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R (No.\04035..1) 198 0 R (No.\04036..1) 202 0 R (No.\04037..1) 206 0 R (No.\04038..1) 210 0 R (No.\04039..1) 214 0 R] +/Limits [(No.\04034..1) (No.\04039..1)] +>> endobj +1526 0 obj << +/Names [(No.\0404..1) 42 0 R (No.\04040..1) 218 0 R (No.\04041..1) 226 0 R (No.\04042..1) 230 0 R (No.\04043..1) 238 0 R (No.\04044..1) 242 0 R] +/Limits [(No.\0404..1) (No.\04044..1)] +>> endobj +1527 0 obj << +/Names [(No.\04045..1) 246 0 R (No.\04046..1) 250 0 R (No.\04047..1) 254 0 R (No.\04048..1) 262 0 R (No.\04049..1) 266 0 R (No.\0405..1) 46 0 R] +/Limits [(No.\04045..1) (No.\0405..1)] +>> endobj +1528 0 obj << +/Names [(No.\04050..1) 270 0 R (No.\04051..1) 282 0 R (No.\04052..1) 286 0 R (No.\04053..1) 290 0 R (No.\04054..1) 294 0 R (No.\04055..1) 298 0 R] +/Limits [(No.\04050..1) (No.\04055..1)] +>> endobj +1529 0 obj << +/Names [(No.\04056..1) 302 0 R (No.\04057..1) 310 0 R (No.\04058..1) 314 0 R (No.\04059..1) 318 0 R (No.\0406..1) 54 0 R (No.\0406.1) 58 0 R] +/Limits [(No.\04056..1) (No.\0406.1)] +>> endobj +1530 0 obj << +/Names [(No.\04060..1) 322 0 R (No.\04061..1) 326 0 R (No.\04062..1) 330 0 R (No.\04063..1) 338 0 R (No.\04064..1) 342 0 R (No.\04065..1) 346 0 R] +/Limits [(No.\04060..1) (No.\04065..1)] +>> endobj +1531 0 obj << +/Names [(No.\04066..1) 350 0 R (No.\04067..1) 358 0 R (No.\04068..1) 362 0 R (No.\04069..1) 366 0 R (No.\0407..1) 62 0 R (No.\04070..1) 374 0 R] +/Limits [(No.\04066..1) (No.\04070..1)] +>> endobj +1532 0 obj << +/Names [(No.\04071..1) 378 0 R (No.\04072..1) 382 0 R (No.\04073..1) 386 0 R (No.\04074..1) 398 0 R (No.\04075..1) 402 0 R (No.\04076..1) 410 0 R] +/Limits [(No.\04071..1) (No.\04076..1)] +>> endobj +1533 0 obj << +/Names [(No.\04077..1) 414 0 R (No.\04078..1) 418 0 R (No.\04079..1) 426 0 R (No.\0408..1) 70 0 R (No.\04080..1) 430 0 R (No.\04080.1) 434 0 R] +/Limits [(No.\04077..1) (No.\04080.1)] +>> endobj +1534 0 obj << +/Names [(No.\04081..1) 438 0 R (No.\04082..1) 442 0 R (No.\0409..1) 74 0 R (Notes\040sur\040la\040transcription.0) 14 0 R (PartNo.1) 506 0 R (PartNo.2) 722 0 R] +/Limits [(No.\04081..1) (PartNo.2)] +>> endobj +1535 0 obj << +/Names [(PartNo.3) 1036 0 R (PartNo.4) 1219 0 R (Premi\350re\040Partie.-1) 22 0 R (Project\040Gutenberg\040Boilerplate.0) 10 0 R (Quatri\350me\040Partie.-1) 390 0 R (Troisi\350me\040Partie.-1) 274 0 R] +/Limits [(PartNo.3) (Troisi\350me\040Partie.-1)] +>> endobj +1536 0 obj << +/Names [(chapter*.158) 1341 0 R (page.1) 504 0 R (page.10) 637 0 R (page.100) 1249 0 R (page.101) 1257 0 R (page.102) 1261 0 R] +/Limits [(chapter*.158) (page.102)] +>> endobj +1537 0 obj << +/Names [(page.103) 1266 0 R (page.104) 1270 0 R (page.105) 1276 0 R (page.106) 1280 0 R (page.107) 1289 0 R (page.108) 1293 0 R] +/Limits [(page.103) (page.108)] +>> endobj +1538 0 obj << +/Names [(page.109) 1298 0 R (page.11) 644 0 R (page.110) 1303 0 R (page.111) 1309 0 R (page.112) 1313 0 R (page.113) 1319 0 R] +/Limits [(page.109) (page.113)] +>> endobj +1539 0 obj << +/Names [(page.114) 1339 0 R (page.115) 1355 0 R (page.12) 650 0 R (page.13) 657 0 R (page.14) 661 0 R (page.15) 669 0 R] +/Limits [(page.114) (page.15)] +>> endobj +1540 0 obj << +/Names [(page.16) 675 0 R (page.17) 679 0 R (page.18) 691 0 R (page.19) 708 0 R (page.2) 511 0 R (page.20) 714 0 R] +/Limits [(page.16) (page.20)] +>> endobj +1541 0 obj << +/Names [(page.21) 720 0 R (page.22) 726 0 R (page.23) 734 0 R (page.24) 739 0 R (page.25) 744 0 R (page.26) 749 0 R] +/Limits [(page.21) (page.26)] +>> endobj +1542 0 obj << +/Names [(page.27) 755 0 R (page.28) 760 0 R (page.29) 766 0 R (page.3) 528 0 R (page.30) 772 0 R (page.31) 781 0 R] +/Limits [(page.27) (page.31)] +>> endobj +1543 0 obj << +/Names [(page.32) 804 0 R (page.33) 810 0 R (page.34) 815 0 R (page.35) 832 0 R (page.36) 836 0 R (page.37) 840 0 R] +/Limits [(page.32) (page.37)] +>> endobj +1544 0 obj << +/Names [(page.38) 846 0 R (page.39) 860 0 R (page.4) 551 0 R (page.40) 864 0 R (page.41) 868 0 R (page.42) 876 0 R] +/Limits [(page.38) (page.42)] +>> endobj +1545 0 obj << +/Names [(page.43) 883 0 R (page.44) 900 0 R (page.45) 906 0 R (page.46) 913 0 R (page.47) 918 0 R (page.48) 922 0 R] +/Limits [(page.43) (page.48)] +>> endobj +1546 0 obj << +/Names [(page.49) 932 0 R (page.5) 577 0 R (page.50) 937 0 R (page.51) 944 0 R (page.52) 949 0 R (page.53) 955 0 R] +/Limits [(page.49) (page.53)] +>> endobj +1547 0 obj << +/Names [(page.54) 959 0 R (page.55) 967 0 R (page.56) 971 0 R (page.57) 977 0 R (page.58) 987 0 R (page.59) 992 0 R] +/Limits [(page.54) (page.59)] +>> endobj +1548 0 obj << +/Names [(page.6) 601 0 R (page.60) 996 0 R (page.61) 1002 0 R (page.62) 1007 0 R (page.63) 1012 0 R (page.64) 1021 0 R] +/Limits [(page.6) (page.64)] +>> endobj +1549 0 obj << +/Names [(page.65) 1025 0 R (page.66) 1030 0 R (page.67) 1034 0 R (page.68) 1041 0 R (page.69) 1050 0 R (page.7) 617 0 R] +/Limits [(page.65) (page.7)] +>> endobj +1550 0 obj << +/Names [(page.70) 1055 0 R (page.71) 1060 0 R (page.72) 1066 0 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+1556 0 obj << +/Names [(page.E) 1381 0 R (page.F) 1385 0 R (page.G) 1389 0 R (page.H) 1394 0 R (page.I) 1398 0 R (page.a) 465 0 R] +/Limits [(page.E) (page.a)] +>> endobj +1557 0 obj << +/Names [(page.b) 474 0 R (page.i) 482 0 R (page.ii) 487 0 R (page.iii) 497 0 R (section*.1) 467 0 R (section*.10) 516 0 R] +/Limits [(page.b) (section*.10)] +>> endobj +1558 0 obj << +/Names [(section*.100) 1045 0 R (section*.101) 1051 0 R (section*.102) 1056 0 R (section*.103) 1061 0 R (section*.104) 1067 0 R (section*.105) 1084 0 R] +/Limits [(section*.100) (section*.105)] +>> endobj +1559 0 obj << +/Names [(section*.106) 1089 0 R (section*.107) 1090 0 R (section*.108) 1091 0 R (section*.109) 1092 0 R (section*.11) 530 0 R (section*.110) 1093 0 R] +/Limits [(section*.106) (section*.110)] +>> endobj +1560 0 obj << +/Names [(section*.111) 1099 0 R (section*.112) 1104 0 R (section*.113) 1129 0 R (section*.114) 1130 0 R (section*.115) 1139 0 R (section*.116) 1140 0 R] +/Limits [(section*.111) 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b/32643-t/32643-t.tex @@ -0,0 +1,6835 @@ +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % +% % +% The Project Gutenberg EBook of Abrégé de la Théorie des Fonctions % +% Elliptiques, by Charles Henry % +% % +% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with % +% almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or % +% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included % +% with this eBook or online at www.gutenberg.org % +% % +% % +% Title: Abrégé de la Théorie des Fonctions Elliptiques % +% A l'Usage des Candidats a la Licence ès Sciences Mathématiques % +% % +% Author: Charles Henry % +% % +% Release Date: June 1, 2010 [EBook #32643] % +% Most recently updated: June 11, 2021 % +% % +% Language: French % +% % +% Character set encoding: UTF-8 % +% % +% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK FONCTIONS ELLIPTIQUES *** % +% % +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % + +\def\ebook{32643} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%% %% +%% Packages and substitutions: %% +%% %% +%% book: Required. %% +%% inputenc: Standard DP encoding. Required. %% +%% fontenc: For boldface small-caps. Required. %% +%% babel: For Greek snippets. Required. %% +%% %% +%% calc: Infix arithmetic. 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Required. %% +%% %% +%% %% +%% Producer's Comments: %% +%% %% +%% Minor spelling and punctuation corrections are marked with %% +%% \DPtypo{original}{corrected}. Other changes are [** TN: noted] %% +%% in the file. %% +%% %% +%% %% +%% Compilation Flags: %% +%% %% +%% The following behavior may be controlled with a boolean flag. %% +%% %% +%% ForPrinting (false by default): %% +%% Compile a print-optimized PDF file. Set to false for screen- %% +%% optimized file (pages cropped, one-sided, blue hyperlinks). %% +%% %% +%% %% +%% Things to Check: %% +%% %% +%% Spellcheck: .................................. OK %% +%% Smoothreading pool: ......................... yes %% +%% %% +%% lacheck: ..................................... OK %% +%% About 40 false positives %% +%% %% +%% PDF pages: 129 (if ForPrinting set to false) %% +%% PDF page size: 5.25 x 8in (non-standard) %% +%% PDF bookmarks: created, point to chapters and sections %% +%% PDF document info: filled in %% +%% 13 illustrations (pdf files) %% +%% %% +%% Summary of log file: %% +%% * One overfull hbox (largest ~4.6pt). %% +%% * One underfull hbox. %% +%% %% +%% %% +%% Compile History: %% +%% %% +%% May, 2010: adhere (Andrew D. Hwang) %% +%% texlive2007, GNU/Linux %% +%% %% +%% Command block: %% +%% %% +%% pdflatex x3 %% +%% %% +%% %% +%% June 2010: pglatex. %% +%% Compile this project with: %% +%% pdflatex 32643-t.tex ..... THREE times %% +%% %% +%% pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6) %% +%% %% +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\listfiles +\documentclass[12pt,leqno]{book}[2005/09/16] + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PACKAGES %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\usepackage[utf8]{inputenc}[2006/05/05] %% DP standard encoding +\usepackage[T1]{fontenc}[2005/09/27] + +\usepackage[french]{babel} % the language + +\usepackage{calc}[2005/08/06] + +\IfFileExists{textcomp.sty}{% %% For ditto marks +\usepackage{textcomp}[2005/09/27]% +}{} + + +\usepackage{ifthen}[2001/05/26] %% Logical conditionals + +\usepackage{amsmath}[2000/07/18] %% Displayed equations +\usepackage{amssymb}[2002/01/22] %% and additional symbols + +\IfFileExists{mathrsfs.sty}{% + \usepackage{mathrsfs} + \newcommand{\R}{\mathscr{R}}% +}{% else + \newcommand{\R}{\mathcal{R}}% +} + +\usepackage{alltt}[1997/06/16] %% boilerplate, credits, license + +\usepackage{array}[2005/08/23] %% extended array/tabular features + +\IfFileExists{indentfirst.sty}{% +\usepackage{indentfirst}[1995/11/23] +}{} +\usepackage{textcase}[2004/10/07] + + %% extended footnote capabilities +\usepackage[perpage]{footmisc}[2005/03/17] + +\usepackage{graphicx}[1999/02/16]%% For a diagram, +\usepackage{wrapfig}[2003/01/31] %% wrapping text around it, + +% for running heads; no package date available +\usepackage{fancyhdr} +\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%%%% Conditional compilation switches %%%% +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%%%% Set up PRINTING (default) or SCREEN VIEWING %%%% +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +% ForPrinting=true (default) false +% Letterpaper Cropped pages +% Asymmetric margins Symmetric margins +% Black hyperlinks Blue hyperlinks +\newboolean{ForPrinting} + +%% COMMENT the next line for a SCREEN-OPTIMIZED VERSION of the text %% +%\setboolean{ForPrinting}{true} + +%% Initialize values to ForPrinting=false +\newcommand{\Margins}{hmarginratio=1:1} % Symmetric margins +\newcommand{\HLinkColor}{blue} % Hyperlink color +\newcommand{\PDFPageLayout}{SinglePage} +\newcommand{\TransNote}{Notes sur la transcription} +\newcommand{\TransNoteText}{% + Ce livre a été préparé à l'aide d'images fournies par la Cornell + University Library: Historical Mathematics Monographs collection. + \bigskip + + Ce fichier est optimisé pour être lu sur un écran, mais peut être + aisément reformaté pour être imprimé. Veuillez consulter le + préambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions. +} + +%% Re-set if ForPrinting=true +\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{% + \renewcommand{\Margins}{hmarginratio=2:3} % Asymmetric margins + \renewcommand{\HLinkColor}{black} % Hyperlink color + \renewcommand{\PDFPageLayout}{TwoPageRight} + \renewcommand{\TransNoteText}{% + Ce livre a été préparé à l'aide d'images fournies par la Cornell + University Library: Historical Mathematics Monographs collection. + \bigskip + + Ce fichier est optimisée pour imprimer, mais peut être aisément + reformater pour être lu sur un écran. 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Hwang, Joshua Hutchinson, + Project Gutenberg Online Distributed Proofreading Team, + Cornell University Library: Historical Mathematics Monographs}, + pdfstartview=Fit, % default value + pdfstartpage=1, % default value + pdfpagemode=UseNone, % default value + bookmarks=true, % default value + linktocpage=false, % default value + pdfpagelayout=\PDFPageLayout, + pdfdisplaydoctitle, + pdfpagelabels=true, + bookmarksopen=true, + bookmarksopenlevel=0, + colorlinks=true, + linkcolor=\HLinkColor]{hyperref}[2007/02/07] + +%%%% Re-crop, squash screen-formatted version, omit blank verso pages +\ifthenelse{\not\boolean{ForPrinting}}{% + \hypersetup{pdfpagescrop= 0 30 378 566}% + \raggedbottom% + \renewcommand{\cleardoublepage}{\clearpage} +}{}% Else do nothing + + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% COMMANDS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +%%%% Fixed-width environment to format PG boilerplate %%%% +% 9.2pt leaves no overfull hbox at 80 char line width +\newenvironment{PGtext}{% +\begin{alltt} +\fontsize{9.2}{10.5}\ttfamily\selectfont}% +{\end{alltt}} + + +%% Surround footnote markers with upright parentheses +\makeatletter +\renewcommand\@makefnmark% + {\mbox{\small\,\upshape(\@textsuperscript{\normalfont\@thefnmark})}} + +\renewcommand\@makefntext[1]% + {\noindent\makebox[2.4em][r]{\@makefnmark\,}#1} +\makeatother + + +%%%% Table of contents %%%% +\newcommand{\TableofContents}{% + \cleardoublepage + \phantomsection + \pdfbookmark[-1]{Matière Subsidiaire}{Matière Subsidiaire} + \pdfbookmark[0]{Table des Matières}{Contents} + \fancyhead[C]{\CtrHeading{Table des Matières}} + \footnotesize + \tableofcontents +} + +\newcommand{\ToCAnchor}{}% Used for internal bookkeeping +\AtBeginDocument{% + \renewcommand{\contentsname}{\protect\ChapterHead{TABLE DES MATIÈRES}} +} + +\newcommand{\ToCPart}[2]{% + \section*{\normalfont\centering\small\MakeTextUppercase{#1}} +%[** TN: Regularize dots following Part subtitles] + \subsection*{\normalfont\centering\footnotesize\bfseries #2.} +} + +\newlength{\ToCLen} +\newcommand{\ToCLine}[2]{% + \settowidth{\TmpLen}{999}% + \settowidth{\ToCLen}{\textsc{Chapitre }VII.\ ---\ 999}% + \noindent\parbox[b]{\linewidth - \TmpLen}{% + \hangindent \ToCLen #2\dotfill}\hfill\pageref{#1}\medskip% +} + +\newcommand{\ToCBox}[1]{% + \ifthenelse{\equal{#1}{I}}{% + \textsc{Chapitre }\PadTxt[l]{VII.}{#1.}\ ---\ % + }{% + \PadTxt{\textsc{Chapitre }}{---}\PadTxt[l]{VII.}{#1.}\ ---\ % + }% +} + +% Ensure the word "page" is printed at the top of the +% page number column in the ToC. +% +% A \ToCLine puts down a label and gets the \pageref. If this has +% changed, the column heading is written and the +% \ToCAnchor command is updated. +\newcommand{\ToCChap}[2]{% + \label{toc:#1}% + \ifthenelse{\not\equal{\pageref{toc:#1}}{\ToCAnchor}}{% + \renewcommand{\ToCAnchor}{\pageref{toc:#1}}% + \noindent\makebox[\linewidth][c]{% + \null\hfill\PadTxt[r]{99999}{\textsc{\footnotesize Pages}}}\\% + }{}% +% + \ToCLine{#1}{#2.}%[** TN: Regularize dots following chapter titles] +} + + +% Part heading +\newcommand{\PartPage}[2]{% + \setlength{\TmpLen}{24pt}% + \null\vfill\vfill + \begin{center} + \normalsize #1 \\[\TmpLen] + \tb[1in] \\[2\TmpLen] + \LARGE #2 + \end{center} + \vfill\vfill\vfill + \cleardoublepage +} + +%% Running heads +\newcommand{\CtrHeading}[1]{% + {\footnotesize\scshape\MakeTextUppercase{#1}}% +} + +\newcommand{\SetPageNumbers}{% + \ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{% + \fancyhead[RO,LE]{\thepage}% End of ForPrinting + }{% + \fancyhead[R]{\thepage}% + }% +} + +% Sectioning: Chapter, Preface, Section, Article +\newcommand{\ChapterHead}[1]{% + \centering\normalfont\upshape\Large#1% +} + + +\newcounter{PartNo} + +% \Part[Running Head]{N}{Title} +\newcommand{\Part}[3][]{% + \cleardoublepage + \pagestyle{empty} + \phantomsection% + \pdfbookmark[-1]{#2.}{#2}% + \refstepcounter{PartNo}% + \label{part:\thePartNo}% + \ifthenelse{\equal{#1}{}}{% + \addtocontents{toc}{\protect\ToCPart{#2}{#3}}% + }{% + \addtocontents{toc}{\protect\ToCPart{#2}{#1}}% + } + + \PartPage{\MakeTextUppercase{#2}}{\MakeTextUppercase{#3}} + + \pagestyle{fancy} + \setlength{\headheight}{14.5pt} + \fancyhead[CO]{} + + \ifthenelse{\equal{#1}{}}{% + \fancyhead[CE]{\CtrHeading{#3}} + }{% + \fancyhead[CE]{\CtrHeading{#1}} + } + % Odd-page corner marks set in \Chapter + \ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{% + \fancyhead[RO,LE]{\thepage} + }{% End of ForPrinting + \fancyhead[R]{\thepage} + } +} + +% \Chapter{N}{Title} -- for numbered chapters +\newcommand{\Chapter}[3][]{% + \clearpage + + \section*{\ChapterHead{CHAPITRE #2}} +%[** TN: Regularize dots following Chapter subtitles] + \subsection*{\centering\normalfont\bfseries\scshape\MakeLowercase{#3}.} + + \phantomsection\pdfbookmark[0]{Chapitre #2}{Chap \thePartNo.#2}% + \label{chap.\thePartNo.#2} + \ifthenelse{\equal{#1}{}}{% + \addtocontents{toc}{\protect\ToCChap{chap.\thePartNo.#2}{\protect\ToCBox{#2}#3}}% + }{% + \addtocontents{toc}{\protect\ToCChap{chap.\thePartNo.#2}{\protect\ToCBox{#2}#1}}% + } + \thispagestyle{empty} + \fancyhead[CO]{\CtrHeading{CHAPITRE #2}} +} + +% Preface +\newcommand{\Preface}{% + \cleardoublepage% + + % Running heads + \setlength{\headheight}{14.5pt} + + \pagestyle{fancy} + \fancyhf{} + + % page formatting + \section*{\ChapterHead{AVANT-PROPOS}} + + \ctb %[** Centered rule] + + % Bookmark; No ToC entry + \phantomsection\pdfbookmark[0]{Avant-Propos}{Avant-Propos}% + \label{preface} + \addtocontents{toc}{\protect\ToCChap{preface}{\protect\textsc{Avant-propos}}} + + \fancyhead[C]{\CtrHeading{Avant-Propos}} + \thispagestyle{empty} + \SetPageNumbers +} + +\newcommand{\Additions}{% + \clearpage + + \section*{\ChapterHead{ADDITIONS}} + + \phantomsection\pdfbookmark[0]{Additions}{Chap \thePartNo.add}% + \label{appendix} + \addtocontents{toc}{\protect\ToCChap{appendix}{\protect\textsc{Additions}}} + + \thispagestyle{empty} + \fancyhead[C]{\CtrHeading{Additions}} +} + +\newcommand{\Paragraph}[3][\textit]{% + \medskip\par% + \phantomsection\pdfbookmark[1]{No. #2}{No. #2}\textbf{#2}\ #1{#3}% +} +\newcommand{\Subparagraph}[1]{\medskip\par\textit{#1}} +\newenvironment{Theorem}[1]{% + \Paragraph[\textsc]{#1}{Théorème.}\itshape}{\normalfont} + + +% Misc. semantic and convenience macros +\DeclareUnicodeCharacter{00A3}{\pounds} +\DeclareInputText{183}{\ifmmode\cdot\else{\ \textperiodcentered\ }\fi} + +\DeclareMathSizes{12}{12}{9}{8} +%[**** Boldface?] +\DeclareMathSymbol{A}{\mathalpha}{operators}{`A} +\DeclareMathSymbol{B}{\mathalpha}{operators}{`B} +\DeclareMathSymbol{C}{\mathalpha}{operators}{`C} +\DeclareMathSymbol{D}{\mathalpha}{operators}{`D} +\DeclareMathSymbol{E}{\mathalpha}{operators}{`E} +\DeclareMathSymbol{F}{\mathalpha}{operators}{`F} +\DeclareMathSymbol{G}{\mathalpha}{operators}{`G} +\DeclareMathSymbol{H}{\mathalpha}{operators}{`H} +\DeclareMathSymbol{I}{\mathalpha}{operators}{`I} +\DeclareMathSymbol{J}{\mathalpha}{operators}{`J} +\DeclareMathSymbol{K}{\mathalpha}{operators}{`K} +\DeclareMathSymbol{L}{\mathalpha}{operators}{`L} +\DeclareMathSymbol{M}{\mathalpha}{operators}{`M} +\DeclareMathSymbol{N}{\mathalpha}{operators}{`N} +\DeclareMathSymbol{O}{\mathalpha}{operators}{`O} +\DeclareMathSymbol{P}{\mathalpha}{operators}{`P} +\DeclareMathSymbol{Q}{\mathalpha}{operators}{`Q} +\DeclareMathSymbol{R}{\mathalpha}{operators}{`R} +\DeclareMathSymbol{S}{\mathalpha}{operators}{`S} +\DeclareMathSymbol{T}{\mathalpha}{operators}{`T} +\DeclareMathSymbol{U}{\mathalpha}{operators}{`U} +\DeclareMathSymbol{V}{\mathalpha}{operators}{`V} +\DeclareMathSymbol{W}{\mathalpha}{operators}{`W} +\DeclareMathSymbol{X}{\mathalpha}{operators}{`X} +\DeclareMathSymbol{Y}{\mathalpha}{operators}{`Y} +\DeclareMathSymbol{Z}{\mathalpha}{operators}{`Z} + +\DeclareMathOperator{\sn}{sn} +\DeclareMathOperator{\dn}{dn} +\DeclareMathOperator{\cn}{cn} +\DeclareMathOperator{\Mod}{mod.} %**** Some instances need periods + +%% Book's notation for hyperbolic trig functions +\DeclareMathOperator{\Cosh}{cos\,h} +\DeclareMathOperator{\Tanh}{tang\,h} + +\newcommand{\tb}[1][1in]{\rule{#1}{0.5pt}} +\newcommand{\ctb}[1][1in]{\vfill\begin{center}\tb[#1]\end{center}\vfill} + +\newcommand{\Ditto}{\text{»}} + +\renewcommand{\ieme}{\textsuperscript{\textit{ième}}} +\newcommand{\wpbar}{\overline{\wp}} +\newcommand{\cqfd}{c.\,q.\,f.\,d.} +\newcommand{\cinqo}{\FrenchEnumerate5} +\newcommand{\sexto}{\FrenchEnumerate6} + +\newcommand{\Ord}[2]{#1\textsuperscript{#2}} + +\newcommand{\Tag}[1]{\tag*{\ensuremath#1}} +\newcommand{\Eqref}[1]{\ensuremath{#1}} + +\newcommand{\DPtypo}[2]{#2}%[** TN: For corrections] + +% For alignment; \PadTxt[a]{Size}{Text} sets Text in a box as +% wide as Size, with optional alignment (a = c, l, or r). +\newlength{\TmpLen} +\newcommand{\PadTxt}[3][c]{% + \settowidth{\TmpLen}{#2}% + \makebox[\TmpLen][#1]{#3}% +} + +\newcommand{\Input}[2][4in]{% + \includegraphics[width=#1]{./images/#2.pdf}% +} + +% Loosen overall spacing +\newcommand{\stretchyspace}{\spaceskip0.25em plus 0.375em minus 0.125em} +\newcommand{\titlestretch}{\spaceskip0.75em plus 0.5em minus 0.25em} + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% START OF DOCUMENT %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\begin{document} + +\pagestyle{empty} +\pagenumbering{alph} +\phantomsection +\pdfbookmark[-1]{Matière Préliminaire}{Front Matter} + +%%%% PG BOILERPLATE %%%% +\phantomsection +\pdfbookmark[0]{PG Boilerplate}{Project Gutenberg Boilerplate} + +\begin{center} +\begin{minipage}{\textwidth} +\small +\begin{PGtext} +The Project Gutenberg EBook of Abrégé de la Théorie des Fonctions +Elliptiques, by Charles Henry + +This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with +almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or +re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included +with this eBook or online at www.gutenberg.org + + +Title: Abrégé de la Théorie des Fonctions Elliptiques + A l'Usage des Candidats a la Licence ès Sciences Mathématiques + +Author: Charles Henry + +Release Date: June 1, 2010 [EBook #32643] +Most recently updated: June 11, 2021 + +Language: French + +Character set encoding: UTF-8 + +*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK FONCTIONS ELLIPTIQUES *** +\end{PGtext} +\end{minipage} +\end{center} + +\clearpage + + +%%%% Credits and transcriber's note %%%% +\begin{center} +\begin{minipage}{\textwidth} +\begin{PGtext} +Produced by Andrew D. Hwang, Joshua Hutchinson, and the +Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net +(This file was produced from images from the Cornell +University Library: Historical Mathematics Monographs +collection.) +\end{PGtext} +\end{minipage} +\end{center} +\vfill + +\begin{minipage}{0.85\textwidth} +\small +\pdfbookmark[0]{Notes sur la transcription}{Notes sur la transcription} +\subsection*{\centering\normalfont\scshape% +\normalsize\MakeLowercase{\TransNote}}% + +\raggedright +\TransNoteText +\end{minipage} + + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FRONT MATTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\frontmatter + +\pagenumbering{roman} +\pagestyle{empty} + +%% -----File: 001.png---Folio xx------- + +\iffalse +Production Note + +Cornell University Library +produced this volume to replace +the irreparably deteriorated +original. It was scanned using +Xerox software and equipment at +600 dots per inch resolution +and compressed prior to storage +using CCITT Group 4 +compression. The digital data +were used to create Cornell's +replacement volume on paper +that meets the ANSI Standard +Z39.48-1984. The production of +this volume was supported in +part by the Commission on +Preservation and Access and the +Xerox Corporation. 1990. +\fi + +%% -----File: 002.png---Folio xx------- +% [Blank Page] +%% -----File: 003.png---Folio xx------- + +\iffalse +Cornell University Library + +BOUGHT WITH THE INCOME +FROM THE + +SAGE ENDOWMENT FUND + +THE GIFT OF + +Henry W. Sage + +1891 +\fi + +%% -----File: 004.png---Folio xx------- +% [Blank Page] +%% -----File: 005.png---Folio xx------- + +\setlength{\TmpLen}{24pt}% + +\null\vfil\vfil +\begin{center} +\Large ABRÉGÉ \\[\TmpLen] +\scriptsize DE LA \\[\TmpLen] +\makebox[0pt][c]{\Large THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES} +\end{center} +\vfil\vfil\vfil +\cleardoublepage + +%% -----File: 006.png---Folio xx------- +% [Blank Page] +%% -----File: 007.png---Folio xx------- +% Title page +\setlength{\TmpLen}{20pt}% + +{\titlestretch% +\begin{center} +\Large \textbf{ABRÉGÉ} \\[\TmpLen] +\normalsize DE LA THÉORIE \\[\TmpLen] +\scriptsize DES \\[\TmpLen] +\makebox[0pt][c]{\Huge \textbf{FONCTIONS ELLIPTIQUES}} \\[\TmpLen] +\footnotesize% +A L'USAGE DES CANDIDATS \\ +A LA LICENCE ÈS SCIENCES MATHÉMATIQUES \\[\TmpLen] +\scriptsize PAR \\[\TmpLen] +\textbf{\footnotesize\scshape Charles HENRY} \\[0.5\TmpLen] +Maître de Conférences a l'Ecole pratique des hautes études \\ +Bibliothécaire à la Sorbonne \\ +Membre de la Société mathématique de France \\ +\vspace*{2\TmpLen} +\tb + +\vspace*{3\TmpLen} +\Large PARIS + +\normalsize LIBRAIRIE NONY \& C\textsuperscript{ie} + +17, {\scriptsize RUE DES ÉCOLES}, 17 + +1895 +\end{center}} +\cleardoublepage + +%% -----File: 008.png---Folio xx------- +% [Blank Page] +%% -----File: 009.png---Folio 5------- + +\stretchyspace% + +\Preface + +En lisant la dernière édition du \textit{Cours d'analyse} de +M.~Camille Jordan, j'ai été frappé de la façon magistrale +dont y est exposée la théorie des fonctions elliptiques. Afin +de mieux m'assimiler cette partie importante d'un ouvrage +où tout est à méditer, j'en ai fait à mon usage un abrégé où +je ne me suis pas interdit de faire entrer par ci par là des +souvenirs d'autres lectures et aussi quelques idées personnelles. +Ce travail achevé, il m'a semblé que d'autres que +moi pourraient en tirer profit; de là ce petit livre, où, ne +cherchant pas à dissimuler la source à laquelle j'ai si largement +puisé, j'ai conservé toutes les notations qu'a employées +M.~Jordan. + +L'étudiant qui pour la première fois ouvre un traité des +fonctions elliptiques est souvent rebuté par la multiplicité +des formules et l'abondance des calculs, dont il n'aperçoit +pas toujours le but. Mettre en relief les idées principales, +signaler nettement l'objet qu'on se propose, éviter les +longues transformations algébriques qui ne servent qu'à le +masquer, telle est la pensée qui a présidé à la composition +de cet opuscule d'ailleurs purement didactique. + +Pour en alléger le plus possible le contenu, je n'ai pas +%% -----File: 010.png---Folio 6------- +hésité à sacrifier certains développements de la théorie, +intéressants mais non indispensables pour la faire comprendre. +Mon désir est d'être lu non seulement avec fruit, +mais sans fatigue, par les candidats à la licence ès sciences +mathématiques, à qui je m'adresse plus particulièrement. + +\null\hfill +\Ord{1}{er}~Octobre 1894.\qquad + +\vfil +\ctb +\vfil\vfil +\clearpage + +%% -----File: 011.png---Folio 7------- + +\mainmatter + +\Part[Généralités sur les fonctions elliptiques]% +{Première Partie}{Généralités\break\normalsize +concernant les fonctions elliptiques} + +%% -----File: 012.png---Folio 8------- +% [Blank Page] +%% -----File: 013.png---Folio 9------- + + +\Chapter{I}{Des périodes} + +Dans tout ce qui suit, nous supposons connus les principes +de la théorie des fonctions d'une variable complexe, +principes dont nous aurons soin, d'ailleurs, de rappeler +l'énoncé d'une manière suffisamment nette chaque fois que +le besoin s'en fera sentir. + +\Paragraph{1.}{Définitions.} --- On dit qu'une fonction~$f(u)$ est \emph{périodique} +et admet la période~$2\omega$, si elle satisfait à la relation +\[ +f(u + 2\omega) = f(u). +\] + +On peut se demander s'il existe des fonctions admettant +un nombre \emph{quelconque} de périodes. Nous allons voir qu'une +fonction \emph{analytique uniforme} ne peut admettre plus de \emph{deux} +périodes \emph{distinctes}. De là l'intérêt qui s'attache à l'étude des +fonctions doublement périodiques. + +Nous appelons \textsc{fonction elliptique} \emph{toute fonction analytique +uniforme doublement périodique, n'ayant pas d'autres +singularités que des pôles}. + +Une fonction elliptique~$f(u)$ n'a donc, dans le plan de la +variable complexe~$u$, aucun point essentiel à distance finie +de l'origine. + +Expliquons le terme de \emph{périodes distinctes} dont nous venons +de nous servir. Si $f(u)$~admet plusieurs périodes $2\omega, 2\omega', \dotsc$, +%% -----File: 014.png---Folio 10------- +elle admet évidemment pour période toute quantité +\[ +2m\omega + 2m'\omega' + \dotsb, +\] +où $m, m', \dotsc$ sont des entiers quelconques, positifs ou négatifs. + +Si toutes ces quantités sont différentes, on dit que les périodes +$2\omega, 2\omega', \dotsc$ sont \emph{distinctes}. Quand les périodes ne +sont pas distinctes, il existe entre elles une relation linéaire +et homogène à coefficients entiers, puisque pour deux systèmes +au moins de valeurs $m_{1}, m'_{1}, \dotsc$; $m_{2}, m'_{2}, \dotsc$ attribuées +aux entiers $m, m', \dotsc$, on doit, par hypothèse, avoir +\[ + 2m_{1}\omega + 2m'_{1}\omega'+ \dotsb += 2m_{2}\omega + 2m'_{2}\omega'+ \dotsb. +\] + + +\begin{Theorem}{2.} --- Une fonction analytique uniforme ne peut +avoir plus de deux périodes distinctes, à moins de se réduire à +une constante. +\end{Theorem} + +Supposons que la fonction~$f(u)$ ait trois périodes distinctes +\[ +2\omega = \alpha + \beta i, \qquad +2\omega' = \alpha' + \beta' i, \qquad +2\omega''= \alpha'' + \beta''i. +\] + +Toute quantité +\begin{align*} +\Omega + &= 2m\omega + 2m'\omega' + 2m''\omega'' \\ + &= m\alpha + m'\alpha' + m''\alpha'' + (m\beta + m'\beta' + m''\beta'')i +\end{align*} +est une période de~$f(u)$. + +Figurons, dans le plan de la variable complexe~$u$, le +point dont l'affixe est~$\Omega$. Ce point a pour abscisse +$m\alpha + m'\alpha' + m''\alpha''$ et pour ordonnée $m\beta + m'\beta' + m''\beta''$. + +En donnant à chacun des entiers $m, m', m''$ la suite des +valeurs $0, 1, \dotsc, k$, on obtient évidemment $(k+1)^{3}$ +périodes~$\Omega$. Chacun des %[Illustration] +\begin{wrapfigure}{l}{2.25in}%[** TN: Width-dependent break] + \Input[2.25in]{015a} +\end{wrapfigure} +points correspondants a une abscisse +et une ordonnée moindres en valeur absolue que +\[ +kM + kM + kM = 3kM, +\] +$M$~étant une limite supérieure des six quantités $\alpha, \alpha', \alpha''$, +$\beta, \beta', \beta''$. +%% -----File: 015.png---Folio 11------- + +Les $(k+1)^3$ points~$\Omega$ sont donc tous compris à l'intérieur +d'un carré dont le centre est à l'origine et dont les +côtés, parallèles aux axes, ont pour longueur~$6kM$\@. + +Donnons à~$k$ la valeur~$n^2-1$. Les points~$\Omega$ sont au +nombre de~$n^6$. Ils sont tous +contenus dans un carré de +côté~$6(n^2-1)M$\@. On peut, +par des parallèles aux axes, +diviser ce carré en $n^6$ autres +de côté~$\dfrac{6(n^2-1)M}{n^3}$. + +Cela posé, si les périodes +sont distinctes, les $n^6$~points +$\Omega$ le sont aussi. Dès lors ou +bien deux d'entre eux, au +moins, tombent dans une même case; ou bien il n'y a +qu'un point par case, mais alors toutes les cases sont occupées. + +Dans tous les cas, il y aura deux de ces points, $\Omega', \Omega''$, dont +la distance est moindre, comme on le voit immédiatement, +que le triple du côté de chaque petit carré, c'est-à-dire +moindre que $\dfrac{18(n^2-1)M}{n^3}$, quantité qu'on peut rendre +aussi petite qu'on veut en faisant croître~$n$. + +Mais la différence $\Omega' - \Omega''$ est une période, et elle a +précisément pour module la distance des deux points $\Omega', \Omega''$. +La fonction~$f(u)$ admet donc une période infiniment petite. +Ainsi, dans toute région, les points pour lesquels la +fonction analytique uniforme~$f(u)$ reprend la même valeur +ne seraient point isolés, ce qui est impossible (à moins que +$f(u)$~ne se réduise à une constante). + +\begin{Theorem}{3.} --- Une fonction analytique uniforme ne peut +avoir deux périodes distinctes dont le rapport~$\tau$ soit réel, à +moins qu'elle ne se réduise à une constante. +\end{Theorem} + +%% -----File: 016.png---Folio 12------- + +Figurons dans le plan de la variable~$u$ les deux segments +$2\omega_1, 2\omega_2$, +% [Illustration] +\begin{wrapfigure}[8]{l}{2in}%[** TN: Width-dependent break] + \Input[2in]{016a} +\end{wrapfigure} +qui représentent les périodes. +Puisque le rapport $\dfrac{2\omega_2}{2\omega_1} = \tau$ +est réel, les segments ont la même +direction~$OU$ ou sont dans le prolongement +l'un de l'autre. On peut +toujours supposer $\tau$~positif, sans +quoi l'on prendrait pour période +$2\omega_1$~et~$-2\omega_2$ (qui est aussi une période), +et l'on serait ramené à ce cas. + +Les points $2\omega_1, 2\omega_2$ sont alors d'un même côté de l'origine~$O$. + +La différence $2\omega_1 - 2\omega_2 = 2\omega_3$ est une période; +nous supposons que le terme soustractif~$2\omega_2$ a le plus petit +module; sinon nous ferions la différence en sens inverse. +Le point~$2\omega_3$ est alors situé sur la direction~$OU$. + +Supposons $\Mod 2\omega_3 > \Mod 2\omega_2$; on fera la différence +$2\omega_3 - 2\omega_2 = 2\omega_4$; c'est une période, et le point~$2\omega_4$ tombe +encore sur la direction~$OU$\@. + +En opérant toujours de la même manière, on obtient une +suite de points, tous situés sur la droite~$OU$ entre l'origine +et le point~$2\omega_1$. + +Si ces points, où la fonction~$f(u)$ reprend la même valeur, +sont en nombre indéfini, $f(u)$~admet une période infiniment +petite; il faut donc qu'elle se réduise à une constante. + +S'ils sont en nombre limité, c'est que l'une des périodes~$2\DPtypo{\omega_{n'}}{\omega_n'}$ +à laquelle on arrive se confond avec une période déjà +obtenue~$2\omega_n$. Mais il est évident, d'après la manière dont +on les a formées, que ces deux périodes sont des fonctions +linéaires, homogènes, à coefficients entiers, de $2\omega_1, 2\omega_2$. Ces +deux-ci ne seraient donc pas distinctes, ce qui va contre +l'hypothèse. +%% -----File: 017.png---Folio 13------- + +\Paragraph{4.}{Parallélogramme des périodes.} --- La question se pose +maintenant +% [Illustration] +\begin{wrapfigure}{l}{1.5in}%[** TN: Width-dependent break] + \Input[1.5in]{017a} +\end{wrapfigure} +de diviser le plan de la variable +complexe~$u$ en régions telles +que, lorsque $u$~décrit l'une de ces régions, +la fonction doublement périodique~$f(u)$ +prend toutes les valeurs +qu'elle peut acquérir. + +A partir d'un point~$O'$ (qui peut être +ou ne pas être l'origine~$O$ des coordonnées) portons deux +droites représentant en grandeur +et en direction les deux périodes +$2\omega_1, 2\omega_2$.\ --- Ces deux droites font +un angle qui n'est pas nul, d'après +le théorème précédent. On +peut donc sur ces deux droites +construire un parallélogramme~$O'ACB$; +ce sera le \emph{parallélogramme +des périodes}. + +Ce parallélogramme est la région cherchée. Construisons +% [Illustration] +\begin{wrapfigure}{l}{1.75in}%[** TN: Width-dependent break] + \Input[1.5in]{017b}\hfill +\end{wrapfigure} +en effet le réseau complet des parallélogrammes égaux à +celui-là, de manière à en recouvrir tout le plan. Les sommets +de ce réseau seront les points +\[ +O' + 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2. +\] + +Un point quelconque~$U$ a pour homologue dans le parallélogramme +$O'ACB$ un point~$u$ tel que +\[ +U = u + 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2. +\] +On a donc $f(U) = f(u)$, ce qui prouve bien que toutes les +valeurs que peut prendre~$f(u)$ se trouvent dans le seul parallélogramme +$O'ACB$\@. + +Les éléments les plus intéressants du parallélogramme +des périodes sont fournis par l'étude du rapport +\[ +\tau + = \frac{2\omega_2}{2\omega_1} + = \frac{\alpha_2 + \beta_2 i}{\alpha_1 + \beta_1 i} + = \frac{\alpha_1\alpha_2 + \beta_1 \beta_2}{\alpha_1^2 + \beta_1^2} + + \frac{\alpha_1\beta_2 - \alpha_2\beta_1}{\alpha_1^2 + \beta_1^2}i + = r + si. +\] +%% -----File: 018.png---Folio 14------- + +Le signe de la partie imaginaire~$s$ de ce rapport, signe +qui d'ailleurs est celui de $\alpha_1\beta_2 - \alpha_2\beta_1$, va décider d'une +question dont nous apprécierons par la suite toute l'importance: +Quand on fait le tour du parallélogramme en +s'éloignant du point~$O'$ suivant la ligne~$2\omega_1$, la circulation +aura-t-elle lieu dans le sens direct ou dans le sens rétrograde? + +L'argument du quotient de deux quantités complexes +étant égal à l'excès de l'argument du dividende sur l'argument +du diviseur, l'argument de~$\tau$ sera égal à l'angle~$\varphi$ +des deux directions $2\omega_1, 2\omega_2$, angle qu'on obtient par la rotation +dans le sens \emph{direct} d'une droite couchée d'abord sur~$2\omega_1$ +et venant ensuite s'appliquer sur~$2\omega_2$. +%[Illustration] +\begin{center} + \Input{018a} +\end{center} + +Quand l'angle~$\varphi$ est plus petit que~$\pi$, il est clair, comme +le montre la première des deux figures ci-dessus, que la +circulation autour du parallélogramme s'opère dans le sens +direct; elle se fait dans le sens rétrograde (\Ord{2}{e}~figure), lorsque +$\varphi$~est plus grand que~$\pi$. + +Or si l'on appelle~$\rho$ le module de~$\tau$, on a +\[ +\tau = \rho(\cos \varphi + i \sin \varphi) = r + si, +\] +d'où l'on conclut: $\rho \sin \varphi = s$; c'est-à-dire que $\sin \varphi$ +a le signe de~$s$. Donc, quand on suit le contour dans le +sens direct, $\varphi$~étant plus petit que~$\pi$, $s$~est positif; dans le +sens rétrograde, $s$~est négatif. + +Remarquons encore la signification intéressante du numérateur +de +\[ +s = \frac{\alpha_1\beta_2 - \alpha_2\beta_1} + {\alpha_1^2 + \beta_1^2 }. +\] +%% -----File: 019.png---Folio 15------- + +Si nous portons notre attention sur le triangle~$O'AB$, qui +est la moitié du parallélogramme des périodes, nous voyons +que ses sommets $O', A, B$ ont respectivement pour coordonnées +(si l'on place l'origine en~$O'$) +\[ +0,0; \qquad \alpha_1, \beta_1; \qquad \alpha_2, \beta_2. +\] + +Donc la surface de ce triangle a pour mesure +\[ +\frac{1}{2} \lvert \alpha_1 \beta_2 - \alpha_2 \beta_1 \rvert. +\] +Par conséquent $\lvert \alpha_1 \beta_2 - \alpha_2 \beta_1 \rvert$ +représente l'aire du parallélogramme +des périodes. + +\Paragraph{5.}{Réseau des périodes équivalentes.} --- En considérant le +réseau de parallélogrammes construit sur les deux périodes +$2\omega_1, 2\omega_2$, on est amené à se demander si on ne pourrait pas +construire sur d'autres périodes un réseau ayant exactement +les mêmes sommets que celui-là. + +Le problème consiste à chercher ces nouvelles périodes +$2\omega'_1, 2\omega'_2$, \emph{équivalentes} aux périodes données. + +Il y a une infinité de couples de périodes équivalentes. +On obtient tous ces couples de la manière suivante. + +Posons +\[ +2\omega'_1 = 2a \omega_1 + 2b \omega_2, +\] +$a$~et~$b$ étant deux entiers quelconques premiers entre +eux, et déterminons deux nouveaux entiers $c$~et~$d$ (nécessairement +premiers entre eux) par la condition +\[ +ad - bc = ± 1 +\] +(il y a une infinité de nombres $c, d$ répondant à la question); +puis posons +\[ +2\omega'_2 = 2c \omega_1 + 2d \omega_2. +\] + +Je dis que $(2\omega'_1, 2\DPtypo{\omega_2}{\omega'_2})$ est un couple de périodes équivalentes +à~$2\omega_1, 2\omega_2$. En effet les formules +\[ +2\omega'_1 = 2a \omega_1 + 2b \omega_2, \qquad +2\omega'_2 = 2c \omega_1 + 2d \omega_2 +\] +montrent manifestement que \emph{tous} les sommets du réseau~$R'$ +%% -----File: 020.png---Folio 16------- +des périodes $2\omega'_1, 2\omega'_2$ se trouvent \emph{parmi} les sommets du +réseau~$R$ des périodes $2\omega_1, 2\omega_2$. + +Mais ces équations, résolues par rapport à $2\omega_1, 2\omega_2$, donnent, +si l'on tient compte de ce que le déterminant +$ad - bc$ est égal à~$± 1$, +\[ +2\omega_1 = ±( 2d \omega'_1 - 2b \omega'_2), \qquad +2\omega_2 = ±(-2c \omega'_1 + 2a \omega'_2). +\] + +Ces nouvelles formules, où les coefficients de $\omega'_1, \omega'_2$ sont +des \emph{entiers}, prouvent que \emph{tous} les sommets du réseau~$R$ se +trouvent parmi les sommets de~$R'$. + +Les deux réseaux ont donc exactement les mêmes sommets, +\cqfd + +\Subparagraph{L'aire de chaque parallélogramme du nouveau réseau est +égale à l'aire de chaque parallélogramme de l'ancien.} + +En effet si l'on pose +\begin{align*} + 2\omega_1 &= \alpha_1 + \beta_1 i, & 2\omega_2 &= \alpha_2 + \beta_2 i, +\\ + 2\omega'_1 &= \alpha'_1 + \beta'_1 i, & 2\omega'_2 &= \alpha'_2 + \beta'_2 i, +\end{align*} +l'aire du parallélogramme des nouvelles périodes est +égale à +\begin{align*} +\lvert \alpha'_1 \beta'_2 - \alpha'_2 \beta'_1 \rvert + &= \lvert (a \alpha_1 + b \alpha_2) (c \beta_1 + d \beta_2) + - (c \alpha_1 + d \alpha_2) (a \beta_1 + b \beta_2) \rvert +\\ + &= \lvert (ad - bc) (\alpha_1 \beta_2 - \beta_1 \alpha_2) \rvert + = \lvert \alpha_1 \beta_2 - \beta_1 \alpha_2 \rvert, +\end{align*} +ce qui démontre bien que les mailles des deux réseaux +sont équivalentes. + +\ctb +%% -----File: 021.png---Folio 17------- + +\Chapter[Transformation des fonctions elliptiques]% +{II}{Transformation des fonctions elliptiques\protect\footnotemark} +\footnotetext{On peut, dans une première lecture, sauter ce chapitre, dont la + place naturelle nous a semblé être immédiatement après l'étude des + périodes et des réseaux.} + +\Paragraph{6.}{Enoncé du problème de la transformation.} --- Une fonction +elliptique $f(u, \omega_1, \omega_2)$ aux périodes $2\omega_1, 2\omega_2$ est connue +en tout point du plan si l'on connaît la succession des valeurs +qu'elle prend dans l'un des parallélogrammes construits +sur ces deux périodes, par exemple, pour fixer les +idées, dans celui qui contient l'origine. La succession de +ces valeurs elle-même est complètement déterminée quand +on se donne certains éléments en nombre fini. + +Ainsi $f(u, \omega_1, \omega_2)$ est déterminée quand on se donne, à +l'intérieur du parallélogramme en question, ses pôles, ses +zéros, leur ordre de multiplicité, et de plus la valeur~$f_0$ de +la fonction pour $u = 0$ (si cette fonction est finie à l'origine) +ou, si l'origine est un pôle, la valeur~$C$ du terme constant +dans le développement de la partie infinie (voir plus +loin, \Ord{1}{re}~partie, ch.~III, 13). %[xref] + +Si la position des zéros et des pôles ainsi que la valeur~$f_0$ +(ou~$C$) sont des fonctions données des périodes, on peut se demander +quelle relation existe entre $f(u, \omega_1, \omega_2)$ et la fonction +$f(u, \omega'_1, \omega'_2)$ aux périodes $2\omega'_1, 2\omega'_2$ liées à $2\omega_1, 2\omega_2$ par +les relations à coefficients entiers +\[ +2\omega_1 = 2a \omega'_1 + 2b \omega'_2, \qquad +2\omega_2 = 2c \omega'_1 + 2d \omega'_2. +\] + +C'est dans la recherche de cette relation que consiste le +%% -----File: 022.png---Folio 18------- +problème de la \emph{transformation des fonctions elliptiques}. +Nous verrons plus loin (\Ord{2}{e}~partie, ch.~IV, 39) que $f(u_1,\omega_1,\omega_2)$ %[xref] +est liée à sa transformée $f(u_1,\omega'_1,\omega'_2)$ par une équation +algébrique. + +\Paragraph{6}{bis. Transformation du premier degré.} --- Lorsque le +déterminant $ad - bc$ a pour valeur~$±1$, c'est-à-dire +lorsque la substitution d'un couple de périodes à l'autre +conserve les sommets du réseau, la transformation est du +\emph{premier degré}. + +Il y a des fonctions elliptiques que n'altère pas la transformation +du premier degré. Telle est celle que Weierstrass +a nommée~$\wp u$. Cette fonction~$\wp u$ a, à l'origine, un pôle double, +sans résidu, avec l'unité pour coefficient du terme de +degré~$-2$; elle n'a pas d'autre pôle à l'intérieur du +parallélogramme des périodes qui contient l'origine, enfin +la différence $\wp u - \dfrac{1}{u^2}$ s'annule avec~$u$. Ces conditions, +comme nous le verrons, suffisent pour déterminer~$\wp u$. Or +$\wp u$~conserve sa valeur au point~$u$ lorsqu'on change les périodes +en gardant les sommets du réseau. C'est une propriété +dont ne jouissent pas les fonctions elliptiques autrefois +introduites dans la science par Abel et Jacobi, et c'est +là un des avantages de la fonction~$\wp u$ sur ces anciennes +fonctions. + +\Paragraph{7.}{Transformations d'un degré quelconque.} --- Lorsque +le déterminant $ad - bc$ est égal, en valeur absolue, à un +entier~$n$, on dit que la transformation est \emph{de degré~$n$}. Quand +$n$~est plus grand que~$1$, le problème de la transformation +peut être simplifié: au lieu d'effectuer d'un coup la transformation +la plus générale du degré~$n$, on obtient le même +résultat en effectuant successivement quatre transformations +beaucoup plus faciles. + +La première de ces quatre transformations consiste à +conserver l'une des périodes et à remplacer l'autre par la +%% -----File: 023.png---Folio 19------- +$\theta$\ieme~partie de sa valeur, $\theta$~étant le plus grand commun diviseur +de~$a$ et de~$b$. + +La deuxième transformation est du premier degré. + +La troisième aussi. + +La quatrième consiste à remplacer l'une des périodes +par la $n'$\ieme~partie de sa valeur $\left(n' = \dfrac{n}{\theta}\right)$ en conservant +l'autre période. + +Démontrons tout ceci. + +Si $a', b'$ sont les quotients (nécessairement premiers +entre eux) de $a, b$ par leur plus grand commun diviseur~$\theta$, +la transformation proposée pourra être mise sous la forme +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \omega_1 + &= \theta a' \centerdot \omega'_1 + \theta b' \centerdot \omega'_2,\\ + \omega_2 + &= c\omega'_1 + d\omega'_2, +\end{aligned} +\right. +\] +et, si l'on pose $\dfrac{\omega_1}{\theta} = \Omega_1$, $\omega_2 = \Omega_2$, celle-ci pourra être +remplacée par les deux suivantes effectuées l'une après +l'autre +\[ +(1)\quad +\left\{ +\begin{aligned} +\omega_1 &= \DPtypo{\theta_{\Omega_1}}{\theta\Omega_1},\\ +\omega_2 &= \Omega_2, +\end{aligned} +\right. +\qquad \text{et} \qquad +(1')\quad +\left\{ +\begin{aligned} +\Omega_1 &= a'\omega_1' + b'\omega_2',\\ +\Omega_2 &= c \omega_1' + d \DPtypo{\omega'}{\omega'_2}. +\end{aligned} +\right. +\] + +La transformation~\Eqref{(1)} est la première des quatre transformations +annoncées; on y conserve la période~$\omega_2$ et l'on +y remplace~$\omega_1$ par~$\dfrac{\omega_1}{\theta}$. + +II nous faut maintenant décomposer en trois autres la +transformation~\Eqref{(1')} au déterminant +\[ +a'd -b'c = \frac{ad - bc}{\theta} = \frac{n}{\theta} = n'. +\] + +\emph{Tous} les sommets du réseau~$\R$ des périodes $2\Omega_1, 2\Omega_2$ se +trouvent \emph{parmi} les sommets plus nombreux du réseau~$R'$ +des périodes $2\omega'_1, 2\omega'_2$. Mais nous allons montrer que, sur +la direction~$2\Omega_1$, ne se trouve aucun sommet de~$R'$ +%% -----File: 024.png---Folio 20------- +autre que ceux qui appartiennent déjà à~$\R$\@. Ce fait important +résulte de ce que $a'$~et~$b'$ sont premiers entre eux. + +En effet, si l'un des sommets du réseau~$R'$ est à l'origine +(ce qu'on peut toujours supposer), tous les autres sont +compris dans l'expression $2\alpha\omega'_1 + 2\beta\omega'_2$ où $\alpha$~et~$\beta$ sont +des entiers. S'il y avait $q$~de ces sommets sur la direction~$2\Omega_1$ +entre deux sommets consécutifs du réseau~$\R$, l'expression +de tous ces sommets serait $\dfrac{p}{q}\,2\Omega_1$, et comme +$\Omega_1 = a'\omega'_1 + b'\omega'_2$, il existerait des valeurs entières $\alpha, \beta$ +pour lesquelles on aurait +\[ +\alpha\omega'_1 + \beta\omega'_2 + = \frac{pa'}{q}\, \omega'_1 + \frac{pb'}{q}\, \omega'_2. +\] +Or ceci est impossible, car si l'on prend $p$~premier avec~$q$, +comme $a'$~et~$b'$ sont premiers entre eux, les nombres +$\dfrac{pa'}{q}, \dfrac{pb'}{q}$ ne peuvent être l'un et +l'autre des entiers. + +Ce point acquis, conservons la période~$2\Omega_1$, que nous appellerons~$2O_1$, +et associons-lui une nouvelle période~$2O_2$ de +façon à conserver les sommets du réseau~$\R$\@. Les formules +de transformation devront être +\[ +\Tag{(2)} +\left\{ +\begin{aligned} +\Omega_1 &= O_1, \\ +\Omega_2 &= \mu O_1 + O_2, +\end{aligned} +\right. +\] +pour que le déterminant de la transformation soit égal à~$1$. + +Cherchons maintenant à déterminer la direction~$O_2$ de +telle façon que, si nous substituons à $2\omega'_1, 2\omega'_2$ deux nouvelles +périodes $2O'_1, 2O'_2$ ayant respectivement les mêmes +directions que $2O_1, 2O_2$, les sommets du réseau~$R'$ soient +conservés. Les formules de transformation seront +\[ +\Tag{(3)} +\left\{ +\begin{aligned} +O'_1 &= a'\omega'_1 + b'\omega'_2,\\ +O'_2 &= p\omega'_1 + q\omega'_2, +\end{aligned} +\right. +\qquad a'q - b'p = 1. +\] + +La première de ces relations résulte de ce que, les deux +%% -----File: 025.png---Folio 21------- +réseaux $\R$~et~$R'$ ayant les mêmes sommets sur la direction~$2O_1$, +on doit avoir $2O'_1 = 2O_1$. Or +\[ +O_1 = \Omega_1 = a'\omega' + b'\omega'. +\] + +Enfin la coïncidence des deux directions $2O_1$~et~$2O'_1$ et +celle des deux directions $2O_2, 2O'_2$ s'exprimeront par les +équations +\[ +\Tag{(4)} +\left\{ +\begin{aligned} + O_1 &= O'_1, \\ + O_2 &= \lambda O'_2. +\end{aligned} +\right. +\] + +Tout ceci entraîne des équations de condition entre les +inconnues $\mu, p, q, \lambda$, et ces équations devront pouvoir +être résolues en nombres entiers par rapport à ces quatre +lettres. + +Par la seconde des formules~\Eqref{(3)}, $O'_2$~se trouve exprimé +en fonction de $\omega'_1, \omega'_2$. + +Exprimons $O_2$ au moyen des mêmes périodes. Des relations +\Eqref{(2)}~et~\Eqref{(1')} nous tirons +\[ +O_2 = \Omega_2 - \mu\Omega_1 + = (c\omega'_1 + d\omega'_2) - \mu(a'\omega'_1 + b'\omega'_2). +\] + +Substituant dans la dernière formule~\Eqref{(4)} ces expressions +de $O_2, O'_2$, on a +\[ +(c\omega'_1 + d\omega'_2) - \mu(a'\omega'_1 + b'\omega'_2) + = \lambda(p\omega'_1 + q\omega'_2). +\] + +Les périodes $2\omega'_1, 2\omega'_2$ ne pouvant être liées par une relation +linéaire et homogène à coefficients entiers, il faut que +l'on ait +\[ +\begin{aligned} + c - \mu a' &= \lambda p, \\ + d - \mu b' &= \lambda q, +\end{aligned} +\qquad \text{avec} \qquad a'q - b'p = 1. +\] + +Ce sont là trois équations qui doivent livrer des valeurs +entières pour $\lambda, \mu, p, q$. Éliminant~$\mu$ entre les deux +premières, on trouve +\[ +\lambda(aq - bp) = a'd - b'c, +\] +c'est-à-dire~$\lambda = n'$. + +La première équation donne alors +%% -----File: 026.png---Folio 22------- +\begin{align*} +\mu = \frac{c - n'p}{a'} = \frac{c - (a'd - b'c)p}{a'} + &= \frac{c(1 + b'p)}{a'} - pd \\ + &= c \frac{a'q}{a'} - pd = cq - dp. +\end{align*} + +On trouve bien pour $\mu$ une valeur entière. + +Enfin $p$~et~$q$ ne sont assujettis qu'à la condition +\[ +a'q - b'p = 1 +\] +vérifiée par une infinité de nombres entiers. + +Résumons-nous et concluons. + +On veut effectuer sur la fonction elliptique~$f(u)$ la transformation +générale du degré~$n$ +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +\omega_1 &= a\omega'_1 + b\omega'_2, \\ +\omega_2 &= c\omega'_1 + d\omega'_2, +\end{aligned} +\right. +\] +c'est-à-dire qu'on cherche la relation entre $f(u,\omega_1,\omega_2)$ et +$f(u,\omega'_1,\omega'_2)$. + +On commencera par faire la transformation particulière +de degré~$\theta$ +\[ +\Tag{(1)} +\left\{ +\begin{aligned} +\omega_1 &= \theta\Omega_1, \\ +\omega_2 &= \Omega_2, +\end{aligned} +\right. +\] +c'est-à-dire qu'on cherchera la relation entre $f(u,\omega_1,\omega_2)$ et +$f(u,\Omega_1,\Omega_2) = f\left(u,\dfrac{\omega_1}{\theta},\omega_2\right)$; $\theta$~est le plus grand commun +diviseur de $a$~et~$b$. On déterminera les quotients $a', b'$ de +$a, b$ par~$\theta$; on prendra deux nombres $p, q$ assujettis à la +condition +\[ +a'q - b'p = 1, +\] +et l'on calculera le nombre $\mu = cq - dp$. + +Cela fait, on effectuera la transformation du premier degré +\[ +\Tag{(2)} +\left\{ +\begin{aligned} +\DPtypo{\Omega}{\Omega_1} &= O_1, \\ +\Omega_2 &= \mu O_1 + O_2, +\end{aligned} +\right. +\] +qui donnera la relation entre $f(u,\Omega_1,\Omega_2)$ et $f(u,O_1,O_2)$. +%% -----File: 027.png---Folio 23------- + +D'autre part, on fera la transformation du premier degré +\[ +\Tag{(3)} +\left\{ +\begin{aligned} +O'_1 &= a'\omega'_1 + b'\omega'_2, \\ +O'_2 &= p \omega'_1 + q \omega'_2. +\end{aligned} +\right. +\] +On aura ainsi la relation entre $f(u,\omega'_1,\omega'_2)$ et $f(u,O'_1,O'_2)$. + +Enfin, on réalisera la transformation particulière de +degré~$n'$ +\[ +\Tag{(4)} +\left\{ +\begin{aligned} +O_1 &= O'_1, \\ +O_2 &= n'O'_2, +\end{aligned} +\right. +\] +qui fournit la relation entre $f(u,O_1,O_2)$ et +\[ +f(u, O'_1, O'_2) + = f\left(u, O_1, \frac{O_2}{n'} \right). +\] + +En rapprochant les résultats de ces opérations, on aura +la relation cherchée entre $f(u,\omega_1,\omega_2)$ et $f(u,\omega'_1,\omega'_2)$. + +Ainsi se trouve justifié tout ce que nous avions annoncé. + +Le problème est particulièrement simple pour la fonction~$\wp u$. +Nous avons dit en effet qu'une transformation du premier degré ne +change pas la valeur de cette fonction. On a donc +\begin{align*} +\wp(u,\Omega_1, \Omega_2) &= \wp(u,O_1, O_2), \\ +\wp(u,\omega'_1,\omega'_2) &= \wp(u,O'_1,O'_2). +\end{align*} + +Nous établirons dans la suite que, si l'on divise une des périodes +par un entier~$\nu$, la nouvelle fonction~$\wp u$ est une fonction +rationnelle~$R_\nu$ de degré~$\nu$ de l'ancienne. Par conséquent, +\begin{align*} +\wp(u,\Omega_1,\Omega_2) + &= \wp\left(u,\frac{\omega_1}{\theta},\omega_2 \right) + = R_\theta\bigl[\wp(u,\omega_1,\omega_2)\bigr], \\ +\wp(u,O'_1,\DPtypo{O_2}{O'_2}) + &= \wp\left(u,O_1,\frac{O_2}{n'} \right) + = R_{n'}\bigl[\wp(u,O_1,O_2)\bigr]; +\end{align*} +c'est-à-dire, en vertu des relations qui précèdent, +\begin{align*} +\wp(u,O_1,O_2) &= R_\theta\bigl[\wp(u,\omega_1,\omega_2)\bigr], \\ +\wp(u,\omega'_1,\omega'_2) &= R_{n'}\bigl[\wp(u,O_1,O_2)\bigr]; +\end{align*} +%% -----File: 028.png---Folio 24------- +d'où résulte manifestement que $\wp(u,\omega'_1,\omega'_2)$ est une \emph{fonction +rationnelle} du degré $n'\theta = n$ de~$\wp(u,\omega_1,\omega_2)$. + +Nous avons donc réduit le problème général de la transformation +de la fonction~$\wp u$ au problème de la \emph{division des +périodes} de cette fonction, problème que la suite de la +théorie nous enseignera à résoudre. + +\ctb +%% -----File: 029.png---Folio 25------- + + +\Chapter{III}{Théorèmes généraux sur les fonctions elliptiques} + +\begin{Theorem}{8.} --- Une fonction elliptique entière se réduit +à une constante. +\end{Theorem} + +Car son module reste fini dans un parallélogramme des +périodes et, à cause de la périodicité, dans tout le plan. Or +une fonction analytique uniforme dont le module reste partout +fini se réduit nécessairement à une constante. + +\begin{Theorem}{9.} --- La somme des résidus d'une fonction elliptique~$f(u)$ +par rapport aux pôles situés dans un parallélogramme +des périodes est égale à zéro. +\end{Theorem} + +Car cette somme est, d'après un théorème général +de Cauchy, égale à l'intégrale $\displaystyle\frac{1}{2\pi{i}}\int f(u)\,du$ prise dans le +sens direct autour du parallélogramme. Or cette intégrale +est nulle, car deux éléments différentiels $f(u)\, du$, qui correspondent +à deux points homologues sur deux côtés opposés, +sont égaux et de signe contraire. + +\Paragraph{10.}{Ordre d'une fonction elliptique.} --- L'\emph{ordre} d'une fonction +elliptique est le nombre des pôles qu'elle possède dans +un parallélogramme des périodes, un pôle multiple comptant +pour autant de pôles qu'il y a d'unités dans son degré +de multiplicité. + +\Subparagraph{Cet ordre est au moins égal à~$2$.} --- Car si la fonction +n'avait qu'un pôle simple, le résidu correspondant à ce +%% -----File: 030.png---Folio 26------- +pôle étant différent de zéro, la somme des résidus ne serait pas +nulle. + +\begin{Theorem}{11.} --- Si une fonction elliptique~$f(u)$ est d'ordre~$n$, +l'équation $f(u) = c$, où $c$~est une constante quelconque, a, +dans le parallélogramme des périodes, $n$~racines (égales ou +inégales). +\end{Theorem} + +Car les pôles de la fonction $f(u) - c$, étant les mêmes +que ceux de~$f(u)$, sont au nombre de~$n$. D'autre part, si $m$~désigne +le nombre des racines de l'équation +\[ +f(u) - c = 0, +\] +la différence $m - n$ est égale, comme nous l'apprend un +théorème de Cauchy, à l'intégrale +\[ +\frac{1}{2\pi i} \int\frac{f'(u)}{f(u) - c}\, du +\] +prise dans le sens direct autour du parallélogramme. La +fonction $\dfrac{f'(u)}{f(u) - c}$ étant périodique comme~$f(u)$, cette intégrale +est nulle. Donc $m = n$, \cqfd + +\begin{Theorem}{12.} --- Dans un parallélogramme des périodes, +la somme des zéros d'une fonction elliptique est égale à celle +de ses pôles, augmentée d'une période convenable. +\end{Theorem} + +Car la différence entre la somme $\beta_1 + \beta_2 + \dots$ de ces +zéros et la somme $\alpha_1 + \alpha_2 + \dots$ de ces pôles est donnée +(Cauchy) par l'intégrale +\[ +\beta_1 + \beta_2 + \dots - (\alpha_1 + \alpha_2 + \dots) + = \frac{1}{2\pi i}\int \frac{uf'(u)}{f(u)}\,du +\] +% [Ilustration:] +\begin{wrapfigure}{l}{2in} + \Input[2in]{030a} +\end{wrapfigure} +prise dans le sens direct autour +du parallélogramme. + +Si pour un instant on désigne +$\dfrac{uf'(u)}{f(u)}$ par~$F(u)$ et que +dans l'intégrale~$\int F(u)\, du$ on groupe deux par deux les +éléments +%% -----File: 031.png---Folio 27------- +correspondants sur les côtés opposés, on aura +\[ +\int F(u)\, du + = \int_{O'A} \bigl[F(u) - F(u + 2\omega_2)\bigr]\, du + - \int_{O'B} \bigl[F(u) - F(u + 2\omega_1)\DPtypo{}{\bigl]}\,du\DPtypo{\bigl]}{}. +\] + +Or +\begin{align*} +F(u) - F(u + 2\omega_2) + &= u\,\frac{f'(u)}{f(u)} + - (u + 2\omega_2)\, \frac{f'(u + 2\omega_2)}{f(u + 2\omega_2)} + = -2\omega_2\, \frac{f'(u)}{f(u)}, \\ +F(u) - F(u + 2\omega_1) + &= u\,\frac{f'(u)}{f(u)} + - (u + 2\omega_1)\, \frac{f'(u + 2\omega_1)}{f(u + 2\omega_1)} + = -2\omega_1\, \frac{f'(u)}{f(u)}. +\end{align*} + +Il en résulte +\[ +\int F(u)\, du + = -2\omega_2 \int_{O'}^{O' + 2\omega_1} \frac{f'(u)}{f(u)}\, du + + 2\omega_1 \int_{O'}^{O' + 2\omega_2} \frac{f'(u)}{f(u)}\, du. +\] +Mais, $\dfrac{f'(u)}{f(u)}$ reprenant la même valeur aux deux limites $O', +O' + 2\omega_1$ (ou $O', O' + 2\omega_2$), $\log f(u)$, qui représente l'intégrale +$\displaystyle\int \frac{f'(u)}{f(u)}\,du$, doit ou bien avoir repris la même valeur ou +s'être accrû d'un multiple de~$2\pi i$. Par suite +\[ +\int F(u)\, du + = -2\omega_2 \centerdot 2m_2\pi i + 2\omega_1\centerdot 2m_1\pi i. +\] + +Cette valeur de $\int F(u)\, du$, c'est-à-dire de $\displaystyle\int \frac{uf'(u)}{f(u)}\,du$, substituée +dans la formule qui exprime la différence +\[ +\beta_1 + \beta_2 + \dots - (\alpha_1 + \alpha_2 + \dots) +\] +donne finalement +\[ +\beta_1 + \beta_2 + \dots - (\alpha_1 + \alpha_2 + \dots) + = 2m_1\omega_1 - 2m_2\omega_2, +\] +ce qui démontre notre proposition. + +\begin{Theorem}{13.} --- Une fonction elliptique est déterminée à +un facteur constant près par ses périodes, ses pôles et ses +zéros donnés avec leur degré de multiplicité. +\end{Theorem} + +Car si deux fonctions elliptiques $f(u)$~et~$\varphi(u)$ ont les +mêmes périodes, les mêmes pôles et les mêmes zéros, leur +quotient~$\dfrac{f(u)}{\varphi(u)}$, étant nécessairement une fonction elliptique +%% -----File: 032.png---Folio 28------- +entière, se réduit à une constante~$C$. On a donc +\[ +f(u) = C\varphi(u). +\] + +\begin{Theorem}{14.} --- Une fonction elliptique est déterminée à +une constante additive près quand on donne ses périodes, ses +pôles et le développement de sa partie infinie autour de chacun +d'eux. +\end{Theorem} + +Car si $f(u)$~et~$\varphi(u)$ sont deux fonctions elliptiques ayant +mêmes périodes, mêmes pôles et même partie infinie autour +de chaque pôle, la différence $f(u) - \varphi(u)$, qui est une +fonction elliptique entière, doit se réduire à une constante~$C$. +On a donc +\[ +f(u) = \varphi(u) + C. +\] + +Jusqu'ici nous avons admis l'existence des fonctions elliptiques. +Il nous reste à prouver cette existence, et nous +ne pouvons le faire qu'en construisant de pareilles fonctions. + +\ctb +%% -----File: 033.png---Folio 29------- + + +\Part{Deuxième Partie}{La fonction $\wp u$} + +%% -----File: 034.png---Folio 30------- +% [Blank Page] +%% -----File: 035.png---Folio 31------- + + +\Chapter{I}{Construction et propriétés de la fonction $\wp u$} + +\Paragraph{15.}{Construction de $\wp u$.} --- La plus simple de toutes les +fonctions elliptiques a été réalisée par Weierstrass. Elle est +du second ordre; elle a un pôle double sans résidu à l'origine +et par conséquent en tous les points +\[ +w = 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2, +\] +$2\omega_1, 2\omega_2$ désignant les périodes données; dans le voisinage +du pôle~$w$, sa partie infinie se réduit à~$\dfrac{1}{(u-w)^2}$. Nous +savons maintenant que ces conditions déterminent la fonction +cherchée~$\wp u$ à une constante additive près. On réalise +cette fonction au moyen de la série à double entrée +\[ +\wp u = \frac{1}{u^2} + + \sum \left[ \frac{1}{(u - w)^2} - \frac{1}{w^2} \right], +\] +où la sommation s'étend à tous les systèmes de valeurs entières +attribuées à~$m_1$ et à~$m_2$, le seul système $m_1 = m_2 = 0$ +excepté. + +Les termes constants~$\dfrac{1}{w^2}$ ont été retranchés des termes +$\dfrac{1}{(u-w)^2}$ pour rendre la série convergente, comme nous +allons le montrer. + +Admettant provisoirement cette convergence, nous +voyons que le développement admet les deux périodes $2\omega_1$~et~$2\omega_2$, +%% -----File: 036.png---Folio 32------- +car le changement de~$u$ en $u + 2\omega_1$ ou $u + 2\omega_2$ +n'a d'autre effet que d'en permuter les termes. + +La série qui définit~$\wp u$ est absolument et uniformément +convergente dans toute région du plan qui ne contient aucun +des points $w = 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2$. En effet le terme +général peut être écrit +\[ +\frac{1}{(u - w)^2} - \frac{1}{w^2} + = \frac{2uw - u^2}{w^2(u - w)^2} + = \frac{2u - \dfrac{u^2}{w}}{\left(1 - \dfrac{u}{w}\right)^2} + · \frac{1}{w^3}. +\] + +Le terme qui multiplie~$\dfrac{1}{w^3}$ a un module fini en tous les +points autres que les points~$w$. Il suffit donc d'établir la +convergence absolue de la série~$\displaystyle\sum \frac{1}{w^3}$ ou plus généralement +de +\[ +\sum \frac{1}{w^\lambda} + = \sum \frac{1}{(2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2)^\lambda}, +\] +lorsque $\lambda$~est un nombre réel plus grand que~$2$. + +Or la série des modules des différents termes a pour +terme général +\[ +\frac{1}{\bigl[(\alpha_1m_1 + \alpha_2m_2)^2 + + (\beta_1m_1 + \beta_2m_2)^2 \bigr]^{\frac{\lambda}{2}}}, +\] +$\alpha_1, \alpha_2$ désignant les parties réelles et $\beta_1, \beta_2$ les parties imaginaires +de~$2\omega_1, 2\omega_2$. + +Celle-ci sera convergente en même temps que la série +plus simple +\[ +S = \sum \frac{1}{[m_1^2 + m_2^2]^\frac{\lambda}{2}}, +\] +car, si l'on pose $\dfrac{m_2}{m_1} = \mu$, le rapport des termes correspondants +ne dépend que de~$\mu$ et ce rapport +\[ +\left[\frac{(\alpha_1 + \alpha_2\mu)^2 + (\beta_1 + \beta_2\mu)^2} + {1 + \mu^2} \right]^\frac{\lambda}{2} +\] +ne devient jamais, quel que soit~$\mu$, ni nul ni infini. +%% -----File: 037.png---Folio 33------- + +Nous sommes donc ramenés à étudier la série double~$S$\@. +En laissant de côté les valeurs négatives de $m_1, m_2$, nous +pouvons la considérer comme la somme de quatre autres: +la première, simple, comprenant tous les termes où +$m_1 = 0$; la deuxième, simple aussi, formée de tous les termes +où $m_2=0$; la troisième, double, formée de tous les +termes où $m_2\geq m_1$; la quatrième, double, formée de tous +les termes où $m_1\geq m_2$; en sorte que +\begin{multline*} +S = \sum_1^{+\infty}\frac{1}{m_1^\lambda} + + \sum_1^{+\infty}\frac{1}{m_2^\lambda} + + \sum_{m_1=1}^{m_1=\infty}\sum_{m_2=m_1}^{m_2=\infty} + \frac{1}{(m_1^2 + m_2^2)^\frac{\lambda}{2}} \\ + + \sum_{m_2=1}^{m_2=\infty}\sum_{m_1=m_2}^{m_1=\infty} + \frac{1}{(m_1^2 + m_2^2)^\frac{\lambda}{2}}. +\end{multline*} + +Par raison de symétrie la première et la seconde de ces +quatre séries sont égales entre elles, la troisième et la quatrième +aussi égales entre elles. + +D'ailleurs la première série est, on le sait, convergente +pour~$\lambda>1$. + +Nous n'avons plus à étudier que la troisième série, qui +est double. Occupons-nous d'abord de la série simple +\[ +\sum_{m_2=m_1}^{m_2=\infty} \frac{1}{(m_1^2 + m_2^2)^\frac{\lambda}{2}}, +\] +où $m_1$~est fixe. Son terme général est inférieur à~$\dfrac{1}{m_2^\lambda}$. Or +la série dont le terme de rang~$m_2 - m_1$ est $\dfrac{1}{m_2^\lambda}$~a une somme +de même ordre que l'intégrale $\displaystyle\int_{m_1}^{\infty}\frac{dx}{x^\lambda}$ (règle de Cauchy). +Comme $\lambda$~doit être plus grand que~$1$, cette intégrale a pour +valeur $\dfrac{1}{\lambda-1}\,\dfrac{1}{m_1^{\lambda-1}}$. On peut donc écrire, $K$~étant un nombre +%% -----File: 038.png---Folio 34------- +fini, +\[ +\sum_{m_2=m_1}^{m_2=\infty} \frac{1}{(m_1^2 + m_2^2)^\lambda} + < K\, \frac{1}{m_1^{\lambda-1}}. +\] + +Il faut maintenant donner à~$m_1$ toutes les valeurs entières +de $1$~à~l'infini, et faire la somme des quantités ainsi +obtenues; on aura +\[ +\sum_{m_1=1}^{m_1=\infty} \sum_{m_2=m_1}^{m_2=\infty} + \frac{1}{(m_1^2 + m_2^2)^\lambda} + < K \sum_{m_1=\DPtypo{\infty}{1}}^{m_1=\infty} \frac{1}{m_1^{\lambda-1}}. +\] + +Mais la série qui figure au second membre converge +pour $\lambda-1 > 1$, c'est-à-dire pour $\lambda>2$,~\cqfd + +La convergence absolue de la série~$\wp u$ en tout point~$u$ +qui ne coïncide pas avec un des points~$w$ se trouve ainsi +établie. La série est de plus uniformément convergente, car +nous avons ramené la question de sa convergence à celle +de la convergence de la série~$\displaystyle\sum\frac{1}{w^3}$, laquelle a ses termes indépendants +de~$u$. + +\Paragraph{16.}{Double périodicité de $\wp u$.\ --- Parité.\ --- Homogénéité.\ +--- Invariance dans toutes les transformations du premier +degré.} --- \primo Nous avons déjà mis en évidence la double périodicité +de~$\wp u$. Les deux périodes sont $2\omega_1, 2\omega_2$. + +\secundo \textit{La fonction~$\wp u$ est paire.} Car, dans la série qui la représente, +nous avons le droit d'écrire~$-w$ au lieu de~$w$, +ce qui ne fait qu'échanger les termes deux à deux. Si alors +nous changeons~$u$ en~$-u$, nous obtenons +\[ +\wp(-u) = \frac{1}{(-u)^2} + + \sum \left[\frac{1}{(-u + w)^2} - \frac{1}{(-w)^2}\right], +\] +expression visiblement identique à~$\wp u$. + +\tertio Considérée comme fonction des trois quantités $u, 2\omega_1, +2\omega_2$, $\wp u$~est homogène et de degré~$-2$. +%% -----File: 039.png---Folio 35------- + +\quarto Construisons deux fonctions~$\wp u$: l'une $\wp(u, \omega_1, \omega_2)$ +aux périodes $2\omega_1, 2\omega_2$; l'autre $\wp(u, \omega'_1, \omega'_2)$ aux périodes +$2\omega'_1, 2\omega'_2$ liées aux précédentes par les relations +\[ +2\omega'_1 = a \centerdot 2\omega_1 + b \centerdot 2\omega_2, \qquad +2\omega'_2 = c \centerdot 2\omega_1 + d \centerdot 2\omega_2, +\] +où le déterminant $ad - bc$ est supposé égal à~$±1$. +Nous avons vu (\Ord{1}{re}~partie, ch.~I,~5) que le réseau des périodes %[xrefs] +$2\omega'_1, 2\omega'_2$ a exactement les mêmes sommets que celui +des périodes $2\omega_1, 2\omega_2$. Or il est évident que la valeur de +la série~$\wp u$ en un point~$u$ du plan ne dépend que des sommets +du réseau; car si l'on change les périodes en conservant +les sommets, les quantités~$w$ ne font que se permuter; +donc +\[ +\wp(u, \omega'_1, \omega'_2) = \wp(u, \omega_1, \omega_2). +\] + +Ainsi se trouve établi l'important résultat que nous avons +annoncé (\Ord{1}{re}~partie, ch.~II,~6): \emph{$\wp u$~reste invariable pour toute +transformation de degré~$1$.} + +\Paragraph{17.}{Développement de~$\wp u$ suivant les puissances de~$u$.} --- +Les pôles de~$\wp u$ sont les points +\[ +u = w = 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2. +\] +Ils sont doubles. Aux environs de $u = 0$, on a +\[ +\frac{1}{(u - w)^2} - \frac{1}{w^2} + = \frac{1}{w^2} \left(1 - \frac{u}{w}\right)^{-2} - \frac{1}{w^2} + = \frac{2u}{w^3} + \frac{3u^2}{w^4} + \frac{4u^3}{w^5} + \dots\DPtypo{}{.} +\] + +Faisons la somme pour toutes les valeurs de~$w$; remarquons +que les puissances impaires de~$u$ doivent se détruire; +enfin, posons pour abréger +\[ +c_1 = 3\sum\frac{1}{w^4},\qquad c_2 = 5\sum\frac{1}{w^6},\qquad \dots; +\] +nous obtiendrons l'important développement +\[ +\wp u = \frac{1}{u^2} + c_1u^2 + c_2u^4 + \dots +\] +valable pour tout point~$u$ compris dans tout cercle ayant +%% -----File: 040.png---Folio 36------- +l'origine pour centre et un rayon moindre que la distance +de ce centre au pôle le plus voisin. + +Observons que ce développement manque de terme +constant. Dans le voisinage d'un pôle quelconque~$w$, le développement +de~$\wp u$ est +\[ +\wp u = \frac{1}{(u - w)^2} + c_1(u - w)^2 + c_2(u - w)^4 + \dots\DPtypo{}{.} +\] + +Cette nouvelle forme donnée à la fonction~$\wp u$ montre immédiatement +que c'est une fonction analytique. + +\Paragraph{18.}{Équation algébrique entre $\wp u$~et sa dérivée.} --- Nous +avons +\begin{align*} +\wp u &= \frac{1}{u^2} + c_1u^2 + c_2u^4 + \dots, \\ +\wp'u &= \frac{-2}{u^3} + 2c_1u + 4c_2u^3 + \dots\DPtypo{}{.} +\end{align*} + +On voit que la fonction elliptique +\[ +\wp'^2u - 4\wp^3u = -20c_1\, \frac{1}{u^2} - 28c_2 + \dots +\] +a un pôle double, sans résidu, à l'origine; elle ne peut +d'ailleurs en avoir d'autre dans le parallélogramme +des périodes qui contient l'origine. Par conséquent +$\wp'^2u - 4\wp^3u + 20c_1\wp u$ est une fonction entière, et comme +c'est une fonction elliptique, elle se réduit à une constante~$-28c_2$ +(qu'on obtient en y faisant $u = 0$). Finalement +on a +\[ +\wp'^2u - 4\wp^3u + 20c_1\wp u + 28c_2 = 0. +\] + +Telle est l'équation algébrique qui lie $\wp u$~à sa dérivée, +et à laquelle on donne une forme plus commode pour les +calculs, en posant +\begin{align*} +g_2 &= 20c_1 = 60 \sum\frac{1}{w^4}, \\ +g_3 &= 28c_2 = 140\sum\frac{1}{w^6}, +\end{align*} +%% -----File: 041.png---Folio 37------- +ce qui permet d'écrire +\[ +{\wp'}_u^2 = 4\wp_u^3 - g_2 \wp u - g_3. +\] + +Tout ce qui va suivre nous montrera l'importance de +cette relation. + +\Paragraph{19.}{Calcul des coefficients du développement de~$\wp u$.} --- La +différentiation par rapport à~$u$ des deux membres de +l'équation précédente donne, après suppression du facteur~$2\wp'u$, +\[ +\wp''_u = 6\wp - \frac{1}{2}\, g_2. +\] + +Si l'on substitue dans cette dernière relation le développement +\[ +\wp u = \frac{1}{u^2} + c_1 u^2 + c_2 u^4 + \dots, +\] +l'identification des termes en~$u^{2n-2}$ donnera +\[ +c_n = \frac{6}{n(2n-1) - 6}\, (c_1 c_{n-2} + c_2 c_{n-3} + \dots), +\] +le dernier terme entre parenthèses étant $c_{\frac{n}{2}-1} c_{\frac{n}{2}}$ ou $\dfrac{1}{2} c^2_{\frac{n-1}{2}}$ +suivant que $n$~est pair ou impair. Cette formule récurrente +permet d'exprimer $c_3, c_4, \dots$ par des polynômes entiers +en~$c_1, c_2$. + +\emph{Tous les coefficients du développement de~$\wp u$ sont donc des +polynômes entiers en~$g_2, g_3$.} + +\Paragraph{20.}{Les trois racines $e_1, e_2, e_3$.} --- Une raison de symétrie +nous amène à introduire une troisième période~$2\omega_3$ liée +aux deux périodes $2\omega_1, 2\omega_2$ par la relation +\[ +\omega_1 + \omega_2 + \omega_3 = 0. +\] + +Posons +\[ +\wp\omega_1 = e_1, \qquad +\wp\omega_2 = e_2, \qquad +\wp\omega_3 = e_3. +\] + +Ces trois nombres $e_1, e_2, e_3$ sont les racines de l'équation +du \Ord{3}{e}~degré +\[ +4\wp^3 - g_2 \wp - g_3 = 0. +\] + +Pour le prouver, il suffit de faire voir qu'ils annulent~$\wp'u$. +Or $\wp'u$~étant doublement périodique et impaire, puisque +%% -----File: 042.png---Folio 38------- +$\wp u$~est paire, on aura par exemple +\[ +\wp'\omega_1 = \wp'(\omega_1 - 2\omega_1) = \wp'(-\omega_1) + = -\wp'\omega_1 = 0, +\] +\null\hfill\cqfd\pagebreak[3] + +Les trois racines $e_1, e_2, e_3$ sont distinctes, si, comme nous +le supposons, $\omega_1, \omega_2$ et par suite~$\omega_3$ ne sont pas des +périodes. Car si $e_3$~par exemple était égal à~$e_1$, on aurait +$\wp\omega_3 = \wp\omega_1$, d'où +\[ +\omega_3 = ±\omega_1 + \text{période} +\qquad\text{ou}\qquad +\omega_3 \mp \omega_1 = \text{période}, +\] +ce qui n'est pas, car $\omega_3 + \omega_1 = -\omega_2$, et $\omega_3 - \omega_1 = -2\omega_1 - \omega_2$; +or $-\omega_2$~et~$-2\omega_1 - \omega_2$ ne sont ni l'une ni l'autre des +périodes. + +Les quantités $e_1, e_2, e_3$, d'après les relations qui les définissent +\[ +\wp\omega_1 + = \frac{1}{\omega_1^2} + + \sum\left[ \frac{1}{(\omega_1 - w)^2} - \frac{1}{w^2} \right], + \quad \wp\omega_2 = \dots, \quad \wp\omega_3 = \dots, +\] +sont homogènes et du degré~$-2$ par rapport aux périodes. + +Elles satisfont aux relations +\[ +e_1 + e_2 + e_3 = 0, \quad +e_1 e_2 + e_3 e_2 + e_3 e_1 = -\frac{1}{4}\, g_2, \quad +e_1 e_2 e_3 = \frac{1}{4}\, g_3. +\] + +\Paragraph{21.}{Invariants de~$\wp u$.} --- Lorsqu'on change les périodes +en conservant les sommets du réseau, les coefficients $g_2, g_3$, +d'après leur définition (ci-dessus,~18), conservent leur valeur. %[xref] +Ce sont des \emph{invariants} du réseau dans toute transformation +du premier degré. + +Deux autres invariants sont à considérer: + +\primo Le discriminant +\[ +\Delta = 16 (e_1 - e_2)^2 (e_2 - e_3)^2 (e_3 - e_1)^2 + = g_2^3 - 27 g_3^2. +\] +Il n'est jamais nul puisque les racines $e_1, e_2, e_3$ sont distinctes. +Il est d'ordre~$-12$ par rapport aux périodes; + +\secundo L'invariant absolu +\[ +J = \frac{g_2^3}{\Delta}. +\] +%% -----File: 043.png---Folio 39------- + +Il est d'ordre zéro, et par suite il ne dépend que du rapport +$\tau = \dfrac{\omega_2}{\omega_1}$ des périodes. Il reste invariable si l'on +change $\tau$~en $\dfrac{a + b\tau}{c + d\tau}$ ($ad-bc = ±1$). + +\ctb +%% -----File: 044.png---Folio 40------- + + +\Chapter{II}{La fonction $\wp u$ définie par une équation différentielle} + +\Paragraph{22.}{Position du problème.} --- Nous avons vu que la fonction~$\wp u$ +satisfait à une équation différentielle +\[ +\left(\frac{d\wp}{du}\right)^2 = 4\wp^3 - g_2\wp - g_3, +\] +dont les coefficients constants $g_2, g_3$, qui vérifient l'inégalité +\[ +\Delta = g^3_2 - 27g^2_3 \neq 0, +\] +peuvent être calculés au moyen des périodes $2\omega_1, 2\omega_2$. + +Inversement, donnons-nous \textit{a~priori} l'équation différentielle +\[ +\left(\frac{dz}{du}\right)^2 = 4z^3 - g_2z - g_3. +\] + +Nous allons montrer qu'elle admet pour intégrale particulière +une fonction~$\wp u$ dont nous déterminerons une période +en fonction de $g_2, g_3$. + +Figurons dans le plan de la variable complexe~$z$ les trois +racines $e_1, e_2, e_3$ de l'équation +\[ +Z = 4z^3 - g_2z - g_3 = 0. +\] +Elles sont distinctes, car nous supposons +\[ +g_2^3 - 27g_3^2 \neq 0. +\] +%% -----File: 045.png---Folio 41------- + +% [Ilustration] +\begin{wrapfigure}{l}{1.25in} + \Input[1.25in]{045a} +\end{wrapfigure} +Nous les avons numérotées dans l'ordre +où on les rencontre en tournant dans le +sens direct autour du triangle $e_1e_2e_3$. + +Partons d'un point quelconque~$z_0$. En +ce point le radical a deux valeurs égales +et de signe contraire $+\sqrt{Z_0}$~et~$-\sqrt{Z_0}$. + +D'après le théorème fondamental de la +théorie des équations différentielles, il existe une fonction +analytique~$z$ de~$u$ qui satisfait à l'équation +\[ +\frac{dz}{du} = \sqrt{Z} +\] +et qui pour $u = u_0$ se réduit à~$z_0$, le radical~$\sqrt{Z}$ prenant +en même temps la détermination~$+\sqrt{Z_0}$ par exemple +($u_0$~est donné arbitrairement). + +% [Ilustration] +\begin{wrapfigure}{l}{1.5in} + \Input[1.5in]{045b} +\end{wrapfigure} +Si l'on marque le point~$u_0$ dans le plan +de la variable complexe~$u$, la fonction~$z$ +de~$u$ sera uniforme et continue dans un +cercle décrit du centre~$u_0$ avec un rayon~$\rho_0$ +que la théorie enseigne à calculer. + +On peut déterminer de proche en proche +la valeur que prendra cette fonction~$z$ +en un point quelconque~$u'$ joint au point~$u_0$ +par un chemin~$L$. Il suffit de calculer la valeur~$z'_0$ que +prend~$z$ en un point~$u'_0$ situé à la fois sur~$L$ et dans le +cercle de rayon~$\rho_0$. Le théorème fondamental que nous venons +de rappeler prouve l'existence d'une fonction~$z$ se +réduisant à~$z'_0$ pour $u = u'_0$, uniforme et continue dans +un cercle de centre~$u'_0$ et de rayon~$\rho'_0$. Il est clair qu'en +procédant ainsi de proche en proche, on arrivera jusqu'au +point~$u'$ avec une valeur bien déterminée~$z'$ de la fonction. + +Le raisonnement tomberait en défaut si les rayons +$\rho_0, \rho'_0, \dots$ tendaient vers zéro, auquel cas on aboutirait à +un point limite~$u_1$ situé sur le chemin~$L$ entre $u_0$~et~$u'$, +et qu'on ne pourrait plus dépasser. +%% -----File: 046.png---Folio 42------- + +Mais la théorie nous renseigne sur la grandeur du rayon~$\rho_0$ +du cercle de centre~$u_0$ où l'on peut affirmer l'existence +et l'uniformité de l'intégrale d'une équation différentielle +\[ +\frac{dz}{du} = f(u,z) +\] +dont le second membre est une fonction uniforme et continue +de~$z$, $u$~dans le voisinage de $u=u_0$, $z=z_0$. +Ce rayon n'est très petit que si le module de~$f(u, z)$ est très +grand dans ce voisinage et que si les valeurs $u$,~$z$ critiques +pour~$f(u, z)$ sont très rapprochées de $u_0$,~$\DPtypo{v_0}{z_0}$. + +Or, dans le cas actuel, $f(u, z) = \sqrt{Z}$ ne peut évidemment +tendre vers l'infini que si $z$~y tend lui-même. Les +points~$u_1$ où le prolongement de la fonction~$z$ pourrait +être arrêté sont donc ceux où $z$~devient infini et ceux où $z$~prend +une des valeurs $e_1, e_2, e_3$, critiques pour~$\sqrt{Z}$. + +Nous allons prouver: \primo que les premiers sont isolés +(on pourra donc toujours les éviter); \secundo que les derniers +ne sont pas des points critiques pour~$z$. Rien n'empêchera +donc de prolonger la fonction dans tout le plan des~$u$. + +\Paragraph{23.}{La fonction~$z$ de~$u$ est uniforme et fractionnaire.} --- +Supposons donc que, pour $u = u_1$, $z$~devienne infini. +Posons $z = \dfrac{1}{t^2}$; l'équation différentielle devient +\[ +-\frac{2\, dt}{du} = \sqrt{4 - g_2t^4 - g_3t^6}. +\] + +Le radical ne s'annule pas pour $t = 0$; la détermination +que l'on considère est donc une fonction de~$t$ uniforme +et continue dans le voisinage de $t=0$. Par conséquent +l'équation différentielle ci-dessus définit une fonction~$t$ de~$u$ +elle-même uniforme et continue dans un cercle de rayon +fini décrit du point~$u_1$ comme centre. Or, d'après un théorème +connu, la fonction analytique~$t$ ne peut reprendre +dans ce cercle une infinité de fois la valeur~$0$, c'est-à-dire +que $z$~n'y peut prendre qu'un nombre limité de fois une +%% -----File: 047.png---Folio 43------- +valeur infinie. Les infinis de~$z$ sont donc isolés dans le +plan des~$u$. + +Nous allons prouver que ce sont des pôles. + +Pour cela, développons en série le second membre de +l'équation précédente; il viendra +\[ +du = ±\left(1 - \frac{g_2t^4 + g_3t^6}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}dt += ±\left(1 + \frac{g_2}{8}\, t^4 + \frac{g_3}{8}\, t^6 + \dots\right)dt; +\] +d'où, en intégrant et tenant compte de ce que $t$~doit être +nul pour $u=u_1$, +\[ +u - u_1 + = ±t\left(1 + \frac{g_2}{40}\, t^4 + \frac{g_3}{56}\, t^6 + \dots \right) +\] +et, en résolvant par rapport à~$t$, +\[ +t = ±(u-u_1)\left[1 - \frac{g_2}{40}\,(u - u_1)^4 + \dots \right]; +\] +d'où +\[ +z = \frac{1}{t^2} + = \frac{1}{(u - u_1)^2} + \frac{g_2}{20}\, (u-u_1)^2 + \dots. +\] + +Ainsi $z$~est uniforme aux environs du point~$u_1$, et ce +point~$u_1$ \emph{est un pôle}. + +Reste à savoir si les points critiques $e_1, e_2, e_3$ de~$\sqrt{Z}$ dans +le plan des~$z$ correspondent à des points $u_1, u_2, u_3$ du +plan des~$u$ qui soient critiques pour la fonction~$z$. + +Posons $z = e_1 + t^2$. L'équation différentielle +\[ +\frac{dz}{du} = \sqrt{Z} = \sqrt{4(z - e_1)(z - e_2)(z - e_3)} +\] +se transforme en +\[ +\frac{dt}{du} = \sqrt{(e_1 - e_2 + t^2)(e_1 - e_3 + t^2)}. +\] + +La valeur $t = 0$ n'étant pas un point critique pour le +nouveau radical, $u_1$~sera un point ordinaire pour la fonction~$t$ +de~$u$ et par conséquent pour $z = e_1 + t^2$. + +De tout ceci résulte que \emph{$z$~est une fonction analytique +uniforme et fractionnaire de~$u$}. +%% -----File: 048.png---Folio 44------- + +\Paragraph{24.}{La fonction~$z$ de~$u$ est doublement périodique.} --- A une +même valeur~$z'$ de~$z$ l'équation différentielle, qu'on peut +écrire +\[ +du = \frac{dz}{\sqrt{Z}}, +\] +fait correspondre une infinité de valeurs de~$u$. Cherchons-les. + +L'équation intégrée donne +\[ +u = u_0 + \int_{z_0}^{z'} \frac{dz}{\sqrt{Z}}, +\] +le signe de~$\sqrt{Z}$ étant déterminé par la condition que, pour +$z = z_0$, $\sqrt{Z}$~se réduise à~$+\sqrt{Z_0}$. + +II faut chercher les diverses valeurs que peut prendre +cette intégrale %[Ilustration] +\begin{wrapfigure}[9]{l}{1.75in}%[** TN: Width-dependent break] + \Input[1.75in]{048a} +\end{wrapfigure} +lorsqu'on fait +varier le fil d'intégration suivi +de~$z_0$ à~$z'$. Menons une ligne +déterminée~$L$ entre $z_0$~et~$z'$. +Puis joignons~$z_0$ aux points +$e_1, e_2, e_3$ par des \emph{lacets} $L_1, L_2, L_3$ +composés chacun d'une +droite, d'un petit cercle et de +la même droite parcourue en +sens inverse. + +\Subparagraph{Tout chemin $z_0MNPz'$ amènera la même valeur de~$u$ que le +chemin déterminé~$L$ précédé d'un certain nombre de lacets.} + +Pour le prouver, observons que nous pouvons adjoindre +au chemin $z_0MNPz'$ les lignes (pointillées) $\dddot{z_0M}$, $\dddot{z_0N}$, $\dddot{z_0P}$ à +condition de les parcourir deux fois en sens inverse, et sans +interposer d'autre trajet entre ces deux parcours, qui évidemment +donneront une valeur nulle pour l'intégrale $\displaystyle\int\frac{dz}{\sqrt{Z}}$. + +Rappelons-nous d'autre part que l'intégrale d'une fonction +analytique~$f(z)$ a même valeur le long de deux chemins ayant +même point de départ et même point d'arrivée, ne passant +ni l'un ni l'autre par des points critiques de~$f(z)$, et dont le +%% -----File: 049.png---Folio 45------- +second peut être obtenu en déformant le premier sans +jamais le faire passer par aucun de ces points critiques. +Deux pareils chemins sont dits \emph{équivalents}. + +Cela posé, le chemin $z_0MNPz'$ peut manifestement être +remplacé par ces trois-ci parcourus consécutivement: +\[ +\dddot{z_0M}, MN, \dddot{Nz_0}; \qquad +\dddot{z_0N}, NP, \dddot{Pz_0}; \qquad +\dddot{z_0P}, Pz'. +\] + +Or d'après la définition des chemins équivalents, il est +facile de voir que le premier équivaut à un lacet~$L_2$, le +second à un lacet~$L_1$, le troisième au chemin~$L$. + +L'intégrale suivant le lacet~$L_1$ se compose des intégrales +suivant la droite~$z_0e_1$, suivant le petit cercle de centre~$e_1$, et +suivant la ligne de retour~$e_1z_0$. + +Or, lorsque le point~$z$ a fait une circulation complète +autour de~$e_1$, le radical~$\sqrt{Z}$ a simplement changé de signe. +Comme $dz$~change de signe également dans le retour, le +quotient~$\dfrac{dz}{\sqrt{Z}}$ reprend exactement la même valeur quand +$z$~repasse par les mêmes points; il en résulte que +\[ +\int_{z_0}^{e_1}\frac{dz}{\sqrt{Z}} = \int_{e_1}^{z_0}\frac{dz}{\sqrt{Z}}. +\] + +Quant à l'intégrale le long du petit cercle, elle est nulle; +car cette intégrale $\displaystyle\int\frac{dz}{\sqrt{Z}}$ a son module du même ordre de +grandeur que celui de $\displaystyle\int\frac{dz}{\sqrt{z - e_1}}$, lequel est inférieur à +\[ +\int \frac{\Mod dz}{\Mod \sqrt{z - e_1}} = \int\frac{ds}{\sqrt{\rho}}, +\] +$\rho$~désignant le rayon de la petite circonférence et $ds$~l'élément +d'arc. Or +\[ +\int \frac{ds}{\sqrt{\rho}} + = \frac{1}{\sqrt{\rho}} \int ds + = \frac{1}{\sqrt{\rho}}\, 2\pi\rho + = 2\pi\sqrt{\rho}, +\] +quantité qui tend vers zéro en même temps que~$\rho$. +%% -----File: 050.png---Folio 46------- + +De tout ceci résulte que l'intégrale suivant le lacet~$L_1$ se +réduit à $2\displaystyle\int_{z_0}^{e_1}\frac{dz}{\sqrt{Z}}$. Posons +\[ +A_1 = \int_{z_0}^{e_1} \frac{dz}{\sqrt{Z}}, \qquad +A_2 = \int_{z_0}^{e_2} \frac{dz}{\sqrt{Z}}, \qquad +A_3 = \int_{z_0}^{e_3} \frac{dz}{\sqrt{Z}}, +\] +le signe du radical~$\sqrt{Z}$ étant déterminé par l'obligation imposée +à ce radical de se réduire à~$+\sqrt{Z_0}$ pour $z = z_0$; +et remarquons que, lorsque le point~$z$ revient en~$z_0$, le +radical ne reprend pas la valeur qu'il avait au moment du +départ, mais une valeur égale et de signe contraire. De sorte +que l'intégrale prise suivant le lacet~$L_1$ est $2A_1$~ou~$-2A_1$ suivant +qu'on a décrit avant celui-là un nombre pair ou un +nombre impair d'autres lacets. + +Enfin, la valeur de l'intégrale le long du chemin~$L$ étant +désignée par~$I$, +\[ +I = \int_{z_0}^{z'} \frac{dz}{\sqrt{Z}}, +\] +lorsque la valeur initiale du radical est~$+\sqrt{Z_0}$, cette intégrale +aura pour valeur $+I$~ou~$-I$ suivant que $L$~aura +été précédé d'un nombre pair ou d'un nombre impair de +lacets. + +Toutes les valeurs de~$u$ répondant à une même valeur +de~$z$ sont donc données par la formule +\[ +u = u_0 + 2n_1A_1 + 2n_2A_2 + 2n_3A_3 + (-1)^{n_1+n_2+n_3}I, +\] +$n_1, n_2, n_3$ étant des entiers positifs ou négatifs dont la +somme est égale à $0$~ou à~$1$ suivant que le nombre des +lacets est pair ou impair; car tout lacet qui amène l'intégrale +$+2A_i$ ($i$~étant un des nombres $1, 2, 3$) est nécessairement +suivi d'un autre amenant l'intégrale $-2A_j$ +($j = 1, 2$ ou~$3$). +%% -----File: 051.png---Folio 47------- + +Posons maintenant +\begin{align*} +A_3 - A_2 &= \int_{e_2}^{e_3} \frac{dz}{\sqrt{Z}} = \omega_1, \\ +A_1 - A_3 &= \int_{e_3}^{e_1} \frac{dz}{\sqrt{Z}} = \omega_2, \\ +A_2 - A_1 &= \int_{e_1}^{e_2} \frac{dz}{\sqrt{Z}} = \omega_3, +\end{align*} +et remplaçons dans la formule précédente $A_1$~par sa valeur +$A_3 + \omega_2$ et $A_2$~par $A_3 - \omega_1$; elle deviendra +\[ +u = u_0 + 2n_1\omega_2 - 2n_2\omega_1 + (n_1+n_2+n_3)2A_3 + + (-1)^{n_1+n_2+n_3}I, +\] +et suivant que $n_1 + n_2 + n_3$ est égal à $0$~ou à~$1$, +\begin{gather*} +u = 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2 + I + u_0\\ +u = 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2 + 2A_3 - I + u_0. +\end{gather*} + +De là résulte que $z$~est une fonction doublement périodique +de~$u$ aux périodes $2\omega_1, 2\omega_2$ déterminées en fonction +des constantes $g_2, g_3$ (dont $e_1, e_2, e_3$ sont des fonctions) par +les intégrales définies ci-dessus. + +Comme nous avons vu que $z$~est une fonction analytique, +uniforme et fractionnaire, c'est une fonction elliptique. + +Son ordre est~$2$; car il n'y a dans chaque parallélogramme +des périodes que deux valeurs de l'argument qui fassent +acquérir à la fonction~$z$ une même valeur. C'est ce que +montrent les deux formules ci-dessus qui ne donnent pour~$u$ +que deux valeurs \emph{distinctes}, $I + u_0$~et $2A_3 - I + u_0$. + +\Paragraph{25.}{Pôles de~$z$; $z$~est une fonction~$\wp u$.} --- La fonction elliptique~$z$ +étant du second ordre et ses pôles étant doubles, il +n'y en aura qu'un dans chaque parallélogramme des périodes.\ --- Cherchons +où ils sont situés. + +La valeur $u_1$ d'un pôle est donnée par la formule +\[ +u_1 = u_0 + \int_{z_0}^{\infty} \frac{dz}{\sqrt{Z}}. +\] +%% -----File: 052.png---Folio 48------- +Évaluons cette intégrale, que nous supposons prise le long +d'une ligne~$z_0z_1$ aboutissant en un point~$z_1$ d'un cercle~$C$ +décrit de~$z_0$ comme centre avec un cercle de rayon infini. + +La fonction analytique~$\sqrt{Z}$, dont la valeur au point~$z_0$ est +bien % [Ilustration] +\begin{wrapfigure}{l}{1.5in}%[** TN: Width-dependent break] + \Input[1.5in]{052a} +\end{wrapfigure} +déterminée et égale à~$+\sqrt{Z_0}$, +est visiblement uniforme et continue +dans la région du plan des~$z$ bornée +par le cercle~$C$, par la ligne~$z_0z_1$ et +par les trois lacets $L_1, L_2, L_3$. Son intégrale +suivant ce contour est nulle. +Cette intégrale est la somme de six +autres, prises: \primo suivant~$z_0z_1$; \secundo suivant~$C$ +dans le sens rétrograde; \tertio suivant~$z_1z_0$; \quarto suivant~$L_1$ +(c'est le seul lacet qu'on puisse suivre dans la disposition +de la figure, sans franchir un autre lacet ou la coupure~$z_0z_1$); +\cinqo suivant~$L_2$; \sexto suivant~$L_3$. + +Quand le point~$z$, après avoir décrit la circonférence~$C$, +est revenu en~$z_1$, le radical +\[ +\sqrt{Z} = \sqrt{(z - e_1)(z - e_2)(z - e_3)} +\] +a changé de signe comme le ferait évidemment le radical +plus simple~$\sqrt{z^3}$ qui est la partie principale de~$\sqrt{Z}$ pour +les grandes valeurs de~$z$. Il en résulte que +\[ +\int_{z_1}^{z_0} \frac{dz}{\sqrt{Z}} = \int_{z_0}^{z_1} \frac{dz}{\sqrt{Z}}, +\] +d'où +\[ +\int_{z_0}^{z_1} \frac{dz}{\sqrt{Z}} + + \int_{z_1}^{z_0} \frac{dz}{\sqrt{Z}} + = 2\int_{z_0}^{z_1} \frac{dz}{\sqrt{Z}}. +\] + +Lorsque $z$~est revenu en~$z_0$, le radical a pris la valeur~$-\sqrt{Z_0}$; +par suite le lacet~$L_1$ amènera la valeur $-2A_1$~de +l'intégrale; le lacet~$L_2$ qui vient ensuite, la valeur~$+2A_2$; +le lacet suivant~$L_3$ la valeur~$-2A_3$. On aura donc +\[ +2\int_{z_0}^{z_1} + \int_C - 2A_1 + 2A_2 - 2A_3 = 0. +\] +%% -----File: 053.png---Folio 49------- + +Mais l'intégrale suivant le cercle~$C$ est rigoureusement +nulle. Car elle a une valeur fixe quel que soit le rayon~$R$ +de ce cercle, et elle est du même ordre que l'intégrale plus +simple $\displaystyle\int_C \frac{dz}{\sqrt{z^3}}$, dont le module (si $ds$~désigne un élément +de la circonférence) est plus petit que +\[ +\int_C \frac{\Mod dz}{\Mod \sqrt{z^3}} + = \int \frac{ ds }{R^{\frac{3}{2}}} + = \frac{ 1 }{R^{\frac{3}{2}}} · 2\pi R + = \frac{2\pi}{R^{\frac{1}{2}}}, +\] +quantité aussi petite qu'on veut. + +L'équation ci-dessus, où l'on fait $\displaystyle\int_C = 0$ et où l'on +remplace $\displaystyle\int_{z_0}^{z_1}$ c'est-à-dire $\displaystyle\int_{z_0}^\infty$ par sa valeur $u_1 - u_0$, +donne pour valeur du pôle~$u_1$ +\[ +u_1 = u_0 + A_1 - A_2 + A_3. +\] + +Tous les pôles de~$z$ sont compris dans la formule générale +\[ +u = 2m_1 \omega_1 + 2m_2 \omega_2 + u_0 + A_1 - A_2 + A_3. +\] + +Maintenant donnons à la constante d'intégration~$u_0$ la valeur +particulière +\[ +u_0 = -A_1 + A_2 - A_3; +\] +les pôles seront les points +\[ +u = 2m_1 \omega_1 + 2m_2 \omega_2. +\] + +\Subparagraph{Conclusion.} --- $z$~ne sera autre chose que la fonction~$\wp u$ +construite sur les deux périodes +\[ +\omega_1 = \int_{e_2}^{e_3} \frac{dz}{\sqrt{Z}},\qquad +\omega_2 = \int_{e_3}^{e_1} \frac{dz}{\sqrt{Z}}, +\] +car les deux fonctions elliptiques $z$~et~$\wp u$ ont mêmes +périodes, mêmes pôles, même partie infinie~$\dfrac{1}{(u - u_1)^2}$ autour +de chacun de ces pôles, et de plus même terme constant, +savoir zéro, de leur développement dans le voisinage +%% -----File: 054.png---Folio 50------- +d'un pôle~$u_1$, puisque nous avons trouvé~\Eqref{(23)} +\[ +z = \frac{1}{(u - u_1)^2} + \frac{g_2}{20}\, (u - u_1)^2 + \dots\DPtypo{}{.} +\] + +\Subparagraph{Remarque.} --- Quand le triangle $e_1, e_2, e_3$ devient infiniment +aplati, c'est-à-dire quand les trois points $e_1, e_2, e_3$ sont +en ligne droite, le calcul des périodes ne présente aucune +difficulté particulière. Car si, pour fixer les idées, nous supposons +$e_3$~situé entre $e_1$~et~$e_2$, l'élément différentiel des +deux intégrales qui représentent $\omega_1$~et~$\omega_2$ ne devient pas +infini entre les deux limites. + +Il n'en est pas de même pour l'intégrale qui exprime~$\omega_3$; +mais il est inutile de discuter cette intégrale pour savoir +comment la calculer (ce qui d'ailleurs serait facile); car +nous savons \textit{a~priori} que $\omega_3$~est égale à~$-(\omega_1 + \omega_2)$. + +\ctb +%% -----File: 055.png---Folio 51------- + + +\Chapter{III}{Les fonctions $\zeta u$ et $\sigma u$} + +La théorie des fonctions elliptiques est facilitée par l'adjonction +à la fonction~$\wp u$ de deux autres fonctions que +Weierstrass a nommées $\zeta u$~et~$\sigma u$ et qui sont liées d'une +façon très simple à~$\wp u$. Au reste $\zeta u$~et~$\sigma u$ ne sont pas des +fonctions elliptiques, mais elles se rapprochent beaucoup +de ces fonctions par leurs propriétés. + +\Paragraph{26.}{Définition de~$\zeta u$.} --- Si l'on intégrait terme à terme la +série +\[ +\wp u = \frac{1}{u^2} + \sum \left[ \frac{1}{(u - w)^2} - \frac{1}{w^2} \right] +\] +sans ajouter de constante, on obtiendrait un développement +dont la convergence serait incertaine, car son terme général +$\dfrac{-1}{u - w} - \dfrac{u}{\DPtypo{w_2}{w^2}}$ est de l'ordre de grandeur de~$\dfrac{1}{w^2}$, et la série +des modules de~$\dfrac{1}{w^2}$ est divergente. Mais il est facile de +rendre ce développement convergent: il suffit d'ajouter +à chacun de ses termes la constante~$-\dfrac{1}{w}$. Car le +terme général +\[ +-\frac{1}{u - w} - \frac{u}{w^2} - \frac{1}{w} + = -\frac{u^2}{w^2(u - w)} + = \frac{u^2}{1 - \dfrac{u}{w}} · \frac{1}{w^3} +\] +est de l'ordre de~$\dfrac{1}{w^3}$ (voir \Ord{2}{e}~partie, ch.~I,~15). %[xref] +%% -----File: 056.png---Folio 52------- + +La série ainsi obtenue est absolument et uniformément +convergente en toute région du plan qui ne contient aucun +des points +\[ +w = 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2. +\] + +C'est cette série changée de signe qu'on appelle~$\zeta u$. +Ainsi +\[ +\zeta u + = \frac{1}{u} + \sum\left(\frac{1}{u - w} + \frac{1}{w} + \frac{u}{w^2}\right) +\] +et +\[ +\zeta'(u) = -\wp u. +\] + +La fonction~$\zeta u$, ayant pour dérivée une fonction paire, \emph{est +une fonction impaire}. + +Elle est homogène de degré~$-1$ par rapport aux trois +lettres $u$,~$\omega_1$,~$\omega_2$. + +Elle reste invariable lorsqu'on change les périodes sans +changer les sommets du réseau, c'est-à-dire dans toute +transformation du premier degré. + +Elle a pour pôles les points $2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2$. Ces pôles +sont simples et les résidus correspondants sont égaux à~$1$. + +\Paragraph{27.}{Développement de~$\zeta u$ suivant les puissances de~$u$.} --- Du +développement~\Eqref{(17)} +\[ +\wp u = \frac{1}{u^2} + c_1u^2 + c_2u^4 + \dots +\] +on déduit en intégrant, changeant de signe, et remarquant +que la différence $\zeta u - \dfrac{1}{u}$ s'annule pour $u = 0$, +\[ +\zeta u = \frac{1}{u} - c_1\, \frac{u^3}{3} - c_2\, \frac{u^5}{5} - \dots\DPtypo{}{.} +\] + +\Paragraph{28.}{Addition d'une période à l'argument de~$\zeta u$.} --- De la +relation +\[ +\wp(u + 2\omega_1) =\wp(u), +\] +on tire, en intégrant et changeant le signe des deux +membres, +\[ +\zeta(u + 2\omega_1) = \zeta(u) + 2\eta_1. +\] +%% -----File: 057.png---Folio 53------- + +Pour déterminer la constante~$\eta_1$, faisons $u = -\omega_1$. +Observons que $\zeta(u)$~est une fonction impaire et que par +suite $\zeta(-\omega_1) = -\zeta(\omega_1)$. Nous en concluons +\[ +\eta_1 = \zeta(\omega_1). +\] + +Le même raisonnement et le même calcul s'appliqueront +à~$\zeta(u + 2\omega_2)$. Nous aurons donc +\begin{align*} +\zeta(u + 2\omega_1) &= \zeta(u) + 2\eta_1, \\ +\zeta(u + 2\omega_2) &= \zeta(u) + 2\eta_2, +\end{align*} +avec +\[ +\eta_1 = \zeta \omega_1,\qquad +\eta_2 = \zeta \omega_2. +\] + +On voit que la fonction~$\zeta(u)$ n'est pas doublement périodique, +mais se reproduit augmentée d'une constante par +l'addition d'une période (de~$\wp u$) à son argument. + +\Paragraph{29.}{Relation entre les quatre constantes $\omega_1, \omega_2$, $\eta_1, \eta_2$.} --- +Les quatre %[Illustration] +\begin{wrapfigure}{l}{1.5in}%[** TN: Width-dependent break] + \Input[1.5in]{057a} +\end{wrapfigure} +constantes $\omega_1, \omega_2$, $\eta_1, \eta_2$ +sont liées par une relation dont +nous apercevrons la grande importance +dans la théorie des fonctions~$\theta$ +de Jacobi. On obtient cette relation +en calculant l'intégrale $\int \zeta u\, du$ +autour du parallélogramme des périodes~$O'ABC$. + +L'intégration suivant les deux côtés opposés $O'A$,~$BC$ +donne +\begin{multline*} +\int_{O'A} \zeta u\, du + \int_{CB} \zeta u\, du + = \int_{O'}^{O' + 2\omega_1} \zeta(u)\, du + -\int_{O'}^{O' + 2\omega_1} \zeta(u + 2\omega_2)\, du \\ + = \int_{O'}^{O' + 2\omega_1} \bigl[\zeta(u) - \zeta(u + 2\omega_2)\bigr]\, du + = \int_{O'}^{O' + 2\omega_1} -2\eta_2\, du = -4\eta_2\omega_1. +\end{multline*} +Les deux côtés $AC$,~$O'B$ donnent~$+4\omega_2\eta_1$. + +L'intégrale cherchée est donc +\[ +4(\omega_2\eta_1 -\omega_1\eta_2). +\] + +Mais d'autre part cette intégrale est égale au produit de +$2\pi i$~par la somme des résidus de la fonction~$\zeta u$ relatifs aux +%% -----File: 058.png---Folio 54------- +pôles contenus dans ce parallélogramme, si l'on suppose +que le sens du parcours~$O'ACB$ est le sens direct. Or, il n'y +a qu'un pôle, de résidu~$+1$. On a donc +\[ +2(\omega_2\eta_1 - \omega_1\eta_2) = \pi i. +\] + +C'est la relation cherchée. + +L'hypothèse faite sur le sens du parcours implique, +comme nous l'avons vu (\Ord{1}{re}~partie, ch.~I,~4), que le rapport %[xref] +$\tau = \dfrac{\omega_2}{\omega_1}$ des périodes ait sa partie imaginaire positive. On +peut toujours supposer qu'il en est ainsi, car, dans le cas +contraire, on prendrait pour périodes $2\omega_1$~et~$-2\omega_2$, ce +qui ne change pas les sommets du réseau et par suite +n'altère pas la fonction~$\zeta u$. + +\Paragraph{30.}{La fonction~$\sigma u$.} --- Intégrons la série +\[ +\zeta u = \frac{1}{u} + + \sum \left(\frac{1}{u - w} + \frac{1}{w} + \frac{u}{w^2}\right), +\] +et, pour rendre convergente la série obtenue, ajoutons à +chacun de ses termes la constante~$-\log w$. Le terme +général aura pour expression +\begin{multline*} +\log(w - u) + \frac{u}{w} + \frac{u^2}{2w^2} - \log w + = \log \left(1 - \frac{u}{w}\right) + \frac{u}{w} + \frac{u^2}{2w^2} \\ + = \left(-\frac{u}{w} - \frac{u^2}{2w^2} - \frac{u^3}{3w^3} - \dots\right) + + \frac{u}{w} + \frac{u^2}{2w^2} = -\frac{u^3}{3w^3} - \dots +\end{multline*} +Il est de l'ordre de~$\dfrac{1}{w^3}$, et par conséquent la convergence +de la série est assurée. + +La fonction qu'on obtient ainsi et qu'on peut écrire +\begin{multline*} +\log u + \sum \log \left(1 - \frac{u}{w}\right) + + \sum \log e^{\frac{u}{w} + \frac{u^2}{2w^2}} \\ %[** Needs attn] + = \log \left[u\prod \left(1 - \frac{u}{w}\right) e^{\frac{u}{w} + \frac{u^2}{2w^2}}\right] +\end{multline*} +%% -----File: 059.png---Folio 55------- +n'est pas uniforme; mais uniforme est la fonction qui +figure sous le signe~$\log$. C'est cette dernière qu'on appelle~$\sigma u$. +On a donc +\[ +\sigma u = u \prod \left(1 - \frac{u}{w}\right) + e^{\frac{u}{w} + \frac{u^2}{2w^2}} %[** Attn] +\] +et +\[ +\frac{d}{du} \log \sigma u = \zeta u. +\] + +\Paragraph{31.}{Propriétés de~$\sigma u$.\ --- Développement suivant les puissances +de~$u$.} --- La fonction~$\sigma u$ est évidemment entière et +ses zéros sont les points $2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2$. Ces zéros sont +simples. Pour $u$~infiniment petit, la valeur principale de~$\sigma u$ +est égale à~$u$. + +Considérée comme fonction des trois lettres $u$,~$2\omega_1$,~$2\omega_2$, +$\sigma u$~est homogène de degré~$1$. + +Elle reste invariable pour toute transformation du premier +degré. + +C'est une fonction impaire de~$u$. Car on a le droit, dans +l'expression de~$\sigma u$, d'écrire $-w$~au lieu de~$w$, ce qui ne +fait qu'échanger les termes deux à deux. Si alors on change +$u$~en~$-u$, on voit que la fonction s'est reproduite, mais +changée de signe. + +Enfin si l'on intègre le développement~\Eqref{(27)} +\[ +\zeta u = \frac{1}{u} - c_1\, \frac{u^3}{3} - c_2\, \frac{u^5}{5} - \dots +\] +et qu'on remarque que, pour $u = 0$, $\log\sigma u - \log u$ +s'annule, il vient +\begin{align*} %[** TN: Re-aligned] +\log \sigma u + &= \log u - c_1\, \frac{u^4}{3\centerdot4} - c_2\, \frac{u^6}{5\centerdot6} - \dots \\ +\sigma u + &= u\centerdot e^{-c_1\, \frac{u^4}{3\centerdot4} - c_2\, \frac{u^6}{5\centerdot6} - \dots} \\ + &= u(1 + d_1 u^4 + d_2u^6 + \dots). +\end{align*} +%% -----File: 060.png---Folio 56------- + +\Paragraph{32.}{Addition d'une période à l'argument de~$\sigma u$.} --- Intégrons +l'équation +\[ +\zeta(u + 2\omega_1) = \zeta u + 2\eta_1; +\] +on trouve +\begin{gather*} +\log \sigma(u + 2\omega_1) = \log \sigma u + 2\eta_1 u + \text{const.}, \\ +\sigma(u + 2\omega_1) = Ce^{2\eta_1 u}\, \sigma u. +\end{gather*} + +Pour déterminer la constante~$C$, faisons $u =-\omega_1$, et +remarquons que, $\sigma u$~étant une fonction impaire, nous aurons +$\sigma(-\omega_1) = -\sigma\omega_1$; il viendra +\[ +C = -e^{2\eta_1\omega_1}. +\] + +Le même calcul se faisant pour la période $2\omega_2$, nous +aurons +\begin{align*} +\sigma(u + 2\omega_1) &= -e^{2\eta_1(u + \omega_1)}\, \sigma u, \\ +\sigma(u + 2\omega_2) &= -e^{2\eta_2(u + \omega_2)}\, \sigma u. +\end{align*} +Ces formules montrent que $\sigma u$~n'est pas une fonction elliptique, +ce que nous montrait d'ailleurs \textit{a~priori} le fait que +$\sigma u$~est une fonction entière; $\sigma u$~est une \emph{fonction doublement +périodique de troisième espèce}. M.~Hermite a appelé +ainsi les fonctions analytiques uniformes qui, lorsqu'on +ajoute une \emph{période} à leur argument, se reproduisent multipliées +par un facteur exponentiel dont l'exposant est une +fonction linéaire de l'argument. Quand ce facteur se réduit +à une constante, on a affaire à une \emph{fonction doublement +périodique de deuxième espèce}. + +\Paragraph{33.}{Rappel des formules fondamentales relatives à $\wp u$, $\zeta u$, +$\sigma u$.} --- Si l'on pose $w = 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2$, on a +\begin{gather*} +\wp u = \frac{1}{u^2} + + \sum{\left[\frac{1}{(u - w)^2} - \frac{1}{w^2}\right]}; \\ +\zeta u = \frac{1}{u} + + \sum{\left(\frac{1}{u - w} + \frac{1}{w} + \frac{u}{w^2}\right)}; \\ +\sigma u + = u\prod \left(1 - \frac{u}{w}\right) e^{\frac{u}{w} + \frac{u^2}{2w^2}}; \displaybreak[0]\\ +%% -----File: 061.png---Folio 57------- +\zeta' u = -\wp u; \qquad \frac{d}{du} \log \sigma u = \zeta u; \\ +\wp(u + 2\omega_1) = \wp(u + 2\omega_2) = \wp u; \\ +\zeta(u + 2\omega_1) = \zeta u + 2\eta_1, \qquad +\zeta(u + 2\omega_2) = \zeta u + 2\eta_2, \\ +\sigma(u + 2\omega_1) = -e^{2\eta_1(u + \omega_1)}\, \sigma u, \qquad +\sigma(u + 2\omega_2) = -e^{2\eta_2(u + \omega_2)}\, \sigma u. +\end{gather*} +Rappelons enfin les formules +\[ +\eta_1 = \zeta\omega_1, \qquad +\eta_2 = \zeta\omega_2, \qquad +2(\omega_2\eta_1 - \omega_1\eta_2) = \pi i. +\] + +\ctb +%% -----File: 062.png---Folio 58------- + + +\Chapter{IV}{Expression des fonctions elliptiques +par les fonctions $\sigma$, $\zeta$, $\wp$} + +Toute fonction elliptique~$f(u)$ aux périodes $2\omega_1, 2\omega_2$ +peut être exprimée d'une manière très simple soit par des +fonctions~$\sigma$, soit par des fonctions~$\zeta$, soit par une fonction~$\wp$ +ayant les mêmes périodes. + +\Paragraph{34.}{Expression par un quotient de fonctions~$\sigma$.} --- Il faut +avoir déterminé les zéros $a_1, a_2, \dots, a_n$ et les pôles $b_1, +b_2, \dots, b_n$ de~$f(u)$ situés dans un parallélogramme des +périodes\footnotemark. +\footnotetext{Ou, plus généralement, les zéros distincts et les pôles distincts, + c'est-à-dire tels que deux d'entre eux aient une différence non égale à + une période $2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2$.} +On sait que la somme des zéros ne diffère de +la somme des pôles que par la somme de multiples des +deux périodes: +\[ +a_1 + a_2 + \dots + a_n = b_1 + b_2 + \dots + b_n + 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2. +\] + +Si du parallélogramme considéré on se transporte dans +celui dont un sommet diffère du sommet homologue de celui-là +précisément de $2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2$, on y trouvera un +pôle~$b'_n$, par exemple, homologue de~$b_n$ et tel que +\[ +b'_n = b_n + 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2, +\] +en sorte que la relation précédente prend la forme plus +%% -----File: 063.png---Folio 59------- +simple (où $b_n$~a été récrit pour~$b'_n$, par raison de symétrie) +\[ +a_1 + a_2 + \dots + a_n = b_1 + b_2 + \dots + b_n. +\] + +Cela posé, la fonction +\[ +\frac{\sigma(u - a_1)\dots\sigma(u - a_n)} + {\sigma(u - b_1)\dots\sigma(u - b_n)} +\] +a les mêmes zéros et les mêmes pôles que~$f(u)$. + +C'est d'ailleurs une fonction elliptique aux mêmes périodes +$2\omega_1, 2\omega_2$. + +Car si l'on y change $u$~en~$u + 2\omega_1$, par exemple, elle se +reproduit~\Eqref{(32)} multipliée par +\[ + \frac{(-1)^n e^{2\eta_1(u - a_1 + \omega_1)} \dots e^{2\eta_1(u - a_n + \omega_1)}} + {(-1)^n e^{2\eta_1(u - b_1 + \omega_1)} \dots e^{2\eta_1(u - b_n + \omega_1)}} + = \frac{e^{2\eta_1[n(u + \omega_1) - (a_1 + \dots + a_n)]}} + {e^{2\eta_1[n(u + \omega_1) - (b_1 + \dots + b_n)]}} + =1. +\] +On aura donc +\[ +f(u) = C\frac{\sigma(u - a_1)\dots\sigma(u - a_n)} + {\sigma(u - b_1)\dots\sigma(u - b_n)}. +\] + +Pour déterminer le facteur constant~$C$, on donnera à~$u$ +une valeur particulière pour laquelle on exprimera que les +deux membres sont égaux (ou ont même valeur principale, +s'ils sont nuls ou infinis). + +Si quelques zéros ou quelques pôles sont multiples, on +fera dans cette formule $a_1 = a_2 = \dots$ ou $b_1 = b_2 = \dots$\DPtypo{}{.} + +\Paragraph{35.}{Expression par $\zeta$~et ses dérivées.} --- Ce procédé exige +que l'on connaisse les pôles \emph{distincts} $a, b, \dots$ de~$f(u)$, +leurs degrés respectifs de multiplicité $\alpha, \beta, \dots$ et le développement +de la partie infinie de~$f(u)$ autour de chacun +d'eux +\[ +\frac{A_\alpha}{(u - a)^\alpha} + \dots + \frac{A_1}{u - a}, \qquad +\frac{B_\beta}{(u - b)^\beta} + \dots + \frac{B_1}{u - b}, \qquad\dots\DPtypo{}{.} +\] + +Nous allons montrer qu'on aura +%% -----File: 064.png---Folio 60------- +\begin{multline*} +f(u) = A_1\zeta(u - a) - A_2\zeta'(u - a) + \dots + + \frac{(-1)^{\alpha-1}A_\alpha}{1 \centerdot 2 \dots (\alpha-1)}\, + \zeta^{(\alpha-1)}(u - a) \\ + + B_1\zeta(u - b) - B_2\zeta'(u - b) + \dots + + \frac{(-1)^{\beta-1}A_\beta}{1 \centerdot 2 \dots (\beta-1)}\, + \zeta^{(\beta-1)}(u - b) \\ + + \dots + \text{const.} +\end{multline*} + +Car, si l'on accroît~$u$ de la période~$2\omega_1$ par exemple, $\zeta u$~s'accroît +de~$2\eta_1$; ses dérivées restent invariables; le second +membre s'accroît donc de $2\eta_1(A_1 + B_1 + \dots)$, quantité +qui est nulle, puisque la somme $A_1 + B_1 + \dots$ des +résidus est égale à zéro (\Ord{1}{re}~partie, chap.~III,~9). %[xref] + +Par conséquent, ce second membre est une fonction +elliptique. + +D'ailleurs, dans un parallélogramme des périodes, $\zeta(u-a)$~n'a +qu'un seul pôle, $a + \text{période}$; et aux environs de +ce pôle unique, les développements de~$\zeta(u-a)$ et de +ses dérivées $\zeta'(u-a), \dots, \zeta^{(\alpha-1)}(u - a)$ ont pour +partie infinie respectivement +\[ +\frac{1}{(u - a)}, \qquad +\frac{-1}{(u-a)^2}, \qquad \dots, \qquad +\frac{(-1)^{\alpha-1} \centerdot 1 \centerdot 2 \dots(\alpha-1)} + {(u-a)^\alpha}. +\] + +Il en résulte que le second membre a bien autour de +chaque pôle même partie infinie que~$f(u)$. Il ne diffère +donc de~$f(u)$ que par une constante, qu'on déterminera de +telle sorte que la différence s'annule. + +\Paragraph{36.}{Application. Intégration des fonctions elliptiques.} --- +Cette décomposition d'une fonction elliptique en une +somme d'éléments simples permet d'intégrer cette fonction. +Car nous aurons, en intégrant les deux membres de +l'équation du numéro précédent, +\begin{multline*} +\int fu\, du = A_1d\log{\sigma(u-a)} - A_2 \zeta{(u - a)} + \dots \\ + + \frac{(-1)^{\alpha-1}A_\alpha}{1\centerdot 2 \dots {(\alpha-1)}} + \zeta^{(\alpha-2)}(u - a) + B_1d\log \sigma(u - b) - \dots + Cu + C'. +\end{multline*} +%% -----File: 065.png---Folio 61------- + +\Paragraph{37.}{Expression par $\wp u$~et~$\wp' u$.} --- \primo Supposons que $f(u)$~soit +une fonction paire. Si elle admet un zéro~$a_1$, elle admettra +un zéro~$-a_1$, (avec le même degré de multiplicité~$\alpha_1$). +Soient donc $±a_1, \dots, ±a_n$ ceux de ses zéros +distincts \emph{qui ne sont pas des périodes}; $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ leurs +degrés respectifs de multiplicité; de même soient +\[ +±b_1, \dots, ±b_n +\] +ses pôles distincts \emph{qui ne sont pas des périodes}; $\beta_1, \dots, \beta_n$ +leurs degrés de multiplicité. On aura +\[ +f(u) = C\, + \frac{{(\wp u - \wp a_1)}^{\alpha_1} (\wp u - \wp a_2)^{\alpha_2} \dots} + {{(\wp u - \wp b_1)}^{\beta_1} (\wp u - \wp b_2)^{\beta_2} \dots}, +\] +$C$~désignant une constante. En effet, les deux membres de +cette équation sont deux fonctions elliptiques qui ont leurs +zéros communs et leurs pôles communs, sauf peut-être +ceux des zéros et ceux des pôles qui sont des périodes. +Mais si une période est un zéro, toutes les périodes en sont, +et si une période est un pôle, toutes en sont également. Or +le quotient de $f(u)$~par le second membre est une fonction +elliptique; si cette fonction ne se réduisait pas à une constante~$C$, +elle admettrait les périodes à la fois pour zéros +et pour pôles, ce qui est impossible. + +\secundo Supposons que $f(u)$~ne soit pas une fonction paire. + +On peut l'écrire identiquement +\[ +f(u) = \frac{f(u) + f(-u)}{2} + \frac{f(u) - f(-u)}{2\wp' u}\,\wp' u. +\] + +Or $\dfrac{f(u) + f(-u)}{2}$ est évidemment une fonction paire; +de même $\dfrac{f(u) - f(-u)}{2\wp' u}$ (car $f(u) - f(-u)$ est impaire +et $\wp' u$~impaire également). On peut exprimer ces +deux fonctions elliptiques paires rationnellement au moyen +de~$\wp u$. + +On en conclut que \emph{$f(u)$~peut être exprimée rationnellement +en fonction de $\wp u$~et~$\wp' u$}. +%% -----File: 066.png---Folio 62------- + +\begin{Theorem}{38.} --- Deux fonctions elliptiques aux mêmes +périodes sont liées par une relation algébrique. +\end{Theorem} + +Car si l'on exprime ces deux fonctions $f(u)$,~$\varphi(u)$ au +moyen de $\wp u$,~$\wp' u$ on obtient deux relations qui, jointes à +celle qui existe entre $\wp u$~et~$\wp' u$ (\Ord{2}{e}~partie, chap.~I,~18), %[xref] +permettront d'éliminer ces deux dernières quantités, et +conduiront à une équation algébrique entre $f(u)$~et~$\varphi(u)$. +%** Explicit skip? + +Il est facile d'évaluer le degré de cette équation par rapport +à~$f$ et à~$\varphi$. Soit $m$~l'ordre de~$f$. A chaque valeur particulière~$f_0$ +de~$f$ correspondent, dans un parallélogramme +des périodes, $m$~valeurs de~$u$, savoir $u_0, u_1, \dots, u_m$, +et par conséquent, \emph{en général}, $m$~valeurs distinctes de~$\varphi$, +savoir $\varphi(u_0), \dots, \varphi(u_m)$. De même si $\mu$~est l'ordre de~$\varphi$, +à chaque valeur de~$\varphi$ correspondent $\mu$~valeurs de~$f$ (en +général). L'équation sera donc au plus (et ce sera le cas général) +du degré~$m$ par rapport à~$\varphi$ et du degré~$\mu$ par rapport +à~$f$. + +Ces degrés peuvent d'ailleurs s'abaisser, par exemple +quand $f$~et~$\varphi$ sont des fonctions paires de~$u$. Car si à la +valeur~$f_0$ de~$f$ correspond la valeur~$u_1$ de~$u$, à cette même +valeur~$f_0$ correspond aussi la valeur $-u_1 + \text{période}$. +Mais à ces deux valeurs de~$u$ ne répond qu'une seule valeur +de~$\varphi$. L'équation sera donc de degré~$\dfrac{m}{2}$ par rapport à~$\varphi$ +et, pour la même raison, de degré~$\dfrac{\mu}{2}$ par rapport à~$f$. + +\Paragraph{39.}{Relation entre une fonction elliptique et sa transformée.} --- +Soit $f(u,\omega_1,\omega_2)$ une fonction elliptique aux périodes +$2\omega_1, 2\omega_2$. A ces périodes on en substitue deux autres +$2\omega'_1, 2\omega'_2$ liées aux premières par les relations +\begin{align*} +2\omega_1 &= a\centerdot 2\omega'_1 + b\centerdot 2\omega'_2, \\ +2\omega_2 &= c\centerdot 2\omega'_1 + d\centerdot 2\omega'_2. +\end{align*} + +Les sommets du premier réseau font évidemment tous +%% -----File: 067.png---Folio 63------- +partie du second réseau (la réciproque n'est pas vraie, à +moins que la transformation ne soit du premier degré). De +là résulte que la fonction elliptique \emph{transformée} $f(u, \omega'_1, \omega'_2)$ +admet les périodes $2\omega_1, 2\omega_2$. + +Par conséquent, \emph{la fonction elliptique~$f(u)$ est liée à sa +transformée par une équation algébrique}. + +Nous avons annoncé (\Ord{1}{re}~partie, chap.~II,~7) et nous prouverons %[xref] +bientôt que la transformée de~$\wp u$ est une fonction +rationnelle de~$\wp u$. C'est là une des supériorités de la fonction~$\wp u$. + +\begin{Theorem}{40.} --- Toute fonction elliptique~$f(u)$ est liée à +sa dérivée par une équation algébrique. +\end{Theorem} + +Car $f(u)$~et~$f'(u)$ sont deux fonctions elliptiques aux +mêmes périodes. + +Si $u_1$~est un pôle de degré~$\alpha_1$ de~$f(u)$, ce sera un pôle +de degré~$\alpha + 1$ de~$f'(u)$. L'ordre~$\mu$ de~$f'(u)$ surpassera +donc l'ordre~$m$ de~$f(u)$ d'autant d'unités qu'il y a de pôles +distincts de~$f(u)$. Supposons qu'il y en ait~$k$. + +L'équation entre $f(u)$~et~$f'(u)$ sera du degré~$m$ par rapport +à~$f'(u)$ et du degré~$m + k$ par rapport à~$f(u)$. + +Ce théorème est d'une importance capitale. Il montre +que certaines équations du premier ordre de la forme +\[ +F \left(z, \frac{dz}{du}\right) = 0 +\] +où ne figure pas explicitement la variable indépendante~$u$, +algébriques par rapport à~$z$ et à~$\dfrac{dz}{du}$, et de degré~$m$ par +rapport à cette dérivée, peuvent être intégrées au moyen +d'une fonction elliptique $z = f(u)$ d'ordre~$m$. + +Reconnaître directement sur l'équation s'il en est ainsi +et intégrer dans ce cas est un problème qui a été résolu +complètement par Briot et Bouquet. + +\ctb +%% -----File: 068.png---Folio 64------- + + +\Chapter[Addition des arguments pour la fonction $\wp u$.\ --- +Multiplication de l'argument]% +{V}{Addition des arguments pour la fonction $\wp u$. +Multiplication de l'argument} + +\Paragraph{41.}{Addition des arguments.} --- Notre but est de montrer +que \emph{$\wp(u + v)$ s'exprime rationnellement en fonction de +$\wp u$,~$\wp v$, $\wp' u$,~$\wp' v$}. + +\primo Cherchons l'expression de $\wp u - \wp v$. Considérée +comme fonction de la variable~$u$, cette différence admet, +aux périodes près, un seul pôle (double) $u = 0$. Elle est +donc du second ordre; par suite elle n'admet \emph{que deux zéros} +distincts qui sont évidemment $u = ±v$. Elle sera donc +\Eqref{(34)} de la forme +\[ +\wp u - \wp v = C\, \frac{\sigma(u + v)\sigma(u - v)}{\sigma^2 u}. +\] + +Pour déterminer la constante~$C$, il suffit d'identifier les +valeurs principales pour~$u$ infiniment petit, en se rappelant +que la valeur principale de~$\wp u$ est~$\dfrac{1}{u^2}$ \Eqref{(17)}~et que celle de +$\sigma u$~est $u$~\Eqref{(31)}. On trouve ainsi +\[ +\frac{1}{u^2} = -\frac{C\, \sigma^2 v}{u^2},\qquad +C = -\frac{1}{\sigma^2 v}; +\] +d'où l'expression cherchée +\[ +\wp u - \wp v = - \frac{\sigma(u + v) \sigma(u - v)}{\sigma^2 u\, \sigma^2 v}. +\] + +\secundo Prenons la dérivée logarithmique des deux membres +%% -----File: 069.png---Folio 65------- +par rapport à~$u$, il viendra +\[ +\frac{\wp' u}{\wp u - \wp v} = \zeta(u + v) + \zeta(u - v) - 2\zeta u. +\] + +Cette formule, quand on y échange $u$~et~$v$, devient +($\zeta$~étant impaire) +\[ +\frac{-\wp' v}{\wp u - \wp v} = \zeta(u + v) - \zeta(u - v) - 2\zeta v. +\] +Ajoutons celle-ci à la première et divisons par~$2$: +\[ +\frac{1}{2}\, \frac{\wp' u - \wp' v}{\wp u - \wp v} + = \zeta(u + v) - \zeta u - \zeta v. +\] + +Différentions encore par rapport à~$u$: +\[ +\wp(u + v) - \wp u + = -\frac{1}{2}\, \frac{d}{du}\, + \frac{\wp\DPtypo{}{'} u - \wp' v}{\wp u - \wp v}. +\] + +Si, après avoir effectué la différentiation du second membre, +nous remplaçons~$\wp''u$ par sa valeur~\Eqref{(19)} $6\wp^2 u - \dfrac{1}{2}\, g_2$, +nous obtenons $\wp(u + v)$ en fonction rationnelle de +$\wp u$,~$\wp v$, $\wp' u$,~$\wp' v$, comme nous l'avions annoncé. Mais la +formule ainsi obtenue ne serait pas symétrique en $u$~et~$v$. + +\tertio Pour arriver à une formule symétrique nous dirigerons +le calcul de la manière que voici. Effectuons +\[ +\frac{d}{du}\, \frac{\wp' u - \wp' v}{\wp u - \wp v} + = \frac{\wp''u(\wp u - \wp v) - \wp'u(\wp' u - \wp' v)}{(\wp u - \wp v)^2}. +\] + +Si nous remplaçons $\wp'' u$ par sa valeur $6\wp^2 u - \dfrac{1}{2}\, g_2$ et +$\wp'^2 u$~par sa valeur $4\wp^2 u - g_2 \wp u - g_3$, le numérateur du +second membre devient +\begin{multline*} +(\wp u - \wp v) \left(6\wp^2 u - \frac{1}{2}\, g_2 \right) + - (4\wp^3 u - g_2 \wp u - g_3) + \wp' v \, \wp'u \\ + = 2\wp^3 u + \frac{1}{2}\, g_2 \wp u + g_3 - 6\wp^2 u\, \wp v + + \frac{1}{2}\, g_2 \wp v + \wp' v\, \wp' u. +\end{multline*} + +De là résulte +%% -----File: 070.png---Folio 66------- +\begin{align*} +\wp(u + v) + &= \wp u - \frac{1}{2}\, \frac{d}{du}\, + \frac{\wp' u - \wp' v}{\wp u - \wp v} \\ + &= \frac{ \left\{ + \begin{gathered} + 2\wp^2 u\, \wp v + 2\wp u\, \wp^2 v + - \left(\frac{1}{2}\, g_2 \wp u + \frac{1}{2} g_3 \right) \\ + - \left(\frac{1}{2}\, g_2 \wp v + \frac{1}{2} g_3 \right) - \wp' v\, \wp' u + \end{gathered} + \right.}{2(\wp u - \wp v)^2}. +\end{align*} + +Si au numérateur du second membre on remplace +$g_2 \wp + g_3$ par sa valeur $-\wp'^2 + 4\wp^3$, ce numérateur devient +\begin{align*} +2 \wp^2 u\, \wp v + &+ 2 \wp u\, \wp^2 v + \frac{1}{2} (\wp'^2 u - 4\wp^3) + + \frac{1}{2} (\wp'^2 v - 4 \wp^3 v) - \wp' v\, \wp' u \\ + &= 2\wp^2 u(\wp v - \wp u) + 2\wp^2 v(\wp u - \wp v) + + \frac{1}{2} (\wp' u - \wp' v)^2 \\ + &= -2(\wp u + \wp v) (\wp u - \wp v)^2 + \frac{1}{2} (\wp' u - \wp' v)^2. +\end{align*} +Finalement on obtient +\[ +\wp(u + v) = -\wp u - \wp v + + \frac{1}{4}\, \left(\frac{\wp' u - \wp' v}{\wp u - \wp v}\right)^2. +\] + +Telle est l'importante formule de \emph{l'addition des arguments} +pour la fonction~$\wp u$. + +\Paragraph{42.}{Multiplication de l'argument par~$2$.} --- Si dans cette +formule nous faisons tendre~$v$ vers~$u$, nous aurons +\[ +\wp 2u = -2\wp u + \frac{1}{4}\, \frac{\wp''^2 u}{\wp'^2 u} + = \frac{1}{4}\, + \frac{\left(6\wp^2 u - \dfrac{1}{2}\, g_2 \right)^2} + {4\wp^3 u - g_2 \wp u - g_3}. +\] + +Une différentiation fournirait~$\wp' 2u$. + +Faisant ensuite dans la formule d'addition +\[ +v = 2u, 3u, \dots, +\] +on obtiendrait des formules pour la multiplication de l'argument +de~$\wp u$ par un entier quelconque. + +Nous y parviendrons, au chapitre suivant, d'une manière +plus élégante. + +\ctb +%% -----File: 071.png---Folio 67------- + + +\Chapter[Multiplication de l'argument de $\wp u$ (\textit{suite}).\ --- +Division de l'argument]% +{VI}{Multiplication de l'argument de $\wp u$ (\textit{suite}). +Division de l'argument} + +\Paragraph{43.}{} Reprenons la formule~\Eqref{(41)} +\[ +\wp u - \wp v + = -\frac{\sigma(u + v)\sigma(u - v)}{\sigma^2 u\, \sigma^2 v}, +\] +et remplaçons-y $u$~par~$nu$ et $v$~par~$u$; elle devient +\[ +\wp nu - \wp u + = -\frac{\sigma(n + 1)u\, \sigma(n - 1)u}{\sigma^2 nu\, \sigma^2 u} + = -\frac{\dfrac{\sigma(n + 1)u}{[\sigma u]^{(n+1)^2}}\, + \dfrac{\sigma(n - 1)u}{[\sigma u]^{(n-1)^2}}} + {\left[\dfrac{\sigma\, nu}{(\sigma u)^{n^2}} \right]^2}; +\] +expression qui, si l'on y pose +\[ +\psi_n u = \frac{\sigma\, nu}{(\sigma u)^{n^2}}, +\] +devient à son tour +\[ +\wp nu - \wp u = - \frac{\psi_{n+1} \psi_{n-1}}{\psi^2_n}. +\] + +C'est en exprimant les fonctions~$\psi$ au moyen de $\wp u$,~$\wp' u$ +suivant la règle indiquée précédemment (\Ord{2}{e}~partie, ch.~IV,~17) %[xref] +que nous obtiendrons la représentation cherchée de~$\wp u$. + +\Paragraph{44.}{Étude de la fonction~$\psi_n u$.} --- Pour prouver que $\psi_n u$~est +une fonction elliptique, cherchons l'effet sur~$\sigma\, nu$ du changement +de~$u$ en~$u + 2\omega_1$ et~$u + 2\omega_2$. Nous aurons par +%% -----File: 072.png---Folio 68------- +exemple~\Eqref{(39)} +\[ +\begin{array}{r@{}r@{}l} +& \sigma(nu + 2\omega_1) + &{}= -e^{2\eta_1(nu + \omega_1)}\, \sigma\, nu, \\ +\sigma(nu + 4\omega_1) + &{}= \sigma(nu + 2\omega_1 + 2\omega_1) + &{}= -e^{2\eta_1(nu + 2\omega_1 + \omega_1)}\, \sigma (nu + 2\omega_1) \\ +& &{}=e^{2\eta_1\bigl[2nu + \omega_1(1+3)\bigr]}\, \sigma\, nu. \\ +\hdotsfor[5]{3} \\ +\sigma(nu + 2n\omega_1) + &\multicolumn{2}{l}{% + {}= (-1)^n e^{2\eta_1\bigl[n\centerdot nu + + \omega_1(1 + 3 + 5 + \dots + 2n - 1)\bigr]}} \\ +& &{}=(-1)^n\, e^{2\eta_1(n^2u + n^2\omega_1)}\, \sigma\, nu. +\end{array} +\] +Cela posé, on a +\begin{align*} +\psi_n(u + 2\omega_1) + = \frac{\sigma(nu + 2n\omega_1)}{\bigl[\sigma(u + \omega_1)\bigr]^{n^2}} + &= \frac{(-1)^n\, e^{2\eta_1 n^2(u + \omega_1)}\, \sigma\, nu} + {[-e^{2\eta_1(u + \omega_1)}]^{n^2}\, (\sigma u)^{n^2}} \\ + &= \frac{(-1)^n}{(-1)^{n^2}}\, \frac{\sigma\, nu}{(\sigma u)^{n^2}} + = \frac{\sigma\, nu}{(\sigma u)^{n^2}} = \psi_nu; +\end{align*} +$\psi_n u$~est donc une fonction elliptique aux périodes $2\omega_1, 2\omega_2$. + +Passons à la représentation de~$\psi_n u$ au moyen de~$\wp u$. + +Comme $\sigma u$~est une fonction entière, $\psi_n u$~n'a d'autres +pôles que les zéros de~$\sigma u$, qui sont tous des périodes. + +Ensuite, les zéros de~$\psi_n u$ sont ceux de~$\sigma\, nu$; ils sont +donc donnés par la formule +\begin{align*} +nu &= 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2, \\ +\intertext{d'où} +u &= \frac{2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2}{n}. +\end{align*} +Ces zéros sont simples. Cherchons ceux d'entre eux qui ne +sont pas des périodes et qui sont distincts. On les trouvera +tous en attribuant à $m_1, m_2$ les valeurs $0, 1, \dots, n-1$ +(sauf la combinaison $m_1 = m_2 = 0$). Cela fait en tout +$n^2 - 1$~zéros. + +Mais ces $n^2 - 1$ zéros ne sont pas encore tous distincts. +Ici deux cas sont à distinguer. + +\primo \emph{$n$~est impair.} --- A chaque zéro $\dfrac{2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2}{n}$ en correspond +un autre +\[ +\frac{2(n - m_1)\omega_1 + 2(n - m_2)\omega_2}{n} +\] +qui n'en est pas distinct, puisque la somme de ces deux +%% -----File: 073.png---Folio 69------- +zéros est $2\omega_1 + 2\omega_2$. Il n'y a donc que $\dfrac{n^2 - 1}{2}$ zéros distincts. +Quant aux pôles, nous l'avons dit, tous sont des +périodes. Aucun dénominateur ne figurera donc dans la +représentation de la fonction paire~$\psi_n u$ au moyen de~$\wp(u)$, +et l'on aura, en appliquant la formule du \no37, %[xref] +\[ +\psi_n u = n\prod\left[ + \wp u - \wp \left(\frac{2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2}{n} \right) \right] = P_1, +\] +$P_1$~étant un polynôme de degré~$\dfrac{n^2-1}{2}$ en~$\wp u$. Le facteur +constant est bien égal à~$n$; car les valeurs principales +des deux membres pour~$u$ infiniment petit sont toutes +deux égales à~$\dfrac{n}{u^{n^2 - 1}}$. + +\secundo \emph{$n$~est pair.} --- On doit mettre à part les trois systèmes +de valeurs +\[ +\left(m_1 = \frac{n}{2}, m_2 = 0\right), \ +\left(m_1 = 0, m_2 = \frac{n}{2}\right), \ +\left(m_1 = \frac{n}{2}, m_2 = \frac{n}{2}\right), +\] +pour lesquelles les zéros de~$\psi_n u$ sont $\omega_1, \omega_2, \omega_1 + \omega_2$. +Mais ces trois zéros sont précisément des zéros de~$\wp' u$. Il +reste $n^2 - 4$~zéros, qui peuvent être rapprochés deux à deux +comme précédemment et dont $\dfrac{n^2 - 4}{2}$ seulement sont +distincts. La fonction elliptique paire~$\dfrac{\psi_n u}{\wp' u}$ pourra s'exprimer +rationnellement au moyen de~$\wp u$; et l'on aura +\[ +\psi_n u = -\frac{n}{2} \wp' u + \prod\left[\wp u - \wp\left(\frac{2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2}{n} \right)\right] + = P_2 \wp' u; +\] +le signe~$\displaystyle\prod$ portant sur $\dfrac{n^2-4}{2}$~facteurs, et $P_2$~désignant +un polynôme de degré~$\dfrac{n^2-4}{2}$ en~$\wp u$. + +\Paragraph{45.}{Multiplication de l'argument de~$\wp u$ par~$n$.} --- Tout ceci +étant acquis, la formule ci-dessus~\Eqref{(43)} +\[ +\wp nu - \wp u = -\frac{\psi_{n+1} \psi_{n-1}}{\psi_n^2} +\] +%% -----File: 074.png---Folio 70------- +résout le problème de la multiplication de l'argument de~$\wp u$ +par~$n$, c'est-à-dire permet de former l'expression de \emph{$\wp nu$~en +fonction rationnelle de~$\wp u$}: + +\primo \emph{$n$~étant pair}, et par conséquent $n + 1$~et~$n - 1$ +impairs, on a +\[ +\psi_n = P_1, \qquad +\psi_{n+1} = Q_1 \wp' u, \qquad +\psi_{n-1} = R_1 \wp' u, +\] +$P_1, Q_1, R_1$ étant des polynômes en~$\wp u$. On voit donc que +\[ +\wp nu = \wp u - \wp'^2 u\, \frac{Q_1R_1}{P_1^2} + = \wp u - (4\wp^3 - g_2 \wp - g_3)\, \frac{Q_1R_1}{P_1^2} +\] +s'exprime rationnellement en fonction de~$\wp u$. + +\secundo \emph{$n$~étant impair}, et par conséquent $n+1$~et~$n-1$ +pairs, on a +\begin{gather*} +\psi_n = P_2 \wp' u, \qquad +\psi_{n+1} = Q_2, \qquad +\psi_{\DPtypo{n-2}{n-1}} = R_2, \\ +\wp nu = \wp u - \frac{Q_2R_2}{P_2\DPtypo{}{^2}\, \wp'^2 u} + = \wp u - \frac{Q_2R_2}{P_2\DPtypo{}{^2} (4\wp^3 - g_2 \wp - g_3)}; +\end{gather*} +$\wp nu$ est toujours une fonction rationnelle de~$\wp u$. + +\Paragraph{46.}{Calcul des polynômes $P_1, P_2$.} --- Il est facile de calculer +en fonction des deux invariants $g_2, g_3$ les coefficients +des deux polynômes $P_1, P_2$ dont le premier +\[ +\left(\text{de degré } \frac{n^2 - 1}{2} \text{ en } \wp u \right) +\] +représente $\psi_n u = \dfrac{\sigma\, nu}{(\sigma u)^{n^2}}$ quand $n$~est pair, et le second +$\!\left(\!\!\text{de degré } \dfrac{n^2 - 4}{2}\!\right)$ représente $\dfrac{\psi_n u}{\wp' u} = \dfrac{1}{\wp' u}\, \dfrac{\sigma\, nu}{(\sigma u)^{n^2}}$ quand +$n$~est impair: +\begin{align*} %[** TN: Aligned] +P_1 &= \alpha \wp^{\frac{n^2 - 1}{2}} + + \alpha_1 \wp^{\frac{n^2 - 1}{2}-1} + \dots + = \frac{\sigma\, nu}{(\sigma u)^{n^2}}, \\ +P_2 &= \beta \wp^{\frac{n^2 - 4}{2}} + + \beta_1 \wp^{\frac{n^2 - 4}{2} - 1} + \dots + = \frac{1}{\wp' u}\, \frac{\sigma\, nu}{(\sigma u)^{n^2}}. +\end{align*} + +On obtient $\alpha, \alpha_1, \dots$, $\beta, \beta_1, \dots$ par la méthode des +coefficients indéterminés, en remplaçant dans les deux +%% -----File: 075.png---Folio 71------- +équations précédentes $\wp u$,~$\wp' u$, $\sigma u$,~$\sigma\, nu$ par leurs développements +\begin{align*} +\wp u &= \frac{1}{u^2} + c_1 u^2 + c_2 u^4 + \dots, & + \wp' u &= -\frac{2}{u^3} + 2c_1 u + 4c_2 u^3 + \dots; \\ +\sigma u &= u(1 + d_1 u^4 + \dots) & +\sigma\, nu &= nu(1 + d_1 n^4u^4 + \dots). +\end{align*} +On trouve, en identifiant les puissances semblables de $u$, +\[ +\alpha = n, \qquad +\alpha_1 = 0,\dots \qquad +\beta = -\frac{n}{2}, \qquad +\beta_1 = 0, \ldots +\] + +\Paragraph{47.}{Division de l'argument de $\wp u$.} --- Supposons $\wp nu$~donné, +et proposons-nous de calculer~$\wp u$. Nous aurons à +résoudre par rapport à cette dernière quantité l'équation +\[ +\wp nu - \wp u = -\frac{\psi_{n+1} \psi_{n-1}}{\psi_n^2}, +\] +dont le second membre est une fonction rationnelle de~$\wp u$ +que nous venons d'apprendre à former. + +Il serait facile d'évaluer le degré de cette équation par rapport +à l'inconnue~$\wp u$, en comptant les degrés des polynômes +$P_1, Q_1, R_1$, $P_2, Q_2, R_2$ du \no45. Mais nous pouvons le faire %[xref] +\textit{a~priori} de la manière suivante. + +A la valeur donnée de~$\wp nu$ correspondent une infinité +de valeurs de~$u$ fournies par la formule +\[ +±u_0 + \frac{2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2}{n} +\] +et par suite les valeurs de~$\wp u$ comprises dans l'expression +\[ +\wp\left(u_0 + \frac{2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2}{n}\right), +\] +où les entiers $m_1, m_2$ peuvent être supposés positifs et plus +petits que~$n$, et où $u_0$~est pris seulement avec le signe~$+$. +Car si $m_1$~et~$m_2$ ne remplissent pas ces conditions, en +ajoutant à l'argument de~$\wp$ une période convenable, on +ramènera cet argument à un autre de même forme +$u_0 + \dfrac{2m'_1\omega_1 + 2m'_2\omega_2}{n}$ où les entiers $m'_1, m'_2$ seront positifs +%% -----File: 076.png---Folio 72------- +et inférieurs à~$n$; et si $u_0$~est pris avec le signe~$-$, l'argument +$-u_0 + \dfrac{2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2}{n}$ peut être, sans que la valeur +de~$\wp$ soit altérée, remplacé par $u_0 - \dfrac{2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2}{n}$, +où $u_0$~est affecté du signe~$+$. + +Le nombre des valeurs distinctes de~$\wp u$ est donc celui +des systèmes des entiers $m_1, m_2$ qui prennent la suite des +valeurs $0, 1, 2, \dots, n$. Ce nombre est~$n^2$. Tel est effectivement +le degré de l'équation qui donne~$\wp u$ en fonction +de~$\wp nu$. + +\ctb +%% -----File: 077.png---Folio 73------- + + +\Chapter{VII}{Division des périodes de $\wp u$} + +\Paragraph{48.}{} Le problème consiste à évaluer $\wp\left(u, \dfrac{\omega_1}{n}, \omega_2 \right)$ en +fonction de~$\wp(u, \omega_1, \omega_2)$. Nous allons montrer que la première +de ces deux fonctions, que nous appellerons pour +abréger~$\wpbar u$, s'exprime rationnellement au moyen de la seconde, +comme nous l'avons annoncé dans la première partie +(ch.~II,~7). %[xref] + +Quand $n$~est un nombre composé, la question peut être +simplifiée. Supposons que $n$ soit le produit de deux autres +entiers, +\[ +n = n' × n''. +\] +Nous pouvons d'abord évaluer +\[ +\wp \left( u, \frac{\omega_1}{n}, \omega_2 \right) + = \wp\left( u, \frac{\ \dfrac{\omega_1}{n'}\ }{n''}, \omega_2 \right) +\] +en fonction de +$\wp\left( u, \dfrac{\omega_1}{n'}, \omega_2 \right)$, puis +$\wp\left( u, \dfrac{\omega_1}{n'}, \omega_2 \right)$ en +fonction de $\wp (u, \omega_1, \omega_2)$. + +Comme tout nombre pair est le produit d'une puissance +de~$2$ par un nombre impair, nous sommes ramenés à étudier +ces deux cas: \primo division d'une période par~$2$; \secundo division +d'une période par un nombre impair. + +\Paragraph{49.}{Division d'une période par~$2$.} --- Nous allons exprimer +%% -----File: 078.png---Folio 74------- +$\wpbar u = \wp\left( u, \dfrac{\omega_1}{2}, \omega_2 \right)$ au moyen de la fonction $\zeta(u, \omega_1, \omega_2)$ +et de ses dérivées (\Ord{2}{e}~partie, ch.~IV, 35). %[xref] + +La fonction~$\wpbar u$ admet les périodes $2\omega_1, 2\omega_2$. Elle admet +deux pôles doubles distincts $0$~et~$\omega_1$. Aux environs de ces +pôles, les parties infinies de son développement sont respectivement +$\dfrac{1}{u^2}$,~$\dfrac{1}{(u - \omega_1)^2}$. On aura donc~\Eqref{(35)} +\[ +\wpbar u = -\zeta' u - \zeta'(u - \omega_1) + C + = \wp u + \wp(u - \omega_1) + C. +\] + +Pour déterminer la constante~$C$, observons qu'aux environs +de $u = 0$, le développement de~$\wpbar u$, comme celui +de~$\wp u$, est privé de terme constant; donc +\begin{gather*} +0 = \wp(-\omega_1) + C, \\ +C = -\wp(-\omega_1) = -\wp(\omega_1) = -e_1. +\end{gather*} + +D'ailleurs, d'après la formule d'addition (\Ord{2}{e}~partie, +ch.~V, 41) %[xref] +\[ +\wp(u - \omega_1) = -\wp u - \wp(-\omega_1) + + \frac{1}{4} \left[\frac{\wp' u - \wp'(-\omega_1)}{\wp u - \wp(-\omega_1)} \right]^2 +\] +ou bien, si l'on observe que +\begin{gather*} +\wp(-\omega_1) = \wp(\omega_1) = e_1, \\ +\wp'(-\omega_1) + = \wp'(-\omega_1 + 2\omega_1) + = \wp'\DPtypo{\omega(_1)}{(\omega_1)} = 0, +\end{gather*} +et qu'on remplace $\wp'^2u$ par sa valeur +\[ +4(\wp u - e_1) (\wp u - e_2) (\wp u - e_3), +\] +il vient +\[ +\wp(u - \omega_1) + = -\wp u - e_1 + \frac{(\wp u - e_2) (\wp u - e_3)}{\wp u - e_1}. +\] + +Nous avons à calculer $\wp(u - \omega_1) + C$, c'est-à-dire +$\wp(u - \omega_1) - e_1$. En effectuant le calcul, on trouve +\[ +\wp(u - \omega_1) - e_1 + = \frac{-(e_1 + e_2 + e_3) \wp u + 2e_1^2 + e_2 e_3}{\wp u - e_1}. +\] + +Finalement, si l'on tient compte de la relation +\[ +e_1 + e_2 + e_3 = 0, +\] +d'où résulte l'identité +%% -----File: 079.png---Folio 75------- +\[ +2e_1^2 + e_2 e_3 = (e_2 - e_1) (e_3 - e_1), +\] +on trouve +\[ +\wpbar u = \wp u + \frac{(e_2 - e_1) (e_3 - e_1)}{\wp u - e_1}. +\] + +\Paragraph{50.}{Division d'une période par un nombre impair.} --- Soit +$n = 2m + 1$. Nous voulons exprimer $\wpbar u = \wp( u, \dfrac{\omega_1}{n}, \omega_2)$ +en fonction de~$\wp(u, \omega_1, \omega_2)$. Nous nous servirons toujours +de la représentation d'une fonction elliptique par $\zeta(u, \omega_1, \omega_2)$ +et ses dérivées par rapport à~$u$. + +La fonction~$\wpbar u$ admet les périodes $2\omega_1, 2\omega_2$ et les pôles +distincts $0, ±\dfrac{2\omega_1}{n}, \dots, ±\dfrac{2m\omega_1}{n}$. Ces pôles sont doubles, +sans résidu; le développement de la partie infinie +de~$\wpbar u$ autour de l'un d'eux $\dfrac{2k\omega_1}{n}$ se réduit à +$\dfrac{1}{\left( u - \dfrac{2k\omega_1}{n} \right)^2}$. Nous aurons donc~\Eqref{(35)} +\begin{align*} +\wpbar u + &= - \zeta'u + - \sum_{k=-m}^{k=+m} \zeta' \left(u + \frac{2k\omega_1}{n}\right) + C, \\ + &= \wp u + + \sum_{k=-m}^{k=+m} \wp \left(u + \frac{2k\omega_1}{n}\right) + C, +\end{align*} +(en excluant la valeur $k = 0$). Pour déterminer la constante~$C$, +nous faisons tendre $u$~vers zéro et nous remarquons +que les développements de~$\wpbar u$ et de~$\wp u$ ont l'un et +l'autre pour partie principale~$\dfrac{1}{u^2}$ sans terme constant, ce +qui donne +\[ +0 = \sum_{-m}^{+m} \wp \frac{2k\omega_1}{n} + C, \qquad +C = -\sum_{-m}^{+m} \wp \frac{2k\omega_1}{n}. +\] +%% -----File: 080.png---Folio 76------- + +D'autre part, nous avons, en appliquant la formule d'addition: +\[ +\wp \left( u + \frac{2k\omega_1}{n} \right) + = -\wp u - \wp \frac{2k\omega_1}{n} + + \frac{1}{4} \left( + \frac{\DPtypo{\wp u'}{\wp'u} - \wp' \dfrac{2k\omega_1}{n}} + {\wp u - \wp \dfrac{2k\omega_1}{n}} \right)^2. +\] + +Substituons dans l'expression de~$\wpbar u$; effectuons le carré +de $\wp' u - \wp' \dfrac{2k\omega_1}{n}$ et remarquons que les doubles produits +donnent des termes impairs qui doivent se détruire puisque +$\wpbar u$~est une fonction paire; nous obtenons +\[ +\wpbar u = \wp u + \sum_{-m}^{+m} \left[ + - \wp u - 2\wp\frac{2k\omega_1}{n} + + \frac{1}{4}\, + \frac{\wp'^2 u + \wp'^2\, \dfrac{2k\omega_1}{n}} + {\left(\wp u - \wp\, \dfrac{2k\omega_1}{n}\right)^2} \right]. +\] + +En remplaçant $\wp'^2 u$~par sa valeur $4\wp^3 u - g_2 \wp u - g_3$, +on voit que $\wpbar u$~s'exprime bien \emph{rationnellement en fonction +de~$\wp u$}. + +En résolvant le problème de la division des périodes de +la fonction~$\wp u$, nous nous trouvons, comme nous l'avons +expliqué (\Ord{1}{re}~partie, ch.~II, 7), avoir résolu complètement %[xref] +le problème de la transformation de~$\wp u$. + +\ctb +%% -----File: 081.png---Folio 77------- + + +\Part{Troisième Partie}{Les fonctions $\sn u$, $\cn u$, $\dn u$} + +%% -----File: 082.png---Folio 78------- +% [Blank Page] +%% -----File: 083.png---Folio 79------- + + +\Chapter{I}{Les fonctions $\sigma_{01} u$, $\sigma_{02} u$, $\sigma_{03} u$} + +Avant que Weierstrass eût fait prévaloir l'usage de la +fonction~$\wp u$, Abel et Jacobi avaient introduit dans la +science trois fonctions elliptiques très simples que plus +tard on appela $\sn u$,~$\cn u$,~$\dn u$ et dont il importe de ne pas +abandonner l'étude parce que, malgré les incontestables +avantages de la fonction~$\wp u$, elles se présentent dans +mainte application d'une manière plus naturelle que cette +dernière. Seulement, au lieu de construire \textit{a~priori} ces anciennes +fonctions elliptiques, nous les ferons dériver de~$\wp u$. +Nous les rattacherons très simplement à celles-ci par l'intermédiaire +de trois nouvelles fonctions elliptiques $\sigma_{01} u$,~$\sigma_{02} u$,~$\sigma_{03} u$. + +\Paragraph{51.}{La fonction~$\sigma_{01} u$.} --- L'introduction de cette fonction +$\sigma_{01} u$ repose sur la remarquable propriété du radical +$\sqrt{\wp u - e_1}$ d'être \emph{une fonction uniforme de~$u$}. + +Reprenons en effet la formule (\Ord{2}{e}~partie, ch.~V, 41) %[xref] +\[ +\wp u - \wp v = -\frac{\sigma(u + v) \sigma(u - v)}{\sigma^2 u\, \sigma^2 v}, +\] +et faisons-y $v = \omega_1$. Comme $\wp\omega_1 = e_1$ par définition, +il viendra +\[ +\wp u - e_1 + = -\frac{\sigma(u + \omega_1) \sigma(u - \omega_1)} + {\sigma^2 u\, \sigma^2 \omega_1}. +\] +%% -----File: 084.png---Folio 80------- + +En raisonnant comme \Ord{2}{e}~partie, ch.~III, 32, on voit que %[xref] +\[ +\sigma(u - \omega_1) = \sigma(u + \omega_1 - 2\omega_1) + = -e^{-2\eta_1(u + \omega_1 - \omega_1)}\, \sigma(u + \omega_1); +\] +donc +\begin{align*} +\wp u - e_1 &= e^{-2\eta_1 u}\, + \frac{\sigma^2(u + \omega_1)}{\sigma^2 u\, \sigma^2 \omega_1}, \\ +\sqrt{\wp u - e_1} &= e^{-\eta_1 u}\, + \frac{\sigma(u + \omega_1)}{\sigma u\, \sigma \omega_1}. +\end{align*} + +Ainsi $\sqrt{\wp u - e_1}$ est une fonction uniforme de~$u$. Ce +radical a deux déterminations. Celle que fournit l'équation +précédente est celle qui, pour $u$~infiniment petit, a +pour valeur principale~$+\dfrac{1}{u}$, puisque la valeur principale +de~$\sigma u$ est~$+u$. + +L'inverse de $\sqrt{\wp u - e_1}$ est une fonction uniforme que +nous désignons par~$\sigma_{01} u$. Ainsi +\[ +\sigma_{01} u = \frac{1}{\sqrt{\wp u - e_1}} + = e^{\eta_1 u}\, \frac{\sigma u\, \sigma \omega_1}{\sigma(u + \omega_1)}. +\] + +Nous allons étudier cette fonction~$\sigma_{01} u$, importante parce +que la fonction~$\sn u$ en est, comme nous le verrons, un cas +particulier. + +\Paragraph{52.}{Propriétés de~$\sigma_{01} u$.} --- Nous allons montrer que \emph{$\sigma_{01} u$~est +une fonction elliptique}. + +\primo \textit{$\sigma_{01} u$~est une fonction impaire.} --- Car si l'on change~$u$ +en~$-u$, $\wp u - e_1$~garde sa valeur. On aura donc +\[ +\sigma_{01}(-u) = \frac{1}{±\sqrt{\wp u - e_1}}. +\] + +Seulement, comme la valeur principale du second membre +est~$+\dfrac{1}{u}$ quand on prend le radical avec le signe~$+$, +c'est le signe~$-$ qu'il faut prendre, afin que cette valeur +principale soit~$-\dfrac{1}{u}$ [inverse de celle de~$\sigma_{01}(-u)$]. De là +résulte +\[ +\sigma_{01}(-u) = -\sigma_{01} u. +\] +%% -----File: 085.png---Folio 81------- + +\secundo \textit{$\sigma_{01} u$~admet pour période~$4\omega_2$.} --- En effet, changeons~$u$ +en~$u + 2\omega_2$; $\wp u - e_1$ conserve sa valeur. On ne peut +donc avoir que +\[ +\sigma_{01}(u + 2\omega_2) = ±\sigma_{01} u. +\] + +Pour décider du signe qu'il faut prendre, donnons à~$u$ la +valeur particulière~$-\omega_2$, nous aurons +\[ +\sigma_{01} \omega_2 = ±\sigma_{01}(-\omega_2). +\] + +Mais, $\sigma_{01}u$~étant une fonction impaire, c'est le signe~$-$ +qui convient. Donc +\[ +\sigma_{01}(u + 2\omega_2) = -\sigma_{01} u. +\] + +Augmentons encore l'argument de~$2\omega_2$; il viendra +\[ +\sigma_{01}(u + 4\omega_2) = -\sigma_{01}(u + 2\omega_2) = \sigma_{01} u. +\] + +Donc $4\omega_2$~est une période de~$\sigma_{01} u$. + +On prouverait de même que $4\omega_3$~en est une aussi. + +\tertio \textit{$\sigma_{01} u$~admet la période~$2\omega_1$.} --- Le raisonnement qui +précède est inapplicable dans ce cas. Car l'expression +$\sigma_{01} \omega_1 = \dfrac{1}{\sqrt{\wp u - e_1}}$ n'a plus de sens quand on y remplace~$u$ +par~$-\omega_1$, puisque $\wp(-\omega_1) = \wp\omega_1 = e_1$. Nous recourrons +à l'expression ci-dessus de~$\sigma_{01} u$ par la fonction~$\sigma$. En +remplaçant dans cette expression~$u$ par~$u + 2\omega_1$, nous +avons +\[ +\sigma_{01}(u + 2\omega_1) + = e^{\eta_1(u + 2\omega_1)}\, + \frac{ \sigma(u + 2\omega_1)\, \sigma\omega_1 } + { \sigma(u + \omega_1 + 2\omega_1) }. +\] + +Mais (\Ord{2}{e}~partie, ch.~III, 32) %[xref] +\begin{gather*} +\sigma(u + 2\omega_1) = -e^{2\eta_1(u + \omega_1)}\, \sigma u, \\ +\sigma(u + \omega_1 + 2\omega_1) + = -e^{2\eta_1(u + \omega_1 + \omega_1)}\, \sigma(u + \omega_1); +\end{gather*} +donc +\[ +\sigma_{01}(u + 2\omega_1) + = e^{\eta_1 u}\, \frac{\sigma u\, \sigma \omega_1}{\sigma(u + \omega_1)} + = \sigma_{01} u. +\] + +Ainsi $2\omega_1$~est une période de~$\sigma_{01} u$. + +Cette fonction étant uniforme, doublement périodique, +et n'ayant évidemment, d'après sa composition, d'autres +%% -----File: 086.png---Folio 82------- +singularités que des pôles, est une fonction elliptique, +\cqfd + +\Paragraph{53.}{Pôles et zéros de~$\sigma_{01}u$.} --- Les pôles de~$\sigma_{01}u$ sont les +racines de +\[ +\wp u - e_1 = \wp u - \wp\omega_1 = 0. +\] +Ils sont donc donnés par la formule +\[ +u = \omega_1 + 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2. +\] + +Ces pôles sont simples. + +Les zéros de~$\sigma_{01}u$ sont les pôles de~$\wp u$, et comme ces +pôles sont doubles, ces zéros sont simples à cause du radical +qui porte sur~$\wp u - e_1$. Tous ces zéros sont compris +dans la formule +\[ +u = 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2. +\] + +\Paragraph{54.}{Équation algébrique entre $\sigma_{01}u$ et sa dérivée.} --- Pour +obtenir cette équation, il suffit de remplacer~$\wp u$ par sa +valeur $e_1 + \dfrac{1}{\sigma^2_{01}u}$ dans la relation +\[ +\wp'^2u = 4(\wp u - e_1)(\wp u - e_2)(\wp u - e_3). +\] +On a +\[ +\wp u = e_1 + \frac{1}{\sigma^2_{01}u}, \qquad +\wp' u = -2\, \frac{\sigma'_{01}u}{\sigma^3_{01}u}. +\] +La substitution donne +\[ +4\, \frac{\sigma'^2_{01}u}{\sigma^6_{01}u} + = \frac{4}{\sigma^2_{01}u} + \left( \frac{1}{\sigma^2_{01}u} + e_1 - e_2 \right) + \left( \frac{1}{\sigma^2_{01}u} + e_1 - e_3 \right). +\] +Posons pour simplifier +\[ +e_3 - e_1 = M^2, \qquad +e_2 - e_1 = M^2 k^2. +\] +L'équation entre $\sigma_{01}u$~et sa dérivée deviendra, après suppression +du facteur~$\dfrac{4}{\sigma^6_{01}u}$, +\[ +\sigma'^2_{01}u = (1 - M^2\, \sigma^2_{01}u)(1 - M^2 k^2\, \sigma^2_{01}u). +\] + +\Paragraph{55.}{Les fonctions $\sigma_{02}u$,~$\sigma_{03}u$.} --- Les fonctions elliptiques +$\sigma_{02}u$,~$\sigma_{03}u$ sont définies par des formules analogues à celles +%% -----File: 087.png---Folio 83------- +qui servent de définition à~$\sigma_{01} u$: +\begin{align*} +\sigma_{02} + &= \frac{1}{\sqrt{\wp u - e_2}} + = e^{\eta_\DPtypo{1}{2} u}\, \frac{\sigma u\, \sigma \omega_2}{\sigma(u + \omega_2)}, \\ +\sigma_{03} + &= \frac{1}{\sqrt{\wp u - e_3}} + = e^{\eta_3 u}\, \frac{\sigma u\, \sigma \omega_3}{\sigma(u + \omega_3)}. +\end{align*} + +Insistons un peu sur la dernière expression, car nous +n'avons encore rien dit de la quantité~$\eta_3$ qui y figure. + +Nous avons introduit les deux quantités $\eta_1 = \zeta\omega_1$, +$\eta_2 = \zeta\omega_2$ en étudiant la fonction~$\zeta u$ construite avec les +périodes $2\omega_1, 2\omega_2$ (\Ord{2}{e}~partie, ch.~III, 29). On obtient la même %[xref] +fonction~$\zeta u$ en partant des deux périodes $2\omega_1, 2\omega_3$, qui +conservent les sommets du réseau construit sur $2\omega_1, 2\omega_2$. +Cette fonction $\zeta(u, \omega_1, \omega_3)$ introduit à son tour la quantité +\[ +\eta_3 = \zeta\omega_3. +\] + +Nous avons vu que si, prenant la direction~$2\omega_1$ pour +faire le tour du parallélogramme construit sur $2\omega_1, 2\omega_2$, +on se trouve marcher dans le sens direct, on a entre $\omega_1, \omega_2$, +$\eta_1, \eta_2$ la relation (\Ord{2}{e}~partie, ch.~III, 29) %[xref] +\[ +2(\eta_1\omega_2 - \eta_2\omega_1) = \pi i. +\] + +Or, l'égalité $\omega_1 + \omega_2 + \omega_3 = 0$ se traduit géométriquement +par ce fait % [Illustration] +\begin{wrapfigure}{l}{1.75in}%[** TN: Width-dependent break] + \Input[1.75in]{087a} +\end{wrapfigure} +que la période~$2\omega_3$ +est égale et directement +opposée à la diagonale +du parallélogramme construit +sur~$2\omega_1$,~$2\omega_2$. + +Il s'ensuit que les deux +parallélogrammes construits +respectivement sur $2\omega_2$,~$2\omega_3$ et $2\omega_3$,~$2\omega_1$ seront contournés +dans le sens direct, si l'on part du point de concours~$O'$ des +trois périodes, pour le premier dans la direction~$2\omega_2$, +pour le second dans la direction~$2\omega_3$. Nous n'avons donc, +dans la relation ci-dessus, qu'à faire sur les indices une permutation +circulaire, pour obtenir les deux relations corrélatives +%% -----File: 088.png---Folio 84------- +\[ + 2(\eta_2\omega_3 - \eta_3\omega_2) += 2(\eta_3\omega_1 - \eta_1\omega_3) = \pi i. +\] +Il est facile de voir que ces trois relations, jointes à +$\omega_1 + \omega_2 + \omega_3 = 0$, entraînent l'égalité +\[ +\eta_1 + \eta_2 + \eta_3 = 0. +\] + +\Paragraph{56.}{Tableau des propriétés des trois fonctions $\sigma_{01} u$, +$\sigma_{02} u$, $\sigma_{03} u$.} --- A chacune des trois racines $e_1, e_2, e_3$ correspond +une fonction elliptique +\[ +\sigma_{01} u = \frac{1}{\sqrt{\wp u - e_1}}, \quad +\sigma_{02} u = \frac{1}{\sqrt{\wp u - e_2}}, \quad +\sigma_{03} u = \frac{1}{\sqrt{\wp u - e_3}} +\] +ou bien encore +\[ +\sigma_{01} u + = e^{\eta_1 u}\, \frac{\sigma u\, \sigma\omega_1}{\sigma(u + \omega_1)},\ +\sigma_{02} u + = e^{\eta_2 u}\, \frac{\sigma u\, \sigma\omega_2}{\sigma(u + \omega_2)},\ +\sigma_{03} u + = e^{\eta_3 u}\, \frac{\sigma u\, \sigma\omega_3}{\sigma(u + \omega_3)}. +\] + +Souvenons-nous des trois relations +\[ +\omega_1 + \omega_2 + \omega_3 = 0, \quad +e_1 + e_2 + e_3 = 0, \quad +\eta_1 + \eta_2 + \eta_3 = 0. +\] + +Voici le tableau des périodes, des pôles et des zéros de +ces trois fonctions +\[ +\begin{array}{*{4}{c}} + \text{Fonction} & \text{Périodes} & \text{Pôles} & \text{Zéros} \\ + \sigma_{01} u & 2\omega_1, 4\omega_2, 4\omega_3 + & \omega_1 + 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2 + & 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2 \\ + \sigma_{02} u & 2\omega_2, 4\omega_3, 4\omega_1 + & \omega_2 + 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2 & \Ditto \\ + \sigma_{03} u & 2\omega_3, 4\omega_1, 4\omega_2 + & \omega_3 + 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2 & \Ditto +\end{array} +\] + +Rappelons-nous aussi que $2\omega_2$~et~$2\omega_3$ sont des demi-périodes +pour~$\sigma_{01} u$, c'est-à-dire que $\sigma_{01}(u + 2\omega_2)$ par exemple +est égal à~$-\sigma_{01} u$. De même $2\omega_3$~et~$2\omega_1$ pour~$\sigma_{02} u$, et +$2\omega_1$,~$2\omega_2$ pour~$\sigma_{03} u$. + +\ctb +%% -----File: 089.png---Folio 85------- + + +\Chapter{II}{La fonction $\sn u$} + +\Paragraph{57.}{Définition de~$\sn u$.} --- La fonction~$\sn u$ est un cas particulier +de~$\sigma_{01} u$, celui où le \emph{multiplicateur}~$M$ est égal à~$1$. + +Ainsi $\sn u$~est une fonction elliptique, et elle est complètement +déterminée quand on donne le carré de son \emph{module}~$k$. + +Nous avons vu en effet que la fonction~$\wp u$ est parfaitement +déterminée par les trois quantités $e_1, e_2, e_3$ (\Ord{2}{e}~partie, %[xref] +chap.~II). Reportons-nous aux formules du \no54; si l'on y +fait $M = 1$, elles deviennent +\[ +e_3 - e_1 = 1, \qquad e_2 - e_1 = k^2; +\] +jointes à $e_1 + e_2 + e_3 = 0$, elles donnent +\[ +e_1 = -\frac{1 + k^2}{3}, \qquad +e_2 = \frac{2k^2 - 1}{3}, \qquad +e_3 = \frac{2 - k^2}{3}, +\] +et en partant de ces trois quantités qui ne dépendent que +de~$k^2$, nous pouvons construire une fonction~$\wp u$ et une +seule. A cette fonction~$\wp u$ correspond une seule fonction~$\sigma_{01} u$ +qui est précisément~$\sn u$: +\[ +\sn u = \frac{1}{\sqrt{\wp u + \dfrac{1 + k^2}{3}}}. +\] + +\Paragraph{58.}{Équation algébrique entre $\sn u$~et sa dérivée.} --- Si dans +l'équation qui lie $\sigma_{01} u$~à sa dérivée~\Eqref{(54)}, nous faisons +$M = 1$, nous obtenons la relation algébrique en $\sn u$~et~$\sn'u$ +%% -----File: 090.png---Folio 86------- +\[ +\sn'u = (1 - \sn^2u)(1 - k^2\sn^2u). +\] + +La forme de cette équation différentielle à laquelle satisfait~$\sn u$ +confirme le fait que $\sn u$~ne dépend que de~$k^2$. + +Cette équation différentielle pourrait, avec la condition +complémentaire $\sn0 = 0$, servir de définition à~$\sn u$. + +\Paragraph{59.}{Périodes de $\sn u$.} --- Appelons $2\Omega_1, 2\Omega_2$ les périodes +d'une fonction~$\wp u$ telle que $e_3 - e_1 = 1$. + +D'après ce que nous avons dit des périodes de~$\sigma_{01}u$~\Eqref{(52)}, +celles de~$\sn u$ seront $2\Omega_1$~et~$4\Omega_2$ (et aussi~$4\Omega_3$) et l'on aura +\[ +\sn(u + 2\Omega_2) = -\sn u. +\] + +Ces périodes, nous le savons d'avance, ne doivent dépendre +que de~$k^2$. Elles peuvent s'exprimer en fonction de~$k^2$ +par des intégrales définies. Voici comment. + +Nous avons trouvé (\Ord{2}{e}~partie, ch.~II, 24) pour expressions %[xref] +des moitiés des périodes de~$\wp u$ en fonction de $e_1, e_2, e_3$ +\[ +\omega_1 = \int_{e_2}^{e_3} \frac{dz}{\sqrt{Z}}, \qquad +\omega_2 = \int_{e_3}^{e_1} \frac{dz}{\sqrt{Z}}, \qquad +\omega_3 = \int_{e_1}^{e_2} \frac{dz}{\sqrt{Z}}, +\] +où +\[ +Z = 4(z - e_1)(z - e_2)(z - e_3). +\] + +Or $z$~représente ici~$\wp u$ (\textit{loc.\ cit.}). Si nous introduisons +une variable~$x$ représentant~$\sn u$, elle sera liée à~$z$ par la +relation +\[ +x = \frac{1}{\sqrt{z + \dfrac{1 + k^2}{3}}}; +\] +d'où $z = e_1 + \dfrac{1}{x^2}$. En remplaçant~$z$ par cette dernière +valeur et $dz$~par~$-\dfrac{2}{x^3}\, dx$, on trouve +\[ +\frac{dz}{\sqrt{4(z - e_1)(z - e_2)(z - e_3)}} += \frac{dx}{±\sqrt{(1 - x^2)(1 - k^2x^2)}}\DPtypo{}{.} +\] + +Aux valeurs $e_1, e_2, e_3$ de~$z$ répondent respectivement les +%% -----File: 091.png---Folio 87------- +valeurs $\infty$,~$±\dfrac{1}{k}$,~$±1$ de~$x$, comme cela résulte des +expressions ci-dessus~\Eqref{(56)} de $e_1, e_2, e_3$ en fonction de~$k$. + +Les formules qui donnent $\omega_1, \omega_2, \omega_3$ deviennent alors, si +l'on prend pour limites des intégrales les quantités +\[ +\infty,\ +\frac{1}{k},\ +1 +\] +par exemple, +\[ +\Omega_1 = \int_{\frac{1}{k}}^{1} \frac{dx}{\sqrt{X}}, \qquad +\Omega_2 = \int_{1}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{X}}, \qquad +\Omega_3 = \int_{\infty}^{\frac{1}{k}} \frac{dx}{\sqrt{X}}, +\] +où +\[ +X = (1 - x^2)(1 - k^2x^2). +\] + +Telles sont les formules qui permettent de calculer les +périodes de~$\sn u$ en fonction du module~$k$. + +La détermination du radical~$\sqrt{X}$ est arbitraire, mais la +même dans les trois formules. Ceci prouve que la fonction~$\sn u$, +que nous savons être complètement déterminée quand +$k^2$~est donné, ne change pas quand on change simultanément +les signes des périodes. Ceci n'est du reste qu'un cas particulier +d'une proposition que nous démontrerons tout à +l'heure~\Eqref{(60)}. + +\Paragraph{60.}{Cas où le module est réel.} --- Ce cas est particulièrement +intéressant. Il y a alors une période réelle et une +période purement imaginaire; ces deux périodes sont perpendiculaires +l'une sur l'autre, et le réseau des périodes est +rectangulaire. + +Nous pouvons supposer $k$~positif, puisqu'on ne donne +que~$k^2$. Admettons pour fixer les idées que $k$~est plus grand +que~$1$; le point~$\dfrac{1}{k}$ est situé entre l'origine~$0$ et le point~$1$. +On intègre le long de l'axe des quantités réelles. Le radical~$\sqrt{X}$ +est imaginaire entre $x = \dfrac{1}{k}$ et $x=1$, réel de +$x = 1$ à $x = +\infty$. Par suite $\Omega_2$~est réel et $\Omega_1$~purement +imaginaire, comme nous l'avions annoncé. +%% -----File: 092.png---Folio 88------- + +Mais pour calculer $\Omega_1$~et~$\Omega_2$ il faut savoir quelle détermination +du radical~$\sqrt{X}$ on doit prendre. Entre les limites $1$~et~$\infty$, +prenons par exemple la détermination positive. Entre $1$~et~$\dfrac{1}{k}$ +le radical a deux déterminations $±i\sqrt{(1 - x^2)(k^2x^2 - 1)}$. +Laquelle choisir? + +Pour le décider, marquons sur l'axe des quantités réelles +deux points % [Illustration] +\begin{wrapfigure}{l}{2.25in}%[** TN: Width-dependent break] + \Input[2.25in]{092a} +\end{wrapfigure} +$A$~et~$B$ équidistants +du point~$1$, le second +situé entre $1$~et~$\dfrac{1}{k}$. +Décrivons sur~$AB$ comme diamètre un demi-cercle dans la +partie supérieure du plan de la variable~$x$ et supposons que +le point~$x$ parti de~$A$ arrive en~$B$ après avoir décrit ce demi-cercle. + +Pendant ce demi-tour, le radical +\[ +\sqrt{X} + = \sqrt{\smash[b]{(1 - x^2)(1 - k^2x^2)}} + = \sqrt{\vphantom{k^2}x - 1} \sqrt{\smash[b]{(x + 1)(k^2x^2 - 1)}} +\] +doit prendre une succession de valeurs continues. Si les +deux points $A$~et~$B$ sont infiniment rapprochés, ces valeurs +seront infiniment peu différentes. Par conséquent le facteur +$\sqrt{(x + 1)(k^2x^2 - 1)}$, réel et positif en~$A$, est resté réel et +positif en~$B$\@. Il suffit donc de savoir ce qu'est devenu le +facteur~$\sqrt{x - 1}$. + +Or, si $\rho$~désigne le rayon du demi-cercle, nous pouvons +poser +\[ +x - 1 = \rho(\cos \varphi + i\sin \varphi), +\] +l'angle polaire~$\varphi$ étant nul en~$A$ et égal à~$\pi$ au point~$B$; +par conséquent +\[ +\sqrt{x - 1} = \rho^{\frac{1}{2}} + \left( \cos\frac{\varphi}{2} + i\sin\frac{\varphi}{2} \right). +\] +Pour $\varphi = 0$, $\sqrt{x - 1}$~est égal à~$\rho^{\frac{1}{2}}$, et, pour $\varphi = \pi$, à~$+i\rho^{\frac{1}{2}}$. +C'est donc la détermination +\[ ++i\sqrt{(1 - x^2)(k^2x^2 - 1)} +\] +%% -----File: 093.png---Folio 89------- +qu'il faut prendre dans l'intégration de~$\dfrac{1}{k}$ à~$1$ qui fournit~$\Omega_1$. + +\begin{Theorem}{61.} --- La fonction~$\sn u$ est déterminée quand on +donne le rapport de ses périodes. +\end{Theorem} + +Donnons-nous en effet le rapport $\dfrac{\Omega_2}{\Omega_1} = \tau$. + +Nous savons que toute fonction~$\sn u$ dérive d'une fonction~$\wp u$ +assujettie à la condition $e_3 - e_1 = 1$. D'ailleurs les +périodes de~$\sn u$ étant $2\Omega_1, 4\Omega_2$, celles de cette fonction~$\wp u$ +sont $2\Omega_1, 2\Omega_2$. On doit donc avoir, en se rappelant la définition +des quantités $e_1, e_3$, +\[ +\wp \Omega_3 - \wp \Omega_1 = 1, \qquad +\frac{\Omega_2}{\Omega_1} = \tau. +\] + +Or $\wp u$ est une fonction homogène de degré~$-2$ de +l'argument~$u$ et des deux périodes $\Omega_1, \Omega_2$ (\Ord{2}{e}~partie, ch.~I,~16). %[xref] +Si donc on changeait $\Omega_1, \Omega_2$ en $\mu\Omega_1, \mu\Omega_2$ $\left(\text{ce qui donne +toutes les solutions de l'équation } \dfrac{\Omega_2}{\Omega_1} = \tau\right)$, on aurait +\[ +\wp (\mu\Omega_3) - \wp (\mu\Omega_1) = \frac{1}{\mu^2}. +\] + +Il n'y a que les valeurs $\mu = ± 1$ qui satisfassent à +la condition $e_3 - e_1 = 1$. Donc une seule fonction~$\wp u$ +peut répondre à la question et par suite une seule fonction~$\sn u$. + +\Paragraph{62.}{Pôles et zéros de~$\sn u$.} --- La fonction~$\sn u$ étant un cas +particulier de~$\sigma_{01}u$, les pôles de~$\sn u$ sont~\Eqref{(53)} les points +\[ +u = \Omega_1 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2. +\] +Ces pôles sont simples. Il n'y en a que deux dans chaque +parallélogramme des périodes. $\Omega_1$~et~$\Omega_1 + 2\Omega_2$ sont deux +pôles distincts. + +Il suit de là que $\sn u$~est une fonction elliptique d'ordre~$2$. +%% -----File: 094.png---Folio 90------- + +Les zéros de~$\sn u$ sont simples. Ce sont les points +\[ +u = 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2. +\] + +Il y en a deux dans chaque parallélogramme des périodes; +$0$~et~$2\Omega_2$ sont deux zéros distincts. + +\ctb +%% -----File: 095.png---Folio 91------- + + +\Chapter{III}{Les fonctions $\cn u$, $\dn u$} + +\Paragraph{63.}{Définitions de $\cn u$~et de~$\dn u$.} --- Quand on prend pour +base de la théorie des fonctions elliptiques la fonction~$\sn u$, +on est obligé, pour la simplicité et la symétrie des formules, +de lui adjoindre deux autres fonctions elliptiques, $\cn u$~et~$\dn u$, +que nous allons définir: c'est ainsi qu'en trigonométrie +on est conduit par la même raison à associer au sinus +une autre ligne trigonométrique, le cosinus. Cette obligation +de faire marcher de front l'étude des trois fonctions $\sn$,~$\cn$,~$\dn$ +constitue un désavantage des anciennes fonctions elliptiques, +quand on les compare à~$\wp u$. + +Nous définirons $\cn u$,~$\dn u$ par les relations +\begin{align*} +\cn u &= \sqrt{1 - \sn^2 u}, \\ +\dn u &= \sqrt{1 - k^2\sn^2 u}, +\end{align*} +complétées par les conditions +\begin{align*} +\cn0 &= +1, \\ +\dn0 &= +1. +\end{align*} + +Nous allons montrer que $\sn u$~et~$\dn u$ \emph{sont des fonctions +uniformes de~$u$}. En effet, puisque $\sn u = \dfrac{1}{\sqrt{\wp u - e_1}}$, $\wp u$~étant +assujettie à la condition $e_3 - e_1 = 1$, nous aurons +\begin{gather*} +\cn u = \sqrt{1 - \frac{1}{\wp u-e_1}} + = \frac{\sqrt{\wp u - e_1 - 1}}{\sqrt{\wp u - e_1}} + = \frac{\sqrt{\wp u - e_3}}{\sqrt{\wp u - e_1}}, \\ +%% -----File: 096.png---Folio 92------- +\dn u = \sqrt{1 - \frac{k^2}{\wp u - e_1}} + = \frac{\sqrt{\wp u - e_1 - k^2}}{\sqrt{\wp u - e_1}} + = \frac{\sqrt{\wp u - e_2}}{\sqrt{\wp u - e_1}}, +\end{gather*} +et par suite +\begin{align*} +\cn u &= \frac{\sigma_{01}u}{\sigma_{03}u}, \\ +\dn u &= \frac{\sigma_{01}u}{\sigma_{02}u}. +\end{align*} + +Comme $\sigma_{01}, \sigma_{02}, \sigma_{03}$ sont des fonctions uniformes de~$u$, la +proposition se trouve établie. + +Les deux dernières formules, jointes à $\sn u = \sigma_{01}u$, +montrent que $\sn u$~est une fonction impaire et que $\cn u$,~$\dn u$ +sont des fonctions paires, puisque $\sigma_{01}, \sigma_{02}, \sigma_{03}$ sont impaires +(\Ord{3}{e}~partie, ch.~I, 52). %[xref] + +N'oublions pas que les fonctions $\sigma_{01}, \sigma_{02}, \sigma_{03}$ qui figurent +ici ne sont pas les plus générales, à cause de la condition +$e_3 - e_1 = 1$. + +\Paragraph{64.}{Périodes de~$\dn u$ et de~$\cn u$.} --- Reportons-nous au tableau +des périodes et demi-périodes des trois fonctions +$\sigma_{01}, \sigma_{02}, \sigma_{03}$~\Eqref{(55)}. + +\primo La fonction~$\cn u$ a pour périodes $2\Omega_2, 4\Omega_1, 4\Omega_3$. En effet +\[ +\cn(u + 2\Omega_2) + = \frac{ \sigma_{01}(u + 2\Omega_2)}{\sigma_{03}(u + 2\Omega_2)} + = \frac{-\sigma_{01}u}{-\sigma_{03}u} + = \frac{ \sigma_{01}u}{\sigma_{03}u} = \cn u. +\] +D'autre part +\[ +\cn(u + 2\Omega_1) + = \frac{\sigma_{01}(u + 2\Omega_1)}{\sigma_{03}(u + 2\Omega_1)} + = \frac{\sigma_{01}u}{-\sigma_{03}u} = -\cn u. +\] + +Ainsi $2\Omega_1$~est une demi-période de~$\cn u$; on montrerait +qu'il en est de même de~$2\Omega_3$. Donc $\cn u$~a pour périodes +$4\Omega_1, 4\Omega_3$. + +\secundo La fonction~$\dn u$ a pour périodes $2\Omega_3, 4\Omega_2$ et~$4\Omega_1$. +Démonstration analogue; $2\Omega_2$~et~$2\Omega_1$ sont des demi-périodes. + +\Paragraph{65.}{Pôles et zéros de~$\cn u$ et de~$\dn u$.} --- Les pôles de $\cn u$~et~$\dn u$ +sont les mêmes que ceux de~$\sn u$. +%% -----File: 097.png---Folio 93------- + +En effet, si l'on se reporte au tableau du \no56, on constate %[xref] +que les pôles de $\sigma_{03}u$~et~$\sigma_{02}u$ sont différents des pôles +de~$\sigma_{01}u$. Donc les deux fonctions $\cn u = \dfrac{\sigma_{01}u}{\sigma_{03}u}$, $\dn u = \dfrac{\sigma_{01}u}{\sigma_{02}u}$ +admettront tous les pôles de~$\sigma_{01}u$ c'est-à-dire de~$\sn u$, +savoir +\[ +u = \Omega_1 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2. +\] + +Ces pôles sont simples. + +Elles n'en admettront pas d'autres. Car elles ne pourraient +plus avoir comme pôles, l'une que les zéros de~$\sigma_{03}u$, +l'autre que ceux de~$\sigma_{02}u$. Ces zéros, communs aux trois fonctions +$\sigma_{01}, \sigma_{02}, \sigma_{03}$, sont les points $2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2$. Or $2\Omega_1, +2\Omega_2$ étant des périodes ou des demi-périodes de $\cn u, \dn u$, +on a +\begin{align*} +\cn(2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2) &= ±\cn0 = ±1, \\ +\dn(2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2) &= ±\dn0 = ±1. +\end{align*} + +Quant aux zéros de~$\cn u$ et de~$\dn u$, ils ne peuvent être les +zéros de~$\sigma_{01}u$, puisque ceux-ci donnent à $\cn u, \dn u$ les valeurs~$± 1$. + +Ce seront donc: pour~$\cn u$ les pôles de~$\sigma_{03}u$ (qui en effet +sont distincts de ceux de~$\sigma_{01}u$), et pour~$\dn u$ les pôles de~$\sigma_{02}u$. + +Par suite, les zéros de~$\cn u$ sont les points +\[ +u = \Omega_3 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2. +\] + +Les zéros de~$\dn u$ sont +\[ +u = \Omega_2 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2. +\] + +Tous ces zéros sont simples. + +De ce qui précède, on conclut aisément que $\cn u$~et~$\dn u$ +n'ont chacune que deux pôles distincts, ce sont donc des +fonctions elliptiques du second ordre. Remarquons bien +que $\sn u, \cn u, \dn u$ n'ont pas le même parallélogramme +des périodes. + +\Paragraph{66.}{Tableau des périodes, demi-périodes, pôles et zéros de +$\sn u, \cn u$, $\dn u$.} --- Rappelons que nous appelons \emph{demi-période} +%% -----File: 098.png---Folio 94------- +d'une fonction elliptique toute quantité qui, ajoutée à +l'argument, ne fait que changer le signe de la fonction. +\begin{center} +\makebox[0pt][c]{% +\footnotesize +$\begin{array}{ccccr} + \text{Fonction} & + \settowidth{\TmpLen}{périodes}% + \parbox[c]{\TmpLen}{\centering Demi-\\périodes\medskip} + & \text{Périodes} & \text{Pôles} & \multicolumn{1}{c}{\text{Zéros}} \\ + \sn u & 2\Omega_2, 2\Omega_3 & + 2\Omega_1, 4\Omega_2, 4\Omega_3 & + \Omega_1 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2 & + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2 \\ +% + \cn u & 2\Omega_3, 2\Omega_1 & + 2\Omega_2, 4\Omega_3, 4\Omega_1 & \Ditto & + \Omega_3 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2 \\ +% + \dn u & 2\Omega_1, 2\Omega_2 & + 2\Omega_3, 4\Omega_1, 4\Omega_2 & \Ditto & + \Omega_2 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2 +\end{array}$} +\end{center} + +\ctb +%% -----File: 099.png---Folio 95------- + + +\Chapter{IV}{Dérivées de $\sn u, \cn u, \dn u$.\ --- Développements +en série.\ --- Dégénérescences} + +\Paragraph{67.}{Dérivées de $\sn u, \cn u, \dn u$.} --- Reportons-nous à l'équation +qui lie $\sn u$~et sa dérivée~$\sn'u$ \Eqref{(58)} et à celles qui définissent +$\cn u$~et~$\dn u$ \Eqref{(63)}. Nous en conclurons immédiatement +\begin{gather*} +(\sn'u)^2 =(1-\sn^2u)(1-k^2\sn^2 u), \\ +\sn'u=+\cn u \dn u. +\end{gather*} + +Nous devons affecter le second membre du signe~$+$ et +non du signe~$-$; car, pour $u = 0$, le produit $\cn u\, \dn u$ +se réduit à~$+1$. D'autre part, $\sn u$~étant par définition +égal à~$\dfrac{1}{\sqrt{\wp u - e_1}}$, nous aurons +\[ +\sn'u + = -\frac{1}{2}\, \frac{\wp' u}{(\sqrt{\wp u - e_1})^3} + = -\frac{1}{2}\, \frac{-\dfrac{2}{u^3} + \dots} + {\left(\dfrac{1}{u} + \dots\right)^3}, +\] +car le radical~${\sqrt{\wp u - e_1}}$ a la valeur principale~$+\dfrac{1}{u}$ pour +$u$~infiniment petit (\Ord{3}{e}~partie, ch.~I, 51). %[xref] + +La valeur de~$\sn'u$ pour $u = 0$ est donc~$+1$. + +Pour avoir la dérivée de~$\cn u$, il suffit maintenant de +différentier +\[ +\cn u = \sqrt{1-\sn^2u}, +\] +ce qui donne +\[ +\cn'u + = \frac{-\sn u\, \sn'u}{\sqrt{1 - \sn^2u}} + = \frac{-\sn u\, \cn u \dn u}{\cn u} +\] +%% -----File: 100.png---Folio 96------- +ou +\[ +\cn' u = - \sn u\, \dn u. +\] + +Enfin la dérivée de~$\dn u$ s'obtient en différentiant +\[ +\dn u = \sqrt{1 - k^2\sn^2 u}; +\] +donc +\[ +\dn' u + = \frac{-k^2\sn u\, \sn' u}{\sqrt{1 - k^2\sn^2 u}} + = \frac{-k^2\sn u\, \cn u\, \dn u}{\dn u} +\] +ou +\[ +\dn' u = -k^2 \sn u\, \cn u. +\] + +Le système des trois équations différentielles +\[ +\sn' u = \cn u\, \dn u, \quad +\cn' u = -\sn u\, \dn u, \quad +\dn' u = -k^2 \sn u\, \cn u, +\] +avec les données initiales +\[ +\sn 0 = 0, \qquad +\cn 0 = 1, \qquad +\dn 0 = 1, +\] +pourrait servir à définir \textit{a~priori} +les trois fonctions $\sn u, \cn u, \dn u$. + +On voit sans peine qu'il est équivalent au système +\begin{gather*} +(\sn'u)^2 = (1 - \sn^2u)(1 - k^2\sn^2 u), \\ +\cn u = \sqrt{1 - \sn^2 u},\qquad +\dn u = \sqrt{1 - k^2\sn^2 u}. +\end{gather*} + +\Paragraph{68.}{Développements de $\sn u, \cn u, \dn u$ en série de Maclaurin.} --- +Les trois formules précédentes qui donnent $\sn' u, \cn' u, \dn' u$ +en fonction de $\sn u, \cn u, \dn u$ peuvent être différentiées +indéfiniment, et donnent de proche en proche les +valeurs des dérivées d'ordre quelconque en fonction de $\sn u, \cn u, \dn u$. +Si l'on fait alors $u = 0$, et par suite $\sn u = 0$, +$\cn u = 1$, $\dn u = 1$, on aura les coefficients des développements +des trois fonctions suivant les puissances de~$u$. +On trouve ainsi +\begin{align*}%[** TN: Aligned] +\sn u &= u - \frac{1 + k^2}{6} u^3 + \dots, \\ +\cn u &= 1 - \frac{1}{2}\, u^2 + \dots, \\ +\dn u &= 1 - \frac{k^2}{2}\, u^2 + \dots\DPtypo{}{.} +\end{align*} +%% -----File: 101.png---Folio 97------- + +L'aspect de ces développements confirme le fait que $\sn u$~est +une fonction impaire, et que $\cn u$~et~$\dn u$ sont des +fonctions paires \Eqref{(63)}. + +\Paragraph{69.}{Dégénérescences de $\sn u, \cn u, \dn u$.} --- L'équation +différentielle +\[ +\left(\frac{dx}{du}\right)^2 = (1 - x^2)(1 - k^2x^2), +\] +à laquelle satisfait~$\sn u$, fait immédiatement connaître les +dégénérescences de~$\sn u$, et par suite \DPtypo{celle}{celles} de $\cn u, \dn u$, dans +les deux cas limites $k = 0$ et~$k = ±1$. + +\primo Si $k = 0$, cette équation donne $x = \sin u$ sans +constante d'intégration, car $x$~doit s'annuler en même +temps que~$u$. Ainsi $\sn u$~dégénère en~$\sin u$; par suite~$\cn u$ +en~$\cos u$, et $\dn u$~se réduit à~$1$. + +\secundo Si $k = ±1$, l'intégration donne +\[ +u = \int_0^x \frac{dx}{1 - x^2} = \frac{1}{2}\log\frac{1 + x}{1 - x}, +\] +d'où +\[ +x = \frac{e^u - e^{-u}}{e^u + e^{-u}} = \Tanh u. +\] + +Donc $\sn u$ dégénère en $\Tanh u$, et par conséquent $\cn u$~et~$\dn u$ +en +\[ +\sqrt{1 - \left(\frac{e^u - e^{-u}}{e^u + e^{-u}}\right)^2} + = \frac{2}{e^u + e^{-u}} = \frac{1}{\Cosh u}. +\] + +\ctb +%% -----File: 102.png---Folio 98------- + + +\Chapter{V}{Addition des arguments.\ --- Équation d'Euler. +Multiplication de l'argument des fonctions $\sn u, \cn u, \dn u$} + +\Paragraph{70.}{Expression de $\sn (u + v) + \sn (u - v)$ en fonction +rationnelle de~$\sn u$.} --- Pour rester fidèle à l'esprit de +notre méthode, nous devrions déduire la formule qui donne +$\sn (u+v)$~en fonction de $\sn u, \sn v$, $\cn u, \cn v$, $\dn u, \dn v$, +de celle qui fournit l'expression de $\wp(u + v)$ au moyen de +$\wp u, \wp v$, $\wp' u, \wp' v$ (\Ord{2}{e}~partie, ch.~V, 41). Ce calcul étant pénible, %[xref] +nous préférons employer les considérations assez +simples que voici. + +Cherchons s'il est possible d'exprimer rationnellement +au moyen de~$\sn u$ la fonction +\[ +f(u) = \sn(u + v) + \sn(u - v). +\] + +Elle admet comme~$\sn u$ les périodes $2\Omega_1, 4\Omega_2$. Les pôles, +simples comme ceux de~$\sn u$, sont donnés par la formule +\[ +u = \mp v + \Omega_1 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2. +\] + +Les pôles distincts sont au nombre de quatre, par exemple +\[ +-v + \Omega_1, \quad -v + \Omega_1 + 2\Omega_2\DPtypo{;}{,} \quad ++v + \Omega_1, \quad +v + \Omega_1 + 2\Omega_2. +\] + +La fonction elliptique~$f(u)$ est donc du \Ord{4}{e}~ordre. + +Il est facile de former une fonction rationnelle de~$\sn u$ +aux mêmes périodes et aux mêmes pôles que~$f(u)$. La plus +%% -----File: 103.png---Folio 99------- +simple possible est +\[ +\varphi(u) + = \frac{1}{\sn u - \sn(-v + \Omega_1)} + · \frac{1}{\sn u - \sn( v + \Omega_1)}. +\] + +En effet, la fonction $\sn u - \sn(-v + \Omega_1)$ étant, comme~$\sn u$, +du second ordre, admet deux zéros distincts; l'un est +évidemment $u = -v + \Omega_1$, l'autre est +\[ +u = -v + \Omega_1 + 2\Omega_2, +\] +car $2\Omega_2$~étant une demi-période, on a +\[ +\sn(-v + \Omega_1 + 2\Omega_2) + = -\sn(+v - \Omega_1) + = +\sn(-v + \Omega_1). +\] + +De même $\sn u - \sn(v + \Omega_1)$ admet les zéros $v + \Omega_1, v + \Omega_1 + 2\Omega_2$. + +De là résulte que~$\varphi(u)$ admet les mêmes pôles que~$\DPtypo{fu}{f(u)}$. + +Ces pôles étant simples, le quotient~$\dfrac{f(u)}{\varphi(u)}$ ne peut admettre +d'autres pôles que les zéros de~$\varphi(u)$ et d'autres zéros +que les zéros de~$f(u)$. + +Étudions maintenant ce quotient. Nous allons montrer +qu'il a mêmes zéros et mêmes pôles que~$\sn u$. + +\primo \textit{Pôles de~$\dfrac{f(u)}{\varphi(u)}$.} --- L'expression de~$\varphi(u)$ peut s'écrire +\[ +\varphi(u) = \frac{1}{\sn^2 u - \sn^2(v + \Omega_1)}, +\] +car +\begin{align*} +-\sn(-v + \Omega_1) + &= - \sn(-v + \Omega_1 - 2\Omega_1) \\ + &= - \sn(-v - \Omega_1) + = + \sn( v + \Omega_1). +\end{align*} + +Les zéros de~$\varphi(u)$ sont les pôles de~$\sn^2 u$. Ces pôles sont +les mêmes que ceux de~$\sn u$, savoir +\[ +\Omega_1 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2; +\] +seulement ils sont doubles. + +D'autre part, $f(u)$~admet les zéros +\[ +\Omega_1 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2, +\] +dont deux seulement, par exemple $\Omega_1$~et~$\Omega_1 + 2\Omega_2$, sont +%% -----File: 104.png---Folio 100------- +distincts, car +\begin{align*} +&\begin{aligned} +f(\Omega_1) = \sn(\Omega_1 + v) + \sn(\Omega_1 - v) + &= \sn(\Omega_1 + v) - \sn\bigl[2\Omega_1 - (\Omega_1 - v)\bigr] \\ + &= \sn(\Omega_1 + v) - \sn(\Omega_1 + v) = 0, +\end{aligned} \\ +&\begin{aligned} +f(\Omega_1 + 2\Omega_2) + &= \sn(\Omega_1 + 2\Omega_2 + v) + \sn(\Omega_1 + 2\Omega_2 - v) \\ + &= -\sn(\Omega_1 + v) - \sn(\Omega_1 - v) = 0. +\end{aligned} +\end{align*} + +Ainsi $f(u)$~admet pour zéros les pôles de~$\varphi(u)$. Ces zéros +étant simples, tandis que ces pôles sont doubles, $\dfrac{f(u)}{\varphi(u)}$~admet +pour pôles simples les points $\Omega_1 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2$, +qui sont précisément les pôles de~$\sn u$. + +\secundo \textit{Zéros de $\dfrac{f(u)}{\varphi(u)}$.} --- Ces zéros, nous l'avons dit, ne peuvent +être que des zéros de~$f(u)$. Ceux-ci sont au nombre de +quatre distincts, puisque $f(u)$~est une fonction elliptique +du quatrième ordre. Nous en connaissons déjà deux, $\Omega_1$~et~$\Omega_1 + 2\Omega_2$ +qui, nous venons de le voir, n'annulent pas~$\dfrac{f(u)}{\varphi(u)}$. +Vérifions directement que les deux autres sont les zéros +distincts de~$\sn u$, savoir $0$~et~$2\Omega_2$. En effet +\begin{gather*} +f(0) = \sn v + \sn (-v) = 0, \\ +f(2\Omega_2) + = \sn (2\Omega_2 + v) + \sn (2\Omega_2 - v) + = -\sn v - \sn(-v) = 0. +\end{gather*} + +La fonction elliptique~$\dfrac{f(u)}{\varphi(u)}$, ayant mêmes périodes, +mêmes zéros et mêmes pôles que~$\sn u$ avec le même +degré~$1$ de multiplicité, est proportionnelle à~$\sn u$: +\[ +\frac{f(u)}{\varphi(u)} = C \sn u. +\] +On a donc, en remplaçant $f(u), \varphi(u)$ par leurs valeurs, +\[ +\sn(u + v) + \sn(u - v) = \frac{C \sn u}{\sn^2 u - \sn^2(v + \Omega_1)}. +\] + +Nous déterminerons tout à l'heure la constante~$C$, mais +il importe d'abord d'exprimer $\sn(v + \Omega_1)$ en fonction de~$\sn v$. +%% -----File: 105.png---Folio 101------- + +Les pôles de $\sn(v+\Omega_1)$ sont donnés par la formule +\begin{align*} +v + \Omega_1 &= \Omega_1 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2, \\ +\intertext{d'où} +v &= 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2; +\end{align*} +ses zéros par la formule +\[ +v + \Omega_1 = 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2, +\] +d'où +\[ +v = -\Omega_1 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2 + = \Omega_1 + 2m'_1\Omega_1 + 2m'_2\Omega_2. +\] + +Ainsi $\sn(v + \Omega_1)$ a pour pôles les zéros et pour zéros +les pôles de~$\sn v$; donc +\[ +\sn(v + \Omega_1) = \frac{A}{\sn v}. +\] + +Pour déterminer la constante~$A$, faisons $\sn v = 1$, d'où +$\cn v = 0$, relation vérifiée par $v = \Omega_3$ \Eqref{(66)}; il viendra +\[ +A = \sn(\Omega_3 + \Omega_1) + = \sn(-\Omega_2) + = -\sn(\Omega_2), +\] +mais l'on a~\Eqref{(66)} $\dn \Omega_2 = 0$, c'est-à-dire $1 - k^2 \sn^2 \Omega_2 = 0$, +par conséquent +\[ +A^2 = \sn^2 \Omega_2 = \frac{1}{k^2} +\] +et +\[ +\sn^2 (v + \Omega_1) = \frac{1}{k^2\sn^2 v}. +\] +Substituant dans la formule qui donne $\sn(u + v) + \sn(u - v)$, +on a +\[ +\sn(u + v) + \sn(u - v) = \frac{C \sn u}{\sn^2 u - \dfrac{1}{k^2\sn^2 v}} + = \frac{C' \sn u}{1 - k^2\sn^2 u\, \sn^2 v}. +\] + +Pour déterminer~$C'$ (qui ne dépend que de~$v$), prenons +les dérivées des deux membres par rapport à~$u$, et faisons +$u = 0$; en tenant compte de ce que $\cn v, \dn v$ sont des +fonctions impaires, nous obtiendrons facilement +\[ +C' = 2 \sn v\, \dn v. +\] + +Finalement +\[ +\sn(u + v) + \sn(u - v) + = \frac{2 \sn u\, \cn v\, \dn v}{1 - k^2\sn^2 u\, \sn^2 v}. +\] +%% -----File: 106.png---Folio 102------- + +\Paragraph{71.}{Addition des arguments pour les fonctions $\sn, \cn, \dn$.} --- +Si nous ajoutons à l'équation précédente celle qu'on en +déduit en y changeant~$u$ en~$v$ et $v$~en~$u$, on obtient la +\emph{formule d'addition des arguments} pour la fonction~$\sn$ +\[ +\sn(u+v) + = \frac{\sn u\, \cn v\, \dn v + \sn v\, \cn u\, \dn u} + { 1 - k^2\sn^2u\, \sn^2 v}. +\] + +On en conclut aisément celle qui donne~$\cn(u + v)$. On +a en effet +\begin{multline*}%[** Align?] +\cn^2(u + v) = 1 - \sn^2(u+v) \\ + = \frac{(1 - k^2 \sn^2 u\, \sn^2 v)^2 + - (\sn u\, \cn v\, \dn v + \sn v\, \cn u\, \dn u)^2} + {(1 - k^2\sn^2 u\, \sn^2 v)^2}. +\end{multline*} + +Or +\[ +1 - k^2\sn^2 u\, \sn^2 v + = \cn^2 u + \sn^2 u\, \dn^2 v + = \cn^2 v + \sn^2 v\, \dn^2 u. +\] + +Si l'on remplace au numérateur $(1 - k^2 \sn^2 u\, \sn^2 v)^2$ par +\[ +(\cn^2 u + \sn^2 u\, \dn^2 v)(\cn^2 v + \sn^2 v\, \dn^2 u), +\] +ce numérateur prendra la forme +$(\cn u\, \cn v - \sn u\, \dn u\, \sn v\, \dn v)^2$. +Extrayant la racine carrée, on aura la formule cherchée +\[ +\cn(u + v) + = \frac{\cn u\, \cn v - \sn u\, \dn u\, \sn v\, \dn v} + {1 - k^2\sn^2 u\, \sn^2 v}. +\] + +Il faut prendre le signe~$+$ devant les deux membres pour +qu'ils deviennent identiques si l'on y fait $v = 0$. + +On vérifiera de même l'expression de~$\dn(u + v)$ +\[ +\dn(u + v) + = \frac{\dn u\, \dn v - k^2\sn u\, \cn u\, \sn v\, \cn v} + {1 - k^2\sn^2 u\, \sn^2 v}. +\] + +\Paragraph{72.}{Équation d'Euler.} --- La formule d'addition pour la +fonction~$\sn$ donne le moyen d'intégrer immédiatement l'équation +différentielle d'Euler +\[ + \frac{dx}{\sqrt{(1 - x^2)(1 - k^2x^2)}} ++ \frac{dy}{\sqrt{(1 - y^2)(1 - k^2y^2)}} = 0. +\] +%% -----File: 107.png---Folio 103------- + +Posons +\[ +\frac{dx}{\sqrt{(1 - x^2)(1 - k^2x^2)}} = du; \qquad +\frac{dy}{\sqrt{(1 - y^2)(1 - k^2y^2)}} = dv. +\] + +Nous satisfaisons à ces deux dernières équations différentielles +en prenant +\[ +x = \sn u, \qquad y = \sn v. +\] + +Par la substitution des variables $u, v$ aux variables $x, y$, +l'équation d'Euler devient $du + dv = 0$, d'où +\[ +u + v = \text{const.}, \qquad \sn(u + v) = C. +\] + +Remplaçons $\sn(u+v)$ par sa valeur ci-dessus~\Eqref{(71)} et +remarquons que +\begin{align*} +\cn u &= \sqrt{1 - x^2}, & \dn u &= \sqrt{1 - k^2x^2}, \\ +\cn v &= \sqrt{1 - y^2}, & \dn v &= \sqrt{1 - k^2y^2}; +\end{align*} +il vient +\[ +\frac{x\sqrt{(1 - y^2)(1 - k^2y^2)} + + y\sqrt{(1 - x^2)(1 - k^2x^2)}}{1 - k^2x^2y^2} = C. +\] + +Donc \emph{l'intégrale générale de l'équation d'Euler est algébrique}. +Ce résultat est bien remarquable si l'on songe que +l'intégrale de l'équation plus simple +\[ +\frac{dx}{\sqrt{(1 - x^2)(1 - k^2x^2)}} = du +\] +est transcendante; cette intégrale est +\[ +x = \sn(u + C). +\] + +\Paragraph{73.}{Multiplication de l'argument de $\sn u, \cn u, \dn u$.} --- Si, +dans les formules~\Eqref{(71)} qui donnent $\sn(u + v), \cn(u + v), \dn(u + v)$, +on fait $v = u$, on trouve +\[ +\sn 2u = \frac{2\sn u\, \cn u\, \dn u}{1 - k^2\sn^4 u}, \qquad \ldots. +\] +%% -----File: 108.png---Folio 104------- +Ainsi $\sn 2u, \cn 2u, \dn 2u$ s'expriment rationnellement en +fonction de $\sn u, \cn u, \dn u$. + +Il en est de même de $\sn mu, \cn mu, \dn mu$; et l'on obtiendra +de proche en proche les expressions de ces fonctions +en faisant $v$~égal successivement à $2u, 3u, \dots$ dans les formules +d'addition. + +\ctb +%% -----File: 109.png---Folio 105------- + + +\Part{Quatrième Partie}{Les fonctions $\theta$} + +%% -----File: 110.png---Folio 106------- +% [Blank Page] + +%% -----File: 111.png---Folio 107------- + + +\Chapter{I}{La fonction $\theta$.\ --- Expressions de $\wp u, \zeta u, \sigma u$ +au moyen de cette fonction} + +En partant des périodes comme données, nous avons +formé les expressions de $\wp u, \zeta u, \sigma u$ (\Ord{2}{e}~partie, ch.~I, 15; %[xrefs] +ch.~III, 26,~28). Ces expressions qui sont des séries à double +entrée ne sont évidemment pas commodes pour calculer +ces fonctions. Mais l'introduction des quatre fonctions +$\theta, \theta_1, \theta_2, \theta_3$ de Jacobi va nous fournir le moyen le plus pratique +pour exécuter ce calcul. + +\Paragraph{74.}{Construction de la fonction~$\theta u$.} --- Il est facile, en partant +de~$\sigma u$, de construire une fonction entière simplement +périodique~$\theta u$, de demi-période~$2\omega_1$, c'est-à-dire telle que +$\theta(u + 2\omega_1) = -\theta u$. + +Posons en effet +\[ +\theta u = \varphi(u)\, \sigma u, +\] +d'où (\Ord{2}{e}~partie, ch.~III, 32) %[xref] +\[ +\theta(u + 2\omega_1) = -\theta u + = -\varphi(u + 2\omega_1)\, e^{2\eta_1(u + \omega_1)}\, \sigma u. +\] +La comparaison entre cette équation et la précédente +montre que l'on doit avoir +\[ +\varphi(u + 2\omega_1) = e^{-2\eta_1(u + \omega_1)}\, \varphi(u). +\] + +La manière la plus simple de choisir~$\varphi(u)$ de façon à +%% -----File: 112.png---Folio 108------- +satisfaire à cette condition est de prendre +\[ +\varphi(u) = \frac{1}{A}\, e^{-\frac{\eta_1 u^2}{2\omega_1}}, +\] +$A$~étant une constante. Par suite +\[ +A\, \theta u = e^{-\frac{\eta_1 u^2}{2\omega_1}}\, \sigma u. +\] + +La fonction~$A\, \theta u$ étant entière, périodique, de période~$4\omega_1$ +(puisqu'elle admet la demi-période~$2\omega_1$), est développable +en série de Fourier: +\[ +A \theta u + = \sum_{-\infty}^{+\infty} A_m\, e^{m\, \frac{2\pi iu}{4 \omega_1}} + = \sum_{-\infty}^{+\infty} A_m\, e^{m\, \frac{ \pi iu}{2 \omega_1}}. +\] + +Déterminons les coefficients~$A_m$. + +D'abord nous savons que $\theta u$~change de signe quand on +accroît~$u$ de~$2\omega_1$. Chacun des termes du développement est +alors multiplié par +\[ +e^{m\, \frac{\pi i 2\omega_1}{2 \omega_1}} = e^{m\pi i} += \begin{cases} + +1 & \text{ si $m$~est pair,} \\ + -1 & \text{ si $m$~est impair.} +\end{cases} +\] + +Il suffit donc que les coefficients des termes où $m$~est +pair soient nuls, et cela est nécessaire comme on le démontre +dans la théorie de la série de Fourier. Le développement +se réduit par suite à +\[ +A\, \theta u + = \sum_{-\infty}^{+\infty} A_{2n+1}\, e^{(2n+1)\, \frac{\pi iu}{2 \omega_1}}. +\] + +En second lieu examinons l'effet sur~$\theta u$ du changement +de~$u$ en~$u + 2\omega_2$. Ce changement multipliant~$\sigma u$ par +$-e^{+2\eta_2(u + \omega_2)}$ (\Ord{2}{e}~partie, ch.~III, 28), on aura %[xref] +\begin{align*} +A\, \theta (u + 2\omega_2) + &= -e^{-\eta_1\, \frac{(u + 2\omega_2)^2}{2\omega_1}} + \centerdot e^{2\eta_2(u + \omega_2)}\, \sigma u \\ + &= -e^{2(\eta_2\omega_1 - \eta_1\omega_2)\, \frac{u + \omega_2}{\omega_1}}\, + e^{-\eta_1\, \frac{u^2}{2\omega_1}}\, \sigma u. +\end{align*} +%% -----File: 113.png---Folio 109------- + +C'est ici que nous utilisons l'importante relation (\Ord{2}{e}~partie, +ch.~III, 29) %[xref] +\[ +2(\eta_1\omega_2 - \eta_2\omega_1) = \pi i. +\] +N'oublions pas qu'elle suppose que la partie imaginaire du +rapport $\dfrac{\omega_2}{\omega_1}$ est positive (sinon le second membre serait +égal à~$-\pi i$). + +Cette relation nous donne +\[ +\theta(u + 2\omega_2) = -e^{-\pi i\, \frac{u + \omega_2}{\omega_1}}\, \theta u. +\] + +La propriété de la fonction~$\theta$ de se reproduire multipliée +par l'exponentielle $-e^{-\pi i\, \frac{u + \omega_2}{\omega_1}}$ détermine tous les coefficients +de son développement. On a, en effet, d'une part, +\[ +A\, \theta(u + 2\omega_2) + = \sum_{-\infty}^{+\infty} + A_{2n-1}\, e^{\pi i\, \frac{(u + 2\omega_2)}{2\omega_1}\, (2n-1)}, +\] +d'autre part, +\begin{align*} +-e^{-\pi i\, \frac{u + \omega_2}{\omega_1}}\, A\, \theta u + &= -\sum_{-\infty}^{+\infty} A_{2n+1}\, + e^{\frac{\pi i u}{2\omega_1}\, (2n+1) - \pi i\, \frac{u + \omega_2}{\omega_1}} \\ + &= \sum_{-\infty}^{+\infty} -A_{2n+1}\, + e^{\pi i\, \frac{u + 2\omega_2}{2\omega_1}\, (2n-1)}\, + e^{-2n\pi i\, \frac{\omega_2}{\omega_1}}. +\end{align*} + +Nous avons là deux séries de Fourier qui doivent être +identiques: on sait qu'alors ceux de leurs termes où l'argument +$\dfrac{\pi iu}{2\omega_1}$ est affecté du même multiple entier doivent être +égaux. On en conclut +\[ +A_{2n-1} = -A_{2n+1}\, e^{-2n\pi i\, \frac{\omega_2}{\omega_1}}. +\] + +Si, pour abréger, on pose +\[ +q = e^{\pi i\, \frac{\omega_2}{\omega_1}}, +\] +%% -----File: 114.png---Folio 110------- +on aura +\begin{align*}%[** TN: Modernizing notation (n-1)] +A_{2n+1} + &= -A_{2n-1}\, q^{2n} = +A_{2n-3}\, q^{2n + 2(n-1)} = \dots \\ + &= (-1)^n A_1\, q^{2[n + (n-1) + \dots + 1]} \\ + &= (-1)^n A_1\, q^{\frac{2n(n+1)}{2}} + = (-1)^n A_1\, q^{-\frac{1}{4}}\centerdot + q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}. +\end{align*} + +Prenons $A_1$ égal à $-iq^{\frac{1}{4}}$; il en résultera +\[ +A_{2n+1} = \frac{(-1)^n}{i}\, q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}. +\] + +La série~$\theta u$ est dès lors complètement déterminée, et son +expression définitive est +\[ +\theta u + = \frac{1}{i} \sum_{-\infty}^{+\infty} + (-1)^n\, q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}\, + e^{(2n+1)\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}. +\] + +\Paragraph{75.}{Expressions de $\sigma u, \zeta u, \wp u$ en fonction de~$\theta u$.} + +\primo Pour avoir $\sigma u$~en fonction de~$\theta u$, il suffit de déterminer~$A$ +dans la formule~\Eqref{(74)} +\[ +e^{-\frac{\eta_1 u^2}{2\omega_1}}\, \sigma u = A\, \theta u. +\] +Pour déterminer~$A$, développons en série de Maclaurin les +trois fonctions $e^{-\frac{\eta_1 u^2}{2\omega_1}}$,~$\sigma u$ (\Ord{2}{e}~partie, ch.~III, 31) et~$\theta u$, %[xref] +nous aurons +\begin{multline*} +\left(1 - \frac{\eta_1 u^2}{2\omega_1} + + \frac{1}{1\centerdot 2}\, \frac{\eta_1^2 u^4}{4\omega_1^2} - \dots\right) + \centerdot u(1 + d_1 u^4 + \dots) \\ + = A \left(\theta 0 + u \theta' 0 + + \frac{u^2}{1\centerdot 2}\theta'' 0 + + \frac{u^3}{1\centerdot 2\centerdot 3}\theta''' 0 + \dots \right). +\end{multline*} + +L'identification donne +\[ +\theta 0 = 0, \quad +A\, \theta' 0 = 1, \quad +\theta'' 0 = 0, \quad +\frac{A\,\theta''' 0}{6} = -\frac{\eta_1}{2\omega_1}, \quad \ldots +\] +d'où l'on tire +\[ +A = \frac{1}{\theta' 0}, \qquad +\frac{\eta_1}{2\omega_1} = -\frac{1}{6}\, \frac{\theta''' 0}{\theta' 0}; +\] +%% -----File: 115.png---Folio 111------- +et nous avons l'expression cherchée de~$\sigma u$ +\[ +\sigma u + = e^{\frac{\eta_1 u^2}{2\omega_1}}\, \frac{\theta u}{\theta' 0} + = e^{-\frac{1}{6}\, \frac{\theta''' 0}{\theta' 0}\, u^2}\, + \frac{\theta u}{\theta' 0}. +\] + +\secundo En prenant la dérivée logarithmique de cette expression, +on trouve +\[ +\zeta u + = -\frac{1}{3}\, \frac{\theta''' 0}{\theta' 0}\, u + + \frac{\theta' u}{\theta u}. +\] + +\DPtypo{\quarto}{\tertio} Différentions cette dernière formule et changeons les +signes des deux membres; nous aurons +\[ +\wp u = \frac{1}{3}\, \frac{\theta''' 0}{\theta' 0} + - \frac{\theta u\, \theta'' u - \theta'^2 u}{\theta^2 u}. +\] + +Ces trois expressions de $\sigma u, \zeta u, \wp u$ résolvent le problème +que nous nous étions proposé, de calculer ces trois fonctions +en les représentant par des séries simples. Toutefois +la dernière formule n'est pas très favorable au calcul de~$\wp u$. +Nous en obtiendrons de plus appropriées au même objet +en introduisant, après Jacobi, trois nouvelles séries $\theta_1 u, \theta_2 u, \theta_3 u$ +très analogues à~$\theta u$. Ces séries sont également +utiles pour représenter $\sn u, \cn u, \dn u$. + +\ctb +%% -----File: 116.png---Folio 112------- + + +\Chapter{II}{Les fonctions $\theta_1 u, \theta_2 u, \theta_3 u$. +Expressions de $\sn u, \cn u, \dn u$ par les fonctions $\theta$} + +\Paragraph{76.}{Les fonctions $\theta_1 u, \theta_2 u, \theta_3 u$.} --- L'étude de~$\theta u$ va nous +conduire à ces nouvelles fonctions. Cherchons ce que $\theta u$~devient +quand on augmente l'argument~$u$ successivement +de $\omega_1, \omega_2, \omega_3$. + +\primo Augmentons~$u$ de~$\omega_1$. Nous aurons +\[ +\theta(u + \omega_1) + = \frac{1}{i} \sum_{-\infty}^{+\infty} + (-1)^n\, q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}\, + e^{(2n+1)\, \frac{\pi i(u + \omega_1)}{2\omega_1}}. +\] + +Or +\[ + e^{(2n+1)\, \frac{\pi i(u + \omega_1)}{2\omega_1}} += e^{(2n+1)\, \frac{\pi i}{2}}\, + e^{(2n+1)\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}} += (-1)^n\, ie^{(2n+1)\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}. +\] + +Si donc nous posons +\[ +\theta_1(u) + = \sum_{-\infty}^{+\infty} + q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}\, e^{(2n+1)\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}, +\] +nous aurons +\[ +\theta(u + \omega_1) = \theta_1u. +\] + +\secundo Augmentons~$u$ de~$\omega_2$, il vient +\[ +\theta(u + \omega_2) + = \frac{1}{i} \sum_{-\infty}^{+\infty} + (-1)^n\, q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}\, + e^{(2n+1)\, \frac{\pi i(u + \omega_2)}{2\omega_1}} +\] +%% -----File: 117.png---Folio 113------- +ou bien, si nous changeons $n$~en~$n-1$, +\[ +\theta(u + \omega_2) + = \frac{1}{i} \sum_{-\infty}^{+\infty} + (-1)^{n-1}\, q^{\left(n - \frac{1}{2}\right)^2}\, + e^{(2n-1)\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}\, + e^{(2n-1)\pi i\, \frac{\omega_2}{2\omega_1}}\DPtypo{}{.} +\] + +Mais, en se rappelant~\Eqref{(74)} que $e^{\pi i\, \frac{\omega_2}{\omega_1}} = q$, on a +\[ +q^{\left(n - \frac{1}{2}\right)^2}\, e^{(2n-1)\pi i\, \frac{\omega_2}{2\omega_1}} + = q^{\left(n - \frac{1}{2}\right)^2}\, q^{n - \frac{1}{2}} + = q^{n^2}\, q^{-\frac{1}{4}}; +\] +par suite +\[ +\theta(u + \omega_2) + = \frac{-1}{i}\, q^{-\frac{1}{4}}\, e^{-\frac{\pi iu}{2\omega_1}} + \sum_{-\infty}^{+\infty} (-1)^n\, q^{n^2}\, e^{2n\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}. +\] + +Si donc on pose +\[ +\theta u_2 = \sum_{-\infty}^{+\infty} + (-1)^n\, q^{n^2}\, e^{2n\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}, +\] +on aura +\[ +\theta(u + \omega_2) + = iq^{-\frac{1}{4}}\, e^{-\frac{\pi iu}{2\omega_1}}\, \theta_2 u. +\] + +\tertio Augmentons~$u$ de~$\omega_3$; $\theta u$~deviendra +\begin{align*} +\theta(u + \omega_3) + &= \theta(u - \omega_1 - \omega_2) \\ + &= \frac{1}{i} \sum_{-\infty}^{+\infty} + (-1)^n\, q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}\, + e^{(2n+1)\, \frac{\pi i(u - \omega_1 - \omega_2)}{2\omega_1}}. +\end{align*} +Or +\begin{align*} +e^{(2n+1)\, \frac{\pi i(u - \omega_1 - \omega_2)}{2\omega_1}} + &= e^{(2n+1)\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}\, + e^{-(2n+1)\, \frac{\pi i}{2}}\, + e^{-\left(n + \frac{1}{2}\right) \pi i\, \frac{\omega_2}{\omega_1}} \\ + &= -(-1)^n\, iq^{-\left(n + \frac{1}{2}\right)}\, + e^{(2n+1)\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}. +\end{align*} +Par conséquent +\begin{align*} +\theta(u + \omega_3) + &= -\sum_{-\infty}^{+\infty} + q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}\, + q^{-\left(n + \frac{1}{2}\right)}\, + e^{(2n+1)\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}} \\ + &= -q^{-\frac{1}{4}}\, e^{\frac{\pi iu}{2\omega_1}} + \sum_{-\infty}^{+\infty} q^{n^2}\, e^{2n\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}. +\end{align*} +%% -----File: 118.png---Folio 114------- + +Si donc on pose +\[ +\theta_3 u = \sum_{-\infty}^{+\infty} q^{n^2}\, e^{2n\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}, +\] +on aura +\[ +\theta(u + \omega_3) + = -q^{-\frac{1}{4}}\, e^{\frac{\pi iu}{2\omega_1}}\, \theta_3 u. +\] + +Rapprochons les quatre séries qui représentent $\theta u, \theta_1 u, \theta_2 u, \theta_3 u$, +ainsi que les trois relations qui lient la première de ces +quatre fonctions aux trois autres: +\begin{gather*} +\begin{aligned} +\theta u &= \frac{1}{i} \sum_{-\infty}^{+\infty} + (-1)^n\, q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}\, e^{(2n+1)\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}, \\ +\theta_1 u &= \phantom{\frac{1}{i}} \sum_{-\infty}^{+\infty} + q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}\, e^{(2n+1)\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}, \\ +\theta_2 u &= \phantom{\frac{1}{i}} \sum_{-\infty}^{+\infty} + (-1)^n\, q^{n^2}\, e^{2n\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}, \\ +\theta_3 u &= \phantom{\frac{1}{i}} \sum_{-\infty}^{+\infty} + q^{n^2}\, e^{2n\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}. +\end{aligned} \\ +\theta(u + \omega_1) = \theta_1 u, \\ +\theta(u + \omega_2) + = iq^{-\frac{1}{4}}\, e^{-\frac{\pi iu}{2\omega_1}}\, \theta_2 u, \\ +\theta(u + \omega_3) + = -q^{-\frac{1}{4}}\, e^{\frac{\pi iu}{2\omega_1}}\, \theta_3 u. +\end{gather*} + +Rappelons-nous la signification de~$q$ +\[ +q = e^{\pi i\, \frac{\omega_2}{\omega_1}}. +\] + +\Paragraph{77.}{Expression de $\sigma_{01} u, \sigma_{02} u, \sigma_{03} u$ par les fonctions~$\theta$.} --- +Reportons-nous à la définition (\Ord{3}{e}~partie, ch.~I, 51) des fonctions %[xref] +%% -----File: 119.png---Folio 115------- +elliptiques $\sigma_{01} u, \sigma_{02} u, \sigma_{03} u$ qui servent de traits d'union +entre~$\wp u$ d'une part et $\sn u, \cn u, \dn u$ de l'autre. + +Nous avons d'abord +\[ +\sigma_{01} u + = e^{\eta_1 u}\, \frac{\sigma u\, \sigma\omega_1}{\sigma(u + \omega_1)}. +\] + +Il n'est pas difficile d'avoir l'expression de~$\sigma_{01} u$ au moyen +des fonctions~$\theta$, puisque nous connaissons celle de~$\sigma u$~\Eqref{(75)}, +savoir: +\[ +\sigma u = e^{\frac{\eta_1 u^2}{2\omega_1}}\, \frac{\theta u}{\theta' 0}. +\] +Nous en concluons +\begin{gather*} +\sigma\omega_1 + = e^{\frac{\eta_1 \omega_1}{2}}\, \frac{\theta\omega_1}{\theta' 0} + = e^{\frac{\eta_1 \omega_1}{2}}\, \frac{\theta_1 0 }{\theta' 0}, \\ +\sigma(u + \omega_1) + = e^{\frac{\eta_1(u + \omega_1)^2}{2\omega_1}}\, + \frac{\theta(u + \omega_1)}{\theta' 0} + = e^{\frac{\eta_1(u + \omega_1)^2}{2\omega_1}}\, + \frac{\theta_1u}{\theta' 0}. +\end{gather*} +Donc +\[ +\sigma_{01} u + = \frac{\theta_1 0}{\theta' 0}\, \frac{\theta u}{\theta_1 u}. +\] + +Un calcul peu différent conduirait aux deux autres expressions +analogues +\begin{align*} +\sigma_{02} u + &= \frac{\theta_2 0}{\theta' 0}\, \frac{\theta u}{\theta_2 u}, \\ +\sigma_{03} u + &= \frac{\theta_3 0}{\theta' 0}\, \frac{\theta u}{\theta_3 u}. +\end{align*} + +Pour obtenir la dernière par exemple, il suffit de se reporter~\Eqref{(55)} +à la formule +\[ +\sigma_{03} u + = e^{\eta_3 u}\, \frac{\sigma u\, \sigma \omega_3}{\sigma(u + \omega_3)}, +\] +et d'y substituer la valeur ci-dessus de~$\sigma u$ en fonction de~$\theta u$, +ainsi que les valeurs suivantes qu'on en déduit: +\begin{gather*} +\sigma \omega_3 + = e^{\frac{\eta_1\omega_3^2}{2\omega_1}}\, \frac{\theta\omega_3}{\theta' 0} + = -e^{\frac{\eta_1\omega_3^2}{2\omega_1}}\, + q^{-\frac{1}{4}}\, \frac{\theta_3 0}{\theta' 0}, \\ +\sigma (u + \omega_3) + = e^{\frac{\eta_1(u + \omega_3)^2}{2\omega_1}}\, + \frac{\theta(u + \omega_3)}{\theta' 0} + = -e^{\frac{\eta_1(u + \omega_3)^2}{2\omega_1}}\, + q^{-\frac{1}{4}}\, e^{\frac{\pi iu}{2\omega_1}}\, + \frac{\theta_3 u}{\theta' 0}. +\end{gather*} +%% -----File: 120.png---Folio 116------- + +Il vient ainsi +\[ +\sigma_{03} u + = e^{\eta_3 u}\, + e^{\frac{\eta_1 u^2}{2\omega_1}}\, + e^{\frac{\eta_1 \omega_3^2}{2\omega_1}}\, + e^{-\frac{\pi iu}{2\omega_1}}\, + e^{\frac{-\eta_1(u + \omega_3)^2}{2\omega_1}}\, + \frac{\theta_3 0}{\theta' 0}\, + \frac{\theta u}{\theta_3 u}; +\] +et il est facile de constater que le facteur exponentiel se +réduit à l'unité à cause de la relation +\[ +2(\eta_3\omega_1 - \eta_1\omega_3) = \pi i. +\] + +\Paragraph{78.}{Expressions de $\sn u, \cn u, \dn u$ par les fonctions~$\theta$.} --- +Rappelons-nous que $\sn u, \cn u, \dn u$ dérivent d'une fonction~$\wp u$ +aux périodes $2\Omega_1, 2\Omega_2$ pour laquelle on a $e_3 - e_1 = 1$ +(\Ord{3}{e}~partie, ch.~II, 57), et que l'on a (\Ord{3}{e}~partie, ch.~II, 57, et ch.~III, 63) %[xrefs] +\[ +\sn u = \sigma_{01} u, \qquad +\cn u = \frac{\sigma_{01} u}{\sigma_{03} u}, \qquad +\dn u = \frac{\sigma_{01} u}{\sigma_{02} u}. +\] +Appelons $\Theta, \Theta_1, \Theta_2, \Theta_3$ les fonctions $\theta, \theta_1, \theta_2, \theta_3$ dans lesquelles +$\omega_1$~et~$\omega_2$ sont remplacées par $\Omega_1, \Omega_2$, nous aurons +ces expressions de $\sn u, \cn u, \dn u$ par les fonctions~$\Theta$ +\begin{align*} +\sn u &= \frac{\Theta_1 0}{\Theta' 0}\, \frac{\Theta u}{\Theta_1 u}, \\ +\cn u &= \frac{\Theta_1 0}{\Theta_3 0}\, \frac{\Theta_3 u}{\Theta_1 u}, \\ +\dn u &= \frac{\Theta_1 0}{\Theta_2 0}\, \frac{\Theta_2 u}{\Theta_1 u}. +\end{align*} + +Il ne faut pas oublier que dans ces formules les périodes +de $\sn u, \cn u, \dn u$ sont respectivement: $2\Omega_1$~et~$4\Omega_2$; +$2\Omega_2$~et~$4\Omega_1$; $-2(\Omega_1+\Omega_2)$~et~$4\Omega_1$ +(\Ord{3}{e}~partie, ch.~III, 66). %[xref] + +\ctb +%% -----File: 121.png---Folio 117------- + + +\Chapter{III}{Calcul de $\wp u, \sn u, \cn u, \dn u$ en fonction des périodes} + +\Paragraph{79.}{Calcul de~$\wp u$ en fonction des périodes.} --- L'expression +de~$\sigma_{01} u$ par les fonctions~$\theta$ nous fournit le moyen pratique +de calculer~$\wp u$ pour chaque valeur de l'argument~$u$, quand +on donne les périodes $2\omega_1, 2\omega_2$. On a en effet (\Ord{3}{e}~partie, ch.~I, 51) %[xref] +\[ +\sigma_{01} u = \frac{1}{\sqrt{\wp u - e_1}}, +\] +d'où~\Eqref{(77)} +\[ +\wp u - e_1 + = \left(\frac{\theta' 0}{\theta_1 0}\, \frac{\theta_1 u}{\theta u}\right)^2. +\] +Comme les fonctions~$\theta$ ne dépendent que des périodes, on +pourra calculer~$\wp u$ quand on saura évaluer~$e_1$ en fonction +de $\omega_1, \omega_2$. C'est un calcul que nous apprendrons à effectuer +tout à l'heure~\Eqref{(81)}. + +\Paragraph{80.}{Problème inverse.} --- On donne~$\wp u$ et l'on propose de +calculer les valeurs correspondantes de~$u$. + +Soit~$u_0$ l'une d'elles; toutes les autres ont pour expression +\[ +u = ± u_0 + 2m_1 \omega_1 + 2m_2\omega_2. +\] + +Or on a les formules analogues à celles du \no précédent, +\begin{align*} +\sqrt{\wp u - e_2} + &= \frac{\theta' 0}{\theta_2 0}\, \frac{\theta_2 u}{\theta u}, \\ +\sqrt{\wp u - e_3} + &= \frac{\theta' 0}{\theta_3 0}\, \frac{\theta_3 u}{\theta u}. +\end{align*} +%% -----File: 122.png---Folio 118------- + +Divisons-les membre à membre et posons +\[ +± b = \frac{\sqrt{\wp u -e_2}}{\sqrt{\wp u -e_3}}\, + \frac{\theta_2 0}{\theta_3 0}; +\] +$b$~sera une quantité connue, si l'on a préalablement calculé +$e_2, e_3$ en fonction de~$\omega_1, \omega_2$, calcul que nous allons faire +tout à l'heure~\Eqref{(81)}. + +On aura alors pour déterminer~$u$ l'équation transcendante +\[ +\frac{\theta_2 u}{\theta_3 u} = ± b\qquad \text{ou} \qquad +\frac{\theta_3 u - \theta_2 u}{\theta_3 u + \theta_2 u} + = \frac{1 \mp b}{1 ± b}. +\] + +Pour la résoudre, il convient de changer de variable et +de poser +\[ +z = e^{\frac{\pi iu}{2\omega_1}} +\] +d'où, en se rappelant qu'on a~\Eqref{(74)} $q = e^{\pi i\, \frac{\omega_2}{\omega_1}}$, +\[ +z^2 = e^{±\frac{\pi iu_0}{\omega_1}}\, + e^{(2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2)\, \frac{\pi i}{\omega_1}} + = q^{2m_2}\, e^{±\frac{\pi iu_0}{\omega_1}}. +\] +Ainsi à chaque valeur de~$\wp u$ correspondent une infinité de +valeurs de~$z^2$ formant deux progressions géométriques de +raison~$q^2$; ces valeurs sont deux à deux réciproques l'une +de l'autre. + +Si dans les fonctions $\theta_2 u, \theta_3 u$, on remplace $e^\frac{\pi iu}{2\omega_1}$ par~$z$, +qu'on groupe les puissances de~$z$ égales et de signe contraire, +et qu'on divise $\theta_3 - \theta_2$ par $\theta_3 + \theta_2$, on obtient +\[ +\frac{q \left(z^2 + \dfrac{1}{z^2}\right) + + q^9\left(z^6 + \dfrac{1}{z^6}\right) + \dots} + {1 + q^4\left(z^4 + \dfrac{1}{z^4}\right) + \dots} + = \frac{1 \mp b}{1 ± b}. +\] +Cette équation a pour racines les valeurs de~$z$ en nombre +infini formant les deux progressions géométriques dont on +vient de parler. + +Une première approximation, légitime parce que le module +%% -----File: 123.png---Folio 119------- +de~$q$ est inférieur à~$1$ (voir \Eqref{80~\textit{bis}}), donne +\[ +q\left(z^2 + \frac{1}{z^2}\right) = \frac{1 \mp b}{1 ± b}. +\] +On a ainsi deux des racines, qu'on calculera d'ailleurs aussi +exactement qu'on voudra par approximations successives. + +Connaissant l'une des valeurs de~$z^2$, on a la valeur correspondante~$u_0$ +de~$u$ par l'équation +\[ +u_0 = \frac{\omega_1}{\pi i} \log z^2, +\] +où le signe~$\log$ désigne une seule des déterminations du +logarithme. Les autres valeurs de~$u$ sont données par la +formule +\[ +u = ±\frac{\omega_1}{\pi i} \log z^2 + 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2. +\] + +\Paragraph{80}{bis. \textsc{Remarque}.} --- Il importe visiblement, pour la convergence +rapide des approximations qui fournissent la valeur +de~$z$, que $q$~ait le plus petit module possible. Or $\wp u$~ne +change pas quand on substitue aux périodes données des +périodes équivalentes, c'est-à-dire conservant les sommets +du réseau. Voyons comment il faut choisir ces périodes +pour que le module de~$q$ soit minimum. + +Si $\tau$~désigne le rapport des périodes, nous avons (\Ord{1}{re}~partie, +ch.~I, 4) %[xref] +\[ +\tau = \frac{2\omega_2}{2\omega_1} + = \frac{\alpha_2 + \beta_2 i}{\alpha_1 + \beta_1 i} + = \frac{\alpha_1\alpha_2 + \beta_1\beta_2}{\alpha_1^2 + \beta_1^2} + + \frac{\alpha_1\beta_2 - \alpha_2\beta_1}{\alpha_1^2 + \beta_1^2}i + = r + si. +\] +D'ailleurs +\[ +q = e^{\pi i \tau}, \qquad \Mod q = e^{-\pi s}. +\] + +Les calculs que nous avons effectués sur les fonctions~$\theta$ +impliquent qu'on ait choisi $\omega_1$~et~$\omega_2$ de façon que~$s$, coefficient +de la partie imaginaire du rapport des périodes, soit +positif; donc $\Mod q$~est plus petit que~$1$. D'ailleurs +$\alpha_1\beta2 - \alpha_2\beta_1$ désignant l'aire~$P$ du parallélogramme des +périodes (\Ord{1}{re}~partie, ch.~I, 4), on peut écrire %[xref] +\[ +s = \frac{P}{(\Mod \omega_1)^2}. +\] +%% -----File: 124.png---Folio 120------- + +Or tous les parallélogrammes formés par des périodes +équivalentes étant équivalents (\Ord{1}{re}~partie, ch.~I, 5), $P$~est %[xref] +une constante du réseau. Par suite, pour que $\Mod q$~soit +le plus petit possible, $s$~devant être le plus grand possible, +on devra prendre pour~$2\omega_1$ la période de \emph{module +minimum}. + +\Paragraph{81.}{Calcul de $e_1, e_2, e_3$ en fonction des périodes.} --- Il nous +reste à déterminer en fonction des périodes les trois quantités +$e_1, e_2, e_3$, indispensables, comme nous l'avons vu (\Eqref{79}~et~\Eqref{80}), +pour le calcul de~$\wp u$. + +Dans la formule du~\no79 qui fournit~$\wp u$, nous n'avons +qu'à faire successivement $u = \omega_2$, $u = \omega_3$; nous aurons +\begin{align*} +e_2 - e_1 + &= \left[ + \frac{\theta' 0}{\theta_1 0}\, \frac{\theta_1 \omega_2}{\theta \omega_2} + \right]^2,\\ +e_3 - e_1 + &= \left[ + \frac{\theta' 0}{\theta_1 0}\, \frac{\theta_1 \omega_3}{\theta \omega_3} + \right]^2. +\end{align*} + +Nous allons transformer ces formules de façon que les +symboles~$\theta$ ne portent que sur l'argument~$0$. + +Pour cela reportons-nous aux formules rassemblées à la +fin du~\no76. Dans la formule qui donne $\theta(u + \omega_2)$ faisons +$u=0$, nous aurons +\[ +\theta \omega_2 = iq^{-\frac{1}{4}}\, \theta_2 0. +\] + +Dans celle qui donne~$\theta_1 u$ faisons $u = \omega_2$, il viendra +\[ +\theta_1 \omega_2 + = \sum q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}\, + e^{\left(n + \frac{1}{2}\right) \pi i\, \frac{\omega_2}{\omega_1}} + = q^{-\frac{1}{4}} \sum q^{(n+1)^2} = q^{-\frac{1}{4}}\, \theta_3 0. +\] + +Dans la formule qui donne $\theta(u + \omega_3)$~\Eqref{(76)}, faisons +$u = 0$, nous trouvons +\[ +\theta \omega_3 = -q^{-\frac{1}{4}}\, \theta_3 0. +\] + +Enfin dans celle qui donne $\theta(u + \omega_1)$, faisons $u = \omega_3$, +nous obtenons +%% -----File: 125.png---Folio 121------- +\begin{align*} +\theta_1 \omega_3 = \theta(\omega_3 + \omega_1) + &= \theta(-\omega_2) \\ + &= \frac{1}{i} \sum (-1)^n\, q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}\, + e^{-\left(n + \frac{1}{2}\right) \pi i\, \frac{\omega_2}{\omega_1}} \\ + &= \frac{1}{i} \sum (-1)^n\, q^{n^2}\, q^{-\frac{1}{4}} + = -iq^{-\frac{1}{4}}\, \theta_2 0. +\end{align*} + +Les séries +$\theta 0, \theta_1 0, \theta_2 0, \theta_3 0$ ne dépendent que de $q = e^{\frac{\pi i\omega_2}{\omega_1}}$, +c'est-à-dire que du rapport~$\tau$ des périodes. + +Mais $\theta' 0$~dépend à la fois de~$\tau$ et de~$\omega_1$. Pour mettre cette +dernière quantité en évidence, appelons~$\vartheta u$ ce que devient +la série~$\theta u$ lorsqu'on y fait $2\omega_1 = 1$; il est clair que +l'on a +\[ +\theta' 0 = \frac{1}{2\omega_1}\, \vartheta' 0, +\] +$\vartheta' 0$~ne dépendant que de~$q$. + +Les expressions de $e_2 - e_1, e_3 - e_1$ deviennent alors +\begin{align*} +e_2 - e_1 + &= -\left[\frac{1}{2\omega_1}\, \frac{\vartheta' 0}{\theta_1 0}\, + \frac{\theta_3 0}{\theta_2 0} \right]^2, \\ +e_3 - e_1 + &= -\left[\frac{1}{2\omega_1}\, \frac{\vartheta' 0}{\theta_1 0}\, + \frac{\theta_2 0}{\theta_3 0} \right]^2. +\end{align*} +Jointes à la relation $e_1 + e_2 + e_3 = 0$, elles permettent +de calculer $e_1, e_2, e_3$ en fonction des périodes. + +\Paragraph{82.}{Calcul de $\sn u, \cn u, \dn u$ en fonction du rapport des +périodes.} --- Nous avons vu (\Ord{3}{e}~partie, ch.~II, 59) que $\sn u$~et +par suite, $\cn u, \dn u$ ne dépendent que du rapport de leurs +périodes. Nous allons le démontrer d'une autre manière et +du même coup donner le moyen pratique de calculer ces +trois fonctions quand on connaît ce rapport. + +Rappelons-nous toujours que ces fonctions dérivent +d'une fonction~$\wp u$ aux périodes $2\Omega_1, 2\Omega_2$, et telle que +$e_3 - e_1 = 1$. Le carré du module~$k^2$ est égal à $e_2 - e_1$ +et par suite à $\dfrac{e_2-e_1}{e_3-e_1}$. Donc +%% -----File: 126.png---Folio 122------- +\[ +k^2 + = \left[\frac{\Theta_3 0}{\Theta_2 0}\right]^4 + = \left[ + \frac{1 + 2q + 2q^4 + 2q^9 + \dots} + {1 - 2q + 2q^4 - 2q^9 + \dots} + \right]^4. +\] +On voit que $k^2$~ne dépend que du rapport $\tau = \dfrac{\Omega_2}{\Omega_1}$ (puisque +$q = e^{\pi i\tau}$). Or nous savons que la connaissance de~$k^2$ +suffit pour déterminer $\sn u, \cn u, \dn u$. + +Maintenant, comme $e_3 - e_1$ est égal à~$1$, on aura, en +extrayant la racine de l'expression ci-dessus de $e_2 - e_1$, +\[ +± i = \frac{1}{2\Omega_1}\, + \frac{\vartheta' 0}{\Theta_1 0}\, \frac{\Theta_3 0}{\Theta_2 0}, +\] +relation qui donnera $\Omega_1$~en fonction de~$q$, c'est-à-dire de~$\tau$. +On peut prendre indifféremment l'une ou l'autre des déterminations. + +Connaissant~$\Omega_1$, on pourra, pour chaque valeur de~$u$, calculer +$\sn u, \cn u, \dn u$ par les formules du~\no78. + +\ctb +%% -----File: 127.png---Folio 123------- + + +\Additions + +Au \no51 (\Ord{3}{e}~partie, ch.~II) nous avons laissé au lecteur le %[xrefs] +soin de vérifier la formule +\[ +\sigma(u - 2\omega_1) = -e^{-2\eta_1(u - \omega_1)}\, \sigma u. +\] + +On l'établit immédiatement en changeant~$u$ en~$u - 2\omega_1$ +dans la relation démontrée (\Ord{2}{e}~partie, ch.~III, 32) +\[ +\sigma(u + 2\omega_1) = -e^{2\eta_1(u + \omega_1)}\, \sigma u. +\] + +Au chap.~III de la \Ord{2}{e}~partie, nous avons indiqué ce que +devient~$\sigma u$ dans le cas seulement où l'on ajoute à l'argument~$u$ +l'une des périodes $2\omega_1, 2\omega_2$ de~$\wp u$ (en supposant +que les moitiés $\omega_1, \omega_2$ ne sont pas des périodes de cette +dernière fonction). + +Il est utile de savoir ce que devient~$\sigma u$ quand on augmente~$u$ +d'une période quelconque +\[ +2\omega = 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2. +\] + +Augmentant d'abord de~$4\omega_1$, on a +\begin{align*} +\sigma(u + 4\omega_1) + &= \sigma(\overline{u + 2\omega_1} + 2\omega_1) + = -e^{2\eta_1(\overline{u + 2\omega_1} + \omega_1)}\, \sigma(u + 2\omega_1)\\ + &= +e^{2\eta_1(u + 3\omega_1)}\, e^{2\eta_1(u + \omega_1)}\, \sigma u + = e^{2\eta_1[2u + \omega_1(1 + 3)]}\, \sigma u. +\end{align*} +En calculant ainsi de proche en proche, on arrive à +\begin{align*} +\sigma(u + 2m_1\omega_1) + &= (-1)^{m_1}\, + e^{2\eta_1[m_1u + \omega_1(1 + 3 + \dots + 2m_1 - 1)]}\, \sigma u \\ + &= (-1)^{m_1}\, e^{2m_1\eta_1(u + m_1\omega_1)}\, \sigma u. +\end{align*} +Cette formule subsiste quand $m_1$~est négatif, comme cela +résulte évidemment de l'expression ci-dessus de~$\sigma(u - 2\omega_1)$. + +Cela posé, nous avons +\begin{align*} +\sigma(u + 2\omega) + &= \sigma(\overline{u + 2m_1\omega_1} + 2m_2\omega_2) \\ + &= (-1)^{m_2}\, e^{2m_2\eta_2(\overline{u + 2m_1\omega_1} + m_2\omega_2)}\, + \sigma(u + 2m_1\omega_1) \\ + &= (-1)^{m_1 + m_2}\, + e^{2m_2\eta_2(u + 2m_1\omega_1 + m_2\omega_2) + + 2m_1\eta_1(u + m_1\omega_1)}\, \sigma u. +\end{align*} +%% -----File: 128.png---Folio 124------- +L'exposant de~$e$ contient le terme $4m_1m_2\eta_2\omega_1$ qui, si l'on +tient compte de la formule du~\no29 +\[ +2(\eta_1\omega_2 - \eta_2\omega_1) = \pi i, +\] +peut s'écrire +\[ + 2m_2\eta_2\centerdot m_1\omega_1 ++ 2m_1\eta_1\centerdot m_2\omega_2 - m_1m_2\pi i. +\] +L'expression de $\sigma(u + 2\omega)$ peut alors être mise sous la +forme +\[ +\sigma(u + 2\omega) + = (-1)^{m_1 + m_2}\, e^{-m_1m_2\pi i}\, + e^{(2m_1\eta_1 + 2m_2\eta_2)(u + m_1\omega_1 + m_2\omega_2)}\, \sigma u +\] +ou +\[ +\sigma(u + 2\omega) + = (-1)^{m_1 + m_2 + m_1m_2}\, e^{(2m_1\eta_1 + 2m_2\eta_2)(u + \omega)}\, \sigma u. +\] + +Telle est la formule que nous voulions établir. + +Si l'on prend la dérivée logarithmique de ses deux membres, +on trouve +\[ +\zeta(u + 2\omega) = \zeta u + 2m_1\eta_1 + 2m_2\eta_2. +\] + +Cette nouvelle formule nous apprend ce que devient~$\zeta u$ +quand on ajoute à l'argument~$u$ une période quelconque. +Il serait facile d'y arriver directement, en partant des +expressions de $\zeta(u + 2\omega_1), \zeta(u + 2\omega_2)$ données au~\no27 +(\Ord{2}{e}~partie, ch.~III). %[xref] + +\ctb +%% -----File: 129.png---Folio 125------- + +\TableofContents + +\iffalse +TABLE DES MATIÈRES + +AVANT-PROPOS + +PREMIÈRE PARTIE + +Généralités concernant les fonctions elliptiques. + + +CHAPITRE I. --- +Des périodes. + +CHAPITRE II. --- +Transformation des fonctions elliptiques. + +CHAPITRE III. --- +Théorèmes généraux sur les fonctions elliptiques. + + +DEUXIÈME PARTIE + +La fonction $\wp u$. + + +CHAPITRE I. --- +Construction et propriétés de la fonction $\wp u$. + +CHAPITRE II. --- +La fonction $\wp u$ définie par une équation différentielle. + +CHAPITRE III. --- +Les fonctions $\zeta u$ et $\sigma u$. + +CHAPITRE IV. --- +Expression des fonctions elliptiques par +les fonctions $\sigma$, $\zeta$, $\rho$. + +CHAPITRE V. --- +Addition des arguments pour la fonction $\wp u$. --- +Multiplication de l'argument. + +CHAPITRE VI. --- +Multiplication de l'argument de $\wp u$ (suite). --- +Division de l'argument. + +CHAPITRE VII. --- +Division des périodes de $\wp u$. +%% -----File: 130.png---Folio 126------- + +TROISIÈME PARTIE + +Les fonctions +$\sn u$, +$\cn u$, +$\dn u$. + +CHAPITRE I. --- +Les fonctions +$\sigma_{01} u$, +$\sigma_{02} u$, +$\sigma_{03} u$. + +CHAPITRE II. --- +La fonction $\sn u$. + +CHAPITRE III. --- +Les fonctions +$\cn u$, +$\dn u$. + +CHAPITRE IV. --- +Dérivées de +$\sn u$, +$\cn u$, +$\dn u$. --- +Développements en série. --- Dégénérescences. + +CHAPITRE V. --- +Addition des arguments. --- Équation +d'Euler.--Multiplication de l'argument +des fonctions +$\sn u$, +$\cn u$, +$\dn u$. + + +QUATRIÈME PARTIE + +Les fonctions $\theta$. + +CHAPITRE I. --- +La fonction $\theta$. --- Expressions de +$\wp u$, +$\zeta u$, +$\sigma u$, +au moyen de cette fonction. + +CHAPITRE II. --- +Les fonctions +$\theta_1 u$, +$\theta_2 u$, +$\theta_3 u$. --- +Expressions de +$\sn u$, +$\cn u$, +$\dn u$ +par les fonctions $\theta$. + +CHAPITRE III. --- +Calcul de +$\wp u$, +$\sn u$, +$\cn u$, +$\dn u$ +en fonction des périodes. + +ADDITIONS. +\fi + +\ctb + +\vfill +\begin{center} +\scriptsize BAR-LE-DUC, IMPRIMERIE COMTE-JACQUET. +\end{center} + +\cleardoublepage + +%%%% LICENCE %%%% +\pagenumbering{Alph} +\pagestyle{fancy} +\phantomsection +\pdfbookmark[0]{Licence}{Licence} +\fancyhf{} +\fancyhead[C]{\CtrHeading{Project Gutenberg Licence}} +\SetPageNumbers + +\begin{PGtext} +End of the Project Gutenberg EBook of Abrégé de la Théorie des Fonctions +Elliptiques, by Charles Henry + +*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK FONCTIONS ELLIPTIQUES *** + +***** This file should be named 32643-pdf.pdf or 32643-pdf.zip ***** +This and all associated files of various formats will be found in: + http://www.gutenberg.org/3/2/6/4/32643/ + +Produced by Andrew D. Hwang, Joshua Hutchinson, and the +Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net +(This file was produced from images from the Cornell +University Library: Historical Mathematics Monographs +collection.) + + +Updated editions will replace the previous one--the old editions +will be renamed. + +Creating the works from public domain print editions means that no +one owns a United States copyright in these works, so the Foundation +(and you!) can copy and distribute it in the United States without +permission and without paying copyright royalties. Special rules, +set forth in the General Terms of Use part of this license, apply to +copying and distributing Project Gutenberg-tm electronic works to +protect the PROJECT GUTENBERG-tm concept and trademark. Project +Gutenberg is a registered trademark, and may not be used if you +charge for the eBooks, unless you receive specific permission. If you +do not charge anything for copies of this eBook, complying with the +rules is very easy. You may use this eBook for nearly any purpose +such as creation of derivative works, reports, performances and +research. They may be modified and printed and given away--you may do +practically ANYTHING with public domain eBooks. Redistribution is +subject to the trademark license, especially commercial +redistribution. + + + +*** START: FULL LICENSE *** + +THE FULL PROJECT GUTENBERG LICENSE +PLEASE READ THIS BEFORE YOU DISTRIBUTE OR USE THIS WORK + +To protect the Project Gutenberg-tm mission of promoting the free +distribution of electronic works, by using or distributing this work +(or any other work associated in any way with the phrase "Project +Gutenberg"), you agree to comply with all the terms of the Full Project +Gutenberg-tm License (available with this file or online at +http://gutenberg.org/license). + + +Section 1. General Terms of Use and Redistributing Project Gutenberg-tm +electronic works + +1.A. By reading or using any part of this Project Gutenberg-tm +electronic work, you indicate that you have read, understand, agree to +and accept all the terms of this license and intellectual property +(trademark/copyright) agreement. If you do not agree to abide by all +the terms of this agreement, you must cease using and return or destroy +all copies of Project Gutenberg-tm electronic works in your possession. +If you paid a fee for obtaining a copy of or access to a Project +Gutenberg-tm electronic work and you do not agree to be bound by the +terms of this agreement, you may obtain a refund from the person or +entity to whom you paid the fee as set forth in paragraph 1.E.8. + +1.B. "Project Gutenberg" is a registered trademark. It may only be +used on or associated in any way with an electronic work by people who +agree to be bound by the terms of this agreement. There are a few +things that you can do with most Project Gutenberg-tm electronic works +even without complying with the full terms of this agreement. See +paragraph 1.C below. There are a lot of things you can do with Project +Gutenberg-tm electronic works if you follow the terms of this agreement +and help preserve free future access to Project Gutenberg-tm electronic +works. See paragraph 1.E below. + +1.C. The Project Gutenberg Literary Archive Foundation ("the Foundation" +or PGLAF), owns a compilation copyright in the collection of Project +Gutenberg-tm electronic works. Nearly all the individual works in the +collection are in the public domain in the United States. If an +individual work is in the public domain in the United States and you are +located in the United States, we do not claim a right to prevent you from +copying, distributing, performing, displaying or creating derivative +works based on the work as long as all references to Project Gutenberg +are removed. Of course, we hope that you will support the Project +Gutenberg-tm mission of promoting free access to electronic works by +freely sharing Project Gutenberg-tm works in compliance with the terms of +this agreement for keeping the Project Gutenberg-tm name associated with +the work. You can easily comply with the terms of this agreement by +keeping this work in the same format with its attached full Project +Gutenberg-tm License when you share it without charge with others. + +1.D. The copyright laws of the place where you are located also govern +what you can do with this work. Copyright laws in most countries are in +a constant state of change. If you are outside the United States, check +the laws of your country in addition to the terms of this agreement +before downloading, copying, displaying, performing, distributing or +creating derivative works based on this work or any other Project +Gutenberg-tm work. 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Except for the limited right of replacement or refund set forth +in paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS' WITH NO OTHER +WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO +WARRANTIES OF MERCHANTIBILITY OR FITNESS FOR ANY PURPOSE. + +1.F.5. Some states do not allow disclaimers of certain implied +warranties or the exclusion or limitation of certain types of damages. +If any disclaimer or limitation set forth in this agreement violates the +law of the state applicable to this agreement, the agreement shall be +interpreted to make the maximum disclaimer or limitation permitted by +the applicable state law. The invalidity or unenforceability of any +provision of this agreement shall not void the remaining provisions. + +1.F.6. INDEMNITY - You agree to indemnify and hold the Foundation, the +trademark owner, any agent or employee of the Foundation, anyone +providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works in accordance +with this agreement, and any volunteers associated with the production, +promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electronic works, +harmless from all liability, costs and expenses, including legal fees, +that arise directly or indirectly from any of the following which you do +or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm +work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any +Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause. + + +Section 2. Information about the Mission of Project Gutenberg-tm + +Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of +electronic works in formats readable by the widest variety of computers +including obsolete, old, middle-aged and new computers. It exists +because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from +people in all walks of life. + +Volunteers and financial support to provide volunteers with the +assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's +goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will +remain freely available for generations to come. In 2001, the Project +Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure +and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations. +To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation +and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4 +and the Foundation web page at http://www.pglaf.org. + + +Section 3. Information about the Project Gutenberg Literary Archive +Foundation + +The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit +501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the +state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal +Revenue Service. The Foundation's EIN or federal tax identification +number is 64-6221541. Its 501(c)(3) letter is posted at +http://pglaf.org/fundraising. Contributions to the Project Gutenberg +Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent +permitted by U.S. federal laws and your state's laws. + +The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S. +Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered +throughout numerous locations. Its business office is located at +809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email +business@pglaf.org. Email contact links and up to date contact +information can be found at the Foundation's web site and official +page at http://pglaf.org + +For additional contact information: + Dr. Gregory B. Newby + Chief Executive and Director + gbnewby@pglaf.org + + +Section 4. Information about Donations to the Project Gutenberg +Literary Archive Foundation + +Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide +spread public support and donations to carry out its mission of +increasing the number of public domain and licensed works that can be +freely distributed in machine readable form accessible by the widest +array of equipment including outdated equipment. Many small donations +($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt +status with the IRS. + +The Foundation is committed to complying with the laws regulating +charities and charitable donations in all 50 states of the United +States. 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Donations are accepted in a number of other +ways including checks, online payments and credit card donations. +To donate, please visit: http://pglaf.org/donate + + +Section 5. General Information About Project Gutenberg-tm electronic +works. + +Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm +concept of a library of electronic works that could be freely shared +with anyone. For thirty years, he produced and distributed Project +Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support. + + +Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed +editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S. +unless a copyright notice is included. Thus, we do not necessarily +keep eBooks in compliance with any particular paper edition. + + +Most people start at our Web site which has the main PG search facility: + + http://www.gutenberg.org + +This Web site includes information about Project Gutenberg-tm, +including how to make donations to the Project Gutenberg Literary +Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to +subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks. +\end{PGtext} + +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % +% % +% End of the Project Gutenberg EBook of Abrégé de la Théorie des Fonctions% +% Elliptiques, by Charles Henry % +% % +% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK FONCTIONS ELLIPTIQUES *** % +% % +% ***** This file should be named 32643-t.tex or 32643-t.zip ***** % +% This and all associated files of various formats will be found in: % +% http://www.gutenberg.org/3/2/6/4/32643/ % +% % +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % + +\end{document} +### +@ControlwordReplace = ( + ['\\Preface', 'Avant-Propos'], + ['\\Additions', 'Additions'], + ['\\cqfd', 'c.q.f.d.'], + ['\\primo', '1^o '], + ['\\secundo', '2^o '], + ['\\tertio', '3^o '], + ['\\quarto', '4^o '], + ['\\cinqo', '5^o '], + ['\\sexto', '6^o '] + ); + +@ControlwordArguments = ( + ['\\Part', 0, 0, '', '', 1, 1, '', '. 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2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1enc.def +File: t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file +LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding T1 on input line 43. +)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.sty +Package: babel 2005/11/23 v3.8h The Babel package +(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.ldf +Language: french 2005/02/06 v1.6g French support from the babel system +(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def +File: babel.def 2005/11/23 v3.8h Babel common definitions +\babel@savecnt=\count88 +\U@D=\dimen103 +) +Package babel Info: Making : an active character on input line 219. +Package babel Info: Making ; an active character on input line 220. +Package babel Info: Making ! an active character on input line 221. +Package babel Info: Making ? an active character on input line 222. +LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding T1 on input line 299. +\parindentFFN=\dimen104 +\std@mcc=\count89 +\dec@mcc=\count90 +************************************* +* Local config file frenchb.cfg used +* +(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.cfg))) (/usr/share/texmf-te +xlive/tex/latex/tools/calc.sty +Package: calc 2005/08/06 v4.2 Infix arithmetic (KKT,FJ) +\calc@Acount=\count91 +\calc@Bcount=\count92 +\calc@Adimen=\dimen105 +\calc@Bdimen=\dimen106 +\calc@Askip=\skip43 +\calc@Bskip=\skip44 +LaTeX Info: Redefining \setlength on input line 75. +LaTeX Info: Redefining \addtolength on input line 76. +\calc@Ccount=\count93 +\calc@Cskip=\skip45 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/textcomp.sty +Package: textcomp 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package +Package textcomp Info: Sub-encoding information: +(textcomp) 5 = only ISO-Adobe without \textcurrency +(textcomp) 4 = 5 + \texteuro +(textcomp) 3 = 4 + \textohm +(textcomp) 2 = 3 + \textestimated + \textcurrency +(textcomp) 1 = TS1 - \textcircled - \t +(textcomp) 0 = TS1 (full) +(textcomp) Font families with sub-encoding setting implement +(textcomp) only a restricted character set as indicated. +(textcomp) Family '?' is the default used for unknown fonts. +(textcomp) See the documentation for details. +Package textcomp Info: Setting ? sub-encoding to TS1/1 on input line 71. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ts1enc.def +File: ts1enc.def 2001/06/05 v3.0e (jk/car/fm) Standard LaTeX file +) +LaTeX Info: Redefining \oldstylenums on input line 266. +Package textcomp Info: Setting cmr sub-encoding to TS1/0 on input line 281. +Package textcomp Info: Setting cmss sub-encoding to TS1/0 on input line 282. +Package textcomp Info: Setting cmtt sub-encoding to TS1/0 on input line 283. +Package textcomp Info: Setting cmvtt sub-encoding to TS1/0 on input line 284. +Package textcomp Info: Setting cmbr sub-encoding to TS1/0 on input line 285. +Package textcomp Info: Setting cmtl sub-encoding to TS1/0 on input line 286. +Package textcomp Info: Setting ccr sub-encoding to TS1/0 on input line 287. +Package textcomp Info: Setting ptm sub-encoding to TS1/4 on input line 288. +Package textcomp Info: Setting pcr sub-encoding to TS1/4 on input line 289. +Package textcomp Info: Setting phv sub-encoding to TS1/4 on input line 290. +Package textcomp Info: Setting ppl sub-encoding to TS1/3 on input line 291. +Package textcomp Info: Setting pag sub-encoding to TS1/4 on input line 292. +Package textcomp Info: Setting pbk sub-encoding to TS1/4 on input line 293. +Package textcomp Info: Setting pnc sub-encoding to TS1/4 on input line 294. +Package textcomp Info: Setting pzc sub-encoding to TS1/4 on input line 295. +Package textcomp Info: Setting bch sub-encoding to TS1/4 on input line 296. +Package textcomp Info: Setting put sub-encoding to TS1/5 on input line 297. +Package textcomp Info: Setting uag sub-encoding to TS1/5 on input line 298. +Package textcomp Info: Setting ugq sub-encoding to TS1/5 on input line 299. +Package textcomp Info: Setting ul8 sub-encoding to TS1/4 on input line 300. +Package textcomp Info: Setting ul9 sub-encoding to TS1/4 on input line 301. +Package textcomp Info: Setting augie sub-encoding to TS1/5 on input line 302. +Package textcomp Info: Setting dayrom sub-encoding to TS1/3 on input line 303. +Package textcomp Info: Setting dayroms sub-encoding to TS1/3 on input line 304. + +Package textcomp Info: Setting pxr sub-encoding to TS1/0 on input line 305. +Package textcomp Info: Setting pxss sub-encoding to TS1/0 on input line 306. +Package textcomp Info: Setting pxtt sub-encoding to TS1/0 on input line 307. +Package textcomp Info: Setting txr sub-encoding to TS1/0 on input line 308. +Package textcomp Info: Setting txss sub-encoding to TS1/0 on input line 309. +Package textcomp Info: Setting txtt sub-encoding to TS1/0 on input line 310. +Package textcomp Info: Setting futs sub-encoding to TS1/4 on input line 311. +Package textcomp Info: Setting futx sub-encoding to TS1/4 on input line 312. +Package textcomp Info: Setting futj sub-encoding to TS1/4 on input line 313. +Package textcomp Info: Setting hlh sub-encoding to TS1/3 on input line 314. +Package textcomp Info: Setting hls sub-encoding to TS1/3 on input line 315. +Package textcomp Info: Setting hlst sub-encoding to TS1/3 on input line 316. +Package textcomp Info: Setting hlct sub-encoding to TS1/5 on input line 317. +Package textcomp Info: Setting hlx sub-encoding to TS1/5 on input line 318. +Package textcomp Info: Setting hlce sub-encoding to TS1/5 on input line 319. +Package textcomp Info: Setting hlcn sub-encoding to TS1/5 on input line 320. +Package textcomp Info: Setting hlcw sub-encoding to TS1/5 on input line 321. +Package textcomp Info: Setting hlcf sub-encoding to TS1/5 on input line 322. +Package textcomp Info: Setting pplx sub-encoding to TS1/3 on input line 323. +Package textcomp Info: Setting pplj sub-encoding to TS1/3 on input line 324. +Package textcomp Info: Setting ptmx sub-encoding to TS1/4 on input line 325. +Package textcomp Info: Setting ptmj sub-encoding to TS1/4 on input line 326. +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ifthen.sty +Package: ifthen 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC) +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty +Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features +\@mathmargin=\skip46 +For additional information on amsmath, use the `?' option. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty +Package: amstext 2000/06/29 v2.01 +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty +File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 +\@emptytoks=\toks16 +\ex@=\dimen107 +)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty +Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d +\pmbraise@=\dimen108 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty +Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names +) +\inf@bad=\count94 +LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211. +\uproot@=\count95 +\leftroot@=\count96 +LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307. +\classnum@=\count97 +\DOTSCASE@=\count98 +LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379. +LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382. +LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467. +\Mathstrutbox@=\box26 +\strutbox@=\box27 +\big@size=\dimen109 +LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OML on input line 567. +LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OMS on input line 568. +\macc@depth=\count99 +\c@MaxMatrixCols=\count100 +\dotsspace@=\muskip10 +\c@parentequation=\count101 +\dspbrk@lvl=\count102 +\tag@help=\toks17 +\row@=\count103 +\column@=\count104 +\maxfields@=\count105 +\andhelp@=\toks18 +\eqnshift@=\dimen110 +\alignsep@=\dimen111 +\tagshift@=\dimen112 +\tagwidth@=\dimen113 +\totwidth@=\dimen114 +\lineht@=\dimen115 +\@envbody=\toks19 +\multlinegap=\skip47 +\multlinetaggap=\skip48 +\mathdisplay@stack=\toks20 +LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666. +LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667. +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty +Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty +Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f +\symAMSa=\mathgroup4 +\symAMSb=\mathgroup5 +LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold' +(Font) U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132. +)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/jknapltx/mathrsfs.sty +Package: mathrsfs 1996/01/01 Math RSFS package v1.0 (jk) +\symrsfs=\mathgroup6 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/alltt.sty +Package: alltt 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/array.sty +Package: array 2005/08/23 v2.4b Tabular extension package (FMi) +\col@sep=\dimen116 +\extrarowheight=\dimen117 +\NC@list=\toks21 +\extratabsurround=\skip49 +\backup@length=\skip50 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/indentfirst.sty +Package: indentfirst 1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC) +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/textcase/textcase.sty +Package: textcase 2004/10/07 v0.07 Text only upper/lower case changing (DPC) +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/footmisc/footmisc.sty +Package: footmisc 2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities +\FN@temptoken=\toks22 +\footnotemargin=\dimen118 +\c@pp@next@reset=\count106 +\c@@fnserial=\count107 +Package footmisc Info: Declaring symbol style bringhurst on input line 817. +Package footmisc Info: Declaring symbol style chicago on input line 818. +Package footmisc Info: Declaring symbol style wiley on input line 819. +Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport-robust on input line 823. + +Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport* on input line 831. +Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport*-robust on input line 840 +. +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphicx.sty +Package: graphicx 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR) +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty +Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC) +\KV@toks@=\toks23 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphics.sty +Package: graphics 2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR) +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/trig.sty +Package: trig 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC) +) (/etc/texmf/tex/latex/config/graphics.cfg +File: graphics.cfg 2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive +) +Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 90. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def +File: pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX +\Gread@gobject=\count108 +)) +\Gin@req@height=\dimen119 +\Gin@req@width=\dimen120 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty +\wrapoverhang=\dimen121 +\WF@size=\dimen122 +\c@WF@wrappedlines=\count109 +\WF@box=\box28 +\WF@everypar=\toks24 +Package: wrapfig 2003/01/31 v 3.6 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/fancyhdr/fancyhdr.sty +\fancy@headwidth=\skip51 +\f@ncyO@elh=\skip52 +\f@ncyO@erh=\skip53 +\f@ncyO@olh=\skip54 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2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options ( +HO) +) +Package hyperref Info: Option `hyperfootnotes' set `false' on input line 2238. +Package hyperref Info: Option `bookmarks' set `true' on input line 2238. +Package hyperref Info: Option `linktocpage' set `false' on input line 2238. +Package hyperref Info: Option `pdfdisplaydoctitle' set `true' on input line 223 +8. +Package hyperref Info: Option `pdfpagelabels' set `true' on input line 2238. +Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 2238. +Package hyperref Info: Option `colorlinks' set `true' on input line 2238. +Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 2288. +Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 2293. +Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 2296. +Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 2303. +Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 2308. +Implicit mode ON; LaTeX internals redefined +Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 2444. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/url.sty +\Urlmuskip=\muskip11 +Package: url 2005/06/27 ver 3.2 Verb mode for urls, etc. +) +LaTeX Info: Redefining \url on input line 2599. +\Fld@menulength=\count115 +\Field@Width=\dimen128 +\Fld@charsize=\dimen129 +\Choice@toks=\toks26 +\Field@toks=\toks27 +Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 3102. +Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 3107. +Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 3110. +Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 3117. +Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 3120. +\Hy@abspage=\count116 +\c@Item=\count117 +) +*hyperref using driver hpdftex* +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hpdftex.def +File: hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX +\Fld@listcount=\count118 +) +\ToCLen=\skip60 +\c@PartNo=\count119 +\TmpLen=\skip61 +(./32643-t.aux) +\openout1 = `32643-t.aux'. + +LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 547. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 547. +LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/lmr/m/n on input line 547. +LaTeX Font Info: Try loading font information for T1+lmr on input line 547. +(/usr/share/texmf/tex/latex/lm/t1lmr.fd +File: t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern +) +LaTeX Font Info: ... okay on input line 547. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 547. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 547. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 547. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 547. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 547. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 547. +LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 547. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 547. +LaTeX Font Info: Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 547. +LaTeX Font Info: Try loading font information for TS1+cmr on input line 547. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ts1cmr.fd +File: ts1cmr.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions +) +LaTeX Font Info: ... okay on input line 547. +LaTeX Font Info: Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 547. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 547. +LaTeX Info: Redefining \dots on input line 547. +(/usr/share/texmf/tex/context/base/supp-pdf.tex +[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).] +\scratchcounter=\count120 +\scratchdimen=\dimen130 +\scratchbox=\box29 +\nofMPsegments=\count121 +\nofMParguments=\count122 +\everyMPshowfont=\toks28 +\MPscratchCnt=\count123 +\MPscratchDim=\dimen131 +\MPnumerator=\count124 +\everyMPtoPDFconversion=\toks29 +) +-------------------- Geometry parameters +paper: class default +landscape: -- +twocolumn: -- +twoside: true +asymmetric: -- +h-parts: 9.03375pt, 361.34999pt, 9.03375pt +v-parts: 13.98709pt, 543.19225pt, 20.98065pt +hmarginratio: 1:1 +vmarginratio: 2:3 +lines: -- +heightrounded: -- +bindingoffset: 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+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/nameref.sty +Package: nameref 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/refcount.sty +Package: refcount 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO) +) +\c@section@level=\count125 +) +LaTeX Info: Redefining \ref on input line 547. +LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 547. +(./32643-t.out) (./32643-t.out) +\@outlinefile=\write3 +\openout3 = `32643-t.out'. + +LaTeX Font Info: Try loading font information for T1+cmtt on input line 561. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1cmtt.fd +File: t1cmtt.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msa on input line 584. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd +File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msb on input line 584. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd +File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+rsfs on input line 584. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/jknapltx/ursfs.fd +File: ursfs.fd 1998/03/24 rsfs font definition file (jk) +) [1 + +{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2 + +] [1 + +] [2 + +] [3 + + +] [1 + + + +] [2 + + +] <./images/015a.pdf, id=524, 180.675pt x 181.67876pt> +File: ./images/015a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/015a.pdf> [3 <./images/015a.pdf>] <./images/016a.pdf, id=547, 135 +.50626pt x 104.39pt> +File: ./images/016a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/016a.pdf> [4 <./images/016a.pdf>] <./images/017a.pdf, id=572, 121 +.45375pt x 108.405pt> +File: ./images/017a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/017a.pdf> <./images/017b.pdf, id=573, 119.44624pt x 110.4125pt> +File: ./images/017b.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/017b.pdf> +Underfull \hbox (badness 1178) in paragraph at lines 970--974 +[]\T1/cmr/m/n/12 Ce pa-ral-lé-lo-gramme est la ré-gion cher-chée. 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+\draw [fill](0.245331in,0.175236in)--(0.234172in,0.141759in)-- + (0.315in,0.225in)--(0.210044in,0.175538in)--(0.245331in,0.175236in)--cycle; +\draw (0in,0in)--(1.085in,0.775in); +\draw [fill](1.01533in,0.725236in)--(1.00417in,0.691759in)-- + (1.085in,0.775in)--(0.980044in,0.725538in)--(1.01533in,0.725236in)--cycle; +\draw (0in,0in)--(0.77in,0.55in); +\draw [fill](0.700331in,0.500236in)--(0.689172in,0.466759in)-- + (0.77in,0.55in)--(0.665044in,0.500538in)--(0.700331in,0.500236in)--cycle; +\pgftext[at={\pgfpoint{0in}{-0.055348in}}] {\makebox(0,0)[t]{\hbox{\color{rgb_000000}\footnotesize $O$}}} +\pgftext[at={\pgfpoint{1.75in}{1.19465in}}] {\makebox(0,0)[t]{\hbox{\color{rgb_000000}\footnotesize $U$}}} +\pgftext[at={\pgfpoint{1.37604in}{0.942947in}}] {\makebox(0,0)[tl]{\hbox{\color{rgb_000000}\scriptsize $2\omega_1$}}} +\pgftext[at={\pgfpoint{0.291038in}{0.167947in}}] {\makebox(0,0)[tl]{\hbox{\color{rgb_000000}\scriptsize $2\omega_2$}}} +\pgftext[at={\pgfpoint{1.06104in}{0.717947in}}] {\makebox(0,0)[tl]{\hbox{\color{rgb_000000}\scriptsize $2\omega_3$}}} +\pgftext[at={\pgfpoint{0.746038in}{0.492947in}}] {\makebox(0,0)[tl]{\hbox{\color{rgb_000000}\scriptsize $2\omega_4$}}} +\end{tikzpicture} diff --git a/32643-t/images/sources/016a.xp b/32643-t/images/sources/016a.xp new file mode 100644 index 0000000..9d08d66 --- /dev/null +++ b/32643-t/images/sources/016a.xp @@ -0,0 +1,41 @@ +/* -*-ePiX-*- */ +#include "epix.h" +using namespace ePiX; 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+ +int main() +{ + picture(P(0,0), P(3,3), "1.5 x 1.5in"); + + begin(); + + const P O(0,0); + const P A(2,0.75); + const P B(0.25,1.5); + + line(O, 1.5*A); + line(O, 1.5*B); + + arrow_inset(0.5); + arrow(O, A); + arrow(O, B); + + dashed(); + dash_size(6); + line(A, A+B); + line(B, A+B); + + // font_size("footnotesize"); + label(O, P(0,-4), "$O'$", b); + label(A, P(0,-4), "$A$", b); + label(B, P(-2,2), "$B$", tl); + label(A+B, P(0,4), "$C$", t); + + font_size("scriptsize"); + label(0.5*A, P(0,-4), "$2\\omega_1$", br); + label(0.5*B, P(-2,2), "$2\\omega_2$", tl); + + tikz_format(); + end(); +} diff --git a/32643-t/images/sources/017b.eepic b/32643-t/images/sources/017b.eepic new file mode 100644 index 0000000..3b2ac9b --- /dev/null +++ b/32643-t/images/sources/017b.eepic @@ -0,0 +1,20 @@ +%% Generated from 017b.xp on Mon May 3 18:20:06 EDT 2010 by +%% ePiX-1.2.4 +%% +%% Cartesian bounding box: [0,3] x [0,3] +%% Actual size: 1.5 x 1.5in +%% Figure offset: left by 0in, down by 0in +%% +%% usepackages tikz +%% +\xdefinecolor{rgb_000000}{rgb}{0,0,0}% +\begin{tikzpicture} +\pgfsetlinewidth{0.4pt} +\useasboundingbox (0in,0in) rectangle (1.5in,1.5in); +\draw (-0.257858in,-0.0966969in)--(0.5in,0.1875in)--(1.25786in,0.471697in); +\draw (-0.195358in,0.278303in)--(0.5625in,0.5625in)--(1.32036in,0.846697in); +\draw (-0.132858in,0.653303in)--(0.625in,0.9375in)--(1.38286in,1.2217in); +\draw (-0.0322323in,-0.193394in)--(0.0625in,0.375in)--(0.157232in,0.943394in); +\draw (0.467768in,-0.00589371in)--(0.5625in,0.5625in)--(0.657232in,1.13089in); +\draw (0.967768in,0.181606in)--(1.0625in,0.75in)--(1.15723in,1.31839in); +\end{tikzpicture} diff --git a/32643-t/images/sources/017b.xp b/32643-t/images/sources/017b.xp new file mode 100644 index 0000000..7e89a8c --- /dev/null +++ b/32643-t/images/sources/017b.xp @@ -0,0 +1,28 @@ +/* -*-ePiX-*- */ +#include "epix.h" +using namespace ePiX; + +int main() +{ + picture(P(0,0), P(3,3), "1.5 x 1.5in"); + + begin(); + + const P O(0,0); + const P A(1,0.375); + const P B(0.125,0.75); + + double add(60); + + line(O, 2*A, add); + line(B, B+2*A, add); + line(2*B, 2*(A+B), add); + + line(O, 2*B, add); + line(A, A+2*B, add); + line(2*A, 2*(A+B), add); + + tikz_format(); + + end(); +} diff --git a/32643-t/images/sources/018a.eepic b/32643-t/images/sources/018a.eepic new file mode 100644 index 0000000..9124ddb --- /dev/null +++ b/32643-t/images/sources/018a.eepic @@ -0,0 +1,185 @@ +%% Generated from 018a.xp on Mon May 3 18:21:14 EDT 2010 by +%% ePiX-1.2.4 +%% +%% Cartesian bounding box: [0,9] x [-1,1] +%% Actual size: 4.5 x 1in +%% Figure offset: left by 0in, down by 0in +%% +%% usepackages tikz +%% +\xdefinecolor{rgb_000000}{rgb}{0,0,0}% +\begin{tikzpicture} +\pgfsetlinewidth{0.4pt} +\useasboundingbox (0in,0in) rectangle (4.5in,1in); +\draw (0.25in,0.5in)--(0.249688in,0.512495in)-- + (0.248751in,0.524958in)--(0.247193in,0.53736in)-- + (0.245017in,0.549667in)--(0.242228in,0.561851in)-- + (0.238834in,0.57388in)--(0.234843in,0.585724in)-- + (0.230265in,0.597355in)--(0.225112in,0.608741in)-- + (0.219396in,0.619856in)--(0.213131in,0.630672in)-- + (0.206334in,0.641161in)--(0.199021in,0.651297in)-- + (0.191211in,0.661054in)--(0.182922in,0.67041in)-- + (0.174177in,0.679339in)--(0.164996in,0.68782in)-- + (0.155402in,0.695832in)--(0.145421in,0.703354in)--(0.135076in,0.710368in); +\pgfsetfillcolor{rgb_000000} +\draw [fill](0.198067in,0.667661in)--(0.205831in,0.679114in)-- + (0.135076in,0.710368in)--(0.190302in,0.656208in)--(0.198067in,0.667661in)--cycle; +\draw (3.25in,0.5in)--(3.24967in,0.512937in)-- + (3.24866in,0.525839in)--(3.24699in,0.538672in)-- + (3.24466in,0.551401in)--(3.24167in,0.563992in)-- + (3.23804in,0.576412in)--(3.23376in,0.588627in)-- + (3.22886in,0.600605in)--(3.22335in,0.612313in)-- + (3.21724in,0.623721in)--(3.21055in,0.634796in)-- + (3.20329in,0.645511in)--(3.19549in,0.655835in)-- + (3.18716in,0.665742in)--(3.17833in,0.675205in)-- + (3.16903in,0.684199in)--(3.15927in,0.692699in)-- + (3.14909in,0.700682in)--(3.1385in,0.708128in)-- + (3.12755in,0.715016in)--(3.11625in,0.721328in)-- + (3.10464in,0.727047in)--(3.09275in,0.732158in)-- + (3.08061in,0.736646in)--(3.06826in,0.740501in)-- + (3.05572in,0.743711in)--(3.04304in,0.746268in)-- + (3.03024in,0.748165in)--(3.01735in,0.749397in)-- + (3.00442in,0.749961in)--(2.99148in,0.749855in)-- + (2.97857in,0.749079in)--(2.96571in,0.747637in)-- + (2.95294in,0.74553in)--(2.9403in,0.742766in)-- + (2.92781in,0.739351in)--(2.91552in,0.735295in)-- + (2.90346in,0.730608in)--(2.89166in,0.725304in)-- + (2.88014in,0.719396in)--(2.86895in,0.7129in)-- + (2.85811in,0.705833in)--(2.84765in,0.698215in)-- + (2.8376in,0.690066in)--(2.82798in,0.681407in)-- + (2.81882in,0.672262in)--(2.81015in,0.662656in)-- + (2.80199in,0.652614in)--(2.79436in,0.642163in)-- + (2.78727in,0.631331in)--(2.78076in,0.620147in)-- + (2.77484in,0.608642in)--(2.76952in,0.596845in)-- + (2.76482in,0.584789in)--(2.76074in,0.572505in)-- + (2.75731in,0.560027in)--(2.75453in,0.547388in)-- + (2.75241in,0.534623in)--(2.75095in,0.521764in)-- + (2.75016in,0.508848in)--(2.75003in,0.495907in)-- + (2.75058in,0.482978in)--(2.7518in,0.470094in)-- + (2.75368in,0.45729in)--(2.75622in,0.444601in)-- + (2.75941in,0.43206in)--(2.76325in,0.419701in)-- + (2.76772in,0.407558in)--(2.77281in,0.395662in)-- + (2.77852in,0.384045in)--(2.78481in,0.37274in)-- + (2.79169in,0.361775in)--(2.79912in,0.351181in)-- + (2.80709in,0.340985in)--(2.81558in,0.331216in)-- + (2.82456in,0.321899in)--(2.83401in,0.313059in)-- + (2.84391in,0.30472in)--(2.85422in,0.296904in)--(2.86492in,0.289632in); 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+ label(omega1, P(2,-4), "$2\\omega_1$", b); + label(O2+omega1, P(2,4), "$2\\omega_1$", t); + + label(omega2, P(2,4), "$2\\omega_2$", t); + label(O2-omega2, P(2,-4), "$2\\omega_2$", b); + + label(polar(rad, 0.5*phi), polar(2, 0.5*phi), "$\\varphi$", tr); + label(O2+polar(rad, M_PI_2+0.5*phi), polar(2, M_PI_2+0.5*phi), "$\\varphi$", tl); + + dashed(); + dash_size(6); + line(omega1, omega1 + omega2); + line(omega2, omega1 + omega2); + + line(O2 + omega1, O2 + omega1 - omega2); + line(O2 - omega2, O2 + omega1 - omega2); + + tikz_format(); + end(); +} diff --git a/32643-t/images/sources/030a.eepic b/32643-t/images/sources/030a.eepic new file mode 100644 index 0000000..51fe07e --- /dev/null +++ b/32643-t/images/sources/030a.eepic @@ -0,0 +1,67 @@ +%% Generated from 030a.xp on Mon May 3 18:35:23 EDT 2010 by +%% ePiX-1.2.4 +%% +%% Cartesian bounding box: [0,6] x [0,3] +%% Actual size: 2.25 x 1in +%% Figure offset: left by 0in, down by 0in +%% +%% usepackages tikz +%% +\xdefinecolor{rgb_000000}{rgb}{0,0,0}% +\begin{tikzpicture} +\pgfsetlinewidth{0.4pt} +\useasboundingbox (0in,0in) rectangle (2.25in,1in); 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+\pgftext[at={\pgfpoint{0in}{-0.055348in}}] {\makebox(0,0)[t]{\hbox{\color{rgb_000000}$O'$}}} +\pgftext[at={\pgfpoint{0.6in}{-0.055348in}}] {\makebox(0,0)[t]{\hbox{\color{rgb_000000}$u$}}} +\pgftext[at={\pgfpoint{1.5in}{-0.055348in}}] {\makebox(0,0)[t]{\hbox{\color{rgb_000000}$A$}}} +\pgftext[at={\pgfpoint{0.75in}{1.05535in}}] {\makebox(0,0)[b]{\hbox{\color{rgb_000000}$B$}}} +\pgftext[at={\pgfpoint{1.35in}{1.05535in}}] {\makebox(0,0)[b]{\hbox{\color{rgb_000000}$u + 2\omega_2$}}} +\pgftext[at={\pgfpoint{2.25in}{1.05535in}}] {\makebox(0,0)[b]{\hbox{\color{rgb_000000}$C$}}} +\pgftext[at={\pgfpoint{0.243452in}{0.425132in}}] {\makebox(0,0)[r]{\hbox{\color{rgb_000000}$u$}}} +\pgftext[at={\pgfpoint{1.85655in}{0.374868in}}] {\makebox(0,0)[l]{\hbox{\color{rgb_000000}$u + 2\omega_1$}}} +\end{tikzpicture} diff --git a/32643-t/images/sources/030a.xp b/32643-t/images/sources/030a.xp new file mode 100644 index 0000000..127ecf0 --- /dev/null +++ b/32643-t/images/sources/030a.xp @@ -0,0 +1,43 @@ +/* -*-ePiX-*- */ +#include "epix.h" +using namespace ePiX; + +const P sz(6,3); +const P O(0,0); + +P om1(4,0), om2(2,3); + +int main() +{ + picture(P(0,0), sz, "2.25 x 1in"); + + begin(); + + const P dx(-2,-4); + + arrow_inset(0.25); + + arrow(O, om1); + arrow(O, om2); + line(om1, om1+om2); + line(om2, om1+om2); + + const double u(0.4); + dashed(); + line(u*om1, u*om1 + om2); + line(u*om2, u*om2 + om1); + + label(O, P(0,-4), "$O'$", b); + label(u*om1, P(0,-4), "$u$", b); + label(om1, P(0,-4), "$A$", b); + + label(om2, P(0, 4), "$B$", t); + label(u*om1 + om2, P(0,4), "$u + 2\\omega_2$", t); + label(om1 + om2, P(0,4), "$C$", t); + + label(u*om2, P(-4,2), "$u$", l); + label(u*om2 + om1, P(4,-2), "$u + 2\\omega_1$", r); + + tikz_format(); + end(); +} diff --git a/32643-t/images/sources/045a.eepic b/32643-t/images/sources/045a.eepic new file mode 100644 index 0000000..bd37b2a --- /dev/null +++ b/32643-t/images/sources/045a.eepic @@ -0,0 +1,32 @@ +%% Generated from 045a.xp on Mon May 31 22:20:00 EDT 2010 by +%% ePiX-1.2.4 +%% +%% Cartesian bounding box: [0,3.5] x [0,3] +%% Actual size: 1.05 x 0.9in +%% Figure offset: left by 0in, down by 0in +%% +%% usepackages tikz +%% +\xdefinecolor{rgb_000000}{rgb}{0,0,0}% +\begin{tikzpicture} +\pgfsetlinewidth{0.4pt} +\useasboundingbox (0in,0in) rectangle (1.05in,0.9in); +\draw (1.05in,0.9in)--(0.525in,0.825in)--(0in,0.75in); +\draw (0in,0.75in)--(0.225in,0.375in)--(0.45in,0in); +\draw (0.45in,0in)--(0.75in,0.45in)--(1.05in,0.9in); +\draw (0.824345in,0.979583in)--(0.194345in,0.889583in); +\pgfsetfillcolor{rgb_000000} +\draw [fill](0.279101in,0.901691in)--(0.304418in,0.926274in)-- + (0.194345in,0.889583in)--(0.310288in,0.885181in)--(0.279101in,0.901691in)--cycle; +\draw (-0.00492104in,0.543047in)--(0.265079in,0.0930474in); +\draw [fill](0.22103in,0.166463in)--(0.188549in,0.180256in)-- + (0.265079in,0.0930474in)--(0.224144in,0.201613in)--(0.22103in,0.166463in)--cycle; +\draw (0.662105in,0.118597in)--(1.0221in,0.658597in); +\draw [fill](0.974613in,0.58736in)--(0.976052in,0.552101in)-- + (1.0221in,0.658597in)--(0.941513in,0.575127in)--(0.974613in,0.58736in)--cycle; +\pgftext[at={\pgfpoint{1.10535in}{0.9in}}] {\makebox(0,0)[l]{\hbox{\color{rgb_000000}$e_1$}}} +\pgftext[at={\pgfpoint{-0.055348in}{0.75in}}] {\makebox(0,0)[r]{\hbox{\color{rgb_000000}$e_2$}}} +\pgftext[at={\pgfpoint{0.45in}{-0.055348in}}] {\makebox(0,0)[t]{\hbox{\color{rgb_000000}$e_3$}}} +\pgftext[at={\pgfpoint{0.505348in}{0.525in}}] {\makebox(0,0)[l]{\hbox{\color{rgb_000000}$z_0$}}} +\filldraw[color=rgb_000000] (0.45in,0.525in) circle(0.013837in); +\end{tikzpicture} diff --git a/32643-t/images/sources/045a.xp b/32643-t/images/sources/045a.xp new file mode 100644 index 0000000..f76c24b --- /dev/null +++ b/32643-t/images/sources/045a.xp @@ -0,0 +1,45 @@ +/* -*-ePiX-*- */ +#include "epix.h" +using namespace ePiX; + +const P sz(3.5,3); +const P O(0,0); +const double shrink(0.2); + +void sidearrow(const P& tail, const P& head) +{ + P tmp(head - tail); + tmp *= 1.0; + P shift(-pt_to_screen(8)/norm(tmp)*J(tmp)); + arrow(tail + shrink*tmp + shift, head - shrink*tmp + shift); +} + +int main() +{ + picture(P(0,0), sz, "1.05 x 0.9in"); + + begin(); + + P e3(1.5,0), e2(0,2.5), e1(sz); + + const P dx(-2,-4); + + arrow_inset(0.25); + + line(e1, e2); + line(e2, e3); + line(e3, e1); + + sidearrow(e1, e2); + sidearrow(e2, e3); + sidearrow(e3, e1); + + label(e1, P(4,0), "$e_1$", r); + label(e2, P(-4,0), "$e_2$", l); + label(e3, P(0,-4), "$e_3$", b); + + ddot(P(e3.x1(),1.75), P(4,0), "$z_0$", r); + + tikz_format(); + end(); +} diff --git a/32643-t/images/sources/045b.eepic b/32643-t/images/sources/045b.eepic new file mode 100644 index 0000000..2fd2fa7 --- /dev/null +++ b/32643-t/images/sources/045b.eepic @@ -0,0 +1,153 @@ +%% Generated from 045b.xp on Mon May 3 21:31:09 EDT 2010 by +%% ePiX-1.2.4 +%% +%% Cartesian bounding box: [0,1.5] x [0,2] +%% Actual size: 1.5 x 2in +%% Figure offset: left by 0in, down by 0in +%% +%% usepackages tikz +%% +\xdefinecolor{rgb_000000}{rgb}{0,0,0}% +\begin{tikzpicture} +\pgfsetlinewidth{0.4pt} +\useasboundingbox (0in,0in) rectangle (1.5in,2in); +\draw (0.5in,0.5in)--(0.527777in,0.6in)--(0.556318in,0.7in)-- + (0.585937in,0.8in)--(0.616948in,0.9in)--(0.649667in,1in)-- + (0.684409in,1.1in)--(0.721489in,1.2in)--(0.761225in,1.3in)-- + (0.803932in,1.4in)--(0.849929in,1.5in)--(0.899534in,1.6in)-- + (0.953065in,1.7in)--(1.01084in,1.8in)--(1.07318in,1.9in)-- + (1.14041in,2in)--(1.21284in,2.1in)--(1.2908in,2.2in)-- + (1.3746in,2.3in)--(1.46458in,2.4in)--(1.56106in,2.5in); +\draw (1in,0.5in)--(0.999315in,0.526168in)-- + (0.997261in,0.552264in)--(0.993844in,0.578217in)-- + (0.989074in,0.603956in)--(0.982963in,0.62941in)-- + (0.975528in,0.654508in)--(0.96679in,0.679184in)-- + (0.956773in,0.703368in)--(0.945503in,0.726995in)-- + (0.933013in,0.75in)--(0.919335in,0.77232in)-- + (0.904508in,0.793893in)--(0.888573in,0.81466in)-- + (0.871572in,0.834565in)--(0.853553in,0.853553in)-- + (0.834565in,0.871572in)--(0.81466in,0.888573in)-- + (0.793893in,0.904508in)--(0.77232in,0.919335in)-- + (0.75in,0.933013in)--(0.726995in,0.945503in)-- + (0.703368in,0.956773in)--(0.679184in,0.96679in)-- + (0.654508in,0.975528in)--(0.62941in,0.982963in)-- + (0.603956in,0.989074in)--(0.578217in,0.993844in)-- + (0.552264in,0.997261in)--(0.526168in,0.999315in)--(0.5in,1in)-- + (0.473832in,0.999315in)--(0.447736in,0.997261in)-- + (0.421783in,0.993844in)--(0.396044in,0.989074in)-- + (0.37059in,0.982963in)--(0.345492in,0.975528in)-- + (0.320816in,0.96679in)--(0.296632in,0.956773in)-- + (0.273005in,0.945503in)--(0.25in,0.933013in)-- + (0.22768in,0.919335in)--(0.206107in,0.904508in)-- + (0.18534in,0.888573in)--(0.165435in,0.871572in)-- + (0.146447in,0.853553in)--(0.128428in,0.834565in)-- + (0.111427in,0.81466in)--(0.0954915in,0.793893in)-- + (0.0806647in,0.77232in)--(0.0669873in,0.75in)-- + (0.0544967in,0.726995in)--(0.0432273in,0.703368in)-- + (0.0332098in,0.679184in)--(0.0244717in,0.654508in)-- + (0.0170371in,0.62941in)--(0.0109262in,0.603956in)-- + (0.00615583in,0.578217in)--(0.00273905in,0.552264in)-- + (0.000685233in,0.526168in)--(0in,0.5in)-- + (0.000685233in,0.473832in)--(0.00273905in,0.447736in)-- + (0.00615583in,0.421783in)--(0.0109262in,0.396044in)-- + (0.0170371in,0.37059in)--(0.0244717in,0.345492in)-- + (0.0332098in,0.320816in)--(0.0432273in,0.296632in)-- + (0.0544967in,0.273005in)--(0.0669873in,0.25in)-- + (0.0806647in,0.22768in)--(0.0954915in,0.206107in)-- + (0.111427in,0.18534in)--(0.128428in,0.165435in)-- + (0.146447in,0.146447in)--(0.165435in,0.128428in)-- + (0.18534in,0.111427in)--(0.206107in,0.0954915in)-- + (0.22768in,0.0806647in)--(0.25in,0.0669873in)-- + (0.273005in,0.0544967in)--(0.296632in,0.0432273in)-- + (0.320816in,0.0332098in)--(0.345492in,0.0244717in)-- + (0.37059in,0.0170371in)--(0.396044in,0.0109262in)-- + (0.421783in,0.00615583in)--(0.447736in,0.00273905in)-- + (0.473832in,0.000685233in)--(0.5in,0in)-- + (0.526168in,0.000685233in)--(0.552264in,0.00273905in)-- + (0.578217in,0.00615583in)--(0.603956in,0.0109262in)-- + (0.62941in,0.0170371in)--(0.654508in,0.0244717in)-- + (0.679184in,0.0332098in)--(0.703368in,0.0432273in)-- + (0.726995in,0.0544967in)--(0.75in,0.0669873in)-- + (0.77232in,0.0806647in)--(0.793893in,0.0954915in)-- + (0.81466in,0.111427in)--(0.834565in,0.128428in)-- + (0.853553in,0.146447in)--(0.871572in,0.165435in)-- + (0.888573in,0.18534in)--(0.904508in,0.206107in)-- + (0.919335in,0.22768in)--(0.933013in,0.25in)-- + (0.945503in,0.273005in)--(0.956773in,0.296632in)-- + (0.96679in,0.320816in)--(0.975528in,0.345492in)-- + (0.982963in,0.37059in)--(0.989074in,0.396044in)-- + (0.993844in,0.421783in)--(0.997261in,0.447736in)-- + (0.999315in,0.473832in)--(1in,0.5in)--cycle; +\pgftext[at={\pgfpoint{0.5in}{0.444652in}}] {\makebox(0,0)[t]{\hbox{\color{rgb_000000}$u_0$}}} +\filldraw[color=rgb_000000] (0.5in,0.5in) circle(0.0207555in); +\draw (0.883075in,0.95in)--(0.882732in,0.963084in)-- + (0.881705in,0.976132in)--(0.879997in,0.989109in)-- + (0.877612in,1.00198in)--(0.874556in,1.0147in)-- + (0.870839in,1.02725in)--(0.86647in,1.03959in)-- + (0.861461in,1.05168in)--(0.855826in,1.0635in)-- + (0.849581in,1.075in)--(0.842742in,1.08616in)-- + (0.835329in,1.09695in)--(0.827361in,1.10733in)-- + (0.818861in,1.11728in)--(0.809851in,1.12678in)-- + (0.800357in,1.13579in)--(0.790405in,1.14429in)-- + (0.780021in,1.15225in)--(0.769234in,1.15967in)-- + (0.758075in,1.16651in)--(0.746572in,1.17275in)-- + (0.734759in,1.17839in)--(0.722667in,1.1834in)-- + (0.710329in,1.18776in)--(0.697779in,1.19148in)-- + (0.685053in,1.19454in)--(0.672183in,1.19692in)-- + (0.659207in,1.19863in)--(0.646159in,1.19966in)-- + (0.633075in,1.2in)--(0.619991in,1.19966in)-- + (0.606943in,1.19863in)--(0.593966in,1.19692in)-- + (0.581097in,1.19454in)--(0.56837in,1.19148in)-- + (0.55582in,1.18776in)--(0.543483in,1.1834in)-- + (0.53139in,1.17839in)--(0.519577in,1.17275in)-- + (0.508075in,1.16651in)--(0.496915in,1.15967in)-- + (0.486128in,1.15225in)--(0.475745in,1.14429in)-- + (0.465792in,1.13579in)--(0.456298in,1.12678in)-- + (0.447288in,1.11728in)--(0.438788in,1.10733in)-- + (0.43082in,1.09695in)--(0.423407in,1.08616in)-- + (0.416568in,1.075in)--(0.410323in,1.0635in)-- + (0.404688in,1.05168in)--(0.39968in,1.03959in)-- + (0.395311in,1.02725in)--(0.391593in,1.0147in)-- + (0.388538in,1.00198in)--(0.386153in,0.989109in)-- + (0.384444in,0.976132in)--(0.383417in,0.963084in)-- + (0.383075in,0.95in)--(0.383417in,0.936916in)-- + (0.384444in,0.923868in)--(0.386153in,0.910891in)-- + (0.388538in,0.898022in)--(0.391593in,0.885295in)-- + (0.395311in,0.872746in)--(0.39968in,0.860408in)-- + (0.404688in,0.848316in)--(0.410323in,0.836502in)-- + (0.416568in,0.825in)--(0.423407in,0.81384in)-- + (0.43082in,0.803054in)--(0.438788in,0.79267in)-- + (0.447288in,0.782717in)--(0.456298in,0.773223in)-- + (0.465792in,0.764214in)--(0.475745in,0.755714in)-- + (0.486128in,0.747746in)--(0.496915in,0.740332in)-- + (0.508075in,0.733494in)--(0.519577in,0.727248in)-- + (0.53139in,0.721614in)--(0.543483in,0.716605in)-- + (0.55582in,0.712236in)--(0.56837in,0.708519in)-- + (0.581097in,0.705463in)--(0.593966in,0.703078in)-- + (0.606943in,0.70137in)--(0.619991in,0.700343in)-- + (0.633075in,0.7in)--(0.646159in,0.700343in)-- + (0.659207in,0.70137in)--(0.672183in,0.703078in)-- + (0.685053in,0.705463in)--(0.697779in,0.708519in)-- + (0.710329in,0.712236in)--(0.722667in,0.716605in)-- + (0.734759in,0.721614in)--(0.746572in,0.727248in)-- + (0.758075in,0.733494in)--(0.769234in,0.740332in)-- + (0.780021in,0.747746in)--(0.790405in,0.755714in)-- + (0.800357in,0.764214in)--(0.809851in,0.773223in)-- + (0.818861in,0.782717in)--(0.827361in,0.79267in)-- + (0.835329in,0.803054in)--(0.842742in,0.81384in)-- + (0.849581in,0.825in)--(0.855826in,0.836502in)-- + (0.861461in,0.848316in)--(0.86647in,0.860408in)-- + (0.870839in,0.872746in)--(0.874556in,0.885295in)-- + (0.877612in,0.898022in)--(0.879997in,0.910891in)-- + (0.881705in,0.923868in)--(0.882732in,0.936916in)--(0.883075in,0.95in)--cycle; +\pgftext[at={\pgfpoint{0.70226in}{0.908489in}}] {\makebox(0,0)[t]{\hbox{\color{rgb_000000}$u_0'$}}} +\filldraw[color=rgb_000000] (0.633075in,0.95in) circle(0.0207555in); +\draw (1.21284in,2.1in)--(1.22798in,2.12in); +\pgfsetfillcolor{rgb_000000} +\draw [fill](1.1763in,2.05174in)--(1.17563in,2.01645in)-- + (1.22798in,2.12in)--(1.14253in,2.04151in)--(1.1763in,2.05174in)--cycle; +\pgftext[at={\pgfpoint{1.24051in}{2.07233in}}] {\makebox(0,0)[tl]{\hbox{\color{rgb_000000}$u_1$}}} +\pgftext[at={\pgfpoint{1.58873in}{2.47233in}}] {\makebox(0,0)[tl]{\hbox{\color{rgb_000000}$u'$}}} +\filldraw[color=rgb_000000] (1.56106in,2.5in) circle(0.0207555in); +\pgftext[at={\pgfpoint{0.822255in}{1.52767in}}] {\makebox(0,0)[br]{\hbox{\color{rgb_000000}$L$}}} +\end{tikzpicture} diff --git a/32643-t/images/sources/045b.xp b/32643-t/images/sources/045b.xp new file mode 100644 index 0000000..f443434 --- /dev/null +++ b/32643-t/images/sources/045b.xp @@ -0,0 +1,41 @@ +/* -*-ePiX-*- */ +#include "epix.h" +using namespace ePiX; 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+\pgftext[at={\pgfpoint{1in}{1in}}] {\makebox(0,0)[c]{\hbox{\color{rgb_000000}\includegraphics[width=2in,height=2in]{048raw.eps}}}} +\pgftext[at={\pgfpoint{1.27767in}{1.44151in}}] {\makebox(0,0){\hbox{\color{rgb_000000}$e_1$}}} +\pgftext[at={\pgfpoint{0.277674in}{1.2in}}] {\makebox(0,0)[b]{\hbox{\color{rgb_000000}$e_2$}}} +\pgftext[at={\pgfpoint{0.627674in}{0.144652in}}] {\makebox(0,0){\hbox{\color{rgb_000000}$e_3$}}} +\pgftext[at={\pgfpoint{0.827674in}{0.622326in}}] {\makebox(0,0){\hbox{\color{rgb_000000}$z_0$}}} +\pgftext[at={\pgfpoint{1.87767in}{1.02233in}}] {\makebox(0,0){\hbox{\color{rgb_000000}$z'$}}} +\pgftext[at={\pgfpoint{1.3in}{0.822326in}}] {\makebox(0,0)[t]{\hbox{\color{rgb_000000}$L$}}} +\pgftext[at={\pgfpoint{0.827674in}{1.14465in}}] {\makebox(0,0)[l]{\hbox{\color{rgb_000000}$M$}}} +\pgftext[at={\pgfpoint{0.213837in}{1.53616in}}] {\makebox(0,0){\hbox{\color{rgb_000000}$N$}}} +\pgftext[at={\pgfpoint{1.6in}{1.65in}}] {\makebox(0,0)[c]{\hbox{\color{rgb_000000}$P$}}} +\end{tikzpicture} diff --git a/32643-t/images/sources/048a.png b/32643-t/images/sources/048a.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..485700a --- /dev/null +++ b/32643-t/images/sources/048a.png diff --git a/32643-t/images/sources/048a.xp b/32643-t/images/sources/048a.xp new file mode 100644 index 0000000..5b1b3d1 --- /dev/null +++ b/32643-t/images/sources/048a.xp @@ -0,0 +1,35 @@ +/* -*-ePiX-*- */ +#include "epix.h" +using namespace ePiX; 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+\draw (0in,0in)--(0.4in,1.2in); +\draw [fill](0.372926in,1.11878in)--(0.383591in,1.08514in)-- + (0.4in,1.2in)--(0.344211in,1.09827in)--(0.372926in,1.11878in)--cycle; +\draw (1.6in,0in)--(1.8in,0.6in)--(2in,1.2in); +\draw (0.4in,1.2in)--(1.2in,1.2in)--(2in,1.2in); +\pgftext[at={\pgfpoint{0in}{-0.055348in}}] {\makebox(0,0)[t]{\hbox{\color{rgb_000000}$O'$}}} +\pgftext[at={\pgfpoint{1.6in}{-0.055348in}}] {\makebox(0,0)[t]{\hbox{\color{rgb_000000}$A$}}} +\pgftext[at={\pgfpoint{0.4in}{1.25535in}}] {\makebox(0,0)[b]{\hbox{\color{rgb_000000}$B$}}} +\pgftext[at={\pgfpoint{2in}{1.25535in}}] {\makebox(0,0)[b]{\hbox{\color{rgb_000000}$C$}}} +\pgftext[at={\pgfpoint{0.64in}{-0.055348in}}] {\makebox(0,0)[t]{\hbox{\color{rgb_000000}$2\omega_1$}}} +\pgftext[at={\pgfpoint{0.104652in}{0.48in}}] {\makebox(0,0)[r]{\hbox{\color{rgb_000000}$2\omega_2$}}} +\end{tikzpicture} diff --git a/32643-t/images/sources/057a.xp b/32643-t/images/sources/057a.xp new file mode 100644 index 0000000..93700b6 --- /dev/null +++ b/32643-t/images/sources/057a.xp @@ -0,0 +1,36 @@ +/* -*-ePiX-*- */ +#include "epix.h" +using namespace ePiX; + +const P sz(5,3); +const P O(0,0); + +P om1(4,0), om2(1,3); + +int main() +{ + picture(P(0,0), sz, "2 x 1.2in"); + + begin(); + + double u(0.4); + + arrow_inset(0.25); + + arrow(O, om1); + arrow(O, om2); + line(om1, om1+om2); + line(om2, om1+om2); + + label(O, P(0,-4), "$O'$", b); + label(om1, P(0,-4), "$A$", b); + + label(om2, P(0, 4), "$B$", t); + label(om1 + om2, P(0,4), "$C$", t); + + label(u*om1, P(0,-4), "$2\\omega_1$", b); + label(u*om2, P(-4,0), "$2\\omega_2$", l); + + tikz_format(); + end(); +} diff --git a/32643-t/images/sources/087a.eepic b/32643-t/images/sources/087a.eepic new file mode 100644 index 0000000..a38a8df --- /dev/null +++ b/32643-t/images/sources/087a.eepic @@ -0,0 +1,35 @@ +%% Generated from 087a.xp on Mon May 3 22:19:24 EDT 2010 by +%% ePiX-1.2.4 +%% +%% Cartesian bounding box: [-5,5] x [-3,3] +%% Actual size: 2 x 1.2in +%% Figure offset: left by 0in, down by 0in +%% +%% usepackages tikz +%% +\xdefinecolor{rgb_000000}{rgb}{0,0,0}% +\begin{tikzpicture} +\pgfsetlinewidth{0.4pt} +\useasboundingbox (0in,0in) rectangle (2in,1.2in); +\draw (1in,0.6in)--(1.8in,0.6in); +\pgfsetfillcolor{rgb_000000} +\draw [fill](1.71438in,0.6in)--(1.68584in,0.579244in)-- + (1.8in,0.6in)--(1.68584in,0.620756in)--(1.71438in,0.6in)--cycle; +\draw (1in,0.6in)--(1.25in,1.2in); +\draw [fill](1.21707in,1.12097in)--(1.22525in,1.08664in)-- + (1.25in,1.2in)--(1.18694in,1.10261in)--(1.21707in,1.12097in)--cycle; +\draw (1in,0.6in)--(-0.05in,0in); +\draw [fill](0.0243359in,0.0424776in)--(0.0388169in,0.0746577in)-- + (-0.05in,0in)--(0.0594121in,0.038616in)--(0.0243359in,0.0424776in)--cycle; +\draw (1in,0.6in)--(1.525in,0.9in)--(2.05in,1.2in); +\draw (1.8in,0.6in)--(1.925in,0.9in)--(2.05in,1.2in); +\draw (1.25in,1.2in)--(1.65in,1.2in)--(2.05in,1.2in); +\draw (-0.05in,0in)--(0.075in,0.3in)--(0.2in,0.6in); +\draw (-0.05in,0in)--(0.35in,0in)--(0.75in,0in); +\draw (1.25in,1.2in)--(0.725in,0.9in)--(0.2in,0.6in); +\draw (1.8in,0.6in)--(1.275in,0.3in)--(0.75in,0in); +\pgftext[at={\pgfpoint{1.02767in}{0.544652in}}] {\makebox(0,0)[t]{\hbox{\color{rgb_000000}$O'$}}} +\pgftext[at={\pgfpoint{1.85535in}{0.572326in}}] {\makebox(0,0)[l]{\hbox{\color{rgb_000000}$2\omega_1$}}} +\pgftext[at={\pgfpoint{1.25in}{1.22767in}}] {\makebox(0,0)[b]{\hbox{\color{rgb_000000}$2\omega_2$}}} +\pgftext[at={\pgfpoint{-0.077674in}{0in}}] {\makebox(0,0)[r]{\hbox{\color{rgb_000000}$2\omega_3$}}} +\end{tikzpicture} diff --git a/32643-t/images/sources/087a.xp b/32643-t/images/sources/087a.xp new file mode 100644 index 0000000..c7e85b8 --- /dev/null +++ b/32643-t/images/sources/087a.xp @@ -0,0 +1,39 @@ +/* -*-ePiX-*- */ +#include "epix.h" +using namespace ePiX; + +const P sz(5,3); +const P O(0,0); + +P om1(4,0), om2(1.25,3), om3(-om1-om2); + +int main() +{ + picture(-sz, sz, "2 x 1.2in"); + + begin(); + + arrow_inset(0.25); + + arrow(O, om1); + arrow(O, om2); + arrow(O, om3); + + line(O, om1+om2); + line(om1, om1+om2); + line(om2, om1+om2); + + line(om3, -om1); + line(om3, -om2); + + line(om2, -om1); + line(om1, -om2); + + label(O, P(2,-4), "$O'$", b); + label(om1, P(4, -2), "$2\\omega_1$", r); + label(om2, P(0, 2), "$2\\omega_2$", t); + label(om3, P(-2,0), "$2\\omega_3$", l); + + tikz_format(); + end(); +} diff --git a/32643-t/images/sources/092a.eepic b/32643-t/images/sources/092a.eepic new file mode 100644 index 0000000..7443781 --- /dev/null +++ b/32643-t/images/sources/092a.eepic @@ -0,0 +1,157 @@ +%% Generated from 092a.xp on Mon May 31 22:25:35 EDT 2010 by +%% ePiX-1.2.4 +%% +%% Cartesian bounding box: [0,2] x [0,0.25] +%% Actual size: 2.4 x 0.3in +%% Figure offset: left by 0in, down by 0in +%% +%% usepackages tikz +%% +\xdefinecolor{rgb_000000}{rgb}{0,0,0}% +\begin{tikzpicture} +\pgfsetlinewidth{0.4pt} +\useasboundingbox (0in,0in) rectangle (2.4in,0.3in); +\draw (0in,0in)--(1.2in,0in)--(2.4in,0in); +\draw (1.5in,0in)--(1.4999in,0.00785308in)-- + (1.49959in,0.0157008in)--(1.49908in,0.0235377in)-- + (1.49836in,0.0313585in)--(1.49743in,0.0391579in)-- + (1.49631in,0.0469303in)--(1.49498in,0.0546707in)-- + (1.49344in,0.0623735in)--(1.49171in,0.0700336in)-- + (1.48978in,0.0776457in)--(1.48765in,0.0852046in)-- + (1.48532in,0.0927051in)--(1.48279in,0.100142in)-- + (1.48007in,0.10751in)--(1.47716in,0.114805in)-- + (1.47406in,0.122021in)--(1.47078in,0.129153in)-- + (1.4673in,0.136197in)--(1.46365in,0.143148in)--(1.45981in,0.15in)-- + (1.45579in,0.15675in)--(1.4516in,0.163392in)-- + (1.44724in,0.169922in)--(1.44271in,0.176336in)-- + (1.43801in,0.182628in)--(1.43314in,0.188796in)-- + (1.42812in,0.194834in)--(1.42294in,0.200739in)-- + (1.41761in,0.206506in)--(1.41213in,0.212132in)-- + (1.40651in,0.217612in)--(1.40074in,0.222943in)-- + (1.39483in,0.228122in)--(1.3888in,0.233144in)-- + (1.38263in,0.238006in)--(1.37634in,0.242705in)-- + (1.36992in,0.247238in)--(1.36339in,0.251601in)-- + (1.35675in,0.255792in)--(1.35in,0.259808in)-- + (1.34315in,0.263645in)--(1.3362in,0.267302in)-- + (1.32915in,0.270776in)--(1.32202in,0.274064in)-- + (1.31481in,0.277164in)--(1.30751in,0.280074in)-- + (1.30014in,0.282792in)--(1.29271in,0.285317in)-- + (1.2852in,0.287646in)--(1.27765in,0.289778in)-- + (1.27003in,0.291711in)--(1.26237in,0.293444in)-- + (1.25467in,0.294976in)--(1.24693in,0.296307in)-- + (1.23916in,0.297433in)--(1.23136in,0.298357in)-- + (1.22354in,0.299075in)--(1.2157in,0.299589in)-- + (1.20785in,0.299897in)--(1.2in,0.3in)--(1.19215in,0.299897in)-- + (1.1843in,0.299589in)--(1.17646in,0.299075in)-- + (1.16864in,0.298357in)--(1.16084in,0.297433in)-- + (1.15307in,0.296307in)--(1.14533in,0.294976in)-- + (1.13763in,0.293444in)--(1.12997in,0.291711in)-- + (1.12235in,0.289778in)--(1.1148in,0.287646in)-- + (1.10729in,0.285317in)--(1.09986in,0.282792in)-- + (1.09249in,0.280074in)--(1.08519in,0.277164in)-- + (1.07798in,0.274064in)--(1.07085in,0.270776in)-- + (1.0638in,0.267302in)--(1.05685in,0.263645in)-- + (1.05in,0.259808in)--(1.04325in,0.255792in)-- + (1.03661in,0.251601in)--(1.03008in,0.247238in)-- + (1.02366in,0.242705in)--(1.01737in,0.238006in)-- + (1.0112in,0.233144in)--(1.00517in,0.228122in)-- + (0.999261in,0.222943in)--(0.993494in,0.217612in)-- + (0.987868in,0.212132in)--(0.982388in,0.206506in)-- + (0.977057in,0.200739in)--(0.971878in,0.194834in)-- + (0.966856in,0.188796in)--(0.961994in,0.182628in)-- + (0.957295in,0.176336in)--(0.952762in,0.169922in)-- + (0.948399in,0.163392in)--(0.944208in,0.15675in)-- + (0.940192in,0.15in)--(0.936355in,0.143148in)-- + (0.932698in,0.136197in)--(0.929224in,0.129153in)-- + (0.925936in,0.122021in)--(0.922836in,0.114805in)-- + (0.919926in,0.10751in)--(0.917208in,0.100142in)-- + (0.914683in,0.0927051in)--(0.912354in,0.0852046in)-- + (0.910222in,0.0776457in)--(0.908289in,0.0700336in)-- + (0.906556in,0.0623735in)--(0.905024in,0.0546707in)-- + (0.903693in,0.0469303in)--(0.902567in,0.0391579in)-- + (0.901643in,0.0313585in)--(0.900925in,0.0235377in)-- + (0.900411in,0.0157008in)--(0.900103in,0.00785308in)--(0.9in,0in); +\draw (1.3995in,0.345544in)--(1.38114in,0.355512in)-- + (1.36229in,0.364505in)--(1.34299in,0.372499in)-- + (1.3233in,0.379472in)--(1.30327in,0.385404in)-- + (1.28296in,0.390281in)--(1.26242in,0.394088in)-- + (1.24171in,0.396814in)--(1.22088in,0.398453in)--(1.2in,0.399in)-- + (1.17912in,0.398453in)--(1.15829in,0.396814in)-- + (1.13758in,0.394088in)--(1.11704in,0.390281in)-- + (1.09673in,0.385404in)--(1.0767in,0.379472in)-- + (1.05701in,0.372499in)--(1.03771in,0.364505in)-- + (1.01886in,0.355512in)--(1.0005in,0.345544in)-- + (0.982689in,0.33463in)--(0.965474in,0.322798in)-- + (0.948901in,0.310081in)--(0.933017in,0.296515in)--(0.917864in,0.282136in); +\pgfsetfillcolor{rgb_000000} +\draw [fill](0.948916in,0.311603in)--(0.952123in,0.328953in)-- + (0.917864in,0.282136in)--(0.966411in,0.313897in)--(0.948916in,0.311603in)--cycle; +\pgftext[at={\pgfpoint{0in}{-0.055348in}}] {\makebox(0,0)[t]{\hbox{\color{rgb_000000}$O$}}} +\pgftext[at={\pgfpoint{1.5in}{-0.055348in}}] {\makebox(0,0)[t]{\hbox{\color{rgb_000000}$A$}}} +\pgftext[at={\pgfpoint{0.9in}{-0.055348in}}] {\makebox(0,0)[t]{\hbox{\color{rgb_000000}$B$}}} +\draw (1.2in,0in)--(1.30607in,0.106066in)--(1.41213in,0.212132in); 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+\pgftext[at={\pgfpoint{1.34378in}{0.0561985in}}] {\makebox(0,0)[l]{\hbox{\color{rgb_000000}\footnotesize $\varphi$}}} +\end{tikzpicture} diff --git a/32643-t/images/sources/092a.xp b/32643-t/images/sources/092a.xp new file mode 100644 index 0000000..6d5dfd3 --- /dev/null +++ b/32643-t/images/sources/092a.xp @@ -0,0 +1,38 @@ +/* -*-ePiX-*- */ +#include "epix.h" +using namespace ePiX; + +const P sz(2,0.25); +const P O(0,0); + +int main() +{ + picture(P(0,0), sz, "2.4 x 0.3in"); + + begin(); + + double rad(0.25), phi(M_PI_4); + P ctr(1), A(ctr + P(rad)), B(ctr - P(rad)), X(ctr + polar(rad, phi)); + + arrow_inset(0.25); + arrow_width(1.5); + + line(O, P(xmax())); + arc(ctr, rad, 0, M_PI); + arc_arrow(ctr, 1.33*rad, M_PI/3, 3*M_PI/4); + + label(O, P(0,-4), "$O$", b); + label(A, P(0,-4), "$A$", b); + label(B, P(0,-4), "$B$", b); + + line(ctr, X); + label(X, P(2,2), "$x$", tr); + label(0.5*(O+B), P(0,2), "$\\frac{1}{k}$", t); + label(ctr, P(-2,2), "$1$", t); + + font_size("footnotesize"); + arc_measure(ctr, E_1, cis(phi), P(3,1), "$\\varphi$", r); 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You may copy it, give it away or % +% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included % +% with this eBook or online at www.gutenberg.org % +% % +% % +% Title: Abrg de la Thorie des Fonctions Elliptiques % +% A l'Usage des Candidats a la Licence s Sciences Mathmatiques % +% % +% Author: Charles Henry % +% % +% Release Date: June 1, 2010 [EBook #32643] % +% % +% Language: French % +% % +% Character set encoding: ISO-8859-1 % +% % +% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK FONCTIONS ELLIPTIQUES *** % +% % +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % + +\def\ebook{32643} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%% %% +%% Packages and substitutions: %% +%% %% +%% book: Required. %% +%% inputenc: Standard DP encoding. Required. %% +%% fontenc: For boldface small-caps. Required. %% +%% babel: For Greek snippets. Required. %% +%% %% +%% calc: Infix arithmetic. 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Required. %% +%% %% +%% %% +%% Producer's Comments: %% +%% %% +%% Minor spelling and punctuation corrections are marked with %% +%% \DPtypo{original}{corrected}. Other changes are [** TN: noted] %% +%% in the file. %% +%% %% +%% %% +%% Compilation Flags: %% +%% %% +%% The following behavior may be controlled with a boolean flag. %% +%% %% +%% ForPrinting (false by default): %% +%% Compile a print-optimized PDF file. Set to false for screen- %% +%% optimized file (pages cropped, one-sided, blue hyperlinks). %% +%% %% +%% %% +%% Things to Check: %% +%% %% +%% Spellcheck: .................................. OK %% +%% Smoothreading pool: ......................... yes %% +%% %% +%% lacheck: ..................................... 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THREE times %% +%% %% +%% pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6) %% +%% %% +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\listfiles +\documentclass[12pt,leqno]{book}[2005/09/16] + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PACKAGES %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\usepackage[latin1]{inputenc}[2006/05/05] %% DP standard encoding +\usepackage[T1]{fontenc}[2005/09/27] + +\usepackage[french]{babel} % the language + +\usepackage{calc}[2005/08/06] + +\IfFileExists{textcomp.sty}{% %% For ditto marks +\usepackage{textcomp}[2005/09/27]% +}{} + + +\usepackage{ifthen}[2001/05/26] %% Logical conditionals + +\usepackage{amsmath}[2000/07/18] %% Displayed equations +\usepackage{amssymb}[2002/01/22] %% and additional symbols + +\IfFileExists{mathrsfs.sty}{% + \usepackage{mathrsfs} + \newcommand{\R}{\mathscr{R}}% +}{% else + \newcommand{\R}{\mathcal{R}}% +} + +\usepackage{alltt}[1997/06/16] %% boilerplate, credits, license + +\usepackage{array}[2005/08/23] %% extended array/tabular features + +\IfFileExists{indentfirst.sty}{% +\usepackage{indentfirst}[1995/11/23] +}{} +\usepackage{textcase}[2004/10/07] + + %% extended footnote capabilities +\usepackage[perpage]{footmisc}[2005/03/17] + +\usepackage{graphicx}[1999/02/16]%% For a diagram, +\usepackage{wrapfig}[2003/01/31] %% wrapping text around it, + +% for running heads; no package date available +\usepackage{fancyhdr} +\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%%%% Conditional compilation switches %%%% +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%%%% Set up PRINTING (default) or SCREEN VIEWING %%%% +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +% ForPrinting=true (default) false +% Letterpaper Cropped pages +% Asymmetric margins Symmetric margins +% Black hyperlinks Blue hyperlinks +\newboolean{ForPrinting} + +%% COMMENT the next line for a SCREEN-OPTIMIZED VERSION of the text %% +%\setboolean{ForPrinting}{true} + +%% Initialize values to ForPrinting=false +\newcommand{\Margins}{hmarginratio=1:1} % Symmetric margins +\newcommand{\HLinkColor}{blue} % Hyperlink color +\newcommand{\PDFPageLayout}{SinglePage} +\newcommand{\TransNote}{Notes sur la transcription} +\newcommand{\TransNoteText}{% + Ce livre a t prpar l'aide d'images fournies par la Cornell + University Library: Historical Mathematics Monographs collection. + \bigskip + + Ce fichier est optimis pour tre lu sur un cran, mais peut tre + aisment reformat pour tre imprim. Veuillez consulter le + prambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions. +} + +%% Re-set if ForPrinting=true +\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{% + \renewcommand{\Margins}{hmarginratio=2:3} % Asymmetric margins + \renewcommand{\HLinkColor}{black} % Hyperlink color + \renewcommand{\PDFPageLayout}{TwoPageRight} + \renewcommand{\TransNoteText}{% + Ce livre a t prpar l'aide d'images fournies par la Cornell + University Library: Historical Mathematics Monographs collection. + \bigskip + + Ce fichier est optimise pour imprimer, mais peut tre aisment + reformater pour tre lu sur un cran. Veuillez consulter le + prambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions. + } +}{% If ForPrinting=false, don't skip to recto + \renewcommand{\cleardoublepage}{\clearpage} +} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%%%% End of PRINTING/SCREEN VIEWING code; back to packages %%%% +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + + +\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{% + \setlength{\paperwidth}{8.5in}% + \setlength{\paperheight}{11in}% + \usepackage[body={5in,6.66in},\Margins]{geometry}[2002/07/08] +}{% + \setlength{\paperwidth}{5.25in}% + \setlength{\paperheight}{8in}% + \raggedbottom + \usepackage[body={5in,6.66in},\Margins,includeheadfoot]{geometry}[2002/07/08] +} + +\providecommand{\ebook}{00000} % Overridden during white-washing +\usepackage[pdftex, + hyperfootnotes=false, + pdftitle={The Project Gutenberg eBook \#\ebook: Abrege de la Theorie des Fonctions Elliptiques}, + pdfauthor={Charles Henry}, + pdfkeywords={Andrew D. Hwang, Joshua Hutchinson, + Project Gutenberg Online Distributed Proofreading Team, + Cornell University Library: Historical Mathematics Monographs}, + pdfstartview=Fit, % default value + pdfstartpage=1, % default value + pdfpagemode=UseNone, % default value + bookmarks=true, % default value + linktocpage=false, % default value + pdfpagelayout=\PDFPageLayout, + pdfdisplaydoctitle, + pdfpagelabels=true, + bookmarksopen=true, + bookmarksopenlevel=0, + colorlinks=true, + linkcolor=\HLinkColor]{hyperref}[2007/02/07] + +%%%% Re-crop, squash screen-formatted version, omit blank verso pages +\ifthenelse{\not\boolean{ForPrinting}}{% + \hypersetup{pdfpagescrop= 0 30 378 566}% + \raggedbottom% + \renewcommand{\cleardoublepage}{\clearpage} +}{}% Else do nothing + + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% COMMANDS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +%%%% Fixed-width environment to format PG boilerplate %%%% +% 9.2pt leaves no overfull hbox at 80 char line width +\newenvironment{PGtext}{% +\begin{alltt} +\fontsize{9.2}{10.5}\ttfamily\selectfont}% +{\end{alltt}} + + +%% Surround footnote markers with upright parentheses +\makeatletter +\renewcommand\@makefnmark% + {\mbox{\small\,\upshape(\@textsuperscript{\normalfont\@thefnmark})}} + +\renewcommand\@makefntext[1]% + {\noindent\makebox[2.4em][r]{\@makefnmark\,}#1} +\makeatother + + +%%%% Table of contents %%%% +\newcommand{\TableofContents}{% + \cleardoublepage + \phantomsection + \pdfbookmark[-1]{Matire Subsidiaire}{Matire Subsidiaire} + \pdfbookmark[0]{Table des Matires}{Contents} + \fancyhead[C]{\CtrHeading{Table des Matires}} + \footnotesize + \tableofcontents +} + +\newcommand{\ToCAnchor}{}% Used for internal bookkeeping +\AtBeginDocument{% + \renewcommand{\contentsname}{\protect\ChapterHead{TABLE DES MATIRES}} +} + +\newcommand{\ToCPart}[2]{% + \section*{\normalfont\centering\small\MakeTextUppercase{#1}} +%[** TN: Regularize dots following Part subtitles] + \subsection*{\normalfont\centering\footnotesize\bfseries #2.} +} + +\newlength{\ToCLen} +\newcommand{\ToCLine}[2]{% + \settowidth{\TmpLen}{999}% + \settowidth{\ToCLen}{\textsc{Chapitre }VII.\ ---\ 999}% + \noindent\parbox[b]{\linewidth - \TmpLen}{% + \hangindent \ToCLen #2\dotfill}\hfill\pageref{#1}\medskip% +} + +\newcommand{\ToCBox}[1]{% + \ifthenelse{\equal{#1}{I}}{% + \textsc{Chapitre }\PadTxt[l]{VII.}{#1.}\ ---\ % + }{% + \PadTxt{\textsc{Chapitre }}{---}\PadTxt[l]{VII.}{#1.}\ ---\ % + }% +} + +% Ensure the word "page" is printed at the top of the +% page number column in the ToC. +% +% A \ToCLine puts down a label and gets the \pageref. If this has +% changed, the column heading is written and the +% \ToCAnchor command is updated. +\newcommand{\ToCChap}[2]{% + \label{toc:#1}% + \ifthenelse{\not\equal{\pageref{toc:#1}}{\ToCAnchor}}{% + \renewcommand{\ToCAnchor}{\pageref{toc:#1}}% + \noindent\makebox[\linewidth][c]{% + \null\hfill\PadTxt[r]{99999}{\textsc{\footnotesize Pages}}}\\% + }{}% +% + \ToCLine{#1}{#2.}%[** TN: Regularize dots following chapter titles] +} + + +% Part heading +\newcommand{\PartPage}[2]{% + \setlength{\TmpLen}{24pt}% + \null\vfill\vfill + \begin{center} + \normalsize #1 \\[\TmpLen] + \tb[1in] \\[2\TmpLen] + \LARGE #2 + \end{center} + \vfill\vfill\vfill + \cleardoublepage +} + +%% Running heads +\newcommand{\CtrHeading}[1]{% + {\footnotesize\scshape\MakeTextUppercase{#1}}% +} + +\newcommand{\SetPageNumbers}{% + \ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{% + \fancyhead[RO,LE]{\thepage}% End of ForPrinting + }{% + \fancyhead[R]{\thepage}% + }% +} + +% Sectioning: Chapter, Preface, Section, Article +\newcommand{\ChapterHead}[1]{% + \centering\normalfont\upshape\Large#1% +} + + +\newcounter{PartNo} + +% \Part[Running Head]{N}{Title} +\newcommand{\Part}[3][]{% + \cleardoublepage + \pagestyle{empty} + \phantomsection% + \pdfbookmark[-1]{#2.}{#2}% + \refstepcounter{PartNo}% + \label{part:\thePartNo}% + \ifthenelse{\equal{#1}{}}{% + \addtocontents{toc}{\protect\ToCPart{#2}{#3}}% + }{% + \addtocontents{toc}{\protect\ToCPart{#2}{#1}}% + } + + \PartPage{\MakeTextUppercase{#2}}{\MakeTextUppercase{#3}} + + \pagestyle{fancy} + \setlength{\headheight}{14.5pt} + \fancyhead[CO]{} + + \ifthenelse{\equal{#1}{}}{% + \fancyhead[CE]{\CtrHeading{#3}} + }{% + \fancyhead[CE]{\CtrHeading{#1}} + } + % Odd-page corner marks set in \Chapter + \ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{% + \fancyhead[RO,LE]{\thepage} + }{% End of ForPrinting + \fancyhead[R]{\thepage} + } +} + +% \Chapter{N}{Title} -- for numbered chapters +\newcommand{\Chapter}[3][]{% + \clearpage + + \section*{\ChapterHead{CHAPITRE #2}} +%[** TN: Regularize dots following Chapter subtitles] + \subsection*{\centering\normalfont\bfseries\scshape\MakeLowercase{#3}.} + + \phantomsection\pdfbookmark[0]{Chapitre #2}{Chap \thePartNo.#2}% + \label{chap.\thePartNo.#2} + \ifthenelse{\equal{#1}{}}{% + \addtocontents{toc}{\protect\ToCChap{chap.\thePartNo.#2}{\protect\ToCBox{#2}#3}}% + }{% + \addtocontents{toc}{\protect\ToCChap{chap.\thePartNo.#2}{\protect\ToCBox{#2}#1}}% + } + \thispagestyle{empty} + \fancyhead[CO]{\CtrHeading{CHAPITRE #2}} +} + +% Preface +\newcommand{\Preface}{% + \cleardoublepage% + + % Running heads + \setlength{\headheight}{14.5pt} + + \pagestyle{fancy} + \fancyhf{} + + % page formatting + \section*{\ChapterHead{AVANT-PROPOS}} + + \ctb %[** Centered rule] + + % Bookmark; No ToC entry + \phantomsection\pdfbookmark[0]{Avant-Propos}{Avant-Propos}% + \label{preface} + \addtocontents{toc}{\protect\ToCChap{preface}{\protect\textsc{Avant-propos}}} + + \fancyhead[C]{\CtrHeading{Avant-Propos}} + \thispagestyle{empty} + \SetPageNumbers +} + +\newcommand{\Additions}{% + \clearpage + + \section*{\ChapterHead{ADDITIONS}} + + \phantomsection\pdfbookmark[0]{Additions}{Chap \thePartNo.add}% + \label{appendix} + \addtocontents{toc}{\protect\ToCChap{appendix}{\protect\textsc{Additions}}} + + \thispagestyle{empty} + \fancyhead[C]{\CtrHeading{Additions}} +} + +\newcommand{\Paragraph}[3][\textit]{% + \medskip\par% + \phantomsection\pdfbookmark[1]{No. #2}{No. #2}\textbf{#2}\ #1{#3}% +} +\newcommand{\Subparagraph}[1]{\medskip\par\textit{#1}} +\newenvironment{Theorem}[1]{% + \Paragraph[\textsc]{#1}{Thorme.}\itshape}{\normalfont} + + +% Misc. semantic and convenience macros +\DeclareInputText{176}{\ifmmode{{}^\circ}\else\textdegree\fi} +\DeclareInputText{183}{\ifmmode\cdot\else{\ \textperiodcentered\ }\fi} + +\DeclareMathSizes{12}{12}{9}{8} +%[**** Boldface?] +\DeclareMathSymbol{A}{\mathalpha}{operators}{`A} +\DeclareMathSymbol{B}{\mathalpha}{operators}{`B} +\DeclareMathSymbol{C}{\mathalpha}{operators}{`C} +\DeclareMathSymbol{D}{\mathalpha}{operators}{`D} +\DeclareMathSymbol{E}{\mathalpha}{operators}{`E} +\DeclareMathSymbol{F}{\mathalpha}{operators}{`F} +\DeclareMathSymbol{G}{\mathalpha}{operators}{`G} +\DeclareMathSymbol{H}{\mathalpha}{operators}{`H} +\DeclareMathSymbol{I}{\mathalpha}{operators}{`I} +\DeclareMathSymbol{J}{\mathalpha}{operators}{`J} +\DeclareMathSymbol{K}{\mathalpha}{operators}{`K} +\DeclareMathSymbol{L}{\mathalpha}{operators}{`L} +\DeclareMathSymbol{M}{\mathalpha}{operators}{`M} +\DeclareMathSymbol{N}{\mathalpha}{operators}{`N} +\DeclareMathSymbol{O}{\mathalpha}{operators}{`O} +\DeclareMathSymbol{P}{\mathalpha}{operators}{`P} +\DeclareMathSymbol{Q}{\mathalpha}{operators}{`Q} +\DeclareMathSymbol{R}{\mathalpha}{operators}{`R} +\DeclareMathSymbol{S}{\mathalpha}{operators}{`S} +\DeclareMathSymbol{T}{\mathalpha}{operators}{`T} +\DeclareMathSymbol{U}{\mathalpha}{operators}{`U} +\DeclareMathSymbol{V}{\mathalpha}{operators}{`V} +\DeclareMathSymbol{W}{\mathalpha}{operators}{`W} +\DeclareMathSymbol{X}{\mathalpha}{operators}{`X} +\DeclareMathSymbol{Y}{\mathalpha}{operators}{`Y} +\DeclareMathSymbol{Z}{\mathalpha}{operators}{`Z} + +\DeclareMathOperator{\sn}{sn} +\DeclareMathOperator{\dn}{dn} +\DeclareMathOperator{\cn}{cn} +\DeclareMathOperator{\Mod}{mod.} %**** Some instances need periods + +%% Book's notation for hyperbolic trig functions +\DeclareMathOperator{\Cosh}{cos\,h} +\DeclareMathOperator{\Tanh}{tang\,h} + +\newcommand{\tb}[1][1in]{\rule{#1}{0.5pt}} +\newcommand{\ctb}[1][1in]{\vfill\begin{center}\tb[#1]\end{center}\vfill} + +\newcommand{\Ditto}{\text{}} + +\renewcommand{\ieme}{\textsuperscript{\textit{ime}}} +\newcommand{\wpbar}{\overline{\wp}} +\newcommand{\cqfd}{c.\,q.\,f.\,d.} +\newcommand{\cinqo}{\FrenchEnumerate5} +\newcommand{\sexto}{\FrenchEnumerate6} + +\newcommand{\Ord}[2]{#1\textsuperscript{#2}} + +\newcommand{\Tag}[1]{\tag*{\ensuremath#1}} +\newcommand{\Eqref}[1]{\ensuremath{#1}} + +\newcommand{\DPtypo}[2]{#2}%[** TN: For corrections] + +% For alignment; \PadTxt[a]{Size}{Text} sets Text in a box as +% wide as Size, with optional alignment (a = c, l, or r). +\newlength{\TmpLen} +\newcommand{\PadTxt}[3][c]{% + \settowidth{\TmpLen}{#2}% + \makebox[\TmpLen][#1]{#3}% +} + +\newcommand{\Input}[2][4in]{% + \includegraphics[width=#1]{./images/#2.pdf}% +} + +% Loosen overall spacing +\newcommand{\stretchyspace}{\spaceskip0.25em plus 0.375em minus 0.125em} +\newcommand{\titlestretch}{\spaceskip0.75em plus 0.5em minus 0.25em} + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% START OF DOCUMENT %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\begin{document} + +\pagestyle{empty} +\pagenumbering{alph} +\phantomsection +\pdfbookmark[-1]{Matire Prliminaire}{Front Matter} + +%%%% PG BOILERPLATE %%%% +\phantomsection +\pdfbookmark[0]{PG Boilerplate}{Project Gutenberg Boilerplate} + +\begin{center} +\begin{minipage}{\textwidth} +\small +\begin{PGtext} +The Project Gutenberg EBook of Abrg de la Thorie des Fonctions +Elliptiques, by Charles Henry + +This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with +almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or +re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included +with this eBook or online at www.gutenberg.org + + +Title: Abrg de la Thorie des Fonctions Elliptiques + A l'Usage des Candidats a la Licence s Sciences Mathmatiques + +Author: Charles Henry + +Release Date: June 1, 2010 [EBook #32643] + +Language: French + +Character set encoding: ISO-8859-1 + +*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK FONCTIONS ELLIPTIQUES *** +\end{PGtext} +\end{minipage} +\end{center} + +\clearpage + + +%%%% Credits and transcriber's note %%%% +\begin{center} +\begin{minipage}{\textwidth} +\begin{PGtext} +Produced by Andrew D. Hwang, Joshua Hutchinson, and the +Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net +(This file was produced from images from the Cornell +University Library: Historical Mathematics Monographs +collection.) +\end{PGtext} +\end{minipage} +\end{center} +\vfill + +\begin{minipage}{0.85\textwidth} +\small +\pdfbookmark[0]{Notes sur la transcription}{Notes sur la transcription} +\subsection*{\centering\normalfont\scshape% +\normalsize\MakeLowercase{\TransNote}}% + +\raggedright +\TransNoteText +\end{minipage} + + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FRONT MATTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\frontmatter + +\pagenumbering{roman} +\pagestyle{empty} + +%% -----File: 001.png---Folio xx------- + +\iffalse +Production Note + +Cornell University Library +produced this volume to replace +the irreparably deteriorated +original. It was scanned using +Xerox software and equipment at +600 dots per inch resolution +and compressed prior to storage +using CCITT Group 4 +compression. The digital data +were used to create Cornell's +replacement volume on paper +that meets the ANSI Standard +Z39.48-1984. The production of +this volume was supported in +part by the Commission on +Preservation and Access and the +Xerox Corporation. 1990. +\fi + +%% -----File: 002.png---Folio xx------- +% [Blank Page] +%% -----File: 003.png---Folio xx------- + +\iffalse +Cornell University Library + +BOUGHT WITH THE INCOME +FROM THE + +SAGE ENDOWMENT FUND + +THE GIFT OF + +Henry W. Sage + +1891 +\fi + +%% -----File: 004.png---Folio xx------- +% [Blank Page] +%% -----File: 005.png---Folio xx------- + +\setlength{\TmpLen}{24pt}% + +\null\vfil\vfil +\begin{center} +\Large ABRG \\[\TmpLen] +\scriptsize DE LA \\[\TmpLen] +\makebox[0pt][c]{\Large THORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES} +\end{center} +\vfil\vfil\vfil +\cleardoublepage + +%% -----File: 006.png---Folio xx------- +% [Blank Page] +%% -----File: 007.png---Folio xx------- +% Title page +\setlength{\TmpLen}{20pt}% + +{\titlestretch% +\begin{center} +\Large \textbf{ABRG} \\[\TmpLen] +\normalsize DE LA THORIE \\[\TmpLen] +\scriptsize DES \\[\TmpLen] +\makebox[0pt][c]{\Huge \textbf{FONCTIONS ELLIPTIQUES}} \\[\TmpLen] +\footnotesize% +A L'USAGE DES CANDIDATS \\ +A LA LICENCE S SCIENCES MATHMATIQUES \\[\TmpLen] +\scriptsize PAR \\[\TmpLen] +\textbf{\footnotesize\scshape Charles HENRY} \\[0.5\TmpLen] +Matre de Confrences a l'Ecole pratique des hautes tudes \\ +Bibliothcaire la Sorbonne \\ +Membre de la Socit mathmatique de France \\ +\vspace*{2\TmpLen} +\tb + +\vspace*{3\TmpLen} +\Large PARIS + +\normalsize LIBRAIRIE NONY \& C\textsuperscript{ie} + +17, {\scriptsize RUE DES COLES}, 17 + +1895 +\end{center}} +\cleardoublepage + +%% -----File: 008.png---Folio xx------- +% [Blank Page] +%% -----File: 009.png---Folio 5------- + +\stretchyspace% + +\Preface + +En lisant la dernire dition du \textit{Cours d'analyse} de +M.~Camille Jordan, j'ai t frapp de la faon magistrale +dont y est expose la thorie des fonctions elliptiques. Afin +de mieux m'assimiler cette partie importante d'un ouvrage +o tout est mditer, j'en ai fait mon usage un abrg o +je ne me suis pas interdit de faire entrer par ci par l des +souvenirs d'autres lectures et aussi quelques ides personnelles. +Ce travail achev, il m'a sembl que d'autres que +moi pourraient en tirer profit; de l ce petit livre, o, ne +cherchant pas dissimuler la source laquelle j'ai si largement +puis, j'ai conserv toutes les notations qu'a employes +M.~Jordan. + +L'tudiant qui pour la premire fois ouvre un trait des +fonctions elliptiques est souvent rebut par la multiplicit +des formules et l'abondance des calculs, dont il n'aperoit +pas toujours le but. Mettre en relief les ides principales, +signaler nettement l'objet qu'on se propose, viter les +longues transformations algbriques qui ne servent qu' le +masquer, telle est la pense qui a prsid la composition +de cet opuscule d'ailleurs purement didactique. + +Pour en allger le plus possible le contenu, je n'ai pas +%% -----File: 010.png---Folio 6------- +hsit sacrifier certains dveloppements de la thorie, +intressants mais non indispensables pour la faire comprendre. +Mon dsir est d'tre lu non seulement avec fruit, +mais sans fatigue, par les candidats la licence s sciences +mathmatiques, qui je m'adresse plus particulirement. + +\null\hfill +\Ord{1}{er}~Octobre 1894.\qquad + +\vfil +\ctb +\vfil\vfil +\clearpage + +%% -----File: 011.png---Folio 7------- + +\mainmatter + +\Part[Gnralits sur les fonctions elliptiques]% +{Premire Partie}{Gnralits\break\normalsize +concernant les fonctions elliptiques} + +%% -----File: 012.png---Folio 8------- +% [Blank Page] +%% -----File: 013.png---Folio 9------- + + +\Chapter{I}{Des priodes} + +Dans tout ce qui suit, nous supposons connus les principes +de la thorie des fonctions d'une variable complexe, +principes dont nous aurons soin, d'ailleurs, de rappeler +l'nonc d'une manire suffisamment nette chaque fois que +le besoin s'en fera sentir. + +\Paragraph{1.}{Dfinitions.} --- On dit qu'une fonction~$f(u)$ est \emph{priodique} +et admet la priode~$2\omega$, si elle satisfait la relation +\[ +f(u + 2\omega) = f(u). +\] + +On peut se demander s'il existe des fonctions admettant +un nombre \emph{quelconque} de priodes. Nous allons voir qu'une +fonction \emph{analytique uniforme} ne peut admettre plus de \emph{deux} +priodes \emph{distinctes}. De l l'intrt qui s'attache l'tude des +fonctions doublement priodiques. + +Nous appelons \textsc{fonction elliptique} \emph{toute fonction analytique +uniforme doublement priodique, n'ayant pas d'autres +singularits que des ples}. + +Une fonction elliptique~$f(u)$ n'a donc, dans le plan de la +variable complexe~$u$, aucun point essentiel distance finie +de l'origine. + +Expliquons le terme de \emph{priodes distinctes} dont nous venons +de nous servir. Si $f(u)$~admet plusieurs priodes $2\omega, 2\omega', \dotsc$, +%% -----File: 014.png---Folio 10------- +elle admet videmment pour priode toute quantit +\[ +2m\omega + 2m'\omega' + \dotsb, +\] +o $m, m', \dotsc$ sont des entiers quelconques, positifs ou ngatifs. + +Si toutes ces quantits sont diffrentes, on dit que les priodes +$2\omega, 2\omega', \dotsc$ sont \emph{distinctes}. Quand les priodes ne +sont pas distinctes, il existe entre elles une relation linaire +et homogne coefficients entiers, puisque pour deux systmes +au moins de valeurs $m_{1}, m'_{1}, \dotsc$; $m_{2}, m'_{2}, \dotsc$ attribues +aux entiers $m, m', \dotsc$, on doit, par hypothse, avoir +\[ + 2m_{1}\omega + 2m'_{1}\omega'+ \dotsb += 2m_{2}\omega + 2m'_{2}\omega'+ \dotsb. +\] + + +\begin{Theorem}{2.} --- Une fonction analytique uniforme ne peut +avoir plus de deux priodes distinctes, moins de se rduire +une constante. +\end{Theorem} + +Supposons que la fonction~$f(u)$ ait trois priodes distinctes +\[ +2\omega = \alpha + \beta i, \qquad +2\omega' = \alpha' + \beta' i, \qquad +2\omega''= \alpha'' + \beta''i. +\] + +Toute quantit +\begin{align*} +\Omega + &= 2m\omega + 2m'\omega' + 2m''\omega'' \\ + &= m\alpha + m'\alpha' + m''\alpha'' + (m\beta + m'\beta' + m''\beta'')i +\end{align*} +est une priode de~$f(u)$. + +Figurons, dans le plan de la variable complexe~$u$, le +point dont l'affixe est~$\Omega$. Ce point a pour abscisse +$m\alpha + m'\alpha' + m''\alpha''$ et pour ordonne $m\beta + m'\beta' + m''\beta''$. + +En donnant chacun des entiers $m, m', m''$ la suite des +valeurs $0, 1, \dotsc, k$, on obtient videmment $(k+1)^{3}$ +priodes~$\Omega$. Chacun des %[Illustration] +\begin{wrapfigure}{l}{2.25in}%[** TN: Width-dependent break] + \Input[2.25in]{015a} +\end{wrapfigure} +points correspondants a une abscisse +et une ordonne moindres en valeur absolue que +\[ +kM + kM + kM = 3kM, +\] +$M$~tant une limite suprieure des six quantits $\alpha, \alpha', \alpha''$, +$\beta, \beta', \beta''$. +%% -----File: 015.png---Folio 11------- + +Les $(k+1)^3$ points~$\Omega$ sont donc tous compris l'intrieur +d'un carr dont le centre est l'origine et dont les +cts, parallles aux axes, ont pour longueur~$6kM$\@. + +Donnons ~$k$ la valeur~$n^2-1$. Les points~$\Omega$ sont au +nombre de~$n^6$. Ils sont tous +contenus dans un carr de +ct~$6(n^2-1)M$\@. On peut, +par des parallles aux axes, +diviser ce carr en $n^6$ autres +de ct~$\dfrac{6(n^2-1)M}{n^3}$. + +Cela pos, si les priodes +sont distinctes, les $n^6$~points +$\Omega$ le sont aussi. Ds lors ou +bien deux d'entre eux, au +moins, tombent dans une mme case; ou bien il n'y a +qu'un point par case, mais alors toutes les cases sont occupes. + +Dans tous les cas, il y aura deux de ces points, $\Omega', \Omega''$, dont +la distance est moindre, comme on le voit immdiatement, +que le triple du ct de chaque petit carr, c'est--dire +moindre que $\dfrac{18(n^2-1)M}{n^3}$, quantit qu'on peut rendre +aussi petite qu'on veut en faisant crotre~$n$. + +Mais la diffrence $\Omega' - \Omega''$ est une priode, et elle a +prcisment pour module la distance des deux points $\Omega', \Omega''$. +La fonction~$f(u)$ admet donc une priode infiniment petite. +Ainsi, dans toute rgion, les points pour lesquels la +fonction analytique uniforme~$f(u)$ reprend la mme valeur +ne seraient point isols, ce qui est impossible ( moins que +$f(u)$~ne se rduise une constante). + +\begin{Theorem}{3.} --- Une fonction analytique uniforme ne peut +avoir deux priodes distinctes dont le rapport~$\tau$ soit rel, +moins qu'elle ne se rduise une constante. +\end{Theorem} + +%% -----File: 016.png---Folio 12------- + +Figurons dans le plan de la variable~$u$ les deux segments +$2\omega_1, 2\omega_2$, +% [Illustration] +\begin{wrapfigure}[8]{l}{2in}%[** TN: Width-dependent break] + \Input[2in]{016a} +\end{wrapfigure} +qui reprsentent les priodes. +Puisque le rapport $\dfrac{2\omega_2}{2\omega_1} = \tau$ +est rel, les segments ont la mme +direction~$OU$ ou sont dans le prolongement +l'un de l'autre. On peut +toujours supposer $\tau$~positif, sans +quoi l'on prendrait pour priode +$2\omega_1$~et~$-2\omega_2$ (qui est aussi une priode), +et l'on serait ramen ce cas. + +Les points $2\omega_1, 2\omega_2$ sont alors d'un mme ct de l'origine~$O$. + +La diffrence $2\omega_1 - 2\omega_2 = 2\omega_3$ est une priode; +nous supposons que le terme soustractif~$2\omega_2$ a le plus petit +module; sinon nous ferions la diffrence en sens inverse. +Le point~$2\omega_3$ est alors situ sur la direction~$OU$. + +Supposons $\Mod 2\omega_3 > \Mod 2\omega_2$; on fera la diffrence +$2\omega_3 - 2\omega_2 = 2\omega_4$; c'est une priode, et le point~$2\omega_4$ tombe +encore sur la direction~$OU$\@. + +En oprant toujours de la mme manire, on obtient une +suite de points, tous situs sur la droite~$OU$ entre l'origine +et le point~$2\omega_1$. + +Si ces points, o la fonction~$f(u)$ reprend la mme valeur, +sont en nombre indfini, $f(u)$~admet une priode infiniment +petite; il faut donc qu'elle se rduise une constante. + +S'ils sont en nombre limit, c'est que l'une des priodes~$2\DPtypo{\omega_{n'}}{\omega_n'}$ + laquelle on arrive se confond avec une priode dj +obtenue~$2\omega_n$. Mais il est vident, d'aprs la manire dont +on les a formes, que ces deux priodes sont des fonctions +linaires, homognes, coefficients entiers, de $2\omega_1, 2\omega_2$. Ces +deux-ci ne seraient donc pas distinctes, ce qui va contre +l'hypothse. +%% -----File: 017.png---Folio 13------- + +\Paragraph{4.}{Paralllogramme des priodes.} --- La question se pose +maintenant +% [Illustration] +\begin{wrapfigure}{l}{1.5in}%[** TN: Width-dependent break] + \Input[1.5in]{017a} +\end{wrapfigure} +de diviser le plan de la variable +complexe~$u$ en rgions telles +que, lorsque $u$~dcrit l'une de ces rgions, +la fonction doublement priodique~$f(u)$ +prend toutes les valeurs +qu'elle peut acqurir. + +A partir d'un point~$O'$ (qui peut tre +ou ne pas tre l'origine~$O$ des coordonnes) portons deux +droites reprsentant en grandeur +et en direction les deux priodes +$2\omega_1, 2\omega_2$.\ --- Ces deux droites font +un angle qui n'est pas nul, d'aprs +le thorme prcdent. On +peut donc sur ces deux droites +construire un paralllogramme~$O'ACB$; +ce sera le \emph{paralllogramme +des priodes}. + +Ce paralllogramme est la rgion cherche. Construisons +% [Illustration] +\begin{wrapfigure}{l}{1.75in}%[** TN: Width-dependent break] + \Input[1.5in]{017b}\hfill +\end{wrapfigure} +en effet le rseau complet des paralllogrammes gaux +celui-l, de manire en recouvrir tout le plan. Les sommets +de ce rseau seront les points +\[ +O' + 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2. +\] + +Un point quelconque~$U$ a pour homologue dans le paralllogramme +$O'ACB$ un point~$u$ tel que +\[ +U = u + 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2. +\] +On a donc $f(U) = f(u)$, ce qui prouve bien que toutes les +valeurs que peut prendre~$f(u)$ se trouvent dans le seul paralllogramme +$O'ACB$\@. + +Les lments les plus intressants du paralllogramme +des priodes sont fournis par l'tude du rapport +\[ +\tau + = \frac{2\omega_2}{2\omega_1} + = \frac{\alpha_2 + \beta_2 i}{\alpha_1 + \beta_1 i} + = \frac{\alpha_1\alpha_2 + \beta_1 \beta_2}{\alpha_1^2 + \beta_1^2} + + \frac{\alpha_1\beta_2 - \alpha_2\beta_1}{\alpha_1^2 + \beta_1^2}i + = r + si. +\] +%% -----File: 018.png---Folio 14------- + +Le signe de la partie imaginaire~$s$ de ce rapport, signe +qui d'ailleurs est celui de $\alpha_1\beta_2 - \alpha_2\beta_1$, va dcider d'une +question dont nous apprcierons par la suite toute l'importance: +Quand on fait le tour du paralllogramme en +s'loignant du point~$O'$ suivant la ligne~$2\omega_1$, la circulation +aura-t-elle lieu dans le sens direct ou dans le sens rtrograde? + +L'argument du quotient de deux quantits complexes +tant gal l'excs de l'argument du dividende sur l'argument +du diviseur, l'argument de~$\tau$ sera gal l'angle~$\varphi$ +des deux directions $2\omega_1, 2\omega_2$, angle qu'on obtient par la rotation +dans le sens \emph{direct} d'une droite couche d'abord sur~$2\omega_1$ +et venant ensuite s'appliquer sur~$2\omega_2$. +%[Illustration] +\begin{center} + \Input{018a} +\end{center} + +Quand l'angle~$\varphi$ est plus petit que~$\pi$, il est clair, comme +le montre la premire des deux figures ci-dessus, que la +circulation autour du paralllogramme s'opre dans le sens +direct; elle se fait dans le sens rtrograde (\Ord{2}{e}~figure), lorsque +$\varphi$~est plus grand que~$\pi$. + +Or si l'on appelle~$\rho$ le module de~$\tau$, on a +\[ +\tau = \rho(\cos \varphi + i \sin \varphi) = r + si, +\] +d'o l'on conclut: $\rho \sin \varphi = s$; c'est--dire que $\sin \varphi$ +a le signe de~$s$. Donc, quand on suit le contour dans le +sens direct, $\varphi$~tant plus petit que~$\pi$, $s$~est positif; dans le +sens rtrograde, $s$~est ngatif. + +Remarquons encore la signification intressante du numrateur +de +\[ +s = \frac{\alpha_1\beta_2 - \alpha_2\beta_1} + {\alpha_1^2 + \beta_1^2 }. +\] +%% -----File: 019.png---Folio 15------- + +Si nous portons notre attention sur le triangle~$O'AB$, qui +est la moiti du paralllogramme des priodes, nous voyons +que ses sommets $O', A, B$ ont respectivement pour coordonnes +(si l'on place l'origine en~$O'$) +\[ +0,0; \qquad \alpha_1, \beta_1; \qquad \alpha_2, \beta_2. +\] + +Donc la surface de ce triangle a pour mesure +\[ +\frac{1}{2} \lvert \alpha_1 \beta_2 - \alpha_2 \beta_1 \rvert. +\] +Par consquent $\lvert \alpha_1 \beta_2 - \alpha_2 \beta_1 \rvert$ +reprsente l'aire du paralllogramme +des priodes. + +\Paragraph{5.}{Rseau des priodes quivalentes.} --- En considrant le +rseau de paralllogrammes construit sur les deux priodes +$2\omega_1, 2\omega_2$, on est amen se demander si on ne pourrait pas +construire sur d'autres priodes un rseau ayant exactement +les mmes sommets que celui-l. + +Le problme consiste chercher ces nouvelles priodes +$2\omega'_1, 2\omega'_2$, \emph{quivalentes} aux priodes donnes. + +Il y a une infinit de couples de priodes quivalentes. +On obtient tous ces couples de la manire suivante. + +Posons +\[ +2\omega'_1 = 2a \omega_1 + 2b \omega_2, +\] +$a$~et~$b$ tant deux entiers quelconques premiers entre +eux, et dterminons deux nouveaux entiers $c$~et~$d$ (ncessairement +premiers entre eux) par la condition +\[ +ad - bc = 1 +\] +(il y a une infinit de nombres $c, d$ rpondant la question); +puis posons +\[ +2\omega'_2 = 2c \omega_1 + 2d \omega_2. +\] + +Je dis que $(2\omega'_1, 2\DPtypo{\omega_2}{\omega'_2})$ est un couple de priodes quivalentes +~$2\omega_1, 2\omega_2$. En effet les formules +\[ +2\omega'_1 = 2a \omega_1 + 2b \omega_2, \qquad +2\omega'_2 = 2c \omega_1 + 2d \omega_2 +\] +montrent manifestement que \emph{tous} les sommets du rseau~$R'$ +%% -----File: 020.png---Folio 16------- +des priodes $2\omega'_1, 2\omega'_2$ se trouvent \emph{parmi} les sommets du +rseau~$R$ des priodes $2\omega_1, 2\omega_2$. + +Mais ces quations, rsolues par rapport $2\omega_1, 2\omega_2$, donnent, +si l'on tient compte de ce que le dterminant +$ad - bc$ est gal ~$ 1$, +\[ +2\omega_1 = ( 2d \omega'_1 - 2b \omega'_2), \qquad +2\omega_2 = (-2c \omega'_1 + 2a \omega'_2). +\] + +Ces nouvelles formules, o les coefficients de $\omega'_1, \omega'_2$ sont +des \emph{entiers}, prouvent que \emph{tous} les sommets du rseau~$R$ se +trouvent parmi les sommets de~$R'$. + +Les deux rseaux ont donc exactement les mmes sommets, +\cqfd + +\Subparagraph{L'aire de chaque paralllogramme du nouveau rseau est +gale l'aire de chaque paralllogramme de l'ancien.} + +En effet si l'on pose +\begin{align*} + 2\omega_1 &= \alpha_1 + \beta_1 i, & 2\omega_2 &= \alpha_2 + \beta_2 i, +\\ + 2\omega'_1 &= \alpha'_1 + \beta'_1 i, & 2\omega'_2 &= \alpha'_2 + \beta'_2 i, +\end{align*} +l'aire du paralllogramme des nouvelles priodes est +gale +\begin{align*} +\lvert \alpha'_1 \beta'_2 - \alpha'_2 \beta'_1 \rvert + &= \lvert (a \alpha_1 + b \alpha_2) (c \beta_1 + d \beta_2) + - (c \alpha_1 + d \alpha_2) (a \beta_1 + b \beta_2) \rvert +\\ + &= \lvert (ad - bc) (\alpha_1 \beta_2 - \beta_1 \alpha_2) \rvert + = \lvert \alpha_1 \beta_2 - \beta_1 \alpha_2 \rvert, +\end{align*} +ce qui dmontre bien que les mailles des deux rseaux +sont quivalentes. + +\ctb +%% -----File: 021.png---Folio 17------- + +\Chapter[Transformation des fonctions elliptiques]% +{II}{Transformation des fonctions elliptiques\protect\footnotemark} +\footnotetext{On peut, dans une premire lecture, sauter ce chapitre, dont la + place naturelle nous a sembl tre immdiatement aprs l'tude des + priodes et des rseaux.} + +\Paragraph{6.}{Enonc du problme de la transformation.} --- Une fonction +elliptique $f(u, \omega_1, \omega_2)$ aux priodes $2\omega_1, 2\omega_2$ est connue +en tout point du plan si l'on connat la succession des valeurs +qu'elle prend dans l'un des paralllogrammes construits +sur ces deux priodes, par exemple, pour fixer les +ides, dans celui qui contient l'origine. La succession de +ces valeurs elle-mme est compltement dtermine quand +on se donne certains lments en nombre fini. + +Ainsi $f(u, \omega_1, \omega_2)$ est dtermine quand on se donne, +l'intrieur du paralllogramme en question, ses ples, ses +zros, leur ordre de multiplicit, et de plus la valeur~$f_0$ de +la fonction pour $u = 0$ (si cette fonction est finie l'origine) +ou, si l'origine est un ple, la valeur~$C$ du terme constant +dans le dveloppement de la partie infinie (voir plus +loin, \Ord{1}{re}~partie, ch.~III, 13). %[xref] + +Si la position des zros et des ples ainsi que la valeur~$f_0$ +(ou~$C$) sont des fonctions donnes des priodes, on peut se demander +quelle relation existe entre $f(u, \omega_1, \omega_2)$ et la fonction +$f(u, \omega'_1, \omega'_2)$ aux priodes $2\omega'_1, 2\omega'_2$ lies $2\omega_1, 2\omega_2$ par +les relations coefficients entiers +\[ +2\omega_1 = 2a \omega'_1 + 2b \omega'_2, \qquad +2\omega_2 = 2c \omega'_1 + 2d \omega'_2. +\] + +C'est dans la recherche de cette relation que consiste le +%% -----File: 022.png---Folio 18------- +problme de la \emph{transformation des fonctions elliptiques}. +Nous verrons plus loin (\Ord{2}{e}~partie, ch.~IV, 39) que $f(u_1,\omega_1,\omega_2)$ %[xref] +est lie sa transforme $f(u_1,\omega'_1,\omega'_2)$ par une quation +algbrique. + +\Paragraph{6}{bis. Transformation du premier degr.} --- Lorsque le +dterminant $ad - bc$ a pour valeur~$1$, c'est--dire +lorsque la substitution d'un couple de priodes l'autre +conserve les sommets du rseau, la transformation est du +\emph{premier degr}. + +Il y a des fonctions elliptiques que n'altre pas la transformation +du premier degr. Telle est celle que Weierstrass +a nomme~$\wp u$. Cette fonction~$\wp u$ a, l'origine, un ple double, +sans rsidu, avec l'unit pour coefficient du terme de +degr~$-2$; elle n'a pas d'autre ple l'intrieur du +paralllogramme des priodes qui contient l'origine, enfin +la diffrence $\wp u - \dfrac{1}{u^2}$ s'annule avec~$u$. Ces conditions, +comme nous le verrons, suffisent pour dterminer~$\wp u$. Or +$\wp u$~conserve sa valeur au point~$u$ lorsqu'on change les priodes +en gardant les sommets du rseau. C'est une proprit +dont ne jouissent pas les fonctions elliptiques autrefois +introduites dans la science par Abel et Jacobi, et c'est +l un des avantages de la fonction~$\wp u$ sur ces anciennes +fonctions. + +\Paragraph{7.}{Transformations d'un degr quelconque.} --- Lorsque +le dterminant $ad - bc$ est gal, en valeur absolue, un +entier~$n$, on dit que la transformation est \emph{de degr~$n$}. Quand +$n$~est plus grand que~$1$, le problme de la transformation +peut tre simplifi: au lieu d'effectuer d'un coup la transformation +la plus gnrale du degr~$n$, on obtient le mme +rsultat en effectuant successivement quatre transformations +beaucoup plus faciles. + +La premire de ces quatre transformations consiste +conserver l'une des priodes et remplacer l'autre par la +%% -----File: 023.png---Folio 19------- +$\theta$\ieme~partie de sa valeur, $\theta$~tant le plus grand commun diviseur +de~$a$ et de~$b$. + +La deuxime transformation est du premier degr. + +La troisime aussi. + +La quatrime consiste remplacer l'une des priodes +par la $n'$\ieme~partie de sa valeur $\left(n' = \dfrac{n}{\theta}\right)$ en conservant +l'autre priode. + +Dmontrons tout ceci. + +Si $a', b'$ sont les quotients (ncessairement premiers +entre eux) de $a, b$ par leur plus grand commun diviseur~$\theta$, +la transformation propose pourra tre mise sous la forme +\[ +\left\{ +\begin{aligned} + \omega_1 + &= \theta a' \centerdot \omega'_1 + \theta b' \centerdot \omega'_2,\\ + \omega_2 + &= c\omega'_1 + d\omega'_2, +\end{aligned} +\right. +\] +et, si l'on pose $\dfrac{\omega_1}{\theta} = \Omega_1$, $\omega_2 = \Omega_2$, celle-ci pourra tre +remplace par les deux suivantes effectues l'une aprs +l'autre +\[ +(1)\quad +\left\{ +\begin{aligned} +\omega_1 &= \DPtypo{\theta_{\Omega_1}}{\theta\Omega_1},\\ +\omega_2 &= \Omega_2, +\end{aligned} +\right. +\qquad \text{et} \qquad +(1')\quad +\left\{ +\begin{aligned} +\Omega_1 &= a'\omega_1' + b'\omega_2',\\ +\Omega_2 &= c \omega_1' + d \DPtypo{\omega'}{\omega'_2}. +\end{aligned} +\right. +\] + +La transformation~\Eqref{(1)} est la premire des quatre transformations +annonces; on y conserve la priode~$\omega_2$ et l'on +y remplace~$\omega_1$ par~$\dfrac{\omega_1}{\theta}$. + +II nous faut maintenant dcomposer en trois autres la +transformation~\Eqref{(1')} au dterminant +\[ +a'd -b'c = \frac{ad - bc}{\theta} = \frac{n}{\theta} = n'. +\] + +\emph{Tous} les sommets du rseau~$\R$ des priodes $2\Omega_1, 2\Omega_2$ se +trouvent \emph{parmi} les sommets plus nombreux du rseau~$R'$ +des priodes $2\omega'_1, 2\omega'_2$. Mais nous allons montrer que, sur +la direction~$2\Omega_1$, ne se trouve aucun sommet de~$R'$ +%% -----File: 024.png---Folio 20------- +autre que ceux qui appartiennent dj ~$\R$\@. Ce fait important +rsulte de ce que $a'$~et~$b'$ sont premiers entre eux. + +En effet, si l'un des sommets du rseau~$R'$ est l'origine +(ce qu'on peut toujours supposer), tous les autres sont +compris dans l'expression $2\alpha\omega'_1 + 2\beta\omega'_2$ o $\alpha$~et~$\beta$ sont +des entiers. S'il y avait $q$~de ces sommets sur la direction~$2\Omega_1$ +entre deux sommets conscutifs du rseau~$\R$, l'expression +de tous ces sommets serait $\dfrac{p}{q}\,2\Omega_1$, et comme +$\Omega_1 = a'\omega'_1 + b'\omega'_2$, il existerait des valeurs entires $\alpha, \beta$ +pour lesquelles on aurait +\[ +\alpha\omega'_1 + \beta\omega'_2 + = \frac{pa'}{q}\, \omega'_1 + \frac{pb'}{q}\, \omega'_2. +\] +Or ceci est impossible, car si l'on prend $p$~premier avec~$q$, +comme $a'$~et~$b'$ sont premiers entre eux, les nombres +$\dfrac{pa'}{q}, \dfrac{pb'}{q}$ ne peuvent tre l'un et +l'autre des entiers. + +Ce point acquis, conservons la priode~$2\Omega_1$, que nous appellerons~$2O_1$, +et associons-lui une nouvelle priode~$2O_2$ de +faon conserver les sommets du rseau~$\R$\@. Les formules +de transformation devront tre +\[ +\Tag{(2)} +\left\{ +\begin{aligned} +\Omega_1 &= O_1, \\ +\Omega_2 &= \mu O_1 + O_2, +\end{aligned} +\right. +\] +pour que le dterminant de la transformation soit gal ~$1$. + +Cherchons maintenant dterminer la direction~$O_2$ de +telle faon que, si nous substituons $2\omega'_1, 2\omega'_2$ deux nouvelles +priodes $2O'_1, 2O'_2$ ayant respectivement les mmes +directions que $2O_1, 2O_2$, les sommets du rseau~$R'$ soient +conservs. Les formules de transformation seront +\[ +\Tag{(3)} +\left\{ +\begin{aligned} +O'_1 &= a'\omega'_1 + b'\omega'_2,\\ +O'_2 &= p\omega'_1 + q\omega'_2, +\end{aligned} +\right. +\qquad a'q - b'p = 1. +\] + +La premire de ces relations rsulte de ce que, les deux +%% -----File: 025.png---Folio 21------- +rseaux $\R$~et~$R'$ ayant les mmes sommets sur la direction~$2O_1$, +on doit avoir $2O'_1 = 2O_1$. Or +\[ +O_1 = \Omega_1 = a'\omega' + b'\omega'. +\] + +Enfin la concidence des deux directions $2O_1$~et~$2O'_1$ et +celle des deux directions $2O_2, 2O'_2$ s'exprimeront par les +quations +\[ +\Tag{(4)} +\left\{ +\begin{aligned} + O_1 &= O'_1, \\ + O_2 &= \lambda O'_2. +\end{aligned} +\right. +\] + +Tout ceci entrane des quations de condition entre les +inconnues $\mu, p, q, \lambda$, et ces quations devront pouvoir +tre rsolues en nombres entiers par rapport ces quatre +lettres. + +Par la seconde des formules~\Eqref{(3)}, $O'_2$~se trouve exprim +en fonction de $\omega'_1, \omega'_2$. + +Exprimons $O_2$ au moyen des mmes priodes. Des relations +\Eqref{(2)}~et~\Eqref{(1')} nous tirons +\[ +O_2 = \Omega_2 - \mu\Omega_1 + = (c\omega'_1 + d\omega'_2) - \mu(a'\omega'_1 + b'\omega'_2). +\] + +Substituant dans la dernire formule~\Eqref{(4)} ces expressions +de $O_2, O'_2$, on a +\[ +(c\omega'_1 + d\omega'_2) - \mu(a'\omega'_1 + b'\omega'_2) + = \lambda(p\omega'_1 + q\omega'_2). +\] + +Les priodes $2\omega'_1, 2\omega'_2$ ne pouvant tre lies par une relation +linaire et homogne coefficients entiers, il faut que +l'on ait +\[ +\begin{aligned} + c - \mu a' &= \lambda p, \\ + d - \mu b' &= \lambda q, +\end{aligned} +\qquad \text{avec} \qquad a'q - b'p = 1. +\] + +Ce sont l trois quations qui doivent livrer des valeurs +entires pour $\lambda, \mu, p, q$. liminant~$\mu$ entre les deux +premires, on trouve +\[ +\lambda(aq - bp) = a'd - b'c, +\] +c'est--dire~$\lambda = n'$. + +La premire quation donne alors +%% -----File: 026.png---Folio 22------- +\begin{align*} +\mu = \frac{c - n'p}{a'} = \frac{c - (a'd - b'c)p}{a'} + &= \frac{c(1 + b'p)}{a'} - pd \\ + &= c \frac{a'q}{a'} - pd = cq - dp. +\end{align*} + +On trouve bien pour $\mu$ une valeur entire. + +Enfin $p$~et~$q$ ne sont assujettis qu' la condition +\[ +a'q - b'p = 1 +\] +vrifie par une infinit de nombres entiers. + +Rsumons-nous et concluons. + +On veut effectuer sur la fonction elliptique~$f(u)$ la transformation +gnrale du degr~$n$ +\[ +\left\{ +\begin{aligned} +\omega_1 &= a\omega'_1 + b\omega'_2, \\ +\omega_2 &= c\omega'_1 + d\omega'_2, +\end{aligned} +\right. +\] +c'est--dire qu'on cherche la relation entre $f(u,\omega_1,\omega_2)$ et +$f(u,\omega'_1,\omega'_2)$. + +On commencera par faire la transformation particulire +de degr~$\theta$ +\[ +\Tag{(1)} +\left\{ +\begin{aligned} +\omega_1 &= \theta\Omega_1, \\ +\omega_2 &= \Omega_2, +\end{aligned} +\right. +\] +c'est--dire qu'on cherchera la relation entre $f(u,\omega_1,\omega_2)$ et +$f(u,\Omega_1,\Omega_2) = f\left(u,\dfrac{\omega_1}{\theta},\omega_2\right)$; $\theta$~est le plus grand commun +diviseur de $a$~et~$b$. On dterminera les quotients $a', b'$ de +$a, b$ par~$\theta$; on prendra deux nombres $p, q$ assujettis la +condition +\[ +a'q - b'p = 1, +\] +et l'on calculera le nombre $\mu = cq - dp$. + +Cela fait, on effectuera la transformation du premier degr +\[ +\Tag{(2)} +\left\{ +\begin{aligned} +\DPtypo{\Omega}{\Omega_1} &= O_1, \\ +\Omega_2 &= \mu O_1 + O_2, +\end{aligned} +\right. +\] +qui donnera la relation entre $f(u,\Omega_1,\Omega_2)$ et $f(u,O_1,O_2)$. +%% -----File: 027.png---Folio 23------- + +D'autre part, on fera la transformation du premier degr +\[ +\Tag{(3)} +\left\{ +\begin{aligned} +O'_1 &= a'\omega'_1 + b'\omega'_2, \\ +O'_2 &= p \omega'_1 + q \omega'_2. +\end{aligned} +\right. +\] +On aura ainsi la relation entre $f(u,\omega'_1,\omega'_2)$ et $f(u,O'_1,O'_2)$. + +Enfin, on ralisera la transformation particulire de +degr~$n'$ +\[ +\Tag{(4)} +\left\{ +\begin{aligned} +O_1 &= O'_1, \\ +O_2 &= n'O'_2, +\end{aligned} +\right. +\] +qui fournit la relation entre $f(u,O_1,O_2)$ et +\[ +f(u, O'_1, O'_2) + = f\left(u, O_1, \frac{O_2}{n'} \right). +\] + +En rapprochant les rsultats de ces oprations, on aura +la relation cherche entre $f(u,\omega_1,\omega_2)$ et $f(u,\omega'_1,\omega'_2)$. + +Ainsi se trouve justifi tout ce que nous avions annonc. + +Le problme est particulirement simple pour la fonction~$\wp u$. +Nous avons dit en effet qu'une transformation du premier degr ne +change pas la valeur de cette fonction. On a donc +\begin{align*} +\wp(u,\Omega_1, \Omega_2) &= \wp(u,O_1, O_2), \\ +\wp(u,\omega'_1,\omega'_2) &= \wp(u,O'_1,O'_2). +\end{align*} + +Nous tablirons dans la suite que, si l'on divise une des priodes +par un entier~$\nu$, la nouvelle fonction~$\wp u$ est une fonction +rationnelle~$R_\nu$ de degr~$\nu$ de l'ancienne. Par consquent, +\begin{align*} +\wp(u,\Omega_1,\Omega_2) + &= \wp\left(u,\frac{\omega_1}{\theta},\omega_2 \right) + = R_\theta\bigl[\wp(u,\omega_1,\omega_2)\bigr], \\ +\wp(u,O'_1,\DPtypo{O_2}{O'_2}) + &= \wp\left(u,O_1,\frac{O_2}{n'} \right) + = R_{n'}\bigl[\wp(u,O_1,O_2)\bigr]; +\end{align*} +c'est--dire, en vertu des relations qui prcdent, +\begin{align*} +\wp(u,O_1,O_2) &= R_\theta\bigl[\wp(u,\omega_1,\omega_2)\bigr], \\ +\wp(u,\omega'_1,\omega'_2) &= R_{n'}\bigl[\wp(u,O_1,O_2)\bigr]; +\end{align*} +%% -----File: 028.png---Folio 24------- +d'o rsulte manifestement que $\wp(u,\omega'_1,\omega'_2)$ est une \emph{fonction +rationnelle} du degr $n'\theta = n$ de~$\wp(u,\omega_1,\omega_2)$. + +Nous avons donc rduit le problme gnral de la transformation +de la fonction~$\wp u$ au problme de la \emph{division des +priodes} de cette fonction, problme que la suite de la +thorie nous enseignera rsoudre. + +\ctb +%% -----File: 029.png---Folio 25------- + + +\Chapter{III}{Thormes gnraux sur les fonctions elliptiques} + +\begin{Theorem}{8.} --- Une fonction elliptique entire se rduit + une constante. +\end{Theorem} + +Car son module reste fini dans un paralllogramme des +priodes et, cause de la priodicit, dans tout le plan. Or +une fonction analytique uniforme dont le module reste partout +fini se rduit ncessairement une constante. + +\begin{Theorem}{9.} --- La somme des rsidus d'une fonction elliptique~$f(u)$ +par rapport aux ples situs dans un paralllogramme +des priodes est gale zro. +\end{Theorem} + +Car cette somme est, d'aprs un thorme gnral +de Cauchy, gale l'intgrale $\displaystyle\frac{1}{2\pi{i}}\int f(u)\,du$ prise dans le +sens direct autour du paralllogramme. Or cette intgrale +est nulle, car deux lments diffrentiels $f(u)\, du$, qui correspondent + deux points homologues sur deux cts opposs, +sont gaux et de signe contraire. + +\Paragraph{10.}{Ordre d'une fonction elliptique.} --- L'\emph{ordre} d'une fonction +elliptique est le nombre des ples qu'elle possde dans +un paralllogramme des priodes, un ple multiple comptant +pour autant de ples qu'il y a d'units dans son degr +de multiplicit. + +\Subparagraph{Cet ordre est au moins gal ~$2$.} --- Car si la fonction +n'avait qu'un ple simple, le rsidu correspondant ce +%% -----File: 030.png---Folio 26------- +ple tant diffrent de zro, la somme des rsidus ne serait pas +nulle. + +\begin{Theorem}{11.} --- Si une fonction elliptique~$f(u)$ est d'ordre~$n$, +l'quation $f(u) = c$, o $c$~est une constante quelconque, a, +dans le paralllogramme des priodes, $n$~racines (gales ou +ingales). +\end{Theorem} + +Car les ples de la fonction $f(u) - c$, tant les mmes +que ceux de~$f(u)$, sont au nombre de~$n$. D'autre part, si $m$~dsigne +le nombre des racines de l'quation +\[ +f(u) - c = 0, +\] +la diffrence $m - n$ est gale, comme nous l'apprend un +thorme de Cauchy, l'intgrale +\[ +\frac{1}{2\pi i} \int\frac{f'(u)}{f(u) - c}\, du +\] +prise dans le sens direct autour du paralllogramme. La +fonction $\dfrac{f'(u)}{f(u) - c}$ tant priodique comme~$f(u)$, cette intgrale +est nulle. Donc $m = n$, \cqfd + +\begin{Theorem}{12.} --- Dans un paralllogramme des priodes, +la somme des zros d'une fonction elliptique est gale celle +de ses ples, augmente d'une priode convenable. +\end{Theorem} + +Car la diffrence entre la somme $\beta_1 + \beta_2 + \dots$ de ces +zros et la somme $\alpha_1 + \alpha_2 + \dots$ de ces ples est donne +(Cauchy) par l'intgrale +\[ +\beta_1 + \beta_2 + \dots - (\alpha_1 + \alpha_2 + \dots) + = \frac{1}{2\pi i}\int \frac{uf'(u)}{f(u)}\,du +\] +% [Ilustration:] +\begin{wrapfigure}{l}{2in} + \Input[2in]{030a} +\end{wrapfigure} +prise dans le sens direct autour +du paralllogramme. + +Si pour un instant on dsigne +$\dfrac{uf'(u)}{f(u)}$ par~$F(u)$ et que +dans l'intgrale~$\int F(u)\, du$ on groupe deux par deux les +lments +%% -----File: 031.png---Folio 27------- +correspondants sur les cts opposs, on aura +\[ +\int F(u)\, du + = \int_{O'A} \bigl[F(u) - F(u + 2\omega_2)\bigr]\, du + - \int_{O'B} \bigl[F(u) - F(u + 2\omega_1)\DPtypo{}{\bigl]}\,du\DPtypo{\bigl]}{}. +\] + +Or +\begin{align*} +F(u) - F(u + 2\omega_2) + &= u\,\frac{f'(u)}{f(u)} + - (u + 2\omega_2)\, \frac{f'(u + 2\omega_2)}{f(u + 2\omega_2)} + = -2\omega_2\, \frac{f'(u)}{f(u)}, \\ +F(u) - F(u + 2\omega_1) + &= u\,\frac{f'(u)}{f(u)} + - (u + 2\omega_1)\, \frac{f'(u + 2\omega_1)}{f(u + 2\omega_1)} + = -2\omega_1\, \frac{f'(u)}{f(u)}. +\end{align*} + +Il en rsulte +\[ +\int F(u)\, du + = -2\omega_2 \int_{O'}^{O' + 2\omega_1} \frac{f'(u)}{f(u)}\, du + + 2\omega_1 \int_{O'}^{O' + 2\omega_2} \frac{f'(u)}{f(u)}\, du. +\] +Mais, $\dfrac{f'(u)}{f(u)}$ reprenant la mme valeur aux deux limites $O', +O' + 2\omega_1$ (ou $O', O' + 2\omega_2$), $\log f(u)$, qui reprsente l'intgrale +$\displaystyle\int \frac{f'(u)}{f(u)}\,du$, doit ou bien avoir repris la mme valeur ou +s'tre accr d'un multiple de~$2\pi i$. Par suite +\[ +\int F(u)\, du + = -2\omega_2 \centerdot 2m_2\pi i + 2\omega_1\centerdot 2m_1\pi i. +\] + +Cette valeur de $\int F(u)\, du$, c'est--dire de $\displaystyle\int \frac{uf'(u)}{f(u)}\,du$, substitue +dans la formule qui exprime la diffrence +\[ +\beta_1 + \beta_2 + \dots - (\alpha_1 + \alpha_2 + \dots) +\] +donne finalement +\[ +\beta_1 + \beta_2 + \dots - (\alpha_1 + \alpha_2 + \dots) + = 2m_1\omega_1 - 2m_2\omega_2, +\] +ce qui dmontre notre proposition. + +\begin{Theorem}{13.} --- Une fonction elliptique est dtermine +un facteur constant prs par ses priodes, ses ples et ses +zros donns avec leur degr de multiplicit. +\end{Theorem} + +Car si deux fonctions elliptiques $f(u)$~et~$\varphi(u)$ ont les +mmes priodes, les mmes ples et les mmes zros, leur +quotient~$\dfrac{f(u)}{\varphi(u)}$, tant ncessairement une fonction elliptique +%% -----File: 032.png---Folio 28------- +entire, se rduit une constante~$C$. On a donc +\[ +f(u) = C\varphi(u). +\] + +\begin{Theorem}{14.} --- Une fonction elliptique est dtermine +une constante additive prs quand on donne ses priodes, ses +ples et le dveloppement de sa partie infinie autour de chacun +d'eux. +\end{Theorem} + +Car si $f(u)$~et~$\varphi(u)$ sont deux fonctions elliptiques ayant +mmes priodes, mmes ples et mme partie infinie autour +de chaque ple, la diffrence $f(u) - \varphi(u)$, qui est une +fonction elliptique entire, doit se rduire une constante~$C$. +On a donc +\[ +f(u) = \varphi(u) + C. +\] + +Jusqu'ici nous avons admis l'existence des fonctions elliptiques. +Il nous reste prouver cette existence, et nous +ne pouvons le faire qu'en construisant de pareilles fonctions. + +\ctb +%% -----File: 033.png---Folio 29------- + + +\Part{Deuxime Partie}{La fonction $\wp u$} + +%% -----File: 034.png---Folio 30------- +% [Blank Page] +%% -----File: 035.png---Folio 31------- + + +\Chapter{I}{Construction et proprits de la fonction $\wp u$} + +\Paragraph{15.}{Construction de $\wp u$.} --- La plus simple de toutes les +fonctions elliptiques a t ralise par Weierstrass. Elle est +du second ordre; elle a un ple double sans rsidu l'origine +et par consquent en tous les points +\[ +w = 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2, +\] +$2\omega_1, 2\omega_2$ dsignant les priodes donnes; dans le voisinage +du ple~$w$, sa partie infinie se rduit ~$\dfrac{1}{(u-w)^2}$. Nous +savons maintenant que ces conditions dterminent la fonction +cherche~$\wp u$ une constante additive prs. On ralise +cette fonction au moyen de la srie double entre +\[ +\wp u = \frac{1}{u^2} + + \sum \left[ \frac{1}{(u - w)^2} - \frac{1}{w^2} \right], +\] +o la sommation s'tend tous les systmes de valeurs entires +attribues ~$m_1$ et ~$m_2$, le seul systme $m_1 = m_2 = 0$ +except. + +Les termes constants~$\dfrac{1}{w^2}$ ont t retranchs des termes +$\dfrac{1}{(u-w)^2}$ pour rendre la srie convergente, comme nous +allons le montrer. + +Admettant provisoirement cette convergence, nous +voyons que le dveloppement admet les deux priodes $2\omega_1$~et~$2\omega_2$, +%% -----File: 036.png---Folio 32------- +car le changement de~$u$ en $u + 2\omega_1$ ou $u + 2\omega_2$ +n'a d'autre effet que d'en permuter les termes. + +La srie qui dfinit~$\wp u$ est absolument et uniformment +convergente dans toute rgion du plan qui ne contient aucun +des points $w = 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2$. En effet le terme +gnral peut tre crit +\[ +\frac{1}{(u - w)^2} - \frac{1}{w^2} + = \frac{2uw - u^2}{w^2(u - w)^2} + = \frac{2u - \dfrac{u^2}{w}}{\left(1 - \dfrac{u}{w}\right)^2} + \frac{1}{w^3}. +\] + +Le terme qui multiplie~$\dfrac{1}{w^3}$ a un module fini en tous les +points autres que les points~$w$. Il suffit donc d'tablir la +convergence absolue de la srie~$\displaystyle\sum \frac{1}{w^3}$ ou plus gnralement +de +\[ +\sum \frac{1}{w^\lambda} + = \sum \frac{1}{(2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2)^\lambda}, +\] +lorsque $\lambda$~est un nombre rel plus grand que~$2$. + +Or la srie des modules des diffrents termes a pour +terme gnral +\[ +\frac{1}{\bigl[(\alpha_1m_1 + \alpha_2m_2)^2 + + (\beta_1m_1 + \beta_2m_2)^2 \bigr]^{\frac{\lambda}{2}}}, +\] +$\alpha_1, \alpha_2$ dsignant les parties relles et $\beta_1, \beta_2$ les parties imaginaires +de~$2\omega_1, 2\omega_2$. + +Celle-ci sera convergente en mme temps que la srie +plus simple +\[ +S = \sum \frac{1}{[m_1^2 + m_2^2]^\frac{\lambda}{2}}, +\] +car, si l'on pose $\dfrac{m_2}{m_1} = \mu$, le rapport des termes correspondants +ne dpend que de~$\mu$ et ce rapport +\[ +\left[\frac{(\alpha_1 + \alpha_2\mu)^2 + (\beta_1 + \beta_2\mu)^2} + {1 + \mu^2} \right]^\frac{\lambda}{2} +\] +ne devient jamais, quel que soit~$\mu$, ni nul ni infini. +%% -----File: 037.png---Folio 33------- + +Nous sommes donc ramens tudier la srie double~$S$\@. +En laissant de ct les valeurs ngatives de $m_1, m_2$, nous +pouvons la considrer comme la somme de quatre autres: +la premire, simple, comprenant tous les termes o +$m_1 = 0$; la deuxime, simple aussi, forme de tous les termes +o $m_2=0$; la troisime, double, forme de tous les +termes o $m_2\geq m_1$; la quatrime, double, forme de tous +les termes o $m_1\geq m_2$; en sorte que +\begin{multline*} +S = \sum_1^{+\infty}\frac{1}{m_1^\lambda} + + \sum_1^{+\infty}\frac{1}{m_2^\lambda} + + \sum_{m_1=1}^{m_1=\infty}\sum_{m_2=m_1}^{m_2=\infty} + \frac{1}{(m_1^2 + m_2^2)^\frac{\lambda}{2}} \\ + + \sum_{m_2=1}^{m_2=\infty}\sum_{m_1=m_2}^{m_1=\infty} + \frac{1}{(m_1^2 + m_2^2)^\frac{\lambda}{2}}. +\end{multline*} + +Par raison de symtrie la premire et la seconde de ces +quatre sries sont gales entre elles, la troisime et la quatrime +aussi gales entre elles. + +D'ailleurs la premire srie est, on le sait, convergente +pour~$\lambda>1$. + +Nous n'avons plus tudier que la troisime srie, qui +est double. Occupons-nous d'abord de la srie simple +\[ +\sum_{m_2=m_1}^{m_2=\infty} \frac{1}{(m_1^2 + m_2^2)^\frac{\lambda}{2}}, +\] +o $m_1$~est fixe. Son terme gnral est infrieur ~$\dfrac{1}{m_2^\lambda}$. Or +la srie dont le terme de rang~$m_2 - m_1$ est $\dfrac{1}{m_2^\lambda}$~a une somme +de mme ordre que l'intgrale $\displaystyle\int_{m_1}^{\infty}\frac{dx}{x^\lambda}$ (rgle de Cauchy). +Comme $\lambda$~doit tre plus grand que~$1$, cette intgrale a pour +valeur $\dfrac{1}{\lambda-1}\,\dfrac{1}{m_1^{\lambda-1}}$. On peut donc crire, $K$~tant un nombre +%% -----File: 038.png---Folio 34------- +fini, +\[ +\sum_{m_2=m_1}^{m_2=\infty} \frac{1}{(m_1^2 + m_2^2)^\lambda} + < K\, \frac{1}{m_1^{\lambda-1}}. +\] + +Il faut maintenant donner ~$m_1$ toutes les valeurs entires +de $1$~~l'infini, et faire la somme des quantits ainsi +obtenues; on aura +\[ +\sum_{m_1=1}^{m_1=\infty} \sum_{m_2=m_1}^{m_2=\infty} + \frac{1}{(m_1^2 + m_2^2)^\lambda} + < K \sum_{m_1=\DPtypo{\infty}{1}}^{m_1=\infty} \frac{1}{m_1^{\lambda-1}}. +\] + +Mais la srie qui figure au second membre converge +pour $\lambda-1 > 1$, c'est--dire pour $\lambda>2$,~\cqfd + +La convergence absolue de la srie~$\wp u$ en tout point~$u$ +qui ne concide pas avec un des points~$w$ se trouve ainsi +tablie. La srie est de plus uniformment convergente, car +nous avons ramen la question de sa convergence celle +de la convergence de la srie~$\displaystyle\sum\frac{1}{w^3}$, laquelle a ses termes indpendants +de~$u$. + +\Paragraph{16.}{Double priodicit de $\wp u$.\ --- Parit.\ --- Homognit.\ +--- Invariance dans toutes les transformations du premier +degr.} --- \primo Nous avons dj mis en vidence la double priodicit +de~$\wp u$. Les deux priodes sont $2\omega_1, 2\omega_2$. + +\secundo \textit{La fonction~$\wp u$ est paire.} Car, dans la srie qui la reprsente, +nous avons le droit d'crire~$-w$ au lieu de~$w$, +ce qui ne fait qu'changer les termes deux deux. Si alors +nous changeons~$u$ en~$-u$, nous obtenons +\[ +\wp(-u) = \frac{1}{(-u)^2} + + \sum \left[\frac{1}{(-u + w)^2} - \frac{1}{(-w)^2}\right], +\] +expression visiblement identique ~$\wp u$. + +\tertio Considre comme fonction des trois quantits $u, 2\omega_1, +2\omega_2$, $\wp u$~est homogne et de degr~$-2$. +%% -----File: 039.png---Folio 35------- + +\quarto Construisons deux fonctions~$\wp u$: l'une $\wp(u, \omega_1, \omega_2)$ +aux priodes $2\omega_1, 2\omega_2$; l'autre $\wp(u, \omega'_1, \omega'_2)$ aux priodes +$2\omega'_1, 2\omega'_2$ lies aux prcdentes par les relations +\[ +2\omega'_1 = a \centerdot 2\omega_1 + b \centerdot 2\omega_2, \qquad +2\omega'_2 = c \centerdot 2\omega_1 + d \centerdot 2\omega_2, +\] +o le dterminant $ad - bc$ est suppos gal ~$1$. +Nous avons vu (\Ord{1}{re}~partie, ch.~I,~5) que le rseau des priodes %[xrefs] +$2\omega'_1, 2\omega'_2$ a exactement les mmes sommets que celui +des priodes $2\omega_1, 2\omega_2$. Or il est vident que la valeur de +la srie~$\wp u$ en un point~$u$ du plan ne dpend que des sommets +du rseau; car si l'on change les priodes en conservant +les sommets, les quantits~$w$ ne font que se permuter; +donc +\[ +\wp(u, \omega'_1, \omega'_2) = \wp(u, \omega_1, \omega_2). +\] + +Ainsi se trouve tabli l'important rsultat que nous avons +annonc (\Ord{1}{re}~partie, ch.~II,~6): \emph{$\wp u$~reste invariable pour toute +transformation de degr~$1$.} + +\Paragraph{17.}{Dveloppement de~$\wp u$ suivant les puissances de~$u$.} --- +Les ples de~$\wp u$ sont les points +\[ +u = w = 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2. +\] +Ils sont doubles. Aux environs de $u = 0$, on a +\[ +\frac{1}{(u - w)^2} - \frac{1}{w^2} + = \frac{1}{w^2} \left(1 - \frac{u}{w}\right)^{-2} - \frac{1}{w^2} + = \frac{2u}{w^3} + \frac{3u^2}{w^4} + \frac{4u^3}{w^5} + \dots\DPtypo{}{.} +\] + +Faisons la somme pour toutes les valeurs de~$w$; remarquons +que les puissances impaires de~$u$ doivent se dtruire; +enfin, posons pour abrger +\[ +c_1 = 3\sum\frac{1}{w^4},\qquad c_2 = 5\sum\frac{1}{w^6},\qquad \dots; +\] +nous obtiendrons l'important dveloppement +\[ +\wp u = \frac{1}{u^2} + c_1u^2 + c_2u^4 + \dots +\] +valable pour tout point~$u$ compris dans tout cercle ayant +%% -----File: 040.png---Folio 36------- +l'origine pour centre et un rayon moindre que la distance +de ce centre au ple le plus voisin. + +Observons que ce dveloppement manque de terme +constant. Dans le voisinage d'un ple quelconque~$w$, le dveloppement +de~$\wp u$ est +\[ +\wp u = \frac{1}{(u - w)^2} + c_1(u - w)^2 + c_2(u - w)^4 + \dots\DPtypo{}{.} +\] + +Cette nouvelle forme donne la fonction~$\wp u$ montre immdiatement +que c'est une fonction analytique. + +\Paragraph{18.}{quation algbrique entre $\wp u$~et sa drive.} --- Nous +avons +\begin{align*} +\wp u &= \frac{1}{u^2} + c_1u^2 + c_2u^4 + \dots, \\ +\wp'u &= \frac{-2}{u^3} + 2c_1u + 4c_2u^3 + \dots\DPtypo{}{.} +\end{align*} + +On voit que la fonction elliptique +\[ +\wp'^2u - 4\wp^3u = -20c_1\, \frac{1}{u^2} - 28c_2 + \dots +\] +a un ple double, sans rsidu, l'origine; elle ne peut +d'ailleurs en avoir d'autre dans le paralllogramme +des priodes qui contient l'origine. Par consquent +$\wp'^2u - 4\wp^3u + 20c_1\wp u$ est une fonction entire, et comme +c'est une fonction elliptique, elle se rduit une constante~$-28c_2$ +(qu'on obtient en y faisant $u = 0$). Finalement +on a +\[ +\wp'^2u - 4\wp^3u + 20c_1\wp u + 28c_2 = 0. +\] + +Telle est l'quation algbrique qui lie $\wp u$~ sa drive, +et laquelle on donne une forme plus commode pour les +calculs, en posant +\begin{align*} +g_2 &= 20c_1 = 60 \sum\frac{1}{w^4}, \\ +g_3 &= 28c_2 = 140\sum\frac{1}{w^6}, +\end{align*} +%% -----File: 041.png---Folio 37------- +ce qui permet d'crire +\[ +{\wp'}_u^2 = 4\wp_u^3 - g_2 \wp u - g_3. +\] + +Tout ce qui va suivre nous montrera l'importance de +cette relation. + +\Paragraph{19.}{Calcul des coefficients du dveloppement de~$\wp u$.} --- La +diffrentiation par rapport ~$u$ des deux membres de +l'quation prcdente donne, aprs suppression du facteur~$2\wp'u$, +\[ +\wp''_u = 6\wp - \frac{1}{2}\, g_2. +\] + +Si l'on substitue dans cette dernire relation le dveloppement +\[ +\wp u = \frac{1}{u^2} + c_1 u^2 + c_2 u^4 + \dots, +\] +l'identification des termes en~$u^{2n-2}$ donnera +\[ +c_n = \frac{6}{n(2n-1) - 6}\, (c_1 c_{n-2} + c_2 c_{n-3} + \dots), +\] +le dernier terme entre parenthses tant $c_{\frac{n}{2}-1} c_{\frac{n}{2}}$ ou $\dfrac{1}{2} c^2_{\frac{n-1}{2}}$ +suivant que $n$~est pair ou impair. Cette formule rcurrente +permet d'exprimer $c_3, c_4, \dots$ par des polynmes entiers +en~$c_1, c_2$. + +\emph{Tous les coefficients du dveloppement de~$\wp u$ sont donc des +polynmes entiers en~$g_2, g_3$.} + +\Paragraph{20.}{Les trois racines $e_1, e_2, e_3$.} --- Une raison de symtrie +nous amne introduire une troisime priode~$2\omega_3$ lie +aux deux priodes $2\omega_1, 2\omega_2$ par la relation +\[ +\omega_1 + \omega_2 + \omega_3 = 0. +\] + +Posons +\[ +\wp\omega_1 = e_1, \qquad +\wp\omega_2 = e_2, \qquad +\wp\omega_3 = e_3. +\] + +Ces trois nombres $e_1, e_2, e_3$ sont les racines de l'quation +du \Ord{3}{e}~degr +\[ +4\wp^3 - g_2 \wp - g_3 = 0. +\] + +Pour le prouver, il suffit de faire voir qu'ils annulent~$\wp'u$. +Or $\wp'u$~tant doublement priodique et impaire, puisque +%% -----File: 042.png---Folio 38------- +$\wp u$~est paire, on aura par exemple +\[ +\wp'\omega_1 = \wp'(\omega_1 - 2\omega_1) = \wp'(-\omega_1) + = -\wp'\omega_1 = 0, +\] +\null\hfill\cqfd\pagebreak[3] + +Les trois racines $e_1, e_2, e_3$ sont distinctes, si, comme nous +le supposons, $\omega_1, \omega_2$ et par suite~$\omega_3$ ne sont pas des +priodes. Car si $e_3$~par exemple tait gal ~$e_1$, on aurait +$\wp\omega_3 = \wp\omega_1$, d'o +\[ +\omega_3 = \omega_1 + \text{priode} +\qquad\text{ou}\qquad +\omega_3 \mp \omega_1 = \text{priode}, +\] +ce qui n'est pas, car $\omega_3 + \omega_1 = -\omega_2$, et $\omega_3 - \omega_1 = -2\omega_1 - \omega_2$; +or $-\omega_2$~et~$-2\omega_1 - \omega_2$ ne sont ni l'une ni l'autre des +priodes. + +Les quantits $e_1, e_2, e_3$, d'aprs les relations qui les dfinissent +\[ +\wp\omega_1 + = \frac{1}{\omega_1^2} + + \sum\left[ \frac{1}{(\omega_1 - w)^2} - \frac{1}{w^2} \right], + \quad \wp\omega_2 = \dots, \quad \wp\omega_3 = \dots, +\] +sont homognes et du degr~$-2$ par rapport aux priodes. + +Elles satisfont aux relations +\[ +e_1 + e_2 + e_3 = 0, \quad +e_1 e_2 + e_3 e_2 + e_3 e_1 = -\frac{1}{4}\, g_2, \quad +e_1 e_2 e_3 = \frac{1}{4}\, g_3. +\] + +\Paragraph{21.}{Invariants de~$\wp u$.} --- Lorsqu'on change les priodes +en conservant les sommets du rseau, les coefficients $g_2, g_3$, +d'aprs leur dfinition (ci-dessus,~18), conservent leur valeur. %[xref] +Ce sont des \emph{invariants} du rseau dans toute transformation +du premier degr. + +Deux autres invariants sont considrer: + +\primo Le discriminant +\[ +\Delta = 16 (e_1 - e_2)^2 (e_2 - e_3)^2 (e_3 - e_1)^2 + = g_2^3 - 27 g_3^2. +\] +Il n'est jamais nul puisque les racines $e_1, e_2, e_3$ sont distinctes. +Il est d'ordre~$-12$ par rapport aux priodes; + +\secundo L'invariant absolu +\[ +J = \frac{g_2^3}{\Delta}. +\] +%% -----File: 043.png---Folio 39------- + +Il est d'ordre zro, et par suite il ne dpend que du rapport +$\tau = \dfrac{\omega_2}{\omega_1}$ des priodes. Il reste invariable si l'on +change $\tau$~en $\dfrac{a + b\tau}{c + d\tau}$ ($ad-bc = 1$). + +\ctb +%% -----File: 044.png---Folio 40------- + + +\Chapter{II}{La fonction $\wp u$ dfinie par une quation diffrentielle} + +\Paragraph{22.}{Position du problme.} --- Nous avons vu que la fonction~$\wp u$ +satisfait une quation diffrentielle +\[ +\left(\frac{d\wp}{du}\right)^2 = 4\wp^3 - g_2\wp - g_3, +\] +dont les coefficients constants $g_2, g_3$, qui vrifient l'ingalit +\[ +\Delta = g^3_2 - 27g^2_3 \neq 0, +\] +peuvent tre calculs au moyen des priodes $2\omega_1, 2\omega_2$. + +Inversement, donnons-nous \textit{a~priori} l'quation diffrentielle +\[ +\left(\frac{dz}{du}\right)^2 = 4z^3 - g_2z - g_3. +\] + +Nous allons montrer qu'elle admet pour intgrale particulire +une fonction~$\wp u$ dont nous dterminerons une priode +en fonction de $g_2, g_3$. + +Figurons dans le plan de la variable complexe~$z$ les trois +racines $e_1, e_2, e_3$ de l'quation +\[ +Z = 4z^3 - g_2z - g_3 = 0. +\] +Elles sont distinctes, car nous supposons +\[ +g_2^3 - 27g_3^2 \neq 0. +\] +%% -----File: 045.png---Folio 41------- + +% [Ilustration] +\begin{wrapfigure}{l}{1.25in} + \Input[1.25in]{045a} +\end{wrapfigure} +Nous les avons numrotes dans l'ordre +o on les rencontre en tournant dans le +sens direct autour du triangle $e_1e_2e_3$. + +Partons d'un point quelconque~$z_0$. En +ce point le radical a deux valeurs gales +et de signe contraire $+\sqrt{Z_0}$~et~$-\sqrt{Z_0}$. + +D'aprs le thorme fondamental de la +thorie des quations diffrentielles, il existe une fonction +analytique~$z$ de~$u$ qui satisfait l'quation +\[ +\frac{dz}{du} = \sqrt{Z} +\] +et qui pour $u = u_0$ se rduit ~$z_0$, le radical~$\sqrt{Z}$ prenant +en mme temps la dtermination~$+\sqrt{Z_0}$ par exemple +($u_0$~est donn arbitrairement). + +% [Ilustration] +\begin{wrapfigure}{l}{1.5in} + \Input[1.5in]{045b} +\end{wrapfigure} +Si l'on marque le point~$u_0$ dans le plan +de la variable complexe~$u$, la fonction~$z$ +de~$u$ sera uniforme et continue dans un +cercle dcrit du centre~$u_0$ avec un rayon~$\rho_0$ +que la thorie enseigne calculer. + +On peut dterminer de proche en proche +la valeur que prendra cette fonction~$z$ +en un point quelconque~$u'$ joint au point~$u_0$ +par un chemin~$L$. Il suffit de calculer la valeur~$z'_0$ que +prend~$z$ en un point~$u'_0$ situ la fois sur~$L$ et dans le +cercle de rayon~$\rho_0$. Le thorme fondamental que nous venons +de rappeler prouve l'existence d'une fonction~$z$ se +rduisant ~$z'_0$ pour $u = u'_0$, uniforme et continue dans +un cercle de centre~$u'_0$ et de rayon~$\rho'_0$. Il est clair qu'en +procdant ainsi de proche en proche, on arrivera jusqu'au +point~$u'$ avec une valeur bien dtermine~$z'$ de la fonction. + +Le raisonnement tomberait en dfaut si les rayons +$\rho_0, \rho'_0, \dots$ tendaient vers zro, auquel cas on aboutirait +un point limite~$u_1$ situ sur le chemin~$L$ entre $u_0$~et~$u'$, +et qu'on ne pourrait plus dpasser. +%% -----File: 046.png---Folio 42------- + +Mais la thorie nous renseigne sur la grandeur du rayon~$\rho_0$ +du cercle de centre~$u_0$ o l'on peut affirmer l'existence +et l'uniformit de l'intgrale d'une quation diffrentielle +\[ +\frac{dz}{du} = f(u,z) +\] +dont le second membre est une fonction uniforme et continue +de~$z$, $u$~dans le voisinage de $u=u_0$, $z=z_0$. +Ce rayon n'est trs petit que si le module de~$f(u, z)$ est trs +grand dans ce voisinage et que si les valeurs $u$,~$z$ critiques +pour~$f(u, z)$ sont trs rapproches de $u_0$,~$\DPtypo{v_0}{z_0}$. + +Or, dans le cas actuel, $f(u, z) = \sqrt{Z}$ ne peut videmment +tendre vers l'infini que si $z$~y tend lui-mme. Les +points~$u_1$ o le prolongement de la fonction~$z$ pourrait +tre arrt sont donc ceux o $z$~devient infini et ceux o $z$~prend +une des valeurs $e_1, e_2, e_3$, critiques pour~$\sqrt{Z}$. + +Nous allons prouver: \primo que les premiers sont isols +(on pourra donc toujours les viter); \secundo que les derniers +ne sont pas des points critiques pour~$z$. Rien n'empchera +donc de prolonger la fonction dans tout le plan des~$u$. + +\Paragraph{23.}{La fonction~$z$ de~$u$ est uniforme et fractionnaire.} --- +Supposons donc que, pour $u = u_1$, $z$~devienne infini. +Posons $z = \dfrac{1}{t^2}$; l'quation diffrentielle devient +\[ +-\frac{2\, dt}{du} = \sqrt{4 - g_2t^4 - g_3t^6}. +\] + +Le radical ne s'annule pas pour $t = 0$; la dtermination +que l'on considre est donc une fonction de~$t$ uniforme +et continue dans le voisinage de $t=0$. Par consquent +l'quation diffrentielle ci-dessus dfinit une fonction~$t$ de~$u$ +elle-mme uniforme et continue dans un cercle de rayon +fini dcrit du point~$u_1$ comme centre. Or, d'aprs un thorme +connu, la fonction analytique~$t$ ne peut reprendre +dans ce cercle une infinit de fois la valeur~$0$, c'est--dire +que $z$~n'y peut prendre qu'un nombre limit de fois une +%% -----File: 047.png---Folio 43------- +valeur infinie. Les infinis de~$z$ sont donc isols dans le +plan des~$u$. + +Nous allons prouver que ce sont des ples. + +Pour cela, dveloppons en srie le second membre de +l'quation prcdente; il viendra +\[ +du = \left(1 - \frac{g_2t^4 + g_3t^6}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}dt += \left(1 + \frac{g_2}{8}\, t^4 + \frac{g_3}{8}\, t^6 + \dots\right)dt; +\] +d'o, en intgrant et tenant compte de ce que $t$~doit tre +nul pour $u=u_1$, +\[ +u - u_1 + = t\left(1 + \frac{g_2}{40}\, t^4 + \frac{g_3}{56}\, t^6 + \dots \right) +\] +et, en rsolvant par rapport ~$t$, +\[ +t = (u-u_1)\left[1 - \frac{g_2}{40}\,(u - u_1)^4 + \dots \right]; +\] +d'o +\[ +z = \frac{1}{t^2} + = \frac{1}{(u - u_1)^2} + \frac{g_2}{20}\, (u-u_1)^2 + \dots. +\] + +Ainsi $z$~est uniforme aux environs du point~$u_1$, et ce +point~$u_1$ \emph{est un ple}. + +Reste savoir si les points critiques $e_1, e_2, e_3$ de~$\sqrt{Z}$ dans +le plan des~$z$ correspondent des points $u_1, u_2, u_3$ du +plan des~$u$ qui soient critiques pour la fonction~$z$. + +Posons $z = e_1 + t^2$. L'quation diffrentielle +\[ +\frac{dz}{du} = \sqrt{Z} = \sqrt{4(z - e_1)(z - e_2)(z - e_3)} +\] +se transforme en +\[ +\frac{dt}{du} = \sqrt{(e_1 - e_2 + t^2)(e_1 - e_3 + t^2)}. +\] + +La valeur $t = 0$ n'tant pas un point critique pour le +nouveau radical, $u_1$~sera un point ordinaire pour la fonction~$t$ +de~$u$ et par consquent pour $z = e_1 + t^2$. + +De tout ceci rsulte que \emph{$z$~est une fonction analytique +uniforme et fractionnaire de~$u$}. +%% -----File: 048.png---Folio 44------- + +\Paragraph{24.}{La fonction~$z$ de~$u$ est doublement priodique.} --- A une +mme valeur~$z'$ de~$z$ l'quation diffrentielle, qu'on peut +crire +\[ +du = \frac{dz}{\sqrt{Z}}, +\] +fait correspondre une infinit de valeurs de~$u$. Cherchons-les. + +L'quation intgre donne +\[ +u = u_0 + \int_{z_0}^{z'} \frac{dz}{\sqrt{Z}}, +\] +le signe de~$\sqrt{Z}$ tant dtermin par la condition que, pour +$z = z_0$, $\sqrt{Z}$~se rduise ~$+\sqrt{Z_0}$. + +II faut chercher les diverses valeurs que peut prendre +cette intgrale %[Ilustration] +\begin{wrapfigure}[9]{l}{1.75in}%[** TN: Width-dependent break] + \Input[1.75in]{048a} +\end{wrapfigure} +lorsqu'on fait +varier le fil d'intgration suivi +de~$z_0$ ~$z'$. Menons une ligne +dtermine~$L$ entre $z_0$~et~$z'$. +Puis joignons~$z_0$ aux points +$e_1, e_2, e_3$ par des \emph{lacets} $L_1, L_2, L_3$ +composs chacun d'une +droite, d'un petit cercle et de +la mme droite parcourue en +sens inverse. + +\Subparagraph{Tout chemin $z_0MNPz'$ amnera la mme valeur de~$u$ que le +chemin dtermin~$L$ prcd d'un certain nombre de lacets.} + +Pour le prouver, observons que nous pouvons adjoindre +au chemin $z_0MNPz'$ les lignes (pointilles) $\dddot{z_0M}$, $\dddot{z_0N}$, $\dddot{z_0P}$ +condition de les parcourir deux fois en sens inverse, et sans +interposer d'autre trajet entre ces deux parcours, qui videmment +donneront une valeur nulle pour l'intgrale $\displaystyle\int\frac{dz}{\sqrt{Z}}$. + +Rappelons-nous d'autre part que l'intgrale d'une fonction +analytique~$f(z)$ a mme valeur le long de deux chemins ayant +mme point de dpart et mme point d'arrive, ne passant +ni l'un ni l'autre par des points critiques de~$f(z)$, et dont le +%% -----File: 049.png---Folio 45------- +second peut tre obtenu en dformant le premier sans +jamais le faire passer par aucun de ces points critiques. +Deux pareils chemins sont dits \emph{quivalents}. + +Cela pos, le chemin $z_0MNPz'$ peut manifestement tre +remplac par ces trois-ci parcourus conscutivement: +\[ +\dddot{z_0M}, MN, \dddot{Nz_0}; \qquad +\dddot{z_0N}, NP, \dddot{Pz_0}; \qquad +\dddot{z_0P}, Pz'. +\] + +Or d'aprs la dfinition des chemins quivalents, il est +facile de voir que le premier quivaut un lacet~$L_2$, le +second un lacet~$L_1$, le troisime au chemin~$L$. + +L'intgrale suivant le lacet~$L_1$ se compose des intgrales +suivant la droite~$z_0e_1$, suivant le petit cercle de centre~$e_1$, et +suivant la ligne de retour~$e_1z_0$. + +Or, lorsque le point~$z$ a fait une circulation complte +autour de~$e_1$, le radical~$\sqrt{Z}$ a simplement chang de signe. +Comme $dz$~change de signe galement dans le retour, le +quotient~$\dfrac{dz}{\sqrt{Z}}$ reprend exactement la mme valeur quand +$z$~repasse par les mmes points; il en rsulte que +\[ +\int_{z_0}^{e_1}\frac{dz}{\sqrt{Z}} = \int_{e_1}^{z_0}\frac{dz}{\sqrt{Z}}. +\] + +Quant l'intgrale le long du petit cercle, elle est nulle; +car cette intgrale $\displaystyle\int\frac{dz}{\sqrt{Z}}$ a son module du mme ordre de +grandeur que celui de $\displaystyle\int\frac{dz}{\sqrt{z - e_1}}$, lequel est infrieur +\[ +\int \frac{\Mod dz}{\Mod \sqrt{z - e_1}} = \int\frac{ds}{\sqrt{\rho}}, +\] +$\rho$~dsignant le rayon de la petite circonfrence et $ds$~l'lment +d'arc. Or +\[ +\int \frac{ds}{\sqrt{\rho}} + = \frac{1}{\sqrt{\rho}} \int ds + = \frac{1}{\sqrt{\rho}}\, 2\pi\rho + = 2\pi\sqrt{\rho}, +\] +quantit qui tend vers zro en mme temps que~$\rho$. +%% -----File: 050.png---Folio 46------- + +De tout ceci rsulte que l'intgrale suivant le lacet~$L_1$ se +rduit $2\displaystyle\int_{z_0}^{e_1}\frac{dz}{\sqrt{Z}}$. Posons +\[ +A_1 = \int_{z_0}^{e_1} \frac{dz}{\sqrt{Z}}, \qquad +A_2 = \int_{z_0}^{e_2} \frac{dz}{\sqrt{Z}}, \qquad +A_3 = \int_{z_0}^{e_3} \frac{dz}{\sqrt{Z}}, +\] +le signe du radical~$\sqrt{Z}$ tant dtermin par l'obligation impose + ce radical de se rduire ~$+\sqrt{Z_0}$ pour $z = z_0$; +et remarquons que, lorsque le point~$z$ revient en~$z_0$, le +radical ne reprend pas la valeur qu'il avait au moment du +dpart, mais une valeur gale et de signe contraire. De sorte +que l'intgrale prise suivant le lacet~$L_1$ est $2A_1$~ou~$-2A_1$ suivant +qu'on a dcrit avant celui-l un nombre pair ou un +nombre impair d'autres lacets. + +Enfin, la valeur de l'intgrale le long du chemin~$L$ tant +dsigne par~$I$, +\[ +I = \int_{z_0}^{z'} \frac{dz}{\sqrt{Z}}, +\] +lorsque la valeur initiale du radical est~$+\sqrt{Z_0}$, cette intgrale +aura pour valeur $+I$~ou~$-I$ suivant que $L$~aura +t prcd d'un nombre pair ou d'un nombre impair de +lacets. + +Toutes les valeurs de~$u$ rpondant une mme valeur +de~$z$ sont donc donnes par la formule +\[ +u = u_0 + 2n_1A_1 + 2n_2A_2 + 2n_3A_3 + (-1)^{n_1+n_2+n_3}I, +\] +$n_1, n_2, n_3$ tant des entiers positifs ou ngatifs dont la +somme est gale $0$~ou ~$1$ suivant que le nombre des +lacets est pair ou impair; car tout lacet qui amne l'intgrale +$+2A_i$ ($i$~tant un des nombres $1, 2, 3$) est ncessairement +suivi d'un autre amenant l'intgrale $-2A_j$ +($j = 1, 2$ ou~$3$). +%% -----File: 051.png---Folio 47------- + +Posons maintenant +\begin{align*} +A_3 - A_2 &= \int_{e_2}^{e_3} \frac{dz}{\sqrt{Z}} = \omega_1, \\ +A_1 - A_3 &= \int_{e_3}^{e_1} \frac{dz}{\sqrt{Z}} = \omega_2, \\ +A_2 - A_1 &= \int_{e_1}^{e_2} \frac{dz}{\sqrt{Z}} = \omega_3, +\end{align*} +et remplaons dans la formule prcdente $A_1$~par sa valeur +$A_3 + \omega_2$ et $A_2$~par $A_3 - \omega_1$; elle deviendra +\[ +u = u_0 + 2n_1\omega_2 - 2n_2\omega_1 + (n_1+n_2+n_3)2A_3 + + (-1)^{n_1+n_2+n_3}I, +\] +et suivant que $n_1 + n_2 + n_3$ est gal $0$~ou ~$1$, +\begin{gather*} +u = 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2 + I + u_0\\ +u = 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2 + 2A_3 - I + u_0. +\end{gather*} + +De l rsulte que $z$~est une fonction doublement priodique +de~$u$ aux priodes $2\omega_1, 2\omega_2$ dtermines en fonction +des constantes $g_2, g_3$ (dont $e_1, e_2, e_3$ sont des fonctions) par +les intgrales dfinies ci-dessus. + +Comme nous avons vu que $z$~est une fonction analytique, +uniforme et fractionnaire, c'est une fonction elliptique. + +Son ordre est~$2$; car il n'y a dans chaque paralllogramme +des priodes que deux valeurs de l'argument qui fassent +acqurir la fonction~$z$ une mme valeur. C'est ce que +montrent les deux formules ci-dessus qui ne donnent pour~$u$ +que deux valeurs \emph{distinctes}, $I + u_0$~et $2A_3 - I + u_0$. + +\Paragraph{25.}{Ples de~$z$; $z$~est une fonction~$\wp u$.} --- La fonction elliptique~$z$ +tant du second ordre et ses ples tant doubles, il +n'y en aura qu'un dans chaque paralllogramme des priodes.\ --- Cherchons +o ils sont situs. + +La valeur $u_1$ d'un ple est donne par la formule +\[ +u_1 = u_0 + \int_{z_0}^{\infty} \frac{dz}{\sqrt{Z}}. +\] +%% -----File: 052.png---Folio 48------- +valuons cette intgrale, que nous supposons prise le long +d'une ligne~$z_0z_1$ aboutissant en un point~$z_1$ d'un cercle~$C$ +dcrit de~$z_0$ comme centre avec un cercle de rayon infini. + +La fonction analytique~$\sqrt{Z}$, dont la valeur au point~$z_0$ est +bien % [Ilustration] +\begin{wrapfigure}{l}{1.5in}%[** TN: Width-dependent break] + \Input[1.5in]{052a} +\end{wrapfigure} +dtermine et gale ~$+\sqrt{Z_0}$, +est visiblement uniforme et continue +dans la rgion du plan des~$z$ borne +par le cercle~$C$, par la ligne~$z_0z_1$ et +par les trois lacets $L_1, L_2, L_3$. Son intgrale +suivant ce contour est nulle. +Cette intgrale est la somme de six +autres, prises: \primo suivant~$z_0z_1$; \secundo suivant~$C$ +dans le sens rtrograde; \tertio suivant~$z_1z_0$; \quarto suivant~$L_1$ +(c'est le seul lacet qu'on puisse suivre dans la disposition +de la figure, sans franchir un autre lacet ou la coupure~$z_0z_1$); +\cinqo suivant~$L_2$; \sexto suivant~$L_3$. + +Quand le point~$z$, aprs avoir dcrit la circonfrence~$C$, +est revenu en~$z_1$, le radical +\[ +\sqrt{Z} = \sqrt{(z - e_1)(z - e_2)(z - e_3)} +\] +a chang de signe comme le ferait videmment le radical +plus simple~$\sqrt{z^3}$ qui est la partie principale de~$\sqrt{Z}$ pour +les grandes valeurs de~$z$. Il en rsulte que +\[ +\int_{z_1}^{z_0} \frac{dz}{\sqrt{Z}} = \int_{z_0}^{z_1} \frac{dz}{\sqrt{Z}}, +\] +d'o +\[ +\int_{z_0}^{z_1} \frac{dz}{\sqrt{Z}} + + \int_{z_1}^{z_0} \frac{dz}{\sqrt{Z}} + = 2\int_{z_0}^{z_1} \frac{dz}{\sqrt{Z}}. +\] + +Lorsque $z$~est revenu en~$z_0$, le radical a pris la valeur~$-\sqrt{Z_0}$; +par suite le lacet~$L_1$ amnera la valeur $-2A_1$~de +l'intgrale; le lacet~$L_2$ qui vient ensuite, la valeur~$+2A_2$; +le lacet suivant~$L_3$ la valeur~$-2A_3$. On aura donc +\[ +2\int_{z_0}^{z_1} + \int_C - 2A_1 + 2A_2 - 2A_3 = 0. +\] +%% -----File: 053.png---Folio 49------- + +Mais l'intgrale suivant le cercle~$C$ est rigoureusement +nulle. Car elle a une valeur fixe quel que soit le rayon~$R$ +de ce cercle, et elle est du mme ordre que l'intgrale plus +simple $\displaystyle\int_C \frac{dz}{\sqrt{z^3}}$, dont le module (si $ds$~dsigne un lment +de la circonfrence) est plus petit que +\[ +\int_C \frac{\Mod dz}{\Mod \sqrt{z^3}} + = \int \frac{ ds }{R^{\frac{3}{2}}} + = \frac{ 1 }{R^{\frac{3}{2}}} 2\pi R + = \frac{2\pi}{R^{\frac{1}{2}}}, +\] +quantit aussi petite qu'on veut. + +L'quation ci-dessus, o l'on fait $\displaystyle\int_C = 0$ et o l'on +remplace $\displaystyle\int_{z_0}^{z_1}$ c'est--dire $\displaystyle\int_{z_0}^\infty$ par sa valeur $u_1 - u_0$, +donne pour valeur du ple~$u_1$ +\[ +u_1 = u_0 + A_1 - A_2 + A_3. +\] + +Tous les ples de~$z$ sont compris dans la formule gnrale +\[ +u = 2m_1 \omega_1 + 2m_2 \omega_2 + u_0 + A_1 - A_2 + A_3. +\] + +Maintenant donnons la constante d'intgration~$u_0$ la valeur +particulire +\[ +u_0 = -A_1 + A_2 - A_3; +\] +les ples seront les points +\[ +u = 2m_1 \omega_1 + 2m_2 \omega_2. +\] + +\Subparagraph{Conclusion.} --- $z$~ne sera autre chose que la fonction~$\wp u$ +construite sur les deux priodes +\[ +\omega_1 = \int_{e_2}^{e_3} \frac{dz}{\sqrt{Z}},\qquad +\omega_2 = \int_{e_3}^{e_1} \frac{dz}{\sqrt{Z}}, +\] +car les deux fonctions elliptiques $z$~et~$\wp u$ ont mmes +priodes, mmes ples, mme partie infinie~$\dfrac{1}{(u - u_1)^2}$ autour +de chacun de ces ples, et de plus mme terme constant, +savoir zro, de leur dveloppement dans le voisinage +%% -----File: 054.png---Folio 50------- +d'un ple~$u_1$, puisque nous avons trouv~\Eqref{(23)} +\[ +z = \frac{1}{(u - u_1)^2} + \frac{g_2}{20}\, (u - u_1)^2 + \dots\DPtypo{}{.} +\] + +\Subparagraph{Remarque.} --- Quand le triangle $e_1, e_2, e_3$ devient infiniment +aplati, c'est--dire quand les trois points $e_1, e_2, e_3$ sont +en ligne droite, le calcul des priodes ne prsente aucune +difficult particulire. Car si, pour fixer les ides, nous supposons +$e_3$~situ entre $e_1$~et~$e_2$, l'lment diffrentiel des +deux intgrales qui reprsentent $\omega_1$~et~$\omega_2$ ne devient pas +infini entre les deux limites. + +Il n'en est pas de mme pour l'intgrale qui exprime~$\omega_3$; +mais il est inutile de discuter cette intgrale pour savoir +comment la calculer (ce qui d'ailleurs serait facile); car +nous savons \textit{a~priori} que $\omega_3$~est gale ~$-(\omega_1 + \omega_2)$. + +\ctb +%% -----File: 055.png---Folio 51------- + + +\Chapter{III}{Les fonctions $\zeta u$ et $\sigma u$} + +La thorie des fonctions elliptiques est facilite par l'adjonction + la fonction~$\wp u$ de deux autres fonctions que +Weierstrass a nommes $\zeta u$~et~$\sigma u$ et qui sont lies d'une +faon trs simple ~$\wp u$. Au reste $\zeta u$~et~$\sigma u$ ne sont pas des +fonctions elliptiques, mais elles se rapprochent beaucoup +de ces fonctions par leurs proprits. + +\Paragraph{26.}{Dfinition de~$\zeta u$.} --- Si l'on intgrait terme terme la +srie +\[ +\wp u = \frac{1}{u^2} + \sum \left[ \frac{1}{(u - w)^2} - \frac{1}{w^2} \right] +\] +sans ajouter de constante, on obtiendrait un dveloppement +dont la convergence serait incertaine, car son terme gnral +$\dfrac{-1}{u - w} - \dfrac{u}{\DPtypo{w_2}{w^2}}$ est de l'ordre de grandeur de~$\dfrac{1}{w^2}$, et la srie +des modules de~$\dfrac{1}{w^2}$ est divergente. Mais il est facile de +rendre ce dveloppement convergent: il suffit d'ajouter + chacun de ses termes la constante~$-\dfrac{1}{w}$. Car le +terme gnral +\[ +-\frac{1}{u - w} - \frac{u}{w^2} - \frac{1}{w} + = -\frac{u^2}{w^2(u - w)} + = \frac{u^2}{1 - \dfrac{u}{w}} \frac{1}{w^3} +\] +est de l'ordre de~$\dfrac{1}{w^3}$ (voir \Ord{2}{e}~partie, ch.~I,~15). %[xref] +%% -----File: 056.png---Folio 52------- + +La srie ainsi obtenue est absolument et uniformment +convergente en toute rgion du plan qui ne contient aucun +des points +\[ +w = 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2. +\] + +C'est cette srie change de signe qu'on appelle~$\zeta u$. +Ainsi +\[ +\zeta u + = \frac{1}{u} + \sum\left(\frac{1}{u - w} + \frac{1}{w} + \frac{u}{w^2}\right) +\] +et +\[ +\zeta'(u) = -\wp u. +\] + +La fonction~$\zeta u$, ayant pour drive une fonction paire, \emph{est +une fonction impaire}. + +Elle est homogne de degr~$-1$ par rapport aux trois +lettres $u$,~$\omega_1$,~$\omega_2$. + +Elle reste invariable lorsqu'on change les priodes sans +changer les sommets du rseau, c'est--dire dans toute +transformation du premier degr. + +Elle a pour ples les points $2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2$. Ces ples +sont simples et les rsidus correspondants sont gaux ~$1$. + +\Paragraph{27.}{Dveloppement de~$\zeta u$ suivant les puissances de~$u$.} --- Du +dveloppement~\Eqref{(17)} +\[ +\wp u = \frac{1}{u^2} + c_1u^2 + c_2u^4 + \dots +\] +on dduit en intgrant, changeant de signe, et remarquant +que la diffrence $\zeta u - \dfrac{1}{u}$ s'annule pour $u = 0$, +\[ +\zeta u = \frac{1}{u} - c_1\, \frac{u^3}{3} - c_2\, \frac{u^5}{5} - \dots\DPtypo{}{.} +\] + +\Paragraph{28.}{Addition d'une priode l'argument de~$\zeta u$.} --- De la +relation +\[ +\wp(u + 2\omega_1) =\wp(u), +\] +on tire, en intgrant et changeant le signe des deux +membres, +\[ +\zeta(u + 2\omega_1) = \zeta(u) + 2\eta_1. +\] +%% -----File: 057.png---Folio 53------- + +Pour dterminer la constante~$\eta_1$, faisons $u = -\omega_1$. +Observons que $\zeta(u)$~est une fonction impaire et que par +suite $\zeta(-\omega_1) = -\zeta(\omega_1)$. Nous en concluons +\[ +\eta_1 = \zeta(\omega_1). +\] + +Le mme raisonnement et le mme calcul s'appliqueront +~$\zeta(u + 2\omega_2)$. Nous aurons donc +\begin{align*} +\zeta(u + 2\omega_1) &= \zeta(u) + 2\eta_1, \\ +\zeta(u + 2\omega_2) &= \zeta(u) + 2\eta_2, +\end{align*} +avec +\[ +\eta_1 = \zeta \omega_1,\qquad +\eta_2 = \zeta \omega_2. +\] + +On voit que la fonction~$\zeta(u)$ n'est pas doublement priodique, +mais se reproduit augmente d'une constante par +l'addition d'une priode (de~$\wp u$) son argument. + +\Paragraph{29.}{Relation entre les quatre constantes $\omega_1, \omega_2$, $\eta_1, \eta_2$.} --- +Les quatre %[Illustration] +\begin{wrapfigure}{l}{1.5in}%[** TN: Width-dependent break] + \Input[1.5in]{057a} +\end{wrapfigure} +constantes $\omega_1, \omega_2$, $\eta_1, \eta_2$ +sont lies par une relation dont +nous apercevrons la grande importance +dans la thorie des fonctions~$\theta$ +de Jacobi. On obtient cette relation +en calculant l'intgrale $\int \zeta u\, du$ +autour du paralllogramme des priodes~$O'ABC$. + +L'intgration suivant les deux cts opposs $O'A$,~$BC$ +donne +\begin{multline*} +\int_{O'A} \zeta u\, du + \int_{CB} \zeta u\, du + = \int_{O'}^{O' + 2\omega_1} \zeta(u)\, du + -\int_{O'}^{O' + 2\omega_1} \zeta(u + 2\omega_2)\, du \\ + = \int_{O'}^{O' + 2\omega_1} \bigl[\zeta(u) - \zeta(u + 2\omega_2)\bigr]\, du + = \int_{O'}^{O' + 2\omega_1} -2\eta_2\, du = -4\eta_2\omega_1. +\end{multline*} +Les deux cts $AC$,~$O'B$ donnent~$+4\omega_2\eta_1$. + +L'intgrale cherche est donc +\[ +4(\omega_2\eta_1 -\omega_1\eta_2). +\] + +Mais d'autre part cette intgrale est gale au produit de +$2\pi i$~par la somme des rsidus de la fonction~$\zeta u$ relatifs aux +%% -----File: 058.png---Folio 54------- +ples contenus dans ce paralllogramme, si l'on suppose +que le sens du parcours~$O'ACB$ est le sens direct. Or, il n'y +a qu'un ple, de rsidu~$+1$. On a donc +\[ +2(\omega_2\eta_1 - \omega_1\eta_2) = \pi i. +\] + +C'est la relation cherche. + +L'hypothse faite sur le sens du parcours implique, +comme nous l'avons vu (\Ord{1}{re}~partie, ch.~I,~4), que le rapport %[xref] +$\tau = \dfrac{\omega_2}{\omega_1}$ des priodes ait sa partie imaginaire positive. On +peut toujours supposer qu'il en est ainsi, car, dans le cas +contraire, on prendrait pour priodes $2\omega_1$~et~$-2\omega_2$, ce +qui ne change pas les sommets du rseau et par suite +n'altre pas la fonction~$\zeta u$. + +\Paragraph{30.}{La fonction~$\sigma u$.} --- Intgrons la srie +\[ +\zeta u = \frac{1}{u} + + \sum \left(\frac{1}{u - w} + \frac{1}{w} + \frac{u}{w^2}\right), +\] +et, pour rendre convergente la srie obtenue, ajoutons +chacun de ses termes la constante~$-\log w$. Le terme +gnral aura pour expression +\begin{multline*} +\log(w - u) + \frac{u}{w} + \frac{u^2}{2w^2} - \log w + = \log \left(1 - \frac{u}{w}\right) + \frac{u}{w} + \frac{u^2}{2w^2} \\ + = \left(-\frac{u}{w} - \frac{u^2}{2w^2} - \frac{u^3}{3w^3} - \dots\right) + + \frac{u}{w} + \frac{u^2}{2w^2} = -\frac{u^3}{3w^3} - \dots +\end{multline*} +Il est de l'ordre de~$\dfrac{1}{w^3}$, et par consquent la convergence +de la srie est assure. + +La fonction qu'on obtient ainsi et qu'on peut crire +\begin{multline*} +\log u + \sum \log \left(1 - \frac{u}{w}\right) + + \sum \log e^{\frac{u}{w} + \frac{u^2}{2w^2}} \\ %[** Needs attn] + = \log \left[u\prod \left(1 - \frac{u}{w}\right) e^{\frac{u}{w} + \frac{u^2}{2w^2}}\right] +\end{multline*} +%% -----File: 059.png---Folio 55------- +n'est pas uniforme; mais uniforme est la fonction qui +figure sous le signe~$\log$. C'est cette dernire qu'on appelle~$\sigma u$. +On a donc +\[ +\sigma u = u \prod \left(1 - \frac{u}{w}\right) + e^{\frac{u}{w} + \frac{u^2}{2w^2}} %[** Attn] +\] +et +\[ +\frac{d}{du} \log \sigma u = \zeta u. +\] + +\Paragraph{31.}{Proprits de~$\sigma u$.\ --- Dveloppement suivant les puissances +de~$u$.} --- La fonction~$\sigma u$ est videmment entire et +ses zros sont les points $2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2$. Ces zros sont +simples. Pour $u$~infiniment petit, la valeur principale de~$\sigma u$ +est gale ~$u$. + +Considre comme fonction des trois lettres $u$,~$2\omega_1$,~$2\omega_2$, +$\sigma u$~est homogne de degr~$1$. + +Elle reste invariable pour toute transformation du premier +degr. + +C'est une fonction impaire de~$u$. Car on a le droit, dans +l'expression de~$\sigma u$, d'crire $-w$~au lieu de~$w$, ce qui ne +fait qu'changer les termes deux deux. Si alors on change +$u$~en~$-u$, on voit que la fonction s'est reproduite, mais +change de signe. + +Enfin si l'on intgre le dveloppement~\Eqref{(27)} +\[ +\zeta u = \frac{1}{u} - c_1\, \frac{u^3}{3} - c_2\, \frac{u^5}{5} - \dots +\] +et qu'on remarque que, pour $u = 0$, $\log\sigma u - \log u$ +s'annule, il vient +\begin{align*} %[** TN: Re-aligned] +\log \sigma u + &= \log u - c_1\, \frac{u^4}{3\centerdot4} - c_2\, \frac{u^6}{5\centerdot6} - \dots \\ +\sigma u + &= u\centerdot e^{-c_1\, \frac{u^4}{3\centerdot4} - c_2\, \frac{u^6}{5\centerdot6} - \dots} \\ + &= u(1 + d_1 u^4 + d_2u^6 + \dots). +\end{align*} +%% -----File: 060.png---Folio 56------- + +\Paragraph{32.}{Addition d'une priode l'argument de~$\sigma u$.} --- Intgrons +l'quation +\[ +\zeta(u + 2\omega_1) = \zeta u + 2\eta_1; +\] +on trouve +\begin{gather*} +\log \sigma(u + 2\omega_1) = \log \sigma u + 2\eta_1 u + \text{const.}, \\ +\sigma(u + 2\omega_1) = Ce^{2\eta_1 u}\, \sigma u. +\end{gather*} + +Pour dterminer la constante~$C$, faisons $u =-\omega_1$, et +remarquons que, $\sigma u$~tant une fonction impaire, nous aurons +$\sigma(-\omega_1) = -\sigma\omega_1$; il viendra +\[ +C = -e^{2\eta_1\omega_1}. +\] + +Le mme calcul se faisant pour la priode $2\omega_2$, nous +aurons +\begin{align*} +\sigma(u + 2\omega_1) &= -e^{2\eta_1(u + \omega_1)}\, \sigma u, \\ +\sigma(u + 2\omega_2) &= -e^{2\eta_2(u + \omega_2)}\, \sigma u. +\end{align*} +Ces formules montrent que $\sigma u$~n'est pas une fonction elliptique, +ce que nous montrait d'ailleurs \textit{a~priori} le fait que +$\sigma u$~est une fonction entire; $\sigma u$~est une \emph{fonction doublement +priodique de troisime espce}. M.~Hermite a appel +ainsi les fonctions analytiques uniformes qui, lorsqu'on +ajoute une \emph{priode} leur argument, se reproduisent multiplies +par un facteur exponentiel dont l'exposant est une +fonction linaire de l'argument. Quand ce facteur se rduit + une constante, on a affaire une \emph{fonction doublement +priodique de deuxime espce}. + +\Paragraph{33.}{Rappel des formules fondamentales relatives $\wp u$, $\zeta u$, +$\sigma u$.} --- Si l'on pose $w = 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2$, on a +\begin{gather*} +\wp u = \frac{1}{u^2} + + \sum{\left[\frac{1}{(u - w)^2} - \frac{1}{w^2}\right]}; \\ +\zeta u = \frac{1}{u} + + \sum{\left(\frac{1}{u - w} + \frac{1}{w} + \frac{u}{w^2}\right)}; \\ +\sigma u + = u\prod \left(1 - \frac{u}{w}\right) e^{\frac{u}{w} + \frac{u^2}{2w^2}}; \displaybreak[0]\\ +%% -----File: 061.png---Folio 57------- +\zeta' u = -\wp u; \qquad \frac{d}{du} \log \sigma u = \zeta u; \\ +\wp(u + 2\omega_1) = \wp(u + 2\omega_2) = \wp u; \\ +\zeta(u + 2\omega_1) = \zeta u + 2\eta_1, \qquad +\zeta(u + 2\omega_2) = \zeta u + 2\eta_2, \\ +\sigma(u + 2\omega_1) = -e^{2\eta_1(u + \omega_1)}\, \sigma u, \qquad +\sigma(u + 2\omega_2) = -e^{2\eta_2(u + \omega_2)}\, \sigma u. +\end{gather*} +Rappelons enfin les formules +\[ +\eta_1 = \zeta\omega_1, \qquad +\eta_2 = \zeta\omega_2, \qquad +2(\omega_2\eta_1 - \omega_1\eta_2) = \pi i. +\] + +\ctb +%% -----File: 062.png---Folio 58------- + + +\Chapter{IV}{Expression des fonctions elliptiques +par les fonctions $\sigma$, $\zeta$, $\wp$} + +Toute fonction elliptique~$f(u)$ aux priodes $2\omega_1, 2\omega_2$ +peut tre exprime d'une manire trs simple soit par des +fonctions~$\sigma$, soit par des fonctions~$\zeta$, soit par une fonction~$\wp$ +ayant les mmes priodes. + +\Paragraph{34.}{Expression par un quotient de fonctions~$\sigma$.} --- Il faut +avoir dtermin les zros $a_1, a_2, \dots, a_n$ et les ples $b_1, +b_2, \dots, b_n$ de~$f(u)$ situs dans un paralllogramme des +priodes\footnotemark. +\footnotetext{Ou, plus gnralement, les zros distincts et les ples distincts, + c'est--dire tels que deux d'entre eux aient une diffrence non gale + une priode $2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2$.} +On sait que la somme des zros ne diffre de +la somme des ples que par la somme de multiples des +deux priodes: +\[ +a_1 + a_2 + \dots + a_n = b_1 + b_2 + \dots + b_n + 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2. +\] + +Si du paralllogramme considr on se transporte dans +celui dont un sommet diffre du sommet homologue de celui-l +prcisment de $2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2$, on y trouvera un +ple~$b'_n$, par exemple, homologue de~$b_n$ et tel que +\[ +b'_n = b_n + 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2, +\] +en sorte que la relation prcdente prend la forme plus +%% -----File: 063.png---Folio 59------- +simple (o $b_n$~a t rcrit pour~$b'_n$, par raison de symtrie) +\[ +a_1 + a_2 + \dots + a_n = b_1 + b_2 + \dots + b_n. +\] + +Cela pos, la fonction +\[ +\frac{\sigma(u - a_1)\dots\sigma(u - a_n)} + {\sigma(u - b_1)\dots\sigma(u - b_n)} +\] +a les mmes zros et les mmes ples que~$f(u)$. + +C'est d'ailleurs une fonction elliptique aux mmes priodes +$2\omega_1, 2\omega_2$. + +Car si l'on y change $u$~en~$u + 2\omega_1$, par exemple, elle se +reproduit~\Eqref{(32)} multiplie par +\[ + \frac{(-1)^n e^{2\eta_1(u - a_1 + \omega_1)} \dots e^{2\eta_1(u - a_n + \omega_1)}} + {(-1)^n e^{2\eta_1(u - b_1 + \omega_1)} \dots e^{2\eta_1(u - b_n + \omega_1)}} + = \frac{e^{2\eta_1[n(u + \omega_1) - (a_1 + \dots + a_n)]}} + {e^{2\eta_1[n(u + \omega_1) - (b_1 + \dots + b_n)]}} + =1. +\] +On aura donc +\[ +f(u) = C\frac{\sigma(u - a_1)\dots\sigma(u - a_n)} + {\sigma(u - b_1)\dots\sigma(u - b_n)}. +\] + +Pour dterminer le facteur constant~$C$, on donnera ~$u$ +une valeur particulire pour laquelle on exprimera que les +deux membres sont gaux (ou ont mme valeur principale, +s'ils sont nuls ou infinis). + +Si quelques zros ou quelques ples sont multiples, on +fera dans cette formule $a_1 = a_2 = \dots$ ou $b_1 = b_2 = \dots$\DPtypo{}{.} + +\Paragraph{35.}{Expression par $\zeta$~et ses drives.} --- Ce procd exige +que l'on connaisse les ples \emph{distincts} $a, b, \dots$ de~$f(u)$, +leurs degrs respectifs de multiplicit $\alpha, \beta, \dots$ et le dveloppement +de la partie infinie de~$f(u)$ autour de chacun +d'eux +\[ +\frac{A_\alpha}{(u - a)^\alpha} + \dots + \frac{A_1}{u - a}, \qquad +\frac{B_\beta}{(u - b)^\beta} + \dots + \frac{B_1}{u - b}, \qquad\dots\DPtypo{}{.} +\] + +Nous allons montrer qu'on aura +%% -----File: 064.png---Folio 60------- +\begin{multline*} +f(u) = A_1\zeta(u - a) - A_2\zeta'(u - a) + \dots + + \frac{(-1)^{\alpha-1}A_\alpha}{1 \centerdot 2 \dots (\alpha-1)}\, + \zeta^{(\alpha-1)}(u - a) \\ + + B_1\zeta(u - b) - B_2\zeta'(u - b) + \dots + + \frac{(-1)^{\beta-1}A_\beta}{1 \centerdot 2 \dots (\beta-1)}\, + \zeta^{(\beta-1)}(u - b) \\ + + \dots + \text{const.} +\end{multline*} + +Car, si l'on accrot~$u$ de la priode~$2\omega_1$ par exemple, $\zeta u$~s'accrot +de~$2\eta_1$; ses drives restent invariables; le second +membre s'accrot donc de $2\eta_1(A_1 + B_1 + \dots)$, quantit +qui est nulle, puisque la somme $A_1 + B_1 + \dots$ des +rsidus est gale zro (\Ord{1}{re}~partie, chap.~III,~9). %[xref] + +Par consquent, ce second membre est une fonction +elliptique. + +D'ailleurs, dans un paralllogramme des priodes, $\zeta(u-a)$~n'a +qu'un seul ple, $a + \text{priode}$; et aux environs de +ce ple unique, les dveloppements de~$\zeta(u-a)$ et de +ses drives $\zeta'(u-a), \dots, \zeta^{(\alpha-1)}(u - a)$ ont pour +partie infinie respectivement +\[ +\frac{1}{(u - a)}, \qquad +\frac{-1}{(u-a)^2}, \qquad \dots, \qquad +\frac{(-1)^{\alpha-1} \centerdot 1 \centerdot 2 \dots(\alpha-1)} + {(u-a)^\alpha}. +\] + +Il en rsulte que le second membre a bien autour de +chaque ple mme partie infinie que~$f(u)$. Il ne diffre +donc de~$f(u)$ que par une constante, qu'on dterminera de +telle sorte que la diffrence s'annule. + +\Paragraph{36.}{Application. Intgration des fonctions elliptiques.} --- +Cette dcomposition d'une fonction elliptique en une +somme d'lments simples permet d'intgrer cette fonction. +Car nous aurons, en intgrant les deux membres de +l'quation du numro prcdent, +\begin{multline*} +\int fu\, du = A_1d\log{\sigma(u-a)} - A_2 \zeta{(u - a)} + \dots \\ + + \frac{(-1)^{\alpha-1}A_\alpha}{1\centerdot 2 \dots {(\alpha-1)}} + \zeta^{(\alpha-2)}(u - a) + B_1d\log \sigma(u - b) - \dots + Cu + C'. +\end{multline*} +%% -----File: 065.png---Folio 61------- + +\Paragraph{37.}{Expression par $\wp u$~et~$\wp' u$.} --- \primo Supposons que $f(u)$~soit +une fonction paire. Si elle admet un zro~$a_1$, elle admettra +un zro~$-a_1$, (avec le mme degr de multiplicit~$\alpha_1$). +Soient donc $a_1, \dots, a_n$ ceux de ses zros +distincts \emph{qui ne sont pas des priodes}; $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ leurs +degrs respectifs de multiplicit; de mme soient +\[ +b_1, \dots, b_n +\] +ses ples distincts \emph{qui ne sont pas des priodes}; $\beta_1, \dots, \beta_n$ +leurs degrs de multiplicit. On aura +\[ +f(u) = C\, + \frac{{(\wp u - \wp a_1)}^{\alpha_1} (\wp u - \wp a_2)^{\alpha_2} \dots} + {{(\wp u - \wp b_1)}^{\beta_1} (\wp u - \wp b_2)^{\beta_2} \dots}, +\] +$C$~dsignant une constante. En effet, les deux membres de +cette quation sont deux fonctions elliptiques qui ont leurs +zros communs et leurs ples communs, sauf peut-tre +ceux des zros et ceux des ples qui sont des priodes. +Mais si une priode est un zro, toutes les priodes en sont, +et si une priode est un ple, toutes en sont galement. Or +le quotient de $f(u)$~par le second membre est une fonction +elliptique; si cette fonction ne se rduisait pas une constante~$C$, +elle admettrait les priodes la fois pour zros +et pour ples, ce qui est impossible. + +\secundo Supposons que $f(u)$~ne soit pas une fonction paire. + +On peut l'crire identiquement +\[ +f(u) = \frac{f(u) + f(-u)}{2} + \frac{f(u) - f(-u)}{2\wp' u}\,\wp' u. +\] + +Or $\dfrac{f(u) + f(-u)}{2}$ est videmment une fonction paire; +de mme $\dfrac{f(u) - f(-u)}{2\wp' u}$ (car $f(u) - f(-u)$ est impaire +et $\wp' u$~impaire galement). On peut exprimer ces +deux fonctions elliptiques paires rationnellement au moyen +de~$\wp u$. + +On en conclut que \emph{$f(u)$~peut tre exprime rationnellement +en fonction de $\wp u$~et~$\wp' u$}. +%% -----File: 066.png---Folio 62------- + +\begin{Theorem}{38.} --- Deux fonctions elliptiques aux mmes +priodes sont lies par une relation algbrique. +\end{Theorem} + +Car si l'on exprime ces deux fonctions $f(u)$,~$\varphi(u)$ au +moyen de $\wp u$,~$\wp' u$ on obtient deux relations qui, jointes +celle qui existe entre $\wp u$~et~$\wp' u$ (\Ord{2}{e}~partie, chap.~I,~18), %[xref] +permettront d'liminer ces deux dernires quantits, et +conduiront une quation algbrique entre $f(u)$~et~$\varphi(u)$. +%** Explicit skip? + +Il est facile d'valuer le degr de cette quation par rapport +~$f$ et ~$\varphi$. Soit $m$~l'ordre de~$f$. A chaque valeur particulire~$f_0$ +de~$f$ correspondent, dans un paralllogramme +des priodes, $m$~valeurs de~$u$, savoir $u_0, u_1, \dots, u_m$, +et par consquent, \emph{en gnral}, $m$~valeurs distinctes de~$\varphi$, +savoir $\varphi(u_0), \dots, \varphi(u_m)$. De mme si $\mu$~est l'ordre de~$\varphi$, + chaque valeur de~$\varphi$ correspondent $\mu$~valeurs de~$f$ (en +gnral). L'quation sera donc au plus (et ce sera le cas gnral) +du degr~$m$ par rapport ~$\varphi$ et du degr~$\mu$ par rapport +~$f$. + +Ces degrs peuvent d'ailleurs s'abaisser, par exemple +quand $f$~et~$\varphi$ sont des fonctions paires de~$u$. Car si la +valeur~$f_0$ de~$f$ correspond la valeur~$u_1$ de~$u$, cette mme +valeur~$f_0$ correspond aussi la valeur $-u_1 + \text{priode}$. +Mais ces deux valeurs de~$u$ ne rpond qu'une seule valeur +de~$\varphi$. L'quation sera donc de degr~$\dfrac{m}{2}$ par rapport ~$\varphi$ +et, pour la mme raison, de degr~$\dfrac{\mu}{2}$ par rapport ~$f$. + +\Paragraph{39.}{Relation entre une fonction elliptique et sa transforme.} --- +Soit $f(u,\omega_1,\omega_2)$ une fonction elliptique aux priodes +$2\omega_1, 2\omega_2$. A ces priodes on en substitue deux autres +$2\omega'_1, 2\omega'_2$ lies aux premires par les relations +\begin{align*} +2\omega_1 &= a\centerdot 2\omega'_1 + b\centerdot 2\omega'_2, \\ +2\omega_2 &= c\centerdot 2\omega'_1 + d\centerdot 2\omega'_2. +\end{align*} + +Les sommets du premier rseau font videmment tous +%% -----File: 067.png---Folio 63------- +partie du second rseau (la rciproque n'est pas vraie, +moins que la transformation ne soit du premier degr). De +l rsulte que la fonction elliptique \emph{transforme} $f(u, \omega'_1, \omega'_2)$ +admet les priodes $2\omega_1, 2\omega_2$. + +Par consquent, \emph{la fonction elliptique~$f(u)$ est lie sa +transforme par une quation algbrique}. + +Nous avons annonc (\Ord{1}{re}~partie, chap.~II,~7) et nous prouverons %[xref] +bientt que la transforme de~$\wp u$ est une fonction +rationnelle de~$\wp u$. C'est l une des supriorits de la fonction~$\wp u$. + +\begin{Theorem}{40.} --- Toute fonction elliptique~$f(u)$ est lie +sa drive par une quation algbrique. +\end{Theorem} + +Car $f(u)$~et~$f'(u)$ sont deux fonctions elliptiques aux +mmes priodes. + +Si $u_1$~est un ple de degr~$\alpha_1$ de~$f(u)$, ce sera un ple +de degr~$\alpha + 1$ de~$f'(u)$. L'ordre~$\mu$ de~$f'(u)$ surpassera +donc l'ordre~$m$ de~$f(u)$ d'autant d'units qu'il y a de ples +distincts de~$f(u)$. Supposons qu'il y en ait~$k$. + +L'quation entre $f(u)$~et~$f'(u)$ sera du degr~$m$ par rapport +~$f'(u)$ et du degr~$m + k$ par rapport ~$f(u)$. + +Ce thorme est d'une importance capitale. Il montre +que certaines quations du premier ordre de la forme +\[ +F \left(z, \frac{dz}{du}\right) = 0 +\] +o ne figure pas explicitement la variable indpendante~$u$, +algbriques par rapport ~$z$ et ~$\dfrac{dz}{du}$, et de degr~$m$ par +rapport cette drive, peuvent tre intgres au moyen +d'une fonction elliptique $z = f(u)$ d'ordre~$m$. + +Reconnatre directement sur l'quation s'il en est ainsi +et intgrer dans ce cas est un problme qui a t rsolu +compltement par Briot et Bouquet. + +\ctb +%% -----File: 068.png---Folio 64------- + + +\Chapter[Addition des arguments pour la fonction $\wp u$.\ --- +Multiplication de l'argument]% +{V}{Addition des arguments pour la fonction $\wp u$. +Multiplication de l'argument} + +\Paragraph{41.}{Addition des arguments.} --- Notre but est de montrer +que \emph{$\wp(u + v)$ s'exprime rationnellement en fonction de +$\wp u$,~$\wp v$, $\wp' u$,~$\wp' v$}. + +\primo Cherchons l'expression de $\wp u - \wp v$. Considre +comme fonction de la variable~$u$, cette diffrence admet, +aux priodes prs, un seul ple (double) $u = 0$. Elle est +donc du second ordre; par suite elle n'admet \emph{que deux zros} +distincts qui sont videmment $u = v$. Elle sera donc +\Eqref{(34)} de la forme +\[ +\wp u - \wp v = C\, \frac{\sigma(u + v)\sigma(u - v)}{\sigma^2 u}. +\] + +Pour dterminer la constante~$C$, il suffit d'identifier les +valeurs principales pour~$u$ infiniment petit, en se rappelant +que la valeur principale de~$\wp u$ est~$\dfrac{1}{u^2}$ \Eqref{(17)}~et que celle de +$\sigma u$~est $u$~\Eqref{(31)}. On trouve ainsi +\[ +\frac{1}{u^2} = -\frac{C\, \sigma^2 v}{u^2},\qquad +C = -\frac{1}{\sigma^2 v}; +\] +d'o l'expression cherche +\[ +\wp u - \wp v = - \frac{\sigma(u + v) \sigma(u - v)}{\sigma^2 u\, \sigma^2 v}. +\] + +\secundo Prenons la drive logarithmique des deux membres +%% -----File: 069.png---Folio 65------- +par rapport ~$u$, il viendra +\[ +\frac{\wp' u}{\wp u - \wp v} = \zeta(u + v) + \zeta(u - v) - 2\zeta u. +\] + +Cette formule, quand on y change $u$~et~$v$, devient +($\zeta$~tant impaire) +\[ +\frac{-\wp' v}{\wp u - \wp v} = \zeta(u + v) - \zeta(u - v) - 2\zeta v. +\] +Ajoutons celle-ci la premire et divisons par~$2$: +\[ +\frac{1}{2}\, \frac{\wp' u - \wp' v}{\wp u - \wp v} + = \zeta(u + v) - \zeta u - \zeta v. +\] + +Diffrentions encore par rapport ~$u$: +\[ +\wp(u + v) - \wp u + = -\frac{1}{2}\, \frac{d}{du}\, + \frac{\wp\DPtypo{}{'} u - \wp' v}{\wp u - \wp v}. +\] + +Si, aprs avoir effectu la diffrentiation du second membre, +nous remplaons~$\wp''u$ par sa valeur~\Eqref{(19)} $6\wp^2 u - \dfrac{1}{2}\, g_2$, +nous obtenons $\wp(u + v)$ en fonction rationnelle de +$\wp u$,~$\wp v$, $\wp' u$,~$\wp' v$, comme nous l'avions annonc. Mais la +formule ainsi obtenue ne serait pas symtrique en $u$~et~$v$. + +\tertio Pour arriver une formule symtrique nous dirigerons +le calcul de la manire que voici. Effectuons +\[ +\frac{d}{du}\, \frac{\wp' u - \wp' v}{\wp u - \wp v} + = \frac{\wp''u(\wp u - \wp v) - \wp'u(\wp' u - \wp' v)}{(\wp u - \wp v)^2}. +\] + +Si nous remplaons $\wp'' u$ par sa valeur $6\wp^2 u - \dfrac{1}{2}\, g_2$ et +$\wp'^2 u$~par sa valeur $4\wp^2 u - g_2 \wp u - g_3$, le numrateur du +second membre devient +\begin{multline*} +(\wp u - \wp v) \left(6\wp^2 u - \frac{1}{2}\, g_2 \right) + - (4\wp^3 u - g_2 \wp u - g_3) + \wp' v \, \wp'u \\ + = 2\wp^3 u + \frac{1}{2}\, g_2 \wp u + g_3 - 6\wp^2 u\, \wp v + + \frac{1}{2}\, g_2 \wp v + \wp' v\, \wp' u. +\end{multline*} + +De l rsulte +%% -----File: 070.png---Folio 66------- +\begin{align*} +\wp(u + v) + &= \wp u - \frac{1}{2}\, \frac{d}{du}\, + \frac{\wp' u - \wp' v}{\wp u - \wp v} \\ + &= \frac{ \left\{ + \begin{gathered} + 2\wp^2 u\, \wp v + 2\wp u\, \wp^2 v + - \left(\frac{1}{2}\, g_2 \wp u + \frac{1}{2} g_3 \right) \\ + - \left(\frac{1}{2}\, g_2 \wp v + \frac{1}{2} g_3 \right) - \wp' v\, \wp' u + \end{gathered} + \right.}{2(\wp u - \wp v)^2}. +\end{align*} + +Si au numrateur du second membre on remplace +$g_2 \wp + g_3$ par sa valeur $-\wp'^2 + 4\wp^3$, ce numrateur devient +\begin{align*} +2 \wp^2 u\, \wp v + &+ 2 \wp u\, \wp^2 v + \frac{1}{2} (\wp'^2 u - 4\wp^3) + + \frac{1}{2} (\wp'^2 v - 4 \wp^3 v) - \wp' v\, \wp' u \\ + &= 2\wp^2 u(\wp v - \wp u) + 2\wp^2 v(\wp u - \wp v) + + \frac{1}{2} (\wp' u - \wp' v)^2 \\ + &= -2(\wp u + \wp v) (\wp u - \wp v)^2 + \frac{1}{2} (\wp' u - \wp' v)^2. +\end{align*} +Finalement on obtient +\[ +\wp(u + v) = -\wp u - \wp v + + \frac{1}{4}\, \left(\frac{\wp' u - \wp' v}{\wp u - \wp v}\right)^2. +\] + +Telle est l'importante formule de \emph{l'addition des arguments} +pour la fonction~$\wp u$. + +\Paragraph{42.}{Multiplication de l'argument par~$2$.} --- Si dans cette +formule nous faisons tendre~$v$ vers~$u$, nous aurons +\[ +\wp 2u = -2\wp u + \frac{1}{4}\, \frac{\wp''^2 u}{\wp'^2 u} + = \frac{1}{4}\, + \frac{\left(6\wp^2 u - \dfrac{1}{2}\, g_2 \right)^2} + {4\wp^3 u - g_2 \wp u - g_3}. +\] + +Une diffrentiation fournirait~$\wp' 2u$. + +Faisant ensuite dans la formule d'addition +\[ +v = 2u, 3u, \dots, +\] +on obtiendrait des formules pour la multiplication de l'argument +de~$\wp u$ par un entier quelconque. + +Nous y parviendrons, au chapitre suivant, d'une manire +plus lgante. + +\ctb +%% -----File: 071.png---Folio 67------- + + +\Chapter[Multiplication de l'argument de $\wp u$ (\textit{suite}).\ --- +Division de l'argument]% +{VI}{Multiplication de l'argument de $\wp u$ (\textit{suite}). +Division de l'argument} + +\Paragraph{43.}{} Reprenons la formule~\Eqref{(41)} +\[ +\wp u - \wp v + = -\frac{\sigma(u + v)\sigma(u - v)}{\sigma^2 u\, \sigma^2 v}, +\] +et remplaons-y $u$~par~$nu$ et $v$~par~$u$; elle devient +\[ +\wp nu - \wp u + = -\frac{\sigma(n + 1)u\, \sigma(n - 1)u}{\sigma^2 nu\, \sigma^2 u} + = -\frac{\dfrac{\sigma(n + 1)u}{[\sigma u]^{(n+1)^2}}\, + \dfrac{\sigma(n - 1)u}{[\sigma u]^{(n-1)^2}}} + {\left[\dfrac{\sigma\, nu}{(\sigma u)^{n^2}} \right]^2}; +\] +expression qui, si l'on y pose +\[ +\psi_n u = \frac{\sigma\, nu}{(\sigma u)^{n^2}}, +\] +devient son tour +\[ +\wp nu - \wp u = - \frac{\psi_{n+1} \psi_{n-1}}{\psi^2_n}. +\] + +C'est en exprimant les fonctions~$\psi$ au moyen de $\wp u$,~$\wp' u$ +suivant la rgle indique prcdemment (\Ord{2}{e}~partie, ch.~IV,~17) %[xref] +que nous obtiendrons la reprsentation cherche de~$\wp u$. + +\Paragraph{44.}{tude de la fonction~$\psi_n u$.} --- Pour prouver que $\psi_n u$~est +une fonction elliptique, cherchons l'effet sur~$\sigma\, nu$ du changement +de~$u$ en~$u + 2\omega_1$ et~$u + 2\omega_2$. Nous aurons par +%% -----File: 072.png---Folio 68------- +exemple~\Eqref{(39)} +\[ +\begin{array}{r@{}r@{}l} +& \sigma(nu + 2\omega_1) + &{}= -e^{2\eta_1(nu + \omega_1)}\, \sigma\, nu, \\ +\sigma(nu + 4\omega_1) + &{}= \sigma(nu + 2\omega_1 + 2\omega_1) + &{}= -e^{2\eta_1(nu + 2\omega_1 + \omega_1)}\, \sigma (nu + 2\omega_1) \\ +& &{}=e^{2\eta_1\bigl[2nu + \omega_1(1+3)\bigr]}\, \sigma\, nu. \\ +\hdotsfor[5]{3} \\ +\sigma(nu + 2n\omega_1) + &\multicolumn{2}{l}{% + {}= (-1)^n e^{2\eta_1\bigl[n\centerdot nu + + \omega_1(1 + 3 + 5 + \dots + 2n - 1)\bigr]}} \\ +& &{}=(-1)^n\, e^{2\eta_1(n^2u + n^2\omega_1)}\, \sigma\, nu. +\end{array} +\] +Cela pos, on a +\begin{align*} +\psi_n(u + 2\omega_1) + = \frac{\sigma(nu + 2n\omega_1)}{\bigl[\sigma(u + \omega_1)\bigr]^{n^2}} + &= \frac{(-1)^n\, e^{2\eta_1 n^2(u + \omega_1)}\, \sigma\, nu} + {[-e^{2\eta_1(u + \omega_1)}]^{n^2}\, (\sigma u)^{n^2}} \\ + &= \frac{(-1)^n}{(-1)^{n^2}}\, \frac{\sigma\, nu}{(\sigma u)^{n^2}} + = \frac{\sigma\, nu}{(\sigma u)^{n^2}} = \psi_nu; +\end{align*} +$\psi_n u$~est donc une fonction elliptique aux priodes $2\omega_1, 2\omega_2$. + +Passons la reprsentation de~$\psi_n u$ au moyen de~$\wp u$. + +Comme $\sigma u$~est une fonction entire, $\psi_n u$~n'a d'autres +ples que les zros de~$\sigma u$, qui sont tous des priodes. + +Ensuite, les zros de~$\psi_n u$ sont ceux de~$\sigma\, nu$; ils sont +donc donns par la formule +\begin{align*} +nu &= 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2, \\ +\intertext{d'o} +u &= \frac{2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2}{n}. +\end{align*} +Ces zros sont simples. Cherchons ceux d'entre eux qui ne +sont pas des priodes et qui sont distincts. On les trouvera +tous en attribuant $m_1, m_2$ les valeurs $0, 1, \dots, n-1$ +(sauf la combinaison $m_1 = m_2 = 0$). Cela fait en tout +$n^2 - 1$~zros. + +Mais ces $n^2 - 1$ zros ne sont pas encore tous distincts. +Ici deux cas sont distinguer. + +\primo \emph{$n$~est impair.} --- A chaque zro $\dfrac{2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2}{n}$ en correspond +un autre +\[ +\frac{2(n - m_1)\omega_1 + 2(n - m_2)\omega_2}{n} +\] +qui n'en est pas distinct, puisque la somme de ces deux +%% -----File: 073.png---Folio 69------- +zros est $2\omega_1 + 2\omega_2$. Il n'y a donc que $\dfrac{n^2 - 1}{2}$ zros distincts. +Quant aux ples, nous l'avons dit, tous sont des +priodes. Aucun dnominateur ne figurera donc dans la +reprsentation de la fonction paire~$\psi_n u$ au moyen de~$\wp(u)$, +et l'on aura, en appliquant la formule du \no37, %[xref] +\[ +\psi_n u = n\prod\left[ + \wp u - \wp \left(\frac{2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2}{n} \right) \right] = P_1, +\] +$P_1$~tant un polynme de degr~$\dfrac{n^2-1}{2}$ en~$\wp u$. Le facteur +constant est bien gal ~$n$; car les valeurs principales +des deux membres pour~$u$ infiniment petit sont toutes +deux gales ~$\dfrac{n}{u^{n^2 - 1}}$. + +\secundo \emph{$n$~est pair.} --- On doit mettre part les trois systmes +de valeurs +\[ +\left(m_1 = \frac{n}{2}, m_2 = 0\right), \ +\left(m_1 = 0, m_2 = \frac{n}{2}\right), \ +\left(m_1 = \frac{n}{2}, m_2 = \frac{n}{2}\right), +\] +pour lesquelles les zros de~$\psi_n u$ sont $\omega_1, \omega_2, \omega_1 + \omega_2$. +Mais ces trois zros sont prcisment des zros de~$\wp' u$. Il +reste $n^2 - 4$~zros, qui peuvent tre rapprochs deux deux +comme prcdemment et dont $\dfrac{n^2 - 4}{2}$ seulement sont +distincts. La fonction elliptique paire~$\dfrac{\psi_n u}{\wp' u}$ pourra s'exprimer +rationnellement au moyen de~$\wp u$; et l'on aura +\[ +\psi_n u = -\frac{n}{2} \wp' u + \prod\left[\wp u - \wp\left(\frac{2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2}{n} \right)\right] + = P_2 \wp' u; +\] +le signe~$\displaystyle\prod$ portant sur $\dfrac{n^2-4}{2}$~facteurs, et $P_2$~dsignant +un polynme de degr~$\dfrac{n^2-4}{2}$ en~$\wp u$. + +\Paragraph{45.}{Multiplication de l'argument de~$\wp u$ par~$n$.} --- Tout ceci +tant acquis, la formule ci-dessus~\Eqref{(43)} +\[ +\wp nu - \wp u = -\frac{\psi_{n+1} \psi_{n-1}}{\psi_n^2} +\] +%% -----File: 074.png---Folio 70------- +rsout le problme de la multiplication de l'argument de~$\wp u$ +par~$n$, c'est--dire permet de former l'expression de \emph{$\wp nu$~en +fonction rationnelle de~$\wp u$}: + +\primo \emph{$n$~tant pair}, et par consquent $n + 1$~et~$n - 1$ +impairs, on a +\[ +\psi_n = P_1, \qquad +\psi_{n+1} = Q_1 \wp' u, \qquad +\psi_{n-1} = R_1 \wp' u, +\] +$P_1, Q_1, R_1$ tant des polynmes en~$\wp u$. On voit donc que +\[ +\wp nu = \wp u - \wp'^2 u\, \frac{Q_1R_1}{P_1^2} + = \wp u - (4\wp^3 - g_2 \wp - g_3)\, \frac{Q_1R_1}{P_1^2} +\] +s'exprime rationnellement en fonction de~$\wp u$. + +\secundo \emph{$n$~tant impair}, et par consquent $n+1$~et~$n-1$ +pairs, on a +\begin{gather*} +\psi_n = P_2 \wp' u, \qquad +\psi_{n+1} = Q_2, \qquad +\psi_{\DPtypo{n-2}{n-1}} = R_2, \\ +\wp nu = \wp u - \frac{Q_2R_2}{P_2\DPtypo{}{^2}\, \wp'^2 u} + = \wp u - \frac{Q_2R_2}{P_2\DPtypo{}{^2} (4\wp^3 - g_2 \wp - g_3)}; +\end{gather*} +$\wp nu$ est toujours une fonction rationnelle de~$\wp u$. + +\Paragraph{46.}{Calcul des polynmes $P_1, P_2$.} --- Il est facile de calculer +en fonction des deux invariants $g_2, g_3$ les coefficients +des deux polynmes $P_1, P_2$ dont le premier +\[ +\left(\text{de degr } \frac{n^2 - 1}{2} \text{ en } \wp u \right) +\] +reprsente $\psi_n u = \dfrac{\sigma\, nu}{(\sigma u)^{n^2}}$ quand $n$~est pair, et le second +$\!\left(\!\!\text{de degr } \dfrac{n^2 - 4}{2}\!\right)$ reprsente $\dfrac{\psi_n u}{\wp' u} = \dfrac{1}{\wp' u}\, \dfrac{\sigma\, nu}{(\sigma u)^{n^2}}$ quand +$n$~est impair: +\begin{align*} %[** TN: Aligned] +P_1 &= \alpha \wp^{\frac{n^2 - 1}{2}} + + \alpha_1 \wp^{\frac{n^2 - 1}{2}-1} + \dots + = \frac{\sigma\, nu}{(\sigma u)^{n^2}}, \\ +P_2 &= \beta \wp^{\frac{n^2 - 4}{2}} + + \beta_1 \wp^{\frac{n^2 - 4}{2} - 1} + \dots + = \frac{1}{\wp' u}\, \frac{\sigma\, nu}{(\sigma u)^{n^2}}. +\end{align*} + +On obtient $\alpha, \alpha_1, \dots$, $\beta, \beta_1, \dots$ par la mthode des +coefficients indtermins, en remplaant dans les deux +%% -----File: 075.png---Folio 71------- +quations prcdentes $\wp u$,~$\wp' u$, $\sigma u$,~$\sigma\, nu$ par leurs dveloppements +\begin{align*} +\wp u &= \frac{1}{u^2} + c_1 u^2 + c_2 u^4 + \dots, & + \wp' u &= -\frac{2}{u^3} + 2c_1 u + 4c_2 u^3 + \dots; \\ +\sigma u &= u(1 + d_1 u^4 + \dots) & +\sigma\, nu &= nu(1 + d_1 n^4u^4 + \dots). +\end{align*} +On trouve, en identifiant les puissances semblables de $u$, +\[ +\alpha = n, \qquad +\alpha_1 = 0,\dots \qquad +\beta = -\frac{n}{2}, \qquad +\beta_1 = 0, \ldots +\] + +\Paragraph{47.}{Division de l'argument de $\wp u$.} --- Supposons $\wp nu$~donn, +et proposons-nous de calculer~$\wp u$. Nous aurons +rsoudre par rapport cette dernire quantit l'quation +\[ +\wp nu - \wp u = -\frac{\psi_{n+1} \psi_{n-1}}{\psi_n^2}, +\] +dont le second membre est une fonction rationnelle de~$\wp u$ +que nous venons d'apprendre former. + +Il serait facile d'valuer le degr de cette quation par rapport + l'inconnue~$\wp u$, en comptant les degrs des polynmes +$P_1, Q_1, R_1$, $P_2, Q_2, R_2$ du \no45. Mais nous pouvons le faire %[xref] +\textit{a~priori} de la manire suivante. + +A la valeur donne de~$\wp nu$ correspondent une infinit +de valeurs de~$u$ fournies par la formule +\[ +u_0 + \frac{2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2}{n} +\] +et par suite les valeurs de~$\wp u$ comprises dans l'expression +\[ +\wp\left(u_0 + \frac{2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2}{n}\right), +\] +o les entiers $m_1, m_2$ peuvent tre supposs positifs et plus +petits que~$n$, et o $u_0$~est pris seulement avec le signe~$+$. +Car si $m_1$~et~$m_2$ ne remplissent pas ces conditions, en +ajoutant l'argument de~$\wp$ une priode convenable, on +ramnera cet argument un autre de mme forme +$u_0 + \dfrac{2m'_1\omega_1 + 2m'_2\omega_2}{n}$ o les entiers $m'_1, m'_2$ seront positifs +%% -----File: 076.png---Folio 72------- +et infrieurs ~$n$; et si $u_0$~est pris avec le signe~$-$, l'argument +$-u_0 + \dfrac{2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2}{n}$ peut tre, sans que la valeur +de~$\wp$ soit altre, remplac par $u_0 - \dfrac{2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2}{n}$, +o $u_0$~est affect du signe~$+$. + +Le nombre des valeurs distinctes de~$\wp u$ est donc celui +des systmes des entiers $m_1, m_2$ qui prennent la suite des +valeurs $0, 1, 2, \dots, n$. Ce nombre est~$n^2$. Tel est effectivement +le degr de l'quation qui donne~$\wp u$ en fonction +de~$\wp nu$. + +\ctb +%% -----File: 077.png---Folio 73------- + + +\Chapter{VII}{Division des priodes de $\wp u$} + +\Paragraph{48.}{} Le problme consiste valuer $\wp\left(u, \dfrac{\omega_1}{n}, \omega_2 \right)$ en +fonction de~$\wp(u, \omega_1, \omega_2)$. Nous allons montrer que la premire +de ces deux fonctions, que nous appellerons pour +abrger~$\wpbar u$, s'exprime rationnellement au moyen de la seconde, +comme nous l'avons annonc dans la premire partie +(ch.~II,~7). %[xref] + +Quand $n$~est un nombre compos, la question peut tre +simplifie. Supposons que $n$ soit le produit de deux autres +entiers, +\[ +n = n' n''. +\] +Nous pouvons d'abord valuer +\[ +\wp \left( u, \frac{\omega_1}{n}, \omega_2 \right) + = \wp\left( u, \frac{\ \dfrac{\omega_1}{n'}\ }{n''}, \omega_2 \right) +\] +en fonction de +$\wp\left( u, \dfrac{\omega_1}{n'}, \omega_2 \right)$, puis +$\wp\left( u, \dfrac{\omega_1}{n'}, \omega_2 \right)$ en +fonction de $\wp (u, \omega_1, \omega_2)$. + +Comme tout nombre pair est le produit d'une puissance +de~$2$ par un nombre impair, nous sommes ramens tudier +ces deux cas: \primo division d'une priode par~$2$; \secundo division +d'une priode par un nombre impair. + +\Paragraph{49.}{Division d'une priode par~$2$.} --- Nous allons exprimer +%% -----File: 078.png---Folio 74------- +$\wpbar u = \wp\left( u, \dfrac{\omega_1}{2}, \omega_2 \right)$ au moyen de la fonction $\zeta(u, \omega_1, \omega_2)$ +et de ses drives (\Ord{2}{e}~partie, ch.~IV, 35). %[xref] + +La fonction~$\wpbar u$ admet les priodes $2\omega_1, 2\omega_2$. Elle admet +deux ples doubles distincts $0$~et~$\omega_1$. Aux environs de ces +ples, les parties infinies de son dveloppement sont respectivement +$\dfrac{1}{u^2}$,~$\dfrac{1}{(u - \omega_1)^2}$. On aura donc~\Eqref{(35)} +\[ +\wpbar u = -\zeta' u - \zeta'(u - \omega_1) + C + = \wp u + \wp(u - \omega_1) + C. +\] + +Pour dterminer la constante~$C$, observons qu'aux environs +de $u = 0$, le dveloppement de~$\wpbar u$, comme celui +de~$\wp u$, est priv de terme constant; donc +\begin{gather*} +0 = \wp(-\omega_1) + C, \\ +C = -\wp(-\omega_1) = -\wp(\omega_1) = -e_1. +\end{gather*} + +D'ailleurs, d'aprs la formule d'addition (\Ord{2}{e}~partie, +ch.~V, 41) %[xref] +\[ +\wp(u - \omega_1) = -\wp u - \wp(-\omega_1) + + \frac{1}{4} \left[\frac{\wp' u - \wp'(-\omega_1)}{\wp u - \wp(-\omega_1)} \right]^2 +\] +ou bien, si l'on observe que +\begin{gather*} +\wp(-\omega_1) = \wp(\omega_1) = e_1, \\ +\wp'(-\omega_1) + = \wp'(-\omega_1 + 2\omega_1) + = \wp'\DPtypo{\omega(_1)}{(\omega_1)} = 0, +\end{gather*} +et qu'on remplace $\wp'^2u$ par sa valeur +\[ +4(\wp u - e_1) (\wp u - e_2) (\wp u - e_3), +\] +il vient +\[ +\wp(u - \omega_1) + = -\wp u - e_1 + \frac{(\wp u - e_2) (\wp u - e_3)}{\wp u - e_1}. +\] + +Nous avons calculer $\wp(u - \omega_1) + C$, c'est--dire +$\wp(u - \omega_1) - e_1$. En effectuant le calcul, on trouve +\[ +\wp(u - \omega_1) - e_1 + = \frac{-(e_1 + e_2 + e_3) \wp u + 2e_1^2 + e_2 e_3}{\wp u - e_1}. +\] + +Finalement, si l'on tient compte de la relation +\[ +e_1 + e_2 + e_3 = 0, +\] +d'o rsulte l'identit +%% -----File: 079.png---Folio 75------- +\[ +2e_1^2 + e_2 e_3 = (e_2 - e_1) (e_3 - e_1), +\] +on trouve +\[ +\wpbar u = \wp u + \frac{(e_2 - e_1) (e_3 - e_1)}{\wp u - e_1}. +\] + +\Paragraph{50.}{Division d'une priode par un nombre impair.} --- Soit +$n = 2m + 1$. Nous voulons exprimer $\wpbar u = \wp( u, \dfrac{\omega_1}{n}, \omega_2)$ +en fonction de~$\wp(u, \omega_1, \omega_2)$. Nous nous servirons toujours +de la reprsentation d'une fonction elliptique par $\zeta(u, \omega_1, \omega_2)$ +et ses drives par rapport ~$u$. + +La fonction~$\wpbar u$ admet les priodes $2\omega_1, 2\omega_2$ et les ples +distincts $0, \dfrac{2\omega_1}{n}, \dots, \dfrac{2m\omega_1}{n}$. Ces ples sont doubles, +sans rsidu; le dveloppement de la partie infinie +de~$\wpbar u$ autour de l'un d'eux $\dfrac{2k\omega_1}{n}$ se rduit +$\dfrac{1}{\left( u - \dfrac{2k\omega_1}{n} \right)^2}$. Nous aurons donc~\Eqref{(35)} +\begin{align*} +\wpbar u + &= - \zeta'u + - \sum_{k=-m}^{k=+m} \zeta' \left(u + \frac{2k\omega_1}{n}\right) + C, \\ + &= \wp u + + \sum_{k=-m}^{k=+m} \wp \left(u + \frac{2k\omega_1}{n}\right) + C, +\end{align*} +(en excluant la valeur $k = 0$). Pour dterminer la constante~$C$, +nous faisons tendre $u$~vers zro et nous remarquons +que les dveloppements de~$\wpbar u$ et de~$\wp u$ ont l'un et +l'autre pour partie principale~$\dfrac{1}{u^2}$ sans terme constant, ce +qui donne +\[ +0 = \sum_{-m}^{+m} \wp \frac{2k\omega_1}{n} + C, \qquad +C = -\sum_{-m}^{+m} \wp \frac{2k\omega_1}{n}. +\] +%% -----File: 080.png---Folio 76------- + +D'autre part, nous avons, en appliquant la formule d'addition: +\[ +\wp \left( u + \frac{2k\omega_1}{n} \right) + = -\wp u - \wp \frac{2k\omega_1}{n} + + \frac{1}{4} \left( + \frac{\DPtypo{\wp u'}{\wp'u} - \wp' \dfrac{2k\omega_1}{n}} + {\wp u - \wp \dfrac{2k\omega_1}{n}} \right)^2. +\] + +Substituons dans l'expression de~$\wpbar u$; effectuons le carr +de $\wp' u - \wp' \dfrac{2k\omega_1}{n}$ et remarquons que les doubles produits +donnent des termes impairs qui doivent se dtruire puisque +$\wpbar u$~est une fonction paire; nous obtenons +\[ +\wpbar u = \wp u + \sum_{-m}^{+m} \left[ + - \wp u - 2\wp\frac{2k\omega_1}{n} + + \frac{1}{4}\, + \frac{\wp'^2 u + \wp'^2\, \dfrac{2k\omega_1}{n}} + {\left(\wp u - \wp\, \dfrac{2k\omega_1}{n}\right)^2} \right]. +\] + +En remplaant $\wp'^2 u$~par sa valeur $4\wp^3 u - g_2 \wp u - g_3$, +on voit que $\wpbar u$~s'exprime bien \emph{rationnellement en fonction +de~$\wp u$}. + +En rsolvant le problme de la division des priodes de +la fonction~$\wp u$, nous nous trouvons, comme nous l'avons +expliqu (\Ord{1}{re}~partie, ch.~II, 7), avoir rsolu compltement %[xref] +le problme de la transformation de~$\wp u$. + +\ctb +%% -----File: 081.png---Folio 77------- + + +\Part{Troisime Partie}{Les fonctions $\sn u$, $\cn u$, $\dn u$} + +%% -----File: 082.png---Folio 78------- +% [Blank Page] +%% -----File: 083.png---Folio 79------- + + +\Chapter{I}{Les fonctions $\sigma_{01} u$, $\sigma_{02} u$, $\sigma_{03} u$} + +Avant que Weierstrass et fait prvaloir l'usage de la +fonction~$\wp u$, Abel et Jacobi avaient introduit dans la +science trois fonctions elliptiques trs simples que plus +tard on appela $\sn u$,~$\cn u$,~$\dn u$ et dont il importe de ne pas +abandonner l'tude parce que, malgr les incontestables +avantages de la fonction~$\wp u$, elles se prsentent dans +mainte application d'une manire plus naturelle que cette +dernire. Seulement, au lieu de construire \textit{a~priori} ces anciennes +fonctions elliptiques, nous les ferons driver de~$\wp u$. +Nous les rattacherons trs simplement celles-ci par l'intermdiaire +de trois nouvelles fonctions elliptiques $\sigma_{01} u$,~$\sigma_{02} u$,~$\sigma_{03} u$. + +\Paragraph{51.}{La fonction~$\sigma_{01} u$.} --- L'introduction de cette fonction +$\sigma_{01} u$ repose sur la remarquable proprit du radical +$\sqrt{\wp u - e_1}$ d'tre \emph{une fonction uniforme de~$u$}. + +Reprenons en effet la formule (\Ord{2}{e}~partie, ch.~V, 41) %[xref] +\[ +\wp u - \wp v = -\frac{\sigma(u + v) \sigma(u - v)}{\sigma^2 u\, \sigma^2 v}, +\] +et faisons-y $v = \omega_1$. Comme $\wp\omega_1 = e_1$ par dfinition, +il viendra +\[ +\wp u - e_1 + = -\frac{\sigma(u + \omega_1) \sigma(u - \omega_1)} + {\sigma^2 u\, \sigma^2 \omega_1}. +\] +%% -----File: 084.png---Folio 80------- + +En raisonnant comme \Ord{2}{e}~partie, ch.~III, 32, on voit que %[xref] +\[ +\sigma(u - \omega_1) = \sigma(u + \omega_1 - 2\omega_1) + = -e^{-2\eta_1(u + \omega_1 - \omega_1)}\, \sigma(u + \omega_1); +\] +donc +\begin{align*} +\wp u - e_1 &= e^{-2\eta_1 u}\, + \frac{\sigma^2(u + \omega_1)}{\sigma^2 u\, \sigma^2 \omega_1}, \\ +\sqrt{\wp u - e_1} &= e^{-\eta_1 u}\, + \frac{\sigma(u + \omega_1)}{\sigma u\, \sigma \omega_1}. +\end{align*} + +Ainsi $\sqrt{\wp u - e_1}$ est une fonction uniforme de~$u$. Ce +radical a deux dterminations. Celle que fournit l'quation +prcdente est celle qui, pour $u$~infiniment petit, a +pour valeur principale~$+\dfrac{1}{u}$, puisque la valeur principale +de~$\sigma u$ est~$+u$. + +L'inverse de $\sqrt{\wp u - e_1}$ est une fonction uniforme que +nous dsignons par~$\sigma_{01} u$. Ainsi +\[ +\sigma_{01} u = \frac{1}{\sqrt{\wp u - e_1}} + = e^{\eta_1 u}\, \frac{\sigma u\, \sigma \omega_1}{\sigma(u + \omega_1)}. +\] + +Nous allons tudier cette fonction~$\sigma_{01} u$, importante parce +que la fonction~$\sn u$ en est, comme nous le verrons, un cas +particulier. + +\Paragraph{52.}{Proprits de~$\sigma_{01} u$.} --- Nous allons montrer que \emph{$\sigma_{01} u$~est +une fonction elliptique}. + +\primo \textit{$\sigma_{01} u$~est une fonction impaire.} --- Car si l'on change~$u$ +en~$-u$, $\wp u - e_1$~garde sa valeur. On aura donc +\[ +\sigma_{01}(-u) = \frac{1}{\sqrt{\wp u - e_1}}. +\] + +Seulement, comme la valeur principale du second membre +est~$+\dfrac{1}{u}$ quand on prend le radical avec le signe~$+$, +c'est le signe~$-$ qu'il faut prendre, afin que cette valeur +principale soit~$-\dfrac{1}{u}$ [inverse de celle de~$\sigma_{01}(-u)$]. De l +rsulte +\[ +\sigma_{01}(-u) = -\sigma_{01} u. +\] +%% -----File: 085.png---Folio 81------- + +\secundo \textit{$\sigma_{01} u$~admet pour priode~$4\omega_2$.} --- En effet, changeons~$u$ +en~$u + 2\omega_2$; $\wp u - e_1$ conserve sa valeur. On ne peut +donc avoir que +\[ +\sigma_{01}(u + 2\omega_2) = \sigma_{01} u. +\] + +Pour dcider du signe qu'il faut prendre, donnons ~$u$ la +valeur particulire~$-\omega_2$, nous aurons +\[ +\sigma_{01} \omega_2 = \sigma_{01}(-\omega_2). +\] + +Mais, $\sigma_{01}u$~tant une fonction impaire, c'est le signe~$-$ +qui convient. Donc +\[ +\sigma_{01}(u + 2\omega_2) = -\sigma_{01} u. +\] + +Augmentons encore l'argument de~$2\omega_2$; il viendra +\[ +\sigma_{01}(u + 4\omega_2) = -\sigma_{01}(u + 2\omega_2) = \sigma_{01} u. +\] + +Donc $4\omega_2$~est une priode de~$\sigma_{01} u$. + +On prouverait de mme que $4\omega_3$~en est une aussi. + +\tertio \textit{$\sigma_{01} u$~admet la priode~$2\omega_1$.} --- Le raisonnement qui +prcde est inapplicable dans ce cas. Car l'expression +$\sigma_{01} \omega_1 = \dfrac{1}{\sqrt{\wp u - e_1}}$ n'a plus de sens quand on y remplace~$u$ +par~$-\omega_1$, puisque $\wp(-\omega_1) = \wp\omega_1 = e_1$. Nous recourrons + l'expression ci-dessus de~$\sigma_{01} u$ par la fonction~$\sigma$. En +remplaant dans cette expression~$u$ par~$u + 2\omega_1$, nous +avons +\[ +\sigma_{01}(u + 2\omega_1) + = e^{\eta_1(u + 2\omega_1)}\, + \frac{ \sigma(u + 2\omega_1)\, \sigma\omega_1 } + { \sigma(u + \omega_1 + 2\omega_1) }. +\] + +Mais (\Ord{2}{e}~partie, ch.~III, 32) %[xref] +\begin{gather*} +\sigma(u + 2\omega_1) = -e^{2\eta_1(u + \omega_1)}\, \sigma u, \\ +\sigma(u + \omega_1 + 2\omega_1) + = -e^{2\eta_1(u + \omega_1 + \omega_1)}\, \sigma(u + \omega_1); +\end{gather*} +donc +\[ +\sigma_{01}(u + 2\omega_1) + = e^{\eta_1 u}\, \frac{\sigma u\, \sigma \omega_1}{\sigma(u + \omega_1)} + = \sigma_{01} u. +\] + +Ainsi $2\omega_1$~est une priode de~$\sigma_{01} u$. + +Cette fonction tant uniforme, doublement priodique, +et n'ayant videmment, d'aprs sa composition, d'autres +%% -----File: 086.png---Folio 82------- +singularits que des ples, est une fonction elliptique, +\cqfd + +\Paragraph{53.}{Ples et zros de~$\sigma_{01}u$.} --- Les ples de~$\sigma_{01}u$ sont les +racines de +\[ +\wp u - e_1 = \wp u - \wp\omega_1 = 0. +\] +Ils sont donc donns par la formule +\[ +u = \omega_1 + 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2. +\] + +Ces ples sont simples. + +Les zros de~$\sigma_{01}u$ sont les ples de~$\wp u$, et comme ces +ples sont doubles, ces zros sont simples cause du radical +qui porte sur~$\wp u - e_1$. Tous ces zros sont compris +dans la formule +\[ +u = 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2. +\] + +\Paragraph{54.}{quation algbrique entre $\sigma_{01}u$ et sa drive.} --- Pour +obtenir cette quation, il suffit de remplacer~$\wp u$ par sa +valeur $e_1 + \dfrac{1}{\sigma^2_{01}u}$ dans la relation +\[ +\wp'^2u = 4(\wp u - e_1)(\wp u - e_2)(\wp u - e_3). +\] +On a +\[ +\wp u = e_1 + \frac{1}{\sigma^2_{01}u}, \qquad +\wp' u = -2\, \frac{\sigma'_{01}u}{\sigma^3_{01}u}. +\] +La substitution donne +\[ +4\, \frac{\sigma'^2_{01}u}{\sigma^6_{01}u} + = \frac{4}{\sigma^2_{01}u} + \left( \frac{1}{\sigma^2_{01}u} + e_1 - e_2 \right) + \left( \frac{1}{\sigma^2_{01}u} + e_1 - e_3 \right). +\] +Posons pour simplifier +\[ +e_3 - e_1 = M^2, \qquad +e_2 - e_1 = M^2 k^2. +\] +L'quation entre $\sigma_{01}u$~et sa drive deviendra, aprs suppression +du facteur~$\dfrac{4}{\sigma^6_{01}u}$, +\[ +\sigma'^2_{01}u = (1 - M^2\, \sigma^2_{01}u)(1 - M^2 k^2\, \sigma^2_{01}u). +\] + +\Paragraph{55.}{Les fonctions $\sigma_{02}u$,~$\sigma_{03}u$.} --- Les fonctions elliptiques +$\sigma_{02}u$,~$\sigma_{03}u$ sont dfinies par des formules analogues celles +%% -----File: 087.png---Folio 83------- +qui servent de dfinition ~$\sigma_{01} u$: +\begin{align*} +\sigma_{02} + &= \frac{1}{\sqrt{\wp u - e_2}} + = e^{\eta_\DPtypo{1}{2} u}\, \frac{\sigma u\, \sigma \omega_2}{\sigma(u + \omega_2)}, \\ +\sigma_{03} + &= \frac{1}{\sqrt{\wp u - e_3}} + = e^{\eta_3 u}\, \frac{\sigma u\, \sigma \omega_3}{\sigma(u + \omega_3)}. +\end{align*} + +Insistons un peu sur la dernire expression, car nous +n'avons encore rien dit de la quantit~$\eta_3$ qui y figure. + +Nous avons introduit les deux quantits $\eta_1 = \zeta\omega_1$, +$\eta_2 = \zeta\omega_2$ en tudiant la fonction~$\zeta u$ construite avec les +priodes $2\omega_1, 2\omega_2$ (\Ord{2}{e}~partie, ch.~III, 29). On obtient la mme %[xref] +fonction~$\zeta u$ en partant des deux priodes $2\omega_1, 2\omega_3$, qui +conservent les sommets du rseau construit sur $2\omega_1, 2\omega_2$. +Cette fonction $\zeta(u, \omega_1, \omega_3)$ introduit son tour la quantit +\[ +\eta_3 = \zeta\omega_3. +\] + +Nous avons vu que si, prenant la direction~$2\omega_1$ pour +faire le tour du paralllogramme construit sur $2\omega_1, 2\omega_2$, +on se trouve marcher dans le sens direct, on a entre $\omega_1, \omega_2$, +$\eta_1, \eta_2$ la relation (\Ord{2}{e}~partie, ch.~III, 29) %[xref] +\[ +2(\eta_1\omega_2 - \eta_2\omega_1) = \pi i. +\] + +Or, l'galit $\omega_1 + \omega_2 + \omega_3 = 0$ se traduit gomtriquement +par ce fait % [Illustration] +\begin{wrapfigure}{l}{1.75in}%[** TN: Width-dependent break] + \Input[1.75in]{087a} +\end{wrapfigure} +que la priode~$2\omega_3$ +est gale et directement +oppose la diagonale +du paralllogramme construit +sur~$2\omega_1$,~$2\omega_2$. + +Il s'ensuit que les deux +paralllogrammes construits +respectivement sur $2\omega_2$,~$2\omega_3$ et $2\omega_3$,~$2\omega_1$ seront contourns +dans le sens direct, si l'on part du point de concours~$O'$ des +trois priodes, pour le premier dans la direction~$2\omega_2$, +pour le second dans la direction~$2\omega_3$. Nous n'avons donc, +dans la relation ci-dessus, qu' faire sur les indices une permutation +circulaire, pour obtenir les deux relations corrlatives +%% -----File: 088.png---Folio 84------- +\[ + 2(\eta_2\omega_3 - \eta_3\omega_2) += 2(\eta_3\omega_1 - \eta_1\omega_3) = \pi i. +\] +Il est facile de voir que ces trois relations, jointes +$\omega_1 + \omega_2 + \omega_3 = 0$, entranent l'galit +\[ +\eta_1 + \eta_2 + \eta_3 = 0. +\] + +\Paragraph{56.}{Tableau des proprits des trois fonctions $\sigma_{01} u$, +$\sigma_{02} u$, $\sigma_{03} u$.} --- A chacune des trois racines $e_1, e_2, e_3$ correspond +une fonction elliptique +\[ +\sigma_{01} u = \frac{1}{\sqrt{\wp u - e_1}}, \quad +\sigma_{02} u = \frac{1}{\sqrt{\wp u - e_2}}, \quad +\sigma_{03} u = \frac{1}{\sqrt{\wp u - e_3}} +\] +ou bien encore +\[ +\sigma_{01} u + = e^{\eta_1 u}\, \frac{\sigma u\, \sigma\omega_1}{\sigma(u + \omega_1)},\ +\sigma_{02} u + = e^{\eta_2 u}\, \frac{\sigma u\, \sigma\omega_2}{\sigma(u + \omega_2)},\ +\sigma_{03} u + = e^{\eta_3 u}\, \frac{\sigma u\, \sigma\omega_3}{\sigma(u + \omega_3)}. +\] + +Souvenons-nous des trois relations +\[ +\omega_1 + \omega_2 + \omega_3 = 0, \quad +e_1 + e_2 + e_3 = 0, \quad +\eta_1 + \eta_2 + \eta_3 = 0. +\] + +Voici le tableau des priodes, des ples et des zros de +ces trois fonctions +\[ +\begin{array}{*{4}{c}} + \text{Fonction} & \text{Priodes} & \text{Ples} & \text{Zros} \\ + \sigma_{01} u & 2\omega_1, 4\omega_2, 4\omega_3 + & \omega_1 + 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2 + & 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2 \\ + \sigma_{02} u & 2\omega_2, 4\omega_3, 4\omega_1 + & \omega_2 + 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2 & \Ditto \\ + \sigma_{03} u & 2\omega_3, 4\omega_1, 4\omega_2 + & \omega_3 + 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2 & \Ditto +\end{array} +\] + +Rappelons-nous aussi que $2\omega_2$~et~$2\omega_3$ sont des demi-priodes +pour~$\sigma_{01} u$, c'est--dire que $\sigma_{01}(u + 2\omega_2)$ par exemple +est gal ~$-\sigma_{01} u$. De mme $2\omega_3$~et~$2\omega_1$ pour~$\sigma_{02} u$, et +$2\omega_1$,~$2\omega_2$ pour~$\sigma_{03} u$. + +\ctb +%% -----File: 089.png---Folio 85------- + + +\Chapter{II}{La fonction $\sn u$} + +\Paragraph{57.}{Dfinition de~$\sn u$.} --- La fonction~$\sn u$ est un cas particulier +de~$\sigma_{01} u$, celui o le \emph{multiplicateur}~$M$ est gal ~$1$. + +Ainsi $\sn u$~est une fonction elliptique, et elle est compltement +dtermine quand on donne le carr de son \emph{module}~$k$. + +Nous avons vu en effet que la fonction~$\wp u$ est parfaitement +dtermine par les trois quantits $e_1, e_2, e_3$ (\Ord{2}{e}~partie, %[xref] +chap.~II). Reportons-nous aux formules du \no54; si l'on y +fait $M = 1$, elles deviennent +\[ +e_3 - e_1 = 1, \qquad e_2 - e_1 = k^2; +\] +jointes $e_1 + e_2 + e_3 = 0$, elles donnent +\[ +e_1 = -\frac{1 + k^2}{3}, \qquad +e_2 = \frac{2k^2 - 1}{3}, \qquad +e_3 = \frac{2 - k^2}{3}, +\] +et en partant de ces trois quantits qui ne dpendent que +de~$k^2$, nous pouvons construire une fonction~$\wp u$ et une +seule. A cette fonction~$\wp u$ correspond une seule fonction~$\sigma_{01} u$ +qui est prcisment~$\sn u$: +\[ +\sn u = \frac{1}{\sqrt{\wp u + \dfrac{1 + k^2}{3}}}. +\] + +\Paragraph{58.}{quation algbrique entre $\sn u$~et sa drive.} --- Si dans +l'quation qui lie $\sigma_{01} u$~ sa drive~\Eqref{(54)}, nous faisons +$M = 1$, nous obtenons la relation algbrique en $\sn u$~et~$\sn'u$ +%% -----File: 090.png---Folio 86------- +\[ +\sn'u = (1 - \sn^2u)(1 - k^2\sn^2u). +\] + +La forme de cette quation diffrentielle laquelle satisfait~$\sn u$ +confirme le fait que $\sn u$~ne dpend que de~$k^2$. + +Cette quation diffrentielle pourrait, avec la condition +complmentaire $\sn0 = 0$, servir de dfinition ~$\sn u$. + +\Paragraph{59.}{Priodes de $\sn u$.} --- Appelons $2\Omega_1, 2\Omega_2$ les priodes +d'une fonction~$\wp u$ telle que $e_3 - e_1 = 1$. + +D'aprs ce que nous avons dit des priodes de~$\sigma_{01}u$~\Eqref{(52)}, +celles de~$\sn u$ seront $2\Omega_1$~et~$4\Omega_2$ (et aussi~$4\Omega_3$) et l'on aura +\[ +\sn(u + 2\Omega_2) = -\sn u. +\] + +Ces priodes, nous le savons d'avance, ne doivent dpendre +que de~$k^2$. Elles peuvent s'exprimer en fonction de~$k^2$ +par des intgrales dfinies. Voici comment. + +Nous avons trouv (\Ord{2}{e}~partie, ch.~II, 24) pour expressions %[xref] +des moitis des priodes de~$\wp u$ en fonction de $e_1, e_2, e_3$ +\[ +\omega_1 = \int_{e_2}^{e_3} \frac{dz}{\sqrt{Z}}, \qquad +\omega_2 = \int_{e_3}^{e_1} \frac{dz}{\sqrt{Z}}, \qquad +\omega_3 = \int_{e_1}^{e_2} \frac{dz}{\sqrt{Z}}, +\] +o +\[ +Z = 4(z - e_1)(z - e_2)(z - e_3). +\] + +Or $z$~reprsente ici~$\wp u$ (\textit{loc.\ cit.}). Si nous introduisons +une variable~$x$ reprsentant~$\sn u$, elle sera lie ~$z$ par la +relation +\[ +x = \frac{1}{\sqrt{z + \dfrac{1 + k^2}{3}}}; +\] +d'o $z = e_1 + \dfrac{1}{x^2}$. En remplaant~$z$ par cette dernire +valeur et $dz$~par~$-\dfrac{2}{x^3}\, dx$, on trouve +\[ +\frac{dz}{\sqrt{4(z - e_1)(z - e_2)(z - e_3)}} += \frac{dx}{\sqrt{(1 - x^2)(1 - k^2x^2)}}\DPtypo{}{.} +\] + +Aux valeurs $e_1, e_2, e_3$ de~$z$ rpondent respectivement les +%% -----File: 091.png---Folio 87------- +valeurs $\infty$,~$\dfrac{1}{k}$,~$1$ de~$x$, comme cela rsulte des +expressions ci-dessus~\Eqref{(56)} de $e_1, e_2, e_3$ en fonction de~$k$. + +Les formules qui donnent $\omega_1, \omega_2, \omega_3$ deviennent alors, si +l'on prend pour limites des intgrales les quantits +\[ +\infty,\ +\frac{1}{k},\ +1 +\] +par exemple, +\[ +\Omega_1 = \int_{\frac{1}{k}}^{1} \frac{dx}{\sqrt{X}}, \qquad +\Omega_2 = \int_{1}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{X}}, \qquad +\Omega_3 = \int_{\infty}^{\frac{1}{k}} \frac{dx}{\sqrt{X}}, +\] +o +\[ +X = (1 - x^2)(1 - k^2x^2). +\] + +Telles sont les formules qui permettent de calculer les +priodes de~$\sn u$ en fonction du module~$k$. + +La dtermination du radical~$\sqrt{X}$ est arbitraire, mais la +mme dans les trois formules. Ceci prouve que la fonction~$\sn u$, +que nous savons tre compltement dtermine quand +$k^2$~est donn, ne change pas quand on change simultanment +les signes des priodes. Ceci n'est du reste qu'un cas particulier +d'une proposition que nous dmontrerons tout +l'heure~\Eqref{(60)}. + +\Paragraph{60.}{Cas o le module est rel.} --- Ce cas est particulirement +intressant. Il y a alors une priode relle et une +priode purement imaginaire; ces deux priodes sont perpendiculaires +l'une sur l'autre, et le rseau des priodes est +rectangulaire. + +Nous pouvons supposer $k$~positif, puisqu'on ne donne +que~$k^2$. Admettons pour fixer les ides que $k$~est plus grand +que~$1$; le point~$\dfrac{1}{k}$ est situ entre l'origine~$0$ et le point~$1$. +On intgre le long de l'axe des quantits relles. Le radical~$\sqrt{X}$ +est imaginaire entre $x = \dfrac{1}{k}$ et $x=1$, rel de +$x = 1$ $x = +\infty$. Par suite $\Omega_2$~est rel et $\Omega_1$~purement +imaginaire, comme nous l'avions annonc. +%% -----File: 092.png---Folio 88------- + +Mais pour calculer $\Omega_1$~et~$\Omega_2$ il faut savoir quelle dtermination +du radical~$\sqrt{X}$ on doit prendre. Entre les limites $1$~et~$\infty$, +prenons par exemple la dtermination positive. Entre $1$~et~$\dfrac{1}{k}$ +le radical a deux dterminations $i\sqrt{(1 - x^2)(k^2x^2 - 1)}$. +Laquelle choisir? + +Pour le dcider, marquons sur l'axe des quantits relles +deux points % [Illustration] +\begin{wrapfigure}{l}{2.25in}%[** TN: Width-dependent break] + \Input[2.25in]{092a} +\end{wrapfigure} +$A$~et~$B$ quidistants +du point~$1$, le second +situ entre $1$~et~$\dfrac{1}{k}$. +Dcrivons sur~$AB$ comme diamtre un demi-cercle dans la +partie suprieure du plan de la variable~$x$ et supposons que +le point~$x$ parti de~$A$ arrive en~$B$ aprs avoir dcrit ce demi-cercle. + +Pendant ce demi-tour, le radical +\[ +\sqrt{X} + = \sqrt{\smash[b]{(1 - x^2)(1 - k^2x^2)}} + = \sqrt{\vphantom{k^2}x - 1} \sqrt{\smash[b]{(x + 1)(k^2x^2 - 1)}} +\] +doit prendre une succession de valeurs continues. Si les +deux points $A$~et~$B$ sont infiniment rapprochs, ces valeurs +seront infiniment peu diffrentes. Par consquent le facteur +$\sqrt{(x + 1)(k^2x^2 - 1)}$, rel et positif en~$A$, est rest rel et +positif en~$B$\@. Il suffit donc de savoir ce qu'est devenu le +facteur~$\sqrt{x - 1}$. + +Or, si $\rho$~dsigne le rayon du demi-cercle, nous pouvons +poser +\[ +x - 1 = \rho(\cos \varphi + i\sin \varphi), +\] +l'angle polaire~$\varphi$ tant nul en~$A$ et gal ~$\pi$ au point~$B$; +par consquent +\[ +\sqrt{x - 1} = \rho^{\frac{1}{2}} + \left( \cos\frac{\varphi}{2} + i\sin\frac{\varphi}{2} \right). +\] +Pour $\varphi = 0$, $\sqrt{x - 1}$~est gal ~$\rho^{\frac{1}{2}}$, et, pour $\varphi = \pi$, ~$+i\rho^{\frac{1}{2}}$. +C'est donc la dtermination +\[ ++i\sqrt{(1 - x^2)(k^2x^2 - 1)} +\] +%% -----File: 093.png---Folio 89------- +qu'il faut prendre dans l'intgration de~$\dfrac{1}{k}$ ~$1$ qui fournit~$\Omega_1$. + +\begin{Theorem}{61.} --- La fonction~$\sn u$ est dtermine quand on +donne le rapport de ses priodes. +\end{Theorem} + +Donnons-nous en effet le rapport $\dfrac{\Omega_2}{\Omega_1} = \tau$. + +Nous savons que toute fonction~$\sn u$ drive d'une fonction~$\wp u$ +assujettie la condition $e_3 - e_1 = 1$. D'ailleurs les +priodes de~$\sn u$ tant $2\Omega_1, 4\Omega_2$, celles de cette fonction~$\wp u$ +sont $2\Omega_1, 2\Omega_2$. On doit donc avoir, en se rappelant la dfinition +des quantits $e_1, e_3$, +\[ +\wp \Omega_3 - \wp \Omega_1 = 1, \qquad +\frac{\Omega_2}{\Omega_1} = \tau. +\] + +Or $\wp u$ est une fonction homogne de degr~$-2$ de +l'argument~$u$ et des deux priodes $\Omega_1, \Omega_2$ (\Ord{2}{e}~partie, ch.~I,~16). %[xref] +Si donc on changeait $\Omega_1, \Omega_2$ en $\mu\Omega_1, \mu\Omega_2$ $\left(\text{ce qui donne +toutes les solutions de l'quation } \dfrac{\Omega_2}{\Omega_1} = \tau\right)$, on aurait +\[ +\wp (\mu\Omega_3) - \wp (\mu\Omega_1) = \frac{1}{\mu^2}. +\] + +Il n'y a que les valeurs $\mu = 1$ qui satisfassent +la condition $e_3 - e_1 = 1$. Donc une seule fonction~$\wp u$ +peut rpondre la question et par suite une seule fonction~$\sn u$. + +\Paragraph{62.}{Ples et zros de~$\sn u$.} --- La fonction~$\sn u$ tant un cas +particulier de~$\sigma_{01}u$, les ples de~$\sn u$ sont~\Eqref{(53)} les points +\[ +u = \Omega_1 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2. +\] +Ces ples sont simples. Il n'y en a que deux dans chaque +paralllogramme des priodes. $\Omega_1$~et~$\Omega_1 + 2\Omega_2$ sont deux +ples distincts. + +Il suit de l que $\sn u$~est une fonction elliptique d'ordre~$2$. +%% -----File: 094.png---Folio 90------- + +Les zros de~$\sn u$ sont simples. Ce sont les points +\[ +u = 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2. +\] + +Il y en a deux dans chaque paralllogramme des priodes; +$0$~et~$2\Omega_2$ sont deux zros distincts. + +\ctb +%% -----File: 095.png---Folio 91------- + + +\Chapter{III}{Les fonctions $\cn u$, $\dn u$} + +\Paragraph{63.}{Dfinitions de $\cn u$~et de~$\dn u$.} --- Quand on prend pour +base de la thorie des fonctions elliptiques la fonction~$\sn u$, +on est oblig, pour la simplicit et la symtrie des formules, +de lui adjoindre deux autres fonctions elliptiques, $\cn u$~et~$\dn u$, +que nous allons dfinir: c'est ainsi qu'en trigonomtrie +on est conduit par la mme raison associer au sinus +une autre ligne trigonomtrique, le cosinus. Cette obligation +de faire marcher de front l'tude des trois fonctions $\sn$,~$\cn$,~$\dn$ +constitue un dsavantage des anciennes fonctions elliptiques, +quand on les compare ~$\wp u$. + +Nous dfinirons $\cn u$,~$\dn u$ par les relations +\begin{align*} +\cn u &= \sqrt{1 - \sn^2 u}, \\ +\dn u &= \sqrt{1 - k^2\sn^2 u}, +\end{align*} +compltes par les conditions +\begin{align*} +\cn0 &= +1, \\ +\dn0 &= +1. +\end{align*} + +Nous allons montrer que $\sn u$~et~$\dn u$ \emph{sont des fonctions +uniformes de~$u$}. En effet, puisque $\sn u = \dfrac{1}{\sqrt{\wp u - e_1}}$, $\wp u$~tant +assujettie la condition $e_3 - e_1 = 1$, nous aurons +\begin{gather*} +\cn u = \sqrt{1 - \frac{1}{\wp u-e_1}} + = \frac{\sqrt{\wp u - e_1 - 1}}{\sqrt{\wp u - e_1}} + = \frac{\sqrt{\wp u - e_3}}{\sqrt{\wp u - e_1}}, \\ +%% -----File: 096.png---Folio 92------- +\dn u = \sqrt{1 - \frac{k^2}{\wp u - e_1}} + = \frac{\sqrt{\wp u - e_1 - k^2}}{\sqrt{\wp u - e_1}} + = \frac{\sqrt{\wp u - e_2}}{\sqrt{\wp u - e_1}}, +\end{gather*} +et par suite +\begin{align*} +\cn u &= \frac{\sigma_{01}u}{\sigma_{03}u}, \\ +\dn u &= \frac{\sigma_{01}u}{\sigma_{02}u}. +\end{align*} + +Comme $\sigma_{01}, \sigma_{02}, \sigma_{03}$ sont des fonctions uniformes de~$u$, la +proposition se trouve tablie. + +Les deux dernires formules, jointes $\sn u = \sigma_{01}u$, +montrent que $\sn u$~est une fonction impaire et que $\cn u$,~$\dn u$ +sont des fonctions paires, puisque $\sigma_{01}, \sigma_{02}, \sigma_{03}$ sont impaires +(\Ord{3}{e}~partie, ch.~I, 52). %[xref] + +N'oublions pas que les fonctions $\sigma_{01}, \sigma_{02}, \sigma_{03}$ qui figurent +ici ne sont pas les plus gnrales, cause de la condition +$e_3 - e_1 = 1$. + +\Paragraph{64.}{Priodes de~$\dn u$ et de~$\cn u$.} --- Reportons-nous au tableau +des priodes et demi-priodes des trois fonctions +$\sigma_{01}, \sigma_{02}, \sigma_{03}$~\Eqref{(55)}. + +\primo La fonction~$\cn u$ a pour priodes $2\Omega_2, 4\Omega_1, 4\Omega_3$. En effet +\[ +\cn(u + 2\Omega_2) + = \frac{ \sigma_{01}(u + 2\Omega_2)}{\sigma_{03}(u + 2\Omega_2)} + = \frac{-\sigma_{01}u}{-\sigma_{03}u} + = \frac{ \sigma_{01}u}{\sigma_{03}u} = \cn u. +\] +D'autre part +\[ +\cn(u + 2\Omega_1) + = \frac{\sigma_{01}(u + 2\Omega_1)}{\sigma_{03}(u + 2\Omega_1)} + = \frac{\sigma_{01}u}{-\sigma_{03}u} = -\cn u. +\] + +Ainsi $2\Omega_1$~est une demi-priode de~$\cn u$; on montrerait +qu'il en est de mme de~$2\Omega_3$. Donc $\cn u$~a pour priodes +$4\Omega_1, 4\Omega_3$. + +\secundo La fonction~$\dn u$ a pour priodes $2\Omega_3, 4\Omega_2$ et~$4\Omega_1$. +Dmonstration analogue; $2\Omega_2$~et~$2\Omega_1$ sont des demi-priodes. + +\Paragraph{65.}{Ples et zros de~$\cn u$ et de~$\dn u$.} --- Les ples de $\cn u$~et~$\dn u$ +sont les mmes que ceux de~$\sn u$. +%% -----File: 097.png---Folio 93------- + +En effet, si l'on se reporte au tableau du \no56, on constate %[xref] +que les ples de $\sigma_{03}u$~et~$\sigma_{02}u$ sont diffrents des ples +de~$\sigma_{01}u$. Donc les deux fonctions $\cn u = \dfrac{\sigma_{01}u}{\sigma_{03}u}$, $\dn u = \dfrac{\sigma_{01}u}{\sigma_{02}u}$ +admettront tous les ples de~$\sigma_{01}u$ c'est--dire de~$\sn u$, +savoir +\[ +u = \Omega_1 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2. +\] + +Ces ples sont simples. + +Elles n'en admettront pas d'autres. Car elles ne pourraient +plus avoir comme ples, l'une que les zros de~$\sigma_{03}u$, +l'autre que ceux de~$\sigma_{02}u$. Ces zros, communs aux trois fonctions +$\sigma_{01}, \sigma_{02}, \sigma_{03}$, sont les points $2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2$. Or $2\Omega_1, +2\Omega_2$ tant des priodes ou des demi-priodes de $\cn u, \dn u$, +on a +\begin{align*} +\cn(2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2) &= \cn0 = 1, \\ +\dn(2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2) &= \dn0 = 1. +\end{align*} + +Quant aux zros de~$\cn u$ et de~$\dn u$, ils ne peuvent tre les +zros de~$\sigma_{01}u$, puisque ceux-ci donnent $\cn u, \dn u$ les valeurs~$ 1$. + +Ce seront donc: pour~$\cn u$ les ples de~$\sigma_{03}u$ (qui en effet +sont distincts de ceux de~$\sigma_{01}u$), et pour~$\dn u$ les ples de~$\sigma_{02}u$. + +Par suite, les zros de~$\cn u$ sont les points +\[ +u = \Omega_3 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2. +\] + +Les zros de~$\dn u$ sont +\[ +u = \Omega_2 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2. +\] + +Tous ces zros sont simples. + +De ce qui prcde, on conclut aisment que $\cn u$~et~$\dn u$ +n'ont chacune que deux ples distincts, ce sont donc des +fonctions elliptiques du second ordre. Remarquons bien +que $\sn u, \cn u, \dn u$ n'ont pas le mme paralllogramme +des priodes. + +\Paragraph{66.}{Tableau des priodes, demi-priodes, ples et zros de +$\sn u, \cn u$, $\dn u$.} --- Rappelons que nous appelons \emph{demi-priode} +%% -----File: 098.png---Folio 94------- +d'une fonction elliptique toute quantit qui, ajoute +l'argument, ne fait que changer le signe de la fonction. +\begin{center} +\makebox[0pt][c]{% +\footnotesize +$\begin{array}{ccccr} + \text{Fonction} & + \settowidth{\TmpLen}{priodes}% + \parbox[c]{\TmpLen}{\centering Demi-\\priodes\medskip} + & \text{Priodes} & \text{Ples} & \multicolumn{1}{c}{\text{Zros}} \\ + \sn u & 2\Omega_2, 2\Omega_3 & + 2\Omega_1, 4\Omega_2, 4\Omega_3 & + \Omega_1 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2 & + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2 \\ +% + \cn u & 2\Omega_3, 2\Omega_1 & + 2\Omega_2, 4\Omega_3, 4\Omega_1 & \Ditto & + \Omega_3 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2 \\ +% + \dn u & 2\Omega_1, 2\Omega_2 & + 2\Omega_3, 4\Omega_1, 4\Omega_2 & \Ditto & + \Omega_2 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2 +\end{array}$} +\end{center} + +\ctb +%% -----File: 099.png---Folio 95------- + + +\Chapter{IV}{Drives de $\sn u, \cn u, \dn u$.\ --- Dveloppements +en srie.\ --- Dgnrescences} + +\Paragraph{67.}{Drives de $\sn u, \cn u, \dn u$.} --- Reportons-nous l'quation +qui lie $\sn u$~et sa drive~$\sn'u$ \Eqref{(58)} et celles qui dfinissent +$\cn u$~et~$\dn u$ \Eqref{(63)}. Nous en conclurons immdiatement +\begin{gather*} +(\sn'u)^2 =(1-\sn^2u)(1-k^2\sn^2 u), \\ +\sn'u=+\cn u \dn u. +\end{gather*} + +Nous devons affecter le second membre du signe~$+$ et +non du signe~$-$; car, pour $u = 0$, le produit $\cn u\, \dn u$ +se rduit ~$+1$. D'autre part, $\sn u$~tant par dfinition +gal ~$\dfrac{1}{\sqrt{\wp u - e_1}}$, nous aurons +\[ +\sn'u + = -\frac{1}{2}\, \frac{\wp' u}{(\sqrt{\wp u - e_1})^3} + = -\frac{1}{2}\, \frac{-\dfrac{2}{u^3} + \dots} + {\left(\dfrac{1}{u} + \dots\right)^3}, +\] +car le radical~${\sqrt{\wp u - e_1}}$ a la valeur principale~$+\dfrac{1}{u}$ pour +$u$~infiniment petit (\Ord{3}{e}~partie, ch.~I, 51). %[xref] + +La valeur de~$\sn'u$ pour $u = 0$ est donc~$+1$. + +Pour avoir la drive de~$\cn u$, il suffit maintenant de +diffrentier +\[ +\cn u = \sqrt{1-\sn^2u}, +\] +ce qui donne +\[ +\cn'u + = \frac{-\sn u\, \sn'u}{\sqrt{1 - \sn^2u}} + = \frac{-\sn u\, \cn u \dn u}{\cn u} +\] +%% -----File: 100.png---Folio 96------- +ou +\[ +\cn' u = - \sn u\, \dn u. +\] + +Enfin la drive de~$\dn u$ s'obtient en diffrentiant +\[ +\dn u = \sqrt{1 - k^2\sn^2 u}; +\] +donc +\[ +\dn' u + = \frac{-k^2\sn u\, \sn' u}{\sqrt{1 - k^2\sn^2 u}} + = \frac{-k^2\sn u\, \cn u\, \dn u}{\dn u} +\] +ou +\[ +\dn' u = -k^2 \sn u\, \cn u. +\] + +Le systme des trois quations diffrentielles +\[ +\sn' u = \cn u\, \dn u, \quad +\cn' u = -\sn u\, \dn u, \quad +\dn' u = -k^2 \sn u\, \cn u, +\] +avec les donnes initiales +\[ +\sn 0 = 0, \qquad +\cn 0 = 1, \qquad +\dn 0 = 1, +\] +pourrait servir dfinir \textit{a~priori} +les trois fonctions $\sn u, \cn u, \dn u$. + +On voit sans peine qu'il est quivalent au systme +\begin{gather*} +(\sn'u)^2 = (1 - \sn^2u)(1 - k^2\sn^2 u), \\ +\cn u = \sqrt{1 - \sn^2 u},\qquad +\dn u = \sqrt{1 - k^2\sn^2 u}. +\end{gather*} + +\Paragraph{68.}{Dveloppements de $\sn u, \cn u, \dn u$ en srie de Maclaurin.} --- +Les trois formules prcdentes qui donnent $\sn' u, \cn' u, \dn' u$ +en fonction de $\sn u, \cn u, \dn u$ peuvent tre diffrenties +indfiniment, et donnent de proche en proche les +valeurs des drives d'ordre quelconque en fonction de $\sn u, \cn u, \dn u$. +Si l'on fait alors $u = 0$, et par suite $\sn u = 0$, +$\cn u = 1$, $\dn u = 1$, on aura les coefficients des dveloppements +des trois fonctions suivant les puissances de~$u$. +On trouve ainsi +\begin{align*}%[** TN: Aligned] +\sn u &= u - \frac{1 + k^2}{6} u^3 + \dots, \\ +\cn u &= 1 - \frac{1}{2}\, u^2 + \dots, \\ +\dn u &= 1 - \frac{k^2}{2}\, u^2 + \dots\DPtypo{}{.} +\end{align*} +%% -----File: 101.png---Folio 97------- + +L'aspect de ces dveloppements confirme le fait que $\sn u$~est +une fonction impaire, et que $\cn u$~et~$\dn u$ sont des +fonctions paires \Eqref{(63)}. + +\Paragraph{69.}{Dgnrescences de $\sn u, \cn u, \dn u$.} --- L'quation +diffrentielle +\[ +\left(\frac{dx}{du}\right)^2 = (1 - x^2)(1 - k^2x^2), +\] + laquelle satisfait~$\sn u$, fait immdiatement connatre les +dgnrescences de~$\sn u$, et par suite \DPtypo{celle}{celles} de $\cn u, \dn u$, dans +les deux cas limites $k = 0$ et~$k = 1$. + +\primo Si $k = 0$, cette quation donne $x = \sin u$ sans +constante d'intgration, car $x$~doit s'annuler en mme +temps que~$u$. Ainsi $\sn u$~dgnre en~$\sin u$; par suite~$\cn u$ +en~$\cos u$, et $\dn u$~se rduit ~$1$. + +\secundo Si $k = 1$, l'intgration donne +\[ +u = \int_0^x \frac{dx}{1 - x^2} = \frac{1}{2}\log\frac{1 + x}{1 - x}, +\] +d'o +\[ +x = \frac{e^u - e^{-u}}{e^u + e^{-u}} = \Tanh u. +\] + +Donc $\sn u$ dgnre en $\Tanh u$, et par consquent $\cn u$~et~$\dn u$ +en +\[ +\sqrt{1 - \left(\frac{e^u - e^{-u}}{e^u + e^{-u}}\right)^2} + = \frac{2}{e^u + e^{-u}} = \frac{1}{\Cosh u}. +\] + +\ctb +%% -----File: 102.png---Folio 98------- + + +\Chapter{V}{Addition des arguments.\ --- quation d'Euler. +Multiplication de l'argument des fonctions $\sn u, \cn u, \dn u$} + +\Paragraph{70.}{Expression de $\sn (u + v) + \sn (u - v)$ en fonction +rationnelle de~$\sn u$.} --- Pour rester fidle l'esprit de +notre mthode, nous devrions dduire la formule qui donne +$\sn (u+v)$~en fonction de $\sn u, \sn v$, $\cn u, \cn v$, $\dn u, \dn v$, +de celle qui fournit l'expression de $\wp(u + v)$ au moyen de +$\wp u, \wp v$, $\wp' u, \wp' v$ (\Ord{2}{e}~partie, ch.~V, 41). Ce calcul tant pnible, %[xref] +nous prfrons employer les considrations assez +simples que voici. + +Cherchons s'il est possible d'exprimer rationnellement +au moyen de~$\sn u$ la fonction +\[ +f(u) = \sn(u + v) + \sn(u - v). +\] + +Elle admet comme~$\sn u$ les priodes $2\Omega_1, 4\Omega_2$. Les ples, +simples comme ceux de~$\sn u$, sont donns par la formule +\[ +u = \mp v + \Omega_1 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2. +\] + +Les ples distincts sont au nombre de quatre, par exemple +\[ +-v + \Omega_1, \quad -v + \Omega_1 + 2\Omega_2\DPtypo{;}{,} \quad ++v + \Omega_1, \quad +v + \Omega_1 + 2\Omega_2. +\] + +La fonction elliptique~$f(u)$ est donc du \Ord{4}{e}~ordre. + +Il est facile de former une fonction rationnelle de~$\sn u$ +aux mmes priodes et aux mmes ples que~$f(u)$. La plus +%% -----File: 103.png---Folio 99------- +simple possible est +\[ +\varphi(u) + = \frac{1}{\sn u - \sn(-v + \Omega_1)} + \frac{1}{\sn u - \sn( v + \Omega_1)}. +\] + +En effet, la fonction $\sn u - \sn(-v + \Omega_1)$ tant, comme~$\sn u$, +du second ordre, admet deux zros distincts; l'un est +videmment $u = -v + \Omega_1$, l'autre est +\[ +u = -v + \Omega_1 + 2\Omega_2, +\] +car $2\Omega_2$~tant une demi-priode, on a +\[ +\sn(-v + \Omega_1 + 2\Omega_2) + = -\sn(+v - \Omega_1) + = +\sn(-v + \Omega_1). +\] + +De mme $\sn u - \sn(v + \Omega_1)$ admet les zros $v + \Omega_1, v + \Omega_1 + 2\Omega_2$. + +De l rsulte que~$\varphi(u)$ admet les mmes ples que~$\DPtypo{fu}{f(u)}$. + +Ces ples tant simples, le quotient~$\dfrac{f(u)}{\varphi(u)}$ ne peut admettre +d'autres ples que les zros de~$\varphi(u)$ et d'autres zros +que les zros de~$f(u)$. + +tudions maintenant ce quotient. Nous allons montrer +qu'il a mmes zros et mmes ples que~$\sn u$. + +\primo \textit{Ples de~$\dfrac{f(u)}{\varphi(u)}$.} --- L'expression de~$\varphi(u)$ peut s'crire +\[ +\varphi(u) = \frac{1}{\sn^2 u - \sn^2(v + \Omega_1)}, +\] +car +\begin{align*} +-\sn(-v + \Omega_1) + &= - \sn(-v + \Omega_1 - 2\Omega_1) \\ + &= - \sn(-v - \Omega_1) + = + \sn( v + \Omega_1). +\end{align*} + +Les zros de~$\varphi(u)$ sont les ples de~$\sn^2 u$. Ces ples sont +les mmes que ceux de~$\sn u$, savoir +\[ +\Omega_1 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2; +\] +seulement ils sont doubles. + +D'autre part, $f(u)$~admet les zros +\[ +\Omega_1 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2, +\] +dont deux seulement, par exemple $\Omega_1$~et~$\Omega_1 + 2\Omega_2$, sont +%% -----File: 104.png---Folio 100------- +distincts, car +\begin{align*} +&\begin{aligned} +f(\Omega_1) = \sn(\Omega_1 + v) + \sn(\Omega_1 - v) + &= \sn(\Omega_1 + v) - \sn\bigl[2\Omega_1 - (\Omega_1 - v)\bigr] \\ + &= \sn(\Omega_1 + v) - \sn(\Omega_1 + v) = 0, +\end{aligned} \\ +&\begin{aligned} +f(\Omega_1 + 2\Omega_2) + &= \sn(\Omega_1 + 2\Omega_2 + v) + \sn(\Omega_1 + 2\Omega_2 - v) \\ + &= -\sn(\Omega_1 + v) - \sn(\Omega_1 - v) = 0. +\end{aligned} +\end{align*} + +Ainsi $f(u)$~admet pour zros les ples de~$\varphi(u)$. Ces zros +tant simples, tandis que ces ples sont doubles, $\dfrac{f(u)}{\varphi(u)}$~admet +pour ples simples les points $\Omega_1 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2$, +qui sont prcisment les ples de~$\sn u$. + +\secundo \textit{Zros de $\dfrac{f(u)}{\varphi(u)}$.} --- Ces zros, nous l'avons dit, ne peuvent +tre que des zros de~$f(u)$. Ceux-ci sont au nombre de +quatre distincts, puisque $f(u)$~est une fonction elliptique +du quatrime ordre. Nous en connaissons dj deux, $\Omega_1$~et~$\Omega_1 + 2\Omega_2$ +qui, nous venons de le voir, n'annulent pas~$\dfrac{f(u)}{\varphi(u)}$. +Vrifions directement que les deux autres sont les zros +distincts de~$\sn u$, savoir $0$~et~$2\Omega_2$. En effet +\begin{gather*} +f(0) = \sn v + \sn (-v) = 0, \\ +f(2\Omega_2) + = \sn (2\Omega_2 + v) + \sn (2\Omega_2 - v) + = -\sn v - \sn(-v) = 0. +\end{gather*} + +La fonction elliptique~$\dfrac{f(u)}{\varphi(u)}$, ayant mmes priodes, +mmes zros et mmes ples que~$\sn u$ avec le mme +degr~$1$ de multiplicit, est proportionnelle ~$\sn u$: +\[ +\frac{f(u)}{\varphi(u)} = C \sn u. +\] +On a donc, en remplaant $f(u), \varphi(u)$ par leurs valeurs, +\[ +\sn(u + v) + \sn(u - v) = \frac{C \sn u}{\sn^2 u - \sn^2(v + \Omega_1)}. +\] + +Nous dterminerons tout l'heure la constante~$C$, mais +il importe d'abord d'exprimer $\sn(v + \Omega_1)$ en fonction de~$\sn v$. +%% -----File: 105.png---Folio 101------- + +Les ples de $\sn(v+\Omega_1)$ sont donns par la formule +\begin{align*} +v + \Omega_1 &= \Omega_1 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2, \\ +\intertext{d'o} +v &= 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2; +\end{align*} +ses zros par la formule +\[ +v + \Omega_1 = 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2, +\] +d'o +\[ +v = -\Omega_1 + 2m_1\Omega_1 + 2m_2\Omega_2 + = \Omega_1 + 2m'_1\Omega_1 + 2m'_2\Omega_2. +\] + +Ainsi $\sn(v + \Omega_1)$ a pour ples les zros et pour zros +les ples de~$\sn v$; donc +\[ +\sn(v + \Omega_1) = \frac{A}{\sn v}. +\] + +Pour dterminer la constante~$A$, faisons $\sn v = 1$, d'o +$\cn v = 0$, relation vrifie par $v = \Omega_3$ \Eqref{(66)}; il viendra +\[ +A = \sn(\Omega_3 + \Omega_1) + = \sn(-\Omega_2) + = -\sn(\Omega_2), +\] +mais l'on a~\Eqref{(66)} $\dn \Omega_2 = 0$, c'est--dire $1 - k^2 \sn^2 \Omega_2 = 0$, +par consquent +\[ +A^2 = \sn^2 \Omega_2 = \frac{1}{k^2} +\] +et +\[ +\sn^2 (v + \Omega_1) = \frac{1}{k^2\sn^2 v}. +\] +Substituant dans la formule qui donne $\sn(u + v) + \sn(u - v)$, +on a +\[ +\sn(u + v) + \sn(u - v) = \frac{C \sn u}{\sn^2 u - \dfrac{1}{k^2\sn^2 v}} + = \frac{C' \sn u}{1 - k^2\sn^2 u\, \sn^2 v}. +\] + +Pour dterminer~$C'$ (qui ne dpend que de~$v$), prenons +les drives des deux membres par rapport ~$u$, et faisons +$u = 0$; en tenant compte de ce que $\cn v, \dn v$ sont des +fonctions impaires, nous obtiendrons facilement +\[ +C' = 2 \sn v\, \dn v. +\] + +Finalement +\[ +\sn(u + v) + \sn(u - v) + = \frac{2 \sn u\, \cn v\, \dn v}{1 - k^2\sn^2 u\, \sn^2 v}. +\] +%% -----File: 106.png---Folio 102------- + +\Paragraph{71.}{Addition des arguments pour les fonctions $\sn, \cn, \dn$.} --- +Si nous ajoutons l'quation prcdente celle qu'on en +dduit en y changeant~$u$ en~$v$ et $v$~en~$u$, on obtient la +\emph{formule d'addition des arguments} pour la fonction~$\sn$ +\[ +\sn(u+v) + = \frac{\sn u\, \cn v\, \dn v + \sn v\, \cn u\, \dn u} + { 1 - k^2\sn^2u\, \sn^2 v}. +\] + +On en conclut aisment celle qui donne~$\cn(u + v)$. On +a en effet +\begin{multline*}%[** Align?] +\cn^2(u + v) = 1 - \sn^2(u+v) \\ + = \frac{(1 - k^2 \sn^2 u\, \sn^2 v)^2 + - (\sn u\, \cn v\, \dn v + \sn v\, \cn u\, \dn u)^2} + {(1 - k^2\sn^2 u\, \sn^2 v)^2}. +\end{multline*} + +Or +\[ +1 - k^2\sn^2 u\, \sn^2 v + = \cn^2 u + \sn^2 u\, \dn^2 v + = \cn^2 v + \sn^2 v\, \dn^2 u. +\] + +Si l'on remplace au numrateur $(1 - k^2 \sn^2 u\, \sn^2 v)^2$ par +\[ +(\cn^2 u + \sn^2 u\, \dn^2 v)(\cn^2 v + \sn^2 v\, \dn^2 u), +\] +ce numrateur prendra la forme +$(\cn u\, \cn v - \sn u\, \dn u\, \sn v\, \dn v)^2$. +Extrayant la racine carre, on aura la formule cherche +\[ +\cn(u + v) + = \frac{\cn u\, \cn v - \sn u\, \dn u\, \sn v\, \dn v} + {1 - k^2\sn^2 u\, \sn^2 v}. +\] + +Il faut prendre le signe~$+$ devant les deux membres pour +qu'ils deviennent identiques si l'on y fait $v = 0$. + +On vrifiera de mme l'expression de~$\dn(u + v)$ +\[ +\dn(u + v) + = \frac{\dn u\, \dn v - k^2\sn u\, \cn u\, \sn v\, \cn v} + {1 - k^2\sn^2 u\, \sn^2 v}. +\] + +\Paragraph{72.}{quation d'Euler.} --- La formule d'addition pour la +fonction~$\sn$ donne le moyen d'intgrer immdiatement l'quation +diffrentielle d'Euler +\[ + \frac{dx}{\sqrt{(1 - x^2)(1 - k^2x^2)}} ++ \frac{dy}{\sqrt{(1 - y^2)(1 - k^2y^2)}} = 0. +\] +%% -----File: 107.png---Folio 103------- + +Posons +\[ +\frac{dx}{\sqrt{(1 - x^2)(1 - k^2x^2)}} = du; \qquad +\frac{dy}{\sqrt{(1 - y^2)(1 - k^2y^2)}} = dv. +\] + +Nous satisfaisons ces deux dernires quations diffrentielles +en prenant +\[ +x = \sn u, \qquad y = \sn v. +\] + +Par la substitution des variables $u, v$ aux variables $x, y$, +l'quation d'Euler devient $du + dv = 0$, d'o +\[ +u + v = \text{const.}, \qquad \sn(u + v) = C. +\] + +Remplaons $\sn(u+v)$ par sa valeur ci-dessus~\Eqref{(71)} et +remarquons que +\begin{align*} +\cn u &= \sqrt{1 - x^2}, & \dn u &= \sqrt{1 - k^2x^2}, \\ +\cn v &= \sqrt{1 - y^2}, & \dn v &= \sqrt{1 - k^2y^2}; +\end{align*} +il vient +\[ +\frac{x\sqrt{(1 - y^2)(1 - k^2y^2)} + + y\sqrt{(1 - x^2)(1 - k^2x^2)}}{1 - k^2x^2y^2} = C. +\] + +Donc \emph{l'intgrale gnrale de l'quation d'Euler est algbrique}. +Ce rsultat est bien remarquable si l'on songe que +l'intgrale de l'quation plus simple +\[ +\frac{dx}{\sqrt{(1 - x^2)(1 - k^2x^2)}} = du +\] +est transcendante; cette intgrale est +\[ +x = \sn(u + C). +\] + +\Paragraph{73.}{Multiplication de l'argument de $\sn u, \cn u, \dn u$.} --- Si, +dans les formules~\Eqref{(71)} qui donnent $\sn(u + v), \cn(u + v), \dn(u + v)$, +on fait $v = u$, on trouve +\[ +\sn 2u = \frac{2\sn u\, \cn u\, \dn u}{1 - k^2\sn^4 u}, \qquad \ldots. +\] +%% -----File: 108.png---Folio 104------- +Ainsi $\sn 2u, \cn 2u, \dn 2u$ s'expriment rationnellement en +fonction de $\sn u, \cn u, \dn u$. + +Il en est de mme de $\sn mu, \cn mu, \dn mu$; et l'on obtiendra +de proche en proche les expressions de ces fonctions +en faisant $v$~gal successivement $2u, 3u, \dots$ dans les formules +d'addition. + +\ctb +%% -----File: 109.png---Folio 105------- + + +\Part{Quatrime Partie}{Les fonctions $\theta$} + +%% -----File: 110.png---Folio 106------- +% [Blank Page] + +%% -----File: 111.png---Folio 107------- + + +\Chapter{I}{La fonction $\theta$.\ --- Expressions de $\wp u, \zeta u, \sigma u$ +au moyen de cette fonction} + +En partant des priodes comme donnes, nous avons +form les expressions de $\wp u, \zeta u, \sigma u$ (\Ord{2}{e}~partie, ch.~I, 15; %[xrefs] +ch.~III, 26,~28). Ces expressions qui sont des sries double +entre ne sont videmment pas commodes pour calculer +ces fonctions. Mais l'introduction des quatre fonctions +$\theta, \theta_1, \theta_2, \theta_3$ de Jacobi va nous fournir le moyen le plus pratique +pour excuter ce calcul. + +\Paragraph{74.}{Construction de la fonction~$\theta u$.} --- Il est facile, en partant +de~$\sigma u$, de construire une fonction entire simplement +priodique~$\theta u$, de demi-priode~$2\omega_1$, c'est--dire telle que +$\theta(u + 2\omega_1) = -\theta u$. + +Posons en effet +\[ +\theta u = \varphi(u)\, \sigma u, +\] +d'o (\Ord{2}{e}~partie, ch.~III, 32) %[xref] +\[ +\theta(u + 2\omega_1) = -\theta u + = -\varphi(u + 2\omega_1)\, e^{2\eta_1(u + \omega_1)}\, \sigma u. +\] +La comparaison entre cette quation et la prcdente +montre que l'on doit avoir +\[ +\varphi(u + 2\omega_1) = e^{-2\eta_1(u + \omega_1)}\, \varphi(u). +\] + +La manire la plus simple de choisir~$\varphi(u)$ de faon +%% -----File: 112.png---Folio 108------- +satisfaire cette condition est de prendre +\[ +\varphi(u) = \frac{1}{A}\, e^{-\frac{\eta_1 u^2}{2\omega_1}}, +\] +$A$~tant une constante. Par suite +\[ +A\, \theta u = e^{-\frac{\eta_1 u^2}{2\omega_1}}\, \sigma u. +\] + +La fonction~$A\, \theta u$ tant entire, priodique, de priode~$4\omega_1$ +(puisqu'elle admet la demi-priode~$2\omega_1$), est dveloppable +en srie de Fourier: +\[ +A \theta u + = \sum_{-\infty}^{+\infty} A_m\, e^{m\, \frac{2\pi iu}{4 \omega_1}} + = \sum_{-\infty}^{+\infty} A_m\, e^{m\, \frac{ \pi iu}{2 \omega_1}}. +\] + +Dterminons les coefficients~$A_m$. + +D'abord nous savons que $\theta u$~change de signe quand on +accrot~$u$ de~$2\omega_1$. Chacun des termes du dveloppement est +alors multipli par +\[ +e^{m\, \frac{\pi i 2\omega_1}{2 \omega_1}} = e^{m\pi i} += \begin{cases} + +1 & \text{ si $m$~est pair,} \\ + -1 & \text{ si $m$~est impair.} +\end{cases} +\] + +Il suffit donc que les coefficients des termes o $m$~est +pair soient nuls, et cela est ncessaire comme on le dmontre +dans la thorie de la srie de Fourier. Le dveloppement +se rduit par suite +\[ +A\, \theta u + = \sum_{-\infty}^{+\infty} A_{2n+1}\, e^{(2n+1)\, \frac{\pi iu}{2 \omega_1}}. +\] + +En second lieu examinons l'effet sur~$\theta u$ du changement +de~$u$ en~$u + 2\omega_2$. Ce changement multipliant~$\sigma u$ par +$-e^{+2\eta_2(u + \omega_2)}$ (\Ord{2}{e}~partie, ch.~III, 28), on aura %[xref] +\begin{align*} +A\, \theta (u + 2\omega_2) + &= -e^{-\eta_1\, \frac{(u + 2\omega_2)^2}{2\omega_1}} + \centerdot e^{2\eta_2(u + \omega_2)}\, \sigma u \\ + &= -e^{2(\eta_2\omega_1 - \eta_1\omega_2)\, \frac{u + \omega_2}{\omega_1}}\, + e^{-\eta_1\, \frac{u^2}{2\omega_1}}\, \sigma u. +\end{align*} +%% -----File: 113.png---Folio 109------- + +C'est ici que nous utilisons l'importante relation (\Ord{2}{e}~partie, +ch.~III, 29) %[xref] +\[ +2(\eta_1\omega_2 - \eta_2\omega_1) = \pi i. +\] +N'oublions pas qu'elle suppose que la partie imaginaire du +rapport $\dfrac{\omega_2}{\omega_1}$ est positive (sinon le second membre serait +gal ~$-\pi i$). + +Cette relation nous donne +\[ +\theta(u + 2\omega_2) = -e^{-\pi i\, \frac{u + \omega_2}{\omega_1}}\, \theta u. +\] + +La proprit de la fonction~$\theta$ de se reproduire multiplie +par l'exponentielle $-e^{-\pi i\, \frac{u + \omega_2}{\omega_1}}$ dtermine tous les coefficients +de son dveloppement. On a, en effet, d'une part, +\[ +A\, \theta(u + 2\omega_2) + = \sum_{-\infty}^{+\infty} + A_{2n-1}\, e^{\pi i\, \frac{(u + 2\omega_2)}{2\omega_1}\, (2n-1)}, +\] +d'autre part, +\begin{align*} +-e^{-\pi i\, \frac{u + \omega_2}{\omega_1}}\, A\, \theta u + &= -\sum_{-\infty}^{+\infty} A_{2n+1}\, + e^{\frac{\pi i u}{2\omega_1}\, (2n+1) - \pi i\, \frac{u + \omega_2}{\omega_1}} \\ + &= \sum_{-\infty}^{+\infty} -A_{2n+1}\, + e^{\pi i\, \frac{u + 2\omega_2}{2\omega_1}\, (2n-1)}\, + e^{-2n\pi i\, \frac{\omega_2}{\omega_1}}. +\end{align*} + +Nous avons l deux sries de Fourier qui doivent tre +identiques: on sait qu'alors ceux de leurs termes o l'argument +$\dfrac{\pi iu}{2\omega_1}$ est affect du mme multiple entier doivent tre +gaux. On en conclut +\[ +A_{2n-1} = -A_{2n+1}\, e^{-2n\pi i\, \frac{\omega_2}{\omega_1}}. +\] + +Si, pour abrger, on pose +\[ +q = e^{\pi i\, \frac{\omega_2}{\omega_1}}, +\] +%% -----File: 114.png---Folio 110------- +on aura +\begin{align*}%[** TN: Modernizing notation (n-1)] +A_{2n+1} + &= -A_{2n-1}\, q^{2n} = +A_{2n-3}\, q^{2n + 2(n-1)} = \dots \\ + &= (-1)^n A_1\, q^{2[n + (n-1) + \dots + 1]} \\ + &= (-1)^n A_1\, q^{\frac{2n(n+1)}{2}} + = (-1)^n A_1\, q^{-\frac{1}{4}}\centerdot + q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}. +\end{align*} + +Prenons $A_1$ gal $-iq^{\frac{1}{4}}$; il en rsultera +\[ +A_{2n+1} = \frac{(-1)^n}{i}\, q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}. +\] + +La srie~$\theta u$ est ds lors compltement dtermine, et son +expression dfinitive est +\[ +\theta u + = \frac{1}{i} \sum_{-\infty}^{+\infty} + (-1)^n\, q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}\, + e^{(2n+1)\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}. +\] + +\Paragraph{75.}{Expressions de $\sigma u, \zeta u, \wp u$ en fonction de~$\theta u$.} + +\primo Pour avoir $\sigma u$~en fonction de~$\theta u$, il suffit de dterminer~$A$ +dans la formule~\Eqref{(74)} +\[ +e^{-\frac{\eta_1 u^2}{2\omega_1}}\, \sigma u = A\, \theta u. +\] +Pour dterminer~$A$, dveloppons en srie de Maclaurin les +trois fonctions $e^{-\frac{\eta_1 u^2}{2\omega_1}}$,~$\sigma u$ (\Ord{2}{e}~partie, ch.~III, 31) et~$\theta u$, %[xref] +nous aurons +\begin{multline*} +\left(1 - \frac{\eta_1 u^2}{2\omega_1} + + \frac{1}{1\centerdot 2}\, \frac{\eta_1^2 u^4}{4\omega_1^2} - \dots\right) + \centerdot u(1 + d_1 u^4 + \dots) \\ + = A \left(\theta 0 + u \theta' 0 + + \frac{u^2}{1\centerdot 2}\theta'' 0 + + \frac{u^3}{1\centerdot 2\centerdot 3}\theta''' 0 + \dots \right). +\end{multline*} + +L'identification donne +\[ +\theta 0 = 0, \quad +A\, \theta' 0 = 1, \quad +\theta'' 0 = 0, \quad +\frac{A\,\theta''' 0}{6} = -\frac{\eta_1}{2\omega_1}, \quad \ldots +\] +d'o l'on tire +\[ +A = \frac{1}{\theta' 0}, \qquad +\frac{\eta_1}{2\omega_1} = -\frac{1}{6}\, \frac{\theta''' 0}{\theta' 0}; +\] +%% -----File: 115.png---Folio 111------- +et nous avons l'expression cherche de~$\sigma u$ +\[ +\sigma u + = e^{\frac{\eta_1 u^2}{2\omega_1}}\, \frac{\theta u}{\theta' 0} + = e^{-\frac{1}{6}\, \frac{\theta''' 0}{\theta' 0}\, u^2}\, + \frac{\theta u}{\theta' 0}. +\] + +\secundo En prenant la drive logarithmique de cette expression, +on trouve +\[ +\zeta u + = -\frac{1}{3}\, \frac{\theta''' 0}{\theta' 0}\, u + + \frac{\theta' u}{\theta u}. +\] + +\DPtypo{\quarto}{\tertio} Diffrentions cette dernire formule et changeons les +signes des deux membres; nous aurons +\[ +\wp u = \frac{1}{3}\, \frac{\theta''' 0}{\theta' 0} + - \frac{\theta u\, \theta'' u - \theta'^2 u}{\theta^2 u}. +\] + +Ces trois expressions de $\sigma u, \zeta u, \wp u$ rsolvent le problme +que nous nous tions propos, de calculer ces trois fonctions +en les reprsentant par des sries simples. Toutefois +la dernire formule n'est pas trs favorable au calcul de~$\wp u$. +Nous en obtiendrons de plus appropries au mme objet +en introduisant, aprs Jacobi, trois nouvelles sries $\theta_1 u, \theta_2 u, \theta_3 u$ +trs analogues ~$\theta u$. Ces sries sont galement +utiles pour reprsenter $\sn u, \cn u, \dn u$. + +\ctb +%% -----File: 116.png---Folio 112------- + + +\Chapter{II}{Les fonctions $\theta_1 u, \theta_2 u, \theta_3 u$. +Expressions de $\sn u, \cn u, \dn u$ par les fonctions $\theta$} + +\Paragraph{76.}{Les fonctions $\theta_1 u, \theta_2 u, \theta_3 u$.} --- L'tude de~$\theta u$ va nous +conduire ces nouvelles fonctions. Cherchons ce que $\theta u$~devient +quand on augmente l'argument~$u$ successivement +de $\omega_1, \omega_2, \omega_3$. + +\primo Augmentons~$u$ de~$\omega_1$. Nous aurons +\[ +\theta(u + \omega_1) + = \frac{1}{i} \sum_{-\infty}^{+\infty} + (-1)^n\, q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}\, + e^{(2n+1)\, \frac{\pi i(u + \omega_1)}{2\omega_1}}. +\] + +Or +\[ + e^{(2n+1)\, \frac{\pi i(u + \omega_1)}{2\omega_1}} += e^{(2n+1)\, \frac{\pi i}{2}}\, + e^{(2n+1)\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}} += (-1)^n\, ie^{(2n+1)\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}. +\] + +Si donc nous posons +\[ +\theta_1(u) + = \sum_{-\infty}^{+\infty} + q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}\, e^{(2n+1)\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}, +\] +nous aurons +\[ +\theta(u + \omega_1) = \theta_1u. +\] + +\secundo Augmentons~$u$ de~$\omega_2$, il vient +\[ +\theta(u + \omega_2) + = \frac{1}{i} \sum_{-\infty}^{+\infty} + (-1)^n\, q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}\, + e^{(2n+1)\, \frac{\pi i(u + \omega_2)}{2\omega_1}} +\] +%% -----File: 117.png---Folio 113------- +ou bien, si nous changeons $n$~en~$n-1$, +\[ +\theta(u + \omega_2) + = \frac{1}{i} \sum_{-\infty}^{+\infty} + (-1)^{n-1}\, q^{\left(n - \frac{1}{2}\right)^2}\, + e^{(2n-1)\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}\, + e^{(2n-1)\pi i\, \frac{\omega_2}{2\omega_1}}\DPtypo{}{.} +\] + +Mais, en se rappelant~\Eqref{(74)} que $e^{\pi i\, \frac{\omega_2}{\omega_1}} = q$, on a +\[ +q^{\left(n - \frac{1}{2}\right)^2}\, e^{(2n-1)\pi i\, \frac{\omega_2}{2\omega_1}} + = q^{\left(n - \frac{1}{2}\right)^2}\, q^{n - \frac{1}{2}} + = q^{n^2}\, q^{-\frac{1}{4}}; +\] +par suite +\[ +\theta(u + \omega_2) + = \frac{-1}{i}\, q^{-\frac{1}{4}}\, e^{-\frac{\pi iu}{2\omega_1}} + \sum_{-\infty}^{+\infty} (-1)^n\, q^{n^2}\, e^{2n\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}. +\] + +Si donc on pose +\[ +\theta u_2 = \sum_{-\infty}^{+\infty} + (-1)^n\, q^{n^2}\, e^{2n\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}, +\] +on aura +\[ +\theta(u + \omega_2) + = iq^{-\frac{1}{4}}\, e^{-\frac{\pi iu}{2\omega_1}}\, \theta_2 u. +\] + +\tertio Augmentons~$u$ de~$\omega_3$; $\theta u$~deviendra +\begin{align*} +\theta(u + \omega_3) + &= \theta(u - \omega_1 - \omega_2) \\ + &= \frac{1}{i} \sum_{-\infty}^{+\infty} + (-1)^n\, q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}\, + e^{(2n+1)\, \frac{\pi i(u - \omega_1 - \omega_2)}{2\omega_1}}. +\end{align*} +Or +\begin{align*} +e^{(2n+1)\, \frac{\pi i(u - \omega_1 - \omega_2)}{2\omega_1}} + &= e^{(2n+1)\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}\, + e^{-(2n+1)\, \frac{\pi i}{2}}\, + e^{-\left(n + \frac{1}{2}\right) \pi i\, \frac{\omega_2}{\omega_1}} \\ + &= -(-1)^n\, iq^{-\left(n + \frac{1}{2}\right)}\, + e^{(2n+1)\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}. +\end{align*} +Par consquent +\begin{align*} +\theta(u + \omega_3) + &= -\sum_{-\infty}^{+\infty} + q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}\, + q^{-\left(n + \frac{1}{2}\right)}\, + e^{(2n+1)\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}} \\ + &= -q^{-\frac{1}{4}}\, e^{\frac{\pi iu}{2\omega_1}} + \sum_{-\infty}^{+\infty} q^{n^2}\, e^{2n\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}. +\end{align*} +%% -----File: 118.png---Folio 114------- + +Si donc on pose +\[ +\theta_3 u = \sum_{-\infty}^{+\infty} q^{n^2}\, e^{2n\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}, +\] +on aura +\[ +\theta(u + \omega_3) + = -q^{-\frac{1}{4}}\, e^{\frac{\pi iu}{2\omega_1}}\, \theta_3 u. +\] + +Rapprochons les quatre sries qui reprsentent $\theta u, \theta_1 u, \theta_2 u, \theta_3 u$, +ainsi que les trois relations qui lient la premire de ces +quatre fonctions aux trois autres: +\begin{gather*} +\begin{aligned} +\theta u &= \frac{1}{i} \sum_{-\infty}^{+\infty} + (-1)^n\, q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}\, e^{(2n+1)\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}, \\ +\theta_1 u &= \phantom{\frac{1}{i}} \sum_{-\infty}^{+\infty} + q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}\, e^{(2n+1)\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}, \\ +\theta_2 u &= \phantom{\frac{1}{i}} \sum_{-\infty}^{+\infty} + (-1)^n\, q^{n^2}\, e^{2n\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}, \\ +\theta_3 u &= \phantom{\frac{1}{i}} \sum_{-\infty}^{+\infty} + q^{n^2}\, e^{2n\, \frac{\pi iu}{2\omega_1}}. +\end{aligned} \\ +\theta(u + \omega_1) = \theta_1 u, \\ +\theta(u + \omega_2) + = iq^{-\frac{1}{4}}\, e^{-\frac{\pi iu}{2\omega_1}}\, \theta_2 u, \\ +\theta(u + \omega_3) + = -q^{-\frac{1}{4}}\, e^{\frac{\pi iu}{2\omega_1}}\, \theta_3 u. +\end{gather*} + +Rappelons-nous la signification de~$q$ +\[ +q = e^{\pi i\, \frac{\omega_2}{\omega_1}}. +\] + +\Paragraph{77.}{Expression de $\sigma_{01} u, \sigma_{02} u, \sigma_{03} u$ par les fonctions~$\theta$.} --- +Reportons-nous la dfinition (\Ord{3}{e}~partie, ch.~I, 51) des fonctions %[xref] +%% -----File: 119.png---Folio 115------- +elliptiques $\sigma_{01} u, \sigma_{02} u, \sigma_{03} u$ qui servent de traits d'union +entre~$\wp u$ d'une part et $\sn u, \cn u, \dn u$ de l'autre. + +Nous avons d'abord +\[ +\sigma_{01} u + = e^{\eta_1 u}\, \frac{\sigma u\, \sigma\omega_1}{\sigma(u + \omega_1)}. +\] + +Il n'est pas difficile d'avoir l'expression de~$\sigma_{01} u$ au moyen +des fonctions~$\theta$, puisque nous connaissons celle de~$\sigma u$~\Eqref{(75)}, +savoir: +\[ +\sigma u = e^{\frac{\eta_1 u^2}{2\omega_1}}\, \frac{\theta u}{\theta' 0}. +\] +Nous en concluons +\begin{gather*} +\sigma\omega_1 + = e^{\frac{\eta_1 \omega_1}{2}}\, \frac{\theta\omega_1}{\theta' 0} + = e^{\frac{\eta_1 \omega_1}{2}}\, \frac{\theta_1 0 }{\theta' 0}, \\ +\sigma(u + \omega_1) + = e^{\frac{\eta_1(u + \omega_1)^2}{2\omega_1}}\, + \frac{\theta(u + \omega_1)}{\theta' 0} + = e^{\frac{\eta_1(u + \omega_1)^2}{2\omega_1}}\, + \frac{\theta_1u}{\theta' 0}. +\end{gather*} +Donc +\[ +\sigma_{01} u + = \frac{\theta_1 0}{\theta' 0}\, \frac{\theta u}{\theta_1 u}. +\] + +Un calcul peu diffrent conduirait aux deux autres expressions +analogues +\begin{align*} +\sigma_{02} u + &= \frac{\theta_2 0}{\theta' 0}\, \frac{\theta u}{\theta_2 u}, \\ +\sigma_{03} u + &= \frac{\theta_3 0}{\theta' 0}\, \frac{\theta u}{\theta_3 u}. +\end{align*} + +Pour obtenir la dernire par exemple, il suffit de se reporter~\Eqref{(55)} + la formule +\[ +\sigma_{03} u + = e^{\eta_3 u}\, \frac{\sigma u\, \sigma \omega_3}{\sigma(u + \omega_3)}, +\] +et d'y substituer la valeur ci-dessus de~$\sigma u$ en fonction de~$\theta u$, +ainsi que les valeurs suivantes qu'on en dduit: +\begin{gather*} +\sigma \omega_3 + = e^{\frac{\eta_1\omega_3^2}{2\omega_1}}\, \frac{\theta\omega_3}{\theta' 0} + = -e^{\frac{\eta_1\omega_3^2}{2\omega_1}}\, + q^{-\frac{1}{4}}\, \frac{\theta_3 0}{\theta' 0}, \\ +\sigma (u + \omega_3) + = e^{\frac{\eta_1(u + \omega_3)^2}{2\omega_1}}\, + \frac{\theta(u + \omega_3)}{\theta' 0} + = -e^{\frac{\eta_1(u + \omega_3)^2}{2\omega_1}}\, + q^{-\frac{1}{4}}\, e^{\frac{\pi iu}{2\omega_1}}\, + \frac{\theta_3 u}{\theta' 0}. +\end{gather*} +%% -----File: 120.png---Folio 116------- + +Il vient ainsi +\[ +\sigma_{03} u + = e^{\eta_3 u}\, + e^{\frac{\eta_1 u^2}{2\omega_1}}\, + e^{\frac{\eta_1 \omega_3^2}{2\omega_1}}\, + e^{-\frac{\pi iu}{2\omega_1}}\, + e^{\frac{-\eta_1(u + \omega_3)^2}{2\omega_1}}\, + \frac{\theta_3 0}{\theta' 0}\, + \frac{\theta u}{\theta_3 u}; +\] +et il est facile de constater que le facteur exponentiel se +rduit l'unit cause de la relation +\[ +2(\eta_3\omega_1 - \eta_1\omega_3) = \pi i. +\] + +\Paragraph{78.}{Expressions de $\sn u, \cn u, \dn u$ par les fonctions~$\theta$.} --- +Rappelons-nous que $\sn u, \cn u, \dn u$ drivent d'une fonction~$\wp u$ +aux priodes $2\Omega_1, 2\Omega_2$ pour laquelle on a $e_3 - e_1 = 1$ +(\Ord{3}{e}~partie, ch.~II, 57), et que l'on a (\Ord{3}{e}~partie, ch.~II, 57, et ch.~III, 63) %[xrefs] +\[ +\sn u = \sigma_{01} u, \qquad +\cn u = \frac{\sigma_{01} u}{\sigma_{03} u}, \qquad +\dn u = \frac{\sigma_{01} u}{\sigma_{02} u}. +\] +Appelons $\Theta, \Theta_1, \Theta_2, \Theta_3$ les fonctions $\theta, \theta_1, \theta_2, \theta_3$ dans lesquelles +$\omega_1$~et~$\omega_2$ sont remplaces par $\Omega_1, \Omega_2$, nous aurons +ces expressions de $\sn u, \cn u, \dn u$ par les fonctions~$\Theta$ +\begin{align*} +\sn u &= \frac{\Theta_1 0}{\Theta' 0}\, \frac{\Theta u}{\Theta_1 u}, \\ +\cn u &= \frac{\Theta_1 0}{\Theta_3 0}\, \frac{\Theta_3 u}{\Theta_1 u}, \\ +\dn u &= \frac{\Theta_1 0}{\Theta_2 0}\, \frac{\Theta_2 u}{\Theta_1 u}. +\end{align*} + +Il ne faut pas oublier que dans ces formules les priodes +de $\sn u, \cn u, \dn u$ sont respectivement: $2\Omega_1$~et~$4\Omega_2$; +$2\Omega_2$~et~$4\Omega_1$; $-2(\Omega_1+\Omega_2)$~et~$4\Omega_1$ +(\Ord{3}{e}~partie, ch.~III, 66). %[xref] + +\ctb +%% -----File: 121.png---Folio 117------- + + +\Chapter{III}{Calcul de $\wp u, \sn u, \cn u, \dn u$ en fonction des priodes} + +\Paragraph{79.}{Calcul de~$\wp u$ en fonction des priodes.} --- L'expression +de~$\sigma_{01} u$ par les fonctions~$\theta$ nous fournit le moyen pratique +de calculer~$\wp u$ pour chaque valeur de l'argument~$u$, quand +on donne les priodes $2\omega_1, 2\omega_2$. On a en effet (\Ord{3}{e}~partie, ch.~I, 51) %[xref] +\[ +\sigma_{01} u = \frac{1}{\sqrt{\wp u - e_1}}, +\] +d'o~\Eqref{(77)} +\[ +\wp u - e_1 + = \left(\frac{\theta' 0}{\theta_1 0}\, \frac{\theta_1 u}{\theta u}\right)^2. +\] +Comme les fonctions~$\theta$ ne dpendent que des priodes, on +pourra calculer~$\wp u$ quand on saura valuer~$e_1$ en fonction +de $\omega_1, \omega_2$. C'est un calcul que nous apprendrons effectuer +tout l'heure~\Eqref{(81)}. + +\Paragraph{80.}{Problme inverse.} --- On donne~$\wp u$ et l'on propose de +calculer les valeurs correspondantes de~$u$. + +Soit~$u_0$ l'une d'elles; toutes les autres ont pour expression +\[ +u = u_0 + 2m_1 \omega_1 + 2m_2\omega_2. +\] + +Or on a les formules analogues celles du \no prcdent, +\begin{align*} +\sqrt{\wp u - e_2} + &= \frac{\theta' 0}{\theta_2 0}\, \frac{\theta_2 u}{\theta u}, \\ +\sqrt{\wp u - e_3} + &= \frac{\theta' 0}{\theta_3 0}\, \frac{\theta_3 u}{\theta u}. +\end{align*} +%% -----File: 122.png---Folio 118------- + +Divisons-les membre membre et posons +\[ + b = \frac{\sqrt{\wp u -e_2}}{\sqrt{\wp u -e_3}}\, + \frac{\theta_2 0}{\theta_3 0}; +\] +$b$~sera une quantit connue, si l'on a pralablement calcul +$e_2, e_3$ en fonction de~$\omega_1, \omega_2$, calcul que nous allons faire +tout l'heure~\Eqref{(81)}. + +On aura alors pour dterminer~$u$ l'quation transcendante +\[ +\frac{\theta_2 u}{\theta_3 u} = b\qquad \text{ou} \qquad +\frac{\theta_3 u - \theta_2 u}{\theta_3 u + \theta_2 u} + = \frac{1 \mp b}{1 b}. +\] + +Pour la rsoudre, il convient de changer de variable et +de poser +\[ +z = e^{\frac{\pi iu}{2\omega_1}} +\] +d'o, en se rappelant qu'on a~\Eqref{(74)} $q = e^{\pi i\, \frac{\omega_2}{\omega_1}}$, +\[ +z^2 = e^{\frac{\pi iu_0}{\omega_1}}\, + e^{(2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2)\, \frac{\pi i}{\omega_1}} + = q^{2m_2}\, e^{\frac{\pi iu_0}{\omega_1}}. +\] +Ainsi chaque valeur de~$\wp u$ correspondent une infinit de +valeurs de~$z^2$ formant deux progressions gomtriques de +raison~$q^2$; ces valeurs sont deux deux rciproques l'une +de l'autre. + +Si dans les fonctions $\theta_2 u, \theta_3 u$, on remplace $e^\frac{\pi iu}{2\omega_1}$ par~$z$, +qu'on groupe les puissances de~$z$ gales et de signe contraire, +et qu'on divise $\theta_3 - \theta_2$ par $\theta_3 + \theta_2$, on obtient +\[ +\frac{q \left(z^2 + \dfrac{1}{z^2}\right) + + q^9\left(z^6 + \dfrac{1}{z^6}\right) + \dots} + {1 + q^4\left(z^4 + \dfrac{1}{z^4}\right) + \dots} + = \frac{1 \mp b}{1 b}. +\] +Cette quation a pour racines les valeurs de~$z$ en nombre +infini formant les deux progressions gomtriques dont on +vient de parler. + +Une premire approximation, lgitime parce que le module +%% -----File: 123.png---Folio 119------- +de~$q$ est infrieur ~$1$ (voir \Eqref{80~\textit{bis}}), donne +\[ +q\left(z^2 + \frac{1}{z^2}\right) = \frac{1 \mp b}{1 b}. +\] +On a ainsi deux des racines, qu'on calculera d'ailleurs aussi +exactement qu'on voudra par approximations successives. + +Connaissant l'une des valeurs de~$z^2$, on a la valeur correspondante~$u_0$ +de~$u$ par l'quation +\[ +u_0 = \frac{\omega_1}{\pi i} \log z^2, +\] +o le signe~$\log$ dsigne une seule des dterminations du +logarithme. Les autres valeurs de~$u$ sont donnes par la +formule +\[ +u = \frac{\omega_1}{\pi i} \log z^2 + 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2. +\] + +\Paragraph{80}{bis. \textsc{Remarque}.} --- Il importe visiblement, pour la convergence +rapide des approximations qui fournissent la valeur +de~$z$, que $q$~ait le plus petit module possible. Or $\wp u$~ne +change pas quand on substitue aux priodes donnes des +priodes quivalentes, c'est--dire conservant les sommets +du rseau. Voyons comment il faut choisir ces priodes +pour que le module de~$q$ soit minimum. + +Si $\tau$~dsigne le rapport des priodes, nous avons (\Ord{1}{re}~partie, +ch.~I, 4) %[xref] +\[ +\tau = \frac{2\omega_2}{2\omega_1} + = \frac{\alpha_2 + \beta_2 i}{\alpha_1 + \beta_1 i} + = \frac{\alpha_1\alpha_2 + \beta_1\beta_2}{\alpha_1^2 + \beta_1^2} + + \frac{\alpha_1\beta_2 - \alpha_2\beta_1}{\alpha_1^2 + \beta_1^2}i + = r + si. +\] +D'ailleurs +\[ +q = e^{\pi i \tau}, \qquad \Mod q = e^{-\pi s}. +\] + +Les calculs que nous avons effectus sur les fonctions~$\theta$ +impliquent qu'on ait choisi $\omega_1$~et~$\omega_2$ de faon que~$s$, coefficient +de la partie imaginaire du rapport des priodes, soit +positif; donc $\Mod q$~est plus petit que~$1$. D'ailleurs +$\alpha_1\beta2 - \alpha_2\beta_1$ dsignant l'aire~$P$ du paralllogramme des +priodes (\Ord{1}{re}~partie, ch.~I, 4), on peut crire %[xref] +\[ +s = \frac{P}{(\Mod \omega_1)^2}. +\] +%% -----File: 124.png---Folio 120------- + +Or tous les paralllogrammes forms par des priodes +quivalentes tant quivalents (\Ord{1}{re}~partie, ch.~I, 5), $P$~est %[xref] +une constante du rseau. Par suite, pour que $\Mod q$~soit +le plus petit possible, $s$~devant tre le plus grand possible, +on devra prendre pour~$2\omega_1$ la priode de \emph{module +minimum}. + +\Paragraph{81.}{Calcul de $e_1, e_2, e_3$ en fonction des priodes.} --- Il nous +reste dterminer en fonction des priodes les trois quantits +$e_1, e_2, e_3$, indispensables, comme nous l'avons vu (\Eqref{79}~et~\Eqref{80}), +pour le calcul de~$\wp u$. + +Dans la formule du~\no79 qui fournit~$\wp u$, nous n'avons +qu' faire successivement $u = \omega_2$, $u = \omega_3$; nous aurons +\begin{align*} +e_2 - e_1 + &= \left[ + \frac{\theta' 0}{\theta_1 0}\, \frac{\theta_1 \omega_2}{\theta \omega_2} + \right]^2,\\ +e_3 - e_1 + &= \left[ + \frac{\theta' 0}{\theta_1 0}\, \frac{\theta_1 \omega_3}{\theta \omega_3} + \right]^2. +\end{align*} + +Nous allons transformer ces formules de faon que les +symboles~$\theta$ ne portent que sur l'argument~$0$. + +Pour cela reportons-nous aux formules rassembles la +fin du~\no76. Dans la formule qui donne $\theta(u + \omega_2)$ faisons +$u=0$, nous aurons +\[ +\theta \omega_2 = iq^{-\frac{1}{4}}\, \theta_2 0. +\] + +Dans celle qui donne~$\theta_1 u$ faisons $u = \omega_2$, il viendra +\[ +\theta_1 \omega_2 + = \sum q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}\, + e^{\left(n + \frac{1}{2}\right) \pi i\, \frac{\omega_2}{\omega_1}} + = q^{-\frac{1}{4}} \sum q^{(n+1)^2} = q^{-\frac{1}{4}}\, \theta_3 0. +\] + +Dans la formule qui donne $\theta(u + \omega_3)$~\Eqref{(76)}, faisons +$u = 0$, nous trouvons +\[ +\theta \omega_3 = -q^{-\frac{1}{4}}\, \theta_3 0. +\] + +Enfin dans celle qui donne $\theta(u + \omega_1)$, faisons $u = \omega_3$, +nous obtenons +%% -----File: 125.png---Folio 121------- +\begin{align*} +\theta_1 \omega_3 = \theta(\omega_3 + \omega_1) + &= \theta(-\omega_2) \\ + &= \frac{1}{i} \sum (-1)^n\, q^{\left(n + \frac{1}{2}\right)^2}\, + e^{-\left(n + \frac{1}{2}\right) \pi i\, \frac{\omega_2}{\omega_1}} \\ + &= \frac{1}{i} \sum (-1)^n\, q^{n^2}\, q^{-\frac{1}{4}} + = -iq^{-\frac{1}{4}}\, \theta_2 0. +\end{align*} + +Les sries +$\theta 0, \theta_1 0, \theta_2 0, \theta_3 0$ ne dpendent que de $q = e^{\frac{\pi i\omega_2}{\omega_1}}$, +c'est--dire que du rapport~$\tau$ des priodes. + +Mais $\theta' 0$~dpend la fois de~$\tau$ et de~$\omega_1$. Pour mettre cette +dernire quantit en vidence, appelons~$\vartheta u$ ce que devient +la srie~$\theta u$ lorsqu'on y fait $2\omega_1 = 1$; il est clair que +l'on a +\[ +\theta' 0 = \frac{1}{2\omega_1}\, \vartheta' 0, +\] +$\vartheta' 0$~ne dpendant que de~$q$. + +Les expressions de $e_2 - e_1, e_3 - e_1$ deviennent alors +\begin{align*} +e_2 - e_1 + &= -\left[\frac{1}{2\omega_1}\, \frac{\vartheta' 0}{\theta_1 0}\, + \frac{\theta_3 0}{\theta_2 0} \right]^2, \\ +e_3 - e_1 + &= -\left[\frac{1}{2\omega_1}\, \frac{\vartheta' 0}{\theta_1 0}\, + \frac{\theta_2 0}{\theta_3 0} \right]^2. +\end{align*} +Jointes la relation $e_1 + e_2 + e_3 = 0$, elles permettent +de calculer $e_1, e_2, e_3$ en fonction des priodes. + +\Paragraph{82.}{Calcul de $\sn u, \cn u, \dn u$ en fonction du rapport des +priodes.} --- Nous avons vu (\Ord{3}{e}~partie, ch.~II, 59) que $\sn u$~et +par suite, $\cn u, \dn u$ ne dpendent que du rapport de leurs +priodes. Nous allons le dmontrer d'une autre manire et +du mme coup donner le moyen pratique de calculer ces +trois fonctions quand on connat ce rapport. + +Rappelons-nous toujours que ces fonctions drivent +d'une fonction~$\wp u$ aux priodes $2\Omega_1, 2\Omega_2$, et telle que +$e_3 - e_1 = 1$. Le carr du module~$k^2$ est gal $e_2 - e_1$ +et par suite $\dfrac{e_2-e_1}{e_3-e_1}$. Donc +%% -----File: 126.png---Folio 122------- +\[ +k^2 + = \left[\frac{\Theta_3 0}{\Theta_2 0}\right]^4 + = \left[ + \frac{1 + 2q + 2q^4 + 2q^9 + \dots} + {1 - 2q + 2q^4 - 2q^9 + \dots} + \right]^4. +\] +On voit que $k^2$~ne dpend que du rapport $\tau = \dfrac{\Omega_2}{\Omega_1}$ (puisque +$q = e^{\pi i\tau}$). Or nous savons que la connaissance de~$k^2$ +suffit pour dterminer $\sn u, \cn u, \dn u$. + +Maintenant, comme $e_3 - e_1$ est gal ~$1$, on aura, en +extrayant la racine de l'expression ci-dessus de $e_2 - e_1$, +\[ + i = \frac{1}{2\Omega_1}\, + \frac{\vartheta' 0}{\Theta_1 0}\, \frac{\Theta_3 0}{\Theta_2 0}, +\] +relation qui donnera $\Omega_1$~en fonction de~$q$, c'est--dire de~$\tau$. +On peut prendre indiffremment l'une ou l'autre des dterminations. + +Connaissant~$\Omega_1$, on pourra, pour chaque valeur de~$u$, calculer +$\sn u, \cn u, \dn u$ par les formules du~\no78. + +\ctb +%% -----File: 127.png---Folio 123------- + + +\Additions + +Au \no51 (\Ord{3}{e}~partie, ch.~II) nous avons laiss au lecteur le %[xrefs] +soin de vrifier la formule +\[ +\sigma(u - 2\omega_1) = -e^{-2\eta_1(u - \omega_1)}\, \sigma u. +\] + +On l'tablit immdiatement en changeant~$u$ en~$u - 2\omega_1$ +dans la relation dmontre (\Ord{2}{e}~partie, ch.~III, 32) +\[ +\sigma(u + 2\omega_1) = -e^{2\eta_1(u + \omega_1)}\, \sigma u. +\] + +Au chap.~III de la \Ord{2}{e}~partie, nous avons indiqu ce que +devient~$\sigma u$ dans le cas seulement o l'on ajoute l'argument~$u$ +l'une des priodes $2\omega_1, 2\omega_2$ de~$\wp u$ (en supposant +que les moitis $\omega_1, \omega_2$ ne sont pas des priodes de cette +dernire fonction). + +Il est utile de savoir ce que devient~$\sigma u$ quand on augmente~$u$ +d'une priode quelconque +\[ +2\omega = 2m_1\omega_1 + 2m_2\omega_2. +\] + +Augmentant d'abord de~$4\omega_1$, on a +\begin{align*} +\sigma(u + 4\omega_1) + &= \sigma(\overline{u + 2\omega_1} + 2\omega_1) + = -e^{2\eta_1(\overline{u + 2\omega_1} + \omega_1)}\, \sigma(u + 2\omega_1)\\ + &= +e^{2\eta_1(u + 3\omega_1)}\, e^{2\eta_1(u + \omega_1)}\, \sigma u + = e^{2\eta_1[2u + \omega_1(1 + 3)]}\, \sigma u. +\end{align*} +En calculant ainsi de proche en proche, on arrive +\begin{align*} +\sigma(u + 2m_1\omega_1) + &= (-1)^{m_1}\, + e^{2\eta_1[m_1u + \omega_1(1 + 3 + \dots + 2m_1 - 1)]}\, \sigma u \\ + &= (-1)^{m_1}\, e^{2m_1\eta_1(u + m_1\omega_1)}\, \sigma u. +\end{align*} +Cette formule subsiste quand $m_1$~est ngatif, comme cela +rsulte videmment de l'expression ci-dessus de~$\sigma(u - 2\omega_1)$. + +Cela pos, nous avons +\begin{align*} +\sigma(u + 2\omega) + &= \sigma(\overline{u + 2m_1\omega_1} + 2m_2\omega_2) \\ + &= (-1)^{m_2}\, e^{2m_2\eta_2(\overline{u + 2m_1\omega_1} + m_2\omega_2)}\, + \sigma(u + 2m_1\omega_1) \\ + &= (-1)^{m_1 + m_2}\, + e^{2m_2\eta_2(u + 2m_1\omega_1 + m_2\omega_2) + + 2m_1\eta_1(u + m_1\omega_1)}\, \sigma u. +\end{align*} +%% -----File: 128.png---Folio 124------- +L'exposant de~$e$ contient le terme $4m_1m_2\eta_2\omega_1$ qui, si l'on +tient compte de la formule du~\no29 +\[ +2(\eta_1\omega_2 - \eta_2\omega_1) = \pi i, +\] +peut s'crire +\[ + 2m_2\eta_2\centerdot m_1\omega_1 ++ 2m_1\eta_1\centerdot m_2\omega_2 - m_1m_2\pi i. +\] +L'expression de $\sigma(u + 2\omega)$ peut alors tre mise sous la +forme +\[ +\sigma(u + 2\omega) + = (-1)^{m_1 + m_2}\, e^{-m_1m_2\pi i}\, + e^{(2m_1\eta_1 + 2m_2\eta_2)(u + m_1\omega_1 + m_2\omega_2)}\, \sigma u +\] +ou +\[ +\sigma(u + 2\omega) + = (-1)^{m_1 + m_2 + m_1m_2}\, e^{(2m_1\eta_1 + 2m_2\eta_2)(u + \omega)}\, \sigma u. +\] + +Telle est la formule que nous voulions tablir. + +Si l'on prend la drive logarithmique de ses deux membres, +on trouve +\[ +\zeta(u + 2\omega) = \zeta u + 2m_1\eta_1 + 2m_2\eta_2. +\] + +Cette nouvelle formule nous apprend ce que devient~$\zeta u$ +quand on ajoute l'argument~$u$ une priode quelconque. +Il serait facile d'y arriver directement, en partant des +expressions de $\zeta(u + 2\omega_1), \zeta(u + 2\omega_2)$ donnes au~\no27 +(\Ord{2}{e}~partie, ch.~III). %[xref] + +\ctb +%% -----File: 129.png---Folio 125------- + +\TableofContents + +\iffalse +TABLE DES MATIRES + +AVANT-PROPOS + +PREMIRE PARTIE + +Gnralits concernant les fonctions elliptiques. + + +CHAPITRE I. --- +Des priodes. + +CHAPITRE II. --- +Transformation des fonctions elliptiques. + +CHAPITRE III. --- +Thormes gnraux sur les fonctions elliptiques. + + +DEUXIME PARTIE + +La fonction $\wp u$. + + +CHAPITRE I. --- +Construction et proprits de la fonction $\wp u$. + +CHAPITRE II. --- +La fonction $\wp u$ dfinie par une quation diffrentielle. + +CHAPITRE III. --- +Les fonctions $\zeta u$ et $\sigma u$. + +CHAPITRE IV. --- +Expression des fonctions elliptiques par +les fonctions $\sigma$, $\zeta$, $\rho$. + +CHAPITRE V. --- +Addition des arguments pour la fonction $\wp u$. --- +Multiplication de l'argument. + +CHAPITRE VI. --- +Multiplication de l'argument de $\wp u$ (suite). --- +Division de l'argument. + +CHAPITRE VII. --- +Division des priodes de $\wp u$. +%% -----File: 130.png---Folio 126------- + +TROISIME PARTIE + +Les fonctions +$\sn u$, +$\cn u$, +$\dn u$. + +CHAPITRE I. --- +Les fonctions +$\sigma_{01} u$, +$\sigma_{02} u$, +$\sigma_{03} u$. + +CHAPITRE II. --- +La fonction $\sn u$. + +CHAPITRE III. --- +Les fonctions +$\cn u$, +$\dn u$. + +CHAPITRE IV. --- +Drives de +$\sn u$, +$\cn u$, +$\dn u$. --- +Dveloppements en srie. --- Dgnrescences. + +CHAPITRE V. --- +Addition des arguments. --- quation +d'Euler.--Multiplication de l'argument +des fonctions +$\sn u$, +$\cn u$, +$\dn u$. + + +QUATRIME PARTIE + +Les fonctions $\theta$. + +CHAPITRE I. --- +La fonction $\theta$. --- Expressions de +$\wp u$, +$\zeta u$, +$\sigma u$, +au moyen de cette fonction. + +CHAPITRE II. --- +Les fonctions +$\theta_1 u$, +$\theta_2 u$, +$\theta_3 u$. --- +Expressions de +$\sn u$, +$\cn u$, +$\dn u$ +par les fonctions $\theta$. + +CHAPITRE III. --- +Calcul de +$\wp u$, +$\sn u$, +$\cn u$, +$\dn u$ +en fonction des priodes. + +ADDITIONS. +\fi + +\ctb + +\vfill +\begin{center} +\scriptsize BAR-LE-DUC, IMPRIMERIE COMTE-JACQUET. +\end{center} + +\cleardoublepage + +%%%% LICENCE %%%% +\pagenumbering{Alph} +\pagestyle{fancy} +\phantomsection +\pdfbookmark[0]{Licence}{Licence} +\fancyhf{} +\fancyhead[C]{\CtrHeading{Project Gutenberg Licence}} +\SetPageNumbers + +\begin{PGtext} +End of the Project Gutenberg EBook of Abrg de la Thorie des Fonctions +Elliptiques, by Charles Henry + +*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK FONCTIONS ELLIPTIQUES *** + +***** This file should be named 32643-pdf.pdf or 32643-pdf.zip ***** +This and all associated files of various formats will be found in: + http://www.gutenberg.org/3/2/6/4/32643/ + +Produced by Andrew D. Hwang, Joshua Hutchinson, and the +Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net +(This file was produced from images from the Cornell +University Library: Historical Mathematics Monographs +collection.) + + +Updated editions will replace the previous one--the old editions +will be renamed. + +Creating the works from public domain print editions means that no +one owns a United States copyright in these works, so the Foundation +(and you!) can copy and distribute it in the United States without +permission and without paying copyright royalties. Special rules, +set forth in the General Terms of Use part of this license, apply to +copying and distributing Project Gutenberg-tm electronic works to +protect the PROJECT GUTENBERG-tm concept and trademark. Project +Gutenberg is a registered trademark, and may not be used if you +charge for the eBooks, unless you receive specific permission. If you +do not charge anything for copies of this eBook, complying with the +rules is very easy. You may use this eBook for nearly any purpose +such as creation of derivative works, reports, performances and +research. They may be modified and printed and given away--you may do +practically ANYTHING with public domain eBooks. Redistribution is +subject to the trademark license, especially commercial +redistribution. + + + +*** START: FULL LICENSE *** + +THE FULL PROJECT GUTENBERG LICENSE +PLEASE READ THIS BEFORE YOU DISTRIBUTE OR USE THIS WORK + +To protect the Project Gutenberg-tm mission of promoting the free +distribution of electronic works, by using or distributing this work +(or any other work associated in any way with the phrase "Project +Gutenberg"), you agree to comply with all the terms of the Full Project +Gutenberg-tm License (available with this file or online at +http://gutenberg.org/license). + + +Section 1. General Terms of Use and Redistributing Project Gutenberg-tm +electronic works + +1.A. By reading or using any part of this Project Gutenberg-tm +electronic work, you indicate that you have read, understand, agree to +and accept all the terms of this license and intellectual property +(trademark/copyright) agreement. If you do not agree to abide by all +the terms of this agreement, you must cease using and return or destroy +all copies of Project Gutenberg-tm electronic works in your possession. +If you paid a fee for obtaining a copy of or access to a Project +Gutenberg-tm electronic work and you do not agree to be bound by the +terms of this agreement, you may obtain a refund from the person or +entity to whom you paid the fee as set forth in paragraph 1.E.8. + +1.B. "Project Gutenberg" is a registered trademark. It may only be +used on or associated in any way with an electronic work by people who +agree to be bound by the terms of this agreement. There are a few +things that you can do with most Project Gutenberg-tm electronic works +even without complying with the full terms of this agreement. See +paragraph 1.C below. There are a lot of things you can do with Project +Gutenberg-tm electronic works if you follow the terms of this agreement +and help preserve free future access to Project Gutenberg-tm electronic +works. See paragraph 1.E below. + +1.C. The Project Gutenberg Literary Archive Foundation ("the Foundation" +or PGLAF), owns a compilation copyright in the collection of Project +Gutenberg-tm electronic works. Nearly all the individual works in the +collection are in the public domain in the United States. If an +individual work is in the public domain in the United States and you are +located in the United States, we do not claim a right to prevent you from +copying, distributing, performing, displaying or creating derivative +works based on the work as long as all references to Project Gutenberg +are removed. Of course, we hope that you will support the Project +Gutenberg-tm mission of promoting free access to electronic works by +freely sharing Project Gutenberg-tm works in compliance with the terms of +this agreement for keeping the Project Gutenberg-tm name associated with +the work. You can easily comply with the terms of this agreement by +keeping this work in the same format with its attached full Project +Gutenberg-tm License when you share it without charge with others. + +1.D. The copyright laws of the place where you are located also govern +what you can do with this work. Copyright laws in most countries are in +a constant state of change. If you are outside the United States, check +the laws of your country in addition to the terms of this agreement +before downloading, copying, displaying, performing, distributing or +creating derivative works based on this work or any other Project +Gutenberg-tm work. 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Except for the limited right of replacement or refund set forth +in paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS' WITH NO OTHER +WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO +WARRANTIES OF MERCHANTIBILITY OR FITNESS FOR ANY PURPOSE. + +1.F.5. Some states do not allow disclaimers of certain implied +warranties or the exclusion or limitation of certain types of damages. +If any disclaimer or limitation set forth in this agreement violates the +law of the state applicable to this agreement, the agreement shall be +interpreted to make the maximum disclaimer or limitation permitted by +the applicable state law. The invalidity or unenforceability of any +provision of this agreement shall not void the remaining provisions. + +1.F.6. INDEMNITY - You agree to indemnify and hold the Foundation, the +trademark owner, any agent or employee of the Foundation, anyone +providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works in accordance +with this agreement, and any volunteers associated with the production, +promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electronic works, +harmless from all liability, costs and expenses, including legal fees, +that arise directly or indirectly from any of the following which you do +or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm +work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any +Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause. + + +Section 2. Information about the Mission of Project Gutenberg-tm + +Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of +electronic works in formats readable by the widest variety of computers +including obsolete, old, middle-aged and new computers. It exists +because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from +people in all walks of life. + +Volunteers and financial support to provide volunteers with the +assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's +goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will +remain freely available for generations to come. In 2001, the Project +Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure +and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations. +To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation +and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4 +and the Foundation web page at http://www.pglaf.org. + + +Section 3. Information about the Project Gutenberg Literary Archive +Foundation + +The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit +501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the +state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal +Revenue Service. The Foundation's EIN or federal tax identification +number is 64-6221541. Its 501(c)(3) letter is posted at +http://pglaf.org/fundraising. Contributions to the Project Gutenberg +Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent +permitted by U.S. federal laws and your state's laws. + +The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S. +Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered +throughout numerous locations. Its business office is located at +809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email +business@pglaf.org. Email contact links and up to date contact +information can be found at the Foundation's web site and official +page at http://pglaf.org + +For additional contact information: + Dr. Gregory B. Newby + Chief Executive and Director + gbnewby@pglaf.org + + +Section 4. Information about Donations to the Project Gutenberg +Literary Archive Foundation + +Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide +spread public support and donations to carry out its mission of +increasing the number of public domain and licensed works that can be +freely distributed in machine readable form accessible by the widest +array of equipment including outdated equipment. Many small donations +($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt +status with the IRS. + +The Foundation is committed to complying with the laws regulating +charities and charitable donations in all 50 states of the United +States. 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Donations are accepted in a number of other +ways including checks, online payments and credit card donations. +To donate, please visit: http://pglaf.org/donate + + +Section 5. General Information About Project Gutenberg-tm electronic +works. + +Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm +concept of a library of electronic works that could be freely shared +with anyone. For thirty years, he produced and distributed Project +Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support. + + +Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed +editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S. +unless a copyright notice is included. Thus, we do not necessarily +keep eBooks in compliance with any particular paper edition. + + +Most people start at our Web site which has the main PG search facility: + + http://www.gutenberg.org + +This Web site includes information about Project Gutenberg-tm, +including how to make donations to the Project Gutenberg Literary +Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to +subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks. +\end{PGtext} + +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % +% % +% End of the Project Gutenberg EBook of Abrg de la Thorie des Fonctions% +% Elliptiques, by Charles Henry % +% % +% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK FONCTIONS ELLIPTIQUES *** % +% % +% ***** This file should be named 32643-t.tex or 32643-t.zip ***** % +% This and all associated files of various formats will be found in: % +% http://www.gutenberg.org/3/2/6/4/32643/ % +% % +% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % + +\end{document} +### +@ControlwordReplace = ( + ['\\Preface', 'Avant-Propos'], + ['\\Additions', 'Additions'], + ['\\cqfd', 'c.q.f.d.'], + ['\\primo', '1^o '], + ['\\secundo', '2^o '], + ['\\tertio', '3^o '], + ['\\quarto', '4^o '], + ['\\cinqo', '5^o '], + ['\\sexto', '6^o '] + ); + +@ControlwordArguments = ( + ['\\Part', 0, 0, '', '', 1, 1, '', '. 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+(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/book.cls +Document Class: book 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/leqno.clo +File: leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers) +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/bk12.clo +File: bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option) +) +\c@part=\count79 +\c@chapter=\count80 +\c@section=\count81 +\c@subsection=\count82 +\c@subsubsection=\count83 +\c@paragraph=\count84 +\c@subparagraph=\count85 +\c@figure=\count86 +\c@table=\count87 +\abovecaptionskip=\skip41 +\belowcaptionskip=\skip42 +\bibindent=\dimen102 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty +Package: inputenc 2006/05/05 v1.1b Input encoding file +\inpenc@prehook=\toks14 +\inpenc@posthook=\toks15 +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/latin1.def +File: latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file +)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/fontenc.sty +Package: fontenc 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1enc.def +File: t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file +LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding T1 on input line 43. +)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.sty +Package: babel 2005/11/23 v3.8h The Babel package +(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.ldf +Language: french 2005/02/06 v1.6g French support from the babel system +(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def +File: babel.def 2005/11/23 v3.8h Babel common definitions +\babel@savecnt=\count88 +\U@D=\dimen103 +) +Package babel Info: Making : an active character on input line 219. +Package babel Info: Making ; an active character on input line 220. +Package babel Info: Making ! an active character on input line 221. +Package babel Info: Making ? an active character on input line 222. +LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding T1 on input line 299. +\parindentFFN=\dimen104 +\std@mcc=\count89 +\dec@mcc=\count90 +************************************* +* Local config file frenchb.cfg used +* +(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.cfg))) (/usr/share/texmf-te +xlive/tex/latex/tools/calc.sty +Package: calc 2005/08/06 v4.2 Infix arithmetic (KKT,FJ) +\calc@Acount=\count91 +\calc@Bcount=\count92 +\calc@Adimen=\dimen105 +\calc@Bdimen=\dimen106 +\calc@Askip=\skip43 +\calc@Bskip=\skip44 +LaTeX Info: Redefining \setlength on input line 75. +LaTeX Info: Redefining \addtolength on input line 76. +\calc@Ccount=\count93 +\calc@Cskip=\skip45 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/textcomp.sty +Package: textcomp 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package +Package textcomp Info: Sub-encoding information: +(textcomp) 5 = only ISO-Adobe without \textcurrency +(textcomp) 4 = 5 + \texteuro +(textcomp) 3 = 4 + \textohm +(textcomp) 2 = 3 + \textestimated + \textcurrency +(textcomp) 1 = TS1 - \textcircled - \t +(textcomp) 0 = TS1 (full) +(textcomp) Font families with sub-encoding setting implement +(textcomp) only a restricted character set as indicated. +(textcomp) Family '?' is the default used for unknown fonts. +(textcomp) See the documentation for details. +Package textcomp Info: Setting ? sub-encoding to TS1/1 on input line 71. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ts1enc.def +File: ts1enc.def 2001/06/05 v3.0e (jk/car/fm) Standard LaTeX file +) +LaTeX Info: Redefining \oldstylenums on input line 266. +Package textcomp Info: Setting cmr sub-encoding to TS1/0 on input line 281. +Package textcomp Info: Setting cmss sub-encoding to TS1/0 on input line 282. +Package textcomp Info: Setting cmtt sub-encoding to TS1/0 on input line 283. +Package textcomp Info: Setting cmvtt sub-encoding to TS1/0 on input line 284. +Package textcomp Info: Setting cmbr sub-encoding to TS1/0 on input line 285. +Package textcomp Info: Setting cmtl sub-encoding to TS1/0 on input line 286. +Package textcomp Info: Setting ccr sub-encoding to TS1/0 on input line 287. +Package textcomp Info: Setting ptm sub-encoding to TS1/4 on input line 288. +Package textcomp Info: Setting pcr sub-encoding to TS1/4 on input line 289. +Package textcomp Info: Setting phv sub-encoding to TS1/4 on input line 290. +Package textcomp Info: Setting ppl sub-encoding to TS1/3 on input line 291. +Package textcomp Info: Setting pag sub-encoding to TS1/4 on input line 292. +Package textcomp Info: Setting pbk sub-encoding to TS1/4 on input line 293. +Package textcomp Info: Setting pnc sub-encoding to TS1/4 on input line 294. +Package textcomp Info: Setting pzc sub-encoding to TS1/4 on input line 295. +Package textcomp Info: Setting bch sub-encoding to TS1/4 on input line 296. +Package textcomp Info: Setting put sub-encoding to TS1/5 on input line 297. +Package textcomp Info: Setting uag sub-encoding to TS1/5 on input line 298. +Package textcomp Info: Setting ugq sub-encoding to TS1/5 on input line 299. +Package textcomp Info: Setting ul8 sub-encoding to TS1/4 on input line 300. +Package textcomp Info: Setting ul9 sub-encoding to TS1/4 on input line 301. +Package textcomp Info: Setting augie sub-encoding to TS1/5 on input line 302. +Package textcomp Info: Setting dayrom sub-encoding to TS1/3 on input line 303. +Package textcomp Info: Setting dayroms sub-encoding to TS1/3 on input line 304. + +Package textcomp Info: Setting pxr sub-encoding to TS1/0 on input line 305. +Package textcomp Info: Setting pxss sub-encoding to TS1/0 on input line 306. +Package textcomp Info: Setting pxtt sub-encoding to TS1/0 on input line 307. +Package textcomp Info: Setting txr sub-encoding to TS1/0 on input line 308. +Package textcomp Info: Setting txss sub-encoding to TS1/0 on input line 309. +Package textcomp Info: Setting txtt sub-encoding to TS1/0 on input line 310. +Package textcomp Info: Setting futs sub-encoding to TS1/4 on input line 311. +Package textcomp Info: Setting futx sub-encoding to TS1/4 on input line 312. +Package textcomp Info: Setting futj sub-encoding to TS1/4 on input line 313. +Package textcomp Info: Setting hlh sub-encoding to TS1/3 on input line 314. +Package textcomp Info: Setting hls sub-encoding to TS1/3 on input line 315. +Package textcomp Info: Setting hlst sub-encoding to TS1/3 on input line 316. +Package textcomp Info: Setting hlct sub-encoding to TS1/5 on input line 317. +Package textcomp Info: Setting hlx sub-encoding to TS1/5 on input line 318. +Package textcomp Info: Setting hlce sub-encoding to TS1/5 on input line 319. +Package textcomp Info: Setting hlcn sub-encoding to TS1/5 on input line 320. +Package textcomp Info: Setting hlcw sub-encoding to TS1/5 on input line 321. +Package textcomp Info: Setting hlcf sub-encoding to TS1/5 on input line 322. +Package textcomp Info: Setting pplx sub-encoding to TS1/3 on input line 323. +Package textcomp Info: Setting pplj sub-encoding to TS1/3 on input line 324. +Package textcomp Info: Setting ptmx sub-encoding to TS1/4 on input line 325. +Package textcomp Info: Setting ptmj sub-encoding to TS1/4 on input line 326. +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ifthen.sty +Package: ifthen 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC) +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty +Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features +\@mathmargin=\skip46 +For additional information on amsmath, use the `?' option. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty +Package: amstext 2000/06/29 v2.01 +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty +File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 +\@emptytoks=\toks16 +\ex@=\dimen107 +)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty +Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d +\pmbraise@=\dimen108 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty +Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names +) +\inf@bad=\count94 +LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211. +\uproot@=\count95 +\leftroot@=\count96 +LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307. +\classnum@=\count97 +\DOTSCASE@=\count98 +LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379. +LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382. +LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467. +\Mathstrutbox@=\box26 +\strutbox@=\box27 +\big@size=\dimen109 +LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OML on input line 567. +LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OMS on input line 568. +\macc@depth=\count99 +\c@MaxMatrixCols=\count100 +\dotsspace@=\muskip10 +\c@parentequation=\count101 +\dspbrk@lvl=\count102 +\tag@help=\toks17 +\row@=\count103 +\column@=\count104 +\maxfields@=\count105 +\andhelp@=\toks18 +\eqnshift@=\dimen110 +\alignsep@=\dimen111 +\tagshift@=\dimen112 +\tagwidth@=\dimen113 +\totwidth@=\dimen114 +\lineht@=\dimen115 +\@envbody=\toks19 +\multlinegap=\skip47 +\multlinetaggap=\skip48 +\mathdisplay@stack=\toks20 +LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666. +LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667. +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty +Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty +Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f +\symAMSa=\mathgroup4 +\symAMSb=\mathgroup5 +LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold' +(Font) U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132. +)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/jknapltx/mathrsfs.sty +Package: mathrsfs 1996/01/01 Math RSFS package v1.0 (jk) +\symrsfs=\mathgroup6 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/alltt.sty +Package: alltt 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/array.sty +Package: array 2005/08/23 v2.4b Tabular extension package (FMi) +\col@sep=\dimen116 +\extrarowheight=\dimen117 +\NC@list=\toks21 +\extratabsurround=\skip49 +\backup@length=\skip50 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/indentfirst.sty +Package: indentfirst 1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC) +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/textcase/textcase.sty +Package: textcase 2004/10/07 v0.07 Text only upper/lower case changing (DPC) +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/footmisc/footmisc.sty +Package: footmisc 2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities +\FN@temptoken=\toks22 +\footnotemargin=\dimen118 +\c@pp@next@reset=\count106 +\c@@fnserial=\count107 +Package footmisc Info: Declaring symbol style bringhurst on input line 817. +Package footmisc Info: Declaring symbol style chicago on input line 818. +Package footmisc Info: Declaring symbol style wiley on input line 819. +Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport-robust on input line 823. + +Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport* on input line 831. +Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport*-robust on input line 840 +. +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphicx.sty +Package: graphicx 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR) +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty +Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC) +\KV@toks@=\toks23 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphics.sty +Package: graphics 2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR) +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/trig.sty +Package: trig 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC) +) (/etc/texmf/tex/latex/config/graphics.cfg +File: graphics.cfg 2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive +) +Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 90. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def +File: pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX +\Gread@gobject=\count108 +)) +\Gin@req@height=\dimen119 +\Gin@req@width=\dimen120 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty +\wrapoverhang=\dimen121 +\WF@size=\dimen122 +\c@WF@wrappedlines=\count109 +\WF@box=\box28 +\WF@everypar=\toks24 +Package: wrapfig 2003/01/31 v 3.6 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/fancyhdr/fancyhdr.sty +\fancy@headwidth=\skip51 +\f@ncyO@elh=\skip52 +\f@ncyO@erh=\skip53 +\f@ncyO@olh=\skip54 +\f@ncyO@orh=\skip55 +\f@ncyO@elf=\skip56 +\f@ncyO@erf=\skip57 +\f@ncyO@olf=\skip58 +\f@ncyO@orf=\skip59 +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/geometry/geometry.sty +Package: geometry 2002/07/08 v3.2 Page Geometry +\Gm@cnth=\count110 +\Gm@cntv=\count111 +\c@Gm@tempcnt=\count112 +\Gm@bindingoffset=\dimen123 +\Gm@wd@mp=\dimen124 +\Gm@odd@mp=\dimen125 +\Gm@even@mp=\dimen126 +\Gm@dimlist=\toks25 +(/usr/share/texmf-texlive/tex/xelatex/xetexconfig/geometry.cfg)) (/usr/share/te +xmf-texlive/tex/latex/hyperref/hyperref.sty +Package: hyperref 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX +\@linkdim=\dimen127 +\Hy@linkcounter=\count113 +\Hy@pagecounter=\count114 +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/pd1enc.def +File: pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO) +) (/etc/texmf/tex/latex/config/hyperref.cfg +File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive +) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty +Package: kvoptions 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options ( +HO) +) +Package hyperref Info: Option `hyperfootnotes' set `false' on input line 2238. +Package hyperref Info: Option `bookmarks' set `true' on input line 2238. +Package hyperref Info: Option `linktocpage' set `false' on input line 2238. +Package hyperref Info: Option `pdfdisplaydoctitle' set `true' on input line 223 +8. +Package hyperref Info: Option `pdfpagelabels' set `true' on input line 2238. +Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 2238. +Package hyperref Info: Option `colorlinks' set `true' on input line 2238. +Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 2288. +Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 2293. +Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 2296. +Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 2303. +Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 2308. +Implicit mode ON; LaTeX internals redefined +Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 2444. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/url.sty +\Urlmuskip=\muskip11 +Package: url 2005/06/27 ver 3.2 Verb mode for urls, etc. +) +LaTeX Info: Redefining \url on input line 2599. +\Fld@menulength=\count115 +\Field@Width=\dimen128 +\Fld@charsize=\dimen129 +\Choice@toks=\toks26 +\Field@toks=\toks27 +Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 3102. +Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 3107. +Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 3110. +Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 3117. +Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 3120. +\Hy@abspage=\count116 +\c@Item=\count117 +) +*hyperref using driver hpdftex* +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hpdftex.def +File: hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX +\Fld@listcount=\count118 +) +\ToCLen=\skip60 +\c@PartNo=\count119 +\TmpLen=\skip61 +(./32643-t.aux) +\openout1 = `32643-t.aux'. + +LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 547. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 547. +LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/lmr/m/n on input line 547. +LaTeX Font Info: Try loading font information for T1+lmr on input line 547. +(/usr/share/texmf/tex/latex/lm/t1lmr.fd +File: t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern +) +LaTeX Font Info: ... okay on input line 547. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 547. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 547. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 547. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 547. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 547. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 547. +LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 547. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 547. +LaTeX Font Info: Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 547. +LaTeX Font Info: Try loading font information for TS1+cmr on input line 547. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ts1cmr.fd +File: ts1cmr.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions +) +LaTeX Font Info: ... okay on input line 547. +LaTeX Font Info: Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 547. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 547. +LaTeX Info: Redefining \dots on input line 547. +(/usr/share/texmf/tex/context/base/supp-pdf.tex +[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).] +\scratchcounter=\count120 +\scratchdimen=\dimen130 +\scratchbox=\box29 +\nofMPsegments=\count121 +\nofMParguments=\count122 +\everyMPshowfont=\toks28 +\MPscratchCnt=\count123 +\MPscratchDim=\dimen131 +\MPnumerator=\count124 +\everyMPtoPDFconversion=\toks29 +) +-------------------- Geometry parameters +paper: class default +landscape: -- +twocolumn: -- +twoside: true +asymmetric: -- +h-parts: 9.03375pt, 361.34999pt, 9.03375pt +v-parts: 13.98709pt, 543.19225pt, 20.98065pt +hmarginratio: 1:1 +vmarginratio: 2:3 +lines: -- +heightrounded: -- +bindingoffset: 0.0pt +truedimen: -- +includehead: true +includefoot: true +includemp: -- +driver: pdftex +-------------------- Page layout dimensions and switches +\paperwidth 379.4175pt +\paperheight 578.15999pt +\textwidth 361.34999pt +\textheight 481.31845pt +\oddsidemargin -63.23624pt +\evensidemargin -63.23624pt +\topmargin -58.2829pt +\headheight 12.0pt +\headsep 19.8738pt +\footskip 30.0pt +\marginparwidth 98.0pt +\marginparsep 7.0pt +\columnsep 10.0pt +\skip\footins 10.8pt plus 4.0pt minus 2.0pt +\hoffset 0.0pt +\voffset 0.0pt +\mag 1000 +\@twosidetrue \@mparswitchtrue +(1in=72.27pt, 1cm=28.45pt) +----------------------- +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/color.sty +Package: color 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC) +(/etc/texmf/tex/latex/config/color.cfg +File: color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive +) +Package color Info: Driver file: pdftex.def on input line 130. +) +Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 547. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/nameref.sty +Package: nameref 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/refcount.sty +Package: refcount 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO) +) +\c@section@level=\count125 +) +LaTeX Info: Redefining \ref on input line 547. +LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 547. +(./32643-t.out) (./32643-t.out) +\@outlinefile=\write3 +\openout3 = `32643-t.out'. + +LaTeX Font Info: Try loading font information for T1+cmtt on input line 561. + +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1cmtt.fd +File: t1cmtt.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msa on input line 584. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd +File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+msb on input line 584. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd +File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions +) +LaTeX Font Info: Try loading font information for U+rsfs on input line 584. +(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/jknapltx/ursfs.fd +File: ursfs.fd 1998/03/24 rsfs font definition file (jk) +) [1 + +{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2 + +] [1 + +] [2 + +] [3 + + +] [1 + + + +] [2 + + +] <./images/015a.pdf, id=524, 180.675pt x 181.67876pt> +File: ./images/015a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/015a.pdf> [3 <./images/015a.pdf>] <./images/016a.pdf, id=547, 135 +.50626pt x 104.39pt> +File: ./images/016a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/016a.pdf> [4 <./images/016a.pdf>] <./images/017a.pdf, id=572, 121 +.45375pt x 108.405pt> +File: ./images/017a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/017a.pdf> <./images/017b.pdf, id=573, 119.44624pt x 110.4125pt> +File: ./images/017b.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/017b.pdf> +Underfull \hbox (badness 1178) in paragraph at lines 970--974 +[]\T1/cmr/m/n/12 Ce pa-ral-l-lo-gramme est la r-gion cher-che. Construi-sons + + [] + +[5 <./images/017a.pdf> <./images/017b.pdf>] <./images/018a.pdf, id=597, 324.211 +24pt x 107.40125pt> +File: ./images/018a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/018a.pdf> [6 <./images/018a.pdf>] [7] [8] [9 + +] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17 + +] <./images/030a.pdf, id=687, 179.67125pt x 99.37125pt> +File: ./images/030a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/030a.pdf> [18 <./images/030a.pdf>] [19] [20] [21 + +] [22 + + +] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] <./images/045a.pdf, id=768, 105.39375pt x +85.31876pt> +File: ./images/045a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/045a.pdf> [30 + +] <./images/045b.pdf, id=777, 126.4725pt x 186.6975pt> +File: ./images/045b.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/045b.pdf> [31 <./images/045a.pdf> <./images/045b.pdf>] [32] [33] +<./images/048a.pdf, id=811, 136.51pt x 123.46124pt> +File: ./images/048a.pdf Graphic file (type pdf) +<use ./images/048a.pdf> [34 <./images/048a.pdf>] [35] [36] [37] 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+{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc}</usr/share/texmf- +texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmex10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1 +/bluesky/cm/cmmi10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi12. +pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi8.pfb></usr/share/texm +f-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi9.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type +1/bluesky/cm/cmr10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr12.p +fb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr17.pfb></usr/share/texmf +-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/ +bluesky/cm/cmr7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr8.pfb>< +/usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr9.pfb></usr/share/texmf-texl +ive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/blu +esky/cm/cmsy8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy9.pfb></ 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