a> Man sehe auch die + <i>Thèse</i> (Dissertation) von P<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>t, <i>Essai d'une théorie + géométrique des surfaces</i> (Paris, 1863).</p> + + <p><a name="Nt392" href="#NtA392">[392]</a> <i>Liouvilles Journ.</i> II, + 17 und III, 4; <i>Bull. Soc. math. </i>2, 5, 6; <i>Comptes rendus</i> 74, + 78, 79, 80, 82, 83, 84, 85, 86, 88; <i>Proc. math. Soc.</i> 12; <i>The + Messenger of Mathematics</i> II, 8.</p> + + <p><a name="Nt393" href="#NtA393">[393]</a> <i>Enumeratio linearum tertii + ordinis</i> (1706). Indem wir eine Bemerkung von B<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>v<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>s (1803-1880) verwerten (s. § 107 der Schrift + <i>Sulla classificazione delle curve di terzo ordine, Memorie della + Società italiana delle scienze residente in Modena</i>, Bd. 25, II. Teil + S. 34), geben wir dieses Resultat wieder, indem wir sagen, daß jede Kurve + dritter Ordnung sich durch eine geeignete projektive Transformation auf + eine der folgenden Formen bringen läßt: Kurve, bestehend aus einem + Schlangenzuge und einem Ovale (<i>parabola campaniformis cum ovali</i>), + Kurve mit einem Doppelpunkte (<i>parabola nodata</i>), Kurve, bestehend + aus einem Schlangenzuge (<i>parabola pura</i>), Kurve mit einem + isolierten Punkte (<i>parabola punctata</i>), Kurve mit einer Spitze + (<i>parabola cuspidata</i>). Unter den Beweisen, die für diesen Satz + gegeben sind, führe ich den von M<span class="gsp"> </span>ö<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>s an, der sich auf die + Prinzipien der analytischen Sphärik gründet (<i>Gesammelte Werke</i>, II. + Bd. S. 89-176), und den, der aus der Klassifikation von B<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>v<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>s (s. oben) hervorgeht. An M<span + class="gsp"> </span>ö<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>s schließt sich an: M. B<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>r, <i>Synthetische Einteilung der ebenen Kurven III. + Ordnung</i> (Stuttgart, 1888). Dann bemerke ich noch hierzu, daß die + Einteilungen, die von M<span class="gsp"> </span>ö<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>s und B<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>v<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>s (fast gleichzeitig, da die erste 1852 + veröffentlicht wurde und die zweite 1851 geschrieben und 1855 + veröffentlicht wurde) vorgeschlagen sind, gemeinsam haben, daß sie die + Kollineation als Grundlage der Bildung der Gattungen, die Affinität zur + Grundlage der Bildung der Arten dieser Kurven nehmen. P<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>ü<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>k<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>s Einteilung befindet sich im <i>System der + analytischen Geometrie</i>. J. W. N<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>w<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n hat der <i>British + Association for the Advancement of Science</i> (vgl. Report 1869-1870) + eine Diskussion der Formen der ebenen kubischen Kurven und eine daraus + sich ergebende Nomenklatur vorgelegt, die von der gewöhnlich üblichen + abweicht.</p> + + <p><a name="Nt394" href="#NtA394">[394]</a> <i>Aperçu historique</i>, + Note 20.</p> + + <p><a name="Nt395" href="#NtA395">[395]</a> <i>Journ. für Math.</i> 75 + und 76. Wir können hinzufügen, daß R<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>e im Anhange der 3. + Auflage des ersten Teiles seiner <i>Geometrie der Lage</i>, der vor + wenigen Monaten erschienen ist, eine neue und elegante Methode zur + Bestimmung der Formen der ebenen kubischen Kurven einführt, indem er sie + als die J<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>schen Kurven von + Kegelschnittnetzen auffaßte.</p> + + <p><a name="Nt396" href="#NtA396">[396]</a> §§ 12, 13, 14, 15.</p> + + <p><a name="Nt397" href="#NtA397">[397]</a> <i>The Messenger of + Mathematics</i> II, 6.</p> + + <p><a name="Nt398" href="#NtA398">[398]</a> <i>Anwendung der Topologie + auf die Gestalten der algebraischen Kurven, speziell der rationalen + Kurven vierter und fünfter Ordnung</i> (Münchener Dissertation, + 1878).</p> + + <p><a name="Nt399" href="#NtA399">[399]</a> <i>Irish Trans.</i> 1875.</p> + + <p><a name="Nt400" href="#NtA400">[400]</a> <i>Beiträge zur Theorie der + Oskulationen bei ebenen Kurven dritter Ordnung</i> (Berliner + Dissertation, 1884).</p> + + <p><a name="Nt401" href="#NtA401">[401]</a> <i>Math. Ann.</i> 7, 10. S. + übrigens die Abhandlung: <i>Almindelige Egenskaber ved Systemer af plane + Kurver</i> (Abh. der Akad. der Wissensch. in Kopenhagen V, 10).</p> + + <p><a name="Nt402" href="#NtA402">[402]</a> <i>Math. Ann.</i> 12; + <i>Tidsskrift for Mathem.</i> IV, 1.</p> + + <p><a name="Nt403" href="#NtA403">[403]</a> <i>Math. Ann.</i> 10. Vgl. + auch P<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n, <i>Bull Soc. math.</i> 6.</p> + + <p><a name="Nt404" href="#NtA404">[404]</a> <i>Theorie der algebraischen + Kurven</i> S. 249 flgg. — Im Anschluß an P<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>ü<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>k<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r mögen noch B<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>s <i>Tabulae curvarum + quarti ordinis symmetricarum</i> (Bonn, 1862) erwähnt werden.</p> + + <p><a name="Nt405" href="#NtA405">[405]</a> »Eine Kurve vom Geschlechte + <i>p</i> kann höchstens aus <i>p</i> + 1 Zügen bestehen«. <i>Math. + Ann.</i> 10. Der Spezialfall dieses Satzes, <i>p</i> = 0, ist seit langer + Zeit bekannt; schon B<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>v<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>s hatte denselben in der + vorher angeführten Abhandlung besprochen; er erklärt die Benennung + <i>unicursal</i>, die von C<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y den rationalen Kurven + gegeben war, und die von vielen noch heute gebraucht wird.</p> + + <p><a name="Nt406" href="#NtA406">[406]</a> <i>Gesammelte Werke</i> 2, S. + 433.</p> + + <p><a name="Nt407" href="#NtA407">[407]</a> <i>Math. Ann.</i> 12, 13; + <i>Leipziger Ber.</i> 1884.</p> + + <p><a name="Nt408" href="#NtA408">[408]</a> <i>Math. Ann.</i> 6.</p> + + <p><a name="Nt409" href="#NtA409">[409]</a> <i>Annali di Matem.</i> II, 5 + und 7.</p> + + <p><a name="Nt410" href="#NtA410">[410]</a> <i>Math. Ann.</i> 8.</p> + + <p><a name="Nt411" href="#NtA411">[411]</a> <i>Münchener Ber.</i> + 1883.</p> + + <p><a name="Nt412" href="#NtA412">[412]</a> <i>Quart. Journ.</i> 9.</p> + + <p><a name="Nt413" href="#NtA413">[413]</a> Siehe die schon zitierte + Abhandlung: <i>Om Flader af fjerde Orden med Doppeltkeglesnit</i>.</p> + + <p><a name="Nt414" href="#NtA414">[414]</a> <i>Om Flader af fjerde Orden + med Tilbagegangskeglesnit</i> (Kopenhagen, 1881).</p> + + <p><a name="Nt415" href="#NtA415">[415]</a> <i>Münchener + Dissertation</i>, 1878; <i>Math. Ann.</i> 15, 18, 28, 29.</p> + + <p><a name="Nt416" href="#NtA416">[416]</a> Für den, der sich mit der + Konstruktion spezieller Oberflächen befassen will, führe ich die + praktischen Regeln an, welche H<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>k<span + class="gsp"> </span>s (<i>Messenger of Mathematics</i> II, 5) für die + Konstruktion der Wellenfläche gegeben hat.</p> + + <p><a name="Nt417" href="#NtA417">[417]</a> <i>Zeitschr. f. Math.</i> + 25.</p> + + <p><a name="Nt418" href="#NtA418">[418]</a> <i>Modelle von Raumkurven- + und Developpabelen-Singularitäten</i> (Lund, Gleerup, 1881).</p> + + <p><a name="Nt419" href="#NtA419">[419]</a> Unter den von S<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r ausgesprochenen Sätzen, + nach deren Ursprung wir, seine Nachfolger, vergebens suchen, finden sich + einige derartige (s. <i>Journ. für Math.</i> 37, 45, 49; <i>Gesammelte + Werke</i>, II. Bd. S. 389, 439 und 613), welche glauben lassen, daß er + eine Methode besessen habe, um einige von den im Texte gekennzeichneten + Problemen zu lösen. Etliche lassen sich durch eine quadratische + Transformation beweisen, wie B<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r in seiner Dissertation: + <i>De transformatione secundi ordinis ad figuras geometricas adhibita</i> + (Berlin, 1864) gezeigt hat. — J<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>q<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>è<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s (<i>Liouvilles + Journ.</i> II, 6; <i>Comptes rendus</i>, 1864, 65 und 66) fand auch eine + Weise, um zur Lösung einiger Probleme dieser Art zu gelangen, aber der + von ihm eingeschlagene Weg (welcher der Hauptsache nach in einer + Anwendung des Bézoutschen Satzes besteht) führte ihn unbedingt zu + Irrtümern wegen uneigentlicher (fremder) Lösungen, die er nicht + ausgeschieden hatte. Vgl. die schöne Abhandlung von S<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>y in den <i>Math. Ann.</i> + 27.</p> + + <p><a name="Nt420" href="#NtA420">[420]</a> <i>Comptes rendus</i>, 1864; + vgl. auch Z<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n, <i>Nyt Bidrag til + Laeren om Systemer af Keglesnit</i> (Kopenhagen, 1865) oder <i>Nouv. + Ann.</i> II, 5; D<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>o, <i>Comptes rendus</i>, + 1867. Die Bände der <i>Comptes rendus</i> von 1864 ab enthalten eine + ungeheuere Anzahl von Lehrsätzen verschiedener Art, die von C<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s aufgestellt sind und + deren Beweis sich auf die Theorie der Charakteristiken und auf das + Korrespondenzprinzip stützt. Unter diesen Arbeiten ist eine der + bemerkenswertesten diejenige, in welcher der Verfasser mit Hilfe des + Korrespondenzprinzips die Zahl der Schnitte zweier Kurven in einer Ebene + bestimmt (<i>Comptes rendus</i> 75). Die dort angewandte Beweisführung + kann verallgemeinert werden und in vielen Fällen dazu dienen, die Zahl + der Lösungen eines bestimmten Systemes von algebraischen Gleichungen zu + finden. (S. S<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l, <i>Mémoires de l'Académie de Belgique</i> 24; + <i>Comptes rendus</i> 81; F<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>t, <i>Bull. Soc. math.</i> + 1, 2; <i>Comptes rendus</i> 78.</p> + + <p><a name="Nt421" href="#NtA421">[421]</a> <i>Comptes rendus</i> 61.</p> + + <p><a name="Nt422" href="#NtA422">[422]</a> Ebendas. 62. S. auch S<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n, <i>Quart. Journ.</i> 1866; S<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>t, <i>Journ. für Math.</i> 71 und 73. — Eine + interessante Anwendung der Theorie der Systeme von Flächen zweiter + Ordnung auf das Studium der quadratischen (vorletzten) Polaren der Punkte + des Raumes in bezug auf eine beliebige algebraische Fläche wurde von + Z<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n gemacht (<i>Annali di + Matem.</i> II. 4).</p> + + <p><a name="Nt423" href="#NtA423">[423]</a> Vgl. auch <i>Comptes + rendus</i> 74, 75.</p> + + <p><a name="Nt424" href="#NtA424">[424]</a> Paris, 1871.</p> + + <p><a name="Nt425" href="#NtA425">[425]</a> <i>Journ. für Math.</i> 79, + 80.</p> + + <p><a name="Nt426" href="#NtA426">[426]</a> <i>Göttinger Nachr.</i> 1874, + 75; <i>Math. Ann.</i> 13.</p> + + <p><a name="Nt427" href="#NtA427">[427]</a> <i>Phil. Trans.</i> 1858.</p> + + <p><a name="Nt428" href="#NtA428">[428]</a> <i>Recherches sur les séries + ou systèmes de courbes et de surfaces algébriques</i> (Paris, 1866); + <i>Comptes rendus</i>, 1866; <i>Journ. für Math.</i> 66 u. s. w. Die + eleganten analytischen Untersuchungen von B<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>l und K<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y (<i>Math. Ann.</i> und <i>Acta math.</i>) haben zum + Ziele die Auflösung von Problemen aus der abzählenden Geometrie, die sich + auf Systeme von Kurven und Oberflächen beziehen.</p> + + <p><a name="Nt429" href="#NtA429">[429]</a> <i>Annali di Matem.</i> II, + 6; <i>Proc. math. Soc.</i> 5, 6, 8.</p> + + <p><a name="Nt430" href="#NtA430">[430]</a> <i>Math. Ann.</i> 1, 6, 12, + 15.</p> + + <p><a name="Nt431" href="#NtA431">[431]</a> <i>Compt. rend.</i> 88. + Bemerkenswert in dieser Abhandlung ist die Ausdehnung des Begriffes des + Geschlechtes einer Kurve auf Systeme von Kurven.</p> + + <p><a name="Nt432" href="#NtA432">[432]</a> <i>Math. Ann.</i> 6.</p> + + <p><a name="Nt433" href="#NtA433">[433]</a> <i>Comptes rendus</i> 78 und + 86; <i>Bull. Soc. math.</i> 2 und 7.</p> + + <p><a name="Nt434" href="#NtA434">[434]</a> <i>Comptes rendus</i> 79, + 86.</p> + + <p><a name="Nt435" href="#NtA435">[435]</a> das. 82, 84.</p> + + <p><a name="Nt436" href="#NtA436">[436]</a> das. 80.</p> + + <p><a name="Nt437" href="#NtA437">[437]</a> das. 82.</p> + + <p><a name="Nt438" href="#NtA438">[438]</a> Andere Anwendungen dieses + Prinzipes finden sich in den von F<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>t veröffentlichten + Arbeiten in den <i>Comptes rendus</i> 83, 85, im <i>Bull. Soc. math.</i> + 6 und im <i>Bulletin de la Société philomathique</i> VI, 11. — Wir + bemerken, daß die geometrische Interpretation der Gleichung</p> + +<table class="math" summary="Formatted mathematical expression" title="Formatted mathematical expression"><tr><td rowspan="2"><i>L</i> </td><td rowspan="2" style="font-size:240.0%">(</td><td rowspan="2"> <i>x</i> </td><td> ∂<i>z</i> </td><td rowspan="2"> + <i>y</i> </td><td> ∂<i>z</i> </td><td rowspan="2"> - <i>z</i> </td><td rowspan="2" style="font-size:240.0%">)</td><td rowspan="2"> - <i>M</i> </td><td rowspan="2" style="font-size:240.0%">(</td><td rowspan="2"> </td><td> ∂<i>z</i> </td><td rowspan="2"> </td><td rowspan="2" style="font-size:240.0%">)</td><td rowspan="2"> - <i>N</i> </td><td rowspan="2" style="font-size:240.0%">(</td><td rowspan="2"> </td><td> ∂<i>z</i> </td><td rowspan="2"> </td><td rowspan="2" style="font-size:240.0%">)</td><td rowspan="2"> + <i>R</i> = 0</td></tr><tr><td class="denom"> ∂<i>x</i> </td><td class="denom"> ∂<i>y</i> </td><td class="denom"> ∂<i>x</i> </td><td class="denom"> ∂<i>y</i> </td></tr></table> + + <p>wenn <i>L</i>, <i>M</i>, <i>N</i>, <i>R</i> lineare Funktionen sind, + welche von F<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t in den <i>Comptes rendus</i> 83 gegeben ist, ihn zu + gewissen Oberflächen führte, die zuerst von K<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n und L<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e studiert worden waren + (<i>Comptes rendus</i> 70).</p> + + <p><a name="Nt439" href="#NtA439">[439]</a> Leipzig, 1879. In demselben + sind die früheren Arbeiten von S<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>t vereinigt und befinden + sich die Grundlagen seiner späteren Arbeiten.</p> + + <p><a name="Nt440" href="#NtA440">[440]</a> Das erste dieser Prinzipien + wurde von C<span class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s für die rationalen + Gebilde erster Stufe (<i>Comptes rendus</i> 1864-1866) ausgesprochen und + dann von C<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y auf alle Gebilde erster Stufe ausgedehnt + (<i>Comptes rendus</i> 62, <i>Proc. math. Soc.</i> 1866), und noch + vollständiger im <i>Second memoir on the curves which satisfy given + conditions</i> (<i>Phil. Trans.</i> 158). Bewiesen wurde das Cayleysche + Prinzip von B<span class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>l (<i>Math. Ann.</i> 6 und + 7), neuerdings wurde es in einer sehr bemerkenswerten Weise von H<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>w<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>z ausgedehnt (<i>Math. + Ann.</i> 28).</p> + + <p>S<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l ergänzte das Chaslessche Korrespondenzprinzip, + indem er die Bestimmung der Zahl der Koinzidenzen, die ins Unendliche + fallen, zeigte (<i>Comptes rendus</i> 80) und illustrierte seine + Resultate durch mehrere Beispiele (<i>Comptes rendus</i> 80, 81, 82, 83, + und <i>Bulletin de l'Académie de Belgique</i> II, 92).</p> + + <p>Für die rationalen Gebilde zweiter und dritter Stufe hat man auch ein + Korrespondenzprinzip, welches von S<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n (<i>Geometry of three + dimensions</i> II. Aufl.) und von Z<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n (<i>Comptes rendus</i> 78) entdeckt ist. Für die + Gebilde höherer Stufe siehe eine Note von P<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i in den <i>Lincei + Rend.</i> 1887.</p> + + <p><a name="Nt441" href="#NtA441">[441]</a> Betreffend andere + bibliographische Einzelheiten über diesen Zweig der Geometrie vgl. man + den Artikel von P<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>v<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n, der in dem <i>Bull. Sciences math.</i> 3 + veröffentlicht ist, sowie einen von mir selbst in der <i>Bibliotheca + mathematica</i> II, 2 (1888), S. 39, 67 veröffentlichten Artikel + <i>Notizie storiche sulla geometria numerativa</i>.</p> + + <p><a name="Nt442" href="#NtA442">[442]</a> <i>Comptes rendus</i> 67.</p> + + <p><a name="Nt443" href="#NtA443">[443]</a> <i>Math. Ann.</i> 6.</p> + + <p><a name="Nt444" href="#NtA444">[444]</a> <i>Vorlesungen über + Geometrie</i> von A. C<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h (herausgegeben von L<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>n) (Leipzig, 1876) S. + 399.</p> + + <p><a name="Nt445" href="#NtA445">[445]</a> <i>Göttinger Nachr.</i> + 1876.</p> + + <p><a name="Nt446" href="#NtA446">[446]</a> <i>Comptes rendus</i>, 1876; + <i>Journ. Éc. polyt.</i> 45; <i>Proc. math. Soc.</i> 9, 10; <i>Math. + Ann.</i> 15.</p> + + <p><a name="Nt447" href="#NtA447">[447]</a> <i>Journ. Éc. polyt.</i> + 45.</p> + + <p><a name="Nt448" href="#NtA448">[448]</a> Auch von dem Satze, den + C<span class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>a ausgesprochen hat + (<i>Annali di Matem.</i> I, 6 und <i>Giorn. di Matem.</i> 3) über die + doppelt unendlichen Systeme von Kegelschnitten, als Erweiterung des + Satzes von C<span class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s, kann man eine Anwendung + machen, worüber man das einsehen möge, was d<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l P<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>z<span + class="gsp"> </span>z<span class="gsp"> </span>o in seiner interessanten + Abhandlung <i>Sui sistemi di coniche</i> (<i>Napoli Rend.</i> 1884) + auseinandergesetzt hat, und neuere Beobachtungen von S<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>y (<i>Math. Ann.</i> + 27).</p> + + <p><a name="Nt449" href="#NtA449">[449]</a> <i>Mém. prés.</i> 1, + 1806.</p> + + <p><a name="Nt450" href="#NtA450">[450]</a> das. (ältere Serie) 10, 1785, + und die schon zitierte <i>Application</i>.</p> + + <p><a name="Nt451" href="#NtA451">[451]</a> <i>Mém. prés.</i> 9, + 1781.</p> + + <p><a name="Nt452" href="#NtA452">[452]</a> <i>Journ. Éc. polyt.</i> + 30.</p> + + <p><a name="Nt453" href="#NtA453">[453]</a> <i>Liouvilles Journ.</i> + 17.</p> + + <p><a name="Nt454" href="#NtA454">[454]</a> das. 16.</p> + + <p><a name="Nt455" href="#NtA455">[455]</a> Man sehe die Noten zur + <i>Application de l'Analyse à la Géométrie</i>, 5. Aufl. und + <i>Liouvilles Journ.</i> 17.</p> + + <p><a name="Nt456" href="#NtA456">[456]</a> <i>Liouvilles Journ.</i> 15, + 16.</p> + + <p><a name="Nt457" href="#NtA457">[457]</a> das. 7.</p> + + <p><a name="Nt458" href="#NtA458">[458]</a> <i>Forhandlingar i + Videnskab-Selskabet i Christiania</i>, 1882.</p> + + <p><a name="Nt459" href="#NtA459">[459]</a> Eingehenderes findet man in + der Note 65 der <i>Analytischen Geometrie des Raumes</i> von G. S<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n, deutsch bearbeitet von W. F<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r, 3. Aufl. 1880, II. Teil + S. 37. — In Bezug auf eine synthetische Darstellung der + Differentialgeometrie der Raumkurven sehe man S<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>l, <i>Allgemeine Theorie der Kurven doppelter + Krümmung in rein geometrischer Darstellung</i> (Leipzig, 1859), und + P<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>l S<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>t, <i>Théorie nouvelle + géométrique et mécanique des courbes à double courbure</i> (Paris, + 1860).</p> + + <p><a name="Nt460" href="#NtA460">[460]</a> Vgl. M<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>s, <i>Aufgaben und Lehrsätze aus der analytischen + Geometrie des Raumes,</i> 1837, S. 160.</p> + + <p><a name="Nt461" href="#NtA461">[461]</a> Die Existenz zweier + Raumkurven vierter Ordnung wurde zuerst durch S<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n im Jahre 1850 (<i>Cambridge Journ.</i> 5) und + darauf von S<span class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r (<i>Journ. für Math.</i> + 53) bekannt gemacht.</p> + + <p><a name="Nt462" href="#NtA462">[462]</a> Auf der kubischen Fläche + treten schon von der sechsten Ordnung ab gegen die Geraden der Fläche + verschiedenartig sich verhaltende Kurven derselben Ordnung auf, die in + der Zahl der scheinbaren Doppelpunkte übereinstimmen. Vgl. S<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>m, <i>Math. Ann.</i> + 21.</p> + + <p><a name="Nt463" href="#NtA463">[463]</a> <i>Liouvilles Journ.</i> 10, + oder <i>Cambridge Journ.</i> 5. Dieser Abhandlung folgte eine, die von + S<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n in demselben Bande des <i>Cambr. Journ.</i> + veröffentlicht wurde, und zu ihrer Ergänzung wiederum dient eine von + Z<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n, die in den <i>Annali di + Matem.</i> II, 3 abgedruckt ist. — An sie schließen sich ferner die + Schriften, welche C<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y (<i>Phil. Trans.</i> + 153), P<span class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>q<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t (<i>Comptes rendus</i> 77 und <i>Bull. Soc. + math.</i> 1), und G<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r (<i>Collectanea + mathematica in memoriam D. Chelini</i>, Mailand, 1881) geschrieben haben + über die Geraden, welche eine Raumkurve eine gewisse Anzahl Male + schneiden.</p> + + <p><a name="Nt464" href="#NtA464">[464]</a> <i>Comptes rendus</i> 54 und + 58. Mit dieser Abhandlung vergleiche man die Dissertation von E<span + class="gsp"> </span>d. W<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>r, <i>Über algebraische + Raumkurven</i> (Göttingen, 1873) und andere Schriften desselben + Verfassers (<i>Comptes rendus</i> 76, <i>Wiener Ber.</i> 69). Den + zitierten Abhandlungen von C<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y müßte ich noch eine + dritte hinzufügen (<i>Quart. Journ.</i> 3), in welcher der Autor sich die + Aufgabe gestellt hat, eine Kurve als Komplex ihrer Sekanten (im Sinne + Plückers) zu betrachten und sie daher mittelst einer einzigen Gleichung + zwischen den Koordinaten einer Geraden im Raume darzustellen, aber ich + kann davon absehen, da die Fruchtbarkeit einer solchen Betrachtung noch + nicht dargethan ist.</p> + + <p><a name="Nt465" href="#NtA465">[465]</a> H<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n, <i>Mémoire sur la + classification des courbes gauches algébriques</i> (<i>Journ. Éc. + polyt.</i> 52). Man sehe auch desselben Autors Abhandlung <i>Sur les + singularités des courbes gauches algébriques</i> (<i>Bull. Soc. math.</i> + 9). — N<span class="gsp"> </span>ö<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r, <i>Zur Grundlegung der Theorie der algebraischen + Raumkurven</i> (<i>Berliner Abh.</i> 1883, <i>Journ. für Math.</i> + 93).</p> + + <p><a name="Nt466" href="#NtA466">[466]</a> <i>Comptes rendus</i> 70; + <i>Bull. Soc. math.</i> 1 und 2.</p> + + <p><a name="Nt467" href="#NtA467">[467]</a> <i>Math. Ann.</i> 7.</p> + + <p><a name="Nt468" href="#NtA468">[468]</a> <i>Math. Ann.</i> 6. Ein + anderer Beweis desselben Satzes wurde von H<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n gegeben, <i>Bull. Soc. + math.</i> 5.</p> + + <p><a name="Nt469" href="#NtA469">[469]</a> Die Gerechtigkeit verlangt, + daß ich auch noch eine sehr schöne Arbeit von V<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r anführe: <i>Bidrag til Rumcurvener Theori</i> + (Kopenhagen, 1881) (vgl. auch <i>Tidsskrift for Math.</i> IV, 5 und + <i>Acta math.</i> 2), die fast zu gleicher Zeit mit denen von H<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n und N<span + class="gsp"> </span>ö<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r erschienen ist und mit diesen in den Methoden und + den Resultaten bemerkenswerte Berührungspunkte hat. — Ich will in + dieser Note auch noch, da ich es im Texte nicht thun konnte, einen Satz + von C<span class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>a anführen (von D<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>o in den <i>Napoli Rend.</i> 1879 bewiesen) und + einige von S<span class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>m (<i>Report of the + British Association</i>, 1881; <i>Math. Ann.</i> 19), welche + bemerkenswerte allgemeine Eigenschaften der Raumkurven ausdrücken, sowie + an die Untersuchungen von C<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y, P<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>q<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t und G<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r über eine Raumkurve + mehrmals schneidende Geraden erinnern, von denen in der Note <a + href="#Nt463">463</a> gesprochen wurde. Erwähnenswert ist auch die (von + H<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>ß<span + class="gsp"> </span>f<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>d in der <i>Zeitschr. f. + Math.</i> 29 gefundene) Thatsache, daß die Rückkehrkurve der zweien + Oberflächen umbeschriebenen abwickelbaren Fläche nicht der vollständige + Schnitt zweier Oberflächen ist.</p> + + <p></p> + + <div class="poem"> + <div class="stanza"> + <span class="unpoem"><a name="Nt470" href="#NtA470">[470]</a></span> + <p>»Von anderen wird es löblich sein zu schweigen,</p> + <p>Weil allzukurz die Zeit für die Erzählung.«</p> + <p>— D<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s Göttliche Komödie; <i>Die Hölle</i>, 15. Gesang, Vers 104-105.</p> + </div> + </div> + + <p><a name="Nt471" href="#NtA471">[471]</a> <i>Der barycentrische + Calcül</i> (Leipzig, 1827).</p> + + <p><a name="Nt472" href="#NtA472">[472]</a> <i>Aperçu historique,</i> + Note 33; <i>Liouvilles Journ.</i> 19 (1854).</p> + + <p><a name="Nt473" href="#NtA473">[473]</a> <i>Beiträge zur Geometrie der + Lage</i>, 3. Heft (Nürnberg, 1860).</p> + + <p><a name="Nt474" href="#NtA474">[474]</a> <i>Grunerts Arch.</i> 10.</p> + + <p><a name="Nt475" href="#NtA475">[475]</a> <i>Journ. für Math.</i> + 56.</p> + + <p><a name="Nt476" href="#NtA476">[476]</a> <i>Journ. für Math.</i> 58, + 60, 63; <i>Nouv. Ann.</i> II, 1; <i>Annali di Matem.</i> I, 1, 2, 5; + <i>Lombardo Rend.</i> II, 12.</p> + + <p><a name="Nt477" href="#NtA477">[477]</a> <i>Journ. für Math.</i> 56; + <i>Theorie der Oberflächen zweiter Ordnung und der Raumkurven dritter + Ordnung</i> (Leipzig, 1880); <i>Math. Ann.</i> 25. Vgl. auch eine Note + von mir in den <i>Napoli Rend.</i>, 1885.</p> + + <p><a name="Nt478" href="#NtA478">[478]</a> <i>Zeitschr. für Math.</i>, + 1868; <i>Geometrie der Lage</i>.</p> + + <p><a name="Nt479" href="#NtA479">[479]</a> <i>Lombardo Rend.</i> + 1871.</p> + + <p><a name="Nt480" href="#NtA480">[480]</a> <i>Journ. für Math.</i> 79, + 80; <i>Annali di Matem.</i> II, 3.</p> + + <p><a name="Nt481" href="#NtA481">[481]</a> <i>Math. Ann.</i> 20 und + 30.</p> + + <p><a name="Nt482" href="#NtA482">[482]</a> <i>Torino Mem.</i> II, 32 und + <i>Collectanea mathematica</i>. An diese Abhandlungen schließt sich eine + von G<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>i, <i>Sui sistemi di cubiche gobbe o di sviluppabili + di III. classe stabiliti col mezzo di due cubiche punteggiate + projettivamente</i> (<i>Torino Mem.</i> II, 32).</p> + + <p><a name="Nt483" href="#NtA483">[483]</a> <i>Giorn. di Matem.</i> 17 + (1879). Betreffend die ausgearteten Formen der kubischen Raumkurve sehe + man eine Note von S<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>t (<i>Math. Ann.</i> 15). + Die Theorie der kubischen Raumkurven führt zu einer interessanten + geometrischen Darstellung der Theorie der binären algebraischen Formen, + die von L<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e (<i>L'Institut</i> 40), von S<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>m (<i>Journ. f. Math.</i> + 86) und von A<span class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>l (<i>Ann. Éc. norm.</i> II, 5) bearbeitet wurde. + Vgl. auch eine Note von J. T<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>y (<i>Bull. sciences math.</i> 11). Ferner sehe man + in bezug hierauf die Note von W. R. W. R<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>s (<i>Proc. math. Soc.</i> 13) und das Buch von + F<span class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>z M<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r, <i>Apolarität und + rationale Kurven</i> (Tübingen, 1883). Eine gute Darlegung der Theorie + der Raumkurven dritter Ordnung hat auch v<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n D<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h geliefert in der Schrift <i>Einleitung in die + Theorie der kubischen Kegelschnitte</i> (Leipzig, 1867), infolge deren + B<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>i interessante <i>Annotazioni</i> geschrieben hat + (<i>Lombardo Rend.</i> II, 1).</p> + + <p><a name="Nt484" href="#NtA484">[484]</a> <i>Comptes rendus</i> 53 + (1861).</p> + + <p><a name="Nt485" href="#NtA485">[485]</a> <i>Annali di matem.</i> 4. + — Die Note von S<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>y, <i>On the number of intersections of curves traced + on a scroll of any order</i> (<i>Johns Hopkins Baltimore University + Circulars</i> 2, 1883) enthält eine Verallgemeinerung eines sehr + wichtigen Theoremes von C<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>s.</p> + + <p><a name="Nt486" href="#NtA486">[486]</a> P<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t machte im Jahre 1822 die bemerkenswerte Entdeckung, + daß durch jede Raumkurve vierter Ordnung erster Art vier Kegel zweiten + Grades hindurchgehen. (S. <i>Traité des proprietés projectives</i> I, S. + 385, 2. Aufl.)</p> + + <p><a name="Nt487" href="#NtA487">[487]</a> <i>Comptes rendus</i> 54, + 55.</p> + + <p><a name="Nt488" href="#NtA488">[488]</a> <i>Comptes rendus</i> 54; + <i>Bologna Mem.</i> 1861; <i>Lombardo rend.</i> II, 1.</p> + + <p><a name="Nt489" href="#NtA489">[489]</a> <i>Annali di Matem.</i> II, + 2.</p> + + <p><a name="Nt490" href="#NtA490">[490]</a> <i>Géometrie de direction</i> + (Paris, 1869); <i>Comptes rendus</i> 82.</p> + + <p><a name="Nt491" href="#NtA491">[491]</a> <i>Liouvilles Journ.</i> II, + 15.</p> + + <p><a name="Nt492" href="#NtA492">[492]</a> <i>Journ. für Math.</i> 97. + — Eine bemerkenswerte spezielle Raumkurve vierter Ordnung erster + Art hat S<span class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>ö<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r untersucht: <i>Journ. für Math.</i> 93.</p> + + <p><a name="Nt493" href="#NtA493">[493]</a> <i>Math. Ann.</i> 12, 13.</p> + + <p><a name="Nt494" href="#NtA494">[494]</a> <i>Zeitschr. f. Math.</i> + 28.</p> + + <p><a name="Nt495" href="#NtA495">[495]</a> <i>Math. Ann.</i> 13. Vgl. + C<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y (das. 25).</p> + + <p><a name="Nt496" href="#NtA496">[496]</a> <i>Comptes rendus</i> 82.</p> + + <p><a name="Nt497" href="#NtA497">[497]</a> <i>Annali di Matem.</i> I, + 4.</p> + + <p><a name="Nt498" href="#NtA498">[498]</a> <i>Giorn. di Matem.</i> 11, + 12.</p> + + <p><a name="Nt499" href="#NtA499">[499]</a> <i>Lombardo rend.</i> + 1872.</p> + + <p><a name="Nt500" href="#NtA500">[500]</a> <i>Wiener Ber.</i> 1871. Über + die rationalen Kurven vierter Ordnung sehe man auch S<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>y (<i>Leipziger + Sitzungsber.</i> 1886), die <i>Habilitationsschrift</i> von J<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>s (Aachen, 1886) und die Abhandlung von R<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>s (<i>Proc. math. Soc.</i> + 14). — Unter den rationalen Kurven vierter Ordnung ist eine sehr + bemerkenswerte diejenige, welche zwei stationäre Tangenten hat. Die + eleganten Eigenschaften, welche dieselbe besitzt, wurden von C<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>a (<i>Lombardo Rend.</i> + 1868), E<span class="gsp"> </span>m. W<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>r (das. 1871) und A<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>l (<i>Comptes rendus</i> 83) entdeckt.</p> + + <p><a name="Nt501" href="#NtA501">[501]</a> <i>Comptes rendus</i> 70.</p> + + <p><a name="Nt502" href="#NtA502">[502]</a> <i>Vierteljahrsschrift der + naturf. Ges. in Zürich</i> 20.</p> + + <p><a name="Nt503" href="#NtA503">[503]</a> Außer den zitierten + <i>Synthetischen Untersuchungen</i> sehe man <i>Journ. für Math.</i> 88 + und <i>Math. Ann.</i> 21.</p> + + <p><a name="Nt504" href="#NtA504">[504]</a> S. K<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>ö<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>f<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r und B<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>l, <i>Math. Ann.</i> 3; S<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l, <i>Comptes rendus</i> 80; G<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>y, <i>Bull. Soc. math.</i> + 9.</p> + + <p><a name="Nt505" href="#NtA505">[505]</a> Siehe unter anderem die + Bemerkung von B<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>m, <i>On the extension of + certain theories relating to plane cubics to curves of any deficiency</i> + (<i>Proc. math. Soc.</i> 13).</p> + + <p><a name="Nt506" href="#NtA506">[506]</a> <i>Collectanea + mathematica</i>.</p> + + <p><a name="Nt507" href="#NtA507">[507]</a> <i>Journ. für Math.</i> + 99.</p> + + <p><a name="Nt508" href="#NtA508">[508]</a> C<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s, <i>Aperçu + historique</i>, 2. Aufl., S. 269; in der deutschen Übersetzung von S<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>k<span class="gsp"> </span>e, S. 267.</p> + + <p><a name="Nt509" href="#NtA509">[509]</a> Diese Konstruktion, die von + den Deutschen »Steinersche Projektion« genannt wird, wurde im Jahre 1865 + von neuem von T<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n (1806-1876) gefunden, der ihr den Namen + »<i>projection gauche</i>« gab (<i>Nouv. Ann.</i> II, 4 und 5).</p> + + <p><a name="Nt510" href="#NtA510">[510]</a> <i>Traité des propriétés + projectives</i> (1. Aufl. 1822, S. 198).</p> + + <p><a name="Nt511" href="#NtA511">[511]</a> <i>Journ. für Math.</i> + 5.</p> + + <p><a name="Nt512" href="#NtA512">[512]</a> <i>Journ. für Math.</i> 8, + und <i>Aufgaben und Lehrsätze aus der analytischen Geometrie der + Ebene</i>, 1833.</p> + + <p><a name="Nt513" href="#NtA513">[513]</a> <i>Torino Mem.</i> 1862.</p> + + <p><a name="Nt514" href="#NtA514">[514]</a> <i>Grunerts Arch.</i> 7.</p> + + <p><a name="Nt515" href="#NtA515">[515]</a> <i>Zeitschr. f. Math.</i> + 11.</p> + + <p><a name="Nt516" href="#NtA516">[516]</a> <i>Liouvilles Journ</i>. 10, + 12. Vorher hatten schon G. B<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>v<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>s (<i>Nuovi Saggi dell' + Accademia di Padova</i> 4 (1836) und S<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>s (<i>Phil. Mag.</i> 23, + 1843) sich mit dieser Korrespondenz beschäftigt. Man sehe auch S<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>s Aufsatz aus dem Jahre 1826: <i>Einige geometrische + Betrachtungen</i> (<i>Journ. für Math.</i> 1; <i>Gesammelte Werke</i> Bd. + I, S. 19) Nr. 20.</p> + + <p><a name="Nt517" href="#NtA517">[517]</a> Auf den Begriff der Inversion + ist von J<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n (Analyst 4) eine neue + Einteilung der ebenen Kurven gegründet worden. In derselben bedeutet der + Name »Kreisgrad« einer Kurve den Grad ihrer Gleichung (in rechtwinkligen + cartesischen Koordinaten) in <i>x</i>, <i>y</i>, <i>r</i> = + <i>x</i><sup>2</sup> + <i>y</i><sup>2</sup>; der Kreisgrad einer Kurve + wird durch die Inversion nicht verändert. Zwei Kurven, welche denselben + Grad haben, gehören zu derselben Kategorie. Diese Einteilung scheint + jedoch nicht von großer Wichtigkeit zu sein.</p> + + <p><a name="Nt518" href="#NtA518">[518]</a> <i>Sammlung von Aufgaben und + Lehrsätzen aus der analytischen Geometrie der Ebene</i>, 1833.</p> + + <p><a name="Nt519" href="#NtA519">[519]</a> In den Jahren 1859 und 1860 + studierte J<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>q<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>è<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>s die (nach seinem Namen benannte) Transformation + <i>n</i><sup>ter</sup> Ordnung, bei welcher jeder Geraden eine Kurve + <i>n</i><sup>ter</sup> Ordnung mit einem (<i>n</i> - 1)-fachen Punkte + entspricht. Einige seiner Resultate wurden im Jahre 1864 in den <i>Nouv. + Ann.</i> veröffentlicht, aber das vollständige Werk, welches er dieser + Transformation widmete, erschien erst 1885 und zwar durch G<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>a (s. <i>Giorn. di Matem.</i> 23) herausgegeben. Wir + bemerken auch, daß schon 1834 M<span class="gsp"> </span>ö<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>s (<i>Journ. für Math.</i> + 12; <i>Gesammelte Werke,</i> 1) die eindeutige Korrespondenz zwischen + zwei Ebenen, bei denen die Flächeninhalte entsprechender Figuren in einem + konstanten Verhältnisse stehen, studiert hat. Die Untersuchungen sind + jedoch von ganz anderer Art als die im Texte betrachteten.</p> + + <p><a name="Nt520" href="#NtA520">[520]</a> <i>Bologna Mem.</i> 2, 5 + (1863 und 1865); <i>Giorn. di Matem.</i> 1 und 3; vgl. auch D<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>w<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>f<span class="gsp"> </span>s Bearbeitung im <i>Bull. + sciences math.</i> 5.</p> + + <p><a name="Nt521" href="#NtA521">[521]</a> <i>Proc. math. Soc.</i> + 3.</p> + + <p><a name="Nt522" href="#NtA522">[522]</a> <i>Math. Ann.</i> 4.</p> + + <p><a name="Nt523" href="#NtA523">[523]</a> <i>Math. Ann.</i> 3, 5.</p> + + <p><a name="Nt524" href="#NtA524">[524]</a> <i>Journ. für Math.</i> + 73.</p> + + <p><a name="Nt525" href="#NtA525">[525]</a> <i>Proc. math. Soc.</i> + 4.</p> + + <p><a name="Nt526" href="#NtA526">[526]</a> Hier will ich einen wichtigen + Lehrsatz berühren, der gleichzeitig von C<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>f<span + class="gsp"> </span>f<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>d (<i>Proc. math. Soc.</i> + 3), N<span class="gsp"> </span>ö<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r (<i>Göttinger Nachr.</i> 1870; <i>Math. Ann.</i> 3) + und R<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s (<i>Journ. für Math.</i> + 73) erhalten wurde, und für einen Augenblick die Wichtigkeit der C<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>schen Transformation aufzuheben schien: »Jede + eindeutige Transformation von höherer als erster Ordnung kann man durch + Wiederholung von quadratischen Transformationen erhalten.« Dieser Satz + ist offenbar die Umkehrung desjenigen von M<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>s, der vorhin im Texte angeführt wurde.</p> + + <p><a name="Nt527" href="#NtA527">[527]</a> <i>Bologna Mem.</i> + 1877-1878.</p> + + <p><a name="Nt528" href="#NtA528">[528]</a> <i>Comptes rendus</i>, 1885; + <i>Giorn. di Matem.</i> 24.</p> + + <p><a name="Nt529" href="#NtA529">[529]</a> <i>Annali di Matem.</i> II, + 10.</p> + + <p><a name="Nt530" href="#NtA530">[530]</a> <i>Comptes rendus</i>, 1885; + <i>Rendic. del Circolo Matematico di Palermo</i> 1.</p> + + <p><a name="Nt531" href="#NtA531">[531]</a> Man sehe die in den + <i>Comptes rendus</i>, 1883, 1884, 1885, 1886 und in <i>Liouvilles + Journ.</i> 1885, 1886, 1887 veröffentlichten Abhandlungen.</p> + + <p><a name="Nt532" href="#NtA532">[532]</a> <i>Annali di Matem</i>. 7, + ferner <i>Giorn. di Matem</i>. 4.</p> + + <p><a name="Nt533" href="#NtA533">[533]</a> <i>Proc. math. Soc.</i> + 2.</p> + + <p><a name="Nt534" href="#NtA534">[534]</a> <i>Math. Ann.</i> 26.</p> + + <p><a name="Nt535" href="#NtA535">[535]</a> <i>Bull. sciences math.</i> + II, 6 und 7.</p> + + <p><a name="Nt536" href="#NtA536">[536]</a> Meistenteils wurden die + geometrischen Transformationen auf das Studium der algebraischen Kurven + angewandt; jedoch fehlt es nicht an Schriften, welche sich mit der + Transformation transcendenter Kurven in andere oder in sich selbst + befassen: z. B. M<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>s, <i>Sammlung von + Aufgaben und Lehrsätzen aus der analytischen Geometrie der Ebene</i>, + 1833, S. 320, 455, 457-459, 497; K<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n und L<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>e, <i>Math. Ann.</i> 4.</p> + + <p><a name="Nt537" href="#NtA537">[537]</a> <i>Annali di Matem.</i> II, + 8; <i>Lombardo Rend.</i> 1883. Vgl. auch G<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r, <i>Journ. für Math.</i> 67.</p> + + <p><a name="Nt538" href="#NtA538">[538]</a> <i>Napoli Rend.</i>, + 1879.</p> + + <p><a name="Nt539" href="#NtA539">[539]</a> Die neueste Form, welche die + B<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>schen Untersuchungen infolge dessen angenommen, + machte es meinem Freunde M<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>i leichter, auf dem von + diesem Gelehrten vorgezeichneten Wege weiter zu schreiten und die ebenen + involutorischen Transformationen dritter und vierter Klasse zu bestimmen + (<i>Annali di Matem.</i> II, 12, 13). Die Theorie der ebenen + Transformationen wird sich binnen kurzem durch die wichtige Arbeit von + K<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>r bereichern, welche von der Akademie zu Neapel + gekrönt worden ist und jetzt gedruckt wird. Einzelne Resultate finden + sich in den <i>Wiener Ber.</i> 1880 ausgesprochen, sowie in den <i>Wiener + Denkschriften</i> 46.</p> + + <p>S<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l verdanken wir die Idee einer speziellen + involutorischen Transformation dritten Grades, die er schon 1872 unter + dem Namen »<i>Transformation arguesienne</i>« nach D<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s benannt (s. die + <i>Mémoires de l'Académie de Belgique</i> 12, <i>Bulletin de l'Académie + de Belgique</i> II, 24), studiert hat. Man stellt dieselbe auf folgende + Weise her: Gegeben sind in einer festen Ebene <span + class="grk">Π</span> zwei Kegelschnitte <span + class="grk">Γ</span><sub>1</sub> und <span + class="grk">Γ</span><sub>2</sub> und ein fester Punkt <i>O</i>; man + läßt entsprechen einem Punkte <i>P</i> von <span class="grk">Π</span> + seinen konjugierten in der Involution, die auf der Geraden <i>OP</i> + bestimmt wird durch den Kegelschnittbüschel, den <span + class="grk">Γ</span><sub>1</sub>, und <span + class="grk">Γ</span><sub>2</sub> konstituieren. Es sind fundamental + der Punkt <i>O</i> und die Grundpunkte dieses Büschels. — Wenn jene + beiden Kegelschnitte <span class="grk">Γ</span><sub>1</sub> und + <span class="grk">Γ</span><sub>2</sub> zusammenfallen, so reduziert + sich diese Transformation offenbar auf die quadratische Inversion von + H<span class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>t. — Im Raume hat + man eine ähnliche Transformation. — Eine andere Transformation + (»<i>transformation hyperarguesienne</i>«) wurde von demselben Verfasser + als Erweiterung der vorhergehenden eingeführt (<i>Bulletin de l'Académie + de Belgique</i> II, 12) und wird auf folgende Weise hergestellt: Gegeben + in einer Ebene <span class="grk">Π</span> drei Kegelschnitte <span + class="grk">Γ</span><sub>1</sub>, <span + class="grk">Γ</span><sub>2</sub>, <span + class="grk">Γ</span><sub>3</sub> und ein fester Punkt <i>O</i>. Man + läßt einem Punkte <i>P</i> von <span class="grk">Π</span> seinen + homologen entsprechen in der Projektivität, die bestimmt ist auf + <i>OP</i> von den drei Paaren von Punkten, in welchen diese Gerade von + den drei Kegelschnitten getroffen wird; jedoch ist diese Korrespondenz + offenbar nicht birational. — Die erste der S<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>schen Transformationen + kann zur Lösung von Problemen aus der Theorie der Charakteristiken für + die Kurven höherer als zweiter Ordnung dienen (<i>Bull. Soc. Math.</i> + 2).</p> + + <p><a name="Nt540" href="#NtA540">[540]</a> <i>Bull. Soc. math.</i> 8; + <i>Comptes rendus</i> 94; <i>Nouv. Ann.</i> III, 1, 2. Diese + Transformation kann man, wie L<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e selbst bemerkte, auf den + Raum ausdehnen (<i>Comptes rendus</i> 92), jedoch ist die Art der + Korrespondenz, die man erhält, keine neue; sie ist nach einer Bemerkung + von S<span class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>s (<i>Comptes rendus</i> + 92) dieselbe, vermittelst derer L<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>e die Geometrie der Geraden mit der der Kugel + verknüpfte (<i>Math. Ann.</i> 5).</p> + + <p><a name="Nt541" href="#NtA541">[541]</a> Die verschiedenen + Abhandlungen von M<span class="gsp"> </span>ö<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>s über diese Theorie + finden sich vereint im II. Bande seiner <i>Gesammelten Werke</i> + (Leipzig, 1886).</p> + + <p><a name="Nt542" href="#NtA542">[542]</a> <i>Journ. für Math.</i> 55, + 57, 59; <i>Grunerts Arch.</i> 33.</p> + + <p><a name="Nt543" href="#NtA543">[543]</a> <i>Grunerts Arch.</i> 42.</p> + + <p><a name="Nt544" href="#NtA544">[544]</a> <i>Bologna Mem.</i> 1870.</p> + + <p><a name="Nt545" href="#NtA545">[545]</a> <i>Journ. für Math.</i> + 69.</p> + + <p><a name="Nt546" href="#NtA546">[546]</a> Des Näheren siehe die + Abhandlung: <i>Géometrie des polynomes</i> (<i>Journ. Éc. polyt.</i> + 28).</p> + + <p><a name="Nt547" href="#NtA547">[547]</a> <i>Beiträge zur geometrischen + Interpretation binärer Formen</i> (Erlangen, 1875); vgl. <i>Math. + Ann.</i> 9; <i>Studien im binären Wertgebiete</i> (Karlsruhe, 1876); + <i>Math. Ann.</i> 17; <i>Erlanger Berichte</i>, 1875.</p> + + <p><a name="Nt548" href="#NtA548">[548]</a> Siehe das Werk: <i>Einführung + in die Theorie der isogonalen Verwandtschaften</i> (Leipzig, 1883).</p> + + <p><a name="Nt549" href="#NtA549">[549]</a> Zwischen drei geometrischen + Gebilden kann man eine Korrespondenz aufstellen, so daß einem Paare von + Elementen, das eine genommen in dem einen, das andere in einem zweiten, + eindeutig ein solches im dritten Gebilde entspricht. Wenn unter + Festhaltung eines Elementes die anderen beiden projektive Systeme + beschreiben, so nennt man die Korrespondenz trilinear, und diese wurde im + Falle der Gebilde erster Stufe von R<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>s (<i>Journ. für Math.</i> 1888) behandelt, sodann + von S<span class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>t (<i>Math. Ann.</i> 17 und <i>Mitteilungen der Math. + Ges. in Hamburg</i>, 1881) und in einem Spezialfalle von B<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>o K<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n (<i>Theorie der + trilinear-symmetrischen Elementargebilde</i>, Marburg, 1881); im Falle + der Gebilde zweiter Stufe von H<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>k (<i>Journ. für Math.</i> 90, 97, 98), welcher + einige Anwendungen derselben auf die darstellende Geometrie machte, die + von bemerkenswertem praktischen Nutzen zu sein scheinen.</p> + + <p>Fast gleichzeitig mit den Arbeiten von Schubert sind diejenigen, in + denen L<span class="gsp"> </span>e P<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>e mit Hilfe der Theorie der algebraischen Formen die + trilineare Korrespondenz untersuchte und auf die Geometrie anwandte; man + sehe die <i>Essais de Géométrie supérieure du troisième ordre</i> + (<i>Mém. de la Soc. des sciences de Liège</i> II, 10) und die Noten, + welche im <i>Bulletin de l'Académie de Belgique</i> III, 5 und in den + <i>Wiener Ber.</i> 1883 veröffentlicht sind. Derselbe Geometer + beschäftigte sich auch mit der quadrilinearen Beziehung (<i>Torino + Atti</i> 17, 1882) und machte von ihr Anwendung auf die kubischen Flächen + und gewisse Flächen vierter Ordnung (<i>Bulletin de l'Académie de + Belgique</i> III, 4; <i>Acta math.</i> 5).</p> + + <p>Wir unterlassen nicht, zu erwähnen, daß die duploprojektive Beziehung, + durch welche schon 1862 F. A<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>t die kubische Oberfläche + erzeugte (<i>Disquisitiones de superficiebus tertii ordinis, Berliner + Dissertation</i>), eine trilineare Beziehung ist.</p> + + <p><a name="Nt550" href="#NtA550">[550]</a> Wenn z. B. ein Dreieck + <i>ABC</i> gegeben ist, so sei <i>P</i> ein beliebiger Punkt seiner + Ebene. Es giebt nun einen Kegelschnitt <i>K</i>, welcher die Seiten des + Dreieckes in den Punkten (<i>PA</i>, <i>BC</i>), (<i>PB</i>, <i>CA</i>), + (<i>PC</i>, <i>AB</i>) berührt. Läßt man <i>K</i> dem <i>P</i> + entsprechen, so hat man eine Korrespondenz von der im Texte angegebenen + Art. Ähnlich erhält man eine duale Korrespondenz. Beide wurden von M<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>g in seiner Dissertation: <i>Über ein durch die Sätze + von Pascal und Brianchon vermitteltes geometrisches Beziehungssystem</i> + (Breslau, 1871) studiert. Weitere analoge Korrespondenzen kann man aus + der Beobachtung entnehmen, daß jeder Punkt der Ebene <i>ABC</i> der + Mittelpunkt eines Kegelschnittes ist, der dem Dreiecke <i>ABC</i> + eingeschrieben ist, eines ihm umgeschriebenen und eines solchen, für + welchen <i>ABC</i> ein Polardreieck ist. Ähnlich: Gegeben ein Tetraeder + <i>ABCD</i>; man kann jedem Punkte <i>P</i> des Raumes die Fläche zweiter + Ordnung zuordnen, für welche P das Zentrum ist und in bezug auf welche + <i>ABCD</i> ein Polartetraeder ist.</p> + + <p><a name="Nt551" href="#NtA551">[551]</a> <i>Math. Ann.</i> 6.</p> + + <p><a name="Nt552" href="#NtA552">[552]</a> Man sehe außerdem die + Arbeiten von G<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>t (<i>Göttinger Dissertation</i>, 1873), A<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e (<i>Lincei Atti</i>, + 1875), B<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>i (<i>Giorn. di Matem.</i> 19, 20), P<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>o (<i>Torino Atti</i> 16) + und von A<span class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>o (<i>Napoli Rend.</i> 1887). Die den Konnexen + analogen Figuren im Raume wurden von K<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>e behandelt (<i>Math. + Ann.</i> 14). Man sehe auch zwei Noten von L<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>z<span + class="gsp"> </span>z<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i, <i>Sulle reciprocità + birazionali nel piano e nello spazio</i> (<i>Lincei Rend.</i> 1886).</p> + + <p><a name="Nt553" href="#NtA553">[553]</a> <i>Gauss' Werke</i>, 4. Bd. + Eine italienische Übersetzung wurde von B<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>i in den <i>Annali di + Matem</i>. 4 veröffentlicht.</p> + + <p><a name="Nt554" href="#NtA554">[554]</a> Die Methoden, die + geographischen Karten zu konstruieren, gehören in die Anwendungen der + Geometrie und befinden sich deshalb nicht unter denjenigen, deren + Geschichte wir hier verzeichnen wollen. Wir verweisen daher den, der alle + diejenigen kennen lernen will, welche angewandt worden sind, auf die + Schriften von F<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>i, <i>Le projezioni delle carte geografiche</i> + (Bologna, 1881) und Z<span class="gsp"> </span>ö<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>z, <i>Leitfaden der + Kartenentwurfslehre</i> (Leipzig, 1884). Eine Ausnahme will ich nur + machen mit den Arbeiten von T<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>t (<i>Comptes rendus</i> + 49; vgl. auch D<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>i, <i>Memoria sopra alcuni + punti della teoria delle superficie</i> [Florenz, 1868]; <i>Journ. Éc. + polyt.</i> 37; <i>Nouv. Ann.</i> II, 17 flgg.), weil sie ein großes + Interesse auch vom Standpunkte der reinen Wissenschaft haben.</p> + + <p><a name="Nt555" href="#NtA555">[555]</a> Diese Abbildung, die man + heute die »sphärische« nennt, wurde vor G<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>ß von O. R<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s im Jahre 1815 angegeben; + jedoch hat dieser ihre ganze Fruchtbarkeit nicht so in das Licht gestellt + als der große deutsche Geometer.</p> + + <p><a name="Nt556" href="#NtA556">[556]</a> <i>Journ. für Math.</i> + 34.</p> + + <p><a name="Nt557" href="#NtA557">[557]</a> <i>Comptes rendus</i>, + 53.</p> + + <p><a name="Nt558" href="#NtA558">[558]</a> <i>Phil. Mag.</i> 1861.</p> + + <p><a name="Nt559" href="#NtA559">[559]</a> <i>Journ. für Math.</i> 68, + oder <i>Grundzüge einer allgemeinen Theorie der Oberflächen</i> (Berlin, + 1870), III. T.</p> + + <p><a name="Nt560" href="#NtA560">[560]</a> <i>Journ. für Math.</i> + 65.</p> + + <p><a name="Nt561" href="#NtA561">[561]</a> <i>Math. Ann.</i> 1.</p> + + <p><a name="Nt562" href="#NtA562">[562]</a> S. <i>Journ. für Math.</i>, + <i>Math. Ann.</i> und <i>Göttinger Nachr.</i> und <i>Abh.</i></p> + + <p><a name="Nt563" href="#NtA563">[563]</a> <i>Math. Ann.</i> 4; + <i>Annali di Matem.</i> II, 1; <i>Göttinger Nachr.</i> 1871 und viele + andere Abhandlungen, welche in den <i>Lombardo Rend.</i> und den + <i>Bologna Mem.</i> stehen. In der Abhandlung in den <i>Annali</i> + studierte C<span class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>a die Regelflächen + (<i>m</i> + <i>n</i>)<sup>ten</sup> Grades, welche eine <i>m</i>-fache + und eine <i>n</i>-fache Leitlinie haben, und fand, daß deren + asymptotische Kurven im allgemeinen algebraische Kurven von der Ordnung + 2(<i>m</i> + <i>n</i> - 1) sind. Eine Konstruktion dieser Kurven wurde + später von H<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n angegeben (<i>Bull. Soc. + math.</i> 5).</p> + + <p><a name="Nt564" href="#NtA564">[564]</a> <i>Math. Ann.</i> 3; vgl. + auch das. 21, dann ziehe man auch noch eine Abhandlung von B<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>l hinzu (<i>Math. Ann.</i> + 5).</p> + + <p><a name="Nt565" href="#NtA565">[565]</a> <i>Annali di Matem.</i> II, + 1.</p> + + <p><a name="Nt566" href="#NtA566">[566]</a> <i>Math. Ann.</i> 4.</p> + + <p><a name="Nt567" href="#NtA567">[567]</a> <i>Math. Ann.</i> 1.</p> + + <p><a name="Nt568" href="#NtA568">[568]</a> <i>Annali di Matem.</i> II, + 7.</p> + + <p><a name="Nt569" href="#NtA569">[569]</a> Z. B. sehe man D<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>x (<i>Bull. Soc. math.</i> + 2), F<span class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>m (<i>Math. Ann.</i> 7), + L<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>z<span + class="gsp"> </span>z<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i (<i>Annali della Scuola + nuova sup. di Pisa</i>, 6), G<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>a (<i>Association + française pour l'avancement des sciences, Congrès de Reims</i>, + 1880).</p> + + <p><a name="Nt570" href="#NtA570">[570]</a> Ein wichtiger Begriff, den + C<span class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h bei seinen Studien über + die Abbildung der Regelflächen aufstellte (<i>Math. Ann.</i> 5), ist der + des Typus einer Fläche. Zwei Flächen sind von demselben Typus, wenn bei + der Abbildung der einen auf die andere es keine Fundamentalpunkte giebt, + z. B, ist die römische Fläche von S<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r von demselben Typus mit der Ebene.</p> + + <p><a name="Nt571" href="#NtA571">[571]</a> S. die <i>Collectanea + mathematica in memoriam D. Chelini</i>.</p> + + <p><a name="Nt572" href="#NtA572">[572]</a> <i>Comptes rendus</i>, + 1868.</p> + + <p><a name="Nt573" href="#NtA573">[573]</a> <i>Math. Ann.</i> 3.</p> + + <p><a name="Nt574" href="#NtA574">[574]</a> <i>Annali di Matem.</i> II, + 5; <i>Göttinger Nachr.</i> 1871 und 1873.</p> + + <p><a name="Nt575" href="#NtA575">[575]</a> <i>Math. Ann.</i> 4, 9, + 10.</p> + + <p><a name="Nt576" href="#NtA576">[576]</a> Die Flächen vierter Ordnung, + von denen man die Abbildung auf eine Ebene kennt, sind die rationalen + Regelflächen, die römische Fläche, die Oberflächen mit einer + Doppelgeraden oder einem doppelten Kegelschnitte, die Monoide und eine + Oberfläche, die einen uniplanaren Doppelpunkt hat (s. eine Abhandlung von + N<span class="gsp"> </span>ö<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r in den <i>Göttinger Nachr.</i> 1871 und eine von + C<span class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>a in den <i>Collectanea + mathematica</i>). Wer die Abbildung einer Oberfläche auf einer anderen + studieren will, darf die schönen Untersuchungen von Z<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n (s. die vorige Note und + <i>Comptes rendus</i>, 1870) nicht übergehen und die darauf folgenden von + K<span class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y (<i>Math. Ann.</i> 18) und V<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>ß (<i>Math. Ann.</i> 27); + einen nicht geringen Nutzen kann er auch aus der von K<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>r (<i>Journ. für Math.</i> 95) aufgestellten + Korrespondenz ziehen, die zwischen den Punkten einer gewissen kubischen + Fläche und gewissen Tripeln von Punkten einer Ebene besteht.</p> + + <p><a name="Nt577" href="#NtA577">[577]</a> <i>Math. Ann.</i> 3.</p> + + <p><a name="Nt578" href="#NtA578">[578]</a> <i>Math. Ann.</i> 3.</p> + + <p><a name="Nt579" href="#NtA579">[579]</a> <i>Aperçu historique</i>, + Note 28.</p> + + <p><a name="Nt580" href="#NtA580">[580]</a> <i>Lincei Mem.</i> 1876, + 1877, 1878. Vgl. eine Note von N<span class="gsp"> </span>ö<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r in den <i>Erlanger + Sitzungsberichten</i>, 1878.</p> + + <p><a name="Nt581" href="#NtA581">[581]</a> <i>Aufgaben und Lehrsätze aus + der analyt. Geom. d. Raumes</i>, S. 403 flg.</p> + + <p><a name="Nt582" href="#NtA582">[582]</a> <i>Journ. für Math.</i> + 49.</p> + + <p><a name="Nt583" href="#NtA583">[583]</a> S. Note <a + href="#Nt563">563</a>. Vgl. auch S<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>m, <i>Math. Ann.</i> 19.</p> + + <p><a name="Nt584" href="#NtA584">[584]</a> <i>Proc. Math. Soc.</i> + 3.</p> + + <p><a name="Nt585" href="#NtA585">[585]</a> <i>Math. Ann.</i> 3.</p> + + <p><a name="Nt586" href="#NtA586">[586]</a> <i>Lombardo Rend.</i> 1871; + <i>Annali di Matem.</i> II, 5; <i>Bologna Mem.</i> 1871-1872. Man sehe + auch die neuesten Arbeiten desselben Geometers in den <i>Transactions of + Edinburgh</i> 32, II. Th. und in den <i>Irish Trans.</i> 28 und <i>Proc. + math. Soc.</i> 15.</p> + + <p><a name="Nt587" href="#NtA587">[587]</a> <i>Aufgaben und Lehrsätze aus + der analyt. Geom. des Raumes</i>, 1837, S. 417-418, Anmerkung.</p> + + <p><a name="Nt588" href="#NtA588">[588]</a> Unter diesen führe ich die + Abhandlung von d<span class="gsp"> </span>e P<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>s an: <i>Sopra un sistema omaloidico formato da + superficie d'ordine</i> n <i>con un punto</i> (<i>n</i> - + <i>1</i>)<i>-plo (Giorn. di Matem.</i> 13) die späteren über einige + spezielle involutorische Transformationen des Raumes von M<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>i (<i>Lombardo Rend.</i> 1885) und von P<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>s (<i>Lincei Trans.</i>, 1885). — Ich bemerke + hier, was ich im Texte nicht thun konnte, daß es möglich ist, das + Punktfeld auf einer Geraden abzubilden und den Punktraum auf einer Ebene. + Um erstere Abbildung auszuführen, kann man jedem Punkte der Ebene ein + Punktepaar der Geraden entsprechen lassen (Übertragungsprinzip von H<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>e, <i>Journ. für Math.</i> + 66). Bei der zweiten kann man einem Punkte des Raumes den Kreis zuordnen, + der den Fußpunkt des von jenem auf die darstellende Ebene gefällten Lotes + zum Mittelpunkt und zum Radius die Länge dieses Lotes hat, indem man + hinzufügt, daß dieser Kreis in dem e<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n Sinne durchlaufen wird, wenn der Punkt auf der + einen (bestimmten) Seite der Ebene liegt, im entgegengesetzten Sinne, + wenn auf der anderen. Die Gesetze dieser Korrespondenz wurden von F<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r vereinigt, um die + Cyklographie zu bilden (s. das Werk <i>Cyklographie</i>, Leipzig, 1883, + und die dritte Ausgabe der <i>Darstellenden Geometrie</i>) und wurden von + ihm zur Lösung einiger Probleme angewandt (s. einige <i>Mitteilungen</i> + für die naturforschende Gesellschaft in Zürich und <i>Acta math.</i> 5). + Vor ihm jedoch hatte schon C<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e verwandte Fragen in einer Dissertation behandelt, + die sich in der <i>Tidsskrift for Mathematik</i> 6 findet.</p> + + <p><a name="Nt589" href="#NtA589">[589]</a> C<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s, <i>Aperçu + historique</i>, 2. Ausg. S. 196.</p> + + <p><a name="Nt590" href="#NtA590">[590]</a> M<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>s, <i>Sammlung von Aufgaben und Lehrsätzen aus der + anal. Geom. der Ebene</i>, 1833, S. 188 und 198.</p> + + <p><a name="Nt591" href="#NtA591">[591]</a> V<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>ß, <i>Math. Ann.</i> 13; + S<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e, <i>Torino Mem.</i> II, + 37; S<span class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>m, <i>Math. Ann.</i> 26. + In diesen Abhandlungen wird der Leser auch die weiteren bibliographischen + Einzelheiten finden.</p> + + <p><a name="Nt592" href="#NtA592">[592]</a> S<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>m, a. a. O.; M<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>o, <i>Lincei Mem.</i> + 1886.</p> + + <p><a name="Nt593" href="#NtA593">[593]</a> L<span + class="gsp"> </span>ü<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>h, <i>Math. Ann.</i> 11, 13; S<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>ö<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r (das. 20); V<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>e, <i>Lincei Mem.</i> + 1881. S. auch einige der Abhandlungen, die sich in den <i>Gesammelten + Werken</i> von M<span class="gsp"> </span>ö<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>s 2 finden. Auch die + Arbeiten von R<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s führen wir hier an + (<i>Journ. für Math.</i> 88, 90, 95, 100), von S<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>m (<i>Math. Ann.</i> 1, 6, + 10, 12, 15, 19, 22, 28; <i>Proc. math. Soc.</i> 7), und von P<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h (<i>Math. Ann.</i> 23, + 26), die verwandte Gegenstände behandeln; dann noch die von S<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>s (<i>Math. Ann.</i> 23), + von H. W<span class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r (<i>Rein geometrische Theorie der Darstellung + binärer Formen durch Punktgruppen auf der Geraden</i>, Darmstadt, 1885), + von S<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e (<i>Torino Mem.</i> II, + 28 und <i>Journ. für Math.</i> 100), von S<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>a (<i>Lezioni di geometria projettiva</i>, in Neapel + im Drucke befindlich) über die Kollineationen und Korrelationen.</p> + + <p><a name="Nt594" href="#NtA594">[594]</a> <i>Math. Ann.</i> 3.</p> + + <p><a name="Nt595" href="#NtA595">[595]</a> <i>Giorn. di Matem.</i> + 10.</p> + + <p><a name="Nt596" href="#NtA596">[596]</a> Man sehe die beiden von ihm + 1884 zu Messina veröffentlichten Abhandlungen.</p> + + <p><a name="Nt597" href="#NtA597">[597]</a> <i>Lombardo Rend.</i> 1886; + <i>Lincei Rend.</i> 1885.</p> + + <p><a name="Nt598" href="#NtA598">[598]</a> <i>Die Geometrie der + Lage.</i></p> + + <p><a name="Nt599" href="#NtA599">[599]</a> <i>Giorn. di Matem.</i> + 21.</p> + + <p><a name="Nt600" href="#NtA600">[600]</a> <i>Lombardo Rend.</i> II, 14 + und 15.</p> + + <p><a name="Nt601" href="#NtA601">[601]</a> <i>Journ. für Math.</i> + 94.</p> + + <p><a name="Nt602" href="#NtA602">[602]</a> <i>Lincei Mem.</i> + 1884-1885.</p> + + <p><a name="Nt603" href="#NtA603">[603]</a> <i>Wiener Ber.</i> 1881; + <i>Journ. für Math.</i> 97.</p> + + <p><a name="Nt604" href="#NtA604">[604]</a> <i>Math. Ann.</i> 19 und + 28.</p> + + <p><a name="Nt605" href="#NtA605">[605]</a> <i>Math. Ann.</i> 23.</p> + + <p><a name="Nt606" href="#NtA606">[606]</a> <i>Journ. für Math.</i> 82, + in dem Aufsatze über reciproke Verwandtschaft von + <i>F<sup>2</sup></i>-Systemen und <span + class="grk">Φ</span><sup>2</sup>-Geweben.</p> + + <p><a name="Nt607" href="#NtA607">[607]</a> Über das gemeine Nullsystem + vergl. die Note <a href="#Nt610">610</a> des nächsten Abschnittes</p> + + <p><a name="Nt608" href="#NtA608">[608]</a> »Bis in die neueren Zeiten + stand die analytische Methode, wie sie C<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>s geschaffen, sozusagen nur auf einem Fuße. P<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>ü<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>k<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r kommt die Ehre zu, sie + auf zwei gleiche Stützen gestellt zu haben, indem er ein ergänzendes + Koordinatensystem einführte. Diese Entdeckung war daher unvermeidlich + geworden, nachdem einmal die Tiefblicke S<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>s dem Geiste der + Mathematiker zugeführt waren.« S<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>v<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r, <i>Phil. Mag</i>. III, 37, 1850, S. 363. Vgl. + <i>Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik</i> 2, S. 453.</p> + + <p><a name="Nt609" href="#NtA609">[609]</a> S. <i>Phil. Trans.</i>, 1865, + S. 725; 1866, S. 361.</p> + + <p><a name="Nt610" href="#NtA610">[610]</a> Es ist wohl zu beachten, daß + ein linearer Komplex ein reciprokes Nullsystem veranlaßt und daß dieses + zuerst von G<span class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>i (<i>Memorie della Società italiana delle + scienze</i> 20, 1827), dann aber auch von M<span + class="gsp"> </span>ö<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>s (<i>Lehrbuch der Statik</i> I; vgl. auch <i>Journ. + für Math.</i> 10, 1833) und von C<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>s (<i>Aperçu historique</i>, 1837) in ihren + statischen und kinematischen Untersuchungen und von demselben C<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s und S<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>t bei der Bestimmung der involutorischen reciproken + Beziehungen gefunden wurde.</p> + + <p><a name="Nt611" href="#NtA611">[611]</a> <i>Cambridge Trans.</i> 11, + Teil 2; <i>Quart. Journ.</i> 3.</p> + + <p><a name="Nt612" href="#NtA612">[612]</a> <i>Giorn. di Matem.</i> 6, 7, + 10, 18. Wenn auch B<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>i seinen Studien über die + quadratischen Komplexe eine Gleichung zu Grunde legte, die nicht den + allgemeinsten Komplex ihres Grades darstellt, so gelten doch viele von + den Schlüssen, die er gemacht hat, — man kann sagen alle, mit + Ausnahme derjenigen, welche sich auf die singuläre Fläche und die + singulären Strahlen des Komplexes beziehen — für allgemeine + Komplexe, indem sie unabhängig sind von der Gestalt dieser Gleichung. + Auch die von ihm aufgestellten Formeln passen sich mit leichten + Änderungen größtenteils dem allgemeinen Falle an.</p> + + <p><a name="Nt613" href="#NtA613">[613]</a> Leipzig, 1868-1869.</p> + + <p><a name="Nt614" href="#NtA614">[614]</a> S. dessen <i>Examen des + différentes méthodes</i> etc.</p> + + <p><a name="Nt615" href="#NtA615">[615]</a> <i>Math. Ann.</i> 2, 5, 7, + 22, 23 (darin der Wiederabdruck der 1868 in Bonn erschienenen + Dissertation: <i>Über die Transformation der allgemeinen Gleichung des + zweiten Grades zwischen Linienkoordinaten auf eine kanonische Form</i>), + 28. Außerdem enthalten viele Arbeiten von K<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n über Fragen der höheren + Algebra oder der höheren Analysis, die in den <i>Math. Ann.</i> und sonst + veröffentlicht sind, ziemlich oft Betrachtungen, welche der Geometrie der + Geraden angehören.</p> + + <p><a name="Nt616" href="#NtA616">[616]</a> <i>Torino Mem.</i> II, + 36.</p> + + <p><a name="Nt617" href="#NtA617">[617]</a> <i>Journ. für Math.</i> 75, + 76; <i>Habilitationsschrift</i> (Gießen, 1870).</p> + + <p><a name="Nt618" href="#NtA618">[618]</a> <i>Math. Ann.</i> 1.</p> + + <p><a name="Nt619" href="#NtA619">[619]</a> <i>Math. Ann.</i> 2.</p> + + <p><a name="Nt620" href="#NtA620">[620]</a> <i>Lincei Mem.</i> + 1884-1885.</p> + + <p><a name="Nt621" href="#NtA621">[621]</a> <i>Math. Ann.</i> 2, 5.</p> + + <p><a name="Nt622" href="#NtA622">[622]</a> <i>Math. Ann.</i> 7. Man kann + es nur beklagen, daß die in verschiedener Beziehung so ausgezeichnete + Arbeit von W<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r eine große Zahl von Ungenauigkeiten enthält.</p> + + <p><a name="Nt623" href="#NtA623">[623]</a> <i>Math. Ann.</i> 8, 9, 10, + 12, 13. S. auch S<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>t das. 12 und dessen + <i>Abzählende Geometrie</i>.</p> + + <p><a name="Nt624" href="#NtA624">[624]</a> <i>Comptes rendus</i> 74, + 75;<i> Bull. Soc. math.</i> 1.</p> + + <p><a name="Nt625" href="#NtA625">[625]</a> <i>Göttinger Nachr.</i> + 1869.</p> + + <p><a name="Nt626" href="#NtA626">[626]</a> <i>Göttinger Nachr.</i> + 1869.</p> + + <p><a name="Nt627" href="#NtA627">[627]</a> <i>Lincei Mem.</i> + 1877-1878.</p> + + <p><a name="Nt628" href="#NtA628">[628]</a> <i>Giorn. di Matem.</i> 8; + <i>Lombardo Rend.</i> II, 12, 13, 14.</p> + + <p><a name="Nt629" href="#NtA629">[629]</a> <i>Math. Ann.</i> 5. Vgl. + eine Abhandlung von C<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>a, gelesen vor der <i>Accademia dei Lincei</i> + (<i>Atti</i> II, 3).</p> + + <p><a name="Nt630" href="#NtA630">[630]</a> <i>Journ. für Math.</i> 98. + Vgl. auch 95 und 97.</p> + + <p><a name="Nt631" href="#NtA631">[631]</a> <i>Liouvilles Journ.</i> + 4.</p> + + <p><a name="Nt632" href="#NtA632">[632]</a> <i>Die Geometrie der + Lage</i>, 2. Abt. 2. Aufl., in der sich die von R<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>e in dem <i>Journ. für Math.</i> veröffentlichten + synthetischen Arbeiten über die Geometrie der Geraden vereinigt + finden.</p> + + <p><a name="Nt633" href="#NtA633">[633]</a> <i>Zeitschr. f. Math.</i> + 20.</p> + + <p><a name="Nt634" href="#NtA634">[634]</a> <i>Dissertation</i> (Berlin, + 1879) oder <i>Math. Ann.</i> 15.</p> + + <p><a name="Nt635" href="#NtA635">[635]</a> <i>Giorn. di Matem.</i> 17; + <i>Lincei Rend.</i> 1879.</p> + + <p><a name="Nt636" href="#NtA636">[636]</a> <i>Torino Atti</i>, 1881.</p> + + <p><a name="Nt637" href="#NtA637">[637]</a> <i>Journ. für Math.</i> 91, + 92, 93, 94, 95, 97.</p> + + <p><a name="Nt638" href="#NtA638">[638]</a> <i>The Messenger of + Mathematics</i> II, 13.</p> + + <p><a name="Nt639" href="#NtA639">[639]</a> <i>Liouvilles Journ.</i> II, + 17.</p> + + <p><a name="Nt640" href="#NtA640">[640]</a> S. Note <a + href="#Nt629">629</a>.</p> + + <p><a name="Nt641" href="#NtA641">[641]</a> <i>Math. Ann.</i> 5.</p> + + <p><a name="Nt642" href="#NtA642">[642]</a> <i>Ann. Éc. norm.</i> II, 6; + <i>Grunerts Arch.</i> 40.</p> + + <p><a name="Nt643" href="#NtA643">[643]</a> <i>Ann. Éc. norm.</i> III, + 1.</p> + + <p><a name="Nt644" href="#NtA644">[644]</a> S. Note <a + href="#Nt628">628</a>.</p> + + <p><a name="Nt645" href="#NtA645">[645]</a> <i>Nouv. Ann.</i> II, 2; + <i>Liouvilles Journ.</i> II, 19.</p> + + <p><a name="Nt646" href="#NtA646">[646]</a> <i>Die Geometrie der + Lage</i>.</p> + + <p><a name="Nt647" href="#NtA647">[647]</a> <i>Göttinger Nachr.</i> + 1870.</p> + + <p><a name="Nt648" href="#NtA648">[648]</a> <i>Journ. für Math.</i> 95; + <i>Zeitschr. f. Math.</i> 24, 27.</p> + + <p><a name="Nt649" href="#NtA649">[649]</a> <i>Sugli enti geometrici + dello spazio di rette generati dalle intersezioni dei complessi + correspondenti in due o pin fasci projettivi di complessi lineari</i> + (Piazza Armerina, 1882).</p> + + <p><a name="Nt650" href="#NtA650">[650]</a> <i>Proc. math. Soc.</i> 10; + <i>Collectanea mathematica</i>, 1881.</p> + + <p><a name="Nt651" href="#NtA651">[651]</a> <i>Math. Ann.</i> 13.</p> + + <p><a name="Nt652" href="#NtA652">[652]</a> <i>Mémoire de géométrie + vectorielle sur les complexes du second ordre, qui ont un centre de + figure</i> (<i>Liouvilles Journ.</i> III, 8).</p> + + <p><a name="Nt653" href="#NtA653">[653]</a> <i>Sui complessi di rette di + secondo grado generati da due fasci projettivi di complessi lineari</i> + (Napoli, 1886), und <i>Napoli Rend.</i> 1886.</p> + + <p><a name="Nt654" href="#NtA654">[654]</a> <i>Math. Ann.</i> 23; + <i>Giorn. di Matem.</i> 23; <i>Torino Atti</i>, 1884.</p> + + <p><a name="Nt655" href="#NtA655">[655]</a> <i>Applications de Géometrie + et de Mechanique</i>, 1822.</p> + + <p><a name="Nt656" href="#NtA656">[656]</a> <i>Journ. Éc. polyt.</i> + 14.</p> + + <p><a name="Nt657" href="#NtA657">[657]</a> <i>Comptes rendus</i> 20.</p> + + <p><a name="Nt658" href="#NtA658">[658]</a> <i>Liouvilles Journ.</i> + 15.</p> + + <p><a name="Nt659" href="#NtA659">[659]</a> <i>Journ. Éc. polyt.</i> + 38.</p> + + <p><a name="Nt660" href="#NtA660">[660]</a> <i>Irish Trans.</i> 16, + 1831.</p> + + <p><a name="Nt661" href="#NtA661">[661]</a> Bd. 57.</p> + + <p><a name="Nt662" href="#NtA662">[662]</a> Die Eigenschaften der + unendlich dünnen Strahlenbündel, mit denen K<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r sich in dieser Abhandlung beschäftigt, gaben später + (1862) Stoff zu einer schönen Arbeit von M<span + class="gsp"> </span>ö<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>s (<i>Leipziger Ber.</i> 14; <i>Werke</i> 4), an + welche sich dann die von Z<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h (<i>Zeitschr. f. + Math.</i> 17) veröffentlichten Untersuchungen knüpfen; vgl. auch eine + neuerliche Abhandlung von H<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l (<i>Journ. für Math.</i> + 102).</p> + + <p><a name="Nt663" href="#NtA663">[663]</a> <i>Berliner Abh.</i> + 1866.</p> + + <p><a name="Nt664" href="#NtA664">[664]</a> Von noch erschienenen + Arbeiten, die man als eine Fortsetzung derer von K<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r ansehen kann oder die auf anderem Wege zu dessen + Resultaten geführt haben, erwähne ich: R<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>e (<i>Journ. für Math.</i> + 86 und 93), H<span class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>t (<i>Proc. math. Soc.</i> + 16), S<span class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>l (s. Note <a + href="#Nt637">637</a>), C<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>i (<i>Napoli Rend.</i> + 1879), L<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>a (<i>Torino Atti</i>, + 1884 und 1886) — oder von solchen, die zu diesen einige neue + Formeln oder ein neues algebraisches Strahlensystem hinzugefügt haben: + K<span class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r (<i>Berliner Ber.</i> 1878), M<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>i (<i>Napoli Rend.</i> 22), R<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>a (s. Note <a href="#Nt649">649</a>), H<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>t (<i>Proc. math. Soc.</i> + 16 und 17; <i>Rendiconti del Circolo mathematico di Palermo</i> 1), + S<span class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>m (<i>Math. Ann.</i> 6; + <i>Journ. für Math.</i> 101).</p> + + <p><a name="Nt665" href="#NtA665">[665]</a> Zum Beweise, daß die Fragen, + auf welche sich diese Arbeiten beziehen, bei einigen Gelehrten jene Ruhe + und Unparteilichkeit des Urteils, die immer bei ihren Diskussionen walten + sollte, aufgehoben haben, will ich hier zwei Stellen anführen, die eine + von einem Schriftsteller, der allen, welche sich mit Philosophie + beschäftigen, sehr wohl bekannt ist, die andere aus einer Zeitschrift, + die in Deutschland ziemlich verbreitet ist: ».... so gewiß ist es + logische Spielerei, ein System von vier oder fünf Dimensionen noch Raum + zu nennen. Gegen solche Versuche muß man sich wahren; sie sind Grimassen + der Wissenschaft, die durch völlig nutzlose Paradoxien das gewöhnliche + Bewußtsein einschüchtern und über sein gutes Recht in der Begrenzung der + Begriffe täuschen« (L<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>z<span + class="gsp"> </span>e, <i>Logik</i>, S. 217). »Die absolute oder + Nicht-Euklidische Geometrie, die Geometrie des endlichen Raumes und die + Lehre von <i>n</i> Raumdimensionen sind entweder Karrikaturen oder + Krankheitserscheinungen der Mathematik« (J. G<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>s, <i>Blätter für das Bayrische Gymnasial- und + Realschulwesen</i> 28, S. 423). Man sehe auch die heftigen Äußerungen + D<span class="gsp"> </span>ü<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>s, die von E<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>n in seiner trefflichen Abhandlung: <i>Die Axiome der + Geometrie</i> (Leipzig, 1877, S. 85) wiedergegeben sind, ferner K<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n, <i>Unsere Naturerkenntnis</i>, deutsch von F<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>-<span class="gsp"> </span>B<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>z<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n (Kopenhagen, 1883, S. 145 bis 175); endlich die + Kap. 13 und 14 des Werkes von S<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>o, <i>La matière et la + physique moderne</i> (Paris, 1884). Auf Vorwürfe von der oben erwähnten + Art erwidern wir mit d<span class="gsp"> </span>'<span + class="gsp"> </span>A<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>t: »<i>Allez en avant, et + la foi vous viendra!</i>«</p> + + <p><a name="Nt666" href="#NtA666">[666]</a> Als Litteraturnachweis für + diesen Teil der Geometrie sehe man die Artikel von G. B<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>-<span class="gsp"> </span>H<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>d, veröffentlicht im + <i>Amer. Journ.</i> 1 und 2.</p> + + <p><a name="Nt667" href="#NtA667">[667]</a> Es ist dieser Satz: »Wenn bei + einer Geraden, welche zwei andere schneidet, die Summe der inneren Winkel + auf derselben Seite kleiner als zwei Rechte ist, so schneiden sich + letztere auf derselben Seite.« D<span class="gsp"> </span>'<span + class="gsp"> </span>A<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>t nannte diesen Satz: + »<i>l'écueil et le scandale des éléments de la géométrie</i>«.</p> + + <p><a name="Nt668" href="#NtA668">[668]</a> Eine Zeit lang glaubte man, + daß der fragliche Satz von Euklid unter die Axiome gestellt sei; aber + neuere historische Untersuchungen (s. H<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>k<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l, <i>Vorlesungen über + komplexe Zahlen und ihre Funktionen</i>, S. 52) neigen zu der Ansicht, + daß derselbe irrtümlicher Weise von den Abschreibern zu den Axiomen + geschrieben sei, während er im Originale unter den Postulaten gestanden + hatte.</p> + + <p><a name="Nt669" href="#NtA669">[669]</a> Vgl. <i>Die Elemente der + Mathematik</i> von B<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>z<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r, 4. Teil, Planimetrie.</p> + + <p><a name="Nt670" href="#NtA670">[670]</a> Man erzählt, L<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>e habe beobachtet, daß die sphärische Geometrie von + dem Euklidischen Postulate unabhängig sei, und gehofft, aus dieser + Beobachtung eine Art und Weise ableiten zu können, den Ungelegenheiten + der Euklidischen Methode zu entgehen, indem er die ebene Geometrie als + die Geometrie auf einer Kugel mit unendlich großem Radius + betrachtete.</p> + + <p><a name="Nt671" href="#NtA671">[671]</a> <i>Briefwechsel zwischen + Gauss und Schumacher</i>, herausgegeben von P<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>s, 6 Bände (Altona, 1860-1865); die betreffenden + Stellen dieses Briefwechsels sind von H<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>ü<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l ins Französische übersetzt und seiner 1866 + erschienenen französischen Übersetzung von L<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>w<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>k<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>s <i>Geometrischen Untersuchungen</i> (vgl. Note 10) + zugefügt.</p> + + <p><a name="Nt672" href="#NtA672">[672]</a> Vgl. die Gedächtnisschrift + auf G<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>ß von S<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>g in den <i>Göttinger + Abh.</i> 22 (1877).</p> + + <p><a name="Nt673" href="#NtA673">[673]</a> <i>Göttingische Gelehrte + Anzeigen</i>, 1816 und 1822; oder <i>Gauss' Werke</i> 4 (1873), S. 364 + und 368. Vgl. auch S<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>s v<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n W<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n, <i>Gauss zum Gedächtnis</i> (Leipzig, 1856), S. + 81. — Möge es gestattet sein, hier die Mitteilung anzuschließen, + daß G<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>ß das alte Problem der Kreisteilung, in dem man seit + zwei Jahrtausenden nicht vorwärts gekommen war, durch Untersuchungen auf + einem Gebiete wesentlich gefördert hat, das ohne Zusammenhang mit diesem + Problem schien und auf welchem man solchen Gewinnst für die Geometrie + nicht erwartete (<i>Disquisitiones arithmeticae</i>, Leipzig, 1801; + <i>Werke</i> 1; vgl. B<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>n, <i>Die Lehre von der + Kreisteilung</i>, Leipzig, 1872), indem er zeigte, daß die Teilung in + <i>n</i> Teile mit Hilfe von Lineal und Zirkel auch noch möglich ist, + wenn <i>n</i> eine Primzahl von der Form 2<sup><i>m</i></sup> +1 ist. Man + sehe hierzu auch L<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e, <i>Éléments de + trigonométrie</i>, Anhang; R<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>t, S<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>t, S<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>ö<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r, <i>Journ. für Math.</i> + 9, 24, 75; A<span class="gsp"> </span>f<span class="gsp"> </span>f<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r, <i>Math. Ann.</i> 6.</p> + + <p><a name="Nt674" href="#NtA674">[674]</a> <i>Courier von Kasan</i>, + 1829-1830; <i>Abhandlungen der Universität Kasan</i>, 1835, 1836, 1837, + 1838; <i>Geometrische Untersuchungen über die Theorie der + Parallellinien</i> (Berlin, 1810); <i>Journ. für Math.</i> 17.</p> + + <p><a name="Nt675" href="#NtA675">[675]</a> Die Schrift von J<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>n B<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>i erschien als Anhang des + Werkes von W. B<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>i: <i>Tentamen juventutem + studiosam in elementa matheseos purae ..... introducendi</i>, 2. Bd. + (Maros-Vásárhely 1833), wurde dann ins Französische übersetzt von H<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>ü<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l <i>(Mémoires de + Bordeaux)</i>, ins Italienische von B<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>i (<i>Giorn. di Matem.</i> + 5).</p> + + <p><a name="Nt676" href="#NtA676">[676]</a> Es ist das Verdienst H<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>ü<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>s (?—1886) und B<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>s, die Werke von L<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>w<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>k<span class="gsp"> </span>y und B<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>i durch Übersetzungen und vorzügliche Kommentare (s. + Note 7 und 11 und <i>Giorn. di Matem.</i> 5 und 8) verbreitet zu haben. + — Heute ist es leicht, die Nicht-Euklidische Geometrie zu lernen, + da F<span class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>e S<sup><span class="under">te</span></sup> M<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e (<i>Etudes analytiques + sur la théorie des parallèles</i>, Paris, 1871), F<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>f (<i>Elemente der + absoluten Geometrie</i>, Leipzig, 1876) und d<span class="gsp"> </span>e + T<span class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>y (<i>Essai sur les + principes fundamentaux de la géométrie et de la mécanique</i>, Bordeaux, + 1879) methodische Bearbeitungen derselben geschrieben haben. In England + wurden die neuen Ideen über die Prinzipien der Geometrie bearbeitet und + herrlich dargestellt von C<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>f<span + class="gsp"> </span>f<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>d; man sehe die Schrift + <i>Lectures and Essays</i>, sowie die von S<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>h den <i>Mathematical + Papers by W. K. Clifford</i> (London, 1882) vorausgeschickte + Einleitung.</p> + + <p><a name="Nt677" href="#NtA677">[677]</a> <i>Göttinger Abh.</i> 13 + (1867), oder <i>Gesammelte Werke</i> (Leipzig, 1876), ins Französische + übersetzt von H<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>ü<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l (<i>Annali di Matem.</i> II, 3), ins Englische von + C<span class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>f<span class="gsp"> </span>f<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>d (<i>Nature</i> 8 oder <i>Mathematical Papers</i> S. + 55).</p> + + <p><a name="Nt678" href="#NtA678">[678]</a> In der Abhandlung <i>Über die + Thatsachen, welche der Geometrie zu Grunde liegen</i> (<i>Göttinger + Nachr.</i> 1868).</p> + + <p><a name="Nt679" href="#NtA679">[679]</a> Hierzu sehe man <i>Populäre + wissenschaftliche Vorträge</i> von H<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>z (Braunschweig, 1871-1876); <i>Revue des cours + scientifiques</i>, 9. Juli 1870 etc.</p> + + <p><a name="Nt680" href="#NtA680">[680]</a> <i>Giorn. di Matem.</i> 6. + Dieser Artikel wurde ins Französische übersetzt von H<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>ü<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l und veröffentlicht in + den <i>Ann. Éc. norm.</i> 6, 1869.</p> + + <p><a name="Nt681" href="#NtA681">[681]</a> Man vergleiche hierzu die + Worte, mit denen d<span class="gsp"> </span>'<span + class="gsp"> </span>A<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>t die Meinung zurückwies, + daß die Wahrheiten der Mechanik experimentelle seien (<i>Traité de + Dynamique</i>, Paris, 1858, <i>Discours préliminaire</i>, S. XII), mit + den folgenden von C<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>f<span + class="gsp"> </span>f<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>d (<i>The Common Sense of + the Exact Sciences</i>, London, 1885, <i>International Scientific + Series</i> 51): »In derselben Weise, wie wir, um irgend einen Zweig der + Physik zu schaffen, von der Erfahrung ausgehen und auf unsere Experimente + eine gewisse Anzahl von Axiomen stützen, welche solchergestalt die + Grundlage desselben bilden, so sind die Axiome, die wir als Grundlage der + Geometrie nehmen, wenn auch weniger offenbar, in der That ein Ergebnis + der Erfahrung.« Man sehe auch das Werk von H<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>ü<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l, <i>Du rôle de + l'expérience dans les sciences exactes</i> (Prag, 1875), oder die + Übersetzung, die davon in <i>Grunerts Arch.</i> 59 veröffentlicht + wurde.</p> + + <p><a name="Nt682" href="#NtA682">[682]</a> Ich bemerke, daß, wer die + <i>Ausdehnungslehre</i> des großen deutschen Geometers und Philologen + H<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>n G<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>ß<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>n liest, mit Erstaunen sehen wird, daß er schon 1844 + zu Schlüssen gelangt war, die von den im Texte angegebenen nicht sehr + verschieden sind. Aber wer weiß nicht, daß, um geschätzt zu werden, + dieses ausgezeichnete Werk nötig hatte, daß andere auf einem anderen Wege + zu den äußerst originellen Wahrheiten gelangten, die es enthält? — + Hier scheint es mir angebracht zu sein, eine Erklärung zu geben, welche + zu meiner Rechtfertigung dient. Bei dieser kurzen Geschichte der Kämpfe, + welche die Geometer in diesen letzten Zeiten ausgefochten haben, traf es + sich selten und nur flüchtig, daß ich Arbeiten von G<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>ß<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>n zitierte, und ich glaube nicht, daß ich noch + Gelegenheit haben werde, diesen Namen auszusprechen. Das heißt nicht, daß + dieser Geometer nicht der Erwähnung würdig sei, daß seine Entdeckungen + und seine Methoden nicht verdienten, bekannt zu werden; aber es liegt + daran, daß der Formalismus, in den er seine Gedanken gekleidet, sie den + meisten unzugänglich gemacht und ihnen fast jede Möglichkeit genommen + hat, irgend einen Einfluß auszuüben. G<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>ß<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>n war während eines großen + Teiles seines Lebens ein Einsiedler in der Mathematik; nur während seiner + letzten Jahre befaßte er sich damit, etliche seiner Produktionen in + modernem Gewande zu veröffentlichen, um deren Verwandtschaft mit denen + seiner Zeitgenossen zu zeigen (man sehe <i>Math. Ann.</i> 10, 12; + <i>Göttinger Nachr.</i> 1872; <i>Journ. für Math.</i> 84); daher ist es + natürlich, daß ihn zu nennen demjenigen selten widerfährt, welcher sich + vornimmt, die Errungenschaften zu beschreiben, die man den vereinten + Anstrengungen der modernen Geometer verdankt. — Man vergleiche + P<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>o, <i>Calcolo geometrico + secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle operazioni + della logica deduttiva</i> (Turin, 1888). — Über die + wissenschaftlichen Verdienste G<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>ß<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>s sehe man einen Artikel von C<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>a in den <i>Nouv. Ann.</i> + I, 19, dann den 14. Bd. der <i>Math. Ann.</i> und den 11. Bd. des + <i>Bulletino di Bibliografia e di Storia delle Scienze matematiche</i>. + Ein Vergleich zwischen den Methoden G<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>ß<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>s und anderen moderneren wurde von S<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l in der <i>Zeitschr. f. Math.</i> 24 gemacht.</p> + + <p><a name="Nt683" href="#NtA683">[683]</a> <i>Über die sogenannte + Nicht-Euklidische Geometrie</i> (<i>Math. Ann.</i> 4).</p> + + <p><a name="Nt684" href="#NtA684">[684]</a> <i>Nouv. Ann.</i> 12.</p> + + <p><a name="Nt685" href="#NtA685">[685]</a> <i>Phil. Trans.</i> 149; vgl. + C<span class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>f<span class="gsp"> </span>f<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>d, <i>Analytical Metrics</i> (<i>Quart. Journ.</i> + 1865, 1866 oder <i>Mathematical Papers</i>, S. 80).</p> + + <p><a name="Nt686" href="#NtA686">[686]</a> Eine spätere Abhandlung von + K<span class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n unter demselben Titel + (<i>Math. Ann.</i> 6) ist zur Ergänzung einiger Punkte der ersteren + bestimmt. An dieselbe knüpfen sich die wichtigen Untersuchungen von + L<span class="gsp"> </span>ü<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>h und Z<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n (<i>Math. Ann.</i> 7), von T<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>e (vgl. die 2. Aufl. der <i>Geometrie der Lage</i> + von R<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>e), von D<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>x (<i>Math. Ann.</i> 17), von S<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>r (das. 18), d<span + class="gsp"> </span>e P<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>s (<i>Lincei Mem.</i> + 1880-1881) und von R<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>e (3. Aufl. der + <i>Geometrie der Lage</i>) über den Fundamentalsatz der projektiven + Geometrie.</p> + + <p><a name="Nt687" href="#NtA687">[687]</a> <i>Études de mécanique + abstraite</i> (<i>Mémoires couronnées par l'Académie de Belgique</i> 21, + 1870).</p> + + <p><a name="Nt688" href="#NtA688">[688]</a> <i>Bulletin de l'Académie de + Belgique</i> II, 36; <i>Torino Mem.</i> II, 29; <i>Mem. de la società + italiana delle scienze</i> III, 2.</p> + + <p><a name="Nt689" href="#NtA689">[689]</a> <i>Wiener Ber.</i> 1874. Man + sehe auch die schöne Abhandlung von B<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>i: <i>Sulle equazioni + generali dell' elasticità</i>, in den <i>Annali di Matem.</i> II, 10.</p> + + <p><a name="Nt690" href="#NtA690">[690]</a> <i>Sull' applicabilità delle + superficie degli spazii a curvatura costante</i> (<i>Lincei Atti</i> III, + 2).</p> + + <p><a name="Nt691" href="#NtA691">[691]</a> <i>Lincei Rend.</i> 1873 und + 1876.</p> + + <p><a name="Nt692" href="#NtA692">[692]</a> <i>Annali di Matem.</i> II, + 6, 7; <i>Giorn. di Matem.</i> 13; <i>Torino Atti</i>, 1876; <i>Lincei + Mem.</i> III, 3; <i>Lombardo Rend.</i> 1881.</p> + + <p><a name="Nt693" href="#NtA693">[693]</a> <i>Lincei Mem.</i> + 1877-1878.</p> + + <p><a name="Nt694" href="#NtA694">[694]</a> <i>Lombardo Rend.</i> II, 14, + 15.</p> + + <p><a name="Nt695" href="#NtA695">[695]</a> <i>Math. Ann.</i> 5.</p> + + <p><a name="Nt696" href="#NtA696">[696]</a> <i>Math. Ann.</i> 7.</p> + + <p><a name="Nt697" href="#NtA697">[697]</a> <i>Göttinger Nachr.</i> + 1873.</p> + + <p><a name="Nt698" href="#NtA698">[698]</a> <i>Amer. Journ.</i> 2, 4, + 5.</p> + + <p><a name="Nt699" href="#NtA699">[699]</a> <i>Die Massfunktionen in der + analytischen Geometrie.</i> Programm (Berlin, 1873).</p> + + <p><a name="Nt700" href="#NtA700">[700]</a> <i>Math. Ann.</i> 10.</p> + + <p><a name="Nt701" href="#NtA701">[701]</a> <i>Quart. Journ.</i> 18.</p> + + <p><a name="Nt702" href="#NtA702">[702]</a> <i>On the theory of screws in + elliptic space.</i> (<i>Proc. math. Soc.</i> 15 und 16).</p> + + <p><a name="Nt703" href="#NtA703">[703]</a> Die interessantesten von den + mir bekannten sind die von S<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>e, <i>Sulle geometrie metriche dei complessi lineari + e delle sfere</i>, veröffentlicht in den <i>Torino Atti</i>, 1883.</p> + + <p><a name="Nt704" href="#NtA704">[704]</a> Das Produkt zweier Strecken + ist eine Fläche, das dreier ein Körper, was ist das geometrische Bild des + Produktes von vieren? — Die analytischen Geometer der Cartesischen + Epoche bezeichneten dasselbe durch das Wort »sursolide« (überkörperlich), + welches sich in ihren Schriften findet; man kann sie daher als diejenigen + ansehen, welche zuerst die im Texte erwähnte Richtung eingeschlagen + haben.</p> + + <p><a name="Nt705" href="#NtA705">[705]</a> S. C<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y, <i>A memoir on abstract Geometry</i> (<i>Phil. + Trans.</i> 1870); vgl. auch <i>Cambridge Journ.</i> 4, 1845.</p> + + <p><a name="Nt706" href="#NtA706">[706]</a> <i>Comptes rendus</i>, + 1847.</p> + + <p><a name="Nt707" href="#NtA707">[707]</a> Überdies scheint es außer + Zweifel zu stehen, daß G<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>ß ausgedehnte und + bestimmte Ideen über die Geometrie von mehreren Dimensionen gehabt hat; + vgl. S<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>s v<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n W<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>n, a. O. S. 81 (s. Note <a + href="#Nt673">673</a> des vor. Abschn.).</p> + + <p><a name="Nt708" href="#NtA708">[708]</a> <i>Théorie des fonctions + analytiques</i> (Paris, an V, S. 223).</p> + + <p><a name="Nt709" href="#NtA709">[709]</a> Ich darf nicht verschweigen, + daß schon 1827 M<span class="gsp"> </span>ö<span + class="gsp"> </span>b<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>s einen Einblick hatte, + wie durch Zulassung der Existenz eines vierdimensionalen Raumes ein + unerklärlicher Unterschied zwischen der Ebene und dem Raume aufgehoben + wird; dieser Unterschied besteht darin, daß, während man zwei in Bezug + auf eine Gerade symmetrische ebene Figuren immer zur Deckung bringen + kann, es nicht möglich ist, zwei räumliche in Bezug auf eine Ebene + symmetrische Figuren zusammenfallen zu lassen. Später bemerkte Z<span + class="gsp"> </span>ö<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r beiläufig, wie die + Existenz eines vierdimensionalen Raumes gewisse Bewegungen zulassen + würde, die wir für unmöglich halten; die folgenden Resultate können als + Beispiele zu dieser Beobachtung dienen: N<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>w<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>b zeigte (<i>Amer. Journ.</i> 1), daß, wenn es einen + Raum von vier Dimensionen giebt, es möglich ist, die beiden Seiten einer + geschlossenen materiellen Fläche umzuwechseln, ohne dieselbe zu + zerreißen. K<span class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n bemerkte (<i>Math. + Ann.</i> 9), daß bei dieser Voraussetzung die Knoten nicht erhalten + bleiben könnten, und V<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>e führte (in der 1881 an + der Universität zu Padua gehaltenen <i>Prolusione</i>) die Thatsache an, + daß man dann aus einem geschlossenen Zimmer einen Körper herausnehmen + könne, ohne die Wände desselben zu zerbrechen. H<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>e gab (<i>Grunerts + Arch.</i> 64) Formeln an, welche die Beobachtungen K<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>s illustrierten. Diese Formeln erforderten einige + Modifikationen, die von D<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>è<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>e angegeben wurden + (<i>Wiener Ber.</i> 1880); vgl. auch <i>Grunerts Arch.</i> 65 und die + synthetischen Betrachtungen von S<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>g<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>l, <i>Zeitschr. f. + Math.</i> 28.</p> + + <p><a name="Nt710" href="#NtA710">[710]</a> <i>Annali di Matem.</i> II, 2 + und 5.</p> + + <p><a name="Nt711" href="#NtA711">[711]</a> <i>Journ. für Math.</i> 65; + <i>Annali di Matem.</i> II, 5.</p> + + <p><a name="Nt712" href="#NtA712">[712]</a> <i>Journ. für Math.</i> + 83.</p> + + <p><a name="Nt713" href="#NtA713">[713]</a> <i>Amer. Journ.</i> 2.</p> + + <p><a name="Nt714" href="#NtA714">[714]</a> <i>Die Nicht-Euklidischen + Raumformen in analytischer Behandlung</i>, Leipzig, 1885.</p> + + <p><a name="Nt715" href="#NtA715">[715]</a> <i>Math. Ann.</i> 27.</p> + + <p><a name="Nt716" href="#NtA716">[716]</a> <i>Annali di Matem.</i> II, + 4.</p> + + <p><a name="Nt717" href="#NtA717">[717]</a> <i>Proc. math. Soc.</i> 7 + oder <i>Mathematical Papers</i>, S. 236.</p> + + <p><a name="Nt718" href="#NtA718">[718]</a> <i>Bull. sciences math.</i> + 11, 1876.</p> + + <p><a name="Nt719" href="#NtA719">[719]</a> <i>Comptes rendus</i>, + 79.</p> + + <p><a name="Nt720" href="#NtA720">[720]</a> <i>Journ. für Math.</i> 70 + flgg., <i>Quart. Journ.</i> 12.</p> + + <p><a name="Nt721" href="#NtA721">[721]</a> <i>Proc. math. Soc.</i> + 9.</p> + + <p><a name="Nt722" href="#NtA722">[722]</a> <i>Berliner Dissertation</i>, + 1880.</p> + + <p><a name="Nt723" href="#NtA723">[723]</a> <i>Phil. Trans.</i> 175.</p> + + <p><a name="Nt724" href="#NtA724">[724]</a> <i>Journ. für Math.</i> + 98.</p> + + <p><a name="Nt725" href="#NtA725">[725]</a> Nach L<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>z hatte L<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>j<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>-<span class="gsp"> </span>D<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>t (1805-1859) das + allgemeine Gravitationsgesetz im elliptischen Raume studiert. Diese + Studien wurden dann von Schering bearbeitet und in den <i>Göttinger + Nachr.</i> 1870 und 1873 veröffentlicht.</p> + + <p><a name="Nt726" href="#NtA726">[726]</a> <i>Comptes rendus</i> 79.</p> + + <p><a name="Nt727" href="#NtA727">[727]</a> <i>Math. Ann.</i> 19.</p> + + <p><a name="Nt728" href="#NtA728">[728]</a> H<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>p<span class="gsp"> </span>e machte analoge + Untersuchungen für die Kurven des vierdimensionalen Raumes (<i>Grunerts + Arch.</i> 64).</p> + + <p><a name="Nt729" href="#NtA729">[729]</a> <i>Amer. Journ.</i> 4.</p> + + <p><a name="Nt730" href="#NtA730">[730]</a> <i>Berliner Ber.</i> + 1869.</p> + + <p><a name="Nt731" href="#NtA731">[731]</a> <i>Math. Ann.</i> 7; + <i>Zeitschr. f. Math.</i> 20, 21, 24.</p> + + <p><a name="Nt732" href="#NtA732">[732]</a> <i>Journ. für Math.</i> 70 + und 72.</p> + + <p><a name="Nt733" href="#NtA733">[733]</a> <i>Journ. für Math.</i> + 70.</p> + + <p><a name="Nt734" href="#NtA734">[734]</a> <i>Math. Ann.</i> 24.</p> + + <p><a name="Nt735" href="#NtA735">[735]</a> <i>Bull. sciences math.</i> + I, 4.</p> + + <p><a name="Nt736" href="#NtA736">[736]</a> <i>Math. Ann.</i> 26.</p> + + <p><a name="Nt737" href="#NtA737">[737]</a> <i>Collectanea mathematica; + Annali di matem.</i> II, 10.</p> + + <p><a name="Nt738" href="#NtA738">[738]</a> <i>Göttinger Nachr.</i>, + 1871.</p> + + <p><a name="Nt739" href="#NtA739">[739]</a> <i>Math. Ann.</i> 5.</p> + + <p><a name="Nt740" href="#NtA740">[740]</a> <i>Journ. für Math.</i> 81; + <i>Comptes rendus</i> 82.</p> + + <p><a name="Nt741" href="#NtA741">[741]</a> <i>Amer. Journ.</i> 4.</p> + + <p><a name="Nt742" href="#NtA742">[742]</a> <i>Journ. für Math.</i> 74 + oder <i>Quart. Journ.</i> 12. Ich füge noch hinzu, daß S<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n und C<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y sich der Räume von + mehreren Dimensionen in ihren Untersuchungen über die Theorie der + Charakteristiken (§ IV) bedient haben, daß M<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r, <i>Journ. für Math.</i> 84, eine Anwendung von der + Betrachtung eines vierdimensionalen Raumes für Untersuchungen über + dreifache Systeme orthogonaler Oberflächen, und daß L<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>w<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>s davon eine ähnliche + Anwendung machte bei der Betrachtung einiger Trägheitsmomente (<i>Quart. + Journ.</i> 16). Dann fand W<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>e, daß die Zahl der + Normalen, die man von einem Punkte eines <i>d</i>-dimensionalen Raumes an + eine Oberfläche von der <i>n</i><sup>ten</sup> Ordnung ziehen kann,</p> + +<table class="math" summary="Formatted mathematical expression" title="Formatted mathematical expression"><tr><td><i>n</i> </td><td rowspan="2"> { (<i>n</i> - 1)<sup><i>d</i></sup> - 1 } </td></tr><tr><td class="denom"> <i>n</i> - 2 </td></tr></table> + + <p>beträgt (<i>Educational Times</i> 10).</p> + + <p><a name="Nt743" href="#NtA743">[743]</a> <i>Von den Elementen und + Grundgebilden der synthetischen Geometrie</i> (Bamberg, 1887).</p> + + <p><a name="Nt744" href="#NtA744">[744]</a> <i>Grunerts Arch.</i> 64.</p> + + <p><a name="Nt745" href="#NtA745">[745]</a> <i>Bull. Soc. math.</i> + 10.</p> + + <p><a name="Nt746" href="#NtA746">[746]</a> <i>Grunerts Arch.</i> 70.</p> + + <p><a name="Nt747" href="#NtA747">[747]</a> <i>Amer. Journ.</i> 3.</p> + + <p><a name="Nt748" href="#NtA748">[748]</a> <i>Grunerts Arch.</i> 66, 67, + 68, 69.</p> + + <p><a name="Nt749" href="#NtA749">[749]</a> <i>Nova Acta der + Leopold.-Carol. Akademie</i> 44.</p> + + <p><a name="Nt750" href="#NtA750">[750]</a> <i>Die polydimensionalen + Grössen und die vollkommenen Primzahlen.</i></p> + + <p><a name="Nt751" href="#NtA751">[751]</a> <i>Von Körpern höherer + Dimensionen</i> (Kaiserslautern, 1882).</p> + + <p><a name="Nt752" href="#NtA752">[752]</a> <i>Wiener Ber.</i> 90.</p> + + <p><a name="Nt753" href="#NtA753">[753]</a> <i>Wiener Ber.</i> 89 und + 90.</p> + + <p><a name="Nt754" href="#NtA754">[754]</a> Diese bilden eine der + merkwürdigsten von den durch L. Brill in Darmstadt veröffentlichten + Serien von Modellen.</p> + + <p><a name="Nt755" href="#NtA755">[755]</a> <i>Journ. für Math.</i> 31, + S. 213. Liest man die wenigen Seiten, welche die Abhandlung von C<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>y bilden, so gewinnt man die Überzeugung, daß er + schon 1846 einen klaren Einblick von der Nützlichkeit hatte, welche der + gewöhnlichen Geometrie der Lage die Betrachtung des Raumes von mehreren + Dimensionen bringen könne.</p> + + <p><a name="Nt756" href="#NtA756">[756]</a> <i>Histoire de l'astronomie + moderne</i> 2, S. 60.</p> + + <p><a name="Nt757" href="#NtA757">[757]</a> <i>Phil. Trans.</i> 1878 oder + <i>Mathematical Papers</i> S. 305.</p> + + <p><a name="Nt758" href="#NtA758">[758]</a> <i>Math. Ann.</i> 19.</p> + + <p><a name="Nt759" href="#NtA759">[759]</a> Unter den in der Abhandlung + von V<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>e bearbeiteten Untersuchungen sind die über die + Konfigurationen besonderer Erwähnung wert, ferner die Formeln, welche + — als eine Erweiterung derer von P<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>ü<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>k<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r und C<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>y<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y — die gewöhnlichen + Singularitäten einer Kurve eines <i>n</i>-dimensionalen Raumes unter + einander verknüpfen, die Erzeugung von in einem solchen Raume enthaltenen + Oberflächen durch projektive Systeme und die Anwendung derselben auf das + Studium einiger Oberflächen unseres Raumes; dann kann ich nicht + stillschweigend übergehen die Studien über die in einem quadratischen + Gebilde von <i>n</i> Dimensionen enthaltenen linearen Räume, die V<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>e gemacht hat, um einige Sätze von Cayley zu + erweitern (<i>Quart. Journ.</i> 12), indem er die von Klein (<i>Math. + Ann.</i> 5) verallgemeinerte stereographische Projektion anwandte, ferner + nicht etliche wichtige Resultate über die Kurven, von denen übrigens + einige schon C<span class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>f<span class="gsp"> </span>f<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>d (<i>Phil. Trans.</i>, 1878) auf einem anderen Wege + erhalten hatte.</p> + + <p><a name="Nt760" href="#NtA760">[760]</a> <i>Annali di Matem.</i> II, + 11; <i>Lincei Mem.</i> 1883-1884; <i>Atti dell' Istituto Veneto</i> V, 8. + Letztere Abhandlung ist der darstellenden Geometrie des Raumes von 4 + Dimensionen gewidmet und kann daher als die Ausführung eines Gedankens + angesehen werden, den S<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>v<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r im Jahre 1869 in seiner Rede vor der British + Association angedeutet hat.</p> + + <p><a name="Nt761" href="#NtA761">[761]</a> <i>Torino Mem.</i> II, + 36.</p> + + <p><a name="Nt762" href="#NtA762">[762]</a> <i>Lincei Mem.</i> 1883-1884; + <i>Torino Mem.</i> II, 37; <i>Lincei Rend.</i> 1886.</p> + + <p><a name="Nt763" href="#NtA763">[763]</a> <i>Torino Atti</i> 19.</p> + + <p><a name="Nt764" href="#NtA764">[764]</a> <i>Torino Atti</i> 19, 20, + 21; <i>Math. Ann.</i> 27.</p> + + <p><a name="Nt765" href="#NtA765">[765]</a> <i>Math. Ann.</i> 24.</p> + + <p><a name="Nt766" href="#NtA766">[766]</a> <i>Torino Atti</i> 20.</p> + + <p><a name="Nt767" href="#NtA767">[767]</a> <i>Lombardo Rend.</i> 1886; + <i>Lincei Rend.</i> 1886. Man sehe auch desselben Verfassers wichtige + Note: <i>Sui sistemi lineari, Lombardo Rend.</i> 82.</p> + + <p><a name="Nt768" href="#NtA768">[768]</a> <i>Lombardo Rend.</i> 1885, + 1886.</p> + + <p><a name="Nt769" href="#NtA769">[769]</a> <i>Napoli Rend.</i> 1885, + 1886. Vgl. auch R<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>b<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>g, <i>Math. Ann.</i> 26.</p> + + <p></p> + + <div class="poem"> + <div class="stanza"> + <span class="unpoem"><a name="Nt770" href="#NtA770">[770]</a></span> + <p>Ich kann sie alle hier nicht wiederholen,</p> + <p>Weil mich des Stoffes Fülle so bedrängt,</p> + <p>Daß hinter dem Gescheh'nen oft das Wort bleibt.</p> + <p>— (D<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>s <i>Divina Commedia</i>, der <i>Hölle</i> 4. Ges. V. 145-147.)</p> + </div> + </div> + + <p><a name="Nt771" href="#NtA771">[771]</a> <i>Math. Ann.</i> 2, 8. Man + sehe auch die Abhandlung von S. K<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>r, <i>Sur les + transformations linéaires successives dans le même espace à</i> n + <i>dimensions</i> (<i>Bull. Soc. math.</i> 8).</p> + + <p><a name="Nt772" href="#NtA772">[772]</a> <i>Bull. Soc. math.</i> 2. + Unter den in dieser Arbeit erhaltenen Resultaten heben wir folgendes + hervor: »Wenn man in einem Raume von <i>r</i> - 1 Dimensionen zwei + algebraische Mannigfaltigkeiten vom Grade <span class="grk">μ</span> + und <span class="grk">ν</span> ins Auge faßt, bezüglich von <i>m</i> + und <i>n</i> Dimensionen, so ist der Schnitt derselben eine + Mannigfaltigkeit von <i>n</i> + <i>m</i> - (<i>r</i>-1) Dimensionen und + vom Grade <span class="grk">μ</span><span class="grk">ν</span>, + wofern <i>m</i> + <i>n</i> >= <i>r</i> - 1, und die beiden + Mannigfaltigkeiten nicht eine solche von <i>m</i> + <i>n</i> - <i>r</i> + + 2 oder mehr Dimensionen gemeinsam haben«, um den vollständigen Beweis + desselben anzuführen, den N<span class="gsp"> </span>ö<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r in den <i>Math. Ann.</i> + 11 geliefert hat.</p> + + <p><a name="Nt773" href="#NtA773">[773]</a> <i>Lincei Mem.</i> 1876-1877; + vgl. auch J<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n (<i>Bull. Soc. math.</i> 3). — Hier will ich + eine Notiz machen, die im Texte nicht Platz finden konnte: Von vielen + wurde behauptet, daß in einem Raume von konstanter positiver Krümmung + zwei geodätische Linien, wenn sie sich treffen, im allgemeinen zwei + Punkte gemeinsam haben; das ist nun nicht wahr, und dieses wurde zuerst + von K<span class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n beobachtet (<i>Jahrbuch + über die Fortschritte der Mathematik</i> 9, S. 313), dann von N<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>w<span + class="gsp"> </span>c<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>b (<i>Journ. für Math.</i> + 83) und von F<span class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>k<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>d (<i>Proc. math. Soc.</i> + 8). Über dasselbe Thema sehe man eine Abhandlung von K<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>g (<i>Journ. für Math.</i> + 86 und 89).</p> + + <p><a name="Nt774" href="#NtA774">[774]</a> <i>Math. Ann.</i> 26; <i>Acta + math.</i> 8. — Der Abhandlung von V<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>e gehen noch die + Untersuchungen von S<span class="gsp"> </span>p<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>w<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>d<span class="gsp"> </span>e (1825-1883) voran, über + die Darstellung der Figuren der Geometrie von <i>n</i> Dimensionen + vermittelst correlativer Figuren der gewöhnlichen Geometrie (<i>Comptes + rendus</i> 81).</p> + + <p><a name="Nt775" href="#NtA775">[775]</a> <i>Mémoire de Géométrie sur + deux principes généraux de la science.</i></p> + + <p><a name="Nt776" href="#NtA776">[776]</a> <i>Beiträge zur Geometrie der + Lage,</i> § 29.</p> + + <p><a name="Nt777" href="#NtA777">[777]</a> <i>Vierteljahrsschrift der + naturforschenden Gesellschaft zu Zürich</i> 15, oder <i>Die darstellende + Geometrie.</i></p> + + <p><a name="Nt778" href="#NtA778">[778]</a> Vgl. die interessante + Abhandlung von F<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r, <i>Geometrie und Geomechanik</i>, erschienen in + der genannten <i>Vierteljahrsschrift</i>, und in französischer + Übersetzung in <i>Liouvilles Journ.</i> III, 4 veröffentlicht.</p> + + <p><a name="Nt779" href="#NtA779">[779]</a> Den Nutzen, welcher der + Geometrie durch die Annahme einiger Begriffe, die man jetzt noch als der + Mechanik angehörig betrachtet, erwachsen würde, bezeugen der <i>Exposé + géométrique du calcul différentiel et intégral</i> (Paris, 1861), von + L<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>l<span class="gsp"> </span>e (1806-1875) verfaßt, die + von M<span class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>m der kinematischen Geometrie gewidmeten Partien in + seinem <i>Cours de géométrie descriptive</i> (Paris, 1880) und das schöne + jüngst veröffentlichte Buch meines Freundes P<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>a<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>o mit dem Titel: + <i>Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale</i> (Turin, + 1887).</p> + + <p><a name="Nt780" href="#NtA780">[780]</a> Man sehe die Anhänge der + <i>Proc. math. Soc.</i> seit Bd. 14.</p> + + <p><a name="Nt781" href="#NtA781">[781]</a> <i>Nouv. Ann.</i> II, 1, 2; + <i>Liouvilles Journ.</i> II, 7; <i>Berliner Abh.</i> 1865, 1866; + <i>Berliner Ber.</i> 1872 oder <i>Borchardts Gesammelte Werke</i>, S. + 179, 201, 233.</p> + + <p><a name="Nt782" href="#NtA782">[782]</a> Insbesondere <i>Journ. für + Math.</i> 24 oder <i>Werke</i>, Bd. II, S. 177, 241.</p> + + <p><a name="Nt783" href="#NtA783">[783]</a> S. <i>Acta Societatis + scientiarum Fennicae</i>, 1866; <i>Bull. de l'Académie de St. + Pétersbourg</i> 14; <i>Math. Ann.</i> 2; <i>Nouv. Ann.</i> II, 10; + <i>Zeitschr. f. Math.</i> 11; <i>Göttinger Nachr.</i> 1882 oder <i>Bull. + sciences math.</i> II, 7; <i>Journ. für Math.</i> 96, 97; <i>Göttinger + Nachr.</i> 1884; <i>Grunerts Arch.</i> II, 2; <i>Giorn. di Matem.</i> + 26.</p> + + <p><a name="Nt784" href="#NtA784">[784]</a> <i>Mémoires de l'Académie de + Berlin,</i> 1761; vgl. L<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>g<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>d<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>s <i>Eléments de Géometrie</i>, Note IV der älteren + Auflagen.</p> + + <p><a name="Nt785" href="#NtA785">[785]</a> <i>Berliner Ber.</i> 1882; + <i>Math. Ann.</i> 20; vereinfacht durch W<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>r<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>ß, <i>Berliner Ber.</i> + 1885; man vgl. auch R<span class="gsp"> </span>o<span + class="gsp"> </span>u<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>é, <i>Nouv. Ann.</i> III, + 2.</p> + + <p><a name="Nt786" href="#NtA786">[786]</a> Die einzigen rein + synthetischen Untersuchungen über die Kurven und Oberflächen von höherer + als zweiter Ordnung, die ich kenne, sind die von R<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>y<span + class="gsp"> </span>e (<i>Geometrie der Lage</i>) über die ebenen + kubischen Kurven, einige von T<span class="gsp"> </span>h<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>e<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>e (<i>Zeitschr. f. + Math</i> 24; <i>Math. Ann.</i> 20, 28), von M<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>l<span + class="gsp"> </span>i<span class="gsp"> </span>n<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>w<span + class="gsp"> </span>s<span class="gsp"> </span>k<span + class="gsp"> </span>i (<i>Zeitschr. f. Math.</i> 21, 23; <i>Journ. für + Math.</i> 89, 97) und von S<span class="gsp"> </span>c<span + class="gsp"> </span>h<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>r (<i>Zeitschr. f. Math.</i> 24). Ihnen könnte man + die beiden folgenden Arbeiten hinzufügen, die im Jahre 1868 von der + Berliner Akademie gekrönt sind: H. J. S. S<span + class="gsp"> </span>m<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>h, <i>Mémoire sur quelques + problèmes cubiques et biquadratiques</i> (<i>Annali di Matem.</i> II, 3); + K<span class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>r<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>u<span + class="gsp"> </span>m, <i>Über geometrische Aufgaben dritten und vierten + Grades</i> (Bonn, 1869). Die Geometer erwarten ungeduldig die + Veröffentlichung einer Schrift von E. K<span class="gsp"> </span>ö<span + class="gsp"> </span>t<span class="gsp"> </span>t<span + class="gsp"> </span>e<span class="gsp"> </span>r, die 1886 von der + Berliner Akademie den Steinerschen Preis erhielt und dazu berufen + erscheint, in das Gebiet der reinen Geometrie die allgemeine Theorie der + ebenen algebraischen Kurven zu versetzen. (Sie ist während der + Anfertigung der Übersetzung vorliegender Schrift in den <i>Berliner + Abh.</i> 1887 unter dem Titel: <i>Grundzüge einer rein geometrischen + Theorie der algebraischen ebenen Kurven</i> erschienen.)</p> + + <p><a name="Nt787" href="#NtA787">[787]</a> Die Angemessenheit des + gleichzeitigen Gebrauches der Geometrie und Analysis, auch in den Fragen + der angewandten Mathematik, wurde ausdrücklich von L<span + class="gsp"> </span>a<span class="gsp"> </span>m<span + class="gsp"> </span>é mit folgenden Worten erklärt: <i>»Quand on médite + sur l'histoire des mathématiques appliquées, on est effectivement conduit + à attribuer leurs principales découvertes, leurs progrès les plus + décisifs à l'association de l'analyse et de la géométrie. Et les travaux, + que produit l'emploi de chacun de ces instruments, apparaissent alors + comme des préparations, des perfectionnements, en attendant l'époque qui + sera fécondée par leur réunion.«</i> (<i>Leçons sur les coordonnées + curvilignes</i>, 1859, S. XIII und XIV.)</p> + + <p><a name="Nt788" href="#NtA788">[788]</a> P<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>i<span + class="gsp"> </span>n<span class="gsp"> </span>s<span + class="gsp"> </span>o<span class="gsp"> </span>t, <i>Comptes rendus</i> 6 + (1838) S. 809.</p> + +</div> + + + + + + + +<pre> + + + + + +End of the Project Gutenberg EBook of Die hauptsächlichsten Theorien der +Geometrie, by Gino Loria + +*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK DIE HAUPTSÄCHLICHSTEN *** + +***** This file should be named 33726-h.htm or 33726-h.zip ***** +This and all associated files of various formats will be found in: + http://www.gutenberg.org/3/3/7/2/33726/ + +Produced by Joshua Hutchinson, Keith Edkins and the Online +Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This +file was produced from images from the Cornell University +Library: Historical Mathematics Monographs collection.) + + +Updated editions will replace the previous one--the old editions +will be renamed. + +Creating the works from public domain print editions means that no +one owns a United States copyright in these works, so the Foundation +(and you!) can copy and distribute it in the United States without +permission and without paying copyright royalties. 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