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You may copy it, give it away or +re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included +with this eBook or online at www.gutenberg.org + + +Title: Die hauptsächlichsten Theorien der Geometrie + +Author: Gino Loria + +Translator: Fritz Schütte + +Release Date: September 14, 2010 [EBook #33726] + +Language: German + +Character set encoding: ISO-8859-1 + +*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK DIE HAUPTSÄCHLICHSTEN *** + + + + +Produced by Joshua Hutchinson, Keith Edkins and the Online +Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This +file was produced from images from the Cornell University +Library: Historical Mathematics Monographs collection.) + + + + + +Transcriber's note: A few typographical errors have been corrected: they +are listed at the end of the text. + + * * * * * + + +DIE HAUPTSÄCHLICHSTEN + +THEORIEN DER GEOMETRIE + +IN IHRER FRÜHEREN + +UND + +HEUTIGEN ENTWICKELUNG. + +HISTORISCHE MONOGRAPHIE + +VON + +DR. GINO LORIA, + +PROFESSOR DER HÖHEREN GEOMETRIE AN DER UNIVERSITÄT ZU GENUA. + +------ + +UNTER BENUTZUNG ZAHLREICHER ZUSÄTZE UND VERBESSERUNGEN SEITENS DES +VERFASSERS + +INS DEUTSCHE ÜBERTRAGEN + +VON + +FRITZ SCHÜTTE. + +MIT EINEM VORWORTE VON PROFESSOR R. STURM. + +LEIPZIG, + +VERLAG VON B. G. TEUBNER. + +1888. + + * * * * * + + +Druck von B. G. Teubner in Dresden. + + * * * * * + + +Seiner teueren Mutter + +als schwaches Unterpfand inniger Liebe + +widmet diese Arbeit + +der Verfasser. + +{III} + + + + * * * * * + +Vorwort. + +------ + + + +Diese deutsche Übersetzung der im vergangenen Jahre in den _Memorie della +Reale Accademia delle Scienze di Torino_ (Ser. II, Bd. 38) erschienenen +Monographie des Herrn Gino Loria: _Il passato e il presente delle +principali teorie geometriche_, welche mein Schüler Herr Fritz Schütte +angefertigt hat, begleite ich gern mit einem empfehlenden Vorworte, nachdem +ich sie mit der Originalschrift und den handschriftlichen Zusätzen und +Verbesserungen des Herrn Verfassers in Bezug auf ihre Richtigkeit +verglichen habe. + +Eine Geschichte der Geometrie unserer Zeit, in der jedes Jahrzehnt uns mehr +vorwärts bringt, als es früher in einem Jahrhundert geschah, welche uns zu +ungeahnten allgemeinen Anschauungen geführt hat, zu besitzen, ist der +Wunsch aller Geometer; aber wir wissen auch alle, wie unvergleichlich +schwerer die Aufgabe, eine solche zu schreiben, heute ist als vor fünfzig +Jahren, wo der _Aperçu historique_ von Chasles erschien. + +Herr Loria will seine »Chronik«, wie er seine Schrift in der Einleitung +nennt, nur als eine Vorarbeit angesehen haben, welche zur Inangriffnahme +des großen Werkes der Abfassung einer Geschichte der modernen Geometrie +anspornen und diesem Werke dienen soll. Der Umfang, den er zunächst seiner +Arbeit gegeben hat, bringt es, wie er selbst mehrfach bemerkt, freilich mit +sich, daß die Darstellung bisweilen auf eine bloße Aufzählung von Namen und +Schriften hinausläuft. Aber auch in diesem engeren Rahmen ist es, meine +ich, dem {IV} Verfasser gelungen, dem Leser, als welchen ich mir in erster +Linie einen Studierenden vorstelle, der schon etwas über die Anfänge hinaus +ist, eine anschauliche Übersicht der hauptsächlichsten +Untersuchungsrichtungen der Geometrie unserer Zeit vorzuführen; für alle +Geometer aber werden die reichhaltigen Litteraturnachweise von großem Werte +sein. Etwaige Lücken in denselben wird jeder, der unsere fast unübersehbare +und den wenigsten vollständig zugängliche mathematische Litteratur kennt, +dem Verfasser nicht anrechnen, und jede Mitteilung einer wesentlichen +Verbesserung oder Ergänzung wird er gewiß gern entgegennehmen, um seine +Schrift noch wertvoller zu machen, falls ihr eine neue Auflage beschieden +würde. + +Die Veränderungen, welche diese Übersetzung im Vergleich mit dem +italienischen Originale aufweist, bestehen, außer stark vermehrten +Litteraturnachweisen, in einer viel eingehenderen Besprechung der +Differentialgeometrie im Abschnitte III und der Umarbeitung der auf die +Gestalt der Kurven und der Oberflächen und die abzählende Geometrie +bezüglichen Teile der Abschnitte II und III zu einem besonderen Abschnitte. + + Münster i. W., Ende Mai 1888. + + R. STURM. + +{V} + + + + * * * * * + +Inhaltsverzeichnis. + +------ + + + + Seite + + Einleitung 1 + + I. Die Geometrie vor der Mitte des 19. Jahrhunderts 3 + + II. Theorie der ebenen Kurven 21 + + III. Theorie der Oberflächen 31 + + IV. Untersuchungen über die Gestalt der Kurven und Oberflächen. + Abzählende Geometrie 60 + + V. Theorie der Kurven doppelter Krümmung 71 + + VI. Abbildungen, Korrespondenzen, Transformationen 80 + + VII. Geometrie der Geraden 98 + + VIII. Nicht-Euklidische Geometrie 106 + + IX. Geometrie von n Dimensionen 115 + + Schluss 124 + + Abkürzungen für die häufig erwähnten Zeitschriften 130 + + Verzeichnis der verstorbenen Geometer, deren Lebenszeit angegeben ist 132 + +{1} + + + + * * * * * + +Einleitung. + +------ + + + + »Après six mille années d'observations l'esprit humain n'est pas + épuisé; il cherche et il trouve encore afin qu'il connaisse qu'il peut + trouver à l'infini et que la seule paresse peut donner des bornes à ses + connaissances et à ses inventions.« -- Bossuet. + +Die Fortschritte der exakten Wissenschaft im allgemeinen und der Mathematik +im besonderen[1] sind in diesen letzten Zeiten so beträchtlich gewesen, +fortwährend folgen weitere nach, so schnell und unaufhaltsam, daß sich +lebhaft das Bedürfnis fühlen macht, einen Rückblick auf den schon gemachten +Weg zu werfen, welcher den Anfängern ein leichteres Eindringen in die +Geheimnisse derselben und den schon Vorgeschrittenen ein sichereres Urteil +gestattet, welches die Probleme sind, deren Lösung am dringendsten ist. + +Der Wunsch, diesem Bedürfnisse zu entsprechen, soweit es die Geometrie +anlangt, d. h. soweit es den höheren Teil {2} unserer positiven Kenntnis +betrifft -- da, wie Pascal sagte, tout ce qui passe la géométrie nous +surpasse -- ist es, der mich veranlaßt, vorliegende Abhandlung zu +schreiben. + +Möge dieser unvollkommene Abriß die Veranlassung sein zu einer Schrift, die +der Erhabenheit ihres Zieles würdig ist; möge diese dürftige Chronik der +Vorläufer sein einer »Geschichte der Geometrie in unserem Jahrhundert«. {3} + + + + * * * * * + +I. + +Die Geometrie vor der Mitte des 19. Jahrhunderts. + +------ + + + +»Alle Entwickelungsstufen der Zivilisation sind so eng miteinander +verknüpft, daß man vergebens versuchen würde, irgend einen Zweig der +Geschichte von einer bestimmten Epoche ab zu studieren, ohne einen Blick +auf die vorhergehenden Zeiten und Ereignisse zu werfen.«[2] Wenn das im +allgemeinen wahr ist, so wird es doppelt der Fall sein »bei einer +Wissenschaft, die so konservativ ist, wie die Mathematik, welche das Werk +der vorhergehenden Periode nicht zerstört, um an dessen Stelle neue Bauten +zu errichten«.[3] Daher ist es unerläßlich, daß ich, bevor ich an das +eigentliche Thema dieser Abhandlung herantrete, d. h. bevor ich über die +moderne Geometrie spreche, kurz angebe, auf welche Weise die Geometrie zu +dem Standpunkte gelangt ist, von welchem ab ich vorhabe, ihre Entwickelung +eingehender zu verfolgen. + +Den ersten Ursprung der geometrischen Untersuchungen festzustellen, ist ein +fast unausführbares Unternehmen. Die täglichen Erfahrungen jedes denkenden +Menschen führen auf eine so natürliche Weise zur Vorstellung der +einfacheren geometrischen Formen und zur Erforschung ihrer gegenseitigen +Beziehungen, daß man vergebens versuchen würde, den Namen desjenigen zu +nennen, der zuerst Geometrie betrieben hat, und anzugeben, zu welcher Zeit +sie entstanden ist. Daher sind die Kenntnisse, welche man über die ersten +Spuren dieser Disziplin hat, sehr unbestimmt; wer sich {4} vornimmt, sie +festzustellen, den umhüllt, wenn nicht völlige Finsternis, so doch nur ein +wenig Dämmerlicht, welches ihm nur gestattet, die Umrisse bedeutenderer +Bruchstücke, welche sich den Unbilden der Zeit entzogen haben, zu erkennen. +So kann ein solcher feststellen, daß die ältesten geometrischen Studien von +den Ägyptern gemacht sind, und kann die Erzählung Herodots wiederholen, +nach welcher diesem Volke ein sehr wirksamer Antrieb, sich mit Geometrie zu +befassen, durch die periodischen Überschwemmungen des Nils gegeben wurde, +welche, indem sie die Grenzen zwischen den kleinen Besitzungen, in die +Ägypten unter seine Einwohner verteilt war, verwischten, sie nötigten, +dieselben jedes Jahr wieder herzustellen.[4] Die Haltbarkeit dieser +Hypothese, um die Thatsache zu erklären, daß in Ägypten die Wissenschaft, +von der wir handeln, eifrig betrieben sei, wird durch die praktische Natur +der Gegenstände bewiesen, welche dort eingehender behandelt wurden: +specielle Konstruktionen, Messungen von Längen, Flächeninhalten, Volumen +u. s. f.[5] + +Indem die Kenntnisse der Ägypter nach Griechenland übergingen, erhielten +sie durch Thales (640-540)[6] und die Anhänger der ionischen Schule, welche +er gründete, eine wissenschaftlichere Gestalt. Thales ist in der That der +erste, der sich damit beschäftigt hat, die von den Ägyptern entdeckten +Sätze und einige andere streng zu beweisen. Jedoch erhob sich die Geometrie +unter seinen Händen noch nicht zur wahren Wissenschaft; diese Würde +erlangte sie erst {5} durch die Untersuchungen des Pythagoras (nach einigen +569-470, 580-500 nach anderen) und seiner Schüler. Unglücklicher Weise aber +bestand eine der Regeln, welche die Pythagoräer strenge beobachten mußten, +darin, daß sie die Lehren, welche der Meister vortrug, geheim halten +mußten; daher kam es, dass der geometrische Teil derselben allen, die nicht +dieser Schule angehörten, unbekannt blieb. Aber nachdem das Haupt gestorben +war, da suchten seine Anhänger, als sie bei den inneren Kämpfen, welche die +Republiken Grossgriechenlands zerrissen, besiegt worden waren, Zuflucht in +Athen und offenbarten dort, von der Not getrieben, die Geheimnisse, welche +sie bis dahin so strenge verwahrt hatten. Und der wohlthätige Einfluß einer +grösseren Verbreitung dessen, was die Pythagoräer von der Mathematik +wußten, ist durch die wichtigen Forschungen offenbar geworden, welche in +der Folgezeit die griechischen Gelehrten in der Periode, welche zwischen +Pythagoras und Plato (429-348) liegt, gemacht haben. Sie können in drei +Kategorien geteilt werden, benannt nach den berühmten Problemen: der +Dreiteilung des Winkels, der Verdoppelung des Würfels, der Quadratur des +Kreises, und führten zur Vervollkommnung des mehr elementaren Teiles der +ebenen Geometrie. + +Plato verdanken wir den ersten Anstoß zum methodischen Studium der +Stereometrie, und das ist nicht das Einzige, wofür der göttliche Philosoph +auf den Dank der Geometer Anspruch erheben könnte; denn ihm ist auch die +analytische Methode zuzuschreiben, deren Macht allen bekannt ist, und +seiner Schule (Akademie) die Lehre von den Kegelschnitten und, was nicht +weniger wichtig ist, die von den geometrischen Örtern. + +Aus diesen gedrängten Angaben[7] wird man leicht entnehmen können, daß die +Bemühungen der angeführten Geometer zu einer Fülle von Eigenschaften der +Figuren und zu Methoden, sie zu erklären, geführt und die Elemente für eine +methodische Behandlung der Geometrie vorbereitet hatten. {6} Daher dauerte +es nicht lange, daß vollständige Zusammenstellungen dessen, was entdeckt +war, erschienen. Von vielen kennen wir nur die Existenz; nur eine einzige +ist uns vollständig erhalten worden, _die Elemente_ des Euklides, und das +glänzende Licht, welches von ihnen ausgeht, führt uns zu der Vermutung, daß +alle die anderen Zusammenstellungen durch die Vergleichung mit ihnen +verdunkelt sind. + +Mit diesem Buche, welches nach zweitausend Jahren noch als einzig angesehen +wird, »von dem man für die Entwickelung der Jugend diejenigen Resultate +erhoffen kann, mit Rücksicht auf die bei allen zivilisierten Nationen der +Unterricht in der Geometrie eine solch bedeutende Stellung in der Erziehung +der Jugend inne hat«,[8] nimmt die wahre Wissenschaft der Geometrie ihren +Anfang. Es ist das granitene Piedestal, auf welchem der großartige Bau der +griechischen Mathematik sich erhebt, auf dessen Gipfel sich die anderen +Werke Euklids und die unsterblichen Arbeiten von Archimedes (287-212), +Eratosthenes (276-194) und Apollonius (ca. 200 v. Ch.) befinden.[9] + +Diese berühmten Gelehrten bezeichnen den Höhepunkt der griechischen +Wissenschaft; nach ihnen beginnt die Periode des Verfalles, ja sogar, trotz +einiger wichtiger Untersuchungen eines Hipparch (161-126) und eines +Ptolomaeus (125 bis ungefähr 200), trotz der Arbeit eines genialen +Kommentators, wie Pappus war (derselbe lebte gegen Ende des {7} dritten +Jahrhunderts unserer Zeitrechnung), kommen wir nach und nach zu einer +Periode völliger Unthätigkeit auf dem Gebiete der Geometrie. + +Die Römer, die Eroberer und Gesetzgeber der Welt, scheinen jedes +Untersuchungsgeistes zu entbehren, und wenn die Geometrie in der Epoche, in +welcher sie herrschten, nicht ganz verfiel, so geschah das dank ihren +Agrimensoren, welche jedoch bei ihren Operationen nur eine Genauigkeit zu +erreichen suchten, die für die Bedürfnisse des täglichen Lebens +ausreicht.[10] + +{8} + +Auch das Mittelalter kann keine Veranlassung geben zu einer längeren +Erörterung. Die dichte Finsternis, welche in dieser Zeit die ganze +Menschheit bedeckte, gestattete nicht das Auftreten eines Gelehrten, dem +man irgend einen bemerkenswerten Fortschritt in der Geometrie verdankt. Man +kann nur erwähnen, daß die vielfachen in dieser Zeit errichteten heiligen +Bauwerke, die nach dem Ausspruche eines großen Dichters so zahlreich und +kühn waren, weil sie die einzigen der menschlichen Intelligenz damals +erlaubten Äußerungen darstellen, Kunde davon geben, daß derjenige Teil +unserer Wissenschaft, der jedem Baumeister unentbehrlich ist, auch in +dieser Zeit im allgemeinen bekannt war. + +Diese für unsere Wissenschaft so traurige Zeit kann man als beendet ansehen +mit Leonardo Fibonacci (etwa 1180-1250); erst als von diesem +ausgezeichneten Gelehrten die Algebra nach Europa übergeführt worden war, +und seine hervorragenden Arbeiten ihren Einfluß ausübten, da hatte diese +Periode der wissenschaftlichen Unthätigkeit ein Ende, und es beginnt eine +neue Zeit, deren wir Italiener uns mit Stolz erinnern müssen, da in ihr +unser Vaterland das Scepter der Mathematik inne hatte. Jedoch gravitierte +diese Periode, wenn sie auch von großer Bedeutung für die analytischen +Untersuchungen ist, nicht in merklicher Weise nach den geometrischen. +Cardano (1501-1576), Scipio Ferro (?-1525), Tartaglia (1500-1559), Ludovico +Ferrari (1522-1565) und andere weniger bedeutende, die dieser Periode +angehören, haben den Ruhm, in unserem Lande die Entwickelung eines der +wichtigeren Teile der Analysis, nämlich der Theorie der Gleichungen, +bewirkt zu haben, sowie auch die Vervollkommnung einiger der schwierigsten +Teile derselben gefördert zu haben, dank den öffentlichen +wissenschaftlichen Herausforderungen, welche eine charakteristische +Eigentümlichkeit dieser Zeit waren. Hingegen überlieferten {9} sie die +Geometrie ihren Nachkommen fast in demselben Zustande, in welchem sie +dieselbe von den Griechen und den Arabern erhalten hatten.[11] + +Nach dem Tode dieser tapferen Kämpen ging der Primat in der Mathematik über +die Alpen und wurde von Frankreich infolge der Verdienste eines Vieta +(1540-1603) und eines Fermat (1590-1663) übernommen. Durch sie bereicherte +sich die Geometrie mit Lösungen, die man vorher vergebens gesucht hatte. +Auch wurden einige Werke des Apollonius, deren Verlust man beklagt hatte, +wieder hergestellt. + +Nicht viel später vermehrten Pascal (1623-1662) und Desargues (1593-1662) +das Erbteil der Geometrie mit originellen Gesichtspunkten, mit neuen +Methoden und neuen Sätzen[12]. Aber die von ihnen ausgesprochenen Ideen +blieben {10} viele Jahre hindurch unfruchtbar, weil sie von dem +analytischen Geiste, dessen überwiegender Einfluß sich schon geltend +gemacht hatte, unterdrückt wurden. + +Gleichwohl war im 17. Jahrhundert das Vorwiegen der Analysis noch nicht ein +solches, daß es die Geometer die Probleme, deren Lösung man seit langer +Zeit und so lebhaft gewünscht hatte, vergessen ließ. Zwischen den +Bestrebungen dieser Zeit und den Wünschen der Gelehrten erhob sich in der +Folge ein Wettkampf eigener Art, und aus dem Zusammenstoße +verschiedenartiger Ansichten und Bestrebungen entsprang ein Funke, der +fähig war, eine Flamme zu erregen, welche die kommenden Generationen +erleuchten sollte;[13] es entstand die analytische Geometrie (1637). + +Wenn man auch schon in einigen Methoden der griechischen Geometer, in +einigen praktischen Regeln der Maler, der ägyptischen Astronomen und der +römischen Agrimensoren Spuren von dem finden kann, was wir heute +rechtwinkliges Cartesisches Koordinatensystem nennen; wenn auch schon die +Araber und die italienischen Algebraiker aus der Renaissancezeit +geometrische Betrachtungen auf die Lösung der Gleichungen angewandt +hatten,[14] wenn auch schon Vieta die Abscissen gebraucht hatte, um +vermittelst Zahlen die Punkte einer Geraden zu bestimmen, wenn schließlich +Nicolaus Oresme (ca. 1320-1382) und Fermat mehr oder weniger bewußt sich +der Koordinaten bedient haben; so scheint doch ganz unbestreitbar Descartes +(1596-1650) der erste zu sein, welcher in ihrer ganzen Ausdehnung die volle +Einsicht von der Möglichkeit, mit den algebraischen Rechnungszeichen die +nach irgend einem Gesetze aufgebauten Formen des Raumes darzustellen, +gehabt und der den ganzen Vorteil, den die Analysis und die Geometrie aus +ihrer {11} unerwarteten Vereinigung ziehen können, erkannt hat. Mit Recht +wird daher Cartesius' Namen immer mit der Entdeckung der analytischen +Geometrie verbunden bleiben.[15] + +Die Leichtigkeit, mit welcher dieses neue Werkzeug Fragen zu lösen +gestattete, welche die Alten für unangreifbar hielten, ließ die +Zeitgenossen und unmittelbaren Nachfolger Descartes' die von Euklides, +Archimedes und Apollonius eröffneten Wege ganz vergessen, so dass wir eine +Zeitlang niemanden finden, der, um zu irgend einer wichtigen Wahrheit zu +gelangen, sie eingeschlagen hätte. + +Die kurz nach Descartes gleichzeitig von Leibniz (1646-1716) und Newton +(1642-1727) neu erfundenen Rechnungsarten betonten gerade diese Richtung, +da sie bewirkten, daß man sich um diejenigen Probleme nicht bekümmerte, +deren Lösung nicht geeignet war, die Allmacht der Methoden, welche die Welt +diesen unsterblichen Geistern verdankt, hervortreten zu lassen, derartig, +daß man sagen kann, daß mit Ausnahme der _Philosophiae naturalis principia +mathematica_ (1686) von Newton und einiger Seiten von Huygens +(1629-1695),[16] von La Hire (1640-1718),[17] von Halley (1656-1742),[18] +Maclaurin (1698-1746),[19] Simpson (1687-1768),[20] von Stewart {12} +(1717-1785)[21] keine mathematische Produktion jener Zeit dem angehört, was +wir heute synthetische Geometrie zu nennen pflegen.[22] + +Das hindert aber nicht, daß man diese Periode ohne Bedenken zu den +erfreulichsten für die Geometrie rechnen muß. In der That ist der größere +Teil der Probleme, welche von den Erfindern der Infinitesimalrechnung und +ihren unmittelbaren Schülern aufgestellt oder gelöst worden, unter die +wichtigsten der ganzen Geometrie zu rechnen, da sie die interessantesten +und verstecktesten geometrischen und mechanischen Eigenschaften der Kurven +und Oberflächen berühren. Wir sehen daher, daß nicht allein die Zahl der +Kurven, welche einer näheren Betrachtung wert sind, sich ausserordentlich +vermehrt,[23] sondern auch -- was viel wichtiger ist --, daß die +Betrachtung von Singularitäten einer Kurve und anderer neuer mit dieser +verbundener Elemente eingefübrt wird, und daß infolge dessen +Untersuchungsgebiete sich eröffnen, deren Existenz man vorher gar nicht +geahnt hatte. + +Die Leichtigkeit, welche die Cartesische Methode in der Auflösung einer so +großen Anzahl von planimetrischen Aufgaben mit sich brachte, trieb +natürlich die Geometer an, {13} eine ähnliche für das Studium der +Raumkurven und der Oberflächen zu schaffen. Daher entstand eine +Verallgemeinerung dieser Methode, welche Descartes schon angedeutet hatte, +und die Schooten (16..-1661)[24] in weiterer Ausführung veröffentlichte. +Diese Andeutungen ließen bei Parent (1666-1716) den Gedanken entstehen, +eine Oberfläche durch eine Gleichung zwischen den drei Koordinaten eines +ihrer Punkte darzustellen,[25] und bereiteten deshalb die analytische +Geometrie dreier Koordinaten vor, welche im Jahre 1731 einen wesentlichen +Teil der Mathematik zu bilden begann infolge einer klassischen Abhandlung +von Clairaut (1715-1765),[26] in welcher er im Alter von nur 16 Jahren mit +einer seltenen Eleganz viele von den auf die Kurven doppelter Krümmung +bezüglichen Problemen löste, welche ihre entsprechenden in der Ebene +finden. Bald nach Clairaut schuf Euler (1707-1783) die analytische Theorie +der Krümmung der Oberflächen (1760)[27] und wandte die analytische Methode +an, um eine Klassifikation der Oberflächen zweiten Grades zu erhalten, +gegründet auf analoge Kriterien, wie diejenigen, welche den Alten dazu +gedient hatten, die Kurven zweiter Ordnung in Ellipsen, Parabeln und +Hyperbeln zu unterscheiden. Endlich gehört der zweiten Hälfte des +vergangenen Jahrhunderts das riesige Werk von Monge (1746-1818) an. Dieser +verschaffte der analytischen Geometrie zweier Koordinaten das Aussehen, +welches sie heute besitzt, indem er den methodischen Gebrauch der Gleichung +einer Geraden einführte. Er stellte den wichtigen Begriff von +Flächenfamilien auf und, indem er einige derselben behandelte +(Regelflächen, abwickelbare, Röhrenflächen, »Surfaces moulures«), entdeckte +er einen versteckten innigen Zusammenhang zwischen der Theorie der +Oberflächen und der Integration der partiellen Differentialgleichungen, +{14} was Licht in diese, wie in jene Lehre brachte und den Geometern neue +Gesichtspunkte enthüllte.[28] + +Die geistige Bewegung, welche mit der Renaissancezeit begonnen und Italien +an ihrer Spitze hatte, pflanzte sich, wie wir schon gesehen haben, zuerst +unter Frankreichs Leitung fort, dann unter der von England und Deutschland. +Aber gegen Ende des 18. Jahrhunderts, als Euler aufgehört hatte »zu rechnen +und zu leben«,[29] stellte sich Frankreich wieder an die Spitze der +mathematischen Welt. Nicht allein mit Clairaut, d'Alembert (1716-1783), +Lagrange (1736-1813), Laplace (1749-1827), Legendre (1752-1833), Poisson +(1781-1840) und anderen gab es den Anstoß zum Studium der reinen und +angewandten Analysis, sondern es kehrten auch mit Monge, Carnot (1753-1823) +und Poncelet (1788-1867) die Gelehrten zum Studium der geometrischen Formen +zurück, in der Weise, wie es die Alten verstanden. + +Monge schuf, indem er zu einem wissenschaftlichen Ganzen die wenigen Regeln +vereinigte, welche die Baumeister und Maler sich geschaffen hatten, um die +Bedürfnisse der Kunst zu befriedigen, und glücklich die Lücken ausfüllte, +die sich zwischen ihnen noch bemerkbar machten, einen neuen Zweig der +Geometrie, die darstellende Geometrie. Mit seinem klassischen Buche, +welches er dieser Disziplin widmete,[30] und noch viel mehr mit seinen +unvergleichlichen Vorlesungen, die er an der polytechnischen Schule hielt, +brachte er das Studium der Geometrie, welches sich auf die direkte +Anschauung der Figur stützt, zu Ehren[31] und, indem {15} er die +Vorstellung der geometrischen Figuren von drei Dimensionen erleichterte, +machte er jene systematische Anwendung von stereometrischen Betrachtungen +auf das Studium der ebenen Figuren möglich, welche Pappus schon erkannt +hatte.[32] + +Der _Géométrie descriptive_ von Monge darf man die _Géométrie de position_ +von Carnot[33] an die Seite stellen, weil diese, indem sie mit jener das +Ziel gemeinsam hat, der Geometrie diejenige Allgemeinheit zu verschaffen, +welche man ausschließlich der Analysis zugetraut hatte, nicht weniger als +jene dazu beitrug, den Aufschwung der reinen Geometrie vorzubereiten, +welchen man von dem Erscheinen des _Traité des propriétés projectives des +figures_ (1822)[34] datieren kann. + +Um zu überzeugen, wie bemerkenswert dieses Datum sei, wird es genügen, zu +erwähnen, daß gerade in dem {16} großen Werke von Poncelet die Macht der +Zentralprojektion als einer Methode der Demonstration und des Prinzips der +Kontinuität als eines Untersuchungsmittels zum ersten Male gezeigt ist;[35] +daß das tiefere Studium der Homologie zweier ebener oder räumlicher Systeme +in demselben zum Begriffe der Korrespondenz zwischen zwei +Mannigfaltigkeiten zweier oder dreier Dimensionen führte; daß die +Kenntnisse der Alten über die Polarität in Bezug auf einen Kegelschnitt und +die von der Mongeschen Schule gewonnenen über die Polarität in Bezug auf +eine Fläche zweiter Ordnung, die dort zum ersten Male sich vereinigt +finden, das Gesetz der Dualität vorbereiteten, welches, von Snellius +(1581-1626)[36] und Viète[37] in der sphärischen Geometrie erkannt, +bestimmt war, in seiner ganzen Allgemeinheit vier Jahre später von Gergonne +(1771-1859)[38] ausgesprochen zu werden; daß sich schließlich dort jene +eleganten Untersuchungen über die Vielecke, die einem Kegelschnitt ein- und +einem anderen umbeschrieben sind, finden, die Jacobi (1804-1851), Richelot +(1808-1875) und anderen Gelegenheit geben sollten, davon eine der +elegantesten Anwendungen der Theorie der elliptischen Funktionen zu machen, +welche man kennt.[39] + +Die Abhandlungen, welche Poncelet der Theorie der harmonischen Mittel, der +reciproken Polaren und der {17} Transversalen widmete, sowie andere weniger +bedeutende von Gelehrten, welche zur Mongeschen Schule gehörten, führen uns +zum Jahre 1837, in welchem Chasles' (1796-1880) _Aperçu historique sur +l'origine et le développement des méthodes en géométrie_[40] veröffentlicht +wurde. In diesem unübertrefflichen Werke brachte der Autor, nachdem er in +bewunderungswerter Form alles, was das Erbteil der reinen Geometrie in +seiner Zeit bildete, zusammengestellt hatte, die Rechte zur Geltung, die +sie auf die Beachtung der Gelehrten hatte und welche von den blinden +Anbetern der Analysis ihr versagt worden waren, und zeigte durch wichtige +und originelle Untersuchungen, mit welchem Rechte er sich zum Beschützer +der Sache der Geometrie gemacht hatte.[41] + +Jedoch in dem Zeitraume, welcher zwischen dem Erscheinen des Ponceletschen +Werkes und desjenigen von Chasles liegt, hatte sich Deutschland aus dem +Schlafe gerüttelt, in welchen die einschläfernden Arbeiten der Schule {18} +der Kombinatoriker es versetzt hatten. Dieses Wiedererwachen bedeutete +einen neuen Übergang des Szepters der Mathematik von Frankreich nach +Deutschland.[42] In der That sehen wir durch die Arbeiten von Gelehrten wie +Möbius (1790-1868),[43] Steiner (1796-1863),[44] {19} Plücker +(1801-1868)[45] und von Staudt (1798-1867)[46] die analytische Geometrie +sich mit Methoden bereichern, von denen wir nicht wissen, ob wir mehr ihre +Eleganz oder ihre Macht bewundern sollen, so der Barycentrische Calcul und +die abgekürzte Bezeichnung; wir sehen die synthetische Geometrie +Hilfsmittel erwerben für das Studium, der Kurven und Oberflächen, die bis +dahin für dieselbe unerreichbar {20} waren, sowie für die Gründung einer +reinen Geometrie der Lage, die ganz und gar unabhängig ist von dem Begriffe +des Maßes. Dank dem von Crelle (1780-1855) in dieser Zeit gegründeten +Journal (1826), das bald zu verdientem Rufe gelangte, vorzüglich durch die +Abhandlungen Abels (1802-1829), Jacobis und Steiners verbreiteten sich die +eben angeführten Resultate schnell. Und so sehen wir hinter diesen Größen +eine zahlreiche und glänzende Anzahl von Schülern, welche, indem sie Ähren +lasen auf den Feldern, die von ihren Meistern bebaut waren, die +Fruchtbarkeit des Samens zeigten, den jene ausgestreut hatten. + + + +Hiermit will ich den Abriß der geistigen Bewegung, welche die neuesten +geometrischen Untersuchungen vorbereitet hat, geschlossen haben und ich muß +mich nun im einzelnen mit denselben befassen. Um mir nun die vorgenommene +Aufgabe der Darlegung derselben zu erleichtern, werde ich meine Darstellung +in verschiedene Teile teilen. Zuerst will ich mich mit der Theorie der +ebenen Kurven und der Oberflächen beschäftigen, dann, nach einer kurzen +Abschweifung zu den Untersuchungen über die Gestalt der Kurven und +Oberflächen und über die abzählende Geometrie, werde ich mich mit den +Studien über die Raumkurven befassen, um davon zur Darlegung des Ursprunges +und der Entwickelung der Lehre von den geometrischen Transformationen +überzugehen; darauf wende ich mich zur Geometrie der Geraden, um dann mit +der Nicht-euklidischen Geometrie und der Theorie der Mannigfaltigkeiten von +beliebig vielen Dimensionen zu schließen.[47] + +{21} + + + + * * * * * + +II. + +Theorie der ebenen Kurven. + +------ + + + +Die allgemeine Theorie der ebenen Kurven entstand zugleich mit der +cartesischen Geometrie. Es ist leicht die Gründe für die Thatsache +anzugeben, daß das Erscheinen einer so wichtigen Theorie sich bis zu diesem +Zeitpunkte verzögert hatte. In der That sind ja die Definition der Ordnung +einer Kurve, die daraus folgende Einteilung der Kurven in algebraische und +transcendente, der exakte Begriff einer in ihrer Ordnung allgemeinen Kurve +ihrer Natur nach wesentlich analytische Begriffe. Sie synthetisch zu +bestimmen, ist ein sehr schweres Problem, welches heutzutage erst den +wiederholten Anstrengungen der Geometer zu weichen sich anschickt; dagegen, +wenn man ein Koordinatensystem anwendet, eine wie leichte Sache ist es +dann, diese fundamentalen Begriffe festzustellen, sie unter einander zu +verbinden und aus ihnen interessante Folgerungen zu ziehen! + +Die Wahrheit dieser Behauptung finden wir durch die Thatsache bestätigt, +daß kurz nach Descartes wichtige Eigenschaften, die allen algebraischen +Kurven gemeinsam sind, entdeckt wurden. Solche sind z. B. diejenigen, +welche Newton in den drei berühmten Theoremen, die in seiner _Enumeratio +linearum tertii ordinis_ (1706) enthalten sind, bekannt gemacht hat; ferner +diejenigen, welche Newtons Schüler Cotes (1682-1716) und Maclaurin als eine +Verallgemeinerung der von Newton entdeckten Eigenschaften gaben;[48] {22} +schließlich die von Waring (1734-1798)[49] gefundenen. Überdies wurden noch +von Maclaurin[50] und Braikenridge (etwa 1700, + nach 1759)[51] einige +interessante organische Erzeugungsweisen von Kurven hinzugefügt, die +ähnlich denjenigen waren, welche Newton für die Kegelschnitte gegeben +hat.[52] Endlich wurden von De Gua (1712-1786)[53] Methoden für die +Bestimmung der Singularitäten der durch Gleichungen definierten ebenen +Kurven angegeben. + +Es ist überflüssig zu sagen, daß die ersten methodischen Bearbeitungen der +Theorie der ebenen Kurven unter dem Einflüsse der analytischen Geometrie +stehen; wir verdanken solche Euler[54] und Cramer (1704-1752)[55]. Diese +studierten dieselben von Grund auf (kurz nacheinander, der eine 1748, der +andere 1750), indem sie sich vorzugsweise mit den Singularitäten befaßten, +besonders mit den Fragen, welche man heute mit Hilfe der Geometrie des +unendlich Kleinen löst. In dem Werke von Cramer, das in vielen Beziehungen +zu bewundern ist, finden wir auch schon die ersten Untersuchungen über die +Schnitte von Kurven und unter diesen auch den Hinweis auf das, was man +später »das Cramersche Paradoxon« genannt hat; das ist jener scheinbare +Widerspruch zwischen der Zahl der Punkte, die zur Bestimmung einer Kurve +von gegebener Ordnung nötig {23} sind, und der Zahl der Schnitte zweier +Kurven derselben Ordnung,[56] ein Widerspruch, welcher viele Jahre später +(1818) von Lamé (1795-1870) durch das berühmte Prinzip aufgehoben wurde, +welches seinen Namen trägt und das man als den Grundstein jenes gewaltigen +Bauwerkes ansehen muß, welches aus einer Fülle von Lehrsätzen von +Gergonne,[57] Plücker,[58] Jacobi,[59] Cayley[60] errichtet ist, und auf +dessen Gipfel die geometrische Interpretation des berühmten Abelschen +Theorems[61] steht. + +Nach den Arbeiten Eulers, Cramers und dem _Examen des différentes méthodes +employées pour résoudre les problèmes de géométrie_, in welchem Lamé mit +großem Erfolge das vorhin angeführte Prinzip auseinandergesetzt und +angewandt hatte, müssen wir uns zu Plücker wenden, um zu Arbeiten zu +kommen, welche einen bemerkenswerten Fortschritt in der Theorie, die uns +beschäftigt, bewirken. In dem im Jahre 1835 von diesem ausgezeichneten +Geometer veröffentlichten _System der analytischen Geometrie_ ist von der +Methode der abgekürzten Bezeichnung Gebrauch gemacht und dieselbe für die +Vervollständigung der Klassifikation der kubischen ebenen Kurven benutzt +worden, welche so viele bedeutende Gelehrte unternommen hatten. In der vier +Jahre später gedruckten {24} _Theorie der algebraischen Kurven_[62] findet +sich dann noch außer einer Aufzählung der ebenen Kurven vierter +Ordnung,[63] welche Bragelogne (1688-1744)[64] und Euler[65] nur versucht +hatten, die Aufstellung und Lösung einer Frage von sehr großer Wichtigkeit, +derjenigen nämlich, die Beziehungen zwischen den Zahlen der gewöhnlichen +Singularitäten einer ebenen Kurve zu finden. Schon Poncelet hatte (1818) +den Zusammenhang zwischen der Ordnung und der Klasse einer allgemeinen +Kurve ihrer Ordnung gefunden und später den Einfluß eines Doppelpunktes +bestimmt; indem er nun auf diese Resultate das Prinzip der Dualität +anwandte, stieß er auf jenen anderen scheinbaren Widerspruch, welchen wir +heute das Ponceletsche Paradoxon nennen, ohne daß es ihm gelang, dafür eine +vollständige Erklärung zu finden. Das geschah durch Plücker vermittelst der +berühmten nach ihm benannten Formeln, welche gestatten, drei +Charakteristiken einer Kurve zu finden (Ordnung, Klasse, Zahl der +Doppelpunkte, der Doppeltangenten, Zahl der Wendetangenten und der +Rückkehrpunkte), wenn man die übrigen kennt. + +Auf die Frage, welche in einem gewissen Sinne reciprok zu der durch die +Plückerschen Formeln gelösten ist, ob jeder Lösung derselben eine wirkliche +Kurve entspreche, mußte man negativ antworten, da neuere Untersuchungen +{25} dargethan haben, daß für gewisse Kurven (die rationalen Kurven) die +Zahl der Rückkehrpunkte eine gewisse Grenze nicht übersteigen kann.[66] + +Auf der anderen Frage, die Plückerschen Formeln auf eine Kurve auszudehnen, +welche mit Singularitäten höherer Ordnung ausgestattet ist, beruhen die +Untersuchungen von Cayley und anderen,[67] welche zu dem Schlüsse geführt +haben, daß jede Singularität einer Kurve als äquivalent einer gewissen +Anzahl von Doppelpunkten, Spitzen, Wendetangenten und Doppeltangenten +betrachtet werden kann. + +Ich füge noch hinzu, daß man durch Jacobi,[68] Hesse (1811-1874),[69] +Salmon,[70] Cayley[71] und deren zahlreiche Kommentatoren[72] heute im +Besitze eleganter Methoden ist, um analytisch die Wendepunkte einer durch +eine Gleichung gegebenen Kurve, sowie die Berührungspunkte ihrer +Doppeltangenten anzugeben. + +Dank dem einen der überaus wertvollen Lehrbücher,[73] mit welchen Salmon so +gewaltig zur Verbreitung der neuesten algebraischen und geometrischen +Methoden beigetragen hat, ist es heutzutage leicht, sich über diese und +viele andere Fragen, welche sich auf die analytische Theorie der ebenen +Kurven beziehen, eine genaue Kenntnis zu verschaffen. + +{26} + +Man braucht aber nicht zu glauben, daß bei diesem Studium der fortwährende +Gebrauch der Analysis unumgänglich sei; vielmehr erhob sich bald neben der +Darlegung der Theorie der ebenen Kurven durch Euler, Cramer, Plücker, +Salmon eine ebenso vollständige, aber mehr geometrische Theorie. + +In einer berühmten Mitteilung, die im Jahre 1848 der Berliner Akademie +gemacht wurde, zeigte Steiner, indem er die Theorie der Polaren eines +Punktes in Bezug auf eine Kurve wieder aufnahm, welche Bobillier +(1797-1832) schon vordem[74] als eine Erweiterung der Diametralkurven +Newtons und Cramers aufgestellt, und mit welcher auch Graßmann (1809-1877) +sich beschäftigt hatte,[75] daß dieselbe als Grundlage für ein vom +Gebrauche der Koordinaten unabhängiges Studium der ebenen Kurven dienen +kann, und führte jene bemerkenswerten zu einer gegebenen Kurve covarianten +Kurven ein, die heute seinen, Hesses und Cayleys Namen tragen. Diese kurzen +Andeutungen, verbunden mit den Untersuchungen von Steiner selbst, von +Chasles[76] und Jonquières[77] über die Entstehung der algebraischen Kurven +vermittelst projektiver Büschel von Kurven niederer Ordnung, dienten als +Grundlage für die _Introduzione ad una teoria geometrica delle curve +piane_,[78] in {27} welcher Cremona in einer einheitlichen Methode zugleich +mit vielen neuen Resultaten alles auseinandersetzt, was wichtigeres von den +analytischen Geometern, die ihm vorhergingen, erhalten worden war. + +Bei dem außerordentlichen Interesse der Sache scheint es mir auch, daß man +in die Reihe der schon zitierten Arbeiten auch die Serie von Abhandlungen +zu stellen hat, in welchen Clebsch (1833-1872) zuerst die Algebra der +linearen Transformationen auf die Geometrie angewandt hat, dann, nachdem er +die Wichtigkeit des Begriffes des Geschlechtes einer Kurve ins Licht +gestellt, die Anwendung der Theorie der elliptischen[79] und Abelschen +Funktionen auf die Wissenschaft von der Ausdehnung darlegte und sie für das +Studium der rationalen und elliptischen Kurven benützte.[80] Es ist wahr, +daß Brill und Nöther in einer Abhandlung,[81] deren Bedeutung von Tag zu +Tag wächst, gezeigt haben, daß die Theorie der algebraischen Funktionen in +vielen Fällen die der eben angeführten Transcendenten ersetzen kann, aber +das vermindert nicht, sondern vergrößert vielmehr das Verdienst, welches +man den Methoden von Clebsch zuerkennen muß, da die von hervorragenden +Geistern gemachten Anstrengungen, den Gebrauch eines {28} Hilfsmittels +vermeiden zu können, der überzeugendste Beweis der Macht desselben sind. + +Die bis jetzt besprochenen Arbeiten behandeln allgemeine Eigenschaften der +ebenen algebraischen Kurven.[82] Aber an sie reiht sich eine große Menge +von schönen Spezialabhandlungen, welche eine bestimmte Kategorie von Kurven +behandeln; auf diese wollen wir einen kurzen Blick werfen. + +Unter ihnen sind vor allen zu bemerken die von Maclaurin,[83] von +Sylvester,[84] Cayley,[85] Salmon,[86] Durège,[87] Cremona,[88] von +Sturm,[89] von Küpper,[90] Graßmann,[91] Milinowski[92] und von anderen +über die Kurven dritter Ordnung,[93] die Kapitel des _Barycentrischen +Calculs_, dann verschiedene Arbeiten von Em. Weyr,[94] von Clebsch und {29} +vielen anderen[95] über die rationalen Kurven; die wichtigen Untersuchungen +Steiners und Chasles' über die Kurven, die mit einem Centrum versehen +sind,[96] und die von Steiner über die dreispitzige Hypocykloide;[97] +ferner die Arbeiten, welche dem Beweise oder der Verallgemeinerung der dort +ausgesprochenen Eigenschaften gewidmet sind,[98] die interessanten +Untersuchungen von Bertini[99] über rationale Kurven, für welche man +willkürlich die vielfachen Punkte bestimmen kann, die wichtigen Studien von +Brill über die Kurven vom Geschlechte zwei,[100] dann die eleganten +Abhandlungen von Klein und Lie[101] über die Kurven, welche eine +infinitesimale Transformation in sich selbst zulassen, endlich die von +Fouret über die Kurven, welche die eigenen reciproken Polaren in bezug auf +unendlich viele Kegelschnitte sind,[102] und die von Smith (1826-1883) über +die Singularitäten der Modularkurven.[103] + +{30} + +Neben diesen verdient dann noch eine hervorragende Stelle die Abhandlung +von Steiner über die einer ebenen kubischen Kurve[104] oder einer Kurve +vierter Ordnung mit zwei Doppelpunkten eingeschriebenen Vielecke, auf +welche die jüngsten Arbeiten von Küpper[105] und Schoute[106] von neuem die +Aufmerksamkeit der Gelehrten gelenkt haben. Die Knappheit des Raumes nötigt +mich, flüchtig hinwegzugehen über die Untersuchungen von Cayley _On +polyzomal Curves otherwise the Curves_ [Wurzel]u + [Wurzel]v + ... = +0;[107] von Graßmann, Clebsch,[108] Schröter[109] und Durège,[110] +betreffend die Erzeugung ebener Kurven dritter Ordnung, über die von +Lüroth,[111] von Casey,[112] Darboux,[113] Siebeck,[114] von Crone,[115] +Zeuthen[116] und noch anderen über einige spezielle ebene Kurven vierter +Ordnung, über die von Battaglini, die sich auf die syzygetischen Kurven +dritter Ordnung beziehen,[117] und andere, welche auch eine besondere +Erwähnung verdienen würden. + +{31} + +Was ich aber nicht mit Stillschweigen übergehen kann, das sind die Arbeiten +von Hesse über die Wendepunkte einer Kurve dritter Ordnung und über die +Gleichung, welche zu deren Bestimmung dient;[118] dann die von demselben +Hesse,[119] Steiner,[120] Aronhold[121] (1819-1884) über die +Doppeltangenten einer Kurve vierter Ordnung, welche eine hervorragende +Stelle verdienen, da sie viele bemerkenswerte Eigenschaften derselben ins +Licht gestellt haben; dieselben wurden darauf von Geiser[122] durch +stereometrische Betrachtungen dargethan, von Clebsch[123] dagegen und +Roch[124] vermittelst der Theorie der Abelschen Funktionen untersucht. + + + + * * * * * + +III. + +Theorie der Oberflächen. + +------ + + + +Das Streben nach Verallgemeinerung, welches die geometrischen +Untersuchungen leitete, seitdem sich der Einfluß der Analysis auf dieselbe +mehr oder weniger offen geltend gemacht, trieb alsbald die Gelehrten dazu, +sich mit den Erscheinungen des Raumes zu beschäftigen, welche Analogien mit +den schon in der Ebene betrachteten darbieten. Daher sehen wir denn auch +die Forschungen über die Oberflächen {32} bald denen über die ebenen Kurven +folgen. Die Theorie dieser Gebilde ist jedoch neueren Ursprungs. + +Den griechischen Geometern waren in der That nur einige wenige besondere +Oberflächen bekannt (die Kugel, die Cylinder und Kegel, Konoide und +Sphäroide, die plektoidischen Oberflächen und wenige andere). Erst Wren +(1669), Parent und Euler begannen sich mit den Oberflächen zweiten Grades +zu beschäftigen, und wir müssen zur Schule von Monge gehen, um die +Eigenschaften von grösserer Wichtigkeit dieser höchst bemerkenswerten +Oberflächen anzutreffen.[125] Zu diesen ersten Eigenschaften wurden in +unserem Jahrhundert durch das zahlreiche Heer von Geometern, welche die +Flächen zweiter Ordnung einer besonderen Betrachtung unterwarfen, viele +andere hinzugefügt, und dank den Arbeiten so ausgezeichneter Gelehrter, wie +Jacobi,[126] {33} MacCullagh (1809-1847),[127] Chasles,[128] Hesse,[129] +Seydewitz (1807-1852),[130] Schröter[131] konnte die Theorie der +Oberflächen zweiter Ordnung in den mehr elementaren {34} Unterricht +eingeführt werden und methodisch auf analytischem sowohl wie synthetischem +Wege behandelt werden.[132] + +Aber nach der Lehre von den Oberflächen zweiten Grades entstand und +entwickelte sich alsbald die der Oberflächen höherer Ordnung. Chasles[133] +und Gergonne,[134] als die ersten, entdeckten an diesen Gebilden wunderbare +Eigenschaften. Poncelet bestimmte die Klasse einer in ihrer Ordnung +allgemeinen algebraischen Oberfläche[135] und eröffnete so die +Untersuchungen, welche zu den Beziehungen führen sollten, mit welchen +Salmon[136] und Cayley[137] die Lösung der analogen Aufgabe zu derjenigen +versuchten, welche Plücker durch seine berühmten Formeln gelöst hatte. + +Jacobi[138] und später Reye[139] beschäftigten sich mit den Kurven und +Gruppen von Punkten, die durch den Schnitt von algebraischen Oberflächen +entstehen. Chasles,[140] Cremona,[141] Reye,[139] Escherich,[142] +Schur,[143] mit ihrer {35} Entstehung vermittelst projektiver oder +reciproker Systeme von Oberflächen niederer Ordnung, Graßmann +(1809-1877)[144] mit anderen Erzeugungsweisen; Salmon,[145] Clebsch,[146] +Sturm,[147] Schubert[148] und andere behandelten eine wichtige Klasse von +Aufgaben, welche sich auf Gerade beziehen, die mit einer gegebenen +Oberfläche Berührungen von vorher bestimmter Ordnung haben; schließlich +entdeckte Schur vor kurzem eine lineare Konstruktion[149] für Flächen +beliebiger Ordnung. Eine interessante Erweiterung der Polarentheorie der +Oberflächen beliebiger Ordnung verdanken wir Reye.[150] + +Trotz dieser und anderer Arbeiten, die ich der Kürze halber stillschweigend +übergehen muss, trotz der schönen Darlegungen, welche Salmon[151] und +Cremona[152] über sie gemacht haben, kann man doch nicht sagen, daß die +Theorie der Oberflächen weit vorgeschritten sei. Die Fragen, die noch zu +lösen bleiben, sind zahlreich und von fundamentaler Wichtigkeit, und die +Mittel, die zur Überwindung der Schwierigkeiten, welche deren Lösung +bietet, zur Verfügung stehen, sind noch nicht genügend vervollkommnet. +Vielleicht ist das der Grund dafür, daß so viele Gelehrte sich zum Studium +besonderer Flächen wandten, indem sie hofften, nicht nur auf diesem Felde +eine reichlichere Ernte von Wahrheiten zu machen, sondern auch zu +Untersuchungsmethoden zu gelangen, die der Verallgemeinerung fähig sind. -- +Und {36} daß ihre Erwartungen teilweise nicht getäuscht worden sind, das +beweisen die zahlreichen Resultate, die man schon über die Oberflächen +dritten Grades, sowie über einige von der vierten Ordnung erhalten hat, +über welche es mir noch obliegt, Bericht zu erstatten. + +Es ist allgemein bekannt, daß die beiden hervorragendsten Eigenschaften +einer Fläche dritter Ordnung die sind, 27 Gerade zu enthalten, und ein +Pentaeder zu besitzen, welches zu Ecken die Doppelpunkte und zu Kanten die +Geraden der Hesseschen Fläche jener Oberfläche hat. England und Deutschland +können sich um die Ehre, sie entdeckt zu haben, streiten. Wenn auch schon +im Jahre 1849 Cayley und Salmon[153] die Geraden einer kubischen Fläche +bestimmt haben, und im Jahre 1851 Sylvester[154] das Pentaeder entdeckte, +so ist doch nicht minder wahr, daß Steiner unabhängig von ihnen die +Existenz jener und dieses in seiner berühmten Mitteilung, welche er der +Berliner Akademie im Jahre 1853 machte, behauptet hat.[155] Aber während +die Studien der englischen Geometer fast gänzlich der Fortsetzung +entbehren,[156] steht die Arbeit von Steiner an der Spitze einer langen +Reihe von Schriften, durch welche die Theorie der Oberflächen dritter +Ordnung schnell einen ungehofften Grad der Vollendung erhielt. Indem ich +die Abhandlungen von Schröter,[157] August[158] u. s. w., in welchen einige +der von Steiner ausgesprochenen Sätze bewiesen werden, nur kurz erwähne, +will ich mich darauf beschränken, die Aufmerksamkeit der Leser auf die mit +Recht berühmten Schriften zu lenken, die von {37} Cremona[159] und von +Sturm[160] über diese Oberflächen verfaßt und im Jahre 1866 von der +Berliner Akademie mit dem Steiner-Preise gekrönt sind, Arbeiten, auf welche +jeder zurückkommen muß, welcher sich mit diesen wichtigen geometrischen +Gebilden vertraut machen will. Ich kann mich nicht aufhalten bei den +verschiedenen Erzeugungsweisen einer Fläche dritter Ordnung, die +Graßmann,[161] August,[162] Affolter[163] und Piquet[164] den von Steiner +angegebenen hinzugefügt haben, bei der Konstruktion dieser Flächen, welche +Le Paige[165] gegeben hat, bei den vielen Sätzen, die sich auf die +Verteilung der Geraden, der dreifach berührenden Ebenen und die Kurven +einer kubischen Fläche beziehen und welche vor kurzem von Cremona,[166] +Affolter,[167] von Sturm[168] und Bertini[169] entdeckt wurden, endlich bei +den von Cremona,[170] Caporali,[171] Reye[172] und Beltrami[173] studierten +Eigenschaften gewisser Hexaeder, welche mit einer Fläche dritter Ordnung +verknüpft sind, sowie bei den von Zeuthen[174] betrachteten zwölf {38} +vollständigen, in sie einbeschriebenen Pentaedern. Ich will noch anführen, +daß eine Einteilung dieser Oberflächen, die auf die Betrachtung der 27 auf +ihr gelegenen Geraden sich stützt, von Schläfli gemacht ist[175] und eine +neuere von Rodenberg,[176] die sich auf das Pentaeder gründet, daß ferner +ein genaues und eingehendes Studium der Regelflächen dritten Grades (von +denen eine von Cayley entdeckt wurde) den Gegenstand wertvoller Arbeiten +Cremonas,[177] Em. Weyrs[178] und Benno Kleins[179] bildet, daß schließlich +die sogenannte Diagonalfläche einen wichtigen Teil in einer Untersuchung +von Clebsch über die Gleichungen fünftes Grades bildet[180] und daß andere +besondere Fälle von Cayley[181] und Eckardt[182] in einigen wertvollen +Abhandlungen betrachtet wurden. Wenn ich dann noch gesagt habe, daß die +Untersuchungen von Salmon,[183] Clebsch,[184] Gordan[185] und de +Paolis[186] die {39} geometrische Bedeutung für das Verschwinden der +fundamentalen invarianten Formen der quaternären kubischen Form +festgestellt haben, welche gleich Null gesetzt in homogenen Koordinaten +eine Fläche dritter Ordnung darstellt, daß schließlich Jordan[187] von +Grund auf die Natur der Gleichung studiert hat, welche zur Bestimmung der +Geraden einer kubischen Fläche dient, dann glaube ich dem Leser genug +Momente an die Hand gegeben zu haben, um daraus den (von mir eben +angedeuteten) Schluß zu ziehen, daß die Theorie dieser geometrischen +Gebilde, von welchem Punkte man sie auch betrachten mag, heute einen +beachtenswerten Grad der Vollendung erreicht hat. + +Solches kann man jedoch nicht von der Theorie der Oberflächen vierten +Grades behaupten, vielmehr sind von ihnen nur wenige Klassen genauer +studiert; über jede derselben werde ich kurz sprechen. An die erste Stelle +will ich die Developpabele vierter Klasse setzen, die zweien Flächen +zweiten Grades umbeschrieben ist, und die geradlinigen Flächen vierten +Grades; jene wurde von Poncelet[188] und Chasles[189] untersucht, diese von +demselben Chasles,[190] von Cayley[191] und vollständiger von Cremona.[192] + +Dann lasse ich die Oberflächen vierter Ordnung folgen, auf welchen Scharen +von Kegelschnitten existieren und welche alle mit außerordentlichem +Scharfsinne von Kummer[193] bestimmt wurden. Unter diesen sind zwei +besonderer Erwähnung wert, da sie das Objekt zahlreicher Untersuchungen +gewesen sind: die Oberfläche vierter Ordnung mit einem Doppelkegelschnitt +und die römische Fläche von Steiner. + +Von der ersteren entdeckte Kummer im Jahre 1864 die bemerkenswerte +Eigenschaft, daß die ihr doppelt {40} umgeschriebene Developpabele aus fünf +Kegeln zweiter Ordnung besteht. Gleichzeitig fand Moutard[194] dieselbe +Eigenschaft für den Fall, daß die Doppelkurve der Oberfläche der unendlich +entfernte imaginäre Kugelkreis ist,[195] und er bemerkte weiter +gleichzeitig mit Darboux,[196] daß in diesem Falle die Oberfläche zu einem +dreifachen Systeme von orthogonalen Oberflächen, gebildet von Flächen +derselben Art, gehören kann. Von jener Zeit ab wurden die Oberflächen +vierter Ordnung, welche als Doppelkurve den unendlich entfernten imaginären +Kugelkreis haben, wiederholt von Darboux,[197] von Laguerre +(1834-1886)[198] und von Casey[199] studiert; hingegen diejenigen, welche +als Doppelkurve einen beliebigen Kegelschnitt besitzen, von Cremona,[200] +Geiser,[201] Sturm,[202] Zeuthen,[203] von Clebsch,[204] Korndörfer,[205] +Berzolari[206] und Domsch[207] -- welcher auf sie die hyperelliptischen +Funktionen anwandte -- und diejenigen, welche einen Kuspidalkegelschnitt +haben, von Tötössy.[208] Was die Klassifikation dieser Oberflächen +betrifft, so möge {41} es mir gestattet sein, meinen Namen anzuführen[209] +neben dem meines teuern Freundes Segre.[210] + +Die römische Fläche von Steiner hat wiederholt die Aufmerksamkeit der +Geometer auf sich gezogen und zwar vorzüglich zweier Eigenschaften wegen; +die eine derselben, nämlich von jeder Tangentialebene in zwei +Kegelschnitten getroffen zu werden, wurde besonders von den Synthetikern +betrachtet, die andere, dass die homogenen Koordinaten ihrer Punkte sich +als ganz allgemeine ternäre quadratische Formen darstellen lassen,[211] +wurde mehr von den analytischen Geometern verwertet. Wer Lust hat, alle +Eigenschaften, die sie besitzt, kennen zu lernen,[212] wird dieselben in +den synthetischen Abhandlungen von Cremona,[213] Schröter[214] und +Sturm,[215] auf den Seiten, welche Reye ihr in seiner {42} _Geometrie der +Lage_ (2. Bd.) gewidmet hat, und in den analytischen Abhandlungen von +Cayley,[216] Beltrami,[217] Clebsch,[218] Eckardt,[219] Laguerre[220] und +Gerbaldi[221] finden. + +Kummer verdanken wir auch die Kenntnis einer anderen wichtigen Klasse von +Flächen vierter Ordnung; dieselbe besteht aus Oberflächen, die nicht +singuläre Linien enthalten, sondern nur singuläre Punkte.[222] Wir werden +in kurzem (§ VII) sehen, welche Untersuchungen Kummer zu diesen Oberflächen +geführt haben; für jetzt genüge es, hervorzuheben, dass die interessanteste +unter ihnen (welche man heute die Kummersche Oberfläche nennt) 16 singuläre +Doppelpunkte und 16 singuläre Tangentialebenen hat und daß Specialfälle +derselben die Wellenfläche von Fresnel[223] und das von Cayley 1846 +untersuchte Tetraedroid[224] sind. Eine solche Oberfläche ist zu sich +selbst dual.[225] Ihre {43} asymptotischen Kurven wurden von Klein und Lie +bestimmt[226] und Reye[227] zeigte, daß jede die Grundkurve eine Büschels +von Oberflächen vierter Ordnung ist; zwischen ihnen und den Thetafunktionen +existiert eine innige Beziehung, welche Cayley und Borchardt +(1817-1880)[228] entdeckt haben und die H. Weber[229] zusammen mit anderen +entwickelt hat;[230] die algebraischen Fragen, welche sich an die +Bestimmung ihrer Singularitäten knüpfen, wurden von Jordan[231] gelöst; +endlich kann man dieselbe, wie Rohn[232] es gethan hat, vermittelst der +Theorie der hyperelliptischen Funktionen[233] behandeln. + +Indem ich die Oberflächen vierter Ordnung, welche als Doppelkurve einen in +zwei getrennte oder zusammenfallende Gerade degenerierten Kegelschnitt +haben und andere, mit denen Cayley[234] sich beschäftigt hat, übergehe, +will ich noch die Monoide erwähnen,[235] die von Rohn studiert sind,[236] +und {44} diejenigen Flächen, welche, ohne geradlinig zu sein, eine gewisse +Anzahl von Geraden enthalten. Dieselben sind der Ort der Punkte, in welchen +vier entsprechende Ebenen von vier kollinearen Räumen sich schneiden; +Chasles hat ihre Ordnung bestimmt und Schur eine Menge eleganter +Eigenschaften derselben gefunden.[237] + +Ich will diesen Abschnitt meiner Musterung beschließen, indem ich noch +einige Oberflächen von höherer als der vierten Ordnung anführe, welche die +Gelehrten schon beschäftigten. Zuerst verdienen die geradlinigen +Oberflächen erwähnt zu werden, welche im allgemeinen von Chasles,[238] +Salmon,[239] Cayley,[240] von Plücker,[241] La Gournerie (1814-1883),[242] +Voss[243] und im besonderen von Chasles,[244] Cremona,[244] Schwarz,[245] +La Gournerie[246] (Regelflächen, die in bezug auf ein Tetraeder symmetrisch +sind), von {45} Clebsch,[247] Armenante[248] (rationale und elliptische +Regelflächen), von Em. Weyr[249] (Regelflächen, erzeugt durch die +Verbindungslinien entsprechender Punkte zweier gerader Punktreihen in der +Korrespondenz [m, n]), von Ed. Weyr[250] (Oberflächen, erzeugt durch die +Bewegung eines variabelen Kegelschnittes), von Eckardt[251] und +Chizzoni[252] (Regelflächen, erzeugt durch die Verbindungslinien +entsprechender Punkte zweier ebener projektiv bezogener Kurven). Dann +folgen solche, die, wenn sie auch nicht Regelflächen sind, doch Gerade +enthalten und die von Sturm[253] und Affolter[254] untersucht sind, ferner +die algebraischen Minimalflächen, bei welchen Geiser[255] und Lie[256] +bemerkenswerte Eigentümlichkeiten fanden. Dann will ich noch einige Flächen +nennen, die aus einer Oberfläche zweiten Grades abgeleitet sind (Ort der +Krümmungscentren; Fusspunktflächen, Aspidalflächen etc.), sowie die Örter +der Spitzen der Kegel zweiten Grades, die m Gerade berühren und durch (6-m) +Punkte gehen, welche Flächen eingehend von Chasles,[257] Lüroth,[258] +Hierholzer[259] und von Cayley[260] studiert wurden, da sie zur Auflösung +gewisser Probleme aus der Theorie der Charakteristiken der einfach +unendlichen Systeme von Kegeln zweiter Ordnung dienten; schließlich +diejenigen, welche unendlich viele lineare {46} Transformationen zulassen, +die kontinuierlich aufeinander folgen;[261] diejenigen, welche die eigenen +reziproken Polaren in bezug auf unendlich viele Flächen zweiten Grades +sind,[262] diejenigen, welche durch reciproke Cremonasche Systeme erzeugt +werden,[263] und diejenigen, welche dieselben Symmetrie-Ebenen wie ein +reguläres Polyeder besitzen.[264] + + + +Die Untersuchungen über die Oberflächen, mit denen wir uns bis jetzt +beschäftigt haben, behandeln Eigenschaften, welche vermittelst einer wohl +bekannten Betrachtungsweise auf das Gebiet der projektiven Geometrie +zurückgeführt sind oder sich darauf zurückführen lassen. Es giebt aber noch +viele andere Untersuchungen, welche Eigenschaften von ganz anderer Art +behandeln, die größtenteils auf keine Weise sich als projektiv betrachten +lassen, da die Gruppe der Transformationen, die zu ihnen gehört, nicht die +der projektiven Geometrie ist.[265] Diese bilden zusammen mit den Studien, +die sich auf die Infinitesimaleigenschaften der Raumkurven beziehen (über +welche wir einiges im folgenden Paragraphen sagen werden), einen sehr +wichtigen Zweig der Geometrie für sich sowohl, als auch wegen der +Anwendungen, welche man von ihnen in der Geodäsie und der mathematischen +Physik machen kann; man kennt ihn unter dem Namen der +Differentialgeometrie. Über die wesentlichen Punkte derselben wollen wir +nun einiges sagen. Und da man den Ursprung dieses Teiles der Geometrie von +dem Erscheinen der _Application de l'Analyse à la Géométrie_[266] {47} von +Monge datieren kann, und das spätere Werk, welches von grösserem Einflüsse +war, das von Gauß (1777-1855) ist, welches den Titel trägt: _Disquisitiones +generales circa superficies curvas_,[267] so nehmen wir in unserer kurzen +Darlegung die von Monge und Gauß angenommene Einteilung des Stoffes als +Anhalt, indem wir zuerst besprechen, was diese selbst in Hinsicht auf die +von ihnen behandelten Gegenstände geleistet haben, und dann vorführen, was +ihre Nachfolger hinzugefügt haben. + +Der erste Paragraph des Mongeschen Werkes bietet kein besonderes Interesse, +da er nur die Bestimmung der Berührungsebenen und Normalen einer Oberfläche +zum Zwecke hat; er kann also als Einleitung betrachtet werden. Die vier +folgenden Paragraphen behandeln cylindrische Oberflächen, Kegel- und +Rotationsflächen und solche, welche (um einen modernen Ausdruck zu +gebrauchen) in einer linearen Kongruenz mit einer unendlich fernen +Leitgeraden enthalten sind. Höchst bemerkenswert ist der folgende +Paragraph, indem Monge dort bei der Besprechung der Enveloppen den +wichtigen Begriff der Charakteristik und der Rückkehrkurve (_arête de +rebroussement_) einer Enveloppe eingeführt hat; an diesen Paragraphen +schließen sich die drei folgenden enge an; sie behandeln Röhrenflächen mit +ebener Leitlinie (§ 7), Flächen, die als Linien größter Neigung gegen eine +gegebene Ebene Gerade von konstanter Neigung haben (§ 8), und schließlich +Enveloppen einer Oberfläche, die sich unter der Bedingung bewegt, daß ein +mit ihr unveränderlich verbundener Punkt eine gegebene Kurve durchläuft (§ +9).[268] -- Von da ab beginnt die Theorie der partiellen {48} +Differentialgleichungen die wichtige Rolle zu spielen, die Monge ihr in der +analytischen Geometrie zugewiesen hat; von diesem Punkte an zeigt es sich, +daß es in vielen Fällen für die Bestimmung der Natur einer Oberfläche +nützlicher und bequemer ist, eine Differentialgleichung für sie zu haben, +als eine solche in endlichen Ausdrücken. Beispiele hierfür bieten die +Flächen, die in einem speziellen linearen Komplexe enthalten sind mit einer +unendlich fernen oder endlichen Axe (von Monge im § 10 und § 11 behandelt), +fernere Beispiele die abwickelbaren Flächen (§ 12), andere die im § 9 +beschriebenen, andere schließlich die Örter beweglicher Kurven, von welchen +ein Punkt eine feste Kurve durchläuft (§ 14).[269] -- Die Theorie der +Krümmung einer Oberfläche in einem Punkte,[270] sowie das Studium der +Verteilung der Normalen derselben Fläche[271] führen zu einer neuen Art von +Flächen, die der Betrachtung wert sind; jene und diese finden sich im § 15, +der sicherlich einer der wichtigsten des Mongeschen Werkes ist. Der +Spezialfall des Ellipsoides ist im § 16 behandelt, derselbe enthält die +Bestimmung der Krümmungslinien dieser Fläche.[272] -- Groß an Zahl und von +großer Wichtigkeit sind die Fragen, zu denen die Theorie der Krümmung Anlaß +giebt. Man kann z. B. die Oberflächen untersuchen, bei denen der eine +Krümmungsradius für jeden Punkt denselben Wert hat; Monge fand (§ 18), daß +dieselben von einer Fläche von konstanter Form eingehüllt werden, die sich +in der {49} vorhin (in den §§ 9 und 13) angegebenen Weise bewegt. Man kann +dagegen auch voraussetzen, daß in jedem Punkte die beiden Krümmungsradien +gleich und von gleichem Sinne seien: die Oberfläche ist dann eine Kugel. +Wenn dagegen die beiden Krümmungsradien in jedem Punkte gleich, aber von +entgegengesetztem Sinne sind, so ist die Fläche eine Minimalfläche.[273] +Oder es sei in jedem Punkte einer der Krümmungsradien gleich groß (§ +21).[274] + +An die Theorie der Krümmung schließen sich dann die Studien über die +Röhrenflächen mit beliebiger Leitkurve (§§ 22 und 26) und über diejenigen +Flächen, bei welchen alle Normalen eine gegebene Kugel (§ 23), einen +gegebenen Kegel (§ 24) oder eine gegebene Developpabele (§ 25) berühren. -- +Für einige dieser Flächenfamilien hat Monge die Konstruktion angegeben, für +alle die Gleichungen, sei es die Differentialgleichungen oder die +endlichen, und, da er sich das Problem gestellt und gelöst hat, von jenen +zu diesen zu gelangen, so verdient denn sein grosses Werk, daß es auch von +denen, welche sich mit der Analysis des Unendlichen beschäftigen, eingehend +studiert werde. + +Kurz nach dem Erscheinen des Werkes von Monge wurde die +Differentialgeometrie durch eine höchst wichtige Arbeit bereichert, die +_Developpements de Géométrie_ von Ch. Dupin (1813). In derselben wird unter +anderem der Begriff der konjugierten Tangenten eines Punktes einer +Oberfläche und der der Indikatrix eingeführt; dort sind die asymptotischen +Linien (Haupttangentenkurven)[275] untersucht, und {50} der berühmte Satz +bewiesen, der unter dem Namen des Dupinschen Theorems allgemein bekannt +ist. + +Als Fortsetzung des Mongeschen Werkes kann man die zahlreichen +Untersuchungen über Flächen mit ebenen oder sphärischen Krümmungslinien +ansehen, die man Dupin,[276] Alfred Serret (1819-1885),[277] O. +Bonnet,[278] Dini,[279] Enneper (1830-1885),[280] Darboux,[281] +Picart,[282] Lecornu,[283] Dobriner,[284] Voretsch[285] und anderen +verdankt. + +Von derselben Art, aber von größerer Allgemeinheit sind die wichtigen +Untersuchungen von Weingarten über solche Oberflächen, bei denen in jedem +Punkte der eine Krümmungsradius eine Funktion des anderen ist,[286] welche +Untersuchungen Dini (a. O.), Beltrami[287] und Lie[288] zur Bestimmung der +windschiefen Oberflächen mit derselben Eigenschaft geführt haben. Dasselbe +kann man von den Untersuchungen sagen, welche man ebenfalls Weingarten +verdankt[289] und die sich auf Oberflächen beziehen, deren Normalen eine +andere vorgelegte Oberfläche berühren. -- Dem § 20 des Mongeschen Werkes +können wir die {51} zahlreichen Abhandlungen anschließen, welche die +Minimalflächen behandeln. Wir führen zunächst die von Steiner[290] und +Weierstraß[291] an, die sich mit der allgemeinen Theorie befassen, dann die +von Scherk[292] und Bonnet,[293] welche einige Spezialfälle derselben +bearbeitet haben; Serret[294] beschäftigte sich dann mit solchen, die durch +zwei Gerade hindurch gehen, Riemann[295] und Weierstraß[296] mit solchen, +die einen gegebenen Umriß haben, Geiser[297] mit algebraischen, +Noevius[298] mit solchen periodischen, welche unendlich viele Geraden und +unendlich viele ebene geodätische Linien besitzen; Catalan[299] mit +solchen, die als geodätische Linie eine Parabel haben, Henneberg[300] mit +denen, welche eine semikubische Parabel als geodätische Linie haben; +Bonnet[301] untersuchte solche, auf welchen sich eine Schar von ebenen +Krümmungslinien befindet; Bour[302] diejenigen, welche auf eine +Rotationsfläche sich abwickeln lassen; Schwarz solche, die durch ein +windschiefes Vierseit bestimmt sind[303] oder die von Kegeln eingehüllt +sind,[304] und solche, die ohne algebraisch zu sein, doch algebraische +Kurven enthalten;[305] {52} Enneper[306] untersuchte diejenigen, welche +unendlich viele Kreise enthalten, u. s. w. Andere Fragen wurden von +Mathet[307] behandelt, von Beltrami,[308] von Lie,[309] Kiepert,[310] +Henneberg,[311] Ribaucour,[312] Bianchi[313] und Pincherle.[314] +Schließlich ist die Theorie der Minimalflächen einer bemerkenswerten +Erweiterung fähig, die von Lipschitz[315] entdeckt wurde. + +Wir gehen jetzt dazu über, kurz auseinander zu setzen, welches die +hervorragenderen Stellen des zweiten Werkes sind, dem wir, wie schon +gesagt, die wichtigsten Lehren der Differentialgeometrie verdanken, der +_Disquisitiones generales circa superficies curvas_ von Gauß. + +Schon zu Ende des ersten Paragraphen derselben finden wir einen höchst +wichtigen Begriff, nämlich den der sphärischen Abbildung einer Oberfläche, +dessen Fruchtbarkeit vielfache Anwendungen, die von ihm gemacht sind, +dargethan haben. Kurz darauf (§ IV) treffen wir die zwei unabhängigen +Veränderlichen, vermittelst derer man die Koordinaten der Punkte einer +Oberfläche ausdrückt, d. h. die krummlinigen Koordinaten auf einer +Oberfläche. (Vgl. auch die §§ XVII und XIX). Dann enthält § VI die +Erweiterung der Betrachtung, die man gewöhnlich zur Grundlage der Theorie +der Krümmung der ebenen und unebenen Kurven nimmt, auf den Raum, aus +welcher Erweiterung der Begriff des Krümmungsmaßes einer Oberfläche in +einem {53} gewöhnlichen Punkte hervorgegangen ist.[316] Bekanntlich ist +dasselbe gleich dem Produkte aus den beiden Hauptkrümmungsradien der Fläche +in jenem Punkte[317] (§ VIII). Das Krümmungsmaß einer Oberfläche kann man +sowohl durch die gewöhnlichen kartesischen Koordinaten (§§ VII und IX) als +auch durch die krummlinigen Koordinaten der Oberfläche ausdrücken (§§ X und +XI).[318] + +Bei der Untersuchung dieses letzteren Ausdruckes bieten sich die +Coefficienten E, F, G des Ausdruckes des Kurvenelementes dar, deren +Bedeutung in der Theorie der Oberflächen, die auf eine andere abwickelbar +sind[319] (§ XII), Gauß zuerst hervorgehoben hat. Dabei stellte er eine +neue Betrachtungsweise der Oberflächen auf (§ XIII), indem er dieselben als +unendlich dünne, biegsame und unausdehnbare Körper ansah. Die folgenden +Paragraphen der Abhandlung von Gauß behandeln die geodätischen Linien und +haben die Bestimmung ihrer Differentialgleichungen zum Zwecke (§ XIV und +XVIII), dann die Übertragung der Polarkoordinaten, des Kreises (§ XV), der +Parallelkurven (§§ XVI), auf die Geometrie auf einer Oberfläche, sowie die +Berechnung der totalen Krümmung eines geodätischen Dreiecks (§ XX). Die §§ +XXI und XXII beziehen sich auf die Transformation des Ausdruckes für das +Kurvenelement, die übrigen behandeln andere Fragen aus der Geodäsie und +dürften daher unsere Aufmerksamkeit nicht auf sich ziehen. + +{54} + +Schon aus diesen flüchtigen Andeutungen ersieht man, wie reich an +fundamentalen Begriffen die Abhandlung von Gauß ist. Die Entwickelungen, +die sie gehabt, und die vielen Arbeiten, welche sie hervorgerufen, und von +denen wir noch kurz zu sprechen haben, werden ihre Bedeutung noch klarer +machen. Unter diesen Arbeiten muß man den schönen _Ricerche di analisi +applicata alla geometria_, die Beltrami im zweiten und dritten Bande des +_Giornale di Matematiche_ veröffentlicht hat, eine hervorragende Stelle +einräumen, dann den Abhandlungen von demselben Verfasser _Dalle variabili +complesse su una superficie qualunque_,[320] _Teoria generale dei parametri +differenziali_[321] und _Zur Theorie des Krümmungsmasses_.[322] +Bemerkenswert sind ferner die Studien von Bonnet[323] und von Darboux[324] +über die sphärische Abbildung der Oberflächen, die sich an die ersten in +den _Disquisitiones_ enthaltenen Untersuchungen anknüpfen. Der Begriff der +Krümmung führte zum Studium der Oberflächen mit konstanter (positiver oder +negativer) Krümmung, dem so viele ausgezeichnete Geometer ihre Kräfte +gewidmet haben. Unter diesen führen wir die zwei Arbeiten von Beltrami an: +_Risoluzione del problema. Riportare i punti di una superficie sopra un +piano in modo che le geodetiche vengano rappresentate da linee rette_[325] +und _Saggio di una interpretazione della Geometria non-euclidea_,[326] dann +die Schriften von Dini,[327] Lie,[328] {55} Bianchi,[329] Bäklund,[330] +Darboux[331] und Dobriner.[332] Von derselben Art, aber allgemeiner, sind +die Studien von Christoffel[333] über die Bestimmung der Gestalt einer +Oberfläche mit Hilfe von auf ihr selbst genommenen Maßen und von +Lipschitz[334] über die Oberflächen, welche bestimmte auf die Krümmung +bezügliche Eigenschaften haben, oder bei welchen der Ausdruck des +Kurvenelements von vornherein festgesetzt ist. + +An den Abschnitt der Gaußischen Abhandlung, welcher die geodätischen Linien +behandelt, knüpfen sich einige Arbeiten von Joachimsthal (1818-1861),[335] +Schering,[336] Beltrami,[337] die von Lie[338] gemachte Einteilung der +Oberflächen auf Grund der Transformationsgruppen ihrer geodätischen Linien +und die Untersuchungen über geodätische Kurven von demselben +Verfasser.[339] Mit demjenigen Abschnitte, welcher sich auf die +Abwickelbarkeit der Oberflächen bezieht, steht eine wichtige Arbeit von +Minding in enger Beziehung,[340] in der zum ersten Male die Frage +aufgestellt ist, ob die Gleichheit der Krümmung in entsprechenden Punkten +eine hinreichende Bedingung für die Abwickelbarkeit zweier Oberflächen sei: +er gelangte für den allgemeinen Fall zu einem negativen Resultate, zu einem +{56} positiven dagegen für den Fall konstanter Krümmung. Dasselbe gilt von +den Arbeiten von Bour[341] (1832-1866), Codazzi[342] und Bonnet,[343] +welche für preiswürdige Antworten auf die im Jahre 1861 von der Pariser +Akademie der Wissenschaften gestellte Frage erkannt worden sind. Derselbe +Gegenstand oder verwandte Gegenstände wurden dann in den Abhandlungen von +Christoffel,[344] von Mangoldt,[345] Weingarten,[346] Brill,[347] +Minding,[348] Jellet,[349] Dini,[350] Enneper,[351] Razzaboni,[352] +Lecornu,[353] Beltrami[354] und vielen anderen behandelt. + +Die schöne von Gauß gegründete Theorie der krummlinigen Koordinaten einer +Oberfläche ließ den Wunsch entstehen, eine analoge Theorie für den Raum zu +haben. Schon im Jahre 1837 stellte Lamé sie für einen Spezialfall auf, +nämlich für den der elliptischen Koordinaten,[355] später wies er auf die +orthogonalen krummlinigen Koordinaten {57} hin[356] und konstruierte dann +die Theorie derselben,[357] ohne ihre Anwendung[358] und Entwickelung[359] +zu vernachlässigen. Die berühmten _Leçons sur la théorie des coordonnées +curvilignes et leurs diverses applications_ (Paris, 1859) von Lamé fassen +zusammen und vervollständigen die glänzenden Resultate, die von Lamé in +diesem Zweige der Geometrie erhalten waren. In der Folge haben sich viele +andere mit demselben beschäftigt. Vor allen führe ich Aoust an, der ihm +viele und wichtige Arbeiten widmete,[360] dann Brioschi,[361] Codazzi,[362] +Chelini (1802-1878),[363] Darboux,[364] Combescure,[365] Levy,[366] +Royer[367] und noch andere. Hierzu sehe man noch die Schriften, welche +dreifache Systeme orthogonaler Oberflächen behandeln und von denen ich nur +diejenigen von Bouquet,[368] A. Serret,[369] Bonnet,[370] Catalan,[371] +Moutard,[372] Darboux,[373] Cayley,[374] Ribaucour,[375] {58} +Weingarten,[376] Schläfli,[377] Hoppe,[378] Bianchi[379] und Molins[380] +nennen will. + +Von den Arbeiten, welche spezielle Oberflächen behandeln, die nicht zu bis +jetzt besprochenen Kategorien gehören, führen wir die von Lie[381] an, +welche sich auf Oberflächen beziehen, die infinitesimale lineare +Transformationen in sich selbst zulassen; dann die von Enneper,[382] die +sich auf Oberflächen mit speziellen Meridiankurven beziehen, ferner die von +Cayley[383] und Weingarten[384] und die von Willgrod[385] über Oberflächen, +welche durch ihre Krümmungslinien in unendlich kleine Quadrate geteilt +werden; schließlich die von Bianchi[386] über Schraubenflächen. + +Ein bemerkenswerter Fortschritt in der analytischen Infinitesimalgeometrie +der Oberflächen wurde durch die Bemühungen de Salverts geschaffen, der in +einigen eleganten Arbeiten,[387] wahrscheinlich hervorgerufen durch die +schönen _Vorlesungen über die analytische Geometrie des Raumes_ von Hesse, +zeigte, wie man durch Benutzung der Gleichung einer Oberfläche in ihrer +allgemeineren Form, f(x, y, z) = 0, ein bei weitem bequemeres System von +Formeln für die Lösung gewisser Probleme aufstellen konnte, als wenn die +Gleichung z = [phi](x, y) zu Grunde gelegt wird. + +{59} + +Über Differentialgeometrie existieren noch einige gute Darlegungen. Eine +verdankt man Hoppe; sie trägt den Titel: _Elemente der Flächentheorie_; +eine andere wurde von Brisse unternommen;[388] die neuesten sind die von +Bianchi in seinen sehr schönen _Lezioni di geometria differenziale_ (Pisa, +1886) und die, welche Darboux in seinen _Leçons sur la théorie générale des +surfaces_ begonnen hat, von denen wir schon den ersten Teil besitzen +(Paris, 1887). + +Wir wollen diesen Abschnitt beschließen, indem wir noch bemerken, daß die +Zuhilfenahme der Analysis für das Studium der Infinitesimalgeometrie nicht +notwendig ist; vielmehr haben Bertrand[389] und Bonnet[390] zuerst gezeigt, +welchen Nutzen man bei diesen Studien auch aus synthetischen Betrachtungen +ziehen kann. Außerdem enthalten der erste Band des _Traité de calcul +différential et intégral_ von Bertrand und der _Traité de géométrie +descriptive_ von de la Gournerie[391] und eine große Zahl von überaus +schönen Abhandlungen von Mannheim[392] bemerkenswerte geometrische +Untersuchungen, welche dem Zweige der Wissenschaft des Raumes, mit dem wir +uns eben beschäftigt haben, angehören. + +{60} + + + + * * * * * + +IV. + +Untersuchungen über die Gestalt der Kurven und Oberflächen. Abzählende +Geometrie. + +------ + + + +Bei der Besprechung der bedeutenderen Fortschritte, welche die Theorie der +Kurven und die der Oberflächen gemacht, haben wir zwei wichtige Kategorien +der Untersuchung übergangen, weil wir dieselben besser in einem besonderen +Abschnitte unserer Arbeit zusammenfassen können. + +Die erstere umfaßt eine Reihe von Studien besonderer Natur und hat zum +Zwecke die Bestimmung der Gestalt, welche die Kurven und Oberflächen von +gegebener Ordnung annehmen können, und ich halte es für angemessen, bei +diesen eine Zeit lang zu verweilen. + +Die Bestimmung der Gestalt der Kurven zweiter Ordnung reicht schon in das +Altertum. Für dieselbe bedurfte es auch nicht eines hervorragenden Geistes, +wenn man bedenkt, daß die Alten jene Kurven als Schnitte eines Kreiskegels +betrachteten. + +Dagegen ist die Bestimmung der Gestalt, welche die Kurven dritter Ordnung +annehmen können, nicht ohne Schwierigkeit. Newton überwand diese, indem er +lehrte, daß alle Kurven dritter Ordnung durch Projektion von fünfen +derselben, welche er divergierende Parabeln nannte, erhalten werden +können.[393] Zu dieser ersten Einteilung der Formen {61} der Kurven dritter +Ordnung fügte Chasles[394] eine weitere hinzu, die, obwohl sie auf einem +ganz anderen Gedanken beruhte, mit der von Newton eine nicht zu verkennende +Analogie bietet. Nach ihr kann man die Formen der Kurven dritter Ordnung +sämtlich auffinden durch Projektion von fünfen derselben, die symmetrisch +in bezug auf ein Zentrum sind. Eine dritte Methode der Einteilung endlich +stützt sich auf das konstante Doppelverhältnis der vier Tangenten, die man +an die allgemeine Kurve dritter Ordnung von einem ihrer Punkte aus ziehen +kann; diese wurde von Durège entwickelt.[395] + +{62} + +Bei weitem grössere Schwierigkeit bietet das Studium der Gestalt der ebenen +Kurven vierter Ordnung, die schon angeführten Arbeiten von Bragelogne, +Euler und Plücker bilden hierzu einen wichtigen Beitrag. Es scheint aber +nicht, daß man diese -- dasselbe gilt auch von den schon genannten auf die +kubische Kurve bezüglichen -- als die Grundlage zu einer allgemeinen +Theorie der Gestalt der ebenen Kurven ansehen darf; vielmehr muß man +dieselben als die ersten Vorläufer jener Lehren betrachten, die man heute +als eine feste Grundlage dieser Theorie ansieht. Solche Lehren gehören in +das Gebiet der synthetischen Geometrie, zum Teil aber waren sie das +Resultat der Anwendung der Abelschen Funktionen auf die Wissenschaft der +Ausdehnung. Von den ersteren wurden einige von Staudt in seiner _Geometrie +der Lage_[396] auseinandergesetzt und beziehen sich auf die Gestalten der +ebenen Polygone und der Polyeder, die paaren und die unpaaren Züge der +Kurven, die Rückkehrelemente der Figuren; andere wurden von Tait[397] +angegeben und von J. Meyer entwickelt,[398] andere schließlich von Hart +angedeutet[399] und mit vielem Glücke von E. Kötter verallgemeinert.[400] +Die zweiten sind fast alle aus der Schule von Klein hervorgegangen. Da ich +auf die vielen Einzelheiten dieses Gegenstandes nicht eingehen kann, so +möge es hier genügen, unter den schon erhaltenen Resultaten einige +besondere Sätze über die Kurve vierter Ordnung anzuführen, die man +Zeuthen[401] und Crone[402] verdankt; dann {63} eine sehr wichtige Relation +zwischen den Zahlen der reellen und imaginären Singularitäten einer ebenen +Kurve, zu welcher Klein geführt wurde,[403] als er die von Plücker[404] und +Zeuthen vorgeschlagenen Klassifikationen der Kurven vierter Ordnung +studierte; ferner einen sehr schönen Lehrsatz,[405] von Harnack (1851-1888) +entdeckt, welcher dadurch, daß er eine unerwartete Beziehung zwischen der +Form einer Kurve und ihrem Geschlechte enthüllte, die Wichtigkeit des +letzteren von neuem bestätigte. + +Wenn so die Theorie der Gestaltlichkeit der ebenen Kurven noch weit +entfernt vom Zustand der Reife ist, so kann man von den analogen +Untersuchungen über die Oberflächen sagen, daß sie sich noch in ihrer +Kindheit befinden. Allgemeine Untersuchungen auf diesem Felde existieren +meines Wissens nicht, außer denjenigen, die von Möbius in seiner _Theorie +der elementaren Verwandtschaften_ niedergelegt sind,[406] und welche, so +scharfsinnig und interessant sie auch sind, einen geschickten Nachfolger +erwarten lassen, welcher die ganze Fülle derselben zu Tage fördert. +Dasselbe gilt für gewisse originelle Gesichtspunkte, die in den vielen +Arbeiten von Klein zerstreut sind. Für den Fortschritt der Geometrie würde +es von höchstem Interesse sein, beide weiter entwickelt zu sehen; +unglücklicherweise wird aber diese Theorie wenig betrieben, in den letzten +Jahren ist vielleicht Rohn[407] der einzige, der hierin einige Fortschritte +gemacht hat, die wert sind, verzeichnet zu werden. + +{64} + +Wenn auch die allgemeine Theorie ein bis jetzt noch unbefriedigtes +Bedürfnis ist, so fehlt es doch nicht an Spezialuntersuchungen. Die +Bestimmung der Gestalt der Oberflächen zweiten Grades übergehe ich als zu +einfach und führe die der Oberflächen dritter Ordnung an, die mit Erfolg +von Klein,[408] Schläfli,[409] Zeuthen[410] gemacht ist, und neuerdings von +Bauer durch die Untersuchung der Gestalt der parabolischen Kurve +vervollständigt wurde;[411] ferner die der Dupinschen Cykliden, die wir +Maxwell[412] verdanken; dann die der Oberflächen vierter Ordnung mit +Doppelkegelschnitt, die ebenfalls von Zeuthen[413] herrührt; die der +Oberflächen vierter Ordnung mit Cuspidalkegelschnitt, die von Crone[414] +ausgeführt ist; endlich die der Kummerschen Flächen und der Kegelflächen +viertes Grades, welche der Gegenstand wichtiger Untersuchungen von +Rohn[415] gewesen sind. Die reichhaltige Sammlung von Modellen von Ludwig +Brill, die sich jedes Jahr um neue und interessante Serien vermehrt, zeigt +das Interesse, welches das gelehrte Deutschland für vorliegende +Untersuchungen hat.[416] + +Was die Gestalt der Kurven doppelter Krümmung angeht, so existieren darüber +bis jetzt noch keine allgemeinen Untersuchungen von Bedeutung; man kann +sagen, daß sich dieselben auf die Beobachtungen beschränken, die Chr. +Wiener[417] {65} und Björling[418] gemacht haben, indem sie die Modelle der +gewöhnlichen Singularitäten einer Raumkurve konstruierten. + +Eine zahllose Reihe wichtiger Untersuchungen hat die Bestimmung der Anzahl +der geometrischen Gebilde zum Ziele, welche Bedingungen genügen, die +hinreichen, eine endliche Zahl derselben festzulegen. Der Bézoutsche +Lehrsatz, welcher die Zahl der Lösungen eines bestimmten Systems von +algebraischen Gleichungen angiebt, ist fast immer nicht verwendbar für die +Lösung solcher Fragen, da, während dieser Satz auf allgemeine Gleichungen +ihres Grades sich stützt, die Gleichungen, welche man bei dem Versuche, +diese Probleme analytisch zu lösen, erhält, von spezieller Form sind. +Wahrscheinlich ist das der Grund dafür, daß diese Probleme größtenteils bis +in verhältnismäßig neuerer Zeit ungelöst geblieben sind.[419] + +Auf Chasles fällt der Ruhm, in seiner _Methode der Charakteristiken_ ein +feines und mächtiges Hilfsmittel gefunden zu haben (1864), mit dem er eine +große Zahl von Problemen der angedeuteten Art für den Fall, daß die +betrachteten Gebilde Kegelschnitte in einer Ebene sind, lösen konnte und +einen Weg bahnte, um auch in dem Falle, wo die {66} Gebilde beliebige sind, +zur Lösung derselben zu gelangen.[420] Der Hauptgedanke desselben war die +fortwährende Betrachtung der ausgearteten Kurven und der systematische +Gebrauch der Charakteristiken eines einfach-unendlichen Systemes von +Kegelschnitten, d. h. der Zahlen, die angeben, wie viele Kegelschnitte des +Systemes durch einen gegebenen Punkt gehen, wie viele eine gegebene Gerade +berühren. + +Dadurch, daß man diese Begriffe weiter ausdehnte, konnte man Hilfsmittel +erhalten, die auf andere Figuren anwendbar sind. Chasles selbst entdeckte +alsbald die Anwendung seiner Untersuchungen auf die Kegelschnitte im +Raume[421] und auf die Flächen zweiter Ordnung.[422] Zeuthen und Maillard +gaben neue Beispiele der Erweiterung, der eine in der wichtigen Abhandlung, +die wir schon Gelegenheit hatten zu zitieren, _Almindelige Egenskaber ved +Systemer af plane Kurver_,[423] der andere in seiner Dissertation +_Recherches des caractéristiques des systèmes élémentaires de courbes {67} +planes du troisième ordre_;[424] andere findet der Leser in den Schriften +von Sturm über die kubischen Raumkurven[425] und denen von Schubert über +die ebenen Kurven dritter Ordnung und dritter und vierter Klasse, im Raume +betrachtet.[426] Ferner sind die von Chasles gemachten Betrachtungen enge +mit denjenigen verbunden, welche in den wichtigen Abhandlungen von Cayley, +_On the curves which satisfy given conditions_[427] enthalten sind, sowie +in einigen Arbeiten von Jonquières über Systeme von Kurven und +Flächen.[428] Endlich gehören hierher noch die Untersuchungen von +Hirst[429] und Sturm[430] über Systeme von Projektivitäten und +Korrelationen, sowie die von Zeuthen[431] über die Plückerschen +Charakteristiken der Enveloppen. Wir wollen noch bemerken, daß zwischen den +Systemen ebener Kurven und den Differentialgleichungen erster Ordnung mit +zwei Variabelen eine sehr innige Beziehung besteht, die sich zu erkennen +giebt, indem die Integrale einer dieser Gleichungen ein System von Kurven +darstellen. Die gegebene Differentialgleichung läßt jedem Punkte eine +bestimmte Anzahl von ihm ausgehender Richtungen entsprechen und einer +Geraden eine bestimmte Anzahl auf ihr liegender Punkte. Auf diese +Beziehungen wurde Clebsch durch seine Untersuchungen über die Konnexe[432] +(vgl. § VI) und unabhängig von Fouret[433] {68} geführt. In ähnlicher Weise +kann man eine Beziehung zwischen den Differentialgleichungen erster Ordnung +mit drei Variabelen und einem Systeme von Oberflächen aufstellen, wie dies +ebenfalls Fouret[434] bemerkt hat. Dieser Zusammenhang ist von grosser +Wichtigkeit, weil er gestattet, Sätze auf transcendente Kurven oder +Oberflächen auszudehnen, von denen man glaubte, daß sie nur für +algebraische Kurven oder Oberflächen gültig seien; so konnte Fouret den +Satz über die Zahl der Kurven eines Systemes, welche eine gegebene +algebraische Kurve berühren, auf Systeme von transcendenten Kurven +ausdehnen,[435] konnte ferner die Ordnung des Ortes der Berührungspunkte +eines einfach unendlichen Systemes von Oberflächen mit den Oberflächen +eines doppelt unendlichen Systemes bestimmen,[436] ebenso die Ordnung des +Ortes der Berührungspunkte der Oberflächen eines doppelt unendlichen +Systemes mit einer gegebenen algebraischen Oberfläche[437] u. s. w.[438] + +Trotz dieser und anderer Arbeiten, die ich der Kürze wegen übergehe, war +die ganze Tragweite der Chaslesschen Betrachtungen noch nicht offenbar +geworden; das geschah durch den letzten, von dem ich zu sprechen habe, +durch Hermann Schubert in seinem _Kalkül der abzählenden Geometrie_.[439] +Dieses Buch, das noch viel zu wenig {69} geschätzt wird, kann man mit Recht +als dasjenige betrachten, welches zuerst von Grund auf das Problem +behandelte, »zu bestimmen, wie viele geometrische Gebilde von gegebener +Definition einer hinreichenden Zahl von Bedingungen genügen,« d. h. das +Problem der abzählenden Geometrie. Dort sind die Korrespondenzprinzipien +unter ihrem wahren Gesichtspunkte auseinandergesetzt,[440] dort ist klar +erörtert, was man unter dem Charakteristikenproblem einer bestimmten Figur +zu verstehen hat, und sind Methoden von außerordentlicher Macht für dessen +Lösung gezeigt. Die Schubertschen Methoden sind dazu bestimmt, eines Tages +das übliche Hilfsmittel für den Mathematiker zu werden, wie es +augenblicklich die Cartesische Geometrie ist, und niemand wird mich der +Übertreibung beschuldigen, der bedenkt, daß dieselben in einer Unzahl von +Fällen zur Lösung des allgemeinen Problemes der Elimination dienen, d. h. +die Zahl der Lösungen eines Systemes von algebraischen Gleichungen zu +bestimmen. Daher müssen alle, Analytiker und Geometer, dem Werke von +Schubert, durch welches er die abzählende Geometrie zu einer besonderen +Disziplin erhoben hat, reiches Lob zollen, oder besser, anstatt es blos zu +bewundern, sich {70} vornehmen, die fruchtbaren Methoden desselben zu +vervollkommnen und sie von Mängeln frei zu machen, d. h. sie von dem Tadel, +der ihnen von einigen gemacht worden ist, daß sie nicht ganz strenge seien, +zu befreien und sie selbst oder wenigstens die Anwendungen, deren sie fähig +sind, zu vermehren. + +Die auf die Theorie der Charakteristiken bezüglichen Andeutungen[441] +würden eine unverzeihliche Lücke darbieten, wenn sie nicht einen Hinblick +auf eine wichtige Frage böten, die zwischen einigen Geometern ventiliert +wurde, und die man heute als schon gelöst betrachten darf. Geleitet nämlich +durch einen Induktionsschluß, behauptete Chasles, daß die Zahl derjenigen +Kegelschnitte eines einfach unendlichen Systemes, welche einer neuen +einfachen Bedingung genügen, ausgedrückt wird durch eine homogene lineare +Funktion der Charakteristiken des Systemes, deren Koeffizienten einzig und +allein von dieser Bedingung abhängen. Darboux,[442] Clebsch,[443] +Lindemann,[444] Hurwitz und Schubert,[445] sowie noch andere glaubten +diesen Satz beweisen zu können. Aber daß die von ihnen angeführten Gründe +nicht beweiskräftig waren, wurde in einer Reihe von Arbeiten gezeigt, in +welchen Halphen[446] die Hinfälligkeit der Vermutung Chasles' klar legte +und zeigte, wie man den vorher angeführten Satz modifizieren müsse. In der +Theorie der Charakteristiken der Systeme von Flächen zweiten Grades hat man +einen analogen Satz, den ebenfalls Halphen[447] entdeckt hat. Jedoch glaube +man nicht, daß diese Sätze {71} von Halphen die Resultate zerstören, welche +man erhalten, indem man den Chaslesschen Weg einschlug; vielmehr sind +dieselben glücklicherweise meistenteils unabhängig von dem fraglichen +Theorem, und für die anderen Fälle ist es leicht zu zeigen, welche +Korrektionen man machen muß.[448] + + + + * * * * * + +V. + +Theorie der Kurven doppelter Krümmung. + +------ + + + +Die Theorie der ebenen Kurven kann man in zwei verschiedenen Richtungen +verallgemeinern. Indem man die Thatsache ins Auge faßt, daß eine solche +Kurve durch eine Gleichung zwischen den Koordinaten eines Punktes einer +Ebene dargestellt wird, so ergiebt sich als Analogon im Raume die Theorie +der Oberflächen, indem diese als durch eine Gleichung zwischen den +Koordinaten eines Punktes im Raume darstellbar betrachtet werden, auf +welche Betrachtung wir im Vorhergehenden eingegangen sind. Wenn man +hingegen eine ebene Kurve als eine Reihe von einfach unendlich vielen +Punkten ansieht, so kann man die Theorie ausdehnen, indem man die +Beschränkung aufhebt, daß diese in einer Ebene gelegen seien: dann entsteht +die Theorie der unebenen Kurven. + +Das Studium der Infinitesimaleigenschaften derselben kann man leicht genug +mit Hilfe von Methoden machen, die nicht sehr verschieden sind von +denjenigen, die für die {72} ebenen Kurven angewandt werden. Deshalb wurde +dasselbe, wie ich schon sagte, vor mehr als einem Jahrhundert von Clairaut +unternommen und wurde hernach von Lancret (1774-1807),[449] Monge,[450] +Tinseau,[451] de Saint-Venant (1797-1886),[452] von Frenet,[453] Alfred +Serret[454] und Paul Serret, von Liouville (1809-1882),[455] Bertrand,[456] +von Puiseux (1820-1883),[457] von Lie[458] und vielen anderen +fortgesetzt.[459] + +Aber abgesehen von dieser Betrachtungsrichtung bietet das Studium der +übrigen allgemeinen Eigenschaften der unebenen Kurven sehr große +Schwierigkeiten. Man vermutete eine Zeit lang, daß jede Kurve im Raume als +der vollständige Schnitt zweier Oberflächen angesehen werden und daher +durch ein System von zwei Gleichungen zwischen den Koordinaten eines +Punktes im Raume dargestellt werden könnte;[460] aber bald erkannte man die +Existenz von Kurven, die nicht der vollständige Schnitt von Oberflächen +sind, und die Notwendigkeit, dieselben nicht vermittelst zweier, {73} +sondern dreier Gleichungen darzustellen, die ebenso vielen durch dieselbe +hindurchgehenden Oberflächen entsprechen. Man setzte voraus, daß die +Kenntnis der Ordnung zur Einteilung der unebenen Kurven hinreichen würde, +aber sobald man an die vierte Ordnung gekommen war, erkannte man, daß +dieselbe nicht genüge.[461] Man hätte nun glauben sollen, daß die Ordnung +und die Zahl der scheinbaren Doppelpunkte für den besagten Zweck hinreichen +würden, aber als man an die neunte Ordnung herantrat, sah man, daß man sich +geirrt habe.[462] Auch eine dritte Zahl, die niedrigste Ordnung der Kegel, +die durch die von einem Punkte herkommenden Sehnen (Doppelsekanten) der +Kurve gehen, konnte nur bei den Kurven von niederer, als der fünfzehnten +Ordnung dazu verhelfen. So kam man denn zu dem Schlusse, daß es unmöglich +sei, eine gegebene Kurve vermittelst einer bestimmten Menge von vornherein +angebbarer Zahlen zu charakterisieren. + +Ich habe diese Thatsachen anführen wollen, um zu zeigen, daß die allgemeine +Theorie der unebenen Kurven keine Ähnlichkeit mit irgend einem anderen +Teile der Geometrie zeigt und, indem ich auf die erschreckliche Dunkelheit, +die sie darbietet, hinwies, dem Leser das Mittel geben wollen, den Grund zu +finden, warum die Kenntnisse, die wir über diese Gebilde haben, so wenig +zahlreich und erst neueren Ursprunges sind. + +Die ersten allgemeinen Resultate über die Kurven doppelter Krümmung +verdanken wir Cayley, welcher ihnen zwei wichtige Abhandlungen gewidmet +hat. In einer derselben stellte er die Formeln (analog denen von Plücker) +auf, welche die Zahl der Singularitäten einer Raumkurve {74} untereinander +verbinden.[463] In der anderen führte er für das Studium der Raumkurven von +der Ordnung n diejenigen bemerkenswerten Flächen ein, welche er »Monoide« +nannte.[464] + +Nach diesen Arbeiten müssen wir, um einen wirklich bemerkenswerten +Fortschritt in der Theorie, welche uns beschäftigt, zu finden, uns zu +Halphen und Nöther wenden, deren Abhandlungen[465], im Jahre 1882 von der +Akademie zu Berlin mit dem Preise gekrönt, die Grundlage für eine +allgemeine Theorie der Raumkurven sind; denn sie behandeln die Probleme: +»alle voneinander verschiedenen Kurven von gegebener Ordnung zu bestimmen«, +»anzugeben, welche Kurven es auf einer gegebenen Oberfläche giebt« und noch +viele andere von nicht geringer Bedeutung. Diese beiden Arbeiten +verschlingen sich so enge und durchdringen sich so innig, daß es sehr +schwer wird, zu entscheiden, welcher Anteil jedem der beiden Autoren in den +vielen gemeinsamen {75} Resultaten zufällt, die sie enthalten. Wenn +einerseits Nöther die Theoreme, welche Ende des Jahres 1870 von Halphen in +den _Comptes rendus_ und an anderen Stellen[466] ausgesprochen sind, +ausbeuten konnte, so konnte dieser sich der Sätze bedienen, welche in der +sehr bedeutenden Abhandlung von Brill und Nöther, _Über die algebraischen +Funktionen und ihre Anwendung in der Geometrie_[467] enthalten sind, und in +derjenigen, in welcher Nöther streng den Fundamentalsatz der Theorie der +algebraischen Funktionen dargethan hatte, welcher in der Auseinandersetzung +von Halphen unumgänglich notwendig war.[468] Und man glaube nicht, daß die +von den beiden Geometern bei ihrem Thema eingeschlagenen Wege im +wesentlichen verschieden gewesen seien, vielmehr benutzten sie beide (wie +Cayley geraten hatte) Monoide, und wenn der eine vorzugsweise Formeln und +Sätze aus der Theorie der Abelschen Integrale gebraucht, so wendet der +andere solche Lehrsätze über die algebraischen Funktionen an, welche zu +denselben Eigenschaften führen. Jedenfalls steht es außer Zweifel, daß +diese beiden hervorragenden Produktionen unseres Zeitalters bestimmt sind, +die Grundlage für die zukünftigen geometrischen Untersuchungen zu bilden, +und wenn bis jetzt sich ihr Einfluß noch nicht so allgemein geltend gemacht +hat, so ist dieses vorzugsweise den großen Schwierigkeiten zuzuschreiben, +die ihr Gegenstand noch immer darbietet, und vielleicht auch den Lücken, +die in den Methoden vorhanden sind, die man zu Hilfe nehmen könnte, um jene +zu überwinden.[469] + +{76} + +Aber vor der Begründung der allgemeinen Theorie wurden viele einzelne +Kurven einem genaueren Studium unterworfen; da ich aber wünsche, mehr als +getreuer, denn als glänzender Geschichtsschreiber angesehen zu werden, so +muß ich hier eine Aufzählung der Arbeiten unternehmen, in welchen die +hervorragenderen unter diesen Untersuchungen enthalten sind. + + »_Degli altri fia laudabile il tacerci,_ + _Chè il tempo saria corto a tanto suono._«[470] + +Unter ihnen verdienen den ersten Platz diejenigen, welche die kubischen +Raumkurven behandeln. Über diese haben Möbius[471] und Chasles[472] +verschiedene sehr schöne Eigenschaften aufgefunden; dieselben vermehrten +sich mit solcher Schnelligkeit, daß Staudt[473] binnen kurzem die +vollständige Analogie, die zwischen ihnen und den Kegelschnitten besteht, +feststellen konnte; diese Analogie hat sich von Tag zu Tag mehr +vervollkommnet, dank den Studien von Seydewitz,[474] Joachimsthal[475] +Cremona,[476] {77} Schröter,[477] Reye,[478] Emil Weyr,[479] Sturm,[480] +Hurwitz,[481] welche nicht allein die Aufstellung einer vollständigen +synthetischen Behandlung dieser Kurven gestatten, sondern auch das Terrain +für die so elegante analytische Auseinandersetzung ebneten, die mein +innigst geliebter Lehrer E. d'Ovidio[482] und Pitarelli[483] gemacht haben. + +Dann will ich die Theorie der unebenen, auf einem einschaligen Hyperboloide +gezeichneten Kurven anführen, für welche Chasles[484] das Fundament gelegt +hat, und die von unserem Cremona[485] so sehr bereichert ist. Ferner will +{78} ich der vielen Eigenschaften erwähnen, welche Poncelet,[486] +Chasles,[487] Cremona,[488] Reye,[489] Paul Serret,[490] Laguerre,[491] +Milinowski[492] und viele andere über die Raumkurven vierter Ordnung erster +Art gefunden haben, und die schönen Anwendungen, die sie für die Theorie +der zweifach periodischen Funktionen geliefert haben, -- Harnack,[493] +Lange,[494] Westphal,[495] Léauté[496] u. s. w. Auch kann ich die schönen +Arbeiten von Cremona,[497] von Armenante,[498] Bertini[499] und Em. +Weyr[500] über die Raumkurven vierter Ordnung zweiter Art nicht +stillschweigend übergehen, ferner nicht die von Klein und Lie über die +durch unendlich viele lineare Transformationen in sich selbst +transformierten {79} Kurven,[501] noch auch die von Fiedler[502] +angestellte Bestimmung der Kurven von nicht höherer als neunter Ordnung, +die zu ihren eigenen Tangenten-Developpabelen dual sind. Und wie könnte ich +es unterlassen, einen Blick auf die große Zahl von Kurven zu werfen, welche +Cremona und Sturm[503] studiert haben, indem sie sich mit der Geometrie auf +einer Oberfläche dritter Ordnung beschäftigten, dann auf die wichtigen +Probleme, die von Clebsch und seinen Schülern über die rationalen,[504] +elliptischen und hyperelliptischen[505] Kurven gelöst sind, und die +eleganten Eigenschaften, welche Bertini[506] an den rationalen Kurven +fünfter Ordnung auffand, sowie W. Stahl[507] bei denjenigen, deren Punkte +auf einer Oberfläche zweiten Grades liegen, während die Oskulationsebenen +eine solche zweiter Klasse berühren? + +Indem der unerfahrene Leser so bedeutende und so verschiedene +Untersuchungen aufzählen hört, wird er sich von einem gewissen Kleinmute +bedrängt fühlen und sich fragen, wie es in kurzer Zeit möglich sei, +dieselben, wenn auch nicht alle, so doch größtenteils sich anzueignen? Man +beruhige sich. Die Übersicht ist für den Studierenden viel weniger +schwierig, als es nach meiner Besprechung scheinen könnte. Die von den +Geometern der ersten Hälfte unseres Jahrhunderts aufgestellten Prinzipien +sind so fruchtbar, daß, wenn jemand sich dieselben gründlich zu eigen +gemacht hat, er nicht allein selbst viele weitere Untersuchungen ableiten, +sondern auch noch darnach streben kann, die Wissenschaft selbst weiter zu +fördern. Und dieses -- was sicherlich ein {80} nicht zu unterschätzender +Vorzug der heutigen Wissenschaft vor der unserer Väter ist -- wurde in +Kürze von einem ihrer Gründer mit den fortan klassischen Worten +ausgesprochen: _»Peut donc qui voudra dans l'état actuel de la science +généraliser et créer en géométrie; le génie n'est plus indispensable pour +ajouter une pierre à l'édifice«_,[508] goldene Worte, welche jeder, der +Mathematik betreiben will, sich einprägen muß; indem sie ihn auf einen +wahrscheinlichen Sieg hoffen lassen, werden sie ihn anspornen, sich mutig +den geistigen Kämpfen entgegenzustellen, die ihn erwarten. + + + + * * * * * + +VI. + +Abbildungen, Korrespondenzen, Transformationen. + +------ + + + +Bei dieser flüchtigen Musterung der neuesten geometrischen Entdeckungen +gelangen wir nun zur Lehre von den Abbildungen, Korrespondenzen und +Transformationen. -- Es ist bekannt, daß zwischen zwei ebenen Punktfeldern +eine Korrespondenz (Verwandtschaft) besteht, wenn jedem Punkte des einen +eine Gruppe von Punkten des anderen zugeordnet ist; diese heißen dann die +»entsprechenden« zu jenem. Wenn im speziellen Falle jeder Punkt des einen +Feldes einen einzigen entsprechenden in dem anderen hat, so heißt die +Korrespondenz »eindeutig«. + +Die einfacheren Fälle der eindeutigen Korrespondenz sind die Homologie -- +von Poncelet studiert (1822) -- und die Kollineation (Homographie), von +Möbius (1827), Magnus (1833) und Chasles (1837) studiert. In diesen Fällen +entspricht nicht nur jedem Punkte ein Punkt, sondern {81} auch jeder +Geraden eine Gerade. -- Ein Beispiel einer komplizierteren Korrespondenz +wurde von Steiner (1832) durch folgende Konstruktion erhalten:[509] Gegeben +sind zwei getrennte Ebenen und zwei windschiefe Geraden; durch jeden Punkt +der einen von jenen ziehe man die Gerade, welche die beiden gegebenen +Geraden schneidet, und bestimme den Schnittpunkt mit der anderen Ebene. +Indem man diesen Schnittpunkt dem in der ersten Ebene gewählten Punkte +zuordnet, erhält man eine eindeutige Beziehung von der Art, daß jeder +Geraden in der einen Ebene ein Kegelschnitt in der anderen entspricht. Läßt +man nun die beiden Ebenen zusammenfallen, so erhält man eine Korrespondenz, +welche im wesentlichen nicht von der durch Poncelet[510] zwischen in bezug +auf ein Kegelschnittbüschel konjugierten Punkten gefundenen verschieden +ist, und welche auf analytischem Wege von Plücker[511] untersucht wurde, +sodann von Magnus (1790-1861)[512] und von unserem Schiaparelli,[513] +synthetisch aber von Seydewitz[514] und später von Reye.[515] -- Auf ein +drittes Beispiel führte die Lösung einiger Probleme aus der mathematischen +Physik; man gelangt dazu auf folgende Weise: Gegeben sei in einer Ebene ein +fester Punkt, man associiert zwei mit ihm in gerader Linie gelegene Punkte, +deren Abstände von ihm umgekehrt proportional sind. Man erhält dann eine +eindeutige Korrespondenz, welche jede Gerade in einen Kreis, und jeden +Kreis wieder in einen Kreis verwandelt. Diese wurde von Sir William +Thomson[516] {82} als »Prinzip der elektrischen Bilder« studiert und ist +unter dem Namen »Transformation durch reciproke Radien« oder »Inversion« +allgemein bekannt.[517] + +Alle diese Transformationen sind linear oder quadratisch, da sie eine +Gerade in eine Kurve erster oder zweiter Ordnung verwandeln. Jedoch machte +Magnus schon die Bemerkung, daß, wenn man eine quadratische Transformation +wiederholt, man im allgemeinen eine solche höherer Ordnung erhält.[518] +Diese wichtige Bemerkung blieb aber bis zu dem Zeitpunkte unfruchtbar +(1863), in welchem Cremona von den wenigen bisher erörterten Fällen zur +allgemeinen Theorie der geometrischen Transformationen der ebenen Figuren +überging.[519] + +{83} + +Um dem Leser die Bedeutung der Schriften, welche Cremona dieser +Theorie[520] gewidmet hat, zu zeigen, würde ich auseinanderzusetzen haben, +auf welche Weise dieser große Geometer das Studium der eindeutigen +Transformationen auf das eines homaloidischen Netzes von Kurven +zurückgeführt hat, und die Bestimmung eines solchen Netzes auf die Lösung +eines unbestimmten Systemes von linearen Gleichungen; aber da die Anlage +meiner Abhandlung mir das nicht gestattet, so muß ich mich darauf +beschränken, ihn davon durch den alten Beweis des »_consensus omnium_« zu +überzeugen. Dann führe ich noch die Namen von Geometern an wie Cayley,[521] +Clebsch,[522] Nöther,[523] Rosanes,[524] S. Roberts,[525] die sich bemüht +haben, die (bei der ersten Behandlung des Stoffes unvermeidlichen) Lücken, +die sich in den Cremonaschen Abhandlungen[526] fanden, auszufüllen; ferner +die Arbeiten von Ruffini,[527] Jonquières,[528] Kantor,[529] Guccia,[530] +Autonne,[531] welche mit dieser Lehre {84} eng zusammenhängende Fragen +behandeln, endlich die von Hirst,[532] T. Cotterill[533] (1808-1881), von +Sturm,[534] Schoute[535] und sehr vielen anderen, welche sich das +bescheidenere Ziel gesetzt haben, die Verbreitung derselben durch geeignete +Beispiele und elegante Formeln zu erleichtern.[536] + +Unter den Arbeiten, welche sich an die von Cremona anschließen, verdienen +eine hervorragende Stelle diejenigen von Bertini,[537] welche er den ebenen +involutorischen Transformationen gewidmet hat, welche Arbeiten noch größere +Einfachheit und Eleganz erhielten durch den Begriff der Klasse und andere +Begriffe, die von Caporali[538] (1855-1886) eingeführt wurden, jenem +ausgezeichneten Geometer, dessen frühen Verlust ganz Italien +betrauert.[539] + +{85} + +Von ganz verschiedenem Charakter sind hingegen die eleganten Untersuchungen +von Laguerre über solche Transformationen, welche er »Transformationen +durch reciproke Richtungen« nannte; da es nicht möglich ist, den +Grundgedanken in wenigen Worten zusammenzufassen und die vielfachen +Anwendungen, welche der Erfinder davon gemacht hat, anzudeuten, verweisen +wir den Leser auf die Originalarbeiten des hervorragenden französischen +Geometers.[540] + +Von der Theorie, die wir jetzt besprechen, bildet auch die Lehre von den +»isogonalen Transformationen« einen Teil, welcher sich auf die geometrische +Darstellung der komplexen Zahlen stützt und deren Nützlichkeit (welche +vielleicht grösser {86} ist für die mathematische Physik als für die reine +Geometrie) Möbius,[541] Siebeck,[542] Durège,[543] Beltrami,[544] +Vonder-Mühll,[545] F. Lucas,[546] Wedekind[547] und neuerdings +Holzmüller[548] dargethan haben.[549] + +{87} + +Den Begriff der eindeutigen Korrespondenz zwischen zwei Ebenen kann man auf +verschiedene Weise verallgemeinern; die Weisen, die sich so ziemlich von +selbst darbieten, sind folgende: + +Vor allem, ohne die Ebene zu verlassen, kann man eine Korrespondenz +aufstellen zwischen jedem Punkte derselben und einer Kurve eines doppelt +unendlichen Systemes in derselben oder auch einer anderen Ebene;[550] diese +Art der Korrespondenz ist eine Erweiterung der Korrelation (Reciprocität) +zwischen zwei Feldern; angegeben von Plücker, wurde dieselbe von +Clebsch[551] entwickelt und veranlaßte die Theorie der Konnexe.[552] + +{88} + +Wenn man dann zum Raume übergeht, kann man eine Korrespondenz zwischen den +Punkten zweier Oberflächen aufstellen (insbesondere zwischen den Punkten +einer krummen Oberfläche und denen einer Ebene) oder zwischen den Punkten +zweier Räume. + +Die Darstellung einer Oberfläche auf einer Ebene kann man bis ins Altertum +zurückverfolgen, da schon Hipparch und Ptolomaeus (und wahrscheinlich +andere vor ihnen) sich die Aufgabe der Herstellung geographischer Karten +gestellt und Lösungen derselben mitgeteilt haben, die auf derjenigen +Projektion beruhen, welche man heute die stereographische nennt. -- Die +Projektion von Mercator (1512-1594), die Untersuchungen von Lambert +(1728-1777) und Lagrange, die berühmte Antwort von Gauß auf eine von der +dänischen Akademie gestellte Frage[553] zeigen, wie die täglichen +Bedürfnisse der Geographie und Navigationskunde unaufhörlich die Gelehrten +angetrieben haben, sich mit dem Probleme der eindeutigen Darstellung der +Oberfläche unseres Planeten auf einer Ebene zu beschäftigen.[554] -- Die +erste Abbildung einer Oberfläche auf einer anderen jedoch, die nur in der +Absicht gemacht wurde, um eine derselben leichter studieren zu können, +verdanken wir Gauß, der 1827 in seinen berühmten _Disquisitions generales +circa superficies curvas_ es als sehr vorteilhaft erkannte, die Punkte {89} +einer beliebigen Oberfläche den Punkten einer Kugelfläche entsprechen zu +lassen, indem man zwei solche Punkte zuordnet, deren Normalen einander +parallel sind.[555] Eine besondere Eigentümlichkeit dieser Korrespondenz +ist die, daß, um Eindeutigkeit zu erhalten, es fast immer nötig ist, nur +den Teil der Oberfläche abzubilden, den man gerade ins Auge faßt; wir +wollten diese Eigenschaft nicht stillschweigend übergehen, da deren +Anführung uns Gelegenheit giebt, den Unterschied hervorzuheben, der +zwischen der sphärischen Abbildung und den Abbildungen besteht, welche von +Plücker,[556] Chasles[557] und Cayley[558] für das Studium der Geometrie +auf einer Fläche zweiten Grades, denen, die von Clebsch[559] und +Cremona[560] für das Studium der Geometrie auf einer kubischen Fläche, und +von denen endlich, die von späteren Geometern für die Untersuchung anderer +Flächen vorgeschlagen sind. + +Die erste Arbeit, welche _ex professo_ die Theorie der Abbildungen dieser +Art behandelt, verdankt man Clebsch.[561] Die zahlreichen Beispiele, durch +welche der Verfasser in dieser Arbeit, sowie in einigen älteren und +späteren[562] die allgemeine Theorie illustrierte, haben zur Aufstellung +der Geometrie auf einer grossen Zahl von Flächen mit vielen Einzelheiten +geführt. Ferner haben die fast gleichzeitigen Abhandlungen {90} von +Cremona[563] und Nöther,[564] sowie die ihnen folgenden von Armenante,[565] +Klein,[566] Korndörfer,[567] Caporali[568] und von noch anderen[569] im +Verlaufe weniger Jahre diese Zahl außerordentlich vermehrt.[570] Man kann +sich eine ziemlich genaue Vorstellung von dem Reichtum dieses Zweiges der +Geometrie machen, wenn man die schöne Abhandlung von Caporali über die +dreifach unendlichen linearen Systeme ebener Kurven liest,[571] in welcher +er einerseits die Theorie der Abbildung einer Oberfläche auf eine Ebene auf +das Studium solcher Systeme anwandte, andererseits in derselben wertvolle +Hilfsmittel der Untersuchung fand. + +Bei dem Studium der Abbildung einer Oberfläche bietet sich von selbst eine +wichtige Frage dar, nämlich die, ob sie alle eindeutig auf eine Ebene +abbildbar sind, oder allgemeiner: ob zwei Oberflächen sich als Punkt für +Punkt {91} einander entsprechend darstellen lassen. Und da man leicht +erkannte, daß die Antwort auf diese Frage eine negative sei, so wurde man +natürlich auf die andere Frage geführt: Welche Oberflächen lassen sich +eindeutig auf einer Ebene abbilden? Oder allgemeiner: Welche Oberflächen +kann man eindeutig auf einer gegebenen abbilden? -- Die analoge Frage für +zwei (ebene oder unebene) Kurven wurde von Clebsch vermittelst der +Betrachtung des Geschlechtes und der Moduln gelöst. Diese Analogie +veranlaßte nun Clebsch, die Lösung des vorhin angegebenen Problems in einer +Ausdehnung des Begriffes des Geschlechtes auf die Oberflächen[572] zu +suchen. Dieser Versuch wurde jedoch nach meinem Dafürhalten nicht von gutem +Erfolge gekrönt, und auch heute muß man trotz der nach Clebsch angestellten +Versuche ausgezeichneter Mathematiker wie Cayley,[573] Nöther,[574] +Zeuthen[575] die Frage als noch ungelöst betrachten; um das zu beweisen, +genügt es zu sagen, daß, wenn es auch bekannt ist, daß alle Oberflächen +zweiter und dritter Ordnung (die nicht Kegelflächen sind) eindeutig auf +einer Ebene abbildbar sind, doch noch nicht alle Oberflächen vierter +Ordnung bestimmt sind, welche dieselbe Eigenschaft haben.[576] {92} Die +allgemeineren Resultate, die man auf diesem Gebiete kennt, waren, wenn ich +nicht irre, von Nöther[577] erhalten; dieser gelangte durch eine überaus +elegante analytische Betrachtung bei jeder Oberfläche, welche eine einfach +unendliche Schar rationaler Kurven enthält, zu einer Abbildung derselben +auf einem Kegel. + +Die Schwierigkeit aber, auf welche man bei der eindeutigen Abbildung +gewisser Oberflächen auf eine Ebene stieß, ließen bei Clebsch den Gedanken +entstehen, zwischen einer Oberfläche und einer Ebene eine vielfache +Korrespondenz aufzustellen, oder auch (wie er an die Riemannschen Flächen +denkend sagte) eine Fläche auf eine vielfache Ebene abzubilden und dann +diese auf eine einfache Ebene zu beziehen.[578] Diese Idee, deren Keime +sich vielleicht bis zu der von Chasles[579] vorgeschlagenen +Verallgemeinerung der stereographischen Projektion zurückverfolgen lassen, +konnte nicht mehr vollständig von ihrem Urheber entwickelt werden; jedoch +blieben die von ihm gegebenen Andeutungen nicht unfruchtbar, vielmehr +entstand aus ihnen die Theorie der doppelten ebenen Transformationen, +welche de Paolis aufgestellt und durch vielfache Anwendungen erläutert +hat.[580] + +Die zweite Verallgemeinerung der Cremonaschen Transformationen veranlaßte +die Theorie der rationalen Transformationen im Räume. Zwei Beispiele einer +solchen Korrespondenz boten sich in der Homographie zweier Räume (und deren +Spezialfällen) dar und -- wie Magnus,[581] Hesse[582] und Cremona[583] +bemerkt haben -- in der Transformation, die man erhält durch drei zu +demselben Räume korrelative (reciproke) Räume, indem man jedem Punkte jenes +Raumes {93} den Schnitt der Ebenen zuordnet, die ihm in diesen entsprechen. +Die allgemeine Theorie entstand jedoch erst um das Jahr 1870 durch die +Bemühungen Cayleys,[584] Nöthers[585] und Cremonas,[586] obwohl schon +Magnus[587] Ende 1837 dieselbe angestrebt und ihre Wichtigkeit eingesehen +hatte. + +Von den bemerkenswerten Arbeiten, in welchen diese Gelehrten unsere Theorie +im allgemeinen begründeten, ist ohne Zweifel die wichtigste jene, die wir +der Feder unseres berühmten Landsmannes verdanken. Geleitet durch die +Analogie, welche diese Disziplin mit der der eindeutigen Korrespondenz +zwischen zwei Ebenen darbietet, zeigte er, wie jene sich auf das Studium +der dreifach unendlichen homaloidischen Systeme von Oberflächen +zurückführen läßt. Darauf setzte er auf eine sehr schöne Weise auseinander, +wie man unendlich viele solcher Systeme erhalten könne, wenn man die ebene +Abbildung einer Oberfläche kennt, und zeigte zuletzt durch treffende +Beispiele, wie man die Theorie der rationalen Transformationen auf die +Abbildung vieler Flächen auf andere zurückführt, insbesondere auf die ebene +Abbildung einiger von ihnen. Diese Anwendung, vereint mit der obenerwähnten +Methode, zeigt klar, wie man aus der ebenen Abbildung einer Oberfläche +nicht nur die Abbildungen von unendlich vielen anderen erhalten kann, +sondern auch unzählig viele rationale Transformationen des Raumes. + +Ungeachtet der Schriften, durch welche England, Deutschland und Italien so +mächtig zur Gründung und Erweiterung dieser Theorie beigetragen haben, kann +man doch nicht sagen, daß dieselbe den Grad der Vollendung erreicht habe, +{94} den andere erlangt haben. Das kommt vielleicht daher, daß die +schwierigsten Fragen, welche sich in derselben darbieten, innig mit der +Bestimmung der Singularitäten der Oberflächen zusammenhängen, und über +diese -- wir müssen es leider gestehen -- sind unsere Kenntnisse noch sehr +beschränkt. Darin hat man vielleicht die Erklärung der Thatsache zu suchen, +daß die Geometer, die auf jene oben erwähnten folgten, sich mehr mit der +Erläuterung der Methoden ihrer Meister, als mit der Vervollkommnung +derselben und der Ausfüllung ihrer Lücken beschäftigt haben.[588] Und +dennoch -- wenn auch das Studium der Figur selbst ohne Zweifel dem der +transformierten vorzuziehen ist -- giebt es bei dem heutigen Standpunkte +der Wissenschaft sehr wenige Theorien, die so sehr es verdienen, daß man +sie in allen ihren Einzelheiten vervollkommne, als gerade diese. In der +That, um die Worte eines großen Mannes zu gebrauchen, »wenn man über das +Verfahren der Algebra nachdenkt und den Grund {95} der gewaltigen Vorteile +aufsucht, die sie der Geometrie bietet, sieht man da nicht, daß sie +dieselben der Leichtigkeit verdankt, mit welcher man anfänglich eingeführte +Ausdrücke Transformationen unterziehen kann, Transformationen, deren +Geheimnis und deren Mechanismus die wahre Wissenschaft bilden und die das +ständige Ziel der Analysten sind? Ist es darum nicht natürlich, zu +versuchen, in die reine Geometrie analoge Transformationen einzuführen, +welche direkt auf die vorgelegten Figuren und ihre Eigenschaften +hinsteuern?[589] + +Auf das allgemeine Studium der Transformationen folgt das solcher +Transformationen, bei denen man einen gewissen Zweck im Auge hat,[590] +z. B. die Verwandlung der Figuren in sich selbst oder ihre Zurückführung +zur ursprünglichen Figur, wenn die Transformationen mehrmals hintereinander +angewandt werden. Es existieren in der That auch schon einige gute +Arbeiten, in welchen die Kollineationen und Korrelationen behandelt sind, +welche eine Fläche zweiter Ordnung, einen linearen Komplex[591] oder eine +kubische Raumkurve[592] in sich selbst transformieren, sowie über die +cyklischen Projektivitäten.[593] + +{96} + +Wir wollen diesen Abschnitt unserer Arbeit beschließen, indem wir noch +einige Worte über die vielfachen Transformationen zwischen zwei Gebilden +zweiter und dritter Stufe sagen, auf welche ich nur im Vorübergehen +hinweisen konnte, indem ich einige Abhandlungen von Paolis anführte. Der +erste, der sich mit ihnen beschäftigte, war Chr. Wiener,[594] welcher sie +untersuchte, indem er eine eindeutige Korrespondenz in der Ebene herstellte +zwischen den Geraden einer Ebene und den Kurven eines linearen Systemes; +dann ist einem Punkte, betrachtet als Schnitt zweier Geraden, die Gruppe +der Grundpunkte des Büschels zugeordnet, der durch die entsprechenden +Kurven konstituiert wird. Diese Art und Weise, vielfache Transformationen +zu erzeugen, wurde von Tognoli[595] auf den Raum ausgedehnt; derselbe ließ +jedem Punkte, betrachtet als Schnitt dreier Ebenen, die Grundpunkte +desjenigen Netzes entsprechen, das durch die drei den drei Ebenen +entsprechenden Oberflächen eines dreifach unendlichen linearen Systemes +bestimmt wird. Solche Untersuchungen haben sich bis jetzt jedoch noch nicht +als sehr fruchtbar gezeigt. Ziemlich wichtig dagegen sind die schon +genannten Untersuchungen von Paolis über die doppelten Transformationen. +Das zeigen die Arbeiten, in denen Visalli[596] und Jung[597] die vielfachen +Transformationen untersucht haben und welche die Fortsetzungen jener sind. + +Mit einigen speziellen vielfachen Transformationen des Raumes haben sich +Reye[598] und Segre[599] beschäftigt und von ihnen elegante Anwendungen +gemacht. Aschieri[600] übertrug eine spezielle ebene zweifache +Transformation, welche Paolis bearbeitet hatte, auf den Raum und dehnte +auch die {97} Anwendungen, die jener davon gemacht hatte, auf die +Nicht-Euklidische Geometrie aus. Allgemeine Untersuchungen auf diesem +Gebiete haben wir jedoch keine außer den wenigen, die in einer kurzen +Arbeit von Reye[601] aufgezeichnet sind, und den sehr wichtigen über die +doppelten Transformationen des Raumes von Paolis.[602] Wir zweifeln nicht, +daß diese und jene als Grundlage einer allgemeinen Theorie der zweifachen +Transformationen, die wir noch erwarten, dienen können; und wir erwarten +dieselbe mit Ungeduld, da wir sicher sind, daß dieselbe der Geometrie nicht +geringere Dienste leisten wird, als die sehr bekannten, die ihr durch die +birationalen Transformationen geleistet sind, und jene, die, wie Paolis +bemerkt, die doppelten leisten können. + +Neben die vielfachen Korrespondenzen zwischen zwei Räumen von Punkten (oder +Ebenen) kann man die zwischen einem Punktraume und einem Ebenenraume +stellen. Untersucht wurden dieselben für den Fall, daß durch jeden Punkt +die entsprechenden Ebenen gehen und in jeder Ebene die entsprechenden +Punkte liegen. Zusammen betrachtet bilden die zwei Räume ein höheres +Nullsystem oder Punktebenensystem. Die Theorie dieser Systeme ist in diesen +letzten Jahren besonders durch die Arbeiten von Ameseder,[603] von +Sturm[604] und Voß[605] hervorgetreten, während Reye[606] das Verdienst +zukommt, den Begriff des gemeinen Nullsystemes[607] zuerst, doch in einer +anderen Weise -- die entsprechenden Elemente sind nicht Punkte und Ebenen, +sondern Flächen zweiter Ordnung und zweiter Klasse -- erweitert zu haben. + +{98} + + + + * * * * * + +VII. + +Geometrie der Geraden. + +------ + + + +Die griechische Geometrie betrachtet den Punkt als das erzeugende Element +aller Figuren; die analytische Geometrie des Cartesius machte die +Bestimmung des Punktes zur Grundlage aller ihrer Rechnungen. Das Prinzip +der Dualität führte nun die Gelehrten zu dem Schlüsse, daß die Gerade in +der Ebene und die Ebene im Raume mit gleichem Rechte und gleichem Erfolge, +wie der Punkt, die Rolle spielen könne, die bis jetzt dieser in der +Geometrie inne gehabt, und führte in der Folge dazu, die Gerade und die +Ebene als Elemente der Ebene und des Raumes anzunehmen und ein neues System +der (synthetischen und analytischen) Geometrie aufzustellen. Das Verdienst +dieses bemerkenswerten Fortschrittes gebührt größtenteils Plücker.[608] + +Aber ganz auf Plücker fällt der Ruhm, ein drittes die räumlichen Gebilde +erzeugendes Element -- die Gerade -- eingeführt und auf eine solche +Betrachtung eine neue Geometrie des Raumes begründet zu haben. Dieser +berühmte Gelehrte kehrte, nachdem er fast zwanzig Jahre hindurch die +Geometrie verlassen hatte, um seine bedeutenden Geisteskräfte der Physik zu +widmen, zu der Wissenschaft zurück, die ihm ursprünglich seinen Ruhm +gesichert hatte, um sie {99} mit einer neuen und wichtigen Disziplin zu +beschenken, mit »der Geometrie der Geraden«. + +Die ersten Mitteilungen über diesen Gegenstand, die im Jahre 1865 der +Königlichen Gesellschaft zu London[609] von dem großen deutschen Geometer +gemacht wurden, enthalten die Sätze über einige allgemeine Eigenschaften +der Komplexe, Kongruenzen und Regelflächen und einige spezielle +Eigenschaften der linearen Komplexe und Kongruenzen;[610] die Beweise +derselben sind nur angedeutet und sollen, nach Angabe des Autors, +vermittelst der Koordinaten einer Geraden im Raume geführt werden, die er +als einen eigenen Gedanken eingeführt hatte, die man später aber als +Spezialfall dessen erkannte, was schon Cayley[611] aufgestellt hatte, um +vermittelst einer einzigen Gleichung eine beliebige Kurve im Raume +darstellen zu können. + +Diese Mitteilungen veranlaßten plötzlich eine Reihe wichtiger Arbeiten, in +denen Battaglini nicht nur, was Plücker behauptet hatte, sondern auch viele +Lehrsätze bewies, die sich auf die Komplexe zweiten und höheren Grades +beziehen.[612] -- Indessen hatte Plücker schon die von ihm {100} +skizzierten Gedanken ausgeführt und in dem Werke vereinigt, welches den +Titel trägt: _Neue Geometrie des Raumes, gegründet auf die Betrachtung der +geraden Linie als Raumelement._[613] + +Von diesem Buche zu sagen, daß es in allen seinen Teilen gleich wichtig und +interessant sei, würde eine der Wahrheit nicht entsprechende Behauptung +sein. Plücker schätzte nicht die Eleganz der Rechnung, an die wir durch +Lagrange, Jacobi, Hesse, Clebsch gewöhnt sind; er teilte sicherlich nicht +mit Lamé[614] die Ansicht, daß »die Bezeichnung für die Analysis das sei, +was die Stellung und Wahl der Worte für den Stil ist«; bei ihm brauchte die +Rechnung nur der einen Bedingung zu genügen, nämlich schnell zur Lösung der +ins Auge gefaßten Probleme zu führen. Dieser Mangel, der allen Arbeiten von +Plücker gemeinsam ist, macht sich lebhafter in dem letzten Werke +bemerklich, welches einen Wettstreit eingehen sollte mit Mustern der +Eleganz, wie den _Vorlesungen über analytische Geometrie des Raumes_ von +Hesse und den _Vorlesungen über Dynamik_ von Jacobi, die kurz vorher (1861 +und 1866) herausgekommen waren. Außer diesem nicht geringen Mangel ist ein +anderer noch bedeutenderer dadurch entstanden, daß Plücker lange Zeit +hindurch es vernachlässigt hatte, den Fortschritten der Geometrie +nachzugehen. Infolge dieser einseitigen Ausbildung finden wir in seinem +Buche eine Menge von Untersuchungen, die uns nicht mehr interessieren, da +sie unter andere allgemeinere, schon gemachte fallen, eine große Anzahl von +Spezialfällen, von deren Wichtigkeit wir uns nicht überzeugen können, eine +Menge von komplizierten Formeln, deren Nutzen wir nicht einsehen. Trotz +dieser Fehler -- die ich anführen muß, um die geringe Anzahl der Leser, die +sie heute findet, zu begründen -- kann man nicht verkennen, daß die letzte +Arbeit von Plücker reich an originellen Blicken ist, und es würde die +Lektüre derselben jedem zu raten sein, der das Studium dieses Teiles der +Geometrie unternehmen will, wenn nicht die Nachfolger {101} Plückers seine +Untersuchungen in besserer Form auseinandergesetzt und mit anderen Methoden +ausgeführt, und jene Gedanken, die er nur hingeworfen hat, größtenteils +entwickelt hätten. + +Plücker hatte nicht die Zeit, die Theorie der Komplexe zweiten Grades zu +vollenden, da der Tod ihn traf, als er gerade im Begriffe stand, den +zweiten Teil seines Buches zu veröffentlichen; aber die Untersuchungen, die +er unvollendet zurückließ, wurden von seinem Schüler F. Klein[615] zu Ende +geführt. Ihm verdanken wir nicht nur den allgemeinen Begriff der +Koordinaten einer Geraden und eine Anzahl sehr schöner Lehrsätze über die +Komplexe zweiten Grades, sondern auch verschiedene allgemeine und +außerordentlich fruchtbare Ideen über die Geometrie der Geraden. In der +That ist es Klein, der, einen Gedanken seines Lehrers präzisierend, die +Bemerkung machte, daß man die Geometrie der Geraden ansehen könne als das +Studium einer quadratischen Mannigfaltigkeit von vier Dimensionen, +enthalten in einem linearen Raume von fünf Dimensionen, und zeigte, daß +jeder Komplex durch eine einzige Gleichung zwischen den Koordinaten einer +Geraden darstellbar ist. Daß diese Bemerkung und dieser Lehrsatz von der +größten Bedeutung für den Fortschritt der Geometrie der Geraden seien, +wurde in glänzender Weise durch die schönen Untersuchungen meines lieben +Freundes Segre[616] gezeigt, die mit denen von Klein innig zusammenhängen. + +Gleichzeitig mit Klein beschäftigten sich Pasch,[617] Zeuthen,[618] +Drach,[619] später auch Paolis[620] wiederholt {102} mit der Geometrie der +Geraden, indem sie verschiedene Fragen derselben vermittelst homogener +Koordinaten behandelten. Clebsch[621] wandte auf diese Theorie die Methode +der abgekürzten Bezeichnung an; im Jahre 1873 vervollständigte Weiler[622] +die Einteilung der Komplexe zweiten Grades nach den Begriffen, die Klein in +seiner Dissertation angegeben hatte. Voß[623] studierte in einer Reihe sehr +wichtiger Abhandlungen die Singularitäten der Systeme von Geraden; Halphen +bestimmte die Zahl der Geraden des Raumes, welche vorher aufgestellten +Bedingungen genügen;[624] Nöther,[625] Klein[626] und Caporali[627] +beschäftigten sich mit der Abbildung der Komplexe ersten und zweiten Grades +auf den gewöhnlichen Raum, Aschieri mit der einiger spezieller +Komplexe;[628] Lie stellte den innigen Zusammenhang, der zwischen der +Geometrie der Kugel und der Geometrie der Geraden besteht, ins Licht;[629] +Reye endlich studierte die Formen der allgemeinen quadratischen +Komplexe.[630] Nur mit Hilfe der synthetischen Geometrie wurde unsere +Theorie von Chasles studiert[631] -- schon 1839 --, von Reye,[632] {103} +von Silldorf,[633] Schur,[634] Bertini,[635] von d'Ovidio[636] und von W. +Stahl;[637] Buchheim[638] bediente sich der Quaternionen, um die +hauptsächlichsten Eigenschaften der linearen Kongruenzen zu beweisen, +während viele Fragen aus der Infinitesimalgeometrie, die sich auf Systeme +von Geraden beziehen, glücklich in einigen Abhandlungen von Mannheim,[639] +Lie,[640] Klein,[641] Picard[642] und Königs[643] gelöst wurden. +Schließlich wurden einige spezielle Komplexe studiert von Aschieri,[644] +Painvin,[645] von Reye,[646] Lie,[647] Weiler,[648] Roccella,[649] von +Hirst,[650] Voß,[651] Genty,[652] Montesano,[653] von Segre und von +mir.[654] + +Neben der reichhaltigen Schar von Schriften, die wir dem von Plücker +gegebenen Anstoße verdanken, müssen wir noch eine andere ebenso glänzende +erwähnen, die aber {104} von ganz anderer Art ist. Sie umfaßt die Arbeiten +von Dupin,[655] Malus[656] (1775-1811) und Ch. Sturm[657] (1803-1855), +Bertrand,[658] Transon[659] über die Normalen von Oberflächen und über die +mathematische Theorie des Lichtes, dann die von Hamilton (1805-1865) über +Systeme von Strahlen.[660] Diese Arbeiten finden ihre Krönung in zwei +berühmten Abhandlungen, die von Kummer in den Jahren 1857 und 1866 +veröffentlicht sind. + +In der ersteren, die im _Journal für Mathematik_[661] abgedruckt ist, hat +sich Kummer die Aufgabe gestellt, durch eine einheitliche und einfachere +Methode die Resultate von Hamilton darzulegen und sie in den Punkten, wo +sie mangelhaft erschienen, zu vervollständigen.[662] + +In der zweiten,[663] die noch wichtiger ist, stellte er sich, nach einigen +schönen allgemeinen Untersuchungen über die Zahl der Singularitäten eines +Systemes von Strahlen und seiner Brennfläche, und löste die Frage, alle +algebraischen Systeme von Strahlen erster und zweiter Ordnung zu bestimmen, +d. h. solche, bei denen durch jeden Punkt des Raumes einer oder zwei +Strahlen des Systemes hindurchgehen. + +Ich möchte wünschen, daß mir hinreichender Raum zu Gebote stände, um den +Leser in den Stand zu setzen, die ausgezeichneten Verdienste dieser +klassischen Arbeit hoch {105} zu schätzen, um ihn an der tiefen Bewunderung +teilnehmen zu lassen, die ich für sie empfinde; ich möchte ihn sehen +lassen, mit welch ausserordentlicher Gewandtheit der Verfasser zur +Bestimmung aller Strahlensysteme erster und zweiter Ordnung zu gelangen +weiß, zu den Gleichungen, die sie und ihre Brennflächen darstellen (welches +jene Oberflächen vierter Ordnung mit Doppelpunkten sind, die ich +Gelegenheit hatte, im Abschnitt III zu erwähnen), zu den Singularitäten der +Systeme, den Konfigurationen, die sie bilden, zum Zusammenhange zwischen +ihnen und den Singularitäten der Brennfläche u. s. w. Aber da die +Bemessenheit des Raumes es mir verbietet, so muß ich mich darauf +beschränken, den Wunsch auszusprechen, daß dieser mein kurzer Überblick es +bewirken könne, daß bei jedwedem das Verlangen entsteht, die Untersuchungen +Kummers selbst kennen zu lernen und den Weg zu verfolgen, den er mit +solchem Glücke eingeschlagen hat; ich spreche diesen Wunsch aus, da mich +die Beobachtung schmerzlich bewegt, daß in den zwanzig Jahren, die schon +seit dem Erscheinen der Kummerschen Arbeit verflossen sind, es noch nicht +gelungen ist, eine solche Theorie, die sich so fruchtbar an schönen +Resultaten gezeigt hat, in einer bemerkenswerten Weise zu fördern.[664] + +{106} + + + + * * * * * + +VIII. + +Nicht-Euklidische Geometrie. + +------ + + + +Die letzte Kategorie von Arbeiten, mit denen ich mich zu beschäftigen habe, +umfaßt eine Reihe von Untersuchungen, die zu lebhaften Diskussionen +Veranlassung gegeben haben und -- wunderbar zu sagen -- eine Zeit lang die +Mathematiker in zwei Feldlager geteilt haben, »das eine gewappnet gegen das +andere«;[665] heutzutage bilden sie denjenigen Teil der Wissenschaft des +Raumes, den man »Nicht-Euklidische Geometrie« und »Theorie der beliebig +{107} ausgedehnten Mannigfaltigkeiten« oder »Geometrie von n +Dimensionen«[666] nennt. + +Jeder weiß, daß unter allen Sätzen, die in den _Elementen_ des Euklid +enthalten sind, es einen giebt,[667] der nur schlecht dazu paßt, wie es der +griechische Geometer gethan hat, unter die Axiome oder die Postulate +gestellt zu werden.[668] Derselbe ist von großer Wichtigkeit im +Euklidischen System, da auf ihn, wie man sagen kann, die ganze Theorie der +Parallelen gegründet ist. Weil es nun nicht auf Grund unmittelbarer +Anschauung gerechtfertigt ist, ihn unter diejenigen Sätze zu zählen, für +welche es vergeblich ist, einen Beweis zu fordern, so kam man auf die +Frage, ob er in der That unbeweisbar sei, und ob man nicht, wenn das der +Fall sein sollte, ihn unterdrücken und durch einen anderen ersetzen könne, +dessen Wahrheit offenbarer sei? + +Diese Fragen sind ein natürlicher Ausfluß unseres Zeitalters, von welchem +eine der hervorragendsten Eigentümlichkeiten (wie Humboldt bemerkt) die +unparteiliche Kritik alles dessen ist, was uns die Vergangenheit +hinterlassen hat; sie müssen als der erste Ursprung der Nicht-Euklidischen +Geometrie angesehen werden. + +Die ersten wichtigen Studien auf diesem Gebiete wurden gegen Ende des +vergangenen Jahrhunderts von Legendre[669] {108} gemacht. Dieselben +stellten den Zusammenhang klar, der zwischen dem Postulate des Euklid und +dem Satze besteht, der sich auf die Winkelsumme eines Dreiecks bezieht, und +führten Legendre dazu, nicht nur jenes Postulat durch ein anderes viel +wichtigeres zu ersetzen, sondern auch eine Geometrie zu entwerfen, die von +eben demselben Postulate unabhängig ist.[670] + +Nahe zur selben Zeit wie Legendre, befaßte sich Gauß mit dieser Frage. +Gleichwohl hat er niemals irgend eine Arbeit auf diesem Gebiete +veröffentlicht; seine Korrespondenz mit Schumacher[671] und mit Wolfgang +Bolyai (1775-1856)[672] und einige bibliographische Artikel von ihm[673] +{109} bezeugen nicht nur das Interesse, das er dafür besaß, sondern +bekunden auch die reiche Ernte von Wahrheiten, die er auf diesem, wie auf +den anderen von ihm bebauten Feldern eingebracht hat. Und als die Schriften +von Lobatschewsky (1793-1856)[674] und Johann Bolyai (1802-1860)[675] über +diesen Gegenstand erschienen, da sanktionierte der Fürst der deutschen +Mathematiker mit seiner Autorität die Ergebnisse, welche dieselben erhalten +hatten. Man kann diese Ergebnisse zusammenfassen, indem man sagt, daß +dieselben die Grundlage einer neuen Geometrie sind, die vollständig +unabhängig ist von dem Postulate des Euklid (die Nicht-Euklidische +Geometrie, oder imaginäre oder auch Pangeometrie), die in gewissen Punkten +mit der gewöhnlichen Geometrie übereinstimmt, jedoch in vielen anderen sich +von ihr unterscheidet, -- eine Geometrie, die eine Zeit lang einige als +absurd verbannt haben wollten, da sie den von einer nur oberflächlichen +Sinneswahrnehmung bezeugten Erscheinungen widerspricht, die aber heute +allgemein angenommen ist, da ihr logischer Wert außer Zweifel gestellt +ist.[676] + +{110} + +Zu diesem Siege der Logik über den übertriebenen Empirismus haben in sehr +wirkungsvoller Weise einige Schriften von großer Bedeutung beigetragen, die +Riemann (1827-1866), von Helmholtz und Beltrami in den Jahren 1867 und 1868 +veröffentlichten. + +Die Riemannsche Schrift: _Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu +Grunde liegen_[677] -- zwölf Jahre vor ihrer Veröffentlichung geschrieben +-- war und ist noch durch die Allgemeinheit der Begriffe und die Knappheit +der Form selbst für diejenigen, welche in der Mathematik schon +vorgeschritten sind, von schwierigem Verständnisse. Jedoch ein großer Teil +der Ideen, welche dieselbe enthält, verbreiteten sich sehr bald, da sie, +durch ein glückliches Zusammentreffen, auch von Helmholtz ausgesprochen +wurden, und dieser sie nicht nur den Mathematikern in rein +wissenschaftlicher Form darlegte,[678] sondern auch in populären Vorträgen +und Artikeln in verschiedenen Zeitschriften auch außerhalb des engeren +Kreises der Geometer behandelte.[679] Keinen geringeren Einfluß aber als +die Schriften des berühmten Verfassers der _Physiologischen Optik_ übte der +klassische _Saggio di interpretazione della Geometria non-euclidea_[680] +von Beltrami aus. Gerade die Schärfe und analytische Eleganz, welche diese +Schrift auszeichnen, lenkte die Aufmerksamkeit der Geometer auf dieselbe; +das glänzende und überraschende Resultat, daß die Sätze der +Nicht-Euklidischen Geometrie ihre Verwirklichung auf den Oberflächen mit +konstanter negativer Krümmung fanden, machte einen tiefen Eindruck auch auf +diejenigen, welche jeder nicht durch das {111} Experiment bewiesenen +Behauptung allen Wert absprachen, und sicherte den Triumph der neuen +Anschauungen; endlich -- die dort verteidigten gesunden Prinzipien einer +wissenschaftlichen Philosophie und die glänzende Form, in welcher die +Abhandlung geschrieben ist, ließen und lassen noch bei allen eine lebhafte +Bewunderung für unseren berühmten Landsmann entstehen, durch dessen +Bemühung wiederum einmal die Wahrheit den Sieg davontrug. + +Daß die Arbeiten dieser drei großen Gelehrten einen wohlthätigen Einfluß +auf die ganze Geometrie ausgeübt haben, hat sich zur Evidenz durch die +Änderung gezeigt, welche sich in bezug auf die Art und Weise vollzogen hat +wie man heutzutage die ihr zu Grunde liegenden Sätze betrachtet.[681] Wenn +früher die Geometer den Philosophen die Sorge überließen, zu entscheiden, +ob die Wahrheiten, mit denen sie sich beschäftigten, notwendige oder +zufällige seien, und dahin neigten, dieselben als notwendige zuzulassen, so +streben sie jetzt, nachdem die empirische Grundlage der Geometrie erkannt +ist, fortwährend darnach, genau festzusetzen, welche Thatsachen man der +Sinneswahrnehmung entnehmen muß, um eine Wissenschaft der Ausdehnung zu +gründen.[682] Wer die schönen _Vorlesungen über neuere {112} Geometrie_ +(Leipzig, 1882) von Pasch liest, die neueren Lehrbücher prüft und diese und +jene mit den älteren Büchern vergleicht, wird wesentliche Unterschiede +finden. + +In den älteren Werken giebt der Lehrer die Voraussetzungen, die er nicht +beweist, als notwendige, ewige und unanfechtbare Wahrheiten, in den neueren +führt er sozusagen den Schüler dazu, die nötigen Erfahrungen auszuführen, +um die Prämissen der späteren Deduktionen festzustellen. In den älteren +Arbeiten stellt der Verfasser die Euklidische Geometrie als die einzig +denkbare hin, in den neueren als {113} eine der unendlich vielen, die man +aufstellen könnte. Und diese Unterschiede bezeichnen einen thatsächlichen +Fortschritt, da sie zeigen, daß die Gelehrten sich von einem +alteingewurzelten und schädlichen Vorurteile frei gemacht haben; und für +den Fortschritt der Wissenschaft hat die Erkenntnis eines Irrtums eine +nicht geringere Wichtigkeit, als die Entdeckung einer Wahrheit. + +Kurz nach der Veröffentlichung der Arbeit von Beltrami erschien eine von F. +Klein,[683] die auch von großer Wichtigkeit ist; aber um die Stellung zu +kennzeichnen, welche dieselbe in der Geschichte der Nicht-Euklidischen +Geometrie einnimmt, muß ich mich einige Jahrzehnte rückwärts wenden. + +Es ist bekannt, daß infolge des _Traité des propriétés projectives des +figures_ eine Unterscheidung aufgestellt wurde zwischen den Eigenschaften +der Figuren, die erhalten bleiben, wenn diese projiziert werden, und +solchen, die nicht erhalten werden; es ist ferner bekannt, daß unter den +ersteren alle Lagen-Eigenschaften, aber nur einzelne metrische +Eigenschaften begriffen sind. Nun stellten die Geometer sich die Frage, ob +es nicht möglich sei, die metrischen Eigenschaften der Figuren so +auszusprechen, daß sie bei der Projektion sämtlich erhalten werden. Für +einige Arten der Projektion haben Chasles und Poncelet die Frage gelöst, +indem sie den Begriff der unendlich fernen Kreispunkte der Ebene und des +unendlich entfernten imaginären Kreises einführten; für andere wurde die +Lösung von Laguerre[684] gegeben, dem es gelang, den Begriff des Winkels +projektiv zu machen; aber derjenige, welcher die Lösung in ihrer ganzen +Allgemeinheit gab, war Cayley[685] (1859), der in dem sechsten von seinen +berühmten _Memoirs upon Quantics_ zeigte, daß jede metrische Eigenschaft +einer ebenen Figur als in einer {114} projektiven Beziehung zwischen dieser +und einem festen Kegelschnitte enthalten betrachtet werden könne. + +Nun besteht der Hauptzweck der angeführten Abhandlung von Klein eben darin, +die innige Beziehung zwischen den Schlüssen Cayleys und denen, zu welchen +Bolyai und Lobatschewsky gelangt waren, herzustellen; auf welche lichtvolle +Weise dieses Ziel erreicht ist, das beweist der große Ruhm, zu dem diese +Schrift alsbald gelangte.[686] + +An diese Schriften schließen sich viele andere; an die von Riemann und +Beltrami einige interessante Arbeiten von de Tilly,[687] Genocchi,[688] von +Escherich[689] und Bianchi;[690] an die von Klein verschiedene Abhandlungen +von Battaglini,[691] d'Ovidio,[692] de Paolis[693] und Aschieri,[694] +Cayley,[695] Lindemann,[696] Schering,[697] von Story,[698] {115} H. +Stahl[699] und Voß,[700] von H. Cox[701] und A. Buchheim.[702] + +Die mathematische Litteratur der allerneuesten Zeit jedoch ist nicht sehr +reich an Forschungen auf diesem Gebiete;[703] es hat den Anschein, als wenn +jenes Zeitalter, welches man das heroische nennen könnte, und durch welches +jede Disziplin einmal hindurchgeht, schon von der Nicht-Euklidischen +Geometrie durchlaufen sei. Sollten vielleicht die unermüdlichen Arbeiter +der beiden Jahrzehnte 1860-1880 die Minen in jeder Richtung so gründlich +durchwühlt haben, daß sie keine goldführende Ader mehr bergen? + + + + * * * * * + +IX. + +Geometrie von n Dimensionen. + +------ + + + +Die Theorie der beliebig ausgedehnten Mannigfaltigkeiten oder die Geometrie +von n Dimensionen verdankt ihren Ursprung der Unterstützung, welche die +Algebra von der Geometrie erhielt, seitdem Cartesius jene auf diese +anzuwenden gelehrt hat. In der That ist diese Unterstützung eine begrenzte, +da nur die analytischen Thatsachen, welche mit der Theorie der Funktionen +einer, zweier oder dreier Variabelen verknüpft sind (oder mit der Theorie +der binären, ternären oder quaternären Formen), einer den Sinnen +zugänglichen {116} Darstellung fähig sind. Aber der Geist der +Verallgemeinerung, der, wie ich schon sagte, einer der mächtigsten Antriebe +zu den modernen geometrischen Untersuchungen war und noch fortwährend ist, +bewog die Geometer, die Fesseln zu brechen, welche die Natur ihrem +Vorstellungsvermögen angelegt zu haben schien, und von beliebig +ausgedehnten Räumen zu sprechen.[704] + +Und sie sprachen davon, ehe sie sich noch mit der mehr philosophischen, als +mathematischen Frage beschäftigt hatten, ob in der That solche Räume +existieren; und sie thaten dies mit Recht, da sie nur so, ohne ein +vielleicht unlösbares Problem in Angriff zu nehmen, ihr Ziel erreichen +konnten; durch eine kühne Einbildungskraft verschafften sie sich die +(sinnlich wahrnehmbaren oder übersinnlichen) Darstellungen vieler +analytischer Resultate.[705] + +Um zu zeigen, daß man wirklich in der angegebenen Weise zu einer solchen +Theorie gekommen ist, begnüge ich mich damit, die Thatsache anzuführen, daß +dieselbe von Analysten wie Cauchy[706] (1789-1857) und Riemann[707] +aufgestellt wurde; daß sie sich noch bei vielen anderen minder bedeutenden +mehr oder weniger versteckt findet in der Absicht, für die Theoreme der +Analysis ausdrucksvollere Fassungen zu erhalten; ferner daß Lagrange schon +Ende des vergangenen Jahrhunderts die Bemerkung machte, »daß man die +Mechanik als eine Geometrie von vier Dimensionen {117} ansehen könne«, in +welcher die Zeit als vierte Koordinate fungiert.[708] + +Dieser Begriff des beliebig ausgedehnten Raumes ist jedoch seinem Ursprunge +und seiner Bestimmung nach wesentlich analytisch. Plücker, dem das +Schicksal einen so wichtigen Anteil an der Förderung der modernen Geometrie +zugeteilt hat, war es vorbehalten, diesem Begriffe ein geometrisches Gewand +zu geben, indem er beobachtete, daß man unserem Raume eine beliebige Anzahl +Dimensionen zuerteilen kann vermittelst einer passenden Wahl des +geometrischen Gebildes, welches man als erzeugendes Element des Raumes +auffaßt; so wird er drei Dimensionen haben, wenn man den Punkt oder die +Ebene wählt, vier, wenn man die Gerade oder die Kugel nimmt, neun, wenn man +die Fläche zweiten Grades nimmt, u. s. w.[709] + +{118} + +Dieser Gedanke ist weniger abstrakt als der vorhergehende, und leichter zu +begreifen; dessen ungeachtet verbreitete er sich viel langsamer, als der +erstere, wahrscheinlich deswegen, weil sein Urheber nicht Worte genug +machte, um seine Wichtigkeit zu zeigen. Der andere hingegen wurde besonders +infolge der berühmten Abhandlung von Riemann, _Über die Hypothesen, welche +der Geometrie zu Grunde liegen_, in vielen Richtungen weiter entwickelt, +und die mathematische Litteratur über diesen Gegenstand ist von einer schon +beträchtlichen Reichhaltigkeit und wächst noch von Tag zu Tag. + +Zur Rechtfertigung dieser Behauptung erinnere ich an die schon genannten +Abhandlungen von Helmholtz, führe die von Beltrami,[710] Schläfli,[711] +Newcomb,[712] Stringham,[713] das neue Buch von Killing[714] an und die +darauf folgenden Untersuchungen von Schur,[715] die enge mit der +Riemannschen Abhandlung zusammenhängen; die Untersuchung von Betti[716] +über den Zusammenhang eines Raumes von n Dimensionen; die von +Clifford,[717] Beltrami,[718] Jordan,[719] von Lipschitz,[720] Monro,[721] +Scheeffer (1859-1885),[722] Heath[723] und Killing[724] über die Kinematik +und Mechanik eines {119} solchen Raumes;[725] ferner die von Jordan[726] +und Brunel[727] über die verschiedenen Berührungs- und Schmiegungsräume, +welche eine Kurve in einem Raume von n Dimensionen zuläßt,[728] die von +Craig[729] über die metrischen Eigenschaften der Oberflächen in einem +solchen Raume, die von Kronecker,[730] von Beez,[731] Lipschitz,[732] +Christoffel,[733] von Brill,[734] Suworoff[735] und Voß[736] über die +Krümmung eines beliebig ausgedehnten Raumes; die von Kronecker und +Tonelli[737] über das Potential; die von Lie,[738] Klein,[739] Jordan[726] +und Lipschitz[740] über die Erweiterung des Dupinschen und des Eulerschen +Lehrsatzes; sodann die konforme Abbildung einer Oberfläche des +vierdimensionalen Raumes auf den gewöhnlichen Raum, die von Craig[741] +studiert wurde, endlich die von Lipschitz gegebene Verallgemeinerung des +berühmten Problemes der drei Körper.[742] Zum Schlusse wollen {120} wir die +Aufmerksamkeit des Lesers lenken auf die Erweiterungen gewisser Begriffe, +einiger Sätze und Formeln der elementaren Geometrie, die vorzüglich von +Rudel,[743] Hoppe,[744] Schlegel[745] und Mehmke[746] gemacht sind; dazu +gehören auch die Untersuchungen von Stringham,[747] Hoppe,[748] +Schlegel,[749] Scheffler,[750] Rudel,[751] O. Biermann,[752] Puchta[753] +und anderen über die regulären Körper des vierdimensionalen Raumes, die +soweit gediehen, daß sie Schlegel gestatteten, Modelle der Projektionen +dieser Körper auf unseren Raum herzustellen.[754] + +Außer dieser Richtung wurde eine andere nicht weniger fruchtbare von den +Bearbeitern der Mannigfaltigkeiten von n Dimensionen verfolgt, welche +projektiv ist, während die erstere wesentlich metrisch ist.--Eine kurze +Andeutung, {121} die von Cayley im Jahre 1846 gegeben wurde[755] über eine +Methode, um die Konfigurationen von Punkten, Geraden und Ebenen zu +untersuchen, kann man als die erste ansehen, welche auf diese neue Richtung +hinwies. Aber es scheint, wie Bailly[756] bemerkt hat, »daß die Ideen, wie +wir, ein Kindesalter und eine erste Zeit der Schwäche haben; sie sind nicht +von Geburt an produktiv, sondern erhalten erst mit dem Alter und mit der +Zeit ihre Fruchtbarkeit«. Daher sehen wir denn mehr als 30 Jahre +verfließen, ehe der geniale Gedanke des großen englischen Geometers, in der +richtigen Weise entwickelt, die synthetische Geometrie der Räume von n +Dimensionen, welche wir heute besitzen, hervorrief. + +Als Einleitung zu derselben muß man die wichtige Arbeit von Clifford +ansehen: _On the classification of loci_,[757] in welcher das allgemeine +Studium der Kurven in beliebigen linearen Räumen in Angriff genommen ist; +jeden Augenblick kommen in demselben Operationen vor, die wirkliche +Erweiterungen derer sind, die man in der gewöhnlichen projektiven Geometrie +zu machen pflegt. Jedoch kann man sagen, daß dieser neue Zweig der +Geometrie mit der Abhandlung beginnt, die Veronese der _Behandlung der +projektiven Eigenschaften der Räume von_ n _Dimensionen durch die +Prinzipien des Schneidens und Projizierens_ gewidmet hat.[758] In derselben +läßt der berühmte Verfasser, Riemann folgend, einen Raum von n Dimensionen +entstehen, indem er von demselben einen solchen, der eine Dimension weniger +hat, von einem außerhalb gelegenen Punkte projiziert, und {122} indem er +sich dieser Erzeugungsweise bedient, gelangt er zur Erweiterung des +grösseren Teiles der Theorien der gewöhnlichen Geometrie der Lage.[759] Die +Fruchtbarkeit der in dieser grundlegenden Abhandlung erörterten Prinzipien +wurde durch viele interessante Arbeiten, welche die Fortsetzung derselben +bilden, ins Licht gestellt; dieselben bereichern noch von Tag zu Tag ein +Lehrgebiet, in welchem Italien eine hervorragende Stelle einnimmt. Unter +ihnen will ich -- abgesehen von denen, die Veronese selbst publiziert +hat,[760] -- die Untersuchungen von Segre anführen über die Theorie der +quadratischen Gebilde in einem Raume von n Dimensionen und ihre Anwendung +auf die Geometrie der Geraden,[761] über die kollinearen und reciproken +Korrespondenzen,[762] über die Büschel von Kegeln zweiten Grades,[763] über +die Regelflächen,[764] über die Oberflächen vierter {123} Ordnung mit +Doppelkegelschnitt[765] und über die Theorie der Systeme von +Kegelschnitten,[766] dann die von Bertini[767] und Aschieri,[768] die +verwandte Gegenstände behandeln; die Schriften von del Pezzo über die +Oberflächen in einem n-dimensionalen Raume.[769] Noch viele andere müßte +ich nennen, aber + + Io non posso ritrar di tutti appieno; + Perocchè sì mi caccia il lungo tema, + Che molte volte al fatto il dir vien meno.[770] + +Jedoch Arbeiten, welche zu verschweigen mich keine Betrachtung verleiten +könnte, sind die -- viel früher als die von Veronese erschienenen -- von +Nöther über die eindeutigen Korrespondenzen zwischen zwei n-dimensionalen +Räumen (1869, 1874),[771] jene ebenfalls älteren von Halphen (1875) über +die Schnitte der Mannigfaltigkeiten, die in einem beliebigen linearen Raume +enthalten sind,[772] von d'Ovidio {124} über die Metrik eines solchen +Raumes (1876),[773] endlich die neuerlichen von Schubert über die +abzählende Geometrie eines Raumes von solcher Beschaffenheit.[774] + + + + * * * * * + +Schluss. + +------ + + + +Hiermit scheint es mir angemessen, die vorgenommene Musterung zu +beschließen. Freilich sind viele wirklich interessante Untersuchungen +derselben entgangen, da sie unter keiner der Kategorien, in welche ich die +von mir besprochenen Arbeiten eingeteilt habe, Platz finden konnten. So +konnte ich nicht über die Theorie der projektiven Koordinaten berichten, +die von Chasles[775] erhalten wurden, als er die gewöhnlichen Cartesischen +Koordinaten einer kollinearen Verwandlung unterzog, die dann direkt von +Staudt[776] aufgestellt wurde und vollständiger von Fiedler;[777] {125} +dann habe ich nicht über die Methode der symbolischen Bezeichnung +berichtet, da diese mehr Mittel als Zweck für den Geometer ist; die Theorie +der Berührungstransformationen (Lie) und der Differential-Invarianten +(Halphen) habe ich stillschweigend übergangen, da sie auf der Grenze +zwischen der Geometrie und der Theorie der Differentialgleichungen stehen; +über die sogenannte _Analysis situs_ habe ich mich einer Besprechung +enthalten, da eben diese Lehre von Riemann geschaffen und von seinen +Schülern betrieben wurde, um Probleme der Funktionentheorie zu lösen. Dann +haben sich meiner Darlegung die schönen Auseinandersetzungen von Battaglini +und Ball entzogen über die Kräfte und Bewegungen,[778] von Chasles, +Aronhold, Mannheim und Burmester über die kinematische Geometrie und von +Reye über die Trägheitsmomente, da sie bisher[779] mehr zur Mechanik als +zur Geometrie gehörig angesehen wurden. Gleiches gilt von den interessanten +Experimenten Plateaus (1801-1883) in bezug auf die Minimalflächen, deren +Besitz die Physiker für sich beanspruchen, von den schönen Untersuchungen +über die Polyeder (Möbius, Bravais, Jordan, Heß), welche den Übergang von +der Geometrie zur Mineralogie bilden, und den neuesten Arbeiten über die +geometrische Wahrscheinlichkeit (Crofton, Czuber, Cesàro), welche ich +geneigt wäre unter die Anwendungen der Geometrie zu rechnen. Dann habe ich +nicht über die Methode der Äquipollenzen gesprochen (Bellavitis) und die +Theorie der Quaternionen (Hamilton), da beide sich bis jetzt noch {126} +nicht von so großer Fruchtbarkeit erwiesen haben, um als notwendiges +Hilfsmittel des Geometers angesehen zu werden. + +Ungern mußte ich hinweggehen über die Theorie der Kugelsysteme, die mit +großem Erfolge von Lie und Reye bearbeitet ist. Ich habe keinen Blick auf +die Theorie der Konfigurationen werfen können (Reye, Kantor, Jung, +Martinetti), da dieselbe gerade noch im Stadium ihrer Bildung begriffen +ist, und auf die mehr den Elementen angehörige Erweiterung der Lehre vom +Dreiecke, zu welcher Arbeiten von Brocard[780] die Anregung gegeben haben. +Kurz erwähnen will ich noch zwei Reihen von Untersuchungen über Maximal- +und Minimalfiguren, von denen die einen (Painvin, P. Serret, Lebesgue, +Borchardt, Kronecker) das Problem von Lagrange, das Tetraeder größten +Inhalts zu finden, von dem die Inhalte der Seitenflächen gegeben sind, und +Erweiterungen, bez. Umgestaltungen desselben behandeln,[781] die anderen +(Lindelöf, Berner, Edler, Sturm, Schwarz, Lange, Certo) sich an die +berühmten Aufsätze von Steiner[782] anschließen.[783] + +Keinesfalls aber darf mit Stillschweigen übergangen werden, daß es unserem +Jahrzehnte vergönnt gewesen ist, die alte Frage der Quadratur des Kreises +zur endgiltigen Erledigung zu bringen. Nachdem im vergangenen Jahrhundert +Lambert[784] die Zahl [pi] als irrational nachgewiesen, verblieb immer noch +der Nachweis, daß [pi] auch nicht Wurzel {127} einer algebraischen +Gleichung mit rationalen Koeffizienten sei; denn erst damit ist dargethan, +daß die Quadratur des Kreises nicht vermittelst einer endlichen Anzahl von +Konstruktionen, welche mit Hilfe des Lineals und des Zirkels ausführbar +sind, vollzogen werden könne. Dieser Beweis wurde, unter Benutzung +Hermitescher Vorarbeiten über die Exponentialfunktion, 1882 von +Lindemann[785] erbracht. + +Trotz der aufgezählten und unzähliger anderer Unvollkommenheiten des +Bildes, das ich über den heutigen Zustand der Geometrie zu entwerfen +versucht habe, wird dennoch der Leser, wenn er einen Blick auf dasselbe +wirft, von tiefer Verwunderung betroffen sein, nicht allein über die +gewaltige Entwickelung der Mathematik in diesen letzten fünfzig Jahren, +sondern auch über die neue, schönere, verlockendere Gestalt, welche sie +mehr und mehr annimmt. + +Die geometrischen Figuren, die eine Zeit lang als fest, unbeweglich, leblos +erschienen, bekamen eine unerwartete Lebendigkeit durch die Theorie der +geometrischen Transformationen, vermöge derer sie sich bewegen, sich in +einander verwandeln, gegenseitige Beziehungen enthüllen und unter sich +bisher unbekannte Verwandtschaften herstellen. + +Ferner glaubte man eine Zeit lang, daß wir als dreidimensionale Wesen, die +in einem Raume leben, in welchem wir nur drei Dimensionen wahrnehmen +können, dazu verurteilt wären, ewig nur die Mannigfaltigkeiten von nicht +mehr als drei Dimensionen zu studieren. Jetzt aber ist es uns erlaubt und +fast unsere Pflicht, von dieser Idee als einem gefährlichen Vorurteile uns +frei zu machen, und die Fülle von Arbeiten, die wir vor uns bewundern, +belehren alle diejenigen, welche ihre Augen nicht von der neuen Sonne +wegwenden wollen, über die Wichtigkeit dieses Fortschrittes. + +Endlich ist, kann man sagen, der Kampf zwischen der Geometrie und der +Analysis, der sich gegen Ende des {128} vergangenen Jahrhunderts erhoben +und zu Anfang dieses fortgesetzt hat, nunmehr beendigt; weder die eine, +noch die andere hat den Sieg davon getragen, aber jede hat auch den +Ungläubigsten gezeigt, daß sie bei jeglichem Ringen als Siegerin +hervorgehen könne. Der _Mécanique analytique_, in welcher Lagrange mit +Freuden konstatierte, daß er es soweit gebracht habe, jegliche Figur zu +vermeiden, hat ein Lehrbuch der Mechanik einen glänzenden Bescheid gegeben, +welches das Motto trägt: »_Geometrica geometrice_«; dem hundertjährigen +Dienste, welchen die Algebra der Geometrie bot, können sich heute die +zahllosen und unvergleichlichen Vorteile entgegenstellen, welche jene von +dieser zog; schließlich wird man doch an Stelle der analytischen oder +pseudosynthetischen Theorie der Kurven und Oberflächen in Kurzem die rein +synthetische Theorie setzen können, die man gegenwärtig aus dem von +Staudt[786] gelieferten Materiale errichtet. + +Und zu dieser Periode des Friedens oder vielmehr des edlen Wetteifers der +Analysis und Geometrie müssen sich alle Glück sagen, da jeder Fortschritt +der einen einen entsprechenden in der anderen nach sich zieht oder dazu +{129} auffordert. Das entspricht dem heutigen Standpunkte der gesamten +Wissenschaft, denn nun funktionieren, wie Spencer sagt, die verschiedenen +Disziplinen als Hilfskünste, die einen für die anderen. + +Diese Stellung der modernen Mathematik jedoch legt jedem, der sie mit +Erfolg betreiben will, eine schwere Verpflichtung auf, nämlich die, nicht +die eine der beiden Disziplinen, welche sie zusammen bilden, um die andere +zu vernachlässigen und sich in der Handhabung der Wissenschaft der Zahlen +ebensowohl, als in derjenigen der Ausdehnung auszubilden.[787] + +Um heiteren Mutes diese vermehrten Anstrengungen auf uns zu nehmen, dazu +hilft uns die Betrachtung, »daß die Analysis und Synthesis im Grunde +genommen gleichsam immer vereinigt in unseren Arbeiten sind und zusammen +das vollständigste Werkzeug des menschlichen Geistes bilden. Denn unser +Geist macht keine Fortschritte, als nur mit der Hilfe von Zeichen oder +Bildern, und wenn er zum ersten Male in schwierige Fragen einzudringen +sucht, so hat er nicht einen Überfluß an diesen beiden Mitteln und jener +besonderen Kraft, die er oft genug nur aus ihrem Zusammenwirken +schöpft.«[788] + +Indem wir uns also der Beschränktheit unserer Kräfte bewußt sind, werden +wir nur ein kleines Feld wählen, auf dem wir unsere Thätigkeit üben, aber +nicht vergessen, daß {130} wir, um alle Früchte, die es zu bieten fähig +ist, einzuernten, das Recht und sozusagen die Pflicht haben, alle die +Hilfsmittel prüfend anzuwenden, welche der menschliche Geist während so +vieler Jahrhunderte unausgesetzter Thätigkeit angehäuft hat, und die jedem +zu Gebote stehen, der die Klugheit hat, sie zu Rate zu ziehen, und das +Geschick, sie anzuwenden. + + + + * * * * * + +Abkürzungen für die häufig erwähnten Zeitschriften. + +------ + + + + _Acta math._: Acta mathematica. + + _Amer. Journ._: American Journal of Mathematics pure and applied. + + _Ann. Éc. norm._: Annales scientifiques de l'École normale supérieure. + + _Annali di Matem._: Annali di Matematica pura ed applicata. + + _Berliner Abh._: Mathematisch-physikalische Abhandlungen der Akademie + der Wissenschaften zu Berlin. + + _Berliner Ber._: Monatsberichte, bez. seit 1882 Sitzungsberichte oder + auch: Mathematisch-naturwissenschaftliche Mitteilungen derselben + Akademie. + + _Bologna Mem._: Memorie } dell' Accademia di Scienze dell' Istituto + _Bologna Rend._: Rendiconti } di Bologna. + + _Bull. sciences math._: Bulletin des sciences mathématiques (bis 1884: + et astronomiques). + + _Bull. Soc. math._: Bulletin de la Société mathématique de France. + + _Cambridge Journ._: Cambridge and Dublin mathematical Journal. + + _Cambridge Proc._: Proceedings } of the Philosophical Society of + _Cambridge Trans._: Transactions } Cambridge. + + _Comptes rendus_: Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie + des sciences (de Paris). + + _Gergonnes Ann._: Annales de Mathématiques. + + _Giorn. di Matem._: Giornale di Matematiche. + + _Göttinger Abh._: Abhandlungen } der Gesellschaft der Wissenschaften + _Göttinger Nachr._: Nachrichten von } zu Göttingen. + + _Grunerts Arch._: Archiv der Mathematik und Physik. + + _Journ. Éc. polyt._: Journal de l'École polytechnique. + + _Journ. für Math._: Journal für die reine und angewandte Mathematik. + + _Irish Proc._: Proceedings } of the Irish Academy. + _Irish Trans._: Transactions } + + {131} + _Leipziger Ber._: Berichte über die Verhandlungen der Gesellschaft der + Wissenschaften zu Leipzig. + + _Lincei Atti_: Atti } + _Lincei Mem._: Memorie } dell' Accademia dei Lincei. + _Lincei Rend._: Rendiconti } + _Lincei Trans._: Transunti } + + _Liouvilles Journ._: Journal de Mathématiques pures et appliquées. + + _Lombardo Rend._: Rendiconti dell' Istituto Lombardo di scienze e + lettere. + + _Math. Ann._: Mathematische Annalen. + + _Mém. prés._: Mémoires présentés par divers savants à l'Académie des + sciences (de Paris). + + _Münchener Abh._: Abhandlungen } der Akademie der Wissenschaften + _Münchener Ber._: Sitzungsberichte } zu München. + + _Napoli Rend._: Rendiconti dell' Accademia delle scienze fisiche e + matematiche di Napoli. + + _Nouv. Ann._: Nouvelles Annales de Mathématiques. + + _Phil. Mag._: London, Edinburgh and Dublin philosophical Magazine. + + _Phil. Trans._: Philosophical Transactions } of the Royal Society of + _Proc. Roy. Soc._: Proceedings } London. + + _Prager Abh._: Abhandlungen } der böhmischen Gesellschaft der + _Prager Ber._: Sitzungsberichte } Wissenschaften. + + _Proc. math. Soc._: Proceedings of the London mathematical Society. + + _Quart. Journ._: Quarterly Journal of pure and applied Mathematics. + + _Torino Atti_: Atti } dell' Accademia delle scienze di Torino. + _Torino Mem._: Memorie } + + _Wiener Ber._: Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen + Klasse der Akademie der Wissenschaften zu Wien. Zweite Abteilung. + + _Zeitschr. f. Math._: Zeitschrift für Mathematik und Physik. + +------ + +Die arabische Ziffer bezieht sich auf den Band (Teil, Jahrgang), beim +_Journ. Éc. polyt._ auf das Heft, die römische auf die Serie (Reihe). + +{132} + + + + * * * * * + +Verzeichnis der verstorbenen Geometer, deren Lebenszeit angegeben ist. + +------ + + + +Die Zahl ist die der Seite, auf welcher sie steht. + +Abel 20 -- d'Alembert 14 -- Apollonius 6 -- Archimedes 6 -- Aronhold 31. + +Baltzer 53 -- Bellavitis 60 -- Benedetti 9 -- Bobillier 26 -- Bolyai, J. +109 -- Bolyai, W. 108 -- Borchardt 43 -- Bour 56 -- Bragelogne 24 -- +Braikenridge 22. + +Caporali 84 -- Cardano 8 -- Carnot 14 -- Cauchy 116 -- Chasles 17 -- +Chelini 57 -- Clairaut 13 -- Clebsch 27 -- Clifford 26 -- Cotterill 84 -- +Côtes 21 -- Cramer 22 -- Crelle 20. + +Desargues 9 -- Descartes 10 -- Dirichlet 119 -- Dupin 15. + +Enneper 50 -- Eratosthenes 6 -- Euler 13. + +Ferrari 8 -- Fermat 9 -- Ferro 8 -- Fibonacci 8. + +Gauß 47 -- Gergonne 16 -- La Gournerie 44 -- Graßmann 26 -- De Gua 22. + +Hachette 15 -- Halley 11 -- Hamilton 104 -- Harnack 63 -- Hesse 25 -- +Hipparch 6 -- La Hire 11 -- Hoüel 109 -- Huygens 11. + +Jacobi 16 -- Joachimsthal 55. + +Lacroix 15 -- Lagrange 14 -- Laguerre 40 -- Lamarle 125 -- Lambert 88 -- +Lamé 23 -- Lancret 72 -- Laplace 14 -- Legendre 14 -- Leibniz 11 -- +Liouville 72 -- Lobatschewsky 109. + +Mac Cullagh 33 -- Maclaurin 11 -- Magnus 81 -- Mascheroni 9 -- Mercator 88 +-- Möbius 18 -- Monge 13. + +Newton 11. + +Oresme 16. + +Pappus 6 -- Parent 13 -- Pascal 9 -- Plateau 125 -- Plato 5 -- Plücker 19 +-- Poisson 14 -- Poncelet 14 -- Ptolomaeus 6 -- Puiseux 72 -- Pythagoras 5. + +Richelot 16 -- Riemann 110. + +Saint-Venant 72 -- Scheeffer 118 -- Schooten 13 -- Serret, A. 50 -- +Seydewitz 33 -- Simpson 11 -- Smith 29 -- Snellius 16 -- Spottiswoode 124 +-- Staudt 19 -- Steiner 18 -- Stewart 11 --Sturm, Ch. 104. + +Tartaglia 8 -- Thales 4 -- Transon 81. + +Vieta 9. + +Waring 22 -- Wren 32. + + * * * * * + +Berichtigung. S. 97 Z. 7 v. o. lies viel- statt zwei-. + + + + * * * * * + +Noten. + +------ + + + +[1] »It is difficult to give an idea of the vast extent of modern +mathematics. This word »extent« is not the right one: I mean extent crowded +with beautiful detail -- not an extent of mere uniformity such as an +objectless plain, but of a tract of beautiful country seen at first in the +distance, but which will bear to be rambled through and studied in every +detail of hillside and valley, stream, rock, wood and flower.« (Rede von +Cayley i. J. 1883 vor der »British Association for the Advancement of +Science« gehalten.) + +Bei dieser Gelegenheit führen wir noch folgendes Urteil von E. +Dubois-Reymond über den Charakter der modernen Wissenschaft an: »Nie war +die Wissenschaft entfernt so reich an den erhabensten Verallgemeinerungen, +nie stellte sie in ihren Zielen, ihren Ergebnissen eine grössere Einheit +dar. Nie schritt sie rascher, zweckbewußter, mit gewaltigeren Methoden +voran, und nie fand zwischen ihren verschiedenen Zweigen lebhaftere +Wechselwirkung statt.« (_Über die wissenschaftlichen Zustände der +Gegenwart_, Reden, Bd. II, S. 452.) + +[2] _Histoire des sciences mathématiques en Italie_ par G. Libri, 1838. Bd. +I, S. 3. + +[3] Hankel, _Die Entwickelung der Mathematik in den letzten Jahrhunderten_ +(Tübingen. II. Aufl. 1885). S. 7. + +[4] Diese Thatsache könnte man als ein neues Moment ansehen, wie sich -- +nach einem berühmten Ausspruche Humboldts -- der Einfluß, den die +tellurischen Erscheinungen auf die Richtung unserer wissenschaftlichen +Untersuchungen ausüben, geltend macht. + +[5] Vgl. Emil Weyr, _Über die Geometrie der alten Ägypter_ (Wien, 1881). + +[6] Für die Mathematiker, welche vor 1200 gelebt haben, sind die hier +niedergeschriebenen Jahreszahlen aus den _Vorlesungen über die Geschichte +der Mathematik_ von M. Cantor (I. Bd. Leipzig, 1880) entnommen. Die erste +Zahl in der Klammer bezieht sich auf das Geburtsjahr, die zweite auf das +Todesjahr. + +[7] In Bezug auf größere Einzelheiten sehe man Bretschneider, _Die +Geometrie und die Geometer vor Euklides_ (Leipzig, 1870). + +[8] Betti und Brioschi, Vorrede zu _Gli elementi di Euclide_ (Florenz, +1867). Eine gegenteilige Ansicht hat Lacroix in seinem wohlbekannten Buche +_Essais sur l'enseignement en général et sur celui des mathématiques en +particulier_ (4. Aufl. 1883. S. 296) ausgesprochen. + +[9] Um zu zeigen, wie glänzend und bewunderungswürdig die noch immer +verkannte griechische Mathematik gewesen sein muß, genüge es, die Thatsache +anzuführen, daß die Theorie der Kegelschnitte, ein hauptsächlicher +Gegenstand des Studiums der alten Geometer, von ihnen zu solcher Vollendung +gebracht wurde, dass man im wesentlichen nur weniges hinzuzufügen hätte, um +sie auf den Stand zu bringen, auf dem sie sich heute befindet. Die +Bewunderung für jene wird noch jeden Tag grösser durch die historischen +Forschungen gelehrter Mathematiker [z. B. Zeuthen (s. das Werk _Die Lehre +von den Kegelschnitten im Altertume_, deutsch von Fischer-Benzon. +Kopenhagen, 1886), P. Tannery (s. _Bull. des sciences math._ und _Mém. de +la Société de Bordeaux_) und andere], welche das Vorurteil zu beseitigen +suchen, daß die Griechen keine Untersuchungsmethoden gehabt hätten, die +vergleichbar sind mit denen, auf welche unsere Zeit so stolz ist, und die +als Ersatz dafür die Ansicht aufzustellen streben, daß es ihnen nur an den +nötigen Formeln zur Darstellung der Methoden selbst gefehlt habe. + +[10] Ich kann nicht umhin, die beredten Worte, welche der berühmte +Geschichtsschreiber der Mathematik in Italien bei dieser Gelegenheit +geschrieben hat, anzuführen: »...... mais bientôt le Romain arrive, il +saisit la science personnifiée dans Archimède, et l'étouffe. Partout où il +domine la science disparaît: l'Étrurie, l'Espagne, Carthage en font foi. Si +plus tard Rome n'ayant plus d'ennemis à combattre se laisse envahir par les +sciences de la Grèce, ce sont des livres seulement qu'elle recevra; elle +les lira et les traduira sans y ajouter une seule découverte. Guerriers, +poètes, historiens, elle les a, oui; mais quelle observation astronomique, +quel théorème de géométrie devons-nous aux Romains?« (Libri a. O. S. 186.) + +Um zu zeigen, in welchem Ansehen unsere Vorfahren die Mathematik hielten, +genüge es mitzuteilen (vgl. Hankel, _Zur Geschichte der Mathematik im +Altertum und Mittelalter_, Leipzig, 1874. S. 103), daß sie dieselbe oft mit +Astrologie und den verwandten Künsten zusammenwarfen. Es darf uns daher +nicht Wunder nehmen, wenn wir in dem Codex Justinians unter den gesammelten +Bestimmungen unter dem Titel »De maleficis et mathematicis et ceteris +similibus« folgendes finden: »Ars autem mathematica damnabilis interdicta +est omnino.« Wenn man in demselben Codex etwas weiter die Wendung findet: +»Artem geometriae discere atque exercere publice interest,« so muß man sich +hüten, sie als eine Übersetzung des Ausspruches Napoleons I. anzusehen: +»L'avancement, le perfectionnement des Mathématiques sont liés à la +prospérité de l'État,« denn es ist fast sicher, daß der römische +Gesetzgeber den praktischen Teil der Geometrie meinte. + +[11] Unter den Fragen der Geometrie, welche die italienischen Gelehrten des +16. Jahrhunderts sich gegenseitig stellten, finden sich solche von einiger +Wichtigkeit, da sie die _»Geometria del compasso«_ (Geometrie des Kreises) +entstehen ließen, welcher gerade in dieser Zeit Benedetti (?-1590) eine +Schrift widmete, und die in neuerer Zeit von Mascheroni (1750-1808) und +Steiner gepflegt wurde. + +[12] Pascal entdeckte an der Cykloide eine Fülle bemerkenswerter +Eigenschaften, wies auf die Perspektivität als eine für das Studium der +Kegelschnitte sehr günstige Methode hin, bewies den berühmten Lehrsatz von +dem »Hexagramma mysticum,« wie er es nannte, u. s. w. + +Desargues führte die gemeinsame Betrachtung der drei Kegelschnitte ein, den +wichtigen Begriff des unendlich fernen Punktes einer Geraden, den Begriff +der Involution von sechs Punkten, löste mehrere wichtige Fragen, die sich +auf die Kegelschnitte beziehen, u. s. w. + +In den Werken von Desargues (vgl. die von Poudra 1864 besorgte Ausgabe) +findet sich auch eine Methode vorgeschlagen, um einige projektive +Eigenschaften der Kurven zu untersuchen, welche darauf beruht, daß man +dieselbe durch Systeme von Geraden ersetzt. Descartes und Poncelet +betrachteten die Schlüsse, die auf einer solchen Substitution beruhen, als +der Strenge entbehrend (vgl. _Traité des proprietés projectives_, Bd. II, +S. 128). Jedoch wurde das von Desargues vorgeschlagene Verfahren in der +neueren Zeit wiederholentlich von demselben Poncelet (a.a.O. Bd. I, S. +374), von Jonquières (in verschiedenen Abhandlungen in den _Annali di +Matem., Journ. f. Math._ und in den _Math. Ann._), von Cremona (s. die +_Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane_) gebraucht, und +gehört heute zu den wertvollen Untersuchungsmethoden, die wir dem »Prinzip +der Erhaltung der Anzahl« verdanken. + +[13] Vgl. E. Dubois-Reymond, _Kulturgeschichte und Naturwissenschaft_, in +den Gesammelten Reden, Bd. I 1886, S. 207-208. + +[14] Favaro, _Notizie storico-critiche sulla costruzione delle equazioni. +Memorie di Modena_, 18, 1879. + +Matthiessen, _Grundzüge der antiken und modernen Algebra der litteralen +Gleichungen_ (Leipzig, 1878), 7. Abschnitt. + +[15] Über den Ursprung der analytischen Geometrie sehe man Günther, _Die +Anfänge und die Entwickelungsstadien des Coordinatenprincipes_ +(_Abhandlungen der naturforsch. Gesellsch. zu Nürnberg_, 6) und über +Cartesius die Rede von Jacobi, ins Französische übersetzt und +veröffentlicht in _Liouvilles Journ._ 12 unter dem Titel: _De la vie de +Descartes et de sa méthode pour bien conduire la raison et chercher la +vérité dans les sciences._ + +[16] Siehe z. B. den _Traité de la lumière_ (Leyden, 1691). + +[17] _Sectiones conicae in novem libros distributae_ (Paris, 1685), +_Mémoires sur les Epicycloides_ (_Anciennes Mémoires de l'Académie des +sciences,_ 9), _Traité des roulettes_ etc. (ebendas., 1704). + +[18] Man sehe die von ihm bewirkte Herausgabe von griechischen Werken nach, +sowie seine Versuche, verloren gegangene Bücher (wie das achte Buch von +Apollonius' Kegelschnitten) wieder herzustellen. + +[19] Vergl. sein Buch _A complete System of Fluxions_ (Edinburgh, 1742). + +[20] _Treatise on conic Sections_ (1735). + +[21] _General theorems of considerable use in the higher parts of +mathematics_ (Edinburgh, 1746); _Propositiones geometricae more veterum +demonstratae_ (Edinburgh, 1763). + +[22] Hinsichtlich der von Simpson und Stewart gemachten Versuche, die +griechische Geometrie wieder aufleben zu machen, sehe man Buckle, +_Geschichte der Civilisation in England_ (deutsch von A. Ruge), Bd. I, +Kap. 5. + +[23] Die von den Griechen hauptsächlich untersuchten Kurven sind: der +Kreis, die Ellipse, die Hyperbel, die Parabel, die Archimedische Spirale, +die Diokles'sche Cykloide, die Konchoide des Nikomedes, die Quadratrix des +Hippias und Dinostratus, die Schraubenlinien, die Spirallinien und einige +andere. Zu diesen fügten die neuen Rechnungsarten hinzu: das Folium und die +Ovale von Descartes, die Tschirnhausensche Quadratrix, die Cykloide, die +Hypo- und Epicykloiden, die logarithmische Spirale, die Kettenlinie, die +Sinuscurve, die Logarithmuscurve und unzählige andere. + +[24] Siehe das fünfte Buch seiner _Exercitationes geometriae._ + +[25] Parent, _Essai et Recherches de Mathématiques et de Physique_ +(II. Aufl. 1713), Bd. 2. + +[26] _Traité de Courbes à double courbure._ 4 + +[27] _Recherches sur la courbure des surfaces (Berliner Abh.)._ + +[28] Abhandlungen der Akademie von Turin (1770-1773) und von Paris (1784); +_Feuilles d'analyse appliquée à la géométrie_ (Paris, 1795), oder +_Applications de l'Analyse à la Géométrie_ (Paris, 1801). + +[29] Ausspruch von d'Alembert. + +[30] _Leçons de géométrie descriptive_ (Paris, 1794). + +[31] In Bezug auf Monge sehe man Dupin, _Essai historique sur les services +et les travaux scientifiques de Gaspard Monge_ (Paris, 1819); Arago, +_Notices biographiques._ + +Über die Geschichte des Ursprunges und der Entwickelung der darstellenden +Geometrie sehe man den ersten Abschnitt des 1. Bandes des Werkes von Chr. +Wiener, _Lehrbuch der darstellenden Geometrie_ (Leipzig, 1884, 1887), in +welchem der Studierende eine Menge interessanter Einzelheiten finden wird, +sei es über die Studien, welche diese Disziplin vorbereiteten, sei es über +die Untersuchungen, welche die Nachfolger von Monge gemacht haben. + +Monge hatte als Mitarbeiter bei seinem reformierenden Werke einige seiner +Kollegen [unter anderen Lacroix (1765-1843) und Hachette (1769-1834)], +sowie viele von seinen Schülern an der polytechnischen Schule. Der Kürze +halber beschränke ich mich darauf, den anzuführen, »der über die anderen +wie ein Adler fliegt«, Charles Dupin (1784-1873), vorzüglich wegen seiner +klassischen _Développements de géométrie_ (1813), die noch von allen +gelesen werden müssen, welche auch nur eine mäßige Kenntnis des heutigen +Zustandes der Geometrie erlangen wollen. + +[32] Monge's Einfluß läßt sich noch in den neuesten Arbeiten bemerken; zum +Beweise genüge es, die Idee anzuführen, die Schranken, durch welche die +Alten die Planimetrie von der Stereometrie getrennt hatten, niederzureißen, +und den glücklichen Versuch, den neuerdings (1884) De Paolis in seinen +goldenen _Elementi di Geometria_ (Turin) gemacht hat, dieselbe auszuführen. + +[33] »La Géométrie de position de Carnot n'aurait pas, sous le rapport de +la métaphysique de la Science, le haut mérite que je lui ai attribué, +qu'elle n'en serait pas moins l'origine et la base des progrès que la +Géométrie, cultivée à la manière des anciens, a fait depuis trente ans en +France et en Allemagne« (Arago, _Biographie de Carnot_). + +[34] Zweite Auflage, 1865, 1866. + +[35] Den Ursprung dieses Prinzipes betreffend, sehe man die Note von C. +Taylor, _On the history of geometrical continuity_ (_Cambridge Proc._, 1880 +und 1881). + +[36] _Doctrina triangulorum canonicae_ u. s. w. (Leyden, 1627). + +[37] _Variorum de rebus mathematicis responsorum liber VIII._ (Opera +Vietae, 1646). + +[38] _Gergonnes Ann._ 17. + +[39] Jacobi, _Journ. für Math._ 3; Richelot, das. 5, 38; Rosanes und Pasch, +ebendas. 64; Léauté, _Comptes rendus_, 79; Fergola, Padeletti und Trudi, +_Napoli Rend._ 21; Simon, _Journ. für Math._ 81; Gundelfinger, das. 83; +Halphen, _Liouvilles Journ._ III, 5; _Bull. de la Soc. philom._ VII, 3. Man +sehe auch die interessante Abhandlung von Hurwitz: _Über +unendlich-vieldeutige geometrische Aufgaben, insbesondere über die +Schliessungsprobleme_ (_Math. Ann._ 15) und die Note von Forsith, _On in- +and circumscribed polyhedra_ (_Proc. Math. Soc._ 1883). + +[40] In deutscher Übersetzung von Sohncke: _Geschichte der Geometrie, +hauptsächlich in Bezug auf die neueren Methoden_ (Halle, 1839), jedoch ohne +das _Mémoire sur deux principes généraux de la science_ (vgl. die folgende +Note). Das französische Original erschien 1875 in 2. Auflage. + +[41] Unter den Arbeiten, welche das Werk von Chasles bilden, verdient eine +besondere Erwähnung die Abhandlung (für welche ursprünglich der _Aperçu +historique_ als Einleitung dienen sollte) _Sur deux principes généraux de +la Science_, welche die allgemeine Theorie der Homographie (Kollineation) +und der Reciprocität enthält, sowie die Untersuchung der beiden Fälle, in +welchen diese involutorisch ist, und die Anwendung dieser Transformationen +auf das Studium der Flächen zweiten Grades und der geometrischen +Oberflächen überhaupt, sowie auf die Verallgemeinerung des cartesischen +Koordinatensystems. Auch müssen noch die _Noten_ erwähnt werden, da sie +eingehende historische Studien und geometrische Untersuchungen von großer +Bedeutung enthalten. Unter den letzteren will ich diejenigen anführen, in +denen die Theorie des Doppel- oder anharmonischen Verhältnisses und der +Involution, die anharmonischen Eigenschaften der Kegelschnitte, die +Fokaleigenschaften der Flächen zweiten Grades, viele Lehrsätze über die +kubischen Raumkurven, glückliche Versuche, die Sätze von Pascal und +Brianchon auf die Flächen zweiten Grades auszudehnen, eine +Verallgemeinerung der stereographischen Projektion u. s. w. +auseinandergesetzt sind. + +[42] Dieser Übergang ging nicht friedlich von statten, war vielmehr mit +einer Reihe lebhafter Diskussionen verbunden, in welchen Poncelet, Chasles +und Bobillier zu Gegnern hatten Plücker, Steiner und Magnus und deren +Hauptschauplatz das _Bulletin_ von Férussac war. -- Hier würde es am Orte +sein, den Anteil zu bestimmen, der jedem dieser Gelehrten in den +Wissensgebieten zukommt, an denen sie zusammen arbeiteten; aber dafür würde +die Feder eines competenteren und gelehrteren Mannes, als ich bin, nötig +sein. Im Übrigen sind nach meinem Dafürhalten gewisse Produktionen der +menschlichen Intelligenz eine natürliche Frucht ihrer Zeit; daher darf es +nicht wunder nehmen, wenn sie gleichzeitig aus verschiedenen Köpfen +hervorgegangen scheinen, und darum braucht man auch keine Erklärung dieser +Thatsache in der »mala fides« dieses oder jenes zu suchen. Daß solches +wirklich bei der Erfindung der Differentialrechnung eingetreten ist, steht +heute außer allem Zweifel. Daß dies ebenso bei der modernen Geometrie +eingetreten ist, kann die Thatsache beweisen, daß dieselbe hervorgegangen +ist aus einem allseitig gefühlten Bedürfnisse (man vergleiche dazu den +Ausspruch Dupins _[Développements de géométrie]_, der als Motto auf dem +_Traité des propriétés projectives des figures_ steht, mit der Vorrede der +_Systematischen Entwickelung_ und mit dem _Aperçu historique_ an +verschiedenen Stellen) nach allgemeinen Methoden, die als Ariadnefaden +dienen sollten zur Führung in dem Labyrinthe von Hilfssätzen, Lehrsätzen, +Porismen und Problemen, die von den Vorfahren überliefert sind. + +[43] Die hauptsächlichste Arbeit von Möbius auf dem Gebiete der reinen +Geometrie ist die mit dem Titel: _Der barycentrische Calcul_ (Leipzig, +1827); dort sind die bisherigen Kenntnisse über den Schwerpunkt +(Barycentrum) eines Systemes von Punkten einer neuen und wichtigen +Rechnungsart zu Grunde gelegt; diese führt zu einem neuen +Koordinatensystem, dessen Anwendung auf das Studium der Raumkurven und +ebenen Kurven und der Oberflächen der Verfasser darlegt. In demselben +werden ferner methodisch und in großer Ausführlichkeit wichtige +geometrische Transformationen, die heute noch fortwährend Anwendung finden, +betrachtet. Viele spätere Abhandlungen von Möbius sind als Anhänge zum +barycentrischen Calcul zu betrachten. (Siehe die beiden ersten Bände der +_Gesammelten Werke_ von Möbius, herausgegeben auf Veranlassung der +Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften, Leipzig, 1885-1887.) + +[44] Ich meine das Werk: _Systematische Entwickelung der Abhängigkeit +geometrischer Gestalten von einander_ (Berlin, 1832), in dem »der +Organismus aufgedeckt ist, durch welchen die verschiedenartigsten +Erscheinungen in der Raumwelt miteinander verbunden sind«. -- Die späteren +Schriften von Steiner und diejenigen anderer, welche sich auf das +angeführte Werk stützen, zeigen, welches Recht der Verfasser desselben dazu +hatte, den Inhalt durch die schon angeführten Worte zu charakterisieren. +Steiners _Gesammelte Werke_ sind auf Veranlassung der Akademie der +Wissenschaften zu Berlin herausgegeben (Berlin, 1881, 1882). + +[45] Des Näheren will ich hier nur die drei Bücher anführen: +_Analytisch-geometrische Entwickelungen_ (Essen, 1828-1831), _System der +analytischen Geometrie_ (Berlin, 1835), _Theorie der algebraischen Kurven_ +(Bonn, 1839), sowie die mit ihnen zusammenhängenden Abhandlungen, die in +_Gergonnes Ann._ und im _Journ. für Math._ veröffentlicht sind. + +[46] Das Werk, in welchem Staudt sein System der Geometrie dargelegt hat, +wurde im Jahre 1847 zu Nürnberg veröffentlicht unter dem Titel: _Geometrie +der Lage_. Die ungemeine Knappheit des Stiles ist vielleicht die Ursache +der großen Schwierigkeit, auf welche die Verbreitung desselben stieß; heute +erst sind, dank den von Reye (in erster Auflage 1866-1868 erschienenen und) +unter demselben Titel veröffentlichten Vorlesungen die in demselben +enthaltenen Ideen allen bekannt, die sich mit Geometrie beschäftigen. In +Italien wird jetzt zuerst von allen Ländern eine Übersetzung desselben +angefertigt. + +Nicht weniger wichtig sind die _Beiträge zur Geometrie der Lage_ (in 3 +Heften), welche Staudt seiner _Geometrie der Lage_ 1866-1860 folgen ließ. +Wir beschränken uns darauf, hervorzuheben, daß dort die einzige strenge, +allgemeine und vollständige Theorie der imaginären Elemente in der +projektiven Geometrie auseinandergesetzt ist; diese Theorie wurde in +verschiedener Weise von mehreren Geometern, Lüroth (_Math. Ann._ 8, 11), +August (_Progr. der Friedrichs-Realschule in Berlin_, 1872) und Stolz +(_Math. Ann._ 4) erläutert; über die eng mit ihr zusammenhängende Rechnung +mit den »Würfen« sehe man außer den erwähnten Abhandlungen von Lüroth noch +zwei Arbeiten von Sturm _(Math. Ann._ 9) und Schröder (ebendas. 10). + +[47] Ohne Zweifel ist diese Einteilung etwas willkürlich; vielleicht wird +mancher, indem er bedenkt, daß gewisse Theorien mit demselben Rechte zu +mehr als einem von den folgenden Abschnitten gehören können, dieselbe +unpassend finden. Gleichwohl schmeichle ich mir, daß die meisten nach +reiflicher Prüfung des besprochenen Gegenstandes finden werden, daß die von +mir gewählte Einteilung nicht ohne bemerkenswerte Vorteile ist. + +[48] Côtes, _Harmonia mensurarum_ (1722); Maclaurin, _De linearum +geometricarum proprietatibus generalibus tractatus_. (Ins Französische +übersetzt von de Jonquières und seinen _Mélanges de Géométrie pure_ [Paris, +1856] angehängt.) + +[49] _Miscellanea analytica_ etc. (1762); _Proprietates geometricarum +curvarum_ (1772); _Phil. Trans._ 1763-1791. + +[50] _Geometria organica_ (1720). + +[51] _Phil. Trans._ 1735; _Exercitationes Geometriae de descriptione +linearum curvarum_ (1733). + +[52] Übrigens hat, wie C. Taylor (_Cambridge Proc._ 3) bemerkte, Newton +selbst seine organische Erzeugungsweise der Kegelschnitte in der +_Enumeratio linearum tertii ordinis_ auf Kurven höherer Ordnung ausgedehnt. + +[53] _Usage de l'analyse de Descartes_ (1740). + +[54] _Introductio in analysin infinitorum_. 2. Bd. + +[55] _Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques_. + +[56] Kurz vor der Veröffentlichung des Cramerschen Werkes fand Euler (man +sehe die _Berliner Abh._ 1748), daß von den neun Grundpunkten eines +Büschels ebener Kurven dritter Ordnung einer durch die acht übrigen +bestimmt ist. + +[57] _Gergonnes Ann._ 17, 19. + +[58] _Journ. für Math._ 16; _Theorie der algebraischen Curven_ (wo S. 12-13 +sich eine kurze Geschichte dieser Sätze findet). + +[59] _Journ. für Math._ 15. + +[60] _Cambridge Journ._ 3; vgl. Bacharach, _Math. Ann._ 26. + +[61] Riemann, _Journ. für Math._ 54; Clebsch, das. 58; Roch, ebendas. 64; +Clebsch und Gordan, _Theorie der Abelschen Funktionen_ (Leipzig, 1866); +Brill und Nöther, _Über die algebraischen Funktionen_ u. s. w. (_Math. +Ann._ 7); Cremona, _Bologna Mem._ 1870; Casorati, Cremona und Brioschi, +_Lombardo Rend._ II, 2. + +[62] In diesem Werke ist mit ersichtlicher Bevorzugung von dem »Prinzipe +der Abzählung der Konstanten« Kenntnis gegeben und Gebrauch gemacht; wir +wollen dasselbe erwähnen, da sich darauf eine Untersuchungsmethode stützt, +deren ganze Bedeutung aufzuheben nicht gelingen wird, obwohl sich Beispiele +von Irrtümern anführen lassen, zu denen es führen kann, wenn es ohne die +notwendige Vorsicht angewandt wird. + +Mit der Theorie der ebenen Kurven befassen sich auch die beiden folgenden +Bücher, deren Existenz ich aus einer Anführung Plückers kenne (_Theorie der +algebraischen Curven_, S. 206); A. Peters, _Neue Curvenlehre_ 1835; +C. C. F. Krause, _Novae theoriae linearum curvarum originariae et vere +scientificae specimina quinque prima_. _Edidit Schröder_, 1835. + +[63] S. auch eine Abhandlung Plückers, _Liouvilles Journ._ 1. + +[64] _Mém. prés._ 1730-31-32. + +[65] S. die in Note 54 citierte _Introductio_. + +[66] Hierzu siehe Clebsch, _Vorlesungen über Geometrie_, S. 352; Malet, +_Hermathema_, 1880; Pellet, _Nouv. Ann._ II., 20, 1881. + +[67] Cayley, _Quart. Journ._ 7 und _Journ. für Math._ 64; La Gournerie, +_Liouvilles Journ._ II, 14; Nöther, _Math. Ann._ 9; Zeuthen, das. 10; +Halphen, _Comptes rendus_ 78, _Liouvilles Journ._ II, 2, _Mém. prés._ 26; +J. S. Smith, _Proc. math. Soc._ 6; Brill, _Math. Ann._ 16; Raffy, das. 23. +-- An diese Frage knüpft sich die Untersuchung der Zahl der Schnitte zweier +Kurven, welche von einem ihnen gemeinsamen vielfachen Punkte absorbiert +werden. Hierzu sehe der Leser die interessante Abhandlung von Zeuthen, +_Acta math._ 1. + +[68] _Journ. für Math._ 40; vgl. Clebsch (das. 63). + +[69] _Journ. für Math._ 36, 40, 41. + +[70] _Phil. Mag._ Oktoberheft 1858. + +[71] _Phil. Trans._ 1859. + +[72] z. B. Dersch, _Math. Ann._ 7. + +[73] _A Treatise on higher plane curves_ (1852); ins Deutsche übertragen +durch Fiedler (Leipzig, 1873) + +[74] _Gergonnes Ann._ 19. + +[75] _Journ. für Math._ 24. -- Die Theorie der Polaren in bezug auf Kurven +und Oberflächen wurde in der letzten Zeit auf eine bemerkenswerte Weise von +Clifford (1845-1879) (_Proc. math. Soc._ 1868 oder _Mathematical Papers of +Clifford_, 1882, S. 115) und von Reye (_Journ. für Math._ 72, 78) +verallgemeinert. De Paolis widmete ihr eine interessante Schrift, welche in +den _Lincei Mem._ 1885-1886 veröffentlicht ist. + +[76] _Comptes rendus_, 1853. + +[77] _Essai sur la génération des courbes géométriques_, 1858 (_Mém. prés._ +16). Vgl. Härtenberger, _Journ. für Math._ 58; Olivier das. 70, 71; +Schoute, _Nieuw Archief voor Wiskunde_, 4, und die allerneuesten +Untersuchungen von Jonquières über die Maximalzahl der vielfachen Punkte, +die man bei einer ebenen Kurve beliebig annehmen kann (_Comptes rendus_ +105). + +[78] Veröffentlicht im Jahre 1862 in den _Bologna Mem._ Möge es mir +gestattet sein, hier den Wunsch auszusprechen, daß der berühmte Cremona, +dessen Interesse für die Verbreitung der geometrischen Studien bekannt ist, +seine berühmten Schriften über die Theorie der Kurven und Oberflächen durch +neue Ausgaben allen zugänglich machen wolle. -- Diese Schriften sind in +deutscher Übersetzung von Curtze unter dem Titel: _Einleitung in eine +geometrische Theorie der ebenen Kurven_ (Greifswald, 1865), bez. _Grundzüge +einer allgemeinen Theorie der Oberflächen in synthetischer Behandlung_ +(Berlin, 1870) erschienen. + +[79] Als Vorbereitung für solche Untersuchungen sind die von Aronhold +(_Berliner Ber._ 1861) anzusehen, dann die von Brioschi (_Comptes rendus_, +1863, 64) über die Darstellung der Koordinaten der Punkte von gewissen +Kurven als elliptische Funktionen eines Parameters. + +[80] _Journ. für Math._ 58, 64. Die von Clebsch erhaltenen Resultate haben +sich infolge des schönen Werkes von Lindemann, welches den Titel trägt: +_Vorlesungen über Geometrie von A. Clebsch_ (I. Bd. Leipzig, 1876) und von +dem das Erscheinen des zweiten Bandes allgemein gewünscht wird, schnell +verbreitet. + +[81] _Über die algebraischen Funktionen und ihre Anwendung in der +Geometrie. Math. Ann._ 7. + +[82] Zu den im Texte angeführten Schriften müssen noch die von Brill +hinzugezogen werden (_Math. Ann._ 13), ferner die von Geiser (_Annali di +Matem._ II, 9) und die von Del Pezzo (_Napoli Rend._ 22) über den +Zusammenhang, der zwischen den Singularitäten einer Kurve und denen ihrer +Hesseschen Kurve besteht; ferner die von Laguerre (_Comptes rendus_ 40) und +Holst (_Math. Ann._ 11 und _Archiv for Mathematik og Naturvidenskab_ 7), +über die metrischen Eigenschaften der Kurven. + +[83] _De linearum geometricarum proprietatibus generalibus tractatus._ + +[84] Vgl. Salmon-Fiedler, _Höhere ebene Kurven_, 5. Kap. + +[85] _Phil. Trans._ 1857; _Liouvilles Journ._ 9, 10. + +[86] _Journ. für Math._ 42. + +[87] _Zeitschr. f. Math._ 17; _Prager Ber._ 1871. -- Man sehe auch das Buch +_Die ebenen Kurven dritter Ordnung_ (Leipzig, 1871) und die Abhandlung von +Gent (_Zeitschr. f. Math._ 17). + +[88] _Giorn. di Matem._ 2. + +[89] _Journ. für Math._ 90. + +[90] _Prager Abh._ VI, 5. + +[91] _Göttinger Nachr._ 1871 und 1872. + +[92] _Journ. für Math._ 78. + +[93] Hierzu Harnack, _Math. Ann._ 9. Caporali, _Lincei Atti_, III, 1; Folie +und Le Paige, _Mémoires de l'Académie de Belgique_, 43. Halphen, _Math. +Ann._ 15; _Bull. Soc. math._ 9. + +[94] _Siehe Giorn. di Matem._, _Lombardo Rend._, _Math. Ann._, _Wiener +Ber._ und _Prager Ber._ + +[95] Für die Clebschschen Arbeiten sehe man die in Note 80 angeführten +Bände des _Journ. für Math._ nach. Über die ebenen rationalen Kurven +dritter Ordnung sehe man die Arbeiten von Durège (_Math. Ann._ 1), Igel +(das. 6), Rosenow (Dissertation, Breslau, 1873), Schubert (_Math. Ann._ +12), Dingeldey (das. 27, 28); über die Kurven vierter Ordnung die von Brill +(Math. Ann. 12) und Nagel (das. 19); über die fünfter Ordnung von Rohn +(das. 25), und über die rationalen Kurven beliebiger Ordnung die Schriften +von Haase (_Math. Ann._ 2), von Lüroth (das. 9), Pasch (das. 18), Brill +(das. 20), von Weltzien (das. 26) und Garbieri (_Giorn. di Matem._ 16). + +[96] _Journ. für Math._ 47; _Comptes rendus_, 1871. + +[97] _Journ. für Math._ 53. + +[98] Güßfeldt, _Math. Ann._ 2; Laguerre, _Bull. Soc. math._ 7; Cremona und +Clebsch, _Journ. f. Math._ 64; Kiepert, _Zeitschr. f. Math._ 17; Frahm +ebendas. 18; Milinowski das. 19; Intrigila, _Giorn. di Matem._ 23; Kantor, +_Wiener Ber._ 1878 und _Bull. Sciences math._ II, 3. + +[99] _Giorn. di Matem._ 15. + +[100] _Journ. für Math._ 65. + +[101] _Math. Ann._ 4. + +[102] _Bull. de la Société philomathique_, VII, I. + +[103] Wenn p das Quadrat des Moduls einer elliptischen Funktion, q das +Quadrat des vermittelst einer primären Transformation ungerader Ordnung +transformierten Moduls und schließlich F(p, q, 1) = 0 die entsprechende +Modulargleichung ist, so ist die Gleichung einer Modularkurve F([alpha], +[beta], [gamma]) = 0. Siehe _Proc. math. Soc._ 9. + +[104] _Journ. f. Math._ 65; vgl. Ed. Weyr das. 73; Hurwitz, _Math. Ann._ +19. + +[105] _Math. Ann._ 24. + +[106] _Journ. für Math._ 95, 99; siehe auch die Abhandlung von August, +_Grunerts Arch._ 59. + +[107] _Transactions of the Royal Society of Edinburgh_ 25. + +[108] _Math. Ann._ 5. + +[109] _Math. Ann._ 5, 6. Man sehe auch hierzu die Abhandlung von Harnack in +der _Zeitschr. f. Math._ 22. Die hauptsächlichsten von Durège und Schröter +auf synthetischem Wege gefundenen Lehrsätze sind analytisch von Walter in +seiner Dissertation _Über den Zusammenhang der Kurven dritter Ordnung mit +den Kegelschnittscharen_ (Gießen, 1878) bewiesen. Den genannten Schriften +Schröters über die Kurven dritter Ordnung können wir nun noch sein +neuerdings erschienenes rein geometrisches Lehrbuch: _Die Theorie der +ebenen Kurven dritter Ordnung_ (Leipzig, 1888) hinzufügen. + +[110] _Math. Ann._ 5. + +[111] _Math. Ann._ 1, 13; vgl. Clebsch, _Journ. für Math._ 59. + +[112] _Irish Trans._ 1869. + +[113] Siehe dessen Werk, _Sur une classe remarquable de courbes et surfaces +algébriques_ (Paris, 1873). + +[114] _Journ. für Math._ 57, 59, 66. + +[115] _Tidsskrift for Mathematik_, IV, 3. + +[116] _Forhandlinger af Videnskabs Selskab af Kjobenhavn_ 1879. + +[117] Erschienen in den _Collectanea mathematica in memoriam D. Chelini_ +(Mailand, 1881). + +[118] _Journ. für Math._ 28, 34, 38. + +[119] _Journ. für Math._ 49, 55; vgl. auch Cayley (das. 58). + +[120] _Journ. für Math._ 49. + +[121] _Berliner Ber._ 1864, sowie _Nouv. Ann._ II, 11. + +[122] _Math. Ann._ 1; _Journ. für Math._ 72. + +[123] Vgl. Note 80. + +[124] _Journ. für Math._ 66. -- Über die Doppeltangenten einer Kurve +vierter Ordnung sehe man auch folgende Arbeiten: Riemann, _Zur Theorie der +Abelschen Funktionen für den Fall p=3_. _Gesammelte Werke_ (Leipzig, 1876), +S. 456-499; Nöther, _Math. Ann._ 15; Cayley, _Journ. für Math._ 94; +Frobenius (das. 99); Freyberg, _Math. Ann. _17; H. Weber (ebendas. 23). + +[125] Um sich von dem bedeutenden Anteil, welchen die Mongesche Schule an +der Schöpfung der Theorie der Flächen zweiten Grades hatte, zu überzeugen, +genügt es, sich folgendes zu vergegenwärtigen: Ihr verdanken wir die +doppelte Erzeugungsweise des einmanteligen Hyperboloides und des +hyperbolischen Paraboloides durch die Bewegung einer Geraden (Monge, +_Journ. Éc. polyt._ 1) und die Erzeugung aller Flächen zweiten Grades, mit +Ausnahme des hyperbolischen Paraboloides, durch Bewegung eines Kreises +(Hachette, _Éléments de Géométrie à trois dimensions_). Monge und Hachette +verdankt man den Beweis der Existenz der drei Hauptebenen einer Oberfläche +zweiter Ordnung; Monge (_Correspondance sur l'École polytechnique_) die +Entdeckung des Ortes der Scheitel der dreirechtwinkligen Triëder, deren +Kanten eine Fläche zweiter Ordnung berühren, und Bobillier (_Gergonnes +Ann._ 18) die des Ortes der Scheitel der dreirechtwinkligen Triëder, deren +Seitenflächen eine Fläche zweiter Ordnung berühren; Monge bestimmte die +Krümmungslinien des Ellipsoides (_Journ. Éc. polyt._ 2); Livet (das. 13) +und Binet (ebendas. 16) dehnten die bekannten Lehrsätze des Apollonius auf +den Raum aus, während Chasles (_Correspondance sur l'Éc. polyt._) andere +analoge Sätze gab; Dupin (_Journ. Éc. polyt._ 14) machte einige +interessante Methoden zur Erzeugung solcher Oberflächen bekannt. Brianchon +(das. 13) zeigte, dass die reciproke Polare einer Fläche zweiten Grades +ebenfalls eine Fläche zweiten Grades sei, u. s. w. + +[126] _Journ. für Math._ 12. + +[127] _Irish Proc._ 2. + +[128] _Aperçu historique_, Note 25, 28, 31, 32; _Comptes rendus_, 1855; +_Liouvilles Journ._ 1860 u. s. w. + +[129] _Journ. für Math._ 18, 20, 24, 26, 60, 73, 85, 90. + +[130] _Grunerts Arch._ 9. + +[131] _Journ. für Math._ 62. Über die Oberflächen zweiter Ordnung sehe man +auch die Abhandlungen von Townsend (_Cambridge Journ._ 3), von Darboux +(_Bull. Soc. Math._ 2), von Meray und Cremona (_Annali di matem._ I, 3) +u. s. w. und die _Géométrie de direction_ (Paris, 1869) von P. Serret. + +Eine der wichtigsten Fragen, welche sich in der Theorie der Flächen zweiten +Grades darbietet, ist die Konstruktion derselben, wenn neun ihrer Punkte +gegeben sind. Dieselbe wurde von Seydewitz (_Grunerts Arch._ 9), Chasles +(_Comptes rendus_, 1855), Steiner (_Gesammelte Werke_, II. Bd., +_Nachlass_), Schröter (_Journ. für Math._ 62), Sturm (_Math. Ann._ 1) und +Dino (_Napoli Rend._ 1879) gelöst. -- Daran knüpft sich die Untersuchung +des achten Punktes, der allen Flächen zweiter Ordnung gemeinsam ist, die +durch sieben gegebene Punkte gehen. Dieser wurde der Gegenstand wichtiger +Untersuchungen von Hesse (_Journ. für Math._ 20, 26, 73, 75, 99), Picquet +(das. 73, 99), Caspary, Schröter, Sturm, Zeuthen (das. 99) und Reye (das. +100). + +Ein anderes interessantes Problem ist die Untersuchung der Flächen zweiten +Grades, in bezug auf welche zwei gegebene Flächen zweiten Grades reziproke +Polaren voneinander sind; dasselbe wurde analytisch von Battaglini +behandelt (_Lincei Atti,_ 1875), von d'Ovidio (_Giorn. di Matem._ 10) und +synthetisch von Thieme (_Zeitschr. f. Math._ 22). + +Über einige Flächen zweiten Grades, welche besondere metrische +Eigenschaften besitzen (orthogonale, gleichseitige Hyperboloide), haben +geschrieben: Steiner (_Journ. für Math._ 2 und _Systematische +Entwickelung_), Chasles (_Liouvilles Journ._ 1 [1836]), Schröter (_Journ. +für Math._ 85), Schönfließ (_Zeitschr. für Math._ 23, 24 und _Journ. für +Math._ 99), Vogt (_Journ. für Math._ 86) und Ruth (_Wiener Ber._ 80). + +Zu den neuesten Studien über die Flächen zweites Grades gehören die von +Zeuthen (_Math. Ann._ 19, 26) über die Theorie der projektiven Figuren auf +einer solchen Fläche; daran schließen sich auch einige schöne +Untersuchungen, welche Voß gemacht hat (_Math. Ann._ 25, 26), um gewisse +Resultate von Poncelet und Bruno (_Torino Atti_ 17) weiter auszudehnen. +Auch sind die Anwendungen der hyperelliptischen Funktionen auf sie +bemerkenswert, welche Staude (_Math. Ann._ 20, 21, 25, 27) gemacht hat. + +[132] Davon geben Zeugnis die Partien, welche in ihren wertvollen +Lehrbüchern diesen Oberflächen gewidmet haben: Hesse (_Vorlesungen über die +analytische Geometrie des Raumes_), Salmon (_Analytische Geometrie des +Raumes_), Cremona (_Preliminari di una teoria geometrica delle +superficie_), Reye (_Die Geometrie der Lage_) und Schröter (_Theorie der +Oberflächen zweiter Ordnung und der Raumkurven dritter Ordnung_). + +[133] _Mémoire de géométrie sur deux principes généraux de la science_ +(Anhang zum _Aperçu historique_). + +[134] _Gergonnes Ann._ 17. + +[135] _Mémoire sur la théorie générale des polaires réciproques_. (_Journ. +für Math._ 4). + +[136] _Cambridge Journ._ 2, 4; _Irish Trans._ 23. + +[137] _Cambridge Journ._ 7, 8; _Phil. Trans._ 1869, 71 u. 72. Man sehe auch +die von Zeuthen in den _Math. Ann._ 4, 9, 10, von Jonquières in den _Nouv. +Ann._ 13 und von Halphen in den _Annali di Matem._ II, 9 veröffentlichten +Abhandlungen. + +[138] _Journ. für Math._ 15. + +[139] _Math. Ann._ 1, 2. Vgl. auch eine Abhandl. von Padova im _Giorn. di +Matem._ 9, sowie eine von Valentiner, _Tidsskrift for Mathematik_ IV, 3. + +[140] _Comptes rendus_ 45. + +[141] _Preliminari di una teoria geometrica delle superficie_. (_Bologna +Mem._ II, 6, 7). + +[142] _Wiener Ber._ 1877, 1882. + +[143] _Math. Ann._ 27. + +[144] _Journ. für Math._ 49. + +[145] _Cambridge Journ._ 4; _Quart. Journ._ 1; _Phil. Trans._ 1860. + +[146] _Journ. für Math._ 58, 63. + +[147] _Journ. für Math._ 72. + +[148] _Math. Ann._ 10, 11, 12; _Abzählende Geometrie_, 5. Abschnitt. S. +auch Krey, _Math. Ann._ 15. + +[149] _Math. Ann._ 23. + +[150] _Journ. für Math._ 72, 78, 79, 82. + +[151] _Geometry of three dimensions_; in deutscher Übersetzung von Fiedler: +_Analytische Geometrie des Raumes in zwei Bänden_ (3. Auflage, 1879/80). + +[152] _Preliminari_ etc. Vgl. Note 141. + +[153] Vgl. die in Note 136 und 137 angeführten Arbeiten. + +[154] _Cambridge Journ._ 6. + +[155] Auch im _Journ. für Math._ 53 publiziert. + +[156] Die einzige mir bekannte Arbeit, welche mit den Studien von Cayley +und Salmon im Zusammenhange steht, ist eine von Schläfli (_Quart. Journ._ +2), die besonders dadurch wichtig ist, daß sie die erste ist, welche den +Begriff der »Doppelsechs« enthält. + +[157] _Journ. für Math._ 62. + +[158] _Disquisitiones de superficiebus tertii ordinis_ (Berlin, 1862). + +[159] _Journ. für Math._ 68; ferner _Grundzüge einer allgemeinen Theorie +der Oberflächen_ (Berlin, 1870), in welchem Buche die deutsche Übersetzung +der in Note 141 und 152 zitierten »_Preliminari_« und diejenige dieser +Preisschrift (durch Curtze) vereinigt sind. + +[160] _Synthetische Untersuchungen über Flächen dritter Ordnung_. Leipzig, +1867. + +[161] _Journ. für Math._ 51; vgl. eine von Schröter (das. 96) +veröffentlichte Abhandlung. + +[162] Vgl. die in Note 158 zitierte Arbeit. -- Man sehe auch Schubert, +_Math. Ann._ 17. + +[163] _Grunerts Arch._ 56. + +[164] _Bull. soc. math._ 4. + +[165] _Acta math._ 3. + +[166] _Lombardo Rend._ März 1871. + +[167] _Grunerts Arch._ 56. + +[168] _Math. Ann._ 23. + +[169] _Lombardo Rend._ 1884; _Annali di Matem._ II, 12. + +[170] _Math. Ann._ 13; _Lincei Mem._ 1876-1877. + +[171] _Napoli Rend._ 1881. + +[172] _Journ. für Math._ 78. + +[173] _Lombardo Rend._ 1879. + +[174] _Acta math._ 5. + +[175] _Phil Trans._ 1863; vgl. Cayley (das. 1869). + +[176] _Math. Ann._ 14. + +[177] _Lombardo Atti_, 1861. + +[178] _Theorie der mehrdeutigen Elementargebilde_ u. s. w. Leipzig, 1869; +_Geometrie der räumlichen Erzeugnisse ein-zweideutiger Gebilde_, Leipzig, +1870. + +[179] _Über die geradlinige Fläche dritter Ordnung und deren Abbildung auf +eine Ebene._ (Dissertation. Straßburg, 1876.) + +[180] _Math. Ann._ 4. + +[181] _Phil. Mag._ 1864. + +[182] _Math. Ann._ 10. + +[183] _Phil. Trans._ 150. + +[184] _Journ. für Math._ 58. + +[185] _Math. Ann._ 5. + +[186] _Lincei Mem._ 1880-1881. Man sehe auch eine Note von Brioschi in den +_Lincei Atti_ II, 3, in welcher bewiesen wird, daß die 45 dreifach +berührenden Ebenen einer Oberfläche dritter Ordnung dreien Oberflächen +zehnter Klasse gemeinsam sind. Neuerdings fand Bauer (_Abh. der Bayr. Akad. +der Wiss._ 14, 1883) analytisch von neuem, was Sturm schon 1867 in seinen +_Synthetischen Untersuchungen über Flächen dritter Ordnung_ erkannt hatte, +daß die Schnittkurve einer Oberfläche dritter Ordnung mit ihrer Hesseschen +Fläche für beide eine parobolische Kurve ist; ein bemerkenswertes Resultat, +weil es das Analogon im Raume zu einem bekannten Satze über die ebene +kubische Kurve ist. + +[187] _Liouvilles Journ._ II, 14; _Traité des substitutions et des +équations algébriques_ (Paris, 1870). + +[188] _Traité des propriétés projectives des figures_. + +[189] _Comptes rendus_, 1862. + +[190] Ebendas., 1861. + +[191] _Phil. Trans._ 1864. + +[192] _Bologna Mem._ 1868. + +[193] _Berliner Ber._ 1864; _Journ. für Math._ 64. + +[194] _Nouv. Ann._ II, 5. + +[195] Die Dupinsche Cyklide gehört zu diesen. + +[196] Vgl. _Comptes rendus_ 1864. + +[197] Die Untersuchungen von Darboux finden sich in dem schon angeführten +Buche: _Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques_ +(Paris, 1873) zusammengefaßt. + +[198] S. die Aufzählung der Arbeiten, die zu Ende des in der vorigen Note +zitierten Werkes sich findet, und die _Notice sur la vie et les travaux de +M. Laguerre_, veröffentlicht von Poincaré in den _Comptes rendus_ 104. + +[199] _Phil. Trans._ 1871. + +[200] _Lombardo Rend._ 1871. + +[201] _Journ. für Math._ 70. + +[202] _Math. Ann._ 4. + +[203] _Om Flader af fjerde Orden med Dobbeltkeglesnit_ (Kopenhagen, 1879). +Von dieser Abhandlung habe ich eine italienische Übersetzung in den _Annali +di Matem._ II, 14 veröffentlicht. + +[204] _Journ. für Math._ 69. + +[205] _Math. Ann._ 1, 2, 3, 4. + +[206] _Annali di Matem._ II, 13. + +[207] _Leipziger Dissertation_ (Greifswald, 1885). + +[208] _Math. Ann._ 19. + +[209] _Torino Mem._ II, 36. + +[210] _Math. Ann._ 24. Betreffend die Konstruktion einer Oberfläche vierter +Ordnung mit Doppelkegelschnitt sehe man eine Abhandlung von Bobek (_Wiener +Ber._ 11. und 18. Dez. 1884) und eine von Veronese (_Atti dell' Istituto +Veneto_, VI, 1); hinsichtlich der Konstruktion einer Cyklide sehe man eine +Abhandlung von Saltel (_Bull. Soc. math._ 3). + +[211] Weierstraß, _Berliner Ber._ 1863. + +[212] Unter den Eigenschaften der römischen Fläche von Steiner verdient +eine hervorragende Stelle die (durch verschiedene Methoden von Cremona und +Clebsch nachgewiesene) Eigenschaft, daß sie zu asymptotischen Kurven +(Haupttangentenkurven) rationale Kurven vierter Ordnung hat. Eine andere +Eigenschaft derselben wurde von Darboux (_Bull. sciences math._ II, 4) +entdeckt und besteht darin, daß sie die einzige Fläche ist, außer den +Flächen zweiten Grades und den Regelflächen dritten Grades, bei welcher +durch jeden Punkt unendlich viele Kegelschnitte gehen. Neuerdings hat +Picard (_Journ. für Math._ 100) gezeigt, daß sie die einzige nicht +geradlinige Oberfläche ist, deren sämtliche ebene Schnitte rationale Kurven +sind. Man sehe hierzu noch eine Note von Guccia in den _Rendiconti del +circolo matematico di Palermo_, 1. -- Lie machte (_Archiv for Math. og +Naturvidenskab._ 3) die interessante Bemerkung, daß der Ort der Pole einer +Ebene in Bezug auf die Kegelschnitte einer Steinerschen Fläche eine +ebensolche Fläche ist. + +[213] _Journ. für Math._ 63; _Lombardo Rend._ 1867. + +[214] _Journ. für Math._ 64. + +[215] _Math. Ann._ 3. + +[216] _Journ. für Math._ 64; _Proc. math. Soc._ 5. + +[217] _Giorn. di Matem._ 1; _Bologna Mem._ 1879. + +[218] _Journ. für Math._ 67. + +[219] _Math. Ann._ 5. + +[220] _Nouv. Ann._ II, 11, 12; _Bull. Soc. math._ 1. + +[221] _La superficie di Steiner studiata nella sua rappresentazione +analitica mediante le forme ternarie quadratiche_ (Torino, 1881). + +[222] _Berliner Abh._ 1866 und _Berliner Ber._ 1864. + +[223] Diese Oberfläche hat eine fundamentale Bedeutung in der +mathematischen Theorie des Lichtes. Es ist in der That bekannt, daß die +Bestimmung der Ebenen, welche sie längs Kreisen berühren, Hamilton zur +Entdeckung der konischen Refraktion führte, einer Erscheinung, welche der +Aufmerksamkeit der Physiker entgangen war. Sie erfreut sich vieler +interessanter Eigenschaften und war Gegenstand wichtiger Untersuchungen +verschiedener Gelehrten, insbesondere Mannheims (_Comptes rendus_, 78, 81, +85, 88, 90; _Association franç. pour l'avanc. des sciences_ 1874, 75, 76, +78), _Proc. Roy. Soc._ 1882; _Collectanea mathematica_ u. s. w. + +[224] _Liouvilles Journ._ 11; _Journ. für Math._ 87. Vgl. eine Abhandlung +von Segre im _Giorn. di Matem._ 21. Andere Spezialfälle der Kummerschen +Fläche wurden von Rohn und Segre (_Leipziger Ber._ 1884) studiert. + +[225] Diese Eigenschaft der Kummerschen Fläche veranlaßte eine Untersuchung +über die Oberflächen beliebiger Ordnung, welche dieselbe besitzen, eine +Untersuchung, die schon von Kummer und Cayley unternommen ist, _Berliner +Ber._ 1878. + +[226] _Berliner Ber._ 1870, oder _Math. Ann._ 23. + +[227] _Journ. für Math._ 97; vgl. Segre das. 98. + +[228] _Journ. für Math._ 83, 94; oder _Borchardts Gesammelte Werke_ +(Berlin, 1888, S. 341); vgl. Brioschi und Darboux, _Compt. rend._, 1881. + +[229] _Journ. für Math._ 84. + +[230] S. die in Note 207 zitierte Abhandlung, und für die Geschichte der +Anwendung der hyperelliptischen Funktionen auf die Kummersche Oberfläche +die Einleitung der Abhandlung von Rohn, _Math. Ann._ 15. + +[231] _Journ. für Math._ 70. + +[232] _Münchener Dissertation_, 1878; _Math. Ann._ 15. + +[233] Die anderen Oberflächen vierter Ordnung mit singulären Punkten wurden +von Cayley studiert (_Proc. math. Soc._ 1870, 1871), vollständiger von Rohn +in einer sehr schönen Abhandlung, die von der Jablonowskischen Gesellschaft +kürzlich prämiiert ist (vgl. _Math. Ann._ 29). Endlich wurden die von +Flächen zweiten Grades eingehüllten Flächen vierter Ordnung von Kummer +untersucht, _Berliner Ber._ 1872. + +[234] _On the quartic surfaces_ (+) (u, v, w)^2 = 0 (_Quart. Journ._ 10, +11); _On the quartic surfaces represented by the equation symmetrical +determinant_ = 0 (_Quart. Journ._ 14). + +[235] Bekanntlich nennt man nach Cayley ein Monoid eine Oberfläche n^{ter} +Ordnung mit einem (n-1)-fachen Punkte. + +[236] _Math. Ann._ 24; vgl. auch die Dissertation von Lampe, Berlin, 1864. + +[237] _Math. Ann._ 18, 17. Außer den im Texte zitierten Oberflächen wurden +noch andere spezielle Flächen studiert, die ich der Kürze wegen übergehen +muß; der größere Teil derselben wurde vermittelst der Theorie der +Abbildungen entdeckt oder betrachtet, siehe § VI. + +[238] _Correspondance mathématique_ 9; _Liouvilles Journ._ 2. + +[239] _Cambridge Journ._ 8 und _Irish Trans._ 23. + +[240] _Phil. Trans._ 1863-1869. In den angeführten Arbeiten haben Cayley +und Salmon die Regelflächen bearbeitet als die Örter der Geraden, die drei +gegebene Kurven treffen, oder eine einmal und eine zweite zweimal treffen, +oder Trisekanten einer Kurve sind. Rupp hat neuerdings diese Betrachtungen +wieder aufgenommen, um auf eine andere Weise die Resultate zu erhalten und +zu modifizieren, zu denen jene Mathematiker gelangt waren (_Math. Ann._ +18). + +[241] _Annali di Matem._ II, 1. + +[242] _Traité de géométrie descriptive_, Art. 629 u. 635. + +[243] _Math. Ann._ 8, 12, 13. + +[244] _Comptes rendus_, 1862; vgl. d'Ovidio und Dino, _Giorn. di Matem._ 3. + +[245] _Dissertation_, gedr. zu Berlin 1864, und _Journ. für Math._ 67. + +[246] _Recherches sur les surfaces réglées tetraédrales symétriques_ +(Paris, 1867). Ich bemerke, daß ein Büschel von Oberflächen, die in Bezug +auf ein Tetraeder symmetrisch sind, mit einem projektiven Ebenenbüschel +eine bemerkenswerte Fläche erzeugt, die von Eckardt (_Zeitschr. f. Math._ +20) bearbeitet ist und welche die allgemeine Oberfläche dritter Ordnung in +sich schließt. + +[247] _Math. Ann._ 5. + +[248] _Annali di Matem._ II, 4. + +[249] _Prager Abhandlungen_ VI, 5. + +[250] _Mémoires de Bordeaux_ II, 3. + +[251] _Über die Flächen, deren Gleichungen aus denen ebener Kurven durch +eine bestimmte Substitution hervorgehen. Math. Ann._ 7. + +[252] _Lincei Mem._ 1878-1879. + +[253] _Math. Ann._ 4. + +[254] _Math. Ann._ 27, 29. S. auch eine Abhandlung von Eckardt (daselbst +7). + +[255] _Math. Ann._ 3. + +[256] das. 14, 15. S. auch eine Bemerkung von Dino, _Napoli Rend._ 19. + +[257] _Comptes rendus_, 52. + +[258] _Journ. für Math._ 68. + +[259] _Math. Ann._ 2. + +[260] _Proc. math. Soc._ 4; _Comptes rendus_, 1861; vgl. Hungady _Journ. +für Math._ 92. + +[261] Klein und Lie, _Comptes rendus_, 70. + +[262] Fouret, _Bulletin de la Société philomatique_, VII, 1. + +[263] Jung, _Lincei Rend._ 1885 und 1886. S. auch zwei Bemerkungen über +denselben Gegenstand, veröffentlicht von Visalli (ebendas. 1886). + +[264] Goursat, _Ann. Ec. norm._ III, 4; Lecornu, _Acta math._ 10. + +[265] Cfr. die bewunderungswerten _Vergleichenden Betrachtungen über neuere +geometrische Forschungen_ von F. Klein (Erlangen, 1872). + +[266] Veröffentlicht im Jahre 1795 unter dem Titel: _Feuilles d'Analyse +appliquée à la Géométrie_. Die letzte (fünfte) Ausgabe wurde von Liouville +im Jahre 1850 besorgt und durch einen Anhang sehr wertvoller Noten +bereichert. + +[267] Der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen +überreicht am 8. Oktober 1827 und abgedruckt im 6. Bande der +_Commentationes recentiores societatis Gottingensis_. Diese +_Disquisitiones_ stehen im 4. Bande der von der genannten Gesellschaft +herausgegebenen _Werke_ von Gauß, ferner in französischer Übersetzung in +der angeführten Liouvilleschen Ausgabe des Werkes von Monge. + +[268] Wenn x = e(t), y = f(t), z = g(t) die Ausdrücke der Koordinaten der +Punkte dieser Kurve in Funktionen eines Parameters t sind und F(x, y, z) = +0 die Gleichung der gegebenen Oberfläche, so ist die fragliche Enveloppe +die der Oberfläche F{x + e(t), y + f(t), z + g(t)} = 0. + +[269] Über solche Flächen sehe man die neue Arbeit von Lie (_Archiv for +Mathematik og Naturvidenskab_ 7). + +[270] Vor Monge hatten sich schon Euler (_Histoire de l'Académie de +Berlin_, 1766) und Meunier (_Mémoires de l'Académie des sciences de Paris_ +10, 1776) mit diesem Thema beschäftigt. + +[271] Unter den neueren Arbeiten über die Krümmungslinien führen wir nur +die von Hamilton, Frost und Cayley an, die sich als Aufgabe gestellt haben, +zu finden, wie dieselben um einen Nabelpunkt herum verteilt sind (_Quart. +Journ._ 12). + +[272] Vgl. hierzu eine von Cremona veröffentlichte Arbeit in den _Bologna +Mem._ III, 1. Wir führen hier auch einige Noten von Darboux an (_Comptes +rendus_, 84, 92, 97), welche die Bestimmung der Krümmungslinien einiger +spezieller bemerkenswerter Flächen zum Zwecke haben. + +[273] Die Differentialgleichung der Minimalflächen verdanken wir Lagrange +(_Miscellanea Taurinensia_, 1760-1761); die geometrische Interpretation +derselben wurde ein wenig später von Meunier gegeben (vgl. Note 270). + +[274] An die in den §§ 18 und 21 der _Application_ gemachten Untersuchungen +knüpft sich eine Abhandlung von O. Rodrigues, die sich in der +_Correspondance sur l'École polytechnique_ 3 findet. + +[275] Außer den Krümmungs- und asymptotischen Linien auf einer Fläche sind +noch diejenigen bemerkenswert, bei denen die Schmiegungskugel in einem +beliebigen ihrer Punkte die Oberfläche selbst berührt. Dieselben wurden von +Darboux (_Comptes rendus_ 83) und von Enneper (_Göttinger Nachrichten_, +1871) studiert. + +[276] Dupin fand (_Applications de Géométrie et de Méchanique_, 1822), daß +die einzigen Oberflächen, bei denen sämtliche Krümmungslinien Kreise sind, +die Kugel, der Rotations-Kegel und -Cylinder und die Cyklide sind, welch +letztere er schon als die Enveloppe einer Kugel erkannt hatte, die sich so +bewegt, daß sie immer drei feste Kugeln tangiert. + +[277] _Liouvilles Journ._ 13. + +[278] _Journ. Éc. polyt._ 19, 35; _Comptes rendus_ 42. + +[279] _Atti dell' Accademia dei Quaranta_, 1868-1869; _Annali delle +Università toscane_, 1869; _Annali di Matem._ II, 1, 4. + +[280] _Göttinger Abh._ 13, 16, 23; _Journ. für Math._ 94. + +[281] _Comptes rendus_, 96. + +[282] das. 46. + +[283] _Journ. Éc. polyt._ 53. + +[284] _Journ. für Math._ 94. + +[285] _Göttinger Dissertation_, 1883. + +[286] _Journ. für Math._ 59. + +[287] _Annali di Matem._ I, 8. + +[288] _Archiv for Math. og Naturvidenskab_, 4; _Bull. Sciences math._ II, +4. + +[289] _Journ. für Math._ 62. + +[290] _Berliner Ber._ 1840; _Journ. für Math._ 24. + +[291] _Berliner Ber._ 1866. + +[292] _Abhandlungen der Jablonowskischen Gesellschaft zu Leipzig_ 4; +_Journ. für Math._ 13. + +[293] _Liouvilles Journ._ II, 5. + +[294] das. I, 11. + +[295] _Göttinger Abh._ 13, _oder Gesammelte Werke_ S. 283 und 417. +Niewenglowski hat die Riemannschen Untersuchungen in elementarer Form +dargelegt in den _Ann. Éc. norm._ II, 9. + +[296] _Berliner Ber._ 1867. + +[297] _Math. Ann._ 1. + +[298] _Akademiens Afhandlingar_, _Helsingfors_, 1883. + +[299] _Journ. Éc. polyt._ 37. + +[300] _Heidelberger Dissertation_, 1875. + +[301] _Comptes rendus_ 41; vgl. Enneper, _Zeitschr. f. Math._ 7, 9. + +[302] _Journ. Éc. polyt._ 39. + +[303] _Bestimmung einer speziellen Minimalfläche_ (Berlin, 1871). Vgl. +Cayley, _Quart. Journ._ 14. + +[304] _Journ. für Math._ 80. + +[305] das. 87; _Comptes rendus_ 96. + +[306] _Zeitschr. f. Math._ 14; _Göttinger Nachr._ 1866. + +[307] _Liouvilles Journ._ II, 8. + +[308] _Bologna Mem._ II, 7. Die wunderschöne Einleitung dieser Abhandlung +enthält die Geschichte der Theorie der Minimalflächen. + +[309] _Archiv for Math. og Naturv._ 3, 4, 6; _Math. Ann._ 14, 15. + +[310] _Journ. für Math._ 81, 85. + +[311] _Annali di Matem._ II, 9. + +[312] _Étude des élassoides. Mémoires couronnés par l'Académie de Belgique_ +44. + +[313] _Giorn. di Matem._ 22. + +[314] _Lombardo Rend._ 1876; _Giorn. di Matem._ 14. + +[315] _Journ. für Math._ 78. + +[316] Das Studium der Krümmung einer Oberfläche in einem singulären Punkte +wurde von Painvin im _Journ. für Math._ 72 angestellt. + +[317] Ein analoger Satz wurde neuerdings von Sturm entdeckt (_Math. Ann._ +21). + +[318] Einige Vervollkommnungen und Ergänzungen dieses Teiles der Gaußischen +Abhandlung wurden von Liouville (_Journ. Éc. polyt._ 24), von Baltzer +(1818-1887) (_Leipziger Berichte_ 1872) und durch von Escherich (_Grunerts +Arch._ 57) vorgenommen. + +[319] Der Satz von Gauß: »Damit eine Oberfläche auf eine andere abwickelbar +sei, ist notwendig, daß die Krümmung in den entsprechenden Punkten gleich +sei«, wurde auf verschiedene Arten von Liouville (_Liouvilles Journ._ 12), +von Bertrand, Puiseux und Diguet (das. 13) bewiesen. Vgl. auch Minding, +_Journ. für Math._ 19. + +[320] _Annali di Matem._ II, 1. + +[321] _Bologna Mem._ II, 8. + +[322] _Math. Ann._ 1. + +[323] _Comptes rendus_ 37. + +[324] das. 44, 46, 57, 67. + +[325] _Annali di Matem._ I, 7. -- Das allgemeinere Problem der Bestimmung +zweier Oberflächen, so daß jedem Punkte der einen ein Punkt oder eine +Gruppe von Punkten der anderen entspricht, und daß den geodätischen Linien +der einen geodätische Linien der anderen korrespondieren, wurde später von +Dini behandelt. (_Annali di Matem._ II, 3). + +[326] _Giorn. di Matem._ 6. + +[327] _Comptes rendus_, 1865. + +[328] _Archiv for Math. og Nat._ 4, 5. + +[329] _Giorn. di Matem._ 16, 20, 21. + +[330] _Lund Årskrift_ 19. + +[331] _Comptes rendus_ 96, 97. + +[332] _Acta math._ 9. + +[333] _Journ. für Math._ 64. + +[334] _Berliner Ber._ 1882-1883. -- Hieran schließt sich die Schrift von +Lilienthal's: _Untersuchungen zur allgemeinen Theorie der krummen +Oberflächen und der geradlinigen Strahlensysteme_ (Bonn, 1886). + +[335] _Journ. für Math._ 26, 30. -- Joachimsthals Vorlesungen: _Anwendung +der Differential- und Integralrechnung auf die allgemeine Theorie der +Flächen und der Linien doppelter Krümmung_ erschienen nach seinem Tode +(Leipzig, 2. Auflage, 1881). + +[336] _Göttinger Nachr._ 1867. + +[337] _Lombardo Atti_ II, 1. + +[338] _Programm der Universität von Christiania_, 1879. + +[339] _Math. Ann._ 20. + +[340] _Journ. für Math._ 6, 18, 19. + +[341] _Journ. Éc. polyt._ 39. + +[342] _Mém. prés._ 27 (1879) (_Mémoire relatif à l'application des surfaces +les unes sur les autres_). + +[343] _Journ. Éc. polyt._ 41, 42. + +[344] _Berliner Abh._, 1869. + +[345] _Journ. für Math._ 94. + +[346] _Berliner Ber._ 1882. + +[347] _Münchener Abh._ 14. + +[348] _Journ. für Math._ 6. + +[349] _Irish Trans._ 22, I. T. + +[350] _Giorn. di Matem._ 2. + +[351] _Göttinger Nachr._ 1875. + +[352] _Giorn. di Matem._ 21. + +[353] _Journ. Éc. polyt._ 48. + +[354] _Bologna Mem._ IV, 3. + +[355] _Mém. prés._ 5; _Liouvilles Journ._ 2. -- Unter den vielen +Anwendungen, die man von den elliptischen Koordinaten gemacht hat, wollen +wir nur diejenigen anführen, die Jacobi davon gemacht hat bei der +Bestimmung der geodätischen Linien (_Journ. für Math._ 14; _Comptes rendus_ +8; _Liouvilles Journ._ 6) und bei einigen Fragen der Dynamik. S. +_Vorlesungen über Dynamik_, 1866 in erster, 1884 in zweiter Ausgabe als +Supplementband zu den _Gesammelten Werken_ erschienen. + +[356] _Journ. Éc. polyt._ 23. + +[357] _Liouvilles Journ._ 5. + +[358] das. 4. + +[359] das. 8. + +[360] _Comptes rendus_ 48, 54; _Journ. für Math._ 58; _Annali di Matem._ I, +6 und II, 1, 3, 5. + +[361] _Annali di Matem._ II, 1. + +[362] das. II, 1, 2, 4, 5. + +[363] _Bologna Mem._ 1868-1869. + +[364] _Ann. Éc. norm._ II, 7. + +[365] _Ann. Éc. norm._ I, 4. + +[366] _Journ. Éc. polyt._ 43. + +[367] _Annales des mines_ VII, 5. + +[368] _Liouvilles Journ._ 11. + +[369] das. 12. + +[370] _Comptes rendus_ 54. + +[371] _Mémoires couronnés par l'Académie de Belgique_, 32. + +[372] _Comptes rendus_ 59. + +[373] das. 59, 60, 67, 76; _Ann. Éc. norm._ I, 2; II, 3. + +[374] _Comptes rendus_ 74, 75; _Phil. Trans._ 163. Vgl. Weingarten, _Journ. +für Math._ 83. + +[375] _Comptes rendus_ 76. + +[376] _Journ. für Math._ 85. + +[377] das. 76; vgl. Darboux, _Comptes rendus_ 84. + +[378] _Grunerts Arch._ 55, 56, 57, 58 und 63. + +[379] _Giorn. di Matem._ 21, 22; _Annali di Matem._ II, 13; _Lincei Rend._ +1886. + +[380] _Mémoires de l'Académie de Toulouse_ VIII, 1. + +[381] _Archiv for Math. og Naturv._ 7. + +[382] _Göttinger Abh._ 19. -- Wenn u der Winkel der Normalen der Oberfläche +in einem Punkte mit der z-Axe, und v der Winkel der Projektion derselben +auf die xy-Ebene mit der x-Axe ist, so nennt man nach Enneper Kurven, deren +Gleichungen u = _const._ oder v = _const._ sind, Meridiankurven. + +[383] _Comptes rendus_ 74; _Proc. math. Soc._ 4. + +[384] _Berliner Ber._ 1883. + +[385] _Göttinger Dissertation,_ 1883. + +[386] _Giorn. di Matem._ 17. + +[387] _Mémoires de la société scientifique de Bruxelles_ 5, 7, 8. + +[388] _Ann. Éc. norm._ II, 3; _Journ. Éc. polyt._ 53. + +[389] _Liouvilles Journ._ 9, 12. + +[390] _Journ. Éc. polyt._ 30, 32; _Liouvilles Journ._ 14; _Comptes rendus_ +54. + +[391] Man sehe auch die _Thèse_ (Dissertation) von Picart, _Essai d'une +théorie géométrique des surfaces_ (Paris, 1863). + +[392] _Liouvilles Journ._ II, 17 und III, 4; _Bull. Soc. math. _2, 5, 6; +_Comptes rendus_ 74, 78, 79, 80, 82, 83, 84, 85, 86, 88; _Proc. math. Soc._ +12; _The Messenger of Mathematics_ II, 8. + +[393] _Enumeratio linearum tertii ordinis_ (1706). Indem wir eine Bemerkung +von Bellavitis (1803-1880) verwerten (s. § 107 der Schrift _Sulla +classificazione delle curve di terzo ordine, Memorie della Società italiana +delle scienze residente in Modena_, Bd. 25, II. Teil S. 34), geben wir +dieses Resultat wieder, indem wir sagen, daß jede Kurve dritter Ordnung +sich durch eine geeignete projektive Transformation auf eine der folgenden +Formen bringen läßt: Kurve, bestehend aus einem Schlangenzuge und einem +Ovale (_parabola campaniformis cum ovali_), Kurve mit einem Doppelpunkte +(_parabola nodata_), Kurve, bestehend aus einem Schlangenzuge (_parabola +pura_), Kurve mit einem isolierten Punkte (_parabola punctata_), Kurve mit +einer Spitze (_parabola cuspidata_). Unter den Beweisen, die für diesen +Satz gegeben sind, führe ich den von Möbius an, der sich auf die Prinzipien +der analytischen Sphärik gründet (_Gesammelte Werke_, II. Bd. S. 89-176), +und den, der aus der Klassifikation von Bellavitis (s. oben) hervorgeht. An +Möbius schließt sich an: M. Baur, _Synthetische Einteilung der ebenen +Kurven III. Ordnung_ (Stuttgart, 1888). Dann bemerke ich noch hierzu, daß +die Einteilungen, die von Möbius und Bellavitis (fast gleichzeitig, da die +erste 1852 veröffentlicht wurde und die zweite 1851 geschrieben und 1855 +veröffentlicht wurde) vorgeschlagen sind, gemeinsam haben, daß sie die +Kollineation als Grundlage der Bildung der Gattungen, die Affinität zur +Grundlage der Bildung der Arten dieser Kurven nehmen. Plückers Einteilung +befindet sich im _System der analytischen Geometrie_. J. W. Newman hat der +_British Association for the Advancement of Science_ (vgl. Report +1869-1870) eine Diskussion der Formen der ebenen kubischen Kurven und eine +daraus sich ergebende Nomenklatur vorgelegt, die von der gewöhnlich +üblichen abweicht. + +[394] _Aperçu historique_, Note 20. + +[395] _Journ. für Math._ 75 und 76. Wir können hinzufügen, daß Reye im +Anhange der 3. Auflage des ersten Teiles seiner _Geometrie der Lage_, der +vor wenigen Monaten erschienen ist, eine neue und elegante Methode zur +Bestimmung der Formen der ebenen kubischen Kurven einführt, indem er sie +als die Jacobischen Kurven von Kegelschnittnetzen auffaßte. + +[396] §§ 12, 13, 14, 15. + +[397] _The Messenger of Mathematics_ II, 6. + +[398] _Anwendung der Topologie auf die Gestalten der algebraischen Kurven, +speziell der rationalen Kurven vierter und fünfter Ordnung_ (Münchener +Dissertation, 1878). + +[399] _Irish Trans._ 1875. + +[400] _Beiträge zur Theorie der Oskulationen bei ebenen Kurven dritter +Ordnung_ (Berliner Dissertation, 1884). + +[401] _Math. Ann._ 7, 10. S. übrigens die Abhandlung: _Almindelige +Egenskaber ved Systemer af plane Kurver_ (Abh. der Akad. der Wissensch. in +Kopenhagen V, 10). + +[402] _Math. Ann._ 12; _Tidsskrift for Mathem._ IV, 1. + +[403] _Math. Ann._ 10. Vgl. auch Perrin, _Bull Soc. math._ 6. + +[404] _Theorie der algebraischen Kurven_ S. 249 flgg. -- Im Anschluß an +Plücker mögen noch Beers _Tabulae curvarum quarti ordinis symmetricarum_ +(Bonn, 1862) erwähnt werden. + +[405] »Eine Kurve vom Geschlechte p kann höchstens aus p + 1 Zügen +bestehen«. _Math. Ann._ 10. Der Spezialfall dieses Satzes, p = 0, ist seit +langer Zeit bekannt; schon Bellavitis hatte denselben in der vorher +angeführten Abhandlung besprochen; er erklärt die Benennung _unicursal_, +die von Cayley den rationalen Kurven gegeben war, und die von vielen noch +heute gebraucht wird. + +[406] _Gesammelte Werke_ 2, S. 433. + +[407] _Math. Ann._ 12, 13; _Leipziger Ber._ 1884. + +[408] _Math. Ann._ 6. + +[409] _Annali di Matem._ II, 5 und 7. + +[410] _Math. Ann._ 8. + +[411] _Münchener Ber._ 1883. + +[412] _Quart. Journ._ 9. + +[413] Siehe die schon zitierte Abhandlung: _Om Flader af fjerde Orden med +Doppeltkeglesnit_. + +[414] _Om Flader af fjerde Orden med Tilbagegangskeglesnit_ (Kopenhagen, +1881). + +[415] _Münchener Dissertation_, 1878; _Math. Ann._ 15, 18, 28, 29. + +[416] Für den, der sich mit der Konstruktion spezieller Oberflächen +befassen will, führe ich die praktischen Regeln an, welche Hicks +(_Messenger of Mathematics_ II, 5) für die Konstruktion der Wellenfläche +gegeben hat. + +[417] _Zeitschr. f. Math._ 25. + +[418] _Modelle von Raumkurven- und Developpabelen-Singularitäten_ (Lund, +Gleerup, 1881). + +[419] Unter den von Steiner ausgesprochenen Sätzen, nach deren Ursprung +wir, seine Nachfolger, vergebens suchen, finden sich einige derartige (s. +_Journ. für Math._ 37, 45, 49; _Gesammelte Werke_, II. Bd. S. 389, 439 und +613), welche glauben lassen, daß er eine Methode besessen habe, um einige +von den im Texte gekennzeichneten Problemen zu lösen. Etliche lassen sich +durch eine quadratische Transformation beweisen, wie Berner in seiner +Dissertation: _De transformatione secundi ordinis ad figuras geometricas +adhibita_ (Berlin, 1864) gezeigt hat. -- Jonquières (_Liouvilles Journ._ +II, 6; _Comptes rendus_, 1864, 65 und 66) fand auch eine Weise, um zur +Lösung einiger Probleme dieser Art zu gelangen, aber der von ihm +eingeschlagene Weg (welcher der Hauptsache nach in einer Anwendung des +Bézoutschen Satzes besteht) führte ihn unbedingt zu Irrtümern wegen +uneigentlicher (fremder) Lösungen, die er nicht ausgeschieden hatte. Vgl. +die schöne Abhandlung von Study in den _Math. Ann._ 27. + +[420] _Comptes rendus_, 1864; vgl. auch Zeuthen, _Nyt Bidrag til Laeren om +Systemer af Keglesnit_ (Kopenhagen, 1865) oder _Nouv. Ann._ II, 5; Dino, +_Comptes rendus_, 1867. Die Bände der _Comptes rendus_ von 1864 ab +enthalten eine ungeheuere Anzahl von Lehrsätzen verschiedener Art, die von +Chasles aufgestellt sind und deren Beweis sich auf die Theorie der +Charakteristiken und auf das Korrespondenzprinzip stützt. Unter diesen +Arbeiten ist eine der bemerkenswertesten diejenige, in welcher der +Verfasser mit Hilfe des Korrespondenzprinzips die Zahl der Schnitte zweier +Kurven in einer Ebene bestimmt (_Comptes rendus_ 75). Die dort angewandte +Beweisführung kann verallgemeinert werden und in vielen Fällen dazu dienen, +die Zahl der Lösungen eines bestimmten Systemes von algebraischen +Gleichungen zu finden. (S. Saltel, _Mémoires de l'Académie de Belgique_ 24; +_Comptes rendus_ 81; Fouret, _Bull. Soc. math._ 1, 2; _Comptes rendus_ 78. + +[421] _Comptes rendus_ 61. + +[422] Ebendas. 62. S. auch Salmon, _Quart. Journ._ 1866; Schubert, _Journ. +für Math._ 71 und 73. -- Eine interessante Anwendung der Theorie der +Systeme von Flächen zweiter Ordnung auf das Studium der quadratischen +(vorletzten) Polaren der Punkte des Raumes in bezug auf eine beliebige +algebraische Fläche wurde von Zeuthen gemacht (_Annali di Matem._ II. 4). + +[423] Vgl. auch _Comptes rendus_ 74, 75. + +[424] Paris, 1871. + +[425] _Journ. für Math._ 79, 80. + +[426] _Göttinger Nachr._ 1874, 75; _Math. Ann._ 13. + +[427] _Phil. Trans._ 1858. + +[428] _Recherches sur les séries ou systèmes de courbes et de surfaces +algébriques_ (Paris, 1866); _Comptes rendus_, 1866; _Journ. für Math._ 66 +u. s. w. Die eleganten analytischen Untersuchungen von Brill und Krey +(_Math. Ann._ und _Acta math._) haben zum Ziele die Auflösung von Problemen +aus der abzählenden Geometrie, die sich auf Systeme von Kurven und +Oberflächen beziehen. + +[429] _Annali di Matem._ II, 6; _Proc. math. Soc._ 5, 6, 8. + +[430] _Math. Ann._ 1, 6, 12, 15. + +[431] _Compt. rend._ 88. Bemerkenswert in dieser Abhandlung ist die +Ausdehnung des Begriffes des Geschlechtes einer Kurve auf Systeme von +Kurven. + +[432] _Math. Ann._ 6. + +[433] _Comptes rendus_ 78 und 86; _Bull. Soc. math._ 2 und 7. + +[434] _Comptes rendus_ 79, 86. + +[435] das. 82, 84. + +[436] das. 80. + +[437] das. 82. + +[438] Andere Anwendungen dieses Prinzipes finden sich in den von Fouret +veröffentlichten Arbeiten in den _Comptes rendus_ 83, 85, im _Bull. Soc. +math._ 6 und im _Bulletin de la Société philomathique_ VI, 11. -- Wir +bemerken, daß die geometrische Interpretation der Gleichung + + ( dz dz ) ( dz ) ( dz ) + L ( x -- + y -- - z ) - M ( -- ) - N ( -- ) + R = 0, + ( dx dy ) ( dx ) ( dy ) + +wenn L, M, N, R lineare Funktionen sind, welche von Fouret in den _Comptes +rendus_ 83 gegeben ist, ihn zu gewissen Oberflächen führte, die zuerst von +Klein und Lie studiert worden waren (_Comptes rendus_ 70). + +[439] Leipzig, 1879. In demselben sind die früheren Arbeiten von Schubert +vereinigt und befinden sich die Grundlagen seiner späteren Arbeiten. + +[440] Das erste dieser Prinzipien wurde von Chasles für die rationalen +Gebilde erster Stufe (_Comptes rendus_ 1864-1866) ausgesprochen und dann +von Cayley auf alle Gebilde erster Stufe ausgedehnt (_Comptes rendus_ 62, +_Proc. math. Soc._ 1866), und noch vollständiger im _Second memoir on the +curves which satisfy given conditions_ (_Phil. Trans._ 158). Bewiesen wurde +das Cayleysche Prinzip von Brill (_Math. Ann._ 6 und 7), neuerdings wurde +es in einer sehr bemerkenswerten Weise von Hurwitz ausgedehnt (_Math. Ann._ +28). + +Saltel ergänzte das Chaslessche Korrespondenzprinzip, indem er die +Bestimmung der Zahl der Koinzidenzen, die ins Unendliche fallen, zeigte +(_Comptes rendus_ 80) und illustrierte seine Resultate durch mehrere +Beispiele (_Comptes rendus_ 80, 81, 82, 83, und _Bulletin de l'Académie de +Belgique_ II, 92). + +Für die rationalen Gebilde zweiter und dritter Stufe hat man auch ein +Korrespondenzprinzip, welches von Salmon (_Geometry of three dimensions_ +II. Aufl.) und von Zeuthen (_Comptes rendus_ 78) entdeckt ist. Für die +Gebilde höherer Stufe siehe eine Note von Pieri in den _Lincei Rend._ 1887. + +[441] Betreffend andere bibliographische Einzelheiten über diesen Zweig der +Geometrie vgl. man den Artikel von Painvin, der in dem _Bull. Sciences +math._ 3 veröffentlicht ist, sowie einen von mir selbst in der _Bibliotheca +mathematica_ II, 2 (1888), S. 39, 67 veröffentlichten Artikel _Notizie +storiche sulla geometria numerativa_. + +[442] _Comptes rendus_ 67. + +[443] _Math. Ann._ 6. + +[444] _Vorlesungen über Geometrie_ von A. Clebsch (herausgegeben von +Lindemann) (Leipzig, 1876) S. 399. + +[445] _Göttinger Nachr._ 1876. + +[446] _Comptes rendus_, 1876; _Journ. Éc. polyt._ 45; _Proc. math. Soc._ 9, +10; _Math. Ann._ 15. + +[447] _Journ. Éc. polyt._ 45. + +[448] Auch von dem Satze, den Cremona ausgesprochen hat (_Annali di Matem._ +I, 6 und _Giorn. di Matem._ 3) über die doppelt unendlichen Systeme von +Kegelschnitten, als Erweiterung des Satzes von Chasles, kann man eine +Anwendung machen, worüber man das einsehen möge, was del Pezzo in seiner +interessanten Abhandlung _Sui sistemi di coniche_ (_Napoli Rend._ 1884) +auseinandergesetzt hat, und neuere Beobachtungen von Study (_Math. Ann._ +27). + +[449] _Mém. prés._ 1, 1806. + +[450] das. (ältere Serie) 10, 1785, und die schon zitierte _Application_. + +[451] _Mém. prés._ 9, 1781. + +[452] _Journ. Éc. polyt._ 30. + +[453] _Liouvilles Journ._ 17. + +[454] das. 16. + +[455] Man sehe die Noten zur _Application de l'Analyse à la Géométrie_, 5. +Aufl. und _Liouvilles Journ._ 17. + +[456] _Liouvilles Journ._ 15, 16. + +[457] das. 7. + +[458] _Forhandlingar i Videnskab-Selskabet i Christiania_, 1882. + +[459] Eingehenderes findet man in der Note 65 der _Analytischen Geometrie +des Raumes_ von G. Salmon, deutsch bearbeitet von W. Fiedler, 3. Aufl. +1880, II. Teil S. 37. -- In Bezug auf eine synthetische Darstellung der +Differentialgeometrie der Raumkurven sehe man Schell, _Allgemeine Theorie +der Kurven doppelter Krümmung in rein geometrischer Darstellung_ (Leipzig, +1859), und Paul Serret, _Théorie nouvelle géométrique et mécanique des +courbes à double courbure_ (Paris, 1860). + +[460] Vgl. Magnus, _Aufgaben und Lehrsätze aus der analytischen Geometrie +des Raumes,_ 1837, S. 160. + +[461] Die Existenz zweier Raumkurven vierter Ordnung wurde zuerst durch +Salmon im Jahre 1850 (_Cambridge Journ._ 5) und darauf von Steiner (_Journ. +für Math._ 53) bekannt gemacht. + +[462] Auf der kubischen Fläche treten schon von der sechsten Ordnung ab +gegen die Geraden der Fläche verschiedenartig sich verhaltende Kurven +derselben Ordnung auf, die in der Zahl der scheinbaren Doppelpunkte +übereinstimmen. Vgl. Sturm, _Math. Ann._ 21. + +[463] _Liouvilles Journ._ 10, oder _Cambridge Journ._ 5. Dieser Abhandlung +folgte eine, die von Salmon in demselben Bande des _Cambr. Journ._ +veröffentlicht wurde, und zu ihrer Ergänzung wiederum dient eine von +Zeuthen, die in den _Annali di Matem._ II, 3 abgedruckt ist. -- An sie +schließen sich ferner die Schriften, welche Cayley (_Phil. Trans._ 153), +Piquet (_Comptes rendus_ 77 und _Bull. Soc. math._ 1), und Geiser +(_Collectanea mathematica in memoriam D. Chelini_, Mailand, 1881) +geschrieben haben über die Geraden, welche eine Raumkurve eine gewisse +Anzahl Male schneiden. + +[464] _Comptes rendus_ 54 und 58. Mit dieser Abhandlung vergleiche man die +Dissertation von Ed. Weyr, _Über algebraische Raumkurven_ (Göttingen, 1873) +und andere Schriften desselben Verfassers (_Comptes rendus_ 76, _Wiener +Ber._ 69). Den zitierten Abhandlungen von Cayley müßte ich noch eine dritte +hinzufügen (_Quart. Journ._ 3), in welcher der Autor sich die Aufgabe +gestellt hat, eine Kurve als Komplex ihrer Sekanten (im Sinne Plückers) zu +betrachten und sie daher mittelst einer einzigen Gleichung zwischen den +Koordinaten einer Geraden im Raume darzustellen, aber ich kann davon +absehen, da die Fruchtbarkeit einer solchen Betrachtung noch nicht +dargethan ist. + +[465] Halphen, _Mémoire sur la classification des courbes gauches +algébriques_ (_Journ. Éc. polyt._ 52). Man sehe auch desselben Autors +Abhandlung _Sur les singularités des courbes gauches algébriques_ (_Bull. +Soc. math._ 9). -- Nöther, _Zur Grundlegung der Theorie der algebraischen +Raumkurven_ (_Berliner Abh._ 1883, _Journ. für Math._ 93). + +[466] _Comptes rendus_ 70; _Bull. Soc. math._ 1 und 2. + +[467] _Math. Ann._ 7. + +[468] _Math. Ann._ 6. Ein anderer Beweis desselben Satzes wurde von Halphen +gegeben, _Bull. Soc. math._ 5. + +[469] Die Gerechtigkeit verlangt, daß ich auch noch eine sehr schöne Arbeit +von Valentiner anführe: _Bidrag til Rumcurvener Theori_ (Kopenhagen, 1881) +(vgl. auch _Tidsskrift for Math._ IV, 5 und _Acta math._ 2), die fast zu +gleicher Zeit mit denen von Halphen und Nöther erschienen ist und mit +diesen in den Methoden und den Resultaten bemerkenswerte Berührungspunkte +hat. -- Ich will in dieser Note auch noch, da ich es im Texte nicht thun +konnte, einen Satz von Cremona anführen (von Dino in den _Napoli Rend._ +1879 bewiesen) und einige von Sturm (_Report of the British Association_, +1881; _Math. Ann._ 19), welche bemerkenswerte allgemeine Eigenschaften der +Raumkurven ausdrücken, sowie an die Untersuchungen von Cayley, Piquet und +Geiser über eine Raumkurve mehrmals schneidende Geraden erinnern, von denen +in der Note 463 gesprochen wurde. Erwähnenswert ist auch die (von Hoßfeld +in der _Zeitschr. f. Math._ 29 gefundene) Thatsache, daß die Rückkehrkurve +der zweien Oberflächen umbeschriebenen abwickelbaren Fläche nicht der +vollständige Schnitt zweier Oberflächen ist. + +[470] + + »Von anderen wird es löblich sein zu schweigen, + Weil allzukurz die Zeit für die Erzählung.« + -- Dantes Göttliche Komödie; _Die Hölle_, 15. Gesang, Vers 104-105. + +[471] _Der barycentrische Calcül_ (Leipzig, 1827). + +[472] _Aperçu historique,_ Note 33; _Liouvilles Journ._ 19 (1854). + +[473] _Beiträge zur Geometrie der Lage_, 3. Heft (Nürnberg, 1860). + +[474] _Grunerts Arch._ 10. + +[475] _Journ. für Math._ 56. + +[476] _Journ. für Math._ 58, 60, 63; _Nouv. Ann._ II, 1; _Annali di Matem._ +I, 1, 2, 5; _Lombardo Rend._ II, 12. + +[477] _Journ. für Math._ 56; _Theorie der Oberflächen zweiter Ordnung und +der Raumkurven dritter Ordnung_ (Leipzig, 1880); _Math. Ann._ 25. Vgl. auch +eine Note von mir in den _Napoli Rend._, 1885. + +[478] _Zeitschr. für Math._, 1868; _Geometrie der Lage_. + +[479] _Lombardo Rend._ 1871. + +[480] _Journ. für Math._ 79, 80; _Annali di Matem._ II, 3. + +[481] _Math. Ann._ 20 und 30. + +[482] _Torino Mem._ II, 32 und _Collectanea mathematica_. An diese +Abhandlungen schließt sich eine von Gerbaldi, _Sui sistemi di cubiche gobbe +o di sviluppabili di III. classe stabiliti col mezzo di due cubiche +punteggiate projettivamente_ (_Torino Mem._ II, 32). + +[483] _Giorn. di Matem._ 17 (1879). Betreffend die ausgearteten Formen der +kubischen Raumkurve sehe man eine Note von Schubert (_Math. Ann._ 15). Die +Theorie der kubischen Raumkurven führt zu einer interessanten geometrischen +Darstellung der Theorie der binären algebraischen Formen, die von Laguerre +(_L'Institut_ 40), von Sturm (_Journ. f. Math._ 86) und von Appell (_Ann. +Éc. norm._ II, 5) bearbeitet wurde. Vgl. auch eine Note von J. Tannery +(_Bull. sciences math._ 11). Ferner sehe man in bezug hierauf die Note von +W. R. W. Roberts (_Proc. math. Soc._ 13) und das Buch von Franz Meyer, +_Apolarität und rationale Kurven_ (Tübingen, 1883). Eine gute Darlegung der +Theorie der Raumkurven dritter Ordnung hat auch von Drach geliefert in der +Schrift _Einleitung in die Theorie der kubischen Kegelschnitte_ (Leipzig, +1867), infolge deren Beltrami interessante _Annotazioni_ geschrieben hat +(_Lombardo Rend._ II, 1). + +[484] _Comptes rendus_ 53 (1861). + +[485] _Annali di matem._ 4. -- Die Note von Story, _On the number of +intersections of curves traced on a scroll of any order_ (_Johns Hopkins +Baltimore University Circulars_ 2, 1883) enthält eine Verallgemeinerung +eines sehr wichtigen Theoremes von Chasles. + +[486] Poncelet machte im Jahre 1822 die bemerkenswerte Entdeckung, daß +durch jede Raumkurve vierter Ordnung erster Art vier Kegel zweiten Grades +hindurchgehen. (S. _Traité des proprietés projectives_ I, S. 385, 2. Aufl.) + +[487] _Comptes rendus_ 54, 55. + +[488] _Comptes rendus_ 54; _Bologna Mem._ 1861; _Lombardo rend._ II, 1. + +[489] _Annali di Matem._ II, 2. + +[490] _Géometrie de direction_ (Paris, 1869); _Comptes rendus_ 82. + +[491] _Liouvilles Journ._ II, 15. + +[492] _Journ. für Math._ 97. -- Eine bemerkenswerte spezielle Raumkurve +vierter Ordnung erster Art hat Schröter untersucht: _Journ. für Math._ 93. + +[493] _Math. Ann._ 12, 13. + +[494] _Zeitschr. f. Math._ 28. + +[495] _Math. Ann._ 13. Vgl. Cayley (das. 25). + +[496] _Comptes rendus_ 82. + +[497] _Annali di Matem._ I, 4. + +[498] _Giorn. di Matem._ 11, 12. + +[499] _Lombardo rend._ 1872. + +[500] _Wiener Ber._ 1871. Über die rationalen Kurven vierter Ordnung sehe +man auch Study (_Leipziger Sitzungsber._ 1886), die _Habilitationsschrift_ +von Jolles (Aachen, 1886) und die Abhandlung von Roberts (_Proc. math. +Soc._ 14). -- Unter den rationalen Kurven vierter Ordnung ist eine sehr +bemerkenswerte diejenige, welche zwei stationäre Tangenten hat. Die +eleganten Eigenschaften, welche dieselbe besitzt, wurden von Cremona +(_Lombardo Rend._ 1868), Em. Weyr (das. 1871) und Appell (_Comptes rendus_ +83) entdeckt. + +[501] _Comptes rendus_ 70. + +[502] _Vierteljahrsschrift der naturf. Ges. in Zürich_ 20. + +[503] Außer den zitierten _Synthetischen Untersuchungen_ sehe man _Journ. +für Math._ 88 und _Math. Ann._ 21. + +[504] S. Korndörfer und Brill, _Math. Ann._ 3; Saltel, _Comptes rendus_ 80; +Genty, _Bull. Soc. math._ 9. + +[505] Siehe unter anderem die Bemerkung von Buchheim, _On the extension of +certain theories relating to plane cubics to curves of any deficiency_ +(_Proc. math. Soc._ 13). + +[506] _Collectanea mathematica_. + +[507] _Journ. für Math._ 99. + +[508] Chasles, _Aperçu historique_, 2. Aufl., S. 269; in der deutschen +Übersetzung von Sohncke, S. 267. + +[509] Diese Konstruktion, die von den Deutschen »Steinersche Projektion« +genannt wird, wurde im Jahre 1865 von neuem von Transon (1806-1876) +gefunden, der ihr den Namen »_projection gauche_« gab (_Nouv. Ann._ II, 4 +und 5). + +[510] _Traité des propriétés projectives_ (1. Aufl. 1822, S. 198). + +[511] _Journ. für Math._ 5. + +[512] _Journ. für Math._ 8, und _Aufgaben und Lehrsätze aus der +analytischen Geometrie der Ebene_, 1833. + +[513] _Torino Mem._ 1862. + +[514] _Grunerts Arch._ 7. + +[515] _Zeitschr. f. Math._ 11. + +[516] _Liouvilles Journ_. 10, 12. Vorher hatten schon G. Bellavitis (_Nuovi +Saggi dell' Accademia di Padova_ 4 (1836) und Stubbs (_Phil. Mag._ 23, +1843) sich mit dieser Korrespondenz beschäftigt. Man sehe auch Steiners +Aufsatz aus dem Jahre 1826: _Einige geometrische Betrachtungen_ (_Journ. +für Math._ 1; _Gesammelte Werke_ Bd. I, S. 19) Nr. 20. + +[517] Auf den Begriff der Inversion ist von Johnson (Analyst 4) eine neue +Einteilung der ebenen Kurven gegründet worden. In derselben bedeutet der +Name »Kreisgrad« einer Kurve den Grad ihrer Gleichung (in rechtwinkligen +cartesischen Koordinaten) in x, y, r = x^2 + y^2; der Kreisgrad einer Kurve +wird durch die Inversion nicht verändert. Zwei Kurven, welche denselben +Grad haben, gehören zu derselben Kategorie. Diese Einteilung scheint jedoch +nicht von großer Wichtigkeit zu sein. + +[518] _Sammlung von Aufgaben und Lehrsätzen aus der analytischen Geometrie +der Ebene_, 1833. + +[519] In den Jahren 1859 und 1860 studierte Jonquières die (nach seinem +Namen benannte) Transformation n^{ter} Ordnung, bei welcher jeder Geraden +eine Kurve n^{ter} Ordnung mit einem (n - 1)-fachen Punkte entspricht. +Einige seiner Resultate wurden im Jahre 1864 in den _Nouv. Ann._ +veröffentlicht, aber das vollständige Werk, welches er dieser +Transformation widmete, erschien erst 1885 und zwar durch Guccia (s. +_Giorn. di Matem._ 23) herausgegeben. Wir bemerken auch, daß schon 1834 +Möbius (_Journ. für Math._ 12; _Gesammelte Werke,_ 1) die eindeutige +Korrespondenz zwischen zwei Ebenen, bei denen die Flächeninhalte +entsprechender Figuren in einem konstanten Verhältnisse stehen, studiert +hat. Die Untersuchungen sind jedoch von ganz anderer Art als die im Texte +betrachteten. + +[520] _Bologna Mem._ 2, 5 (1863 und 1865); _Giorn. di Matem._ 1 und 3; vgl. +auch Dewulfs Bearbeitung im _Bull. sciences math._ 5. + +[521] _Proc. math. Soc._ 3. + +[522] _Math. Ann._ 4. + +[523] _Math. Ann._ 3, 5. + +[524] _Journ. für Math._ 73. + +[525] _Proc. math. Soc._ 4. + +[526] Hier will ich einen wichtigen Lehrsatz berühren, der gleichzeitig von +Clifford (_Proc. math. Soc._ 3), Nöther (_Göttinger Nachr._ 1870; _Math. +Ann._ 3) und Rosanes (_Journ. für Math._ 73) erhalten wurde, und für einen +Augenblick die Wichtigkeit der Cremonaschen Transformation aufzuheben +schien: »Jede eindeutige Transformation von höherer als erster Ordnung kann +man durch Wiederholung von quadratischen Transformationen erhalten.« Dieser +Satz ist offenbar die Umkehrung desjenigen von Magnus, der vorhin im Texte +angeführt wurde. + +[527] _Bologna Mem._ 1877-1878. + +[528] _Comptes rendus_, 1885; _Giorn. di Matem._ 24. + +[529] _Annali di Matem._ II, 10. + +[530] _Comptes rendus_, 1885; _Rendic. del Circolo Matematico di Palermo_ +1. + +[531] Man sehe die in den _Comptes rendus_, 1883, 1884, 1885, 1886 und in +_Liouvilles Journ._ 1885, 1886, 1887 veröffentlichten Abhandlungen. + +[532] _Annali di Matem_. 7, ferner _Giorn. di Matem_. 4. + +[533] _Proc. math. Soc._ 2. + +[534] _Math. Ann._ 26. + +[535] _Bull. sciences math._ II, 6 und 7. + +[536] Meistenteils wurden die geometrischen Transformationen auf das +Studium der algebraischen Kurven angewandt; jedoch fehlt es nicht an +Schriften, welche sich mit der Transformation transcendenter Kurven in +andere oder in sich selbst befassen: z. B. Magnus, _Sammlung von Aufgaben +und Lehrsätzen aus der analytischen Geometrie der Ebene_, 1833, S. 320, +455, 457-459, 497; Klein und Lie, _Math. Ann._ 4. + +[537] _Annali di Matem._ II, 8; _Lombardo Rend._ 1883. Vgl. auch Geiser, +_Journ. für Math._ 67. + +[538] _Napoli Rend._, 1879. + +[539] Die neueste Form, welche die Bertinischen Untersuchungen infolge +dessen angenommen, machte es meinem Freunde Martinetti leichter, auf dem +von diesem Gelehrten vorgezeichneten Wege weiter zu schreiten und die +ebenen involutorischen Transformationen dritter und vierter Klasse zu +bestimmen (_Annali di Matem._ II, 12, 13). Die Theorie der ebenen +Transformationen wird sich binnen kurzem durch die wichtige Arbeit von +Kantor bereichern, welche von der Akademie zu Neapel gekrönt worden ist und +jetzt gedruckt wird. Einzelne Resultate finden sich in den _Wiener Ber._ +1880 ausgesprochen, sowie in den _Wiener Denkschriften_ 46. + +Saltel verdanken wir die Idee einer speziellen involutorischen +Transformation dritten Grades, die er schon 1872 unter dem Namen +»_Transformation arguesienne_« nach Desargues benannt (s. die _Mémoires de +l'Académie de Belgique_ 12, _Bulletin de l'Académie de Belgique_ II, 24), +studiert hat. Man stellt dieselbe auf folgende Weise her: Gegeben sind in +einer festen Ebene [PI] zwei Kegelschnitte [GAMMA]_1 und [GAMMA]_2 und ein +fester Punkt O; man läßt entsprechen einem Punkte P von [PI] seinen +konjugierten in der Involution, die auf der Geraden OP bestimmt wird durch +den Kegelschnittbüschel, den [GAMMA]_1, und [GAMMA]_2 konstituieren. Es +sind fundamental der Punkt O und die Grundpunkte dieses Büschels. -- Wenn +jene beiden Kegelschnitte [GAMMA]_1 und [GAMMA]_2 zusammenfallen, so +reduziert sich diese Transformation offenbar auf die quadratische Inversion +von Hirst. -- Im Raume hat man eine ähnliche Transformation. -- Eine andere +Transformation (»_transformation hyperarguesienne_«) wurde von demselben +Verfasser als Erweiterung der vorhergehenden eingeführt (_Bulletin de +l'Académie de Belgique_ II, 12) und wird auf folgende Weise hergestellt: +Gegeben in einer Ebene [PI] drei Kegelschnitte [GAMMA]_1, [GAMMA]_2, +[GAMMA]_3 und ein fester Punkt O. Man läßt einem Punkte P von [PI] seinen +homologen entsprechen in der Projektivität, die bestimmt ist auf OP von den +drei Paaren von Punkten, in welchen diese Gerade von den drei +Kegelschnitten getroffen wird; jedoch ist diese Korrespondenz offenbar +nicht birational. -- Die erste der Saltelschen Transformationen kann zur +Lösung von Problemen aus der Theorie der Charakteristiken für die Kurven +höherer als zweiter Ordnung dienen (_Bull. Soc. Math._ 2). + +[540] _Bull. Soc. math._ 8; _Comptes rendus_ 94; _Nouv. Ann._ III, 1, 2. +Diese Transformation kann man, wie Laguerre selbst bemerkte, auf den Raum +ausdehnen (_Comptes rendus_ 92), jedoch ist die Art der Korrespondenz, die +man erhält, keine neue; sie ist nach einer Bemerkung von Stephanos +(_Comptes rendus_ 92) dieselbe, vermittelst derer Lie die Geometrie der +Geraden mit der der Kugel verknüpfte (_Math. Ann._ 5). + +[541] Die verschiedenen Abhandlungen von Möbius über diese Theorie finden +sich vereint im II. Bande seiner _Gesammelten Werke_ (Leipzig, 1886). + +[542] _Journ. für Math._ 55, 57, 59; _Grunerts Arch._ 33. + +[543] _Grunerts Arch._ 42. + +[544] _Bologna Mem._ 1870. + +[545] _Journ. für Math._ 69. + +[546] Des Näheren siehe die Abhandlung: _Géometrie des polynomes_ (_Journ. +Éc. polyt._ 28). + +[547] _Beiträge zur geometrischen Interpretation binärer Formen_ (Erlangen, +1875); vgl. _Math. Ann._ 9; _Studien im binären Wertgebiete_ (Karlsruhe, +1876); _Math. Ann._ 17; _Erlanger Berichte_, 1875. + +[548] Siehe das Werk: _Einführung in die Theorie der isogonalen +Verwandtschaften_ (Leipzig, 1883). + +[549] Zwischen drei geometrischen Gebilden kann man eine Korrespondenz +aufstellen, so daß einem Paare von Elementen, das eine genommen in dem +einen, das andere in einem zweiten, eindeutig ein solches im dritten +Gebilde entspricht. Wenn unter Festhaltung eines Elementes die anderen +beiden projektive Systeme beschreiben, so nennt man die Korrespondenz +trilinear, und diese wurde im Falle der Gebilde erster Stufe von Rosanes +(_Journ. für Math._ 1888) behandelt, sodann von Schubert (_Math. Ann._ 17 +und _Mitteilungen der Math. Ges. in Hamburg_, 1881) und in einem +Spezialfalle von Benno Klein (_Theorie der trilinear-symmetrischen +Elementargebilde_, Marburg, 1881); im Falle der Gebilde zweiter Stufe von +Hauck (_Journ. für Math._ 90, 97, 98), welcher einige Anwendungen derselben +auf die darstellende Geometrie machte, die von bemerkenswertem praktischen +Nutzen zu sein scheinen. + +Fast gleichzeitig mit den Arbeiten von Schubert sind diejenigen, in denen +Le Paige mit Hilfe der Theorie der algebraischen Formen die trilineare +Korrespondenz untersuchte und auf die Geometrie anwandte; man sehe die +_Essais de Géométrie supérieure du troisième ordre_ (_Mém. de la Soc. des +sciences de Liège_ II, 10) und die Noten, welche im _Bulletin de l'Académie +de Belgique_ III, 5 und in den _Wiener Ber._ 1883 veröffentlicht sind. +Derselbe Geometer beschäftigte sich auch mit der quadrilinearen Beziehung +(_Torino Atti_ 17, 1882) und machte von ihr Anwendung auf die kubischen +Flächen und gewisse Flächen vierter Ordnung (_Bulletin de l'Académie de +Belgique_ III, 4; _Acta math._ 5). + +Wir unterlassen nicht, zu erwähnen, daß die duploprojektive Beziehung, +durch welche schon 1862 F. August die kubische Oberfläche erzeugte +(_Disquisitiones de superficiebus tertii ordinis, Berliner Dissertation_), +eine trilineare Beziehung ist. + +[550] Wenn z. B. ein Dreieck ABC gegeben ist, so sei P ein beliebiger Punkt +seiner Ebene. Es giebt nun einen Kegelschnitt K, welcher die Seiten des +Dreieckes in den Punkten (PA, BC), (PB, CA), (PC, AB) berührt. Läßt man K +dem P entsprechen, so hat man eine Korrespondenz von der im Texte +angegebenen Art. Ähnlich erhält man eine duale Korrespondenz. Beide wurden +von Montag in seiner Dissertation: _Über ein durch die Sätze von Pascal und +Brianchon vermitteltes geometrisches Beziehungssystem_ (Breslau, 1871) +studiert. Weitere analoge Korrespondenzen kann man aus der Beobachtung +entnehmen, daß jeder Punkt der Ebene ABC der Mittelpunkt eines +Kegelschnittes ist, der dem Dreiecke ABC eingeschrieben ist, eines ihm +umgeschriebenen und eines solchen, für welchen ABC ein Polardreieck ist. +Ähnlich: Gegeben ein Tetraeder ABCD; man kann jedem Punkte P des Raumes die +Fläche zweiter Ordnung zuordnen, für welche P das Zentrum ist und in bezug +auf welche ABCD ein Polartetraeder ist. + +[551] _Math. Ann._ 6. + +[552] Man sehe außerdem die Arbeiten von Godt (_Göttinger Dissertation_, +1873), Armenante (_Lincei Atti_, 1875), Battaglini (_Giorn. di Matem._ 19, +20), Peano (_Torino Atti_ 16) und von Amodeo (_Napoli Rend._ 1887). Die den +Konnexen analogen Figuren im Raume wurden von Krause behandelt (_Math. +Ann._ 14). Man sehe auch zwei Noten von Lazzeri, _Sulle reciprocità +birazionali nel piano e nello spazio_ (_Lincei Rend._ 1886). + +[553] _Gauss' Werke_, 4. Bd. Eine italienische Übersetzung wurde von +Beltrami in den _Annali di Matem_. 4 veröffentlicht. + +[554] Die Methoden, die geographischen Karten zu konstruieren, gehören in +die Anwendungen der Geometrie und befinden sich deshalb nicht unter +denjenigen, deren Geschichte wir hier verzeichnen wollen. Wir verweisen +daher den, der alle diejenigen kennen lernen will, welche angewandt worden +sind, auf die Schriften von Fiorini, _Le projezioni delle carte +geografiche_ (Bologna, 1881) und Zöppritz, _Leitfaden der +Kartenentwurfslehre_ (Leipzig, 1884). Eine Ausnahme will ich nur machen mit +den Arbeiten von Tissot (_Comptes rendus_ 49; vgl. auch Dini, _Memoria +sopra alcuni punti della teoria delle superficie_ [Florenz, 1868]; _Journ. +Éc. polyt._ 37; _Nouv. Ann._ II, 17 flgg.), weil sie ein großes Interesse +auch vom Standpunkte der reinen Wissenschaft haben. + +[555] Diese Abbildung, die man heute die »sphärische« nennt, wurde vor Gauß +von O. Rodrigues im Jahre 1815 angegeben; jedoch hat dieser ihre ganze +Fruchtbarkeit nicht so in das Licht gestellt als der große deutsche +Geometer. + +[556] _Journ. für Math._ 34. + +[557] _Comptes rendus_, 53. + +[558] _Phil. Mag._ 1861. + +[559] _Journ. für Math._ 68, oder _Grundzüge einer allgemeinen Theorie der +Oberflächen_ (Berlin, 1870), III. T. + +[560] _Journ. für Math._ 65. + +[561] _Math. Ann._ 1. + +[562] S. _Journ. für Math._, _Math. Ann._ und _Göttinger Nachr._ und _Abh._ + +[563] _Math. Ann._ 4; _Annali di Matem._ II, 1; _Göttinger Nachr._ 1871 und +viele andere Abhandlungen, welche in den _Lombardo Rend._ und den _Bologna +Mem._ stehen. In der Abhandlung in den _Annali_ studierte Cremona die +Regelflächen (m + n)^{ten} Grades, welche eine m-fache und eine n-fache +Leitlinie haben, und fand, daß deren asymptotische Kurven im allgemeinen +algebraische Kurven von der Ordnung 2(m + n - 1) sind. Eine Konstruktion +dieser Kurven wurde später von Halphen angegeben (_Bull. Soc. math._ 5). + +[564] _Math. Ann._ 3; vgl. auch das. 21, dann ziehe man auch noch eine +Abhandlung von Brill hinzu (_Math. Ann._ 5). + +[565] _Annali di Matem._ II, 1. + +[566] _Math. Ann._ 4. + +[567] _Math. Ann._ 1. + +[568] _Annali di Matem._ II, 7. + +[569] Z. B. sehe man Darboux (_Bull. Soc. math._ 2), Frahm (_Math. Ann._ +7), Lazzeri (_Annali della Scuola nuova sup. di Pisa_, 6), Guccia +(_Association française pour l'avancement des sciences, Congrès de Reims_, +1880). + +[570] Ein wichtiger Begriff, den Clebsch bei seinen Studien über die +Abbildung der Regelflächen aufstellte (_Math. Ann._ 5), ist der des Typus +einer Fläche. Zwei Flächen sind von demselben Typus, wenn bei der Abbildung +der einen auf die andere es keine Fundamentalpunkte giebt, z. B, ist die +römische Fläche von Steiner von demselben Typus mit der Ebene. + +[571] S. die _Collectanea mathematica in memoriam D. Chelini_. + +[572] _Comptes rendus_, 1868. + +[573] _Math. Ann._ 3. + +[574] _Annali di Matem._ II, 5; _Göttinger Nachr._ 1871 und 1873. + +[575] _Math. Ann._ 4, 9, 10. + +[576] Die Flächen vierter Ordnung, von denen man die Abbildung auf eine +Ebene kennt, sind die rationalen Regelflächen, die römische Fläche, die +Oberflächen mit einer Doppelgeraden oder einem doppelten Kegelschnitte, die +Monoide und eine Oberfläche, die einen uniplanaren Doppelpunkt hat (s. eine +Abhandlung von Nöther in den _Göttinger Nachr._ 1871 und eine von Cremona +in den _Collectanea mathematica_). Wer die Abbildung einer Oberfläche auf +einer anderen studieren will, darf die schönen Untersuchungen von Zeuthen +(s. die vorige Note und _Comptes rendus_, 1870) nicht übergehen und die +darauf folgenden von Krey (_Math. Ann._ 18) und Voß (_Math. Ann._ 27); +einen nicht geringen Nutzen kann er auch aus der von Kantor (_Journ. für +Math._ 95) aufgestellten Korrespondenz ziehen, die zwischen den Punkten +einer gewissen kubischen Fläche und gewissen Tripeln von Punkten einer +Ebene besteht. + +[577] _Math. Ann._ 3. + +[578] _Math. Ann._ 3. + +[579] _Aperçu historique_, Note 28. + +[580] _Lincei Mem._ 1876, 1877, 1878. Vgl. eine Note von Nöther in den +_Erlanger Sitzungsberichten_, 1878. + +[581] _Aufgaben und Lehrsätze aus der analyt. Geom. d. Raumes_, S. 403 flg. + +[582] _Journ. für Math._ 49. + +[583] S. Note 563. Vgl. auch Sturm, _Math. Ann._ 19. + +[584] _Proc. Math. Soc._ 3. + +[585] _Math. Ann._ 3. + +[586] _Lombardo Rend._ 1871; _Annali di Matem._ II, 5; _Bologna Mem._ +1871-1872. Man sehe auch die neuesten Arbeiten desselben Geometers in den +_Transactions of Edinburgh_ 32, II. Th. und in den _Irish Trans._ 28 und +_Proc. math. Soc._ 15. + +[587] _Aufgaben und Lehrsätze aus der analyt. Geom. des Raumes_, 1837, S. +417-418, Anmerkung. + +[588] Unter diesen führe ich die Abhandlung von de Paolis an: _Sopra un +sistema omaloidico formato da superficie d'ordine_ n _con un punto_ (n - +1)_-plo (Giorn. di Matem._ 13) die späteren über einige spezielle +involutorische Transformationen des Raumes von Martinetti (_Lombardo Rend._ +1885) und von Paolis (_Lincei Trans._, 1885). -- Ich bemerke hier, was ich +im Texte nicht thun konnte, daß es möglich ist, das Punktfeld auf einer +Geraden abzubilden und den Punktraum auf einer Ebene. Um erstere Abbildung +auszuführen, kann man jedem Punkte der Ebene ein Punktepaar der Geraden +entsprechen lassen (Übertragungsprinzip von Hesse, _Journ. für Math._ 66). +Bei der zweiten kann man einem Punkte des Raumes den Kreis zuordnen, der +den Fußpunkt des von jenem auf die darstellende Ebene gefällten Lotes zum +Mittelpunkt und zum Radius die Länge dieses Lotes hat, indem man hinzufügt, +daß dieser Kreis in dem einen Sinne durchlaufen wird, wenn der Punkt auf +der einen (bestimmten) Seite der Ebene liegt, im entgegengesetzten Sinne, +wenn auf der anderen. Die Gesetze dieser Korrespondenz wurden von Fiedler +vereinigt, um die Cyklographie zu bilden (s. das Werk _Cyklographie_, +Leipzig, 1883, und die dritte Ausgabe der _Darstellenden Geometrie_) und +wurden von ihm zur Lösung einiger Probleme angewandt (s. einige +_Mitteilungen_ für die naturforschende Gesellschaft in Zürich und _Acta +math._ 5). Vor ihm jedoch hatte schon Crone verwandte Fragen in einer +Dissertation behandelt, die sich in der _Tidsskrift for Mathematik_ 6 +findet. + +[589] Chasles, _Aperçu historique_, 2. Ausg. S. 196. + +[590] Magnus, _Sammlung von Aufgaben und Lehrsätzen aus der anal. Geom. der +Ebene_, 1833, S. 188 und 198. + +[591] Voß, _Math. Ann._ 13; Segre, _Torino Mem._ II, 37; Sturm, _Math. +Ann._ 26. In diesen Abhandlungen wird der Leser auch die weiteren +bibliographischen Einzelheiten finden. + +[592] Sturm, a. a. O.; Montesano, _Lincei Mem._ 1886. + +[593] Lüroth, _Math. Ann._ 11, 13; Schröter (das. 20); Veronese, _Lincei +Mem._ 1881. S. auch einige der Abhandlungen, die sich in den _Gesammelten +Werken_ von Möbius 2 finden. Auch die Arbeiten von Rosanes führen wir hier +an (_Journ. für Math._ 88, 90, 95, 100), von Sturm (_Math. Ann._ 1, 6, 10, +12, 15, 19, 22, 28; _Proc. math. Soc._ 7), und von Pasch (_Math. Ann._ 23, +26), die verwandte Gegenstände behandeln; dann noch die von Stephanos +(_Math. Ann._ 23), von H. Wiener (_Rein geometrische Theorie der +Darstellung binärer Formen durch Punktgruppen auf der Geraden_, Darmstadt, +1885), von Segre (_Torino Mem._ II, 28 und _Journ. für Math._ 100), von +Sannia (_Lezioni di geometria projettiva_, in Neapel im Drucke befindlich) +über die Kollineationen und Korrelationen. + +[594] _Math. Ann._ 3. + +[595] _Giorn. di Matem._ 10. + +[596] Man sehe die beiden von ihm 1884 zu Messina veröffentlichten +Abhandlungen. + +[597] _Lombardo Rend._ 1886; _Lincei Rend._ 1885. + +[598] _Die Geometrie der Lage._ + +[599] _Giorn. di Matem._ 21. + +[600] _Lombardo Rend._ II, 14 und 15. + +[601] _Journ. für Math._ 94. + +[602] _Lincei Mem._ 1884-1885. + +[603] _Wiener Ber._ 1881; _Journ. für Math._ 97. + +[604] _Math. Ann._ 19 und 28. + +[605] _Math. Ann._ 23. + +[606] _Journ. für Math._ 82, in dem Aufsatze über reciproke Verwandtschaft +von F^2-Systemen und [Phi]^2-Geweben. + +[607] Über das gemeine Nullsystem vergl. die Note 610 des nächsten +Abschnittes + +[608] »Bis in die neueren Zeiten stand die analytische Methode, wie sie +Cartesius geschaffen, sozusagen nur auf einem Fuße. Plücker kommt die Ehre +zu, sie auf zwei gleiche Stützen gestellt zu haben, indem er ein +ergänzendes Koordinatensystem einführte. Diese Entdeckung war daher +unvermeidlich geworden, nachdem einmal die Tiefblicke Steiners dem Geiste +der Mathematiker zugeführt waren.« Sylvester, _Phil. Mag_. III, 37, 1850, +S. 363. Vgl. _Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik_ 2, S. 453. + +[609] S. _Phil. Trans._, 1865, S. 725; 1866, S. 361. + +[610] Es ist wohl zu beachten, daß ein linearer Komplex ein reciprokes +Nullsystem veranlaßt und daß dieses zuerst von Giorgini (_Memorie della +Società italiana delle scienze_ 20, 1827), dann aber auch von Möbius +(_Lehrbuch der Statik_ I; vgl. auch _Journ. für Math._ 10, 1833) und von +Chasles (_Aperçu historique_, 1837) in ihren statischen und kinematischen +Untersuchungen und von demselben Chasles und Staudt bei der Bestimmung der +involutorischen reciproken Beziehungen gefunden wurde. + +[611] _Cambridge Trans._ 11, Teil 2; _Quart. Journ._ 3. + +[612] _Giorn. di Matem._ 6, 7, 10, 18. Wenn auch Battaglini seinen Studien +über die quadratischen Komplexe eine Gleichung zu Grunde legte, die nicht +den allgemeinsten Komplex ihres Grades darstellt, so gelten doch viele von +den Schlüssen, die er gemacht hat, -- man kann sagen alle, mit Ausnahme +derjenigen, welche sich auf die singuläre Fläche und die singulären +Strahlen des Komplexes beziehen -- für allgemeine Komplexe, indem sie +unabhängig sind von der Gestalt dieser Gleichung. Auch die von ihm +aufgestellten Formeln passen sich mit leichten Änderungen größtenteils dem +allgemeinen Falle an. + +[613] Leipzig, 1868-1869. + +[614] S. dessen _Examen des différentes méthodes_ etc. + +[615] _Math. Ann._ 2, 5, 7, 22, 23 (darin der Wiederabdruck der 1868 in +Bonn erschienenen Dissertation: _Über die Transformation der allgemeinen +Gleichung des zweiten Grades zwischen Linienkoordinaten auf eine kanonische +Form_), 28. Außerdem enthalten viele Arbeiten von Klein über Fragen der +höheren Algebra oder der höheren Analysis, die in den _Math. Ann._ und +sonst veröffentlicht sind, ziemlich oft Betrachtungen, welche der Geometrie +der Geraden angehören. + +[616] _Torino Mem._ II, 36. + +[617] _Journ. für Math._ 75, 76; _Habilitationsschrift_ (Gießen, 1870). + +[618] _Math. Ann._ 1. + +[619] _Math. Ann._ 2. + +[620] _Lincei Mem._ 1884-1885. + +[621] _Math. Ann._ 2, 5. + +[622] _Math. Ann._ 7. Man kann es nur beklagen, daß die in verschiedener +Beziehung so ausgezeichnete Arbeit von Weiler eine große Zahl von +Ungenauigkeiten enthält. + +[623] _Math. Ann._ 8, 9, 10, 12, 13. S. auch Schubert das. 12 und dessen +_Abzählende Geometrie_. + +[624] _Comptes rendus_ 74, 75;_ Bull. Soc. math._ 1. + +[625] _Göttinger Nachr._ 1869. + +[626] _Göttinger Nachr._ 1869. + +[627] _Lincei Mem._ 1877-1878. + +[628] _Giorn. di Matem._ 8; _Lombardo Rend._ II, 12, 13, 14. + +[629] _Math. Ann._ 5. Vgl. eine Abhandlung von Cremona, gelesen vor der +_Accademia dei Lincei_ (_Atti_ II, 3). + +[630] _Journ. für Math._ 98. Vgl. auch 95 und 97. + +[631] _Liouvilles Journ._ 4. + +[632] _Die Geometrie der Lage_, 2. Abt. 2. Aufl., in der sich die von Reye +in dem _Journ. für Math._ veröffentlichten synthetischen Arbeiten über die +Geometrie der Geraden vereinigt finden. + +[633] _Zeitschr. f. Math._ 20. + +[634] _Dissertation_ (Berlin, 1879) oder _Math. Ann._ 15. + +[635] _Giorn. di Matem._ 17; _Lincei Rend._ 1879. + +[636] _Torino Atti_, 1881. + +[637] _Journ. für Math._ 91, 92, 93, 94, 95, 97. + +[638] _The Messenger of Mathematics_ II, 13. + +[639] _Liouvilles Journ._ II, 17. + +[640] S. Note 629. + +[641] _Math. Ann._ 5. + +[642] _Ann. Éc. norm._ II, 6; _Grunerts Arch._ 40. + +[643] _Ann. Éc. norm._ III, 1. + +[644] S. Note 628. + +[645] _Nouv. Ann._ II, 2; _Liouvilles Journ._ II, 19. + +[646] _Die Geometrie der Lage_. + +[647] _Göttinger Nachr._ 1870. + +[648] _Journ. für Math._ 95; _Zeitschr. f. Math._ 24, 27. + +[649] _Sugli enti geometrici dello spazio di rette generati dalle +intersezioni dei complessi correspondenti in due o pin fasci projettivi di +complessi lineari_ (Piazza Armerina, 1882). + +[650] _Proc. math. Soc._ 10; _Collectanea mathematica_, 1881. + +[651] _Math. Ann._ 13. + +[652] _Mémoire de géométrie vectorielle sur les complexes du second ordre, +qui ont un centre de figure_ (_Liouvilles Journ._ III, 8). + +[653] _Sui complessi di rette di secondo grado generati da due fasci +projettivi di complessi lineari_ (Napoli, 1886), und _Napoli Rend._ 1886. + +[654] _Math. Ann._ 23; _Giorn. di Matem._ 23; _Torino Atti_, 1884. + +[655] _Applications de Géometrie et de Mechanique_, 1822. + +[656] _Journ. Éc. polyt._ 14. + +[657] _Comptes rendus_ 20. + +[658] _Liouvilles Journ._ 15. + +[659] _Journ. Éc. polyt._ 38. + +[660] _Irish Trans._ 16, 1831. + +[661] Bd. 57. + +[662] Die Eigenschaften der unendlich dünnen Strahlenbündel, mit denen +Kummer sich in dieser Abhandlung beschäftigt, gaben später (1862) Stoff zu +einer schönen Arbeit von Möbius (_Leipziger Ber._ 14; _Werke_ 4), an welche +sich dann die von Zech (_Zeitschr. f. Math._ 17) veröffentlichten +Untersuchungen knüpfen; vgl. auch eine neuerliche Abhandlung von Hensel +(_Journ. für Math._ 102). + +[663] _Berliner Abh._ 1866. + +[664] Von noch erschienenen Arbeiten, die man als eine Fortsetzung derer +von Kummer ansehen kann oder die auf anderem Wege zu dessen Resultaten +geführt haben, erwähne ich: Reye (_Journ. für Math._ 86 und 93), Hirst +(_Proc. math. Soc._ 16), Stahl (s. Note 637), Caporali (_Napoli Rend._ +1879), Loria (_Torino Atti_, 1884 und 1886) -- oder von solchen, die zu +diesen einige neue Formeln oder ein neues algebraisches Strahlensystem +hinzugefügt haben: Kummer (_Berliner Ber._ 1878), Masoni (_Napoli Rend._ +22), Roccella (s. Note 649), Hirst (_Proc. math. Soc._ 16 und 17; +_Rendiconti del Circolo mathematico di Palermo_ 1), Sturm (_Math. Ann._ 6; +_Journ. für Math._ 101). + +[665] Zum Beweise, daß die Fragen, auf welche sich diese Arbeiten beziehen, +bei einigen Gelehrten jene Ruhe und Unparteilichkeit des Urteils, die immer +bei ihren Diskussionen walten sollte, aufgehoben haben, will ich hier zwei +Stellen anführen, die eine von einem Schriftsteller, der allen, welche sich +mit Philosophie beschäftigen, sehr wohl bekannt ist, die andere aus einer +Zeitschrift, die in Deutschland ziemlich verbreitet ist: ».... so gewiß ist +es logische Spielerei, ein System von vier oder fünf Dimensionen noch Raum +zu nennen. Gegen solche Versuche muß man sich wahren; sie sind Grimassen +der Wissenschaft, die durch völlig nutzlose Paradoxien das gewöhnliche +Bewußtsein einschüchtern und über sein gutes Recht in der Begrenzung der +Begriffe täuschen« (Lotze, _Logik_, S. 217). »Die absolute oder +Nicht-Euklidische Geometrie, die Geometrie des endlichen Raumes und die +Lehre von n Raumdimensionen sind entweder Karrikaturen oder +Krankheitserscheinungen der Mathematik« (J. Gilles, _Blätter für das +Bayrische Gymnasial- und Realschulwesen_ 28, S. 423). Man sehe auch die +heftigen Äußerungen Dührings, die von Erdmann in seiner trefflichen +Abhandlung: _Die Axiome der Geometrie_ (Leipzig, 1877, S. 85) wiedergegeben +sind, ferner Kroman, _Unsere Naturerkenntnis_, deutsch von Fischer-Benzon +(Kopenhagen, 1883, S. 145 bis 175); endlich die Kap. 13 und 14 des Werkes +von Stallo, _La matière et la physique moderne_ (Paris, 1884). Auf Vorwürfe +von der oben erwähnten Art erwidern wir mit d'Alembert: »_Allez en avant, +et la foi vous viendra!_« + +[666] Als Litteraturnachweis für diesen Teil der Geometrie sehe man die +Artikel von G. Bruce-Halsted, veröffentlicht im _Amer. Journ._ 1 und 2. + +[667] Es ist dieser Satz: »Wenn bei einer Geraden, welche zwei andere +schneidet, die Summe der inneren Winkel auf derselben Seite kleiner als +zwei Rechte ist, so schneiden sich letztere auf derselben Seite.« +D'Alembert nannte diesen Satz: »_l'écueil et le scandale des éléments de la +géométrie_«. + +[668] Eine Zeit lang glaubte man, daß der fragliche Satz von Euklid unter +die Axiome gestellt sei; aber neuere historische Untersuchungen (s. Hankel, +_Vorlesungen über komplexe Zahlen und ihre Funktionen_, S. 52) neigen zu +der Ansicht, daß derselbe irrtümlicher Weise von den Abschreibern zu den +Axiomen geschrieben sei, während er im Originale unter den Postulaten +gestanden hatte. + +[669] Vgl. _Die Elemente der Mathematik_ von Baltzer, 4. Teil, Planimetrie. + +[670] Man erzählt, Lagrange habe beobachtet, daß die sphärische Geometrie +von dem Euklidischen Postulate unabhängig sei, und gehofft, aus dieser +Beobachtung eine Art und Weise ableiten zu können, den Ungelegenheiten der +Euklidischen Methode zu entgehen, indem er die ebene Geometrie als die +Geometrie auf einer Kugel mit unendlich großem Radius betrachtete. + +[671] _Briefwechsel zwischen Gauss und Schumacher_, herausgegeben von +Peters, 6 Bände (Altona, 1860-1865); die betreffenden Stellen dieses +Briefwechsels sind von Hoüel ins Französische übersetzt und seiner 1866 +erschienenen französischen Übersetzung von Lobatschewskys _Geometrischen +Untersuchungen_ (vgl. Note 10) zugefügt. + +[672] Vgl. die Gedächtnisschrift auf Gauß von Schering in den _Göttinger +Abh._ 22 (1877). + +[673] _Göttingische Gelehrte Anzeigen_, 1816 und 1822; oder _Gauss' Werke_ +4 (1873), S. 364 und 368. Vgl. auch Sartorius von Waltershausen, _Gauss zum +Gedächtnis_ (Leipzig, 1856), S. 81. -- Möge es gestattet sein, hier die +Mitteilung anzuschließen, daß Gauß das alte Problem der Kreisteilung, in +dem man seit zwei Jahrtausenden nicht vorwärts gekommen war, durch +Untersuchungen auf einem Gebiete wesentlich gefördert hat, das ohne +Zusammenhang mit diesem Problem schien und auf welchem man solchen Gewinnst +für die Geometrie nicht erwartete (_Disquisitiones arithmeticae_, Leipzig, +1801; _Werke_ 1; vgl. Bachmann, _Die Lehre von der Kreisteilung_, Leipzig, +1872), indem er zeigte, daß die Teilung in n Teile mit Hilfe von Lineal und +Zirkel auch noch möglich ist, wenn n eine Primzahl von der Form 2^m +1 ist. +Man sehe hierzu auch Legendre, _Éléments de trigonométrie_, Anhang; +Richelot, Staudt, Schröter, _Journ. für Math._ 9, 24, 75; Affolter, _Math. +Ann._ 6. + +[674] _Courier von Kasan_, 1829-1830; _Abhandlungen der Universität Kasan_, +1835, 1836, 1837, 1838; _Geometrische Untersuchungen über die Theorie der +Parallellinien_ (Berlin, 1810); _Journ. für Math._ 17. + +[675] Die Schrift von Johann Bolyai erschien als Anhang des Werkes von W. +Bolyai: _Tentamen juventutem studiosam in elementa matheseos purae ..... +introducendi_, 2. Bd. (Maros-Vásárhely 1833), wurde dann ins Französische +übersetzt von Hoüel _(Mémoires de Bordeaux)_, ins Italienische von +Battaglini (_Giorn. di Matem._ 5). + +[676] Es ist das Verdienst Hoüels (?--1886) und Battaglinis, die Werke von +Lobatschewsky und Bolyai durch Übersetzungen und vorzügliche Kommentare (s. +Note 7 und 11 und _Giorn. di Matem._ 5 und 8) verbreitet zu haben. -- Heute +ist es leicht, die Nicht-Euklidische Geometrie zu lernen, da Flye S^{te} +Marie (_Etudes analytiques sur la théorie des parallèles_, Paris, 1871), +Frischauf (_Elemente der absoluten Geometrie_, Leipzig, 1876) und de Tilly +(_Essai sur les principes fundamentaux de la géométrie et de la mécanique_, +Bordeaux, 1879) methodische Bearbeitungen derselben geschrieben haben. In +England wurden die neuen Ideen über die Prinzipien der Geometrie bearbeitet +und herrlich dargestellt von Clifford; man sehe die Schrift _Lectures and +Essays_, sowie die von Smith den _Mathematical Papers by W. K. Clifford_ +(London, 1882) vorausgeschickte Einleitung. + +[677] _Göttinger Abh._ 13 (1867), oder _Gesammelte Werke_ (Leipzig, 1876), +ins Französische übersetzt von Hoüel (_Annali di Matem._ II, 3), ins +Englische von Clifford (_Nature_ 8 oder _Mathematical Papers_ S. 55). + +[678] In der Abhandlung _Über die Thatsachen, welche der Geometrie zu +Grunde liegen_ (_Göttinger Nachr._ 1868). + +[679] Hierzu sehe man _Populäre wissenschaftliche Vorträge_ von Helmholtz +(Braunschweig, 1871-1876); _Revue des cours scientifiques_, 9. Juli 1870 +etc. + +[680] _Giorn. di Matem._ 6. Dieser Artikel wurde ins Französische übersetzt +von Hoüel und veröffentlicht in den _Ann. Éc. norm._ 6, 1869. + +[681] Man vergleiche hierzu die Worte, mit denen d'Alembert die Meinung +zurückwies, daß die Wahrheiten der Mechanik experimentelle seien (_Traité +de Dynamique_, Paris, 1858, _Discours préliminaire_, S. XII), mit den +folgenden von Clifford (_The Common Sense of the Exact Sciences_, London, +1885, _International Scientific Series_ 51): »In derselben Weise, wie wir, +um irgend einen Zweig der Physik zu schaffen, von der Erfahrung ausgehen +und auf unsere Experimente eine gewisse Anzahl von Axiomen stützen, welche +solchergestalt die Grundlage desselben bilden, so sind die Axiome, die wir +als Grundlage der Geometrie nehmen, wenn auch weniger offenbar, in der That +ein Ergebnis der Erfahrung.« Man sehe auch das Werk von Hoüel, _Du rôle de +l'expérience dans les sciences exactes_ (Prag, 1875), oder die Übersetzung, +die davon in _Grunerts Arch._ 59 veröffentlicht wurde. + +[682] Ich bemerke, daß, wer die _Ausdehnungslehre_ des großen deutschen +Geometers und Philologen Hermann Graßmann liest, mit Erstaunen sehen wird, +daß er schon 1844 zu Schlüssen gelangt war, die von den im Texte +angegebenen nicht sehr verschieden sind. Aber wer weiß nicht, daß, um +geschätzt zu werden, dieses ausgezeichnete Werk nötig hatte, daß andere auf +einem anderen Wege zu den äußerst originellen Wahrheiten gelangten, die es +enthält? -- Hier scheint es mir angebracht zu sein, eine Erklärung zu +geben, welche zu meiner Rechtfertigung dient. Bei dieser kurzen Geschichte +der Kämpfe, welche die Geometer in diesen letzten Zeiten ausgefochten +haben, traf es sich selten und nur flüchtig, daß ich Arbeiten von Graßmann +zitierte, und ich glaube nicht, daß ich noch Gelegenheit haben werde, +diesen Namen auszusprechen. Das heißt nicht, daß dieser Geometer nicht der +Erwähnung würdig sei, daß seine Entdeckungen und seine Methoden nicht +verdienten, bekannt zu werden; aber es liegt daran, daß der Formalismus, in +den er seine Gedanken gekleidet, sie den meisten unzugänglich gemacht und +ihnen fast jede Möglichkeit genommen hat, irgend einen Einfluß auszuüben. +Graßmann war während eines großen Teiles seines Lebens ein Einsiedler in +der Mathematik; nur während seiner letzten Jahre befaßte er sich damit, +etliche seiner Produktionen in modernem Gewande zu veröffentlichen, um +deren Verwandtschaft mit denen seiner Zeitgenossen zu zeigen (man sehe +_Math. Ann._ 10, 12; _Göttinger Nachr._ 1872; _Journ. für Math._ 84); daher +ist es natürlich, daß ihn zu nennen demjenigen selten widerfährt, welcher +sich vornimmt, die Errungenschaften zu beschreiben, die man den vereinten +Anstrengungen der modernen Geometer verdankt. -- Man vergleiche Peano, +_Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto +dalle operazioni della logica deduttiva_ (Turin, 1888). -- Über die +wissenschaftlichen Verdienste Graßmanns sehe man einen Artikel von Cremona +in den _Nouv. Ann._ I, 19, dann den 14. Bd. der _Math. Ann._ und den 11. +Bd. des _Bulletino di Bibliografia e di Storia delle Scienze matematiche_. +Ein Vergleich zwischen den Methoden Graßmanns und anderen moderneren wurde +von Schlegel in der _Zeitschr. f. Math._ 24 gemacht. + +[683] _Über die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie_ (_Math. Ann._ 4). + +[684] _Nouv. Ann._ 12. + +[685] _Phil. Trans._ 149; vgl. Clifford, _Analytical Metrics_ (_Quart. +Journ._ 1865, 1866 oder _Mathematical Papers_, S. 80). + +[686] Eine spätere Abhandlung von Klein unter demselben Titel (_Math. Ann._ +6) ist zur Ergänzung einiger Punkte der ersteren bestimmt. An dieselbe +knüpfen sich die wichtigen Untersuchungen von Lüroth und Zeuthen (_Math. +Ann._ 7), von Thomae (vgl. die 2. Aufl. der _Geometrie der Lage_ von Reye), +von Darboux (_Math. Ann._ 17), von Schur (das. 18), de Paolis (_Lincei +Mem._ 1880-1881) und von Reye (3. Aufl. der _Geometrie der Lage_) über den +Fundamentalsatz der projektiven Geometrie. + +[687] _Études de mécanique abstraite_ (_Mémoires couronnées par l'Académie +de Belgique_ 21, 1870). + +[688] _Bulletin de l'Académie de Belgique_ II, 36; _Torino Mem._ II, 29; +_Mem. de la società italiana delle scienze_ III, 2. + +[689] _Wiener Ber._ 1874. Man sehe auch die schöne Abhandlung von Beltrami: +_Sulle equazioni generali dell' elasticità_, in den _Annali di Matem._ II, +10. + +[690] _Sull' applicabilità delle superficie degli spazii a curvatura +costante_ (_Lincei Atti_ III, 2). + +[691] _Lincei Rend._ 1873 und 1876. + +[692] _Annali di Matem._ II, 6, 7; _Giorn. di Matem._ 13; _Torino Atti_, +1876; _Lincei Mem._ III, 3; _Lombardo Rend._ 1881. + +[693] _Lincei Mem._ 1877-1878. + +[694] _Lombardo Rend._ II, 14, 15. + +[695] _Math. Ann._ 5. + +[696] _Math. Ann._ 7. + +[697] _Göttinger Nachr._ 1873. + +[698] _Amer. Journ._ 2, 4, 5. + +[699] _Die Massfunktionen in der analytischen Geometrie._ Programm (Berlin, +1873). + +[700] _Math. Ann._ 10. + +[701] _Quart. Journ._ 18. + +[702] _On the theory of screws in elliptic space._ (_Proc. math. Soc._ 15 +und 16). + +[703] Die interessantesten von den mir bekannten sind die von Segre, _Sulle +geometrie metriche dei complessi lineari e delle sfere_, veröffentlicht in +den _Torino Atti_, 1883. + +[704] Das Produkt zweier Strecken ist eine Fläche, das dreier ein Körper, +was ist das geometrische Bild des Produktes von vieren? -- Die analytischen +Geometer der Cartesischen Epoche bezeichneten dasselbe durch das Wort +»sursolide« (überkörperlich), welches sich in ihren Schriften findet; man +kann sie daher als diejenigen ansehen, welche zuerst die im Texte erwähnte +Richtung eingeschlagen haben. + +[705] S. Cayley, _A memoir on abstract Geometry_ (_Phil. Trans._ 1870); +vgl. auch _Cambridge Journ._ 4, 1845. + +[706] _Comptes rendus_, 1847. + +[707] Überdies scheint es außer Zweifel zu stehen, daß Gauß ausgedehnte und +bestimmte Ideen über die Geometrie von mehreren Dimensionen gehabt hat; +vgl. Sartorius von Waltershausen, a. O. S. 81 (s. Note 673 des vor. +Abschn.). + +[708] _Théorie des fonctions analytiques_ (Paris, an V, S. 223). + +[709] Ich darf nicht verschweigen, daß schon 1827 Möbius einen Einblick +hatte, wie durch Zulassung der Existenz eines vierdimensionalen Raumes ein +unerklärlicher Unterschied zwischen der Ebene und dem Raume aufgehoben +wird; dieser Unterschied besteht darin, daß, während man zwei in Bezug auf +eine Gerade symmetrische ebene Figuren immer zur Deckung bringen kann, es +nicht möglich ist, zwei räumliche in Bezug auf eine Ebene symmetrische +Figuren zusammenfallen zu lassen. Später bemerkte Zöllner beiläufig, wie +die Existenz eines vierdimensionalen Raumes gewisse Bewegungen zulassen +würde, die wir für unmöglich halten; die folgenden Resultate können als +Beispiele zu dieser Beobachtung dienen: Newcomb zeigte (_Amer. Journ._ 1), +daß, wenn es einen Raum von vier Dimensionen giebt, es möglich ist, die +beiden Seiten einer geschlossenen materiellen Fläche umzuwechseln, ohne +dieselbe zu zerreißen. Klein bemerkte (_Math. Ann._ 9), daß bei dieser +Voraussetzung die Knoten nicht erhalten bleiben könnten, und Veronese +führte (in der 1881 an der Universität zu Padua gehaltenen _Prolusione_) +die Thatsache an, daß man dann aus einem geschlossenen Zimmer einen Körper +herausnehmen könne, ohne die Wände desselben zu zerbrechen. Hoppe gab +(_Grunerts Arch._ 64) Formeln an, welche die Beobachtungen Kleins +illustrierten. Diese Formeln erforderten einige Modifikationen, die von +Durège angegeben wurden (_Wiener Ber._ 1880); vgl. auch _Grunerts Arch._ 65 +und die synthetischen Betrachtungen von Schlegel, _Zeitschr. f. Math._ 28. + +[710] _Annali di Matem._ II, 2 und 5. + +[711] _Journ. für Math._ 65; _Annali di Matem._ II, 5. + +[712] _Journ. für Math._ 83. + +[713] _Amer. Journ._ 2. + +[714] _Die Nicht-Euklidischen Raumformen in analytischer Behandlung_, +Leipzig, 1885. + +[715] _Math. Ann._ 27. + +[716] _Annali di Matem._ II, 4. + +[717] _Proc. math. Soc._ 7 oder _Mathematical Papers_, S. 236. + +[718] _Bull. sciences math._ 11, 1876. + +[719] _Comptes rendus_, 79. + +[720] _Journ. für Math._ 70 flgg., _Quart. Journ._ 12. + +[721] _Proc. math. Soc._ 9. + +[722] _Berliner Dissertation_, 1880. + +[723] _Phil. Trans._ 175. + +[724] _Journ. für Math._ 98. + +[725] Nach Lipschitz hatte Lejeune-Dirichlet (1805-1859) das allgemeine +Gravitationsgesetz im elliptischen Raume studiert. Diese Studien wurden +dann von Schering bearbeitet und in den _Göttinger Nachr._ 1870 und 1873 +veröffentlicht. + +[726] _Comptes rendus_ 79. + +[727] _Math. Ann._ 19. + +[728] Hoppe machte analoge Untersuchungen für die Kurven des +vierdimensionalen Raumes (_Grunerts Arch._ 64). + +[729] _Amer. Journ._ 4. + +[730] _Berliner Ber._ 1869. + +[731] _Math. Ann._ 7; _Zeitschr. f. Math._ 20, 21, 24. + +[732] _Journ. für Math._ 70 und 72. + +[733] _Journ. für Math._ 70. + +[734] _Math. Ann._ 24. + +[735] _Bull. sciences math._ I, 4. + +[736] _Math. Ann._ 26. + +[737] _Collectanea mathematica; Annali di matem._ II, 10. + +[738] _Göttinger Nachr._, 1871. + +[739] _Math. Ann._ 5. + +[740] _Journ. für Math._ 81; _Comptes rendus_ 82. + +[741] _Amer. Journ._ 4. + +[742] _Journ. für Math._ 74 oder _Quart. Journ._ 12. Ich füge noch hinzu, +daß Salmon und Cayley sich der Räume von mehreren Dimensionen in ihren +Untersuchungen über die Theorie der Charakteristiken (§ IV) bedient haben, +daß Mehler, _Journ. für Math._ 84, eine Anwendung von der Betrachtung eines +vierdimensionalen Raumes für Untersuchungen über dreifache Systeme +orthogonaler Oberflächen, und daß Lewis davon eine ähnliche Anwendung +machte bei der Betrachtung einiger Trägheitsmomente (_Quart. Journ._ 16). +Dann fand Wolstenholme, daß die Zahl der Normalen, die man von einem Punkte +eines d-dimensionalen Raumes an eine Oberfläche von der n^{ten} Ordnung +ziehen kann, + + n + --- { (n-1)^d - 1 } + n-2 + +beträgt (_Educational Times_ 10). + +[743] _Von den Elementen und Grundgebilden der synthetischen Geometrie_ +(Bamberg, 1887). + +[744] _Grunerts Arch._ 64. + +[745] _Bull. Soc. math._ 10. + +[746] _Grunerts Arch._ 70. + +[747] _Amer. Journ._ 3. + +[748] _Grunerts Arch._ 66, 67, 68, 69. + +[749] _Nova Acta der Leopold.-Carol. Akademie_ 44. + +[750] _Die polydimensionalen Grössen und die vollkommenen Primzahlen._ + +[751] _Von Körpern höherer Dimensionen_ (Kaiserslautern, 1882). + +[752] _Wiener Ber._ 90. + +[753] _Wiener Ber._ 89 und 90. + +[754] Diese bilden eine der merkwürdigsten von den durch L. Brill in +Darmstadt veröffentlichten Serien von Modellen. + +[755] _Journ. für Math._ 31, S. 213. Liest man die wenigen Seiten, welche +die Abhandlung von Cayley bilden, so gewinnt man die Überzeugung, daß er +schon 1846 einen klaren Einblick von der Nützlichkeit hatte, welche der +gewöhnlichen Geometrie der Lage die Betrachtung des Raumes von mehreren +Dimensionen bringen könne. + +[756] _Histoire de l'astronomie moderne_ 2, S. 60. + +[757] _Phil. Trans._ 1878 oder _Mathematical Papers_ S. 305. + +[758] _Math. Ann._ 19. + +[759] Unter den in der Abhandlung von Veronese bearbeiteten Untersuchungen +sind die über die Konfigurationen besonderer Erwähnung wert, ferner die +Formeln, welche -- als eine Erweiterung derer von Plücker und Cayley -- die +gewöhnlichen Singularitäten einer Kurve eines n-dimensionalen Raumes unter +einander verknüpfen, die Erzeugung von in einem solchen Raume enthaltenen +Oberflächen durch projektive Systeme und die Anwendung derselben auf das +Studium einiger Oberflächen unseres Raumes; dann kann ich nicht +stillschweigend übergehen die Studien über die in einem quadratischen +Gebilde von n Dimensionen enthaltenen linearen Räume, die Veronese gemacht +hat, um einige Sätze von Cayley zu erweitern (_Quart. Journ._ 12), indem er +die von Klein (_Math. Ann._ 5) verallgemeinerte stereographische Projektion +anwandte, ferner nicht etliche wichtige Resultate über die Kurven, von +denen übrigens einige schon Clifford (_Phil. Trans._, 1878) auf einem +anderen Wege erhalten hatte. + +[760] _Annali di Matem._ II, 11; _Lincei Mem._ 1883-1884; _Atti dell' +Istituto Veneto_ V, 8. Letztere Abhandlung ist der darstellenden Geometrie +des Raumes von 4 Dimensionen gewidmet und kann daher als die Ausführung +eines Gedankens angesehen werden, den Sylvester im Jahre 1869 in seiner +Rede vor der British Association angedeutet hat. + +[761] _Torino Mem._ II, 36. + +[762] _Lincei Mem._ 1883-1884; _Torino Mem._ II, 37; _Lincei Rend._ 1886. + +[763] _Torino Atti_ 19. + +[764] _Torino Atti_ 19, 20, 21; _Math. Ann._ 27. + +[765] _Math. Ann._ 24. + +[766] _Torino Atti_ 20. + +[767] _Lombardo Rend._ 1886; _Lincei Rend._ 1886. Man sehe auch desselben +Verfassers wichtige Note: _Sui sistemi lineari, Lombardo Rend._ 82. + +[768] _Lombardo Rend._ 1885, 1886. + +[769] _Napoli Rend._ 1885, 1886. Vgl. auch Rodenberg, _Math. Ann._ 26. + +[770] + + Ich kann sie alle hier nicht wiederholen, + Weil mich des Stoffes Fülle so bedrängt, + Daß hinter dem Gescheh'nen oft das Wort bleibt. + -- (Dantes _Divina Commedia_, der _Hölle_ 4. Ges. V. 145-147.) + +[771] _Math. Ann._ 2, 8. Man sehe auch die Abhandlung von S. Kantor, _Sur +les transformations linéaires successives dans le même espace à_ n +_dimensions_ (_Bull. Soc. math._ 8). + +[772] _Bull. Soc. math._ 2. Unter den in dieser Arbeit erhaltenen +Resultaten heben wir folgendes hervor: »Wenn man in einem Raume von r - 1 +Dimensionen zwei algebraische Mannigfaltigkeiten vom Grade [mu] und [nu] +ins Auge faßt, bezüglich von m und n Dimensionen, so ist der Schnitt +derselben eine Mannigfaltigkeit von n + m - (r-1) Dimensionen und vom Grade +[mu][nu], wofern m + n >= r - 1, und die beiden Mannigfaltigkeiten nicht +eine solche von m + n - r + 2 oder mehr Dimensionen gemeinsam haben«, um +den vollständigen Beweis desselben anzuführen, den Nöther in den _Math. +Ann._ 11 geliefert hat. + +[773] _Lincei Mem._ 1876-1877; vgl. auch Jordan (_Bull. Soc. math._ 3). -- +Hier will ich eine Notiz machen, die im Texte nicht Platz finden konnte: +Von vielen wurde behauptet, daß in einem Raume von konstanter positiver +Krümmung zwei geodätische Linien, wenn sie sich treffen, im allgemeinen +zwei Punkte gemeinsam haben; das ist nun nicht wahr, und dieses wurde +zuerst von Klein beobachtet (_Jahrbuch über die Fortschritte der +Mathematik_ 9, S. 313), dann von Newcomb (_Journ. für Math._ 83) und von +Frankland (_Proc. math. Soc._ 8). Über dasselbe Thema sehe man eine +Abhandlung von Killing (_Journ. für Math._ 86 und 89). + +[774] _Math. Ann._ 26; _Acta math._ 8. -- Der Abhandlung von Veronese gehen +noch die Untersuchungen von Spottiswoode (1825-1883) voran, über die +Darstellung der Figuren der Geometrie von n Dimensionen vermittelst +correlativer Figuren der gewöhnlichen Geometrie (_Comptes rendus_ 81). + +[775] _Mémoire de Géométrie sur deux principes généraux de la science._ + +[776] _Beiträge zur Geometrie der Lage,_ § 29. + +[777] _Vierteljahrsschrift der naturforschenden Gesellschaft zu Zürich_ 15, +oder _Die darstellende Geometrie._ + +[778] Vgl. die interessante Abhandlung von Fiedler, _Geometrie und +Geomechanik_, erschienen in der genannten _Vierteljahrsschrift_, und in +französischer Übersetzung in _Liouvilles Journ._ III, 4 veröffentlicht. + +[779] Den Nutzen, welcher der Geometrie durch die Annahme einiger Begriffe, +die man jetzt noch als der Mechanik angehörig betrachtet, erwachsen würde, +bezeugen der _Exposé géométrique du calcul différentiel et intégral_ +(Paris, 1861), von Lamarle (1806-1875) verfaßt, die von Mannheim der +kinematischen Geometrie gewidmeten Partien in seinem _Cours de géométrie +descriptive_ (Paris, 1880) und das schöne jüngst veröffentlichte Buch +meines Freundes Peano mit dem Titel: _Applicazioni geometriche del calcolo +infinitesimale_ (Turin, 1887). + +[780] Man sehe die Anhänge der _Proc. math. Soc._ seit Bd. 14. + +[781] _Nouv. Ann._ II, 1, 2; _Liouvilles Journ._ II, 7; _Berliner Abh._ +1865, 1866; _Berliner Ber._ 1872 oder _Borchardts Gesammelte Werke_, S. +179, 201, 233. + +[782] Insbesondere _Journ. für Math._ 24 oder _Werke_, Bd. II, S. 177, 241. + +[783] S. _Acta Societatis scientiarum Fennicae_, 1866; _Bull. de l'Académie +de St. Pétersbourg_ 14; _Math. Ann._ 2; _Nouv. Ann._ II, 10; _Zeitschr. f. +Math._ 11; _Göttinger Nachr._ 1882 oder _Bull. sciences math._ II, 7; +_Journ. für Math._ 96, 97; _Göttinger Nachr._ 1884; _Grunerts Arch._ II, 2; +_Giorn. di Matem._ 26. + +[784] _Mémoires de l'Académie de Berlin,_ 1761; vgl. Legendres _Eléments de +Géometrie_, Note IV der älteren Auflagen. + +[785] _Berliner Ber._ 1882; _Math. Ann._ 20; vereinfacht durch Weierstraß, +_Berliner Ber._ 1885; man vgl. auch Rouché, _Nouv. Ann._ III, 2. + +[786] Die einzigen rein synthetischen Untersuchungen über die Kurven und +Oberflächen von höherer als zweiter Ordnung, die ich kenne, sind die von +Reye (_Geometrie der Lage_) über die ebenen kubischen Kurven, einige von +Thieme (_Zeitschr. f. Math_ 24; _Math. Ann._ 20, 28), von Milinowski +(_Zeitschr. f. Math._ 21, 23; _Journ. für Math._ 89, 97) und von Schur +(_Zeitschr. f. Math._ 24). Ihnen könnte man die beiden folgenden Arbeiten +hinzufügen, die im Jahre 1868 von der Berliner Akademie gekrönt sind: +H. J. S. Smith, _Mémoire sur quelques problèmes cubiques et biquadratiques_ +(_Annali di Matem._ II, 3); Kortum, _Über geometrische Aufgaben dritten und +vierten Grades_ (Bonn, 1869). Die Geometer erwarten ungeduldig die +Veröffentlichung einer Schrift von E. Kötter, die 1886 von der Berliner +Akademie den Steinerschen Preis erhielt und dazu berufen erscheint, in das +Gebiet der reinen Geometrie die allgemeine Theorie der ebenen algebraischen +Kurven zu versetzen. (Sie ist während der Anfertigung der Übersetzung +vorliegender Schrift in den _Berliner Abh._ 1887 unter dem Titel: +_Grundzüge einer rein geometrischen Theorie der algebraischen ebenen +Kurven_ erschienen.) + +[787] Die Angemessenheit des gleichzeitigen Gebrauches der Geometrie und +Analysis, auch in den Fragen der angewandten Mathematik, wurde ausdrücklich +von Lamé mit folgenden Worten erklärt: _»Quand on médite sur l'histoire des +mathématiques appliquées, on est effectivement conduit à attribuer leurs +principales découvertes, leurs progrès les plus décisifs à l'association de +l'analyse et de la géométrie. Et les travaux, que produit l'emploi de +chacun de ces instruments, apparaissent alors comme des préparations, des +perfectionnements, en attendant l'époque qui sera fécondée par leur +réunion.«_ (_Leçons sur les coordonnées curvilignes_, 1859, S. XIII und +XIV.) + +[788] Poinsot, _Comptes rendus_ 6 (1838) S. 809. + + * * * * * + + +Corrections made to printed original. + +page 17, "l'origine et le développement": 'el développement' in original. + +Footnote 265, "geometrische.": 'geometrisehe' in original. + + + + + + +End of the Project Gutenberg EBook of Die hauptsächlichsten Theorien der +Geometrie, by Gino Loria + +*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK DIE HAUPTSÄCHLICHSTEN *** + +***** This file should be named 33726-8.txt or 33726-8.zip ***** +This and all associated files of various formats will be found in: + http://www.gutenberg.org/3/3/7/2/33726/ + +Produced by Joshua Hutchinson, Keith Edkins and the Online +Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This +file was produced from images from the Cornell University +Library: Historical Mathematics Monographs collection.) + + +Updated editions will replace the previous one--the old editions +will be renamed. + +Creating the works from public domain print editions means that no +one owns a United States copyright in these works, so the Foundation +(and you!) can copy and distribute it in the United States without +permission and without paying copyright royalties. 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