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You may copy it, give it away or % +% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included % +% with this eBook or online at www.gutenberg.org % +% % +% % +% Title: Étude sur le Mouvement Permanent des Fluides % +% Thèses Présentées à la Faculté des Sciences de Paris pour % +% Obtenir le Grade de Docteur ès Sciences Mathématiques % +% % +% Author: François de Salvert % +% % +% Release Date: July 5, 2010 [EBook #33083] % +% % +% Language: French % +% % +% Character set encoding: ISO-8859-1 % +% % +% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK FLUIDES *** % +% % +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % + +\def\ebook{33083} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%% %% +%% Packages and substitutions: %% +%% %% +%% book: Required. %% +%% inputenc: Standard DP encoding. Required. %% +%% fontenc: Font encoding, for boldface smallcaps. Required. %% +%% %% +%% babel: French language features. 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This behavior has been retained. +\newboolean{ForPrinting} + +%% COMMENT the next line for a SCREEN-OPTIMIZED VERSION of the text %% +\setboolean{ForPrinting}{true} + +%% Initialize values to ForPrinting=false +\newcommand{\Margins}{hmarginratio=1:1} % Symmetric margins +\newcommand{\HLinkColor}{blue} % Hyperlink color +\newcommand{\PDFPageLayout}{SinglePage} +\newcommand{\TransNote}{Notes sur la transcription} +\newcommand{\TransNoteText}{% + Ce livre a été préparé à l'aide d'images fournies par la Cornell + University Library: Historical Mathematics Monographs collection. + \bigskip + + Ce fichier est optimisé pour être lu sur un écran, mais peut être + aisément reformaté pour être imprimé. Veuillez consulter le + préambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions. +} + +%% Re-set if ForPrinting=true +\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{% + \renewcommand{\Margins}{hmarginratio=2:3} % Asymmetric margins + \renewcommand{\HLinkColor}{black} % Hyperlink color + \renewcommand{\PDFPageLayout}{TwoPageRight} + \renewcommand{\TransNoteText}{% + Ce livre a été préparé à l'aide d'images fournies par la Cornell + University Library: Historical Mathematics Monographs collection. + \bigskip + + Ce fichier est optimisée pour imprimer, mais peut être aisément + reformater pour être lu sur un écran. Veuillez consulter le + préambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions. + } +}{% If ForPrinting=false, don't skip to recto + \renewcommand{\cleardoublepage}{\clearpage} +} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%%%% End of PRINTING/SCREEN VIEWING code; back to packages %%%% +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{% + \usepackage[body={5.25in,8.4in},\Margins]{geometry}[2002/07/08] +}{% + \setlength{\paperwidth}{7.5in}% + \setlength{\paperheight}{10in}% + \usepackage[body={5.25in,8.4in},\Margins,includeheadfoot]{geometry}[2002/07/08] +} + +\providecommand{\ebook}{00000} % Overridden during white-washing +\usepackage[pdftex, + hyperref, + hyperfootnotes=false, + pdfstartview=Fit, % default value + pdfstartpage=1, % default value + pdfpagemode=UseNone, % default value + bookmarks=true, % default value + linktocpage=false, % default value + pdfpagelayout=\PDFPageLayout, + pdfdisplaydoctitle, + pdfpagelabels=true, + bookmarksopen=true, + bookmarksopenlevel=1, + colorlinks=true, + linkcolor=\HLinkColor]{hyperref}[2007/02/07] + +\hypersetup{pdftitle={The Project Gutenberg eBook \#\ebook: Étude sur le Mouvement Permanent des Fluides}, + pdfauthor={\texorpdfstring{François}{Francois} de Salvert}, + pdfkeywords={Joshua Hutchinson, \texorpdfstring{Sébastien}{Sebastien} Blondeel, + Project Gutenberg Online Distributed Proofreading Team, + Cornell University Historical Mathematical Monographs Collection}} + +% Re-crop screen-formatted version, accommodating wide displays +\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}} + {} + {\hypersetup{pdfpagescrop= 16 60 577 808}}% 4:3 + + +%%%% Fixed-width environment to format PG boilerplate %%%% +\newenvironment{PGtext}{% +\begin{alltt} +\fontsize{9.2}{10.5}\ttfamily\selectfont}% +{\end{alltt}} + +\newlength{\TmpLen} % Length for local, ad hoc needs + +% Miscellaneous style tweaks +\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}% No hrule in page header +\setlength{\headheight}{15pt} + +\DeclareMathSizes{12}{11}{8}{6} + +\fancyhf{} +\fancyhead[C]{( \thepage\ )} + +\emergencystretch1.5em % Loosen the spacing + +% Top-level footnote numbers restart on each page +\MakePerPage{footnote} + +% Loosen vertical and horizontal spacing; for ad hoc local use +\newcommand{\vloose}{\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}} +\newcommand{\hloose}{\spaceskip 0.75em} + +% Surround footnote markers with upright parentheses +\makeatletter +\renewcommand\@makefnmark% + {\mbox{\small\,\upshape(\@textsuperscript{\normalfont\@thefnmark})}} + +\renewcommand\@makefntext[1]% + {\noindent\makebox[2.4em][r]{\@makefnmark\,}#1} +\makeatother + +% Semantic and convenience macros +\newcommand{\DPtypo}[2]{#2} % For corrections. + +\newcommand{\tb}[1][4cm]{\rule{#1}{0.5pt}} % thought break +\newcommand{\Ord}[2]{#1\textsuperscript{#2}} % ordinal + +\newcommand{\const}{\text{\upshape const.}} + +\newcommand{\ds}{\displaystyle} +\newcommand{\tsum}{\mathop{\textstyle\sum}\nolimits} + +\newcommand{\vol}{\mathrm{v}} + +\DeclareMathOperator{\opS}{\mathbf{S}}% operator S +\DeclareMathOperator{\tang}{tang} + +\newcommand{\scrF}{\mathscr{F}} +\newcommand{\scrX}{\mathscr{X}} +\newcommand{\scrY}{\mathscr{Y}} +\newcommand{\scrZ}{\mathscr{Z}} + +% Use upright capitals in math mode +\DeclareMathSymbol{A}{\mathalpha}{operators}{`A} +\DeclareMathSymbol{B}{\mathalpha}{operators}{`B} +\DeclareMathSymbol{C}{\mathalpha}{operators}{`C} +\DeclareMathSymbol{D}{\mathalpha}{operators}{`D} +\DeclareMathSymbol{E}{\mathalpha}{operators}{`E} +\DeclareMathSymbol{F}{\mathalpha}{operators}{`F} +\DeclareMathSymbol{G}{\mathalpha}{operators}{`G} +\DeclareMathSymbol{H}{\mathalpha}{operators}{`H} +\DeclareMathSymbol{I}{\mathalpha}{operators}{`I} +\DeclareMathSymbol{J}{\mathalpha}{operators}{`J} +\DeclareMathSymbol{K}{\mathalpha}{operators}{`K} +\DeclareMathSymbol{L}{\mathalpha}{operators}{`L} +\DeclareMathSymbol{M}{\mathalpha}{operators}{`M} +\DeclareMathSymbol{N}{\mathalpha}{operators}{`N} +\DeclareMathSymbol{O}{\mathalpha}{operators}{`O} +\DeclareMathSymbol{P}{\mathalpha}{operators}{`P} +\DeclareMathSymbol{Q}{\mathalpha}{operators}{`Q} +\DeclareMathSymbol{R}{\mathalpha}{operators}{`R} +\DeclareMathSymbol{S}{\mathalpha}{operators}{`S} +\DeclareMathSymbol{T}{\mathalpha}{operators}{`T} +\DeclareMathSymbol{U}{\mathalpha}{operators}{`U} +\DeclareMathSymbol{V}{\mathalpha}{operators}{`V} +\DeclareMathSymbol{W}{\mathalpha}{operators}{`W} +\DeclareMathSymbol{X}{\mathalpha}{operators}{`X} +\DeclareMathSymbol{Y}{\mathalpha}{operators}{`Y} +\DeclareMathSymbol{Z}{\mathalpha}{operators}{`Z} + +\DeclareInputText{176}{\ifmmode{{}^\circ}\else\textdegree\fi} +\DeclareInputText{183}{\ifmmode\centerdot\else\textperiodcentered\fi} + +% page separators +\newcommand{\DPPageSep}[1]{} + +% upright parentheses +\renewcommand{\(}{\textup(} +\renewcommand{\)}{\textup)} + +% Sectional units +\newcounter{myunit} +\newcommand{\Chapter}[2]{% + \cleardoublepage + \noindent\hrule + \refstepcounter{myunit}% + \phantomsection\pdfbookmark[0]{#1}{unit:\themyunit}% + \vspace*{30pt} + \section*{\LARGE\centering\MakeUppercase{#1}} + \begin{center} + \tb[2cm] + \end{center} + \ifthenelse{\not\equal{#2}{}}{% + \subsection*{\large\centering #2} + \begin{center} + \tb[1cm] + \end{center} + \vspace*{2\baselineskip} + }{}% +} + +\newcommand\Section[3]{% + \section*{\centering\normalsize #1\MakeUppercase{#2}} + \refstepcounter{myunit} + \phantomsection% + \ifthenelse{\not\equal{#1}{}}{% + \pdfbookmark[1]{Section #1}{unit:\themyunit}% + }{}% + \ifthenelse{\not\equal{#3}{}}{% + \subsection*{\centering\footnotesize\scshape\MakeLowercase{#3}} + }{}% +} + + +% Marginal notes +\newcommand{\MarginBox}[2][]{% + \mbox{}\marginpar{\centering\scriptsize #2}% + \ifthenelse{\not\equal{#1}{}}{\phantomsection\label{#1}}{}% +} +\newcommand{\marge}[2][]{% + \bigskip\par\MarginBox[#1]{#2}% +} + + +% Theorems et al. +\newenvironment{thm}[1]{% + \bigskip\par{\scshape Théorème #1\@.}\phantomsection\label{thm:#1} ---\itshape}% +{\upshape\bigskip} + +% No "Théorème heading, but provides guillemets +\newenvironment{theorem}{\medskip\par«~\itshape}{\upshape~»\medskip} + +\newenvironment{lem}[1]{% + \bigskip\par{\scshape Lemme\phantomsection\label{lem:#1} #1\@.} ---\itshape}% +{\upshape\bigskip} + + +% Macros for the Faculté des sciences page +\newcommand{\TitleRow}[1]{% +%[** TN: Manually set widest row; similarly in other macros below] + \settowidth{\TmpLen}{\bfseries\footnotesize PROFESSEURS HONORAIRES}% + \parbox{\TmpLen}{{\bfseries\footnotesize\hangindent1em#1\dotfill}}% +} + +\newcommand{\NameBox}[1]{% + \settowidth{\TmpLen}{\footnotesize\bfseries MILNE EDWARDS, Professeur.}% + \parbox{\TmpLen}{\footnotesize\textbf{#1}}% +} + +\newcommand{\Name}[2][]{% + \settowidth{\TmpLen}{\footnotesize\bfseries MILNE EDWARDS, Professeur.}% + \ifthenelse{\equal{#1}{}}{% + \parbox{\TmpLen}{\footnotesize\textbf{#2}\dotfill}% + }{% + \parbox[b]{\TmpLen}{{\small\textbf{#1}}\\\footnotesize\textbf{#2}.}% + }% +} + +\newcommand{\Dept}[1]{% + \settowidth{\TmpLen}{\footnotesize \qquad Sciences Mathématiques.}% + \parbox[t]{\TmpLen}{{\ \footnotesize\raggedright\hangindent1.5em#1\par}}% +} + +% Macros for the Résumé analytique +\newcommand{\ToCSection}[1]{% + \subsection*{\normalfont\footnotesize\centering\scshape#1} +} + +\newcommand{\ToCSubsection}[1]{% + \subsubsection*{\normalfont\footnotesize\centering\itshape#1} +} + +\newcommand{\ToCPg}[1]{\settowidth{\TmpLen}{999}\makebox[\TmpLen][r]{#1}} + +\newcommand{\ToCRow}[2]{% + \noindent\makebox[\linewidth][c]{\hyperref[#2]{#1\dotfill\ToCPg{\pageref{#2}}}}% +} + +% \Ditto{#1} sets ditto mark in a box of width #1, +\newcommand{\Dittomark}{»} +\newcommand{\Ditto}[1]{% + \settowidth{\TmpLen}{#1}% + \makebox[\TmpLen][c]{\Dittomark}% +} + + +% Cross-referencing +\newcommand{\Tag}[2][]{% + \phantomsection + \ifthenelse{\equal{#1}{}}{% + \label{eqn:#2}% + }{% + \label{eqn:#1}% + } + \tag*{#2} +} + +\newcommand{\Eqno}[2][]{% + \ifthenelse{\equal{#1}{}}{% + \hyperref[eqn:#2]{#2}% + }{% + \hyperref[eqn:#1]{#2}% + }% +} +\newcommand{\Eqref}[2][équation]{\hyperref[eqn:#2]{#1~#2}} + +\newcommand{\Pagelabel}[1]{\phantomsection\label{#1}} +\newcommand{\Pageref}[2][p.]{\hyperref[#2]{#1~\pageref{#2}}} +\newcommand{\Pagerefs}[3][p.]{% + \ifthenelse{\equal{\pageref{#2}}{\pageref{#3}}}{% + \hyperref[#2]{#1~\pageref{#2}}% + }{% + \hyperref[#2]{#1~\pageref{#2}} et~\pageref{#3}% + }% +} + +\newcommand{\ThmRef}[1]{% + \hyperref[thm:#1]{théorème~#1}% +} + +\newcommand{\LemRef}[1]{% + \hyperref[lem:#1]{lemme~#1}% +} + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% START OF DOCUMENT %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\begin{document} + +\pagestyle{empty} +\pagenumbering{Alph} + +\phantomsection +\pdfbookmark[-1]{Matière Préliminaire.}{Preliminaire} + +%%%% PG BOILERPLATE %%%% +\phantomsection +\pdfbookmark[0]{PG Boilerplate.}{Boilerplate} + +\begin{center} +\begin{minipage}{\textwidth} +\small +\begin{PGtext} +The Project Gutenberg EBook of Étude sur le Mouvement Permanent des Fluides, by +François de Salvert + +This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with +almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or +re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included +with this eBook or online at www.gutenberg.org + + +Title: Étude sur le Mouvement Permanent des Fluides + Thèses Présentées à la Faculté des Sciences de Paris pour + Obtenir le Grade de Docteur ès Sciences Mathématiques + +Author: François de Salvert + +Release Date: July 5, 2010 [EBook #33083] + +Language: French + +Character set encoding: ISO-8859-1 + +*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK FLUIDES *** +\end{PGtext} +\end{minipage} +\end{center} + +\clearpage + + +%%%% Credits and transcriber's note %%%% +\begin{center} +\begin{minipage}{\textwidth} +\begin{PGtext} +Produced by Sébastien Blondeel, Joshua Hutchinson, and the +Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net +(This file was produced from images from the Cornell +University Library: Historical Mathematics Monographs +collection.) +\end{PGtext} +\end{minipage} +\end{center} +\vfill + +\begin{minipage}{0.85\textwidth} +\small +\phantomsection +\pdfbookmark[0]{Note sur la Transcription.}{Transcription} +\subsection*{\centering\normalfont\scshape% +\normalsize\MakeLowercase{\TransNote}}% + +\raggedright +\TransNoteText +\end{minipage} + + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FRONT MATTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\frontmatter +\pagestyle{empty} + +\DPPageSep{001.png}{}% +\iffalse +Production Note + +Cornell University Library +produced this volume to replace +the irreparably deteriorated +original. It was scanned using +Xerox software and equipment at +600 dots per inch resolution +and compressed prior to storage +using CCITT Group 4 +compression. The digital data +were used to create Cornell's +replacement volume on paper +that meets the ANSI Standard +Z39.48-1984. The production of +this volume was supported in +part by the Commission on +Preservation and Access and the +Xerox Corporation. 1990. +\fi +\DPPageSep{002.png}{}% +\DPPageSep{003.png}{}% +% Title page + +\begin{center} +\noindent\makebox[\linewidth][c]{% +\settowidth{\TmpLen}{\footnotesize\No d'ordre}% +\rlap{\parbox[b]{\TmpLen}{\centering\footnotesize% + \No d'ordre \\ + \textbf{352} \\[-0.5\baselineskip] + $\underbrace{\rule{\TmpLen}{0pt}}_{}$}} +\hfill\MyHuge \textbf{THÈSES}\hfill} +\setlength{\TmpLen}{6pt}% + +\footnotesize PRÉSENTÉES \\[2\TmpLen] +\makebox[0pt][c]{\Large\bfseries À LA FACULTÉ DES SCIENCES DE PARIS} \\[3\TmpLen] +\scriptsize POUR OBTENIR \\[2\TmpLen] +\small\bfseries LE GRADE DE DOCTEUR ÈS SCIENCES MATHÉMATIQUES, \\[3\TmpLen] +\normalsize\textbf{PAR M.~\textsc{François} DE SALVERT}, \\[2\TmpLen] +\scriptsize ANCIEN ÉLÈVE DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE. \\[2\TmpLen] +\tb[2cm] \\[2\TmpLen] +\small% +\begin{tabular}{r@{\ }c@{\ }l} +\textbf{\Ord{1}{re} THÈSE.} & --- & + {\footnotesize \textsc{Étude sur le mouvement permanent des fluides. }}\\ +\textbf{\Ord{2}{e\ } THÈSE.} & --- & + {\footnotesize \textsc{Propositions données par la faculté.}}\\ +\end{tabular} \\[3\TmpLen] +\tb \\[2\TmpLen] +\textbf{Soutenues le\qquad\qquad 1874, devant la Commission d'Examen}. \\[2\TmpLen] +\tb +\begin{align*}%[** TN: Non-semantic expedient to use amsmath braces] + \text{\footnotesize MM.\ } + & \left.\text{\footnotesize PUISEUX,\quad \emph{Président}}\right. \\ + & \left.\begin{aligned} + &\text{\footnotesize BOUQUET,} \\ + &\text{\footnotesize BONNET,} + \end{aligned}\right\} \text{\emph{\footnotesize Examinateurs}} +\end{align*} + +\tb +\vfill +\Large\textbf{PARIS,} \\[2\TmpLen] +\large GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE \\[2\TmpLen] +\scriptsize DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE, DU BUREAU DES LONGITUDES, \\[2\TmpLen] +\footnotesize \textbf{SUCCESSEUR DE MALLET-BACHELIER},\\[2\TmpLen] +Quai des Augustins, 55.\\ +\tb[1cm]\\[2\TmpLen] +\textbf{\Large 1874} +\end{center} +\DPPageSep{004.png}{}% +\newpage + +\begin{center} +\setlength{\TmpLen}{4pt}% +\Large\textbf{ACADÉMIE DE PARIS} \\ +\tb \\[2\TmpLen] +\large\textbf{FACULTÉ DES SCIENCES DE PARIS.} \\[\TmpLen] +\tb[1cm] +\vfill +%[** TN: Force centering of wide box] +\makebox[0pt][c]{% +$ +%[** TN: Non-semantic expedient to use amsmath braces] +\renewcommand{\arraystretch}{0.8}% Tighten vertical spacing +\begin{aligned} +\TitleRow{DOYEN} & +\quad\begin{array}{l}\Name[MM.]{MILNE EDWARDS, Professeur}\end{array} +\Dept{Zoologie, Anatomie, Physiologie comparée.} \\ +% +\TitleRow{PROFESSEURS HONORAIRES} & +\left\{ +\begin{array}{l}\NameBox{DUMAS.} \\\NameBox{BALARD.}\end{array} +\right. \\[4pt] +% +\TitleRow{PROFESSEURS} & +\left\{ +\begin{array}{l} +\Name{DELAFOSSE} \Dept{Minéralogie.} \\ +\Name{CHASLES} \Dept{Géométrie supérieure.}\\ +\Name{LE VERRIER}\Dept{Astronomie.} \\ +\Name{P. DESAINS}\Dept{Physique.} \\ +\Name{LIOUVILLE} \Dept{Mécanique rationnelle.} \\ +\Name{PUISEUX} \Dept{Astronomie.} \\ +\Name{HÉBERT} \Dept{Géologie.} \\ +\Name{DUCHARTRE} \Dept{Botanique.} \\ +\Name{JAMIN} \Dept{Physique.} \\ +\Name{SERRET} \Dept{Calcul différentiel et intégral.} \\ +\Name{H.~S\textsuperscript{te}-CLAIRE DEVILLE} \Dept{Chimie.} \\ +\Name{PASTEUR} \Dept{Chimie.} \\ +\Name{DE LACAZE-DUTHIERS} \Dept{Anatomie, Physiologie comparée, Zoologie.}\\ +\Name{BERT} \Dept{Physiologie.} \\ +\Name{HERMITE} \Dept{Algèbre supérieure.} \\ +\Name{BRIOT} \Dept{Calcul des probabilités, Physique mathématique.}\\ +\Name{BOUQUET} \Dept{Mécanique et physique expérimentale.} +\end{array} +\right. \\[4pt] +% +\TitleRow{AGRÉGÉS} & +\left\{ + \begin{array}{l} + \left. + \begin{aligned} + & \Name{BERTRAND} \\ + & \Name{J. VIEILLE} + \end{aligned} + \right\} + \Dept{Sciences mathématiques.} \\ + \Name{PELIGOT} \Dept{Sciences physiques.} + \end{array} +\right. \\ +% +\TitleRow{SECRÉTAIRE} +%[** TN: Spacing hack] +& \quad\begin{array}{l}\NameBox{PHILIPPON.}\end{array} +\end{aligned} +$} +\vfill +\noindent\hrule +\medskip + +\footnotesize% +\makebox[0pt][c]{\textsc{1067\quad Paris. --- Imprimerie de GAUTHIER-VILLARS, successeur de +MALLET-BACHELIER,}} \\ +\textsc{Quai des Augustins, 55.} +\end{center} +\DPPageSep{005.png}{}% +\newpage +% Dedication + +\setlength{\TmpLen}{12pt}% +\begin{center} +\null\vfill +\small À MON VÉNÉRÉ PROFESSEUR \\[3\TmpLen] +{\Huge \bfseries\scshape\hloose Le P.~JOUBERT,} \\[\TmpLen] +\scriptsize DE L'ÉCOLE SAINTE-GENEVIÈVE, +\end{center} +\vspace*{6\TmpLen} + +\begin{flushright} +\settowidth{\TmpLen}{\scriptsize D'AFFECTUEUSE RECONNAISSANCE.}% +\parbox{\TmpLen}{\scriptsize\qquad HOMMAGE \\[4pt] +D'AFFECTUEUSE RECONNAISSANCE.} \\[30pt] +\small F.~DE SALVERT.\hspace*{2em} +\end{flushright} +\vfill +\DPPageSep{006.png}{}% +\DPPageSep{007.png}{}% + + +\mainmatter +\phantomsection\pdfbookmark[-1]{Matière Primaire.}{Main Matter} +\pagestyle{fancy} +\thispagestyle{empty} + + +\Chapter{Première Thèse.} +{ÉTUDE \\[12pt] {\scriptsize SUR LE} \\[12pt] MOUVEMENT PERMANENT DES FLUIDES.} + +\Section{}{Introduction.}{} + +\marge[ExposeSujet]{Exposé du sujet} +Nous n'envisageons dans ce travail que l'hypothèse particulière +connue sous le nom de \emph{mouvement permanent des fluides}. Ce cas, en +effet, en même temps qu'il est le plus fréquent dans la pratique et le +plus intéressant au point de vue des applications, est aussi, par une +coïncidence heureuse qui se présente dans un grand nombre de +questions, beaucoup plus facile à étudier que le cas général, et cela +par un double motif: d'abord, au point de vue analytique, la disparition +des dérivées relatives au temps introduit une simplification +notable dans les équations du mouvement, et la difficulté de leur +intégration en est certainement diminuée, quoiqu'elle reste toujours +fort grande; en second lieu, et c'est pour nous le point le plus important, +la réduction des quatre variables indépendantes aux trois +seules coordonnées $x$,~$y$,~$z$ permet de substituer aux procédés purement +analytiques une étude géométrique fondée sur la considération +\DPPageSep{008.png}% +de surfaces représentatives, ainsi qu'on le fait dans une foule de questions +de Mécanique ou de Physique mathématique, telles que la rotation +des corps, l'équilibre des fluides, ou les problèmes de chaleur et +d'électricité. + +En effet, supposons que l'on ait déterminé la fonction de $x$,~$y$ et~$z$, +qui représente chacun des cinq éléments dont dépend la connaissance +du mouvement, et soit, par exemple, +\[ +p = f(x,y,z) +\] +$p$~représentant la pression; on voit que, si l'on pose +\[ +f(x,y,z) = \const, +\] +on aura une famille de surfaces analogues aux \emph{surfaces de niveau}, auxquelles +elles se réduisent dans le cas de l'équilibre, ou encore aux +\emph{surfaces isothermes}, famille qui sera définie par cette propriété qu'en +tous les points d'une même surface la pression aura la même valeur, +et qu'on pourra appeler par conséquent \emph{surfaces d'égale pression}. + +On pourra considérer de même des surfaces d'égale densité, d'égale +force vive, ou toute autre analogue définie par la constance d'un élément +quelconque du mouvement, et l'on comprend que la considération +directe de ces surfaces pourra, jusqu'à un certain point, remplacer +les procédés analytiques pour arriver à la découverte des propriétés +du mouvement. + +C'est à ce point de vue, à la fois géométrique et analytique, que +nous allons nous placer dans ce travail, et nous baserons cette étude +sur la considération des \emph{surfaces de nulle résistance}, que nous allons +maintenant définir, et dont nous montrerons les propriétés remarquables. + + +\Section{I.}{ --- Surfaces de Nulle Résistance} +{Définitions; Propriétés Caractéristiques.} + +\marge[ResistanceMouvementFluide]{Résistance\\au mouvement\\d'un fluide.} +Lorsqu'un fluide est en équilibre, et qu'on vient à introduire une +paroi solide au sein de sa masse, la pression supportée par chaque +élément de cette paroi est précisément égale a celle que supportait +\DPPageSep{009.png}% +la molécule fluide primitivement située au même point, et qu'on +nomme \emph{pression hydrostatique} relative à ce point; mais, si le fluide +est en mouvement, il n'en sera plus ainsi. Chaque élément de la +paroi supportera, dans ce cas, non-seulement la pression hydrostatique~$p$, +qui s'exerce sur ses deux faces (et qu'il supporterait seule, +s'il participait au mouvement du fluide), mais encore un effort provenant +du mouvement même du fluide, et dirigé suivant ce mouvement, +lequel variera évidemment en chaque point avec la grandeur +et la direction de la vitesse. Cet effort, qui tend à entraîner la paroi +dans le mouvement du fluide, ou, ce qui est la même chose au sens +près, la résistance qu'elle oppose au mouvement lorsqu'on la maintient +fixe, ont tous deux pour expression, en grandeur absolue, +$\rho\omega V^2 \cos\theta$,\Pagelabel{page:5} $\rho$~étant la densité, $V$~la vitesse, $\omega$~l'élément de paroi, et +$\theta$~l'angle aigu que forme la normale à la paroi avec la vitesse du +fluide\footnotemark. +\footnotetext{Voir \bsc{Duhamel}, \textit{Cours de Mécanique}, 3\ieme~édition, liv.~IV, §~193 et suiv.} +Il résulte immédiatement de cette expression, ce qui du +reste est presque évident \textit{a~priori}, que si $\theta = 90°$, c'est-à-dire si le plan +de la paroi contient la direction de la vitesse, la résistance dont +nous parlons sera nulle, et, par conséquent, une surface dont tous les +éléments satisferaient à cette condition n'opposerait aucune résistance +au mouvement du fluide. Cette condition, en particulier, se trouve +forcément remplie par les parois fixes du vase ou du réservoir qui +contient un fluide en mouvement. + +\marge[SurfacesNulleResistance]{Surfaces\\de nulle résistance} +D'après cela, nous appellerons \emph{surface de nulle résistance {\upshape«\;}une surface +telle qu'en chacun de ses points la vitesse du fluide soit située dans le +plan tangent{\upshape\;»}}. + +On conclura immédiatement de cette définition: + +\primo Que si l'on considère un point du fluide, une surface de nulle +résistance passant par ce point, et la molécule qui y est actuellement, +son mouvement tout entier s'effectuera sur cette surface, en sorte que +les surfaces de nulle résistance contiennent les trajectoires de toutes +les molécules fluides; + +\secundo Qu'aucune molécule fluide ne peut traverser cette surface, puisque, +pour cela, il faudrait qu'au moment de son passage sa vitesse fit +\DPPageSep{010.png}% +un angle fini avec la surface, en sorte que toutes les molécules situées +actuellement à l'intérieur de cette surface y resteront constamment, et +de même les molécules actuellement extérieures le seront aussi indéfiniment. + +On peut donc dire qu'une surface de nulle résistance partage la +masse fluide en deux portions telles, que le mouvement n'opère entre +elles aucun échange d'éléments. + +\marge{Propriétés relatives:} +Il résulte de là deux propriétés importantes que nous allons établir. + +\marge[ProprietesEllipsoideCentral]{(\textit{a}) à l'ellipsoïde\\central d'inertie} +La considération du centre de gravité d'un système en mouvement +est assez familière en Dynamique pour que nous n'ayons pas à la rappeler +ici; mais nous pousserons plus loin l'analogie dans la même voie, +et nous considérerons ce que nous appellerons \emph{plans principaux, moments}, +et \emph{ellipsoïde d'inertie} d'un système à une époque donnée, c'est-à-dire +les plans principaux, moments et ellipsoïde d'inertie qu'il y +aurait lieu de considérer, si le système venait à être solidifié dans la +figure qu'il offre à cette époque. + +D'après cela, de même que le centre de gravité du système, à une +époque quelconque, sera déterminé par la condition que, en prenant ce +point pour origine des coordonnées, les sommes +\[ +\opS mx, \quad \opS my, \quad \opS mz, +\] +étendues à toutes les molécules~$m$ du système, soient nulles à cette +époque, de même les plans principaux d'inertie, relatifs au même +point, seront déterminés par la condition jointe à la précédente que, +en les prenant pour plans coordonnés, les sommes +\[ +\opS myz, \quad \opS mzx, \quad \opS mxy, +\] +soient également nulles à la même époque; enfin les sommes +\[ +\opS m(y^2+z^2), \quad +\opS m(z^2+x^2), \quad +\opS m(x^2+y^2), +\] +prises dans les mêmes conditions, seront pour nous les moments principaux +d'inertie, relatifs au centre de gravité, pour la même époque. + +Si l'on applique maintenant ces considérations à une portion de la +masse fluide délimitée actuellement par une surface choisie arbitrairement, +\DPPageSep{011.png}% +il est facile de voir qu'en général ces divers éléments varieront +de grandeur ou de position avec le temps. En effet, supposons que +l'on ait déterminé ces différents éléments pour la position actuelle de +la masse considérée, et prenons le centre de gravité et les plans principaux +d'inertie, relatifs à cette position, pour origine et plans fixes de +coordonnées. Parmi les sommes ci-dessus, les six premières seront +nulles par hypothèse; mais, si nous calculons leurs valeurs pour les +époques successives, elles varieront forcément avec le temps; car, en +raison de la continuité du fluide, ce sont en réalité des intégrales +triples par rapport à $x$,~$y$,~$z$ dont les limites varient à chaque instant +avec la configuration extérieure de la masse considérée. Elles ne resteront +donc pas constamment nulles, et, conséquemment, l'origine et +les plans coordonnés ne seront pas constamment le centre de gravité +et les plans principaux d'inertie du système considéré. La valeur des +moments principaux d'inertie variera en même temps par la même +raison, et, par conséquent, l'ellipsoïde central qu'il y aurait lieu de +considérer variera à chaque instant de grandeur et de position. + +Il en serait tout autrement si nous considérions une portion de la +masse fluide délimitée actuellement par des surfaces de nulle résistance; +car, en vertu de la remarque faite plus haut, la configuration +extérieure de cette masse restera invariablement la même, et, conséquemment, +les limites d'intégration ne variant plus, les différentes +sommes ci-dessus seront alors des constantes. L'origine et les plans +coordonnés seront donc alors constamment le centre de gravité et les +plans principaux d'inertie relatifs à ce point; et d'ailleurs les moments +d'inertie relatifs au même point conserveront constamment la même +grandeur. Nous pourrons, en conséquence, énoncer la propriété suivante: + +\begin{thm}{I} +L'ellipsoïde central d'inertie, relatif à une portion du +fluide limitée par des surfaces de nulle résistance, reste invariable de forme +et de position pendant le mouvement. +\end{thm} + +Ces conclusions sont d'ailleurs presque évidentes dans ce cas, puisque, +d'une part, en vertu de l'hypothèse de la permanence, les densités +sont constantes en chaque point, et que, d'autre part, en vertu du +choix de la surface limitative, on considère toujours les mêmes points +\DPPageSep{012.png}% +de l'espace. L'assimilation de la masse fluide à un solide invariable de +position s'impose alors d'elle-même à l'esprit; le centre de gravité et +l'ellipsoïde central du système sont, à un instant quelconque, le centre +de gravité et l'ellipsoïde central de ce solide, et par conséquent, comme +lui, invariables de position aussi bien que de grandeur. + +Nous allons maintenant montrer une seconde propriété des surfaces +de nulle résistance qui est précisément relative à ce \emph{solide représentatif}. + +\marge[ProprietesSoliceRepresentatif]{(\textit{b}) au solide\\représentatif} +Conformément à ce qui précède, nous appellerons \emph{solide représentatif} +correspondant à une portion du fluide un solide continu qui, +occupant la même étendue de l'espace, offrirait en chaque point la +même densité que le fluide considéré, et nous énoncerons cette nouvelle +propriété: + +\begin{thm}{II} +Le solide représentatif correspondant à une portion +de la masse fluide limitée par des surfaces de nulle résistance, serait en +équilibre sous l'action des forces qui sollicitent cette masse. +\end{thm} + +En effet, désignons par $m\scrX$,~$m\scrY$,~$m\scrZ$ les composantes de la force +\emph{totale}~$m\scrF$, qui sollicite la molécule de masse~$m$, c'est-à-dire la résultante +des actions tant intérieures qu'extérieures qui s'exercent sur cette +molécule, en y comprenant les liaisons qui proviennent de la constitution +même du fluide, en sorte que l'on puisse considérer chaque +molécule comme entièrement libre; les équations de son mouvement +seront +\[ +\Tag{(1)} +\frac{d^2x}{dt^2} = \scrX, \quad +\frac{d^2y}{dt^2} = \scrY, \quad +\frac{d^2z}{dt^2} = \scrZ. +\] +Nous en conclurons, par une combinaison facile, +\begin{align*} +z \frac{d^2y}{dt^2} - y \frac{d^2z}{dt^2} &= \scrY z - \scrZ y, \\ +x \frac{d^2z}{dt^2} - z \frac{d^2x}{dt^2} &= \scrZ x - \scrX z, \\ +y \frac{d^2x}{dt^2} - x \frac{d^2y}{dt^2} &= \scrX y - \scrY x; +\end{align*} +puis, en multipliant par~$m$ et faisant la somme de ces différentes équations +\DPPageSep{013.png}% +pour toutes les molécules~$m$ de la masse considérée, nous obtiendrons +celles-ci: +\begin{gather*} +\begin{aligned} +\opS m\frac{d^2 x}{dt^2} &= \opS m\scrX, \\ +\opS m\frac{d^2 y}{dt^2} &= \opS m\scrY, \\ +\opS m\frac{d^2 z}{dt^2} &= \opS m\scrZ; +\end{aligned} +\displaybreak[1] \\ +\begin{aligned} +\opS m\left(z\frac{d^2 y}{dt^2} - y\frac{d^2 z}{dt^2}\right) + &= \opS m(\scrY z - \scrZ y),\\ +\opS m\left(x\frac{d^2 z}{dt^2} - z\frac{d^2 x}{dt^2}\right) + &= \opS m(\scrZ x - \scrX z),\\ +\opS m\left(y\frac{d^2 x}{dt^2} - x\frac{d^2 y}{dt^2}\right) + &= \opS m(\scrX y - \scrY x). +\end{aligned} +\end{gather*} + +Le fluide étant supposé continu, chacune de ces sommes est une +intégrale triple, et, suivant une remarque déjà faite, les limites de +l'intégration, c'est-à-dire la surface extérieure de la masse considérée, +étant invariables avec le temps, ainsi que la masse de chaque molécule, +on peut écrire +\begin{gather*} +\begin{aligned} +\opS m\frac{d^2 x}{dt^2} &= \frac{d^2 \opS mx}{dt^2}, \\ +\opS m\frac{d^2 y}{dt^2} &= \frac{d^2 \opS my}{dt^2}, \\ +\opS m\frac{d^2 z}{dt^2} &= \frac{d^2 \opS mz}{dt^2}; +\end{aligned} +\displaybreak[1] \\ +\begin{aligned} +\opS m\left(z\frac{d^2 y}{dt^2} - y\frac{d^2 z}{dt^2}\right) + &= \frac{d}{dt} \opS m\left(z\frac{dy}{dt} - y\frac{dz}{dt}\right),\\ +\opS m\left(x\frac{d^2 z}{dt^2} - z\frac{d^2 x}{dt^2}\right) + &= \frac{d}{dt} \opS m\left(x\frac{dz}{dt} - z\frac{dx}{dt}\right),\\ +\opS m\left(y\frac{d^2 x}{dt^2} - x\frac{d^2 y}{dt^2}\right) + &= \frac{d}{dt} \opS m\left(y\frac{dx}{dt} - x\frac{dy}{dt}\right). +\end{aligned} +\end{gather*} + +Or, si l'on considère les sommes +\begin{gather*} +\opS mx,\quad \opS my,\quad \opS mz, \\ +% +\opS m\left(z\frac{dy}{dt} - y\frac{dz}{dt}\right),\quad +\opS m\left(x\frac{dz}{dt} - z\frac{dx}{dt}\right),\quad +\opS m\left(y\frac{dx}{dt} - x\frac{dy}{dt}\right) +\end{gather*} +\DPPageSep{014.png}% +comme des intégrales triples par rapport à $x$,~$y$,~$z$, elles seront évidemment +indépendantes du temps, puisque d'une part le temps n'entre +point explicitement sous le signe somme, et que d'autre part les +limites de l'intégration n'en dépendent pas elles-mêmes. Les seconds +membres des six équations que nous venons d'écrire sont donc nuls, +et par conséquent aussi ceux des six autres qui les précèdent, d'où, +en définitive, les six équations suivantes: +\[ +\Tag{(2)} +\left\{ +\begin{aligned} +&\opS m\scrX = 0, & +&\opS m\scrY = 0, & +&\opS m\scrZ = 0, \\ +&\opS m(\scrY z - \scrZ y) = 0 & +&\opS m(\scrZ x - \scrX z) = 0 & +&\opS m(\scrX y - \scrY x) = 0 +\end{aligned} +\right. +\] + +On reconnaît immédiatement dans ces équations la forme très-connue +des équations d'équilibre des solides. Ces équations, qui comprennent +toutes les forces, tant intérieures qu'extérieures, qui sollicitent +la masse fluide, expriment donc parfaitement l'équilibre du +solide représentatif, supposé soumis à l'action de ces forces, ce qui +justifie la proposition énoncée. + +Toutefois, il convient de remarquer, dès maintenant, que les forces +\emph{intérieures}, c'est-à-dire celles qui s'exercent entre deux molécules quelconques +de la masse considérée, étant égales deux à deux, et de signes +contraires, disparaîtront de ces équations, en sorte qu'il n'y entrera +plus en réalité que les forces \emph{extérieures}, et les forces de liaison ou +pressions, qui proviennent de la partie du fluide extérieure à celle que +l'on aura considérée. + +Si, au lieu d'appliquer les six équations précédentes au solide représentatif, +on les applique à la masse fluide elle-même, on arrive à une +remarque intéressante déjà faite dans le Cours de Mécanique. On sait +que les six équations dites d'\emph{équilibre des solides} sont nécessaires pour +l'équilibre d'un système quelconque; mais elles ne sont suffisantes que +dans le cas d'un système invariable\footnotemark. +\footnotetext{Voir \bsc{Delaunay}, \textit{Traité de Mécanique rationnelle} (3\ieme~édition), §~183, p.~304, et §~185, p.~308.} +Si l'on eût douté de cette +dernière proposition, le résultat ci-dessus en aurait fourni une preuve +péremptoire en montrant un système en mouvement, pour lequel elles +sont néanmoins vérifiées. +\DPPageSep{015.png}% + +\marge[ExamenCasGeneral]{Examen du cas\\général.} +Afin de bien montrer que cette propriété est réellement caractéristique +des surfaces de nulle résistance, nous allons l'établir d'une +autre façon, en cherchant d'une manière générale quelles forces il faudrait +appliquer à un solide représentatif quelconque, pour le maintenir +en équilibre sous l'action de ces forces jointes à celles qui sollicitent +le fluide. + +\marge[DemonstrationSynthetiqueI]{Démonstration synthétique.} +Pour cela, appliquons d'abord aux molécules fluides contenues à +l'intérieur d'une surface quelconque les deux théorèmes généraux +de la Dynamique relatifs aux quantités de mouvement d'un système +matériel. + +En effet, isolons par la pensée, au sein d'un fluide en mouvement, +une portion de la masse circonscrite par une surface quelconque +$ABCD\dots$; et soit $A'B'C'D'\dots$ la surface infiniment voisine qui renferme +la même masse au bout du temps infiniment petit~$dt$. Les volumes +compris sous ces deux surfaces se composeront d'une partie finie commune, +et de calottes infiniment minces qui appartiendront exclusivement +à l'une ou à l'autre. Parmi ces calottes, les unes renfermeront +les molécules qui sont sorties de la première surface, les autres celles +qui y sont entrées, de sorte que si, en chaque point de cette surface, +on projette sur la normale \emph{intérieure} la vitesse du fluide relative à ce +point, la projection ou \emph{vitesse normale}~$V_n$ sera positive pour tous les +points de certaines calottes, et négative pour tous les points des autres, +et par conséquent nulle pour tous les points des lignes de séparation, +c'est-à-dire pour les intersections des deux surfaces. + +Cela posé, appliquons au déplacement infiniment petit que nous +venons de définir le théorème des quantités de mouvements projetées +sur un axe, lequel consiste en ce que l'accroissement de la somme des +quantités de mouvement du système est égal à la somme des impulsions +des forces extérieures appliquées au système pendant le temps considéré. + +Écrivons d'abord le second membre de cette équation, c'est-à-dire la +somme de ces impulsions, qui se forme sans difficulté. + +Les forces extérieures sont ici: + +\primo Les forces extérieures données, qui s'exercent sur toute l'étendue +de la masse considérée, et donneront par conséquent un terme tel, que +\DPPageSep{016.png}% +$\opS\varpi R_p\, dt$, $R_p$~étant la composante de ces forces dirigées suivant l'axe considéré, +et rapportée à l'unité de masse, $\varpi$~désignant l'élément de masse, +et $\opS$~une sommation s'étendant à tout le volume de la masse considérée. + +\secundo Les pressions provenant des molécules fluides extérieures à la +masse que nous considérons. Ces forces, s'exerçant seulement sur la +surface qui limite cette masse, donneront un terme tel, que $\tsum \omega p \cos\delta · dt$, +où $\delta$~représente l'angle de la normale intérieure à cette surface avec +l'axe considéré, $\omega$~l'élément de surface, et $\tsum$~une sommation s'étendant +à toute la surface extérieure de la masse considérée. Le second membre +de l'équation à former, ou la somme des impulsions, sera donc +\[ +\opS \varpi R_p\, dt + \tsum \omega p \cos\delta · dt. +\] + +Passons maintenant au premier membre, ou à l'accroissement de la +quantité de mouvement du système. + +Si l'on désigne par~$V_p$ la projection de la vitesse sur l'axe considéré, +il faudra former la somme $\opS \varpi V_p$ relative aux deux positions successives +de la masse fluide, et faire la différence des deux résultats. Or il +est facile de voir que, en vertu de la permanence du mouvement, toute +la portion commune aux deux surfaces n'interviendra pas dans ce +résultat, car les molécules fluides reprenant par hypothèse la même +vitesse et la même densité en passant au même point, les éléments +correspondant à ces points seront les mêmes dans les deux sommes, +et disparaîtront par conséquent du résultat. La différence cherchée se +réduit donc à la différence entre la somme des quantités de mouvement +des portions qui sont sorties de la surface, et la somme des quantités +de mouvement des portions qui y sont entrées. + +Considérons les premières pour lesquelles, comme nous l'avons déjà +remarqué, la vitesse normale~$V_n$ est négative. Si nous découpons la +portion correspondante de la surface en éléments infiniment petits~$\omega$, +on voit que le volume du fluide qui est sorti de la surface par un de ces +éléments peut être considéré comme un cylindre droit de base~$\omega$, dont +la hauteur serait $-V_n\,dt$, la masse $-\rho \omega V_n\, dt$, et par conséquent la +quantité du mouvement projetée $-\rho \omega V_n\, dt\, V_p$. Or, comme la réunion +de tous ces volumes élémentaires constitue évidemment la portion de +la masse fluide qui est sortie de la surface, la quantité de mouvement +correspondant à cette portion sera $-\tsum_1 \rho \omega V_n\, dt\, V_p$, en désignant par~$\tsum_1$ +\DPPageSep{017.png}% +une sommation s'étendant à toutes les portions de la surface par +lesquelles il est sorti du fluide. + +Si nous calculons de même la quantité de mouvement correspondant +à la portion de masse fluide qui est entrée dans la surface, il est +évident que nous obtiendrons une expression tout analogue, sauf +qu'ici $V_n$~étant positif, la longueur du cylindre sera $+V_n\, dt$, et par +conséquent l'expression résultante sera $+\tsum_2 \rho\omega V_n\, dt\, V_p$, la sommation~$\tsum_2$ +s'étendant cette fois aux portions de surface par lesquelles il est +entré du fluide. + +Comme il faut faire maintenant la différence de ces deux expressions, +nous trouverons en définitive que l'accroissement total de la quantité +de mouvement du système sera +\[ +-\tsum_1 \omega\rho V_n\, dt\, V_p -\tsum_2 \omega\rho V_n\, dt\, V_p + = -\tsum \omega\rho V_n\, dt\, V_p, +\] +la sommation~$\tsum$ s'étendant désormais à toute la surface. En rapprochant +les deux membres que nous avons ainsi évalués, l'équation que nous +voulions établir sera +\[ +\opS \varpi R_p\, dt + \tsum \omega p \cos\delta · dt + = -\tsum \omega\rho V_n\, dt\, V_p +\] +ou en faisant passer tous les termes dans le premier membre, et supprimant le facteur commun~$dt$, +\[ +\opS \varpi R_p + \tsum \omega p \cos\delta + \tsum \omega\rho V_n V_p = 0. +\] + +Cela posé, si l'on désigne, conformément à l'usage, par $u$,~$v$,~$w$ les +composantes de la vitesse suivant les axes coordonnés; par $X$,~$Y$,~$Z$ les +composantes suivant ces axes de la force extérieure donnée, rapportées +à l'unité de masse; enfin par $\alpha$,~$\beta$,~$\gamma$ les angles que forme avec les +mêmes axes la normale \emph{intérieure} à la surface considérée, et que l'on +prenne successivement pour axe de projection les trois axes coordonnés, +l'équation ci-dessus donnera lieu aux trois suivantes: +\[ +\Tag{(3)} +\left\{ + \begin{aligned} + \opS \varpi X &+ \tsum \omega p \cos \alpha + \tsum \omega\rho u\, V_n = 0,\\ + \opS \varpi Y &+ \tsum \omega p \cos \beta + \tsum \omega\rho v\, V_n = 0,\\ + \opS \varpi Z &+ \tsum \omega p \cos \gamma + \tsum \omega\rho w V_n = 0. + \end{aligned} +\right. +\] + +Ayant ainsi formé une première fois la quantité de mouvement et +les impulsions des forces extérieures correspondant à chaque élément +\DPPageSep{018.png}% +de la masse considérée, si au lieu de les projeter sur les trois axes coordonnés +nous en prenons les moments par rapport à ces axes, nous +trouverons, à l'aide des mêmes raisonnements, et en appliquant l'autre +théorème général de la Dynamique qui est relatif à cet objet, les trois +autres équations suivantes: +\[ +\Tag{(4)} +\left\{ + \begin{aligned} + \opS \varpi (Yz - Zy) + &+ \tsum\omega p(z\cos\beta - y\cos\gamma) + + \tsum\omega\rho(vz\, - wy)V_n = 0,\\ + \opS \varpi (Zx - Xz) + &+ \tsum\omega p(x\cos\gamma - z\cos\alpha) + + \tsum\omega\rho(wx -\, uz)V_n = 0,\\ + \opS \varpi(Xy - Yx) + &+ \tsum\omega p(y\cos\alpha - x\cos\beta) + + \tsum\omega\rho(uy\, -\, vz)V_n = 0. +\end{aligned} +\right. +\] + +Les équations \Eqno{(3)}~et~\Eqno{(4)}, un peu longues à établir, sont intéressantes +en ce qu'elles indiquent quelles forces il faudrait appliquer au solide +représentatif correspondant à une surface quelconque, pour le maintenir +en équilibre, conjointement avec les forces qui sollicitent la masse +fluide. + +En effet, on reconnaît encore dans la forme de ces équations les +conditions qui expriment l'équilibre des trois systèmes de force suivants: + +\primo Une force appliquée à chaque élément de la masse considérée, et +dont les composantes seraient $\varpi X$,~$\varpi Y$,~$\varpi Z$, c'est-à-dire l'ensemble des +forces extérieures données. + +\secundo Une force égale à~$p$ appliquée à chaque élément de la surface +extérieure de la masse considérée, et suivant la normale intérieure à +cette surface, c'est-à-dire l'ensemble des actions exercées par les parties +extérieures du fluide sur la portion de masse considérée. + +Ces deux premiers systèmes réunis tiennent lieu dans les équations (3)~et~(4) +de l'ensemble des forces qui sollicitent la masse considérée; +car, en vertu d'une remarque déjà faite, les forces intérieures, +c'est-à-dire celles qui s'exercent entre deux molécules de cette masse +ne donneraient aucun terme dans ces équations, comme étant deux à +deux égales et de signes contraires, en sorte que l'ensemble des deux +premiers termes de ces mêmes équations représente exactement le +premier membre des \Eqref[équations]{(2)}\Pagelabel{EquationsDeux}. + +\tertio Enfin une force appliquée également à chaque élément de la +surface, et dont les composantes seraient respectivement +\[ +\omega\rho u V_n,\quad \omega\rho v V_n,\quad \omega\rho w V_n. +\] +\DPPageSep{019.png}% + +Il est facile d'interpréter la signification de ce dernier système; car, +si l'on désigne respectivement par $\lambda$,~$\mu$,~$\nu$ et~$\theta$ les angles de la vitesse +avec les trois axes coordonnés et la normale intérieure de la surface, +on aura +\begin{gather*} +\Tag{(5)} +u = V \cos\lambda, \quad v = V \cos\mu, \quad w = V \cos\nu, \\ +\DPtypo{V}{V_n} = V \cos \theta, +\end{gather*} +et, par conséquent, en substituant, +\begin{align*} + \omega \rho u V_n &= \omega \rho V^2 \cos\theta · \cos\lambda, \\ + \omega \rho v V_n &= \omega \rho V^2 \cos\theta · \cos\mu, \\ + \omega \rho w V_n &= \omega \rho V^2 \cos\theta · \cos\nu. +\end{align*} +Or, si l'on se reporte à ce que nous avons dit \Pageref[page]{page:5}, sur la résistance +d'un élément, de surface au mouvement du fluide, on voit que le facteur +$\omega \rho V^2 \cos\theta$ représente en grandeur absolue la résistance de l'élément~$\omega$, +et que, d'ailleurs, ce facteur sera positif ou négatif, suivant +que l'angle~$\theta$ sera plus petit ou plus grand que $90$~degrés, ou, en +d'autres termes, suivant que la vitesse sera dirigée vers l'intérieur de +la surface ou vers l'extérieur. D'après cela, les trois composantes ci-dessus +seront, dans tous les cas, celles d'une force égale à la résistance +de l'élément, dirigée suivant la vitesse en ce point, et dans celui des +deux sens qui correspond à l'intérieur de la surface. + +Les équations \Eqno{(3)}~et~\Eqno{(4)} pourront donc se traduire par le théorème +suivant: + +\begin{thm}{III} +Le solide représentatif correspondant à une portion +quelconque de la masse fluide serait en équilibre sous l'action des forces +qui sollicitent cette masse, si l'on appliquait sur chaque élément de la +surface extérieure, suivant la direction de la vitesse en ce point, et dans +celui des deux sens qui correspond à l'intérieur de la surface, un effort +égal à la résistance que cet élément supposé solidifié opposerait au mouvement +du fluide. +\end{thm} + +De cette proposition découle immédiatement comme corollaire la +précédente, à savoir que \emph{pour les surfaces de nulle résistance le solide +représentatif serait en équilibre sous l'action des forces qui sollicitent la +masse fluide}. +\DPPageSep{020.png}% + +Nous avons vu, en établissant le théorème qui précède, que, si l'on +considère deux positions infiniment voisines d'une même masse fluide, +la vitesse normale~$V_n$ sera nulle pour tous les points de leur intersection. +Il en sera évidemment de même pour le lieu de ces intersections, +d'où cette nouvelle propriété: + +\begin{thm}{IV} +L'enveloppe des positions successives d'une même +masse fluide est une surface de nulle résistance. +\end{thm} + +Il est bien entendu d'ailleurs que la surface dont nous parlons n'appartient +pas forcément à un type géométrique unique et déterminé, +mais qu'elle pourra se composer de parties appartenant à des types ou +des individualités distinctes, dont chacune vérifiera séparément la condition +$V_n = 0$, et rentrera par conséquent dans la catégorie des surfaces +de nulle résistance. + +\marge[DemonstrationAnalytiqueI]{Démonstration analytique.} +Les théorèmes relatifs au solide représentatif, que nous venons de +démontrer de deux manières différentes, ont été établis en invoquant +seulement les principes généraux de la dynamique. Comme ils présentent +une certaine importance, il ne sera pas indifférent de montrer +comment on peut aussi les déduire analytiquement des équations du +mouvement. + +Pour cela, rappelons d'abord que les quatre équations communes à tous +les fluides sont les suivantes: +\begin{gather*} +\Tag{(6)} +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{1}{\rho}\, \frac{dp}{dx} + &= X - u\frac{du}{dx} - v\frac{du}{dy} - w\frac{du}{dz}, \\ + \frac{1}{\rho}\, \frac{dp}{dy} + &= Y - u\frac{dv}{dx} - v\frac{dv}{dy} - w\frac{dv}{dz}, \\ + \frac{1}{\rho}\, \frac{dp}{dz} + &= Z - u\frac{dw}{dx} - v\frac{dw}{dy} - w\frac{dw}{dz}; +\end{aligned} \right. \\ +\Tag{(7)} +\frac{d · \rho u}{dx} + \frac{d · \rho v}{dy} + \frac{d · \rho w}{dz} = 0, +\end{gather*} +dont les trois premières résultent immédiatement du théorème de +d'Alembert, et la quatrième exprime la continuité de la masse fluide. +Pour compléter les données du problème, il faudrait y ajouter une +cinquième équation définissant la nature du fluide; mais cette équation +\DPPageSep{021.png}% +n'intéresse pas l'objet que nous avons en vue, et qui doit s'appliquer +à tous les fluides indistinctement. + +Cela posé, multiplions la première des \Eqref[équations]{(6)} par~$\rho$, \Eqref[l'équation]{(7)} +par~$u$, et ajoutons en faisant passer tous les termes dans le +second membre, nous obtiendrons ainsi +\[ +\rho X - \frac{dp}{dx} + - \frac{d · \rho u^2}{dx} + - \frac{d · \rho u v}{dy} + - \frac{d · \rho u w}{dz} = 0; +\] +puis, ayant multiplié tous les termes de cette dernière équation +par $dx\,dy\,dz$, intégrons-les dans l'intérieur d'une surface fermée quelconque, +le résultat pourra s'indiquer de la façon suivante: +\begin{multline*} +\iiint \rho X\, dx\, dy\, dz + - \iiint \frac{dp}{dx}\, dx\, dy\, dz + - \iiint \frac{d · \rho u^2}{dx}\, dx\, dy\, dz \\ + - \iiint \frac{d · \rho uv}{dy}\, dx\, dy\, dz + - \iiint \frac{d · \rho uw}{dz}\, dx\, dy\, dz = 0. +\end{multline*} + +La première de ces intégrales est ce que nous avons déjà désigné +sous une notation plus simple par $\opS \varpi X$, c'est-à-dire la somme des projections +sur l'axe des~$x$ de toutes les forces extérieures appliquées au +système considéré. Dans chacune des autres intégrales triples, nous +pourrons effectuer une intégration et écrire, par conséquent, l'équation +précédente sous la forme suivante: +\begin{multline*} + \opS \varpi X - \iint (p)_{1}^{2}\, dy\, dz \\ + - \iint (\rho u^2)_{1}^{2}\, dy\, dz + - \iint (\rho u v)_{1}^{2}\, dz\, dx + - \iint (\rho u w)_{1}^{2}\, dx\, dy = 0; +\end{multline*} +en indiquant, suivant une notation connue, par un crochet affecté de +deux indices la différence des substitutions correspondant aux deux +limites de l'intégration. + +Or, si nous appelons encore $\alpha$,~$\beta$,~$\gamma$ les angles de la normale intérieure +avec les axes et $\omega$~un élément de surface, on pourra prendre +dans ces équations +\[ +dy\,dz = \omega \cos\alpha,\quad +dz\,dx = \omega \cos\beta, \quad +dz\,dx = \omega \cos\gamma, +\] +\DPPageSep{022.png}% +ou bien +\[ +dy\,dz = -\omega \cos\alpha,\quad +dz\,dx = -\omega \cos\beta, \quad +dx\,dy = -\omega \cos\gamma, +\] +suivant qu'on entrera dans la surface ou qu'on en sortira, en s'avançant +à partir de l'élément~$\omega$ dans les directions respectives des~$x$, des~$y$ +et des~$z$, ou, en d'autres termes, suivant que l'élément~$\omega$ appartiendra +à la portion de la surface à laquelle se rapporte l'indice~$1$, ou à celle +à laquelle se rapporte l'indice~$2$. + +Il suit de là que, si l'on désigne par~$\tsum$ un signe de sommation s'étendant +à tous les éléments de la surface, l'équation précédente pourra +s'écrire +\[ +\opS \varpi X + \tsum \omega p\cos\alpha ++ \tsum \omega\rho u^2\cos\alpha ++ \tsum \omega\rho uv \cos\beta ++ \tsum \omega\rho uw \cos\gamma =0, +\] +ou, en réunissant les termes semblables, +\[ +\opS \varpi X + \tsum \omega p\cos\alpha ++ \tsum \omega\rho u (u\cos\alpha + v\cos\beta + w\cos\gamma) = 0; +\] +mais, comme nous avons appelé~$V_n$ la projection de la vitesse sur la +normale intérieure, nous avons, par définition, +\[ +V_n = u \cos\alpha + v \cos\beta + w \cos\gamma, +\] +et, par conséquent, en reportant dans l'équation précédente, celle-ci +prendra la forme +\[ +\opS \varpi X + \tsum \omega p\cos\alpha + \tsum \omega \rho u V_n = 0, +\] +ce qui est précisément la première des \Eqref[équations]{(3)}. On obtiendrait +les deux autres par un calcul tout semblable. + +De même, pour obtenir la première des \Eqref[équations]{(4)}, multiplions +la deuxième des \Eqref[équations]{(6)} par~$z$, la troisième par~$y$, et retranchons +l'une de l'autre après avoir ajouté de part et d'autre le terme~$vw$, le +résultat pourra se mettre sous la forme +\[ +\frac{1}{\rho} \left(z\frac{dp}{dy} - y\frac{dp}{dz}\right) += Yz - Zy \\ +- u\frac{d(vz - wy)}{dx} +- v\frac{d(vz - wy)}{dy} +- w\frac{d(vz - wy)}{dz}. +\] +Puis, multipliant cette dernière équation par~$\rho$, et l'ajoutant à \Eqref[l'équation]{(7)} +\DPPageSep{023.png}% +multipliée par le facteur $(vz - wy)$, on formera la suivante: +\begin{multline*} + \rho(Yz - Zy) - \left(z\frac{dp}{dy} - y\frac{dp}{dz}\right) \\ + - \frac{d · \rho u(vz - wy)}{dx} + - \frac{d · \rho v(vz - wy)}{dy} + - \frac{d · \rho w(vz - wy)}{dz} = 0, +\end{multline*} +qui, par l'intégration dans les mêmes conditions que précédemment, +conduira à celle-ci: +\begin{multline*} + \opS \varpi (Yz - Zy) + + \tsum\omega p(z\cos\beta - y\cos\gamma) \\ + + \tsum\omega \rho(vz - wy) (u\cos\alpha + v\cos\beta + w\cos\gamma) = 0, +\end{multline*} +ou, sous une forme plus abrégée, +\[ +\opS \varpi (Yz - Zy) + + \tsum \omega p(z\cos\beta - y\cos\gamma) + + \tsum \omega \rho(vz - wy) V_n = 0, +\] +ce qui est la première des \Eqref[équations]{(4)}, et les deux autres s'obtiendraient +évidemment d'une façon analogue. + +Nous retrouvons ainsi directement par le calcul les équations \Eqno{(3)}~et~\Eqno{(4)} +qui constituent le \ThmRef{III}\@. Si maintenant nous y introduisons +la supposition $V_n = 0$, ce qui revient à considérer une portion de +la masse fluide limitée par des surfaces de nulle résistance, ces +équations se réduiront par la disparition des derniers termes aux +suivantes: +\begin{gather*} +\begin{aligned} + \opS \varpi X + \tsum \omega p \cos\alpha &= 0, \\ + \opS \varpi Y + \tsum \omega p \cos\beta &= 0, \\ + \opS \varpi Z + \tsum \omega p \cos\gamma &= 0, +\end{aligned} +\displaybreak[1] \\ +\begin{aligned} + \opS \varpi (Yz - Zy) + \tsum\omega p (z\cos\beta - y\cos\gamma) &= 0, \\ + \opS \varpi (Z x-X z) + \tsum\omega p (x\cos\gamma - z\cos\alpha) &= 0, \\ + \opS \varpi (X y-Y x) + \tsum\omega p (y\cos\alpha - x\cos\beta) &= 0, +\end{aligned} +\end{gather*} +lesquelles coïncident exactement avec le \Eqref[système]{(2)}, ainsi que nous +avons eu déjà occasion de le remarquer (\Pageref{EquationsDeux}). + +On retrouve donc en même temps, par le calcul, la propriété caractéristique +des surfaces de nulle résistance exprimée par le \ThmRef{II}, +et c'est ainsi qu'au début de nos recherches nous avions établi cette +\DPPageSep{023.png}% +propriété dans une Note insérée aux \textit{Comptes rendus de l'Académie des +Sciences} (t.~XL, séance du 29~mai 1865). + +Voyons maintenant comment on déterminera les surfaces de nulle +résistance. + + +\Section{II.}{ --- Recherche Analytique des Surfaces de Nulle Résistance.} +{Équation aux Différences Partielles. --- Solutions +Complètes. --- Équation Générale en Termes Finis.} + +\marge[EquationDifferencesPartielles]{Équation\\aux différences\\partielles.} +La définition que nous avons donnée des surfaces de nulle résistance +est susceptible d'une traduction analytique fort simple. En effet, en +désignant, suivant l'usage, par $p$~et~$q$ les dérivées partielles $\dfrac{dz}{dx}$ et $\dfrac{dz}{dy}$ +il faudra exprimer que, pour une pareille surface, la normale dont les +cosinus sont proportionnels à $\mathrm{p}$,~$\mathrm{q}$ et~$-1$ est perpendiculaire à la +droite dont les cosinus sont proportionnels à $u$,~$v$,~$w$, ce qui donne +immédiatement l'équation +\[ +\Tag{(8)} + u\mathrm{p} + v\mathrm{q} = w, +\] +équation aux différences partielles du premier ordre qui s'intégrera +par les procédés habituels. + +Pour obtenir l'équation en $x$,~$y$,~$z$, il faudra donc préalablement +connaître les expressions de $u$,~$v$,~$w$ à l'aide de ces mêmes variables, +et, comme l'intégration des équations du mouvement est en général +impossible, il semble tout d'abord qu'il n'y ait pas lieu de rechercher +une équation générale qui convienne à ces surfaces. + +On aurait tort de s'arrêter là néanmoins, car il est possible que les +équations de ces surfaces puissent s'exprimer à l'aide des éléments $u$,~$v$,~$w$, +$p$,~$\rho$, ou tout autre défini à l'avance, sans qu'il soit nécessaire de +connaître leur détermination en $x$,~$y$ et~$z$; et il y aurait dès lors intérêt, +au point de vue géométrique, à connaître cette expression, bien qu'elle +ne se prêtât à aucune application numérique. C'est pourquoi, au lieu +de rechercher la solution générale de l'équation ci-dessus, laquelle +doit renfermer une fonction arbitraire, nous envisagerons d'abord les +\DPPageSep{025.png}% +solutions particulières, connues sous le nom de \emph{solutions complètes}, c'est-à-dire +celles qui renferment seulement une constante arbitraire, et qui, +par conséquent, peuvent être mises sous la forme +\[ +\Phi(x,y,z) = \const, +\] +où $\Phi$~est une fonction parfaitement déterminée, mais actuellement +inconnue, que nous allons nous proposer de rechercher. + +Pour cela, nous déduirons de cette dernière équation les valeurs +de~$p$ et de~$q$, et nous les reporterons dans \Eqref[l'équation]{(8)}, ce qui nous +donnera la suivante: +\[ +\Tag{(9)} +u\frac{d\Phi}{dx} + v\frac{d\Phi}{dy} + w\frac{d\Phi}{dz} = 0, +\] +ainsi que nous aurions pu d'ailleurs l'écrire immédiatement. + +\marge[InterpretationMecanique]{Interprétation\\mécanique\\de cette équation.} +Or cette seconde forme, outre sa symétrie, a un avantage considérable: +elle exprime immédiatement une propriété importante du mouvement, +à savoir que l'élément caractérisé par la fonction $\Phi(x,y,z)$ +conserve invariablement la même grandeur pour une même molécule. +En effet, le temps n'entrant pas explicitement dans la fonction~$\Phi$, sa +dérivée totale, prise en considérant $x$,~$y$,~$z$ comme des fonctions de~$t$, +sera +\[ +\left(\frac{d\Phi}{dt}\right) + = \frac{d\Phi}{dx}\, \frac{dx}{dt} + + \frac{d\Phi}{dy}\, \frac{dy}{dt} + + \frac{d\Phi}{dz}\, \frac{dz}{dt}\quad\footnotemark, +\] +\Pagelabel{TermeParentheses}% +\footnotetext{Nous écrivons ce terme entre parenthèses pour marquer une dérivée totale prise par + rapport au temps, lequel n'entre explicitement dans aucune des expressions considérées.}% +ce qui n'est autre chose que le premier membre de \Eqref[l'équation]{(9)}, en +raison des définitions admises +\[ +\Tag{(10)} +u = \frac{dx}{dt},\quad v = \frac{dy}{dt},\quad w = \frac{dz}{dt}, +\] +et, par conséquent, la fonction~$\Phi$ considérée pour une même molécule +ne varie pas avec le temps. + +La question est donc réduite à rechercher quels sont les éléments +\DPPageSep{026.png}% +caractéristiques d'une molécule qui restent invariables dans son mouvement. + +\marge[PremiereSolution]{Première solution complète.} +Il en est un tout d'abord qui se présente tout naturellement à l'esprit: +c'est sa masse; et il résulte immédiatement de ce qui précède +qu'en égalant son expression à une constante nous obtiendrons une +première famille de surfaces de nulle résistance. + +\marge[CasLiquides]{Cas des liquides.} +En effet, si le fluide est incompressible, la molécule qui occupe +actuellement le volume~$\vol$ conservera indéfiniment ce même volume; +il s'ensuit qu'en un point quelconque de sa trajectoire sa masse aura +pour expression~$\vol\rho$, laquelle expression devra, en vertu de la remarque +faite plus haut, vérifier \Eqref[l'équation différentielle]{(9)}, et l'on doit avoir +par conséquent, en supprimant le facteur constant~$\vol$, l'équation +\[ +\Tag{(11)} +u\frac{d\rho}{dx} + v\frac{d\rho}{dy} + w\frac{d\rho}{dz} = 0, +\] +qui est bien effectivement une des équations du problème dans le cas +des liquides hétérogènes. + +Il suit de là que l'équation +\[ +\Tag{(12)} +\rho = \const +\] +est alors une des solutions cherchées, et que, par conséquent, les \emph{surfaces +d'égale densité} constituent dans ce cas une première famille de +surfaces de nulle résistance. + +\marge[CasFluides]{Cas des fluides compressibles.} +Si, au contraire, le fluide est compressible, la molécule qui occupe +actuellement le volume infiniment petit~$\vol$ occupera, au bout d'un +certain temps, le volume $\vol' = \vol(1 + \Delta)$, la quantité~$\Delta$, qui peut être +positive ou négative, mesurant la dilatation relative au déplacement +considéré. Or, comme il y a intérêt à pouvoir comparer les dilatations +correspondant à divers déplacements de la même molécule, ou même +des différentes molécules entre elles, il convient de compter ces déplacements +et les dilatations auxquelles ils donnent lieu, à partir d'une +position définie pour chaque molécule, par exemple à partir de son +passage sur une même surface, arbitrairement choisie, qui rencontre +\DPPageSep{027.png}% +toutes les trajectoires fluides, et que nous pourrons appeler, à cause +de cela, \emph{surface origine des dilatations}. + +\marge[DefinitionDilatation]{Définition de la dilatation.} +Nous définirons donc la quantité $\Delta$ par cette condition que, $\vol_0$~étant +le volume de la molécule lors de son passage sur cette surface, son +volume en un point quelconque de sa trajectoire soit exprimé par la +quantité +\[ +\Tag{(13)} +\vol = \vol_0 (1 + \Delta), +\] +qu'il s'agisse de positions antérieures ou postérieures à son passage sur +cette surface. La quantité~$\Delta$, que nous appellerons \emph{dilatation}, aura alors +une valeur parfaitement déterminée en chaque point, et nous montrerons +tout à l'heure comment on obtiendra son expression en $x$,~$y$ et~$z$; +mais on comprend dès maintenant que la connaissance de cette fonction +permettra d'apprécier les dilatations correspondant à un déplacement +quelconque; car, si nous considérons successivement deux +positions de la même molécule, où les volumes soient respectivement +$\vol$~et~$\vol'$, et les dilatations $\Delta$~et~$\Delta'$, des deux équations +\[ +\vol = \vol_0 (1 + \Delta) \quad\text{et}\quad +\vol' = \vol_0 (1 + \Delta'), +\] +on tirera sans difficulté +\[ +\vol' - \vol = \vol_0 (\Delta' - \Delta), +\] +et par conséquent\Pagelabel{page:23} +\[ +\frac{\vol' - \vol}{\vol} + = \frac{\Delta' - \Delta}{1 + \Delta}, +\] +rapport qui exprime la dilatation correspondant au déplacement +considéré. + +Il convient en même temps de préciser le sens que nous devons attacher +au mot \emph{molécule}, que nous avons employé jusqu'ici pour désigner +une portion quelconque infiniment petite de la masse fluide; car, du +moment que nous nous proposons de trouver une expression de la +masse moléculaire en chaque point, il importe de définir comment +nous comprenons la division de la masse fluide en portions infiniment +petites, auxquelles nous attribuons le nom de \emph{molécules}. C'est ce que +nous ferons, en entendant désormais par ce mot «\;\emph{toute portion de la +\DPPageSep{028.png}% +masse fluide qui occupait un même volume infiniment petit~$\vol_0$, lors de son +passage sur la surface prise pour origine des dilatations}.\;» Il est évident, +d'ailleurs, que cette définition correspondrait, pour le cas des liquides, +à la division de la masse en volumes infiniment petits, tous égaux à~$\vol_0$. + +\marge[ExpressionMasseMoleculaire]{Expression\\de la\\masse moléculaire.} +À l'aide de ces deux conventions, le volume de la molécule étant +exprimé en un point quelconque par la quantité $\vol_0(1 + \Delta)$, sa masse\Pagelabel{MasseMoleculaire} +le sera de même par la quantité $\rho \vol_0(1 + \Delta)$, $\rho$~et~$\Delta$ étant les valeurs +de la densité et de la dilatation relatives à ce point. Cette quantité +devant demeurer constante dans le mouvement de la molécule, il s'ensuit +qu'on devra avoir, comme nous l'avons déjà expliqué, +\[ +u\frac{d · \rho \vol_0(1 + \Delta)}{dx} + +v\frac{d · \rho \vol_0(1 + \Delta)}{dy} + +w\frac{d · \rho \vol_0(1 + \Delta)}{dz} = 0, +\] +ou, en supprimant le facteur commun~$\vol_0$, +\[ +\Tag{(14)} +u\frac{d · \rho(1 + \Delta)}{dx} + +v\frac{d · \rho(1 + \Delta)}{dy} + +w\frac{d · \rho(1 + \Delta)}{dz} = 0. +\] + +Cette équation donne lieu aux observations suivantes: + +En premier lieu, la dilatation~$\Delta$, dont la connaissance permet seule +d'apprécier les variations de volume éprouvées par les différentes parties +de la masse fluide, doit être considérée comme une nouvelle fonction +inconnue de $x$,~$y$ et~$z$, analogue aux fonctions $u$,~$v$,~$w$, $p$~et~$\rho$, qui +figurent dans les équations \Eqno{(6)}~et~\Eqno{(7)}, et l'équation précédente, analogue +à \Eqref[l'équation]{(11)} dans le cas des liquides, est précisément celle +qui permettra d'arriver à sa détermination\footnotemark; +\setlength{\TmpLen}{\parindent}%[** TN: Save manually for use in \footnotetext] +\footnotetext{\setlength{\parindent}{\TmpLen}Si l'on développe \Eqref[l'équation]{(14)} de la façon suivante: + \[ + \frac{1}{1 + \Delta} + \left[ u\frac{d(1 + \Delta)}{dx} + + v\frac{d(1 + \Delta)}{dy} + + w\frac{d(1 + \Delta)}{dz} \right] + = -\frac{1}{\rho} + \left(u\frac{d\rho}{dx} + + v\frac{d\rho}{dy} + + w\frac{d\rho}{dz} \right), + \] + et qu'on la rapproche de \Eqref[l'équation]{(7)} préparée de la même + manière, c'est-à-dire mise sous la forme + \[ + \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dy} + \frac{dw}{dz} + = -\frac{1}{\rho} + \left(u\frac{d\rho}{dx} + + v\frac{d\rho}{dy} + + w\frac{d\rho}{dz} \right), + \] + % [** TN: Next line indented in original] + obtiendra immédiatement par comparaison la suivante: + \[ + \Tag[(14bis)]{(14 \textit{bis})} + u\frac{d · l(1 + \Delta)}{dx} + + v\frac{d · l(1 + \Delta)}{dy} + + w\frac{d · l(1 + \Delta)}{dz} + = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dy} + \frac{dw}{dz}, + \] + qui ne diffère de celle donnée par Cauchy (réduite au cas du mouvement permanent) que par + le changement de~$\Delta$ en~$l(1 + \Delta)$, et se confond par conséquent avec elle, si l'on suppose~$\Delta$ très-petit + (voir \textit{Exercices de Mathématiques}, t.~III, p.~130). + + Cette hypothèse est effectivement contenue dans les raisonnements que présente l'illustre + géomètre pour établir cette équation, bien qu'il ne l'énonce pas explicitement. + + Pour le montrer, adoptons, pour un instant, ses notations, c'est-à-dire désignons, non plus + par~$\Delta$, mais par~$\upsilon$ la \emph{dilatation} que nous nous proposons de déterminer, et par~$\Delta$ une simple + caractéristique de différentiation. La fonction~$\upsilon$, pour avoir un sens, devra nécessairement + exprimer une grandeur comptée pour chaque molécule à partir d'une position fixe et déterminée + $(x_0, y_0, z_0)$; il en résulte que la dilatation correspondant à un déplacement fini, compté + à partir d'un point quelconque $(x, y, z)$ jusqu'à un point $(x', y', z')$, sera exprimée par le + rapport $\dfrac{\upsilon' - \upsilon}{1 + \upsilon}$, ainsi que nous l'avons établi, \Pageref[page]{page:23}; d'où il suit que la \emph{dilatation instantanée}, + c'est-à-dire celle correspondant à un déplacement infiniment petit quelconque aura pour + expression + \[ + \Tag[(14ter)]{(14 \textit{ter})} + \theta\, \Delta t = \frac{\Delta \upsilon}{1 + \upsilon}, + \] + et l'on ne pourrait prendre $\theta\, \Delta t = \Delta\upsilon$, comme le fait Cauchy, que pour le premier instant, à + partir de la position prise pour origine, ou à la condition de supposer $\upsilon$ constamment très-petit. + + Si l'on n'admet pas cette hypothèse, les raisonnements formulés par Cauchy conduisent + alors avec la valeur~\Eqno[(14ter)]{(14~\textit{ter})} à l'équation ci-dessus~\Eqno[(14bis)]{(14~\textit{bis})}, qui concorde parfaitement, comme + nous venons de le voir, avec \Eqref[l'équation]{(14)}, à laquelle nous avons été conduit par une autre + méthode.} +car, si l'on suppose +connue l'expression de $u$,~$v$,~$w$ et~$\rho$, à l'aide des équations \Eqno{(6)}~et~\Eqno{(7)}, +$\Delta$~sera déterminé par la condition de vérifier \Eqref[l'équation]{(14)}, et, en +\DPPageSep{029.png}% +outre, de se réduire à zéro tout le long de la surface prise pour origine +des dilatations. On peut dire de la sorte que le problème du mouvement +d'un fluide comporte dans tous les cas la détermination de cinq +inconnues, à l'aide des cinq équations \Eqno{(6)},~\Eqno{(7)} et~\Eqno{(14)}, puisque, dans +le cas des liquides, la dilatation disparaissant, les équations \Eqno{(11)}~et~\Eqno{(14)} +se confondent, et que, dans le cas des fluides compressibles, la pression +et la densité étant fonction l'une de l'autre ne forment plus à proprement +parler qu'une seule inconnue. + +\marge[SurfacesEgaleMasse]{Surfaces\\d'égale masse.} +En second lieu, \Eqref[l'équation]{(14)} exprime que l'équation +\[ +\Tag{(15)} +\rho(1 + \Delta) = \const +\] +satisfait à \Eqref[l'équation]{(9)}, c'est-à-dire à l'équation différentielle des surfaces +\DPPageSep{030.png}% +de nulle résistance. Or, si l'on suppose dans cette équation $\rho$~et~$\Delta$ +exprimés en $x$,~$y$,~$z$, on aura une famille de surfaces telles, que la +masse moléculaire, dont nous avons donné tout à l'heure l'expression +(\Pageref{MasseMoleculaire}), aura la même grandeur en tous les points d'une même +surface, et qu'on pourra conséquemment appeler \emph{surfaces d'égale masse +moléculaire}, ou simplement \emph{surfaces d'égale masse}. D'ailleurs, \Eqref[l'équation]{(15)} +se réduisant à \Eqref[l'équation]{(12)} par la supposition $\Delta = 0$, la +solution relative au cas des liquides se trouve comprise dans celle-ci, +en sorte que l'on peut dire, dans tous les cas, que les \emph{surfaces d'égale +masse}, représentées par \Eqref[l'équation]{(15)}, constituent une première famille +de surfaces de nulle résistance. + +\marge{Définitions:} +Avant d'en montrer une seconde, nous allons compléter les définitions +qui précèdent par deux autres qui s'y rattachent immédiatement. + +\marge[DefinitionVolumePrimitif]{(\textit{a}) du volume\\primitif,} +D'abord il résulte de \Eqref[l'équation]{(13)} que la molécule qui occupe +actuellement le volume~$\vol$ occupait, lors de son passage sur la surface +origine des dilatations, le volume +\[ +\vol_0 = \frac{\vol}{1 + \Delta}, +\] +qu'on peut appeler en raison de cela son volume primitif. Étendant +cette même locution à une portion finie quelconque de la masse fluide, +nous appellerons \emph{volume primitif}\Pagelabel{VolumePrimitif} de cette masse la somme des volumes +primitifs de tous les éléments qui la composent, ou, en d'autres termes, +l'intégrale $\ds\iiint\frac{dx\,dy\,dz}{1 + \Delta}$ étendue à tout le volume actuel de la masse +considérée; on voit que ce volume est précisément celui qu'occuperait +cette masse, si chacun des éléments qui la composent avait conservé +le volume qu'il occupait lors de son passage sur la surface origine des +dilatations. + +\marge[DefinitionDilatationTotale]{(\textit{b}) de la dilatation\\totale.} +En second lieu, l'accroissement de volume subi par la molécule, +depuis son passage sur la surface origine des dilatations jusqu'à sa +position actuelle, est mesuré par la différence +\[ +\vol - \vol_0 + = \vol - \frac{\vol}{1 + \Delta} + = \vol \left(1 - \frac{1}{1 + \Delta}\right) + = \vol \frac{\Delta}{1 + \Delta}. +\] +\DPPageSep{031.png}% + +La somme des accroissements analogues correspondant à tous les +éléments d'une portion finie de la masse sera ce que nous appellerons +la \emph{dilatation totale}\Pagelabel{DilatationTotale} de cette masse. On voit qu'elle aura pour expression +l'intégrale $\ds\iiint \frac{\Delta}{1 + \Delta}\, dx\, dy\, dz$ étendue à tout le volume de la masse +considérée, et qu'elle exprime la différence entre son volume actuel et +ce que nous avons appelé son \emph{volume primitif}. + +Ces définitions posées, poursuivons maintenant la recherche des surfaces +de nulle résistance. + +\marge[DeuxiemeSolution]{Deuxième solution complète.} +Il existe un autre élément caractéristique de la molécule, qui reste +invariable pendant le mouvement, et qui, par conséquent, devra fournir +une nouvelle solution de \Eqref[l'équation]{(9)}, c'est l'\emph{énergie}; car cette +expression, empruntée à la théorie mécanique de la chaleur, est définie +précisément par cet énoncé du théorème des forces vives que, \emph{dans le +mouvement d'un point matériel, son énergie reste constante}. Nous n'aurons +donc qu'à former l'équation des forces vives pour la molécule +fluide, et, en égalant à un paramètre arbitraire l'ensemble des termes +variables (ou énergie moléculaire), nous aurons une nouvelle famille +de surfaces de nulle résistance. + +Or, si l'on conserve les notations déjà employées, celle équation est +la suivante: +\[ +\frac{1}{2}\, m (V^2 - V_0^2) + = \int_0^t m (\scrX\, dx + \scrY\, dy + \scrZ\, dz), +\] +en affectant de l'indice o les termes relatifs à la position initiale. + +La force totale qui sollicite la molécule, et dont les composantes +figurent dans cette équation, se compose, comme l'on sait, de deux +éléments: les forces extérieures qui s'exercent sur toute sa masse, et +dont nous avons déjà représenté les composantes par $mX$,~$mY$,~$mZ$, +et les forces intérieures ou pressions qui s'exercent sur la surface de +la molécule seulement. Le procédé par lequel on évalue ces dernières +forces est fort connu; nous ne le rappellerons donc pas ici, et nous +poserons immédiatement +\[ +m\scrX = m\left(X - \frac{1}{\rho}\, \frac{dp}{dx} \right),\quad +m\scrY = m\left(Y - \frac{1}{\rho}\, \frac{dp}{dy} \right),\quad +m\scrZ = m\left(Z - \frac{1}{\rho}\, \frac{dp}{dz} \right); +\] +\DPPageSep{032.png}% +car c'est précisément en égalant ces composantes à zéro que l'on obtient +les équations d'équilibre des fluides. + +Si l'on substitue ces valeurs dans l'équation qui précède, on pourra +faire sortir du signe~$\ds\int$ le facteur~$m$, qui est, par hypothèse, constant +par rapport au temps, ce qui donnera l'équation +\[ +\frac{1}{2}\, m\left(V^2 - V_0^2 \right) + = m\int_0^t \left[ + \left( X - \frac{1}{\rho}\, \frac{dp}{dx} \right) dx + + \left( Y - \frac{1}{\rho}\, \frac{dp}{dy} \right) dy + + \left( Z - \frac{1}{\rho}\, \frac{dp}{dz} \right) dz + \right], +\] +ou, sous une forme plus concise, +\[ +\Tag{(16)} +\frac{1}{2}\, m(V^2 - V_0^2) = m(q - q_0), +\] +en posant, pour simplifier l'écriture, +\[ +q = \int \left[ + \left(X - \frac{1}{\rho}\, \frac{dp}{dx} \right) dx + + \left(Y - \frac{1}{\rho}\, \frac{dp}{dy} \right) dy + + \left(Z - \frac{1}{\rho}\, \frac{dp}{dz} \right) dz +\right], +\] +ou, ce qui revient au même, +\[ +q = \int (X\, dx + Y\, dy + Z\, dz) + - \int \frac{1}{\rho} + \left(\frac{dp}{dx}\, dx + + \frac{dp}{dy}\, dy + + \frac{dp}{dz}\, dz \right). +\] + +Or, si l'on considère les différentielles totales correspondant à un +accroissement du temps~$dt$, et que l'on suppose, suivant l'usage, que +les composantes des forces extérieures soient les dérivées partielles +d'une même fonction $F(x, y, z)$, on aura +\[ +\Tag{(17)} +\left\{ + \begin{aligned} + \frac{dp}{dx}\, dx + \frac{dp}{dy}\, dy + \frac{dp}{dz}\, dz &= dp, \\ + X\, dx + Y\, dy + Z\, dz &= dF, + \end{aligned} +\right. +\] +de sorte que la fonction~$q$, à laquelle nous donnerons tout à l'heure un +nom, pourra s'écrire simplement +\[ +\Tag{(18)} +q = F(x, y, z) - \int \frac{dp}{\rho}, +\] +et il n'y aura qu'à substituer cette expression dans \Eqref[l'équation]{(16)} +pour avoir l'équation des forces vives. +\DPPageSep{033.png}% + +Il est à remarquer que l'intégrale qui figure dans cette dernière +expression peut toujours s'exprimer en termes finis; car, d'une part, si +le fluide est incompressible, le facteur~$\rho$ étant alors constant par rapport +au temps pourra sortir du signe~$\ds\int$, en sorte que l'intégrale se réduira +simplement à~$\dfrac{p}{\rho}$; et si, d'autre part, le fluide est compressible, +la densité étant alors liée à la pression par une équation de la forme +$\rho = f(p)$, l'intégrale $\ds\int \frac{dp}{\rho}$ a alors un sens parfaitement déterminé\Pagelabel{SensIntegrale}, +qu'on peut supposer exprimé par une fonction finie~$\scrF(p)$. On voit +d'ailleurs que, pour l'intelligence de la formule~(18), on peut faire +abstraction de la considération du temps qui a servi à l'établir, et supposer +dès lors que les signes $\ds\int$~et~$d$ qui y figurent se rapportent simplement +à la variable~$p$, considérée pour un instant comme variable indépendante; +car on obtient de cette façon pour la valeur de~$q$ les +mêmes expressions que nous venons d'établir. L'expression~(18) de~$q$ +prend alors une signification intrinsèque parfaitement précise, qui est +celle que nous lui attribuerons désormais. + +\marge{Définitions:} +Cela posé, arrêtons-nous quelques instants sur cette \Eqref[équation]{(16)}, +pour établir encore quelques définitions qui nous seront utiles dans le +paragraphe suivant: + +\marge[DefinitionForceVive]{(\textit{a}) de la force vive,} +\primo Le premier membre de cette équation représentant le demi-accroissement +de la force vive de la molécule de masse~$m$ dans le déplacement +considéré, la force vive moléculaire a pour expression en +un point quelconque~$mV^2$, et la somme d'expressions analogues correspondant +à tous les éléments d'une portion finie du fluide constituerait +la force vive totale\Pagelabel{ForceViveI} de cette masse; mais, afin de n'introduire dans +notre analyse que des quantités finies, nous considérerons, au lieu et +place de la force vive moléculaire, son rapport à la masse moléculaire~$m$, +c'est-à-dire la quantité +\[ +\Tag{(19)} +V^2 = u^2 + v^2 + w^2, +\] +que nous appellerons \emph{force vive au point} $(x, y, z)$, ou simplement la +\emph{force vive}, de même que, dans l'évaluation des pressions, on appelle +\DPPageSep{034.png}% +\emph{pression au point} $(x, y, z)$ le rapport de la pression effective qui s'exerce +sur un élément situé en ce point à l'aire de cet élément. + +D'ailleurs, la force vive moléculaire relative à un élément de masse +quelconque $\varpi = \rho\, dx\, dy\, dz$ ayant ainsi pour expression +\[ +\varpi V^2 = \rho V^2\, dx\, dy\, dz, +\] +la \emph{force vive totale}\Pagelabel{ForceViveII} correspondant à une portion déterminée du fluide +sera exprimée par la somme +\[ +\opS \varpi V^2 = \iiint \rho V^2\, dx\, dy\, dz, +\] +étendue à tout le volume de cette portion du fluide. + +\marge[DefinitionTravail]{(\textit{b}) du travail,} +\secundo Le second membre de cette même \Eqref[équation]{(16)} exprime le travail +accompli par la molécule~$m$ dans son déplacement. La quantité +que nous avons appelée~$q$ étant une fonction parfaitement déterminée +en $x$,~$y$ et~$z$, il suit de là que, si nous considérons l'ensemble des points +$(x_0, y_0, z_0)$ qui satisfont à l'équation $q_{0} = 0$, le second membre de +\Eqref[l'équation]{(16)}, qui se réduit alors à~$mq$, représentera le travail produit +par la molécule de masse~$m$ en arrivant à sa position actuelle, à +partir de son passage sur la surface $q_{0} = 0$, que nous appellerons à +cause de cela \emph{surface origine du travail}. Si donc nous convenons de +ne considérer que des déplacements comptés à partir de cette surface, +le travail moléculaire aura pour expression~$mq$; et, si nous nous laissons +guider par les mêmes considérations que précédemment à propos +de la force vive, la quantité~$q$ pourra s'appeler le \emph{travail au point} +$(x, y, z)$, ou simplement le \emph{travail}. Une somme de travaux moléculaires +pris dans les mêmes conditions, ou, en d'autres termes, l'intégrale +\[ +\opS \varpi q = \iiint q\rho\, dx\, dy\, dz, +\] +étendue à tout l'intérieur d'une surface quelconque, sera par ailleurs +ce que nous appellerons le \emph{travail total}\Pagelabel{TravailTotal} correspondant à cette surface. + +\marge[DefinitionEnergie]{(\textit{c}) de l'énergie.} +\tertio Enfin, si l'on sépare dans \Eqref[l'équation]{(16)} les termes variables des +termes constants, en l'écrivant de la façon suivante: +\[ +\Tag{(20)} +m\left(\tfrac{1}{2} V^2 - q\right) = m\left(\tfrac{1}{2} V_0^2 - q_0\right), +\] +\DPPageSep{035.png}% +le premier membre sera ce que dans la théorie de la chaleur on appellerait +l'\emph{énergie moléculaire}, et la somme d'expressions analogues, correspondant +à tous les éléments d'un système, serait l'énergie du système. +Adoptant donc cette locution et agissant comme nous l'avons +fait pour la force vive et le travail, nous considérerons plus spécialement +le rapport de l'énergie moléculaire à la masse moléculaire, c'est-à-dire +la fonction +\[ +\Tag{(21)} +\varphi = \tfrac{1}{2} V^2 - q, +\] +que nous appellerons \emph{énergie au point} $(x, y, z)$, ou simplement \emph{énergie}; +et l'\emph{énergie totale}\Pagelabel{EnergieTotale}, correspondant à une partie définie du fluide, sera +de même l'intégrale +\[ +\opS \varpi\varphi = \iiint \varphi\rho\, dx\, dy\, dz, +\] +étendue à tout le volume de la masse considérée. + +Si l'on remplace d'ailleurs, dans \Eqref[l'équation de définition]{(21)}, $q$~et~$V^2$ +par leurs valeurs \Eqno{(18)}~et~\Eqno{(19)}, l'énergie~$\varphi$ sera exprimée au moyen des +éléments habituellement considérés de la façon suivante: +\[ +\Tag{(22)} +\varphi = \tfrac{1}{2} ( u^2 + v^2 + w^2) - F(x, y, z) + \int \frac{dp}{\rho}. +\] + +\marge[SurfacesEgaleEnergie]{Surfaces\\d'égale énergie.} +Ces nouvelles définitions étant admises, revenons à l'objet que nous +avons plus particulièrement en vue dans ce paragraphe, qui est la recherche +des surfaces de nulle résistance. + +Si l'on divise par~$m$ les deux membres de \Eqref[l'équation]{(20)}, cette équation +pourra s'écrire +\[ +\tfrac{1}{2} V^2 - q = \tfrac{1}{2} V_0^2 - q_0, +\] +ou plus simplement, à l'aide de la notation que nous venons d'adopter, +\[ +\Tag{(23)} +\varphi = \const, +\] +la fonction~$\varphi$ étant définie par les équations \Eqno{(21)}~ou~\Eqno{(22)}. + +Si d'ailleurs on différentie cette dernière équation par rapport au +\DPPageSep{036.png}% +temps, on aura, en vertu des \Eqref[équations]{(10)} +\[ +\Tag{(24)} +\left(\frac{d\varphi}{dt}\right) + = u \frac{d\varphi}{dx} + + v \frac{d\varphi}{dy} + + w \frac{d\varphi}{dz} = 0\footnotemark, +\] +\footnotetext{Même remarque qu'à la \Pageref[page]{TermeParentheses}.}% +c'est-à-dire que \Eqref[l'équation]{(23)} vérifiera \Eqref[l'équation différentielle]{(9)}; +et par conséquent, en considérant~$\varphi$ comme une fonction déterminée +de $x$,~$y$ et~$z$, la famille de surfaces représentée par cette équation, que +l'on peut appeler \emph{surfaces d'égale énergie}, constituera une deuxième +famille de surfaces de nulle résistance. + +\marge[IntegraleForcesVives]{Intégrale\\des forces vives.} +Avant de déduire des résultats que nous avons déjà acquis les conséquences +qu'ils renferment, revenons un instant sur ce qui précède +pour établir d'une autre façon l'équation si importante des \emph{forces vives}. +Nous l'avons formée immédiatement tout à l'heure, en appliquant le +théorème du travail au mouvement de la molécule fluide; mais on sait +que cette équation est une intégrale des équations du mouvement, +toutes les fois que le temps n'entre pas explicitement dans l'expression +des liaisons. Cette condition étant évidemment remplie dans le +cas actuel, par suite de l'hypothèse de la permanence, il y a intérêt +à montrer comment on peut obtenir analytiquement cette équation par +l'intégration directe des équations du mouvement: c'est ce que nous +allons faire en peu de mots. + +Pour cela il faut, comme l'on sait, multiplier les équations du mouvement +respectivement par $dx$,~$dy$,~$dz$ et faire la somme, et l'on doit +arriver ainsi à une différentielle exacte; mais, dans le cas actuel, cette +forme n'apparaît pas immédiatement, parce que, pour établir les \Eqref[équations]{(6)}, +on a remplacé partout dans l'expression des forces d'inertie +$\dfrac{dx}{dt}$ par~$u$, $\dfrac{dy}{dt}$ par~$v$, $\dfrac{dz}{dt}$ par~$w$, il faut donc, pour que cette forme apparaisse, +rétablir à la place de $u$,~$v$,~$w$ leurs valeurs~(10), ou, ce qui +revient au même, remplacer dans le calcul $dx$,~$dy$,~$dz$ par leurs valeurs +\[ +dx = u\, dt,\quad dy = v\, dt,\quad dz = w\, dt; +\] +d'où, en conséquence, la série d'opérations suivantes. +\DPPageSep{037.png}% + +Multiplions les \Eqref[équations]{(6)} respectivement par $u\, dt$, $v\, dt$, $w\, dt$, et +ajoutons en rapprochant les termes situés sur une même colonne verticale, +et, faisant ressortir les facteurs communs, nous obtiendrons +ainsi +\begin{align*}%[** TN: Re-breaking this display and next] +\frac{1}{\rho} \left( + \frac{dp}{dx} u\, dt + \frac{dp}{dy} v\, dt + \frac{dp}{dz} w\, dt + \right) + &= Xu\, dt + Yv\, dt + Zw\, dt \\ + &\quad -u\left(u\frac{du}{dx} + v\frac{dv}{dx} + w\frac{dw}{dx}\right) dt \\ + &\quad -v\left(u\frac{du}{dy} + v\frac{dv}{dy} + w\frac{dw}{dy}\right) dt \\ + &\quad -w\left(u\frac{du}{dz} + v\frac{dv}{dz} + w\frac{dw}{dz}\right) dt, +\end{align*} +ou, en remettant à présent $dx$,~$dy$,~$dz$ à la place de leurs valeurs $u\, dt$, +$v\, dt$, $w\, dt$, +\begin{align*} +\frac{1}{\rho} \left( + \frac{dp}{dx}\, dx + \frac{dp}{dy}\, dy + \frac{dp}{dz}\, dz + \right) + &= X\, dx + Y\, dy + Z\, dz \\ + &\quad -\left(u\frac{du}{dx} + v\frac{dv}{dx} + w\frac{dw}{dx}\right) dx \\ + &\quad -\left(u\frac{du}{dy} + v\frac{dv}{dy} + w\frac{dw}{dy}\right) dy \\ + &\quad -\left(u\frac{du}{dz} + v\frac{dv}{dz} + w\frac{dw}{dz}\right) dz, +\end{align*} + +Si nous représentons maintenant par la caractéristique~$d$ une différentielle +totale prise en considérant $x$,~$y$,~$z$ comme des fonctions de la +variable indépendante~$t$, et que nous ayons égard aux \Eqref[équations]{(17)}, +celle qui précède pourra s'écrire simplement +\[ +\frac{dp}{\rho} = dF - d\tfrac{1}{2} (u^2 + v^2 + w^2). +\] +Sous cette forme, le caractère de différentielle exacte est manifeste, +car $\rho$~étant, ainsi que nous l'avons déjà dit, ou constant par rapport au +temps, qui est ici la variable indépendante, ou fonction de~$p$, le premier +membre est, dans tous les cas, la différentielle de l'expression +\DPPageSep{038.png}% +$\ds\int\frac{dp}{\rho}$ entendue comme nous l'avons expliqué (\Pageref{SensIntegrale}), et par conséquent +l'équation précédente donnera par l'intégration, en faisant +passer tous les termes dans un même membre, +\[ +\int\frac{dp}{\rho} - F(x,y,z) + \tfrac{1}{2}(u^2 + v^2 + w^2) = \const, +\] +équation qui, eu égard à la valeur~(22) de~$\varphi$, se confond bien avec +\Eqref[l'équation]{(23)}, à laquelle nous avions été conduit directement. + +\marge[EquationGeneraleTermesFinis]{Équation générale\\en termes finis.} +Nous avons donc, en résumé, trouvé deux familles de surfaces de +nulle résistance, les surfaces d'\emph{égale masse} et les surfaces d'\emph{égale énergie}, +dont les équations constituent deux solutions complètes de l'équation +différentielle de cette classe de surfaces. Or, cette équation étant +du premier ordre, ce résultat suffit pour en obtenir l'intégrale générale. + +En effet, si l'on désigne par~$\Psi$ une fonction arbitraire, l'équation +\[ +\Psi\bigl[ \rho (1 + \Delta ), \varphi\bigr] = 0 +\] +donnera évidemment +\begin{multline*} +u\frac{d\Psi}{dx} + v\frac{d\Psi}{dy} + w\frac{d\Psi}{dz} \\ + = \frac{d\Psi}{d · \rho (1 + \Delta)} + \left[ u\frac{d · \rho (1 + \Delta)}{dx} + + v\frac{d · \rho (1 + \Delta)}{dy} + + w\frac{d · \rho (1 + \Delta)}{dz} \right] \\ + + \frac{d\Psi}{d\varphi} + \left( u\frac{d\varphi}{dx} + + v\frac{d\varphi}{dy} + + w\frac{d\varphi}{dz} \right) = 0; +\end{multline*} +car les deux facteurs entre parenthèses, qui figurent dans le second +membre, sont identiquement nuls, en vertu des équations \Eqno{(14)}~et~\Eqno{(24)}. + +L'équation ci-dessus vérifie donc l'équation aux différences partielles +\Eqno{(9)}~ou~\Eqno{(8)}, et comme elle renferme d'ailleurs une fonction arbitraire +permettant de réduire~$z$ à une fonction donnée de~$y$ pour $x=0$, +c'est bien l'intégrale générale de \Eqref[l'équation]{(8)}. + +Si on la résout par rapport à~$\varphi$, et qu'on remplace ensuite cette fonction +par sa valeur~\Eqno{(22)}, cette même équation pourra s'écrire sous la +\DPPageSep{039.png}% +forme plus explicite +\[ +\tfrac{1}{2}(u^2 + v^2 + w^2) - F(x, y, z) + \int \frac{dp}{\rho} + = \psi\bigl[\rho (1 + \Delta)\bigr], +\] +en désignant par~$\psi$ une fonction arbitraire. + +Telle est l'équation générale des surfaces \emph{de nulle résistance}, exprimée +à l'aide des éléments habituellement considérés du mouvement. + + +\Section{III.}{ --- Étude Particulière des Surfaces D'égale Masse +et D'égale Énergie.} +{Représentation Géométrique Du Mouvement. --- Propriétés +De Maximum et de Minimum.} + +\marge{Détermination géométrique:} +Les deux grandes familles de surfaces que nous avons rencontrées +dans le paragraphe précédent, et dont les équations sont les solutions +complètes de l'équation différentielle des surfaces de nulle résistance, +fournissent immédiatement une image très-nette du mouvement, ce +qui était le but que nous nous étions proposé en commençant cette +étude. + +\marge[DeterminationGeometriqueTrajectoire]{(\textit{a}) de la trajectoire,} +En effet, chaque molécule étant assujettie à rester séparément sur +l'une des surfaces appartenant à chacune des deux familles, puisque ce +sont toutes deux des surfaces de \emph{nulle résistance}, nous pouvons formuler +immédiatement la proposition suivante: + +\begin{thm}{V} +La trajectoire de chaque molécule est l'intersection des +deux surfaces d'égale masse et d'égale énergie, qui contiennent sa position +initiale. +\end{thm} + +\marge[DeterminationGeometriqueVitesse]{(\textit{b}) de la vitesse.} +On voit ainsi comment ces deux familles de surfaces partagent la +masse fluide en couches infiniment minces dont les intersections constituent +précisément ces \emph{filets fluides}, constants de forme et d'apparence, +qui ne sont autre chose que la succession des molécules soumises aux +mêmes influences. +%[** TN: Omit extra vertical space in original] + +La trajectoire de la molécule étant ainsi définie par l'intersection de +deux surfaces, son mouvement serait complètement déterminé, si l'on +\DPPageSep{040.png}% +avait un moyen simple de se représenter la vitesse en chaque point. +Cette seconde image nous sera fournie par le théorème suivant, que +nous établirons, comme les précédents, de deux façons différentes: + +\begin{thm}{VI} +La grandeur de la vitesse est moyenne proportionnelle +entre le rayon de courbure de la section normale de la surface d'égale +énergie qui contient sa direction, et la composante de la force totale qui +sollicite l'unité de masse, dirigée suivant la normale à cette surface. +\end{thm} + +\marge[DemonstrationSynthetiqueII]{Démonstration synthétique.} +Pour établir cette proposition, décomposons dans le plan osculateur +de la trajectoire a force totale~$m\scrF$ qui sollicite la molécule~$m$ en +deux composantes, l'une \emph{tangentielle}, et l'autre \emph{normale} ou \emph{centripète}; +on sait que cette dernière aura pour expression +\[ +m\scrF_{c} = \frac{mV^2}{R_0},\quad\text{ou pour l'unité de masse}\quad + \scrF_{c} = \frac{V^2}{R_0}, +\] +$R_0$~étant le rayon de courbure de la trajectoire situé dans le plan osculateur. +Or, si nous considérons en même temps que ce plan la section +normale de la surface d'\emph{égale énergie} qui contient la direction de la +vitesse, nous aurons, d'après le théorème de Meunier\footnotemark, +\footnotetext{\emph{Voir} \bsc{Sturm}, \textit{Cours d'analyse de l'École Polytechnique}, t.~II, \no 698, p.~202.}% +en appelant~$R_n$ +le rayon de courbure de cette section, et $\varepsilon$~l'angle de ces deux plans, +ou encore l'angle de ces rayons entre eux, +\[ +R_0 = R_{n} \cos\varepsilon, +\] +et par conséquent, en substituant dans l'équation précédente, +\[ +\scrF_{c}=\frac{V^2}{R_{n} \cos\varepsilon},\quad\text{d'où}\quad +V^{2}= R_{n} \scrF_{c} \cos\varepsilon. +\] +Or $\scrF_{c} \cos\varepsilon$ n'est autre chose que la composante de la force totale~$\scrF$ suivant +la normale à la surface, et que nous représentons par~$\scrF_n$. En effet, +pour obtenir la composante d'une force suivant une droite, on peut +projeter d'abord cette force sur un plan quelconque passant par la +droite, puis projeter ensuite cette projection sur la droite elle-même. +Or si l'on considère le plan normal à la trajectoire au point considéré, +\DPPageSep{041.png}% +lequel contient à la fois la normale principale de la trajectoire et la +normale à la surface d'égale énergie, $\scrF_c$~sera évidemment la projection +de la force totale~$\scrF$ sur ce plan, et de même $\scrF_c \cos\varepsilon$ sera dans ce plan la +projection de cette projection sur la normale à la surface au point considéré. + +L'équation précédente peut donc s'écrire +\[ +\Tag{(25)} +V^2 = R_n \scrF_n, +\] +ce qui justifie la proposition énoncée. + +\marge[DemonstrationAnalytiqueII]{Démonstration analytique.} +On peut aussi déduire ce résultat des équations du mouvement; +car de même que \Eqref[l'équation]{(24)}, qui est la dérivée totale de \Eqref[l'équation]{(23)} +par rapport au temps, exprime une propriété différentielle +du premier ordre, c'est-à-dire relative au plan tangent des surfaces +d'égale énergie, de même la dérivée seconde devra exprimer une +propriété différentielle du second ordre, c'est-à-dire relative à la courbure +des mêmes surfaces. + +On trouve, en effet, en différentiant \Eqref[l'équation]{(24)}, +\begin{multline*} +\qquad\qquad %[** TN: Squeeze to improve visual appearance] + \left( \frac{d^2 \varphi}{dt^2} \right) + = u\, \frac{d\left(\dfrac{d\varphi}{dx} \right)}{dt} + + v\, \frac{d\left(\dfrac{d\varphi}{dy} \right)}{dt} + + w\, \frac{d\left(\dfrac{d\varphi}{dz} \right)}{dt} \\ + + \frac{du}{dt}\, \frac{d\varphi}{dt} + + \frac{dv}{dt}\, \frac{d\varphi}{dt} + + \frac{dw}{dt}\, \frac{d\varphi}{dt} = 0.\qquad\qquad +\end{multline*} + +Or, comme on a, en vertu des équations \Eqno{(10)}~et~\Eqno{(1)}, +\begin{gather*} +\left\{ +\begin{aligned} + \frac{d\left(\dfrac{d\varphi}{dx}\right)}{dt} + &= u\, \frac{d^2 \varphi}{dx^2} + + v\, \frac{d^2 \varphi}{dx\, dy} + + w\, \frac{d^2 \varphi}{dx\, dz}, \\ + \frac{d\left(\dfrac{d\varphi}{dy}\right)}{dt} + &= u\, \frac{d^2 \varphi}{dx\, dy} + + v\, \frac{d^2 \varphi}{dy^2} + + w\, \frac{d^2 \varphi}{dx\, dz}, \\ + \frac{d\left(\dfrac{d\varphi}{dz}\right)}{dt} + &= u\, \frac{d^2 \varphi}{dx\, dz} + + v\, \frac{d^2 \varphi}{dy\, dz} + + w\, \frac{d^2 \varphi}{dz^2}, +\end{aligned}\right. \\[4pt] +\frac{du}{dt} = \scrX,\quad +\frac{dv}{dt} = \scrY,\quad +\frac{dw}{dt} = \scrZ, +\end{gather*} +\DPPageSep{042.png}% +si l'on ajoute ces équations respectivement multipliées par $u$,~$v$,~$w$, +$\dfrac{d\varphi}{dx}$, $\dfrac{d\varphi}{dy}$, $\dfrac{d\varphi}{dz}$, l'équation précédente pourra s'écrire +\begin{multline*} + u^2 \frac{d^2\varphi}{dx^2} + + v^2\frac{d^2\varphi}{dy^2} + + w^2\frac{d^2\varphi}{dz^2} + + 2vw \frac{d^2\varphi}{dy\, dz} + + 2wu \frac{d^2\varphi}{dz\, dx} + + 2uv \frac{d^2\varphi}{dx\, dy} \\ + + \scrX\frac{d\varphi}{dx} + + \scrY\frac{d\varphi}{dy} + + \scrZ\frac{d\varphi}{dz} = 0, +\end{multline*} +forme très-symétrique, analogue à celle de \Eqref[l'équation]{(24)}, mais d'un +degré plus élevé. + +Pour trouver la signification de cette équation, il n'y a qu'à remplacer +les composantes $u$,~$v$,~$w$ par leurs valeurs~(5), et à diviser tous les +termes par +$\sqrt{\left(\dfrac{d\varphi}{dx}\right)^2 + +\left(\dfrac{d\varphi}{dy}\right)^2 + +\left(\dfrac{d\varphi}{dz}\right)^2}$. On obtient ainsi, en séparant +en deux membres et supposant que le radical emporte avec lui son +signe, +\begin{gather*} +\makebox[0pt][c]{%[** TN: Force centering of wide expression] +$-V^2\, \dfrac{ + \dfrac{d^2\varphi}{dx^2} \cos^2\lambda + + \dfrac{d^2\varphi}{dy^2} \cos^2\mu + + \dfrac{d^2\varphi}{dz^2} \cos^2\nu %\\ + + 2 \dfrac{d^2\varphi}{dy\, dz} \cos\mu \cos\nu + + 2 \dfrac{d^2\varphi}{dz\, dx} \cos\nu \cos\lambda + + 2 \dfrac{d^2\varphi}{dx\, dy} \cos\lambda \cos\mu} +{\sqrt{\left(\dfrac{d\varphi}{dx}\right)^2 + + \left(\dfrac{d\varphi}{dy}\right)^2 + + \left(\dfrac{d\varphi}{dz}\right)^2}}$} \\ + = \frac{\scrX\dfrac{d\varphi}{dx} + + \scrY\dfrac{d\varphi}{dy} + + \scrZ\dfrac{d\varphi}{dz}} +{\sqrt{\left(\dfrac{d\varphi}{dx}\right)^2 + + \left(\dfrac{d\varphi}{dy}\right)^2 + + \left(\dfrac{d\varphi}{dz}\right)^2}} +\end{gather*} + +Sous cette forme, on reconnaît au premier membre, dans le coefficient +de~$V^2$, l'expression de la courbure de la section normale de la +surface $\varphi = \const$, qui contient la direction $(\lambda, \mu, \nu)$, c'est-à-dire la +vitesse\footnotemark, +\footnotetext{\emph{Voir} \bsc{Moigno}, \textit{Leçons de Calcul différentiel et de Calcul intégral}, t.~II (3\ieme~Leçon) + §~186, p.~350.}% +et dans le second membre la composante de la force totale +suivant la normale à la même surface. + +Cette équation peut donc s'écrire, en empruntant la notation déjà +usitée, +\[ +V^2\, \frac{1}{R_n} = \scrF_{n}, +\] +\DPPageSep{043.png}% +et par conséquent coïncide avec \Eqref[l'équation]{(25)}, qui exprime le \ThmRef{VI}\@. + +Notons d'ailleurs que cette proposition n'a rien de spécial aux surfaces +d'égale énergie, et nous eussions pu tout aussi bien, pour le but +que nous avions en vue, considérer les surfaces d'égale masse, ou toute +autre surface d'égale résistance. Si nous avons spécifié les surfaces +d'égale énergie dans l'énoncé de notre théorème, c'est qu'elles sont les +seules qui subsistent dans tous les cas, et que nous allons avoir à faire +usage de cette propriété, spécialement dans le cas des liquides homogènes, +où elles subsistent seules, et que nous allons maintenant examiner. + +\marge[CasParticulierLiquidesHomogenes]{Cas particulier des liquides homogènes.} +La considération des surfaces d'égale masse et d'égale énergie, jointe +à la connaissance de la force totale qui sollicite la molécule, fournira +donc, en général, une représentation très-simple et très-nette du mouvement +de cette molécule. Cette image fait malheureusement défaut, +du moins telle que nous venons de la présenter dans le cas particulier +des liquides homogènes; car alors, d'une part, la dilatation étant +constamment nulle à cause de l'incompressibilité du fluide, et, de +l'autre, la densité se réduisant à une constante à cause de son homogénéité, +la première des deux familles de surfaces de nulle résistance +disparaît; mais, même encore dans ce cas, il est facile d'obtenir une +représentation très-simple du mouvement au moyen des mêmes éléments. + +Pour cela, remarquons tout d'abord que, d'une part, \Eqref[l'équation]{(21)} +pouvant s'écrire $V^2 = 2(\varphi + q)$, et s'énoncer par cette formule: «\;\emph{La force +% [** TN: \( \) = Upright ()] +vive \(ou le carré de la vitesse\) est le double de la somme de l'\textsc{énergie} et du +\textsc{travail}}\;»; que, d'autre part, le travail~$q$ étant alors le \emph{potentiel} de la +force totale qui sollicite l'unité de masse, il en résulte qu'on connaîtra +immédiatement la grandeur de la vitesse, si l'on suppose connues +l'énergie et la force totale en chaque point. + +Il n'y a donc à déterminer réellement, dans ce cas, que la trajectoire. +Or la connaissance de la grandeur de la vitesse suffit, par le moyen du +\ThmRef{VI}, pour déterminer en même temps sa direction; car les surfaces +d'égale énergie existant toujours, et la trajectoire de la molécule +étant contenue tout entière sur l'une de ces surfaces, il est facile de +\DPPageSep{044.png}% +déterminer sa direction en chaque point par l'angle qu'elle forme avec +une autre direction définie sur cette surface, par exemple celle des +lignes de courbure. + +En effet, \Eqref[l'équation]{(25)} donnant immédiatement l'expression du +rayon de courbure de la section normale qui contient la vitesse, savoir +\[ +R_n = \frac{V^2}{\scrF_n}, +\] +la connaissance de ce rayon de courbure suffit à déterminer la direction +de cette section; car, si dans le plan tangent et du point considéré +comme centre on trace d'une part l'\emph{indicatrice} relative à ce point, +ayant pour axes les racines carrées des rayons de courbure principaux, +et d'autre part un cercle avec la quantité~$\sqrt{R_n}$ pour rayon, la direction +de la vitesse sera nécessairement l'un des deux diamètres communs à +ces deux courbes: la continuité indiquant suffisamment, d'ailleurs, laquelle +de ces deux directions on devra prendre en chaque point, puisqu'au +point initial la direction de la vitesse est une des données de la +question. + +En d'autres termes, si l'on désigne par $R'$~et~$R''$ les deux rayons de +courbure principaux, et par~$r$ l'angle de la section normale considérée +avec l'une des sections principales, on aura +\[ +\frac{1}{R_n} = \frac{1}{R'} \cos^2 r + \frac{1}{R''} \sin^2 r; +\] +et par conséquent, eu substituant dans l'équation précédente, +\[ +\frac{1}{R'} \cos^2 r + \frac{1}{R''} \sin^2 r = \frac{\scrF_n}{V^2}, +\] +ou, en résolvant par rapport à l'angle cherché~$r$, +\[ +\tang r = ± \sqrt{ + \frac{\dfrac{\scrF_n}{V^2} - \dfrac{1}{R'}} + {\dfrac{1}{R''} - \dfrac{\scrF_n}{V^2}}}, +\] +équation qui détermine en chaque point la direction de la vitesse par +rapport aux lignes de courbure de la surface d'\emph{égale énergie}, et qu'on +\DPPageSep{045.png}% +peut considérer en quelque sorte comme l'équation de la trajectoire +sur cette surface. + +On pourrait aussi appliquer ce dernier mode de représentation au +cas des fluides compressibles, puisque le travail~$q$ est encore, dans ce +cas, le potentiel relatif à la force totale qui sollicite la molécule; mais +il vaut mieux se figurer le mouvement à l'aide du procédé que nous +avons décrit tout d'abord, et qui est à la fois plus simple, plus élégant +et plus général, et réserver celui que nous venons d'exposer pour le +cas des liquides homogènes, qui est le seul pour lequel le premier procédé +se trouve en défaut. + +\marge[ProprietesMaximumMinimum]{Propriétés\\de maximum\\et de minimum.} +Enfin, outre les propriétés générales qui caractérisent toutes les surfaces +de nulle résistance, et que nous avons exposées dans le premier +paragraphe, les deux familles que nous nous sommes proposé d'étudier +spécialement dans celui-ci possèdent encore des propriétés intéressantes +de maximum et de minimum qui leur appartiennent en +propre et que nous allons établir en terminant ce travail. + +Ces deux familles, en effet, en même temps qu'elles appartiennent +à la classe importante des surfaces de \emph{nulle résistance}, rentrent aussi +dans la catégorie des surfaces dites \emph{représentatives}, c'est-à-dire de celle +dont l'équation s'obtient en égalant à un paramètre arbitraire une +fonction déterminée de $x$,~$y$ et~$z$. Or ces différentes surfaces, que l'on +est amené à considérer dans une foule de questions de Mécanique ou +de Physique mathématique, telles que la théorie de l'attraction (surfaces +de \emph{niveau} ou d'\emph{égal potentiel}), de la chaleur (surfaces \emph{isothermes} +ou d'\emph{égale température}), offrent, par suite de leur origine commune, +une même propriété, qui se traduit différemment suivant les différentes +théories auxquelles elles sont relatives, et qui découle immédiatement +des deux propositions suivantes, que nous allons maintenant démontrer. + +\begin{lem}{I} +\MarginBox[LemmesRelatifsSurfacesRepresentatives]{Lemmes relatifs\\aux surfaces\\représentatives.} +Si $V$ représente une fonction de $x$,~$y$ et~$z$, et que l'on compare +entre elles les valeurs que prend l'intégrale $\ds\iiint V\, dx\, dy\, dz$ à l'intérieur +de différentes surfaces, la valeur maximum ou minimum de cette +intégrale correspondra précisément à la surface $V = 0$. +\end{lem} +\DPPageSep{046.png}% + +En effet, posons +\[ + I = \iiint V\, dx\, dy\, dz, +\] +et calculons~$\delta I$ suivant les procédés habituels du calcul des variations; +nous trouverons successivement +\vspace*{\abovedisplayskip} +\[ +\makebox[0pt][c]{%[** TN: Force centering of wide display] +$\begin{aligned} +\delta I + &= \iiint \delta(V\, dx\, dy\, dz) \\ + &= \iiint \bigl[\delta V · dx\, dy\, dz + V\, \delta(dx\, dy\, dz)\bigr] \\ + &= \iiint \left[ \left( + \frac{dV}{dx}\, \delta x + + \frac{dV}{dy}\, \delta y + + \frac{dV}{dz}\, \delta z \right) dx\, dy\, dz + + V(dy\, dz\, \delta\, dx + dz\, dx\, \delta\,dy + dx\, dy\, \delta\,dz) + \right] \\ + &= \iiint \left( + \frac{dV}{dx}\, \delta x + + \frac{dV}{dy}\, \delta y + + \frac{dV}{dz}\, \delta z \right) dx\, dy\, dz + + \iiint V \left( + \frac{d\, \delta x}{dx} + + \frac{d\, \delta y}{dy} + + \frac{d\, \delta z}{dz} \right) dx\, dy\, dz, +\end{aligned}$} +\] +ou, en intégrant par parties le second terme et faisant la réduction +avec le premier, +\[ + \delta I + = \iint (V\, \delta x)_{1}^{2}\, dy\, dz + + \iint (V\, \delta y)_{1}^{2}\, dz\, dx + + \iint (V\, \delta z)_{1}^{2}\, dx\, dy, +\] +le crochet marqué des indices $1$~et~$2$ signifiant, suivant une notation +connue, la différence des valeurs du terme qu'il renferme pour les deux +limites de l'intégration. + +On peut mettre ces intégrations sous une forme plus saisissante, en +remplaçant les intégrales qui y figurent par une sommation relative +aux éléments de la surface elle-même. En désignant par $\alpha$,~$\beta$,~$\gamma$ les +angles de la normale extérieure avec les axes coordonnés, par~$\omega$ l'élément +de surface, et par~$\tsum$ une sommation s'étendant à toute la surface +considérée, une transformation déjà usitée permettra d'écrire +\[ +\delta I = \tsum \omega + V(\delta x \cos\alpha + \delta y \cos\beta + \delta z \cos\gamma). +\] +Or, sous cette forme, la condition du maximum et du minimum est évidente. +En effet, cette condition étant, comme l'on sait, que la variation~$\delta I$ +soit nulle, quels que soient $\delta x$,~$\delta y$ et~$\delta z$, il s'ensuit qu'il faut que +l'on ait $V = 0$, ce qui justifie la proposition énoncée. + +Il sera toujours facile, d'ailleurs, de distinguer si l'on obtient ainsi +\DPPageSep{047.png}% +un maximum ou un minimum, car on voit tout de suite que l'on aura +l'un ou l'autre suivant que la fonction~$V$ prendra des valeurs négatives +ou positives, pour les points extérieurs à la surface $V= 0$, et très-voisins +de cette surface. + +En effet, ayant calculé la valeur de l'intégrale proposée à l'intérieur +de cette surface, pour obtenir la valeur de la même intégrale à l'intérieur +d'une autre surface infiniment voisine, il faudra ajouter les +termes correspondant aux portions de la seconde surface \emph{extérieures} à +la première et retrancher les termes correspondant aux portions \emph{intérieures} +à la première surface, mais qui n'appartiennent pas à la seconde. +Or, dans la première hypothèse, les premiers termes seront négatifs, +les seconds positifs; la seconde valeur de l'intégrale sera donc toujours +plus petite que la première et, par conséquent, on aura un maximum: +ce serait le contraire dans l'autre cas. Ce raisonnement légèrement +modifié suffirait, au reste, pour établir \textit{a~posteriori} l'existence de +la proposition elle-même. + +La proposition que nous venons de démontrer n'est pas susceptible +toutefois d'une application immédiate, sous la forme où nous l'avons +établie, parce que le maximum ou le minimum qu'elle considère est un +maximum ou minimum \emph{absolu}; mais elle devient féconde, en conséquence, +pour les surfaces représentatives, si on la modifie par l'introduction +des maxima et des minima \emph{relatifs}, qui se ramènent aux premiers, +comme l'on sait, d'une façon fort simple. + +C'est ce que nous allons faire dans le lemme suivant: + +\begin{lem}{II} +Si $U$~et~$W$ représentent deux fonctions déterminées de $x$,~$y$ +et~$z$, et que l'on compare entre elles les valeurs que prend l'intégrale +$\ds\iiint U\, dx\, dy\, dz$, à l'intérieur de différentes surfaces, sous la condition +que l'intégrale $\ds\iiint W\, dx\, dy\, dz$ prise entre les mêmes limites conserve +une valeur constante, la valeur maximum ou minimum de cette intégrale +correspondra à l'une des surfaces représentées par l'équation +$\dfrac{U}{W} = \const$%[** TN: [sic], \const adds its own period] +\end{lem} + +En effet, si l'on recherche à l'intérieur de quelle surface l'intégrale +\DPPageSep{048.png}% +$\ds\iiint U\, dx\, dy\, dz$ prend une valeur maximum ou minimum, sous la condition +que l'intégrale $\ds\iiint W\, dx\, dy\, dz$ ait une valeur donnée, il faudra, +en vertu de la théorie des maxima ou minima relatifs, rechercher le +maximum ou minimum absolu de l'expression +\[ +\iiint U\, dx\, dy\, dz + C \iiint W\, dx\, dy\, dz + = \iiint (U + CW)\, dx\, dy\, dz, +\] +$C$~étant une constante. Or, pour l'obtenir, il n'y aura qu'à faire dans le +lemme précédent +\[ +V = U + CW, +\] +et la solution nous sera fournie immédiatement par l'équation +\[ +U + CW = 0, +\] +où $C$~est une constante qui sera déterminée précisément par la condition +donnée, relative à la seconde intégrale. On voit ainsi que le problème +est résolu par l'une des surfaces appartenant à la famille de surfaces +représentatives dont l'équation est +\[ +\Tag{(26)} +\frac{U}{W} = \const +\] + +Il est bien évident, d'ailleurs, que la proposition est réversible, et +que l'on arriverait à la même conclusion si l'on cherchait le maximum +ou le minimum de l'intégrale $\ds\iiint W\, dx\, dy\, dz$ sous la condition que +l'intégrale $\ds\smash[t]{\iiint} U\, dx\, dy\, dz$ conservât une valeur donnée. +\bigskip + +Pour montrer la fécondité de la proposition qui précède, et avant de +revenir au mouvement des fluides, qui fait l'objet de ce travail, nous +allons l'appliquer comme exemple à un problème emprunté à la théorie +de la chaleur. + +Imaginons un corps ou milieu dont tous les points étaient originairement +à une même température, que nous prendrons pour zéro, et +qui, soumis ensuite à l'action de sources constantes de froid ou de chaleur, +a fini par arriver à un état d'équilibre de température. Si nous +\DPPageSep{049.png}% +considérons en particulier une portion de ce corps limitée par une +surface quelconque, et que nous désignions encore sa densité en chaque +point par~$\rho$, sa masse sera exprimée par l'intégrale $\ds\iiint \rho\, dx\, dy\, dz$, et +la quantité totale de chaleur perdue ou gagnée, en passant de l'état +initial à l'état final, par l'intégrale $c\ds\iiint \rho\Theta\, dx\, dy\, dz$, $\Theta$~désignant la +température et $c$~le calorique spécifique, que nous supposerons constant. +Si l'on se propose de déterminer par quelle surface il faudrait +limiter cette portion du corps, pour que, avec une masse donnée, la +quantité de chaleur perdue ou gagnée soit maximum ou minimum, il +n'y aura qu'à faire dans ce qui précède $U = c \rho\Theta$, et $W = \rho$, ce qui donnera +pour solution $\Theta = \const$, c'est-à-dire une \emph{surface isotherme}. Ces +surfaces jouissent donc de la propriété nouvelle et intéressante de +limiter les portions du corps qui, offrant une masse donnée, ont gagné +ou perdu dans les conditions précitées une quantité de chaleur +maximum ou minimum. + +\marge{Application\\aux surfaces:} +Ces préliminaires établis, appliquons les considérations qui précèdent +aux diverses surfaces représentatives qui se présentent dans +l'étude du mouvement permanent des fluides. Nous en déduirons sans +peine une série de propriétés intéressantes, dont l'ensemble nous paraît +jeter un nouveau jour sur la théorie si obscure du mouvement, et +dont l'énumération terminera notre travail. + +\marge[ApplicationSurfacesEgaleDensite]{(\textit{a}) d'égale densité,} +\primo Si l'on prend, pour les deux intégrales considérées dans le +\LemRef{II}, la masse et le volume de la portion du fluide renfermée à +l'intérieur d'une même surface, ou, en d'autres termes, si l'on prend +$U = \rho$ et $W = 1$, \Eqref[l'équation]{(26)} se réduit à $\rho = \const$, d'où la conclusion: + +\begin{thm}{VII} +Les surfaces d'égale densité sont celles qui, pour un +volume donné, renferment une masse maximum ou minimum. +\end{thm} + +\marge[ApplicationSurfacesEgaleDilatation]{(\textit{b}) d'égale dilatation,} +\secundo Si, au lieu de la masse et du volume d'une portion du fluide, on +prend pour les deux intégrales considérées les quantités que nous avons +appelées \emph{dilatation totale} et \emph{volume primitif} (\emph{voir} \Pagerefs{DilatationTotale}{VolumePrimitif}) de cette +\DPPageSep{050.png}% +même masse, ou, en d'autres termes, si l'on prend $U = \dfrac{\Delta}{1 + \Delta}$ et +$W = \dfrac{1}{1 + \Delta}$, \Eqref[l'équation]{(26)} se réduit à $\Delta = \const$, d'où la conclusion: + +\begin{thm}{VIII} +Les surfaces d'égale dilatation sont celles qui, pour +un volume primitif donné, renferment une dilatation totale maximum ou +minimum. +\end{thm} + +Si l'on se rappelle, d'ailleurs, que d'après nos définitions la dilatation +totale exprime la différence entre le volume actuel et le volume +primitif d'une même masse, on voit immédiatement qu'on pourra énoncer +la propriété précédente sous cette autre forme: + +%[** TN: Guillemets added by environment; mask newlines to prevent line breaks] +\begin{theorem}% +Les \textsc{surfaces d'égale dilatation} sont celles qui, pour un \textsc{volume +primitif} donné, renferment un \textsc{volume} maximum ou minimum.% +\end{theorem} + +Ou encore sous celle-ci: + +\begin{theorem}% +Les \textsc{surfaces d'égale dilatation} sont celles qui, pour un \textsc{volume} +donné, renferment une \textsc{dilatation totale} maximum ou minimum.% +\end{theorem} + +Notons, en outre, que les surfaces d'\emph{égale dilatation} se confondraient +évidemment avec les surfaces d'\emph{égale densité}, si l'on avait pris pour \emph{origine +des dilatations} l'une de ces dernières surfaces. + +La première des deux propositions que nous venons d'énoncer s'applique +évidemment aussi bien au cas de l'équilibre qu'au cas du mouvement +permanent, et, dans ce cas, elle exprime une propriété nouvelle +et intéressante des \emph{surfaces de niveau}, qui sont en même temps, comme +l'on sait, surfaces d'\emph{égale pression}, et surfaces d'\emph{égale densité}. La seconde +trouvera aussi son application à l'état d'équilibre, si on l'entend +des modifications qu'a dû subir, pour arriver à cet état, un fluide compressible +primitivement homogène, et soumis ensuite à des actions permanentes. +Seulement, dans ce dernier cas, les surfaces d'égale dilatation +se confondant évidemment avec les surfaces d'égale densité ou +surfaces de niveau, les deux théorèmes ci-dessus n'expriment plus en +réalité qu'une seule et même propriété, ainsi qu'il est facile de s'en +convaincre avec un instant de réflexion. + +Les propositions suivantes, au contraire, n'ont de signification que +dans le cas du mouvement. +\DPPageSep{051.png}% + +\marge[ApplicationSurfacesEgaleForceVive]{(\textit{c}) d'égale force\\vive,} +\tertio Prenons, pour les deux intégrales du \LemRef{II}, la \emph{force vive totale} +(\Pagerefs{ForceViveI}{ForceViveII}) et la masse d'une même portion du fluide, c'est-à-dire +prenons $U = \rho V^2$ et $W = \rho$, \Eqref[l'équation]{(26)} se réduira à $V^2 = \const$; +d'où la conclusion: + +\begin{thm}{IX} +Les surfaces d'égale force vive \(ou d'égale vitesse\) %[** TN: \( \) = Upright ()] +sont celles qui, pour une masse donnée, renferment une force vive totale +maximum ou minimum. +\end{thm} + +\marge[ApplicationSurfacesEgalTravail]{(\textit{d}) d'égal travail,} +\quarto Prenant encore la masse pour l'une des deux intégrales, prenons +pour l'autre ce que nous avons appelé le \emph{travail total} (\emph{voir} \Pageref{TravailTotal}), correspondant +à la même portion du fluide, ou, en d'autres termes, faisons +$U = q\rho$ et $W = \rho$; \Eqref[l'équation]{(26)} se réduira à $q = \const$, et par conséquent, +en nous reportant aux définitions de la \Pageref[page]{TravailTotal}, nous pourrons +formuler cette proposition: + +\begin{thm}{X} +Les surfaces d'égal travail sont celles qui, pour une +masse donnée, renferment un travail total maximum ou minimum. +\end{thm} + +Il est à remarquer que dans le cas des fluides compressibles, et aussi +dans celui des liquides homogènes, $q$~est un potentiel, et les surfaces +d'égal travail dont il est question dans ce théorème sont alors les surfaces +de niveau relatives aux actions totales qui sollicitent la molécule +fluide. + +\marge[ApplicationSurfacesEgaleMasse]{(\textit{e}) d'égale masse,} +\FrenchEnumerate5 Pour revenir, en terminant, aux deux grandes familles de surfaces +de nulle résistance qui font objet plus spécial de ce dernier paragraphe, +considérons en même temps la masse et le volume primitifs d'une même +portion du fluide, et faisons, dans le \LemRef{II}, $U = \rho$ et $W = \dfrac{1}{1 + \Delta}$; +\Eqref[l'équation]{(26)} deviendra $\rho (1 + \Delta) = \const$, et par conséquent, en +nous reportant aux définitions du paragraphe précédent, nous pourrons +énoncer cette propriété: + +\begin{thm}{XI} +Les surfaces d'égale masse sont celles qui, pour un +volume primitif donné, renferment une masse maximum ou minimum. +\end{thm} + +Notons seulement que, dans le cas des liquides, les surfaces d'égale +masse n'étant autres que les surfaces d'égale densité, cette propriété +se confond pour ce cas avec le \ThmRef{VII}\@. +\DPPageSep{052.png}% + +\marge[ApplicationSurfacesEgaleEnergie]{(\textit{f}) d'égale énergie.} +\FrenchEnumerate6 Enfin considérons, en même temps que la masse, l'\emph{énergie totale} +(\Pageref{EnergieTotale}) d'une certaine portion du fluide, c'est-à-dire faisons à la fois +$U = \varphi\rho$ et $W = \rho$; \Eqref[l'équation]{(26)} se réduira à $\varphi = \const$, ce qui nous +donnera cette dernière proposition: + +\begin{thm}{XII} +Les surfaces d'égale énergie sont celles qui, pour +une masse donnée, renferment une énergie totale maximum ou minimum. +\end{thm} + +\marge[Conclusion]{Conclusion.} +Ces propriétés remarquables, jointes à la représentation que nous +avons donnée du mouvement, font comprendre l'importance du rôle +que les surfaces d'\emph{égale masse} et d'\emph{égale énergie} jouent dans la théorie, +et l'intérêt qu'elles empruntent à leur double caractère de surfaces \emph{représentatives}, +et de surfaces de \emph{nulle résistance}. C'est pourquoi nous +nous sommes proposé, dans ce travail, d'appeler sur elles l'attention +des géomètres, dans la pensée que peut-être leur considération pourrait +servir de point de départ à un analyste plus habile, pour aborder le +problème si difficile de l'intégration des équations de l'Hydrodynamique. +\vfil + +\begin{center} +\tb[3cm] +\end{center} +\vfil\vfil +\DPPageSep{053.png}% + +\Chapter{Résumé Analytique.}{} + +\ToCRow{\textsc{Introduction}. --- Exposé du sujet}{ExposeSujet} + +\ToCSection{I\@. --- Surfaces de nulle résistance.} + +\ToCSubsection{Définitions. --- Propriétés caractéristiques.} + +\ToCRow{Résistance au mouvement d'un fluide}{ResistanceMouvementFluide} +% +\ToCRow{Surfaces de nulle résistance}{SurfacesNulleResistance} +% +\ToCRow{Propriétés relatives: (\textit{a}) à l'ellipsoïde central d'inertie}{ProprietesEllipsoideCentral} +% +\ToCRow{\Ditto{Propriétés relatives:} (\textit{b}) au solide représentatif}{ProprietesSoliceRepresentatif} +% +\ToCRow{Examen du cas général}{ExamenCasGeneral} +% +\ToCRow{Démonstration synthétique}{DemonstrationSynthetiqueI} +% +\ToCRow{Démonstration analytique}{DemonstrationAnalytiqueI} + + +\ToCSection{II\@. --- Recherche analytique des surfaces de nulle résistance.} + +\ToCSubsection{Équation aux différences partielles. --- Solutions complètes. --- Équation générale en +termes finis.} + +\ToCRow{Équation aux différences partielles}{EquationDifferencesPartielles} +% +\ToCRow{Interprétation mécanique de cette équation}{InterpretationMecanique} +% +\ToCRow{Première solution complète}{PremiereSolution} +% +\ToCRow{Cas des liquides}{CasLiquides} +% +\ToCRow{Cas des fluides compressibles}{CasFluides} +% +\ToCRow{Définition de la dilatation}{DefinitionDilatation} +% +\ToCRow{Expression de la masse moléculaire}{ExpressionMasseMoleculaire} +% +\ToCRow{Surfaces d'égale masse}{SurfacesEgaleMasse} +% +\ToCRow{Définitions: (\textit{a}) du volume primitif}{DefinitionVolumePrimitif} +% +\ToCRow{\Ditto{Définitions:} (\textit{b}) de la dilatation totale}{DefinitionDilatationTotale} +% +\ToCRow{Deuxième solution complète}{DeuxiemeSolution} +\DPPageSep{054.png}% +% +\ToCRow{Définitions: (\textit{a}) de la force vive}{DefinitionForceVive} +% +\ToCRow{\Ditto{Définitions:} (\textit{b}) du travail}{DefinitionTravail} +% +\ToCRow{\Ditto{Définitions:} (\textit{c}) de l'énergie}{DefinitionEnergie} +% +\ToCRow{Surfaces d'égale énergie}{SurfacesEgaleEnergie} +% +\ToCRow{Intégrale des forces vives}{IntegraleForcesVives} +% +\ToCRow{Équation générale en termes finis}{EquationGeneraleTermesFinis} + + +\ToCSection{III\@. --- Étude particulière des surfaces d'égale masse et d'égale énergie.} + +\ToCSubsection{Représentation géométrique du mouvement. --- Propriétés de maximum et de minimum.} + +\ToCRow{Détermination géométrique: (\textit{a}) de la trajectoire}{DeterminationGeometriqueTrajectoire} +% +\ToCRow{\Ditto{Détermination géométrique:} (\textit{b}) de la vitesse}{DeterminationGeometriqueVitesse} +% +\ToCRow{Démonstration synthétique}{DemonstrationSynthetiqueII} +% +\ToCRow{Démonstration analytique}{DemonstrationAnalytiqueII} +% +\ToCRow{Cas particulier des liquides homogènes}{CasParticulierLiquidesHomogenes} +% +\ToCRow{Propriétés de maximum et de minimum}{ProprietesMaximumMinimum} +% +\ToCRow{Lemmes relatifs aux surfaces représentatives}{LemmesRelatifsSurfacesRepresentatives} +% +\ToCRow{Application aux surfaces (\textit{a}) d'égale densité}{ApplicationSurfacesEgaleDensite} +% +\ToCRow{\Ditto{Application aux surfaces} (\textit{b}) d'égale dilatation}{ApplicationSurfacesEgaleDilatation} +% +\ToCRow{\Ditto{Application aux surfaces} (\textit{c}) d'égale force vive}{ApplicationSurfacesEgaleForceVive} +% +\ToCRow{\Ditto{Application aux surfaces} (\textit{d}) d'égal travail}{ApplicationSurfacesEgalTravail} +% +\ToCRow{\Ditto{Application aux surfaces} (\textit{e}) d'égale masse}{ApplicationSurfacesEgaleMasse} +% +\ToCRow{\Ditto{Application aux surfaces} (\textit{f}) d'égale énergie}{ApplicationSurfacesEgaleEnergie}\\[\baselineskip] + +\ToCRow{\textsc{Conclusion}}{Conclusion} +\vfil + +\begin{flushright} +\vloose\small% +\settowidth{\TmpLen}{\textsc{Le Doyen de la Faculté des Sciences,}}% +\begin{minipage}{\TmpLen} +\centering +\textit{Vu et approuvé.}\qquad\qquad \break +Le 16 juin 1873. \\ +\textsc{Le Doyen de la Faculté des Sciences,} \\ +\normalsize MILNE EDWARDS. +\end{minipage} +\end{flushright} +\begin{flushleft} +\vloose\small% +\settowidth{\TmpLen}{\textsc{Le Vice-Recteur de l'Académie de Paris,}}% +\begin{minipage}{\TmpLen} +\centering +\textit{Permis d'imprimer.}\qquad\qquad \break +\textsc{Le Vice-Recteur de l'Académie de Paris,} \\ +\normalsize A.~MOURIER. +\end{minipage} +\end{flushleft} +\vfil +\DPPageSep{055.png}% + + +\Chapter{Seconde Thèse.}{PROPOSITIONS DONNÉES PAR LA FACULTÉ.} + +\primo Démontrer qu'un ellipsoïde à trois axes inégaux peut être la +figure d'une masse fluide qui tourne uniformément autour d'un axe +fixe, et dont les molécules s'attirent mutuellement en raison inverse du +carré de la distance. +\bigskip + +\secundo Propriétés des fonctions doublement périodiques. + +\vfill +\begin{flushright} +\vloose\small% +\settowidth{\TmpLen}{\textsc{Le Doyen de la Faculté des Sciences,}}% +\begin{minipage}{\TmpLen} +\centering +\textit{Vu et approuvé.}\qquad\qquad \break +Le 16 juin 1873. \\ +\textsc{Le Doyen de la Faculté des Sciences,} \\ +\normalsize MILNE EDWARDS. +\end{minipage} +\end{flushright} +\begin{flushleft} +\vloose\small% +\settowidth{\TmpLen}{\textsc{Le Vice-Recteur de l'Académie de Paris,}}% +\begin{minipage}{\TmpLen} +\centering +\textit{Permis d'imprimer.}\qquad\qquad \break +\textsc{Le Vice-Recteur de l'Académie de Paris,} \\ +\normalsize A.~MOURIER. +\end{minipage} +\end{flushleft} +\vfill + +\noindent\hrule +\medskip +\begin{center} +\textsc{\footnotesize Paris. --- Imprimerie de GAUTHIER-VILLARS, Quai des Augustins, 55.} +\end{center} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% GUTENBERG LICENSE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\clearpage\fancyhf{}\cleardoublepage + +\backmatter +\phantomsection +\pdfbookmark[-1]{Matière Subsidiere.}{Subsidiere} +\phantomsection +\pdfbookmark[0]{PG License.}{License} +\fancyhead[C]{\textsc{LICENCE}} + +\begin{PGtext} +End of the Project Gutenberg EBook of Étude sur le Mouvement Permanent des +Fluides, by François de Salvert + +*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK FLUIDES *** + +***** This file should be named 33083-pdf.pdf or 33083-pdf.zip ***** +This and all associated files of various formats will be found in: + http://www.gutenberg.org/3/3/0/8/33083/ + +Produced by Sébastien Blondeel, Joshua Hutchinson, and the +Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net +(This file was produced from images from the Cornell +University Library: Historical Mathematics Monographs +collection.) + + +Updated editions will replace the previous one--the old editions +will be renamed. + +Creating the works from public domain print editions means that no +one owns a United States copyright in these works, so the Foundation +(and you!) can copy and distribute it in the United States without +permission and without paying copyright royalties. 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Except for the limited right of replacement or refund set forth +in paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS' WITH NO OTHER +WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO +WARRANTIES OF MERCHANTIBILITY OR FITNESS FOR ANY PURPOSE. + +1.F.5. Some states do not allow disclaimers of certain implied +warranties or the exclusion or limitation of certain types of damages. +If any disclaimer or limitation set forth in this agreement violates the +law of the state applicable to this agreement, the agreement shall be +interpreted to make the maximum disclaimer or limitation permitted by +the applicable state law. The invalidity or unenforceability of any +provision of this agreement shall not void the remaining provisions. + +1.F.6. INDEMNITY - You agree to indemnify and hold the Foundation, the +trademark owner, any agent or employee of the Foundation, anyone +providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works in accordance +with this agreement, and any volunteers associated with the production, +promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electronic works, +harmless from all liability, costs and expenses, including legal fees, +that arise directly or indirectly from any of the following which you do +or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm +work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any +Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause. + + +Section 2. Information about the Mission of Project Gutenberg-tm + +Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of +electronic works in formats readable by the widest variety of computers +including obsolete, old, middle-aged and new computers. It exists +because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from +people in all walks of life. + +Volunteers and financial support to provide volunteers with the +assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's +goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will +remain freely available for generations to come. In 2001, the Project +Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure +and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations. +To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation +and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4 +and the Foundation web page at http://www.pglaf.org. + + +Section 3. Information about the Project Gutenberg Literary Archive +Foundation + +The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit +501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the +state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal +Revenue Service. The Foundation's EIN or federal tax identification +number is 64-6221541. Its 501(c)(3) letter is posted at +http://pglaf.org/fundraising. Contributions to the Project Gutenberg +Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent +permitted by U.S. federal laws and your state's laws. + +The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S. +Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered +throughout numerous locations. Its business office is located at +809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email +business@pglaf.org. Email contact links and up to date contact +information can be found at the Foundation's web site and official +page at http://pglaf.org + +For additional contact information: + Dr. Gregory B. Newby + Chief Executive and Director + gbnewby@pglaf.org + + +Section 4. Information about Donations to the Project Gutenberg +Literary Archive Foundation + +Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide +spread public support and donations to carry out its mission of +increasing the number of public domain and licensed works that can be +freely distributed in machine readable form accessible by the widest +array of equipment including outdated equipment. Many small donations +($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt +status with the IRS. + +The Foundation is committed to complying with the laws regulating +charities and charitable donations in all 50 states of the United +States. 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Donations are accepted in a number of other +ways including checks, online payments and credit card donations. +To donate, please visit: http://pglaf.org/donate + + +Section 5. General Information About Project Gutenberg-tm electronic +works. + +Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm +concept of a library of electronic works that could be freely shared +with anyone. For thirty years, he produced and distributed Project +Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support. + + +Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed +editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S. +unless a copyright notice is included. Thus, we do not necessarily +keep eBooks in compliance with any particular paper edition. + + +Most people start at our Web site which has the main PG search facility: + + http://www.gutenberg.org + +This Web site includes information about Project Gutenberg-tm, +including how to make donations to the Project Gutenberg Literary +Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to +subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks. +\end{PGtext} + +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % +% % +% End of the Project Gutenberg EBook of Étude sur le Mouvement Permanent des +% Fluides, by François de Salvert % +% % +% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK FLUIDES *** % +% % +% ***** This file should be named 33083-t.tex or 33083-t.zip ***** % +% This and all associated files of various formats will be found in: % +% http://www.gutenberg.org/3/3/0/8/33083/ % +% % +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % + +\end{document} +### +@ControlwordReplace = ( + ['\\ieme', '^{e}'] + ); + +@ControlwordArguments = ( + ['\\Ord', 1, 1, '', '', 1, 1, '^{', '}'], + ['\\DPPageSep', 1, 0, '', ''], + ['\\Chapter', 1, 1, '', ' ', 1, 1, '', ''], + ['\\Section', 1, 1, '', ' ', 1, 1, '', ' ', 1, 1, '', ''], + ['\\MarginBox', 0, 0, '', '', 1, 0, '', ''], + ['\\marge', 0, 0, '', '', 1, 0, '', ''], + ['\\begin{thm}', 1, 1, 'Théorème ', ''], + ['\\begin{lem}', 1, 1, 'Lemme ', ''], + ['\\Titlerow', 1, 1, '', ''], + ['\\NameBox', 1, 1, '', ''], + ['\\Name', 0, 1, '', '', 1, 1, '', ''], + ['\\ToCSection', 1, 1, '', ''], + ['\\ToCSubsection', 1, 1, '', ''], + ['\\ToCRow', 1, 1, '', ' ..... 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+\Urlmuskip=\muskip11 +Package: url 2005/06/27 ver 3.2 Verb mode for urls, etc. +) +LaTeX Info: Redefining \url on input line 2599. +\Fld@menulength=\count112 +\Field@Width=\dimen121 +\Fld@charsize=\dimen122 +\Choice@toks=\toks23 +\Field@toks=\toks24 +Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 3102. +Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 3107. +Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 3110. +Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 3117. +Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 3120. +\Hy@abspage=\count113 +\c@Item=\count114 +) +*hyperref using driver hpdftex* +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hpdftex.def +File: hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX +\Fld@listcount=\count115 +) +\TmpLen=\skip59 +\c@pp@a@footnote=\count116 +\c@myunit=\count117 +(./33083-t.aux) +\openout1 = `33083-t.aux'. + +LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 461. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 461. +LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/lmr/m/n on input line 461. +LaTeX Font Info: Try loading font information for T1+lmr on input line 461. +(/usr/share/texmf/tex/latex/lm/t1lmr.fd +File: t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern +) +LaTeX Font Info: ... okay on input line 461. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 461. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 461. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 461. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 461. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 461. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 461. +LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 461. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 461. +LaTeX Font Info: Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 461. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 461. +LaTeX Font Info: Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 461. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 461. +LaTeX Info: Redefining \dots on input line 461. +-------------------- Geometry parameters +paper: a4paper +landscape: -- +twocolumn: -- +twoside: true +asymmetric: -- +h-parts: 87.23615pt, 379.4175pt, 130.85423pt +v-parts: 95.19171pt, 607.06755pt, 142.78758pt +hmarginratio: 2:3 +vmarginratio: 2:3 +lines: -- +heightrounded: -- +bindingoffset: 0.0pt +truedimen: -- +includehead: -- +includefoot: -- +includemp: -- +driver: pdftex +-------------------- Page layout dimensions and switches +\paperwidth 597.50787pt +\paperheight 845.04684pt +\textwidth 379.4175pt +\textheight 607.06755pt +\oddsidemargin 14.96616pt +\evensidemargin 58.58424pt +\topmargin -8.95207pt +\headheight 15.0pt +\headsep 19.8738pt +\footskip 30.0pt +\marginparwidth 88.0pt +\marginparsep 7.0pt +\columnsep 10.0pt +\skip\footins 10.8pt plus 4.0pt minus 2.0pt +\hoffset 0.0pt +\voffset 0.0pt +\mag 1000 +\@twosidetrue \@mparswitchtrue +(1in=72.27pt, 1cm=28.45pt) +----------------------- 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+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/refcount.sty +Package: refcount 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO) +) +\c@section@level=\count124 +) +LaTeX Info: Redefining \ref on input line 461. +LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 461. +(./33083-t.out) (./33083-t.out) +\@outlinefile=\write3 +\openout3 = `33083-t.out'. + + +Overfull \hbox (2.05862pt too wide) in paragraph at lines 477--477 +[]\T1/cmtt/m/n/9.2 The Project Gutenberg EBook of Étude sur le Mouvement Perman +ent des Fluides, by[] + [] + +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msa on input line 500. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd +File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msb on input line 500. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd +File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+rsfs on input line 500. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/jknapltx/ursfs.fd +File: ursfs.fd 1998/03/24 rsfs font definition file (jk) +) [1 + +{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2 + +] [1 + +] [2] [3] [4 + +] [1 + +] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] +[19] [20] +Overfull \hbox (1.79578pt too wide) detected at line 1870 +[] \OML/cmm/m/it/11 m [] \OT1/cmr/m/n/11 = \OML/cmm/m/it/11 m [][] [] ; + [] + +[21] +Underfull \hbox (badness 1057) in paragraph at lines 1938--1948 +[][][][] \T1/cmr/m/n/12 1$[]$Le pre-mier membre de cette équa-tion re-pré-sen-t +ant le demi- + [] + +[22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] +[38] +Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 2869--2894 + + [] + +[39 + +] [40] [41 + +] [42 + + +] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[43 + +] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[44] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[45] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[46] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[47] +Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active [] + +[48] [49] (./33083-t.aux) + + *File List* + book.cls 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class + leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers) + bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option) +inputenc.sty 2006/05/05 v1.1b Input encoding file + latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file + fontenc.sty + t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file + babel.sty 2005/11/23 v3.8h The Babel package + frenchb.ldf + frenchb.cfg + ifthen.sty 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC) + amsmath.sty 2000/07/18 v2.13 AMS math features + amstext.sty 2000/06/29 v2.01 + amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 + amsbsy.sty 1999/11/29 v1.2d + amsopn.sty 1999/12/14 v2.01 operator names + amssymb.sty 2002/01/22 v2.2d +amsfonts.sty 2001/10/25 v2.2f +mathrsfs.sty 1996/01/01 Math RSFS package v1.0 (jk) + alltt.sty 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment + perpage.sty 2006/07/15 1.12 Reset/sort counters per page + calc.sty 2005/08/06 v4.2 Infix arithmetic (KKT,FJ) + fix-cm.sty 2006/03/24 v1.1n fixes to LaTeX + ts1enc.def 2001/06/05 v3.0e (jk/car/fm) Standard LaTeX file +fancyhdr.sty +geometry.sty 2002/07/08 v3.2 Page Geometry + keyval.sty 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC) +geometry.cfg +hyperref.sty 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX + pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO) +hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive +kvoptions.sty 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (HO +) + url.sty 2005/06/27 ver 3.2 Verb mode for urls, etc. + hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX + t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern + color.sty 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC) + color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive + pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX +supp-pdf.tex + nameref.sty 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section +refcount.sty 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO) + 33083-t.out + 33083-t.out + umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions + umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions + ursfs.fd 1998/03/24 rsfs font definition file (jk) + *********** + + ) +Here is how much of TeX's memory you used: + 5824 strings out of 94074 + 78652 string characters out of 1165154 + 147364 words of memory out of 1500000 + 8769 multiletter control sequences out of 10000+50000 + 44969 words of font info for 105 fonts, out of 1200000 for 2000 + 645 hyphenation exceptions out of 8191 + 26i,24n,43p,287b,488s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s +{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc}</usr/share/texmf- +texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmbx10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1 +/bluesky/cm/cmex10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi10. +pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi8.pfb></usr/share/texm +f-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type +1/bluesky/cm/cmr7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr8.pfb +></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texmf- +texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/ +bluesky/cm/cmsy8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/ams/msam10.p +fb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/hoekwater/rsfs/rsfs10.pfb></usr/share/ +texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbi1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/pu +blic/cm-super/sfbx0700.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx08 +00.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1000.pfb></usr/share/t +exmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/pub +lic/cm-super/sfcc1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfcc120 +0.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm0700.pfb></usr/share/te +xmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm0800.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/publ +ic/cm-super/sfrm1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1200 +.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfti0800.pfb></usr/share/tex +mf/fonts/type1/public/cm-super/sfti1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/publi +c/cm-super/sfti1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sftt0900. +pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfxc1000.pfb></usr/share/texm +f/fonts/type1/public/cm-super/sfxc1200.pfb> +Output written on 33083-t.pdf (55 pages, 625839 bytes). +PDF statistics: + 806 PDF objects out of 1000 (max. 8388607) + 228 named destinations out of 1000 (max. 131072) + 113 words of extra memory for PDF output out of 10000 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